Text
                    GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS 50
HAROLD M. EDWARDS
FERMAT'S
LAST
THEOREM
A GENETIC INTRODUCTION
TO ALGEBRAIC
NUMBER THEORY
Work on this book was supported in part by
the James M. Vaughn, Jr., Vaughn Foundation Fund.
SPRINGER-VERLAG
NEW YORK HEIDELBERG BERLIN 1977


Г. Эдварде ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА [ёнетическое введение В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ Перевод с английского В. Я КАЛИНИНА И А. И. СКОПИНА под редакцией Б. Ш. СКУБЕНКО ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1980
УДК 5lt Монография по арифметике круговых и квадратичных полей, написанная свежо и оригинально. Автор следует в своем изложении историческому ходу событий, но описывает только те идеи, которые в дальнейшем нолучили развитие. Поэтому он называет свой метод изложения пе «историческим», а «гене- тическим». Каждое общее утверждение иллюстрируется кон- кретными примерами, что выгодно отличает кпигу от других, где материал излагается на более абстрактном уровне. В целом книга представляет несомненный интерес для математиков различных специальностей. Она может использо- ваться и для первоначального знакомства с предметом. Редакция литературы по математическим наукам © 1977 by Harold M. Edwards All rights reserved. Authorised translation from English language edition published by Springer- 1702030000 Verlag Berlin - Heidelberg _ New York 20203-013 ЙП © Перевод ца русский язык, «Мир» 3 041@1)-80 ld'8 1980
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна среди математиков и особенно среди математиков-любителей, как проблема Ферма (или знаменитая «Великая теорема Ферма», или «Последняя теорема Ферма»). На русском языке имеется не так много книг, специально посвященных этой проблеме, да и книги эти из серии популярных. Одиозность проблематики, первоначально вызванная Вольфске- левской премией, вынуждает каждого пишущего о теореме Ферма быть предельно осторожным. По крайней мере написанная книга не должна вызывать сомнения в том, что ее автор не хочет иметь дело с «ферматистамн». Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько содержательна, что у любителей решать проблему Ферма прими- тивными методами она отобьет всякое желание^дискутировать. Кстати, и книга М. М. Постникова «Теорема Ферма» (М.: Наука, 1978), не столь объемистая, как эта, наделена таким же иммуни- тетом. Книга Эдвардса, как пишет сам автор в предисловии, не пре- тендует на историчность. Это, конечно, верно, однако некоторые моменты истории математики в книге описаны весьма подробно. Достоинством книги является и то,что автор подробно излагает основы теории идеалов генетическим методом. Приятно'узнавать, каким образом создавалась эта теория, какие математики в этом участвовали, какие возникали драматические, а дорой и парадо- ксальные ситуации (например, случай с р = 23), в итоге привед- шие к гениальному открытию. Изложение генетическим методом имеет и теневые стороны. Эдвардсу волей-неволей приходится пользоваться терминологией прошлого века, излагать доказательства теорем языком той эпохи, производить многочисленные арифметические вычисления, выпи-
6 От редактора перевода сывать длинные цитаты — все это в книге соткано в единое про- изведение, наделенное духом нашего времени. Такое сочетание затрудняет чтение книги в оригинале и делает ее чрезвычайно сложной для перевода. Переводчики стремились сохранить све- жесть и оригинальность стиля автора, ы если это не всегда уда- лось им, то, во всяком случае, не из-за отсутствия старания. Предисловие, главы I, II, VII, VIII, IX и § 2 приложения переве- дены В. Л. Калининым. Главы III, IV, V, VI и § 1 приложения переведены А. II. Скопииым. Б. Ф. Скубенко
ПРЕДИСЛОВИЕ По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать, каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма, и, так как сама книга не дает ответа на этот вопрос, стоит, вероят- но, сказать об этом несколько слов в предисловии. Последняя теорема Ферма — это утверждение (не теорема), что уравнение хп + Уп = 2П при п > 2 не имеет целых положительных решений. Легко доказать (см. § 1.5) неразрешимость уравнения х* -f- yi — = z4. Поэтому исходное уравнение неразрешимо, когда п делится на 4. (Если п = Ак, то равенство хп -\- уп = ъп приводило бы к равенству X* + Y* = Z4, где X = xk, Y = z/\ Z = zk, что невозможно.) Аналогично, если доказать неразрешимость уравне- ния хт -\- ут = zm при некотором значении т, отсюда будет следовать неразрешимость исходного уравнения для любого п, делящегося на т. Поскольку каждое п >2 делится либо на 4, либо на нечетное простое число, то для доказательства Последней теоремы Ферма достаточно доказать ее для простых показателей п. Для показателя п = 3 доказать эту теорему не слишком труд- но (см. гл. 2). Для показателей 5 и 7 возникают большие труд- ности (§ 3.3 и 3.4), однако методы остаются по существу элемен- тарными. Основное содержание книги составляет мощная теория «идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы 19 века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59 и 67. Точнее, теорема Куммера утверждает следующее. Пусть р — нечетное простое число. Тогда достаточное условие для справедли- вости Последней теоремы Ферма при показателе р состоит в том, что р не делит числители чисел Бернулли Вг, /?4, . . ., #р_3 (см. § 5,5 и 6.19). Простое число, удовлетворяющее достаточному условию Куммера, называется «регулярным». Начиная с 1850 г. основные усилия были направлены на на- хождение все более мощных достаточных условий. Наилучшие известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые числа, меньшие 100 000 [W1]. Однако, с другой стороны, все эти условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество
Предисловие простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить воз- можность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую большую границу, теорема неверна. Основным методом изложения в этой книге, как указывает ее подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет «генетический» как «относящийся к генезису, происхождению». В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естествен- ность и эффективность, прослеживая их происхождение и развитие в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагран- жа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других. Важно отличать генетический метод от описания истории вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод прежде всего занимается самим предметом изучения — его проис- хождением и развитием, тогда как основной целью исторического описания является аккуратная регистрация сведений о людях, идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета изучения. В истории нет места для детального описания теории — если только это не является существенным для понимания собы- тий. В генетическом методе пет места для внимательного изучения событий — если только это не способствует более глубокому про- никновению в предмет. Это означает, что генетический метод имеет тенденцию пред- ставлять историческую последовательность в искаженной перспек- тиве. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генети- ческий метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы вспомогательных вычислений. Для того чтобы выявить действи- тельно плодотворные идеи, приходится делать вид, что челове- ческий разум по прямой линии движется от задач к решениям. Я особенно хотел бы подчеркнуть, что представление о прямоли- нейном движении человеческого разума является настолько неле- пой фикцией, что к ней ни на мгновение нельзя относиться серьезно. Сэмюэль Джонсон некогда так писал о работе'над биографиями: «Если бы дозволялось показывать лишь светлые стороны характе- ров, то нам оставалось бы только впасть в уныние из-за полной невозможности в чем-либо следовать героям. Авторы жизнеописа- ний святых рассказывали как о дурных, так и о добродетельных поступках людей. Это удерживало человечество от отчаяния, в чем и заключалось моральное действие такого подхода». В этой книге по большей части мы показываем только светлые стороны, только плодотворные идеи и только правильные догадки. Читатель должен иметь в виду, что эта книга не является ни исторической, ни биографической, и, значит, ему не стоит впадать в отчаяние.
Предисловие Возможно, вас заинтересует не столько разница между истори- ческим описанием и генетическим методом, сколько отличие гене- тического метода от более обычного метода математического изло- жения. Как утверждал математик Отто Теплиц, сущность генети- ческого метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические источники идеи, найти для нее наилучшую мотивировку, и, изучив контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту идею, найти тот «жгучий вопрос», па который он жаждал отве- тить [11]. В противоположность этому более обычный метод оставляет в стороне вопросы и приводит лишь ответы. С логической точки зрения нужны только ответы, однако с психологической точки зрения изучать ответы, не зная вопросов, очень трудно а даже практически невозможно. По крайней мере таков мой собственный опыт. Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть трудности изучения абстрактной математической теории состоит в том, чтобы последовать совету Теплица п игнорировать совре- менные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не уз- наешь вопросов, которые привели к этой теории. В первых трех главах этой книги рассматриваются элементар- ные аспекты Последней теоремы Ферма. Эти главы написаны на более элементарном уровне, чем остальная часть книги. Я надеюсь, что читателю, обладающему достаточной математической зрело- стью для чтения последних глав, эти первые три главы тоже покажутся интересным и достойным внимания, хотя и легким чтением. В то же время я надеюсь, что менее искушенный читатель, который потратит больше времени и сил на первые главы, в ре- зультате приобретет достаточно опыта, чтобы, хотя и с трудом, по преодолеть и дальнейшие главы. Следующие три главы 4—6 посвящены развитию куммеровой теории идеальных делителей и ее приложению к доказательству сформулированной выше замечательной теоремы Куммера о том, что Последняя теорема Ферма верна для регулярных простых показателей. Это наивысшая точка, которая достигается в настоя- щей книге при изучении Последней теоремы Ферма. Я намере- ваюсь написать второй том, в котором будут изложены работы по Последней теореме Ферма, выходящие за пределы теоремы Куммера; однако эти более поздние исследования трудны, и теорема Куммера является естественной точкой для завершения этого тома. В трех последних главах рассматриваются вопросы, более косвенным образом связанные с Последней теоремой Ферма, а именно: теория идеальпого разложения для квадратичных целых, гауссова теория бинарных квадратичных форм и формула Дирихле для числа классов. Изучать работы Куммера по Последней теоре- ме Ферма, не касаясь этих вопросов, столь же неразумно, как изучать историю Германии, не затрагивая истории Франции. С самого начала своей работы по теории идеалов Куммер созпа-
10 Предисловие вал, что она тесно связана с гауссовой теорией бинарных квадра- тичных форм. Применение к Последней теореме Ферма было лишь одним из мотивов, побудивших Куммера к развитию этой теории; другими мотивами (и, по его собственному свидетельству, более настоятельными) были поиски обобщения квадратичного, куби- ческого и биквадратичного законов взаимности на высшие степени и попытки найти объяснение трудной гауссовой теории компози- ции форм. Кроме того, по словам самого Куммера, тем, что ему удалось удивительно быстро найти формулу для числа классов и открыть поразительную связь между Последней теоремой Ферма для показателя р и поведением чисел Бернулли по модулю р, он был обязан решению Дирихле аналогичной задачи в квадратич- ном случае. Генетический метод подсказывает — почти требует — изучить эти достижения и найти мотивировку трудной, но чрезвы- чайно плодотворной идеи «идеальных нростых делителей», столь существенной для понимапия работ Куммера по Последней теоре- ме Ферма. Кроме того, материал трех заключительных глав обеспечивает необходимую основу для изучения высших законов взаимности и теории полей классов, на которые в свою очередь опираются более поздние работы по Последней теореме Ферма, намеченные для изучения во втором томе. В этой книге, как в основном тексте, так и в упражнениях, особенно большое место уделено вычислениям. Это необходимая составляющая генетического метода. Действительно, даже поверх- ностный взгляд на историю вопроса показывает, что Куммер и другие великие новаторы в теории чисел производили обширные вычисления и на этом пути достигали своих глубоких озарений. Я вынужден с прискорбием заметить, что современное математи- ческое образование имеет тенденцию прививать студентам мысль, что вычисления являются унизительной нудной работой, которой ¦следует избегать любой ценой. Если вы внимательно проследите за вычислениями в основном тексте и будете рассматривать упраж- нения вычислительного характера не только как отнимающие вре- мя (неизбежно они обладают этой особенностью), по и как пред- ставляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание, то я уверен, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю простоту теории. Я убежден в том, что не бывает пассивного понимания матема- тики. Только при активном чтении лекций, написании учебников или решении задач можно полностью овладеть математическими идеями. Именно по этой причине данная книга содержит так мно- го упражнений, и именно по этой причине я считал, что серьезный читатель должен решить их как можно больше. Некоторые из моих коллег указали мне, что, предлагая столь большое количество упражнений, я оттолкну от книги тех читателей, которые захоте- ли бы прочитать ее только ради удовольствия. На ото я могу
Предисловие 11 ответить, что упражнения только предлагаются, но не предписы- ваются для обязательного решения. Делайте с ними что хотите, но, возможно, вы обнаружите, что они также способны доставить удовольствие. Знаменитая премия за доказательство Последней теоремы Ферма была учреждена II. Вольфскелем в 1908 г. Одним из усло- вий присуждения премии была публикация доказательства, и, по-видимому, главным результатом учреждения премии было чудовищное количество нелепых доказательств, предназначенных для печати или опубликованных частным образом. С очевидным удовольствием Морделл и другие специалисты по теории чисел объявили, что последовавшая после первой мировой войны инфля- ция в Германии свела первоначально внушительную премию практически к нулю. Однако экономическое возрождение ФРГ после второй мировой войны изменило ситуацию. Теперь премия Вольфскеля составляет около 10 000 западногерманских марок, или 4000 американских долларов. Для присуждения премии доказательство должно быть опубликовано и не менее чем через два года после публикации должно быть признано верным Гет- тингенекой Академией наук. Если вы намерены попытаться заработать эту премию — при- мите мои наилучшие пожелания. Я был бы восхищен, если бы эта задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему ее. оказалась полезной моя книга. II хотя можно спорить о том, способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к реше- нию задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти реше- ние, я думаю, что безуспешных усилий многих первоклассных математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных) достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой пробле- ме совершенно безнадежным. Приведенные в этой книге идеи позволяют решить проблему для всех показателей, меньших 37. Ничего подобного нельзя сказать пи об одном подходе, не исполь- зующем куммерову теорию идеального разложения. Однако преж- де чем вы задумаете добиться получения премии Вольфскеля, стоит принять во внимание еще одно обстоятельство. Мне кажется, что нет вообще никаких оснований считать Последнюю теорему Ферма верной, а условия присуждения премии не предлагают ни единого пфеннига за опровержение этой теоремы. Благодарности Просто сказать, что работа над книгой велась при финансовой поддержке фонда Вопа, значило бы создать совершенно непра- ннльное представление о том, до какой степени я обязан этому фонду и лично г-ну Джеймсу М. Вопу, мл. Если бы я не получил
12 Предисловие от них предложения рассказать о Последней теореме Ферма, эта книга не только никогда не появилась бы, но у меня и не возникла бы мысль писать ее. Я глубоко благодарен г-ну Вону и фонду за приглашение заняться этим столь увлекательным, полезным и приятным делом. Я хотел бы также поблагодарить Брюса Ченд- лера за дружескую поддержку и мудрые советы. Его семинар по истории математики в Нью-йоркском университете стал заме- чательным местом встреч историков математики — встреч, кото- рые я и многие другие считаем чрезвычайно полезными и вдохно- вляющими. Кроме того, я признателен многим ученым, высказавшим свои замечания но рукописи. В частности, я хотел бы упомянуть Джо- на Бриллхарта, Эда Кертиса, Пьера Дюгака, Дж. М. Ганди, Линетт Ганим, Поля Хал мота. Жана Итара, Вальтера Кауф- ман-Бюлера. Морриса Клайпа, К'арлоса Морено, Эла Новикова, Гарольда Шапиро, Габриэля Штольценберга, Джеймса Бона и Апдре Вейля. Наконец, я благодарен Курантовскому институту математи- ческих наук при Нью-йоркском университете за удобное рабочее место, отличную библиотеку и высококвалифицированную работу Элен Саморай и ее коллег по перепечатке рукописи. Гарольд М. Эдварде
Глава 1 ФЕРМА 1.1. Ферма и его «Последняя теорема > Пьер де Ферма умер в 1665 г. К этому времени он был одним из самых знаменитых математиков Европы. Сегодня имя Форма неотделимо от теории чисел, но при жизни его работы по теории чисел были настолько революционными и настолько опережали свое время, что их значение было плохо понято современниками, и слава Ферма основывалась больше на его достижениях в других областях науки. Среди них были важные труды по аналитической геометрии (независимо от Декарта Ферма был одним из создателей этой науки), по теории касательных, вычисления площадей, макси- мумов и минимумов (эти работы послужили началом математи- ческого анализа) и по геометрической оптике (которую он обогатил открытием того, что законы преломления можно вывести из прин- ципа наименьшего времени). В славе Ферма как математика есть два удивительных факта. Во-первых, по профессии Ферма был юристом, а не математиком. В зрелом возрасте он занимал довольно важные судебные долж- ности в Тулузе, посвящая математике лишь свободное время. Во-вторых, за всю свою жизнь он не опубликовал пи одной мате- матической работы 1). Своей репутацией Ферма был обязан пере- писке с другими учеными и значительному количеству трактатов, которые распространялись в рукописном виде. Ферма часто убеждали опубликовать его работы, но по необъяснимым причинам он отказывался печатать свои труды, и многие из его открытий, особенно в теории чисел, так и не были приведены к виду, пригод- ному для публикации. Поскольку Ферма отказывался публиковать свои работы, мно- гие из его почитателей стали опасаться, что он скоро будет забыт, если не попытаться собрать его письма и неопубликованные трак- таты и издать их посмертно. Такая попытка была предпринята его сыном, Самюэлем. Самюэль де Ферма занялся не только сбором й) Есть одно небольшое исключение, В 1660 г. он разрешил опублико- вать второстепенную работу в качестве приложения к книге, написанной его коллегой. Однако это исключепие лишь подтверждает правило: работа была опубликована анонимно.
14 Гл. 1. Ферма писем и трактатов среди корреспондентов отца, но и разобрал его бумаги и книги, и именно этот путь привел к публикации знаме- нитой «Последней теоремы» Ферма. Книгой, первоначально вдохновившей Ферма на изучение теории чисел, была «Арифметика» Диофанта — одно из великих классических произведений древнегреческой математики, незадол- го до того переоткрытое и переведенное на латинский язык. Са- мюэль обнаружил, что его отец сделал много замечаний на полях своего экземпляра книги Диофанта в переводе Баню, и для начала он выпустил новое издание «Арифметики» Диофанта [D3], которое в качестве приложения содержало сделанные Ферма заметки на полях. Второе из этих 48 «Замечаний к Диофанту» было написано на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В зтой задаче требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде сум- мы двух других квадратов». Написанная па латинском языке заметка Ферма утверждает, что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвертую стенепь — в виде суммы двух четвер- тых степеней, или, вообще, любое число, которое является сте- пенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказа- тельство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Это простое утверждение, которое символически можно записать так: «для любого целого п >2 уравнение хп -j- у" -- zn неразрешимо».— теперь известно как Последняя теорема Ферма. Если Ферма действительно знал доказательство этого утвержде- ния, оно несомненно было «удивительным», поскольку за триста с лишним лет, прошедших со времен Ферма, никто больше не смог найти такого доказательства. Эту задачу безуспешно пытались решить многие великие математики, и хотя был достигнут некото- рый прогресс, позволивший доказать утверждение Ферма для всех показателей п порядка многих тысяч, до сегодняшнего дня пеиз- вестпо, справедливо ото утверждение или нет. Происхождение названия «Последняя теорема Ферма» неясно. Неизвестно, в какой период жизни Ферма написал эту заметку на полях, по принято считать, что он написал ее тогда, когда впер- вые изучал книгу Диофанта, т. е. в конце 1630-х годов,— затри десятилетия до смерти. В таком случае эта теорема, конечно, не была его последней теоремой. Вполне возможно, что это назва- ние обязано своим происхождением тому обстоятельству, что сре- ди многих теорем, которые Ферма сформулировал без доказатель- ства, эта теорема остается последней, до сих пор не доказанной. По-видимому, заслуживает внимания и соображение о том. что Ферма после дальнейших размышлений был. возможно, не вполне удовлетворен своим «удивительным доказательством», особенно если он действительно панисал о нем в 1630-е годы. В самом деле,
1.1. Ферма и его «Последняя теорема» 15 другие теоремы он вновь и вновь формулирует в своих письмах (иногда в виде своеобразного вызова на соревнование); среди них встречаются и частные случаи х3 -\- г/3 =^= z3, х* -f- г/4 =^= z4 Послед- ней теоремы, но сама эта теорема появилась лишь однажды как замечание номер 2 к Диофанту — загадочным сфинксом для по- томков. В «Арифметике» Диофанта рассматриваются исключительно ра- циональные числа, поэтому не следует сомневаться в том, что Ферма имел в виду отсутствие рациональных чисел х, y,z, таких, что а:™ -}- + уп = zn (п > 2). Если бы можно было рассматривать ирра- циональные числа, то для любой пары чисел х, у мы получили бы такое решение, просто положив z —- ]/ хп ~ уп. С другой стороны, если бы уравнение хп + Уп ~ %п имело рациональные решения, то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах: действительно, если х, у, z — рациональные решения уравнения хп -j- уп = zn и d — их наименьший общий знаменатель, то xd, yd, zd — целые числа и (xd)n + {yd)n - (хп + уп) dn = (zd)n, так что zd — целое число, п-я степень которого равна сумме п-х степеней. Кроме того, как Диофант, так и Ферма имели дело с положительными числами — во времена Ферма к отрицатель- ным числам и нулю еще относились с подозрением,— поэтому молчаливо исключается также и тривиальный случай, когда х или у равно нулю. (Например, равенство 25 -j- О5 — 25, конечно, не противоречит Последней теореме Ферма.) Таким образом, Послед- няя теорема Ферма, по существу, сводится к утверждению о том, что если п — целое, большее двух, то невозможно найти такие положительные целые числа х, г/, z, что хп + Уп = 2™. Именно в таком виде обычно и формулируется эта теорема. За три столетия, прошедшие после смерти Ферма, его работы во всех областях, кроме теории чисел, были постепенно забыты, по не потому, что они оказались чем-либо плохи. Наоборот, это были первые серьезные шаги в развитии важных теорий, которые теперь значительно яснее поняты и которые проще объяснить с использованием языка и символики, не существовавших во вре- мена Ферма. В то же время работы Ферма по теории чисел поль- зуются непреходящей славой, и среди них не только его Последняя теорема, но и многие другие открытия и идеи, часть которых мы рассмотрим позже в этой главе. Такое отношение к наследию Ферма кажется вполне сообразным, поскольку, как явствует из его переписки, какими бы важными для развития математики ни считал он свои работы в других областях, его истинной лю- бовью была теория чисел, изучение свойств положительных целых чисел, которые казались ему величайшим вызовом силе чистого математического рассуждения и величайшей сокровищницей чистых математических истин.
16 Г я. 1. Ферма 1.2. Пифагоровы треугольники В предложении из «Арифметики» Диофанта, которое привело Ферма к его Последней теореме, рассматривается одна из самых старых математических задач: «записать квадрат в виде суммы двух квадратов». Одно решение этой задачи получается при помощи равенства З2 -f- 42 = 52, из которого следует, что для любого квадрата а2 справедливо тождество а2 = (За/5J -\- Dа/5J. Аналогично, любая тройка положительных целых х, у, z, таких, что х2 + У2 — z^i Дает решение а2 = (xa/zJ -j- (ya/zJ, и, как легко видеть, любое решение получается таким образом. Короче говоря, задача Диофанта сводится к задаче нахождения троек положи- тельных целых чисел, удовлетворяющих уравнению х2 -\- у2 = z2. Если задачу Диофанта сформулировать таким образом, то ста- нет очевидной ее связь с теоремой Пифагора. По теореме Пифаго- ра 1) из равенства З2 + 42 = 53 следует, что треугольник, стороны которого находятся в отношении 3:4:5, является прямоуголь- ным треугольником. Вообще, любая тройка положительных целых х, у, z, удовлетворяющая уравнению х2 -\- у2 = z2, определяет такое множество отношений х : у : z, что треугольник, стороны которого находятся в этом отношении, является прямоугольным треугольником. Это означает, что задачу Диофанта можно на геометрическом языке выразить как задачу нахождения прямо- угольных треугольников с соизмеримыми 2) длинами сторон, т. е. треугольников, для которых отношения длин сторон выражаются как отношения целых чисел. Ввиду такой геометрической интер- претации любую тройку положительных целых чисел, удовлетво- ряющую уравнению х2 -f- у2 = z2, называют пифагоровой тройкой. Пифагорова тройка З2 + 42 = 52— самый простой и наиболее известный пример. Другой пример: 52 + 122 = 132. Конечно, здесь важпы только отношения, и тройка б, 8, 10, которая обра- зует те же отношения, что и 3, 4, 5, также является пифагоровой тройкой. Аналогично, 9, 12, 15 и 10, 24, 26 — пифагоровы трой- *) Если теорема Пифагора сформулирована в своем обычном виде как утверждение о том, что «в прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенпых на катетах», то здесь требуется теорема, обратная к теореме Пифагора. Однако из более сильной формы теоремы: «если а, Ь, с — стороны треугольника, то угол, противо- лежащий стороне с, является острым, прямым или тупым в зависимости от того больше, равно или меньше а3 + б2 чем с2», следует обратное утверж- дение: «если а2 + б2 = с2, то данный треугольник является прямоугольным». 2) Концепция соизмеримости является центральной в греческой мате- матике; рассмотрению этого понятия посвящена значительная часть «Начал» Евклида. Одной из основных вдохновляющих идей греческой математики было открытие Пифагора, согласно которому стороны равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмеримы, или, что то же самое, число у 2 иррационально.
1.3. Как находить пифагоровы тройка 17 ки, которые существенно не отличаются от приведенных выше. Но тройка 7, 24, 25 отличается существенно. Задача Диофанта состоит в нахождении пифагоровых троек. За несколько веков до Диофанта (около 250 г. н. э.?) эту задачу рассмотрел Евклид (около 300 г. до н. э.) в своих «Началах» (Книга X, лемма 1 между предложениями 28 и 29). Однако, как показало одно из самых удивительных открытий археологии двадцатого века, более чем за тысячу лет до Евклида эту задачу изучали древние вавилоняне. В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. до н. э.; при изучении оказалось (см. Нейгебауэр [N1]), что она содержит список пифагоровых троек. Одна из троек в этом списке — 3, 4, 5, но среди других содержится также и 49G1, 6480, 8161. (Возможно, читателю будет интересно провести вычис- ления и убедиться в том, что это действительно пифагорова трой- ка.) Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и оши- бок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом решения задачи Диофанта. Мы не знаем ни того, что это был за способ, ни того, какие причины побудили вавилонян изучать пифагоровы тройки. По мнению Нейгебауэра, вполне вероятно, что им был известен геометрический смысл пифагоровых троек — другими словами, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора,— и что они получали эти тройки каким-то методом, подобным использованному в книгах Диофанта и, с мень- шей строгостью, Евклида. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе. Интересно, и, по-видимому, это не простое совпадение, что этой задаче из предыстории математики суждено было привести к одной из самых знаменитых математических задач нашего времени. 1.3. Как находить пифагоровы тройки Хотя идеи следующего решения задачи нахождения пифагоро- вых троек, по существу, совпадают с идеями решения Диофанта 1), наши обозначения, терминология и изложение современны. Конеч- но, серьезному студенту стоит прочитать собственное изложение Диофанта (имеется прекрасный английский перевод Хита [НИ), по для того, чтобы восстановить обозначения и точку зрения Дио- фанта, требуются некоторые усилия, и, поскольку в нашей книге рассматривается более современная математика, мы не будем ') Довольно странно, что это решение появляется у Диофанта не как Решение задачи «записать квадрат в виде суммы двух квадратов» из Книги II, а как одно из решений задач, связанных с прямоугольными треугольниками. См. стр. 93 издания Хита книги Диофанта [Hi]. Г. Эдварде
18 Гл. 1. Ферма предпринимать попытку такой реконструкции. Рассуждение в этом доказательстве является очень важным, и его основная идея снова и снова встречается при изучении Последней теоремы Ферма. Метод приводимого ниже решения известен в классической гре- ческой математике как аналитический метод *): предполагается, что задано некоторое решение уравнения х2 -\- у2 = z2 (х, у, z — положительные целые), и свойства данного решения анализи- руются с тем, чтобы, найти такие характеристики этих решений, которые позволили бы их строить. Заметим прежде всего, что если d — некоторое число, на кото- рое делятся все три числа х, у, z, то уравнение х2 -\- у2 = z% можно сократить на <Р и целые x/d, y/d, z/d также составляют пифагорову тройку. Если d — наибольший общий делитель чисел х, у, z, то x/d, y/d, z/d не имеют общих делителей, отличных от 1, и образуют так называемую примитивную пифагорову тройку, т. е. пифагорову тройку, входящие в которую числа не имеют общих делителей, отличных от 1. Таким способом — делением на наибольший общий делитель — каждую пифагорову тройку можно привести к примитивной. Обратно, если дана примитивная пифагорова тройка, скажем а2 -\- Ь2 = с2, то любая пифагорова тройка, которая приводится к ней, может быть получена путем выбора соответствующего целого d и умножения на него: х = ad, у = bd, z = cd. Следовательно, достаточно научиться находить примитивные пифагоровы тройки и с самого начала можно пред- положить, что данная-тройка х, у, z примитивная. Из этого предположения следует, что никакие два из трех чисел х, у, z не имеют общих делителей, больших 1. Например, если бы d было делителем х и у, то из равенства z2 = х2 А у'1 следовало бы, что d2 является делителем z2, а тем самым 2), что d делит z. Сле- довательно, d делило бы все три числа и, согласно примитивности тройки, равнялось бы 1. Аналогично, единственным общим дели- телем х и z или у и z служит 1. В частности, никакие два из трех чисел х, у, z не могут быть четными (иметь общий делитель 2). Следовательно, по крайней мере два из них нечетны. Но очевидно, что все три числа не могут быть нечетными, так как тогда из х2 + у2 — z2 следовало бы, что «нечетное + нечетное = нечетное», а это невозможно. Поэтому в точности одно из них четно. Рассматривая сравнения но моду- лю 4, легко видеть, что z не может быть четным. Действительно, квадрат нечетного числа 2п + 1 на единицу больше некоторого *) См. «Собрание» Паппа. 2) Доказательство этого факта см. в упр. 3. Кратко его идея такова: квадрат несократимой дроби сам является несократимой дробью, следова- тельно, (z/dJ может быть целым числом только тогда, когда z/d — целое.
1.3. Как находить пифагоровы тройки числа, кратного 4, а именно, он равен 4и2 + 4ге + 1. Квадрат четного числа кратен 4: он равен in2. Таким образом, если бы х ц у были нечетными, a z четным, то равенство х2 + у2 = z2 дава- ло бы нам число, кратное 4 и одновременно равное сумме двух чисел, каждое из которых на единицу больше, чем некоторое число, кратное 4, что, очевидно, невозможно. Следовательно, z нечетно, а х и у имеют противоположную четность: одно из них нечетно, а другое — четно. В случае необходимости меняя места- ми х и у, мы можем считать, что в данной примитивной пифагоро- вой тройке х четно, тогда как у и z нечетны. Теперь перепишем уравнение х2 + у2 = z2 в виде х2 = z2 — у2 и, разложив правую часть на множители, получим х2 = = (z + у) (z — у). Поскольку все числа х, z -\- у т& z — у четны, существуют такие положительные целые w, v, w, что х = 2u, z + у = 2i>, z — у = 2w. Тогда BиJ = Bv) Bw), или и2 = vw. Кроме того, наибольший общий делитель v и w равен 1, так как любое число, делящее как v, так и w, делило бы также и v + w = = 4 (z + У) + т (z - ») = у Bz) = z и у-и>=-§-<* + »)- s- (z — у) = у и потому могло бы равняться только 1. Другими словами, v и w взаимно просты. Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем. Произведение двух взаимно простых чисел vuw может быть квадра- том vw = и2 только тогда, когда vuw сами являются квадратами. Это утверждение становится очевидным, если мы рассмотрим разложение чисел v и w на простые множители. Действительно, поскольку v и w взаимно просты, то ни одно простое не входит одновременно в разложения vuw. Поэтому разложение числа vw на простые Множители распадается на эти два разложения; если vw является квадратом, то все простые должны входить в разло- жение vw в четных степенях, но тогда они должны входить уже в разложения v и w в четных степенях. Следовательно, vuw — квадраты. Полное доказательство этого утверждения будет при- ведено в следующем параграфе. Итак, существуют такие положительные целые р и q, что- v = p2: w = q2. Кроме того, р и q взаимно просты, поскольку таковы v и w. Тогда z = v + w = р2 + q2, у = v — w = р2 — q2. Это показывает, что р больше q (у положительно) и что р и q Должны иметь противоположную четность (поскольку z и у нечет- ны). Далее, х легко выразить через р и q: xz=z2 — yz = plk- x =a 2pq.
20 Гл. 1. Ферма Таким образом, если дапа произвольная примитивная пифагорова тройка, то найдутся такие взаимно простые положительные целые р я q, что р > q, p и q имеют противоположную четность и данная тройка состоит из чисел 2pq, р2 — q2 и р2 + q2- Это завершает анализ, поскольку легко доказать, что если дана произвольная пара р и q, такая, что A) р и q взаимно просты, B) р > q и C) р и q имеют противоположную четность, то числа 2pq, р2 — q2, р2 + q2 образуют примитивную пифагорову тройку. Для этого достаточно заметить, что BpqJ + (р2 - q2J - (р2 + q2f является алгебраическим тождеством, справедливым для всех р и q, и что из условий, наложенных на р и q, следует, что 2pq и р2 — q2 взаимно просты (и, значит, соответствующая тройка примитивна). Действительно, если бы эти числа имели общий делитель, больший 1, то они имели бы и простой общий делитель, скажем Р. Поскольку р2 — q2 нечетно, Р не равно 2; поэтому на Р должно делиться р или q (так как на него_делится 2pq), но не оба эти числа одновременно (так как р и q взаимно просты). Но это невозможно, поскольку это противоречило бы предположению о том, что Р делит р2 — q2. Это полностью решает задачу построения пифагоровых троек. Все пифагоровы тройки, соответствующие парам р и q с р ^ 8, приведены в табл. 1.1. Заметим, что в эту таблицу входят стандарт- Таблица 1.1. Пифагоровы тройки р 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 8 Я 1 2 1 3 2 4 1 5 2 4 6 1 3 5 7 X 4 12 8 24 20 40 12 60 28 56 84 16 48 80 112 У 3 5 15 7 21 9 35 11 45 33 13 63 55 39 15 z 5 13 17 25 29 41 37 61 53 65 85 65 73 89 113
1.4. Метод бесконечного спуска 21 ные примеры 3, 4, 5; 5, 12, 13 и 7, 24, 25. Заметим также, что легко продолжить эту таблицу на большие значения р, включая только те значения q, которые меньше р, взаимно просты с р и имеют противоположную четность. Упражнения 1. Найдите значения р и q, которые соответствуют пифагоровой тропке из вавилонской таблички, приведенной в § 1.2. 2. Продолжите таблицу 1.1 до р = 12. 3. В следующем параграфе будет доказано, что если vw — и2 и v, ш взаимно просты, то v и w являются квадратами. Используйте это для дока- зательства того, что если d2 делит z2, то d делит z. [Пусть d = cD, z — cZ, где с — наибольший общий делитель d п z. Тогда Z1 -- kD1, где bifl! взаимно просты.] 1.4. Метод бесконечного спуска Метод бесконечного спуска изобрел Ферма, и этим изобретени- ем он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном неза- долго до смерти, он подвел итог своим открытиям в теории чисел и с полной определенностью заявил, что во всех своих доказа- тельствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот .метод состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невоз- можны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удается доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действитель- но, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для еще меньших чисел, и т. д. — ad infini- tum,— что невозможно, поскольку последовательность положи- тельных целых чисел не может бесконечно убывать. Например, рассмотрим предложение, которое мы использовали в предыдущем параграфе, а именно: если v и w взаимно просты и vw является квадратом, то и сами v и w должны быть квадрата- ми. Как подчеркивал сам Ферма, метод бесконечного снуска — это метод доказательства невозможности. В рассматриваемом случае мы должны доказать, что невозможно найти такие числа v и w, что A) » и ш взаимно просты, B) vw — квадрат и C) v или w не является квадратом. Предположим, что можно найти такие у и и;. В случае необхо- димости меняя местами v и w, мы можем предположить, что v не является квадратом. В частности, v Ф\. Следовательно, v делится но крайней мере на одно простое число. Пусть Р — какое- либо простое число, на которое делится v, скажем v = Pk. Тогда на Р делится также число vw, которое является квадратом: vw = = и2. Согласно основному свойству простых чисел (см. приложе- ние, § АЛ), если Р делит и-и, то Р должно делить и или и, т. е. Р
22 Гл. 1. Ферма должно делить и: и = Рт. Тогда равенство vw = и2 можно пере- писать в виде Pkw = (РтJ = Р2т2; отсюда следует, что kw = = Рт2. Так как Р делит правую часть этого равенства, оно долж- но делить и левую. Следовательно, согласно основному свойству простых чисел, Р должно делить либо к, либо w. Но Р не делит w, поскольку оно делит v, a v и w взаимно просты. Поэтому Р де- лит к, скажем к = Pv'. Тогда равенство kw = Рт2 превращается в Pv'w = Рт2; таким образом, v'w = т2. Так как v = Рк = = P2v', то любой делитель числа v' является делителем v, а следо- вательно, v' и w не могут иметь общих делителей, больших 1. Кроме того, если бы v' было квадратом, то число v = P2v' также было бы квадратом, что не имеет места; поэтому v не является квадратом. Таким образом, числа v', w обладают приведенными выше свойствами A), B), C) и v' < v. Тогда то же самое рассужде- ние показывает, что существует другое положительное целое Vя < v', такое, что v", w обладают всеми этими тремя свойствами. Бесконечное повторение этих рассуждений привело бы нас к бес- конечно убывающей последовательности положительных целых чисел v > v' > v" > v"' > . . . . Но такой последовательности не существует (само число v дает верхнюю границу числа шагов, в течение которых оно может быть уменьшено), поэтому никакие два числа у и и; не могут обладать тремя указанными свойствами. Это доказывает данное предложение. Подводя итоги, можно сказать, что метод бесконечного спуска основывается па следующем принципе. Если из предположения, согласно которому данное положительное целое обладает данным множеством свойств, следует, что - существует меньшее положи- тельное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положи- тельное целое не может обладать этим множеством свойств. 1.5. Случай п = 4 Последней теоремы Для доказательства Последней теоремы Ферма при п = 4 достаточно, руководствуясь интуицией, сочетать методы двух предыдущих параграфов: метод бесконечного спуска и метод построения пифагоровых троек. Предположим, что дано решение х, у, z уравнения х* -1- yi = = z4. Как и в случае пифагоровых троек, можно с самого начала считать, что х, у, z не имеют общих делителей, больших 1, и даже что никакие два из них не имеют общих делителей, больших 1. Действительно, в противном случае из равенства a:4 -f- i/4 = z4 следовало бы, что и третье из чисел имеет тот же самый делитель и уравнение можно сократить на четвертую степень этого делителя. Следовательно, числа х1, у2, z2 образуют примитивную пифагорову тройку и, в случае необходимости меняя местами х и у, можно
1.5. Случай п = 4 Последней теоремы 23 написать X2 = 2pq, У2 = р2- q\ Z2 = p2 + q\ где р и q — взаимно простые числа противоположной четности я р > Q > 0. Второе из этих уравнений можно записать в виде у- -\- q2 = р2 и, поскольку р и q взаимно просты, у, q, p — примитивная пифагорова тройка. Таким образом, р нечетно, и так как р и q имеют противоположную четность, то q четно. Следовательно, q = 2ab, у = а2 - b2, р = а2 + Ь2, где а, Ь — взаимно простые числа противоположной четности и а > Ь > 0. Таким образом, a* = 2pq = Aab (a2 + Ь2). Это показывает, что аЪ (а2 + Ъ2) является квадратом, а именно квадратом половины четного числа х. Но аЬ и a2 -j- Ъ2 взаимно просты, поскольку любое простое Р, делящее ab, делит а или Ь (по основному свойству простых чисел), но не оба этих числа одно- временно (так как а и Ъ вааимно просты), и поэтому не может делить а2 + Ь2. Следовательно, как аЬ, так и а2 + Ь2 должны быть квадратами. Однако аЪ является квадратом, а целые а и Ь взаимно просты, поэтому как а, так и Ъ должны быть квадратами, скажем а = X2, Ь = Y2. Следовательно, X* + У4 = а2 + Ь2 является квадратом. Теперь для того, чтобы привести в движение бесконечный спуск, достаточно заметить, что из исходного пред- положения а:4 -\~ у* = z4 мы использовали лишь то, что z4 являет- ся квадратом, а не четвертой степенью. Другими словами, если х и у — такие положительные целые, что а:4 + i/4 — квадрат, то приведенная выше последовательность шагов дает новую пару положительных целых X, Y, такую, что Х4-г Y4 является квадра- том. Кроме того, X4 + У4 = а2 + Ь2 = р < р2 + q2 = z2 < z4 = = х* + J/4. Тем самым мы указали бесконечную убывающую после- довательность положительных целых чисел, существование кото- рой невозможно. Следовательно, сумма двух четвертых степеней не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвертой степени. Это доказывает Последнюю теорему Ферма для четвертых степе- ней. Отсюда, очевидно, следует, что при произвольном положитель- ном целом т уравнение хш -\- yim = z4m неразрешимо. Действи- тельно, в противном случае тройка X = хт, Y = ут, Z = zm была бы решением уравнения X4 + У4 = Z4. Таким образом, Последняя теорема Ферма справедлива для всех показателей п, которые делятся на 4. Показатель п > 2, который не делится на 4, не является степенью двойки и, следовательно, должен делиться на некоторое простое число р Ф 2; например, п = рт. По той же
24 Гл. 1. Ферма причине, что и выше, для доказательства неразрешимости уравне- ния хп -\- уп =zn, очевидно, достаточно доказать, что неразреши- мо уравнение хр + ур = zp. Таким образом, поскольку Последняя теорема Ферма доказана в случае п — 4, доказательство общего случая сводится к доказательству для простых п > 2. По этой причине в оставшейся части книги будут рассматриваться только те случаи Последней теоремы Ферма, в которых п — простое число, п ф 2. 1.6. Одно доказательство Ферма По-видимому, во всех дошедших до лас работах Ферма по теории чисел можно найти только одно доказательство. Это доказательство частного утверждения, которое Ферма неоднократ- но х) формулировал в своей переписке, но которое, как это харак- терно для Ферма, он не доказывал, оставляя эту задачу своим корреспондентам. Это доказательство, как и формулировка Послед- ней теоремы, было обнаружено его сыном Самюэлем на полях все той же книги Диофанта; оно было включено в посмертно опубли- кованные работы как Замечание 45 к Диофанту. В своих письмах Ферма часто повторяет, что у пего нет жела- ния скрывать свои работы, что, по его мнению, прогресс науки зависит от совместных усилий многих ученых и что он был бы счастлив открыть свои методы любому, кто пожелает. Однако факты красноречивее слов. То, что ни одно из многочисленных дошедших до пас писем Ферма не дает сколько-нибудь верного представления об используемых им методах, конечно, свидетель- ствует о том, что,'сознательно или бессознательно, Ферма, как и все его современники, ревниво оберегал от соперников секреты своего ремесла. В предложении, которое доказывает Ферма, утверждается, что площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом; здесь, конечно, имеется в виду, что площадь рационального прямо- угольного треугольника не может равняться рациональному квад- рату. Используя арифметическую операцию умножения всех длин на их наименьший общий знаменатель, или, что то же самое, геометрическую операцию выбора новой единицы длины, в кото- рой стороны треугольника и квадрата задаются целыми числами (возвращаясь к греческой идее соизмеримости), можно переформу- лировать это предложение так: не существует такой пифагоровой тройки х2 -\- у2 -- z2, что -^ ху является квадратом. (Заметим, что х \\ у одновременно не могут быть нечетными, и поэтому — ху 1) См. Диксон [1J], т. 2, стр. 616.
1,6. Одно доказательство Ферма 25 обязательно будет целым числом.) Именно в этом виде Ферма доказывает данное предложение. Как характерно для задач, которыми занимался Ферма, эта задача не возникает из ничего, а основывается на предшествующей литературе. В Книге VI «Арифметики» Диофанта есть несколько задач, где требуется найти пифагоровы треугольники, площади, которых удовлетворяют различным условиям, например отличают- ся от квадратов на данное положительное или отрицательное чис- ло. Однако Диофант, как всегда, удовлетворяется тем, что дает решение частных случаев своих задач, но не изучает условия, при которых данная задача имеет или не имеет решения. Ферма пользовался изданием книги Диофанта в переводе Баше A581 — 1638), который не только перевел Диофанта с греческого на ла- тынь, но и добавил к основному тексту многочисленные коммента- рии и дополнения. В своем дополнении к Книге VI Баше приводит необходимое и достаточное условие для того, чтобы число А было площадью пифагорова треугольника. Это условие состоит в су- ществовании такого числа К, что BАJ + К* является квадра- том *). Таким образом, когда Ферма спрашивал, может ли треуголь- ник иметь площадь, равную квадрату, он продолжал линию иссле- дований, явно начатую Баше, который в свою очередь был вдох- новлен на это Диофантом. Приведенное Ферма доказательство этого предложения основа- но на более тонких соображениях, чем доказательство Последней теоремы для п --- 4 из предыдущего параграфа. Оно звучит сле- дующим образом. «Если бы площадь прямоугольного треугольника была квадратом, то суще- ствовали бы два биквадрата, разность которых была бы квадратом. Следова- тельно, существовали бы два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами. Поэтому мы получили бы квадрат, равный сумме некоторого квадрата и удвоенного другого квадрата, тогда как квадраты, из которых составлена эта сумма, сами давали бы в сумме квадрат. Но если квадраг составлен из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона, как я могу очень легко доказать, также составлена из квадрата и удвоенного другого квадрата. Отсюда мы заключаем, что указанная сторона является- суммой сторон, прилежащих к прямому углу в прямоугольном треугольнике, и что простой квадрат, содержащийся в этой сумме, является основанием, а удвоенный квадрат — перпендикуляром. Таким образом, зтот прямоугольный треугольник образовап из двух квадратов, сумма и разность которых также квадраты. Но можпо доказать, что оба эти квадрата меньше, чем те квадраты, о которых мы первоначально предположили, что их сумма и разность являются квадратами. Следовательно, если существуют два таких квадрата, что их сумма и разность являются квад- ратами, то существуют также и два других целых квадрата с тем же свойством, но с меньшей суммой. Используя то же самое рассуждение, мы находим еще меньшую сумму, и так можно продолжать до бесконечности, находя все меньшие и меньшие квадраты целых чисел, обладающие тем же свойством. Это, однако, невозможно, поскольку не существует бесконечной лоследова- ') См, Диксон [D2], т. 2, начало гл. XXII.
26 Гл. 1. Ферма тельности чисел, меньших любого данного целого. Поля эти слишком узки для того, чтобы я мог дать доказательство полностью и со всеми деталями.» (Перевод на английский с латинского оригинала см. у Хита [HI], стр. 293.) Это доказательство, как вы обнаружите, если проследите его шаг за шагом, совершенно неясно в двух важных моментах. В первом предложении разобраться достаточно легко. Самая общая пифагорова тройка имеет вид х = Bpq) d, у = (р2 — q2) d, z = (р2 + q2) d (р и Я — взаимно простые положительные целые числа противоположной четности с р > q, d — положительное целое), и задача состоит в том, чтобы представить -=- ху = = РЯ (Р2 — Я2) d2 в виде квадрата. Это возможно тогда и только тогда, когда pq (р2 — q2) является квадратом. (Если Ad2 является квадратом, то А должно быть квадратом; см. упр. 1.) Поскольку р и q взаимно просты, каждое из них должно быть взаимно просто -с р2 — q2. Следовательно, pq (р2 — q2) может быть квадратом только тогда, когда все числа р, q и р2 — q2 являются квадратами. Другими словами, треугольник, площадь которого является квад- ратом, приводит к паре таких взаимно простых чисел р и q про- тивоположной четности, что р, q и р2 — q2 являются квадратами. Поскольку р vl q — квадраты, р2 — q2 является разностью четвер- тых степеней (биквадратов); это те самые «два биквадрата» Ферма, ¦«разность которых равна квадрату». Кроме того, р2 — q2 = = (Р — Я) (Р + Я) — разложение числа р2 — ф на два взаимно простых множителя. Действительно, любой общий делитель чисел р — q и р -~ Я Должен также делить (р — q) -f (p -|- q) — 2р и (р + q) — (р — q) — 2q. Поскольку р и q взаимно просты, этот общий делитель может быть равен только числам 2 или 1. Однако р и q имеют противоположную четность, следовательно, р — q и р -\~ q нечетны и у них нет общего делителя, отличного от 1. Поэтому из предположения о том, что рг — ф является квадра- том, следует, что р — q и р ~\- q также являются квадратами. Это ч<два квадрата» Ферма, «сумма и разность которых являются квадратами». Третье предложение Ферма относится к равенствам (Р — Я) -г 2q = р + q, (p — q) + q = р, в которых числа р, q, р — q и р 4- q — квадраты. В следующих двух предложениях разобраться уже трудно. Пусть р + q -- г2, р — q —¦ s2. В первом из этих двух предложе- ний утверждается, что г можно представить в виде г = и -\- v, где одно из чисел и, v является квадратом, а второе — удвоенным квадратом. Во втором предложении говорится, что и и v являются сторонами прямоугольного треугольника, т. е. что и2 + v1 — квадрат. О доказательстве первого утверждения 2) Ферма говорит i) Приведенное Ферма утверждение неточно, поскольку 152 = 52 -}- + 2-Ю2, но 15 не равпо квадрату плюс удвоенный квадрат. Однако в рас- сматриваемом случае его заключение справедливо, так как г2 = (р — q) -}- 2g, где р — q и q — взаимно простые квадраты.
1.6. Одно доказательство Ферма 27 лищь то, что он может «легко» его доказать; но даже если это и так, то не видно никакого пути для того, чтобы из первого ут- верждения «вывести» справедливость второго. Поэтому интерпре- тация этих предложений может быть лишь предположительной. Следующая интерпретация (по существу, принадлежащая Диксо- ну [D2], т. 2 , стр. 615—616) может совпадать или не совпадать с той, которую имел в виду Ферма. В любом случае она очень лег- ко доказывает оба утверждения. Так как р и q имеют противоположную четность, то числа р — q = s2, р + q = г2 нечетны; следовательно, нечетны и г, s. Кроме того, г и s взаимно просты, поскольку, как показано выше, взаимно просты р — q и р + 9- Определим положительные целые числа и и v равенствами г—s _ r-{-s Тогда и и v взаимно просты; действительно, любой их общий дели- тель был бы общим делителем их суммы и разности г — и -f v, s = v — и, Horns взаимно просты. Кроме того, 7», r2-s2 _ (р+о)—(р—ч) я uv—т Поскольку q является квадратом, -^ q может быть целым числом только тогда, когда оно будет четным целым. Следовательно, 1 1 у uv = -г q — целое, и это число является квадратом как отно- шение двух квадратов. Тогда либо и, либо v должно быть четным (поскольку yuv — целое), но не оба одновременно (так как они взаимно просты). Но половина четного из этих чисел взаимно проста с нечетным, а их произведение у uv является квадратом; поэтому сами множители должны быть квадратами, и, следова- тельно, четное из этих чисел является удвоенным квадратом, а нечетное — квадратом. Таким образом, равенство г = и + v дает, как и требовалось, представление г в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата. Кроме того, ,,2_L7,2_ г»-2г»+«> ¦ r*+2rs+k* _r*-{.s* _ (p+g) + (p-g) __ n и , v — 4 -t- 4 — 2 — 2 — p. Таким образом, и2 + v2 является квадратом, и оба утверждения Ферма доказаны. За оставшейся частью доказательства проследить легко. Пифа- горова тройка со «сторонами» и, v примитивна, поскольку и, v взаимно просты; следовательно, она имеет вид 2PQ, Р'г — Q2, рг _|_ qi^ Где р и Q — взаимно простые числа противоположной
28 Гл. 1. Ферма четности и Р > Q. Так как — uv = PQ (Р2 — Q2) является квадра- том, то, как и раньше, отсюда следует, что все числа Р, Q, Р — Q и Р + Q должны быть квадратами. Но и этот процесс можно повторить и найти еще два квадрата Р\ Q'т таких, что Р' — Q' и Р' -\- Q' также являются квадратами и Р' -г Q' < Р -г Q. Этот процесс может быть продолжен беско- нечно; он даст бесконечно убывающую последовательность р + + q > Р + Q > Р' + Q' > . . . . Поскольку такой бесконечный спуск невозможен, то пифагоров треугольник не может иметь площадь, равную квадрату. Интересно, что это единственное дошедшее до нас доказатель- ство Ферма доказывает также Последнюю теорему при п = 4. Действительно, оно показывает, что z4 — x* не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвертой степени (см. упр. 2). Однако неразрешимость уравнения .г4 -\- у* — z4 можно доказать значи- тельно проще методом предыдущего параграфа, и есть все основа- ния полагать, что Ферма знал это более простое доказательство. Упражнения 1. Докажите, что если Ad2 — квадрат, то и А — квадрат. 3. Докажите, что уравнение х4 — у* — z2 неразрешимо в непулевых целых числах. 1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы Одной из первых задач в теории чисел, которую изучал Ферма, была задача представления чисел в виде сумм двух квадратов. Эта задача привела его ко многим другим важным вопросам. Как это часто случалось, интерес Ферма к этому предмету возник при чтении «Арифметики» Диофанта. В книге Диофанта есть по крайней мере три места, связанные' с представлениями в виде суммы двух квадратов; они показывают, что Диофаит, бесспорно, хорошо знал этот предмет. В одном месте (III, 19) он замечает, что число 65 можно двумя способами записать в виде суммы двух квадратов: 65 — I2 + 82 -— 42 -)- 72, и объясняет это тем, что «65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых равно сумме двух квадратов». В другом месте («необходимое условие» из V, 9) он фактически формулирует необходимое условие представимости данного числа в виде суммы двух квадратов; однако, как утверждает его переводчик и изда- тель Хит, «к несчастью, текст дополнительного условия неясен».
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 29 Наконец, в третьем месте (VI, 14) Диофант по ходу дела замечает, что число 15 не является суммой двух (рациональных) квадратов. Основную роль в изучении чисел, которые являются суммами двух квадратов, играет формула (а2 + Ь2) (с2 + d2) = {ас — bdf + {ad + bcf. A) Она показывает, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также будет суммой двух квадратов. Формула A) является простым следствием коммута- тивного, ассоциативного и дистрибутивного законов, согласно которым обе ее части равны а2с2 + яd2 + b2c2 + b2d2. Если двумя различными способами применить ее к 5 = 22 -j- 12 и 13 -— 32+22, то (как и утверждал Диофант) число 65 — 5-13 можно будет двумя способами представить в виде суммы двух квадратов, а именно: 65 = 5-13 = B2 + I2) (З2 + 22) --= B-3 - 1-2J -f B-2+1-3J = = 42 + 72 и 65 = 5-13 = B2 + I2) B2 + З2) = B-2 - 1-3J + -j- B-3 + 1-2J — 1а -)- 82. В тринадцатом веке эта формула была известна Леонардо из Пизы (Фибоначчи); неявно она присутствует в алгебре древней Индии (см. далее § 1.9), и, конечно, в том или ином виде Диофант знал ее. Ферма не был первым ученым, который попытался сделать яс- ными те места в книге Диофанта, где говорится о суммах двух квадратов. Такую же попытку, увенчавшуюся частичным успехом, предпринял Баше в своих комментариях к Диофанту. Другим комментатором был Франсуа Виет A540—1603) — один из отцов- основателей современной алгебры. Третьим был Альбер Жирар A595—1632), которому удалось дать необходимые и достаточные условия представимости данного числа в виде суммы двух квадра- тов за несколько лет до самых ранних известных нам записей Ферма по этому вопросу (см. Хит [HI], стр. 106). Жирар, очевид- но, считал квадратом О2 = 0, и его условия состоят в том, что данное число можно представить в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является A) квадратом, или B) простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, пли C) числом 2, или D) любым произведением таких чисел. Справедливость этих условий подтверждается таблицей 1.2, в ко- торой приведены все числа, меньшие 250, которые можно предста- вить в виде суммы двух квадратов. Неясно, опирался ли Жирар только на подобные эмпирические данные или действительно знал доказательство. Кажется, Жирар и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий. Ферма же, с другой стороны, утверждал, что он может дока- зать необходимость и достаточность условий Жирара *). Более *) Нет оснований считать, что Ферма знал о работе Жирара. Он сформу- лировал эти условия независимо и несколько иным способом.
30 Гл. 1. Ферма Таблица 1.2. Все числа, меньшие 256, которые являются суммами двух квадратов. Простые числа выделены жирным шрифтом 14 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226 8 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229 18 25 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234 32 41 52 65 80 97 116 137 160 185 212 241 50 61 74 89 106 125 146 169 194 221 250 72 85 100 117 136 157 180 205 232 98 113 130 149 170 193 .218 245 128 145 164 185 208 233 162 181 202 225 250 200 221 244 242 трудная часть этой теоремы — доказательство достаточности. Поскольку а2, очевидно, представляется в виде а2 + О2, поскольку 2 = I2 + I2 и поскольку формула A) показывает, что произведе- ния сумм двух квадратов сами являются суммами двух квадратов, доказательство достаточности сводится к доказательству того, что каждое простое число вида An + 1 можно записать как сумму двух квадратов. Ферма неоднократно приводил формулировку этой теоремы и с полной определенностью утверждал, что может строго доказать ее, хотя, как обычно, неизвестно ни одной записи его доказательства. Ферма также пошел дальше Жирара, утвер- ждая, что он может доказать единственность представления такого простого числа в виде суммы двух квадратов и что у него есть общий метод нахождения такого представления, не прибегающий к перебору. Доказательства этих теорем (возможно, те самые, которые имел в виду Ферма, а быть может, другие) приведены в § 2.4 и 2.6. Необходимость условий Жирара можно переформулировать как утверждение о том, что если частное от деления числа на наибольший содержащийся в нем квадрат делится на простое число- вида kn + 3, то данное число нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это также одна из теорем Ферма. Она значительно проще, чем вторая часть теоремы о представлении чисел в виде суммы двух квадратов, но ни в коем случае не тривиальна. (Дока- зательство этой теоремы см. в упр. 2 к § 1.8.) Другой задачей, которую детально рассмотрел Ферма, была задача о нахождении числа представлений данного числа в виде суммы двух квадратов. Эта задача не имеет отношения к теме
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 31" нашей книги, и мы не будем рассматривать ее здесь, однако суть- ее решения изложена в § 2.5. Ферма обнаружил, что представления чисел в виде х2 -J- 2у2 или х2 + Зу2 управляются теми же законами, что и представления в виде сумм двух квадратов. Представления в виде х2 + 2у2 не понадобятся при изучении Последней теоремы Ферма, и мы огра- ничимся здесь лишь кратким обзором относящихся к ним фактов. В табл. 1.3 приведены все числа, меньшие 256, которые можно» представить в виде х2 -Ь 2у2. Таблица 1.3. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде- х2 + 2/у2. Простые числа выделены жирным шрифтом О 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 2 3 6 И 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227 8 9 12 17 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233 18 19 22 27 34 43 54 67 82 99 118 139 162 187 214 243 32 33 36 41 48 57 68 81 96 ИЗ 132 153 176 201 228 50 51 54 59 66 75 86 99 114 131 150 171 194 219 246 72 73 76 81 88 97 108 121 136 153 172 193 216 241 98 99 102 107 114 123 134 147 162 179 198 219 242 128 129 132 137 144 153 164 177 192 209 228 249 162 163 166 171 178 187 198 211 226 243 200 201 204 209 216 225 236 249 242 243 246 251 Изучение этой таблицы показывает, что, как и в предыдущем; случае, входящие в эту таблицу числа можно описать как A) квадраты, или B) простые, которые входят в таблицу, или C) любое произведение таких чисел. Следовательно, процедура, кото- рая позволяет записать данное число в виде х2 + 2у2, должна состоять в том, чтобы записать его в виде квадрата, умноженного на произведение первых степеней простых чисел, и выяснить, представимы ли входящие в это произведение простые в вид© х2 -f 2y2. Если они представимы в таком виде, то аналог форму- лы A), а именно (а2 + 2Ъ2) (с2 + 2d2) = {ас — 2bdJ + 2 (ad + beJ (обе части равны а2с2 + 2b2c2 + 2a2d2 + Ab2d*), показывает, как записать исходное число в таком виде. Если хотя бы одно из них не представимо в виде х2 + 2у2, то по аналогии со случаем х2 + уг и как подсказывает таблица следует ожидать, что и само исходное число не представимо в виде х2 + 2у2. Для полной аналогии со случаем х2 -f- у2 необходимо доказать эту теорему (если число, деленное на наибольший содержащийся в нем квадрат, имеет простой множитель, который не записывается в виде х2 + 2у2г
32 Гл. 1. Ферма то и само число не записывается в таком виде) и охарактеризовать все простые, которые представимы в виде х2 + 2у2. Ферма утвер- ждал (и явно нретендовал на то, что у него есть строгое доказа- тельство), что нечетное простое можно представить в виде х2 + + 2у2 тогда и только тогда, когда оно имеет вид 8п + 1 или &п + 3. Доказательство того, что простые числа, не имеющие вида 8п + 1 или 8п 4- 3, не представимы в виде х2 4- 2уг,— более легкая часть этой теоремы (см. упр. 3); обратное утвержде- ние труднее (см. упр. 6 и 7 к § 2.4). В отличие от представлений в виде х2 4- 2у2 представления в вкдо х2 4- Зу2 играют важную роль в изучении Последней теоре- мы, особенно в доказательстве Эйлера случая п = 3, поэтому аналогичные теоремы о таких представлениях будут подробно доказаны в следующей главе. В табл. 1.4 приведены все числа Таблица 1.4. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде ж2 + Зу2. Простые числа выделены жирным шрифтом О 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 3 4 7 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228 12 13 16 21 2S 37 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237 27 28 31 36 43 52 63 76 91 108 127 148 171 196 223 252 48 49 52 57 64 73 84 97 112 129 148 169 192 217 244 75 76 79 84 91 100 111 124 139 156 175 196 219 244 108 109 112 117 124 133 144 157 172 189 208 229 252 147 148 151 156 163 172 183 196 211 228 247 192 193 196 201 20S 217 228 241 вида х2 4- Зуг, меньшие 256. Изучение этой таблицы показывает, что опять данное число можно представить в виде х1 4- Зу2 тогда и только тогда, когда оно является A) квадратом, или B) простым числом такого вида, или C) произведением таких чисел. Далее, легко заметить, что все входящие в таблицу простые числа, кроме числа 3 = О2 + 3-12, которое явно является здесь исключитель- ным, отличаются одно от другого на кратные 6, а на самом деле каждое .из них на единицу больше, чем некоторое кратное 6. Поскольку все простые вида &п 4- 1 рано или поздно окажутся в этой таблице (но не вообще все числа такого вида, так как отсут- ствует 55), то естественно догадаться, что любое простое, отличное от 3, можно представить в виде х2 4- Зу2 тогда и только тогда, когда оно имеет вид <6п 4- 1. Снова легко (см. упр. 2) доказать часть «только тогда» этой теоремы. Имеется аналог формулы A), а именно (а2 + ЗЪ2) (с2 + 3d2) = {ас — ЗЪйJ + 3 (ad + beJ, который делает очевидной часть «тогда» первой из приведенных теорем. Далее, каждое простое, отличное от 3, можно представить
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 33 в виде Зп + 1 или Зп + 2, и простые числа вида Зп + 1 должны иметь вид &п + 1. Действительно, если п нечетно, то Зп + 1 четно и, следовательно, не может быть простым. Эти наблюдения сводят две приведенные выше теоремы к сле- дующим утверждениям: если число, разделенное на наибольший содержащийся в нем квадрат, имеет простой делитель вида Зп + 2, то его нельзя представить в виде х2 + Зу2; каждое простое число вида Зп + 1 можно записать в виде х2 + Зу2. Эти теоремы доказы- ваются в следующей главе. Однако уже рассмотрение следующего случая показывает, что эти свойства представлений чисел в виде х1 + у2, х2 + 2у2, х2 + Зу2 являются чем-то исключительным. Выражение х2 + Ау2 является суммой двух квадратов, поэтому следующим случаем будет не х2 + Ау2, а х2 + Ьу2. В табл. 1.5 приведены все числа, Таблица 1.5. Все числа, меньшие 100, которые можно записать в виде хг-\-Ъуг. Простые числа выделены жирным шрифтом 0 5 20 45 80 1 6 21 46 81 4 9 24 49 84 9 14 29 54 89 16 21 36 61 96 25 30 45 70 36 41 56 81 49 54 69 94 64 69 84 81 86 меньшие 100, которые представимы в виде х2 -\- by2. Заметим, что 21 встречается дважды (как I2 + 5-22 и 42 + 5-12), а его простые делители 3 и 7 не входят вообще. Это показывает, что в данном случае утверждения, подобные приведенным выше, не имеют места. Ферма высказал очень глубокую гипотезу о числах вида я2 + Ьу2, которая свидетельствует о том, что он изучил эту задачу и осознал ее коренное отличие от предыдущих. Гипотеза Ферма состоит в том, что если два простых числа Рх и р2 °ба имеют вид 4п т 3, а их последняя цифра есть либо 3, либо 7, то р±р2 пред- ставимо в виде х2 + 5гД (Простые 3, 7, 23, 43, 47, 67, . . . срав- нимы с 3 по модулю 4 и оканчиваются на 3 или 7. Гипотеза состоит в том, что произведение любых двух этих чисел имеет вид х2 + Ъу2. Например, 3-3 = 22 + 5-12, 3-7 = 42 + 5-12, 7-7 = 22 + 5-32, 3-23 = 82 + 5-12, 3-43 = 22 + 5-52, 7-23 = 92 + 5-42 и т. д.) Эта гипотеза не только верна, но и является основным фактом о числах вида х2 + Ъу2 (см. упр. 1 к § 8.6). Это еще одно подтвер- ждение гениальности Ферма именно в теории чисел. Упражнения 1. Докажите, что если х2 + у2 — нечетное простое число, то оно пред- ставимо в виде 4ге + 1. 2. Докажите, что если яа + Ъу2 — простое, отличное от 3, то оно имеет вид бге т 1. 3 Г. Эдварде
34 Гл. 1. Ферма 3. Докажите, что еели х2 + 2у2 — нечетное простое, то оно имеет вид либо 8ге + 1, либо 8и + 3. 4. Докажите, что необходимость условия Жирара можно, как указано в тексте, переформулировать в виде утверждения о том, что если частное от деления числа иа наибольший содержащийся в нем квадрат делится на про- стое вида 4ге + 3, то данное число нельзя записать как сумму двух квадратов. 5. Покажите, что из теоремы Жирара следует утверждение Диофанта, согласно которому нельзя найти такие рациональные числа х и у, что хг -\-у2 = •— 15. 6. Докажите, что произведепие двух чисел вида хг + 5у2 также имеет такой вид. 1.8. Совершенные числа и теорема Ферма Изучение «совершенных чисел» берет свое начало в предысто- рии теории чисел, когда числам приписывали некие магические свойства. Число называется «совершенным», если оно равно сумме своих собственных делителей. Например, число 6 совершенно, поскольку 6 = 1 -f- 2 -f- 3. Современному математику это понятие уже не кажется ни слишком захватывающим, ни слишком инте- ресным. Однако в течение многих веков оно пленяло и заворажи- вало ученых. Дискуссия о совершенных числах велась в широком масштабе: от такой мистики, как утверждение Алкуина G35— 804) из Йорка и Тура о том, что совершенством числа 6 объясняет- ся сотворение мира за 6 дней, до более близких к науке попыток найти все совершенные числа. Во времена Ферма интерес к совер- шенным числам еще далеко не угас, и в конце 1630-х годов между Ферма, Мерсенном, Декартом, Френиклем и другими велась обшир- ная переписка по поводу совершенных чисел и родственных вопросов. Евклид в «Началах» показал (Книга IX, предложение 36), что если 1 + 2 + 4 + . . . -l 2" -- 2П — 1 — простое число, то число 2п~1 B™ — 1) совершенно. Например. 3 - - \ J-2 — простое, поэтому 2*3 = 6 — совершенное; 7 --- 1 -J- 2 -f 4 — простое, по- этому совершенно 22«7 — 28. В современных обозначениях пто утверждение доказывается очень просто. Действительно, если р = 2П — 1 — простое, то собственными делителями числа 2п~1р являются 1, 2, 4, . . ., 2"~\ р, 2р, 4р, . . ., 2п~2р, и их сумма равна 1 + 2 + 4 -f . . . 4- 2" + р A -}- 2 -| -4 -f- . . . + 2"-2) = = Р + Р Bn-1 — 1) — 2™~1р, что и требовалось доказать. Условие Евклида является достаточным для того, чтобы число было совер- шенным. Никакие примеры других совершенных чисел неизвестны. Декарт утверждал (а Эйлер доказал это утверждение), что совер- шенное число имеет евклидов вид тогда (и, конечно, только тогда), когда оно четно. [Читателю предлагается доказать эту теорему в качестве упражнения.] Вопрос о том, существуют ли нечетные совершенные числа, является знаменитой нерешенной пробледюй. К счастью, здесь мы можем без нее обойтись.
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 35 Согласно условию Евклида, для нахождения совершенных чисел достаточно х) найти простые числа в последовательности 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, ... .Эта послед- няя задача уже представляет для нас значительный интерес. Короче говоря, для каких значений п число 2п — 1 является про- стым? Решая эту задачу, Ферма сделал важное открытие, извест- ное теперь как теорема Ферма. Во-первых, числа 15, 63, 255, 1023 (= 3-341), 4095, очевидно, не являются простыми. Вообще, если п четно и больше 2, то 2» — 1 = 22k — 1 = Bk — 1) Bk + 1) — не простое. Нечетные значения п = 3, 5, 7 приводят к простым 7, 31, 127, по нечетное значение п — 9 дает 511 и, как легко видеть, 511 делится на 7. Это приводит к предположению, что если п — не простое, то число 2П — 1 также не является простым. Это предположепие легко проверяется, если заметить, что 2km — 1 — Bk — 1) X X Bft<m-1> -f- 2ft(m-2> -f- . . . -f- 2h + 1). Последнее замечание сво- дит рассматриваемый вопрос к вопросу о том, для каких простых р число 2Р — 1 является простым. Простые числа вида 2Р — 1 назы- ваются простыми Мерсенна в честь постоянного корреспондента Ферма преподобного Марэна Мерсенна A588—1648). Простым 2, 3, 5, 7 соответствуют простые Мерсенна 3, 7, 31, 127 (и, следовательно, совершенные числа 6, 28, 496, 8128). Про- верим, является ли простым 211 — 1. На этот вопрос легко отве- тить, найдя число 211 — 1 = 2047 в явном виде и пробуя делить его на все простые, меньшие ]/2047, чтобы узпать, делит ли какое- нибудь из них 2047 нацело. Однако поучительнее подойти к этой задаче другим способом, который можно использовать затем для больших, чем 11, показателей р. Посмотрим, делится ли 211 — 1 на 7. Представим себе, что сте- пени числа 2 записаны в одну строку, а под ними записаны их остатки при делении на 7: степени числа 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512... остатки 1241241 2 4 1... Закономерность в расположении остатков очевидна, и ясно, что остаток от деления 2п на 7 равен 1 тогда и только тогда, когда п делится на 3, т. е. 7 делит 2п — 1 тогда и только тогда, когда 3 делит п. Следовательно, 7 не делит 2й — 1. Тот же метод можно использовать и для других простых. Некоторые результаты при- ведены в табл. 1.6. Ясно, что для каждого простого р остатки расположены в циклическом порядке и существует такое целое d, что р делит 2п — 1 тогда и только тогда, когда d делит п. Как 1) Смешение необходимых и достаточных условий — кажется, основная слабость человеческого интеллекта. Даже Ферма утверждал, что не суще- ствует совершенных чисел, состоящих из 20 или 21 цифры, имея в виду, что не существует таких чисел евклидова типа. з*
36 Таблица р = Ъ с р = \\ р = \1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 8 2 8 3 8 8 8 8 8 О О 16 1 16 1 16 5 16 3 16 16 32 2 32 2 32 10 32 6 32 15 64 1 64 4 64 9 64 12 64 13 128 7 128 11 128 9 Гл. 256 3 256 9 256 1 1. Ферма 512 6 512 5 512 2 1024 1 1024 10 1024 4 2048 . . . 2 ... 2048 4096 8192 7 1 2 2048 . . . 8 ... d=2 d = 4 d= 10 ... d= 12 только этот факт замечен, его легко доказать. Поскольку при делении на р возможны только р — 1 остатков, в последователь- ности остатков по крайней мере два остатка должны совпадать; пусть, скажем, числа 2П и 2п+т имеют один и тот же остаток. Тогда р делит их разность 2п+т — 2n = 2n Bm — 1), но р — простое число и не делит 2, следовательно, р делит 2т — 1. Поэто- му остаток от деления числа 2т на р равен 1. Следовательно, число I входит в последовательность остатков. Пусть 2d — наименьшая степень числа 2, которая дает в остатке 1. Тогда 2md при делении на р также дает в остатке 1, поскольку 2md — 1 = Bd — 1) X X B<m-1)d + . . . -f- 2d -f- 1) делится на р. Обратно, единственны- ми степенями числа 2, которые дают в остатке 1, являются степе- ни, соответствующие кратным d. Действительно, если 2т дает в остатке 1 и если т = qd -f- г (q ^ 0, 0 <; r < d), то как 2т = _ 2?d2r, так и 2gd дают в остатке 1, и их разность 2qd Br — 1) делится на р. Так как 2qd не делится па р, то это противоречит определению d (напомним, что 0 ^ г < d), за исключением слу- чая, когда г = 0 я т кратно d, что и требовалось доказать. Кроме того, выше мы заметили, что 2n+m и 2п дают одинаковые остатки только тогда, когда 2т дает в остатке 1, т. е. остатки повторяются только через интервалы, длина которых делится на d. Следова- тельно, существует в точности d различных остатков и они цикли- чески повторяются, как и в рассмотренных примерах. Из этого замечания об остатках следует, что если мы хотим определить, делится ли 211 — 1 на р, достаточно найти соответ- ствующее значение d и выяснить, делится ли 11 на d. Поскольку II — простое число, последнее условие равносильно тому, что d = 11. Для всех рассмотренных до сих пор простых ответ на этот вопрос отрицателен. Существует более простой способ нахождения последователь- ности остатков, который не требует прямого вычисления 2П и де- ления его на р (для п = 1, 2, 3, . . .). Например, поскольку
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 37 известно, что при делении 128 на 13 получается остаток 11, та остаток от деления 256 на 13 легко найти путем удвоения 11 и деления полученного результата на 13; таким образом, сле- дующий остаток равен 22—13 = 9. Далее получится остаток 2-9 — 13 = 5, а за ним 2-5. Вообще, каждый остаток равен либо удвоенному предыдущему, либо удвоенному предыдущему минус р и любой из них лежит в области значений остатков 1 ^ г ^ р — 1. Действительно, если 2" — г делится на р, то 2n+1 — 2r делится па р, и отсюда немедленно следует, что 2n+1 и 2г имеют один и тот же остаток при делении на р. Таким образом, для р = 19 остатка- ми являются 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, . . ., поэтому d = 18 Ф 11; следовательно, 211 — 1 не делится на 19. Для следующего простого р = 23 полу- чаются остатки 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12, 1, 2, 4, . . .; отсюда следует, что d = 11 и 23 делит 211 — 1. Таким образом, 211 — 1 по является простым, и действительно, 211 — 1 = 2047 = = 23 -89. Аналогичным образом можно подойти к задаче, является ли простым число 21S — 1 (а тем самым является ли совершенным 212 B1S — 1)). Мы должны выяснить, существует ли простое р, для которого d = 13. Все рассмотренные до сих пор простые можно исключить (поскольку соответствующие им d оказались отличными от 13), и нам остается проверить, равно ли d числу 13 для р = 29, 31, 37, ... до последнего простого, которое меньше чем ]/2ls — 1 = "j/8191 < 91. Ферма заметил одну несложную закономерность в значениях d, которая позволяет немедленно исключить из рассмотрения все, кроме очень небольшого числа таких простых. Попробуйте обнаружить ее самостоятельно! Вот несколько первых значений d: р 3 5 7 И 13 17 19 23 29 31 37 d 2 4 3 10 12 8 18 11 28 5 36 Конечно, поскольку d — число различных остатков, d не превосхо- дит р — 1. Ферма заметил, что на самом деле d делит р — 1. Отсю- да следует, что d может равняться 13, только если 13 делит р — 1. Поэтому возможными зпачениями р являются 13 -f- 1, 26 + 1, 39 + 1, 52 + 1, ... . Из них только нечетные числа 27, 27 + + 26 = 53, 53 + 26 = 79, . . . могут быть простыми. Поскольку 27 не является простым, а 79 + 26 больше чем l/2ls — 1, то это означает, что нужно испытать только два простых, а именно: 53 и 79. Соответствующие им значения d, которые определяются использованным выше методом, равны 52 и 39. Таким образом, если мы убеждены в том эмпирическом факте, что d делит р — 1, то из этих кратких вычислений мы сразу получаем, что 21S — 1 = = 8191 — простое число.
38 Гл. 1. Ферма Учитывая, что d делит т тогда и только тогда, когда 2т — 1 делится на р (см. выше), мы можем утверждение о том, что d делит р—1, переформулировать в виде «р делит 2Р~1—1», или«р де- лит 2Р — 2». Ферма формулирует свою теорему как в последнем виде, так и в виде d | (р — 1) 1). Как обычно, Ферма утверждает, что у него есть доказательство этой теоремы, но опускает его. Возможно, его доказательство было следующим. Согласно определению, существуют в точности d возможных остатков 1, 2, 3, . . ., р — 1, которые могут встретиться при делении степеней 2 на р. Если каждый из них встречается па самом деле, то d = р — 1 и требуемое заключение d \ (р — 1) справедли- во. В противном случае среди них найдется хотя бы одно число к, не попадающее в число остатков. Среди возможных остатков 1, 2, 3, . . ., р — 1 рассмотрим те, которые получаются при делении на р чисел вида к, 2к, Ак, 8к, . . ., 2пк, .... Таких остатков в точности d, и ни один из них не входит в исходное множество из d остатков. Первое из этих двух утверждений сле- дует из того, что 2п+тк и 2пк дают один и тот же остаток тогда и только тогда, когда 2пк Bт— 1) делится па р, а ото верно в том и только в том случае, когда т делится на d. Для доказательства второго достаточно заметить, что если бы 2" и 2тк давали один и тот же остаток, то тем же свойством обладали бы 2n+I и 2т+1к (поскольку 2" — 2тк делится на р тогда и только тогда, когда 2 BП — 2тк) делится па р), а также 2П+2 и 2т+-к, и т. д.; отсюда следует (если выбрать т -f- / делящимся на d), что 2п+; и к при делении на р дают один и тот же остаток, а это противоречит выбору к. Если эти два множества остатков исчерпывают все р — 1 возможных остатков, то р — 1 = 2d и d \ (р — 1), что и требова- лось доказать. В противном случае найдется еще один возможный остаток к', который не принадлежит ни тому ни другому мно- жеству. Тогда, так же как и раньше, остатки чисел к', 2к', W, . . . . . ., 2"k', . . . образуют множество, состоящее еще из d различ- ных остатков, ни один из которых не принадлежит никакому из двух уже найденных множеств. Продолжив этот процесс, мы разобьем мпожество всех р — 1 возможпых остатков на подмно- жества, каждое из которых состоит из d элементов. Отсюда, конеч- но, следует, что d обязательно делит р — 1, что и требовалось доказать. Например, при р = 31 степепи 2 дают остатки 1, 2, 4, 8, 16, В этот список не входит 3, и числа 3, 2-3, 4-3, 8-3, . . . дают остатки 3, 6, 12, 24, 17. Ни один из этих списков не включает 5; при делении чисел 5, 2-5, 4-5, 8-5, . . . в остатке получаются 5, 10, 20, 9, 18. Если продолжить таким образом, то остатки 1, 2, ... х) Вертикальная черта означает «делит», и d \ (р — 1) читается как делнт р — 1». Перечеркнутая вертикальная черта f означает «пе делит».
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 39 . ., 30 сгруппируются в шесть множеств из пяти элементов: три перечисленных выше и множества G, 14, 28, 25, 19), A1, 22, 13, 26, 21), A5, 30, 29, 27, 23). Тот факт, что р — 1 остатков всегда распадаются таким образом на множества из d элементов, гарантирует, что d всегда делит р — 1. Ни одно из этих рассуждений не зависит от каких-либо спе- циальных свойств числа 2, которое было выбрано только потому, что оно появляется в связи с нахождением совершенных чисел, л для любого другого положительного целого а те же самые рас- суждения доказывают такую теорему: если р — простое, которое не делит а, то существует такое целое d, что р делит ат — 1 тогда л только тогда, когда d делит т. Теорема Ферма утверждает, что d делит р — 1. Согласно определяющему свойству d, это утвержде- ние сводится к тому, что р делит ар~1 — 1, или, что то же самое, что р делит аР — а. Последнее утверждение самое краткое, поскольку в него вообще не входит d и поскольку оно справедливо, даже если р делит а. Это обычная формулировка теоремы Ферма: если р — простое число и а — произвольное целое, то р делит ар—а. Теорема Ферма — одно из самых важных арифметических свойств целых чисел; мы будем существенно пользоваться ею в последующих главах этой книги. Остальная часть данного параграфа, напротив, посвящена вонросу, который представляет лишь исторический интерес. Это вопрос о так называемых числах Ферма 21 +1, 22 + 1, 24 + 1, 28 + 1, 216 + 1, 232 + 1, . . . . В переписке Ферма неоднократно выражал свое убеждение в том, что все эти числа — простые. (Заметим, что 2" -f- I H<? является простым, если п не есть степень двойки; действительно, если п имеет нечетный делитель к, например п = km, то 2n -f- 1 = -= Bm -f- 1) .Bm<ft-4 — 2m<k-2> -f . . . + 22 — 2 + 1).) Таким образом, он полагал, что решил древнюю задачу нахождения формулы, которая дает сколь угодно большие простые числа. В конце жизни Ферма даже заявил 1), что может доказать простоту всех таких чисел. Несколько первых чисел Ферма — простые. Числа 21 -J- 1 = 3, 22 -f- 1 = 5 и 24 -f- 1 = 17, несомненно, простые. Простоту 28 -f- -f- 1 — 257 можно доказать следующим образом. Если р делит 28 -1- 1, то оно делит B8 -f- 1) B8 — 1) — 216 — 1. Следовательно, соответствующее ему d (при а = 2) должно делить 16. Но делителя- ми 16 являются только 1, 2, 4, 8, 16, и d не может равняться 1, 2, А или 8, поскольку в этом случае р делило бы 28 — 1, а это противоречит предположению, что р делит 28 -f- 1. Следовательно, d = 16 и по теореме Ферма р = l&n -f- 1 для некоторого целого п. х) Э. Т. Белл ([В1], стр. 256) настаивает на том, что Ферма никогда ui> делал такого заявления. Я не вижу другой иптерпретации его письма Каркавп [F5].
40 Гл. 1. Ферма Но наименьшее такое простое р = 17 уже больше чем |/ 28 -f- 1, и 28 -f- 1 не имеет собственных делителей, что и требовалось доказать. Аналогично, единственными простыми делителями 216 + 1 мо- гут быть только простые вида р = 32и -f- 1. Поскольку ]/216 -J- 1 лишь немного больше чем 28 = 256, то мы должны испытать только простые числа в списке 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, в ко- тором лишь два простых 97, 193. Ни одно из них не делит 216 -f- 1, поскольку остатки, которые получаются при делении степеней 1, 2, 4, 8, 16, . . ., 21в на 97, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 31, 62, 27, 54, И, 22, 44, 88, 79, 61, так что при делении 216 -}- 1 на 97 получается в остатке 62, а остатки при делении этих степе- ней на 193 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 63, 126, 59, 118, 43, 86, 172, 151, 109, и при делении 216 -j- 1 на 193 в остатке полу- чается 110. Следовательно. 216 -f- 1 — простое число. Аналогичное доказательство для 232 -f- 1 гораздо длиннее, и Ферма, должно быть, не пытался всерьез его провести либо до- пустил ошибку в вычислениях. Согласно такому же рассуждению, как и выше, единственными простыми делителями 232 -J- 1 могут быть числа вида р = ЬАп -f- 1. Если 232 -f- 1 не является простым, то его наименьший простой делитель не может быть больше чем 216. Поскольку числа 64и -J- 1 расположены через интервалы в 64 = = 26 единицы, грубо говоря, надо проверить 210 = 1024 числа. Однако каждое третье из них делится на 3, каждое пятое — на 5Г и т. д.; поэтому количество простых р = 64 и -f- 1, лежащих в критической области, только порядка 500 или в этом роде. Доказывать таким способом, что 232 + 1 — простое число,— до- вольно долгое дело, хотя опо и займет не больше нескольких дней. Однако число 232 -f- 1 не является простым; оно делится на 641. Если следовать описанной выше процедуре, то мы должны проверить последовательно 193, 257, 449, 577, а затем 641. Таким образом, 641 — всего лишь пятое *) простое число, которое сле- дует проверить. Делитель 641 числа 232 -f- 1 был обнаружен Эйле- ром. Эта неудача, кажется,— единственное серьезное пятно на репу- тации Ферма как специалиста по теории чисел. Дело усугубляется тем, что, как нам теперь известно, следующие несколько чисел Ферма: 264 -f- 1, 2128 + 1, 2256 -f- 1 и несколько других — все Составные. Не найдено ни одного простого числа Ферма за преде- лами 216 -f- 1. Однако даже здесь есть смягчающее обстоятельство, еще одно подтверждение безошибочного инстинкта Ферма при выборе задачи. Через полтора века после того, как Ферма выдви- нул свою гипотезу, юный Гаусс показал, что евклидово построение пятиугольника при помощи циркуля и линейки тесно связано Улучшение этого рассуждения см. в упр. 10 к § 2.4.
1.9. Уравнение Пелля it с тем фактом, что 5 = 22 -{- 1 является числом Ферма. Вообще, Гаусс доказал, что если п — простое число Ферма, то правиль- ный и-уголышк можно построить при помощи циркуля и линейки. Обратно, как утверждал Гаусс и доказал Ванцель (см. iKla]),. нрп помощи циркуля и линейки можно построить только те пра- вильные и-угольники, для которых п = 2hplp2...pm, где р1г р2, . . ., рт— различные простые числа Ферма и к ^ 0. Упражнения 1. Докажите, что число 237 — 1 не является простым. [При проверке- данного простого не обязательно находить d; достаточно определить, делит ли это простое 237—1. Для этого по надо находить остатки, получающиеся при делении всех чисел 1, 2, 4, 8, 16, . . ., так как достаточно иайти только те остатки, которые получаются при делении чисел 2, 22, 24, 28, 2le, 232, ?32+4, 237.] 2. Докажите, что число, которое пе удовлетворяет условиям Жирара, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Точнее, докажите, что если р делит х2 -\- у2 и р — простое вида 4ге -j- 3, то р делит как х, так и у. [Еслир делите2 + у2, то оно делит число (х2Jп+1 -\- (j/2Jn+1. Если же р не- делит хотя бы одно из х, у, то это число на 1 или 2 больше чем некоторое кратное р и, следовательно, не может делиться на р.] 3. Покажите, как можно построить правильный треугольник при помощи циркуля и линейки. Рассмотрите евклидово построение правильного пяти- угольника («Начала», Книга IV, предложение 11). Покажите, как, исполь- зуя эти два построения, можно построить правильный 15-угольник. Приме- няя теорему Гаусса и Вапцеля, найдите все такие значения га ^ 30, что правильный га-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки, 1.9. Уравнение Пелля В 1657 г.— в довольно поздний период своей деятельности — Ферма в качестве вызова разослал другим математикам, в част- ности английским, одну задачу: он надеялся найти среди них кого-нибудь, кто разделял бы его интерес к теории чисел. «Сейчас едва ли найдется кто-нибудь, кто предлагает арифметические- вопросы, и кто-пибудь, кто их понимает. Не потому ли это происходит, что до сих пор арифметику рассматривали скорее с геометрической, чем с ариф- метической точки зрения? Так было всегда — ив древних, и в современных работах; примером тому является даже Диофант. Ибо хотя он и более чем другие освободился от геометрии в том отношении, что ограничивает свой анализ рассмотрением рациопальных чисел, однако даже у него геометрия пе полностью отсутствует, как достаточно доказала Zetetica Виета, где метод Диофанта распространяется па непрерывные величины и тем самым на гео- метрию. Теперь арфметика имеет, так сказать, собственную область изучения — теорию целых чисел. Евклид лишь слегка затронул ее в своих «Началах»^ а его последователи недостаточно занимались этой теорией (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие- разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит развивать или восстанавливать ее.
42 Гл. 1. Ферма Поэтому арифметикам, дабы осветить тот путь, по которому надо следо- ¦вать, предлагаю я эту теорему, чтобы опи доказали ее, или эту задачу, чтобы они решили ее. Если же преуспеют они в ее доказательстве или решении, то им придется признать, что вопросы такого рода ничем не уступают в отно- шении красоты, трудности или метода доказательства самым знаменитым вопросам геометрии. Если дано произвольное число, которое не является квадратом, то най- дется также и бесконечное количество таких квадратов, что если этот квад- рат умножить на данное число и к произведению прибавить единицу, то резуль- тат будет квадратом. Пример. Пусть 3, которое не является квадратом, будет данным числом. Если умножить его на кпадрат, равный 1, и к произведению добавить 1, то в результате получится 4, что является квадратом. Если то же самое 3 умножить на квадрат 16, то получится произведение, которое при увеличении на 1 превращается и 49, тоже квадрат. И кроме 1 и 16 можно найти бесконечное количество квадратов с тем же самым свойством. Но я спрашиваю об общим правило решения — когда дано произвольное число, не являющееся квадратом. Например, требуется найти такой квадрат, что если произведение этого квадрата и числа 149, или 109, или 433 и т. д. увеличить на 1, то в результате получится квадрат». (Перевод на английский с латинского оригинала см. у Хпта [HI], стр. 285—286.) Вступление Ферма к формулировке этой задачи ясно показы- вает, что он делает четкое различие между диофантовой традицией решения в рациональных числах и традицией, с которой он теперь ассоциирует самого себя, решения в целых числах. (По иронии ¦судьбыв современной терминологии «диофантово» означает «целое», тогда как Диофант ни в одной дошедшей до пас части его работы на запимался решениями в целых числах.) Как это ни странно, вступление было опущено одним из посредников в том экзепляре письма, который был переправлен английским математикам; в ре- зультате опи сочли эту задачу глупой, имеющей тривиальное диофантово решение Ахгл-\ = у2 (дано А, найти х, у), у -1+ — Х (например), Апгх2— т2х2 = 2тпх, 2тп Ап2-\-т2 которое дает бесконечно много рациональных ответов. Когда же дополнительное требование, что х и у должны быть целыми числа- ми, дошло до них, они обнаружили, что это «решение» не имеет никакой ценности, и пожаловались, что Ферма изменил условие задачи. Конечно, их жалоба оправдана в свете сильной диофанто-
1,9, Уравнение Нелля 43 вой традиции, но, как указал Ферма, с их стороны было наивно полагать, что он предложил столь тривиальную задачу. Конечно, Ферма не был первым, кто начал изучать свойства целых чисел. В тех книгах «Начал» Евклида, которые посвящены арифметике, рассматриваются исключительно целые числа; Пла- тон тоже неоднократно говорил о предпочтительности с философ- ской точки зрения изучения целых чисел. Но Ферма возродил эту древнюю традицию и пытался при помощи своей задачи пробу- дить в других такой же интерес. Поскольку ему не удалось заинте- ресовать сограждан — например Паскаля — своими занятиями арифметикой целых чисел, теперь оп был готов войти в междуна- родную переписку, пытаясь пайти других ученых, которые разде- ляли бы его иптересы. Мотивировка задачи: «доказать, что для данного положитель- ного целого А, не являющегося квадратом, найдется бесконечно много целых х. для которых Ах2 -J- 1 является квадратом»— лежит в собственных работах Ферма, а так как Ферма был очень скрыт- ным во всем, что касалось его математической деятельности, то теперь невозможно реконструировать тот путь, который привел его к этой задаче, В какой-то мере эта задача неявно присутствует в некоторых местах у Диофанта (см. Диксон [D2], т. 2, стр. 345— 346). и довольно ясно, что некоторые задачи Диофанта и коммента- рии Баше к ним привели Ферма к задачам, которые включали целочисленные решения квадратных уравнений с двумя неиз- вестными, но детали этой связи непонятны. С определенностью можно лишь сказать, что эта задача была выбрана не случайно. Как обнаружили позднейшие исследования, это частное квадрат- ное уравпение в целых числах у2 — Ах2 — 1 играет важную роль в решении произвольных квадратных уравнений с двумя неизвест- ными в целых числах. Конечно, Ферма не был первым, кто распознал важность этой задачи. Есть указания на то, что интерес к ней проявляли еще древнегреческие математики — об этом свидетельствует пифагоро- во решение х) для случая А —• 2, связанное с иррациональностью Y2, а в немотивированпом утверждении Архимеда, что 1351/780> Г>]/3, проявляется знание решения 3-7802 + 1 = 13512 задачи Ферма при А = 3. Многие историки полагали, что древние греки обладали значительными знаниями этого предмета, которые не Дошли до нас. Доказательства интереса, проявляемого к этой зада- ') Это решение можно получить пз формулы (а2 — 262) (с2 — 2d2) = --- (ас -|- 2bdJ — 2 (ad + 6сJ и рапепства I2 — 2-12 — — 1. Действительно, 1 .-= (_1) (_1) ^. A2 _ 2-12) (I2 — 2-12) -= З2 — 2-22. —1 = ( —1)-1 = = (I2 — 2-12) (З2 — 2-22) -= 72 — 2-52, 1 -= (I2 — 2-12), G2 — 2-52) - 172 — — 2-122, и т. д.; n-е равенство дает d* — 2-s"n -- (—1)'\ где dn --¦ dn_t -\-2sn_l ""и ~ rfn-i +sn-i. Равенства с четными номерами дают решения s2h задачи "ТНфма: «2 •.«;;, + 1 является квадратом». См. Диксон, т. 2, стр. 341.
44 Гл. 1. Ферма че в древней Индии, документированы полнее. (См. [D2], т. 2, стр. 346—350, [СЗ] или [HI], стр. 281—285.) В очень давние време- на (за несколько веков до н. э.) в древней Индии было известно решение 2-4082 + 1 = 5772, а решение 92-1202 + 1 = 11512, являющееся наименьшим в случае А = 92, вместе с изощренной техникой его вывода было получено Брахмагуптой (родился в 598 г. н. э.). Общий способ решения этого уравнения (так назы- ваемый «циклический метод») дал Бхаскара Акхария (родился в 1114 г. н. э.). Сущность этого метода состоит в следующем. Предположим, что А = 67, т. е. задача состоит в том, чтобы найти такое целое х, что 67х2 + 1 является квадратом, или, что то же самое, найти такие целые х и у, что у2 — 67х2 = 1. Посколь- ку 82 — 67 Л2 = —3 достаточно близко к 1, в качестве первого приближения к таким числам х и у можно взять 1, 8. Рассмотрим теперь аналог формулы A) из § 1.7 для этого случая, а именно формулу (а2 — 67Ь2) (с2 — Q7d2) = (ас -f QlbdJ — 67 (ad -f beJ. Применив ее к равенствам 82 — 67-I2 = —3 иг2 — 67-I2 = $ (где г, а тем самым и s должны быть определены позже), мы полу- чим, что (8г + 67J — 67 (г + 8J = —3s. Попытка сделать это число как можно меньше только за счет выбо- ра наименьшего возможного s привела бы к выбору г = 8, s = —Зт и мы получили бы 1312 — 67-162 = 9. Ясно, что это никуда не ве- дет. «Циклический метод» состоит в том, чтобы выбрать г таким образом, что г + 8 делится на 3, и в то же время сделать s воз- можно меньшим. Когда это сделано, последнее уравнение показы- вает, что 8г + 67 должно делиться на 3 и, следовательно, левая часть этого уравнения должна делиться на З2. Таким образом, s должно делиться на 3, и обе части уравнения должны делиться на 9. Это приводит к существенно новому случаю, в котором у2 — 67х2 является маленьким числом. Проведем эти рассуждения явно. Для того чтобы г + 8 дели- лось на 3, г должно принимать одно из значений 1, 4, 7, 10,13, .... Выбор г = 7', s = —18 дает наименьшее (по абсолютной величине) s; этим г и s соответствует равенство 1232 — 67 • 152 = 54, которое после сокращения на 9 превращается в 412-67-52 = 6. Теперь этот процесс можно повторить. Умножая обе части послед- него равенства на г2—67-12 = s, получим D1г + 67-5J — — 67 (Ъг + 41J = 6s. Если, как и раньше, выбрать такое г, что Ъг + 41 делится на 6, то мы сможем обе части уравнения сократить на б2. Для того чтобы Ъг + 41 делилось на 6, необходимо и доста- точно, чтобы г + 1 =6 (г + 7) — (Ъг + 41) делилось па 6, что
1.9. Уравнение Пелля справедливо при г = 5, 11, 17, 23, .... Выбор г = 5 дает наи- меньшее значение s, и мы получаем 5402 — 67-662 = 6- (—42), что после сокращения на б2 превращается в 902 —67-И2 = —7. Конечно, не ясно, привела ли эта процедура нашу задачу хоть немного ближе к решению, но по крайней мере попятно, что ее продолжение может в копце концов привести к уравнению, правая часть которого, как и требуется, равна 1. В данной задаче дело обстоит именно так; продолжение процесса «циклического метода» в нашем случае дает ее решение: 12 _ 67 • О2 = 1 82-67- 12= -3 _ 412 - 67 , 52 = 6 r~J 902 - 67 -112 = - 7 Г~5 2212-67-272=-2 Г~9 18992-67-2322=-7 Г~9 35772 - 67 • 4372 = 6 Г~5 90532-67-11062= -3 Г~7 488422 - 67 • 59672 = 1 Г ~ 8 (Оригинальное индийское решение этой задачи использует прием, сокращающий вычисления. Обе части формулы 2212 — 67-272 = = —2 возводятся в квадрат, что приводит к равенству B212 + + 67-272J — 67 B-27-221J = (—2) (—2), после сокращения кото- рого на 22 получается окончательное решение 48 8422 — 67>59672. Заметим, что это есть приведенное выше диофантово решение с т = 221, п = 27, An2 — т2 = 2.) Коротко говоря, если А = = 67 — данное число, то х = 5967 обладает тем свойством, что Ах2 + 1 является квадратом. «Бесконечное число» решений, кото- рых требует Ферма, можно получить либо продолжая этот процесс и находя все больше равенств, в которых правая часть равна 1 (и тогда окажется, что числа в правой части будут циклически повторяться: 1, —3, 6, —7, —2, —7, 6, —3, 1, —3, 6,— возможно поэтому такой процесс называется «циклическим методом»), либо используя уже найденное решение и получая другие возведением в квадрат: 1 = D88422 - 67 • 59672J= = D88422 + 67 • 59672J- 67B • 5967 ¦ 48842J
46 Гл. 1. Ферма В Куб 1 = [D88422 + 67 • 59672J- 67B • 5967 • 48842J]D88422 - 67 • 59672)= = [48842D88422 + 67 • 59672) + 67 • 2 • 48842 • 59672]2 - - 67 [5967D8842* + 67 • 59672) + 488422- 2 • 5967]2 = = D88423 + 3 • 67-48842 • 59672J - 67C • 488422- 5967 + 67 • 59673), в четвертую степень, и т. д. Это решает задачу Ферма в частном случае А — 67. Точно так же можно применять циклический метод для нахож- дения решепия задачи Ферма при произвольном А, которое не яв- ляется квадратом. Коротко говоря, процедура заключается в сле- дующем. На первом шаге берем равенство I2 — А -О2 = 1. Предпо- ложим, что па га-м шаге мы имеем равенство рг — Aq2 = к. Для того чтобы перейти к (п + 1)-му шагу, умножим это равенство на г2 — А = s; получим (pr + qAJ — А (р + qrJ = ks, где rr а тем самым и s еще должны быть определены. В качестве г выбе- рем положительное целое, для которого р + qr делится па к и которому соответствует наименьшее возможное s. Тогда рг + + qA делится г) на к, и, сократив обе части {pr + qAJ — — А (р 4- qrJ = ks па к2, мы получим равенство следующего шага P2-AQ2 = K, где Р = (pr + qA)l\ к |, Q = (р + qr)l\k \ и К = slk. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на некотором шаге мы не придем к равенству требуемого вида р2 — Aq2 = 1. Тогда х = q является решением задачи Ферма, так как Aq2 -f- I = = р2 — квадрат. Затем можно получить бесконечную серию реше- ний, либо продолжая работать циклическим методом для нахож- дения других равенств р2 — Aq2 = к с к = 1, либо, как и выше, последовательно возводя в степени первое полученное решение. В действительности этим методом удается получить решения задачи Ферма для всех значений А, которые не являются квадра- тами. В табл. 1.7 приведен список наименьших решений х урав- нения Лх2+1 = квадрат для А = 2, 3, 5, б, . . . . Эта таблица показывает, что предложенные Ферма частные случаи А = 149, А = 109 являются чрезвычайно трудными. Случай А = 61 — несомненно, труднейший при всех А < 100,— был также выде- -1) Ясео, что к делит (pr -j- qAJ. Для большинства значений к отсюда следует, что к делит pr-j-qA , а именпо для всех значений ft, которые не делятся на квадраты простых чисел. Здесь же утверждается, что при использовании циклического метода к всегда делит рг + qA (даже если получаются значе- ния к, которые делятся на квадраты простых). Это, как и тот факт, что всегда можно достичь шага, когда к = 1, и надо доказать, если мы хотим обосновать циклический метод.
Таблица 1.7. Наименьшие решения х уравнения Ах-\-1 = квадрат А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2g 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3g 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4g 49 50 X — 2 1 — 4 2 3 1 — 6 3 2 180 4 1 — g 4 39 2 12 42 5 1 — 10 5 24 1820 2 273 3 4 6 1 — 12 6 4 3 320 2 531 30 24 3588 7 1 — 14 A 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6g 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7g 79 go 81 g2 g3 g4 g5 g6 g7 gg g9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 1 90 9100 66 12 2 20 2574 69 4 2261539g0 g 1 — 16 g 5967 4 936 30 413 2 267000 430 3 6630 40 6 9 1 — 18 9 6 30996 1122 3 21 53000 2 165 120 1260 221064 4 j 6377352 10 1 A 101 102 103 104 105 106 107 10g 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 X 20 10 22419 5 4 3115890 93 130 15140424455100 2 28 12 113296 96 105 910 60 28254 11 1 . 22 11 414960 83204 40 419775 51 1484 570 927 2 224460 12606 21 3 519712 4 6578829 6 8 12 1 24 12 8 6 2113761020 4
-48 Гл. 1» Ферма лен х) Ферма, когда он предложил эту задачу Френиклю примерно в то же самое время. Если и могли быть какие-то сомнения, то этот факт достоверно показывает, что Ферма владел процедурой решения, которая позволяла ему находить самые трудные случаи. (Хотя случай А = 433 не кажется особенно трудным: решение имеет 19 разрядов, а при А = 421 разрядов 33.) К чести англичан, надо сказать, что им удалось не только найти частные решения в предложенных Ферма трех случаях, но и раз- работать общую процедуру получения решений для любого значе- ния А. Кто сделал это — достоверно неизвестно. Хотя Джон Вал- лис первым дал описание процедуры и получил решения в трех частных случаях, он приписывает авторство виконту Уильяму Броункеру. В опубликованной переписке Валлиса нет никаких указаний на то, что Броункер когда-либо сообщал ему что-либо об этом методе, кроме нескольких простых замечаний, которые, быть может, послужили зародышем идеи, развитой впоследствии Валлисом. Вполне возможно, Валлису было чрезвычайно важно завоевать расположение Броункера и добиться его покровитель- ства, и потому он назвал этот метод методом Броункера; Броун- кер не только принадлежал к знати, он был также первым прези- дентом Королевского общества 2). Концепция английского метода существенно отличается от кон- цепции описанного выше «циклического метода», хотя вычисле- ния очень похожи. В частности, оба метода обладают тем свой- ством, что их можно применять для нахождения решений в част- ных случаях, не будучи заранее уверенным, что это приведет к успеху. Например, выше нам удалось найти решение в случае А = 67, когда мы получили равенство с правой частью 1; анало- гично будет установлено, что при применении циклического метода к любому другому частному случаю мы получим в конце концов равенство с правой частью 1 и тем самым найдем решение постав- ленной задачи. Однако нет никаких очевидных причин, по кото- рым равенство с правой частью 1 должно обязательно получаться во всех случаях; аналогично, нет очевидных причин, по которым всегда должен приводить к успеху английский метод. а) Бхаскара Акхария также выделил случай А = 61 и привел правиль- ное решепие х = 226 153 980 за пять веков до Ферма. 2) По крайпей мере двое видных ученых сказали мне, что они пе согласны с этим мпепием — один по той причине, что есть веские основания считать лорда Броункера весьма способным математиком, другой — основываясь на оценке личных качеств Валлиса, который скорее мог приписать себе чужие заслуги, чем отказаться от своих заслуг в пользу другого. Некоторая поддерж- ка моей точки зрения имеется в классическом труде Смита [S3, § 96, стр. 193], где говорится, что Валлис изложил этот метод, «приписывая его лорду Броун- керу, хотя, кажется, и ему самому принадлежит некоторая доля в этом изобре- тении».
1.9. Уравнение Пелля 49 Таким образом, англичане в действительности не решили задачу Ферма, которая заключалась в том, чтобы доказать, что «при данном А, отличном от квадрата, существует бесконечно мно- го таких х, что Ах2 + 1 является квадратом»,— несмотря на то, что им удалось дать процедуру нахождения х при данном А. Конечно, недостает доказательства того, что эта процедура всегда ведет к успеху. Англичане не дали такого доказательства и, кажет- ся, даже пе осознавали, что оно необходимо. Однако это обстоя- тельство далеко не второстепенное, поскольку даже Эйлеру не уда- лось доказать, что английский метод всегда приводит к успеху. Лишь через 110 лет после того, как Валлис послал ответ на вызов ферма, Лагранж дал первое доказательство этого утверждения. Доказательство Лагранжа в общих чертах намечено в упражне- ниях, которые следуют за этим параграфом. Не вполне ясно, знал ли Ферма об этом недостатке решения Валлиса, и еще менее очевидно, что его собственный метод был свободен от подобного недостатка. Ферма написал письмо, в кото- ром признал, что англичанам в конце концов удалось решить его задачу; в пем он не проявил ни малейшей неудовлетворенности их методом, несмотря на отсутствие доказательства того, что этот метод всегда приводит к решению. Однако главным для Ферма в этом письме было убедить англичан признать, что перед ними была поставлена интересная и достойная их внимания задача. Короче говоря, Ферма по-прежнему надеялся пробудить в Валли- се и его окружении интерес к изучению целых чисел и, быть мо- жет, намеренно не обратил внимания на их упущения, чтобы воодушевить их на дальнейшие исследования. Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги неко- торым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англи- чане получили решение его задачи Ах2 + 1 = квадрат только в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее до- казательство». Очевидная интерпретация этого замечания заклю- чается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того, что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с дру- гой стороны, в нем можно видеть и менее глубокую критику того, что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказатель- ство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спу- ска. Трудно понять, как можно использовать бесконечный спуск для доказательства того, что этот процесс — либо метод Валлиса, либо тесно связанный с ним индийский циклический метод — всегда приводит к решению. По этой причине утверждение Ферма нельзя считать несомненным свидетельством в пользу того, что он действительно имел совершенно удовлетворительное решение своей задачи. * Г. Эдварде
50 Гл. 1. Ферма В результате ошибки Эйлера эта задача Ферма известна теиерь как «уравнение Пелля». Почему-то — возможно, по причине смутных воспоминаний, оставшихся от чтения «Алгебры» Валли- са,— у Эйлера создалось ошибочное впечатлепие, будто Валлис приписывает метод решения этой задачи не Броункеру, а Пеллю — современнику Валлиса, который часто упоминается в его работах, но, как оказалось, не имеет ничего общего с решением задачи Ферма. Эйлер впервые сделал эту ошибку еще в 1730 г., когда ему было только 23 года, по она попала и в окончательное издание его «Введения в алгебру» [Е9], написанного около 1770 г. Эйлер был самым популярным математическим автором своего времени, и с тех пор метод Валлиса — Броункера связан с именем Пелля, а задача, которая решается при помощи этого метода, т. е. задача нахождения всех целых решений уравнения у2 — Лхг — 1 с дан- ным числом А, отличным от квадрата, известна как «уравнение Пелля», несмотря на то, что именно Ферма первым указал на важ- ность этой задачи, а Пелль вообще не имел к ней никакого отно- шения. У применения 1. Используя циклический метод, получите несколько значений из табл. 1.7. 2. Английский метод, т. е. метод Валлиса и Броункера, отличается от цик- лического метода главным образом тем, что вместо выбора г2 — А возможно меньшим по абсолютной величине, в нем г2 — А выбирается отрицательным, а г — удовлетворяющим условию г2 < А и возможно большим. Поэтому в нравоп части равенств происходит чередование знаков. Используя этот метод, найдите решения для Л — 13 п А = 67 и сравните полученные равен- ства с теми, которые получаются при циклическом методе. (Для А — 13 правые части раины 1, —4. 3, --3, 4, —1, 4. —-3, 3, —4, 1. а для А — 67 : 1, —3, 6, —7, . . . .) 3. Докажите, что если р'2 — Aq'1 --к и Р- - - AQ2 - К --- две последо- вательные строчки в процессе циклического или английского метода, то г исчезает из pQ — Pq и при этом получается pQ — Pq --- +1. Заключите отсюда, что Р и Q взаимно просты. Затем получите, что взаимно просты Q п А, так что сравнение «QR + Р делится на К», которое определяет сле- дующее значение г, имеет решения. Наконец, докажите, что любое решение R этого уравнения удовлетворяет также и сравнению «QA -f- PR делится па Kit, вследствие чего можпо выполнить следующий шаг циклического метода. 4. Докажите, что если г и Л — значения г, которые соответственно пред- шествуют и следуют за строчкой Р2 — AQ2 -- К, то г -\- R делится на К. [Р — rQ делится на А'.] Обратите впимаиие па то, что ато значительно упро- щает нахождение R на каждом шаге. 5. Обратите внимапие па то, что указанное в упр. 4 упрощение позво- ляет вычислять последовательность к и г, не прибегая к вычислению р или q. Например, докажите, что циклический метод с первыми строчками I2—149 -О2--- = 1 и 122 — 149-1 — —5 даст решение р2 — 149д2 — 1 в предложенном Ферма случае А — 149 в 15-й строчке. (Не надо вычислять решение.) Дока- жите, что английский метод приведет к решению па 19-м шаге. 6. Докажите, что если г и к известны, то вычисление р и q можпо упро- стить следующим образом. Пусть р2 — Aq2 = к, Р2 — AQ2 - К, j-2 — A&2-
1,9, Уравнение Пелля 51 = ?f? — три последовательные строчки, и пусть гий — промежуточные зна- чения г. Тогда 3° = пР±р, & = nQ±q, где в качестве знаков надо взять два плюса, если Кк < 0, и два минуса, если Кк > 0, и где п — такое целое, что г + R = и I К \. Используя умно- ;ь'енне матриц, эти формулы можно записать в виде Г.*> Р1ГР р-1Г п 1-1 Ы q] Vq dl±i oj' Поскольку первые две строчки п таблице найти легко, это дает нам средство для пычислепия р и q. Например, р и q ъ девятой строчке вычислений для Л — 67 являются элементами перпого столбца матрицы U J|i oh oi o-i o-i oi oi о что значительно упрощает дело. Используя г и к, найденные в унр. 5, запи- шите находящееся в 15-Й строчке циклического метода решение уравнения ]/2 - - 149д2 — 1 как первый столбец произведения 14 матриц. Перемпожьте матрицы и найдите решение х ¦—- 2 113 761 020 уравнения Пелля при А = 149. 7. Докажите, что если два последовательных значения к одинаковы ло абсолютной величине: К —• +/с, то рР + AqQ и pQ + qP делятся на к. I Используйте формулу для Р — rQ.] Отсюда следует, что такие две строчки в таблице можно перемножить и результат сократить на к2; при этом получится решение уравпепия х1 — А у2 = +1. В случае А = 149 4-ю и 5-ю строчки .можно использовать таким образом для нахождения 8-й строчки. Последнюю можно затем возвести в квадрат и получить 15-ю. Проведите эти вычисления. 8. Найдите решение х = 151 404 244 455 100 в случае А = 109 Ферма и Бхаскары. Оставшиеся упражнения посвящены доказательству того, что циклический метод должен привести к решению уравнения Пелля и что таким способом получаются все решения уравнения Пелля. 9. Английский метод (см. унр. 2) менее эффективен, чем циклический, но он проще в том отношении, что знаки изменяются в нем иравильиым обра- зом (в упр. 6 всегда появляется зпак плюс). Следовательно, доказать, что английский метод всегда дает решение уравнения Пелля и что таким методом могут быть получены все решения, легче, чем доказать то же утверждение 0 циклическом методе. Докажите, что если строчка р2 — Aq2 = к встречается как в апглийском, так и в циклическом методе, и если следующие за ней строчки различны, например Р2 — AQ2 = К в апглийском методе и З-2 — — Ad2 = SK в циклическом методе, то КФ 1 и за строчкой Р2 — AQ2 = К » английском методе следует S'2 — Аф.2=а&'. Короче говоря, единственное различие между ними состоит в том, что в циклическом методе могут пропу- скаться некоторые строчки английского метода, но пропущенные строчки никогда не дают решений уравнения Пелля. Поэтому для того, чтобы доказать, что при циклическом методе нолучаются все решения уравнения Пелля, Достаточно доказать аналогичное утверждение для английского метода. 1 Пусть г и 5? — значения г, которые следуют за строчкой р2 — Aq2 = к и апглийском и циклическом методах соответственно; предположим, что R — значение, следующее за Р2 — AQ2 = К в апглийском методе. Поскольку
52 Гл. 1. Ферма эти два метода приводят к различным значениям, мы получаем неравенство •4 — г2 > (г + I к |J — А > 0. Из этого неравенства следует, что К > >—К + 2г — к при КОи — К>К+2г+к при /с >0. В первом случав (—г + га^) — А отрицательно при п = 1 и положительно при и = 2, сле- довательно, Л = —г + /Г. Во втором случае R = —г — К. Таким образом, ° = —г -г \ К \- Отсюда получается, что следующее значение к в английском методе равно (Я* — АIК = [(г + | к |J — 4]/fc = Ж. Аналогично, следую- щее значение q в английском методе равно | К I [Р + Q (—г +| Я |)] = — I & I fa + в (»" + I fc I)] = @, а следующее значение р равно ,/>. Остается показать, что | К \ Ф 1. Для этого достаточно доказать, что в английском Методе всегда выполняется неравенство г > 0,— это утверждение будет дока- зано в следующей упражнении. Заметим, что в случае неоднозначной возмож- ности выбора (А — г2 = (г + | к |)а — А) здесь предполагалось, что цикли- ческий метод согласуется с апглийским, т. е. выбирается меньшее из двух возможных значений г. Приведенное выше доказательство в действитель- ности показывает, что при выборе большего значения была бы пропущена строчка с К Ф 1.] 10. Правильное описание английского метода в действительности тре- бует доказательства существования таких значений г, удовлетворяющих сравнению «gr + р делится на к», для которых г2 — А < 0. Конечно, это вависит от того обстоятельства, что большие значения к не возникают. На прак- тике обнаруживается, что такие значения г всегда существуют и положительны. Кроме того, оказывается, что циклы практически встречающихся значений *иг являются палиндромами, т. е. не изменяются, если записать их в обрат- ном порядке. Далее, если к положительно, то (г + кJ — А > 0 и, следо- вательно, к + 2г -\- К положительно; если же к отрицательно, то (г — кJ — — А >0ий — 2г + К отрицательно. Так как циклы значений к и г являются палиндромами, то существует симметрия между значениями к и К; поэтому естественно ожидать, что в каждом множестве из двух последовательных значений к с промежуточным значением г, скажем к, г, К, выполняются нера- венства к + 1г -\- К > 0, к — 2г + К <С 0. Отсюда следует, что г > 0. Докажите эти неравенства; во-первых, докажите, что они выполняются на первом шаге при к = 1, г = [ \f~A~] = наибольшее целое меньшее, чем У А, и К = [ \/А]2 — А, а во-вторых, докажите, что эти неравенства выпол- няются на любом данном шаге при условии, что они справедливы на преды- дущем шаге. 11. Упражнение 10 показывает, что английский метод определяет беско- нечную последовательность к. Предположим, что к, К, SK — три последо- вательных значения к; допустим также, что К и !УС позже спова встречаются как последовательные зпачения в последовательности всех к. Докажите, что тогда к вновь предшествует К и Ж. Покажите, что существует только копоч- ное число возможных значений к. Заключите отсюда, что английский метод всегда дает некоторое решение уравнения Пелля. [Как указано в упр. 10, циклы зпаченийй и г образуют палиндромы; поэтому естественно ожидать, что если к, К, УС — последовательные значения к, а г, R — промежуточные значения г, то г, к можно найти по УС, R, К точно так же, как R, SK нахо- дятся по к, г, К.] 12. Докажите, что циклы значений к и г, полученные английским мето- дом, всегда образуют палиндромы и всегда содержат четное число шагов. 13. Докажите, что английский метод дает все решения уравнения Пелля. (Можно поступить следующим образом. Пусть х2 — А у3 = 1. Не ограничи- вая общности, можно считать, что х и у положительны. Пусть х = х0, у = ' =Уо> применив английский метод к х% — Ау\ = 1, найдите х\ — Ау\ = к1г х\ — Ау\ = к2, .... Тогда, согласно упр. 6, x;+t = ntxi -f- xt_t, yt+i = = ЩУ1 + 1/г_,, причем последовательности положительных целых щ, п2, п3,... периодичны. По периодичности последовательность nt можно продолжить "¦на все целые i (не только положительные). Тогда xt, yt можно определить
1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел 53 для всех целых i. Докажите, что х\— Ау\ — kt; здесь kt определены при отрицательных i no периодичности. Очевидно, что если х-ь и yi положительны при всех г ^ ;' (такими они являются при j = 0), то | xj+2 I > I xj I- Согласно принципу бесконечного спуска, должно существовать такое значение /, что xi и yt положительны при i > ;', по не обладают этим свойством при i — j. Рассмотрим матричное уравнение j х0 П _ Г щ 1 "I Г щ 11 \nj+i 1  Г *j+i X]  i г/о J L 1 о J L 1 о J " '' |. 1 о J L г/л-i vt J ¦ Taj; как xj+1yj — yj+ixj = +1 и xj+1, yj+1 положительны, то xj и у} uo могут иметь противоположные знаки. Но xj— Ay) = kj и \ kj\ < А, поэтому Xj-фО. Следовательно, yj = O. Тогда xj = ±1 u kj = i. Пусть Г Р Р I _ Г "о 1 1 Г  1 1 Г »/tl 1 1 L <? g J"~ L 1 о J L i о J *' * L i oj- Тогда x0 = xjP, так что xj = 1. Следовательно, x0 = P и j/0 = (). Надо только доказать, что английский метод дает решение Р2 — AQ2 = 1 урав- нения Пелля, а это ясно из упр. 6.] 1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел Многочисленные недоказанные утверждения Ферма остались вызовом для тех, кто пришел ему на смену, и хотя ему не удалось пробудить интерес к теории чисел ни у Валлиса, ни у других математиков следующего поколения, на более поздних математи- ков, особенно начиная с Эйлера, попытки доказать или опроверг- нуть эти утверждения оказали огромное стимулирующее влияние. Как впоследствии выяснилось, все они, за исключением утвержде- ния о том, что числа 232 + 1, 2м -\- 1, 2128 + 1, ... являются про- стыми, и, возможно, Последней теоремы хп -\- уп фгп (п >> 2), справедливы. Эти утверждения (кроме тех, которые обсуждались выше) не оказали непосредственного влияния на дальнейшую историю Последней теоремы Ферма, поэтому мы не будем рас- сматривать их подробно. Однако некоторые из них стоит упомя- нуть хотя бы для того, чтобы дать представление о размахе дея- тельности Ферма. Одно из этих утверждений, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы четырех квадратов, неявно содер- жится в книге Диофанта и явно сформулировано в комментариях Баше. Ферма утверждал, что он может доказать не только это утверждение, но и его обобщение, согласно которому каждое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел, или четырех квадратных чисел, или пяти пятиугольных, или шести шестиугольных чисел, и т. д.— ad infinitum. Здесь треугольными числами называются 0, 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + — 4 = 10, 10 + 5 = 15 и т. д.; квадратными — числа 0, 0 + + 1 = 1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, 16 + 9 = 25, . . ., а пятиугольными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12, 12 + 10 = 22, 22 + 13 = 35 и т. д. Вообще, ?г-угольпые числа 0,
54 Гл. 1. Ферма 1, а2, а3, а4, . . . получаются при последовательном сложении членов арифметической прогрессии 1, п — 1, 2п — 3, Зп— 5, .... Таким образом, а0 = 0, % = 1, а2 = п, а3 = Зп — 3, а4 = 6?г — — 8, а5 — 10?г — 15, . . ., а$ — у/ (у — 1) п — j {] — 2). (Много- угольные числа рассматривались в различных древних тракта- тах, включая трактат Диофанта, от которого до наших времен сохранились только фрагменты.) Впоследствии с этой красивой теоремой были связаны некоторые из величайших имен в истории математики: Лагранж первым доказал утверждение о квадратах, Гаусс — для треугольных чисел, а Коши впервые получил дока- зательство в общем случае. Среди других недоказанных утверждений Ферма содержится теорема о том, что 25 + 2 = 27 является единственным целочис- ленным решением уравнения х2 + 2 = у3, а 4 + 4 — 8 и 121 + + 4 — 125 — единственные решения уравнения хг -\- 4 = у3. Ка- залось бы, эти простые утверждения возникли из ничего, и не видно никакого естественного пути, па котором можно было бы попытаться их доказать 1). Согласно другому утверждению такого типа, 1 + 1 + 1 + 1=4 и 1 + 7 + 49 + 343 = 400 являются единственными решениями уравнения 1 + х + х% + х3 — у2 (vnp. 1). Адресованное Валлису и другим английским математикам предложение решить уравнение Пелля в действительности было вторым вызовом Ферма. Первый вызов был еще труднее и оказал- ся, по-видимому, выше их понимания. Ферма предложил две задачи. A) Найти куб, который в сумме со всеми его собственными делителями дает квадрат. [Например, сумма числа 343 и всех его собственных делителей C43 + 49 + 7 + 1 = 400) является квад- ратом. Найдите другой куб, обладающий тем же самым свой- ством.] B) Найти квадрат, который в сумме со всеми его собствен- ными делителями дает куб. Решение этих задач можно найти в книге Диксона [D2, т. 1, стр. 54—58]. Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде суммы двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения х3 + у3 = и3 + v3. Фре- никль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколь- ко решений, например 1729 = 93 -г Ю3 = I3 + 123 и 40 033 = = 163 + ЗЗ3 = 93 + 343 (по-видимому, испытанным методом проб и ошибок). х) Еще до Ферма Баше изучал рациональные решения х, у уравнения х* + 2 — у3 (см. Диксон [D2, т, 2, стр. 533]). Доказательства этих утверж- дений Ферма можно найти в упражнениях к § 2.5.
1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел 55 В заключение еще одна теорема, которую легко сформулиро- иать, но далеко пе легко доказать: пи одно треугольное число, большее 1, не является четвертой степенью. Другими словами, при х >¦ 2 уравнение —- х (х — 1) = г/4 не имеет решений в целых числах. Первое доказательство этого факта примерно через сто пятьдесят лет было опубликовано в «Теории чисел» Лежандра. В письме к Каркави Ферма завершает подведение итогов своим любимым открытиям в теории чисел следующими словами: «Потом- ки, возможно, будут благодарны мне за то, что я показал, что Древние знали пе все». Какое драматичное свидетельство пропасти во взглядах между временем Ферма и нашим временем! Невоз- можно представить себе математика двадцатого века, который считал бы, что Древние знали все. Напротив, в наше время счи- тается (по крайней мере в том, что касается математики), что Древние вообще ничего не знали. Скорее мы можем быть благо- дарны Ферма за то, что он показал нам, какое стимулирующее влияние оказывает изучение работ великих деятелей науки про- шлого и как оно способствует более глубокому проникновению в предмет. .Упражнение 1. Докажите утверждение Ферма о том, что едшгстиеиными натураль- ными числами х, для которых 1 + х + х2 + х3 — квадрат, являются х = 1 и х = 7. Кроме них единственными целыми решениями являются х —- О, —1. [Это прекрасная, но очень трудная задача. Воспользуйтесь тем, что ,т4 + г/4 не может быть квадратом (§ 1,5), а уравнение х4 — у4 — z2 разре- шимо только в тривиальных случаях у ¦— 0 или z — 0 (§ 1.6, уир, 2).|
Глава 2 ЭЙЛЕР 2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при п = 3 Леонард Эйлер A707—1783), несомненно, был величайшим математиком своего времени. Он внес вклад во все мыслимые обла- сти математики — от прикладной математики до алгебраической топологии и теории чисел, причем не только в виде новых теорем и методов, но и в виде целой серии учебников по алгебре, анализу, математической физике и другим областям. Эти учебники соста- вили основу математического образования для нескольких после- дующих поколений. О величии Эйлера как математика можно судить хотя бы по тому, что при изучении теории чисел создается впечатление, что Эйлер в основном интересовался теорией чисел; если же изучаешь расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения, то кажет- ся, что именно расходящиеся ряды или дифференциальные урав- нения были для Эйлера любимым предметом исследования и т. д. Конечно, в этой книге мы будем главным образом интересоваться вкладом Эйлера в теорию чисел и, в частности, его достижениями, связанными с Последней теоремой Ферма. Независимо от того, была или не была теория чисел любимым предметом Эйлера, в те- чение всей своей жизни он проявлял к пей неослабевающий интерес, и одних только его результатов в этой области было бы до- статочно, чтобы его имя навсегда осталось в анналах математики. В истории Последней теоремы Ферма имеются противоречивые мнения о том, удалось ли Эйлеру доказать эту теорему при п —¦ 3. Обычно считается, что Эйлер привел доказательство случая п = 3, но оно было «неполным» в некотором важном отношении. В не- скольких словах невозможно сформулировать суть дела точнее. Подробное объяснение значительно сложнее. Доказательство Эйле- ра содержало фундаментальный пробел, о котором Эйлер, оче- видно, не подозревал. Исправить это доказательство непосред- ственно, т. е. предложить другое доказательство того утверждения, при доказательстве которого Эйлер допустил ошибку, далеко пе просто. Однако, как мы покажем в § 2.5, это доказательство мож- но исправить косвенным образом — при помощи рассуждений, которые Эйлер применил при доказательстве других утверждений Ферма. Такой метод не дает ответа на вопрос о том, можно ли зала- тать первоначальное доказательство Эйлера — что весьма жела-
2.2. Доказательство дилера для п = 3 57 тельно ввиду элегантности и общности этого доказательства — но он по крайней мере показывает, что уравнение х3 + у3 = z3 неразрешимо в целых положительных числах х, у, z. 2.2. Доказательство Эйлера для п = 3 В своем доказательстве Последней теоремы Ферма при п = 3 Эйлер применяет принадлежащий Ферма метод бесконечного спуска. Он показывает, что если можно найти положительные целые числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению х3 + у3 = z3, то суще- ствуют меньшие положительные целые с тем же свойством; таким образом, в случае разрешимости этого уравнения можно было бы найти убывающую бесконечную последовательность таких троек целых положительных чисел. Ясно, что такой последовательности не существует. Следовательно, нельзя найти таких чисел х, у, z. Итак, предположим, что х3 -\- у3 = z3. Из этого уравнения следует, что любой делитель двух из трех чисел х, у, z делит также и третье из них. Следовательно, обе части этого уравнения можно сократить на все общие делители и с самого начала считать, что числа х, у, z попарно взаимно просты, т. е. что наибольший общий делитель х, у, или х, z, или у, z равен 1. В частности, не более чем одно из чисел х, у, z может быть четным. В то же время ясно, что но крайней мере одно из этих чисел является четным: если х ж у оба нечетны, то z четно. Поэтому в точности одно из этих чисел является четным. Сначала предположим, что х, у нечетны, a z четно. Тогда х -\- у и х — у — четные числа, скажем 2р и 2q соответственно, и х = = i-Bp + 2q)=p + q,y = iBp - 2q) = р - q. Если х3 + у3= — (х -\- у) (х2 — ху + у') выразить через р и q, то получим 2р [(р + qf - (Р + q) (Р - q) + (р - qf\ = 2р (р2 + 3?2). Числа р и q имеют противоположную четность (поскольку р -\- д~ и р — q нечетны) и взаимно просты: действительно, любой общий делитель этих чисел обязан делить х = р + q и у = р — q и поэтому должен равняться 1. Кроме того, можно предположить, что р и q положительны. (Если х << у, то, меняя местами х и у, можно получить q >> 0. С другой стороны, х фу, поскольку в про- тивном случае х == у = 1, z3 = 2.) Следовательно, из предполо- жения о существовании нечетных х, у, удовлетворяющих уравне- нию х3 -\- у3 = z3, следует, что существуют такие взаимно простые положительные целые р и q противоположной четности, что 2р (р2 + 3<?2) = куб целого числа. К такому же гыводу можно прийти при нечетном z и четном х или у. В этом случае нечетное число, скажем у3, можно перенести
58 Гл. 2. Эйлер в правую часть: х3 - z3 - г,3 = (z - у) (z2 -I- zy -г J/2). Тогда z — у = 2р, z + у = 2q, z = q + Р, У = Ч — Р и я3 - 2р [(<? + рJ + (q + р) (q - р) + (q - рJ], что приводит к тому же самому заключению: 2р (р2 + 3<?2) = куб целого числа, где р и g — взаимно простые положительные целые противополож- ной четности. Следующий шаг в нашем рассуждении, грубо говоря, состоит в том, чтобы заметить, что числа 2р и р1 -f- 3q2 взаимно просты, и из этого замечапия заключить, что их произведение может быть кубом тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей являет- ся кубом. Обратите внимание на аналогию с методом из § 1.3, где анализируются решения уравнения х2 + у2 — z2. Однако утверж- дение, что 2р и р2 + 3<?2 взаимно просты, не вполне обосновано. Так как р и q имеют противоположную четность, то р2 -j- 3#2— нечетное число, и каждый общий делитель чисел 2р, р2 -\- 3q2 обязан быть общим делителем чисел р, р2 + 3<?2, а потому и р, 3q2. Но р и q взаимно просты, поэтому отсюда следует, что един- ственным общим делителем может быть число 3. Однако если 3 делит р, то оно делит ирЧ 3<?2 и 2р; поэтому 2р и р2 -\- 3q2 не взаимно просты. Следовательно, доказательство распадается па два случая: в первом случае 3 пе делит р, а потому 2р и р2 + 2>q2 взаимно просты, а во втором 3 делит р. Сначала мы рассмотрим первый случай; второй окажется простой модификацией первого. Итак, предположим, что 3 пе делит р, и, следовательно, 2р и р2 + 3q2 являются кубами. Применяя формулу (а2 + ЗЬ2) (с2 + 3d2) = (ас - 3bdJ + 3 (ad + beJ из § 1.7, можно найти кубы вида р2 -Ь 3q2: (а2 -у- 362K = (а2 + ЗЬ2) [(а2 - ЗЬ2J + 3 BаЪJ\ = = [а (а2 — ЗЪ2)—ЗЪ Bab)]2-\-3 [а BаЪ) +- Ъ (а2-3&2)]2-= = (а3 — Ш2J + 3 (За2Ь — ЗЬ3)\ Таким образом, один из способов нахождения кубов вида р2 + + 3q2 состоит в том, чтобы выбрать произвольные числа а, Ъ и положить р = а3 — 9ab2, q = 3a2b - 3b3, так что р2 -\- 3q2= (а2 -\- ЗЬ2K. Главный пробел, который надо заполнить в доказательстве Эйлера, заключается в доказательстве утверждения, что такой способ дает все кубы вида р2 + 3q2, т. е.
2,2, Доказательство Эйлера для п ~ 3 59 если р2 -\- 3q2 является кубом, то существуют такие а и Ъ, что р п q задаются приведенными выше формулами. Эйлер обосновы- нает этот вывод при помощи ошибочного рассуждения, изложен- ного в следующем параграфе, однако он мог бы опираться и па рас- суждение из § 2.5, которое, по существу, тоже принадлежит ему самому. В любом случае, считая это утверждение справедливым, i >ставшуюся часть доказательства провести сравнительно легко. Выражения для pig можно разложить на множители: р = а (а — ЗЬ) (а + ЗЬ), q = ЗЬ (а — b) (a -j- b). Числа avib, конечно, взаимно просты, ибо каждый их общий дели- тель обязан делить р и q, а потому равен 1. Кроме того, 2р = 2а (а — 3b) (a -j- 3b) — куб целого числа. Числа а и b имеют противоположную четность, поскольку в про- тивном случае р и q оба были бы четными. Следовательно, а — ЗЬ, а + ЗЪ — нечетные числа, и все возможные общие делители чисел 2а, а + ЗЬ обязаны делить а, а + ЗЬ, а потому и а, +ЗЬ. Анало- гично, каждый общий делитель чисел а -+- ЗЬ, а — ЗЬ обязан де- лить а и ЗЬ. Короче говоря, единственным возможным общим дели- телем является число 3. Но 3 не делит а, поскольку в противном случае оно делило бы р, что противоречит предположению. Сле- довательно, 2а, а — ЗЬ, а + ЗЬ взаимно просты, и каждое из этих чисел должно быть кубом, скажем 2а — а3, а — ЗЬ = р3, а -\- -\- ЗЬ = уг. Тогда Р3 + 73 = 2а = а3, и это дает решение урав- нения я3 + у3 = z3, состоящее из меньших чисел, чем исходное решение. Точнее, а3р373 = 2а (а — ЗЬ) (а + ЗЬ) = 2р. Число 2р поло- жительно и делит z3, если z четно, или я3, если х четно. Тогда в любом случае а3Р373 меньше z3. Числа а, Р и у не обязаны быть положительными, по (—аK = —а3, поэтому отрицательные кубы можно перенести в другую часть уравнения, и мы получим урав- нение вида X3 -г Y3 = Z3, где X, Y, Z положительны и Z3 < z3. Итак, в случае когда 3 не делит р, спуск произведен. Наконец, рассмотрим случай, когда 3 | р. Тогда р = 3s и 3 не делит q. В этом случае 2р (р2 + 3q2) = 32-2s Cs2 + q2). Легко видеть, что числа 32-2s и 3s2 + q2 взаимно просты; следовательно, каждое из них является кубом. Согласно лемме, которую мы дока- жем позже, 3s2 -j- q2 может быть кубом только тогда, когда q = а (а — ЗЬ) (а + 3b), s = ЗЬ (а — Ъ) (а + Ь) при некоторых целых аи Ъ. Число 32-2s является кубом, поэтому кубом будет 32-2Ъ (а — b) (a + b), a следовательно, и2&(а — Ь) X X (а -г Ь). Легко видеть, что множители, входящие в последнее выражение, взаимно просты; таким образом, 2Ъ = а3, а — Ъ == Р '
60 Гл. 2. Эйлер а -I- Ъ — у3, а? = 2Ъ = у3 — Р3. Как и выше, отсюда можно полу- чить равенство вида Xs -\- Y3 = Z3, где Z3 << z3. Итак, в любом случае из существования куба, нредставимого в виде суммы двух кубов, следует существование меньшего куба такого же вида, что невозможно. Для завершения доказательства остается только показать, что если существуют взаимно простые целые р и q, для которых р2 -\- 3q2 является кубом, то найдутся такие целые а и Ъ, что р = а3 — 9ab2 и q = 3a2b — ЗЪ3. Доказа- тельство этого утверждения приведено в § 2.5. 2.3. Арифметика иррациональных чисел Метод, который Эйлер использовал при попытке доказать при- веденное в § 2.2 утверждение о кубах вида р2 -\- 3q2, основывается на смелой идее распространения арифметики целых чисел при помощи операций сложения, вычитания и умножения на «числа» вида а-\-ЬУ —3 с целыми а и Ъ. Ясно, как складывать, вычи- тать и умножать такие числа (особого упоминания заслуживает только правило умножения (а-\-ЬУ—3) (c-\-d~\/ — 3) = ac-\- + ad y^3 + bcy^3 + bd( — 3) = (ac — 3bd) + (ad + bc) V^3); в этой арифметике выполняются обычные законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности и, кроме того, 1 • (а+ Ъ У ^3) = а + Ъ |/~^3. Говоря языком современной алгебры, «числа» а -\- ЪУ —3 обра- зуют коммутативное кольцо с единицей. Идея использования в вычислениях иррациональностей вида а -\- ЪУ —3 упрощает вывод достаточных условий для того, чтобы число р2 -f 3q2 было кубом. Вместо применения формулы (а2 + ЗЪ2) (с2 + 3d2) = (ас — 3bdJ + 3 (ad + beJ можно рассуждать следующим образом. Разложим p2-\-3q2 на множители: (р-г<7|/—3) (р — <?]/—3). Если один из этих мно- жителей является кубом, скажем р + <?]/ ~~3 = (а-\-ЪУ — ЗK, то легко проверить, что сопряженный к нему, который получается заменой ]/ — 3 на — ]/ — 3, является кубом сопряженного к u-f -\-ЪУ—3, т.е. p—qy—3 = (а — Ъ У — ЗK. Следовательно, сог- ласно коммутативности умножения, (p-\-qV—3) (р — q У —3) = ^[(а^ЬУ^З)(а-ЬУ^З)]3, т.е. рЧ-3?2 = (а2 + 362K. Други- ми словами, для того чтобы найти куб вида р2 -\- 3q2, достаточно положить p + qy — 3 = (a-f&]/ — ЗK. Разложив (а-\-ЪУ — ЗK по формуле бинома Ньютона: (-3) + 63(-3) У — 3,
2.3, Арифметика иррациональных чисел 61 >ш получим, что, для того чтобы записать р2 -f 3q2 в виде куба некоторого числа, достаточно найти такие числа а и Ъ, что р = = а3 — 9ab2, q = 3a2b — ЗЪ3. Это и есть достаточное условие, найденное в предыдущем параграфе. В этой части своей «Алгебры» [Е9] Эйлер всерьез путает необ- ходимые и достаточные условия; поэтому очень трудно устано- вить, что же он в действительности имел в виду. В примерах Эйлер, кажется, большей частью имеет дело с достаточными усло- виями: начиная с а и Ъ, находит р и q. Но иногда он допускает совершенно ошибочные утверждения. Например, Эйлер пишет: «Если число х2 -\- су2 должно быть кубом, то отсюда, конечно, можно заключить, что каждый из его иррациональных множите- лей, а именно х -\- у У—с и х — yY—с, обязан быть кубом, поскольку эти множители взаимно просты в том смысле, что х и у не имеют общих делителей»; при этом Эйлер не доказывает, что х -\- yY—с ж х — yY—с обязаны быть кубами. В заключении к тому же самому параграфу (§ 191 из последней части) Эйлер совершенно недвусмысленно утверждает: «Если ах~-\-су2 нельзя раз- ложить на два рациональных множителя, то нет других решений, кроме приведенных здесь», т. е. ах2 -\-су2 только тогда может быть кубом, когда существуют такие целые р и q, что х]/ а -\- yY—с = = (pYa ~Ь qY—сK- Единственный памек на доказательство этого утверждения состоит в приведенном выше рассуждении по анало- гии, а именно: если АВ является кубом и А и В взаимно прости, то А и В должны быть кубами. Последнее утверждение является теоремой, которую можно доказать *¦) для целых А ж В; однако если А ж В являются числами вида р + qY—3 или х\/ а -\- у\/ —с, то это доказательство непригодно. В частном случае а = 1, с = = 3 утверждение Эйлера действительно справедливо (хотя дока- зательство совсем не такое, как для целых чисел), но существуют значения а и с, при которых оно неверно. Эйлер рассматривает задачу «а;2 + су2 = куб» вслед за не- сколько более полным обсуждением случая ах2 -\- су2 = квадрат». В первом случае он утверждает, что «если произведение двух чисел, например pq, должно быть квадратом, то либо р = г2 и q = s2, т. е. оба множителя должны быть квадратами, либор = тг2 a q = ms2, т. е. сомножители являются квадратами, умноженными на одно и то же число». Здесь снова это утверждение справедливо, если под «числами» понимаются «целые числа», и мы доказали его в § 1.4; однако Эйлер сразу же применяет этот принцип к числам, которые не являются обыкновенными целыми числами, а имеют вид х -\- yY—с. Обсуждение квадратов является более полным, х) Доказательство аналогичного утверждения для квадратов, приведен- ное в § 1,4, немедленно обобщается на кубы.
62 Гл. 2. Эйлер чем обсуждение кубов, в том отношении, что Эйлер приводит нечто похожее па альтернативное доказательство утверждения, согласно которому для любого квадрата вида х2 -\- су2 с взаимно простыми целыми числами х и у при некоторых целых а и Ъ спра- ведливо равенство х -\- у у —с = (а + ЪУ —сJ. Это «доказатель- ство» следует стандартному методу Диофанта, при котором квад- ратный корень из хг Л,- су2 записывается в виде х -\- (p/q) у с неко- торыми целыми числами р и q, а затем производятся следующие упрощения: 2р х cq2—p2 У <Г х __ cq2— р2 «Но хну должны быть взаимно простыми (так же, как р и <?), следовательно, x—cq2 — р2иу =2pq», так что1) — х -\- у]/—с= = (Р -г QV—сJ- Эйлер утверждает, что этот альтернативный вывод «подтверждает2) правильность лгетода», однако из есте- ственного предположения о взаимной простоте р и q не следует взаимная простота сф — р2 и 2pq, а потому не следует и заключе- ние Эйлера о том, что х -— cq'1 — р2, у —- 2pq. На самом деле при- мер 49 22 -)- 5 -З2 не только показывает неадекватность этого рассуждения, по и говорит о том, что само заключение неверно. Действительно, уравнения 2 - = 5<?2 — р2, 3 = 2pq не имеют рацио- нальных решений р и q, не говоря уже о целых решениях. (Эти ги- перболы пересекаются при р = У 5/2, q —- |/9/10 и р = —У 5/2, q =-¦ —УШ\0.) Высказывалось мнение ([D2, т. 2, гл. XX, а также стр. xivl), что сам Эйлер замечает ошибочность предложенного им метода, когда (в § 195) он говорит, что при решении уравнения 2х2 — 5 = — куб его методом потребовалось бы положить хУ 2 + 1/5 = = {аУ2 + ЪУЪK - а32У2 -J- За2Ь2У 5 + ЗаЬ25]/2 + &35V 5" и, следовательно, х = 2а3 + 15аЪ2, 1 = &a2b + ЪЪ3. Из последнего уравнения следует, что Ъ ¦— ±1 и 6а2 + ЬЪг = +1. Ясно, что это невозможно. Следовательно, этот метод показывает, что 2х2 — 5 ') Незначительное несовпадение в знаке можно исправить, положив —х — cq2 — р2 и —у --- 2pq, так что х + у У—с = (р — q У—сJ. 2) Обратите внимание на то, что это высказывание явно свидетельствует о неумеренности Эйлера в правильности его метода.
2.3, Арифметика иррациональных чисел 63 не может быть кубом, несмотря на то что это выражение является кубом при х — 4. Первоначальная реакция Эйлера па это проти- воречие заключалась в замечании: «Чрезвычайно важно устано- кпть причины этого противоречия». Естественно считать, что is этом замечании Эйлер признает важный недочет своего метода н предлагает изучить его причины. Однако, как ясно показывают следующие два параграфа (§ 196, 197), Эйлер был убежден в том, что источник затруднений заключается в знаке минус в выраже- нии 2х2 — 5г/2 и в связанном с этим обстоятельством наличии решений уравнения Нелля х2 — Юг/2 = 1, отличных от тривиаль- ного решения х — ±1, у — 0 (см. упр. 2). Не вникая в детали, достаточно сказать, что Эйлер, по-видимому, был уверен в том, что подобные трудности не возникнут в тех случаях, когда соот- ветствующее выражение имеет знак плюс. Однако, как было ука- зано выше, его метод не приводит к успеху в случае 49 — 22 -\- -¦¦ 5-32, а здесь второе слагаемое положительно и соответствующее уравнение х2 4- 5г/2 —- 1 имеет только тривиальное решение. В 1753 г. Эйлер заявил, что он может доказать Последнюю тео- рему Ферма при тг — 3 (письмо от 4 августа 1753 г. к Гольдбаху,, приведенное в IF6]); однако единственным опубликованным им доказательством является доказательство из «Алгебры» A770). Размышляя об этом ошибочном доказательстве, разумно предпо- ложить, что в своем первоначальном методе оп использовал менее оригинальное рассуждение, показывающее, что хг -|- Зг/2 = куб только тогда, когда х — а3 — 9а62, у = 2>агЪ — ЗЬ3, и что лишь позже ему пришла в голову элегантная — по неверная — идея доказать это утверждение, используя тот «факт», что произведение двух взаимно простых сомножителей х -\- y\f—3 и х — /у]/—3 является кубом, только если кубами являются оба сомножителя. Независимо от того, правильно или пет это предположение, тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, доста- точно для доказательства необходимой леммы о кубах вида **- -\- ЗгД Упражнения 1. «Число» х -|- у У—с называется единицей, если опо является дели- телем 1, т, е, если существует другое «число» такого же вида, произведение- которого на данное число равно 1, Докажите, что единицы взаимно одно- значно соответствуют решениям уравпепия х% + су2 -- +1. Найдите вс& единицы вида х -j- у ~\f 2, (Укажите способ нахождения бесконечного числа единиц и попытайтесь найти их все. Не нужно доказывать, что вы нашли все единицы.) Найдите все единицы вида х + y~\f—41; вида х + у У—7; вида х + у уТ; вида х -|- у Y^T. _ _ 2. _Предиоложим, что }2— 10g2 = l и х Y'2+y Yb = (f+g ]/'lO)X X{aY2-{-b YW- Докажите, что 2ж2—5i/2 является кубом, даже есл»
64 Гл. 2. Эйлер х Yl+yY^ не равно кубу вида (u Y2-\-v ]/5K. Эйлер считал, что это явлеиие объясняет, почему его методом не удается найти решение а: = 4 уравнения 2х2—5 = куб. Покажите, что 4]/2+]^5 имеет такой вид при а = 2, Ь=— 1. 2.4. Эйлер о суммах двух квадратов В 1747 г. сорокалетнему Эйлеру удалось доказать теорему Ферма о том, что каждое простое число вида An -)- 1 является суммой двух квадратов. В письме Гольдбаху от 6 мая 1747 г. [F6], в котором он приводит доказательство этой теоремы, Эйлер говорлт, что его основная цель состояла в доказательстве другой теоремы Ферма, согласно которой каждое число можно предста- вить в виде суммы не более четырех квадратов. Однако доказа- тельство последней теоремы ускользало от Эйлера до тех пор, пока ее не доказал Лагранж в 1770 г. (после чего Эйлеру удалось значительно упростить доказательство), а доказанные Эйлером теоремы о суммах двух квадратов представляют значительную ценность. В частности, развитые для их доказательства методы позволили Эйлеру доказать основные факты о числах вида хг + Зг/2, а как будет показано в следующем параграфе, те же методы можно использовать для доказательства утверждений о кубах вида х2 -f- Зг/2, которые требуются при доказательстве Последней тео- ремы Ферма в случае п = 3. Доказательство Эйлера теоремы о том, что каждое простое число вида 4гс + 1 можно представить в виде суммы двух квад- ратов, не требует много места и совершенно элементарно. (См. письма к Гольдбаху, а также [Е8].) A) Произведение двух чисел, каждое из которых является сум- мой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов. .Это утверждение немедленно следует из формулы (а2 + Ъ2) (с2 + d2) = (ас — bdJ + (ad + beJ. B) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов, /делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов. Предположим, например, что a2 -f- b2 делится на простое число вида р2 -f- q2. Тогда р2 + q2 делит (pb — aq) (pb + aq) = p2b2 — a2q2 = p2b2 -f- _f. fa2 — р2а2 — a2q2 = р2 (а2 + Ъ2) — а2 (р2 + q2). Поскольку это число простое, оно обязано делить либо рЪ — aq, либо pb -f- aq. Предположим сначала, что р2 -\- q2 делит pb + aq. Тогда из тож- дества (а% -f- Ъ2) (р2 + q2) = (ар — bqJ -f- (аЧ + ЬрJ следует, что р2 + q2 должно делить также и (ар — bqJ. Следовательно, обе части этого тождества можно разделить на квадрат числа р2 -f- q2, и в результате получится требуемое выражение (а2 + Ь2)/(р2 -j- q2) в виде суммы двух квадратов. Второй случай, когда р2 -f- <72 делит
2.4. Эйлер о суммах двух квадратов 65 pi) — aq, можно рассмотреть аналогичным образом, используя тождество (а2 + Ъ2) {ф + р2) = {aq — ЪрJ + {ар -\- bqf. C) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов, селится на число, которое не является суммой двух квадратов, то частное имеет делитель, который не представим в виде суммы овух квадратов. По существу, это противоположное к B) утвер- ждение. Предположим, что х делит a2 -j- Ъ2 и что разложение част- ного на простые множители имеет вид р±р2 . . . рп. Тогда а2 + Ь2= ¦¦-- xpiP2 . . . рп. Если бы все множители рг, р2, . . ., рп были представимы в виде суммы двух квадратов, то а2 -\- Ъ2 можно было бы последовательно разделить на ръ р2, . . ., рп, и из утвержде- ния B) мы получили бы, что каждое частное, до х включительно, иредставимо в виде суммы двух квадратов. Следовательно, если х не является суммой двух квадратов, то хотя бы один из простых множителей ръ рг, . . ., рп не представим в виде суммы двух квадратов. D) Если а и Ъ взаимно просты, то каждый делитель числа а'1 -\- Ъ2 является суммой двух квадратов. Пусть х — делитель а2 -)- Ъ2. Представим а и Ъ в виде а = тх + с, Ъ = пх + d, где с и d не превосходят х/2 по абсолютной величине. Тогда a2 -f- Ъ2 = = т2х2 ± Ъпхс +с- + п2х2 ± 2nxd + d2 =¦¦ Ах + (с2 -\- d2) делит- ся на х, поэтому с2 + d2 должно делиться на х. скажем с2 -f d2 = -- ух. Если с и d имеют общий делитель, больший единицы, то он не может делить х, поскольку тогда он делил бы а и Ъ, что проти- воречит предположению. Следовательно, обе части равенства с- -\- d2 = ух можно сократить на квадрат наибольшего общего делителя чисел с и d и получить равенство вида е2 + /2 = zx. Кроме того, z ^ х/2, поскольку zx = е2 -\- f ^ с2 -\- d2 ^ {х/2J -\- +- (х/2J = х2/2. Если бы х не был суммой двух квадратов, то, согласно C), нашелся бы такой делитель числа z (обозначим его w), который нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Но это привело бы к бесконечному спуску — переходу от числа х, которое не является суммой двух квадратов, но делит сумму квад- ратов двух взаимно простых чисел, к меньшему числу w, обла- дающему такими же свойствами. Следовательно, х должен быть суммой двух квадратов. E) Каждое простое число вида An -\- 1 является суммой двух квадратов. Следующее элегантпое доказательство этого утвержде- ния Эйлер впервые сообщил Гольдбаху в 1749 г.— предложенное двумя годами раньше первое доказательство в этом месте было довольно неясным. Если р = An + 1 — простое число, то, соглас- но теореме Ферма, каждое из чисел 1, 24п, 34п, . . ., {Ап)ы на еди- ницу больше некоторого кратного р. (Следующее за {Ап)ы чисдо р4п делится на р, а все последующие числа от {р -\- 1Lп до Bр —• X)f на единицу больше некоторого кратного р, и т. д.) Следовательно, псе разности 24п — 1, 34п — 24п, . . ., DгсLп — {An — i)in **1 5 Г. Эдварде
66 Гл. 2. Эйлер на р. Каждую из этих разностей можно разложить в произведение вида а4п — Ъы = (а2п + Ь2п) (а2п — Ь2п), и р, как простое число, обязано делить один из множителей. Если хотя бы в одном из An — 1 случаев оно делит первый множитель, то, ввиду D) и вза- имной простоты данного числа и следующего за ним, р является суммой двух квадратов. Поэтому достаточно доказать, что р не может делить все An — 1 чисел 22п — 1, 32п — 22п, . . . . . ., (АпJп — (An — 1Jп. Это легко сделать следующим образом. Если бы р делило все эти числа, то оно делило бы и все An — 2 разности следующих друг за другом чисел, все An — 3 разности этих разностей, и т. д. Но нетрудно убедиться (см. упр. 2), что к-е разности последовательности Iй, 2fe, 3fe, 4fe, . . . постоянны и равны к\ (см. табл. 2.4.1). Таким образом, все 2гс-е разности Таблица 2.4.1. Разности от xh fe-1 12 3 4 5 6 7 1-е разности 1 1 1 1 1 1 ... 2-е разности 0 0 0 0 0 0 к -2 1 4 9 16 25 36 49 ... 1-е разности 3 5 7 9 11 13 ... 2-е разности 2 2 2 2 2 ... 3-и разности 0 0 0 0 ... к Ъ- 1 8 27 64 125 216 343 512 ... 1-е разности 7 19 37 61 91 127 169 2-е разности 12 18 24 30 36 42 3-й разности 6 6 6 6 6 ... 4-е разности 0 0 0 0 ... «М 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 ... 1-е разности 15 65 175 369 67J 1105 1695 2-е разности 50 ПО 194 302 434 590 3-й. разности 60 84 108 132 156 4 -е разности' 24 24 24 24 ... 5-е разности 0 0 0 последовательности 1, 22п, 32п, 42п, . . . равны Bп)\ и, следова- тельно, не делятся на р = An -f- 1. Если бы р делило первые An — 1 первых разностей 22П - 1, 32п - 22П, . . ., (АпJп - — (An — 1Jп, то оно делило бы и первые An — 2п 2п-х разностей, что не имеет места. Следовательно, р не делит хотя бы одну из этих An — 1 первых разностей, что и требовалось показать. В важном письме 1658 г. к Дигби, опубликованном в собрании работ Валлиса и потому, вероятно, известном Эйлеру, Ферма
2.4. Эйлер о суммах двух квадратов 67 [1'4] утверждает, что он иолучил неопровержимые доказательства (fiirnissimus demonstrationibus) следующих утверждений: (а) каж- дое простое число вида An + 1 является суммой двух квадратов; ф) каждое простое вида Зп -f- 1 нредставимо в виде a2 -J- ЗЬ-, (с) каждое простое вида 8п + 1 или 8п -\- 3 представимо в виде a2 -J- 262 и (d) каждое число является суммой трех или меньше треугольных чисел, четырех или меньше квадратов, пяти или меньше пятиугольных чисел, и т. д. Эйлер жаждал доказать пос- леднее из этих утверждений — особенно в той части, где говорится, что каждое число представимо в виде суммы не более четырех квадратов, поэтому для него было естественным попытаться исполь- зовать методы, которыми он доказал первое из этих утверждений, для доказательства остальных, Он обнаружил, что (с) и (а) но-нреж- пему недостижимы для пего, однако утверждение (Ь) можно дока- пать почти так же, как (а). Главное различие между доказательствами утверждений (а) и (Ь) состоит в рассмотрении простого числа 2. Заметим, что для представлений чисел в виде а2 + ЗЬ- утверждение D) неверно. Действительно, I2 -f- 3 *12 делится на 2, но 2 не представимо в виде а~ -f- ЗЬ2. Заметим также, что если доказательство утверждения D) применить к представлениям в виде о2 ч- ЗЬ2. то неравенство zx < (х/2J + (x/2f = х2/2 заменится на %х < (х/2J + 3 (х/2J = = х2. Таким образом, z =s^ x и отсутствует строгое неравенство, которое требуется для осуществления спуска. Однако если х нечетно, то неравенства | с | ^ х/2, | d | ^ х/2 превращаются в строгие неравенства | с \ < х/2, | d \ < х/2, и получается тре- буемое неравенство ъ < х. Доказательство аналога утверждения D) для представлений в виде а2 -\- ЗЬ2 можно провести следующим образом. A') Произведение двух чисел, каждое из которых можно пред- ставить в виде а2 -\- ЗЬ2, само представляется в таком виде. Это утверждение следует из тождества (a2 -f- ЗЬ2) (с2 + 3d2) = (ас — - 3bdJ + 3 (ad + beJ. B') Если число вида а2 -\- ЗЬ2 делится на 2, то оно должно де- литься на 4, и частное от деления на 4 само должно иметь вид с- -+- 3d2. Если а и Ъ имеют противоположную четность, то а2 -f ЗЬ2 не делится на 2. Если а и Ъ четны, то а2 -\- 3bz делится па 22, и част- ное имеет вид с2 + 3d2, где с = а/2, d = 6/2. Наконец, рассмотрим случай нечетных а и Ъ. Тогда а = Am ±1и& = 471 + 1 при соот- ветствующем выборе чисел т и п и знаков. Следовательно, либо a -f- Ъ, либо а — Ъ делится на 4. Если а + Ъ делится на 4, то 4 (а2 + ЗЬ2) = (I2 + 342) (а2 + 362) = (а — ЗЬJ + 3 (a -f- b)e делится на 42. Действительно, а — ЗЬ = (a -f- Ъ) — 46. Отсюда следует, что (а2 + 362)/4 имеет вид с2 + 3d2. Если а — Ъ делится па 4, то к такому же выводу можно прийти, используя представле- ние 4 = (—IJ + 3-12 вместо 4 = I2 + 3-12.
68 Гл. 2. Эйлер C') Если число вида a2 -j- ЗЬ2 делится на простое вида р- -f- 4- Зд2, то частное представимо в виде с1 -j- 3d2. Основной шаг в доказательстве утверждения снова состоит в замечании, согласно которому (рЪ — aq) (pb 4- aq) = p2b2 4- 3</262 — 3</2&2 — a2g2 = = 62 (p- + 3g2) — g2 (a2 + 362) делится на p- + 3g2. Ho /r + 3q- — простое, следовательно, либо pb — aq, либо pb 4- a? делится на p2 -f- Зд2. Таким образом, при правильном выборе знака (р2 4- 3q2) (а2 4- 36я) = [р2 4- 3 (±?J1 (а2 4- 362) = (р« ¦+ 3qbJ+ 4- 3 (рб + aqJ можно разделить па (р2 4- Зд2J; отсюда следует, что (а2 4- Sb2)/(p2 4- 3</2) имеет требуемый вид. D') Если число, которое можно записать в виде а2 -{- ЗЬ'~, имеет нечетный делитель, не представимый в таком виде, то и частное име- ет нечетный делитель, который не представим в таком виде. Нустъ ху = а2 4- 2>Ъ2, где х печетио. Если у четно, то. согласно B'). оно делится на 4 и а; (г//4) = с2 4- 3d2. Этот процесс можно продол- жать до тех пор, пока y/Ah не станет нечетным. Следовательно, у — PlP2 • • • Рп> гДе каждое из чисел ри . . ., рп либо равно 4, либо является нечетным простым. Если все нечетные простые, входящие в это разложение числа у, можно записать в виде с" 4- 4- 3d2, то ху = а2 4- 362 можно последовательно разделить па каждое из чисел pt, . . ., рп и из утверждений B') и C') мы полу- чим, что х можно представить в виде с2 4- 3d2. Следовательно, если х непредставимо в таком виде, то у должно иметь нечетный дели- тель, который также нельзя представить в виде с2 4- 3d2. E') Если а и Ъ взаимно просты, то каждый нечетный делитель числа а2 4- ЗЬ2 представим в виде с2 4- 3d2. Пусть х — нечетный делитель числа а2 4- 362. Тогда а = тх ± с, Ъ = пх ± d, где | с | < х/2, | d | <Z х/2 (здесь использована нечетность х). Число с2 4- 3d2 делится на х, скажем с2 4- 3d2 = ху. где у < х. Ни один общий делитель чисел cud. больший 1, не может делить х, по- скольку в этом случае а и Ъ не были бы взаимно простыми. Следо- вательно, обе части равенства с2 4- 3d2 = ху можно сократить па квадрат наибольшего общего делителя с и d и получить е'1 4- З/2 = = xz, где ей/ взаимно просты. Если х нельзя представить в виде а2 -\- ЗЬ2. то, согласно D'), z имеет нечетный делитель (обозначим его xd), который также непредставим в таком виде. Следовательно, существование нечетного числа х, делящего число вида а2 4- ЗЬ2 (где а и Ъ взаимно просты) и непредставимого в таком виде, влекло бы за собой существование меньшего числа w с теми же свойствами. По принципу бесконечного спуска отсюда следует требуемое заключение. Каждое простое, кроме 3, имеет вид Зп 4- 1 или Зп 4- 2. Число вида Зп 4- 2 нельзя представить в виде а2 4- ЗЬ2. Действительно, если а2 4- ЗЬ2 не делится на 3. то а не делится на 3, а = Зт + 1, и а2 4- ЗЬ2 па 1 больше некоторого кратного числа 3. Таким обра- .зом, согласно E'). нечетное простое, которое делит число вида
2,4. Эйлер о суммах двух квадратов 69 а* _- 36'2 при взаимно простых а и Ъ, не представляется в виде ;3н -|- 2. Если а и Ъ не взаимно просты, то a2 -f- 362 = d2 (e2 -(- З/2), где d — их наибольший общий делитель и числа ей/ взаимно просты. Таким образом, число вида a2 -f 362 можно записать в виде произведения квадрата на число, не имеющее нечетных про- стых делителей вида Зп -\~ 2. Согласно B'), входящая в разложе- ние а1 -|- 362 стенень простого числа 2 является некоторой сте- пенью числа 4 и, следовательно, квадратом. Таким образом, необ- ходимое условие представимости данного числа в виде a2 -j- ЗЪ2 состоит в том, что частное от деления этого числа на наибольший содержащийся в нем квадрат не имеет простых множителей вида он -J- 2, Для доказательства достаточности этого условия нужно только доказать следующее: F') Каждое простое вида Зп -\- 1 представимо в виде a- -f 2>Ъ2. Как и раньше, по теореме Ферма, простое р — Зп -}- 1 делит р — 2 разности чисел 1, 23", З3", . . ., (р — IK". Каждую из этих раз- ностей можно разложить на множители: а3п — Ь3п = (ап - - Ьп) X X (а2п -}- anbn -f- Ъ2п). Поскольку а или Ъ четно, второй множитель можно записать в виде А2 + Л BВ) -f B11)* = (А + БJ + Зй2 со взаимно простыми А и В. Следовательно, согласно E'). если р не делит р — 2 разности чисел 1, 2П, 3™, . . ., (р — 1)п, то оно обязательно имеет вид с2 -j- 3d2. Если бы р делило р — 2 разности этих чисел, то оно делило бы и и!, что невозможно. Следовательно, р должно иметь вид с2 -f 3d2, что и требовалось доказать. Применение тех же рассуждений к представлениям в виде а'" + 2Ъ2 позволяет доказать следующее утверждение: для того чтобы данное число было представимо в виде a2 -f 2b2, необходимо, чтобы частное от деления этого числа на наибольший содержащий- ся в нем квадрат не имело простых делителей вида 8п -| 5 или Нп -л- 7. Для доказательства достаточности этого условия нужно только показать, что все простые вида 8п -\- \ или 8п -f 3 можно представить в виде а2 + 262. Именно это последнее утверждение, аналогичное F'), Эйлеру не удалось доказать; впервые его дока- .чал Лагранж. (Доказательство приведено ниже в упр. 6 и 7.) i пражнения 1. Предположим, что некоторое простое представило i виде а2 + б2. Докажите единственность такого представления. [Используйте доказатель- ство утверждения B).] Справедливо ли это утверждение для простых вида а2 + 262 или а2 + 362? 2. Докажите, что ге-е разности от хп равны ге! (и, следовательно, все более высокие разности тождественно равны нулю). [Докажите, что первая разность от мпогочлена ге-й степени является многочленом (ге — 1)-й степени.] 3. Используя арифметику иррациопальностей, получите формулу (а2 + 362) (с2 + 3d2) = {ас — 3bdJ + 3 (ad + 6сJ. Проделайте то же самое ч выведите аналогичную формулу для чисел вида а2 -\- kd2.
70 Гл. 2. Эйлер 4. Докажите, что каждый делитель числа вида а2 — 262 при взаимпо простых а п b представим в таком же пидо с2 — 2<Р. 5. В § 1.7 было замечено, что 21 представимо в виде а2 -\- 562, но ни 3, ни 7 не нредставимы в таком виде, Найдите, в каком месте перестают работать методы данного параграфа, если попытаться примепить их для доказатель- ства утверждения, согласпо которому каждый делитель дапного числа вида а2 -\- ЬЬ2 со взаимно простыми а п Ь представим в виде с2 -\- bd2. 6. Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8ге + 3 представимо в виде а2 -\- 2Ь2, Пусть р — 8ге + 3 — простое число. Через х обозначим целое (р + 1)/2. 'Гак как х8п+2 — 1 делится па р, то хЯп {р -\- IJ — — 4 делится на р и, следовательно, {xin — 2) (,r4n + 2) долится на р. Исполь- зуя упр. 4, покажите, что р не может делить х*п — 2, Следовательно, р делит х4" + 2, Заключите отсюда, что р — а2 -\- 262. 7. Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8ге + 1 нредставимо в виде а2 + 2Ь2. Пусть р — 8ге + 1 — простое. Последователь- ные разности чисел 1, 28», З8", 48", . . , можно разложить в произведения asn — ьы = (а4п — j4nj (а4п _|_ bin), и второй мпожитель можно записать в виде (а2п — б2"J -\- 2 (anbnJ. Доказательство получается иа этих замеча- ний при помощи методов данпого параграфа. 8. Покажите, что эйлерово доказательство утверждения B) можпо полу- чить при попытке произвести деление {а-\- Ъ ]/ — i)/(p ±q V —1). 9. Дайте другое доказательство утверждения E), показав, что сравпе- ние (,г + IJ" — х2п == 0 (mod p) имеет не более 2ге различных корней по моду- лю р (в действительности число корней пе превосходит 2ге — 1), Вообще, если хотя бы одип коэффициент многочлена / (,г) степени т не сравпим с пулем по модулю р, то сравнение / (х) = 0 (mod р) имеет пе более т различных решений, [Не ограничивая общности, можпо предположить, что старший коэффициент / (х) не сравпим с нулем по модулю р. Если г — произвольное решение сравнения /(r)sO (mod р), то / {х) — {х — г) q (х) -\- с, где q (x) — многочлен степени т. — 1, старший коэффициент которого совпадает со стар- шим коэффициентом мпогочлепа j(x), ас — целое число, сравнимое с пулем но модулю р. Каждое решение s сравпепия / («) = 0 (mod p) (за возможным ис- ключением s = г) является решением сравпения q (s) = 0 (mod p). При т --¦ 0 доказываемое предложение, очевидно, справедливо,] 10. В § 1,8 было указано, что все простые делители числа 232 + 1 сравпимы с 1 по модулю 64, так что 641 является только пятым простым, которое может делить 232 + 1. Покажите, что в действительности простые делители числа 232 -]- 1 должны быть сравпимы с 1 по модулю 128, так что 641—только второе простое число, подлежащее рассмотрению. [Пусть р — простой делитель числа 232 + 1- Так как р =з 1 (mod 64), то р делит х2 — 2 для некоторого х. Но хР-1 =з 1 (mod p), поэтому предыдущие рассуждепия показывают, что 64 делит (р — 1)/2.] 11. Разложите 232 — 1 на простые делители и получите отсюда, что 257 лит 232^+]1. [Здесь не требуется никаких вычислений.] 2.5. завершение ц>:« ательства Последней теоремы Ферма при и = 3 Идея Эйлера проводить вычисления с «числами» вида a -f -Ь Ь\/ —с тесно связана с использованием формулы (х- -f- СУ2) (и2 + cv2) = (хи — cyvJ -J- с (xv + уиJ, которая неоднократно встречалась выше. Эта формула утверждает следующее. Предположим, что целое число Л является ироизве-
2.5. Завершение доказательства при п ~ 3 71 пишем целых В п С, представимых в виде a2 -j- cb2, скажем В = ,v хг 4- С*Л С — u2 -f су2. Тогда Л тоже можно записать в таком виде, используя для нахождения а и Ъ формулу а -\- &]/—с — = (я -г */У~с) (и -г v\/^c). Лемма, необходимая для доказательства Последней теоремы Ферма при п — 3. утверждает, что если а и Ъ взаимно просты II а- -\- ЗЬ2 является кубом, то a -f- 6|/—3 ¦=(/>-!- 9К —ЗK при некоторых целых р vi q. Для доказательства этого утверждения естественно продолжить рассуждения Эйлера лишь на один шаг дальше и «разложить» а -}- ^У^—3 следующим образом. A) Если а и Ъ взаимно просты и a2 -J- ЗЬ2 — четное число, то a -J- &1/"—3 можно записать в виде при соответствующем выборе знака и целых и, v. Поскольку а2 4- ЗЬ2 четно,'а и Ъ должны быть числами одинаковой четности; но они взаимно просты, следовательно, они должны быть нечет- ными. Таким образом, каждое из пих имеет вид 4и + 1 и либо а -{- Ь, либо а — Ъ делится на 4. Если а -\- Ъ делится на 4, то ра- венство 4 (а2 + ЗЬ2) = (I2 + 3 -I2) (а2 + ЗЬ2) - (а - ЗЬJ + 3 х X (a -f ЪJ можно разделить на 42 и представить (а2 -|- 362)/4 л виде и2 -f 3v2, где и = (а — 36)/4, у = (a -f 6)/4. Заметим, что последпие соотпошения эквивалентны равенству и -j- уУ —3 = — (а 4- ^У^—2) A 4- V^—3)/4; поэтому они позволяют выразить аи?? через м и v и получить, как и требуется, A — У —3) X X (и 4- у|/—3) = а 4- ^К—3. Аналогично, если а — Ъ делится на 4, то а -\- Ъ\[—3 - A 4 V—3) (и 4- v\/—3) при подходящих и и v. При этом и и v взаимно просты (поскольку в противном слу- чае а и Ъ не были бы взаимно простыми) и а2 -\- ЗЬ2 = 4 (и1 -| 3i;2). B) Если а и Ъ взаимно просты и а2 -\- ЗЬ2 делится на нечетное простое Р, то Р можно представить в виде Р = р2 4- 3<?2 с поло- жительными целыми р и q, a a -\- b\f—3 представимо в виде а 4- 4- Ъ\/ —3 = (р ± q\/ —3) (и 4- v\f—3) при соответствующем вы- боре знака и целых и и v. Первое утверждение, согласно которому Р = р2 4- 3?2? совпадает с утверждением E') из предыдущего пара- графа. Как и в доказательстве Эйлера, либо pb -\- aq, либо рЪ — — aq делится на Р. Если pb -\- aq делится на Р, то обе части равенства Р (а2 -+- ЗЬ2) = (р2 + 3q2) (а2 + 31г) = (ра — 3qb)- + 4- 3 (pb 4- я?J можно разделить на Р2 и записать (а2 4- ЗЬ2)/Р и виде и2 4- 3v2, где и =¦ (ра — 3qb)/P и v = (pb -j- aq)/P, т. е. и4- v V=3 ~- (p + q V^3) (a + b 1^=3)/P.
72 Гл. 2. Эйлер Тогда умножение на р — qY—3, как и требуется, дает {р — qY—3) (и -f- vY—3) = a -f- bY—3. Аналогично, если рЬ — — aq делится на Р, то a -f- bY—3 = (р 4- q}/ —3) (it + yj/ —3), Здесь снова и и i> взаимно просты и а2 -\- ЗЬ2 =¦- Р (м.2 -|- 3i>2). C) Пусть а и Ъ взаимно просты. Тогда a -f bY —3 можно запи- сать в виде а + Ъ К^З = ± (Pi ± qt V=z) (р2 + ?2|/^3).. .(Рп ± qn j/ = 3)r где Pi и qt — положительные целые и р\ -\- 3q\ равно либо 4, либо нечетному простому числу. Если а2 + 3&2 четно, то оно делится на 4, Если a2 -f 3&2 Ф 1, то это число имеет делитель Р, равный либо 4, либо нечетному простому, и из утверждения A) или B) следует, что а -\- Ь~\/—3 = (р ± qV—3)-(и -f v\/ —3). где р2 + + Зд^ = Р. Тогда и и v взаимно просты, и задача выделения мно- жителя р ± qY—3 из и -f vY—3 совпадает с задачей выделения такого множителя из a -J- &]/ —3, за исключением того обстоя- тельства, что и2 + 3i>2 = (а2 -)- ЗЬ2)/Р меньше а2 -\- ЗЬ2. Повторе- ние этого процесса приведет в конце концов к выражению вида где и2 + 3v2 = 1. Тогда и = ±1, v = 0, и + ^/"^ = ±1, и разложение завершено. D) Пусть а и Ъ взаимно просты. Тогда множители в приведен- ном выше разложении а ~\- ЪУ —3 однозначно определены (с точно- стью до выбора знаков) тем обстоятельством, что (ргг -(¦¦ 3qf) X X (pi -f 3ql) . . . (р*п -j- 3ql) — a2 -f 3&2 является разложением a2 -f- 3b2 на нечетные простые множители и множители, равные 4. Кроме того, в это разложение может входить только один из множителей р -f- ?|/—3 или р — qY—3. Для доказательства пер- вого утверждения следует показать, что р2 -f- 3q2 = Р определяет р и q с точностью до знака; здесь Р = 4 или Р — нечетное простое. При Р = 4 это утверждение очевидно. Пусть Р — нечетное про- стое. Если бы a2 -f- 3b2 было другим представлением простого Р. то, согласно B), и Р =_Р_(ы2 + Зу2), т. _e^_u2 -f- 3i;2 = 1, и = ±1, у = 0, а + -f- 6|/—3 = zfc^ ± ^У^—3), что и требовалось показать. Второе утверждение следует из того, что множители р -f qY—3 ир — — qY—3 в произведении давали бы множитель р2 + 3#2. а это при взаимно простых а и Ъ невозможно. Теперь легко доказать лемму, которая требуется для заверше- ния эйлерова доказательства Последней теоремы Ферма при п = 3.
2.5. Завершение доказательства при п = 3 73 2 Лемма. Пусть а и Ъ — такие взаимно простые числа, что а _f- ЗЪ2 является кубом. Тогда существуют такие целые р и q, что Доказательство. Пусть а2 -f- ЗЪ2 = РуР2 ... Рп — такое раз- ложение числа a2 -f ЪЪ2 на множители, равные нечетным простым пли 4, как в утверждении D). Если это разложение содержит и точ- ности к множителей, равных 4, то 22к является наибольшей сте- пенью числа 2, которая делит a2 -f 3b2, а поскольку a2 -j- 3&а является кубом, отсюда следует, что 2/с, а потому и к делятся на 3. Кроме того, любое нечетное простое Р должно входить в это раз- ложение с кратностью, делящейся на 3. Следовательно, п делится; на 3 и множители Рг, Р2, . . ., Рп можно сгруппировать таким1 образом, что Pgh+i = Рзь + 2 == Р 3h+3~ Отсюда вытекает, что и разложении числа a -f- ЪУ—3, полученном в утверждении C), множители, соответствующие каждой группе из трех чисел Р, совпадают, поскольку единственной альтернативой является выбор- знака в р ± qY—3, а числа с различными знаками не могут одно- временно входить в это разложение. Если из каждой такой группы из трех множителей выбрать один и выбранные числа перемножить,, то мы получим такое число с -f- d|/—3. что а -\- ЪУ—3 =¦ = ±{с 4- &Y—ЗK. Так как —(с 4- d|/—ЗK = (—с — dj/—З)8,. отсюда следует требуемое заключение. Упражнения 1. Для доказательства следующего утверждения требуется только незна- чительная модификация проведенных выше рассуждений. Пусть а и Ъ — вза- импо простые числа; предположим, что а2 + 2Ь2 является кубом. Тогда суще- ствуют такие целые р и q, что а + Ь У—2 = (р -\- q У—2K. Используйте- это предложение для доказательства утверждения Ферма, согласно которому единственным решением уравпепия х2 -\- 2 = у3 в целых числах является 52 -|- 2 = З3. 2. Аналогично, пусть а и 6 взаимно просты," предположим, что а2 + Ь2' является кубом. Докажите, что а + ЬУ—1 = (р + q У—IK. Доказатель- ство этого утверждения при а = 0, 6=1 требует особого внимания. Дока- Жите, что единственным решением уравпения х2 + 4 =-¦ xj3 в целых числах при нечетном х является 112-|-4=53. [Это доказательство и доказательство упр. 1, по существу, предложены Эйлером, одпако Эйлер, кажется, не заме- тил того, что этот метод решения уравнения а2 -\- Ь2 — куб предполагает взаимную простоту а и 6. Поэтому его доказательство того, что х = 4, 11 являются единственными решениями уравнения х2 -\- А — у3, неполно.] 3. Дополните доказательство утверждения о том, что II2 + 4 = 53" и 22 + 4 = З3 являются единственными решениями уравнепия z2-f4 = у3) доказав, что если х2 + 4 = у3 и х четно, го х = +2. [Дапное уравнение1 приводит к_уравнению и2 + 1 = 2Л Используйте делепие числа и + У~~~1 па 1 + У—1 для того, чтобы записать у3 = (и2 + 1)/2 в виде суммы двЗ* квадратов, скажем а2 -\- Ь2. Поскольку а и Ъ отличаются па 1, они взаимно-
74 Гл. 2. Эйлер просты п можно получить равенство 1 = (р + q) (р2 — Apq -\- q2), где р и q целые. Таким образом, р -\- q — р2 — ipq -\- q2 — +1 и —6pq = 0 или —2. Следовательно, р или q должпо равпяться 0, что приводит к х = +2.] 4. Докажите, что в утверждении C) самое большее одно из чисел р\ + -\- 3<7; равно 4. 5. Найдите все представления в виде а2 + ЗЬ2 (а, Ь — не обязательно взаимно простые) следующих чисел: (а) 91; (Ь) 49; (с) 336. 2.6. Дополнение о суммах двух квадратов В одном письме от 1654 г. Паскалю IF3], которое почти навер- ное не было известно Эйлеру, Ферма сформулировал некоторые свои теоремы, среди которых была теорема о представимости каж- дого простого числа вида 4тг -f- 1 в виде суммы двух квадратов. Список приведенных в этом письме теорем почти совпадает со спи- ском теорем из упомянутого выше письма к Дигби (§ 2.4), однако есть и важное различие. В письме к Паскалю Ферма дополнитель- но ставит задачу нахождения разложений в виде суммы двух квад- ратов, а именно: «для любого данного простого числа такого вида, скажем 53, найти по общему правилу два квадрата, из которых это число составлено» (курсив наш). Конечно, такое разложение всег- да можно найти методом проб и ошибок (в примере Ферма решение таким методом: 53 — 4 + 49 — получается почти мгновенно). Ясно, однако, что Ферма придавал особую важность нахождению более методичного и эффективного способа. Доказательство Эйлера является косвенным; оно использует рассуждение от противного, которое показывает, что если бы про- стое число вида 4тг + 1 не было суммой двух квадратов, то можно было бы указать бесконечно убывающую последовательность положительных целых чисел. Следовательно, это доказательство не решает предложенную Ферма задачу нахождения конструктив- ного метода. Однако, как часто бывает в таких ситуациях, более тщательный анализ этого доказательства от противного показы- вает, что его можно видоизменить и получить конструктивное дока- зательство, причем эта модификация придает и самому доказа- тельству большую ясность. Предложение E) из доказательства Эйлера вполне конструк- тивно. В нем утверждается, что для простого числа 4тг -f- 1 по крайней мере одно из чисел 12n -f- 22п, 22п -f- 32п. . . . . . ., Dтг — 1Jп -+- DтгJп делится на 4тг -(- 1. В примере Ферма 4/г J- 1 = 53 легко проверить, что уже первое число 1 -f- 2м из этого списка делится на 53. В обозначениях для сравнений *) находим: 26 = 64 = 11 (mod 53), 212 = 112 = 121 = 15 (mod 53), 213 = 2 -15 = 30 (mod 53), 226 = 900 = —1 (mod 53); следователь- но, 226 -J-- 1 делится на 53. То обстоятельство, что 53 делит 226 -f 1, используется в доказательстве Эйлера для того, чтобы показать, :) См. приложение, § А.1.
2.6. Дополнение о суммах двух квадратов 75 что 53 делит сумму двух квадратов. Приведенные выше вычисления дают в явном виде сумму двух квадратов, делящуюся па 53, а именно 302 4- 1 = 17 • 53. В предложении D) Эйлер приходит к заключению, что 53 должно' быть суммой двух квадратов, поскольку в противном случае возникла бы конструкция беско- нечного спуска. Задача состоит в том, чтобы дать прямое доказа- тельство этого утверждения, не прибегая к доказательству от противного. В общем случае при р — 4тг 4- 1 методом Эйлера можно найти представление a2 4- b- -- kp, где а и Ъ взаимно просты и k <Z p. Грубо говоря, задача состоит в том, чтобы найти какой-нибудь способ, позволяющий сократить обе части этого равенства па к. Эйлерово доказательство утверждения B) показывает, как делить на простые числа, которые являются суммами двух квадратов. Легко показать, что каждый простой делитель числа a" 4- Ъ2 либо равен 2, либо имеет вид in -f- 1 (см. упр. 2 из § 1.8); поэтому мож- но делить на к, если разложить число к на простые множители, представить каждый такой множитель в виде суммы двух квадра- тов и делить на каждый такой множитель в отдельности. В рас- сматриваемом случае число к = 17 само является простым, и его очень легко записать в виде суммы двух квадратов, а именно 17 = Г2 -|- 42. Процесс деления состоит в том, чтобы записать 17.17. 53 ¦-= A24-42) C0а 4- I2) ~= C0 =F 4J -|- A + 120J и вы- брать знаки таким образом, чтобы сделать возможным деление па 17. Как и требуется, это дает 53 = C4/17J 4- (И9/17J = = 22 4- 7а. Этот метод сводит задачу представления простого числа р в виде суммы двух квадратов к задаче представления меньших простых вида 4/г -|- 1, а именно простых делителей числа к, в виде суммы двух квадратов. Возможно, это и есть тот самый метод, который имел в виду Ферма, когда описывал свое доказательство при помощи бесконечного спуска следующими словами: «Если бы выбранное простое число, которое на единицу больше некоторого числа, делящегося па 4, не было суммой двух квадратов, то суще- ствовало бы простое число такой же природы, меньшее заданного, а затем еще и третье, и т. д., бесконечно убывая до тех пор, пока не будет достигнуто простое число 5, которое является наименьшим из всех чисел такой природы; отсюда следовало бы, что 5 не яв- ляется суммой двух квадратов, что не соответствует действитель- ности. Отсюда сведением к абсурду следует заключить, что все числа такой природы являются суммами двух квадратов». (Пись- мо к Каркави [F5].) Однако этот метод приводит к очень длинным вычислениям, так как требуется определить, будет ли число к простым (что всегда является трудным процессом), разложить его на множители (если :>то возможно) и представить каждый множитель в виде суммы двух
76 Гл. 2. Эйлер ^ квадратов. В общем случае значительно лучший метод состоит в сокращении на к ценой умножения на некоторое меньшее число п (вместо к). Это можно сделать следующим образом. Как и в эйле- ровом доказательстве утверждения D), воспользуемся равен- ством a2 -f Ъ2 = кр для нахождения меньшего числа, кратного р и предетавимого в виде суммы двух квадратов. Для этого запишем а -¦ дгк ± с, Ъ =¦¦ q2k ± d и заметим, что к должно делить с2 4- d2, скажем с2 -j- dr — пк. Поскольку | с | ^ к/2, \ d | <; к/2, мы полу- чаем, как и раньше, что п ^ к/2. Кроме того, пккр — (с2 - d2) x X (a2 4 &2) — (са + й^J + (cb ± daJ. Паша цель состоит в том, чтобы разделить обе части этого равенства на к2, иоскольку к не обязательно простое, здесь нельзя применить использованный раньше метод доказательства делимости cb -\- da или сЪ — da на к. Однако можно воспользоваться более простым методом. Заметим, что сЪ ± da — с (q2k ± d) ± d (дгк ± с) делится на к, если знаки выбрать таким образом, что слагаемые ±cd ± dc взаимно уничто- жаются. Следовательно, обе части этого равенства можно разде- лить на к2: что приведет к представлению пр в виде суммы двух квадратов. Если п — 1. то р уже записано в виде суммы двух квадратов. В противном случае этот процесс можно повторить и получить целое число т ^ п/2 и представление тр в виде сум- мы двух квадратов. Продолжая этот процесс, мы должны в конце концов прийти к представлению р в виде суммы двух квадратов. В примере 302 + I2 = 17. 53 имеем с = -4, d = 1. 42 4- I2 = = 17. и это тот же процесс, что и выше. В качестве второго приме- ра рассмотрим случай р = 229. На первом шаге надо вычислить 2114 по модулю 229. Здесь 28 =- 256 = 27 (mod 229); 216 = 272 = = 729 == 42 (mod 229); 232 = 422 = 1764 = —68 (mod 229); 264 = = 682 = 4624 = 44 (mod 229); 296 = (—68) D4) =¦ -2992 = = -15 (mod 229); 2112 = (-15) D2) = -630 = 57 (mod 229); 2m = 4-57 = —1 (mod 229). Следовательно, 229 делит B57J + -f- l2. и в дальнейших вычислениях нет необходимости. Затем найдем 2" по модулю 229: 248 = (—68) D2) = —2850 = -108; 25в = (_Ю8) B7) =; —2916 = —168 = 61; наконец, 257 = ^ 122 (mod 229). Теперь прямое вычисление дает 1222 -|- 1 = =- 65-229. что служит началом процесса. На первом шаге с = = 122 — 2-65 = —8 и d = 1, поэтому 82 + I2 = 65. Тогда 65-65-229 = (82 + I2) A222 + I2) = (976 + IJ + (8 ± 122J, от- куда 229 = (975/65J + A30/65J = 152 + 22 2). Совершенно аналогичную процедуру можно использовать для нахождения представления простого числа вида 3?г + 1 в виде a2 -L ЗЬ2. На первом шаге надо найти 2я "по модулю р. Если 2™ на единицу больше некоторого кратпого р, то р делит 2" — 1 и следует вычислить 3" по модулю р. В^копце концов мы должны *) ДРУГОИ метод решения уравнения р = аг -\- Ь2 указан в упр. 9 к § 7.10.
2.6. Дополнение о суммах двух квадратов 77 прийти к такому целому с, что сп не является числом, на единицу Гшлыпим некоторого кратного р, но этим свойством обладает ;,- — 1)". Тогда, поскольку р делит с3" — (с — IK", то р должно делить с2п -j- сп (с — l)n -f- (с — 1J/г; последнее число имеет вид '/- + 3&2. Таким образом, a2 -f- 3b2 = kp, и можно добиться вы- полнения неравенства к ^ р. Если а и Ъ четны, то их можно со- кратить па степени числа 2. Если оба они нечетны, то 4 делит ¦ г -f ЗЬ2, и можно воспользоваться следующим методом сокра- щения па 4: —^ = Г~^—) +^ ( ^ ) , гДе знаки выбра- ны таким образом, что 4 делит а + Ъ. Это сводит задачу к случаю а2 + 36'" = кр, где а и 6 — числа противоположной чет- ности. Если к — 1, то задача решена. В противном случае а можно привести к с по модулю к, а Ъ привести к d и нолучить с~ -г 3d2 = njt, где п <Ск (поскольку к нечетно). Тогда при соот- ветствующем выборе знаков можно сократить обе части равенства иккр = (ас + 3bdJ + 3 (ad ± beJ на /с2 и по лучить ир = е2 -\- З/2. Если п Ф 1, то можно снова воспользоваться приведением — чо тех пор, пока мы не получим р = g2 + 3/i2. Например, рассмотрим случай р = 67. На первом шаге надо вычислить 222 по модулю 67. Это очень просто: 26 = 64 == —3, 21S = 9, 218=-27, 219=-54 = 13, 221 = 52 =-15. 222 = = —30. Таким образом, 222 — 1 не делится на 67, а 244 + 222 + 1 должно делиться. Но244 + 222 + 1 = з(у222J + (у222 + lJ = = 3 B21J + B21 + 1J- Поскольку 221 = —15, отсюда следует, :п-о 3-(—15J -г (—14J должно делиться на 67. Прямое вычисле- ние дает: 3-152+ 142 = 871 = 13 «67. Приводя 15 и 14 по моду- лю 13. получаем 3-22 + I2 = 0 (mod 13); в действительности 3-22 + 12 = 13. Следовательно, 13-13-67 = (I2 + 3-22) A42 + ¦f 3-152) -= A4 + 3- 30J + 3 A5 ± 28J, 67 = A04/13J 4- 4- 3 (-13/13J = 82 + 3-12. Последняя часть этой процедуры применима в случае задачи представления простых в виде a2 -j- 262. Если можно найти число нида а2 4- 262, делящееся на р, то аналогичная процедура позво- ляет найти представление самого числа р в таком виде. При этом недостает лишь метода построения при данном простом р вида р = 8п 4- 1 или р = 8п 4- 3 числа вида а2 + 262, делящегося на р. Конструктивный метод такого построения приведен в упр. 6 и 7 к § 2.4. Упражнения 1. Запишите 97 в каждой^из трех форм а2 + Ь2, а2 + ЗЬ2, а2 + 2Ь*- 2. Запишите 93 в каждой~из трех форм упр. 1. 3. Запишите 7297 во всех трех формах. 4. В статье Якоби [Щ содержатся обширные таблицы представления простых в виде а2 + Ь2, а2 + 2Ь2 и а2 -\- ЗЬ2. Просмотрите эти таблицы и выведите несколько приведенных в них представлений.
Г лава 3 ОТ ЭЙЛЕРА ДО КУММЕРА 3.1. Введение Когда Эйлер в письме Гольдбаху от 4 авг. 1753 г. говорил, что ему удалось доказать Последнюю теорему Ферма и случае п = 3, он отметил, что это доказательство представляется ему совершенно отличным от того, которое было в случае п — 4, и что доказа- тельство общего случая кажется весьма далеким. Б последующие 90 лот было получено еще несколько — очень немного—частных случаев и частичных результатов, но общий случай все еще казал- ся абсолютно недостижимым. Затем, в 1840-е годы, Куммер развил свою теорию идеальных делителей и с ее помощью получил новые глубокие результаты, касающиеся Последней теоремы Ферма, которые породили надежду, что и сам общий случай вскоре будет доказан. Эта глава посвящена наиболее важным результатам, получен- ным в течение этого девяностолетнего периода. В § 3.2 формули- руется и доказывается теорема Софи Жермен, § 3.3 посвящеп доказательству Последней теоремы Ферма в случае п = 5, полу- ченному Лежандром и Дирихле, а § 3.4 — нескольким замечаниям о доказательствах, которые получили Дирихле и Ламе в случаях гс — 14 и п —• 7 соответственно. Теорема Софи Жермсп имеет важное значение, и хотя позже она была обобщена и улучшена, она не была ничем заменена со времени ее открытия. В то же вре- мя доказательства случаев п = 5 и п = 7 были заменены дока- зательствами Куммера Последней теоремы Ферма для «регуляр- ных простых» (а случай п = 14 — более общим случаем п = 7). Сейчас они представляют интерес лишь как примеры того, что можно сделать более элементарными средствами, не обращаясь к теории идеальных делителей, и как развитие теории привело к великим открытиям Куммера. Хотя на протяжении этого периода прогресс на пути к доказа- тельству Последней теоремы Ферма был невелик, развитие теории чисел в целом достигло громадных успехов. В эту эпоху жили трое из крупнейших за всю историю теоретиков в области чисел — Лагранж, Лежандр и Гаусс. Лагранж был уже упомянут выше как в связи с решением урав- нения Пелля (§ 1.9), так и в связи с доказательством того, что каждое число может быть записано в виде суммы четырех квадра-
3J. liведение 79 тов (§ 2.4). Выдающиеся сиособности Лагранжа были признаны Эйлером, когда Лаграиж был еще совсем молод, и сотрудничество между ними было весьма плодотворным. Когда Эйлер оставил двор Фридриха Великого, чтобы в 1766 г. вернуться в Россию, Лагранж заменил его в Берлине. Более того, когда в 1783 г. Эйлер умер, Лагранж бесспорно занял его место крупнейшего европей- ского математика. Подобно Эйлеру, он был необычайно разпосто- ронен. Ему принадлежат фундаментальные результаты в небесной механике, вариационном исчислении, алгебре, анализе и т. д., по, как и у Эйлера, в его работах видна особая любовь к теории чисел. Лежапдр — которого из-зэ имени легко спутать с Лагранжем — определенно не достиг уровня Эйлера и Лаграшка, но был прекрас- ным математиком, проделавшим важную работу в широком разно- образии областей, особенно в теории эллиптических функций, алгебре и теории чисел. Но еще важнее, быть может, то, что он был очень плодотворным автором, работы которого охватили боль- шой диапазон тем и достигли широкой аудитории. Его «Теория чисел» (Theorie des Nombres), впервые опубликованная в 1798 г., выдержала несколько изданий и оказала глубокое влияние на ма- тематическую культуру эпохи. Гаусс опубликовал свои великие «Арифметические исследова- ния» (Disquisitiones Arithmeticae) в 1801 г. (ему было в то время 24 года) и сразу же завоевал признание х) как гений первой вели- чины. Он также был великим универсалом — о нем говорили, что не было ни одного направления в развитии математики XIX века, которое бы он пе предвидел в своей работе,— но он также считал теорию чисел — высшую арифметику, как он предпочитал назы- вать ее,— царицей математики. В дополнение к Disquisitiones Arithmeticae он опубликовал два классических мемуара по би- квадратичпой взаимности в 1828 и 1832 гг., которые оказали боль- шое влияние на развитие теории чисел. Деятельность этих ученых пе имеет в большей части непосред- ственного отношения пи к самой Последней теореме Ферма, ни к методам, которые позже были успешно применены для ее изучения. Однако косвенно их деятельность оказала очень боль- шое влияние на развитие этих методов. Помимо общего влияния, из-за которого целое поколение математиков было воспитано в убеждении, что высшая арифметика является царицей всей математики, имеется по крайней мере два весьма частных аспектат которые будут изучены в следующих главах. Теория идеальных Делителей, развитая Куммером для исследования высших законов *) 31тмая 1804 г. Лаграшк [L4] писал Гауссу: «Ваши Disquisitione» сразу же поставили Вас в ряд лучших геометров». (В те времена «геометр* означало «чистый математик».)
80 Гл. 3. От Эйлера до Куммера взаимности, и выведенная Дирихле аналитическая формула числа классов бинарных квадратичных форм с данным детерминантом — ¦обе выросли на почве работ этих трех теоретиков и обе стали впоследствии основой исследования Последней теоремы Ферма. Таким образом, краткость этой главы не означает, что период от Эйлера до Куммера был малоплодотворпым. Наоборот, этот период во многих отношениях был золотым веком теории чисел. Краткость этой главы означает лишь, что в течение этого периода исследование Последней торемы Ферма отошло на задний план, пока развивались другие разделы теории чисел — главным обра- зом бинарные квадратичные формы и законы взаимности,— что только позже принесет нлоды в исследовании Последней теоремы Ферма. 3.2. Теорема Софи Жермен Одной из очень немногих женщин, которым вплоть до настоя- щего времени удалось преодолеть предубеждение и дискримина- цию, направленные на отстранение женщин от занятий высшей математикой, была Софи Жермен A776—1831). Она вела активную переписку с Гауссом, жившим в Геттингене, и была лично знакома с Лежандром в Париже. В письмах Гауссу она вначале подписы- валась мужским псевдонимом, опасаясь, что иначе Гаусс не вос- принял бы ее всерьез. Как бы он поступил — неясно. Известно лишь, что она добилась его расположения, не пытаясь заинтриго- вать его тем фактом, что она — женщина-математик, и когда об- ман раскрылся, Гаусс пришел в полный восторг. «Но как описать Вам мое восхищение и изумление, когда я увидел, что мой уважаемый корреспондент г-н Лебланк превратился в эту выдающуюся личность [Софи ^Жермен, которой он писал после раскрытия обмана], пре- поднесшую столь яркий пример того, во что, я бы сказал, трудно пове- рить. Склонность к абстрактным наукам вообще, а к таипствам чисел в осо- бенпости — исключительно редкое] качество: это не тот предмет, который поражает каждого; захватывающее очарование этой возвышенной науки открывается только тем, кто имеет мужество углубиться в нее. Но когда особа женского пола, которой на этом тернистом пути, в соответствии с нашими обычаями и предрассудками, приходится сталкиваться с неизмеримо боль- шими, чем мужчинам, трудностями, все же добивается успеха в преодолении этих препятствий и пропикает в самые темные области исследований,— она песомненно должна обладать]самым доблестным мужеством, совершенно необы- чайными личными качествами и высшей одаренностью. В самом деле, ничто не могло бы убедить меня столь лестным и недвусмысленным образом в том, что притягательная сила этой науки, обогатившей мою жизнь таким коли- чеством радостей, не является плодом фантазии, как преданность, которой удостоили ее Вы». (См. [G8].) Взаимоотношения между Гауссом и Лежандром всегда были натяпутыми, и, к чести Софи Жермен, нужно сказать, что ее отношения с ними обоими были наилучшими. Именно Лежандр
3.2. Теорема Софи Жермен 81 сделал ее знаменитой 1), упомянув о ней в своей «Теории чисел» [L7] и присвоив ее имя очень важному результату по Последней теореме Ферма, который под ее именем известен и сейчас. Эта теорема приведена ниже, вслед за обсуждением нескольких част- ных вопросов. Теорема. Если хь -f уь = z5, то одно изчисел х, у, z делится на 5. Доказательство. Хотя Последняя теорема Ферма утверждает, что равенство хь + уь = %ъ не может выполняться при положи- тельных целых значениях неизвестных, нам будет здесь удобно перенести член z5 в другую часть уравнения: хь + уъ -\- (—zM = •-- 0 и сформулировать случай п —- 5 в более симметричной форме: «уравнение хь + уъ + z5 = 0 неразрешимо в ненулевых целых числах х, у, z». Очевидное преимущество такой формулировки заключается в том, что уравниваются роли неизвестных х, у, z. Поскольку нуль делится на 5, доказываемая сейчас теорема при- нимает вид: несли х, у, z — такие целые числа, что хъ -f- уъ -f- z5 = .= О, то одно из них делится на 5». Первый шаг доказательства состоит в переписывании уравнения в виде -хь = {у + z) (у* - уН + уЧ* - yzs + z*). Ь'ак обычно, будем считать, что х, у, z попарно взаимно просты ибо в противном случае общий множитель можно исключить. Тогда два сомножителя в правой части взаимно просты, поскольку если р — простое, делящее у + z. то у = —z (mod p), yi — — y3z -f- y2z2 — yz3 -f- z4 = by* (mod p), и если р делит оба сомно- жителя, то либо р = 5, ив этом случае х делится на 5, что и тре- бовалось доказать, либо р делит у и у -f- z, а н этом случае у и z не взаимно просты. Иными словами, если а;5 + уь -\- z5 = 0, числа х. у, z попарно взаимно просты и ни одно из них не делится на 5, то у + z и i/4 — i/3z + i/2z2 — г/z3 + z4 взаимно просты. Так как нх произведение является пятой степенью: уъ -f- z5 = —а;5 = -- (—х)ъ, то каждый из них сам должен быть пятой степенью. (На этот случай легко распространить рассуждение из § 1.4.) В силу симметрии, те же рассуждения можно применить к —уъ = -- х5 -f- z5 и —z5 = а;5 ^- г/5 и получить, что для некоторых целых Ъ р чисел а, а, 6, р. y + z = a&, z + x=bb, х-\- у = сь, > с, у ук- z4- а;4- Мы сейчас покажем, - y3z -f i/2z2 — i/z3 + z4 = a5, -z3a; + z2a;2-za;3 + a;4^p5, - x3y -!- a;2?/2 — a;j/3 + J/4 = Y5, что это невозможно. x = У = z = — aa, -6p, — cy. а) Опа заслужила также премию Парижской Академии за статью но тео- рии упругости, но, насколько мне известно, эта работа но пользовалась в дальнейшем большим успехом. " Г. Эдварде
82 Гл. 3. От Эйлера до Куммера Ключом к доказательству служит простое наблюдение, что пятые степени по модулю 11 равны — 1, 0, 1. Это ясно из теоремы Ферма, которая утверждает, что либо х = 0 (mod 11), либо (а;5J ^ 1 (mod 11), а значит, либо хь = 0, либо хъ = ±1. (Точнее, нужно заметить, что из у2 = 1 вытекает у2 — 1 = (у — 1) X X (у + 1) = 0 (mod 11); но, поскольку 11 — простое число, последнее означает, что либо г/ —^ 1 ^= 0, либо у + 1 = 0 (mod 11), т. е. у = ±1-) Следовательно, сравнение хь -\- уь -f- z5 == О (mod И) возможно, только если либо я, либо у, либо z = 0 (mod 11), поскольку равенство ±1 ± 1 ± 1 = 0 невозможно. Предположим, что хь -f- уь -)- z5 = 0, где х, у, z попарно вза- имно просты и не делятся на 5. Тогда, как мы установили, можно найти а, а, Ъ, |3, с, у. Одно из чисел х, у, z должно делиться па 11. Не нарушая общности, предположим, что это х. Тогда число 2х = -- Ьъ -^ съ + (—аM делится на 11 и одно из чисел а, Ъ, с должно делиться на 11. Это не может быть Ъ, поскольку х делится на И и отсюда вытекало бы, что х и z имеют общий делитель 11, вопреки предположению об их взаимной простоте. Аналогично, па 11 не'может делиться и с. Значит, а делится на 11. Но это тоже невоз- можно, ибо тогда у = —z (mod 11), а5 == Ъу* (mod 11), а, с дру- гой стороны, х = 0, у& = г/4, что дает а5 = 5уь. Так как по моду- лю 11 пятые степени равны 0, ±1, то отсюда вытекает, что а = = у ^ 0, вопреки предположению о взаимной простоте х и z. Это завершает доказательство теоремы. Точно такие же рассуждения позволяют доказать более общую теорему. Теорема. Если п — нечетное простое число *) и число In -+- 1 простое, то из хп -J- уп = zn вытекает, что или х, или у, или z делится на п. Таким образом, для того чтобы доказать Последнюю теорему Ферма для п = 5, или п — 11, или для многих других простых значепий показателя п, достаточно доказать, что равенство хп + + уп = z™ невозможно при дополнительном предположении: одно из чисел х, у, z делится на п,— поскольку противоположный слу- чай уже исключен настоящей теоремой. Обычно (главным образом из-за этой теоремы) Последнюю теорему Ферма разделяют на два случая: первый, когда ни одно из трех чисел х, у, z не делится на п, и второй, когда одно и только одно из этих чисел делится па п. Эти два случая припято пазывать Случай I и Случай II (в указан- ном порядке), а приведенную выше теорему формулировать так: если п — такое нечетное простое число, что 2п -+- 1 тоже про- *) Если п есть простое число 2, то число 2ге + 1 простое, и теорема остается верной, как мы видели в § 1.3.
3.2. Теорема Софи Жермен 83 опое, то для п-х степеней верен Случай I Последней теоремы ферма. Как это ни удивптелоно, Случай I гораздо элементарнее, чем Случай П. Даже тогда, когда только что приведенная теорема пи имеет места, ее небольшое видоизменепие часто позволяет до- стичь успеха. Например, в случае п = 1 число 2и -f 1 — 15 по простое, зато простым является An + 1 = 29. По модулю 29 все 7-е степени равны 0, ±1, ±12 (см. упр. 4). Значит, сравнение х1 -•- У1 + z7 = 0 (mod 29) возможно, только если одно из этих чисел является нулем по модулю 29. Тогда использованные в дока- зательстве предыдущей теоремы соображения показывают, что найдутся такие целые а и у, что а7 = Ту7 (mod 29), по а цк -4- 0 (mod 29) и у^О (mod 29). Так как 29 простое, имеется ') такое целое g, что yg = 1 (mod 29); следовательно, (agI = = 7 (mod 29), вопреки тому что лишь вычеты 0, ±1, ±12 являются 7-ми степенями по модулю 29. Это же соображение лежит н основе теоремы Софи Жермен. Теорема Софи Жермен. Пусть п — нечетное простое число» Если имеется вспомогательное простое число р, обладающее свой- ствами: A) из хп + уп + zn = 0 (mod р) вытекает х = 0, или у = О, или z = 0 (mod p); B) сравнение хп = и (mod p) невозможно, то для п верен Случай I Последней теоремы Ферма. Доказательство. Поскольку п нечетно, Последнюю теорему Ферма для п можно переформулировать как утверждение о невоз- можности равенства хп + уп + zn = 0 при ненулевых целых х, j/, z. Тогда Случай I для п — это утверждение о невозможности равенства хп -f- yn -\- zn = 0 при целых числах, которые не делят- ся на п. Поэтому предположим, что п и р удовлетворяют условиям теоремы, а х, у, z — такие целые числа, ни одно из которых не де- лится па п, что хп + уп + zn = 0. Нужно показать, что эти пред- положения ведут к противоречию. Как обычно, можно считать, что х, у и z попарно взаимно про- сты. Равенство (—х)п = уп -f- zn = (у + z) (г/™ — yn~2z + т- yn~3z2 — . . . + zn~x) показывает, что у + z и г/™ — yn~2z-\- -1- yn~3z2 — . . . + zn~x оба являются гг-ми степенями, поскольку эти сомножители взаимно просты 2). (Если бы они оба делились па некоторое простое q, то у + z = 0, г/™ — yn~2z -f . . . ¦ . . + zn~x ^0, у ^ —z, пуп~х ^ 0 (mod q), откуда п. = 0 или ') См. приложение, § Л.1. г) Заметим, что здесь снова, как и в § 1.3, 1.5, 1.6 и 2.2, решающую роль "грает теорема: «если uv есть ге-я степепь, а и и у взаимно просты, то и и v °ба должны быть re-ми степенями».
84 Гл. 3. От Эйлера до Куммера у = 0 (mod q). Первое невозможно, ибо тогда п = q делило бы х, а второе невозможно, ибо тогда q делило бы как у, так и у + z.) Точно такие же разложения получаются из равенств (—у)п = — хп +¦ zn и (—z)n — хп + уп, а отсюда следует существование? таких целых чисел а, а, Ь, |3, с, у, что y+z = an, yn-i — yn-2z+...+zn-i = an, x=—aa, z + x = bn, гп'1 — гп-Ъ+...+хп^^=^п, y^—b$, ar + г/ = с", xn-i — xn-2y+...+yn-i = yn, z= —су. Теперь рассмотрим выкладки по модулю р. Так как хп -{- уп + + zn = 0 (mod р), то из первого условия для р вытекает, что х, у или z должно быть нулем по модулю р. Не нарушая общности, предположим, что х = 0 (mod р). Тогда 2х -- Ьп ¦-¦-¦ с" -\- (—а)п == = 0 (mod р) и снова из первого условия для р следует, что а, Ь или с должно быть нулем по модулю р. Если бы это было Ъ или с, то сравнение у = —6|3 = 0 или z .— —су = 0 (mod p) вместе со сравнением х = 0 (mod /;) противоречило бы предположению о том, что х, у и z попарно взаимно просты. Значит, а = 0 (mod p). Но отсюда вытекает, что у = —z (mod р), а" = пуп~х ^ ^ щп (mod p). Так как у ф. О (mod p). имеется такое целое число #, что yg ^ 1 (mod р), откуда (a^)n ^ ?г (mod p) вопреки второму предположению о число р. Это противоречие и доказывает теорему Софи Жермеп. При помощи этой теоремы Софи Жермен смогла доказать Слу- чай I для всех простых, меньших 100. Иными словами, для каж- дого нечетного простого п < 100 ей удалось найти другое простое р, которое удовлетворяло условиям этой теоремы. Лежапдр рас- ширил этот результат на все нечетные простые, меньшие 197, а также на многие другие простые числа. После этих результатов, которые были получены даже до того, как удалось доказать Последнюю теорему Ферма в случае п = 5, стало ясно, что пришло время сосредоточить внимание па более непокорном Случае П. Упражнения 1. Докажите, что 7-е степени по модулю 29 суть 0, +1, +12. [Поскольку 27 = —12 (mod 29), все эти 5 чисел являются 7-ми степенями. Конечно, тот факт, что среди 7-х степеней встречаются только эти числа, можно доказать простым вычислепием З7, 47, . . ., 287 по модулю 29. Однако более эффектив- пый путь — заметить, что если х it- 0 (mod 29) является 7-й степепью, то х4 — 1 — 0 (mod 29). Значит, достаточпо доказать, что если / (х) — поли- ном степени п со старшим коэффициентом 1, то сравнепие / (х) = 0 (mod p) имеет пе более п различных решений по модулю р. Это можно сделать, исполь- зуя, как и в упр. 9 из § 2.4, теорему о делении с остатком. Иначе, можно умножить / (х) па (х — г,) (х — г2) . . . (х — rk), где гг- пробегает различные но модулю р целые, не являющиеся решениями сравнения / (х) = 0. Таким способом можно было бы построить полипом g (x) степени меньшей р со стар-
3.3. Случай п — 5 85 цнш коэффициентом 1, все значения которого равны нулю по модулю р. Рассуждение Эйлера с разностями из § 2.4 показывает, что это невозможно. 2. Докажите, что условие A) теоремы Софи Жермеп тогда и только тогда вьгполяется, когда набор ге-х степеней по модулю р пе содержит двух последо- вательных ненулевых (по модулю р) целых чисел. 3. Докажите для каждого из следующих простых чисел п Случай I Последней теоремы Ферма, найдя другое простое р, для которого выполняются условия теоремы Софи Жермен: п = 13, 17, 19, 23, 29. 4. Докажите Случай I Последпей теоремы Ферма для п = 5, рассматри- вая сравнения по модулю 25. 5. Покажите, что для п = 7 рассуждепия из упр. 4 не проходят. 6. Докажите, что из условия B) теоремы Софи Жермен следует, что р = .-- тп А- 1 для некоторого четного т. [Если р — 1 и п взаимно просты, то существуют такие целые числа ц и v, что ц (р — 1) = vre -j- 1. Аналогично, существуют целые а и 6, такие, что an = Ър -\- 1. Тогда an = 1 (mod p), avnrevn = ! (mod p), n = avnnvn+i =-- а^ге^Р' = (av)n (mod p), по- скольку nv~l = 1 (mod р) по теореме Ферма. Таким образом, если п не является ге-й степенью, то р — 1 и ге не взаимпо просты. Так как п — про- стое, то это означает, что п делит р — 1, т. е. р — тп -\- 1 для некоторого т. По р нечетно (хп = п (mod 2) для нечетного п возможно), поэтому т четно. 3.3. Случай п = 5 Честь доказательства Последней теоремы Ферма для мятых степеней разделили два выдающихся математика, юный Дирихле1), который только что достиг 20 лет и как раз начинал свою бле- стящую карьеру, и стареющий Лежандр, которому перевалило за 70 н который был всемирно известным авторитетом в теории чисел и в анализе. Последняя теорема Ферма для пятых степеней распадается следующим образом на два случая. Как было показано в преды- дущем параграфе, если х, у, z — такие попарно взаимно простые положительные целые числа, что хь + уь — z5, то одно из них должно делиться на 5. С другой стороны, одно из этих трех чисел, очевидно, должно делиться на 2, так как иначе данное равенство представляло бы нечетное число в виде суммы двух нечетных чисел. В этом параграфе первым случаем будет считаться тот, когда число, делящееся на 5, делится также и на 2, а вторым случаем — противоположный, когда четное число и число, делящееся на 5, различны. (Это разбиение не следует путать с разделением на Слу- чай I и Случай II в смысле предыдущего параграфа. Для п = 5 Случай I исключен, а «первый случай» и «второй случай» являются подразделениями Случая П.) В июле 1825 г. Дирихле представил в Парижскую Академию (где Лежандр был ведущим членом) статью, в которой он дока- а) Несмотря на свою довольно фрапцузскую по виду фамилию и на то, что в то время он жил в Париже, Дирихле был немцем. Исключая несколько лет, которые можно было бы пазвать стажировкой в Париже, а также неко- торые путешествия в последующие годы, он родился, вырос, получил обра- зование и провел всю свою жизпь в Германии.
86 Гл. 3. От Эйлера до Куммера зывал, что первый случай невозможен. Его доказательство, по существу, сводилось к следующему рассуждению. Если оказа- лось, что х или у делится на 5, то перенесем другой член суммы хп ~г у11 в правую часть равенства, так чтобы член, делящийся на 5, остался один. Так как в первом случае этот член делится также и на 2, то равенство можно привести к виду где и, v и w — попарно взаимно простые положительные целые числа, причем w делится на 10. Нужно показать, что это невоз- можно. Числа и и v нечетны (они взаимно просты с четным числом w), поэтому можно следовать доказательству Эйлера случая п — 3 (§ 2.2), нолагая и + v — 2р и и — v — 2q. Тогда и — р + q, v -¦- р — q и иь ± vb — (р -f q)b ± (р — q)b. что равно либо 2 (р& -г \0p3q2 + Ърф), либо 2 Ep*q -f 10p293 + q&). Меняя, если потребуется, местами р и q, мы получим равенство вида в котором р и q — взаимно простые положительные целые различ- ной четности, & w — положительное целое, делящееся на 10. Если бы 5 не делило р, то оно не делило бы и р* j- \0p2q2 -f- 5<Д а значит, не делило бы w& вопреки предположению. Следователь- но, /> делится па 5, скажем р — 5r, a q не делится па 5. Паше равен- ство принимает вид 52-2г {ф -f 2-52rV + 53r4) = w5. Произведение 52 -2г делится на 2, 5, а также на простые делители числа г. Ни одно из этих простых чисел не делит ф -+- 2 -52r2q2 -j- _!_ 5V4 (напомним, что 5 f ^ и что }иг имеют различную чет- ность). Значит, по обычной в этой ситуации теореме получаем 52 -2г = пятая степень, q* -f 2 -52r2<72 + 53r4 = пятая степень. Можно воспользоваться дополнением до квадрата и привести вто- рое из этих выражений к виду (q2 -t- 52r2J — 54r4 + 53r4 = (q2 + 52r2J — 5 A0r2J = P2 — 5Q2. Основная идея доказательства Дирихле — попытаться следовать Эйлеру, записывая выражение Р'1 — 5Q2 в виде (Р — QVfy >< X (Р — Q\/'5) и стараясь показать, что Р -f- QV 5 должно бьш пятой степенью. Предположим на время, что такое заключение обосновано' т. с. можно показать, что имеются целые А и В, для которые
3.3. Случай п = 5 87 = {А + ВУЬ)Ъ. Тогда р = Аъ + 50А3В2 + 125Л54, ? = 5Л45 + 5(Ь4253 + 25 Въ. Поскольку Q = Юг2 и число 52-2г является пятой степенью, число E2-2гJ = 53 -2Q также оказывается пятой степенью, а зна- чит, 54-25 U4 + ЮА2-В2 + 5#4] = пятая степень. Числа А и В взаимно просты, поскольку такими являются Р и Q, имеют различную четность, поскольку Р и Q не могут быть оба четными, и А взаимно просто с 2 и 5, поскольку таково Р. Значит, 54-25 = пятая степень, А* + №А2В2 + 5#4 = пятая степень. Дополняя до квадрата два первых члена в последпем выражении, приведем его к виду (Л2 + 5#2J — 25Я4 + 5S4 = {А2 + 5В2J — — 5 BВ2)'1 = С2 — 5D2. Еще раз предположим, что отсюда можно заключить о справедливости равенства С + D|/5 = (a Тогда С = аь + 50а3Ь2 + ?> = 5а*Ь + 50а2Ь3 + Так как D = 2В2 и так как 54 -2/? = пятая степень, то и число E*-2ДJ = 58-2D является пятой степенью, т. е. 59 '2Ъ [а4 + i.0a2b2 + 5й4] = пятая степень, откуда, как и раньше, 59 '2Ъ = пятая стенень, а4 + 10a2b2 -f- 5&4 = пятая степень. Первое равенство, очевидно, равносильно равенству 54-2?> = пятая степень, и легко проверить, что а и Ь удовлетворяют тем же усло- виям, что А и й, а именно: в дополнение к тому, что 54-2/? и Aij\- -f- ЮЛ2/?2 -+- 5/?4 должны быть пятыми степенями, требуется еще, чтобы А п В были взаимно простыми различной четности и чтобы А не делилось ни на 2, ни на 5. Следовательно, рассуждение может повторяться без конца, а это приводит к невозможному беско- нечному спуску, а именно к последовательности положительных чисел В, которые убывают в силу соотношения 2В2 -- D = =¦ Ь Eа4 + 50а2Ь2 + 25Ь4), ибо оно дает Ъ >0 и 2В2 >25&4, В > > Ъ. Таким образом, чтобы доказать, что рассматриваемый случай невозможен, достаточно доказать имнликацию i>2_ 5<?2 = пятая степень => Р + Q |/ 5 = (А + /?/5N в тех случаях, в которых она выше использовалась.
88 Гл. 3. От Эйлера до Куммера Как замечает Дирихле в начале своей работы, имеются и дру- гие способы представить число Р2 — 5Q2 в виде пятой степени. В самом деле, решение уравнения Пелля 92 — 5-42 = 1 показы- вает, что если Р и Q определены равенством Р -\- Q^5 — (А -f- + ВУ 5)ь (9 -f- 4]/5)ft при произвольно выбранных А, В, к, то рг _ 5<?2 = (Р + QV5) (Р — ОУЪ) = (А2 — ЪВ-)Ъ. Значит, при- веденная выше импликация не имеет места. Идея Дирихле заклю- чалась в том, чтобы отыскать дополнительные условия для Р и Q, выполнение которых обеспечивало бы справедливость имплика- ции. И он нашел очень простое условие. Заметим, что если Р -f- + QY5 = (А + BV5)b, то число Q = ЬА*В + 50A2Bs + 2555 должно делиться на 5. Таким образом, 5 | Q — необходимое усло- вие для справедливости импликации. Дирихле доказал, что в случае, когда Р и Q взаимно просты и имеют различную чет- ность, это условие также и достаточно, т. е. доказал следующую лемму. Лемма. Пусть Р и Q — такие взаимно простые целые числа, что Р2 — 5Q2 есть пятая степень, 5 | Q и Р и Q имеют различную четность. Тогда существуют такие целые числа А и В, что Р -\- + QV5 = (А +5/5M. Заметим, что в рассмотренных ранее случаях дополнительное условие 5 | Q выполнено: в первом случае — поскольку из усло- вия 52 -2г = пятая степень вытекает 5 | г | Q, а во втором — по- скольку из условия 54-2В = пятая степень вытекает 5| B\D. Поми- мо этого в обоих случаях были выполнены и условия, что Р и Q взаимно просты и имеют различную четность. Следовательно, как только лемма будет доказана, из нее будет следовать, что Послед- няя теорема Ферма при п ~ 5 верна для случая, когда тот член уравнения хь -\- уь = z5, который делится на 5, делится также и на 2. Лемму можно доказать почти тем же способом, как изложен- ный в гл. 2, при помощи которого Эйлер нашел наиболее общее представление чисел в виде a2 -j- ?>2, а2 -\- 2Ъ2, а2 -\- ЪЬ2, но имеется одно существенное различие. Если попытаться применить методы Эйлера к представлениям в виде а2 — ЪЪг, то для предложения, аналогичного предложениям D) и E') из § 2.4, эта попытка не проходит. А именно, этим способом не удается доказать утвержде- ние: если а и Ъ взаимно просты, то каждый нечетный делитель числи а2 — ЪЪ2 может быть записан в виде р2 — bq2. И действи- тельно, как отмечалось в конце § 1.7, аналогичное утверждение для представлений в виде а2 -\- ЪЪ2 неверно. Однако из гауссовой теории бинарных квадратичных форм, изложенной в его Disqui- sitiones Arithmeticae, легко следует, что для представлений в виде а2 — ЪЬ2 это утверждение верно, хотя методы Эйлера и не
3.3. Случай п — 5 89 подходят для его доказательства. Этот факт оказывается простыл» следствием теории, приведенной в гл. 8 (см. упр. 11 к § 8.5). После принятия этого факта па веру методы гл. 2 уже позво- ляют доказать, что если а и Ъ взаимно просты и имеют различную- четность, а а- — ЪЪ2 — Рп^Рп0*. . . Рп^ — разложение па про- стые сомножители числа а2 — ЪЪ2, то существуют такие целые- Pi, qt (i -- 1, 2, . . ., к) и t, и, что Pt = р\ — bq\, 1 = t2 — Ъи2 и Вкратце рассуждение проводится так. На основании недока- занного, но принятого на веру факта существуют такие р^, qlr что р\ — bq\ = Рг (причем Рх нечетно, поскольку а и Ъ разной четности). Число Рг делит как а2 — ЪЪ2, так ж р\ — bq\, поэтому оно делит также и (рф — qya) (рф -j- qta) — р\Ъ2 — q\a} — р\Ъг — - 5q2tb2 + 5q\b2 - q]a2 =~- b2 (pj - 5gJ) - q\ (a2 - 5b2). Значит, Pi делит либо pxb — q-fl,, либо рф ¦+¦ qta, и, изменяя в случае- необходимости знак коэффициента qx, мы можем предполагать, что Р1 делит рф -f- qxa. Тогда, поскольку из равенства (а-\-Ь \/5) (p1-\-q1 V 5) = (api + obQi) +(aq!-{ bp{) /5 вытекает равенство (а2—ЪЪ2) Pi—-(api-\-bbqiJ — 5 (aqi + bpiJ, целое число- api-j-bbqi также делится на Р{. Пусть, например, (api-^abq^)-}- -r-toi + bPi) VJ> = Pi (c+d V 5). Это дает (а + Ы/_5)-(р! +?! J/5) = = Pj (с -f- d У 5), откуда, умножая на pt — qiV§ и сокращая обе- части равенства на Pi, получаем a-\-b J/ 5= (pj — qt У Ъ) (c-j- d |/ 5). Так как а2—ЬЪ2=(р\—bq\) (с2—bd2), отсюда следует, что с2 — — 5d2=(a2—5b2)/Pi, и один из простых делителей числа а2—ЪЪг исключен. Затем процесс можно повторять до тех пор, пока не окажутся исключенными все простые делители, в результате чего числен я Ь Ъ У 5 запишется как произведение сомножителей вида р -\- -р q У 5, количество которых в этом произведении равно п1 -\- -'- ге2 -\- ... -\- nk -f- 1, по одному на каждый простой делитель числа а2 — ЪЪ2 и один, для которого р2 — Ъф = 1. Более того, если один и тот же простой делитель Р встречается дважды, то в обоих случаях можно использовать одно и то же представле- ние Р = р2 — 5q2 и исключаемый делитель р ± q V§ будет одним и тем же с точностью разве лишь до знака коэффициента q. Однако и этот знак обязап быть одним и тем же, ибо, если бы встретились °ба делителя р -\- q У 5 и р — q У 5, это привело бы к равенству а -J- Ъ У Ъ = (р2 — bq2) (С + D У Ъ), которое противоречило бы предположению о взаимной простоте а и Ъ.
90 Гл. 3. От Эйлера до Куммера Таким образом, если Р, Q взаимно просты и разной четности, а Р- — 5Q2 является пятой степенью, то где t2 — Би2 = 1. Для доказательства леммы достаточно показать, что если Q делится на 5, то t + и |/5 можно свести к 1 -f 0-|/5. Это естественным путем приводит к исследованию возможных решений уравнения t2 — 5и2 = 1, т. е. решений уравнепия Пелля в случае А = 5. Так как (9 + 4 ]Л5) (9 — 4 (/5) = 1, то ясно, что равенство =Ь(9 + 4 У o)k = t + и |/5 дает решение для каждого целого к, положительного, отрицательного или равного нулю. Обратно, намеченные в упражнениях к § 1.9 соображения показывают, что такой вид имеют все решения. (Этот факт будет вновь доказан в гл. 8. См., например, упр. 2 к § 8.4.) Так как каждое целое к может быть записано в виде 5q + г, где г = 0, 1, 2, 3 или 4,toP + QV5 = {A + B \/5M (9 + 4 }/5)г, где 0 < г < 4. Значит, достаточно показать, что если Q = 0 (mod 5), то г не мо- жет быть равно 1, 2, 3,_4. Пусть С + D /5 = (А + В |/5M и ? + ^1/5 = (9 + 4 УЪ)Г. Тогда D = 0 (mod 5), и из Q = = CF + DE = 0 (mod 5) следует, что CF = 0 (mod 5). Но С ф Ф 0 (mod 5), поскольку из С = 0 (mod 5) вытекало бы, что Р и Q оба делятся на 5. Зпачит, F = 0 (mod 5). Но если бы имело место г ;> 1, то по формуле бинома число F равнялось бы слагае- мому г • 97" • 4 плюс члены, делящиеся на 5, и F не могло бы делить- ся на 5; значит, из F = 0 (mod 5) вытекает г = 0, что и требова- лось доказать. Этим завершается предложенное Дирихле дока- зательство невозможности первого случая. Первое полное доказательство Последней теоремы Ферма для пятых степеней было опубликовано вскоре после этого, в сентяб- ре 1825 г., Лежапдром в его втором дополнении к Theorie des Nombres. Доказательство Лежандра первого случая, по существу, ничем не отличается от доказательства Дирихле, что Лежандр и признает в подстрочном примечании х), где он пишет: «Анализ, подобный только что проведенному, позволяет доказать неразре- шимость уравнения хь + у5 = Az5 для довольно большого числа значений А; это и было сделано г-ном Lejeune Dieterich [sic!l в заметке, которая была педавно представлена в Академию и полу чила там одобрение». Затем Лежандр переходит к доказательству того, что второй случай также невозможен, т. е. к тому, что ока залось не под силу Дирихле, как он сам это признавал в июле ') Второе дополнение было также опубликовано в виде заметки [L7J в Трудах Академии, и эта публикация почему-то датирована 1823 г. (см. Дик сон [D21, т. 2, стр. 734), но это примечание показывает, что заметка вышл* после июля 1825 г.
3.3. Случай п = 5 91 Это убедительный контрпример к общепринятому мнению, будто в математике только молодые люди могут сделать что-то важное. Предложенное Лежандром доказательство второго случая не Г)ыло естественным и включало в себя большое количество искус- ственных приемов, что, по-видимому, отражало почтенный воз- раст и многолетний опыт Лежандра. Спустя еще несколько меся- цев, в ноябре 1825 г., Дирихле представил добавление к своей июльской статье, в котором он доказал второй случай другим способом, служащим более естественным продолжением доказа- тельства первого случая. Это доказательство, по существу, и при- водится ниже. Во втором случае уравнение хъ -\- уъ — z5 можно привести к виду иъ ± v5 = w5, где и, v и w — попарно взаимно простые положительные целые числа, причем w делится на 5, а и и v имеют разную четпость. Пусть p = u-\-vis.q~ и — v. Тогда и, меняя местами р и q, как и раньше, если понадобится, мы полу- чаем 2-5.2 (р5 р Как и раньше, р делится на 5, скажем р = 5r, a q не делится. Таким образом, 52r (q* + 5ОУ + 125r4) = 24w5. Сомножители 52г и q* -\- 50r2q2 -f- 125r4 взаимно просты, и первый из них нечетен (р и q оба нечетны), поэтому 52г = пятая степень, (ф + 25г2J — 5 (Юг2J = 24-(пятая степень). Квадрат любого нечетного числа есть 1 по модулю 8, значит, число q2 -j- 25r2 равно 2 по модулю 8, а поэтому оно делится на 2, но не делится на 22. Следовательно, второе равенство можпо запи- сать в виде / Р \2 г I О \г пятая степень, / Р \2 г I О \г 1-тН —о [-тг) = где Р и Q — нечетпые числа, равные соответственно (q2 + 25r2)/2 и or2. Заметим, что Q делится на 5. Ниже мы покажем, что в этой ситуации найдутся такие нечетные числа А и В, что
92 Гл. 3. От Эйлера до Куммера Отсюда следует, что . = 5+ 10^^ 5+^-5 2 *' 25 ' 25 25 и, поскольку 52г — пятая степень, мы заключаем, что число [-? + 104?+ 5 ^ является пятой степенью, а значит, 545 U* + 10А2В2 + 5?4] = 24-(пятая степень). Но A w. В взаимно просты (они оба нечетны и любой их общий простой делитель делил бы как Р, так и Q) и А не делится на 5 (иначе Р делилось бы на 5, откуда следовало бы, что и q делится на 5), а поэтому, как обычно, 5*В = пятая степень, Ai + 10А*В2 + 554 = 24-(пятая степень). Первое из этих равенств показывает, что 5 | В, а второе можно переписать в виде . 42 + 5В*ч2 r/№\2 I tj2 1 —о I-.J—) = пятая степень. Но A2jf- 5Z?2= 6 (mod 8), так что это равенство имеет вид \-у) —5 (-|-) = пятая степень, где р и q — такие взаимно простые нечетные числа, что 5 | q. Далее, лемма, которую предстоит доказать, дает и посредством такой же последовательности шагов мы получаем а* + 10a2b2 + 5b* = 24-(пятая степень). Это дает бесконечно убывающую (см. упр. 1) последовательность положительных пятых степеней, а следовательно, приводит к про- тиворечию. Таким образом, остается лишь доказать, что если Р и Q — такие взаимно простые нечетные числа, что Q\2. I р V к I Q V \-о") —^ I 2 ) = пятая степень (заметим, что Р2 — 5Q2 == 4 (mod 8), и поэтому число (Р/2J — — 5 (Q/2J обязано быть нечетным целым) и если Q делится па 5,
3.3. Случай п — 5 то существуют такие нечетные числа А и В, что Это можно доказать следующим образом. По модулю 4 либо Р = == Q, либо Р = —Q. В первом из этих случаев число l(P/2) + -:- (Q V 5/2)]-[C/2) +JJ/5/2)] = ((ЗР + 50/4) + ((Р + Щ J/5/4) имеет вид С -\- D j/5, где С и D — целые, а во втором [(Р/2) + + (Q Vb/2)] [C/2) - (J/5/2)] = С - D /5, где С и D - целые. Тогда равенство показывает, что С2 — 5ZJ является нечетной пятой степенью, а равенство (Р/2) +- (<? J/5/2) = [С + D |/5] [C/2) + (К 5/2)] по- казывает, что С ж D взаимно просты. Следовательно, как было показано выше, С + D |/Т = (с + d |/5N (9+4 /o)ft,_ где А: равно 0, 1, 2, 3 или 4. Простой подсчет дает (C/2) -f- (|/5/2)K = = 9 -j- 4 |/5, так что ¦Р . Q i/c / , jiae\s /,1 i/-\3ft и остается лишь показать, что если Q делится на 5, то из десяти возможных значений — 1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13 показате- ля ЗА: + 1 могут встретиться только 5 и 10. Пусть т = Зк + 1, (а/2) + (Р 1/5/2) = (C/2) + (VE/2))m иТ + вУ5 = (с + й V'5M- Тогда б делится на 5, а у не делится. Значит, из Q = yP + а^ ^ ^ 0 (mod 5) следует Р = 0 (mod 5). Но по формуле бинома _|- = пг1 — j I-2-I+члены, содержащие о, 2m"ip = m-3m + члены, содержащие 5, а это показывает, что из р = 0 (mod 5) следует т = 0 (mod 5). Этим завершается доказательство (кроме доказательства того, что осли Л и В взаимно просты, то все печетпые простые делители числа А2 — ЪВг сами имеют вид р2 — 5д2). У п. ражи е ни я 1. Покажите, что невозможно найти такие взаимно простые нечетные числа А и В, чтобы 54В было пятой степенью, а Л4 + 10Л2В2 + 5S4 было пятой степенью, умноженной на 24. [В тексте уже все сделано, кроме доказа- тельства того, что последовательность пятых степеней действительно убыг иает.]
94 Гл. 3. От Эйлера до Куммера 2. Покажите, что для доказательства того, что все нечетные делители числа Л2 — 5В2 (Л, В взаимно просты) сами имеют вид р2 — 5<j2, достаточно доказать это для случая нечетных простых делителей. 3.4. Случаи| п = 14 и п = 7 При любых попытках доказать Последнюю теорему Ферма эле- ментарными средствами — скажем, не прибегая к методам кумме- ровой теории идеальных простых делителей,— нужно принимать во внимание тот факт, что даже один только частный случай п = 7 в течение многих лет не поддавался усилиям лучших евро- пейских математиков. Конечно, вполне возможно, что они под- ходили к проблеме ложными путями и что существует какая-то простая идея — возможно, открытая Ферма,— применимая ко всем случаям; однако, с другой стороны, более вероятно, что идея, пригодная для любых п, была бы найдена, хотя бы в неуклюжей форме, при интенсивном поиске для одного п. В 1832 г., через семь лет после того, как Дирихле и Лежацдр доказали случай п = 5, Дирихле опубликовал [D5] доказатель- ство случая п -—- 14. Конечно, это слабее случая п — 7 (каждая 14-я степень является 7-й степенью, но не наоборот), и такая публикация была своего рода признанием неудачи со случаем п = 7. Прошло еще семь лет, прежде чем в 1839 г. Ламе опублико- вал первое доказательство случая п — 7. Эти доказательства довольно длинны и носят технический характер, а так как они были перекрыты доказательством Куммера Последней теоремы Ферма для целого класса показателей, который содержит 7, то заниматься ими здесь нет нужды. Их стоит упомянуть лишь постольку, поскольку они бросают свет на технические приемы, которые были испробованы и привели лишь к частичному успеху, и поскольку они дают некоторое представление о путях, возможно приведших Куммера к его открытиям. Доказательство Дирихле для случая п = 14 опирается в сущ- ности на ту же технику, что и доказательство для п = 5, которое в свою очередь следует рассуждению Эйлера в случае п = 3; при этом, конечно, проявляется большая изобретательность в вычислениях. Уже не удивительно, что оно опирается на лемму, согласно которой если А2 — ТВ2 является 14-й степенью и 7 | В, то А + В Y—7 = (a -f Ъ У—7I4 для некоторых целых а и Ъ. Эта лемма в сочетании с вдохновенными алгебраическими манипу- ляциями и обычным рассуждением бесконечного спуска л дает доказательство. (Подробнее см. упр. 1.) Доказательство Ламе является в некотором роде оправданием неудачи'Дирихле со случаем п = 7, поскольку Ламе обнаружил, что для~1 решения этой проблемы необходимо ввести какую-то совершенно новую технику. Его рассуждения трудны, немотиви-
3.4. Случаи п — 14 и п — 7 95. рованны и, хуже всего, кажутся безнадежно привязанными к слу- чаю п = 7. Здесь мы не будем приводить никакого описания или краткого изложения этого доказательства г) (очень краткое изло- жение см. у Диксона [D2], т. 2, стр. 737). Кажется, будто это доказательство ведет к опушке непроходимой чащи; приступать с подобными средствами к следующему случаю, п = 11, представ- лялось совершенно безнадежной затеей, и стала неизбежной переоценка методов. В течение последующих восьми лет, до 1847 г., ничего достопримечательного о случаях п >7 (п — простое) опубликовано не было, а грандиозный прогресс 1847 i\ был основан на принципах, никак не связанных с доказательством Ламе для п = 7. Скорее они связаны с принципами доказательств для в = 3 и в = 5, но основаны на совсем другой их интерпрета- ции. Л именно, на интерпретации не в терминах квадратичных форм х2 -f- Зг/2 и а;2 — 5г/2, а в терминах форм п-й степени хп + уп (т. е. х3 -f У3 и хь -\- у5). Как будет видно в следующем параграфе,. Ламе сам оказался вдохновителем, если не создателем, этой новой интерпретации. .) * пражн епия 1. Вот набросок доказательств Дирихле. Восполните детали. Пусть. .г14 + г/14 = z14. Можно считать, что х, у, z попарно взаимно просты и поло- жительны; z пе делится па 7, поскольку сравнепие а2 + Ь2 = О (mod 7) невозможно. Значит, можно предположить, что z14 — хы = уы, где у делится па 7. Порешшгем z14 — хы в виде а{ав + 7Ь2), где а = z2 — г2, Ъ = zx (z4 — — zV + я4). Числа а, Ь взаимно просты и разной четпости. Из а = 7с, 1 \ Ь, так что 72с (Ь2 + 7 G2с3J) = г/14, вытекает, что 72с и Ь2 + 7 G2с3J являются 14-ми степенями, Предположите известным (см. § 8,5), что нечетный простой делитель числа вида х2 + Ту2, где х и у взаимно просты, должен сам иметь такой вид, и установите, что Ъ + 72с3 У~-1 = (d + е У—7I4. Далее, выра- жопие 2-72с3 Y^l = (d + е >/^7I4 — (d — е |/^7I4 можно переписать так, как это раньше делалось с г14 — хы, с тем чтобы пайти выражение 72с3 = 2-de [212 (— 7K dV + 7/2], где / = (d2 + 7e2) (d4 — 98d2e2 + 49e4). Числа d, e имеют разную четность и взаимпо просты. Число / но делится па 2 и 7, a d, e, f взаимпо ирссты, Выражение 72с3~_ 2.7-de [/2 —Bе-7d3e3Jl разлагается в произведение трех попарпо взаимпо простых сомножителей 2-7-de, / + 26-7dV, Вспомните, что 72с есть 14-я степень, и заключите на этом осповапии, что 2-75de, / + 2*'7<Р#, f — 26-7d3e3 все являются 14-ми стопепями, Итак, 27-7d3e3 является, с одной стороны, разностью 14-х степеней, а с другой стороны, произведепием 24 на 14-ю степень. Короче говоря, найдено решение уравнения Z14 — X14 = 24У14. Кроме того, X, Y, Z нопарпо взаимно просты и У делится на 7, Повторите всю процедуру, чтобы пайти решение уравнения Хы — Xй = 212ч/14, где У делится на 7. Более общо, равенство г14 — xli = 2куы (к ;> 0), где х, у, г попарпо взаимпо просты и у делится на 7, приводит к равенству Z14 — X14 = 24+9& У14, где У делится на 7. Кроме того, Z намного меньше, чем z. Следовательно, равенство z14 — хи = 2й!/1* {к ^ 0, 1 \ у) невозможно из-за бесконечпого спуска. :) Должен чистосердечно признаться, что я пе разобрался в нем до конца
Глава 4 КУММЕРОВА ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 4.1. События 1847 года Сообщения Парижской Академии и Прусской Академии в Бер- лине за 1847 г. рассказывают о драматическом эпизоде в истории Последней теоремы Ферма. Эпизод начинается докладом, сделан- ным 1 марта на собрании Парижской Академии ([А1], стр. 310), в котором Ламе объявил, испытывая, вероятно, сильное волнение, что он нашел доказательство невозможности равенства хп -J- уп = = zn для к >2 и, следовательно, полностью решил эту давнюю знаменитую проблему. Краткий набросок доказательства, который дал Ламе, был, как он несомненно осозпал позже, увы, недостаточ- ным, и нет необходимости рассматривать его здесь в подробностях. Однако его основная идея была простой и убедительной и оказа- лась центральной в последующем развитии теории. Доказатель- ства случаев п = 3, 4, 5, 7, которые были найдены к тому вре- мени, все опирались на такие алгебраические разложения, как х3 + У3 ~ (х + У) (х2 — ху -f- У2) в случае п ¦¦= 3. Ламе ощущал, что все большие затруднения при переходе к большим п вызывают- ся ростом степени одного из сомножителей в этом разложении, и высказал мысль, что их можно преодолеть, полностью разложив выражение хп -f- yn на п линейных сомножителей. Это можно сделать посредством введения такого комплексного числа г, что гп = 1, и использования алгебраического тождества хп _|_ уп = (a; _f_ у) (а; + гу) (х + г2у) ... (х + гп~1у) (п нечетно). A) (Например, если г = cos Bn/n) -f i sin Bя/ге) = е2я'/™, то полипом Хп — 1 имеет п различных корней 1, г, г2, . . ., г™, и па осно- вапии элементарных алгебраических соображений мы имеем: Хп — 1 = (X — 1) (X — г) (X — г2) ... (X — г"-1); полагая X = —х/у и умножая на —уп, получаем искомое тождество A). Если говорить очень коротко, то идея Ламе состоит в применении технических приемов, использовавшихся ранее для элементар- ного, неполного разложения выражения хп 4- уп (в частных слу- чаях), к его полному разложению. Именно, он собирался показать, что если х и у таковы, что сомножители х -\- у, х -\- гу, . . . . . ., х -f- rn-1y попарно взаимно просты, то равенство хп -\- уп = = zn обязывает каждый сомножитель х -{- у, х + ГУ, • • • быть
4.1. События 1847 года 97 п-& степенью, и извлечь отсюда невозможный бесконечный спуск. Если же х -J- у, х -\- гу, . . . не взаимно просты, то оп собирался показать, что они имеют такой общий для них всех множитель т, что числа (х -[- уIт-> (х -\- гу)/т, . . ., (х + гп~хуIт уже взаимно просты, а затем и к этому случаю применить сходный прием. Ни на минуту не сомневаясь в том, что идея такого привлече- ния комплексных чисел — это ключ, который мог бы отпереть дверь к Последней теореме Ферма, Ламе восторженно сказал, что он не может отнести этот успех целиком на свой счет, поскольку идея была ему подсказана его коллегой Лиувиллем в случайном разговоре за несколько месяцев до этого. Однако Лиувилль со своей стороны не разделил энтузиазма Ламе. Он взял слово после выступления Ламе лишь затем, чтобы высказать некоторые сомне- ния относительно предложенного доказательства. Он отказывался признать какой бы то пи было свой приоритет в идее введения комплексных чисел, указывая, что многие другие математики, и среди них Эйлер, Лагранж а), Гаусс, Коши и «более всех Якоби», использовали в прошлом комплексные числа сходным образом. Сказанное им практически сводилось к тому, что замысел Ламе входит в число первых идей, которые пришли бы в голову компе- тентному математику, впервые соприкоснувшемуся с этой пробле- мой. Более того, он отметил, что предложенное Ламе доказатель- ство содержит весьма важпый, по его мнению, пробел. Прав ли Ламе, спрашивал он, утверждая, что каждый сомножитель являет- ся n-й степенью, если он доказал лишь, что сомножители взаимно просты и что их произведение есть п-я степень? Конечно, в случав обычных целых чисел это утверждение было бы справедливо, но доказательство опирается 2) на разложение целых чисел на простые сомножители, и никоим образом не ясно, что необходимые технические средства применимы к тем комплексным числам, для которых эти средства были нужны Ламе. Лиувилль чувствовал, что никакой восторг не оправдан, если (или пока) этот трудный вопрос не решен. Коши, выступивший после Лиувилля, казалось, поверил в то, что Ламе, возможно, добьется успеха, поскольку оп поторопился напомнить, что им самим в октябре 1846 г. на заседании Академии г) Лиувилль не говорил об этом и мог этого не знать, но Лагранж действителыто явно упоминал разложение (х + у) (х-\-ту) ... (х + гп~1у) = = хп + уп в связи с Последпей теоремой Ферма [L3]. 2) Тот факт, что Лиувилль сразу заметил этот пробел и тотчас же увидел, что он связан с проблемой доказательства однозначности разложения на про- стые сомножители тех комплексных чисел, о которых идет речь, указывает, как мне кажется, па то, что Лиувилль, а возможно, и другие математики того времени хорошо знали о недостатках рассуждения на эту тему в «Алгебре» Эйлера (см. § 2.3). Тем не менее я не знаю ни одного автора того или более раннего периода, который бы критиковал доводы Эйлера. 7 Г. Эдварде
98 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей была высказана идея, могущая, как он считал, привести к дока- зательству Последней теоремы Ферма, но ему не хватило времена для ее дальнейшего развития. Сообщения о собраниях последующих недель свидетельствуют о большой активности со стороны Коши и Ламе в попытках осу- ществления своих идей. Ламе признавал логическую законность, критики Лиувилля, но ни в коей мере не разделял его сомнений относительно правильности окончательного результата. Он утвер- ждал, что его «леммы» дают способ разложения рассматриваемых комплексных чисел на множители и что все изученные им пример» подтверждают единственность разложения на простые множители. Он был уверен, что «не может быть непреодолимого препятствия между таким полным подтверждением и строгим доказательством». На собрании 15 марта Ванцель заявил, что он доказал единст- венность разложения на простые, но его доводы покрывали толька легко проверяемые случаи п <; 4 (п = 2 есть случай обычных целых чисел, п = 3 по существу представляет собой случай, исследованный в § 2.5, а случай п = 4 был наскоро доказан Гаус- сом в его классической статье о биквадратичных впчетах); относи- тельно остальных случаев он просто сказал, что, «как легко- видеть», те же рассуждения применимы при п >4. Однако это- не так, и Коши сообщил об этом 22 марта. Начиная с этого вре- мени Коши пускается в длинную серию статей, в которых он сам пытается обосновать алгорифм деления для рассматриваемых комплексных чисел — «радикальных полиномов», как он их назы- вает,— из которого он мог бы заключить, что единственность разложения имеет место. В сообщениях от 22 марта зарегистрировано, что Коши и Ламе оба депонировали в Академию «секретные пакеты». Депонирование- секретных пакетов было неким установлением Академии, которое позволяло ее членам прибегать к регистрации, в качестве их собственности, некоторых идей в некоторый момент времени — не раскрывая самих этих идей — на случай, если позже возникнет дискуссия о приоритете. В свете событий марта 1847 г. почти нет сомнений в содержании этих двух пакетов. Однако, как оказа- лось, никаких приоритетных споров по поводу единственности разложения и Последней теоремы Ферма не возникло. В последующие недели Ламе и Коши оба опубликовали заметки в сообщениях Академии; эти заметки досадно неясные, неполные- и неубедительные. Затем, 24 мая, Лиувилль опубликовал в сооб- щениях письмо Куммера из Бреслау, которое заканчивало или должно было закончить всю дискуссию. Куммер написал Лиувил- лю, чтобы сообщить ему, что его сомнения относительно неявного использования Ламе единственности разложения были вполне обоснованными. Куммер не только утверждал, что единственность разложения не имеет места, он включил в свое письмо копин>
4.1. События JS47 года 99 статьи 1К61, которую опубликовал х) тремя годами раньше и в ко- торой продемонстрировал отсутствие единственности разложения как раз там, где Ламе утверждал, что она имеет место. Тем не менее, писал далее Куммер, теория разложения может быть «спа- сена» введением нового типа комплексных чисел, которые он назвал «идеальными комплексными числами»; эти его результаты были опубликованы годом раньше в сообщениях Берлинской Акаде- мии 2) в форме резюме [К7], а полное изложение их появилось в Журнале Крелля [К8]. В течение долгого времени оп занимался приложениями этой новой теории к Последней теореме Ферма. Б письме оп сообщил, что ему удалось свести ее доказательство для данного п к проверке двух условий для этого п. Относительно деталей этого приложения и его двух условий он отсылал к замет- ке, опубликованной им в том же месяце в сообщениях Берлин- ской Академии A5 апреля 1847 г.). Там оп действительно приводит полностью эти два условия и говорит, что у пего «есть основания полагать», что п = 37 не удовлетворяет им. Записей о реакции ученых мужей Парижа на такие потря- сающие новости не сохранилось. Ламе просто замолк. Что же касается Копш, он, то ли из упрямства, то ли потому, что вложил меньше усилий в успех единственности разложения, продолжал публиковать свои неясные и неубедительные статьи в течение еще нескольких педель. В своей единственной прямой ссылке на Кум- мера оп говорит: «То немногое, что [Лиувиллем] было сказано [о работе Куммера], убеждает меня в том, что выводы, к которым пришел г-н Куммер, по крайней мере отчасти совпадают с теми, к которым я сам пришел, продолжая свои прежние исследования. Если г-п Куммер продвинул этот вопрос на несколько шагов дальше и если он действительно преуспел в преодолении всех препятствий, я первым буду аплодировать его усилиям; больше всего мы желали бы, чтобы усилия всех друзей пауки объедини- лись для познапия и распространения истины». Л затем оп про- должает игнорировать — вместо того, чтобы пропагандировать — работу Куммера и пускается в погоню за своими собственными идеями, изредка лишь обещая при случае связать свои утвержде- ния с работой Куммера. Но эти обещания так и не были выполнены. К концу лета оп тоже впал в молчание по поводу Последней теоре- мы Ферма. (Однако Коши отнюдь не был молчальником; просто х) Нужно признать, однако, что Куммер избрал для со опубликования малоизвестное место. Лиувилль перепечатал ее в своем Журнале чистой ч прикладной математики (Journal de Mathematiques Pures et Appliquees) и 1847 г., и тогда она, должно быть, впервые дошла до широкой аудитории. 2) Эта заметка была также перепечатана в Журнале Крелля в 1847 г. (Апглийский перевод с большим количеством ошибок содержится в книге IS21.) Креллевская перепечатка дает неправильную дату 1845 г. первоначаль- ной публикации; точная дата —1846 г. 7*
100 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей он интенсивно начал печатать поток статей по математической астрономии.) Тем самым поле битвы осталось за Куммером, за которым оно фактически и было уже в течение трех лет. Принято думать, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» под влиянием интереса к Последней теореме Ферма, по это убеждение безусловно ошибочно. То что Куммер для обозначения простого числа использовал букву X, для записи «корня X-ik степени из единицы», т. е. для решения уравнения а* =1, — букву а, и то, что он изучал х) разложения простых чисел р за 1 (mod X) па «комплексные числа, составленные из корней л-й степени из единицы»,— все это явно указывает на статью Якоби [J2], которая посвящена высшим законам взаимно- сти. Мемуар Куммера 1844 г. был адресован Университетом Бресту Кёпигсбергскому университету в честь празднования его юбилея, и этот мемуар определенно посвящался Якоби, который в течение многих лет был профессором в Кенигсберге. Правда, Куммер в 1830-е годы занимался Последней теоремой Ферма и, по всей вероятности, осознавал, к каким последствиям для этой теоремы могла бы привести его теория разложения, однако пред- мет, которым интересовался Якоби, а именно, высшие законы взаимности, был для пего безусловно более важным и тогда, и позднее. В то самое время, когда он положил конец попыткам доказательства, предпринятым Ламе, и предложил взамен свое собственное частичное доказательство, он относился к Последней теореме Ферма скорее как к «любопытной диковинке из теории чисел, чем к важному вопросу», а позже, когда он опубликовал свой вариант высшего закона взаимности в форме недоказанной гипотезы, он говорил о высших законах взаимности как о «глав- ном предмете и о вершине современной теории чисел». Часто рассказывают легенду о том, что Куммер, подобно Ламе, верил в то, что он доказал Последнюю теорему Ферма, до тех пор, пока ему не сказали — по легенде, это был Дирихле,— что ею аргументация опирается на недоказанное утверждение о единственности разложения па простые. Хотя эта легенда и не паходится в явном противоречии с тем фактом, что Куммера иптересовали прежде всего высшие законы взаимности, имеются другие причины усомниться в ее достоверности. Впервые она появилась в лекции памяти Куммера, прочитанной Гепзелем в 1910 г., и хотя Гепзель аттестовал свои источники как достовер- ные п назвал их имена, все же не стоит забывать, что легенда пересказывалась из третьих рук и через 65 лет после событий, о которых в ней говорилось. Кроме того, лицо, рассказавшее ее Ген- зелю, по-видимому, не было математиком, и легко вообразить, г) Момуар 1844 г. касался разложения только таких р. Общая проблема уазложепия охватывалась последующими работами 1846 и 1847 гг.
4.2. Круговые целые 101 как из неправильпо понятых фактов могла вырасти эта история. Легенда Гепзеля могла бы подтвердиться, если бы нашелся «под- готовленный к публикации черновик», который Куммер якобы написал и отправил Дирихле. Но пока этого не произошло, и этой истории следует относиться с большой долей скептицизма. Сомнительно, чтобы Куммер допустил единственность разложения, и еще более сомнительно, что он сделал это неосознанно в статье, которую он собирался опубликовать 1). Эта глава целиком посвящепа теории разложения комплексных чисел вида а0 -+- ага -f- a2ai ~г ¦ ¦ ¦ + ax-i^x~1 fao, Яц ¦ ¦ -, ai-i — целые), «построенных» из комплексного корня а уравнения а.% = 1, и теории «идеальных комплексных чисел», или дивизоров, которые Куммер ввел, чтобы «спасти» единственность разложения на простые для таких чисел. Следующая глава посвящается дальнейшему развитию этой теории, и только в последнем ее параграфе мы займемся приложением этой теории к Последней теореме Ферма. К этому моменту мы сможем очень просто сфор- мулировать два условия Куммера и сможем доказать Последнюю теорему Ферма для всех простых чисел, которые им удовлетво- ряют. Вся эта работа была завершена Куммером к И апреля 1847 г., через несколько недель после 1 марта, когда Ламе сделал свое сообщение. 4.2. Круговые целые В этой главе мы попытаемся показать, что Куммер, жадный до вычислений подобно всем другим великим математикам, шел к своим открытиям не при помощи абстрактных размышлений, а накапливанием опыта в проведении многочисленных конкретных вычислительных примеров. Умение хорошо считать ценится теперь пе слишком высоко, и мысль о том, что вычисления могут достав- лять удовольствие, редко высказывается вслух. Однако Гаусс когда-то сказал, что он считает излишней публикацию полной таблицы классификации бинарных квадратичных форм, «посколь- ку A) кто угодно, после приобретения небольшого навыка, может легко и без большой затраты времени вычислить, если ему это понадобится, таблицу любого конкретного детерминанта... B) по- скольку такая работа имеет прелесть сама по себе, так что полу- чаешь истинное удовольствие, потратив четверть часа на ее вы- полнение для самого себя, тем более что C) слишком редко пред- ставляется случай этим заняться» 2). Можно было бы назвать еще Ньютона и Римана, проводивших длинные вычисления только ради развлечения. Материал этой главы, поскольку речь идет х) Более полное обсуждение этого вопроса см. в ЕЗ] и [Е4]. 2) Цитируется по Смиту [S3], стр. 261, из письма Шумахеру.
102 Гл. 4. Нуммерова теория идеальных делителей о более абстрактном понятии «числа», чем понятие положитель- ного целого числа, по необходимости оказывается несколько более трудным, чем материал предыдущих глав. Тем не менее каждый, кто уделит время проведению вычислений, несомненно убедится в том, что и сами эти вычисления и теория, которую развил из них Куммер, вполне ему посильны, а может быть, он найдет, не обязательно признавая это вслух, такую деятель- ность даже приятной. Куммер использует букву X для обозначения простого числа и букву а для обозначения «мнимого» корня уравнения ах — 1, т. е. комплексного корня этого уравнения, отличного от 1. Проб- лема, которую он ставит, заключается в разложении на простые сомножители чисел, «построенных» (gebildeten) из а повторным применением сложения, вычитания и умножения, т. е. чисел вида ao+aia + a2a2+ ... -f a^a*-1, A) где а0, аи . . ., аЛ_! — целые. (Чтобы понизить все степени числа а с показателями больше X — 1, мы пользуемся равенства- ми а1 = 1, а'>+1 = а, ах+2 = а2, .... Значение X фиксировано на протяжении всего обсуждения.) Эти числа, которые Коши называл «радикальными полиномами», а Куммер и Якоби рас- сматривали как специального типа «комплексные числа», теперь называют круговыми целыми х) ввиду геометрической интерпрета- ции числа а как такой точки на окружности | z | = 1 комплексной z-плоскости, которая производит деление окружности на X равных частей, а также ввиду важной роли, которую эти комплексные числа играют в гауссовой теории деления круга. Таким образом, в современной терминологии, проблема, поставленная Кумме- ром — а до него Якоби,— это проблема разложимости круговых целых. Вычисления над круговыми целыми выполняются очевидным образом с использованием коммутативного, ассоциативного и дис- трибутивного законов и равенства ах = 1. Например, при X = 5, (а + а2 + За4) (а2 — 2а3) = (а + а2 + За4) а2 - (а -f- а2 + За4) X X Bа3) = а3 + а4 + За« — 2а4 — 2а5 — 6а7 = а3 + а4 + За — — 2а4 — 2 — 6а2 — — 2 + За — 6а2 + а3 — а4. Далее, так как круговые целые являются частным случаем комплексных чисел, обе части равенства можпо сокращать па ненулевой общий сомно- житель, т. е. если / (a) h (а) = g (а) h (а) и h (а) ф 0, то / (а) = = g (а). ') Возпикаот покий тормипологичоский нюаис из-за того, что должно под- разумеваться некоторое значение X. Сказать: «данное комплексное число яв- ляется" круговым целым^яедэстаточцо, пуяшо еще добавить «для такого-то Я». В последующем тексте предполагается, что всегда будет понятно, каково конкретное значение X, и используется краткий термин «круговое целое».
4.2. Круговые целые 103 Эти правила вычислений имеют несколько неожиданное след- ствие: представление круговых целых в виде A) не однозначно. Например, из 1 + a -f- а2 + . . . + ах~г = ах + а + а2 + • • • . . . + ах~г = а A + а + а2 + ... -f- а1'1) вытекает, что либо 1 4- а + а2 + ... + а* = 0, B) либо а = 1. Так как специально потребовано, что а Ф 1, то соот- ношение B) есть следствие основных предположений. Но из него вытекает, что а*-1 = (а0 + с) + (а4 + с) а + • • • + («j.-i + с) а*~* C) для любого целого с, т. е. круговое целое, записанное в виде A), не изменится, если ко всем коэффициентам а* добавить одно и то же целое число с. Отсюда получается (если взять с = —a\-i), что каждое круговое целое может быть записано в виде A) с а^_1 = = 0; в практических вычислепиях оказывается неудобным настаи- вать на приведении круговых целых к такому виду, а лучше работать с ними в форме A), имея в виду соотношение C). Естественно возникает вопрос, нет ли других непредвиденных соотношений среди чисел вида A). Ответ отрицателен, и именно для этого и предполагается, что X — простое. (Если X = 4, то а = ±i и 1 -f- а2 = 0 или а = —1 и 1 -f- а = 0. В более общем случае, если X = jk, то 0 = 1 — <хх — A — оф A + а3 + а2; +... . . . + а%~') и один из сомножителей должен быть нулем.) Итак, если а0 + ага -f- . . . + а^а?--1 = b0 -j- Ьга + . . . + Ьх-^1'1, то обязательно а0 — Ьо = аг — Ьг = ... = а^-х — Ь\^, так что это соотношение соответствует формуле C). Эта теорема, являю- щаяся, конечно, основной в изучении круговых целых, была доказана Гауссом в начале раздела, посвященного циклотомии, в его Disquisitiones Arithmeticae. Простое доказательство при- ведено в упр. 15. Куммер пользовался обозначением / (а) (или g (а), <р (а), F (а) и т. д.) для круговых целых вида A). Большое преимущество такого обозначения в том, что оно позволяет писать / (а2) для кругового целого, получаемого из / (а) заменой а на а2, а2 на a4v as на а6 и т. д., и, используя равенство ах ~ 1, приводить резуль- тат к виду A). Для того чтобы доказать законность такой опера- ции, нужно показать, что из / (a) = g (а) вытекает / (a2) = g (a2). Это следует из замечания, что если / (a) = g (а), то / (а) идентично g (а) + с A + а + а2 + ... + ах~г) для некоторого целого с; тогда / (а2) идентично g (а2) + с A + а2 + а* + . . . + а2х~2), где степени а} при / > X в 1 + а2 + а4 + ... + азд~2 нужно привести к виду а^~х. Таким образом, утверждение, которое нужно доказать, сводится к тому, что если через ср (а) обозначено
104 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей 1 + а + а2 + ••• + а*-'1, то ср (а2) идентично ф (а), а этот факт легко следует из того, что для каждого целого / существует точно одно такое целое /' (mod X), что 2/' == / (mod X) (см. приложение, § АЛ). Точно таким же способом оказывается, что имеют смысл все числа /(а3), /(а4), . . ., / (ах~г). (Однако это не относится к / (а*), поскольку, например, 1 + а = —а2 — а3 — а* при X = 5, но 1 + а5 Ф —а10 — а15 — а20, так как в левой части стоит 2, а в правой —3.) Круговые целые / (а), / (а2), / (а3), . . . . . ., / (ах~г) называются сопряженными числа /(а). Ясно, что- отношение сопряженности есть отношение эквивалентности: / (а) сопряжено /(а); если g (а) сопряжено /(а), то /(а) сопряжено- g (а), и если g (а) сопряжено / (а), a h (а) сопряжено g (а), то h (а) сопряжено / (а) (упр. 8). Сопряжение круговых целых можно интерпретировать иначе. Действительно, относительно а предполагается только, что о^ = = 1 и а Ф 1. Если а — любое число с этими свойствами, то таки- ми же являются а2, а3, . . ., ах~2 (при условии, конечно, что- X — простое). Поэтому сопряжение можно рассматривать как операцию замены того корня уравнения ах = 1 (а ф1), через который выражены круговые целые. Для любого кругового целого / (а) Куммер обозначает через- Nf (а) произведение всех X — 1 сопряженных числа / (а): Nf (а) = / (а) / (а2) ... / (аМ). Он называет это произведение нормой числа / (а) и приписывает этот термин Дирихле. Норма Nf (а) любого кругового целого оказывается действительно целым числом. Чтобы доказать это, достаточно заметить, что любое сопряжение а н-* a3 (J = 1, 2, ... . . ., X — 1) разве лишь переставляет сомножители произведепия, которым определено Nf (а), и, значит, оставляет Nf (а) неизмен- ным. Таким образом, Nf (а) = Ъо + Ьга + &2а2 + . . . + Ъ\^ах~г равно числу b0 + bxaj + b^a^ + . . . + &^_1aa~1>;! для / = = 2, 3, . . ., X — 1. Но из b0 + bjaj + . . . = b0 + b^ + . . . следует, что bj — Ьг = b0 — b0 = 0. Значит, bj = Ьг для / = = 2, 3, ..., X -1иЯ/(а) = Ьо + М« + «2 + . . . + а*) = = Ьо — Ьг — целое число. Более того, Nf (a) — положительное целое число, кроме случая / (а) = 0, Nf (a) = 0; в этом можно убедиться, если заметить, что а1 = а (где а обозначает комп- лексно сопряженное числа а), откуда а* = а2, . . ., / (а^) = = / (а), / (ах~2) = / (а2), . . . и Nf (а) оказывается произведением неотрицательных вещественных чисел (в количестве (X — 1)/2), которые положительны, если только не случится, что / (а?) = О для некоторого, а следовательно, и для всех / = 1, 2, . . ., Я, — 1 (упр. Ю).
4.2. Круговые целые 105 Норма, очевидно, обладает следующим свойством: если / (a) g (а) = h (а), то Nf {a)-Ng (а) = Nh (а). Таким образом, разложение кругового целого числа на два круговых целых со- мпожителя влечет за собой разложение обычного целого числа Nh (а) на два обычных целых сомножителя. Например, при % = 7 круговое целое а5 — а4 — За2 — За — 2 имеет норму 1247 (упр. 5). Так как 1247 есть произведение точно двух простых: 1247 = 29-43, то имеются в точности две возможности разложения числа а5 — а4 — За2 — За — 2; первая, когда один сомножитель, имеет норму 1, а другой — норму 1247, и вторая, когда один; сомножитель имеет норму 29, а другой — норму 43. Круговое целое с нормой 1 называется единицей. Если / (а)- является единицей, то произведение / (а2) / (а3) . . . / (а1'1), будучи умножено на / (а), дает 1; поэтому / (а2) / (а3) . . . / (а*-1) называется обратным к / (а) и обозначается / (а). Обратно, если / (а) есть круговое целое, для которого имеется круговое целое- g (а) со свойством: /(а) g (а) = 1, то легко показать (упр. 14),. что / (а) является единицей и g (а) = / (а2) / (а3) . . . / (а1'1). Единица / (а) является делителем любого кругового целого h (а), поскольку h (а) = / (а) g (а), где g (а) = / (а) -h (а). По этой, причине «сомножители» нормы 1 ничего не говорят о том числе,, которое разлагается, и не считаются его истинными делителями. Таким образом, в упомянутом выше примере лишь то разложение числа а5 — а4 — За2 — За — 2, при котором один сомножитель, имеет норму 29, а другой — норму 43, считалось бы «разложе- нием». Говорят, что круговое целое h (а) неразложимо, если оно. не имеет истинных разложений в указанном смысле, т. е. если- любое его разложение h (а) = / (а) g (а) тривиально: либо / (а),, либо g (а) — единица. Можно было бы соблазниться назвать неразложимое круговое целое h (а) «простым», но имеется другое, более сильное свойство, которому должно удовлетворять круговое целое, для того чтобы оно называлось «простым». Именно, говорят, что круговое целое h (а) является простым, если оно только тогда делит произведепие / (a) g (а), когда оно делит один из. сомножителей. Точнее, говорят, что к (а) — простое, если сущест- вуют круговые целые, которые на него не делятся (т. е. h (a) пе является единицей), и если произведение любых двух круго- вых целых, каждое из которых не делится па h (а), есть круговое целое, не делящееся на h (а). Легко видеть, что простое круговое Целое неразложимо (упр. 18). Для обычных целых чисел нераз- ложимость влечет за собой простоту («Начала» Евклида, Книга VII, предложение 24). Тот факт, что существуют круговые целые, которые неразложимы, по не просты, лежит в основе отсутствия однозначности разложения; именно поэтому # понадобилась кумг мерова теория идеальпой факторизации.
106 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Как упомянуто в предыдущем параграфе, Коши и другие мате- матики потратили значительные усилия на то, чтобы пайти алго- рифм деления для круговых целых, т. е. процесс деления с остат- ком, подобный тому, который применял Евклид при изучении свойств делимости положительных целых чисел (см. приложение, § А.1), и тому, который применял Гаусс при изучении свойств делимости «целых» вида а + Ы. Даже Куммер в своей статье 1844 г. пытался воспользоваться таким делением с остатком для круговых целых. В то же самое время Куммер показал, как вос- пользоваться нормой для практического деления, т. е. еще в 1844 г. указал процесс, о котором Ламе, по-видимому, ничего не знал в 1847 г. Пусть даны два круговых целых / (a), h (а); определить, имеется ли такое круговое целое g (а), что f (а) g (а) = h (а), и если да, то найти g (а). В этом состоит задача обычного деления, и Кум- мер решил ее следующим образом. Если / (а) = 0, то g (а) суще- ствует только тогда, когда h (а) = 0, и в этом случае подойдет любое g (а). Значит, достаточно рассмотреть случай /(а) фО. Пусть сначала число / (а) — а0 -\- ага + а2а2 + . . . 4- а^^а^ есть обычное целое число а0, т. е. может быть записано в таком виде, что аг — а2 — . . . = ах_г = 0. Тогда равенство/ (a) g (а) = = h (а) показывает, что все коэффициенты числа h (а) кратны /(а) = а0 фО. Правда, такое условие не является содержатель- ным, поскольку оно зависит от представления числа h (а) в виде A). Однако его можно переформулировать так, что опо окажется независимым от этого представления. Это можно сделать, сказав,, что если h (a) = aog (а), то все коэффициенты числа h (а) попарно сравнимы по модулю а0. Но это необходимое условие, очевидно, является и достаточным, ибо если все коэффициенты числа h (a) =. = Ьо + &ja + . . . + bx-iOfi'1 сравнимы друг с другом по модут, лю а0, т. е. bt = bj (mod a0), то все коэффициенты этого же числа,} записанного в виде h (а) = (b0 — b^-i) + (?>i — ^Ч-i) а + • • < . . . + {bx-i — bx-i) ах~г, делятся на а0, и h (а) можно предста-* вить в виде h (a) = aog (а). Это решает задачу деления в случав / (а) = а0. Понятие нормы позволяет свести общий случай задаче к этому частному случаю. Достаточно заметить, что равенство / (a) g (а) = h (а) эквивалентно равенству Nf (а) • g (а) = h (а) Х( X / (а2) / (а3) • • • /(а*); это показывает, что /(а) делит h (а) тогда и только тогда, когда целое число Nf (а) делит h (a) / (а2) Х| X / (а3) . . . / (а^), причем если это так, то частное g (а) в обои^ ¦случаях одно и то же. Этот способ деления не вполне удовлетво^ рителен, поскольку вычисление значений Nf (а) и h (а) / (а2) >i X / (а3) . . . / (а1'1) может быть очень длинным, по он показки вает, что вопрос о делимости действительно имеет определенны! ответ, который может быть получен за конечное число гов.
4.2. Круговые целые 107 Если для данных / (a), h (а) имеется такое g (а), что / (а) g (а) = = h (а), то говорят, что / (а) делит h (а) или h (а) делится на / (а). Обозначение / (a) \h (а) означает «/ (а) делит h (а)», а обозначение f (a) \ h (а) означает «/ (а) не делит h (а)». Утверждение, что / (а) делит h (а), можно также записать в виде h (а) = 0 (mod / (а)). Более общо, запись hx (а) = й-2 (а) (mod / (а)) означает, что / (а) делит ^ (а) — h2 (а). Такова в общих чертах арифметика круговых целых. Прежде чем перейти в следующем параграфе к подробному изучению их разложения, стоит, может быть, сделать паузу и обсудить подоплеку этой арифметики. Куммер неизменно ссылается на кру- говые целые как на «комплексные числа», и, по крайней мере на современный слух, это наводит на мысль геометрическую картину *) для них как точек «комплексной плоскости». Этот взгляд на круговые целые имеет то преимущество, что делает некоторые свойства — в первую очередь свойство Nf (a) ^- 0 — легко доказываемыми; однако он ничем не помогает в понимании других свойств, например свойств разложения круговых целых, которые являются главным предметом этой главы. Кронекер, который был студентом и близким сотрудником Куммера, много лет спустя предлагал (см. [К2] и [КЗ]) подходить к круговым целым абстрактно и алгебраически как к множеству всех выра- жений вида A) со сложением, вычитанием и умножением, опреде- ленными очевидным образом, и с единственным соотношением 1 -г а -г а2 + . . . -f- a1'1 = 0. Этот подход более в духе алгеб- ры сегодняшнего дня, и читатель, изучавший современную алгеб- ру, узнает в этой конструкции факторкольцо кольца полиномов от одной переменной с целыми коэффициентами по идеалу, порож- денному полиномом 1 + а + а2 + ... + а1. Главное достоин- ство этого подхода в том, что он выделяет алгебраические правила вычислений в арифметике круговых целых (которые легко усваи- ваются даже теми, кто не привык к комплексным числам) и отодви- гает на задний план все другие рассмотрения* Упражнения 1. 2 + а + За2 — 2а3 = — а + а2 — 4а3 — 2а* (Я. = 5).' Пусть f (а) есть левая часть этого равенства, g (а) — правая часть. Докажите, что /(а3) = g (а3). Имеет ли место равенство / (а6) = g (а)? х) Эта геометрическая картина ясно описана в и. 38 второй статьи Гаусса (G6] о биквадратичной взаимности. Интересно отметить, что в этой статье, которая предшествует статьз Якоби, как последняя предшествует статье Куммера, Гаусс ясно говорит (замечание в конце п. 30), что для изучения куби- ческих вычетов нужно было бы рассматривать комплексные числа, построен- Qi'ie при помощи кубического корня из единицы, а для изучения высших вычетов нужно было бы таким же способом «ввести другие мнимые величины».
108 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей 2. Умножение круговых целых можно выполнять как умножение поли- помов. Например, умножение (а4 + 7а2 + 5а + 1) • Bа3 + За2—а + 2) (upa X = 5) можно выполнить по следующей схеме: 3 0 -1 0 14 1 0 2 0 21 10 0 2 0 -7 15 2 7 3 14 -5 3 5 -1 10 - 1 1 2 2 2 3 13 33 10 12 9 2 и найти произведение 2а7 + .V в + 13а& + 33а* + 10а3 + 12а2 + 9а + 2 =¦ = B + 12) [а2 +LC + 9) а + ( 13 + 2) + 33а* + Юа3 = -а2 - За + 0 +- + 18а* — 5а3. Эффективнее пристроить к этой схеме соотношение а7+;' = = а-?, записыпая даппое умножение в виде 1 0 2 0 21 10 0 2 0 -7 15 2 7 3 14 -5 3 2 5 _ j 10 - 1 3 0 1 2 2 - I 0 14 33 10 14 12 15=18 -5 -I -з 0. Используйте эту схему умножения для проверки ассоциативного закона в слу- чае произведения трех сомножителей (а* + 7а2 + 5а + 1)-Bа3 + За2 — — а+2) Dа* + 2а3 — а2 + 5) при X = 5. 3. Покажите, что при X = 3 норма любого кругового целого имеет вид (Л2 + ЗВ2)/4, где А и В^— целые числа одинаковой четности. Докажите, чтс в этом случае имеется точно 6 единиц, и найдите их все. 4. Покажите, что при Х\— 5 норма любого кругового целого имеет вир (А2 — 5В2)/4, где А ж В — целые числа одинаковой четности. [В произведе- нии / (а) / (а2) / (а3) / (а1) умножьте сначала / (а) на / (а1). Результат имеет вид а + Ь0О + C0J, где 6« — а + a*,! 9j = a2t'+ а3. Затем убедитесь, чтс- / (а2) / (а3) = а + bQ1 + с0о и норма имеет вид (Ь0О + с0х) F0! + с0о). О див из путей вычисления дает —(Л2 — 5В2)/4, что выглядит неверным, но тако- вым пе является.] Найдите бесконечное число единиц в этом случае. 5. Пусть X = 7 и / (а) = а6 — а4 — За2 — За — 2. В упр. 4 к § 4.4 будет использована формула Nf (a) = 1247. Выведите ее. [Сначала подсчитайте / (а) / (а2) / (а1) = а + Ь0О + с0:. Проводите вычисления, ка» в упр. 2.] 6. Покажите, что если / (a) = g (а), то / A) = g A) (mod X). Выведите отсюда, что Nf (a) = ОУили 1 (mod X) [теорема Ферма]. 7. Докажите, что / (а) +/ (а2) +... + / (а*) = —/ A) (mod X). Это дает второй вариант доказательства первой части упр. 6. [Сумм! /(!) + / (а) + / (а2) +••• + / (ах~1) легко записать в явном виде.] 8. Докажите, что если g (a) сопряжено (ос), а h (a) сопряжено g (a), то h (a) сопряжено / (a). [Заметим, что a v—*¦ a-* не является сопряжением.
4.2. Круговые целые 109 если X | /.] Докажите, что если g (а) сопряжено / (а), то / (а) сопряжено 9. Покажите, что если / (а) — бином Аа' + Bak, то результат упр. 6 можно следующим образом усилить: за исключением тривиальных случаев, когда Л и Б но взаимно просты или / s к (mod X), каждый простой делитель чпсла Nf (а) сравним с 0 или 1 (mod X). [/ (а) есть единица, умноженная на одно из сопряженных числа А + Ва, откуда (А + В) jjf (а) = Ах + ?\ jV/(a) = Л* — А%~гВ + . . .+ Я*-1. Если 1 — к + к2 — . . .+ кх~1^ == 0 (mod р), то к э —1 или кх = —1 (mod p), p =э 1 (mod Я,).] 10. Покажите, что а*1 есть комплексно сопряженное числа а- [Оба она умножаются, как а.] Выполните другие шаги доказательства утверждения V/ (а) > 0, данного в тексте. 11. Пусть Я. = 5. Тогда 38а3 + 62а2 + 56а + 29 долится на За3+ + 4а2 + 7а + 1. Найдите частное. [Используйте способ деления, объяснен- пый в тексте, и алгорифм умножения из упр. 2.] 12. Докажите, что / (а) делится па а — 1 тогда и только тогда, когда f A) s 0 (mod Я,). [Примените теорему о делении с остатком.] Это дает третье доказательство первой части упр. 6. Заметим, что в упр. 11 оба числа — и делимое и делитель — делятся на a — 1. Выполните оба делспия и тем самым упростите решение упр. 11. 13. Пусть Я, = 5. Выберите два круговых целых и подсчитайте их про- изведение. Затем используйте данный в тексте способ деления для того, чтобы разделить произведение на один из сомножителей. Проделайте то же самое для X = 7. 14. Покажите, что если / (а) и g (a) — такие круговые целые, что / (a)g (a) = 1, то / (а) является единицей и g (a) = / (a2) / (a3) . . . / (a*1). [Проще всего доказать, что Nf (a) = +1, и использовать тот факт, что норма неотрицательна.] 15. Это упражнение посвящено доказательству того, что круговые целые пе удовлетворяют никаким другим соотношениям, кроме указанных в тексте. Пусть / (а) = 0 есть соотношение такого типа, т.е./ (X) есть полином от одной переменной с целыми коэффициентами, обращающийся в нуль, когда комплекс- ное число а подставляется в него вместо переменной X. Поскольку а*" = 1, a^1 = a, . . ., очевидно, можно допустить, что степень полинома / (X) пе превосходит X — 1. Нужно доказать, что / (X) должен быть кратным поли- пома X*-1 + Xх'2 + . . . + X + 1. Пусть h (X) = Xх-1 + Xх'2 '+ . . . . . . + X + 1. Найдется такое целое а, что / (X) — a-h (X) имеет степень, меньшую X — 1, и обращается в нуль при X = а. Таким образом, достаточно доказать, что если степень / (X) меньше X — 1 и / (а) = 0, то / (X) есть поли- ном, равный 0. Допустим, что это не так, т. е. допустим, что / (X) Ф 0, / (X) имеет степень, меньшую X — 1, и / (а) = 0. Тогда a -h (X) = q (X) f (X) + + г (X), где а — целое число, q (X) и г (X) — полиномы с целыми коэффи- циентами и г (X) имеет меньшую степень, чем / (X). Если г (X) Ф 0, то заме- пнм / (X) на г (X) и повторим процесс. Значит, можно допустить, что a -h (X) = ¦— q (X)-f (X). Если а Ф +1, то имеется такое простое р, что q (X) f (X) = з= 0 (mod р). Отсюда вытекает, что q (X) = 0 или / (X) = 0 (mod p). Следо- вательно, равенство a-h (X) = q (X) f (X) можно сократить на р. Таким обра- зом, можно считать, что h (X) — / (X) -g (X). Рассмотрим это соотношение но модулю X. Имеем: h (/) = 0 для / =з 1, но h (/) = 1 для /$ 1 (mod X). Иными словами, по модулю X полиномы h (X) и (X — 1)^~ принимают оди- наковые значения для всех целых значепий переменной X. Так как h (X) — — (X — l)^" есть полином степени, меньшей X (на самом деле меньшей X—1), псе значения которого при целых X равны нулю по модулю X, то рассуждение с разностями, подобное примененному в § 2.4, показывает, что h (X) = --=¦= (X — l)*- (mod X). Полином F (X) делится па X — 1 (mod X) тогда
110 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей и только тогда, когда F A) = 0 (mod %). Это верно либо для / (X), либо цля g (X), но не для обоих одновременно. Следовательно, либо / (X), либо g (X) делится на (X — I)*1 (mod %). Так как / (X) имеет степень, меньшую %—1, то g (X) обязан иметь степень X—1. Отсюда степень полинома / (X) равна нулю и условие / (а) = 0 дает/ = 0, т. е. получено противоречие. Восполните- детали этого доказательства. 16. Докажите чисто алгебраическими средствами, что если / (a) h (а) = = g (а) h (а) и h (а) Ф 0, то / (а) = g (а). [Достаточно рассмотреть случай g (а) = 0. Тогда / (а) удовлетворяет более слабому условию, чем / (а) в упр. 15, но можно провести то же самое рассуждение.] Единственное свойство круговых целых, которое не было доказано чисто алгебраическими средствами в этом параграфе, это свойство Nf (a) > 0 в упр. 10 *). 17. Докажите, что отношение сравнимости hx (a) = h2 (а) (mod / (а)), определенное в тексте, обладает при фиксированном / (а) свойствами отно- шения эквивалентности (т. е. рефлексивно [h (a) s h (а)], симметрично [h (а) = к (а) влечет за собой к (а) = h (а)] и транзитивно [если h (a) s = к (а) и к (а) е= g (а), то h (а) = g (а)]) и согласовано со сложением п умноже- нием (т. е. из hx (а) = Ь,г (а) и кг (а) = к2 (а) следует, что Ь,х (а) + кх (а) = = h2 (а) + к2 (а) и кг (а) кг (а) ^ й2 (а) к2 (а)). 18. Докажите, что простое круговое целое неразложимо. 19. Докажите, что для обычных целых чисел неразложимое целое- является простым. 4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %) Естественным первым шагом в изучении разложения круго- вых целых является попытка найти все простые в этой арифметике. В соответствии с определением предыдущего параграфа мы назы- ваем круговое целое h (а) простым, если оно не является единицей и только тогда делит произведение двух круговых целых, когда х) X. У. Ленстра, мл., прислал мне следующее алгебраическое дока- зательство того, что A7(a)Js0. Положим g (a)=/ (a)-/ (a2) ... / (a^'/2). Тогда. Nj (a) = g (a) g (ax~i) = g (a-?) g (ax~5) для / = 1, 2, ... Д— 1, и доста- точно показать, что ^ g (a-?) g (a?"~') ;> 0. Это верно для всех круговых j=i \-i целых g (a) = У] ai'a* (а нв только для тех, которые имеют вид f (a) ... ... / (a^^2), поскольку X-i \-l\-l\-l 2 *(«;)? («*-J) = 2 2 S 4*"aka>-h-* = =2 «i«* S «<г-ы=(^-D 2 «?- S t, ft j—1 i=0 0<t, = 2 (аг-аь
4.3. Ризложение простых чисел р = 1 (mod %) lit оно делит один из сомножителей, т. е. h (а) \ 1 и из h (a) \ f (a) g (a) вытекает, что h (а) | / (а) или h (а) \ g (а). При изучении Послед- ней теоремы Ферма мы сразу сталкиваемся с сомножителями в равенстве (х + у) (х + ау) (х + а?у) ... (х + а^-'^у) = z%. Поэтому настоящий параграф и следующий за ним посвящены задаче разложения биномов вида х + а3у (хну — взаимно про- стые целые числа, / = 1, 2, . . ., X — 1) и, в частности, задаче нахождения всех возможных простых делителей таких бино- мов. (Сосредоточение внимания на разложении биномов оправдано не только тем, что биномы сразу появляются в Последней теореме Ферма, но также и тем, что, как мы увидим в этой главе, простые делители таких биномов имеют наиболее ясный вид среди всех простых в арифметике круговых целых. Кроме того, именно эти простые делители изучал Куммер в своей первоначальной работе- 1844 г., посвященной разложению круговых целых. Правда, причины, побудившие его заняться этими частного вида делителя- ми, по-видимому, не имели никакого отношения к Последней теореме^ Ферма и были связаны скорее с работой Якоби [J21 о высших законах взаимности.) Мы будем действовать методом анализа, а именно, мы пред- положим, что простой делитель h (а) бинома х + а/у известен, и из этого предположения извлечем достаточно информации, чтобы во многих случаях сделать возможным построение таких простых делителей h (а). Тот факт, что в некоторых ситуациях конструктивный метод не дает ожидаемый делитель, привел Куммера сначала к наблюдению, что наивное предположение о единственности разложения несостоятельно, а затем к созданию теории идеальной факторизации, которая «спасает» единствен- ность разложения и доставляет мощный инструмент изучения арифметики круговых целых. Итак предположим, что h (а) есть простое круговое целое, которое делит бином х + aJy, где жиг/ — взаимно простые целые числа и а3 ф1. Тогда h (а) делит норму N (х -\- а/у), которая является обычным целым числом. Целое N (х -\- а?у) может быть записано в виде произведения простых целых, скажем N (х -\- -Ь а'у) = pjj>2 . . . рп (допускаются повторения), и, поскольку h (а) простое, одно из этих простых целых ри р2, . . ., рп должно делиться на h (а). Пусть р — некоторое простое целое число, Делящееся на h (а). Тогда h (а) не делит ни одно целое т, взаимно простое с р, поскольку в этом случае 1 = am -\- Ър для некоторых целых а и Ъ и h (а) \ т влекло бы за собой h (a) | 1 вопреки пред- положению, что h (а) не является единицей. Таким образом, Целые числа, которые делятся на h (а), суть кратные р и только они.
112 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Главным техническим приемом нахождения условий на h (a) будет рассмотрение сравнений по модулю h (а). Точнее, будет показано, что можно определить, сравнимы ли по модулю h (a) два круговых целых, даже если само h (а) не известно, а известны только р, х, у ж /. Этот факт очень помогает в анализе h (а) и по- следующем нахождении возможных простых делителей. Говорят, что два круговых целых / (а) и g (а) сравнимы по модули? третьего кругового целого h (а), и пишут / (а) = g (а) (mod h (а)), если h (а) делит разность / (а) —g (а). Это отно- шение, как и сравнимость обычных целых чисел по модулю третье- го целого числа, является рефлексивным, симметричным, транзи- тивным и согласовано со сложением и умножением. Выпишем эти условия: / (а) = / (а) (mod h (а)) (рефлексивность); из / (а) э; = g (а) (mod h (а)) следует g (а) = / (а) (mod h (^(симметрич- ность); из / (а) = g (а) (mod h (а)) и g (а) = ф (а) (mod h (а)) следует / (а) = ф (а) (mod h (а)) (транзитивность); из / (а) е== = g(a) (mod h(a)) следует /(а) + ф (а) = g (а) + ф (a) (mod h (a)) для всех ф (а) (согласованность со сложением) и из / (а) = s g (a) (mod h (а)) следует/ (а) ф (а) = g (а) ф (a) (mod h (а)) для всех ф (а) (согласованность с умножением). Все эти утвержде- ния непосредственно следуют из определения. Короче говоря, к этим сравнениям по модулю h (a) при любом круговом целоь: h (a) могут быть применены обычные правила выкладок со срав- нениями. Если h (a), х -\- а)у и р имеют определенный выше смысл то доказанное утверждение о том, что целые числа, делящиесг на h(a), кратны р, можно сформулировать как утверждена о том, что для целых чисел и и v сравнение и = v (mod h (a) равносильно сравнению и = v (mod p). Это показывает, чт( у ф 0 (mod р), поскольку у = 0 (mod р) вместе с х + а3у = = 0 (mod h (a)) дало бы х = 0 (mod h (a)) иг = 0 (mod p) вопре- ки предположению о взаимной простоте х и у. Значит, найдется такое целое а, что ау = 1 (mod p). Далее, ay = I (mod h (a); О = a (x -\- ajy) = ax -f a3' (mod й (a)), aJ = —az (mod u (a)'. Таким образом, а} сравнимо с некоторым целым числом по моду- лю h (a). Так как все степени числа а являются в то же врем, степенями любой его данной степени а3, при условии что а3 Ф * то предыдущее показывает, что все степени числа а сравнимк с целыми числами по модулю h (a). Далее, найдется такое целое . что i] = 1 (mod К) (поскольку X простое и / не делится на К) откуда следует, что a = ai3' = (—ахI (mod h (a)). Пусть к обе- значает целое число, сравнимое с (—ахI по модулю р. Тогда ; зависит только от р, х, у и / и обладает следующим свойством для любого кругового целого g (a) = a^^a^ -j- . . . + %a + a. целое число g (k), полученное заменой a на к в g (a), сравнимг
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %) 113 с этим круговым целым g (а) по модулю h (а), g (а) = g (/с) (mod h (а)). Таким образом, любое круговое целое сравнимо с целым числом по модулю h (а). Так как легко узнать, сравнимы или нет два целых числа по модулю h (а), это позволяет легко узнать, сравнимы или нет два круговых целых по модулю h (a), п доказать следующую теорему. Теорема. Пусть h (a) — простое круговое целое, которое делит как х + а}у (х, у взаимно просты, а3 ф 1), так и р (простое целое число). Тогда имеется такое целое число к, причем его можно найти, зная только х, у, /, р, что a = k (mod h (а)) и в результате / (а) = g (а) (mod h (а)) <=> / (к) = g (к) (mod p), где / (к) и g (к) обозначают г) целые числа, получаемые из круговых целых / (а) и g (а) подстановкой а = к. Доказательство. Поскольку а = k (mod h (а)) и поскольку сравнения можно складывать и перемножать, / (а) ^ / (к) (mod h (а)). Аналогично, g (a) = g (к) (mod h (а)). Так как / (к) и g (к) — целые числа, то сравнение / (к) = g (к) (mod h (a)) равносильно сравнению / (к) = g [к) (mod p), что и требовалось доказать. Возможные значения для р и к сильно ограничиваются следую- щим наблюдением. Так как о^ + ах~2 + ... + а + 1 = О, разумеется, делится на h (а), то к и р должны удовлетворять условию &>.-i_,../i;X-2__ ._ __j_ /с + 1 = о (mod/;), A) а следовательно, и такому условию: кх — 1 — (/с — 1) (АЛ"-1 + ... ... -Ь fc + 1) = 0, т. е. АЛ = 1 (mod p). Напомним теперь, что, как мы видели в доказательстве теоремы Ферма в § 1.8, для любо- го простого р и целого к Ф 0 (mod p) имеется такой наименьший положительный целый показатель d, что kd = 1 (mod p) и для положительных целых / сравнение к3 = 1 (mod p) имеет место к том и только в том случае, когда d \ /. В данном случае d может равняться лишь 1 или К, поскольку кх = 1 (mod p) и Я, простое. Если d = 1, то /с s I (mod р) и A) показывает, что К == 0 (mod p); следовательно, Я, = р. С другой стороны, если К — р, то /сх-1 ^ ^ 1 (mod р) по теореме Ферма, и в сочетании с кх = 1 (mod p) это дает к = 1 (mod р). Таким образом, /с = 1 (mod p) тогда п только тогда, когда р = К. Пусть теперь d = К. Так как к?'1 = г) Обозначением / (к) нужно пользоваться осторожно, поскольку круго- вое целое / (а) не определяет целое число / (к), т. е. из равенства круговых Целых / (а) == F (а) не следует равенство целых чисел / (к) и F (к) (см. упр. 11). Однако, как показывает теорема, из пего вытекает сравнение / (к) э 35 F (к) (mod p), так что для этого р и для этого к круговое целое / (а) опре- деляет / (к) по модулю р. Г. Эдварде
114 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей s I (mod р) по теореме Ферма, то это дает Я \ (р — 1), т. е. р = = 1 (mod Я). Подытоживая рассуждения, получаем: простое h (ос). которое делит бином, либо делит Я, либо делит простое р =а = 1 (mod Я). В первом случае целое число к в приведенной выше теореме сравнимо с 1 по модулю Я; во втором случае к ф 1 (mod p)r но кх = 1 (mod p). В первом случае р = Я, h (ос) делит а — 1, поскольку 1 — 1 == = 0 (mod Я). Следовательно, Nh (ос) делит iV (ос — 1) (норма произведения равна произведению норм). Так как число Л'' (а — 1)= = N A — а) есть значение при X = 1 полинома (X — а) (X — — ос2) ... (X - а*) = X*--1 + X*-2 + . . . + 1,то N (а - 1) = = Я, и, поскольку Nh (а) ф1, мы получаем, что Nh (а) =Я и частное от деления а — 1 на h (ос) является единицей. Значит для h (ос) остается только одна возможность: быть произведением единицы на а — 1. Отсюда не следует, что а — 1 удовлетворяет требованию, наложенному на h (ос), a именно, что оно простое Этот факт будет доказан позже в этом параграфе. Далее, рассмотрим сопряженные h (a2), h (а3), . . ., h(ax~1"' числа h (а). Как следует прямо из определения, каждое из них простое. (Поскольку сопряжение а^а' сохраняет произведения h (а') делит / (a) g (а) в том и только в том случае, когда|й (от- делит / (ос*) g (ос*), где ij = I (mod Я). Так как h (а) простое отсюда вытекает, что h (а) делит / (а*) или g (ос*), а следовательно. h (a}) делит / (а) или g (а).) При этом каждое из сопряженныг делит бипом и делит р; следовательно, для каждого из них имеется соответствующее число к. Если р = Я, то значение к должно удовлетворять условшг- к s I (mod Я) во всех случаях. Следовательно, два круговы: целых сравнимы по модулю h (а*) тогда и только тогда, когдс они сравнимы по модулю h (а), откуда следует, что h (oc;) дели" h (а) и h (а) делит h (ocj), т. е. h (a}) есть единица, умноженпаг на h (а). Так как h (а), если оно существует, должно быть едг ницей, умноженной на а — 1, то отсюда должно вытекать, чтс- ос2 — 1, а3 — 1, . . ., а^ — 1 все являются единицами, умно- женными на а — 1. Это прямо следует, без каких бы то ни был( допущений о h (а), из формул а3 — 1 = (а — 1) (а;-1 + а3~г + .. . . . + 1) и N (а3' - 1) = N (а - 1). Когда р фк, р = 1 (mod Я), обстановка резко изменяется Сравнение а = к (mod h (а)) влечет за собой а? = к (mod h {a1)) Если какое-нибудь сопряженное h (а?) числа h (а) делило бы некоторое другое сопряженное h (осг), то из сравнимости по модулю- h (аг) вытекала бы сравнимость по модулю h (а3) и это давало бк а3 = к = a1 (mod h (a})); из этого вытекало бы, что h (oc;) дели"
4.3. Разложение простых чисел р s 1 (mod %) 115 а1 — аг", а следовательно, Nh (ос) делит N (а3 — а?) = N (а3'1 — — 1); так как N (ос;~* — 1) = Я, если только не имеет места а? = = ос*, и так как h (ос) не делит Я, то это показывает, что ни одно из сопряженных числа h (ос) не делит другое. Это означает, что при р фК простые делители h (ос), h (а2), . . ., h (а*-) числа р все различны. Так как h (ос) делит р, то р *= /г. (а) 9 (а). Так как Л (а2) делит р, но не делит h (ос), и так как А (ос2) простое, то h (а2) делит q (а),1 скажем q (a) = h (a2) g2 (а)- Так как /г. (а3) делит р = h (ос) h (а2) gr2 (а), по не делит ни h (ос), ни h (а2), то оно должно делить q2 (ос), откуда р = h (ос) h (а2) /i (а3) д3 (°0- Продол- жая так рассуждать дальше, найдем р = Nh (a) g^-i (а). Таким образом, целое число Nh (а) в произведении с круговым целым q%-x (ос) дает целое число р. Это показывает, во-первых, что 5^-1 (a) есть целое число, и, во-вторых, поскольку р простое, что qK^ (а) = = 1, р = Nh (а). Таким образом, мы показали не только то, что р есть норма числа h (а), но и то, что равенство р = Nh (а) пред- ставляет собой полное разложение числа р на различные простые сомножители. В итоге доказана следующая Теорема. Если h (а) есть простое круговое целое, которое делит бином х + а3у {где х и у — взаимно простые целые числа и а3 =?= 1), то Nh (а) есть простое целое число, сравнимое с 0 или 1 по моду- лю Я. Если Nh (а) = Я, то h (а) и все его сопряженные отличаются от а — I на сомножитель, являющийся единицей. Если Nh (а) = = р = 1 (mod Я), то р = Nh (а) представляет собой разложение числа р в произведение Я — 1 различных простых сомножителей, т. е. ни один из этих сомножителей h (а3) не делит никакой дру- гой. Дальнейший анализ нашей задачи, т. е. вывод необходимых условий на число h (а), чтобы оно оказалось простым делителем бинома, уже не требуется, поскольку теперь возможен синтез: Теорема. Если h (a) — любое круговое целое, норма которого есть простое целое число, то h (а) является простым и делит бином х -\- а3у (х, у взаимно просты, а3 Ф 1). Следствия. Круговое целое а — 1, как и произведение его на любую единицу, является простым. Если норма Nh (а) есть простое число, то оно сравнимо с 0 или 1 по модулю Я. Если Nh± (а) = р = = Nh2 (а) есть простое число, то h2 (а) есть произведение числа, сопряженного числу hx (а), на единицу. Доказательство. Первое следствие вытекает из теоремы, поскольку N (ос — 1) = Я есть простое число. Однако чтобы дока- зать теорему в случае Nh (a) = Я, проще всего прямо доказать простоту числа а — 1. Из того что а — 1 делит iV (ос — 1) = Я,
116 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей но не делит 1, как и раньше, вытекает, что целое число делится на а — 1, только если оно делится на К. Кроме того, ос = = 1 (mod (а — 1)). Отсюда получаем, что если а — 1 делит /(а) ? (а), то / (а) g (а) =з 0 (mod (а - 1)), / A) г A) =i =0(mod (а—1)), f(l) gA)^0 (modX) (поскольку f(l)g(l)~ целое число), / A) или g A) = 0 (mod К) (поскольку Л, — простое), / A) или g A) = 0 (mod (а — 1)), / (а) или g (а) = 0 (mod (а — 1)) и а — 1 делит / (а) или g (а). Следовательно, а — 1 простое. Если h (а) является произвольным круговым целым, причем Nh (а) = Я,, то, поскольку а — 1 делит Nh (а) и является простым, а — 1 делит одно из сопряженных числа h (ос). Так как и а — 1, и сопряженные числа h(a) имеют норму Я, то частное обязано быть единицей, а значит, некоторое из сопряженных числа h (ос) есть единица, умноженная на а — 1. Далее, само h (ос) есть еди- ница, умноженная на сопряженное числа а — 1, а так как все сопряженные числа а — 1 суть единицы, умноженные па а — 1, то отсюда следует, что само h (ос) есть единица, умноженная на а — 1. Но а — 1 простое, поэтому и h (ос) простое, и теорема в случае Nh (ос) = К доказана. Второе следствие вытекает из данной и предшествующей тео- ремы. Однако и здесь дроще провести прямое доказательство следствия как часть доказательства теоремы. Поскольку а — 1 есть единственный простой делитель числа К, то для того, чтобы сосчитать Nh (ос) = p по модулю Л,, естественно рассмотреть его по модулю а — 1. Так как каждое сопряженное числа а сравнимо с 1 по модулю а — 1, то каждое сопряженное числа h (ос) сравнимо с h A) по модулю а — 1 и р -— Nh (ос) = [h (I)]*- (mod (а — 1)). Так как два целых числа сравнимы по модулю а — 1 тогда и толь- ко тогда, когда они сравнимы по модулю X, получаем р = = [h (I)]*' (mod К), откуда р = 0 или 1 (mod Л,) по теореме Ферма. Основной шаг доказательства — показать, что если Nh (a) — простое число, то h (а) должно делить бином. Нам требуется показать, что h (а), будучи простым, должно делить бином. Если это так, то по первой теореме этого параграфа а = k (mod h (а)) для некоторого целого к. Значит, h (а) должно на самом деле делить бином специального вида а — к. Естественно попытаться доказать это, найдя такое целое /с, что h (а) делит а — к. Это можно сделать следующим образом. Поскольку из a s к (mod h (а)) вытекает 1 = аК = = к1 (mod h (а)), должно иметь место сравнение кх — 1 = = 0 (mod p), так как иначе существовали бы такие целые а и Ь, что 1 = а (№" — 1) + Ьр, и это повлекло бы за собой 1 = = 0 (mod h (а)) вопреки предположению, что Nh (а) = р ф1. Поэтому мы ограничимся лишь теми к, которые удовлетворяют сравнению кх = 1 (mod р). Пусть 7 — примитивный корень по
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %) 117 модулю р (см. приложение, § А.2). Тогда каждое ненулевое по модулю р число можно единственным образом представить и виде у* (i — 1, 2, . . ., р — 1), причем (у{)х = 1 (mod p) в том и только в том случае, когда р — 1 делит iX. В случае р = X теорема уже доказана, и так как мы знаем, что р s 0 или 1 (mod X), то в оставшейся части доказательства можно считать, что р = == 1 (mod X), скажем р — 1 = \iX. Тогда (yl)x s I (mod p) в том и только в том случае, когда (р — i)/X = [i делит ?, т. е. в том и только в том случае, когда i принимает одно из следующих значений: jj,, 2\i, 3\i, . . ., X\i = p — 1. Пусть m есть у^. Тогда к = m, к = тг, к = ms, . . ., к = тх = 1 (mod p) суть Я, различ- ных решений сравнения кх = 1 (mod p) и каждое решение этого сравнения сравнимо по модулю р с одним из этих. (Другое дока- зательство того, что сравнение кх = 1 (mod p) имеет точно X решений, различных по модулю р, см. в упр. 10.) Таким образом, задача нахождения такого целого к, что h (ос) делит а — к, сво- дится к задаче нахождения такого целого /, что h (ос) делит а — — т) (/ = 1, 2,. . . ., X). Если / — такое целое число, то 0 = = h (ос) = h (m3) (mod h (а)), откуда, как и раньше, h (mj) = s 0 (mod p). Тот факт, что имеется по крайней мере одно / в по- следовательности / = 1, 2, . . ., X — 1, для которого это необ- ходимое условие выполняется, вытекает из следующей леммы. Лемма. В предыдущих обозначениях имеет место сравнение h (m) h (пг2) . . . h (яг*-1) = 0 (mod p). В первый момент может показаться, что лемма сразу следует из Nh (а) = р, если просто положить здесь а = т и перейти к сравнению по модулю р. Однако, как выше отмечалось, опера- ция подстановки а -¦ т для круговых целых недостаточно кор- ректно определена. Указанное рассуждение можно сделать обосно- нанным, °сли рассматривать h (а) как полином от а — чтобы это подчеркнуть, будем писать h (X) — и разделить полином h (X) X X h (X2) . . . h (Х^-1) на полином Х^ + X* + . . . + 1, пред- ставив его в виде q (X) (X1'1 4- Xх'2 + ... 4- 1) -j- r (X), где '' (X) — полином степени < X — 1. Если в этом полиномиальном тождестве положить X — а, то получим р = q (а)-О + г (а), откуда, поскольку г (а) имеет степень <Х — 1, находим, что 'в силу основных свойств круговых целых, перечисленных в пре- дыдущем параграфе) г (X) есть полином г (X) = р степени 0. Положим теперь X = т\ тогда целое число, стоящее в левой части сравнения в формулировке леммы, оказывается равным 9 (т) (тх~г -г пг*- 4- ... -\- т + I) + р. Для доказательства леммы достаточно показать, что пг^ 4- тх~2 4- ... 4- 1 = ss 0 (mod р), а это следует из пг*- 4- тх~2 4- • • • 4- 1 = = (тх — 1)/(пг — 1), поскольку т'А = 1 (mod р), пот ф. 1 (md)
118 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Итак, по крайней мере одно значение из / = 1, 2, . . ., К — 1 удовлетворяет необходимому условию h (т}) = 0 (mod p) для того, чтобы h (ос) делило а — т3. Теперь мы докажем, что это условие и достаточно. На основании способа деления из предыду- щего параграфа определить, делит ли h (ос) число а — т\— это то же самое, что определить, делит ли р = Nh (ос) число (а — — т3) h (ос2) h (ос3) . . ._k{ax~1). Проведя деление с остатком поли- нома h (X) на X — т3, найдем h (X) = q (X) (X — т3) + г, где г — целое число. Полагая X = т3, имеем h (т3) = г. Таким образом, г = 0 (naocl р) по предположению и h (ocv) = q (ocv) X X (ocv — m3) (mod p) для v — 1. 2, . . ., Я — 1. Значит, (ос — - m3) h (ос2) h (a3) ... A (a*-1) = (a - m3) q (a2) (a2 - m3) X X q (a3) (a3 -m>)...q (a^) (a^ — m3) = N (a — m') q (a2) X X q (a3) . . . q (a^") (mod p). Так как для любого целого к норма числа a — к является значением при X — к полинома {X - а) (X - а2) ... (X - а'-1) = A*-1 -f- X* + . . . + 1 = = (А* - 1)/(Х - 1), т. е. то N (oc — m3) = 0 (mod p) и h (ос) делит a — m3, что и требо- валось показать. Итак, доказано, что если целое число Nh (ос) простое, то h (ос) не только делит какой-то бипом, но даже делит бином вида a — к. Для завершения доказательства теоремы остается установить, что h (ос) простое. Для этого можно использовать те же соображения, что и раньше. Именно, если h (ос) делит / (a) g (ос), то / (a) g (ос) = = 0 (mod h (a)), / (k) g (k) = 0 (mod h (a)) [поскольку a = = к (mod h (oc))], / (k) g (k) = 0 (mod p) [поскольку иначе 1 мож- но было бы записать в виде комбинации чисел / (к) g (к) и р, что давало бы 1=0 (mod h (ос))], / (к) или g (к) = 0 (mod p) {из-за простоты р), / (А;) или g (к) = 0 (mod & (ос)) и, наконец, / (а) или g (а) = 0 (mod & (а)), что и требовалось показать. Это завершает доказательство теоремы. Третье следствие нолучится, если заметить, что h2 (a) делит р = Nhx (a), откуда из-за простоты h2 (a) вытекает, что h2{ct) делит одно из сопряженных числа h1(a). Так как оба наши числа имеют норму р, то частное имеет норму 1, и А2 (а) оказывается произведением единицы на сопряженное числа hi (ос), что и тре- бовалось доказать. Доказанная теорема применяется в следующем параграфе для нахождения большого числа простых круговых целых при малых значениях К. Исторически это и есть тот путь, которым следовал Куммер в 1844 г. При этом он допустил серьезную ошибку, считая доказанным, что каждое простое р = 1 (mod X) является нормой
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod X) 119 некоторого кругового целого. Это утверждение неверно: например, как покажут вычисления в следующем параграфе, при К = 23 число 47 = 2-23 -+- 1 не является нормой никакого кругового целого. Удивительно, что Куммер сам этого не обнаружил в про- цессе своих вычислений. Первым, кто заметил, что имеется совер- шенно очевидная причина, по которой уравнение Nh (ос) = р не всегда разрешимо, даже если р = 1 (mod Я,), был, видимо, Якоби (подробнее см. [Е4]). К счастью для Куммера, Якоби вовремя предупредил его об этой ошибке, и он смог приостановить публикацию своей работы с неверной теоремой. Думается, Кум- меру повезло также и в том, что он не нашел своей ошибки слиш- ком быстро. Это позволило ему достаточно далеко углубиться в свою теорию и, видимо, внести в нее столь ощутимый вклад, что у него хватило сил преодолеть встретившиеся трудности II продолжать создание теории, которая обеспечила ему важное место в истории математики. Упражнения 1. Докажите, что если h (а) простое, то оно неразложимо. 2. Докажите, что обычное положительное целое число п, которое нераз- ложимо (из п = тк вытекает, что т или к равно 1), является простым (из п | тк вытекает, что п \ т или п \ к). 3. Докажите, что если h (а) неразложимо, но не просто, то имеется кру- говое целое, которое может быть записано в виде произведения неразложимых двумя различными способами. Такими образом, если из неразложимости не вытекает простота, то единственность разложения не имеет места. [Пред- положите, что каждое круговое целое может быть записано в виде произве- дения неразложимых.] 4. Найдите нормы следующих биномов, (а) При Я, = 5: х + ау = 1 + а, 2 + а, 2 — а, 3 + а, 3 — а, 3 + 2а, 3 — 2а, 4 + а, 5 + 2а, 5 — 4а, 7 + а. (Ь) При К = 7: х + ау = 2 + а, 3 + а, 3 ± 2а, 4 + а, 4 + За, 5 + а, 5 + 2а, 5 + За, 5 + 4а. [N (х + ау) = <,х\ + у\I(х + у).] 5. В тексте было доказано, что если р делит N (х + ау), где х и у взаимно просты, и имеет простой делитель к (а), то р = 0 или 1 (mod %). Докажите, что предположение о простом делителе h (а) не нужно. [Ис- пользуйте формулу для N (х + ау).] 6. Используя факт, доказанный в упр. 5, разложите нормы, найденные в упр. 4. 7. При X = 5 найдите норму N (9 — а) (а) непосредственно; (Ь) заме- тив, что она равна N C — а) N C + а). 8. Докажите, что если р = 1 (mod %) и hx (a), h2 (а) — простые делители числа р, то h2 (а) есть произведение единицы па сопряженное числа h1 (a). Иными словами, разложение числа р па простые, если оно существует, един- ственно. 9. Суть последней теоремы из текста в том, что если h (а) имеет нормой простое число, то а, = к (mod h (а)) при некотором целом к. Куммер доказал »ту важную теорему в своей статье 1844 г. Однако его доказательство было совсем другим. Восполните детали следующих рассуждепий. Пусть h (a2) h (а3) . . Ль (ах" г) = Н (а) = А<г\-А1а-\-А2аа+ . . . +АХ_1 а*-1. Тогда к-пй (а) + а-2"# (а2) + . . . +а-(?ь)пЯ (а^1) = %Ап — (Ло + Аг + . . .
120 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей кг) и а-"A—а) Я (a)-J-a-2« (I—a*) H (а2)-. . . + а'^'^ п A— — а'-) II (ак~1) = %(Ап — Ап_г). Так как II (а)) II (a*) m 0 (mod р) при / ф к, то это дает А,2 (Ап+1 - ЛпJ - Я,2 (Лп+2 - Лп+1) (Лп - Ап^) = = 0 (mod р). Значит, решение | сравнения (Ап+2—Ап+1) \ = Ап+1 — Ап одно и то же для всех ге. Следовательно, у1п+г| — Лп одно и то же по модулю р для всех п, (g — a) II (а) есть нуль по модулю р и, таким обра- зом, h (a) делит a — g. 10. Применяя теоремы этого параграфа, покажите, что если р = 1 (mod Я) является простым числом, которое делится на круговое целое h (a), то имеется точно Я, — 1 различных решений сравнения к^ = 1, к ф 1 (mod р) и все они являются степенями любого одного из пих. [Рассмотрите целые, сравни- мые с а? но модулю h (a).] Докажите, что это верно без предположения о про- стом делителе h (а). [Примените теорему Ферма.] 11. При % = 5 имеем 0 = 1 + a + a2 + a3 + а4, но, разумеется, 0 ф 1 + 7 + 72 + 73 + 74. Значит, из / (a) = g (а) не следует, что / G) = = g G). По каким простым модулям р имеет место сравнение f G) = g G) (mod p)? 12. Докажите, что f (a) = g (a) тогда и только тогда, когда / (X) — — g(X) = q (X) (Xх-1 + Xя + . . . + 1). Установите, что если к^'1 + + кК-^ +... + 1 = 0 (mod р), то из f (а) = g (a) следует f (к) = g (к) (mod p). 4.4. Вычисления для р — 1 (mod Я) Оказывается, среди математиков существует глубоко укоренившаяся тепденция неосознапно предполагать единственность разложения на простые. Эта тепдепция, несомпенпо, навеяна опытом вычислений с обычными целыми числами и той важной ролью, которую играет единственность разложения в доказательстве таких фактов, как утверждение о том, что произведение двух взаимно простых чисел есть квадрат только тогда, когда каждый сомножитель является квадратом. Свидетельством силы этой тенденции служит использо- вание Эйлером в его «Алгебре» единственности разложения для квадратичных целых, несмотря на коптрпример 3-7= D+ Y—5) D — У—5), известный как ему, так и за сто лет до него Пьеру Ферма в виде утверждения, что про- стой делитель целого числа, представимого в виде а2 + 562, не обязательно сам имеет такой вид (см. § 1.7 и 2.5). В случае круговых целых эта тендепция подкрепляется на опыте вычислений, поскольку при % <. 23 единственность разложения для круговых целых действительно имеет место. Поэтому не при- ходится удивляться, что Ламе был твердо уверен в едипствепности разло- жения для круговых целых: «Не может быть непреодолимого препятствия между таким полным подтверждением и строгим доказательством». Копечно, Куммер также испытывал большую падежду — если не уверенность,— что единственность разложения для круговых целых имеет место, и именно по этой причине он счел весьма прискорбным свое открытие ее парушения для X = 23. Если бы вера Куммера в единственность разложения не подтверж- далась так долго опытом вычислений, то вряд ли он стал бы искать пути ее спасения и ему едва ли удалось создать теорию в том виде, в каком мы знаем ее сейчас. На самом деле имеются некоторые, правда косвенные, свидетель- ства (но относящиеся ко временам Гаусса), что сам Гаусс пытался создать нечто подобное теории Куммера для случая квадратичных целых (чисел вида а + Ъ Y^i гДе -О фиксировано), но что он оказался пе в состоянии разрабо- тать детали и опубликовал свои результаты (в Disquisitiones Arithmeticae) только в совсем другом и более запутанном виде «композиции форм» (см. § 8.6). Опубликованные Ламе вычисления совсем не велики и при трезвом взгляде никак но оправдывают его убеждения в единственности разложения.
4.4. Вычисления для р = i (mod Я) 121 Однако они действительно служат хорошим отправным пунктом исследова- ния некоторых вычислительных примеров. При помощи формулы Лг (х + <ху) = = (аЛ + гЛ)/(х + у) он находит в [L6] нормы следующих J) биномов в случае /.= 5: A) N(a + 2)= 11 F) :VB« + 5) = 11-41 B) ,-V(« - 2) = 31 G) .V(« -4)= 11-31 C) ,V(a +3) = 61 (8) /V(a-9)= II2-61 D) ,V(a + 4) = 5-4! (9) /VDa - 5) = 11-191 E) /V(a - 3) = II2 A0) Л'(а + 7) = 11 • 191 В свете теорем предыдущего параграфа первое из этих равенств показывает, что a + 2 простое, что круговое целое g (а) делится на a + 2 в том и только в том случае, когда g (—2) = 0 (mod 11), и что равенство ЛГ (а + 2) = 11 является представлением числа 11 в виде произведения 4 различных простых сомножителей, норма каждого из которых равна 11. Сходным образом, равен- ства B) и C) дают разложения чисол 31 и 61 в произведения 4 различных простых сомножителей. Равенство D) указывает, что a + 4 есть произведение сомпожителя с нормой 5 и сомножителя с нормой 41. Единственными сомножителями пормы 5 (= Я) являются единицы, умноженные на a — 1. Поэтому разделим a + 4 = a — 1 + 5 па a — 1 и найдем частное 1 + (а2 — 1) (а3 — 1) X X (а4 — 1) [поскольку = ЛГ (а — 1)] = 1 + A — а2 — а3 + 1) (а4 — 1) = = 1 + 2а4 — а — а2 — 2 + а2 + а3 = —1 — а + а3 + 2а4 = а2 + 2а3 + + За4 [так как 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0]. Таким образом, a + 4 = = (a — 1) a2 Ca2 + 2a + 1). Конечно, a2 есть единица. Отсюда вытекает, что За2 + 2а + 1 имеет норму 41 и, следовательно, является простым. Так как За2 + 2а + 1 делит а + 4, то а = —4 (mod (За2 + 2а + 1)), и сравне- ние / (a) = g (a) (mod (За2 + 2а + 1)) равпосильно сравнению i (—4) = = g (—4) (mod 41). Равенство E) показывает, что каждый простой делитель числа 11 делит некоторое из сопряженных числа a — 3. Простое a + 2 само делит а3 — 3, поскольку (—2K — 3 = 0 (mod 11). Следовательно, а2 + 2 делит а — 3 = = (а2K — 3 и частное имеет норму 11. Следовательно, частное есть единица, умноженная на один из четырех простых делителей вида а.) + 2 числа 11. Так как a + 2 не делит a — 3, a2 — 3, a4 — 3, то единстеешюе из его сопря- женных, делящее a — 3, есть а2 + 2, и это дает a — 3 = единица • (а2 + 2J. Равенство F) показывает, что 2а + 5 делится на простой делитель числа И и на простой делитель числа 41. Сопряжепное числа 2a + 5, кото- рое делится на a + 2, есть 2а3 + 5, так как 2-(—2K + 5 = 0 (mod И). Аналогично, сопряженное числа 2а + 5, делящееся на За2 + 2а + 1, нахо- дится перебором: —4, 16, —64 еэ 18, (—4)-18 = —72 = 10 (mod 41); полу- чаем 0 = 2-18+ 5 = 2- (—4K + 5 (mod 41); таким образом, 2а3 + 5 и есть то, которое делится. Следовательно, 2а3 + 5 = единица • (а + 2 ) (За2 + 2а + + 1), что дает представление 2а + 5=едипица-(а2 + 2) (За4 + 2а2 + 1) чис- ла 2а + 5 в виде произведения простых. Равенства G) и (8) непосредственно следуют из разложений а2 — 4 = = (а — 2) (а + 2), а2 — 9 = (а — 3) (а + 3), которые дают a — 4 = = (a3 — 2) (a3 + 2), a — 9 = (a3 — 3) (a3 + 3). Первое из этих равенств есть разложение на простые сомножит ли. Второе можно продолжить, исполь- ) мыслить Ламе пользуется совсем другими обозначениями, но их легко переос-
122 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей зуя разложение а — 3 = единица-(а2 + 2J и получая а — 9 = единица X X (а + 2J (а3 + 3). Равенство (9) показывает, что а + 2 делит некоторое из сопряженных числа 4а — 5. То, которое оно делит, есть 4а2 — 5. Частное равно 4а — 8 + + И (а + 2)-1 = 4а - 8 + (а2 + 2) (а3 + 2) (а4 + 2) = 4а - 8 + A + + 2а2 + 2а3 + 4) (а4 + 2) = 4а — 8 + 5а4 + 2а + 2а2 + 10 + 4а2 + + 4а3 = 2 + 6а-^ 6а2 + 4а3 + 5а4 = —4 — 2а3 — а4. Следовательно, а4 + + 2а3 + 4 имеет норму 191 и поэтому простое. Таким образом, 4а — 5 = = — (а3 + 2) Bа4 + а2 + 4) есть разложение числа 4а — 5 на простые. Целое к, для которого а = к (mod Bа4 + а2 + 4)), удовлетворяет условию 4к — 5 = 0 (mod 191), откуда к = 192к = 48-4Й = 48-5 = 48-4 + 48 = = 49 (mod 191). Таким образом, g (а) делится на 2а4 + а2 + 4 тогда и только тогда, когда g D9) = 0 (mod 191). Наконец, равепство A0) показывает, что а + 7 делится на делитель числа И iijHa делитель числа 191. Путем кратких вычислений получаем 492 =s = —82 (modil91), 493 = —82-49 = —7 (mod 191). Значит, а3 + 7 делится на 2а4 + а2 + 4. С другой стороны, а2 + 7 делится на а + 2. Следовательно, а + 7 = единица-(а3 + 2)-Bа3 + а4 + 4), что представляет собой разло- жение числа а + 7 па простые сомножители. Простые делители, найденные до сих пор, приведены в табл. 4.4.1. Разобранные примеры показывают, что для определения делимости полезно Таблица 4.4.1. X, = 5 простое а + 2 ч~2 За2-!-2а + 1 « + 3 1 4 2 л 2а + а + 4 норма 11 31 41 61 191 (X = -2 2 -4 — 3 49 «2^ 4 4 16 9 -82 3 8 18 -27 -7 5 - 15 10 20 39 знать не только величину целого к по модулю р, но и его степени. Поэтому эти степени, которы.' представляют собой целые числа, сравнимые с а2, а3 и а4 по рассматриваемому простому модулю, включены в таблицу. Заметим, что каждая строка таблицы дает на самом деле четыре простых круговых целых; мы берем сонряжепные данпого простого и соответственно перестав- ляем степени числа а. Например, а2 + 2 простое и для этого простого делителя а2 = —2, а4 = 4, а6 = а = 3, а8 = а3 == 5. Ламе выполпил подобные разложения для каждого из своих равенств A) — A0), хотя сделал много ошибок. Затем он сказал, что если и дальше продолжать рассматривать биномы ха + у, то можно найти разложения еще многих простых р s I (mod 5). Хотя это и верно 1), но в таком контексте вводит в заблуждение, поскольку тот же самый процесс не позволяет разла- гать простые р = 1 (mod Я) при Я > 5. Чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим случай Я = 7. 1) Кажется, Ламе пытался создать впечатление, что он провел более длинные выкладки, чем это было па самом деле. Он говорит, что, «за несколь- кими исключениями», каждое простое = 1 (mod 5) вплоть до 1021 встречается- в качестве делителя числа TV (ха + у) для некоторой пары х, у при | х \ ^ 12, | у | ^ 12. Первые 23 таких простых числа, вплоть до 521, действительно все встречаются. Однако из остальных восемнадцати, до 1021, встречаются «сего лишь В.
4.4. Вычисления для р = 1 (mod Я) 123 Здесь нормы нескольких первых биномов, найденные по формуле .V (га + у) = (х7 + у7I(х + у), равны ЛЧа+2) = 43 #(а -2)= 127 Л'(а+3) = 547 ЛЧа-3)=1О93 ЛBа +3) = 463 Л'Bа-3) = 2059 = 29-71 Л'(« + 4) = 3277 = 29 • 113 N(a - 4) = 5461 = 43 • 127 ЖЗа + 4) = 2653 = 7-379 МCа - 4) = 14197. (Поскольку единственно возможными простыми оомножителями являются 7, 29, 43, 71, 113, . . ., приведенные разложения легко находятся, и легко доказать, что те числа, которые не разложены, простые.) Если попытаться имитировать метод Ламе, то сразу становится попятно, что его успех в случае Я = 5 обеспечивался тем, что в этом случае список начинался с разложений простых 11, 31, 61 и с разложения 5-41, что равносильно разложению про- стого 41. В случае же Я = 7 мы находим разложения для простых 43 и 127, а для 29, 71 и 113 не находим. Нормы быстро растут, и ясно, что nei никакой надежды найти бипом с нормой, скажем, 29. Значит, для разложения числа 29 нужно ^прибегнуть к какой-то другой технике. Техника, которую развил Куммер в своей статье 1844 г., заключалась в том, чтобы сначала отыскивать значения к, после чего нетрудно паходить круговые целые, делящиеся на искомые простые, а если повезет, то удастся найти и сами искомые простые. В случае X = 7, р = 29, любая четвертая степень к = а4 удовлетворяет сравнению к7 ¦¦¦¦= а28 = 1 (mod 29), к ^ ф 1 (mod 29) при условии, что а ф О (mod 29) и а4 ф 1 (mod 29). При а — 2 находим к = 16 = —13 (mod 29) и имеет место сравнение (—13)' = 1 (mod 29). Другие значения для к ф 1, к7 = 1 (mod 29) получаются из (—13J = —5, (—13K = 7, (—13L = —4, (—13M = —6, (—13)в = —9. Если 29 имеет раз- ложение на простые, то один из сомножителей h (а) должен обладать свой- ством: h (а) делит g (а) тогда и только тогда, когда g (—13) = 0 (mod 29). Но из приведенной выше таблицы значений степеней числа —13 по модулю 29 1ШДН0, что g (а) = а2 — а4 + 1 удовлетворяет сравнению g (—13) = = 0 (modj29). Следовательно, такое g (а) делится на предполагаемый дели- гель числа 29. Так как норма этого гипотетического делителя есть 29, то норма частного равна Ng (a)/29. Простое вычисление показывает1), что Ng (a) = 29. Зпачит, g (а) само простое, поэтому равенство Ng (а) = 29 и дает разложепие па простые сомножители числа 29. Разложения чисел 71 ч 113 теперь мояшо найти посредством деления 2ос — 3 и а + 4 соответственно на подходящий делитель числа 29. Так как 2/с — 3 = 0 (mod 29) для к = —13, то 2а — 3 делится на —а4 + а2 + 1. Частное равно Bа — 3) g (a-)-g (а3) g (а4) -g (а5) g (ав)/29 ¦= Bа —3) g (а2) X X г (а4) / (а3)/29, где обозпачение / (а) введепо в предыдущем примечании, ]) Для дальнейшего полезно сделать следующее замечание о вычислении нормы Ng (a) ='g (а) g (а2) g (а3) g (а4) g (а5) g (ав). Так как 3 есть при- митивный корень по модулю 7 (см. приложение, § А.2), то повторения одного сопряжения а у-*¦ а3 исчерпывают все сопряжепия. Поэтому сомножи- тели в Ng (а) можно записать в таком порядке g (a) g (а3) g (а2) g (ав) g (а4) X X g (а5), где каждый сомножитель сопряжен предшествующему под дей- ствнем а,—»-а3. Далее, если мы определим / (а) как произведение сомножите- лей, стоящих на нечетных местах, т. е. / (а) = g (а) g (а2) g (а4), то получим \> (а) = / (а) / (а3). Этим путем вычисление нормы Ng (а) сводится к трем
124 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей ^ = Bа - 3) (- 2а« - За2 - а) (-1 - 49^/29 = Bа - 3) Fа« + 20а6 + + 12а4 + 11а2 + 13а + 16)/29 = B2а6 - 36а5 - 36а4 + 22а3-7а2-7а — — 36)/29 = 2а6 + 2а3 + а2 + а. Следовательно, 2а5 + 2а2 + а + 1 — простой делитель числа 71. Соответствующее к удовлетворяет сравнению 2к — 3 = 0 (mod 71), откуда к = 72к = 36 -2Л = 36 -3 = 36 -2 + 36 = = 37 (mod 71); далее легко находятся к2 = 20, к'3 = 30, fe4 = —26, къ = 32, кв = —23 (mod 71). Апалогичпо, чтобы разделить а + 4 па делитель числа 29, испытываем к + i = 0 (mod 29) при к = —13, —5, 7, —4, —6, —9. Решением является к = —4, и отсюда следует, что а4 + 4 делится на —а4 + а2 + 1. Основной объем требуемой работы по такому делению был нами уже проделан раньше. Частное оказывается равным (а4 + 4) (а* + 20а5 + 12а4 + Иа2 + 13а + + 16)/29 = C5а« + 93а5 + 64а4 + 6а3 + 64а2 + 64а + 64)/29 = —а» + + а5 — 2а3 = —а3 (а3 — а2 + 2). Таким образом, а3 — а2 + 2 есть простой делитель числа ИЗ. Соответствующее к легко находится, если использовать то, что а3 — а2 + 2 делит а4 + 4; это дает fe4 = —4 (mod ИЗ). Отсюда к = = к» = 16, к2 = 162 = 30 и т. д. Следующим за 127 простым числом =1 (mod 7) является 197. Если мы продолжим нашу таблицу норм N (ха + у) немного дальше, то найдем N (а + 6) = 39 991 = 7-29-197. Деление числа а + 6 па а — 1 дает 1 + + 7 (а - I)-1 = 1 + (а2 - 1) (а3 - 1) (а4 - 1) (а5 - 1) (а« - 1). Произ- ведение (а2 — 1) (а3 — 1) ... (а6 — 1) может быть найдено прямым умно- жением и равно 6ав + 5а6 + 4а4 + За3 + 2а2 + а, что является частным случаем формулы, верной для произвольного Я, а именно (а2—1) (а3 — 1) • • • . . . (а»--1 _ 1) = (Я — 1) ах ' + ... + 2а2 + а (см. упр. 11). Таким обра- зом, (а + 6)(а—I) = 6а«-Ь5а5 + 4а4 + За3 + 2а2 + а + 1 = а2 Eа4 + + 4а3 + За2 + 2а + 1). Для того чтобы разделить ато число_ па простой делитель числа 29, испытаем, как и раньше, а = —13, —5, 7, _4, —6, —9 и редуцируем по модулю 29. Нуль получается при к = — 6 = == (_13M (mod 29). Значит, 5а« + 4а + За3 + 2а5 + 1 делится на —а4 + + а2 + 1. Частное равно Eа« + 4а + За3 + 2а5 + 1) Fа6 + 20а5 + 12а4Н + Иа2 + 13а + 16)/29 = A92а« + 163а5 + 163а4 + 192а3 + Ю5а2 + + 192а + 163)/29 = а (а5 + а2 — 2а + 1). Таким образом, 5а4 + 4а3 + + За2 + 2а + 1 = (-а5 + а« + 1) -а3-(а + а« - 2а3 + !)• Итак, а + 6 = = (а— 1) -(а6 — а5 + 1) (а6 — 2а3 + а + 1) -а5 и а« - 2а3 + а + 1 есть простое с нормой 197, по модулю которого а =?. —6. умножениям. а« 0 0 1 1 = 0 а5 0 0 1 1 0 а4 - 1 1 _ 1 1 0 _ | Вычисление а3 0 0 -1 -1 -2 а2 1 0 1 1 0 /(а) а 0 - 1 - 1 -1 -2 может 1 1 1 1 1 0 быть а6 0 1 1 записано а5 0 - 1 2 1 а" - 1 - 1 2 *] так: а3 -2 2 3 1 а2 0 1 -3 -3 а -з 1 *] -3 1 0 1 0 Таким образом, / (а) = -3G0 + 9t = -1 - 490, где 90 --= а + а2 + а* и et = а3 + а5 + а6. (Поскольку / (а) = g (а) g (а2) g (а4) не мепяется при замене а на а2, ясно, что для любого g (а) число / (а) представимо в виде а% + Ьв1 + с.) Далее, / (а3) = -1 - 49t и Ng (а) ~ A + 400) A + 49t) = = 1 — 4 + 169Q9!- Простое перемножение дает 909х = 90 + 9t + 6 = ^ „ Л7„ /~\ — Ч _1- 49 = 9Q 1 — 4 + 169Q9!. Просто Ng (а) = -3 + 32 = 29.
4А. Вычисления Оля р = 1 (mod Ц 125 Этот метод разложения биномов, по-видимому, не дает делителя следую- щего простого числа 211 = 1 (mod 7). Первый бином, норма которого делится иа 211, есть За — 10, причем N (За — 10) = 7-211-967, и прежде чем это можно будет использовать для разложения числа 211, нужно разложить 967. Поэтому мы примепим сначала метод Куммера нахождения возможных значений для к и на основе этого попытаемся найти круговые целые, деля- щиеся на гипотетический делитель числа 211, в надежде, что среди них попадется число с нормой 211. Первый шаг состоит в решении сравпения к i? I, fe7 = 1 (mod 211), Для этого мы можем положить к = а30 при усло- вии, что а т 0, а30 * 1 (mod 211). При а = 2 находим а30 = —40 (mod 211). Значит, если 211 имеет простые делители, то среди них есть такой, по модулю которого а = —40, а2 = 1600 == —88, а3 = —67, а4 = —63, а5 = —12, а« = = 58. Этот делитель должеп, следовательно, делить а4 — а3 — 4. Вычисле- ния, подобные проведенным ранее, дают N (а4 — а3 — 4) = 29-211. Следо- вательно, а4 — а3 — 4 можно разделить на простой делитель числа 29 и найти элемент с нормой 211, а тем самым разложение числа 211 на простые. По-дру- гому, можно опять пытаться найти g (а), удовлетворяющее условию g (—40) == ез 0 (mod 211), которое имеет норму 211. Список сумм и разностей стенепей числа а по модулю гипотетического простого (которое на основании пре- дыдущих вычислений действительно существует), т. е. выражепий типа ±а±а2 = ±48, ±83 (= ±128); ±а±а3 = ±27, ±104; ±а±а4 = ±23, ±103; . . .; ±а5± ав = ±46, ±70, дает 60 целых чисел по модулю 211, которые сравнимы с суммами и разностями степеней числа а. Наименьшее из mix есть 4, использованное раньше. Однако если взять еще другую степень числа а и поискать среди этих 60 чисел наиболее близкое к какой-нибудь стеиепи числа а, то найдутся случаи, когда такая разность равна всего лишь 2. Например, +а3 ± ав = ±9, ±86 и а2 = —88 приводит к ав — а3 — а2 = .^= 213 s 2. Вычисления дают N (ав — а3 — а2 — 2) = 211, и это завершает разложение числа 211. Таблица 4.4.2. X — 7 простое - а4 + а2 + 1 а + 2 2«5 + 2а2 + а + 1 2а5 + а - 1 а-2 а6 - 2а3 + а + 1 а6-а3-а2-2 норма 29 43 71 113 127 197 211 a i-; ... 13 -2 37 16 2 -6 -40 а2- — 5 4 20 30 4 36 -88 а' . 7 -8 30 28 8 - 19 -67 4 16 - 26 -4 16 -83 - 63 I.5 =: -6 11 32 49 32 -93 - 12 9 - 22 - 23 - 7 -63 -33 58 Итак, мы закончили разложение первых семи простых чисел = 1 (mod 7). 1'озультаты даны в табл. 4.4.2. Продолжение настоящего процесса не встре- чает других трудностей, кроме роста объема вычислений. Куммер выполнил такие вычисления и нашел разложение на простые всех Р = 1 (mod X) для X < 19, р < 1000. Его результаты, опубликованные в^статье 1844 г. [Кб], воспроизведены в табл. 4.4.3. Данные, приведенные в этой таблице, могут быть найдены таким же путем, каким мы выше находили разложения чисел 29 и 211 (X = 7). Разберем, напри- мер, случай X = 13, р = 599. В этом случае р = 46Я + 1, и так как 24в = ss 19 (mod 599) (несложное вычисление), то можно положить к = 19, после чего сравнительно легко подсчитать вычеты fc2= —238, fc3=270, /с4 = —261, /,-5 =-= _1б7, ке = —178, к7 = 212, к» = —165, к° = —140, к™ = —264,
126 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей к11 = —224, fc12 = —63. Составление сумм и разностей +fc+fc2 = ±257, +219; ±к±к3 = +289, ±251, и т.д. дает 4X66 чисел по модулю 599; среди этих чисел нот очень маленьких и нет близких к степени числа к, но есть много таких, которые отличаются друг от друга на 1, например к1 — — к = 193, к2 + къ = — 405 = 194. Это приводит к 1 — а — а2 — а5 + а7 как к возможному делителю числа 599. Далее идет трудная часть вычисления, а именно вычисление нормы. Соответствующую работу можно минимизиро- вать, если организовать ее следующим образом. Воспользуемся тем, что 2 является примитивным корнем по модулю 13 (приложение, § А.2), и запи- Таблица 4.4.3 При Х=5 и ах = 1: 11 = TVB+ а) 461 = N{4 - а - а2) 31 = ЛЧ2-а) 491 = NE + За + а3) 41 =* NC + 2а + а3) 521 = NE + а) 61 = ЛЧЗ + а) 541 = NC - За - а2) 71 = NC-a + а2) 571 = NF + 5а + За2) 101 = ЛЧЗ + а- а2) 601 =/VE + 2а - а2) 131 = ЛЧЗ + а-а4) 631 = ND -2а -а3) 151 = ЛЧЗ + 2а -а4) 641 = ,VE + За + 4а2) 181 = #D +За) 661 = NE + a-a2 + 3a3) 191 = ND+а + 2а2) 691 = NC - За - 2а2) 211 = Л'C-2а) 701 = JVD - а - 2а2 + а3) 241 = JVD-а +а2) 751 = NF + 4а + За2) 251 = ,VE + 2a + a4) 761 = JVE - 2а + а2) 271 = ЛЧЗ - За + а2) 811 = ЛГC - За - 2а2 + а3) 281 = ЛЧ4+а-а2) 821 = ND - а - 2а2 + 2а3) ЗП = ЛГE + За + 2а2 + а3) 881 = #F + 2а + а2) 331 = JVD-2a + a2) 9П = NE + а2 - 2а4) 401 = ND + За - а4) 941 = ND + За - За2 - а3) 421 =/?E + 2а + 2а2) 971 = NE - 2а - а4) 431 = ^D-2а-а4) 991 = JVF + а + а3) При Л= 7 и а*= 1: 29= N(\ + а-а2) 491 = JVC + а + а3 - а5) 43 =ЛЧ2+ а) 547=Л/C + а) 71 = ЛЧ2+а + а3) 617 = NB + а + а2 - а5) 113 = ЛЧ2 - а + а5) 631 = #B + 2а - а2 + а3 + а6) 127=JVB-a) 65? = ЛЧ2 + 2а-а2 + а5) 197 = JVC + а + а5 + а6) 673 = #D + За + 2а2 + а4 + 2а6) 211 = ЛЧЗ + а + 2а2) 701 = 7VC + а + а4 - а5 + а6) 239 = ЛЧЗ + 2а + 2а2 + а3) 743 = NC + 2а - а3 - а4) 281 = NB- а-2а3) 757 = NC + 2я + а3) 337 = NB + а - а2 - а4) 827 = VB + 2а - а4 - а6)
При л = 379= Л<C 421 = .VC 449= Л'B 463 = ЛЧЗ 7 + + + + и 2а • а + а — 2а) ал +¦ а а2 а3 = 2) ) •- 1: «6) 4.4. Вычисления для р = 1 (mod К) 127 Ш = ЛB-«2-2«3-«5) 952 = N0 + a-a2- а3) 967=NB + 2«- а3 + 2а5) При > = 11 и «х = 1: 23=N(l + a + a9) 617= NB+ а + а3 + а10) 9/= ДA + а + а2 + а4 + .г > 661 = NA + а - а2 + а4- а8) 89= /V(l + а + а4 + а6) 683 =NB + а) 199= ЛгA + а - а2) 727 = Л'A + а + а3 - а8 - а9) 331 = N(\ - а + а3 + а5) 859 = Л'A + а + а2 + а3 + а7 - а8) 353= N(\ + а + а3 + а4- а7) 881 = Л'A + а + а2 + а3 - а4 - а7 - а9) 397 = ;VA + а + а6 - а7) 947 = NB + а3 - а4 - а6) 419= Л'A + а - а2 + а3) 991 = NB + а 4- а3) 463= ,VA - а - а2 + а5 + а6) При Л = 13 и лл = 1: 53= ,VA + а + а3) 547 = Л'A - и - ч2 + а' + а6) 79 = ЛA -- я + а10) 599= /V(l + а - а7 + а8 + о") 131 = \'<1 - а• + л") 677= N(\ - а - а4 + а6 + а4) 157= Л'A + а + «2 + а5)' 859= N(\ + а - а2 - а5 + а7)' 313= Л'A -а + а3 + «6) 911 = NA + а3 + а5 - а7 - а11) 443 = ЛЧ1 + а - а3 + а8) 937= N(\ + а3 - а7 + а8—а10) 521 = NA + а - а12) При Л= 17 и ах= 1: 103 = ,VA + а2 + а9) 443= /V(l + а + а2 + а3 - а13) 137 = ,VA + а-а3) 613 = N(\ + а2 - а3) 239= ЛЧ1 + а+ а3) 647 = N(\ + а + а13 + а15) 307 = N(\ - а + а7) 919 = W(l + а + а4 + а5 + а9) 409= ,VA - а3 + а8) 953 = ^A + а + а9-а13) При Л = 19 и ах= 1: 191 = N(\ + а + а16) 571 = N(\ + а + а2 + а3 - а5) 229= N(\ -а- а5) 647 = Л'A - «2 + а9) 419= ЛГA +а- а8) 761 = N(\ - а2 + л12) 457= ЛЧ1 + а+а3) *) Здесь исправлена очевидная опечатка в таблице Куммера. Кроме- того, Ленстра исправил куммерово разложепие числа 599, заменив а11 на —а11.
128 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей шел Nf (а) в виде / (а) / (а2)/ (а4) / (а8) / (а3) / (ав) / (а12) / (а11) / (а") / (а5) / (а10) X X / (а7), где каждый сомножитель получается из предыдущего заменой а на а2. Пусть g (а) есть произведение каждого четвертого из этих 12 сомножи- телей, т. е. g (а) = / (а) / (а3) / (а9). Тогда ясно, что Nf (a) = g (а) g (а2) X X g (а4) g (а8). Пусть Л (а) есть произведение каждого второго из этих четырех сомножителей, т.е. h (a) = g (a) g (а4). Тогда Nf (a) = h (а) h (а2). Прямое вычисление элемента g (а) не слишком длинно. В результате оказывается, что g (а) = —3 (а12 + а10 + а4) + 2 (а11 + а8 + а7) — 2 (а8 + а3 + а1) + + 6 (а« + а5 + а2) — 10. Пусть г\0 = а + а3 + а8, тц = а2 + а5 + а«, ¦q2 = а4 + а10 + а12, х\3 = а8 + а7 + а11. Тогда замена а на а2 вызывает циклическую перестановку г\о>—*-г\11-*г\21-+Чз>—>'Чо- Таким образом, т,2 9т,3 - 7]. Для элементов т] легко построить таблицу умножения; единственными умно- жениями, которые нужно действительно выполнить, являются 7M = <>2+ а4 + о|0+ о4+ • • • = т), +2тJ Чо + П\ + V) 7H7J =3 + 7), + 7)з после чего другие произведепия, такие, как ti0ti3 = ti3ti0 = ti0+3 + ti1+3 + + ^з+з = % + т]о "H" Mii могут быть получены перестановкой элемептов т];. Таким образом, hi») = 25Ч|1K + 5т)зТJ + 45тK2 - 35тK + 5т)от), + т)отJ + 9тH7K - 7тH + + 45тJ + 9г)|7J + 817),7)з-637I -35т), - 7тJ - 63тK + 49 = = 49 - 7т)() - 98г>, - 7т,2 - 98т,з + 25C + т,2 + Чо; •+- + 5GJ + Т)з + 7),) + 45(Т)О + 2Т),) + 5(Т)О + 7), + 7)з) -Н + C + -г,, + jfc) + 9(т), + 7H + тJ) + 45(.7J + 2тK) + + 9G), + 7J + 7H) + 81C + 7J + 7H) = = 370+Л67тH+ 12т), + 1б7тJ+ 12тK = = 370 + 1676>О + 126», = 358 + 1556>О где 90 = п„ + тJ = а + а4 + а3 + а12 + а» + а10 и et = i\t + Лз = а2 + + ав + а« + а11 + а5 + а7 = -1 - в0. Далее, 000! = 30О + 3Qt = -3, Л (а2) = 358 + 1550,, и наконец Nf (а) = C58 + 1550О) C58 + 1550!) = = 3582 + 358-155 (% + 9^) [- 3-1552 = 128 164 - 55 490 - 72 075 = 599, что и требовалось. Таким образом, 1 — а — а2 — аъ + а7 есть простой делитель числа 599. (Куммер в этом случае ошибся. См. упр. 8.) В заключение рассмотрим случай К = 23. Первое простое р = 1 (mod 23) есть р = 47. В этом случае к может быть взято любым квадратом по модулю 47, например к = 4. Тогда степени к, к2, к3, ... по модулю 47 легко находятся: 4, 16, 17, 21 —10, 7, —19, 18, —22, 6, 24, 2, 8, —15, —13, —5, —20,
4.4. Вычисления для р == 1 (mod К) 129 14, 9, —И, 3, 12 (в таком порядке). Разумеется, fc23 = I (mod 23). Очевидным подозреваемым на роль делителя числа 47, который делит а — 4, будет 1 — а„+ а21, поскольку 1—4 + 3 = 0. Для того чтобы следовать исполь- зуемой выше процедуре, необходимо вычислить N A — а + а21). Так как 22=11-2, то это вычислепие можно свести к перемножению 11 сомножи- телей, а затем перемножению двух сомножителей. Примитивный корень но модулю 23 есть —2, так что указанное сведение имеет следующий вид: Л7 (а) = G (а) G (а), где (Здесь а означает а21, а означает а16, и т. д.) Вычисление элемента*? (а) довольно длинное. Его можно организовать следующим образом. Пусть g (а) = / (а) / (а4) и h (а) = g (а) / (а), так что G (а) = h (а) h (а) h (а2) X X g (а-10). Тогда ?(<*) = «21 -«l6+al5+a'3+a5-a4-a2-a+ 1 /!(а)=«20+а19+а17_3„16+а13+а12+а9_а8_а7+а5_а2_а+1 /,(« ') « « ¦> + аю+ а7 - За12 + а4 + а9 + а - а6 - а" + а21 - а13 - а18 + 1 и вычислепие элемента G (а) требует двух умножений средней сложности, сопровождаемых довольно длинным перемножением двух их результатов. Окончательно, получаем G (а) = —44 + 15G0 — 130!, где 0О = а + а4 + + а + . . ¦ + а6 и Q1 = —1 — 0О. Поскольку 0О0!, как легко убедиться простым перемножением, есть 11 + 50О + 50, = 6, то это дает G (a) G (а) = = (-31 + 280О) (-31 + 280t) = 312 - 31-28 @О + 9Х) + ;б-282 = 961 + + 868+4704 = 6533 = 47-139. Таким образом, наша процедура этой попыткой не дала нам делителя числа 47. На самом деле легко видеть, что она никогда не может дать такого делителя, поскольку, каким бы ни был исход- ный элемент / (а), построенный для него аналог элемента G (а) может быть представлен в виде а + Ь0О, так что требуемый результат должен иметь вид 47 = (а + Ь0О) (а + 60^) = а2 — аЪ + 6Ь2. Невозможность такого равенства может быть доказана применением гауссовой теории бинарных квадратичных форм, или, проще, если записать это равенство в виде 4-47 = 4а2 — 4аЬ + + 24Ь2, 188 = Bа — ЬJ + 2362. Лишь два испытания необходимы, чтобы проверить невозможность представления числа 188 в виде суммы квадрата и еще квадрата, умноженного на 23 A88 — 23 и 188 — 23-4 не являются квадратами). Это доказывает, что в случае К = 23 пет круговых целых с нормой 47. Так как N (а — 4) = 0 (mod 47), то простой делитель числа 47 должен был бы делить одно из сопряженных числа а — 4 и, следовательно, по теореме преды- дущего параграфа, должен был бы иметь нормой 47. Таким образом, 47 совсем не имеет простых делителей, и уж тем более здесь не может быть един- ственности разложения. Эту аномалию можно обнаружить и более простым способом, не обращаясь к теореме предыдущего параграфа. Так как 1 — — а + а делит 47-139, но не делит ни одно из чисел 47 и 139 (поскольку его норма не делит ни N D7) = 4722, ни N A39) = 13922), то оно не является простым, и если бы выполнялись обычные свойства разложения, то оно разби- валось бы на 2 сомножителя. Но так как его норма равна 47-139, то един- 9 Г, Эдварде
130 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей ственпым возможвым разложением было бы разложение па множитель с нор- мой 47 и множитель с нормой 139, а как мы только что видели, число 4Т не является нормой. [Ситуация здесь в точности такая же, как в упомянуто^ выше примере парушения единственности разложения 3-7 = N D + У—щ для квадратичных целых х -\- у У — 5. Так как 4 + У—5 делит 3-7, но не делит пи 3, ни 7 (поскольку его норма пе делит пи N C) = З2, пи N G) = = 72), оно не является простым и должно быть произведением множителе с нормой 3 и множителя с нормой 7. Но равенство N (х -\- у У—5) = х2 -\- + 5г/2 = 3 невозможно.] Из восьми простых р = 1 (mod 23), меньших 1000, Куммер для трех дал решентге h (а) уравнения Nh (a) = p (табл. 4.4.4.), а для остальных пяти, Таблица 4.4.4 Л = 599 691 829 23 = Л'( = .V( и 1 4 1 4 С - а - а - а 4- = - < 1 >'6) ) включая р = 47 и р = 139, показал приведенными выше рассуждениями, что такого h (а) не существует. Для каждого и,ч пяти этих р оп дал такое круго- вое целое h (а), что h (а) — Л (а) и произведение 11 сопряженных числа h (а), получаемых заменой а •—*¦ а4, равпо р. (Иначе говоря, Тогда, поскольку h (а) — h (a), Nh (а) = р'К) Эти 5 круговых целых даны в табл. 4.4.5. Здесь четко прослеживаются два совершенно различных пути Таблица 4.4.5 л = 472 1392 2772 4612 9672 23 и = Л'(а10 = /V(«10 = NB 4- = ,\'(« + = Л'B 4- ал 4-а + а а + а «" = 1 10 + 10 + а ' 1 4- а + а- а84 «84 4-а7 10 4- < 11 4- - а 8 4- а7 4- - (« " 8 4- а4 4- + а 7) X 104-«84-, а4 4-а 4) « ?) <» 4) :< 84-а9 4-а"9) разложения числа 47-139: одно в виде N A — а + а), а другое в виде про- изведепия куммерова разложения числа 47 на его разложение числа 139. В первом разложении 22 сомножителя и норма каждого из них равна 47 -139, а во втором И сомножителей с нормой 472 и 11 сомножителей с нормой 139V Все эти сомножители неразложимы, поскольку числа 47 и 139 не могут быть нормами.
4.4. Вычисления для р = 1 (mod К) 131 Ядром куммеровой теории идоалышх комплексных чисел является то про- стое соображение, что способ проверки делимости на гипотетический множи- тель числа 47, а именно, проверки сравнения g D) = 0 (mod 47), применим даже тогда, когда нет никакого реального множителя, для которого про- водится проверка. Можно рассматривать это как проверку делимости на некий идеальный делитель числа 47, и в этом суть куммеровой теории. Однако прежде чем Куммер смог сделать этот решительный шаг, ему пришлось мастерски овладеть разложением простых р ф О, 1 (mod К), и именпо этим он и занялся в период с 1844 до 1846 г. Здесь он тоже пашел методы проверки делимости па простые делители числа р, которые продолжали действовать даже тогда, когда не было никаких реальных делителей, для которых должна была проводиться проверка. Он по определению рассматривал их как при- знаки делимости на «идеальные простые делители» числа р и построил свою теорию идеальных комплексных чисел на основе этих идеальных простых делителей. Следующие четыре параграфа посвящены изучению простых делителей простых чисел р ф О, 1 (mod К), обобщающему изложенное выше исследование случая р = 1 (mod К). Накопленный в них опыт используется затем для того, чтобы обосновать очень естественное определение идеальных простых делителей, которые в этой книге будут Называться простыми дивизорами. i пражнения 1. Проверьте следующий вычисления (К = 5). (a) C - а) B + а) B + а3) B + а4) = 11 (а4]+ а\+ 2). (b) B + а2J делит 3 — а, и частное есть единица. Найдите эту единицу и обратпую к ней. (c) B -f- а2) (За4 + 2а2 + 1) делит 5 + 2а, и частное есть единица. (d) 2-fa делит 5 — 4a2. Какова норма частного? (e) 2а3 + а4 + 4, 2а2 + а + 4 и 2а + а3 + 4 не делятся на 2а4 + + а2 + 4. (f) (a8 + 2) Bа3 + а4 + 4) делит а+ 7, и частное есть единица. (g) a + 2 делит a4 — 5. 2. Проверьте следующие утверждения в случае К = 7. (a) 2а& + 2а2 + а + 1 имеет норму 71 и делит 3 — 2а. (b) 4 -}- а делится на одно из сопряженных числа 1 + а2 — а4. Найдите частное. (c) Л" B + 2а2 + ав) = 197. (d) Л" C -а4-ав) = 8-197. (e) Найдите элемент с нормой 8. Заметим, что не все простые делители нормы обязаны быть сравнимы с 1 по модулю 7. 3. Разложите следующие круговые целые (К = 5). (a) 5а4 — За3 — 5а2 + 5а — 2. (b) -4а3 - На2 + 8а + 15. 4. При К = 7 разложите (а) а2 — За — 4, (Ь) а5 — а4 — За2 — 3aJ— 2. 5. В случае К = 7, р = 71 делитель в куммеровой таблице заметно отличается от найденного в тексте. Запишите один из них как единицу, умноженпую на элемент, сопряженный другому. 6. Найдите элемент с нормой р в случае к = 19, р = 191. Сравните ответ с куммеровым в табл. 4.4.3. 7. Как и в упр. 6, постройте другие данные из куммеровой таблицы. 8. Покажите, что куммеров делитель в случае к = 13, р = 599 ошибо- чен. [Он не удовлетворяет условию / (к) ^ 0 (mod p) при некотором к.] 9. Пусть X = 23. Условие / (а) = / (а) в сочетании с / D) = 0 (mod 47) дает условие вида а0 + 16% + ... — 21au = 0 (mod 47) на 12 переменных а0, Оц . • •, an. Отыщите несколько несложных кандидатов на решения
132 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей уравнений Nf (а) = 472, / (а) = / (а). Покажите, что сопряженное кум- мерову делителю а10 + а13 + а8 + а15 + а7 + а16 удовлетворяет этому усло- вию. Подсчитайте Nf (а) для этого кандидата. 10. Докажите, что если К делит Ng (а), то а — 1 делит g (а). 11. Докажите, что (а2 — 1) (а3 — 1) ... (а*— 1) = 1 +!2а + За2 + .. , . . . + Яа^ = а + 2а2 + . . . + (К - 1) а*. 4.5. Периоды В вычислениях предыдущего параграфа оказалось полезный выбрать примитивный корень у по модулю Я, и записывать сомно- жители нормы Ng (ос) кругового целого g (а) в порядке Ng (a) = = g (ос) g (av) g (aw) . . ., а пе в порядке^ (a) = g (ос) g (a2) X X g (a3) .... Во избежание показателей в показателях удобно ввести обозначение для сопряжения a >-*• ос^, например через а. Тогда eg (ос) = g (av), o2g (ос) = g (aw) и т. д., и ^ (a) = = g (ос)-erg (a)'O2g (a) ... ox~2g (a). Заметим, что о*-'1 есть тож- дественное сопряжение a ¦—> а и что сопряжения а, а2, . . ., сЛ все различны, поскольку они переводят а в различные степени числа ос. Метод, примененный в предыдущем параграфе к вычислению нормы, заключался в том, что при помощи делителя е числа Я, — 1 норма записывалась в виде Ng (ос) = G (ос) -oG (a) ... ae-1G (a), где x) G (a) = g (a) -oe g(a) -a2e g (a) ... a~*g (a). Этим путем можно сократить число умножений, пужных для нахождения Ng (a). Например, в случае Я, = 13 использовался примитивный корень 7 = 2 при е = 4, чтобы записать iVg (a) = G (a) G (a2) X X G (a4) G (a8), где G (a) = g (a) g (a3) g (a9). Кроме того, тот факт, что a G (а) = G (а) (сопряжение а" лишь переставляет сомножители в G (а)), означает, что G (а) имеет очень специальный вид. В примере при Я, = 13, у = 2, е = 4 этот элемент имел вид а + br\0 + сг\х -Ь dri2, где ri0 = a + a3 + a9, r^ = a2 + ae + a5, тJ = a4 + a12 + a10 и ц3 = a8 -f- a11 -f- a7. Таким же образом, в общем случае G (а) имеет вид а -\- Ъх\й -\- сцг + . . . +Л]е_1, где а, Ь, с, . . ., d — целые числа, тH = a -f- (fa -\- вгва + . . . . . . -f- о~еа и т);+1 = ат];. Это следует из того, что в силу равен- ства oeG (a) = G (a) коэффициент при а в G .(a) равен коэффициен- ту при веа и, вообще, коэффициент при а3 равен коэффициенту при оеа3. Круговые целые тH, т^, . . ., T]e_b определенные таким способом для данных Я,, у, е, называются периодами; это название дал им Гаусс в седьмом разделе своих «Арифметических исследо- ваний» (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 343). Периоды играют важную роль не только в том, довольно мелком, приложении, которое приведено в предыдущем параграфе, но и в широком круге других приложений в теории чисел и линейной алгебре, и использование их Гауссом в исследованиях, относящихся к построению правильных многоугольников, было лишь первым х) Здесь а-« обозначает^а1^1, т. е. сопряжение, обратное к а'.
4.5. Периоды 133 примером таких приложений. Куммер хорошо зпал о том, что Гаусс пользовался периодами, и сам широко применял их, раз- вивая теорию разложения круговых целых. Пусть Я,, у, е те же, что и раньше (т. е. Я, — нечетное простое число, у — примитивный корень по модулю Я, и е — делитель числа к— 1). Пусть / = (А, — 1)/е. Тогда[тH = а + веа -\-в2еа -f ... . . . + в~еа содержит / слагаемых, поскольку oeta = ох~1а = а, а~еа = (ae)?-1a. Значит, тH, ti17 . . ., r\e-i все состоят из / сла- гаемых. По этой причине они называются периодами длины /. Заметим, что естественно определить тH = т)е (поскольку т)е должно было бы равняться от)е_1 = а2т|е_2 = ...=. (/tH = тH) и т)! = т)е+1, тJ = т)е+2, . . ., а также т)^ = г\е_1, т)_2 = т)е_2, ..., чтобы т)г было определено для всех целых i и ат)г = т);+1. Для данного Я, и для данного /, которое делит Я, — 1, периоды длины / определяются в зависимости от выбора примитивного корня у. (Полагаем a (a) = а? и е = (Я, — 1)// в формулах, определяющих периоды.) Однако вполне законно говорить о «периодах длины /», поскольку сами периоды не зависят от выбора примитивного корня у, хотя их порядок и может от него зависеть. В этом можно убедиться следующим образом. Пусть у' — другой примитивный корень по модулю Я,, пусть а' обозначает соответствующее сопряжение ось-э-а'У, и пусть т|; — периоды длины /, определенные при помощи а' вместо а. Для того чтобы доказать, что периоды тц, тJ, . . ., т)е совпадают, вообще говоря, с точностью до порядка, с периодами t)j, т)^, . . . . . ., т)е, необходимо и достаточно показать, что если а3 есть некоторая степень числа а, а т), есть тот период, который ее содер- жит, то т)г- содержит также и о'еа3. (Тогда он также содержит a"a"a^ = о'2еа3, а'зеа\ . . ., а'~е&, т. е. все слагаемые периода r\'h, содержащего ос'.) Для этого достаточно доказать, что о'е есть некоторая степень сопряжения о". Но так как каждое сопряжение есть степень сопряжения а (каждое отличпое от нуля по модулю Я, целое число сравнимо со степенью числа у), то и о' есть степень сопряжения а, а отсюда сразу вытекает, что о'е есть степень сопряжения а*. Это доказывает, что периоды т) совпадают с пе- риодами т)'. Чтобы показать, что порядок может быть другим, достаточно найти соответствующий пример. Таким примером является случай Я, = 13, / = 3. Примитивные корни по модулю 13 суть ±2, ±6. При 7 = 2 периоды длины 3 таковы: Tj, = a2 + a6+ a5 TJ=a4+a~l + a tj3 = a~5 + a~2+ a~6 n0 = Щ = a3 + a ~4 + a.
134 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей (Заметим, что столбцы в правых частях, прочитанные сверху вне и при переходе к столбцам слева направо, состоят в точност" из степеней ос2, а4, а8 = ос5, а16 = а3, а32 = ав, ... элемента € в том порядке, который предписывается выбранным примитивны! корнем 2.) При у' =—2 период г\[ должен содержать ос2 и, зна ЧИТ, T]j = ТK ф %. Говорят, что круговое целое образовано периодами длины f если оно имеет вид а0 -f- aiy\1 + а2тJ + . . . + ает\е, где а0, аъ . . . . ., ае — целые числа, а тц, тJ, . . ., т)е — периоды длины / Как уже отмечалось, G (ос) образовано периодами длины / тогд и только тогда, когда oeG (ос) = G (ос). Отсюда вытекает (посколь ку ое есть сопряжение и потому переводит произведение в проиа ведение), что произведение двух круговых целых, образованны)! периодами, само образовано периодами. Например, для периодов тH, гц, тJ, тK длины 3 при % = 1Г таблица умножения 473 была найдена в предыдущем параграфе. Применение сопряжения с к этим равенствам дает г\\ -= тJ + 2t]3, rf2 = тK + 2r\0, r\l = = Г\о + 2Т)!, ТЦТ],; = % + ТJ + Т)о И Т. Д. Заметим, что в некоторых местах мы пользовались записыг- тH, а в других — записью т)е. Куммер постоянно пользовался обозначением тH и записывал в общем случае круговое целое образованное периодами, в виде аот)о + с^тц + . . . + ае_^\е_г применяя для исключения целых чисел из этого выражения то* дество 1 + тH + т)! + . . . -f- rig..! = 0. В некоторых местах этог книги мы будем следовать обозначениям Куммера, но иногда для круговых целых, образованных периодами длины / = (А, — 1)/с удобнее будет применять запись а0 -(- с^тц + а2тJ --(- ... -\-аег\Р Упражнения 1. В случав К = 5 найдите периоды длины 2 и таблицу множения для них. Найдите формулу для нормы кругового целого, образованного перио- дами длины 2 (К = 5). Найдите круговое целое, норма которого делите* на простое число, не сравнимое ни с 1, ни с Оно модулю 5. Заметим отсюда что если это круговое целое имеет простой делитель, то он не относится к тому типу, который изучался в предыдущем параграфе. 2. Покажите, что^если К = 7, то порма любого кругового целого имев" вид [А2 + 7Л2]/4, где А и В — целые числа одинаковой четности. [Пусть Go, 0j— периоды длины 3. Найдите 000!.]
4.6. Разложение простых р з= 1 (mod К) 135 3. Найдите общую формулу для @О — GjJ, где 0О, 0Х — периоды длины (). — 1)/2, индуктивно, т. е. вычисляя это целое число для различпых значе- Ц11Н X. h. Докажите формулу, найденную в уцр. 3. 5. Для всех случаев имеется формула для Ng (а), аналогичная формуле \д (я) = [Л2 + 7J52]/4 в случае К — 7. Найдите эту формулу. 6. Найдите периоды и таблицу умножения для них в случае К = 17, / = 4. 7. Какие условия нужно наложить на р и /, чтобы периоды длины / оыли инвариантны при сопряжении a i-*af, где р —• простое. 8. Покажите, что для данных / и К (к — простое, / | (к — 1)) период тH ие зависит от выбора примитивного корня у. 4.6. Разложение простых р ф 1 (mod к) Пусть h (ос) — некоторое простое круговое целое (для данного фиксированного ^). Рассуждения, содержащиеся в § 4.3, позво- ляют показать, р т0 имеется простое целое число р, обладающее таким свойством: h (ос) делит целое число и тогда и только тогда, когда и = 0 (mod p); иными словами, сравнение и = v (mod h (a)) для целых чисел и и v эквивалентно сравнению и = v (mod p). Для этого достаточно заметить, что h (a) делит целое число Nh (a) и, следовательно, делит по крайней мере один из простых целых делителей числа Nh (a), например h (a) | p. Тогда для произволь- но взятого целого числа и из h (a) | и вытекает, что h (a) делит наибольший общий делитель d чисел и и р, поскольку d = ар + -(- Ьи; с другой стороны, р — простое, так что d = 1 или р, и так как h (a) не единица, тойт^!) d = р, и = 0 (mod p). Конечно, верно и обратное: из и == 0 (mod />) вытекает w = 0 (mod h (a)); таким образом, два утверждения эквивалентны. В случае простых делителей h (a), изученных в § 4.3, этот факт мог бы служить основой признака делимости на h (a), по- скольку для таких делителей каждое круговое целое сравнимо по модулю h (a) с обычным целым числом. Однако это применимо только к тем простым h (a), которые делят простые целые числа р = 0 или 1 (mod %), поэтому нужны и другие методы нахождения простых делителей h (a) простых целых чисел р щк 0 и 1 (mod %). Полезно задать вопрос: для данного простого h (a), деляще- го р, какие круговые целые g[(a) ^сравнимы с целыми числами по модулю h (a)? Необходимое условие для сравнения g (a) = ss и (mod h (a)) непосредственно следует из теоремы Ферма иР = и (mod р), поскольку это дает g (а)р == ир = и = g (a) (mod h (ос)). Проверить выполнение этого| необходимого' усло- вия очень помогает сравнение которое представляет собой не что иное, как обобщение теоремы Ферма. Его можно доказать следующим образом.
136 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Рассмотрим (X + Y)p — Хр — Yp как полином от двух пере- менных с целыми коэффициентами. Каждое слагаемое имеет степень р и пет слагаемых с Хр и Yp, так что полином имеет вид c^^Y + c2Xp~2Y2 + . . . + Cp^XYJ, где ct - положитель- ные целые числа. Если 7 = 1, а I равен целому числу, скажем X = и, то значение полинома равно, с одной стороны, с^'1 + + с2ир-2 + . . . + Ср^и, а с другой стороны, (и -f- 1)р — ир — — 1Р = (и -\- I) — и — 1=0 (mod р). В силу рассуждения Эйле- ра с разностями из § 2.4, единственным случаем, когда все значе- ния полинома степени меньше р при целых значениях переменной сравнимы с нулем по модулю р, является такой случай, когда все его коэффициенты = 0 (mod р); таким образом 1), п1 = г2 = . . , . . . = Cp_x e= 0 (mod p). Значит, для любых двух круговых целых g0 (a), gj. (а) мы получаем (g0 (ос) + gx (а))р — g0 (a)p — ()p (У1 () )A и, следовательно Поэтому = ао + (° (go если [хос + a (« g ) + g (a) = t2 + . i(a)) = «0 + -f- a%- nP ao (a)p+gi , + . . . 1ax'~1)p = + a\ap H (a)p (mod p). + а^а*-1, dP + avap - - apa2p + . TO Ma g («)p = 2a2+ . . . + ap_xX + ^^) + f + + Ji X (aP)^ (mod p). Так как af == at (mod /з), то g (a)p == g (ap) (mod p), что и требовалось доказать. Таким образом, g (a)p ^ g (ap) (mod fe (a)) и необходимым условием для g (a) = и (mod /г (а)) является g (ap) ^ g (a) (mod /г (а)). Наиболее простой путь нахождения круговых целых, удовлетворяющих этому условию, дает рассмотрение тех круговых целых g (a), для которых g (ap) равно самому g (a), т. е. круговых целых, инвариантных относительно сопряжения а ь-»¦ ар. Необходимые и достаточные условия равенства g (a) = = g (ap) легко вывести, например, следующим образом. Пусть т обозначает сопряжение a »-»¦ ap, и пусть / — наименьшее поло- жительное целое число, для которого т^ есть тождественное сопряжение a <—*¦ а; иными словами, пусть / — наименьшее поло- х) Иными словами, биномиальные коэффициенты I . 1 делятся на р при ; = 1, 2, . . ., р — 1. Другим способом доказательства теоремы Ферма является получение тоге же самого из формулы ( . \ = pl/jl (p — /)!. (Поскольку р простое, множитель р в числителе не сокращается с множите- лями знаменателя.) Это дает (х + у)Р = хР + уР (mod p) для любых целых хну. Следовательно, (х + у + z)P = (х + у)Р -f zP = xv -f yV -f ZP (mod p) и, в более общей форме, B*e)p=i^]2:f (m°d p) Для любой конечной суммы У]^г целых чисел. В частности, если я=1+1 + -.. + 1, тогР=A + ] -j- l-j_ . . . -f 1)P= lp-f lp+!!- • • + lp = г (mod p), что и является теоре- мой Ферма.
4.6. Разложение простых р ф 1 (mod к) 137 жительное целое число, для которого pf = 1 (mod Я,). Это / назы- вается показателем числа р по модулю Я,. Тогда / | (Я, — 1). Пока- жем, что g (ос) = g (оср) тогда и только тогда, когда g (ос) является круговым целым, образованным периодами длины /, где / — пока- затель числа р по модулю Я,. Предположим сначала, что g (ос) образовано периодами длины /. Тогда, как мы видели в предыду- щем параграфе, a'g (ос) = g (ос), где е = (Я, — 1)//, а а — сопря- жение а >-*- аУ при некотором примитивном корне у по модулю Я,. Так как каждое сопряжение является степенью сопряжения а, то т = oh при некотором к. Так как т^ = ок* — тождественное сопряжение, то kf делится на А, — 1 = ef. Таким образом, е делит к, т есть степень сопряжения ае и %g (ос) = g (а), что и нужно было показать. Обратно, допустим, что %g (ос) = g (ос). Как уже- было показано, е \ к. По определению, е \ (к — 1). Таким образом, е — общий делитель чисел А; и А, — 1. Он является наибольшим общим делителем, поскольку если d делит оба эти числа, например к = qd и Я, — 1 = df, то сопряжение т'' = о*'' = oidi' = = (сх-1)9 является тождественным, откуда следует, что /' ^ / и d ^ е. Значит, е = ак + Ъ (Я, — 1) для некоторых целых а и Ъ, о" = aahaba-i) = т<^ oeg (а) _ %a.g ^ _ g (а)^ чт0 и требова- лось доказать. Это, в частности, показывает, что круговые целые, образован- ные периодами длины /, удовлетворяют сформулированному выше необходимому условию: g (a) == g (ocp) (mod h (а)) для g (a), сравнимого с целым числом по модулю h (а). Куммер доказал, что они и на самом деле^сравнимы с целыми числами по модулю h (a). Теорема. Пусть h (а) — простое круговое целое, р — простое целое число, которое делится на h (а), / — показатель числа р по модулю Я, и r]i — период длины /. Тогда существует такое целое число ut, что r\i = ut (mod h (а)). Следовательно, каждое круговое целое, образованное периодами длины /, сравнимо с некоторым целым числом по модулю h (а). Доказательство. Эта теорема также опирается на некоторое обобщение теоремы Ферма, а именно, на сравнение ХР - X = (X - \) (X — 2) . . (X — р) (mod p), которое означает, что все коэффициенты полинома Хр — X — — (X — 1) (X — 2) . . . (X — р) делятся на р. Так как степень этого полинома меньше р, то для доказательства этого сравнения, как и раньше, достаточно доказать, что все его значения при целых X делятся на р. Но все значения полинома Хр — X при целых X сравнимы с нулем по модулю р (согласно теореме Ферма), тогда как все значения полинома (X — 1) (X — 2) ... (X — р) являются произведениями р последовательных целых чисел, одно
138 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей из которых должно делиться па р, поэтому и они сравнимы с нулем по модулю р. Отсюда следует, что для любого кругового целого g (а) имеет место сравнение g (а)р — g (ос) = [g (ос) — 1] [g (ос) — 2] ... ... [g (ос) — р] (mod р). Значит, g (ос?) — g (ос) = [g (ос) — 1] X X 1^ (а) — 2] ... [g (ос) — р] (mod p), и тем более это сравнение имеет место по модулю h (ос). Если g (ос) образовано периодами длины/, то g (а?) — g (ос) = 0, а это дает [g (а) — 1] [g (а) — 2] ... ... [g (ос) — р] = 0 (mod h (а)). Так как h (ос) простое, один из сомножителей g (ос) — 1, g (ос) — 2, . . ., g (ос) — р должен делиться на h (ос), т. е. g (ос) сравнимо с некоторым целым числом по модулю h (ос), что и требовалось доказать. В частности, каждый период г]г сам сравним с целым числом, которое мы, следуя Кум- меру, обозначим через Ui. Таблица умножения для периодов r\t индуцирует соотношения между целыми числами и-, по модулю р, точно так же как в § 4.3 из соотношения 1 + а + а2 + • ¦ • + о^ = 0 следовало для целого числа к соотношение 1 -f- A: -f- A:2 -f- ... -f- A^ =з = 0 (mod p). В следующем параграфе рассматриваются различные конкретные примеры. В каждом из них можно найти все решения «j, w2, . . ., ие этих сравнений по модулю р (где е = (к — 1)// является числом различных периодов длины /) и, следовательно, определить, какие круговые целые, образованные периодами длины /, делятся на гипотетический простой делитель h (а) числа р, даже не зная самого h (а). В большинстве случаев будет возможно даже найти круговое целое g (а), образованное периодами длины /, которое делится на гипотетический h (а) и удовлетворяет условию Ng (а) = pf. Затем отсюда будет следовать, что если р имеет простой делитель h (а), то h (а) делит одно из сопряженных эле- мента g (а); так как Nh (а) делит Np = р^'1 и Nh (а) = h "(l)^ =e = 0 или 1 (mod (а — 1)), то Nh (а) == 0 или 1 (mod Я,), т. е. Nh (а) должно быть степенью числа pf. Наконец, из h (a) | g(a) вытекает Nh (a) = Ng (a) = pf. Короче, если р имеет простой делитель h (a), то h (a) есть единица, умноженная на круговое целое, сопряженное элементу g (a). В терминологии § 4.3 это рассуждение завершает анализ — оно дает очень сильные необходимые условия на простые круговые целые h (a), настолько сильные, что в примерах следующего параграфа мы сумеем найти все круговые целые h (a), которые могли бы быть простыми делителями данного р. Аналогом синтеаа § 4.4 было бы доказательство того, что эти возможные простыв делители на самом деле простые, т. е. если g (a) — круговое целое, образованное периодами длины /, для которого Ng (a) = pf, где р — простое число, показатель которого по модулю Я, есть /, то g (а) просто. Хотя эта теорема верна, ее доказательство знача-
4.7. Вычисления при р ф 1 (mod X) 139 тельно труднее доказательства частного случая / = 1 в § 4.3 и здесь, по-видимому, еще не стоит его приводить. Мы отложим его до § 4.11. Это означает, что в следующих двух параграфах еще не будет доказана простота круговых целых h (ос), удовлетворяю- щих условию Nh (ос) = pf, хотя в действительности они являются простыми. Удобно, однако, называть их простыми, понимая, что в свое время это будет доказано. Уп раж не ни я 1. При помощи треугольника Паскаля найдите все биномиальные коэф- фициенты ( , ) для п ^ 13. Проверьте непосредственно, что когда п простое и 0 < / < ге, коэффициенты делятся на п во всех случаях п ^ 13. 2. Подсчитайте полином X (X — 1) (X — 2) ... (X — р + 1) для р = = 3, 5, 7, 11. (Каждое вычисление есть часть следующего.) Проверьте в каждом случае, что результат сравним с XV — X по модулю р. 3. Проверьте формулу т)Р = т) (mod р) в случае X = 7, р — 2, найдя в явном виде /, все периоды длины / и р-ю степень каждого из них. Проде- лайте это же для X = 13, р = 3. 4. Покажите, что для любого простого X и любого целого к все простые делители суммы к*"'1 + к?"~2 + . . • + 1 сравнимы либо с 0, либо с 1 по модулю X. 5. Покажите, что в случае X = 5, р = 19 если р имеет простой делитель, то целые числа иг, гарантированные теоремой в тексте, удовлетаоряют усло- вию и2 + и — 1 = 0 (mod 19). Найдите решения и этого сравнения. Затем покажите, что тH — и делит 19, и найдите разложение числа 19. Покажите, что сомножители в этом разложении неразложимы. (На самом деле, как будет позже доказано в этой главе, опи простые.) 6. Используя процедуру предыдущего упражнения, па идите разложение числа 3 на неразложимые сомпожители в случае X = 13. (Опять же эти сомножители в действительности простые.) 7. Докажите, что если / — показатель числа р по модулю X и g (a) — круговое целое, для которого Ng (a) = pf, то g (а) неразложимо. 4.7. Вычисления при р Ф 1 (mod X) " ^Показатель / простого числа р по модулю X делит X — 1, поэтому в слу- чае X --= 5 едипствеппыми возможными зпачениями для / являются 1, 2, 4. Случай / — 1 был рассмотрен в § 4.4. В случае / = 4 предположение h (а) I р, Nh (а) | р4 вместе с тем фактом, что Nh (a) = [h (I)]4 (mod (а — 1)), Nh (а) в зг 0 или 1 (mod X), дает pf | Nh (a) I p4, Nh (а) = Np, откуда следует, что h (а) есть единица, умноженная на р. Короче, единственными возможными простыми делителями простых чисел р = 2, 3, 7, 13, . . . показателя 4 по модулю 5 являются единицы, умноженные па само р. Остается только найти простые делители числа р в случае / = 2. Такими простыми являются 19, 29, 59, 79, 89, . . ., сравнимые с 4 по модулю 5 A имеет показатель 1; 4 — показатель 2; 2 и 3 — показатель 4 по модулю 5). В случае X = 5, / = 2 интересующими нас периодами являются % !- = а + а4, т)х = а2 + а3. (Нумерация периодов не зависит от того, какое у мы выберем: у = 2 или у = 3.) В таком случае, как этот, когда / = (X — 1)/2, е = 2, лучше обозначить периоды через 0О, 9,, а не тH, ть- Поскольку 1 -г + 0о + Ai = 0i любое круговое целое а + Ь90 + c9t, образованное перио-
140 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей дами длины 2, может быть записано в виде A -f- Бв0 (А = а — с, В = b — с), а его норма — в виде (А + BQ0) (A + BQj) (А + Вв0) (А + BQj) = \А- + + АВ (90 + Gt) + -B2906i]2 = [A2 — АВ — Л2]2, ибо, как показывает простое вычисление, б,,^ = —1. Как указывалось в конце предыдущего параграфа, задача состоит в том, чтобы для данного р с показателем 2 по модулю 5 сна- чала пайти целые числа и0, щ, для которых возможны сравнения 00 =[и0, 0! = щ по модулю h (a), a затем найти круговое целее g (а) = а + ЬВ0 -f c0lt удовлетворяющее условиям а + Ьи0 + сщ = 0 (mod p) и Ng (a) — р". В част- ности, далее задача заключается в нахождении для каждого р = 19, 29, 59, ... такого кругового целого А[-{- BQ0, для которого А2 — А В — В2 = +р. Как и в случае / = 1,' пекоторый успех достигается путем проб п ошибок. В табл. 4.7.1 показаны значения величины А2 — АВ — В2 для некоторых малых А и В. (Можно считать, что А и В взаимно просты, А — большее из двух этих чисел по абсолютной величипе и А > 0.) Так как D - 90) D — 9t) = 19, рассуждения предыдущего параграфа по- казывают, что единственными возможными простыми делителями числа 19 являются единицы, умноженные па сопряженные эле- мента 4 — 90. Очевидно, что по модулю 4 — Go имеют место сравнения 90 = 4 и Q1 = —1 — 90 = —1 — 4 = —5. Следова- тельно, a -f- 6G0 -f- c9t = a -f- 4b — 5c и a -f- Ь90 -f- c9t делится на 4 — 90 тогда и только тогда, когда a -f- 46 — 5с ^ 0 (mod 19). Аналогично, единственными воз- можными делителями числа 29 являются единицы, умноженные на сопряженные элемента 5 — Go, и 5 — 90 делит a -f- 690 +c9t тогда и только тогда, когда a -f- 56 — 6с ^ 0 (mod 29). Это дает разложение на про- стые г) сомпожители 19 = D — 90) D — 9t) и 29 = E — 90) E — 9t) чисел 19 и 29, а также признак делимости на эти простые сомножители. Чтобы достичь следующего^простого числа 59 с показателем 2 по модулю 5, таблицу 4.7.1 пужно было бы продолжить значительпо дальше. Поэтому стоит испробовать метод, предложенный в предыдущем параграфе. А именно, если бы простой делитель^был известен, то имелись бы целые числа и0 и и17 с которыми периоды 00 hJ,9j были бы сравпимы по модулю этого делителя. Так[как 1 -f 90 -f Q1 = 0 и 909j = —1, то эти целые числа удовлетворяли бы сравнениям 1 -f- u0 -f- щ = 0, и^щ ^ —1 по модулю делителя числа 59, а следовательпо, по модулю 59. Эти два сравнения с двумя неизвестными можно свести к одному с одним неизвестным: и0 (—1 — и0) s= —1, и2 -f- + и0 — 1 е= 0 (mod 59). Решение этого сравнения можно пайти следующим образом. Имеем и0 (и0 + 1) = 1 -f- 59ге для некоторого п. Так как и0 (и0 -\- 1) четно, п должно быть нечетным. Так как и0 (и0 + 1) неотрицательно (и0 целое), п должно быть положительным. Испробовав п = 1, 3, 5, . . ., найдем 60 = = 22-3-5, 178 == 2-89, 296 == 23-37, 414 = 2-32-23, 532 == 22 -7-19, 650 = = 2-52-13, .... Первое из этих чисел, которое может быть записано в виде ио (ио + 1)' есть 650 = 25-26. Это дает решение и0 = 25, щ = —26. Сравне- ние и2 + и — 1 = 0 (mod 59) имеет не более двух решений; значит, оно имеет лишь решения 25, —26. Так как из и0 = 25 вытекает щ = —26, а из u, s ^ —26 вытекает щ ^ 25, то эти числа составляют единственно возможную пару значений и0, щ по модулю 59. Круговое целое вида а -\- 690 -f- св1 Таблица А 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 4.7.1 В 1 - 1 1 | 2 -2 1 -1 3 -3 1 - 1 А2 А В - В: 1 5 5 И - 1 И И 19 -5 19 19 29 х) Как было отмечено в конце предыдущего параграфа, доказательство того, что эти сомножители действительно простые, будет дано в § 4.11.
4.7. Вычисления при р Ф i (mod к) 141 тогда и только тогда делится на гипотетический делитель числа 59, по модулю которого и0 = 25, когда a -f- 256 — 26с = 0 (mod 59). Например, па него делится 25 - 90. Далее, N B5 - 90) == F25 + 25 - IJ = 112-592. Следо- вательно, искомый делитель числа 59 можпо найти делением числа 25 — 90 на два подходящих делителя числа 11. По модулю простого делителя а + 2 числа 11 (см. табл. 4.4.1) имеем: 90 = а + а4 = —2 + (—2L = 3 и 9t = -=а2 + а3 = —4. Следовательно, число 25 — 90 делится па a -f- 2, поскольку 25 — 3 г О; (mod 11). Оно также делится на а4 + 2, поскольку сопряжение а у-+ а4 оставляет 90 и 9t без измепепия. Зпачит, искомый делитель должен быть следующим: 25 - 90 _ 25 - 90 B5 - во)E + 20, ) , = '2 + 50,. (а + 2)(а*Т2) Г+ 26>ОТ4 Js + 2в0 )E + 20, ) 125 -5в0 + 500, +2 132 + 550, 25 - 10^4 ~ = П Таким образом, равенство 59 = A2 + 59t) A2 + 590) и есть искомое разло- жение числа 59 на простые сомножители. Следующее простое число, которое яужно разложить, есть 79. Способ, примененный в] случае числа 59, позволяет установить, что 11 -79 -f- 1 = = 870 = 29 -30. Признаком делимости, следовательно, является сравнение а + 296 — 30с = 0 (mod 79). Решение этого сравнения в относительно небольших целых числах есть 6 = 3, а = —8, с = 0. Так как (—8 + 3G0) X X (—8 -f- 39^ = 64 + 24 — 9 = 79, то ото дает нам разложение числа 79. Следующее простое число 89 разлагается очень легко: 89 -f- 1 = 9-10; при- знак делимости есть а + 96 — 10с = 0 (mod 89), находится число 90 — 9, Таблица 4.7.2. К = 5, / = 2 простое #о-4 #0-5 5#0+ 12 3#0-8 V-9 норма 192 292 592 792 892 «0 = 4 5 -26 29 9 01 = С -6 25 -30 -10 и тогда (90 — 9) (Q1 — 9) = 89. Это завершает разложение простых чисел, меньших 100. Результаты показаны в табл. 4.7.2 (и в табл. 4.4.1). Когда к = 7, показателями / числа р по модулю X должны быть 1, 2, 3 или 6, поскольку / | (X — 1) и X — 1 = 6. Случай / = 1 был разобран в § 4.4, а случай / = 6 неинтересен, поскольку в этом случае р не имеет нетривиаль- ных разложений. Случай / = 3 имеет место, когда р = 2 или 4 по модулю 7. Такими являются простые р = 2, 11, 23, 37, 53, .... Случай / = 2 имеет место, когда р = — 1 (mod 7), р = 13, 41, 83, ... . Первым рассмотрим слу- чай / = 3. Периодами длины 3 являются 90 = а + а2 + а4, 9t = а3 + а5 + ав (не существенно, использовано ли у = 3 или у = 5). Имеем 1 + 90 + 9t = 0 и 909х = а4 + а» + 1 + а6 + 1 + а + 1 + а2 + а3 = 2. Следовательно,
142 Гл. 4. Еуммерова теория идеальных делителей каждое круговое целое, образованное периодами длины 3, имеет вид А + + ?0„, а его норма есть (А + ?0О)8 (А + Вд^3 = (А2 — АВ + 2В2K. В этом случае все пеболыпие простые числа очень легко разложить путем проб и ошибок. Дело сводится к отысканию пары таких целых чисел А, В, что А2 — АВ + 2Я2 = р, где р = 2, 11, Таблица 4.7.3 23, 37, ... . Для р = 2 решение получается непосредственно, и соот- 1 ветствующее разложение числа 2 имеет А В а- АВ + 2В2 В11Д 2= 000!. Для нечетных простых чисел ясно, что А должно быть нечет- 1 2 7 ныы, а В — четным. Так как эти числа 1 4 29 должны быть к тому же взаимно про- 1 б 67 стыми, то имеет смысл делать только 3 2 l'l те пР°бЫ) которые показаны в табл. 4.7.3 3 4 У) (для р "^ ^0). Искомые разложения можно тогда взять из этой таблицы: 5 2 23 67=A + 60о)A+6О1), 11= C + 20о)х 5.4 37 ХC + 20t) и т. д. Чтобы найти целые 5 6 67 числа, с которыми 0О и Q1 сравнимы по 7 2 43 модулю этих простых круговых целых, 7 4 53 нужно только решить простое линей- 7 , 1Q пое сравнение. Например, если 0О = ' ° /у =к (mod A + 60О)), то 1 + 6А = О 92 71 (mod A + 60О)), 6А= —1 (mod 67), 9 4 77 66ft = —11 (mod 67), к = 11 (mod 67). Эти разложения приведены в табл. 4.7.4. Г Теперь рассмотрим случай X = 7, / = 2. Периодами длины 2 являются Го = а -(- а6, т)! = а3 + а4, тJ = а2 + а5, где использован примитивный корепь y=3. (Если использовать у = 5, то периоды останутся такими же, Таблица 4.7.4. J, = 7, / = 3 простое 9о 2*0 + 3 2^0+5 40 + 5 40О + 7 66>о+ 1 66»о+7 норма 23 И3 23Э 373 533 673 793 0о- 0 4 9 8 - 15 11 12 ',= 1 -S - 10 - 9 14 - 12 - 13 но изменятся их номера.) Как легко проверить прямым вычислением, они удовлетворяют уравнениям 1 + тH + % + тJ = 0, т)§ = 2 + тJ и tIqT)! = = т)а + "Пг- ДрУгие соотношения между ними можно найти из этих посред- ством сопряжений, которые осуществляются циклической перестановкой периодов Т|,: г\\ = 2 + Т|о, Т|| = 2 + Tin ЛгЛа = 'Пг + "По' 'Пг'По = "По + "Hi- Первое простое число, которое надо разложить, есть 13. Пусть и0, щ, и2 — те целые числа, с которыми сравнимы т)„, %, т|2 по модулю простого делителя
4.7. Вычисления при р ф 1 (mod X) 143- числа 13 (если таковой имеется); тогда имеют место сравпения 1 + и0 + и, + м, -: O(mod 13) м<з 5= 2 + M2(rriod 13) н сравнения, получаемые из этих циклическими перестановками ипдексов. Таким образом, ul = 2м0 + и0и2 == 2м0 + и0 + щ = = — 1 + 2м0 — и2 = == - 1 + 2м0 + 2 - Mq «о + «о ~ 2м0 ~ 1 = 0(mod 13) Этому сравпению не удовлетворяют и0 = О, +1, +2 и 3, но удовлетворяет и0 = —3. Далее, этим определяются значения других неизвестных: и.-, = = ul — 2 = 7 = — 6 (mod 13) и ut = —1 — u0 — u2 = —1 + 3 + 6 — S = s —5 (mod 13). Заметим, что, как и ожидалось, u0 = —5 и и0 = —6 также являются решениями сравнения для и0, н если использовать любое из них, то этим определяются значеипя двух других неизвестных. Значит, поскольку сравнение степени 3 по простому модулю имеет не более 3 решений, един- ственными возможными решениями (и0, щ, и2), удовлетворяющими первона- чальным сравнениям, являются (—3, —5, —6), (—5, —6, —3) и (—6, —3, —5). Следовательно, а + 6тH + ctjj + dr\2 делится па простой делитель числа 13, только если это круговое целое или одно из его сопряженных удовлетворяет условию а — 36 — 5с — 6d = 0 (mod 13). Например, 1 — % + Th ]1ЛП °ДПО из его сопряжеппых могли бы делиться па простой делитель числа 13. Произ- ведение трех различных сопряжепных равпо О - 41 + 17г)О - 172 + i7o)(l ~ iJo + iJi) = = A -17,+ 172XI - i7o+171-172+i7o+171-172-170+170-2-ij2 + ij,+ij2 = = A -i7, + i72X-l +37},-27}2) = = - 1 + Зт}, - 2tj2 + т,, - 3B + Чо) + 2(tj2 + т}0) - 7j2 + 3(tj2 + т}0) - 2B + т},) = = -11 +2т}0 + 27}|+2т}2= -13. Это и дает разложение: 13 = (щ — г\2 — 1) (ti2 — ti0 — 1) (тH — г^ — 1). Следующим простым числом с показателем 2 по модулю 7 является 41. Как и для 13, и0 должно удовлетворять сравпеиню и({ + и| — 2и0 — 1 = = 0 (mod 41). Значения и0 = 0, +1, +2, +3, 4 сразу же отвергаются, но и0 = —4 удовлетворяет сравнению. Тогда и2 = и§ — 2 = 14 и щ = —1 — — и0 — и2 = —11. Снова —4, —11, 14 оказываются полным набором решепий сравнения для и0, которые и определяют зпачепия неизвестных их и и2. Зна- чит, если а + ЬЛо + CTli + ^г делится на простой делитель числа 41, то опо или одно из его сопряженных должно удовлетворять условию а — 46 — — 11с 4- 14d = 0 (mod 41). Например, мы можем испытать 4 + тH. Этот
144 Гл. 4. Нуммерова теория идеальных делителей выбор успешен, поскольку D + чо)D + ч,)D + Ч2) = D + Чо)Aб + 4т,, + 4т,2 + г,2 + Чо) = = D+Чо)A2-3Чо+Ч2) = 48- 127,о + 47,2+ 12т,0 - 3B + т,2) + (т,0 = 42 +7,0 +7,, + 7,2 = 41 что и дает разложение числа 41. Из простых чисел, меньших 100 и имеющих показатель 2 по модулю 7, остаются только 83 и 97. Решение сравнения иЦ + и§ — 2и0 — 1 = 0 (mod 83) просто путем проб и ошибок требует некоторого терпения. В конце концов мы найдем решение и0 = 10, откуда получаем другие два решения и2 = = 100 — 2 = 15, щ = —1 — 10 — 15 = —26. Это приводит к рассмотре- нию таких а + Ьт|0 + сг\г + dr\2, для которых а + 106 — 26с + 15d = = 0 (mod 83), например 5 + тH — тJ. Короткое вычисление показывает, что E]+ Т10 - тJ) E + % — т|0) E + т|а — ти) =83 и DтH - 3) D^i - 3) • • DтJ — 3) = 97. Этим завершается нахождение разложений простых чисел р < 100 при X = 7. Результаты даются в таблицах 4.7.5, 4.7.4 и 4.4.2. Таблица 4.7.5. X = 7, / = 2 простое i»,-ij2- 1 т,0 + 4 7,0-7,2 + 5 47,о-3 норма 132 412 832 972 Чо = т -4 10 25 7,,S -5 - 11 -26 30 7,2 = -6 14 15 41 , В качестве еще одного примера рассмотрим случай А, = 13, р = 29. В этом случае р = 3, р2 = 9, р3 = 1 (mod А,). Значит, / = 3. Как было найдено в § 4.4, периодами длины 3 являются тH = а + а3 + а9, t^ = а2 + а6 + ав, тJ = а4 + а10 + а12, тK = а8 + а7 + а11, где в качестве примитивного кор-. ня по модулю 13 использовано либо у = 2, либо у = 6. (Если у = —2 или —6, то сами периоды не изменятся, а изменится лишь их нумерация.) Кроме того, они удовлетворяют соотношениям o= = 3 + i = ( из и соотношениям, получаемым из этих циклическими перестановками тH н-> ¦—*- "Hi'—*" "Пг '—*" "Пз '—*" "По- Если и0, щ, и2, и3 — целые числа, сравнимые с тH, *Пи 'Пг- "Пз по модулю простого делителя числа 29 (при условии, что 29 имеет
4.7. Вычисления при р =в 1 (mod X) 145 простой делитель), то выполняются сравнения 1 + и0 + И| +  + из ~ O(mod 29) и%= и, + 2i<;(mod 29) иои, = м0 + И| + !(.i(mod 29) иои2 s 3 + «i + "з и сравпения, получаемые из них циклической перестановкой неизвестных щ. Далее, Mq == mo"i +2uou2~ мо-^м, + м3 + 2C + и, + м3) = = 6 t- м0 + Зм, + З.м3 = 3. - 2м0 - Зм2 и% = Зм0 - 2(и, + 2м2) - 3C + и, + м3)= s - 9 + Зм0 ~ 5«! - 4м, — Зм3 = = -6 + 6м0- 2м, - н2 Mq* + 2м^ == - 6 + 6м0 + Зм2 ?= - 6 + 6и0 + C - 2щ - и%) и$+и% + 2и\ - 4м0 + 3 = 0(mod 29) Сразу находим, что и0 = 0, +1, +2, 3 не удовлетворяют этому сравнению, но и0 = —3 удовлетворяет. Затем определяются Зи2 = 3 — 2и„ — иЗ = -г= 3 + 6 — 2 — 7, 30и2 = 70 = 12, и2 = 12, иг = и* — 2и2 = 9 — 24 = 14 II и3 = —1 — и0 — и1 — и2 ^ —1 + 3 — 12 — 14 = 5. Единственными воз- можными решепиями наших сравнений будут, следовательно, набор и0 = —3, «! ^ 14, и2 зз 12, и3 ^ 5 (mod 29), а также наборы, получаемые из него циклическими перестановками, поскольку эти 4 целых числа являются един- ствеппыми решениями сравпения и$ + и% + 2и^ — 4и0 -|-ЗзО (mod 29), а значения остальных трех компонент набора онределяются выбором значе- ния и0. Следовательно, если число а + ЬтH + с^ + dr\2 + er\s делится па простой делитель числа 29, то опо или одно из его сопряжешгых удовлетво- ряет условию а — 36 + 14с + 12d + 5е = 0 (mod 29). Например, ми вправе испытать 3 + ti0. Тогда C + тH) C + тJ) = 9 + Зти + 3tH + 3 + т|г + -- Лз ¦¦= 12 + 390 + ех == 11 + 260, где 90 = ti0 + ri2, 0! --= Th + т\3. Произ- |!едение четырех сопряженных элемента 3 + тH есть, следовательно, A1 -|- 290) X A1 + 2et) = 121 — 22 + 4&00! = 121 — 34 = 87 ?-. 3-29, поскольку еоО! = ¦"¦" —3. Для пахождения делителя числа 29 необходимо разделить 3 -1- тH па подходящий делитель числа 3. Большая часть работы, требующейся для разложения числа 3, была уже выполнена. Показатель числа 3 по модулю 13 равен 3, и разложение опи- рается на нахождение решений сраапения и§ + и% -j- 2ug — 4и0 + 3 = s о (mod 3). Решением является и0 = 0. Тогда все остальпые неизвестпые ui + "з = 0, и2 = — 1 — и0 — щ — ия = —1, щ = ul — 2и2 = —1, и3 ss 33 —щ = 1 определяются найденным значением и0. Значит, делитель числа 3 мы ищем среди круговых целых а + ЬтH + с^ + dr\2 + етK, для которых « — с — d + e = 0 (mod 3). Например, пусть b ~ 1, a = c — d — е — 0. Тогда тHТ12 == 3 + 917 ЛоЛ^гЛз -= C + 90) C + et) = 9 - 3 - 3 = 3. Сле- довательно, тH есть простой делитель числа 3, по модулю которого тH s 0, ^ Г. Эдварде
146 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей ¦Hi = —1, т|2 = —1, .т|3 еэ 1. Отсюда 3 + т|0 = 3 = 0 (mod т|0). Деление элемента 3 + т|0 = Т|ог|1г|2г|з + т|0 па т|0 дает T\tf\tf\s + 1 = т|2 C + т|0 + т|2) + + 1 З + 3 + + + + 2 + 1 4 + 2 + + З + 2 + |0 |о|1|2|з + |0 |0 д \tf\tf\s + |2 ( + |0 + |2) + + 1 = Зт|2 + 3 + т)! + т|з + т|з + 2т|0 + 1 = 4 + 2т|0 + т)! + Зт|2 + 2т|3 = = 2 — т)! + т|2, что и является делителем числа 29, но модулю которого т|0 = —3, т)! = 14, т|2 = 12, т|3 = 5. Среди случаев с / > 1, так же как и в случаях с / = 1, имеются такие, когда этот метод не в состоянии осуществить разложение числа р. Примером служит случай X = 31, р = 2. Здесь / = 5, и если периоды длины 5 построе- ны с помощью примитивного корпя 3 по модулю 31, то для пих имеют место равенства т,0=а + а-15 + а8 + а4 + а2 tj?= tj0 + 2т,, + 2т/2 ^ г/, = а3 + а~14 + а + а12 + а6 т/от/, = т/0 + т/2 + 2т/4 + т/5 т/2 = а9 + а'" + а'° + а5 + а3 W?2 = V\ + V2 + У* + 2ih т/3 = а " 4 + а" + а + а|5 + а ~ 8 т/от/3 = 5 + т/0 + ц, + т/3 + т/4 т/4= а2 + а+ а + а14+ а7 17о174=^из т), = а ~5 + а13 + а"9 + а" + а0 170тM = (из Предположим, что и0, и17 и2, и3, и4? И5 — целые числа, удовлетворяющие этим уравнениям относительно т)г-, рассматриваемым как сравнения по моду- лю 2. Можно считать, что и{ = О или 1. Рассматривая наборы иг- с точностью до циклических сдвигов, мы видим, что решение должно содержать либо два последовательных нуля, либо две последовательные едипицы, поскольку 0, 1, 0, 1, 0, 1 и 1, 0, 1, 0, 1, 0 не удовлетворяют сравнению и0и3 = 5 -f "о "f" + щ + "з Н~ ui (mod 2). Если мы предположим, что и0 = их = 0, то срав- нения 0 г 0 + и2 + 2и4 + м5, 0 = 0 + "г + И4 + 2иъ и ° = 5 + ° + ° + + "з + ui Дают и2 = иъ = и4 = 1 + "з- Из Tl2Tl4 = Лз + Л4 + "По + 2TI, следует, что и2и4 ^ 1 (mod 2), и этим определяется решение 0, 0, 1, 0, 1, 1.. Аналогично, если и0 = 1, щ = 1, то этим определяется решение 1, 1, О, О,' 1, 0. Таким образом, с точностью до циклических перестановок имеется только один возможный набор зпачений и; по модулю 2. (Это не доказывает, однако, что этот пабор значений и{ удовлетворяет всем соотношениям для т);, рас- сматриваемым как сравнения по модулю 2. То что он действительпо им удов- летворяет, следует из предложения ниже, в § 4.9.) Значит, если а + Ьт|0 + + ст)! + dr\2 + ет)з + /т|4 + gT|5 делится на делитель числа 2, то это круговое целое или одно из его сопряжеппых удовлетворяет условию a-\-d-\-f-\-g = = 0 (mod 2). Простейшим кандидатом является тH. Однако "Пот12т14 == = Т1о (Лз + T|4 + т|о + 2%) = 5 + т|0 + % + т|3 + т|4 + т|5 + т|0 + т|2 + + 2т|3 + TI0+2TI! + 2т|2 + 2 (т|0 + т|2 + 2т|4 + т|5) = 5 + 5т|0 + Ъ^ + 5т|2 +. + Зт|3 + 5т|4 + Зт|5 == 2 + 290 (где 90 == т|0 + т|2 + т|4) и rioTiiTi^a^^s = == B + 290) B + 20t) == 4 — 4 + 4000! = 32, поскольку 000! = 8. Следо- вательно, нет не только этого предполагаемого делителя, по и пикакого пред- полагаемого делителя такого типа, поскольку произведепие его трех сопря- женных имело бы вид X + У90, а произведение всех шести было бы вида.1 (X + У90) (X + Y9j) = X2 — XY + 8Y2 = (АХ2 — 4ХУ + 32У2)/4 == ¦ = [BХ — YJ + 31У2]/4 при пекоторых целых X и У. Так как число & нельзя записать в виде а2 + 31 б2 при целых а и Ь, то это показывает, что произведепие шести сопряжеппых не может равняться числу 2. В отличие of случая / = 1, однако, здесь невозможно столь доступным способом сделать заключение о том, что число 2 не имеет разложения па простые, но можно лишь утверждать, что оно не имеет такого разложения, в котором сомножите- ли образованы периодами длины 5.
4.8. Расширение признака делимости 147 у применения 1. Таблица 4.7.5 показывает, что при X = 7 элемент тJ — т^ + 1 делит i]0 + 3. Покажите, что частное есть единица, и найдите ее и ее обратный эле- леггт в явном виде. 2. Выведите последпюю строку табл. 4.7.5, т. е. разложите число 97 при X --• 7. 3. В случае X = 13 найдите одно простое число р, оставшееся после рассмотрения чисел 3 и 29, имеющее показатель 3 и меньшее 100. Запишите ого как произведение четырех сомножителей, норма каждого из которых ранна р3. [Это вычисление довольно длинное, по ненамного длиннее вычисле- ния в случае р =¦= 29, проведенного в тексте. Сравнение для и решается зна- чением и — 10 и не решается никаким значением, меньшим по абсолютной не личине.] 4. Продолжите табл. 4.7.2, чтобы захватить следующее простое число с показателем 2 по модулю 5. 5. Какие возможны показатели по модулю X при X = 13? Найдите пока- затель каждого простого числа, меньшего 100. Для каждого показателя, большего 2, разложите первое простое число, которое имеет такой показа- тель. 4.8. Расширение признака делимости Как и раньше, пусть р и X — различные простые числа, X >2, п пусть / — показатель числа р по модулю X. В § 4.6 показано, что если р имеет простой делитель h (а) среди круговых целых, построенных с помощью корня а степени X из единицы, то сущест- вует простой снособ определить, делится ли данное круговое целое ап ¦[- ащх -f • • • + aef]ei образованное периодами длины /, на h (а); именно, существуют такие целые числа ии и2, . . ., ие, что а0 -f- ajT)! -+- ... + аег\е делится па h (а) в том и только том случае, когда а0 -f «1^1 -}-•••+ аеие = 0 (mod p). Иначе говоря, т); = Ui (mod h (а)) и для целых чисел х сравнение х = з= 0 (mod h (а)) равпосильно сравнению х = 0 (mod p). В настоя- щем параграфе мы хотим показать, как расширить этот признак делимости до признака, применимого ко всем круговым целым, я не только к тем, которые образованы периодами длины /. Прием, с помощью которого Куммер выполнил такое расшире- ние, основывается на следующей идее, которая восходит к изуче- нию Гауссом деления круга (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 348). Пусть тH — т)е обозначает период а + аеа -J- a2ea -f- . . . -f ст~*а Д'пшы /, содержащий а, и пусть Р (X) — полипом от X, коэффи- циенты которого являются круговыми целыми и который пред- ставляет собой произведение \](Х — аг), где <хг пробегает все те степени, которые содержатся в тH; иными словами, !()*
148 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей где, как обычно, е = (К — l)//, а а есть сопряжение а*—*- аУ, определенное примитивным корнем у по модулю X. Например, в случае X — 13, / = 3 мы имеем тH = а + а3 -f а и Р (Х) = = (X - а) (X - а3) (X - а-4) = [Х« - (а + а3) X -f а4] X. X [X - а-4] = X3 - (а + а3 + а~4) X2 -f (а4 + « + а) X — — 1 = X3 — тH^2 + Лг-^ — !• (Хотя о зависит от выбора при- митивного корня у, полином Р (X) зависит только от того, какие степени элемента а лежат в одном с а периоде тH, а это не зависит, как было показано в § 4.5, от выбора у. Значит, в нашем пример©, все коэффициенты 1, —тH, тJ, —1 не должны зависеть от выбора у,- Действительно, для каждого из возможных выборов у — ±2 мы имеем тJ — a4 -f- а -|- а, тогда как т^ и тK зависят ох выбора у.) Легко видеть, что во всех случаях, как и в этом, коэф- фициенты полипома Р (X) являются круговыми целыми, образо-» ванными периодами длины /, т. е. Р (X) имеет вид х) Р (X) = = Xf + q>i (т)) X'-1 -f- • • • + Ф/-1 (Л) х + Ф/ (Л)- где ф1 (ti); Ф2 (т)), . . ., ф/ (т)) — круговые целые, образованные периодами длины /; для этого достаточно заметить, что ае в применении к Р (X) производит только циклическую перестановку сомножи- телей и, следовательно, оставляет Р (X), а зпачит, и все его коэф- фициенты, без изменения. Теперь положим X = а. Так как выражение Р (а) — [{(а — — а1*) содержит множитель а — а, то это круговое целое есть О, т. е. а' + Ф1(л)а'~1+-..+Ф/(л)=0. Это соотношение будет называться уравнением для а над периодами длины /. В приведенном выше примере оно имеет вид а3 — т)оа2 ~К -f- тJа — 1=0. Его можно проверить, выписав периоды: а3 — — (а -f а3 -j- а9) а2 -|- (а4 -f а10 -1- а12) а — 1 = а3 — а3 — а5-" — а11 + а5 Ч- а11 + 1 — 1 — 0. Используя уравнение Р (а) = 0 для а над периодами длины / можно представить произвольное круговое целое g (а) в виде g (а) - gl (л) а' + g2 (л) а' + ... + g, (л), (П где gt (т)), ^2 (т)), . . ., gf (т)) — круговые целые, образованны* периодами длины /. (Вычислениями можно доказать, что такое представление единственно, но этот факт в дальнейшем не пона добится.) Чтобы выполнить это представление, можно последо вате л ьи о снижать степени а в g (а), пользуясь равенством а? =* = — Ф1 (Л) и1'1 — Фа (Л) а'~2 — • • • — Ф/ (Л)' Д° тех пор, пок'' высшая степень элемента а в g (а) не станет меньше /. Этот про :) Обозначения ф (т)), / (r|), g (r\) и т. д. для круговых целых, образ© ваппых периодами, взято у Куммора. Заметим, что они сильно отличаютс от обозначения / (а) и том омысло, что выражение / (г\) включает в себя е ра» личных периодов т);.
4.8. Расширение признака делимости 149 цесс выполняется так же, как процесс деления с остатком для полиномов, т. е. можно писать g (a) = q (а) Р (а) + г (а), обра- щаясь с g (a), q (а), Р (а), г (а) как с полипомами от а, коэффи- циенты которых являются круговыми целыми, образованными периодами длины /. (Деление возможно, поскольку старший коэф- фициент полинома Р равен 1.) Как круговые целые, Р (а) — О п g (а) — г (а), где г (а) имеет требуемый вид, т. е. является полипомом степени меньше / и имеет коэффициентами круговые целые, образованные периодами длины /. Предположим теперь, что простой делитель h (а) числа р задан. Тогда каждый период тO- длины / сравним по модулю h (a) с некоторым целым числом Uj. Следовательно, каждый коэффициент о,- (т)) в приведенном выше представлении элемента g (а) сравним по модулю h (а) с целым числом gt (и), которое получается из gi (л) заменой т)г на их, тJ па и2, . . ., т)е на ие. Более того, так пак из сравпимости по модулю р вытекает сравнимость по моду- лю h (а), то каждое целое число gt (и) сравнимо по модулю h (a) с некоторым неотрицательным целым числом, меньшим р. Значит, каждое круговое целое g (а) сравнимо по модулю h (а) с круговым целым вида a^aJ'1 -]- a2af'2 -f . . . -f- af, где at — целые числа из промежутка 0 <; а{ < р. Таким образом, данная задача, заключающаяся в том, чтобы научиться определять, имеет ли место сравнение g (а) = 0 (mod h (а)), будет решена, если можно будет определить, верно ли сравнение а^'1 + а2а'~2 4- ... ... + af =¦ 0 (mod h (а)) именно для этих pf конкретных круго- ных целых. Следовательно, наша задача решается следующей теоремой, устанавливающей, что из этих pf круговых целых лишь пуль делится на h (a). Теорема. Пусть h (а) — простой делитель числа р, где р Ф ф К — простое с показателем f по модулю К. Пусть S — множе- ство р^ круговых целых вида а^'1 -)- а2а!~2 -\- ... -}- at, где а-, — целые числа из промежутка О =SC at <; р. Тогда описанный выше метод позволяет для любого кругового целого g (а) найти такое круговое целое g (а) из множества S, что g (a) = g (а) (mod h (а)). Два элемента из S сравнимы между собой по модулю h (а) тогда и только тогда, когда они идентичны. Это дает признак делимости на h (а), поскольку оказывается, что для любого g (а) Ложно найти такое g (а) из S, для которого g (а) = g (а) (mod h (а)) и при этом g (а) = 0 (mod h (а)) в том и только в том случае, когда g (а) -— 0. Следствие. Чтобы определить, делится ли g (а) на h (а), необязательно знать h (а); достаточно знать такие целые числа иъ и2, . . ., ие, для которых выполняются сравнения \\; = ss ui (mod h (a)) (i = 1, 2, . . ., e).
150 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Доказательство. Следствие, конечно, вытекает из того факта, что переход от g (а) к g (а), т. е. записывание кругового целого' в виде A) с последующим редуцированием целых чисел gt (и) по модулю р, использует только числа ut, но не само h (а). Способ доказательства теоремы заключается в простом подсчете, а кон- кретно в установлении того, что существуют по крайней мере р' не сравнимых по модулю h (а) круговых целых. Тогда, так как каждое круговое целое сравнимо с одним из pf круговых целых, принадлежащих 5, все р* элементов в S оказываются не срав- нимыми по модулю h (а), в чем и состоит утверждение теоремы. Заметим сначала, что число не сравнимых по модулю h (a) элементов есть степень числа р, скажем рп. В терминах теории групп это непосредственно следует из того, что аддитивная группа круговых целых по модулю h (а) является факторгруппой адди- тивной группы круговых целых по модулю р, а эта последняя группа содержит р"к~1 элементов; число элементов факторгруппы делит р^ и, следовательно, поскольку р просто, должно быть степепью числа р. Обращения к теории групп легко избежать прямым построением такой системы gx (a), g2 (а), . . ., gn (а) круговых целых, что любое круговое целое сравнимо по модулю h (а) точно с одним из рп круговых целых Ь^х (а) + b2g2 (а) -г • • . • • • + bngn (а) @ < bt < р) (см. упр. 4) . Заметим далее, что число не сравнимых по модулю h (а) кру- говых целых не меньше X + 1, поскольку 0, а, а2, . . ., сЛ = 1 попарно не сравнимы по модулю h (а). Это верно, поскольку норма любого делящегося на h (а) кругового целого должна делиться на р, тогда как норма мономов а3 — 0 равна 1, а норма биномов' <хг — a3 (i ф ] (mod К)) равна N (а — 1) = К, и ни то, ни другое не делится па р. Заметим наконец, что число ненулевых не сравнимых по модулю h (а) круговых целых делится па X. Это можно доказать следую-' щим образом. Если а, а2, . . ., а^ — 1 исчерпывают все нену- левые круговые целые по модулю h (а), то их точно X. В против- ном случае найдется такое круговое целое г|) (а), что г|) (а) Ф Ф 0 (mod h (а)) и г|з (а) ф a3 (mod h (а)) (/ — 1,2, . . ., X). Тогда ¦ф (а) а, г|) (а) а2, . . ., г|) (а) а*1 = г|з (а) все отличны от нуля nd модулю h (а) (поскольку h (а) — простое), все различны по моду-г лю h (а) (поскольку из г|) (а) а3 = г|) (а) ак вытекало бы, что а3 =з: = ak) и отличны от а, а2, . . ., а^ (поскольку нз г|) (а) а3 = а' вытекало бы г|) (а) = ah). Если этим мы исчерпали ненулевые круговые целые по модулю h (а), то их точно 2Х. В противно* случае имеется такое круговое целое ср (а), что ЗХ круговых целых а1, г|) (а) а\ ср (а) ah все отличны от нуля и друг от друга па модулю h (а). Если этим исчерпаны все возможности, то иссле- дуемое число в точности равно ЗХ, а в противном случае процесс можно продолжить. В конце концов все возможности буду
4.8. Расширение признака делимости 151 исчерпаны и процесс завершится списком из тк различных нену- левых по модулю h (а) круговых целых и ink = рп — 1. Таким образом, рп == 1 (mod X). По определению показателя / числа р по модулю X это дает га ^ /. (Заметим, что из рп ^ X + 1 иытекает, что га ^ 0.) Итак, число рп не сравнимых по модулю h (ее) элементов пе меньше р*, что и требовалось доказать. Упражнения 1. В каждом из следующих случаев найдите уравнение для а над перио- дами длины / и проверьте его непосредственной подстановкой, (а) X — 5, / = 2. <Ь) X = 7, / = 2. (с) А, = 11, / = 5. (d) Я. = 13, / = 3. (е) А, = 31, / = 5. 2. Если fe (а) •— простой делитель числа р, для которого известны ui, то полипом степени / со старшим коэффициентом 1, который делится ua h (а), можно найти нростой подстановкой чисел м,- вместо т)(- п уравпение для а над периодами длины /, Например, в случае к — 13, р = 29 подстановка зна- чений и0 — —3, их = 14, иг = 12, м3 = 5, пайдеппых в § 4.7, в уравнение «3 •— т)оа2 + тJа — 1 = 0 из этого параграфа дает в качестве кругового целого, делящегося на h (а), о котором идет речь, а3 + За2 + 12а — 1. Четыре различных сопряжонпых этого h (а) имеют м;, получаемые цикличе- скими перестановками из указанных выше. Следовательно, произведение (ct3 -f 13а2 + 12а — 1) (а3 — 14а2 + 5а — 1) (а3 - 12а2 - За — 1) X X (а3 — 5а2 + 14а — 1) делится на все четыре простых делителя числа 29 (пели 29 имеет простые делители), и можно ожидать, что оно долится на 29. Докажите это непосредственно, проверив, что это произведение сравнимо с а12 + а11 + а10 + . . . + 1 = 0 по модулю 29. [Перемножьте полиномы,] 3. Технику упр. 2 можпо рассматривать как способ разложения полино- ма Х^~ + Х^~ + , . , + X + 1 по модулю р. Используя эту технику, раз- ложите X* + X3 + X2 + X + 1 но модулю 19, по модулю 59 и по моду- лю 41. Далее разложите Xе + X5 + , - - + 1 по модулю 3, по модулю 13, по модулю 29, Наконец, разложите X30 + X29 + • • - + 1 по модулю 2. В каждом случае отыскивается е сомножителей степени /, где / — показатель числа р но модулю К. Как будет вытекать из теоремы следующего параграфа, эти сомножители неразложимы по модулю р. 4. Докажите, что число не сравнимых по модулю h (а) круговых целых есть степень числа р, [Целые числа 0, 1, 2, . . ., р — 1 представляют собой р не сравнимых по модулю h (а) элементов, поскольку для целых чисел срав- нимость по модулю h (а) равпосильпа сравнимости по модулю р. Если най- дется некоторое gx (а), пе сравпимое ни с одпим из этих элементов, то числа а + bg! (а) не сравнимы друг с другом при 0^а<р, Ог^Ь<р. Если на этом все возможности исчерпываются, то ответ р2. В нротивном случае рас- суждопие можно нродолжить и образовать р3 несравнимых элементов, и т. д.] 5. Определите, какие из простых чисел табл. 4.7.2 долят 7а3 + 45а2 + "т- 83а + 90. [Заметим, что каждая строка таблицы даот два простых — то, которое там указало, и его сонряженное.] 6. Покажите, что для каждого простого делителя h (а) простого числа р Показателя / но модулю X имеется полином Qh (а) степени / относительпо а с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, обладающий сле- дующим свойством: круговое целое h (а) тогда и только тогда делит круговое Полое g (а), когда деление полипомов g (X) = q (X) Qh (X) + г (X) дает остаток г (X), все коэффициенты которого сравнимы с нулем по модулю р.
152 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей 4.9. Простые дивизоры Пусть X — простое число, большее 2, и пусть р ф X — простое число, показатель которого по модулю X есть /. В § 4.6 было показано, что если р имеет простой делитель h (а), т. е. имеется простое круговое целое h (а), которое делит число р, то каждый из е (---(Я, — 1)//) периодов тI7 тJ, . . ., т)е длины / сравним по модулю h (а) с некоторым целым числом. Это означает, что для данного простого делителя h (а) числа р существуют целые числ^ иг, и2, . . ., ие, для которых т); = U; (mod h (а)). Следователь- но, любое круговое целое, образованное периодами длины /, сравнимо по модулю h (а) с целым числом, и, поскольку два целых числа сравнимы по модулю h (а) тогда и только тогда, когда они сравнимы по модулю р, знание целых чисел и; дает возможность определять, сравнимы ли по модулю h (а) два круговых целых, образованных периодами длины /. Короче говоря, сравнение g (т)) = ф (т)) (mod h (а)) равносильно г) сравнению g (и) ==е = Ф (и) (mod р). В частпости, из тождеств т^т); — с0 -\- с1г\1 -\-. . . . . . -г сег\е вытекают сравнения u-^Uj = с0 + с1и1 + . . . . . . + сеие (mod p) относительно чисел иг. Как было видно на примерах из § 4.7, эти сравнения можно решить и найти все воз- можные наборы чисел и-ь в рассматриваемых случаях. Наконец, в § 4.8 было показано, что знание чисел ut дает возможность опре- делять, сравнимы ли по модулю h (а) два круговых целых; если даны g (а) и ф (а), то их можно записать в виде g (a) — g1 (i]) aJ~1Jr -r §2 On) а*~2 + ¦ ¦ ¦ + gf On), Ф (a) = <PiOn) a'-1 -f. ф2 (т)) a^2 4- • • • ...-•- ф/ (т)), и сравнение # (a) ^ ф (a) (mod h (a)) верно тогда и только тогда, когда верны сравнения g1 (и) = фг(и), g2 (и) ^ = ф2 (и), . . ., gf (и) = q>f (и) (mod p). Итак, простой делитель h (a) числа р определяет целые числа иг, и2, . . ., ие по модулю р, знания которых достаточно для определения отношения сравнимо- сти по модулю h (a). Основная идея куммеровой теории идеального разложения может быть сформулирована теперь следующим образом. Дока* затъ, что сравнения по модулю р относительно ut всегда имеют решение, и воспользоваться этим решением для определения «срав- :) Здесь g (и) есть целое число, полученное из g (т)) замепой щ на uj, и аналогично ионимаотся ф (и). Как и в § 4.3, этим обозначением нужно поль- зоваться осторожно, поскольку такая операция на круговых целых, образо- ванных периодами, определена покорректно, т. е. из g (т)) = ф (т)) но выте- кает g (и) = ф (и). Однако для тех частных значений Uf, о которых идет речь^ из g (т)) = ф (т)) (mod h (a)) вытекает g (и) = ф (и) (mod p) на оснований обычных правил действии со сравнениями по модулю h (a), и том более из g (т)) = ф (т)) вытекает g (и) ^ ф (и) (mod p). Следовательно, несмотря на то, что целые числа g (и) и ф (и) определены некорректно, они вполне кор- ректно определены по модулю р п случае таких частпых значений ut.
4.9. Простые дивизоры 153 нимости по модулю простого делителя числа р» даже в том слу- чае, когда никакого простого делителя числа р в действительности нет. Это и есть программа данного параграфа. Нашим первым шагом будет следующее Предложение. Пусть заданы X, р, /, е, как и раньше. Суще- ствуют такие целые числа иг, и2, . . ., ие, что каждое уравнение, которому удовлетворяют периоды т); длины /, выполняется как сравнение по модулю р при подстановке в него целых чисел ui вместо периодов т)г-. Иными словами, иг, и2, . . ., ие таковы, что если F Oli' Лг» • • •> Ле) — полином от т)г с целыми коэффициентами, а круговое целое F (тI7 тJ, . . ., т)е) есть нуль, то целое число- F (uv и2, . . ., ие), получаемое подстановкой ui вместо т)г- (i — •--" 1,2,.. ., е), удовлетворяет сравнению F (иг, и2, . . ., ие) = = 0 (mod p). Если бы было известно, что ut возникли из действительно существующего делителя h (а) числа р, то техника предыдущега параграфа давала бы право использовать их для определения того, сравнимы ли по модулю h (а) данные круговые целые. Главная идея как раз в том и заключается, что отношение сравнимости может быть определено даже тогда, когда этого h (а) па самом деле нет. Теорема 1. Пусть X, р, /, е и uv u2, . .., ие такие, как в предложении. Тогда можно определить одно и только одно отно- шение сравнимости для круговых целых с а^ — 1, для которого выполняются все обычные свойства (оно рефлексивно, симметрично,, транзитивно и согласовано со сложением и умножением) и при котором т); сравнимо с и(, р сравнимо с 0, а 1 не сравнимо с 0. Кроме того, это отношение сравнимости является простым в том смысле, что произведение сравнимо с 0 только тогда, когда один из сомножителей сравним с нулем. Наконец, число несравни- мых элементов в точности равно рК Определение. Отношение сравнимости, существование кото- рого утверждается теоремой 1, будем называть сравнимостью- по модулю простого дивизора числа р, соответствующего набору целых чисел иг, и2, . . ., ие. Если g (а) сравнимо с 0 по модулю этого отношения, то будем говорить, что g (а) делится на про- стой дивизор числа р, соответствующий набору иг, и2, . . ., ие Заметим, что «простой дивизор числа р, соответствующий набо- ру и-у, и2, . . ., ие», не определен, а определена лишь сравни- мость по модулю такого дивизора и делимость па такой дивизор. Если р на самом деле имеет простой делитель h (а), то, как было показано, сравнимость по модулю h (а) совпадает с только что определенной «сравнимостью по модулю простого дивизора чис-
154 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей ла р», а именно, со сравнимостью по модулю простого дивизора числа р, соответствующего набору uv и2, . . ., ие, где ut = = т)г (mod h (а)). Следовательно, новое определение совпадает со старым каждый раз, когда старое определение имеет смысл. Однако новое определение имеет смысл и тогда, когда старое его не имеет. Например, в случае X — 23 сравнимость по модулю простого дивизора числа 47, соответствующего набору а = 4, <х2 = 42, . . ., а22 = 422 (mod 47), тенерь определена, несмотря на то что никакого простого кругового целого h (а), делящего число 47, нет. Иногда в тех случаях, когда нет реального про- стого делителя числа р, чтобы специально подчеркнуть этот факт, сравнимость по модулю простого дивизора называют сравнимо- стью по модулю идеального простого делителя, а делимость на простой дивизор — делимостью па идеальный простой делитель. Однако утверждения, касающиеся сравнимости по модулю про- стых дивизоров или делимости на простой дивизор, имеют смысл, согласно приведенному определению, и в тех случаях, когда реальных делителей нет. Если набор целых чисел их, и2, . . ., ие обладает свойством, описанным в предложении, то им обладает также набор и2, и3, . . . . . ., ие, их и, следовательно, все е наборов, получаемых из исход- ного циклическими перестановками чисел и;. Это непосредственно следует из того, что имеется сопряжение ан^- а', вызывающее циклическую перестановку г\х ь->¦ г\2 н-> . . . \—> г\е ь->¦ т\х периодов и, следовательно, переводящее соотношение вида F (т^, г\2, ... . . ., Tie) = 0 в соотношение F (тJ, тK, . . ., т)е, %) = 0. Таким образом, предложение гараптирует существование не только одного, но е наборов чисел ut. В примерах из § 4.7 мы видели, что всегда имелось точно е решений ии и2, . . ., ие и что все они мог- ли быть получены из какого-нибудь одного циклическими пере- становками. Кроме того, во всех примерах, кроме одного, было возможно показать, что если р имеет разложение па простые круговые целые сомножители, то оно обязательно имеет гакое разложение вида р = +ф A1)'о:Ф Oi) • • • tfe~1(P ("Л)? гДе Ф (л) про- стое, т. е. р должно быть произведением единицы и е различных простых сомножителей. Следующая теорема устанавливает, что если эти свойства выразить в терминах делимости на простой дивизор — т. е. в более широком смысле,— то они всегда верны. Теорема 2. Для данных X, р, /, е пусть и1г и2, . . ., ие и uv и2, . . ., ие — два произвольных набора целых чисел, для кото- рых выполнены свойства, указанные в предложении. Тогда имеется одно и только одно целое число к, 0 ^ к < е, такое, что сравни- мость по модулю простого дивизора числа р, соответствующего набору иг, и2, . . ., ие, совпадает со сравнимостью по модулю простого дивизора числа р, соответствующего набору
4.9. Простые дивизоры 155 u2+h, • • ., uh, где, как обычно, и}- = uJ+e no определению. Таким образом, имеется точно е различных отношений сравнимости типа описанного в теореме 1. Делимость на р равносильна дели- мости на каждый из этих е простых дивизоров числа р, т. е. круговое целое g (а) делится нар в обычном смысле тогда и только тогда, когда оно делится на все е простых дивизоров числа р во вновь определенном смысле. Остальная часть параграфа посвящена доказательству пред- ложения и двух теорем. Эти доказательства являются, по суще- ству, теми доказательствами, которые дал Куммер, но центральная идея построения кругового целого ? (ti) появилась не в перво- начальном трактате [К8] 1847 г. по теории идеального разложе- ния, а в короткой заметке [К16], написанной 10 лет спустя. Любо- пытно, что первоначальные доказательства Куммера были совер- шенно неверны и в течение первых 10 лет своего существования куммерова теория стояла на порочной основе. Брешь в важнейшем месте, каковым является доказательство приведенного выше пред- ложения, уже начали замечать другие математики (см. [ЕЗ]) около 1856 г., но статья 1857 г. появилась еще до того, как изъян стал хорошо известен. По какой-то причине Куммер не торопился признать эту ошибку в своей работе. Фактически в его первона- чальном доказательстве было два пробела: первый — в доказатель- стве того, что сравнение степени е от и, т. е. от каждого из ut, имеет е решений по модулю р (с учетом кратпостей), а второй — в доказательстве того, что эти е решений можно упорядочить так, что они будут обладать свойствами, описанными в предло- жении. По поводу первого пробела Куммер все еще настаивал в 1857 г., что в своей ранней работе он привел «строгое доказа- тельство», хотя им не было дано там никакого разъяснения этого «доказательства». Хотя исправить этот первый пробел не очень трудно (см. упр. 6), кажется маловероятным, чтобы это удалось сделать па пути, предложенном Куммером в его весьма сокращен- ном «доказательстве» (см. упр. 7). Что касается второго пробела, восполнить который, по-видимому, труднее, то здесь Куммер, вероятно, был более защищен и потому сказал, что считает это место требующим «разъяснения и более полного обоснования» и по этой причине предлагает новый метод доказательства. Этот новый метод был безусловно значительно проще и стоил того, чтобы его изложить, даже если Куммер искреппе верил, па что он намекал, в безукоризненность раппего метода. Однако кажется более правдоподобным, что он в это время уже осознавал недо- статки своего раннего метода, но считал неразумным привлекать к ним внимание. Доказательство предложения. Пусть круговое целое ? (ti), образованное периодами длины /, построено следующим образом.
156 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей Рассмотрим ер круговых целых j — т]г (/ = 1, 2, . . ., р и i — = 1, 2, . . ., е). На первом шаге выберем из этих ер круговых целых одно, которое не делится на р. (Очевидно (см. упр. 9), что хотя бы одно такое среди них всегда найдется.) IIan-м шаге мы выберем из оставшихся ер — (п — 1) круговых целых / — r\t одно таким снособом, чтобы произведение всех п этих уже выбран- ных олемептов не делилось на р. Если выбрать п-й сомножитель с таким свойством невозможно, то конструкция завершена и ? (ti) определяется как произведение (п — 1) уже выбранных *) к этому моменту сомножителей. Как было показано в § 4.6, (r\i — 1) (r\i — 2) ... (т)г — р) = rif — tij = 0 (mod p), поэтому построение ? (ti) завертится раньше, чем будут исчерпаны все ер сомножителей, и для каждого i по крайней мере один сомножитель / — т)г- не войдет в ? (т)). Обозначим через ut — 1|г- для i = 1, 2, . . ., е тот сомножитель вида / — т)г, который не входит в ? (т)). Тогда (и; — т);) ? (т)) = 0 (mod p), так как в противном случае построение ? (т)) не было бы закончепо. G другой стороны, если j — r\i — любой сомножитель этого вида, не вошедший в ? (т)), то (] — т);) ? (т)) = 0 = (ui — ~4i) У ("П) (mod p), откуда (/ — Ui) W (т)) ^ 0 (mod р). Если j ф и{1 то, поскольку и /, и ut лежат в промежутке 1 ^ ut ^ р, 1 ^ / ^ р, разность/ — ut была бы обратима по модулю р, скажем Ъ (/ — и{) = 1 (mod p), откуда ? (т)) ^ Ъ (/ — иг) ? (т)) ^ 0 (mod p) вопреки предполо- жению. Следовательно, / — ut и u-L является единственным целым числом между 1 и р, для которого ut — т); не входит в ? (т)). Таким образом, W (т)) состоит точно из ер — е сомножителей, а именно, из всех сомножителей / — т)г, кроме ut — т)г. Теперь мы имеем т);? (т)) ^ и^ (т)) (mod р) для ? = 1, 2, . . . . . ., е. Значит, F (тI7 тJ, . . ., т)е) ? (tj) = F (ии и2, . . ., ие) X X ? (т)) (mod/?) для любого полинома F (тI7 т|а, . . ., T|f) от периодов. Это непосредственно вытекает из согласованности сравнимости по модулю р со сложением и умножением. В частно- сти, если F (тI7 т]2, . . ., т)е) = 0, то F (ul7 u2, . . ., ие) W (ц) = ^ 0 (mod р). Так как ? (т)) ^ 0 (mod /?) по построению, то целое число F (иъ и2, . . ., ие) не обратимо по модулю р, т. е. F (ul7 u2, . . ., ue) ^ 0 (mod /?). Следовательно, целые числа ul7 иг, . . ., ие обладают требуемым в предложении свойством, и предложение доказано. ]) Это место слегка отличается от подлинной конструкции Куммера. Вместо того чтобы использовать все ер указанных выше сомножителей, он пользовался только теми сомножителями ; — т]г, в которых ; удонлетворяет сравпепию (/ — rij) (/ — ti2) ... (/ — rit.) = 0 (mod p). Если бы речь шла о'действительном вычислении значения V (т]), то этот способ был бы более эффективным. Однако здесь нашим результатом должно быть не V (г\), а суще- ствование целых чисел мг. Когда их существование уже известно, то есть много более легких способов нахождеиия их, чем эта констр?Кция.
4.9. Простые дивизоры Доказательство теоремы 1. Для доказательства удобно счи- тать, что целые числа и1ч и2, . . ., ие не только обладают ука- занным в предложении свойством, но и получены конструкцией, примененной в доказательстве предложения, включая и то, что круговое целое ? (ti), являющееся произведением ер — е сомно- жителей/ — Tii с условием/ ф= i, не делится на р. В доказательстве теоремы 2 будет показано, что любой другой набор целых чисел иъ и2, . . ., ие, для которого выполнены условия предложения, получается из первого набора циклической перестановкой и, сле- довательно, обладает тем же свойством. Способ доказательства теоремы 1 будет сводиться к тому, чтобы показать, что отношение сравнимости g (а) ? (т)) = ф (а) ? (т)) (mod p) удовлетворяет усло- виям теоремы. Пусть, таким образом, для круговых целых g{a), ц> (а) сравнение g (a) = <р (а) означает, что g (a) ? (т)) в= = ф (a) Y (т)) (mod p). Тогда ясно, что отношение = рефлексивао, симметрично, трапзитивпо и согласовано со сложением и умноже- нием. Кроме того, р = 0 и, как видно из доказательства предложе- ния, т)г = иг. Так как ? (т)) ф 0 (mod р), то 1 ^Ь 0. г Пусть теперь ~ обозначает любое другое отношение сравнимо- сти, которое рефлексивно, симметрично, транзитивно и согласо- вано со сложением и умножением и для которого r\i ~ ut, p ~ 0, 1 «-^ 0. Из того что каждое круговое целое g (a) может быть запи- сано в виде g1 (т)) a^1 + g2 (tj) а/-2 + . . . + gf (т)), следует, что g (а) ~ ^а^ -г a2af'2 -f- • • • + af, где а; — целые числа, 0 ^ ^ аг < р. Значит, имеется самое большее pf круговых целых, не сравнимых по отношению ~. Покажем, что отношение -~ должно быть простым и иметь не меньше pf несравнимых круговых целых. Отсюда будет вытекать, что отношение ~ вполне определено, поскольку для любых заданных g (a) и ф (а) можно добиться вы- полнения сравнений g (a) ~ а^'1 + а2а?~2 + . . . -\- а} и ф (а)-~- -~ b^'1 + b2af~2 + . . . + Ь/. где целые at и &; лежат в интер- вале 0 :<С a,, bi<ip, а тогда из транзитивности отношения '-' и из того, что оно имеет р1 несравнимых круговых целых, будет следовать, что сравнение g (a) ~ ф (а) имеет место в том и только том случае, когда круговые целые а-^'1 -f a2af~2 + • • • + в/ и Ъ-^'1 + b2af~2 -\- . . . -1- bf равны. Так как отношение = обла- дает всеми свойствами, которыми, по предположению, обладает отношение ~, то эти отношения совпадают, и первое утверждение теоремы будет доказано. Если бы было показало, что отношение <~ простое г), то из р*с- суждепий предыдущего параграфа следовало бы, что имеется ]) Отношетшесравнимости предыдущего параграфа было простым по Яррй" положению, поскольку это была сравнимость по модулю h (a), где h(a}"f простой делитель числа р. Смысл теорем этого параграфа в том, чтобы исК#Ю~ чить предположение о существовании такого h (a).
158 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей по крайней мере р1 не сравнимых по модулю ~ круговых целых. Действительно, как и раньше, число несравнимых круговых целых было бы степенью числа р (поскольку речь идет о фактор- группе грунпы, содержащей р1'1 элементов), большей чем 1 (поскольку 1 rj^ 0), которая сравнима с 1 по модулю К (поскольку подмножества вида {g (a), g (а) а, g (а) а2, . . ., g (а) а1'1} не перекрывают друг друга и содержат точно X не сравнимых между собой и с нулем круговых целых); значит, это число есть степень с положительным показателем числа pf и оно не меньше /А Сле- довательно, не только первое утверждение, но и вся теорема будет доказана, если доказать, что отношение ~ простое. Способ доказательства будет следующий. Мы покажем, что если отношение ~ не простое, то имеется другое отношение срав- нимости, обозначим его да, которое обладает всеми свойствами отношения ~, но которое грубее, чем ~, т. е. из g (a) ~ ф (а) следует g (а) да ф (а), по имеются такие круговые целые g (а), Ф (а), для которых g (а) да ф (а) и g (а) ^ ф (а). Теорема будет следовать из бесконечного спуска: если отношение да не простое, то, поскольку оно обладает всеми свойствами отношения ~, про- цесс можно повторить и получить третье отношение сравнимости да3, более грубое, чем да, но обладающее всеми свойствами ~. Если да3 не простое, то существует четвертое отношение да4, более грубое, чем да3, и т- Д- Так как число несравнимых круго- вых целых было не больше pf вначале процесса и убывает с каж- дым шагом, то этот процесс должен привести к отношению срав- нимости дап, обладающему всеми свойствами отношения ~, но вдобавок простому. Тогда па основании рассуждений предыду- щего параграфа, которые были подытожены выше, имеется но крайней мере pj не сравнимых по дап круговых целых. Следова- тельно, огрубление первоначального отношения <~- было в дей- ствительности невозможно, и это отношение простое и имеет pf несравнимых круговых целых. Таким образом, доказательство теоремы сведено к тому, чтобы показать, что если отношение ~ не простое, то имеется более гру- бое отношение сравнимости да с теми же свойствами, что и ~. А в этом легко убедиться следующим образом. Если отношение ~ не простое, то имеются такие круговые целые i|>i (°0? "Фг (a)i что ^1 (°0 'Фг (°0 ~ 0, по ty-L (а) ^ 0, ty2 (а) /-р 0. Пусть запись g (а) да да ф (а) по определению означает, что g (a) i^ (а) ~ ф (а) я^ (а).. Тогда отношение да рефлексивно, симметрично, транзитивно и согласовано со сложением и умножением, i\t да ut (поскольку т)г ~ иг дает т)га|71 (а) ~ и^ (а)) и р да 0. Кроме того, 1 ф 0, поскольку i^ (а) -г- 0, и отношение да грубее отношения ~, поскольку я|J (а) да 0, но я|52 (а) >^ 0. Это завершает доказатель- ство теоремы.
4.9. Простые дивизоры 159 Доказательство теоремы 2. Пусть их, иг, . . ., ие— набор целых чисел, полученный конструкцией, примененной в доказа- тельстве предложения, и пусть ul7 и2, . . ., ие — любой набор целых чисел, удовлетворяющий условиям предложения. Для доказательства первого утверждения теоремы 2 достаточно дока- зать, что для этого конкретного набора ии и2, . . ., ие имеется единственное целое число к, О ^С к < е, такое, что ut = ul+h (mod p), поскольку этим будет доказано, что условиям пред- ложения удовлетворяют только те наборы целых чисел ц1? и21 . . ., ие, которые являются циклическими перестановками набора чисел иг; тогда, так как две циклические перестановки одного и того же множества являются циклическими перестанов- ками друг друга, мы получим требуемое утверждение. Утверждение этой теоремы о единственности состоит в том, что для каждого к -— 1, 2, . . ., е — 1 имеется такое i -- 1,2, ... . . ., е, при котором и-ь ф ut+h (mod p), где, как обычно, иг = = и1+е по определению; короче, никакая циклическая переста- новка, кроме тождественной, не оставляет набор чисел ut неиз- менным по модулю р. Это — центральное место теоремы. Оно может быть доказано следующим образом. Рассмотрим конкретные уравнения, которым удовлетворяют периоды. Они имеют вид ti^ = с0 + cxy\x + c2ti2 + • • • + cef]e. Подсчитывая коэффициенты с,-, мы просто выписываем все /2 слагаемых, из которых состоит произведение в левой части, и за- мечаем, что, так как это произведение инвариантно относительно сопряжения о6, то две степени элемента а, лежащие в одном и том же периоде т|й, должны встречаться одинаковое число раз; это число и есть ch. Отсюда видно, что /2 = с0 + c-J + cj + . . . . . . + cj, поскольку подсчитать число слагаемых в произведении можно двумя способами. Отметим теперь, что с0 ф 0 только тогда, когда по крайней мере одно из слагаемых а№ периода y\i обратно к некоторому слагаемому а~^ периода т^. Но в этом случае ti,- содержит обратный элемент ovea^ к каждому слагаемому creVa~|i периода t^. Следовательно, с0 = / для одного этого значения j и с0 = 0 для всех других значений /. Тогда для одного значения / имеем с0 = /, сг + с2 + - • - + се = (/2 — /)// = / — 1, в то время как для всех остальных с0 = 0, сг + с2 + • • • -J- се = /. (В дей- ствительности можно точно сказать, какое значение / является таким исключительным. Именно, / = 0, если / четно, и / — е/2, если / нечетно; см. упр. 11. Однако нам это не потребуется.) Значит, TiiT), + tJt);+1 + . . . + тьт^ = т^- + ст (т)^^ + . . . . . . + <f 1 (Ц^) =-. есо+ СГ (Т)! + ТJ + • • • -f ¦ Л е) + • • • "Ь Се (т) е+ -L т)! + . . . -г "Не-!) =-- ес0 — (сг + с2 + . . . + се) = —/ во всех случаях, кроме одного; в этом исключительном случае е/ — (/ — 1) — е/ + 1 — / = Я, — /. Тем самым доказано по-
160 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей лезное тождество (К в одном случае, /+WH2t,,+1+...+ №-, = ¦[ Q в0 Всех остальных случаях. Следовательно, согласно определяющему свойству для чисел иг, ( ф 0 (mod р) в одном случае, /4-UiUj-j-u^uj+i-^ .. .-\-ueUj-i \ = 0 (mod p) во всех остальных I случаях. Если бы существовало такое к, что ut = ul+h (mod p) для всех i, ТО быЛО бы / -р l^U; + W2U/+1 + • • • + Ueu}-1 = / "Г W^+fc -f + iiaiiy+jj+j^ -+-...+ ucuj+k-i (mod p); если / принимает то един- ственное значение, при котором целое число в левой части отлично от пуля по модулю р, то из этого сравнения вытекает сравнение j = i -\- к (mod е), т. е. к = 0 (mod e), что и требовалось доказать. Этим доказано, что е циклических перестановок чисел иг- все различны. Теперь рассмотрим М = ? (ti) + ст? (т)) + • • • . . . + a^Y (ti), где о — сопряжение а >-» а?, переводяш,ее т)г в T)f+i- Так как оМ — М, то ясно, что М — обычное целое число. Далее, MW (ti) = ?(t])? (ti) -f- [ст? (т))] ? (т)) -f . .. + [a«-"F (т))] ? (т)) = . = ? (u) ? (ti) + [a? (и) ] ? (т)) + ... + [o-"F (u) ] ? (т)) (mod p), где через aft? (и) обозначено целое число, получаемое действием сопряжения oh на ? (ti) с последующей подстановкой ^ = ult тJ — и2, . . ., т)е = ие в результат; короче, aft? (u) — П (/ — — ul+h), где i — 1, 2, . . ., е, а / пробегает все целые значения от 1 до р, кроме и-г. На основании уже доказанного, aft? (и) содержит сомножитель, равный 0 (а именно, сомножитель ul+h — — ui+h), для всех к, кроме к = 0, а в последнем случае aft? (и) = = ? (и). Значит, MW (ц) = ? (и) ? (tj) ^ 0 (mod p), поскольку ? (и) ф: 0 (mod /?). [? (и) есть произведение ер — е целых чисел, ни одно из которых не делится па р.] Следовательно, М ф Ф 0 (mod p). Если иг, и2, . . ., ие удовлетворяют условию предложения, то М = ^(и) + ст? (п) + . . ._+ ое~1Л? (п) (mod р). Так как М ф Ф 0 (mod p), то это дает aft? (и) ф 0 (mod p) для по крайней мере одного к. Это означает, что II (/ — ul+k) ф 0 (mod p) для по край- ней мере одного к, где i = 1, 2, . . ., е, а / принимает любые значения из 1,2,.. ., р, кроме иг. Отсюда вытекает, что ut ==* = ^г+ft (mod p), и набор чисел ut оказывается циклической пере- становкой набора чисел иг, что и требовалось доказать. Наконец, остается показать, что сравнение g (a) = 0 (mod p) равносильно тому, что g (a) делится на все е простых дивизоров,
4.9. Простые дивизоры 161 которые были определены. Так как р делится на все е из них, то половина этого утверждения следует из того, что сравнимость по простому дивизору согласована с умножением. Обратно, как показано в доказательстве теоремы 1, делимость кругового целого g (а) на простой дивизор числа р, соответствующий набору u-l, и2, . . ., ие, равносильна сравнению g (а) ? (т|) = 0 (mod p), где Y (т|) есть произведение ер — е сомножителей / — т|г, в кото- рых / =/= Uf. Значит, делимость элемента g (а) на простой дивизор числар, соответствующий набору uk+1, uk+2, . . ., uk, равносиль- на сравнению g (a) o~hxF (r\) = 0 (mod p), поскольку о-к*(-п) = о~к П ПС/-ч/)/П(и,-1ь) е Р е — П П (У — "Hi-к)/ II (М- ~ ¦»?¦-*:) — 1=1 У=1 1=1 = 11 П(у-^)/11(», + ,-г,,), (=17=! 1=1 т. е. o~hW (т|) получается из ? (т|) заменой ul7 u2, . . ., ие на м1+й, u2+ft, . . ., uk. Следовательно, если g (а) делится на все е простых дивизоров числа р, то g (a) o~hW (r\) == 0 (mod p) для всех к = 0, 1, . . ., е — 1. Суммирование этих сравнений дает g (а)-М = 0 (mod р), откуда, благодаря тому что М ^ 0 (mod p), вытекает g' (a) = 0 (mod p), что и требовалось доказать. 1. Постройте *Р (у\) по модулю 2 для простого дивизора числа 2 в случае Я, = 31, который был найдеп в § 4.7. [Конечно, для доказательств данного параграфа необходимо знать ? (ti) только по модулю р.] 2. Постройте Т (ti) по модулю 3 для простого дивизора числа 3 в случае X = 13, найденного в § 4.7. 3. Докажите, что если р имеет показатель X — 1 по модулю к, то р — простое круговое целое. [Это сводится главным образом к проверке того, что доказательства этого параграфа справедливы при е = 1.] 4. Докажите, что сомножители, найденные в примерах из § 4.7 (т. е. круговые целые ф (т)), образованные периодами длины /, имеющие норму pf, где р — простое число с показателем / по модулю к), являются простыми. Юдпо из возможных доказательств дапо в § 4.11.] 5. Покажите, что если %, тJ, . . ., т)у суть е периодов длипы / (ef = ~ X — 1), то ф (X) = (X — t)x) (X — тJ) . . . (X — т)е) является полиномом от X с целыми коэффициентами. Найдите этот полином во всех случаях при I < 13. 6. Первым шагом дапного Куммером ошибочного «доказательства» предложения была попытка показать, что полином ф (X) из упр. 5 таков, что сравнение ф (и) = 0 (mod p) имеет е различных по модулю р решений. 'i Г. Эдварде
162 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Правильное доказательство этого факта может быть дано следующим обра- зом. Имеем <Р(Х- \)У(Х -2)- • ¦ У{Х -р) = = ^Х _„,)'_ (X - v,)][U- - Vz)' -(Х-щ)]... [(X ~ чУ ~ (А' - П,)] = = (Х - 1)'(Лг-2)'- • • (X -p)e{modp) Следовательно, ф (X) является произведением по модулю р сомножителей вида X — к (к — целое число), и в этом заключается смысл утверждения, что ф (X) имеет е различных корней по модулю р. Восполните детали этого доказательства, обращая особое внимание на определение понятия двух совпадающих корней сравнения g (и) == 0 (mod p). 7. Куммер в «доказательстве» утверждения из упр. 6 говорит, что для каждого целого у имеют место сравнения (у — r\t — 1) (у — r\-L — 2) . . . • • • (У - Лг - Р) э (у - ti,)p -(у- тн) = (yv -у)- (r\V - r\t) = уРш — — у = О (mod р), откуда ф (у — 1) ф (у — 2) . . . ф (у — р) = О (mod pe); затем он говорит: «легко видеть», что сравнение ф (у) = 0 (mod p) имеет е различных решений. Опровергните это утверждение, найдя такие числа р, е и нолином ф (X), что ф (у — 1) ф (у — 2) ... ф (у — р) = 0 (mod pe) для всех целых у, но степень полинома ф (у) меньше е. [Можно взять р = 2, е= 3.] 8. В примерах из § 4.7 (и из § 4.4) основным шагом в построении простого делителя было нахождение одного решения и сравнения ф (и) = 0 (mod p), после чего было нетрудно найти остальные е — 1 решений и их точный поря- док. Выясните, какие вычислительные обстоятельства делали это возможным и могли бы понадобиться для того, чтобы перейти от одного решения сравне- ния ф (и) = 0 к полному набору чисел и-, обладающих свойствами из цред- ложепия. [Если и0 известно, то м1? и2, . . ., ие-1 удовлетворяют е — 1 линей- ным сравнениям с е — 1 неизвестными. Свойства решений таких сравнений похожи на свойства решепий липейпых уравнепий. Это дает необходимые условия для наборов чисел ut, но, даже если они выполнены, еще неясно, что эти паборы обладают всеми требуемыми свойствами.] Здесь была вторая брешь в первоначальном «доказательстве» Куммера. 9. Покажите, что по крайпей мере одно из ер круговых целых j — т|f О = 1, 2, . . ., р и X = 1, 2, . . ., е) не делится на р. 10. На совремеппом алгебраическом языке построение простого дивизо- ра числа р сводится к построению поля из pf элементов и гомоморфизма мпожества круговых целых в это поле, а это в свою очередь сводится|к^по- строению полинома степени /, неразло?кимого по модулю р, который делит по модулю р полином Х^~1 + Х^~2 + • • • + X + 1> определяющий'круго- вые целые. Вьшолните это построение с самого начала. Найдите полиномы в случае простых делителей, построеппых в § 4.4 и 4.7. [См. упр. 2 и 3 к § 4.8.] 11. Пусть целое число j лежит в промежутке 0 ^ j < e, и пусть для пего элемент а лежит в r\j. Покажите, что j = 0, если / четпо, и / = е/2, если / печетпо. 4.10. Кратности и исключительное простое число Целью куммеровой теории идеального разложения было «спа- сение» свойства единственности разложения на простые для кру- говых целых. Если задачу сформулировать вкратце, то требовалось
4.10. Кратности и исключительное простое число 163 показать, что с точностью до сомножителя, являющегося едини- цей, круговое целое определяется своими простыми дивизорами. Основной объем работы, нужной для осуществления этой цели, (¦(•держится в предыдущем параграфе, где понятие «простого дивизора» расширено настолько, чтобы включить в него случаи, когда делимость на простой дивизор нельзя отождествить с дели- мостью на реально существующее круговое целое. Однако эти определения должны быть дополнены в двух направлениях — одном очень важном и втором не столь значительном,— прежде чем может быть развита полная теория. Важное дополнение — это понятие кратности, с которой данный простой дивизор делит данное круговое целее. Ведь даже для обычных положительных целых чисел неверно, что целое число определено своими просты- ыи делителями. Однако оно определено своими простыми делите- лями и кратностями, с которыми оно делится на каждый из них. (Например, числа 12 = 22-3 и 18 = 2-32 имеют одинаковые простые делители.) Второе, более мелкое дополнение состоит и том, что необходимо изучить простые дивизоры самого числа К — единственного простого целого числа, не охваченного теоремами предыдущего параграфа. Если делимость на лрестой дивизор числа р совпадает с дели- мостью на реальное круговое целое h (а), то легко приписать кратности. Пусть g(a) делится на такой простой дивизор; тогда ыы можем выполнить деление на h (а) и найти частное g (а)/Л (а), являющееся круговым целым. Если это частное снова делится па h (а), то можно снова выполнить деление и найти g (a)/h (aJ, и т. д. При этом говорят, что g (а) делится (д. раз па рассматри- ваемый простой дивизор, если g(a) делится на h (a)^. Однако если никакого реального h (а) нет, то нужно придумать какой-то дру- гой способ определения кратпостей. Идея, которая лежит в основе следующего определения, состоит в том, что круговое целое XV (т|), использованное в конструкции предыдущего параграфа, делится на все простые дивизоры числа р, кроме одного — рас- сматриваемого. Таким образом, круговое целое g (а), умножен- ное на достаточно высокую степень Т (т|), будет делиться на р столько раз, сколько раз g (а) делится на простой дивизор числа р, отсутствующий в Т (т|). Определение. Говорят, что круговое целее g (а) делится \i раз на простой дивизор числа р, соответствующий пабору иъ и2, . . . • ¦ ., Up, если g (a)^?(r\)^ делится па р», где W (г\) — произведе- ние ер — е сомножителей / — r\t (i = 1, 2, . . ., е; j = 0, 1, ... ¦ ¦ ., р — 1; j Фи{), не делящихся на этот простой дивизор. 1 оворят, что оно делится на этот простой дивизор точно \х раз, если оно делится на него ц. раз, но не делится \i + 1 раз. и*
t64 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей Предложение. Понятие «делится один pass> совпадает с поня- тием «делится», определенным в предыдущем параграфе. Понятие «делится точно нуль раз» совпадает с понятием «не делится». Число р делится точно один раз, а число 1 не делится на рассмат- риваемый простой дивизор. Если gl (а) и g2 (а) оба делятся и. раз, то это же можно сказать и о gt (а) -р g2 («)• Если gx (а) делится точно \i раз, a g2 (ос) делится точно v раз, то gx (а) g2 (а) делится точно \i + v раз. Наконец, если g (а) фО, то имеется единствен- ное целое число а. 1> 0, такое, что g (а) делится точно а. раз. Доказательство. В предыдущем параграфе было показано, что g (а) тогда и только тогда делится на простой дивизор, когда g (a) W (т|) = 0 (mod p), т. е. когда g (а) делится один раз. Это доказывает первые два утверждения предложения. Третье утвер- ждение означает, что р2 не делит р V? (r\)]2, или, что то же самое, Т (ц) W (т|) ф 0 (mod p). Это доказано в предыдущем параграфе. Утверждение, что число 1 не делится на простой дивизор, в точ- ности совпадает с утверждением, что W (г\) ^ф 0 (mod p). Следующее утверждение — что gx (a) -j- g.2 (а) делится [i раз, когда gi (а) и g2 (а) делятся [i раз,— непосредственно следует из определения. Далее, если gx (а) делится точно [i раз, то g1 (a) W (r\)v- делится на р», по g1 (a) W (r\)^+l не делится на р^+г. Следовательно, фг (а) = p'^g-^ (a) W (г\)>1 есть круговое целое. Если бы фг (а) делилось па рассматриваемый простой дивизор, то, так как W (ц) делится на остальные е — 1 простых дивизоров числа р V? (т|) oh W (ц ) э 0 (mod p)], отсюда следовало бы, что ц>у (а,у?(г\) делится па все е простых дивизоров числа р; значит, по теореме предыдущего параграфа, отсюда вытекало бы, что р делит фг (a) W (т|), а значит, gx (а) делится \х + 1 раз на рассматривае- мый простой дивизор вопреки предположенному. Следовательно, <рг (а) не делится на рассматриваемый простой дивизор. Анало- гично, если g2 (а) делится точно v раз, то ф2 (а) = p~vg2 (a) T (r|)v есть круговое целое, не делящееся на рассматриваемый простой дивизор числа р. Следовательно, gx (a) g2 (а) W (t|)^+v делится на p^+v и частное есть произведение фх (а) ф2 (а) двух круговых целых, пи одно из которых не делится на рассматриваемый про- стой дивизор. Поскольку этот простой дивизор прост, фх (а) ф2 (а) не делится на рассматриваемый простой дивизор. Так как Ч* (т|) не делится на этот простой дивизор № (т|) W (r\) .jfe 0 (mod p)], то отсюда вытекает, что произведение фх (а) ф2 (а) Т (т|) = = gt (a) g2 (а) W (r\)v+v+ip-v-v не делится па простой дивизор числа р и тем более поделится на р. Следовательно, gx (a) g2 (а) Х X Т (r|)ii+v+1 не делится на р^+УИ, а значит, gY (a) g2 (а) делится с кратностью точно u. -|- v, что и требовалось установить. Пусть g (а) — данное круговое целое, g (а) Ф 0. Если имеете» такоз целое число к ^ 0, что g (а) но делится к раз па рассчат-
4.10. Кратности и исключительное простое число 165 рпваемый простой дивизор, то прямо из определения ясно, что должно существовать по крайней мере одно такое целое число \i, U ^ \i <; к, что g (а) делится точно ц. раз. Как мы уже видели, тогда g (a) T (r\)v-/pv- уже не делится. Значит, для любого /'^0 частное g (а) Ч1 (r\)v+J/pv- вовсе не делится и, следовательно, g (а) не делится с кратностью \i + / при / ;> 0. В частности, g (а) не делится с кратностью т, когда т > А;. Для доказательства последнего утверждения предложения достаточно доказать, что имеется такое целое к, что g (а) не делит- ся к раз, поскольку тогда точная кратность ц., с которой g (a) делится, будет однозначно определена как наибольшее целое число \i, такое, что g (а) делится ц раз. Для этого заметим, что если g (а) делится к раз, то это же межно сказать и о Ng (a). Пусть Ng (a) = pnq, где п ^ 0 и q не делится па р. Тогда Ng (a) делится точно п раз и не может, следовательно, делиться к раз, когда к > п. Предложение доказано. Второе определение, нужное для основной теоремы,— это определение единственного простого дивизора числа К. Таким дивизором является делитель а — 1 числа X. Определение. Простым дивизором в арифметике круговых целых (для фиксированного простого К > 2) является либо (а) один из е простых дивизоров некоторого простого р Ф X, определен- ных выше, либо (Ь) простой дивизор а — 1 числа К. Простые диви- зоры первого типа описываются заданием простого числа рфЪ и целых иъ и2, . . ., ие, как это делалось в предыдущем парагра- фе. Если заданы круговое целое g (а) =^= 0 и некоторый простой дивизор, то имеется кратность \х ^ 0, с которой g (а) делится па этот простой дивизор. Для простого дивизора первого типа эта кратность определяется как точная кратность, с которой g (a) делится на этот простой дивизор в том смысле, как это было опре- делено выше. Для единственного простого дивизора второго типа ола определяется как число раз, которое а — 1 делит g (a). Предложение. Сравнимость по модулю а — 1 рефлексивна, сим- метрична, транзитиена и соглассвана со сложением и умножением. Кроме того, а — 1 — простое, т. е. из gx (a) g2 (а) = ?э 0 (mod (а — 1)) вытекает, что либо g1 (а) s== 0, либо g2 (а) = ?э 0 (mod (а — 1)). Целое число тогда и только тогда делится на а — 1, когда оно делится на К. Кратность, с которой g (а) Ф 4= 0 делится на а — 1, определена корректно, т. е. имеется такое \у !> 0, что (а — 1)^ делит g (а), но (а — 1)^+1 не делит его. 1-сли а — 1 делит как g1 (а), так и g2 (а) с кратностью по край- ней мере \i, то а — 1 делит g1 (а) + g2 (а) с кратностью по ^Тайней мере \i. Если а — 1 делит gx (а) с кратностью точно \х, и g2 (а) с кратностью точно v, /по а — 1 делит gx (a) g2 (а) с крат-
16G Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей ностъю точно и. -\- v. Наконец, X тогда и только тогда делип g (а), когда а — 1 делит g (а) с кратностью по крайней Meat Я, — 1. Доказательство. Как мы видели в § 4.3, а — 1 тогда и тольш тогда делит g(&), когда g A) = О (mod X). Это показывает, чти а — 1 — простое. Все утверждения, кроме последнего, эле- ментарны. Последнее утверждение вытекает из того факта, чъ X = (а _ 1) (а2 — 1) ... (с^-1 — 1) = (а — I)*-1-единица. 4.11. Основная теорема Теорема. Пусть X — данное простое число, большее 2, и пусть g (а) и h (a) — два ненулевых круговых целых, построенных при. помощи корня а =? 1 из единицы степени X. Тогда g (а) в тоя и только в том сучае делит h (а), когда каждый простой дивизор, делящий g (а), делит также и h (а) с неменыией кратностью Доказательство. Если g (а) делит h (а), скажем h (a) — = q (a) g (а), то, разумеется, каждый простой дивизор, делящий g (а), делит и h (а) с неменьшей кратностью. Требуется доказать обратное утверждение. Сразу же заметим, что g (а) тогда и толь- ко тогда делит h (а), когда Ng (а) — g (a) g (а2) . . . g (а^1) делит Nh (а) = h (а) h (а2) . . . h (а^). Если каждый простой дивизор, делящий g (а), делит также и h (а) с неменьшей крат- ностью, то на основании правила, но которому комбинируются кратности при умножении, каждый простой дивизор, делящий целое число Ng (а), делит также и h (a) h (а2) . . . h (а^) с не- меныией кратностью. Значит, достаточно доказать теорему в част- ном случае, когда g (a) — целое число. Пусть теперь g (а) есть простое число р Ф X; тогда доказывае- мое утверждение означает, что если h (а) делится па каждый из е? простых дивизоров числа р, то h (а) делится на р. Это было дока- зано в § 4.9. В случае g (а) = X утверждение состоит в том, что если (а — I)*- делит h (а), то X делит h (а). Это непосредственно видно из равенства X = (а — I)*- единица. Следовательно» достаточно доказать, что если теорема верна для деления н* #! (а) и для делепия на g2 (а), то она верна для деления на* §i (°0##2 (а)- Н° эт0 совсем легко. Если каждый простой дивизор! делящий gx (a) g2 (а), делит также и А (а) с пеменьшей кратно- стью я если теорема верпа для делепия на gt (а), то gt (а) дели" h (а), т. е. h (а) = gt (а) hx (а). На основании правила, по кото- рому комбинируются кратности, отсюда следует, что кажды" простой дивизор, делящий g3 (а), делит также и hx (а) с неменх шей кратностью. Если теорема верпа для деления на g2 (a), ti отсюда следует, что hx (ос) ¦- g2 (a) h., (а) дтя некоторого h.z(a)
4.11 Основная теорема 167 Следовательно, h (a) = gt (a) g2 (а) Д2 (а) и h (а) делится на ?i (°0 #2 (а)' что и требовалось показать. Это завершает доказа- тельство основной теоремы. Эта теорема и «спасает» свойство единственности разложения на простые в следующем смысле. Следствие. Если два круговых целых g (а) и h (а) делятся в точ- ности на одни и те же простые дивизоры с точно совпадающими кратностями, то они отличаются только на сомножитель, являющийся единицей, т. е. g (а) = единица -h (a). Доказательство. По основной теореме, g (а) делит h (а) и h (a) делит g (а). Значит, h {a)lg (а) и g (a)/h (a) — круговые целые. Так как их произведение равно 1, то они оба должны быть еди- ницами. Конечно, кое-что теряется. Хотя «разложение» кругового цело- го определяет это круговое целое с точностью до сомножителя, являющегося едипицей, здесь уже неверно, в отличие от случая обычных целых чисел, что это «разложение» может быть предпи- сано произвольно. Например, при X, = 23 невозможно найти круговое целое, которое делилось бы один раз на один простой дивизор числа 47, но не делилось бы ни на какой другой про- стой дивизор. Возникает очень естественный и очень важный вопрос: какие «разложения» действительно возможны? Этот вопрос совершенно естественно приводит, как будет показано в гл. 5, к понятию эквивалентности и к группе классов дивизоров — конеч- ной группе, структура которой дает средства описания тонких фактов из арифметики круговых целых. Заключительные пара- графы этой главы посвящены развитию символики и терминологии для изложения теории Куммера в удобной форме- Уп ражне ния 1. Докажите, что если р Ф X — простое число с показателем / по моду- лю X и g (a) — круговое целое с нормой pf, то g (а) делится на один простой дивизор числа р и не делится на другие. Выведите отсюда, что g (а) простое и что оно тогда и только тогда р, раз делит h (а), когда h (а) делится с крат- ностью ц иа тот простой дивизор числа р, который делит g (a). 2. Докажите, что если Ng (a) = p^1 P$j ¦ . . jo^fc — обычное разложение на простые сомножители целого числа Ng (а), то для каждого i число g (a) делится точно на щ/fi простых дивизоров числа pi (с учетом кратностей), где U — показатель числа pi по модулю X, когдр "- Ф X, и /; = 1, когда Pi = ^. 4.12. Дивизоры Как обычно, пусть % — фиксированное простое число, боль- шее 2, и пусть выражение «круговое целое» означает круговое целое, построенное при помощи корня а Ф \ из единицы степе-
168 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей ни К. Дивизором ненулевого кругового целого g (а) назовем список всех простых дивизоров, делящих g (а), с учетом кратностей, т. е. список простых дивизоров, который состоит из всех простых дивизоров, делящих g (а), причем каждый из них встречается в списке столько раз, какова кратность, с которой он делит g (a). Дивизором называется любой конечный список простых дивизо- ров. Данный простой дивизор может встречаться в дивизоре более одного раза, т. е. с некоторой кратностью. Пустой список тоже рассматривается как дивизор; это дивизор кругового целого 1. Произведение двух дивизоров есть объединение двух списков, т. е. список, содержащий все простые дивизоры с учетом крат- ностей, которые находятся в двух данных списках. С этой точки зрения произвольный дивизор можно рассматривать как произ- ведение простых дивизоров. Говорят, что один дивизор делится на другой дивизор, если первый может быть записан в виде произ- ведения второго на некоторый третий дивизор. Говорят, что круговое целое делится па дивизор, если его дивизор делится на этот дивизор, и, аналогично, говорят, что дивизор делится на круговое целое, если он делится на дивизор этого кругового целого. Делитель кругового целого — это любой дивизор, кото- рый его делит, или, когда это ясно из контекста, любое круговое целое, которое его делит. В соответствии с этим определением основная теорема утвер- ждает, что для двух ненулевых круговых целых g (a), h (а) одно из них g (а) тогда и только тогда делит второе h (а), когда дивизор первого делит дивизор второго. Заметим также, что правило ком- бинирования кратностей при умножении можно сформулировать так: дивизор произведения равен произведению дивизоров. Так как 0 делится на любое ненулевое круговое целое g (а), то иногда удобно рассматривать 0 как дивизор, содержащий каждый про- стой дивизор в бесконечном числе экземпляров. Теорема о том, что разложение на простые дивизоры единственно, является утверждением о том, что два круговых целых g (a), h (а), имею- щие один и тот же дивизор, различаются па сомножитель, который есть единица, g (а) = единица-h (а). Нарушение единственности разложения на реально существующие простые сомножители, когда оно встречается, отражает тот факт, что заданный дивизор не обязан быть дивизором кругового целого. Например, при К = 23 дивизор числа 47-139 есть произведение 22 простых диви- зоров числа 47 и 22 простых дивизоров числа 139. Ни один из этих 44 простых дивизоров не является дивизором какого-либо кру- гового целого. Два разложения числа 47-139, которые были опи- саны в конце § 4.4, показывают, что есть два совершенно различ- ных способа перегруппировки этих 44 дивизоров в 22 пары так, что каждая пара есть дивизор некоторого реального кругового целого.
4.12. Дивизоры 169 Так как основным понятием всей теории является понятие простого дивизора, удобно иметь более сжатое обозначение про- стых дивизоров, чем фраза «простой дивизор числа р, соответ- ствующий набору целых чисел щ, и2, . . ., ие, обладающему свойством, описанным в предложении из § 4.9». (Один исключи- тельный простой дивизор можно, конечно, обозначать просто через а — 1.) Куммер не ввел более короткого обозначения, и это упущение, возможно, замедлило принятие его теории. Одна- ко он пользовался описанием простых дивизоров в терминах определяемых далее круговых целых т|; (г\), и это позволило ему обращаться с простыми дивизорами без заметных неудобств и за- труднений. Теорема. Для любого данного простого дивизора числа р ^= К имеется круговое целое гр (г\), образованнее периодами длины f (показатель числа р по модулю %), которое делится течно один раз на этот простой дивизор числа р и не делится на остальные е — 1 простых дивизоров числа р. Следовательно, круговое целое g (а) тогда и только тогда делится с кратностью \х на данный простой дивизор числа р, когда g (а) [т|; (у\)]^ [о2а|- (т])]ц . . . . . . [о'!); (tj)]^ делится на /А Доказательство. Пусть Т (т)) соответствует в прежнем смысле- данному простому дивизору числа р, т. е. пусть их, и2, . . ., ие — такие целые числа, что ut — т]; делятся па данный простой диви- зор, и пусть W (т)) — произведение ер — е сомножителей j — t\ir где / Ф и-г. Тогда Т (г\) делится на все е простых дивизоров чис- ла р, кроме данного. Далее, ф (т)) = оТ (т)) + o21F (т)) + . . . . . . + ое~1гР Сп) делится на данный простой дивизор числа р (каждое слагаемое суммы делится на него), но не делится'на осталь- ные е — 1 простых дивизоров числа р (поскольку для каждого из них все слагаемые, кроме одного, делятся на него, а это одно не делится). Если ф (т)) делится с кратностью точно 1 на данный простой дивизор числа р, то элемент -ф (г)) = ф (т)) обладает тре- буемым свойством. Если ф (т)) делится с кратностью, большей!, то полагаем г|з (г\) = ф (т)) + Р- Тогда элемент г|з (т)) не делится па е — 1 простых дивизоров, отличных от данного (поскольку если бы это было не так, то делился бы и ф (т)) = -ф (т)) — р), делится на данный простой дивизор числа р (поскольку ф (т)) делится) и не делится на данный простой дивизор с кратностью, большей 1 (поскольку иначе это было бы так и для р = г|) (г\) — — ф (т))). Это завершает конструкцию элемента г|з (т)). Второе- утверждение теоремы являете; непосредственным следствием основной теоремы. Теорема. Круговые целые, которые назывались «простыми^ в § 4.7, действительно простые. Вообще, если р Ф% — простое
170 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей число, показатель которого по модулю % равен /, и если g (a) — круговое целое, норма которого равна pf, то g (а) простое. [Если g (а) = g (т)) образовано периодами длины /, то условие Ng (a) = = р1 можно также сформулировать в виде g (r\) ~og (r\) ... . . . a^g (п) = ±Р.] Доказательство. Пусть vlt v2, . . ., ve — точные кратности, -с которыми простые дивизоры числа р делят g (а). Тогда ag (a) делится на эти простые дивизоры с точными кратностями v2, v3, . . ., ve, vu o2g (a) — с точными кратностями v3, v4, . . ., v2, и т. д. Следовательно, каждый простой дивизор числа р делит Ng (а) с точной кратностью (vx + v2 + . . . + ve) /. Если Ng (a) = =р', то одно из V; должно быть 1, а остальные 0. Тогда, по основ- ной теореме, делимость на g (а) совпадает с делимостью на простой дивизор, а отсюда следует, что g (а) простое. Обозначения. Пусть задан простой дивизор числа р, и пусть ф (т)) — круговое целое, о котором говорится в теореме, т. е. круговое целое, образованное периодами длины / (показатель числа р по модулю К), которое делится точно один раз на рас- сматриваемый простой дивизор числа р и не делится ни на один из остальных е — 1 дивизоров числа р. Тогда данный простой дивизор будем обозначать через (р, ф (т])).Так как этот дивизор делит р и г|) (г\), причем оба с кратностью точно 1, а ни один другой простой дивизор их оба не делит, то (р, \р (г\)) есть наибольший общий делитель числа р и кругового целого ф (т)). Таким образом, обозначение (р, ф (ц)) согласуется с общепринятым обозначением наибольшего общего делителя двух чисел. Если можно найти такое ф (г)) с дополнительным свойством, чтобы его дивизор совпа- дал с рассматриваемым простым дивизором числа р, то этот простой дивизор также будет обозначаться через (ф (ц)). Единственный простой дивизор числа К будет обозначаться (а — 1) (в противо- положность обозначению а — 1 без скобок, применяемому для кругового целого, дивизором которого является (а — 1)). Дивизо- ры будут, как правило, обозначаться заглавными латинскими бук- вами А, В, С, . . ., а их произведение, как обычно,— простым приписыванием букв. Так, А В обозначает произведение дивизо- ров А и В. Кроме того, Ап, где п — положительное целое число, будет обозначать произведение А с самим собой п раз. Произволь- ный дивизор А может быть записан в виде (Pi, ^ (Р2, № • • • (Рт> VmI4,'» где (при каждом i = 1, 2, . . ., т) pt — простое целое число, [ij — положительное целое число, а фг — круговое целое, обра- зованное периодами длины /г (где ft — показатель числа pt по •модулю К, или если pt — >,, то /; =1), дивизор которого содержит
4.13. Терминология 171 один простой дивизор числа pt с кратностью точно 1 и не содержит никаких других простых дивизоров числа рг. Если дивизор эле- мента ij); равен простому дивизору числа p-t, то р-г можно опустить и записать дивизор (рь^г)^ как (^гI**- Пустой дивизор обозна- чается через /, а степень дивизора А с показателем 0 определяется равенством Л° = /. Упражнения 1. Куммер утверждает ([К8], стр. 333), что осли пабор целых чисел В], и2, . • ., ие содержит одно число uj с кратностью 1, то uj — т|0 долится на один из е простых дивизоров числа р с кратностью точно 1 и не делится па осталыше е — 1 дивизоров. Это утверждение содержит небольшую ошиб- ку. Докажите, что uj -\- кр — г\0 обладает указаппым свойством точно для р — 1 из возможных р значепий числа к по модулю р. Докажите более общее утверждение: если ср (т|) делится точно на один простой дивизор числа р, то тем же свойством обладает ср (г|) + кр для всех целых к, и кратность, с которой этот простой дивизор его делит, равпа 1 для р — 1 из возможных по модулю р значепий числа к и больше 1 для одного оставшегося значепия. 2. В случае X = 31 напишите простые дивизоры числа 2 в виде B, г|э). 3. Каковы в обозначениях, введенных в этом параграфе, простые дивизо- ры числа 47 в случае X = 23? 4. Используя упр. 1, дайте необходимое и достаточное условие того, чтобы «разложение» числа р ф X имело вид (р) = (Р, Ло — ") (р. Л1 — ") • • • (Р, Лг-i — ") для некоторого целого и. 5. Докажите, что для любого данного дивизора А число не сравнимых по модулю А круговых целых конечно. [Найдите такое целое число ге, чтобы из сравнимости но модулю А вытекала сравнимость но модулю п.\ 6. Пусть г|5 (ti) — круговое целое, образованное периодами длины /, и пусть р — простое число, показатель которого по модулю X равеп /. Пока- жите, чтог|э (ti) тогда и только тогда делится на единственный простой дивизор числа р, причем с кратностью 1, когда Л?г|) (т)) долится на pf, но не делится на р'+1.\ 4.13. Терминология Куммер называл круговые целые «комплексными числами» или, когда он выражался подробнее, «комплексными числами, построенными из комплексного корня степени К из единицы». Дивизоры он называл «идеальными комплексными числами». Этот последний оборот речи был весьма неудачным по нескольким причинам. Во-первых, хотя «комплексное число» (круговое целое) действительно определяет «идеальное комплексное число» (диви- зор), но много различных комплексных чисел определяют таким способом одно и то же идеальное комплексное число, поскольку круговые целые, которые отличаются на множитель, являющийся единицей, имеют один и тот же дивизор. Таким образом «идеальное комплексное число» не является каким-то обобщением «комппекс-
172 Гл. 4. Куммсрова теория идеальных делителей ного числа», на что намекает терминология Куммера. Кроме того, нет разумного способа определить сложение дивизоров, а название «числа» для объектов, которые нельзя складывать, безусловно, вводит в заблуждение. Другим недостатком терминологии Кум- мера является семантическая проблема, возникающая из-за того, что у Куммера идеальное комплексное число мсжет оказаться реальным комплексным числом, поэтому может возникнуть необ- ходимость отл1чать «реальные» идеальные комплексные числа от «идеальных» идеальных комплексных чисел. Более того, хотя Куммер, когда он вводил этот термин, имел в виду некоторые кра- сивые и ясные аналогии (см., в частности, первую страницу его сообщения [К7] и заключительные замечания в § 10 его главной статьи [К8] по теории идеального разложения), эти аналогии не стали для его последователей ни привлекательными, ни полез- ными. Наконец, термин «идеальное комплексное число» имеет еще тот большой психологический вред, что почти неизбежно ведет к вопросу: «Что такое идеальное комплексное число?» Этот вопрос открывает тот же ящик Пандоры метафизических измыш- лений, как и вопросы: «Что такое натуральное число?» или «Что такое вещественное число?»,— и дать на него окончательный ответ ничуть не легче, чем решить эти старинные загадки. (Конеч- но, рассуждая логически, Куммеру не было нужды заниматься этим вопросом, и он пе занимался. Он подробно описал, как сле- дует представлять идеальные комплексные числа и как выполнять над ними вычисления, что, по существу, и является ответом, кото- рый дает математик-практик на вопрос «что такое число?»; см. [Е1], в частности «The Parable of the Logician and the Carpenter».) По всем этим причинам современная терминология на языке дивизоров предпочтительнее терминологии Куммера на языке идеальных комплексных чисел. Термин «дивизор» отвечает наиболее общей ситуации, когда дивизоры используются. Понятие «простого дивизора»появилось в § 4.9, когда понадобилось выяснить смысл высказывания о том, что данное круговое целое делится на такой простой дивизор. В более общей форме, для такого простого дивизора А было опре- делено утверждение: g1 {a) == g2 (a) (mod .4). Для любого диви- зора А, простого или нет, можно определить сравнение gt {а)^ = g2 (a) (mod .4), которое означает, что g1 (a) — g2 (а) делится на А в том смысле, как определено в предыдущем параграфе. Зна- чение дивизоров А проявляется главным образом в утверждениях gi (a) = g2 (a) (mod ^4). С этой точки зрения следующая теорема позволяет сделать важный вывод, что для определения дивизора А достаточно знать отношение g1 (a) = g2 (a) (mod A). Теорема. Пусть А и В — диеигоры. Если керкссе щугсесе целое, делящееся на А, делится также и на В, то А делится на В.
4.13. Терминология 173 Следствия. Если А и В — дивизоры, и отношение g1 (а) = ^ g2 (a) (mod А) равносильно отношению g1 (а) = g2 (а) (mod В) {т. е. одно отношение выполняется тогда и только тогда, когда выполняется другое), то А = В. Доказательство. Следствие вытекает из замечания, что если А делит В и В делит Л, то Л = В. Пусть pL, р2, . . ., рп — про- стые целые числа, которые делятся на простые дивизоры, деля- щие А (другими словами, числа р-г являются простыми делителями нормы дивизора А — си. следующий параграф), и пусть А = = А±А2 . . . Ап — разложение дивизора А в произведение таких дивизоров At, что At содержит все простые дивизоры из А, кото- рые делят pt. Так как достаточно высокая степень числа р±р2 . . . . . . рп делится на Л, то, по предположению, она должна делиться и на В. Отсюда вытекает, что каждый простой дивизор из В делит одно из чисел pt, и, значит, В может быть разложено в произведе- ние В = /?1#2 • • • &п, в котором Bt содержит все простые диви- зоры из В, делящие р;. (Некоторые из Bt могут быть равны /.) Так как порядок чисел pt произволен, то достаточно доказать, что В1 делит Лх. Если pt = X, то Лх — (а — 1)м- при некотором [х. Тогда круговоз целоз (а — 1)^ (р2р3 . . . pa)v делится на Л при всех достаточно больших v. Значит, оно такжз делится на В при больших v, и поскольку /?i не делит (р2р3 . . . pn)v, то В1 делит круговое целое (а — 1)^. Следовательно, BY делит дивизор эле- мента (а — 1)>\ который есть А\. Если р1 Ф- К, то пусть / — пока- затель числа pt по модулю X, и пусть г|) — круговое целое, образо- ванное периодами длины /, делящееся на один из е = (X — 1)// простых дивизоров числа р1 с кратностью 1 и не делящееся ни на один из остальных е — 1 простых дивизоров. Тогда можно обра- зовать произведение сопряженных элемента гр, назовем его х, эбладающээ таким свойством: дивизор элемента х есть дивизор Аъ умноженный на простые дивизоры, не делящие pL. Теперь число х (РъРз • • ¦ Pn)v делится па А при большом v; значит, оно делится на /?!• Так как В1 не делит (р2Рз • • • Pn)vi т<э отсюда вытекает, что В1 делит дивизор элемента х. Так "как дивизор элемента х есть Лг, умноженный на дивизор, не содержащий ни одного простого дивизора числа рх (и тем более ниЪдного простого дивизора из Bt), то #i делит А-у, что и требовалось доказать. Рихард Дедекинд A831—1916), который провел важную рабо- ту по обобщению теории Куммера, не сохранил куммеровой терми- ноюгии. Он очень глубоко впик в философский вопрос: «Что такоз число?» и по поводу куммеровых «идеальных комплексных чисел» дал ответ, который оказал глубокое влияние на терминоло- гию всей математики. Дедекинд воспользовался доказанным выше утверждением о том, что дивизор определяется множеством всех тех круговых целых, которые он делит, и идентифицировал
174 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей идеальное комплексное число с множеством всех делящихся на него объектов. Зто множество он назвал идеалом — такую при- чудливую трансформацию претерпела терминология Куммера. Затем Дедекиид показал, что среди всех подмножеств круговых целых «идеалы» характеризуются двумя свойствами: (i) Сумма любых двух круговых целых из данного идеала так- же лежит в этом идеале. (ii) Произведение кругового целого из данного идеала на лю- бое круговое целое также лежит в этом идеале. То, что идеалы обладают этими свойствами, очевидно: и» gx (а) = 0, g2 (а) = 0 (mod А) вытекает gx (a) -f g2 (а) == О (mod А) и gt (а) ф (а) = 0 (mod А) для всех ср (а). Однако- Дедекинд доказал и обратное, что каждое подмножество круговых целых с этими свойствами есть идеал, т. е. является] множеством всех круговых целых, делящихся на А, где А — некоторый диви- зор. [Для того чтобы ото было верно в полной общности, мы долж- ны определить дивизор пуля как дивизор, обладающий тем свой- ством, что на него делится только нуль. См. упр. 3.] После отого можно охарактеризовать простые дивизоры без какого бы то ни было явного нахождения их, а следовательно, дать абстрактное описание теории, не занимаясь фактическим построением простых дивизоров. Этот подход особенно полезен при изучении обобще- ния теории Куммера на другие типы алгебраических целых, отличных от круговых целых; выполнение такого обобщения было одним из главных достижений Дедекинда. Терминология Дедекшща и, в частности, понятие «идеала» играют очень падшую роль в современной абстрактной алгебре. Однако в последующих разделах этой книги, помимо идеалов, будет использоваться более конструктивнее и более связанное с вычислениями понятие «дивизора». Иными слогами, мы прини- маем более конкретные и явные формулировки Куммеро, хотя и не принимаем его терминологию. Упр а он"М е н и я 1. Какое третье условие пужно ,,обавить к приведенным в тексте свой- ствам (i) и (ii), чтобы охарактеризовать простые идеалы, т. о. идеалы, которые возникают из простых дивизоров? 2. Пусть ?l — произвольнее подмножество круговых целых, обладаю- щее свойствами (i) и (ii). Покажите, что имеется такой конечный набор ft («), Si («)' • • -i Sn (a) круговых полых, что $ состоит из всех круговых полых, которые можно записать в виде Ьг (a) ft (a) + Ь2 (a) g2 (°0 ~Ь • • • . . . + bv (a) p-f, (а) при некоторых круговых целых fcj (а), Ь2 (а) К (а). [Если <7 состоит из одного 0, то положите п = 1 и ft (а) = 0. В противном случае в 0 выберите g-, (а) ф 0. Покажите, что имеется лишь конечное число по" сравнимых по модулю ft (а) элемоптов. Из каждого класса по модулю ft (а), содержащего элемент из ,7, выберите по одпому такому элементу
4.14. Сопряжения и норма дивизора 175 и поместите его среди g2 (a), g3 (а), . ¦ ., gn (а). Построенные таким способом. gt имеют требуемые свойства.] 3. Используйте упр. 2 для нахождения того, каким должен быть дивизор, соответствующий идеалу Д. [Если Д = {0}, то никакой дивизор не подойдет, кроме «дивизора», содержащего все простые дивизоры с бесконечными кратно- стями. Оправданием такого определения дивизора нуля служит то, что О делится на что угодно и не делит ничего, кроме самого себя.] Доказательство того, что каждое подмножество ?), обладающее свойствами (i), (ii), есть множество объектов, делящихся па некоторый дивизор, изучается в упр. 3 к § 4.14. 4.14. Сопряжения и норма дивизора Точно так же как сопряжения а[*~* а' действуют на круговые целые, они естественным образом действуют на дивизоры. Именно, пусть a — сопряжение a *-*¦ a'v, где у — примитивный корень по модулю К, так что сопряжения можно записывать в виде сте- пеней этого сопряжепия а без использования двойных показателей. Для того чтобы описать действие на дивизоры сопряжения общего вида ог, достаточно описать действие на них самого а, поскольку о1 есть композиция а самого с собой i раз. А это можно описать, например, следующим способом. Так как, по определению, а (АВ) равно а (А)-а (В), то доста- точно описать действие сопряжения а на простые дивизоры. Для этого легче всего записать простой дивизор в виде (р, i}i (т))), как в § 4.12, и определить a (p, i|) (т))) как (р, сф (т))). (Особый дивизор (а — 1) равен всем своим сопряженным, поскольку аУ — 1 имеет тот же дивизор, что и а — 1.) Это и определяет действие сопряжения а на дивизоры. Легко* проверить, что это действие обладает следующим естественным^ свойством. Предложение 1. Пусть с — сопряжение кругсвых целых, Si (a), g2 (a) — круговые целые, А — некоторый дивизор. Тогда сравнение gl (а) н= g2 (a) (mod о'Л) равносильно сравнению' o-Vi (а) ее o-V2 (a) (mod A). Доказательство. См. упр. 1. Предложение 1 описывает сравнимость по модулю а*А в тер минах тех понятий, которые уже были определепы в предыдущих параграфах, и, следовательно, поскольку дивизор определяется посредством соответствующего отношения сравнимости, предло- жение дает еще один путь определения сопряжения ахА. Точно так же как норма кругового целого g (а) определена как произведение g {a)-eg (a)-a2g (a) ... c^g (a), норму дивизора А можно определить как произведение дивизоров А -оА -с2А . . . • . . ах'2А. Норма кругового целого есть такое круговое целое, которое (поскольку оно инвариантно относительно а) оказы- вается в действительности обычным целым числом, причем, как
176 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей мы видели в § 4.2, это целое число неотрицательно. Норма диви- зора есть дивизор. Однако, как показывает следующее предложе- ние, его естественным образом можно рассматривать как положи- тельное целое число. Предложение 2. Если А — любой дивизор, то имеется поло- жительное целое число, дивизор которого равен норме дивизора А. Доказательство. См. упр. 2. Норма дивизора А будет обозначаться через N (А) или NA. Но своему определению она есть дивизор, но в некоторых ситуа- циях, в частности в гл. 6, удобно рассматривать ее как положи- тельное целое число, дивизором которого она является. Это поло- жительное целое число можно также описать следующим^простым способом. Теорема. Когда N (А) рассматривается как положительное целое число, она равна максимальному количеству не сравнимых по модулю А круговых целых. Иными словами, можно найти систе- му из N (Л) круговых целых, обладающую тем свойством, что каждое круговое целое сравнимо по модулю А с одним и только одним элементом из этой системы. Доказательство. Если А — простой дивизор, то его норма есть р\ гдз р — делящееся на него простое целое число, а / — показатель числа р по модулю X; тот факт, что эта норма равна также числу не сравнимых по модулю % элементов, доказан в тео- реме 1 из § 4.9. (Если А — исключительный дивизор A — а), то каждое круговое целое сравнимо с одним и только одним из % целых чисел 0, 1, 2, . . ., К — 1.) Теперь рассмотрим случай, когда А является степенью про- стого дивизора Р, т. е. А = Рп. Пусть гр — круговое целое, кото- рое делится на Р с кратностью точпо 1 и не делится ни на один из дивизоров, сопряженных дивизору Р. Далее будет показано, что каждое круговое целое сравнимо по модулю Рп с одним из элементов вица а0 -f- aLi|) -(- <z2i|J -f- . . . . . . + an._]i])n~l и что два круговых целых этого вида тогда и толь- ко тогда сравнимы по модулю Рп, когда коэффициенты а0, аи . . . . . ., ап_г одинаковы по модулю Р; тем самым будет доказано, что число классов по модулю Рп равно числу способов выбора по мо- дулю Р коэффициентов а0, аи . . ., ап_и которое есть N (Р)п => = IV (Рп), что и требуется показать. При п = 1 это очевидно. Предположим, что это доказано для п — 1. Тогда для данного кругового целого х имеются круговые целые а0, alt . . ., аа_2, для' которых X = а0 + а$ + • • • + ап-<$п~ (mod Pn~ ) и коэф- фициенты ап, а15 . . ., а„_2 однозпачпо определены по модулю Р. Пусть у = х — а0 — aLif> — ... — ап_2^п ~2. Тогда // = 0 (mod P")
4.14. Сопряжения и норма дивизора 177 Сейчас нужно показать, что у = оф" (mod Pn) для некоторого а и что а однозначно определено по модулю Р. Пусть Ч1" обозначает произведение е — 1 различных сопряженных элемента i|), так что •$№ — Р&> где А; — целое число, взаимно простое с р. Тогда требуемое сравнение у = от])" (mod Pn) равносильно сравнению ^\jrn-i _ apn~1kn~l (mod Pn), которое в свою очередь равносильно сравнению ул^п~1тп~1 = ар11'1 (mod Рп), где т — такое целое число, что тк = 1 (mod p). Так как у = 0 (mod i5"-1) по пред- положению, то уЧп~1гпп~1 делится на рп~х