Text
GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS 50
HAROLD M. EDWARDS
FERMAT'S
LAST
THEOREM
A GENETIC INTRODUCTION
TO ALGEBRAIC
NUMBER THEORY
Work on this book was supported in part by
the James M. Vaughn, Jr., Vaughn Foundation Fund.
SPRINGER-VERLAG
NEW YORK HEIDELBERG BERLIN 1977
Г. Эдварде
ПОСЛЕДНЯЯ
ТЕОРЕМА
ФЕРМА
[ёнетическое введение
В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ
Перевод с английского
В. Я КАЛИНИНА И А. И. СКОПИНА
под редакцией
Б. Ш. СКУБЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1980
УДК 5lt
Монография по арифметике круговых и квадратичных
полей, написанная свежо и оригинально. Автор следует в своем
изложении историческому ходу событий, но описывает только
те идеи, которые в дальнейшем нолучили развитие. Поэтому он
называет свой метод изложения пе «историческим», а «гене-
тическим». Каждое общее утверждение иллюстрируется кон-
кретными примерами, что выгодно отличает кпигу от других,
где материал излагается на более абстрактном уровне.
В целом книга представляет несомненный интерес для
математиков различных специальностей. Она может использо-
ваться и для первоначального знакомства с предметом.
Редакция литературы по математическим наукам
© 1977 by Harold M. Edwards
All rights reserved. Authorised
translation from English language
edition published by Springer-
1702030000 Verlag Berlin - Heidelberg _
New York
20203-013 ЙП © Перевод ца русский язык, «Мир»
3 041@1)-80 ld'8 1980
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая
была бы столь популярна среди математиков и особенно среди
математиков-любителей, как проблема Ферма (или знаменитая
«Великая теорема Ферма», или «Последняя теорема Ферма»).
На русском языке имеется не так много книг, специально
посвященных этой проблеме, да и книги эти из серии популярных.
Одиозность проблематики, первоначально вызванная Вольфске-
левской премией, вынуждает каждого пишущего о теореме Ферма
быть предельно осторожным. По крайней мере написанная книга
не должна вызывать сомнения в том, что ее автор не хочет иметь
дело с «ферматистамн».
Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько
содержательна, что у любителей решать проблему Ферма прими-
тивными методами она отобьет всякое желание^дискутировать.
Кстати, и книга М. М. Постникова «Теорема Ферма» (М.: Наука,
1978), не столь объемистая, как эта, наделена таким же иммуни-
тетом.
Книга Эдвардса, как пишет сам автор в предисловии, не пре-
тендует на историчность. Это, конечно, верно, однако некоторые
моменты истории математики в книге описаны весьма подробно.
Достоинством книги является и то,что автор подробно излагает
основы теории идеалов генетическим методом. Приятно'узнавать,
каким образом создавалась эта теория, какие математики в этом
участвовали, какие возникали драматические, а дорой и парадо-
ксальные ситуации (например, случай с р = 23), в итоге привед-
шие к гениальному открытию.
Изложение генетическим методом имеет и теневые стороны.
Эдвардсу волей-неволей приходится пользоваться терминологией
прошлого века, излагать доказательства теорем языком той эпохи,
производить многочисленные арифметические вычисления, выпи-
6 От редактора перевода
сывать длинные цитаты — все это в книге соткано в единое про-
изведение, наделенное духом нашего времени. Такое сочетание
затрудняет чтение книги в оригинале и делает ее чрезвычайно
сложной для перевода. Переводчики стремились сохранить све-
жесть и оригинальность стиля автора, ы если это не всегда уда-
лось им, то, во всяком случае, не из-за отсутствия старания.
Предисловие, главы I, II, VII, VIII, IX и § 2 приложения переве-
дены В. Л. Калининым. Главы III, IV, V, VI и § 1 приложения
переведены А. II. Скопииым.
Б. Ф. Скубенко
ПРЕДИСЛОВИЕ
По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать,
каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма,
и, так как сама книга не дает ответа на этот вопрос, стоит, вероят-
но, сказать об этом несколько слов в предисловии. Последняя
теорема Ферма — это утверждение (не теорема), что уравнение
хп + Уп = 2П при п > 2 не имеет целых положительных решений.
Легко доказать (см. § 1.5) неразрешимость уравнения х* -f- yi —
= z4. Поэтому исходное уравнение неразрешимо, когда п делится
на 4. (Если п = Ак, то равенство хп -\- уп = ъп приводило бы
к равенству X* + Y* = Z4, где X = xk, Y = z/\ Z = zk, что
невозможно.) Аналогично, если доказать неразрешимость уравне-
ния хт -\- ут = zm при некотором значении т, отсюда будет
следовать неразрешимость исходного уравнения для любого п,
делящегося на т. Поскольку каждое п >2 делится либо на 4,
либо на нечетное простое число, то для доказательства Последней
теоремы Ферма достаточно доказать ее для простых показателей п.
Для показателя п = 3 доказать эту теорему не слишком труд-
но (см. гл. 2). Для показателей 5 и 7 возникают большие труд-
ности (§ 3.3 и 3.4), однако методы остаются по существу элемен-
тарными. Основное содержание книги составляет мощная теория
«идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы
19 века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему
для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59 и 67.
Точнее, теорема Куммера утверждает следующее. Пусть р —
нечетное простое число. Тогда достаточное условие для справедли-
вости Последней теоремы Ферма при показателе р состоит в том,
что р не делит числители чисел Бернулли Вг, /?4, . . ., #р_3
(см. § 5,5 и 6.19). Простое число, удовлетворяющее достаточному
условию Куммера, называется «регулярным».
Начиная с 1850 г. основные усилия были направлены на на-
хождение все более мощных достаточных условий. Наилучшие
известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются
очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые
числа, меньшие 100 000 [W1]. Однако, с другой стороны, все эти
условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них
нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество
Предисловие
простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма
можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных
для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить воз-
можность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую
большую границу, теорема неверна.
Основным методом изложения в этой книге, как указывает ее
подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет
«генетический» как «относящийся к генезису, происхождению».
В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия
алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естествен-
ность и эффективность, прослеживая их происхождение и развитие
в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагран-
жа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других.
Важно отличать генетический метод от описания истории
вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод
прежде всего занимается самим предметом изучения — его проис-
хождением и развитием, тогда как основной целью исторического
описания является аккуратная регистрация сведений о людях,
идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета
изучения. В истории нет места для детального описания теории —
если только это не является существенным для понимания собы-
тий. В генетическом методе пет места для внимательного изучения
событий — если только это не способствует более глубокому про-
никновению в предмет.
Это означает, что генетический метод имеет тенденцию пред-
ставлять историческую последовательность в искаженной перспек-
тиве. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно
разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генети-
ческий метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы
вспомогательных вычислений. Для того чтобы выявить действи-
тельно плодотворные идеи, приходится делать вид, что челове-
ческий разум по прямой линии движется от задач к решениям.
Я особенно хотел бы подчеркнуть, что представление о прямоли-
нейном движении человеческого разума является настолько неле-
пой фикцией, что к ней ни на мгновение нельзя относиться серьезно.
Сэмюэль Джонсон некогда так писал о работе'над биографиями:
«Если бы дозволялось показывать лишь светлые стороны характе-
ров, то нам оставалось бы только впасть в уныние из-за полной
невозможности в чем-либо следовать героям. Авторы жизнеописа-
ний святых рассказывали как о дурных, так и о добродетельных
поступках людей. Это удерживало человечество от отчаяния,
в чем и заключалось моральное действие такого подхода». В этой
книге по большей части мы показываем только светлые стороны,
только плодотворные идеи и только правильные догадки. Читатель
должен иметь в виду, что эта книга не является ни исторической,
ни биографической, и, значит, ему не стоит впадать в отчаяние.
Предисловие
Возможно, вас заинтересует не столько разница между истори-
ческим описанием и генетическим методом, сколько отличие гене-
тического метода от более обычного метода математического изло-
жения. Как утверждал математик Отто Теплиц, сущность генети-
ческого метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические
источники идеи, найти для нее наилучшую мотивировку, и, изучив
контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту
идею, найти тот «жгучий вопрос», па который он жаждал отве-
тить [11]. В противоположность этому более обычный метод
оставляет в стороне вопросы и приводит лишь ответы. С логической
точки зрения нужны только ответы, однако с психологической
точки зрения изучать ответы, не зная вопросов, очень трудно
а даже практически невозможно. По крайней мере таков мой
собственный опыт. Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть
трудности изучения абстрактной математической теории состоит
в том, чтобы последовать совету Теплица п игнорировать совре-
менные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не уз-
наешь вопросов, которые привели к этой теории.
В первых трех главах этой книги рассматриваются элементар-
ные аспекты Последней теоремы Ферма. Эти главы написаны на
более элементарном уровне, чем остальная часть книги. Я надеюсь,
что читателю, обладающему достаточной математической зрело-
стью для чтения последних глав, эти первые три главы тоже
покажутся интересным и достойным внимания, хотя и легким
чтением. В то же время я надеюсь, что менее искушенный читатель,
который потратит больше времени и сил на первые главы, в ре-
зультате приобретет достаточно опыта, чтобы, хотя и с трудом,
по преодолеть и дальнейшие главы.
Следующие три главы 4—6 посвящены развитию куммеровой
теории идеальных делителей и ее приложению к доказательству
сформулированной выше замечательной теоремы Куммера о том,
что Последняя теорема Ферма верна для регулярных простых
показателей. Это наивысшая точка, которая достигается в настоя-
щей книге при изучении Последней теоремы Ферма. Я намере-
ваюсь написать второй том, в котором будут изложены работы
по Последней теореме Ферма, выходящие за пределы теоремы
Куммера; однако эти более поздние исследования трудны, и теорема
Куммера является естественной точкой для завершения этого тома.
В трех последних главах рассматриваются вопросы, более
косвенным образом связанные с Последней теоремой Ферма,
а именно: теория идеальпого разложения для квадратичных целых,
гауссова теория бинарных квадратичных форм и формула Дирихле
для числа классов. Изучать работы Куммера по Последней теоре-
ме Ферма, не касаясь этих вопросов, столь же неразумно, как
изучать историю Германии, не затрагивая истории Франции.
С самого начала своей работы по теории идеалов Куммер созпа-
10 Предисловие
вал, что она тесно связана с гауссовой теорией бинарных квадра-
тичных форм. Применение к Последней теореме Ферма было лишь
одним из мотивов, побудивших Куммера к развитию этой теории;
другими мотивами (и, по его собственному свидетельству, более
настоятельными) были поиски обобщения квадратичного, куби-
ческого и биквадратичного законов взаимности на высшие степени
и попытки найти объяснение трудной гауссовой теории компози-
ции форм. Кроме того, по словам самого Куммера, тем, что ему
удалось удивительно быстро найти формулу для числа классов
и открыть поразительную связь между Последней теоремой Ферма
для показателя р и поведением чисел Бернулли по модулю р,
он был обязан решению Дирихле аналогичной задачи в квадратич-
ном случае. Генетический метод подсказывает — почти требует —
изучить эти достижения и найти мотивировку трудной, но чрезвы-
чайно плодотворной идеи «идеальных нростых делителей», столь
существенной для понимапия работ Куммера по Последней теоре-
ме Ферма. Кроме того, материал трех заключительных глав
обеспечивает необходимую основу для изучения высших законов
взаимности и теории полей классов, на которые в свою очередь
опираются более поздние работы по Последней теореме Ферма,
намеченные для изучения во втором томе.
В этой книге, как в основном тексте, так и в упражнениях,
особенно большое место уделено вычислениям. Это необходимая
составляющая генетического метода. Действительно, даже поверх-
ностный взгляд на историю вопроса показывает, что Куммер
и другие великие новаторы в теории чисел производили обширные
вычисления и на этом пути достигали своих глубоких озарений.
Я вынужден с прискорбием заметить, что современное математи-
ческое образование имеет тенденцию прививать студентам мысль,
что вычисления являются унизительной нудной работой, которой
¦следует избегать любой ценой. Если вы внимательно проследите
за вычислениями в основном тексте и будете рассматривать упраж-
нения вычислительного характера не только как отнимающие вре-
мя (неизбежно они обладают этой особенностью), по и как пред-
ставляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание,
то я уверен, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю
простоту теории.
Я убежден в том, что не бывает пассивного понимания матема-
тики. Только при активном чтении лекций, написании учебников
или решении задач можно полностью овладеть математическими
идеями. Именно по этой причине данная книга содержит так мно-
го упражнений, и именно по этой причине я считал, что серьезный
читатель должен решить их как можно больше. Некоторые из
моих коллег указали мне, что, предлагая столь большое количество
упражнений, я оттолкну от книги тех читателей, которые захоте-
ли бы прочитать ее только ради удовольствия. На ото я могу
Предисловие 11
ответить, что упражнения только предлагаются, но не предписы-
ваются для обязательного решения. Делайте с ними что хотите,
но, возможно, вы обнаружите, что они также способны доставить
удовольствие.
Знаменитая премия за доказательство Последней теоремы
Ферма была учреждена II. Вольфскелем в 1908 г. Одним из усло-
вий присуждения премии была публикация доказательства, и,
по-видимому, главным результатом учреждения премии было
чудовищное количество нелепых доказательств, предназначенных
для печати или опубликованных частным образом. С очевидным
удовольствием Морделл и другие специалисты по теории чисел
объявили, что последовавшая после первой мировой войны инфля-
ция в Германии свела первоначально внушительную премию
практически к нулю. Однако экономическое возрождение ФРГ
после второй мировой войны изменило ситуацию. Теперь премия
Вольфскеля составляет около 10 000 западногерманских марок,
или 4000 американских долларов. Для присуждения премии
доказательство должно быть опубликовано и не менее чем через
два года после публикации должно быть признано верным Гет-
тингенекой Академией наук.
Если вы намерены попытаться заработать эту премию — при-
мите мои наилучшие пожелания. Я был бы восхищен, если бы эта
задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему
ее. оказалась полезной моя книга. II хотя можно спорить о том,
способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к реше-
нию задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти реше-
ние, я думаю, что безуспешных усилий многих первоклассных
математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных)
достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой пробле-
ме совершенно безнадежным. Приведенные в этой книге идеи
позволяют решить проблему для всех показателей, меньших 37.
Ничего подобного нельзя сказать пи об одном подходе, не исполь-
зующем куммерову теорию идеального разложения. Однако преж-
де чем вы задумаете добиться получения премии Вольфскеля,
стоит принять во внимание еще одно обстоятельство. Мне кажется,
что нет вообще никаких оснований считать Последнюю теорему
Ферма верной, а условия присуждения премии не предлагают
ни единого пфеннига за опровержение этой теоремы.
Благодарности
Просто сказать, что работа над книгой велась при финансовой
поддержке фонда Вопа, значило бы создать совершенно непра-
ннльное представление о том, до какой степени я обязан этому
фонду и лично г-ну Джеймсу М. Вопу, мл. Если бы я не получил
12 Предисловие
от них предложения рассказать о Последней теореме Ферма, эта
книга не только никогда не появилась бы, но у меня и не возникла
бы мысль писать ее. Я глубоко благодарен г-ну Вону и фонду
за приглашение заняться этим столь увлекательным, полезным
и приятным делом. Я хотел бы также поблагодарить Брюса Ченд-
лера за дружескую поддержку и мудрые советы. Его семинар
по истории математики в Нью-йоркском университете стал заме-
чательным местом встреч историков математики — встреч, кото-
рые я и многие другие считаем чрезвычайно полезными и вдохно-
вляющими.
Кроме того, я признателен многим ученым, высказавшим свои
замечания но рукописи. В частности, я хотел бы упомянуть Джо-
на Бриллхарта, Эда Кертиса, Пьера Дюгака, Дж. М. Ганди,
Линетт Ганим, Поля Хал мота. Жана Итара, Вальтера Кауф-
ман-Бюлера. Морриса Клайпа, К'арлоса Морено, Эла Новикова,
Гарольда Шапиро, Габриэля Штольценберга, Джеймса Бона
и Апдре Вейля.
Наконец, я благодарен Курантовскому институту математи-
ческих наук при Нью-йоркском университете за удобное рабочее
место, отличную библиотеку и высококвалифицированную работу
Элен Саморай и ее коллег по перепечатке рукописи.
Гарольд М. Эдварде
Глава 1
ФЕРМА
1.1. Ферма и его «Последняя теорема >
Пьер де Ферма умер в 1665 г. К этому времени он был одним
из самых знаменитых математиков Европы. Сегодня имя Форма
неотделимо от теории чисел, но при жизни его работы по теории
чисел были настолько революционными и настолько опережали
свое время, что их значение было плохо понято современниками,
и слава Ферма основывалась больше на его достижениях в других
областях науки. Среди них были важные труды по аналитической
геометрии (независимо от Декарта Ферма был одним из создателей
этой науки), по теории касательных, вычисления площадей, макси-
мумов и минимумов (эти работы послужили началом математи-
ческого анализа) и по геометрической оптике (которую он обогатил
открытием того, что законы преломления можно вывести из прин-
ципа наименьшего времени).
В славе Ферма как математика есть два удивительных факта.
Во-первых, по профессии Ферма был юристом, а не математиком.
В зрелом возрасте он занимал довольно важные судебные долж-
ности в Тулузе, посвящая математике лишь свободное время.
Во-вторых, за всю свою жизнь он не опубликовал пи одной мате-
матической работы 1). Своей репутацией Ферма был обязан пере-
писке с другими учеными и значительному количеству трактатов,
которые распространялись в рукописном виде. Ферма часто
убеждали опубликовать его работы, но по необъяснимым причинам
он отказывался печатать свои труды, и многие из его открытий,
особенно в теории чисел, так и не были приведены к виду, пригод-
ному для публикации.
Поскольку Ферма отказывался публиковать свои работы, мно-
гие из его почитателей стали опасаться, что он скоро будет забыт,
если не попытаться собрать его письма и неопубликованные трак-
таты и издать их посмертно. Такая попытка была предпринята
его сыном, Самюэлем. Самюэль де Ферма занялся не только сбором
й) Есть одно небольшое исключение, В 1660 г. он разрешил опублико-
вать второстепенную работу в качестве приложения к книге, написанной
его коллегой. Однако это исключепие лишь подтверждает правило: работа
была опубликована анонимно.
14 Гл. 1. Ферма
писем и трактатов среди корреспондентов отца, но и разобрал его
бумаги и книги, и именно этот путь привел к публикации знаме-
нитой «Последней теоремы» Ферма.
Книгой, первоначально вдохновившей Ферма на изучение
теории чисел, была «Арифметика» Диофанта — одно из великих
классических произведений древнегреческой математики, незадол-
го до того переоткрытое и переведенное на латинский язык. Са-
мюэль обнаружил, что его отец сделал много замечаний на полях
своего экземпляра книги Диофанта в переводе Баню, и для начала
он выпустил новое издание «Арифметики» Диофанта [D3], которое
в качестве приложения содержало сделанные Ферма заметки на
полях. Второе из этих 48 «Замечаний к Диофанту» было написано
на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В зтой задаче требуется
«данное число, которое является квадратом, записать в виде сум-
мы двух других квадратов».
Написанная па латинском языке заметка Ферма утверждает,
что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы
двух кубов, или четвертую стенепь — в виде суммы двух четвер-
тых степеней, или, вообще, любое число, которое является сте-
пенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух
таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказа-
тельство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его
уместить». Это простое утверждение, которое символически можно
записать так: «для любого целого п >2 уравнение хп -j- у" -- zn
неразрешимо».— теперь известно как Последняя теорема Ферма.
Если Ферма действительно знал доказательство этого утвержде-
ния, оно несомненно было «удивительным», поскольку за триста
с лишним лет, прошедших со времен Ферма, никто больше не смог
найти такого доказательства. Эту задачу безуспешно пытались
решить многие великие математики, и хотя был достигнут некото-
рый прогресс, позволивший доказать утверждение Ферма для всех
показателей п порядка многих тысяч, до сегодняшнего дня пеиз-
вестпо, справедливо ото утверждение или нет.
Происхождение названия «Последняя теорема Ферма» неясно.
Неизвестно, в какой период жизни Ферма написал эту заметку на
полях, по принято считать, что он написал ее тогда, когда впер-
вые изучал книгу Диофанта, т. е. в конце 1630-х годов,— затри
десятилетия до смерти. В таком случае эта теорема, конечно,
не была его последней теоремой. Вполне возможно, что это назва-
ние обязано своим происхождением тому обстоятельству, что сре-
ди многих теорем, которые Ферма сформулировал без доказатель-
ства, эта теорема остается последней, до сих пор не доказанной.
По-видимому, заслуживает внимания и соображение о том. что
Ферма после дальнейших размышлений был. возможно, не вполне
удовлетворен своим «удивительным доказательством», особенно
если он действительно панисал о нем в 1630-е годы. В самом деле,
1.1. Ферма и его «Последняя теорема» 15
другие теоремы он вновь и вновь формулирует в своих письмах
(иногда в виде своеобразного вызова на соревнование); среди них
встречаются и частные случаи х3 -\- г/3 =^= z3, х* -f- г/4 =^= z4 Послед-
ней теоремы, но сама эта теорема появилась лишь однажды как
замечание номер 2 к Диофанту — загадочным сфинксом для по-
томков.
В «Арифметике» Диофанта рассматриваются исключительно ра-
циональные числа, поэтому не следует сомневаться в том, что Ферма
имел в виду отсутствие рациональных чисел х, y,z, таких, что а:™ -}-
+ уп = zn (п > 2). Если бы можно было рассматривать ирра-
циональные числа, то для любой пары чисел х, у мы получили бы
такое решение, просто положив z —- ]/ хп ~ уп. С другой стороны,
если бы уравнение хп + Уп ~ %п имело рациональные решения,
то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах:
действительно, если х, у, z — рациональные решения уравнения
хп -j- уп = zn и d — их наименьший общий знаменатель, то xd,
yd, zd — целые числа и (xd)n + {yd)n - (хп + уп) dn = (zd)n,
так что zd — целое число, п-я степень которого равна сумме
п-х степеней. Кроме того, как Диофант, так и Ферма имели дело
с положительными числами — во времена Ферма к отрицатель-
ным числам и нулю еще относились с подозрением,— поэтому
молчаливо исключается также и тривиальный случай, когда х или у
равно нулю. (Например, равенство 25 -j- О5 — 25, конечно, не
противоречит Последней теореме Ферма.) Таким образом, Послед-
няя теорема Ферма, по существу, сводится к утверждению о том,
что если п — целое, большее двух, то невозможно найти такие
положительные целые числа х, г/, z, что хп + Уп = 2™. Именно
в таком виде обычно и формулируется эта теорема.
За три столетия, прошедшие после смерти Ферма, его работы
во всех областях, кроме теории чисел, были постепенно забыты,
по не потому, что они оказались чем-либо плохи. Наоборот, это
были первые серьезные шаги в развитии важных теорий, которые
теперь значительно яснее поняты и которые проще объяснить
с использованием языка и символики, не существовавших во вре-
мена Ферма. В то же время работы Ферма по теории чисел поль-
зуются непреходящей славой, и среди них не только его Последняя
теорема, но и многие другие открытия и идеи, часть которых мы
рассмотрим позже в этой главе. Такое отношение к наследию
Ферма кажется вполне сообразным, поскольку, как явствует из
его переписки, какими бы важными для развития математики
ни считал он свои работы в других областях, его истинной лю-
бовью была теория чисел, изучение свойств положительных целых
чисел, которые казались ему величайшим вызовом силе чистого
математического рассуждения и величайшей сокровищницей
чистых математических истин.
16 Г я. 1. Ферма
1.2. Пифагоровы треугольники
В предложении из «Арифметики» Диофанта, которое привело
Ферма к его Последней теореме, рассматривается одна из самых
старых математических задач: «записать квадрат в виде суммы
двух квадратов». Одно решение этой задачи получается при
помощи равенства З2 -f- 42 = 52, из которого следует, что для
любого квадрата а2 справедливо тождество а2 = (За/5J -\- Dа/5J.
Аналогично, любая тройка положительных целых х, у, z, таких,
что х2 + У2 — z^i Дает решение а2 = (xa/zJ -j- (ya/zJ, и, как легко
видеть, любое решение получается таким образом. Короче говоря,
задача Диофанта сводится к задаче нахождения троек положи-
тельных целых чисел, удовлетворяющих уравнению х2 -\- у2 = z2.
Если задачу Диофанта сформулировать таким образом, то ста-
нет очевидной ее связь с теоремой Пифагора. По теореме Пифаго-
ра 1) из равенства З2 + 42 = 53 следует, что треугольник, стороны
которого находятся в отношении 3:4:5, является прямоуголь-
ным треугольником. Вообще, любая тройка положительных целых
х, у, z, удовлетворяющая уравнению х2 -\- у2 = z2, определяет
такое множество отношений х : у : z, что треугольник, стороны
которого находятся в этом отношении, является прямоугольным
треугольником. Это означает, что задачу Диофанта можно на
геометрическом языке выразить как задачу нахождения прямо-
угольных треугольников с соизмеримыми 2) длинами сторон, т. е.
треугольников, для которых отношения длин сторон выражаются
как отношения целых чисел. Ввиду такой геометрической интер-
претации любую тройку положительных целых чисел, удовлетво-
ряющую уравнению х2 -f- у2 = z2, называют пифагоровой тройкой.
Пифагорова тройка З2 + 42 = 52— самый простой и наиболее
известный пример. Другой пример: 52 + 122 = 132. Конечно,
здесь важпы только отношения, и тройка б, 8, 10, которая обра-
зует те же отношения, что и 3, 4, 5, также является пифагоровой
тройкой. Аналогично, 9, 12, 15 и 10, 24, 26 — пифагоровы трой-
*) Если теорема Пифагора сформулирована в своем обычном виде как
утверждение о том, что «в прямоугольном треугольнике квадрат, построенный
на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенпых на катетах», то здесь
требуется теорема, обратная к теореме Пифагора. Однако из более сильной
формы теоремы: «если а, Ь, с — стороны треугольника, то угол, противо-
лежащий стороне с, является острым, прямым или тупым в зависимости
от того больше, равно или меньше а3 + б2 чем с2», следует обратное утверж-
дение: «если а2 + б2 = с2, то данный треугольник является прямоугольным».
2) Концепция соизмеримости является центральной в греческой мате-
матике; рассмотрению этого понятия посвящена значительная часть «Начал»
Евклида. Одной из основных вдохновляющих идей греческой математики
было открытие Пифагора, согласно которому стороны равнобедренного
прямоугольного треугольника несоизмеримы, или, что то же самое, число у 2
иррационально.
1.3. Как находить пифагоровы тройка 17
ки, которые существенно не отличаются от приведенных выше.
Но тройка 7, 24, 25 отличается существенно. Задача Диофанта
состоит в нахождении пифагоровых троек. За несколько веков
до Диофанта (около 250 г. н. э.?) эту задачу рассмотрел Евклид
(около 300 г. до н. э.) в своих «Началах» (Книга X, лемма 1 между
предложениями 28 и 29). Однако, как показало одно из самых
удивительных открытий археологии двадцатого века, более чем
за тысячу лет до Евклида эту задачу изучали древние вавилоняне.
В археологической коллекции Колумбийского университета
хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно
1500 г. до н. э.; при изучении оказалось (см. Нейгебауэр [N1]),
что она содержит список пифагоровых троек. Одна из троек в этом
списке — 3, 4, 5, но среди других содержится также и 49G1,
6480, 8161. (Возможно, читателю будет интересно провести вычис-
ления и убедиться в том, что это действительно пифагорова трой-
ка.) Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список
был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и оши-
бок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом
решения задачи Диофанта. Мы не знаем ни того, что это был за
способ, ни того, какие причины побудили вавилонян изучать
пифагоровы тройки. По мнению Нейгебауэра, вполне вероятно,
что им был известен геометрический смысл пифагоровых троек —
другими словами, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу
лет до Пифагора,— и что они получали эти тройки каким-то
методом, подобным использованному в книгах Диофанта и, с мень-
шей строгостью, Евклида. Этот метод мы рассмотрим в следующем
параграфе.
Интересно, и, по-видимому, это не простое совпадение, что
этой задаче из предыстории математики суждено было привести
к одной из самых знаменитых математических задач нашего
времени.
1.3. Как находить пифагоровы тройки
Хотя идеи следующего решения задачи нахождения пифагоро-
вых троек, по существу, совпадают с идеями решения Диофанта 1),
наши обозначения, терминология и изложение современны. Конеч-
но, серьезному студенту стоит прочитать собственное изложение
Диофанта (имеется прекрасный английский перевод Хита [НИ),
по для того, чтобы восстановить обозначения и точку зрения Дио-
фанта, требуются некоторые усилия, и, поскольку в нашей книге
рассматривается более современная математика, мы не будем
') Довольно странно, что это решение появляется у Диофанта не как
Решение задачи «записать квадрат в виде суммы двух квадратов» из Книги II,
а как одно из решений задач, связанных с прямоугольными треугольниками.
См. стр. 93 издания Хита книги Диофанта [Hi].
Г. Эдварде
18 Гл. 1. Ферма
предпринимать попытку такой реконструкции. Рассуждение в
этом доказательстве является очень важным, и его основная идея
снова и снова встречается при изучении Последней теоремы
Ферма.
Метод приводимого ниже решения известен в классической гре-
ческой математике как аналитический метод *): предполагается,
что задано некоторое решение уравнения х2 -\- у2 = z2 (х, у, z —
положительные целые), и свойства данного решения анализи-
руются с тем, чтобы, найти такие характеристики этих решений,
которые позволили бы их строить.
Заметим прежде всего, что если d — некоторое число, на кото-
рое делятся все три числа х, у, z, то уравнение х2 -\- у2 = z%
можно сократить на <Р и целые x/d, y/d, z/d также составляют
пифагорову тройку. Если d — наибольший общий делитель чисел
х, у, z, то x/d, y/d, z/d не имеют общих делителей, отличных от 1,
и образуют так называемую примитивную пифагорову тройку,
т. е. пифагорову тройку, входящие в которую числа не имеют
общих делителей, отличных от 1. Таким способом — делением
на наибольший общий делитель — каждую пифагорову тройку
можно привести к примитивной. Обратно, если дана примитивная
пифагорова тройка, скажем а2 -\- Ь2 = с2, то любая пифагорова
тройка, которая приводится к ней, может быть получена путем
выбора соответствующего целого d и умножения на него: х = ad,
у = bd, z = cd. Следовательно, достаточно научиться находить
примитивные пифагоровы тройки и с самого начала можно пред-
положить, что данная-тройка х, у, z примитивная.
Из этого предположения следует, что никакие два из трех чисел
х, у, z не имеют общих делителей, больших 1. Например, если бы
d было делителем х и у, то из равенства z2 = х2 А у'1 следовало бы,
что d2 является делителем z2, а тем самым 2), что d делит z. Сле-
довательно, d делило бы все три числа и, согласно примитивности
тройки, равнялось бы 1. Аналогично, единственным общим дели-
телем х и z или у и z служит 1.
В частности, никакие два из трех чисел х, у, z не могут быть
четными (иметь общий делитель 2). Следовательно, по крайней
мере два из них нечетны. Но очевидно, что все три числа не могут
быть нечетными, так как тогда из х2 + у2 — z2 следовало бы, что
«нечетное + нечетное = нечетное», а это невозможно. Поэтому
в точности одно из них четно. Рассматривая сравнения но моду-
лю 4, легко видеть, что z не может быть четным. Действительно,
квадрат нечетного числа 2п + 1 на единицу больше некоторого
*) См. «Собрание» Паппа.
2) Доказательство этого факта см. в упр. 3. Кратко его идея такова:
квадрат несократимой дроби сам является несократимой дробью, следова-
тельно, (z/dJ может быть целым числом только тогда, когда z/d — целое.
1.3. Как находить пифагоровы тройки
числа, кратного 4, а именно, он равен 4и2 + 4ге + 1. Квадрат
четного числа кратен 4: он равен in2. Таким образом, если бы х
ц у были нечетными, a z четным, то равенство х2 + у2 = z2 дава-
ло бы нам число, кратное 4 и одновременно равное сумме двух
чисел, каждое из которых на единицу больше, чем некоторое
число, кратное 4, что, очевидно, невозможно. Следовательно,
z нечетно, а х и у имеют противоположную четность: одно из них
нечетно, а другое — четно. В случае необходимости меняя места-
ми х и у, мы можем считать, что в данной примитивной пифагоро-
вой тройке х четно, тогда как у и z нечетны.
Теперь перепишем уравнение х2 + у2 = z2 в виде х2 = z2 — у2
и, разложив правую часть на множители, получим х2 =
= (z + у) (z — у). Поскольку все числа х, z -\- у т& z — у четны,
существуют такие положительные целые w, v, w, что х = 2u,
z + у = 2i>, z — у = 2w. Тогда BиJ = Bv) Bw), или и2 = vw.
Кроме того, наибольший общий делитель v и w равен 1, так как
любое число, делящее как v, так и w, делило бы также и v + w =
= 4 (z + У) + т (z - ») = у Bz) = z и у-и>=-§-<* + »)-
s- (z — у) = у и потому могло бы равняться только 1. Другими
словами, v и w взаимно просты.
Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем.
Произведение двух взаимно простых чисел vuw может быть квадра-
том vw = и2 только тогда, когда vuw сами являются квадратами.
Это утверждение становится очевидным, если мы рассмотрим
разложение чисел v и w на простые множители. Действительно,
поскольку v и w взаимно просты, то ни одно простое не входит
одновременно в разложения vuw. Поэтому разложение числа vw
на простые Множители распадается на эти два разложения; если
vw является квадратом, то все простые должны входить в разло-
жение vw в четных степенях, но тогда они должны входить уже
в разложения v и w в четных степенях. Следовательно, vuw —
квадраты. Полное доказательство этого утверждения будет при-
ведено в следующем параграфе.
Итак, существуют такие положительные целые р и q, что-
v = p2: w = q2. Кроме того, р и q взаимно просты, поскольку
таковы v и w. Тогда
z = v + w = р2 + q2,
у = v — w = р2 — q2.
Это показывает, что р больше q (у положительно) и что р и q
Должны иметь противоположную четность (поскольку z и у нечет-
ны). Далее, х легко выразить через р и q:
xz=z2 — yz = plk-
x =a 2pq.
20 Гл. 1. Ферма
Таким образом, если дапа произвольная примитивная пифагорова
тройка, то найдутся такие взаимно простые положительные целые
р я q, что р > q, p и q имеют противоположную четность и данная
тройка состоит из чисел 2pq, р2 — q2 и р2 + q2-
Это завершает анализ, поскольку легко доказать, что если
дана произвольная пара р и q, такая, что A) р и q взаимно просты,
B) р > q и C) р и q имеют противоположную четность, то числа
2pq, р2 — q2, р2 + q2 образуют примитивную пифагорову тройку.
Для этого достаточно заметить, что
BpqJ + (р2 - q2J - (р2 + q2f
является алгебраическим тождеством, справедливым для всех р
и q, и что из условий, наложенных на р и q, следует, что 2pq
и р2 — q2 взаимно просты (и, значит, соответствующая тройка
примитивна). Действительно, если бы эти числа имели общий
делитель, больший 1, то они имели бы и простой общий делитель,
скажем Р. Поскольку р2 — q2 нечетно, Р не равно 2; поэтому на Р
должно делиться р или q (так как на него_делится 2pq), но не оба
эти числа одновременно (так как р и q взаимно просты). Но это
невозможно, поскольку это противоречило бы предположению
о том, что Р делит р2 — q2.
Это полностью решает задачу построения пифагоровых троек.
Все пифагоровы тройки, соответствующие парам р и q с р ^ 8,
приведены в табл. 1.1. Заметим, что в эту таблицу входят стандарт-
Таблица 1.1. Пифагоровы тройки
р
2
3
4
4
5
5
6
6
7
7
7
8
8
8
8
Я
1
2
1
3
2
4
1
5
2
4
6
1
3
5
7
X
4
12
8
24
20
40
12
60
28
56
84
16
48
80
112
У
3
5
15
7
21
9
35
11
45
33
13
63
55
39
15
z
5
13
17
25
29
41
37
61
53
65
85
65
73
89
113
1.4. Метод бесконечного спуска 21
ные примеры 3, 4, 5; 5, 12, 13 и 7, 24, 25. Заметим также, что
легко продолжить эту таблицу на большие значения р, включая
только те значения q, которые меньше р, взаимно просты с р
и имеют противоположную четность.
Упражнения
1. Найдите значения р и q, которые соответствуют пифагоровой тропке
из вавилонской таблички, приведенной в § 1.2.
2. Продолжите таблицу 1.1 до р = 12.
3. В следующем параграфе будет доказано, что если vw — и2 и v, ш
взаимно просты, то v и w являются квадратами. Используйте это для дока-
зательства того, что если d2 делит z2, то d делит z. [Пусть d = cD, z — cZ,
где с — наибольший общий делитель d п z. Тогда Z1 -- kD1, где bifl! взаимно
просты.]
1.4. Метод бесконечного спуска
Метод бесконечного спуска изобрел Ферма, и этим изобретени-
ем он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном неза-
долго до смерти, он подвел итог своим открытиям в теории чисел
и с полной определенностью заявил, что во всех своих доказа-
тельствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот .метод
состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невоз-
можны для целых чисел, если исходя из предположения о том,
что они выполняются для каких-либо чисел, удается доказать,
что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действитель-
но, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить,
что они выполняются для еще меньших чисел, и т. д. — ad infini-
tum,— что невозможно, поскольку последовательность положи-
тельных целых чисел не может бесконечно убывать.
Например, рассмотрим предложение, которое мы использовали
в предыдущем параграфе, а именно: если v и w взаимно просты
и vw является квадратом, то и сами v и w должны быть квадрата-
ми. Как подчеркивал сам Ферма, метод бесконечного снуска — это
метод доказательства невозможности. В рассматриваемом случае
мы должны доказать, что невозможно найти такие числа v и w,
что A) » и ш взаимно просты, B) vw — квадрат и C) v или w не
является квадратом.
Предположим, что можно найти такие у и и;. В случае необхо-
димости меняя местами v и w, мы можем предположить, что v
не является квадратом. В частности, v Ф\. Следовательно, v
делится но крайней мере на одно простое число. Пусть Р — какое-
либо простое число, на которое делится v, скажем v = Pk. Тогда
на Р делится также число vw, которое является квадратом: vw =
= и2. Согласно основному свойству простых чисел (см. приложе-
ние, § АЛ), если Р делит и-и, то Р должно делить и или и, т. е. Р
22 Гл. 1. Ферма
должно делить и: и = Рт. Тогда равенство vw = и2 можно пере-
писать в виде Pkw = (РтJ = Р2т2; отсюда следует, что kw =
= Рт2. Так как Р делит правую часть этого равенства, оно долж-
но делить и левую. Следовательно, согласно основному свойству
простых чисел, Р должно делить либо к, либо w. Но Р не делит w,
поскольку оно делит v, a v и w взаимно просты. Поэтому Р де-
лит к, скажем к = Pv'. Тогда равенство kw = Рт2 превращается
в Pv'w = Рт2; таким образом, v'w = т2. Так как v = Рк =
= P2v', то любой делитель числа v' является делителем v, а следо-
вательно, v' и w не могут иметь общих делителей, больших 1.
Кроме того, если бы v' было квадратом, то число v = P2v' также
было бы квадратом, что не имеет места; поэтому v не является
квадратом. Таким образом, числа v', w обладают приведенными
выше свойствами A), B), C) и v' < v. Тогда то же самое рассужде-
ние показывает, что существует другое положительное целое
Vя < v', такое, что v", w обладают всеми этими тремя свойствами.
Бесконечное повторение этих рассуждений привело бы нас к бес-
конечно убывающей последовательности положительных целых
чисел v > v' > v" > v"' > . . . . Но такой последовательности
не существует (само число v дает верхнюю границу числа шагов,
в течение которых оно может быть уменьшено), поэтому никакие
два числа у и и; не могут обладать тремя указанными свойствами.
Это доказывает данное предложение.
Подводя итоги, можно сказать, что метод бесконечного спуска
основывается па следующем принципе. Если из предположения,
согласно которому данное положительное целое обладает данным
множеством свойств, следует, что - существует меньшее положи-
тельное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положи-
тельное целое не может обладать этим множеством свойств.
1.5. Случай п = 4 Последней теоремы
Для доказательства Последней теоремы Ферма при п = 4
достаточно, руководствуясь интуицией, сочетать методы двух
предыдущих параграфов: метод бесконечного спуска и метод
построения пифагоровых троек.
Предположим, что дано решение х, у, z уравнения х* -1- yi =
= z4. Как и в случае пифагоровых троек, можно с самого начала
считать, что х, у, z не имеют общих делителей, больших 1, и даже
что никакие два из них не имеют общих делителей, больших 1.
Действительно, в противном случае из равенства a:4 -f- i/4 = z4
следовало бы, что и третье из чисел имеет тот же самый делитель
и уравнение можно сократить на четвертую степень этого делителя.
Следовательно, числа х1, у2, z2 образуют примитивную пифагорову
тройку и, в случае необходимости меняя местами х и у, можно
1.5. Случай п = 4 Последней теоремы 23
написать
X2 = 2pq, У2 = р2- q\ Z2 = p2 + q\
где р и q — взаимно простые числа противоположной четности
я р > Q > 0. Второе из этих уравнений можно записать в виде
у- -\- q2 = р2 и, поскольку р и q взаимно просты, у, q, p —
примитивная пифагорова тройка. Таким образом, р нечетно,
и так как р и q имеют противоположную четность, то q четно.
Следовательно,
q = 2ab, у = а2 - b2, р = а2 + Ь2,
где а, Ь — взаимно простые числа противоположной четности
и а > Ь > 0. Таким образом,
a* = 2pq = Aab (a2 + Ь2).
Это показывает, что аЪ (а2 + Ъ2) является квадратом, а именно
квадратом половины четного числа х. Но аЬ и a2 -j- Ъ2 взаимно
просты, поскольку любое простое Р, делящее ab, делит а или Ь
(по основному свойству простых чисел), но не оба этих числа одно-
временно (так как а и Ъ вааимно просты), и поэтому не может
делить а2 + Ь2. Следовательно, как аЬ, так и а2 + Ь2 должны
быть квадратами. Однако аЪ является квадратом, а целые а и Ь
взаимно просты, поэтому как а, так и Ъ должны быть квадратами,
скажем а = X2, Ь = Y2. Следовательно, X* + У4 = а2 + Ь2
является квадратом. Теперь для того, чтобы привести в движение
бесконечный спуск, достаточно заметить, что из исходного пред-
положения а:4 -\~ у* = z4 мы использовали лишь то, что z4 являет-
ся квадратом, а не четвертой степенью. Другими словами, если х
и у — такие положительные целые, что а:4 + i/4 — квадрат, то
приведенная выше последовательность шагов дает новую пару
положительных целых X, Y, такую, что Х4-г Y4 является квадра-
том. Кроме того, X4 + У4 = а2 + Ь2 = р < р2 + q2 = z2 < z4 =
= х* + J/4. Тем самым мы указали бесконечную убывающую после-
довательность положительных целых чисел, существование кото-
рой невозможно. Следовательно, сумма двух четвертых степеней
не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвертой степени.
Это доказывает Последнюю теорему Ферма для четвертых степе-
ней.
Отсюда, очевидно, следует, что при произвольном положитель-
ном целом т уравнение хш -\- yim = z4m неразрешимо. Действи-
тельно, в противном случае тройка X = хт, Y = ут, Z = zm
была бы решением уравнения X4 + У4 = Z4. Таким образом,
Последняя теорема Ферма справедлива для всех показателей п,
которые делятся на 4. Показатель п > 2, который не делится на 4,
не является степенью двойки и, следовательно, должен делиться
на некоторое простое число р Ф 2; например, п = рт. По той же
24 Гл. 1. Ферма
причине, что и выше, для доказательства неразрешимости уравне-
ния хп -\- уп =zn, очевидно, достаточно доказать, что неразреши-
мо уравнение хр + ур = zp. Таким образом, поскольку Последняя
теорема Ферма доказана в случае п — 4, доказательство общего
случая сводится к доказательству для простых п > 2. По этой
причине в оставшейся части книги будут рассматриваться только
те случаи Последней теоремы Ферма, в которых п — простое
число, п ф 2.
1.6. Одно доказательство Ферма
По-видимому, во всех дошедших до лас работах Ферма по
теории чисел можно найти только одно доказательство. Это
доказательство частного утверждения, которое Ферма неоднократ-
но х) формулировал в своей переписке, но которое, как это харак-
терно для Ферма, он не доказывал, оставляя эту задачу своим
корреспондентам. Это доказательство, как и формулировка Послед-
ней теоремы, было обнаружено его сыном Самюэлем на полях все
той же книги Диофанта; оно было включено в посмертно опубли-
кованные работы как Замечание 45 к Диофанту.
В своих письмах Ферма часто повторяет, что у пего нет жела-
ния скрывать свои работы, что, по его мнению, прогресс науки
зависит от совместных усилий многих ученых и что он был бы
счастлив открыть свои методы любому, кто пожелает. Однако
факты красноречивее слов. То, что ни одно из многочисленных
дошедших до пас писем Ферма не дает сколько-нибудь верного
представления об используемых им методах, конечно, свидетель-
ствует о том, что,'сознательно или бессознательно, Ферма, как и все
его современники, ревниво оберегал от соперников секреты своего
ремесла.
В предложении, которое доказывает Ферма, утверждается, что
площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом;
здесь, конечно, имеется в виду, что площадь рационального прямо-
угольного треугольника не может равняться рациональному квад-
рату. Используя арифметическую операцию умножения всех
длин на их наименьший общий знаменатель, или, что то же самое,
геометрическую операцию выбора новой единицы длины, в кото-
рой стороны треугольника и квадрата задаются целыми числами
(возвращаясь к греческой идее соизмеримости), можно переформу-
лировать это предложение так: не существует такой пифагоровой
тройки х2 -\- у2 -- z2, что -^ ху является квадратом. (Заметим,
что х \\ у одновременно не могут быть нечетными, и поэтому — ху
1) См. Диксон [1J], т. 2, стр. 616.
1,6. Одно доказательство Ферма 25
обязательно будет целым числом.) Именно в этом виде Ферма
доказывает данное предложение.
Как характерно для задач, которыми занимался Ферма, эта
задача не возникает из ничего, а основывается на предшествующей
литературе. В Книге VI «Арифметики» Диофанта есть несколько
задач, где требуется найти пифагоровы треугольники, площади,
которых удовлетворяют различным условиям, например отличают-
ся от квадратов на данное положительное или отрицательное чис-
ло. Однако Диофант, как всегда, удовлетворяется тем, что дает
решение частных случаев своих задач, но не изучает условия,
при которых данная задача имеет или не имеет решения. Ферма
пользовался изданием книги Диофанта в переводе Баше A581 —
1638), который не только перевел Диофанта с греческого на ла-
тынь, но и добавил к основному тексту многочисленные коммента-
рии и дополнения. В своем дополнении к Книге VI Баше приводит
необходимое и достаточное условие для того, чтобы число А было
площадью пифагорова треугольника. Это условие состоит в су-
ществовании такого числа К, что BАJ + К* является квадра-
том *). Таким образом, когда Ферма спрашивал, может ли треуголь-
ник иметь площадь, равную квадрату, он продолжал линию иссле-
дований, явно начатую Баше, который в свою очередь был вдох-
новлен на это Диофантом.
Приведенное Ферма доказательство этого предложения основа-
но на более тонких соображениях, чем доказательство Последней
теоремы для п --- 4 из предыдущего параграфа. Оно звучит сле-
дующим образом.
«Если бы площадь прямоугольного треугольника была квадратом, то суще-
ствовали бы два биквадрата, разность которых была бы квадратом. Следова-
тельно, существовали бы два квадрата, сумма и разность которых были бы
квадратами. Поэтому мы получили бы квадрат, равный сумме некоторого
квадрата и удвоенного другого квадрата, тогда как квадраты, из которых
составлена эта сумма, сами давали бы в сумме квадрат. Но если квадраг
составлен из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона, как
я могу очень легко доказать, также составлена из квадрата и удвоенного
другого квадрата. Отсюда мы заключаем, что указанная сторона является-
суммой сторон, прилежащих к прямому углу в прямоугольном треугольнике,
и что простой квадрат, содержащийся в этой сумме, является основанием,
а удвоенный квадрат — перпендикуляром.
Таким образом, зтот прямоугольный треугольник образовап из двух
квадратов, сумма и разность которых также квадраты. Но можпо доказать,
что оба эти квадрата меньше, чем те квадраты, о которых мы первоначально
предположили, что их сумма и разность являются квадратами. Следовательно,
если существуют два таких квадрата, что их сумма и разность являются квад-
ратами, то существуют также и два других целых квадрата с тем же свойством,
но с меньшей суммой. Используя то же самое рассуждение, мы находим еще
меньшую сумму, и так можно продолжать до бесконечности, находя все
меньшие и меньшие квадраты целых чисел, обладающие тем же свойством.
Это, однако, невозможно, поскольку не существует бесконечной лоследова-
') См, Диксон [D2], т. 2, начало гл. XXII.
26 Гл. 1. Ферма
тельности чисел, меньших любого данного целого. Поля эти слишком узки
для того, чтобы я мог дать доказательство полностью и со всеми деталями.»
(Перевод на английский с латинского оригинала см. у Хита [HI], стр. 293.)
Это доказательство, как вы обнаружите, если проследите его
шаг за шагом, совершенно неясно в двух важных моментах.
В первом предложении разобраться достаточно легко. Самая
общая пифагорова тройка имеет вид х = Bpq) d, у = (р2 — q2) d,
z = (р2 + q2) d (р и Я — взаимно простые положительные целые
числа противоположной четности с р > q, d — положительное
целое), и задача состоит в том, чтобы представить -=- ху =
= РЯ (Р2 — Я2) d2 в виде квадрата. Это возможно тогда и только
тогда, когда pq (р2 — q2) является квадратом. (Если Ad2 является
квадратом, то А должно быть квадратом; см. упр. 1.) Поскольку р
и q взаимно просты, каждое из них должно быть взаимно просто
-с р2 — q2. Следовательно, pq (р2 — q2) может быть квадратом
только тогда, когда все числа р, q и р2 — q2 являются квадратами.
Другими словами, треугольник, площадь которого является квад-
ратом, приводит к паре таких взаимно простых чисел р и q про-
тивоположной четности, что р, q и р2 — q2 являются квадратами.
Поскольку р vl q — квадраты, р2 — q2 является разностью четвер-
тых степеней (биквадратов); это те самые «два биквадрата» Ферма,
¦«разность которых равна квадрату». Кроме того, р2 — q2 =
= (Р — Я) (Р + Я) — разложение числа р2 — ф на два взаимно
простых множителя. Действительно, любой общий делитель чисел
р — q и р -~ Я Должен также делить (р — q) -f (p -|- q) — 2р
и (р + q) — (р — q) — 2q. Поскольку р и q взаимно просты, этот
общий делитель может быть равен только числам 2 или 1. Однако
р и q имеют противоположную четность, следовательно, р — q
и р -\~ q нечетны и у них нет общего делителя, отличного от 1.
Поэтому из предположения о том, что рг — ф является квадра-
том, следует, что р — q и р ~\- q также являются квадратами. Это
ч<два квадрата» Ферма, «сумма и разность которых являются
квадратами». Третье предложение Ферма относится к равенствам
(Р — Я) -г 2q = р + q, (p — q) + q = р, в которых числа р, q,
р — q и р 4- q — квадраты.
В следующих двух предложениях разобраться уже трудно.
Пусть р + q -- г2, р — q —¦ s2. В первом из этих двух предложе-
ний утверждается, что г можно представить в виде г = и -\- v,
где одно из чисел и, v является квадратом, а второе — удвоенным
квадратом. Во втором предложении говорится, что и и v являются
сторонами прямоугольного треугольника, т. е. что и2 + v1 —
квадрат. О доказательстве первого утверждения 2) Ферма говорит
i) Приведенное Ферма утверждение неточно, поскольку 152 = 52 -}-
+ 2-Ю2, но 15 не равпо квадрату плюс удвоенный квадрат. Однако в рас-
сматриваемом случае его заключение справедливо, так как г2 = (р — q) -}- 2g,
где р — q и q — взаимно простые квадраты.
1.6. Одно доказательство Ферма 27
лищь то, что он может «легко» его доказать; но даже если это
и так, то не видно никакого пути для того, чтобы из первого ут-
верждения «вывести» справедливость второго. Поэтому интерпре-
тация этих предложений может быть лишь предположительной.
Следующая интерпретация (по существу, принадлежащая Диксо-
ну [D2], т. 2 , стр. 615—616) может совпадать или не совпадать
с той, которую имел в виду Ферма. В любом случае она очень лег-
ко доказывает оба утверждения.
Так как р и q имеют противоположную четность, то числа
р — q = s2, р + q = г2 нечетны; следовательно, нечетны и г, s.
Кроме того, г и s взаимно просты, поскольку, как показано выше,
взаимно просты р — q и р + 9- Определим положительные целые
числа и и v равенствами
г—s _ r-{-s
Тогда и и v взаимно просты; действительно, любой их общий дели-
тель был бы общим делителем их суммы и разности г — и -f v,
s = v — и, Horns взаимно просты. Кроме того,
7», r2-s2 _ (р+о)—(р—ч) я
uv—т
Поскольку q является квадратом, -^ q может быть целым числом
только тогда, когда оно будет четным целым. Следовательно,
1 1
у uv = -г q — целое, и это число является квадратом как отно-
шение двух квадратов. Тогда либо и, либо v должно быть четным
(поскольку yuv — целое), но не оба одновременно (так как они
взаимно просты). Но половина четного из этих чисел взаимно
проста с нечетным, а их произведение у uv является квадратом;
поэтому сами множители должны быть квадратами, и, следова-
тельно, четное из этих чисел является удвоенным квадратом,
а нечетное — квадратом. Таким образом, равенство г = и + v
дает, как и требовалось, представление г в виде суммы квадрата
и удвоенного квадрата. Кроме того,
,,2_L7,2_ г»-2г»+«> ¦ r*+2rs+k* _r*-{.s* _ (p+g) + (p-g) __ n
и , v — 4 -t- 4 — 2 — 2 — p.
Таким образом, и2 + v2 является квадратом, и оба утверждения
Ферма доказаны.
За оставшейся частью доказательства проследить легко. Пифа-
горова тройка со «сторонами» и, v примитивна, поскольку и, v
взаимно просты; следовательно, она имеет вид 2PQ, Р'г — Q2,
рг _|_ qi^ Где р и Q — взаимно простые числа противоположной
28 Гл. 1. Ферма
четности и Р > Q. Так как — uv = PQ (Р2 — Q2) является квадра-
том, то, как и раньше, отсюда следует, что все числа Р, Q, Р — Q
и Р + Q должны быть квадратами. Но
и этот процесс можно повторить и найти еще два квадрата Р\ Q'т
таких, что Р' — Q' и Р' -\- Q' также являются квадратами
и Р' -г Q' < Р -г Q. Этот процесс может быть продолжен беско-
нечно; он даст бесконечно убывающую последовательность р +
+ q > Р + Q > Р' + Q' > . . . . Поскольку такой бесконечный
спуск невозможен, то пифагоров треугольник не может иметь
площадь, равную квадрату.
Интересно, что это единственное дошедшее до нас доказатель-
ство Ферма доказывает также Последнюю теорему при п = 4.
Действительно, оно показывает, что z4 — x* не может быть даже
квадратом, не говоря уже о четвертой степени (см. упр. 2). Однако
неразрешимость уравнения .г4 -\- у* — z4 можно доказать значи-
тельно проще методом предыдущего параграфа, и есть все основа-
ния полагать, что Ферма знал это более простое доказательство.
Упражнения
1. Докажите, что если Ad2 — квадрат, то и А — квадрат.
3. Докажите, что уравнение х4 — у* — z2 неразрешимо в непулевых
целых числах.
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы
Одной из первых задач в теории чисел, которую изучал Ферма,
была задача представления чисел в виде сумм двух квадратов.
Эта задача привела его ко многим другим важным вопросам. Как
это часто случалось, интерес Ферма к этому предмету возник при
чтении «Арифметики» Диофанта.
В книге Диофанта есть по крайней мере три места, связанные'
с представлениями в виде суммы двух квадратов; они показывают,
что Диофаит, бесспорно, хорошо знал этот предмет. В одном
месте (III, 19) он замечает, что число 65 можно двумя способами
записать в виде суммы двух квадратов: 65 — I2 + 82 -— 42 -)- 72,
и объясняет это тем, что «65 является произведением чисел 13 и 5,
каждое из которых равно сумме двух квадратов». В другом месте
(«необходимое условие» из V, 9) он фактически формулирует
необходимое условие представимости данного числа в виде суммы
двух квадратов; однако, как утверждает его переводчик и изда-
тель Хит, «к несчастью, текст дополнительного условия неясен».
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 29
Наконец, в третьем месте (VI, 14) Диофант по ходу дела замечает,
что число 15 не является суммой двух (рациональных) квадратов.
Основную роль в изучении чисел, которые являются суммами
двух квадратов, играет формула
(а2 + Ь2) (с2 + d2) = {ас — bdf + {ad + bcf. A)
Она показывает, что если два числа представимы в виде суммы
двух квадратов, то их произведение также будет суммой двух
квадратов. Формула A) является простым следствием коммута-
тивного, ассоциативного и дистрибутивного законов, согласно
которым обе ее части равны а2с2 + яd2 + b2c2 + b2d2. Если двумя
различными способами применить ее к 5 = 22 -j- 12 и 13 -— 32+22,
то (как и утверждал Диофант) число 65 — 5-13 можно будет двумя
способами представить в виде суммы двух квадратов, а именно:
65 = 5-13 = B2 + I2) (З2 + 22) --= B-3 - 1-2J -f B-2+1-3J =
= 42 + 72 и 65 = 5-13 = B2 + I2) B2 + З2) = B-2 - 1-3J +
-j- B-3 + 1-2J — 1а -)- 82. В тринадцатом веке эта формула была
известна Леонардо из Пизы (Фибоначчи); неявно она присутствует
в алгебре древней Индии (см. далее § 1.9), и, конечно, в том или
ином виде Диофант знал ее.
Ферма не был первым ученым, который попытался сделать яс-
ными те места в книге Диофанта, где говорится о суммах двух
квадратов. Такую же попытку, увенчавшуюся частичным успехом,
предпринял Баше в своих комментариях к Диофанту. Другим
комментатором был Франсуа Виет A540—1603) — один из отцов-
основателей современной алгебры. Третьим был Альбер Жирар
A595—1632), которому удалось дать необходимые и достаточные
условия представимости данного числа в виде суммы двух квадра-
тов за несколько лет до самых ранних известных нам записей
Ферма по этому вопросу (см. Хит [HI], стр. 106). Жирар, очевид-
но, считал квадратом О2 = 0, и его условия состоят в том, что
данное число можно представить в виде суммы двух квадратов
тогда и только тогда, когда оно является A) квадратом, или B)
простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4,
пли C) числом 2, или D) любым произведением таких чисел.
Справедливость этих условий подтверждается таблицей 1.2, в ко-
торой приведены все числа, меньшие 250, которые можно предста-
вить в виде суммы двух квадратов. Неясно, опирался ли Жирар
только на подобные эмпирические данные или действительно знал
доказательство. Кажется, Жирар и не претендовал на то, что
может доказать необходимость и достаточность своих условий.
Ферма же, с другой стороны, утверждал, что он может дока-
зать необходимость и достаточность условий Жирара *). Более
*) Нет оснований считать, что Ферма знал о работе Жирара. Он сформу-
лировал эти условия независимо и несколько иным способом.
30 Гл. 1. Ферма
Таблица 1.2. Все числа, меньшие 256, которые являются суммами двух
квадратов. Простые числа выделены жирным шрифтом
14 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226
8 13 20 29 40 53 68 85 104 125 148 173 200 229
18 25 34 45 58 73 90 109 130 153 178 205 234
32 41 52 65 80 97 116 137 160 185 212 241
50 61 74 89 106 125 146 169 194 221 250
72 85 100 117 136 157 180 205 232
98 113 130 149 170 193 .218 245
128 145 164 185 208 233
162 181 202 225 250
200 221 244
242
трудная часть этой теоремы — доказательство достаточности.
Поскольку а2, очевидно, представляется в виде а2 + О2, поскольку
2 = I2 + I2 и поскольку формула A) показывает, что произведе-
ния сумм двух квадратов сами являются суммами двух квадратов,
доказательство достаточности сводится к доказательству того,
что каждое простое число вида An + 1 можно записать как сумму
двух квадратов. Ферма неоднократно приводил формулировку
этой теоремы и с полной определенностью утверждал, что может
строго доказать ее, хотя, как обычно, неизвестно ни одной записи
его доказательства. Ферма также пошел дальше Жирара, утвер-
ждая, что он может доказать единственность представления такого
простого числа в виде суммы двух квадратов и что у него есть
общий метод нахождения такого представления, не прибегающий
к перебору. Доказательства этих теорем (возможно, те самые,
которые имел в виду Ферма, а быть может, другие) приведены
в § 2.4 и 2.6.
Необходимость условий Жирара можно переформулировать
как утверждение о том, что если частное от деления числа на
наибольший содержащийся в нем квадрат делится на простое число-
вида kn + 3, то данное число нельзя представить в виде суммы
двух квадратов. Это также одна из теорем Ферма. Она значительно
проще, чем вторая часть теоремы о представлении чисел в виде
суммы двух квадратов, но ни в коем случае не тривиальна. (Дока-
зательство этой теоремы см. в упр. 2 к § 1.8.)
Другой задачей, которую детально рассмотрел Ферма, была
задача о нахождении числа представлений данного числа в виде
суммы двух квадратов. Эта задача не имеет отношения к теме
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 31"
нашей книги, и мы не будем рассматривать ее здесь, однако суть-
ее решения изложена в § 2.5.
Ферма обнаружил, что представления чисел в виде х2 -J- 2у2
или х2 + Зу2 управляются теми же законами, что и представления
в виде сумм двух квадратов. Представления в виде х2 + 2у2 не
понадобятся при изучении Последней теоремы Ферма, и мы огра-
ничимся здесь лишь кратким обзором относящихся к ним фактов.
В табл. 1.3 приведены все числа, меньшие 256, которые можно»
представить в виде х2 -Ь 2у2.
Таблица 1.3. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде-
х2 + 2/у2. Простые числа выделены жирным шрифтом
О 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
2 3 6 И 18 27 38 51 66 83 102 123 146 171 198 227
8 9 12 17 24 33 44 57 72 89 108 129 152 177 204 233
18 19 22 27 34 43 54 67 82 99 118 139 162 187 214 243
32 33 36 41 48 57 68 81 96 ИЗ 132 153 176 201 228
50 51 54 59 66 75 86 99 114 131 150 171 194 219 246
72 73 76 81 88 97 108 121 136 153 172 193 216 241
98 99 102 107 114 123 134 147 162 179 198 219 242
128 129 132 137 144 153 164 177 192 209 228 249
162 163 166 171 178 187 198 211 226 243
200 201 204 209 216 225 236 249
242 243 246 251
Изучение этой таблицы показывает, что, как и в предыдущем;
случае, входящие в эту таблицу числа можно описать как A)
квадраты, или B) простые, которые входят в таблицу, или C)
любое произведение таких чисел. Следовательно, процедура, кото-
рая позволяет записать данное число в виде х2 + 2у2, должна
состоять в том, чтобы записать его в виде квадрата, умноженного
на произведение первых степеней простых чисел, и выяснить,
представимы ли входящие в это произведение простые в вид©
х2 -f 2y2. Если они представимы в таком виде, то аналог форму-
лы A), а именно
(а2 + 2Ъ2) (с2 + 2d2) = {ас — 2bdJ + 2 (ad + beJ
(обе части равны а2с2 + 2b2c2 + 2a2d2 + Ab2d*), показывает, как
записать исходное число в таком виде. Если хотя бы одно из них
не представимо в виде х2 + 2у2, то по аналогии со случаем х2 + уг
и как подсказывает таблица следует ожидать, что и само исходное
число не представимо в виде х2 + 2у2. Для полной аналогии со
случаем х2 -f- у2 необходимо доказать эту теорему (если число,
деленное на наибольший содержащийся в нем квадрат, имеет
простой множитель, который не записывается в виде х2 + 2у2г
32 Гл. 1. Ферма
то и само число не записывается в таком виде) и охарактеризовать
все простые, которые представимы в виде х2 + 2у2. Ферма утвер-
ждал (и явно нретендовал на то, что у него есть строгое доказа-
тельство), что нечетное простое можно представить в виде х2 +
+ 2у2 тогда и только тогда, когда оно имеет вид 8п + 1 или
&п + 3. Доказательство того, что простые числа, не имеющие
вида 8п + 1 или 8п 4- 3, не представимы в виде х2 4- 2уг,—
более легкая часть этой теоремы (см. упр. 3); обратное утвержде-
ние труднее (см. упр. 6 и 7 к § 2.4).
В отличие от представлений в виде х2 4- 2у2 представления
в вкдо х2 4- Зу2 играют важную роль в изучении Последней теоре-
мы, особенно в доказательстве Эйлера случая п = 3, поэтому
аналогичные теоремы о таких представлениях будут подробно
доказаны в следующей главе. В табл. 1.4 приведены все числа
Таблица 1.4. Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде
ж2 + Зу2. Простые числа выделены жирным шрифтом
О 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
3 4 7 12 19 28 39 52 67 84 103 124 147 172 199 228
12 13 16 21 2S 37 48 61 76 93 112 133 156 181 208 237
27 28 31 36 43 52 63 76 91 108 127 148 171 196 223 252
48 49 52 57 64 73 84 97 112 129 148 169 192 217 244
75 76 79 84 91 100 111 124 139 156 175 196 219 244
108 109 112 117 124 133 144 157 172 189 208 229 252
147 148 151 156 163 172 183 196 211 228 247
192 193 196 201 20S 217 228 241
вида х2 4- Зуг, меньшие 256. Изучение этой таблицы показывает,
что опять данное число можно представить в виде х1 4- Зу2 тогда
и только тогда, когда оно является A) квадратом, или B) простым
числом такого вида, или C) произведением таких чисел. Далее,
легко заметить, что все входящие в таблицу простые числа, кроме
числа 3 = О2 + 3-12, которое явно является здесь исключитель-
ным, отличаются одно от другого на кратные 6, а на самом деле
каждое .из них на единицу больше, чем некоторое кратное 6.
Поскольку все простые вида &п 4- 1 рано или поздно окажутся
в этой таблице (но не вообще все числа такого вида, так как отсут-
ствует 55), то естественно догадаться, что любое простое, отличное
от 3, можно представить в виде х2 4- Зу2 тогда и только тогда,
когда оно имеет вид <6п 4- 1. Снова легко (см. упр. 2) доказать
часть «только тогда» этой теоремы. Имеется аналог формулы A),
а именно
(а2 + ЗЪ2) (с2 + 3d2) = {ас — ЗЪйJ + 3 (ad + beJ,
который делает очевидной часть «тогда» первой из приведенных
теорем. Далее, каждое простое, отличное от 3, можно представить
1.7. Суммы двух квадратов и родственные вопросы 33
в виде Зп + 1 или Зп + 2, и простые числа вида Зп + 1 должны
иметь вид &п + 1. Действительно, если п нечетно, то Зп + 1
четно и, следовательно, не может быть простым.
Эти наблюдения сводят две приведенные выше теоремы к сле-
дующим утверждениям: если число, разделенное на наибольший
содержащийся в нем квадрат, имеет простой делитель вида Зп + 2,
то его нельзя представить в виде х2 + Зу2; каждое простое число
вида Зп + 1 можно записать в виде х2 + Зу2. Эти теоремы доказы-
ваются в следующей главе.
Однако уже рассмотрение следующего случая показывает, что
эти свойства представлений чисел в виде х1 + у2, х2 + 2у2,
х2 + Зу2 являются чем-то исключительным. Выражение х2 + Ау2
является суммой двух квадратов, поэтому следующим случаем
будет не х2 + Ау2, а х2 + Ьу2. В табл. 1.5 приведены все числа,
Таблица 1.5. Все числа, меньшие 100, которые можно записать
в виде хг-\-Ъуг. Простые числа выделены жирным шрифтом
0
5
20
45
80
1
6
21
46
81
4
9
24
49
84
9
14
29
54
89
16
21
36
61
96
25
30
45
70
36
41
56
81
49
54
69
94
64
69
84
81
86
меньшие 100, которые представимы в виде х2 -\- by2. Заметим, что
21 встречается дважды (как I2 + 5-22 и 42 + 5-12), а его простые
делители 3 и 7 не входят вообще. Это показывает, что в данном
случае утверждения, подобные приведенным выше, не имеют
места. Ферма высказал очень глубокую гипотезу о числах вида
я2 + Ьу2, которая свидетельствует о том, что он изучил эту задачу
и осознал ее коренное отличие от предыдущих. Гипотеза Ферма
состоит в том, что если два простых числа Рх и р2 °ба имеют вид
4п т 3, а их последняя цифра есть либо 3, либо 7, то р±р2 пред-
ставимо в виде х2 + 5гД (Простые 3, 7, 23, 43, 47, 67, . . . срав-
нимы с 3 по модулю 4 и оканчиваются на 3 или 7. Гипотеза состоит
в том, что произведение любых двух этих чисел имеет вид х2 + Ъу2.
Например, 3-3 = 22 + 5-12, 3-7 = 42 + 5-12, 7-7 = 22 + 5-32,
3-23 = 82 + 5-12, 3-43 = 22 + 5-52, 7-23 = 92 + 5-42 и т. д.)
Эта гипотеза не только верна, но и является основным фактом
о числах вида х2 + Ъу2 (см. упр. 1 к § 8.6). Это еще одно подтвер-
ждение гениальности Ферма именно в теории чисел.
Упражнения
1. Докажите, что если х2 + у2 — нечетное простое число, то оно пред-
ставимо в виде 4ге + 1.
2. Докажите, что если яа + Ъу2 — простое, отличное от 3, то оно имеет
вид бге т 1.
3 Г. Эдварде
34 Гл. 1. Ферма
3. Докажите, что еели х2 + 2у2 — нечетное простое, то оно имеет вид
либо 8ге + 1, либо 8и + 3.
4. Докажите, что необходимость условия Жирара можно, как указано
в тексте, переформулировать в виде утверждения о том, что если частное
от деления числа иа наибольший содержащийся в нем квадрат делится на про-
стое вида 4ге + 3, то данное число нельзя записать как сумму двух квадратов.
5. Покажите, что из теоремы Жирара следует утверждение Диофанта,
согласно которому нельзя найти такие рациональные числа х и у, что хг -\-у2 =
•— 15.
6. Докажите, что произведепие двух чисел вида хг + 5у2 также имеет
такой вид.
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма
Изучение «совершенных чисел» берет свое начало в предысто-
рии теории чисел, когда числам приписывали некие магические
свойства. Число называется «совершенным», если оно равно сумме
своих собственных делителей. Например, число 6 совершенно,
поскольку 6 = 1 -f- 2 -f- 3. Современному математику это понятие
уже не кажется ни слишком захватывающим, ни слишком инте-
ресным. Однако в течение многих веков оно пленяло и заворажи-
вало ученых. Дискуссия о совершенных числах велась в широком
масштабе: от такой мистики, как утверждение Алкуина G35—
804) из Йорка и Тура о том, что совершенством числа 6 объясняет-
ся сотворение мира за 6 дней, до более близких к науке попыток
найти все совершенные числа. Во времена Ферма интерес к совер-
шенным числам еще далеко не угас, и в конце 1630-х годов между
Ферма, Мерсенном, Декартом, Френиклем и другими велась обшир-
ная переписка по поводу совершенных чисел и родственных
вопросов.
Евклид в «Началах» показал (Книга IX, предложение 36),
что если 1 + 2 + 4 + . . . -l 2" -- 2П — 1 — простое число, то
число 2п~1 B™ — 1) совершенно. Например. 3 - - \ J-2 — простое,
поэтому 2*3 = 6 — совершенное; 7 --- 1 -J- 2 -f 4 — простое, по-
этому совершенно 22«7 — 28. В современных обозначениях пто
утверждение доказывается очень просто. Действительно, если
р = 2П — 1 — простое, то собственными делителями числа 2п~1р
являются 1, 2, 4, . . ., 2"~\ р, 2р, 4р, . . ., 2п~2р, и их сумма
равна 1 + 2 + 4 -f . . . 4- 2" + р A -}- 2 -| -4 -f- . . . + 2"-2) =
= Р + Р Bn-1 — 1) — 2™~1р, что и требовалось доказать. Условие
Евклида является достаточным для того, чтобы число было совер-
шенным. Никакие примеры других совершенных чисел неизвестны.
Декарт утверждал (а Эйлер доказал это утверждение), что совер-
шенное число имеет евклидов вид тогда (и, конечно, только тогда),
когда оно четно. [Читателю предлагается доказать эту теорему
в качестве упражнения.] Вопрос о том, существуют ли нечетные
совершенные числа, является знаменитой нерешенной пробледюй.
К счастью, здесь мы можем без нее обойтись.
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 35
Согласно условию Евклида, для нахождения совершенных
чисел достаточно х) найти простые числа в последовательности 3, 7,
15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, ... .Эта послед-
няя задача уже представляет для нас значительный интерес.
Короче говоря, для каких значений п число 2п — 1 является про-
стым? Решая эту задачу, Ферма сделал важное открытие, извест-
ное теперь как теорема Ферма.
Во-первых, числа 15, 63, 255, 1023 (= 3-341), 4095, очевидно,
не являются простыми. Вообще, если п четно и больше 2, то
2» — 1 = 22k — 1 = Bk — 1) Bk + 1) — не простое. Нечетные
значения п = 3, 5, 7 приводят к простым 7, 31, 127, по нечетное
значение п — 9 дает 511 и, как легко видеть, 511 делится на 7.
Это приводит к предположению, что если п — не простое, то
число 2П — 1 также не является простым. Это предположепие
легко проверяется, если заметить, что 2km — 1 — Bk — 1) X
X Bft<m-1> -f- 2ft(m-2> -f- . . . -f- 2h + 1). Последнее замечание сво-
дит рассматриваемый вопрос к вопросу о том, для каких простых р
число 2Р — 1 является простым. Простые числа вида 2Р — 1 назы-
ваются простыми Мерсенна в честь постоянного корреспондента
Ферма преподобного Марэна Мерсенна A588—1648).
Простым 2, 3, 5, 7 соответствуют простые Мерсенна 3, 7, 31,
127 (и, следовательно, совершенные числа 6, 28, 496, 8128). Про-
верим, является ли простым 211 — 1. На этот вопрос легко отве-
тить, найдя число 211 — 1 = 2047 в явном виде и пробуя делить
его на все простые, меньшие ]/2047, чтобы узпать, делит ли какое-
нибудь из них 2047 нацело. Однако поучительнее подойти к этой
задаче другим способом, который можно использовать затем для
больших, чем 11, показателей р.
Посмотрим, делится ли 211 — 1 на 7. Представим себе, что сте-
пени числа 2 записаны в одну строку, а под ними записаны их
остатки при делении на 7:
степени числа 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512...
остатки 1241241 2 4 1...
Закономерность в расположении остатков очевидна, и ясно, что
остаток от деления 2п на 7 равен 1 тогда и только тогда, когда п
делится на 3, т. е. 7 делит 2п — 1 тогда и только тогда, когда
3 делит п. Следовательно, 7 не делит 2й — 1. Тот же метод можно
использовать и для других простых. Некоторые результаты при-
ведены в табл. 1.6. Ясно, что для каждого простого р остатки
расположены в циклическом порядке и существует такое целое d,
что р делит 2п — 1 тогда и только тогда, когда d делит п. Как
1) Смешение необходимых и достаточных условий — кажется, основная
слабость человеческого интеллекта. Даже Ферма утверждал, что не суще-
ствует совершенных чисел, состоящих из 20 или 21 цифры, имея в виду, что
не существует таких чисел евклидова типа.
з*
36
Таблица
р = Ъ
с
р = \\
р = \1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
8
2
8
3
8
8
8
8
8
О
О
16
1
16
1
16
5
16
3
16
16
32
2
32
2
32
10
32
6
32
15
64
1
64
4
64
9
64
12
64
13
128
7
128
11
128
9
Гл.
256
3
256
9
256
1
1. Ферма
512
6
512
5
512
2
1024
1
1024
10
1024
4
2048 . . .
2 ...
2048 4096 8192
7 1 2
2048 . . .
8 ...
d=2
d = 4
d= 10
... d= 12
только этот факт замечен, его легко доказать. Поскольку при
делении на р возможны только р — 1 остатков, в последователь-
ности остатков по крайней мере два остатка должны совпадать;
пусть, скажем, числа 2П и 2п+т имеют один и тот же остаток.
Тогда р делит их разность 2п+т — 2n = 2n Bm — 1), но р —
простое число и не делит 2, следовательно, р делит 2т — 1. Поэто-
му остаток от деления числа 2т на р равен 1. Следовательно, число
I входит в последовательность остатков. Пусть 2d — наименьшая
степень числа 2, которая дает в остатке 1. Тогда 2md при делении
на р также дает в остатке 1, поскольку 2md — 1 = Bd — 1) X
X B<m-1)d + . . . -f- 2d -f- 1) делится на р. Обратно, единственны-
ми степенями числа 2, которые дают в остатке 1, являются степе-
ни, соответствующие кратным d. Действительно, если 2т дает
в остатке 1 и если т = qd -f- г (q ^ 0, 0 <; r < d), то как 2т =
_ 2?d2r, так и 2gd дают в остатке 1, и их разность 2qd Br — 1)
делится на р. Так как 2qd не делится па р, то это противоречит
определению d (напомним, что 0 ^ г < d), за исключением слу-
чая, когда г = 0 я т кратно d, что и требовалось доказать. Кроме
того, выше мы заметили, что 2n+m и 2п дают одинаковые остатки
только тогда, когда 2т дает в остатке 1, т. е. остатки повторяются
только через интервалы, длина которых делится на d. Следова-
тельно, существует в точности d различных остатков и они цикли-
чески повторяются, как и в рассмотренных примерах.
Из этого замечания об остатках следует, что если мы хотим
определить, делится ли 211 — 1 на р, достаточно найти соответ-
ствующее значение d и выяснить, делится ли 11 на d. Поскольку
II — простое число, последнее условие равносильно тому, что
d = 11. Для всех рассмотренных до сих пор простых ответ на
этот вопрос отрицателен.
Существует более простой способ нахождения последователь-
ности остатков, который не требует прямого вычисления 2П и де-
ления его на р (для п = 1, 2, 3, . . .). Например, поскольку
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 37
известно, что при делении 128 на 13 получается остаток 11, та
остаток от деления 256 на 13 легко найти путем удвоения 11
и деления полученного результата на 13; таким образом, сле-
дующий остаток равен 22—13 = 9. Далее получится остаток
2-9 — 13 = 5, а за ним 2-5. Вообще, каждый остаток равен либо
удвоенному предыдущему, либо удвоенному предыдущему минус р
и любой из них лежит в области значений остатков 1 ^ г ^ р — 1.
Действительно, если 2" — г делится на р, то 2n+1 — 2r делится
па р, и отсюда немедленно следует, что 2n+1 и 2г имеют один и тот
же остаток при делении на р. Таким образом, для р = 19 остатка-
ми являются 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6,
12, 5, 10, 1, 2, 4, . . ., поэтому d = 18 Ф 11; следовательно,
211 — 1 не делится на 19. Для следующего простого р = 23 полу-
чаются остатки 1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12, 1, 2, 4, . . .;
отсюда следует, что d = 11 и 23 делит 211 — 1. Таким образом,
211 — 1 по является простым, и действительно, 211 — 1 = 2047 =
= 23 -89.
Аналогичным образом можно подойти к задаче, является ли
простым число 21S — 1 (а тем самым является ли совершенным
212 B1S — 1)). Мы должны выяснить, существует ли простое р,
для которого d = 13. Все рассмотренные до сих пор простые
можно исключить (поскольку соответствующие им d оказались
отличными от 13), и нам остается проверить, равно ли d числу 13
для р = 29, 31, 37, ... до последнего простого, которое меньше
чем ]/2ls — 1 = "j/8191 < 91. Ферма заметил одну несложную
закономерность в значениях d, которая позволяет немедленно
исключить из рассмотрения все, кроме очень небольшого числа
таких простых. Попробуйте обнаружить ее самостоятельно! Вот
несколько первых значений d:
р 3 5 7 И 13 17 19 23 29 31 37
d 2 4 3 10 12 8 18 11 28 5 36
Конечно, поскольку d — число различных остатков, d не превосхо-
дит р — 1. Ферма заметил, что на самом деле d делит р — 1. Отсю-
да следует, что d может равняться 13, только если 13 делит р — 1.
Поэтому возможными зпачениями р являются 13 -f- 1, 26 + 1,
39 + 1, 52 + 1, ... . Из них только нечетные числа 27, 27 +
+ 26 = 53, 53 + 26 = 79, . . . могут быть простыми. Поскольку
27 не является простым, а 79 + 26 больше чем l/2ls — 1, то это
означает, что нужно испытать только два простых, а именно:
53 и 79. Соответствующие им значения d, которые определяются
использованным выше методом, равны 52 и 39. Таким образом,
если мы убеждены в том эмпирическом факте, что d делит р — 1,
то из этих кратких вычислений мы сразу получаем, что 21S — 1 =
= 8191 — простое число.
38 Гл. 1. Ферма
Учитывая, что d делит т тогда и только тогда, когда 2т — 1
делится на р (см. выше), мы можем утверждение о том, что d
делит р—1, переформулировать в виде «р делит 2Р~1—1», или«р де-
лит 2Р — 2». Ферма формулирует свою теорему как в последнем
виде, так и в виде d | (р — 1) 1). Как обычно, Ферма утверждает,
что у него есть доказательство этой теоремы, но опускает его.
Возможно, его доказательство было следующим.
Согласно определению, существуют в точности d возможных
остатков 1, 2, 3, . . ., р — 1, которые могут встретиться при
делении степеней 2 на р. Если каждый из них встречается па самом
деле, то d = р — 1 и требуемое заключение d \ (р — 1) справедли-
во. В противном случае среди них найдется хотя бы одно число к,
не попадающее в число остатков. Среди возможных остатков
1, 2, 3, . . ., р — 1 рассмотрим те, которые получаются при
делении на р чисел вида к, 2к, Ак, 8к, . . ., 2пк, .... Таких
остатков в точности d, и ни один из них не входит в исходное
множество из d остатков. Первое из этих двух утверждений сле-
дует из того, что 2п+тк и 2пк дают один и тот же остаток тогда
и только тогда, когда 2пк Bт— 1) делится па р, а ото верно в том
и только в том случае, когда т делится на d. Для доказательства
второго достаточно заметить, что если бы 2" и 2тк давали один
и тот же остаток, то тем же свойством обладали бы 2n+I и 2т+1к
(поскольку 2" — 2тк делится на р тогда и только тогда, когда
2 BП — 2тк) делится па р), а также 2П+2 и 2т+-к, и т. д.; отсюда
следует (если выбрать т -f- / делящимся на d), что 2п+; и к при
делении на р дают один и тот же остаток, а это противоречит
выбору к. Если эти два множества остатков исчерпывают все р — 1
возможных остатков, то р — 1 = 2d и d \ (р — 1), что и требова-
лось доказать. В противном случае найдется еще один возможный
остаток к', который не принадлежит ни тому ни другому мно-
жеству. Тогда, так же как и раньше, остатки чисел к', 2к', W, . . .
. . ., 2"k', . . . образуют множество, состоящее еще из d различ-
ных остатков, ни один из которых не принадлежит никакому из
двух уже найденных множеств. Продолжив этот процесс, мы
разобьем мпожество всех р — 1 возможпых остатков на подмно-
жества, каждое из которых состоит из d элементов. Отсюда, конеч-
но, следует, что d обязательно делит р — 1, что и требовалось
доказать.
Например, при р = 31 степепи 2 дают остатки 1, 2, 4, 8, 16,
В этот список не входит 3, и числа 3, 2-3, 4-3, 8-3, . . . дают
остатки 3, 6, 12, 24, 17. Ни один из этих списков не включает 5;
при делении чисел 5, 2-5, 4-5, 8-5, . . . в остатке получаются 5,
10, 20, 9, 18. Если продолжить таким образом, то остатки 1, 2, ...
х) Вертикальная черта означает «делит», и d \ (р — 1) читается как
делнт р — 1». Перечеркнутая вертикальная черта f означает «пе делит».
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма 39
. ., 30 сгруппируются в шесть множеств из пяти элементов:
три перечисленных выше и множества G, 14, 28, 25, 19), A1, 22,
13, 26, 21), A5, 30, 29, 27, 23). Тот факт, что р — 1 остатков
всегда распадаются таким образом на множества из d элементов,
гарантирует, что d всегда делит р — 1.
Ни одно из этих рассуждений не зависит от каких-либо спе-
циальных свойств числа 2, которое было выбрано только потому,
что оно появляется в связи с нахождением совершенных чисел,
л для любого другого положительного целого а те же самые рас-
суждения доказывают такую теорему: если р — простое, которое
не делит а, то существует такое целое d, что р делит ат — 1 тогда
л только тогда, когда d делит т. Теорема Ферма утверждает, что
d делит р — 1. Согласно определяющему свойству d, это утвержде-
ние сводится к тому, что р делит ар~1 — 1, или, что то же самое,
что р делит аР — а. Последнее утверждение самое краткое,
поскольку в него вообще не входит d и поскольку оно справедливо,
даже если р делит а. Это обычная формулировка теоремы Ферма:
если р — простое число и а — произвольное целое, то р делит ар—а.
Теорема Ферма — одно из самых важных арифметических
свойств целых чисел; мы будем существенно пользоваться ею
в последующих главах этой книги. Остальная часть данного
параграфа, напротив, посвящена вонросу, который представляет
лишь исторический интерес. Это вопрос о так называемых числах
Ферма 21 +1, 22 + 1, 24 + 1, 28 + 1, 216 + 1, 232 + 1, . . . .
В переписке Ферма неоднократно выражал свое убеждение в том,
что все эти числа — простые. (Заметим, что 2" -f- I H<? является
простым, если п не есть степень двойки; действительно, если п
имеет нечетный делитель к, например п = km, то 2n -f- 1 =
-= Bm -f- 1) .Bm<ft-4 — 2m<k-2> -f . . . + 22 — 2 + 1).) Таким
образом, он полагал, что решил древнюю задачу нахождения
формулы, которая дает сколь угодно большие простые числа.
В конце жизни Ферма даже заявил 1), что может доказать простоту
всех таких чисел.
Несколько первых чисел Ферма — простые. Числа 21 -J- 1 = 3,
22 -f- 1 = 5 и 24 -f- 1 = 17, несомненно, простые. Простоту 28 -f-
-f- 1 — 257 можно доказать следующим образом. Если р делит
28 -1- 1, то оно делит B8 -f- 1) B8 — 1) — 216 — 1. Следовательно,
соответствующее ему d (при а = 2) должно делить 16. Но делителя-
ми 16 являются только 1, 2, 4, 8, 16, и d не может равняться 1,
2, А или 8, поскольку в этом случае р делило бы 28 — 1, а это
противоречит предположению, что р делит 28 -f- 1. Следовательно,
d = 16 и по теореме Ферма р = l&n -f- 1 для некоторого целого п.
х) Э. Т. Белл ([В1], стр. 256) настаивает на том, что Ферма никогда
ui> делал такого заявления. Я не вижу другой иптерпретации его письма
Каркавп [F5].
40 Гл. 1. Ферма
Но наименьшее такое простое р = 17 уже больше чем |/ 28 -f- 1,
и 28 -f- 1 не имеет собственных делителей, что и требовалось
доказать.
Аналогично, единственными простыми делителями 216 + 1 мо-
гут быть только простые вида р = 32и -f- 1. Поскольку ]/216 -J- 1
лишь немного больше чем 28 = 256, то мы должны испытать
только простые числа в списке 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, в ко-
тором лишь два простых 97, 193. Ни одно из них не делит 216 -f- 1,
поскольку остатки, которые получаются при делении степеней
1, 2, 4, 8, 16, . . ., 21в на 97, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 31,
62, 27, 54, И, 22, 44, 88, 79, 61, так что при делении 216 -}- 1
на 97 получается в остатке 62, а остатки при делении этих степе-
ней на 193 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 63, 126, 59, 118, 43,
86, 172, 151, 109, и при делении 216 -j- 1 на 193 в остатке полу-
чается 110. Следовательно. 216 -f- 1 — простое число.
Аналогичное доказательство для 232 -f- 1 гораздо длиннее,
и Ферма, должно быть, не пытался всерьез его провести либо до-
пустил ошибку в вычислениях. Согласно такому же рассуждению,
как и выше, единственными простыми делителями 232 -J- 1 могут
быть числа вида р = ЬАп -f- 1. Если 232 -f- 1 не является простым,
то его наименьший простой делитель не может быть больше чем 216.
Поскольку числа 64и -J- 1 расположены через интервалы в 64 =
= 26 единицы, грубо говоря, надо проверить 210 = 1024 числа.
Однако каждое третье из них делится на 3, каждое пятое — на 5Г
и т. д.; поэтому количество простых р = 64 и -f- 1, лежащих
в критической области, только порядка 500 или в этом роде.
Доказывать таким способом, что 232 + 1 — простое число,— до-
вольно долгое дело, хотя опо и займет не больше нескольких
дней. Однако число 232 -f- 1 не является простым; оно делится
на 641. Если следовать описанной выше процедуре, то мы должны
проверить последовательно 193, 257, 449, 577, а затем 641. Таким
образом, 641 — всего лишь пятое *) простое число, которое сле-
дует проверить. Делитель 641 числа 232 -f- 1 был обнаружен Эйле-
ром.
Эта неудача, кажется,— единственное серьезное пятно на репу-
тации Ферма как специалиста по теории чисел. Дело усугубляется
тем, что, как нам теперь известно, следующие несколько чисел
Ферма: 264 -f- 1, 2128 + 1, 2256 -f- 1 и несколько других — все
Составные. Не найдено ни одного простого числа Ферма за преде-
лами 216 -f- 1. Однако даже здесь есть смягчающее обстоятельство,
еще одно подтверждение безошибочного инстинкта Ферма при
выборе задачи. Через полтора века после того, как Ферма выдви-
нул свою гипотезу, юный Гаусс показал, что евклидово построение
пятиугольника при помощи циркуля и линейки тесно связано
Улучшение этого рассуждения см. в упр. 10 к § 2.4.
1.9. Уравнение Пелля it
с тем фактом, что 5 = 22 -{- 1 является числом Ферма. Вообще,
Гаусс доказал, что если п — простое число Ферма, то правиль-
ный и-уголышк можно построить при помощи циркуля и линейки.
Обратно, как утверждал Гаусс и доказал Ванцель (см. iKla]),.
нрп помощи циркуля и линейки можно построить только те пра-
вильные и-угольники, для которых п = 2hplp2...pm, где р1г
р2, . . ., рт— различные простые числа Ферма и к ^ 0.
Упражнения
1. Докажите, что число 237 — 1 не является простым. [При проверке-
данного простого не обязательно находить d; достаточно определить, делит
ли это простое 237—1. Для этого по надо находить остатки, получающиеся
при делении всех чисел 1, 2, 4, 8, 16, . . ., так как достаточно иайти только
те остатки, которые получаются при делении чисел 2, 22, 24, 28, 2le, 232,
?32+4, 237.]
2. Докажите, что число, которое пе удовлетворяет условиям Жирара,
нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Точнее, докажите, что
если р делит х2 -\- у2 и р — простое вида 4ге -j- 3, то р делит как х, так и у.
[Еслир делите2 + у2, то оно делит число (х2Jп+1 -\- (j/2Jn+1. Если же р не-
делит хотя бы одно из х, у, то это число на 1 или 2 больше чем некоторое
кратное р и, следовательно, не может делиться на р.]
3. Покажите, как можно построить правильный треугольник при помощи
циркуля и линейки. Рассмотрите евклидово построение правильного пяти-
угольника («Начала», Книга IV, предложение 11). Покажите, как, исполь-
зуя эти два построения, можно построить правильный 15-угольник. Приме-
няя теорему Гаусса и Вапцеля, найдите все такие значения га ^ 30, что
правильный га-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки,
1.9. Уравнение Пелля
В 1657 г.— в довольно поздний период своей деятельности —
Ферма в качестве вызова разослал другим математикам, в част-
ности английским, одну задачу: он надеялся найти среди них
кого-нибудь, кто разделял бы его интерес к теории чисел.
«Сейчас едва ли найдется кто-нибудь, кто предлагает арифметические-
вопросы, и кто-пибудь, кто их понимает. Не потому ли это происходит, что
до сих пор арифметику рассматривали скорее с геометрической, чем с ариф-
метической точки зрения? Так было всегда — ив древних, и в современных
работах; примером тому является даже Диофант. Ибо хотя он и более чем
другие освободился от геометрии в том отношении, что ограничивает свой
анализ рассмотрением рациопальных чисел, однако даже у него геометрия
пе полностью отсутствует, как достаточно доказала Zetetica Виета, где метод
Диофанта распространяется па непрерывные величины и тем самым на гео-
метрию.
Теперь арфметика имеет, так сказать, собственную область изучения —
теорию целых чисел. Евклид лишь слегка затронул ее в своих «Началах»^
а его последователи недостаточно занимались этой теорией (если только
она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых мы лишились вследствие-
разрушительного действия времени); следовательно, арифметикам предстоит
развивать или восстанавливать ее.
42 Гл. 1. Ферма
Поэтому арифметикам, дабы осветить тот путь, по которому надо следо-
¦вать, предлагаю я эту теорему, чтобы опи доказали ее, или эту задачу, чтобы
они решили ее. Если же преуспеют они в ее доказательстве или решении,
то им придется признать, что вопросы такого рода ничем не уступают в отно-
шении красоты, трудности или метода доказательства самым знаменитым
вопросам геометрии.
Если дано произвольное число, которое не является квадратом, то най-
дется также и бесконечное количество таких квадратов, что если этот квад-
рат умножить на данное число и к произведению прибавить единицу, то резуль-
тат будет квадратом.
Пример. Пусть 3, которое не является квадратом, будет данным числом.
Если умножить его на кпадрат, равный 1, и к произведению добавить 1,
то в результате получится 4, что является квадратом.
Если то же самое 3 умножить на квадрат 16, то получится произведение,
которое при увеличении на 1 превращается и 49, тоже квадрат.
И кроме 1 и 16 можно найти бесконечное количество квадратов с тем же
самым свойством.
Но я спрашиваю об общим правило решения — когда дано произвольное
число, не являющееся квадратом.
Например, требуется найти такой квадрат, что если произведение этого
квадрата и числа 149, или 109, или 433 и т. д. увеличить на 1, то в результате
получится квадрат». (Перевод на английский с латинского оригинала
см. у Хпта [HI], стр. 285—286.)
Вступление Ферма к формулировке этой задачи ясно показы-
вает, что он делает четкое различие между диофантовой традицией
решения в рациональных числах и традицией, с которой он теперь
ассоциирует самого себя, решения в целых числах. (По иронии
¦судьбыв современной терминологии «диофантово» означает «целое»,
тогда как Диофант ни в одной дошедшей до пас части его работы
на запимался решениями в целых числах.) Как это ни странно,
вступление было опущено одним из посредников в том экзепляре
письма, который был переправлен английским математикам; в ре-
зультате опи сочли эту задачу глупой, имеющей тривиальное
диофантово решение
Ахгл-\ = у2 (дано А, найти х, у),
у -1+ — Х (например),
Апгх2— т2х2 = 2тпх,
2тп Ап2-\-т2
которое дает бесконечно много рациональных ответов. Когда же
дополнительное требование, что х и у должны быть целыми числа-
ми, дошло до них, они обнаружили, что это «решение» не имеет
никакой ценности, и пожаловались, что Ферма изменил условие
задачи. Конечно, их жалоба оправдана в свете сильной диофанто-
1,9, Уравнение Нелля 43
вой традиции, но, как указал Ферма, с их стороны было наивно
полагать, что он предложил столь тривиальную задачу.
Конечно, Ферма не был первым, кто начал изучать свойства
целых чисел. В тех книгах «Начал» Евклида, которые посвящены
арифметике, рассматриваются исключительно целые числа; Пла-
тон тоже неоднократно говорил о предпочтительности с философ-
ской точки зрения изучения целых чисел. Но Ферма возродил
эту древнюю традицию и пытался при помощи своей задачи пробу-
дить в других такой же интерес. Поскольку ему не удалось заинте-
ресовать сограждан — например Паскаля — своими занятиями
арифметикой целых чисел, теперь оп был готов войти в междуна-
родную переписку, пытаясь пайти других ученых, которые разде-
ляли бы его иптересы.
Мотивировка задачи: «доказать, что для данного положитель-
ного целого А, не являющегося квадратом, найдется бесконечно
много целых х. для которых Ах2 -J- 1 является квадратом»— лежит
в собственных работах Ферма, а так как Ферма был очень скрыт-
ным во всем, что касалось его математической деятельности, то
теперь невозможно реконструировать тот путь, который привел
его к этой задаче, В какой-то мере эта задача неявно присутствует
в некоторых местах у Диофанта (см. Диксон [D2], т. 2, стр. 345—
346). и довольно ясно, что некоторые задачи Диофанта и коммента-
рии Баше к ним привели Ферма к задачам, которые включали
целочисленные решения квадратных уравнений с двумя неиз-
вестными, но детали этой связи непонятны. С определенностью
можно лишь сказать, что эта задача была выбрана не случайно.
Как обнаружили позднейшие исследования, это частное квадрат-
ное уравпение в целых числах у2 — Ах2 — 1 играет важную роль
в решении произвольных квадратных уравнений с двумя неизвест-
ными в целых числах.
Конечно, Ферма не был первым, кто распознал важность этой
задачи. Есть указания на то, что интерес к ней проявляли еще
древнегреческие математики — об этом свидетельствует пифагоро-
во решение х) для случая А —• 2, связанное с иррациональностью
Y2, а в немотивированпом утверждении Архимеда, что 1351/780>
Г>]/3, проявляется знание решения 3-7802 + 1 = 13512 задачи
Ферма при А = 3. Многие историки полагали, что древние греки
обладали значительными знаниями этого предмета, которые не
Дошли до нас. Доказательства интереса, проявляемого к этой зада-
') Это решение можно получить пз формулы (а2 — 262) (с2 — 2d2) =
--- (ас -|- 2bdJ — 2 (ad + 6сJ и рапепства I2 — 2-12 — — 1. Действительно,
1 .-= (_1) (_1) ^. A2 _ 2-12) (I2 — 2-12) -= З2 — 2-22. —1 = ( —1)-1 =
= (I2 — 2-12) (З2 — 2-22) -= 72 — 2-52, 1 -= (I2 — 2-12), G2 — 2-52) - 172 —
— 2-122, и т. д.; n-е равенство дает d* — 2-s"n -- (—1)'\ где dn --¦ dn_t -\-2sn_l
""и ~ rfn-i +sn-i. Равенства с четными номерами дают решения s2h задачи
"ТНфма: «2 •.«;;, + 1 является квадратом». См. Диксон, т. 2, стр. 341.
44 Гл. 1. Ферма
че в древней Индии, документированы полнее. (См. [D2], т. 2,
стр. 346—350, [СЗ] или [HI], стр. 281—285.) В очень давние време-
на (за несколько веков до н. э.) в древней Индии было известно
решение 2-4082 + 1 = 5772, а решение 92-1202 + 1 = 11512,
являющееся наименьшим в случае А = 92, вместе с изощренной
техникой его вывода было получено Брахмагуптой (родился
в 598 г. н. э.). Общий способ решения этого уравнения (так назы-
ваемый «циклический метод») дал Бхаскара Акхария (родился
в 1114 г. н. э.). Сущность этого метода состоит в следующем.
Предположим, что А = 67, т. е. задача состоит в том, чтобы
найти такое целое х, что 67х2 + 1 является квадратом, или, что
то же самое, найти такие целые х и у, что у2 — 67х2 = 1. Посколь-
ку 82 — 67 Л2 = —3 достаточно близко к 1, в качестве первого
приближения к таким числам х и у можно взять 1, 8. Рассмотрим
теперь аналог формулы A) из § 1.7 для этого случая, а именно
формулу
(а2 — 67Ь2) (с2 — Q7d2) = (ас -f QlbdJ — 67 (ad -f beJ.
Применив ее к равенствам 82 — 67-I2 = —3 иг2 — 67-I2 = $
(где г, а тем самым и s должны быть определены позже), мы полу-
чим, что
(8г + 67J — 67 (г + 8J = —3s.
Попытка сделать это число как можно меньше только за счет выбо-
ра наименьшего возможного s привела бы к выбору г = 8, s = —Зт
и мы получили бы 1312 — 67-162 = 9. Ясно, что это никуда не ве-
дет. «Циклический метод» состоит в том, чтобы выбрать г таким
образом, что г + 8 делится на 3, и в то же время сделать s воз-
можно меньшим. Когда это сделано, последнее уравнение показы-
вает, что 8г + 67 должно делиться на 3 и, следовательно, левая
часть этого уравнения должна делиться на З2. Таким образом, s
должно делиться на 3, и обе части уравнения должны делиться
на 9. Это приводит к существенно новому случаю, в котором
у2 — 67х2 является маленьким числом.
Проведем эти рассуждения явно. Для того чтобы г + 8 дели-
лось на 3, г должно принимать одно из значений 1, 4, 7, 10,13, ....
Выбор г = 7', s = —18 дает наименьшее (по абсолютной величине)
s; этим г и s соответствует равенство 1232 — 67 • 152 = 54, которое
после сокращения на 9 превращается в
412-67-52 = 6.
Теперь этот процесс можно повторить. Умножая обе части послед-
него равенства на г2—67-12 = s, получим D1г + 67-5J —
— 67 (Ъг + 41J = 6s. Если, как и раньше, выбрать такое г, что
Ъг + 41 делится на 6, то мы сможем обе части уравнения сократить
на б2. Для того чтобы Ъг + 41 делилось на 6, необходимо и доста-
точно, чтобы г + 1 =6 (г + 7) — (Ъг + 41) делилось па 6, что
1.9. Уравнение Пелля
справедливо при г = 5, 11, 17, 23, .... Выбор г = 5 дает наи-
меньшее значение s, и мы получаем 5402 — 67-662 = 6- (—42), что
после сокращения на б2 превращается в
902 —67-И2 = —7.
Конечно, не ясно, привела ли эта процедура нашу задачу хоть
немного ближе к решению, но по крайней мере попятно, что ее
продолжение может в копце концов привести к уравнению, правая
часть которого, как и требуется, равна 1. В данной задаче дело
обстоит именно так; продолжение процесса «циклического метода»
в нашем случае дает ее решение:
12 _ 67 • О2 = 1
82-67- 12= -3 _
412 - 67 , 52 = 6 r~J
902 - 67 -112 = - 7 Г~5
2212-67-272=-2 Г~9
18992-67-2322=-7 Г~9
35772 - 67 • 4372 = 6 Г~5
90532-67-11062= -3 Г~7
488422 - 67 • 59672 = 1 Г ~ 8
(Оригинальное индийское решение этой задачи использует прием,
сокращающий вычисления. Обе части формулы 2212 — 67-272 =
= —2 возводятся в квадрат, что приводит к равенству B212 +
+ 67-272J — 67 B-27-221J = (—2) (—2), после сокращения кото-
рого на 22 получается окончательное решение 48 8422 — 67>59672.
Заметим, что это есть приведенное выше диофантово решение
с т = 221, п = 27, An2 — т2 = 2.) Коротко говоря, если А =
= 67 — данное число, то х = 5967 обладает тем свойством, что
Ах2 + 1 является квадратом. «Бесконечное число» решений, кото-
рых требует Ферма, можно получить либо продолжая этот процесс
и находя все больше равенств, в которых правая часть равна 1
(и тогда окажется, что числа в правой части будут циклически
повторяться: 1, —3, 6, —7, —2, —7, 6, —3, 1, —3, 6,— возможно
поэтому такой процесс называется «циклическим методом»), либо
используя уже найденное решение и получая другие возведением
в квадрат:
1 = D88422 - 67 • 59672J=
= D88422 + 67 • 59672J- 67B • 5967 ¦ 48842J
46 Гл. 1. Ферма
В Куб
1 = [D88422 + 67 • 59672J- 67B • 5967 • 48842J]D88422 - 67 • 59672)=
= [48842D88422 + 67 • 59672) + 67 • 2 • 48842 • 59672]2 -
- 67 [5967D8842* + 67 • 59672) + 488422- 2 • 5967]2 =
= D88423 + 3 • 67-48842 • 59672J - 67C • 488422- 5967 + 67 • 59673),
в четвертую степень, и т. д. Это решает задачу Ферма в частном
случае А — 67.
Точно так же можно применять циклический метод для нахож-
дения решепия задачи Ферма при произвольном А, которое не яв-
ляется квадратом. Коротко говоря, процедура заключается в сле-
дующем. На первом шаге берем равенство I2 — А -О2 = 1. Предпо-
ложим, что па га-м шаге мы имеем равенство рг — Aq2 = к. Для
того чтобы перейти к (п + 1)-му шагу, умножим это равенство
на г2 — А = s; получим (pr + qAJ — А (р + qrJ = ks, где rr
а тем самым и s еще должны быть определены. В качестве г выбе-
рем положительное целое, для которого р + qr делится па к
и которому соответствует наименьшее возможное s. Тогда рг +
+ qA делится г) на к, и, сократив обе части {pr + qAJ —
— А (р 4- qrJ = ks па к2, мы получим равенство следующего шага
P2-AQ2 = K, где Р = (pr + qA)l\ к |, Q = (р + qr)l\k \ и
К = slk. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на некотором
шаге мы не придем к равенству требуемого вида р2 — Aq2 = 1.
Тогда х = q является решением задачи Ферма, так как Aq2 -f- I =
= р2 — квадрат. Затем можно получить бесконечную серию реше-
ний, либо продолжая работать циклическим методом для нахож-
дения других равенств р2 — Aq2 = к с к = 1, либо, как и выше,
последовательно возводя в степени первое полученное решение.
В действительности этим методом удается получить решения
задачи Ферма для всех значений А, которые не являются квадра-
тами. В табл. 1.7 приведен список наименьших решений х урав-
нения Лх2+1 = квадрат для А = 2, 3, 5, б, . . . . Эта таблица
показывает, что предложенные Ферма частные случаи А = 149,
А = 109 являются чрезвычайно трудными. Случай А = 61 —
несомненно, труднейший при всех А < 100,— был также выде-
-1) Ясео, что к делит (pr -j- qAJ. Для большинства значений к отсюда
следует, что к делит pr-j-qA , а именпо для всех значений ft, которые не делятся
на квадраты простых чисел. Здесь же утверждается, что при использовании
циклического метода к всегда делит рг + qA (даже если получаются значе-
ния к, которые делятся на квадраты простых). Это, как и тот факт, что всегда
можно достичь шага, когда к = 1, и надо доказать, если мы хотим обосновать
циклический метод.
Таблица 1.7. Наименьшие решения х уравнения Ах-\-1 = квадрат
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
2g
29
30
31
32
33
34
35
36
37
3g
39
40
41
42
43
44
45
46
47
4g
49
50
X
—
2
1
—
4
2
3
1
—
6
3
2
180
4
1
—
g
4
39
2
12
42
5
1
—
10
5
24
1820
2
273
3
4
6
1
—
12
6
4
3
320
2
531
30
24
3588
7
1
—
14
A
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
6g
69
70
71
72
73
74
75
76
77
7g
79
go
81
g2
g3
g4
g5
g6
g7
gg
g9
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
X
1
90
9100
66
12
2
20
2574
69
4
2261539g0
g
1
—
16
g
5967
4
936
30
413
2
267000
430
3
6630
40
6
9
1
—
18
9
6
30996
1122
3
21
53000
2
165
120
1260
221064
4
j
6377352
10
1
A
101
102
103
104
105
106
107
10g
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
X
20
10
22419
5
4
3115890
93
130
15140424455100
2
28
12
113296
96
105
910
60
28254
11
1
.
22
11
414960
83204
40
419775
51
1484
570
927
2
224460
12606
21
3
519712
4
6578829
6
8
12
1
24
12
8
6
2113761020
4
-48 Гл. 1» Ферма
лен х) Ферма, когда он предложил эту задачу Френиклю примерно
в то же самое время. Если и могли быть какие-то сомнения, то
этот факт достоверно показывает, что Ферма владел процедурой
решения, которая позволяла ему находить самые трудные случаи.
(Хотя случай А = 433 не кажется особенно трудным: решение
имеет 19 разрядов, а при А = 421 разрядов 33.)
К чести англичан, надо сказать, что им удалось не только найти
частные решения в предложенных Ферма трех случаях, но и раз-
работать общую процедуру получения решений для любого значе-
ния А. Кто сделал это — достоверно неизвестно. Хотя Джон Вал-
лис первым дал описание процедуры и получил решения в трех
частных случаях, он приписывает авторство виконту Уильяму
Броункеру. В опубликованной переписке Валлиса нет никаких
указаний на то, что Броункер когда-либо сообщал ему что-либо
об этом методе, кроме нескольких простых замечаний, которые,
быть может, послужили зародышем идеи, развитой впоследствии
Валлисом. Вполне возможно, Валлису было чрезвычайно важно
завоевать расположение Броункера и добиться его покровитель-
ства, и потому он назвал этот метод методом Броункера; Броун-
кер не только принадлежал к знати, он был также первым прези-
дентом Королевского общества 2).
Концепция английского метода существенно отличается от кон-
цепции описанного выше «циклического метода», хотя вычисле-
ния очень похожи. В частности, оба метода обладают тем свой-
ством, что их можно применять для нахождения решений в част-
ных случаях, не будучи заранее уверенным, что это приведет
к успеху. Например, выше нам удалось найти решение в случае
А = 67, когда мы получили равенство с правой частью 1; анало-
гично будет установлено, что при применении циклического метода
к любому другому частному случаю мы получим в конце концов
равенство с правой частью 1 и тем самым найдем решение постав-
ленной задачи. Однако нет никаких очевидных причин, по кото-
рым равенство с правой частью 1 должно обязательно получаться
во всех случаях; аналогично, нет очевидных причин, по которым
всегда должен приводить к успеху английский метод.
а) Бхаскара Акхария также выделил случай А = 61 и привел правиль-
ное решепие х = 226 153 980 за пять веков до Ферма.
2) По крайпей мере двое видных ученых сказали мне, что они пе согласны
с этим мпепием — один по той причине, что есть веские основания считать
лорда Броункера весьма способным математиком, другой — основываясь
на оценке личных качеств Валлиса, который скорее мог приписать себе чужие
заслуги, чем отказаться от своих заслуг в пользу другого. Некоторая поддерж-
ка моей точки зрения имеется в классическом труде Смита [S3, § 96, стр. 193],
где говорится, что Валлис изложил этот метод, «приписывая его лорду Броун-
керу, хотя, кажется, и ему самому принадлежит некоторая доля в этом изобре-
тении».
1.9. Уравнение Пелля 49
Таким образом, англичане в действительности не решили
задачу Ферма, которая заключалась в том, чтобы доказать, что
«при данном А, отличном от квадрата, существует бесконечно мно-
го таких х, что Ах2 + 1 является квадратом»,— несмотря на то,
что им удалось дать процедуру нахождения х при данном А.
Конечно, недостает доказательства того, что эта процедура всегда
ведет к успеху. Англичане не дали такого доказательства и, кажет-
ся, даже пе осознавали, что оно необходимо. Однако это обстоя-
тельство далеко не второстепенное, поскольку даже Эйлеру не уда-
лось доказать, что английский метод всегда приводит к успеху.
Лишь через 110 лет после того, как Валлис послал ответ на вызов
ферма, Лагранж дал первое доказательство этого утверждения.
Доказательство Лагранжа в общих чертах намечено в упражне-
ниях, которые следуют за этим параграфом.
Не вполне ясно, знал ли Ферма об этом недостатке решения
Валлиса, и еще менее очевидно, что его собственный метод был
свободен от подобного недостатка. Ферма написал письмо, в кото-
ром признал, что англичанам в конце концов удалось решить его
задачу; в пем он не проявил ни малейшей неудовлетворенности
их методом, несмотря на отсутствие доказательства того, что этот
метод всегда приводит к решению. Однако главным для Ферма
в этом письме было убедить англичан признать, что перед ними
была поставлена интересная и достойная их внимания задача.
Короче говоря, Ферма по-прежнему надеялся пробудить в Валли-
се и его окружении интерес к изучению целых чисел и, быть мо-
жет, намеренно не обратил внимания на их упущения, чтобы
воодушевить их на дальнейшие исследования.
Несколько лет спустя, подводя в письме к Каркави итоги неко-
торым своим открытиям в теории чисел, Ферма указал, что англи-
чане получили решение его задачи Ах2 + 1 = квадрат только
в отдельных частных случаях и что им не удалось дать «общее до-
казательство». Очевидная интерпретация этого замечания заклю-
чается в том, что Ферма заметил отсутствие доказательства того,
что предложенный ими процесс всегда приводит к решению; с дру-
гой стороны, в нем можно видеть и менее глубокую критику того,
что этот процесс описан в недостаточно общих терминах. Ферма
утверждает, что он мог бы дать нужное здесь «общее доказатель-
ство», «надлежащим образом» применяя метод бесконечного спу-
ска. Трудно понять, как можно использовать бесконечный спуск
для доказательства того, что этот процесс — либо метод Валлиса,
либо тесно связанный с ним индийский циклический метод —
всегда приводит к решению. По этой причине утверждение Ферма
нельзя считать несомненным свидетельством в пользу того, что он
действительно имел совершенно удовлетворительное решение
своей задачи.
* Г. Эдварде
50 Гл. 1. Ферма
В результате ошибки Эйлера эта задача Ферма известна теиерь
как «уравнение Пелля». Почему-то — возможно, по причине
смутных воспоминаний, оставшихся от чтения «Алгебры» Валли-
са,— у Эйлера создалось ошибочное впечатлепие, будто Валлис
приписывает метод решения этой задачи не Броункеру, а Пеллю —
современнику Валлиса, который часто упоминается в его работах,
но, как оказалось, не имеет ничего общего с решением задачи
Ферма. Эйлер впервые сделал эту ошибку еще в 1730 г., когда ему
было только 23 года, по она попала и в окончательное издание его
«Введения в алгебру» [Е9], написанного около 1770 г. Эйлер был
самым популярным математическим автором своего времени, и
с тех пор метод Валлиса — Броункера связан с именем Пелля,
а задача, которая решается при помощи этого метода, т. е. задача
нахождения всех целых решений уравнения у2 — Лхг — 1 с дан-
ным числом А, отличным от квадрата, известна как «уравнение
Пелля», несмотря на то, что именно Ферма первым указал на важ-
ность этой задачи, а Пелль вообще не имел к ней никакого отно-
шения.
У применения
1. Используя циклический метод, получите несколько значений
из табл. 1.7.
2. Английский метод, т. е. метод Валлиса и Броункера, отличается от цик-
лического метода главным образом тем, что вместо выбора г2 — А возможно
меньшим по абсолютной величине, в нем г2 — А выбирается отрицательным,
а г — удовлетворяющим условию г2 < А и возможно большим. Поэтому
в нравоп части равенств происходит чередование знаков. Используя этот
метод, найдите решения для Л — 13 п А = 67 и сравните полученные равен-
ства с теми, которые получаются при циклическом методе. (Для А — 13
правые части раины 1, —4. 3, --3, 4, —1, 4. —-3, 3, —4, 1. а для А — 67 :
1, —3, 6, —7, . . . .)
3. Докажите, что если р'2 — Aq'1 --к и Р- - - AQ2 - К --- две последо-
вательные строчки в процессе циклического или английского метода, то г
исчезает из pQ — Pq и при этом получается pQ — Pq --- +1. Заключите
отсюда, что Р и Q взаимно просты. Затем получите, что взаимно просты
Q п А, так что сравнение «QR + Р делится на К», которое определяет сле-
дующее значение г, имеет решения. Наконец, докажите, что любое решение R
этого уравнения удовлетворяет также и сравнению «QA -f- PR делится па Kit,
вследствие чего можпо выполнить следующий шаг циклического метода.
4. Докажите, что если г и Л — значения г, которые соответственно пред-
шествуют и следуют за строчкой Р2 — AQ2 -- К, то г -\- R делится на К.
[Р — rQ делится на А'.] Обратите впимаиие па то, что ато значительно упро-
щает нахождение R на каждом шаге.
5. Обратите внимапие па то, что указанное в упр. 4 упрощение позво-
ляет вычислять последовательность к и г, не прибегая к вычислению р или q.
Например, докажите, что циклический метод с первыми строчками I2—149 -О2---
= 1 и 122 — 149-1 — —5 даст решение р2 — 149д2 — 1 в предложенном
Ферма случае А — 149 в 15-й строчке. (Не надо вычислять решение.) Дока-
жите, что английский метод приведет к решению па 19-м шаге.
6. Докажите, что если г и к известны, то вычисление р и q можпо упро-
стить следующим образом. Пусть р2 — Aq2 = к, Р2 — AQ2 - К, j-2 — A&2-
1,9, Уравнение Пелля 51
= ?f? — три последовательные строчки, и пусть гий — промежуточные зна-
чения г. Тогда
3° = пР±р, & = nQ±q,
где в качестве знаков надо взять два плюса, если Кк < 0, и два минуса,
если Кк > 0, и где п — такое целое, что г + R = и I К \. Используя умно-
;ь'енне матриц, эти формулы можно записать в виде
Г.*> Р1ГР р-1Г п 1-1
Ы q] Vq dl±i oj'
Поскольку первые две строчки п таблице найти легко, это дает нам средство
для пычислепия р и q. Например, р и q ъ девятой строчке вычислений для
Л — 67 являются элементами перпого столбца матрицы
U J|i oh oi o-i o-i oi oi о
что значительно упрощает дело. Используя г и к, найденные в унр. 5, запи-
шите находящееся в 15-Й строчке циклического метода решение уравнения
]/2 - - 149д2 — 1 как первый столбец произведения 14 матриц. Перемпожьте
матрицы и найдите решение х ¦—- 2 113 761 020 уравнения Пелля при А = 149.
7. Докажите, что если два последовательных значения к одинаковы
ло абсолютной величине: К —• +/с, то рР + AqQ и pQ + qP делятся на к.
I Используйте формулу для Р — rQ.] Отсюда следует, что такие две строчки
в таблице можно перемножить и результат сократить на к2; при этом получится
решение уравпепия х1 — А у2 = +1. В случае А = 149 4-ю и 5-ю строчки
.можно использовать таким образом для нахождения 8-й строчки. Последнюю
можно затем возвести в квадрат и получить 15-ю. Проведите эти вычисления.
8. Найдите решение х = 151 404 244 455 100 в случае А = 109 Ферма
и Бхаскары.
Оставшиеся упражнения посвящены доказательству того, что
циклический метод должен привести к решению уравнения Пелля
и что таким способом получаются все решения уравнения Пелля.
9. Английский метод (см. унр. 2) менее эффективен, чем циклический,
но он проще в том отношении, что знаки изменяются в нем иравильиым обра-
зом (в упр. 6 всегда появляется зпак плюс). Следовательно, доказать, что
английский метод всегда дает решение уравнения Пелля и что таким методом
могут быть получены все решения, легче, чем доказать то же утверждение
0 циклическом методе. Докажите, что если строчка р2 — Aq2 = к встречается
как в апглийском, так и в циклическом методе, и если следующие за ней
строчки различны, например Р2 — AQ2 = К в апглийском методе и З-2 —
— Ad2 = SK в циклическом методе, то КФ 1 и за строчкой Р2 — AQ2 = К
» английском методе следует S'2 — Аф.2=а&'. Короче говоря, единственное
различие между ними состоит в том, что в циклическом методе могут пропу-
скаться некоторые строчки английского метода, но пропущенные строчки
никогда не дают решений уравнения Пелля. Поэтому для того, чтобы доказать,
что при циклическом методе нолучаются все решения уравнения Пелля,
Достаточно доказать аналогичное утверждение для английского метода.
1 Пусть г и 5? — значения г, которые следуют за строчкой р2 — Aq2 = к
и апглийском и циклическом методах соответственно; предположим, что R —
значение, следующее за Р2 — AQ2 = К в апглийском методе. Поскольку
52
Гл. 1. Ферма
эти два метода приводят к различным значениям, мы получаем неравенство
•4 — г2 > (г + I к |J — А > 0. Из этого неравенства следует, что К >
>—К + 2г — к при КОи — К>К+2г+к при /с >0. В первом случав
(—г + га^) — А отрицательно при п = 1 и положительно при и = 2, сле-
довательно, Л = —г + /Г. Во втором случае R = —г — К. Таким образом,
° = —г -г \ К \- Отсюда получается, что следующее значение к в английском
методе равно (Я* — АIК = [(г + | к |J — 4]/fc = Ж. Аналогично, следую-
щее значение q в английском методе равно | К I [Р + Q (—г +| Я |)] =
— I & I fa + в (»" + I fc I)] = @, а следующее значение р равно ,/>. Остается
показать, что | К \ Ф 1. Для этого достаточно доказать, что в английском
Методе всегда выполняется неравенство г > 0,— это утверждение будет дока-
зано в следующей упражнении. Заметим, что в случае неоднозначной возмож-
ности выбора (А — г2 = (г + | к |)а — А) здесь предполагалось, что цикли-
ческий метод согласуется с апглийским, т. е. выбирается меньшее из двух
возможных значений г. Приведенное выше доказательство в действитель-
ности показывает, что при выборе большего значения была бы пропущена
строчка с К Ф 1.]
10. Правильное описание английского метода в действительности тре-
бует доказательства существования таких значений г, удовлетворяющих
сравнению «gr + р делится на к», для которых г2 — А < 0. Конечно, это
вависит от того обстоятельства, что большие значения к не возникают. На прак-
тике обнаруживается, что такие значения г всегда существуют и положительны.
Кроме того, оказывается, что циклы практически встречающихся значений
*иг являются палиндромами, т. е. не изменяются, если записать их в обрат-
ном порядке. Далее, если к положительно, то (г + кJ — А > 0 и, следо-
вательно, к + 2г -\- К положительно; если же к отрицательно, то (г — кJ —
— А >0ий — 2г + К отрицательно. Так как циклы значений к и г являются
палиндромами, то существует симметрия между значениями к и К; поэтому
естественно ожидать, что в каждом множестве из двух последовательных
значений к с промежуточным значением г, скажем к, г, К, выполняются нера-
венства к + 1г -\- К > 0, к — 2г + К <С 0. Отсюда следует, что г > 0.
Докажите эти неравенства; во-первых, докажите, что они выполняются
на первом шаге при к = 1, г = [ \f~A~] = наибольшее целое меньшее, чем
У А, и К = [ \/А]2 — А, а во-вторых, докажите, что эти неравенства выпол-
няются на любом данном шаге при условии, что они справедливы на преды-
дущем шаге.
11. Упражнение 10 показывает, что английский метод определяет беско-
нечную последовательность к. Предположим, что к, К, SK — три последо-
вательных значения к; допустим также, что К и !УС позже спова встречаются
как последовательные зпачения в последовательности всех к. Докажите, что
тогда к вновь предшествует К и Ж. Покажите, что существует только копоч-
ное число возможных значений к. Заключите отсюда, что английский метод
всегда дает некоторое решение уравнения Пелля. [Как указано в упр. 10,
циклы зпаченийй и г образуют палиндромы; поэтому естественно ожидать, что
если к, К, УС — последовательные значения к, а г, R — промежуточные
значения г, то г, к можно найти по УС, R, К точно так же, как R, SK нахо-
дятся по к, г, К.]
12. Докажите, что циклы значений к и г, полученные английским мето-
дом, всегда образуют палиндромы и всегда содержат четное число шагов.
13. Докажите, что английский метод дает все решения уравнения Пелля.
(Можно поступить следующим образом. Пусть х2 — А у3 = 1. Не ограничи-
вая общности, можно считать, что х и у положительны. Пусть х = х0, у =
' =Уо> применив английский метод к х% — Ау\ = 1, найдите х\ — Ау\ = к1г
х\ — Ау\ = к2, .... Тогда, согласно упр. 6, x;+t = ntxi -f- xt_t, yt+i =
= ЩУ1 + 1/г_,, причем последовательности положительных целых щ, п2, п3,...
периодичны. По периодичности последовательность nt можно продолжить
"¦на все целые i (не только положительные). Тогда xt, yt можно определить
1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел 53
для всех целых i. Докажите, что х\— Ау\ — kt; здесь kt определены при
отрицательных i no периодичности. Очевидно, что если х-ь и yi положительны
при всех г ^ ;' (такими они являются при j = 0), то | xj+2 I > I xj I- Согласно
принципу бесконечного спуска, должно существовать такое значение /,
что xi и yt положительны при i > ;', по не обладают этим свойством при
i — j. Рассмотрим матричное уравнение
j х0 П _ Г щ 1 "I Г щ 11 \nj+i 1 Г *j+i X]
i г/о J L 1 о J L 1 о J " '' |. 1 о J L г/л-i vt J ¦
Taj; как xj+1yj — yj+ixj = +1 и xj+1, yj+1 положительны, то xj и у}
uo могут иметь противоположные знаки. Но xj— Ay) = kj и \ kj\ < А,
поэтому Xj-фО. Следовательно, yj = O. Тогда xj = ±1 u kj = i. Пусть
Г Р Р I _ Г "о 1 1 Г 1 1 Г »/tl 1 1
L <? g J"~ L 1 о J L i о J *' * L i oj-
Тогда x0 = xjP, так что xj = 1. Следовательно, x0 = P и j/0 = (). Надо
только доказать, что английский метод дает решение Р2 — AQ2 = 1 урав-
нения Пелля, а это ясно из упр. 6.]
1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел
Многочисленные недоказанные утверждения Ферма остались
вызовом для тех, кто пришел ему на смену, и хотя ему не удалось
пробудить интерес к теории чисел ни у Валлиса, ни у других
математиков следующего поколения, на более поздних математи-
ков, особенно начиная с Эйлера, попытки доказать или опроверг-
нуть эти утверждения оказали огромное стимулирующее влияние.
Как впоследствии выяснилось, все они, за исключением утвержде-
ния о том, что числа 232 + 1, 2м -\- 1, 2128 + 1, ... являются про-
стыми, и, возможно, Последней теоремы хп -\- уп фгп (п >> 2),
справедливы. Эти утверждения (кроме тех, которые обсуждались
выше) не оказали непосредственного влияния на дальнейшую
историю Последней теоремы Ферма, поэтому мы не будем рас-
сматривать их подробно. Однако некоторые из них стоит упомя-
нуть хотя бы для того, чтобы дать представление о размахе дея-
тельности Ферма.
Одно из этих утверждений, согласно которому каждое число
можно представить в виде суммы четырех квадратов, неявно содер-
жится в книге Диофанта и явно сформулировано в комментариях
Баше. Ферма утверждал, что он может доказать не только это
утверждение, но и его обобщение, согласно которому каждое число
можно представить в виде суммы трех треугольных чисел, или
четырех квадратных чисел, или пяти пятиугольных, или шести
шестиугольных чисел, и т. д.— ad infinitum. Здесь треугольными
числами называются 0, 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 +
— 4 = 10, 10 + 5 = 15 и т. д.; квадратными — числа 0, 0 +
+ 1 = 1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, 16 + 9 = 25, . . .,
а пятиугольными — числа 0, 0 + 1 = 1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12,
12 + 10 = 22, 22 + 13 = 35 и т. д. Вообще, ?г-угольпые числа 0,
54 Гл. 1. Ферма
1, а2, а3, а4, . . . получаются при последовательном сложении
членов арифметической прогрессии 1, п — 1, 2п — 3, Зп— 5, ....
Таким образом, а0 = 0, % = 1, а2 = п, а3 = Зп — 3, а4 = 6?г —
— 8, а5 — 10?г — 15, . . ., а$ — у/ (у — 1) п — j {] — 2). (Много-
угольные числа рассматривались в различных древних тракта-
тах, включая трактат Диофанта, от которого до наших времен
сохранились только фрагменты.) Впоследствии с этой красивой
теоремой были связаны некоторые из величайших имен в истории
математики: Лагранж первым доказал утверждение о квадратах,
Гаусс — для треугольных чисел, а Коши впервые получил дока-
зательство в общем случае.
Среди других недоказанных утверждений Ферма содержится
теорема о том, что 25 + 2 = 27 является единственным целочис-
ленным решением уравнения х2 + 2 = у3, а 4 + 4 — 8 и 121 +
+ 4 — 125 — единственные решения уравнения хг -\- 4 = у3. Ка-
залось бы, эти простые утверждения возникли из ничего, и не
видно никакого естественного пути, па котором можно было бы
попытаться их доказать 1). Согласно другому утверждению такого
типа, 1 + 1 + 1 + 1=4 и 1 + 7 + 49 + 343 = 400 являются
единственными решениями уравнения 1 + х + х% + х3 — у2
(vnp. 1).
Адресованное Валлису и другим английским математикам
предложение решить уравнение Пелля в действительности было
вторым вызовом Ферма. Первый вызов был еще труднее и оказал-
ся, по-видимому, выше их понимания. Ферма предложил две
задачи. A) Найти куб, который в сумме со всеми его собственными
делителями дает квадрат. [Например, сумма числа 343 и всех его
собственных делителей C43 + 49 + 7 + 1 = 400) является квад-
ратом. Найдите другой куб, обладающий тем же самым свой-
ством.] B) Найти квадрат, который в сумме со всеми его собствен-
ными делителями дает куб. Решение этих задач можно найти
в книге Диксона [D2, т. 1, стр. 54—58].
Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит
в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов;
запишите его в виде суммы двух кубов другим способом. Здесь
кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным
образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению
всех целочисленных решений уравнения х3 + у3 = и3 + v3. Фре-
никль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколь-
ко решений, например 1729 = 93 -г Ю3 = I3 + 123 и 40 033 =
= 163 + ЗЗ3 = 93 + 343 (по-видимому, испытанным методом проб
и ошибок).
х) Еще до Ферма Баше изучал рациональные решения х, у уравнения
х* + 2 — у3 (см. Диксон [D2, т, 2, стр. 533]). Доказательства этих утверж-
дений Ферма можно найти в упражнениях к § 2.5.
1.10. Другие открытия Ферма в теории чисел 55
В заключение еще одна теорема, которую легко сформулиро-
иать, но далеко пе легко доказать: пи одно треугольное число,
большее 1, не является четвертой степенью. Другими словами, при
х >¦ 2 уравнение —- х (х — 1) = г/4 не имеет решений в целых числах.
Первое доказательство этого факта примерно через сто пятьдесят
лет было опубликовано в «Теории чисел» Лежандра.
В письме к Каркави Ферма завершает подведение итогов своим
любимым открытиям в теории чисел следующими словами: «Потом-
ки, возможно, будут благодарны мне за то, что я показал, что
Древние знали пе все». Какое драматичное свидетельство пропасти
во взглядах между временем Ферма и нашим временем! Невоз-
можно представить себе математика двадцатого века, который
считал бы, что Древние знали все. Напротив, в наше время счи-
тается (по крайней мере в том, что касается математики), что
Древние вообще ничего не знали. Скорее мы можем быть благо-
дарны Ферма за то, что он показал нам, какое стимулирующее
влияние оказывает изучение работ великих деятелей науки про-
шлого и как оно способствует более глубокому проникновению
в предмет.
.Упражнение
1. Докажите утверждение Ферма о том, что едшгстиеиными натураль-
ными числами х, для которых 1 + х + х2 + х3 — квадрат, являются х = 1
и х = 7. Кроме них единственными целыми решениями являются х —- О,
—1. [Это прекрасная, но очень трудная задача. Воспользуйтесь тем, что
,т4 + г/4 не может быть квадратом (§ 1,5), а уравнение х4 — у4 — z2 разре-
шимо только в тривиальных случаях у ¦— 0 или z — 0 (§ 1.6, уир, 2).|
Глава 2
ЭЙЛЕР
2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при п = 3
Леонард Эйлер A707—1783), несомненно, был величайшим
математиком своего времени. Он внес вклад во все мыслимые обла-
сти математики — от прикладной математики до алгебраической
топологии и теории чисел, причем не только в виде новых теорем
и методов, но и в виде целой серии учебников по алгебре, анализу,
математической физике и другим областям. Эти учебники соста-
вили основу математического образования для нескольких после-
дующих поколений.
О величии Эйлера как математика можно судить хотя бы
по тому, что при изучении теории чисел создается впечатление, что
Эйлер в основном интересовался теорией чисел; если же изучаешь
расходящиеся ряды или дифференциальные уравнения, то кажет-
ся, что именно расходящиеся ряды или дифференциальные урав-
нения были для Эйлера любимым предметом исследования и т. д.
Конечно, в этой книге мы будем главным образом интересоваться
вкладом Эйлера в теорию чисел и, в частности, его достижениями,
связанными с Последней теоремой Ферма. Независимо от того,
была или не была теория чисел любимым предметом Эйлера, в те-
чение всей своей жизни он проявлял к пей неослабевающий
интерес, и одних только его результатов в этой области было бы до-
статочно, чтобы его имя навсегда осталось в анналах математики.
В истории Последней теоремы Ферма имеются противоречивые
мнения о том, удалось ли Эйлеру доказать эту теорему при п —¦ 3.
Обычно считается, что Эйлер привел доказательство случая п = 3,
но оно было «неполным» в некотором важном отношении. В не-
скольких словах невозможно сформулировать суть дела точнее.
Подробное объяснение значительно сложнее. Доказательство Эйле-
ра содержало фундаментальный пробел, о котором Эйлер, оче-
видно, не подозревал. Исправить это доказательство непосред-
ственно, т. е. предложить другое доказательство того утверждения,
при доказательстве которого Эйлер допустил ошибку, далеко пе
просто. Однако, как мы покажем в § 2.5, это доказательство мож-
но исправить косвенным образом — при помощи рассуждений,
которые Эйлер применил при доказательстве других утверждений
Ферма. Такой метод не дает ответа на вопрос о том, можно ли зала-
тать первоначальное доказательство Эйлера — что весьма жела-
2.2. Доказательство дилера для п = 3 57
тельно ввиду элегантности и общности этого доказательства —
но он по крайней мере показывает, что уравнение х3 + у3 = z3
неразрешимо в целых положительных числах х, у, z.
2.2. Доказательство Эйлера для п = 3
В своем доказательстве Последней теоремы Ферма при п = 3
Эйлер применяет принадлежащий Ферма метод бесконечного
спуска. Он показывает, что если можно найти положительные целые
числа х, у, z, удовлетворяющие уравнению х3 + у3 = z3, то суще-
ствуют меньшие положительные целые с тем же свойством; таким
образом, в случае разрешимости этого уравнения можно было бы
найти убывающую бесконечную последовательность таких троек
целых положительных чисел. Ясно, что такой последовательности
не существует. Следовательно, нельзя найти таких чисел х, у, z.
Итак, предположим, что х3 -\- у3 = z3. Из этого уравнения
следует, что любой делитель двух из трех чисел х, у, z делит также
и третье из них. Следовательно, обе части этого уравнения можно
сократить на все общие делители и с самого начала считать, что
числа х, у, z попарно взаимно просты, т. е. что наибольший общий
делитель х, у, или х, z, или у, z равен 1. В частности, не более чем
одно из чисел х, у, z может быть четным. В то же время ясно, что
но крайней мере одно из этих чисел является четным: если х ж у
оба нечетны, то z четно. Поэтому в точности одно из этих чисел
является четным.
Сначала предположим, что х, у нечетны, a z четно. Тогда х -\- у
и х — у — четные числа, скажем 2р и 2q соответственно, и х =
= i-Bp + 2q)=p + q,y = iBp - 2q) = р - q. Если х3 + у3=
— (х -\- у) (х2 — ху + у') выразить через р и q, то получим
2р [(р + qf - (Р + q) (Р - q) + (р - qf\ = 2р (р2 + 3?2).
Числа р и q имеют противоположную четность (поскольку р -\- д~
и р — q нечетны) и взаимно просты: действительно, любой общий
делитель этих чисел обязан делить х = р + q и у = р — q и
поэтому должен равняться 1. Кроме того, можно предположить,
что р и q положительны. (Если х << у, то, меняя местами х и у,
можно получить q >> 0. С другой стороны, х фу, поскольку в про-
тивном случае х == у = 1, z3 = 2.) Следовательно, из предполо-
жения о существовании нечетных х, у, удовлетворяющих уравне-
нию х3 -\- у3 = z3, следует, что существуют такие взаимно простые
положительные целые р и q противоположной четности, что
2р (р2 + 3<?2) = куб целого числа.
К такому же гыводу можно прийти при нечетном z и четном х
или у. В этом случае нечетное число, скажем у3, можно перенести
58 Гл. 2. Эйлер
в правую часть:
х3 - z3 - г,3 = (z - у) (z2 -I- zy -г J/2).
Тогда z — у = 2р, z + у = 2q, z = q + Р, У = Ч — Р и
я3 - 2р [(<? + рJ + (q + р) (q - р) + (q - рJ],
что приводит к тому же самому заключению:
2р (р2 + 3<?2) = куб целого числа,
где р и g — взаимно простые положительные целые противополож-
ной четности.
Следующий шаг в нашем рассуждении, грубо говоря, состоит
в том, чтобы заметить, что числа 2р и р1 -f- 3q2 взаимно просты,
и из этого замечапия заключить, что их произведение может быть
кубом тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей являет-
ся кубом. Обратите внимание на аналогию с методом из § 1.3, где
анализируются решения уравнения х2 + у2 — z2. Однако утверж-
дение, что 2р и р2 + 3<?2 взаимно просты, не вполне обосновано.
Так как р и q имеют противоположную четность, то р2 -j- 3#2—
нечетное число, и каждый общий делитель чисел 2р, р2 -\- 3q2
обязан быть общим делителем чисел р, р2 + 3<?2, а потому и р,
3q2. Но р и q взаимно просты, поэтому отсюда следует, что един-
ственным общим делителем может быть число 3. Однако если 3
делит р, то оно делит ирЧ 3<?2 и 2р; поэтому 2р и р2 -\- 3q2
не взаимно просты. Следовательно, доказательство распадается
па два случая: в первом случае 3 пе делит р, а потому 2р и р2 + 2>q2
взаимно просты, а во втором 3 делит р. Сначала мы рассмотрим
первый случай; второй окажется простой модификацией первого.
Итак, предположим, что 3 пе делит р, и, следовательно, 2р
и р2 + 3q2 являются кубами. Применяя формулу
(а2 + ЗЬ2) (с2 + 3d2) = (ас - 3bdJ + 3 (ad + beJ
из § 1.7, можно найти кубы вида р2 -Ь 3q2:
(а2 -у- 362K = (а2 + ЗЬ2) [(а2 - ЗЬ2J + 3 BаЪJ\ =
= [а (а2 — ЗЪ2)—ЗЪ Bab)]2-\-3 [а BаЪ) +- Ъ (а2-3&2)]2-=
= (а3 — Ш2J + 3 (За2Ь — ЗЬ3)\
Таким образом, один из способов нахождения кубов вида р2 +
+ 3q2 состоит в том, чтобы выбрать произвольные числа а, Ъ
и положить
р = а3 — 9ab2, q = 3a2b - 3b3,
так что р2 -\- 3q2= (а2 -\- ЗЬ2K. Главный пробел, который надо
заполнить в доказательстве Эйлера, заключается в доказательстве
утверждения, что такой способ дает все кубы вида р2 + 3q2, т. е.
2,2, Доказательство Эйлера для п ~ 3 59
если р2 -\- 3q2 является кубом, то существуют такие а и Ъ, что р
п q задаются приведенными выше формулами. Эйлер обосновы-
нает этот вывод при помощи ошибочного рассуждения, изложен-
ного в следующем параграфе, однако он мог бы опираться и па рас-
суждение из § 2.5, которое, по существу, тоже принадлежит ему
самому. В любом случае, считая это утверждение справедливым,
i >ставшуюся часть доказательства провести сравнительно легко.
Выражения для pig можно разложить на множители:
р = а (а — ЗЬ) (а + ЗЬ), q = ЗЬ (а — b) (a -j- b).
Числа avib, конечно, взаимно просты, ибо каждый их общий дели-
тель обязан делить р и q, а потому равен 1. Кроме того,
2р = 2а (а — 3b) (a -j- 3b) — куб целого числа.
Числа а и b имеют противоположную четность, поскольку в про-
тивном случае р и q оба были бы четными. Следовательно, а — ЗЬ,
а + ЗЪ — нечетные числа, и все возможные общие делители чисел
2а, а + ЗЬ обязаны делить а, а + ЗЬ, а потому и а, +ЗЬ. Анало-
гично, каждый общий делитель чисел а -+- ЗЬ, а — ЗЬ обязан де-
лить а и ЗЬ. Короче говоря, единственным возможным общим дели-
телем является число 3. Но 3 не делит а, поскольку в противном
случае оно делило бы р, что противоречит предположению. Сле-
довательно, 2а, а — ЗЬ, а + ЗЬ взаимно просты, и каждое из этих
чисел должно быть кубом, скажем 2а — а3, а — ЗЬ = р3, а -\-
-\- ЗЬ = уг. Тогда Р3 + 73 = 2а = а3, и это дает решение урав-
нения я3 + у3 = z3, состоящее из меньших чисел, чем исходное
решение.
Точнее, а3р373 = 2а (а — ЗЬ) (а + ЗЬ) = 2р. Число 2р поло-
жительно и делит z3, если z четно, или я3, если х четно. Тогда
в любом случае а3Р373 меньше z3. Числа а, Р и у не обязаны быть
положительными, по (—аK = —а3, поэтому отрицательные кубы
можно перенести в другую часть уравнения, и мы получим урав-
нение вида X3 -г Y3 = Z3, где X, Y, Z положительны и Z3 < z3.
Итак, в случае когда 3 не делит р, спуск произведен.
Наконец, рассмотрим случай, когда 3 | р. Тогда р = 3s и 3
не делит q. В этом случае 2р (р2 + 3q2) = 32-2s Cs2 + q2). Легко
видеть, что числа 32-2s и 3s2 + q2 взаимно просты; следовательно,
каждое из них является кубом. Согласно лемме, которую мы дока-
жем позже, 3s2 -j- q2 может быть кубом только тогда, когда
q = а (а — ЗЬ) (а + 3b), s = ЗЬ (а — Ъ) (а + Ь)
при некоторых целых аи Ъ. Число 32-2s является кубом, поэтому
кубом будет 32-2Ъ (а — b) (a + b), a следовательно, и2&(а — Ь) X
X (а -г Ь). Легко видеть, что множители, входящие в последнее
выражение, взаимно просты; таким образом, 2Ъ = а3, а — Ъ == Р '
60 Гл. 2. Эйлер
а -I- Ъ — у3, а? = 2Ъ = у3 — Р3. Как и выше, отсюда можно полу-
чить равенство вида Xs -\- Y3 = Z3, где Z3 << z3.
Итак, в любом случае из существования куба, нредставимого
в виде суммы двух кубов, следует существование меньшего куба
такого же вида, что невозможно. Для завершения доказательства
остается только показать, что если существуют взаимно простые
целые р и q, для которых р2 -\- 3q2 является кубом, то найдутся
такие целые а и Ъ, что р = а3 — 9ab2 и q = 3a2b — ЗЪ3. Доказа-
тельство этого утверждения приведено в § 2.5.
2.3. Арифметика иррациональных чисел
Метод, который Эйлер использовал при попытке доказать при-
веденное в § 2.2 утверждение о кубах вида р2 -\- 3q2, основывается
на смелой идее распространения арифметики целых чисел при
помощи операций сложения, вычитания и умножения на «числа»
вида а-\-ЬУ —3 с целыми а и Ъ. Ясно, как складывать, вычи-
тать и умножать такие числа (особого упоминания заслуживает
только правило умножения (а-\-ЬУ—3) (c-\-d~\/ — 3) = ac-\-
+ ad y^3 + bcy^3 + bd( — 3) = (ac — 3bd) + (ad + bc) V^3); в
этой арифметике выполняются обычные законы коммутативности,
ассоциативности и дистрибутивности и, кроме того,
1 • (а+ Ъ У ^3) = а + Ъ |/~^3.
Говоря языком современной алгебры, «числа» а -\- ЪУ —3 обра-
зуют коммутативное кольцо с единицей.
Идея использования в вычислениях иррациональностей вида
а -\- ЪУ —3 упрощает вывод достаточных условий для того, чтобы
число р2 -f 3q2 было кубом. Вместо применения формулы
(а2 + ЗЪ2) (с2 + 3d2) = (ас — 3bdJ + 3 (ad + beJ
можно рассуждать следующим образом. Разложим p2-\-3q2 на
множители: (р-г<7|/—3) (р — <?]/—3). Если один из этих мно-
жителей является кубом, скажем р + <?]/ ~~3 = (а-\-ЪУ — ЗK, то
легко проверить, что сопряженный к нему, который получается
заменой ]/ — 3 на — ]/ — 3, является кубом сопряженного к u-f
-\-ЪУ—3, т.е. p—qy—3 = (а — Ъ У — ЗK. Следовательно, сог-
ласно коммутативности умножения, (p-\-qV—3) (р — q У —3) =
^[(а^ЬУ^З)(а-ЬУ^З)]3, т.е. рЧ-3?2 = (а2 + 362K. Други-
ми словами, для того чтобы найти куб вида р2 -\- 3q2, достаточно
положить p + qy — 3 = (a-f&]/ — ЗK. Разложив (а-\-ЪУ — ЗK по
формуле бинома Ньютона:
(-3) + 63(-3) У — 3,
2.3, Арифметика иррациональных чисел 61
>ш получим, что, для того чтобы записать р2 -f 3q2 в виде куба
некоторого числа, достаточно найти такие числа а и Ъ, что р =
= а3 — 9ab2, q = 3a2b — ЗЪ3. Это и есть достаточное условие,
найденное в предыдущем параграфе.
В этой части своей «Алгебры» [Е9] Эйлер всерьез путает необ-
ходимые и достаточные условия; поэтому очень трудно устано-
вить, что же он в действительности имел в виду. В примерах
Эйлер, кажется, большей частью имеет дело с достаточными усло-
виями: начиная с а и Ъ, находит р и q. Но иногда он допускает
совершенно ошибочные утверждения. Например, Эйлер пишет:
«Если число х2 -\- су2 должно быть кубом, то отсюда, конечно,
можно заключить, что каждый из его иррациональных множите-
лей, а именно х -\- у У—с и х — yY—с, обязан быть кубом,
поскольку эти множители взаимно просты в том смысле, что х
и у не имеют общих делителей»; при этом Эйлер не доказывает,
что х -\- yY—с ж х — yY—с обязаны быть кубами. В заключении
к тому же самому параграфу (§ 191 из последней части) Эйлер
совершенно недвусмысленно утверждает: «Если ах~-\-су2 нельзя раз-
ложить на два рациональных множителя, то нет других решений,
кроме приведенных здесь», т. е. ах2 -\-су2 только тогда может быть
кубом, когда существуют такие целые р и q, что х]/ а -\- yY—с =
= (pYa ~Ь qY—сK- Единственный памек на доказательство этого
утверждения состоит в приведенном выше рассуждении по анало-
гии, а именно: если АВ является кубом и А и В взаимно прости,
то А и В должны быть кубами. Последнее утверждение является
теоремой, которую можно доказать *¦) для целых А ж В; однако
если А ж В являются числами вида р + qY—3 или х\/ а -\- у\/ —с,
то это доказательство непригодно. В частном случае а = 1, с =
= 3 утверждение Эйлера действительно справедливо (хотя дока-
зательство совсем не такое, как для целых чисел), но существуют
значения а и с, при которых оно неверно.
Эйлер рассматривает задачу «а;2 + су2 = куб» вслед за не-
сколько более полным обсуждением случая ах2 -\- су2 = квадрат».
В первом случае он утверждает, что «если произведение двух
чисел, например pq, должно быть квадратом, то либо р = г2 и
q = s2, т. е. оба множителя должны быть квадратами, либор = тг2
a q = ms2, т. е. сомножители являются квадратами, умноженными
на одно и то же число». Здесь снова это утверждение справедливо,
если под «числами» понимаются «целые числа», и мы доказали его
в § 1.4; однако Эйлер сразу же применяет этот принцип к числам,
которые не являются обыкновенными целыми числами, а имеют
вид х -\- yY—с. Обсуждение квадратов является более полным,
х) Доказательство аналогичного утверждения для квадратов, приведен-
ное в § 1,4, немедленно обобщается на кубы.
62 Гл. 2. Эйлер
чем обсуждение кубов, в том отношении, что Эйлер приводит
нечто похожее па альтернативное доказательство утверждения,
согласно которому для любого квадрата вида х2 -\- су2 с взаимно
простыми целыми числами х и у при некоторых целых а и Ъ спра-
ведливо равенство х -\- у у —с = (а + ЪУ —сJ. Это «доказатель-
ство» следует стандартному методу Диофанта, при котором квад-
ратный корень из хг Л,- су2 записывается в виде х -\- (p/q) у с неко-
торыми целыми числами р и q, а затем производятся следующие
упрощения:
2р х cq2—p2
У <Г
х __ cq2— р2
«Но хну должны быть взаимно простыми (так же, как р и <?),
следовательно, x—cq2 — р2иу =2pq», так что1) — х -\- у]/—с=
= (Р -г QV—сJ- Эйлер утверждает, что этот альтернативный
вывод «подтверждает2) правильность лгетода», однако из есте-
ственного предположения о взаимной простоте р и q не следует
взаимная простота сф — р2 и 2pq, а потому не следует и заключе-
ние Эйлера о том, что х -— cq'1 — р2, у —- 2pq. На самом деле при-
мер 49 22 -)- 5 -З2 не только показывает неадекватность этого
рассуждения, по и говорит о том, что само заключение неверно.
Действительно, уравнения 2 - = 5<?2 — р2, 3 = 2pq не имеют рацио-
нальных решений р и q, не говоря уже о целых решениях. (Эти ги-
перболы пересекаются при р = У 5/2, q —- |/9/10 и р = —У 5/2,
q =-¦ —УШ\0.)
Высказывалось мнение ([D2, т. 2, гл. XX, а также стр. xivl),
что сам Эйлер замечает ошибочность предложенного им метода,
когда (в § 195) он говорит, что при решении уравнения 2х2 — 5 =
— куб его методом потребовалось бы положить хУ 2 + 1/5 =
= {аУ2 + ЪУЪK - а32У2 -J- За2Ь2У 5 + ЗаЬ25]/2 + &35V 5" и,
следовательно, х = 2а3 + 15аЪ2, 1 = &a2b + ЪЪ3. Из последнего
уравнения следует, что Ъ ¦— ±1 и 6а2 + ЬЪг = +1. Ясно, что это
невозможно. Следовательно, этот метод показывает, что 2х2 — 5
') Незначительное несовпадение в знаке можно исправить, положив
—х — cq2 — р2 и —у --- 2pq, так что х + у У—с = (р — q У—сJ.
2) Обратите внимание на то, что это высказывание явно свидетельствует
о неумеренности Эйлера в правильности его метода.
2.3, Арифметика иррациональных чисел 63
не может быть кубом, несмотря на то что это выражение является
кубом при х — 4. Первоначальная реакция Эйлера па это проти-
воречие заключалась в замечании: «Чрезвычайно важно устано-
кпть причины этого противоречия». Естественно считать, что
is этом замечании Эйлер признает важный недочет своего метода
н предлагает изучить его причины. Однако, как ясно показывают
следующие два параграфа (§ 196, 197), Эйлер был убежден в том,
что источник затруднений заключается в знаке минус в выраже-
нии 2х2 — 5г/2 и в связанном с этим обстоятельством наличии
решений уравнения Нелля х2 — Юг/2 = 1, отличных от тривиаль-
ного решения х — ±1, у — 0 (см. упр. 2). Не вникая в детали,
достаточно сказать, что Эйлер, по-видимому, был уверен в том,
что подобные трудности не возникнут в тех случаях, когда соот-
ветствующее выражение имеет знак плюс. Однако, как было ука-
зано выше, его метод не приводит к успеху в случае 49 — 22 -\-
-¦¦ 5-32, а здесь второе слагаемое положительно и соответствующее
уравнение х2 4- 5г/2 —- 1 имеет только тривиальное решение.
В 1753 г. Эйлер заявил, что он может доказать Последнюю тео-
рему Ферма при тг — 3 (письмо от 4 августа 1753 г. к Гольдбаху,,
приведенное в IF6]); однако единственным опубликованным им
доказательством является доказательство из «Алгебры» A770).
Размышляя об этом ошибочном доказательстве, разумно предпо-
ложить, что в своем первоначальном методе оп использовал менее
оригинальное рассуждение, показывающее, что хг -|- Зг/2 = куб
только тогда, когда х — а3 — 9а62, у = 2>агЪ — ЗЬ3, и что лишь
позже ему пришла в голову элегантная — по неверная — идея
доказать это утверждение, используя тот «факт», что произведение
двух взаимно простых сомножителей х -\- y\f—3 и х — /у]/—3
является кубом, только если кубами являются оба сомножителя.
Независимо от того, правильно или пет это предположение, тех
идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, доста-
точно для доказательства необходимой леммы о кубах вида
**- -\- ЗгД
Упражнения
1. «Число» х -|- у У—с называется единицей, если опо является дели-
телем 1, т, е, если существует другое «число» такого же вида, произведение-
которого на данное число равно 1, Докажите, что единицы взаимно одно-
значно соответствуют решениям уравпепия х% + су2 -- +1. Найдите вс&
единицы вида х -j- у ~\f 2, (Укажите способ нахождения бесконечного числа
единиц и попытайтесь найти их все. Не нужно доказывать, что вы нашли
все единицы.) Найдите все единицы вида х + y~\f—41; вида х + у У—7;
вида х + у уТ; вида х -|- у Y^T. _ _
2. _Предиоложим, что }2— 10g2 = l и х Y'2+y Yb = (f+g ]/'lO)X
X{aY2-{-b YW- Докажите, что 2ж2—5i/2 является кубом, даже есл»
64 Гл. 2. Эйлер
х Yl+yY^ не равно кубу вида (u Y2-\-v ]/5K. Эйлер считал, что это
явлеиие объясняет, почему его методом не удается найти решение а: = 4
уравнения 2х2—5 = куб. Покажите, что 4]/2+]^5 имеет такой вид при
а = 2, Ь=— 1.
2.4. Эйлер о суммах двух квадратов
В 1747 г. сорокалетнему Эйлеру удалось доказать теорему
Ферма о том, что каждое простое число вида An -)- 1 является
суммой двух квадратов. В письме Гольдбаху от 6 мая 1747 г.
[F6], в котором он приводит доказательство этой теоремы, Эйлер
говорлт, что его основная цель состояла в доказательстве другой
теоремы Ферма, согласно которой каждое число можно предста-
вить в виде суммы не более четырех квадратов. Однако доказа-
тельство последней теоремы ускользало от Эйлера до тех пор,
пока ее не доказал Лагранж в 1770 г. (после чего Эйлеру удалось
значительно упростить доказательство), а доказанные Эйлером
теоремы о суммах двух квадратов представляют значительную
ценность. В частности, развитые для их доказательства методы
позволили Эйлеру доказать основные факты о числах вида хг + Зг/2,
а как будет показано в следующем параграфе, те же методы можно
использовать для доказательства утверждений о кубах вида
х2 -f- Зг/2, которые требуются при доказательстве Последней тео-
ремы Ферма в случае п = 3.
Доказательство Эйлера теоремы о том, что каждое простое
число вида 4гс + 1 можно представить в виде суммы двух квад-
ратов, не требует много места и совершенно элементарно. (См.
письма к Гольдбаху, а также [Е8].)
A) Произведение двух чисел, каждое из которых является сум-
мой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
.Это утверждение немедленно следует из формулы
(а2 + Ъ2) (с2 + d2) = (ас — bdJ + (ad + beJ.
B) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов,
/делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то
частное также является суммой двух квадратов. Предположим,
например, что a2 -f- b2 делится на простое число вида р2 -f- q2.
Тогда р2 + q2 делит (pb — aq) (pb + aq) = p2b2 — a2q2 = p2b2 -f-
_f. fa2 — р2а2 — a2q2 = р2 (а2 + Ъ2) — а2 (р2 + q2). Поскольку
это число простое, оно обязано делить либо рЪ — aq, либо pb -f- aq.
Предположим сначала, что р2 -\- q2 делит pb + aq. Тогда из тож-
дества (а% -f- Ъ2) (р2 + q2) = (ар — bqJ -f- (аЧ + ЬрJ следует, что
р2 + q2 должно делить также и (ар — bqJ. Следовательно, обе
части этого тождества можно разделить на квадрат числа р2 -f- q2,
и в результате получится требуемое выражение (а2 + Ь2)/(р2 -j- q2)
в виде суммы двух квадратов. Второй случай, когда р2 -f- <72 делит
2.4. Эйлер о суммах двух квадратов 65
pi) — aq, можно рассмотреть аналогичным образом, используя
тождество (а2 + Ъ2) {ф + р2) = {aq — ЪрJ + {ар -\- bqf.
C) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов,
селится на число, которое не является суммой двух квадратов, то
частное имеет делитель, который не представим в виде суммы
овух квадратов. По существу, это противоположное к B) утвер-
ждение. Предположим, что х делит a2 -j- Ъ2 и что разложение част-
ного на простые множители имеет вид р±р2 . . . рп. Тогда а2 + Ь2=
¦¦-- xpiP2 . . . рп. Если бы все множители рг, р2, . . ., рп были
представимы в виде суммы двух квадратов, то а2 -\- Ъ2 можно было
бы последовательно разделить на ръ р2, . . ., рп, и из утвержде-
ния B) мы получили бы, что каждое частное, до х включительно,
иредставимо в виде суммы двух квадратов. Следовательно, если х
не является суммой двух квадратов, то хотя бы один из простых
множителей ръ рг, . . ., рп не представим в виде суммы двух
квадратов.
D) Если а и Ъ взаимно просты, то каждый делитель числа
а'1 -\- Ъ2 является суммой двух квадратов. Пусть х — делитель
а2 -)- Ъ2. Представим а и Ъ в виде а = тх + с, Ъ = пх + d, где с
и d не превосходят х/2 по абсолютной величине. Тогда a2 -f- Ъ2 =
= т2х2 ± Ъпхс +с- + п2х2 ± 2nxd + d2 =¦¦ Ах + (с2 -\- d2) делит-
ся на х, поэтому с2 + d2 должно делиться на х. скажем с2 -f d2 =
-- ух. Если с и d имеют общий делитель, больший единицы, то он
не может делить х, поскольку тогда он делил бы а и Ъ, что проти-
воречит предположению. Следовательно, обе части равенства
с- -\- d2 = ух можно сократить на квадрат наибольшего общего
делителя чисел с и d и получить равенство вида е2 + /2 = zx.
Кроме того, z ^ х/2, поскольку zx = е2 -\- f ^ с2 -\- d2 ^ {х/2J -\-
+- (х/2J = х2/2. Если бы х не был суммой двух квадратов, то,
согласно C), нашелся бы такой делитель числа z (обозначим его
w), который нельзя представить в виде суммы двух квадратов.
Но это привело бы к бесконечному спуску — переходу от числа х,
которое не является суммой двух квадратов, но делит сумму квад-
ратов двух взаимно простых чисел, к меньшему числу w, обла-
дающему такими же свойствами. Следовательно, х должен быть
суммой двух квадратов.
E) Каждое простое число вида An -\- 1 является суммой двух
квадратов. Следующее элегантпое доказательство этого утвержде-
ния Эйлер впервые сообщил Гольдбаху в 1749 г.— предложенное
двумя годами раньше первое доказательство в этом месте было
довольно неясным. Если р = An + 1 — простое число, то, соглас-
но теореме Ферма, каждое из чисел 1, 24п, 34п, . . ., {Ап)ы на еди-
ницу больше некоторого кратного р. (Следующее за {Ап)ы чисдо
р4п делится на р, а все последующие числа от {р -\- 1Lп до Bр —• X)f
на единицу больше некоторого кратного р, и т. д.) Следовательно,
псе разности 24п — 1, 34п — 24п, . . ., DгсLп — {An — i)in **1
5 Г. Эдварде
66 Гл. 2. Эйлер
на р. Каждую из этих разностей можно разложить в произведение
вида а4п — Ъы = (а2п + Ь2п) (а2п — Ь2п), и р, как простое число,
обязано делить один из множителей. Если хотя бы в одном из
An — 1 случаев оно делит первый множитель, то, ввиду D) и вза-
имной простоты данного числа и следующего за ним, р является
суммой двух квадратов. Поэтому достаточно доказать, что р
не может делить все An — 1 чисел 22п — 1, 32п — 22п, . . .
. . ., (АпJп — (An — 1Jп. Это легко сделать следующим образом.
Если бы р делило все эти числа, то оно делило бы и все An — 2
разности следующих друг за другом чисел, все An — 3 разности
этих разностей, и т. д. Но нетрудно убедиться (см. упр. 2), что
к-е разности последовательности Iй, 2fe, 3fe, 4fe, . . . постоянны
и равны к\ (см. табл. 2.4.1). Таким образом, все 2гс-е разности
Таблица 2.4.1. Разности от xh
fe-1 12 3 4 5 6 7
1-е разности 1 1 1 1 1 1 ...
2-е разности 0 0 0 0 0 0
к -2 1 4 9 16 25 36 49 ...
1-е разности 3 5 7 9 11 13 ...
2-е разности 2 2 2 2 2 ...
3-и разности 0 0 0 0 ...
к Ъ- 1 8 27 64 125 216 343 512 ...
1-е разности 7 19 37 61 91 127 169
2-е разности 12 18 24 30 36 42
3-й разности 6 6 6 6 6 ...
4-е разности 0 0 0 0 ...
«М 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 ...
1-е разности 15 65 175 369 67J 1105 1695
2-е разности 50 ПО 194 302 434 590
3-й. разности 60 84 108 132 156
4 -е разности' 24 24 24 24 ...
5-е разности 0 0 0
последовательности 1, 22п, 32п, 42п, . . . равны Bп)\ и, следова-
тельно, не делятся на р = An -f- 1. Если бы р делило первые
An — 1 первых разностей 22П - 1, 32п - 22П, . . ., (АпJп -
— (An — 1Jп, то оно делило бы и первые An — 2п 2п-х разностей,
что не имеет места. Следовательно, р не делит хотя бы одну из этих
An — 1 первых разностей, что и требовалось показать.
В важном письме 1658 г. к Дигби, опубликованном в собрании
работ Валлиса и потому, вероятно, известном Эйлеру, Ферма
2.4. Эйлер о суммах двух квадратов 67
[1'4] утверждает, что он иолучил неопровержимые доказательства
(fiirnissimus demonstrationibus) следующих утверждений: (а) каж-
дое простое число вида An + 1 является суммой двух квадратов;
ф) каждое простое вида Зп -f- 1 нредставимо в виде a2 -J- ЗЬ-, (с)
каждое простое вида 8п + 1 или 8п -\- 3 представимо в виде
a2 -J- 262 и (d) каждое число является суммой трех или меньше
треугольных чисел, четырех или меньше квадратов, пяти или
меньше пятиугольных чисел, и т. д. Эйлер жаждал доказать пос-
леднее из этих утверждений — особенно в той части, где говорится,
что каждое число представимо в виде суммы не более четырех
квадратов, поэтому для него было естественным попытаться исполь-
зовать методы, которыми он доказал первое из этих утверждений,
для доказательства остальных, Он обнаружил, что (с) и (а) но-нреж-
пему недостижимы для пего, однако утверждение (Ь) можно дока-
пать почти так же, как (а).
Главное различие между доказательствами утверждений (а) и
(Ь) состоит в рассмотрении простого числа 2. Заметим, что для
представлений чисел в виде а2 + ЗЬ- утверждение D) неверно.
Действительно, I2 -f- 3 *12 делится на 2, но 2 не представимо в виде
а~ -f- ЗЬ2. Заметим также, что если доказательство утверждения D)
применить к представлениям в виде о2 ч- ЗЬ2. то неравенство
zx < (х/2J + (x/2f = х2/2 заменится на %х < (х/2J + 3 (х/2J =
= х2. Таким образом, z =s^ x и отсутствует строгое неравенство,
которое требуется для осуществления спуска. Однако если х
нечетно, то неравенства | с | ^ х/2, | d | ^ х/2 превращаются
в строгие неравенства | с \ < х/2, | d \ < х/2, и получается тре-
буемое неравенство ъ < х. Доказательство аналога утверждения
D) для представлений в виде а2 -\- ЗЬ2 можно провести следующим
образом.
A') Произведение двух чисел, каждое из которых можно пред-
ставить в виде а2 -\- ЗЬ2, само представляется в таком виде. Это
утверждение следует из тождества (a2 -f- ЗЬ2) (с2 + 3d2) = (ас —
- 3bdJ + 3 (ad + beJ.
B') Если число вида а2 -\- ЗЬ2 делится на 2, то оно должно де-
литься на 4, и частное от деления на 4 само должно иметь вид
с- -+- 3d2. Если а и Ъ имеют противоположную четность, то а2 -f ЗЬ2
не делится на 2. Если а и Ъ четны, то а2 -\- 3bz делится па 22, и част-
ное имеет вид с2 + 3d2, где с = а/2, d = 6/2. Наконец, рассмотрим
случай нечетных а и Ъ. Тогда а = Am ±1и& = 471 + 1 при соот-
ветствующем выборе чисел т и п и знаков. Следовательно, либо
a -f- Ъ, либо а — Ъ делится на 4. Если а + Ъ делится на 4, то
4 (а2 + ЗЬ2) = (I2 + 342) (а2 + 362) = (а — ЗЬJ + 3 (a -f- b)e
делится на 42. Действительно, а — ЗЬ = (a -f- Ъ) — 46. Отсюда
следует, что (а2 + 362)/4 имеет вид с2 + 3d2. Если а — Ъ делится
па 4, то к такому же выводу можно прийти, используя представле-
ние 4 = (—IJ + 3-12 вместо 4 = I2 + 3-12.
68 Гл. 2. Эйлер
C') Если число вида a2 -j- ЗЬ2 делится на простое вида р- -f-
4- Зд2, то частное представимо в виде с1 -j- 3d2. Основной шаг
в доказательстве утверждения снова состоит в замечании, согласно
которому (рЪ — aq) (pb 4- aq) = p2b2 4- 3</262 — 3</2&2 — a2g2 =
= 62 (p- + 3g2) — g2 (a2 + 362) делится на p- + 3g2. Ho /r + 3q- —
простое, следовательно, либо pb — aq, либо pb 4- a? делится на
p2 -f- Зд2. Таким образом, при правильном выборе знака
(р2 4- 3q2) (а2 4- 36я) = [р2 4- 3 (±?J1 (а2 4- 362) = (р« ¦+ 3qbJ+
4- 3 (рб + aqJ можно разделить па (р2 4- Зд2J; отсюда
следует, что (а2 4- Sb2)/(p2 4- 3</2) имеет требуемый вид.
D') Если число, которое можно записать в виде а2 -{- ЗЬ'~, имеет
нечетный делитель, не представимый в таком виде, то и частное име-
ет нечетный делитель, который не представим в таком виде. Нустъ
ху = а2 4- 2>Ъ2, где х печетио. Если у четно, то. согласно B'). оно
делится на 4 и а; (г//4) = с2 4- 3d2. Этот процесс можно продол-
жать до тех пор, пока y/Ah не станет нечетным. Следовательно,
у — PlP2 • • • Рп> гДе каждое из чисел ри . . ., рп либо равно 4,
либо является нечетным простым. Если все нечетные простые,
входящие в это разложение числа у, можно записать в виде с" 4-
4- 3d2, то ху = а2 4- 362 можно последовательно разделить па
каждое из чисел pt, . . ., рп и из утверждений B') и C') мы полу-
чим, что х можно представить в виде с2 4- 3d2. Следовательно, если
х непредставимо в таком виде, то у должно иметь нечетный дели-
тель, который также нельзя представить в виде с2 4- 3d2.
E') Если а и Ъ взаимно просты, то каждый нечетный делитель
числа а2 4- ЗЬ2 представим в виде с2 4- 3d2. Пусть х — нечетный
делитель числа а2 4- 362. Тогда а = тх ± с, Ъ = пх ± d, где
| с | < х/2, | d | <Z х/2 (здесь использована нечетность х). Число
с2 4- 3d2 делится на х, скажем с2 4- 3d2 = ху. где у < х. Ни один
общий делитель чисел cud. больший 1, не может делить х, по-
скольку в этом случае а и Ъ не были бы взаимно простыми. Следо-
вательно, обе части равенства с2 4- 3d2 = ху можно сократить па
квадрат наибольшего общего делителя с и d и получить е'1 4- З/2 =
= xz, где ей/ взаимно просты. Если х нельзя представить в виде
а2 -\- ЗЬ2. то, согласно D'), z имеет нечетный делитель (обозначим
его xd), который также непредставим в таком виде. Следовательно,
существование нечетного числа х, делящего число вида а2 4- ЗЬ2
(где а и Ъ взаимно просты) и непредставимого в таком виде, влекло
бы за собой существование меньшего числа w с теми же свойствами.
По принципу бесконечного спуска отсюда следует требуемое
заключение.
Каждое простое, кроме 3, имеет вид Зп 4- 1 или Зп 4- 2. Число
вида Зп 4- 2 нельзя представить в виде а2 4- ЗЬ2. Действительно,
если а2 4- ЗЬ2 не делится на 3. то а не делится на 3, а = Зт + 1,
и а2 4- ЗЬ2 па 1 больше некоторого кратного числа 3. Таким обра-
.зом, согласно E'). нечетное простое, которое делит число вида
2,4. Эйлер о суммах двух квадратов 69
а* _- 36'2 при взаимно простых а и Ъ, не представляется в виде
;3н -|- 2. Если а и Ъ не взаимно просты, то a2 -f- 362 = d2 (e2 -(- З/2),
где d — их наибольший общий делитель и числа ей/ взаимно
просты. Таким образом, число вида a2 -f 362 можно записать
в виде произведения квадрата на число, не имеющее нечетных про-
стых делителей вида Зп -\~ 2. Согласно B'), входящая в разложе-
ние а1 -|- 362 стенень простого числа 2 является некоторой сте-
пенью числа 4 и, следовательно, квадратом. Таким образом, необ-
ходимое условие представимости данного числа в виде a2 -j- ЗЪ2
состоит в том, что частное от деления этого числа на наибольший
содержащийся в нем квадрат не имеет простых множителей вида
он -J- 2, Для доказательства достаточности этого условия нужно
только доказать следующее:
F') Каждое простое вида Зп -\- 1 представимо в виде a- -f 2>Ъ2.
Как и раньше, по теореме Ферма, простое р — Зп -}- 1 делит р — 2
разности чисел 1, 23", З3", . . ., (р — IK". Каждую из этих раз-
ностей можно разложить на множители: а3п — Ь3п = (ап - - Ьп) X
X (а2п -}- anbn -f- Ъ2п). Поскольку а или Ъ четно, второй множитель
можно записать в виде А2 + Л BВ) -f B11)* = (А + БJ + Зй2
со взаимно простыми А и В. Следовательно, согласно E'). если р
не делит р — 2 разности чисел 1, 2П, 3™, . . ., (р — 1)п, то оно
обязательно имеет вид с2 -j- 3d2. Если бы р делило р — 2 разности
этих чисел, то оно делило бы и и!, что невозможно. Следовательно,
р должно иметь вид с2 -f 3d2, что и требовалось доказать.
Применение тех же рассуждений к представлениям в виде
а'" + 2Ъ2 позволяет доказать следующее утверждение: для того
чтобы данное число было представимо в виде a2 -f 2b2, необходимо,
чтобы частное от деления этого числа на наибольший содержащий-
ся в нем квадрат не имело простых делителей вида 8п -| 5 или
Нп -л- 7. Для доказательства достаточности этого условия нужно
только показать, что все простые вида 8п -\- \ или 8п -f 3 можно
представить в виде а2 + 262. Именно это последнее утверждение,
аналогичное F'), Эйлеру не удалось доказать; впервые его дока-
.чал Лагранж. (Доказательство приведено ниже в упр. 6 и 7.)
i пражнения
1. Предположим, что некоторое простое представило i виде а2 + б2.
Докажите единственность такого представления. [Используйте доказатель-
ство утверждения B).] Справедливо ли это утверждение для простых вида
а2 + 262 или а2 + 362?
2. Докажите, что ге-е разности от хп равны ге! (и, следовательно, все
более высокие разности тождественно равны нулю). [Докажите, что первая
разность от мпогочлена ге-й степени является многочленом (ге — 1)-й степени.]
3. Используя арифметику иррациопальностей, получите формулу
(а2 + 362) (с2 + 3d2) = {ас — 3bdJ + 3 (ad + 6сJ. Проделайте то же самое
ч выведите аналогичную формулу для чисел вида а2 -\- kd2.
70 Гл. 2. Эйлер
4. Докажите, что каждый делитель числа вида а2 — 262 при взаимпо
простых а п b представим в таком же пидо с2 — 2<Р.
5. В § 1.7 было замечено, что 21 представимо в виде а2 -\- 562, но ни 3,
ни 7 не нредставимы в таком виде, Найдите, в каком месте перестают работать
методы данного параграфа, если попытаться примепить их для доказатель-
ства утверждения, согласпо которому каждый делитель дапного числа вида
а2 -\- ЬЬ2 со взаимно простыми а п Ь представим в виде с2 -\- bd2.
6. Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8ге + 3
представимо в виде а2 -\- 2Ь2, Пусть р — 8ге + 3 — простое число. Через х
обозначим целое (р + 1)/2. 'Гак как х8п+2 — 1 делится па р, то хЯп {р -\- IJ —
— 4 делится на р и, следовательно, {xin — 2) (,r4n + 2) долится на р. Исполь-
зуя упр. 4, покажите, что р не может делить х*п — 2, Следовательно, р делит
х4" + 2, Заключите отсюда, что р — а2 -\- 262.
7. Следующим образом докажите, что каждое простое вида 8ге + 1
нредставимо в виде а2 + 2Ь2. Пусть р — 8ге + 1 — простое. Последователь-
ные разности чисел 1, 28», З8", 48", . . , можно разложить в произведения
asn — ьы = (а4п — j4nj (а4п _|_ bin), и второй мпожитель можно записать
в виде (а2п — б2"J -\- 2 (anbnJ. Доказательство получается иа этих замеча-
ний при помощи методов данпого параграфа.
8. Покажите, что эйлерово доказательство утверждения B) можпо полу-
чить при попытке произвести деление {а-\- Ъ ]/ — i)/(p ±q V —1).
9. Дайте другое доказательство утверждения E), показав, что сравпе-
ние (,г + IJ" — х2п == 0 (mod p) имеет не более 2ге различных корней по моду-
лю р (в действительности число корней пе превосходит 2ге — 1), Вообще, если
хотя бы одип коэффициент многочлена / (,г) степени т не сравпим с пулем
по модулю р, то сравнение / (х) = 0 (mod р) имеет пе более т различных
решений, [Не ограничивая общности, можпо предположить, что старший
коэффициент / (х) не сравпим с нулем по модулю р. Если г — произвольное
решение сравнения /(r)sO (mod р), то / {х) — {х — г) q (х) -\- с, где q (x) —
многочлен степени т. — 1, старший коэффициент которого совпадает со стар-
шим коэффициентом мпогочлепа j(x), ас — целое число, сравнимое с пулем
но модулю р. Каждое решение s сравпепия / («) = 0 (mod p) (за возможным ис-
ключением s = г) является решением сравпения q (s) = 0 (mod p). При
т --¦ 0 доказываемое предложение, очевидно, справедливо,]
10. В § 1,8 было указано, что все простые делители числа 232 + 1
сравпимы с 1 по модулю 64, так что 641 является только пятым простым,
которое может делить 232 + 1. Покажите, что в действительности простые
делители числа 232 -]- 1 должны быть сравпимы с 1 по модулю 128, так что
641—только второе простое число, подлежащее рассмотрению. [Пусть р —
простой делитель числа 232 + 1- Так как р =з 1 (mod 64), то р делит х2 — 2
для некоторого х. Но хР-1 =з 1 (mod p), поэтому предыдущие рассуждепия
показывают, что 64 делит (р — 1)/2.]
11. Разложите 232 — 1 на простые делители и получите отсюда, что 257
лит 232^+]1. [Здесь не требуется никаких вычислений.]
2.5. завершение ц>:« ательства Последней теоремы
Ферма при и = 3
Идея Эйлера проводить вычисления с «числами» вида a -f
-Ь Ь\/ —с тесно связана с использованием формулы
(х- -f- СУ2) (и2 + cv2) = (хи — cyvJ -J- с (xv + уиJ,
которая неоднократно встречалась выше. Эта формула утверждает
следующее. Предположим, что целое число Л является ироизве-
2.5. Завершение доказательства при п ~ 3 71
пишем целых В п С, представимых в виде a2 -j- cb2, скажем В =
,v хг 4- С*Л С — u2 -f су2. Тогда Л тоже можно записать в таком
виде, используя для нахождения а и Ъ формулу а -\- &]/—с —
= (я -г */У~с) (и -г v\/^c).
Лемма, необходимая для доказательства Последней теоремы
Ферма при п — 3. утверждает, что если а и Ъ взаимно просты
II а- -\- ЗЬ2 является кубом, то a -f- 6|/—3 ¦=(/>-!- 9К —ЗK при
некоторых целых р vi q. Для доказательства этого утверждения
естественно продолжить рассуждения Эйлера лишь на один шаг
дальше и «разложить» а -}- ^У^—3 следующим образом.
A) Если а и Ъ взаимно просты и a2 -J- ЗЬ2 — четное число, то
a -J- &1/"—3 можно записать в виде
при соответствующем выборе знака и целых и, v. Поскольку
а2 4- ЗЬ2 четно,'а и Ъ должны быть числами одинаковой четности;
но они взаимно просты, следовательно, они должны быть нечет-
ными. Таким образом, каждое из пих имеет вид 4и + 1 и либо
а -{- Ь, либо а — Ъ делится на 4. Если а -\- Ъ делится на 4, то ра-
венство 4 (а2 + ЗЬ2) = (I2 + 3 -I2) (а2 + ЗЬ2) - (а - ЗЬJ + 3 х
X (a -f ЪJ можно разделить на 42 и представить (а2 -|- 362)/4
л виде и2 -f 3v2, где и = (а — 36)/4, у = (a -f 6)/4. Заметим, что
последпие соотпошения эквивалентны равенству и -j- уУ —3 =
— (а 4- ^У^—2) A 4- V^—3)/4; поэтому они позволяют выразить
аи?? через м и v и получить, как и требуется, A — У —3) X
X (и 4- у|/—3) = а 4- ^К—3. Аналогично, если а — Ъ делится
на 4, то а -\- Ъ\[—3 - A 4 V—3) (и 4- v\/—3) при подходящих
и и v. При этом и и v взаимно просты (поскольку в противном слу-
чае а и Ъ не были бы взаимно простыми) и а2 -\- ЗЬ2 = 4 (и1 -| 3i;2).
B) Если а и Ъ взаимно просты и а2 -\- ЗЬ2 делится на нечетное
простое Р, то Р можно представить в виде Р = р2 4- 3<?2 с поло-
жительными целыми р и q, a a -\- b\f—3 представимо в виде а 4-
4- Ъ\/ —3 = (р ± q\/ —3) (и 4- v\f—3) при соответствующем вы-
боре знака и целых и и v. Первое утверждение, согласно которому
Р = р2 4- 3?2? совпадает с утверждением E') из предыдущего пара-
графа. Как и в доказательстве Эйлера, либо pb -\- aq, либо рЪ —
— aq делится на Р. Если pb -\- aq делится на Р, то обе части
равенства Р (а2 -+- ЗЬ2) = (р2 + 3q2) (а2 + 31г) = (ра — 3qb)- +
4- 3 (pb 4- я?J можно разделить на Р2 и записать (а2 4- ЗЬ2)/Р
и виде и2 4- 3v2, где и =¦ (ра — 3qb)/P и v = (pb -j- aq)/P, т. е.
и4- v V=3 ~- (p + q V^3) (a + b 1^=3)/P.
72 Гл. 2. Эйлер
Тогда умножение на р — qY—3, как и требуется, дает
{р — qY—3) (и -f- vY—3) = a -f- bY—3. Аналогично, если рЬ —
— aq делится на Р, то a -f- bY—3 = (р 4- q}/ —3) (it + yj/ —3),
Здесь снова и и i> взаимно просты и а2 -\- ЗЬ2 =¦- Р (м.2 -|- 3i>2).
C) Пусть а и Ъ взаимно просты. Тогда a -f bY —3 можно запи-
сать в виде
а + Ъ К^З = ± (Pi ± qt V=z) (р2 + ?2|/^3).. .(Рп ± qn j/ = 3)r
где Pi и qt — положительные целые и р\ -\- 3q\ равно либо 4, либо
нечетному простому числу. Если а2 + 3&2 четно, то оно делится
на 4, Если a2 -f 3&2 Ф 1, то это число имеет делитель Р, равный
либо 4, либо нечетному простому, и из утверждения A) или B)
следует, что а -\- Ь~\/—3 = (р ± qV—3)-(и -f v\/ —3). где р2 +
+ Зд^ = Р. Тогда и и v взаимно просты, и задача выделения мно-
жителя р ± qY—3 из и -f vY—3 совпадает с задачей выделения
такого множителя из a -J- &]/ —3, за исключением того обстоя-
тельства, что и2 + 3i>2 = (а2 -)- ЗЬ2)/Р меньше а2 -\- ЗЬ2. Повторе-
ние этого процесса приведет в конце концов к выражению вида
где и2 + 3v2 = 1. Тогда и = ±1, v = 0, и + ^/"^ = ±1,
и разложение завершено.
D) Пусть а и Ъ взаимно просты. Тогда множители в приведен-
ном выше разложении а ~\- ЪУ —3 однозначно определены (с точно-
стью до выбора знаков) тем обстоятельством, что (ргг -(¦¦ 3qf) X
X (pi -f 3ql) . . . (р*п -j- 3ql) — a2 -f 3&2 является разложением
a2 -f- 3b2 на нечетные простые множители и множители, равные
4. Кроме того, в это разложение может входить только один из
множителей р -f- ?|/—3 или р — qY—3. Для доказательства пер-
вого утверждения следует показать, что р2 -f- 3q2 = Р определяет
р и q с точностью до знака; здесь Р = 4 или Р — нечетное простое.
При Р = 4 это утверждение очевидно. Пусть Р — нечетное про-
стое. Если бы a2 -f- 3b2 было другим представлением простого Р.
то, согласно B),
и Р =_Р_(ы2 + Зу2), т. _e^_u2 -f- 3i;2 = 1, и = ±1, у = 0, а +
-f- 6|/—3 = zfc^ ± ^У^—3), что и требовалось показать. Второе
утверждение следует из того, что множители р -f qY—3 ир —
— qY—3 в произведении давали бы множитель р2 + 3#2. а это
при взаимно простых а и Ъ невозможно.
Теперь легко доказать лемму, которая требуется для заверше-
ния эйлерова доказательства Последней теоремы Ферма при п = 3.
2.5. Завершение доказательства при п = 3 73
2
Лемма. Пусть а и Ъ — такие взаимно простые числа, что а
_f- ЗЪ2 является кубом. Тогда существуют такие целые р и q, что
Доказательство. Пусть а2 -f- ЗЪ2 = РуР2 ... Рп — такое раз-
ложение числа a2 -f ЪЪ2 на множители, равные нечетным простым
пли 4, как в утверждении D). Если это разложение содержит и точ-
ности к множителей, равных 4, то 22к является наибольшей сте-
пенью числа 2, которая делит a2 -f 3b2, а поскольку a2 -j- 3&а
является кубом, отсюда следует, что 2/с, а потому и к делятся на 3.
Кроме того, любое нечетное простое Р должно входить в это раз-
ложение с кратностью, делящейся на 3. Следовательно, п делится;
на 3 и множители Рг, Р2, . . ., Рп можно сгруппировать таким1
образом, что Pgh+i = Рзь + 2 == Р 3h+3~ Отсюда вытекает, что
и разложении числа a -f- ЪУ—3, полученном в утверждении C),
множители, соответствующие каждой группе из трех чисел Р,
совпадают, поскольку единственной альтернативой является выбор-
знака в р ± qY—3, а числа с различными знаками не могут одно-
временно входить в это разложение. Если из каждой такой группы
из трех множителей выбрать один и выбранные числа перемножить,,
то мы получим такое число с -f- d|/—3. что а -\- ЪУ—3 =¦
= ±{с 4- &Y—ЗK. Так как —(с 4- d|/—ЗK = (—с — dj/—З)8,.
отсюда следует требуемое заключение.
Упражнения
1. Для доказательства следующего утверждения требуется только незна-
чительная модификация проведенных выше рассуждений. Пусть а и Ъ — вза-
импо простые числа; предположим, что а2 + 2Ь2 является кубом. Тогда суще-
ствуют такие целые р и q, что а + Ь У—2 = (р -\- q У—2K. Используйте-
это предложение для доказательства утверждения Ферма, согласно которому
единственным решением уравпепия х2 -\- 2 = у3 в целых числах является
52 -|- 2 = З3.
2. Аналогично, пусть а и 6 взаимно просты," предположим, что а2 + Ь2'
является кубом. Докажите, что а + ЬУ—1 = (р + q У—IK. Доказатель-
ство этого утверждения при а = 0, 6=1 требует особого внимания. Дока-
Жите, что единственным решением уравпения х2 + 4 =-¦ xj3 в целых числах
при нечетном х является 112-|-4=53. [Это доказательство и доказательство
упр. 1, по существу, предложены Эйлером, одпако Эйлер, кажется, не заме-
тил того, что этот метод решения уравнения а2 -\- Ь2 — куб предполагает
взаимную простоту а и 6. Поэтому его доказательство того, что х = 4, 11
являются единственными решениями уравнения х2 -\- А — у3, неполно.]
3. Дополните доказательство утверждения о том, что II2 + 4 = 53"
и 22 + 4 = З3 являются единственными решениями уравнепия z2-f4 = у3)
доказав, что если х2 + 4 = у3 и х четно, го х = +2. [Дапное уравнение1
приводит к_уравнению и2 + 1 = 2Л Используйте делепие числа и + У~~~1
па 1 + У—1 для того, чтобы записать у3 = (и2 + 1)/2 в виде суммы двЗ*
квадратов, скажем а2 -\- Ь2. Поскольку а и Ъ отличаются па 1, они взаимно-
74 Гл. 2. Эйлер
просты п можно получить равенство 1 = (р + q) (р2 — Apq -\- q2), где р и q
целые. Таким образом, р -\- q — р2 — ipq -\- q2 — +1 и —6pq = 0 или —2.
Следовательно, р или q должпо равпяться 0, что приводит к х = +2.]
4. Докажите, что в утверждении C) самое большее одно из чисел р\ +
-\- 3<7; равно 4.
5. Найдите все представления в виде а2 + ЗЬ2 (а, Ь — не обязательно
взаимно простые) следующих чисел: (а) 91; (Ь) 49; (с) 336.
2.6. Дополнение о суммах двух квадратов
В одном письме от 1654 г. Паскалю IF3], которое почти навер-
ное не было известно Эйлеру, Ферма сформулировал некоторые
свои теоремы, среди которых была теорема о представимости каж-
дого простого числа вида 4тг -f- 1 в виде суммы двух квадратов.
Список приведенных в этом письме теорем почти совпадает со спи-
ском теорем из упомянутого выше письма к Дигби (§ 2.4), однако
есть и важное различие. В письме к Паскалю Ферма дополнитель-
но ставит задачу нахождения разложений в виде суммы двух квад-
ратов, а именно: «для любого данного простого числа такого вида,
скажем 53, найти по общему правилу два квадрата, из которых это
число составлено» (курсив наш). Конечно, такое разложение всег-
да можно найти методом проб и ошибок (в примере Ферма решение
таким методом: 53 — 4 + 49 — получается почти мгновенно).
Ясно, однако, что Ферма придавал особую важность нахождению
более методичного и эффективного способа.
Доказательство Эйлера является косвенным; оно использует
рассуждение от противного, которое показывает, что если бы про-
стое число вида 4тг + 1 не было суммой двух квадратов, то можно
было бы указать бесконечно убывающую последовательность
положительных целых чисел. Следовательно, это доказательство
не решает предложенную Ферма задачу нахождения конструктив-
ного метода. Однако, как часто бывает в таких ситуациях, более
тщательный анализ этого доказательства от противного показы-
вает, что его можно видоизменить и получить конструктивное дока-
зательство, причем эта модификация придает и самому доказа-
тельству большую ясность.
Предложение E) из доказательства Эйлера вполне конструк-
тивно. В нем утверждается, что для простого числа 4тг -f- 1
по крайней мере одно из чисел 12n -f- 22п, 22п -f- 32п. . . .
. . ., Dтг — 1Jп -+- DтгJп делится на 4тг -(- 1. В примере Ферма
4/г J- 1 = 53 легко проверить, что уже первое число 1 -f- 2м
из этого списка делится на 53. В обозначениях для сравнений *)
находим: 26 = 64 = 11 (mod 53), 212 = 112 = 121 = 15 (mod 53),
213 = 2 -15 = 30 (mod 53), 226 = 900 = —1 (mod 53); следователь-
но, 226 -J-- 1 делится на 53. То обстоятельство, что 53 делит 226 -f 1,
используется в доказательстве Эйлера для того, чтобы показать,
:) См. приложение, § А.1.
2.6. Дополнение о суммах двух квадратов 75
что 53 делит сумму двух квадратов. Приведенные выше вычисления
дают в явном виде сумму двух квадратов, делящуюся па 53, а
именно 302 4- 1 = 17 • 53. В предложении D) Эйлер приходит
к заключению, что 53 должно' быть суммой двух квадратов,
поскольку в противном случае возникла бы конструкция беско-
нечного спуска. Задача состоит в том, чтобы дать прямое доказа-
тельство этого утверждения, не прибегая к доказательству от
противного.
В общем случае при р — 4тг 4- 1 методом Эйлера можно найти
представление a2 4- b- -- kp, где а и Ъ взаимно просты и k <Z p.
Грубо говоря, задача состоит в том, чтобы найти какой-нибудь
способ, позволяющий сократить обе части этого равенства па к.
Эйлерово доказательство утверждения B) показывает, как делить
на простые числа, которые являются суммами двух квадратов.
Легко показать, что каждый простой делитель числа a" 4- Ъ2 либо
равен 2, либо имеет вид in -f- 1 (см. упр. 2 из § 1.8); поэтому мож-
но делить на к, если разложить число к на простые множители,
представить каждый такой множитель в виде суммы двух квадра-
тов и делить на каждый такой множитель в отдельности. В рас-
сматриваемом случае число к = 17 само является простым, и его
очень легко записать в виде суммы двух квадратов, а именно
17 = Г2 -|- 42. Процесс деления состоит в том, чтобы записать
17.17. 53 ¦-= A24-42) C0а 4- I2) ~= C0 =F 4J -|- A + 120J и вы-
брать знаки таким образом, чтобы сделать возможным деление
па 17. Как и требуется, это дает 53 = C4/17J 4- (И9/17J =
= 22 4- 7а.
Этот метод сводит задачу представления простого числа р
в виде суммы двух квадратов к задаче представления меньших
простых вида 4/г -|- 1, а именно простых делителей числа к, в виде
суммы двух квадратов. Возможно, это и есть тот самый метод,
который имел в виду Ферма, когда описывал свое доказательство
при помощи бесконечного спуска следующими словами: «Если бы
выбранное простое число, которое на единицу больше некоторого
числа, делящегося па 4, не было суммой двух квадратов, то суще-
ствовало бы простое число такой же природы, меньшее заданного,
а затем еще и третье, и т. д., бесконечно убывая до тех пор, пока
не будет достигнуто простое число 5, которое является наименьшим
из всех чисел такой природы; отсюда следовало бы, что 5 не яв-
ляется суммой двух квадратов, что не соответствует действитель-
ности. Отсюда сведением к абсурду следует заключить, что все
числа такой природы являются суммами двух квадратов». (Пись-
мо к Каркави [F5].)
Однако этот метод приводит к очень длинным вычислениям,
так как требуется определить, будет ли число к простым (что всегда
является трудным процессом), разложить его на множители (если
:>то возможно) и представить каждый множитель в виде суммы двух
76 Гл. 2. Эйлер ^
квадратов. В общем случае значительно лучший метод состоит
в сокращении на к ценой умножения на некоторое меньшее число
п (вместо к). Это можно сделать следующим образом. Как и в эйле-
ровом доказательстве утверждения D), воспользуемся равен-
ством a2 -f Ъ2 = кр для нахождения меньшего числа, кратного р
и предетавимого в виде суммы двух квадратов. Для этого запишем
а -¦ дгк ± с, Ъ =¦¦ q2k ± d и заметим, что к должно делить с2 4- d2,
скажем с2 -j- dr — пк. Поскольку | с | ^ к/2, \ d | <; к/2, мы полу-
чаем, как и раньше, что п ^ к/2. Кроме того, пккр — (с2 - d2) x
X (a2 4 &2) — (са + й^J + (cb ± daJ. Паша цель состоит в том,
чтобы разделить обе части этого равенства на к2, иоскольку к
не обязательно простое, здесь нельзя применить использованный
раньше метод доказательства делимости cb -\- da или сЪ — da на к.
Однако можно воспользоваться более простым методом. Заметим,
что сЪ ± da — с (q2k ± d) ± d (дгк ± с) делится на к, если знаки
выбрать таким образом, что слагаемые ±cd ± dc взаимно уничто-
жаются. Следовательно, обе части этого равенства можно разде-
лить на к2: что приведет к представлению пр в виде суммы двух
квадратов. Если п — 1. то р уже записано в виде суммы двух
квадратов. В противном случае этот процесс можно повторить
и получить целое число т ^ п/2 и представление тр в виде сум-
мы двух квадратов. Продолжая этот процесс, мы должны в конце
концов прийти к представлению р в виде суммы двух квадратов.
В примере 302 + I2 = 17. 53 имеем с = -4, d = 1. 42 4- I2 =
= 17. и это тот же процесс, что и выше. В качестве второго приме-
ра рассмотрим случай р = 229. На первом шаге надо вычислить
2114 по модулю 229. Здесь 28 =- 256 = 27 (mod 229); 216 = 272 =
= 729 == 42 (mod 229); 232 = 422 = 1764 = —68 (mod 229); 264 =
= 682 = 4624 = 44 (mod 229); 296 = (—68) D4) =¦ -2992 =
= -15 (mod 229); 2112 = (-15) D2) = -630 = 57 (mod 229);
2m = 4-57 = —1 (mod 229). Следовательно, 229 делит B57J +
-f- l2. и в дальнейших вычислениях нет необходимости. Затем
найдем 2" по модулю 229: 248 = (—68) D2) = —2850 = -108;
25в = (_Ю8) B7) =; —2916 = —168 = 61; наконец, 257 =
^ 122 (mod 229). Теперь прямое вычисление дает 1222 -|- 1 =
=- 65-229. что служит началом процесса. На первом шаге с =
= 122 — 2-65 = —8 и d = 1, поэтому 82 + I2 = 65. Тогда
65-65-229 = (82 + I2) A222 + I2) = (976 + IJ + (8 ± 122J, от-
куда 229 = (975/65J + A30/65J = 152 + 22 2).
Совершенно аналогичную процедуру можно использовать для
нахождения представления простого числа вида 3?г + 1 в виде
a2 -L ЗЬ2. На первом шаге надо найти 2я "по модулю р. Если 2™
на единицу больше некоторого кратпого р, то р делит 2" — 1
и следует вычислить 3" по модулю р. В^копце концов мы должны
*) ДРУГОИ метод решения уравнения р = аг -\- Ь2 указан в упр. 9 к § 7.10.
2.6. Дополнение о суммах двух квадратов 77
прийти к такому целому с, что сп не является числом, на единицу
Гшлыпим некоторого кратного р, но этим свойством обладает
;,- — 1)". Тогда, поскольку р делит с3" — (с — IK", то р должно
делить с2п -j- сп (с — l)n -f- (с — 1J/г; последнее число имеет вид
'/- + 3&2. Таким образом, a2 -f- 3b2 = kp, и можно добиться вы-
полнения неравенства к ^ р. Если а и Ъ четны, то их можно со-
кратить па степени числа 2. Если оба они нечетны, то 4 делит
¦ г -f ЗЬ2, и можно воспользоваться следующим методом сокра-
щения па 4: —^ = Г~^—) +^ ( ^ ) , гДе знаки выбра-
ны таким образом, что 4 делит а + Ъ. Это сводит задачу к
случаю а2 + 36'" = кр, где а и 6 — числа противоположной чет-
ности. Если к — 1, то задача решена. В противном случае
а можно привести к с по модулю к, а Ъ привести к d и нолучить
с~ -г 3d2 = njt, где п <Ск (поскольку к нечетно). Тогда при соот-
ветствующем выборе знаков можно сократить обе части равенства
иккр = (ас + 3bdJ + 3 (ad ± beJ на /с2 и по лучить ир = е2 -\- З/2.
Если п Ф 1, то можно снова воспользоваться приведением —
чо тех пор, пока мы не получим р = g2 + 3/i2.
Например, рассмотрим случай р = 67. На первом шаге надо
вычислить 222 по модулю 67. Это очень просто: 26 = 64 == —3,
21S = 9, 218=-27, 219=-54 = 13, 221 = 52 =-15. 222 =
= —30. Таким образом, 222 — 1 не делится на 67, а 244 + 222 + 1
должно делиться. Но244 + 222 + 1 = з(у222J + (у222 + lJ =
= 3 B21J + B21 + 1J- Поскольку 221 = —15, отсюда следует,
:п-о 3-(—15J -г (—14J должно делиться на 67. Прямое вычисле-
ние дает: 3-152+ 142 = 871 = 13 «67. Приводя 15 и 14 по моду-
лю 13. получаем 3-22 + I2 = 0 (mod 13); в действительности
3-22 + 12 = 13. Следовательно, 13-13-67 = (I2 + 3-22) A42 +
¦f 3-152) -= A4 + 3- 30J + 3 A5 ± 28J, 67 = A04/13J 4-
4- 3 (-13/13J = 82 + 3-12.
Последняя часть этой процедуры применима в случае задачи
представления простых в виде a2 -j- 262. Если можно найти число
нида а2 4- 262, делящееся на р, то аналогичная процедура позво-
ляет найти представление самого числа р в таком виде. При этом
недостает лишь метода построения при данном простом р вида
р = 8п 4- 1 или р = 8п 4- 3 числа вида а2 + 262, делящегося
на р. Конструктивный метод такого построения приведен в упр. 6
и 7 к § 2.4.
Упражнения
1. Запишите 97 в каждой^из трех форм а2 + Ь2, а2 + ЗЬ2, а2 + 2Ь*-
2. Запишите 93 в каждой~из трех форм упр. 1.
3. Запишите 7297 во всех трех формах.
4. В статье Якоби [Щ содержатся обширные таблицы представления
простых в виде а2 + Ь2, а2 + 2Ь2 и а2 -\- ЗЬ2. Просмотрите эти таблицы
и выведите несколько приведенных в них представлений.
Г лава 3
ОТ ЭЙЛЕРА ДО КУММЕРА
3.1. Введение
Когда Эйлер в письме Гольдбаху от 4 авг. 1753 г. говорил, что
ему удалось доказать Последнюю теорему Ферма и случае п = 3, он
отметил, что это доказательство представляется ему совершенно
отличным от того, которое было в случае п — 4, и что доказа-
тельство общего случая кажется весьма далеким. Б последующие
90 лот было получено еще несколько — очень немного—частных
случаев и частичных результатов, но общий случай все еще казал-
ся абсолютно недостижимым. Затем, в 1840-е годы, Куммер развил
свою теорию идеальных делителей и с ее помощью получил новые
глубокие результаты, касающиеся Последней теоремы Ферма,
которые породили надежду, что и сам общий случай вскоре будет
доказан.
Эта глава посвящена наиболее важным результатам, получен-
ным в течение этого девяностолетнего периода. В § 3.2 формули-
руется и доказывается теорема Софи Жермен, § 3.3 посвящеп
доказательству Последней теоремы Ферма в случае п = 5, полу-
ченному Лежандром и Дирихле, а § 3.4 — нескольким замечаниям
о доказательствах, которые получили Дирихле и Ламе в случаях
гс — 14 и п —• 7 соответственно. Теорема Софи Жермсп имеет
важное значение, и хотя позже она была обобщена и улучшена,
она не была ничем заменена со времени ее открытия. В то же вре-
мя доказательства случаев п = 5 и п = 7 были заменены дока-
зательствами Куммера Последней теоремы Ферма для «регуляр-
ных простых» (а случай п = 14 — более общим случаем п = 7).
Сейчас они представляют интерес лишь как примеры того, что
можно сделать более элементарными средствами, не обращаясь
к теории идеальных делителей, и как развитие теории привело
к великим открытиям Куммера.
Хотя на протяжении этого периода прогресс на пути к доказа-
тельству Последней теоремы Ферма был невелик, развитие теории
чисел в целом достигло громадных успехов. В эту эпоху жили
трое из крупнейших за всю историю теоретиков в области чисел —
Лагранж, Лежандр и Гаусс.
Лагранж был уже упомянут выше как в связи с решением урав-
нения Пелля (§ 1.9), так и в связи с доказательством того, что
каждое число может быть записано в виде суммы четырех квадра-
3J. liведение 79
тов (§ 2.4). Выдающиеся сиособности Лагранжа были признаны
Эйлером, когда Лаграиж был еще совсем молод, и сотрудничество
между ними было весьма плодотворным. Когда Эйлер оставил
двор Фридриха Великого, чтобы в 1766 г. вернуться в Россию,
Лагранж заменил его в Берлине. Более того, когда в 1783 г. Эйлер
умер, Лагранж бесспорно занял его место крупнейшего европей-
ского математика. Подобно Эйлеру, он был необычайно разпосто-
ронен. Ему принадлежат фундаментальные результаты в небесной
механике, вариационном исчислении, алгебре, анализе и т. д.,
по, как и у Эйлера, в его работах видна особая любовь к теории
чисел.
Лежапдр — которого из-зэ имени легко спутать с Лагранжем —
определенно не достиг уровня Эйлера и Лаграшка, но был прекрас-
ным математиком, проделавшим важную работу в широком разно-
образии областей, особенно в теории эллиптических функций,
алгебре и теории чисел. Но еще важнее, быть может, то, что он
был очень плодотворным автором, работы которого охватили боль-
шой диапазон тем и достигли широкой аудитории. Его «Теория
чисел» (Theorie des Nombres), впервые опубликованная в 1798 г.,
выдержала несколько изданий и оказала глубокое влияние на ма-
тематическую культуру эпохи.
Гаусс опубликовал свои великие «Арифметические исследова-
ния» (Disquisitiones Arithmeticae) в 1801 г. (ему было в то время
24 года) и сразу же завоевал признание х) как гений первой вели-
чины. Он также был великим универсалом — о нем говорили, что
не было ни одного направления в развитии математики XIX века,
которое бы он пе предвидел в своей работе,— но он также считал
теорию чисел — высшую арифметику, как он предпочитал назы-
вать ее,— царицей математики. В дополнение к Disquisitiones
Arithmeticae он опубликовал два классических мемуара по би-
квадратичпой взаимности в 1828 и 1832 гг., которые оказали боль-
шое влияние на развитие теории чисел.
Деятельность этих ученых пе имеет в большей части непосред-
ственного отношения пи к самой Последней теореме Ферма,
ни к методам, которые позже были успешно применены для ее
изучения. Однако косвенно их деятельность оказала очень боль-
шое влияние на развитие этих методов. Помимо общего влияния,
из-за которого целое поколение математиков было воспитано
в убеждении, что высшая арифметика является царицей всей
математики, имеется по крайней мере два весьма частных аспектат
которые будут изучены в следующих главах. Теория идеальных
Делителей, развитая Куммером для исследования высших законов
*) 31тмая 1804 г. Лаграшк [L4] писал Гауссу: «Ваши Disquisitione»
сразу же поставили Вас в ряд лучших геометров». (В те времена «геометр*
означало «чистый математик».)
80 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
взаимности, и выведенная Дирихле аналитическая формула числа
классов бинарных квадратичных форм с данным детерминантом —
¦обе выросли на почве работ этих трех теоретиков и обе стали
впоследствии основой исследования Последней теоремы Ферма.
Таким образом, краткость этой главы не означает, что период
от Эйлера до Куммера был малоплодотворпым. Наоборот, этот
период во многих отношениях был золотым веком теории чисел.
Краткость этой главы означает лишь, что в течение этого периода
исследование Последней торемы Ферма отошло на задний план,
пока развивались другие разделы теории чисел — главным обра-
зом бинарные квадратичные формы и законы взаимности,— что
только позже принесет нлоды в исследовании Последней теоремы
Ферма.
3.2. Теорема Софи Жермен
Одной из очень немногих женщин, которым вплоть до настоя-
щего времени удалось преодолеть предубеждение и дискримина-
цию, направленные на отстранение женщин от занятий высшей
математикой, была Софи Жермен A776—1831). Она вела активную
переписку с Гауссом, жившим в Геттингене, и была лично знакома
с Лежандром в Париже. В письмах Гауссу она вначале подписы-
валась мужским псевдонимом, опасаясь, что иначе Гаусс не вос-
принял бы ее всерьез. Как бы он поступил — неясно. Известно
лишь, что она добилась его расположения, не пытаясь заинтриго-
вать его тем фактом, что она — женщина-математик, и когда об-
ман раскрылся, Гаусс пришел в полный восторг.
«Но как описать Вам мое восхищение и изумление, когда я увидел,
что мой уважаемый корреспондент г-н Лебланк превратился в эту выдающуюся
личность [Софи ^Жермен, которой он писал после раскрытия обмана], пре-
поднесшую столь яркий пример того, во что, я бы сказал, трудно пове-
рить. Склонность к абстрактным наукам вообще, а к таипствам чисел в осо-
бенпости — исключительно редкое] качество: это не тот предмет, который
поражает каждого; захватывающее очарование этой возвышенной науки
открывается только тем, кто имеет мужество углубиться в нее. Но когда
особа женского пола, которой на этом тернистом пути, в соответствии с нашими
обычаями и предрассудками, приходится сталкиваться с неизмеримо боль-
шими, чем мужчинам, трудностями, все же добивается успеха в преодолении
этих препятствий и пропикает в самые темные области исследований,— она
песомненно должна обладать]самым доблестным мужеством, совершенно необы-
чайными личными качествами и высшей одаренностью. В самом деле, ничто
не могло бы убедить меня столь лестным и недвусмысленным образом в том,
что притягательная сила этой науки, обогатившей мою жизнь таким коли-
чеством радостей, не является плодом фантазии, как преданность, которой
удостоили ее Вы». (См. [G8].)
Взаимоотношения между Гауссом и Лежандром всегда были
натяпутыми, и, к чести Софи Жермен, нужно сказать, что ее
отношения с ними обоими были наилучшими. Именно Лежандр
3.2. Теорема Софи Жермен 81
сделал ее знаменитой 1), упомянув о ней в своей «Теории чисел»
[L7] и присвоив ее имя очень важному результату по Последней
теореме Ферма, который под ее именем известен и сейчас. Эта
теорема приведена ниже, вслед за обсуждением нескольких част-
ных вопросов.
Теорема. Если хь -f уь = z5, то одно изчисел х, у, z делится на 5.
Доказательство. Хотя Последняя теорема Ферма утверждает,
что равенство хь + уь = %ъ не может выполняться при положи-
тельных целых значениях неизвестных, нам будет здесь удобно
перенести член z5 в другую часть уравнения: хь + уъ -\- (—zM =
•-- 0 и сформулировать случай п —- 5 в более симметричной форме:
«уравнение хь + уъ + z5 = 0 неразрешимо в ненулевых целых
числах х, у, z». Очевидное преимущество такой формулировки
заключается в том, что уравниваются роли неизвестных х, у, z.
Поскольку нуль делится на 5, доказываемая сейчас теорема при-
нимает вид: несли х, у, z — такие целые числа, что хъ -f- уъ -f- z5 =
.= О, то одно из них делится на 5».
Первый шаг доказательства состоит в переписывании уравнения
в виде
-хь = {у + z) (у* - уН + уЧ* - yzs + z*).
Ь'ак обычно, будем считать, что х, у, z попарно взаимно просты
ибо в противном случае общий множитель можно исключить.
Тогда два сомножителя в правой части взаимно просты, поскольку
если р — простое, делящее у + z. то у = —z (mod p), yi —
— y3z -f- y2z2 — yz3 -f- z4 = by* (mod p), и если р делит оба сомно-
жителя, то либо р = 5, ив этом случае х делится на 5, что и тре-
бовалось доказать, либо р делит у и у -f- z, а н этом случае у и z
не взаимно просты. Иными словами, если а;5 + уь -\- z5 = 0, числа
х. у, z попарно взаимно просты и ни одно из них не делится на 5,
то у + z и i/4 — i/3z + i/2z2 — г/z3 + z4 взаимно просты. Так как
нх произведение является пятой степенью: уъ -f- z5 = —а;5 =
-- (—х)ъ, то каждый из них сам должен быть пятой степенью.
(На этот случай легко распространить рассуждение из § 1.4.)
В силу симметрии, те же рассуждения можно применить к —уъ =
-- х5 -f- z5 и —z5 = а;5 ^- г/5 и получить, что для некоторых целых
Ъ р
чисел а, а, 6, р.
y + z = a&,
z + x=bb,
х-\- у = сь,
> с, у
ук-
z4-
а;4-
Мы сейчас покажем,
- y3z -f i/2z2 — i/z3 + z4 = a5,
-z3a; + z2a;2-za;3 + a;4^p5,
- x3y -!- a;2?/2 — a;j/3 + J/4 = Y5,
что это невозможно.
x =
У =
z =
— aa,
-6p,
— cy.
а) Опа заслужила также премию Парижской Академии за статью но тео-
рии упругости, но, насколько мне известно, эта работа но пользовалась
в дальнейшем большим успехом.
" Г. Эдварде
82 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
Ключом к доказательству служит простое наблюдение, что
пятые степени по модулю 11 равны — 1, 0, 1. Это ясно из теоремы
Ферма, которая утверждает, что либо х = 0 (mod 11), либо
(а;5J ^ 1 (mod 11), а значит, либо хь = 0, либо хъ = ±1. (Точнее,
нужно заметить, что из у2 = 1 вытекает у2 — 1 = (у — 1) X
X (у + 1) = 0 (mod 11); но, поскольку 11 — простое число,
последнее означает, что либо г/ —^ 1 ^= 0, либо у + 1 = 0 (mod 11),
т. е. у = ±1-) Следовательно, сравнение хь -\- уь -f- z5 == О
(mod И) возможно, только если либо я, либо у, либо z = 0 (mod 11),
поскольку равенство ±1 ± 1 ± 1 = 0 невозможно.
Предположим, что хь -f- уь -)- z5 = 0, где х, у, z попарно вза-
имно просты и не делятся на 5. Тогда, как мы установили, можно
найти а, а, Ъ, |3, с, у. Одно из чисел х, у, z должно делиться па 11.
Не нарушая общности, предположим, что это х. Тогда число 2х =
-- Ьъ -^ съ + (—аM делится на 11 и одно из чисел а, Ъ, с должно
делиться на 11. Это не может быть Ъ, поскольку х делится на И
и отсюда вытекало бы, что х и z имеют общий делитель 11, вопреки
предположению об их взаимной простоте. Аналогично, па 11
не'может делиться и с. Значит, а делится на 11. Но это тоже невоз-
можно, ибо тогда у = —z (mod 11), а5 == Ъу* (mod 11), а, с дру-
гой стороны, х = 0, у& = г/4, что дает а5 = 5уь. Так как по моду-
лю 11 пятые степени равны 0, ±1, то отсюда вытекает, что а =
= у ^ 0, вопреки предположению о взаимной простоте х и z. Это
завершает доказательство теоремы.
Точно такие же рассуждения позволяют доказать более общую
теорему.
Теорема. Если п — нечетное простое число *) и число In -+- 1
простое, то из хп -J- уп = zn вытекает, что или х, или у, или z
делится на п.
Таким образом, для того чтобы доказать Последнюю теорему
Ферма для п = 5, или п — 11, или для многих других простых
значепий показателя п, достаточно доказать, что равенство хп +
+ уп = z™ невозможно при дополнительном предположении: одно
из чисел х, у, z делится на п,— поскольку противоположный слу-
чай уже исключен настоящей теоремой. Обычно (главным образом
из-за этой теоремы) Последнюю теорему Ферма разделяют на два
случая: первый, когда ни одно из трех чисел х, у, z не делится на п,
и второй, когда одно и только одно из этих чисел делится па п.
Эти два случая припято пазывать Случай I и Случай II (в указан-
ном порядке), а приведенную выше теорему формулировать так:
если п — такое нечетное простое число, что 2п -+- 1 тоже про-
*) Если п есть простое число 2, то число 2ге + 1 простое, и теорема остается
верной, как мы видели в § 1.3.
3.2. Теорема Софи Жермен 83
опое, то для п-х степеней верен Случай I Последней теоремы
ферма.
Как это ни удивптелоно, Случай I гораздо элементарнее, чем
Случай П. Даже тогда, когда только что приведенная теорема
пи имеет места, ее небольшое видоизменепие часто позволяет до-
стичь успеха. Например, в случае п = 1 число 2и -f 1 — 15
по простое, зато простым является An + 1 = 29. По модулю 29
все 7-е степени равны 0, ±1, ±12 (см. упр. 4). Значит, сравнение
х1 -•- У1 + z7 = 0 (mod 29) возможно, только если одно из этих
чисел является нулем по модулю 29. Тогда использованные в дока-
зательстве предыдущей теоремы соображения показывают, что
найдутся такие целые а и у, что а7 = Ту7 (mod 29), по а цк
-4- 0 (mod 29) и у^О (mod 29). Так как 29 простое, имеется ')
такое целое g, что yg = 1 (mod 29); следовательно, (agI =
= 7 (mod 29), вопреки тому что лишь вычеты 0, ±1, ±12 являются
7-ми степенями по модулю 29. Это же соображение лежит н основе
теоремы Софи Жермен.
Теорема Софи Жермен. Пусть п — нечетное простое число»
Если имеется вспомогательное простое число р, обладающее свой-
ствами:
A) из хп + уп + zn = 0 (mod р) вытекает х = 0, или у = О,
или z = 0 (mod p);
B) сравнение хп = и (mod p) невозможно,
то для п верен Случай I Последней теоремы Ферма.
Доказательство. Поскольку п нечетно, Последнюю теорему
Ферма для п можно переформулировать как утверждение о невоз-
можности равенства хп + уп + zn = 0 при ненулевых целых
х, j/, z. Тогда Случай I для п — это утверждение о невозможности
равенства хп -f- yn -\- zn = 0 при целых числах, которые не делят-
ся на п. Поэтому предположим, что п и р удовлетворяют условиям
теоремы, а х, у, z — такие целые числа, ни одно из которых не де-
лится па п, что хп + уп + zn = 0. Нужно показать, что эти пред-
положения ведут к противоречию.
Как обычно, можно считать, что х, у и z попарно взаимно про-
сты. Равенство (—х)п = уп -f- zn = (у + z) (г/™ — yn~2z +
т- yn~3z2 — . . . + zn~x) показывает, что у + z и г/™ — yn~2z-\-
-1- yn~3z2 — . . . + zn~x оба являются гг-ми степенями, поскольку
эти сомножители взаимно просты 2). (Если бы они оба делились
па некоторое простое q, то у + z = 0, г/™ — yn~2z -f . . .
¦ . . + zn~x ^0, у ^ —z, пуп~х ^ 0 (mod q), откуда п. = 0 или
') См. приложение, § Л.1.
г) Заметим, что здесь снова, как и в § 1.3, 1.5, 1.6 и 2.2, решающую роль
"грает теорема: «если uv есть ге-я степепь, а и и у взаимно просты, то и и v
°ба должны быть re-ми степенями».
84 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
у = 0 (mod q). Первое невозможно, ибо тогда п = q делило бы х,
а второе невозможно, ибо тогда q делило бы как у, так и у + z.)
Точно такие же разложения получаются из равенств (—у)п =
— хп +¦ zn и (—z)n — хп + уп, а отсюда следует существование?
таких целых чисел а, а, Ь, |3, с, у, что
y+z = an, yn-i — yn-2z+...+zn-i = an, x=—aa,
z + x = bn, гп'1 — гп-Ъ+...+хп^^=^п, y^—b$,
ar + г/ = с", xn-i — xn-2y+...+yn-i = yn, z= —су.
Теперь рассмотрим выкладки по модулю р. Так как хп -{- уп +
+ zn = 0 (mod р), то из первого условия для р вытекает, что х, у
или z должно быть нулем по модулю р. Не нарушая общности,
предположим, что х = 0 (mod р). Тогда 2х -- Ьп ¦-¦-¦ с" -\- (—а)п ==
= 0 (mod р) и снова из первого условия для р следует, что а, Ь
или с должно быть нулем по модулю р. Если бы это было Ъ или с,
то сравнение у = —6|3 = 0 или z .— —су = 0 (mod p) вместе
со сравнением х = 0 (mod /;) противоречило бы предположению
о том, что х, у и z попарно взаимно просты. Значит, а = 0 (mod p).
Но отсюда вытекает, что у = —z (mod р), а" = пуп~х ^
^ щп (mod p). Так как у ф. О (mod p). имеется такое целое число
#, что yg ^ 1 (mod р), откуда (a^)n ^ ?г (mod p) вопреки второму
предположению о число р. Это противоречие и доказывает теорему
Софи Жермеп.
При помощи этой теоремы Софи Жермен смогла доказать Слу-
чай I для всех простых, меньших 100. Иными словами, для каж-
дого нечетного простого п < 100 ей удалось найти другое простое
р, которое удовлетворяло условиям этой теоремы. Лежапдр рас-
ширил этот результат на все нечетные простые, меньшие 197, а
также на многие другие простые числа. После этих результатов,
которые были получены даже до того, как удалось доказать
Последнюю теорему Ферма в случае п = 5, стало ясно, что пришло
время сосредоточить внимание па более непокорном Случае П.
Упражнения
1. Докажите, что 7-е степени по модулю 29 суть 0, +1, +12. [Поскольку
27 = —12 (mod 29), все эти 5 чисел являются 7-ми степенями. Конечно, тот
факт, что среди 7-х степеней встречаются только эти числа, можно доказать
простым вычислепием З7, 47, . . ., 287 по модулю 29. Однако более эффектив-
пый путь — заметить, что если х it- 0 (mod 29) является 7-й степепью,
то х4 — 1 — 0 (mod 29). Значит, достаточпо доказать, что если / (х) — поли-
ном степени п со старшим коэффициентом 1, то сравнепие / (х) = 0 (mod p)
имеет пе более п различных решений по модулю р. Это можно сделать, исполь-
зуя, как и в упр. 9 из § 2.4, теорему о делении с остатком. Иначе, можно
умножить / (х) па (х — г,) (х — г2) . . . (х — rk), где гг- пробегает различные
но модулю р целые, не являющиеся решениями сравнения / (х) = 0. Таким
способом можно было бы построить полипом g (x) степени меньшей р со стар-
3.3. Случай п — 5 85
цнш коэффициентом 1, все значения которого равны нулю по модулю р.
Рассуждение Эйлера с разностями из § 2.4 показывает, что это невозможно.
2. Докажите, что условие A) теоремы Софи Жермеп тогда и только тогда
вьгполяется, когда набор ге-х степеней по модулю р пе содержит двух последо-
вательных ненулевых (по модулю р) целых чисел.
3. Докажите для каждого из следующих простых чисел п Случай I
Последней теоремы Ферма, найдя другое простое р, для которого выполняются
условия теоремы Софи Жермен: п = 13, 17, 19, 23, 29.
4. Докажите Случай I Последпей теоремы Ферма для п = 5, рассматри-
вая сравнения по модулю 25.
5. Покажите, что для п = 7 рассуждепия из упр. 4 не проходят.
6. Докажите, что из условия B) теоремы Софи Жермен следует, что р =
.-- тп А- 1 для некоторого четного т. [Если р — 1 и п взаимно просты,
то существуют такие целые числа ц и v, что ц (р — 1) = vre -j- 1. Аналогично,
существуют целые а и 6, такие, что an = Ър -\- 1. Тогда an = 1 (mod p),
avnrevn = ! (mod p), n = avnnvn+i =-- а^ге^Р' = (av)n (mod p), по-
скольку nv~l = 1 (mod р) по теореме Ферма. Таким образом, если п
не является ге-й степенью, то р — 1 и ге не взаимпо просты. Так как п — про-
стое, то это означает, что п делит р — 1, т. е. р — тп -\- 1 для некоторого т.
По р нечетно (хп = п (mod 2) для нечетного п возможно), поэтому т четно.
3.3. Случай п = 5
Честь доказательства Последней теоремы Ферма для мятых
степеней разделили два выдающихся математика, юный Дирихле1),
который только что достиг 20 лет и как раз начинал свою бле-
стящую карьеру, и стареющий Лежандр, которому перевалило за
70 н который был всемирно известным авторитетом в теории чисел
и в анализе.
Последняя теорема Ферма для пятых степеней распадается
следующим образом на два случая. Как было показано в преды-
дущем параграфе, если х, у, z — такие попарно взаимно простые
положительные целые числа, что хь + уь — z5, то одно из них
должно делиться на 5. С другой стороны, одно из этих трех чисел,
очевидно, должно делиться на 2, так как иначе данное равенство
представляло бы нечетное число в виде суммы двух нечетных
чисел. В этом параграфе первым случаем будет считаться тот, когда
число, делящееся на 5, делится также и на 2, а вторым случаем —
противоположный, когда четное число и число, делящееся на 5,
различны. (Это разбиение не следует путать с разделением на Слу-
чай I и Случай II в смысле предыдущего параграфа. Для п = 5
Случай I исключен, а «первый случай» и «второй случай» являются
подразделениями Случая П.)
В июле 1825 г. Дирихле представил в Парижскую Академию
(где Лежандр был ведущим членом) статью, в которой он дока-
а) Несмотря на свою довольно фрапцузскую по виду фамилию и на то, что
в то время он жил в Париже, Дирихле был немцем. Исключая несколько
лет, которые можно было бы пазвать стажировкой в Париже, а также неко-
торые путешествия в последующие годы, он родился, вырос, получил обра-
зование и провел всю свою жизпь в Германии.
86 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
зывал, что первый случай невозможен. Его доказательство,
по существу, сводилось к следующему рассуждению. Если оказа-
лось, что х или у делится на 5, то перенесем другой член суммы
хп ~г у11 в правую часть равенства, так чтобы член, делящийся
на 5, остался один. Так как в первом случае этот член делится
также и на 2, то равенство можно привести к виду
где и, v и w — попарно взаимно простые положительные целые
числа, причем w делится на 10. Нужно показать, что это невоз-
можно.
Числа и и v нечетны (они взаимно просты с четным числом w),
поэтому можно следовать доказательству Эйлера случая п — 3
(§ 2.2), нолагая и + v — 2р и и — v — 2q. Тогда и — р + q,
v -¦- р — q и иь ± vb — (р -f q)b ± (р — q)b. что равно либо
2 (р& -г \0p3q2 + Ърф), либо 2 Ep*q -f 10p293 + q&). Меняя, если
потребуется, местами р и q, мы получим равенство вида
в котором р и q — взаимно простые положительные целые различ-
ной четности, & w — положительное целое, делящееся на 10.
Если бы 5 не делило р, то оно не делило бы и р* j- \0p2q2 -f- 5<Д
а значит, не делило бы w& вопреки предположению. Следователь-
но, /> делится па 5, скажем р — 5r, a q не делится па 5. Паше равен-
ство принимает вид
52-2г {ф -f 2-52rV + 53r4) = w5.
Произведение 52 -2г делится на 2, 5, а также на простые делители
числа г. Ни одно из этих простых чисел не делит ф -+- 2 -52r2q2 -j-
_!_ 5V4 (напомним, что 5 f ^ и что }иг имеют различную чет-
ность). Значит, по обычной в этой ситуации теореме получаем
52 -2г = пятая степень,
q* -f 2 -52r2<72 + 53r4 = пятая степень.
Можно воспользоваться дополнением до квадрата и привести вто-
рое из этих выражений к виду
(q2 -t- 52r2J — 54r4 + 53r4 = (q2 + 52r2J — 5 A0r2J = P2 — 5Q2.
Основная идея доказательства Дирихле — попытаться следовать
Эйлеру, записывая выражение Р'1 — 5Q2 в виде (Р — QVfy ><
X (Р — Q\/'5) и стараясь показать, что Р -f- QV 5 должно бьш
пятой степенью.
Предположим на время, что такое заключение обосновано'
т. с. можно показать, что имеются целые А и В, для которые
3.3. Случай п = 5 87
= {А + ВУЬ)Ъ. Тогда
р = Аъ + 50А3В2 + 125Л54,
? = 5Л45 + 5(Ь4253 + 25 Въ.
Поскольку Q = Юг2 и число 52-2г является пятой степенью,
число E2-2гJ = 53 -2Q также оказывается пятой степенью, а зна-
чит,
54-25 U4 + ЮА2-В2 + 5#4] = пятая степень.
Числа А и В взаимно просты, поскольку такими являются Р и Q,
имеют различную четность, поскольку Р и Q не могут быть оба
четными, и А взаимно просто с 2 и 5, поскольку таково Р. Значит,
54-25 = пятая степень,
А* + №А2В2 + 5#4 = пятая степень.
Дополняя до квадрата два первых члена в последпем выражении,
приведем его к виду (Л2 + 5#2J — 25Я4 + 5S4 = {А2 + 5В2J —
— 5 BВ2)'1 = С2 — 5D2. Еще раз предположим, что отсюда можно
заключить о справедливости равенства С + D|/5 = (a
Тогда
С = аь + 50а3Ь2 +
?> = 5а*Ь + 50а2Ь3 +
Так как D = 2В2 и так как 54 -2/? = пятая степень, то и число
E*-2ДJ = 58-2D является пятой степенью, т. е.
59 '2Ъ [а4 + i.0a2b2 + 5й4] = пятая степень,
откуда, как и раньше,
59 '2Ъ = пятая стенень,
а4 + 10a2b2 -f- 5&4 = пятая степень.
Первое равенство, очевидно, равносильно равенству 54-2?> = пятая
степень, и легко проверить, что а и Ь удовлетворяют тем же усло-
виям, что А и й, а именно: в дополнение к тому, что 54-2/? и Aij\-
-f- ЮЛ2/?2 -+- 5/?4 должны быть пятыми степенями, требуется еще,
чтобы А п В были взаимно простыми различной четности и чтобы
А не делилось ни на 2, ни на 5. Следовательно, рассуждение может
повторяться без конца, а это приводит к невозможному беско-
нечному спуску, а именно к последовательности положительных
чисел В, которые убывают в силу соотношения 2В2 -- D =
=¦ Ь Eа4 + 50а2Ь2 + 25Ь4), ибо оно дает Ъ >0 и 2В2 >25&4, В >
> Ъ. Таким образом, чтобы доказать, что рассматриваемый случай
невозможен, достаточно доказать имнликацию
i>2_ 5<?2 = пятая степень => Р + Q |/ 5 = (А + /?/5N
в тех случаях, в которых она выше использовалась.
88 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
Как замечает Дирихле в начале своей работы, имеются и дру-
гие способы представить число Р2 — 5Q2 в виде пятой степени.
В самом деле, решение уравнения Пелля 92 — 5-42 = 1 показы-
вает, что если Р и Q определены равенством Р -\- Q^5 — (А -f-
+ ВУ 5)ь (9 -f- 4]/5)ft при произвольно выбранных А, В, к, то
рг _ 5<?2 = (Р + QV5) (Р — ОУЪ) = (А2 — ЪВ-)Ъ. Значит, при-
веденная выше импликация не имеет места. Идея Дирихле заклю-
чалась в том, чтобы отыскать дополнительные условия для Р и Q,
выполнение которых обеспечивало бы справедливость имплика-
ции. И он нашел очень простое условие. Заметим, что если Р -f-
+ QY5 = (А + BV5)b, то число Q = ЬА*В + 50A2Bs + 2555
должно делиться на 5. Таким образом, 5 | Q — необходимое усло-
вие для справедливости импликации. Дирихле доказал, что
в случае, когда Р и Q взаимно просты и имеют различную чет-
ность, это условие также и достаточно, т. е. доказал следующую
лемму.
Лемма. Пусть Р и Q — такие взаимно простые целые числа,
что Р2 — 5Q2 есть пятая степень, 5 | Q и Р и Q имеют различную
четность. Тогда существуют такие целые числа А и В, что Р -\-
+ QV5 = (А +5/5M.
Заметим, что в рассмотренных ранее случаях дополнительное
условие 5 | Q выполнено: в первом случае — поскольку из усло-
вия 52 -2г = пятая степень вытекает 5 | г | Q, а во втором — по-
скольку из условия 54-2В = пятая степень вытекает 5| B\D. Поми-
мо этого в обоих случаях были выполнены и условия, что Р и Q
взаимно просты и имеют различную четность. Следовательно, как
только лемма будет доказана, из нее будет следовать, что Послед-
няя теорема Ферма при п ~ 5 верна для случая, когда тот член
уравнения хь -\- уь = z5, который делится на 5, делится также
и на 2.
Лемму можно доказать почти тем же способом, как изложен-
ный в гл. 2, при помощи которого Эйлер нашел наиболее общее
представление чисел в виде a2 -j- ?>2, а2 -\- 2Ъ2, а2 -\- ЪЬ2, но имеется
одно существенное различие. Если попытаться применить методы
Эйлера к представлениям в виде а2 — ЪЪг, то для предложения,
аналогичного предложениям D) и E') из § 2.4, эта попытка не
проходит. А именно, этим способом не удается доказать утвержде-
ние: если а и Ъ взаимно просты, то каждый нечетный делитель
числи а2 — ЪЪ2 может быть записан в виде р2 — bq2. И действи-
тельно, как отмечалось в конце § 1.7, аналогичное утверждение
для представлений в виде а2 -\- ЪЪ2 неверно. Однако из гауссовой
теории бинарных квадратичных форм, изложенной в его Disqui-
sitiones Arithmeticae, легко следует, что для представлений
в виде а2 — ЪЬ2 это утверждение верно, хотя методы Эйлера и не
3.3. Случай п — 5 89
подходят для его доказательства. Этот факт оказывается простыл»
следствием теории, приведенной в гл. 8 (см. упр. 11 к § 8.5).
После принятия этого факта па веру методы гл. 2 уже позво-
ляют доказать, что если а и Ъ взаимно просты и имеют различную-
четность, а а- — ЪЪ2 — Рп^Рп0*. . . Рп^ — разложение па про-
стые сомножители числа а2 — ЪЪ2, то существуют такие целые-
Pi, qt (i -- 1, 2, . . ., к) и t, и, что Pt = р\ — bq\, 1 = t2 — Ъи2 и
Вкратце рассуждение проводится так. На основании недока-
занного, но принятого на веру факта существуют такие р^, qlr
что р\ — bq\ = Рг (причем Рх нечетно, поскольку а и Ъ разной
четности). Число Рг делит как а2 — ЪЪ2, так ж р\ — bq\, поэтому
оно делит также и (рф — qya) (рф -j- qta) — р\Ъ2 — q\a} — р\Ъг —
- 5q2tb2 + 5q\b2 - q]a2 =~- b2 (pj - 5gJ) - q\ (a2 - 5b2). Значит,
Pi делит либо pxb — q-fl,, либо рф ¦+¦ qta, и, изменяя в случае-
необходимости знак коэффициента qx, мы можем предполагать,
что Р1 делит рф -f- qxa. Тогда, поскольку из равенства
(а-\-Ь \/5) (p1-\-q1 V 5) = (api + obQi) +(aq!-{ bp{) /5 вытекает
равенство (а2—ЪЪ2) Pi—-(api-\-bbqiJ — 5 (aqi + bpiJ, целое число-
api-j-bbqi также делится на Р{. Пусть, например, (api-^abq^)-}-
-r-toi + bPi) VJ> = Pi (c+d V 5). Это дает (а + Ы/_5)-(р! +?! J/5) =
= Pj (с -f- d У 5), откуда, умножая на pt — qiV§ и сокращая обе-
части равенства на Pi, получаем a-\-b J/ 5= (pj — qt У Ъ) (c-j- d |/ 5).
Так как а2—ЬЪ2=(р\—bq\) (с2—bd2), отсюда следует, что с2 —
— 5d2=(a2—5b2)/Pi, и один из простых делителей числа а2—ЪЪг
исключен.
Затем процесс можно повторять до тех пор, пока не окажутся
исключенными все простые делители, в результате чего числен
я Ь Ъ У 5 запишется как произведение сомножителей вида р -\-
-р q У 5, количество которых в этом произведении равно п1 -\-
-'- ге2 -\- ... -\- nk -f- 1, по одному на каждый простой делитель
числа а2 — ЪЪ2 и один, для которого р2 — Ъф = 1. Более того,
если один и тот же простой делитель Р встречается дважды,
то в обоих случаях можно использовать одно и то же представле-
ние Р = р2 — 5q2 и исключаемый делитель р ± q V§ будет одним
и тем же с точностью разве лишь до знака коэффициента q. Однако
и этот знак обязап быть одним и тем же, ибо, если бы встретились
°ба делителя р -\- q У 5 и р — q У 5, это привело бы к равенству
а -J- Ъ У Ъ = (р2 — bq2) (С + D У Ъ), которое противоречило бы
предположению о взаимной простоте а и Ъ.
90 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
Таким образом, если Р, Q взаимно просты и разной четности,
а Р- — 5Q2 является пятой степенью, то
где t2 — Би2 = 1. Для доказательства леммы достаточно показать,
что если Q делится на 5, то t + и |/5 можно свести к 1 -f 0-|/5.
Это естественным путем приводит к исследованию возможных
решений уравнения t2 — 5и2 = 1, т. е. решений уравнепия Пелля
в случае А = 5. Так как (9 + 4 ]Л5) (9 — 4 (/5) = 1, то ясно,
что равенство =Ь(9 + 4 У o)k = t + и |/5 дает решение для
каждого целого к, положительного, отрицательного или равного
нулю. Обратно, намеченные в упражнениях к § 1.9 соображения
показывают, что такой вид имеют все решения. (Этот факт будет
вновь доказан в гл. 8. См., например, упр. 2 к § 8.4.) Так как
каждое целое к может быть записано в виде 5q + г, где г = 0, 1, 2, 3
или 4,toP + QV5 = {A + B \/5M (9 + 4 }/5)г, где 0 < г < 4.
Значит, достаточно показать, что если Q = 0 (mod 5), то г не мо-
жет быть равно 1, 2, 3,_4. Пусть С + D /5 = (А + В |/5M
и ? + ^1/5 = (9 + 4 УЪ)Г. Тогда D = 0 (mod 5), и из Q =
= CF + DE = 0 (mod 5) следует, что CF = 0 (mod 5). Но С ф
Ф 0 (mod 5), поскольку из С = 0 (mod 5) вытекало бы, что Р
и Q оба делятся на 5. Зпачит, F = 0 (mod 5). Но если бы имело
место г ;> 1, то по формуле бинома число F равнялось бы слагае-
мому г • 97" • 4 плюс члены, делящиеся на 5, и F не могло бы делить-
ся на 5; значит, из F = 0 (mod 5) вытекает г = 0, что и требова-
лось доказать. Этим завершается предложенное Дирихле дока-
зательство невозможности первого случая.
Первое полное доказательство Последней теоремы Ферма для
пятых степеней было опубликовано вскоре после этого, в сентяб-
ре 1825 г., Лежапдром в его втором дополнении к Theorie des
Nombres. Доказательство Лежандра первого случая, по существу,
ничем не отличается от доказательства Дирихле, что Лежандр
и признает в подстрочном примечании х), где он пишет: «Анализ,
подобный только что проведенному, позволяет доказать неразре-
шимость уравнения хь + у5 = Az5 для довольно большого числа
значений А; это и было сделано г-ном Lejeune Dieterich [sic!l
в заметке, которая была педавно представлена в Академию и полу
чила там одобрение». Затем Лежандр переходит к доказательству
того, что второй случай также невозможен, т. е. к тому, что ока
залось не под силу Дирихле, как он сам это признавал в июле
') Второе дополнение было также опубликовано в виде заметки [L7J
в Трудах Академии, и эта публикация почему-то датирована 1823 г. (см. Дик
сон [D21, т. 2, стр. 734), но это примечание показывает, что заметка вышл*
после июля 1825 г.
3.3. Случай п = 5 91
Это убедительный контрпример к общепринятому мнению, будто
в математике только молодые люди могут сделать что-то важное.
Предложенное Лежандром доказательство второго случая не
Г)ыло естественным и включало в себя большое количество искус-
ственных приемов, что, по-видимому, отражало почтенный воз-
раст и многолетний опыт Лежандра. Спустя еще несколько меся-
цев, в ноябре 1825 г., Дирихле представил добавление к своей
июльской статье, в котором он доказал второй случай другим
способом, служащим более естественным продолжением доказа-
тельства первого случая. Это доказательство, по существу, и при-
водится ниже.
Во втором случае уравнение хъ -\- уъ — z5 можно привести
к виду
иъ ± v5 = w5,
где и, v и w — попарно взаимно простые положительные целые
числа, причем w делится на 5, а и и v имеют разную четпость.
Пусть p = u-\-vis.q~ и — v. Тогда
и, меняя местами р и q, как и раньше, если понадобится, мы полу-
чаем
2-5.2 (р5
р
Как и раньше, р делится на 5, скажем р = 5r, a q не делится.
Таким образом,
52r (q* + 5ОУ + 125r4) = 24w5.
Сомножители 52г и q* -\- 50r2q2 -f- 125r4 взаимно просты, и первый
из них нечетен (р и q оба нечетны), поэтому
52г = пятая степень,
(ф + 25г2J — 5 (Юг2J = 24-(пятая степень).
Квадрат любого нечетного числа есть 1 по модулю 8, значит,
число q2 -j- 25r2 равно 2 по модулю 8, а поэтому оно делится на 2,
но не делится на 22. Следовательно, второе равенство можпо запи-
сать в виде
/ Р \2 г I О \г
пятая степень,
/ Р \2 г I О \г
1-тН —о [-тг) =
где Р и Q — нечетпые числа, равные соответственно (q2 + 25r2)/2
и or2. Заметим, что Q делится на 5. Ниже мы покажем, что в этой
ситуации найдутся такие нечетные числа А и В, что
92 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
Отсюда следует, что
. = 5+ 10^^ 5+^-5
2 *' 25 ' 25 25
и, поскольку 52г — пятая степень, мы заключаем, что число
[-? + 104?+ 5 ^
является пятой степенью, а значит,
545 U* + 10А2В2 + 5?4] = 24-(пятая степень).
Но A w. В взаимно просты (они оба нечетны и любой их общий
простой делитель делил бы как Р, так и Q) и А не делится на 5
(иначе Р делилось бы на 5, откуда следовало бы, что и q делится
на 5), а поэтому, как обычно,
5*В = пятая степень,
Ai + 10А*В2 + 554 = 24-(пятая степень).
Первое из этих равенств показывает, что 5 | В, а второе можно
переписать в виде
. 42 + 5В*ч2 r/№\2
I tj2 1 —о I-.J—) = пятая степень.
Но A2jf- 5Z?2= 6 (mod 8), так что это равенство имеет вид
\-у) —5 (-|-) = пятая степень,
где р и q — такие взаимно простые нечетные числа, что 5 | q.
Далее, лемма, которую предстоит доказать, дает
и посредством такой же последовательности шагов мы получаем
а* + 10a2b2 + 5b* = 24-(пятая степень).
Это дает бесконечно убывающую (см. упр. 1) последовательность
положительных пятых степеней, а следовательно, приводит к про-
тиворечию.
Таким образом, остается лишь доказать, что если Р и Q —
такие взаимно простые нечетные числа, что
Q\2.
I р V к I Q V
\-о") —^ I 2 ) =
пятая степень
(заметим, что Р2 — 5Q2 == 4 (mod 8), и поэтому число (Р/2J —
— 5 (Q/2J обязано быть нечетным целым) и если Q делится па 5,
3.3. Случай п — 5
то существуют такие нечетные числа А и В, что
Это можно доказать следующим образом. По модулю 4 либо Р =
== Q, либо Р = —Q. В первом из этих случаев число l(P/2) +
-:- (Q V 5/2)]-[C/2) +JJ/5/2)] = ((ЗР + 50/4) + ((Р + Щ J/5/4)
имеет вид С -\- D j/5, где С и D — целые, а во втором [(Р/2) +
+ (Q Vb/2)] [C/2) - (J/5/2)] = С - D /5, где С и D - целые.
Тогда равенство
показывает, что С2 — 5ZJ является нечетной пятой степенью,
а равенство (Р/2) +- (<? J/5/2) = [С + D |/5] [C/2) + (К 5/2)] по-
казывает, что С ж D взаимно просты. Следовательно, как было
показано выше, С + D |/Т = (с + d |/5N (9+4 /o)ft,_ где А:
равно 0, 1, 2, 3 или 4. Простой подсчет дает (C/2) -f- (|/5/2)K =
= 9 -j- 4 |/5, так что
¦Р . Q i/c / , jiae\s /,1 i/-\3ft
и остается лишь показать, что если Q делится на 5, то из десяти
возможных значений — 1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13 показате-
ля ЗА: + 1 могут встретиться только 5 и 10. Пусть т = Зк + 1,
(а/2) + (Р 1/5/2) = (C/2) + (VE/2))m иТ + вУ5 = (с + й V'5M-
Тогда б делится на 5, а у не делится. Значит, из Q = yP + а^ ^
^ 0 (mod 5) следует Р = 0 (mod 5). Но по формуле бинома
_|- = пг1 — j I-2-I+члены, содержащие о,
2m"ip = m-3m + члены, содержащие 5,
а это показывает, что из р = 0 (mod 5) следует т = 0 (mod 5).
Этим завершается доказательство (кроме доказательства того, что
осли Л и В взаимно просты, то все печетпые простые делители
числа А2 — ЪВг сами имеют вид р2 — 5д2).
У п. ражи е ни я
1. Покажите, что невозможно найти такие взаимно простые нечетные
числа А и В, чтобы 54В было пятой степенью, а Л4 + 10Л2В2 + 5S4 было
пятой степенью, умноженной на 24. [В тексте уже все сделано, кроме доказа-
тельства того, что последовательность пятых степеней действительно убыг
иает.]
94 Гл. 3. От Эйлера до Куммера
2. Покажите, что для доказательства того, что все нечетные делители
числа Л2 — 5В2 (Л, В взаимно просты) сами имеют вид р2 — 5<j2, достаточно
доказать это для случая нечетных простых делителей.
3.4. Случаи| п = 14 и п = 7
При любых попытках доказать Последнюю теорему Ферма эле-
ментарными средствами — скажем, не прибегая к методам кумме-
ровой теории идеальных простых делителей,— нужно принимать
во внимание тот факт, что даже один только частный случай
п = 7 в течение многих лет не поддавался усилиям лучших евро-
пейских математиков. Конечно, вполне возможно, что они под-
ходили к проблеме ложными путями и что существует какая-то
простая идея — возможно, открытая Ферма,— применимая ко
всем случаям; однако, с другой стороны, более вероятно, что идея,
пригодная для любых п, была бы найдена, хотя бы в неуклюжей
форме, при интенсивном поиске для одного п.
В 1832 г., через семь лет после того, как Дирихле и Лежацдр
доказали случай п = 5, Дирихле опубликовал [D5] доказатель-
ство случая п -—- 14. Конечно, это слабее случая п — 7 (каждая
14-я степень является 7-й степенью, но не наоборот), и такая
публикация была своего рода признанием неудачи со случаем
п = 7. Прошло еще семь лет, прежде чем в 1839 г. Ламе опублико-
вал первое доказательство случая п — 7. Эти доказательства
довольно длинны и носят технический характер, а так как они
были перекрыты доказательством Куммера Последней теоремы
Ферма для целого класса показателей, который содержит 7,
то заниматься ими здесь нет нужды. Их стоит упомянуть лишь
постольку, поскольку они бросают свет на технические приемы,
которые были испробованы и привели лишь к частичному успеху,
и поскольку они дают некоторое представление о путях, возможно
приведших Куммера к его открытиям.
Доказательство Дирихле для случая п = 14 опирается в сущ-
ности на ту же технику, что и доказательство для п = 5, которое
в свою очередь следует рассуждению Эйлера в случае п = 3;
при этом, конечно, проявляется большая изобретательность
в вычислениях. Уже не удивительно, что оно опирается на лемму,
согласно которой если А2 — ТВ2 является 14-й степенью и 7 | В,
то А + В Y—7 = (a -f Ъ У—7I4 для некоторых целых а и Ъ.
Эта лемма в сочетании с вдохновенными алгебраическими манипу-
ляциями и обычным рассуждением бесконечного спуска л дает
доказательство. (Подробнее см. упр. 1.)
Доказательство Ламе является в некотором роде оправданием
неудачи'Дирихле со случаем п = 7, поскольку Ламе обнаружил,
что для~1 решения этой проблемы необходимо ввести какую-то
совершенно новую технику. Его рассуждения трудны, немотиви-
3.4. Случаи п — 14 и п — 7 95.
рованны и, хуже всего, кажутся безнадежно привязанными к слу-
чаю п = 7. Здесь мы не будем приводить никакого описания или
краткого изложения этого доказательства г) (очень краткое изло-
жение см. у Диксона [D2], т. 2, стр. 737). Кажется, будто это
доказательство ведет к опушке непроходимой чащи; приступать
с подобными средствами к следующему случаю, п = 11, представ-
лялось совершенно безнадежной затеей, и стала неизбежной
переоценка методов. В течение последующих восьми лет, до
1847 г., ничего достопримечательного о случаях п >7 (п —
простое) опубликовано не было, а грандиозный прогресс 1847 i\
был основан на принципах, никак не связанных с доказательством
Ламе для п = 7. Скорее они связаны с принципами доказательств
для в = 3 и в = 5, но основаны на совсем другой их интерпрета-
ции. Л именно, на интерпретации не в терминах квадратичных
форм х2 -f- Зг/2 и а;2 — 5г/2, а в терминах форм п-й степени хп + уп
(т. е. х3 -f У3 и хь -\- у5). Как будет видно в следующем параграфе,.
Ламе сам оказался вдохновителем, если не создателем, этой новой
интерпретации.
.) * пражн епия
1. Вот набросок доказательств Дирихле. Восполните детали. Пусть.
.г14 + г/14 = z14. Можно считать, что х, у, z попарно взаимно просты и поло-
жительны; z пе делится па 7, поскольку сравнепие а2 + Ь2 = О (mod 7)
невозможно. Значит, можно предположить, что z14 — хы = уы, где у делится
па 7. Порешшгем z14 — хы в виде а{ав + 7Ь2), где а = z2 — г2, Ъ = zx (z4 —
— zV + я4). Числа а, Ь взаимно просты и разной четпости. Из а = 7с, 1 \ Ь,
так что 72с (Ь2 + 7 G2с3J) = г/14, вытекает, что 72с и Ь2 + 7 G2с3J являются
14-ми степенями, Предположите известным (см. § 8,5), что нечетный простой
делитель числа вида х2 + Ту2, где х и у взаимно просты, должен сам иметь
такой вид, и установите, что Ъ + 72с3 У~-1 = (d + е У—7I4. Далее, выра-
жопие 2-72с3 Y^l = (d + е >/^7I4 — (d — е |/^7I4 можно переписать
так, как это раньше делалось с г14 — хы, с тем чтобы пайти выражение
72с3 = 2-de [212 (— 7K dV + 7/2], где / = (d2 + 7e2) (d4 — 98d2e2 + 49e4).
Числа d, e имеют разную четность и взаимпо просты. Число / но делится
па 2 и 7, a d, e, f взаимпо ирссты, Выражение 72с3~_ 2.7-de [/2 —Bе-7d3e3Jl
разлагается в произведение трех попарпо взаимпо простых сомножителей
2-7-de, / + 26-7dV, Вспомните, что 72с есть 14-я степень, и заключите
на этом осповапии, что 2-75de, / + 2*'7<Р#, f — 26-7d3e3 все являются 14-ми
стопепями, Итак, 27-7d3e3 является, с одной стороны, разностью 14-х степеней,
а с другой стороны, произведепием 24 на 14-ю степень. Короче говоря, найдено
решение уравнения Z14 — X14 = 24У14. Кроме того, X, Y, Z нопарпо взаимно
просты и У делится на 7, Повторите всю процедуру, чтобы пайти решение
уравнения Хы — Xй = 212ч/14, где У делится на 7. Более общо, равенство
г14 — xli = 2куы (к ;> 0), где х, у, г попарпо взаимпо просты и у делится
на 7, приводит к равенству Z14 — X14 = 24+9& У14, где У делится на 7. Кроме
того, Z намного меньше, чем z. Следовательно, равенство z14 — хи = 2й!/1*
{к ^ 0, 1 \ у) невозможно из-за бесконечпого спуска.
:) Должен чистосердечно признаться, что я пе разобрался в нем до конца
Глава 4
КУММЕРОВА ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
4.1. События 1847 года
Сообщения Парижской Академии и Прусской Академии в Бер-
лине за 1847 г. рассказывают о драматическом эпизоде в истории
Последней теоремы Ферма. Эпизод начинается докладом, сделан-
ным 1 марта на собрании Парижской Академии ([А1], стр. 310),
в котором Ламе объявил, испытывая, вероятно, сильное волнение,
что он нашел доказательство невозможности равенства хп -J- уп =
= zn для к >2 и, следовательно, полностью решил эту давнюю
знаменитую проблему. Краткий набросок доказательства, который
дал Ламе, был, как он несомненно осозпал позже, увы, недостаточ-
ным, и нет необходимости рассматривать его здесь в подробностях.
Однако его основная идея была простой и убедительной и оказа-
лась центральной в последующем развитии теории. Доказатель-
ства случаев п = 3, 4, 5, 7, которые были найдены к тому вре-
мени, все опирались на такие алгебраические разложения, как
х3 + У3 ~ (х + У) (х2 — ху -f- У2) в случае п ¦¦= 3. Ламе ощущал,
что все большие затруднения при переходе к большим п вызывают-
ся ростом степени одного из сомножителей в этом разложении,
и высказал мысль, что их можно преодолеть, полностью разложив
выражение хп -f- yn на п линейных сомножителей. Это можно
сделать посредством введения такого комплексного числа г, что
гп = 1, и использования алгебраического тождества
хп _|_ уп = (a; _f_ у) (а; + гу) (х + г2у) ... (х + гп~1у) (п нечетно).
A)
(Например, если г = cos Bn/n) -f i sin Bя/ге) = е2я'/™, то полипом
Хп — 1 имеет п различных корней 1, г, г2, . . ., г™, и па осно-
вапии элементарных алгебраических соображений мы имеем:
Хп — 1 = (X — 1) (X — г) (X — г2) ... (X — г"-1); полагая
X = —х/у и умножая на —уп, получаем искомое тождество A).
Если говорить очень коротко, то идея Ламе состоит в применении
технических приемов, использовавшихся ранее для элементар-
ного, неполного разложения выражения хп 4- уп (в частных слу-
чаях), к его полному разложению. Именно, он собирался показать,
что если х и у таковы, что сомножители х -\- у, х -\- гу, . . .
. . ., х -f- rn-1y попарно взаимно просты, то равенство хп -\- уп =
= zn обязывает каждый сомножитель х -{- у, х + ГУ, • • • быть
4.1. События 1847 года 97
п-& степенью, и извлечь отсюда невозможный бесконечный спуск.
Если же х -J- у, х -\- гу, . . . не взаимно просты, то оп собирался
показать, что они имеют такой общий для них всех множитель т,
что числа (х -[- уIт-> (х -\- гу)/т, . . ., (х + гп~хуIт уже взаимно
просты, а затем и к этому случаю применить сходный прием.
Ни на минуту не сомневаясь в том, что идея такого привлече-
ния комплексных чисел — это ключ, который мог бы отпереть
дверь к Последней теореме Ферма, Ламе восторженно сказал, что
он не может отнести этот успех целиком на свой счет, поскольку
идея была ему подсказана его коллегой Лиувиллем в случайном
разговоре за несколько месяцев до этого. Однако Лиувилль со
своей стороны не разделил энтузиазма Ламе. Он взял слово после
выступления Ламе лишь затем, чтобы высказать некоторые сомне-
ния относительно предложенного доказательства. Он отказывался
признать какой бы то пи было свой приоритет в идее введения
комплексных чисел, указывая, что многие другие математики,
и среди них Эйлер, Лагранж а), Гаусс, Коши и «более всех Якоби»,
использовали в прошлом комплексные числа сходным образом.
Сказанное им практически сводилось к тому, что замысел Ламе
входит в число первых идей, которые пришли бы в голову компе-
тентному математику, впервые соприкоснувшемуся с этой пробле-
мой. Более того, он отметил, что предложенное Ламе доказатель-
ство содержит весьма важпый, по его мнению, пробел. Прав ли
Ламе, спрашивал он, утверждая, что каждый сомножитель являет-
ся n-й степенью, если он доказал лишь, что сомножители взаимно
просты и что их произведение есть п-я степень? Конечно, в случав
обычных целых чисел это утверждение было бы справедливо,
но доказательство опирается 2) на разложение целых чисел на
простые сомножители, и никоим образом не ясно, что необходимые
технические средства применимы к тем комплексным числам, для
которых эти средства были нужны Ламе. Лиувилль чувствовал,
что никакой восторг не оправдан, если (или пока) этот трудный
вопрос не решен.
Коши, выступивший после Лиувилля, казалось, поверил в то,
что Ламе, возможно, добьется успеха, поскольку оп поторопился
напомнить, что им самим в октябре 1846 г. на заседании Академии
г) Лиувилль не говорил об этом и мог этого не знать, но Лагранж
действителыто явно упоминал разложение (х + у) (х-\-ту) ... (х + гп~1у) =
= хп + уп в связи с Последпей теоремой Ферма [L3].
2) Тот факт, что Лиувилль сразу заметил этот пробел и тотчас же увидел,
что он связан с проблемой доказательства однозначности разложения на про-
стые сомножители тех комплексных чисел, о которых идет речь, указывает,
как мне кажется, па то, что Лиувилль, а возможно, и другие математики того
времени хорошо знали о недостатках рассуждения на эту тему в «Алгебре»
Эйлера (см. § 2.3). Тем не менее я не знаю ни одного автора того или более
раннего периода, который бы критиковал доводы Эйлера.
7 Г. Эдварде
98 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
была высказана идея, могущая, как он считал, привести к дока-
зательству Последней теоремы Ферма, но ему не хватило времена
для ее дальнейшего развития.
Сообщения о собраниях последующих недель свидетельствуют
о большой активности со стороны Коши и Ламе в попытках осу-
ществления своих идей. Ламе признавал логическую законность,
критики Лиувилля, но ни в коей мере не разделял его сомнений
относительно правильности окончательного результата. Он утвер-
ждал, что его «леммы» дают способ разложения рассматриваемых
комплексных чисел на множители и что все изученные им пример»
подтверждают единственность разложения на простые множители.
Он был уверен, что «не может быть непреодолимого препятствия
между таким полным подтверждением и строгим доказательством».
На собрании 15 марта Ванцель заявил, что он доказал единст-
венность разложения на простые, но его доводы покрывали толька
легко проверяемые случаи п <; 4 (п = 2 есть случай обычных
целых чисел, п = 3 по существу представляет собой случай,
исследованный в § 2.5, а случай п = 4 был наскоро доказан Гаус-
сом в его классической статье о биквадратичных впчетах); относи-
тельно остальных случаев он просто сказал, что, «как легко-
видеть», те же рассуждения применимы при п >4. Однако это-
не так, и Коши сообщил об этом 22 марта. Начиная с этого вре-
мени Коши пускается в длинную серию статей, в которых он
сам пытается обосновать алгорифм деления для рассматриваемых
комплексных чисел — «радикальных полиномов», как он их назы-
вает,— из которого он мог бы заключить, что единственность
разложения имеет место.
В сообщениях от 22 марта зарегистрировано, что Коши и Ламе
оба депонировали в Академию «секретные пакеты». Депонирование-
секретных пакетов было неким установлением Академии, которое
позволяло ее членам прибегать к регистрации, в качестве их
собственности, некоторых идей в некоторый момент времени —
не раскрывая самих этих идей — на случай, если позже возникнет
дискуссия о приоритете. В свете событий марта 1847 г. почти нет
сомнений в содержании этих двух пакетов. Однако, как оказа-
лось, никаких приоритетных споров по поводу единственности
разложения и Последней теоремы Ферма не возникло.
В последующие недели Ламе и Коши оба опубликовали заметки
в сообщениях Академии; эти заметки досадно неясные, неполные-
и неубедительные. Затем, 24 мая, Лиувилль опубликовал в сооб-
щениях письмо Куммера из Бреслау, которое заканчивало или
должно было закончить всю дискуссию. Куммер написал Лиувил-
лю, чтобы сообщить ему, что его сомнения относительно неявного
использования Ламе единственности разложения были вполне
обоснованными. Куммер не только утверждал, что единственность
разложения не имеет места, он включил в свое письмо копин>
4.1. События JS47 года 99
статьи 1К61, которую опубликовал х) тремя годами раньше и в ко-
торой продемонстрировал отсутствие единственности разложения
как раз там, где Ламе утверждал, что она имеет место. Тем не
менее, писал далее Куммер, теория разложения может быть «спа-
сена» введением нового типа комплексных чисел, которые он
назвал «идеальными комплексными числами»; эти его результаты
были опубликованы годом раньше в сообщениях Берлинской Акаде-
мии 2) в форме резюме [К7], а полное изложение их появилось
в Журнале Крелля [К8]. В течение долгого времени оп занимался
приложениями этой новой теории к Последней теореме Ферма.
Б письме оп сообщил, что ему удалось свести ее доказательство
для данного п к проверке двух условий для этого п. Относительно
деталей этого приложения и его двух условий он отсылал к замет-
ке, опубликованной им в том же месяце в сообщениях Берлин-
ской Академии A5 апреля 1847 г.). Там оп действительно приводит
полностью эти два условия и говорит, что у пего «есть основания
полагать», что п = 37 не удовлетворяет им.
Записей о реакции ученых мужей Парижа на такие потря-
сающие новости не сохранилось. Ламе просто замолк. Что же
касается Копш, он, то ли из упрямства, то ли потому, что вложил
меньше усилий в успех единственности разложения, продолжал
публиковать свои неясные и неубедительные статьи в течение еще
нескольких педель. В своей единственной прямой ссылке на Кум-
мера оп говорит: «То немногое, что [Лиувиллем] было сказано
[о работе Куммера], убеждает меня в том, что выводы, к которым
пришел г-н Куммер, по крайней мере отчасти совпадают с теми,
к которым я сам пришел, продолжая свои прежние исследования.
Если г-п Куммер продвинул этот вопрос на несколько шагов
дальше и если он действительно преуспел в преодолении всех
препятствий, я первым буду аплодировать его усилиям; больше
всего мы желали бы, чтобы усилия всех друзей пауки объедини-
лись для познапия и распространения истины». Л затем оп про-
должает игнорировать — вместо того, чтобы пропагандировать —
работу Куммера и пускается в погоню за своими собственными
идеями, изредка лишь обещая при случае связать свои утвержде-
ния с работой Куммера. Но эти обещания так и не были выполнены.
К концу лета оп тоже впал в молчание по поводу Последней теоре-
мы Ферма. (Однако Коши отнюдь не был молчальником; просто
х) Нужно признать, однако, что Куммер избрал для со опубликования
малоизвестное место. Лиувилль перепечатал ее в своем Журнале чистой
ч прикладной математики (Journal de Mathematiques Pures et Appliquees)
и 1847 г., и тогда она, должно быть, впервые дошла до широкой аудитории.
2) Эта заметка была также перепечатана в Журнале Крелля в 1847 г.
(Апглийский перевод с большим количеством ошибок содержится в книге
IS21.) Креллевская перепечатка дает неправильную дату 1845 г. первоначаль-
ной публикации; точная дата —1846 г.
7*
100 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
он интенсивно начал печатать поток статей по математической
астрономии.) Тем самым поле битвы осталось за Куммером, за
которым оно фактически и было уже в течение трех лет.
Принято думать, что Куммер пришел к своим «идеальным
комплексным числам» под влиянием интереса к Последней теореме
Ферма, по это убеждение безусловно ошибочно. То что Куммер
для обозначения простого числа использовал букву X, для записи
«корня X-ik степени из единицы», т. е. для решения уравнения
а* =1, — букву а, и то, что он изучал х) разложения простых
чисел р за 1 (mod X) па «комплексные числа, составленные из
корней л-й степени из единицы»,— все это явно указывает на
статью Якоби [J2], которая посвящена высшим законам взаимно-
сти. Мемуар Куммера 1844 г. был адресован Университетом
Бресту Кёпигсбергскому университету в честь празднования его
юбилея, и этот мемуар определенно посвящался Якоби, который
в течение многих лет был профессором в Кенигсберге. Правда,
Куммер в 1830-е годы занимался Последней теоремой Ферма
и, по всей вероятности, осознавал, к каким последствиям для этой
теоремы могла бы привести его теория разложения, однако пред-
мет, которым интересовался Якоби, а именно, высшие законы
взаимности, был для пего безусловно более важным и тогда,
и позднее. В то самое время, когда он положил конец попыткам
доказательства, предпринятым Ламе, и предложил взамен свое
собственное частичное доказательство, он относился к Последней
теореме Ферма скорее как к «любопытной диковинке из теории
чисел, чем к важному вопросу», а позже, когда он опубликовал
свой вариант высшего закона взаимности в форме недоказанной
гипотезы, он говорил о высших законах взаимности как о «глав-
ном предмете и о вершине современной теории чисел».
Часто рассказывают легенду о том, что Куммер, подобно
Ламе, верил в то, что он доказал Последнюю теорему Ферма,
до тех пор, пока ему не сказали — по легенде, это был Дирихле,—
что ею аргументация опирается на недоказанное утверждение
о единственности разложения па простые. Хотя эта легенда и не
паходится в явном противоречии с тем фактом, что Куммера
иптересовали прежде всего высшие законы взаимности, имеются
другие причины усомниться в ее достоверности. Впервые она
появилась в лекции памяти Куммера, прочитанной Гепзелем
в 1910 г., и хотя Гепзель аттестовал свои источники как достовер-
ные п назвал их имена, все же не стоит забывать, что легенда
пересказывалась из третьих рук и через 65 лет после событий,
о которых в ней говорилось. Кроме того, лицо, рассказавшее ее Ген-
зелю, по-видимому, не было математиком, и легко вообразить,
г) Момуар 1844 г. касался разложения только таких р. Общая проблема
уазложепия охватывалась последующими работами 1846 и 1847 гг.
4.2. Круговые целые 101
как из неправильпо понятых фактов могла вырасти эта история.
Легенда Гепзеля могла бы подтвердиться, если бы нашелся «под-
готовленный к публикации черновик», который Куммер якобы
написал и отправил Дирихле. Но пока этого не произошло,
и этой истории следует относиться с большой долей скептицизма.
Сомнительно, чтобы Куммер допустил единственность разложения,
и еще более сомнительно, что он сделал это неосознанно в статье,
которую он собирался опубликовать 1).
Эта глава целиком посвящепа теории разложения комплексных
чисел вида а0 -+- ага -f- a2ai ~г ¦ ¦ ¦ + ax-i^x~1 fao, Яц ¦ ¦ -, ai-i
— целые), «построенных» из комплексного корня а уравнения
а.% = 1, и теории «идеальных комплексных чисел», или дивизоров,
которые Куммер ввел, чтобы «спасти» единственность разложения
на простые для таких чисел. Следующая глава посвящается
дальнейшему развитию этой теории, и только в последнем ее
параграфе мы займемся приложением этой теории к Последней
теореме Ферма. К этому моменту мы сможем очень просто сфор-
мулировать два условия Куммера и сможем доказать Последнюю
теорему Ферма для всех простых чисел, которые им удовлетво-
ряют. Вся эта работа была завершена Куммером к И апреля 1847 г.,
через несколько недель после 1 марта, когда Ламе сделал свое
сообщение.
4.2. Круговые целые
В этой главе мы попытаемся показать, что Куммер, жадный
до вычислений подобно всем другим великим математикам, шел
к своим открытиям не при помощи абстрактных размышлений,
а накапливанием опыта в проведении многочисленных конкретных
вычислительных примеров. Умение хорошо считать ценится теперь
пе слишком высоко, и мысль о том, что вычисления могут достав-
лять удовольствие, редко высказывается вслух. Однако Гаусс
когда-то сказал, что он считает излишней публикацию полной
таблицы классификации бинарных квадратичных форм, «посколь-
ку A) кто угодно, после приобретения небольшого навыка, может
легко и без большой затраты времени вычислить, если ему это
понадобится, таблицу любого конкретного детерминанта... B) по-
скольку такая работа имеет прелесть сама по себе, так что полу-
чаешь истинное удовольствие, потратив четверть часа на ее вы-
полнение для самого себя, тем более что C) слишком редко пред-
ставляется случай этим заняться» 2). Можно было бы назвать еще
Ньютона и Римана, проводивших длинные вычисления только
ради развлечения. Материал этой главы, поскольку речь идет
х) Более полное обсуждение этого вопроса см. в ЕЗ] и [Е4].
2) Цитируется по Смиту [S3], стр. 261, из письма Шумахеру.
102 Гл. 4. Нуммерова теория идеальных делителей
о более абстрактном понятии «числа», чем понятие положитель-
ного целого числа, по необходимости оказывается несколько
более трудным, чем материал предыдущих глав. Тем не менее
каждый, кто уделит время проведению вычислений, несомненно
убедится в том, что и сами эти вычисления и теория, которую
развил из них Куммер, вполне ему посильны, а может быть,
он найдет, не обязательно признавая это вслух, такую деятель-
ность даже приятной.
Куммер использует букву X для обозначения простого числа
и букву а для обозначения «мнимого» корня уравнения ах — 1,
т. е. комплексного корня этого уравнения, отличного от 1. Проб-
лема, которую он ставит, заключается в разложении на простые
сомножители чисел, «построенных» (gebildeten) из а повторным
применением сложения, вычитания и умножения, т. е. чисел вида
ao+aia + a2a2+ ... -f a^a*-1, A)
где а0, аи . . ., аЛ_! — целые. (Чтобы понизить все степени
числа а с показателями больше X — 1, мы пользуемся равенства-
ми а1 = 1, а'>+1 = а, ах+2 = а2, .... Значение X фиксировано
на протяжении всего обсуждения.) Эти числа, которые Коши
называл «радикальными полиномами», а Куммер и Якоби рас-
сматривали как специального типа «комплексные числа», теперь
называют круговыми целыми х) ввиду геометрической интерпрета-
ции числа а как такой точки на окружности | z | = 1 комплексной
z-плоскости, которая производит деление окружности на X равных
частей, а также ввиду важной роли, которую эти комплексные
числа играют в гауссовой теории деления круга. Таким образом,
в современной терминологии, проблема, поставленная Кумме-
ром — а до него Якоби,— это проблема разложимости круговых
целых.
Вычисления над круговыми целыми выполняются очевидным
образом с использованием коммутативного, ассоциативного и дис-
трибутивного законов и равенства ах = 1. Например, при X = 5,
(а + а2 + За4) (а2 — 2а3) = (а + а2 + За4) а2 - (а -f- а2 + За4) X
X Bа3) = а3 + а4 + За« — 2а4 — 2а5 — 6а7 = а3 + а4 + За —
— 2а4 — 2 — 6а2 — — 2 + За — 6а2 + а3 — а4. Далее, так как
круговые целые являются частным случаем комплексных чисел,
обе части равенства можпо сокращать па ненулевой общий сомно-
житель, т. е. если / (a) h (а) = g (а) h (а) и h (а) ф 0, то / (а) =
= g (а).
') Возпикаот покий тормипологичоский нюаис из-за того, что должно под-
разумеваться некоторое значение X. Сказать: «данное комплексное число яв-
ляется" круговым целым^яедэстаточцо, пуяшо еще добавить «для такого-то Я».
В последующем тексте предполагается, что всегда будет понятно, каково
конкретное значение X, и используется краткий термин «круговое целое».
4.2. Круговые целые 103
Эти правила вычислений имеют несколько неожиданное след-
ствие: представление круговых целых в виде A) не однозначно.
Например, из 1 + a -f- а2 + . . . + ах~г = ах + а + а2 + • • •
. . . + ах~г = а A + а + а2 + ... -f- а1'1) вытекает, что либо
1 4- а + а2 + ... + а* = 0, B)
либо а = 1. Так как специально потребовано, что а Ф 1, то соот-
ношение B) есть следствие основных предположений. Но из него
вытекает, что
а*-1 = (а0 + с) + (а4 + с) а + • • • + («j.-i + с) а*~*
C)
для любого целого с, т. е. круговое целое, записанное в виде A),
не изменится, если ко всем коэффициентам а* добавить одно и то
же целое число с. Отсюда получается (если взять с = —a\-i),
что каждое круговое целое может быть записано в виде A) с а^_1 =
= 0; в практических вычислепиях оказывается неудобным настаи-
вать на приведении круговых целых к такому виду, а лучше
работать с ними в форме A), имея в виду соотношение C).
Естественно возникает вопрос, нет ли других непредвиденных
соотношений среди чисел вида A). Ответ отрицателен, и именно
для этого и предполагается, что X — простое. (Если X = 4, то
а = ±i и 1 -f- а2 = 0 или а = —1 и 1 -f- а = 0. В более общем
случае, если X = jk, то 0 = 1 — <хх — A — оф A + а3 + а2; +...
. . . + а%~') и один из сомножителей должен быть нулем.) Итак,
если а0 + ага -f- . . . + а^а?--1 = b0 -j- Ьга + . . . + Ьх-^1'1,
то обязательно а0 — Ьо = аг — Ьг = ... = а^-х — Ь\^, так что
это соотношение соответствует формуле C). Эта теорема, являю-
щаяся, конечно, основной в изучении круговых целых, была
доказана Гауссом в начале раздела, посвященного циклотомии,
в его Disquisitiones Arithmeticae. Простое доказательство при-
ведено в упр. 15.
Куммер пользовался обозначением / (а) (или g (а), <р (а), F (а)
и т. д.) для круговых целых вида A). Большое преимущество
такого обозначения в том, что оно позволяет писать / (а2) для
кругового целого, получаемого из / (а) заменой а на а2, а2 на a4v
as на а6 и т. д., и, используя равенство ах ~ 1, приводить резуль-
тат к виду A). Для того чтобы доказать законность такой опера-
ции, нужно показать, что из / (a) = g (а) вытекает / (a2) = g (a2).
Это следует из замечания, что если / (a) = g (а), то / (а) идентично
g (а) + с A + а + а2 + ... + ах~г) для некоторого целого с;
тогда / (а2) идентично g (а2) + с A + а2 + а* + . . . + а2х~2),
где степени а} при / > X в 1 + а2 + а4 + ... + азд~2 нужно
привести к виду а^~х. Таким образом, утверждение, которое
нужно доказать, сводится к тому, что если через ср (а) обозначено
104 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
1 + а + а2 + ••• + а*-'1, то ср (а2) идентично ф (а), а этот факт
легко следует из того, что для каждого целого / существует точно
одно такое целое /' (mod X), что 2/' == / (mod X) (см. приложение,
§ АЛ). Точно таким же способом оказывается, что имеют смысл
все числа /(а3), /(а4), . . ., / (ах~г). (Однако это не относится
к / (а*), поскольку, например, 1 + а = —а2 — а3 — а* при
X = 5, но 1 + а5 Ф —а10 — а15 — а20, так как в левой части
стоит 2, а в правой —3.) Круговые целые / (а), / (а2), / (а3), . . .
. . ., / (ах~г) называются сопряженными числа /(а). Ясно, что-
отношение сопряженности есть отношение эквивалентности: / (а)
сопряжено /(а); если g (а) сопряжено /(а), то /(а) сопряжено-
g (а), и если g (а) сопряжено / (а), a h (а) сопряжено g (а), то h (а)
сопряжено / (а) (упр. 8).
Сопряжение круговых целых можно интерпретировать иначе.
Действительно, относительно а предполагается только, что о^ =
= 1 и а Ф 1. Если а — любое число с этими свойствами, то таки-
ми же являются а2, а3, . . ., ах~2 (при условии, конечно, что-
X — простое). Поэтому сопряжение можно рассматривать как
операцию замены того корня уравнения ах = 1 (а ф1), через
который выражены круговые целые.
Для любого кругового целого / (а) Куммер обозначает через-
Nf (а) произведение всех X — 1 сопряженных числа / (а):
Nf (а) = / (а) / (а2) ... / (аМ).
Он называет это произведение нормой числа / (а) и приписывает
этот термин Дирихле. Норма Nf (а) любого кругового целого
оказывается действительно целым числом. Чтобы доказать это,
достаточно заметить, что любое сопряжение а н-* a3 (J = 1, 2, ...
. . ., X — 1) разве лишь переставляет сомножители произведепия,
которым определено Nf (а), и, значит, оставляет Nf (а) неизмен-
ным. Таким образом, Nf (а) = Ъо + Ьга + &2а2 + . . . + Ъ\^ах~г
равно числу b0 + bxaj + b^a^ + . . . + &^_1aa~1>;! для / =
= 2, 3, . . ., X — 1. Но из b0 + bjaj + . . . = b0 + b^ + . . .
следует, что bj — Ьг = b0 — b0 = 0. Значит, bj = Ьг для / =
= 2, 3, ..., X -1иЯ/(а) = Ьо + М« + «2 + . . . + а*) =
= Ьо — Ьг — целое число. Более того, Nf (a) — положительное
целое число, кроме случая / (а) = 0, Nf (a) = 0; в этом можно
убедиться, если заметить, что а1 = а (где а обозначает комп-
лексно сопряженное числа а), откуда а* = а2, . . ., / (а^) =
= / (а), / (ах~2) = / (а2), . . . и Nf (а) оказывается произведением
неотрицательных вещественных чисел (в количестве (X — 1)/2),
которые положительны, если только не случится, что / (а?) = О
для некоторого, а следовательно, и для всех / = 1, 2, . . ., Я, — 1
(упр. Ю).
4.2. Круговые целые 105
Норма, очевидно, обладает следующим свойством: если
/ (a) g (а) = h (а), то Nf {a)-Ng (а) = Nh (а). Таким образом,
разложение кругового целого числа на два круговых целых со-
мпожителя влечет за собой разложение обычного целого числа
Nh (а) на два обычных целых сомножителя. Например, при % = 7
круговое целое а5 — а4 — За2 — За — 2 имеет норму 1247
(упр. 5). Так как 1247 есть произведение точно двух простых:
1247 = 29-43, то имеются в точности две возможности разложения
числа а5 — а4 — За2 — За — 2; первая, когда один сомножитель,
имеет норму 1, а другой — норму 1247, и вторая, когда один;
сомножитель имеет норму 29, а другой — норму 43.
Круговое целое с нормой 1 называется единицей. Если / (а)-
является единицей, то произведение / (а2) / (а3) . . . / (а1'1),
будучи умножено на / (а), дает 1; поэтому / (а2) / (а3) . . . / (а*-1)
называется обратным к / (а) и обозначается / (а). Обратно, если
/ (а) есть круговое целое, для которого имеется круговое целое-
g (а) со свойством: /(а) g (а) = 1, то легко показать (упр. 14),.
что / (а) является единицей и g (а) = / (а2) / (а3) . . . / (а1'1).
Единица / (а) является делителем любого кругового целого h (а),
поскольку h (а) = / (а) g (а), где g (а) = / (а) -h (а). По этой,
причине «сомножители» нормы 1 ничего не говорят о том числе,,
которое разлагается, и не считаются его истинными делителями.
Таким образом, в упомянутом выше примере лишь то разложение
числа а5 — а4 — За2 — За — 2, при котором один сомножитель,
имеет норму 29, а другой — норму 43, считалось бы «разложе-
нием». Говорят, что круговое целое h (а) неразложимо, если оно.
не имеет истинных разложений в указанном смысле, т. е. если-
любое его разложение h (а) = / (а) g (а) тривиально: либо / (а),,
либо g (а) — единица. Можно было бы соблазниться назвать
неразложимое круговое целое h (а) «простым», но имеется другое,
более сильное свойство, которому должно удовлетворять круговое
целое, для того чтобы оно называлось «простым». Именно, говорят,
что круговое целое h (а) является простым, если оно только
тогда делит произведепие / (a) g (а), когда оно делит один из.
сомножителей. Точнее, говорят, что к (а) — простое, если сущест-
вуют круговые целые, которые на него не делятся (т. е. h (a)
пе является единицей), и если произведение любых двух круго-
вых целых, каждое из которых не делится па h (а), есть круговое
целое, не делящееся на h (а). Легко видеть, что простое круговое
Целое неразложимо (упр. 18). Для обычных целых чисел нераз-
ложимость влечет за собой простоту («Начала» Евклида, Книга VII,
предложение 24). Тот факт, что существуют круговые целые,
которые неразложимы, по не просты, лежит в основе отсутствия
однозначности разложения; именно поэтому # понадобилась кумг
мерова теория идеальпой факторизации.
106 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Как упомянуто в предыдущем параграфе, Коши и другие мате-
матики потратили значительные усилия на то, чтобы пайти алго-
рифм деления для круговых целых, т. е. процесс деления с остат-
ком, подобный тому, который применял Евклид при изучении
свойств делимости положительных целых чисел (см. приложение,
§ А.1), и тому, который применял Гаусс при изучении свойств
делимости «целых» вида а + Ы. Даже Куммер в своей статье
1844 г. пытался воспользоваться таким делением с остатком для
круговых целых. В то же самое время Куммер показал, как вос-
пользоваться нормой для практического деления, т. е. еще в 1844 г.
указал процесс, о котором Ламе, по-видимому, ничего не знал
в 1847 г.
Пусть даны два круговых целых / (a), h (а); определить, имеется
ли такое круговое целое g (а), что f (а) g (а) = h (а), и если да,
то найти g (а). В этом состоит задача обычного деления, и Кум-
мер решил ее следующим образом. Если / (а) = 0, то g (а) суще-
ствует только тогда, когда h (а) = 0, и в этом случае подойдет
любое g (а). Значит, достаточно рассмотреть случай /(а) фО.
Пусть сначала число / (а) — а0 -\- ага + а2а2 + . . . 4- а^^а^
есть обычное целое число а0, т. е. может быть записано в таком
виде, что аг — а2 — . . . = ах_г = 0. Тогда равенство/ (a) g (а) =
= h (а) показывает, что все коэффициенты числа h (а) кратны
/(а) = а0 фО. Правда, такое условие не является содержатель-
ным, поскольку оно зависит от представления числа h (а) в виде
A). Однако его можно переформулировать так, что опо окажется
независимым от этого представления. Это можно сделать, сказав,,
что если h (a) = aog (а), то все коэффициенты числа h (а) попарно
сравнимы по модулю а0. Но это необходимое условие, очевидно,
является и достаточным, ибо если все коэффициенты числа h (a) =.
= Ьо + &ja + . . . + bx-iOfi'1 сравнимы друг с другом по модут,
лю а0, т. е. bt = bj (mod a0), то все коэффициенты этого же числа,}
записанного в виде h (а) = (b0 — b^-i) + (?>i — ^Ч-i) а + • • <
. . . + {bx-i — bx-i) ах~г, делятся на а0, и h (а) можно предста-*
вить в виде h (a) = aog (а). Это решает задачу деления в случав
/ (а) = а0. Понятие нормы позволяет свести общий случай задаче
к этому частному случаю. Достаточно заметить, что равенство
/ (a) g (а) = h (а) эквивалентно равенству Nf (а) • g (а) = h (а) Х(
X / (а2) / (а3) • • • /(а*); это показывает, что /(а) делит h (а)
тогда и только тогда, когда целое число Nf (а) делит h (a) / (а2) Х|
X / (а3) . . . / (а^), причем если это так, то частное g (а) в обои^
¦случаях одно и то же. Этот способ деления не вполне удовлетво^
рителен, поскольку вычисление значений Nf (а) и h (а) / (а2) >i
X / (а3) . . . / (а1'1) может быть очень длинным, по он показки
вает, что вопрос о делимости действительно имеет определенны!
ответ, который может быть получен за конечное число
гов.
4.2. Круговые целые 107
Если для данных / (a), h (а) имеется такое g (а), что / (а) g (а) =
= h (а), то говорят, что / (а) делит h (а) или h (а) делится на / (а).
Обозначение / (a) \h (а) означает «/ (а) делит h (а)», а обозначение
f (a) \ h (а) означает «/ (а) не делит h (а)». Утверждение, что / (а)
делит h (а), можно также записать в виде h (а) = 0 (mod / (а)).
Более общо, запись hx (а) = й-2 (а) (mod / (а)) означает, что / (а)
делит ^ (а) — h2 (а).
Такова в общих чертах арифметика круговых целых. Прежде
чем перейти в следующем параграфе к подробному изучению
их разложения, стоит, может быть, сделать паузу и обсудить
подоплеку этой арифметики. Куммер неизменно ссылается на кру-
говые целые как на «комплексные числа», и, по крайней мере
на современный слух, это наводит на мысль геометрическую
картину *) для них как точек «комплексной плоскости». Этот
взгляд на круговые целые имеет то преимущество, что делает
некоторые свойства — в первую очередь свойство Nf (a) ^- 0 —
легко доказываемыми; однако он ничем не помогает в понимании
других свойств, например свойств разложения круговых целых,
которые являются главным предметом этой главы. Кронекер,
который был студентом и близким сотрудником Куммера, много
лет спустя предлагал (см. [К2] и [КЗ]) подходить к круговым
целым абстрактно и алгебраически как к множеству всех выра-
жений вида A) со сложением, вычитанием и умножением, опреде-
ленными очевидным образом, и с единственным соотношением
1 -г а -г а2 + . . . -f- a1'1 = 0. Этот подход более в духе алгеб-
ры сегодняшнего дня, и читатель, изучавший современную алгеб-
ру, узнает в этой конструкции факторкольцо кольца полиномов
от одной переменной с целыми коэффициентами по идеалу, порож-
денному полиномом 1 + а + а2 + ... + а1. Главное достоин-
ство этого подхода в том, что он выделяет алгебраические правила
вычислений в арифметике круговых целых (которые легко усваи-
ваются даже теми, кто не привык к комплексным числам) и отодви-
гает на задний план все другие рассмотрения*
Упражнения
1. 2 + а + За2 — 2а3 = — а + а2 — 4а3 — 2а* (Я. = 5).' Пусть f (а)
есть левая часть этого равенства, g (а) — правая часть. Докажите, что
/(а3) = g (а3). Имеет ли место равенство / (а6) = g (а)?
х) Эта геометрическая картина ясно описана в и. 38 второй статьи Гаусса
(G6] о биквадратичной взаимности. Интересно отметить, что в этой статье,
которая предшествует статьз Якоби, как последняя предшествует статье
Куммера, Гаусс ясно говорит (замечание в конце п. 30), что для изучения куби-
ческих вычетов нужно было бы рассматривать комплексные числа, построен-
Qi'ie при помощи кубического корня из единицы, а для изучения высших
вычетов нужно было бы таким же способом «ввести другие мнимые величины».
108 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
2. Умножение круговых целых можно выполнять как умножение поли-
помов. Например, умножение (а4 + 7а2 + 5а + 1) • Bа3 + За2—а + 2) (upa
X = 5) можно выполнить по следующей схеме:
3
0
-1
0
14
1
0
2
0
21
10
0
2
0
-7
15
2
7
3
14
-5
3
5
-1
10
- 1
1
2
2
2 3 13 33 10 12 9 2
и найти произведение 2а7 + .V в + 13а& + 33а* + 10а3 + 12а2 + 9а + 2 =¦
= B + 12) [а2 +LC + 9) а + ( 13 + 2) + 33а* + Юа3 = -а2 - За + 0 +-
+ 18а* — 5а3. Эффективнее пристроить к этой схеме соотношение а7+;' =
= а-?, записыпая даппое умножение в виде
1
0
2
0
21
10
0
2
0
-7
15
2
7
3
14
-5
3
2
5
_ j
10
- 1
3
0
1
2
2
- I
0
14
33 10 14 12 15=18 -5 -I -з 0.
Используйте эту схему умножения для проверки ассоциативного закона в слу-
чае произведения трех сомножителей (а* + 7а2 + 5а + 1)-Bа3 + За2 —
— а+2) Dа* + 2а3 — а2 + 5) при X = 5.
3. Покажите, что при X = 3 норма любого кругового целого имеет вид
(Л2 + ЗВ2)/4, где А и В^— целые числа одинаковой четности. Докажите, чтс
в этом случае имеется точно 6 единиц, и найдите их все.
4. Покажите, что при Х\— 5 норма любого кругового целого имеет вир
(А2 — 5В2)/4, где А ж В — целые числа одинаковой четности. [В произведе-
нии / (а) / (а2) / (а3) / (а1) умножьте сначала / (а) на / (а1). Результат имеет
вид а + Ь0О + C0J, где 6« — а + a*,! 9j = a2t'+ а3. Затем убедитесь, чтс-
/ (а2) / (а3) = а + bQ1 + с0о и норма имеет вид (Ь0О + с0х) F0! + с0о). О див
из путей вычисления дает —(Л2 — 5В2)/4, что выглядит неверным, но тако-
вым пе является.] Найдите бесконечное число единиц в этом случае.
5. Пусть X = 7 и / (а) = а6 — а4 — За2 — За — 2. В упр. 4
к § 4.4 будет использована формула Nf (a) = 1247. Выведите ее. [Сначала
подсчитайте / (а) / (а2) / (а1) = а + Ь0О + с0:. Проводите вычисления, ка»
в упр. 2.]
6. Покажите, что если / (a) = g (а), то / A) = g A) (mod X). Выведите
отсюда, что Nf (a) = ОУили 1 (mod X) [теорема Ферма].
7. Докажите, что / (а) +/ (а2) +... + / (а*) = —/ A) (mod X). Это
дает второй вариант доказательства первой части упр. 6. [Сумм!
/(!) + / (а) + / (а2) +••• + / (ах~1) легко записать в явном виде.]
8. Докажите, что если g (a) сопряжено (ос), а h (a) сопряжено g (a),
то h (a) сопряжено / (a). [Заметим, что a v—*¦ a-* не является сопряжением.
4.2. Круговые целые 109
если X | /.] Докажите, что если g (а) сопряжено / (а), то / (а) сопряжено
9. Покажите, что если / (а) — бином Аа' + Bak, то результат упр. 6
можно следующим образом усилить: за исключением тривиальных случаев,
когда Л и Б но взаимно просты или / s к (mod X), каждый простой делитель
чпсла Nf (а) сравним с 0 или 1 (mod X). [/ (а) есть единица, умноженная
на одно из сопряженных числа А + Ва, откуда (А + В) jjf (а) = Ах + ?\
jV/(a) = Л* — А%~гВ + . . .+ Я*-1. Если 1 — к + к2 — . . .+ кх~1^
== 0 (mod р), то к э —1 или кх = —1 (mod p), p =э 1 (mod Я,).]
10. Покажите, что а*1 есть комплексно сопряженное числа а- [Оба она
умножаются, как а.] Выполните другие шаги доказательства утверждения
V/ (а) > 0, данного в тексте.
11. Пусть Я. = 5. Тогда 38а3 + 62а2 + 56а + 29 долится на За3+
+ 4а2 + 7а + 1. Найдите частное. [Используйте способ деления, объяснен-
пый в тексте, и алгорифм умножения из упр. 2.]
12. Докажите, что / (а) делится па а — 1 тогда и только тогда, когда
f A) s 0 (mod Я,). [Примените теорему о делении с остатком.] Это дает третье
доказательство первой части упр. 6. Заметим, что в упр. 11 оба числа —
и делимое и делитель — делятся на a — 1. Выполните оба делспия и тем
самым упростите решение упр. 11.
13. Пусть Я, = 5. Выберите два круговых целых и подсчитайте их про-
изведение. Затем используйте данный в тексте способ деления для того, чтобы
разделить произведение на один из сомножителей. Проделайте то же самое
для X = 7.
14. Покажите, что если / (а) и g (a) — такие круговые целые, что
/ (a)g (a) = 1, то / (а) является единицей и g (a) = / (a2) / (a3) . . . / (a*1).
[Проще всего доказать, что Nf (a) = +1, и использовать тот факт, что норма
неотрицательна.]
15. Это упражнение посвящено доказательству того, что круговые целые
пе удовлетворяют никаким другим соотношениям, кроме указанных в тексте.
Пусть / (а) = 0 есть соотношение такого типа, т.е./ (X) есть полином от одной
переменной с целыми коэффициентами, обращающийся в нуль, когда комплекс-
ное число а подставляется в него вместо переменной X. Поскольку а*" = 1,
a^1 = a, . . ., очевидно, можно допустить, что степень полинома / (X)
пе превосходит X — 1. Нужно доказать, что / (X) должен быть кратным поли-
пома X*-1 + Xх'2 + . . . + X + 1. Пусть h (X) = Xх-1 + Xх'2 '+ . . .
. . . + X + 1. Найдется такое целое а, что / (X) — a-h (X) имеет степень,
меньшую X — 1, и обращается в нуль при X = а. Таким образом, достаточно
доказать, что если степень / (X) меньше X — 1 и / (а) = 0, то / (X) есть поли-
ном, равный 0. Допустим, что это не так, т. е. допустим, что / (X) Ф 0, / (X)
имеет степень, меньшую X — 1, и / (а) = 0. Тогда a -h (X) = q (X) f (X) +
+ г (X), где а — целое число, q (X) и г (X) — полиномы с целыми коэффи-
циентами и г (X) имеет меньшую степень, чем / (X). Если г (X) Ф 0, то заме-
пнм / (X) на г (X) и повторим процесс. Значит, можно допустить, что a -h (X) =
¦— q (X)-f (X). Если а Ф +1, то имеется такое простое р, что q (X) f (X) =
з= 0 (mod р). Отсюда вытекает, что q (X) = 0 или / (X) = 0 (mod p). Следо-
вательно, равенство a-h (X) = q (X) f (X) можно сократить на р. Таким обра-
зом, можно считать, что h (X) — / (X) -g (X). Рассмотрим это соотношение
но модулю X. Имеем: h (/) = 0 для / =з 1, но h (/) = 1 для /$ 1 (mod X).
Иными словами, по модулю X полиномы h (X) и (X — 1)^~ принимают оди-
наковые значения для всех целых значепий переменной X. Так как h (X) —
— (X — l)^" есть полином степени, меньшей X (на самом деле меньшей X—1),
псе значения которого при целых X равны нулю по модулю X, то рассуждение
с разностями, подобное примененному в § 2.4, показывает, что h (X) =
--=¦= (X — l)*- (mod X). Полином F (X) делится па X — 1 (mod X) тогда
110 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
и только тогда, когда F A) = 0 (mod %). Это верно либо для / (X), либо цля
g (X), но не для обоих одновременно. Следовательно, либо / (X), либо g (X)
делится на (X — I)*1 (mod %). Так как / (X) имеет степень, меньшую %—1,
то g (X) обязан иметь степень X—1. Отсюда степень полинома / (X) равна
нулю и условие / (а) = 0 дает/ = 0, т. е. получено противоречие. Восполните-
детали этого доказательства.
16. Докажите чисто алгебраическими средствами, что если / (a) h (а) =
= g (а) h (а) и h (а) Ф 0, то / (а) = g (а). [Достаточно рассмотреть случай
g (а) = 0. Тогда / (а) удовлетворяет более слабому условию, чем / (а)
в упр. 15, но можно провести то же самое рассуждение.] Единственное свойство
круговых целых, которое не было доказано чисто алгебраическими средствами
в этом параграфе, это свойство Nf (a) > 0 в упр. 10 *).
17. Докажите, что отношение сравнимости hx (a) = h2 (а) (mod / (а)),
определенное в тексте, обладает при фиксированном / (а) свойствами отно-
шения эквивалентности (т. е. рефлексивно [h (a) s h (а)], симметрично
[h (а) = к (а) влечет за собой к (а) = h (а)] и транзитивно [если h (a) s
= к (а) и к (а) е= g (а), то h (а) = g (а)]) и согласовано со сложением п умноже-
нием (т. е. из hx (а) = Ь,г (а) и кг (а) = к2 (а) следует, что Ь,х (а) + кх (а) =
= h2 (а) + к2 (а) и кг (а) кг (а) ^ й2 (а) к2 (а)).
18. Докажите, что простое круговое целое неразложимо.
19. Докажите, что для обычных целых чисел неразложимое целое-
является простым.
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %)
Естественным первым шагом в изучении разложения круго-
вых целых является попытка найти все простые в этой арифметике.
В соответствии с определением предыдущего параграфа мы назы-
ваем круговое целое h (а) простым, если оно не является единицей
и только тогда делит произведение двух круговых целых, когда
х) X. У. Ленстра, мл., прислал мне следующее алгебраическое дока-
зательство того, что A7(a)Js0. Положим g (a)=/ (a)-/ (a2) ... / (a^'/2).
Тогда. Nj (a) = g (a) g (ax~i) = g (a-?) g (ax~5) для / = 1, 2, ... Д— 1, и доста-
точно показать, что ^ g (a-?) g (a?"~') ;> 0. Это верно для всех круговых
j=i
\-i
целых g (a) = У] ai'a* (а нв только для тех, которые имеют вид f (a) ...
... / (a^^2), поскольку
X-i \-l\-l\-l
2 *(«;)? («*-J) = 2 2 S 4*"aka>-h-* =
=2 «i«* S «<г-ы=(^-D 2 «?- S
t, ft j—1 i=0 0<t,
= 2 (аг-аь
4.3. Ризложение простых чисел р = 1 (mod %) lit
оно делит один из сомножителей, т. е. h (а) \ 1 и из h (a) \ f (a) g (a)
вытекает, что h (а) | / (а) или h (а) \ g (а). При изучении Послед-
ней теоремы Ферма мы сразу сталкиваемся с сомножителями
в равенстве (х + у) (х + ау) (х + а?у) ... (х + а^-'^у) = z%.
Поэтому настоящий параграф и следующий за ним посвящены
задаче разложения биномов вида х + а3у (хну — взаимно про-
стые целые числа, / = 1, 2, . . ., X — 1) и, в частности, задаче
нахождения всех возможных простых делителей таких бино-
мов.
(Сосредоточение внимания на разложении биномов оправдано
не только тем, что биномы сразу появляются в Последней теореме
Ферма, но также и тем, что, как мы увидим в этой главе, простые
делители таких биномов имеют наиболее ясный вид среди всех
простых в арифметике круговых целых. Кроме того, именно эти
простые делители изучал Куммер в своей первоначальной работе-
1844 г., посвященной разложению круговых целых. Правда,
причины, побудившие его заняться этими частного вида делителя-
ми, по-видимому, не имели никакого отношения к Последней
теореме^ Ферма и были связаны скорее с работой Якоби [J21
о высших законах взаимности.)
Мы будем действовать методом анализа, а именно, мы пред-
положим, что простой делитель h (а) бинома х + а/у известен,
и из этого предположения извлечем достаточно информации,
чтобы во многих случаях сделать возможным построение таких
простых делителей h (а). Тот факт, что в некоторых ситуациях
конструктивный метод не дает ожидаемый делитель, привел
Куммера сначала к наблюдению, что наивное предположение
о единственности разложения несостоятельно, а затем к созданию
теории идеальной факторизации, которая «спасает» единствен-
ность разложения и доставляет мощный инструмент изучения
арифметики круговых целых.
Итак предположим, что h (а) есть простое круговое целое,
которое делит бином х + aJy, где жиг/ — взаимно простые целые
числа и а3 ф1. Тогда h (а) делит норму N (х -\- а/у), которая
является обычным целым числом. Целое N (х -\- а?у) может быть
записано в виде произведения простых целых, скажем N (х -\-
-Ь а'у) = pjj>2 . . . рп (допускаются повторения), и, поскольку
h (а) простое, одно из этих простых целых ри р2, . . ., рп должно
делиться на h (а). Пусть р — некоторое простое целое число,
Делящееся на h (а). Тогда h (а) не делит ни одно целое т, взаимно
простое с р, поскольку в этом случае 1 = am -\- Ър для некоторых
целых а и Ъ и h (а) \ т влекло бы за собой h (a) | 1 вопреки пред-
положению, что h (а) не является единицей. Таким образом,
Целые числа, которые делятся на h (а), суть кратные р и только
они.
112 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Главным техническим приемом нахождения условий на h (a)
будет рассмотрение сравнений по модулю h (а). Точнее, будет
показано, что можно определить, сравнимы ли по модулю h (a)
два круговых целых, даже если само h (а) не известно, а известны
только р, х, у ж /. Этот факт очень помогает в анализе h (а) и по-
следующем нахождении возможных простых делителей.
Говорят, что два круговых целых / (а) и g (а) сравнимы по
модули? третьего кругового целого h (а), и пишут / (а) = g (а)
(mod h (а)), если h (а) делит разность / (а) —g (а). Это отно-
шение, как и сравнимость обычных целых чисел по модулю третье-
го целого числа, является рефлексивным, симметричным, транзи-
тивным и согласовано со сложением и умножением. Выпишем эти
условия: / (а) = / (а) (mod h (а)) (рефлексивность); из / (а) э;
= g (а) (mod h (а)) следует g (а) = / (а) (mod h (^(симметрич-
ность); из / (а) = g (а) (mod h (а)) и g (а) = ф (а) (mod h (а))
следует / (а) = ф (а) (mod h (а)) (транзитивность); из / (а) е==
= g(a) (mod h(a)) следует /(а) + ф (а) = g (а) + ф (a) (mod h (a))
для всех ф (а) (согласованность со сложением) и из / (а) =
s g (a) (mod h (а)) следует/ (а) ф (а) = g (а) ф (a) (mod h (а)) для
всех ф (а) (согласованность с умножением). Все эти утвержде-
ния непосредственно следуют из определения. Короче говоря,
к этим сравнениям по модулю h (a) при любом круговом целоь:
h (a) могут быть применены обычные правила выкладок со срав-
нениями.
Если h (a), х -\- а)у и р имеют определенный выше смысл
то доказанное утверждение о том, что целые числа, делящиесг
на h(a), кратны р, можно сформулировать как утверждена
о том, что для целых чисел и и v сравнение и = v (mod h (a)
равносильно сравнению и = v (mod p). Это показывает, чт(
у ф 0 (mod р), поскольку у = 0 (mod р) вместе с х + а3у =
= 0 (mod h (a)) дало бы х = 0 (mod h (a)) иг = 0 (mod p) вопре-
ки предположению о взаимной простоте х и у. Значит, найдется
такое целое а, что ау = 1 (mod p). Далее, ay = I (mod h (a);
О = a (x -\- ajy) = ax -f a3' (mod й (a)), aJ = —az (mod u (a)'.
Таким образом, а} сравнимо с некоторым целым числом по моду-
лю h (a). Так как все степени числа а являются в то же врем,
степенями любой его данной степени а3, при условии что а3 Ф *
то предыдущее показывает, что все степени числа а сравнимк
с целыми числами по модулю h (a). Далее, найдется такое целое .
что i] = 1 (mod К) (поскольку X простое и / не делится на К)
откуда следует, что a = ai3' = (—ахI (mod h (a)). Пусть к обе-
значает целое число, сравнимое с (—ахI по модулю р. Тогда ;
зависит только от р, х, у и / и обладает следующим свойством
для любого кругового целого g (a) = a^^a^ -j- . . . + %a + a.
целое число g (k), полученное заменой a на к в g (a), сравнимг
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %) 113
с этим круговым целым g (а) по модулю h (а), g (а) = g (/с)
(mod h (а)). Таким образом, любое круговое целое сравнимо
с целым числом по модулю h (а). Так как легко узнать, сравнимы
или нет два целых числа по модулю h (а), это позволяет легко
узнать, сравнимы или нет два круговых целых по модулю h (a),
п доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть h (a) — простое круговое целое, которое делит
как х + а}у (х, у взаимно просты, а3 ф 1), так и р (простое целое
число). Тогда имеется такое целое число к, причем его можно найти,
зная только х, у, /, р, что a = k (mod h (а)) и в результате
/ (а) = g (а) (mod h (а)) <=> / (к) = g (к) (mod p),
где / (к) и g (к) обозначают г) целые числа, получаемые из круговых
целых / (а) и g (а) подстановкой а = к.
Доказательство. Поскольку а = k (mod h (а)) и поскольку
сравнения можно складывать и перемножать, / (а) ^ / (к)
(mod h (а)). Аналогично, g (a) = g (к) (mod h (а)). Так как
/ (к) и g (к) — целые числа, то сравнение / (к) = g (к) (mod h (a))
равносильно сравнению / (к) = g [к) (mod p), что и требовалось
доказать.
Возможные значения для р и к сильно ограничиваются следую-
щим наблюдением. Так как о^ + ах~2 + ... + а + 1 = О,
разумеется, делится на h (а), то к и р должны удовлетворять
условию
&>.-i_,../i;X-2__ ._ __j_ /с + 1 = о (mod/;), A)
а следовательно, и такому условию: кх — 1 — (/с — 1) (АЛ"-1 + ...
... -Ь fc + 1) = 0, т. е. АЛ = 1 (mod p). Напомним теперь, что,
как мы видели в доказательстве теоремы Ферма в § 1.8, для любо-
го простого р и целого к Ф 0 (mod p) имеется такой наименьший
положительный целый показатель d, что kd = 1 (mod p) и для
положительных целых / сравнение к3 = 1 (mod p) имеет место
к том и только в том случае, когда d \ /. В данном случае d может
равняться лишь 1 или К, поскольку кх = 1 (mod p) и Я, простое.
Если d = 1, то /с s I (mod р) и A) показывает, что К == 0 (mod p);
следовательно, Я, = р. С другой стороны, если К — р, то /сх-1 ^
^ 1 (mod р) по теореме Ферма, и в сочетании с кх = 1 (mod p)
это дает к = 1 (mod р). Таким образом, /с = 1 (mod p) тогда
п только тогда, когда р = К. Пусть теперь d = К. Так как к?'1 =
г) Обозначением / (к) нужно пользоваться осторожно, поскольку круго-
вое целое / (а) не определяет целое число / (к), т. е. из равенства круговых
Целых / (а) == F (а) не следует равенство целых чисел / (к) и F (к) (см. упр. 11).
Однако, как показывает теорема, из пего вытекает сравнение / (к) э
35 F (к) (mod p), так что для этого р и для этого к круговое целое / (а) опре-
деляет / (к) по модулю р.
Г. Эдварде
114 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
s I (mod р) по теореме Ферма, то это дает Я \ (р — 1), т. е. р =
= 1 (mod Я). Подытоживая рассуждения, получаем: простое h (ос).
которое делит бином, либо делит Я, либо делит простое р =а
= 1 (mod Я). В первом случае целое число к в приведенной выше
теореме сравнимо с 1 по модулю Я; во втором случае к ф 1 (mod p)r
но кх = 1 (mod p).
В первом случае р = Я, h (ос) делит а — 1, поскольку 1 — 1 ==
= 0 (mod Я). Следовательно, Nh (ос) делит iV (ос — 1) (норма
произведения равна произведению норм). Так как число Л'' (а — 1)=
= N A — а) есть значение при X = 1 полинома (X — а) (X —
— ос2) ... (X - а*) = X*--1 + X*-2 + . . . + 1,то N (а - 1) =
= Я, и, поскольку Nh (а) ф1, мы получаем, что Nh (а) =Я
и частное от деления а — 1 на h (ос) является единицей. Значит
для h (ос) остается только одна возможность: быть произведением
единицы на а — 1. Отсюда не следует, что а — 1 удовлетворяет
требованию, наложенному на h (ос), a именно, что оно простое
Этот факт будет доказан позже в этом параграфе.
Далее, рассмотрим сопряженные h (a2), h (а3), . . ., h(ax~1"'
числа h (а). Как следует прямо из определения, каждое из них
простое. (Поскольку сопряжение а^а' сохраняет произведения
h (а') делит / (a) g (а) в том и только в том случае, когда|й (от-
делит / (ос*) g (ос*), где ij = I (mod Я). Так как h (а) простое
отсюда вытекает, что h (а) делит / (а*) или g (ос*), а следовательно.
h (a}) делит / (а) или g (а).) При этом каждое из сопряженныг
делит бипом и делит р; следовательно, для каждого из них имеется
соответствующее число к.
Если р = Я, то значение к должно удовлетворять условшг-
к s I (mod Я) во всех случаях. Следовательно, два круговы:
целых сравнимы по модулю h (а*) тогда и только тогда, когдс
они сравнимы по модулю h (а), откуда следует, что h (oc;) дели"
h (а) и h (а) делит h (ocj), т. е. h (a}) есть единица, умноженпаг
на h (а). Так как h (а), если оно существует, должно быть едг
ницей, умноженной на а — 1, то отсюда должно вытекать, чтс-
ос2 — 1, а3 — 1, . . ., а^ — 1 все являются единицами, умно-
женными на а — 1. Это прямо следует, без каких бы то ни был(
допущений о h (а), из формул а3 — 1 = (а — 1) (а;-1 + а3~г + ..
. . . + 1) и N (а3' - 1) = N (а - 1).
Когда р фк, р = 1 (mod Я), обстановка резко изменяется
Сравнение а = к (mod h (а)) влечет за собой а? = к (mod h {a1))
Если какое-нибудь сопряженное h (а?) числа h (а) делило бы
некоторое другое сопряженное h (осг), то из сравнимости по модулю-
h (аг) вытекала бы сравнимость по модулю h (а3) и это давало бк
а3 = к = a1 (mod h (a})); из этого вытекало бы, что h (oc;) дели"
4.3. Разложение простых чисел р s 1 (mod %) 115
а1 — аг", а следовательно, Nh (ос) делит N (а3 — а?) = N (а3'1 —
— 1); так как N (ос;~* — 1) = Я, если только не имеет места а? =
= ос*, и так как h (ос) не делит Я, то это показывает, что ни одно
из сопряженных числа h (ос) не делит другое. Это означает, что при
р фК простые делители h (ос), h (а2), . . ., h (а*-) числа р все
различны. Так как h (ос) делит р, то р *= /г. (а) 9 (а). Так как
Л (а2) делит р, но не делит h (ос), и так как А (ос2) простое, то
h (а2) делит q (а),1 скажем q (a) = h (a2) g2 (а)- Так как /г. (а3)
делит р = h (ос) h (а2) gr2 (а), по не делит ни h (ос), ни h (а2), то оно
должно делить q2 (ос), откуда р = h (ос) h (а2) /i (а3) д3 (°0- Продол-
жая так рассуждать дальше, найдем р = Nh (a) g^-i (а). Таким
образом, целое число Nh (а) в произведении с круговым целым
q%-x (ос) дает целое число р. Это показывает, во-первых, что 5^-1 (a)
есть целое число, и, во-вторых, поскольку р простое, что qK^ (а) =
= 1, р = Nh (а). Таким образом, мы показали не только то, что р
есть норма числа h (а), но и то, что равенство р = Nh (а) пред-
ставляет собой полное разложение числа р на различные простые
сомножители. В итоге доказана следующая
Теорема. Если h (а) есть простое круговое целое, которое делит
бином х + а3у {где х и у — взаимно простые целые числа и а3 =?= 1),
то Nh (а) есть простое целое число, сравнимое с 0 или 1 по моду-
лю Я. Если Nh (а) = Я, то h (а) и все его сопряженные отличаются
от а — I на сомножитель, являющийся единицей. Если Nh (а) =
= р = 1 (mod Я), то р = Nh (а) представляет собой разложение
числа р в произведение Я — 1 различных простых сомножителей,
т. е. ни один из этих сомножителей h (а3) не делит никакой дру-
гой.
Дальнейший анализ нашей задачи, т. е. вывод необходимых
условий на число h (а), чтобы оно оказалось простым делителем
бинома, уже не требуется, поскольку теперь возможен синтез:
Теорема. Если h (a) — любое круговое целое, норма которого
есть простое целое число, то h (а) является простым и делит
бином х -\- а3у (х, у взаимно просты, а3 Ф 1).
Следствия. Круговое целое а — 1, как и произведение его на
любую единицу, является простым. Если норма Nh (а) есть простое
число, то оно сравнимо с 0 или 1 по модулю Я. Если Nh± (а) = р =
= Nh2 (а) есть простое число, то h2 (а) есть произведение числа,
сопряженного числу hx (а), на единицу.
Доказательство. Первое следствие вытекает из теоремы,
поскольку N (ос — 1) = Я есть простое число. Однако чтобы дока-
зать теорему в случае Nh (a) = Я, проще всего прямо доказать
простоту числа а — 1. Из того что а — 1 делит iV (ос — 1) = Я,
116 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
но не делит 1, как и раньше, вытекает, что целое число делится
на а — 1, только если оно делится на К. Кроме того, ос =
= 1 (mod (а — 1)). Отсюда получаем, что если а — 1 делит
/(а) ? (а), то / (а) g (а) =з 0 (mod (а - 1)), / A) г A) =i
=0(mod (а—1)), f(l) gA)^0 (modX) (поскольку f(l)g(l)~
целое число), / A) или g A) = 0 (mod К) (поскольку Л, — простое),
/ A) или g A) = 0 (mod (а — 1)), / (а) или g (а) = 0 (mod (а — 1))
и а — 1 делит / (а) или g (а). Следовательно, а — 1 простое.
Если h (а) является произвольным круговым целым, причем
Nh (а) = Я,, то, поскольку а — 1 делит Nh (а) и является простым,
а — 1 делит одно из сопряженных числа h (ос). Так как и а — 1,
и сопряженные числа h(a) имеют норму Я, то частное обязано
быть единицей, а значит, некоторое из сопряженных числа h (ос)
есть единица, умноженная на а — 1. Далее, само h (ос) есть еди-
ница, умноженная на сопряженное числа а — 1, а так как все
сопряженные числа а — 1 суть единицы, умноженные па а — 1,
то отсюда следует, что само h (ос) есть единица, умноженная
на а — 1. Но а — 1 простое, поэтому и h (ос) простое, и теорема
в случае Nh (ос) = К доказана.
Второе следствие вытекает из данной и предшествующей тео-
ремы. Однако и здесь дроще провести прямое доказательство
следствия как часть доказательства теоремы. Поскольку а — 1
есть единственный простой делитель числа К, то для того, чтобы
сосчитать Nh (ос) = p по модулю Л,, естественно рассмотреть его
по модулю а — 1. Так как каждое сопряженное числа а сравнимо
с 1 по модулю а — 1, то каждое сопряженное числа h (ос) сравнимо
с h A) по модулю а — 1 и р -— Nh (ос) = [h (I)]*- (mod (а — 1)).
Так как два целых числа сравнимы по модулю а — 1 тогда и толь-
ко тогда, когда они сравнимы по модулю X, получаем р =
= [h (I)]*' (mod К), откуда р = 0 или 1 (mod Л,) по теореме
Ферма.
Основной шаг доказательства — показать, что если Nh (a) —
простое число, то h (а) должно делить бином. Нам требуется
показать, что h (а), будучи простым, должно делить бином. Если
это так, то по первой теореме этого параграфа а = k (mod h (а))
для некоторого целого к. Значит, h (а) должно на самом деле
делить бином специального вида а — к. Естественно попытаться
доказать это, найдя такое целое /с, что h (а) делит а — к. Это
можно сделать следующим образом.
Поскольку из a s к (mod h (а)) вытекает 1 = аК =
= к1 (mod h (а)), должно иметь место сравнение кх — 1 =
= 0 (mod p), так как иначе существовали бы такие целые а и Ь,
что 1 = а (№" — 1) + Ьр, и это повлекло бы за собой 1 =
= 0 (mod h (а)) вопреки предположению, что Nh (а) = р ф1.
Поэтому мы ограничимся лишь теми к, которые удовлетворяют
сравнению кх = 1 (mod р). Пусть 7 — примитивный корень по
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %) 117
модулю р (см. приложение, § А.2). Тогда каждое ненулевое
по модулю р число можно единственным образом представить
и виде у* (i — 1, 2, . . ., р — 1), причем (у{)х = 1 (mod p) в том
и только в том случае, когда р — 1 делит iX. В случае р = X
теорема уже доказана, и так как мы знаем, что р s 0 или 1 (mod X),
то в оставшейся части доказательства можно считать, что р =
== 1 (mod X), скажем р — 1 = \iX. Тогда (yl)x s I (mod p) в том
и только в том случае, когда (р — i)/X = [i делит ?, т. е. в том
и только в том случае, когда i принимает одно из следующих
значений: jj,, 2\i, 3\i, . . ., X\i = p — 1. Пусть m есть у^. Тогда
к = m, к = тг, к = ms, . . ., к = тх = 1 (mod p) суть Я, различ-
ных решений сравнения кх = 1 (mod p) и каждое решение этого
сравнения сравнимо по модулю р с одним из этих. (Другое дока-
зательство того, что сравнение кх = 1 (mod p) имеет точно X
решений, различных по модулю р, см. в упр. 10.) Таким образом,
задача нахождения такого целого к, что h (ос) делит а — к, сво-
дится к задаче нахождения такого целого /, что h (ос) делит а —
— т) (/ = 1, 2,. . . ., X). Если / — такое целое число, то 0 =
= h (ос) = h (m3) (mod h (а)), откуда, как и раньше, h (mj) =
s 0 (mod p). Тот факт, что имеется по крайней мере одно / в по-
следовательности / = 1, 2, . . ., X — 1, для которого это необ-
ходимое условие выполняется, вытекает из следующей леммы.
Лемма. В предыдущих обозначениях имеет место сравнение
h (m) h (пг2) . . . h (яг*-1) = 0 (mod p).
В первый момент может показаться, что лемма сразу следует
из Nh (а) = р, если просто положить здесь а = т и перейти
к сравнению по модулю р. Однако, как выше отмечалось, опера-
ция подстановки а -¦ т для круговых целых недостаточно кор-
ректно определена. Указанное рассуждение можно сделать обосно-
нанным, °сли рассматривать h (а) как полином от а — чтобы это
подчеркнуть, будем писать h (X) — и разделить полином h (X) X
X h (X2) . . . h (Х^-1) на полином Х^ + X* + . . . + 1, пред-
ставив его в виде q (X) (X1'1 4- Xх'2 + ... 4- 1) -j- r (X), где
'' (X) — полином степени < X — 1. Если в этом полиномиальном
тождестве положить X — а, то получим р = q (а)-О + г (а),
откуда, поскольку г (а) имеет степень <Х — 1, находим, что
'в силу основных свойств круговых целых, перечисленных в пре-
дыдущем параграфе) г (X) есть полином г (X) = р степени 0.
Положим теперь X = т\ тогда целое число, стоящее в левой
части сравнения в формулировке леммы, оказывается равным
9 (т) (тх~г -г пг*- 4- ... -\- т + I) + р. Для доказательства
леммы достаточно показать, что пг^ 4- тх~2 4- ... 4- 1 =
ss 0 (mod р), а это следует из пг*- 4- тх~2 4- • • • 4- 1 =
= (тх — 1)/(пг — 1), поскольку т'А = 1 (mod р), пот ф. 1 (md)
118 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Итак, по крайней мере одно значение из / = 1, 2, . . ., К — 1
удовлетворяет необходимому условию h (т}) = 0 (mod p) для
того, чтобы h (ос) делило а — т3. Теперь мы докажем, что это
условие и достаточно. На основании способа деления из предыду-
щего параграфа определить, делит ли h (ос) число а — т\— это
то же самое, что определить, делит ли р = Nh (ос) число (а —
— т3) h (ос2) h (ос3) . . ._k{ax~1). Проведя деление с остатком поли-
нома h (X) на X — т3, найдем h (X) = q (X) (X — т3) + г, где
г — целое число. Полагая X = т3, имеем h (т3) = г. Таким
образом, г = 0 (naocl р) по предположению и h (ocv) = q (ocv) X
X (ocv — m3) (mod p) для v — 1. 2, . . ., Я — 1. Значит, (ос —
- m3) h (ос2) h (a3) ... A (a*-1) = (a - m3) q (a2) (a2 - m3) X
X q (a3) (a3 -m>)...q (a^) (a^ — m3) = N (a — m') q (a2) X
X q (a3) . . . q (a^") (mod p). Так как для любого целого к
норма числа a — к является значением при X — к полинома
{X - а) (X - а2) ... (X - а'-1) = A*-1 -f- X* + . . . + 1 =
= (А* - 1)/(Х - 1), т. е.
то N (oc — m3) = 0 (mod p) и h (ос) делит a — m3, что и требо-
валось показать.
Итак, доказано, что если целое число Nh (ос) простое, то h (ос)
не только делит какой-то бипом, но даже делит бином вида a — к.
Для завершения доказательства теоремы остается установить, что
h (ос) простое. Для этого можно использовать те же соображения,
что и раньше. Именно, если h (ос) делит / (a) g (ос), то / (a) g (ос) =
= 0 (mod h (a)), / (k) g (k) = 0 (mod h (a)) [поскольку a =
= к (mod h (oc))], / (k) g (k) = 0 (mod p) [поскольку иначе 1 мож-
но было бы записать в виде комбинации чисел / (к) g (к) и р,
что давало бы 1=0 (mod h (ос))], / (к) или g (к) = 0 (mod p)
{из-за простоты р), / (А;) или g (к) = 0 (mod & (ос)) и, наконец,
/ (а) или g (а) = 0 (mod & (а)), что и требовалось показать. Это
завершает доказательство теоремы.
Третье следствие нолучится, если заметить, что h2 (a) делит
р = Nhx (a), откуда из-за простоты h2 (a) вытекает, что h2{ct)
делит одно из сопряженных числа h1(a). Так как оба наши числа
имеют норму р, то частное имеет норму 1, и А2 (а) оказывается
произведением единицы на сопряженное числа hi (ос), что и тре-
бовалось доказать.
Доказанная теорема применяется в следующем параграфе для
нахождения большого числа простых круговых целых при малых
значениях К. Исторически это и есть тот путь, которым следовал
Куммер в 1844 г. При этом он допустил серьезную ошибку, считая
доказанным, что каждое простое р = 1 (mod X) является нормой
4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod X) 119
некоторого кругового целого. Это утверждение неверно: например,
как покажут вычисления в следующем параграфе, при К = 23
число 47 = 2-23 -+- 1 не является нормой никакого кругового
целого. Удивительно, что Куммер сам этого не обнаружил в про-
цессе своих вычислений. Первым, кто заметил, что имеется совер-
шенно очевидная причина, по которой уравнение Nh (ос) = р
не всегда разрешимо, даже если р = 1 (mod Я,), был, видимо,
Якоби (подробнее см. [Е4]). К счастью для Куммера, Якоби
вовремя предупредил его об этой ошибке, и он смог приостановить
публикацию своей работы с неверной теоремой. Думается, Кум-
меру повезло также и в том, что он не нашел своей ошибки слиш-
ком быстро. Это позволило ему достаточно далеко углубиться
в свою теорию и, видимо, внести в нее столь ощутимый вклад,
что у него хватило сил преодолеть встретившиеся трудности
II продолжать создание теории, которая обеспечила ему важное
место в истории математики.
Упражнения
1. Докажите, что если h (а) простое, то оно неразложимо.
2. Докажите, что обычное положительное целое число п, которое нераз-
ложимо (из п = тк вытекает, что т или к равно 1), является простым
(из п | тк вытекает, что п \ т или п \ к).
3. Докажите, что если h (а) неразложимо, но не просто, то имеется кру-
говое целое, которое может быть записано в виде произведения неразложимых
двумя различными способами. Такими образом, если из неразложимости
не вытекает простота, то единственность разложения не имеет места. [Пред-
положите, что каждое круговое целое может быть записано в виде произве-
дения неразложимых.]
4. Найдите нормы следующих биномов, (а) При Я, = 5: х + ау = 1 + а,
2 + а, 2 — а, 3 + а, 3 — а, 3 + 2а, 3 — 2а, 4 + а, 5 + 2а, 5 — 4а,
7 + а. (Ь) При К = 7: х + ау = 2 + а, 3 + а, 3 ± 2а, 4 + а, 4 + За,
5 + а, 5 + 2а, 5 + За, 5 + 4а. [N (х + ау) = <,х\ + у\I(х + у).]
5. В тексте было доказано, что если р делит N (х + ау), где х и у
взаимно просты, и имеет простой делитель к (а), то р = 0 или 1 (mod %).
Докажите, что предположение о простом делителе h (а) не нужно. [Ис-
пользуйте формулу для N (х + ау).]
6. Используя факт, доказанный в упр. 5, разложите нормы, найденные
в упр. 4.
7. При X = 5 найдите норму N (9 — а) (а) непосредственно; (Ь) заме-
тив, что она равна N C — а) N C + а).
8. Докажите, что если р = 1 (mod %) и hx (a), h2 (а) — простые делители
числа р, то h2 (а) есть произведение единицы па сопряженное числа h1 (a).
Иными словами, разложение числа р па простые, если оно существует, един-
ственно.
9. Суть последней теоремы из текста в том, что если h (а) имеет нормой
простое число, то а, = к (mod h (а)) при некотором целом к. Куммер доказал
»ту важную теорему в своей статье 1844 г. Однако его доказательство было
совсем другим. Восполните детали следующих рассуждепий. Пусть
h (a2) h (а3) . . Ль (ах" г) = Н (а) = А<г\-А1а-\-А2аа+ . . . +АХ_1 а*-1. Тогда
к-пй (а) + а-2"# (а2) + . . . +а-(?ь)пЯ (а^1) = %Ап — (Ло + Аг + . . .
120 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
кг) и а-"A—а) Я (a)-J-a-2« (I—a*) H (а2)-. . . + а'^'^ п A—
— а'-) II (ак~1) = %(Ап — Ап_г). Так как II (а)) II (a*) m 0 (mod р) при
/ ф к, то это дает А,2 (Ап+1 - ЛпJ - Я,2 (Лп+2 - Лп+1) (Лп - Ап^) =
= 0 (mod р). Значит, решение | сравнения (Ап+2—Ап+1) \ = Ап+1 — Ап
одно и то же для всех ге. Следовательно, у1п+г| — Лп одно и то же по
модулю р для всех п, (g — a) II (а) есть нуль по модулю р и, таким обра-
зом, h (a) делит a — g.
10. Применяя теоремы этого параграфа, покажите, что если р = 1 (mod Я)
является простым числом, которое делится на круговое целое h (a), то имеется
точно Я, — 1 различных решений сравнения к^ = 1, к ф 1 (mod р) и все
они являются степенями любого одного из пих. [Рассмотрите целые, сравни-
мые с а? но модулю h (a).] Докажите, что это верно без предположения о про-
стом делителе h (а). [Примените теорему Ферма.]
11. При % = 5 имеем 0 = 1 + a + a2 + a3 + а4, но, разумеется,
0 ф 1 + 7 + 72 + 73 + 74. Значит, из / (a) = g (а) не следует, что / G) =
= g G). По каким простым модулям р имеет место сравнение f G) = g G)
(mod p)?
12. Докажите, что f (a) = g (a) тогда и только тогда, когда / (X) —
— g(X) = q (X) (Xх-1 + Xя + . . . + 1). Установите, что если к^'1 +
+ кК-^ +... + 1 = 0 (mod р), то из f (а) = g (a) следует f (к) = g (к)
(mod p).
4.4. Вычисления для р — 1 (mod Я)
Оказывается, среди математиков существует глубоко укоренившаяся
тепденция неосознапно предполагать единственность разложения на простые.
Эта тепдепция, несомпенпо, навеяна опытом вычислений с обычными целыми
числами и той важной ролью, которую играет единственность разложения
в доказательстве таких фактов, как утверждение о том, что произведение двух
взаимно простых чисел есть квадрат только тогда, когда каждый сомножитель
является квадратом. Свидетельством силы этой тенденции служит использо-
вание Эйлером в его «Алгебре» единственности разложения для квадратичных
целых, несмотря на коптрпример 3-7= D+ Y—5) D — У—5), известный
как ему, так и за сто лет до него Пьеру Ферма в виде утверждения, что про-
стой делитель целого числа, представимого в виде а2 + 562, не обязательно
сам имеет такой вид (см. § 1.7 и 2.5). В случае круговых целых эта тендепция
подкрепляется на опыте вычислений, поскольку при % <. 23 единственность
разложения для круговых целых действительно имеет место. Поэтому не при-
ходится удивляться, что Ламе был твердо уверен в едипствепности разло-
жения для круговых целых: «Не может быть непреодолимого препятствия
между таким полным подтверждением и строгим доказательством». Копечно,
Куммер также испытывал большую падежду — если не уверенность,— что
единственность разложения для круговых целых имеет место, и именно
по этой причине он счел весьма прискорбным свое открытие ее парушения для
X = 23. Если бы вера Куммера в единственность разложения не подтверж-
далась так долго опытом вычислений, то вряд ли он стал бы искать пути
ее спасения и ему едва ли удалось создать теорию в том виде, в каком мы знаем
ее сейчас. На самом деле имеются некоторые, правда косвенные, свидетель-
ства (но относящиеся ко временам Гаусса), что сам Гаусс пытался создать
нечто подобное теории Куммера для случая квадратичных целых (чисел вида
а + Ъ Y^i гДе -О фиксировано), но что он оказался пе в состоянии разрабо-
тать детали и опубликовал свои результаты (в Disquisitiones Arithmeticae)
только в совсем другом и более запутанном виде «композиции форм» (см. § 8.6).
Опубликованные Ламе вычисления совсем не велики и при трезвом
взгляде никак но оправдывают его убеждения в единственности разложения.
4.4. Вычисления для р = i (mod Я) 121
Однако они действительно служат хорошим отправным пунктом исследова-
ния некоторых вычислительных примеров. При помощи формулы Лг (х + <ху) =
= (аЛ + гЛ)/(х + у) он находит в [L6] нормы следующих J) биномов в случае
/.= 5:
A) N(a + 2)= 11 F) :VB« + 5) = 11-41
B) ,-V(« - 2) = 31 G) .V(« -4)= 11-31
C) ,V(a +3) = 61 (8) /V(a-9)= II2-61
D) ,V(a + 4) = 5-4! (9) /VDa - 5) = 11-191
E) /V(a - 3) = II2 A0) Л'(а + 7) = 11 • 191
В свете теорем предыдущего параграфа первое из этих равенств показывает,
что a + 2 простое, что круговое целое g (а) делится на a + 2 в том и только
в том случае, когда g (—2) = 0 (mod 11), и что равенство ЛГ (а + 2) = 11
является представлением числа 11 в виде произведения 4 различных простых
сомножителей, норма каждого из которых равна 11. Сходным образом, равен-
ства B) и C) дают разложения чисол 31 и 61 в произведения 4 различных
простых сомножителей.
Равенство D) указывает, что a + 4 есть произведение сомпожителя
с нормой 5 и сомножителя с нормой 41. Единственными сомножителями
пормы 5 (= Я) являются единицы, умноженные на a — 1. Поэтому разделим
a + 4 = a — 1 + 5 па a — 1 и найдем частное 1 + (а2 — 1) (а3 — 1) X
X (а4 — 1) [поскольку = ЛГ (а — 1)] = 1 + A — а2 — а3 + 1) (а4 — 1) =
= 1 + 2а4 — а — а2 — 2 + а2 + а3 = —1 — а + а3 + 2а4 = а2 + 2а3 +
+ За4 [так как 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0]. Таким образом, a + 4 =
= (a — 1) a2 Ca2 + 2a + 1). Конечно, a2 есть единица. Отсюда вытекает,
что За2 + 2а + 1 имеет норму 41 и, следовательно, является простым. Так
как За2 + 2а + 1 делит а + 4, то а = —4 (mod (За2 + 2а + 1)), и сравне-
ние / (a) = g (a) (mod (За2 + 2а + 1)) равпосильно сравнению i (—4) =
= g (—4) (mod 41).
Равенство E) показывает, что каждый простой делитель числа 11 делит
некоторое из сопряженных числа a — 3. Простое a + 2 само делит а3 — 3,
поскольку (—2K — 3 = 0 (mod 11). Следовательно, а2 + 2 делит а — 3 =
= (а2K — 3 и частное имеет норму 11. Следовательно, частное есть единица,
умноженная на один из четырех простых делителей вида а.) + 2 числа 11.
Так как a + 2 не делит a — 3, a2 — 3, a4 — 3, то единстеешюе из его сопря-
женных, делящее a — 3, есть а2 + 2, и это дает a — 3 = единица • (а2 + 2J.
Равенство F) показывает, что 2а + 5 делится на простой делитель
числа И и на простой делитель числа 41. Сопряжепное числа 2a + 5, кото-
рое делится на a + 2, есть 2а3 + 5, так как 2-(—2K + 5 = 0 (mod И).
Аналогично, сопряженное числа 2а + 5, делящееся на За2 + 2а + 1, нахо-
дится перебором: —4, 16, —64 еэ 18, (—4)-18 = —72 = 10 (mod 41); полу-
чаем 0 = 2-18+ 5 = 2- (—4K + 5 (mod 41); таким образом, 2а3 + 5 и есть
то, которое делится. Следовательно, 2а3 + 5 = единица • (а + 2 ) (За2 + 2а +
+ 1), что дает представление 2а + 5=едипица-(а2 + 2) (За4 + 2а2 + 1) чис-
ла 2а + 5 в виде произведения простых.
Равенства G) и (8) непосредственно следуют из разложений а2 — 4 =
= (а — 2) (а + 2), а2 — 9 = (а — 3) (а + 3), которые дают a — 4 =
= (a3 — 2) (a3 + 2), a — 9 = (a3 — 3) (a3 + 3). Первое из этих равенств
есть разложение на простые сомножит ли. Второе можно продолжить, исполь-
)
мыслить
Ламе пользуется совсем другими обозначениями, но их легко переос-
122 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
зуя разложение а — 3 = единица-(а2 + 2J и получая а — 9 = единица X
X (а + 2J (а3 + 3).
Равенство (9) показывает, что а + 2 делит некоторое из сопряженных
числа 4а — 5. То, которое оно делит, есть 4а2 — 5. Частное равно 4а — 8 +
+ И (а + 2)-1 = 4а - 8 + (а2 + 2) (а3 + 2) (а4 + 2) = 4а - 8 + A +
+ 2а2 + 2а3 + 4) (а4 + 2) = 4а — 8 + 5а4 + 2а + 2а2 + 10 + 4а2 +
+ 4а3 = 2 + 6а-^ 6а2 + 4а3 + 5а4 = —4 — 2а3 — а4. Следовательно, а4 +
+ 2а3 + 4 имеет норму 191 и поэтому простое. Таким образом, 4а — 5 =
= — (а3 + 2) Bа4 + а2 + 4) есть разложение числа 4а — 5 на простые.
Целое к, для которого а = к (mod Bа4 + а2 + 4)), удовлетворяет условию
4к — 5 = 0 (mod 191), откуда к = 192к = 48-4Й = 48-5 = 48-4 + 48 =
= 49 (mod 191). Таким образом, g (а) делится на 2а4 + а2 + 4 тогда и только
тогда, когда g D9) = 0 (mod 191).
Наконец, равепство A0) показывает, что а + 7 делится на делитель
числа И iijHa делитель числа 191. Путем кратких вычислений получаем 492 =s
= —82 (modil91), 493 = —82-49 = —7 (mod 191). Значит, а3 + 7 делится
на 2а4 + а2 + 4. С другой стороны, а2 + 7 делится на а + 2. Следовательно,
а + 7 = единица-(а3 + 2)-Bа3 + а4 + 4), что представляет собой разло-
жение числа а + 7 па простые сомножители.
Простые делители, найденные до сих пор, приведены в табл. 4.4.1.
Разобранные примеры показывают, что для определения делимости полезно
Таблица 4.4.1. X, = 5
простое
а + 2
ч~2
За2-!-2а + 1
« + 3
1 4 2 л
2а + а + 4
норма
11
31
41
61
191
(X =
-2
2
-4
— 3
49
«2^
4
4
16
9
-82
3
8
18
-27
-7
5
- 15
10
20
39
знать не только величину целого к по модулю р, но и его степени. Поэтому
эти степени, которы.' представляют собой целые числа, сравнимые с а2, а3
и а4 по рассматриваемому простому модулю, включены в таблицу. Заметим,
что каждая строка таблицы дает на самом деле четыре простых круговых
целых; мы берем сонряжепные данпого простого и соответственно перестав-
ляем степени числа а. Например, а2 + 2 простое и для этого простого делителя
а2 = —2, а4 = 4, а6 = а = 3, а8 = а3 == 5.
Ламе выполпил подобные разложения для каждого из своих равенств
A) — A0), хотя сделал много ошибок. Затем он сказал, что если и дальше
продолжать рассматривать биномы ха + у, то можно найти разложения еще
многих простых р s I (mod 5). Хотя это и верно 1), но в таком контексте
вводит в заблуждение, поскольку тот же самый процесс не позволяет разла-
гать простые р = 1 (mod Я) при Я > 5. Чтобы понять, почему это происходит,
рассмотрим случай Я = 7.
1) Кажется, Ламе пытался создать впечатление, что он провел более
длинные выкладки, чем это было па самом деле. Он говорит, что, «за несколь-
кими исключениями», каждое простое = 1 (mod 5) вплоть до 1021 встречается-
в качестве делителя числа TV (ха + у) для некоторой пары х, у при | х \ ^ 12,
| у | ^ 12. Первые 23 таких простых числа, вплоть до 521, действительно
все встречаются. Однако из остальных восемнадцати, до 1021, встречаются
«сего лишь В.
4.4. Вычисления для р = 1 (mod Я) 123
Здесь нормы нескольких первых биномов, найденные по формуле
.V (га + у) = (х7 + у7I(х + у), равны
ЛЧа+2) = 43 #(а -2)= 127
Л'(а+3) = 547 ЛЧа-3)=1О93
ЛBа +3) = 463 Л'Bа-3) = 2059 = 29-71
Л'(« + 4) = 3277 = 29 • 113 N(a - 4) = 5461 = 43 • 127
ЖЗа + 4) = 2653 = 7-379 МCа - 4) = 14197.
(Поскольку единственно возможными простыми оомножителями являются
7, 29, 43, 71, 113, . . ., приведенные разложения легко находятся, и легко
доказать, что те числа, которые не разложены, простые.) Если попытаться
имитировать метод Ламе, то сразу становится попятно, что его успех в случае
Я = 5 обеспечивался тем, что в этом случае список начинался с разложений
простых 11, 31, 61 и с разложения 5-41, что равносильно разложению про-
стого 41. В случае же Я = 7 мы находим разложения для простых 43 и 127,
а для 29, 71 и 113 не находим. Нормы быстро растут, и ясно, что nei никакой
надежды найти бипом с нормой, скажем, 29. Значит, для разложения числа 29
нужно ^прибегнуть к какой-то другой технике.
Техника, которую развил Куммер в своей статье 1844 г., заключалась
в том, чтобы сначала отыскивать значения к, после чего нетрудно паходить
круговые целые, делящиеся на искомые простые, а если повезет, то удастся
найти и сами искомые простые. В случае X = 7, р = 29, любая четвертая
степень к = а4 удовлетворяет сравнению к7 ¦¦¦¦= а28 = 1 (mod 29), к ^
ф 1 (mod 29) при условии, что а ф О (mod 29) и а4 ф 1 (mod 29). При а — 2
находим к = 16 = —13 (mod 29) и имеет место сравнение (—13)' = 1 (mod 29).
Другие значения для к ф 1, к7 = 1 (mod 29) получаются из (—13J = —5,
(—13K = 7, (—13L = —4, (—13M = —6, (—13)в = —9. Если 29 имеет раз-
ложение на простые, то один из сомножителей h (а) должен обладать свой-
ством: h (а) делит g (а) тогда и только тогда, когда g (—13) = 0 (mod 29).
Но из приведенной выше таблицы значений степеней числа —13 по модулю 29
1ШДН0, что g (а) = а2 — а4 + 1 удовлетворяет сравнению g (—13) =
= 0 (modj29). Следовательно, такое g (а) делится на предполагаемый дели-
гель числа 29. Так как норма этого гипотетического делителя есть 29, то норма
частного равна Ng (a)/29. Простое вычисление показывает1), что Ng (a) = 29.
Зпачит, g (а) само простое, поэтому равенство Ng (а) = 29 и дает разложепие
па простые сомножители числа 29.
Разложения чисел 71 ч 113 теперь мояшо найти посредством деления
2ос — 3 и а + 4 соответственно на подходящий делитель числа 29. Так как
2/с — 3 = 0 (mod 29) для к = —13, то 2а — 3 делится на —а4 + а2 + 1.
Частное равно Bа — 3) g (a-)-g (а3) g (а4) -g (а5) g (ав)/29 ¦= Bа —3) g (а2) X
X г (а4) / (а3)/29, где обозпачение / (а) введепо в предыдущем примечании,
]) Для дальнейшего полезно сделать следующее замечание о вычислении
нормы Ng (a) ='g (а) g (а2) g (а3) g (а4) g (а5) g (ав). Так как 3 есть при-
митивный корень по модулю 7 (см. приложение, § А.2), то повторения
одного сопряжения а у-*¦ а3 исчерпывают все сопряжепия. Поэтому сомножи-
тели в Ng (а) можно записать в таком порядке g (a) g (а3) g (а2) g (ав) g (а4) X
X g (а5), где каждый сомножитель сопряжен предшествующему под дей-
ствнем а,—»-а3. Далее, если мы определим / (а) как произведение сомножите-
лей, стоящих на нечетных местах, т. е. / (а) = g (а) g (а2) g (а4), то получим
\> (а) = / (а) / (а3). Этим путем вычисление нормы Ng (а) сводится к трем
124 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей ^
= Bа - 3) (- 2а« - За2 - а) (-1 - 49^/29 = Bа - 3) Fа« + 20а6 +
+ 12а4 + 11а2 + 13а + 16)/29 = B2а6 - 36а5 - 36а4 + 22а3-7а2-7а —
— 36)/29 = 2а6 + 2а3 + а2 + а. Следовательно, 2а5 + 2а2 + а + 1 —
простой делитель числа 71. Соответствующее к удовлетворяет сравнению
2к — 3 = 0 (mod 71), откуда к = 72к = 36 -2Л = 36 -3 = 36 -2 + 36 =
= 37 (mod 71); далее легко находятся к2 = 20, к'3 = 30, fe4 = —26, къ = 32,
кв = —23 (mod 71).
Апалогичпо, чтобы разделить а + 4 па делитель числа 29, испытываем
к + i = 0 (mod 29) при к = —13, —5, 7, —4, —6, —9. Решением является
к = —4, и отсюда следует, что а4 + 4 делится на —а4 + а2 + 1. Основной
объем требуемой работы по такому делению был нами уже проделан раньше.
Частное оказывается равным (а4 + 4) (а* + 20а5 + 12а4 + Иа2 + 13а +
+ 16)/29 = C5а« + 93а5 + 64а4 + 6а3 + 64а2 + 64а + 64)/29 = —а» +
+ а5 — 2а3 = —а3 (а3 — а2 + 2). Таким образом, а3 — а2 + 2 есть простой
делитель числа ИЗ. Соответствующее к легко находится, если использовать
то, что а3 — а2 + 2 делит а4 + 4; это дает fe4 = —4 (mod ИЗ). Отсюда к =
= к» = 16, к2 = 162 = 30 и т. д.
Следующим за 127 простым числом =1 (mod 7) является 197. Если мы
продолжим нашу таблицу норм N (ха + у) немного дальше, то найдем
N (а + 6) = 39 991 = 7-29-197. Деление числа а + 6 па а — 1 дает 1 +
+ 7 (а - I)-1 = 1 + (а2 - 1) (а3 - 1) (а4 - 1) (а5 - 1) (а« - 1). Произ-
ведение (а2 — 1) (а3 — 1) ... (а6 — 1) может быть найдено прямым умно-
жением и равно 6ав + 5а6 + 4а4 + За3 + 2а2 + а, что является частным
случаем формулы, верной для произвольного Я, а именно (а2—1) (а3 — 1) • • •
. . . (а»--1 _ 1) = (Я — 1) ах ' + ... + 2а2 + а (см. упр. 11). Таким обра-
зом, (а + 6)(а—I) = 6а«-Ь5а5 + 4а4 + За3 + 2а2 + а + 1 = а2 Eа4 +
+ 4а3 + За2 + 2а + 1). Для того чтобы разделить ато число_ па
простой делитель числа 29, испытаем, как и раньше, а = —13, —5, 7,
_4, —6, —9 и редуцируем по модулю 29. Нуль получается при к = — 6 =
== (_13M (mod 29). Значит, 5а« + 4а + За3 + 2а5 + 1 делится на —а4 +
+ а2 + 1. Частное равно Eа« + 4а + За3 + 2а5 + 1) Fа6 + 20а5 + 12а4Н
+ Иа2 + 13а + 16)/29 = A92а« + 163а5 + 163а4 + 192а3 + Ю5а2 +
+ 192а + 163)/29 = а (а5 + а2 — 2а + 1). Таким образом, 5а4 + 4а3 +
+ За2 + 2а + 1 = (-а5 + а« + 1) -а3-(а + а« - 2а3 + !)• Итак, а + 6 =
= (а— 1) -(а6 — а5 + 1) (а6 — 2а3 + а + 1) -а5 и а« - 2а3 + а + 1 есть
простое с нормой 197, по модулю которого а =?. —6.
умножениям.
а«
0
0
1
1
= 0
а5
0
0
1
1
0
а4
- 1
1
_ 1
1
0
_ |
Вычисление
а3
0
0
-1
-1
-2
а2
1
0
1
1
0
/(а)
а
0
- 1
- 1
-1
-2
может
1
1
1
1
1
0
быть
а6
0
1
1
записано
а5
0
- 1
2
1
а"
- 1
- 1
2
*]
так:
а3
-2
2
3
1
а2
0
1
-3
-3
а
-з
1
*]
-3
1
0
1
0
Таким образом, / (а) = -3G0 + 9t = -1 - 490, где 90 --= а + а2 + а*
и et = а3 + а5 + а6. (Поскольку / (а) = g (а) g (а2) g (а4) не мепяется
при замене а на а2, ясно, что для любого g (а) число / (а) представимо в виде
а% + Ьв1 + с.) Далее, / (а3) = -1 - 49t и Ng (а) ~ A + 400) A + 49t) =
= 1 — 4 + 169Q9!- Простое перемножение дает 909х = 90 + 9t + 6 = ^
„ Л7„ /~\ — Ч _1- 49 = 9Q
1 — 4 + 169Q9!. Просто
Ng (а) = -3 + 32 = 29.
4А. Вычисления Оля р = 1 (mod Ц 125
Этот метод разложения биномов, по-видимому, не дает делителя следую-
щего простого числа 211 = 1 (mod 7). Первый бином, норма которого делится
иа 211, есть За — 10, причем N (За — 10) = 7-211-967, и прежде чем это
можно будет использовать для разложения числа 211, нужно разложить
967. Поэтому мы примепим сначала метод Куммера нахождения возможных
значений для к и на основе этого попытаемся найти круговые целые, деля-
щиеся на гипотетический делитель числа 211, в надежде, что среди них
попадется число с нормой 211. Первый шаг состоит в решении сравпения
к i? I, fe7 = 1 (mod 211), Для этого мы можем положить к = а30 при усло-
вии, что а т 0, а30 * 1 (mod 211). При а = 2 находим а30 = —40 (mod 211).
Значит, если 211 имеет простые делители, то среди них есть такой, по модулю
которого а = —40, а2 = 1600 == —88, а3 = —67, а4 = —63, а5 = —12, а« =
= 58. Этот делитель должеп, следовательно, делить а4 — а3 — 4. Вычисле-
ния, подобные проведенным ранее, дают N (а4 — а3 — 4) = 29-211. Следо-
вательно, а4 — а3 — 4 можно разделить на простой делитель числа 29 и найти
элемент с нормой 211, а тем самым разложение числа 211 на простые. По-дру-
гому, можно опять пытаться найти g (а), удовлетворяющее условию g (—40) ==
ез 0 (mod 211), которое имеет норму 211. Список сумм и разностей стенепей
числа а по модулю гипотетического простого (которое на основании пре-
дыдущих вычислений действительно существует), т. е. выражепий типа
±а±а2 = ±48, ±83 (= ±128); ±а±а3 = ±27, ±104; ±а±а4 = ±23,
±103; . . .; ±а5± ав = ±46, ±70, дает 60 целых чисел по модулю 211,
которые сравнимы с суммами и разностями степеней числа а. Наименьшее
из mix есть 4, использованное раньше. Однако если взять еще другую степень
числа а и поискать среди этих 60 чисел наиболее близкое к какой-нибудь
стеиепи числа а, то найдутся случаи, когда такая разность равна всего лишь 2.
Например, +а3 ± ав = ±9, ±86 и а2 = —88 приводит к ав — а3 — а2 =
.^= 213 s 2. Вычисления дают N (ав — а3 — а2 — 2) = 211, и это завершает
разложение числа 211.
Таблица 4.4.2. X — 7
простое
- а4 + а2 + 1
а + 2
2«5 + 2а2 + а + 1
2а5 + а - 1
а-2
а6 - 2а3 + а + 1
а6-а3-а2-2
норма
29
43
71
113
127
197
211
a i-;
... 13
-2
37
16
2
-6
-40
а2-
— 5
4
20
30
4
36
-88
а' .
7
-8
30
28
8
- 19
-67
4
16
- 26
-4
16
-83
- 63
I.5 =:
-6
11
32
49
32
-93
- 12
9
- 22
- 23
- 7
-63
-33
58
Итак, мы закончили разложение первых семи простых чисел = 1 (mod 7).
1'озультаты даны в табл. 4.4.2. Продолжение настоящего процесса не встре-
чает других трудностей, кроме роста объема вычислений.
Куммер выполнил такие вычисления и нашел разложение на простые всех
Р = 1 (mod X) для X < 19, р < 1000. Его результаты, опубликованные
в^статье 1844 г. [Кб], воспроизведены в табл. 4.4.3.
Данные, приведенные в этой таблице, могут быть найдены таким же путем,
каким мы выше находили разложения чисел 29 и 211 (X = 7). Разберем, напри-
мер, случай X = 13, р = 599. В этом случае р = 46Я + 1, и так как 24в =
ss 19 (mod 599) (несложное вычисление), то можно положить к = 19, после
чего сравнительно легко подсчитать вычеты fc2= —238, fc3=270, /с4 = —261,
/,-5 =-= _1б7, ке = —178, к7 = 212, к» = —165, к° = —140, к™ = —264,
126 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей
к11 = —224, fc12 = —63. Составление сумм и разностей +fc+fc2 = ±257,
+219; ±к±к3 = +289, ±251, и т.д. дает 4X66 чисел по модулю 599;
среди этих чисел нот очень маленьких и нет близких к степени числа к,
но есть много таких, которые отличаются друг от друга на 1, например к1 —
— к = 193, к2 + къ = — 405 = 194. Это приводит к 1 — а — а2 — а5 + а7
как к возможному делителю числа 599. Далее идет трудная часть вычисления,
а именно вычисление нормы. Соответствующую работу можно минимизиро-
вать, если организовать ее следующим образом. Воспользуемся тем, что
2 является примитивным корнем по модулю 13 (приложение, § А.2), и запи-
Таблица 4.4.3
При Х=5 и ах = 1:
11 = TVB+ а) 461 = N{4 - а - а2)
31 = ЛЧ2-а) 491 = NE + За + а3)
41 =* NC + 2а + а3) 521 = NE + а)
61 = ЛЧЗ + а) 541 = NC - За - а2)
71 = NC-a + а2) 571 = NF + 5а + За2)
101 = ЛЧЗ + а- а2) 601 =/VE + 2а - а2)
131 = ЛЧЗ + а-а4) 631 = ND -2а -а3)
151 = ЛЧЗ + 2а -а4) 641 = ,VE + За + 4а2)
181 = #D +За) 661 = NE + a-a2 + 3a3)
191 = ND+а + 2а2) 691 = NC - За - 2а2)
211 = Л'C-2а) 701 = JVD - а - 2а2 + а3)
241 = JVD-а +а2) 751 = NF + 4а + За2)
251 = ,VE + 2a + a4) 761 = JVE - 2а + а2)
271 = ЛЧЗ - За + а2) 811 = ЛГC - За - 2а2 + а3)
281 = ЛЧ4+а-а2) 821 = ND - а - 2а2 + 2а3)
ЗП = ЛГE + За + 2а2 + а3) 881 = #F + 2а + а2)
331 = JVD-2a + a2) 9П = NE + а2 - 2а4)
401 = ND + За - а4) 941 = ND + За - За2 - а3)
421 =/?E + 2а + 2а2) 971 = NE - 2а - а4)
431 = ^D-2а-а4) 991 = JVF + а + а3)
При Л= 7 и а*= 1:
29= N(\ + а-а2) 491 = JVC + а + а3 - а5)
43 =ЛЧ2+ а) 547=Л/C + а)
71 = ЛЧ2+а + а3) 617 = NB + а + а2 - а5)
113 = ЛЧ2 - а + а5) 631 = #B + 2а - а2 + а3 + а6)
127=JVB-a) 65? = ЛЧ2 + 2а-а2 + а5)
197 = JVC + а + а5 + а6) 673 = #D + За + 2а2 + а4 + 2а6)
211 = ЛЧЗ + а + 2а2) 701 = 7VC + а + а4 - а5 + а6)
239 = ЛЧЗ + 2а + 2а2 + а3) 743 = NC + 2а - а3 - а4)
281 = NB- а-2а3) 757 = NC + 2я + а3)
337 = NB + а - а2 - а4) 827 = VB + 2а - а4 - а6)
При л =
379= Л<C
421 = .VC
449= Л'B
463 = ЛЧЗ
7
+
+
+
+
и
2а •
а +
а —
2а)
ал
+¦ а
а2
а3
=
2)
)
•-
1:
«6)
4.4. Вычисления для р = 1 (mod К) 127
Ш = ЛB-«2-2«3-«5)
952 = N0 + a-a2- а3)
967=NB + 2«- а3 + 2а5)
При > = 11 и «х = 1:
23=N(l + a + a9) 617= NB+ а + а3 + а10)
9/= ДA + а + а2 + а4 + .г > 661 = NA + а - а2 + а4- а8)
89= /V(l + а + а4 + а6) 683 =NB + а)
199= ЛгA + а - а2) 727 = Л'A + а + а3 - а8 - а9)
331 = N(\ - а + а3 + а5) 859 = Л'A + а + а2 + а3 + а7 - а8)
353= N(\ + а + а3 + а4- а7) 881 = Л'A + а + а2 + а3 - а4 - а7 - а9)
397 = ;VA + а + а6 - а7) 947 = NB + а3 - а4 - а6)
419= Л'A + а - а2 + а3) 991 = NB + а 4- а3)
463= ,VA - а - а2 + а5 + а6)
При Л = 13 и лл = 1:
53= ,VA + а + а3) 547 = Л'A - и - ч2 + а' + а6)
79 = ЛA -- я + а10) 599= /V(l + а - а7 + а8 + о")
131 = \'<1 - а• + л") 677= N(\ - а - а4 + а6 + а4)
157= Л'A + а + «2 + а5)' 859= N(\ + а - а2 - а5 + а7)'
313= Л'A -а + а3 + «6) 911 = NA + а3 + а5 - а7 - а11)
443 = ЛЧ1 + а - а3 + а8) 937= N(\ + а3 - а7 + а8—а10)
521 = NA + а - а12)
При Л= 17 и ах= 1:
103 = ,VA + а2 + а9) 443= /V(l + а + а2 + а3 - а13)
137 = ,VA + а-а3) 613 = N(\ + а2 - а3)
239= ЛЧ1 + а+ а3) 647 = N(\ + а + а13 + а15)
307 = N(\ - а + а7) 919 = W(l + а + а4 + а5 + а9)
409= ,VA - а3 + а8) 953 = ^A + а + а9-а13)
При Л = 19 и ах= 1:
191 = N(\ + а + а16) 571 = N(\ + а + а2 + а3 - а5)
229= N(\ -а- а5) 647 = Л'A - «2 + а9)
419= ЛГA +а- а8) 761 = N(\ - а2 + л12)
457= ЛЧ1 + а+а3)
*) Здесь исправлена очевидная опечатка в таблице Куммера. Кроме-
того, Ленстра исправил куммерово разложепие числа 599, заменив а11 на
—а11.
128 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
шел Nf (а) в виде / (а) / (а2)/ (а4) / (а8) / (а3) / (ав) / (а12) / (а11) / (а") / (а5) / (а10) X
X / (а7), где каждый сомножитель получается из предыдущего заменой а
на а2. Пусть g (а) есть произведение каждого четвертого из этих 12 сомножи-
телей, т. е. g (а) = / (а) / (а3) / (а9). Тогда ясно, что Nf (a) = g (а) g (а2) X
X g (а4) g (а8). Пусть Л (а) есть произведение каждого второго из этих четырех
сомножителей, т.е. h (a) = g (a) g (а4). Тогда Nf (a) = h (а) h (а2). Прямое
вычисление элемента g (а) не слишком длинно. В результате оказывается,
что g (а) = —3 (а12 + а10 + а4) + 2 (а11 + а8 + а7) — 2 (а8 + а3 + а1) +
+ 6 (а« + а5 + а2) — 10. Пусть г\0 = а + а3 + а8, тц = а2 + а5 + а«,
¦q2 = а4 + а10 + а12, х\3 = а8 + а7 + а11. Тогда замена а на а2 вызывает
циклическую перестановку г\о>—*-г\11-*г\21-+Чз>—>'Чо- Таким образом,
т,2
9т,3 - 7].
Для элементов т] легко построить таблицу умножения; единственными умно-
жениями, которые нужно действительно выполнить, являются
7M = <>2+ а4 + о|0+ о4+ • • • = т), +2тJ
Чо + П\ + V)
7H7J =3 + 7), + 7)з
после чего другие произведепия, такие, как ti0ti3 = ti3ti0 = ti0+3 + ti1+3 +
+ ^з+з = % + т]о "H" Mii могут быть получены перестановкой элемептов т];.
Таким образом,
hi») = 25Ч|1K + 5т)зТJ + 45тK2 - 35тK + 5т)от), + т)отJ + 9тH7K - 7тH +
+ 45тJ + 9г)|7J + 817),7)з-637I -35т), - 7тJ - 63тK + 49 =
= 49 - 7т)() - 98г>, - 7т,2 - 98т,з + 25C + т,2 + Чо; •+-
+ 5GJ + Т)з + 7),) + 45(Т)О + 2Т),) + 5(Т)О + 7), + 7)з) -Н
+ C + -г,, + jfc) + 9(т), + 7H + тJ) + 45(.7J + 2тK) +
+ 9G), + 7J + 7H) + 81C + 7J + 7H) =
= 370+Л67тH+ 12т), + 1б7тJ+ 12тK =
= 370 + 1676>О + 126», = 358 + 1556>О
где 90 = п„ + тJ = а + а4 + а3 + а12 + а» + а10 и et = i\t + Лз = а2 +
+ ав + а« + а11 + а5 + а7 = -1 - в0. Далее, 000! = 30О + 3Qt = -3,
Л (а2) = 358 + 1550,, и наконец Nf (а) = C58 + 1550О) C58 + 1550!) =
= 3582 + 358-155 (% + 9^) [- 3-1552 = 128 164 - 55 490 - 72 075 = 599,
что и требовалось. Таким образом, 1 — а — а2 — аъ + а7 есть простой
делитель числа 599. (Куммер в этом случае ошибся. См. упр. 8.)
В заключение рассмотрим случай К = 23. Первое простое р = 1 (mod 23)
есть р = 47. В этом случае к может быть взято любым квадратом по модулю 47,
например к = 4. Тогда степени к, к2, к3, ... по модулю 47 легко находятся:
4, 16, 17, 21 —10, 7, —19, 18, —22, 6, 24, 2, 8, —15, —13, —5, —20,
4.4. Вычисления для р == 1 (mod К) 129
14, 9, —И, 3, 12 (в таком порядке). Разумеется, fc23 = I (mod 23). Очевидным
подозреваемым на роль делителя числа 47, который делит а — 4, будет
1 — а„+ а21, поскольку 1—4 + 3 = 0. Для того чтобы следовать исполь-
зуемой выше процедуре, необходимо вычислить N A — а + а21). Так как
22=11-2, то это вычислепие можно свести к перемножению 11 сомножи-
телей, а затем перемножению двух сомножителей. Примитивный корень
но модулю 23 есть —2, так что указанное сведение имеет следующий вид:
Л7 (а) = G (а) G (а), где
(Здесь а означает а21, а означает а16, и т. д.) Вычисление элемента*? (а)
довольно длинное. Его можно организовать следующим образом. Пусть
g (а) = / (а) / (а4) и h (а) = g (а) / (а), так что G (а) = h (а) h (а) h (а2) X
X g (а-10). Тогда
?(<*) = «21 -«l6+al5+a'3+a5-a4-a2-a+ 1
/!(а)=«20+а19+а17_3„16+а13+а12+а9_а8_а7+а5_а2_а+1
/,(« ') « « ¦> + аю+ а7 - За12 + а4 + а9 + а - а6 - а" + а21 - а13 - а18 + 1
и вычислепие элемента G (а) требует двух умножений средней сложности,
сопровождаемых довольно длинным перемножением двух их результатов.
Окончательно, получаем G (а) = —44 + 15G0 — 130!, где 0О = а + а4 +
+ а + . . ¦ + а6 и Q1 = —1 — 0О. Поскольку 0О0!, как легко убедиться
простым перемножением, есть 11 + 50О + 50, = 6, то это дает G (a) G (а) =
= (-31 + 280О) (-31 + 280t) = 312 - 31-28 @О + 9Х) + ;б-282 = 961 +
+ 868+4704 = 6533 = 47-139. Таким образом, наша процедура этой
попыткой не дала нам делителя числа 47. На самом деле легко видеть, что она
никогда не может дать такого делителя, поскольку, каким бы ни был исход-
ный элемент / (а), построенный для него аналог элемента G (а) может быть
представлен в виде а + Ь0О, так что требуемый результат должен иметь вид
47 = (а + Ь0О) (а + 60^) = а2 — аЪ + 6Ь2. Невозможность такого равенства
может быть доказана применением гауссовой теории бинарных квадратичных
форм, или, проще, если записать это равенство в виде 4-47 = 4а2 — 4аЬ +
+ 24Ь2, 188 = Bа — ЬJ + 2362. Лишь два испытания необходимы, чтобы
проверить невозможность представления числа 188 в виде суммы квадрата
и еще квадрата, умноженного на 23 A88 — 23 и 188 — 23-4 не являются
квадратами).
Это доказывает, что в случае К = 23 пет круговых целых с нормой 47.
Так как N (а — 4) = 0 (mod 47), то простой делитель числа 47 должен был бы
делить одно из сопряженных числа а — 4 и, следовательно, по теореме преды-
дущего параграфа, должен был бы иметь нормой 47. Таким образом, 47
совсем не имеет простых делителей, и уж тем более здесь не может быть един-
ственности разложения. Эту аномалию можно обнаружить и более простым
способом, не обращаясь к теореме предыдущего параграфа. Так как 1 —
— а + а делит 47-139, но не делит ни одно из чисел 47 и 139 (поскольку
его норма не делит ни N D7) = 4722, ни N A39) = 13922), то оно не является
простым, и если бы выполнялись обычные свойства разложения, то оно разби-
валось бы на 2 сомножителя. Но так как его норма равна 47-139, то един-
9 Г, Эдварде
130 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
ственпым возможвым разложением было бы разложение па множитель с нор-
мой 47 и множитель с нормой 139, а как мы только что видели, число 4Т
не является нормой. [Ситуация здесь в точности такая же, как в упомянуто^
выше примере парушения единственности разложения 3-7 = N D + У—щ
для квадратичных целых х -\- у У — 5. Так как 4 + У—5 делит 3-7, но
не делит пи 3, ни 7 (поскольку его норма пе делит пи N C) = З2, пи N G) =
= 72), оно не является простым и должно быть произведением множителе
с нормой 3 и множителя с нормой 7. Но равенство N (х -\- у У—5) = х2 -\-
+ 5г/2 = 3 невозможно.]
Из восьми простых р = 1 (mod 23), меньших 1000, Куммер для трех
дал решентге h (а) уравнения Nh (a) = p (табл. 4.4.4.), а для остальных пяти,
Таблица 4.4.4
Л =
599
691
829
23
= Л'(
= .V(
и
1 4
1 4
С
- а
- а
- а
4-
=
- <
1
>'6)
)
включая р = 47 и р = 139, показал приведенными выше рассуждениями, что
такого h (а) не существует. Для каждого и,ч пяти этих р оп дал такое круго-
вое целое h (а), что h (а) — Л (а) и произведение 11 сопряженных числа
h (а), получаемых заменой а •—*¦ а4, равпо р. (Иначе говоря,
Тогда, поскольку h (а) — h (a), Nh (а) = р'К) Эти 5 круговых целых даны
в табл. 4.4.5. Здесь четко прослеживаются два совершенно различных пути
Таблица 4.4.5
л =
472
1392
2772
4612
9672
23 и
= Л'(а10
= /V(«10
= NB 4-
= ,\'(« +
= Л'B 4-
ал
4-а
+ а
а +
а
«"
= 1
10 +
10 +
а '
1 4- а
+ а-
а84
«84
4-а7
10 4- <
11 4-
- а 8 4- а7 4-
- (« " 8 4- а4 4-
+ а 7)
X 104-«84-,
а4 4-а 4)
« ?)
<» 4)
:< 84-а9
4-а"9)
разложения числа 47-139: одно в виде N A — а + а), а другое в виде про-
изведепия куммерова разложения числа 47 на его разложение числа 139.
В первом разложении 22 сомножителя и норма каждого из них равна 47 -139,
а во втором И сомножителей с нормой 472 и 11 сомножителей с нормой 139V
Все эти сомножители неразложимы, поскольку числа 47 и 139 не могут быть
нормами.
4.4. Вычисления для р = 1 (mod К) 131
Ядром куммеровой теории идоалышх комплексных чисел является то про-
стое соображение, что способ проверки делимости на гипотетический множи-
тель числа 47, а именно, проверки сравнения g D) = 0 (mod 47), применим
даже тогда, когда нет никакого реального множителя, для которого про-
водится проверка. Можно рассматривать это как проверку делимости
на некий идеальный делитель числа 47, и в этом суть куммеровой теории.
Однако прежде чем Куммер смог сделать этот решительный шаг, ему пришлось
мастерски овладеть разложением простых р ф О, 1 (mod К), и именпо этим
он и занялся в период с 1844 до 1846 г. Здесь он тоже пашел методы проверки
делимости па простые делители числа р, которые продолжали действовать
даже тогда, когда не было никаких реальных делителей, для которых должна
была проводиться проверка. Он по определению рассматривал их как при-
знаки делимости на «идеальные простые делители» числа р и построил свою
теорию идеальных комплексных чисел на основе этих идеальных простых
делителей.
Следующие четыре параграфа посвящены изучению простых делителей
простых чисел р ф О, 1 (mod К), обобщающему изложенное выше исследование
случая р = 1 (mod К). Накопленный в них опыт используется затем для
того, чтобы обосновать очень естественное определение идеальных простых
делителей, которые в этой книге будут Называться простыми дивизорами.
i пражнения
1. Проверьте следующий вычисления (К = 5).
(a) C - а) B + а) B + а3) B + а4) = 11 (а4]+ а\+ 2).
(b) B + а2J делит 3 — а, и частное есть единица. Найдите эту
единицу и обратпую к ней.
(c) B -f- а2) (За4 + 2а2 + 1) делит 5 + 2а, и частное есть единица.
(d) 2-fa делит 5 — 4a2. Какова норма частного?
(e) 2а3 + а4 + 4, 2а2 + а + 4 и 2а + а3 + 4 не делятся на 2а4 +
+ а2 + 4.
(f) (a8 + 2) Bа3 + а4 + 4) делит а+ 7, и частное есть единица.
(g) a + 2 делит a4 — 5.
2. Проверьте следующие утверждения в случае К = 7.
(a) 2а& + 2а2 + а + 1 имеет норму 71 и делит 3 — 2а.
(b) 4 -}- а делится на одно из сопряженных числа 1 + а2 — а4.
Найдите частное.
(c) Л" B + 2а2 + ав) = 197.
(d) Л" C -а4-ав) = 8-197.
(e) Найдите элемент с нормой 8. Заметим, что не все простые делители
нормы обязаны быть сравнимы с 1 по модулю 7.
3. Разложите следующие круговые целые (К = 5).
(a) 5а4 — За3 — 5а2 + 5а — 2.
(b) -4а3 - На2 + 8а + 15.
4. При К = 7 разложите (а) а2 — За — 4, (Ь) а5 — а4 — За2 — 3aJ— 2.
5. В случае К = 7, р = 71 делитель в куммеровой таблице заметно
отличается от найденного в тексте. Запишите один из них как единицу,
умноженпую на элемент, сопряженный другому.
6. Найдите элемент с нормой р в случае к = 19, р = 191. Сравните
ответ с куммеровым в табл. 4.4.3.
7. Как и в упр. 6, постройте другие данные из куммеровой таблицы.
8. Покажите, что куммеров делитель в случае к = 13, р = 599 ошибо-
чен. [Он не удовлетворяет условию / (к) ^ 0 (mod p) при некотором к.]
9. Пусть X = 23. Условие / (а) = / (а) в сочетании с / D) = 0 (mod 47)
дает условие вида а0 + 16% + ... — 21au = 0 (mod 47) на 12 переменных
а0, Оц . • •, an. Отыщите несколько несложных кандидатов на решения
132 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей
уравнений Nf (а) = 472, / (а) = / (а). Покажите, что сопряженное кум-
мерову делителю а10 + а13 + а8 + а15 + а7 + а16 удовлетворяет этому усло-
вию. Подсчитайте Nf (а) для этого кандидата.
10. Докажите, что если К делит Ng (а), то а — 1 делит g (а).
11. Докажите, что (а2 — 1) (а3 — 1) ... (а*— 1) = 1 +!2а + За2 + .. ,
. . . + Яа^ = а + 2а2 + . . . + (К - 1) а*.
4.5. Периоды
В вычислениях предыдущего параграфа оказалось полезный
выбрать примитивный корень у по модулю Я, и записывать сомно-
жители нормы Ng (ос) кругового целого g (а) в порядке Ng (a) =
= g (ос) g (av) g (aw) . . ., а пе в порядке^ (a) = g (ос) g (a2) X
X g (a3) .... Во избежание показателей в показателях удобно
ввести обозначение для сопряжения a >-*• ос^, например через а.
Тогда eg (ос) = g (av), o2g (ос) = g (aw) и т. д., и ^ (a) =
= g (ос)-erg (a)'O2g (a) ... ox~2g (a). Заметим, что о*-'1 есть тож-
дественное сопряжение a ¦—> а и что сопряжения а, а2, . . ., сЛ все
различны, поскольку они переводят а в различные степени числа ос.
Метод, примененный в предыдущем параграфе к вычислению
нормы, заключался в том, что при помощи делителя е числа Я, — 1
норма записывалась в виде Ng (ос) = G (ос) -oG (a) ... ae-1G (a),
где x) G (a) = g (a) -oe g(a) -a2e g (a) ... a~*g (a). Этим путем
можно сократить число умножений, пужных для нахождения
Ng (a). Например, в случае Я, = 13 использовался примитивный
корень 7 = 2 при е = 4, чтобы записать iVg (a) = G (a) G (a2) X
X G (a4) G (a8), где G (a) = g (a) g (a3) g (a9). Кроме того, тот
факт, что a G (а) = G (а) (сопряжение а" лишь переставляет
сомножители в G (а)), означает, что G (а) имеет очень специальный
вид. В примере при Я, = 13, у = 2, е = 4 этот элемент имел вид
а + br\0 + сг\х -Ь dri2, где ri0 = a + a3 + a9, r^ = a2 + ae + a5,
тJ = a4 + a12 + a10 и ц3 = a8 -f- a11 -f- a7. Таким же образом,
в общем случае G (а) имеет вид а -\- Ъх\й -\- сцг + . . . +Л]е_1,
где а, Ь, с, . . ., d — целые числа, тH = a -f- (fa -\- вгва + . . .
. . . -f- о~еа и т);+1 = ат];. Это следует из того, что в силу равен-
ства oeG (a) = G (a) коэффициент при а в G .(a) равен коэффициен-
ту при веа и, вообще, коэффициент при а3 равен коэффициенту
при оеа3. Круговые целые тH, т^, . . ., T]e_b определенные таким
способом для данных Я,, у, е, называются периодами; это название
дал им Гаусс в седьмом разделе своих «Арифметических исследо-
ваний» (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 343). Периоды играют
важную роль не только в том, довольно мелком, приложении,
которое приведено в предыдущем параграфе, но и в широком
круге других приложений в теории чисел и линейной алгебре,
и использование их Гауссом в исследованиях, относящихся
к построению правильных многоугольников, было лишь первым
х) Здесь а-« обозначает^а1^1, т. е. сопряжение, обратное к а'.
4.5. Периоды 133
примером таких приложений. Куммер хорошо зпал о том, что
Гаусс пользовался периодами, и сам широко применял их, раз-
вивая теорию разложения круговых целых.
Пусть Я,, у, е те же, что и раньше (т. е. Я, — нечетное простое
число, у — примитивный корень по модулю Я, и е — делитель
числа к— 1). Пусть / = (А, — 1)/е. Тогда[тH = а + веа -\-в2еа -f ...
. . . + в~еа содержит / слагаемых, поскольку oeta = ох~1а = а,
а~еа = (ae)?-1a. Значит, тH, ti17 . . ., r\e-i все состоят из / сла-
гаемых. По этой причине они называются периодами длины /.
Заметим, что естественно определить тH = т)е (поскольку т)е
должно было бы равняться от)е_1 = а2т|е_2 = ...=. (/tH = тH)
и т)! = т)е+1, тJ = т)е+2, . . ., а также т)^ = г\е_1, т)_2 = т)е_2, ...,
чтобы т)г было определено для всех целых i и ат)г = т);+1. Для
данного Я, и для данного /, которое делит Я, — 1, периоды длины /
определяются в зависимости от выбора примитивного корня у.
(Полагаем a (a) = а? и е = (Я, — 1)// в формулах, определяющих
периоды.) Однако вполне законно говорить о «периодах длины /»,
поскольку сами периоды не зависят от выбора примитивного
корня у, хотя их порядок и может от него зависеть. В этом можно
убедиться следующим образом.
Пусть у' — другой примитивный корень по модулю Я,, пусть
а' обозначает соответствующее сопряжение ось-э-а'У, и пусть
т|; — периоды длины /, определенные при помощи а' вместо а.
Для того чтобы доказать, что периоды тц, тJ, . . ., т)е совпадают,
вообще говоря, с точностью до порядка, с периодами t)j, т)^, . . .
. . ., т)е, необходимо и достаточно показать, что если а3 есть
некоторая степень числа а, а т), есть тот период, который ее содер-
жит, то т)г- содержит также и о'еа3. (Тогда он также содержит
a"a"a^ = о'2еа3, а'зеа\ . . ., а'~е&, т. е. все слагаемые периода
r\'h, содержащего ос'.) Для этого достаточно доказать, что о'е есть
некоторая степень сопряжения о". Но так как каждое сопряжение
есть степень сопряжения а (каждое отличпое от нуля по модулю Я,
целое число сравнимо со степенью числа у), то и о' есть степень
сопряжения а, а отсюда сразу вытекает, что о'е есть степень
сопряжения а*. Это доказывает, что периоды т) совпадают с пе-
риодами т)'. Чтобы показать, что порядок может быть другим,
достаточно найти соответствующий пример. Таким примером
является случай Я, = 13, / = 3. Примитивные корни по модулю 13
суть ±2, ±6. При 7 = 2 периоды длины 3 таковы:
Tj, = a2 + a6+ a5
TJ=a4+a~l + a
tj3 = a~5 + a~2+ a~6
n0 = Щ = a3 + a ~4 + a.
134 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
(Заметим, что столбцы в правых частях, прочитанные сверху вне
и при переходе к столбцам слева направо, состоят в точност"
из степеней ос2, а4, а8 = ос5, а16 = а3, а32 = ав, ... элемента €
в том порядке, который предписывается выбранным примитивны!
корнем 2.) При у' =—2 период г\[ должен содержать ос2 и, зна
ЧИТ, T]j = ТK ф %.
Говорят, что круговое целое образовано периодами длины f
если оно имеет вид а0 -f- aiy\1 + а2тJ + . . . + ает\е, где а0, аъ . .
. . ., ае — целые числа, а тц, тJ, . . ., т)е — периоды длины /
Как уже отмечалось, G (ос) образовано периодами длины / тогд
и только тогда, когда oeG (ос) = G (ос). Отсюда вытекает (посколь
ку ое есть сопряжение и потому переводит произведение в проиа
ведение), что произведение двух круговых целых, образованны)!
периодами, само образовано периодами.
Например, для периодов тH, гц, тJ, тK длины 3 при % = 1Г
таблица умножения
473
была найдена в предыдущем параграфе. Применение сопряжения с
к этим равенствам дает г\\ -= тJ + 2t]3, rf2 = тK + 2r\0, r\l =
= Г\о + 2Т)!, ТЦТ],; = % + ТJ + Т)о И Т. Д.
Заметим, что в некоторых местах мы пользовались записыг-
тH, а в других — записью т)е. Куммер постоянно пользовался
обозначением тH и записывал в общем случае круговое целое
образованное периодами, в виде аот)о + с^тц + . . . + ае_^\е_г
применяя для исключения целых чисел из этого выражения то*
дество 1 + тH + т)! + . . . -f- rig..! = 0. В некоторых местах этог
книги мы будем следовать обозначениям Куммера, но иногда для
круговых целых, образованных периодами длины / = (А, — 1)/с
удобнее будет применять запись а0 -(- с^тц + а2тJ --(- ... -\-аег\Р
Упражнения
1. В случав К = 5 найдите периоды длины 2 и таблицу множения для
них. Найдите формулу для нормы кругового целого, образованного перио-
дами длины 2 (К = 5). Найдите круговое целое, норма которого делите*
на простое число, не сравнимое ни с 1, ни с Оно модулю 5. Заметим отсюда
что если это круговое целое имеет простой делитель, то он не относится
к тому типу, который изучался в предыдущем параграфе.
2. Покажите, что^если К = 7, то порма любого кругового целого имев"
вид [А2 + 7Л2]/4, где А и В — целые числа одинаковой четности. [Пусть
Go, 0j— периоды длины 3. Найдите 000!.]
4.6. Разложение простых р з= 1 (mod К) 135
3. Найдите общую формулу для @О — GjJ, где 0О, 0Х — периоды длины
(). — 1)/2, индуктивно, т. е. вычисляя это целое число для различпых значе-
Ц11Н X.
h. Докажите формулу, найденную в уцр. 3.
5. Для всех случаев имеется формула для Ng (а), аналогичная формуле
\д (я) = [Л2 + 7J52]/4 в случае К — 7. Найдите эту формулу.
6. Найдите периоды и таблицу умножения для них в случае К = 17,
/ = 4.
7. Какие условия нужно наложить на р и /, чтобы периоды длины /
оыли инвариантны при сопряжении a i-*af, где р —• простое.
8. Покажите, что для данных / и К (к — простое, / | (к — 1)) период тH
ие зависит от выбора примитивного корня у.
4.6. Разложение простых р ф 1 (mod к)
Пусть h (ос) — некоторое простое круговое целое (для данного
фиксированного ^). Рассуждения, содержащиеся в § 4.3, позво-
ляют показать, р т0 имеется простое целое число р, обладающее
таким свойством: h (ос) делит целое число и тогда и только тогда,
когда и = 0 (mod p); иными словами, сравнение и = v (mod h (a))
для целых чисел и и v эквивалентно сравнению и = v (mod p).
Для этого достаточно заметить, что h (a) делит целое число Nh (a)
и, следовательно, делит по крайней мере один из простых целых
делителей числа Nh (a), например h (a) | p. Тогда для произволь-
но взятого целого числа и из h (a) | и вытекает, что h (a) делит
наибольший общий делитель d чисел и и р, поскольку d = ар +
-(- Ьи; с другой стороны, р — простое, так что d = 1 или р, и так
как h (a) не единица, тойт^!) d = р, и = 0 (mod p). Конечно,
верно и обратное: из и == 0 (mod />) вытекает w = 0 (mod h (a));
таким образом, два утверждения эквивалентны.
В случае простых делителей h (a), изученных в § 4.3, этот
факт мог бы служить основой признака делимости на h (a), по-
скольку для таких делителей каждое круговое целое сравнимо
по модулю h (a) с обычным целым числом. Однако это применимо
только к тем простым h (a), которые делят простые целые числа
р = 0 или 1 (mod %), поэтому нужны и другие методы нахождения
простых делителей h (a) простых целых чисел р щк 0 и 1 (mod %).
Полезно задать вопрос: для данного простого h (a), деляще-
го р, какие круговые целые g[(a) ^сравнимы с целыми числами
по модулю h (a)? Необходимое условие для сравнения g (a) =
ss и (mod h (a)) непосредственно следует из теоремы Ферма
иР = и (mod р), поскольку это дает g (а)р == ир = и = g (a)
(mod h (ос)). Проверить выполнение этого| необходимого' усло-
вия очень помогает сравнение
которое представляет собой не что иное, как обобщение теоремы
Ферма. Его можно доказать следующим образом.
136 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Рассмотрим (X + Y)p — Хр — Yp как полином от двух пере-
менных с целыми коэффициентами. Каждое слагаемое имеет
степень р и пет слагаемых с Хр и Yp, так что полином имеет вид
c^^Y + c2Xp~2Y2 + . . . + Cp^XYJ, где ct - положитель-
ные целые числа. Если 7 = 1, а I равен целому числу, скажем
X = и, то значение полинома равно, с одной стороны, с^'1 +
+ с2ир-2 + . . . + Ср^и, а с другой стороны, (и -f- 1)р — ир —
— 1Р = (и -\- I) — и — 1=0 (mod р). В силу рассуждения Эйле-
ра с разностями из § 2.4, единственным случаем, когда все значе-
ния полинома степени меньше р при целых значениях переменной
сравнимы с нулем по модулю р, является такой случай, когда
все его коэффициенты = 0 (mod р); таким образом 1), п1 = г2 = . . ,
. . . = Cp_x e= 0 (mod p). Значит, для любых двух круговых
целых g0 (a), gj. (а) мы получаем (g0 (ос) + gx (а))р — g0 (a)p —
()p (У1 () )A
и, следовательно
Поэтому
= ао + (°
(go
если
[хос + a
(«
g
) + g
(a) =
t2 + .
i(a))
= «0
+
-f-
a%-
nP
ao
(a)p+gi
, + . . .
1ax'~1)p =
+ a\ap H
(a)p (mod p).
+ а^а*-1,
dP + avap -
- apa2p + .
TO
Ma
g («)p =
2a2+ . . .
+ ap_xX
+ ^^) + f + + Ji
X (aP)^ (mod p). Так как af == at (mod /з), то g (a)p == g (ap)
(mod p), что и требовалось доказать.
Таким образом, g (a)p ^ g (ap) (mod fe (a)) и необходимым
условием для g (a) = и (mod /г (а)) является g (ap) ^ g (a)
(mod /г (а)). Наиболее простой путь нахождения круговых
целых, удовлетворяющих этому условию, дает рассмотрение тех
круговых целых g (a), для которых g (ap) равно самому g (a),
т. е. круговых целых, инвариантных относительно сопряжения
а ь-»¦ ар. Необходимые и достаточные условия равенства g (a) =
= g (ap) легко вывести, например, следующим образом. Пусть т
обозначает сопряжение a »-»¦ ap, и пусть / — наименьшее поло-
жительное целое число, для которого т^ есть тождественное
сопряжение a <—*¦ а; иными словами, пусть / — наименьшее поло-
х) Иными словами, биномиальные коэффициенты I . 1 делятся на р при
; = 1, 2, . . ., р — 1. Другим способом доказательства теоремы Ферма
является получение тоге же самого из формулы ( . \ = pl/jl (p — /)!.
(Поскольку р простое, множитель р в числителе не сокращается с множите-
лями знаменателя.) Это дает (х + у)Р = хР + уР (mod p) для любых целых
хну. Следовательно, (х + у + z)P = (х + у)Р -f zP = xv -f yV -f ZP (mod p)
и, в более общей форме, B*e)p=i^]2:f (m°d p) Для любой конечной суммы
У]^г целых чисел. В частности, если я=1+1 + -.. + 1, тогР=A +
]
-j- l-j_ . . . -f 1)P= lp-f lp+!!- • • + lp = г (mod p), что и является теоре-
мой Ферма.
4.6. Разложение простых р ф 1 (mod к) 137
жительное целое число, для которого pf = 1 (mod Я,). Это / назы-
вается показателем числа р по модулю Я,. Тогда / | (Я, — 1). Пока-
жем, что g (ос) = g (оср) тогда и только тогда, когда g (ос) является
круговым целым, образованным периодами длины /, где / — пока-
затель числа р по модулю Я,. Предположим сначала, что g (ос)
образовано периодами длины /. Тогда, как мы видели в предыду-
щем параграфе, a'g (ос) = g (ос), где е = (Я, — 1)//, а а — сопря-
жение а >-*- аУ при некотором примитивном корне у по модулю Я,.
Так как каждое сопряжение является степенью сопряжения а,
то т = oh при некотором к. Так как т^ = ок* — тождественное
сопряжение, то kf делится на А, — 1 = ef. Таким образом, е делит
к, т есть степень сопряжения ае и %g (ос) = g (а), что и нужно
было показать. Обратно, допустим, что %g (ос) = g (ос). Как уже-
было показано, е \ к. По определению, е \ (к — 1). Таким образом,
е — общий делитель чисел А; и А, — 1. Он является наибольшим
общим делителем, поскольку если d делит оба эти числа, например
к = qd и Я, — 1 = df, то сопряжение т'' = о*'' = oidi' =
= (сх-1)9 является тождественным, откуда следует, что /' ^ /
и d ^ е. Значит, е = ак + Ъ (Я, — 1) для некоторых целых а и Ъ,
о" = aahaba-i) = т<^ oeg (а) _ %a.g ^ _ g (а)^ чт0 и требова-
лось доказать.
Это, в частности, показывает, что круговые целые, образован-
ные периодами длины /, удовлетворяют сформулированному
выше необходимому условию: g (a) == g (ocp) (mod h (а)) для g (a),
сравнимого с целым числом по модулю h (а). Куммер доказал,
что они и на самом деле^сравнимы с целыми числами по модулю h (a).
Теорема. Пусть h (а) — простое круговое целое, р — простое
целое число, которое делится на h (а), / — показатель числа р
по модулю Я, и r]i — период длины /. Тогда существует такое целое
число ut, что r\i = ut (mod h (а)). Следовательно, каждое круговое
целое, образованное периодами длины /, сравнимо с некоторым
целым числом по модулю h (а).
Доказательство. Эта теорема также опирается на некоторое
обобщение теоремы Ферма, а именно, на сравнение
ХР - X = (X - \) (X — 2) . . (X — р) (mod p),
которое означает, что все коэффициенты полинома Хр — X —
— (X — 1) (X — 2) . . . (X — р) делятся на р. Так как степень
этого полинома меньше р, то для доказательства этого сравнения,
как и раньше, достаточно доказать, что все его значения при
целых X делятся на р. Но все значения полинома Хр — X при
целых X сравнимы с нулем по модулю р (согласно теореме Ферма),
тогда как все значения полинома (X — 1) (X — 2) ... (X — р)
являются произведениями р последовательных целых чисел, одно
138 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
из которых должно делиться па р, поэтому и они сравнимы с нулем
по модулю р.
Отсюда следует, что для любого кругового целого g (а) имеет
место сравнение g (а)р — g (ос) = [g (ос) — 1] [g (ос) — 2] ...
... [g (ос) — р] (mod р). Значит, g (ос?) — g (ос) = [g (ос) — 1] X
X 1^ (а) — 2] ... [g (ос) — р] (mod p), и тем более это сравнение
имеет место по модулю h (ос). Если g (ос) образовано периодами
длины/, то g (а?) — g (ос) = 0, а это дает [g (а) — 1] [g (а) — 2] ...
... [g (ос) — р] = 0 (mod h (а)). Так как h (ос) простое, один
из сомножителей g (ос) — 1, g (ос) — 2, . . ., g (ос) — р должен
делиться на h (ос), т. е. g (ос) сравнимо с некоторым целым числом
по модулю h (ос), что и требовалось доказать. В частности, каждый
период г]г сам сравним с целым числом, которое мы, следуя Кум-
меру, обозначим через Ui.
Таблица умножения для периодов r\t индуцирует соотношения
между целыми числами и-, по модулю р, точно так же как в § 4.3
из соотношения 1 + а + а2 + • ¦ • + о^ = 0 следовало для
целого числа к соотношение 1 -f- A: -f- A:2 -f- ... -f- A^ =з
= 0 (mod p). В следующем параграфе рассматриваются различные
конкретные примеры. В каждом из них можно найти все решения
«j, w2, . . ., ие этих сравнений по модулю р (где е = (к — 1)//
является числом различных периодов длины /) и, следовательно,
определить, какие круговые целые, образованные периодами
длины /, делятся на гипотетический простой делитель h (а) числа р,
даже не зная самого h (а). В большинстве случаев будет возможно
даже найти круговое целое g (а), образованное периодами длины /,
которое делится на гипотетический h (а) и удовлетворяет условию
Ng (а) = pf. Затем отсюда будет следовать, что если р имеет
простой делитель h (а), то h (а) делит одно из сопряженных эле-
мента g (а); так как Nh (а) делит Np = р^'1 и Nh (а) = h "(l)^ =e
= 0 или 1 (mod (а — 1)), то Nh (а) == 0 или 1 (mod Я,), т. е.
Nh (а) должно быть степенью числа pf. Наконец, из h (a) | g(a)
вытекает Nh (a) = Ng (a) = pf. Короче, если р имеет простой
делитель h (a), то h (a) есть единица, умноженная на круговое
целое, сопряженное элементу g (a).
В терминологии § 4.3 это рассуждение завершает анализ —
оно дает очень сильные необходимые условия на простые круговые
целые h (a), настолько сильные, что в примерах следующего
параграфа мы сумеем найти все круговые целые h (a), которые
могли бы быть простыми делителями данного р. Аналогом синтеаа
§ 4.4 было бы доказательство того, что эти возможные простыв
делители на самом деле простые, т. е. если g (a) — круговое целое,
образованное периодами длины /, для которого Ng (a) = pf, где
р — простое число, показатель которого по модулю Я, есть /,
то g (а) просто. Хотя эта теорема верна, ее доказательство знача-
4.7. Вычисления при р ф 1 (mod X) 139
тельно труднее доказательства частного случая / = 1 в § 4.3
и здесь, по-видимому, еще не стоит его приводить. Мы отложим
его до § 4.11. Это означает, что в следующих двух параграфах еще
не будет доказана простота круговых целых h (ос), удовлетворяю-
щих условию Nh (ос) = pf, хотя в действительности они являются
простыми. Удобно, однако, называть их простыми, понимая, что
в свое время это будет доказано.
Уп раж не ни я
1. При помощи треугольника Паскаля найдите все биномиальные коэф-
фициенты ( , ) для п ^ 13. Проверьте непосредственно, что когда п простое
и 0 < / < ге, коэффициенты делятся на п во всех случаях п ^ 13.
2. Подсчитайте полином X (X — 1) (X — 2) ... (X — р + 1) для р =
= 3, 5, 7, 11. (Каждое вычисление есть часть следующего.) Проверьте
в каждом случае, что результат сравним с XV — X по модулю р.
3. Проверьте формулу т)Р = т) (mod р) в случае X = 7, р — 2, найдя
в явном виде /, все периоды длины / и р-ю степень каждого из них. Проде-
лайте это же для X = 13, р = 3.
4. Покажите, что для любого простого X и любого целого к все простые
делители суммы к*"'1 + к?"~2 + . . • + 1 сравнимы либо с 0, либо с 1 по
модулю X.
5. Покажите, что в случае X = 5, р = 19 если р имеет простой делитель,
то целые числа иг, гарантированные теоремой в тексте, удовлетаоряют усло-
вию и2 + и — 1 = 0 (mod 19). Найдите решения и этого сравнения. Затем
покажите, что тH — и делит 19, и найдите разложение числа 19. Покажите,
что сомножители в этом разложении неразложимы. (На самом деле, как
будет позже доказано в этой главе, опи простые.)
6. Используя процедуру предыдущего упражнения, па идите разложение
числа 3 на неразложимые сомпожители в случае X = 13. (Опять же эти
сомножители в действительности простые.)
7. Докажите, что если / — показатель числа р по модулю X и g (a) —
круговое целое, для которого Ng (a) = pf, то g (а) неразложимо.
4.7. Вычисления при р Ф 1 (mod X)
" ^Показатель / простого числа р по модулю X делит X — 1, поэтому в слу-
чае X --= 5 едипствеппыми возможными зпачениями для / являются 1, 2, 4.
Случай / — 1 был рассмотрен в § 4.4. В случае / = 4 предположение h (а) I р,
Nh (а) | р4 вместе с тем фактом, что Nh (a) = [h (I)]4 (mod (а — 1)), Nh (а) в
зг 0 или 1 (mod X), дает pf | Nh (a) I p4, Nh (а) = Np, откуда следует, что
h (а) есть единица, умноженная на р. Короче, единственными возможными
простыми делителями простых чисел р = 2, 3, 7, 13, . . . показателя 4
по модулю 5 являются единицы, умноженные па само р. Остается только
найти простые делители числа р в случае / = 2. Такими простыми являются
19, 29, 59, 79, 89, . . ., сравнимые с 4 по модулю 5 A имеет показатель 1;
4 — показатель 2; 2 и 3 — показатель 4 по модулю 5).
В случае X = 5, / = 2 интересующими нас периодами являются % !-
= а + а4, т)х = а2 + а3. (Нумерация периодов не зависит от того, какое у
мы выберем: у = 2 или у = 3.) В таком случае, как этот, когда / = (X — 1)/2,
е = 2, лучше обозначить периоды через 0О, 9,, а не тH, ть- Поскольку 1 -г
+ 0о + Ai = 0i любое круговое целое а + Ь90 + c9t, образованное перио-
140 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
дами длины 2, может быть записано в виде A -f- Бв0 (А = а — с, В = b — с),
а его норма — в виде (А + BQ0) (A + BQj) (А + Вв0) (А + BQj) = \А- +
+ АВ (90 + Gt) + -B2906i]2 = [A2 — АВ — Л2]2, ибо, как показывает простое
вычисление, б,,^ = —1. Как указывалось в конце предыдущего параграфа,
задача состоит в том, чтобы для данного р с показателем 2 по модулю 5 сна-
чала пайти целые числа и0, щ, для которых возможны сравнения 00 =[и0,
0! = щ по модулю h (a), a затем найти круговое целее g (а) = а + ЬВ0 -f c0lt
удовлетворяющее условиям а + Ьи0 + сщ = 0 (mod p) и Ng (a) — р". В част-
ности, далее задача заключается в нахождении для каждого р = 19, 29, 59, ...
такого кругового целого А[-{- BQ0, для которого А2 — А В — В2 = +р.
Как и в случае / = 1,' пекоторый успех достигается путем проб п ошибок.
В табл. 4.7.1 показаны значения величины А2 — АВ — В2 для некоторых
малых А и В. (Можно считать, что А и В
взаимно просты, А — большее из двух
этих чисел по абсолютной величипе и
А > 0.) Так как D - 90) D — 9t) = 19,
рассуждения предыдущего параграфа по-
казывают, что единственными возможными
простыми делителями числа 19 являются
единицы, умноженные па сопряженные эле-
мента 4 — 90. Очевидно, что по модулю
4 — Go имеют место сравнения 90 = 4 и
Q1 = —1 — 90 = —1 — 4 = —5. Следова-
тельно, a -f- 6G0 -f- c9t = a -f- 4b — 5c и
a -f- Ь90 -f- c9t делится на 4 — 90 тогда и
только тогда, когда a -f- 46 — 5с ^ 0
(mod 19). Аналогично, единственными воз-
можными делителями числа 29 являются
единицы, умноженные на сопряженные
элемента 5 — Go, и 5 — 90 делит a -f- 690 +c9t
тогда и только тогда, когда a -f- 56 — 6с ^ 0
(mod 29). Это дает разложение на про-
стые г) сомпожители 19 = D — 90) D — 9t) и 29 = E — 90) E — 9t) чисел
19 и 29, а также признак делимости на эти простые сомножители.
Чтобы достичь следующего^простого числа 59 с показателем 2 по модулю 5,
таблицу 4.7.1 пужно было бы продолжить значительпо дальше. Поэтому стоит
испробовать метод, предложенный в предыдущем параграфе. А именно,
если бы простой делитель^был известен, то имелись бы целые числа и0 и и17
с которыми периоды 00 hJ,9j были бы сравпимы по модулю этого делителя.
Так[как 1 -f 90 -f Q1 = 0 и 909j = —1, то эти целые числа удовлетворяли бы
сравнениям 1 -f- u0 -f- щ = 0, и^щ ^ —1 по модулю делителя числа 59,
а следовательпо, по модулю 59. Эти два сравнения с двумя неизвестными
можно свести к одному с одним неизвестным: и0 (—1 — и0) s= —1, и2 -f-
+ и0 — 1 е= 0 (mod 59). Решение этого сравнения можно пайти следующим
образом. Имеем и0 (и0 + 1) = 1 -f- 59ге для некоторого п. Так как и0 (и0 -\- 1)
четно, п должно быть нечетным. Так как и0 (и0 + 1) неотрицательно (и0 целое),
п должно быть положительным. Испробовав п = 1, 3, 5, . . ., найдем 60 =
= 22-3-5, 178 == 2-89, 296 == 23-37, 414 = 2-32-23, 532 == 22 -7-19, 650 =
= 2-52-13, .... Первое из этих чисел, которое может быть записано в виде
ио (ио + 1)' есть 650 = 25-26. Это дает решение и0 = 25, щ = —26. Сравне-
ние и2 + и — 1 = 0 (mod 59) имеет не более двух решений; значит, оно имеет
лишь решения 25, —26. Так как из и0 = 25 вытекает щ = —26, а из u, s
^ —26 вытекает щ ^ 25, то эти числа составляют единственно возможную
пару значений и0, щ по модулю 59. Круговое целое вида а -\- 690 -f- св1
Таблица
А
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
4.7.1
В
1
- 1
1
|
2
-2
1
-1
3
-3
1
- 1
А2
А В - В:
1
5
5
И
- 1
И
И
19
-5
19
19
29
х) Как было отмечено в конце предыдущего параграфа, доказательство
того, что эти сомножители действительно простые, будет дано в § 4.11.
4.7. Вычисления при р Ф i (mod к) 141
тогда и только тогда делится на гипотетический делитель числа 59, по модулю
которого и0 = 25, когда a -f- 256 — 26с = 0 (mod 59). Например, па него
делится 25 - 90. Далее, N B5 - 90) == F25 + 25 - IJ = 112-592. Следо-
вательно, искомый делитель числа 59 можпо найти делением числа 25 — 90
на два подходящих делителя числа 11. По модулю простого делителя а + 2
числа 11 (см. табл. 4.4.1) имеем: 90 = а + а4 = —2 + (—2L = 3 и 9t =
-=а2 + а3 = —4. Следовательно, число 25 — 90 делится па a -f- 2, поскольку
25 — 3 г О; (mod 11). Оно также делится на а4 + 2, поскольку сопряжение
а у-+ а4 оставляет 90 и 9t без измепепия. Зпачит, искомый делитель должен
быть следующим:
25 - 90 _ 25 - 90 B5 - во)E + 20, )
,
= '2 + 50,.
(а + 2)(а*Т2) Г+ 26>ОТ4 Js + 2в0 )E + 20, )
125 -5в0 + 500, +2 132 + 550,
25 - 10^4 ~ = П
Таким образом, равенство 59 = A2 + 59t) A2 + 590) и есть искомое разло-
жение числа 59 на простые сомножители.
Следующее простое число, которое яужно разложить, есть 79. Способ,
примененный в] случае числа 59, позволяет установить, что 11 -79 -f- 1 =
= 870 = 29 -30. Признаком делимости, следовательно, является сравнение
а + 296 — 30с = 0 (mod 79). Решение этого сравнения в относительно
небольших целых числах есть 6 = 3, а = —8, с = 0. Так как (—8 + 3G0) X
X (—8 -f- 39^ = 64 + 24 — 9 = 79, то ото дает нам разложение числа 79.
Следующее простое число 89 разлагается очень легко: 89 -f- 1 = 9-10; при-
знак делимости есть а + 96 — 10с = 0 (mod 89), находится число 90 — 9,
Таблица 4.7.2. К = 5, / = 2
простое
#о-4
#0-5
5#0+ 12
3#0-8
V-9
норма
192
292
592
792
892
«0 =
4
5
-26
29
9
01 =
С
-6
25
-30
-10
и тогда (90 — 9) (Q1 — 9) = 89. Это завершает разложение простых чисел,
меньших 100. Результаты показаны в табл. 4.7.2 (и в табл. 4.4.1).
Когда к = 7, показателями / числа р по модулю X должны быть 1, 2, 3
или 6, поскольку / | (X — 1) и X — 1 = 6. Случай / = 1 был разобран в § 4.4,
а случай / = 6 неинтересен, поскольку в этом случае р не имеет нетривиаль-
ных разложений. Случай / = 3 имеет место, когда р = 2 или 4 по модулю 7.
Такими являются простые р = 2, 11, 23, 37, 53, .... Случай / = 2 имеет
место, когда р = — 1 (mod 7), р = 13, 41, 83, ... . Первым рассмотрим слу-
чай / = 3.
Периодами длины 3 являются 90 = а + а2 + а4, 9t = а3 + а5 + ав
(не существенно, использовано ли у = 3 или у = 5). Имеем 1 + 90 + 9t = 0
и 909х = а4 + а» + 1 + а6 + 1 + а + 1 + а2 + а3 = 2. Следовательно,
142 Гл. 4. Еуммерова теория идеальных делителей
каждое круговое целое, образованное периодами длины 3, имеет вид А +
+ ?0„, а его норма есть (А + ?0О)8 (А + Вд^3 = (А2 — АВ + 2В2K. В этом
случае все пеболыпие простые числа очень легко разложить путем проб
и ошибок. Дело сводится к отысканию пары таких целых чисел А, В, что
А2 — АВ + 2Я2 = р, где р = 2, 11,
Таблица 4.7.3 23, 37, ... . Для р = 2 решение
получается непосредственно, и соот-
1 ветствующее разложение числа 2 имеет
А В а- АВ + 2В2 В11Д 2= 000!. Для нечетных простых
чисел ясно, что А должно быть нечет-
1 2 7 ныы, а В — четным. Так как эти числа
1 4 29 должны быть к тому же взаимно про-
1 б 67 стыми, то имеет смысл делать только
3 2 l'l те пР°бЫ) которые показаны в табл. 4.7.3
3 4 У) (для р "^ ^0). Искомые разложения
можно тогда взять из этой таблицы:
5 2 23 67=A + 60о)A+6О1), 11= C + 20о)х
5.4 37 ХC + 20t) и т. д. Чтобы найти целые
5 6 67 числа, с которыми 0О и Q1 сравнимы по
7 2 43 модулю этих простых круговых целых,
7 4 53 нужно только решить простое линей-
7 , 1Q пое сравнение. Например, если 0О =
' ° /у =к (mod A + 60О)), то 1 + 6А = О
92 71 (mod A + 60О)), 6А= —1 (mod 67),
9 4 77 66ft = —11 (mod 67), к = 11 (mod 67).
Эти разложения приведены в табл.
4.7.4. Г
Теперь рассмотрим случай X = 7, / = 2. Периодами длины 2 являются
Го = а -(- а6, т)! = а3 + а4, тJ = а2 + а5, где использован примитивный
корепь y=3. (Если использовать у = 5, то периоды останутся такими же,
Таблица 4.7.4. J, = 7, / = 3
простое
9о
2*0 + 3
2^0+5
40 + 5
40О + 7
66>о+ 1
66»о+7
норма
23
И3
23Э
373
533
673
793
0о-
0
4
9
8
- 15
11
12
',=
1
-S
- 10
- 9
14
- 12
- 13
но изменятся их номера.) Как легко проверить прямым вычислением, они
удовлетворяют уравнениям 1 + тH + % + тJ = 0, т)§ = 2 + тJ и tIqT)! =
= т)а + "Пг- ДрУгие соотношения между ними можно найти из этих посред-
ством сопряжений, которые осуществляются циклической перестановкой
периодов Т|,: г\\ = 2 + Т|о, Т|| = 2 + Tin ЛгЛа = 'Пг + "По' 'Пг'По = "По + "Hi-
Первое простое число, которое надо разложить, есть 13. Пусть и0, щ, и2 —
те целые числа, с которыми сравнимы т)„, %, т|2 по модулю простого делителя
4.7. Вычисления при р ф 1 (mod X) 143-
числа 13 (если таковой имеется); тогда имеют место сравпения
1 + и0 + и, + м, -: O(mod 13)
м<з 5= 2 + M2(rriod 13)
н сравнения, получаемые из этих циклическими перестановками ипдексов.
Таким образом,
ul = 2м0 + и0и2 == 2м0 + и0 + щ =
= — 1 + 2м0 — и2 =
== - 1 + 2м0 + 2 - Mq
«о + «о ~ 2м0 ~ 1 = 0(mod 13)
Этому сравпению не удовлетворяют и0 = О, +1, +2 и 3, но удовлетворяет
и0 = —3. Далее, этим определяются значения других неизвестных: и.-, =
= ul — 2 = 7 = — 6 (mod 13) и ut = —1 — u0 — u2 = —1 + 3 + 6 — S =
s —5 (mod 13). Заметим, что, как и ожидалось, u0 = —5 и и0 = —6 также
являются решениями сравнения для и0, н если использовать любое из них,
то этим определяются значеипя двух других неизвестных. Значит, поскольку
сравнение степени 3 по простому модулю имеет не более 3 решений, един-
ственными возможными решениями (и0, щ, и2), удовлетворяющими первона-
чальным сравнениям, являются (—3, —5, —6), (—5, —6, —3) и (—6, —3, —5).
Следовательно, а + 6тH + ctjj + dr\2 делится па простой делитель числа 13,
только если это круговое целое или одно из его сопряженных удовлетворяет
условию а — 36 — 5с — 6d = 0 (mod 13). Например, 1 — % + Th ]1ЛП °ДПО
из его сопряжеппых могли бы делиться па простой делитель числа 13. Произ-
ведение трех различных сопряжепных равпо
О - 41 + 17г)О - 172 + i7o)(l ~ iJo + iJi) =
= A -17,+ 172XI - i7o+171-172+i7o+171-172-170+170-2-ij2 + ij,+ij2 =
= A -i7, + i72X-l +37},-27}2) =
= - 1 + Зт}, - 2tj2 + т,, - 3B + Чо) + 2(tj2 + т}0) - 7j2 + 3(tj2 + т}0) - 2B + т},) =
= -11 +2т}0 + 27}|+2т}2= -13.
Это и дает разложение: 13 = (щ — г\2 — 1) (ti2 — ti0 — 1) (тH — г^ — 1).
Следующим простым числом с показателем 2 по модулю 7 является 41.
Как и для 13, и0 должно удовлетворять сравпеиню и({ + и| — 2и0 — 1 =
= 0 (mod 41). Значения и0 = 0, +1, +2, +3, 4 сразу же отвергаются, но
и0 = —4 удовлетворяет сравнению. Тогда и2 = и§ — 2 = 14 и щ = —1 —
— и0 — и2 = —11. Снова —4, —11, 14 оказываются полным набором решепий
сравнения для и0, которые и определяют зпачепия неизвестных их и и2. Зна-
чит, если а + ЬЛо + CTli + ^г делится на простой делитель числа 41, то
опо или одно из его сопряженных должно удовлетворять условию а — 46 —
— 11с 4- 14d = 0 (mod 41). Например, мы можем испытать 4 + тH. Этот
144 Гл. 4. Нуммерова теория идеальных делителей
выбор успешен, поскольку
D + чо)D + ч,)D + Ч2) = D + Чо)Aб + 4т,, + 4т,2 + г,2 + Чо) =
= D+Чо)A2-3Чо+Ч2) = 48- 127,о + 47,2+ 12т,0 - 3B + т,2) + (т,0
= 42 +7,0 +7,, + 7,2 = 41
что и дает разложение числа 41.
Из простых чисел, меньших 100 и имеющих показатель 2 по модулю 7,
остаются только 83 и 97. Решение сравнения иЦ + и§ — 2и0 — 1 = 0 (mod 83)
просто путем проб и ошибок требует некоторого терпения. В конце концов
мы найдем решение и0 = 10, откуда получаем другие два решения и2 =
= 100 — 2 = 15, щ = —1 — 10 — 15 = —26. Это приводит к рассмотре-
нию таких а + Ьт|0 + сг\г + dr\2, для которых а + 106 — 26с + 15d =
= 0 (mod 83), например 5 + тH — тJ. Короткое вычисление показывает,
что E]+ Т10 - тJ) E + % — т|0) E + т|а — ти) =83 и DтH - 3) D^i - 3) •
• DтJ — 3) = 97. Этим завершается нахождение разложений простых чисел
р < 100 при X = 7. Результаты даются в таблицах 4.7.5, 4.7.4 и 4.4.2.
Таблица 4.7.5. X = 7, / = 2
простое
i»,-ij2- 1
т,0 + 4
7,0-7,2 + 5
47,о-3
норма
132
412
832
972
Чо =
т
-4
10
25
7,,S
-5
- 11
-26
30
7,2 =
-6
14
15
41 ,
В качестве еще одного примера рассмотрим случай А, = 13, р = 29. В этом
случае р = 3, р2 = 9, р3 = 1 (mod А,). Значит, / = 3. Как было найдено
в § 4.4, периодами длины 3 являются тH = а + а3 + а9, t^ = а2 + а6 + ав,
тJ = а4 + а10 + а12, тK = а8 + а7 + а11, где в качестве примитивного кор-.
ня по модулю 13 использовано либо у = 2, либо у = 6. (Если у = —2 или
—6, то сами периоды не изменятся, а изменится лишь их нумерация.) Кроме
того, они удовлетворяют соотношениям
o=
= 3 + i
= ( из
и соотношениям, получаемым из этих циклическими перестановками тH н->
¦—*- "Hi'—*" "Пг '—*" "Пз '—*" "По- Если и0, щ, и2, и3 — целые числа, сравнимые с тH,
*Пи 'Пг- "Пз по модулю простого делителя числа 29 (при условии, что 29 имеет
4.7. Вычисления при р =в 1 (mod X) 145
простой делитель), то выполняются сравнения
1 + и0 + И| + + из ~ O(mod 29)
и%= и, + 2i<;(mod 29)
иои, = м0 + И| + !(.i(mod 29)
иои2 s 3 + «i + "з
и сравпения, получаемые из них циклической перестановкой неизвестных щ.
Далее,
Mq == mo"i +2uou2~ мо-^м, + м3 + 2C + и, + м3) =
= 6 t- м0 + Зм, + З.м3 = 3. - 2м0 - Зм2
и% = Зм0 - 2(и, + 2м2) - 3C + и, + м3)=
s - 9 + Зм0 ~ 5«! - 4м, — Зм3 =
= -6 + 6м0- 2м, - н2
Mq* + 2м^ == - 6 + 6м0 + Зм2 ?= - 6 + 6и0 + C - 2щ - и%)
и$+и% + 2и\ - 4м0 + 3 = 0(mod 29)
Сразу находим, что и0 = 0, +1, +2, 3 не удовлетворяют этому сравнению,
но и0 = —3 удовлетворяет. Затем определяются Зи2 = 3 — 2и„ — иЗ =
-г= 3 + 6 — 2 — 7, 30и2 = 70 = 12, и2 = 12, иг = и* — 2и2 = 9 — 24 = 14
II и3 = —1 — и0 — и1 — и2 ^ —1 + 3 — 12 — 14 = 5. Единственными воз-
можными решепиями наших сравнений будут, следовательно, набор и0 = —3,
«! ^ 14, и2 зз 12, и3 ^ 5 (mod 29), а также наборы, получаемые из него
циклическими перестановками, поскольку эти 4 целых числа являются един-
ствеппыми решениями сравпения и$ + и% + 2и^ — 4и0 -|-ЗзО (mod 29),
а значения остальных трех компонент набора онределяются выбором значе-
ния и0. Следовательно, если число а + ЬтH + с^ + dr\2 + er\s делится па
простой делитель числа 29, то опо или одно из его сопряжешгых удовлетво-
ряет условию а — 36 + 14с + 12d + 5е = 0 (mod 29). Например, ми вправе
испытать 3 + ti0. Тогда C + тH) C + тJ) = 9 + Зти + 3tH + 3 + т|г +
-- Лз ¦¦= 12 + 390 + ех == 11 + 260, где 90 = ti0 + ri2, 0! --= Th + т\3. Произ-
|!едение четырех сопряженных элемента 3 + тH есть, следовательно, A1 -|- 290) X
A1 + 2et) = 121 — 22 + 4&00! = 121 — 34 = 87 ?-. 3-29, поскольку еоО! =
¦"¦" —3. Для пахождения делителя числа 29 необходимо разделить 3 -1- тH
па подходящий делитель числа 3.
Большая часть работы, требующейся для разложения числа 3, была
уже выполнена. Показатель числа 3 по модулю 13 равен 3, и разложение опи-
рается на нахождение решений сраапения и§ + и% -j- 2ug — 4и0 + 3 =
s о (mod 3). Решением является и0 = 0. Тогда все остальпые неизвестпые
ui + "з = 0, и2 = — 1 — и0 — щ — ия = —1, щ = ul — 2и2 = —1, и3 ss
33 —щ = 1 определяются найденным значением и0. Значит, делитель числа 3
мы ищем среди круговых целых а + ЬтH + с^ + dr\2 + етK, для которых
« — с — d + e = 0 (mod 3). Например, пусть b ~ 1, a = c — d — е — 0.
Тогда тHТ12 == 3 + 917 ЛоЛ^гЛз -= C + 90) C + et) = 9 - 3 - 3 = 3. Сле-
довательно, тH есть простой делитель числа 3, по модулю которого тH s 0,
^ Г. Эдварде
146 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
¦Hi = —1, т|2 = —1, .т|3 еэ 1. Отсюда 3 + т|0 = 3 = 0 (mod т|0). Деление
элемента 3 + т|0 = Т|ог|1г|2г|з + т|0 па т|0 дает T\tf\tf\s + 1 = т|2 C + т|0 + т|2) +
+ 1 З + 3 + + + + 2 + 1 4 + 2 + + З + 2
+ |0 |о|1|2|з + |0 |0 д \tf\tf\s + |2 ( + |0 + |2) +
+ 1 = Зт|2 + 3 + т)! + т|з + т|з + 2т|0 + 1 = 4 + 2т|0 + т)! + Зт|2 + 2т|3 =
= 2 — т)! + т|2, что и является делителем числа 29, но модулю которого
т|0 = —3, т)! = 14, т|2 = 12, т|3 = 5.
Среди случаев с / > 1, так же как и в случаях с / = 1, имеются такие,
когда этот метод не в состоянии осуществить разложение числа р. Примером
служит случай X = 31, р = 2. Здесь / = 5, и если периоды длины 5 построе-
ны с помощью примитивного корпя 3 по модулю 31, то для пих имеют место
равенства
т,0=а + а-15 + а8 + а4 + а2 tj?= tj0 + 2т,, + 2т/2 ^
г/, = а3 + а~14 + а + а12 + а6 т/от/, = т/0 + т/2 + 2т/4 + т/5
т/2 = а9 + а'" + а'° + а5 + а3 W?2 = V\ + V2 + У* + 2ih
т/3 = а " 4 + а" + а + а|5 + а ~ 8 т/от/3 = 5 + т/0 + ц, + т/3 + т/4
т/4= а2 + а+ а + а14+ а7 17о174=^из
т), = а ~5 + а13 + а"9 + а" + а0 170тM = (из
Предположим, что и0, и17 и2, и3, и4? И5 — целые числа, удовлетворяющие
этим уравнениям относительно т)г-, рассматриваемым как сравнения по моду-
лю 2. Можно считать, что и{ = О или 1. Рассматривая наборы иг- с точностью
до циклических сдвигов, мы видим, что решение должно содержать либо два
последовательных нуля, либо две последовательные едипицы, поскольку
0, 1, 0, 1, 0, 1 и 1, 0, 1, 0, 1, 0 не удовлетворяют сравнению и0и3 = 5 -f "о "f"
+ щ + "з Н~ ui (mod 2). Если мы предположим, что и0 = их = 0, то срав-
нения 0 г 0 + и2 + 2и4 + м5, 0 = 0 + "г + И4 + 2иъ и ° = 5 + ° + ° +
+ "з + ui Дают и2 = иъ = и4 = 1 + "з- Из Tl2Tl4 = Лз + Л4 + "По + 2TI,
следует, что и2и4 ^ 1 (mod 2), и этим определяется решение 0, 0, 1, 0, 1, 1..
Аналогично, если и0 = 1, щ = 1, то этим определяется решение 1, 1, О, О,'
1, 0. Таким образом, с точностью до циклических перестановок имеется только
один возможный набор зпачений и; по модулю 2. (Это не доказывает, однако,
что этот пабор значений и{ удовлетворяет всем соотношениям для т);, рас-
сматриваемым как сравнения по модулю 2. То что он действительпо им удов-
летворяет, следует из предложения ниже, в § 4.9.) Значит, если а + Ьт|0 +
+ ст)! + dr\2 + ет)з + /т|4 + gT|5 делится на делитель числа 2, то это круговое
целое или одно из его сопряжеппых удовлетворяет условию a-\-d-\-f-\-g =
= 0 (mod 2). Простейшим кандидатом является тH. Однако "Пот12т14 ==
= Т1о (Лз + T|4 + т|о + 2%) = 5 + т|0 + % + т|3 + т|4 + т|5 + т|0 + т|2 +
+ 2т|3 + TI0+2TI! + 2т|2 + 2 (т|0 + т|2 + 2т|4 + т|5) = 5 + 5т|0 + Ъ^ + 5т|2 +.
+ Зт|3 + 5т|4 + Зт|5 == 2 + 290 (где 90 == т|0 + т|2 + т|4) и rioTiiTi^a^^s =
== B + 290) B + 20t) == 4 — 4 + 4000! = 32, поскольку 000! = 8. Следо-
вательно, нет не только этого предполагаемого делителя, по и пикакого пред-
полагаемого делителя такого типа, поскольку произведепие его трех сопря-
женных имело бы вид X + У90, а произведение всех шести было бы вида.1
(X + У90) (X + Y9j) = X2 — XY + 8Y2 = (АХ2 — 4ХУ + 32У2)/4 == ¦
= [BХ — YJ + 31У2]/4 при пекоторых целых X и У. Так как число &
нельзя записать в виде а2 + 31 б2 при целых а и Ь, то это показывает, что
произведепие шести сопряжеппых не может равняться числу 2. В отличие of
случая / = 1, однако, здесь невозможно столь доступным способом сделать
заключение о том, что число 2 не имеет разложения па простые, но можно
лишь утверждать, что оно не имеет такого разложения, в котором сомножите-
ли образованы периодами длины 5.
4.8. Расширение признака делимости 147
у применения
1. Таблица 4.7.5 показывает, что при X = 7 элемент тJ — т^ + 1 делит
i]0 + 3. Покажите, что частное есть единица, и найдите ее и ее обратный эле-
леггт в явном виде.
2. Выведите последпюю строку табл. 4.7.5, т. е. разложите число 97
при X --• 7.
3. В случае X = 13 найдите одно простое число р, оставшееся после
рассмотрения чисел 3 и 29, имеющее показатель 3 и меньшее 100. Запишите
ого как произведение четырех сомножителей, норма каждого из которых
ранна р3. [Это вычисление довольно длинное, по ненамного длиннее вычисле-
ния в случае р =¦= 29, проведенного в тексте. Сравнение для и решается зна-
чением и — 10 и не решается никаким значением, меньшим по абсолютной
не личине.]
4. Продолжите табл. 4.7.2, чтобы захватить следующее простое число
с показателем 2 по модулю 5.
5. Какие возможны показатели по модулю X при X = 13? Найдите пока-
затель каждого простого числа, меньшего 100. Для каждого показателя,
большего 2, разложите первое простое число, которое имеет такой показа-
тель.
4.8. Расширение признака делимости
Как и раньше, пусть р и X — различные простые числа, X >2,
п пусть / — показатель числа р по модулю X. В § 4.6 показано,
что если р имеет простой делитель h (а) среди круговых целых,
построенных с помощью корня а степени X из единицы, то сущест-
вует простой снособ определить, делится ли данное круговое целое
ап ¦[- ащх -f • • • + aef]ei образованное периодами длины /, на
h (а); именно, существуют такие целые числа ии и2, . . ., ие,
что а0 -f- ajT)! -+- ... + аег\е делится па h (а) в том и только
том случае, когда а0 -f «1^1 -}-•••+ аеие = 0 (mod p). Иначе
говоря, т); = Ui (mod h (а)) и для целых чисел х сравнение х =
з= 0 (mod h (а)) равпосильно сравнению х = 0 (mod p). В настоя-
щем параграфе мы хотим показать, как расширить этот признак
делимости до признака, применимого ко всем круговым целым,
я не только к тем, которые образованы периодами длины /.
Прием, с помощью которого Куммер выполнил такое расшире-
ние, основывается на следующей идее, которая восходит к изуче-
нию Гауссом деления круга (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 348).
Пусть тH — т)е обозначает период а + аеа -J- a2ea -f- . . . -f ст~*а
Д'пшы /, содержащий а, и пусть Р (X) — полипом от X, коэффи-
циенты которого являются круговыми целыми и который пред-
ставляет собой произведение \](Х — аг), где <хг пробегает все те
степени, которые содержатся в тH; иными словами,
!()*
148 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
где, как обычно, е = (К — l)//, а а есть сопряжение а*—*- аУ,
определенное примитивным корнем у по модулю X. Например,
в случае X — 13, / = 3 мы имеем тH = а + а3 -f а и Р (Х) =
= (X - а) (X - а3) (X - а-4) = [Х« - (а + а3) X -f а4] X.
X [X - а-4] = X3 - (а + а3 + а~4) X2 -f (а4 + « + а) X —
— 1 = X3 — тH^2 + Лг-^ — !• (Хотя о зависит от выбора при-
митивного корня у, полином Р (X) зависит только от того, какие
степени элемента а лежат в одном с а периоде тH, а это не зависит,
как было показано в § 4.5, от выбора у. Значит, в нашем пример©,
все коэффициенты 1, —тH, тJ, —1 не должны зависеть от выбора у,-
Действительно, для каждого из возможных выборов у — ±2
мы имеем тJ — a4 -f- а -|- а, тогда как т^ и тK зависят ох
выбора у.) Легко видеть, что во всех случаях, как и в этом, коэф-
фициенты полипома Р (X) являются круговыми целыми, образо-»
ванными периодами длины /, т. е. Р (X) имеет вид х) Р (X) =
= Xf + q>i (т)) X'-1 -f- • • • + Ф/-1 (Л) х + Ф/ (Л)- где ф1 (ti);
Ф2 (т)), . . ., ф/ (т)) — круговые целые, образованные периодами
длины /; для этого достаточно заметить, что ае в применении
к Р (X) производит только циклическую перестановку сомножи-
телей и, следовательно, оставляет Р (X), а зпачит, и все его коэф-
фициенты, без изменения.
Теперь положим X = а. Так как выражение Р (а) — [{(а —
— а1*) содержит множитель а — а, то это круговое целое есть О,
т. е.
а' + Ф1(л)а'~1+-..+Ф/(л)=0.
Это соотношение будет называться уравнением для а над периодами
длины /. В приведенном выше примере оно имеет вид а3 — т)оа2 ~К
-f- тJа — 1=0. Его можно проверить, выписав периоды: а3 —
— (а -f а3 -j- а9) а2 -|- (а4 -f а10 -1- а12) а — 1 = а3 — а3 — а5-"
— а11 + а5 Ч- а11 + 1 — 1 — 0.
Используя уравнение Р (а) = 0 для а над периодами длины /
можно представить произвольное круговое целое g (а) в виде
g (а) - gl (л) а' + g2 (л) а' + ... + g, (л), (П
где gt (т)), ^2 (т)), . . ., gf (т)) — круговые целые, образованны*
периодами длины /. (Вычислениями можно доказать, что такое
представление единственно, но этот факт в дальнейшем не пона
добится.) Чтобы выполнить это представление, можно последо
вате л ьи о снижать степени а в g (а), пользуясь равенством а? =*
= — Ф1 (Л) и1'1 — Фа (Л) а'~2 — • • • — Ф/ (Л)' Д° тех пор, пок''
высшая степень элемента а в g (а) не станет меньше /. Этот про
:) Обозначения ф (т)), / (r|), g (r\) и т. д. для круговых целых, образ©
ваппых периодами, взято у Куммора. Заметим, что они сильно отличаютс
от обозначения / (а) и том омысло, что выражение / (г\) включает в себя е ра»
личных периодов т);.
4.8. Расширение признака делимости 149
цесс выполняется так же, как процесс деления с остатком для
полиномов, т. е. можно писать g (a) = q (а) Р (а) + г (а), обра-
щаясь с g (a), q (а), Р (а), г (а) как с полипомами от а, коэффи-
циенты которых являются круговыми целыми, образованными
периодами длины /. (Деление возможно, поскольку старший коэф-
фициент полинома Р равен 1.) Как круговые целые, Р (а) — О
п g (а) — г (а), где г (а) имеет требуемый вид, т. е. является
полипомом степени меньше / и имеет коэффициентами круговые
целые, образованные периодами длины /.
Предположим теперь, что простой делитель h (а) числа р
задан. Тогда каждый период тO- длины / сравним по модулю h (a)
с некоторым целым числом Uj. Следовательно, каждый коэффициент
о,- (т)) в приведенном выше представлении элемента g (а) сравним
по модулю h (а) с целым числом gt (и), которое получается из
gi (л) заменой т)г на их, тJ па и2, . . ., т)е на ие. Более того, так
пак из сравпимости по модулю р вытекает сравнимость по моду-
лю h (а), то каждое целое число gt (и) сравнимо по модулю h (a)
с некоторым неотрицательным целым числом, меньшим р. Значит,
каждое круговое целое g (а) сравнимо по модулю h (а) с круговым
целым вида a^aJ'1 -]- a2af'2 -f . . . -f- af, где at — целые числа
из промежутка 0 <; а{ < р. Таким образом, данная задача,
заключающаяся в том, чтобы научиться определять, имеет ли
место сравнение g (а) = 0 (mod h (а)), будет решена, если можно
будет определить, верно ли сравнение а^'1 + а2а'~2 4- ...
... + af =¦ 0 (mod h (а)) именно для этих pf конкретных круго-
ных целых. Следовательно, наша задача решается следующей
теоремой, устанавливающей, что из этих pf круговых целых лишь
пуль делится на h (a).
Теорема. Пусть h (а) — простой делитель числа р, где р Ф
ф К — простое с показателем f по модулю К. Пусть S — множе-
ство р^ круговых целых вида а^'1 -)- а2а!~2 -\- ... -}- at, где
а-, — целые числа из промежутка О =SC at <; р. Тогда описанный
выше метод позволяет для любого кругового целого g (а) найти
такое круговое целое g (а) из множества S, что g (a) = g (а)
(mod h (а)). Два элемента из S сравнимы между собой по модулю
h (а) тогда и только тогда, когда они идентичны. Это дает признак
делимости на h (а), поскольку оказывается, что для любого g (а)
Ложно найти такое g (а) из S, для которого g (а) = g (а)
(mod h (а)) и при этом g (а) = 0 (mod h (а)) в том и только
в том случае, когда g (а) -— 0.
Следствие. Чтобы определить, делится ли g (а) на h (а),
необязательно знать h (а); достаточно знать такие целые числа
иъ и2, . . ., ие, для которых выполняются сравнения \\; =
ss ui (mod h (a)) (i = 1, 2, . . ., e).
150 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Доказательство. Следствие, конечно, вытекает из того факта,
что переход от g (а) к g (а), т. е. записывание кругового целого'
в виде A) с последующим редуцированием целых чисел gt (и)
по модулю р, использует только числа ut, но не само h (а). Способ
доказательства теоремы заключается в простом подсчете, а кон-
кретно в установлении того, что существуют по крайней мере
р' не сравнимых по модулю h (а) круговых целых. Тогда, так как
каждое круговое целое сравнимо с одним из pf круговых целых,
принадлежащих 5, все р* элементов в S оказываются не срав-
нимыми по модулю h (а), в чем и состоит утверждение теоремы.
Заметим сначала, что число не сравнимых по модулю h (a)
элементов есть степень числа р, скажем рп. В терминах теории
групп это непосредственно следует из того, что аддитивная группа
круговых целых по модулю h (а) является факторгруппой адди-
тивной группы круговых целых по модулю р, а эта последняя
группа содержит р"к~1 элементов; число элементов факторгруппы
делит р^ и, следовательно, поскольку р просто, должно быть
степепью числа р. Обращения к теории групп легко избежать
прямым построением такой системы gx (a), g2 (а), . . ., gn (а)
круговых целых, что любое круговое целое сравнимо по модулю
h (а) точно с одним из рп круговых целых Ь^х (а) + b2g2 (а) -г • • .
• • • + bngn (а) @ < bt < р) (см. упр. 4) .
Заметим далее, что число не сравнимых по модулю h (а) кру-
говых целых не меньше X + 1, поскольку 0, а, а2, . . ., сЛ = 1
попарно не сравнимы по модулю h (а). Это верно, поскольку норма
любого делящегося на h (а) кругового целого должна делиться
на р, тогда как норма мономов а3 — 0 равна 1, а норма биномов'
<хг — a3 (i ф ] (mod К)) равна N (а — 1) = К, и ни то, ни другое
не делится па р.
Заметим наконец, что число ненулевых не сравнимых по модулю
h (а) круговых целых делится па X. Это можно доказать следую-'
щим образом. Если а, а2, . . ., а^ — 1 исчерпывают все нену-
левые круговые целые по модулю h (а), то их точно X. В против-
ном случае найдется такое круговое целое г|) (а), что г|) (а) Ф
Ф 0 (mod h (а)) и г|з (а) ф a3 (mod h (а)) (/ — 1,2, . . ., X). Тогда
¦ф (а) а, г|) (а) а2, . . ., г|) (а) а*1 = г|з (а) все отличны от нуля nd
модулю h (а) (поскольку h (а) — простое), все различны по моду-г
лю h (а) (поскольку из г|) (а) а3 = г|) (а) ак вытекало бы, что а3 =з:
= ak) и отличны от а, а2, . . ., а^ (поскольку нз г|) (а) а3 = а'
вытекало бы г|) (а) = ah). Если этим мы исчерпали ненулевые
круговые целые по модулю h (а), то их точно 2Х. В противно*
случае имеется такое круговое целое ср (а), что ЗХ круговых целых
а1, г|) (а) а\ ср (а) ah все отличны от нуля и друг от друга па
модулю h (а). Если этим исчерпаны все возможности, то иссле-
дуемое число в точности равно ЗХ, а в противном случае процесс
можно продолжить. В конце концов все возможности буду
4.8. Расширение признака делимости 151
исчерпаны и процесс завершится списком из тк различных нену-
левых по модулю h (а) круговых целых и ink = рп — 1.
Таким образом, рп == 1 (mod X). По определению показателя /
числа р по модулю X это дает га ^ /. (Заметим, что из рп ^ X + 1
иытекает, что га ^ 0.) Итак, число рп не сравнимых по модулю
h (ее) элементов пе меньше р*, что и требовалось доказать.
Упражнения
1. В каждом из следующих случаев найдите уравнение для а над перио-
дами длины / и проверьте его непосредственной подстановкой, (а) X — 5, / = 2.
<Ь) X = 7, / = 2. (с) А, = 11, / = 5. (d) Я. = 13, / = 3. (е) А, = 31, / = 5.
2. Если fe (а) •— простой делитель числа р, для которого известны ui,
то полипом степени / со старшим коэффициентом 1, который делится ua h (а),
можно найти нростой подстановкой чисел м,- вместо т)(- п уравпение для а
над периодами длины /, Например, в случае к — 13, р = 29 подстановка зна-
чений и0 — —3, их = 14, иг = 12, м3 = 5, пайдеппых в § 4.7, в уравнение
«3 •— т)оа2 + тJа — 1 = 0 из этого параграфа дает в качестве кругового
целого, делящегося на h (а), о котором идет речь, а3 + За2 + 12а — 1.
Четыре различных сопряжонпых этого h (а) имеют м;, получаемые цикличе-
скими перестановками из указанных выше. Следовательно, произведение
(ct3 -f 13а2 + 12а — 1) (а3 — 14а2 + 5а — 1) (а3 - 12а2 - За — 1) X
X (а3 — 5а2 + 14а — 1) делится на все четыре простых делителя числа 29
(пели 29 имеет простые делители), и можно ожидать, что оно долится на 29.
Докажите это непосредственно, проверив, что это произведение сравнимо
с а12 + а11 + а10 + . . . + 1 = 0 по модулю 29. [Перемножьте полиномы,]
3. Технику упр. 2 можпо рассматривать как способ разложения полино-
ма Х^~ + Х^~ + , . , + X + 1 по модулю р. Используя эту технику, раз-
ложите X* + X3 + X2 + X + 1 но модулю 19, по модулю 59 и по моду-
лю 41. Далее разложите Xе + X5 + , - - + 1 по модулю 3, по модулю 13,
по модулю 29, Наконец, разложите X30 + X29 + • • - + 1 по модулю 2.
В каждом случае отыскивается е сомножителей степени /, где / — показатель
числа р но модулю К. Как будет вытекать из теоремы следующего параграфа,
эти сомножители неразложимы по модулю р.
4. Докажите, что число не сравнимых по модулю h (а) круговых целых
есть степень числа р, [Целые числа 0, 1, 2, . . ., р — 1 представляют собой р
не сравнимых по модулю h (а) элементов, поскольку для целых чисел срав-
нимость по модулю h (а) равпосильпа сравнимости по модулю р. Если най-
дется некоторое gx (а), пе сравпимое ни с одпим из этих элементов, то числа
а + bg! (а) не сравнимы друг с другом при 0^а<р, Ог^Ь<р. Если на
этом все возможности исчерпываются, то ответ р2. В нротивном случае рас-
суждопие можно нродолжить и образовать р3 несравнимых элементов, и т. д.]
5. Определите, какие из простых чисел табл. 4.7.2 долят 7а3 + 45а2 +
"т- 83а + 90. [Заметим, что каждая строка таблицы даот два простых — то,
которое там указало, и его сонряженное.]
6. Покажите, что для каждого простого делителя h (а) простого числа р
Показателя / но модулю X имеется полином Qh (а) степени / относительпо а
с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, обладающий сле-
дующим свойством: круговое целое h (а) тогда и только тогда делит круговое
Полое g (а), когда деление полипомов g (X) = q (X) Qh (X) + г (X) дает
остаток г (X), все коэффициенты которого сравнимы с нулем по модулю р.
152 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
4.9. Простые дивизоры
Пусть X — простое число, большее 2, и пусть р ф X — простое
число, показатель которого по модулю X есть /. В § 4.6 было
показано, что если р имеет простой делитель h (а), т. е. имеется
простое круговое целое h (а), которое делит число р, то каждый
из е (---(Я, — 1)//) периодов тI7 тJ, . . ., т)е длины / сравним по
модулю h (а) с некоторым целым числом. Это означает, что для
данного простого делителя h (а) числа р существуют целые числ^
иг, и2, . . ., ие, для которых т); = U; (mod h (а)). Следователь-
но, любое круговое целое, образованное периодами длины /,
сравнимо по модулю h (а) с целым числом, и, поскольку два целых
числа сравнимы по модулю h (а) тогда и только тогда, когда они
сравнимы по модулю р, знание целых чисел и; дает возможность
определять, сравнимы ли по модулю h (а) два круговых целых,
образованных периодами длины /. Короче говоря, сравнение
g (т)) = ф (т)) (mod h (а)) равносильно г) сравнению g (и) ==е
= Ф (и) (mod р). В частпости, из тождеств т^т); — с0 -\- с1г\1 -\-. . .
. . . -г сег\е вытекают сравнения u-^Uj = с0 + с1и1 + . . .
. . . + сеие (mod p) относительно чисел иг. Как было видно на
примерах из § 4.7, эти сравнения можно решить и найти все воз-
можные наборы чисел и-ь в рассматриваемых случаях. Наконец,
в § 4.8 было показано, что знание чисел ut дает возможность опре-
делять, сравнимы ли по модулю h (а) два круговых целых; если
даны g (а) и ф (а), то их можно записать в виде g (a) — g1 (i]) aJ~1Jr
-r §2 On) а*~2 + ¦ ¦ ¦ + gf On), Ф (a) = <PiOn) a'-1 -f. ф2 (т)) a^2 4- • • •
...-•- ф/ (т)), и сравнение # (a) ^ ф (a) (mod h (a)) верно тогда
и только тогда, когда верны сравнения g1 (и) = фг(и), g2 (и) ^
= ф2 (и), . . ., gf (и) = q>f (и) (mod p). Итак, простой делитель
h (a) числа р определяет целые числа иг, и2, . . ., ие по модулю р,
знания которых достаточно для определения отношения сравнимо-
сти по модулю h (a).
Основная идея куммеровой теории идеального разложения
может быть сформулирована теперь следующим образом. Дока*
затъ, что сравнения по модулю р относительно ut всегда имеют
решение, и воспользоваться этим решением для определения «срав-
:) Здесь g (и) есть целое число, полученное из g (т)) замепой щ на uj,
и аналогично ионимаотся ф (и). Как и в § 4.3, этим обозначением нужно поль-
зоваться осторожно, поскольку такая операция на круговых целых, образо-
ванных периодами, определена покорректно, т. е. из g (т)) = ф (т)) но выте-
кает g (и) = ф (и). Однако для тех частных значений Uf, о которых идет речь^
из g (т)) = ф (т)) (mod h (a)) вытекает g (и) = ф (и) (mod p) на оснований
обычных правил действии со сравнениями по модулю h (a), и том более
из g (т)) = ф (т)) вытекает g (и) ^ ф (и) (mod p). Следовательно, несмотря
на то, что целые числа g (и) и ф (и) определены некорректно, они вполне кор-
ректно определены по модулю р п случае таких частпых значений ut.
4.9. Простые дивизоры 153
нимости по модулю простого делителя числа р» даже в том слу-
чае, когда никакого простого делителя числа р в действительности
нет. Это и есть программа данного параграфа. Нашим первым
шагом будет следующее
Предложение. Пусть заданы X, р, /, е, как и раньше. Суще-
ствуют такие целые числа иг, и2, . . ., ие, что каждое уравнение,
которому удовлетворяют периоды т); длины /, выполняется как
сравнение по модулю р при подстановке в него целых чисел ui вместо
периодов т)г-. Иными словами, иг, и2, . . ., ие таковы, что если
F Oli' Лг» • • •> Ле) — полином от т)г с целыми коэффициентами,
а круговое целое F (тI7 тJ, . . ., т)е) есть нуль, то целое число-
F (uv и2, . . ., ие), получаемое подстановкой ui вместо т)г- (i —
•--" 1,2,.. ., е), удовлетворяет сравнению F (иг, и2, . . ., ие) =
= 0 (mod p).
Если бы было известно, что ut возникли из действительно
существующего делителя h (а) числа р, то техника предыдущега
параграфа давала бы право использовать их для определения того,
сравнимы ли по модулю h (а) данные круговые целые. Главная
идея как раз в том и заключается, что отношение сравнимости
может быть определено даже тогда, когда этого h (а) па самом
деле нет.
Теорема 1. Пусть X, р, /, е и uv u2, . .., ие такие, как
в предложении. Тогда можно определить одно и только одно отно-
шение сравнимости для круговых целых с а^ — 1, для которого
выполняются все обычные свойства (оно рефлексивно, симметрично,,
транзитивно и согласовано со сложением и умножением) и при
котором т); сравнимо с и(, р сравнимо с 0, а 1 не сравнимо с 0.
Кроме того, это отношение сравнимости является простым
в том смысле, что произведение сравнимо с 0 только тогда, когда
один из сомножителей сравним с нулем. Наконец, число несравни-
мых элементов в точности равно рК
Определение. Отношение сравнимости, существование кото-
рого утверждается теоремой 1, будем называть сравнимостью-
по модулю простого дивизора числа р, соответствующего набору
целых чисел иг, и2, . . ., ие. Если g (а) сравнимо с 0 по модулю
этого отношения, то будем говорить, что g (а) делится на про-
стой дивизор числа р, соответствующий набору иг, и2, . . ., ие
Заметим, что «простой дивизор числа р, соответствующий набо-
ру и-у, и2, . . ., ие», не определен, а определена лишь сравни-
мость по модулю такого дивизора и делимость па такой дивизор.
Если р на самом деле имеет простой делитель h (а), то, как было
показано, сравнимость по модулю h (а) совпадает с только что
определенной «сравнимостью по модулю простого дивизора чис-
154 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
ла р», а именно, со сравнимостью по модулю простого дивизора
числа р, соответствующего набору uv и2, . . ., ие, где ut =
= т)г (mod h (а)). Следовательно, новое определение совпадает
со старым каждый раз, когда старое определение имеет смысл.
Однако новое определение имеет смысл и тогда, когда старое его
не имеет. Например, в случае X — 23 сравнимость по модулю
простого дивизора числа 47, соответствующего набору а = 4,
<х2 = 42, . . ., а22 = 422 (mod 47), тенерь определена, несмотря
на то что никакого простого кругового целого h (а), делящего
число 47, нет. Иногда в тех случаях, когда нет реального про-
стого делителя числа р, чтобы специально подчеркнуть этот факт,
сравнимость по модулю простого дивизора называют сравнимо-
стью по модулю идеального простого делителя, а делимость на
простой дивизор — делимостью па идеальный простой делитель.
Однако утверждения, касающиеся сравнимости по модулю про-
стых дивизоров или делимости на простой дивизор, имеют смысл,
согласно приведенному определению, и в тех случаях, когда
реальных делителей нет.
Если набор целых чисел их, и2, . . ., ие обладает свойством,
описанным в предложении, то им обладает также набор и2, и3, . . .
. . ., ие, их и, следовательно, все е наборов, получаемых из исход-
ного циклическими перестановками чисел и;. Это непосредственно
следует из того, что имеется сопряжение ан^- а', вызывающее
циклическую перестановку г\х ь->¦ г\2 н-> . . . \—> г\е ь->¦ т\х периодов
и, следовательно, переводящее соотношение вида F (т^, г\2, ...
. . ., Tie) = 0 в соотношение F (тJ, тK, . . ., т)е, %) = 0. Таким
образом, предложение гараптирует существование не только
одного, но е наборов чисел ut. В примерах из § 4.7 мы видели, что
всегда имелось точно е решений ии и2, . . ., ие и что все они мог-
ли быть получены из какого-нибудь одного циклическими пере-
становками. Кроме того, во всех примерах, кроме одного, было
возможно показать, что если р имеет разложение па простые
круговые целые сомножители, то оно обязательно имеет гакое
разложение вида р = +ф A1)'о:Ф Oi) • • • tfe~1(P ("Л)? гДе Ф (л) про-
стое, т. е. р должно быть произведением единицы и е различных
простых сомножителей. Следующая теорема устанавливает, что
если эти свойства выразить в терминах делимости на простой
дивизор — т. е. в более широком смысле,— то они всегда верны.
Теорема 2. Для данных X, р, /, е пусть и1г и2, . . ., ие и
uv и2, . . ., ие — два произвольных набора целых чисел, для кото-
рых выполнены свойства, указанные в предложении. Тогда имеется
одно и только одно целое число к, 0 ^ к < е, такое, что сравни-
мость по модулю простого дивизора числа р, соответствующего
набору иг, и2, . . ., ие, совпадает со сравнимостью по модулю
простого дивизора числа р, соответствующего набору
4.9. Простые дивизоры 155
u2+h, • • ., uh, где, как обычно, и}- = uJ+e no определению. Таким
образом, имеется точно е различных отношений сравнимости
типа описанного в теореме 1. Делимость на р равносильна дели-
мости на каждый из этих е простых дивизоров числа р, т. е.
круговое целое g (а) делится нар в обычном смысле тогда и только
тогда, когда оно делится на все е простых дивизоров числа р во
вновь определенном смысле.
Остальная часть параграфа посвящена доказательству пред-
ложения и двух теорем. Эти доказательства являются, по суще-
ству, теми доказательствами, которые дал Куммер, но центральная
идея построения кругового целого ? (ti) появилась не в перво-
начальном трактате [К8] 1847 г. по теории идеального разложе-
ния, а в короткой заметке [К16], написанной 10 лет спустя. Любо-
пытно, что первоначальные доказательства Куммера были совер-
шенно неверны и в течение первых 10 лет своего существования
куммерова теория стояла на порочной основе. Брешь в важнейшем
месте, каковым является доказательство приведенного выше пред-
ложения, уже начали замечать другие математики (см. [ЕЗ])
около 1856 г., но статья 1857 г. появилась еще до того, как изъян
стал хорошо известен. По какой-то причине Куммер не торопился
признать эту ошибку в своей работе. Фактически в его первона-
чальном доказательстве было два пробела: первый — в доказатель-
стве того, что сравнение степени е от и, т. е. от каждого из ut,
имеет е решений по модулю р (с учетом кратпостей), а второй —
в доказательстве того, что эти е решений можно упорядочить
так, что они будут обладать свойствами, описанными в предло-
жении. По поводу первого пробела Куммер все еще настаивал
в 1857 г., что в своей ранней работе он привел «строгое доказа-
тельство», хотя им не было дано там никакого разъяснения этого
«доказательства». Хотя исправить этот первый пробел не очень
трудно (см. упр. 6), кажется маловероятным, чтобы это удалось
сделать па пути, предложенном Куммером в его весьма сокращен-
ном «доказательстве» (см. упр. 7). Что касается второго пробела,
восполнить который, по-видимому, труднее, то здесь Куммер,
вероятно, был более защищен и потому сказал, что считает это
место требующим «разъяснения и более полного обоснования»
и по этой причине предлагает новый метод доказательства. Этот
новый метод был безусловно значительно проще и стоил того,
чтобы его изложить, даже если Куммер искреппе верил, па что
он намекал, в безукоризненность раппего метода. Однако кажется
более правдоподобным, что он в это время уже осознавал недо-
статки своего раннего метода, но считал неразумным привлекать
к ним внимание.
Доказательство предложения. Пусть круговое целое ? (ti),
образованное периодами длины /, построено следующим образом.
156 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей
Рассмотрим ер круговых целых j — т]г (/ = 1, 2, . . ., р и i —
= 1, 2, . . ., е). На первом шаге выберем из этих ер круговых
целых одно, которое не делится на р. (Очевидно (см. упр. 9),
что хотя бы одно такое среди них всегда найдется.) IIan-м шаге
мы выберем из оставшихся ер — (п — 1) круговых целых / — r\t
одно таким снособом, чтобы произведение всех п этих уже выбран-
ных олемептов не делилось на р. Если выбрать п-й сомножитель
с таким свойством невозможно, то конструкция завершена
и ? (ti) определяется как произведение (п — 1) уже выбранных *)
к этому моменту сомножителей. Как было показано в § 4.6,
(r\i — 1) (r\i — 2) ... (т)г — р) = rif — tij = 0 (mod p), поэтому
построение ? (ti) завертится раньше, чем будут исчерпаны все ер
сомножителей, и для каждого i по крайней мере один сомножитель
/ — т)г- не войдет в ? (т)). Обозначим через ut — 1|г- для i = 1,
2, . . ., е тот сомножитель вида / — т)г, который не входит в ? (т)).
Тогда (и; — т);) ? (т)) = 0 (mod p), так как в противном случае
построение ? (т)) не было бы закончепо. G другой стороны, если
j — r\i — любой сомножитель этого вида, не вошедший в ? (т)),
то (] — т);) ? (т)) = 0 = (ui — ~4i) У ("П) (mod p), откуда
(/ — Ui) W (т)) ^ 0 (mod р). Если j ф и{1 то, поскольку и /, и ut
лежат в промежутке 1 ^ ut ^ р, 1 ^ / ^ р, разность/ — ut
была бы обратима по модулю р, скажем Ъ (/ — и{) = 1 (mod p),
откуда ? (т)) ^ Ъ (/ — иг) ? (т)) ^ 0 (mod p) вопреки предполо-
жению. Следовательно, / — ut и u-L является единственным целым
числом между 1 и р, для которого ut — т); не входит в ? (т)). Таким
образом, W (т)) состоит точно из ер — е сомножителей, а именно,
из всех сомножителей / — т)г, кроме ut — т)г.
Теперь мы имеем т);? (т)) ^ и^ (т)) (mod р) для ? = 1, 2, . . .
. . ., е. Значит, F (тI7 тJ, . . ., т)е) ? (tj) = F (ии и2, . . ., ие) X
X ? (т)) (mod/?) для любого полинома F (тI7 т|а, . . ., T|f) от
периодов. Это непосредственно вытекает из согласованности
сравнимости по модулю р со сложением и умножением. В частно-
сти, если F (тI7 т]2, . . ., т)е) = 0, то F (ul7 u2, . . ., ие) W (ц) =
^ 0 (mod р). Так как ? (т)) ^ 0 (mod /?) по построению, то целое
число F (иъ и2, . . ., ие) не обратимо по модулю р, т. е.
F (ul7 u2, . . ., ue) ^ 0 (mod /?). Следовательно, целые числа
ul7 иг, . . ., ие обладают требуемым в предложении свойством,
и предложение доказано.
]) Это место слегка отличается от подлинной конструкции Куммера.
Вместо того чтобы использовать все ер указанных выше сомножителей, он
пользовался только теми сомножителями ; — т]г, в которых ; удонлетворяет
сравпепию (/ — rij) (/ — ti2) ... (/ — rit.) = 0 (mod p). Если бы речь шла
о'действительном вычислении значения V (т]), то этот способ был бы более
эффективным. Однако здесь нашим результатом должно быть не V (г\), а суще-
ствование целых чисел мг. Когда их существование уже известно, то есть
много более легких способов нахождеиия их, чем эта констр?Кция.
4.9. Простые дивизоры
Доказательство теоремы 1. Для доказательства удобно счи-
тать, что целые числа и1ч и2, . . ., ие не только обладают ука-
занным в предложении свойством, но и получены конструкцией,
примененной в доказательстве предложения, включая и то, что
круговое целое ? (ti), являющееся произведением ер — е сомно-
жителей/ — Tii с условием/ ф= i, не делится на р. В доказательстве
теоремы 2 будет показано, что любой другой набор целых чисел
иъ и2, . . ., ие, для которого выполнены условия предложения,
получается из первого набора циклической перестановкой и, сле-
довательно, обладает тем же свойством. Способ доказательства
теоремы 1 будет сводиться к тому, чтобы показать, что отношение
сравнимости g (а) ? (т)) = ф (а) ? (т)) (mod p) удовлетворяет усло-
виям теоремы. Пусть, таким образом, для круговых целых g{a),
ц> (а) сравнение g (a) = <р (а) означает, что g (a) ? (т)) в=
= ф (a) Y (т)) (mod p). Тогда ясно, что отношение = рефлексивао,
симметрично, трапзитивпо и согласовано со сложением и умноже-
нием. Кроме того, р = 0 и, как видно из доказательства предложе-
ния, т)г = иг. Так как ? (т)) ф 0 (mod р), то 1 ^Ь 0. г
Пусть теперь ~ обозначает любое другое отношение сравнимо-
сти, которое рефлексивно, симметрично, транзитивно и согласо-
вано со сложением и умножением и для которого r\i ~ ut, p ~ 0,
1 «-^ 0. Из того что каждое круговое целое g (a) может быть запи-
сано в виде g1 (т)) a^1 + g2 (tj) а/-2 + . . . + gf (т)), следует, что
g (а) ~ ^а^ -г a2af'2 -f- • • • + af, где а; — целые числа, 0 ^
^ аг < р. Значит, имеется самое большее pf круговых целых, не
сравнимых по отношению ~. Покажем, что отношение -~ должно
быть простым и иметь не меньше pf несравнимых круговых целых.
Отсюда будет вытекать, что отношение ~ вполне определено,
поскольку для любых заданных g (a) и ф (а) можно добиться вы-
полнения сравнений g (a) ~ а^'1 + а2а?~2 + . . . -\- а} и ф (а)-~-
-~ b^'1 + b2af~2 + . . . + Ь/. где целые at и &; лежат в интер-
вале 0 :<С a,, bi<ip, а тогда из транзитивности отношения '-'
и из того, что оно имеет р1 несравнимых круговых целых, будет
следовать, что сравнение g (a) ~ ф (а) имеет место в том и только
том случае, когда круговые целые а-^'1 -f a2af~2 + • • • + в/
и Ъ-^'1 + b2af~2 -\- . . . -1- bf равны. Так как отношение = обла-
дает всеми свойствами, которыми, по предположению, обладает
отношение ~, то эти отношения совпадают, и первое утверждение
теоремы будет доказано.
Если бы было показало, что отношение <~ простое г), то из р*с-
суждепий предыдущего параграфа следовало бы, что имеется
]) Отношетшесравнимости предыдущего параграфа было простым по Яррй"
положению, поскольку это была сравнимость по модулю h (a), где h(a}"f
простой делитель числа р. Смысл теорем этого параграфа в том, чтобы исК#Ю~
чить предположение о существовании такого h (a).
158 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей
по крайней мере р1 не сравнимых по модулю ~ круговых целых.
Действительно, как и раньше, число несравнимых круговых
целых было бы степенью числа р (поскольку речь идет о фактор-
группе грунпы, содержащей р1'1 элементов), большей чем 1
(поскольку 1 rj^ 0), которая сравнима с 1 по модулю К (поскольку
подмножества вида {g (a), g (а) а, g (а) а2, . . ., g (а) а1'1} не
перекрывают друг друга и содержат точно X не сравнимых между
собой и с нулем круговых целых); значит, это число есть степень
с положительным показателем числа pf и оно не меньше /А Сле-
довательно, не только первое утверждение, но и вся теорема будет
доказана, если доказать, что отношение ~ простое.
Способ доказательства будет следующий. Мы покажем, что
если отношение ~ не простое, то имеется другое отношение срав-
нимости, обозначим его да, которое обладает всеми свойствами
отношения ~, но которое грубее, чем ~, т. е. из g (a) ~ ф (а)
следует g (а) да ф (а), по имеются такие круговые целые g (а),
Ф (а), для которых g (а) да ф (а) и g (а) ^ ф (а). Теорема будет
следовать из бесконечного спуска: если отношение да не простое,
то, поскольку оно обладает всеми свойствами отношения ~, про-
цесс можно повторить и получить третье отношение сравнимости
да3, более грубое, чем да, но обладающее всеми свойствами ~.
Если да3 не простое, то существует четвертое отношение да4,
более грубое, чем да3, и т- Д- Так как число несравнимых круго-
вых целых было не больше pf вначале процесса и убывает с каж-
дым шагом, то этот процесс должен привести к отношению срав-
нимости дап, обладающему всеми свойствами отношения ~, но
вдобавок простому. Тогда па основании рассуждений предыду-
щего параграфа, которые были подытожены выше, имеется но
крайней мере pj не сравнимых по дап круговых целых. Следова-
тельно, огрубление первоначального отношения <~- было в дей-
ствительности невозможно, и это отношение простое и имеет pf
несравнимых круговых целых.
Таким образом, доказательство теоремы сведено к тому, чтобы
показать, что если отношение ~ не простое, то имеется более гру-
бое отношение сравнимости да с теми же свойствами, что и ~.
А в этом легко убедиться следующим образом. Если отношение ~
не простое, то имеются такие круговые целые i|>i (°0? "Фг (a)i что
^1 (°0 'Фг (°0 ~ 0, по ty-L (а) ^ 0, ty2 (а) /-р 0. Пусть запись g (а) да
да ф (а) по определению означает, что g (a) i^ (а) ~ ф (а) я^ (а)..
Тогда отношение да рефлексивно, симметрично, транзитивно
и согласовано со сложением и умножением, i\t да ut (поскольку
т)г ~ иг дает т)га|71 (а) ~ и^ (а)) и р да 0. Кроме того, 1 ф 0,
поскольку i^ (а) -г- 0, и отношение да грубее отношения ~,
поскольку я|J (а) да 0, но я|52 (а) >^ 0. Это завершает доказатель-
ство теоремы.
4.9. Простые дивизоры 159
Доказательство теоремы 2. Пусть их, иг, . . ., ие— набор
целых чисел, полученный конструкцией, примененной в доказа-
тельстве предложения, и пусть ul7 и2, . . ., ие — любой набор
целых чисел, удовлетворяющий условиям предложения. Для
доказательства первого утверждения теоремы 2 достаточно дока-
зать, что для этого конкретного набора ии и2, . . ., ие имеется
единственное целое число к, О ^С к < е, такое, что ut = ul+h
(mod p), поскольку этим будет доказано, что условиям пред-
ложения удовлетворяют только те наборы целых чисел
ц1? и21 . . ., ие, которые являются циклическими перестановками
набора чисел иг; тогда, так как две циклические перестановки
одного и того же множества являются циклическими перестанов-
ками друг друга, мы получим требуемое утверждение.
Утверждение этой теоремы о единственности состоит в том,
что для каждого к -— 1, 2, . . ., е — 1 имеется такое i -- 1,2, ...
. . ., е, при котором и-ь ф ut+h (mod p), где, как обычно, иг =
= и1+е по определению; короче, никакая циклическая переста-
новка, кроме тождественной, не оставляет набор чисел ut неиз-
менным по модулю р. Это — центральное место теоремы. Оно
может быть доказано следующим образом.
Рассмотрим конкретные уравнения, которым удовлетворяют
периоды. Они имеют вид ti^ = с0 + cxy\x + c2ti2 + • • • + cef]e.
Подсчитывая коэффициенты с,-, мы просто выписываем все /2
слагаемых, из которых состоит произведение в левой части, и за-
мечаем, что, так как это произведение инвариантно относительно
сопряжения о6, то две степени элемента а, лежащие в одном
и том же периоде т|й, должны встречаться одинаковое число раз;
это число и есть ch. Отсюда видно, что /2 = с0 + c-J + cj + . . .
. . . + cj, поскольку подсчитать число слагаемых в произведении
можно двумя способами. Отметим теперь, что с0 ф 0 только тогда,
когда по крайней мере одно из слагаемых а№ периода y\i обратно
к некоторому слагаемому а~^ периода т^. Но в этом случае ti,-
содержит обратный элемент ovea^ к каждому слагаемому creVa~|i
периода t^. Следовательно, с0 = / для одного этого значения j
и с0 = 0 для всех других значений /. Тогда для одного значения /
имеем с0 = /, сг + с2 + - • - + се = (/2 — /)// = / — 1, в то время
как для всех остальных с0 = 0, сг + с2 + • • • -J- се = /. (В дей-
ствительности можно точно сказать, какое значение / является
таким исключительным. Именно, / = 0, если / четно, и / — е/2,
если / нечетно; см. упр. 11. Однако нам это не потребуется.)
Значит, TiiT), + tJt);+1 + . . . + тьт^ = т^- + ст (т)^^ + . . .
. . . + <f 1 (Ц^) =-. есо+ СГ (Т)! + ТJ + • • • -f ¦ Л е) + • • • "Ь Се (т) е+
-L т)! + . . . -г "Не-!) =-- ес0 — (сг + с2 + . . . + се) = —/ во всех
случаях, кроме одного; в этом исключительном случае
е/ — (/ — 1) — е/ + 1 — / = Я, — /. Тем самым доказано по-
160 Гл. 4. Куммероеа теория идеальных делителей
лезное тождество
(К в одном случае,
/+WH2t,,+1+...+ №-, = ¦[ Q в0 Всех остальных случаях.
Следовательно, согласно определяющему свойству для чисел иг,
( ф 0 (mod р) в одном случае,
/4-UiUj-j-u^uj+i-^ .. .-\-ueUj-i \ = 0 (mod p) во всех остальных
I случаях.
Если бы существовало такое к, что ut = ul+h (mod p) для всех i,
ТО быЛО бы / -р l^U; + W2U/+1 + • • • + Ueu}-1 = / "Г W^+fc -f
+ iiaiiy+jj+j^ -+-...+ ucuj+k-i (mod p); если / принимает то един-
ственное значение, при котором целое число в левой части отлично
от пуля по модулю р, то из этого сравнения вытекает сравнение
j = i -\- к (mod е), т. е. к = 0 (mod e), что и требовалось доказать.
Этим доказано, что е циклических перестановок чисел иг-
все различны. Теперь рассмотрим М = ? (ti) + ст? (т)) + • • •
. . . + a^Y (ti), где о — сопряжение а >-» а?, переводяш,ее т)г
в T)f+i- Так как оМ — М, то ясно, что М — обычное целое число.
Далее,
MW (ti) = ?(t])? (ti) -f- [ст? (т))] ? (т)) -f . .. + [a«-"F (т))] ? (т)) = .
= ? (u) ? (ti) + [a? (и) ] ? (т)) + ... + [o-"F (u) ] ? (т)) (mod p),
где через aft? (и) обозначено целое число, получаемое действием
сопряжения oh на ? (ti) с последующей подстановкой ^ = ult
тJ — и2, . . ., т)е = ие в результат; короче, aft? (u) — П (/ —
— ul+h), где i — 1, 2, . . ., е, а / пробегает все целые значения
от 1 до р, кроме и-г. На основании уже доказанного, aft? (и)
содержит сомножитель, равный 0 (а именно, сомножитель ul+h —
— ui+h), для всех к, кроме к = 0, а в последнем случае aft? (и) =
= ? (и). Значит, MW (ц) = ? (и) ? (tj) ^ 0 (mod p), поскольку
? (и) ф: 0 (mod /?). [? (и) есть произведение ер — е целых чисел,
ни одно из которых не делится па р.] Следовательно, М ф
Ф 0 (mod p).
Если иг, и2, . . ., ие удовлетворяют условию предложения,
то М = ^(и) + ст? (п) + . . ._+ ое~1Л? (п) (mod р). Так как М ф
Ф 0 (mod p), то это дает aft? (и) ф 0 (mod p) для по крайней мере
одного к. Это означает, что II (/ — ul+k) ф 0 (mod p) для по край-
ней мере одного к, где i = 1, 2, . . ., е, а / принимает любые
значения из 1,2,.. ., р, кроме иг. Отсюда вытекает, что ut ==*
= ^г+ft (mod p), и набор чисел ut оказывается циклической пере-
становкой набора чисел иг, что и требовалось доказать.
Наконец, остается показать, что сравнение g (a) = 0 (mod p)
равносильно тому, что g (a) делится на все е простых дивизоров,
4.9. Простые дивизоры 161
которые были определены. Так как р делится на все е из них, то
половина этого утверждения следует из того, что сравнимость
по простому дивизору согласована с умножением. Обратно,
как показано в доказательстве теоремы 1, делимость кругового
целого g (а) на простой дивизор числа р, соответствующий набору
u-l, и2, . . ., ие, равносильна сравнению g (а) ? (т|) = 0 (mod p),
где Y (т|) есть произведение ер — е сомножителей / — т|г, в кото-
рых / =/= Uf. Значит, делимость элемента g (а) на простой дивизор
числар, соответствующий набору uk+1, uk+2, . . ., uk, равносиль-
на сравнению g (a) o~hxF (r\) = 0 (mod p), поскольку
о-к*(-п) = о~к
П ПС/-ч/)/П(и,-1ь)
е Р е
— П П (У — "Hi-к)/ II (М- ~ ¦»?¦-*:) —
1=1 У=1 1=1
= 11 П(у-^)/11(», + ,-г,,),
(=17=! 1=1
т. е. o~hW (т|) получается из ? (т|) заменой ul7 u2, . . ., ие на
м1+й, u2+ft, . . ., uk. Следовательно, если g (а) делится на все е
простых дивизоров числа р, то g (a) o~hW (r\) == 0 (mod p) для
всех к = 0, 1, . . ., е — 1. Суммирование этих сравнений дает
g (а)-М = 0 (mod р), откуда, благодаря тому что М ^ 0 (mod p),
вытекает g' (a) = 0 (mod p), что и требовалось доказать.
1. Постройте *Р (у\) по модулю 2 для простого дивизора числа 2 в случае
Я, = 31, который был найдеп в § 4.7. [Конечно, для доказательств данного
параграфа необходимо знать ? (ti) только по модулю р.]
2. Постройте Т (ti) по модулю 3 для простого дивизора числа 3 в случае
X = 13, найденного в § 4.7.
3. Докажите, что если р имеет показатель X — 1 по модулю к, то р —
простое круговое целое. [Это сводится главным образом к проверке того,
что доказательства этого параграфа справедливы при е = 1.]
4. Докажите, что сомножители, найденные в примерах из § 4.7 (т. е.
круговые целые ф (т)), образованные периодами длины /, имеющие норму pf,
где р — простое число с показателем / по модулю к), являются простыми.
Юдпо из возможных доказательств дапо в § 4.11.]
5. Покажите, что если %, тJ, . . ., т)у суть е периодов длипы / (ef =
~ X — 1), то ф (X) = (X — t)x) (X — тJ) . . . (X — т)е) является полиномом
от X с целыми коэффициентами. Найдите этот полином во всех случаях при
I < 13.
6. Первым шагом дапного Куммером ошибочного «доказательства»
предложения была попытка показать, что полином ф (X) из упр. 5 таков,
что сравнение ф (и) = 0 (mod p) имеет е различных по модулю р решений.
'i Г. Эдварде
162 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Правильное доказательство этого факта может быть дано следующим обра-
зом. Имеем
<Р(Х- \)У(Х -2)- • ¦ У{Х -р) =
= ^Х _„,)'_ (X - v,)][U- - Vz)' -(Х-щ)]... [(X ~ чУ ~ (А' - П,)] =
= (Х - 1)'(Лг-2)'- • • (X -p)e{modp)
Следовательно, ф (X) является произведением по модулю р сомножителей
вида X — к (к — целое число), и в этом заключается смысл утверждения,
что ф (X) имеет е различных корней по модулю р. Восполните детали этого
доказательства, обращая особое внимание на определение понятия двух
совпадающих корней сравнения g (и) == 0 (mod p).
7. Куммер в «доказательстве» утверждения из упр. 6 говорит, что для
каждого целого у имеют место сравнения (у — r\t — 1) (у — r\-L — 2) . . .
• • • (У - Лг - Р) э (у - ti,)p -(у- тн) = (yv -у)- (r\V - r\t) = уРш —
— у = О (mod р), откуда ф (у — 1) ф (у — 2) . . . ф (у — р) = О (mod pe);
затем он говорит: «легко видеть», что сравнение ф (у) = 0 (mod p) имеет е
различных решений. Опровергните это утверждение, найдя такие числа
р, е и нолином ф (X), что ф (у — 1) ф (у — 2) ... ф (у — р) = 0 (mod pe)
для всех целых у, но степень полинома ф (у) меньше е. [Можно взять р = 2,
е= 3.]
8. В примерах из § 4.7 (и из § 4.4) основным шагом в построении простого
делителя было нахождение одного решения и сравнения ф (и) = 0 (mod p),
после чего было нетрудно найти остальные е — 1 решений и их точный поря-
док. Выясните, какие вычислительные обстоятельства делали это возможным
и могли бы понадобиться для того, чтобы перейти от одного решения сравне-
ния ф (и) = 0 к полному набору чисел и-, обладающих свойствами из цред-
ложепия. [Если и0 известно, то м1? и2, . . ., ие-1 удовлетворяют е — 1 линей-
ным сравнениям с е — 1 неизвестными. Свойства решений таких сравнений
похожи на свойства решепий липейпых уравнепий. Это дает необходимые
условия для наборов чисел ut, но, даже если они выполнены, еще неясно,
что эти паборы обладают всеми требуемыми свойствами.] Здесь была вторая
брешь в первоначальном «доказательстве» Куммера.
9. Покажите, что по крайпей мере одно из ер круговых целых j — т|f
О = 1, 2, . . ., р и X = 1, 2, . . ., е) не делится на р.
10. На совремеппом алгебраическом языке построение простого дивизо-
ра числа р сводится к построению поля из pf элементов и гомоморфизма
мпожества круговых целых в это поле, а это в свою очередь сводится|к^по-
строению полинома степени /, неразло?кимого по модулю р, который делит
по модулю р полином Х^~1 + Х^~2 + • • • + X + 1> определяющий'круго-
вые целые. Вьшолните это построение с самого начала. Найдите полиномы
в случае простых делителей, построеппых в § 4.4 и 4.7. [См. упр. 2 и 3 к § 4.8.]
11. Пусть целое число j лежит в промежутке 0 ^ j < e, и пусть для пего
элемент а лежит в r\j. Покажите, что j = 0, если / четпо, и / = е/2, если
/ печетпо.
4.10. Кратности и исключительное простое число
Целью куммеровой теории идеального разложения было «спа-
сение» свойства единственности разложения на простые для кру-
говых целых. Если задачу сформулировать вкратце, то требовалось
4.10. Кратности и исключительное простое число 163
показать, что с точностью до сомножителя, являющегося едини-
цей, круговое целое определяется своими простыми дивизорами.
Основной объем работы, нужной для осуществления этой цели,
(¦(•держится в предыдущем параграфе, где понятие «простого
дивизора» расширено настолько, чтобы включить в него случаи,
когда делимость на простой дивизор нельзя отождествить с дели-
мостью на реально существующее круговое целое. Однако эти
определения должны быть дополнены в двух направлениях —
одном очень важном и втором не столь значительном,— прежде
чем может быть развита полная теория. Важное дополнение —
это понятие кратности, с которой данный простой дивизор делит
данное круговое целее. Ведь даже для обычных положительных
целых чисел неверно, что целое число определено своими просты-
ыи делителями. Однако оно определено своими простыми делите-
лями и кратностями, с которыми оно делится на каждый из них.
(Например, числа 12 = 22-3 и 18 = 2-32 имеют одинаковые
простые делители.) Второе, более мелкое дополнение состоит
и том, что необходимо изучить простые дивизоры самого числа К —
единственного простого целого числа, не охваченного теоремами
предыдущего параграфа.
Если делимость на лрестой дивизор числа р совпадает с дели-
мостью на реальное круговое целое h (а), то легко приписать
кратности. Пусть g(a) делится на такой простой дивизор; тогда
ыы можем выполнить деление на h (а) и найти частное g (а)/Л (а),
являющееся круговым целым. Если это частное снова делится
па h (а), то можно снова выполнить деление и найти g (a)/h (aJ,
и т. д. При этом говорят, что g (а) делится (д. раз па рассматри-
ваемый простой дивизор, если g(a) делится на h (a)^. Однако если
никакого реального h (а) нет, то нужно придумать какой-то дру-
гой способ определения кратпостей. Идея, которая лежит в основе
следующего определения, состоит в том, что круговое целое
XV (т|), использованное в конструкции предыдущего параграфа,
делится на все простые дивизоры числа р, кроме одного — рас-
сматриваемого. Таким образом, круговое целое g (а), умножен-
ное на достаточно высокую степень Т (т|), будет делиться на р
столько раз, сколько раз g (а) делится на простой дивизор числа
р, отсутствующий в Т (т|).
Определение. Говорят, что круговое целее g (а) делится \i раз
на простой дивизор числа р, соответствующий пабору иъ и2, . . .
• ¦ ., Up, если g (a)^?(r\)^ делится па р», где W (г\) — произведе-
ние ер — е сомножителей / — r\t (i = 1, 2, . . ., е; j = 0, 1, ...
¦ ¦ ., р — 1; j Фи{), не делящихся на этот простой дивизор.
1 оворят, что оно делится на этот простой дивизор точно \х раз,
если оно делится на него ц. раз, но не делится \i + 1 раз.
и*
t64 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Предложение. Понятие «делится один pass> совпадает с поня-
тием «делится», определенным в предыдущем параграфе. Понятие
«делится точно нуль раз» совпадает с понятием «не делится».
Число р делится точно один раз, а число 1 не делится на рассмат-
риваемый простой дивизор. Если gl (а) и g2 (а) оба делятся и. раз,
то это же можно сказать и о gt (а) -р g2 («)• Если gx (а) делится
точно \i раз, a g2 (ос) делится точно v раз, то gx (а) g2 (а) делится
точно \i + v раз. Наконец, если g (а) фО, то имеется единствен-
ное целое число а. 1> 0, такое, что g (а) делится точно а. раз.
Доказательство. В предыдущем параграфе было показано,
что g (а) тогда и только тогда делится на простой дивизор, когда
g (a) W (т|) = 0 (mod p), т. е. когда g (а) делится один раз. Это
доказывает первые два утверждения предложения. Третье утвер-
ждение означает, что р2 не делит р V? (r\)]2, или, что то же самое,
Т (ц) W (т|) ф 0 (mod p). Это доказано в предыдущем параграфе.
Утверждение, что число 1 не делится на простой дивизор, в точ-
ности совпадает с утверждением, что W (г\) ^ф 0 (mod p).
Следующее утверждение — что gx (a) -j- g.2 (а) делится [i раз,
когда gi (а) и g2 (а) делятся [i раз,— непосредственно следует
из определения. Далее, если gx (а) делится точно [i раз, то
g1 (a) W (r\)v- делится на р», по g1 (a) W (r\)^+l не делится на р^+г.
Следовательно, фг (а) = p'^g-^ (a) W (г\)>1 есть круговое целое.
Если бы фг (а) делилось па рассматриваемый простой дивизор, то,
так как W (ц) делится на остальные е — 1 простых дивизоров числа
р V? (т|) oh W (ц ) э 0 (mod p)], отсюда следовало бы, что ц>у (а,у?(г\)
делится па все е простых дивизоров числа р; значит, по теореме
предыдущего параграфа, отсюда вытекало бы, что р делит
фг (a) W (т|), а значит, gx (а) делится \х + 1 раз на рассматривае-
мый простой дивизор вопреки предположенному. Следовательно,
<рг (а) не делится на рассматриваемый простой дивизор. Анало-
гично, если g2 (а) делится точно v раз, то ф2 (а) = p~vg2 (a) T (r|)v
есть круговое целое, не делящееся на рассматриваемый простой
дивизор числа р. Следовательно, gx (a) g2 (а) W (t|)^+v делится
на p^+v и частное есть произведение фх (а) ф2 (а) двух круговых
целых, пи одно из которых не делится на рассматриваемый про-
стой дивизор. Поскольку этот простой дивизор прост, фх (а) ф2 (а)
не делится на рассматриваемый простой дивизор. Так как Ч* (т|)
не делится на этот простой дивизор № (т|) W (r\) .jfe 0 (mod p)],
то отсюда вытекает, что произведение фх (а) ф2 (а) Т (т|) =
= gt (a) g2 (а) W (r\)v+v+ip-v-v не делится па простой дивизор
числа р и тем более поделится на р. Следовательно, gx (a) g2 (а) Х
X Т (r|)ii+v+1 не делится на р^+УИ, а значит, gY (a) g2 (а) делится
с кратностью точно u. -|- v, что и требовалось установить.
Пусть g (а) — данное круговое целое, g (а) Ф 0. Если имеете»
такоз целое число к ^ 0, что g (а) но делится к раз па рассчат-
4.10. Кратности и исключительное простое число 165
рпваемый простой дивизор, то прямо из определения ясно, что
должно существовать по крайней мере одно такое целое число \i,
U ^ \i <; к, что g (а) делится точно ц. раз. Как мы уже видели,
тогда g (a) T (r\)v-/pv- уже не делится. Значит, для любого /'^0
частное g (а) Ч1 (r\)v+J/pv- вовсе не делится и, следовательно,
g (а) не делится с кратностью \i + / при / ;> 0. В частности,
g (а) не делится с кратностью т, когда т > А;.
Для доказательства последнего утверждения предложения
достаточно доказать, что имеется такое целое к, что g (а) не делит-
ся к раз, поскольку тогда точная кратность ц., с которой g (a)
делится, будет однозначно определена как наибольшее целое
число \i, такое, что g (а) делится ц раз. Для этого заметим, что
если g (а) делится к раз, то это же межно сказать и о Ng (a).
Пусть Ng (a) = pnq, где п ^ 0 и q не делится па р. Тогда Ng (a)
делится точно п раз и не может, следовательно, делиться к раз,
когда к > п. Предложение доказано.
Второе определение, нужное для основной теоремы,— это
определение единственного простого дивизора числа К. Таким
дивизором является делитель а — 1 числа X.
Определение. Простым дивизором в арифметике круговых
целых (для фиксированного простого К > 2) является либо (а) один
из е простых дивизоров некоторого простого р Ф X, определен-
ных выше, либо (Ь) простой дивизор а — 1 числа К. Простые диви-
зоры первого типа описываются заданием простого числа рфЪ
и целых иъ и2, . . ., ие, как это делалось в предыдущем парагра-
фе. Если заданы круговое целое g (а) =^= 0 и некоторый простой
дивизор, то имеется кратность \х ^ 0, с которой g (а) делится па
этот простой дивизор. Для простого дивизора первого типа эта
кратность определяется как точная кратность, с которой g (a)
делится на этот простой дивизор в том смысле, как это было опре-
делено выше. Для единственного простого дивизора второго типа
ола определяется как число раз, которое а — 1 делит g (a).
Предложение. Сравнимость по модулю а — 1 рефлексивна, сим-
метрична, транзитиена и соглассвана со сложением и умножением.
Кроме того, а — 1 — простое, т. е. из gx (a) g2 (а) =
?э 0 (mod (а — 1)) вытекает, что либо g1 (а) s== 0, либо g2 (а) =
?э 0 (mod (а — 1)). Целое число тогда и только тогда делится
на а — 1, когда оно делится на К. Кратность, с которой g (а) Ф
4= 0 делится на а — 1, определена корректно, т. е. имеется такое
\у !> 0, что (а — 1)^ делит g (а), но (а — 1)^+1 не делит его.
1-сли а — 1 делит как g1 (а), так и g2 (а) с кратностью по край-
ней мере \i, то а — 1 делит g1 (а) + g2 (а) с кратностью по
^Тайней мере \i. Если а — 1 делит gx (а) с кратностью точно \х,
и g2 (а) с кратностью точно v, /по а — 1 делит gx (a) g2 (а) с крат-
16G Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
ностъю точно и. -\- v. Наконец, X тогда и только тогда делип
g (а), когда а — 1 делит g (а) с кратностью по крайней Meat
Я, — 1.
Доказательство. Как мы видели в § 4.3, а — 1 тогда и тольш
тогда делит g(&), когда g A) = О (mod X). Это показывает, чти
а — 1 — простое. Все утверждения, кроме последнего, эле-
ментарны. Последнее утверждение вытекает из того факта, чъ
X = (а _ 1) (а2 — 1) ... (с^-1 — 1) = (а — I)*-1-единица.
4.11. Основная теорема
Теорема. Пусть X — данное простое число, большее 2, и пусть
g (а) и h (a) — два ненулевых круговых целых, построенных при.
помощи корня а =? 1 из единицы степени X. Тогда g (а) в тоя
и только в том сучае делит h (а), когда каждый простой дивизор,
делящий g (а), делит также и h (а) с неменыией кратностью
Доказательство. Если g (а) делит h (а), скажем h (a) —
= q (a) g (а), то, разумеется, каждый простой дивизор, делящий
g (а), делит и h (а) с неменьшей кратностью. Требуется доказать
обратное утверждение. Сразу же заметим, что g (а) тогда и толь-
ко тогда делит h (а), когда Ng (а) — g (a) g (а2) . . . g (а^1)
делит Nh (а) = h (а) h (а2) . . . h (а^). Если каждый простой
дивизор, делящий g (а), делит также и h (а) с неменьшей крат-
ностью, то на основании правила, но которому комбинируются
кратности при умножении, каждый простой дивизор, делящий
целое число Ng (а), делит также и h (a) h (а2) . . . h (а^) с не-
меныией кратностью. Значит, достаточно доказать теорему в част-
ном случае, когда g (a) — целое число.
Пусть теперь g (а) есть простое число р Ф X; тогда доказывае-
мое утверждение означает, что если h (а) делится па каждый из е?
простых дивизоров числа р, то h (а) делится на р. Это было дока-
зано в § 4.9. В случае g (а) = X утверждение состоит в том, что
если (а — I)*- делит h (а), то X делит h (а). Это непосредственно
видно из равенства X = (а — I)*- единица. Следовательно»
достаточно доказать, что если теорема верна для деления н*
#! (а) и для делепия на g2 (а), то она верна для деления на*
§i (°0##2 (а)- Н° эт0 совсем легко. Если каждый простой дивизор!
делящий gx (a) g2 (а), делит также и А (а) с пеменьшей кратно-
стью я если теорема верпа для делепия на gt (а), то gt (а) дели"
h (а), т. е. h (а) = gt (а) hx (а). На основании правила, по кото-
рому комбинируются кратности, отсюда следует, что кажды"
простой дивизор, делящий g3 (а), делит также и hx (а) с неменх
шей кратностью. Если теорема верпа для деления на g2 (a), ti
отсюда следует, что hx (ос) ¦- g2 (a) h., (а) дтя некоторого h.z(a)
4.11 Основная теорема 167
Следовательно, h (a) = gt (a) g2 (а) Д2 (а) и h (а) делится на
?i (°0 #2 (а)' что и требовалось показать. Это завершает доказа-
тельство основной теоремы.
Эта теорема и «спасает» свойство единственности разложения
на простые в следующем смысле.
Следствие. Если два круговых целых g (а) и h (а) делятся в точ-
ности на одни и те же простые дивизоры с точно совпадающими
кратностями, то они отличаются только на сомножитель,
являющийся единицей, т. е. g (а) = единица -h (a).
Доказательство. По основной теореме, g (а) делит h (а) и h (a)
делит g (а). Значит, h {a)lg (а) и g (a)/h (a) — круговые целые.
Так как их произведение равно 1, то они оба должны быть еди-
ницами.
Конечно, кое-что теряется. Хотя «разложение» кругового цело-
го определяет это круговое целое с точностью до сомножителя,
являющегося едипицей, здесь уже неверно, в отличие от случая
обычных целых чисел, что это «разложение» может быть предпи-
сано произвольно. Например, при X, = 23 невозможно найти
круговое целое, которое делилось бы один раз на один простой
дивизор числа 47, но не делилось бы ни на какой другой про-
стой дивизор. Возникает очень естественный и очень важный
вопрос: какие «разложения» действительно возможны? Этот вопрос
совершенно естественно приводит, как будет показано в гл. 5,
к понятию эквивалентности и к группе классов дивизоров — конеч-
ной группе, структура которой дает средства описания тонких
фактов из арифметики круговых целых. Заключительные пара-
графы этой главы посвящены развитию символики и терминологии
для изложения теории Куммера в удобной форме-
Уп ражне ния
1. Докажите, что если р Ф X — простое число с показателем / по моду-
лю X и g (a) — круговое целое с нормой pf, то g (а) делится на один простой
дивизор числа р и не делится на другие. Выведите отсюда, что g (а) простое
и что оно тогда и только тогда р, раз делит h (а), когда h (а) делится с крат-
ностью ц иа тот простой дивизор числа р, который делит g (a).
2. Докажите, что если Ng (a) = p^1 P$j ¦ . . jo^fc — обычное разложение
на простые сомножители целого числа Ng (а), то для каждого i число g (a)
делится точно на щ/fi простых дивизоров числа pi (с учетом кратностей),
где U — показатель числа pi по модулю X, когдр "- Ф X, и /; = 1, когда
Pi = ^.
4.12. Дивизоры
Как обычно, пусть % — фиксированное простое число, боль-
шее 2, и пусть выражение «круговое целое» означает круговое
целое, построенное при помощи корня а Ф \ из единицы степе-
168 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
ни К. Дивизором ненулевого кругового целого g (а) назовем список
всех простых дивизоров, делящих g (а), с учетом кратностей,
т. е. список простых дивизоров, который состоит из всех простых
дивизоров, делящих g (а), причем каждый из них встречается
в списке столько раз, какова кратность, с которой он делит g (a).
Дивизором называется любой конечный список простых дивизо-
ров. Данный простой дивизор может встречаться в дивизоре более
одного раза, т. е. с некоторой кратностью. Пустой список тоже
рассматривается как дивизор; это дивизор кругового целого 1.
Произведение двух дивизоров есть объединение двух списков,
т. е. список, содержащий все простые дивизоры с учетом крат-
ностей, которые находятся в двух данных списках. С этой точки
зрения произвольный дивизор можно рассматривать как произ-
ведение простых дивизоров. Говорят, что один дивизор делится
на другой дивизор, если первый может быть записан в виде произ-
ведения второго на некоторый третий дивизор. Говорят, что
круговое целое делится па дивизор, если его дивизор делится
на этот дивизор, и, аналогично, говорят, что дивизор делится
на круговое целое, если он делится на дивизор этого кругового
целого. Делитель кругового целого — это любой дивизор, кото-
рый его делит, или, когда это ясно из контекста, любое круговое
целое, которое его делит.
В соответствии с этим определением основная теорема утвер-
ждает, что для двух ненулевых круговых целых g (a), h (а) одно
из них g (а) тогда и только тогда делит второе h (а), когда дивизор
первого делит дивизор второго. Заметим также, что правило ком-
бинирования кратностей при умножении можно сформулировать
так: дивизор произведения равен произведению дивизоров. Так
как 0 делится на любое ненулевое круговое целое g (а), то иногда
удобно рассматривать 0 как дивизор, содержащий каждый про-
стой дивизор в бесконечном числе экземпляров. Теорема о том,
что разложение на простые дивизоры единственно, является
утверждением о том, что два круговых целых g (a), h (а), имею-
щие один и тот же дивизор, различаются па сомножитель, который
есть единица, g (а) = единица-h (а). Нарушение единственности
разложения на реально существующие простые сомножители,
когда оно встречается, отражает тот факт, что заданный дивизор
не обязан быть дивизором кругового целого. Например, при
К = 23 дивизор числа 47-139 есть произведение 22 простых диви-
зоров числа 47 и 22 простых дивизоров числа 139. Ни один из этих
44 простых дивизоров не является дивизором какого-либо кру-
гового целого. Два разложения числа 47-139, которые были опи-
саны в конце § 4.4, показывают, что есть два совершенно различ-
ных способа перегруппировки этих 44 дивизоров в 22 пары так,
что каждая пара есть дивизор некоторого реального кругового
целого.
4.12. Дивизоры 169
Так как основным понятием всей теории является понятие
простого дивизора, удобно иметь более сжатое обозначение про-
стых дивизоров, чем фраза «простой дивизор числа р, соответ-
ствующий набору целых чисел щ, и2, . . ., ие, обладающему
свойством, описанным в предложении из § 4.9». (Один исключи-
тельный простой дивизор можно, конечно, обозначать просто
через а — 1.) Куммер не ввел более короткого обозначения,
и это упущение, возможно, замедлило принятие его теории. Одна-
ко он пользовался описанием простых дивизоров в терминах
определяемых далее круговых целых т|; (г\), и это позволило ему
обращаться с простыми дивизорами без заметных неудобств и за-
труднений.
Теорема. Для любого данного простого дивизора числа р ^= К
имеется круговое целое гр (г\), образованнее периодами длины f
(показатель числа р по модулю %), которое делится течно один
раз на этот простой дивизор числа р и не делится на остальные
е — 1 простых дивизоров числа р. Следовательно, круговое целое
g (а) тогда и только тогда делится с кратностью \х на данный
простой дивизор числа р, когда g (а) [т|; (у\)]^ [о2а|- (т])]ц . . .
. . . [о'!); (tj)]^ делится на /А
Доказательство. Пусть Т (т)) соответствует в прежнем смысле-
данному простому дивизору числа р, т. е. пусть их, и2, . . ., ие —
такие целые числа, что ut — т]; делятся па данный простой диви-
зор, и пусть W (т)) — произведение ер — е сомножителей j — t\ir
где / Ф и-г. Тогда Т (г\) делится на все е простых дивизоров чис-
ла р, кроме данного. Далее, ф (т)) = оТ (т)) + o21F (т)) + . . .
. . . + ое~1гР Сп) делится на данный простой дивизор числа р
(каждое слагаемое суммы делится на него), но не делится'на осталь-
ные е — 1 простых дивизоров числа р (поскольку для каждого
из них все слагаемые, кроме одного, делятся на него, а это одно
не делится). Если ф (т)) делится с кратностью точно 1 на данный
простой дивизор числа р, то элемент -ф (г)) = ф (т)) обладает тре-
буемым свойством. Если ф (т)) делится с кратностью, большей!,
то полагаем г|з (г\) = ф (т)) + Р- Тогда элемент г|з (т)) не делится
па е — 1 простых дивизоров, отличных от данного (поскольку
если бы это было не так, то делился бы и ф (т)) = -ф (т)) — р),
делится на данный простой дивизор числа р (поскольку ф (т))
делится) и не делится на данный простой дивизор с кратностью,
большей 1 (поскольку иначе это было бы так и для р = г|) (г\) —
— ф (т))). Это завершает конструкцию элемента г|з (т)). Второе-
утверждение теоремы являете; непосредственным следствием
основной теоремы.
Теорема. Круговые целые, которые назывались «простыми^
в § 4.7, действительно простые. Вообще, если р Ф% — простое
170 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
число, показатель которого по модулю % равен /, и если g (a) —
круговое целое, норма которого равна pf, то g (а) простое. [Если
g (а) = g (т)) образовано периодами длины /, то условие Ng (a) =
= р1 можно также сформулировать в виде g (r\) ~og (r\) ...
. . . a^g (п) = ±Р.]
Доказательство. Пусть vlt v2, . . ., ve — точные кратности,
-с которыми простые дивизоры числа р делят g (а). Тогда ag (a)
делится на эти простые дивизоры с точными кратностями v2,
v3, . . ., ve, vu o2g (a) — с точными кратностями v3, v4, . . ., v2,
и т. д. Следовательно, каждый простой дивизор числа р делит
Ng (а) с точной кратностью (vx + v2 + . . . + ve) /. Если Ng (a) =
=р', то одно из V; должно быть 1, а остальные 0. Тогда, по основ-
ной теореме, делимость на g (а) совпадает с делимостью на простой
дивизор, а отсюда следует, что g (а) простое.
Обозначения. Пусть задан простой дивизор числа р, и пусть
ф (т)) — круговое целое, о котором говорится в теореме, т. е.
круговое целое, образованное периодами длины / (показатель
числа р по модулю К), которое делится точно один раз на рас-
сматриваемый простой дивизор числа р и не делится ни на один
из остальных е — 1 дивизоров числа р. Тогда данный простой
дивизор будем обозначать через (р, ф (т])).Так как этот дивизор
делит р и г|) (г\), причем оба с кратностью точно 1, а ни один другой
простой дивизор их оба не делит, то (р, \р (г\)) есть наибольший
общий делитель числа р и кругового целого ф (т)). Таким образом,
обозначение (р, ф (ц)) согласуется с общепринятым обозначением
наибольшего общего делителя двух чисел. Если можно найти
такое ф (г)) с дополнительным свойством, чтобы его дивизор совпа-
дал с рассматриваемым простым дивизором числа р, то этот простой
дивизор также будет обозначаться через (ф (ц)). Единственный
простой дивизор числа К будет обозначаться (а — 1) (в противо-
положность обозначению а — 1 без скобок, применяемому для
кругового целого, дивизором которого является (а — 1)). Дивизо-
ры будут, как правило, обозначаться заглавными латинскими бук-
вами А, В, С, . . ., а их произведение, как обычно,— простым
приписыванием букв. Так, А В обозначает произведение дивизо-
ров А и В. Кроме того, Ап, где п — положительное целое число,
будет обозначать произведение А с самим собой п раз. Произволь-
ный дивизор А может быть записан в виде
(Pi, ^ (Р2, № • • • (Рт> VmI4,'»
где (при каждом i = 1, 2, . . ., т) pt — простое целое число,
[ij — положительное целое число, а фг — круговое целое, обра-
зованное периодами длины /г (где ft — показатель числа pt по
•модулю К, или если pt — >,, то /; =1), дивизор которого содержит
4.13. Терминология 171
один простой дивизор числа pt с кратностью точно 1 и не содержит
никаких других простых дивизоров числа рг. Если дивизор эле-
мента ij); равен простому дивизору числа p-t, то р-г можно опустить
и записать дивизор (рь^г)^ как (^гI**- Пустой дивизор обозна-
чается через /, а степень дивизора А с показателем 0 определяется
равенством Л° = /.
Упражнения
1. Куммер утверждает ([К8], стр. 333), что осли пабор целых чисел
В], и2, . • ., ие содержит одно число uj с кратностью 1, то uj — т|0 долится
на один из е простых дивизоров числа р с кратностью точно 1 и не делится
па осталыше е — 1 дивизоров. Это утверждение содержит небольшую ошиб-
ку. Докажите, что uj -\- кр — г\0 обладает указаппым свойством точно для
р — 1 из возможных р значепий числа к по модулю р. Докажите более общее
утверждение: если ср (т|) делится точно на один простой дивизор числа р,
то тем же свойством обладает ср (г|) + кр для всех целых к, и кратность,
с которой этот простой дивизор его делит, равпа 1 для р — 1 из возможных
по модулю р значепий числа к и больше 1 для одного оставшегося значепия.
2. В случае X = 31 напишите простые дивизоры числа 2 в виде B, г|э).
3. Каковы в обозначениях, введенных в этом параграфе, простые дивизо-
ры числа 47 в случае X = 23?
4. Используя упр. 1, дайте необходимое и достаточное условие того,
чтобы «разложение» числа р ф X имело вид
(р) = (Р, Ло — ") (р. Л1 — ") • • • (Р, Лг-i — ")
для некоторого целого и.
5. Докажите, что для любого данного дивизора А число не сравнимых
по модулю А круговых целых конечно. [Найдите такое целое число ге, чтобы
из сравнимости но модулю А вытекала сравнимость но модулю п.\
6. Пусть г|5 (ti) — круговое целое, образованное периодами длины /,
и пусть р — простое число, показатель которого по модулю X равеп /. Пока-
жите, чтог|э (ti) тогда и только тогда делится на единственный простой дивизор
числа р, причем с кратностью 1, когда Л?г|) (т)) долится на pf, но не делится
на р'+1.\
4.13. Терминология
Куммер называл круговые целые «комплексными числами»
или, когда он выражался подробнее, «комплексными числами,
построенными из комплексного корня степени К из единицы».
Дивизоры он называл «идеальными комплексными числами».
Этот последний оборот речи был весьма неудачным по нескольким
причинам. Во-первых, хотя «комплексное число» (круговое целое)
действительно определяет «идеальное комплексное число» (диви-
зор), но много различных комплексных чисел определяют таким
способом одно и то же идеальное комплексное число, поскольку
круговые целые, которые отличаются на множитель, являющийся
единицей, имеют один и тот же дивизор. Таким образом «идеальное
комплексное число» не является каким-то обобщением «комппекс-
172 Гл. 4. Куммсрова теория идеальных делителей
ного числа», на что намекает терминология Куммера. Кроме того,
нет разумного способа определить сложение дивизоров, а название
«числа» для объектов, которые нельзя складывать, безусловно,
вводит в заблуждение. Другим недостатком терминологии Кум-
мера является семантическая проблема, возникающая из-за того,
что у Куммера идеальное комплексное число мсжет оказаться
реальным комплексным числом, поэтому может возникнуть необ-
ходимость отл1чать «реальные» идеальные комплексные числа от
«идеальных» идеальных комплексных чисел. Более того, хотя
Куммер, когда он вводил этот термин, имел в виду некоторые кра-
сивые и ясные аналогии (см., в частности, первую страницу его
сообщения [К7] и заключительные замечания в § 10 его главной
статьи [К8] по теории идеального разложения), эти аналогии
не стали для его последователей ни привлекательными, ни полез-
ными. Наконец, термин «идеальное комплексное число» имеет
еще тот большой психологический вред, что почти неизбежно
ведет к вопросу: «Что такое идеальное комплексное число?» Этот
вопрос открывает тот же ящик Пандоры метафизических измыш-
лений, как и вопросы: «Что такое натуральное число?» или «Что
такое вещественное число?»,— и дать на него окончательный
ответ ничуть не легче, чем решить эти старинные загадки. (Конеч-
но, рассуждая логически, Куммеру не было нужды заниматься
этим вопросом, и он пе занимался. Он подробно описал, как сле-
дует представлять идеальные комплексные числа и как выполнять
над ними вычисления, что, по существу, и является ответом, кото-
рый дает математик-практик на вопрос «что такое число?»; см.
[Е1], в частности «The Parable of the Logician and the Carpenter».)
По всем этим причинам современная терминология на языке
дивизоров предпочтительнее терминологии Куммера на языке
идеальных комплексных чисел.
Термин «дивизор» отвечает наиболее общей ситуации, когда
дивизоры используются. Понятие «простого дивизора»появилось
в § 4.9, когда понадобилось выяснить смысл высказывания о том,
что данное круговое целое делится на такой простой дивизор.
В более общей форме, для такого простого дивизора А было опре-
делено утверждение: g1 {a) == g2 (a) (mod .4). Для любого диви-
зора А, простого или нет, можно определить сравнение gt {а)^
= g2 (a) (mod .4), которое означает, что g1 (a) — g2 (а) делится
на А в том смысле, как определено в предыдущем параграфе. Зна-
чение дивизоров А проявляется главным образом в утверждениях
gi (a) = g2 (a) (mod ^4). С этой точки зрения следующая теорема
позволяет сделать важный вывод, что для определения дивизора А
достаточно знать отношение g1 (a) = g2 (a) (mod A).
Теорема. Пусть А и В — диеигоры. Если керкссе щугсесе
целое, делящееся на А, делится также и на В, то А делится на В.
4.13. Терминология 173
Следствия. Если А и В — дивизоры, и отношение g1 (а) =
^ g2 (a) (mod А) равносильно отношению g1 (а) = g2 (а) (mod В)
{т. е. одно отношение выполняется тогда и только тогда, когда
выполняется другое), то А = В.
Доказательство. Следствие вытекает из замечания, что если
А делит В и В делит Л, то Л = В. Пусть pL, р2, . . ., рп — про-
стые целые числа, которые делятся на простые дивизоры, деля-
щие А (другими словами, числа р-г являются простыми делителями
нормы дивизора А — си. следующий параграф), и пусть А =
= А±А2 . . . Ап — разложение дивизора А в произведение таких
дивизоров At, что At содержит все простые дивизоры из А, кото-
рые делят pt. Так как достаточно высокая степень числа р±р2 . . .
. . . рп делится на Л, то, по предположению, она должна делиться
и на В. Отсюда вытекает, что каждый простой дивизор из В делит
одно из чисел pt, и, значит, В может быть разложено в произведе-
ние В = /?1#2 • • • &п, в котором Bt содержит все простые диви-
зоры из В, делящие р;. (Некоторые из Bt могут быть равны /.)
Так как порядок чисел pt произволен, то достаточно доказать, что
В1 делит Лх. Если pt = X, то Лх — (а — 1)м- при некотором [х.
Тогда круговоз целоз (а — 1)^ (р2р3 . . . pa)v делится на Л при
всех достаточно больших v. Значит, оно такжз делится на В при
больших v, и поскольку /?i не делит (р2р3 . . . pn)v, то В1 делит
круговое целое (а — 1)^. Следовательно, BY делит дивизор эле-
мента (а — 1)>\ который есть А\. Если р1 Ф- К, то пусть / — пока-
затель числа pt по модулю X, и пусть г|) — круговое целое, образо-
ванное периодами длины /, делящееся на один из е = (X — 1)//
простых дивизоров числа р1 с кратностью 1 и не делящееся ни на
один из остальных е — 1 простых дивизоров. Тогда можно обра-
зовать произведение сопряженных элемента гр, назовем его х,
эбладающээ таким свойством: дивизор элемента х есть дивизор Аъ
умноженный на простые дивизоры, не делящие pL. Теперь число
х (РъРз • • ¦ Pn)v делится па А при большом v; значит, оно делится
на /?!• Так как В1 не делит (р2Рз • • • Pn)vi т<э отсюда вытекает, что
В1 делит дивизор элемента х. Так "как дивизор элемента х есть Лг,
умноженный на дивизор, не содержащий ни одного простого
дивизора числа рх (и тем более ниЪдного простого дивизора из Bt),
то #i делит А-у, что и требовалось доказать.
Рихард Дедекинд A831—1916), который провел важную рабо-
ту по обобщению теории Куммера, не сохранил куммеровой терми-
ноюгии. Он очень глубоко впик в философский вопрос: «Что
такоз число?» и по поводу куммеровых «идеальных комплексных
чисел» дал ответ, который оказал глубокое влияние на терминоло-
гию всей математики. Дедекинд воспользовался доказанным выше
утверждением о том, что дивизор определяется множеством всех
тех круговых целых, которые он делит, и идентифицировал
174 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
идеальное комплексное число с множеством всех делящихся на
него объектов. Зто множество он назвал идеалом — такую при-
чудливую трансформацию претерпела терминология Куммера.
Затем Дедекиид показал, что среди всех подмножеств круговых
целых «идеалы» характеризуются двумя свойствами:
(i) Сумма любых двух круговых целых из данного идеала так-
же лежит в этом идеале.
(ii) Произведение кругового целого из данного идеала на лю-
бое круговое целое также лежит в этом идеале.
То, что идеалы обладают этими свойствами, очевидно: и»
gx (а) = 0, g2 (а) = 0 (mod А) вытекает gx (a) -f g2 (а) == О
(mod А) и gt (а) ф (а) = 0 (mod А) для всех ср (а). Однако-
Дедекинд доказал и обратное, что каждое подмножество круговых
целых с этими свойствами есть идеал, т. е. является] множеством
всех круговых целых, делящихся на А, где А — некоторый диви-
зор. [Для того чтобы ото было верно в полной общности, мы долж-
ны определить дивизор пуля как дивизор, обладающий тем свой-
ством, что на него делится только нуль. См. упр. 3.] После отого
можно охарактеризовать простые дивизоры без какого бы то ни
было явного нахождения их, а следовательно, дать абстрактное
описание теории, не занимаясь фактическим построением простых
дивизоров. Этот подход особенно полезен при изучении обобще-
ния теории Куммера на другие типы алгебраических целых,
отличных от круговых целых; выполнение такого обобщения было
одним из главных достижений Дедекинда.
Терминология Дедекшща и, в частности, понятие «идеала»
играют очень падшую роль в современной абстрактной алгебре.
Однако в последующих разделах этой книги, помимо идеалов,
будет использоваться более конструктивнее и более связанное
с вычислениями понятие «дивизора». Иными слогами, мы прини-
маем более конкретные и явные формулировки Куммеро, хотя
и не принимаем его терминологию.
Упр а он"М е н и я
1. Какое третье условие пужно ,,обавить к приведенным в тексте свой-
ствам (i) и (ii), чтобы охарактеризовать простые идеалы, т. о. идеалы, которые
возникают из простых дивизоров?
2. Пусть ?l — произвольнее подмножество круговых целых, обладаю-
щее свойствами (i) и (ii). Покажите, что имеется такой конечный набор
ft («), Si («)' • • -i Sn (a) круговых полых, что $ состоит из всех круговых
полых, которые можно записать в виде Ьг (a) ft (a) + Ь2 (a) g2 (°0 ~Ь • • •
. . . + bv (a) p-f, (а) при некоторых круговых целых fcj (а), Ь2 (а) К (а).
[Если <7 состоит из одного 0, то положите п = 1 и ft (а) = 0. В противном
случае в 0 выберите g-, (а) ф 0. Покажите, что имеется лишь конечное число
по" сравнимых по модулю ft (а) элемоптов. Из каждого класса по модулю
ft (а), содержащего элемент из ,7, выберите по одпому такому элементу
4.14. Сопряжения и норма дивизора 175
и поместите его среди g2 (a), g3 (а), . ¦ ., gn (а). Построенные таким способом.
gt имеют требуемые свойства.]
3. Используйте упр. 2 для нахождения того, каким должен быть дивизор,
соответствующий идеалу Д. [Если Д = {0}, то никакой дивизор не подойдет,
кроме «дивизора», содержащего все простые дивизоры с бесконечными кратно-
стями. Оправданием такого определения дивизора нуля служит то, что О
делится на что угодно и не делит ничего, кроме самого себя.] Доказательство
того, что каждое подмножество ?), обладающее свойствами (i), (ii), есть
множество объектов, делящихся па некоторый дивизор, изучается в упр. 3
к § 4.14.
4.14. Сопряжения и норма дивизора
Точно так же как сопряжения а[*~* а' действуют на круговые
целые, они естественным образом действуют на дивизоры. Именно,
пусть a — сопряжение a *-*¦ a'v, где у — примитивный корень
по модулю К, так что сопряжения можно записывать в виде сте-
пеней этого сопряжепия а без использования двойных показателей.
Для того чтобы описать действие на дивизоры сопряжения общего
вида ог, достаточно описать действие на них самого а, поскольку
о1 есть композиция а самого с собой i раз. А это можно описать,
например, следующим способом.
Так как, по определению, а (АВ) равно а (А)-а (В), то доста-
точно описать действие сопряжения а на простые дивизоры. Для
этого легче всего записать простой дивизор в виде (р, i}i (т))),
как в § 4.12, и определить a (p, i|) (т))) как (р, сф (т))). (Особый
дивизор (а — 1) равен всем своим сопряженным, поскольку
аУ — 1 имеет тот же дивизор, что и а — 1.) Это и определяет
действие сопряжения а на дивизоры. Легко* проверить, что это
действие обладает следующим естественным^ свойством.
Предложение 1. Пусть с — сопряжение кругсвых целых,
Si (a), g2 (a) — круговые целые, А — некоторый дивизор. Тогда
сравнение gl (а) н= g2 (a) (mod о'Л) равносильно сравнению'
o-Vi (а) ее o-V2 (a) (mod A).
Доказательство. См. упр. 1.
Предложение 1 описывает сравнимость по модулю а*А в тер
минах тех понятий, которые уже были определепы в предыдущих
параграфах, и, следовательно, поскольку дивизор определяется
посредством соответствующего отношения сравнимости, предло-
жение дает еще один путь определения сопряжения ахА.
Точно так же как норма кругового целого g (а) определена как
произведение g {a)-eg (a)-a2g (a) ... c^g (a), норму дивизора А
можно определить как произведение дивизоров А -оА -с2А . . .
• . . ах'2А. Норма кругового целого есть такое круговое целое,
которое (поскольку оно инвариантно относительно а) оказы-
вается в действительности обычным целым числом, причем, как
176 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
мы видели в § 4.2, это целое число неотрицательно. Норма диви-
зора есть дивизор. Однако, как показывает следующее предложе-
ние, его естественным образом можно рассматривать как положи-
тельное целое число.
Предложение 2. Если А — любой дивизор, то имеется поло-
жительное целое число, дивизор которого равен норме дивизора А.
Доказательство. См. упр. 2.
Норма дивизора А будет обозначаться через N (А) или NA.
Но своему определению она есть дивизор, но в некоторых ситуа-
циях, в частности в гл. 6, удобно рассматривать ее как положи-
тельное целое число, дивизором которого она является. Это поло-
жительное целое число можно также описать следующим^простым
способом.
Теорема. Когда N (А) рассматривается как положительное
целое число, она равна максимальному количеству не сравнимых
по модулю А круговых целых. Иными словами, можно найти систе-
му из N (Л) круговых целых, обладающую тем свойством, что
каждое круговое целое сравнимо по модулю А с одним и только
одним элементом из этой системы.
Доказательство. Если А — простой дивизор, то его норма
есть р\ гдз р — делящееся на него простое целое число, а / —
показатель числа р по модулю X; тот факт, что эта норма равна
также числу не сравнимых по модулю % элементов, доказан в тео-
реме 1 из § 4.9. (Если А — исключительный дивизор A — а),
то каждое круговое целое сравнимо с одним и только одним из %
целых чисел 0, 1, 2, . . ., К — 1.)
Теперь рассмотрим случай, когда А является степенью про-
стого дивизора Р, т. е. А = Рп. Пусть гр — круговое целое, кото-
рое делится на Р с кратностью точпо 1 и не делится ни на один
из дивизоров, сопряженных дивизору Р.
Далее будет показано, что каждое круговое целое сравнимо
по модулю Рп с одним из элементов вица а0 -f- aLi|) -(- <z2i|J -f- . . .
. . . + an._]i])n~l и что два круговых целых этого вида тогда и толь-
ко тогда сравнимы по модулю Рп, когда коэффициенты а0, аи . . .
. . ., ап_г одинаковы по модулю Р; тем самым будет доказано, что
число классов по модулю Рп равно числу способов выбора по мо-
дулю Р коэффициентов а0, аи . . ., ап_и которое есть N (Р)п =>
= IV (Рп), что и требуется показать. При п = 1 это очевидно.
Предположим, что это доказано для п — 1. Тогда для данного
кругового целого х имеются круговые целые а0, alt . . ., аа_2,
для' которых X = а0 + а$ + • • • + ап-<$п~ (mod Pn~ ) и коэф-
фициенты ап, а15 . . ., а„_2 однозпачпо определены по модулю Р.
Пусть у = х — а0 — aLif> — ... — ап_2^п ~2. Тогда // = 0 (mod P")
4.14. Сопряжения и норма дивизора 177
Сейчас нужно показать, что у = оф" (mod Pn) для некоторого а
и что а однозначно определено по модулю Р. Пусть Ч1" обозначает
произведение е — 1 различных сопряженных элемента i|), так
что •$№ — Р&> где А; — целое число, взаимно простое с р. Тогда
требуемое сравнение у = от])" (mod Pn) равносильно сравнению
^\jrn-i _ apn~1kn~l (mod Pn), которое в свою очередь равносильно
сравнению ул^п~1тп~1 = ар11'1 (mod Рп), где т — такое целое
число, что тк = 1 (mod p). Так как у = 0 (mod i5"-1) по пред-
положению, то уЧп~1гпп~1 делится на рп~х, и требуемое сравнение
равносильно утверждению о том, что частное сравнимо по моду-
лю Р с а, из чего вытекает, как и требуется, что имеется одно
и только одно по модулю Р такое а. Это завершает доказательство
в случае А = Рп. Общий случай теперь легко вытекает чз обоб-
щенной китайской теоремы об остатках.
Китайская теорема об остатках. Пусть А и В — взаимно про-
стые дивизоры, и пусть а и Ъ — круговые целые. Тогда сравнения
х = a (mod А) и х = Ъ (mod В) имеют решение х.
При помощи этой теоремы доказательство предыдущей тео-
ремы можно завершить следующим образом. Число не сравнимых
но модулю АВ элементов не превосходит произведения числа эле-
ментов, не сравнимых по модулю А, на число элементов, не срав-
нимых по модулю В, поскольку из х = х' (mod 4)hi = i' (mod В)
вытекает х = х' (mod АВ) (А и В оба делят х — х' и взаимно
просты, поэтому АВ делит х — х'), т. е. класс элемента х по моду-
лю АВ определен его классом по модулю А и его классом по мо-
дулю В. Китайская теорема об остатках показывает, что встре-
чаются все возможные комбинации классов по модулю А и по
.модулю В, так что число классов по модулю АВ равно произведе-
нию числа классов по модулю А па число классов по модулю В.
Но индукции, если А, В, С, . . ., D — попарно взаимно про-
стые дивизоры, то число классов по модулю ABC . . . D равно
произведению числа классов по модулю А на число классов
по модулю В, на число классов по модулю С, . . ., на число клас-
сов по модулю D. Если А, В, С, . . ., D являются степенями
простых дивизоров, то, как показано выше, это число равно
N (А) N (В) N (С) . . . N (D) = N (ABC . . . D). Так как диви-
зор может быть записан в виде ABC . . . D, где А, В, С, . . ., D—
попарно взаимно простые степени простых дивизоров, то из этого
следует, что число классов по модулю любого дивизора есть норма
этого дивизора, что и требовалось показать.
Доказательство китайской теоремы об остатках. Из тео-
ремы следует, что если А и В — взаимно простые дивизоры, то
имеется круговое целое g, удовлетворяющее сравнениям g э
s= I (mod А) и g = 0 (mod В). Обратно,. е,сли из$,естног что .это
12 г. Эдварлс
178 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
утверждение верно, то, по симметрии, имеется также такое кру«
говое целое h, что h = О (mod А) и h = 1 (mod В); тогда ga -f- Л4
удовлетворяет сравнениям китайской теоремы об остатках. Сле»
довательно, это утверждение равносильно китайской теореме
об остатках.
Рассмотрим сначала случай, когда А и В — простые дивизоры^
Если они делят различные простые целые числа, например рд
и р в, где Ра =Фрв^ T°i п0 обычной китайской теореме об остатках
для целых чисел, имеется целое число к, удовлетворяющее срав-
нениям к = 1 (mod рА) и к = 0 (mod рв). Тогда к = 1 (mod A)
и А; = 0 (mod Б), как и требуется. Если рА = рв, то, в частности,
рА =ф X, поскольку X имеет только один простой дивизор, а па
предположению А Ф В. Тогда, по теореме из § 4.12, имеется
круговое целое i|), которое удовлетворяет условиям i|) = 0 (mod В}
и i]) щк О (mod 4). Далее, так как А простой, то ненулевые эле-
менты обратимы по модулю А, т. е. из i|) ^k 0 (mod 4) вытекает
наличие такого <р, что i|)cp == I (mod А). Это можно доказать сле-
дующим образом. Пусть аъ а2, . . ., <zv, где v = pA, есть полная
система представителей по модулю А, т. е. система таких кру-
говых целых, что каждое круговое целое сравнимо по модулю А
с одним и только одним из at. Тогда г|;а1, г|;а2, . . ., i|;av все раз-
личны по модулю А, поскольку из "фаг = tyaj (mod 4) вытекает
¦ф (аг — а^) == О (mod А), откуда, так как i]) ф. О (mod 4) и 4 про-
стой, имеем аг — а7- == 0 (mod А) и, следовательно, at = a,j.
Поскольку каждое ^at сравнимо с одним и только одним из а,
и никакие два из них не сравнимы с одним и тем же aj, каждое at
сравнимо с одним и только одним из iJxzj, и, в частности, единица 1
сравнима с ^аг при некотором i. Тогда г|;аг = 1 (mod А) и г|;аг ^
^ 0 (mod В), что и требуется.
Рассмотрим теперь случай, когда А и В — степени простых,
например А = Рп, В = Qm, где Р и Q — различные простыв
дивизоры, а п и т — положительные целые числа. На основании;
доказанного выше имеется такое круговое целое g, что g =s
= 1 (mod Р) и g = 0 (mod Q). Пусть h = gm. Тогда h = 0 (mod 5).
По модулю А мы можем написать сравнение h = а0 -f- ^-ф -f . . .
. . . -f- «п-!^", где ij) делится па Р с кратностью точно 1 и не де-
лится ни на один дивизор, сопряженный дивизору Р. Кром&
того, поскольку h = 1 (mod Р), имеем а0 = 1 (mod P), и в приве-
денном ранее построении элемента а0 -f- a^ -)-...-)- an.iilO1'
можно положить а0 = 1 и найти значения аъ а2, . . ., an_i»
Затем можно найти такое круговое целое /, для которого hf sr
^ 1 (mod А), написав / = b0 -f- ЗД + ...-)- bn-iif™, fe/ sb
= Ьо + (bi -I- aA) ^ + (b2 + «ibi + «гьо) ^2 + ¦ • • + (bn-i +
+ ai^n-2+ • • • +an-i&o) 'Ф" (mod 4) и воспользовавшись урав-
нениями fc0 = 1, fcj -f- «ibo = 0, fc2 -f- ai^i + a2^o = 0, . . .
. . ., bn_! -f- ai^n-2 + • • • + ^n-i^o = 0 Для носледовательногл
4.15. Выводы 179
определения неизвестных Ъо, Ъх, Ь2, . . ., bn-v Тогда, как и тре-
буется, fe/= I (mod A), hf= О (mod В).
Рассмотрим, наконец, случай, когда А = АхАг . . . А^, В =
= ВхВг . . . 5V, где Ai ж В) все являются попарно взаимно
простыми степенями простых дивизоров. Тогда, как уже показа-
но, для С = А2, А3, . . ., А^, Въ 52, . . ., Bv имеется такое
круговое целое, которое есть 1 по модулю Аг и 0 по модулю С.
Произведение этих [i + v — 1 круговых целых есть 1 по модулю
Ai и 0 по модулю А2, А3, . . ., А^, Ви В2 Bv. Пусть gt
обозначает это круговое целое. Таким же способом можно найти
круговые целые g2, g3, . . ., g^, обладающие свойствами: g,- ==
== I (mod At), но gi = 0 по модулю всех дивизоров Аи . . ., 4ц,
В г, . . ., 5V, отличных от At. Тогда круговое целое gx + g2 + . . .
• • • + in есть 1 п0 модулю каждого из А^ Аг, . . ., А^ и, сле-
довательно, оно есть 1 по модулю Л, в то время как по модулю
каждого из Вг, В2, . . ., Вч оно есть 0 и, следовательно, оно
есть 0 по модулю В. Это завершает доказательство китайской тео-
ремы об остатках.
Упражн е ни я
1. Докажите предложение 1. [Покажите, что для этого будет достаточно
доказать, что из g (а) = 0 (mod aA) вытекает a^g (a) = 0 (mod А). Докажи-
те это прямым путем в случае, когда А есть степень простого дивизора. Затем
выведите общий случай.]
2. Докажите предложение 2.
3. Докажите следующее обобщение того факта, что наибольший общий
делитель d двух целых чисел тип может быть записан в виде d = am + bn
при некоторых целых а и Ъ: если gt (a), g2 (а)? • • •, gn (а) — данные круговые
целые, то круговое целое ф (а) тогда и только тогда можно записать в виде
Ф (а) = bj (а) gi (а) + Ь2 (a)g2 (а) + . . . + Ъп (а) gn (а), когда оно делится
на наибольший общий дивизор данных gt (а), g2 (а), . . ., gn (а). Вместе с упр. 2
предыдущего параграфа это доказывает теорему Дедекинда о том, что «идеа-
лы» могут быть описаны как при помощи свойств (i) и (ii), так и при помощи
дивизоров. [Ясно, что если ф есть комбинация даппых g,-, то ф делится на их
п. о. д. Требуется доказать обратное. Если п = 1, то это есть основпая теоре-
ма. Покажите, что если это верно для п — 1, то верно и для п. Пусть А —
н. о. д., и пусть АВ — н. о. д. первых п — 1 из данных gt. Требуется дока-
зать, что если ф (а) = 0 (mod А), то сравнение ф (а) = Ъп (а) gn (а) (mod AB)
можно решить относительно Ъп (а). Докажите это рассмотрением степеней
простых дивизоров, расчленяя на них Л Л и применяя китайскую теорему об
остатках.]
4.15. Выводы
Теория дивизоров может быть описана как отображение
(ненулевые "\
s круговые > -»¦ {дивизоры}
I целые J
12*
180 Гл. 4. Куммерова теория идеальных делителей
Главным этапом в построении теории является определение
простых дивизоров. Каждый простой дивизор делит простое число
р', простое число К имеет один простой дивизор, а простое р Ф К
имеет е простых дивизоров, где «/ = А, — 1 и / — показатель
числа р по модулю X. Дивизор — это любое произведение простых
дивизоров. Таким образом, по определению, для дивизоров выпол-
няется единственность разложения на простые. Отображение,
обозначенное выше стрелкой, ставит в соответствие каждому кру-
говому цел *му его дивизор, т. е. делящие его простые дивизоры,
подсчитанные с кратностями. Вот основные свойства этого ото-
бражения:
(i) Дивизор числа К есть (Я, — 1)-я степень делящего его
простого дивизора. Если р — другое простое целое число, то
дивизор числа р есть произведение е делящих его простых диви-
зоров (каждый входит в произведение в первой степени).
(ii) Дивизор произведения есть произведение дивизоров.
(ш) Если сравнение gx (а) =з ga (а) (mod А) определено усло-
вием: дивизор элемента g1 (a) — ga (а) делится на А (где gt (a),
g2 (°0 — круговые целые, a A — дивизор), то это отношение срав-
нимости обладает обычными свойствами, т. е. рефлексивно, сим-
метрично, транзитивно и согласовано со сложением и умножением.
(iv) Два дивизора, определяющие одну и ту же сравнимость
в смысле (ш), с необходимостью идентичны
(v) Основная теорема: если дивизор элемента g (а) делит
дивизор элемента h (а), то g (а) делит h (а).
Из основной теоремы следует, что два круговых целых, которые
имеют один и тот же дивизор, совпадают с точностью до сомно-
жителя, являющегося единицей. Таким образом, если пренебречь
единицами в качестве сомножителей, то круговые целые опреде-
ляются своими дивизорами. Дивизор можно рассматривать как
¦«разложение» кругового целого, но на простые дивизоры, а не на
простые круговые целые. Если каждый простой дивизор есть
дивизор кругового целого, т. е. если приведенное выше отобра-
жение есть отображение на множество всех дивизоров, то един-
ственность разложения на простые круговые целые выполняется
{упр. 1). Однако при К = 23 простые дивизоры числа р = 47
не являются дивизорами никакого кругового целого. В этом слу-
чае, а также в любом случае, когда имеемся простой дивизор,
не являющийся дивизором кругового целого, единственность раз-
ложения на простые круговые целые нарушаетбя (упр. 2).
Дальнейшее изучение разложения круговых целых опирается
на изучение вопроса: «Какие дивизоры являются дивизорами
4.15. Выводы 181
круговых целых?», или, иными словами, «Что является образом
приведенного выше отображения?». Это и есть предмет следующей
главы.
Упражнения
1. Покажите, что указанное отображение тогда и только тогда является
отображением на множество всех дивизоров, когда каждый простой дивизор
есть дивизор некоторого кругового целого. Покажите, что, когда это так,
каждое круговое целое может быть записано как произведение простых
круговых целых, и два таких разложения данного кругового целого совпа-
дают с точностью до сомножителей, являющихся единицами.
2. Покажите, что если имеется простой дивизор, не являющийся диви-
зором кругового целого, то найдется круговое целое, которое не делится
ни на какое простое круговое целое. Покажите сверх того, что р этом случав
имеется круговое целое, которое может быть разложено в произведение нераз-
ложимых круговых целых двумя различными способами, причем различив
сохранится, даже если пренебрегать сомножителями, являющимися едини-
цами. [Используйте круговое целое г|> (т)), которое делится на точно один
простой дивизор числа р с кратностью точно 1.]
Глава 5
ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТЫХ
5.1. Замечания Куммера о квадратичных целых
Крупные нововведения часто совершаются не сторонниками
радикальных изменений, а людьми, которые питают большое
почтение к тому, что сделано раньше, и руководствуются жела-
нием хранить и продолжать традиции своих предшественников.
Именно так обстояло дело в случае с Куммером. Как указывает
К.-Р. Бирманн в написанной им биографии Куммера (Dictionary
of Scientific Biography), Куммер по характеру был очень консер-
вативен, но не в каком-то узком политическом смысле, а в том
смысле, что он был предан созиданию на основе существующих
традиций. Чтобы правильно понять побуждения деятельности
Куммера, важно уяснить, что он не имел намерений вводить новые
абстрактные структуры ради них самих; напротив, как он говорит
в начале сообщения [К7] по своей новой теории, его целью были
«дополнение и упрощение» существующих структур.
Эта глава посвящена доказательству Куммером Последней
теоремы Ферма для широкого класса простых показателей К,
которые сейчас известны как регулярные простые. Это доказатель-
ство требует еще одного важного сделанного Куммером нововве-
дения, а именно, понятия эквивалентности двух дивизоров (двух
идеальных комплексных чисел). Имея в виду личность Куммера,
нужно думать, что это новое понятие эквивалентности было обу-
словлено неким весьма существенным соображением; Куммер
не стал бы вводить его лишь потому, что это было бы «интересной»
возможностью. Хотя соблазнительно предположить, что опреде-
ление эквивалентности дивизоров было обусловлено настойчивой
попыткой доказать Последнюю теорему Ферма, в действительно-
сти оно было включено в качестве весьма важной части в кум-
мерово первоначальное сообщение по теории идеальных делителей
в 1846 г., заведомо до поспешной публикации Ламе, подтолкнув-
шей Куммера к подробному развитию выводов своей теории для
Последней теоремы Ферма. Поэтому вряд ли эта деятельность
играла главную роль как источник первоначального определения
эквивалентности.
По-видимому, по крайней мере два соображения обусловили
это определение. Во-первых, при применении теории дивизоров
к реальным задачам — например, задачам о круговых целых,
5.1. Замечания Куммера о квадратичных целых 183
которые Куммер рассматривает в своем сообщении 1846 г.,—
приходится почти сразу столкнуться с вопросом: «Когда данный
дивизор является дивизором реально существующего кругового
целого?». Решение этого вопроса, как будет показано в следующем
параграфе, совершенно естественно приводит к понятию эквива-
лентности. Второе соображение, как это явствует из высказываний
самого Куммера, было для него почти столь же важным, как
и первое. Дело в том, что это понятие эквивалентности очень
тесно связано с гауссовым понятием эквивалентности квадратич-
ных форм.
И вот опять появляется возможность объяснить нововведение
Куммера его «консервативностью». Изучение уравнения Пелля
и других уравнений второй степени с двумя неизвестными совер-
шенно естественно приводит к понятию эквивалентности бинар-
ных квадратичных форм (см. § 8.2). Гаусс в Disquisitiones Arith-
meticae ввел более сильное понятие собственной эквивалентности
(см. § 8.3). Куммер замечает, что в теории бинарных квадратичных
форм это понятие всегда кажется натянутым и искусственным —
оно требует, например, считать, две формы ах2 -f- Ibxy -f- су2
и ex2 -f- 2Ъху + ay2 не эквивалентными в собственном смысле,
несмотря на то, что «нужно признать гауссову классификацию
точнее отражающей существо дела». Таким образом, неявно за-
ключает Куммер, гауссово понятие собственной эквивалентности
нужно спасти от этой искусственности. Он говорит, что теория
идеальной факторизации выполняет эту роль, поскольку «всю
теорию бинарных квадратичных форм можно интерпретировать
как теорию комплексных чисел вида х -f- у ]AD (D — гауссово
обозначение детерминанта Ь2 — ас квадратичной формы ах2 -+-
-f- 2bxy -f- су2) и в результате такой интерпретации эта теория
с ^необходимостью приводит к идеальным комплексным числам
(дивизорам) такого же типа». Далее он, по существу, говорит,
что понятие эквивалентности, определенное им для идеальных
комплексных чисел вида а0 -f- аха Ц- я2а2 + • • • + o-x-i^1'1^ при-
мэиимо и к идеальным комплексным числам вида х -\- у ]/ D,
и, когда последние интерпретируются как бинарные квадратичные
формы, это понятие эквивалентности совпадает с гауссовым поня-
тием собственной эквивалентности. Это и есть, как он заключает,
«истинный смысл» гауссова понятия.
Совершенно таинственным выглядит то, что Куммер никогда
не публиковал никаких подробпостей этой связи между бинарными
квадратичными формами и идеальными комплексными числами
(дивизорами) вида х -f- У У~О- Несколько нечетких замечаний
в его сообщении 1846 г. и еще несколько отрывочных указаний
в более поздних трактатах ([К8], стр. 366, и [КИ], стр. 114) —
вот и все, что он сказал по этому поводу, или, во всяком случае,
184 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
все, что сохранилось. Таким образом, хотя кажется шолне опре»
деленным, что аналогия с гауссовой теорией сыграла некоторую
роль в возникновении понятия эквивалентности дививоров, точную
роль этой аналогии мы уже пе сможем установить. В § 5 2 и 5.3
понятие эквивалентности дивизоров развивается без каких бы то
ни было ссылок на гауссову теорию, однако, как будет видно
в гл. 7 и 8, центральный вопрос § 5.2 очень тесно связан с ней.
По моему личному мнению, приводимое здесь изложение очень
близко к тому, которому в действительности следовал Куммер,;
но я берусь утверждать лишь то, что такой подход делает понятие
эквивалентности весьма естественным и полезным.
В дальнейших параграфах этой главы даются два приложения
теории Куммера. Первое, более важное из них, представляет
собой доказательство Последней теоремы Ферма для всех простых
показателей "к, которые удовлетворяют некоторым условиям
(А) и (В). Вторым является доказательство знаменитого закона
взаимности. Это доказательство следует рассматривать скорее
как некое отступление. Оно является естественным продолжением
хода рассуждений § 5.2, которые приводят не только к доказа-
тельству закона квадратичной взаимности, но даже к открытию
формулировки этого закона. Однако здесь это оказывается пол-
ным анахронизмом, поскольку работа Куммера вышла через
50 лет после появления первого доказательства квадратичной
взаимности, и это приложение его теории, насколько мы знаем,
не рассматривалось Куммером.
5.2. Эквивалентность дивизоров в частном случае
В своем сообщении 1846 г. по теории идеальной факторизации
Куммер говорит, что его определение «эквивалентности» для
идеальных комплексных чисел (дивизоров) может быть перефор-
мулировано и применено к частному случаю так, чтобы дать
определение «эквивалентности» для некоторых бинарных квадра-
тичных форм детерминанта К, и что когда это будет сделано, полу-
ченное определение совпадет с гауссовым определением собствен-
ной эквивалентности. Можно не сомневаться, что частный случай,
который имел в виду Куммер, был случаем тех круговых целых,
которые в обозначениях гл. 4 имеют вид а + Ь60 + c8j. (Здесь
60, 0! — два периода длины (к — 1)/2 и с, Ь, с — целые числа.)
Для квадратичных целых этого вида норма N (а + Ь60 + c®i)
представляет собой, по существу, бинарную квадратичную форму,
а это и устанавливает связь между круговыми целыми и гауссовой
теорией.
Как было указано в гл. 4, основной вопрос, который приводит
к введению понятия эквивалентности,— это вопрос: какие диви-
зоры являются дивизорами круговых целых, т. е. каков образ ото-
5.3» Эпвщдлкуляпостъ дивизоров в частном случае 185
бражепия из § 4.15? В этом параграфе рассматривается один
частный случай этои задачи, а именно: какие дивизоры являются
дивизорами круговых целых вида а -+- Ь60 -+- cQx при % = 23?
(Здесь 90 и 64 — два периода длины 11, причем 60 — тот из них,
который содержит «, a Qx — другой. Таким образом, 1 + 60 -f
+ 6t = О, 6О = а + и1 + а + а-5 + а3 + а~п + а2 + а8 +
+ а9 + а0 + а? и 0! = а + а"8 + . . . + а11.) Изучение это-
го частного случая естественным путем приведет к идее эквива-
лентности дивизоров.
Первый полезный шаг при решении нашей задачи — составить
достаточно большой список круговых целых вида а + Ь60 + c6j.
и их дивизоров. Благодаря условию 1 + 60 + Qx = 0 каждое та-
кое круговое целое может быть записано в виде а + Ь60. Его норма
есть произведение 22 сомножителей, 11 из которых равны а + Ь60,
а остальные 11 равны а + Ьв^, таким образом, эта норма является
11-й степенью числа (а -f- Ь60) (а + Ъв^ — а2 + ab F0 +6i) -f
+ b29o0i = а2 — ab -f- 6Ь2. (Равенство б^ = 6 при %. = 23 было
отмечено в § 4.4.) Именно то обстоятельство, что норма числа
а + Ь60 так тесно связана с бинарной квадратичной формой
а" — ab -f- 6Ь2, и обеспечивает связь между этим частным слу-
чаем теории Куммера и теорией Гаусса. Подробнее об этой связи,
которая в этом параграфе не играет роли, см. гл. 7 и 8.
Таблица 5.2.1 содержит список значений формы а2 — ab -f- 6Ь2
для различных значений коэффициентов а и Ъ. (Для каждого
положительного а даны все положительные Ъ, взаимно простые
с а, для которых о2 — ab + 6Ь2 < 150.) Используя этот список,
легко заполнить список дивизоров соответствующих круговых
целых а + Ь60. Например, первая строка A + 60) A + 6^ =
= 2-3 таблицы показывает, что каждый простой дивизор сомно-
жителя 2 делит произведение A + 60) A + 6^ с кратностью точ-
но 1 и, следовательно, делит либо 1 + в0, либо 1 + 615 но не оба
эти числа. Если он делит 1 + 60, то его сопряженный, полученный
заменой а •-*¦ а~2, делит 1 + Qx, и обратно. Следовательно, число
простых дивизоров сомножителя 2 должно быть четным, причем
половина из них делит 1 + 60, а остальные делят 1 + б^ (На
самом же деле легко видеть, что показатель числа 2 по модулю 23
есть 11, так что 2 имеет точно два простых дивизора. Однако эти
более подробные сведения в дальнейшем не понадобятся.)
В табл. 5.2.2 символ B, 1) обозначает дивизор, являющийся
произведением всех простых дивизоров числа 2, которые делят
1 -\- 60. Аналогично, число 3 должно иметь четное число простых
дивизоров, половина из которых делит 1 -+- 60, а вторая половина
делит 1 + Sj. По соображениям, которые вскоре будут объяснены,
символ C, —1). обозначает произведение тех простых дивизоров
числа 3, которые делят 1 + б0. Равенство A -f 60) A + 6^ =
= 2 • 3 показывает, что никакой простой дивизор простых чисел рТ
186
Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
отличных от 2 и 3, не делит 1 + 60 и что все простые дивизоры,
делящие это число, имеют кратность точно 1; поэтому ясно, что
B, 1) C, —1) есть дивизор числа 1 -+- 60, как и указано
в табл. 5.2.2.
Вторая строка в таблице особая, потому что она касается
особого простого числа 23, которое в отличие от остальных,
Таблица
а
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5.2.1
Ь
1
2
3
4
5
1
3
5
1
2
4
5
1
3
5
1
2
3
(а + WoXa + **,)
6 = 2-3
23 = простое
52 = 22- 13
93 = 3-31
146 = 2-73
8 = 23
52 = 22- 13
144 = 24-32
12 = 22-3
27 = 33
93 = 3-31
144 = 24-32
18 = 2*32
58 = 2-29
146 = 2-73
26 = 2-13
39 = 3-13
64 = 26
а
5
6
6
7
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
11
12
Ь
4
1
5
1
2
3
4
1
3
1
2
4
1
3
1
2
3
1
(а + Ь90)(а + 60,)
101 = простое
36 = 22-32
156 = 22-3-13
48 = 24-3
59 = простое
82 = 2-41
117 = 32-13
62 = 2-31
94 = 2 • 47
78 = 2-3-13
87 = 3 • 29
141 =3-47
96 = 25-3
124 = 22-31
116 = 22-29
123 = 3-41
142 = 2-71
138 = 2-3-23
имэкщчх дивизор, разложимый в произведение различных про-
стых дивизоров, имэет дивизором 22-ю степень одного дивизора
(а — 1). Так как норма числа 1 + 290 равна 2311, то его дивизор
есть некоторая степень дивизора (а — 1), а именно 11-я степень,
как и указано в табл. 5.2.2.
По третьей строке удобнее всего объяснить обозначения.
Из A + 390) A -f- 39i) = 22 • 13 следует, что каждый простой
дивизор числа 2 делит либо 1 + 390, либо 1 -+- 39^ Никакой из
этих простых дивизоров не может делить оба эти элемента, ибо
тогда он делил бы их сумму 2 + 360 + 3Q1 = —1, что невозмож-
но. Таким образом, число 2 должно имэть четное число простых
дивизоров, половина которых делит 1 -\- 360, а вторая половина
5.2. Эквивалентность дивизоров в частном случае 187
Таблица 5.2.2
Круговое
целое
1 + 0о
1+20о
1+30Q
1+40Q
1+50Q
2 + 0о
2 + 30Q
2 + 50Q
3 + 0О
3 + 20Q
3 + 40о
3 + 50О
4+0о
4 + 30о
4 + 50Q
5 + 0о
5 + 20о
5 + 30о
Дивизор
B,1X3,-1)
(«-!)'
B, 1JA3, 4)
C, -1X31, -8)
B, 1X73, 29)
B, ОK
B,0JA3, -5)
B, 0LC, - IJ
B, 1JC, 0)
C, ОK
C,0X31,7)
B, 1LC, ОJ
B, 0)C, - IJ
B,0)B9, -11)
B, 0X73, - 30)
B, 1H13, - 5)
C, -1X13,4)
B, IN
Круговое
целое
5f40o
6+0о
6 + 50о
7+0о
7 + 20Q
7 + 30о
7 + 40Q
8+0о
8 + 30о
9+0о
9 + 20Q
9 + 40о
Ю+0О
10 + 30О
П + 00
11 + 20О
11 + 30О
12 + 0о
Дивизор
A01,24)
B, 0JC, ОJ
B, 0JC, 0X13, 4)
B, 1LC, - 1)
E9, 26)
B, 1X41, - 16)
C, -1JA3, -5)
B,0X31, -8)
B, 0X47, 13)
B,1X3,0X13,4)
C, 0X29, 10)
C, 0X47, - 14)
B, 0MC, - 1)
B,0JC1,7)
B, 1)'B9, -11)
C, - 1X41, 15)
B, 1X71, 20)
B,0)C,0)(а-1)"
делит 1 + 30!. Это разделение простых дивизоров числа 2 должно
быть точно таким же, как в первой строке, поскольку если Р —
простой дивизор числа 2, то 2 = 0 (mod Р), 26 0 = 0 (mod P),
и, значит, Р тогда и только тогда делит 1 -+- 90, когда он делит
1 -+- 60 + 260 = 1 + 360. В других строках таблицы, таких, как
A + 560) A + ббх), B + 60) B + ej, D + 390) D + 39J и т. д.,
имеет место такое же разделение простых дивизоров числа 2 на
два подмножества. Чтобы придумать обозначения для тех двух
сомножителей, на которые во всех этих случаях разлагается чис-
ло 2, естественно заметить, что и 60 и 615 как видно из уравне-
ния для 6j, по модулю любого простого дивизора числа 2 срав-
нимы с целыми числами и в соответствии с этими целыми числами
и происходит разделение среди простых дивизоров. Например,
если Р есть простой дивизор числа 2, делящий 1 + 60, то 1 -+- 60 =
s= 0 (mod Р), 60 == —1 == 1 (mod Р), вг = — 1 — 60 = — 1 — 1 =
5= 0 (mod Р). С другой стороны, если Р делит 1 -+- 615 то 60 = 0,
^ Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
6Х = 1 (mod Р). Значит, в первом случае 3 + 60 = 3 -+- 1 =
= 0 (mod Р), а во втором случае 3 -+- 60 = 3 -+- 0 ^ О (mod P),
так что Р делит 3 -+- 60 в первом случае, но не делит во втором.
Если через B, 1) обозначено произведение тех простых дивизоров
числа 2, по модулю которых 60 = 1, то каждый простой сомножи-
тель дивизора B, 1) делит 1 + 360 с кратностью точно 2, посколь-
ку он не делит 1 + 30! A + 3-0 = 1 ф 0), но делит A + 360) X
X A + 36^ с кратностью точно 2. Простые дивизоры числа 13
делят 1 + 360 или 1 -+- 361; но не оба эти элемента. Делящие
1 + 360 — это те, по модулю которых 1 + 360 = 0, 4 + 1260 = 0,
4 — 60 = 0, 60 = 4. Такой способ идентификации простых диви-
зоров позволяет легко определить, что, например, указанные
простые дивизоры числа 13 являются теми же самыми, которые
делят 5 + 260 (так как по их модулю 5 -j- 260 = 5 + 2 • 4 =
= 13 = 0), и отличны от тех, которые делят 2 + 360 (так как
2 + 360 == 2 +3- 4 = 1 ф 0). Если через A3, 4) обозначены
простые дивизоры числа 13, по модулю которых 60 = 4, то дивизор
числа 1 -+- 360 можно записать в виде B, IJ A3, 4).
Теперь легко понять последующие строки табл. 5.2.2. В каж-
дом случае запись (р, и) используется для обозначения произве-
дения всех простых дивизоров числа р, которые делят 60 — и.
Эти дивизоры составляют точно половину простых дивизоров
числа р, поскольку если бы дивизор Р делил как 60 — и, так
и Q1 — и, то его сопряженный, получаемый заменой а»—»¦ а~2,
также делил бы оба эти числа, откуда бы вытекало, что и все
сопряженные дивизора Р делят оба эти числа; но сопряженные
дивизора Р содержат все простые дивизоры числа р, а это влекло
бы за собой, что р делит как 60 — и, так и Q1 — и, вопреки тому
что р, очевидно, не делит ни одно из них. (На самом деле легко
показать, что дивизоры (р, и), встречающиеся в таблице, все
являются простыми дивизорами, кроме D7, 13) и D7, —14).
Этот факт не имеет отношения к рассматриваемой сейчас за-
даче.)
Таким образом, табл. 5.2.2 дает список большого числа диви-
зоров, являющихся дивизорами круговых целых вида а + Ь60 +
+ сбц. Число элементов в таблице можно удвоить, если восполь-
зоваться сопряжением а*-* а~2. Эта операция переводит 60 в 0! =
= —1 — 60, а дивизор (р, и) в дивизор (р, —1 — и). Таким обра-
зом, дивизоры B, 0) C, 0), B, ОJ A3, —5), C, 0) C1, 7), ...
завершают перечень всех дивизоров круговых целых вида а +
+ Ь60 + c0!. (На самом деле число элементов в таблице не впол-
не удвоится, поскольку (а — II1 сопряжен с самим собой.) Диви-
зор, являющийся дивизором какого-нибудь кругового целого,
по причинам исторического характера, которые будут объяс-
нены в § 8.5, называется главным дивизором. Здесь дивизор будет
называться главным, если он есть дивизор кругового целого вида
S.2. .91ьивалентностъ дивизоров в частном случае 189
а -+- Ь60 + c6j.. Приведенный выше список главных дивизоров
очень длинный, и его легко продолжить дальше. Но наша задача
заключается в том, чтобы научиться определять, когда данный
дивизор является главным.
Прежде всего имеются очень простые необходимые условия
для того, чтобы дивизор А был главным. Предположим сначала,
что (а — 1) делит А и что А есть дивизор элемента а + Ь60. Тогда
(а — 1) делит целое число (а -\- Ь60) (а + Ъв^), откуда следует,
что и к делит (а + Ь60) (а + bQ-,), скажем (а + Ь60) (а + 66^ =
= Uk, где к — целое число, не делящееся на X, и / ^ 1. Дивизор
(а — 1) делит а -\- Ьд0 с кратностью ц тогда и только тогда, когда
он делит а -\- Wx с кратностью ц, поэтому (а — 1) делит а + bQ0
с кратностью точно Ну. Таким образом, необходимое условие того,
что дивизор А является главным, заключается в том, что он
имеет вид А = (а — II13' В, где у ^ 0, а дивизор В не делится на
(а -1).
Пусть теперь Р — любой простой дивизор, отличный от исклю-
чительного дивизора (а — 1), и пусть Р \ А, где А — главный
дивизор. Пусть р — простое целое число, которое делится на Р,
и пусть Ри Р2, . . ., Ре — такие простые дивизоры числа р,
что Р = Рг, Р)+! получается из Р] сопряжением а >-*¦ а~2 и / =
= (К — 1)/е — показатель числа р по модулю 23. Так как А есть
дивизор некоторого числа а -+- Ь60, а это число инвариантно при
а *-*¦ а4, то из предположения Р1 \ А вытекает, что все дивизоры
Р3, Р$, Р7, . . . делят А. Если е нечетно, то эта последователь-
ность включает все простые дивизоры числа р и А делится па ди-
визор (р) числа р. Значит, еще одно необходимое условие того,
что дивизор А является главным, заключается в том, что он
имеет вид А = (а — II1-7 (pj (р2) . . . (ph) В, где В — дивизор,
все простые дивизоры которого имеют четное число е сопряженных.
Наконец, если е четно, то произведение РхР3 . . . Pe-i делит А.
Утверждается, что этот дивизор Р^РЭ ... Pe-i имеет вид (р, и).
Для доказательства достаточно заметить, что все периоды длины
/ = 22/е = 22/2Л; сравнимы с целыми числами по модулю Рг
или по модулю любого простого дивизора числа р. Действительно,
по определению, к = е/2. Так как 60 и Q1 являются периодами
длины 11 = к B2/2к) = kf, то они оказываются суммами к перио-
дов длины / и поэтому сравнимы с целыми рациональными числа-
ми по модулю Р15 скажем 60 = и (mod Рг). Тогда и все дивизоры
?!, Р3, . . ,, Ре-\ Делят 60 — и. С другой стороны, ни один из
дивизоров Рг, Р45 • • •. Ре не делит 60 — и, ибо если бы это
число делил один из них, то делили бы и все, а тогда бы р | F0 — и),
что невозможно.
Отсюда видно, что необходимое условие того, что дивизор А
является главным, заключается в возможности записать его в виде
А = (« — 1I1} .(p'liiipi) ,.:.. . {р'г) (/?!, «i)-(p2, :Ua) . ...*(Ps,: "»)., ГДв
190 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
/— неотрицательное целое число, р[, р'2, . . ., р'Т — простые х)г
а (Pii ui) ПРИ i = 1, 2, . • ., s обозначает произведение тех про-
стых дивизоров числа pt, которые делят 60 — ut, причем целые pt
и ut таковы, что pt — простое с четным числом простых дивизоров,
ровно половина которых делит число 60 — ыг. Далее, ясно, что
дивизор (а — II1-* (р[) (pi) ¦ • ¦ (р'г) главный, поскольку это есть
дивизор элемента A -+- 260)-' pipi ¦ ¦ ¦ р'г- Таким образом, если
(Ръ ui) (Рг, иг) • ¦ • (JPsi u$) есть главный дивизор, то умноже-
ние элемента а -+- Ь60, дивизором которого он является, на
A + 26о)-* р\р~2 • ¦ ¦ р'г показывает, что дивизор А главный.
Обратно, если А есть главный дивизор, скажем элемента а -+- Ь60,
то, по основной теореме, произведение A -\- 260)-' р[р'г . . . р'т
делит а -+- Ь60; кроме того, частное имеет дивизором (plt иг) X
X (рг, иг) . . . (ps, us) и является элементом вида с + d60,
поскольку его можно получить умножением на A + 261)-', а затем
делением на У^р[р'2 ¦ . . р'г. Короче, А является главным тогда
и только тогда, когда (plt иг) (рг, иг) . . . (pa, us) является
главным дивизором. Существо задачи, следовательно, состоит
в том, чтобы определить, какие дивизоры вида (ръ и±) (р2, и2) . . .
. . . (ps, us) являются главными.
Исследование таблицы главных дивизоров пока не позволяет
сделать никаких очевидных выводов. Разумно было бы составить
список дивизоров, заведомо не являющихся главными, с тем чтобы
проследить, как они дополняют списки главных дивизоров.
В § 4.4 уже было отмечено, что равенство (а + Ь60) (а + bQJ = 47
невозможно. Отсюда вытекает, что дивизоры D7, 13) и D7, —14)
не являются главными. Проще всего установить это, заметив,
что равенство (а + Ь60) (а -+- Ь6Х) = 2 невозможно (из него выте-
кало бы а2 — ab + 6Ь2 = 2, 4а2 — АаЪ + 24Ь2 = 8, Bа — ЬJ +
+ 23Ь2 = 8, что, очевидно, невозможно) и, следовательно, диви-
зор B, 0) не является главным. Действительно, если бы B, 0)
был дивизором числа а -+- Ь60, то число (а -+- Ь60) (а + bQx) имело
бы тот же дивизор, что и число 2, и было бы целым положитель-
ным числом (поскольку его 11-я степень есть норма кругового
целого и, следовательно, положительна). Далее, из того, что
B, 0) — не главный дивизор, но B, 0) D7, 13) — главный (см.
табл. 5.2.2), следует, что дивизор D7, 13) — не главный: если бы
D7, 13) был дивизором числа а + Ь60, то а + Ь60 делило бы
8 + 360 и частное (8 + 380)/(я + Ь80) = (8 + 380) (а + 68i)/47
имело бы дивизором B, 0), что невозможно. Таким же способом
получаем, что, вообще, если А — такой дивизор, что B, 0) А —
х) Можно было бы сделать дополнительное предположение, что все
р[, . . ., р'г имеют нечетное число простых дивизоров, но случай дивизора
(р'), где р' имеет четное число простых дивизоров, т. е. (р') — (р', и) (р',
—1 — и), может быть получен за счет перераспределения сомножителей
в разложении дивизора А, а это лишь упрощает задачу.
5.2. Эквивалентность дивизор ов в частном случае 191
главный, то А не может быть главным. При помощи табл. 5.2.2
можно сразу выписать неглавные дивизоры, которые приведены
в табл. 5.2.3.
Сходным образом, если B, 1) А — главный дивизор, то диви-
зор А не является главным. Это дает другой список неглавных
дивизоров, которые оказываются сопряженными дивизорам из
табл. 5.2.3. Точно так же, поскольку дивизор C, 0) не главный,
Таблица 5.2.3
C, 0) B,0M
B,0X13,-5) B,0X3,0J
G3,-30) -B,0X3,0X13,4)
B, ОJ B, 0KC, 0)
B,0X13,-5) D1.15)
B, 0KC, - IJ C1,-8)
B, 0X3, - 1) D7, 13)
B, 0KC, - IJ C,-1X13,-5)
C, - IJ B, 0LC, - 1)
B9, - 11) B, 0)C1,7)
G3, - 30) B, 0X29, 10)
A3,4) G1,-21)
все дивизоры А, для которых дивизор C, 0) А главный, являются
неглавными. Повторным применением этого приема ко всем
главным дивизорам из табл. 5.2.2 мы обнаружим, что неглавные
дивизоры, входящие в этот список, уже перечислены ранее,
поскольку все они оказываются сопряженными дивизорам
из табл. 5.2.3. И вообще, любые дальнейшие попытки показали бы,
что для данного неглавного дивизора В каждый дивизор А, для
которого дивизор ВА является главным, либо совпадает с неко-
торым дивизором из табл. 5.2.3, либо сопряжен с таким дивизором.
Другим способом ту же мысль можно высказать так: если В —
любой дивизор и в табл. 5.2.3 найдется такой дивизор А, при
котором ВА есть главный дивизор, то ВА является главным диви-
зором и при всех А из табл. 5.2.3. Как только это явление обнару-
жено, легко доказать его в общем виде. Пусть А и А' взяты
из табл. 5.2.3, и пусть ВА — главный дивизор. Тогда все диви-
зоры B, 0)А, B, 0) А' и ВА являются главными. Пусть они
являются дивизорами элементов а + Ь60, с + й60ие+/60 соот-
ветственно. Тогда, по основной теореме, а + Ь60 делит (с + d00) X
X (е + /60) и частное имеет дивизор ВА'. Частное инвариантно
при а •-*¦ а4 и, следовательно, имеет вид g + hQ0. Таким образом,
ВА' есть главный дивизор, что и требовалось установить. Все это
192 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
показывает, что все дивизоры из таблицы эквивалентны в следую-
щем смысле.
Определение. Два дивизора х) А ж А' называются эквивалент-
ными (обозначается А ~ А'), если для всех дивизоров В дивизор
АВ тогда и только тогда является главным, когда главным являет-
ся дивизор А'В. Иными словами, в любом дивизоре, делящемся
на А, можно заменять А на А', и новый дивизор будет главным
в том и только в том случае, когда главпым был первоначальный
дивизор.
Из самого определения очевидно, что это отношение эквива-
лентности рефлексивно, симметрично и транзитивно (если А
можно заменить на А', а А' можно заменить на А", то А можно
заменить на А ") и согласовано с умножением (если А можно заме-
нить на А', то АС можно заменить на А 'С).
Выше было показано, что если существует один такой диви-
зор С, что оба дивизора С А ж С А' главные, то А ~ А'. (В дока-
зательстве мы взяли С = B, 0).) Следовательно, эквивалентны
друг другу не только все дивизоры из табл. 5.2.3 (С = B, 0)),
но и все их сопряженные (С = B, 1)), а также все главные диви-
зоры (С = I). Небольшое экспериментальное исследование пока-
зывает, что каждый дивизор вида (ри щ) (рг, и2) . . . (ps, us),
по всей вероятности, лежит в одном из этих трех классов экви-
валентности. Сейчас мы убедимся, что верно не только это, но и то,
что при помощи простого вычисления можно установить для
данного дивизора такого вида, какому именно из трех классов
он принадлежит. Поскольку первоначальная задача заключалась
в том, чтобы определить, когда данный дивизор указанного вида
является главным, т. е. когда он эквивалентен дивизору /, то это
даст нам даже больше чем решение первоначальной задачи.
Ввиду того что отношение эквивалентности дивизоров согла-
совано с их умножением, мы можем упростить вычисление класса
произведения А В двух дивизоров, заменяя А или В или оба
сомножителя эквивалентными дивизорами. Например, если А ж В
оба взяты из табл. 5.2.3, то оба они эквивалентны дивизору C, 0),
а их произведение эквивалентно дивизору C, ОJ, который лежит
в классе эквивалентности сопряженных к дивизорам из этой
таблицы. Придадим этому более общую форму. Дивизор C, 0)
лежит в классе табл. 5.2.3, дивизор C, ОJ — в классе сопряжен-
ных к ним и, наконец, C, ОK — главный дивизор; значит, если
дивизоры А и В оба лежат в объединении упомянутых трех клас-
сов, то как А, так и В эквивалентны степеням дивизора C, 0)
J) В наших рассуждениях имеются в виду дивизоры, представимые
-в виде (а — l)"i (р[) (р'2) . . . (р?) (,ри щ) (р2, и2) . . . (ps, м„), которые, сле-
довательно, могут быть дивизорами круговых целых вида а + Ь9о-
5.2. Эквивалентность дивизоров в частном случае 193
и, поскольку C, ОK— главный дивизор, произведение АВ обя-
зано лежать в одном из этих трех классов. Более того, если классы
дивизоров А и В известны, то класс дивизора А В находится
цростым сложением показателей по модулю 3.
Таким образом, для доказательства того, что каждое произве-
дение дивизоров вида (р, и) принадлежит одному из трех классов,
достаточно показать, что любой дивизор (р, и) лежит в одном
из этих классов. В пределах наших таблиц это проверить нетрудно.
Правда, дивизоры B, 0) и B, 1) не попали ни в одну из них,
но это произошло лишь потому, что при составлении табл. 5.2.3
мы проглядели, что дивизор B, 0) B, 1) главный. В действитель-
ности же B, 1) ~ C, 0), B, 0)~ C, ОJ. Далее, в порядке возра-
стания р получаем: C, 0) — C, 0), A3, 4) ~ C, 0), C1, —8) ~
~ C, 0), D1, 15) ~ C, 0), D7, 13) ~ C, 0), E9, 26) ~ /,
G1, —21) ~ C, 0), G3, -30) ~ C, 0), A01, 24) ~ /. Разумеет-
ся, любой дивизор, сопряженный тем, которые эквивалентны
дивизору C, 0), эквивалентен дивизору C, —1) ~ C, ОJ.
Рассмотрим теперь произвольный дивизор вида (р, и). Он делит
90 — и. Так как он делит также число р, мы можем редуцировать
число и по модулю р, заменив его наименьшим по абсолютной
величине вычетом, т. е. так, чтобы | и | ^ р/2. Тогда целое число
(90 — и) @г — и) — и2 -г и -(- 6 положительно (его 11-я степень
является нормой) и не превосходит числа V4p2 -f- 1/2p + 6. При
достаточно больших р это число меньше рг. Именно, оно меньше р2
для всех р, кроме 2 и 3. Дивизор (р, и) и его сопряженный оба
делят число @0 — и) (дг — и), поэтому @0 — и) (Qj — и) = рк,
где к < р (случаи р — 2 и 3 исключены). Дивизор элемента
00 — и имеет вид (а — l)nj (p\) (pi) . . . (р,) (р, и) (ри щ) X
X (р2, и2) . . . (ps, us). Более того, г = 0, поскольку из г>0
вытекало бы, что р\ делит 90 — ы, тогда как в действительности
ни одно .целое число, большее единицы, не делит 90 — и. Итак,
рк = ЪУрр^р-ь ¦ ¦ . ps- С другой стороны, (р, —1 — и) ~ (а —
— 1)ш (рг, щ) (р2, ы2) . . . (ps, us), поскольку оба эти дивизора
становятся главными после домножепия их на (р, и). Так как
(а — 1I1; ~ / (это дивизор числа A + 20^), то это дает (р, и) ~
~ (рг, —1 — иг) (р2, — 1 — и2) ... (ps, —I — us). Иными сло-
вами, любой дивизор вида (р, и) при р > 3 эквивалентен произведе-
нию дивизоров такого же вида, но соответствующих простым
числам, строго меньшим первоначального р. Если некоторые из
появившихся простых чисел оказались больше 3, то эта операция
повторяется до приведения к эквивалентности окончательного
вида: (р, и) — (р'{, щ) (р2*, "г) • • • (р'и "*), где все р) равны
2 или 3. Это доказывает, что (р, и) эквивалентен либо C, 0),
либо C, ОJ, либо C, ОK - /.
Итак, если эквивалентность дивизоров вида (а — 1I1; (pi) X
X (p'i) ¦ ¦ • (p'r) (Pi, «i) (P2, ) • • • (Ps, us) определена, как вы-
13 г. Эдварде
194 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
ше, то каждый такой дивизор эквивалентен одному и только
одному из трех дивизоров /, C, 0) или C, ОJ. Более того, выше
приведена явная процедура, позволяющая определить, какая
из трех возможных эквивалептностей имеет место. Наконец,
получено решение сформулированной ранее задачи: данный диви-
зор является главным тогда и только тогда, когда он имеет ука-
занный вид и эквивалентен I.
Упражнение
1. Для каждого из случаев X — 31, 39, 43 найдите формулу для (a -f- Ь00) X
Х(а + bQj), постройте таблицы, аналогичные таблицам 5.2.1 и 5.2.2, и найдите
такую систему дивизоров, подобную тройке /, C, 0), C, ОJ для Я ~ 23, чтобы
A) каждый дивизор был бы эквивалентен одному из дивизоров этой системы
и B) пикакпе два дивизора системы не были эквивалентны между собой.
5.3. Число классов
В предыдущем параграфе даны определения главного дивизора
и эквивалентных дивизоров для дивизоров чисел вида а + &90 +
+ сд1 при X = 23. Общие определения получаются из этого част-
ного случая очевидным образом. Дивизор (для некоторого фикси-
рованного X) называется главным*), если существует круговое
целое, дивизором которого он является. Два дивизора А и В называ-
ются эквивалентными (обозначается А~ В), если дивизор АС явля-
ется главным тогда и только тогда, когда дивизор ВС главный.
Иными словами, А ~ В означает, что А можно заменять как
сомножитель па В в любом дивизоре, делящемся на А, и новый
дивизор будет главным в том и только в том случае, когда перво-
начальный дивизор был главным. Легко доказать следующие
свойства, вытекающие из этих определений (упр. 1):
A) Если А и В оба главные, то таким же будет и АВ.
B) Если А и В — такие дивизоры, что А и АВ оба главные,
то В — главный дивизор.
C) Дивизор Л тогда и только тогда главный, когда А ~ /,
где / — пустой дивизор, т. е. дивизор числа 1.
D) Л ~ В тогда и только тогда, когда существует такой
дивизор С, что дивизоры АС и ВС оба главные. (Это как раз тот
способ, которым определял эквивалентность дивизоров Куммер.)
E) Отношение эквивалентности дивизоров рефлексивно, сим-
метрично и транзитивно: А ~ А; если А ~ В, то В ~ А; если
А ~ В и В ~ С, то А — С.
J) Происхождение этого странного названия выясняется в § 8.5. Было бы
точнее, но длиннее назыпать такой дивизор дивизором «из главного класса»,
считая, что классы отвечают введенному здесь отношению лкшталоптпоетн,
а главный класс — это класс дивизора /.
5.3, Число классов 195
F) Умножение дивизоров согласовано с отношением эквива-
лентности: из А ~ В следует АС ~~ ВС для всех дивизоров С.
G) Для любого данного дивизора А имеется такой дивизор В,
что АВ ~ I.
(8) А ~ В тогда и только тогда, когда существуют такие глав-
ные дивизоры М и N, что 4М~ BN. (Это является точным анало-
гом определения сравнения а = Ъ (mod к), данного в приложе-
нии, § А.1. Именно, существуют такие целые положительные т
и п, делящиеся на к, что а -~ т ¦-- Ъ 4- п.)
Куммер доказал, что во всех случаях (т. е. для всех К > 2)
можно найти конечное число таких дивизоров Аъ А2, . . ., Ак,
что каждый дивизор эквивалентен одному из At (точно так же,
как в предыдущем параграфе для круговых целых а + &90 -г c&i
в случае % •--¦ 23 каждый дивизор эквивалентен одному из трех
дивизоров: /, C, 0) или C, ОJ). Доказательство этого важного
факта дано в конце этого параграфа.
Системой представителей дивизоров мы будем называть систе-
му дивизоров А-у, А2, ¦ ¦ •, Ак, обладающую сформулированным
выше свойством, что каждый дивизор эквивалентен одному из At,
л дополнительным свойством, что никакие два дивизора из этой
системы не эквивалентны между собой. Такая система представи-
телей делает возможной классификацию дивизоров. Каждый диви-
зор эквивалентен одному и только одному из i;, и два дивизора
тогда и только тогда принадлежат одному и тому же классу экви-
валентности, т. е. эквивалентны друг другу, когда они эквива-
лентны одному и тому же At. Таким образом, число дивизоров
н системе представителей есть число различных классов эквива-
лентности. Это число называется числом классов.
Казалось бы, для того чтобы найти систему представителей
и тем самым определить число классов, нужно только взять систе-
му Аг, Л2, . . ., Ah, существование которой обеспечено теоре-
мой Куммера, и исключить повторения, т. е. если Аг, Л2, . . .
. . ., Ак еще не является системой представителей, то At ~ Aj
Для некоторых I и /, так что один дивизор из этой пары можно
исключить, не нарушая свойства, что любой дивизор эквивалентен
одному из дивизоров системы; продолжение этого процесса должно
в конце концов привести к системе представителей. Однако это
«построение» иллюзорно, поскольку оно включает в себя решение
проблемы выяснения, эквивалентны или нет два данных дивизора,
т. е. проблемы, требующей добавочных технических приемов
н возвращающей нас к основной проблеме, из которой в первую
очередь и возникла вся теория эквивалентности.
В том-то и дело, что теоремы Куммера недостаточно для конст-
руктивного доказательства существования системы представите-
лей и что, как говорит Куммер в последней части своего перво-
13*
196 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
начального изложения 1847 г. теории идеальной факторизации,
подсчет числа классов требует «принципов, совершенно отличных
от тех, которые содержатся в настоящей работе». Эти новые прин-
ципы и определение числа классов, опубликованные Куммером
позже в 1847 г., составляют предмет гл. 6. Все, что будет исполь-
зовано в настоящей главе о понятии числа классов,— это его
значение: если сказано, что число классов для данного % есть h,
то это означает, что можно построить систему из h дивизоров
Аг, А2, - - -, Ah (для этого К) с тем свойством, что каждый диви-
зор эквивалептен одному и только одному из А г (I = 1, 2, . . ., К).
Остальная часть этого параграфа посвящена доказательству
теоремы Куммера о том, что существует конечная система Аи А2, . .
. . ., Аь дивизоров, обладающая тем свойством, что каждый
дивизор эквивалентен одному из Аг. Доказательство сходно
с данным в предыдущем параграфе доказательством того, что
каждый простой дивизор эквивалентен произведению простых
дивизоров с меньшими нормами. Точнее, мы докажем, что для
любого данного дивизора А (в предыдущем параграфе рассматри-
вались лишь дивизоры (р, и)) имеется круговое целое (90 — и
в предыдущем параграфе), которое делится на А и норма которого,
деленная на норму дивизора А, меньше некоторой постоянной К,
не зависящей от А, т. е. имеется такой дивизор В с нормой, мень-
шей К, что дивизор А В главный. Число дивизоров с нормой,
меньшей К, конечно. Значит, найдется такая конечная система
Вг, В2, . . ., Bh, что для каждого данного А дивизор ABt главный
при некотором L Для каждого Вх отыщем такой дивизор At, что
А гВг главный. Тогда каждый данный дивизор А эквивалентен
одному из АI, и система Аг, А2, . . ., Ак дивизоров с требуемым
свойством будет найдена.
Итак, нам надо показать, что имеется постоянная К с тем
свойством, что если А — любой данный дивизор иге — его норма,
то имеется круговое целое, делящееся на А, норма которого
меньше Кп. Это наводит на мысль поискать круговое целое,
которое делится на А и имеет настолько малую норму, насколько
это возможно. Л это очень просто сделать на основании теоремы
из § 4.14 о том, что число не сравнимых по модулю А круговых
целых есть NA, поскольку эта теорема показывает, что любая
система из более чем п различных круговых целых должна содержать
два таких, разность между которыми делится на А. Так как
величина нормы связана с величиной коэффициентов кругового
целого, естественный путь построения кругового целого, деля-
щегося па А и имеющего малую норму, состоит в том, чтобы взять
систему из более чем п круговых целых, имеющих малые коэффи-
циенты. Это подсказывает мысль об установлении взаимосвязи
между величиной коэффициентов и величиной нормы, которая
может быть получена следующим образом.
5.4. Два условия Куммера 197
Пусть g (а) = а0 + ага + ... + сц^а1--1. Тогда
Ng(a)=g(a) g{a?) ... g(a^)= [g (a) g (a-i)J [g (a2) g (*-*)] ...,
и каждый из (X — l)/2 членов этого произведения можно рас-
сматривать как квадрат модуля комплексного числа g (aj). В та-
ком случае ясно, что каждый из этих (X — 1)/2 членов не превос-
ходит квадрата числа | а0 | + | аг | + ... + | а^_х |. Следова-
тельно, если все аг удовлетворяют неравенству | a,- | ^ с, то
Система из всех тех g (a), для которых а0 = 0 и 0 <! at ^ с при
i > 0, содержит более чем п элементов, при условии что (с +
_i_ 1)Я.-1 ^> п. Значит, разность некоторых двух из этих элементов
делится на А и имеет норму самое большее Хк~1ск~1. Если с —
наименьшее число, при котором (с + l)^ > n, то, конечно,
с'- sc; n, и круговое целое, делящееся на А и имеющее норму,
не превосходящую №~*п, найдено. Это доказывает теорему и дает
значение ЯЛ величине К. (Доказательство Куммера основывалось
па более тонкой оценке нормы Ng (a): оно дает для К лучшее
значение (к — l)^)/2. См. упр. 3.)
Упражнения
1. Выведите свойства A) — (8) из определений главного дивизора и экви-
валентности дивизоров.
2. Докажите, что для данного Я единственность разложения имеет
место тогда и только тогда, когда соответствующее число классов есть 1.
3. Куммер оценил норму Ng (a), установив тождество g (a) g (a) +
+ g (a2) g (a-2) + ... + g (a**) g (a~x+1) =k (a* + a% + . . . + aj[-i) -
— (a1 + a2 + . . . + a\_!J (где a0 = 0) и применив теорему о том, что
среднее геометрическое у/ с^ . . . сп множества положительных чисел
всегда не больше их среднего арифметического п'1 (cj + с2 + . . . + сп).
Примените это для нахождепия значения К\= (Х^I^. Заметим, то оба эти
доказательства основаны на интерпретации кругового целого g (a) как
комплексного числа.
5.4. Два условия Куммера
Выше мы уже несколько раз отмечали, что центральной идеей
в доказательствах Последней теоремы Ферма является идея
доказательства следующего утверждения: если и и v таковы, что
их произведение есть Х-я степень, uv = нЛ (где X — простой пока-
затель, для которого доказывается Последняя теорема Ферма
хх -\- уЬ фгк), и и и v взаимно просты, то и и v должны быть оба
Я.-МИ степенями. Этот вывод был бы верен, если бы имела место
единственность разложения в строгом смысле. Однако даже если Я,
таково, что для соответствующих ему круговых целых выполнена
98 Гл. 5. Послед}1яя теорема Ферма для регулярных простых
единственность разложения (т. е. соответствующее число классов
равно 1), этот вывод все же неверен, поскольку «единственность»
обычно означает «единственность с точностью до сомножителей,
являющихся единицами». Таким образом, даже в простейшем
случае такой вывод не обоснован, пока на и и v не наложены,
дополнительные условия. Какие же это условия?
Заметим, во-первых, что единственность разложения в строгом
смысле имеет место для дивизоров и что из uv ¦-- w% действительно
вытекает, что если и и v не имеют общих идеальных простых
делителей, то каждый из их дивизоров является Я,-й степенью.
Таким образом, если А и В — дивизоры чисел и uv соответствен-
но, uv = wx и А и В не имеют общих делителей, то существуют
такие дивизоры С и D, что А = Ск и В — D}. Так как естествен-
ным определением свойства «и и v взаимно просты» является
формулировка «никакой идеальный простой делитель не делит и
и v одновременно», то поставленный выше вопрос сводится к сле-
дующему. Пусть и — круговое целое, дивизор которого А является
K-ii степенью другого дивизора: А — Сх. При каких дополнитель-
ных условиях на X и и можно заключить, что само и есть Х-я
степень?
Естественно, это приводит к вопросу, является ли С главным,
т. е. следует ли из С% ¦¦— А ~ / (поскольку А — дивизор эле-
мента и) эквивалентность С ~ /. Куммер нашел очень естествен-
ное условие на X, при котором эта импликация выполняется без
всяких предположений относительно и. Это условие основывается
па простом наблюдении, что если С — любой дивизор, ah — число
классов, соответствующее X, то Ch ~ /. Это утверждение являет-
ся, очевидно, обобщением г) теоремы Ферма и легко доказывается.
То что число классов равно h, означает, что имеется система пред-
ставителей Аи А2, . . ., А /,, состоящая из h элементов. Каждая
из степеней С, б12, С3, . . . дивизора С эквивалентна одному
и только одному из Ai . Очевидно, что некоторые различные сте-
пени дивизора С должны оказаться эквивалентными одному и тому
;ке At и, следовательно, друг другу, например С3' ~ Cj+h. Тогда
Ch ~ /, т. е. некоторая степень дивизора С эквивалентна диви-
зору /. Таким образом, мы можем испробовать (при помощи
системы представителей) все меньшие степени дивизора С подряд
и найти первую из них, которая эквивалентна дивизору /, скажем
Cd ~ /. Тогда /, С, С2, . . ., Cd'x нопарпо не эквивалентны
(С3' ~ Ci+h дает Ch ~ /) и, следовательно, эквивалентны пекотот
рым d дивизорам из At. Если этим исчерпываются все At, те
d — h. В противном случае имеется такое А{, обозначим его В,
которого нет в множестве этих d дивизоров. Тогда последователе
J) Оба эти утверждения обобщает такая теорема; если // — подгруппа
конечной группы G, то порядок группы II делит порядок группы G.
5.4. Два условия Ку.чмера 199
ность В, ВС, ВС2, . . ., BCd'1 дает еще d дивизоров, которые
не эквивалентны друг другу и дивизорам из первого набора. Это
дает другое подмножество из d дивизоров в системе представите-
лей. Продолжение этого процесса производит разбиение множест-
ва всех элементов системы представителей на непересекающиеся
подмножества, каждое из которых содержит d элементов. Значит,
d ] h и из Cd ~ / вытекает Ch ~ /, что и требовалось доказать.
Если вдобавок С% ~ /, то С ~~ I, кроме случая X | h. Это
вытекает из следующего замечания. Число X — простое, поэтому
если h не делится на X, то mh ¦= пХ -\- 1 для подходящих тип,
откуда / — {Ch)m --¦ Cmh ¦-= СгЛ+1 -= (Ck)nC ~ I-C ~ С. Следо-
вательно, требуемая импликация С% ~ I => С ~ I верна, если
только X удовлетворяет условию Куммера:
(А) Показатель X не делит соответствующее число классов h.
Если и — круговое целое, дивизор А которого является
Х-ш степенью, т. е. А — С1, и если условие (А) выполнено, то
С ~ I (поскольку Сх есть дивизор элемента и, откуда следует
О ~ /); пусть, скажем, С есть дивизор кругового целого х.
Тогда а и хк имеют один и тот же дивизор и отсюда но основной
теореме следует, что и -—¦ ехх, где е — круговая единица, т. е. кру-
говое целое, являющееся единицей. Короче, условие (А) гаранти-
рует, что каждое круговое целое и, дивизор которого есть %-я
степень, имеет вид и — еаЛ, где е п х — круговые целые, причем
е — единица. Задача заключается в том, чтобы найти еще условие,
при котором имеет место более сильное утверждение и — хк.
Центральной идеей доказательства Дирихле для случая X ~ 5
(см. § 3.3) было, как говорил он сам, нахождение дополнительного
условия, при котором из того, что Рг -;• 5Q2 — пятая степень
и Р и Q взаимно просты, вытекает
Без дополнительных требований к Р и Q это утверждение не имеет
места. Дополнительное условие, которое ввел Дирнхле, извле-
чено из того, что в разложении бинома {А -\- В У 5M все слагае-
мые, кроме первого, содержат множитель 5, так что из P-\-Q у Ъ —
~ (А 4- В\/ 5M вытекает Q = 0 (mod о). Дирихле показал, что
это необходимое условие в сочетании с двумя другими условиями:
Рг L 5<72 — пятая степень и Р, Q взаимно просты,— оказывается
также и достаточным.
Легко получить соответствующее необходимое условие в слу-
чае круговых целых. В § 4.5 было отмечено, что по модулю Я,
операция возведения в Х-ю степень переводит сумму в сумму,
т. е. (а -|- Ъ)х = а% + bk (mod X). Таким образом, из и = хх
200 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
вытекает
и = (а0 + ata-\-а2а2 А- . ..
= ao + a\ + . .. + a?_ 4 = целое число (mod X).
Значит, необходимым условием для и = х% является то, что
и есть целое число по модулю X. Следуя Дирихле, теперь естест-
венно попытаться показать, что условие «и сравнимо с целым
числом по модулю X» вместе с условием «дивизор элемента и
является Х-п степенью» становится уже достаточным.
Однако это условие в том виде, как мы его сформулировали,
очевидно, все же недостаточно, поскольку оно тривиальным обра-
зом выполняется, если и = 0 (mod X). Как будет видно в следую-
щем параграфе, это простое соображение лежит в основе разли-
чия между случаями I и II Последней теоремы Ферма. В более
легком случае и ф 0 (mod X) из условий «и сравнимо с целым
числом по модулю X» и «дивизор элемента и является Х-й степенью»
вытекает, при соблюдении условия (А), что и = ехх для некоторых
круговых целых е и х, где е — единица. Вопрос о том, является
ли и Х-й степенью, свелся к вопросу о том, является ли е Х-й
степенью. Предположения об и гарантируют, что е сравнимо
с целым числом по модулю X, поскольку и е= ех% = e-b (mod X)
для некоторого целого Ъ, причем Ъ ф 0 (mod X) (иначе и =
= 0 (mod X)), так что, поделив сравнение и = целое число па Ъ,
мы получим сравнение е == целое число (mod X). Следовательно,,
требуемый вывод и = хх будет верен, если он верен в частном
случае, когда и = е — единица. Это и есть второе условие Кум-
мера:
(В) Показатель X обладает тем свойством, что для единиц,
соответствующих круговых целых необходимое условие «е срав-
нимо с целым числом по модулю h> того, что е есть Х-я степень,,
оказывается также и достаточным. Короче, если е — единица,
сравнимая с целым числом по модулю X, то е = (е')х для некото-
рого кругового целого е'. (Копечно, е' — единица; ее обратный
элемент есть (е1)^'^'1.)
Куммер обнаружил, что это условие выполнено для всех тех
простых X, которые он испытывал, по крайней мере для тех,
для которых он смог доказать условие (А). Из этих двух условий
(А) и (В), когда они имеют место, вытекает следующая теорема
о равенстве и = Xх для круговых целых при соответствующем X:
Теорема. Предположим, что X удовлетворяет условиям (А)-
и (В), и пусть задано и. Нужно узнать, является ли и Х-й степенью.
Если и фО (mod X) (случай I), то и тогда и только тогда является
Х-й степенью, когда его дивизор является Х-й степенью, а само и-
5,5. Доказательство для регулярных простых 201
сравнимо с целым числом по модулю %. Если и = 0 (mod %) (слу-
чай II), то и тогда и только тогда является %-й степенью, когда
его дивизор является %-й степенью, а его частное от деления на
наивысшую содержащуюся в нем степень элемента а — 1 сравнимо-
с целым числом по модулю %.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из заме-
чаний, которыми мотивировались условия (Л) и (В). Простое
число % называется регулярным, если оно удовлетворяет условиям
(А) и (В). Именно для этих простых чисел справедливо куммерово
общее доказательство Последней теоремы Ферма, приводимое
в следующем параграфе.
Когда Куммер впервые сформулировал условия (А) и (В),
он высказал три примечательные гипотезы. Первая заключалась
в том, что не все простые числа удовлетворяют этим условиям,
т. е. существуют иррегулярные простые; вторая — что из (А
вытекает (В), так что условие (В) излишне, и третья — что регу-
лярных простых бесконечно много. Первые две, как доказал
всего через несколько месяцев сам Куммер, верпы. (Доказатель-
ство приводится в гл. 6.) Однако третья представляет собой все
еще не решенную проблему, и Куммер позже взял свои слова
обратно и говорил, что не знает, существует ли бесконечно много
регулярных простых чисел. (По иронии судьбы, было доказано,
что иррегулярных простых бесконечно много.)
Упражнения
1. Докажите теорему, приведенную в этом параграфе.
2. Докажите, что круговое целое и — Ьо -\- Ьга + . . . + Ъх^а>-~1 тогда
и только тогда сравнимо по модулю X с целым числом, когда 6Х = 62 = . . .
. . = 6jl_1 (mod X).
5.5. Доказательство для регулярных простых
По многим книгам, посвященным Последней теореме Ферма,
создается впечатление, что ее доказательство было бы легким,
если бы имела место единственность разложения на простые для
круговых целых. О том, до какой степени ошибочно это впечатле-
ние, можно судить по доказательству, которое сейчас последует.
Доказательство ничуть не стало бы легче, если бы куммерово
предположение (А) было заменено более жестким предположением,
единственности разложения. И даже если используется еще свой-
ство (В) (в гл. 6 будет показано, что (В) на самом деле является
тонким следствием свойства (А)), нужно еще много изобретатель-
ности, чтобы завершить доказательство.
В доказательстве Куммера существенно используется одно>
частное свойство единиц, совсем не очевидное, но в своей основе
202 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
совершенно элементарное и наверняка известное в 1847 г. Кум-
меру, Кронекеру, Дирихле и другим, интересовавшимся структу-
рой единиц круговых целых. Речь идет о следующем свойстве:
если е — круговое целое, являющееся единицей, а е — его комп-
лексно сопряженное (получаемое из е заменой в нем а на а),
то е/е — аг для некоторого целого г. Это свойство вполне правдо-
подобно. Операция комплексного сопряжения, очевидно, пере-
водит число е/е в ему обратное. Поэтому е/е, рассматриваемое как
комплексное число, лежит па единичной окружности. Л это ведет
к предположению, что е/е, возможно, имеет вид аг или, в крайнем
случае, ±аг, по доказательство не очевидно. Оно приведено
в конце этого параграфа.
Первый шаг доказательства Последней теоремы Ферма для
регулярных простых заключается, конечно, в том, чтобы записать
уравнение i1 + jl - zl в виде (х -|- у) (х -\- ау) (х -р а2у) . . .
... (х L ах'ху) -—¦ zl. Прежде всего нужно спросить, взаимно
просты или нет сомножители в левой части. Если х -)- а)у и х +
-\-a''lky имеют общий делитель, то этот же делитель делит как
(х -I- a.Uhy) — (х - ajy) — aJ (ah — 1) у = единица- (а — 1) -у,
так и
(х-j- aj+hy) — а'1 (х-f а}у) — единица• (а — 1)-х.
Так как хну — взаимно простые целые числа, они не имеют
никакого — даже идеального — общего делителя, и единствен-
ным возможным общим делителем правых частей является а — 1.
Далее, те же самые равенства показывают, что если а — 1 делит
один из сомножителей х — ajy, то он делит и все остальные. Таким
образом, вопрос естественным образом разбивается па два обычных
случая: первый, в котором К делит z и, следовательно, а — 1
делит нее сомножители выражения х~- -j- yx, и второй, в котором
z взаимно просто с X и, следовательно, сомножители выражения
х>. и у\ взаимно просты. По X нечетно, поэтому если х делится
на X, то уравнение можно записать в виде xk — zk + (—y)k,
а если у делится на X, то его можно записать в виде у% — zk +
-г (—х)к. Следовательно, если любое из трех неизвестных делится
на X, то можно считать, что им является z, и случаи оказываются
такими:
Случай I: xk \- yk --¦ zk, где х, у, z попарно взаимно просты
и все взаимно просты с X.
Случай II: хх -| ух = zk, где х, у, z попарно взаимно прости
и X | z.
Доказательство случая I. В этом случае сомножители х -\- 2Л
х — ау, . . ., х -\- ах'гу noirapno взаимно просты и их произведи'
5.5. Доказательство для регулярных простых 203
ние есть %-я степень. Следовательно, дивизор каждого сомножи-
теля есть %-я степень и па основании свойства (А) для простого
числа % каждый сомножитель х -t- o)y есть единица, умноженная
на %-ю степень. Куммер в своем доказательстве разбирает только
случай / •--• 1, т. е. пользуется лишь тем, что существуют единица
е и круговое целое t, для которых х -1- ау ¦--¦ etx. Замена а па а'1
приводит это равенство к виду х 4- а~ху — etA. Далее, е/е •-—¦ а1"
па основании приведенного выше свойства единиц, и t% = С =
= С =: tk (mod %), поскольку каждая %-я степень сравнима по
модулю % с целым числом, а целые числа пе меняются при замене
а г-»- а. Таким образом, х -'\- а~*у — a~retx = а~теР- ¦¦- а~г (х -\-
-~ ay) (mod %). Заключительная часть 2) доказательства состоит
в следующем. Запишем члены сравнения
ат (х -fa!/) = Ж'|' v-У (mod %)
через произведения целых чисел и степеней элемента a — 1 и по-
смотрим, какие условия налагает ото сравнение па целые числа
х, у и г. Заметим сразу, что г определено лишь по модулю % и что
г ^ 0 (mod %) невозможно, поскольку это давало бы
x-[-a-ly = x^-ay(a\od%), 0 = (a2 -1) у (mod (a — l)^-1),
откуда вытекало бы, что a — 1 делит у, вопреки предположению.
Значит, мы можем предположить, что 0 < г < %. Сравнение тогда
может быть записано в виде
ат~1 (ах + у) = х 4- ay (mod %),
Далее, из сравнения вида а0 -Ь а, (а — 1) -\- а2 (а — IJ r • • •
. . . —- а-^-г (а — 1)^~2 = 0 (mod (а — I)'-) легко выводится
(упр. 1), что а0 ^ 0, аг = 0, . . ., аХ-г ^ 0 (mod %). Следователь-
но, в нашем сравнении коэффициенты при одинаковых степенях
элемента (а — 1) должны быть сравнимы по модулю %, при усло-
вии что показатели этих степеней меньше % — 1. При 1 < /* <
< % —1 паше сравнение невозможно, поскольку слагаемое выс-
шей степени слева есть х (а — 1)г, где 2 ^ г ^ % — 2, а это дало
бы х = 0 (mod %) вопреки предположению. Если г — % — 1,
то предпоследнее слагаемое слева равно
(а — l)r-J (х + у) + (г — 1)(а — 1)г-2 х (а — 1) --
') Эта часть доказательства несколько расширена. Куммер просто пишет
сравнение в виде A — ах) х + (а — аг~1) у = 0 (mod л) и заключает, что
г = 1, х = у (mod X). Возможно, он пользовался более простыми рассуж-
дениями.
204 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
что дает —х -f- у = 0 (mod X), х = у (mod X). (Исследование дру-
гих слагаемых без труда показывает, что случай г = X — 1 также-
невозможен, но для получения противоречия достаточно заклю-
чения х = у (mod Xj.) Если г = 1, то непосредственно получается
то же самое утверждение х = у (mod X).
Заметим, что случай I симметричен относительно всех трех
переменных. Поэтому естественно записать в этом случае уравне-
ние в виде хх + ух -1- zx — 0. Нами доказано, что из этого урав-
нения при х ф 0, у ф 0, гф 0 (mod X) вытекает х = у (mod X).
Но симметрии вдобавок получаем х = z, г/ = z (mod Я), Но, по-
теореме Ферма, а;х == х, ух = у, zx = z (mod Я). Отсюда 0 =
= хх -\- ух -г zx = За; (mod X). Так как а; ф. 0 (mod Я), отсюда
следует 3 = 0 (mod X), а значит, X = 3. Таким образом, при
Я ^ 3 случай Т невозможен. Так как невозможность случая I
при X = 3 была уже доказана (скажем, на основании несложной
теоремы из § 3,2 с учетом того, что 2-3 -(-1 = 7 есть простое
число), этим завершается доказательство невозможности случая I
для регулярных простых чисел. (Р1а самом деле понадобилось
лишь свойство (А) регулярных простых чисел.)
Доказательство случая II. В этом случае все сомножители
выражения хх -'- ух делятся на а — 1 и частные взаимно просты.
Так как произведение частных есть zx (а — 1)~х, то произведение
есть %-я степень, а из свойства (А) вытекает, что (а — I) (х +
+ а*у) — ejt) для некоторых круговых целых ej, tj, причем ej —
единица. Кроме того, элементы tj попарно взаимно просты. Осо-
бый простой элемент а — 1 делит не более одного из tj, a точнее,
он делит t0, поскольку из того, что а — 1 делит х -\- у, ахну —
целые числа, вытекает, что на самом деле (а — l)^1 делит х -\- у.
Пусть t0 — (а — l)ftit?, где w не делится на а — 1. Тогда к~^ 1.
Из X равенств, полученных ранее, в частности, имеем
х-\-у= (а — 1) е0 (a — \)hXwx,
х + ay = (а — 1) е^\.
Используем эти 3 равенства, чтобы исключить два неизвестных
х и у; это дает
(а— 1)ушш (а— 1) [etf- e0 (а- l)ftX иЛ],
а (а—1) г/ = (а— 1) [е„ (а— l)ftX uA— e.ji^],
а затем
O = eitx —е0 (а— \)ьхи/-—аео(а— l^u^+ae.j^.
5.5. Доказательство для регулярных простых 205
Так как а + 1 — единица (она есть частное от деления а2 — 1
на а — 1), то этому равенству можно придать вид
EQ (a— l)feX uA= t\ -f Я-А,
где Ео, Е.г — едипицы. Теперь, чтобы избавиться от множителя
?¦_!, можно воспользоваться свойством (В) простого числа X,
поскольку по модулю X полученное равенство читается как 0 =
== Сг + -Е-1.С-!, где Сг, С_г — целые числа, отличные от нуля
по модулю X в силу того, что tx и t-x взаимно просты с t0 = (а —
— l)hw. Значит, Е.г сравнимо по модулю X с целым числом,
Е-г = ех для некоторой единицы е и, наконец, Ео (а — 1)кк w% =
= t\ + (e?_1)ft. Это равенство по виду очень близко к исходному
уравнению z^ = х** + у7*-, и при помощи тех же рассуждений
(с небольшим лишь изменением) можно получить третье равенство
того же вида.
Точнее, если мы начнем с уравнения вида
= е (а—
где е — единица, к — положительное целое число, х, у, w и
а, — 1 — попарно взаимно простые круговые целые, то можно
продолжать следующим образом. (Случай II Последней теоремы
Ферма получается отсюда как частный случай, когда х, у, w —
целые числа, z = Хт w, k = т (X — 1), е — [X (а — 1)-^+1]тЧ)
По крайней мере один из сомножителей х + aty левой части
делится на а — 1, откуда, как и раньше, следует, что все сомно-
жители делятся на а — 1, а частные взаимно просты. Предыдущее
доказательство того, что х + у делится на (а — IJ, здесь не
проходит, однако и в этом случае верно, что по крайней мере один
из сомножителей (а значит, точно один) делится на (а — IJ,
поскольку по модулю (а — IJ имеем
(а —1) (mod (а—IJ),
(a-l)(mod(a-lJ)
для некоторых целых а0, а4, b0, bi (упр. 1), откуда
(a-l)]}[bo + bi(a-l)]^
(a—l)(mod(a —I)*).
Гак как a — 1 делит х + ajy для всех /, отсюда вытекает, что
а0 + Ьо = 0 (mod X). Кроме того, это показывает, что число
(а — IJ тогда и только тогда делит х + а^у, когда аг + Ъг +
+ jb0 = 0 (mod X). Это условие выполняется для одного и только
одного значения / по модулю X, если Ьо =? 0 (mod X); но b0 ^
^ 0 (mod X), так как иначе a — 1 делило бы у, вопреки пред-
положению. Следовательно, к > 1. Пусть к = К + 1, где К —
положительное целое число. Так как у можно заменить на а?у,
206 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
не изменив вида первоначального уравнения, то можно предполо-
жить, что х -V у и является тем сомножителем выражения х'к -р
-г ф, которое делится на (а — IJ. Тогда кХ сомножителей (а — 1}
в разложении левой части хк -\~ ух распределены так: но одному
сомножителю в каждом члене х -f ajy (у — 1, 2, . . ., Я, — 1)
и 1 -р (к — 1) Я, = 1 -р К% сомножителей в члене х -\- у. Таким
образом,
и точно такая же последовательность шагов, как и раньше, при-
ведет нас к уравнению вида
в котором X, Y, W и а — 1 — попарно взаимно простые круго-
вые целые, Е — единица и К ¦-- к — 1. Теперь очевидно, что это
невозможно, поскольку повторение такого процесса приведет
в конце концов к уравнению, в котором к --- 1, тогда как мы только
что показали, что равенство к — 1 невозможно. Это завершает
доказательство случая П.
Куммер заявляет, что доказана невозможность равенства
х\ _i_ ф =_- zx дЛЯ круговых целых (а не только для целых чисел),
по здесь в его доказательстве этой теоремы имеется пробел. Приве-
денное только что доказательство показывает, что если х, у и z —
попарно взаимно простые круговые целые и одно из них делится
на а — 1, то, действительно, равенство хх -j- y^ --¦ z*- невозможно.
Кроме того, Куммер был в состоянии так видоизменить свое
доказательство случая I, чтобы оно было применимо к тройка
х, у, z взаимно простых круговых целых (см. упр. 2). Ошибочным
является сделанное им предположение, что достаточно доказать
теорему в случае, когда х, у, z взаимно просты. Иными словами,
Куммер действительно доказал, что равенство хк -|- у% ---z^
невозможно для взаимно простых круговых целых, однако упустил
из виду, что общий случай не сводится к случаю, когда х, у, z
взаимно просты. Проблема, разумеется, в том, что х, у, z могут
иметь общий идеальный делитель — дивизор, который делит
их все, но не является главным, и на который нельзя сократить
равенство х^ + г/'- = z4 (Доказательство невозможности равен-
ства Xх + у% — zk, в котором этот пробел ликвидирован, см.
у Гильберта [НЗ].) То, что сам изобретатель теории идеальных
делителей совершил именно этот промах, весьма примечательно.
Остается показать, что если е — произвольная единица, то
е/е -- аТ при некотором г. Выберем полипом Е (X) = а0 + а^Х +
5.5. Доказательство для регулярных простых 207
. . . + ах^1Хх'1 от одной переменной X с целыми коэффициента-
ми таким образом, чтобы значение Е (а) равнялось единице е/е.
Разделим полином Е (Xх'1) Е (X) на Xх — 1 с остатком:
Е (Xх-1) Е (X) = Q (X) (Xх - 1) + R (X), где R (X) - полином
степени меньшей X, скажем R (X) = Ао -\~ АХХ -(- , . . -\-А x-iXx~K
Подставляя в это равенство X = 1, найдем, что (а0 ~т аг -\- ...
. . . -f- a^-iJ " ^о "Г Аг + ... -f- Ax-i- При X — а получим
Ао + Ага + . . . + Ах--^-1 = Е (а'1) Е (а) = [е (а)/^(а'1)] X
X [е (а)/ё (а)] - [е/е] [е/ё] = 1, D0 - 1) + ^а + Аг<х2 + . . .
. . . -г А^-!^-1 -- 0, откуда Ао — \ ^ Аг = А2 = ... — 4ц.
Обозначим через /с это общее значение. Тогда (а0 + а^ + ...
. . . + a^-iJ —' 1 "г Я,А == 1 (mod Я) и а0 + ах + ¦ • • + ax-i ^
^ ± 1 (mod X). Прибавляя ко всем коэффициентам (или вычитая)
одно и то же целое число, мы можем получить равенство а0 —
+ аг -\- . . . -\- ах-х — ±1. Это заменяет первоначальный поли-
ном Е (X) и дает новый набор коэффициентов А-ь, для которых
1 + кК = 1, к = О, Ао = 1, А = А2 г-. ... = Ах-г = 0. С дру-
гой стороны, способ подсчета коэффициентов Аг показывает, что
А о -—¦ al -- a\ -f- ... + пх-х- Эту формулу можно доказать, заме-
тив, что общий член п;Ххг~1 ajXj полипома Е (Xх'1) Е (X) может
быть записан в виде ага7-Х«х+г = ага7-Хг (Хчх — 1) -f аг-ауХг —
- Qi( j (X) (Xх — 1) - uiujX'-, где г = / - i (mod К), 0 < г < X
и <?; у (X) —- ajujX1' (Х'Л~Х + ... т X1 т 1) при q > 1,
<?,-, у (X) -- а;а7-Х'- при q -- 1 и <?г-, 7- (X) = 0 при q = 0. Если
просуммировать эти равенства по всем i и у от 0 до % — 1, то
получим R (X) —- У ( У uiuj) Хг. В частности, Ао = al -p-
/•=0 J-1sr
r af — ... — #?;_!. Таким образом, из Ло ~ 1 вытекает, что
точно один коэффициент а,- отличен от пуля и что он равен ±1.
Следовательно, Е (а) — ±аг для некоторого г. Теперь достаточно
доказать, что равенство Е (а) = —аг невозможно. Если бы оно
было возможно, то, поскольку либо г, либо г + % четно, было
бы возможно равенство Е (а) — —a2s, откуда ea~s — —eas.
Обозначим эту единицу ea's через F (а) — 60 -г &ia -г ...
... — bx-ia1'1. Тогда F (а) — такая единица, что F (а) =
-- —F (а). Предположим, не умаляя общности, что Ьо =-- 0.
Тогда F (а) - Ъг (а — a) -f- 62 (а2 — а'2) -|- . . . . Это показы-
вает, что F (а) делится на a — а, что невозможно, поскольку
a — а'1 не является единицей. Этим доказательство завершается.
•Vn ранен е ния
1. Докажите, что каждое круговое целое сравнимо по модулю a — 1
' обычным целым числом. (Вспомните признак делимости на a — 1.) Уста-
нпнптр, что для любого данного кругового целого х и любого целого числа
208 Гл, 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
к > 0 существуют такие целые числа а0, а1:. . ., а^, что х^ао-\-а1(а—1)+- ¦ •
. . . + a^_x (а — i)h'1 (mod (а — l)fe). Наконец, покажите, что если
к =sj Я — 1, то целые числа а0, а1, . . ., ah^ определены однозначно по моду-
лю Я. (Целое число тогда и только тогда является нулем по модулю а — 1,
когда оно делится на Я. В этом случае оно является нулем и по модулю
(а - I)»-1.)
2. Докажите, что если Я — регулярное простое число, большее 3, и если
х, у и z — взаимно простые круговые целые, то равенство аЛ -\- у^ = z^
невозможно. (Случай, когда одно из неизвестных делится па а — 1, охва-
тывается доказательством случая II, которое дапо в тексте, так что остается
лишь случай I. Заменяя, если это необходимо, х на с/Ух, мы можем вначале
предположить, что х сравним по модулю (а — IJ с целым числом и то же
самое верно для у и z. Пусть, скажем, х = а, у = b, z = с (mod (а — IJ),
где а, Ь, с — целые числа. Доказательство, приведенное в тексте, показывает,
что для каждого / имеется такое г, что х + а-i у = a~r (x -\- aiy). Далее,
используя запись <xi = [1 + (а — 1)]/ и проводя вычисления по модулю
(а — IJ, находим, что г (а -\- Ъ) = 2)Ь (mod Я). Отсюда видно, что г =
= vj (mod Я), где v — целое число, не зависящее от у. В действительности
можно считать v четным, так что наше сравнение примет симметричный вид:
aki (x -\- a~Jy) = a'hi (х -\- Фу) (mod Я), В частности, х + у г= х + у
(mod Я). Если первоначальному уравнению придать симметричный вид
ХХ _|_ уЪ _|_ ZX — qj т0> ПрИМепяя те же соображения к парам х, z и у, z,
получим х = х, у = у, z = z (mod Я). Значит, выражение txhi (x + a'iy)
не изменяется по модулю Я, если ) заменить на —). Из случаев / = 1 и / = 2
мы можем заключить, что так как ;/ пе содержит множителя а — 1, то
(а**-1 — «-<&-•>) (а-ь — а^-1) A — а) делится па (а — l)*- По Я > 5,
поэтому либо ah~x = a~<h~1», либо a~k = ah~', т. е. либо к = 1 (mod Я),
либо 2к ^ 1 (mod X). В первом случае а = 0 вопреки предположению. Во вто-
ром случае а = Ь. Таким образом, вдобавок к полученному имеем а = с
и 0 = х^ -\- у^ -\- z^ = аЛ 4- Ьх + с*" = За, и снова а = 0 вопреки пред-
положению.)
5.6. Квадратичная взаимность
Очень странно, что Куммер так и не разработал полностью
связь между своей теорией и гауссовой теорией бинарных квадра-
тичных форм. Это тем более удивительно, поскольку знаменитая
теорема о квадратичной взаимности является простым следствием
его теории. Гаусс считал эту теорему настолько важной, что
назвал ее «фундаментальной теоремой» и опубликовал несколько
ее доказательств — два в «Арифметических исследованиях» и че-
тыре других впоследствии (см. [G5]). Сам Куммер, как уже упо-
миналось в § 4.1, считал квадратичный закон взаимности и его
обобщения на высшие степени важнейшим разделом теории чисел.
Почти непостижимо, чтобы он мог проглядеть ту простую дедук-
цию квадратичной взаимности из теории идеальной факториза-
ции х), которую мы сейчас изложим. Скорее нужно предположить,
*) Согласно Гекке ([Н2], стр. 113), это доказательство впервые дано
Кронекером, учеником и близким другом Куммера [Berlin Monatsberichte,
1880, 404—408].
5,6, Квадратичная взаимность 209
что он предпочитал не публиковать ничего по этому вопросу,
пока не разработал обобщений на высшие степени, что ему уда-
лось сделать несколько лет спустя. Теория бинарных квадратич-
ных форм связана с квадратичной взаимностью, но не связана
с высшими законами взаимности, поэтому она осталась в стороне
и в более поздних публикациях Куммера, посвященных законам
взаимности.
Рассмотрим снова пример "К = 23, который мы так подробно
изучали в § 5.2. В связи с этим примером весьма естественно
возникает вопрос: для каких простых р дивизор числа р содержит
сомножитель вида (р, ц)? На самом деле полное решение задачи
из § 5.2, вероятно, должно содержать ответ на этот вопрос.
В § 5.2 мы обошли его только потому, что это увело бы нас
там в сторону от главной цели — обоснования определения экви-
валентности дивизоров. Тщательное изучение этого вопроса почти
неизбежно ведет к квадратичному закону взаимности.
В § 5.2 уже было замечено, что дивизор (р, и) имеется тогда
и только тогда, когда р имеет четное число простых дивизоров.
(Здесь и во всем дальнейшем обсуждении предполагается, что
р =5^=23.) Действительно, с одной стороны, если разложение
дивизора р имеет вид (р, и) (р, —1 — и), то, поскольку сопря-
жение а I—»- а меняет местами простые дивизоры (р, и) с просты-
ми дивизорами (р, —1 — и), эти два дивизора должны расщеплять
простые дивизоры числа р на два подмножества одинаковой мощ-
ности и число всех простых дивизоров должно быть четным.
С другой стороны, если их четное число, то число е — 22// делится
на 2, откуда следует, что / делит 11. Следовательно, поскольку
периоды длины / сравнимы по модулю любого простого дивизора
числа р с целыми числами, период 0О сравним с некоторым целым
числом. Пусть 0О сравним с и по модулю некоторого конкретного
простого дивизора р. Тогда точно половина простых дивизоров
числа р делит 0О — ц, а их произведение есть дивизор вида (р, и),
что и требовалось показать.
Это необходимое и достаточное условие существования диви-
зора (р, и) можно переформулировать следующим образом.
Во-первых, е тогда и только тогда четно, когда / делит 11. Так
как /, по определению, есть показатель числа р по модулю 23,
то это тогда и только тогда верно, когда р11 = 1 (mod 23). Далее,
согласно хорошо известному утверждению из теории чисел, назы-
ваемому критерием Эйлера, сравнение я^-1)/2 = 1 (mod %) тогда
и только тогда имеет место, когда х является ненулевым квадратом
по модулю Я, т. е. тогда и только тогда, когда имеется такое
у ф 0 (mod %), что х s г/2 (mod %). Это легко доказать многими
способами (см. упр. 7), а отсюда в нашем случае вытекает, что
если р ф2Ъ, то дивизор вида (р, и) имеется для тех и только
тех р, которые являются квадратами по модулю 23.
14 Г. Олварчс
210 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
Квадратами по модулю 23 являются: 1, 4, 9, 16"= —7, 25 =
== 2, 36 = -10, 49 = 3, 64 = -5, 81 = -И, 100 = 8, 121 = 6,
или, в более удобном порядке: 1, 2, 3, 4, —5, 6, —7, 8, 9, —10,
—11. Тогда из последовательности простых чисел 2, 3, 5, 7, 11,...
легко выделить те простые, для которых имеются дивизоры
(р, и): 2, 3, 13 = -10, 29 = 6, 31 = 8, 41 = -5, .... Этот
список, конечно, согласуется с табл. 5.2.2.
Однако эти соображения не обеспечивают нас значением и
для каждого значения р; на самом же деле именно поиск значений
и приводит к другому критерию существования дивизора (р, и).
Основное свойство целого числа и состоит в том, что половина
простых дивизоров числа р делит 0О — ц. Тогда все простые
дивизоры числа р, а поэтому и само р, делят (б0 — и) (Q± — и) =
= ц2 + и + 6. Следовательно, и — решение сравнения ц2 +
+ и + 6 = 0 (mod p). Связь этого сравнения с X = 23 становится
яснее, если записать его в виде х/4 [Bц + IJ + 23] = 0 (mod p).
Это показывает, что если имеется дивизор вида (р, и), то Bц +
+ IJ = —23, и, в частности, что —23 является квадратом по
модулю р. Верно также и обратное, если исключить простое
число р = 2. Если р ф2 и х2 == —23 (mod р), то (х + рJ =з
=з —23 (mod р) и либо х, либо х + р нечетно. Тогда имеется
такое и, что Bц + IJ == —23 (mod p). Отсюда вытекает, что р
делит Bц + IJ + 23 = 4 @О — и) @Х — и), а так как р ф 2,
то каждый простой дивизор числа р делит либо 0О — и, либо
бх — и и, следовательно, дивизор вида (р, и) имеется. Короче,
если р ф 23 и р ф2, то]дивизор вида (р, и) имеется в том и толь-
ко том случае, когда —23 есть квадрат по модулю р.
Сопоставление этих двух критериев существования дивизора
(р, и) обнаруживает удивительное обстоятельство, что простое
число р ф 2 ц =5^=23 тогда и только тогда является квадратом
по модулю 23, когда —23 является квадратом по модулю р. Это —
один случай квадратичного закона взаимности. Другие случаи
легко получить, обобщая предыдущие соображения на %, отлич-
ные от 23.
Если сказано, что в круговых целых для данного X имеется
дивизор вида (р, и), это означает, что для этого X точно половина
простых дивизоров числа р делит 0О — и (где 0О — тот период
длины (% — 1)/2, который содержит а). Точно те же соображения,
что и в случае % = 23, доказывают, что если р ф%, то дивизор
вида (р, и) имеется в том и только том случае, когда р есть квад-
рат по модулю X. В общем случае формула, которая при X = 23
имела вид @О — и) @Х — и) = ijk [Bц + IJ + 23], превращается,
как мы далее покажем, в следующую: @О — и) @Х — ц) =
= х/4 [Bц + IJ ± X], где знак перед X определяется условием,
что 4 должно делить Bы + IJ ± X, т. е. стоит знак +, если
X =з 3 (mod 4), и знак —, если X = 1 (mod 4). Далее, те же самые
5.6. Квадратичная взаимность 211
рассуждения показывают, что при р Ф 2 и р ф к дивизор вида
(р, и) имеется тогда и только тогда, когда —к является квадра-
том по модулю р, если к = 3 (mod 4), и когда к является квадра-
том по модулю р, если к = 1 (mod 4). Итак:
Пусть р и % — различные нечетные простые числа (р ф 2,
к ф2, р фк). Если к = 1 (mod 4), то р тогда и только тогда
является квадратом по модулю к, когда к является квадратом
по модулю р. Если к = 3 (mod 4), то р тогда и только тогда
является квадратом по модулю %, когда —к есть квадрат по моду-
лю р.
Именно в таком виде Гаусс сформулировал квадратичный
закон взаимности, или, как он его называл, фундаментальную
теорему [Disquisitiones Arithmeticae, Art. 131]. Заметим, что
приведенные выше рассуждения в действительности не только
доказывают теорему, но дают простой, хотя и совершенно не отве-
чающий историческому ходу дела, путь открытия самой форму-
лировки теоремы. Осталось только доказать формулу @О — и) X
X @! — и) — V4 [Bи + IJ ± к]. Это можно сделать следующим
образом. (См. упр. 3 и 4 к § 4.5.)
Конечно, F0 — и) @! - и) =¦- и2 + и + 0Л = V4 [Bu + 1J +
-г 401,0! — 1]. Задача, следовательно, заключается в подсчете-
выражения 4ОО0! — 1. Как было замечено в § 4.9 (для периодов-
длииы /, где / — (к — 1)/2), 0О0! имеет вид а-х1г (к — 1) + 60О +
+ с0!, где а -г Ъ -(- с = V2 (к — 1) и а есть 0 или 1. По симметрии,.
Ъ = с. Если а = 0, то равенство а + Ъ + с = (к — 1)/2 превра-
щается в 26 -= (к — 1)/2; далее, к = 46 + 1, к =з 1 (mod 4),.
0Д ==-- а -|- 60О + с0х = 0 + 6 @О + Qj) = -6, 40О0! - 1 =
= —46 — 1 = —к. Если а = 1, то равенство а + 6 -)- с =
= (к — 1)/2 превращается в 1 -(- 26 = (к — 1)/2; далее, 46 + 3 =
= к, к = 3 (mod 4), 0О0! = V, (Я - 1) + 60О + 60г = 1 + 26 —¦
— 6 = 6 + 1, 40О0Х — 1 = 46 -(- 4 — 1 = Я. Таким образом, либо-
к = 1 (mod 4) и 40„0! — 1 = —к, либо Я = 3 (mod 4) и 40Д —1=-
= к, что и требовалось доказать.
Причина, по которой квадратичный закон взаимности вызвал:
такое восхищение многих крупных математиков, должна быть
очевидна. С первого взгляда не видно абсолютно никакой связи
между вопросами «квадрат ли р по модулю кЪ и «квадрат ли к
по модулю рЪ, но вот открыта теорема, которая показывает, что
это практически один и тот же вопрос. Безусловно, наиболее-
впечатляющими теоремами в математике являются те, в которых
предпосылки обнаруживают наименее заметную связь с заклю-
чениями, и квадратичный закон взаимности — образцовый при-
мер такой теоремы. Не только Гаусс и Куммер, по также Эйлер,
Лагранж Лежандр, Дирихле, Якоби, Эйзенштейн, Лиувилль,
Гильберт, Артин и многие, многие другие известные математики.
14*
212 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
приняли брошенный этой теоремой вызов найти ее естественное
доказательство или обнаружить какое-то более понятное явление
«взаимности», частным случаем которого является эта теорема.
Гаусс назвал квадратичный закон взаимности фундаментальной
теоремой, но не из-за его эстетической ценности, а из-за его очень
большой значимости в теории сравнений второй степени и в тео-
рии бинарных квадратичных форм, которым посвящены четвер-
тый и пятый разделы его «Арифметических исследований». Как
будет видно в гл. 7, этот закон очень полезен и в теории идеальной
факторизации квадратичных целых. Особенно часто во всех этих
теориях необходимость в нем возникает тогда, когда требуется
выяснить, имеет ли сравнение п =s х2 (mod р) решение для дан-
ного простого р и целого п ф. 0 (mod p). Разумеется, это конечная
задача, которую можно решить попросту вычислением квадратов
всех целых чисел, меньших р/2, и проверкой, нет ли среди этих
квадратов числа, сравнимого с и по модулю р. Однако даже когда
применяются некоторые элементарные упрощения (см упр. 1 и 2),
при больших простых числах р это требует длительн его процесса
проб и ошибок, а использование квадратичного закона взаимно-
сти неизмеримо упрощает дело. Опишем способ его применения.
Предположим, например, что требуется определить, обладает
ли решением сравнение хг = 31 (mod 79). Введем так называе-
мый символ Лежандра (™), где р — нечетное (положительное)
простое число, аи — целое число, п ф. О (mod p). По определе-
нию, он принимает значения +1, а именно, он равен +1, если
сравнение хг ==п (mod р) имеет решение, и равен —1 в противном
случае. Задача состоит в вычислении символа Лежандра C71д)-
Поскольку 79 = 3 (mod 4), квадратичный закон взаимности утвер-
ждает, что (~3i)~^79)- ^° —79 — п = 14 (mod 31), поэтому
(^) = (gj), и мы сталкиваемся со значительно меньшей задачей —
определить, обладает ли решением сравнение х2 = 14 (mod 31).
Как отмечалось в приведенном выше доказательстве, критерий
Эйлера утверждает, что (™)=-(-1 в том и только том случае,
когда n(p-')/2 = I (mod p). С другой стороны, квадрат числа
tj(p-')/2 равен 1 по модулю р и, следовательно, иС"-1)/2 может
иметь только значения +1 или —1. Значит, (")=—1 тогда
и только тогда, когда rc^-'^s— l(modp). Из этих рассужде-
ний вытекает, что п<-р~^12 = (™ ) (mod p), откуда следует, что
для символа Лежандра выполняется осповное соотношение
(;)(:)=(-;)
при всех таких п, т и р, при которых определены (™) и (™).
Следовательно, для того чтобы подсчитать (ls\), достаточно под-
5.6. Квадратичная взаимность 213
считать (д^) и C'j). На основании квадратичной взаимности
(-8J)==O) = (;)(?) = (±D8 = 1. в это дает C7J) = (82,)- Это допу-
скает дальнейшее приведение: C2,) = Q - C3,) ('}) = ("»') (~*|) «
= B)A21) =—(,2). В результате получается уже совсем неслож-
ная задача: квадратами по модулю 11 являются 1, 4, 9 = — 2,
16 = 5, 25 = 3, 49 = 5, 64=-2, 81 = 4, 100=1, 121 = 0. Этот
перечень не содержит числа 2, следовательно, A21)= —1, и окон-
чательно (i?g)"-j-l, т.е. 31 является квадратом по модулю 79.
Применяя этот процесс, полезно располагать так называемыми
дополнительными законами квадратичной взаимности (в которых
элемент взаимности, собственно говоря, отсутствует) для подсчета
символов Лежандра (~~р), B)- Первый закон утверждает:
,_[. С +1, если р =
1р)=\_1, если p = 3(mod4). w
Иными словами, ("')=•- (^[п), когда оба выражения определены
(т. е. когда р~\-Лп—положительное простое число), и это остается
верным, если положить значение (~() равным +1. Можно про-
верить, что (~3) —— 1- Второй закон состоит в том, что
+ 1, если р = 1 или 7 (mod 8),
— 1, если р = 3 или 5 (mod 8).
Другими словами, (p) = (p+2gn). и это остается верным, если
положить (Л) равным +1- Можно проверить, что B)=—1»
Эти два утверждения следуют из теорем, касающихся пред-
ставлений р — а2-\-Ъ2 и р = а2-\-2Ь2 и доказанных в гл. 2
(см. ниже упр. 5 и 6). По-другому A) можно вывести путем
применения квадратичной взаимности к р и 3 следующим образом.
Еслир = 1(пн^4), то (-3) = (О = C) = ()(~3)' откуда (-1) =
= + 1, тогда как если р = 3 (mod 4), то (~3р) =¦¦ ( ^) = (~13) (~р --
--—1. Формулу B) можно вывести прямым расширением
предыдущего доказательства закона взаимности на исключенный
случай р = 2. То, что 2 тогда и только тогда является квадратом
по модулю Я, когда его дивизор раскладывается так, как это тре-
буется, верно и в этом случае; с другой стороны, его дивизор
214 Гл. 5. Последняя теорема Ферма для регулярных простых
раскладывается тогда и только тогда, когда возможно сравнение
иг + и + 000! = 0 (mod 2). Это равносильно тому, что Bц + 1J±
± % = 0 (mod 8), что зависит лишь от класса числа X по модулю
8. Если X = 1 (mod 8), то нужное сравнение Bц — IJ — 1 =
= 0 (mod 8) не только возможно, но и справедливо цри всех
целых ц.
Правилом A) и символом Лежандра можно воспользоваться
для того, чтобы придать квадратичному закону взаимности ясный
и симметричный вид: если р и q—различные нечетные простые
числа и хотя бы одно из них сравнимо с 1 по модулю 4, то
( g ) = (р ); если же они оба сравнимы с 3 по модулю 4, то ( р) —
= -{%) (поскольку2(вР)=-(-;)(-р=-ф). Таким образом,
подсчет символа (^) можно проще проделать так: Щ) =¦- — (\\) —
Упражнения
1. Решите сравнение х2 = 31 (mod 79). (Сделайте это методом проб
и ошибок. Вместо того чтобы вычислять квадраты, можпо последовательно
прибавлять нечетные числа: 22 = I2 + 3, З2 — 22 + 5, 42 — З2 + 7,
затем редуцировать по модулю 79.)
2. Гаусс предлагает следующий метод решепия сравнений х2 = A (mod m)
Disquisitiones Arithmeticae, Art. 319—322). Напишем х2 = А + ту и будем
рассматривать у как неизвестное. Можно считать, что —Aim -^.y <xli т —
— (Aim). Для любых модулей Е (которые Гаусс называет исключающими)
число А + Щ1 должно быть сравнимо с квадратом по модулю Е. Только
около половины возможных классов по модулю Е являются квадратами,
и этим способом можно исключить около половины возможных значений
неизвестного у. Покажите, что в упр. 1 этим способом при Е = 3, 4 и 5 исклю-
чаются все положительные зпачепия у, кроме четырех, и найдите их. Пока-
жите, что использование Е = 8 вместо Е = 4 исключает одно из пих, а ис-
пользование Е = 7 исключает второе. Испробуйте оставшиеся два.
3. Покажите, что (|^) = +1, и решите сравнение х2 = 22 (mod 97).
(Е = 8, 9, 5 исключают все значения, кроме трех, из которых два меньших
легко отбрасываются.)
4. Подсчитайте следующие символы Лежапдра: (iqi) j A^9) ' A39) •
(Предостережение: о подсчете D^) = — ^Ц) = — (gf) = — (9i) —
= (9*) = +1 пе было доказано, что он верен, хотя он и дает правильный
ответ.)
5. Выведите правило A) для подсчета ("р1) из форму i D) и E) § 2.4.
6. Докажите правило B)]для подсчета (^) следующим образом. Упр. 4
к § 2.4 показывает, что если (J^ = +1, то р = с2 — 2d2 и. следовательно,
р = +1 (mod 8). Обратно > доказано в упр. 6 и 7 к § 2.4.
5.6. Квадратичная взаимность 215
7. Докажите, что формула (™) s= nip-1)/2 (mod p) имеет место, если
символ Лежапдра определен. (Это легко сделать, используя существование
примитивного корня по модулю р, но избежать использования примитивного
корпя можно путем подсчета: так как возведение в квадрат есть «два в один»-
функция, то точно половина ненулевых классов по модулю р являются квад-
ратами. На основании других соображений произведение квадрата на пеква-
драт есть неквадрат и, следовательно, произведение двух неквадратов есть
квадрат, и т. д.) Установите, что (™т) = (™) (™) .
8. Предположив, что верна вторая формулировка квадратичного закона
взаимности (если р и q — нечетные простые числа apsl или 5=1 (mod 4),
то (р) = (9), но если р = 3 (mod 4) и q = 3 (mod 4), то (р) = — («)),
выведите первую (еслир = 3 (mod 4), то (~д)= (р)' а если Р = * (m°d 4),
то (Р) = («)). Не пользуйтесь правилом A), не доказав его сначала.
9. Покажите, что квадратичный закон взаимности можно сформулиро-
вать так: (Р) = (9) = (—1) (р-1)(«-1)/«.
10. Определите, обладают ли решениями сравнения
Зи2 — 2и = 7 (mod 23),
7и2 + 6и = 2 (mod 37).
(Дополните до квадрата и примените квадратичную взаимность.]
11. Как заметил Лаграпж [LI, Art. 54], если р = 3 (mod 4), р — простое
число и сравнение хг = В (mod p) обладает решением, то класс х =
= В (Р+1)/* (mod p) удовлетворяет сравнению х2 = В. Докажите этот факт
и воспользуйтесь им для решения упр. 1. Гауссов метод исключения не очень
практичен. Относительно лучшего метода см. Щенке [S1].
Глава 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ
6.1. Введение
В апреле 1847 г. Куммер опубликовал свое доказательство
того, что из условий1) (А) и (В) для заданного показателя %
вытекает Последняя теорема Ферма. Для того чтобы применить
эту теорему к доказательству самой теоремы Ферма для конкрет-
ного простого показателя X, нужно иметь какой-нибудь способ
проверки условий (А) и (В) для данного X. Куммер утверждал, что
им строго доказано выполнение этих условий для X — 3, 5, 7
и что они, по-видимому, выполняются хотя и не для всех про-
стых X, но для бесконечного множества их. Естественный путь
подойти к проверке условия (А) — попытаться сосчитать число
классов для данного значения X. Эту задачу определения числа
классов Куммер упомянул уже в своем самом первом сообщении
1847 г. по теории идеальных комплексных чисел, однако лишь
затем, чтобы сказать, что он ею не занимался, поскольку ему
устно сообщили, что Дирихле уже преуспел в нахождении форму-
лы для числа классов. Куммер еще раз сослался на этот факт,
когда сообщал Дирихле о своей апрельской работе 1847 г., говоря,
что сам он не в состоянии сказать, какие простые % удовлетворяют
условиям (А) и (В), «но для Вас это, вероятно, не составит труда».
Однако Дирихле в замечаниях, которые он сделал к этому сооб-
щению, говорит лишь, что у него есть формула для числа классов,
позволяющая в частных случаях проверять, выполнено ли усло-
вие (А); он не приводит никаких значений X, для которых он про-
верил это условие, и признает, что этот способ проверки непрак-
тичен для условия (В) при X >> 7 и что он не в состоянии сказать,
верпа ли гипотеза Куммера о том, что (В) вытекает из (А). Наконец,
в сентябре 1847 г. Куммер послал Дирихле и в Берлинскую Акаде-
мию статью [К10], в которой дал вполне исчерпывающую теорему
относительно условий (А) и (В).
Теорема. Из (А) вытекает (В). Условие (А) равносильно утверж-
дению, что X не делит числители ни одного из чисел Бернулли
*) Эти условия таковы: (А) число классов но делится на Я; (В) любая
единица, сравнимая по модулю Я с целым числом, является Я-й степенью.
6.2. Формула эйлерова произведения 217
В2, Б4, . . ., Вх-з {числа Бернулли определяются 1) равенством
Эта теорема и известные значения чисел Бернулли дали Кум-
меру возможность сказать, что (А) и (В) выполняются для всех
простых чисел, меньших 37, но что они не имеют места для X = 37,
поскольку 37 делит числитель В32. Находить значения чисел
Бернулли совсем пе просто, но во времена Куммера они были
протабулированы вплоть до Вв0, и это позволило проверить все
простые числа А, до % — 61. Но Куммер, по-видимому, не провел
такой проверки, прежде чем послал свою статью в Берлин, по-
скольку он не сообщает о том факте, что единственным вторым,
простым Я, ^ 61, для которого (А) и (В) не выполняются, является
X = 59.
При всем почтении Куммера к Дирихле и его признании, что
он получил лично от Дирихле некоторую полезную информацию,
успешное нахождение им в течение лета 1847 г. как формулы для
числа классов, так и приведенной выше теоремы относительно
условий (А) и (В), следует рассматривать как невероятное дости-
жение. Читатель сам сможет судить об уровне вычислительного
мастерства и упорства, необходимых, чтобы получить результаты
этой главы — а они все являются результатами Куммера —
между маем и сентябрем одного и того же года.
6.2. Формула эйлерова произведения
В основе фактически всей аналитической теории чисел, в кото-
рой формула числа классов играет важную роль, лежит формула
эйлерова произведения
Здесь суммирование слева ведется по всем положительным целым
п = 1, 2, 3, . . ., а произведение справа распространяется па все
простые р — 2, 3, 5, 7, И, .... Легко показать, что как произ-
ведение, так и сумма сходятся для положительных вещественных
чисел s, больших 1. Доказательство того, что они равны, является
простым упражнением по использованию абсолютной сходимости
и основной теоремы арифметики (каждое положительное целое
число п точно одним способом может быть записано в виде произ-
ведения степеней простых чисел: п = р^ р$* . . . pftk) для про-
]) Куммер пользуется другим определением чисел Бернулли, и его.
здесь обозначены через B2j-
218 Гл. 6. Определение числа классов
верки справедливости формальных преобразований:
= у 1
p M *2 'ft „
Из этой формулы непосредственно следует бесконечность множе-
оо
¦ства простых чисел, поскольку из 2И~*> \ x~s dz = {s — I)
j
вытекает, что левая часть равенства A) стремится к оо при s\ 1,
а этого не могло бы быть, если бы произведение в правой части
«одержало лишь конечное число сомножителей.
Говоря коротко, идея вывода формулы числа классов заклю-
чается в следующем. Будем искать аналог формулы A), когда
вместо основной теоремы арифметики для положительных целых
чисел рассматривается тривиальное утверждение о том, что диви-
зор может быть записан точно одним способом в виде произведения
простых дивизоров. Так как норма произведения есть произведе-
ние норм, то это нам даст
p L—
N (P)s
где А пробегает все дивизоры, а Р — все простые дивизоры.
•Функция от s в этом равенстве стремится к оо при s | 1 как постоян-
ная, умноженная на (s — I). Постоянную можно подсчитать
двумя способами — по-разному для каждой части равенства;
то, что получится слева, включит в себя число классов, а спра-
ва — не включит. Приравнивание этой постоянной, подсчитанной
двумя способами, и даст формулу числа классов. Написать формулу
числа классов в замкнутой форме не так легко и требует длинных
выкладок (см. § 6.14), однако все это делается на основе только
одной этой несложной идеи.
На формулу эйлерова произведения опираются многие работы
Дирихле, включая его знаменитую теорему о бесконечности коли-
чества простых чисел в арифметической прогрессии и его столь
же важную формулу для числа классов бинарных квадратичных
форм с заданным детерминантом. Действительно, в обеих теоремах
проводится исследование, как стремятся к оо при s | 1 функции,
аналогичные функции ^jn~s. Таким образом, идея Куммера богата
прецедентами, и исторический подход, подобный принятому
в этой книге, казалось бы, требует исследования этих прецедентов
« тем, чтобы раскрыть основные замыслы в их простейшей форме.
6,2. Формула эйлерова произведения 219
Однако подробное изучение работы Дирихле скорее мешает, чем
помогает усилиям показать идеи в их простейшей форме. Причина
этого в том, что Дирихле, следуя Гауссу, формулировал определе-
ние числа классов в терминах бинарных квадратичных форм.
Лишь в работах Куммера выяснилось, что эту теорию можно
изложить значительно изящнее на языке дивизоров (идеальных
комплексных чисел), благодаря чему стало возможным увидеть
прямую связь (менее прямая связь была понятна и Дирихле)
между формулой эйлерова произведения и формулой Дирихле
числа классов. В терминах теории Куммера формула Дирихле
есть не что иное, как предельный случай при s | 1 обобщения B)
формулы A), когда дивизоры и простые дивизоры, встречающиеся
в B), берутся из арифметики квадратичных целых х + у У D
(см. гл. 9).
По этой причине естественно пропустить работу Дирихле
и перейти прямо от формулы эйлерова произведения к куммерову
обобщению B) в случае круговых целых. Достаточно отметить,
что работа Дирихле дала много ценных указаний, в каких направ-
лениях следует двигаться дальше. Из нее выяснилась не только
важность предельного перехода s \ 1, но и тот факт, что если
сумма N {A)~s разбита в конечное число частичных сумм по
классам эквивалентности дивизоров Л, то предел при s | 1 каждой
из этих частичных сумм будет одним и тем же, и т. д. Добавим,
что Куммер признавал полезность советов, полученных им от
Дирихле при обсуждениях, касающихся нахождения числа клас-
сов.
Однако в письме Якоби от 27 сентября 1847 г. Куммер говорит:
«По-видимому, я вывел эту формулу совершенно не так, как Дирих-
ле, поскольку я никогда не сталкивался с теми трудностями,
о которых говорил Дирихле. Трудности, которые преодолевал я,
носили более субъективный характер и заключались лишь в мало-
интересных выкладках такого типа, с которым я столкнулся,
применяя технику, уже изложенную Дирихле в его исследовании
квадратичных форм». Далее он говорит, что не решается публи-
ковать свой вывод формулы, поскольку, сделав это, он мог бы
лишить математический мир работы Дирихле, которому он,
Куммер, не может никоим образом дать ничего равноценного.
Наконец, Дирихле так и не опубликовал никакого обобщения
своей формулы числа классов, выходящего за рамки квадратич-
ного случая. Было бы, конечно, интересно узнать, какую форму
приняло бы такое обобщение, но скорее из чистого любопытства,
чем по каким-либо математическим соображениям. Кажется более
правдоподобным, что без упрощающих дело понятий теории
Куммера результаты Дирихле были более трудными и менее
общими, чем результаты Куммера, и именно поэтому Дирихле
не публиковал их.
220 Гл. 6. Определение числа классов
6.3. Первые шаги
Как было обрисовано в предыдущем параграфе, формула числа
классов выводится исследованием предельного перехода при s | 1
в формуле эйлерова произведения
где А пробегает все дивизоры круговых целых, а Р пробегает все-
простые дивизоры (круговые целые соответствуют некоторому
фиксированному простому X > 2, для которого ищется число
классов). Этот параграф посвящен простому доказательству
формулы эйлерова произведения A) и основному факту, относя-
щемуся к дзета-функции Римапа.
Первым тагом является доказательство того, что произведение
в правой части A) сходится для всех s > 1. Имеем N {P)~s > О
(это число равно р~и, где р — простое число, делящееся на Р,
а / — его показатель по модулю %). Поэтому первый шаг следует
из основной теоремы о сходимости бесконечных произведений,
утверждающей, что это произведение тогда и только тогда сходит-
ся, когда сходится ряд j^N (P)~s. Для каждого простого числа р
этот ряд содержит е ^ X — 1 членов, равных p~f" ^ р~\ где / —
показатель числа р по модулю "К (или / — 1, если р — X) и е =
= (% — 1)// (или е —¦¦ 1, если р — К). Следовательно, ряд
сходится, и сходимость произведения доказана.
Любое из конечных произведений, пределом которых является
наше бесконечное произведение, равно сумме некоторых слагаемых
ряда V. 7V(i4)~e, а именно, сумме тех слагаемых N (A)~s, для
которых все простые дивизоры дивизора А включены в конечное
произведение. Это вытекает из перемножения абсолютно сходя-
щихся рядов
A _ N (P)-s)-i = 1 + N {P)-s + Л' (P2)-s 4- N (P3)'s +...
с последующей перегруппировкой слагаемых. Отсюда ясно, что
любая конечная сумма ^jiV(^)"s меньше некоторого частичного
произведения {\ A — N (Р)~*)~г, например меньше произведения
по всем простым дивизорам, встречающимся в данной конечной
сумме. Следовательно, бесконечная сумма ^N(A)~S сходится,
и она не превосходит бесконечпое произведение. С другой сторо-
ны, вся сумма ^. N {А)~* больше, чем любая сумма, полученная
из нее отбрасыванием некоторых слагаемых, и, следовательно,
6.4. Преобразование правой части 221
•больше любого частичного произведения. Значит, сумма V]7V (A)~s
больше бесконечного произведения или равна ему. Это доказывает
формулу A).
В ходе вывода формулы числа классов будет необходимо вос-
пользоваться одним простейшим фактом, касающимся формулы
эйлерова произведения
для обычных целых чисел, а именно тем, что функция от s, опре-
деленная этим выражением, при s | 1 стремится к оо как (s — I).
Зто можно доказать следующим образом. Функция от s, определен-
ная равенством B) при s > 1, называется х) дзета-функцией Рима-
на и обозначается через ? (s). Выражение для ? (s) в левой части
равенства B) дает
n = l 1
¦откуда непосредственно следует, что lim (s — 1) t, (s) = 1, т. е.
si 1
? (s) стремится к оо при s| 1 как (s — I), что и требовалось
показать.
Упраж п е ния
1. Функция от s, определенная формулой A), называется дзета-функцией
круговых целых. Покажите, что она стремится к оо при s | 1 тогда и только
тогда, когда сумма обратных величин Ир всех простых чисел р, для которых
р = 1 (mod Я), расходится. [В сумме V j\r (P)~s лишь простые с показате-
лем 1 могут давать расходимость.] Как доказал Дирихле, это утверждение
верно для всех простых Я.
2. Оцените значение произведения (s — 1) ? (s) при s = 1,001.
3. Докажите, что сумма обратных величин простых целых чисел, т.е.
2 A/р),есть расходящийся ряд. Эта знаменитая теорема Эйлера была нача-
лом аналитической теории чисел.
6.4. Преобразование правой части
Формула числа классов получается путем доказательства, что
функция от s в формуле эйлерова произведения при s | 1 стре-
мится к оо как постоянная, умноженная на (s — 1)~1, и подсчета
х) Разумеется, ни Дирихле, ни Куммер так ее не называли, поскольку
их деятельность на мпого лет предшествовала деятельности Римапа.
222
Гл. 6. Определение числа классов
постоянной различными способами в обеих частях равенства.
Иными словами, эта формула получается при помощи умножения
формулы эйлерова произведения на (s — 1) и перехода к пределу
при s | 1. Первый шаг будет состоять в перестройке и преобразо-
вании произведения [] A — N (Р)"») в правой части формулы.
Рассматриваемое произведение можно в явном виде перепи-
сать как
где в бесконечном произведении р пробегает все простые числа,,
отличные от X, а число / для каждого р является, по определению,
таким наименьшим положительным целым числом, что р* =
= 1 (mod К) и е = (К — 1)//. Например, при К = 5 произведение
равно члену A — 5~s)~\ умноженному на
-2
где знак = означает сравнение по модулю 5. Нам будет удобно
разложить па множители и перестроить это произведение так,
чтобы придать ему следующий вид:
и
Р-4
р?0
X
6.4. Преобразование правой части 223-
X
-р=\ /> = 2 Р=Ъ
п
где i =|/—1. Точно так же при К = 7 каждый член, отличный:
от A — 7"'), имеет один из четырех видов: A — P~s)~e,
A _ p-s.)-8 = A _ р-.)-8 A +р-»)-8, A -р-8»)-2 = A -р"8)-2 X
X A — (op~s)~2 A — (o2p~s)~2, где со — примитивный кубический
корень из единицы, либо A — р-**) = A — р"8) A —Рр"8) X
X A - pW A - Р^-')-1 A - Р4р-Й)-Х A - PV')-1. где р-
примитивный корень 6-й степени из единицы. [Таким образом,
Рв = 1, но в меньших степенях р не дает 1. Тогда со есть Р2 или Р4'
и хе — уе = {х — у) (х — Ру) ... (ж — р6г/) — см. упр. 1.] Каждое
такое разложение можно записывать в виде A —р~')~1A — Р; р"8) X
X A — Р^р"') ... A — р^'р"*) при подходящем выборе пока-
зателя / = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (Р3 = —1. Разложения при / = 1 и
7 = 5 совпадают, как и разложения при / = 2 и / = 4.) Кроме
того, } должно равняться 0, если р = 1 (mod 7), равняться 3,
если р = 6 (mod 7), равняться 2 или 4, если р = 2 или 4 (mod 7)r
и 1 или 5, если р г 3 или 5 (mod 7). Этого можно достичь, выби-
рая j в соответствии с правилом: р = 3; (mod 7). Тогда
~ I
В общем случае формула принимает вид (см. упр. 2)
где р — примитивный корень (А, — 1)-й степени из единицы,
у — примитивный корень по модулю ^иво втором произведении
умножение производится по всем простым р, для каждого из
которых / определяется сравнением р == у> (mod К).
224 Гл. 6. Определение числа классов
Произведения }] A — р-'Ьр"»)-1, входящие в эту формулу,
были уже выделены и изучены Дирихле в связи с его работой
о простых числах в арифметических прогрессиях. Под характером
по модулю X понимается комплекснозначпая функция х целого
аргумента п, обладающая свойствами: % (п + X) — % (п), % (пт) =
= % (п) X (та)> % Ф) = 0, % A) Ф 0. Простым упражнением являет-
ся доказательство того, что имеется точно X — 1 характеров
по модулю X и что их можно определить следующим образом.
Пусть у — примитивный корепь по модулю X (в приведенных при-
мерах он равен 2, если X = 5, и 3, если X = 7), и пусть Р — при-
митивный корень (к — 1)-й степени из единицы (в примерах: i,
если % = 5, и р, если К — 7). Тогда для каждого целого к опреде-
лим характер Хь> полагая %k (у) = f5ft, после чего остальные зна-
чения определяются равенствами %h (п) = %h (у3) = %h (уУ = Pjh,
где п = yj (mod X); %k (n) = %k @) = 0, если п === 0 (mod X). Если
% — любой характер по модулю X, то % {уI'1 = % (у^'1) = X A).
ибо у**-1 = 1 (mod X). Так как хA)#0их (IJ = % (I2) = X A),
то зс A) = 1- Значит, % (у)^'1 = 1 и % (у) должно быть степенью
числа р. Так как |3 имеет точно X — 1 различных степеней и так
как % (у) определяет все остальные значения характера %, то
отсюда следует, что имеется точно X — 1 характеров по модулю X,
что и требовалось установить.
При этих обозначениях формулу A) можно переписать так:
-I
где % пробегает все X — 1 характеров по модулю X, а р пробегает
все простые числа. (Заметим, что % (X) = 0 при всех %.) Дирихле
уделил особое внимание этим произведениям по р, которые он
обозначил следующим образом:
-I
Он заметил, что метод, использованный при выводе формулы
эйлерова произведения, дает
6.4. Преобразование правой яаыпи 22Ъ
поскольку, как и раньше, A — % (р) р~')~1 = 2 1х (р) Р"Ц
и перемножением этих выражений по всем простым р получаем
2 х (Pi) х (р*Г ¦¦¦ х (pv)"v р-^Р2 •*"... рЛ8 = 2 х (») «-,
ибо % — характер, а каждое положительное целое число п может
быть единственным образом записано в виде п = рр р^ . . . p%v.
Следовательно, в обозначениях Дирихле правая часть формулы
эйлерова произведения может быть записана так:
щ.
L{s' Хл
гДе Xo> Xi» • • •» Xx-2 — характеры по модулю А,, определенны!
равенством %j (у) = $K
Далее, так как %0 (р) = 1 для всех простых р, исключая X,
11 Хо (ty = 0. то первые два члена образуют A — Аг") L (s, %0) =
= ? (s), где ? (s) = П A — Р'!'1 = 2 га~* — Дзета-функция Ри-
мана. Следовательно, так как lim (s — 1) t, (s) = 1 при s j 1, то
-l)H(l-
HmE)H( ^J
и задача определения, каким способом произведение
П A — ./V (P)~syl стремится к оо при s | 1, сводится к вычислению
предела произведения L-функций Дирихле, стоящего в правой
части. Эта задача была уже полностью решена Дирихле, и Кумме-
ру оставалось лишь использовать решение Дирихле. Это решение
изложено в следующем параграфе.
Упражнения
1. Докажите, что если В — примитивный корень п-й степени из едипицы,
то (х — В;/) (х — В2;/) . . . (х — Bni/) = хп — уп. Какой вид,примет эта фор-
мула, если корень п-ш степени из единицы В не является примитивным?
2. Докажите формулу A).
3. Для Я = 13 найдите два характера % по модулю Я, обладающие тем
свойством, что все их значения вещественны. Напишите первые 15 членов
соответствующего L-ряда в каждом из этих двух случаев. Напишите первые
10 членов ряда для A — % B) 2-»)-1 A — х C)-3-*)т1 в каждом из случаев.
4. Определепие характера по модулю Я никоим образом не зависит от
предположения, что Я — простое число. Следовательно, смысл «характера
15 г. ;1дваряс
226 Гл. 6. Определение числа классов
по модулю 8» ясен. Найдите 4 вещественнозначных характера по модулю 8
и покажите, что других характеров по модулю 8 пе существует.
6.5. Проведенное Дирихле вычисление значений L A, у)
Пусть X — данное простое число, X > 2, % — характер по
модулю X и L (s, %) обозначает функцию
^ on
, _
Характер %, определенный условиями % (га) — 1 при га ф. О (mod X)
и X (w) = О ПРИ га = О (mod А,), называется главным характером
по модулю А,. По причинам, изложенным в предыдущем парагра-
фе, часть вывода формулы Куммера для числа классов заклю-
чается в нахождении предела lim L (s, %) при s | 1 для всех X — 2
характеров %, отличных от главного характера.
Первым шагом в вычислении этого предела будет доказательство
того, что ряд L (s, х) = 2 X (") га~* условно сходится при s >¦ О
(предполагается, что % не является главным характером) и что
L (s, %) есть корректно определенная непрерывная (в действитель-
ности аналитическая) функция при s > 0. Значит, искомый предел
может быть записан в виде ? A, х) = 2 X (и) w~x> причем ряд
условно сходится.
Доказывать, что ряд V х (тг) тг"8 условно сходится при s >¦ 0,
мы будем методом суммирования по частям. Обозначим через S (п)
сумму значений функции % (п), т. е. S @) = 0, S (п) = S (п—1) -+-
+ % (га), так что S (га) = % A) + % B)+ . . . + X (")• Тогда при
условии, что % — неглавный характер, имеем S (X) = 0, поскольку
S (X) есть сумма X — 1 ненулевых значений характера % в неко-
тором порядке, которая равна 1 + Pft + P2h + ¦ ¦ ¦ + P(l~2)ft =
= A - pt*-1) h)/(l - ph) = 0/A — p*) = 0 при р" ^= 1 (если pft =
= 1, то x — главный характер и S (X) = X — 1). Следовательно,
S (X + 1) = S A), S {X + 2) = S B), . . ., S (A, + ra) = S (ra),
откуда вытекает, что S (га) — ограниченная функция. Суммирова-
ние по частям дает
'*W
^ ?00 ^ s(n-
Z 2
/1 = 1 /1 = 1 „=|
S(N)
2 s(n) ±
6.5. Вычисление значений L A, %) 227
поскольку S @) — 0. При N ->¦ оо первый член стремится к 0,
когда s >0, поскольку числитель ограничен, а знаменатель
стремится к оо. Второй член — т. е. ряд — сходится при N —>¦ оо,
в чем можно убедиться, сравнивая его с рядом
являющимся рядом с положительными членами, который схо-
дится при s>0 и притом равномерно для s ^ б > 0. Это дока-
зывает не только то, что ряд L (s, x) — ^j X (n) n~s условно схо-
дится при s >0, но и то, что L (s, ^() есть непрерывная и даже
аналитическая функция переменной s при s > 0 (% — неглавный
характер).
Следовательно, для вычисления предела lim L (s, %) при s | 1
достаточно просуммировать условно сходящийся ряд У % (п)/п.
Это можно сделать, комбинируя условно сходящиеся ряды х)
вида
^т^ — + + -
при значениях х = а, а2, . . ., ах~х, где, как и раньше,| а —
примитивный корень Х-Й степени из единицы. Например, пусть
к — 5 и % — характер по модулю 5, определенный условием
X B) = —1. Тогда наша задача — просуммировать ряд
2 346 7 89 + ТГ
Метод сводится к тому, чтобы записать этот ряд как комбинацию-
рядов
+ + ^+ + ?! + l 1
2 3 4 5
.2 , «4 , а6 , а8 , а10
г) Дирихле в своем выводе для описания функции —log A — х) восполь-
зовался определенным интегралом, а пе условно сходящимся рядом.
15*
228 Гл. 6. Определение числа классов
и (для удобства вычислений) расходящегося ряда
234 5 с 1 - 1
Теперь нужно найти такой набор постоянных с0, си с2, с3, с4,
чтобы выполнялось равенство
1-1 + 1 + 1
2 3 + 4 + 6
Нам будет достаточно, если выполняются равенства
с2а2
-- ! = <г0 + г,а2 + г2«4 + с3«6 + с4а8
12
с2а6 + г3а9 + г4а1
са '2 + са16
= с0 + с,а4 + с2а
(поскольку а6 = 1). Суммирование этих равенств дает 0 =
= 1—1 — 1 + 1 = 5с0, ибо 1+а+а2 + а3 + а* = 1 + а2 + а4 +
+ а6 + а8 = . . . = 0. Аналогично, если первое равенство умно-
жить на а, второе на а и т. д. и все пять равенств сложить,
то получится а — а~2 — а + а = ЪсЛ. Таким способом
очень легко решается вся система 5 уравнений с 5 неизвестными,
и мы находим
со = 0
6.5. Вычисление значений L A, ¦/) 229
(v4- a3- a2+ a
а3 - а- а4 +
5
= -с, с3= -с, с4= с,
Отсюда
1-1+1+1
2 3 4 6
-с, log +с, log
где сг = (а — а2 — а3 -f а*)/5, а выражение log A — а-7') по-
ставлено вместо условно сходящегося ряда а? + '/г ^ + '/з а3-7 -г....
Если бы удалось показать, что эти 4 условно сходящихся ряда
действительно сходятся к числам log A — о^')-1, то отсдода выте-
кало бы, что число 1 —'/г — */з + ХД + Ve— • • - равно числу,
стоящему в правой части приведенного равенства.
Справедливость формулы
для всех комплексных чисел х в круге | х \ ^ 1, кроме ж = 1,
может быть доказана суммированием по частям следующим обра-
зом. Пусть S @) = 0, S (re) = S {п — 1) + ж™. Тогда 5 (и) =
= х + х2 + . . . + хп = {х — zn+1)/(l — x) и | 5 (га) | не пре-
восходит 2/| 1 — ж |. Так как
S{n)-S(n~l)
7
п=\ п=\
п=\ и=2
n= 1
230
Гл. в. Определение числа классов
отсюда вытекает, что при N —>¦ °о ряд, стоящий в левой части,
не только сходится, но сходится равномерно по х на множестве
{ | х | ^ 1, | х — 1 |^е}; достаточно сравнить его со сходящимся
рядом
Следовательно, V хп1п определяет непрерывную функцию пере
менного х для \ х | ^ 1, х Ф 1. Так как при | х | < 1 эта функция
есть log A/A — х)) (элементарный факт из комплексного анализа)
и так как функция log A/A — х)) определена и непрерывна для
| х | ^ 1, х Ф 1, искомая формула A) установлена. Следовательно,
_
1
- «3+ «4
: ~log
a
— a
Х
— «
+log TL"^ Г
1 J
log
+ 2ттт
3 так что A — а2) •
„, B-01)/B-0о) =
где, как и раньше, 0О = а + а4, 0Х — а2 + а
•A - а3) = 2 - 0Х, A - а) A - а4) = 2 - „, A)(о)
= B — 0хJ/B — 0О) B — Эх) = 1 — 0Ь как легко проверить вы-
числением. Заметим, что, поскольку 0О, 0Х— вещественные числа,
меньшие 1, целое число п должно быть нулем, когда используется
вещественная ветвь логарифма log A — 0Х). Кроме того,
@О — 0iJ = 5. Меняя в случае надобности местами 0О и 0Х (замена
а на а2), мы можем считать, что 0„ — 0Х >¦ 0. Тогда 0О — 0Х =
= 1/5, —1 — 20! ^"У 5, 1 — 0Х = C~+ /5)/2, откуда следует
окончательная формула
3 + V5
в случае К = 5, X B) = — 1.
Общая формула для L A,Х) может быть выведена точно такой
же последовательностью шагов. Пусть х — неглавный характер
6,5. Вычисление значений L A, %) 231
по модулю X и а — корень Х-й степени из единицы, причем а Ф 1.
Положим
ХB) ХР) X(f)
"У" + 3 + " 4 "
ЗА-3
Для того чтобы выполнялось это равенство, достаточно потребо-
вать от коэффициентов ch выполнения условий
ft=0
Эту систему уравнений можно решить при помощи умножения
/-го уравнения на a~'v с последующим суммированием. Находим
i-l
В частности, с0 = 0, поскольку сумма значений характера % равна
нулю (% не является главным характером). Следовательно,
где
6v—j^ 2л irS.liа • \ /
Выражение для L A, %), даваемое равенствами B) и C), можно
еще упростить следующим образом. Пусть у — примитивный
корень по модулю X, и пусть а: а^а' — соответствующее сопря-
жение для круговых целых. Тогда в B) естественно записать
X — 1 членов со степенями элемента а в порядке а, аа, а2а, . . .
вместо порядка а, а2, а3, .... (Замечаем, что с0 = 0.) После
этого формула B) приобретает вид
Х.-2
232 Гл. в. Определение числа классов
где bh представляют собой прежние cv, но поставленные в другом
порядке. Действительно, bh = cv, где v = yh (mod К), откуда
h = cv = 4-% х (/К а"у==°*(йь)
(сопряжение а- очевидным образом применяется к линейной ком-
бинации степеней а с комплексными коэффициентами). Пусть р
обозначает % (у). Тогда
j- [о"о + ра"+1а + ¦ • • + р4т"+Л* +•••] =
—г— [а + раа + • • • + р ка ка +•••],
где ц = (К — 1)/2 (см. упр. 3) и где каждая сумма содержит
% — 1 членов. Следовательно,
bh = а% ^ -?j— [
о ^
±—^— \phaha + ph+iah+
X-2
Сомножитель р~^, который участвует в выражении для b0, равен
±1, поскольку (р'гJ=р*|~1 = х(у\г1)-ХA) = 1- Кроме того,
р = Р% где р — некоторый примитивный корень (К — 1)-й степени
из единицы, и ^ — —1. Значит, р~^ = 1, если /четно, ир"^ =
= —1, если / нечетно. Пусть %j обозначает характер по модулю
К, для которого % (у) = р'. Тогда полученные ранее формулы
дают
Х.-2
L A, X/) = (-1/ »гу Ц ГЛ log -j-1^, D)
6,5, Вычисление значений L (i, %) 233-
где
Х.-2
Когда 7 четно, два члена
в формуле для L(l,Xy) можно объединить, и, поскольку-
Р~;ц = 1, a aft+^a комплексно сопряжено с aha, мы получаем
p-jft2 Re log -т=^55- = - 2р->* log 11 - a*a |.
Следовательно,
? A, Xgv) = -2»i2v *2 Pvftlog |1 -a*a |. ((>)¦
ft=0
С другой стороны, когда / нечетно, вещественные части уничто-
жаются и
А-2
L A, X2V+1) = - m2v+i ^ rBv+1)^ lm log -jL
где мнимая часть функции log A — х)-1 определена на окруж-
ности | х | = 1 таким образом, чтобы она была непрерывным
продолжением ветви, принимающей внутри круга значение нуль
для вещественных х. Если х лежит внутри этого круга, то
Re A — а:), как легко видеть, больше 1/2, откуда следует, что-
мнимая часть ее логарифма заключена между —я/2 и л/2. Зна-
чит, это же верно и для Im log A — х)~х при | х \ — 1 (х Ф 1).
Далее, если oha = ei0, то
! ! е-'°/2 e~w/2 giin-OV-i
ei% е-г6/2_ гв/2 , Q , Q
е е — 2( S1H -^ 2sin"o"
1°
где (я — 0)/2 лежит между —я/2 и я/2, так что 0 лежит между
О и 2я. Если выбрать а равным e2ni^, то oka окажется равным
е2м/к в степени yh, и соответствующее 0 равно 2nyhl%, редуци-
рованному по модулю 2я, т. е. 0 лежит менаду 0 и 2я. Значит,.
0 = 2я7ь/А, где целое число yh определено условиями 0 <Ys < ^i-
7й = yh (mod А,). Таким образом, при нечетном j формула прини-
234 Гл. 6. Определение числа классов
мает вид
Х.-2
" —0
/ " —0 \ _
\. 2—/
- const 2 P"Bv+1)ft - «л+1 2 P'BV+1)* ' ( -t) •
fc=0 ft=0
я окончательно
X.-2
2j ^ftP ' ^ i
где m2v+i определено формулой E), X2V+1— характер, определен-
ный условием X2V+1 (у) — P2v+1, и целые числа yh определены
условиями 0 < yk < К, yh ^ yh (mod ?>,).
У и ражнепия
1. Формула для Ь A, х) в случае X = 5, % B) = —1 была получена
в тексте при предположении Эо — Q1 > 0. Если Эо — Эх < 0, то получается
на вид совсем другая формула. Покажите, что обе формулы представляют
одно и то же число.
2. В случае X — 7, % C) = —1 найдите L A, %) с тремя значащими циф-
рами.
3. Покажите, что если ц = (X — 1)/2, то а^а = а.
4. Найдите L A, %) явно для всех неглавных характеров % во всех слу-
чаях при X — 3, 5, 7.
6.6. Предел правой части
Пусть К — данное простое число, у — примитивный корень
но модулю К, Р — примитивный корень (X — 1)-й степени из еди-
ницы (т. е. р^ = 1, р>' Ф 1 при 0 < 7 < А, — 1), и пусть Xj
обозначает характер по модулю X, определенный условием Xj (у) =
= Pj. Тогда %0, Xi' • • •. Хх.-2~ полный список характеров по
модулю X, и, как показано в § 6.4,
( [] A^r) (X2)( A)
где в левой части произведение берется по всем простым дивизо-
рам Р круговых целых, построенных при помощи примитивного
корня Х-& степени из единицы. В § 6.5 было показано, что каждый
¦сомножитель L A, Xj) правой части может быть записан в явном
виде. Именно, если
Х.-2
6.7. Необращение в нуль L-рядов 235
(как обычно, а: а 1-* aV для выбранного примитивного корня у
по модулю X), то
S 2ft
ft=O
(где |х = (Х-1)/2) и
X.-2
T l\ v \ - ЫЛ- m V ,) R-Bv+Ofc •
•*^ \J > A2V+U — ~J~ '"-2V+1 / i rftr >
при этом в определении чисел m2v+i используется значение
сс = е2яг'/\ а целые числа yk определяются условиями 0<Zyk< X,
(
Пусть
и пусть через ф(X) обозначен полипом
= S
S
ft=0
Тогда, поскольку р~1 = рх'~2, р~3 = р^~4, ..., для предела в A)
получается следующее выражение:
.. mjugCA . .. GVi<P (P) Ф (P3) • ¦ • Ф
Вторая часть вывода формулы числа классов состоит в вычис-
лении предела (s — 1) "У, N (A)~s при s | 1. Прежде чем присту-
пить к ней, полезно заметить, что простым следствием получен-
ных формул является необращение в нуль величин L A, х) Для
неглавных характеров %. Ближайший параграф посвящен дока-
зательству того, что L A, %) Ф- 0, а в следующем за ним будет
продолжен вывод формулы числа классов.
6.7. Необращение в нуль 1>-рядов
Основной трудностью в доказательстве теоремы Дирихле о
простых числах в арифметической прогрессии является доказа-
тельство того, что если % — неглавный характер по модулю X
(в теореме Дирихле число X не обязательно простое), то L A, %) Ф
Ф 0. По различным причинам тот же факт требуется при выводе
формулы Куммера числа классов, но в этом случае можно огра-
ничиться самым легким случаем, когда X — простое. В этом слу-
чае утверждение L A, %) ф 0 допускает следующее простое док;
зательство.
236 Гл. 6. Определение числа классов
Пусть % — неглавный характер по модулю К. Нужно показать,
что L A, %) Ф 0. Пусть р = X (v)< гДе Y — примитивный корень
по модулю К. По предположению, pфi. Если рф—1. то р
невещественно и % (у) =¦ р Ф % (у). Таким образом, в случае
р Ф —1 характеры % и % (комплексно сопряженный характеру х)
различны. Так как L A, %) = 2 % (п)/п = L A, %), то отсюда
следует, что в этом случае из L A, %) = 0 вытекало бы существо-
вание двгд: различных неглавных характеров %, для которых
L A, %) = 0. Значит, теорема будет доказана, если мы покажем,
что L A, %) = 0 не более чем для одного неглавного характера %
и что L A, %) Ф 0 для конкретного характера, определенного
условием 1 (у) = —1.
Напомним, что
П A —щру"I = с('9) L (St 7l) L{s'Xz)' ¦ ¦ Л ('v' %}^'
где Xl7 Хг' • • ч Xx.-2— неглавные характеры по модулю ?*-. Кроме
того, функция L (s, Xj) есть предел равномерно сходящейся при
s ^ е > 0 последовательности аналитических функций и поэтому
является аналитической, т. е. ее можно разложить в степенной
ряд в окрестности любого s. В частности, она дифференцируема
при s = 1, и если L A, х>) = 0, то существует предел
lmi
Значит, если L(l,%j) = O для двух различных значений у, то
= iim Г L {s' ъ): • • f i'' x^a) 1 • u-1] • i(8-1) с (g)j =
= конечная величина-0-1 = 0,
что невозможно, поскольку произведение в левой части не менее 1
для каждого s > 1 и, следовательно, при s j 1 не может иметь
пределом 0. Таким образом, равенство L A, %j) = 0 выполняется
не более чем для одного неглавного характера, а значит, разве
лишь для характера %, для которого х (y) = —1 и который являет-
ся характером Хц (гДе ^ = (^ — 1)/2). Для этого характера
утверждение L A, Хц) Ф 0 можно доказать, используя явную
формулу для этого значения.
6.8. Преобразование левой части 237
Так как Хц (у) = 9 = —1> то формулы D), E) из § 6.5 дают
Х.-2
= ±у (а-аа + о2а-...) (log ^-i^ - 1оё TZT
в0 —
A—аа) A—а3а) ...
где 0О — период длины ц, содержащий а, 0Х = а0о и п — целое
число. Первый сомножитель может быть нулем, только если
0О = 0Х. Это невозможно, поскольку из 0О = 0Х = а0о вытекало
бы, что 0О — обычное целое число и в то же время 0 = 1 + 90 -f-
-f- 0х — 1 + 20О, что невозможно. Второй сомножитель может
быть нулем только тогда, когда комплексное число, логарифмом
которого оно является, есть 1, т. е. только тогда, когда числитель
\\ A — cr2v+1a) равен знаменателю |[ A — a2va). Но это невоз-
можно, поскольку их общее значение было бы целым числом (ибо
оно инвариантно относительно а), квадрат которого равен
П A — ava) = TV (I — a) = %, вопреки предположению, что чис-
ло % простое. Это завершает доказательство того, что L A, х) Ф 0
для всех неглавных характеров % по модулю %.
6.8. Преобразование левой части
Вторая половина вывода формулы числа классов требует
вычисления левой части формулы эйлерова произведения
^ I' I )
'N {AY
= I' I IN(P)S )
Точнее, нужно оценить, как растет левая часть при sjl. Для
этого нужно очевидпым образом модифицировать тот прием,
которым пользовался Дирихле при выводе своей формулы числа
классов, и разбить сумму по всем дивизорам на суммы по классам
дивизоров, а затем доказать, что в пределе при s \. 1 все эти сум-
мы равны. Итак, пусть Аг, А2, . . ., Ah— система представителей
дивизоров (см. § 5.3); перепишем нашу сумму так:
2#(Л)-« S N(A)~S+ У. N(A)-'+...+ 2 N(A)~S.
(Перестановка в сумме оправдана абсолютной сходимостью.) Как
подсказывает работа Дирихле,— и это сравнительно легко дока-
238 Гл. 6. Определение числа классов
зать — дело сводится к тому что выписанные слагаемые одина-
ково стремятся к оо при s\\, точнее, предел
Hm's—1) 2 N(A)~S
si 1 A"Aj
существует и одинаков для всех /. Таким образом, если L обозна-
чает этот общий предел, то
lim(s-l) ^]N(A)-s = hL.
si 1
Так как этот предел в предшествующих параграфах был подсчитан
другим способом, не использующим величину h, то чтобы прийти
к искомой формуле для h, нам нужно только найти L.
Основная часть предстоящей нам работы состоит в вычислении
предела L. Ее можно проделать, вычисляя его для какого-нибудь
одного класса эквивалентности дивизоров. Естественно восполь-
зоваться главным классом, т. е. вычислить предел
lim(s-l) 2 N(A)~S----L.
ill A~I
Условие А ~ 1 означет, что А — дивизор некоторого кругового
целого g (а), поэтому сумму под знаком предела можно записать
в виде суммы по круговым целым 2 Ng (a)~s, если только мы
сможем придумать правило выбора среди всех круговых целых,
имеющих данный дивизор А, одного конкретного g (а) с таким
дивизором А. Найти такое правило выбора — это означает, по
существу, изучить структуру единиц этой арифметики. Действи-
тельно, если g (a) — любое круговое целое, то множество всех
круговых целых с тем же дивизором, что и g (а), есть {е (а) g (а):
е (а) — единица}, и задача заключается в том, чтобы выбрать
некоторый конкретный элемент в этом множестве {е (a) g (a)}.
Коль скоро правило выбора^найдепо, искомый предел
[() 2 g\(
Is i 1 g(a) выбрано
по правилу
сравнительно'легко вычислить, если доказать, что сумма отличает-
ся на ограниченную величину от аналогичного интеграла при
s ]. 1. Тогда искомый предел можпо представить как интеграл,
который можно подсчитать с помощью техники интегрального
исчисления. Этот последний шаг апалогичен вычислению предела
оо
lim(s-l) 2 п"
111 n=JV
6.9. Единицы: несколько первых случаев
с использованием того, что при s \ \ сумма отличается на ограци-
оо
ченную величину от интеграла \ х~* dx (ибо, если исключить
с
конечные отрезки, на которых и сумма, и интеграл ограничены,
слагаемое в сумме отличается от значения подынтегральной
функции на величину порядка n~s — (п -j- l)~s ~ (—s) n"", a
сумма таких величин конечна при s^l). Отсюда
lim(s-l) У, «-s=lim(s — 1) Г f x~sdx +
ill ят *-л l' LJ
n=N ¦ с
Jcl-s
= lim (s — 1) -.—f-0 — c°= 1.
Итак, перечислим но порядку, чем мы будем заниматься в
в нескольких ближайших параграфах. Вначале будут изучены
круговые единицы, чтобы вывести правило выбора для выделения
по любому главному дивизору А кругового целого g (а) с этим
дивизором. (На самом деле наше правило выбора будет осуще-
ствлять чуть-чуть меньше этого.) Затем будет вычислен предел L
для главных дивизоров нутем сравнения суммы с интегралом.
Далее, будет доказано, что предел L для других классов дивизо-
ров такой же, как и для главного класса. Наконец, hL будет
приравнено другому выражению того же предела, полученному
в предшествующем параграфе, и формула для h будет выведена
6.9. Единицы: несколько первых случаев
По причинам, объясненным в предыдущем параграфе, вычисле-
ние суммы слагаемых N (A)~s по всем главным дивизорам А тесно
связано со знанием круговых единиц. В этом параграфе изучаются
единицы в случаях % = 3, 5, 7, 11 и 17. Общий случай, который
является простым обобщением этих случаев, излагается в сле-
дующем параграфе.
В § 5.5 было показано, что частное от деления круговой едини-
цы на комплексно сопряженную с ней, т.е. е (а)/е (а), есть сте-
пень числа а. В этом параграфе удобно переформулировать это
утверждение следующим образом: каждая круговая единица есть
степень числа а, умноженная на вещественную единицу. Чтобы
доказать утверждение в этой форме, заметим, что в равенстве
е (а)/е (а) = ak можно считать, не нарушая общности, число к
четным, ибо если к нечетно, то его можно заменить на к + %.
Тогда, обозначив к = 2/, мы можем записать равенство в виде
е (a) a~i = е (а) а). Значит, для единицы Е (а) = е (а) а~}
имеет место равенство Е (а) = Е (а-1), т. е. единица*/? (а) являет-
240 Гл. в. Определение числа классов
¦ся вещественной. Так как е (а) = aJE (а), то это доказывает наше
утверждение.
Таким образом, чтобы найти все единицы, достаточно найти
все вещественные единицы. Сначала рассмотрим случай л. = 3.
В этом случае круговое целое тогда и только тогда вещественно,
когда оно инвариантно относительно единственного сопряжения
а —»• а2, а это верно в том и только том случае, когда оно является
обычным целым числом. Норма обычного целого числа п есть
просто его квадрат п2. Таким образом, единственные веществен-
ные единицы — это +1, и всего имеется точно шесть единиц:
+1, ±сс, +сс2. В этом случае каждый главный дивизор А является
дивизором точно шести круговых целых g (а), и можно написать
лги)-=4 2
А главный
где в правой части стоит сумма по всем круговым целым.
Однако во всех остальных случаях число круговых единиц
бесконечно. Рассмотрим следующий случай % = 5. Здесь элемент
a -f- ba -f- са2 -f- da? -f- еа4 веществен тогда и только тогда, когда
он инвариантен относительно а —* а4, а это верно в том и только
том случае, когда его можно записать в виде а0о -J- Ьвъ где, как
обычно, 0О = a -f- а4, 0Х = а2 + а3. Норма элемента а0о + bQ1
есть квадрат числа (а0о + 68^ (а0х + ЬВ0) = (а2 + Ь2) ОО0! +
+ аЪ (в§ + 0?) = (а2 + Ъ2) Ч4 [@О + 0J2 - @О - е^2] +
+ аЪ Ч2 [@о + 602 + @о - ЭО2] = (а2 + Ъ2) V4 [1 - 5] +
+ аЪ V2 И + 5] = —а2 — Ь2 -\- ЪаЪ. Таким образом, единица
uQ0 -J- bQ1 тогда и только тогда вещественна, когда а и Ъ — такие
целые числа, что a2 -J- Ъ2 — ЪаЪ = ±1. В частности, 0О — ве-
щественная единица. Значит, элементы +1, ±0Oi ±0q = ±B+0i),
+0о = ± (—1 + 28о), . . ., а также их сопряженные являются
вещественными единицами. Единицы в этом списке попарно раз-
личны, и список содержит все вещественные единицы; это можно
доказать разными способами (см. упр. 1), например приспособив
к этому случаю рассуждение, которое будет проведено дальше
в случае % = 7.
Однако даже при помощи столь полного описания единиц еще
не совсем очевидно, как сосчитать сумму ^ N (А)~" по всем глав-
ным дивизорам А. Для этой цели полезно представить себе круго-
вые целые как точки комплексной плоскости, положив, например,
а = еад/5. Тогда имеется десять единиц +а3' на единичной окруж-
ности, десять единиц +а;0о на окружности радиуса | 0О I =
= 2 cos Bя/5), десять единиц ±<х'0о на окружности радиуса
22 cos2 Bя/5) и т. д. Отсюда геометрически ясно, что для каждого
данного отличного от нуля кругового целого g (а) имеется такая
единица е (а), что 1 < | е (а) g (а) | < | 0О |, где 1 • | обозначает
6.9. Единицы: несколько первых случаев 241
модуль комплексного числа; для этого нужно лишь выбрать та-
кое п, чтобы | 0О I" -< | g (а) | < | 0О |n+1, и положить е (а) =
= Q~n. Если ех (а) и е2 (а) — две единицы, обладающие этим
свойством, то ] 0О I < | ех (a) g (а) е2 (а) g (а) | < | 0О |, т. е.
I 9о I < I ех (аУХ е2 (а) I < I 9о I- Поскольку каждая единица
имеет вид ± 0?<#, отсюда следует, что ех (а)е2 (а) может быть
одной из десяти единиц ±1, ±а, ±а2, ±а3, ±а4. Значит, имеется
точно десять единиц е (а), для которых выполняется условие
1 -^ | е (a) g (а) | < | 90 |. Иначе говоря, для данного ненулевого
кругового целого g (а) имеется точно десять круговых целых h (cc),
имеющих тот же дивизор, что и g (а), и лежащих в кольце 1 <J
•< | h (а) | < | 90 |. Значит, формула
А главный l<|g(a)K19o/
сводит сумму по всем главным дивизорам к сумме по круговым
целым.
В следующем случае X = 7 имеется 14 единиц вида +СС-7.
Если двигаться намеченным путем, то сначала нужно изучить ве-
щественные единицы. Круговое целое при % = 7 вещественно тогда
и только тогда, когда оно имеет вид ат]0 + &¦% -j- cr\2, где г\0 =
= а + а, ¦% = а3 + а, т^ = а2 + а— периоды длины 2.
Не очень длинное вычисление (упр. 2) показывает, что норма эле-
мента аг\0 + &¦% + сг]2 равна
[(а + Ъ + сK — 7 (a2b + Ъ*с + с2а + abc)]\
Значит, вещественные единицы — это те элементы аг\0 + &% +
+ сг\2, для которых (а -\- b -\- сK — 7 (a2b + &2с -г с2а + abc) =
= + 1. Далее наша задача заключается в том, чтобы найти все
тройки а, Ъ, с целых чисел, для которых имеет место это равенство.
Эта задача не так уж проста, но она может быть решена следующим
образом.
Заметим сначала, что г\0— единица. Это ясно, например, из
того, что "По = а + а4 = а (а2 + 1) = а (а4 — 1)/ (а2— 1),
поскольку а4— 1 и а2— 1, имея один и тот же дивизор (а — 1),
отличаются на сомножитель, являющийся едипицей. Значит,
¦Hi и ^2 также являются единицами, и выражение ±'Пот1]™т1" (^ т'
п — целые числа) есть формула, дающая большое число веще-
ственных единиц. Так как t]0ti1ti2 = 1 (это легко подсчитать), то
каждая единица вида + 'Чо'ЧГ1'!™ может быть записана в виде iTlS1!!
(г, s — целые). Далее естественно возникают вопросы, различны
ли вещественные единицы ±Ti?r)S и охватывают ли они все вещест-
венные единицы.
То, что единицы ±tiJti* все различны, можно доказать следую-
щим образом. Равенство ±т];т1* = i^^f равносильно равен-
ству +T)J"Rr]|~s = 1, поэтому нам нужно показать, что равенство
16 г. Эдварде
242 Гл. 6. Определение числа классов
'По'1!* = ± 1 возможно лишь при г = 0, s = 0. Будем рассматри-
вать круговые целые как комплексные числа, положив а = е2я*/7.
Тогда значение log | g (a) | определено для всех отличных от
пуля круговых целых g (а), и из лЦл! = + 1 вытекает следующее
соотношение между г и s:
г log | Ло I + * log | Th | = 0.
Применяя к этому соотношению сопряжепие, определяемое заме-
ной a: at—»- а3, можно получить другое соотношение между г и s:
Г log | Т)! | + S log | Т12 | = 0.
Для того чтобы утверждать, что обязательно г = s = 0, достаточ-
но доказать, что определитель из коэффициентов
log | Ло | log | ТЦ |
log | Г]! | log I Tfc I
отличен от нуля. Но это непосредственно ясно, поскольку
log | л о I = log B cos Bя/7)) > 0, log | Л1 I = log (-2 cos Fя/7)) >
>> 0, log | г]2 | = — log | Ло I — log hi I < 0- Следовательно, ве-
щественные единицы ±Лот1? все различны.
Пусть теперь Е (а) = ar]o + Ъг\г -j- сг\г— даппая вещественная
единица. Задача состоит в том, чтобы найти, если это возможно,
такую пару целых чисел (г, s), что ЛоЛ* = =Ь Е (а). Использование
функции log | g (a) | и сопряженной с ней log | g (a3) |, как и
раньше, показывает, что искомое соотношение дает
г log | Ло I + s log | лх ! = log I E (а) |,
A)
г log | лх I + * log | Л2 I = log I E (а3) |.
Так как матрица коэффициентов левых частей имеет ненулевой
определитель, эта система уравнений имеет решение с веществен-
ными г и s при заданной единице Е (а). Достаточно показать, что
г и s обязательно должны быть целыми числами, поскольку тогда
Е (а) л;ГгЛГ8 окажется вещественной единицей, логарифм модуля
которой равен 0, т. е. Е (а) л^ЛГ" = + 1> а это нам и нужно по-
казать.
Итак, пусть Ф: Е (а) *-* (г, s) — отображение вещественных
круговых единиц в rs-плоскость, неявно определенное равенствами
A). Наша задача — доказать, что образ отображения Ф состоит
исключительно из точек с целыми координатами. Заметим, что
Ф A) = @, 0), Ф (ло) = A, 0), Ф Ы = @, 1), а также что
Ф (Ej^E^) = Ф (Е-,) -f Ф (Е2) при покомпонентном ((rlt sx) +
+ (r2, s2) = (rx + r2, sx -j- s2)) сложении точек на плоскости.
Значит, если для некоторой вещественной единицы Е точка
6.9, Единицы: несколько первых случаев 243
Ф (Е) имеет нецелые координаты, то можно найти такую вещест-
венную единицу Е-у, для которой точка Ф {Ег) лежит в квадрате
{ | г | ^ 1/2, | s | ^ 1/2} и имеет нецелые координаты — для
этого нужно лишь положить Ег = Ег\-Рг\~а, где (р, а) — ближай-
шая к (г, s) точка с целыми координатами, так что р —1/2 ^ г ^
<а Р + 4/г> ° — '/'г ^ s ^ ° + '/г- Следовательно, достаточно
доказать, что Ф (Е) может лежать в квадрате { | г | ^ 1/2,
| s | ^ 1/2} только в том случае, когда Ф (Е) = @, 0).
Пусть Е (а) — вещественная единица, для которой точка
Ф (Е) = (г, s) лежит в квадрате { | г \ < 1/2, | s | < 1/2}. Тогда
—$ log К1-4-leg | % К log | Е (а) К i]og ho | + 4
(напомним, что число log \ r[t \ положительно при i = 0, 1 и отри-
цательно при i = 2). Следовательно,
Можно найти чкелевные значения этих границ:
0,667 <. | Е (а) | < 1,499,
0,497 ^ | Е (a3) | < 2,012.
Кроме того, поскольку Е (а) Е (а3) Е (а2) = + У"ЖЕ*4а) = ± 1,
получаем
0,332 ^ | Е (а2) | <. 3,017.
Остается показать, что никакая вещественная единица, отличная
от +1, не может лежать между этими границами.
Идея остальной части доказательства состоит в том, чтобы на-
писать Е (а) = ат]0 -\- Ь'Цу -j- cr\2 и разрешить систему, составлен-
ную из этого уравнения и его сопряженных Е (а3) = аг\х -\- Ъг\2 -\-
+ сг\0, Е (а2) = аг]2 + Ьг[0 + сц^ относительно а, Ъ, с через
Е (а), Е (а3), Е (ее2). Это можно сделать, используя соотношения
из § 4.9. В результате найдем
т^Е (а) + ч\хЕ (а3) + ч\2Е (а2) = 1а — 2 (а + Ъ + с),
Лх Е (а) + ч\2Е (а3) + г\сЕ (а2) = 1Ъ - 2 (а + Ъ + с),
г\2Е (а) + г\0Е (а3) + ^Е (а2) = 1с - 2 (а + Ъ + с).
16*
244 Гл. в. Определение числа классов
Так как Е (а) + Е (а3) + Е (а2) = — а — Ъ — с, то отсюда сле-
дует, что
1а = (Лв - 2) ? (а) + (Л1 - 2) Я (а3) + (т|я - 2) Е (а2),
1Ъ = (Ti! - 2) ? (а) + (т|я - 2) Е (а3) + (т|0 - 2) Е (а2),
7с = (т|я -2)Е (а) + (т|0 - 2) Е (а3) + (Л1 - 2) Е (а2)
Вещественные числа rH, ¦%, гJ нам все известны, а границы для
| Е (а) |, | ? (а3) |, | Ё (а2) | были найдены раньше. Эти сообра-
жения сужают границы возможных значений а, Ъ, с. Так как числа
а, Ъ, с целые, это ограничивает выбор единиц Е (а) — остается
конечное число возможностей, каждую из которых можно проверить
и убедиться, что Ф (Е (а)) не является единицей, лежащей в квад-
рате {| г | ^ 1/2, | s | ^ 1/2}, за исключением случая, когда
Е (а) = + 1.
Подробнее, сочетание полученных нами границ для | Е (a-*) |
и числовых значений T[j — 2 позволяет установить, что числа 1а,
1Ъ и 1с все благополучно меньше 21 по абсолютной величине. Сле-
довательно, а, Ъ и с могут иметь лишь значения 0, +1, ±2, и
вопрос в том, имеется ли среди соответствующих 125 круговых
целых единица требуемого вида. Так как Е (а) тогда и только тогда
является единицей требуемого вида, когда таковой является и
— Е (а), то можно считать, что а ]> 0. Так как (a -j- Ъ -\- сK —
— 7 (a2b + Ъгс + сга + abc) = + 1, то многие из 75 оставшихся
возможностей исключаются, (i) Если а = 0, то имеется 25 возмож-
ностей, из которых 9 (при Ъ или с равном 0) можно сразу исключить.
Случаи Ъ = — с также можно исключить, после чего остается
12 случаев. Можно считать, что Ъ положительно, поэтому остается
только 6 случаев. Из этих круговых целых только 2 являются
единицами, а именно 2х\х + г\2 и т^ + т]2. Поскольку ¦% + г\2 =
= TjoTi!, точка Ф (¦% + т]2) •¦= A, 1) не лежит в квадрате { | г \ ^
^ 1/2, | s | <! 1/2}. Аналогично, 2г]1 -f- r\2 = — т]от^ (метод проб
и ошибок) и Ф Bт)! -f- rj2) не лежит в этом квадрате, (ii) Если
а = 1, то имеется 25 возможностей. Те из них, в которых Ъ или с
равпы нулю, охватывались случаем (i). Из 16 оставшихся 10 не
дают единиц, а 6 единиц таковы: rj0 — rii — rj2T r\0 — ¦% + r]2,
1o + ill — Л2i Ло + ill + Лг. Ло + Л1 + 2П2, Ло + 2tj! + r]2. Пер-
вые три единицы являются видоизменениями одной: гH — гц —
— г|2 = 1 -\- 2гH. Вычисляя значение Ф от этой единицы, можно
найти ее представление в виде ir^;; и установить, что она не
обладает требуемым свойством (упр. 4). Четвертая есть rj0 -(- rii -f-
-\- г]2 = — 1, а пятая и шестая, по существу, не отличаются от
— 1 + Ла = Л?Лг (метод проб и оппбок). Таким образом, среди
этих единиц ни одна не обладает требуемым свойством, (iii) Если
а = 2, то элементы ац0 + &% + сгJ, по существу, совпадают с те-
ми, которые уже проверены в случаях (i) и (ii), кроме тех, для ко-
6.9. Единицы: несколько первых случаев 245
торых Ъ = ±2 и с = ±2. Но в этом случае элемент ar\0 -\- br\1 +
+ сц2 делится на 2 и, следовательно, не является единицей. Это
завершает доказательство того, что функция Ф (Е (а)) всегда при-
нимает целые значения, или, что то же самое, что каждая вещест-
венная единица имеет вид ±t)Jt){.
Сумму 2 N (А)'* по всем главным дивизорам А можно теперь
рассматривать как сумму по круговым целым. В самом деле,
функцию Ф можно определить для всех ненулевых круговых це-
лых g (а) точно так же, как для вещественных единиц Е (а). Мы
просто по определению полагаем, что Ф (g (a)) = (r, s) означает
следующее:
г log | л о I + s l°g | Л1 I = log I g (a) |,
r log | т)! | + s log | тJ | = log | g (a3) |,
где тH, Tin тJ, g (a), g (a3) — комплексные числа, которые полу-
чаются г), если положить a = e2tli^. Тогда Ф (е (a) g (a)) =
= Ф (е (а)) -j- Ф (g (а)) и, когда е (а) пробегает все единицы, сла-
гаемое Ф (е (а)) пробегает все точки rs-плоскости с целыми коорди-
натами. Пусть g (a) задано, и пусть е (а) выбрано таким образом,
чтобы точка Ф (е (а)) = (р, о) была близка к точке Ф (g (a)) = (R, S)
конкретно, пусть р, о выбраны так, что р ^ /?< р + li <*^
-^ 5 < о + 1. Тогда Ф-образ элемента е (а)^ (а) лежит в квад-
рате {0^ г<;1, 0^s<;l}. Пусть cf обозначает этот квадрат.
Тогда каждый главный дивизор есть дивизор некоторого g (a),
для которого точка Ф(#(а)) лежит в #\ Если gx (a), g2 (а) имеют
один и тот же дивизор и если точки Ф (gx (а)), Ф (g2 (а)) обе лежат
в /, то g1(a) = e (a) g2 (a) = akE (a) g2 (a), где е (а) — еди-
ница, а Е (а) — вещественная единица, и точка Ф (g1 (a)) —
— Ф (g2 (a)) = Ф (ak) + Ф (Е (a)) = Ф (Е (а)) лежит в квадрате
{| г | < 1, | s | < 1}. Это приводит к тому, что Ф (Е (а)) = @, 0),
Е (а) = ± 1, поэтому отсюда следует, что имеется точно 14
возможных значений g2 (a), а именно, g2 (a)=± gx (a),±agx (a),...
. . ., ±gc6?i (a). Значит, равенство
А главный <t>(g(a))e<!iP
и дает требуемое представление суммы У N (А)~' в виде суммы по
круговым целым.
В следующем случае К = И можно применить аналогичную
процедуру, но проведение вычислений в явном виде становится
очень длинным. Однако для осуществлепия замыслов Куммера —
когда нужно проверить условия (А) и (В), но не обязательно вы-
х) Если g (a) Ф 0, то целое число Ng (a) отлично от нуля, а поэтому
комплексное число g (a) отлично от нуля и log | g (a) | определен.
246
Гл. 6. Определение числа классов
числять само число классов — выполнять эти вычисления не тре-
буется, и они могут оставаться неявными.
Начиная изучение случая К = 11, сначала заметим, что по тем
же причинам, что и выше, элемент т]0 = а — а = а + а10
есть единица; именно, г\0 = а A + а9) = а (а18 — 1)/ (а9 — 1),
а это есть единица, умноженная на частное двух круговых целых
а7 — 1 и а9 — 1с одним и тем же дивизором (а — 1). Следова-
тельно, сопряженные элемента г|0 также являются единицами. При
примитивном корне у = 2 эти сопряженные обозначаются ¦% =
= а2 + а
а4
= а3 + а
= а5 + а. По-
скольку iflorlirl2rl3rl4 = ^ l^-^lo = ± 1, каждая вещественная еди-
ница вида ±Лот11т12т1зт14 м<эжет быть записана в виде ±T]oTliTl2Tls-
По аналогии с предыдущим случаем естественно спросить, каждая
ли вещественная единица Е (а) есть с точностью до знака единица
этого вида. Если это так, то для г, s, t, и выполняются равенства
=log|?(a)|,
rlog|Tii|
rlog|rl2|
rlog|Tis|
=log|?'(a2)|,
slog|r13|+ilog|rl4|+ulog|rlo|=]og|?(a4)|,
=log|?(a8)|.
( )
-fulog|Tii|
Аналог функции Ф ставит в соответствие каждой вещественной
единице Е (а) четверку вещественных чисел (г, s, t, и), получаемую
решением этой системы 4 уравнений с 4 неизвестными. При этом
нужно еще доказать, что матрица коэффициентов невырожденна.
Анализ этой 4 X 4-системы упрощается ее симметризацией.
Это можно сделать, добавив пятое уравнение г log | гц | + . ..
. . . = log | Е (а18) |, которое вытекает из системы, и добавив в
каждое уравнение пятое неизвестное v с пропущенным коэффициен-
том, т. е. добавив в первое уравнение слагаемое v log | т]4 |, во
второе v log | г\0 | и т. д. Тогда уравнения примут вид
C)
где М есть 5 X 5-матрица
M
log hi i ^
log hi | log|Tb
loghti
iogh2| i°gh
loghal loghi| log|rb| loghil logh2
Nloghil Iogh0| logh,| log|Tj2
6.9. Единицы: несколько первых случаев 247
Эту матрицу можно было бы назвать антициклической, поскольку
в ней элемент на (i, /)-м месте зависит лишь от i + / по модулю 5.
{Говорят, что гс X гс-матрица циклическая, если atl зависит от i — /
по модулю гс. Другой способ выразить то же самое (см. упр. 5) —
это сказать, что линейное отображение (хъ х2, . . ., хп) —>¦
-^¦(x-l, х2, . . ., хп) циклическое, если оно есть полином от отобра-
жения «сдвига», которое переводит (хи х2, . . ., хп) в (х2, х3, . . .
. . ., хп, хг).) На самом деле перестановка столбцов (перестановка
1-го и 5-го и перестановка 2-го и 4-го) превращает М в цикличе-
скую матрицу. Преимущество от этой замеченной нами особенно-
сти заключается в том, что к изучению циклических матриц воз-
можно следующее применение техники анализа Фурье.
Конечномерный анализ Фурье сводится, по существу, к следую-
щему: если р — примитивный корень гс-й степени из единицы, то
п векторов A, р', р2-\ . . ., р~;') при / = О, 1, . . ., п — 1 обра-
зуют базис, относительно которого все циклические матрицы диа-
гоналъны. Это замечание (после того как оно сформулировано)
совершенно очевидно и может быть доказано различными спосо-
бами (упр. 6 и 7). (В бесконечномерном анализе Фурье — для
рядов Фурье и интегралов Фурье — трудности всегда заключаются
в доказательстве сходимости, а не в доказательстве алгебраиче-
ских свойств.) Для циклической матрицы, получающейся из М
перестановкой столбцов,— обозначим ее через М — диагональ-
ная форма по отношению к новому базису имеет на диагонали ком-
плексные числа С], для которых М A, р3, р27, р33, р47) = Cj (I, р3,
92\ Psi, p4J), где р — примитивный корень 5-й степени из единицы.
Следовательно, с}- — первая компонента в строке М A, р3, р23,
р33, р47), представляющая собой выражение
В частности, с0 = log | r|0ri1r|2ri3Ti4 | = log 1=0 и det M = 0.
Таким образом, det М = 0, и система уравнений C) не может быть
решена обращением матрицы М. Однако остальные значения с,
как будет далее показано, все отличны от нуля. Отсюда вытекает,
что два вектора могут переходить в один и тот же вектор под дей-
ствием матрицы М только в том случае, когда их разность кратна
вектору A, 1, 1, 1, 1). Но тогда то же самое верно и для двух век-
торов, имеющих одинаковый образ при действии матрицы М. Сле-
довательно, два вектора вида (г, s, t, и, 0) лишь тогда могут иметь
один и тот же образ при действии матрицы М, когда они совпа-
дают. Но из 4 уравнений системы B) вытекает 5-е уравнение си-
стемы C), поэтому решение системы B), если оно существует,
единственно. Это показывает, что 4 X 4-система уравнений B)
является невырожденной и что для любых 4 значений правых ча-
стей существуют единственные вещественные числа г, s, t, и, удо-
248 Гл. 6. Определение числа классов
влетворяющие системе B). Следовательно, отображение Ф опре-
делено корректно.
Остается показать, что числа си с2, с3, с4 отличны от нуля.
В действительности Куммер обнаружил, что эти числа, по суще-
ству, имеют вид L A, у), так что их нетривиальность оказалась,
следствием теоремы Дирихле о том, что L A, %) фО. Чтобы пайти
связь между с,- и L A, %), заметим, во-первых, что т]0 = а (а2 + 1) =
= а-1 (а4 - 1) (а2 - 1)-\ log | Ло | = log |а4 - 1 | - log | а2 -
— 1 | = log | 1 — ст2а | — log | 1 — ста |. Значит, log | r\h \ =
= log | 1 — ст2+йа | — log | 1 — a1+ka j. Подстановка этого вы-
ражения для log | 11й | в формулу для с, дает
— ст6а| —log|l —ст5а| + pj log|l— o*a\ — p'log|l — ста| +
Далее, число ст5а = а комплексно сопряжено с а. Значит,
log | 1 — стба | = log | 1 — а |, log | 1 — ст6а | = log | 1 — ста |
и т. д. Это дает
—ста| +pMog|l —ст2а| + ... +р" log|l — ст5а| —
— log|l~a| — p'log|l —ста| — ... — p4j" log 11 — a4a | =
Конечно, сомножитель р"-' — 1 отличен от нуля. Если р = р2,
где Р — примитивный корень 10-й степени из единицы, то второй
сомножитель в выражении для cj в точности равен числу, которое
в § 6.6 было обозначено через Cj. Так как числа L A, %27) кратны
числам Cj и L A, %2j) фО, то это и доказывает, что с}- фО.
Этим завершается доказательство того, что система B) действи-
тельно определяет в неявной форме функцию из множества веще-
ственных круговых единиц Е (а) в множество четверок (г, s, t, и)
вещественных чисел. Ясно, что Ф A) = @, 0, 0, 0), Ф (г\0) =
= A, о, о, о), ф ы = (о, 1, о, 0), ф ы = (о, о, 1, о), ф ы =
= @, 0, 0, 1), Ф (ти) = (-1, -1, -1, -1) и Ф (Я^) = Ф (EJ +
-\- Ф (Е2). Отсюда следует, что каждая четверка целых чисел
(г, s, t, и) есть Ф-образ некоторой вещественной единицы Е, а па
самом деле эта четверка является Ф-образом точно двух вещест-
венных единиц zfnSrlirl2rl"j поскольку из Ф (Е) = @, 0, 0, 0) выте-
кает, что log | Е (а) | = 0, откуда Е (а) = ± 1, ибо Е (а) вещест-
венна. Вопрос о том, существуют ли вещественные единицы, от-
личпые от тех, которые имеют вид zt"П2-г|^-г||г1^, равносилен, следо-
вательно, вопросу о том, может ли функция Ф (Е (а)) принимать
нецелые значения.
Как и в предыдущем случае, при поиске вещественных еди-
ниц Е (а) = ar\0 -f ^li + crh + *1з + ^Ь не имеющих вида
6.9. Единицы: несколько первых случаев 249*
lSlirl|rl") можно ограничиться теми единицами Е (а), для кото-
рых точка Ф (Е (а)) лежит в области { | г | ^ 1/2, | s | ^ 1/2,
| t | €^ 1/2, | и | ^ 1/2}. Как и раньше, предположение о том,
что Ф (Е (а)) лежит в этой области, устанавливает границы для
log | Е (а') | и, следовательно, для Е (а') при / = 1, 2, . . ., 5.
Затем из этих границ в сочетании с равенствами
= и т.д.
(которые выводятся точно так же, как и в случае К = 7) полу-
чаются границы для а, Ъ, с, d, e. Но эти числа — целые, поэтому
для Е остается лишь конечное число возможностей. Для каждого
из отобранных круговых целых мы можем вычислить норму и
исключить из рассмотрения те элементы, которые не являются
единицами. Пусть Еъ Е2, . . ., EN — вещественные единицы, ко-
торые в результате остались. Мы можем вычислить Ф (Ег),
Ф (Е2), . . ., Ф (EN) и исключить те Ег, для которых Ф (Et) не
лежит в области { | г | < 1/2, | s | ^ 1/2, \t | < 1/2, | и |< 1/2}.
Если это проделать, то, как и в случае % = 7, обнаружится,
что все Ei исключены, и, таким образом, отсюда следует, что все-
вещественные единицы имеют вид d=Tijrijri*ri^. Однако доказатель-
ство Куммера Последней теоремы Ферма для Я, = 11 не исполь-
зует этого факта; не нужпо выполнять описанные выше очепь длин-
ные вычисления в явном виде, а взамен можно провести рассуж-
дение неявного типа следующим образом.
Если мы наталкиваемся в списке па едипицу Ei, которая не-
имеет вида гЬти'ЧгТ^'Чз, то мы можем так перенумеровать едипицы
списка, что опа будет обозначена через Ег. Затем для каждой из
остальных единиц мы сможем проверить, имеет ли она вид
±t]Jt1«t^t1« или вид ±Ei4ro'4t'4Z'4™- Если это так, то такая единица
исключается из списка. Если же нет, то обозначим ее через Е%
и продолжим процесс. Этот процесс завершается списком Еъ
Е2, . . ., Еп вещественных единиц, обладающих таким свой-
ством: каждая вещественная единица Е может быть записана точ-
но одним способом в виде Е = + Еir\rar\^'r\t2'r\^ при некотором выборе
знака, при некоторых целых числах г, s, i, и и при некотором вы-
боре г = 0, 1, 2, . . ., п, считая, по определению, Ео = 1. Чтобы
в этом убедиться, достаточно заметить, что г, s, t, и можно выбрать
таким способом, что значение функции Ф от Е'ц-гт]-*^]-*'^4 лежит
в области {| г | < 1/2, | в |< 1/2, \t | < 1/2, | и \ < 1/2} и,
следовательно, эта единица содержится в первоначальном списке
Еи Е2, . . ., EN; значит, в силу самого способа получения окон-
чательного списка из первоначального исключением элементов»
250 Гл. 6. Определение числа классов
единица ¦Е'т1о'г11~8г12"*т1з"" есть либо ±1, либо ±-EjiioTl?Tl2Tls точно
для одной из единиц Е-г окончательного списка.
По причинам, которые выяснятся в § 6.14, число га + 1 ве-
щественных единиц окончательного списка, дополненного еди-
ницей Ео = 1, называется вторым сомножителем числа классов и
обозначается через h2. Как было выше отмечено, h2 = 1 в случае
К = 11, по нам это не понадобится.
Теперь сумму чисел N (A)~s до всем главным дивизорам можно
записать в виде суммы по круговым целым, продолжив вначале
функцию Ф на все круговые целые, как это было сделано выше
в случае К = 7. Неявное определение функции Ф равенствами B)
в том виде, как оно есть, точно так же применимо к произвольному
круговому целому g (а), как и к вещественным круговым едини-
цам Е (а). Таким способом Ф определена как функция, отобра-
жающая круговые целые в четверки вещественных чисел, причем
Ф (gi («) ?2 (а)) = Ф (gi (а)) + Ф (g2 (а)). Если теперь А — дан-
ный главный дивизор, например дивизор кругового целого g(a),
то каждое круговое целое, дивизор которого есть А, может быть
записано точно одним способом в виде ±ahEi (а) ^Рт^т^т^^Ка).
Следовательно, Ф-образ круговых целых с дивизором А состоит
в точности из четверок вида Ф (Ег (а)) + Ф (g (а)) + (р, о, т, v)
и па каждую из этих точек отображаются точно 22 круговых це-
лых. Если задана любая из h2 единиц Et (а), то, очевидно, можно
найти одну и только одну такую четверку (р, о, т, v), что эта точка
лежит в области ? = {(г, s,t,u): 0<r<l,0<s<l,0<f<l,
0 s^ и <; 1}. Следовательно, точно 22/i2 круговых целых g (a)
с дивизором А обладают тем свойством, что Ф (g (а)) лежит в У,
и поэтому
А главный ф
Это и есть запись искомой суммы в виде суммы по круговым целым.
В общем случае требуемая процедура является прямым обоб-
щением того, что мы видели в случае К = 11, за исключением од-
ного момента, а именно, выбора базисных единиц т]0, т^, т]2, . . . .
Хотя и верно то, что периоды длины 2 всегда являются единицами,
однако легко указать формулу для единиц, которая, вообще го-
воря, включает больше единиц, чем формула ztr|Srlirl| • • •» ис~
пользованная выше. Эта формула имеет вид
± ak A — ста)«1 A — <Ра)Л ... A - ада)Ч D)
где \i = (К — 1)/2, а целые числа xlt x2, . . ., х^ таковы, что
xi ~т %2 "Ь • • • "Ь х\>. — 0. Такое выражение является единицей,
поскольку каждый член произведения имеет вид единица- A — &)х*,
я произведение сомножителей A — а)*3' исчезает. В случае Я, = 11
6.9. Единицы: несколько первых случаев 251
формула дает не больше единиц, чем формула dbocferiS1!f"ПаЛ"»
кольку г]0 = а + а = а (а2 + 1) = а (а4 — 1) (от —
1 1 ( 2 1
эта
поскольку
— I)-1 = а A — а2а) A — ста), и всегда возможно решить
относительно к, г, s, t, и следующее уравнение:
A _ ста)** A _ст2а)*, _ _ A _ о5а)** = ± сс^'П^'П^П^з =
1—о2а)гA — оа)-гA — озауA—о2а)-3 ... A —
_а4а)-и =
[—ста)~гA — ст2а)г~3A —стза)8"' A —а''а)'~и A —
— ст5а)и,
где данные числа хъ х2, х3, xk, хь удовлетворяют равенству хх +
+ х2 -j- х3 -j- xk -\- х5 = 0. (Действительно, к == г + 2s -j- At +
+ 8u (mod 11), r = —хъ s = —xx — x2, t = —xx — x2 — x3,
и = — a^ — x2 — xs — xk = x5.) Однако в случае К = 17 имеются
единицы вида D), непредставимые в виде 'Ч^чЧЛзЛйЛз'ЛТЛт (см*
упр. 8). Значит, в общем случае лучше попытаться записывать еди-
ницы в виде D), чем рассматривать их как произведения периодов
длины 2 на ±ah. Это и будет сделано в следующем параграфе.
Упражнения
1. Докажите, что при \ = 5 вещественные единицы +0^ @ = a + a*,
/ — целое число) различны [легкая часть утверждения] и охватывают все
вещественные единицы. [Решите уравнение Пелля или воспользуйтесь спо-
собом, предлагаемым в тексте.]
2. Пусть Я = 7 и т|0, tjj, т|2 — периоды длины 2. Вычислите произведение
трех сопряженных элемента ах\0 + 6% + сп2 (а, Ъ, с — целые числа).
3. Докажите, что если Е (а) = ах\а + Ьт|х + . . . + cY)m--1' to ^a =
= (т]0 — 2) Е (а) + (т]х — 2) а? (а) + . . . + (т^ — 2) а»4 Я (а).
4. При \ = 7 запишите 1 + 2т|0 в виде ±t)Jt|j. [Воспользуйтесь либо
методом проб и ошибок, либо предложенным в тексте способом вычисления
значения Ф A + 2т|0).]
71
5. Покажите, что линейное преобразование вида yt = ^] atjxj, матрица
коэффициентов которого циклическая (т. е. ai+1j+x = atj для всех i, /, рас-
сматриваемых как вычеты по модулю и), может быть записано как полином
от линейного преобразования ух = х2, у2 = х3, . . ., ijn_l = хп, уп = хх.
Здесь линейные преобразования понимаются как отображения множества R.71
наборов из п вещественных переменных в себя, поэтому имеют смысл произ-
ведение (суперпозиция) и сумма (поточечное сложение) линейных преобра-
зований.
6. Докажите, что если р — примитивный корень n-й степени из единицы,
то п векторов A, р^, р2з, . . ., р~^") при / = 0, 1. . . ., п — 1 линейно независи-
мы. Это можно сформулировать по-другому: покажите, что система уравнений
71—1
У1 = ^\ p*ixj имеет единственное решение (х0, хх, . . ., ?„-]) для каждого
252 Гл. 6. Определение числа классов
заданного набора (у0, уи . . ., г/п-х). Самый простой способ доказательства
заключается в построении явного решения, как это было сделано для частного
случая Я = 5 в § 6.5. Это даст формулу обратного преобразования Фурье
в этом конечномерном случае. По существу, это есть не что иное, как утвер-
ждение об ортогональности векторов A, рз, . . ., р~^).
7. Покажите, что если М — циклическая матрица, то применение ее
к векторам A, рз, p2i, . . ., р~з) переводит ее в кратную ей матрицу. [Благодаря
упр. 5 достаточио доказать это для преобразования сдвига уг = xt+1, уп = %,
а это тривиально.] Выведите отсюда, что в базисе A, рз, р2з, . . ., p-i) матри-
ца М становится диагональной. Это означает, что если г/г- = ~S\ p*3xj, то при-
менепие матрицы М к вектору у всего лишь умножает каждую координату х$
вектора х на некоторую постоянную cj.
8. В случае К = 17 найдите единицу вида D), которая не является про-
изведением периодов длины 2 на +аА. При каких условиях на К можно ска-
зать, что все единицы вида D) являются произведениями периодов длины 2
па +ah? Условия должны охватывать случаи \ <; 17.
6.10. Единицы: общий случай
Пусть, как обычно, К — простое число, большее двух, и пусть
\х = (К — 1)/2. Тогда для любых целых чисел хъ х2, . . ., х^,
удовлетворяющих условию хх + х2 -\- ... + х^ = 0, круговое
целое
... A — о»а)х» A)
(здесь через а обозначается сопряжение, переводящее а в av,
где у — примитивный корень по модулю X) корректно определено
(несмотря на наличие отрицательных показателей) и является еди-
ницей. Это следует из того, что A — а3а)/ A — а) есть единица
для каждого /, а тогда, как легко заметить, A) является произве-
дением единиц на A — a)*i+K2+ ••• % = A — aH = 1.
Для данного кругового целого g (а) обозначим через Lg (a)
вектор, имеющий следующие \х компонент: log | g (а) |,
log | og (a) |, . . ., log | o^~xg (a) | (через |-| обозначен модуль
комплексного числа при условии a = е*т1х). Если данную круго-
вую едипицу е (а) можно записать в виде A), то, очевидно,
Le (a) = xxL A — aa) -f- x2L A — a2a) -f- . . .
... + x^L A — стРчх). B)
Этим равенством числа хг, х2, . . ., х^ определяются однозначно,
что можно доказать следующим образом.
Рассмотрим \i X ^-матрицу М, столбцами которой являются
векторы L A - aa), L A - a2a), . . ., L A - c^a). Тогда B)
означает, что если умножить М на вектор-столбец (хг, х2, ...
. . ., Xp,), то получится вектор-столбец Le (a). Матрица М аптицик-
лична в смысле предыдущего параграфа, т. е. элемент, стоящий
в i-й строке и ;-м столбце, есть log | 1 — ст'+^а | и, поскольку
и log | z | = log | z |, величина этого элемента
6.10. Единицы; общий случай 253
зависит только от i -f- j по модулю \х. Пусть М — матрица, полу-
чаемая из М путем перестановки столбцов первого с последним,
второго с предпоследним и т. д. Тогда матрица М циклична и диаго-
иализируется базисом A, р3, р23, . . ., р-7), где / = 0, 1, ...
. . ., \х — 1, а р — примитивный корень fx-й степени из единицы.
Следовательно, определитель матрицы М есть произведение чисел
С], определенных равенством М A, р3, . . ., р~?") = С) A, р3, ...
. . ., р~3). Таким образом,
Для / = 0 это дает с0 = log | 1 — ста | + log | 1 — ст2а | + ...
. . .+ log | 1 — ст^а | =у Dog | 1—ста | + log |1— ст2а | +...
... + log | 1 — ст^а |1 = 4- bg N A — а) = log ]/Х Для еле-
дующих значений / = 1, 2, . . ., ц — 1 мы получаем с} = С],
где величина Cj определяется, как в § 6.6, при р = fi~2. Следова-
тельно, det М = log У^Х-С1С2 . . . Сц_!, и так как ни один из
сомножителей здесь не равен нулю (число L A, %2j) Ф 0 кратно
Cj), то М — обратимая матрица. Но М является матрицей коэф-
фициентов системы B) (после перестройки уравнений этой системы),
поэтому отсюда следует, что система B) разрешима, что и требо-
валось показать.
Таким образом, система уравнений B) определяет функцию,
отображающую некоторые круговые единицы в наборы (хи х2, . . .
. . ., Хр,) из ц целых чисел. На самом деле это определение может
быть расширено на все круговые целые g (a). Пусть Ф обозначает
эту функцию, т. е. пусть Ф (g (a)) представляет собой такой набор
(хг, х2, . . ., Хр) из \х вещественных чисел, что
Lg (a) = хгЬ A — ста) + x2L A — ст2а) +. . .
C)
Тогда функция Ф переводит круговую единицу вида A) в набор
(хъ ij, ...,%) ив ц целых чисел, для которых х1 -f- x2 + ...
... + Хц = 0. Обобщая это, можно утверждать, что g (a) тогда
и только тогда является единицей, когда Ф (g (a)) = (хъ х2, ...
. . ., Хц) обладает тем свойством, что хг -f- х2 + • • • + х^ = 0.
Это можно доказать следующим образом.
Сумма компонент вектора, стоящего в левой части C), равна
log | g (a) | + log | ag (a) | + ... + log | o»-1 g (a) |. Так как
log | o*+hg (a) | = log | okg (a) |, эта сумма равна ~ log Ng (a).
С другой стороны, она равна числу хъ умноженному на сумму
компонент вектора L A — ста), плюс число х2, умноженное на
¦Сумму компонент вектора L A — ст2а), и т. д. Поскольку сумма
254 Гл. 6. Определение числа классов
компонент вектора L A — oka) равна -^ log N A — oka) =
= ~2 log Я, для всех /с, отсюда и из C) вытекает, что
± log Ng (а) = --(log),) (Х1 + хг+ ...
Это тождество будет полезно в дальнейшем. В частности, круговое
целое g (a) тогда и только тогда является единицей, когда
xi + Х2 + • • • + хм. == 0) что и нужно было показать.
Будем называть две единицы эквивалентными, если их частное
является единицей вида A). Это же самое можно сказать так:
e-i (а) и е2 (а) эквивалентны, если Ф (ех (а)) — Ф (е2 (а)) имеет це-
лые компоненты (см. упр. 2). Тогда ясно, что каждая единица
е (а) эквивалентна такой единице, Ф-образ которой имеет вид
(хъ х2, . . ., х»), где | хг |< 1/2, \х2 | < 1/2, . . ., | х^ | <1/2.
Имеется лишь конечное число единиц, удовлетворяющих этому
условию, и все они могут быть найдены следующим образом. Из
ограничений | ?i | ^ 1/2, | х2 \ ^ 1/2, . . ., | х^^ \ ^ 1/2 выте-
кает неравенство | х^ | ^ (\х — 1)/2 (ибо для единицы сумма этих
чисел равна 0), а тогда из определения B) функции Ф вытекает,
что все \х компонент вектора Le (a) ограничены, и их границы мож-
но получить в явном виде. Значит, | е (а3*) \ ограничены для всех
/ = 1, 2, . . ., X — 1. Так как е (а) = akE (a), где Е (а) — ве-
щественная единица, скажем Е (а) = ar]0 -f- Ьгц + • • • + ст],^,
где а, Ь, . . ., с— целые числа, а г\0, г\ъ . . ., т^^— периоды
длины 2, то границы для | е (а3") | являются границами для | Е (а3) |,
а этими границами можно воспользоваться в соотношениях
Ял = ft,, - 2) Е (а) + (г\г - 2) оЕ (а) + ...
• • • + (Ла-i ~ 2) о» Е (а),
ХЬ = и т. д.
и получить границы для чисел а, Ь, . . ., с. Но эти числа — целые,
поэтому для них имеется лишь конечное множество возможных
значений, а следовательно, для Е (а) и е (а) = ahE (a) тоже
имеется лишь конечное множество возможностей.
Из этого конечного списка можно исключить все пеединицы.
Таким способом мы получим конечный список Ег (а), Е2 (а), ...
. . ., EN (а) вещественных единиц, обладающий тем свойством,,
что каждая единица эквивалентна одной из Et (a). Не умаляя общ-
ности, можно считать, что Ех (а) = 1, а затем, последовательно
исключая повторения, т. е. отбрасывая те Et (a), которым най-
дется эквивалентная единица среди уже оставленных, мы полу-
чаем, список, обладающий тем свойством, что каждая единицэ
6.11. Вычисление интеграла 255-
эквивалентна одной и только одной единице из списка. Пусть
h2 — число единиц в этом окончательном списке. В другой форме
сказать, что каждая единица е (а) эквивалентна одной и только
одной единице из Ег (i = 1, 2, . . ., h2), можно так: каждая еди-
ница допускает одно и только одно представление в виде
± ahEl A — ста)*! A — о2а)ж2 ... A — о^а)*^. Это дает полное
описание круговых единиц.
Пусть теперь А — главный дивизор, и пусть g (a)— круговое
целое, дивизором которого является А. Для каждой из Уь%
построенных нами единиц Et (а) существует круговое це-
лое gi (а) вида gt (а) = ± акЕг (а) A — ста)*! A — ога)х* . . .
... A — o^a^ng (а), Ф-образ которого имеет неотрицательные
и меньшие числа 1 первые \i — 1 компонент. Действительно, со-
множитель +ah произволен BХ способов выбора), но целые числа
хъ х2, . . ., Хц однозначно определяются условием, что величина
Xj в сумме с /-й компонентой разности Ф (Et (а)) — Ф (g (а)) не-
отрицательна и < 1 для / = 1, 2, . . ., \х — 1, а также условием,
что хг + х2 -+- ... + 2Гц — 0- Следовательно, имеется точно 2к
круговых целых gt (а), удовлетворяющих этим условиям. Но ин-
декс i может принимать любое одно из h2 значений, поэтому най-
дется точно 2kh2 круговых целых вида е (a) g (а) (т. е. круговых
целых, дивизор которых есть А), Ф-образы которых имеют свои
первые \i — 1 компонент ^ 0 и <1. Таким образом, если через
of обозначена область {(хъ х2, . . ., х^): 0 <; хг < 1, 01
. . . , 0 <; Хр,-] < 1, агц не ограничено }, то
А ГЛЭВ1ШЙ Ф
Это и есть требуемое представление левой части в виде суммы по
круговым целым.
Упражнения
1. Докажите, что отношение эквивалентности для единиц, приведенное
в тексте, рефлексивно, симметрично, трапзитивно и согласовано с умноже-
нием.
2. Ясно, что если единицы е1 (а) и е2 (а) эквивалентны, то разность
Ф (et (а)) — Ф (е2 (а)) имеет целые компоненты. Докажите обратное утвер-
ждение.
6.11. Вычисление интеграла
В § 6.3 было найдено, как стремится к оо при s j 1 сумма ^ n~s.
Для этого спачала было доказано, что сумма отличается на огра-
оо
ниченпую величину от соответствующего интеграла \ x~sdx, a
256 Гл. 6. Определение числа классов
затем этот интеграл был вычислен по обычным правилам. Точно
так же, имеется интеграл, отличающийся па ограниченную вели-
чину от суммы 2 Ng (a)"s по всем тем g (a), для которых Ф (g (a))
лежит в #", т. е. в области, с которой мы встречались в предыдущем
параграфе. Это интеграл
N (щоа + w2a2a + ... + uj^a*-'a)"8 dut du2 ... du^, A)
тде щ, u2, . . ., Uj,,!— вещественные переменные, функции N и
Ф, первоначально определенные для круговых целых щоа +
+ и2о2а -j- . . . + и^-^^а (при целых uj), продолжены очевид-
ным образом на произвольные вещественные значения переменных
Uj, а область интегрирования 3) представляет собой множество
всех точек, Ф-образы которых лежат в оР={(х1, х2, . . ., х^):
О <^ хг <С 1, 0 ^ х2 <С 1, . . ., О ^ Хц..! < 1, Хц не ограничено}.
Точнее, пусть g(a) обозначает wxaa + и2а2а + . . . + и^^а,
где uj не обязательно целые, пусть Lg (a) — вектор-столбец
(log | g (a) |, log | ag (a) |,. . ., log | о»-^(а) | ), где | g (a)| —мо-
дуль комплексного числа g (a), если положить a = e2)"A, пусть
Ng (a) — вещественное число g (a) -ag (a) ... a^^g (a), и пусть
ф — функция, определенная неявно формулой Ф (g (a)) =
= (хи х2, . . ., Хц), где
Lg (a) = x-Jj A — оа) + x2L A — a2a) + . . . + x^L A — о*а).
¦Функции Ng (a)~s и Lg (a) определены лишь тогда, когда g (a),
рассматриваемое как комплексное число, отлично от нуля. Это
имеет место тогда и только тогда, когда Ng (a) Ф 0. Значит, с са-
мого начала нужно исключить из области интегрирования S те
точки, для которых Ng (a) = 0. Фактически, для того чтобы изба-
виться от точек, для которых Ng (a)~s велико, естественно исклю-
чить из SS те точки, для которых Ng (a) < 1. При этом не будет
исключено ни одно круговое целое, кроме g (a) = 0. Таким обра-
зом, 3} будет представлять собой множество всех g (a) в простран-
стве переменных иъ и2, . . ., их_х, для которых Ng (a) > 1 и для
которых Ф (g (a)) (которое определено, поскольку Ng (a) Ф 0)
лежит в У.
В следующем параграфе будет показано, что несобственный ин-
теграл A) сходится при s>l и что его значение при s | 1 отли-
чается па ограниченную величину от '^Ng (a)~* (где g (a) — кру-
говое целое из 3). Этот параграф посвящен явному вычислению
интеграла при помощи замен переменных и применения основной
теоремы интегрального исчисления.
6.11. Вычисление интеграла 257
В качестве первого шага этого вычисления произведем ком-
плексную замену переменных: zk = щока -\- u2ah+1a -t-
h1 / 1 2 Я 1 Ч ^
у у р k щ \ 2 t
u?t_1(Th~1a для /с = 1, 2, ..., Я, — 1. Число ст^а ком-
плексно сопряжено числу ака, поэтому z^+p, и zh комплексно со-
З
р p
иряжены для вещественных значений переменных ut. Значит,
если вещественные числа vk, wk определены равенствами zk =
= vh 4- iwh, то Я, — 1 величин иъ v2, . . ., v^, wx, w2, . . ., wu
являются веществепнозпачными функциями от переменных ць
и2, . . ., и*,_1, причем zh --=-¦ yft + iifft, z^+h = vk — iwh. В инте-
грале A) можно следующим образом перейти к неременным vh,
wk. Пусть А — комплексная (Я, — 1) х (Я, — 1)-матрица, опреде-
ляющая преобразование z — Аи. Тогда на основании правил опе-
рирования с дифференциальными формами (см. [El]) dz1dz2 . . .
. . . dz^-i = det A duxdu2 . . . dux-i- С другой стороны,
^-i — (dvL -(- idw^ (dv2 -\- idw2) . . . (dv^ -j- idw^) X
X (dVi — idw^ (dv2 — idw2) . . . (dv^ — idw^) —
= ± 1! (dvh-\-idwh){dvh—idwk)-^± \\ ( — 2idvhdwk) =
= ±{2i)^ dvidwidvzdwz ... dv^dw^,
где знак для пас неважен, поскольку знак вычисляемого интеграла
нам известен как -j-. Подынтегральное выражение равно (IIze)~s =
= {v\ -j- wl)~s (v\ -f- w22)~s . . . (Уд + ^)~s, а область интегри-
рования, которую мы обозначим через 3)', определяется условием
(v^ -\- и>1) (v\ + wl) ... (v^ + w2^) ^з: 1, а также тем, что стол-
бец (log | Zl |, ' log | z2 |, . . ., log | ZA |) - (V2 log | v\ + w\ |,
V2 log | v\ 4-^|, . . ., V2 log I vl. -г и>Ъ I ) имеет вид
xxL A — ста) -f- x2L A — ст2а) + . . . + x^L A — ст^а), где
0 ^ Xj < 1 (для / -— 1, 2, . . ., \i — 1, но не обязательно для
/ — \i). Значит, интеграл становится таким:
"iSr J (у1 + ^Г ••• {vl-Vwl
Определитель, входящий в эту формулу, может быть подсчитан
следующим образом.
Матрица А имеет вид (а^), где atj -— al+i-1a, что зависит лишь
от i -j- j по модулю Я, — 1. Значит, (Я, — 1) X (Я, — 1)-матрица А
антициклична в смысле предыдущего параграфа. Следовательно,
ее определитель может быть подсчитан тем же способом, каким был
подсчитан определитель матрицы М в предшествующем параграфе.
Именно, можно переставить строки (или столбцы) так, чтобы ма-
трица стала циклической, диагонализировать эту циклическую
матрицу, используя базис A, р;', р2;, . . ., р~;) (р — примитивный
17 Г. Пдвардс
258 Гл. 6. Определение числа классов
корень (Я, — 1)-й степени из единицы, j = 0, 1, . . ., Я, — 2)г
и заметить, что определитель есть произведение диагональных эле-
ментов. Точнее, \i перестановок строк (первой и последней, второй
и предпоследней и т. д.) приводят А к циклической матрице А
и умножают ее определитель на (—1)М\ Определитель матрицы А
есть произведепие Я, — 1 чисел а*-^а -f- р;аа + . . . + р~;"ах~2а =
= j] p;'h<Tha. Если / = 0, то это число равно аа -f- a2a + . . .
fc=0
... -г о*-'1/* = a -f- a2 -f- ... -j- a1'1 = — 1. Если же / = 1,
2, . . ., л — 2, то оно равно Я,, умноженному на число, ко-
торое было обозначено через т, в формуле B) из § 6.6. Таким
образом, определитель матрицы А равен ±т1т2 . . . т^_2#ЯЛ~2.
Полезно также сделать следующее замечание, касающееся
определителя det A. Если антициклическую матрицу А возвести
в квадрат, то она заметно упростится. Она превратится в матрицу
(Ьц), для которой
Ъи= ^ ст?+*-»а oh-|/-»a= v oi+ft-i[a ст-^а],
что является суммой сопряженных числа a-a^'a и равняется,,
следовательно, Я, — 1 при / — i = p, (mod (Я, — 1)) и —1 в осталь-
ных случаях. Таким образом, А2 циклична и ее определитель
является произведением тех чисел, на которые домножаются под
ее воздействием векторы A, р;, р2;, . . ., р~;') при / = 0, 1, ...
. . ., Я, — 1. Если / = 0, то А2 умножает такой вектор на (—1) +
+ (- 1) + ... + (Я. - 1) + . . . + (-1) = Я. - (Я. - 1) = 1,
в то время как при / = 1, 2, . . ., Я, — 1 она умножает его на
—1 — р>" — р2* — . . . — (Я, — 1) р^' — ... — р->" = — Я,р^\ Но
р** = — 1, поэтому последнее число есть — Я,, если / четно, и Я,,.
если / нечетно. Значит, det А2 = X (—Я,) Я, (—Я,) . . . (—Я.) Я, =
= ± ЯЛ~2. Это дает
т
(Как нетрудно показать, в действительности в этой формуле стоит
знак + во всех случаях.)
Теперь рассмотрим замену переменных vk + iwk = e9ft+trft»
где 0 < qh < оо, 0 ^ rh < 2л. Тогда —2idvdw =
= (dv + idw) (dv — idw) = eq+{r(dq + idr) eq-ir (dq — idr) =
— — 2ie2g dqdr. Значит, dv-idw-^dv^dw^ . . . dv^div^ = exp Bqx +
+ 2q2 + • • • + 2дц) dq^dr^dq^dr^ . . . dq^dr^. Подынтегральная
функция превращается в произведение выражений (v2 + w2)~* =
— e~2gs, а область интегрирования — в множество 2)", для кото-
рого qx + q2 + •.. + ffp, > 0, вектор (qu q2, . . ., q^) имеет
6.11. Вычисление интеграла 259
вид ? XjL A — а'а), где 0<х7- < 1 при / = 1,2, . . ., ц — 1, и
О ^ rh ¦< 2л (А; = 1, 2, . . ., д). Таким образом, интеграл стано-
вится равным
±Bi)»mim2 .. . т,._2 \ еB~ш^+^+-'^^ dqidridq2dr2 ...
Перенесем все г7, / = 1, . .., [я, в конец и проинтегрируем по ним.
Получим
± B0" Bя)" m,m2 ... m,._2 ( eB-2*)wi+9»4---+Vdg, dqz ... dq»,
Z"
где через й'" обозначена рсекдия области 3 " на пространство
д-координат.
Наконец, рассмотрим замену координат, неявно определенную
равенством q = Мх, где q — вектор-столбец (qx, q2, . . ., q^),
х — вектор-столбец (хг, х2, . . ., х^) и М — антициклическая
\х X ^-матрица (log | 1 — oi+'a |) из предыдущего параграфа.
Тогда, по определению области Щ'", область интегрирования от-
носительно переменных х состоит попросту из тех х, лежащих в of,
которые соответствуют точкам (qx, q2, . . ., q^), удовлетворяющим
условию ?i + ?2 + • • • + ?ц ^ 0. В предыдущем параграфе от-
мечалось, что так как суммы элементов матрицы М по столбцам
все равны »/2 log К то q1 + q2 + . . . + ?ц = V2 (log Я,) (^i +
+ х2 + . . . + Хд). Следовательно интеграл принимает вид
Bл)" т,т2 ... тк_2 det М X
Введем новую переменную t = хх + х2 + • • • + ?ц и проин-
тегрируем по переменным х^ х2, . . ., х^^. Тогда у нас останется
тот же сомножитель, умноженный на интеграл
j ехр [A - s) (log К) t] dt «= [(s- 1) log л].
Следовательно, значение искомой величины A) равно
detAf
т
В предыдущем параграфе (было показано, что Het M =
= (log У К) СхСг . . . Ср,-!- Поскольку М и М отличаются только
17*
261) Гл. 6. Определение числа классов
порядком строк, имеем det М = ± det М. Таким образом, инте-
грал A) равен абсолютной величине выражения
±22ti~1 {mfmlm2 ... mK_?tCz ... Сц_, (*-l)"'.
Этим заканчивается вычисление интеграла.
6.12. Сравнение интеграла с суммой
Пусть / (s) и S (s) обозначают рассматриваемые нами интеграл
и сумму, т. е.
/ (s) = I N (utaa-{- ... — ui_tal-la)'s dut du2 ... dui_u
S (s) = V Ng (a)-\
3)
Мы уже показали, что сумма сходится при всех s > 1 и что пре-
дел lim (s — 1) S (s) при s | 1 существует. Сейчас нам нужно по-
казать, что при всех s > 1 интеграл тоже сходится и при s | 1
произведение (s — 1) / (s) имеет предел, который равен пределу
произведения (s — 1) S (s).
Для того чтобы установить эти факты, полезно изменить мно-
жество f = {fa, . . ., Хд): 0 ^ Xj < 1, . . ., О ^ Хр,^ < 1, Хр,
не ограничено}, при помощи которого была определена область 55.
Это делается по следующей причине. При оценке значений / (s)
и S (s) удобно рассматривать изменения масштаба (иг, и2, ¦ ¦ ¦
. . ., u^_j) I-* {сиъ си2, . . ., си^_х) в пространстве переменных
«i u8, . . ., и^.!, а область 3D, как она определялась ранее, не
инвариантна относительно изменений масштаба. В качестве пер-
вого шага нашего доказательства будет дано определение новой
области 3', относительно которой и интеграл и сумма не изме-
няются, но для которой будет значительно легче производить
изменения масштаба.
Мы выбирали область ~Т, руководствуясь следующим свойством:
для любой заданной точки (хг, х2, . . ., х^) в пространстве пере-
менных хх, х2, . . ., Хр имеется точно один способ выбора таких
целых чисел nu п2, . . ., п^, что пг -\- п2 -(-... + п^ = 0 и
точка (хг -\- щ, х2 -\- п2, . . ., Хр + Пц) лежит в У. Изменению
масштаба в пространстве переменных и1г и2, . . ., и^-\ соответст-
вует под действием функции Ф сложение с вектором, коллипеар-
ным вектору A1, . . ., 1) в прос транстве переменных хг, х2, . . .
. . ., Хр. Этим и обусловлено введение множества -Т' с теми же
свойствами, что и -У, но инвариантного относительно переноса на
векторы, коллинеарные вектору A, 1, . . ., 1). Конкретнее, пусть
of' — множество всех точек пространства переменных хи х2, . . .
6.12. Сравнение интеграла с суммой 26f
. . ., Х^, ДЛЯ КОТОрЫХ 0 ^ Xj — \1~г (хг + Х2 + • • ¦ + Яр,) < 1
при / — 1, 2, . . ., ц — 1. Тогда множества # и <У' состоят из
одних и тех же точек, для которых хх + х2 + ... -)- а:|Х = 0, но
У инвариантно относительно сложения с векторами, коллинеар-
ными вектору A, 1, . . ., 1) (прибавление вектора с A, 1, ...
. . ., 1) к (хг, х2, . . ., Ху) сводится к прибавлению числа с и к
координатам xj, и к их среднему арифметическому
j.1 (хг + х2 -\- ... -г х^), а поэтому оставляет величину xs —
— \1~г (хг -\- х2 -\- . . . + хп) неизменной), тогда как of инвариант-
но относительно сложения с векторами, коллинеарпыми вектору
(О, 0, . . ., О, 1).
Пусть S' — множество точек в пространстве переменных ulT
и2, . . ., u^-i, для которых вьшолняется условие Ng (a) ^ 1
и Ф-образ которых лежит в of. Легко доказать, что of обладает
тем же свойством, что и описанное ранее множество of. Отсюда сле-
дует, что для каждого кругового целого g (а) имеется точно один
способ выбора таких целых чисел w1( п2, . . ., п^, что
пх + п2 + • ¦ • + «ц = 0 и A — aa)"i A — а2а)п2 . . .
... A — а^а)пи g (а) лежит в 5.'. Поэтому
ибо обе части этого равенства равны 2Ш2 2 N (A)~s, где А пробе-
гает все главные дивизоры. В то же время
I (s) — \ N (utoa -Ь ... -\- u^ja^-ia)"8 йил du2 . .. dux^.
3)'
В этом легче всего убедиться, если проследить вычисление инте-
грала I(s) в предыдущем параграфе и заметить, что все рассужде-
ния применимы к области i> ' точно так же, как и к И, за исключе-
нием последнего этана, когда нужно интегрировать выражение
по области <&' вместо <ff. Значение этого интеграла в обоих случаях
равно [(s — 1) log Я,!, что можно проверить, применив замену
переменных уг = хг, . . ., у^^ = ^ц-i, t = хг -\- х2 + ... 4- х^
в случае области З1 и замену уг — хг — \i~lt, у2 — х2 — \i~lt, . . .
. . ., !/„,_! = Жц_! — \1~Ч, t = хг -i- хг + ¦ ¦ ¦ +1ц в случае об-
ласти of.
Пусть область &' разбита па области Zi0 -— {(и) g %': 1 ^
< Nu<2l~1}, пг = {("NS ': 2*-1 <iVu<4^-1}, . . ., Qh ---
— {(и) 6 Ь ': 2h<k~1) < Nu<: 2ih+i> л~ь, . . .}, или, что то же
самое (поскольку область S' инвариантна относительно изменений
масштаба), SLh — {(и) 6 $¦''• B~hu) g So}. Здесь использованы обо-
значения: (и) — (иг, и2, . . ., u^_i), B~ки) -¦ B-huu 2~ftM2, . . .
262 Гл. в. Определение числа классов
. . ., 2~ftu;l_1),1 Nu — произведение всех Я, — 1 сопряженных числа
щаа -\- и2о2а -\- . . . -f- а^^сЛ^а. Пусть равенства S (s) =
- So (s) + S1(s)+St(s)+ .. . и / (s) = /0 (s) + Д (s) +
+ /2 (s) + • ¦ . представляют собой соответствующие разбиения
суммы S (s) и интеграла / (s). Иными словами, пусть 5ft (s) — сум-
ма значений Ng (a)~s по всем круговым целым из $ъ, и пусть
In (s) — интеграл от N (игоа + . . . + uX-io'K-xa)~idu1 du% . . .
. . . du^-i по области 3)h. Поскольку сумма S (s) сходится абсо-
лютно (как ряд с положительными членами), можно суммировать
в предлагаемом порядке; S (s) ¦= So (s) -\- S1 (s) 4" • ¦ • ¦ Для до-
казательства сходимости несобственного интеграла / (s) при s > 1
достаточно доказать, что имеется такой сходящийся ряд б0 (s) +
4- бх (s) 4- б2 (s) + • • ч что | Sh (s) — Ih (s) | < 6ft (s), посколь-
ку это дает: lm (s) 4- /m+1 (s) + . . . 4- In (s) ^ Sm (s) +
+ I 6m (s) | + Sm+i (s) Ь I Sm+1 (s) | 4- ... + Sn (s) + | 8n (s) |,
т. e. / (s) удовлетворяет критерию Коти. Если, кроме того, дока-
зано, что при s \ 1 члены 8fe (s) ограничены членами сходящегося
ряда констант б0 + Si 4- 62 + . . ., то отсюда будет следовать,
что величина | S (s) — I (s) | остается ограниченной при s \ 1,
т. е. предел lira (s — 1) / (s) = lim [(s — 1) 5 (s) + (s — 1) (/ (s)—
— S (s))] существует и- равен lira (s — 1) 5 (s) + 0, а нам это и
нужно. Таким образом, нужная нам теорема будет доказана, если
будут найдены такие оценки | Sh (s) — Ik (s) | < 5k (s), что
j Sfi (s) < ooi причем чтобы для 1 << s ^ 2 мы имели 8fe (s) <
< 6fe, где j 6^<; oo. Конечно, i )и доказательстве этих утвержде-
ний можно ^пренебречь любым конечным числом начальных членов
ряда (ибо как 5ft (s), так и Ih (s) сходятся при s > 1 и оба они огра-
ничены при s } 1). Значит, мы можем сосредоточиться на оценке
величины | Sft (s) — /ft (s) ] для'больших номеров /с,
Пусть пространство переменных ии и2, . . ,, их_х разделено
на «кубы» вида {(и): ] и, — п}- \ ^ 1/2} с единичным ребром, имею-
щие центры в точках (nt, n2, ¦ . ., Ял-i)' все координаты которых
целые. Для данного целого числа к разность Sh (s) — Ih (s) можно
записать как сумму слагаемых по всем кубам, причем каждое сла-
гаемое представляет собой разность между членом суммы Sk (s),
являющимся значением нормы Ng (a)~s в центре этого куба (если
такой существует), и частью интеграла Jh (s), взятой по этому ку-
бу, если таковая имеется. Могут встретиться три типа кубов:
(i) кубы, не содержащие точек из ?Bh;
(ii) кубы, целиком содержащиеся в 2Dh\
(iii) кубы, лежащие на границе области ?j/hl т. е. содержащие
как точки изнутри 3)^, так и точки извне 3h-
Конечно, Д1я кубов типа (i) соответствующие части как 5ft (s),
так и /ft (s), обе рав[ты нулю, а значит, и их разность равна нулю.
6.12. Сравнение интеграла с суммой 263
Остается оценить полную разность между Sk (s) и /& (s) по всем
кубам типов (ii) и (iii). Оценки для этих двух типов кубов совер-
шенно различны, и естественно их разделить. Оценка для кубов
типа (iii) легче, с нее мы и начнем.
Член суммы Sk (s), соответствующий кубу типа (iii), равен О
или N~s, поэтому он не превосходит числа [2fea~1)]~s ==^ 2~ha~1).
Сходным образом, часть интеграла Ik (s), соответствующая тако-
му кубу, не больше чем 2~кЛ~1). Разность двух положительных
чисел по абсолютной величине не превосходит большего из них,
поэтому часть величины | Sk (s) — Ik (s) |, соответствующая кубам
типа (iii), не превосходит числа 2~fea~1), умноженного на количе-
ство таких кубов (для всех s > 1). Но число таких кубов равно
числу кубов, лежащих на границе области й 0, когда пространство
переменных их, и%, . . ., их_х разделено на кубы с ребром 2~к.
Поэтому задача свелась к оценке числа этих кубов. Такая оценка
очень важна в теории интегрирования по областям, подобным об-
ласти if. 0. Используя тот факт, что граница области Si 0 компактна
и невырожденна, легко доказать (см. упр. 1), что число таких кубов
не превосходит константы, умноженной на Bft)x~2. Следовательно,
часть величины | Sh (s) — Ih (s) |, соответствующая кубам типа
(iii), не больше константы, умноженной на 2кЛ~2) 2~к(}-~1) — 2~к
для всех s ^ 1. Поскольку ^ 2~к < оо, этим доказана искомая
оценка для кубов типа (iii).
Теперь рассмотрим кубы типа (ii). Пусть Nes— значение нор-
мы N~s в центре куба. Тогда, поскольку объем куба равен 1, член
суммы Sh ($), соответствующий этому кубу, может быть записан
как интеграл от постоянной функции Ncs по кубу, а часть величины
| Sh (s) — Fh (s) |, соответствующая этому кубу, не больше инте-
грала от | N~s — Ncs | по кубу. Последний в свою очередь не пре-
восходит максимума величины | N~s — Nes \ на кубе. Значит,
естественно искать оценку величины | N~s — Nls |. Согласно ос-
новной теореме интегрального исчисления, величина N~s — Nes
равна интегралу вдоль пути внутри куба от его центра до некото-
рой его точки от выражения d (N~s) = (—s) N~s (dN/N). Значе-
ние величины N~s примерно равно Nes: их отношение N~s/Nes не
превосходит [2ft<^-1']s/[2<fe+1)<x-1)]s = 2~8Л~1) < 2-{Х~1). Таким
образом, | (—s) N~s\ меньше константы, умноженной на Ncs,
причем эта константа не зависит от s. Дифференциальная форма
dN/N инвариантна относительно изменений масштаба (N — одно-
родный полином от ии и2, . . ., их_г), а отсюда легко следует, что
интеграл от этой формы по пути, идущему из центра в другую точ-
ку куба, ограничен одним и тем же числом для всех кубов типа
(ii). (В действительности, как будет показано чуть ниже, эта гра-
ница стремится к нулю при к -> оо.) Таким образом, часть раз-
ности Sk (s) — /ft (s), соответствующая этому кубу, не превосходит
константы, умноженной на Ncs, а полная разность не превосходит
264 Гл. 6. Определение числа классов
константы, умноженной на 5& (s). Такой оценки достаточно, что-
бы доказать сходимость интеграла / (s), поскольку ^] Sk (s) < оо.
Однако при s j 1 это не дает равномерной границы для | S (s) —
— / (s) |, поскольку ряд У] Sk (s) = S (s) стремится к ряду ^ -Л'',
который расходится. Поэтому требуется более тонкая оценка, шо-
торая принимала бы во внимание тот факт, что интеграл от dNIN
мал.
Как мы раньше заметили, интеграл от dNIN между двумя точ-
ками куба типа (ii) равен интегралу от dNIN между образами
этих двух точек после изменения масштаба (и) >-*¦ B~hu). (Заме-
тим, что dNIN = d log N является замкнутой дифференциальной
формой, так что этот интеграл не зависит от пути.) Но эти две
точки лежат в ?*0,и их координаты разнятся не более чем на 2~h
во всех Я, — 1 координатных направлениях. Так как область & 0
ограничена, а функция log N непрерывно дифференцируема на ее
замыкании, то частные производные от log N ограничены на Si о>
а отсюда легко следует, что рассматриваемый интеграл не превос-
ходит константы, умноженной па 2~h. Поскольку Nc ^ 2<fe+1) <^-1',
ATi/a-i) <g; 2fe+1, Шс1/А~и ;> 2~fe, сумма по всем таким кубам не
превосходит константы, умноженной на 3 -^с4, где t = 1 +
-г (Я, — I). Эта оценка имеет место для s ^ 1, и, поскольку
V — сходящийся ряд, наше доказательство завершено.
Упражнение
1. Докажите, что если пространство переменных Uj, u2, ¦ ¦ ., "x-i разде-
лено па «кубы» с ребром 2~k, то имеется такая постоянная В, что общее число
кубов на границе области 3H не превосходит B-2kO.-b для к — 1, 2, . . ..
[Докажите вначале, что граница области Zo компактна и невырожденна
в том смысле, что она может быть представлена как образ конечного числа
(возможно, перекрывающихся) непрерывно дифференцируемых неособых
отображений (к — 2)-мерного куба. В действительности Ф-образ области 3)а
есть куб в пространстве переменных хг, х2, ¦ . ., х^, и с использованием отобра-
жений из предыдущего параграфа можно дать явные параметризации грани-
цы области Zo. По теореме о неявной функции, отсюда следует, что локально
граница области 3)й может быть параметризована посредством к — 2 из
к — 1 координатных функций в пространстве переменных иг, и2, , . ., и^,_,.
Для каждого так параметризованного участка число кубов с ребром 2~«,
которые он может пересекать, равно константе, умноженной на число кубов
в (к — 2)-мерной координатной плоскости, пад которыми оп лежит, причем
константа появляется из-за верхних границ частных производных параметри-
зующей функции. Разумеется, число кубов в координатной плоскости меньше
константы, умноженной Ha2ft^~2'. Так как вся граница покрыта конечным
числом таких участков, то отсюда следует требуемая оценка.]
6,13, Сумма по другим классам дивизоров 265
6.13. Сумма по другим классам дивизоров
В § 6.2 отмечалось, что сумма значений N {A)~s по любым двум
классам дивизоров в пределе при s | 1 одинакова. Иными словами,
lim [ V N {A)-s/ v TV (A)'*} = 1, A)
si 1 A~H Ar-I
где В — данный дивизор, сумма в числителе распространяется на
все дивизоры, эквивалентные В, а суммирование в знаменателе
происходит по всем главным дивизорам. Этот факт, отчетливо пред-
сказываемый формулой Дирихле для числа классов в квадратич-
ном случае, может быть доказан следующим образом.
Пусть В — данный дивизор, а С — такой дивизор, что ВС ~ /.
Тогда из А ~ В вытекает АС ~ /, т. е. А' = АС является глав-
ным дивизором, делящимся на С. Обратно, если А'— главный диви-
зор, делящийся на С, например А' — АС, то частное А удовлетво-
ряет условию А ~ ABC = А'В ~ IB ~ В. Это означает, что
отображение А*-* А С устанавливает взаимно однозначное соот-
ветствие между дивизорами А, эквивалентными дивизору В, и
главными дивизорами А', делящимися на С. Из N (А') —- N (АС) =
= N (А) N (С) следует, что
v, 7V(^)-S= 2 N (C)s N (АС)'* = N (C)s 2 N (A')-s.
А~Н А~В А'~1
С\ А'
Следовательно, доказываемое утверждение можно переформули-
ровать так:
\im[N(Cy 2 N(A)-°/^ N(A)-S}^1.
sj 1 A~I A~I
С I A
Поскольку lim N (С)' ~ N (С), это является утверждением о том,
что в пределе при s \ 1 сумма 2 N (A)~s по всем главным дивизо-
рам равна числу N (С), умноженному па такого же типа сумму,
по только по тем главным дивизорам, которые делятся на С. Те-
перь заметим, что N (С) — положительное целое число, и поэтому,
говоря нестрого, доказываемое утверждение является попросту
утверждением о том, что одно из каждых N (С) круговых целых де-
лится на С.
Более точно, рассмотрим задачу вычисления в пределе при
s \ 1 суммы 2 N (A)~s по всем главным дивизорам А, делящимся
па данный дивизор С. Если L обозначает множество всех круго-
вых целых, делящихся на С, то ясно, что, как и в уже рассмотрен-
ном случае С = /, при s > 1
2
А главный
с ' А
266 Гл. 6. Определение числа классов
Иными словами, для каждого главного дивизора А, делящегося
на С, имеется точно 2Xh2 круговых целых g (а), дивизор которых
¦есть А и Ф-образы которых лежат в ??.
Пусть теперь пространство переменных ии и2, . . ., их_г
разделено на «кубы» с вершинами в точках, все координаты кото-
рых являются целыми числами, делящимися на N (С). Вершины
этих кубов все лежат в L, поскольку из делимости на N (С) выте-
кает делимость на С. Тогда на основании рассуждений из преды-
дущего параграфа получаем
lim
im (s— 1) \
= lim(s—1) "У. N (точка куба) ~s (объем куба).
si 1 ,
по кубам
в 3)
Здесь .можно пренебречь изменением величины N~' в каждом кубе,
а также суммой по всем тем кубам, которые входят в ЗЬ лишь ча-
стично.
Пусть каждая точка (иъ и2, . . ., u^-i) из L поставлена в соот-
ветствие тому кубу, который содержит точки (иг -\- е, и2 -\- г, ...
. . ., ux,-i + е) при всех достаточно малых в. Тогда каждому кубу
отвечает одинаковое число (обозначим его через v) точек из L,
поскольку точка (ut, и2, . . ., u^-i) тогда и только тогда лежит в L,
когда точка (их + nxN (С), и2 + n2N (С), . . ., иХ-! + nX-iN (С))
лежит в L при любых целых пъ п%, . . ., пХ-\. В написанной выше
сумме по кубам можно использовать в качестве значения N~"
среднее из значений Ng (a)~$ no v точкам из L, отвечающих дан-
пому кубу. Тогда долей каждого куба, лежащего внутри &, в рас-
сматриваемой сумме будет слагаемое
где gx (a), g2 (a), . . ., gv (a) — все v точек из L, отвечающих
этому кубу. Отсюда видно, что предел данной суммы равен
Шп(я— l)^^ V
«i i v ^
С другой стороны, предел интеграла, стоящего в левой части равен-
ства, также имеет вид
6.14. Формула числа классов 267
что равно числу 2АЛ2, умноженному на сумму значений N (А)~*
по всем главным дивизорам. Следовательно,
С | А
и утверждение, которое доказывается, принимает вид
V
А это — чисто арифметическое утверждение, в которое не входят
пределы и бесконечные суммы. Его можно очень просто дока-
зать так.
Как было показано в §4.14, норма N (С) равна числу классов
сравнения по модулю С. Так как N (С)^ равно числу круго-
вых целых в кубе с ребром N (С), то искомое равенство N (С)к~г =
— v-N (С) будет доказано, если мы покажем, что каждый из NC
классов сравнения содержит точно по v круговых целых в каждом
кубе. Если g (a) — некоторое круговое целое, то с ним сравнимы
по модулю С те круговые целые, которые представимы в виде
g (a) + h (а), где h (а) делится на С. Иными словами, в простран-
стве переменных щ, и2, . . ., w^-i точки, соответствующие круго-
вым целым в данном классе сравнения {g (a) + h (а)} по модулю
С, составляют сдвиг множества L точек, соответствующих деля-
щимся на С круговым целым. Значит, достаточно доказать, что L
обладает тем свойством, что в любом его сдвиге имеется столько
же точек данного куба с ребром N (С), сколько и в самом L. Оче-
видно, что это верно для сдвигов на 1 вдоль любого из координат-
ных направлений, поскольку каждой точке, выходящей из куба на
одном конце направления, соответствует точка, входящая в куб
на противоположном конце. Но каждый сдвиг есть композиция
сдвигов на 1 вдоль координатных направлений, и, значит, этим
завершено доказательство утверждения A)
НЛ4 Формула числа классов
Пусть h — число классов эквивалентности дивизоров. На ос-
новании доказанного в предыдущем параграфе утверждения о том,
что предел lira (s — 1) ^JV (A)~s одинаков при суммировании по
любому классу, мы можем утверждать, что lira (s — 1) j N (A)~s,
где суммирование происходит по всем классам, равен чис-
лу h, умноженному на предел lira (s — 1) "^ N (А)~\ где сум-
мирование распространено па главный класс. Значит, если фор-
268 Гл. 6. Определение числа классов
мулу эйлерова произведения
^ N(A)-S-- [J A _ JV (
все
дивизоры А
все
простые
дивизоры Р
умножить на (s—1), то в пределе при s\i, как было выше
найдено, мы получим
± h -^- 22д~' (nif mimz ... тх_гС?г ... С^ =•¦
= (_ 2f-1 (i^y т,т2 . .. тх_2С,С2 ... С,_1ф ф) ср (f>3) ... Ф фХ),
что приводится к виду
Это и есть формула числа классов, причем, по существу, в той же
форме, в которой опа была дана Куммером.
Число классов здесь выступает в виде произведения двух со-
множителей, которые традиционно называют первый сомножитель
и второй сомножитель числа классов. Второй сомножитель h2
является положительным целым числом; он был определен в § 6.10.
Вкратце его смысл таков: h2 — это число единиц Ej, которые необ-
ходимы, чтобы можно было любую круговую единицу записать
в виде
± <xhEj A — оа)х' A — а2а)Жг ... A — ам-а)*^
при некотором выборе знака, показателя к = 1, 2, . . ., Я,, ин-
декса / = 1, 2, . . ., h2 и целых чисел хи х2, . . ., хц, удовлетво-
ряющих условию Xi + хг -f ... -+¦ х^ — 0. (В терминах теории
групп h2 — индекс группы единиц вида +ah [] A — ava)xv
в группе всех единиц.) Первый сомножитель, который обозначают
также через hi,
, _ , Ф(Р)Ф(Р») ...
в действительности является целым числом. Конечно, знак выби-
рается так, чтобы это число оказалось положительным. Напом-
ним, что Р — примитивный корень (к — 1)-й степени из единицы,
а ср (X) есть, по определению, полипом ф (X) = 1 + У% -!- 7г^2 +
-г ¦ • • + 7л,-2^^~2' гДе 0 < yj < Я,, 7 = 7i — примитивный ко-
рень по модулю Я, и Yj* = у^ (mod Я,). Итак, в отличие от fe2 сомно-
житель hi задается явной формулой, все члены которой простым
образом зависят от к. В следующем параграфе будет доказано, что
2v-~lhi — целое число. Нетрудно доказать, что hx само есть целое
6.15. Доказательство иррегулярности числа 37 269
число (см. упр. 2 к § 6.15), как и утверждал Куммер, но нам это
не понадобится.
Куммер использовал для обозначения произведения ср (|3) ср (Р3)...
. . . Ф (Р^~2) букву Р, так что формула числа классов принимает
вид
Он также дал описание целого числа h2 как частного двух опреде-
лителей h2 = D/A, но числитель D фактически нельзя найти, не
выяснив структуру группы единиц до такой степени, что уже ста-
нет возможным найти само h2. Поэтому прямое описание числа h2
лучше, чем ото частное определителей. В любом случае вычисление
сомножителя h2 значительно труднее вычисления сомножителя hv
К счастью, как будет видно в следующих параграфах, для того
чтобы доказать Последнюю теорему Ферма для данного К, т. е.
для того чтобы доказать, что выполняются (А) и (В), совсем не
требуется вычислять ни hi, пи h2. В этом и заключается большое
удобство критерия Куммера, сформулированного в терминах чис-
лителей чисел Бернулли.
Упражнение
1. Докажите прямым подсчетом, что первый сомножитель числа классо!
для X — 3, 5, 7, 11, 13 равен 1. Определите знак произведения ф ф) ф ф3) . . .
. . . Ф ф^~2) в каждом из этих случаев.
6.15. Доказательство иррегулярности числа 37
Формула ±Pl{2%)v-1 для первого сомножителя числа классов
предписывает вполне определенные алгебраические выкладки,
которые при малых значениях К можно выполнить и найти это
число (см. упр. 1 к предыдущему параграфу). Случай К .— 37 не
лежит вне достижимости этих выкладок, и Куммер в конце концов
вычислил х) не только этот сомножитель — найдя, что он равен
37,— по также первый сомножитель числа классов для всех про-
стых чисел К < 100. Какая часть этих вычислений была завершена
в течение лета 1847 г., неизвестно, но из того, что известно о ме-
тодах работы Куммера, кажется, вполне можно сказать, что к
тому времени он уже много занимался вычислением конкретных
чисел классов. Во всяком случае, благодаря ли богатому вычис-
лительному опыту или в результате прямого вдохновения, по в
1847 г. ему удалось открыть искусные приемы для решения того
*) См. [К14, стр. 473]. Куммер позже говорил (см. [К15, стр. 199])
что эти вычислепия были выполнепы «не без больших усилий». Он также внес
исправления в случай X — 71. В [К17] Куммер довел эти вычисления
до X = 163 и сделал несколько элементарных замечаний о способе счета.
270 Гл. 6. Определение числа классов
частного вопроса о числе Р/BЯ,)у-~1, который его больше всего ин-
тересовал, а именно узнать, делится ли оно на К, не производя фак-
тического вычисления. Этот параграф посвящеп доказатель-
ству того, что в частном случае К = 37 ответ таков: X действительно
делит первый сомножитель числа классов. В следующем пара-
графе будет показано, как можно использовать ту же технику для
установления необходимого и достаточного условия делимости чис-
ла Р/ BК)>1~1 на К, условия, которое совершенно не зависит от фак-
тического вычисления этого числа Р/ BКУ1~1.
Вычисление степеней числа 2 по модулю 37 дает 1,2,4, 8, 16, 32,
27, . . ., 14, 28, 19, 1, 2, 4, .... Так как эта последовательность
до начала повторения содержит полностью 36 членов, то число 2
есть примитивный корень по модулю 37. Значит, по определению,
цело число Р получается подстановкой в полином
q: (х) = 1 + 2х + 4х2 + 8xs -f 16x4 -f 32x6 + 27х6
. . . + 14*33 + 28а;34 + 19а;35
примитивного корня Р 36-й степени из единицы и вычисления
произведения Р = ср @) ср ф3) ф (Р5) . . . ф ф33) ср ф35). Тогда,
как показано в предыдущем параграфе,
П~- B-37)" <Л*-
В настоящем же параграфе нам предстоит показать, что целое
число h делится на 37.
Не совсем очевидно даже то, что число Р = ф (f>) ф (|33) . . .
. . . Ф (Р36) является целым, а уж тем более что оно делится на
217 -3717, как это должно быть для того, чтобы первый сомножитель
был (как утверждал Куммер) целым числом. Доказательство того,
что Р — целое число, сразу получается из такого общего факта:
если / (Р) = а0 -f- ахр + а2[32 + . . . + ап$п — число, представ-
ленное в виде полинома от примитивного корня $ к-й степени из
единицы, и если / ($) при подстановке вместо $ любого другого
примитивного корня Р' k-ifc степени из единицы дает то же самое
число / (Р) = / (Р'), то число / ф) обязательно целое. [На языке
теории Галуа: любой целый элемент кругового поля &-й степени,
инвариантный относительно группы Галуа, есть целое рациональ-
ное число.] В случае к = 36 примитивный корень $' должен быть
нечетной степенью корня [3, поэтому легко видеть, что подстановка
Р i—*- Р' лишь переставляет нечетные степени корня f>, а значит,
оставляет Р без изменения. Таким образом, тот факт, что Р —
целое число, непосредственно следует из этой теоремы. По поводу
доказательства самой теоремы см. упр. 1.
Главным шагом в доказательстве делимости числа Р на 3717
является применение алгебраического тождества, которое полу-
6.15. Доказательство иррегулярности числа 37 271
чится, если заметить, что ф (х), по определению, совпа-
дает с полиномом 1 + 2х + BхJ + BхK + . . . + Bх)зь =
= [BхK6 — 1]/ Bх — 1), после того как его коэффициенты реду-
цированы по модулю 37. Поэтому умножим полином ф (х) на 2х — 1:
Bх — 1) ф (х) = 0-х + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 + 0.x5 +
+37.хв + 37.x7 + 0-х8 + . . . + 0.x34 + 37-х36 + 38.x36 — 1.
Если подставить в это тождество х = р", р, р, . . ., р6 и пере-
множить все полученные равенства, то найдем, что
Bр - 1)Bр» - 1) ... Bр -\)Р= 3718t (Р) Ч- Ф3) • • • V (Р)>
где if определяется как полином
-ф (х) = 0 • х + 0 • х2 + 0 • х3 + 0 • х4 + 0 • х6 -+ 1 ¦ х6 + 1 • х7 +
+ 0• х8 4- ... + 0-л34 + 1 • х35 + 1 • х36.
(Заметим, что 38р6 — 1 = 37 = 37р6.) Далее, число
Bр" — 1) Bр3 — 1) ... Bр6 — 1) является целым по той же при-
чине, что и число Р, и это целое число может быть явно найдено
посредством формулы
(X - р) (X - р13) . . . (X - р136) = X18 + 1
(обе части равенства являются полиномами с 18 различными корня-
ми р", р, . . ., р"85), из которой получаем
(х - $у) (х - р3г/) ... (х - рг/) = х18 + г/18,
Bр - 1) Bр3 - 1) ... Bр35 - 1) = 1 + 218.
Поскольку 2 — примитивный корень по модулю 37, теорема Ферма
дает 218 = — 1 (mod 37) и, значит, 37 должно делить 218 + 1.
И на самом деле 218 + 1 = 262 145 = 37 -7085. Отсюда
7085 -Р = 37^ (Р) ф (р13) . . . г|; (р36).
Поскольку 37 пе делит 7085 и поскольку if ф) if (Р3) . . . -ф (Р36) —
целое число, это показывает, что Р делится на 3717.
Сходными рассуждениями можно доказать, что Р делится так-
же на 217, и тем самым установить, что первый сомножитель
PI B«37I7 числа классов в самом деле является целым числом.
Однако этот факт нам в дальнейшем не понадобится, и поэтому
его доказательство отнесено в упражнения (см. упр. 2).
Вопрос о делимости целого числа h на 37 совпадает, благодаря
равенству в целых числах 217 -h = ± (Р/3717) «fe2, с вопросом о
делимости на 37 одного из целых чисел Р/3717 или h2. Чтобы дока-
зать, что h делится на 37, достаточно доказать, что Р/3717 делится
на 37, а для этого достаточно доказать, что
гр (Р) г|5 ф3) . . . -ф (Р36) = 0 (mod 37),
272 Гл. 6. Определение числа классов
поскольку отсюда вытекает, что 7085Р делится па 3718. Теперь
заметим, что при подсчетах по модулю 37 число 2 обладает теми же
свойствами, что и число [3, а именно, 236 = 1 (mod 37), но 2> ф
Ф 1 (mod 37) при 0 < /' < 36. Значит, мы можем считать, что
гр (Р) гр № . . . гр (р36) = 1> B) 1> B3) . . . Ц B35) (mod 37),
поскольку все упрощения х), иснользованные для исключения f}
из выражения целого числа в левой части сравнения, можно при-
менить к числу 2 по модулю 37 в правой части. Следовательно, для
того чтобы доказать, что 37 делит первый сомножитель своего числа
классов, достаточно доказать, что одно из целых чисел гр B), гр B3),
гр B5), . . ., гр B35) есть нуль по модулю 37.
Поскольку степени числа 2 по модулю 37 и значения полинома
гр (х) можно без труда выписать в явном виде, легко вычислить
эти 18 целых чисел по модулю 37. Выполнив это, мы найдем, что
чр B31) = 0 (mod 37), а это и доказывает иррегулярность числа 37.
Однако Куммер сумел упростить задачу еще дальше и избежать
даже этого простого вычисления следующим образом. Пусть by,
62, . . ., &зб представляют собой коэффициенты нолинома
ip (х) = ЪуХ + Ъгх- + . . . -|- Ь3вя36, и пусть у0, ух, . . ., 735— коэф-
фициенты полинома ф (х) — у0 + ytx -J- у2х2 -f- • . . + Yss^35' так
что, по определению, 0 < yj < 37. у/ = 2J" (mod 37),
Bх — 1) ф (х) = 37-\р (х) + (х36 — 1) и, следовательно, 2у^-_х —
— у} = 376; при / = 1. 2, . . ., 35 и 2^35 — 1 = 37636- Тогда
Хр BП) = Ь^" + 6222« -f ... + 636236П =
Но ясно, что все 67- равны 0 или 1, а точнее, 6;- равно 0, если
^Yj-.! < 37, и 1, если 2уу_х >37. (Это выполняется и при / = 36.)
Значит, \р BП) —- ^ у1}, где / пробегает все индексы, для которых
у 3-у 25= 19. Здесь можно сделать упрощение, заметив, что у\ ^
{2)п = УпУ?-п откуда
г|5 B") = уп [Ь1Уп0 - Ъгу1 +...+ ЬзвуЪ] (mod 37)
поскольку каждое целое т от 1 до 36 точно один раз встречается
как некоторое уз, а соответствующее bj+y равно 1 тогда и только
тогда, когда т js 19. Значит, для того чтобы определить, делится
ли яр BП) па 37, необходимо и достаточно определить, делится ли
19" + 20" + . . . + 36" на 37.
*) Данное сравнение лучше рассматривать как сравнение но модулю
общего простого дивизора чисел р — 2 и 37. Однако для его установления
требуется теория дивизоров для чисел, построенных из корня р 36-й степени
из единицы, но эта теория не изучалась в гл. 4, поскольку число 36, разу-
меется, не простое.
6.15. Доказательство иррегулярности числа 37 273
Формула для суммы последовательных ге-х степеней была вы-
ведена Якобом Бернулли в XVIII в. В современных обозначе-
ниях эту формулу можно вкратце описать следующим образом.
При любом п = О, 1, 2, ... обозначим через Вп (х) полином, для
которого
ж+1
j Bn{t)dt = xn.
х
Легко видеть, что это тождество определяет единственный полином
п-й степени (упр. 3). Тогда ясно, что
М+1
+ ...+Nn= \ Bn(t)dt +
М+2 JV + 1 JV+1
+ f Bn(t)dt+...+ J Bn(t)dt= j Bn(t)dt,
и нахождение формулы для суммы последовательных п-х степеней,
по существу, сводится к нахождению формулы для Вп (х). Далее,
дифференцирование определяющего уравнения по пределам ин-
тегрирования дает
х+1 х+1
j -?fBn(t)dt = n J Bn^(t)dt,
х х
откуда следует, что dBn (t)ldt = nBn^ (t). Значит, для того чтобы
найти полином Вп (t), достаточно знать 5n_x (t) и Вп @). В явном
виде, обозначив через Вп постоянную Вп @), получаем
В0(х) = 1=В0,
Bi(x)= \ B0(x)dx + const = x + Bl,
Вг (х) = j 2Bi (x) dx + const = хг + 2Btx + Вг,
В3(х)=\ ЗВ2 (х) dx + const = х3 + 35jx2 + 3Bzx + B3,
Bk (x) = xi + ABlX3 + 6B2x* + AB3x + Bt
и, вообще,
18 г. Эдварде
274 Гл. 6. Определение числа классов
где через I \ обозначен биномиальный коэффициент п\1 (п — к)\ И.
Следовательно, вопрос заключается в нахождении так называемых
чисел Бернулли Во, Ви В2, .... Нахождение этих чисел облег-
чается, если заметить, что при п !> 1
О" = j Дя @ ей = Д Aif @>
о
откуда вытекает, что при
Таким образом
¦/*li]
и т. д. Эйлер вычислил значения Вп для и 5^ 30. Для нечетных п,
больших 1, Вп = 0 (упр. 5). Для четных п числа Вп имеют чередую-
щиеся знаки (упр. 6) и очень быстро растут по абсолютной вели-
чине при п-*- оо. Например, последнее из вычисленных Эйлером
чисел равно
_ 8 615 841 276 005
°30 ~" 14322 '
В 1842 г. М. Ом опубликовал в известном журнале Крелля [01 ]
значения всех чисел Бернулли до Z?62 включительно, так что эти
значения наверняка были в распоряжении Куммера в 1847 г.
Итак, рассматриваемые нами суммы равны
37
19»+ 20"+...+36n= f ДЯ(О<Й = Д"*1C7)Т5Я*1A9),
1J9 П +
*) Из этой формулы легко следует описание чисел Бернулли через разло-
жение функции х/(ех — 1), которое было упомянуто в § 6.1.
6.15, Доказательство иррегулярности числа 37 275
где, разумеется, Z?n+! C7) и i?n+i A9) — значения полиномов Бер-
пулли, а не произведения чисел Бернулли на 37 и 19. Так как все
числа ге + 1 = 2, 4, . . ., 36 обратимы по модулю 37, то вопрос
о том, делится ли эта сумма на 37, совпадает с вопросом о том,
верно ли сравнение Вп+1 C7) — Вп+1 A9) = 0 (mod 37). Хотелось
бы сказать, что в силу сравнения 37 = 0 (mod 37) все слагаемые
в Вп+1 C7), кроме свободного члена, можно отбросить. Однако по-
лином Z?n+i (х) имеет рациональные коэффициенты, а не целые, и
поэтому обращаться с ним нужно с особой осторожностью.
Оказывается, число #n+i C7) — #n+i A9) является целым,
несмотря на то что некоторые члены полинома Вп+х (х) нецелые
и даже несмотря па то что каждое из чисел Вп+! C7) и Вп+1 A9)
не является целым (см. упр. 7). Вычисление этого целого числа
требует вдобавок к сложению, вычитанию и умножению еще и деле-
ния, а именно деления на знаменатели чисел Бернулли, встречаю-
щихся в качестве коэффициентов в Вп+1 (х), но все дело в том, что
в итоге получается рациональное число, знаменатель которого
равен 1. Однако, как явствует из приведенной выше формулы для
чисел Бернулли, при п < 35 в вычислениях никогда не потребуется
деление па число, кратное 37; лишь в случае Z?36 приходится делить
на 37, но Взб входит в В36(х) в качестве свободного члена и унич-
тожается в разности /?зб C7) — В36 A9). Следовательно, так как
деление на любое целое число, не кратное 37, по модулю 37 допу-
стимо, то можно выполнить все вычисление по модулю 37, опре-
делив тем самым не само целое число Вп+1 C7) — Вп+1 A9), а
только его вычет по модулю 37. Но это и есть все, что нам тре-
буется.
[Эти рассуждения аналогичны предшествующим, когда для
вычисления целого числа "ф (Р) -ф (Р3) . . . -ф (Р35) по модулю 37
мы брали число 2 вместо р, пользуясь тем, что 2 — примитивный
корень 36-й степени из единицы по модулю 37. Подобным же обра-
зом, дальше мы будем вычислять Вп+1 A9) — Вп+1, полагая 19 га
. = 1/2 (mod 37). Хотя вначале это выглядит очень странно, в дей-
ствительности совершепно естественно придать именно такой смысл
числу 1/2, поскольку оно является тем числом х, для которого
2х = 1, а по модулю 37 это как раз 19.]
Итак, числа Бернулли можно найти по модулю 37 (за исключе-
нием последнего Bse), и сравнение Вп+1 C7) — Вп+1 A9) гз
== 0 (mod 37) становится вполне осмысленным. Поскольку, конеч-
но, 37 = 0 (mod 37), мы непосредственно видим, что все члены
в Вп+1 C7), кроме свободного члена, равны нулю, и остается опре-
делить, является ли Вп+1 — Вп+1 A9) нулем по модулю 37. Кум-
мер достиг этого при помощи остроумного приема: он заметил, что
19 = 1/2 (mod 37), и воспользовался специальной формулой Для
Дп A/2).
18*
276 Гл. 6. Определение числа классов
Нужное тождество может быть выведено следующим образом *).
Из определяющего равенства вытекает, что
2х+1 х+1/2
2тхт = f Bm{t)dt=2 \ BmBu)du;
2х t
с другой стороны,
х+1/2 х+1/2
2»V« = 2m j Bm(t)dt = 2™ J [Дга@ + Дт(* + |")]Л.
х х
Отсюда следует, что
2т [Вт (х) + 5т (х + \) J = 2Вт Bх)
{ибо эти два полинома имеют одинаковые интегралы по всем
интервалам длины 1/2). Таким образом, при х = 0 и т=п-\-\
лолучаем
Bn+i (l/2)-5n+1=B-"-2) Bn+i = A/2)" A-2"+») Bn+l.
Это равенство рациональных чисел можно истолковать так: дей-
ствия сложения, вычитания, умножения и деления, требуемые
для нахождения Вп+1 A/2) — Вп+1, приводят к тому же резуль-
тату, что и эти же действия, требуемые для A/2)" A — 2"+1) Вп+1.
(Оба выражения можно привести к виду ±plq, т. е. их можно
упрощать до тех пор, пока будет требоваться лишь одно умноже-
ние на целое число и одно деление на положительное целое чис-
ло.) То же самое верно, если рассматривать эти действия как
действия над целыми числами по модулю 37, при условии что
не потребуется делить на число, кратное 37. Так как при п <С 36
число Вп не требует деления на 37 и так как деление на 2 по моду-
лю 37 равносильно умножению на 19, то это доказывает, что при
п = 1, 3, 5, . . ., 33
Вп+1 A9) - Вп+1 = 19" A - 2"+1) Bn+1 (mod 37),
при условии что числа Вп+1 рассматриваются как целые числа
по модулю 37, получаемые делением (по модулю 37) числителя
на знаменатель. Правая часть может быть нулем по модулю 37,
только если 2n+1 — 1 или Вп+1 есть нуль по модулю 37, но
*) Этот вывод отличается от вывода Куммера. Куммер считал, что это
тождество ивлучено им впервые ([К14], стр. 478), и Смит ([S3], стр. 117) повто-
ряет это мнение. Интересно, что эта основная формула исчисления разностей
(см. Нёрлунд [N3]) была открыта в ходе исследований по Последней теореме
Ферма.
6.15. Доказательство иррегулярности числа 37 277
2n+1 ^fe I (mod 37) при п = 1, 3, . . ., 33, поэтому мы доказали,
что, за исключением случая п = 35, сравнение 19" + 20" -)-...
. . . + 36" = 0 (mod 37) равносильно утверждению о том, что
числитель Вп+1 делится на 37. Следовательно, задачу выясне-
ния делимости чисел -ф B") на 37 при п = 1, 3, . . ., 33 можно
решить, попросту обратившись к таблице чисел Бернулли и по-
смотрев, делятся ли на 37 числители чисел B2l Z?4, . . .
. . ., B3i. И вот оказывается, что числитель числа В32, равный
7 709 321 041 217 по таблице Ома, делится на 37. (Делимость
на 37 легко усмотреть, если заметить, что 37 делит 111. Поэтому
из того, что числитель B3i равен 111-69 453 342 713 -\- 74, сле-
дует его делимость па 37. Этот же прием позволяет выяснить,
выполняется ли сравнение -ф B") = 0 (mod 37) для других значе-
ний ге = 1, 3, 5, ..., 33. Ответ таков: только "ф B31) делится
на 37.) Таким образом, 3718 делит Р, 37 делит h = ±Р-37-17Х
X 2~17 • h2 и К = 37 не удовлетворяет куммерову условию (А),
т. е. 37 есть иррегулярное простое. Этим завершается доказатель-
ство, бывшее темой этого параграфа.
Упражнения
1. Докажите, что если Р — примитивный корень n-й степени из единицы
11 g (Р) = ао + aiP + • • • + an-iPn"x — полипом от р с целыми коэффици-
ентами, обладающий том свойством, что g (Р') = g (Р) для всех примитивных
корней Р' n-й степени из единицы, то g (Р) — целое число.
2. Докажите, что 2^~1 делит Р. (См. [В2, § 5.5.3].)
3. Покажите, что если р (х) = aNxN + ajv-is-*'-1 + . . . + а0, то равен-
х+1
ство \ р (t) dt=xn однозначно определяет рациональные числа ал>, aN_x, ..,
х
. . ., а0 при условии, что N ^ п.
п
4. Докажите математической индукцией, что Вп (х) = ^\ (?) B)lxn~k.
ft=b
5. Докажите, что Вп A — t) = (—l)n Bn (t). [Прямо используйте опре-
деляющее уравнение для Вп (х).] Установите, что В2пл^ = 0 при п > 0.
6. Исследуйте изменение знака функции Вп (t) при 0 ^ ( ^ 1 и, в част-
ности, докажите, что знаки чисел В2п и В2п+г противоположны при п > 0.
7. Докажите, что если Вп не является целым числом, то Вп (х) не при-
нимает целых значений при целых х.
8. Подсчитайте г|з BП) по модулю 37 прямым использованием определе-
ния при п = 1, 2, . . ., 35.
9. Подсчитайте BQ, Bt, . . ., В10 по модулю 13, построив вначале тре-
угольник Паскаля по модулю 13. Вычислите Вп A/2) по модулю 13 двумй
способами: во-первых, используя 1/2 = 7 (mod 13), а во-вторых, используя
тождество для Вп A/2).
10. Докажите, что г|з B35) не делится на 37. [Один способ состоит в пря-
мом подсчете значения^ B35) по модулю 37. Второй заключается в применении
метода, используемого для общего случая в следующем параграфе. Третий —
следующий: Вт A/2) — Bse= — A/2)зв B" — 1) B" + 1) Вж Таким обра-
зом, для того чтобы показать, что В8в A9) — Bse не делится на 37, дсстаточно
278 Гл. 6. Определение числа классов
показать, что 37?ag. есть; рациональное число, у которого ни числитель, ни
знаменатель пе делятся па 37. Куммер называет это «известным свойством»
чисел Бернулли. (Это частный случай теоремы фон Штаудта.) Так как
37Взв = — [1 + 37Z?i + (Г) В2 + . . . + (f7) B3i], то ясно, что в числе
37Взв отсутствует деление на 73, Разделите 37 Aзв + 2зв+3зв-)-. . . + 36зв) =
= ?3, C7) — ?3, на 37 и, рассматривая это как сравнение по модулю 37,
найдите сравнепио —1 = 37Взв>]
6.16. Делимость первого сомножителя на %
Для того чтобы ответить на тот же вопрос, что и в предыдущем
параграфе (т. е. «делится ли Р/№—1 на КЪ), в случае произволь-
ного простого К, по модулю которого число 2 является примитив-
ным корнем, нужна лишь небольшая модификация проведенных
там рассуждений. Результат таков: число Pl%M—i тогда и только
тогда делится на К, когда числитель одного из чисел Бернулли
В2, ВА, . . ., В%„3 делится па X. Если 2 не является примитивным
корнем по модулю Я, то необходимая модификация менее очевид-
на, но окончательная теорема остается той же самой.
Рассмотрим, например, случай К = 31. Здесь число 2 не являет-
ся примитивным корнем, поскольку 23 = 1 (mod 31). Однако,
как было отмечено в § 4.7, 3 — примитивный корень. При у = 3
находим ф (х) = 1 + Зх + 9х2 + 27х3 + 19х4 -+-...+ 21х29.
Значит, (Зх — 1) ф (х) = О • х + О • х2 -f- 0 • з? + 62 • х* + . . .
. . .-J-63.x80-l = 31 (bxx + b2x2 + . . .+ Ьзохзо) + (х30 — 1), где
bj определяются условиями 316, = 3yj-.x — yj, yj = З3 (mod 31),
О <С yj <С 31. Определив -ф (х) этим равенством (Зх — 1) ф (х) =
= 31i|) (х) -)- (х30 — 1), обозначим через Р примитивный корень
30-й степени из единицы и, перемножив 15 равенств, полученных
заменой х = |3; при / = 1,3,..., 29, найдем, по определению
Р, что
(З15 + 1)Р = 3115г|5 (Р) ф (р3) . . . ф (р29).
Далее, З15 + 1 делится на 31, поскольку (З13J = 1 (mod 31)
(теорема Ферма), но З15 ф 1 (mod 31) C — примитивный корепь).
Однако З15 -\- 1 не делится на 312, поскольку, как показывает
короткий подсчет, З15 -\- 1 ^ 7 -31 (mod 312). Зпачит, найдеппое
равенство показывает, что Р делится на 3114 и что частное тогда
и только тогда делится на 31, когда "ф (Р) "ф (Р3) . . . я|) (Р29) ^
= 0 (mod 31). Но -ф (р) гр (р3) . . . яр (р29) = яр C) яр (З8) . . . яр (З29)
(mod 31) (ибо по модулю 31 целое число 3 удовлетворяет всем
соотношениям, которым удовлетворяет Р), поэтому выяснение
гого, имеет ли место сравнение Р/3114 = 0 (mod 31), равносильно
выяснению того, является ли нулем по модулю 31 какое-либо из
целых чисел яр C), яр (З3), . . ., яр (З29).
Далее, имеем яр (Зп) = ^З" + 6232П + . . . + 63о3ЗОп =
Ь \ 6? b (З)п + & (З)"
1Уг + г4\ + + зо7?о i (То) 2
= Уп LbiTo + Ь2У* + • • • + Ьзоу"9], где Ъ} определены условием
6.16. Делимость первого сомножителя на Я 279
3167- = 3v/-i — yj. Так как —31 < — yj < 316, < З^-i < 3 • 31,
то —1 <С bj <С 3, т. е. Ъ] = 0, 1 или 2. Кроме того, если bj = О,
то число Зу/-1 = У) лежит между 0 и 31, если bj = 1, то число
Зу,-_! = 7.7 + 31 лежит между 31 и 2-31, и если bj = 2, то число
Зу/-! = 7^ + 2-31 лежит между 2-31 и 3-31. Иными словами,
bj = 0 при 7;_! = 1, 2, . . ., 10; bj = 1 при уы = 11, 12, ...
. . ., 20 и bj = 2 при Y./-1 = 21, 22, . . ., 30. Поскольку каждое
целое число от 1 до 30 встречается точно один раз в качестве у/>
отсюда следует, что
Ч>C") э=у„[11" + 12п+. ..+20" + 2.21"+2.22п+...
... + 2.30"] (mod 31).
Так как уп ф 0 (mod 31), то вопрос о делимости этого целого
числа на 31 совпадает с вопросом о делимости на 31 целого числа
+ ... + 30") =
Вп ft) dt= В™ C1)~В f
11 21
За исключением случая и = 29, все числа Берпулли, входящие
в это равенство, можно рассматривать как целые числа по модулю
31 (т. е. они не требуют деления ни на какое кратное числа 31),
и, поскольку Вп+1 C1) = Вп+1 @) = Вп+1 (mod 31), отсюда выте-
кает, что -ф C") = 0 (mod 31) тогда и только тогда, когда
Вп+1 A1) + Яп+1 B1) = 2Вп+1 (при п = 1, 3 27, но не
при п = 29).
Далее, имеем 3-11 = 2 (mod 31) и 3-21 = 1 (mod 31),
так что рассматриваемое сравнение можно переписать в виде
Вп+1 B/3) + Вп+1 A/3) = 2Вп+1. Прием, использованный в пре-
дыдущем параграфе при выводе тождества для Вп A/2), непосред-
ственно обобщается, и мы получаем
Зх+1 х+1/З
J J
+ +/
= J Bm(t)dt = S J Вт{Ъи)йи,
З
J J
Зх х
х+1 х+1/З
Зтхт = Зт J Bm(t) dt=3m j \Bm(t)+Bm(t+l/3)+Bm(t+2/3)]dt,
X X
З1"^ (Зх) = Вт (х) + Вт(х +1/3) + Вт (у + 2/3),
8»+i + «п+1 A/3) + 5п+1 B/3) = 3-»Дп+1.
Рассматриваемое сравнение принимает вид
o~nBn+i ^ 3Z?n+1, *
=0 (mod 31),
280 Гл. 6. Определение числа классов
а это сравнение при п = 1, 3, . . ., 27 верно в тех и только тех
случаях, когда числитель числа Вп+1 делится на 31. По таблице
чисел Бернулли можно проверить, что это не выполняется ни для
какого из случаев п = 1, 3, 5, . . ., 27, т. е. г|з C") ф 0 при
п = 1, 3, . . ., 27.
Обратимся к случаю п = 29. В этом случае можно прямо
доказать, что "ф (З29) ф 0 (mod 31). Это делается так. Пусть
З30 — 1 = (З15 — 1) (З15 + 1) = 31v, где, как уже отмечалось,
v не делится на 31. Тогда определяющее полином -ф равенство,
а именно (Зх — 1) ф (х) = 31г|з (х) -\- (я80 — 1), при х = З29 дает
(З80 - 1) ф (З29) = 31 г|5 (З29) + (З30J9 — 1, Уф (З29) = г|5 (З29) +
+ [A + 31vJ9 — 1J--31. По определению полинома ф мы непо-
средственно видим, что ф (З29) = 1 + З80 + З60 + . . . = 1 -f
+ 1 + ...+1=30=—1 (mod 31). Следовательно, ij) C29) =
= vy (З29) — 29v — (f) v231 — . . . = — v — 29v = v ф 0 (mod 31),
что и требовалось показать.
Для выснения делимости Р на степени К в общем случае можно
использовать сходную технику. Пусть К — нечетное простое число
и у — примитивный корень по модулю Я. Пусть ср (х) = 1 -)-
+ 4ix :f 7гх2 + • • ¦ + Ук-^~2> гДе У) определяется условиями
Yj ^ у3 (mod X), 0 <С Yj <С Я. Тогда, по определению, Р =
= Ф (Р) Ф (Р3) • • • ф (Р^~2)> где р — примитивный корень
(X — 1)-й степени из единицы. Определим г|з (х) равенством
{ух-1) Ф (х) = Хг|5 (х) + (a*-i -1), где ф (х) = Ъхх + 62х2 + .. .
. . . + ^>%-\^%~г, kbj = yy^-i — JS' Тогда перемножение равенств
GPJ - 1 > (Pj) = М> (Р;) при 7 = 1, 3, . . ., X - 2 дает
(/+1) р=^ (р) ^(рз) —пм> (Р "~2)-
Предположим па время, что у выбрано таким образом, что число
714- -+- 1 (которое обязательно делится на X) не делится на АДТогда
это равенство показывает, что Р делится на А,*4--1, а частное Р/№—1
в том и только том случае делится на К, когда целое число
¦ф (Р) "Ф (Р3) • • ¦ "Ф (Р^~2) делится на К. Это целое число по модулю X
совпадает с целым числом -ф (у) -ф (у3) . . . -ф (ух~2) (ибо целое
число у по модулю К удовлетворяет всем соотношениям, которым
удовлетворяет комплексное число Р), и это целое число тогда
и только тогда является нулем по модулю X, когда таков один
из сомножителей -ф (у), -ф (у3), . . ., -ф (у^~2). Значит, частное
Р/№~ * тогда и только тогда делится на К, когда трЦу), или т|з (у3), . . .
. . ., или тр(ук~2) делится на К (все еще при условии, что у*1 -\- 1 ф
Ф 0 (mod X2)).
Так как число Xbj = YV./-1 — "?j лежит между —К и уК, то 6>
лежит между —1 и у, т. е. bj = 0, 1, . . ., у — 1. К тому же
Ъ] = к тогда и только тогда, когда число yyj-i — kk -\- yj лежиг
между кХ и кХ -f- К т. е. у}„г лежит между к (Х/у) и к (к/у) -\-
6.16. Делимость первого сомножителя на "к 281
+ (к/у). Так как
Ч> (Уп) = &iY?
а каждое целое число между 0 и к совпадает с yj точно для одного
значения /, то отсюда следует, что число "ф (уп) сравнимо по моду-
лю к с целым числом уп, умноженным на
0-1"+...
где через t^ обозначается наименьшее целое число, большее чем&
к (к/у). Значит,
Ф (V") = ^pi I#»+i (Я) - Bn+i (ti) + Bn+i (к) - Bn+i (t2) +...
• • • +Bn+i (k) — Bn+l (ty^i)].
За исключением случая п = к — 2, все числа Бернулли в этом,
сравнении не требуют деления на кратные числа к, и поэтому
в каждом конкретном случае их можно рассматривать как целые
по модулю к. Целые числа tu t2, . . ., tv.t сравнимы с AАу)г
B/у), . . ., ((у — 1)/у) по модулю к (быть может, в другом поряд-
ке) по следующей причине. Для каждого целого г из интервала
0 <С г <с у имеется такое целое t из интервала 0 <С t <C к, что
ty = г (mod к) (у обратимо по модулю к). Таким образом, ty — г=
= кк для некоторого к, большего чем 0 и меньшего чем у (ибо-
ty — г >0 и ty — г <ty < ку). Значит, число t = к (к/у) -\-
4- (г/у) является наименьшим целым числом, большим чем к (к/у),.
т. е. t = tk и tk = r/y (mod к). Далее,
(-i-) +Bn+i (y
Значит, исключая случай п = к — 2, имеем
^РГ i -1ГпВп+1] =?; (уп+* -1) 5n+1 (mod к).
Так как y"+1 — 1 # 0 (mod X) (снова за исключением п = к — 2),
то это показывает, что -ф (уп) = 0 (mod к) в том и только том слу-
282 Гл. 6. Определение числа классов
чае, когда i?n+i = 0 (mod К), т. е. тогда и только тогда, когда
числитель числа Бернулли Вп+1 делится па X.
В случае п = X — 2 число -ф (уп) не является нулем по моду-
лю X. Это можно доказать точно так же, как в случае у = 3,
X = 31. Определяя v равенством ух~1 — 1 = Xv, полагая х =
= уЬ~2 в равенстве (ух — 1) ф (х) = Ал|з (х) + x^-i — \ч деля его
на X ц редуцируя по модулю X, мы получаем vcp (у^~2) = "ф Су^~2) +
+ (X — 2) v (mod X). Из сравнения ф (ух~2) = —1 (mod X) сле-
дует, что ty(yx~2)==v (mod X). Так как число уК~у — 1= (yv-— 1) X
X (у^ + 1), по определению корня у, не делится па Я,2, то v^
Ф 0 (mod X) и "ф (y^) ^ 0 (mod X), что и требовалось доказать.
Итак, при условии, что имеется такой примитивный корень у
по модулю X, для которого у»- -\- 1 щк 0 (mod X2), мы полностью
доказали следующую теорему.
Теорема. Число Р делится на №~1. Частное тогда и только
тогда делится на X, когда числитель одного из чисел Бернулли
В2, Z?4, . . ., Вх-г делится на X.
Наконец, рассмотрим задачу нахождения примитивного корпя
¦у по модулю X, для которого у^ -\- I ф 0 (mod X2). Пусть у —
любой примитивный корень в интервале О <С у <С X. Если у*4- -f- 1=
= 0 (mod Я2), то (у -j- k)* -j- 1 = у» -j- цу*-^ + 1 = ц^-^ Ф
Ф 0 (mod X2) и у -j- X является примитивным корнем нужного
для доказательства типа. Правда, в этом доказательстве молчаливо
предполагалось, что у лежит в интервале О <С у <С X (естествен-
ное предположение для целых чисел по модулю X). Однако тща-
тельный анализ доказательства показал бы, что требуется лишь
предположение у >0, при условии х) что числа tj считаются
с соответствующими кратпостями. По-другому, можно сохра-
нить предположение О <С у <С X и воспользоваться равенством
{(у + Х) х — 1] ф (х) = Xty (х) + Хху (х) + х%'1 — 1 при х =
= р, р3, . . ., Р^~2 для нахождения равенства
где в произведении справа индекс п пробегает значения 1, 3, ...
. . ., К— 2. В рассматриваемом случае у^ -\- 1 = 0 (mod X2)
это показывает, что Р делится на Х^~1, а частное тогда и только
тогда делится на X, когда одно из целых чисел "ф (уп) -\- у"ф (уп)
по модулю X равно 0. За исключением случая п = X — 2, равен-
ство (уп+1 — 1) Ф (уп) = Ал|) (уп) + у^-1)" — 1 показывает, что
<р (уп) = 0 (mod X) и 1|з GП) + упу (уп) = ty (уп) == (и + I) X
X (у"+1 — 1) 5n+i (mod X). Следовательно, признаком делимо-
сти, как и раньше, является делимость числителя числа Вп+1.
В случае п = К — 2 предыдущие рассуждепия дают "ф (v^) =
1) Кажется Куммер в этом месте проявил некоторую небрежность.
6.17. Делимость второго сомножителя на "к 283
= v (mod X), где v определяется формулой уК~1 — 1 = Xv и, зна-
чит, v = 0 (mod X). Следовательно, "ф (уК~2) + уК~2ц> (ух~2) =
— у^-2ф (у^-2) = 7~1#(—1) Ф Q (mod X), и теорема доказана.
1. Докажите, что г|з (уп) = 0 (mod Я) при п = 2, 4, . . ., X — 3.
2. Вычислите г|з (уп) по модулю % во всех случаях при Я ^ 13 (Я — про-
стое число) и 0 < п < Я.
€.17. Делимость второго сомножителя на X
Куммерово условие (А) состоит в том, что h не делится на X.
Равенство 2^-lh = (Р/№-1) -h2 показывает, что это верно тогда
и только тогда, когда ни Р/№~1, ни h2 не делится на X. Простой
признак делимости числа Р/№~1 на X был найден в предыдущем
параграфе. Для того чтобы иметь возможность проверять условие
(А), нужно также установить критерий делимости га2 па X. Куммер
обнаружил, что, к счастью, это можно сделать, не зная самого h2,
поскольку вычисление га2 во всех случаях крайне трудно. Он пока-
зал, что из X | га2 вытекает X | {PlX^1). Значит, если X не делит
P/Xv— *, то X также не делит и h2, и условие (А) выполняется.
Теорема. Простое число X > 2 удовлетворяет куммерову усло-
вию (А) тогда и только тогда, когда оно не делит числители чисел
В2, 54, . . ., .Вь-з
Итак, для доказательства этой теоремы нужно показать, что
из условия X | h2 вытекает критерий с числами Бернулли. или,
что равносильно, из этого условия следует X | (Р/Х^—1).
Если X \h2, то имеется единица, не представимая в виде
±as A — oa)x' (I — o2a)x!... A — o^a)^, которая после воз-
ведения в Х-ю степень дает единицу уже такого вида. В терминах
теории групп это следует из того факта, что абелева группа, поря-
док которой делится на X, содержит элемент порядка X (здесь это
группа всех единиц по модулю тех из них, которые имеют спе-
циальный вид ±ak [J A — ofta)xft). Иначе это можно было бы
доказать, исследуя определитель замены координат, вызываемой
преобразованием решетки Ф-образов единиц специального вида
в решетку Ф-образов всех единиц (см. упр. 3).
Пусть выбрана такая единица, скажем е0 (а), и пусть е (а) —
ее Х-я степень. Тогда е (а) может быть записана в специальном
виде: е (а) = ±ah A — aaI' (I — o2a)x* ... A — о»-а)х», где
х\ + хг + • • • + x\l = 0* Числа xt не все делятся на X, посколь-
ку, если бы это было не так, то единица е (а) имела бы вид е (а) =
= ±oihe1 (а)к, где ег (а) — единица специального вида ег (а) =
284 Гл. 6. Определение числа классов
= A — аа)"> A — о2а)"« ... A — o^-afv-', тогда частное
е0 (а) ег (а) было бы единицей, которая в Х-й степени равнялась
бы ±aft, откуда бы следовало (упр. 2), что е0 (а) ег (а) = ±а;,
вопреки предположению, что е0 (а) не представима в виде?
±aj A — oa)vt (I — a2a)V'. . . A — ov-af». Так как е {<х)% =
= {а0 + ага + . . . + a^a*-1)* = а\ + (ага)х + . . .
... -f (а^-гО^-1)^ ~ а0 + аг + . . . + a^-i = с (mod X), где с —
целое число, отсюда следует, что существуют такие целые
числа хг, хг, . . ., Хц, что х1-\-х2+... + х11 = 0ш
A — о2а) * ... A—ov-a) |i^c(modX), A)
но числа Х{ не все делятся на X. Остается доказать, что отсюда
следует X | (Р/Х*4--1).
Было бы естественно попытаться перейти к логарифмам в соот-
ношении A), чтобы оно стало линейным соотношением относи-
тельно Х{, а точнее, несколькими линейными соотношениями,
по одному для каждой степени а. В тоГвремя как взятие логарифма
представляется весьма далеким от сравнений в множестве круго-
вых целых, понятие логарифмической производной ближе к алгебре,
и оно-то действительно может быть применено к соотношению A)
следующим образом. Сначала запишем соотношение A) в виде
рационального соотношения для полиномов, заменив а перемен-
ной X:
Xh(l — oX)Xi(l—o2X)x* ... A-
X Xi(i-aX)X
где Ф (X), W (X) — полиномы с целыми коэффициентами, а а:Х
обозначает степень переменной X с показателем у* (у — фиксиро-
ванный примитивный корень по модулю К). Логарифмическая
производная — это формальная алгебраическая операция, кото-
рую можно применить к обеим частям равенства и получить
l) X^-2)V (X)
Теперь положим Х = а в этом тождестве и умножим его на а
получим
к г уаа
а+ ... +(>¦—1) а^) У (а)
«(о)
6.17. Делимость второго сомножителя на % 285
Правая часть этого равенства — корректно определенное круго-
вое целое, поскольку е (а) — единица. Ввиду того что первона-
чальное соотношение A) было сравнением по модулю X и из нового
•соотношения нельзя извлечь больше информации, чем оно содер-
жало вначале, логично редуцировать последнее равенство по
модулю X и тем самым отбросить первый член числителя. Левую
часть можно записать в виде
где полином хгуа + х2у*о2 +...-)- x^yv-ov- от о с целыми коэф-
фициентами рассматривается обычным образом как отображение,
ставящее в соответствие рациональным выражениям от а с целыми
коэффициентами другие рациональные выражения от а с целыми
коэффициентами. Все члены в левой части могут быть записаны
со знаменателем X, так что левая часть изобразится круговым
целым, деленным яа.}Х; так как правая часть представляет собой
круговое целое, то круговое целое, стоящее в числителе левой
части, должно делиться на X.
Выражение левой части как круговое целое, деленное на X,
можно быстро найти х) посредством дифференцирования полипома
(X — 1) (А>-1 + X*-2 + ... + Х + 1) = Х* — 1 с последую-
щей подстановкой X = а. Тогда
Если перестроить степени of7 в порядке а, оа, о2а, . . ., мы при-
дем к равенству
а + уоа + 72°2а + . • • + у%-.-Р%~2а = а1 ,
где, как и раньше, 0<.ys<.X, yj^yS (modX). Тогда
Выражение в скобках можно переписать в виде ф (о) (а), где, как
и раньше, ф (X) = 1 + угХ + у2Х2 + . . . + у^.2Хк~2, а ф (о) —
отображение круговых целых в круговые целые. Таким образом,
соотношение "-принимает вид
к + {х,уо -f x2yW + . .. + х^о») ~ <р (о) (а) =
х) Другой вывод см. в упр. 11 к § 4.4.
286 Гл. 6. Определение числа классов
Для того чтобы представить круговое целое е (а)^ (а) в" виде
q (а) (а — 1) -)- а при некотором целом числе а, можно восполь-
зоваться делением полиномов. Тогда правая часть становится
равной Kq (а) -j- а [Я/(а — 1)] = а [Я/(а — 1)] = аф (о) (a) (mod Я).,
Значит,
k+ -^- (Xiyo + ж272о2 + •. • + х„уЮ*) ф (о) (а) == аФ (о) (а) (mod Я).
Для ликвидации в левой части знаменателя Я можно применить
к обеим частям оператор уа — 1 и, используя определяющее
соотношение (уХ — 1) ф (X) = Щ (X) -j- (Х^~1 — 1) для г|) (X),
найти
ук — к + о» (хгуо + ж272о2 + . . . + х^о^) ij) (о) (а) =
= ahp (о) (а) = 0 (mod Я),
ибо о^~1 — 1 все переводит в 0. Это показывает, что применение
оператора
{хгуо + ж272о2 + . . . + xtfW) ф (о) B)
к а дает целое число по модулю К, которое мы обозначим через К.
Тогда применение того же самого оператора к а3а дает о3К = К
по модулю К для всех /. Теперь нужно показать, что если это верно
и если не все х-г по модулю К равны пулю, то X | (Р/№~1).
Это позволяет сделать конечномерный апализ Фурье по моду-
лю К (см. § 6.9). Заметим, что имеется АЛ различных круговых
целых по модулю К и каждое из них может быть записано точно
одним способом по модулю К в виде линейной комбинации (с целы-
ми коэффициентами по модулю К) от X — 1 круговых целых
а + у'оа -\- 72;о2а -(-... + 7~;°~1а>
где / = 0, 1, . . ., X — 2. Это доказывается точно так же, как
и раньше, при помощи формулы обращения Фурье A -j- у-7 +
_[_ yni-k)) -+- ... —|— y-0-k) == 0 (mod X), кроме случая / =
= к (mod (X — 1)), а если j = к (mod (К — 1)), то это же самое
= (к — 1) ф 0 (mod Ц).
Применение оператора о к круговому целому а + у'оа -{-•••
. . . + у'о^а. умножает его на у~' по модулю к. Значит, примене-
ние оператора B) к этому круговому целому умножает его. на
-»)у(у-1). C)
С другой стороны, применение оператора B) к a -f-[Vffa ~Ь • • •
...-)- у~'о~га переводит его в К -f- у3К -)-... + у~*К =
= К A + у3' + . . . + у-*) = 0 (mod X) при / = 1,2,.. ,, к—2:
Значит, целое число C) должно быть нулем по модулю к при / =
= 1, 2, . . .,-Я-2. '
В предыдущем параграфе было показано, что Я тогда.и только
тогда делит числитель числа /?,i+i, когда "ф (уп) == 0 (mod Я).
6.18. Лемма Куммера 287
Значит, если К пе делит числители чисел 52, /?4, . . ., 5^_3г
то второй сомножитель "ф (у~') в C) отличен от нуля по модулю %.
в \i — 1 случаях / = —1, —3, —5, . . ., —К + 4. Кроме того,,
как было показано в предыдущем параграфе, "ф (ук~2) Ф 0 (mod К).
Это дает р, сравнений
1 -f *2Y2i+2 -1- ... + ztfti+iL ~ 0 (mo
где./ = 1, 3, 5, . . ., X — 2. Решая их при помощи обращения
Фурье, найдем xt = О (mod X) при ? = 1, 2, . . ., ц. Таким
образом, если х-г ф О (mod Х)"при некотором ?, то К должно делить
числитель по крайней мере одного из чисел Бернулли 52, /?4, . . .
. . ., В^-з, и теорема доказана.
Упражнения
1. Покажите, что если число элементов группы не делится на X, то каж-
дый элемент этой группы (записанной мультипликативно) есть Х-я степень.
2. Покажите, что если е2 (а) есть такая единица, что е2 (а) = +а'>
то е2 (°0 = ±°^'-
3. Доказательство Куммера того, что если X | h2, то имеется единица,
непредставимая в виде ±ah A — аа)*1 A — а2а)Хг . . . A — а^а)хч, но Х-я
степень которой представима в этом виде, строится примерно следую-
щим образом. Заполните в нем детали.
Пусть Ai обозпачает решетку всех точек вида Ф (е (а)) в пространстве
переменных xt, х2, ¦ ¦ ¦, х^. Здесь е (а) пробегает все единицы, а Ф было опре-
делено в § 6.10. Пусть Л2 Е Лх — подрешетка, состоящая из тех точек решет-
ки Лц все координаты которых целые, или, что то же самое, из Ф-образо&
единиц, эквивалентных единице 1. Точки vt = A, —1, 0, . . ., 0), v2 =
— @, 1, —1, 0, . . ., 0), . . ., u^j = @, 0, . . ., 0, 1, —1) образуют базис-
в Л2. На основании элемептарной линейной алгебры в Аг имеется базис
Wj, w2, ¦ ¦ ., !?¦(*_! и каждое из ш,- может быть точно одним способом записано-
в виде wi = v cijVj, где сц ¦— рациональные числа. Так как одна из каждых
h2 единиц эквивалентна единице 1, то det.(сц) = i/h2. Пусть щ — наимень-
ший общий знаменатель для чисел с;^ при / = 1, 2, . . ., ц — 1. Тогда det (c^}.
есть целое число, деленное на произведение всех и;. Если это число есть
1/й.2 и Я | h2, то отсюда следует, что % \ щ по крайней мере для одного i.
Если е (а) — единица, для которой Фе (а) = и>;, то е (оI*» — единица, экви-
валентная единице 1. С другой стороны, X | nt и единица е (a)ni' не экви-
валентна единице 1, так как иначе nj/Я было бы общим знаменателем для-
чисел c{j.
4. Докажите, что если G — абелева группа, порядок которой делите»
на простое число р, то она содержит элемент порядка р.
6.18. Лемма Куммера
Как уже было показано, куммерово условие (А) эквивалентно
условию, что К не делит числители чисел Бернулли Б2, J54, . . .
. . ., 2?х-з- Чтобы Доказать Последнюю теорему Ферма для тех
простых чисел Я,,'которые удовлетворяют' этому условию, остается
288 Гл. 6. Определение числа классов
только доказать, что, как и предполагал Куммер, из (А) выте-
кает (В). Это утверждение известно как лемма Куммера. Доказа-
тельство представляет собой короткое добавление к рассуждениям
предыдущего параграфа.
В предыдущем параграфе было показано, что если е (а) —
единица вида ±ah A — оа)ж» A — о2а)х». . . A — ov-a)*» и
¦е (а) = с (mod К), где с — целое число, то либо условие (А)
не выполняется, либо все целые числа хг, х2, . . ., х^ делятся
на X. Далее, если е (а) — любая единица, то е (a)ft« имеет вид
±ah A — ca)*» A — с2а)х« ... A — ov-a)*». Это следует] из дово-
дов, использованных в доказательстве теоремы Ферма и несколь-
ких ее аналогов, приведенных в этой книге (см. упр. 2), поскольку
Ji2 является, по определению, числом единиц, различных по модулю
единиц специального вида. Предположим теперь, что усло-
вие (А) выполняется и что е (а) = с (mod X). Тогда е (a)ft« =
= ±aft A — оа)^ A — a2a)*i . . . (ljj — a»af* и е (а)"» =
= ch' (modX), и, следовательно, все числа х1, х2, . . ., х^. делятся
на К. Значит, е (а)л« = ±afte0 (a)^ для некоторой единицы е0 (а).
Кроме того, h2 не делится на X (по условию (А) и потому, что
2^~1h1 — целое число) и существуют такие целые числа а и Ь,
что aha + bk = 1. Таким образом, е (а) = е (а)аЛ«е (а)ь^ =
= (±а*)ае0 (а)аХе (а)ьх. Это показывает, что aak сравнимо
по модулю X с целым числом, откуда следует, что ак = 0 (mod X),
a°fe = 1 (упр. 1). Итак, е (а) = [е0 (а)ае (а)ь]\ или е (а) =
= [—е0 (а)ае (а)ь]Ч Таким образом, из условия (А) и сравнения
€ (а) = с (mod К) вытекает, что е (а) есть К-я степень. Это и доказы-
вает лемму Куммера.
Упражнения
1. Докажите, что если ai сравнимо с целым числом по модулю X, то
j = 0 (mod X). [Запишите a = 1 — A — a).]
2. Пусть задана группа, число элементов которой равно h, и пусть Ъ —
элемент этой группы. Покажите, что если d — число различных степеней
элемента Ь, то элементы группы можно разбить на подмножества, содержа-
щие по d элементов каждое. Выведите отсюда, что d делит h и что ЬЛ есть
•единица группы.
6.19. Краткие выводы
Итак, в этой главе доказано, что простое число К тогда и только
тогда удовлетворяет куммеровым условиям (А) и (В) (т. е. является
регулярным), когда оно не делит числитель никакого из чисел
Бернулли 52, 54, . . ., 5^_3. Как показано в гл. 5, для таких
простых чисел Последняя теорема Ферма верна. При помощи
результата этой главы уже становится делом стандартного под-
счета доказательство того, например, что Последняя теорема
6.19. Краткие выводы 289
Ферма верна для всех простых показателей, меньших 100, исклю-
чая, возможно, показатели 37, 59, 67. (А отсюда следует, что она
верна для всех показателей, простых или нет, меньших 100, исклю-
чая, возможно, эти три, а также показатель 74.)
Вначале Куммер сделал поспешный вывод, что регулярных
простых чисел бесконечно много, но позже он осознал, что не
может этого доказать. Хотя ясно, как из опыта, так и из теоретиче-
ских соображений, что около 60% всех простых чисел регулярны
(см. [J4]), тем не менее и по сей день не доказано, что множество
регулярных простых чисел бесконечно. (По иронии судьбы, срав-
нительно легко доказать, что иррегулярных простых чисел беско-
нечно много — см. [В2].)
Конечно, из теоремы Куммера не вытекает, что Последняя
теорема Ферма нарушается для 37, 59 и 67. Ясно лишь, что ее дока-
зательство требует более мощной техники и понимания еще более
тонких свойств арифметики круговых целых, построенных из кор-
ней 37-й, 59-й или 67-й степени из единицы. Такую технику раз-
вивали сам Куммер, а в дальнейшем Мириманов, Виферих, Фурт-
венглер, Вандивер и многие другие. Это продолжение работы
Куммера станет темой предполагаемого второго тома этой книги.
Сейчас же достаточно сказать, что Последняя теорема Ферма
была доказана для всех показателей вплоть до нескольких тысяч
(см. [W1]), но большинство критериев справедливости теоремы
оставляют желать много лучшего. Например, еще не доказано,
что Последняя теорема Ферма верна для бесконечного множества
простых показателей.
19 г. Эдварде
Глава 7
ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНЫХ ЦЕЛЫХ
7.1. Простые дивизоры
Эта глава посвящена изучению того, что, возможно, имел
в виду Куммер, когда говорил об идеальных комплексных числах
вида х -\- У У D (см. § 5.1). Основная задача при создании этой
теории состоит в определении понятия простого дивизора чисел
х -j- у YD, или, как сказал бы Куммер, понятия идеального
простого числа такого вида Как и в гл. 4, воспользуемся следую-
щим методом: будем предполагать, чго такое понятие существует,
и из этого предположения выводить следствия о том, каким оно
должно быть. Однако при этом окажется, что для того, чтобы
полученная теория «работала», нам придется несколько пере-
смотреть и понятие «комплексных чисел вида х ~ у У D».
Пусть D — фиксированное целое; рассмотрим множество всех
чисел вида г ¦[- у У D с целыми х и у. Естественно исключить
из рассмотрения случаи D = 0 и D — 1, поскольку тогда
х -J- у }' D является обыкновенным целым числом. Кроме того,
если D делится на квадрат, скажем D — t-D', то х -f у |/D =
= х ~r ty У D', и числа х -j- у УI) содержатся среди чисел вида
х -j- у У D'. Как будет показано в § 8.1, отсюда не следует, что
теория дивизоров чисел вида х Ь у У D полностью сводится
к теории дивизоров чисел вида х -\- у У D'. Однако это означает,
что между этими теориями имеется очень тесная связь; поэтому
разумно рассмотреть сначала случай свободного от квадратов D,
т. е. D, пе равного 0 или d и не делящегося ни па один квадрат,
отличный от 1. Эта глава посвящена исключительно случаю D,
свободного от квадратов.
Ясно, как складывать и умножать числа вида х — у ]ЛО.
Эти две операции удовлетворяют коммутативному, ассоциатив-
ному и дистрибутивному законам и определяют арифметику
{кольцо — в терминологии современной алгебры) с обычными
свойствами. В частности, в этом мпожестве возможно вычитание,
т. е. уравнение a -J- X = Ъ имеет единственное решение А' для
любой пары чисел вида а = х -j- у VD, Ъ =- х' -А- у' ]/D. Дей-
ствительно, X = (х' — х) -f- (у' — у) У D. Деление обычно невы-
7.1. Простые дивизоры 291
полнимо, но существует мультипликативная единица 1 A • а = а
для всех а) и обе части равенства можно сокращать на ненулевые
множители, т. е. из аЪ = ас и а Ф 0 следует, что Ъ = с. Для дока-
зательства последнего утверждения необходимо и достаточно
доказать, что если (х + у УD)>(x' + у' УD) = 0 + 0 |/D
и х + у\/Оф0 + 0yD, то х' + у' У В =0 + 0 YD. Для
этого умножим обе части первого равенства на г — у YD; тогда
мы получим (х- — Dy2) (х' -г у' VD) = 0 + 0 У D. Отсюда сле-
дует, что (х2 — Dy*) х' = 0, {х2 — Dy*) у' = 0, и если х2 — Dy°- ф
Ф 0, то мы приходим к требуемому заключению. Поскольку из
хг = Dy2 следует1), что D является квадратом (при условии
у Ф 0), то нужное нам заключение получается из предположения
о том, что D свободно от квадратов.
Для чисел вида х -\- у УD можно определить операцию
сопряжения: она переводит х -{- у У D в х — у У D. Произведение
всех сопряженных к данному элементу х -\- у У D инвариантно-
относительно сопряжения и, следовательно, является обыкновен-
ным целым числом. Точнее, (х + у У D) (х — у |/D) = х2 — Dy2.
Это целое называется нормой х-\- у У D. Использование нормы
позволяет (как и для круговых целых в § 4.2) свести деление
на числа вида х + у \/ D к делению на обычные целые. Действи-
тельно, утверждение, что х + у У D делит и + v YD и дает
частное г -f- s ]/D, равносильно утверждению, что целое х2—Dy-
делит (и -г v У D) (х — у ]/D) и дает частное г -f s У D. (В эле-
ментарной алгебре это называется «освобождением от иррациональ-
ности в знаменателе».) Поскольку D не является квадратом, норма
х2 — Dy2 не равна нулю, если сам элемент х-1- у У В отличен
от нуля. Однако в отличие от ситуации с круговыми целыми при
D > 0 нормы могут быть отрицательными.
Для построения теории дивизоров в такой арифметике чисел
вида х -г у \/ D воспользуемся методом анализа из § 4.3 п 4.6.
А именно, предположим, что можно определить простые дивизо-
ры, обладающие ожидаемыми свойствами, и из этого предположе-
ния выведем необходимые условия для существования теории
дивизоров. Мы получим достаточно необходимых условий для
того, чтобы точно определить, какими должны быть простые диви-
зоры и как ввести понятие делимости па простой дивизор (с крат-
ностями). Затем в § 7.2 последует синтез, при котором будет
показано, что найденные необходимые условия являются также
и достаточными, т. е. если использовать их для построения тео-
х) См. предложение из § 1.3.
19*
292 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
рии дивизоров, то полученная теория будет свободна от противо-
речий и обладать ожидаемыми свойствами.
На первом этапе анализа заметим, что для любого простого
дивизора А найдется единственное положительное целое р, обла-
дающее тем свойством, что обыкновенные целые (элементы вида
х -+- О |/ D) делятся на А тогда и только тогда, когда опи делятся
на р. Действительно, дивизор А должен делить некоторое х -j-
+ У VD, а следовательно, и его норму N (х -f- у YD) =
= (х -+- у YD) (х — у YD) = х2 — Dy2. Поэтому А делит
| х2 — Dy2 |. Это число является положительным целым; следо-
вательно, его можно записать в виде произведения положительных
простых. (Частный случай | х2 — Dy2 | = 1 невозможен, посколь-
ку тогда А делил бы 1, а тем самым и все квадратичные целые.)
Из предположения о том, что А является простым дивизором
(если он делит произведение, то он делит один из сомножителей),
следует, что А делит по крайней мере одно простое положитель-
ное целое число, скажем А | р. Произвольное целое число х
можно записать в виде х = qp -j- r, О <; г < р. Если г = О,
то А делит х. Обратно, если г Ф О, то г и р взаимно просты и суще-
ствует целое у, сравнимое с 0 по модулю р и с 1 по модулю г;
если бы дивизор А делил х, то он яелил бы как г, так и у = nr-f-1,
т. е. А делил бы 1, что невозможно. Это доказывает, что А делит х
тогда и только тогда, когда р делит х. В частности, р — единствен-
ное цростое положительное целое, делящееся на А.
Если бы ']/~D(= 0 + 1 Y D) был сравним с каким-либо целым
по модулю А (т. е. если бы г — \fD делилось па А для некото-
рого целого г), то каждый элемент х + у ]АО был бы сравним
с целым числом по модулю А. Поскольку можно установить, когда
два целых числа сравнимы по модулю А, тогда можпо было бы
и сказать, когда два числа вида х -\- у ]/D сравнимы по моду-
лю А. Следовательно, естественно попытаться определить, срав-
ним ли \fD с каким-либо целым по модулю А. Поскольку А —
простой дивизор, \^D сравним с каким-либо целым по модулю А
тогда и только тогда, когда (\fD — 1) (jA.D — 2) ... (\fD — р)
делится на А. Согласно обобщению теоремы Ферма, доказанному
в § 4.6, {X - 1) (X - 2) . . ._(Х - р) = Хр —_Х (mod p).
Следовательно, (YD — I) (\/~D — 2) ... {^Ъ_ — р) =
= \^D (YD71-1 — 1) (mod ^4). Это показывает, что У D сравним
с каким-либо целым по модулю А тогда и только тогда, когда
YD = 0 (mod А) или Y^-1 = 1 (mod A). _
Сначала рассмотрим случай, когда YD s= 0 (mod ^4). Если
предположить, что дивизоры имеют нормы (т. е. что существует
целое, дивизор которого равен произведению сопряженных к ^4),
T.I. Простые дивизоры 293
то норма А должна делить как D = —N (yD), так и р2 = N (р).
Следовательно, норма А равна либо 1, либо р (поскольку D сво-
бодно от квадратов); но если бы норма А была равна 1,то А делил
бы 1, поэтому норма А должна быть равна р. Далее, А делит \/ D
и D = р • к, где к — целое, не делящееся на р. Таким образом,
А2 делит (УDJ = рк, и поскольку А вообще не делит к, то А2
делит р. С другой стороны, N (А2) = N (АJ = р2 = N (р). Сле-
довательно, Аг является дивизором р, А делит р с кратностью
точно 1 и А делит ]/ D с кратностью точно 1. Таким образом,
дивизор А делит х 4- у У D с кратностью [i тогда и только тогда,
когда он делит (х + у\D) (У D)v- с кратностью 2ц,, что справед-
ливо в том и только в том случае, когда р^ делит (х 4- у VD) (|ЛО)и.
Поскольку последнее условие имеет смысл в арифметике чисел
вида х + у У D без каких-либо предположений о дивизорах, его
можно взять в качестве определения делимости на простой диви-
зор А числа р.
Определение. Если р делит D, то р имеет один простой
дивизор А, и А делит х 4- у УD с кратностью \i, если р^ делит
(х + у У Л)
Теперь рассмотрим случай, когда (У Dy-1 = I (mod ^4). Слу-
чай р = 2 будет рассмотрен ниже. Для простых р, отличных
от 2, число (УDY'1 является обыкновенным целым, поскольку
р — 1 четно. Если р — простое, для которого это целое сравнимо
с 1 по модулю р, то, как было показано выше, для любого простого
дивизора А числа р найдется такое целое и, что |AD = и (mod ^4).
Если задай такой дивизор А, то сопряженный к нему, который
мы будем обозначать А, также является простым дивизором р,
и так как А делит и — ]/'D, то А делит и -\~У D, т. е. ]/D =
s —и (mod ^4). Отсюда следует, что А отличен от А. Действи-
тельно, из равенства А = А следовало бы, что и ^ —и (mod ^4),
2и = 0 (mod р), и потому либо 2 = р, либо (У D)?*1 = и9'1 =
= 0 (mod p), что противоречит нашему предположению. Таким
образом, А и А различны и оба делят р. Поскольку норма р равна
р2, а нормы как А, так и А равны некоторой степени р, отсюда
следует, что нормы А и А должны быть равны р и каждый из этих
дивизоров должен делить р с кратностью 1, а уЫ должен быть
дивизором р. Так как А не делит и 4- УD, то А делит х -\- у У D
с кратностью [i тогда и только тогда, когда он делит (х 4- у y~D) X
X (и 4- У D)v- с кратностью [i. Согласно основной теореме, это
294 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
справедливо в том и только в том случае, когда р& делит
(х -\- у У D) (и + Y^Y- Аналогично, А делит х -\- у ]/D с крат-
ностью [I тогда и только тогда, когдаpv- делит (х + уУЩ (и—У D)v.
Как только целое число и найдено, мы можем принять это в каче-
стве определения дивизоров А и А.
Выше было показано, что если р имеет простой дивизор А,
то УD = и (mod А) для некоторого целого и; отсюда следует,
что сравнение и2 = D (mod p) разрешимо для этого р. К такому
же заключению можно прийти, не привлекая теории дивизоров:
для этого достаточно положить X = У D в (X — 1) (X — 2)...
. . . (X — р + 1) = Хр~г — 1, и, взяв нормы от обеих частей
сравнения, получить (I2 — D) B2 — D) . . . ((р — 1J — D) =
== 0 (mod р) (поскольку по предположению \/rDv~1 = 1 (mod p)).
Таким образом, D = и2 (mod p) по крайней мере для одного зна-
чения и = 1, 2, . . ., р — 1. Если D = и2 и D = v2 (mod p),
то (и — v) (и -г v) = и'1 — v2 = 0 (mod p). Отсюда следует, что
и = ±v (mod p). Поскольку и ф —и (mod p) (р Ф 2 и и2 ф
ф. О (mod p)), это доказывает, что для нечетных простых р,
которые удовлетворяют сравнению У Dv~^ = 1 (mod p), суще-
ствуют ровно два различных решения по модулю р сравнения
u2 = D (mod p).
Определение. Если р ф2 и D^^2 = 1 (mod p), то суще-
ствуют в точности два решения и по модулю р сравнения и2 =
== D (mod p). Для каждого из этих решений и определим простой
дивизор А числа р условием: А делит х + у |Ло с кратностью [i,
если р» делит (х + У VD)-(V~D + и)*
Простые дивизоры других простых р ф2 выглядят даже
проще. Действительно, если р =ф2, D ф 0 (mod р) и D<-V~1)l2 ф
ф 1 (mod p), то само р является простым. Легко видеть, что так
и должно быть, поскольку р должно иметь какой-то простой диви-
зор А (иначе условие делимости на р было бы бессодержательным
и р должно было бы делить 1), и если этот простой дивизор не равен
самому р, то] он делит некоторый элемент вида х + У V&, кото-
рый не делится па р. Если бы р делило у, то, поскольку А делит
х -\- у УD и, значит, р делит х2 — By2, отсюда следовало бы,
что р делит х и что р делит х -\- у YD, но это противоречит пред-
положению. Таким образом, если р не является простым, то оно
имеет простой дивизор, который делит некоторый элемент вида
х + у У D с у ф 0 (mod р). Тогда —х = у |A.D (mod А) и суще-
ствует такое целое z, что yz = l (mod p). Отсюда следует, что J/.D
должен быть сравним с некоторым целым по модулю А, а именно
с — zx. Поэтому, как показано выше, D = 0 (mod р) или Dl-V~1)l2 =
7.1. Простые дивизоры 295
= 1 (mod р). Если р не удовлетворяет ни одному из этих условий
и если теория дивизоров возможна, то само р должно быть про-
стым, т. е. произведение (х + У VD) (и + v YD) делится на р->
только если один из множителей делится на р.
Для того чтобы доказать, что р — простое, необходимо и до-
статочно (упр. 1) доказать, что если р делит норму x2 — Dy2
числа х-\-у У D, то р делит х-\-уУ D. Пусть n = D(p~i>/2 (мы
по-прежнему предполагаем, что рф2, поэтому п — целое). Тогда
nz = Dp~l, и, согласно теореме Ферма и предположению ОфО
(modp), мы получаем, что ?г2 = 1 (modp). Таким образом,
(ге+ 1) (п — 1) = 0 (modp), и из предположения пф1(тойр)
следует, что п== — l(modp). Если р делит x2 — Dy2, то х2 =
= Dy2 (mod р); возводя обе части этого сравнения в (р — 1)/2-ю
степень, мы получим, что xv~l ^nyv~x, xp~l ~-y"~l = 0 (mod p).
Согласно теореме Ферма, xp~l и yv~l по модулю р может быть
равно только 0 или 1, и так как р^Ф2, то сравнение хр~1-\-
_|_ yP-i = о (той р) может выполняться только при а;1* ^у^~1^0.
Отсюда следует, чтоя^О, у = 0 (то&р), т. е. р делит х-\-у ]/D,
что и требовалось доказать.
Определение. Если рф2, д(р~1)/2 = _ 1 (modp), то единст-
венным простым дивизором р является дивизор, определенный
условием: «^4 делит x + y^D с кратностью [i, если pv- делит
x + y\/D».
Теперь нам остается только найти простые дивизоры числа 2
в случае D ?ф 0 (mod p), т. е. при нечетном D. В этом случае
1 — D = A — V^D) A + У D) делится на 2; поэтому любой
простой дивизор числа 2 должен делить либо 1 — ]^D, либо
1 + V~D, т. е. если А — произвольный простой дивизор числа 2,
то \^D = ±1 (mod А). Так как 1 = —1 (mod 2), то эти два слу-
чая совпадают и ]ЛО должен быть сравним с 1 по модулю А. Сле-
довательно, А делит 1 — D = A — |ЛО) A + VD) с кратностью,
не меньшей 2. Если 1 — D ~ 2к, где к нечетно, т. е. если D =
= 3 (mod 4), то А делит 2 с кратностью, не меньшей 2. С другой
стороны, N (А) равна 2 или 4, так как она делит N B) = 4 и отлич-
на от 1. Если А- делит 2, то не только N (А) — 2, по и А2 является
дивизором 2. Действительно, частное от деления дивизора 2 на А2
имеет норму N {2I N (А2) — 4/JV (ЛJ_< 1. Таким образом, если
D = 3 (mod 4), то А делит_ 1 — y~D и 1 + VD с кратностью
точно 1, и А делит х -\- у У'D с кратностью \х тогда и только тогда,
когда 2^ делит (х + у )/~D) A — \/Ъу.
296 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Определение. Если D = 3 (mod 4), то 2 имеет единственный
простой дивизор А, и А делит х + У VD с кратностью \i, если 2и
делит (х + у YD) (I — VT))v-.
Теперь нам остается рассмотреть только простые дивизоры
числа 2 при D == 1 (mod 4). Однако в этом случае мы приходим
к противоречию. Пусть А — простой дивизор числа 2. Тогда,
как и в случае D = 3 (mod 4), У D = 1 (mod 4)] и ^4 делит
х -\- у У D в том и только в том случае, если он делит х + у,
а последнее имеет место тогда и только тогда, когда х -J- у четно.
Отсюда видно, что 2 имеет только один простой дивизор. Пусть
\х — кратность, с которой А делит 2. По основной теореме, 2 делит
х 4- у \/D тогда и только тогда, когда Л* делит х + у YD. Так
как ни 1 + ]/.D, ни 1 — У D не делится на 2, 1 — Z) = A + У D) х
X A — У D) не может делиться на А2^. С другой стороны, 1 — D
должно делиться па А2^, поскольку на пего делится 22 = 4,
а 4 делит 1 —D. Это противоречие показывает, что в случае
D = 1 (mod 4) построить теорию дивизоров для чисел вида
х + у У D невозможно.
Бурбаки [ВЗ, стр. 127] придерживается мнения, что именно
это очевидное противоречие помешало Куммеру развить теорию
«идеальных комплексных чисел вида х -\- у ]/D». Однако стран-
но, что Куммеру удалось создать эту теорию как раз только
в случае D = 1 (mod 4). Например, при D — —3 числа вида
х + у У D содержатся среди круговых целых с X = 3, поскольку
в этом случае в качестве кубического корня а из 1 можно взять
а = (—1 + У —3)/2, так что х + уУ —3 — х -,- у + 2ау — кру-
говое целое. Вообще, как заметил Куммер (см. [К8, стр. 3661
и [К11, стр. 114]), если D ^ 1 (mod 4) и | D \ — простое число,
скажем | D | — Я, то числа вида х -\- у У D содержатся среди
круговых целых для этого Я, и теория дивизоров для таких чисел
следует из теории дивизоров круговых целых (см. § 5.6).
Как же тогда разрешить обнаруженное выше противоречие?
Если мы внимательно проследим за доказательством невозможно-
сти теории дивизоров при D = —3, то обнаружим, что оно оши-
бочно там, где утверждается, что 2 не делит 1 — |/D. Действи-
тельно, если числа вида х + У У—3 рассматривать как подмно-
жество круговых целых а -\- Ъа (а3 = 1), то 2 делит 1 — У—3
и частным является круговое целое —а. Вообще, если мы утверж-
даем, что 2 обязано делить 1 — ]/ D при D = 1 (mod 4), то отме-
ченное противоречие автоматически снимается и, как будет пока-
зано ниже, можно создать теорию дивизоров.
7.1. Простые дивизоры. 297
Определение. Если D — свободное от квадратов целое и D ф
Ф 1 (mod 4), то квадратичным целым детерминанта D называется
число вида х -г у У D при целых х и у. Если же D свободно от
квадратов и D = 1 (mod 4), то квадратичным целым детерми-
нанта D называется число вида х + у-A — \/ D)/2, где х и у —
целые числа. Иначе говоря, квадратичным целым детерминанта
D = 1 (mod 4) называется число вида и -f~ vy D, где и и v либо
одновременно являются целыми, либо полуцелыми, т. е. 1и и 2v —
нечетные целые. (Другое, более естественное, определение квадра-
тичных целых детерминанта D можно пайти в упр. 3).
Ясно, что множество определенных таким образом квадратич-
ных целых замкнуто относительно операции сложения (сумма
двух квадратичных целых является квадратичным целым), но-
не вполне очевидно, что при D = 1 (mod 4) оно замкнуто относи-
тельно умножения. Это следует из замечания, что при со =
= A - уЪI2 число со2= V4(l + D) — 1/гу7? = ит V4 (D — 1>
является квадратичным целым.
Приведенные выше определения простых дивизоров чисел р
при простых р =Ф 2 и родственных понятий применимы и к квадра-
тичным целым детерминанта D = 1 (mod 4). Единственное отли-
чие состоит в том, что х + У V D может быть числом с полуцелы-
ми х и у. Нам остается только определить простые дивизоры числа 2
при D = 1 (mod 4). Это можно сделать следующим образом.
Пусть А — простой дивизор числа 2. Поскольку каждое квад-
ратичное целое можно записать в виде х -\- yen (со = A — ]ЛО)/2)
и поскольку сравнения по модулю А для целых чисел совпадают
со сравнениями по модулю 2, естественно спросить, сравнимо ли.
со с каким-либо целым по модулю А, т. е. делится ли со (со — 1)
на А. Так как
о) (со - 1) = «/2 A - УЪ) 1/2(-1-УД) = (D - 1)/4
является целым числом, то оно делится на А тогда и только тогда,
когда оно четно; последнее справедливо в том и только в том слу-
чае, когда D = 1 (mod 8). Таким образом, если D = 1 (mod 8),
то А делит либо со, либо со — 1. Дивизор А не может делить оба
этих числа одновременно, поскольку тогда он делил бы 1 =
= со — (со — 1). Если А делит со, то сопряженный к нему дивизор
делит со = V2 A + V D) = 1 — со, а если он делит со — 1, то
сопряженный к нему делит со — 1 = —со. В любом случае суще-
ствуют два различных простых дивизора числа 2. Поскольку
норма 2 равна 22, мы получаем, что АА является дивизором чис-
ла 2. Таким образом, дивизор 2 равен произведению двух простых
дивизоров. Тот из них, который делит со, делит х -\- г/со с крат-
98 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
ностью [I тогда и только тогда, когда он делит (х + */со) (со — 1)м-,
что справедливо в том и только в том случае, когда 2м- делит
{х Ч- г/со) (со — 1)^. Аналогично, простой дивизор числа 2, кото-
рый делит со — 1, делит х + У со с кратностью [i тогда и только
тогда, когда 2м- делит (х -\- г/со) сом-. В оставшемся случае, когда
р ¦= 2, D = 1 (mod 4), D ф 1 (mod 8), т. е. когда D = 5 (mod 8),
то же самое рассуждение, что и выше, показывает, что со пе срав-
нимо ни с каким целым по модулю А и, следовательно, согласно
приведенному выше соображению, не существует квадратичного
целого х -1- г/со, которое делилось бы на А, но не делилось па 2.
Таким образом, в этом случае следует ожидать, что делимость
на А совпадает с делимостью па 2, т. е. что 2 является простым.
Для того чтобы доказать это утверждение, необходимо и доста-
точно доказать, что 2 делит норму (х -f г/со) (х + уа>) числа
х 4- г/со тогда и только тогда, когда 2 делит х + уа> (упр. 1).
Далее, (х Ч- г/со) (х + г/со) = хг + (со + со) ху + сосог/2 = х2 -\-
4- ату — V4 (-D — 1) У1- Согласно предположению, 4/4 (D — 1) —
нечетное целое, поэтому х2 -\- ху — V4(-D — 1) Уг = х2 + ху -~
Ч- г/'2 (mod 2) четно, только если х и у оба четны, т. е. 2 делит
норму ? Ч- г/со только в том случае, когда оно делит х Ч- усо.
Определение. Если Z) = 1 (mod 8), то 2 имеет два простых
дивизора, один из которых делит х Ч- г/со с кратностью ц., если 2^
делит (а; Ч- г/со) (со — 1)^-, а другой делит х Ч- усо с кратностью ц.,
если 2^ делит (х + г/со) со^. (Здесь со — A — )/~ЪI2.) Если D =
^ 5 (mod 8), то единственным простым дивизором числа 2 являет-
ся дивизор, определенный условием: <о4 делит х -\- уи> с крат-
ностью [I, если 2м- делит х + г/со».
Это завершает анализ, т. е. поиски пути, на котором должны
быть определены простые дивизоры. Синтез, т. е. доказательство
того, что данные определения приводят к непротиворечивой тео-
рии, в которой имеют место ожидаемые свойства, будет проведен
в следующем параграфе.
Резюме. Есть три различных способа, которыми данное про-
ютое положительное целое р может «разложиться на множители»,
если мы будем рассматривать его как квадратичное целое детер-
минанта/). Во-нервых, р может остаться простым, т. е. дивизор р
может быть простыл! дивизором. Во-вторых, р может распадаться,
т. е. его дивизор может быть произведением двух различных
простых дивизоров. Наконец, дивизор р может быть квадратом
простого дивизора. В этом случае, по аналогии с теорией римано-
вых поверхностей, говорят, что р разветвляется. Если р =ф2,
то р остается простым при Д'Р-1)/2 = —1 (mod p), распадается
при .Dip-1)/2 = 1 (mod р) и разветвляется при Вф~1I'2- ^
= 0 (mod p). Этот критерий можно выразить иначе, если сказать,
T.I. Простые дивизоры 299
что р остается простым, когда сравнение и2 = D (mod р) не имеет
решений, распадается, когда сравнение и1 = D (mod p) имеет
два различных решения по модулю р, и разветвляется, когда срав-
нение и2 = D (mod р) имеет одно решение и = 0 (mod p). Про-
стое 2 остается простым, если D == 5 (mod 8), распадается, если
D = 1 (mod 8), и разветвляется, если D = 2 или 3 (mod 4).
(Поскольку D свободно от квадратов, случай D = 0 (mod 4)
не рассматривается.)
Обозначения. В дальнейшем полезно иметь обозначения для
простых дивизоров. Если р — простое целое, которое остается
простым, его дивизор мы обозначим через (р). Если р — развет-
вленное простое, то через (р, *) мы будем обозначать его един-
ственный простой дивизор. Тогда (р, *J — дивизор р. Если р —
распадающееся простое при р =Ф 2, а и — решение сравнения
u2 = .D (mod p), то через (р, и) обозначим простой дивизор р,
который делит и — У D, т. е. простой дивизор р, по модулю кото-
рого \^D = и. Тогда (р, и) (р, —и) — дивизор р. Если 2 распа-
дается (т. е. если D = 1 (mod 8)), то через B, 0) и B, 1) мы будем
обозначать простые дивизоры числа 2, по модулю которых
{1 — V D)I2 = 0 и 1 соответственно. В этом случае дивизор 2 ра-
вен B, 0) B, 1). В противном случае 2 либо остается простым,
либо разветвляется и имеет дивизор B) или B, *J соответственно.
Упражнении
1. Докажите, что р, рассматриваемое как квадратичпое целое детерми-
нанта D, является простым тогда и только тогда, когда из р \ (х2 — Dy2) сле-
дует, что р | (х + у Yd).
2. Докажите, что если D = 1 (mod 4), то норма я2 — Dy- любого квад-
ратичного целого является целым числом.
3. Пусть а = х + у YD, где х к у — произвольные вещественные числа.
Докажите, что а является квадратичным целым детерминацта D тогда и толь-
ко тогда, когда мпогочлеп второй степени (X — а) (X — а) имеет целые коэф-
фициенты. Следовательно, квадратичным целым можпо назвать произволь-
ное число, удовлетворяющее уравнению вида Хг + ЬХ + с = 0 с целыми
Ъ и с.
4. Покажите, что если р \ D, то (р, *) делит х + у YD тогда и только
тогда, когда х = 0 (mod р). Докажите также, что р делит х + у YD в том
и только в том случае, когда (р, *) долит х + у Y& с кратностью, не мень-
шей двух.
5. Перечислите все свободные от квадратов целые D с | D \ <; 10.
6. При D = —1 воспользуйтесь теоремой Жирара о суммах двух квадра-
тов (см. § 1.7), чтобы точно указать, какие простые р распадаются, какие раз-
ветвляются и какие остаются простыми.
7. Опишите, как разлагаются простые р (т. е. распадаются ли они, раз-
иетвляются или остаются простыми) при D = —2. (Воспользуйтесь теоре-
мами из гл. 2 о числах вида х- + 2у".)
8. Опишите разложение простых р при D = 2.
300 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
9. Используя результаты о разложении простых в круговых целых
при X = 3, опишите разложение простых р для D = —3.
10. Используя круговые целые для X = 5, опишите разложение простых
при D = 5.
11. Используя метод проб и ошибок, найдите все простые, меньшие 20,
которые распадаются при D — —5. Используйте квадратичный закон взаим-
ности и решите эту задачу в общем виде.
12. Для каждого свободного от квадратов D с | D | ^ 5 найдите все-
дивизоры с пормой 36.
13. Докажите, что если D = 1 (mod 4) и простое р распадается, то каж-
дое квадратичное целое сравнимо с некоторым обыкновеппым целым по моду-
лю (р, и) (где (р, и) — один из простых дивизоров р).
7.2. Теория дивизоров
Пусть квадратичные целые детерминанта D определены, как
в предыдущем параграфе (т. е. при D = 1 (mod 4) допускаются
знаменатели 2); допустим также, что простые дивизоры (р),
(р> *)» (Pi u) определены аналогичным образом. Мы должны
доказать, что эти определения дают непротиворечивую теорию
дивизоров, обладающую ожидаемыми свойствами.
Предложение 1. Если р остается простым, то р делится
на один простой дивизор с кратностью точно 1 и не делится на
другие простые дивизоры. Если р разветвляется, то р делится
на один простой дивизор с кратностью точно 2 и не делится на
другие простые дивизоры. Если р распадается, то р делится на два
простых дивизора с кратностью точно 1 и не делится на другие
простые дивизоры. Во всех случаях для деления на простое р основ,
ная теорема справедлива в том смысле, что если х -\- у У D делится
на все простые дивизоры р с кратностью, не меньшей той, с кото-
рой они делят р, то х + р у D делится на р.
Доказательство. Из определения легко следует, что каждый
простой дивизор делит лишь единственное простое целое. Следова-
тельно, рассматривая простые дивизоры, делящие р, можно
игнорировать все дивизоры, за исключением тех, которые опреде-
лены в связи с данным р. Если р остается простым, то делимость
на (р) означает обычную делимость на р, и доказывать нечего.
Если р разветвляется, то делимость х -f у У D на (р, *) с крат-
ностью [х означает делимость (х + у У D) х^ на р^, где % = уD,
если р | D, и х — 1 + У D, если р = 2 и D нечетно. Таким обра-
зом, р делится па {р, *) с кратностью 2 тогда и только тогда,
когда х2 делится на р, что, как легко видеть, справедливо в обоих
случаях. Оно делится па (р, *) с кратностью точно 2, если р не
делит (х2/р) х. Если х = j/ D, то это немедленно следует из того,
что D свободно от квадратов. Если же х = 1 + УD, то мы полу-
чаем это утверждение, используя равенство (х2/р)х =
7.2. Теория дивизоров 301
= Ч2 [A + 3D) + C + D) Vj>], так как в этом случае D =
= 3 (mod 4). Если х + у \fD делится на (р, *) с кратностью 2,
то р делит (х2/р) (х + г/ V"-D)- При х = |/\D отсюда следует, что р,
как и требуется, делит х + г/ J/.D, поскольку в этом случае х2/р —
целое, взаимно простое с р. Если х = 1 + l^Z) (и, следователь-
но, р = 2, Z) = 3 (mod 4)), то тот же самый вывод сле-
дует из сравнения (х2/р) (х + У УЩ = \/D (х + у У D) = у -\-
+ х У D (mod 2), которое показывает, что х + у \/D делится
на (р, *) с кратностью 2 только тогда, когда у е= х = 0 (mod 2).
Наконец, предположим, что р распадается. Очевидно, что р
делится на каждый из его простых дивизоров с кратностью 1.
Такой простой дивизор делит х + у \/ D с кратностью fi тогда
и только тогда, когда р& делит (х + у YD) т*1, где х = и — УБ
при р Ф 2 (u2 = D (mod р)) и х = со или со — 1 при р = 2
(и, следовательно, D ^ 1 (mod 8)), со = V2 A — V-D)- Для
того чтобы доказать, что такой простой дивизор делит р с крат-
ностью точно 1, необходимо и достаточно доказать, что р не делит
х2. Если р ф2, то это следует из сравнения х2 = и2 -\-D —
— 2 УЪ = 2 (?) — УЪ) ф 0 (mod p). Если же р = 2, то мы
приходим к такому же заключению, используя сравнения х2 =
= со2 = V4 (Z> -i I - 2 УЪ~) = V((B-l) + oaB#0 (mod 2)
или х2 = (со — IJ = со2 — 1 = (о — 1^0 (mod 2). Остается
только доказать, что если х + у УТ> делится на оба простых
дивизора, делящих р, то х + у У^> делится па р. При р ф2 это
следует из замечания, что если р делит как (х + У УО) (и —
так и (х + у УD) (—и — V D), то оно делит 2и (х + у
и 2и взаимно просто с р. Если же р = 2 и 2 делит как (х + г/]/Z>) со,
так и (я + У У D) (со — 1), то 2 делит а; + у ]/D.
Предложение 2. Пусть А — простой дивизор. Если А делит
х "*~ У УD и г + s УD одновременно с кратностью \х, то А делит
также и (х + у |/ D) + (г -r s 1/.D) с кратностью \i. Если А делит
х -\г у YD с кратностью точно \х (т. е. делит с кратностью \х,
но не с кратностью \х + 1) и делит г + s УD с кратностью точ-
но v, то А делит (х + у ]/D) {г + s |ЛО) с кратностью точно
(д, -J- v. Наконец, если х + г/ |/\D ^=0, mo существует единствен-
ное целое \х ^ 0, такое, что А делит х + г/ ]/.D с кратностью
точно \х.
Доказательство. Первое из этих утверждений очевидно во
всех случаях. Для доказательства второго утверждения полез-
302 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
по рассмотреть сначала случай \х — v = 0, когда утверждется,
что простой дивизор является простым, т. е. если А не делит
ни один из сомножителей, то А не может делить произведение.
Если А = (р), где р остается простым, то это утверждение было
доказано в предыдущем параграфе. Если А — (р, *), где р раз-
ветвляется, или А — (р, и), где р распадается, то каждое квадра-
тичное целое сравнимо с некоторым обыкновенным целым по
модулю А, а два целых сравнимы по модулю А тогда и только
тогда, когда они сравнимы по модулю р. Таким образом, из срав-
нения (х -f уи) (г + su) =н (х + у y^D) (r ~- s у D) == 0 (mod A}
следует, что х + уи или г -~ su == 0 (mod р) и, значит, х + у ]/ D
или г + s У D = 0 (mod Л). Заметим далее, что А делит х + у УD
с кратностью точно \i тогда и только тогда, когда pv- делит
{х -~ у У D) х»\ но полученное частное не делится на А (где х — 1,
если А = {р), х = У D, если А делит D, т —¦ УИ + 1, если А =
= B, *) и D нечетно, х =-- и — VD, если А = (р, и), р Ф 2,
и х == а или ш — 1, если А = B, 0) или B, 1) соответственно).
Это утверждение просто сводится к замечанию, что А
делит (х + у УD) т^/рч тогда и только тогда, когда р делит
{х ~- у У D) TV-+i/p*, последнее же справедливо в том и только
в том случае, когда р^+1 делит (х + у У D) x^+1 (при условии,
что р^ делит (х + у У D) т»). Таким образом, А не делит ни
(х 4- У У D) тР/р*, ни (г + s yD) Tv/pv, поэтому, как было
только что показано, А не делит (х + у У D) (г -4- s ]/ D) x'1+v/p'i+v.
Следовательно, А делит произведение с кратностью точно [i + v,
что и требовалось доказать.
Далее, если А делит х + у |/ D с кратностью точно \i и с крат-
ностью точно (.1 -|- /, где / > 0, то (х + г/ ]/¦?)) х'1//^ не делится
на Л, по после домножения на х^ будет делиться на р°, а потому
и на А. Очевидно, что это возможно только в тех случаях, когда А
делит х, т. е. когда А = (р, *). Но тогда х2 = рв, где о не делится
на А (поскольку, как было показано выше, р не делит сгх =
= (х2/р) х). Тогда / не может быть четным. Действительно, если
/ = 2/с, то (х + У У D) %v-+J = pM.+ft [(а; + у УБ) х^Чр*] ak делится
на pv+ъ, но частное не делится на А, а потому и на ph.
Не может / быть и нечетным, так как если / =• 2k -u 1 (к ^ 0), то
(х -г у УЪ) %»+j — p»+ft l(x -I- I/ V#) х^/р^]сгЧ только тогда
делится па р^+гг+1, когда Л делит [(х + у У D) т^/р*1] ah, что невоз-
можно. Остается только доказать, что если х -\- у УD ф0, то
х -г у У D по крайней мере для одного \х делится на А с крат-
ностью точно [х. Согласно определению, достаточно показать,
что существует по крайней мере одно такое целое v > 0, что
7.2. Теория дивизоров 303
х -г у VD не делится v-кратно на А. Для этого положим
N (х + у VD) — рпк, где /с взаимно просто с р. Так как р самое
большее двукратно делится на А, а к вообще на него не делится,
то рпк не делится Bп + 1)-кратпо на А и, следовательно,
х -f- г/ |/D тоже не делится Bп + 1)-кратно на А. Это завершает
доказательство.
Основная теорема. Квадратичное целое х -\- у ]/'D делит квад-
ратичное целое и -f~ v^D тогда и только тогда, когда каждый
простой дивизор, делящий х -\- у У D, делит и + у ]/D с немень-
шей кратностью.
Доказательство. Это утверждение легко следует из предложе-
ний 1 и 2, если использовать рассуждения из § 4.11.
Следствие. Если два квадратичных целых делятся в точности
на одни и те же простые дивизоры с одними и теми же кратностя-
ми, то их частное является единицей, т. е. квадратичным целым,.
которое делит 1.
Доказательство. Частное этих чисел не делится ни на один
простой дивизор. Следовательно, согласно основной теореме,
оно должно делить все квадратичные целые и, в частности, оно
должно делить 1.
Дивизором квадратичного целого называется список всех про-
стых дивизоров, которые делят это квадратичное целое, засчи-
танных с их кратпостями. Дивизор есть (конечный) список про-
стых дивизоров, в который некоторые простые дивизоры могут
входить более одного раза. Пустой дивизор, который является
дивизором числа 1, мы будем обозначать I. Произведением двух
дивизоров называется список, полученный объединением списков
дивизоров-сомножителей. Произведепия мы будем записывать
обычным образом, выписывая множители один за другим. Таким
образом, B, *JC, IJ A7, 5) обозначает дивизор (для некото-
рого D, которое должно быть ясно из контекста), который содержит
дважды дивизоры B, *) и C, 1) и один раз дивизор A7, 5). При
таких определениях задано отображение
{ненулевые "I
квадратичные > -> {дивизоры},
целые J
и оно обладает свойствами (ii)—(v) из § 4.15. (Доказательство
свойства (iv) см. в упр. 4.)
304 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Так же как в гл. 5 (и по тем же самым причинам), можно опре-
делить понятие эквивалентности дивизоров. Дивизор, который
является дивизором квадратичного целого, называется главным
дивизором. (О происхождении этой терминологии см. § 8.5.) Два
дивизора А и В называются эквивалентными (что обозначается
А ~ В), если для любого дивизора С дивизор вида АС является
главным тогда и только тогда, когда ВС — главный дивизор.
Другими словами, в любом дивизоре, делящемся па А, А можно
заменить на В, и новый дивизор будет главным в том и только
в том случае, когда главным был исходный дивизор. Это отноше-
ние, очевидно, является рефлексивным, симметричным и транзи-
тивным и оно согласовано с умножением дивизоров. Кроме того,
справедливы все свойства A)—(8) из § 5.3. Например, А является
главным тогда и только тогда, когда А ~ I. Предложенное Кум-
мером определение эквивалентности А ~ В, согласно которому
должен существовать такой третий дивизор С, что дивизоры А С
и ВС являются главными, равносильно приведенному здесь
определению.
Как и в случае круговых целых, можно найти конечную
систему представителей, т. е. конечное множество дивизоров,
обладающее тем свойством, что каждый дивизор эквивалентен
в точности одному дивизору из этого множества. Мы докажем
это утверждение в § 7.4; при этом мы получим конструктивный
метод построения такого множества представителей. В круговом
случае такое построение значительно сложнее, и мы даже не
пытались найти его в гл. 5.
Каждый дивизор А имеет сопряженный к нему дивизор А,
определенный условием: А делит х + У V D с кратностью \х тогда
и только тогда, когда А делит х — у ]/\D с кратностью [х. [Дру-
гими словами, А получается из А, если в списке А мы оставим
дивизоры (р) и (р, *) без изменения, а дивизоры (р, и) заменим
на сопряженные к ним (р, —и) при р ф2, а при р = 2, D s
= 1 (mod 8) сделаем замену B, 0) -«-•> B, 1).] Тогда естественно
рассматривать дивизор А А как норму А. Как и в круговом слу-
чае, часто бывает полезно рассматривать норму дивизора не как
дивизор, а как обыкновенное целое число. Легко доказать, как
и в круговом случае, что найдется единственное положительное
целое число, дивизор которого равен АА. Возникает искушение
назвать его нормой А. Так естественно сделать при D < 0,
поскольку в этом случае все нормы я2 — Dy1 положительны.
При D > 0 нормы могут быть отрицательными, и норму дивизора
следует определить иначе. Это является предметом следующего,
очень короткого, параграфа.
7.3. Знак нормы 305
Упражнения
1. Докажите, что если АВ — главный дивизор и А — главный дивизор»
то В также является главным дивизором.
2. Найдите дивизоры следующих квадратичных целых (значением D
в каждом случае является целое под знаком радикала):
(a) 4 + 7/3, (d) /21,
(b) 5—9/^2, (е) 55+12/21,
(c) 3/^5, @ 20+5/14.
3. Докажите, что дивизор произведения двух квадратичных целых равен
произведепию их дивизоров.
4. Докажите, что если А и В — дивизоры и если каждое квадратичное
целое, делящееся на А, делится также и на В, то А делится на В. [За образец
возьмите доказательство теоремы из § 4.13.]
7.3. Знак нормы
В теории дивизоров круговых целых было полезно считать
нормой дивизора положительное целое, дивизор которого равен
произведению всех дивизоров, сопряженных к данному. Тогда
среди прочих полезных свойств получался тот факт, что если
дивизор является главным и равен дивизору кругового целого
/ (а), то его норма равна Nf (а). (Действительно, в терминологии
Куммера нет различия между обыкновенным целым Nf (а) и идеаль-
ным комплексным числом Nf (а).) Если D < 0, то нормы х2 — Dy2
всегда положительны, и норму дивизора А можно определить
для квадратичных целых аналогичным образом, а именно: N (А)
равна положительному целому с дивизором А А. Однако при
D > 0 это определение неудовлетворительно, поскольку в этом
случае норма дивизора квадратичного целого не всегда будет
совпадать с нормой самого квадратичного целого.
От этой аномалии можно избавиться, введя при D > 0 некото-
рый новый дивизор, норма которого равна —1. Поскольку в этом
случае должен быть ровно один такой дивизор, он сопряжен самому
себе и его естественно обозначить (—1, *). Тогда дивизор квадра-
тичного целого, который является списком всех простых дивизи-
ров, делящих данное квадратичное целое, с учетом их кратностей,
следует изменить таким образом, чтобы он включал (—1, *), если
норма этого целого отрицательна, и не включал (—1, *) в против-
ном случае. Для того чтобы дивизор произведения был произведе-
нием дивизоров, необходимо и достаточно по определению счи-
тать (—1, *J = 7, При таких определениях выполняются все
обычные свойства. (Из (—1, *J — / следует, что (—1, *) делит
любое квадратичное целое; таким образом, этот дивизор не удов-
летворяет условиям основной теоремы.) Кроме того, норма диви-
20 г. Эдварде
306 Гл. 7, Теория дивизоров квадратичных целых
зора является целым со знаком, которое в случае главного дивизора
совпадает с нормой соответствующего квадратичного целого.
Дивизор (—1, *) является главным тогда и только тогда, когд*
существует квадратичное целое с нормой —1. Как показывают
примеры (см. упражнения), в зависимости от данного D > О
дивизор (—1, *) может быть главным, а может и не быть.
В дальнейшем при D > 0 в число дивизоров мы всегда будем
включать дивизор (—1, *) (при D < 0 этот дивизор никогда не
рассматривается). Следует специально отметить, что при D >• (Ъ
утверждение, согласно которому любой дивизор однозначно опре
деляется множеством всех делящихся на него квадратичных целых*
другими словами, свойство (iv) из § 4.15 не является более спра-
ведливым, если в число дивизоров мы включаем (—1, *). Действи-
тельно, любое квадратичное целое делится как на I, так и не
(—1, *), но (—1, *) Ф I. Вообще (—1, *) А делит те же самые,
квадратичные целые, что и А. Теорема из § 4.13 остается спра-
ведливой в новой теории, но ее следствие неверно, так как иа
А | В и В | А больше не вытекает, что А = В; в этом случае
выполняется лишь либо А = В, либо А = (—1, *) В.
В § 4.13 мы указали, что Дедекинд отождествлял идеальное
комплексное число с множеством всех делящихся на него объектов.
Множество, состоящее из всех таких элементов, Дедекинд назвал
идеалом (что в этих случаях совпадает с дивизором). Из приведен-,
ного выше замечания следует, что, с точки зрения Дедекинда, А
и (—1, *) А неразличимы, и действительно, в большинстве совре-
менных изложений такое различение не делается. Тем не мене*
такое различение полезно, и Гаусс неизменно его проводил (прав-
да, в другом контексте). В этой книге мы будем различать дивизо.
ры А и (—1, *) А не только потому, что это выглядит естествен-
ным, но и потому, что легче игнорировать различие там, где от
несущественно, чем вводить его после того, как вся теория раз
вита без него. Кроме того, оказывается, что такое различение
существенно для гауссова доказательства квадратичного закона
взаимности в § 7.11.
Упражнения
1. Найдите квадратичное целое детерминапта D = 2 с дивизором (—1, *J
Найдите его квадрат и куб и их дивизоры.
2. Докажите, что дивизор (—1, *) не является главным при D = Ъ
3. Докажите, что при D = 5 дивизор (—1, *) главный.
4. Докажите теорему из § 4.13 для теории с дивизором (—1, *).
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами
Однозначность разложения имеет место^для дивизоров соглас
но самому их определению — всякий дивизор есть произведена
простых дивизоров. Основная теорема показывает, что разлож*
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами 307
ние квадратичного целого влечет за собой разложение его диви-
зора. Все разложения дивизора легко перечислить, поэтому задача
разложения квадратичного целого приводит к задаче определе-
ния для данпого дивизора, является ли он дивизором квадратич-
ного целого, и, если это так, нахождения всех квадратичных
целых, дивизором которых он является. Этот параграф, как ука-
зывает его название, посвящен решению данной задачи.
Пусть А — заданный дивизор. Прежде всего мы должны уста-
новить, является ли А главным, т. е. верно ли, что А ~ /. Есте-
ственный подход к этой задаче (который в точности совпадает
с подходом, использованным в § 4.4 и § 4.7 при нахождении
круговых целых с заданными дивизорами) заключается в попытке
найти делящиеся на А квадратичные целые х -\ у |/ D с малыми
в некотором смысле х и у. Для этого естественно попытаться найти
простой способ проверки, делится ли данное квадратичное целое
на А.
Заметим прежде всего, что если А делится на целое п, или,
точнее, если А делится на дивизор (п) целого числа п, скажем
А = (п) А', то деление на п задает взаимно однозначное соответ-
ствие между квадратичными целыми с дивизором А (если такие
найдутся) и квадратичными целыми с дивизором А'. Следова-
тельно, не ограничивая общности, мы можем свести задачу к слу-
чаю, когда данный дивизор А не делится па дивизор ни одного
целого, большего 1.
Если А не делится ни на одно целое, большее 1, то каждое
квадратичное целое сравнимо по модулю А с некоторым обыкновен-
ным целым, и два квадратичных целых сравнимы по модулю А тогда
и только тогда, когда они сравнимы по модулю нормы А. Ото
утверждение можно доказать следующим образом. Поскольку А
не делится на (р), или на (р, *J, или па (р, и) (р, —и) (где р
соответственно остается простым, разветвляется или распадает-
ся *)), то он должен иметь вид
А = (Pi, Uj)m.. (р2, и2)»> ... (ра, иа)^ {р[, *) (р'г, *) ... (р'Т, *),
где р1У рг, . . ., ра — различные распадающиеся простые, при-
чем ц! > 1, [х2 > 1, . . ., ц„ > 1, и где р\, р'2, . . ., р'х — раз-
личные разветвленные простые. (Конечно, а или х может быть
равно 0.) Если D > 0, то р\ при некотором i могло бы быть равно
—1. Однако в этом случае А' = (—1, *) А не содержит дивизор
(—1, *), и, поскольку сравнения по модулю А совпадают со срав-
нениями по модулю А', достаточно доказать пашу теорему для А'.
Другими словами, не ограничивая общности, можно считать, что-
p'i Ф—1 при i = 1, 2, . . ., т. Норма А равна р$'Р$г ¦ ¦ ¦
х) Если 2 распадается, т. е. если D = 1 (mod 8), то (р, и) (р, —и})
здесь озпачает B, 0) B, 1).
20*
308 1'л. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
.. ¦Раар'1р'2 ¦ ¦ ¦ р'х- Это целое мы обозначим через а. Если некоторое
целое делится на А, то оно делится и на А — это видно непосред-
ственно из определения. Для множителей вида (р, u)v- дивизора А
отсюда следует, что данное целое делится на (р, и)^ (р, —ц)^,
а потому оно делится и на р&. С другой стороны, простой дивизор
вида (р, *) делит какое-либо целое только тогда, когда р делит
это целое. Поскольку все pt и р\ различны, отсюда следует, что
целое делится на А тогда и только тогда, когда оно делится на а.
Остается доказать, что каждое квадратичное целое сравнимо
с некоторым обыкновенным целым по модулю А.
Сначала рассмотрим случай D = 2 или 3 (mod 4). Тогда каж-
дое квадратичное целое имеет вид х -~- У YD при целых х и у,
и достаточно доказать существование такого целого г, что YD =
= г (mod А). Для каждого множителя (р, u)v дивизора А найдет-
ся целое, а именно и, такое, что и =^ \/D (mod (p, и)). Тогда
(и — ]/D)v- = 0 (mod (р, и)»). Положим (и — V~D)» = Ъ + с YD.
Целое с не делится на р, поскольку в противном случае выполня-
лись бы сравпения с У D = 0 (mod (p, и)), Ъ = 0 (mod (p, и)),
b = 0 (mod р), Ъ -г с YD = 0 (mod p), Ъ + с Yp =
= 0 (mod (р, —и)), и — YD = 0 (mod (р, —и)), но и — YD Ф
=? 0 (mod (р, —и)). Поэтому с ъ р& взаимно просты и существует
такое целое d, что cd == 1 (mod р&). Отсюда следует, что db +
+ dc YD = db + VD (mod (p, u)*), YD = —db (mod (p, u)v).
Таким образом, YD сравним по модулю (р, ц)^ с некоторым целым
^числом. Аналогично, УD = целое (mod (р', *)), а именно: YD =
= 0 (mod (р', *)) во всех случаях, кроме р = 2, D = 3 (mod 4);
в последнем случае V D = 1 (mod (p, *)). Таким образом, для
каждого множителя (р, u)v- или (р', *) дивизора А найдется
такое целое ги что |/ D = г (mod (p, u)v) или (mod (p', *))
тогда и только тогда, когда г = rt (mod р&) или (mod p'). Согласно
китайской теореме об остатках, существует целое г, которое удов-
летворяет всем этим сравнениям, следовательно, YD == r (mod A).
Если D = 1 (mod 4), то каждое квадратичное целое имеет
-вид х -j- уа> с целыми х, у и ю = A — ]ЛО)/2. Поэтому достаточно
доказать, что ю сравнимо с некоторым целым по модулю А. Для
множителей дивизора А, имеющих вид (р, u)v- или (р',_*) с р Ф 2,
приведенное выше рассуждение показывает, что YD = rt при
некотором целом rt. Тогда 2ю = 1 — ]/Z) = 1 — rt, и, обращая 2
по модулю pv- или по модулю р', мы получаем целое, сравнимое
с (о по модулю (р, u)v или по модулю (р1, *). Если р = 2, то
D = 1 (mod 8) и соответствующий множитель дивизора А равен
.либо B, 0)t», либо B, 1)^. По определению, ю = 0 или
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами 309
1 (mod B, 0)) или (mod B, 1)) соответственно. Тогда ©^ или
A — (о)^ делится на B, 0)» или на B, 1)^ и имеет «ид Ъ + сю
при нечетном с. Действительно, в протвпом случае 2 делило бы ю
или 1 — (о. Таким образом, с обратимо по модулю 2^, и сущест-
вует целое, сравнимое с ю по модулю B, 0)^ или по модулю B, 1)^.
Теперь китайская теорема об остатках дает нам требуемое целое,
сравнимое с ю по модулю А.
Таким образом, если данный дивизор А не делится ни на одно
целое, большее 1, то мы можем найти такое целое г, что г — У D
делится на А. Кроме того, г можно привести по модулю а, где
а — норма А. Этих замечаний достаточно для доказательства
того, что число классов конечно, т. е. существует конечное множе-
ство дивизоров, обладающее тем свойством, что каждый дивизор
эквивалентен некоторому элементу этого множества. Действитель-
но, дивизор г — YD имеет вид АВ, где норма Ъ дивизора В
удовлетворяет неравенству | аЪ | = | (г — У D) (г -)- У D) | ^
< г2 -L \D |< -ia2 + \D |. Таким образом, | Ъ |< | а |, если
только не выполняются неравенства 1/Ла2 + \D | ^> | ab \ ^ а2,
| D |>3a2/4, \a\^2Y\D |/3. Далее, АВ и ВВ — главные диви-
зоры, поэтому А ~ В. Норма В равна Ъ и меньше а по абсолютной
величине, если | а \ > 2 J/ | D |/3. Если бы исходный дивизор А
делился на какое-либо целое, большее 1, то его можно было бы
заменить па эквивалентный дивизор с меньшей нормой, который
не делится ни на одно целое, большее 1. Таким образом, если
норма дивизора А больше 2 |/ | D |/3 по абсолютной величине, то он
эквивалентен некоторому дивизору с меньшей по абсолютной
величине нормой. Согласно принципу бесконечного спуска, по-
вторяя при необходимости такую редукцию, мы можем найти
дивизор, который эквивалентен А и имеет норму | а \ <; 2 |/ \D |/3.
Это доказывает конечность числа классов, так как число дивизоров
с нормой, меньшей данной границы, конечно.
Для установления, является ли данный дивизор главным,
необходимо лишь незначительное уточнение этого процесса при-
ведения. Рассмотрим сначала случай, когда D < 0 и D = 2 или
3 (mod 4). Пусть Ао — заданный дивизор; не ограничивая общ-
ности, можно считать, что Ао не делится ни на одно целое, боль-
шее 1. Тогда приведенная выше редукция дает Ао~ Аг, где
AtyA-L — дивизор г0 — У D, г0 — целое, сравнимое с У D по моду-
лю А 0, и г0 приведено г) по модулю нормы а0 дивизора Ао. Так
х) Приведение состоит в том, чтобы сделать | r0 | возможно меньшим,
так что —1/2ао^го^1/2Aо' Могут оказаться возможными два значения:
г0 = — 1/2а0 и го = 1/2ао. Для определенности в таком случае мы будем выби-
рать положительное значение г0 = ^гЯо-
310 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
как Аг делит r0 -f У D, a r0 + YD не делится ни на одно целое,
то и А1 не делится ни на одно целое. Следовательно, этот процесс
можно повторить и получить последовательность эквивалентных
дивизоров Ао~ А1~ А2~ . . . . Кроме того, как только заданы
значения а0 и г0, сразу же известно аг — (rj; — D)/a0 и легко найти
значение гг. Действительно, Аг делит (—г0) — У D, поэтому гг
равно —г0, приведенному по модулю av Аналогично, если извест-
ны at, Г;, то ain, ri+1 можно найти из соотношений ai+1 =
— (г? — D)/at и ri+1 -L- r,- = 0 (mod a,+1). Если существует такое
i, что Я; = 1, то At = I и, в частности, At — главный дивизор.
Таким образом, для того чтобы данный дивизор был главным,
достаточно, чтобы последовательность целых чисел а0, alt а2, . . .
содержала 1.
Теперь мы покажем, что это условие является также и необходи-
мым (по-прежнему в предположениях D < 0, D = 2 или
3 (mod 4)). Согласно принципу бесконечного спуска, должно
существовать такое i, что ai+1 ^ ah а отсюда, как было показано
выше, следует, что at ^ 2 У | D |/3. Значит, at <C | Z) |, причем
неравенство является строгим при D Ф —1 (| D | <С 2 |/ | .D |/3
влечет за собой 3|Z>|2<4|.D|, | Z? |< 4/3). Если Ло~ /,
то ij~ 7 и существует квадратичное целое и -\- v Y^D с дивизо-
ром Аь. Тогда u2 — Dv2 = at ^ | D \ со строгим неравенством
при D Ф—1. Таким образом, если v фО, то D = —1. Отсюда
следует, что а-г ^ 1, т. е. аг = 1, что и требовалось доказать.
В противном случае v = 0 и А г — дивизор и, вопреки тому что
Л i не делится ни на одно целое, большее 1 (за исключением того
случая, когда и = +1 и at = 1). Следовательно, из эквивалентно-
сти Ао~ I мы получаем не только то, что а, = 1 достигается,
но также и то, что последовательность at убывает до тех пор, пока
не достигнет at = 1.
Это дает нам очень простой алгорифм для определения (при
D < 0, D = 2 или 3 (mod 4)), является ли данный дивизор глав-
ным. Лишь незначительное расширение этого алгорифма требует-
ся для нахождения всех квадратичных целых с дивизором А
при А ~ /. Пусть А ~ Ао~ Аг~ . . -~Ai =/, где А — (п) Ао
и где AjAj+1 — дивизор целого rj — |/\D при / = 0,1, . . ., i — 1.
Если нам дано квадратичное целое с дивизором AJ+1, то мы можем
найти квадратичное целое с дивизором Aj, умножив целое с диви-
зором Aj+1 па rj — У D, имеющее дивизор AJAj+1, и разделив на
aj+1 с дивизором Aj+1Aj+1. Если мы начнем этот процесс с 1,
имеющей дивизор /, то композиция этих операций даст нам ква-
дратичное целое с дивизором Ао; умножая затем на п, мы получим
квадратичное целое с дивизором А. Согласно основной теореме,
мы получим квадратичное целое с дивизором А в общем виде,
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами 311
если умножим уже найденное квадратичное целое с дивизором А
на единицу. Далее, единица и + v Y^D удовлетворяет соотноше-
нию и2 — Dv2 = ±1, поэтому или и = ±1, v = 0 или D = —1
и и = 0, v = +1, т. е. ±1 являются единственными единицами,
за исключением случая D = —1, когда имеется 4 единицы:
±1, ± Y—1- Это завершает решение данной задачи в случае
D < О, D == 2 или 3 (mod 4): за конечное число простых шагов
мы можем определить, является ли данный дивизор главным,
и, если это так, найти все квадратичные целые (их будет ровно
два или, при D = —1, четыре) с данным дивизором.
В случае D <Z О, D = 1 (mod 4) требуются лишь незначитель-
ные изменения. Если А задано, положим А — (п) Ао, где Ао
не делится ни на одно целое, большее 1. Существует такое полу-
целое (половипа нечетного целого) г, что г — 1/2 Y~D = 0 (mod А 0).
Пусть а0 — норма Ао и г0 ¦— полуцелое, полученное приведе-
нием *) г по модулю а0; пусть Аг — такой дивизор, что А0Аг
является дивизором г0 — 1/2 |/Z>. Если аг — норма Аъ то а^ =
= г\ — 11/Р <, 1lia\ — 1/4Z>. Если а0 не превосходит аг, то а\ <;
<^ аф-L <; (а\ — D)/A, а0 <; |/| D |/3. Следовательно, повторение
этой процедуры приводит в конце концов к дивизору A t с нормой
a;^]/^|Z) |/3. Это доказывает конечность числа классов. Если
в последовательности а0, аг, аг, . . . содержится значение 1,
то At = /, и отсюда не только следует, что дивизор А является
главным, но также и то, что мы можем найти все квадратичные
целые с дивизором А, как только найдем все единицы. Если
и2 — Dv2 = 1 и и -\- v У D Ф ±1, то либо и = 0, либо и =
= ±1/2, —Dv2 = 3/4, v = +1/2, D = —3. Но равенство и = О
невозможно, поскольку тогда v является целым числом, —D <
<С +1»-Z) ^ —1, что противоречит предположению. Короче говоря,
при D ф.—3 единственными единицами являются ±1; если же
D = —3, то имеется шесть единиц ±1, ± ir±-^-V—3.
Li Li
Теперь решение нашей задачи будет полным, если доказать,
что в случае А ~ / последовательность а0, ах, а2, • • • должна
содержать значение 1. Пусть i — первое целое, для которого
at ^ ai+1. Тогда, как было показано выше, аг ^ У \ D |/3. Если
А — главный дивизор, то существует квадратичное целое
и + v VD с дивизором At. Тогда u2 — Dv" = at < V\D |/3.
Таким образом, V4 [BuJ — D Bvf\ < V\D |/3 и 2u, 2v — целые
В ситуации, когда это приведение неоднозначно, т. е. когда г ss
(mod a0), мы снова будем использовать положительное значение
312 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
числа. Если v Ф О, то отсюда следует, что V4 (—D) ^ У \ D |/3 ^
D2 < 16 \D |/3, \D | < 6, D =— 3. Таким образом, если D =&
Ф—3, то v = 0, и — целое с дивизором At, и, поскольку At
не делится ни на одно целое, большее 1, и = ±1, At — I, что
и требовалось доказать. Если же Z) = —3, то at ^ |/ \D\ /3 = 1
и и + " |/.D должно быть единицей; отсюда снова следует, что
At = I.
Теперь мы рассмотрим случай D > 0 и для простоты предполо-
жим, что D == 2 или 3 (mod 4). Рассуждение, при помощи кото-
рого мы доказывали конечность числа классов, проходит и в этом
случае; оно показывает, что каждый дивизор эквивалентен диви-
зору с нормой, не превышающей 2 ]/Z)/3 по абсолютной величине.
Кроме того, это доказательство использует явную последователь-
ность эквивалентных дивизоров А ~ Ай~ Аг~ . . . ~ Ait в кото-
рой | N (A i) |^2 Y DI2>. Поэтому мы получим решение нашей
задачи для А, если сможем решить ее для At. Следовательно,
не ограничивая общности, можно считать, что А = Ао не делится
ни на одно целое, большее 1, и что | iV (А) \ ^ 2 ]/D/Z.
Пусть а0 — норма Ао и ]/7) == r0 (mod Ao); предположим, что
\ а0 |^2 У D/Ъ. Описанный выше процесс использует приведение
г0 по модулю а0, для того чтобы получить г0 с | г0 | :<С | а0 |/2.
Однако наша главная цель состоит в том, чтобы сделать айаг =
= rl — D возможно меньшим по абсолютной величине; этой
цели легче добиться, если приближать г0 к ±УD, а не к 0. Воз-
можно, читатель уже заметил, что использованные в этом про-
цессе шаги очень похожи на шаги циклического метода из § 1.9.
В циклическом методе оказалось эффективным выбирать в каче-
стве г положительное число с возможно меньшим | г2 — D |, но
при доказательстве того, что циклический метод всегда дает все
решения уравнения Пелля (см. упр. 9—13 к § 1.9), мы обнару-
жили, что удобнее выбирать г как можно большим, но таким, чтобы
г2 — D было отрицательным. Здесь мы будем применять тот же
метод выбора г. Пусть г0 — наибольшее целое, г0 == ]/D (mod A0)t
для которого rj — D < 0. (Существует по меньшей мере одно г,
удовлетворяющее соотношениям г ==У D (mod Ао) иг2 — D < 0;
действительно, расстояние между корнями хг — D равно 2 ]/D~^z
^ | а0 | У 3 > | а0 |.) Теперь, как и раньше, через Аг обозначим
дивизор, определенный условием: А0А1 — дивизор г0 — ~\П5.
Тогда норма Аг равна (rjj — D)/a0 и У D == — r0 (mod Аг). На
следующем шаге в качестве гг возьмем наибольшее целое гг s
=s У Z) (mod Л^, для которого г* — D < 0, т.е. наибольшее
целое, удовлетворяющее сравнению г0 + гг = 0 (mod аг), для
которого г* — D < 0. Заметим, что такое гг найдется всегда!
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами
поскольку (—г0J — D < 0, в качестве гх можно при необходи-
мости выбрать —г0.
Это правило выбора rlt а впоследствии и г2, г3, . . ., опреде-
ляет бесконечную последовательность дивизоров Ао~ Аг~
~ Аг~ . . ., эквивалентных Ао. Если последовательность
а0, аг, а2, . . . норм этих дивизоров содержит 1, то А-ь = / для
некоторого i и Ао — главный дивизор. Главная теорема состоит
в том, что это достаточное условие в действительности является
и необходимым, т. е. если А 0 ~ /, то определенная выше последо-
вательность Ао~ Аг~ А2~ . . . должна достигнуть А-ь = I.
Эта теорема будет доказана в следующем параграфе.
Легко доказать также (и это мы тоже сделаем в следующем
параграфе), что последовательность Ао~ Ах~ А2-— ... в конце
концов становится повторяющейся. Следовательно, при проверке,
является ли данный дивизор Ао главным, нам надо продолжить
последовательность Ао~ Аг~ А2~ . . . только до того момента,
с которого она начнет повторяться. Если к тому времени не встре-
тится A i = /, то такое A t никогда не встретится и в этом случае,
согласно теореме, которую мы докажем, Ао не является главным
дивизором.
Если нам дано квадратичное целое с дивизором А}-, то, как
и выше, мы найдем квадратичное целое с дивизором Aj^, умножив
данное целое на г;-_! — \/ D и разделив на а7-. Таким образом,,
если Ао~ I, то можно найти последовательность Ао~ А1~ . . .
. . . ~ At = / и, начиная с квадратичного целого 1 с дивизором
А-п вернуться назад и найти квадратичное целое с дивизором Ао.
Тогда самое общее квадратичное целое с дивизором Ао представ-
ляет собой произведение полученного выше квадратичного целого-
на единицу. Таким образом, полное решение нашей задачи сво-
дится к нахождению самого общего вида квадратичного целого,
которое является единицей, т. е. общего решения уравнения
и2 — Dv2 = ±1. Это уравнение почти совпадает с уравнением:
Пелля и2 — Dv2 = 1, и его решения можно найти почти тем же
самым методом, который мы применяли в § 1.9 для нахождения
решений уравнения Пелля. Решение задачи нахождения всех
единиц (которая представляет собой частный случай Ао = I рас-
сматриваемой общей задачи) при D > 0 будет дано в начале сле-
дующего параграфа.
Наконец, изменения, которые требуются для рассмотрения
случая D > О, D ss I (mod 4), также незначительны. Если Ао.
не делится ни на одно целое, большее 1, то существует такое полу-
целое г, что г — 1/г у D =г 0 (mod Ao). Можно считать, что норма
а0 дивизора Ао по абсолютной величине не превосходит ]/DI2>.
Отсюда следует, что существует по крайней мере одно г, которое
обладает указанным выше свойством и для которого отрицательна
314 Гл. 7. Теоиия дивизоров квадратичных целых
норма Л'' (г — 1/2\/D) = г2 — 1/iD. Определим г0 как наибольшее
полуцелое, для которого г0 — 1/2\/D==0 (mod Ao) и
N (г0 — 1/2\/D)<C0. Пусть Аг— такой дивизор, что А0А1
является дивизором г0 — 1/2 \fD. При полученном Аг опреде-
лим А 2 аналогичным образом. (Существование полуцелого гг,
для которого r1 — 1/i\/D^0 (mod Аг) и N (гг — Va j/I>) < 0,
следует из того, что таким полуцелым является —г0.) Это даст
нам последовательность эквивалентных дивизоров Ао~ Ах~
~ А2~ • ¦ ¦ • В следующем параграфе будет показано, что
эта последовательность в конце концов начинает повторяться.
Следовательно, можно эффективно определить, найдется ли такое
г, что А{ = I. Если такое i найдется, то Ао~ I, и можно исполь-
зовать цепь эквивалентностей A0~A1~...~Ai = I для построе-
ния квадратичного целого с дивизором Ао. Тогда дело нахожде-
ния всех квадратичных целых с дивизором Ао сводится к делу
нахождения всех единиц и + v Y D. Последнюю задачу можно
решить описанным выше методом, применяя его к Ао = /; это
мы тоже докажем в следующем параграфе. Наконец, если последо-
вательность А 0 ~ Аг~ А2~ ¦ ¦ • начинает повторяться, не достиг-
нув A t = /, то А 0 не является главным дивизором, и это решает
нашу задачу, ибо показывает, что нет квадратичных целых с диви-
зором Ао.
Резюме
Пусть А — заданный дивизор. Мы хотим определить, является
ли А главным дивизором, и, если это так, найти все квадратичные
целые с дивизором А. Не ограничивая общности, можно считать,
что А не делится §'ни на одно целое, большее 1. Выше мы описали
метод построения последовательности дивизоров Л ~ А 1~ А а~ ...,
эквивалентных дивизору А. Этот метод несколько различен в каж-
дом из четырех случаев: D < 0 или D > 0 и D = 2 или 3 (mod 4)
или D = 1 (mod,4). Если At = I для некоторого i, то А — глав-
ный дивизор. Затем мы решаем задачу определения, является
ли А главным дивизором, следующим образом. Во-первых, дока-
зываем, что если А является главным дивизором, то At = I для
некоторого i. Во-вторых, устанавливаем, что за конечное число
шагов можно определить, входит ли в полученную последователь-
ность дивизор A i = I. При D < 0 выше мы не только доказали эту
теорему, но и нашли все единицы, что в этом случае полностью
решает нашу задачу. Доказательство теоремы и нахождение всех
единиц при D ;> отложено до следующего параграфа.
7.4. Квадратичные целые с данными дивизорами 315
Терминология
Описанный выше метод построения последовательности
Л~.41~.42~ . . . мы будем называть циклическим методом.
Заметим, что в этом методе есть четыре различных случая, и только
случай D > О, D ф. 1 (mod 4) можно сравнивать с «циклическим
методом» из § 1.9. Даже в этом случае наш метод скорее соответ-
ствует «английскому методу» из упр. к § 1.9. Действительно,
здесь мы выбираем г так, чтобы г2—D было отрицательным
(при как можно большем г), а не так, чтобы сделать | г2 — D \
как можно меньшим (г ;> 0). Однако основная идея совпадает
с той, которую использовали древние индийцы; нам кажется
уместным напомнить этот факт, употребляя здесь название,
которое они дали описанному процессу.
Вычисления при циклическом методе мы будем располагать
в виде
r0 7-j г2 .. .
а0 aj а2 а3 ... .
Здесь а0 — норма Ао и г0 — \/D делится на Ао, или, в случае
D = 1 (mod 4), г0 — полуцелое и г0 — V2 VD делится на Ао.
Из теоремы, приведенной в начале параграфа, следует, что а0 и г0
однозначно определяют Ао (упр. 15). Аналогично, для нахожде-
ния А ] достаточно задать п] и г$. Если D ф 1 (mod 4), то последо-
вательности а0, а-у, а2, . . . и г0, гъ г2, . . . образуются по прави-
лам: а]+1 = (г* — D)la) и г]+1 + г} == 0 (mod a]+1), где rJ+1
выбирается среди всех решений сравнения г}-+1 = —r3 (mod a1+l)
по совокупности требований, которые зависят от знака D и г2—D.
(Если D < 0, то следует сделать | r1+1 \ как можно меньшим.
В случае | г1+1 \ = | 1/ia1+1 \ надо взять положительное значение
rj+1. При D > 0 попытайтесь сделать отрицательным r}+1 — D.
Если это возможно, выберите в качестве r^+i наибольшее целое,
удовлетворяющее условию г|+1 — D < 0. В противном случае
сделайте | rj+1 \ как можно меньшим). Если D = 1 (mod 4),
то надо пользоваться теми же правилами (заменив г2 — D на
целое г2 — 1/4D).
Упражнения
Найдите решение задачи данного параграфа (т. е. определите, является
ли дивизор А главным, и, если это так, укажите все квадратичные целые
с дивизором А) в ^следующих случаях:
1. D = — 1, А = E, 2) A3, —5).
2. D = —3, А = C1, 20).
3. D = —2, А = A1, 3) D1, 11) F7, 20).
316
Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
4. D = —5, А = B3, 8).
5. D = -5, А = B3, 8J.
При этом используйте запись
г0
предложенную в конце параграфа. Упражнение 3 сделайте двумя способами
во-первых, в качестве отправной точки найдите такое г0, что А делит г0 —У —~
и продолжайте вычисления циклическим методом, а во-вторых, решите пред-
ложенную задачу для каждого иэ трех сомножителей А и перемножьте резуль-
таты. Обратите внимание на то, что упр. 5 нельзя решить таким способом.
6. Докажите, что если р — простое, которое нетривиальным образок
делит сумму двух квадратов (р делит х2 -\- у2, но не делит ни х2, ни у2), то самс
р является суммой двух квадратов. [Для этого докажите, что при D = —_
каждый дивизор является главным.]
7. Докажите, что р делит нетривиальным образом сумму двух квадра-
тов тогда и только тогда, когда р = 2 или р =. 1 (mod 4). [«Только тогда
сразу следует из упр. 6. Во второй части используется тот факт, что сравне-
ние а4п — 1=0 (mod p) выполняется для всех а только в том случае, когдг.
а2п + 1 = 0 (mod p) при некотором а.] Обратите внимание на то, что упр. (
и 7, по существу, совпадают с теоремами Жирара о суммах двух квадрато^
(§ 1.7), а их доказательство — с доказательствами Эйлера 2.4).
8. Докажите, что при D = —2 или —3 каждый дивизор является глав-
ным, но при D = —5 это утверждение неверно.
В некоторых из следующих упражнений будет удобно исполь-
зовать сокращения в вычислениях. Предположим, что Ао~ Аг~
~ . . . ~ А[ = /. Пусть xt + yt YD = 1; возвращаясь наза;:
от этого квадратичного целого, определим Xj + i/j У D равенством
{xj + UjYD) (xj+1 - у1+1 YD) = r, -YD (или г,_- ЧгУЗ
при D = 1 (mod 4)), или, что то же самое, xj + y}- YD = (ry —
УЗ
V)(,+1 y,+1V)i1
вообще не требует вычислений и
Xj+yjYD =
nJ+, (xJ+, + yJ+, VD ) - (xJ+2 + yJ+2VD )
где п; = (r^_x + Tj)luj. Если это равенство записать в матрич-
ном виде
XJ+1
"j+l
-1
о
xJ+l+yJ+lVD
Vd
7.5. Обоснование циклического метода 317
то оно приведет к простой формуле
xo+yoVD } Г л, -1 Гл2
ухх+ууо\ [i о J [ 1
для х0 + г/о V"D. (При D = l(mod4): здесь надо заменить
г — У D на г — V2 1/.D с полуцелым г.)
В следующих упражнениях определите, является ли данный дивизор
главным, и, если это так, найдите квадратичное целое с этим дивизором.
Считайте известной теорему о том, что если циклический метод не приводит
к At = /, то данный дивизор не является главным. (Эту теорему мы дока-
жем в следующем параграфе.)
9. D = 67, А = (—1, *).
10. D = 109, А = (—1, *).
11. D = 101, А = G9, 38).
12. D = 79, А = C, 4)в.
13. D = —163, Л = A97, 25).
14. Z) = —165, А = B, *) E, *) A51, 52).
15. Докажите, что а1 и г,- определяют At, т. е. докажите, что если AvlA' —
два дивизора, которые имеют одинаковую норму а и делят одно и то яиквад-
ратичное целое г — ]/5 (или г — V2 1^5 при /? = 1 (mod 4)), то А = А .
{Норма а определяет присутствие или отсутствие множителя (—1, *).]
7.5. Обоснование циклического метода
Пусть А — данный дивизор квадратичных целых детерминанта
D (D свободно от квадратов). При D < 0 задача нахождения
всех квадратичных целых с дивизором D была решена в предыду-
щем параграфе. При D > 0 мы описали метод решения этой зада-
чи, но применимость этого метода основывалась на недоказанных
утверждениях. Данный параграф посвящен доказательству этих
утверждений.
Если D > 0 и задан дивизор А квадратичных целых детерми-
нанта D, то мы показали, как найти дивизор Ао~ А, который
не делится]|ни на одно целое, большее 1, и имеет порму а0 ^ 2\^D/3
(или а0 ^ 1^.0/3 при D = 1 (mod 4)). Следовательно, не ограни-
чивая общности, можно предположить, что мы решаем задачу на-
хождения всех квадратичных целых с дивизором Ао. (Как частный
случай эта задача включает нахождение всех квадратичных целых
с дивизором /, т. е. нахождение всех единиц.)
Сначала предположим, что D = 2 или 3 (mod 4). Тогда суще-
ствует такое целое г, что г = j/D (mod А 0) и N (г — V D) < 0.
Пусть г0 — наибольшее среди таких целых. Дивизор At опреде-
318 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
лим условием: А$Ах есть дивизор элемента r0— ]/D. Тогда най-
дется такое целое г, что Аг делит г — YD и Л''(г — У/))-< 0г
а именно г = —г0. Пусть г± — наибольшее среди таких целых;
определим дивизор Аг условием: АгА2 есть дивизор элемента
гх — У D. Этот процесс можно продолжить и определить последо-
вательность Ао~ Аг~ А2~ . . . . Если aj = N (Aj), то после-
довательности целых чисел аг, аг, а3, . . . и ги г2, г3, . . . можна
построить по а0, г0, используя правила: ai+1 = (rf — D)/at
и ri+1 — наибольшее целое, удовлетворяющее условиям ri+1 + r,- ==
= 0 (mod at+1) и rf+1 — D < 0. (Так как At+X делит гг — УD,
то У D = — Г; (mod Ai+1). Таким образом, сравнение YD ^
^ ri+1 (mod At+x) эквивалентно сравнению гг- + ri+1 ^
^0 (modil,+i). Поскольку А;+± не делится ни на одно целое,
последнее сравнение, согласно теореме из предыдущего параграфа,
эквивалентно сравнению г,- + r;+i = 0 (mod a,+i)-)
Теорема. Если Ао~1, то существует такое i > 0, что-
N (At) = at — 1. {Другими словами, если Ао — главный дивизор,
то определенная выше последовательность дивизоров Ао~ Ах~
~ Аг~ . . . достигает At — I, и техника предыдущего параграфа
дает метод нахождения квадратичного целого с дивизором Ао.
Молчаливое предположение, что D = 2 или 3 (mod 4), использо-
ванное при определении данной последовательности, не является
существенным, и, как будет показано ниже, та же самая теорема
остается справедливой, если при D = 1 (mod 4) сделать естествен-
ные изменения в описанном процессе.)
Доказательство. Последовательность дивизоров Ао~ Аг~
~ А2~ • • • в конце концов начнет повторяться. Действительно,
каждый дивизор Aj определяет все следующие за ним дивизоры,
а неравенство | а;- | ^ | aiaj+1 \ = | г| — D \ < D показывает,
что для А; имеется только конечное число возможностей. Следо-
вательно, не ограничивая общности, можно считать, что сам^о.
снова встретится в нашей последовательности (для этого доста-
точно заменить А] на AN+] для некоторого большого N). Сде-
лаем это предположение и обозначим через к наименьшее поло-
жительное целое, такое, что Ah — Ао. Мы должны доказать, что
если при таких обстоятельствах Ао~ I, то At — I для|некото-
рого i, 0 ^ i < к.
Утверждение Ао~ I означает, что существует квадратичное
целое х0 +" У о YD с дивизором Ао. Умножив его на r0 ~- YD
(имеющее дивизор AqA^ и разделив результат на а0 (имеющее
дивизор АоАо), мы получим квадратичное целое х± + уг YD =
= (#о + Уо YD) (r0 + YD)laQ с дивизором Ах. Таким же образом
7.5. Обоснование циклического метода 31 &
можно определить последовательность х0 + у0 У D, хг + уг ]/ D, ...
квадратичных целых Х) -\- У)УD с дивизорами А). Поскольку
Аъ = А о, квадратичные целые х0 + у0 YD и xh + yh YD имеют
один и тот же дивизор. Поэтому их частное равно единице, скажем
Xk + yhYD =_е(хо + уоуЪ). Тогда хь+1 + yk+1 ]/ D =
= (** + У к YD) (r0 + YD)la0 =_e (x± + y±YD) и, вообще,
xk+j + Ун+j Y D = е (х} + у} YD)- Можно воспользоваться пе-
риодичностью последовательности Ао, А±, . . ., Аъ = Ао и опре-
делить А] для отрицательных / {Aj = A]+nh при большом га).
После этого можно воспользоваться формулой Xj+nh + y1+nkYD =
= sn (x) + У] YD) и определить квадратичное целое xj + yj YD
с дивизором Aj при отрицательных / (е — единица и, следова-
тельно, обратимый элемент). Для доказательства того, что А) = I
при некотором ;, достаточно доказать, что Xj + У) YD = ±1
при некотором ;. Это можно сделать следующим образом.
Идея предлагаемого доказательства состоит в том, что при-
большом | / | как | xj |, так и | у) \ велики, но на одном конце
последовательности Xj, yj имеют одинаковые знаки, а на другом
конце — противоположные. Следовательно, знак xjyj должен
где-то измениться. Мы покажем, что из перемены знака Xjyj
следует существование такого /, что xj + yj YD = ±1.
Основная трудность при этом состоит в доказательстве того,
что знак Xjyj не может быть одним и тем же для всех /; при этом
самое трудное — доказать нетривиалъностъ единицы е, т. е. что
е ^=±1. Мы сделаем это следующим образом.
Согласно определению,
Поэтому, если удастся доказать, что все целые Г] положительны
то мы получим, что в представлении е = и + v |/ D числа и и i>
являются ненулевыми целыми одного знака. Если а.) > 0 для
некоторого /, то a;-+i < 0» так как aJ-aj+1 = г] — D < 0. Кроме
того, если а, > 0, то (гу + а;-J > D, поскольку в противном слу-
чае Г] можно было бы сделать большим. Таким образом, г) — D +
+ 2г3а3 + а) > 0, а, (а}+1 + 2г;- + а,;) > 0, а]+1 + 2г3 + а} > 0.
Следовательно, aj+1 (a,j+1 + 2r;- + aj) < 0, a}+1 + 2ay+1rJ- +
+ г) — D < 0, (—Г) — aj+1J < D. Поскольку г;-+! — наиболь-
шее целое, для которого г1+1 =—rj (mod а1+1) и r|+i<-D.
мы получаем отсюда, что r;-+i ^ —г;- — а]+1. Тогда —r;- ^
< г/+1 + а]+1 < rj+1. Так как г2 — D < 0 для г = — г} и для
г = г]+1, то отсюда следует, что (г]+1 + а]+1)г < D. С другой
стороны, (гу+i— ^+iJ>-D, поскольку в противном случае мы
320 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
смогли бы увеличить Гу+1. Таким образом, (r;-+i + ;)
< @+1 — aj+1f, 2rJ+1ai+1 < —2rj+1a}+1, 4г/+1а;-+1 < О,
r;-+i > 0, что и требовалось показать. Если aj < 0, то аналогич-
ным образом мы находим, что ai+1 > 0, {г} — а;-J > Z), aj+i —
- 2г;- + а, < О, (-г;. + а]+1у < Z), гу+1 > -г, + а,+1, -г;- <
< г]+1 - а}+1 < r,+1, (r]+1 - aj+1J < D, (rj+1 + aj+1f > D >
> (o+1 — а^+1J, Гу+Х > 0. Таким образом, во всех случаях г;- > О,
что и требовалось доказать.
Пусть е = u + v Y&- Тогда и и v — ненулевые целые одного
знака и для всех целых п имеем xnk + ynh ]/ D = (х0 + у0 V D) еп.
Пусть еп = Un + Vn УЪ. Тогда Un+1 = Unu + VnvD, Vn+1 =
= Unv + Vnu, и по индукции мы получаем отсюда, что Un и Vn —
ненулевые целые одного знака при п > 0 и | Vn+1 \ > | Vn |, так
что | Vn+1 | сколь угодно велик при большом га. Далее,
Xnk = Unx0 + DVny0,
= Vnx0 + Uny0-
Если х0 и у0 имеют противоположные знаки, то знак xnk совпа-
дает со знаком наибольшего по абсолютной величине из двух
слагаемых Unx0 и DVny0. Мы можем сравнить эти две абсолютные
¦величины, вычитая из квадрата одного слагаемого квадрат другого:
Ulxl - D*V*nyl = (±1 + DV\) xl - DWW0 =
(поскольку Un — DVn = N (en) = ±1). Так как х\ фиксиро-
вано, a Vn сколь угодно велико, то при большом га последнее выра-
жение имеет тот же знак, что ж х20 — Dy20. Таким образом, знак xnk
совпадает со знаком Unx0, если xl — Dy20 > 0, и со знаком DVny0,
«ели xl — Difl < 0. Пользуясь тем же методом для нахождения
знака ynh, мы получим, что знак ynh совпадает со знаком
Vnx0, если 0 < Vnxl - Unyl = Vnx\ - (±1 + DV\) y\ = ±у\ +
+ Vn (^о — Dyl) (что справедливо при большом га, если х\ —
— Dy\ > 0), и совпадает со знаком Uny0 при большом га, если
х\ — Dy\ < 0. Таким образом, xnh и ynh имеют один и тот же знак
(совпадающий со знаком Unx0 и Vnx0), если га велико и х\ — Dy\ >
> 0, и снова имеют один и тот же знак (совпадающий со знаком
DVny0 и Uny0), если га велико и ^ — Dy\ < 0. Следовательно,
если х0 и у0 имеют противоположные знаки, то xnh и ynh имеют
одинаковые знаки при всех достаточно больших га. Если х0 и у0
имеют одинаковые знаки, то х_nh + г/_пЬ YD = (х0 + у0 YD) е~п,
x-nh — У-nh YD = ± {х0 — г/0 Y~D) en и, поскольку знаки х0
и —у0 противоположны, приведенное выше доказательство пока-
зывает, что #_nk и —У-пк при всех достаточно больших га имеют
одинаковые знаки. Таким образом, и в этом случае знак х}у} при-
7,5. Обоснование циклического метода 321
нимает оба значения. Следовательно, либо Xji/j -— 0 для некото-
рого ]', либо найдется такое /, что Х;У) и Xj+iJ/y+i имеют
противоположные знаки.
Вторая из этих двух альтернатив невозможна, поскольку
«л-i + У Hi VP = (х, + y,_VD) (г, + Y'D)lah (x]+l + y1+1V~D) X
X (х} — yj\/D) = rj-\- YD, откуда следует, что Xjy]+i — х3+1у} =
= 1. Если два целых числа имеют противоположные знаки,
то их разность не меньше 2; следовательно, из последнего равен-
ства мы получаем, что zyj/y+iZy+iJ/y ^ 0, поэтому Х}У] и x}Jrlyj+1
не могут иметь противоположные знаки. Таким образом, Х)У) = О
по меньшей мере для одного значения j. Тогда, с одной стороны,
разность х1+1Х] — Dyji/]+1 равна fry (согласно формуле (#y+i +
+ yj+1 УD) {xj — yj YD) = Г) + У D), а с другой стороны, она
равна или Xj+1X), или —Dyjyj+1 (поскольку х} или у) равно нулю).
Так как | г у | <]//)< D, то второе из этих равенств невозможно.
Следовательно, г/j = 0 и 1 = Xjyj+1 — Х]+Ху; = xjyj+1, поэтому
Xj и у1+1 равны ±1. Таким образом, Xj + г/;- ]/D = ±1 и Aj = I,
что и требовалось доказать. Это завершает доказательство теоремы.
Теорема. Если D = 2 или 3 (mod 4) и Ао = I, то, согласно
предыдущей теореме, применение циклического метода к Ао при-
ведет нас снова к I. Пусть к — наименьшее положительное целое,
такое, что ah = ±1, и пусть е определено равенством A). Тогда
единицы среди квадратичных целых детерминанта D в точности
совпадают с квадратичными целыми ±еп при целом п.
Доказательство. Применить циклический метод к А — то же
самое, что применить его к (—1, *) А и умножить полученный
результат на (—1, *). Следовательно, дивизор (—1, *) является
главным тогда и только тогда, когда применение циклического
метода к Ао = I приводит к (—1, *), прежде чем снова к /.
Таким образом, определенное в теореме е имеет дивизор (—1, *),
если (—1, *) является главным дивизором; в противном случае
дивизор е равеп /. В частности, это е всегда является единицей.
Если х0 -\- у0УD — произвольная единица, то построенная при
помощи циклического метода последовательность Xj + yj УD
содержит ±1. Дивизор элемента х0 + у0 К-Е^равен/ или (—1, *).
Тогда дивизор каждого х} + у}- УВ равен либо А}, либо (—1, *) Aj,
где . . ., Л_!, /lt Аи Аг, . . .— цикл дивизоров, полученный при-
менением циклического метода к /. Кроме того, X;+h + Уз+ъ. Y D =
— е (xj + у] УИ), и норма Xj + г/;- УВ равна ±а}. Поскольку
<ij = ±1 в том и только в том случае, когда / кратен к, из равен-
ства X] +_у] УБ = ±1 следует, что еп (х0 + у0 ]/D) = ±1 и х0 +
~Ь У о VD = ±8~п, что и требовалось показать..
21 Г. Эдварде
322 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Все единицы ±еп различны, так как из равенства ±еп = ±е"*
при т^Ф п следовало бы, что е^ = ±1 при некотором положит
тельном ц, в противоречие тому, что е» = U^ + Fu У D, где-
f/ц и Гц — ненулевые целые одинакового знака. Следовательно,
последняя теорема дает простую формулу для единицы самого
общего вида и позволяет найти в общем виде квадратичное целое
с дивизором А, если известно хотя бы одно квадратичное целое,
имеющее дивизор А. Первая из этих теорем показывает, что если
Ао — дивизор квадратичного целого, то Aj = I для некоторого /
с 0 <! / < к, и, поскольку квадратичное целое с дивизором /
известно, цепочка эквивалентностей Ао <~ Аг <~ . . . <~ А] = 7
дает возможность легко найти квадратичное целое с дивизором Ао.
В случае D > О, D = 2 или 3 (mod 4) это полностью решает
задачу определения, является ли данный дивизор главным, и, если
это верно, задачу нахождения всех квдратичных|целых с этим
дивизором. Нам осталось рассмотреть лишь случай D > О, D =
= 1 (mod 4). По существу, он совпадает с только что разобран-
ным случаем, поэтому ограничимся лишь краткими указаниями.
Как было показано в предыдущем параграфе, каждый дивизор А
эквивалентен некоторому А 0 с нормой, не превосходящей У D/3.
Тогда найдется такое полуцелое г, что г — -^У D = 0 (mod Ао)
ж N (г — -j У D) < 0. Пусть г0 — наибольшее такое полуцелое,
и пусть дивизор Аг определен условием: А0А1 — дивизор элемента
г0 — irVD. Тогда существуют такие полуцелые г (например,
г = _Го), что г -\УЪ = 0 (mod А±) и TV (г - у V 5) < 0.
Пусть гх — наибольшее такое г; продолжим процесс таким обра-
зом, чтобы получить последовательность Ао~ At ~ Аг ~ . . . .
Мы должны показать, что если Aq ~ I, то А-г = I для не-
которого i > 0. Доказательство в точности совпадает с тем,
которое было приведено в предыдущем случае, за исключением
доказательства того, что Xji/j и xJ-+1yj+1 не могут иметь противопо-
ложные знаки. Из равенства (xj+1 + yj+1 У D) (xj — г/;- У D) =
= Г] + y УР следует, что х}у}+1 — х}+1у) = у , Bх}) Bг//+1) —
— Bх]+1) Bг/у) = 2. Поскольку 2х}-, 2yh 2xJ+1, 2y]+1— целые,
мы получаем отсюда, что жуг/y+i и Х1+1У) всегда имеют одинаковые
знаки, за исключением того случая, когда одно из них равно
нулю или | Bх}) ByJ+1) | = \Bxj+1) By}) | = 1. В последнем слу-
чае все Xj, у}; X)+i, г/у+1равны±1/2. Но тогда iV (r}- + -^ У D\ =
= [(^J -D (lJ2
что противоречит предположению.
7.6. Группа классов дивизоров: примеры 323
Основная единица е в случае D = 1 (mod 4) находится при
помощи очевидной модификации приведенной выше теоремы для
случая D = 2 или 3 (mod 4), а именно:
Теорема. Пусть D = 1 (mod 4) (Z) свободно от квадратов
и положительно). Если Ао = I и если
где а, и Г] получены циклическим методом и где к — наименьшее
положительное целое, для которого а^ = ±1, то единицами
являются квадратичные целые ±еп с целым п.
Упражнения
1. Найдите все единицы среди квадратичных целых детерминанта
D = 61. Сравните с решением уравнения Пелля х2 = 61 у2 + 1.
2. Найдите все единицы среди квадратичных целых детерминанта
D = 109.
7.6. Группа классов дивизоров: примеры
В гл. 5 были определены понятия «числа классов» и «системы
представителей», но при этом мы не пытались ни вычислить число
классов (что трудно даже для Я = 11), ни найти систему предста-
вителей. Так как циклический метод дает такой простой способ
определения, является ли главным данный дивизор, то в случае
дивизоров квадратичных целых решение обеих задач совершенно
элементарно.
В качестве первого примера рассмотрим случай D = 67.
Поскольку D = 3 (mod 4), каждый дивизор эквивалентен диви-
зору с нормой, не превосходящей 2 1/67/3 < Ю, когиуый
не делится ни на одно целое, большее 1 Среди простых 2, 3, 5, 7,
заключенных в этих границах, 2 разветвляется F7 == 3 (mod 4)),
3 распадается F7 == 1 = I2 (mod 3)), 5 остается простым F7 =
= 2 ф. п% (mod 5), поскольку п2 == 0, 1, 4 (mod 5)) и 7 распа-
дается F7 = 4 = 22 (mod 7)). Кроме того, поскольку D >> 0, рас-
суждения из § 7.3 требуют рассмотрения дивизора (—1, *) с нор-
мой — 1. Таким образом, каждый дивизор эквивалентен одному
из дивизоров /, B, *), C, ±1), B, .) • C, ±1) G, ±2), C, ±1J
или (—1, *), умноженному на один из перечисленных выше. При-
меняя циклический метод к (—1, *), мы получим
/•=87527725788
й = -1 3 -6 7 -9 2 -9 7 -6 3 -1
21*
324 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
после чего г и а начинают повторяться. Поскольку мы не достигли
а = 1, дивизор (—1, *) не является главным, и число классов
не меньше двух. С другой стороны, приведенные выше вычисления
дают эквивалентности (—1, *) ~ C, 1) ~ (—1, *) B, *) C, 2) ~
~ G, 2)~ (-1, .) C, IJ ~ B, .) ~ (-1, .) C, 2J ~ G, -2) ~
~ (-1, *) B, *) C, 1) ~ C, -1). (Например, а4 = - 9,
поэтому А 4 — дивизор с нормой —9. Он не делится на 3.
Следовательно, этот дивизор имеет вид (—1, *) C, ±1J. Поскольку
он делит г4 — У 67 — 7 — \/ 67, он должен быть равен (—1, *) X
X C, IJ). Умножая эти эквивалентности на (—1, *), получим
/ ~ (-1, .) C, 1) ~ B, .) C, 2) ~ . . . ~ (-1, .) C, -1). При
этом мы получаем все приведенные выше дивизоры, поэтому
число классов равно 2 и дивизоры I, (—1, *) образуют систему
представителей. Кроме того, как показывают эти эквивалент-
ности, / ~ G, ±2J, (-1, *) ~ B, *) ~ C, ±1) ~ G, ±2); по-
скольку отношение эквивалентности дивизоров согласовано с умно-
жением, мы вновь получаем отсюда все приведенные выше эквива-
лентности, например:
(-1, •) B, *) C, 2) ~ (-1, *) (-1, •) (-1, •) ~ (-1, *).
В качестве второго примера рассмотрим случай D = —165.
Здесь 2 разветвляется (D = 3 (mod 4)), 3 разветвляется, 5 развет-
вляется, 7 остается простым (—165 = 3 (mod 7), и по модулю 7
квадраты сравнимы с 0, 1, 2, 4), 11 разветвляется и 13 распа-
дается (—165 = 4 = 22 (mod 13)). С другой стороны, каждый
дивизор эквивалентен дивизору с нормой, меньшей 2 у 165/3 =
= 1/220 ¦< 15. Таким образом, каждый дивизор эквивалентен
по крайней мере одному из дивизоров /, B, *), C, *), E, *),
B, *)C, *), B, *) E, *), (И, *), A3, ±2). Применяя процесс
приведения к любому из этих дивизоров, мы получим дивизор
с большей нормой, например: B, *) E, *) делит 5 — |/ —165,
имеющее норму 190, поэтому B, *) E, *) ~ A9, —5). Исключе-
ние составляют дивизоры A3, ±2). Так как A3, 2) делит 2 —
— J/'—165, но 13 не делит 2 — /—165, и так как N B—]/—165)^-
= 132, то дивизор элемента 2 — У~—165 равен A3, 2J и A3, 2) ~
~ A3, —2). Следовательно, приведенный выше список из 9 диви-
зоров дает нам, если исключить из него один из двух дивизоров
A3, ±2), список из 8 дивизоров, среди которых только / является
главным, и каждый дивизор эквивалентен по крайней мере одному
из этих 8 дивизоров.
В этом случае легко найти групповую, т. е. мультипликатив-
ную, структуру на множестве классов дивизоров. Пусть А = B, *),
В = C, *) и С = E, *). Тогда А2 ~ В2 ~ С2 ~ /, АВ --
= B, *) C, *) и АС = B, *) E, *). Класс ВС-можно найти, заме-
7.0. Группа классов дивизоров: примеры 325
тив, что дивизор У—165 равен C, *) E, *) A1, *), так что ВС ~
~ A1, *) В2С2 ~ A1, *). Тогда ABC должен быть эквивалентен
оставшемуся дивизору: ABC ~ A3, ±2), поскольку в противном
случае он был бы эквивалентен другому из этих дивизоров и отсюда
следовало бы, что один из них является главным. (Например,
если ABC ~ В, то АС ~ АВ2С ~ В? ~ 1 — в противоречие тому,
что B, *) E, *) не является главным дивизором.) Аналогично,
никакие 2 из 8 дивизоров /, А, В, С, АВ, ВС, АС и ABC
не могут быть эквивалентными. Таким образом, число классов
равно 8 и приведенные выше 8 дивизоров образуют систему предста-
вителей. (Конечно, легко и непосредственно доказать, что ABC ~
~ A3, ±2); см. упр. 7.)
Случай D — —163 приводит к совершенно другому результату.
Поскольку D = 1 (mod 4), каждый дивизор эквивалентен диви-
зору с нормой, не превосходящей ]/163/3 < 8. В этом случае
2 остается простым (D = 5 (mod 8)), 3 остается простым (D =
= —1 (mod 3)), 5 остается простым (D = 2 (mod 5)) и 7 остается
простым (D == 5 (mod 7)). Следовательно, единственными диви-
зорами с нормой <8 являются главные дивизоры / и B), число
классов равно 1, а систему представителей образует I. Таким обра-
зом, для квадратичных целых детерминанта D = —163 имеет
место однозначность разложения на множители. Отсюда следует
знаменитая теорема Эйлера о том, что при х = 0, 1, 2, . . ., 39
число х2 + х + 41 является простым (см. упр. 8).
Случай D = 79 Гаусс часто использовал в качестве примера х)
(Disquisitiones Arithmeticae, Arts. 185, 186, 187, 195, 196, 198,
205, 223). При D = 79 каждый дивизор эквивалентен дивизору
с нормой, не превосходящей 2 ]/79/3 < 11. Такой дивизор должен
быть произведением дивизоров (—1, *), B, *), C, ±1), E, ±2),
G, ±3). Вычисление, которое нужно произвести для того, чтобы
выяснить, является ли дивизор (—1, *) главным, показывает, что
/•=8778
я=-1 15 2 15 -1
Следовательно, (—1, *) не является главным дивизором. В то же
время из этого вычисления следует, что (—1, *) ~ (—1, *) B, *),
поэтому / = (—1, *J ~ B, *), т. е. B, *) — главный дивизор.
Действительно, B, *) — дивизор элемента 9 — ]/ 79. Произве-
2) Случай D = 79 интересен потому, что 79 является наименьшим поло-
жительным детерминантом, для которого род содержит более одного класса
дивизоров. (Определение рода см. в § 7.9.) Этим обстоятельством объясняется
контрпример Лагранжа, опровергающий гипотезу Эйлера о простых вида
Х2 _ Dy2 при D = 79 (см. упр. 8 к § 7.9). Интерес Гаусса к случаю D = 79,
ш-видимому, связан с контрпримером Лагранжа.
326 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
дем вычисления для того, чтобы выяснить, является ли главным
дивизор C, 1):
'•='/345 787
а = 3 -10 7 -9 6 -5 3
Следовательно, C, 1) — не главный дивизор и C, 1) ~ (—1, *) X
X B, *) E, -2) ~ G,1 -3) ~ (-1, .) C, -IJ ~ B, *) C, 1)~
~ (—1, *) E, —2)._Пусть А = (—1, *) и В = C, 1). Тогда В ~
~ АВ2, В3 ~ А (ВВУ ~ А. Таким образом, Вв ~ I, но В3 -f I-
Далее, если В2 ~ /, то В ~ АВ2 ~ А, АВ ~ /. Но вычисление,
которое надо произвести для того, чтобы выяснить, является
ли главным дивизор АВ = (—1, *) C, 1), совпадает с проведен-
ным выше вычислением, если изменить в нем знаки при а на про-
тивоположные. Следовательно, АВ ^ I, А ы- В, В2 ^ I. Таким
образом, /, В, 5а, В3, 54, В0 — шесть неэквивалентных *) диви-
зоров. Кроме того, (—1, *) ~ В3, B, *) ~ I, C, 1) = В,
C, —1) =¦ В ~ В ъ, E, —2) ~ В* (поскольку из эквивалент-
ности C, 1) ~ (—1, *) E, —2) следует, что E, — 2) ~ (—1, *)Х
X C, 1) - 54), E, 2) ~ В2, G, -3) ~ В (так как А2 = G, -3)
во втором из вычислений, проведенных выше), G, 3) ~ Вь. Сле-
довательно, число классов равно 6, а I, В, В2, В3, 5*, Въ является
системой представителей; здесь В = C, 1).
Системы представителей следует выбирать таким образом,
чтобы легко было описать таблицу умножения. Например, в пре-
дыдущем случае таблицу умножения полностью описывает фор-
мула Вь ~ I; ту же роль играют соотношения А2 ~ /, В2 ~ I,
С2 ~ / при D = —165. Несколько менее очевидно, как сделать
это при D = —161 2). В этом случае 2 разветвляется (—161 ===
= 3 (mod 4)), 3 распадается (—161 з=1 (mod 3)), 5 распадается
(— 161== 4 (mod 5)), 7 разветвляется (—161 =0 (mod 7)), 11 рас-
падается (—161 = 4 (mod И)) и 13 остается простым (—161 =8==
= —5 (mod 13), а квадраты по модулю 13 равны 1, 4, 9===
= —4, 3, —1, —3). Таким образом, дивизорами с нормой, мень-
шей 2 \f\ D |/3 < 15, не делящимися ни на одно целое, большее 1,
являются /, B, *), C, 1), C, -1), E, 2), E, -2), B, *) C, 1),
B, *) C -1), G, *), C, IJ, C, -IJ, B, *) E, 2), B, *) X
X E, —2), (И, 2), A1,-2), B, *) G, *). Каждый дивизор экви-
валентен по крайней мере одному из этих 16 дивизоров.
г) Из В* ~ / следовало бы, что В2 ~ В2Вв ~ (В4J—/, поэтому
f. Аналогично, если Въ ~ I, то В~ В-Въ~ I, что невозможно. Поэтому
никакие два из дивизоров В0, В1, . . ., Въ не эквивалентны, ибо в против-
ном случае при некотором /, 0 < / < 6, дивизор Вз был бы эквивалентен /.
а) Этот случай рассмотрел Гаусс в разд. 307 «Арифметических иссле-
дований».
7.6. Группа классов дивизоров: примеры 327
Легко проверить, что ни один из этих 16 дивизоров, кроме /,
не является главным. (Например, A1, 2) делит квадратичное целое
2— Y—161, имеющее норму 165 = 11-15, и циклический метод
не приводит A1, 2) к главному дивизору.) Пусть А ~ C, 1).
Тогда А2 содержится среди этих 16 дивизоров, но А3 не принад-
лежит к их числу. Приведение Аг дает
/•= 1-1
а = 11 6
и А3 ~ B, *) C, —1). Таким образом, А* ~ B, *) C, —1) X
X C, 1) ~ B, *), 45 ~ B, *) V3, 1), А" ~ B, *J C, -IJ ~
~ C, —IJ и4'~ C, —IJ C, 1)~ C, —1) не являются главными
двизорами, но А*~1. Однако не каждый дивизор эквивалентен
некоторой степени А. Точнее, G, *) является дивизором, квадрат
которого —главный дивизор. Следовательно, G, *) не может быть
эквивалентен ни одной степени А, отличной от / или 44, но, по-
скольку А^~ B, *), а ни G, *), ни G, *) B, *) не являются главными
дивизорами, G, *) не эквивалентен ни одной степени А. Пусть
В = G, *). Тогда, как и при доказательстве теоремы Ферма,
мы получаем, что дивизоры 5, В А, ВА2, . . ., ВА1 не эквивалент-
ны друг другу и не эквивалентны /, А, А2, . . ., А1. Таким
образом, имеются по меньшей мере 16 неэквивалентных дивизоров
и 16 приведенных выше дивизоров должны быть не эквивалентны,
причем каждый из них должен быть эквивалентен единственному
дивизору вида AiBi (i = 0, 1, . . ., 7; / = О Л). Точнее, дивизор
АВ = C, 1) G, *) циклическим методом
/•=7 3
а = 21 10 17
приводится к виду АВ ~ B, *) E, —2). Аналогично, А2В ~
~ C, 1) B, *) E, -2) ~ (И, -2), АЧЗ ~ C, 1) (И, -2) ~
E, 2), А*В~ B, *) G, *), А*В ~А3В~ E,-2), А6В~ A1,2),
-' B, *) E, 2).
Короче говоря, при/) = —161Д6 дивизоров А*В'' (i = 0, 1, ...
. . ., 7; / = 0, 1) образуют систему представителей; здесь А =
= C, 1), В = G, *) и#~ /, В2 ~ I. На языке теории групп
можно сказать, что в данном случае группа классов дивизоров
является абелевой группой, порожденной двумя (независимыми)
образующими А и В порядков 8 и 2 соответственно. Преимуще-
ство системы представителей {А*В>} над приведенной выше систе-
мой B, *), C, ±1), • ¦ . очевидно. Как только несколько про-
стых дивизоров выражены через А ж В: B, *) ~ 4*, C, 1) ~ А,
E, 2) ~ А3В, G, *) ~ В, (И, 2) ~ А6В, — легко вычислить
328 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
класс любого дивизора. Например, C, —1) A1, 2J ~ А -1 {А6ВJ ~
~ А3. Несложно провести классификацию и других простых диви-
зоров. Например, \ A7, 3) ~ B, *) E, 2) ~ А*А3В = А1ВУ
B3, *) ~ G, *) ~ 5, B9, 10) ~ C, —IJ ~ А-2 ~ Аь и т. д.
В качестве последнего примера рассмотрим случай D = 985.
Здесь D = 1 (mod 4), а* на самом деле D = 1 (mod 8). Следова-
тельно, 2 распадается. Производя вычисления, для того чтобы'
установить, является ли B, 0) главным дивизором (B, 0) — про-
стой дивизор, деляющий 2, по модулю которого со = -у —
— -к-1^985 == 0), получим
_ 29 7 19 29 Л 29 7 19 29 31^ 2?
'*— Т 2 Т 2 2 У 2 2 2 2 2
а=2 -18 13 -12 3 -2 18 -13 12 -3 2
Отсюда не только следует, что B, 0) не является главным диви-
зором; мы получаем также, что дивизор (—1, *) — главный (дей-
ствительно, B, 0) ~ (-1, *) B, 0)) и что B, 0) ~ B, 1) C, IJ ~
~ A3, 6) ~ B, ОJ C, —1) ~ C, 1). Вычисление с целью опре-
делить, является ли главным дивизор E, *), дает таблицу
25
2
11
2
12
2
21
2
27
2
21
2
13
'2
II
2
25
2
25
2
а=5 -18 12 -17 8 -8 17 -12 18 -5
Отсюда следует, что E, *) — не главный дивизор. Кроме того,
E, *) ~ B, 1) C, -IJ ~ B, 0JC, 1) ~ A7, 4) ~ B, IK ~
~ B, ОK ~ A7, -4) ~ . . . . Таким образом, B, ОN ~ E, *J ~
~ /. Пусть А = B, 0) ~ C, 1). Тогда дивизор А3 не является
главным, но А6 — главный дивизор. Легко проверить, что А2
не является главным дивизором:
,._ S23 25
Г~ 2 2 2 2 2ТТТ
о = 6 -15 16 -4 9 -10 19 -6
Отсюда следует, что дивизоры /, А, А2, А3, А*, Аь не эквива-
лентны. Кроме того, (—1, *)~ I, B,0)~Л, B, 1)~ Л5, C, 1)~
- А, C,-1)~45, E,*)~43, A3, 6)-4,A3,-6) - А\ A7, ±4)~
~ 43. Каждый дивизор эквивалентен дивизору с нормой <cYD/3 <
< ]/330 < 19. Таким образом, каждый дивизор эквивалентен
произведению простых дивизоров, нормы которых меньше 19.
Если мы докажем, что не существует простых дивизоров с нормой
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 329'
7 или 11, т. е. что 7 или 11 остаются простыми, то из приведенного
выше будет следовать, что каждый дивизор эквивалентен некоторой
степени А. Сравнения 985 = 5 Ф х2 (mod 7), 985 = —5 =
= —42 (mod 11), —1 ф х2 (mod 11) показывают, что 7 и 11 остают-
ся простыми дивизорами. Таким образом, число классов равно
6 и каждый дивизор эквивалентен некоторой степени А; здесь
А = B, 0) и А*~ I.
Упражнения
Каждый из следующих, случаев разберите по образцу примеров в тексте,
т. е. найдите систему представителей и составьте таблицу умножения в как
можно более простой форме.
1. D = 61. 4. D = 305.
2. D = —235. 5. D = —129.
3. D = 145. 6. D = —105.
7. Воспользуйтесь циклическим методом для доказательства того, что
B, *) C, *) E, *) ~ A3, ±2) при D = —165.
8. Докажите, что при х = 0, 1, . . ., 39 число х2 + х -\- 41 является
простым. [Любой простой делитель числа х2 + х + 41 должен распадаться
в квадратичных целых детерминанта —163. Поскольку каждый дивизор
является главным, справедливо равенство г/2 [Bх + 1) + Y—163] =
= (г + s У^—163) (и -\- v Y—163), где г2 + 163s2 — данный простой дели-
тель числа х2 -f- х + 41. Это дает: Bг) Bv) -\- Bs) Bu) = 2. Обычно два
слагаемых в последней сумме имеют противоположные знаки; это означает,
что слагаемые в га — 163si> = V2 Bx + 1) имеют одип и тот же знак. В этом,
случае из неравенства х ^ 0 следует неравенство х ^ 40 V2 . Если rsuv = 0,
то v = 0, и = +1 и ж2 + х -\- 41 = г2 + 163s2 — простое число, что и тре-
буется.]
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема
Техника, которой мы пользовались в предыдущем параграфе-
для проверки эквивалентности дивизоров А и В, заключалась
в применении циклического метода к дивизору АВ, для того чтобы
установить, является ли АВ главным дивизором. Однако есть,
и другой, обычно лучший, метод проверки эквивалентности А — В.
Предположим, что мы применяем циклический метод отдельно-
к дивизорам А и В и получаем две последовательности А — Аг~
~ А2~ • • • и В ~ В1 ~ В 2 ~ . . . эквивалентных дивизоров.
Если существуют такие целые / и к, что А,- = Bk, то, конечно,
А ~ А) = Bk ~ В. Обе последовательности А ~ Аг ~ Аг ~ . . .,.
В ~ Вг ~ В2 ~ . . . в конце концов становятся периодическими,
поэтому число дивизоров 4; и В{ конечно и условие А] = В^
можно проверить вычислениями. Теорема, которую мы докажем
в этом параграфе, утверждает, что достаточное условие А] = #&,
330 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
является также и необходимым, т. е. если А ~ В, то существуют
такие целые j и к, что А} = Bk; здесь А ~ А± ~ А2 ~ . . .
и В ~ 5Х ~ В2 ~-> . . .— последовательности дивизоров, получен-
ные применением циклического метода к А и В.
Условимся называть дивизор А} приведенным, если приме-
нение к нему циклического метода в конце концов снова приводит
к А}. Тогда применение циклического метода к Aj дает нам конеч-
ный цикл приведенных эквивалентных дивизоров. Такой цикл
называется периодом приведенных дивизоров. Применяя цикличе-
ский метод к любому дивизору А, мы получаем период приведен-
ных дивизоров, эквивалентных А. Аналогично, для любого дан-
ного В существует период приведенных дивизоров, эквивалент-
ных В. Если А ~ В, то Aj ~ 5^, где Aj и В^ — приведенные
дивизоры, эквивалентные А и В соответственно. Если мы приме-
ним циклический метод к Aj, то получим в точности те дивизоры,
которые образуют период Aj; то же самое можно сказать о Bk.
¦Согласно теореме, которую мы собираемся доказать, из эквива-
лентности Aj n|5ft следует, что какие-то два дивизора из этих
периодов должны совпадать. Таким образом, сами эти периоды
должны быть идентичными, т. е. должны состоять из одних
и тех же дивизоров, расположенных в одном и том же цикличе-
ском порядке. Иначе говоря, из этой теоремы следует, что два
приведенных дивизора эквивалентны только тогда, когда их периоды
совпадают. Обратно, если этот факт известен и если А ~ В,
то существуют приведенные дивизоры Aj ~ А и Bh ~ В, период
А} должен совпадать с периодом Bk и найдется такое i, что A j+l =
= Bk, т. е. мы получаем отсюда теорему, которую собираемся
доказать.
При D < 0 последнее утверждение доказать легко. Рассмот-
рим сначала случай D < 0, D з=2 или 3 (mod 4). Пусть А и В—
данные эквивалентные дивизоры: А ~ В. Не ограничивая общно-
сти, можно считать не только, что А и В приведены, но и что при-
менение циклического метода как к А, так и к В увеличивает его
норму. Из предположения А ~ В следует, что существует квад-
ратичное целое х + у У D с дивизором АВ. Тогда х2 — Dy2 =
=\ab, где а = N (А) и Ь = N (В). Поскольку а < 2 |/[7Г]73
и^Ь ^ 2 У I D |/3 (в противном случае следующий шаг цикличе-
ского метода уменьшил бы норму), мы получаем, что х2 — Dy2 <[
^ 4 | D |/3. Следовательно, у2 = 0 или 1.
^Случай 1. Если у2 = 0, то АВ — дивизор целого х. В част-
яости, х = 0 (mod А), я=0 (mod а), х = иа для некоторого целого
и. Аналогично, х = vb для некоторого v. Тогда аЪ = хг = uvab,
uv = 1, м= v = ± 1. Таким образом, числа а, х и Ъ имеют один
и тот же дивизор; следовательно, АА = АВ = ВВ и А = 5, что
я требовалось доказать.
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 331
Случай 2. Если у2 = 1, то либо х + у У D, либо —х — г/ \fT)
имеет вид и — (AD и его дивизором является АВ. Поскольку при-
менение циклического метода к А дает г— ]/D =г 0 (mod A),
где | г | выбирается как можно меньшим, и а' = (г2 — Z))/a ^ а,
мы получаем, что | г | < | и |, Ь = (я2 — D)la=(u2 — D)/a^
> (г2 — D)la > а. Аналогично, а > Ь. Таким образом, а = Ъ,
| и |, = | г | и | и j = | г' |, где г' ^ \/D (mod 5) с наименьшим
возможным | г' |. Общее значение | г | = | и | = | г' | не превос-
ходит а/2. Если опо равно а/2, то (г2 — D)la = а дает -^а2 — D =
= a2, D = —3 {а/2J, где а четно. Поскольку D свободно от квад-
ратов, отсюда следует, что а = 2, D = —3, в противоречие пред-
положению D Ф 1 (mod 4). Таким образом, | г | = | г' | < а/2.
Тогда из сравнения г = и = —г' (mod а) получаем, что г = —г',
и В следует за 4 в циклическом методе. Это завершает доказа-
тельство.
Доказательство в случае D < О, D == 1 (mod 4) является про-
стой модификацией приведенного выше, и мы оставим его чита-
телю (упр. 2). С другой стороны, при D > 0 доказательство этой
теоремы значительно сложнее х). Рассмотрим сначала случай D >
> О, D s== 2 или 3 (mod 4). Мы должны доказать, что приведен-
ные дивизоры^ и В, принадлежащие различным периодам, не могут
быть эквивалентными. Поэтому естественно начать доказатель-
ство с анализа понятия эквивалентности двух дивизоров.
Основная идея следующего доказательства — показать, что
эквивалентность двух дивизоров А и В порождает целочисленную
2 X 2-матрицу, о которой в случае приведенных А и В известно
достаточно, чтобы заключить, что она происходит из эквивалент-
ности А с некоторым дивизором А] из его периода, полученного
циклическим методом. Эквивалентность определяет 2 X 2-матрицу
следующим образом.
Предположим, что А не делится ни на одно целое, большее 1.
Тогда х + ../ У D делится на А в том и только в том случае, когда
х + jr === 0 (mod а), где а = N (А) и г === YD (mod А). Другими
словами, х + у У D делится на А тогда и только тогда, когда
существуют такие целые иши, что х + у У D = аи + (г — У D) v.
Аналогично, если В не делится ни на одно целое, большее 1,
2) Доказательству этой теоремы Гаусс посвятил разд. 188—193 своих
«Арифметических исследований». Он доказал несколько более общую тео-
рему, но, как мы покажем в гл. 8, доказательство более общего случая
не является более трудным. Дирихле называет эту теорему «самым трудным
вопросом» теории ([D7, § 80]). Доказательство Дирихле, которое основы-
вается па теории непрерывных дробей, внешне сильно отличается от пррве-
денного здесь доказательства, но по существу они почти совпадают.
332 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
то квадратичное целое делится на В тогда и только тогда, когда
оно имеет вид Ъи' + (s — УD) v', где Ъ — N {В), s = ]/D (modS)
и и', v' — целые. Если А и В — эквивалентные дивизоры, то суще-
ствует квадратичное целое х + у YD с дивизором АВ. Умноже-
ние на х + у У D с последующим делением на а переводит квадра-
тичные целые, делящиеся на А, в квадратичные целые, деля-
щиеся на В (поскольку оно переводит квадратичное целое с диви-
зором АС в квадратичное целое с дивизором АСАВ/АА = ВС).
Если элементы из области определения этой операции записать
в виде аи + (г — J/ D) v, а элементы из ее области значений —
в виде Ъи' + (s— V D) v', то самой операции будет соответство-
вать целочисленная] 2 X 2-матрица
СК ТУ
Здесь для нахождения а, р, у, б положим сначала u = l, v=0
и получим ba+ (s—УЪ~) у^Ъи' + {s— VD)v' = \аЛ + (г— VD~) X
X 0] (x-j-y \/D)/a = x-\-y УD = x + ys — y(s— УD); отсюда у —
= —у, a.= (x-\-ys)lb. Положив затем и = 0, у=1, найдем Щ>-\-
+ (*- УТГ) 8 =-- Ъи' + (s - УТТ) v' ^[а-0 + (г-УЪ~)Л]х
X.(x+yyD)/a=[(rx—yD) + (ry — x)yD]/a и получим отсюда
6= (х — гуIа и довольно сложное выражение для Р, которое нам
не потребуется в дальнейшем: р = (гж — yD — sx-\-rsy)lab. Короче
говоря, операция умножения на х-\-уУ D с последующим деле-
нием на а, которая переводит квадратичные целые аи-\-
+ (г—YD) v в квадратичные целые Ъи' + (s — Y~D) v', задается
целочисленной 2 х 2-матрицей
x+ys rx—yD — sx+rsy
(x+y
Ь
-у
аЬ \{и
Обратная к этой операция — умножение на х—уУD с после-
дующим делением на Ъ (поскольку (я + У У Щ (х— у У D)/ab = l).
Следовательно, матрица, обратная приведенной выше, равна
'X — yr sx-\-yD — rx — rsy
a ab
У ^
а ь
Действительно, она задает ту же операцию, что и выше, если поме-
нять местами А и В и заменить х -f- У У D а& х — у У D.B част-
ности, это показывает, что обе матрицы имеют определитель 1.
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 333
В частном случае, когда А = Ао и В =¦ А1 — дивизор, сле-
дующий за Ао в циклическом методе, имеем х -f у |/Z) = ro+ \/D
и 2 X 2-матрица равпа
-1 О
где пг = (г0 + г1)/а1 и где элемент в верхнем правом углу не тре-
бует вычислений: действительно, оп равен 1, поскольку вторая
строка матрицы равна (—1, 0), а ее определитель равен 1. Сле-
довательно, операция, переводящая квадратичные целые, деля-
щиеся на А 0, в квадратичные целые, делящиеся на А у, и соответ-
ствующая цепочке эквивалентностей Ао ~ Аг ~ А2 ~ . . . ~ Aj,
задается 2 X 2-матрицей
-i о;1-1 о) v-i о
i о)
В частности, пусть ЕА — матрица, которая получается, если
в качестве j взять наименьшее положительное целое, для которого
Aj — Ао. (Согласно предположению о приведенности Ао. такое
/ существует.) Если в явном виде задана эквивалентность А ~ В,
соответствующая 2 X 2-матрице М, то матрица МЕ\ при всех
положительных целых п также соответствует эквивалентности
А ~ В. Доказательство будет заключаться в том, что мы пока-
жем, что при достаточно большом п матрицу МЕ\ можно записать
в виде A); из единственности такого представления мы получим,
что она действительно является матрицей A) для некоторого /
и, в частности, что В = А}- для некоторого j.
В качестве первого шага этой программы мы охарактеризуем
матрицы вида A). Важно заметить, что п}- — знакочередующаяся
последовательность. Действительно, nj = (г/+х + г/)/а/, г,- поло-
жительны (как было показано в § 7.5), а последовательность
uj — знакочередующаяся (поскольку а}-а}-+1 = г| — D < 0).
Теорема. Если целочисленная 2 X 2-матрица М имеет вид
(Х Y\- + ( п> iy\( ""
[z wj-^K-i оД-i
где пи щ, . . ., щ — знакочередующаяся последовательность целых
чисел, moXW -YZ = 1,\X \>\Z \^ \ W \ и \ X \ ^ | У |>
^ | W |. Если некоторую матрицу можно записать в виде B),
то это можно сделать единственным способом, т. е. X, Y, Z
и W однозначно определяют j, знакочередующуюся последователь-
ность пъ п2, . . ., п}- и знак перед произведением. Наконец, три
необходимых условия XW — YZ = l, | X | > | Z | > | TF |
334 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
и \ X \ ^ | У | !> \W\ являются также и достаточными для
того, чтобы матрица имела представление в виде B).
Доказательство. XW — YZ = 1, поскольку определитель про-
изведения равен произведению определителей. В дополнение
к условиям | X | > | Z | > | IV |, | X | > | У | > \W\ будет
показано, что знак г) XZ противоположен знаку rij. Если / = 1,
то очевидно, что все три условия выполняются. Предположим, что
они выполняются при j — 1с некоторым / Г> 1. Тогда
X Y\( п, 1\(Х' У
\( п,
где | X' | > | Z' | > | W |, | X' | > | У |> | И7' |, и знак X'Z'
противоположен знаку п/_х, т. е. совпадает со знаком п}-. Таким
образом, X = П]Х' + Z', где n}X'Z' > 0; поэтому два слагае-
мых rijX' и Z' имеют одинаковый знак. Тогда | X | = | п}- | | X' | +
+ | Z' | > I X' | = I -X' | = | Z |. Знак XZ = (вД' + Z') X
X (—X') = —/ij- (X'J — X'Z' противополоя?ен знаку nj. Кроме
того, Z = —X' и W = —У, так что | Z \~^ \ W |. Остается пока-
зать, что | X | > | Y |> | И7 |. Из равенства XW - F'Z' = 1
следует, что X'W'Y'Z' - {Y'Z'f + (Y'Z1) и X'W'Y'Z' > 0,
поскольку а;2 + х ^ 0 для всех целых х. Таким образом, либо-
WY' = 0, либо знак WY' совпадает со знаком X'Z' и п}. Сла-
гаемые в Y = UjY' + W имеют одинаковые знаки и | Y | =
= | П] | | Y' | + | W | > | -У | = \W |. Наконец, \Y | =
= I п, | | У | + | W |< | П] | | X' | + | Z' | = | X |, и первое
утверждение теоремы доказано.
Предположим теперь, что задано представление в виде B).
Тогда, как было только что показано, знак n.j определен тем, что
он противоположен знаку XZ. Кроме того, равенство | X | =
= \п} | | X' | + | Z' | = | п, | | Z | + г, где 0< г < | Z |, пока-
зывает, что при г Ф 0 или J Z | число | п.) | определяется одно-
значно как частное от деления | X | на | Z | с остатком. Если же
г = 0 или | Z |, то | Z | делит | X | без остатка, поэтому Z делит
XW — YZ = 1 и Z должно равняться ±1. Следовательно, если
Zф ±1, то значение nj можно определить по X и Z (хотя при
этом нельзя определить значение /). Затем уравнение C) можно
разрешить относительно X', У, Z', W, и этот процесс можно
продолжить для нахождения nj^, /i/_2 и т. д. до тех пор, пока
не будет достигнуто Z = ±1. (Согласно принципу бесконечного
спуска, значение Z = ±1 должно достигаться, ибо г > 0, | X | >
> | Z | = | X' |, | X' | > | X" | и т. д.) Итак, доказательство
единственности представления сводится к случаю Z = ±1.
J) В это утверждение включается утверждение о том, что XZ — число
со знаком, т. е. X Ф 0 и Z Ф 0.
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 335
Если Z = ±1, то W = О или ±1, поскольку | W |< \ Z \.
Случай 1: W = 0. В этом случае / должно быть равно 1,
поскольку в противном случае существовало бы уравнение вида C)
и из W = 0 следовало бы равенство —У = 0, что вместе с | У |^
> | W | давало бы У = W = 0 — в противоречие с X'W —
— Y'Z' = 1. Тогда знак перед правой частью B) должен быть
«—» при Z = 1 и «+» при Z = —1. Таким образом, щ = п}
определяется из равенства X = ±пг (точнее, щ = —ZX) и дока-
зательство единственности завершено.
Случай 2: W = ±1. В этом случае / не может быть равно 1
и должно существовать равенство вида C). Тогда из соотноше-
ний ±1 = Z = -X', | X' | > | Z' | > | W | и | X' | > | У | >
>\W \ следует, что X' = ±1, У = ±1, г' = ±1иГ = ±1
или 0 (поскольку Y' Ф 0 и Z' ф 0). Уравнение X'W — Y'Z' = 1
теперь показывает, что W должно равняться нулю. Таким обра-
зом, равенство Y = njY' + W = rij (—W) однозначно опреде-
ляет П] (и фактически определяет, что / = 2, поскольку W = 0)г
и доказательство единственности завершено.
Пусть теперь даны Z, Y, Z, W, удовлетворяющие трем пере-
численным выше условиям. Рассмотрим сначала исключительные
случаи Z = ±1. Если W = 0, то — YZ = 1, Y = —Z = ±1
и сама матрица имеет требуемый вид. Если W = ±1, положим
/ = 2, найдем пг из уравнения У = —n%W и определим X', У,
Z', W из C). Тогда У = —W, W'= 0, Z' = —У = ±1, и, изме-
нив, если понадобится, знаки в обеих частях C), мы приведем
его к виду
/X У\ = / п2 1\/ щ 1\
\z w) \-i оД-i oj'
который совпадает с требуемым видом B), при условии что щ и /га
имеют противоположные знаки. Так как Z — —п ж Z = ±1,
то п-l = ±1- Таким образом, X = ±\щ\ — \ъУ = и2- Из нера-
венства | X | ^ | У | следует, что X = — | п2 | — 1, /г^ =
= — | пг | и пъ п2 имеют противоположные знаки. Наконец,
рассмотрим случай \ Z | > 1. Тогда | Z | не делит | X | нацело.
Определим п.] (с неизвестным значением /) из равенства | X | =
= | п.] | | Z | + г, где 0 < г < | Z |, и из условия, что знак и/
противоположен знаку XZ. При таком определении П] найдем
X', У, Z' и W из C). Тогда X = щХ' + Z' = -n}Z + Z',
и равенство | X | = | п}- | | Z | + г показывает, что знак Z' совпа-
дает со знаком X и при этом | Z' | = г < | Z | = | X' |. Следо-
вательно, знак X'Z' = (—Z) Z' совпадает со знаком —ZX и про-
тивоположен знаку XZ. Кроме того, X' = —Z, У = —W, так
что | X' | > | У |. Конечно, X'W — F'Z' = 1, поскольку про-
изведение определителей равно определителю произведения: 1 =
= XW — YZ = 1-(X'W — Y'Z'). Теперь мы покажем, что | У |>
336 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
> | W | и | Z' | > | W |. Если | Z' | < | W |, то | У | | Z' | +
+1 > \Y'Z' + 1 | = | Х'Г | > | X' | (| Z' | + 1) = | X' | X
X | Z' | + | X' | > | У | | Z' | + | X' |. Отсюда следует, что 1 >
^г | X' | = | Z |, в противоречие предположению. Аналогично,
«ели |Г|<|Г|,и | У | | Я' | + 1 > | X W | > | X' | X
X (|У | + 1) > | Z' | | У | + | X' |, поэтому 1 > | X' | = | Z |.
Это завершает доказательство того, что X', У, Z', W удовлет-
воряют трем условиям теоремы.
Таким образом, эти три условия гарантируют при Z Ф ±1
существование равенства вида C), в котором X', У, Z', W снова
удовлетворяют трем условиям теоремы. Кроме того, знак nj про-
тивоположен знаку XZ и совпадает со знаком X'Z'. Затем, если
Z' Ф ±1, этот процесс можно повторить и отщепить новый мно-
житель
IX Y\( n, 1\/ n^ 1WX" Y"\
\z w) v-i оД-i o)\z" w")
(при этом значение / пока еще не определено), где п}- и п7_х имеют
противоположные знаки. Поскольку | Z | = | X' | > | Z' |, после-
довательность Z, Z', Z", . . . убывает по абсолютной величине:
| Z | > | Z' | > | Z" | > . . . . Согласно принципу бесконечного
спуска, этот процесс должен закончиться и, поскольку | Z<nt) | -ф
фО, он должен закончиться при | Z(m> | = 1. Тогда
или
-i оД-i
где знак п в крайнем слева множителе противоположен знаку
X(m>Z<m>. Таким образом, мы получаем представление данной
матрицы в требуемом виде, что завершает доказательство теоремы.
Итак, для того чтобы доказать, что при достаточно больших п
матрица ME а имеет требуемый |вид, достаточно доказать, что
при больших п она удовлетворяет трем условиям теоремы.
Матрица ЕА описывает отображение множества квадратичных це-
лых, делящихся на А, в себя, заданное умножением на г0 + V D
с последующим делением па а0, затем умножением результата
на гг -f- \/D с последующим делением на <%, и т. д. Следовательно,
это отображение соответствует просто умножению на единицу
А
(как числитель, так и знаменатель имеют дивизор
. . . Aj_xA]_xAu, поскольку А}- = Ао). ТакимТобразом, матрица
MEА соответствует умножению на (х + у ]/ D) е™ с последующим
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 337
делением на а, где х + у YD — данное квадратичное целое с диви-
зором АВ. Это показывает, что матрица МЕ\ является просто
новой матрицей М, которая получается, если х -\- у У D заме-
нить на квадратичное целое (х + у ]/ D) г\ с тем же самым диви-
зором АВ. Так мы приходим к вопросу о нахождении условий
для х и у, при которых матрица
x-\-ys гх—yD—sx4-rsy
удовлетворяет условиям теоремы. Поскольку определитель М
равен 1, этот вопрос сводится к нахождению условий, при которых
выполняются неравенства \ X \ ^ \Y \ ^ \ W \, | Z | ;> \ Z |>
> \W\.
Коэффициенты в гА имеют одинаковые знаки, поэтому, как
видно из доказательства в § 7.5, считая п большим, мы можем пред-
положить, что х и у велики по абсолютной величине и имеют
одинаковые знаки. Тогда из х2 — Dy2 = ab, хг = ab + (D — г2) у2 +
+ г2!/2, где ab фиксировано и D — г2 > 0, следует, что хг > г2г/2
(при достаточно большом |г/|) и |#|>|г||г/|, \х — гг/| =
= | я | — г | у | (если х ж у имеют одинаковые знаки). Таким обра-
зом, неравенство | Z | > | W | равносильно неравенству \ а | \у \>
> | х | — г | у |, которое в свою очередь эквивалентно (г + | а |) X
X | у | > | х |, г/2 (г + | а |J > я2 = ab + .Ог/2. Последнее нера-
венство выполняется при больших | у |, поскольку (г + | а |J >
> D (в противном случае г можно было бы увеличить). Анало-
гично, ] х -{- ys \ = \x\-\-s\y\, если х ж у имеют одинаковые
знаки, и неравенство | X | > | Z | эквивалентно неравенству
I s | + s | у | > | Ъ | | г/ |, или | х | > (—s + | Ъ |) | г/ |. Конечно,
если —s + | Ъ | ^ 0, то последнее неравенство выполняется. В про-
тивном случае оно эквивалентно неравенству хг > (—s + | Ъ |J г/2,
или неравенству ab + Dy* > (s — | Ь |J г/2; последнее справед-
ливо при больших | у |, поскольку (s — | Ь |J < Z) (см. § 7.5,
где было показано, что если а}-+1 < 0, то (г;+х + a,-+iJ < D,
но если а/+! > 0, то (г,-+1 — ^/+1J < Z)). Следовательно, | X | >
> | Z | > | И7 |, если | г/ | достаточно велико и если х и у имеют
одинаковые знаки. Тогда | Y | | Z | = | XW — 1 | > | Z | X
X |W|-1>|Z||T;F|-1, если \W \фО (при | И7 | = О
неравенство | Y | > I И7 I очевидно). Отсюда следует, что
\Y\\Z\^\W\\Z\h\Y\>\Z\ (поскольку | Z | > | И7 | >
> 0). Аналогично, |y||Z|<|Z||W| + K|Z||Z| + l,
| Y | =S^ | Z |, причем все неравенства доказаны при большом | у \
и ху > 0.
22 г. Эдварде
338 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Итак, если А и В приведены и А ~ В, то, не ограничивая
общности, можно предположить, что эквивалентность между ними
соответствует матрице М изученного в теореме типа. В этом дока-
зательстве используется лишь то свойство гА, что это единица
с коэффициентами одного знака. Следовательно, оно показываем
что эквивалентность В <~ В, соответствующая квадратичному
целому ЬгА с дивизором ВВ, определяет матрицу Мв, которая
также имеет вид, изученный в теореме, по крайней мере для
больших п. (В действительности достаточно велико уже п = 1.
См. упр. 6.)
Далее, МВМ = МЕА, поскольку каждая из этих матриц опи-
сывает отображение множества квадратичных целых, делящихся
на А, в множество квадратичных целых, делящихся на В, которое
получается умножением на (х + у Y&) г\ с последующим деле-
нием на а. (В левой части происходит сокращение одного множи-
теля а в числителе и знаменателе, в правой части сокращаются п
множителей а в числителе и в знаменателе.) Каждая из матриц
Мв, М и ЕА имеет вид
п(_: 1).
где числа п образуют знакочередующуюся последовательность
целых. Кроме того, МВМ и МЕА тоже имеют такой вид, и их раз-
ложения в этом виде получаются просто перемножением разло-
жений их сомножителей. Для того чтобы доказать это утвержде-
ние, необходимо показать, что знак п в крайнем справа множителе
в Мв противоположен знаку п в крайнем слева множителе М;
аналогичными свойствами обладают крайний справа множитель М
и концевые множители ЕА. Поскольку, согласно определению,
ЕА имеет четное число множителей, числа п входят в его два
крайних множителя с противоположными знаками. В крайний
справа множитель входит (г0 + г^Iай, знак которого совпадает
со знаком а0 = N (А). Следовательно, знак п в крайнем слева
множителе противоположен знаку N {А). Число п в крайнем
слева множителе М имеет знак, противоположный знаку XZ =
= — (х + ys) ylb. Поскольку х ж у имеют одинаковые знаки,
отсюда следует, что рассматриваемый знак совпадет со знаком
N {В). Число п в крайнем справа множителе М имеет знак, совпа-
дающий со знаком XY (упр. 3). Так как XYZW = {YZ — 1) YZ >
^> 0 и W Ф 0, то этот знак совпадает со знаком ZW = —у (х —
— уг)/а,- Следовательно, знак п в крайнем справа множителе М
противоположен знаку п в крайнем слева множителе ЕА. Знаки
концевых множителей Мв можно найти аналогичным образом.
Тогда М%М = МЕпА для всех к является разложением рассмат-
риваемого в теореме типа, и из утверждения этой теоремы о един-
7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема 339
ственности следует, что множители в разложении М равны послед-
ним множителям в E\* для достаточно больших к, т. е. что для
некоторого j
где n-i, п2, . . .— циклически повторяющаяся последовательность,
полученная применением циклического метода к А. Следова-
тельно, матрица, соответствующая эквивалентности А ~ В, совпа-
дает с матрицей, соответствующей эквивалентности Л <~ Aj, кото-
рая получается из подходящего количества циклов по периоду А.
Матрица М возникает, с одной стороны, при умножении
на x-\-y\'D, имеющее дивизор ЛВ, с последующим делением
на а, а с другой стороны, при умножении на некоторое х' -г г/' \/ D,
имеющее дивизор AAj, с последующим делением на а. Значения
х и у однозначно определяются матрицей М и дивизором А.
Действительно, последняя строка М равна —у, (х — угIа, откуда
при известных а и г легко получаются х и у. Следовательно,
х = х', у — у' и АВ = AAj. Это показывает, что В — Aj, и завер-
шает доказательство в случае D > О, D = 2 или 3 (mod 4).
При D >• О, D = 1 (mod 4) требуются лишь незначительные
изменения. Квадратичные целые, делящиеся на А, имеют вид
аи + (г — 1/2У D) v с целыми и и гл Эквивалентность между
двумя дивизорами А <~ В соответствует целочисленной 2 X 2-мат-
рице, а именно
TX
Ь ab
r*v ^ j
где х + у У D имеет дивизор АВ. (Здесь х ж у могут одновременно
быть целыми нли полуцелыми, однако элементы приведенной
выше матрицы всегда будут целыми.) Остальная часть доказа-
тельства проходит так же, как и раньте.
Упражнения
1. Докажите, что если D = 2 или 3 (mod 4) и А, В — дивизоры с рав-
ными нормами, которые делят г — ^D, то А = В. [По существу, это означа-
ет, что дивизор однозначно определяется множеством объектов, которые он
делит. Как видно из § 7.3, при D > 0 это утверждение неверно. Однако спра-
ведливо утверждение о том, что если А ж В делят в точности одни и то же
квадратичные целые, то либо А = В, либо А -•-- (—1, *) В.]
2. Докажите теорему о том, что эквивалентные дивизоры соответствуют/
одним и тем же периодам при D = 1 (mod 4), D < 0.
22*
340 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
3. Докажите, что знак щ в B) совпадает со знаком XY. [Это можно сде-
лать либо простой индукцией, либо используя тот факт, что п}- имеет зпак
— XZ, и рассматривая трапспопироваппую матрицу.]
4. Сформулируйте и докажите теорему, аналогичную приведенной
в тексте, о разложении вида
\z w)-\ l оД 1 oj-ii о) ()
с положительными ге^. По существу, здесь к X и Z применяется алгорифм
Бвклпда, и доказать эту теорему намного легче, чем теорему из основного
текста.
5. Докажите, что разложение вида B) всегда можно получить из разло-
жепия вида D), соответствующим образом вводя в него знаки (и тем самым
получите новое доказательство приведенной в тексте теоремы).
6. Пусть еА = и + v \^D — единица с и и v одного знака. Предполо-
жим, что В — приведоппый дивизор, а Мв есть 2 X 2-матрица, соответствую-
щая отображению множества квадратичных целых, делящихся па 5, в себя,
полученному умножением па квадратичное целое ЬеА с дивизором ВВ.
Докажите, что тогда к матрице Мв применима теорема этого параграфа.
7.8. Теоремы Эйлера
Проводя вычисления в теории дивизоров квадратичных целых,
мы должны установить, какие простые распадаются, какие остаются
простыми и какие разветвляются. По существу, это сводится
к задаче определения для данного свободного от квадратов D
и данного нечетного простого р, не делящего D, имеет ли решение
сравнение D = х2 (mod р). Конечно, на этот вопрос можно отве-
тить, если пайти все квадраты по модулю р (в количестве (р— 1)/2)
и проверить, содержится ли среди них D. Однако при решении
этой задачи обнаруживаются странные и удивительные законо-
мерности; Эйлер заметил их (и опубликовал соответствующие
результаты) более чем за столетие до того, как появилась теория
идеального разложения Куммера. Этот параграф посвящен описа-
нию закономерностей, найденных Эйлером.
Эйлер почти буквально открыл эти закономерности эмпириче-
ски — внимательно изучая числовые примеры. Он сформулировал
эти теоремы уже в сороковые годы XVIII века (см. [Е7] и [F6,
стр. 146—151]) — в довольно ранний период своей деятельности,—
но так и не смог впоследствии доказать *) их. Как заметил Гаусс
(Disquisitiones Arithmeticae, Art. 151), из теорем Эйлера 2) сле-
1) Смит [S3, разд. 16] пишет: «... его [Эйлера] заключения основываются
только па индукции [т. е. эмпирическом наблюдении], хотя в одном мемуаре
Эйлер, по-видимому, вообразил (здесь он недостаточно ясно выразил свои
мысли), что им получено удовлетворительное доказательство этих теорем».
Однако в другом месте — в статье, опубликованной в конце жизпи,—«Эйлер
явно замечает, что эта теорема осталась недоказанной». Изучающие Эйлера,
должно быть, привыкли к таким парадоксам.
2) Кажется, историки часто не замечают признания Гауссом того факта,
ято Эйлер сформулировал теоремы, из которых следует квадратичный закоп
7.8. Теоремы Эйлера 341
дует квадратичный закон взаимности, и наоборот, из квадратич-
ного закона взаимности можно вывести эти результаты Эйлера.
Таким образом, поскольку Гаусс дал первое доказательство квад-
ратичного закона взаимности, то заслуга первого доказательства
этих теорем также принадлежит Гауссу.
Задача, которую изучал Эйлер, состояла в том, может ли дан-
ное простое делить число вида х2 -f- пу2, где п — данное целое,
а х и у — взаимно простые целые числа. Суть его открытия состоит
в удивительном наблюдении, что ответ на этот вопрос зависит
только от класса вычетов данного простого по модулю An. To есть
если рг и р2 — простые, сравнимые по модулю An, то взаимно
простые целые х1 и уи такие, что р1 \ х\ + Щ}\, существуют тогда
и только тогда, когда существуют такие взаимно простые х2, у2,
что р2 | х\ + пу~.
Для того чтобы сформулировать это утверждение в терминоло-
гии данной главы, естественно положить п = —D, так что х2 — пу2
становится нормой x-\-y\D. Мы будем рассматривать только
случай свободного от квадратов D. (Как показывают упр. 1 и 9,
это не приводит к реальной потере общности.) Если р делит AD,
то теорема Эйлера ничего не говорит о нем, поскольку такое р
не сравнимо ни с одним простым по модулю AD. Следовательно,
в тех случаях, когда выполняются условия теоремы, р не развет-
вляется и либо распадается, либо остается простым. Если р рас-
падается, то сравнение D = x2 (mo&p) имеет ненулевое решение х,
р | х2 — D-12, и теорема Эйлера утверждает, что при Pi^
= р (mod AD) существуют такие взаимно простые хъ г/г, для кото-
рых р1 | х\ — Dy\. Отсюда следует, что р1 делит {х1 — уг У D) X
взаимности. Гаусс признает за собой лишь приоритет формулировки квадра-
тичного закона взаимности в простом виде: «если р = 1 (mod 4), то q является
квадратом по модулю р тогда и только тогда, когда р является квадратом
по модулю q, и если р = —1 (mod 4), то q является квадратом по модулю р
тогда и только тогда, когда —р является квадратом по модулю q». Впослед-
ствии Гаусс, кажется, решил, что, приписывая себе приоритет этой формули-
ровки, он допускает несправедливость по отношению к Ложандру. Действи-
тельно, всего через несколько лот он пишет [G3]: «Конечно, мы должны считать
Лежапдра первооткрывателем этой в высшей степени элегантной теоремы».
И в самом деле, формулировка Лежапдра квадратичпого закона взаимности,
согласно которой р является квадратом по модулю q тогда и только тогда,
когда q является квадратом но модулю р, за исключением случая р = q =
= —1 (mod 4), в котором р является квадратом по модулю- q тогда и только
тогда, когда q не является квадратом по модулю р, — кажется даже; проще
формулировки Гаусса. Самой ясной формулировкой Эйлера этого закона
обычно считается формулировка в [Е11], которая, конечно, менее проста,
чем формулировка Гаусса или Лежандра. (В английском переводе «Арифме-
тических исследований» допущены слишком большие вольности в обращении
с текстом разд. 151, в результате чего в нем отсутствует то место, в котором
Гаусс признает заслуги Эйлера. По этому вопросу следует обратиться к тексту
оригинала или других переводов.)
342 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
X {х1 + у1 yD), по не делит ни один из сомножителей (так как
х1 и у1 взаимно просты, то ни одно целое, за исключением, воз-
можно, 2, не делит оба сомножителя одновременно). Таким обра-
зом, поскольку рг не разветвляется, оно должно распадаться.
Короче говоря, из теоремы Эйлера следует, что если р0 =
= рг (mod AD), то рг распадается, разветвляется или остается
простым тогда и только тогда, когда р0 распадается, разветв-
ляется или остается простым соответственно *). Легко показать
(упр. 1), что и обратно, из последней теоремы следует теорема
Эйлера. Поэтому последнее утверждение разумно рассматривать
как переформулировку теоремы Эйлера в терминах теории диви-
зоров квадратичных целых.
Эта теорема (если предположить, что она справедлива) позво-
ляет определить, каким образом простые р разлагаются в квадра-
тичных целых х -\- у \/D. Кроме простых делителей числа AD
необходимо проверить только одно простое из каждого 2) класса
вычетов по модулю 4D, взаимно простого с AD. Например, при
Т) - 2 из того факта, что простые 3 и 5 остаются простыми (квад-
раты по модулю 3 сравнимы с 1 ф 2 (mod 3), а по модулю 5 сравни-
мы с 1, 4^2 (mod 5)), мы получаем, согласно нашей теореме,
что все простые = 3 или 5 (mod 8) остаются простыми, а из того,
что 17 и 7 распадаются (б2 = 2 (mod 17), З2 = 2 (mod 7)), сле-
дует, что все нростые = 1 или 7 (mod 8) распадаются. Единствен-
ное оставшееся простое 2 разветвляется.
Таким образом, па основании этой теоремы мы можем опре-
делить закономерности разложения простых для различных значе-
ний D. Некоторые результаты (значительно менее обширные, чем
вычисления Эйлера) приведены в табл. 7.8.1. Из этой таблицы
следует очевидное заключение: в точности половина классов про-
стых по модулю AD являются распадающимися 3) классами, т. е.
1) Аналогичное явление наблюдалось и в случае круговых целых, где
число простых дивизоров, делящих р, зависит только от показателя р
по модулю X и, следовательно, только от класса вычетов р по модулю X.
В случае алгебраических целых, более общих, чем квадратичные или кру-
говые целые, это явление обычно не встречается, т. о. пе так легко предска-
зать способ разложепия простых р. Законы взаимности и теория полой клас-
сов тесно связаны с этим особым свойством квадратичных и круговых целых.
2) В частных случаях, конечпо, мы обнаружим, что каждый класс,
взаимно простой с 4?>, содержит простое. Действительно, согласпо знаме-
питой]теореме Дирихле, каждый класс, взаимно простой с любым модулем т
(в данном случае т = 4D), содержит бесконечно много простых чисел
(см. § 9.7).
3) Для того чтобы избежать неявного обращения к упомянутой в преды-
дущем]примечании теореме Дирихле, лучше сформулировать данную теорему
в следующем виде: классы по модулю 4D, взаимно простые с 4D, можно раз-
бить на два подмножества с одинаковым числом элементов, называемых рас-
падающимися классами и нераспадающимися классами, таким образом, что
любое'простоо в распадающемся классе распадается, а любое простое в нерас-
7.8. Теоремы Эйлера 343
Таблица 7.8.1, Числа, напечатанные жирным шрифтом, принадлежат рас-
падающимся классам, т. е. любое простое, сравнимое по
модулю 47> с таким числом, распадается в квадратичных
целых детерминанта D
D= -1 13
D= -
D= -
D= -
D= -
D= -
D = ~
D = 2
D = 3
D = 5
D = 6
D=l
D = \0
2
3
5
6
7
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
5
3
5
3
3
3
5
3
5
3
3
5
7
7
7
5
7
5
7
7
7
5
7
7
11
9
11
9
9
7
11
9
11
9
9
11
13
11
11
11
13
11
1!
13
17
13
13
13
17
13
13
17
19
15
17
17
19
15
17
1 у
23
17
19
19
23
17
19
19
21
19
21
23
23
23
23
25
27
25
27
27
29
27
29
«одержат распадающиеся простые. Далее, менее очевидный
факт, замеченный Эйлером, состоит в том, что произведение распа-
дающихся классов является распадающимся классом; здесь умноже-
нием является обычное умножение целых по модулю 4Z). С этими
двумя замечаниями тесно связано (а в действительности является
их следствием *)) утверждение, что квадрат любого класса, взаимно
простого с AD, является распадающимся классом.
Заключительное замечание, которое совершенно очевидно
из таблицы и которое Эйлер, конечно, сделал, состоит в том, что
при D > 0 класс, противоположный распадающемуся, является
распадающимся; если же D < 0, то класс, противоположный рас-
падающемуся, является нераспадающимся. Поскольку переход
к противоположному является взаимно однозначным соответствием
и поскольку половина классов распадающиеся, эти утверждения
равносильны обратным к ним, т. е. равносильны тому, что при
D > 0 класс, противоположный нераспадающемуся, является
нераспадающимся, а при D < 0 класс, противоположный нераспа-
дающемуся, является распадающимся.
Эти теоремы значительно облегчают нахождение распадающихся
классов. Например, при D = 2 класс 1 должен быть распадаю-
падающемся классе остается простым. Формулировки других теорем также
следует немного изменить, допустив существование классов, которые не содер-
жат простых и, следовательно, не явлются ни распадающимися, ни нераспа-
дающимися. Мы предоставляем читателю сделать эти изменения, предусматри-
вающие ситуацию, которая никогда не возникнет.
1) См. упр. 6.
344 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
щимся, так как он является квадратом. Поскольку D > О, отсюда
следует, что класс —1 также должен быть распадающимся. Осталь-
ные классы — классы ±3 — должны быть нераспадающимися,
так как распадающимися могут быть только половина всех клас-
сов. В качестве другого примера рассмотрим случай D = —11.
Здесь класс 3 является распадающимся, поскольку —11 ==
== I2 (mod 3). Следовательно, все классы 1, 3, З2, З3 = —17,
3* =-7, 35 = —21, 36= -19,37 = -13,38 = 5, З9 = 15, З10 ==
= 1 (mod 44) являются распадающимися. Поскольку они составляют
половину из 20 классов, взаимно простых с 44, остальные
классы будут нераспадающимися. Заметим, что они противопо-
ложны распадающимся классам.
В качестве третьего примера рассмотрим случай D = —15.
Здесь наименьшим простым, подлежащим рассмотрению, является
р = 7. Поскольку —15 = —1 не является квадратом по модулю-
7 A, 2 и 4 — все квадраты по модулю 7), класс 7 — нераспадаю-
щийся. Следовательно, класс —7 — распадающийся, и такими же
являются классы (—7J = —11, (—7K = 17 и (—7L =1 (mod 60).
Это дает 4 из 8 распадающихся классов. В точности один из клас-
сов ±13 является распадающимся, но мы еще пока не определили,
какой именно. Квадраты по модулю 13 исчерпываются клас-
сами 1, 4, —4, 3, —1, —3, и в их число не входит класс — 15 ==
== —2 (mod 13). Следовательно, 13 является нераспадающимся
классом, а —13 — распадающимся. Тогда (—13J== —11, (—13K =s
s= 23, (—13L =s (—7L = 1 (mod 60) также являются нераспадаю-
щимися классами, что дает нам еще 2 распадающихся класса.
Кроме того, (-7) (-13) = -29 и (-7K (-13) = 17 (-13) = 19
также будут распадающимися классами. Таким образом, распадаю-
щимися классами будут классы 1, —7, —11,-13,17,19,23,-29,
а нераспадающимися — противоположные к ним.
Все эти теоремы Эйлера легко вывести из квадратичного закона
взаимности (см. § 5.6 или данное ниже примечание). Первая
теорема, которая является главной, состоит просто в том, что
значение символа Лежандра г) (р3) при нечетных простых р \ D
зависит только от класса р по модулю AD. Это утверждение будет
*) Символ Лежандра (р) определен в § 5.6. Он имеет смысл только
тогда, когда р — нечетное простое, arc — целое, не делящееся на р, и равен
+1, если п является квадратом по модулю р (сравнение п = х2 (mod p)
имеет решение), и —1 в противном случае. Легко показать, что если ни %,
ни пг не делятся на р, то (раг) = (р1) (р2)- Квадратичный закон взаимности
утверждает, что если р и q — нечетные простые и если р = 1 (mod 4),
то (р) = (|), тогда как при р = 3 (mod 4) имеем (~р ) = (|). Дополни-
тельные законы взаимности утверждают, что (~4) = р (mod 4), т. е. ("') =
= 1, если р = 1 (mod 4), и = —1, если р в —1 (mod 4), и что (^) равно
+1, если р = +1 (mod 8), и —1, если р s +3 (mod 8).
7.8. Теоремы Эйлера 345
доказано, если показать, как применение квадратичного закона
взаимности позволяет вычислить (р ) при помощи только класса р
по модулю 4ZX Для этого предположим, что D записано в виде
произведения чисел, для которых квадратичный закон взаимности
имеет простой вид, а именно чисел —1, или 2, или р, где р =
е= 1 (mod 4), или —р, где р = —1 (mod 4). То есть пусть D =
= erp-j>2 . . • Рц (—р'г) (—р'2) . . . (—p'v), где s = ±1, г = 1 или
2, pi — простое, сравнимое с 1 по модулю 4, и р[ — простое,
сравнимое с —1 по модулю 4. Тогда, согласно квадратичному
закону взаимности,
(где (р) считается равным +1 при всех р, если е или г равно 1).
Первый множитель в правой части зависит только от класса р
по модулю 4 и, следовательно, только от класса р по модулю AD.
Второй множитель равен +1, если г =?= 2; при г = 2 он зависит
только от класса р по модулю 8. Из г = 2 следует, что D четно,
поэтому класс р по модулю AD однозначно определяет класс р
по модулю 8, а тем самым и второй знак (р). Остальные знаки,
зависят только от класса р по модулю pt или р\ и, следовательно,
только от класса р по модулю 4D. Это завершает доказательство
того, что {р) зависит только от класса р по модулю 4D.
Это доказательство дает в действительности больше, поскольку
оно показывает, как определение символа (^) можно распростра-
нить с нечетных простых р, которые не делят D, на все целые
р, взаимно простые с 2D (и даже, при е = г = 1, на все целые,
взаимно простые с D). Это расширенное определение (%) для п,
взаимно простых с 4D, называется символом Якоби 1). Класс п
является распадающимся, если (%) = +1, и нераспадающимся,
если (п) = —1. Это определение распадающихся и нераспадаю-
щихся классов не предполагает, что класс п содержит простое,
и, следовательно, не опирается на теорему Дирихле о простых
в арифметической прогрессии.
Из определения символа Якоби ясно, что (и1п2) = (ш) ("г)-
Действительно, это равенство справедливо для каждого из сомно-
жителей. Следовательно, не только произведение двух распадаю-
!) См. Якоби [Л]; там (^*) определено Для нечетных п, взаимно простых
С Д, как (?) (Я ) . . . (? ), где п = Plp2 . . . ^-разложение п на простые
множители. Легко видеть, что это эквивалентно приведенному выше опре-
делению.
346 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
щихся классов, но и произведение двух нераспадающихся клас-
сов является распадающимся классом, а произведение нераспа-
дающегося класса на распадающийся класс является нераспадаю-
щимся классом. В частности, квадрат любого класса, взаимно
простого с AD, является распадающимся классом.
Для доказательства того, что имеется равное число распадаю-
щихся и нераспадающихся классов, достаточно доказать, что
существует по крайней мере один нераспадающийся класс. Дей-
ствительно, умножение на нераспадающийся класс задает взаимно
однозначное отображение множества классов, взаимно простых
с AD, на себя, которое переставляет распадающиеся и нераспадаю-
щиеся классы. Для того чтобы Тнайти нераспадающийся класс,
можно поступить следующим образом. Если ег=^1, то (е)(г)
принимает оба значения ± 1 и для любого данного п, взаимно
простого с AD, найдется нечетное п', такое, что (^. )(^.) про-
тивоположно ( п ) ¦ ¦. ( " )(",)...(", ); согласно китайской
v vi I \ Рц / \ Р1 I \ pv /
теореме об остатках, существует п" = п (mod pt ... p^Pi ¦ ¦ ¦ Pv)
и п" = n' (mod 8). Тогда (,^ \ =—1, что и требуется. Если
ег — 1, то, поскольку Бф 1, либо ц, либо v должно быть отлично
от нуля, и аналогичный метод дает нам п" с (^„\= —1.
Остается показать, что (_^) = (^ )при Z>>0 и (_^) = —(^\
при Д<0. Другими словами, остается показать, что (_f)
равно знаку D. Множители („j ) и (~р') в (_^) всегда равны
+ 1. Множители ( Л всегда равны —1, а множитель (_\)
равен -\-1, если е=+1, и —1, если s —-—1. Следовательно,
(_^) = е( — l)v, что также совпадает со знаком D, что и требо-
валось доказать.
Это завершает доказательство того, что из квадратичного
закона взаимности следуют все теоремы Эйлера. Обратное утверж-
дение (согласно которому из теорем Эйлера следует квадратичный
закон взаимности) можно доказать следующим образом х). Допол-
нительные законы взаимности немедленно следуют из теорем
Эйлера при D = —1 и D = 2 (упр. 4). Предположим теперь, что
D = q, где q — нечетное простое. Квадрат любого класса, взаимно
простого с Aq, является распадающимся классом. Легко доказать,
что в точности четверть классов, взаимно простых с Aq, являются
квадратами (упр. 3). Значит, это правило позволяет найти поло-
вину распадающихся классов. Поскольку D = q > 0, противо-
Это доказательство принадлежит Кронекеру [К1].
7.8. Теоремы Эйлера 347
положный распадающемуся классу снова является распадаю-
щимся классом. Следовательно, противоположный квадрату будет
распадающимся классом. Между квадратами и противоположными
квадратам нет пересечений; действительно, из сравнения х2 =
= z = —у2 (mod Aq) при z, взаимно простом с Aq, следовало бы, что
х и у нечетны, и потому должны выполняться сравнения z = 1
и z = —1 (mod А). Следовательно, вторая половина распадаю-
щихся классов состоит из противоположных квадратам, и мы полу-
чаем все распадающиеся классы. Таким образом, нечетное простое
р Ф q распадается тогда и только тогда, когда р = ±х2 (mod Aq)
для некоторого целого х. То есть если р ф q — нечетные простые,
то q является квадратом по модулю р тогда и только тогда, когда р
или —р есть квадрат по модулю Aq.
Легко видеть, что это совпадает с квадратичным законом взаим-
ности. Если р = 1 (mod 4), то —р не может быть квадратом
по модулю 4, не говоря о модуле Aq. Доказанная теорема в этом
случае утверждает, что q является квадратом по модулю р тогда
и только тогда, когда р является квадратом по модулю Aq. Отсюда,
конечно, следует, что р является квадратом по модулю q. Обратно,
если р — квадрат по модулю q, скажем р = у2 (mod q), то р =
= (У — ОJ (mod q). Поскольку либо у, либо у — q нечетно, можно
считать, что нечетно у, у2 = 1 = р (mod 4), у2 = р (mod Aq) (так
как q нечетно), и р является квадратом по модулю Aq. Таким обра-
зом, если р = 1 (mod 4), то q является квадратом по модулю р
тогда и только тогда, когда р является квадратом по модулю q.
Аналогично, если р = —1 (mod 4), то р или —р является квадра-
том по модулю Aq только тогда, когда —р есть квадрат по модулю q,
и если р = 3 (mod 4), то q является квадратом по модулю р тогда
и только тогда, когда —р является квадратом по модулю q. Это
и есть квадратичпый закон взаимности в формулировке Гаусса.
Упражнения
1. Предположим, что простые, сравпимые по модулю 4D, в теории диви-
зоров квадратичных целых детерминанта D разлагаются одинаковым образом
(распадаются, разветвляются или остаются простыми). Докажите, что если
р0 == pj (mod 4D) и р0 | х\ — Dy\ для взаимно простых х0 и у0, то существуют
такие взаимно простые хг и у1, что р1 | х\ — Ъу\. Это доказывает теорему
Эйлера о делителях х2 -\- пу1 при свободном от квадратов —п. Докажите,
что теорема Эйлера тривиальна, если — п является квадратом. Наконец,
выведите случай — п = t2D со свободпым от квадратов D из случая —n = D.
2. Распространите табл. 7.8.1 на все свободпые от квадратов детерминан-
ты D с | D | < 15.
3. Докажите, что в точности четверть классов, взаимно простых с 4д
{q — простое), являются квадратами.
4. Выведите формулы для (~р), (р), (~р) (дополнительные квадра-
тичные законы взаимности) из теорем Эйлера для D = —1, 2 и —2 соответ-
348 Гл. 7. Теория дививоров квадратичных целых
ственно. [Для D = —1 и D = 2 ни одно простое р не требует проверки па
распадение. При D = —2 необходима одна проверка (если не пользоваться
равенством (~*?) = (~p) B,))-J
5. Докажите, что если Л — произвольный дивизор квадратичных целых
детерминанта D и а = N (А), то либо (^) = +1, либо (^) не определено.
Следовательно, образ нормепного отображения дивизоров в целые по модулю
4D не содержит половину классов, взаимно простых с 4D, а именно: он не
содержит нераспадающихся классов. [В частности, при D > 0 класс —1
является распадающимся.]
6. В основном тексте утверждается: если известно, что в точности полови-
на классов по модулю 4D являются распадающимися и что произведение рас-
падающихся классов снова является распадающимся классом, то отсюда
следует, что квадрат любого класса будет распадающимся. Докажите это-
утверждение, доказывая более общий факт, что произведение двух нерас-
падающихся классов всегда образует распадающийся класс.
7. Объясните, почему (Р\ = +1 при D = —7 и п = 15, хотя —7 не-
является квадратом по модулю 15.
8. Докажите, что для символов Якоби справедлив квадратичный закон
взаимности (если соответствующие символы определены). То есть если р и q
нечетны и взаимно просты, то
(^) при p=:l(mod4),
[~pq) при р = — 1 (mod 4),
даже когда р и q не являются простыми. Это показывает, что законны вычис-
ления из упр. 4 к § 5.6.
9. Докажите, что если D = —п является квадратом, то теоремы Эйлера
неверны по той простой причине, что р \ хг + пу2 (при некоторых взаимно
простых х, у) для всех простых р. Докажите, что если D = t2D', то из теорем
Эйлера для D' следуют те же самые теоремы для D.
7.9. Роды классов дивизоров
Задача нахождения группы классов дивизоров данного детерми-
нанта D приводит к задаче определения, эквивалентны или нет
два заданных дивизора. Гаусс заметил, что имеются некоторые
простые необходимые условия эквивалентности двух дивизоров,
и при помощи этих необходимых условий разделил классы диви-
зоров па множества, которые он назвал родами. (Однако Гаусс
рассматривал бинарные квадратичные формы, а не дивизоры.
См. гл. 8.) Это деление на роды играет важную роль в его втором
доказательстве квадратичного закона взаимности.
Два дивизора эквивалентны тогда и только тогда, когда произ-
ведение одного из них на сопряженный к другому является глав-
ным дивизором. Условия Гаусса, необходимые для эквивалент-
ности дивизоров, получаются из следующих простых условий,
необходимых для того, чтобы данный дивизор был главным.
Если А — дивизор элемента х + у YD, то N (А) = х2 — Dy2,
где х ж у — целые или, возможно, полуцелые числа. Если р —
7.9. Роды классов дивизоров 349
нечетный простой делитель D, то 4/V (А) = Bа:J — D BуJ =
= u2 (mod р), где и = 2х — целое число. Поскольку р нечетно,
возможно деление на 2 по модулю р, и отсюда следует, что норма
главного дивизора должна быть квадратом по модулю р для любого
нечетного простого делителя р детерминанта D. Следовательно,
если А! и А 2 — эквивалентные дивизоры и щ и щ соответственно —
их нормы, то АхАг — главный дивизор и пхп2 должно быть квадра-
том по модулю р. Если щп2 ф 0 (mod p), то отсюда легко следует,
что пг является квадратом по модулю р тогда и только тогда, когда
этим свойством обладает п2. (Если пгп2 = и2, и ф О и щ = у2,
то у =? 0, возможно деление на у и и2 = (и/уJ — квадрат
по модулю р. По симметрии, если пг не является квадратом
по модулю р, то и в2 и не является квадратом.) В терминах сим-
вола Лежандра это можно выразить в виде равенства (п*\ = (™,2).
Таким образом, необходимое условие эквивалентности АХ~А2
состоит в равенстве (п* )=("p2)i гДе ni — N (Ах), п2 = N (А2)
и где предполагается, что Аг и А2 взаимно просты с р.
Если D ф 1 (mod 4), то есть еще одно необходимое условие
эквивалентности, соответствующее простому 2. Если D =
^ 3 (mod 4), то для любого главного дивизора А имеем N (А) =
= х2 — Dyu = х2 + г/2 (mod 4), где хну — целые числа. Если А
взаимно прост с 2, то ./V (А) нечетна, хну имеют противоположную
четность и N (А) = 1 (mod 4). Таким образом, если Аг ~ А2ж оба
эти дивизора взаимно просты с 2, то пгп2 = 1 (mod 4). Отсюда
«ледует, что щ и п2 одновременно сравнимы по модулю 4 либо
с 1 либо с —1. Если D = 2 (mod 4), то есть другое необходимое
условие эквивалентности, но оно сильно отличается от соответ-
ствующего условия для D = 3 (mod 4). Если D = 2 (mod 4)
и А является главным дивизором, взаимно простым с 2, то ./V (А) =
= х2 — Dy2, где хну — целые и х нечетно. Таким образом,
4с2 = 1 (mod 8) и — Dy2 = 0 или —D (mod 8) в зависимости
от того, четно или нечетно у. Если D == 2 (mod 8), то ./V (Л) = 1
или —1 (mod 8) и ./V (Л)е=? +3 (mod 8). Следовательно, если пг =
== +1 (mod 8), то пг = +1 (mod 8), и если % = ±3 (mod 8),
то п2 = ±3 (mod 8), где пг и и2 — нормы эквивалентных диви-
зоров, взаимно простых с 2. Аналогично, если D = —2 (mod 8),
то N (А) = 1 или 3 (mod 8), и пх == 1 или 3 (mod 8) тогда и только
тогда, когда пг = 1 или 3 (mod 8), а пх = 5 или 7 (mod 8) тогда
и только тогда, когда пг = 5 или 7 (mod 8). Короче говоря, если
D ф 1 (mod 4) и если мы введем дополнительный знак, как ука-
зано в табл. 7.9.1, то для дивизоров Аг, А2, взаимно простых с 2,
необходимое условие эквивалентности Аг — А2 состоит в том, что
щ и п2 имеют один и тот же дополнительный знак. Здесь Щ. ^
= N (А^ и п2 = N (А%). (Заметим, что, согласпо дополнительным
квадратичным законам взаимности, дополнительный знак равен
350
Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Таблица 7.9.1
D
3(mod4)
2 (mod 8)
-2 (mod 8)
Дополнительный знак
+, если
п = 1 (mod 4)
п = ± 1 (mod 8)
п = 1 или 3(mod 8)
—,если
п = - 1 (mod 4)
п = ± 3 (mod 8)
п = 5 или 7 (mod 8).
("*), если Z) = —1 (mod 4), ( \ ), если D = 2 (mod 8), и ("*)f
если D = — 2 (mod 8).)
Пусть m — количество нечетных простых делителей D, и пусть
е равно 0, если D = 1 (mod 4), и равно 1 в противном случае. Харак-
тер дивизора А определяется как список из т + е знаков ±1,
состоящий из т знаков (Л (А)) (pt — нечетный простой делитель D)
вместе с дополнительным знаком, определенным табл. 7.9.1 (сп =
= N (А)) в случае е = 1. Если А не взаимно прост с D или, в слу-
чае s = 1, не взаимно прост с 2D, то его характер не определен.
Для определенности будем записывать эти т + 8 знаков в порядке
( р, )' ( р, )' •••'(тIГДе?1<;)!<'"< р™ С после^
дующим дополнительным знаком (если он имеется).
Поскольку знаки (если они определены) эквивалентных диви-
зоров совпадают, мы можем определить характер класса дивизо-
ров, при условии что этот класс содержит по крайней мере один
дивизор, характер которого определен. Легко доказать (см. § 8.3),
что любой дивизор эквивалентен некоторому дивизору, взаимно
простому с 2D, и определить таким образом характер класса диви-
зоров. Однако характер класса дивизоров можно определить,
и не доказывая этой теоремы. Для этого достаточно определить
знак в отдельности для каждого простого р. Для того чтобы опре-
делить знак, соответствующий простому р (включая р = 2 в слу-
чае дополнительного знака), достаточно в данном классе найти
дивизор А, взаимно простой с р. Для этого достаточно найти диви-
зор, эквивалентный (р, *), который взаимно прост с р. (Заметим,
что 2 разветвляется тогда и только тогда, когда 8 = 1.) За исклю-
чением случая р — 2, D = 3 (mod 4), такой дивизор равен диви-
зору элемента \/D, деленному на (р, *). В оставшемся случае
этот дивизор равен дивизору элемента 1 — V&, деленному
на (р, *) = B, *).
В случаях, рассмотренных в § 7.6, классы дивизоров имеют
следующие характеры. Если D = 67, то характер содержит 1 + 1
знак. Для класса дивизора (—1, *) первый знак равен —1
(поскольку —1 не является квадратом по модулю 67), а второй
знак также равен —1 (ибо —1 = —1 (mod 4)). Таким образом,
7.9. Роди классов дивизоров 351
характер этого класса есть . Главный класс, конечно, имеет
характер + +•
При D = —165 характер состоит из четырех знаков, соответ-
ствующих простым 3, 5, 11 и 2. Первые три знака дивизора А =
= B, #) равны (g ) = —1, ( 5 ) = —!» (и) = —1". четвертый знак
находится из замечания, что дивизор элемента 1 — ]/—165 равен
B, *) (83, 1), так что B, *) ~ (83, 1), и искомый знак равен —1,
поскольку 83 = —1 (mod 4). Таким образом, характер класса
дивизора А есть . Последние три знака характера диви-
зора В = C, *) равны E) = —1' (ii) = +1 и —1 (поскольку
3 = —1 (mod 4)); его первый знак находится из соотношения
C, #) ~ E, *) A1, *) и равен E35) = C) = "Ь^* Следовательно,
характер класса В есть -\ 1 . Аналогично находится харак-
тер класса С = E, *): Ь+. Характеры остальных классов
можно найти простым умножением: для этого достаточно заметить,
что характер произведения двух классов равен произведению их харак-
теров. (Характеры умножаются перемножением соответствующих
знаков. Для знаков, отвечающих нечетным простым делителям р
детерминанта D, утверждение о том, что знак произведения равен
произведению знаков: ("'p) = ("') ("*),— было доказано в § 5.6.
Для знаков, соответствующих простому 2, его можно проверить
при помощи табл. 7.9.1. Это свойство тесно связано со свойством
X (ninz) = % ("i) % (иг) «характеров» из § 6.4. В действительности
употребление слова «характер» в теории групп обязано своим про-
исхождением тому, что Гаусс использовал его в соответствующей
части «Арифметических исследований».)
Характеры различных классов при D = —165 приведены
в табл. 7.9.2. Обратите внимание на то, что различные классы
Таблица 7.9.2. D = —165, А = B, *), В = C, *), С = E, *)
Класс Имеет Клзсс Имеет
дивизора характер дивизора характер
/ ++ + + АВ - +- +
А АС + +
В + - + - ВС -+ + -
С + + ABC + - - +
дивизоров имеют различные характеры. Это означает, что необ-
ходимые условия эквивалентности в данном случае являются доста-
точными: два дивизора с одинаковыми характерами эквивалентны.
Уже Эйлер заметил и использовал это удобное свойство детерми-
нанта D = —165 (см. упр. 4).
352 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
В следующем случае из § 7.6 (D = —163) имеется только
главный класс. Характер состоит из одного знака A63 — простое,
—163 = 1 (mod 4)) и характер / есть +.
При D = 79 характер состоит из двух знаков, и характер В —
= C, 1) равен G39) = — G39) = —1 и —1 (поскольку 3 =
= —1 (mod 4)). Характер В2 равен ( J = + +. Таким обра-
зом, классы /, 52, 54 имеют характер -\—К а остальные классы
В, В3, Въ имеют характер . Гаусс назвал множество клас-
сов дивизоров с данным характером родом. Таким образом, при
D = 79 имеется два рода, {/, В2, Я4} и {В, В3, В5}. В преды-
дущих случаях роды совпадали с классами дивизоров.
В следующем примере из § 7.6 (D = —161) характер состоит
из 3 знаков (D имеет два нечетных простых делителя 7 и 23 и D =
= 3 (mod 4)). Дивизор А = C, 1) имеет характер 1 ,
а В = G, *) — характер *) Н . Отсюда можно немедленно
найти характеры всех 16 классов АгВ}. Они приведены в табл. 7.9.3.
Таблица 7.9.3. D = —161, Л = C, 1), В= G, *)
Класс
' ивизорэ
А
А1
А'
А"
А'
Аь
А7
Характер
-- ч—
+ 4-4-
•- + -
4-4-4-
_ + _.
4-4-4-
1
Класс
дивизора
В
АВ
А2 В
А3В
А* В
А5 В
А6 В
А1 В
Характер
1
1
4-
+
+
+
+
-- +
В этом случае имеется четыре рода {/, A2, Ai, Ae}, {А, А3, Аъ,
А1}, {В, А2В, А*В, АЩ, {АВ, А3В, АЪВ, AW}. Гаусс описы-
вал такое деление классов дивизоров на роды, говоря, что D =
= —161 соответствует классификации IV.4. Под этим он подра-
зумевал, что имеется IV рода, каждый из которых содержит
4 класса. Аналогично, D = 79 соответствует классификации II.3,
D = —163 — классификации I.I, D = —165 — классификации
VIII.1 и D = 67 — классификации II.1.
В последнем примере из § 7.6 (D = 985 = 5-197) характер
состоит из двух знаков. Характер дивизора А = B, 0) равен
J) Собственно говоря, первый знак характера дивизора В не определен.
Характер его класса имеет первый знак +, поскольку G, *) ~ B3, *)
иB73) = +1.
7.9. Роды классов дивизоров 353
(б) A97) = (ь) (б) = • Таким образом, D = 985 соответствует
классификации II.3 с родами {/, А2, Л4} и {А, Аъ, Аъ).
С замечанием Эйлера о том, что в точности половина классов
по модулю 4D являются распадающимися классами, тесно связано
замечание Гаусса, согласно которому в действительности встре-
чается ровно половина возможных характеров. (См. табл. 7.9.4.)
Таблица 7.9.4
D
67
- 165
- 163
79
- 161
985
Число возможных
характеров
4
16
2
4
8
4
Число встречающихся
характеров
о /характере! , произведение i 4
О \ми-трых равно 1 /
К + )
2 (+ +, )
4(+ + +,-+-,+ , +)
2< + +.--)
Из квадратичного закона взаимности (или, что, по существу,
то же самое, из теорем Эйлера) легко получить, что фактически
может встретиться не более половины возможных характеров
(упр. 1). Метод второго доказательства Гаусса квадратичного
закона взаимности заключается в том, чтобы доказать обратное:
если известно, что фактически встречается не более половины
возможных характеров, то отсюда следует закон квадратичной
взаимности (см. § 7.11). Поэтому для доказательства квадратич-
ного закона взаимности достаточно доказать, что в действитель-
ности встречается не более половины возможных характеров. Гаусс
смог доказать это, подсчитывая двусторонние классы (см. § 7.10)
и сравнивая их с числом встречающихся характеров.
Заметим, что число возможных характеров равно 1тЛ Е и что
число родов равно числу действительно встречающихся характе-
ров. Следовательно, теорема Гаусса о числе характеров эквива-
лентна утверждению, что существуют 2т+Е~1 родов. Классифи-
кацию IV.4,II.3, 1.1, VIII.1, II.1 и т. д. детерминантов D можно
рассматривать как разложение числа классов h = g-n, где g =
= IV, II, I, VIII, II и т. д. — число родов, а п = 4, 3, 1, 1, 1
и т. д.— число классов в роде. (Утверждение, что все роды содер-
жат одинаковое число классов, немедленно следует из того, что
характер произведения равен произведению характеров.) Теорема
Гаусса утверждает, что первый сомножитель в этом разложении най-
ти относительно легко: g=2m+e~1, где т—число нечетных простых
делителей D, а 8 = 1, если D = 2 или 3 (mod 4), и е = 0 в про-
тивном случае. Однако связь между детерминаптом D и самим
23 г. Эдварде
354 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
числом классов h является очень тонкой, и тот факт, что первый
сомножитель g просто связан с D, означает лишь, что для второго
сомножителя это не так.
Упражнения
1. Используя квадратичпый закоп взаимности, покажите, что в дой-
ствитольпости встречается не болоо половины всех возможных характеров.
Точнее, покажите, что во всяком действительно встречающемся характере
число минусов четно. [Воспользуйтесь символом Якоби.] Применяя теорему
Дирихле о простых в арифметической прогрессии, докажите, что в действи-
тельности встречается ровно половипа всех возможных характеров.
2. Докажите, что если к = х2 + пу2, где п > 0, то для того, чтобы к
было простым числом, необходимо выполнение следующих условий: A)
х взаимно просто с пу, B) х и пу имеют противоположную четность (за исклю-
чением тривиального случая хг + пу2 — 2) и C) единственными представле-
ниями к ¦ - и2 -J- nv2 являются представления, в которых и -- +х, v — +у,
или, если п — 1, то и ™ +j/, v — +.х.
3. Докажите, что при п — 165 необходимые условия из упражнения 2
являются и достаточными. [Если к по простое, то дивизор числа х-\- у У—165
либо имеет вид ЛХА2, где Лх и А2 взаимно просты, либо является степенью
простого дивизора (р, и)п, где п > 1. В первом случае АХА2 является глав-
ным дивизором, отличпым как от AiA2, так и от АХА2, что противоречит C).
Во втором случае существует главный дивизор с нормой к, который делится
на р, что также противоречит C).]
4. Докажите, что если а и Ъ — такие положительные целые, что аЪ
свободно от квадратов, аЪ ?: 3 (mod 4), и каждый род детерминанта D — — аЬ
содержит только один класс, то следующие условия необходимы и достаточны
для того, чтобы к — ах- + by2 было простым числом: A) ах и by
взаимно просты; B) ах и by имеют противоположную четность;
C) единственными представлениями к — аи2 + bv2 являются такие
представления си— +х, v — +у. [Не ограничивая общности, можно пред-
положить, что а ¦--• pjp2 . . . рп нечетно. Тогда ак — норма главпого дивизора
вида (р1, *) (р2, *) . . -(рп, *) А.] Имеющие такой видчпела п — аЪ (такие,
как +165) Эйлер называл удобными числами (numerus idoneus). При полном
исследовании удобных чисел необходимо рассмотреть случаи аЪ = 3 (mod 4)
и/или аЪ не свободно от квадратов. См. упр. 8—12 к § 8,1.
5. Найдите все значепия х, меньшие 50, для которых 165 + х- является
простым числом. [Кроме очевидных исключений, соответствующих усло-
виям A) и B), есть еще 5 исключений, отвечающих условию C), что в итого
дает 7 простых.]
6. Докажите, что 5 — удобное число. Докажите, что 1301 — 362 + 5 —
простое число. [Начиная с 1301, вычитайте последовательно 5, 15, 25, 35,
45, .... Обратите внимание на то, что эта прогрессия содержит только
один квадрат,]
7. Гипотеза Ферма о числах вида х2 + 5;/2 (см, § 1.7) состоит в том, что
если pi и р2 — простые, которые сравнимы с 3 по модулю 4 и которые в деся-
тичной записи оканчиваются на 3 или 7, то pjp2 = х2 + 5г/2. Докажите, что
эта гипотеза верпа. [Из сравнений р = 3 или 7 (mod 20) следует, что р рас-
падается и его простые дивизоры принадлежат одному неглавному классу,
совпадающему с родом.]
8. Докажите, что нечетное простое р имеет вид р = х2 — Dy2 только
тогда, когда р или р -\- D есть квадрат по модулю 4D. Эйлер считал, что это
условие является также и достаточным. Действительно, наименьшие значе-
ния D, при которых это не выполняется, довольно велики. Одно из них
нашел Лаграпж [L2, разд. 84]. Примером Лагранжа является случай!) — 79,
р = 101; тогда р + D — квадрат по модулю 4D, но р Ф х2 — Dy2. Более
7.10. Двусторонние классы 355
того, Лаграиж заметил, что нельзя ответить на вопрос о том, справедливо
ли равенство р ~ х2 — Л;/2, но зпая ничего, кроме класса р но модулю 4D.
Действительно, 101 = 733 (mod AD), 733 — простое и 733 -- хг — Dy2 (при
D =¦• 79). Переформулируйте эти утверждения в терминах классов и родов
простых делителей чисел 101 и 733 и докажите их. Меньшее значение D,
противоречащее гипотезе Эйлера, приведено в упр. 9 к § 8.4.
7.10. Двусторонние классы
Гаусс называл класс дивизоров (хотя, конечно, н его форму-
лировке речь Б1ла о классах бипарпых квадратичных форм,
а не дивизоров) двусторонним классом, если этот класс совпа-
дает со своим сопряженным. Ото определение можно сформулиро-
вать иначе, если сказать, что любой дивизор А из данного класса
удовлетворяет соотношению А ~ Л, или, проще говоря, что квад-
рат этого класса равен главному классу. Гаусс обнаружил, чт°
число двусторонних классов (или по крайней мере верхнюю гра-
ницу для него) можно найти непосредственно, не прибегая к квад-
ратичному закону взаимности или к теоремам Эйлера, и что это
дает достаточно информации о возможных характерах классов
дивизоров, чтобы отсюда можно было вывести квадратичный закон
взаимности (и, следовательно, все теоремы Эйлера из § 7.8).
Этот параграф посвящен подсчету числа двусторонних классов-
Вывод квадратичного закона взаимности приведен в следугоще и
параграфе.
Если р — разветвленное простое, то (р, *J ~ I и класс диви-
зора (р, *) является двусторонним. Кроме того, при D > 0 в дву-
стороннем классе лежит (—1, *). Следовательно, любое произве-
дение (р1? *) (р2, *) . . . (pk, *), где рг, р%, . . ., pk — развет-
вленные простые или, при D > 0, ру может быть равно —1, лежит
в двустороннем классе. Прямое изучение примеров из § 7.6 позво-
ляет убедиться, что таким образом получаются все двусторонние
классы, т. е. любой двусторонний класс содержит дивизор вида
[Pi-, *) (Pzi *) . . . (ри, *)• 1При D = 67 оба класса являются
двусторонними; один содержит / — пустое произведение, (—1, *) х
X B, *), (—1, *) F7, *) и B, *) F7, *), второй содержит (—1, *),
B, *), F7, *) и (—1, *) B, *) F7, *). При D --- —165 диви-
зоры А — B, *), В — C, *), С = E, *) и их произведения лежат
во всех 8 возможных классах. Если D — —163, то единственный
класс является двусторонним и содержит как пустое произведе-
ние /, так и A63, *). При D — 79 двусторонними являются классы
/ и В3, где В — C, 1). Первый из них содержит /, B, *), (—1, *) х
X G9, *) и (-1, *) B, *) G9, *), а второй (-1, *), G9, *),
(—1, *) B, *) и B, *) G9, *). Если D --- —161, то двусторон-
ними являются классы /, Л4, В, А*В, где А — C, 1), В — G, *).
Они содержат / и G, *) B3, *); B, *) и B, *) G, *) B3, *);
G, *) и B3, *); B, *) G, *) и B, *) B3, *) соответственно. При
2.4*
356 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
D — 985 имеется два двусторонних класса — классы / и А3, где
А = B, 0); первый из них содержит /, (—1, *), (—1, *) E, *) X
X A97, *) и E, *) A97, *), а второй E, *), (-1, *) E, *),
(-1, •) A97, .) и A97, *).]
В этом параграфе мы найдем число двустороппих классов в два
этапа. На первом этапе мы докажем, что замеченное выше явление
закономерно, т. е. каждый двусторонний класс содержит дивизор
вида (р1? *) (р2, *) . . . (pft, *), где р; — разветвленные простые
или, при D > 0, рг может быть равно —1. На втором этапе
мы сосчитаем число различных классов, которые содержат диви-
зоры такого вида.
Рассмотрим сначала случай D < 0 и D = 2 или 3 (mod 4).
Каждый дивизор можно привести циклическим методом к диви-
зору А „, который не приводится этим методом:
где аг >• а0 и условие делимости х + у ]/D на Ао выражено срав-
непием х + уг0 = 0 (mod а0). Если А ~ Ао и А — двусторонний
дивизор, т. е. А ~ А,т:о Ао ~ А ~ А ~ Ао. Если а} >а0, то, при-
меняя циклический метод к Ао, мы увеличим его норму. Поэтому
из теоремы § 7.7 следует, что эквивалентность Л0~у10 влечет
за собой равенство Ао = Ао. Тогда Ао делит как г0 — ]/ D, так
и го ~'~ VD. Следовательно, Ао делит 2г0, а тем самым и а0 делит
2г0. Но а0 делит г\ — D, a потому и Br0J — AD, таким образом,
а0 делит 4Z). Поскольку все простые числовые делители 4D являются
разветвленными простыми (D = 2 или 3 (mod 4)), мы получаем
отсюда, что А о имеет требуемый вид (р1, *) (р2, *) . . . (pk, *).
Если а0 = аи то надо воспользоваться другим методом *). Предпо-
ложим, что дивизор В определен условием: А 0В является дивизо-
ром числа г0 + а0 — |/ D. Пусть ЛГ (В) = Ъ. Тогда aob = г\ — D +
+ 2a0r0 -J- а\ = аоаг + 2а0г0 + а\, Ъ = 2 (а0 + г0). Поскольку Ъ
делит (г0 + а0J — D, 6 должно также делить 4 (г0 + й0J — 4Z) =
-—б2 — 4D и 6 | 4D. Следовательно, В ~ Ао — дивизор требуе-
мого вида.
Рассмотрим теперь случай D < 0, D ^ 1 (mod 4). Этот слу-
чай отличается от предыдущего только тем, что г0 и г1 являются
полуцелыми и айах = [Bг0J — D]/A. Поскольку а0 делит 2г0 (что
справедливо при аг =^= а0), мы получаем, что а0 | D (а не только
а0 | 4D), и Л0 должеп иметь нужный вид. При аг = а0 определим
В условием: А0В является дивизором числа г0 + а0 — V2 YD.
Тогда, как и требуется, N (В) делит D.
*) Например, при D — —165 циклический метод не приводит A3,2) ~
~ A3, -2), и A3,2) ~ B, *) C, *) E, *) ~ A3, -2) ~ B, *) A1, *).
7.10. Двусторонние классы 357
Теперь рассмотрим случай D > О, D = 2 или 3 (mod 4). Каж-
дый дивизор А эквивалентен некоторому дивизору Ао, обладаю-
щему тем свойством, что применение к нему циклического метода
возвращает нас к Ао. Если А ~ А, то Ао ~ Ао. Поэтому доста-
точно показать, что если Ао ~ Ао, то Ао эквивалентен дивизору
требуемого вида (рг, *) (р2, *) . . . (ph, *). Основной факт, кото-
рый для этого нужен, состоит в том, что цикл для Ао совпадает
с записанным в обратном порядке циклом для Ао. То есть если, при-
меняя циклический метод к Ао, мы получаем
то
применение
г0
aQ ai
его к
гт-\
А
... 1
Ят-1
дает
rm-2 • •
rm-l
а0
,.rt
Го
(
^0
rm-i • • •
а0 ат_{ ... а2 а{ а0 ...
Ясно, что А0 делит гт_г — У D и что iV (гт^ — У D) < 0. Для
того чтобы доказать, что применение циклического метода к А 0
дает Am_lt необходимо и достаточно доказать, что N (гд,^ -j-
+ | а0 | — \/D) > 0, т. е. что (rm_., + | а0 |J > D. При дока-
зательстве неравенства г; > 0 в § 7.5 мы показали, что (г^+г Н-
+ а/+1J < D при а} > 0 и (rj+1 — aj+1J < D при а; < 0. Дру-
гими словами, (rj+1 — | а7-+1 |J < D при всех /. При / -;- 1 --
= т — 1 это дает r^_i — 2rm_3 | am_j | + a^_i < Z>, a^ujn^ —
— 2rm_! | am_! | -bam-i < 0, — | a0 | — 2rm_! -f | am.1 | < 0,
«o + 2rm-i I a0 I + <ij«m-i > 0, ( | a0 I + rm-iJ > д> что и тре-
буется. Тогда по той же причине ирименепие циклического метода
к Ат_г дает А^-^, и т. д.
Если Ао ~ Ао, то, согласно теореме из § 7.7, Ао должен вхо-
дить в период Ао, скажем Ао = Aj. Тогда Ао — Aj и, как только
что было показано, Аг = А^х, А2 = А}_2, и т. д. Поскольку
N (Aj) меняет знак и N (Ао) = N (Ап) = N (Aj), индекс / должен
быть четным, скажем / = 2k. Тогда Аи = А7-_^ = А^. Таким обра-
зом, Ak делит как rk — ]/D, так и rh -f )/D, и aft делит 2rh.
Как и раньше, отсюда следует, что ah делит 4D и'что А^ имеет
требуемый вид.
Изменения, которые необходимы в оставшемся случае D > 0,
D = 1 (mod 4), очень просты, и мы оставляем их читателю.
Коротко говоря, мы показали, что дивизор является двусторон-
ним тогда и только тогда, когда он эквивалентен дивизору, деля-
щему 4D (если D = 2 или 3 (mod 4)) или D (если D -^ 1 (mod 4)).
358 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Поэтому для того чтобы сосчитать все неэквивалентные двусторон-
ние дивизоры, достаточно сосчитать все неэквивалентные диви-
зоры, делящие AD или D.
Число разветвленных простых равно т -j- e, так как при
D = 1 (mod 4) разветвленными простыми являются нечетные
простые делители D, а при D = 2 или 3 (mod 4) к ним добавляется
2. Поэтому при/) < 0 имеется 2т+к дивизоров вида (р1, *) (р2> *)•••
• • • (Pk, *) (включая пустое произведение /). Каждый из них
эквивалентен по крайней мере одному другому, а именно своему
дополнению в дивизоре У D или, если B, *) делит его, но не делит
V D, своему дополнению в дивизоре 2 V D. Таким образом, при
D < 0 имеется самое большее 2mfE~1 двусторонних классов.
То же самое справедливо при D > 0, но доказательство несколько
менее элементарно. При D > 0 имеется 2m+E+1 дивизоров вида
(Рь *) (Рг> *) • • • (Рй. *)> поскольку в этом случае допускается
дивизор (—1, *). Теперь мы должны доказать, что каждый из них
эквивалентен по крайней мере трем другим. Для этого достаточно
доказать, что / эквивалентен по крайней мере трем другим диви-
зорам. Применяя циклический метод к /, мы снова получаем /
(применение этого метода к любому главному дивизору дает /),
и, поскольку знак нормы чередуется, первое возвращение должно
произойти на четном шаге, скажем Ао — I, Л2п ~- Л А}- =/= I при
О < / < 2к. Тогда, как было показано выше, Ak имеет вид
(Ри *) (Рг< *) • • • (Рь. *)• Кроме того, абсолютная величина
нормы Ак меньше, чем | a^jC^ | --¦ | г\ — D \ — D — г\ < D.
Поэтому Ak отличен от дивизора |/Д и отличен от своего дополне-
ния в дивизоре YD (или, если B, *) делит Ак, но не делит УD,
отличен от своего дополнения в дивизоре 2 YD). Таким образом
/, Ah, дивизор \fD и дополнение к Ak дают 4 различных главных
дивизора требуемого вида. Следовательно, в любом случае суще-
ствует не более 2m+E~i двусторонних классов.
Поскольку 2т+? равно числу всех возможпых характеров,
только что доказанную теорему можно переформулировать как
утверждение о том, что число двусторонних классов не превосходит
половины числа возможных характеров.
Упраж пения
Если D < 0, то имеются 2т+е дивизоров вида (р1г *) (р2, *) . . . (рк, *),
а если D > 0, то их число равно 2т+е1~1. В каждом из следующих случаев
определите, какой из данных дивизоров является главным, и, опираясь на
ото, найдите число двусторонних классов.
1. D = —30. 4. D ¦--- 210.
2. D - —31. 5. D -= 61.
3. D = 31. 6. D -- 59.
7.11. Второе доказательство Гаусса 359
7. Докажите, что если D > О — простое, отличное от 2, то основная
единица имеет норму —1 тогда и только тогда, когда D == 1 (mod 4), и нор-
му +1 тогда и только тогда, когда D = 3 (mod 4).
8. Докажите, что если D — pq, где р и q — простые, сравнимые с 3 по
модулю 4, то либо (р, *), либо (q, *) (но не оба одновременно) является глав-
ным дивизором.
9. Докажите, что если D — (положительное) простое, сравнимое с 1 по
модулю 4, то цикл /, скажем / ~ Ах ~ А 2 ~ . . ., содержит следующие1 друг
за другом дивизоры с N (А;) --- —N (Л,•+!). Заключите отсюда, что это решает
задачу Ферма о нахождении представления D = и2 + у2. Примените этот
метод к случаям!) -= 13 и D -= 233 («Disquisitiones Arithmeticae», Art. 265).
7.11. Второе доказательство Гаусса квадратичного
закона взаимности
Гаусс [G3] утверждал, что он открыл квадратичный закон
взаимности совершенно самостоятельно в то время, когда он еще
ничего не зпал о работах своих предшественников. Хотя и трудно
этому поверить, нет никаких сомнений в том, что доказательство
Гаусса этого закона в его «Арифметических исследованиях» х)
было первым правильным доказательством. Фактически Гаусс
привел там два совершенно различных доказательства этого закона:
одно в четвертом разделе и другое — в пятом. Смит [S3] охаракте-
ризовал доказательство из четвертого раздела (о котором впослед-
ствии Гаусс [G3] говорил, что оно было первым найденным им дока-
зательством) как «отталкивающее всех изучающих его, кроме
самых усердных из них»— но крайней мере в той форме, в которой
Гаусс изложил это доказательство. (При этом Смит рекомендует
это доказательство в редакции Дирихле как изложенное «с той
замечательной ясностью, которой отмечены его [Дирихле] мате-
матические работы».) Доказательство из пятого раздела, по суще-
ству, совпадает с приведенным ниже.
Гаусс изложил это доказательство на языке теории бинарных
квадратичных форм, и он рассматривал квадратичный закон взаим-
ности как теорему о решении квадратичных сравпепий. Если дока-
зательство Гаусса рассматривать с этой точки зрения, то оно кажется
очень далеким от самой теоремы и по этой причине — весьма
неудовлетворительным. Если же перевести это доказательство
на язык теории дивизоров квадратичных целых и принять точку
зрения § 7.8, согласно которой в теореме говорится о распадении
простых в арифметике квадратичных целых, то связь между теоре-
мой и ее доказательством оказывается совершенно естественной.
Поэтому неудивительно, что именно второе доказательство Гаусса
в 1859 г. привело Куммера к доказательству высших законов вза-
имности для регулярных простых показателей.
В конце § 7.9 было замечено, что число классов можно ^разло-
жить в виде h — g-n, где g, n —«классификация», которой соот-
г) Следует помнить, что Гаусс опубликовал их в 24 года.
360 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
ветствует D, т. е. g — число родов, а п — число классов в роде.
В то же время число классов можно представить в виде li = sa,
где s — число различных классов, которые являются квадратами
других классов, а а — число двусторонних классов. (В терминах
теории групп это немедленно следует из того, что возведение
в квадрат является гомоморфизмом, ядро которого состоит
из а элементов, а образ — из s элемептов.) Для того чтобы в этом
убедиться, предположим, что Аг, А2, . . ., Аа — список диви-
зоров, выбранных по одному из каждого из а двусторонних клас-
сов. Два класса имеют один и тот же квадрат тогда и только тогда,
когда В2 ~ С2, где В — дивизор из одного класса, а С — дивизор
из другого класса. Последнее выполняется тогда и только тогда,
когда {ВСJ ~ I, что справедливо в том и только в том случае,
когда С ~ АгВ для некоторого i = 1, 2, . . ., а. Таким обра-
зом, в точности а классов имеют такой же квадрат, как и класс
произвольного данного В, поэтому число различных квадратов
равно s = h/a и h = sa, что и требовалось доказать.
Ясно, что s-^ п, так как квадрат любого класса принадлежит
главному роду. Следовательно, g -^ а, и оценка а из предыдущего
параграфа показывает, что число g действительно встречающихся
характеров не превосходит половины числа возможных характеров.
Из этой теоремы Гаусс вывел квадратичный закон взаимности
и все дополнительные законы. Шаги следующего доказательства
и их номера взяты из разд. 262 «Арифметических исследований»,
хотя терминология полностью изменена.
I. Если р (простое) сравнимо с —1 по модулю 4, то (""') = —1.
Рассмотрим квадратичные целые с D = —1. В этом случае харак-
тер состоит из одного знака, а именно, характера по модулю
4. Если р = —1 (mod 4) и (Гр1) = +1, то р должно было бы рас-
падаться и его простые множители имели бы характер —1.
Поскольку главный класс имеет характер +1, тогда встретились бы
оба возможных характера, что противоречит доказанной выше тео-
реме. Следовательно, р= —1 (mod 4) влечет за собой Г~ ) =/= -j-1,
что и требовалось доказать.
II. Если р = 1 (mod 4), то (~^\ = -fl. Рассмотрим D = р.
Характер состоит из одного знака, а именно, квадратичного
характера по модулю р. Согласно теореме, характер —1 не может
встретиться, поэтому (—1, *) должен иметь характер +1, что
потребовалось доказать.
III. Если р =i I (mod 8), то ( 2 \ = (~2) = +1. Рассмотрим
D = р. Тогда характер состоит из одного знака. Следовательно,
( 9 \ = +1 для любого распадающегося простого q, и, поскольку
(~ \ = +1 согласно II, мы получаем, что и (~9\ = +1. Но 2 рас-
7.11. Второе доказательство Гаусса 361
падается, так как норма числа A — УrD)I2 делится на 2, а само
оно на 2 не делится.
IV. Если р = 3 или 5 (mod 8), то ( 2) = —1- Рассмотрим
D = 2. Тогда характер состоит из' одного знака, а именно, знака
+1 для дивизоров с нормой = ±1 (mod 8) и знака —1 для диви-
зоров с нормой =±3 (mod 8). Характер —1 не может встретиться,
поэтому р, сравнимое с ±3 по модулю 8, не может быть нормой
дивизора квадратичных целых детерминанта D = 2. Следова-
тельно, (р) = —1.
V. Если р = 5 или 7 (mod 8), то (~2) = —1. Доказательство
совпадает с доказательством IV, если D = 2 заменить на D = —2.
VI. Если р=3 (mod 8), то (~2) = +1. Действительно, (~2) =
=--(+SrJ)"(-1I=+1-
VII. Если p = 7(mod8), moQ)= +1. В самом деле, (?)•=
= A)(~p) = (-D2 = 1-
VIII. Если p = l(mod4) и q— простое, для которого
(9)~—1. то(р\=—1. Рассмотрим D = p. Характер состоит
из единственного знака, который должен быть равен +1. Сле-
довательно, если (р)=—1> то q не может распадаться, что-
и требовалось доказать.
IX. Если р = —I(mod4) ц(«)=—1, то (^ )=-1. Рас-
смотрим D= —р. Характер состоит из одного знака, а именно,
из квадратичного характера по модулю р, и q может распадаться
только тогда, когда этот характер равен -+-1.
X. Если p = l(mod4) u(*)=+l, то (?) = + 1. Еслид = 1
(mod4), то, согласно VIII, из (,) = —1 следовало бы, что-
(*)=—1. Если g = —I(mod4), то, согласно II, (~р)=^(р)Х
— 1.
Х(~Р) = 1, и из IX следует, что (?
XI. Еслир = -1 (mod 4) и («) = +1, то (~рд) = +1. Если
q=l (modI4), то, согласно II и VIII, (~р) = (",') (^) = +1-
В оставшемся случае q ss —1 (mod 4) положим D = pq. Тогда
характер'состоит из двух знаков, а именно, квадратичного харак-
тера по модулю р и квадратичного характера по модулю} q.
Согласно I, характер (—1, *) равен —1, —1. Следовательно,
встречаются только характеры ++ и . Поскольку (—1, *) X
X (р, *) {q, *) является дивизором )/D, {q, *) ~'^(—l, *) (р, *).
Характер класса дивизоров {q, *) и (—1, *) (р, *) равен ('),.
(~ру Это завершает доказательство.
362 Гл. 7. Теория дивизоров квадратичных целых
Итак, из I и II следует, что (~*\ = р (mod 4), из III—VIII сле-
дует, что ( 2) равно -f-l, если р = +1 (mod 8), и —1, если р =
= ±3 (mod 8), а из VIII—XI следует, что (^) = (^) при р ==
= 1 (mod 4), (~7>) — ( *) при р = —1 (mod 4). Следовательно,
квадратичные законы взаимности и теоремы Эйлера из § 7.8 дока-
заны.
Упражнения
1. Докажите, что число классов в роде равно 1 тогда и только тогда,
когда каждый дивизор эквивалентен дивизору вида (л, *) (p2i *) • • • (Ph> *)•
2. В добавление к приведенным выше доказательствам VI и VII Гаусс
предложил следующие вариапты доказательства. В VI положим D = 2р.
Тогда имеются 4 характера, из которых могут встретиться не более двух.
Можно вычислить характер (—1, *) и точпо узнать, какие именно два харак-
тера входят. Требуемое заключение получится, осли рассмотреть характер
класса (р, *) ~ (—1, *) B, *), В VII положим/) = — р и заметим, что 2 рас-
падается. Восполпите детали этих доказательств.
3. Покажите, что утверждение, согласно которому в действительности
встречается точпо половина всех возможных характеров, равносильно
утверждепню, что каждый класс в главном роде является квадратом. Гаусс
доказал оба эти утверждения («Disquisitiones», Art. 286), используя теорию
тернарпых квадратичных форм для построения дивизора с даппым квадратом
в главном роде. Ср. с упр. 1 к § 7.9.
Глава 8
ГАУССОВА ТЕОРИЯ
БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
8.1. Другие группы классов дивизоров
В предыдущей главе группы классов дивизоров были определены
для свободных от квадратов детерминантов D. Основная цель
данной главы состоит в том, чтобы показать связь между этими
группами и группами классов бинарных квадратичных форм, кото-
рые ввел Гаусс в <<Арифметических исследованиях». Для того
чтобы установить эту связь в простейшем виде, необходимо сначала
обобщить понятие группы классов дивизоров таким образом, чтобы
оно включало все возникающие в теории Гаусса случаи. Требуе-
мое обобщение можно полностью мотивировать на основе теории
дивизоров для более общих видов «квадратичных целых», вообще
не используя в обсуждении бинарные квадратичные формы. Это
является предметом настоящего параграфа. В следующих пара-
графах мы покажем, каким образом эта теория связана с теорией
бинарных квадратичных форм.
С наивной точки зрения «квадратичные целые детерминанта />»
представляют собой просто множество всех чисел вида х-\-у \^D,
где х и у — целые. В следующем эвристическом обсуждении именно
такие числа мы будем считать квадратичными целыми вида х +
+ у YD. При D = 1 (mod 4) {D свободно от квадратов) в пре-
дыдущей главе было дано другое определение квадратичных целых
(мы донускали знаменатели, равные числу 2); для того чтобы избе-
жать путаницы, мы исключим случай D = 1 (mod 4) из следую-
щего эвристического обсуждения. Естественно также исключить
случай, когда D является квадратом, поскольку тогда квадратич-
ное целое х -\- у У D совпадает с обыкновенным целым. Наша цель
состоит в том, чтобы развить теорию дивизоров квадратичных
целых х -Ь у V D. Так как для случая свободного от квадратов D
эта цель уже была достигнута в предыдущей главе, то следует рас-
смотреть случай, когда D — t2D', где D' — свободное от квадра-
тов целое, at — положительное целое, большее 1. Тогда квадра-
тичные целые х -\- у Y® = х -\- yt Y®' содержатся среди квад-
ратичных целых детерминанта D', определенных в предыдущей
главе. Введенное в гл, 7 понятие дивизора квадратичного целого
детерминанта D' естественным образом приводит к определению
дивизора квадратичного целого вида х + у |ЛО, Однако такое
364 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
определение еще не дает удовлетворительной теории дивизоров,
поскольку в рассматриваемом случае по следующей причине
не выполняется основная теорема.
Предположим, что x-\-yYDviu-\-vYD в теории дивизоров
квадратичных целых детерминанта D' имеют дивизоры А и В
соответственно. Тогда утверждение о том, что х + у \/ D делит
и + vYD в арифметике квадратичных целых детерминанта D,
конечно, должно означать существование таких целых тип,
что и + v У D = (х + у \/ D) {т -{- п ]/ D). Если последнее равен-
ство выполняется, то В —АС, где С — дивизор числа т + п У D,
и делимость В на А является необходимым условием делимости
и + v У D на х -\- у Y D. Основная теорема утверждает, что это
условие является также и достаточным. Однако, как показывают
примеры, в данном случае это утверждение не обязательно выпол-
няется. Например, если!) — —9,D' = —1, t = 3, х -\- у YD =
= 3 + 0- УР9, и + v УЪ = 3 -bj/^ то и + vYD =
= 3 + 3_у-1 = {х + у YD) A + V^l), т. е. х + yYD делит
и + v YD, если рассматривать эти числа как квадратичные
целые детерминанта D'. Таким образом, выполняется необходимое
условие А | В. Однако х + у YD не делит и -+- v YD, если эти
числа рассматривать как квадратичные целые детерминанта D.
Действительно, частное 1 + ]/—1 не имеет вида т А- п YD.
Следовательно, условие А \ В не является достаточным.
Прежде всего следует заметить, что нарушения справедливости
основной теоремы всегда имеют простой характер — такой же,
как и в приведенном выше примере, когда при^дслепии исчезают
нужные делители числа t. Однако в целом теория дивизоров
квадратичных целых детерминанта D остается верной, даже если
число D не является свободным от квадратов. Для того чтобы
стало ясно, в каком смысле следует понимать последнее утверж-
дение, рассмотрим сначала случай, когда D' Ф 1 (mod 4). В этом
случае квадратичными целыми детерминанта D' являются {х +
+ уУ D': х, у — целые}, и такое квадратичное целое будет квадра-
тичным целым детерминанта D тогда и только тогда, когда t делит
у. Таким образом, допуская некоторую вольность речи, можно
сказать, что среди каждых t квадратичных целых детерминанта D'
одно является квадратичным целым детерминанта D. Целое t
называется индексом г) квадратичных целых детерминанта D в ква-
дратичных целых детерминанта D'. Предположим, что х + yYD
и и 4- v>YD имеют дивизоры А и В соответственно и что А делит В.
Тогда, согласно основной теореме, и 4- v\ D = (х -\- yYD) (т +
*) В терминах теории групп это есть пе что иное, как индекс подгруппы.
8.1. Другие группы классов дивизоров 3G5
+ ra|/".D'), и возникает вопрос, делится ли п на t. Если х -+- yVD
взаимно просто с t, то t должно делить п. Мы можем доказать это
утверждение следующим образом.
Если данное равенство умножить на х — у У D (освободиться
от иррациональности в знаменателе), то мы получим (u-\-vYD) X
X (х — уУЪ) = {хг — Dy2){m + n\/W). Если х +J/J/Z) взаимно
просто с t, то этим же свойством обладают х — уУ D и ж2 — Dy2.
Через к обозначим целое х2 — Dy2. Если х -f- у У D взаимно просто
с ?, то целые t и к взаимно просты и существуют такие целые ажЬ,
что ак -\- Ы — 1. Тогда число т -f n]/ D' = (ак + bt) (m -\-
+ n\/"D') =_а [к {m -f nyW)\ +_bt {m -j- п)/!O) -~а[{и + vY_D) X
X {х — у У D)] + (Ыт + Ъп V D) имеет вид с -f dYD, что
и требовалось доказать.
Условие «х -\- уУ D взаимно просто с U является очень есте-
ственным. Если оно не выполнено, то существует простой диви-
зор Р, который делит как t, так и х + уУD. Но тогда х = х +
+ ytYD' = х -\- уУБ = 0 (mod Р), и отсюда следует, что х
делится на простое целое р, делящееся на Р. Тогда х + уУ D =
= р {х' -\- yt'yD'), где х' = х/р и t' = tip. Это означает, что
при делении на х -\- уУD естественно разделить сначала на целое
р, а затем па квадратичное целое х' + yt'YD', рассматриваемое
как квадратичное целое для меньшего детерминанта D" ----- (t'JD'<i
<D.
Короче говоря, в теории дивизоров квадратичных целых детер-
минанта D (которую они наследуют как квадратичные целые детер-
минанта D') основная теорема будет выполняться, если исключить
деление на элементы х + уУ D, не взаимно простые с t. Это исклю-
чение является естественным, поскольку элемент х + yX^D, не
взаимно простой с t, делится на некоторое целое, и задачу можно
свести к соответствующей задаче с меньшим детерминантом D.
Дальше мы можем очевидным образом определить понятие
главных и эквивалентных дивизоров для квадратичных целых
х -+- уУD (временно сохраняя предположение, что DJia. D' ф.
Ф 1 (mod 4)). Дивизор квадратичных целых детерминанта D'
называется главным для квадратичных целых детерминанта D,
если он является дивизором некоторого элемента х + yVD.
Два дивизора А ж В для квадратичных целых детерминанта D'
называются эквивалентными для квадратичных целых детерминан-
та D, если условие «АС — главный дивизор» равносильно усло-
вию «ВС — главный дивизор». Другими словами, А эквивален-
тен В, если при замене в произвольном дивизоре (для квадратич-
пых целых детерминанта D'), делящемся па А, дивизора А на В
366 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
новый дивизор будет главным дивизором квадратичных целых
детерминанта D тогда и только тогда, когда главным был исходный
дивизор.
Как и в предыдущих случаях, из этих определений немедленно
следует, что эквивалентность является рефлексивным, симметрич-
ным и транзитивным отношением, согласованным с умножением
дивизоров. Таким образом, можно перемножать классы дивизоров,
и класс / является единицей относительно этого умножения.
Однако классы дивизоров не обязательно образуют группу, по-
скольку могут найтись дивизоры А, для которых не существует
такого дивизора В, что АВ ~ /, т. е. могут существовать диви-
зоры А, для которых нет обратного элемента относительно умно-
жения. Однако, как и в случае нарушения основной теоремы,
дивизор А может не иметь мультипликативного обратного только
тогда, когда он не взаимно прост с t. Ото можно доказать следую-
щим образом.
Если А взаимно прост с t, то А А является дивизором некото-
рого целого — обозначим его к,— взаимно простого с t. Наше
утверждение состоит в том, что АА ~ /. Ясно, что если J-C —
главный дивизор, то дивизор АА'С также является главным: он
совпадает с дивизором элемента к {х + у УD), где х ¦'— уУD —
квадратичное целое с дивизором С. Мы должны доказать, что
если АА-С — главный дивизор, то I-C также является главным
дивизором. Это утверждение немедленно следует из основной тео-
ремы. Действительно, если квадратичное целое и -f- v\ D имеет
дивизор А АС, то, разделив его на взаимно простое с t число к,
дивизор которого равен АА, мы получим квадратичное целое
х + у]/ D с дивизором С. Следовательно, АА ~ / и дивизор А
имеет обратный к нему элемент относительно умножения, что и тре-
бовалось доказать.
Таким образом, если ограничиться рассмотрением дивизоров,
взаимно простых с t, то соответствующие классы дивизоров будут
составлять группу. Эта группа называется группой классов диви-
зоров детерминанта D. Как и в случае детерминантов, свободных
от квадратов, эта группа конечна, и при данном D может быть
найдена явно при помощи циклического метода. Мы докажем
эти утверждения позже в данной главе.
Остается определить группу классов дивизоров при D' =
= 1 (mod 4). (Если D = 1 (mod 4), то t нечетно, t2 = I (mod 4)
и5' = 1 (mod 4), так что этот случай включается в случай D' =
= 1 (mod 4).) В этом случае квадратичное целое детерминанта D'
можно записать в виде и + усо, где и и v — целые и со = A —
— УD')I2. Такое квадратичное целое имеет вид х + уУD тогда
и только тогда, когда v делится на 2t. To же самое рассуждение,
8.1. Другие группы классов дивизоров 367
что и выше, показывает тенерь, что основная теорема справедлива
для квадратичных целых вида {х + уУ D: х, у — целые} в случае
деления на элементы, взаимно простые с 2t. Если очевидным обра-
зом определить понятие главного дивизора и эквивалентности диви-
зоров, то, в точности так же как и выше, можно перемножать классы
эквивалентности дивизоров; эта операция имеет единицу, и классы
дивизоров, взаимно простые с индексом 2t, образуют группу, кото-
рая называется группой классов дивизоров для квадратичных целых
{х -г yVD: х, у — целые}.
Общий случай группы классов дивизоров можно описать сле-
дующим образом. Порядком1) квадратичных целых детерминанта D'
называется подмножество вида {х + yY^D': x, у — целые, у де-
лится на s} при D' щк 1 (mod 4) или вида {х -\- г/со: х, у — целые,
у делится на s} при D' = 1 (mod 4), со = A — }fD')/2. Положи-
тельное целое s называется индексом данного порядка в полном
порядке всех квадратичных целых детерминанта D'. Глава 7
была посвящена группам классов дивизоров в случае s = 1.
Для каждого свободного от квадратов D' и для каждого положи-
тельного s существует и притом единственный порядок квадра-
тичных целых детерминанта D', который имеет индекс s. При
D' =фь I (mod 4) этот норядок состоит из элементов, которые мы
называли выше квадратичными целыми детермипапта s2D'. Если
D' = 1 (mod 4) и s четно, скажем s = 2t, то он состоит из {х +
+ yY^D': х, у — целые}. При D' = 1 (mod 4) и нечетном s
этот порядок образует множество {х + у]/ s2D': x, у — целые или
х, у — полуцелые}. Рассмотренные выше случаи приводят к сле-
дующим определениям.
Предположим, что задан порядок квадратичных целых детерми-
нанта D'. Дивизор А для квадратичных целых детерминанта D'
назовем главным относительно данного порядка, если он является
дивизором некоторого элемента из этого порядка. Дивизоры А
и В будем называть эквивалентными относительно данного поряд-
ка, если дивизор А С является главным относительно этого порядка
в том и только в том случае, когда ВС является главным относи-
тельно этого же порядка. Тогда корректпо определено умноже-
ние классов эквивалентности (т. е. класс эквивалентности диви-
зора АВ зависит только от классов А и В), и класс / является
*) Эту терминологию ввел Дсдекипд ([D7], § 171). Она перекликается
с гауссовыми «порядками» бинарных квадратичных форм, по не связана
с ними непосредственно. В определении порядков Дсдекипд пе использовал
их явного описания — такого, как в дапном параграфе. Оп дал аксиомати-
ческое определепие порядков, применимое к другим типам алгебраических
«целых». (Подобпое определение порядков см. в упр. 5.) В действитель-
ности Дедекинд говорил, что «... эта новая теория идеалов... при и —2
совпадает с теорией различных порядков бипариых квадратичных форм...»
(Bull, dos Sciences Math. Ser. 2, v. 1 A877), pp. 217—218).
368 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
мультипликативной единицей. Пусть s — индекс данного порядка.
Тогда множество всех классов эквивалентности дивизоров, взаим-
но простых с s, образует группу, которая называется группой клас-
сов дивизоров. Точнее, если дивизор А взаимно прост с s, то диви-
зор АА эквивалентен /. Это можно доказать следующим образом.
Дивизор АА является дивизором некоторого целого числа а,
поэтому очевидно, что если J-C — главный дивизор, то и АА-С
является главным дивизором. Обратно, если ААС — главный
дивизор, то он является дивизором некоторого элемента х + yV~D
из данного порядка. Так как дивизор числа а делит дивизор эле-
мента х + yV D, то х + yYD = а (и -~ v^D'), где и + yj/D' —
квадратичное целое (не обязательно принадлежащее данному
порядку) с дивизором С. Для того чтобы доказать, что I-C явля-
ется главным дивизором, достаточно доказать, что и + у]/D'
принадлежит рассматриваемому порядку. Далее, в силу предполо-
жения о том, что дивизор А взаимно прост с s, целое число а взаим-
но просто с s. Следовательно, существуют такие целые кит, что
ак -Ь ms = 1. Тогда элемент u + v\/D' = (ак + ms) (и -\-
+ v\rD') = к (х + уУБ) + ms (и + у(/'D') принадлежит дан-
ному порядку, так как непосредственно из определения следует,
что для любого квадратичного целого и + v\/ D' целое s {и +
+ v\/D') принадлежит порядку индекса s.
В упр. 1 и 6 речь идет о вычислении групп классов дивизоров
в двух частных случаях. Дальнейшие примеры будут приведепы
в § 8.5 — после того, как мы разовьем эффективные методы клас-
сификации дивизоров относительно порядка, т. е. методы опреде-
ления, эквивалентны или нет два данных дивизора относительно
данного порядка.
Уп-ражпепия
1. Докажите следующие утверждения о группе классов дивизоров
порядка {х + у j/—11: х, у — целые}, (а) C,1) по является главным диви-
зором. (Ь) Если B) — дивизор числа 2 (который является простым дивизором
при!*' = —11), то B) и B) C, 1) — главгые дивизоры, хотя дивизор C, 1)
не является главным, (с) Дивизор C, IJ не является главным, но C, IK —
главный дивизор. Следовательно, C, 1J~ C, —1). (d) E, 2) ~ C, 1). (е)
A1, *)~/. (f) 7, 13, 17, 19 остаются простыми, (g) B3, 9) ~ C, 1). (h) 29
остается простым, (i) 31 распадается па два простых дивизора, одип из которых
эквивалентен C, 1), а другой C, IJ. Эти вычисления наводят на мысль,
что /, C, 1) и C, IJ образуют систему представителей для группы классов
дивизоров. Для доказательства этого утверждения требуется только дока-
зать, что каждый дивизор эквивалентен некоторому дивизору с меньшей
нормой, если норма исходного дивизора еще недостаточно мала. (})]Каждый
дивизор является главным для группы классов дивизоров порядка
\x-\-y У—11: х, у — целые или полуцелые}, (к) Если дивизор (р, и) не
яиляется главным в рассматриваемой группе классов дивизоров, то эквива-
лентности (р, и) ~ C, 1) или (р, и) ~ C, IJ могут быть получены умпоже-
8.1. Другие группы классов дивизоров 369
нием элемента с дивизором (р, и) на 2 A + У—11) с последующим деле-
нием на 4.
2. Используя упр. 1, приведите пример трех дивизоров А, В, С, таких,
что АС ~ I, ВС ~ I, A '-j-'В, Выведите отсюда, что класс дивизора С не имеет
мультипликативного обратного.
3. Для классификации дивизоров в более общих группах классов диви-
зоров, определенных в этом параграфе, нельзя пользоваться циклическим
методом, если не внести в него некоторых изменений. Для того чтобы убе-
диться в этом, примените циклический метод к дивизору A3, 5) в случае D' =
= —1, t = 6, D = —36. В результате получится период из двух дивизоров,
ни один из которых не эквивалентен A3, 5). Теория, изложенная в трех
следующих параграфах, в основном посвящена преодолению этой трудности,
с той целью чтобы можно было пользоваться циклическим методом для клас-
сификации дивизоров как в новых, так и в старых случаях.
4. Докажите, что если дивизор А взаимно прост с индексом s данного
порядка, то А является главным дивизором тогда и только тогда, когда
А —- /.
5. Покажите, что подмножество квадратичных целых детерминанта D'
является порядком тогда и только тогда, когда оно обладает следующими
двумя свойствами: A) суммы и разности элементов этого подмножества снова
принадлежат данному подмножеству и B) это подмножество содержит обык-
новенные целые в качестве собственног ¦ подмножества (т. е. каждое обыкно-
венное целое х-\- О-^ЛО' принадлежит этому подмножеству, и по крайней
мере один элемент данного подмножества не является обыкновенным целым).
[Рассмотрите наименьшее положительное целое или полуцелое, которое может
встретиться как коэффициент при ~\fD' в элементе данного подмножества.]
6. Найдите группу классов дивизоров, соответствующую порядку
{х + у j/18: х, у — целые}. [Методы гл. 7 позволяют для данного дивизора
легко найти все квадратичные целые, имеющие этот дивизор. В нашем слу-
чае формула для таких целых имеет вид + (ж + у У 2) 8П, где е = A — j/J.
Для того чтобы определить, принадлежит ли некоторый элемент данному
порядку, достаточно вычислить его по модулю 3; получающееся выражение
периодично по п. Докажите, что (—1, *) ~ B, *) ^ I. Покажите, что каж-
дый дивизор эквивалентен или /, или (—1, *).]
7. Если детерминант D отрицателен, D = —3 (mod 8), но D ф —3,
то группа классов дивизоров порядка {х + У Y~D: x, у — целые} содержит
некоторый элемент порядка 3 (т. е. элемент, который сам не принадлежит
главному классу, по его куб принадлежит). Это впервые заметил Гаусс
(Disquisitiones Arithmeticae, Art. 256, VI). Ср. с упр. 1. [Куб дивизора целого
A — YD)I2 является главным относительно рассматриваемого порядка. При
D ф —3 сам дивизор числа A —' У 1>)/2 "не является главпым.]
8. Положительное число п пазывается удобным, если квадрат любого
класса из группы классов дивизоров порядка {х + у Y—п~- xi V — целые}
является главным классом. Докажите, что число, удобное в смысле упр. 4 из
§ 7.9, является удобным и в этом новом смысле. [См. упр. 1 к § 7.11.] Пред-
положим, что п — удобное число. Пусть аЪ = п, k = ax2 -f- by2, где ах
и by — взаимно простые числа противоположной четности. Допустим, что к
представимо в виде аи2 + bv2 только тогда, когда и = +х, v = +y. Докажи-
те, что в этом случае число к простое. [Не ограничивая общности, можно пред-
положить, что а нечетно. Тогда дивизор целого ах + V Y—п имеет вид А К,
где А = (рх, *) (р2, *) . . . (рп, *) и дивизор К взаимно прост с индексом s.
Бели К = К1К2, то АКХК^ — главный дивизор, и это дает существенно
другое представление числа к в виде к = аи2 + bv2.] Эйлер привел список
из 65 удобных чисел, наибольшее из которых равно 1848. С тех пор не было
24 Г, Эдварде
370 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
пайдепо больше ни одного удобного числа, и была выдвинута гипотеза, что>
список Эйлера исчерпывает все такие числа. Удобные числа называются
также подходящими (idoneal). Снисок Эйлера приведен в [ЕЮ, Е12]. См.
также | S4].
9. Эйлер применил свой метод удобных чисел для нахождепия больших
простых чисел. Наибольшее найдепное им при помощи этого метода простое
равно 18 518 809 ¦-- 1972 + 1848-1002. Количество труда, которое требуется
для доказательства того, что это число является простым, представляет
собой интересную меру сложности (даже для столь быстрого и искусного
в вычислениях математика, как Эйлер) задачи нахождения простых чисел
такой величины. Докажите, что это число является простым. [Метод Эйлера
изложен в [Е12]. Кроме него можно использовать следующий метод Гаусса
(метод «исключающих»). Пусть А = 1972 + 1848-1002. Надо доказать, что
единственными решениями уравнения х% + 1848j/2 = А являются х = ±197,
у = +Ю0. (Поскольку 1848 — удобное число, а числа 197 и 100-1848 взаимно
просты и имеют противоположную четность, отсюда следует, что А — простое.)
По модулю 1848 данное уравнение превращается bi2= 1. Поскольку 1848 =
= 8-3-7-11, это сравнение эквивалентно сравнениям х2 = 1 (mod 8), х2 =
= 1 (mod 3), хъ = 1 (mod 7) и х2 = 1 (mod 11). То есть х е= 1 (mod 2)iii =
= +1 (mod 3, 7, 11). Согласно китайской теореме об остатках, отсюда сле-
дует, что х принимает одно из значений +1, +43, +155, +197 по модулю
2 -3 -7 -11 = 462. Поскольку можно считать, что х положительно и х < |/ А,
это исключает все числа, кроме чисел из 8 последовательностей 1 -f- 462A:
@<fc<9), — 1 + 462А; (l<fc<9), 43 + 462fc @<fc[<9), —43 +
+ 462A: A < k < 9), . . ., — 197 + 462A: A < k < 9), Всего имеется 76 таких
чисел: 75 чисел в добавление к известному решению х = 197. Метод исклю-
чающих следующим образом устраняет большую часть этих возможностей.
Пусть 5 — «исключающее». Для первой из 8 последовательностей рассматри-
ваемое уравнение по модулю 5 превращается в A + 462/еJ + 1848у2 = А,
A + 2кJ = 4 — Ъу2 (mod 5). Поскольку у2 = 0, +1, отсюда следует, что
A + 2А:J = 4, 1 или 2 (mod 5). Тогда A + 2А:J = 1 или 4 и 1 + 2к = 1, 2, 3
или 4 (mod 5), так как z2 ф. 2. Это исключает к = 2 и к = 7, Аналогично,
если в качестве исключающего взять 13 A3 — следующее за 5 простое, кото-
рое не делит 1848), то мы находим, что A + 7кJ = —3 — 2у2 (mod 13), где
у2 = 0, +1, +3, +4. Тогда A + 7А:J = —3, —5, —1, —9 = 4, 3, —11 = 2
или 5. Таким образом, A + 7&J = —3, —1, 4 или 3 и 1 + 1к = +6, +5, +2
или +4 (mod 13), Это исключает к = 0, 4, 5 и 9. Исключающие 3, 7, 11 тоже
можно использовать, несмотря па то что они делят 1848, Например, в случае
исключающего 3 уравнение х2 + 3-616у2 = А дает х2 + Ъу2 = 4 (mod 9).
(Напомним, что число можпо привести по модулю 9, если сложить все его
цифры.) Так как у2 = 0 или 1 (mod 3), то Ъу2 = 0 или 3 (mod 9) и х2 = 4 или
1 (mod 9). Если ж = 1 + 462/с == 1 + 3fc (mod 9), то отсюда следует, что
2 -Зк = 3 или 0 (mod 9), 2к = 0 или 1 (mod 3), Таким образом, к ~щ 1 (mod 3).
Апалогично, находим х2 = —6, 8, 22 или 1 (mod 49), х = 1 + 7 -Ък (mod 49),
6/с = —1, 1, 3, 0 (mod 7), к ф2, 3, 5 (mod 7). После этого остаются лишь
возможности к = 6 или 8. Их можно исключить, рассматривая сравнения
по модулю 11. Действительно, х2 = 1, —10, 23, —32, —43 или —54 (mod 121),
что при ж = 1 + 462/с дает —4/с = 0, —1, 2, —3, —4, —5 (mod 11). Рассмот-
рим теперь последовательность —1 + 462fc. Используя сравнения х2 = 1
или 4 (mod 9) (см. выше), мы получаем, что к ^ 2 (mod 3). Сравнение х2 = 1
или 4 (mod 5) дает к * 3 (mod 5). Так как х2 = 1, —6, 8 или 22 (mod 49),
то —6/с = —1, 1, 3, 0 (mod 7) и к ф 2, 4, 5 (mod 7). Апалогично, для исклю-
чающего 11 простой модификацией предыдущего случая мы получаем, что
4к = 0, —1, 2, —3, —4, —5 (mod 11). Из оставшихся чисел A, 6, 7) эти
сравнения исключают только 1. Используя исключающее 13, получим
—1 + 1к == +2, ±4, ±5, ±6 (mod 13). Аналогично, 17 дает —1 + ЗА: = 0,
+1, +3, +6, ±7. Но это не исключает ни 6, ни 7. Однако исключающее
8.2. Другая интерпретация циклического метода 371
19 исключает и 6, и 7. Простые изменения этих вычислений исключают также
все элементы последовательности 43+462&, однако в последовательности
- 43 + 462/е число к = 3 «выживает» как при всех этих исключениях, так
и при исключении при помощи 23. Это происходит нотому, что (—43+462 -ЗJ-}-
+ 1848у2 = А дает у2 = 9045, Неравенство 952 = 9025 < 9045 < 962 пока-
зывает, что равенство у2 = 9045 невозможно. Однако, как ясно из приведен-
ных выше исключений, сравнение у2 = 9045 разрешимо по модулю 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23. При исключениях по этим модулям остается еще одно из
этих 75 чисел, а именно: х = —155 + 462-6. Это число может быть решением,
только если 6315 — квадрат. Однако 802 = 6400 > 6315 > 792, и 6315 не
является квадратом. Случай х = 197 + 462-6 проходит через все эти исклю-
чения, кроме исключения по модулю 23. Однако проверка по модулю 23 яв-
ляется единственной, которая исключает данное число. По-видимому, эффек-
тивнее исключить его прямым методом — не используя исключающее 23.J
10. Эйлер без доказательства сформулировал [Е12] следующий критерий
проверки, является ли данное число п удобным: положительное целое п являет-
ся удобным тогда и только тогда, когда все числа из множества {х2 + п: х
взаимно просто с п и х2 + п < 4ге} либо являются простыми, либо удвоен-
ными простыми, либо квадратами простых, либо степенями числа 2. Пока-
жите, что критерий Эйлера правильпо классифицирует 11 и 13. Считая кри-
терий Эйлера справедливым, найдите все удобные числа между 80 и 89.
11. Докажите, что критерий Эйлера является необходимым условием,
т. е. если п — удобное число, то оно удовлетворяет критерию Эйлера. [Пусть
А К — дивизор элемента х + у—п, где А равен произведению простых
дивизоров числа 2, а К взаимно прост с 2, Если К = I, то х2 + п равно сте-
пени числа 2. В противном случае К делится на (р, и), где р взаимно просто
с индексом порядка {х + у У—п: х, у — целые}. Пусть Кх — дивизор,
полученный из К заменой (р, и) на (р, — и). Тогда АКХ—дивизор а + Ъ У—п,
где а2 + пЪ2 = х2 -f- п. Таким образом, Ъ2 = 0 или 1. Рассмотрим сначала
случай Ъ2 = 0. Тогда А и Кх являются дивизорами целых чисел. Отсюда
следует, что К = (р, иJ, и мы должны доказать, что А = I. А равен диви-
зору числа 2й при некотором к. Если к > 0, то 4 делит х2 + п и п = 3 (mod 4).
Случай п = 3 (mod 8) можно рассмотреть, используя упр. 7. Если п ==
= 7 (mod 8), то к > 1 и4 делит х + У—п, что невозможно. Наконец, рас-
смотрим случай Ъ2 = 1. Тогда АКХ должен быть сопряжеп с А К. Отсюда
следует, что А = А и К = (р, и). Если 2 распадается или остается простым,
то А является дивизором числа 2k при некотором к > 0. Как и раньше, можно
исключить случай к > 0. Если 2 разветвляется, то А = B, *)Ь для пекото-
рого к > 0. При этом к < 2, поскольку 2 не делит х + у У—п. Следова-
тельно, х2 + п равно р или 2р, что и требовалось показать,]
12. Докажите достаточность критерия Эйлера. [Эта задача, оказывает-
ся, не решена. Диксон [D2, т. 1, с. 363] сообщает, что этот критерий был
доказап Ф. Грубо в 1874 г, Одпако обращение к работе Грубе [G9] показывает,
что Грубе явно признает, что ему не удалось доказать достаточность этого
критерия. Гаусс мимоходом утверждает («Disquisitiones Arithmeticae»,
Art. 303), что критерий Эйлера «легко доказать».]
8.2. Другая интерпретация циклического метода
Хотя определенные в предыдущем параграфе группы классов
дивизоров и совпадают с группами, введенными Гауссом, внешне
теория из § 8.1 совсем непохожа на гауссову теорию бинарных
квадратичных форм. Мост между этими двумя теориями перебра-
сывает циклический метод. Существо дела отражает, по-видимому,
24*
372
Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
Таблица 8.2.1
вычислительная техника циклического метода. При этом две изу-
чаемые теории — теорию дивизоров квадратичных целых и теорию
бинарных квадратичных форм — следует рассматривать как раз-
личные интерпретации тех типов задач, которые решаются при помо-
щи этой вычислительной техники.
Древние индийцы пользовались циклическим методом задолго
до того, как была изобретена столь утонченная теория, как теория
дивизоров, и это обстоятельство ясно показывает, что цикличе-
ский метод имеет и другие интерпретации, а не только как метод
решения задачи, в которой требуется установить, является ли
данный дивизор главным. Одна такая интерпретация, связанная
с умножением двух уравнений
вида а = х2 — Dy2, уже при-
водилась в § 1.9. Другая ин-
терпретация будет рассмотре-
на ниже. По существу, она
совпадает с подходом Броун-
кера, Эйлера и Лагранжа,
использующим непрерывные
дроби. Почти без тени сомне-
ния можно утверждать, что
Гаусс был знаком с этим под-
ходом в то время, когда он
формулировал свою теорию.
В § 1.9 мы использовали
циклический метод для того,
чтобы найти решение х =
= 48 842, у = 5967 уравнения
х2=67г/2+1. Вычисления, при помощи которых было найдено это ре-
шение, можно мотивировать следующим образом. Перепишем рас-
сматриваемое уравнение в виде я2—67г/2=1. Здесь х и у должны быть
положительными целыми. Ясно, что х должно быть намного больше,
чем у. В действительности х больше, чем 8г/ (поскольку (8г/J —
— 67г/2 <С 0), но меньше, чем 9г/ (поскольку (9г/J — 67г/2 > 1).
Определим г из равенства х = 8г/ + г; тоща х > у > г > 0.
Следовательно, данная задача эквивалентна задаче нахождения
целых чисел г/ и г, удовлетворяющих уравнению (8г/ + гJ —
— 67г/2 = 1, т. е. —Зг/2 + 16г/г + г2 = 1, и неравенствам у >
> г > 0. При этом мы не рассматриваем тривиальное решение
у = 0, г = 1. Уравнение х2 — 67г/2 = 1 дает информацию о част-
ном при делении х на у; точно так же новое уравнение —Зг/2 +
+ 16г/г + г2 = 1 дает информацию о частном при делении у на г.
При у = г, 2г, Зг, 4г или 5г значение —Зг/2 + 16г/г + г2 отрица-
тельно и поэтому слитком мало. Если жеу> 6г, то это значение
больше 1 и, следовательно, слишком велико. Таким образом, у =
—= 5г + а, где г > а > 0, и данная задача эквивалентна урав-
х2-Ыу2 =
-Зу2+ \6yz +
6j2- \4za -
-1а2+ 10а* 4
9b2- 4bc-
-2с2+ 14а/+
9d2- \4de-
-1е2+ 4ef +
6/2-10/g-
- 3g2+ \4gh 4
h2- \ш-
1
z2 =
3a2 =
¦6b2 =
Ic2 =
9d2 =
2e2 =
9/2 =
7g2 =
6h2 =
3i2 =
x=8y + z
y= 5z + a
z=2a + b
1 a= b+с
1 b= с + d
c=ld+ e
d= e+f
e= f+g
f=2g + h
g=5h + i
I
8.2. Другая интерпретация циклического метода 373
нению —3 Eг + аJ + 16 Eг + а) г + г2 = 1, т. е. 6г2 — 14га —
— За2 = 1, где z > а > 0. Следуя этому методу, мы получим после-
довательность уравнений из табл. 8.2.1.
Легко найти решение последнего уравнения, удовлетворяющее
условию h > i, а именно: h = 1, i = 0. Тогда решение предпослед-
него уравнения равно g = 5h + i = 5, й. = 1; затем мы получаем
решение уравнения, предшествующего предпоследнему: / = 2g +
+ й. = 11, g = 5 и т. д. Такой процесс обратной подстановки при-
водит нас к искомому решению х = 48 842, у = 5967.
Вычисления, которые требуются для составления табл. 8.2.1,
в основном совпадают — хотя здесь они выступают в совершенно
ином облике — с теми вычислениями, которые необходимо было
произвести для нахождения последовательных значений а и г
по образцу из гл. 7:
г= 8 7 5 2 7 7 2 5 7 8
„=1-36-79 29-76-31.
Соответствие между этими двумя формами вычислений можно выра-
зить в следующем виде: если at, аг+! и аг+2 — три последователь-
ных значения а в циклическом методе, rt и rt+± — промежу-
точные значения г и ni+1 = (гг + гг+1)/аг+1, то подстановка и =
= | nt+1 | v + w преобразует бинарную квадратичную форму г)
+\2 ± 2rtuv + аг1? в бинарную квадратичную форму ai+2v2 =F
2ri+1vw + ai+1w2, где знак среднего слагаемого в обеих квад-
ратичных формах противоположен знаку первого слагаемого.
Эту теорему, которая основывается здесь на простом сравнении
приведенных выше двух вычислений, легко проверить алгебраи-
чески. Действительно, коэффициент при и;2 в al+1 (| nl+1 \ v +
+ и?J ± 2rt (| п1+1 | v + w) v + atv2, очевидно, равен а1+1. Коэф-
фициент при vw равен 2at+1 \nl+1 | ± 2rt = (sgn ai+1) Brt +
+ 2rt+x) ± 2rt = +2гг+1, где знак при rt противоположен знаку
ai+1. Наконец, коэффициент при у2 равен аг+1п|+1 ± 2гг | nt+1 \ +
+ а;. Если последнее выражение умножить на a^+i, то оно превра-
щается в (гг + rl+1J — 2r{ (rt + rt+1) + r\ — D = r\+i — D =
= ai+1ai+2. Таким образом, как и утверждалось, данный коэф-
фициент равен ai+2 (поскольку аг-+1 =^0).
Одной из первых задач теории бинарных квадратичных форм
является задача нахождения представлениг Япнного целого числа т
г) Формой называется многочлен, все слагаемые которого имеют одина-
ковую степень. Квадратичной формой пазывается форма, для которой эта
степень равна двум. Бинарной квадратичной формой пазывается квадратич-
ная форма от двух переменных.
374 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
данной формой1) ах2 + 2Ъху + су2, т. е. нахождения при данных
целых а, Ъ, с и т таких целых х и у, что ах2 + ЧЪху -f су2 = т.
Приведенное выше решение задачи представления числа 1 бинар-
ной квадратичной формой х2 — 67г/2 позволяет сделать вывод,
что все бинарные квадратичные формы в табл. 8.2.1 эквивалентны
в том смысле, что любое число, представимое одной из этих форм,
представимо всеми этими формами, причем переход от представ-
ления одной из них к представлению другими совершается при
помощи замен переменных, приведенных в правом столбце табли-
цы. Например, для того чтобы решить уравнение х2 — 67z/2 = —2,
можно заметить, что подстановка с = 1ис? = 0в выражение
—2с2 + lAcd + Ш2 дает представление этой формой числа —2.
Тоща b = c + d = l,a = b + c = 2, z = 2а + b = 5, у = 5z +
+ а = 27 и х = 8г/ + г = 221 дает представление B21 J —
— 67B7J = —2. Это приводит нас к еще одной трактовке цикли-
ческого метода, а именно, к следующей.
Две бинарные квадратичные формы ах2 + 2Ъху + су2 и а'и2 +
+ 21i'uv + c'v- называются эквивалентными, если существует
обратимая замена переменных с целыми коэффициентами, которая
переводит одну форму в другую. Точнее, две формы называются
эквивалентными, если существуют такие целые а, |3, у, б, что
аб — Pv = ±1 и подстановка х = аи + $v и у = уи + бу в ах2 +
+ 2Ъху + су2 дает а'и2 + 2b'uv + c'v2. Поскольку
= {x у)
:)(:)•
мы можем переформулировать это утверждение на языке 2x2-
матриц в виде
о' Ь'\(а у\(а Ь\/о
> J Д Д
Здесь определитель А = аб — fiy замены координат равен ±1,
поэтому матрица обратной замены
/a p\-J / б/А —{
VY SJ V— Y/A
имеет целые элементы.
Таким образом, если at, a*+i и at+2 — три последовательных
значения а в циклическом методе и rt, ri+1 — промежуточные зна-
чения г, то бинарные квадратичные формы atx2 + 2rtxy + а[+1у2
и а1+1и2 + 2ri+1uv + ai+2v2 эквивалентны. Это следует из приве-
:) Обратите внимание на то, что коэффициент при ху предполагается
четным. Это сделано для согласования с обозначениями Гаусса, При решении
уравнения ахг + Ъху + су2 = т это пе приводит к потере общности. Дей-
ствительно, если Ъ нечетно, то обе части уравнения можно удвоить.
8.2. Другая интерпретация циклического метода 375
денной выше теоремы, если заметить, что форма ах2 + 2Ъху + су2
эквивалентна как аи2 — 2buv -f cv2 (x = и, у = —у), так и аи2 -\-
-f 2buv + си2 (х = v, у = и). Эту эквивалентность можно запи-
сать в явном виде
сн-1 жу
где nl+i = (r;-\-rl+i)/a[+i. Другими словами,
(at rt\(nt+i -1\/аг+1 rt+i\fni+i 1\
\rt at+i)'~\ 1 OJU+i at+j\-i OJ'
Так как определители atal+1 — г\ = — D и l-(ai+1ai+2 — r\+i) x
X 1 = —D этих матриц равны, а обе матрицы симметричны, мы
можем легко проверить последнее равенство, заметив, что послед-
няя строка в правой части, как и требуется, равна аг+1тгг+1 —
— ri+1 ~ rt и ai+1.
Таким образом, циклический метод можно применять для
быстрого построения эквивалентных форм и этим путем решать
задачи нахождения представлений. Рассмотрим, например, задачу
представления числа —3 формой 13#2 + Qxy — Ay2. Здесь D = 61
и циклический метод дает
'"=3 546457
«=13 -4 9 -5 5 -9 4 -3.
Последние три числа соответствуют форме Аи2 + iAuv — 3v2,
которая, очевидно, представляет —3 (при и = 0, v = 1). Согласно
доказанной выше теореме, эквивалентность между этой формой
и данной формой \3х2 + Qxy — Ay2, задается в явном виде форму-
лой
При и = 0, v = 1 эта формула дает решение х = —37, у = —100
первоначальной задачи.
Этот пример имеет несколько искусственный характер, посколь-
ку данное число —3 встречается в нижней строке при применении
циклического метода к исходной форме. Более общий метод заклю-
чается в том, чтобы построить форму, которая очевидным образом
представляет данное число, и попытаться использовать цикличе-
ский метод для того, чтобы установить эквивалентность построен-
ной формы данной форме.
376 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
Например, рассмотрим представление числа —217 формой
1хг — бху + у2. При D = 2 циклический метод дает эквивалент-
ные формы
-3 1 1...
7 1-11 ...
Форма, которая очевидным образом представляет —217, имеет вид
—217u2 + 2duv + ev2, где числа d и е надлежит найти. Если най-
денные выше формы можно получить применением циклического
метода к форме —217u2 + Iduv + ev2, то d2 — D = —217е, где
D = 2. В частности, d2 = 2 (mod 217). Для решения этого срав-
нения можно следующим образом воспользоваться китайской тео-
ремой об остатках. Имеем 217 = 7-31. Из сравнения d2 = 2 (mod 7)
следует, что d = ±3 (mod 7). Сравнение по модулю 31 дает d =
= ±8 (mod 31). Таким образом, получаются четыре возможных
значения d = ±39, ±101 (mod 217). Например, если d = 39,
то е = —(d2 — Z))/217 = —7. Тогда циклический метод
39 3 1 1
-217 -7 —1 1 -1
приводит эту форму к тем формам, которые мы получили выше.
Запишем эти вычисления в обратном порядке и добавим полу-
ченную таблицу к таблице, найденной циклическим методом для
формы 1х2 — бху + у2:
-3 1 3 39
7 1—1—7 -217
Это показывает, что форма 1х2 — бху + у2 эквивалентна фор-
ме —lu2 + 78uv — 217у2, причем в явном виде эквивалентность
задается равенством
(;)-(? -Ж -Ж :!)(:)•
При и = 0 и v = 1 последняя формула дает представление 7 X
х (_23J - 6 (-23) (-40) + (-40J = -217.
Общий метод решения уравнения ах2 + 2Ъху + су2 = т пред-
ставляет собой простое обобщение этого примера. Пусть D опре-
делено равенством Ь2 — D = ас, т. е. D — Ъ2 — ас. Воспользуем-
ся циклическим методом, взяв а и с в качестве первых двух зна-
чений а, а Ъ — в качестве первого значения г. В конце концов г)
1) При этом предполагается, что D = Ъ2 — ас не является квадратом,
так что г2 — D Ф 0. Гаусс со свойственной ему обстоятельностью рассмотрел
также случай, когда D — квадрат (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 215).
Однако найденное им в этом случае решение не использует ни циклического
метода, ни группы классов; поэтому здесь оно не представляет для нас инте-
реса.
Я.2. Другая интерпретация циклического метода 377
это приведет нас к периоду, т. е. к повторению чисел, порождаемых
циклическим методом. При данном т рассмотрим сравнение d2 =
= D (mod m). Для любого решения d этого сравнения (все реше-
ния этого сравнения находятся за конечное число шагов) опреде-
лим е равенством D = d2 — em и рассмотрим бинарную квадра-
тичную форму ти2 + 4duv + ev2. Применение циклического ме-
тода к этой форме также приводит к периоду. Если этот период
совпадает с найденным выше периодом, то можно найти решение
уравнения ах2 + ЧЪху + су2 = т. Действительно, в этом случае
формы ах2 + ЧЪху + су2 и ти2 + 4duv + ev2 эквивалентны одной
и той же форме, поэтому они эквивалентны друг другу. Фактиче-
ски легко находятся явные формулы, задающие эту эквивалент
ность; поэтому искомое представление можно получить, просто-
положив и = 1, v = 0.
Можно показать, что этот метод всегда дает представление
(при условии, что оно существует) *). Точнее, если уравнение
ах2 + ЧЪху + су2 = т имеет решение, то должно существовать
по крайней мере одно решение d сравнения d2 = D (mod m), обла-
дающее тем свойством, что применение циклического метода к фор-
ме ти2 + 2duv + ev2 (где е = (d2 — D)lm) дает тот же период, что
и применение циклического метода к форме ах2 + ЧЪху + су2.
Однако здесь мы скорее хотим показать ясную картину связи меж-
ду циклическим методом и бинарными квадратичными формами,
чем получить полное решение уравнения ах2 + ЧЪху + су2 ¦=¦ т
(это решение см. в упр. 7 и 8 к § 8.4). Таким образом, циклический
метод становится связующим звеном между теорией дивизоров
и теорией бинарных квадратичных форм. Определяемое им соот-
ветствие между дивизорами и бинарными квадратичными формами
является предметом следующего параграфа.
У прояснения
1. Докажите, что замена переменных х' '= ах + by, у' = сх + dy с целы-
ми коэффициентами а, Ь, с, d обратима (т. е. обратная к ней замена также
имеет целые коэффициенты) тогда и только тогда, когда определитель ad—be
равен +1.
2. Используйте приведенный в осповпом тексте метод для нахождения
двух существенно различных представлений х2 + у2 = 65.
*) Точнее, этот метод дает собственное представление ах2 + Ibxy + су2 =
= т, т. е. представление, в котором х и у взаимно просты (при условии, что
такое представление возможно). Несобственное представление, в котором
х = dx', у = dy', где d> 1 и х', у' взаимно просты, существует, только если т
делится на квадрат: т = d2m' и т' имеет собственное представлеппе ах'2 +
-|- 2Ьх'у' + су'2 = т! данной формой. Таким образом, если описанный выше
метод не дает представления т, то следует выделить из т квадрат d2 и попы-
таться найти представление числа mid2 данной формой. Если это также
не удается, то такого представления не существует. Доказательства этих
утверждений рассмотрены в упр. 7 к § 8.4.
378 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
3. Используйте приведенный в основном тексте метод для нахождения
представления числа 121 формой 4л:2 + 2л:г/ + 5г/2.
4. Найдите представление числа 23 формой 15л:2 + 40л:;/ + 27г/2.
5. Найдите представление числа 129 формой 42л:2 + 118л:;/ + 81г/2.
6. Найдите представление числа 91 формой л:2 + ху + У2-
8.3. Соответствие между дивизорами
и бинарными квадратичными формами
Для того чтобы установить связь между группами классов
дивизоров, определенными в § 8.1, и группами, которые Гаусс
ввел в своей теории бинарных квадратичных форм, необходимо
установить связь между дивизорами и бинарпыми квадратичными
формами. В простейшем случае, когда D свободно от квадратов
и сравнимо с 2 или 3 по модулю 4, рассмотрения из предыдущего
параграфа ясно показывают, как это следует сделать.
Пусть D Ф 1 (mod 4) — целое число, свободное от квадратов.
Предположим, что А — дивизор для квадратичных целых детер-
минанта D, причем А не делится пи на одно целое, большее 1.
Тогда применение циклического метода к дивизору А равносильно
применению этого метода к бинарной квадратичной форме ах2 +
-г 2Ъху + су2, где а = N (А), Ъ=уЪ (modj4) и с = (Ь2 — D)la
(с тем лишь исключением, что условие b = YD (mod А) не опреде-
ляет х) Ъ однозначно, а определяет лишь класс Ъ по модулю а).
Таким образом, можно определить отображение множества дивизо-
ров, не делящихся ни на одно целое, большее 1, в множество квадра-
тичных форм, удовлетворяющих условию Ъ2 — ас = D, выбирая Ъ
по правилам циклического метода. Точнее, рассмотрим класс
вычетов по модулю а, элементы которого удовлетворяют сравнению
Ъ = У D (mod А). Если в этом классе найдется такой элемент Ъ,
что Ь2 < D, то выберем в качестве Ъ наибольший элемент, для кото-
рого Ь2 < D. В противном случае в качестве Ъ выберем элемент
из этого класса с наименьшим значением | Ь \ (если найдутся два
таких элемента, выберем положительный).
Это отображение (некоторого) множества дивизоров квадратич-
ных целых детерминанта!) в (некоторое) множество бинарных квад-
ратичных форм с Ь2 — ас = D 2) является взаимно однозначным.
Легко найти обратное к нему отображение. Заданная бинарная
квадратичная форма ах2 + ЧЪху + су1 с Ь2 — ас = D может полу-
читься из дивизора А, толькоЪсли а = N (А) и Ъ = YD (mod A).
Для того чтобы эта форма была образом некоторого дивизора А,
при D < 0 необходимо, чтобы а было больше нуля (поскольку при
1) Существует по крайней мере одно целое Ь, удовлетворяющее этому
условию. Действительно,^ § 7,4 доказано, что если А не делится пи на одно
целое, большее 1, то lAD сравним с некоторым целым по модулю А.
2) Гаусс пазывал Ь2 —ас детерминантом бинарной квадратичной формы;
мы будем следовать здесь атой терминологии.
8.3. Соответствие между дивизорами и формами 379
D < 0 нормы дивизоров положительны; отсюда следует также, что
с >> 0). Будем считать, что для рассматриваемых форм это необ-
ходимое условие выполнено. Тогда легко видеть, что такая форма
определяет единственный дивизор А со свойствами а — N (А),
Ъ = |/D (mod А). Действительно, Ъ — YD не делится ни на одно
целое, поэтому его дивизор является произведением простых диви-
зоров, в которое не входят дивизоры иростых чисел, остающихся
простыми в квадратичных целых детерминанта D. Кроме того,
это произведение может содержать только один из двух простых
множителей распадающегося простого числа. Таким образом, диви-
зор, который делит Ъ — \^D, полностью определяется своей нор-
мой (что учитывает отсутствие или наличие множителя (—1, *)
при D > 0), и каждый делитель нормы N (Ъ — У D) = Ъ2 — D =
= ас является нормой некоторого дивизора, делящего Ъ — |/D
(при D < 0 такой делитель должен быть положительным).
Согласно теореме из § 7.7, при этом соответствии эквивалент-
ные дивизоры соответствуют эквивалентным бинарным квадра-
тичным формам. Действительно, эта теорема показывает, что два
эквивалептных дивизора могут быть приведены циклическим мето-
дом к одному и тому же дивизору. Кроме того, циклический метод
преобразует бинарные квадратичные формы в эквивалентные бинар-
ные квадратичные формы, поэтому формы, соответствующие экви-
валентным дивизорам, эквивалентны одной и той же форме (полу-
ченной приведением каждого из дивизоров к его периоду) и, сле-
довательно, эквивалентны друг другу.
Однако обратное утверждение не обязательно верно. Действи-
тельно, если А — дивизор, который не делится ни на одно целое,
большее 1, и если ах2 -\- 1Ъху -\- су2 — соответствующая бинарная
квадратичная форма, то А соответствует ах2 — ЧЪху -\- су2 или
эквивалентной ей форме (если по правилам циклического метода
выбирается Ъ' = —Ъ (mod а), отличное от Ъ' .— —Ъ). Таким обра-
зом, А и А соответствуют эквивалентным бинарным квадратич-
ным формам (замена х »-»• х, у >—» —у преобразует ах2 + ЧЪху + суг
в ах2 — ЧЪху -\- су2), хотя обычно дивизоры А жА не эквивалентны.
Однако Гаусс заметил, что определение эквивалентности бинар-
ных квадратичных форм не является достаточно ограничительным;
это замечание играет ключевую роль в его теории.-Правильное
определение эквивалентности бинарных квадратичных форм мож-
но найти, если перевести на язык квадратичных форм определение
эквивалентности дивизоров. Если две бинарные квадратичные
формы соответствуют эквивалентным дивизорам, то каждую из них
можно преобразовать циклическим методом к некоторой третьей
форме. Это не только устанавливает эквивалентность исходных
квадратичных форм, по и даег эквивалентность, которая пред-
380 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
ставляется как композиция преобразований вида
'0 —Г
и обратных к ним. Поскольку определитель каждого из этих преоб-
разований равен +1, это показывает, что две данные формы должны
быть эквивалентны относительно преобразования с определителем,
равным +1.
Определение. Две бинарные квадратичные формы ах2 + ЧЪху +
+ су1 и а'и2 + ЧЪ uv + c'v2 называются собственно эквивалент-
ными, если существует замена координат х = ом + $v, у =
= уи -\- 8v с аб — fiy = 1, которая преобразует одну из форм
в другую. Иначе говоря, формы собственно эквивалентны, если
существуют целые а, |3, у, б, удовлетворяющие условиям
fa' Ь'\ /а y\fa b\fa
Тогда эквивалентные дивизоры соответствуют собственно экви-
валентным формам, Как будет показано ниже, справедлива
и обратная теорема, а именно если формы, соответствующие двум
дивизорам, собственно эквивалентны, то дивизоры эквивалентны
друг другу.
Такое различение эквивалентности и собственной эквивалент-
ности форм казалось Куммеру искусственным. Он надеялся, что
его теория идеальных комплексных чисел сумеет объяснить это
различие, показав, что формы ах2 + ЧЪху + су2 и ах2 — 2Ьху + су2
представляют собой «не что иное, как два идеальных делителя
одного и того же числа» [К7, стр. 324], Куммер ничего не говорит
о том, каким образом формы ах2 + ЧЪху + су2 и ах2 — ЧЪху -f су2
представляют дивизоры (идеальные числа), но, без сомнения, он
имел в виду нечто похожее на приведенное выше соответствие,
при котором сопряженные дивизоры отвечают формам ах2 ±
± ЧЪху -\- су2 или по крайней мере собственно эквивалентным
им формам.
Подводя итоги, можно сказать, что существует естественное
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалент-
ности дивизоров квадратичных целых детерминанта D и классами
собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм с де-
терминантом D (здесь мы предполагаем, что D Ф 1 (mod 4), D сво-
бодно от квадратов, и при D < 0 рассматриваем лишь формы
с положительными а и с). В оставшейся части этого параграфа мы
должны доказать, что если D не свободно от квадратов или D ==
=5 1 (mod 4), то классы собственной эквивалентности форм по-
прежнему находятся в естественном взаимно однозначном соот-
8,3. Соответствие между дивизорами и формами 381
ветствии с классами эквивалентности дивизоров (здесь обычная
эквивалентность заменяется эквивалентностью относительно под-
ходящего порядка, определенной в § 8.1).
В определенном выше соответствии бинарная квадратичная
форма ах% -\- 2Ъху -\- су1 отвечает дивизору, который делит Ъ —
— ]/Ь2 — ас и имеет норму а. Здесь предполагается, что D =
= Ъ2 — ас свободно от квадратов, D ф. 1 (mod 4) и, кроме того,
а >0 при D < 0. Однако то же самое правило можно использо-
вать во всех случаях, когда а, Ь, с — такие числа, что два условия:
чЛ делит Ъ — у Ь2 — ас» и «./V (А) = а» — определяют единст-
венный дивизор А. Нетрудно найти естественные условия па числа
а, Ъ, с, гарантирующие, что эти числа будут обладать требуемым
свойством, если воспользоваться опытом, который мы приобрели
в § 8.1. Этот опыт подсказывает, что при обращении с квадратич-
ными целыми х -\- уУ D (х, у — целые) естественно рассматривать
лишь дивизоры, взаимно простые с индексом s порядка {х + у VD :
х, у — целые}. Индекс $ равен t, если D = t2D', где D' свободно
от квадратов vl D' ф. 1 (mod 4), и равен 2t, если D = t2D', где D'
свободно от квадратов и D' s I (mod 4). Это заставляет нас
потребовать, чтобы в квадратичной форме ах2 + 2Ьху -\- су1 коэф-
фициент а был взаимно прост с наибольшим квадратом, на кото-
рый делится Ь2 — ас, и, кроме того, при Ь2—ac=i (mod 4) коэф-
фициент а должен быть нечетным (взаимно простым с 2). (Если
Ь2 — ас = t2D', то из сравнения Ь2 — ас = 1 (mod 4) следует,
что t нечетно и D' = 1 (mod 4). Обратно, если D' = 1 (mod 4),
то либо t четно (и уже первое условие требует нечетности а), либо
t нечетно и Ь2 — ас = 1 (mod 4).) Кроме того, если Ь2 — ас < 0,
то неравенство а >0 является необходимым условием для того,
чтобы а было нормой дивизора А.
Теорема. Пусть а, Ъ, с — целые числа; предположим, что Ь2 —
— ас = t2D', где D' свободно от квадратов. Если а взаимно просто
с t (и а нечетно при Ь2 — ас = 1 (mod 4)) и если а >0 при Ь2 —
— ас < 0, то условия N (А) = а и Ъ = )fD (mod A) определяют
единственный дивизор А для квадратичных целых детерминанта D'.
1) Пусть а', Ь', с' — другая тройка целых чисел. Предположим,
что (Ь'J — а'с' = Ь2 — ас, и пусть а' удовлетворяет тем же
самым условиям, что и а. Тогда бинарные квадратичные формы
ах2 + 2Ъху -\- су2 и а'х2 + 2Ь'ху -\- с'у2 являются собственно экви-
валентными в том и только в том случае, когда соответствующие
дивизоры эквивалентны относительно порядка {х -\- yyD: x,
у — целые, D = Ь2 — ас}.
2) Если ах% + 2Ъху + су2 — квадратичная форма, для которой
не выполняются приведенные выше условия на а, то необходимые
и достаточные условия для того, чтобы ахг -f 2Ъху + су2 была
382 Гл. 8, Гауссова теория бинарных квадратичных форм
собственно эквивалентна бинарной квадратичной форме а'х2 -\-
+ 2Ь'ху + с'у2, где а' удовлетворяет соответствующим условиям^
заключаются в том, что целые а, 26 и с не должны иметь общий
делитель, больший 1, и а должно быть положительным при Ъ2 —
— ас < 0.
Гаусс называл бинарную квадратичную форму ах2 + 2Ьху +
+ су2 собственно примитивной, если а, 26 и с не имеют общих
делителей, больших 1. (Форма называется примитивной, если
а, 6, с не имеют общих делителей, больших 1.) Из утверждения 2)
следует, что любая форма, собственно эквивалентная собственно
примитивной форме, собственно примитивна. Поэтому имеет
смысл говорить о собственно примитивных классах собственной
эквивалентности форм. Аналогично, если б2 — ас < 0 и а >0,
то каждая форма, собственно эквивалентная ах2 + 2Ъху -\- су2,
обладает теми же самыми свойствами. Гаусс называл такую форму
положительной, (В современной терминологии ее называют поло-
жительно определенной.) Поэтому имеет смысл говорить о поло-
жительных классах собственной эквивалентности форм. Вторая
часть сформулированной теоремы утверждает, что собственно при-
митивный и при D < 0 положительный класс собственной экви-
валентности форм содержит формы, соответствующие дивизорам.
В первой части утверждается, что различные формы, принадле-
жащие одному классу, соответствуют эквивалентным дивизорам.
Следовательно, эта теорема показывает, что существует отобра-
жение из множества классов собственной эквивалентности форм
(собственно примитивных, и при D < 0 положительных) в классы
эквивалентности дивизоров (для квадратичных целых порядка
[х -\- yYD: х, у — целые}). Это отображение является взаимно
однозначным. Действительно, согласно первому утверждению
теоремы, формы, соответствующие эквивалентным дивизорам,
должны быть собственно эквивалентны. Кроме того, оно отобра-
жает классы форм на всю группу классов дивизоров, поскольку
каждый класс из этой группы содержит дивизор А, который взаим-
но прост с индексом порядка и не делится ни на одно целое, боль-
шее 1, а такой дивизор А является образом квадратичной формы
ах2 + 2Ъху + су2, где а = N (A)t b=\/D (mod А), с = (b2 —
— D)la. Таким образом, эта теорема устанавливает взаимно одно-
значное соответствие между элементами группы классов дивизо-
ров порядка {х + yYD: x, у — целые} и классами собственной
эквивалентности бинарных квадратичных форм ах2 + 2Ъху + су2,
которые имеют детерминант!), являются собственно примитивными
и при D < 0 положительными. Поэтому данная теорема уста-
навливает связь между теориями Куммера и Гаусса. Оставшаяся
часть параграфа посвящена доказательству теоремы.
8.3. Соответствие между дивизорами и формами 383
Доказательство. Пусть а, Ь, с удовлетворяют условиям, сфор-
мулированным в начале теоремы. Тогда b — ]/Z) = 6 — t\ D'
является квадратичным целым детерминанта D' и его норма равна
Ъ2 — D = ас. Если р — произвольный простой делитель а, то р
не делит b — t]/D'. (Действительно, а взаимно просто с t, поэтому
р не делит t; если р = 2, то t должно быть нечетным и б2 — ас ф
ф 1 (mod 4), т. е. 2 не делит b — ty D'.) Следовательно,/? не остает-
ся простым; если р разветвляется, то его простой дивизор делит
Ъ — У D с кратностью точно 1, если же р распадается, то только
один из двух его простых дивизоров делит b — ]/ D. Таким обра-
зом, b — У D делится на один, и только на один, дивизор с нор-
мой а. Этот дивизор совпадает с дивизором А из первой части тео-
ремы.
Сначала мы докажем второе утверждение теоремы. Если некото-
рое нечетное простое делит а, 2Ь и с, то оно делит а, 6, с. Тогда из
определения собственной эквивалентности следует, что оно делит
а', 6', с' для любой формы а'х2 + ЧЬ'ху -\- с'у2, эквивалентной
данной форме. Поскольку квадрат этого простого делит D =
= Ъ2 — ас = t2D', оно делит как а', так и t, и а' не'обладает тре-
буемыми свойствами. Если 2 делит а, 2Ь и с, то а' = аа2 -f 2Ьау +
+ су2 — четное число и либо Ъ2 — ас = 0 (mod 4) (при четном Ъ),
либо Ъ2 — ас = 1 (mod 4) (при нечетном Ъ). В любом случае а'
не обладает нужными свойствами. Наконец, если а < 0 и Ь2 —
— ас < 0, то а' = а'1 [(аа -f byJ — (b2 — ас) у2] < 0 и а' не
удовлетворяет требованиям теоремы. Это показывает, что данные
условия необходимы для того, чтобы существовала форма а'х2 +
-j- 1b'ху + с'у2 с нужными свойствами.
Для доказательства достаточности этих условий заметим преж-
де всего, что, как показывает приведенное выше рассуждение,
если и>0и Ьг — ас < 0, то а >• 0. Остается лишь доказать,
что если а, 2Ь, с взаимно просты, то существует форма, собствен-
но эквивалентная данной, в которой а' взаимно просто с t, а если
Ъ2 — ас = 1 (mod 4), то а' нечетно. Гаусс (Disquisitiones Arithme-
ticae, Art. 228) не только доказал это утверждение; он показал
также, что если а, 2Ь, с взаимно просты и к — произвольное целое,
то существует форма, собственно эквивалентная данной, в кото-
рой а' взаимно просто с к. Для того чтобы это доказать, обозначим
через а произведение всех простых/), которые делят к, но не делят с,
и пусть у — произведение простых р, которые делят к и с, но не
делят а. (Пустое произведение равно 1, т. е. если нет простых,
удовлетворяющих приведенным требованиям, то «произведение»
считается равным 1.) Тогда а и у взаимно просты и существует
такое целое б, что 6а == 1 (mod у). Положим р = (аб — 1)/у.
Тогда аб — ру = 1 и равенство A) определяет форму, собственно
эквивалентную ах2 -f 2bxy -f су2, в которой а' = аа2 + 2Ьау +
384 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
+ су2. Мы должны показать, что а' взаимно просто с к. Если р —
простой делитель к, который не делит с, то он делит а, но не делит у;
поэтому такое р не делит а'. Если р — простой делитель к, кото-
рый делит с, но не делит а, то он делит у, но не делит а, а потому
не делит и а'. Наконец, еслжр — простой делитель к, который делит
как а, так и с, то он не делит ни а, ни у, ни 2Ь (поскольку а, 2Ь, с
взаимно просты); следовательно, он не делит а'. Таким образом,
а' взаимно просто с к, что и требовалось показать.
Для доказательства утверждения 1) предположим, что ах2 -f
-г 2Ъху -f су2 и а'х2 -\- 2Ъ'ху + с'у2 — две формы с детерминан-
том D = t2D', в которых а и а' удовлетворяют требуемым усло-
виям. Тогда они отвечают дивизорами! и А' соответственно. Преж-
де всего мы докажем, что если А ж А' эквивалентны как дивизоры
порядка {х -\- у]/D: х, у — целые}, то эти формы собственно
эквивалентны. Дивизор А'А' — главный, поэтому из определе-
ния эквивалентности следует, что существует принадлежащий
данному порядку элемент и -j-v YD с дивизором АА'. Тогда умно-
жение на it + vYD с последующим делением на а' переводит эле-
менты данного порядка, делящиеся на А', в элементы из этого
порядка, делящиеся на А. Далее, элемент z + wY D из данного
порядка делится па А' тогда и только тогда, когда z + wb' —
— w (b' — YD) делится па А'. Последнее справедливо в том
и только в том случае, когда z -f wb' = 0 (mod а'). Другими
словами, элемент z + wYD делится на А' тогда и только тогда,
когда он имеет вид ах -\- (Ь' — ]/D) у (где х — (z + wb')/a',
у = —w). Аналогично, элемент z -f wYD из данного порядка
делится на А тогда и только тогда, когда он имеет вид ах -\- (Ь —
— YD) у с целыми х и у. Тогда, как и в § 7.7, умножение на
и -\- v У D с последующим делением на а' переводит х'х + (Ь' —
— YD) у в ах' + (Ь — YD) у', где х = ах + $у, у = ух + бу и
u-\-vb Ъ'и—Dv—bu-\-bb'v-
_v
и—vb
Композиция умножения на и -f v\/D с последующим деле-
нием на а' и умножения на и—vY D с последующим делением на а
является тождественным отображением а'х -\- (Ь' — VD) у >-¦*¦ а'х-\-
+ (Ь' — У D) у (норма и -f vYD равна аа')\ поэтому матрицу B)
можно обратить, заменяя и -\- v\/ D па и — у|/D и меняя местами
А и А'. Так как при этом а и б меняются местами и знаки при р
и у заменяются на противоположные, то определитель матрицы B)
равен 1. Поэтому для доказательства собственной эквивалентности
Я.З. Соответствие между дивизорами и формами 385
этих форм достаточно доказать, что выполняется первое из ра-
венств A). Это можно сделать прямым вычислением:
аа2 + 2Ьау 4- су2 = а {(и + Щ2 ~- 26 (и + vb) (—v)+ acv2] =¦-¦
= а-1 [и2 + v2 (b2 - 2b2 + ас)] = а [аа'] = а';
«ар -f" баб -\- &Ру -\- суд = аар + баб 4" b (аб — 1) -г стб =
= — b -f (аа'у1 [(и -f vb) (b'u — Dv — bu + bb'v) +
-г 26 (u -f z;6) (u — у6') -f ac (—v) (u — vb')] =
= — 6 — (аа')-1 [и2 (b' — b 4- 26) +
4- uv {—D -- bb' 4- bb' — b2 4- 262 4- 266' — ас) -г
4- v2 (—6Z) 4" 626' — 2626' -- асб')] =
= -6 -i- (aa'y1 [(b J- 6') u2-(b-r b') Dv2] =
= -b -г F -|- 6') =-- 6'.
Тогда, как п требуется, с" — af>2 -\- 26рб -|- сб2 равно с'. Дей-
ствительно, согласно предположению, б2 — ас = D = 6'" — а'с'
и из A) н уже доказанных утверждений следует, что б2 — ас ¦-=
— Ь'2 — а'с". Так как а' Ф 0, то мы получаем отсюда, что с" — г'.
Наконец, предположим, что данные формы собственно экви-
валентны. Мы должны доказать, что тогда эквивалентны и диви-
зоры, или, что то же самое, что существует элемент и -\- v)/D
с дивизором АА'. Проведенное выше рассуждение наводит на
мысль положить v = —у и и = аа -\- yb (из а — (и -\- vb)la)
или и — ба' — yb' (из б = (и — vb')la). Эти два определения и
совпадают. Действительно, согласно A),
C)
отсюда следует, что ба' — yb' = аа 4" by. При таких определе-
ниях и и v имеем и -\- yj/D ¦- aa 4- Т F — У D) = ба' — у F' -'•-
4- VD), что. очевидно, делится на Л и Л'. Норма и -\- v\ D равна
(aa 4- byJ — Dy2 — а [аа2 -'- 2bay -\- су2] = аа'. Если а и а'
взаимно просты, этого достаточно для доказательства того, что
дивизор и 4- vY D равен А'А, а следовательно, и эквивалентности
дивизоров А ~ Л', что и требовалось доказать. Если а и а' не
взаимно просты, то метод, использованный при доказательстве
второй части этой теоремы, показывает, что существует третья
форма а"х2 4- 2Ь"ху -\- с"у2, собственно эквивалентная обеим дан-
ным формам, в которой а" взаимно просто как с а и а', так и с t.
Если А" — соответствующий дивизор, то было показано, что
А —' А " и А' ~ А ". Таким образом, А ~ А', и доказательство
теоремы завершено.
25 г. Эдварде
386 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
Упражнения
Для каждого из следующих детермпнаптоп наГтдито одну бинарную квад-
ратичную форму из каждого собственно примптпвпсго класса собственной
эквива ле нтности.
1. D = 67.
2. D = —165 (включите отрицательные классы собстьенной эквивалент-
ности).
3. D = 79.
4. D = —161.
5. D = —11 (см. упр. 1 к § 8.1).
6. D = 18 (см. упр. 6 к § 8.1).
8.4. Классификация форм
Для вычисления групп классов дивизоров, определенных
в § 8.1, необходимо научиться устанавливать, являются ли два
данных дивизора А и А' эквивалентными (конечно, при условии,
что они взаимно просты с индексом s рассматриваемого порядка).
Теорема из предыдущего параграфа показывает, что эту задачу
можно свести к задаче установления собственной эквивалентности
двух данных бинарных квадратичных форм. В случае s = 1 мы
решили эту задачу (правда, в терминах дивизоров, а пе бинарных
квадратичных форм) в гл. 7 при помощи циклического метода.
При s > 1 можно по-прежпему решать эту задачу циклическим
методом. Однако применение циклического метода к дивизору,
взаимно простому с s, не обязательно дает дивизор, взаимно про-
стой с s, поэтому естественнее описывать решение в терминах бинар-
ных квадратичных форм, а не дивизоров. При такой модификации
терминологии теорема и ее доказательство, по существу, совпа-
дают с соответствующими теоремой и доказательством из гл. 7.
Теорема. Пусть а0х2 + Ir^cy -f ахг/2 — данная бинарная квад-
ратичная форма детерминанта г\ — айах = D, не являющегося
квадратом. Определим две последовательности целых чисел а0,
alt а2, . . . и г0, ги Го, ... следующим образом. Если даны rt
и ai+l, то ri+1 является решением сравнения rt -\- г,-^_х =
= 0 (mod ai+1). Точнее, если ото сравнение имеет решения гг+1,
для которых r2i+i < D, то мы выбираем в качестве ri+1 наибольшее
решение этого сравнения, удовлетворяющее условию r\+1 < D.
В противном случае в качестве ri+1 мы выбираем решение этого
сравнения с наименьшим \ гг+1 | {если таких решений два, то мы
выберем положительное ri+j). Если даны а± и rt, то <ij+i определено
условием: ai+1 = (rf — Щ/а^. Тогда все бинарные квадратичные
формы atx2 -f 2rtxy -f- a,-+ij/2 собственно эквивалентна исходной
форме а0х2 + 2г0хг/ -|- а^г/2. Кроме того, начиная с некоторого
места, эти формы повторяются. Цикл повторяющихся форм назы-
вается периодом данной формы. Две бинарные квадратичные формы
8.4. Классификация форм 387
являются собственно эквивалентными тогда и только тогда, когда
их периоды совпадают.
Эта теорема является ключевой в классификации бинарпых
квадратичных форм. Ее доказательству посвящена оставшаяся
часть этого параграфа. Коротко говоря, это доказательство в точ-
ности совпадает с доказательством из гл. 7 — мы должны лишь
перевести его с языка теории дивизоров на язык теории бинарпых
квадратичных форм. Предположение о том, что D свободно от квад-
ратов, в доказательстве из гл. 7 вообще не использовалось; мы
пользовались им только для определения соответствия между
формами и дивизорами.
В приведенной выше формулировке теоремы речь идет только
о бинарных квадратичных формах, среднее слагаемое которых четно.
Однако в следующем ниже доказательстве мы будем рассматривать
также и случай полуцелого г0. Тогда, как и в гл. 7, вся последова-
тельность Г;, порожденная циклическим методом, состоит из полу-
целых чисел. При этом мы должны несколько изменить обозначе-
ния из гл. 7: в качестве D мы всегда будем брать Ь2 — ас, так что
если b — полуцелое, то D будет V4 целого, сравнимого с 1 по моду-
лю 4. Тогда во всех случаях b — J/.D будет квадратичным целым.
Если а0, г0 и ах имеют общий делитель, то он делит все следую-
щие значения г и а. Форма а'0х2 + 2г'йху + а'ху2 может быть экви-
валентна исходной форме, только если а'о, г'о и а[ делятся на общий
делитель а0, г0 и а±. Следовательно, доказательство теоремы сво-
дится к случаю, когда а0, г0 и ах не имеют общих делителей. Кроме
того, если а0, 2г0 и ах — четные целые, то г0 будет целым, и мы мо-
жем числа, получающиеся в циклическом методе, сократить па 2
(поскольку г0 может быть полуцелым). Следовательно, общий
случай сводится к случаю собственно примитивной формы айх2 +
-j- Ir^cy + а^2. Это позволяет нам в следующем доказательстве
предположить, что все формы atx2 -J- 2rtxy -\- ai+^y2 являются
собственно примитивными.
Доказательство. Согласно принципу бесконечного спуска,
коэффициенты at, ai+1, удовлетворяющие неравенству | аг | ^
<; | аг+1 К должны встречаться бесконечно часто. Для таких коэф-
фициентов | at |2 ^ | а(а1+1 | <! r\ -f \D \. Согласно определению,
Г( удовлетворяет одному из неравенств; г| < D или | гг | ^ \ at |/2„
Это показывает, что такие at и соответствующие rt могут прини-
мать только конечное число значений {а\ <1 2 | D \ или а\ ^
<1 1/4а? + | D |, | at | <; 2)A|Z) | /3). Следовательно, тройки целых
чисел (at, r-t, ai+1) могут принимать только конечное число зна-
чений, для которых | at | ^ | аг+Л |. Таким образом, некоторая
тройка должна встретиться в нашей последовательности дважды.
Однако каждая тройка однозначно определяет следующую за ней
25*
388 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
тройку, поэтому все формы, следующие за формой, которая дваж-
ды встречается в построенной последовательности, должны цикли-
чески повторяться ad infinitum.
|В § 8.2 было показано, что каждая форма собственно эквива-
лентна следующей за ней форме из полученной последователь-
ности. Следовательно, все формы в этой последовательности соб-
ственно эквивалентны исходной форме. Очевидно, что две формы
с одним и тем же периодом собственно эквивалентны. Суть дока-
зываемой теоремы состоит в том, что если две формы собственно
эквивалентны, то они имеют один и тот же период.
Назовем форму приведенной, если она принадлежит своему пери-
оду, т. е. если применение к этой форме циклического метода снова
возвращает пас к пей. Каждая форма собственно эквивалентна
приведенной форме с тем же самым периодом. Следовательно, мы
должны доказать, что если две приведенные формы собственно экви-
валентны, то каждая из них принадлежит периоду другой из этих
форм.
При D < 0 можпо доказать это утверждение следующим обра-
зом *). He ограничивая общности, можпо считать, что данные фор-
мы ах2 — ЧЬху + су2 и ах2 -f- 1b'xy + с'у'1 не только приведены,
но и их коэффициенты удовлетворяют неравенствам | а | ^ | с \,
| а | <; | с' |. Действительно, каждый период содержит такую
форму. Мы должны доказать, что если выполняются условия
а у\(а Ъ\(а р\ (а р\
Ь)\Ь с){у б)'' dCtU
a'jтакже D — Ь2 — ас < 0, | а | <! | с \ и \ а' | sgl | с' |, то две
соответствующие формы принадлежат одному и тому же периоду.
Так как аа' — а (аа2 f 2bay — су") -- (аа -\- byJ — Dy'2 ^
^ \ D | у2 ^ 0 и а, а' отличны от пуля (в противном случае D —
= Ь2 — ас — Ъ2 ]> 0 вопреки предположению), то аа >0. Сле-
довательно, а и а' имеют одинаковые знаки. При необходимости
изменяя эти знаки па противоположные, можпо предположить,
что ana' — положительные числа. Из неравенства Ь2 — ас =
= D < 0 следует, что с >0. Аналогично, с' >0. Так как | b | ^
< а/2, а < с, то Ъ2 — ас = D, а2 < ас = b2 + | D |< V4a2 +
+ | D 1, 3/4а2 < | D |, а < 2j/| D |/3 и, аналогично, а' <
^ 2tf\D |/3. Таким образом, из приведенного выше неравенства
аа' > | D | у2 следует, что 4/3 \П | > | D | у2 и у2 = 0 или 1.
Случай 1. Если у2 = 0, то аб — 1, а = б = ±1, а' = аа2 +
+ 2Ьау + су2 = а и Ь' = аар + баб + Ь$у ~- суб = аар -\- Ь.
Отсюда следует, что b = b' (mod а). Так как | b | < а/2 или 6 =
J) Сравните это доказательство с соответствующим доказательством
из § 7.7. См. также § 65 из «Лекций по теории чисел» Дирихле [D7].
8.4. Классификация форм 389
= а/2 и | Ъ' | < а' 12 = а/2 или Ь' = а/2, то из условия Ъ ==
== Ъ' (mod а) следует, что Ъ = Ь'. Тогда с = с' и соответствующие
формы совпадают.
Случай 2. Если у2 ^ 1, то, заменяя при необходимости а, р,
у, б на —а, —р, —у, —б, можно предположить, что 7 = 1. Тогда
аа' = (аа -f- byJ — Dy2 = г2 — D, где г = аа -J- Ь = Ь (mod a).
Поэтому, согласно выбору Ь, \ г | !> | b |, а ^ с = (b2 — D)/a ^
sgl (г2 — Z))/a = аа'/а — а . Аналогично, аа' — (а'б — Ь'уJ —
- Dy2 - (г'J - D, где г' = а'б — Ъ' =—V (mod а'). Тогда
| г' | > | 6' | и а' < с' = {{Ъ'J — #]/а' < Цг'J — ZJl/а' = а. Сле-
довательно, а = с = а' — с'. Значит, б2 = Z) -(- ас = D -{- а'с' =
= (Ь1J и 6 = ±Ь'. Если b —- Ъ', то данные формы совпадают.
Если 6 — —Ь', то Ъ Ф а/2 (так как 6' Ф —а/2), и потому | Ь \ <С
< а/2. Следовательно, применение циклического метода к любой
из этих форм дает вторую из них. Поэтому они принадлежат
одному и тому же периоду, что и требовалось показать. Это завер-
шает доказательство при D < 0.
При D >0 доказательство этой теоремы сложнее. Основным
средством будет теорема из § 7.7 о разложениях вида
z w) ~\-i oJV-i oj'v-i oj' ()
где целые nlt к2, . . ., n: образуют знакочередующуюся после-
довательность. Фактически все доказательство представляет
собой прямую модификацию доказательства для случая s = 1
из § 7.7.
Предположим, что М — такая целочисленная 2 X 2-матрица,
что
У-
где а'а;2 + 2Ъ'ху + с'ф и аа;2 -f 2Ъху + су"- — две приведенные
формы и М1 — матрица, транспонированная к М. Па первом
этапе мы должны доказать, что без ограничения общности можно
заменить М на матрицу, которая имеет разложение вида B).
Для этого заметим прежде всего, что применение циклического
метода к приведенной форме ах2 + 2Ъху ~\~ су2 задает собственную
эквивалентность итой формы с собой:
С X
•
El"[-i oJl-i oJ-'Л —i oj'
(-3)
390 Гл. 8, Гауссова теория бинарных квадратичных форм
где к — число форм н периоде ах2 + 2Ъху -\- су2. Следовательно,
для каждого положительного целого п матрица Е™М обладает
теми же свойствами, что и М. Мы докажем, что при достаточно
большом п матрица Е™М имеет разложение B).
Как и в формулировке теоремы, положим а = а0, с = а1
и Ъ = г0. Тогда формулы из предыдущего параграфа показывают,
что каждый множитель матрицы Ех можно рассматривать как
отображение из множества квадратичных целых вида а-ъх + (г; —
— У D) у в множество квадратичных целых вида ai+1x + (ri+1 —
— У D) у, заданное умножением на г{ + У D с последующим деле-
нием на at. [Эта операция переводит a^i + (г,- — |/D)-0 в rt +
+ У'В = [[(г1+1 + П)/сц+1]а1±1]-(Гг+1-УЩ (где (rl+1+ri)!al+1=
= mt+l), a arO + (г,- — YD)-l переводит в (rf — D)/at = ai+v]
Как и в гл. 7, г,- положительны, а знаки а1 чередуются. Следова-
тельно, знаки гп{ чередуются, и матрица Е1 задана разложением
вида B).
Кроме того, формулы из предыдущего параграфа показывают,
что матрица М соответствует отображению из множества квадра-
тичных' целых вида ах + (b — Y~D) у в множество квадратичных
целых вида а'х + (b' — V~D) У, заданному умножением на и +
-\-vYD с последующим делением па а. Здесь и + v]/~D = аа +
+ у (Ь — УЪ) = ба' — у (b' + YD), a, 0, у и б — элемен-
ты М. Кроме того, и2 — Dv2 = {аа + уЪJ — Dy2 = а2а2 +
+ 2abay + Ь2у2 — Ь2у2 + асу2 = а [аа2 + 2Ьау + су2] = аа'. Ана-
логично, Е1 соответствует отображению мнолсества квадратичных
целых вида ах + (Ь — VD) у в себя, заданному умножением на
V + VYD с последующим делением на а; здесь U и V — целые.
Норма U + VYD равна U2 — DV2 = а2. Но Ех соответствует
также следующей операции: мы умножаем на г0 -|- У D и делим
на а0, результат мы снова умножаем па гх + \/ D и делим на аъ
и т. д.; поэтому
Yd _ (ro+ /5) (n+ Yd) ¦ ¦ ¦ (n-i+Yd)
а
В частности, поскольку гг положительны, U и V имеют одинако-
вый знак.
Мы можем предположить, что ах2 + 2Ьху + су2 — собственно
примитивная форма. Тогда (U + VYD)/a является единицей
вида е = g + hY~D, где g и /i — целые числа. Это утверждение
следует из равенства
б' -у'\(а Ъ\_(а Ъ\(а' Р'
Д J \Ь )
8.4. Классификация форм 391
где а', р', у', 6' — элементы Е±. Из этого равенства мы получаем,
что 6'а — у'Ъ — аа' 4- by' и 8'Ь — у'с = ар' + 66', поэтому
а F' — а') = 2Ьу' и ар' = —су'. Следовательно, а делит ау',
2Ьу' и су'. Поскольку существуют такие целые к, I, т, что ка 4-
г ' BЬ) -|- тс = 1, мы получаем отсюда, что а делит у'. Далее,
U 4- V^D — а'а -\- у' (b — |/D), следовательно, а делит как U,
так и V. Таким образом, (U 4- V\/D)/a = g -\- h\/D и g-\- h]/D
должно быть единицей, поскольку ого норма равна (U2—DVz)/az—l.
Таким образом, матрица Ег соответствует отображению множе-
ства квадратичных целых вида ах + (b — |/D) у в себя, заданному
умножением на g-\-h]/D. Следовательно, матрица Е\М соот-
ветствует отображению квадратичных целых вида az -\- (Ь — У D)y
в квадратичные целые вида ах 4- (Ь' — УD) у, заданному умно-
жением на (u + vYD) (g 4- hV D)n с последующим делением на а.
Положим и' + v' У D = (и 4- vyT>) (g 4- КУЪ)П. Тогда, как и
в гл. 7, можно показать, что при большом п знаки и' и v' совпадают
и абсолютная величина v' велика. Далее, снова как в гл. 7, мы
можем доказать, что соответствующая 2 X 2-матрица Е\М обла-
дает свойствами | X | > | Z | > | ИЧ, | X | > | У | > | W4 и
имеет разложение вида B). Следовательно, не ограничивая общно-
сти, можно считать, что сама матрица М имеет такой вид.
Умножение на g 4- Ь,УD отображает квадратичные целые вида
а'х -г (Ь' — У D) у в себя (квадратичное целое w 4- z ]/ D имеет
такой вид тогда и только тогда, когда w 4- zb' = 0 (mod a');
поскольку D = b'2 (mod a'), то последнее условие выполняется
для (g 4- /j]//)) (w 4- zj/D), если оно справедливо для w 4- г(//?).
Следовательно, это умножение соответствует 2 X 2-матрице Е2,
для которой ЕХМ = МЕ2. Матрица Е2 имеет разложение вида B),
и знаки всех разложений согласуются таким образом, что ЕХМ
и МЕг являются разложениями вида B). Тогда равенства Е™М =
= ME*, справедливые при всех п >0, и единственность разложе-
ний вида B) показывают, что множители матрицы М вырезаются
из разложения ?"" при большом п. Поэтому из разложения B)
следует, что матрица +М задает то самое преобразование, которое
мы получаем, применяя циклический метод к ах2 -\- 2bxy -J- су2.
Следовательно, а'х2 -•- 2Ь'ху -\- су2 принадлежит иериоду ах2 -J-
4- 2Ъху + су2, что и требовалось доказать.
Упражп ения
1. Докажите, что число собственно примитивных классов собственной
эквивалентности форм с данным детерминантом конечно. Получите отсюда,
что во всех случаях группа классов дивизоров конечна.
392 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
2. Пусть ах2 -\- 2Ьху + су2 — приведенная форма и D = Ь2 — ас > 0.
Предположим, что единица е = g + h ~\f D найдена так же, как и в доказа-
тельстве теоремы. Докажите, что норма е равпа 1 и что все единицы порядка
{х + у ]//>}, имеющие единичную норму, совнадают с +еп. Покажите, что
единица с нормой —1 существует только тогда, когда каждая форма ахг +
+ 2Ьху + су2 несобственно эквивалентна своему отрицанию —ах2 — 2Ьху —
— су2, а потому собственно эквивалентна —ах2 + 2Ьху — су2. Если эти усло-
вия выполнены, приведите алгорифм нахождения единицы с нормой —1
и покажите, что квадрат этой единицы равен определенной выше единице е.
Подведите итоги этим результатам, разработав для любого порядка {х-\-у У D)
процедуру нахождения основной единицы, т. е. такой единицы е, что фор-
мула +еп дает каждую единицу, и притом только один раз.
3. Найдите приведенную форму, собственно эквивалентную форме
х2 — 67г/2; используйте упр. 2 для нахождения общего решения уравне-
ния Пелля и2 = 67у2 + 1.
4. Найдите приведенную форму, собственпо эквивалентную форме
х2 + ху — 15г/2, и используйте упр. 2 для пахождения основной единицы
порядка {х + у У61: х, у — целые или полуцелые}.
5. Найдите группу классов дивизоров, соответствующую порядку
{х + у ]/99: х, у — целые}. [—1 и 2 разветвляются, 5 распадается, s --• 3.
Дивизоры 7, (—1, *), B, *) и (—1, *) B, *) пе эквивалентны. Критерий
проверки, является ли дивизор E, 1) главным, показывает не только то, что
E, 1) — пе главный дивизор, но и что оп не эквивалентен ни одному из
4 дивизоров, приведенных выше, и, крометого, E,1) — (—1, *) B, *) E, 1).
Поэтому формула (—1, *I E, 1K при i = 0, 1; / — 0, 1, 2, 3 дает 8 неэкви-
валентных дивизоров. Они соответствуют 8 периодам приведенных форм.
Покажите, что каждая приведенная форма лежит в одном из этих периодов.)
6. Найдите группу классов дивизоров, соответствующую порядку
{х + у \/ —99: х, у — целые}.
7. Докажите, что если anf- заданные взаимно простые целые, то суще-
ствуют такие целые E и б, что
(а $у
\у Ь)
УУ -J = 1'
Получите отсюда, что если форма ах2 + 2Ьху + су2 собственно представляет
т (со взаимно простыми х и г/), то она собствеппо эквивалентна форме, пер-
вый коэффициент которой равен т. Используя этот факт, докажите, что
метод из § 8.2 дает представление формой ах2 -f 26хг/ + су- всегда, когда
такое представление возможно.
8. Опишите в деталях (если возможно, напишите программу для ЭВМ)
процедуру нахождения всех решений уравнения вида ах2 -\- 2Ъху + су2 —
= т, где а, Ь, с а т — целые, заключенные в некоторых заранее фиксиро-
ванных границах.
9. Докажите, что 3 Ф х2 — 37г/2, 151 — х2 — 37г/3, несмотря на то что
3 = 151 (mod 4-37). Это дает контрпример к гипотезе Эйлера пз упр. 8
к § 7.9 с меньшим детермипантом D, чем в контрпримере Лагранжа.
8.5. Примеры
Как было показано в § 7.6, число классов при :) D —- —163
равно 1. Если в этой ситуации мы рассмотрим порядок индекса 2,
совпадающий с {х + у\'—163: х, у — целые}, то его число клас-
-1) В обозначениях из предыдущего параграфа здесь D — —163/4.
8.5. Примеры 39*
сов будет больше 1. Действительно, если мы разрешаем знаменате-
лям содержать 2, то D1, 1) является дивизором целого A —
— У—163)/2. Однако этот дивизор перестает быть главным в рас-
сматриваемом порядке индекса 2, поскольку оп соответствует би-
нарной квадратичной форме 41а;2 + 2ху + 4г/2, и циклический
метод
1 -1 1 ...
41 4 41 ...
показывает, что эта форма не эквивалентна в собственном смысле
форме х2 + 163г/2, соответствующей дивизору /.
[По-видимому, здесь наступил самый подходящий момент для
того, чтобы остановиться и обсудить любопытную этимологию
прилагательного «главный» в словосочетаниях «главный дивизор»
или «главный идеал». Простейшая бинарная квадратичная форма
с детерминантом D равна х2 — Dy2. Поэтому достаточно естест-
венно, что Гаусс назвал эту форму главной формой с детерминан-
том D. Ее класс собственной эквивалентности — класс главной
формы — он назвал главным классом. При соответствии из § 8.3
этот класс отвечает классу дивизора /. Поэтому такой класс диви-
зоров, который является единичным элементом группы классов
дивизоров, естественно называется главным классом. Тогда диви-
зор принадлежит главному классу в том и только в том случае,
когда он является дивизором некоторого (пеидеалытого) элемента,
а идеал принадлежит главному классу тогда и только тогда, когда
он совпадает с множеством всех элементов, делящихся на неко-
торый (пеидеальный) элемент. Таким образом, идеал кольца назы-
вается главным, если оп совпадает с множеством всех элементов,
делящихся па некоторый данный элемент кольца.]
Пусть А -- D1,1). Тогда А2 — дивизор с нормой 412 = 1081
Ш
А2 делит A - |/^163~J = -162 - 2]/"^Ш = -2 (81 +
-+- У—163), поэтому ]/"—163 = —81 (mod А2). Следовательно,
применение циклического метода к А2 дает
-81 1 —1 1 ...
4 41 4 ...
Таким образом, А'2 ~ А; значит, As ~ I. Докажем, что эти три
класса дивизоров I, A n А2 исчериывают все классы из группы клас-
сов дивизоров. Любой дивизор, взаимно простой с 2, соответст-
вует форме ах2 + 2Ъху -•)¦ су2, где а, Ь, с — целые числа, а >0,
с > 0 и Ь2 — ас = —163. При помощи циклического метода такую
форму можно привести к форме, коэффициенты которой удовлет-
воряют неравенствам а ^ с, | Ъ | ^ а/2. Тогда а2^ ас = Ъ2 -+-
-г 163 < V4fl2 -\- 163, а2 < D-1C3J/3, а < 14, \Ь К7. Поэтому
394 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
мы должны найти малые делители числа Ьг + 163 при 6 — 0,
1, . . ., 7. Кроме а = 1, Ъ = 0 единственными малыми делителями
этого числа являются а — 2 или 4. Доказать это утверждение мож-
но следующим образом. Заметим, что при р =¦ 3, 5, 7 и 11 детер-
минант D = —163 не является квадратом по модулю р, поэтому
р | а влечет за собой а \ Ъ2 -f 163. Следовательно, а может делить-
ся только на простое число 2 и 8 t а, поскольку b2 -J- 163 = Ь2 +
+ 3^0 (mod 8). Если а = 2, то Ь = ±1, с = 82 и форма az2 ~-
+ 2bxy ~- су2 пе является собственно примитивной. Это оставляет
нам только три возможности: а = 1, & = 0 и а = 4, b — ±1.
Следовательно, имеется только три класса, что и требовалось
доказать. Таким образом, число классов порядка {х 4- г/|/—163:
х, у — целые} равно ') 3 и дивизоры А, А2 и А3 ~ I образуют
систему представителей.
Гаусс (Disquisitiones Arithmeticae, Arts. 223, 224 и 226) рас-
смотрел порядок {х + уУ—235: х, у — целые}. В этом случае
каждая форма эквивалентна форме ах2 + 2bxy -f су2, где с !>
^ а >0, | b | ^ а/2. Из этих неравенств следует, что а2 ^
^ 4-235/3, а ^ 17. Любой простой делитель числа а должен обла-
дать тем свойством, что по модулю этого делителя —235 является
квадратом. Ясно, что таким свойством обладают 2 и 5, но пе облада-
ют 3, 7, И, 17. Кроме того, —235 = —1 = 52 (mod 13), и к чис-
лам 2 и 5 следует добавить 13. Пусть А = A3, 5). Этот дивизор
не является главным, поскольку
5-5 5 ...
13 20 13 ...
Норма его квадрата равна N (А2) = 169. Дивизор А2 делит
E - |/^235J = -210 - 10 |/=235, поэтому /=235 =
= —21 (mod А2). Следовательно, вычисления, производимые
с целью установить, является ли А2 главным дивизором, а именно
-21 1 — 1...
169 4 59 ...
показывают, что А2 — неглавный дивизор, но он эквивалентен
дивизору E9, —1). Таким образом, As ~ А E9, —1). Норма
последнего дивизора равна 13-59 = 767, и этот дивизор делит
E — 1/^235) A + /^235) = 240 + 4]/^235. Поэтому цикли-
ческий метод
-60 0 0
767 5 47 5 ...
]) В немецком издании [G2] Disquisitiones Arithmeticae на стр. 351
ошибочно указана классификация II.3 (а не 1.3).
8.5. Примеры 395
показывает, что ^43 ~ E, *). Поскольку E, *J является диви-
зором числа 5, то Ав ~ I, но, как мы доказали выше, А2 >±> I
и Аа г*^ I. Следовательно, 6 дивизоров A, A2, As, A4, A6, Ae ~ I
принадлежат различным классам. Эти шесть классов образуют
всю группу классов дивизоров. Действительно, они содержат при-
веденные формы с коэффициентами a = 1, Ь = 0; a = 4, Ъ = ±1;
a = 5, b = 0 л a = 13, b = ±5. Другими возможными значепия-
ми a ^Z 17 являются a = 2 или a = 10, но они пе приводят к соб-
ственно примитивным формам.
Рассмотрим теперь порядок {х + г/|/бО: х, у — целые} =
—- {х + 2у\/Г15: х, у — целые}. Здесь D >0, поэтому мы долж-
ны рассмотреть дивизор (—1, *). Вычисления
7 4 4 7 7 ...
— 1 И —4 11 —1 ...
показывают, что (—1, *) не является главным дивизором. При
D = 15 простое 3 разветвляется. Поскольку 3 взаимно просто с 2,
дивизор C, *) принадлежит некоторому классу рассматриваемой
группы классов дивизоров. Этот класс не является главным:
6 2 5 5 2 6 6 ...
3—8 7—5 7—8 3...
и эти же вычисления показывают не только то, что дивизор
(—1, *)C, *) с нормой —3 не главный, но и то, что четыре дивизора
/, (—1, *), C, *) и (—1, *) C, *) принадлежат различным классам,
поскольку они приводят к разным периодам форм. Квадрат любого
из этих классов равен классу /, поэтому легко найти произведение
любой пары из этих классов. Для того чтобы доказать, что это
дает нам полное описание группы классов дивизоров, достаточно
доказать, что эти четыре класса содержат все дивизоры. Каждая
форма собственно эквивалентна форме ax2 -|- 2bxy -\- су2, для
которой а < 21/60/3 < 10. Кроме того, Ъ2 = 60 (mod a), b2 < 60
и (Ъ + | а |J > 60. В рассмотренных выше классах содержатся
формы, для которых а = ±1, ±3, ±4, ±5, ±7, ±8. При а = ±1,
а = ±3, а = ±5 возможно только одно значение Ъ. Если а = 4,
то Ъ2 = 0 (mod 4), 6 = 0 или 2 (mod 4), и случай b = 2 (mod 4),
b = 6 не включается в рассмотренные выше. Но тогда с — (Ъ- —
— D)la = —6, и эта форма не является собственно примитивной.
Аналогично, а = —4, 6 = 6 приводит к не собственно примитив-
ной форме. Если а = ±7, то возможны только два значения Ь,
b = 2 или 5 (mod а). Эти возможности содержатся в рассмотренных
выше случаях. Если а = +8, то сравнение Ъ2 = 4 (mod 8) имеет
два решения Ъ s 2 или 6 (mod 8) и соответствующие формы при-
надлежат введенным выше четырем классам. Пусть теперь а = ±2;
396 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
тогда Ъ = 6 и с -- +12, т. е. форма не является собственно при-
митивной. Наконец, если а = ±6, то Ь2 = 0 (mod 6), b =
=0 (mod 6), Ъ —- 6, с — +4 и соответствующая форма снова не явля-
ется собственно примитивной. Следовательно, группа классов
дивизоров совпадает с описанной выше группой из четырех эле-
ментов.
Наконец, рассмотрим еще один случай, разобранный Гауссом
(Disquisitiones Arithmeticae, Art. 226): группу классов дивизоров
порядка {х -•- уУЛо: х, у — целые}. Индекс s этого порядка равен
E, поскольку 45 = 32-5 и 5 == 1 (mod 4). В этом случае дивизор
(—1, *) не является главным. Однако циклический метод пока-
зывает, что E, *) ~ (—1, *), следовательно, (—1, *) E, *) ~ I.
Применяя процесс исключения, аналогичный использованному
выше, мы получим, что группа классов дивизоров содержит в точ-
ности два элемента: классы дивизоров I и (—1, *). (Значения а =
= ±2, ±3 приводят к не собственно примитивным формам;
45 не является квадратом по модулю 7, поэтому а не может быть
равно ±7; а — ±5, ±6 приводят к уже рассмотренным фор.чам.
Если а -- ±4, то Ъ = 3 или Ъ = 5 и соответствующие формы отве-
чают уже найденным выше периодам.)
Уп раж пения
Найдите rpyiiuy классов дивизоров (т, е. систему представителей и таб-
лицу умножения) следующих порядков.
1. {х + у У — 99: х, у — целые}. (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 226.
Циклическая группа шестого порядка.)
2. {х + у У"—117: х, у — целые}. (Число классов равно 8.)
3. {х + у у—531: х, у — целые}. (Disquisitiones Arithmeticae, Art. 255.
Число классов равно 18.)
4. {х + у У305: х, у — целые}. (Число классов равно 4.)
5. {х + у УШЬ; х, у — целые или нолуцелые}.
6. {х + у У—59: х, у — целые}. (Ср. с упр. 3.)
7. {х + у У—59: х, у — целые или полуцелые}.
8. {х + у У—531: х, у — целые пли полуцелые}.
9. Просмотрите любую из таблиц бипарпых квадратпчпых форм, поме-
щенных в указанных ниже источниках, и проверьте ее для различных зна-
чений D.
Cayley'A., Tables des formes quadratiques binaires pour les determinants
negatifs depuis D — —1 jusqu'a D = —100, pour les determinants positifs
non carres depuis D — 2 jusqu'a D = 99 et pour les treize determinants nega-
tifs irreguliers qui se trouvent dans le premier inillier, Jour, fur Math. (Crelle),
B. LX A862), 357—372. [См. также Cayley A., Mathematical Papers, vol. 5,
pp. 141 — 156.]
Ince E. L., Cycles of Reduced Ideals in Quadratic Fields, British Assn-
for the Advancement of Science, Mathematical Tables, Vol. IV, Cambridge
University Press, 1966.
10. Проверьте различные элемепты табл. III из книги Cohn H., A Second
Course in Number Theory, Wiley, New York, 1962.
8.6. Гауссова композиция форм 397
11. Докажите следующую лемму (мы использовали ее в § 3.3 без дока-
зательства): если а и Ь взаимно просты, то каждый нечетный делитель числа
а2 — ЪЬ2 можно записать в виде р2 — 5q2.
12. В теории Гаусса группы классов дивизоров можно следующим обра-
зом разделить на роды- Такая группа соответствует некоторому порядку
вида {х -f- у \^D: х, у — целые}. Для каждого печетпого простого делителя
детерминанта D определим характер соответствующей группы в точпости
так же, как в § 7.9. Если D = 1 (mod 4), то эти характеры образуют весь
характер. Если D = 2 или 3 (mod 4), то полпый характер содержит допол-
нительный зпак, определенный табл. 7.9.1. При D = 0 (mod 4) следует
различать два случая. Если D = 4 (mod 8), то нечетные числа вида х"- — Dy2
¦сравнимы с 1 или 5 по модулю 8, т. е. все они сравнимы с 1 но модулю 4,
и дополнительный зпак есть «+», если п =г 1 (mod 4), л «—», если п ==
= 3 (mod 4) (как и при D = 3 (mod 4)). Если D == 0 (mod 8), то нечетные
числа вида х2 — Dy2 сравнимы с 1 по модулю 8 и характер имеет два дополни-
тельных знака, в качестве которых можно взять знаки (~,') и (')• В каждом
из приведенных выше примеров из основного текста п упражнений (за исклю-
чением упр. 5, 7 и 8) и в случае порядков {х + у |/D: х, у — целые} при
D = 24, 8, —8, —16, —24 пайдите разбиепие группы классов дивизоров на
роды и определите все встречающиеся характеры. (Например, при D — GO
группа классов дивизоров состоит из 4 родов, каждый из которых содержит
один класс — классификация IV.1 в обозначениях из § 7.9. и в действитель-
ности встречаются характеры -\—|—\-, -\ —, 1 и J-.) Обра-
тите впиманпе на то, что во всех случаях в действительности встречается
ровно половина всех возможных характеров (как и в § 7.11). Гаусс доказал,
что так должно быть всегда (Disquisitiones Arithmeticae, Arts. 257—261).
8.6. Гауссова композиция форм
Вычисления из предыдущего параграфа показывают, что в про-
цессе применения циклического метода для нахождения элементов
группы классов дивизоров проще всего рассматривать эти классы
не как классы эквивалентности дивизоров, а как классы собствен-
ной эквивалентности бинарных квадратичных форм. Поэтому
может показаться естественным не прибегать вообще к понятию
классов дивизоров, а, следуя Гауссу, формулировать всю теорию
на языке бинарных квадратичных форм. Правда, против этого
есть возражение Куммера, что понятие собственной эквивалент-
ности становится естественнее, если рассматривать его с точки
зрения теории дивизоров. Однако одного этого соображения едва
ли достаточно для того, чтобы оправдать все построения теории
дивизоров.
Преимущество теории дивизоров состоит в том, что она дает
объяснение операции умножения классов. С точки зрения классов
дивизоров вряд ли можно найти более естественное умножение:
произведение класса дивизора Л на класс дивизора В равно клас-
су АВ. В то же время описать это умпожепие с точки зрения клас-
сов собственной эквивалептности форм чрезвычайно трудно.
В этом параграфе мы ограничимся лишь кратким перечислением
398 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
множества шагов, необходимых для определения этой операции.
Гаусс назвал ее композицией форм.
Тот факт, что Куммер не говорит об этом преимуществе своего
подхода, а ограничивается лишь замечанием, что его теория
«в значительной степени аналогична очень трудному разделу
De compositione formarum из книги Гаусса» [К7, стр. 325], ясно
показывает, что Куммер не разработал детально «теорию комп-
лексных чисел вида х + уУD», о которой он говорит в предыду-
щем абзаце. Другое свидетельство тесной связи между теорией
дивизоров квадратичных целых и композицией форм содержится
в письме Куммера Кронекеру от 14 июня 1846 г. [К5, стр. 68].
Здесь Куммер пишет: «[Дирихле] показал мне, основываясь на
письменных и устных замечаниях Гаусса, что Гаусс в период
завершения раздела о композиции форм в Disquisitiones Arithme-
ticae уже использовал нечто похожее на идеальные делители, но
он так и не смог найти для них прочную основу; в частности,,
в заметке о разложении многочленов на линейные множители
Гаусс говорит: «Если бы я захотел продолжать пользоваться
мнимыми величинами таким же образом, как это делали математи-
ки предшествующих поколений, то одно очень трудное из моих
ранних исследований можно было бы выполнить очень просто».
Позже Гаусс сказал Дирихле, что здесь он имел в виду компози-
цию форм».
Изобретение композиции форм было большим вкладом Гаусса
в теорию бинарных квадратичных форм. (Применение циклическо-
го метода для решения уравнений ах2 -г 2Ьху + су2 — т было
хорошо известно Лагранжу и Эйлеру, и Гаусс изложил его в своих
Disquisitiones Arithmeticae главным образом как резюме сделан-
ного его предшественниками.) Частный случай композиции форм,
который был известен задолго до Гаусса, содержится в формуле
(х2 + пу2) {и2 + nv2) = (хи - nyvJ + n (xv + уиJ, A)
показывающей, что произведение двух чисел вида х2 + пу2 снова
имеет тот же самый вид. Другим примером является формула
Bх2 + 2ху -| Зу2) Bи2 -f 2uv + 3v2) = X2 + 5Y2, B>
где
X = 2хи + xv + уи — 2yv,
Y = xv + уи + yv.
Эту формулу можно использовать для доказательства гипотезы
Ферма о числах вида х2 + by2 (см. упр. 1).
Вообще, бинарная квадратичная форма ах2 + 2^ху + уу2 на-
зывается композицией двух других форм ах2 + 2Ъху + су2 и
а'х2 -'- 2Ъ'ху -f- c'y2, если существует равенство вида
(ах2 + 2Ъху + су2) (а'и2 + 2b'uv + c'v2) = aX2 + 2$XY
8.6. Гауссова композиция форм
39»
где X B.Y — билинейные функции от (х, у) и (ы, у), т. е.
X = рхи + p'xv + ?>"г/ы + pmyv,
Y = дкш + q'xv + <?/ы + q"'yv
с данными целыми ?>, р', р", р"\ q, q', q", q'", и где шесть опре-
делителей
Р Р' Q= Р Р"
q q' q q"
р' р" т= р' р"
" ' q' q"
U =
р"
не имеют общих делителей, больших 1. Последнее условие относи-
тельно Р, Q, R, S, T, U является условием типа невырожденности.
Гаусс не дает для него никакой мотивировки (как, впрочем, и для
других аспектов этой теории).
Путем мощных алгебраических выкладок Гаусс показывает,
что в любой композиции форм тройка целых чисел (Р, R — S, U}
пропорциональна (а, 2Ь, с), a (Q, R + S, Т) пропорциональна
(а', 2Ь', с'). Например, в композиции A) наборы р и q равны
1 0 0 — п
0 11 0
поэтому Р = 1, Q = 1, R = 0, S = 0, Т = п, U = п, (Р, R — S,
U) = A, 0, п) и (Q, R -'- S, Т) = A, 0, п). Аналогично, в ком-
позиции B) наборы р и q равны
2 11—2
0 11 1
следовательно, Р = 2, Q - 2, R = 2, 5 = 0, Т = 3, U = 3,
(Р, Л - S, U) = B, 2, 3) и (Q, R + S, Т) = B, 2, 3). Если
первый из этих коэффициентов пропорциональности положителен,
то Гаусс говорит, что форма а'х2 + 2Ъ'ху + с'у2 входит в эту
композицию прямо, а если этот коэффициепт пропорциональности
отрицателен, то форма входит в композицию обратно. Аналогично,
форма ах2 -f 2Ъху -\- су2 входит в композицию прямо или обратно,
если коэффициепт пропорциональности между (Q, R + S, Т)
п (а', 2Ъ', с') соответственно положителен или отрицателен. Таким
образом, в приведенные выше композиции обе формы входят пря-
мо. В то же время в композиции
(х2 + пу2) (и2 + nv2) = (хи + nyv) 2 + п (xv — yuf
наборы р и q равны
10 On
0 1-10
400 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
следовательно, Р = i, Q = — 1, Д = 0, 5 = 0, Т -= — п, U = п,
(Р, R — S,U) = A, 0, п), (Q, Д + S, Т) = (-1, 0, -п), и пер-
вая форма входит в композицию обратно, а вторая — прямо.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие компози-
ции, в которые оба сомножителя входят прямо. Основные резуль-
таты Гаусса о композиции форм кратко можно сформулировать
следующим образом. Гаусс доказал *), что операция композиции
корректно определена на множестве классов собственной эквива-
лентности бинарных квадратичных форм данного детерминанта
(по этой причине различение собственной и несобственной экви-
валентности пеобходилю для теории Гаусса) и что она определяет
на множестве классов собственно примитивных форм структуру
коммутативной группы. Подробнее, среди прочих результатов
Гаусс доказал следующее.
A) Предположим, что F можно записать в виде композиции /
и /', a F' — в виде композиции / и /". Если /' и /" собственно
эквивалентны, то F и F' собственно эквивалентны.
B) Если F люжпо записать в виде композиции / и /', то F можно
записать в виде композиции f и /. (Это просто.)
C) Колшозиция, рассматриваемая с точностью до собственной
эквивалентности, ассоциативна. Точнее, предположим, что F —
композиция / и /', F — композиция F и /", F' — композиция /'
и /" и '?' — колшозиция / и F'; тогда Р п .f собственно эквива-
лентны. (Это необычайно трудно. Сл1. Disquisitiones Arithmeticae,
Art. 240.)
D) Если заданы две формы / и /' с одним и тем же детерминан-
тол1, то можно найти третью форму ?, которая имеет тот же детерми-
нант и является композицией / и /'. (Это далеко не очевидно.)
E) Если заданы две собственно примитивные формы / и /',
то найдется такая собственно примитивная форлт /", что компо-
зиция / и /" собственно эквивалентна /'. (См. Art. 251.)
Обратите внимание, что Гаусс повелительным жестол! опреде-
ляет композицию для любых двух форм, хотя при фактическом
вычислении класса композиции ради удобства можно заменять
формы па собственно эквивалентные (согласно A)). Это можно
¦следующим образом использовать при вычислении композиции
двух собственно примитивных форм ах2 + 2Ъху -\- су2 и а'х2 +
+ 2Ъ'ху + с'у2 с одним и тем же детерминантом Ъ2 — ас =
'2 ''
- а'с'.
Согласно § 8.3, можно предположить (не ограничивая общно-
сти), что а нечетно и взаимно просто с D — Ъ2 — ас. Аналогично,
люжио считать, что а' нечетно и взаимно просто ей и а. Замена
перемеппых х' = х + пу, у' = у дает нал! новую форму, соб-
]) Гаусс сделал даже больше того, что здесь описано, поскольку он рас-
сматривал композицию форм разных детерминантов.
8.6. Гауссова композиция форм 401
ственпо эквивалентную исходной. В этой форме а остается преж-
ним, а Ъ заменяется па Ъ -\- па. Следовательно, Ъ можно заменить
на любое число, сравнимое с Ъ по модулю а. Аналогично, Ъ' можно
заменить па любое число, сравнимое с Ъ' по модулю а'. Согласно
китайской теореме об остатках, существует такое целое В, что
В s Ъ (mod а) и В = V (mod а'); поэтому, не ограничивая общно-
сти, можно предположить, что формы, композицию которых мы
составляем, имеют вид ах2 + 2Вху + су2 и а'х2 + 2Вху -4- с'у2,
где а и а' — нечетные целые, взаимно простые друг с другом
и с D. Но В2 — D = ас = а'с' и а, а' взаимно просты; следова-
тельно, В2 — D = аа'е для некоторого целого е и рассматриваемые
формы имеют вид ах2 -+- 2Вху + а'еу2 и а'х2 + 2Вху -\- аеу'г.
Короче говоря, без ограничения общности можно считать, что
а и а' — нечетные целые, взаимно простые друг с другом и с D,
и что Ъ = 6'; в этом случае с = а'е и с' = ае при некотором
целом е. Поэтому задача сводится к нахождению композиции двух
таких форм. После трудных вычислений (Disquisitiones Arithme-
ticae, Art. 243) Гаусс объявляет, что в этом случае форма аа'х2 +
+ 2Ъху + еу2 является композицией ах2 -~ 2Ьху + а'еу2 и а'х2 +
-г 2Ьху -f- aey2. Это утверждение можно проверить непосредствен-
но, воспользовавшись уравнением
{ах2 + 2Ъху + а'еу2) (а'и2 + 2buv + aev2) = aa'X2 + 2bXY +eY2,
C)
из которого мы должны найти X и Y. Поскольку аа'е = Ъ2 — D,
первый множитель в левой части можно записать в виде
[(axTby)( + )y]N[(ax + y)
Остальные две формы также можно переписать аналогичным обра-
зом, и, умножив обе части уравнения C) на аа', мы приведем
его к виду
N [ax-rby~y\/ D] N [a'u + bv-vVD]^ N [aa'X + bY-Y \/Ъ].
Поскольку норма произведения равна произведению норм, это
наводит нас на мысль о том, что
aa'X + bY — YУ D^ {ах + Ъу — уУ D) {а'и-f-bv— иУЪ) =
= — У D [axv-f byv + a'-yu-f byv] -f aa'xu-\- abxv -\-
Y — axv -{- byv + a'yu -f byv,
aa'X = aa'xu + abxv -f a'byu -f bzyv -f Dyv — bY =
= aa'xu + 0-xv + 0-yu — b2yv -f Dyv,
X — xu — eyv.
26 Г. Эдварде
4'>2 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
(Гаусс, конечно, не одобрил бы использование У D в этих вычис-
лениях.) Эти вычисления можно обратить, и при определенных
таким образом X и Y выполняется равенство C); при этом набо-
ры р и q равны
1 0 0 — е
О а а' 2Ь
Следовательно, Р = a, Q = а', R = 2Ъ, S = О, Т = еа, U = еа'.
Таким образом, равенство C) описывает композицию (при взаимно
простых а и а'), в которую обе формы входят прямо.
Утверждение о том, что гауссова композиция совпадает с есте-
ственной композицией дивизоров, можно доказать следующим
образом. В этом случае снова достаточно ограничиться нечетными
а и а', взаимно простыми друг с другом и с D, и Ь — Ъ'. Тогда
в теореме из § 8.3 форма ах2 + 2Ъху + суг соответствует дивизо-
ру А, который удовлетворяет условиям N (А)=а, b=\ D (mod A).
Аналогично, а'х2 -\- 2Ъху -j- c'y2 соответствует А' с N (А') = а'
и Ь= \'Ъ (mod А'). ТогдаJV (АА') = аа' шЪ = УЪ (mod AA')
(поскольку дивизор Ъ— ]/D делится на единственный дивизор
с нормой а и на единственный дивизор с нормой а', а целые а и а'
взаимно просты). Этот дивизор соответствует форме аа'х'1 -(-
-\- 2Ъху --)- еу2, где е = (b'1 — D)laa', что и требовалось показать.
У пражнения
1. Используйте формулу B) для доказательства гипотезы Ферма, соглас-
но которой произведение двух простых рг, рг= 3 пли 7 (mod 20) имеет вид
РхР2 = х2 -\- 5г/2. [Докажите, что при р г 3 или 7 (mod 20) существует бинар-
ная" квадратичная форма рх2 -j- Zdxy -!- еу2 с детерминантом —5. Эта форма
эквивалентна либо х2 + 5г/2, либо 2х2 -|- 2ху + Зг/2. Так как р не предста-
вило в виде р — х2 -\- 5у2, то оно должно иметь представление р = 2х2 +
+ 2ху -J- Зу2.] Обратите внимание на то, что эта гипотеза, по существу,
утверждает, что при D = —5 группа классов дивизоров состоит из двух
элементов.
2. Найдите квадрат (относительно композиции) формы 4х2 + 9у2. Найди-
те класс этого квадрата, подобрав собственно эквивалентную форму, которая
отвечает некоторому дивизору, и возведя в квадрат соответствующий диви-
зор. [См. упр. 3 к § 8.1.]
8.7. Уравнения второй степени с двумя неизвестными
Самое общее уравнение первой степени с двумя неизвестными
ах — by + с = 0, в котором коэффициенты а, Ъ, с и искомые
решения х и у являются целыми числами, можно решить при
помощи алгорифма Евклида (см. упр. 1). Самое общее уравнение
второй степени с двумя неизвестными ах2 — Ъху -~ су'1 + dx —
+ еу -J- / = 0 можно решить, если выделить полные квадраты,
8.7. Уравнения второй степени с двумя неизвестными 403
приведя его к виду ах2 + 2$ху + уу2 = т, а затем воспользовать-
ся циклическим методом (как и в § 8.2).
Лагранж [L1] выделяет полные квадраты следующим образом.
Прежде всего запишем данное уравнение в виде уравнения относи-
тельно х, коэффициенты которого являются полиномами от у,
т. е. ах2 -\- (by + d) x + (су2 + еу -f /) = 0. Умножив обе части
на 4а, получим
Bах + by + dJ - (by + dJ -f 4a (q/2 + ey + /) = 0.
Пусть t = 2ax + by + d; запишем уравнение в виде ay2 +
+ 20г/ + у = f2, где а = Ь2 — 4ас, 0 = bd — 2ае и 7 = d2 — 4а/.
Умножив обе части на а, получим (ау + РJ — р2 + ау = at2,
или, проще, w2 — at2 = то, где
/ а = Ь2 — 4ас,
a f и и — целые числа:
t = 2ах + by + d,
и = ay + р = (Ь2 — 4ас) г/ + W — 2ае.
Каждое решение х, у исходного уравнения дает единственное-
решение t, и нового уравнения и1 — at2 = т. Обратно, решение
нового уравнения получается из решения исходного уравнения
тогда и только тогда, когда рациональные числа
^da A)
являются целыми, т. е. в том и только в том случае, когда
и == р (mod a), at — Ъи -\- Ьр — da = 0 (mod 2аа). B)
Таким образом, общее решение данного уравнения можно найти,
используя циклический метод для решения уравнения и2 —at2 —
= т, а затем отбрасывая все решения, которые не удовлетворяют
сравнениям B), и определяя х и у по формулам A) для тех реше-
ний, которые удовлетворяют этим сравнениям.
(Если а = 0, то при (Ь, с) Ф @, 0) можно при помощи обрати-
мой замены координат свести данную задачу к уравнению, в кото-
ром а Ф 0. Если а = 0, то уравнение имеет простое решение —
см. упр. 2.)
Этот способ пока еще нельзя считать решением нашей задачи,
поскольку исключение решений (t, и), которые не удовлетворяют
сравнениям B), требует бесконечного числа шагов. Если бы такой
процесс можно было считать «решением», то нам пришлось бы
считать «решением» и множество всех пар целых чисел (х, у),.
28»
404 Гл. 8. Гауссова теория бинарных квадратичных форм
которые остаются после исключения всех пар, не удовлетворяю-
щих уравнению ах2 + Ьху + су1 + dx + еу + / = 0. Однако
процесс исключения для сравнений B) можно следующим обра-
зом свести к конечному числу шагов.
Если а < 0 или а является квадратом и т Ф 0, то уравнение
и2 — at2 = m имеет конечное число решений. Их можно выписать
в явном виде, а затем отбросить решения, не удовлетворяющие
сравнениям B). Если а является квадратом и т = 0, то существу-
ет бесконечно много решений, по все они имеют простой вид
и = ± kt (k2 = a, t — целое) и вопрос о том, удовлетворяет ли
такое решение сравнениям B), зависит только от знака ±к и от
класса t по модулю 2аа. Следовательно, можно указать два (конеч-
ных) списка классов вычетов по модулю 2аа, таких, что общее
решение имеет вид и = kt, где t принадлежит первому списку
классов вычетов, или и = — kt при t, принадлежащем второму
списку.
Наконец, если а — положительное целое, не являющееся
квадратом, то уравнение и2 — at2 = m либо вообще не имеет
решений, либо имеет конечное число бесконечных последователь-
ностей решений вида
u + tVa = (X + YVa){U + TVa)% C)
где U + ТУ а — основная единица, п пробегает все целые числа,
X + Y\/ а может быть одним из конечного числа квадратичных
целых. Поэтому достаточно показать, что для любой последова-
тельности вида C) можно перечислить те значения п, для кото-
рых t и и удовлетворяют сравнениям B). Так как существует
только конечное число значений (U + Т\^а)п по модулю 2аа,
то должны существовать различные целые i и /, для которых
{U + ?У а)' = (U + ТУ а)' (mod 2аа). Единица U + Т]/а
имеет обратный элемент, а именно ± (U — ТУа), поэтому (U +
+ ТУа)* = 1 (mod 2аа) при к = i — /. Следовательно, форму-
ла C) дает значения t и ы, удовлетворяющие сравнениям B),
тогда и только тогда, когда она дает такие значения при замене п
на п + к. Таким ]образом, для того чтобы проверить все решения
вида C), достаточно проверить только те решения C), для которых
п = 0, 1, 2, . . ., к — 1.
Это завершает решение уравнения ах2 + Ьху + су2 + dx +
+ еу + / = 0. По существу, приведенное здесь решение совпа-
дает с решением Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae, Art. 216.
Однако Гаусс пользуется более симметричной заменой переменных
для выделения полных квадратов, и это приводит к более строй-
ным формулам.
8.7. Уравнения второй степени с двумя неизвестными 405
Упражнения
1. Решите уравнение ах + by -f- с = 0 следующим образом. Сначала
докажите, что уравпепие неразрешимо, если с не делится на наибольший
общий делитель d чисел а та. Ъ. Алгорифм Евклида дает d = аи -\- bv. Вос-
пользуйтесь этим для нахождения одного решения уравнения ах +\fiy + с = 0
в любом случае, когда такое уравпение имеет решение. Покажите, что раз-
ность двух решений удовлетворяет уравнению ar -f- bs = 0. Завершите реше-
ние задачи, найдя общее решение уравнения ar -\- bs = 0.
2. Сведите следующим образом решение уравнения ах2 + Ъху + су2 +
+ dx + еу -\- f = Q к случаю а Ф 0, а = б2 — 4ас =^ 0. Если а = 0, но
с =7^= 0, то, меняя г и г/ местами, получаем а Ф 0. Если а = с = 0, но 6 ф 0,
то гн-»1, yt—*x -\- у — обратимая замена переменных, которая дает а Ф 0.
Если а = 6 = с =- 0, то уравнение имеет первую степень. Это показывает,
что даппое уравпоние можно привести к виду ау2 + 2$у + у = г2, и при
а ф 0,1. е. если уравнение ве имеет вида[2Cг/ + у = 22, можно воспользо-
ваться дальнейшим приведением из основного текста; здесь t = 2ах -\- by + d.
При помощи этих двух уравнений выразите х и у через t и 22. (Случай |3 = О
следует исключить и рассмотреть отдельно.) Покажите, что t определяет
решение исходного уравнения тогда и только тогда, когда t + 4a|3 опреде-
ляет такое решепие; заключите отсюда, что все решения исходного уравне-
ния можно найти за конечное число шагов.
3. Напишите программу для ЭВМ, которая решает уравнение ах2 +
+ Ъху + су2 + dx + еу + / = 0 в целых числах при данных целых а, Ъ, с,
d, e, /. [Возможно, для выделения полного квадрата предпочтительпее поль-
зоваться методом Гаусса.]
4. Найдите все решения уравнения х2 + 8ху + у2 + 2х — 4г/ + 1 = 0.
[Disquisitiones Arithmeticae, Art. 221.]
5. Найдите все решения уравнения Зх2 -\- Аху — Ту2 = 12. [Disquisitio-
nes Arithmeticae, Art. 212.]
Глава 9
ФОРМУЛА ДИРИХЛЕ
ДЛЯ ЧИСЛА КЛАССОВ
9.1. Формула эйлерова произведения
Эта глава посвящена формуле Дирихле для числа элементов
в группах классов дивизоров из гл. 7 и 8. Конечно, в изложении
Гаусса это группы классов собственной эквивалентности бинарных
квадратичных форм, а групповая операция — композиция форм.
Хотя Дирихле и следовал терминологии Гаусса, здесь нам удобнее
рассматривать эти группы как группы классов дивизоров.
Как показано в § 6.2, основная идея, на которой основана
формула Дирихле, содержится в формуле эйлерова произведения
^ 11 ^
Здесь Р пробегает все простые дивизоры, а А — все дивизоры.
(Для групп классов дивизоров из гл. 8 области изменения Р и А
ограничиваются простыми дивизорами и теми дивизорами, которые
взаимно просты с индексом рассматриваемого порядка квадратич-
ных целых. Этому случаю посвящен § 9.6. До § 9.6 мы будем
рассматривать только группы классов дивизоров полного порядка
всех квадратичных целых для данного свободного от квадратов
детерминанта D, т. е. группы классов дивизоров из гл. 7.)
По существу, формула эйлерова произведения представляет
собой новую формулировку утверждения, что любой дивизор А
может быть записан одним и только одним способом в виде произ-
ведения степеней различных простых дивизоров Р. В самом деле,
формально
1 ^
1 N (P)s ¦ N (P*)s ¦'¦ К)
N (P)s
и бесконечное произведение в A) можно разложить, выбирая сла-
гаемое 1 во всех, за исключением конечного числа, мпожителях,
а из остальных множителей выбирая слагаемые N (P')~s. Настоя-
щее доказательство формулы A) при вещественных s > 1 легко
получить тем же способом, что и в § 6.3. Произведение в правой
части сходится, поскольку ^]iV (P)~s < ^2р-в ^Уп-* < оо.
Любая конечная сумма вида j]iV D)-s в левой части меньше
некоторого частичного произведения из правой части; в то же
время любое частичное произведение в правой части равно беско-
9.2. Первый случай 407
нечной сумме слагаемых, каждое из которых входит в левую часть
(перемножение нескольких абсолютно сходящихся рядов вида B)).
Следовательно, ^N (А)-* < [] A - 7V (Р)-8)-1 < ^N (A)-s.
Как и в гл. 6, мы выведем формулу для числа классов, умножив
формулу эйлерова произведения на s — 1 и взяв предел при s \ 1.
В правой части этот предел будет равен числу L A, %), что можно
будет записать в виде бескоиечной суммы, зависящей от D, а затем
эту сумму вычислить в явном виде. Сумма в левой части разобьется
на h сумм (по одной для каждого класса дивизоров), и предел при
s { 1 каждой из этих сумм будет одним и тем же числом. Следо-
вательно, предел левой части равен h lim (s — 1) *>\N (^4)"s, где
суммирование ведется по всем главным дивизорам А. Этот предел
можно вычислить, записав его в виде суммы по квадратичным
целым и заменив сумму интегралом, который находится при
помощи интегрального исчисления.
Конечно, Дирихле в своем доказательстве формулы числа
классов не пользовался формулой эйлерова произведения в виде
A): его работа появилась даже раньше, чем теория Куммера иде-
альных круговых целых, не говоря уже о значительно более позд-
ней теории идеальных квадратичных целых. Однако справедливо-
сти ради следует сказать, что формулу A), по существу, можно
найти в работе Дирихле ([D7], § 90); в ней недоставало лишь под-
ходящего словаря, для того чтобы сформулировать (и доказать)
ее в простом виде A).
Как и при определении и изучении основных свойств числа
классов, следует рассмотреть много частных случаев: D > 0 или
D < 0, D = 1 или D ф 1 (mod 4), D свободно от квадратов или
D = tf-D'. Попытка рассматривать все эти случаи единообразно
не будет ни поучительной, ни полезной. Поэтому в следующих
параграфах мы будем разбирать эти случаи по одному. Действи-
тельно важна лить единая идея, заложенная в формуле A),
плюс горстка приемов, которые используются при вычислении
пределов обеих частей этой формулы, умноженных на s — 1,
при s | 1.
9.2. Первый случай
Самый простой случай формулы числа классов — это'случай,
когда D < 0, D Ф 1 (mod 4) и D свободно от квадратов. В этом
случае правая часть формулы эйлерова произведения равна
II A '-)-' =
11 \ n (P)s)
р
1 \-i
11 (
р раз-
ветвляются
1-гЦ П (i
Jps J 1.1. \
V рас-
падаются
1 \
Ps )
" И
р остаются
простыми
408 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
—f) П (i-» 2
P P pai
падаю
= ^5)ПA-(р)^
p рас- v остаются
падаются простыми
-1
где ? (s) — обычная дзета-функция Римапа (см. § 6.3) и где (^)
равно 0, 1 или —1 в зависимости от того, разветвляется, распада-
ется или остается простым р в квадратичных целых детерминан-
та D (Если р = 2 или р | D, то (D) — 0. В противном случае (D)
равно символу Лежандра.)
Поскольку lim (s — 1) ? (s) при s { 1 равен 1 (см. § 6.3),
предел правой части, умноженной на s — 1, при s { 1 равен
пределу при s \ 1 произведения |j A — (j")/)""). Как было
замечено в § 7.8, определение (D) можно распространить с про-
стых целых р па все целые, взаимно простые c4Z), таким образом,
что ^п°п ) = ^п ) (п-)• Следовательно, рассматриваемое произве-
депие можно формально записать в виде суммы
где произведение берется по всем простым р, которые не делят 4D,
а сумма — по всем целым п, взаимно простым с AD. При s > 1 это
легко доказать перегруппировкой абсолютно сходящихся рядов.
В § 7.8 мы заметили также, что (\ является характером
по модулю AD, т. е. справедливо не только соотношение (Dn ) =
= (п ){п)'1 но и (п+41)) = (п)* Сумма значений этого характера
равна 0 (половина классов являются распадающимися, а поло-
вина—нераспадающимися), поэтому, как и в § 6.5, можно вос-
пользоваться суммированием по частям и доказать, что ряд
2 (^)n~s условно сходится при s>0e определяет непрерывную
функцию от s при s>0. Следовательно,
n=l
9.2. Первый случай 409
где (°) считается равным 0 при п, ие взаимно простом с 4D,
а условно сходящийся ряд в правой части суммируется в естест-
венном порядке. По традиции это число обозначается через L A,'/),
где % — характер % (п) = (^) по -модулю 4D, a L (s, %) =
= Зх {n)n~s (как и в гл. 6).
Это завершает вычисление предела при s j, 1 умноженной на
s — 1 правой части формулы эйлерова произведения
V * = 1 Т A *_\-1
^_' N (А)> 11 \ N (Р)Ч '
Рассмотрим теперь левую часть этой формулы. Как и в § 6.8, пре-
делы суммы N (A)~s по любым двум классам эквивалентности
дивизоров А совпадают, поэтому
s 4-1 sii А—главные
где h — число классов. Если D Ф —1, то имеется в точности две
единицы ±1 и каждый главный дивизор является дивизором двух
и только двух квадратичных целых. Таким образом, при D Ф —1
А-главные (ж, у)=?@, 0)
При D = —1 множитель 1/2 следует заменить на 1/4. При s | 1
сумма в правой части стремится к бесконечности так же, как
интеграл
{x2—Dy*)-sdxdy.
1
Точнее, разность между этими двумя величинами остается ограни-
ченной при s | 1. Это легко доказать (упр. 3).
Данный интеграл можно вычислить при помощи замены
переменных:
2 —
(х
-Dz'-Dy'^l
= \Drs\D\i!2
2—2s
iD pi/2 s-1
-410 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
Следовательно, при Т>Ф— 1
lim(s-l) 2 ЛГ 4
(s) 2 Л(Г й4Шя| \ | О\Щ=.
* 1 » И 2 у | В j
При D = —1 следует заменить в знаменателе 2 на 4.
Таким образом, если D <с 0, D ф 1 (mod 4), Z) свободно от
квадратов и D Ф —1, то
оо
fen vi /D> 1
2/j~PT= ^ ^7Г"
При Z) = —1 знаменатель 2 в левой части превращается в 4.
Примеры. Если D = —1, то значение (л) равно 1 при п =
= 1 (mod 4), —1 при п s 3 (mod 4) и 0 при четном п. Для гаус-
совых целых чисел имеет место однозначность разложения на
множители, поэтому число классов равно 1. Следовательно, фор-
мула для числа классов
Т~^ ~Т Г~Т+ •"
совпадает с известной формулой из анализа, открытой Лейбницем.
Приведенное здесь доказательство, которое основывается на свой-
ствах разложения гауссовых целых чисел, по существу, дано
Гауссом [G2, стр. 655—677]. Конечно, оно совершенно не похоже
на обычное доказательство, которое сводится к обоснованию фор-
мулы arc tg x — х — '/з^3 т '/5 з;5 — ¦ • • при х = 1. Если фор-
мулу Лейбница считать известной, то формула Дирихле показыва-
ет, что h = 1 1).
При D = — 2 число классов равно 1 и формула Дирихле дает
Эта замечательная формула была известна Ньютону (см. его зна-
менитое письмо Ольденбергу [N2] от 24 октября 1676 г.). Если
1) Как указал Шенкс, из формулы
, л , I1 . 1 1 ,
¦следует, что h = 1, ибо очевидно, что
л л л _
Следовательно, доказанная формула влечет за собой и равенство fe = 1,
и формулу Лейбница.
9.3. Второй случай 411
доказать формулу Ньютона другим способом, то формула Дирих-
ле показывает, что h = 1 при D = —2.
При D = —5 число классов равно 2 и формула Дирихле дает
YW~ ' 3 """ 7 + 9 11 ~ 13 ~ 17 19 "*" 21 '••••]
Здесь суммирование ведется по всем целым, взаимно простым с 20;
слагаемое положительно при п == 1, 3, 7 или 9 (mod 20) и отрица-
тельно при п=11, 13, 17 или 19. Другое доказательство этой
формулы, которое позволяет заключить, что h = 2, будет при-
ведепо в § 9.5.
В общем случае формула числа классов связывает h с
^ (°) — = L A, %). Если /г известно, то эта формула дает значе-
ние L A, х). Обратно, если можно найти L A, х)-> то можно полу-
чить и значение /г. В § 9.5 будет дап метод вычисления L A, х)-
В одних случаях это дает простой способ вычисления h, в других
же этот способ сложнее, чем непосредственное вычисление мето-
дами гл. 7.
Упражнения
1. При каждом D в интерпале —5 > D > —20, для которого примени-
мы рассуждешш из этого параграфа, опишите явно характер (Г1) и найдите
значение L A, %)' вычисляя h.
2. Зависит ли L A, %) от порядка суммирования ряда?
3. Докажите, что сумма значений {х2 — Dy2)~s по всем точкам хг/-пло-
скости с целыми коэффициентами (кроме х = 0, у — 0) отличается от инте-
грала фупкции (хг — D;/")~s dx dy по внешности эллипса х2 — Dy* = 1 па
величину, которая остается ограниченной при sj.1. [См. § 6.12,]
4. Докажите, что в пределе при s \ 1 сумма значений Ж (Л)"8 по классу
дивизоров не зависит от выбора класса. [См. § 0.13.]
9.3. Второй случай
В этом параграфе мы получим формулу для числа классов
дивизоров при положительном, свободном от квадратов и не срав-
нимом с 1 по модулю 4 детерминанте D. Напомним, что при D > 0
определение «дивизора» требует рассмотрения (—1, *). Следова-
тельно, в формуле эйлерова произведения
N
при -Р, пробегающем все простые дивизоры, А пробегает не все
дивизоры, а только те, которые не содержат (—1, *), т. е. только
те дивизоры А, для которых N (А) > 0.
412 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
Точно так же как и в случае D < 0 из предыдущего параграфа,
получается формула
оо
lim(s-l) 11A-ЛГ(Р)-Г«=2(?IГ-
n=i
Здесь функция */ (п) = (") является характером по модулю ADT
т. е. % (пгщ) = % К) % (п2) и х (п + 4D) = х (п); число в пра-
вой части этого равенства также обозначается через L A, "/)•
Как и раньше, получается формула
lim(s—1) ^ N (A)-S = h\im(s— 1) ^ N (А)-'. B)
sjl Л'(Л)>0 stl А-главные
Для этого достаточно доказать, что каждый из h классов содержит
дивизоры с положительной нормой. Последнее утверждение сразу
следует из замечания, что дивизор элемента У D равен (—1, *) А,
где дивизор А имеет положительную норму, так что (—1, *) ~ At
где N (А)>0.
Для вычисления предела в правой части B) следует, как
и раньше, переписать сумму в виде суммы по квадратичным целым,
а затем последнюю сумму заменить интегралом. Поэтому прежде
всего мы должны для каждого главного дивизора А с N (А) > О
найти способ выбора квадратичного целого с дивизором А. Это
можно сделать следующим образом.
Пусть е — основная единица квадратичных целых детерминаи-
та D, так что е = и + v]/ D, где и > 0 и v > 0. Тогда произ-
вольная единица имеет вид ±еп (п — целое); пусть Е = е при
N (е) = 1 и Е = е2 при N (е) = —1. Если х + уУ D — квадра-
тичное целое с дивизором А, то произвольное квадратичное целое
с дивизором А можно представить в виде ±Еп (х + у]/D)
(п — целое). Так как Е = U + F]/ D, где U и V — положитель-
ные целые, то методом из § 7.5 нетрудно доказать, что для любого
данного х + у\/D коэффициенты х' и у' элемента х' + у'У D =
= Еп (х + уУ D) при достаточно большом п имеют одинаковые
знаки (упр. 2). Следовательно, каждое квадратичное целое имеет
тот же дивизор, что и некоторое квадратичное целое из «первой
четверти», и для каждого главного дивизора А можно выбрать
квадратичное целое х + у У D с дивизором А, для которого х ^ 0,
у ^ 0. Как и выше, мы получаем, что Еп (х — yY"D) принадлежит
первой или третьей четверти при достаточно большом п (т. е. коэф-
фициенты Еп (х — уУ D) имеют одинаковый знак при большом п),
поэтому сопряженное к нему квадратичное целое Е~п (х + у у D)
9.3. Второй случай 413
не принадлежит первой четверти при большом п. Пусть п —
наименьшее положительное целое, для которого Е~п (х + yV D)
не принадлежит первой четверти. Тогда х' + у'У D = E~n+1 (x +
+ у У D) имеет тот же дивизор Л, что и х + у/ Z), и принадлежит
первой четверти х', у' ^ 0 (действительно, либо п = 1 и х' +
+ ууЪ = х + у\/Ъ, либо п>1 и я' + уУД = Я-1"' (я +
+ у\/D) принадлежит первой четверти согласно выбору п), но
Е'1 (х' + y'V D) — Е'п (х -f- У К-О) первой четверти не принад-
лежит. Для каждого главного дивизора А существует только одно
такое х + y'V D. Действительно, если х + у'\/ D их" + y"V~D
имеют один и тот же дивизор, принадлежат первой четверти и Е'1
выводит их из первой четверти, то прежде всего х + у'\/ D —
= ± Еп {х" + у"\/'D) при некотором целсш п. При необходимо-
сти меняя местами х' + у'\/D и х" + у"УD, можно считать п
неотрицательным. Поэтому, поскольку все коэффициенты неотри-
цательны, мы получаем, что х' + y'V D = Еп {х" + у"У D) при
п > 0. Если п > 1, то ?¦-! (ж' + у'У^Ъ) = ^J"-1 (ж' + y"\/D)
принадлежит первой четверти, что противоречит предположению.
Следовательно, п = 0, что и требовалось показать. Таким обра-
зом, для каждого главного дивизора А найдется одно и только одно
квадратичное целое х -\- у /D с дивизором А, которое принадлежит
первой четверти (х, у ^ 0), но которое выводится из нее умноже-
нием на Е'1.
Единица Е~г равна U — \ТУ D3 где U и V положительны,
так что это целое х + у\/D должно обладать тем свойством, что
(U — V\^D) (x + yV'D) не принадлежит первой четверти, т. е.
Ux — VyD, или Uу — Vx, или и то и другое вместе должны
быть отрицательными. Если норма х + у |/ D положительна
и Uy - Vx > 0, то (Uy - Vx) x > 0, Uxy - Vx% > 0, Uxy -
-Vx2 + V (x* - Dy2) > 0, у (Ux - VyD) > 0 и Ux - VyD > 0.
Следовательно, С/у-7г<0и0^1/< (V/U) x. Обратно, если
x + yVD удовлетворяет условиям 0 ^ x, 0 ^ у < (V/U) x, то
x + yY~D принадлежит первой четверти, но Е'1 (х + y^D) первой
четверти не принадлежит. Следовательно, главный дивизор А
с нормой N (А) > 0 является дивизором одного и только одного
квадратичного целого х + yVD, для которого 0 5^ х и 0 5^ t/i/ <C
<С Fx. Таким образом,
.3 л D)-= 2 S (^-Дг/2)-'. C)
А-главные ж=1 0<С7у<Ух
ЛГ(АH
414 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
Легко показать, что сумма в правой части при s \ 1 на ограни-
ченную величину отличается от интеграла
=гд<-2.+ 1)/2 I (Z2_tfu)-dzdif.
Этот интеграл можно вычислить, используя замену переменных
z = г ch 9, у — г sh G, z2 — уг =-¦ г2, dzdy = rdrdQ. При каждом
фиксированном г переменная 9 иробегает значения от 0 (где z = г,
у=0) до тойточки, где Uy = Vz\/ D JU sh 9 = V]/ Ъ ch 9, U (e2e —
-1)=--F|/D(e2e+1), e20 (U—VyD) = U + F|/?>, e20^-1 = ?,
e2o = E2, 0 = log ?¦. Следовательно, этот интеграл равен
Таким образом, умноженная на s — 1 сумма C) при s \ 1 стре-
мится к пределу, равному (log E)/2\/ Z), и умножение обеих частей
равенства A) на s — 1 с последующим переходом к пределу при
s \ 1 дает требуемую формулу
оо
h log E _ sp . р . 1
2 УЪ ^ У I п '
Здесь Е — основная единица с нормой 1, т. е. Е = е, если N (е) =
= 1, и Е = е2, если N (е) = —1.
Примеры. Если D = 2, то е = 1 + V2, N (е) = —1» h = \
и (°) равно 1 при п ^ + 1 (mod 8), —1 при п = ± 3 (mod 8)
и 0 при четном п. Следовательно, формула Дирихле принимает вид
log (l+ V2) _ . 1_ J_ . J_ i J 1
/1 ~1~т~"+у+9 tt ••••
Если D = 3, то e = 2 + |/3~, iV (8) = 1, A = 2 и О Равно 1
при п ^ 1 или 11 (mod 12), —1 при п = 5 или 7 (mod 12) и О
в остальных случаях. Следовательно,
IogB+/3) _„ 1 _ 1 , 1 , li i__
i/ч 5 7 + 11 + 13 17 • * • '
9.4. Случай D •= 1 (mod 4) 415
Если D = 7, то е = 8 + 3^7 = E, h = 2 и формула Дирих-
ле имеет вид
log
n=i
где х(п) = l цри и = ± 1, ±3 или ±9 (mod 28), % (n) = —1
при n = ± 5, ±11 или ±13 (mod 28), -/ (n) = 0 в остальных слу-
чаях. Конечно, здесь условно сходящийся ряд ^]х (п) п~1 сумми-
руется в естественном порядке.
Упражнения
1. При каждом D из пптерпала 7 < D < 20, m.ih которого применимы
рассуждения данного параграфа, найдите h, E их, входящие в формулу числа
классов.
2. Пусть X — х + i/)/^ — произвольное квадратичное целое п Е —
определенная в этом параграфе единица. Докажите, что коэффициенты
ЕпХ имеют одинаковый знак нри всех достаточно больших целых п.
3. Докажите, что сумму C) действительно можно заменить интегралом
так, как это сделано в тексте.
9.4. Случай I) = I (mod 4)
Если D свободно от квадратов и D = 1 (mod 4), то квадратич-
ные целые х -\- у]/ D могут содержать 2 в знаменателях; точнее,
2 делит 1 — YD и каждое квадратичное целое можно записать
в виде и + y'V2(l — VD) с целыми и и v. В этом случае простое 2
не разветвляется. Действительно (см. § 7.1), 2 распадается, если
D = 1 (mod 8), и остается простым, если D = 5 (mod 8). Таким
образом, характер % (п) = (°) больше не обращается в нуль при
всех четных п, и, как легко показать, % (п) равно нулю тогда
и только тогда, когда п не взаимно просто с D. Кроме того, "/
является характером по модулю D, т. е. % (тп) = % (т)х (п)
и х (п + D) = % (п). При таком % по-прежнему справедлива
формула
s 1 * т> ^in
В другой части равенства предел lim (s — 1) ^)N (A)~s можно
найти точно так же, как и раньше; нужно только учесть, что
квадратичные целые x-\-yYD, рассматриваемые как точки ху-
плоскости, имеют удвоенную плотность (в каждом квадрате
{(х, у): х0 < х < х0 + 1, у о < у < у 0 + 1} содержатся ровно
2 квадратичных целых), так что соответствующий интеграл
-416 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
удваивается. Поэтому при D = 1 (mod 4) формула числа классов
принимает следующий вид: при D < О
(кроме D = —3, когда вместо двух единиц имеется шесть, поэто-
му левая часть этой формулы превращается в hn/3УЗ), а при
D >0
(здесь Е — основная единица е, если N (е).= 1, и Е = е2, если
N (е) = - 1).
Например, при D = —3 формула Дирихле превращается
в
Г1^ <) Г" /. С 1^ . -7 О » • • • •
3/3 ~ 2^4 5 ^;7 8
Эта формула приведена Эйлером в работе Introductio in Analysin
Infinitorum [E6, § 176]. (Я не знаю, была ли эта формула известна
кому-нибудь до Эйлера.) При D = —7 иолучаем
Действительно, в этом случае % (п) = 0, если п = 0 (mod 7),
X (п) = 1, если п = 1, 2 или 4 (mod 7), х (и) = —1» если n ^ 3, 5
или 6, и число классов равно 1 B разлагается на настоящие мно-
жители -=-A ± V—7), а 3 и 5 остаются простыми).
Если D = 5, то е = у A + У5), Е = е2, Л = 1 (как 2, так
и 3 остаются простыми), и формула Дирихле дает
2 log 4" A +VI)
-1 ! i^1^1-1
/5 ~ 2 ~ 3 ^ 4 ^ 6
Если D = 13 (конечно, не следует рассматривать случай D = 9),
то е = -j C+ У13), ? = е2, h = 1 B, 5, 7 и 11 остаются про-
стыми, а 3 разлагается на настоящие множители: 3 = D—Kl3) X
X D + 1^13)), и мы получаем формулу
2 log -f- C+ /13) _ „ 1
~? ";
9.5. Вычисление суммы V. (D} —
417
здесь слагаемые ± — положительны при п = ±1, ±3, ±4 (mod 13)
и отрицательны при п = ±2, ±5, ±6 (mod 13). Разумеется,
условно сходящийся ряд 2 =Ь A/и) следует суммировать в есте-
ственном порядке.
Упражнения
1. Найдите формулу числа классов при D = —23.
2. Найдите формулу числа классов при D =65.
9.5. Вычисление суммы Y,({?)—
Если мы хотим пользоваться формулой числа классов для
нахождения числа классов h, то следует найти независимый способ
вычисления суммы
4
n=i
Здесь х — характер по модулю AD (или по модулю Z), если D = 1
(mod 4)), определенный соотношениями % (nt п2) = % (щ) % (п2) и
{О, если р разветвляется,
1, если р распадается,
— 1, если р остается простым,
в квадратичных целых для свободного от квадратов детерминанта D.
В табл. 9.5.1 приведены значения % (п) при |1)|^7и1^п^ 28.
Пусть т = | 4D |, если D ф 1 (mod 4), и т = \ D |, если
D = 1 (mod 4). Тогда х является характером по модулю т, и рас-
суждения из § 6.5 показывают, что L A, у) можно записать в виде
^ g-T-^-+...+cmlog1-^r, A)
где а — примитивный корень пг-й степени из единицы и через
log A/A—z)) обозначена функция, определенная рядом 2 B"/и)
(при суммировании в естественном порядке) для всех комплекс-
ных чисел | z | ^ 1, кроме z = 1, а
Cj = 4" fo A) а";'+ X B) cr2i +...+%(m) а~тП. B)
го
Здесь ст = 0 (сумма всех значений характера х равна нулю,
поскольку половина классов по модулю т являются распадаю-
щимися, а вторая половина — нераспадающимися), и расходя-
щийся ряд log A/A — am)) фактически не входит в формулу A).
27 Г. Эдварде
VD
g
o,
О
I
OO+OOOOO IOO
+ О + О I I О I О +
OO I ©O I OO+OO
+++©++++©++
OOO©O I OO+OO
i I + I + + + I + I
©©+©©+©© |OO
+ IO+OO IO+OO
OO I ©O I OOOOO
I + + I I I I I + + +
OOOOO+OO |OO
+ + I I I I + I I I I
oo+oo+oo+oo
I IOOO + +OOOI
OO 1 ©OOOO+OO
+ I + I I I I + I I !
OOOOO I OO ! OO
I + I I + + I + + ! :
OO+OO I OOOOO
+ +O+O + +O+O +
OO IOO + OO I OO
I I + + + О + I I I О
ooooo ; oo + oo
+ 1 I © + ' I I О + I
oo+oo+oo + oo
I + О + О I I О I О +
OO I OO+OO I OO
I I I I I I
9.5. Вычисление суммы У. (D} —
419
Функцию log A/A—z)) можно вычислить при помощи формулы G)
из § 6.5, следовательно, эти две формулы суммируют бесконечный
ряд L A, зс) и сводят его нахождение к конечному числу шагов.
Дальнейшие упрощения при вычислении L A, %) можно сде-
лать при помощи следующей замечательной теоремы: преобразо-
вание Фурье (си с2, . . ., ст) характера (% A), % B), . . ., %(т))
кратно (% A), % B), . . ., % (т)). Именно, если Cj определены
соотношением B), то существует такое число (i, что Cj = [i% (/)
при / = 1, 2, . . ., т. Эту теорему можно доказать следующим
образом. Если / взаимно просто с т, то существует такое целое к,
что / к == 1 (mod m) и
(т) агт] =
4 • • • + X (mjk) a~mjh] =
= X G) • ^- [X (*) a"jft + X Bft) cr2^ + • • • + X (mft) a-mife] •¦=
= X (/) ¦ 4" fX A) «"' + X B) a-2i + ... + x (m) a-*»] =
= X (/) c^
(поскольку к, 2к, . . ., m/t — система представителей по модулю т).
Так как % (/) = ± 1> то отсюда следует, что с;- = х (/') cii и ПРИ
(i = q мы получаем, что Cj- = ц% (/) для /, взаимно простого с т.
При /, не взаимно простом cmj (/) = 0, поэтому для доказатель-
ства теоремы необходимо и достаточно доказать, что с,- = 0, если /
пе взаимно просто с т. Пусть / = pv, где р — простой делитель т,
скажем т = pq. Тогда
Cj --^iX A) a-pV + X B) OC
Если r\ = sv (mod q), to a~rpv = a~spv и ^ равно сумме д сла-
гаемых:
t = l(mod
B
i=o
Поэтому теорема будет доказана, если показать, что эти суммы
по классам вычетов по модулю q равны нулю, т. е. если показать,
что сумма значений % по р целым числам t, принадлежащим одно-
му классу вычетов по модулю д, 0 ^ t ¦< m, равна нулю. Такое
свойство характеров % (/) = (?) легко доказать, используя фор-
27*
420 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
мулы для (?) из § 7.8 (упр. 1). Это завершает доказательство
теоремы.
Легко вычислить константу р, (по крайней мере с точностью
до знака). Для этого нужно лишь заметить, что
= |i [X A) а'+% B) a*i+ ...+%(m) ami) =
Подставив х (/)> выраженное правой частью этой формулы, в саму
эту правую часть, получим
т
х(/) = н- 2
v=i
Внутренняя сумма равна нулю, если X + j ф 0 (mod »i); в про-
тивном случае эта сумма равна т. [Каждая степень а, отличная
от 1, является корнем многочлена 1 + х + хг + • • • + а;7" =
= A _хт)/A _ х).] Следовательно, х (/) — \^т1 (—/) =
= X И)^тХ (—1) и
и = ±- 1
Используя эти свойства коэффициентов с; в A), получаем
C)
Неопределенность в знаке перед суммой не доставляет затрудне-
ний, поскольку формула
показывает, что L A, х) ^ 0. При дальнейшем приведении фор-
мулы для L A, х) естественно случаи Z) < 0 и D > 0 рассматри-
вать отдельно.
Случай 1: D < 0. Здесь х (—1) = — 1, и вещественные части
логарифмов в C) сокращаются. Мнимые части можно найти при
помощи формулы
log -^д- = - log B sin |) + 4- (я - 9)
9.5. Вычисление суммы У. (
У. (^ —
421
@<9<2я) из § 6.5. Тогда при а = е2л1/т получаем
з=1
Так как L A, х) ^ 0, то окончательная формула имеет вид
|W m)m|- D)
Это число сравнительно просто вычислить при любом задан-
ном D < 0.
Примеры. При Z) = —1 имеем т = 4и
— формула Лейбница. Если D = —2, то m = 8, и мы получаем
формулу Ньютона из § 9.2:
Если Z)= —3, то т =
и
как было указано в предыдущем параграфе. При D= —5
если D = —7, то L A, %) = п G У 7)-1 |1+2 — 3+4 — 5 —
— 6 | =я/|/7, и т. д. Некоторые интересные упрощения этой
формулы приведены в упражнениях (см. резюме в конце упраж-
нений).
Случай 2: D >> 0. Здесь х (—1) = 1 и мпимые части логариф-
мов в формуле C) сокращаются. Вещественные части равны
—log 2 — log (sin (9/2)), и log 2 не вносит вклада в сумму, поскольку
2х (/) = 0. Следовательно,,
И. я/
т
sin
11 т
422 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
где в числителе / пробегает все целые между 0 и т, для которых
X (/) = 1, а в знаменателе — все такие целые, для которых
% (j) = —1. В этом случае найти явное выражение для L A, %)
значительно труднее, чем при D <С 0.
Примеры. Если D = 2, то т = 8 и
я . 7п
sin — sin —
г /л \ i 1 1 О о
v ' м ' ~ 2 /2 ¦ Зп . 5я *
sm g sin-g-
Это выражение можно вычислить явно, положив х = sin (я/8)
и у = sin (Зя/8) = cos (я/8). Тогда х2 + у2 = 1, — z2-f i/2 --=
= cos 2 (я/8) - /2/2, 2i/2 = l +_ (/2/2) = B + /2)/2, 2х2 =
X log [B - 1/2) /B + /2)] = log [B + /2J/2]/2l/2 = log(l +
+ /2)/ /2, что совпадает с выражением из § 9.3.
Аналогично, при D — Ъ формула Дирихле дает
я . Нп
sin-7=-sin-
\2 -3'" 12
2 т/з . 5я . 7я
2/3
1 1 2+/3 1 . B+/3J IogB+/3)
~'7Tlog2~7F~"T71" Iog~~i " 71 •
где х = sin (я/12) я у = sin Eя/12).
При D = 5 удобнее оставить формулу в виде C), заметив, что
ее мнимая часть равна нулю. Тогда, используя вычисления из
§ 6.5, находим
Эта формула была также выведена в § 6.5 и 9.4.
При D = 7 ни один из этих методов не приводит к очень удоб-
ному вычислению значения L A, у) = log (8 + 3^7)/^7, кото-
рое мы нашли в § 9.3 при помощи прямого вычисления h и фор-
мулы числа классов.
9.5. Вычисление суммы У1, („) —
423
Упражнения
1. Предположим, что D свободно от квадратов. Пусть т= \D\ или
|4D| — в зависимости от того, сравнимо D с 1 по модулю 4 или нет. Пред-
положим, что т = pq, где р — простое. Докажите, что тогда сумма ( )
по р целым значениям t, 0 ^ t < m, принадлежащим одному классу вычетов
по модулю ?, равна нулю. [Пусть (^) = (")(") (р" )••-(р )(".) X
X ( " )•-•(",), где D = (-1N 2ер!Р2 . . . PuPlPa • • • Р', б и е равны О
или 1, простые р сравнимы с 1 по модулю 4, а р' сравнимы с 3 по модулю 4,
а = (—1N+V2e = D (mod 4) и Q = 1 при а = 1, a (*) = 0 при а Ф 1
и четном га. Ьслн р | т и р нечетно, то все, кроме одного, множители в / i
имеют то же значение при га + q, что и при га. (Если 2 | а, то 8 | q. Если
о = —1, то 4 | д.) Следовательно, искомая сумма постоянным множителем
отличается от суммы значений /* V которая равна нулю. Еслир (тир = 2,
рассмотрите два случая. При 8=1 число g равно учетверенному нечетному
целому и()= —(+)(а== i2), а остальные множители в ( \ одинако-
вы при га и га + q. Если е = 0, то D 3= 1 (mod 4), g = 2 (mod 4) и снова пер-
вый множитель мепяет знак, а остальные остаются неизменными.]
2. При D= —1 найдите коэффициенты с и покажите, что вычисление
L(l, %), приведенное в данном параграфе, сводится к вычислению
— i log (-75-]/2+-^-]/2 А , т.е. к нахождению arctgl.
3. При D<0 и 7J = l(mod4) вычисление L(i, %) по формуле D) мож-
но упростить Следующим образом. Слагаемые в полученной сумме можно
таким образом сгруппировать попарно, что она становится суммой по мпо-
жеству 1, 2, ..., 1/2{\D\ — 1), или их можно так разбить на пары, что полу-
чится сумма по множеству 2, 4, ..., |D| — 1. Это дает два выражения
данной суммы через 2 = (f) + (^)+ • • • + (f) и 2=(f ) + B>) 2+•' •
...+ (v \ v, где v = (|D|—1)/2. Этими выражениями можно воспользоваться
и исключить 2'. Отсюда следует, что fe=|2| гари B)=~t~l или ^=—^
и fe = -77-|2| при B)==—1 и Н :т- — 3. Восполните детали доказательства
этой теоремы.
4. Используя метод из упр. 3, вычислите h при D = —7, —11, —15, —19,
—23, —31, —35, —39, —43, —47. Это хорошее упражпеиие для развития
навыков вычисления (\. В таких вычислениях можно добиться значитель-
ной экономии. Редко, если вообще когда-нибудь, возпикает необходимость
вычислять символы Лежандра, отличпые от тривиальных B \, (*?\ и ( . ) .
5. Покажите, что если D отрицательно, свободно от квадратов и не срав-
нимо с 1 по модулю 4, причем D ф —1, то h = | 2 |, где 2 равно сумме ( \
по всем га из промежутка 1 <; га < ( D |. [Воспользуйтесь формулами
% (га + 2D) = —% (га) и % DJ) — га) = —% (га).] В этих случаях вычислять
/ \ утомительнее. Дальнейшие упрощения приведены в следующих ниже
упражнениях. По этой формуле вычислите h при D = —5, —6, —10, —13,
_14, —17, -21.
424 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
6. Пусть D отрицательно, свободно от адратов и сравнимо с —1 по
модулю 4. Вычисление числа классов методом из упр. 5 требует больше
и более трудных вычислений символа Лежандра, чем следующий остроум-
ный метод Дирихле. (См. 1D7], разд. 106.) Пусть D = —Р, где Р — положи-
тельное число (не обязательно простое), сравнимое с 1 по модулю 4. Кроме
того, предположим, что РФ 1. Тогда (^\ = Г~1\ (п), где /") равно
произведению (™ \ по простым делителям pt (обязательно различным) чис-
ла Р. Для целых чисел г определим Т (г) формулой
Р-1
где у = е2л'/р и log определен рядом log A/A —z)) = 2jzn!n (поэтому мнимая
часть логарифма заключена между —п/2 и п/2). Тогда формула C) показывает,
что L A, X) = ± im-V2 [0-Y @) + 1-Y A) + 0 -Y B) + (-1) Y CI. Дей-
ствительно, каждый корень т-& степени из единицы можно единственным
способом записать в виде irye, г = 0, 1, 2, 3; s = 0, 1, 2, . . ., Р — 1. Таким
образом, h = ±ln-1 [Y A) — Y C)]. Положим К (г) = Y (г) — ? (-г).
Тогда h = ±Ы~1К A). Тождество К (г) = ^(р) 1о8 Id — *-гу~а)/A — irV5))
показывает не только, что К (г) — чисто мнимое число, но и что оно равно
— У(р) Bnik/AP), где к — целое число, определенное условиями 0 < к <
< 4Р, к 5= Pr + 4s. Следовательно, при г = 0, 1, 2, 3 разность К (г + 1) —
— .К (г) равна сумме слагаемых вида —(^\ BniP/AP), за исключением слу-
чая, когда s удовлетворяет неравенствам Рг + 4s < 4Р ^ Р (г + 1) + 4s;
в последнем случае это слагаемое равно —('* \ Bni (P — 4Р)/4Р). (Обратите
внимание на сходство этого рассуждения с рассуждениями Куммера из
§ 6.16.) Следовательно, К (г + 1) — К (г) = 2niyV* \, где суммирование
проводится по всем значениям s, для которых Рг + 4s < 4Р ^ Р (г + 1) +
+ 4s. Это выражение представляет собой сумму по четвертой части всех
целых 1,2,..., Р — 1. В частности, если через Qj, j = 1, 2, 3, 4, обозначить
сумму (р\ по /-й четверти (J — 1) (Р — 1)/4 < s ^ / (Р — 1)/4, то
К (г + 1) — К (г) = 2nlQ._T. Но Z C) = -К A), поэтому Я A) =
= i/2 [JC A)_JC C)] = -г/, [if C)-iC B) + if B)-iC A)] = ~Ч2 [2ni(?2 +
+2niQ3]. Поскольку (?i + (?2 + <?з + <?4 = 0 и (?! = (?4, отсюда следует,
что К A) = 2niQ1. Таким образом, h = +2Q1. Используйте эту формулу
для нахождения h ири D = —5, —13, —17, —21, —29, —33, —37, —41,
-53.
7. Дирихле !) получил упрощения формулы числа классов, подобные
сделанным в упр. 6, также и в остальных случаях свободного от квадратов
я отрицательного детерминанта D. В этом упражнении мы рассмотрим D =
^ 2 (mod 8), а следующее упражнение будет посвящено единственному остав-
шемуся случаю D = —2 (mod 8). Пусть D = 2 (mod 8). Предположим, что
Dj= —2Р, где Р = —1 (mod 4) и Р равно произведению различных нечет-
]) Судя по предисловию Дедекинда к первому изданию книги [D7],
он сам, вероятно, сделал в этом направлении уж никак пе меньше, чем
Дирихле.
л
9.5. Вычисление суммы V. [^\— ,„
_____ " '-* У"/ п 425
пых простых. Тогда (\ = (\ /р\, где (р) определено так же, как
и раньше. Пусть 0 = eZni/s, у = е2л1/р и
Р-1
s=l
Тогда fc = ±in~1 [W A) — Y C) — Y E) + Y G)]. Пусть К (г) = Y (г) +
+ Y (—г). Тогда К (г) = — V (р\ BniA/8P), где А = Рг + 8s (mod 8P>
и 0 «С А < 8Р. Следовательно, при г = 0, 1, . . ., 7 справедливо равен-
ство К (г + 1) — К (г) = 2niC, где С равно сумме /* \ по всем значениям sr
для которых Рг + 8s < 8Р < Р (г + 1) + 8s. Пусть Cj — сумма (р\
по всем s, принадлежащим у-му «октанту» (J — 1)/8 < s/P < у/8. Тогда
К (г + 1) — К (г) = 2niC8_r. Это дает h = -Nn-1 [Я A) — К C)] =
= +*я-1 [К C) - К B) + JC B) - К A)] = ±2 [Св + С7] = ±2[С2+С,].
Используйте эту формулу для нахождения h при D = —6, —14, —22, —30,
-38.
8. Наконец, рассмотрим случай D = — 2 (mod 8). Пусть D= —2Р,
Р з= 1 (mod 4), Р Ф 1. Определите Т (г) так же, как и выше, и докажите, что
h = ±in-! [Y A) + У C) — Y E) — Y G)]. Если К (г) = Y (г) — ? (-г),
то К (г + 1) — К (г) = 2niC8_r, где Cj равно сумме (р) по у-му «октанту»
и fe = iin-1 [^ A) + К C)]. Вычисление К A) + К C) как будто бы тре-
бует еще одного тождества, а имелно К (г) + К (г + 4) = (р\ К Bг).
Это следует из аналогичного тождества для Y, которое в свою очередь полу-
чается из соотношения log A/A — а)) + log A/A + а)) = log A/A — а2)).
(Последнее тождество несколько менее очевидно, чем это может показаться,
из-за многозначности мнимой части логарифма. Тем не менее его можно
доказать из общих соображений—не прибегая к вычислениям.) Тогда, если
(Р) = 1, то К A) + К E) = К B), К C) + К G) = К F), К A) + К C) =
= К B) — К E) + К F) — К G), следовательно, h = ±2 [Ct — CJ.
Если (р) = —1, то ЪК A) + ЪК C) = К A) — К B) + К A) — К E) +
+ К C) — Я F) + К C) — К G), и снова fc = 2 | Ct — С4|. Используйте
эту формулу для вычисления h при D = —10, —26, —34, —42.
9. Всякий, кто провел вычисления из предыдущих упражнений, вероят-
но, был поражен следующим обстоятельством: несмотря на то что доказанная
формула имеет вид h = +п, где п — целое, которое можно найти (и тем
самым вычислить h, поскольку h, по определению, положительно), фактически
вычисления всегда дают положительные целые п, так что во всех указанных
выше случаях h = п. Тот факт, что всегда получается знак «+», представляет
собой один из аспектов задачи, к решению которой Гаусс приложил значи-
тельные усилия. В первом параграфе своей статьи [G4] по этому вопросу
Гаусс пишет: «... задача будет решена, если найти этот знак. Однако изуче-
ние этого вопроса, который на первый взгляд кажется очень простым, ведет
к совершенно неожиданным трудностям, и дальнейшие занятия в этом паправ-
лении, которые до сих пор не наталкивались ни на какие препятствия, на-
стоятельно требуют других методов». Здесь не место обсуждать «другие
методы» Гаусса; обобщенные Дирихле и многими другими, эти методы обра-
426 Гл. 9. Формула Дирихле Оля числа классов
зуют очень важную главу в теории чисел ]). Данное упражнение посвящено
изучению связи между проблемой знака в формуле числа классов и задачей
нахождения знака, которой занимался Гаусс. В частности, Гаусс доказал,
что для положительного целого п и г = е2я*/п справедлива формула
A + 0 У*"" ПРИ п з 0 (mod 4),
Yn цри л не 1 (mod 4), E)
О при п = 2 (mod 4),
i Yn при га = ,'5 (mod 4),
•([G4]. разд. 19). В каждом случае сравнительно просто найти квадрат обеих
частей этой формулы (например, доказать, что при п == О (mod 4) квадрат
суммы в левой части равен 2in), и задача сводится к доказательству того, что
знак квадратного корпя всегда совпадает со знаком, приведенным в фор-
муле D).
(a) Иснользуя формулу E), докажите, что формулу 90 — 0t = ±у/'±Я
из упр. 4 к § 4.5 (где D = +к == 1 (mod 4), к — простое) можно усилить
и привести к виду 0О — 01 = ]/Х, если к — простое, к = 1 (mod 4), и 00 —
— 0t = i Y^, если к — простое, к = 3 (mod 4), при условии что в каче-
стве а выбирается специальный корень к-й степени из единицы, равный
e2nil}-.
(b) Основная формула, которую мы должны доказать, имеет вид m\i =
= Y'т при D > 0 и m\i = iY т при D < 0. Иначе говоря,
если D > 0,
F)
где D свободно от квадратов, т = \ D |, если] Z)^l (mod 4), т = 4 | D \,
если D ф 1 (mod 4), и а = е"Лг^т. В случае простого т выведите эту фор-
мулу из (а).
(c) Докажите F) при D = — 1, —2, 2.
(d) При простом | D |, D = —1 (mod 4), выведите F) из (Ь) и (с).
{Сумму по всем s по модулю 4р можно записать в виде суммы по всем s =
= Аа + pb, где а пробегает все целые по модулю р, a b пробегает все целые
но модулю 4].
(с) При D = 2р (р — простое) выведите F) из (Ь) и (с). [При р =
= — 1 (mod 4) здесь применяется формула г2 — —1.] Аналогичным образом
докажите F) при D = —2р.
(f) Наконец, используя рассуждения, аналогичные рассуждениям из
(о), докажите, что если равенство F) выполняется для некоторого данного
значения D и если оно выполняется для простого т, то это равенство справед-
ливо для Dp, где р — почетное простое, не делящее D.
(g) Предположим, что D < 0 и что формула Гаусса E) известна (в дей-
ствительности достаточно знать E) для простого п). Докажите, что тогда
число классов равно —U^\ + . . . + (^\ т]/т.
]) См. основополагающую статью Гаусса по этому вопросу и краткое
изложение этой статьи в книге Смита [S3, разд. 20]. См. также совершенно
иное доказательство Дирихле ([D6] или [D7], разд. 111-114). Очень интерес-
ное п простое доказательство, использующее контурное интегрирование,
предложил Морделл [Ml]. Почти каждая книга по высшей теории чисел
содержит то или иное доказательство используемых здесь фактов. В качестве
•близкого к нам по времени источника с довольно полными ссылками можно
использовать [W4].
9.6. Подпорядки 427
(h) Предположим, что дапа формула E). Докажите, что при D < О число
классов задается формулами из приведенного ниже резюме.
(i) Если р — простое и р = —1 (mod 4), то первая половина классов
по модулю р, а имеппо 1,2,.. ., (р — 1)/2, содержит больше квадратов,
чем неквадратов по модулю р. Если р =г 1 (mod 4), то первая половина выче-
тов содержит равное число квадратов и неквадратов (а именно по (р — 1)/4
каждых), но первая четверть 1,2, . . ., (р — 1)/4 содержит больше квадратов,
чем неквадратов. Докажите эти утверждения.
(j) Обратно, докажите, что пз утверждения (i) следует равенство E)
при простых п. Таким образом, (i) и формула E) при простых п равно-
сильны.
Резюме
Пусть! Р — положительное нечетное целое, свободное от квадратов
и большее 1, а С} — сумма (?) = [] (ps.) (где Р = ргр2 . . . ph — разло-
жение Р на простые множители) по всем s, удовлетворяющим неравенствам
(} — 1)/8 < s/P <; ;/8 (у-й «октапт»); тогда числа классов h, соответствующие
следующим детерминаптам D, равпы:
если Р = 3 (mod 4), D = —Р, то h = (Ct + C2+C3 + С4)Д2 —(°))
(за исключением случая, когда D — —3, h = 1);
если Р = 1 (mod 4), D = —Р, то h = 2 (Ct + С2);
если Р = 3 (mod 4), D = — 2Р, то h = 2 (С2 + С3);
если Р = 1 (mod 4), D = —2Р, то h = 2 (Ct — С4).
Если D = —1 или —2, то fe = 1. Как будет показано в следующем пара-
графе (упр. 3), при D = 1 (mod 4) знаменатель 2 — / \ исчезает, если рас-
сматривать порядок {х + у YD'- х, У — целые} (как это делал Дирихле),
а не полный порядок квадратичных целых детерминанта D.
9.6. Подпорядки
Формулы из § 9.2—9.4 позволяют найти числа элементов всех
групп классов дивизоров из гл. 7, т. е. групп классов дивизоров,
соответствующих полному порядку всех квадратичных целых для
различных свободных от квадратов детерминантов D. В этом
параграфе мы покажем, что для более общих групп классов диви-
зоров из гл. 8 число классов h отличается постоянным множителем
от числа классов h0 полного порядка: h — mh0, причем множи-
тель т легко вычислить.
Напомним, что для любого данного свободного от квадратов
детерминанта D и для любого положительного целого х) t суще-
ствует единственный подпорядок индекса t в порядке всех квадра-
тичных целых детерминанта D. (Точнее, этот подпорядок совпадает
с множеством {х + yta>: х, у— целые}, где о> = VD при D ф 1 (mod 4)
и со = A — УПI2 при Z> = l(mod4). Соответствующая группа
х) Это целое в гл. 8 мы обозначали через s. В данном параграфе s будет
использоваться для обозначения переменной, стремящейся к 1.
428 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
классов дивизоров образована всеми дивизорами, взаимно просты-
ми с t, причем дивизор А считается эквивалентным дивизору 5у
если А В является дивизором некоторого целого из данного подпо-
рядка. Пусть h — число таких классов эквивалентности, a h0 —
число классов эквивалентности при t = 1. Мы собираемся пока-
зать, что h = mh0, где т — легко вычисляемое целое.
Как подсказывает опыт, приобретенный при рассмотрении
случаев, когда t = 1, формула для h получается с использованием
равенства
/ilim(s-l) ^ N(A)-s = lim(s-l) 2 N (А)~* =
sil Axl sil (JV(A), t)=l
(JV(A). t)=i N(A)>0
N(A)>0
-l) П (l-NiP)-*)-1-
UV(P), i)=l
Здесь запись А « В означает, что АВ является дивизором квад-
ратичного целого из данного подпорядка (А ~ В будет означать,
что АВ — дивизор квадратичного целого из полного порядка,
так что А « В влечет за собой А ~ В), а запись (N (A), t) = 1
означает, что целые N (А) и t взаимно просты. Последнее из этих
трех чисел можно также записать в виде
lim(s-l) [] A - iV (^)~s) П A-Лг(^)~У1 =
Mi (N(P),t)-M P
= П A-iV (?)-i) lim(s-l) 2 N(A)-' =
(N(P)t)^i i I N(A
() 2 ()
si I N(A)>0
= П (l-iV(P)-1)/iolim(s-l) 2 N(A)~*.
(N(P),fH-l 1A A~I
ЩА)>0
Действительно, предел конечного произведения по простым дивизо-
рам Р, не взаимно простым с t, можно вычислять отдельно. Заме-
тим, что из эквивалентности А « / следует эквивалентность
А ~ /, поэтому сумма в левой части равенства
АНпф —1) 2 N(A)-° =
l Al
S ^И"8 A)
Л1
(), t)=i
ЩА)>0
())() S И
til Л~1
Л'(А)>0
получается из суммы в правой части вычеркиванием всех слагае-
мых, для которых А <=р I или (N (A), t) Ф 1. Поэтому задача, по
существу, сводится к вычислению отношения этих сумм.
Случай 1. D < 0. Рассмотрим сначала случай, когда D не
равно —1 или —3, так что единственными единицами являются ±1.
9.6. Подпорядки 429
Тогда каждый дивизор А, для которого А ~ I, является дивизо-
ром в точности двух квадратичных целых, а каждый дивизор А,
для которого А « I, является дивизором в точности двух квад-
ратичных целых, принадлежащих данному подпорядку. Таким
образом, задача состоит в нахождении предела при s \ 1 отноше-
ния суммы *>\N (х + уУ D)~s по всем квадратичным целым к сум-
ме y^N (х + уУD)~s только по тем квадратичным целым, которые
принадлежат данному подпорядку и взаимно просты с t. Предполо-
жим, что точки жу-плоскости с целыми координатами поставлены
в соответствие квадратичным целым посредством отображения
(х,у)-"-х+уУЪ дня D^kl (mod 4) и (х, у) «- х + г/-уA — У D)
для D = 1 (mod 4). Разделим множество всех таких точек
ху-плоскости на квадраты, каждая сторона которых содержит по t
точек. Тогда каждый квадрат соответствует t2 слагаемым большей
суммы и все эти t2 слагаемых являются величинами одного по-
рядка. Ответ на вопросы о том, принадлежит ли х + г/со (со = У D
или "A—]AD)) подпорядку индекса t и является ли это целое
взаимно простым с t, зависит только от классов вычетов х и у
по модулю t; поэтому ясно, что число v из этих ?2 слагаемых,
соответствующих меньшей сумме, является одним и тем же для
всех квадратов указанного разбиения. Действительно, каждый
квадрат со стороной t содержит в точности t квадратичных целых
из данного подпорядка (у фиксировано, а х пробегает t значений),
среди которых ср (t) целых взаимно просты с t; здесь ср (t) — число
положительных целых, меньших t и взаимно простых с t (элемент
х + у (л, принадлежащий данному подпорядку, имеет вид х +
+ vto и взаимно прост с t тогда и только тогда, когда х взаимно
просто с t). Таким образом, v = cp (t). Следующее утверждение
интуитивно ясно, и его нетрудно доказать строго (упр. 5): посколь-
ку каждый блок из t2 слагаемых большей суммы содержит ср (t)
слагаемых меньшей суммы и все эти слагаемые являются величи-
нами одного порядка, то при s \ 1 отношение большей уммы
к меньшей стремится к отношению t2 к ср (t). To есть
Например, для квадратичных целых {х + yV—163: х, у —
целые} число классов h0 равно 1 (см. § 7.6), t = 2, существует
в точности один простой дивизор, не взаимно простой с t, а именно
простое 2 с нормой 4, и ф (t) = ср B) = 1. Таким образом,
430 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
как мы уже показали в § 8.5. Для квадратичных целых
{х~\-у Y — 63: х, у — целые} имеем D=—7, t = Q
б2
ФF)
1 8 36 »
Действительно, методами гл. 8 легко показать, что в этом случае
4 дивизора /, (И, 2), A1, 2J, A1, 2K образуют систему представи-
телей группы классов дивизоров.
Эту формулу можно упростить дальше, используя известное
и легко доказываемое соотношение:
TV.
(упр. 4). Поскольку
это соотношение показывает, что в рассмотренном выше случае
D < 0, D =^= —1, D =^= —3 число классов равно
Если .D = —1, то h равно половине заданного этой формулой
числа. Действительно, в этом случае сумма значений N (.4)~s по
всем главным дивизорам равна 1/4 суммы значений N (х+ у У D)~"
по всем ненулевым квадратичным целым, а не 1/2 этой суммы,
тогда как сумма N (A)~s по всем дивизорам А « /, (N (A), t) = 1,
по-прежпему равна 1/2 суммы по всем х-\-у У D, принадлежащим
данному подпорядку и взаимно простым с t (поскольку подпорядок
содержит в точности две единицы ±1: единицы ±|/—1 не при-
надлежат ни одному собственному подпорядку). Аналогично, если
D — —3, то h равно одной трети числа, заданного формулой B).
Если D > 0, то, несколько видоизменяя провепенные выше
рассуждения (упр. 6), легко показать, что
где h0 — число классов полного порядка всех квадратичных
целых детерминанта D, h — число классов подпорядка индекса t
и А: — целое, определенное формулой Е = Е%; здесь Ео = е или
е2 — основная единица с нормой 1 в полном порядке и Е —
основная единица с нормой 1 в поднорядке индекса t.
9.6. Подпорядки 431
Например, если В = Ъ и t=2, то е- -|-(l + 1^5), Е0 = г2=-
- i- C + У 5), ?20 .-= i- G + 3 VT), ?• = 9 + 4 ^5 =.• Я. Следова-
тельно,
Если Z> = 11, / = 3, то e = 10 + 3/ll = ?0=? и
Но /г0 = 2, следовательно, /г = 8. Это можно проверить прямым
вычислением (упр. 1).
Упражнения
1. Найдите систему представителей группы классов дивизоров порядка
{х + j/]/99: г, у — целые}; в частпости, докажите, что число классов рав-
но 8.
2. Найдите h для порядка {х -\- у |/И7: х, у — целые} двумя способами:
при помощи формулы C); при помощи явного вычислепия группы классов
дивизоров.
3. Докажите, что знаменатель в первом случае формулы из упражнепий
к § 9.5 (см. резюме) исчезает, если рассматривать порядок {х -\- у |/D: х, у—
целые}, a ire полный цорядок. Другими словами, если D отрицательно,
свободно от квадратов и сравпимо с 1 по модулю 4, то число классов этого-
порядка равно количеству целых чисел п в множестве 1, 2, . . ., 1/2 (\D\-1),
для которых (^\ — +1, минус количество тех, для которых (^\ = —1.
Это утверждение впервые доказал Дирихле. При простом [ D \ Якобп выска-
зал это утверждение и виде гипотезы. (Ссылки см. в [D7], § 104).
4. Докажите формулу
При простом t эта формула очевидна. Если t является степенью простого»
числа, то опа почти столь же очевидна. Если t = uv, где и и v взаимно просты,
то ее справедливость для t следует из ее справедливости для и и v (согласно-
китайской теореме об остатках). Этих замечапий достаточно для доказатель-
ства формулы.]
5. Докажите, что при s j 1 отношепие большей суммы к меньшей стре-
мится к г2/ф (t) (как и утверждалось в основпом тексте). [Пусть 20 (s) —
большая сумма и 2j (s) — меньшая сумма. Через 22 (s) обозначим сумму
зпачепий N (х + у |/ D)~s по центрам всех квадратов со стороной t, па кото-
рые разбиты квадратичные целые в доказательстве из основного текста.
Докажите, что величины 20 (s) — Z222 (s) и 2Х (s) — <р (t) 22 (*) остаются
ограниченными при s j 1, а величина 22 (s) при s | 1 пе ограничепа. Отсюда
следует требуемое заключение.]
6. Докажите формулу C). [Используйте метод записи суммы по всем
главным дивизорам в виде суммы по некоторому подмножеству квадратичных
целых (§ 9.3).]
432 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
¦9.7. Простые в арифметических прогрессиях
Было бы неразумно зайти так далеко в изучении работ Дирих-
ле и не дать хотя бы наброска его знаменитой теоремы о простых
в арифметических прогрессиях, несмотря на то, что эта теорема
вообще не связана с Последней теоремой Ферма и не имеет практи-
чески никакого отношения к теории дивизоров квадратичных
целых.
Согласно этой теореме, для любого целого а и любого целого Ъ,
взаимно простого с а, существует бесконечно много простых р,
которые удовлетворяют сравнению р = Ъ (mod а), т. е. лежат
в арифметической прогрессии ах + Ъ (х — целое). (Конечно,
если Ъ не взаимно просто с а, то сравнение р = Ъ (mod а) имеет
ле более одного решения.)
Доказательство этой теоремы начинается с обобщения формулы
эйлерова произведения (^] п~" = [] A—P~s)-1)i которым мы уже
пользовались в § 9.2, а имепно с формулы
оо
V Х(д) _ тт 1
, х(р)
п=\ р-простые i Г^—
Эта формула является формальным тождеством для любой функ-
ции х (п), которая удовлетворяет соотношениям % (тп) = % (т) % (п).
{Разложите множители A — % (р)p~s)-1 в правой части в беско-
нечные ряды и формально перемножьте их.) Если % — такая
ограниченная функция, переводящая положительные целые числа
в вещественные или даже комплексные, то обе части A) сходятся
при s > 1, и формула A) справедлива (не только формально).
Рассмотренные выше фупкции % (п) = (^\ представляют собой
только частный случай функций %, удовлетворяющих двум усло-
виям: % (тп) = % (т) % (п) и % ограничена. При изучении простых
в арифметических прогрессиях естественно подчинить такие
функции % двум дополнительным условиям: % (п + а) = % (п)
при всех п и % (п) = 0 при п, не взаимно простых с а. Не равная
тождественно нулю функция %, которая удовлетворяет всем этим
условиям, называется характером по модулю а. Нахождение
всех таких характеров % для данного а представляет собой простое
упражнение. Например, при а = 20 все характеры % можно найти
следующим образом. Поскольку % (п) = % A-п) = % (i)-% (n) для
всех п, то из % A) Ф 1 следовало бы, что % (п) = 0 для всех п.
Следовательно, % A) = 1. Все значения 1 будут известны, если
найти % C), % G), % (9), % (И), % A3), % A7) и % A9). Так как
192 = (_1J _ ! (mod 20), то х A9J = % A92) = % A) = 1. Сле-
довательно, % A9) = ±1- Если известно % A9), то достаточно
9.7. Простые в арифметических прогрессиях
433
найти % C), % G) и % (9). Действительно, % A1) = % (—9) =
= ХA9)Х(9), хA3)-ХA9)хG) и ХA7)-хA9) X C). Ясно,
что х (9) — ± 1. Кроме того, % (9) = % (ЗJ. Следовательно,
X C) = 1, —1,г или —i. Если известно х C), то можно найти
не только х (9) = X (ЗJ, но и х G) = 1 (ЗK. Это показывает,
что х C) принимает одно из четырех значений, а х A9) принимает
одно из двух значений, и этих двух значений % C) и х A9)
достаточно для нахождения всех остальных. Легко проверить
(см. упр. 2), что все 4x2=8 возможных выборов х C) и % A9)
приводят к характерам. Следовательно, восемь характеров х» при-
ведепных в табл. 9.7.1, дают все характеры по модулю 20.
Таблица 9.7.1.
ХО)
Хо
Xi
X:
Хз
Х4
Х5
Хб
Х7 1
ХC)
1
— 1
-'
1
- 1
— i
хО)
1
- /
- 1
'
1
-'
- 1
х(9) х")
1
-1
1
- 1
1
- 1
1
- 1
ХA3) а
1
— /
- 1
'
- 1
1
— г
-A7) ХA9)
1
'
- 1
- /
- 1
— / -
1
/' — 1
Характер, определенный условием «х (п) = 1 при п, взаимно
простом с а», называется главным характером по модулю а и обо-
значается Хо- Для этого характера функция A) имеет вид
Via
p\a
В частности, при s \ 1 эта функция стремится к +оо, поскольку
Z, (s) стремится к + оо, а конечное произведение в правой части
стремится к положительной постоянной. (В § 9.6 было показано,
что эта постоянная равна ср (а)/а.)
Обозначим через L (s, x) функцию, определенную формулой A)
при s >• 1 (для введенных выше характеров х)- Мы только что
доказали, что lim L (s, Хо) = + °° при s \ 1. В противополож-
ность этому, если х — произвольный характер по модулю а,
отличный от главного характера %0, то предел L (s, x) не только
не является бесконечным, но и ряд в левой части A) условно
сходится при 5>0и при этих значениях s определяет непрерыв-
ен
ную функцию от s. Если доказать, что У] X' (/) = 0, то, используя
суммирование по частям (так же, как и в § 6.5), можно доказать
28 Г. Эдварде
434 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
а
эти утверждения о сходимости. Равенство 2 % (/) = 0 получает-
ся из тождества
Х(*Jх(/) = Sx (*/)- 2 ХG')
i il il
(А: взаимно просто с а), которое показывает, что если ^%(/)=7^0»
то х (к) = 1 для всех к, взаимно простых с а.
Таким образом, существует конечный набор таких функций
L (s, %), одна из которых при s \ 1 стремится к оо, а остальные
стремятся к конечным пределам.
Рассмотрим теперь логарифмы этих функций. Используя раз-
ложения из правой части A), получим при s > 1
2 [2 s-(x(p) p-
здесь мнимая часть log L (s, %) определена так, чтобы выполнялось
это равенство. Слагаемые этого ряда, для которых тп]>2, схо-
дятся при s > 1/2 и стремятся к конечному пределу при s \ 1.
Следовательно, если не обращать внимания на такие слагаемые,
мы получим
1<^?(*,х)~2-7Г-. B)
где символ ~ означает, что разность между обеими частями оста-
ется ограниченной при s | 1.
Для доказательства теоремы Дирихле достаточно показать, что
1>ш 2 > C)
P=b(mod a)
бесконечен. Действительно, если бы этот ряд содержал только
конечное число слагаемых, то его предел был бы равен конечной
сумме ^] A/р). Но сумма в правой части C) при каждом Ъ, взаимно
простом с а, представляет собой комбинацию сумм из правой
части B). Например, если а = 20 и Ъ = 7, то функция %0 +
+ 4i — Хг — *Ъ + %4 + Чь — Хв — ill удовлетворяет соотно-
шениям / (п + 20) = / (п), f (n) =0 при п, не взаимно простом
с 20, / G) = 8 и легко проверить, что / A) = / C) = / (9) =
= / A1) = / A3) = / A7) = / A9) = 0. Вообще, нетрудно дока-
зать, что при любом к, взаимно простом с 20, ^] %j(k) ~lrfa = / обла-
дает свойствами: / (к) = 8, / (/) = 0 при / ф к (mod 20) (упр. 7).
9.7. Простые в арифметических прогрессиях 435
Следовательно,
7>s7(mod 20) р v=l
V=l p
8
~2 XvG)-1logL(*,Xv),
v=l
где символ ~ снова означает, что разность обеих частей остается
ограниченной при s \ 1.
Функция log L (s, Хо) принимает вещественные значения и стре-
мится к oonpns \ 1. Поэтому для доказательства того, что предел
выражения C) (при а = 20, Ъ = 7) при s \ 1 равен оо, достаточно
доказать, что для v ф 0 функция Re log L (s, %v) остается ограни-
ченной при s | 1, т. е. что Re log L (s, %v)~ 0 при v Ф 0. Ho
L (s» Xv) стремится к L A, %v) npns \ 1, следовательно, достаточно
доказать, что L A, Xv) =^= 0- Действительно, функция Г!е log
непрерывна и определена для всех ненулевых комплексных чисел,
поэтому из L A, Х\) ^ 0 следует, что Re log L (s, %v) стремится
к конечному пределу Re log L A, %v) при s j 1 и, в частности,
ограничена.
Точно так же можно доказать, что
<Р(*) 2 jr ~ ^ХФГ log L(s, x),
p==b(modo) x
где ф (а) — число характеров (можно показать, что оно равно
количеству целых, меньших а и взаимно простых с а) и где сум-
мирование в правой части производится по всем ср (а) характерам.
Если доказать, что L A, %) ф 0 при % Ф %0, то мы получим, что
Re log L (s, %) ~ 0
при х ф % о и» следовательно,
рн_ b(mod a)
(поскольку %о (&) = 1). При этом будет доказано не только то,
что существует бесконечно много простых в арифметической
прогрессии ах + Ъ, но и что простые довольно равномерно рас-
пределены по всем ф (а) возможным прогрессиям (в том смысле, что
разность между суммами C) для двух различных значений Ъ
остается ограниченной при s \ 1). Действительно, эти разности на
28*
436 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
ограниченные величины отличаются от ф (a) log L (s, Хо) ~
~ Ф (а)-1 log? (s) ~ — ф (а)-1 log (s — 1).
Короче говоря, для доказательства теоремы Дирихле доста-
точно доказать, что L A, х) ф 0 при любом неглавном характере %
по модулю а. При а — 20 это можно сделать следующим образом.
Суммируя B) по всем ф (а) характерам, получим:
^logL(s,x)~ ^ р~\
p=3l(mod a)
Вещественнозначыая сумма в правой части при s \ 1 ограничена
снизу (в действительности она неотрицательна). Следовательно,
\\L (s, х) отделено от нуля при s \ 1. Как и в § 6.7, отсюда сле-
дует, что самое большее одна из функций L (s, x) может обращаться
в нуль при s ¦- 1 (L (s, Xo) (s — 1) остается ограниченной при
s | 1) и, следовательно, L A, х) не может обращаться в нуль,
если х Ф Ъ Таким образом, достаточно доказать, что L A, х) Ф 0
для вещественных неглавных характеров х> т. е. для характеров
Хг> %4i %б в рассматриваемом примере.
Формула числа классов из § 9.2 при D-~ —5 показывает, что
L A> Xt) Ф 0 (поскольку Х4 совпадает с характером из этой фор-
мулы). Из формулы числа классов при D = 5 следует, что число
1 _J__JLo-JL ¦ J_ JL_±4 — л- =
1 2 3 + 4 """ 6 ~ 7 8 "*" 9 "^ ''
" ^(p)— 1- B) " " 1- (p) —
отлично от нуля (х2 («) равно нулю для четных /г и совпадает
с (°) для нечетных п; здесь Z> = 5). Следовательно, L A, Хг) ^ 0.
Наконец, Хв (/*) ~ (~р) (за исключением ХбE)=0и (~1\ = ^.Сле-
довательно,
Это и доказывает, что
p;-=b(mod 20)
для всех 8 возможных значений Ъ по модулю 20.
В общем случае доказательство того, что вещественный харак-
тер х по модулю а совпадает (с точностью до нескольких простых)
9.7. Простые в арифметических прогрессиях 437
с характером / 1 из формулы числа классов, представляет собой
довольно простую алгебраическую задачу. Поскольку число клас-
сов отлично от нуля, мы получаем отсюда, что L A, %) =?= 0 для
всех таких % и, как было показано выше,
VI 1 1,1
^ р* ф(а) '"& «-1
р —b(mod о)
при всех ф (а) возможных значениях Ъ по модулю а. Здесь сим-
вол ~ означает, что разность обеих частей остается ограниченной
при s \ 1. В частности, число слагаемых в левой части бесконечно,
и отсюда следует теорема Дирихле.
Упражнения
1. Пусть п взаимно просто с а. Докажите, что существует такое положи-
тельное целое у, что ni т=- 1 (mod а). Докажите, что ненулевые значепня харак-
теров но модулю а должны быть корнями ф (а)-й степени из единицы.
2. Пусть а -—¦ а§, где а и р — взаимно простые целые. Докажите, что
любой характер по модулю а можпо единственным образом представить
в виде произведения характера но модулю а и характера но модулю |3. Кроме
того, произведение будет вещественным тогда и только тогда, когда веществен-
ны сомножители. Это показывает, что для нахождения всех характеров или
всех вещественных характеров по модулю а достаточно решить соответствую-
щую задачу для а, являющихся стеиепями простого числа. [Определите
Ха условием %а (к) — % (s) при s = к (mod а) и s = 1 (mod P).]
3. Предположим, что а ---- рт, где р — простое число, отличное от 2.
Докажите, что существуют q> (а) — а (р — 1I р характеров по модулю а,
Среди них в точности два (еще один характер, кроме главного) являются
веществешюзпачпыми. Кроме главпого таким характером является символ
Лежандра % (п) — (п\. Используя формулу числа классов, докажите для
этого х. что L A, у) ¦-¦- 0. [Если т — 1, то через у обозначим примитивный
корень по модулю р. Тогда % полностью определяется значением / (v) п X
будет вещественным характером, только если % (у) ~: +1. Следовательно,
в этом случае найти доказательство легко. Легко разобраться и в случае
т > 1, если доказать, что существует такое целое, степени которого по моду-
лю рт содержат все (р — 1) рт~1 классов по модулю рт, взаимно простых
с рт. Рассмотрим теперь случай т — 2. Пусть у — примитивпый корень
по модулю р, Тогда у является примитивным корнем по модулю р- в том
и только в том случае, когда yv-1 ф 1 (mod p2), Действительно, наименьшая
степень у, сравнимая с 1 по модулю р-, должна делить ф (р2) -- (р — 1) р.
Если1> — произвольный примитивный корень по модулю р и уР~х = 1 (mod рг),
то (у + р)Р~х * 1 (mod p'1). Следовательно, всегда существует примитивный
корень по модулю рг (даже при р --- 2), Для такого примитивного корня
yv-1 ¦¦— 1 + hp, где h ф 0 (mod р). Тогда, если р Ф 2, то у(Р~х)Р = 1 -f-
+ hp2 (mod p3). Отсюда следует, что у является примитивным корнем по
модулю р3 и y<p)pp = 1 + hp* (mod p*). Продолжение этого процесса
показывает, что у является примитивным корнем по модулю рт для всех
т > 2 тогда и только тогда, когда у — примитивпый корень по модулю р2.
Следовательно, для всех т существуют примитивные корни по модулю рт,\
438 Гл. 9. Формула Дирихле для числа классов
4. Если а — 2, то имеется только главный характер. При а = 4 есть
два характера: главпый характер и % (п) = ("')• Если а = 2т при m > 2,
то существуют 2т~1 характеров, среди которых 4 характера вещественны,
а именно главный характер и характеры % (га) = / \ , %(га) = ( \, %(п) =
о
= (п \. Докажите, что для каждого из 3 пеглавпых вещественных характе-
ров % число L A, х) =^ 0. [Сравнения 5 = 1 + 4 (mod 8), 52 з= 1 + 8 (mod 16),
5i -= 1 + 16 (mod 32), 5» = 1 + 32 (mod 64), 516 = 1 + 64 (mod 128), . . .
показывают, что порядок числа 5 по модулю 2т, т. е. наименьшая степень
числа 5, сравнимая с 1 по модулю 2т, не делится на 2-3. Таким образом,
порядок числа 5 равен 2т~" или 2т~1. Если бы его порядок был 2"»-1, то
любое нечетное целое совпадало бы с некоторой степенью числа 5 но мо-
дулю 2™. Но это невозможно, поскольку 3 не равно никакой степени 5 по
модулю 8. Покажите, что каждое целое сравнимо точно с одним из целых вида
3E5i, где е — 0 или 1 и / = 0, (, 2, . . ., 2т~2 — 1. Это дает 2т~1 характе-
ров, среди которых 4 характера вещественны.]
5. Покажите, что число вещественпых характеров по модулю а можно
найти следующим образом. Пусть а = 2^а', где а' нечетно и делится на v раз-
личных простых. Если ц. = 0 или 1, то число вещественпых характеров равно
2V; при и -- 2 это число равно 2-2v; если же (Л > 3, то число таких характе-
ров равно 4-2v.
6. Покажите, что для каждого вещоственпого характера из упр. 5 суще-
ствует такое целое число D, что этот характер совпадает с %ц (п) — ( \
с точпостью до конечного множества простых р, для которых этот характер
равен пулю на всех кратных р, a %D отличен от нуля. Выведите отсюда, что
L A, х) отличается от L A, %D) па конечное число ненулевых мпожителей.
Согласно формуле для числа классов, L A, %D) -;- 0, следовательно,
L A, %) v 0 для всех вещественпых неглавных характеров % по модулю а.
7. Предположим, что к взаимно просто с а. Докажите, что сумма зпачений
X СО X (/) п0 всем характерам % равна 0, если / ф к (mod а). (Копечпо,
при 7 = к (mod а) эта сумма равна ср (а),) [Достаточно доказать, что сумма
зпачений % (/) по всем характирам % равна нулю при / =? 1 (mod а). Произве-
депие двух характеров снова является характером, поэтому сумма % (/)
по всем х совпадает с суммой х' (/) % (/) по всем % при любом фиксированном
характере %', Если эта сумма отлична от нуля, то %' (/) должно быть равно 1
для всех характеров %'. Поэтому достаточно доказать, что при 7^1 (mod a)
существует такой характер %' по модулю а, для которого %' G') Ф 1. Согласно
упр. 2, достаточно доказать ото утверждение в случае, когда а является
степенью простого числа. Если а = рт и р ф 2, то определим %' условием
•? (у) — е2л1/Ф(п); Где у — примитивный корень по модулю а. Тогда %' (;) = 1
только при j = 1 (mod а). Пусть а = 2т, Если т^гЗ и / = 1 (mod 8),
то характер %', определешшй условиями %' C) =1, f! E)= eZni/a, a = 2m~2,
обладает свойством %' (/) ф 1. В противном случае для одного из веществен-
ных характеров %' выполняется свойство %' (;) Ф 1 при j ф. i (mod a).[
Приложение
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
А.1. Основные свойства
Теория чисел — это в первую очередь и главным образом изу-
чение свойств натуральных чисел, т. е. чисел 1, 2, 3, . . ., встреча-
ющихся в процессе счета. Именно процесс счета — например,
сколько раз осуществилась некоторая повторяющаяся операция,—
вот что придает натуральным числам их значение и что лежит
в основе соотношений между ними. Говорят, что к = т -\- п,
если осуществление операции т раз, а затем ее осуществление
еще п раз сводится к осуществлению ее к раз подряд. Говорят,
что к = тп, если т повторений серии, состоящей из осуществле-
ния операции п раз, сводится к осуществлению этой операции
к раз подряд. Говорят, что к < т, если осуществление операции
к раз приводит к тому, что операция осуществлена меньше чем
т раз.
Основные факты, относящиеся к натуральным числам, включа-
ют в себя следующее. Сказать, что к <; т,— это то же самое, что
сказать, что имеется натуральное число п, для которого т =
= к-\-п. Если к <im, то к + п < т + п для всех п, и обрат-
но, если к -\- п < т + п для некоторого п, то к < т. Аналогич-
но, к < т тогда и только тогда, когда кп < тп. Если к < т
и т < п, то к < п. Для любых кит выполняется точно одно из
трех отношений к <; т, к = т, к > т. Действия сложения
и умножения ассоциативны и коммутативны, и умножение дистри-
бутивно относительно сложения:
(к -f- т) -f- п = к + (т -(- п), (km) п — к (тп),
к-\-т=зт-{-к, кт = тк,
к(т-\-п) = km -\- кп.
Суммы и произведения можно сокращать, т. е. если к + п = т +
+ п, то к = т, и если кп = тп, то к = т. (Тот факт, что можно
сокращать произведения, делает натуральные числа более про-
стыми в обращении, чем целые. Ведь при работе с целыми числами
мы должны постоянно напоминать себе, что закон сокращения
произведений выполняется для них только с дополнительной
оговоркой п Ф 0.) Число 1 есть наименьшее натуральное число.
Число п + 1 есть наименьшее число из чисел, больших п. Оно
440 Приложение. Натуральные числа
следует за числом п. Если п>1,топ = 1+т. для некоторого т.
При этом число т меньше п и является наибольшим среди чисел,
меньших п. Оно предшествует числу п. Число 1 является единицей
по умножению, т. е. 1-ге = п.
Принцип бесконечного спуска устанавливает, что убывающая
последовательность натуральных чисел должна закончиться. Этот
принцип может быть положен в основу большинства доказательств,
относящихся к натуральным числам. Рассмотрим, например, основ-
ные факты, касающиеся деления. Если кит — натуральные числа,
причем к ^ т, то либо к делит т, т. е. имеется такое натураль-
ное число q, что т = qk, либо однозначно определены такие нату-
ральные числа q и г, что т = qk-\- г и г < к. Для доказательства
сначала заметим, что 1 делит любое натуральное число, и поэтому
можно предположить, что к > 1. Тогда тк > т. Поскольку
т^к > 1, для числа т имеется предшествующее; обозначим его
т — 1. Оно может удовлетворять или не удовлетворять условию
{т — 1) к > т. Если оно ему удовлетворяет, для него имеется
предшествующее число, которое мы обозначим т — 2. Тогда
условие (т — 2) /с > т может выполняться или не выполняться.
Повторение этого процесса привело бы к бесконечно убывающей
последовательности чисел, если бы па некотором этапе мы не
получили бы число п (предшествующее предшествующему... чис-
лу т), для которого пк не больше т, но (п + 1) к>т. Таким
образом, на основании принципа бесконечного спуска, такое целое
число п найдется. Тогда либо пк — т, либо пк < т. Если пк =
= т, то к делит т и первая альтернатива установлена. Если
пк <; т, то т = пк \- г для некоторого г. Так как {п 4- 1) к >
> т, пк + к > пк ¦<- г, то отсюда следует, что к > г. Наконец,
если т = qk + s, где s < к, то q = п, ибо иначе q < п или q > п;
если q > п, то q = п-\-а для некоторого а, пк + г =~- тп =
= qk + s = пк -\- ак -\- s, r = ak-\-s > к, вопреки предположе-
нию, и таким же способом приводится к противоречию случай
п > q. Таким образом, q — п и qk -\- г = т — qk-\-s, откуда
следует, что г — s и предложение доказано.
Наиболее важной конструкцией для натуральных чисел, выхо-
дящей за рамки этих элементарных арифметических фактов,
является, по-видимому, алгорифм Евклида х) для нахождения
наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Этот
алгорифм, который можно охарактеризовать фразой «измеряй
большее меньшим», представляет собой следующую процедуру.
Пусть k, m — данные натуральные числа, и предположим, не
ограничивая общности, что /cs^т. Тогда либо к делит («измеряет»)
т, либо т = qk -j- г, где г < к, В последнем случае положим
т' = к, к' = г и повторим процедуру (измерим большее мень-
«Начала» Кп. VII, предложения 1 и 2.
A.I. Основные свойства 441
шим), ыайдя, что либо к! делит т', либо т' = q'k'-\-r', где г' <
<1 к'. В последнем случае положим т" = к', к" = г' и снова все
повторим. Продолжаем, пока не наступит момент, когда деление
произойдет без остатка. Иными словами, положим ао = т, а1 = к
и определим последовательность а0 > ах > аг > . . . > ап усло-
виями
ап-2 = Яп-\ап-1
Из приципа бесконечного спуска следует, что должен наступить
такой момент, когда деление выполнится без остатка, поскольку
иначе последовательность а0 > ах > аг > . . . убывала бы беско-
нечно. Число ап тогда является наибольшим общим делителем
(или «наибольшей общей мерой») двух данных чисел а0, ах. Это
означает, что ап делит как а0, так и ах (последнее равенство пока-
зывает, что ап делит ап_х, затем предпоследнее равенство показы-
вает, что ап делит ап_2, и дальнейший подъем по списку равенств
показывает, что ап делит все at) и что любое число, делящее как
а0, так и ах, делит и ап (первое равенство показывает, что такое
число должно делить а2, затем второе равенство показывает, что
оно должно делить а3, и т. д., пока не дойдем до предпоследнего
равенства, которое показывает, что это число должно делить ап).
Таким образом, алгорифм Евклида не только доказывает сущест-
вование наибольшего общего делителя двух чисел, но и дает явный
способ его нахождения путем последовательных делений.
Два натуральных числа а и Ъ называются сравнимыми по
модулю третьего натурального числа с, что записывается а =
= Ъ (mod с), если имеются такие натуральные числа т и п, что
а + тс = Ъ + пс. Другими способами выразить то же самое
можно, сказав, что а и Ъ лежат в одной и той же арифметической
прогрессии с разностью с, или что а и Ъ дают одинаковый остаток
при делении на с. Легко видеть, что отношение сравнимости обла-
дает следующими свойствами. Сравнимость по модулю с является
отношением эквивалентности, т. е. она рефлексивна (а =
= a (mod с) для любого а), симметрична (а = Ъ (mod с) в том
и только том случае, когда Ъ = a (mod с)), и транзитивпа (если
а = Ъ (mod с) и Ъ = d (mod с), то а = d (mod с)). Опа согласована
как со сложением, так и с умножением чисел. Это означает, что
если а = Ъ (mod с), то а + d = Ъ + d (mod с) для любого d
и ad = bd (mod с) для любого d. Таким образом, классы сравнений
по модулю с можно складывать и перемножать очевидным образом:
чтобы сложить (перемпожить) два класса, нужно в каждом выб-
442 Приложение. Натуральные числа
рать по числу и сложить (перемножить) их. Класс результата не
зависит от этого выбора (если а = а' и Ъ = Ъ', то а + Ъ = а +
+ Ъ' = а'+ 6' и а^= аб' = а'&')> и, следовательно, мы вправе
назвать этот класс суммой (произведением) двух данных классов.
При сложении классов сравнений выполняется значительно более
сильное свойство, чем свойство сокращения, а именно: для любых
заданных а, Ъ, с имеется такое число х, что а + х = Ъ (mod с)
и любые два решения х этой задачи сравнимы по модулю с. Дей-
ствительно, Ъ + пс>а для достаточно большого п (скажем, и= а),
так что Ъ + пс = а 4- х, откуда вытекает сравнение а + х =
= 6 (mod с). Если же а + х = а + а;', то х = х' на основании
свойства сокращения для сложения. Другим способом выразить
то же самое можно, сказав, что классы сравнений по модулю с
образуют группу относительно сложения. Нейтральным элемен-
том этой группы является класс всех чисел, делящихся на с,
поскольку если к делится на с, то а + к == a (mod с) для всех а.
Так как действие в группе обозначается знаком +, то естественно
для этого нейтрального элемента принять обозначение 0 и счи-
тать, что сравнение к = 0 (mod с) означает, что с делит к. При
переходе к умножению обстановка значительно усложняется.
Сравнение ах =\b (mod с) может иметь решение, а может и пе
иметь; когда решение есть, оно может оказаться не единственным.
Манипулировать с решением этого сравнения ах = Ъ (mod с)
помогает очень важная китайская теорема об остатках х). Эта
теорема представляет собой следующий шаг за алгорифмом Евкли-
да, и ее можно сформулировать следующим образом. Два натураль-
ных числа называются взаимно простыми, если их наибольший
общий делитель есть 1. Пусть cud взаимно прости. Если а и Ъ —
данные натуральные числа, то имеется решение х задачи: х =
= a (mod с) и х = Ъ (mod d). Кроме того, если числа х, х' оба
являются решениями, то х s x' (mod cd). Это и есть китайская
теорема об остатках. Она может быть доказана следующим образом.
\Ц Если с или d есть 1, то одно из сравнений х =s a (mod с), х =
== Ъ (mod d) тривиально и доказываемое утверждение очевидно.
Основное предположение о взаимной простоте с и d означает, что
алгорифм Евклида в конце концов доходит до 1. Будем считать,
что с0 = с, сх = d, с0 = qxcx + сг, сх = q2c2 + с3, . , ., с0 >
> сх > . . . > сп = 1. Так как теорема верна для с = сп-г
и d = сп = 1, то достаточно показать, что из случая с = ст,
d = ст+1 вытекает случай с — ст_х, d = cm. Для этого допустим,
что а, Ъ даны. Наша задача состоит в том, чтобы найти натураль-
ное число х, для которого х = a (mod cm) и х s= b (mod ст_^).
Поскольку х + стст_х обладает теми же свойствами, что и х,
1) Я не знаю, откуда произошло это название. Возможно, оно появилось
из-за того, что теорема была известна очень давпо в Китае. См. Диксон [D2,
т. 2, стр. 57].
А .1. Основные свойства 443
мы можем предположить, пе ограничивая общности, что х > Ъ.
Тогда х = Ъ + кст_1 для некоторого к. Значит, х = Ъ +
+ к (qmcm + ст+1) = Ъ + кст+1 (mod ст) и х = a (mod cm).
Следовательно, к должно удовлетворять сравнению Ъ + кст+1 =
= a (mod cm). Пусть у — решение сравнений у =s 6 (mod cm+i)
иу = и (mod cm). (Такое z/ существует по предположению индук-
ции.) Так как у-\-стст+1 обладает теми же двумя свойствами,
что и у, мы можем предположить, не ограничивая общности, что
у > Ъ. Тогда у = Ъ + / для некоторого / и / = 0 (mod cm+1),
т. е. у = Ъ ¦ |- кст+! для некоторого к. Теперь определим х усло-
вием х = Ъ + fecnt^. Тогда по модулю ст имеем х = Ъ +
+ А (дтст + ст+1) = 6 + кст+1 = у = а, а по модулю ст.х
имеем х = Ъ-\-кст_х = 6, как и требовалось. Это доказывает, что
всегда имеется х с нужными свойствами. Если х и х' оба решают
сравнения х = a (mod с), а; = 6 (mod d) и если предположить,
что х > я', то а; = я' -!- /с, где к ^ 0 (mod с) и Л = 0 (mod d),
т. е. /с делится и на с и па d, и если cud взаимно просты, то к
делится на cd. На основании уже доказанной части теоремы име-
ется такое число х, что х = 0 (mod с) и х = 1 (mod d). Иначе
говоря, а; = пхс л х — n2d-\-'i.. Но /с делится на с, /с ¦•= qc для
некоторого д. Тогда пхк = nxqc = qx = q (n2d + 1) = n2qd -J- g.
Так как d делит к, отсюда следует, что d делит q, т. е. q = q'd
и к — q'cd, что и требовалось доказать.
Очень просто показать, что если с и d не взаимно просты, то
сравнения х s a (mod с) и х = 6 (mod d) никогда не имеют един-
ственного решения а; по модулю cd: либо нет ни одного решения,
либо решений больше одного. Для этого достаточно заметить, что
если наибольший общий делитель чисел с и d есть D и, например,
с = Dc', d = Dd', то число т = Dc'd' делится как на с, так и на d,
но не делится на cd, поскольку cd = D2c'd' > та. Следовательно,
если х = a (mod с), а; = 6 (mod d), то х -\- т также удовлетворяет
этим сравнениям, но х -{- т -щ х (mod cd). Таким образом, если
решения есть, то их больше одного, что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к решению сравнения ах = Ъ (mod с). Если а
и с взаимно прости, то эта задача может быть решена при помо-
щи китайской теоремы об остатках. Именно, решим сравнения
I/ = 0 (mod а), у = Ъ (mod с) и положим у = ах. В частности,
сравнение az = I (mod с) имеет решение. Следовательно, если
oc=i и ах' э Ъ (mod с), то х = aza; 5 zb = zaa;' = a;' (mod с)
и решение сравнения ах = b (mod с) единственно по модулю с.
С другой стороны, если аи с не взаимно просты, то сравнение ах =
= Ъ (mod с) никогда не имеет единственного решения по модулю с—
либо нет ни одного решения, либо решений более одного по моду-
лю с. Чтобы убедиться в этом, достаточно написать а = Da', с =
= Dc', где D > 1, и заметить, что ас' = а'с = 0 (mod с), тогда
как с' ф. О (mod с), поскольку с < с. Тогда из ах=±Ъ (mod с)
444 Приложение. Натуральные числа
следует, что а (х + с') = Ъ (mod с), но х + с' ф х (mod с). Зна-
чит, если решения имеются, то их больше одного.
Натуральное число называется простым, если оно взаимно
просто со всеми числами, меньшими его самого. (В случае числа 1,
когда это условие пусто, добавляется специальное определение,
на основании которого число 1 считается не простым.) При помощи
только что доказанного то же самое можно выразить, сказав, что
число р простое тогда и только тогда, когда р > 1 и сравнение
ах = b (mod p) имеет единственное решение х для всех Ъ и для
всех а ф 0 (mod p). Следовательно, в арифметике по простому
модулю всегда можно делить на ненулевые элементы. В частности,
натуральные простые числа обладают следующим основным свой-
ством: если р делит uv, то либо р делит и, либо р делит v. (Если
uv = 0 (mod p) и и Ф 0 (mod p), то путем деления получаем
сравнение v = 0 (mod p).)
Основная теорема арифметики устанавливает, что каждое
натуральное число, большее х) 1, может быть точно одним способом
записано в виде произведения простых чисел. Точнее, для данного
п > 1 имеется такая конечная последовательность рх, р.2, . . .
. . ., рт простых чисел (т^-Л), что п = р^2 . . . рт, и если
Р1Р2 ¦ • ¦ Рт"' Р1Р2 ¦ ¦ ¦ /V» т0 тп-~\1 и последовательность р[,
Pii •••> Р'р является лишь перестановкой последовательности
рх, р2, . . ., рт. Эту теорему можно доказать следующим образом.
Будем пытаться делить заданное п > 1 на числа 2, 3, 4, . . ., п.
Пусть р ^ п — первое из чисел, на которое п разделилось без
остатка, скажем п — pq. Тогда п > q. Кроме того, число р должно
быть простым, ибо в противном случае либо р =-¦ 1, что уже исклю-
чено, либо имеется число а < р, не взаимно простое с р. Пусть
d — наибольший общий делитель аир. Тогда 1< d и d ^ а <Ц р;
так как d делит р, оно делит и п = pq, а это противоречило бы
определению числа р. Значит, р простое. Если g > 1, то те же
рассуждения дают q = p'q', где р' — простое и q> q'- Таким
образом, п — pp'q . Если q > 1, то процесс можно повторить
и найти п — pp'p"q", где q" < q'. На основании принципа беско-
нечного спуска этот процесс должен завершиться представлением
числам в виде произведения простых. Если ргр2 . . . рт = р\р'^ . . .
... р^, то р\р'2. . . р'^ = 0 (mod рх). Если р\ Фрл, то рх и р\ вза-
имно просты и сравнение можно разделить на р[, что дает p'j>3 ¦ ¦ .
. . . р'^ = 0 (mod рг). Таким же образом, если р\ Ф р,, то р'.$\. . .
. . .р'ц =0 (mod рх). Значит, предположение р\ФР\, РгФРх, ¦ ¦ •
¦ ¦ -1 Pv-Ф Pi привело бы к сравнению 1 = 0 (mod рг). Так как
1 Ф 0 (mod рг) (поскольку 1 не является простым числом), то
') Само число 1 пришлось бы рассматривать как произведение никаких
простых. Для того чтобы была верна эта теорема, число 1 и не считается
простым.
A.I. Основные свойства 445
отсюда следует, что p'j = pi при некотором /. Произведя, если
необходимо, перестановку последовательности р\, . . ., р'^, мы
можем считать, что р\ — pv Тогда па основании свойства сокра-
щения получаем р2р3. . . рт = р'j>'3 ¦ . . р'ц. Если т = 1, то это
дает 1 = p!j}'3. . . р'^, откуда и. = 1 и последовательности р15
P2i • • •> Рт и Pi> Рг' • • •> Pv- совпадают. Если и. > 1, то такие же
рассуждения, как и выше, показывают, что р2 должно встречать-
ся среди р'2, р'3, . . ., р'ц. За счет перестановки можно предположить,
что р'„ = р2, и заключить, что pspt ¦ . ¦ рт ~ р'зР[ ¦ ¦ • Рц- Если
т --- 2, то \х — 2 и носледователыюсти совпадают. В противном
случае после перестановки мы получаем РцРь ¦ ¦ ¦ рт = р\р'ъ ¦ • ¦ Pp.,
и т. д. По принципу бесконечного спуска мы в конце концов при-
дем к заключению, что посредством перестановки последователь-
ности р[, р'2, . . ., р^ можно добиться того, что эти две последо-
вательности совпадут.
Натуральные числа являются, конечно, теми объектами, кото-
рым в первую очередь подходит название «число», и недаром
древние греки применяли название «число» только к натуральным
числам. Даже во времена Ферма дроби, иррациональные величи-
ны, нуль и отрицательные величины не пользовались всеобщим
признанием как «числа». Однако во многих ситуациях удобнее
иметь более широкое понятие числа. Например, после нескольких
первых параграфов этой книги стало удобнее иметь дело сцелыми,
а не только с натуральными числами. Целые числа — это нату-
ральные 1,2, 3, ... вместе с отрицательными —1, —2, —3, . . .
и нулем 0. В терминах целых чисел удалось придать Последней
теореме Ферма более симметричный вид: «если р — нечетное
простое число, то равенство хр + ур + zp = 0 невозможно в це-
лых числах х, у, z, за исключением тривиального случая, когда
одно из трех неизвестных равно пулю». Такая формулировка
облегчила бы Эйлеру доказательство случая р = 3, поскольку
отпала бы необходимость отдельно рассматривать случаи чет-
ного и нечетного z в равенстве х3 -\-у3 ¦— z3.
Основные свойства целых чисел являются простыми обобще-
ниями соответствующих свойств натуральных чисел и, поскольку
в наши дни целые числа вводятся в начальной школе, едва ли
необходимо обсуждать их здесь более подробно.
Упражиения
1. Докажите, что если d делит как а, так и Ь, то оно делит и а + Ъ.
Более того, оно делит qa + rb для любых q и г.
2. Докажите, что если а делит bub делит а, то а = Ъ.
3. Докажите при помощи алгорифма Евклида, что если d — наиболь-
ший общий делитель чисел а и Ь, то либо существуют такие натуральные
числа и н v, что иа = d + vb, либо существуют такие патуральные числа и
и v, что d + иа = vb. [Обработайте алгорифм с конца, как ято делалось
446 Приложение. Натуральные числа
в тексте при доказательстве китайской теоремы об остатках.] Выведите отсюда,
что если а и Ъ взаимно просты, то либо сравнение ах = 1 (mod Ъ), либо срав-
нение ах + 1 = 0 (mod Ь) имеет решепие х. Покажите, что во втором случае
сравнение ах = 1 (mod Ъ) имеет некоторое решепие х. Следовательно, если
а и Ъ взаимно просты, то сравнения у = О (mod а), г/ = 1 (mod Ь) всегда
имеют решепие. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках.
4. Найдите все решепия следующих пар сравнепин:
(a) х = 3 (mod 46), х = 4 (mod 52);
(b) л: = 2 (mod 5), л: = 3 (mod 7);
(c) х = 7 (mod 56), л: = 2 (mod 295).
5. Покажите, что существуют такие натуральные числа у и z. что реше-
пие задачи в китайской теореме об остатках дается формулой х —- ay + bz.
Таким образом, числа у и z представляют собой арифметический эквивалент
«разбиепия единицы», показывающий, что может быть найдепо целое число х,
принимающее произвольно задаппые «значения по отношению к с и с?».
6. Докажите, что если с1, с2, . . ., сп попарно взаимно просты и аг, а2, . . .
. . ., ап — произвольные целые числа, то имеется такое целое число х, что
х = а-ь (mod с{) для i = 1, 2, . . ., п.
7. Пусть a, Ъ и с — заданные целые числа. Используя алгорифм Евклида,
опишите процедуру нахождения всех (целых) решений х и у уравнения
ах + by -j- с = 0. [Если а или Ъ есть нуль, то задача тривиальна. Можно
предположить, не умаляя общности, что а и Ь положительны. Если d — их
наибольший общий делитель, то задача тогда и только тогда имеет решение,
когда d делит с. При с = 0 и взаимно простых а и Ъ это легкая задача.]
А.2. Примитивные корни по модулю р
Натуральное число g называется примитивным корнем по
модулю простого числа р, если степени g, g2, g3, . . . исчерпывают
все возможности по модулю р для целых чисел, взаимно простых
с р. То есть g является примитивным корнем по модулю р, если
для любого натурального числа к либо к = 0 (mod p), либо суще-
ствует такое натуральное число /, что к = g1 (mod p). В гл. 4, 5
и 6 мы постоянно пользовались тем, что для любого простого чис-
ла р существует хотя бы один примитивный корень по модулю р.
Следующее доказательство этого утверждения является одним из
двух его доказательств, приведенных Гауссом в Disquisitiones
Arithmeticae. Гаусс утверждает (разд. 56), что его предшествен-
ники строго не сформулировали и не доказали эту теорему, хотя
они и знали (или думали, что знали), что эта теорема верна.
В § 1.8 было показано, что для каждого целого а Ф 0 (mod p)
существует такое натуральное число d, что ad = 1 (mod p), и из
сравнения а? = 1 (mod p) следует, что d | /. Это натуральное
число d называется порядком а по модулю р. Согласно теореме
Ферма, порядок а по модулю р делит р — 1. Надо доказать, что
существует хотя бы одно а, порядок которого по модулю р равен
р — 1. Гаусс доказывает это путем построения такого целого
числа.
А.2. Примитивные корни по модулю р 447
Пусть р — 1 = pij>2. . . рт — разложение р — 1 на простые
множители. Пусть q — одно из простых чисел рх, р2, . . ., рт;
пусть v — кратность, с которой это число входит в разложение.
Рассуждение с последовательными разностями из § 2.4 показывает,
что сравнение x<-p-l'>/q — 1=0 (mod p) не может выполняться
для всех целых чисел х = 1, 2, 3, . . ., р — 1. (Если бы все эти
числа удовлетворяли сравнению, то, взяв разности, мы получили
бы, что р делит ((р — 1)/?)!- Но это невозможно, поскольку р —
простое число, большее всех делителей ((р — l)/q)\.) Следователь-
по, существует такое целое число Ъ, 0 < Ъ < р, что &О'-1)/з=^
^ 1 (mod p). Пусть с — целое по модулю р, полученное возведе-
нием Ъ в ((р — l)/gv)-io степень. Утверждение состоит в том, что
порядок с равен qv. Так как, согласно теореме Ферма, cqV равно
bv~x = I (modp), то порядок с должен делить qv. Отсюда следует,
что порядок с не делится ни на одно простое, отличное от q, т. е. по-
рядок с равен степени q. Для доказательства того, что этот порядок
равен qv, достаточно доказать, что сч%?~1 ^= 1 (mod p), но это
немедленно следует из способа выбора с и Ъ.
Допустим, что такое целое число с найдено для каждого про-
стого делителя q числа р — 1, скажем с15 с2, . . ., сп; пусть g —
произведение этих чисел. (Здесь п^.т — число различных про-
стых делителей числа р — 1.) Утверждение состоит в том, что
порядок g равен р — 1. Если бы порядок g был отличен от р — 1,
то он был бы собственным делителем р — 1. Таким образом,
нашелся бы простой делитель q числа р — 1, который делит поря-
док g с меньшей кратностью, чем оп делит р — 1. Тогда порядок g
делил бы (р — 1)/д, и отсюда следовало бы, что gv = 1 (mod p),
где \х = (р — \)lq. He ограничивая общности, можно считать,
что с, соответствующее этому q, равно сг. Тогда с% = с^ = . . .
. . . = с? == 1 (mod p), поскольку порядки этих целых чисел делят
\i = (р — i)/q. Отсюда следовало бы, что 1 = gv- = cf, что
является противоречием, так как qv не делит \i. Таким образом,
порядок g равен р — 1, что и требовалось показать.
Упражнения
1. Подбором найдите примитивные корни для пескольких простых.
Обширные таблицы примитивных корпей можпо найти в знаменитом труде
Якоби Canon Arithmeticus [J3], а также во многих других кпигах.
2. Пусть у — примитивный корепь по модулю р. Покажите, что у11
является примитивным корпем по модулю р тогда и только тогда, когда к
взаимно просто с р — 1. Найдите все примитивные корпи для всех простых,
меньших 20.
3. Прочитайте и перескажите своими словами другое доказательства
Гаусса существования примитивпых корпей [Disquisitiones Arithmeticae,
Art. 54].
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.3. 1. Равенство 2р2 = 4961 + 8161 дает р = 81; тогда g ^ 40.
1.6. 1. См. упр. 3 к § 1.3. 2. Если бы выполнялось равенство х4 — г/4 = z2,
то пифагоров треугольник (х* — г/4, 2хгу2, ж4 -f- г/4) имел бы площадь,
равную квадрату.
1.7. 1. х, у имеют противоположную чотпость. Если х четно, то х2 имеет вид
Ак, если х печетпо, то х2 = Ак -j- 1. 2. Если р = х2 + Зг/2, то i =
— ЗА: + 1 и я2 = Зге + 1. Если Зто -j- 1 — простое, то т — четпое.
3. Bге + IJ имеет вид 8к + 1; 2г/2 — 8А: или 8fe + 2. 4. Число и удов-
летворяет условиям Жирара тогда и только тогда, когда любое простое
число р вида Am -f- 3, делящее re, входит в разложение ге с четной крат-
ностью.
1.8. 1. р = 7Ак + 1. Если р = 149, то остатки чисел 2*, 2", 216, 232, 237
равны 32, 107, —24, —20 и —44 Ф 1 соответственно. Если р = 223,
то остаток числа 237 равен 1. 2. a2n+1 + 62n+1 = (а + Ь) (а2п —
— а*п-1Ъ + а2"62 — . . . + Ъ2п). Если р \ х, то хР~' = кр + I.
3. ге = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30.
1.9. 3. pQ- Pq = (p2 + pqr - pqr - q2A)l\ к \ = Sgn (к); Q (QA + PR) =
— P2 — К + PQR делится на К. Поэтому QA + PR делится на К.
4. Р — rQ = —qs/\ к | = ±qK. Так как Р + RQ = пК, то
К | (г + R) Q и Я | (г + Д). 5. В циклическом методе второе г — 13
определяется условиями 5 | A2 + г) и г2 — 149 — малое число. Сле-
дующее А: равно A32 — 149)/(— 5) — —4. Последовательность А: имеет
вид 1, —5, —4, 7, —7, 4, 5, —1, 5, 4, —7, 7, —4, —5, 1. В английском
методе второе г равпо 8 и последовательность А; имеет вид 1, —5, 17,
—4, 7, —7, 4, . . ., 17, —5, 1.6. | К | ,^ = PR + QA ^ P (R + г) —
— rP + QA = Рп | К | — rP + QA. Таким образом, /Р = пР -\- х,
где | к | | К | ж = -г (рг + дЛ) + Л (р + дг) = р (Л - г2) - -ps.
Так как |А||ЛГ| = |«|,тол:= —sgn (s)-p. Вычисление & анало-
гично. 7. Р — rQ делится как на А;, так и па К (упр. 4). Таким образом,
pQ + дР делится иа А; и К тогда и только тогда, когда pQ + qrQ делит-
ся на А; и К. Как р -\- qr, так и рг + Лд делятся па А: (упр. 3). 9. К и А:
имеют противоположные знаки и A:/f = г2 — А. Если А; <С 0, то знак
{—г + КJ — А *= К (к — 2г -\- К) совпадает со знаком А; — 2г +
+ К = [(г + | к |J - А]/к < 0; (-г + 2КJ ~ А = К (k-Ar+AK)
лоложительно, поскольку к — 2г + 2К = к'1 [(г + | А: |J — А —
— (А — г2)]. Случай А; > 0 рассматривается аналогично и (Л2—А)/К=
~ Кг + I k IJ — А]/к, поскольку обе части равпы А: + 2r sgn (А:) + К.
10. Следующее г — обозначим его R — определяется условиями:
R=— г + пК, Л2<Л, R как можпо больше. Если К < 0, то кК +
+ 2гК + К2 < 0, г2 — А + 2гЯ + Я2 < 0, (—г + | К \J < А. Это
неравенство справедливо и при Z > 0. Таким образом, R > —г + |Я|,
— г<Л— \K\^R и (Л — \К\J<А. С другой стороны,
(Л + | К ])* > А. При сЖ = (Л2 — А)/К отсюда следует, что Л* —
Ответы к упражнениям 449
— 2Л | К | + К- < А, К {Ж — 2R sgn (К) + К) < 0. Это дает
SfC + 2R + Я > 0 при if < 0 и <РГ — 2Л + К < 0 при К > 0. Про-
тивоположные неравепства получаются аналогичпым образом из
(R + | К |J > А. 11. г имеет вид —II + n/f. Это вместе с неравен-
ствами г2 <; Л, (г + I К |J > Л определяет г, когда известны Л и К.
Неравепства —А < кК < 0 показывают, что для к имеется только
конечное число возможностей. Первое к равно 1, поэтому при нервом
повторении получается 1. 13. Легко доказать равопство л^+12/г —
— г/г+Л = ±1 ~ сначала для положительных, а затем и для всех i.
Равенство xi+1xt — Ayi+Iyt= sgn (kt) rt (где rt — значение г, которое
используется при переходе от xt, yt к xi+1, j/,+i) легко доказывается
при положительных i. Затем оно получается при всех i (n^+i | ft;+i I =
-= rt + ri+1). Тогда (х\ — Ay?)-(x2+l — Лг/?ч1)= (х^1+1 — Лг/(-т/г-+1J —
— A (xj+1iji — yi+1xtJ = r? — A — k[ki+1, поэтому равенство х\ —
— Ay\ = ki выполняется при всех г.
1.10. 1. Уравнение имеет вид A + х) A + ж2) — ;/2. Тогда х > —1. Так
как 1 + я2 не является квадратом при л; Ф 0, то 1 + х и 1 + л;2 не
взаимно просты. В действительности 1 + х — 2м2, 1 + хг = 2у2
при л; > 0. Тогда (м2, м2 — 1, v) — примитивпая пифагорова тройка,
если (м, х) Ф A, 1). Если х > 1 и и нечетно, то и~ — р2 — д2,
м- — 1 = 2pq, v — р2 + 92. где ; и j — взаимно простые числа раз-
пой четности и р > q. Тогда 1 — (р — дJ — 2д2 и р — q является
квадратом. Таким образом, (q2 -j- IJ = ф -\- <4, что невозможно.
Если и четно, то и2 -- 2pq, м2 — 1 = р2 — q2 и v — р2 + д2. Тогда р четно
и и действительности р = 2г2. Значит, 1 — (р + дJ — 2р2, 8г4 =
= (Р + Я — 1) (Р + Я + l)t 2i* = а (а + 1). Одно из чисел а, а + 1
является 4-й степенью, а другое представляет собой удвоенную 4-ю
степень. Отсюда следует, что б4 — 2с4 — +1. При знаке «+» в этой
формуле для d —- с2 выполняется равенство (d2 + IJ = d4 + б4,
что невозможно. Следовательно, (d2 — IJ — d4 — б4. Ясно, что
Ь Ф 0. Таким образом, б4 = d4. По Ъ и с взаимпо просты, лоатому Ь =
— +1, с — +1, а •-= 6* — 1, а + 1 = 2с4 = 2, р + д = 3, р — 2,
„2 = 4, л; = 7.
2.3. 1. Каждая единица имеет вид + A + V2)n при некотором целом п.;
(A + л/2)-1 = — A — ]/2)). Единственными единицами вида х +
+ у Y — 41 или л; + ;/ ]/ — 7 являются +1. Равенство ?82 — 1 + 7-32
дает единицы ± (8 + 3 "|/—7)п. г«е (8 + 3 ]/—7) = 8 — 3 j/^7.
В этом случае так получаются все единицы, поскольку равепство
л;2 = —1 + 7;у2 невозможно по модулю 8. Единственными единицами
вида х+ у л/^Л являются +1 и + ^^Т. 2. 4 )/'2 + ]/5 = A9 +
+ 6 \ГЩ B /2 - /5K.
2.4. 1. Пусть Р = р2 + д2 — а2 + б2. При необходимости измените знак д
таким образом, чтобы Р делило рб + ад. Тогда либо ар — bq = 0
и ад + Ьр = +Р, либо ар — bq = +Р и ад + 6р = 0. Таким обра-
зом, или а = +д, или а = +р. Аналогичные рассуждения проходят
и в осталышх случаях. 2. Согласно формуле бинома Ньютона,
{х + 1)п — хп = ил;"-1 + члены низшей степени. (Также и хп —
— (х — 1)п = ил;" +....) Таким образом, первые разности ал;п +
+ Ъхп~1 + . . . + с равны апх71'1 +: . . . .8. Указанное деление воз-
можпо тогда и только тогда, когда Р делит (ар + bq) + (aq + bp) i.
10. Согласно упр. 1, р = и- + у2. Если г является обратным к у по
модулю р, то сравнение а2 = —1 (mod p) имеет решение а — гм.
Аналогично, согласно упр. 7, сравнение Ь2 = —2 (mod p) разрешимо.
29 Г. Эдварде
450 Ответы к упражнениям
Тогда по теореме Форма 2(р 1)/2 = (а262)(р J)/2 = l(modp). Так как
64 является наименьшей степепью 2, сравнимой с 1 по модулю р,
то (р - 1)/2 = 64А:, р = 1 + 128А. 11. 2м - 1 = B1в + 1) B« + 1) X
X B4 + 1) B2 + 1) B + 1)B —1). Следовательно, 257 = 2^ + 1 не делит
232 — 1 + 2.
2,5. 1. Из равенства х + Y—2 = (а -{- 6 |/—2K следует, что 6 (За2 —262) =
= 1,6— +1, а = +1. Тогда х = +7 пли +5. 4. A + j/^J делится
па 2. 5.(а) Равенство B + |^—3) A+2 ]/—3) дает два единственно
возможпых_представленпя 42+J3-52, |82 + З-З2. (Ь) B + ]/—3) X
X B + ]/~3) Дает 49 = 72 = 1« + 3-42. (с) Найдите представления
112 = 336/3. Они получаются из 4 B + ]/—3) и 2 B + У^Ъ) X
X A + ]/—3). Искомые представления имеют вид 336=3-82 +
+ з2-42 =•= 3-22 -К 32-62 = 3-Ю2 + 32-22.
3.2. 2. Воспользуйтесь тем фактом, что целое число ф 0 (mod p) обратимо
но модулю р. 3. 13-ми степенями по модулю 4-13 — 1 являются О,
+1, ±30; 17-ми степенями но модулю 6-17+ 1 являются 0, +1,
+46, +47, и условия теоремы Софи Жермен не выполняются. Однако
17-ми степенями по модулю 8-17 -|- 1 являются 0, +41, +37, ±10,
+ 1. Для 19 первым простым числом, подлежащим испытанию, оказы-
вается 191, по модулю которого 19-ми степенями являются 0, +7,
+49, +39, +1. 4. (/ -J- 5M = jb (mod 25). Таким образом, непулевыми
5-ми степенями по модулю 25 являются 1, 25 s 7, З5 = (—2M =
= _7, ^ = _1.
4.2. 3. Возьмите а2 = 0. Тогда А = 2а0 — a]t В = ах. 4. А — Ъ + с,
В — Ъ — с. Степени единицы 60 различны, поскольку 6" = +an =F
+ я„+1ео Ф 1. где ап+1 = а„ + ап-1. 6. / (а) = g (а) означает, что
/ (а) идептичпо g (а) + с A + а + . . . + а^). Таким образом,
/ A) - g A) + ck; Nf (a) ^ / A) / (I2) • • • / (Iх) = / A)?'"X = 0 или
1 (mod Я). 8. Композиция сопряжений ai-*a' и ан^сс* дает ai-*a",
где п — jk- Если ни ;', ни к не являются нулем по модулю Я, то п ф
± 0 (mod Я). Обратпым к сопряжению ai-*a' является at-*- am,
где m/ = 1 (mod Я). 9. Если к s= —1 (mod р), то ), = 0 (mod p),
Х= р. Если А:х = — 1 и к Ф — 1, то (—к)К = 1. Я | (р — 1) по теореме-
Ферма. 14. Из Nf (a)-Ng (a) — 1 вытекает ЛГ/ (a) — +1. Таким обра-
зом. Nf (а) = 1 — g (a) / (а). Сократите па / (a). 15. г (a) — 0. посколь-
ку h (a) = / (a) = 0. Если / (X) делится па р, то f/p обладает теми
же свойствами, что и /; (/ — 1) h (/) = /^ — 1. См. упр. 1 к § 3.2. 16.
Если / (a) g (а) - 0 и ah (X) = q (X) f (X) + г (X), то г (a) g (a) --- 0
п г (а) может заменить / (а), если г (X) Ф 0. 18. Если р (а) простое
п р (а) — / (a) g (а), то р (а) делит / (а) или g (а) и второй сомножи-
тель является единицей.
4.3. 3. Из того что h (а) неразложимо, но не просто, вытекает, что q (<x)h (a) =
= / (a) g (a), где / (a), g (a) ие делятся на h (a). Запишите q (a), / (a),
g (a) в виде произведения неразложимых и заметьте, что fe (a) справа
не встречается. Хотя, казалось бы, очевидно, что каждое круговое
целое является произведением неразложимых — ведь можно разла-
гать до тех пор, пока далыгсйшее разложение станет невозможным, —
доказать это конструктивным способом непросто. 5. х + у =
= 0 (mod р). Если у ^н 0 (mod р), то это дает (—xly)* = 1 (mod p}
н Я | (р — 1). С другой стороны, х ф 0 (mod p). 6. (а) 1, 11, 31, 61,
II2. 5-11, 211, 5-41, 11.41, 11-191, 11-191. (Ь) 43, 127, 547, 1093, 463,
Ответа к упражнениям 451
29-71, 29-113, 43-127, 7-379. 14 197, 29-449, 7-1597, 10 039, 10 501.
8. р | N (а — к) для некоторого к. Таким образом, h (а) делит бином
и результат следует из теоремы в тексте. 10. (а) а = к (mod h (а))-
Таким образом, кК = аК = 1 (mod h (а)), кК = 1 (mod р); к ф
ф 1 (mod р), поскольку из а = 1 (mod h (а)) вытекало бы
р I ЛГ (а — 1) = л. По той же причине к2, к3, . . ., к^'1 =? 1 (mod p).
Таким образом, к1 s. kl+i для 0 < / < Я. Если т^ = 1 и /л з=
* 1 (mod р), то р | JV (ш — a), h (а) делит один из сомножителей
т — <х) нормы N (т — а), т = а-? = A:J (mod fe (а)), т = A:J (mod р).
(b) Пусть р — 1 = Яц. Тогда сравнепие ^ =1 (mod p) имеет пе
больше л решении на основании упр. 1 из § 3.2. Также и А:^ = 1 (mod p)
имеет пе больше ц решений. Пусть aj} =? 1 (mod p), и положим Ь =
= ац. Тогда все степени элемента Ъ являются решениями. Если d —
наименьшее целое, для которого bd = 1 (mod р), то 'd | Я, d =fc I,
d = Я. 11. По модулю тех простых р, для которых 1 + 7 -(- 72 -J- 73 +
+ 74 = G5 — 1)/G — 1) = 2801 = 0 (mod р), т. е. только для р —
2801. 12. В любом случае / (X) — g (X) = q \X) (Xx~l + . . . 4- 1) +
+ г (X), где deg г < Я — 1. Тогда из г (а) = 0 следует г (X) = 0.
4.4. 8. Хороший способ контролировать вычисления значений / (к), f (к2),
f (А;4), . . ., / №") ио модулю 599 дает тот факт, что их сумма равна
10 по модулю 599. 10. Так как (а — 1) | Я | Ng (a), a — 1 простое,
то а — 1 делит некоторое сопряженное элемента g (a). Тогда некото-
рое сопряженное элемента a — 1 делит g (a); a — 1 делит все спои
соцряжепные. 11. Умножение каждой части равенства на a — 1
дает Я, поэтому обе части равпы. Иначе об :)том см. в § 6.17.
4.5. 1. См. табл. 4.7.1. 2. 6„ = a + a2 + a4; 006j =¦ 2; / (a) /'(a2)/ (a4) =
= a + 60o Д-'я некоторых целых a, 6; Nf (a) = (a + ?>60) (a + bO^) =
= a- — ab + 262 = V4 (Ba — bJ + 7b2]. 3. @0 — в,J = Я. если к =
= 1 (mod 4), и = —Я. если л = 3 (mod 4). 4. F0 + GjJ — F0 — OjJ =
= 4906j. Зпачит, достаточно найти 600j. Прямым вычислением полу-
чаем 606] = а + bQB + 69], где а равно 0 или (Я — 1)/2. Это опреде-
ляется четностью а. См. § 5.6. 6. Определите периоды, используя
у = 3. Тогда rig = 4 + 2% + т]2, Ti0Th =- 2ve + т]2 + т]3, тHг2 =
= Ло + *Hi + т>2 + "Пз = —1- Ло^з =" T]i + 1Ъ + 2т]3. 7. Тогра и только
тогда, когда р имеет вид р ss gft, где g — примитинный кореш> по
модулю Я, е | к. Иными словами, pf ^ 1 (mod Я). 8. гH — период,
содержащий а.
4.6. 2. X (X — 1) ... (X — 10) = X11 — 55Х10 + 1320Х» — 18 150X8 +
+ 157 773Х7 — 902 055Х6 + 3 416 930Х& — 8 409 500 Xi +
-f 12 753 576Х3 — 10 628 640Х2 + 3 628 800Х. Следствие: если р —
простое, то (р — 1)! = —1 (mod p). Это теорема Вильсона. 3. Если
Я = 13 и р = 3, [то rig = 6 + -По + 3% + Зт]3. 4. Если к =
^ 1 (mod р), то Я = 0 (rood р). В противном случае A:*1 == 1 (mod p)
и Я | (р — 1). 5. Если Я = 5, то б2 = 2 + 6j, О2 + 90 = 1; и — 4
удовлетворяет сравнению м2 + и = 1 (mod 19); (Go — 4) Fj — 4) =
= 19. 6. См. § 4.7; "По^^о^з = 3, когда Я = 13. 7. Если / (a) | g (a),
то Nf (а) | pf и TV/ (a) — степепь числа р. Так как ЛГ/ (а) = 0 или 1 по
модулю Я, то Nf (а) = 1 или р/,
4.7. 1. (т]0 + 3)/(т]2 — T]j + 1) = —т]]-, 1/(—т]]) = 1 + т]2. 3. Одно разло-
жепие имеет вид C — г|0 — 2т]2) C — т)й — 2т]0) ^^17 — 1260,
A7 - 1200) A7 - 12вх) = 61. 4. 109 = A0 - 60) A0 - 6Х). 5. 53 =
= Лг A + a + «3)- Разложение числа 103 требует решения и — 12
сравпепия мв + "в — 5 — 4м3 + 6м2 + Зм — 1 = 0 (mod 103). Тогда
29*
452 Ответы к упражнениям
сравнительно легко обнаружить, что произведение шести различных
сопряженпых элемента 2 (а + а12) + (а6 + а7) — 1 равпо 103. Чис-
ло 3 было разложено в тексте; 5 есть произведение трех сопряженных
элемента —1 — (а + а« + а12 + а5); 17 = D — 60) D — 0г); 7 нераз-
ложимо .
4.8. 1. В обоих случаях (а) и A>) имеем а2 — Ло« + 1 = 0, где г\в — а + а4
для (а) и т]о = а + а" для (Ь). (с) а5 - 9„а4 - а3 + а2 + 0ха - 1 =
= 0. (d) а3 — Т1„а2 + Л2а — 1 = 0. (с) а5 — т]оа4 + (т^ + тJ) а3 —
— (Л4 + Лб) а2 "г "Пзсх — 1 = 0. 2. Произведение первых двух равно
а6 — 11а5 — 25а4 — 155а3 + 71а2 — 17а + 1 = а6 — 11а5 +
+ 4а4 — Юа3 + 13а2 + 12а + 1, а произведение вторых двух имеет
такие же коэффициенты и противоположном порядке. Окончательное
произведение равно а12 -г а11 — 115а10 — 115а9 + 59а8 — 57а7 +
+ 552а6 — 57а5 + . . . = а12 + а11 + а10 + . . . -|- а + 1.
3. (X2 - 4Х + 1) (X2 -f 5Х -|- 1) (mod 19), (X2 + 26Х + 1) х
X (X2 - 25Х + 1) (mod 59), (X + 4) (X - 16) (X - 18) (X - 10)
(mod 41) все являются разложениями полипома X4 + Xs + X2 +
+ X + 1; (X2 + ЗХ + 1) (X2 + 5Х + 1) (X2 + 6Х + 1) (mod 13)
п (X + 13) (X + 5) (X - 7) (X + 4) (X + 6) (X + 9) (mod 29) -
разложения полинома X6 + Xs + . , . + 1. По модулю 2 полином
X30 + X29 + . . . + 1 является произведением 6 сомножителей
X5 + X3 + 1, X5 + X3 + X2 -f X + 1, X5 + X4 + X3 -f X + 1,
А + X2 +1, X5 + X4 + X3 + X2 + 1, X5 + X4 + X2 -!- X + 1.
4. Векторное пространство над полем из р элементов имеет рЬ элемен-
тов, где к — его размерность. 5. 7а3 + 45а2 + 83а + 90 —
= C860 -Ь 83) а -\- D5 - 760) = FХ - 5) C00 - 8) [B + 00) а + 1].
6. В полиноме Р (а) замепите каждый коэффициент сравнимым с ним
но модулю h (а) целым числом и обозначьте результат Qh(a). Тогда
Qh (a) s= P (а) — 0 (mod h (а)) и легко показать, что <?/, (а) обладает
требуемыми свойствами.
4.9. 1. V (л) -" A — Ло) A — %) Лг A — Лз) ЛЛ,- По модулю 2 имеем
A — Т10) A — Л1) Л2 = Ло + Лз + Л4 = A — Лз) Л4Л5- Таким обра-
зом, ? (л) = (Ло + Лз + Л4J- Ло + Лз + Л4-2. У (л) = A-тH) X
Х(— 1 — Ло)A — r)i) Л1 A — тJ) Лг^—1 —Лз) Лз ss Tip — T]i + Лз (mod 3).
5. Коэффициенты инвариантны относительно о и поэтому являются
целыми числами; Я, = 5: X2 + X — 1; Я, = 7: X2 + X + 2 и Xs -J-
+ Х2- 2Х-1; Я = 11: X2 + X + 3 и Xs + Х4-4Х3-ЗХ2+ ЗХ +
+ 1; Я, - 13: X2 + X — 3, X3 +Х2 — 4Х + 1, X4 + X3 + 2Х2 —
— 4Х + 3, Xе + X5 - 5Х4 - 4Х3 + 6Х2 + ЗХ - 1. По-видимому,
самый легкий путь в этом убедиться заключается в том, чтобы выра-
зить степепи ti2, ti3,, . . ., T|g через тг|^ и исключить остальные г|,-.
6. (X - in - 1) (X - ti; - 2) ... (X - п,. - Р) ^ (х - тц)р -
_ (X - т|{) = (ХР - X) _(т|?—п,.)= ХР- Х^(Х-1)(Х-
2) ... (X — р) (mod p). Перемпо/кеиие этих полипомиальных
сравнений для i — 1,2,..., е дает ф (X — 1) ф (X — 2) . . . ф (X — р) &
= (X — \)е (X — 2)« . . . (X — р)е (mod p). Говорят, что / является
корнем кратности точпо к сравнения ф (X) = 0 (mod p), если
<р (X) = q (X) (X — fib- (mod р) и q (j) ф 0 (mod р), т. е. X — } не
делит а (X) по модулю р. Тогда ф (X — 1) ф (X — 2) . . . ф (X — р) ¦-
^<?(Х-1)<?(Х-2) . . . QJX-p)(X-l)t (Х-2)< . . .(X-p)t,
где t — общее число корпей сравнепия ф (X) = 0, подсчитанных с
кратностями, a Q (X) =е 0 не имеет корпей. Если а(Х) Ъ(Х) =
= с(Х)Ь (X) (mod р)лЬ(Х) фО (mod p), то а(Х)и с (X) (mod p). Таким
образом, Q (X - 1) Q (X - 2) . .. Q(X - р) = [(X - 1) (X - 2) ...
... (X — р)\е~г- По сравнение Q (X) = 0 (mod p) не имеет корней, и
поэтому е = t, а это и требовалось показать. 7. ф (X) = X2 — 1.8.
Вычислите t|J, тг|g, . . ., -r|g через т^, запишите эти соотношения
Ответы к упражнениям 453
как сравнения от и-г и используйте известное значение м0. Это
,";ает е — 1 неоднородных линейных «ураииений» от е — 1 пеизвест-
цых. Если определитесь из коэффициентов отличен от пуля по
модулю р, то этим однозначно определяются щ, м2, .... и(,_г но
модулю р. Однако не очевидно, что если м0, м15 . . ., Me_j удовлет-
воряют этим сравнениям, то они удовлетиоряют всем сравнениям,
вытекающим из соотношений между т|;. 9. р — т|; никогда не делится
иа р (поскольку его коэффициенты не сравнимы но модулю р),
кроме случая е =¦ 1, / = А, — 1, f| — — 1. когда 0 — т) не делится на
р. 11. а -- а^а, где к — (А, -- 1)/2. Таким образом, а лежит
н % н задача заключается в вычислении ejt'2 по модулю е. Если / четно,
то <?//2 = 0 (mod e). В противном случае eji'2 == e/2 (mod e).
4.11. 1. См. доказательство второй теоремы из § 4.12. 2. Используйте способ
из упр. 1.
4.12. 1. Пусть Ф (ti) -- му — т]0. Если uj встречается лишь однажды (но моду-
лю р) в списке щ, м2. . . ., ие, то только один простой дивизор числа р
делит ф (т]). Следовательно, то же самое верно для ф (i"i) -f- kp при
всех к. Заметим, что (<р On) + рк) (аф On) + рА) . . . (a«-^ (т]) + рк)=
= К + ркМ (mod рг), где К — Па*ф On) и Л/ — 2 (ЯУа'ф (л)). Все
слагаемые, кроме одного, в сумме М делятся на данный простой диви-
зор числа р. Таким образом, М ? 0 (mod p) и имеется точно одно
по модулю р значение к, для которого (К'р) + кМ = 0 (mod р). Зна-
чит, имеется точно одно значение к, для которого Лг (tf On) + рА)
делится на степень числа р, высшую, чем pf- 2. По упр. 1 к § 4.9,
У On.) - "По + т|з + т]4. Тогда ф (т]) = % + т|2 + т|6. Либо ф (т]) --
= ф (т]), либо ф (т]) ~ ф (ti) + 2. Вычисляя, получаем ф (т])-а-ф (т])х
Хо^ф On) — 9 — 50!- Таким образом, Л^ф (т|) — 25-1635 и простыми
дивизорами числа 2 являются B, % -j- тJ + т|5), B, т]2 + тK Ч- т]0), . . .
. . ., B, т|0 + щ + т|4). 3. Из-за N A — а + а) они могут быть
записаны как D7,1 — а + а-2) и его сопряженные. С другой стороны,
поскольку N (а — 4) — D23 — 1)/D — 1) -- 23 456 248 059 221 не делит-
ся па 472, они могут быть записаны как D7, а — 4) и его сопряжен-
ные. 4. Разложение тогда и только тогда может быть записано в таком
виде, когда но крайней мере одно из целых чисел и,, и2, . . ., и,- встре-
чается с кратностью 1. Таким образом, ото невсзможпо в упр. 2, воз-
можпо в упр. 3. 5. Пусть А --- (р1? г!^I*1 . . ., как'в тексте, п пусть
п — р^1 p!f2 . . . pj^m. Тогда из сравнения но модулю п нытекает срав-
hciuic по модулю Л, и имеется не больше п^~ < <х> классов сравнения
по модулю п. 6. См. упр. 2 к § 4.11.
4.13. 1. (Hi) Если а и Ь — круговые целые, для которых ab?j, то a?j
или b?$. 2. ~S^bigi всегда лежит в J. Обратно, если x?"j. rois
ss gj (mod gj для некоторого gt и х — gt -(- btgt для некоторого ut-
3. ,7 соответствует наибольшему общиму делителю ллемептов glt g2, . , •
. . ., gn, кроме случая J = {0}.
4.14. 1. Если Л — степень простого дивизора, скажем А -- Pv, и оА делит
g (а), то pv делит g (а) • а? (т|)v,откуда вытекает, что pv делит а л g (а) X
XxF(t])v и, стало быть, Л делит a-'g(a). Если А, В взаимно просты
и а (АВ) — а (А) а (В) делит g (a), то а (А) и a (S) делят g (a), /I
и В делят a-'g (a) и, следовательно, ЛВ делит a~lg (a). Это показы-
вает, что для любого Л из g (а) = 0 (mod aA) вытекает a~lg (a) =
= 0 (mod А). Тогда g- (a) =u. 0 (mod oU) влечет за собой a~'g (a) ^
== 0 (mod a'-'Л), . . ., o~ig (a) = 0 (mod А). Обратно, из a~ig (a) =
= 0 (mod a *-1~!) (а'Л)) вытекает g (a) — а-(?--)+'-п-г« (а) =
454 Ответы к упражнениям
= 0 (mod а'Л). Таким образом, (gx — g2) = 0 (mod a'A), равносильно
условию а~' (gx — g2) = О (mod А), что и требовалось доказать.
2. Норма произведения есть произведепие норм. Для простых диви-
зоров доказательство несложно. 3. Пусть АС — дивизор элемента
gn. Тогда В и С взаимно прости. Запишите А — А 'А ВАС, где А в содер-
жит все простые делители дивизора А. встречающиеся в В, а Ас —
все простые делители, встречающиеся в С. Найдите такое j/, чтобы
у = 1 (mod А ВВ) и у з= 0 (mod Л СС). Тогда фг/ = ф (mod А ВВ)
и фг/ s= 0 = ф (mod А'ЛС), так что фг/ -= ф по модулю ЛВ. Аналогич-
но, фг/ = 0 (mod Л С), ф.г/ = bngn.
4.15. 2. Предположим, что Р ¦— (р, ф) не является дивизором никакого
кругового целого. Если ф = iMJ, то либо Р — (р, ^г), либо Р =
— (р, г|э2). Поэтому предположим, что ij) неразложимо. Пусть A7ij5 =
= pfpvi . . . pvn. Запишем р, р1у . . ., рп как ироизведония неразло-
жимых. Тогда ATty представляется в виде произведения неразложимых
двумя существенно различными способами.
5.2. 1. Я = 31: (a -f- bd0) (a -j- &Gj) = а2 — аЬ -J- 862. Даже очень короткая
таблица дает A + 60) = B, 1)», B + 60) = B, 0) E, -2), C + 00) =
— B, 1) G, —3). Таким образом, B, 1) - E, —2) - G, 2) и B, IK ~
~ /. Как и раньше, B, 1) гр I и, следовательно, B, IJ -j^ /. Поскольку
1'иР1 ~\~ 11гР ~\~ ^ < Рг при р 53 5, каждый дивизор является произведе-
нием простых дивизоров чисел 2 или 3. Но показатель числа 3 по моду-
лю 31 есть 30, поэтому 3 просто. Следовательно, /, B, 1), B, 1)'2~ B, 0)
— система представителей. Л, -= 39: (a -f- Ь0О) (а + uSj) = а" — ab +
+ 1062. Опять подходят лишь р = 2, 3. C + 6^ — B, IL, B + 6,) -=
= B, ОJ C, 1). Таким образом, B, 1J~ C, 1). Так как ни B. 1),
ни C, 1) не эквивалептиы /, то систему представителей образуют /,
B, 1), B, IJ - C, 0) и B, IK - B, 0). К - 43: а1 ~ ab + Ш2.
Снова подходят лишь р ¦— 2, 3. Короткая таблица значений дает
простые значения и показывает отсутствие простых дивизоров чисел 2
и 3. Действительно, 2 имеет показатель 14, а 3 -- показатель 42, так
что е является нечетным в обоих случаях, и дивизоров вида B. и)
и C, и) пет. Итак, все дивизоры главные, и / — система представи-
телей.
5.3. 1. A) Если / (я) имеот дивизор А и g (а) имеет дивизор /?, то / (a) g (a)
имеет дивизор А В. B) Если / (я) имеет дивизор А я h (а) имеет дивизор
АВ, то / (а) делит h (а) и частное имеет дивизор В. C) Если А ~ /,
то Л — главный, поскольку таковым является / (замените А на / в 4).
Если А — главный, то на основании A) и B) дивизор С тогда и только
тогда является главным, когда таковым является АС', значит, А ~ I.
(\) Если АС ~ ВС ~ I и ЛО~/. то (BD) (АС) = (AD) (ВС) ~ I
но A), следовательно, BD ~ / по определению эквивалептностя А С ~ Т.
По симметрии, из BD ~ / следует AD ~ I. Значит, А ~ В. Теперь
допустим, что А ~ В. На основании G) имеется такой дивизор С,
что АС ~ I, Тогда ВС ~ / по определению. Утверждения E) н F)
получаются непосредственно. G) N (А) — дивизор некоторого целого
числа; значит, дополнение В дивизора А до /V (А) обладает требуемыми
свойствами. (8) Пусть С такой, что АС ~ I. и положим М ¦- ВС,
.V — АС. 2. См. упр. 2 к § 4.15. 3. При g (а) — аха. + а2а1 + • • •
а>'" имеем g (a) g (а-1) — а\ + а^сс-1 + а^-у.-- + . . .
1
. . . + а.,^01, + а\ + а.,а3т,-1 + . . . . Тогда сумма X — 1 сопряжзнных
равна (Я — 1) (а\ + а\ +..._+ af._i) — (a,a^+ <*i<*3 + • • • 4" a2ai +
-г «2a3 +•••) = ^"ja? ~ ( _jaiJ- Если | at | < с во всех случаях,
то Ng (a) является произведением (Я — 1)/2 положительных, вэщоствеп-
Ответы к упражнениям 455
ных сомножителей, сродное арифметическое которых по цревосходит
[Я (Я — 1) с2 — 0]/(Я — 1) = Хс~. Так как их среднее геометрическое
(Ng (а)J^~1) < лс2, то отсюда следует результат.
5.5. 1. Из а = 1 следует g (а) = g A) = целое число по модулю а — 1.
Если g (а) ?2 а0 (mod (а — 1)), то пусть h (а) = [g (а) — ао]/(а — 1).
Тогда h (а) = аг (mod (а — 1)) и g (а) = а0 + а, (а — 1) (mod (а—IJ).
Если [g (а) — ав — а-у (а — 1)]/(а — IJ = a2 (mod (а — 1)), то g (а) =
= а0 + ах (а — 1) + а2 (а — IJ (mod (а — IK), и т. д. Если а0 +
-г Ч (а - 1) + ... + ah_2 (а - I)*- = 60 + *i (а - 1) + • • •
• • • + *я.-г (« — I)'" (mod (а — 1)*¦¦"')> то со + Ч (а — 1) + . . . =
= 0 (mod (а — l)^), где сг = а,- — bt. Тогда с0 = 0 (mod (a — 1)),
откуда с0 = 0 (mod Я), с0 = 0 (mod (а — l)'1'1)- Далее, сх (а — 1) =;
= 0 (mod (а — IJ), (а — 1) I сх, сх = 0 (mod (а — l)^). Далее,
с2 = 0 (mod (а — I)'") и т. д. 2. Исключите х из сравнений
(ah _ а-Л) х ^ (а1-й _ аЯ-1) у, (a2h _ a-2h) x = (a2-2h _ a2h-2) x
Ху (mod Я), умножив первое на ah + a~ft и вычтя его из второго.
Воспользуйтесь тем фактом, что (а — IJ I (а*1 — а?) только тогда,
когда а?" — av. Если (а — а-1) х = 0 (mod Я), то а = 0 (mod Я). Если
(а — а-1) ? = (а — а) у (mod Я), то а = 6 (mod Я).
5.6. 1. Вкратце вычисления выглядят так: 1 + 3 = 4 + 5 = 9 + 7 =
-=16 + 9 --= 25+11 = 36 + 13 = 49 + 15 = 64 + 17 = 81 =
= 2 + 19 = 21 + 21 - 42 + 23 = 65 + 25 ¦-= 90 = 11 + 27 =
= 38 + 29 == 67 + 31 = 98 ^ 19 + 33 = 52 + 35 = 87 = 8 + 37 =
= 45 + 39 ¦— 84 = 5 + 41 = 46 + 43 = 89 ~ 10 + 45 — 55 +
+ 47 = 102 = 23 + 49 = 72 = —7 + 51 = 44 + 53 = 97 === 18 +
+ 55 = 73 =• —6 + 57 = 51 + 59 = НО = 31. Так как 59 = 29 +
+ 30, то это дает 31 = 302 (mod 79). 2. Неравенство, ограничивающее
у, получается из 0 < х2 < (та/2J. Когда А — 31, та = 79, значения у
лежат в пределах 0 $; у <J 19. Из того что 31 + 79у = 0 или 1 (mod 3),
1 -\- у ф 2 (mod 3), следует, что у =s I (mod 3). Это исключает воз-
можности 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19. Аналогично, 31 + 7Яу = 0 или
1 (mod 4) исключает зпачения у = 0 или 1 (mod 4); 31 + 79у = 0 или
1 или 4 (mod 5) исключает у = —1 или —2 (mod 5). Остаются только
// = 2, 6, 11, 15; 31 + 79// = 0, 1 или 4 (mod 8) исключает значение 2;
31 + 79.1/ = 0, 1, 2 или 4 (mod 7) исключает значение 15. Так как
6-79 + 31 == 505 не является квадратом, то ответ должен быть у = 11.
И действительно, 31 + 79-11 = 900 = 302. 3. ("^-(д^) (97)^A) (ii) =
= (н) = (иJ= Ч-1; У = 0,1, ... или 24. Модуль ? = 8 дает у ни 2, 3 или
6 (mod 8). Модуль Я = 9 дает у = 0, 2, 3, 6 (mod 9); Я = 5 дает у = 1, 2,
4 (mod 5). Это приводит к значениям у = 2, 6 или 11. 4. A01) = ( 7д ) =
О а;)(Л)(97)(97)(?)(з)(;)а)(Ъ(?)
(i39> —(i39) (l39) -- ( 7 )( 1з) - ~ G)(.1з) - ~ (?) ~ "Г 1'
6. (~) = (~*) ^""^ и ^-2^ равеп _|_! для р = ! или з (mod8) и равен
— 1 для р ~ 5 пли 7 (mod8)._8. Докажите отдельно критерий Эйлера,
как и упр. 7.]Выведите правило A). Тогда если />=Н (mod 4), то (^)= (*)_
Если р = 3 л ч = 1 (mod А), то («) = (^) = ("^ (J). Если р = 9 =
456 Ответы к упражнениям
= 3 (mod) 4, то (ч\ — — (р\ = ( \ (р\. 9. Как р— 1, так и q— 1 четны.
Если р ¦= \ или q ^з 1 (mod 4), то-=- (/> — 1) -5- E—1) четво. Если как
р = 3, так и (/.= 3(mod4), то -у (/?—1)-у (?-1) нечетно. 10. Из пер-
вого сравнения вытекает 24м2—16м =56, и2 — 16м -•- 64 — 64 = 10,
(и—8J == 5 (mod 23). Так как ("°\ = / \ = ('\ = — 1, то это невозмож-
но. Из второго вытекает 35u2 + 30u s 10, —2u2 + 30u = 10, к2— 15м э
~ — 5, м2-!-22м+121 з- 116, (м+11J = 5 (mod 37). Так как C5?) =
= ( 5') = E) = — 1, то это также певозможно. 11. Если сравнение х2 =
= В имеет решение, то 5(P-i>/2 = хР = 1 (mod p). Следовательно,
B(P+i)/2 == в (mod р) и квадрат числа х == 5(Р+1>/4 равен В (mod p). Вы-
числение значения 312" по модулю 79 просто: 312 -s 13, 314 = 132 = 11,
318 = 121 =»42, 3116г= 422==26,i312o = 11-26 = 49== — 30.
0.3. 1. Если произведение записано в виде произведения по р = 1 (mod Я),
умноженного на произведение но р ф 1 (mod Я), то второй сомножи-
тель меньше 1] A — P~2i)~(?'-1'< П A —р~2I~^ = ? B)'" < оо
и больше 1. Первый сомножитель представляет собой произведение
по всем р = 1 (mod^) выражений A —р-*)-^^. Его логарифм равен
(Я — 1) ^ (Р~' + 1I*P~2S + Vg/)-38 + . . . ) = (Я — 1) V P's + ко-
нечная величина, где сумма берется но р = 1 (mod Я), поскольку
log A — х)-1 - х < х2/2 для 0 < х < 1/2. 2. 1000 < ? (s) < 1 + 1000.
3. Как и в упр. 1, 2"~s ~ y\P~s H~ конечная величина. TawjKai!
p~s < р-1, то из У/) < °о вытекало бы, что У_-.р~$ ограпичена при
s J. 1, и, стало быть, ^]n~s также ограничена при s \ 1.
6.4. 1. Степени числа р являются различными корнями полинома Хп — 1,
так что Хп — 1 = (X — Р) (X — Р2) ... (X — Рп). Положите X =
= x/i/ и умпожьте па у11. Если р является корпем fi-ii степепп при неко-
тором fi, то п = fiv и произведение равно (хц — i/li)v. 2. Предположим,
что р = y-7 (mod Я). Тогда р^ — примитивный корень /-й степени из 1
и па основании упр. 1 П A — pift/>-«) = A/ — (/>-s) f)e = П;A — N(P))-S,
h
где Р пробегает простые дивизоры числа р. Перестановка сомножите-
лей в произведении допустима из-за абсолютной сходимости. 3. Значе-
ния характера Хо равны 1, за исключением значений аргумента, кратных
числу 13, при которых Хо = 0. Значение %0 (п) равпо 0 для п =
SS 0 (mod 13), равно 1 для п = +1, +3, +4 (mod 13) и равно —1 для
остальных п. Первые 10 ненулевых членов соответствуют значениям
п = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18. 4. Из % BK = 0 вытекает % (п) = 0
для четных п. Из % (ЗJ -— 1 и % EJ •¦= 1 вытекает % C) = +1, % E) =
= +1. Из х (^) ~ X C) X E) вытекает, что зпачепия % C) и у_ E)
определяют %.
о.5. 1. Из A — 00) A — 0j) = 1 вытекает log A — 00) = —log A — б^.
2. На основании (8) L A, %3) — (inmslh) A — 3 + 2 — 6 + 4 — 5),
где ms = (а — а3 + а2 — ав + а4 — аь)/7 = F0—6,)/7. Из геометри-
ческих соображений, 0О лежит в верхней полуплоскости, а &г — в ниж-
ней. Из F0 — GjJ = —7 получаем QQ — Q± = i Y1 и L A, Хз) =
= л/]/7 = 1,1874 ... .3. о^а равно а в степени у^. Так как (т>цJ„=
= v'" = 1 (mod Я) и / $ t (mod Я), то у» = —1 (mod Я). 4. я"=
Ответы к упражнениям 457'
= 3: L A, Xi) - «я (со - со2) A - 2)/32 = я/3/3; Я =-- 5: L A, Хг) =
= in (а + ia2 — а4 — ia3) (I — 2i — 4 + 3i)/5j = Bя sir, Bя/5) +
+ 2яг sir, Dя/5)) C — i)/25; Z, A, x2) = (/5/5) log (C + /5)/2);
i A, Xs) = i A, Xi)J * = 7: L A, Хз) •- я/У7; L A, Xi) = «я («1+
+ fta3 + ft2a2 + ft3a6 + ft4a4 + ft5a5) (ft-1 + 3ft~2 + 2ft-3 +
+ 6p^ + 4ft'5 + 5ft-6)/49, где ft = exp Bяг/6), a — exp BnilT);.
L A, x») = L A, Xi): ^ A. X*) = - 2 (a + coa3 ;+ ara2 + a6 +
+ coa4 + co2a5) (log | 1 — a | + со'1 log I 1 — a3 | + со log |1— a2|)/7,
где со = exp Bjii/3); L A, x4) = L A, x2)
6.9. 1. 6i — ( —l)J[a/-i — a/0], где последовательность ..., я_2, a_lt e0?.
аг, a2, ... определяется равенствами a0 — 0, aj = 1, ai+1 = a; + аг-1.
Ясно, что тогда б-?' Ф +6;, кроме случая, когда i = / и стоит знак +.
Пусть a -f- 60 — единица. Если a -f- 60 имеет норму —1, то (а + 60) в-
имеет норму 1. Если 6 нечетно, то коэффициент при 0 либо в (а + 60) 0,
либо в (а + 60) О2 четпый. Следовательно, достаточно показать, что
если N (а -\- 60) =¦ 1 и 6 четпо, то a + 60 — +0i. Так как равенство
N (а + 2с0) = iV ((а — с) + с @0 — 0j)) = (о — сJ — 5с2 дает решение-
уравнения Нслля, то единица имеет вид (а — с)^+ с У Ъ= + (9+4/5)^,
где 0О — 0j= У Ъ. Так как 9 + Лу^б = 13 + 800= О6, то это показывает,
что а + 60= ±Q*i. 4. 1 + 2тH = — ti^tij;1. 6. 1 + р'-з -\- p2'"-2i + . . .
. . .+ p~'+i равно 0, если i ^z;' (mod п), и равно 1, если i = j (mod n).
8. Пусть е0 = A — о2а) A — аа) для некоторого фиксированного о,
п пусть е;+1 — aet. Соображепия, приведенпые в тексте, показывают,
что log | е.-+ц | — log | е;- | (здесь fi — 8) и что система уравнений-
\х~1
log | а'Е (а) | — У rj log | e^i \ неявно определяет неизвестные г}:
1Ё
1Ё0
как функции едипицы Е (а). (В случае X — 7, приведенном в тексте,
110 = a"'e0, log | г); I — log | et |.) При Я — 17 выберите о: а н-*- а3.
Тогда тH = а-1 A — а4) A — а2)-1 — а-1 A — о12а) A — о^а)-1 =
= a-^eil, log | т]0 | = —log I es I — log | e4 |, т. е. для Е (a) = %.
получаем rs = r4 = —1, а остальные г/ равпы 0. Если ? (a) — произ-
недение степеней периодов r\j, то сумма соответствующих г^ четпа.
Следовательно, е0 не является произведением степенен периодов т);-.
Так как каждая единица вида D) есть произведение единиц еь то-
достаточно выразить единицы е,- (на самом деле единицу е0) через
периоды т)у. Если 2 — примитивный корень но модулю Я, то е0 =
= A — а4) A — а2)^1 = 1 + а2 = а-1!1],,, а если примитивным кор-
нем по модулю Я является —2, то (как в случае Я = 7) е0 = A — а4) X
ХA - а) = -а4 A — а-4) A — а-2)-1 = -а3%.
6.10. 2. Если Ф (ег) — Ф (е2) имеет целые компопешы, то ех эквивалентна
произведению е3е2, где е3 — вещественная единица, для которой Ф (еа)
имеет нулевые компопенты. Так как Les = 0, е3 = +1.
6.14. 1. При помощи прямого вычисления получаем Р — —1, 2-5, —22-72,
—24-114, 25-136 для Я = 3, 5, 7, 11, 13 соответственно.
6.15. 1. Докажите, что для каждого к существует fe-й круговой полином,
т. е. полином Ф^ с целыми коэффициентами и со старшим коэффициен-
том 1, корпи которого в точности совпадают с примитивными корнями
/с-й степени из едипицы. Это делается делением полинома Xh — 1 на
полипомы Ф,- для всех собственных делителей ; числа к. Иными сло-
вами, Фк (±) = (X -¦ р,) (X - ft2) . . . (X - p?(ft)). Для каждого
фиксированного / сумма У1 [Ц есть целое число. Это можпо доказать,.
458 Ответы к упражнениям
либо заметив, что $\ пробегает все примитивные корни (kld)-i& степени,
где d = н. о. д. (к, ;'), причем каждый из них появляется одинаковое
число раз, либо воспользовавшись общей теоремой о том, что каждый
симметрический полином является полиномом от основных симметри-
ческих полиномов. Таким образом, g фг) + g Ф2) + • • - g Фф(п>)
есть, с одной стороны, целое число, а с другой стороны, число
Ф (п) g ({jj. Значит, g (Pj) = г, где г — рациональное число (со зна-
менателем, который делит qp (и)). Разделим с остатком полином
•г|з (X) •¦= g (X) - г на Фп (X), положив Мр (X) = q (X) Фп (X) + г (X).
Тогда г (X) имеет меньшую степень, чем Фп (X), и гф.) = 0 для
всех Р;. Значит, г (X) = 0 и g (X) — г — q (X) Фп (X), откуда сле-
х+1
дует, что г — целое число. 3. Пусть Ik (х) = J tMt. Тогда Ih (х) —
X
полипом степени к со старшим коэффициентом 1. Два полинома при-
нимают равные значения при всех х только тогда, когда оин тожде-
ственны. Требуемое равепство равносильно системе равенств вида
а у = известная величина, ан_г + qaN — известная величина,
av_o -f- raKtr_1 + saN = известная величина, .... Все эти известные
величины равны 0, кроме одной, начинающейся с ап, которая равна 1.
Тогда из этих равенств следует, что N > п. Обратно, если N ^ и,
то имеется один и только один набор коэффициентов at, удовлетворяю-
щий этим равенствам (поскольку система треугольная). 4. Достаточно
доказать, что обе части равенства имеют равные производные. В обоих
п—1
случаях нроизводпая равна ^] я!Ялх"--1-ь//с! (и — к — 1)!; в первом
случае это получается прямым вычислением, а во втором — по индук-
-х И х ж+1
ц.ш. 5. (-г)" -= J Вп @ dt -= I Bn (i-u)d(i-u)-= I Bn A-й) X
— X X +1 X
ж + 1
X пи, хп = | (—\)п Вп(\ — t) dt. Таким образом, В2п+1 A/2) =
— (—1) В2№+1A/2), В2п+1 A/2) •¦= 0. Тогда равенство В2П+1 = 0 для
п > 0 следует из 52п+1 A/2) - В2п+1 = 2-2"--A - 2™+1) В2п+1.
€. В3 (t) = t (t — 1/2) (t — 1) равно нулю при 0, 1/2, 1, положительпо
между 0 и 1/2 и отрицательно между 1/2 и 1; В3 (t) равно 0 при 0,
1/2, 1. Оно ие может иметь других нулей при 0 ^ i^ 1, поскольку иначе
ч:го производная 5В4 (t) имела бы 3 нуля, а 20В3 (t) — два пуля в этом
интервале. Аналогично, единственными пулями полинома B2n^1 (t)
на интервале 0 < t ^ 1 являются 0, 1/2, 1. Значит, полипом B2n (t)
монотонвн на интервале 0 ^ t ^ 1/2 и имеет таи точно один нуль. Если
В,п @) > 0. то В2п @ убывает и B2n _x (i) < 0 для 0 < t < 1/2; этот
полином убывает от 0 до минимального значения, а затем возрастает
до 0 в точке 1/2, так что его производная отрицательна в 0 и В2п_2 < 0.
Апалогичн:>. если В„п < 0, то В2п_2 > 0. 7. Вп (х) — Вп —
— л [1 + 2"-1 + Зп-* 4- ¦ • • + (х — I)*-1] = целое число. 8. г|5 (х) =
-= х« + х1 + х* + .г10 + .г11 + х13 + х™ + х1Я + х1» + х20 + х21 +
+ х" + хР + х-6 + х30 + хзъ + x3i. Используя последовательность
етеиепей числа 2, а именно 2, 4, 8, 16, —5, —10, . . ., 14, —9, —18, 1,
мм находим г|5 B) = —10 + 17 — 6 — 12 + 13 + 15 — 14 + 9 —
— 2 — 4—8 — 16+5 + 3 + 11 + 7 — 18 + 1 — — 9- Для пахож-
депия у\> BП) составляем последовательность степепей числа 2П. Если
п. = 31, то 2п = —15, и мы находим у\> B3t) =з —10 + 2 + 6 — 16 +
+ 18 + 17 + 14 + 12+15-3+8-9 - 13 - 7 + 11 — 4 —
—5 -j- I sO (mod 37) 9. Хорошим контролем построения треуголь-
Ответы к упражнениям 459
ника Паскаля по модулю 13 служит тот факт, что строка, соответствую-
щая показателю 12, имеет вид 1, —1, 1, —1 —1, 1. Решая срав-
непия Во = 1, Во + 251 = О, Во + ЗВ1 + ЗВ2 = 0, ВО + 5Bj —
— ЗВ2 — 3Bs + 5B4~0. . . ., без труда найдем Во = 1. Вг = 6,
В2 = —2, В4 = 3, В6 = —4, В8 == 3, В10 з= 5. (Конечно, B2n+1 = °
для п > 0.) Прямой подсчет значения В10 G) показывает, что оно
= —4 (mod 13). Таким же образом В10 A/2) -= В10 + 2"» A — 210)В10
= —4.
«.16.1. ф(т") = (у„+1-1) 'В„+1 (л +I)-1 (modX) для 0<и<а-3.
2. Если а -= 13, то ф Bi) = —3, 0, —5, 0, —3, 0, 3. 0, —2, 0, 3, 6 для
п- 1, 2, . .., 12.
6.17. 1. Если h — порядок группы G, то элемент oft —единица при любом
а из G. Если X t h. to mk — nh -\- i a a = a'a^11 = am\ 2. Пусть
е2 (а) = OLmE (а), где /i1 (а) — вещественная единица. Тогда условие
±а" = е2 (а)я ••= атХ? (а)х дает | ? (а) | •= 1, Е (а) ¦= ±1. Другим
способом можно получить это, заметив, что если a.h сравнимо с целым
числом но модулю л, то 1 + к (а — 1) сравнимо с целым числом по
модулю (а — IJ, Ы0 (mod Я), (+е2 (а))А •= 1, и единица +е2 (а)
оказывается корнем уравнения Х^ -=1.4. На основании бесконечного
спуска достаточно доказать следующее: если р | о (G), G абелееа и не
содержит элементов порядка р, то имеется такая абелееа группа G',
что р | о (G'), G' абелееа и не содержит элементов порядка р и о (G') <
< о (G). Пусть а — элемент из G, отличный от е. Пусть v — его поря-
док. Тогда р \ v, поскольку иначе элемент av^p имел бы порядок р.
Пусть G' •= G/(a). Тогда р | о (G'), о (G') < о (G) и G' — абелева груп-
па. Нужно показать, что если G' имеет элемент порядка р (например,
класс смежности элемента 6), то и G имеет такой элемент. Если такое Ъ
существует, то Ьр — ak. Пусть п — н. о. д. (v, k), к — пК, v = nN.
Тогда е = avK = а^к — 6Р^. Значит, элемент bN имеет порядок р,
если только элемент 6Л отличен от единицы. По из равенства 6Л -- е
вытекало бы р \ N | v. [p | ,V следует из того, что р — порядок класса
смежности элемента Ь.]
7.1. 1. х- — Dy- = (х + у ]/D) (х — у VD). Если р — простое и
р | (х- — Dy-), та р делит один из сомножителей, а 11отому_и оба
со.м-ижптвля. Обратно, если р \ (х -\- у \^D)-(u + v \^D), то
l> | (,r- — Dy2) (и2 — Dv3) и p | (x2 — О//2) или p | (u2 — Dy2). Поэтому
p — простое число. 2. Квадратичное целое и -\- v \/D при v — 0 являет-
ся обыкновенным целым. 5. —10, —7, —6, —5, —3. —2, —1, 2, 3,
5, 6, 7, 10. 6. Покажите, что сравнение и1 == —1 (mod p) при нечет-
ном р имеет решение в том и только в том случае, когда р | (а'2 + б'2)
при некоторых взаимно простых а и Ь. Таким образом, 2 разветвляется,
простые з= 1 (mod 4) распадаются, простые з= 3 (mod 4) остаются
простыми. 7. 2 разветвляется, простые psl или 3 (mod 8) распадают-
ся, остальные остаются простыми. 8. Простые = +1 (mod 8) распа-
даются. 9. Если р з= 1 (mod 3), то / = 1, е — 2 и р имеет 2 различных
простых делителя, т. о. р распадается. Если р = 2 (mod 3), то е = 1,
т. с. р остается простым; C) = (а — IJ, т. с. 3 разветвляется. 10.
5 разветвляется. Если р =2 или 3 (mod 5), то р является простым
как круговое целое и тем более как квадратичное целое. Если р з= 1
плч 4 (mod 5) и А — простой дивизэр числа р, то 60, 0t 35 целые
(mod А), 80 — 0t = и (mod 4), м2 = (90 — 0)г = 5 (mod А), к2 ==
-¦ "> (:n)d р) и р распадается. 11. 2 по разветвляются, (,/)—{„ )(:-,)
460 Ответы к упражнениям
зависит только от класса р (mod 4-5). В действительности это число
равно +1 при р = 1, 3, 7, 9 (mod 20) и —1 при р = 11, 13, 17, 19
(mod 20). 12. В каждом случае задача состоит в разложении чисел 2
и 3. Например, при D ¦--¦¦ —5 число 2 разветвляется. 3 распадается
п имеются 3 дивизора B, *J C, +1J с нормой 36. 13. Достаточно
доказать, что ш = целое число (mod (р, и)), но ш = A — р) ш =
= [A - р)/2] A - YD) = Ч2 A - р) A - и) = целое (mod (p, и)).
7.2. 1. Если х -\- у У D имеет дивизор Л и если дивизор и -\- v У D равен
АВ, то х -\- у У D делит и -\- v У D н дивизор частпого равен В. 2. (а)
D -f- 7 /3) = A31, и), где 4 + 1и = 0 (mod 131), т.е. и = — 38,
(Ь) (И, 3) A7, -7). (с) C, 1) C, -1) E, *). (d) C, *) G, *). (о) /.
(/) E, 2) E, —2) B, *). 3. Немедленно следует из предложении 2.
7.3. 1. 1 — >'2, A — |/2J - 3 — 2 ]/2, A — /2K =7 — 5 у'2 имеют
дивизоры (—1, *), /, (—1, *) соответственно. 2. Из равепства и2 —
— Зи2 = —1 следовало бы, что и2 -f- у2 = 3 (mod 4). 3. 2J+ |/5 имеет
норму — 1.
7.4. 1. При А —¦ E, 2) A3, —5) тогда и только тогда 1^ — 1 = г (mod Л),
когда г = 2 (mod 5), г = —5 (mod 13), т. е. г ~-, —18 (mod 65). Вычис-
ления
— 18—2
65 5 1
показывают, что А2 является дивизором числа 1, Лх — дивизором
—2 — у'^1, 40 — дивизором (—18 — у"^1) (—2 — у' ^Т)/5. Таким
образом, имеются 4 решения +G + 4 у"—1), +[(—4 -f- 7 |/—I).
2. г0 = —11/2^ Oi = 1. Имеется_6 решений: +V2 (—11 — У^Ъ),
± B + 3 у ^3), ±V2G— 5 у —3). 3. Решение сравнений г =
= 3A1), г = 11 D1), г =20 F7) есть г = 12 147 (mod 30 217). Из
таблицы
12147 — 2381 59 1
30 217 4883 1161 3 1
цаходим, что А4, А3, А2, Аи А„ являются дивизорами чисел 1, 1 —
— У—2, 19 — 20 >/=2, —39 + 41 /=2, —97_+ 102 ]/ = 2 соответ-
ственно. Имеется 2 решения: + (97 — 102 У—2). Другое решение:
A1, 3), D1, 11) и F7, 20) являются дивизорами чисел 3 — У—2,
3 — 4 "}/ —2 и 7 + 3 У—2 соответственно. Произведение этих чисел
равпо 97 — 102 У~2. А.
8 1 1
23 3 2 3
Здесь не достигается 1 и дивизор не является главным. 5. Ай делит
(8 — у'^5J = 59 — 16 У ^5. Так как A6)-' = —10 (mod 23),
A6)-J_= _33 (mod 232), то Ао делит (-33) E9) - ]/—5 = 169 -
— У—Ъ (mod 232). Тогда
169 —7
529 54 1
дает А0 как дивизор числа 22+3 У—5. 6. р делит N (х + у у —1),
по не делит х -f- ;/ У—1, так что р не является простым. Если р раз-
ветвляется, то р = 2 = I2 + I2. Если р распадается и (р, и) — глав-
Ответы к упражнениям. 461
пый дивизор, то р = a2 + 62. Поэтому достаточно показать, что все
дивизоры — главные. В тексте было доказано, что каждый дивизор
эквивалентен дивизору с нормой, не превосходящей 2 /l/З < 2,
т. е. эквивалентен /. 7. Если р \ х2 + у2 и р Ф 2, то р = и2 + v2
и р = 1 (mod 4). Если in — р — 1, то, используя рассуждение Эйлера
с последовательными разностями из § 2. 4, можно показать, что а2п — 1
пе может быть сравнимо с 0 но модулю р для всех а = 1, 2, . . ., р — 1.
Следовательно, р I (а2п + 1) при некотором а = 1, 2, . . ., р — 1.
8. 2 /273~ < 2; 2 /3/3 •— 2, но при Z) = —3 пет дивизоров с нормой 2.
Последнее доказано в упр. 4. 9. Пе является главным, поскольку
87 52 77 25 78
-13-67-92-97 —6 3 -1
10.
9 _5_.. ... _7_ _3_ J_ _5_ _9_
Т Т ": Т Т II 2
__1 7 —3 5 —5 3 -7 1
1 -1W-2 -1\/1 -1W-1
\1 oj \ 1 0Д1 ОМ 1
О }\ 1 О .' Х
X [~2 2
\ 1
дает—( — 261 + 25 /109). 11. Необходимо одно приведепие, прежде
4
чем будет выполняться неравенство N (г-ууД)<0.
-т-т 1 (~4
79 5-5 1 ^ 1
д;ют .1C5 — 3 /101). 12. г0 можно найти из A —/79)s = 266 +
+ 344 /79 (mod 3s), (-344)-1 = 251, 251 (l — /79> = -302— /79.
Другой способ: решите сраонспия r§ к 79 (mod 33) при /=1,2, ...,6.
Тогда
— 302 52 —10 <—2 —1\ /2 —lw —10—/"]5\
729 125 21 1 I 1 ОУ \1 0/ \ 1 I
дает 52 + 5/79. 13. Сразу находим {Щ j / —163) = A97, 25).
14. ± E — 3 / —165). 15. Дивизор элемента г—/о (или г —-g-//))
имеет вид \\(р, ")**•[](?.*)• Дивизоры, делящие этот дивизор, одно-
значно определяются своими нормами.
.5. 1.
1_ Ъ_ _7_
2 2 2
1—3 3—1
( 1+ 4-/61 )(!¦ +4-/61 ) G+1/61 )/(-9)--i C9 +
+ 5 /61) = е. При нахождепии е, примепяя циклический метод
462 Ответы к упражнениям
к Ло = (—1, *), можно воспользоваться сокращениями в вычис-
лениях из упражнений к § 7.4. Общая единица имеет вид + е". Если
М2 _ 61 у» = 1, то в + у |/61 = +e2n (N (е) = —1). Ясно^ что е2
не имеет целых коэффициентов; е3 = —29,718 — 3805 У&\\ е4 пе
имеет целых коэффициентов. Таким образом, наименьшее решение-
уравнения Пелля равпо и + и |/б1 = +ев, т. е. г; = 2-29 718-3805.
2. Применяя циклический метод к Ло = (—1, J*), получаем е =
= V2 (—261 + 25 1/109). Наименьшее решение уравнения Пелля
равно 8е.
7.6. 1. 2 остается простым, (—1, *) ~ /~ C, +1), ]/Z)/3 < 5, Все диви-
зоры — главные; / — система представителей. 2. 2, 3. 7 остаются
простыми, У\ D |/3 < 9; 5 разветвляется и ?5, *), E. *J~ / обра-
зуют систему представителей. 3. Применяя циклический метод к B, 0),
получим B, 0) - (-1, *) B, IK- C, Е-1)~ (—1. *) B, 0) ~
- B, IK- (—1, *) C, —1); отсюда (—1, *) ~ /, B, 0L~ /. Пусть
Л = B, 0). Согласпо циклическому методу, Л2 '-f- /; У D/3 < 7;
C,-1)-Л; E, *)~(—1, *) B, 1) C, 1)- А3А3~ Л2. Таким
образом, А, Л2, Л3, Л4 ~ /— система представителей. 4. Согласно
циклическому методу, (—1, *) ~ B, IJ ~ (—1, *) E. *) rj* I. Сле-
довательно, E, *) ~ /, B, 1L~ /. Циклический метод, примененный
к B, 1), дает длинный цикл дивизоров (8 динизоров) и показывает, что
B, 1) ~ G, 2) /-f- /. Так как УD/3 < 11, то 4 степени B, 1) образуют
систему представителей. 5. Согласно циклическому методу, B. *) ~
- E, -1) A3, -1) '¦р I, C, *) - D3, *). Тогда E, -1) - E. -1) X
ХA3, —1) A3, 1) — B, *) A3, 1). Для нахождения E. —IJ положим
г = —1 + 5&, —129 == (—1 + 5А:J (mod 25), k se 13 = —2 (mod 5),
r= —11. Это дает E. —IJ- B. *)-E, 1) +/; (о. —IK- B, *).
При Л = E, —1) отсюда следует, что Л2~ B, *) E, 1), Л3~ B. *),
Л4 ~ B, *) E, —1), Л6~ E, 1), Л6~ /. Это но затрагивает дивизор
C. *). Пусть В —- C, *). Тогда B2~I, AB ~ A1, —5) (короткое
вычисление), А2В ~ G, 2) (снова короткое вычисление). ASB ~
- B, *) C, *), А*В - G, -2), АЪВ~ A1, 5). Так как 2 уШз < 14,
при этом получаются все возможные неглавные дивизоры, за исключе-
нном простых дивизоров числа 13. Однако из B, *) ~ E. —1) A3. —1)
следует, что Аъ~ А A3, —1), A3, — 1) ~ Л2, A3, 1) - Л4. Таким
образом, Л 1Вз, i —- 0, 1, 2, 3, 4, 5, j = 0, 1 — система представи-
телей. 6. Пусть Л =-¦ B, *), В = C, *), С = E, *). Тогда /, Л, В,
С, АВ, АС, ВС, ABC — множество представителей. 7. B, *) C, *) E. *)
делит 15 — У D. 8. г2 + 163s2 — простое число ^поэтому г Ф 0 и s Ф 0.
Если и = 0, то у^ —163 делит Bх + 1), что невозможно. Если v = 0,
то и — целое, делящее г/2 (к + Уо), так что и = +1,
7.7. 1. См. упр. 15 к § 7.4. 2. Предположим, что Л ~ В и что применение
циклического метода к Л или В увеличивает их нормы. Пусть дивизор
х + у УР равен AlL_ Пусть а — N (A), b =¦¦- N (В). Так как а <
< У | D |/3, 6 < УТБ~Щ, то з-2 — Dif sg | D |/3; отсюда у = 0 пли
+1/2. Если у = 0, то х — целое число и рассуждепие из текста пока-
зывает, что Л = В. Если у = +1/2, то, как и в тексте, через г обозна-
чим наименьшее полуцелое г = Va j^D (modЛ), а через г' — наимень-
шее полуцелое, для которого г' = ]/2 j/Z) (mod В). Тогда | г | =
= I г' | п а —- 6. Если | г | = а/2, то, как и в тексте, D -- —3; в этом
случае из неравенства а < У\ D |/3 — 1 вытекает, что А — I = В.
Ответы к упражнениям 463
В противном случае В следует за А. 4. Теорема. Данная матрица
представила в виде D) тогда и только тогда, когда X > Z ^ W > О,
X > У > ТУ> О и XW — YZ = +1. Такое представление единст-
венно. Доказательство необходимости этих 3 условий несложно. Пред-
положим, что алгорифм Евклида, примененный к X, Z. дает: Х(=
= Qoz + ri. z = 9iri + Г2. ri = 9гг2 + гз г +1 = Qmrm + *
(X it Z взаимно просты согласно XW — YZ = +1). Тогда матрица
в нравой части D) имеет первым столбцом X, Z, если nh = q0, ?!h_j =
= gj, . . ., rc2 — 9w "i = гтп (и> в частности, к = т -f- 2). Опреде-
лители обеих частей равны тогда и только тогда, когда XW — YZ -=
— (—l)h. Если это равепство не выполняется, то к алгорифму Евклида
добавим еще rm ^ (rm — 1) .1 + 1, так что nk — пт+3 = 9о, гс^ =
= ?!, . • -, "з = qm, пг — гт — 1, П] = 1. Тогда обе части D) имеют
равные определители и равные первые столбцы. Таким образом,
X (W — W) = Z (Y — У), и надо доказать, что W = И". У = У.
Если У и У отличны от нуля, то сравнение Y ^ Y' (mod X) и нера-
венства X > У ;> О, X > У' > 0 позволяют сделать нужный вывод.
Так как Y ^ W, У > ТУ. то У и У отличны от нуля. 5. Есть два способа
расстановки знаков и правой части D), для того чтобы получить такое
же произведение, паи и и нравой части B), а именно: пг можно припи-
сать любой знак. Любой расстановке знаков соответствует расстанов-
ка знаков при X, У, Z, W, абсолютная величина этих чисел,остается
неизменной. Если даны | X | и | Z |, то для D) имеются две возможно-
сти: одна — с печетным, а другая — с четным числом множителей ;';
X н У имеют одинаковые знаки тогда и только тогда, когда пх > 0;
X и W имеют одинаковые знаки в том и только в том случае, когда
j нечетно. Оставшийся зпак перед B) позволяет осуществить каждую
пз 8 возможных расстановок знаков единственным способом. 6. В дока-
зательстве из текста х2 ^ г2у", поскольку х — Ьи. у = Ьи, и2 — Dv- = 1,
D > г2. Аналогично, ab + Diy2 > (s — | Ь |J у2.
7.8. 1, Рассуждепия из текста показывают, что р \ (х2 — Dy2) при некоторых
взаимно простых х, у тогда и только тогда, когда р распадается в ква-
дратичных целых детерминанта D (при р Ф 2). Если D — квадрат,
то всегда можно найти такие взаимно простые х, у, что р \ (х2 — Dy2).
Пусть р0 | (xl — Dt-y2) при взаимно простых х0, у0; предположим, что
р0 = р] (mod 4ZH2); надо показать, что р1 | (х2— Dt2y2) при взаимно
простых xlt ;/]. Здесь з-0 и tyQ могут не быть взаимно простыми, только
если Pq делит (; в этом случае рг = р0. Если р0 ф pit то, согласно
предположению, существуют такие взаимно простые х„, у2, что
Pi I (z| — Dy2). Положим d = н. о. д, ((, у2)г <' ~ t/d. у'?. — yjd,
х1 — t'x^, г/j = у'2. 3. Если q = 2, то среди четырех классов 1, 3, 5, 7
только 1 является квадратом. Пусть q Ф 2, Если у взаимно просто
с 5 n i2 = j2 (mod 4</), то (ху1J = 1 (mod 4g), т. о, х = ty, где t2 =
= 1 (mod 4g). Тогда t = +1 (mod 4) и t = +1 (mod q), и, согласпо
китайской теореме об остатках, для t имеется в точности 4 возможности
(а именпо, t— +1, t— 2q +1). Таким образом, при возведении
в квадрат 4 элемента переходят в один. 4. Если D = —1. то 1 распа-
дается, так что по распадается —1. Если D — 2, то 1 распадается, так
что распадается и —1, а остальпые классы не распадаются. Когда
D = —2, 3 | 12+ 2-12 распадается, а —1, —3 не распадаются. 5.
Пусть а = Пр^ взаимно просто с 4Z). Если р распадается, то pf при-
падлежпт распадающемуся классу. Если р остается простым, то А =
= (p)vA', где А взаимно просто с р, ц — 2v и рц = (pvJ принадле-
жит распадающемуся классу. Следовательно, а принадлежит распадаю-
щемуся классу. 6. Пусть 5 — представители распадающихся, а N —
нераспадающихся классов. Поскольку умножение на элементы из .5
464 Ответы к упражнениям
переводит S в S, оно должно переводить NbN. Таким образом, при
умножении 5 на /V всегда получается N. Поскольку умножение на N
переводит 5 в N, то оно должно переводить N в S, что и требовалось
доказать. 7. Л \ = + 1 означает, что если р — простое число, срав-
нимое с 15 но модулю 4-7, то —7 является квадратом по модулю р.
(Например, б2 == —7 (mod 43).) 8. Достаточно рассмотреть случай
простого д. Пусть р = рг . . . р^р^ ¦ • ¦ р'х, где р-ь = 1 (mod 4) и р\ = 3
(mod 4). Тогда, как и требуется,
9. Предположим, что теоремы Эйлера справедливы для детерминапта
D'. Каждый класс целых по модулю 4D, взаимно простой с 4D, содер-
жится в некотором классе по модулю 4D', взаимно простом с iD'.
Назовем класс распадающимся классом для D, если он содержится
в распадающемся классе для D'. Рассуждения из упр. 1 показывают,
что если р принадлежит распадающемуся классу для D, то р \ (х2—Dy2)
при взаимно простых х, у. Отсюда легко выводятся теоремы Эйлера.
7.9. 1. Согласно упр. 5 к § 7.8, если т — N (А), где А взаимпо просто
с 4D, то (D) •-= +1. Так как (D) = (k)(m) ... (т>) , где к =
= Dlp1 . . . р|х(—p[) . . . (—p'^j ^ D (mod 4) (и в действительности
к =5= D (mod 8), если 2 | D), то символ Якоби равен просто произведе-
нию знаков вроде дивизора А. Согласно §8.3, каждый дивизор экви-
валентен такому дивизору А. Если задан любой возможный характер,
то используйте китайскую теорему об остатках для пахождения такого
целого т, что /kY (™), • • •, (тЛ являются соответствующими
знаками. По теореме Дирихле, существует простое р = т (mod iD).
Так как ( \ = 1, то р распадается и его простые делители имеют
выделенный характер. 2. Только C) нетривиально. Так как (xlyJ =
= — п = (ulv)'* (mod к), то хи = + j/u (mod к). При необходимости изме-
ните знак у, для того чтобы получить хи = ;/м. Тогда А;2 = (жм + nyvJ-\-
+ ?г (жу — уиJ делится на k'z и дает 1 = а2 -{- ггб2. Если 6 = 0, то
жу := г/u, ж2А; := х2и2 -f- nx2v2 ^= u2fc, ж = +u, i; ^= +г/, что и требует-
ся. Если 6 =^ 0, то гг = 1, а — 0, хи = —г/у и ,г2А; = и2к, х = +v,
у = +и. При гг .^ 1 (mod 4) получается более легкое доказательство,
если использовать теорию дивизоров. 3. Если D = —165, то А ~ А
для всех дивизоров А; А1Ф Alt поскольку A) и B) показывают, что
{2, *), C, *), E, *), A1, *) не делят Аг. Если дивизор элемента
и + v \f D равен АгА2, а дивизор х + у \/D равенЛ^а, то х + у |/ D
не равно единице, умноженной на и + и \^D, что противоречит C).
Если х + у YD имеет дивизор (р, и)п, то (р) (р, и)«^является
главным дивизором, скажем дивизором элемента г -f- s j/Z), и спова
C) не выполняется. 4. Если а четно, то 6 печетно. Предположим, что
а печотно. Число ак является нормой дивизора числа ах + у у D, где
Л = —аЪ. Этот дивизор' имеет вид (plt *) (р2, *) . • • (рп> *) А, где
7с = N (А). Если к — простое число, то A) и B) очевидпы. Относитель-
но C): если к = аи2 + bv2, то аи + v YD имеет дивизор (plt *) . . .
. . . (рп, *) В, где к = N (В). Если А; — простое, то В = А или 5 = л",
и аи ±vYD = ±1 -(яя + у Y^), что и требуется. Обратно, рас-
«ужяеиия из упр. 3 показывают, что если А — не простой дивизор,
Ответы к упражнениям 465
то существует с + d |/Z) с нормой ак, не рапное + (ах + у У D).
так как а должно делить с, то это противоречит C). 5. Исключениями
являются 165 + 22 - 0-165 + 132, 165 + 142 = 361 = 0-165 + 192,
165 + 262 ¦-- 0-165 + 292, 165 + 282 = 22-165 + 172 и 165 + 322 =
= 22 • 165 -р 232. 6. 5 ф 3 (mod 4). Существуют два класса с различ-
ными характерами («++» и « »), 7. Если р = 3 (mod 4), р = 3 или
7 (mod 10), то (() = ( )-(?)= (-1) (-1) -- +1, и р распадается
при D = - 5, Характер его простых дивизоров есть « ». Произве-
дение простого дивизора числа р1 на простой дивизор числа р2 принад-
лежит главному роду, а потому и главному классу. 8. —Dy2 = — Z>
или 0 (mod 4D); р -\- D — 180 = 5-б2. Подбором находим: 5 =
= 202 (mod 79), Тогда легко найти, что 592 = 5 (mod 4-79) и 382 =
= 180 (mod 4-79). Отсюда подучается, что 733 = 382 - 79 -З2. Раз-
делите на 3, 5, . . ., 23, для того чтобы доказать простоту числа 733.
Таким образом, 733 распадается и его простые дивизоры являются
главными. Сравнение 101 = 733 (mod 4D) не только показывает, что
101 распадается, но и что его простые дивизоры принадлежат тому же-
роду, что п простые дивизоры числа 733, а именно главному роду.
Надо доказать, что они по принадлежат главному классу. Подбором
находим: 79 s= 1089 = ЗЗ2 (mod 101). Циклический метод дает
A01, 33) ~ B, *) E, 2), и, используя В = C, 1), как и в § 7.6, полу-
чим B, *) E, 2)- I-B2 ¦+ I.
7.10. 1. / и B, *) C, *) E, *) — главные дивизоры; 4 двусторонних клас-
са. 2. / и C1, *) — главные дивизоры; 1 двусторонний класс. 3. /,
B, *), C1, *), B, *) C1, *) — главные дивизоры; дивизор (—1, *)¦
не является главным; 2 двусторонних класса. 4./, (—1, *) B, *) G, *),
C, *) E, *) и (—1, *) B, *) C, *) E, *) G, *) — главные дивизоры.
Характеры — -\ К 1—|-, , Н + дивизоров
(—1, *), B, *), C, *), G, *) показывают, что все 8 характеров с чет-
ным числом минусов встречаются как характеры двусторонних клас-
сов. Следовательно, имеется по меньшей мере 8 двусторонних классов.
Поэтому есть в точности 8 двусторонних классов. 5. /, (—1, *), F1, *)
и (—1, *) F1, *) — главные дивизоры; 1 двусторонний класс. 6.
(—1, *) не принадлежит главному роду;/, ( —1, *) B, *), (—1, *) х
ХE9, *) и B, *) E9, *) — главные дивизоры; 2 двусторонних класса.
7. При D > 0 имеется по меньшей море 4 главных двусторонних диви-
зора. Если D — простое и D = 1 (mod 4), то имеется в точности 4 дву-
сторопних дивизора. Таким образом, (—1, *) — главный дивизор.
Если D — простое и D = 3 (mod 4), то (—1, *) не принадлежит глав-
ному роду. 8. Имеется 8 дивизоров (—1, *)<» (р, *)Ь (д, *)п. Харак-
тер дивизора (—1,*) равен . Таким образом, существуют 2 клас-
са, каждый из которых образует отдельный род. Характер класса
(р, *) (д, *) ~ (—1, *) равен , поэтому (р, *) и (д, *) по могут
одновременно иметь характер или + +. 9. Цикл / содержит
(—1, *), скажем (—1, *) = А2<+1. Тогда N (А;) = — N (A2]+i-i),
следовательно, N (Aj) — —N Цу+i). При D .-= 13 [имеем ] -- 0
и N (-р-—р- 1^13 |= —1, что, как и требуется, дает З2 — 13 = —22,
13 = З2 + 22. При D = 233 имеем а, = — а5 = 4, г4 -- 13/2; отсюда
следует, что 132 + B-4J = D.
7.11. 1. п = 1 ^ s дает s = 1, h = sa = а, т. е. каждый класс является
двустороппим. 2. В VI дивизор (—1, *) имеет характер . Второй
знак характера дивизора (р, *) ~ (— 1, *) B, *) равен +1, поскольку
р = 3 (mod 8), D = —2 (mod 8). Следовательно, первый знак также
должен быть равеп +1. 3. Если g = а, то n = s.
1/г30 г. Эдварде
466 Ответы к упражнениям
8.1. 1. (а) Методы из гл, 7 показывают, что единственными квадратичными
целыми с дивизором C, 1) являются +V2 A — Y—H)i они пе при-
надлежат подпорядку. (Ь) B) является дивизором числа 2, а B) C, 1) —
дивизором + A — Y—И)- (с) C, IJ является дивизором
±A - /=Т1J/4 = ±~ E + Y:Z^)< а О, IK - [дивизор
+ D — Y^Ti). (d) E, 2) C, — 1) — дивизор 2 — /=ТТ. (к) Если
х, у — нечетные целые, то у + х делится на 4 при одном из выборов
знака и (х + у У—11) A + |/—11)/4 имеет целые коэффициенты.
2. В пункте (Ь) упр. 1 положим А = I, В = C, 1), С = B). Если
CD ~ I, то А С ~ ВС влечет за собой А ~_Я. 3. A3, 5) делит 5 — Y~-
Следовательно, A3, 5) делит 30—6 Y—1 и 4 — Y—^6 — квадратич-
ное целое с дивизором B, *J A3, 5). Следующий шаг приводит —4
по модулю 4 и дает — |/—36 с дивизором B, *J C, 1) C, —1). Таким
образом, получаются дивизоры A3, 5), B, *J, C, 1) C, —1), B, *J,
<3, 1) C, —1), .... Дивизоры B, *J и C, 1) C,-1) являются глав-
ными, поэтому пи одип из них не эквивалентен A3, 5). 5. При
D' = 1 (mod 4) через и обозначим такое наименьшее положительное
целое, что и + va> принадлежит данному порядку. (Порядок содержит
по крайней мере один элемепт + (х + 2/ш) с у ф 0.) Если х + г/ш —
— произвольный элемент порядка, положим у •¦= qv + г, где 0 ^ г <;
< i>. Так как х -\- у а> — q (и -{- иа>) = (х — qu) + гш принадлежит
данному порядку, то г = 0. Таким образом, данный порядок является
порядком индекса v. Тот же метод можно применить и при D' ^
? 1 (mod 4). 6. Пусть А — данный дивизор, взаимно простой с 3.
При D = 2 все дивизоры являются главными, так что А равен дивизо-
ру х -\- yY2 при некоторых х, у. Общий элемент с дивизором А имеет
вид ±(х+ у Y2) •(! •— /2Jп. По модулю 3 он равен + (х + у Y~%
или + (—у + х У 2) и принадлежит данному порядку при некото-
ром п тогда и только тогда, когда х или у делится па 3. Таким обра-
зом, дивизор (—1, *) не являетсл главным. Если А — не главный диви-
зор, то главным является дивизор А (—1, *). 7. A — Y^K = 1 +
4- 3D — C + D) YD~= 0 (mod 8). Если D отрицательно и Ф — 1
или —3, то единственными единицами являются +1. Следовательно,
при D Ф —3 ни один элемепт порядка не имеет такой же дивизор,
что и -^ A — Y&)- При D = —3 имеется только один класс дивизо-
ров. 10. 11 -)- I2 не нредставимо пи в одном из данных 4 видов, поэтому
число И не должно быть удобным. Это показано в упр. 7. Далее, 13 + 1
= 2-7, 13 + 4=17, 13 + 9 = 2-11, 13 + 16 = 29, 13 + 25 =
= 2-19, 13 + 36 = 72, так что число 13 должно быть удобным. При
D = —13 / и B, *) образуют множество представителей. Среди чисел
от 80 до 89 только 85 и 88 удовлетворяют критерию Эйлера.
8.2. 2. Сравнение а2 = —1 (mod 65), или, что то же самое, а2 = —1 (mod 5)
иа*= —1 (mod 13), имеет решения а = +2 (mod 5),а = +5 (mod 13),
т. е. а = +8 или +18 (mod 65). Циклический метод дает
— 18 -2 0
65 5 11
Обратив эту таблицу и положив м = 0, и=1, найдем
С =1) (? -I) (?)-(?).
Ответы, к упражнениям 467
42 + 72 = 65. Таким же образом решение —8 дает I2 + 82 = 65.
3. а2 = —19 (mod 121) дает а2 = 3 (mod 11), а = +5 (mod 11), а =
s +5 + llfc (mod 121), а = +49 (mod 121). Циклический метод пока-
зывает, что форма 121г2 -)- 98rs + 20s2 эквивалентна 5g2 — 2gh -\- ih2.
Последняя форма эквивалентна данной форме. Обращая шаги вычис-
лений и перемножая матрицы так же, как и в основном тексте, получим
в качестве представления g = —5, h — —2; следовательно, х = 2,
у = —5 является решением исходной задачи, 4. х = 8 является реше-
нием сравнения z2 = —5 (mod 23), Тогда
20 7 1 8
15 27 2 3 23
дает решение х = —И, у = 8, 5. Решение а = 49 сравнения а* =
= 79 (mod 3 -43) не приводит к представлению. Решение а = —49
приводит к
59 22 8 —5 —49
42 81 5 —3 18 129
и к представлению х — —15, у = 13. 6. Два решения 19 и 33 сравне-
ния а2 з= —3 (mod 182) дают два представления х — —1, у = 10 и х =
= -6, у= 11.
8.3, 1. / и (—1, * ) образуют систему представителей (§ 7,6), Следова-
тельно, формы х2 — 67у2 и —х2 -\- 67г/2 обладают требуемым свой-
ством, 2. х- + 165?/2, 2z2 + 2гг/ + 83у2, 3z2 + 55г/2, 5z2 + ЗЗг/2,
6z2 + бжу + 174г/2, Юг2 + Югу + 19#2, Hz2 + 15#2, 13г2 + ^У +
-f- 13ji2 и эти же формы, умноженные на —1. 3. х2 — 79ji2, За;2 +
+ 2ху — 26#2, Ъх2 ± Аху — 1Ъу2, —х2 + 79у2. 4. ж2 + 161/, За;2 +
+ 2ху + 54/, 9z2 + 2жу + 18/, &х2 ± 2ху + 27/, 2х2 + 2а;у +
+ 81/, 1х2 + 23/, Юг2 + бжу + 17/, Их2 ± Аху + 15/, 5а:2 ±
+ ixy -j- ЗЗу2, 14ж2 -)- 14^ji + 15/ и эти же формы, умноженные на
—1. 5. х2 4- 11/, Зг2 + 2ху 4- 4/ и эти же формы, умноженные на
— 1. 6. + (х2 — 18/).
8.4. 1. Число приведенных бинарных квадратичных форм с данным детер-
минаптом, очевидно, конечно. 2. Пусть задана единица с нормой 1;
пусть М есть 2 X 2-матрица, соответствующая умножению ах 4-
4~ F — \^D) у на эту единицу. Доказательство из текста показывает,
что Е™М получается вырезанием из Е^ для большого N; отсюда сле-
дует, что М = +Ei при целом к. Таким образом, данная единица
равна +еЬ. Если ах2 -\- 2Ъху -\- су2 — приведенная форма, то цикличе-
ский метод дает А — QAQt, где
А-(а Ь\ О~-(П1 ~1) (П2 ~1\ (nk ~1
\Ъ с )' Q-\i 0/ 1.1 0)- • 'И 0
причем числа п равны частным (rt 4- ri+1)/ai+1. Тогда единицу е =
= S Ч~ h У D можно найти, используя формулу
g-\-bh —ah
-ah \
~bh)
(Q, a, b, с известны), которая следует из формул в тексте. Применить
циклический метод к —ах2 + 2Ьху — с/ — то же самое, что применить
его к ах2 4~ 2Ьху -\- су2 и изменить знаки в нижней строке. Таким
образом, одна из этих форм приведена тогда и только тогда, когда
приведена вторая, и если обе эти формы приведены и эквивалентны,
30*
468
Ответы к упражнениям
то циклический метод задает эквивалептность в явном виде
с: _:)-«(:>• иг -;
иг -;)•¦¦(;'
Это соответствует умножению на и + v УD с последующим деле-
нием на а, где N (и -\- v УD) — —а2. Тогда (и + v У D)la — квадра-
тичное целое с нормой —1. В явном виде оно равпо g + h / D, где
. (g+bh —ah \
Обратно, если g -\- h У D — произволыюе квадратичное целое с нор-
мой —1, то эта формула дает собственную эквивалентность форм
ах2 + 2Ъху + су и —ах2 -\- 2Ъху — су2. Доказательство того, что
приведенная выше процедура нахождения единицы с нормой —1
(если такая единица существует) дает единицу, квадрат которой равен е,
кажется довольно хитрым. По-видимому, простейший метод состоит
в том, чтобы заметить, что с точностью до знаков
1 О
1 О
3. Циклический метод, примененный к х2 — 67г/2, и формулы из § 8.2
показывают, что QAQt = А, где
/-5 -
16 -1
1\
и) =
-96 578
17 901
5967 \
-1106/-
— afe = 5967, fe=—5967,
4. Циклический метод дает
/* Т\/ 37
-^bh= —90578, g^ — 48 842.
Тогда —ah =5, h = 5, g+bh-=37, g—39/2 и единица равна — C9-J-
+ о/бТ).5. Так как E, 1) делит 1 —/IT, то E,1) делит 3—/99 и
циклический метод дает
3 -3 8 6 3 7 8
5 _20 5 —7 9 — 1Л . 5
Дивизоры E, 1) и (—1, *) B, *) E, —1) эквивалентны, поскольку
они соответствуют формам, принадлежащим одному периоду; E, IJ ~
~ (—1, *) B, *), E, 1L~ /, и ни одна из степеней дивизора E, 1)
не эквивалентна дивизору (—1, *). Каждая форма эквивалентна фор-
ме, для которой 0 < 6 < /99, 6 + I а | > /99 и b + \ с \ > /99.
Легко проверить, что все такие формы эквивалентны формам, принад-
лежащим найденным 8 периодам (—1, *)а E, 1)ь. 6. E, 2K ~ A1, *)
и E, 2)з при 0 ^ ;' < 6 образуют систему представителей. 7. Выберем
Ответы, к упражнениям 469
и п v таким образом, что xv — уи — 1. Тогда
Ь\
I x у\ la Ь\ IX u\_im n\
\и v] \Ь с) \у v) \п к) '
где n — ахи -f- bxv + Ъуи + c#u Hi- аи2 -f- 26uy + cv2, дает форму
/nX2 -f- 2nXT -f- kY2 с первым коэффициентом m, собственно эквива-
лентную данной форме. Таким образом, пг — D =0 (mod m). Если
в процессе из § 8.2 решение d сравнения d2 = D (mod m) сравнимо
с п по модулю т, то формы тХ2 + 2пХУ + kY2 и тХ2 + 2<2ХУ +
+ еУ2 собственно эквивалентны согласпо
п — п d
т к те
Тогда теорема из этого параграфа показывает, что циклический метод
приводит тх2 -\- 2dxy -\- еу2 и ах2 -р 2Ъху -р суг к одному периоду
и, следовательно, задает явную эквивалентность. 8. Найдите явную
эквивалентность данной формы и приведенной формы. Тогда задача
состоит в нахождении всех представлений приведенной формой.
Используйте метод из § 8.2 для нахождения одного представления
(если такое представление существует). Найденные числа можно запи-
сать в виде матрицы-столбца, и при D > 0 общее представление равно
произведению степени некоторой 2 X 2-матрицы на полученную матри-
цу-столбец, причем нужную 2 X 2-матрицу можно найти в явном виде.
9. C, 1) не принадлежит главпсму классу. Метод из упр. 11 к § 5.6
дает 3738 = 43 как квадратный корень из 37 по модулю 151. Тогда
метод из § 8.2 дает 2742 — 37-452 — 151.
8.5. 1. См. упр. 6 к § 8.4. 2. B, *) 4- /, G, 1J~ A3, *). Система предста-
вителей состоит из дивизоров B, *)'-G, 1O при I ¦-- 0, 1, ; -- 0, 1,
2, 3. 3. Система представителей состоит из дивизоров E, 1O, 0 SJ / <
< 18. Приведенные формы, соответствующие .чтим степеням, равны
(по порядку) A, 0, 531), E, 3, 108), B5, 12, 27), A7, 8, 35), G, —1,
76), B0, 7, 29), D, —1, 133), B0, 3, 27), A9, -1, 28), (9, 0, 59),
A9, 1, 28), .... 4. G, 2)з при / — 0, 1, 2, 3 — система представи-
телей. 5. B, 1) ~ ( — 1,*) B, 0) и B, 1)J при ;' • - 0, 1, 2, 3 — система
представителей. 6. E, 1O' при 0 <J ;^ 8 — система представителей.
7. E, 1K~ /. 8. E, 1)в~ /, 11. Все формы с детерминантом 5 соб-
ственно эквивалентны х2 + кху — у2.
8.6. 1. Квадратичный закон взаимности показывает, что —5 является
квадратом по модулю р тогда и только тогда, когда р сравнимо с 1, 3, 7
или 9 по модулю 20 (р -f 2 пли 5). Пусть d2 = —5 (mod р) и е ¦—
— (d2 + 5)/р. Эта форма'имеет характер — — и, следовательно, экви-
валентна 2х2 + 2з-(/ -|- Зу2. Таким образом, рх и р2 представимы этой
формой. Затем примените формулу B). 2. В действительности пред-
положение о нечетности ana' несущественно, и при а -- 4, Ь •= 6' =~- 0,
а' = 9 получается композиция Dz2 + 9г/2).(9м2 + 4и2) = 36Х2 + Y2,
где X -- хи — yv и Y -- kxv -j- Чуй. Другой способ: класс данной
формы соответствует дивизору A3, 5); A3, 5J делит E — У—lJi
12—5 Yzzi, 34-12 — 170 >/=Г, —99 — /^Г, 82 — У"^36". Затем
циклический метод показывает, что A3, 5J ~ /.
9.2. 1. При D = —6 и —10 см. табл. 7.8.1. Остаются случаи —13, —14
и —17. Для них воспользуйтесь теоремами Эйлера. 2. Нет.
9.5. 2. cl.-—i/2_i-. — с8, с2--сх .0, L(l,x) '-' - (i/2) log (A + 0/A - 0) =
-=-ilog]/i. 3. Пусть &=l-:-yvBJ-i-xCK|- Тогда A-.-—m2 + 22'
470 Ответы, к упражнениям
fJ'. Отсюда A:=_m(^J[2B) —l] '.
Тогда А = L A, x) у'т/я = 12 I при B) — 1и=у|2| при ( ^ ) = — 1
(за исключением случая D=—3). 4. (~')^=(™); А= | 2| = |1 + 1 -11 =
= 1; (п) = (и)- h = w=±\i
= -(-185) = -(95) = -1 и А=|1 + 1 + 0+1 + 0 + 0-1| =2;
(-»)=- _(-!«) = _(-139) = ^1 „ . = | суммы +__++++
— + =1. При Л =—23, —31, —35, —39, —43, —47 число классов
А = 3, 3, 2, 4, 1, 5 соответственно. 5. ( ° ) -j- ( ° ) 3-|-( ^ ) 5 ~ ... =
— DD — 3)]+ ... = —47J. Отсюда А=|2|. Искомые числа классов
равны 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4 соответственно. 6. При D— —5 значения ( * )
равны -j h н А—2. При D— —13 эти значения равны -j (-
| -j — | — )-|-| и А—2. Остальные числа классов равны
4, 4, 6, 4, 2, 8, 6 соответственно. 7. При D— — 6 значение s=l лежит
в 3-м октанте 6/8 < «^9/8 и А = 2. Другие числа классов равны 4,2,4
и 6. 8. Искомые числа классов 2,6,4,4. 9. (а) Если а = е2я{Д, то гаус-
сова сумма равна 1 -|- а + а4 + а9+ ... = 1-|-2Э0 — Эо — Э^ (Ь) Если
т. — простое, то 7)^:1 (mod 4) и | D \ - - простое число. Таким_образом,
леран часть F) рнвиа 00 —0j. Правая часть равна Y%=\f D=Y т,
если Z)>0, и I Y\=--i /m, если 7)<0. (с) г— ( — i) = 2i= I Yji; Y1 +
.}-г YJ-( - /J) - (-г Yj) == 2 /7A -г 0 =-_2 YJYYi=i Ym; Y'i —
X ( ?>). Если Д=р =n: — 1 (mod 4), то это выражение равно ( — 1) ¦ 2f X
X(f Ур) = 2 ]/"р= У^га. Если D=—p, где pi=l(mod4), то это выра-
жение равно 2i |/p=iy'm. (е) Если D = 2p, то2 ah ( D ) =--2 a8a+pbX
х( s^+,,6 ) (sa+pb)" Если Р = ! (mod4), то это выражение равно( ^ )х
X B *рЬ ( ь ) ) B «8а ( ^ )) - /8 Г«8а ( а ) - l7"' ЕСЛИ Р Е - *
(mod 4), то это выражение равно
Доказательство при Z) = —2р аналогично, (f) аналогично^(е). (g) F)
было выведено из E) при простом п. F) утверждает, что тсг = i у т
при Z) < 0. Таким образом, ц = ct — —I Y rnlm определяет зпак в C).
Это определяет знак в D), (h) проверяется непосредственно, (i) Если
р = —1 (mod 4), положим D = —р. Тогда А или ЗА равно С\ + С2 +
-\- Cs-\- Ct — сумма первой половины символов Лежандра по модулю
р. Если р = 1 (mod 4) и D —¦ —р, то А -- 2 (Cj + С2) — удвоенная
сумма первой четверти символов Лежандра. (j) Знак формулы для
числа классов определяет знак гауссовой суммы.
9.6. 1. См. упр. 5 к § 8.4.2. Используя C), получаем А =-'1 -Ч8 -6 -A + V2)X
ХA — V3) ^ 2; / и ( — 1, *) образуют систему представителей. 3. Так
Ответы к упражнениям 471
как t — 2, то h0 умножается на 2 — (р), что и требовалось показать.
Это правило годится и для D = —3.
9.7. 6. Пусть а — произведение и.;-х степеней pt, i = 1, 2, . . ., п. Вещест-
венные характеры по модулю а имеют вид Xi 5Сг • • • Хп> гДе характер
%;, соответствующий pi, либо является главным характером по модулю
Pi, либо символом Лежандра по модулю pt (если pt Ф 2), либо одним
из 4 вещественпых характеров по модулю 8 (если рг = 2). Поэтому его
можно записать в виде
где qt — цростые из числа р;, сравнимые с 1 по модулю 4, q\— простые
из числа Pi, сравнимые с —1 по модулю 4, е = +1 и г=1 или 2, за тем
исключением, что % (п) = 0 при п, делящемся па одно из чисел р,-,
тогда как правая часть равна нулю, только если п делится на одно из
чисел qi или q\. Правая часть равна (nV гдеД = Rrq1q2 . . . qp (—gJ)X
X(r— q't) . • ¦ (—go) (cm. § 7.8). Таким образом, L (s, y) —
= П A - x (p) p-8)-1 = A - X (ri) il«) ... A - X (гх) гт* L (s, xd),
где г — числа р, отличные от q.
A. 1. 1. Если a = a'd и 6 = b'd, то ga + r& = (qa' + r&') d. 2. Если a = ub
и 6 = ya, то a = uva = i-a я uv = 1. Если и >¦ 1, то 1 = uv > у 5s 1,
что невозможно. Следовательно, a = 1 •& = 6. 3. Пусть а = а0, b = alf
«i+i = 9гаг + «i_i, aa > at > . . . > an = d. Тогда an_2 •-- gn_t an_i+ d-
Если ua,- = d -f- vai+1, то ма; + q{uai = d + у Wi^; + ai+1), C/a; =
= d + ya;_t, а если ua-t -\- d =- vai+1, то Са; + d = vai_x, где ?/ =
= u + дгу. Если аж + 1 = 0 (mod 6), то а2*2 + 2ая + 1 = 0 (mod Ь),
а2*2 + 2 (ах + 1) =з 1 (mod 6), Ах = 1 (mod 6), где Л = аЧ. Если
а и ^взаимно просты, то система у (= ах) = 0 (mod а), у = 1 (mod 6)
имеет решение. По симметрии, система z=l (mod a), z = 0 (mod 6)
имеет решение. Значит, число и = с% + dj/ удовлетворяет системе
« =з с (mod a), u =^ d (mod 6), как это и требуется. 4. (а) решений нет.
(Ь) х --= 2 + 5А: = 3 (mod 7), 8 + 20А: = 12 (mod 7), 1 = 5 + k (mod 7),
3 = k (mod 7), k = 3 + In, x = 17 + 35n. (c) a; = 2 + 295A:, 7 =
= 2 + 15Л (mod 56), 1 s= ЗА: (mod 56), 19 = 57A: (mod 56), x ¦— 5607 +
+ 56-295n. 5. См. выше упр. 3. 6. Найдем такие 62, 68, . . ., Ъп,
чтобы 6; ^ 1 (mod С]), Ь{ = 0 (mod ct). Положим dt = b2b3 . . . bn.
Тогда dt == 1 (mod С!), d1 з= 0 (mod сг) для ? = 2, 3, . . ., п. Этим же
способом найдем такое d;, чтобы d,- = 1 (mod q), d; = 0 (mod су)
(/ Ф i). Число atdt + a2d2 + - - - + an<^n удовлетворяет данной задаче.
7. Если а отрицательно, то положим ах = (—а) (—х). Пусть d — пай-
больший общий делитель чисел а и Ь. На основании упр. Ъ d = иа + vb
при целых и и v. Если с пе делится па d, то яспо, что решения нет.
Если с = gd, то а; = —дм, г/ •= — qv образуют решение. Если X, Y —
частное решение, то самое общее решение имеет вид х = X -\- г, у =
= У + s, где ar + 6s = 0. Это равносильно условию а'г + 6's = 0,
где а = a'd, b = b'd. Для любого решения этого уравцепия мы имеем
а'г = 0 (mod 6'), г = 0 (mod 6') F' и а' взаимно просты), г = kb',
s= —kb'a'lb' = —Уса', Таким образом, наиболее общим решением
янляется х = —gu + kb', .у = —ду — Уса'.
А.2. 2. Сравнение у<*==уЬ (mod р) равносильно сравпепию a=b (mod (р—1)).
Если к взаимно просто с р — I, то (yh)a = 1 (mod p) только в том
случае, когда р — 1 делит а и ук ~ примитивный корень по модулю р.
Обратно, если yh — примитивный корень, то у = (yft)a при некото-
ром а, ак == 1 (mod (р — 1)) и А; взаимно просто с р — 1.
ЛИТЕРАТУРА
[Al] Comptcs Rendus de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 24 A847),
p. 310 et seq, 96.
[Bl] Bell E. Т., The Last Problem, Simon and Schuster, New York, 1961, 39.
[B2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.: Наука, 1964.
277, 289.
[ВЗ] Bourbaki N., Elements d'llistoire des Mathematiqu.es, 2-eme ed., Her-
mann, Paris, 1969. [Имеется перевод 1-го изд.: Бурбаки Н. Очерки
по истории математики.— М.: ИЛ, 1963.] 296.
[Cl] Cayley A., Tables des formes quadratiques binaires, Jour, fur Math.
(Crelle), 60 A862), 357—372 (Mathematical Papers, vol. 5, Cambridge,
1892, Johnson Reprint Corp., New York and London, 141—156). 396.
[C2] Cohn H., A Second Course in Number Theory, Wiley, New York and
London, 1962. 396.
[C3] Colebrooke H, Т., Algebra with Arithmetic and Mensuration from the
Sanskrit of Brahmegupta and Bhaskara, London, 1817. 44.
[Dl] Dedekinu1 R., см. [D7].
[D2] Dickson L. E., History of the Theory of Numbers C vols.), Carnegie
Institute of Washington, 1919, 1920, and 1923 (reprint, Chelsea Pub.
Co., New York, 1971). 24, 25, 27, 43, 54, 62, 90, 95, 371, 442.
[D3] Diophanti Alexandrini arithmeticorum libri sex, et de numeris multan-
gulis liber unus. Cum commentariis С G. Bacheti V. С et observationi-
bus D. P. de Format Senatoris Tolosani, Toulouse, 1670. [Имеется пере-
вод: Дпофант. Арифметика в книге о многоугольных числах.— М.:
Паука, 1974.] 14.
[D4] Dirichlet P.G.L., Memoire sur Fimpossibilite de quelques equations
indeterminees du cinquieme degre. Jour, fur Math. (Crelle) 3 A828),
354-375 (Werke, vol. 1, 21-46).
[D5] Dirichlet P.G.L., Demonstration du theoreme de Fermat pour le cas des
14iemes puissances, Jour, fur Math. (Crelle) 9 A832), 390-393 (Werke,
vol. 1, 189-194). 94.
[D6] Dirichlet P.G.L., Uber eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf
die Summation endlicher oder unendlicher Reihen, Abh. Kdnig. Preuss.
Akad. Wiss., 1835, 391-407. 425.
[D7] Dirichlet P.G.L., Vorlesungen uber Zahlentheorie, herausgegeben und
mit Zusiitzen versehen von R. Dedekind, Vieweg und Sohn, Braunscheweig,
1893 (reprint Chelsea Pub. Co., New York, 1968). [Имеется перевод:
Дирихле Петер Густав Ложен. Лекции по теории чисел в обработке
и с добавлением Р. Дедекинда.— М. —Л.: ОНТИ ИКТИ СССР, 1936.]
367, 388, 407, 424, 425,431.
[El] Edwards H. M., Advanced Calculus, Houghton Mifflin, Boston, 1969.
172, 257.
x) Выделепные жирным шрифтом цифры указывают страницы этой
книги, где цитируются соответствующие источники.
Л итература 473
[Е2] Edwards H. M., Riemann's Zeta Function, Academic Press, New York,
1974.
[E3] Edwards H. M., The background of Rummer's proof of Format's Last
Theorem for regular primes, Arch. Hist. Exact. Set., 14 A975), 219-236.
101, 155.
[E4] Edwards H. M., Postscript to «The background of Rummer's proof of
Fermat s Last Theorem for regular primes» (to appear). 101, 119.
[E5] Euclid, Elements, T. L. Heath, ed., Cambridge Univ. Press, eNew York,
1908, 3 vols. (reprint Dover, New York, 1956). [Имеется пер о : E s \ -
лид, Начала Евклида.— M.—Л.: Гостехтеориздат, 1950.] д
[Е6] Euler L., Introductio in Analysin Infinitorum, Bousquet et Socios.,
Lausanne, 1748 (Opera A), vol. 8). [Имеется перевод: Эйлер Леонард,
Введение в анализ бесконечпых.— М.: Физыатгиз, 1961.] 416.
[Е7] Euler L., Theoremata circa divisores numerorum in hac forma paa+qbb
contentorum, Comm. Acad. Sci. Petrop. 14 A751), 151-181; Opera A), 2,
194-222. 340.
[E8] Euler L., De numeris, qui sunt aggregate duorum quadratorum, Nov.
Comm. Acad. Sci. Petrop. 4 A758), 3-40; Opera A), 2, 295-327. 64.
[E9] Euler L., Vollstandige Anleitung zur Algebra, СПб., 1770; Opera A),
vol. I. 50. 61.
[ЕЮ] Euler L., Extrait d'une lettre de M. Euler a M. Beguelin en mai 1778,
Nouv. Mem. Acad. Sci. Berlin, 1776, 1779, 337-339; Opera A), 3, 418-
420. 370.
[Ell] Euler L., Observationes circa divisionem quadratorum per numeros
primos, Opuscula Analytica, 1 A783), 64-84; Opera A), 3, 497-512. 341.
[E12] Euler L., Opera A), 4, Vorwort des Ilerausgebers (III. Grosse Primzah-
len) and related papers 708, 715, 718, 719, and 725 of Euler. 370, 371.
[Fl] de Fermat P., Oeuvres, 3 vols., Gauthicr-Villars, Paris, 1891, 1894,
1896.
[F2] de Fermat P., Observations on Diophantus, originally published in [D3];
also [Fl], 1, 291-342; French transl. [Fl], 3, 241-274.
[F3] de Fermat P., Letter to Pascal, 25 Sept. 1654. Oeuvres de Pascal, 4,
437-441; also [Fl], 2, 310-314. 74.
[F4] de Fermat P., Letter to Digby, sent by Digby to Wallis on 19 June 1658,
published by Wallis in [W3]; republishcd [W2] and [Fl], 2, 402-408;
French transl. [Fl], 3, 314-319. 66.
|F5] de Fermat P., Letter to Carcavi, dated August 1659, [Fl], 2, 431-436.
39, 75.
[F6] Fuss P.-П., ed., Correspondance Mathematique et Physique, Имп. Ака-
демия паук, СПб., 1843, vol. 1 (reprint, Johnson Reprint Corp., New
York and London, 1968). 63, 64, 340.
[Gl] Gauss С F., Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, 1801; republished,
1863, as vol. 1 of Werke; French transl., Recherches Arithmetiques,
Paris, 1807; republished, Hermann, Paris, 1910; German transl. in
[G2]; English transl., Yale, New Haven and London, 1966. [Имеется
перевод: Гаусс Карл Фридрих. Труды по теории чисел.— М.: Изд-во
Акад. наук СССР, 1959.]
[G2] Gauss С. F., Untersuchungen iiber Hohere Arithmetik (German transl.
of [Gl] and other works on number theory) H. Maser, transl., Springer-
Verlag, Berlin, 1889 (reprint, Ghelsea Pub. Co., New York, 1965). 394,
410.
1G3] Gauss С F., Theorematis arithmetici demonstratio nova, Comm. Soc.
Beg. Sci. Gott., 16 A808); Werke, 2, 3-8; German transl. in [G2]. 341,
359.
lG4] Gauss С F., Summatio quarumdam serierum singularium, Comm. Soc.
Beg. Sci. Gott. Bee. 1 A811); Werke, 2, 11-45; German transl. in [G2].
425, 426.
31 Г. Эдварде
474 Литература
[G5] Gauss С. F., Theorematis fundamcntalis in doctrina do residuis quadra^
tici demonstrationcs ct ampliationes novae, Comm. Soc. Reg. Sci. Gott.
Bee. 4 A818); Werke, 2, 49-64; German transl. in [G2]. 208.
[G6] Gauss C. F., Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima,
Comm.. Soc. Reg. Sci. Gott. Rec. 6 A828), Commentatio secunda, 7 A832);
Werke, 2, 67-148; German transl. in [G2]. 107.
[G7] Gauss C. F., De nexu inter multitudinem classium, in quas formae bina-
riae secundi gradus distribuunter, earumque determinantem, commenta-
tio prior Societati Regiae exhibita, 1834; Werke, 2, 269-303; German
transl. in [G2].
[G8]'Gauss C. F., Letter to Sophie Germain, Werke, 10 (part 1), 70-73; also in
Oeuvres Philosophiques de Sophie Germain, Paris, 1896, p. 275. 80.
[G9] Grube F., Uber einige Eulersche Satze aus der Theorie der quadratischen
Formen, Zeltschr. Math. Phys., 19 A874), 492-519. 371.
[HI] Heath T. L., Diophantus of Alexandria, Cambridge University Press,
1910 (reprint, Dover, New York, 1964). 17, 26, 29, 42, 44.
[H2] Hecke E., Vorlesungen uber die Theorie der Algebraischen Zahlen, Akad.
Verlag, Leipzig, 1923 (reprint, Chelsea Pub. Co., New York, 1948).
[Имеется перевод: Гекке Эрик. Лекции по теории алгебраических
чисел. М.—Л.: Гостехиздат, 1940.] 208.
[НЗ] Hilbert D., Die Theorie der algebraischen Zahlkorper (called «the Zahl-
bericht»), Jahresber. der Deut. Math. Verein, 4 A897), 175-546; Gesam-
melte Abhandlungen, 1, 63-363. 206.
[II] Ince E. L., Cycles of Reduced Ideals in Quadratic Fields, Brit. Assn.
for the Advancement of Science, Mathematical Tables, vol. 4, Camb.
Univ. Press, New York 1966. 396.
[Jl] Jacobi С G. J., Uber die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die
Zahlentheorie, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1837, 127-136; also Jour,
fur Math. (Crelle) 30 A846), 166-182; and Werke, 6, 254-274. 77. 345.
[J2] Jacobi C. G. J., Uber die complexen Primzahlen, welche in der theorie
der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monats-
ber. der- Akad. Wiss. Berlin, 1839, 86-91; also Jour, fur Math. (Crelle)
19 A839), 314-318; and Werke, 6, 275-280; French transl., Jour, de Math.,
8 A843), 268-272. 100, 111.
[J3] Jacobi C. G. J., Canon Arithmeticus, Academie-Verlag, Berlin, 1956
(originally published by Typis Academicus Berolini, 1839). 447.
[J4] Johnson W., Irregular primes and cyclotomic invariants, Math, of Com-
putation, 29 A975), 113-120. 289.
[Kla] Kline M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Ox-
ford, New York, 1972. 41.
IK1] Kronecker L., Zur Geschichte des Reciprocitatsgesetzes, Monatsber.
Akad. Wiss. Berlin, 1875, 267-274; Werke, vol. 2, 1-10. 346.
[K2] Kronecker L., Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, Jour.
fur Math. (Crelle) 100 A887), 490-510; Werke, vol. 3, 211-240. 107.
[КЗ] Kronecker L., Uber den Zahlbergriff, Jour, fur Math. (Crelle) 101 A887),
337-355; Werke, vol. 3, 251-274. 107.
[K4] Kummer E. E., Collected Papers, Andre Weil, ed., vol. I, Contributions
to Number Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.
[K5] Festschrift zur Feier des 100. Geburtstages Eduard Kummers, Abh.
Gesch. Math. Wiss., Teubner, Berlin and Leipzig, 1910; reprint, [K4],
31-133. 398.
[K6] Kummer E. E., De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris
integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur
Jubelfeier der Univ. Konigsberg; reprint, Jour, de Math., 12 A847),
185-212, and [K4], 165-192. 99, 125.
[K7] Kummer E. E., Zur Theorie der Complexen Zahlen, Monatsber. Akad.
Литература 475
Wiss. Berlin, 1846, 87-96; also Jour, fur Math. (Crelle) 35 A847), 319-
326, and [K4], 203-210. 99, 172, 182, 398.
[K8] Kummer E. E., Uber die Zerlegung der aus Wurzeln dcr Einheit gebilde-
ten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour, fur Math. (Crelle)
35 A847), 327-367; also [K4], 211-251. 99, 155, 171, 172, 183, 296.
[K9] Kummer E. E., Extrait d'une lettre de M. Kummer a M. Liouville,
Jour, de Math., 12 A847), p. 136; also [K4], p. 298.
[K10] Kummer E. E., Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmoglichkeit von
х% + y% = ^ fur cine unendliche [sic] Anzahl Primzahlen X, Monatsber.
Akad. Wiss. Berlin, 1847, 132-141, 305-319; also [K4], 274-297. 216.
[Kll] Kummer E. E., Bestimmung der Anzahl nicht aquivalenter Classen fur
die aus X.ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen, Jour, jur
Math. (Crelle) 40 A850), 93-116; also [K4], 299-322. J83, 296.
[K12] Kummer E. E., Zwei besondere Untersuchungen uber die Classen-Anzahl
und uber die Einheiten der aus Men Wurzeln der Einheit gebildeten com-
plexen Zahlen, Jour, fur Math. (Crelle) 40 A850), 117-129; also [K4],
323-335.
[K13] Kummer E. E., Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die
Gleichung x^ -f- у = z^ durch ganze Zahlen unlosbar ist, fur alle dieje-
nigen Potenz-Exponenten X, welche ungerade Primzahlen sind und in
den Zahlern der ersten (X— 3)/2 Bernoulli schen Zahlen als Factoren nicht
vorkommen, Jour, fur Math. (Crelle) 40 A850), 130-138; also [K4],
336-344.
[K14] Kummer E. E., Memoire sur la theorie des nombres complexes composes
de racines de l'unite et de nombres entiers, Jour, de Math. 16 A851),
377-498; also [K4], 363-484. 269, 276.
[K15] Kummer E. E., Uber die Irregularitat von Determinanten, Monatsber.
Akad, Wiss. Berlin, 1853, 194-200; also [K4], 539-545. 269.
[K16] Kummer E. E., Uber die den Gaussischen Perioden der Kreistheilung
entsprechenden Congruenzwurzeln, Jour, fur Math. (Crelle) 53 A857),
142-148; also [K4], 574-580. 155.
[K17] Kummer E. E., Uber diejenigen Primzahlen X, fur welche die Klassen-
zahl der aus A,ten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen durch
X teilbar ist, Monatsber. Akad. Wiss. Berlin, 1874, 239-248; also [K4],
945-954. 269.
[LI] Lagrange J. L., Sur la solution des problemes indetermines du second
degre, Mem. de l'Acad. Roy. Sci. et Belles-Lettres, Berlin, 23 A769)
(Oeuvres, 2, 377-535). 215, 403.
[L2] Lagrange J. L., Additions to Euler's Algebra. First published 1774,
Lyon, in vol. 2 of a French translation of Euler's Algebra [E9]; republished
in vol. 7 of Lagrange's Oeuvres, 5-180, and in vol. A) 1 of Euler's Opera.
354.
[L3] Lagrange J. L., Oeuvres, vol. 2, Paris, 1868, 531-535. 97.
[L4] Lagrange J. L., Oeuvres, vol. 14, Paris, 1892, 298-299. 79.
[L5] Lame G., Demonstration general du theoreme de Fermat, Comptes Ren-
dus, 24 A847), 310-315.
[L6] Lame G., Memoire sur la resolution, en nombres complexes, de l'equa-
tion Аъ -j- B= + C5= o, Jour, de Math. 12 A847), 137-184. 12J.
[L7] Legendre A. M., Sur quelques objets d'analyse indeterminee et particu-
lierement sur le theoreme de Fermat, Mem. Acad. R. Sc. de Vlnstitut de
France, 6, Paris 1827; also appeared as 2nd Supplement to 1808 edition
of [L8]. 81, 90.
[L8] Legendre A. M., Theorie des Nombres, vol. 2, Paris, 1830, pp. 361-368
(reprint, Blanchard, Paris, 1955).
[Ml] Mordell L. J., On a simple summation of the series Ve2S Пг/П, Messenger
of Math., 48 A919), 54-56. 425.
31*
476 Литература
[Nl] Neugebauer 0., The Exact Sciences in Antiquity, Brown University
Press, Providence, 1957, Chapter 2. 17.
[N2] Newton I., The Correspondence of Isaac Newton, vol. 2, H. W. TurnbuJi,
ed., Cambridge, 1960, 110-160. 410.
[N3] Norlund N. E., Diffcrenzenrechnung, Springer-Verlag, Berlin, 1924.
[01] Ohm M., Etwas iiber die Bernoullischen Zahlen. Jour, fur Math. (Crelle)
20 A840), 11-12. 274.
[SI] Shanks D., Five Number-theoretic Algorithms, Proceedings of the 2nd
Manitoba Conference on Numerical Mathematics, 51-70, Univ. of Mani-
toba, Winnipeg, 1972. 215.
JS2J Smith D. E., A Source Book in Mathematics, McGraw-Hill, New York,
1929 (reprint, Dover, New York, 1959). 99.
[S3] Smith H. J. S., Report on the Theory of Numbers, originally published
in six parts as a Report of the British Assn; reprinted, 1894, in The
Collected Mathematical Papers of H. J. S. Smith; (reprinted, both sepa-
rately and as part of the Mathematical Papers, Chelsea Pub. Co., New
York, 1965). 48, 101, 276, 340, 359, 425.
[S4] Steinig J., On Euler's idoneal numbers, Elemente der Math.., 21 A966)
73-88. 370.
[Tl] Toeplitz O., Die Entwicklung der Infinitesimal Rechnung, Springer-
Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1949; English transl. The Calculus:
A Genetic Approach, Univ. of Chicago, Chicago, 1963. 9.
[Wl] Wagstaff S., Format's Last Theorem is true for any exponent less than
1 000 000 (Abstract), AMS Notices, No. 167 A976) p. A-53. 289.
[W2] Wallis J., Opera Mathematica, 3 vols., Oxford, 1695-1699 (reprint,
G. 01ms, Ilindesheim-New York, 1972).
[W3] Wallis J., ed., Commercium Epistolicum, Oxford, 1658 (reprint, [W2];
French transl., |F1]).
[W4] Weil A., La cyclotomie jadis et naguere, VEnseignment Mathematique
B) 20 A974), 247-263. 425.
УКАЗАТЕЛЬ
Аналитический метод 18, 111, 115,
138, 291
Баше 14
— комментарий к Диофанту 25
Бернулли полиномы 273
— числа 273—274
Бесконечного спуска метод 21—22,
440
Бппарные квадратичные формы 373
Брахмагунта 44
Броупкер 48
Бхаскара Акхария 44, 48
Валлис 48—50
Гаусс 79
Гауссовы суммы 426
Группа классов дивизоров порядка
квадратичных целых 368
Двусторонние классы дивизоров
355-358
Дедекннд 173
Деление для круговых целых 106
Дзета-функция 220
Дивизор для квадратичных целых
303-304
— для круговых целых 168
Диксон 27
Диофант 43
Дирихле 85, 94
Идеальные простые делители см.
Простые? дивизоры
Индекс порядка квадратичных целых
367
Квадратичные целые 297
Квадратичный закон взаимности
209-211, 213, 214, 340, 341, 344,
345—347, 360—362
Китайская теорема об остатках 442
— для дивизоров 177
Композиция форм 397—402
Копечпость числа классов 195—197
Коши 97—99
Кратности 163, 169
Кроиекер 107, 208, 346
Круговые целые 102
Куммера лемма 287
Лаграня; 49, 69, 78
Лаграпжа контрпример к гипотезе
Эйлера 354—355
Ламе 94, 96—99
Лежапдр 79, 85, 90
Лежаидра символ 212, 344
Лейбница формула 410, 421, 423
Лиувнлль 97
ЛТерсенна простые 35
Евклида алгорифм 440—441
— формула для совершенных чисел
34
Единица 84
Жермен Софи теорема 83
Жирара теорема 29—30
Идеал 174
Непрерывные дроби 331, 372
Неразложимые круговые целые 105
Норма дивизора 175 — 176, 305—306
— квадратичного целого 292
— кругового целого 104
Однозначность разложения на про-
стые, отсутствие однозначности 37,
444
478
Указатель
Основная единица порядка квадра-
тичных целых 321, 322, 392
— теорема арифметики 444
— — теории дивизоров 166
Пелль 50
Периоды 132
Порядки квадратичных целых 367
Представление числа формами 373—
377
Примитивные бипарпые квадратич-
ные формы 382
— корпи 446—447
Приведенные дивизоры 330
Простые дивизоры 131, 153, 165,
293—298
— круговые целые 105
Разветвление простых 298
Распадающиеся классы 342
Распадение простых 298
Регулярности критерий 289
Регулярные простые 201
Римана дзета-фупкция 221
Род класса дивизоров 352, 397
Система представителей 195, 323
Собственная аквивалентпость квадра-
тичных форм 380, 400
Собствеппо примитивные бинарные
квадратичпые формы 382
Собственные представления 377
Сопряжение круговых целых 132
Сопряженные кругового целого 109
Сравнение по модулю дивизора 172 —
173
— — — кругового целого 107, 112
— — — простого дивизора 153
Сравпепия для натуральных чисел
441
Суммирование по частям 226, 229
Теория полей классов 342 (ирим.)
Удобные числа 354, 369—371
Формула для числа классов 268, 410,
414, 416, 430
Ферма 13 — 15
— вызов апгличанам 41—42
— открытия в теории чисел 53—55
— Последняя теорема 14—15
— теорема 49
— числа 39—41
Фурье анализ (конечномерный) 247
Характер дивизора 350
— класса дивизоров 350, 397
Характеры по модулю простого чис-
ла 224
— — — целого числа 433
Циклические матрицы 247
Циклический метод 44—48, 315
Число классов 195, 250, 255, 268
Эквивалентность бинарных квадра-
тичных форм 374
— дивизоров 194, 304, 367
— единиц 254
Якоби символ 35
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
ГЛАВА 1. ФЕРМА 13
1.1. Ферма и его «Последняя теорема». Формулировка теоремы.
История ее открытия. 1.2. Пифагоровы треугольники. Пифагоровы
тройки, которые были известны вавилонянам за 1000 лет до Пифа-
гора. 1.3. Как находить пифагоровы тройки. Метод, основанный
на том, что произведение двух взаимно простых чисел может быть
квадратом только тогда, когда оба сомножителя являются квад-
ратами. \Л. Метод бесконечного спуска. 1.5. Случай п = 4 По-
следней теоремы. В этом случае доказательст7ю состоит в приме-
нении бесконечного спуска. Общая теорема сводится к случаю
простых показателей. 1.6. Одно доказательство Ферма. Дока-
зательство того, что пифагоров треугольник не может иметь пло-
щадь, равную квадрату, включает элементарные, по очень остро-
уишле соображения. 1.7. Суммы двух квадратов и родственные
вопросы. Открытия Ферма, относящиеся к представлениям чисел
в виде п = х2 + к у- при к = 1, 2, 3. Отличие в случае к — 5.
1.8. Совершенные числа и теорема Ферма. Формула Евклида для
совершенных чисел приводит к изучепию простых Мерсопна 2П — 1,
которое в свою очередь ведет к теореме Ферма aV — азО (mod р).
Доказательство теоремы Ферма. Числа Ферма. Ошибочное пред-
положение о простоте числа 232 + 1. 1.9. Уравнение Пелля. Вызов
Ферма англичанам. Циклический метод, изобретенный древними
ипдийцами для решении уравнения Лхг-'г\ = у2 при данном Л,
не равном квадрату. Эйлер ошибочно назвал это уравнение «урав-
нением Пелля». Упражнения: доказательство того, что уравпепие
Пелля имеет бесконечпое число решений и что циклический метод
дает все такие решения. 1.10. Другие открытия Ферма в теории
чисел. Наследие Ферма, которое осталось в виде задач, предло-
женных им в качестве вызова. Решения этих задач, данные Лаг-
рашком, Эйлером, Гауссом, Коиш и другими.
ГЛАВА 2. ЭЙЛЕР 56
2.1. Эйлер и Последняя теорема Ферма при п ~— 3. Эйлер пе опуб-
ликовал правильного доказательства неразрешимости уравнения
я3 + у3 = z3, однако эту теорему мояшо доказать, используя
его методы. 2.2. Доказательство Эйлера для п = 3. Сведение
Последней теоремы Ферма в случае п = 3 к утверждению, что
Р2 + Зда только тогда может быть кубом (р и q — взаимно нро-
стые), когда существуют такие а и 6, что р = а3 — %ab2, q =
= За36 — 363. 2.3. Арифметика иррациональных чисел. Условие
р2 + Зда = _куб можно записать просто в виде р -\- q У —'А =
= (а + 6 у —ЗK, т. е. р -\- q У—3 является кубом. Ошибочное
доказательство Эйлера, использующее однозначность разложения
480 Оглавление
на множители, необходимости этого условия для того, чтобы
р1 + 3<?2 было равно кубу. 2.4. Эйлер о суммах двух квадратов.
Эйлеровы доказательства осповных теорем о представлениях
чисел в виде х2 + уг и х2 + Зг/2. Унражпепия: числа вида х- + 2г/2.
2.5. Завершение доказательства Последней теоремы Ферма при
п —¦ 3. Использование методов Эйлера для доказательства нераз-
решимости уравнепия х3 -|- г/3 = z3. 2.6. Дополнение о суммах двух
квадратов. Метод решепия уравнения р — г2 — у2 при простом р
вида \п -г 1. Решение уравнений р = х2 + З.у2 и р = а;2 -|- 2г/2.
ГЛАВА 3. ОТ ЭЙЛЕРА ДО КУММЕРА 78
3.1. Введение. Лагранж, Лежандр и Гаусс. 3.2. Теорема Софи Жер-
мен. Софи Жермен. Разделение Последней теоремы Ферма па два
случая, случай I (х, у, z взаимно просты с показателем р) и слу-
чай II (когда это не так). Теорема Софи Жермен — достаточное
условие для случая I. Опо дает легкое доказательство случая I
для всех небольших простых показателей. 3.3. Случай п = 5.
Доказательство того, что хъ -\- уъ Ф z5.: Совместное достижепие
Дирихле и Лежапдра. Общая техника подобна эйлерову доказа-
тельству утверждепия xs -j- у3 Ф z3, за исключением того, что
из равепства выражения р2 — 5д2 пятой степепи вытекает равеп-
ство р -j- g '(/б = (а -|- 6 1^5M только при дополнительном усло-
вии 5 | q. 3.4. Случаи п = 14 и п = 7. Доказательства, получен-
ные соответственно Дирихле и Ламе, здесь не приводятся. Для
того чтобы продвинуться дальше и доказать Последнюю теорему
Ферма для больших показателей, очевидно, требуется новая тех-
пика. Упражнение: данное Дирихле доказательство случая п~ 14.
ГЛАВА 4. КУММЕРОВА ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬПЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ 96
4.1. События 1847 года. «Доказательство» Ламе Последней тео-
ремы Ферма. Возражепие Лиувилля. Попытки доказательства,
предпринятые Коши. Письмо Куммера Лиувиллю. Нарушение
однозначности разложения. Новая теория Куммера идеальных
комплексных чисел. 4.2. Круговые целые. Основные онреде-
лепия и действия. Норма кругового целого. Различие между
«простым» и «неразложимым». Деление с использованием пор-
мы. 4.3. Разложение простых чисел р = 1 (mod %). Получение
необходимых и достаточных условий того, что круговое целое явля-
ется простым делителем такого простого р. 4.4. Вычисления для
р =s I (mod %). Явные разложения таких простых при малых
значениях р и "к. Разложения Куммера при "к < 19 и р < 1000.
Невозможность разложения, когда X = 23 и р = 47. Идея, лежа-
щая в основе «идеальпых» простых делителей Куммера. 4.5. Пе-
риоды. Сопряжение о: а ь--*¦ а^, соответствующее примитивпому
корню у по модулю X. Круговое целое тогда и только тогда образо-
вано периодами длины/, когда оно инвариаптпо отпосителыю ое,
где е/ = % — 1. 4.6. Разложение простых р ф 1 mod %). ^ Если
/ •— показатель числа р по модулю % и если h (a) ¦— любой про-
стой делитель числа р, то все периоды длины / сравнимы с целыми
числами по модулю h (а). Это позволяет легко проверять дели-
мость круговых целых, образоваппых периодами, на h (а). АЛ.
Вычисления при р ф 1 (mod X). Явпые разложепия для малых
значений р и X. 4.8. Расширение признака делимости. Проверка
делимости произвольного кругового целого — не обязательно
образованного периодами — на данное простое круговое целое h (X).
4.9. Простые дивизоры. Признаки делимости на простые дели-
Оглавление 48f
тели существуют во всех случаях, даже в тех, когда простого
делителя вообще нет. Это является основой определения «идеально-
го» простого делителя, или простого дивизора. Дефект в перво-
начальном доказательстве Куммера основного предложения.
4.10. Кратности и исключительное простое число. Определение
кратности, с которой простой дивизор делит круговое целое. Один
простой дивизор A — а) числа А. 4.11. Основная теорема. Кру-
говое целое g (а) тогда и только тогда делит другое h (а), когда
каждый простой дивизор, делящий g (а), делит h (а) с меньшей
или, в крайнем случае, такой же кратностью. 4.12. Дивизоры.
Определение дивизоров. Обозначение. 4.13. Терминология.
Дивизор определеп множеством всех объектов, которые он делит.
«Идеалы». 4.14. Сопряжения и норма дивизора. Сопряженные
дивизора. Норма дивизора как дивизор и как целое число. Имеется
N (А) классов круговых целых по модулю А. Китайская теорема
об остатках. 4.15. Выводы.
ГЛАВА 5. ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ
ПРОСТЫХ 182
5.1. Замечания Куммера о квадратичных целых. Понятие эквива-
лентности дивизоров. Упоминание Куммером теории дивизоров
для квадратичных целых х -\- у У D и связь ее с гауссовой тео-
рией бинарных квадратичных форм. 5.2. Эквивалентность диви-
зоров в частном случае. Изучение вопроса: какие дивизоры яв-
ляются дивизорами круговых целых? — в частном случае. 5.3.
Число классов. Определение и основные свойства эквивалептно-
сти дивизоров. Системы представителей. Доказательство конеч-
ности числа классов. 5.4. Два условия Куммера. Характер аргу-
ментации, использованной в доказательствах Последней теоремы
Ферма для показателей 3 и 5, обусловливает выделение среди
простых чисел А тех, для которых (А) число классов пе делится
па А и (В) единицы, сравнимые по модулю А с целыми числами,
являются А-ми степенями. Такие простые названы регулярными.
5.5. Доказательство для регулярных простых. Куммеров вывод
Последпей теоремы Ферма для регулярных простых показателей.
Для любой единицы е (а) едипица е (а)/е (а) имеет вид аг. 5.6.
Квадратичная взаимность. Теория Куммера ведет не только к до-
казательству зпаменитого квадратичного закона взаимности, но
и к выводу формулировки этого закона. Символы Лежапдра. До-
нолпительные законы.
ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА КЛАССОВ 21К
6.1. Введение. Осповпая теорема, которую нужно доказать,— это
теорема Куммера о том, что число А тогда и только тогда регуляр-
но, когда оно делит числители чисел Берпулли В%, Bit . . ., Б^_3.
6.2. Формула эйлерова произведения. Аналог формулы для слу-
чая круговых целых. Формула числа классов находится умноже-
нием обеих частей на (s — 1) и вычислением предела при s \ 1.
6.3. Первые шаги. Доказательство обобщенной формулы эйлерова
произведения. Дзета-функция Римана. 6.4. Преобразование пра-
вой части. Правая часть равна ? (s) L (s, Xi) L (s, %2). . . L (s, Xx.-2).
где Хг — пеглавпые характеры по модулю X. 6.5. Проведепное Ди-
рихле вычисление значений L A, X). Суммирование по частям.
L A, х) как суперпозиция рядов для log A/A — а?')), / = 1, 2, ...
. . ., А — 1. Явная формула для L A, х). 6.6. Предел правой
части. Явная формула. 6.7. Необращение в пуль Ь-рядов. Дока-
482 Оглавлевие
зательство того, что L A, %) Ф 0 для рассматриваемых характе-
ров %. 6.8. Преобразование левой части. Предел при s \ 1 суммы
слагаемых JV (.<4)~s по всем дивизорам А из класса дивизоров
одинаков для любых двух классов. Программа вычисления общего
предела таких сумм. 6.9. Единицы: несколько первых случаев.
Явпое извлечепие всех единиц в случаях \ = 3, 5, 7. Конечномер-
ный анализ Фурье. Неявпое извлечепио единиц в случае % = 11.
Второй сомножитель числа классов. 6.11. Единицы: общий случай.
Метод пахождения (по крайней мере в припципо) всех единиц.
Сумма по всем главным дивизорам, записанная как сумма по не-
которому множеству круговых целых. 6.11. Вычисление интегра-
ла. Решение одной задачи интегральпого исчисления. 6.12. Сравне-
ние интеграла с суммой. В вычисляемом пределе сумма может
быть заменена интегралом. 6.13. Сумма по другим классам диви-
зоров. Доказательство того, что в пределе сумма по любым двум
классам дивизоров одна и та же. 6.14. Формула числа классов.
Объединение всех чертей, разбросапных в предшествующих пара-
графах, и получение явной формулы числа классов. 6.15. Дока-
зательство иррегулярности числа 37. Упрощение подсчета пер-
вого сомножителя числа классов. Числа Берпулли и полипомы
Бернулли. 6.16. Делимость первого сомножителя на %. Обобщение
техники предыдущего параграфа с тем, чтобы показать, что число
X тогда и только тогда делит первый сомпожитель числа классов,
когда оно делит числитель одного из чисел Борпулли й2, й4, . . .
. . ., В^_3. 6.17. Делимость второго сомножителя па %. Доказа-
тельство того, что к только тогда делит второй сомножитель, когда
оно делит также и первый сомпожитель. 6.18. Лемма Куммера. Из
(А) вытекает (В). 6.19. Краткие выводы.
ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНЫХ ЦЕЛЫХ 290
7.1. Простые дивизоры. Чем должны быть простые дивизоры, если
мы хотим, чтобы существовала теория дивизоров для чисел вида
х ~\~ У Y^D- Модификация определения кнадратичпых целых при
D за 1 (mod 4). 7.2. Теория дивизоров. Доказывается, что опре-
деленные в предыдущем параграфе дивизоры дают теорию диви-
зоров со всеми ожидаемыми свойствами. Эквивалентность диви-
зоров. 7.3. Знак нормы. При D > 0 норма принимает как положи-
тельные, так и отрицательные значения. В этом случае вводится
дивизор с нормой —1. 7.4. Квадратичные целые с данными диви-
зорами. В отличие от кругового случая для квадратичных целых
существует простой алгорифм, нозволяющий определить, являет-
ся ли данный дивизор главным, и, если это так, найти все квадра-
тичные целые с данным дивизором. По сущестиу, этот алгорифм сов-
падает с циклическим методом древних индийцев. Обоснование
алгорифма при D < 0. Унражпения: иснользование 2 X 2-матриц
для сокращения вычислений циклического метода. 7.5. Обоснова-
ние циклического метода. Доказательство в случае!) > 0. Вычис-
ление основной единицы. 7.6. Группа классов дивизоров: примеры.
Явное нахождение группы классов дивизоров для нескольких
значений D. 7.7. Группа классов дивизоров: общая теорема. До-
казывается, что два дивизора эквивалентны только тогда, когда
применение к ним циклического метода дает один и тот же период
нриведонпых дивизоров. Это упрощает нахождение группы клас-
сов дивизоров. 7.8. Теоремы Эйлера. Эйлер эмпирически обнару-
жил, что закон разложения простого числа р в квадратичных це-
лых х + у \^D зависит только от класса р по модулю 4D. Он
Оглавление 483
открыл также другие теоремы, которые упрощают нахождение
тех классои простых по модулю 4D, которые содержат распадаю-
щиеся простые или простые, остающиеся простыми при переходе
к квадратичным целым детерминапта D. Эти теоремы (не дока-
занные Эйлером) равносильны квадратичному закону взаим-
ности. 7.9. Роды и классов дивизоров. Необходимые условия Гаус-
са для эквивалентности двух дивизоров. Характер класса диви-
зоров. Возникающее при этом разбиение группы классои дииизо-
ров на роды. 7.10. Двусторонние классы. Определение. Доказы-
вается, что число двусторонних классов не превосходит половины
числа возможных характеров. 7.11. Второе доказательство Гаусса
квадратичного закона взаимности. Доказывается, что в действи-
тельности встречается не более цоловины возможпых характеров.
Из этой теоремы Гаусс выводит квадратичный закон взаимности.
ГЛАВА 8. ГАУССОВА ТЕОРИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ФОРМ 361
8.1. Другие группы классов дивизоров. Если D не свободно от
квадратов, то требуется изменить определение группы классов
дивизоров. Порядки квадратичпых целых. Эквивалентность отно-
сительно норядка. Группа классов дивизоров, соответствующих
порядку. Упражнения: удобные числа Эйлера. 8.2. Другая интер-
претация циклического метода. Интерпретация циклического
метода как метода порождения эквивалентных бинарных квадра-
тичпых форм. Метод нахождения представлений данных целых
чисел данными бинарными квадратичными формами. 8.3. Соот-
ветствие между дивизорами и бинарными квадратичными фор-
мами. Собственная эквивалентность бинарных квадратичных
форм. Взаимно однозначное соответствие между классами собст-
венной эквивалентности собственно примитивных форм (положи-
тельных upn D > 0) и классами дивизоров порядка {х-\- у ^D:
х, у — целые}. 8.4. Классификация форм. Распространение тео-
ремы из § 7.7 на случай не свободного от квадратов D. 8.5. При-
меры. Нахождение группы классов дивизоров в нескольких слу-
чаях. 8.6. Гауссова композиция форм. Как Гаусс определил про-
изведение двух классов бипарпых квадратичных форм, не исполь-
зуя теории дивизоров. 8.7. Уравнения второй степени с двумя не-
известными. Полное решение (по существу, принадлежащее Лаг-
ранжу) уравнения ах2 + Ъху + су2 + dx + еу + / = 0.
ГЛАВА.9. ФОРМУЛА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЧИСЛА КЛАССОВ .... 406
9.1. Формула эйлерова произведения. Аналог этой формулы для
квадратичпых целых. Разбиение на случаи для различных типов
D. 9.2. Первый случай. Случай D < 0, D ф 1 (mod 4), D снободно
от квадратов. Вывод формулы числа классов. Примеры. 9.7. Второй
случай. Случай D > 0, D н? 1 (mod 4), D свободно от квадратов.
Вывод. Примеры. 9.4. Случай i» = 1 (mod 4). Измепения, которые
требуются при D г= 1 (mod 4), D свободно от квадратов. 9.5. Вы-
числение суммы ^ (n ) n ¦ "-*ТУ часть формулы числа классов можно
подсчитать методами § 6.5. Преобразование Фурье характера (\
по модулю 4D кратно самому характеру. Этот факт используется
для редукции формулы. Упражнения: дальнейшие упрощения Ди-
рихле формулы числа классов при D < 0, D свободно от квадра-
тов. Знак гауссовой суммы и его связь с формулой Дирихле.
484 Оглавление
9.6. Подпорядки. Обобщение формулы числа классов на случай не
свободного от квадратов D и, вообще, на случай групп классов
дивизоров, соответствующих произвольным порядкам квадра-
тичных целых. 9.7. Простые в арифметических прогрессиях. При-
водится доказательство Дирихле теоремы о том, что формула
an -\- Ъ при 6, взаимно простом с а, дает бесконечно много про-
стых чисел. Формула числа классов используется при доказатель-
стве неравенства L A, %) ф О для псех вещественных характеров %
по модулю а.
ПРИЛОЖЕНИЕ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 431)
АЛ. Основные свойства. Сложение и умножение. Алгорифм Евкли-
да. Сравнение по модулю натурального числа. Китайская теорема
об остатках. Решение сравнения ах =; Ъ (mod с). Осповная тео-
рема арифметики. Целые числа. А.2. Примитивные корни по
модулю р. Определение. Доказательство того, что каждое р имиет
примитивный корень.
Ответы к упражпениям 448
Литература 472
Указатель 477
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» ПРЕДЛАГАЕТ
КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Андерсон Т. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.
1976. 3 р. 52 к.
Астарита Дж. Марруччи Дж. ОСНОВЫ ГИДРОМЕХАНИКИ НЕНЫОТО-
ПОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ. 1978. 1 р. 90 к.
Аумсш Р. Дж., Шепли Л. ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЕАТОМИЧЕСКИХ ИГР.
1977. 2 р.
Басе X. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ^-ТЕОРИЯ. 1973. 2 р. 86 к.
Вауэр Ф., Гнац Р., Хилл У. ИНФОРМАТИКА. Задачи и решения. 1978.
1 р. 30 к.
Бахман Ф., Шмидт Э. «-УГОЛЬНИКИ. (Популярная серия «Современная
математика»). 1973. 77 к.
БордманДж., Фогт Р. ГОМОТОПИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ АЛГЕБРА-
ИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ПА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТ-
ВАХ. 1977. 2 р. 30 к.
Вайнгартен Ф. У. ТРАНСЛЯЦИЯ ЯЗЫКОВ ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
(Математическое обеспечение ЭВМ). 1977. 75 к.
ВейльА. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НО ЭЙЗЕНШТЕЙНУ И КРОПЕ-
КЕРУ. 1978. 40 к.
Вит Р., де. КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ДИСКЛИНАЦИЙ. 1977. 1 р.
21 к.
By X. ТЕОРИЯ РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ КРИ-
ВЫХ. 1973. 95 к.
Гаееский Г., Грегер Я., Захариас Я. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ-
НЕНИЯ. 1978. 1 р. 80 к.
ГИББСОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ: Сб. ст.
(Математика. Новое в зарубежной науке). 1978. 1 р. 40 к.
Гусман М. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ В Вп. (Математика.
Повое в зарубежной науке). 1978. 85 к.
Драммонд М. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И ИЗМЕРЕНИИ ДИСКРЕТНЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. 1977. 1 р. 81 к.
ЕВКЛИДОВА КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ.МАРКОВСКИЙ ПОДХОД.
Сб. ст. 1974—1976. (Математика. Повое в зарубожпой пауке) 1978. 1 р.
50 к.
Кахан Ж.-П. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУРЬЕ. 1976. 76 к.
КИБЕРНЕТИЧЕСКИЙ СБОРНИК. Новая серия. Вып. 15. 1978. 1 р. 80 к.
Кнут Д. Э. ИСКУССТВО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ЭВМ. Т. 2. Полу-
числошшо алгоритмы. 1977. 3 р. 80 к.
Кнут Д. ИСКУССТВО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ЭВМ. Т. 3. Сорти-
ровка и поиск. 1978. 4 р. 80 к.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ. В 8 томах. П/р Л. Браутмана,
Р. Крока. Пер. с апгл. Т. 2. Механика композпционпых материалов.
П/р Дж. Ссыдецкого. 1978. 2 р. 90 к.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ. В 8 томах. П/р Л. Браутмана.
Р. Крока. Пер. с англ. Т. 5. Разрушение и усталость. И/р Л. Браутмана,
1978. 2 р. 30 к.
Матерой Г. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТ-
РИЯ. 1978. 1 р. 50 к.
Мейер П. А. ВЕРОЯТНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ. 1973. 1 р. 52 к.
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Вычислитель-
ные аспекты и приложения в механике. П/р Т. Круза и Ф. Риццо. (Меха-
ника. Новое в зарубежной науке.) 1978. 1 р. 20 к.
МЕХАНИКА ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНОК ПРИ УДАРЕ И ВЗРЫВЕ.
1977. 1 р. 48 к.
Мостовский А. КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕ-
НИЯ. 1973. 1 р. 25 к.
Новацкий В. ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ. 1978.
2 р. 10 к.
Оллоигрен А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЯЗЫКОВ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ИНТЕР-
ПРЕТИРУЮЩИМИ АВТОМАТАМИ. (Математическое обесиечопно
ЭВМ.) 1977. 1 р. 20 к.
Орнстейн Д. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, СЛУЧАЙНОСТЬ И ДИНАМИ-
ЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. (Математика. Новое в зарубежной науке.) 1978.
65 к.
Партхасаратхи Т., Рагхаван Т. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИГР
ДВУХ ЛИЦ. 1974. 1 р. 34 к.
Прахар К. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. 1967. 1 р. 10 к.
ПСИХОЛОГИЯ МАШИННОГО ЗРЕНИЯ. 1978. 1 р. 80 к.
Рагуиатаи М. ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИ. 1977. 1 р. 52 к.
Рид М., Саймон Б. МЕТОДЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ. Т. 2. Гармонический анализ и самосопряженность. 1978.
1 р. 90 к.
Розенмюллер Дж. КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И РЫНКИ. (Библиотека
«Кибернетического сборпика».) 1974. 64 к.
Сакрисон Д. ЛЕКЦИИ ОБ АНАЛОГОВОЙ СВЯЗИ. 1974. 56 к.
Сакс Док. ТЕОРИЯ НАСЫЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ. 1976. 60 к.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВЫБОРОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ПЕРЕСЕ-
ЧЕНИЯ. Сб. ст. 1974—1976. (Математика. Повое в зарубежной науке.)
1978. 1 р. 50 к.
СЛОЖНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ И АЛГОРИТМОВ. Сб. перев. ст. 1969—
1971. (Библиотека «Кибернетического сборника»). 1974 г. 1 р. 96 к.
Такеути Дж. ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ. 1978. 2 р. 10 к.
Фепс К. АЛГЕБРА: КОЛЬЦА, МОДУЛИ, КАТЕГОРИИ. 1979. т. 2. 2 р. 40 к.
Фукс Л. БЕСКОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ. Т. 2. 1977. 2 р. 70 к.
Хеннан Э. МНОГОМЕРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. 1974. 2 р. 78 к.
Холл Л. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ. Введение в нечисленно»
программирование. (Математическое обеспечение ЭВМ.) 1978. 95 к.
Черчинъяни К. ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬЦМАИА.
1978. 3 р. 10 к.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГИДРОМЕХАНИКИ. П/р Р. Рихтмайо-
ра. 1977. 1 р. 50 к.
Шмидт Г. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. 1978. 2 р.
Штеттер Г. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ ОБЫКНО-
ВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1978. 2 р. 20 к.
Эти книги Вы можете приобрести в магазинах книготоргов, распростра-
няющих научно-техническую литературу. Еслп в наличии этих книг не ока-
жется, заказ можно направить по адресу:
121019 Москва, просп. Калишша, 26, и/я 42, Магазин М: 200 «Москов-
ский Дом книги»;
103031 Москва, Петровка, 16, Магазин № 8 «Техническая книга»;
191040 Ленинград, Пушкинская ул., 2, Магазин .N; 5 «Техпияеская
книга».
Книги будут высланы наложенным платежом (без задержки). Индекс
000-41-СК79 ' Издательство «Мир»
Союзкнига