Гетманова А.Д. - Логика (1986)

§ 2. Понятие о логической форме и логическом законе. Истинность мысли и формальная правильность рассуждений.

§ 3. Материалистическая диалектика — методологическая основа логики.

§ 4. Теоретическое и практическое значение логики.

§ 5. Отношения между суждениями по истинности.

§ 2. Законы логики и их материалистическое понимание.

§ 3. Использование формально-логических законов в обучении.

§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования.

§ 11. Индуктивные умозаключения и их виды.

§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей.

§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе.

§ 15. Умозаключение по аналогии и его виды. Использование аналогий в процессе обучения.

Глава VI. Логические основы теории аргументации.

§ 4. Правила доказательного рассуждения.

§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах.

§ 2. Построение гипотезы и этапы ее развития.

§ 5. Примеры гипотез, применяющихся на уроках в школе.

Глава VIII. Роль логики в процессе обучения.

§ 2. К. Д. Ушинский и В. А. Сухомлинский о роли логики в процессе обучения в начальной школе.

§ 3. Развитие логического мышления младших школьников.

§ 4. Развитие логического мышления учащихся.

Приложение. Особенности построения ряда неклассических логик.

§ 3. Законы исключенного третьего и непротиворечия.

Tags: логика

Similar

Логика

Логика. Углубленный курс: учебное пособие

Логика. Углубленный курс

Основы систематизации: Методология и философские аспекты. Принципы и законы реальной действительности

Text

АДГетло-юВа
ЛОГИКА
Допущено к изданию
Главным управлением
преподавания
общественных наук
Министерства высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника
для педагогических высших
учебных заведений
Москва „Высшая школа" 1986

ББК 87.4
Г 44
Рецензенты:
кафедра философии и логики
Белорусского государственного университета
(зав. кафедрой проф. А. С. Клевченя);
д-р филос. наук, проф. Д. П. Горский
(Институт философии АН СССР);
д-р филос. наук, проф. Н. И. Стяжкин
(Всесоюзный научно-исследовательский институт
документоведения и архивного дела)
Гетманова А. Д.
Г 44 Логика: Учебник для студентов пед. вузов.—
М.: Высш, шк., 1986. — 288 с.: илл.
55 к.
Учебник написан в соответствии с программой логики для педаго¬
гических вузов. В нем рассматриваются следующие темы: предмет логи¬
ки и ее значение, понятие, суждение, законы логики, умозаключение, до¬
казательство и опровержение, гипотеза, методологическое значение ло¬
гики в процессе обучения.
8302040000 — 157 лл _
Г 44 — 86
001(01)-86
ББК 87.4
16
Александра Денисовна Гетманова
ЛОГИКА
Заведующий редакцией А. Д. Кашин• Научный редактор А. Л. Никифоров*
Редактор Л. Б. Комиссарова • Младший редактор Т. А. Шангина • Художник
А. А. Якубенко • Художественный редактор С. Г. Абелин • Технический ре¬
дактор 3. В. Нуждина • Корректор М. М. Сапожникова ,
ИБ № 5757
Изд. № ФПН-633. Сдано в набор 27.08.85. Подп. в печать 27.01.86. А-09116.
Формат 84 х Бум. кн.-журн. Гарнитура тайме. Печать высокая.
Объем 15,12 усл. печ. л. 15,33 усл. кр.-отт. 14,81 уч.-изд. л. Тираж 100000 экз.
Зак. № 58. Цена 55 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор»
им. А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136,
Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
© Издательство «Высшая школа», 1986

Глава I
ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ
Термин «логика» происходит от греческого слова logos,
что значит «мысль», «слово», «разум», «закономерность»,
и используется как для обозначения совокупности правил,
которым подчиняется процесс мышления, отражающий
действительность, так и для обозначения науки о прави¬
лах рассуждения и тех формах, в которых оно осу¬
ществляется. Мы будем использовать термин «логика»
в указанных двух смыслах. Кроме того, данный термин
используется для обозначения закономерностей объектив¬
ного мира («логика вещей», например «логика классовой
борьбы», «логика событий»). Этот смысл термина «ло¬
гика» выходит за пределы нашей книги.
Мышление изучается не только логикой, но и рядом
других наук: психологией, кибернетикой, педагогикой
и т. д., при этом каждая из них изучает мышление
в определенном аспекте. Логика изучает абстрактное
мышление как средство познания объективного мира,
исследует формы и законы, в которых происходит отра¬
жение мира в процессе мышления. Поскольку процессы
познания мира в полном объеме изучаются философией,
а логика изучает лишь один из аспектов познающего
мышления, логика является философской наукой. В книге
будет излагаться в основном формальная логика, но в
определенных пределах речь пойдет и о диалектической
логике, в особенности в вопросах взаимоотношения ее
с логикой формальной.
Чтобы полнее выяснить значение логики как науки,
необходимо рассмотреть мышление как предмет изучения
логики и в особенности раскрыть марксистско-ленинское
^понимание процесса познания.
э

§ 1. МЫШЛЕНИЕ КАК ПРЕДМЕТ ИЗУЧЕНИЯ ЛОГИКИ
Марксистско-ленинское понимание процесса познания
Материалистическая диалектика является научным мето¬
дом познания мира. В. И. Ленин писал: «В теории
познания, как и во всех других областях науки, следует
рассуждать диалектически, т. е. не предполагать готовым
и неизменным наше позрание, а разбирать, каким образом
из незнания является знание, каким образом неполное,
неточное знание становится более полным и более
точным»
Познание есть диалектический процесс отражения дей¬
ствительности в сознании людей, возникающий и раз¬
вивающийся на основе общественно-исторической прак¬
тики. Материализм исходит из познаваемости мира и его
закономерностей.
Марксистско-ленинская теория познания базируется
на принципах теории отражения. Вне нашего сознания
существуют материальные вещи. В мозгу человека под
воздействием этих вещей, предметов возникают образы,
или, как называет их В. И. Ленин, снимки, копии пред¬
метов. Образы вещей соответствуют отображаемым ве¬
щам, поэтому образы имеют познавательное значение.
Образ идеален: он не может существовать вне сознания
человека. Образ беднее самой вещи, поэтому мы не
можем сразу охватить все ее стороны. Вещь и ее
свойства раскрываются нами в процессе познания.
В процессе познания мы стремимся получить истин¬
ное знание. Истина есть адекватное отражение в сознании
человека явлений и процессов природы, общества и
мышления. Истинность знания есть соответствие его
действительности. Законы науки выражают объективную
истину. Истину могут давать нам ощущения и восприя¬
тия. Более полно истину можно характеризовать как
«адекватное отражение объекта познающим субъектом,
воспроизведение его таким, каким он существует сам по
себе, вне и независимо от человека и его сознания;
объективное содержание чувственного, эмпирического
опыта, понятий, идей, суждений, теорий, учений и
целостной картины мира в диалектике ее развития...»1 2.
Понимание истины как соответствия знания вещам
1 Ленин В. И. Поли. собр. сон., т. 18, с. 102.
2 Философский энциклопедический словарь. M., 1983, с. 226.
4

восходит к мыслителям древности, в частности к Ари¬
стотелю.
Как отличить истину от заблуждения? Критерием
истины является практика. Практика характеризуется
как «материальная, чувственно-предметная, целеполагаю¬
щая деятельность человека, имеющая своим содержанием
освоение и преобразование природных и социальных
объектов и составляющая всеобщую основу, движущую
силу развития человеческого общества и познания»1.
Практика включает все виды чувственно-предметной
деятельности человека, и прежде всего труд — деятель¬
ность в процессе производства материальных благ в про¬
мышленности и в сельском хозяйстве, а также педагоги¬
ческую, художественную, административную и другие
виды деятельности. Практика включает и социально-
преобразующую, революционную деятельность народов,
направленную на изменение социальных отношений, на¬
пример социальные революции, национально-освобо¬
дительное движение, борьбу народов за мир и т. п.
Практика — основа познания, его движущая, побуди¬
тельная сила и критерий истинности. В практической дея¬
тельности люди сталкиваются с различными свойствами
предметов и явлений, часто не понятными для них. Позна¬
ние этих свойств необходимо для того, чтобы овладеть
силами природы и поставить их на службу человеку.
Так, изучение строения атомного ядра позволило чело¬
вечеству найти новый источник энергии.
В настоящее время практика поставила перед Чело¬
вечеством крупные проблемы: сохранение природы на
нашей планете, овладение новыми источниками энергии,
освоение космоса, ресурсов Мирового океана; познание
направлено на решение этих проблем.
Все науки в конечном счете возникли из практических
потребностей людей: математика возникла из потребно¬
стей измерения земельных участков и вместимости
сосудов; астрономия — из потребностей мореплавания;
медицина — из потребностей борьбы с болезнями; марк¬
сизм возник из потребности дать ответ на вопросы,
выдвинутые классовой борьбой пролетариата с буржуа¬
зией. Под воздействием практики науки развиваются и
далее, хотя в процессе поиска новых истин определенную
роль играют и внутренние закономерности конкретной
науки. Практика — основа жизни людей, и главная ее
1 Философский энциклопедический словарь. М., 1983, с. 522.
5

часть — это труд. Но вместе с тем практика — это критерий
истины. В. И. Ленин писал: «... практика человека и
человечества есть проверка, критерий объективности
познания»1. Например, прежде чем пустить машину
в массовое производство, ее испытывают на практике,
в действии, а прежде чем послать в космос человека,
советские ученые провели серию испытаний с животными.
Чувственное познание и абстрактное мышление
В. И. Ленин писал о диалектическом пути познания
объективной реальности: «От живого созерцания к абст¬
рактному мышлению и от него к практике — таков
диалектический путь познания истины, познания объектив¬
ной реальности»2. Познание осуществляется в двух
основных формах — в форме чувственного познания и
в форме абстрактного мышления.
Всякое познание начинается с живого созерцания.
Предметы воздействуют на наши органы чувств й
вызывают в мозгу ощущения, восприятия и представ¬
ления, которые и являются формами чувственного
познания. Ощущение — это отражение отдельных свойств
предметов или явлений материального мира, непосред¬
ственно воздействующих на органы чувств (например,
отражение свойств горького, соленого, теплого, красного,
гладкого и т. д.).
Восприятие есть целостное отражение внешнего мате¬
риального предмета, непосредственно воздействующего
на органы чувств (например, образ автобуса, пшенич¬
ного поля и т. д.).
Представление — это чувственный образ предмета,
в данный момент нами не воспринимаемого, но воспри¬
нятого ранее в той или иной форме. Примерами вос¬
производящего представления являются образы своего
дома, своего рабочего места, образы наших знакомых
и родных, которых мы сейчас не видим. Представление
может быть не только воспроизводящим, но и творче¬
ским, в том числе фантастическим. Творческое пред¬
ставление у человека может возникнуть и по словесному
описанию.
Путем чувственного отражения мы познаем отдель¬
ные предметы и их свойства. Законы мира, сущность
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 193.
2 Там же, с. 152—153.
6

предметов, общее в них мы познаем посредством абст¬
рактного мышления, более сложной формы познания.
Абстрактное, или рациональное, мышление отражает
мир и его процессы глубже и полнее, чем чувственное
познание.
Основными формами абстрактного мышления яв¬
ляются понятия, суждения и умозаключения1.
Понятие — форма мышления, в которой отражаются
существенные признаки отдельного предмета или класса
однородных предметов. Понятия в языке выражаются
словами («портфель», «трапеция») или словосочетаниями
(«Продовольственная программа СССР», «ураганный
ветер» и др.). Суждение — форма мышления, в которой
что-либо утверждается или отрицается о предметах, их
признаках и отношениях. Суждение выражается в форме
повествовательного предложения. Суждения могут быть
простыми и сложными. Например: «Открытие XIX съезда
ВЛКСМ состоялось 18 мая 1982 года» — простое сужде¬
ние, а суждение «Наступила весна, и прилетели грачи» —
сложное, состоящее из двух простых. Суждение может
быть либо истинным, либо ложным.
Умозаключение — форма мышления, посредством ко¬
торой из одного или нескольких истинных суждений,
называемых посылками, мы по определенным правилам
вывода получаем заключение. Видов умозаключений
много. Приведем два примера:
Все металлы — простые вещества.
Литий — металл.
Литий — простое вещество.
Первые два суждения, написанные над чертой, назы¬
ваются посылками, третье суждение называется заклю¬
чением.
Растения делятся на однолетние или многолетние.
Данное растение является однолетним.
Данное растение не является многолетним.
Особенности абстрактного мышления
Абстрактное мышление является формой опосредство¬
ванного и обобщенного отражения действительности.
С помощью форм чувственного познания мы непосредст¬
1 Эти формы подробно рассматриваются в отдельных главах.
7

венно познаем вещи и их свойства (видим сейчас, что
этот цветок красный, слышим, что шумит море, и т. д.).
Абстрактное мышление позволяет нам из одних знаний
получать другие, не обращаясь непосредственно к опыту,
к показаниям органов чувств. Так, например, по симпто¬
мам болезни врач судит о характере заболевания, по
данным археологических раскопок ученые судят о жизни
людей прошлых веков, по математическим расчетам
производится корректировка полетов ракет и т. д.
Абстрактное мышление позволяет познавать мир в
обобщенных формах, одной из которых является понятие.
Например, выделяя общие признаки, присущие всем
учителям, мы образуем понятие «учитель», аналогично
образуются и другие понятия. Обобщая полученные
знания, люди посредством абстрактного мышления от¬
крывают законы природы, общества и познания, про¬
никают в сущность явлений, закономерную связь между
ними.
Мышление — высшее проявление сознания. Сознание
вторично по происхождению, оно является отражением
бытия. Но сознание, в том числе и абстрактное мышле¬
ние, носит активный характер: познав объективные
закономерности, человек использует их в своих интере¬
сах. Активность мышления проявляется в том, что чело¬
век делает теоретические обобщения, образует понятия и
суждения, строит умозаключения и гипотезы. Опираясь
на предыдущие знания, человек получает возможность
предвидения, создания планов развития различных отрас¬
лей народного хозяйства, науки, просвещения и т. д.
Активность мышления проявляется в творческой дея¬
тельности человека, в способности воображения, в науч¬
ной, художественной и другой фантазии. Абстрактное
мышление определяет цель, способ и характер практи¬
ческой деятельности человека. Маркс писал, что самый
плохой архитектор отличается от самой лучшей пчелы
тем, что он, прежде чем строить что-либо, создает план
своей постройки в голове.
Итак, еще одной особенностью абстрактного мышле¬
ния является активное отражение мира и участие в его
преобразовании. Человек в практике, прежде всего в про-1
изводственной, претворяет идеальное в материальное,
овеществляет научные идеи в продуктах своего труда.
Особенностью абстрактного мышления является его
неразрывная связь с языком. Мышление представляет
собой отражение объективной реальности, а язык есть
8

способ выражения, средство закрепления и передачи
мыслей другим людям.
Подробнее о связи мышления и языка будет
сказано в § 5.
§ 2. ПОНЯТИЕ О ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
И ЛОГИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ.
ИСТИННОСТЬ МЫСЛИ И ФОРМАЛЬНАЯ
ПРАВИЛЬНОСТЬ РАССУЖДЕНИЙ
Формальная логика — наука о законах и формах пра¬
вильного мышления. Выясним, что понимается под
логической формой и логическим законом.
Понятие логической формы
Логической формой конкретной мысли является строе¬
ние этой мысли, т. е. способ связи ее составных частей.
О логических формах В. И. Ленин писал: «...логические
формы и законы не пустая оболочка, а отражение
объективного мира» к Но это отражение не всей полноты
содержания мира, существующего вне нас, а его общих
структурных связей, которые необходимо воплощаются
и в структуре связей наших мыслей.
Структуру мысли, т. е. ее логическую форму, можно
выразить при помощи символов. Выявим структуру
(логическую форму) в трех следующих суждениях: «Все
караси — рыбы», «Все люди смертны», «Все бабочки —
насекомые». Содержание у них разное, а форма одна
и та же : «Все S есть Р»; она включает S (субъект), т. е.
понятие о предмете суждения, Р (предикат), т. е. понятие
о признаке предмета, связку («есть»), квантор («все»).
Два следующих условных суждения имеют одну и ту
же форму: 1) «Если железо нагреть, то оно расширится»;
2) «Если учащийся изучает логику, то он повышает
четкость своего мышления». Форма этих суждений такая:
«Если 5 есть Р, то S есть Рр>.
Логические законы
Соблюдение законов логики — необходимое условие до¬
стижения истины в процессе рассуждения. Основными
формально-логическими законами обычно считаются:
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 162.
9

1) закон тождества; 2) закон непротиворечия; 3) закон
исключенного третьего; 4) закон достаточного основания.
Они будут подробно излагаться в отдельной главе. Эти
законы выражают определенность, непротиворечивость,
доказательность мышления.
Логические законы действуют независимо от воли
людей, не созданы по их воле и желанию. Они явля¬
ются отражением связей и отношений вещей материаль¬
ного мира. Общечеловеческий характер законов фор¬
мальной логики состоит в том, что во все исторические
эпохи люди всех классов, всех наций мыслят по одним
и тем же логическим законам. Кроме формально¬
логических законов правильное мышление подчиняется
основным законам материалистической диалектики:
закону единства и борьбы противоположностей, закону
взаимного перехода количественных и качественных из¬
менений, закону отрицания отрицания.
Истинность мысли и формальная правильность
рассуждений
Понятие истинности или ложности относится лишь к
конкретному содержанию того или иного суждения. Если
в суждении верно отражено то, что имеет место в дейст¬
вительности, то оно" истинно, в противном случае оно
ложно. Например, суждение «Все волки — хищные жи¬
вотные» истинно, а суждение «Все грибы — ядовиты»
ложно.
Понятие формальной правильности рассуждения отно¬
сится лишь к логическим действиям и операциям мыш¬
ления. Ф. Энгельс писал: «Если наши предпосылки
верны и если мы правильно применяем к ним законы
мышления, то результат должен соответствовать дейст¬
вительности...»1 Если в числе посылок умозаключения
встречается ложная посылка, то при соблюдении правил
логики мы в заключении можем получить и истину, и
ложь. Чтоб это показать, возьмем такое умозаключение:
Все металлы — твердые тела.
Ртуть не является твердым телом.
Ртуть не является металлом.
В этом умозаключении заключение получилось лож¬
ным именно потому, что в качестве первой посылки взято
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 629.
10

ложное суждение. Чтобы заключение было истинным,
обе посылки должны быть истинными суждениями
(имеется в виду, что правила логики соблюдены). При
несоблюдении правил логики (если посылки при этом
истинны) мы также можем получить как истинное, так
и ложное заключение. Например:
Все тигры — полосатые.
Это животное — полосатое/
Это животное — тигр.
Во втором умозаключении обе посылки — истинные
суждения, но полученное заключение может быть как
ложным, так и истинным потому, что было нарушено
одно из правил умозаключения.
Итак, с точки зрения содержания мышление может
давать истинное или ложное отражение мира, а со
стороны формы оно может быть логически правиль¬
ным или неправильным. Истинность есть соответствие
мысли действительности, а правильность мышления —
соблюдение законов и правил логики. Нельзя отожде¬
ствлять (смешивать) следующие понятия: «истинность»
(«истина») и «правильность», а также понятия «ложность»
(«ложь») и «неправильность».
§ 3. МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКАЯ ДИАЛЕКТИКА -
МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ЛОГИКИ
Материалистическая диалектика — наиболее глубокое и
всестороннее учение о развитии. Законы и категории
материалистической диалектики рассматриваются как
отражение всеобщих связей объективного мира и как
ступени развития его познания.
Материалистическая диалектика является методологи¬
ческой основой всех наук, в том числе и формальной
логики. Современная логика — это интенсивно разви¬
вающаяся наука, которая включает в себя логику фор¬
мальную и логику диалектическую. На их базе форми¬
руется логика научного познания, использующая методы
обеих наук для анализа научного знания.
Как уже отмечалось, формальная логика — наука о за¬
конах и формах правильного мышления. Формальная
логика в определенном смысле подобна грамматике.
К. Д. Ушинский считал логику грамматикой мышления.
Подобно грамматике, придающей языку стройный и четко
п

осмысленный характер, логика обеспечивает доказатель¬
ность и стройность мышления.
Диалектическая логика как учение о законах и фор¬
мах возникновения и развития научного познания также
изучает мышление, но в ином плане, чем логика фор¬
мальная. Рассмотрим определение диалектической ло¬
гики и ее соотношение с формальной.
В. И. Ленин отмечал, что «в „Капитале44 применена
к одной науке логика, диалектика и теория познания [не
надо 3-х слов: это одно и то же] материализма,
взявшего все ценное у Гегеля и двинувшего сие ценное
вперед»1. Здесь, очевидно, В. И. Ленин под логикой
имел в виду диалектическую логику; В этом смысле
«логика есть учение о познании. Есть теория познания»2.
В работе «Еще раз о профсоюзах, о текущем моменте
и об ошибках тт. Троцкого и Бухарина» В. И. Ленин сфор¬
мулировал требования диалектической логики как мето¬
дологии научного мышления: «Чтобы действительно
знать предмет, надо охватить, изучить все его стороны,
все связи и «опосредствования». Мы никогда не достиг¬
нем этого полностью, но требование всесторонности пре¬
достережет нас от ошибок и от омертвения. Это во-1-х.
Во-2-х, диалектическая логика требует, чтобы брать пред¬
мет в его развитии, «самодвижении» (как говорит
иногда Гегель), изменении... В-З-х, вся человеческая
практика должна войти в полное «определение» предмета
и как критерий истины и как практический определитель
связи предмета с тем, что нужно человеку. В-4-х, диа¬
лектическая логика учит, что «абстрактной истины нет,
истина всегда конкретна»../»3.
Различие в изучении мышления логикой диалекти¬
ческой и логикой формальной, в частности, состоит в том,
что первая рассматривает формы мышления в их разви¬
тии, а вторая — как уже ставшие, абстрагируясь от дви¬
жения и изменения самих мыслей. Разумеется, диалек¬
тическая логика действует и там, где мы мыслим вещи
в движении, и там, где мы мыслим их в относительном
покое. С другой стороны, и там, и здесь необхо¬
димо соблюдать требования формальной логики. Но
последняя может эффективно действовать только под
руководством диалектической логики как всеобщей
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 301.
2 Там же, с. 163.
3 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 42, с. 290.
12

методологии. Признавая движение и развитие предметов,
формальная логика тем не менее требует, чтобы в про¬
цессе рассуждения .каждая мысль была тождественна
самой себе. Признавая наличие в мышлении и в позна¬
нии диалектических противоречий, формальная логика
на основании закона непротиворечия запрещает приписы¬
вать одному и тому же предмету в одно и то же
время и в одном и том же отношении два противополож¬
ных друг другу свойства, например одновременно утвер¬
ждать, что «эта бумага — белая» и что «эта бумага —
черная». Формально-логический закон непротиворечия
вполне согласуется с диалектико-материалистическим
законом единства и борьбы противоположностей; при
рассмотрении диалектических противоречий нельзя иска¬
жать их теми формально-логическими противоречиями,
которые как раз и запрещаются формальной логикой.
Оба эти закона действуют как в повседневном (обы¬
денном), так и в научном мышлении, а также в процессе
обучения в школе или другом учебном заведении.
Диалектическая логика и логика формальная — это два
относительно самостоятельных направления в совре¬
менной логике, и в этом смысле они взаимно допол¬
няют друг друга при ведущем положении диалектической
логики. Средства формальной логики необходимы, но не
достаточны для познания истины; формы мышления,
изучаемые ею (понятия, суждения, умозаключения), уни¬
версальны. Формальная логика отражает такие характе¬
ристики мышления, как его устойчивость и определен¬
ность, в конечном счете отражающие четкую вычленен-
ность и несовместимость тех или иных определенных
состояний и свойств самих явлений вне нас. Поэтому
соблюдение законов и форм правильного мышления,
которые изучаются формальной логикой, является не¬
обходимым условием функционирования и применения
диалектической логики.
Основные этапы развития формальной логики
Формальная логика в своем развитии прошла два ос¬
новных этапа. Начало первого этапа связано с работами
древнегреческого философа и ученого Аристотеля (384 —
322 гг. до н. э.), в которых впервые дано систематическое
изложение логики. Логику Аристотеля и всю домате-
матическую логику обычно называют «традиционной»
формальной логикой. Традиционная формальная логика
13

включала и включает такие разделы, как понятие, сужде¬
ние, умозаключение (в том числе и индуктивное),
законы логики, доказательство и опровержение, гипотеза.
Основными работами Аристотеля по логике являются
«Первая аналитика» и «Вторая аналитика», в которых
дана теория силлогизма, определение и деление понятий,
доказательство. Логическими сочинениями Аристотеля
являются также «Топика», «Категории», «Об опровер¬
жении софистических аргументов», «Об истолковании».
Византийские логики объединили все перечисленные ра¬
боты Аристотеля под общим названием «Органон» (ору¬
дие познания)1. Первые три основных закона мышле¬
ния Аристотель изложил также в своем главном про¬
изведении «Метафизика».
По характеристике В. И. Ленина «Логика Арис¬
тотеля есть запрос, искание, подход к логике Геге¬
ля, — а из нее, из логики Аристотеля (который всюду.
на каждом шагу ставит вопрос именно о диалек¬
тике). сделали мертвую схоластику, выбросив все
поиски, колебания, приемы постановки вопросов»2.
Аристотель видел в логике орудие (или метод) исследо¬
вания. Основным содержанием аристотелевой логики
является теория дедукции. В логике Аристотеля содер¬
жатся элементы математической (символической) логики,
у него имеются «начатки исчисления высказываний»3.
Второй этап — это появление математической (или
символической) логики.
Немецкий философ Г. В. Лейбниц (1646 — 1716) по
праву считается основоположником математической (сим¬
волической) логики. Лейбниц пытался построить уни¬
версальный язык, с помощью которого споры между
людьми можно было бы разрешать посредством вычис¬
ления. В XIX в. математическая логика получила
интенсивное развитие в работах Д. Буля, Э. Шрёдера,
П. С. Порецкого, Г. Фреге и других логиков.
Математическая (или символическая) логика изучает
логические связи и отношения, лежащие в основе
дедуктивного (логического) вывода. При этом в матема¬
тической логике для выявления структуры вывода стро¬
ятся различные логические исчисления, прежде всего
1 См.: Аристотель. Соч. М., 1978, т. 2.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 326.
3 Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.,
1967, с. 39.
14

исчисление высказываний и исчисление предикатов
в их различных модификациях. Можно сказать, что
математическая логика разрабатывает применение мате¬
матических методов к анализу форм и законов дока¬
зательного рассуждения.
§ 4. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ
Можно логично рассуждать, правильно строить свои
умозаключения, опровергать доводы противника и не
зная правил логики, подобно тому как нередко люди
выражают свои мысли на языке, не зная его грамматики.
Знание логики повышает культуру мышления, способст¬
вует четкости, последовательности и доказательности
рассуждения, усиливает эффективность и убедитель¬
ность речи.
Особенно важно знание основ логики в процессе
овладевания новыми знаниями, в обучении, в ходе
подготовки к занятию, при написании сочинения, выступ¬
ления, доклада; знание логики помогает заметить логи¬
ческие ошибки в устной речи и в письменных произведе¬
ниях других людей, найти более короткие и правиль¬
ные пути опровержения этих ошибок, не допускать их
самому.
В условиях научно-технической революции и возра¬
стающего потока научной информации особое значение
приобретает задача рационального построения процесса
обучения в средней школе. Экстенсивные методы, пред¬
полагающие расширение объема вновь усваиваемой
информации, уступают место интенсивным, предпола¬
гающим рациональный отбор из всего потока новой
информации важнейших, определяющих компонентов.
Необходимым условием внедрения новых методов обу¬
чения является развитие логической культуры педагогов
и учащихся — овладевание методологией и методикой
научного познания, усвоение рациональных методов
и приемов доказательного рассуждения, формирование
творческого мышления.
Логическая культура — это не врожденное качество.
Овладевание ею предполагает ознакомление учителей,
студентов педагогических вузов и училищ, а через них
и учащихся с основами логической науки, которая в тече¬
ние двухтысячелетнего развития накопила теоретически
обоснованные и оправдавшие себя методы и приемы
15

рационального рассуждения и аргументации. Логика
способствует становлению самосознания, интеллектуаль¬
ному развитию личности, помогает формированию у нее
научного, марксистско-ленинского мировоззрения. «Ус¬
пешное решение сложных задач обучения й воспитания
молодежи в решающей степени зависит от учителя, от
его идейной убежденности, профессионального мастерст¬
ва, эрудиции и культуры»1. Профессия учителя требует
постоянного творчества, неустанной работы мысли и
совершенствования ее культуры, без чего невозможно
завоевание авторитета учителя у учащихся. Для улучше¬
ния подготовки учительских кадров рекомендуется рас¬
ширить наряду с другими науками преподавание ло¬
гики2, изучение которой в педагогических учебных заведе¬
ниях поможет поднять логическую культуру будущих
учителей.
На июньском (1983 г.) Пленуме ЦК КПСС отме¬
чалась неустанная забота партии о совершенствова¬
нии идейно-политического, трудового и нравственного
воспитания советских людей, подчеркивалась мысль
о том, что формирование научного, марксистско-ленин¬
ского мировоззрения — основы коммунистического вос¬
питания людей — является одной из важнейших задач,
стоящих перед идеологическими работниками, в том
числе и перед учителями3.
В науке, в полемике, в повседневной жизни, в обучении
нам ежедневно приходится из одних истинных суждений
выводить другие, опровергать ложные суждения или
неправильно построенные доказательства. Сознательное
следование законам логикй дисциплинирует мышление,
делает его более аргументированным, эффективным и
продуктивным, помогает избежать ошибок, что особенно
важно для учителя.
§ 5. ЛОГИКА И ЯЗЫК
Предметом изучения логики являются формы и законы
правильного мышления. Мышление есть функция чело¬
веческого мозга. Труд способствовал выделению чело¬
1 О реформе общеобразовательной и профессиональной школы:
Сб. документов и материалов. М., 1984, с. 56.
2 См. там же.
3 См.: Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС,
14-15 июня 1983 г. М., 1983, с. 41-42.
16

века из среды животных, явился фундаментом в возник¬
новении у людей сознания (в том числе мышления) и
языка. Мышление неразрывно связано с языком. Язык,
по выражению К. Маркса, есть непосредственная дейст¬
вительность мысли. В ходе коллективной трудовой
деятельности у людей возникла потребность в общении
и передаче своих мыслей друг другу, без чего была
невозможна сама организация коллективных трудовых
процессов.
Функции естественного языка многочисленны и много¬
гранны. Язык — средство повседневного общения людей,
средство общения в научной и практической деятельности.
Язык позволяет передавать накопленные знания, практи¬
ческие умения и жизненный опыт от одного поколения
к другому, осуществлять процесс обучения и воспитания
подрастающего поколения.
Язык является знаковой информационной системой,
продуктом духовной деятельности человека. Накоплен¬
ная информация передается с помощью знаков (слов)
языка. «В языке есть только о б щ ее»1; «Всякое слово
(речь) уже обобщает... Чувства показывают реальность;
мысль и слово — общее» 2.
Речь может быть устной или письменной, звуковой
или незвуковой (как, например, у глухонемых), речью
внешней (для других) или внутренней, речью, выражен¬
ной с помощью естественного или искусственного языка.
С помощью научного языка, в основе которого лежит
естественный язык, сформулированы положения фило¬
софии, в том числе диалектической логики, и всех част¬
ных наук — истории, географии, археологии, геологии,
медицины (использующей наряду с «живыми» нацио¬
нальными языками и ныне «мертвый» латинский язык)
и многих других наук.
Язык — это не только средство общения, но и
важнейшая составная часть культуры всякого народа.
Русский язык ныне стал средством межнационального
общения народов нашей страны, одним из важнейших
факторов расцвета и сближения национальных культур
народов СССР в их приобщении к богатствам мировой
цивилизации.
На базе естественных языков возникли искусственные
языки науки. К ним принадлежат языки математики,
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 249.
2 Там же, с. 246.
17

символической логики, химии, физики, а также алгорит¬
мические языки программирования для ЭВМ, например
«Алгол-60», «Алгол-65», «Фортран», «Кобол», «Пл-1»,
«Ассемблер» и др., которые получили широкое примене¬
ние в современных вычислительных машинах и системах.
Языками программирования называются знаковые систе¬
мы, применяемые для описания процессов решения задач
на ЭВМ. В настоящее время усиливается тенденция
разработки принципов «общения» человека с ЭВМ на
естественном языке, чтобы можно было пользоваться
компьютерами без посредников-программистов.
Знак — это материальный предмет (явление, событие),
выступающий в качестве представителя некоторого
другого предмета, свойства или отношения и исполь¬
зуемый для приобретения, хранения, переработки и пере¬
дачи сообщений (информации, знаний)1.
Знаки подразделяются на языковые и неязыковые.
К неязыковым знакам относятся знаки-копии (например,
фотографии, отпечатки пальцев, репродукции и др.),
знаки-признаки, или знаки-показатели (например, дым —
признак огня, повышенная температура тела — признак
болезни), знаки-сигналы (например, звонок — знак начала
или окончания занятия), знаки-символы (например, до¬
рожные знаки) и другие виды знаков. Существует особая
наука — семиотика, которая является общей теорией
знаков. Разновидностями знаков являются языковые
знаки, использующиеся в целях общения. Одна из важ¬
нейших функций языковых знаков состоит в обозначе¬
нии ими предметов. Для обозначения предметов служат
имена.
Имя — это слово или словосочетание, обозначающее
какой-либо определенный предмет. (Слова «обозначение»,
«именование», «название» рассматриваются как сино¬
нимы.) Предмет здесь понимается в весьма широком
смысле: это вещи, свойства, отношения, процессы, явле¬
ния и т. п. как природы, так и общественной жизни,
психической деятельности людей, продуктов их воображе¬
ния и результатов абстрактного мышления. Итак, имя
всегда есть имя некоторого предмета. Хотя предметы
изменчивы, текучи, в них сохраняется качественная
определенность, относительно покоящаяся сущность,
которую и обозначает имя данного предмета.
1 См.: Философский энциклопедический словарь, с. 191.
18

Имена делятся на: 1) простые («книга», «Астрахань»,
«Лейбниц») и сложные, или описательные («самый боль¬
шой водопад в Канаде и США», «планета Солнечной
системы», «самая северная в мире атомная электростан¬
ция»). В простом имени нет частей, имеющих самостоя¬
тельный смысл, в сложном они имеются;
2) собственные, т. е. имена отдельных людей, пред¬
метов, событий («Николай Островский», «Обь»), и общие
(названия класса предметов), например «дом», «победи¬
тель социалистического соревнования».
Каждое имя имеет значение и смысл. Значением
имени является обозначаемый им предмет
Смысл (или концепт} имени — это способ, каким имя
обозначает предмет, т. е. информация о предмете, которая
содержится в имени. Поясним это на примерах. Один и
тот же предмет может иметь множество разных имен
(синонимов). Так, например, знаковые выражения «4»,
«2 + 2», «9 — 5» являются именами одного и того же
предмета: числа 4. Разные выражения, обозначающие
один и тот же предмет, имеют одно то же
значение, но разный смысл (т. е. смысл выражений «4»,
«2 + 2» и «9 — 5» различен).
Приведем другие примеры, разъясняющие, что такое
значение и смысл имени. Такие знаковые выражения, как
«великий русский поэт Александр Сергеевич Пушкин
(1799—1837)», «автор романа в стихах «Евгений Онегин»,
«автор стихотворения, обращенного к Анне Петровне
Керн, «Я помню чудное мгновенье», «поэт, смертельно
раненный на дуэли с Ж. Дантесом», «автор исторической
работы «История Пугачева» (1834)», имеют одно и то же
значение (они обозначают поэта А. С. Пушкина), но
различный смысл.
Такие языковые выражения, как «самое глубокое озеро
мира», «пресноводное озеро в Восточной Сибири на высо¬
те около 455 метров», «озеро, имеющее свыше 300
притоков и единственный исток — реку Ангару», «озеро,
глубина которого 1620 метров», имеют одно и то *же
значение (озеро Байкал), но различный смысл, поскольку
эти языковые выражения представляют озеро Байкал
с помощью различных его свойств, т. е. дают различную
информацию о Байкале.
1 Вместо слова «значение» в логической литературе употребляют
другие (тождественные, синонимические) названия: чаще всего
«денотат», иногда «десигнат», «номинат», или «референт».
19

Соотношение трех понятий: «имя», «значение»,
«смысл»—схематически можно изобразить таким об¬
разом :
Значение — обозначаемый именем
предмет или класс предметов. Иногда это
называют предметным значением.
-Д Смысл — мысли (понятия), характеризующие
Имя — языковое выражение, выделенные свойства предмета. Иногда это
обозначающее предмет. называют смысловым значением.
Рис. 1
Эта схема пригодна, если имя является не только
собственным, т. е. приложимым к одному предмету
(число 4, А. С. Пушкин, Байкал), но и общим
(например, «человек», «озеро»). Тогда вместо единичного
предмета значением имени будет выступать класс однород¬
ных предметов (например, класс озер или класс собак
и т. д.), и схема останется в силе при данном уточнении.
Семантические категории
Выражения (слова и словосочетания) естественного языка,
имеющие какой-либо самостоятельный смысл, можно раз¬
бить на так называемые семантические категории, к кото¬
рым относятся: 1) предложения: повествовательные, по¬
будительные, вопросительные; 2) выражения, играющие
определенную роль в составе предложений: дескриптив¬
ные и логические термины1.
Суждения выражаются в форме повествовательных
предложений (например, «Киев — город», «Корова — мле¬
копитающее»). В этих суждениях субъектами соответ¬
ственно являются «Киев», «корова», а предикатами —
«город», «млекопитающее».
К дескриптивным (описательным) терминам отно¬
сятся :
1. Имена предметов — слова или словосочетания, обоз¬
начающие отдельные (материальные или идеальные)
предметы или классы однородных предметов (например,
«Аристотель», «первый космонавт», «7», «пароход», «кни¬
га», «стихотворение», «засуха», «гвардейский полк» и др.).
В суждении «Енисей — река Сибири» встречаются три
имени предмета: «Енисей», «река», «Сибирь». Имя
1 См.: Войшвилло Е. К. Понятие. М., 1967, с. 9—10.
20

предмета «Енисей» выполняет роль субъекта, а имена
«река» и «Сибирь» входят в предикат («река Сибири»)
как его две составные части.
2. Предикаторы — языковые выражения (слова или
словосочетания), обозначающие свойства или отношения,
наличие которых у соответствующих предметов ут¬
верждается или отрицается в суждениях (например,
«белый», «электропроводный», «быть городом», «меньше»,
«быть числом», «быть планетой» и др.). Предикаторы
бывают одноместные и многоместные. Одноместные
предикаторы обозначают свойства (например, «талант¬
ливый», «горький», «большой»). Многоместные предикато¬
ры обозначают (выражают) отношения. Двухместными
предикаторами являются: «равен», «больше», «мать»,
«помнит» и др. Например, «Площадь земельного участка
А равна площади земельного участка В», «Мария
Васильевна — мать Сережи», «Этот ученик Иванов помнит
стихотворение А. А. Блока «Россия». Пример трех¬
местного предикатора: «между» (например, «Город
Москва расположен между городами Ленинград и Ростов-
на-Дону»).
3. Функциональные знаки — выражения, обозначающие
предметные функции («ctg а», «4-», «]/”» и др.).
Кроме того, в языке встречаются так назы¬
ваемые логические термины (логические постоянные или
логические константы).
В русском языке имеются слова и словосочетания:
«и», «или», «если... то», «эквивалентно», «равносильно»,
«не», «неверно, что», «всякий» («каждый», «все»),
«некоторые», «кроме», «только», «тот... который», «ни...
ни», «хотя... но...», «если и только если» и многие
другие, выражающие логические константы (постоянные).
В символической (или математической) логике в ка¬
честве таких констант обычно используются конъюнкция,
дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, кван¬
торы общности и существования и некоторые другие.
В символической логике логические термины (логи¬
ческие постоянные) выражаются следующим образом.
[Здесь и в дальнейшем под буквами а, ft, с и т. д.
подразумеваются произвольные высказывания (простые
суждения) точнее, они являются переменными для вы¬
сказываний.]
Конъюнкция соответствует союзу «и», обозначается:
а л ft, или а * Ь, или а&Ь (например, «Закончились
лекции (а), и студенты пошли домой (ft)»).
21

Дизъюнкция соответствует союзу «или», обозначается:
a v b (нестрогая дизъюнкция) и a v b (строгая дизъюнк¬
ция); отличие их в том, что при строгой дизъюнкции
сложное суждение истинно только в том случае, когда
истинно одно из составляющих суждений, но не оба,
а при нестрогой дизъюнкции истинными могут быть
одновременно оба суждения. «Он шахматист или фут¬
болист» обозначается как a v Ь. «Сейчас Петров на¬
ходится дома или в институте» обозначается как
a v Ь.
Импликация соответствует союзу «если... то», обозна¬
чается: а-*Ь или а => b (например, «Если будет хорошая
погода, то мы пойдем в лес»).
Эквиваленция соответствует словам «если и только
если», «тогда и только тогда, когда», «эквивалентно»,
обозначается: а = Ь, или а+-+Ь, или а^Ь.
Отрицание соответствует словам «не», «неверно, что»,
обозначается: а9 ~~1а, ~а (например, «падает снег» (я);
«неверно, что падает снег» (а)).
Квантор общности соответствует словам «все» («вся¬
кий», «каждый», «ни один»), обозначается: УхР(х)
(например, «Все красные мухоморы ядовиты»).
Квантор существования соответствует словам «неко¬
торые», «существует», обозначается: ЗхР(х) (например,
«Некоторые люди имеют высшее образование» или «Су¬
ществуют люди, которые имеют высшее образование»).
Выразим в форме схемы разновидности семанти¬
ческих категорий.
22

Примеры
1) определить дескриптивные и логические термины в
суждении: «Все организмы являются одноклеточными
или многоклеточными». В этом суждении дескриптив¬
ными терминами являются: «организм», «многоклеточ¬
ный организм», «одноклеточный организм», а логически¬
ми терминами: «все», «или»;
2) определить, к каким семантическим категориям
относятся следующие выражения: а) листья, упавшие
на землю (дескриптивный термин, имя предмета);
б) листья упали на землю (суждение, выраженное в
форме повествовательного предложения); в) на всякое
погруженное в жидкость тело действует выталкивающая
сила (суждение, выраженное в форме повествователь¬
ного предложения); г) удельный вес меди (дескриптив¬
ный термин, имя предмета); д) вы пойдете сегодня в
библиотеку? (вопросительное предложение, не содержащее
суждения); е) брат Ивана (дескриптивный термин, имя
предмета).
Покажем, каким образом, используя семантические
категории, можно выявлять логическую структуру мыслей.
Ниже приводятся четыре сложных суждения, структуру
которых надо выразить в виде формул, используя
введенные логические термины.
1. Если у меня будет свободное время (а) и я сдам
экзамены по педагогике (Ь) и психологии (с), то я поеду
отдыхать в Крым (d) или на Кавказ (е).
Формула: (а л b л с) -> (d v е).
Здесь буква а обозначает суждение: «У меня будет
свободное время»; буква b — суждение: «Я сдам экзамен
по педагогике»; буква с —суждение: «Я сдам экзамен
по психологии»; буква d — «Я поеду отдыхать в Крым»;
буква е — «Я поеду отдыхать на Кавказ».
2. «Если человек с детства и юности своей не давал
нервам властвовать над собой, то они не привыкнут
раздражаться и будут ему послушны» (К. Д. Ушинсций).
Формула: (а л Б) -> (с л d).
Здесь буква а обозначает суждение: «Человек с детства
давал нервам властвовать над собой». А так как у нас
имеется отрицание («не давал»), то запишем я.
3. «И добродетель стать пороком может, когда ее
неправильно приложат» (В. Шекспир).
Чтобы выявить структуру этого суждения, надо
сначала четко выявить основание и следствие, а для
23

этого данное суждение следует привести к четкой
логической форме: «Если добродетель неправильно при¬
ложат (а), то она может стать пороком (Ь)».
Формула: а-*Ь.
4. «Если ребенок вырастил розу для того, чтобы
любоваться ее красотой, если единственным вознагражде¬
нием за труд стало наслаждение красотой и творение
этой красоты для счастья и радости другого человека,—
он не способен на зло, подлость, цинизм, бессердеч¬
ность» (В. А, Сухомлинский). _ _
Формула: (а д (Ь л с л d)) -> (ё л / л т лп).
Задачи
I. Укажите предметное (денотат) и смысловое (концепт)
значение выражений: космонавт, металл, автор комедии
в стихах «Горе от ума», орденоносец, писатель, участник
Великой Отечественной войны.
II. Определите, к каким семантическим категориям
относятся следующие выражения:
а) собака лает;
б) громко лающая собака;
в) самая высокая горная вершина мира;
г) песня, раздающаяся в ночной тишине;
д) песня раздалась в ночной тишине;
е) исполнительница народных песен;
ж) некоторые фигуры плоские;
з) автоматизированная система управления.
III. Придумайте или найдите в литературе 2 — 3 слож¬
ных суждения, содержащих 5 — 6 простых суждений,
и запишите их структуру при помощи символов.
IV. Выразите в символической форме следующие
сложные суждения:
1. Если я вечером пойду в театр, или в кино, или в
гости, то я не подготовлюсь к семинару, не высплюсь
и буду плохо отвечать.
2. «Если мальчик любит мыло и зубной порошок,
этот мальчик очень милый, поступает хорошо»
(В. Маяковский),
3. «Видеть несправедливость и молчать — это значит
самому участвовать в ней» (Ж. Ж. Руссо).
4. Если вы любите детей, полны жажды познания,
имеете доброе сердце, мечтаете посвятить себя интерес¬
ному творческому труду, то смело выбирайте профес¬
сию учителя.
24

5. «Если больному после разговора с врачом не
становится легче, то это не врач» (В. М. Бехтерев),
6. «Если он (работник Петр. — А, Г.) проходил мимо
работающих... он тотчас же брался помогать — или
пройдет ряда два с косой, или навьет воз, или
срубит дерево, или порубит дров» (Л. Н. Толстой),
7. «...Если слово писателя одушевлено идеей правды,
стремлением к благородному действию на умственную
жизнь общества, это слово заключает в себе семена жизни,
оно никогда не будет мертво» (Я. Г, Чернышевский),
8. «Если верный конь, поранив ногу,
Вдруг споткнулся, а потом опять.
Не вини коня, вини дорогу,
И коня не торопись сменять» (Р, Гамзатов),
9. «Если жизнь тебя обманет,
Не печалься, не сердись!
В день уныния смирись:
День веселья, верь, настанет» (А. С, Пушкин).
Глава II
ПОНЯТИЕ
§ 1. ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ
Понятие — одна из форм абстрактного мышления. Кон¬
кретные предметы и их свойства отражаются с помощью
форм чувственного познания — ощущений, восприятий,
представлений. Например, в данном апельсине мы
ощущаем его свойства — круглый, оранжевый, сладкий,
ароматный. Совокупность этих и других свойств дает
восприятие (конкретный образ единичного предмета)
данного апельсина, при этом мы отражаем как его
существенные свойства, так и несущественные. В понятии
же отражаются лишь существенные признаки предметов.
Признаки — это то, в чем предметы сходны друг
с другом или отличны друг от друга. Свойства* и
отношения являются признаками. Предметы могут быть
тождественными по своим свойствам (например, сахар и
мед сладкие), но могут и отличаться по своим свойст¬
вам (мед сладкий, а полынь горькая).
Признаки бывают существенные и несущественные,
В понятии отражается совокупность существенных
признаков, т. е. таких, каждый из которых, взятый
отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны,
25

чтобы с их помощью можно было отличить данный
предмет от всех остальных.
Признаки бывают отличительные и неотличительные.
Есть признаки, присущие только одному предмету, они
позволяют отличить его от других сходных с ним
предметов. Например, отличительным, единичным призна¬
ком планеты Меркурий является то, что ее орбита
наименее удалена от Солнца (по сравнению с другими
планетами Солнечной системы). Отличительным единич¬
ным признаком Юрия Гагарина является то, что
он — первый в мире космонавт. Существуют и отли¬
чительные общие признаки, которые присущи многим
однородным предметам.
Отличительные признаки класса каких-либо предме¬
тов — это признаки, присущие только предметам, входя¬
щим в данный класс. Например, отличительными
признаками человека являются следующие: способность
создавать средства производства, способность к абстракт¬
ному мышлению и наличие речи.
Неотличительные признаки — это признаки, которые
принадлежат не только данным предметам. Например,
для металлов неотличительными признаками являются
теплопроводность, электропроводность; для львов неот¬
личительными признаками являются принадлежность к
хищным животным^'принадлежность к позвоночным и др.
Как это было видно из примеров, отличительными
и неотличительными признаками могут быть не только
отдельные признаки, но и их совокупности.
Таким образом, понятие — это форма мышления, в
которой отражаются существенные и отличительные
признаки отдельного предмета или класса однородных
предметов.
Языковыми формами выражения понятий являются
слова или «словосочетания (группы слов). Например:
«книга», «лес», «диктатура пролетариата», «пионерский
отряд имени Олега Кошевого», «спортсмен-перворазряд¬
ник». Существуют слова-омонимы, имеющие различное
значение, выражающие различные понятия, но одинаково
звучащие (например, понятие «мир» как объективная
реальность и «мир» как отсутствие войны; слово
«коса» имеет три различных значения и т. д.). Существуют
слова-синонимы, имеющие одинаковое значение, т. е. вы¬
ражающие одно и то же понятие, но различно
звучащие (например, око — глаз, враг — недруг, хворь —
болезнь и т. д.).
26

Основными логическими приемами формирования
понятий являются анализ, синтез, сравнение, абстраги¬
рование, обобщение.
Понятие формируется на основе обобщения сущест¬
венных признаков (т. е. свойств и отношений), присущих
ряду однородных предметов.
Для выделения существенных признаков необходимо
абстрагироваться (отвлечься) от несущественных, кото¬
рых в любом предмете очень много. Этому служит
сравнение, сопоставление предметов. Для выделения
ряда признаков требуется произвести анализ, т. е.
мысленно расчленить целый предмет на его составные
части, элементы, стороны, отдельные признаки, а затем
осуществить обратную операцию — синтез (мысленное
объединение) частей предмета, отдельных признаков,
притом признаков существенных, в единое целое.
Мысленному анализу как приему, используемому при
образовании понятий, часто предшествует анализ практи¬
ческий, т. е. разложение, расчленение предмета на его
составные части. Мысленному синтезу предшествует
практический сбор частей предмета в единое целое, с
учетом правильного взаимного расположения частей
при сборке.
Анализ — мысленное расчленение предметов на их
составные части, мысленное выделение в них признаков.
Синтез — мысленное соединение в единое целое частей
предмета или его признаков, полученных в процессе
анализа.
Сравнение — мысленное установление сходства или
различия предметов по существенным или несуществен¬
ным признакам.
Абстрагирование — мысленное выделение одних при¬
знаков предмета и отвлечение от других. Часто задача
состоит в выделении существенных признаков предметов
и в отвлечении от несущественных, второстепенных.
Обобщение — мысленное объединение отдельных пред¬
метов в некотором понятии1. ♦
Перечисленные выше логические приемы используются
на уроках в школе при формировании новых
понятий 2.
1 Другое значение понятия «обобщение» будет рассмотрено
в § 7 этой главы.
2 Это будет показано в гл. VIII.
27

§ 2. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ
Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержа¬
нием понятия называется совокупность основных су¬
щественных признаков предмета или класса однород¬
ных предметов, отраженных в этом понятии. Содержа¬
нием понятия «ромб» является совокупность двух
существенных признаков: «быть параллелограммом» и
«иметь равные стороны».
Объемом понятия называют класс обобщаемых в нем
предметов. Объективно, т. е. вне сознания человека,
существуют различные предметы, например животные.
Под объемом понятия «животное» подразумевается
множество всех животных, которые существуют сейчас,
существовали ранее и будут существовать в будущем.
Класс (или множество) состоит из отдельных объектов,
которые называются его элементами, В зависимости от
их числа множества делятся на конечные и бесконечные.
Например, множество планет Солнечной системы конечно,
а множество натуральных чисел бесконечно. Множество
(класс) А называется подмножеством (подклассом) мно¬
жества (класса) В, если каждый элемент А является
элементом В, Такое отношение между подмножеством А
и множеством В называется отношением включения
класса А в класс 7? и записывается так: А а В. Это
отношение вида и рода (например, класс «ель» входит
в класс «дерево»).
Отношение принадлежности элемента а классу А
записывается так: аеА (например, а — «Байкал» и Л —
«озеро»).
Классы А и В являются тождественными (совпа¬
дающими), если А с В и В с Л, что записывается как
А = В,
Закон обратного отношения между объемом
и содержанием понятия
Объем одного понятия может входить в объем дру¬
гого понятия и составлять при этом лишь его часть.
Например, объем понятия «моторная лодка» целиком
входит в объем другого, более широкого по объему
понятия «лодка» (составляет часть объема понятия
«лодка»). При этом содержание первого понятия оказы¬
вается шире, богаче (содержит больше признаков), чем
содержание второго. На основе обобщения такого рода
примеров можно сформулировать следующий закон :
28

чем шире объем понятия, тем уже его содержание,
и наоборот. Этот закон называется законом обратного
отношения между объемом и содержанием понятия.
Закон обратного отношения между объемом и содер¬
жанием понятия указывает на то, что чем меньше
информация о предметах, заключенная в понятии, тем
шире класс предметов и неопределеннее его состав
(например, «растение»), и наоборот, чем больше инфор¬
мация в понятии (например, «съедобное растение»
или «съедобное злаковое растение»), тем уже и
определеннее круг предметов. В этом законе речь идет
о понятиях, находящихся в родо-видовых отношениях.
§ 3. виды понятий
Понятия можно классифицировать по объему и по
содержанию. По объему понятия делятся на единичные
и общие.
Объем единичного понятия составляет один элемент
(например, «великий русский писатель Александр Николае¬
вич Островский»; «столица Советского Союза» и др.).
Объем общего понятия включает число элементов,
большее единицы (например, «автомобиль», «портфель»,
«государство» и др.).
Среди общих понятий особо выделяют понятия с
объемом, равным универсальному классу, т. е. классу, в
который входят все предметы, рассматриваемые в данной
области знания или в пределах данных рассуждений
(эти понятия называют универсальными). Например,
натуральные числа — в арифметике; растения — в бо¬
танике; конструктивные объекты — в конструктивной
математике и др.
Кроме общих и единичных понятий по объему
выделяют понятия пустые (с нулевым объемом), т. е.
такие, объем которых представляет пустое множество
(например, «вечный двигатель», «баба Яга», «теплород»,
«человек, проживший 300 лет», «снегурочка», «дед Мороз»,
персонажи сказок, басен и др.). ♦
По содержанию можно выделить следующие четыре
пары понятий.
Конкретные и абстрактные понятия
Конкретными называются понятия, в которых отражены
отдельные предметы или классы предметов (как ма¬
териальные, так и идеальные). К их числу относятся
29

понятия: «дом», «свидетель», «романс», «поэма Владими¬
ра Маяковского «Хорошо!», «землетрясение» и др.
Абстрактными называются те понятия, в которых
мыслится не целый предмет, а какой-либо из признаков
предмета, взятый отдельно от самого предмета (напри¬
мер, «белизна», «несправедливость», «честность»). В дейст¬
вительности существуют белые одежды, несправедливые
войны, честные люди, но «белизна» и «несправед¬
ливость» как отдельные чувственно воспринимаемые
вещи не существуют. Абстрактные понятия кроме от¬
дельных свойств предмета отражают и отношения
между предметами (например, «неравенство», «подобие»,
«тождество», «сходство» и др.).
Относительные и безотносительные понятия
Относительные — такие понятия, в которых мыслятся
предметы, существование одного из которых предполагает
существование другого («дети» — «родители», «ученик» —
«учитель», «начальник» — «подчиненный», «северный
полюс магнита» — «южный полюс магнита», «базис» —
«надстройка»).
Безотносительные — такие понятия, в которых мыслят¬
ся предметы, существующие самостоятельно, вне зависи¬
мости от другого предмета («дом», «человек», «доменная
печь», «деревня»).
Положительные и отрицательные понятия
Положительные понятия характеризуют в предмете
наличие того или иного качества или отношения.
Например, грамотный человек, алчность, отстающий
ученик, красивый поступок, эксплуататор и т. д.1
Если частица «не» или «без» («бес») слилась со
словом и слово без них не употребляется (например,
«ненастье», «невменяемость», «беспечность», «безупреч¬
ность», «ненависть», «неряха»), то понятия, выраженные
1 В логике понятия «эксплуататор» или «алчность» являются
положительными, так как указывают на присущность предмету
(в данных случаях человеку) определенного признака — «быть эксплуа¬
татором», «быть алчным». Логическая характеристика понятия иногда
не совпадает с оценками предметов, отраженных в понятии
(например, с экономической, моральной или другими). Разумеется,
эксплуататор или алчный человек вызывают не положительную,
а резко отрицательную оценку. Понятие «стихийное бедствие»
в логике квалифицируется как положительное, хотя в жизни стихий¬
ное бедствие рассматривается как отрицательное, нежелательное
явление, приносящее людям много горя, разрушений, бед.
30

такими словами, также называются положительными.
В русском языке нет понятий «вменяемость» или
«настье» и частица «не» в приведенных примерах
не выполняет функцию отрицания, а поэтому понятия
«ненастье», «неряха» и другие являются положитель¬
ными, так как они характеризуют наличие у предмета
определенного качества (может быть, даже и плохого —
«неряха», «беспечность»).
Отрицательными называются те понятия, которые
означают, что указанное качество отсутствует в предме¬
тах (например, «неграмотный человек», «некрасивый
поступок», «ненормальный режим», «бескорыстная по¬
мощь»). Эти понятия в языке выражены словом или
словосочетанием, содержащим отрицательную частицу
«не» или «без» («бес»), присоединенную к соответ¬
ствующему положительному понятию и выполняющую
функцию отрицания. Положительное (А) и отрицатель¬
ное (не-Л) являются противоречащими понятиями.
Собирательные и несобирательные понятия
Собирательными называются понятия, в которых группа
однородных предметов мыслится как единое целое
(например, «полк», «стадо», «стая», «созвездие»). Содержа¬
ние собирательного понятия нельзя отнести к каждому
отдельному элементу, входящему в объем этого понятия.
Например, об одном дереве мы не можем сказать, что
это лес; один корабль не является флотом, а один
пионер не составляет пионерский отряд. Собирательные
понятия бывают общими (например, «роща», «студен¬
ческий строительный отряд») и единичными («созвездие
Большая Медведица», «Московская библиотека им.
В. И. Ленина», «экипаж космического корабля, впервые
осуществивший совместный полет»).
Содержание несобирательного понятия можно отнести
к каждому предмету данного класса, мыслимого в
понятии («ручка», «река», «игрушка»). При этом будут
возникать истинные суждения. Например, о каждом
данном растении можно сказать, что оно является расте¬
нием, и это утверждение является истинным.
В суждениях (высказываниях) общие и единичные
понятия могут употребляться как в несобирательном
(разделительном), так и в собирательном смысле. В
суждении «Студенты этой группы успешно сдали экзамен
по педагогике» понятие «студент этой группы» является
31

общим и употребляется в разделительном (несобира¬
тельном) смысле, так как утверждение об успешной
сдаче экзамена по педагогике относится к каждому
студенту этой группы. В суждении «Студенты этой
группы провели комсомольское собрание» понятие
«студенты этой группы» употреблено в собирательном
смысле, так как студенты этой группы взяты как
единый коллектив и это понятие является единичным,
ибо данная совокупность студентов (именно этой группы)
одна, другого такого коллектива нет.
В целях пояснения приведем следующие примеры.
Дать логическую характеристику понятиям «коллек¬
тив», «недобросовестность», «стихотворение».
«Коллектив» — общее, конкретное, безотносительное,
положительное, собирательное.
«Недобросовестность» — общее, абстрактное, безот¬
носительное, отрицательное, несобирательное.
«Стихотворение» — общее, конкретное, безотноситель¬
ное, положительное, несобирательное.
§ 4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ
Предметы мира находятся друг с другом во взаимо¬
связи и взаимообусловленности. Поэтому и понятия,
отражающие предметы мира, также находятся в опре¬
деленных отношениях. Связь между двумя понятиями
по содержанию может быть весьма далекой. Эта связь
может выражаться только в том, что оба понятия
отражают какие-то предметы или свойства предметов
мира (например, «безответственность» и «нитка»; «романс»
и «кирпич»). Такого рода далекие друг от друга по
своему содержанию понятия, не имеющие общих
признаков, называются несравнимыми, остальные понятия
называются сравнимыми.
Сравнимые понятия делятся по объему на сов¬
местимые (объемы этих понятий совпадают полностью
или частично) и несовместимые (объемы которых не
совпадают ни в одном элементе).
Типы совместимости: равнозначность (тождество),
перекрещивание, подчинение (отношение рода и вида)
Отношения между понятиями изображают с помощью
круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг
обозначает объем понятия. Если понятие единичное, то
оно также изображается кругом.
32

СРАВНИМЫЕ ПОНЯТИЯ
2 А. Д. Гетманова

• Равнозначными или тождественными называются
понятия, которые различаются по своему содержанию,
но объемы которых совпадают, т. е. в них мыслится
или один и тот же класс, состоящий из одного
элемента, или один и тот же класс предметов,
состоящий более чем из одного элемента. Примеры
равнозначных понятий: 1) «Волга»; «самая длинная река
в Европе»; 2) «А. П. Чехов»; «автор комедии
«Вишневый сад»; 3) «равносторонний прямоугольник»;
«квадрат»; «равноугольный ромб». Объемы тождествен¬
ных понятий изображаются кругами, полностью совпа¬
дающими.
Понятия, объемы которых частично совпадают, т. е.
содержат общие элементы, находятся в отношении
перекрещивания. Примерами их являются следующие
пары: «колхозник» и «орденоносец»; «школьник» и «фи¬
лателист»; «спортсмен» и «студент». Они изображаются
пересекающимися кругами (см. схему 2). В заштрихо¬
ванной части двух кругов мыслятся студенты, являю¬
щиеся спортсменами, или (что одно и то же) спортсме¬
ны, являющиеся студентами, в левой части круга А
мыслятся студенты, не являющиеся спортсменами. В
правой части круга В мыслятся спортсмены, которые не
являются студентами.
Отношение подчинения (субординации) характеризует¬
ся тем, что объем одного понятия целиком вклю¬
чается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпы¬
вает его. Это отношение вида и рода; А - подчиняю¬
щее понятие («млекопитающее»), В — подчиненное понятие
(«кошка»).
Типы несовместимости: соподчинение,
противоположность, противоречие
Соподчинение (координация) — это отношение между
объемами двух или нескольких понятий, исключающих
друг друга, но принадлежащих некоторому, более общему
родовому понятию (например, «ель», «береза», «сосна»
принадлежат объему понятия «дерево»). Они изображают¬
ся отдельными неперекрещивающимися кругами внутри
более обширного круга. Это виды одного и того же
рода.
В отношении противоположности (контрарности)
находятся объемы таких двух понятий, которые являются
видами одного и того же рода, и притом одно из
34

них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки
не только отрицает, но и заменяет их друуши,
исключающими (т. е. противоположными признаками).
Слова, выражающие противоположные понятия, являют¬
ся антонимами. Антонимы широко используются в
школьном обучении. Примеры противоположных поня¬
тий: «храбрость» — «трусость»; «белая краска» — «черная
краска». Объемы этих двух понятий разделены объемом
некоторого третьего понятия, куда, например, входит
«зеленая краска».
В отношении противоречия (контрадикторности)
находятся такие два понятия, которые являются видами
одного и того же рода, и при этом одно понятие
указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки
отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими
признаками. Если одно понятие обозначить А (напри¬
мер, «высокий дом»), то другое понятие, находящееся
с ним в отношении противоречия, следует обозначить не-А
(т. е. «невысокий дом»). Круг Эйлера, выражающий объем
таких понятий, делится на две части (А и не-Л), и
между ними не существует третьего понятия. Например,
бумага может быть либо белой, либо небелой; человек
бывает честным или нечестным; животное — млекопитаю¬
щим или немлекопитающим и т. д. Понятие А является
положительным, а понятие не-А — отрицательным.
Понятия А и не-А также являются антонимами.
Примеры. Определить отношения между следующими
понятиями; изобразить эти отношения кругами Эйлера.
1. Дом, недостроенный дом, 2. Спортсмен, рабочий,
каменный дом, строение. орденоносец.
35

Путем номинальных определений вводятся и знаки,
заменяющие термины. Например, «Конъюнкция обозна¬
чается знаками л или &», «С —скорость света», «Тан¬
генс угла а обозначается как tga» и т. д.
В номинальном определении часто раскрывается и
этимология того или иного термина. Например,
«Термин «философия» происходит от греческих слов
«филео» — люблю, и «София» — мудрость, что означает
любовь к мудрости (или, как говорили раньше на
Руси, любомудрие)».
Для номинальных определений характерно присут¬
ствие в их составе слова «называют(ся)». Номинальные
определения часто встречаются в учебниках по мате¬
матике для средней школы. Так, в курсе геометрии
встречаются следующие номинальные определения:
«Конус называется круговым, если основание его —
круг» или «Круглый конус называют конусом вращения».
Определения делятся на явные и неявные. Явные
определения — это такие, в которых даны Dfd и Dfn
и между ними устанавливается некоторое отношение
равенства, эквивалентности. Самое распространенное яв¬
ное определение — определение через ближайший род и
видовое отличие. В нем устанавливаются существенные
признаки определяемого предмета.
Примеры. 1. «Правильный многоугольник — много¬
угольник, у которого все стороны конгруэнтны и все
углы равны».
2. «Психрометр — прибор для измерения температуры
и влажности воздуха».
3. «Гротеск — один из способов сатирического изобра¬
жения жизни, отличающийся резким преувеличением,
сочетанием реального и фантастического».
Признак, указывающий на тот круг предметов, из
числа которых нужно выделить определяемое множество
предметов, называется родовым признаком или родом.
В приведенных примерах родовыми являются понятия
«многоугольник», «прибор», «способ сатирического
изображения жизни».
Признаки, при помощи которых выделяется опреде¬
ляемое множество предметов из числа предметов,
соответствующих родовому понятию, называются видовым
отличием. При определении понятия видовых признаков
(отличий) может быть один или несколько.
К явным определениям понятий относятся и генети¬
ческие определения. Они часто встречаются в школьных
37

учебниках. Генетическим называется определение пред¬
мета путем указания на способ, которым образуется
’только данный предмет и никакой другой (это его
видовое отличие). Генетическое определение является
разновидностью определения через род и видовое отли¬
чие.
Приведем несколько примеров генетических определений из
области математики и химии. 1. Круглый конус может быть
получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного
из катетов. 2. Шар — это геометрическое тело, образованное вра¬
щением полукруга (или круга) вокруг своего диаметра. 3. Кислотами
называются сложные вещества, образующиеся из кислотных остатков
и атомов водорода, способных замещаться дтомами металлов или
обмениваться на них. 4. Коррозия металлов — это окислительно-
восстановительный процесс, образующийся в результате окисления
атомов металла и перехода их в ионы.
Использование определений понятий
в процессе обучения
Определение через род и видовое отличие и номинальное
определение широко используются в процессе обучения.
Приведем ряд примеров, взятых из школьных учеб¬
ников. К определениям через ближайший род и видовое
отличие можно отйести следующие: «Высшая нервная
деятельность — это совокупность множества взаимо¬
связанных нервных процессов, протекающих в коре голов¬
ного мозга»; «Наследственностью называют общее
свойство всех организмов сохранять и передавать
признаки строения и функций от предков к потомству».
В учебниках по неорганической химии содержится
много номинальных определений понятий, например:
«Удержание углем и другими твердыми веществами
на своей поверхности частиц газа или растворенного
вещества называется адсорбцией». В учебниках физики
меньше реальных определений через род и видовое
отличие и больше номинальных, например: «Темпера¬
туру, при которой вещество плавится, называют темпе¬
ратурой плавления вещества». В учебнике физики для
7-го класса даны номинальные определения следующим
понятиям: «теплопередача», «температура отвердевания
(или кристаллизации)», «удельная теплота плавления»,
«испарение», «конденсация», «температура кипения»,
«удельная теплота парообразования», «сила тока»,
«электрическая сила» и многим другим. Имеются там
38

и реальные определения. В учебниках географии,
наоборот, преимущественное место занимают реальные
определения через род и видовое отличие. Например,
«Минерал — природное образование (тело), однородное
по химическому составу и физическим свойствам».
Много определений в учебниках математики, русского
языка, истории, обществоведения, литературы и других.
Определение понятий — один из важных и распро¬
страненных способов передачи информации в концентри¬
рованном виде.
В средней школе учащиеся усваивают содержание
многих понятий и дают их определение. Среди них
такие понятия, как «советский патриотизм», «пролетар¬
ский интернационализм», «непримиримость к буржуазной
идеологии» и др.
Учитель, овладевая методикой преподавания своего
предмета, должен в первую очередь организовать работу с
основными, опорными понятиями и законами, уметь вы¬
делить главное в обучении. Повышению теоретического
уровня преподавания способствует четкое выделение
основных понятий.
В преподавании истории, обществоведения, основ
Советского государства и права должна проводиться
целенаправленная работа по формированию основных и
опорных понятий; надо не только отрабатывать признаки
понятий, но и органично увязывать их содержание с
современностью, с практикой коммунистического строи¬
тельства, в противном случае может возникнуть фор¬
мализм в знаниях учащихся х. Предстоит уделить больше
внимания разработке содержания и методике формиро¬
вания таких понятий, как «класс» и «сословие». При
изучении истории вызывает затруднение усвоение опреде¬
лений и таких понятий, как «ранняя буржуазная рево¬
люция» и «абсолютная монархия»1 2.
Четкое определение понятия «культура» поможет
устранить недостаток в знаниях учащихся, состоящий
в том, что они «редко относят развитие орудий труда,
техники к достижениям культуры, ограничивая свои
представления памятниками зодчества, скульптуры, кни¬
гопечатания, прикладного искусства»3, т. е. недостаточно
1 См.: Анализ знаний, умений и навыков учащихся школ
г. Москвы (1981/82 учебный год). M., 1983, ч. I, с. 67.
2 См. там же, с. 72.
3 Анализ знаний, умений и навыков учащихся школ г. Москвы
(1981/82 учебный год), ч. I, с. 75.
39

глубоко изучают достижения материальной культуры.
Соответственно двум основным видам производства —
материального и духовного — культуру принято делить на
материальную и духовную, поэтому учителя должны
более четко раскрывать содержание понятий «материаль¬
ная культура» и «духовная культура» и на их базе
формировать более общее понятие «культура».
В целом перед учителями стоят такие задачи: доби¬
ваться от учащихся глубокого усвоения основных понятий
курса, выработки цельной системы раскрытия важнейших
понятий школьных предметов, поэтапного расширения их
объема и усложнения их структуры. Таков путь усвоения
основных, опорных понятий, изучаемых в школьных
курсах.
Правила явного определения.
Ошибки, возможные
в определении
1. Определение должно быть соразмерным, т. е. объем
определяющего понятия должен быть равен объему
определяемого понятия. Dfd = Dfn. Это правило часто
нарушается, в результате чего возникают логические
ошибки в определении. Типы этих логических ошибок:
а) Широкое определение, когда Dfd<Dfn. Такая
ошибка содержится в следующих определениях: «Грави¬
тация — это взаимодействие двух материальных тел».
«Лошадь — млекопитающее и позвоночное животное».
(Здесь понятие «лошадь» нельзя отличить от понятий
«корова» или «коза».) Понятие «окружность» неправильно
определяется так: «Это фигура, которая описывается
движущимся концом отрезка, когда другой его конец
закреплен, или фигура, которая образована движущимся
концом циркуля». С помощью этого определения нельзя
отличить понятие «окружность» от понятия «дуга»,
так как не указано, что окружность — это кривая
замкнутая линия.
б) Узкое определение, когда Dfd>Dfn. Например,
«Совесть — это осознание человеком ответственности
перед самим собой за свои действия и поступки»
(а перед обществом?). «Производительными силами
называются орудия труда, а также и сами люди с их
умениями и приемами труда». (В производительные
силы входят все средства производства, а не только
орудия труда.)
40

в) Определение в одном отношении широкое, в другом —
узкое. В этих неправильных определениях Dfd > Dfn и
Dfd < Dfn (в разных отношениях). Например, «Боч¬
ка — сосуд для хранения жидкостей». С одной сто¬
роны, это широкое определение, так как сосудом
для хранения жидкостей может быть и чайник, и
ведро и т. д.; с другой стороны, это узкое определение,
так как бочка пригодна для хранения и твердых тел,
а не только жидкостей. Аналогичная ошибка содержится
в определении понятия «учитель»: «Учитель — человек,
обучающий детей».
2. Определение не должно содержать круга. Круг
возникает тогда, когда Dfd определяется через Dfn,
a Dfn был определен через Dfd. В определении
«Вращение есть движение вокруг своей оси» будет до¬
пущен круг, если до этого понятие «ось» было определено
через понятие «вращение» («ось — это прямая, вокруг
которой происходит вращение»).
Круг возникает и тогда, когда определяемое понятие
характеризуется через него же, лишь выраженное иными
словами, или когда определяемое понятие включается в
определяющее понятие в качестве его части. Такие
определения носят название тавтологий.
В. И. Ленин, выявив эту логическую ошибку у
буржуазного идеолога Струве, который дал неверное
определение понятия «хозяйство», писал: «Хозяйство
определяется через хозяйствование! Масляное масло...»1
Тавтологичны такие определения: «Халатность заклю¬
чается в том, что человек халатно относится к своим
обязанностям»; «Количество — это характеристика пред¬
мета с его количественной стороны».
Логически некорректным является употребление в
мышлении (и в речи) тавтологий, таких, например,
как масляное масло, трудоемкий труд, порученное
поручение, прогрессирующий прогресс, заданная задача,
изобрету изобретение, поиграем в игру, памятный
сувенир, подытожим итоги и др. Иногда можно встре¬
тить выражения вида: «Закон есть закон», «Жизнь
есть жизнь» и т. д., которые представляют собой прием
усиления, а не сообщения в предикате какой-то
информации о субъекте, так как субъект и предикат
тождественны.
1 Ленин В. И. Поли. собр. сон., т. 25, с. 42.
41

3. Определение должно быть четким, ясным. Это
правило означает, что смысл и объем понятий,
входящих в Dfn, должен быть ясным и определенным.
Определения понятий должны быть свободными от
двусмысленности; не допускается подмена их метафорами,
сравнениями и т. д.
Не будут определениями следующие суждения: «Архи¬
тектура — застывшая музыка», «Лев — царь зверей»,
«Верблюд — корабль пустыни», «Такт — это разум сердца»
(К. Гуцков), «Неблагодарность — род слабости» (И. В. Гё¬
те).
Неявные определения.
В отличие от явных определений, имеющих струк¬
туру Dfd==Dfn, в неявных определениях место Dfn
занимает контекст, или набор аксиом, или описание
способа построения определяемого объекта.
Контекстуальное определение позволяет выяснить
содержание незнакомого слова, выражающего понятие,
через контекст, не прибегая к словарю для перевода,
если текст дан на иностранном языке, или к тол¬
ковому словарю, если текст дан на родном языке.
Значения неизвестных в уравнениях даны в неявном
виде. Если дано уравнение первой степени, например
10 — у = 3, или дано квадратное уравнение, например
х2 — 1х + 12 = 0, то, решая их и находя значение корней
этих уравнений, мы даем явное определение для у
(у = 7) и для х (xi = 4 и х2 = 3).
Индуктивные определения характеризуются тем, что
определяемый термин используется в выражении по¬
нятия, которое ему приписывается в качестве его смысла.
Примером индуктивного определения является опреде¬
ление понятия «натуральное число» с использованием
самого термина «натуральное число»:
1.1— натуральное число.
2. Если п — натуральное число, то п + 1 — натуральное
число.
3. Никаких натуральных чисел, кроме указанных в
пунктах 1 и 2, нет.
С помощью этого индуктивного определения получа¬
ется натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4 ... Таков алго¬
ритм построения ряда натуральных чисел.
Определение через аксиомы
В современной математике и в математической логике
широко применяется так называемый аксиоматический
42

метод. Приведем пример1. Пусть дана система каких-то
элементов (обозначаемых х, у, z...), и между ними
установлено отношение, выражаемое термином «пред¬
шествует». Не определяя ни самих объектов, ни отноше¬
ния «предшествует», мы высказываем для них следую¬
щие утверждения (т. е. следующие две аксиомы):
1. Никакой объект не предшествует сам себе.
2. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х
предшествует z.
Так с помощью двух аксиом определены системы
объектов вида «х предшествует у». Например, пусть
объектами х, у.,, являются люди, а отношение между
х и у представляет собой «х старше у». Тогда выпол¬
няются утверждения 1 и 2. Если объекты х, у, z —
действительные числа, а отношение «х предшествует у»
представляет собой «х меньше у», то утверждения 1 и 2
также выполняются. Утверждения (т. е. аксиомы) 1 и 2
определяют системы объектов с одним отношением.
Приемы, сходные с определением понятий
Всем понятиям определение дать невозможно (к тому
же в этом нет необходимости), поэтому в науке и в
процессе обучения используются другие способы введения
понятий — приемы, сходные с определением: описание, ха¬
рактеристика, разъяснение посредством примера и др.
Описание состоит в перечислении внешних черт пред¬
мета с целью нестрогого отличения его от сходных с ним
предметов. Описание дает чувственно-наглядный образ
предмета, который человек может составить с помощью
творческого или воспроизводящего представления. Описа¬
ние включает как существенные, так и несущественные
признаки.
Описания широко применяются в различных жанрах
художественной литературы (например, описание внеш¬
ности Анны Карениной, описание внешнего облика
Плюшкина, Собакевича и других литературных геррев,
описание пейзажей, деревьев, птиц и т. д.), в истори¬
ческой литературе (описание Куликовской битвы, описа¬
ние обликов военачальников, царей и других личностей),
описание внешнего вида машин, в том числе ЭВМ, опи¬
сание конструкций различных предметов (например, зам¬
1 См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973.
43

ков, электрохолодильников, электронагревательных при¬
боров и др.).
При розыске преступников дается описание их внеш¬
ности, и в первую очередь особых примет, чтобы люди
могли их опознать и сообщить об их месте нахождения.
Характеристика дает перечисление лишь некоторых
внутренних, существенных свойств человека, явления,
предмета, а не его внешнего вида, как это делается
с помощью описания.
А. М. Горький в своих воспоминаниях о В. И. Ле¬
нине дает яркие, блестящие по глубине мысли и лите¬
ратурной форме характеристики В. И. Ленина: «Писать
его портрет — трудно. Ленин, внешне, весь в словах, как
рыба в чешуе. Был он прост и прям, как все, что го¬
ворилось им.
Героизм его почти совершенно лишен внешнего блес¬
ка, его героизм — это нередкое в России скромное, аске¬
тическое подвижничество честного русского интеллиген¬
та-революционера, непоколебимо убежденного в возмож¬
ности на земле социальной справедливости, героизм че¬
ловека, который отказался от всех радостей мира ради
тяжелой работы для счастья людей... Проницателен и
мудр был этот человек...»1
Иногда характеристика дается путем указания одного
признака. К. Маркс называл Аристотеля «величайшим
мыслителем древности», а Луначарский характеризовал
Клима Самгина (из романа М. Горького) как «микро¬
скопическую индивидуальность на больших каблуках са¬
момнения». К. Д. Ушинский писал: «Леность — это от¬
вращение человека от усилий».
Характеристика литературных героев дается путем
перечисления их деловых качеств, моральных, обществен¬
но-политических взглядов, а также соответствующих дей¬
ствий, черт характера и темперамента, целей, которые
они ставят перед собой. Характеристика этих персона¬
жей позволяет четко, метко подметить типичные черты
того или иного собирательного образа.
Вот, например, яркая характеристика Хлестакова из комедии
Н. В. Гоголя «Ревизор»: «Молодой человек лет двадцати трех, то¬
ненький, худенький; несколько приглуповат и, как говорят, без царя
в голове, — один из тех людей, которых в канцеляриях называют
пустейшими. Говорит и действует без всякого соображения. Он не в
состоянии остановить постоянного внимания на какой-нибудь мысли.
1 Горький М. В. И. Ленин. М., 1981, с. 5 — 6.
44

Речь его отрывиста, и слова вылетают из уст его совершенно не¬
ожиданно»
Часто применяется сочетание описания и характерис¬
тики.
Сочетание описания и характеристики часто исполь¬
зуется на уроках биологии, географии, истории, общест¬
воведения и других.
Разъяснение посредством примера используется тогда,
когда легче привести пример или примеры, иллюстриру¬
ющие данное понятие, чем дать его строгое определе¬
ние через род и видовое отличие.
В отдельных случаях (например, в документах) неко¬
торые понятия поясняются примерами. Так, например,
в документе «Комментарий к ГК РСФСР» через приме¬
ры поясняется, что представляют собой надстройка, при¬
стройка и перестройка дома. Мы читаем: «Производство
надстройки (например, возведение второго этажа в одно¬
этажном доме), пристройки (например, строительство
террасы или присоединение нового помещения к сущест¬
вующему дому) или перестройки (например, переоборудо¬
вание дома без изменения его размеров) связано с осуще¬
ствлением правомочий сособственника в отношении
дома»1 2. Это не определение понятий «надстройка», «при¬
стройка», «перестройка», а разъяснение путем указания
одного или двух примеров.
Разъяснением путем примера учитель часто пользует¬
ся в начальной школе. Давая учащимся понятие «полез¬
ное ископаемое», учитель перечисляет его виды (приме¬
ры): нефть, каменный уголь, металлы и др. Разъяснение
посредством примера используется и в средней школе.
В некоторых пособиях по логике вместо термина
«разъяснение посредством примера» употребляется тер¬
мин «указание». Разновидностью этого приема являют¬
ся остенсивные определения, к которым часто прибегают
при обучении иностранному языку, когда называют и по¬
казывают предмет (или картинку с его изображением).
Так же иногда поступают при разъяснении непонятых
слов родного языка.
Другим приемом, заменяющим определение понятий,
является сравнение. К сравнению прибегают как на уров¬
не научного познания, так и на уровне художественного
отображения действительности.
1 Гоголь Н. В. Ревизор. — Собр. соч. М., 1952, т. 4, с. 9.
2 Комментарий к ГК РСФСР. М., 1970, с. 184.
45

В науке сравнение позволяет выяснить сходства и раз¬
личия сопоставляемых предметов. В учебнике по биоло¬
гии приводятся такие сравнения: «Тело медузы студенис¬
тое, похожее на зонтик»; «Почки — небольшие парные
органы, имеющие форму бобов»; «Цветок гороха напо¬
минает сидящего мотылька»; «Завязи пестиков шиповни¬
ка скрыты в разросшемся цветоложе, похожем на бокал».
Во всех приведенных сравнениях общим признаком (осно¬
ванием сравнения) является форма.
Сравнение на уровне художественного отображения
действительности позволяет подметить общее, сходное в
двух предметах, и в яркой форме, образно выразить
это сходство. А. А. Блок в поэме «Двенадцать» исполь¬
зует такие сравнения:
Стоит буржуй, как пес голодный,
Стоит безмолвный, как вопрос.
И старый мир, как пес безродный,
Стоит за ним, поджавши хвост.
М. Горький использует такое сравнение: «Грубость —
такое же уродство, как горб».
В. В. Маяковский («Стихи о советском паспорте»)
часто использует художественные сравнения.
И вдруг,
как будто ожогом,
рот
скривило
господину.
Это
господин чиновник
берет
мою
краснокожую паспортину.
Берет —
как бомбу,
берет —
как ежа,
как бритву
обоюдоострую,
берет,
как гремучую
в 20 жал
змею
двухметроворостую.
46

Художественные сравнения часто включают в свой
состав слова: «как», «как будто», «словно» и др.
Различение есть прием, позволяющий установить от¬
личие данного предмета от сходных с ним предметов.
Например, «Истерия — не болезнь, а характер: главная
черта этого характера — самовнушаемость» (П. Дюбуа).
Значение определений в науке и в рассуждении
Кроме учета формально-логических требований при опре¬
делении понятия надо учитывать и методологические
требования к определению, в первую очередь те, о ко¬
торых В. И. Ленин писал в работе «Еще раз о проф¬
союзах, о текущем моменте и об ошибках тт. Троцкого
и Бухарина». Определение понятия можно сформулиро¬
вать после всестороннего изучения предмета, и хотя мы
никогда не достигнем этого целиком, всесторонность
предостережет нас от ошибок и омертвления; необходимо
изучение предмета не в статике, а в динамике, в раз¬
витии; необходим учет критерия практики и принципа
конкретности истины. В. И. Ленин писал, что исследова¬
ние есть конкретный анализ конкретной ситуации. В своих
теоретических работах и в практике строительства социа¬
лизма В. И. Ленин творчески применял диалектическую
логику. Ленинское определение понятий «материя», «им¬
периализм», «класс», «ощущение» и других есть резуль¬
тат научного обобщения. Относительно роли понятий в по¬
знании В. И. Ленин отмечал: «...так уже самое простое
обобщение, первое и простейшее образование понятий...
означает познание человека все более и более глубокой
объективной связи мира»1.
В. И. Ленин предостерегал против смешения понятий,
недопустимости использования расплывчатых неясных
формулировок. Анализируя ошибочность употребления
К. Каутским понятия «империализм», В. И. Ленин пи¬
сал: «Запретить употреблять «слово» империализм так
или иначе невозможно. Но надо выяснить точно понятия,
если хотеть вести дискуссию»2.
Методология ленинского подхода к определению по¬
нятий служит образцом научного, глубоко партийного
подхода к анализу современного развитого социалисти¬
ческого общества. С учетом этих методологических тре¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 161.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 30, с. 93.
47

бований строится вся научная терминология; и логика
должна помочь ученым, представителям частных наук, в
систематизации научных терминов.
Методологические требования к определению понятий
и формально-логические правила определения, применен¬
ные в единстве с конкретными знаниями, способствуют
более четкому определению понятий, которыми опериру¬
ют в общественных, естественных, технических науках
и в повседневной практике.
Уточнение понятий, правильное раскрытие их содер¬
жания и объема имеет важное значение не только в
создании научной терминологии, но и при уточнении
смысла слов в обыденных рассуждениях.
Роль определений понятий в науке связана с тем,
что определения, выражая наши знания о предметах
мира, являются существенным моментом в познании ми¬
ра. В каждой науке всем основным понятиям даются
определения.
В правовых науках точное определение таких понятий,
как «взятка», «спекуляция», «необходимая оборона»,
«преступление», «юридическая ответственность», и мно¬
гих других имеет важное практическое значение.
Относительно роли определения понятия (дефиниции)
Ф. Энгельс писал: «...краткое указание наиболее общих
и в то же время наиболее характерных отличительных
признаков в так называемой дефиниции часто бывает
полезно и даже необходимо, да оно и не может вредить,
если только от дефиниции не требуют, чтобы она дава¬
ла больше того, что она в состоянии выразить»1.
§ 6. ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ
Деление — это логическое действие, посредством которого
объем делимого понятия (множество) распределяется на
ряд подмножеств с помощью избранного основания де¬
ления. Например, слоги делятся на ударные и безудар¬
ные; органы чувств делят на органы зрения, слуха, обо¬
няния, осязания и вкуса. Если с помощью определения
понятия раскрывается его содержание, то с помощью
деления понятия раскрывается его объем.
Признак, по которому производится деление объема
понятия, называется основанием деления. Подмножества,
на которые разделен объем понятия, называются членами
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 635.
48

деления. Делимое понятие — это родовое, а его члены
деления — это виды данного рода, соподчиненные между
собой, т. е. не пересекающиеся по своему объему (не
имеющие общих членов). Приведем примеры деления по¬
нятий. В зависимости от источника энергии электростан¬
ции делят на ГЭС, гелиоэлектростанции, геотермальные
и ветровые ТЭС (к разновидностям ТЭС относят АЭС)1.
Объем понятия можно делить по различным основа¬
ниям деления в зависимости от цели деления, от прак¬
тических задач. Но при каждом делении на некотором
его уровне должно браться лишь одно основание. Так, на¬
пример, мышцы в зависимости от места их расположе¬
ния делят на мышцы головы, шеи, туловища, мышцы
верхних конечностей и мышцы нижних конечностей.
Мышцы делят по их форме и функции. В зависимости
от формы мышцы делят на широкие, длинные, корот¬
кие, круговые. По функции различают мышцы — сгиба¬
тели, разгибатели, приводящие и отводящие мышцы, а
также мышцы, вращающие внутрь и наружу.
Правила деления понятий
Чтобы деление было правильным, необходимо соблю¬
дать следующие правила.
1. Соразмерность деления: объем делимого понятия
должен быть равен сумме объемов членов деления. На¬
пример, высшие растения делятся на травы, кустарники
и деревья. Электрический ток делится на постоянный и
переменный. Если членов деления десятки, а то и сотни,
то для того, чтобы соблюсти правило соразмерности,
можно употреблять слова: «и другие», «и так далее»
или аналогичные им. Например, на вопрос: «Люди ка¬
ких наций и народностей проживают в СССР?» можно
ответить так: «В СССР проживают русские, украинцы,
белорусы, грузины, армяне, таджики, узбеки, литовцы,
эстонцы, марийцы, якуты, ненцы, саами, чеченцы и люди
других наций и народностей». <
Нарушение этого правила ведет к ошибкам двух
видов:
а) неполное деление, когда перечисляются не все виды
данного родового понятия. Ошибочными будут такие де¬
ления : «Энергия делится на механическую и химическую»
(здесь нет, например, указания на электрическую энер¬
1 См.: Советский энциклопедический словарь. М., 1983, с. 1539.
49

гию, атомную энергию). «Арифметические действия де¬
лятся на сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень» (не указано «извлечение корня»);
б) деление с лишними членами. Пример этого оши¬
бочного деления: «Химические элементы делятся на ме¬
таллы, неметаллы и сплавы». Здесь лишний член («спла¬
вы»), а сумма объемов понятий «металл» и «неметалл»
исчерпывает объем понятия «химический элемент».
2. Деление должно проводиться только по одному осно¬
ванию. Это означает, что нельзя брать два или большее
число признаков, по которым бы производилось деление.
Если будет нарушено это правило, то произойдет
перекрещивание объемов понятий, которые появились
в результате деления. Правильные деления: «Волны де¬
лятся на продольные и поперечные». «В промышленнос¬
ти получение стали осуществляется тремя способами:
кислородно-конверторным, мартеновским и в электро¬
печах». Неправильным является такое деление: «Транс¬
порт делится на наземный, водный, воздушный, транс¬
порт общего пользования, транспорт личного пользова¬
ния»,— ибо допущена ошибка «подмена основания», т. е.
деление произведено не по одному основанию. Сначала
в качестве основания деления берется вид среды, в кото¬
рой осуществляются перевозки, а затем за основание де¬
ления берется назначение транспорта.
3. Члены деления должны исключать друг друга, т. е.
не иметь общих элементов, быть соподчиненными по¬
нятиями, объемы которых не пересекаются.
Это правило тесно связано с предыдущим, так как
если деление осуществляется не по одному основанию,
то члены деления не будут исключать друг друга.
Примеры ошибочных делений: «Дроби бывают десятич¬
ными, правильными, неправильными, периодическими,
непериодическими»; «Войны бывают справедливыми, не¬
справедливыми, освободительными, захватническими, ми¬
ровыми»; «Треугольники бывают прямоугольными, тупо¬
угольными, остроугольными, равнобедренными, подоб¬
ными». В этих примерах члены деления не исключают
друг друга. Это следствие допущенной ошибки смеше¬
ния различных оснований деления.
4. Деление должно быть непрерывным, т. е. нельзя
делать скачки в делении. Будет допущена ошибка, если
мы скажем: «Сказуемые делятся на простые, на состав¬
ные глагольные и составные именные». Правильным бу¬
дет сначала разделить сказуемые на простые и состав¬
50

ные, а затем уже составные сказуемые разделить на
составные глагольные и составные именные.
Будет допущена ошибка, если мы разделим удобрения
на органические, азотные, фосфорные и калийные. Пра¬
вильным будет сначала разделить удобрения на органи¬
ческие и минеральные, а затем уже минеральные удоб¬
рения разделить на азотные, фосфорные и калийные.
Виды деления: по видоизменению признака
и дихотомическое деление
При делении понятия по видоизменению признака осно¬
ванием деления является тот признак, по которому об¬
разуются видовые понятия; этот признак является видо¬
образующим. Например, по величине угла углы делятся
на прямые, острые, тупые. Примеры деления по видо¬
изменению признака: «Ядерные взрывы бывают воздуш¬
ными, наземными, подводными, подземными» (в зави¬
симости от вида среды, где произошел взрыв). «В за¬
висимости от масштаба карты подразделяются на крупно¬
масштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные».
Можно привести и другие примеры из школьных
учебников, что свидетельствует о широком применении
этой важной логической операции.
Дихотомическое (двучленное) деление
Объем делимого понятия делится на два противореча¬
щих понятия: А и не-Л. Примеры: «Организмы делят¬
ся на одноклеточные и многоклеточные (т. е. неоднокле¬
точные)» ; «Вещества делятся на органические и неоргани¬
ческие» ;«Радиоактивность делится на естественную и ис¬
кусственную (неестественную)»; «Общества делятся на
классовые и бесклассовые».
Иногда понятие не-А снова делится на два противоре¬
чащих понятия В и не-В, затем не-В делится на С и
не-С и т. д.
Пример дихотомического деления.
51

Дихотомическое деление удобно по следующим при¬
чинам: оно всегда соразмерно; члены деления исключа¬
ют друг друга, так как каждый объект делимого мно¬
жества попадает в класс А или не-А; деление проводится
только по одному основанию. Поэтому дихотомическое
деление очень распространено. Однако нельзя думать,
что оно применимо всегда, во всех случаях.
Операция деления понятия применяется тогда, когда
надо установить, из каких видов состоит родовое поня¬
тие. От деления следует отличать мысленное расчленение
целого на части. Например, «Дом делится (расчленяется)
на комнаты, коридоры, крышу, крыльцо». Части целого
не являются видами рода, т. е. делимого понятия. Мы
не можем сказать: «Комната есть дом», а можем ска¬
зать: «Комната есть часть дома».
В школьной практике, в учебниках прием расчленения
целого на части широко используется. Он применяется
тогда, когда надо показать, из каких частей (отделов,
членов) состоит предмет. Приведем примеры из учебника
по анатомии и физиологии. Понятие «скелет человека»
позволяет четко проиллюстрировать прием расчленения
целого на части1. В разделе, называемом «части скеле¬
та», написано:
«В скелете человека различаются отделы: скелет головы,
туловища и конечностей». Далее идут следующие подразделе¬
ния: «Скелет туловища состоит из позвоночника и грудной
клетки». «Скелет конечности состоит из скелета свободной
конечности и скелета пояса. Пояс верхних конечностей вклю¬
чает в себя парные кости лопатки и ключицы... скелет свобод¬
ной верхней конечности состоит из плечевой кости, костей пред¬
плечья и кисти»2. «Пояс нижних конечностей образуют парные
тазовые кости и крестец». «Скелет свободной нижней конечнос¬
ти состоит из бедра, голени и стопы».
Производится расчленение целого на части и для* та¬
ких понятий: «скелет головы», «скелет позвоночника»,
«скелет голени», «стопа» и др.
Примеры мысленного расчленения целого на части
из области ботаники: «Строение цветка ржи: цветочная
чешуя, тычинки, рыльце пестика, завязь»; «Строение клет¬
ки кожицы лука: ядро, цитоплазма, оболочка, вакуоли».
1 Леонтьева Н. Н., Маринова К. В., Каплун Э. Г. Анатомия
физиология детского организма. M., 1976, с. 269 — 273.
2 Там же, с. 272.
52

В математике также используется мысленное расчлене¬
ние целого на части. Например, «Развертка поверхности
любой прямой призмы представляет собой плоскую фи¬
гуру, составленную из боковых граней — прямоугольни¬
ков, и двух оснований — многоугольников».
Классификация
Классификация — это распределение предметов по груп¬
пам (классам), где каждый класс имеет свое постоянное,
определенное место. Классификация сохраняется весьма
длительное время, если она имеет научный характер.
Например, постоянно уточняется и дополняется класси¬
фикация элементарных частиц, содержащая теперь уже
более 200 их видов. От обычного деления классификация
отличается относительно устойчивым характером.
Для классификации обязательно выполнение всех пра¬
вил, сформулированных относительно операции деления
понятий. Классификация представляет собой вид после¬
довательного деления; она образует развернутую систе¬
му, где каждый ее член (вид) делится на подвиды и т. д.
Существует классификация по видоизменению при¬
знака и дихотомическая. Примерами классификации по
видоизменению признака являются следующие:
а) Зеркала классифицируются на плоские и сферичес¬
кие; сферические зеркала классифицируются на вогну¬
тые и выпуклые.
б) Классификация понятия «плод» такая:
♦
Здесь мы видим сочетание двух видов классифика¬
ции: по видоизменению признака и дихотомической.
Очень важен выбор основания классификации. Разные
основания дают различные классификации одного и того
же понятия, например понятия «рефлекс»1.
1 См.: Леонтьева Н. Н., Маринова К. В., Каплун Э. Г. Анато¬
мия и физиология детского организма, с. 83 — 84.
53

Классификация может производиться по существен¬
ным признакам (естественная) и по несущественным при¬
знакам (вспомогательная ).
Естественная классификация — это распределение
предметов по группам (классам) на основании их сущест¬
венных признаков. Зная, к какой группе принадлежит
предмет, мы можем судить о его свойствах. Примером
естественной классификации является Периодическая сис¬
тема химических элементов Д. И. Менделеева. Рас¬
положив химические элементы в зависимости от их
атомного веса, он вскрыл закономерности в их свойст¬
вах.
Основным принципом построения Периодической сис¬
темы элементов Менделеева является разделение всех
химических элементов на группы и периоды, каждая
группа в свою очередь подразделяется на главную и
побочную подгруппы. В каждой подгруппе содержатся
элементы, обладающие сходными химическими свой¬
ствами. Периодом называется совокупность элементов,
начинающаяся щелочным металлом и заканчивающаяся
инертным газом (за исключением первого периода).1
Естественная классификация животных охватывает до
1,5 млн. видов, а классификация растений включает око¬
ло 500 тыс. видов растений.
С точки зрения ^диалектики иногда нельзя установить
резкие разграничительные линии, так как все развивается,
изменяется и т. д. В этой связи Ф. Энгельс указывал,
что каждая классификация относительна, приблизитель¬
на, что она в огрубленной форме раскрывает связи между
классифицируемыми предметами. Существуют переход¬
ные формы, которые трудно отнести к той или иной опре¬
деленной группе. Иногда эта переходная группа составля¬
ет самостоятельную группу (вид). Например, при класси¬
фикации наук возникают такие переходные формы, как
биохимия, геохимия, физическая химия, космическая меди¬
цина, астрофизика и др.
Использование естественных классификаций
в средней школе
В ходе изучения любого школьного предмета учащимся
приходится иметь дело с классификацией. Проанализиру¬
ем некоторые из естественных классификаций, имеющих¬
ся в русском языке, в котором различаются части речи\
1 См.: БСЭ. 3-е изд. М., 1975, т. 19.
54

самостоятельные, служебные и междометия. Самостоя¬
тельные части речи — это имя существительное, имя при¬
лагательное, имя числительное, глагол, наречие, мес¬
тоимение. Служебные части речи: предлоги, союзы, час¬
тицы, модальные слова. Отдельную группу составляют
междометия. Итак, перечисляется 11 видов частей речи.
В учебнике по русскому языку кроме этих 11 видов
предусматриваются и переходные случаи. «Границы меж¬
ду отдельными разрядами слов очень подвижны: при
изучении отдельных частей речи будут отмечены различ¬
ные переходные случаи»1. Характеризуя особенности ес¬
тественной классификации, мы отмечали и наличие пере¬
ходных (промежуточных) видов классифицируемых объ¬
ектов. Хорошим средством наглядного представления
классификации выступают древовидные графы (или де¬
ревья). Вышеприведенная классификация понятия «плод»
была дана в форме древовидного графа.
В средней школе изучаются «Основы Советского го¬
сударства и права». В учебном пособии по этому
курсу дана классификация отраслей советского права:
конституционное (государственное) право, административ¬
ное, трудовое, колхозное, земельное, гражданское, семей¬
ное, уголовное право. Там же дана классификация сво¬
бод, гарантируемых гражданам СССР: свобода слова,
свобода печати, свобода собраний, свобода митингов,
свобода уличных шествий, свобода демонстраций.
Примерами естественных классификаций, изучаемых в
средней школе, могут быть следующие: классификация
общественно-экономических формаций, типов социальных
революций; классификация зон растительности, защитных
окрасок животных, групп крови, типов воздушных масс
и климатических поясов на территории СССР; классифи¬
кация отраслей педагогики и методов обучения; геохро¬
нологическая таблица эр (кайнозойская, мезозойская и
др.) и периодов в каждой эре; классификация природ¬
ных зон (тундра, тайга, лесостепь и др.); классификация
направлений в литературе конца XIX — начала XX в.;
классификация систем нумераций; классификация нера¬
венств, видов плоских фигур, сферических тел (в матема¬
тике) и многие другие.
Ни один школьный предмет не может обойтись без
соответствующих классификаций. При этом и учителя,
1 Земский А. М., Крючков С. Е., Светлаев М. В. Русский
язык. Ч. I. M., 1980, с. 120.
55

и учащиеся должны знать общие правила, соблюдение
которых поможет избежать ошибок в конкретных класси¬
фикациях.
Вспомогательная классификация — это распределение
предметов по группам (классам) на основании их не¬
существенных признаков. Она применяется для более
легкого отыскания предмета (или термина). Вспомога¬
тельная классификация не дает возможности судить о
свойствах предметов (например, список фамилий, распо¬
ложенных по алфавиту, алфавитный каталог книг, жур¬
нальных статей). Предметные или предметно-именные
указатели, а также справочники лекарственных препара¬
тов, расположенные в алфавитном порядке, представляют
примеры вспомогательных классификаций. Вспомогатель¬
ная классификация использована при составлении списка
наиболее употребительных названий ярких звезд, располо¬
женных по алфавиту1. Примером вспомогательной клас¬
сификации служит предметный указатель в учебнике по
физике:
Автоколебания — с. 30,
Аккомодация глаза — с. 161,
Барионы — с. 297,
Бета-лучи — с. 259 и т. д.
§. 7. ОГРАНИЧЕНИЕ "и ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ
Предположим, мы знаем, что некто — ученый, и хотим
уточнить наши знания о нем. Уточняем: это советский
ученый, выдающийся советский ученый, президент АН
СССР А. П. Александров.
Произведенная логическая операция есть операция
ограничения понятия. Приведем еще пример. Дано по¬
нятие «населенный пункт». Ограничив его, получим* по¬
нятия: «город», «столица», «столица социалистического
государства», «столица СССР».
Мы видим, что при ограничении происходит пере¬
ход от понятия с большим объемом к понятию с
меньшим объемом, т. е. от рода к его виду и от вида
к подвиду. При этом добавляются новые признаки, поз¬
воляющие сузить объем данного понятия.
Ограничение — это логическая операция перехода от
родового понятия к видовому путем добавления к со¬
1 См.: Воронцов-Вельяминов Б. А. Астрономия. М., 1980, с. 137.
56

держанию данного родового понятия видообразующих
признаков.
Пределом ограничения является единичное понятие:
в приведенных выше примерах это были понятия:
«Президент АН СССР А. П. Александров» и «столица
СССР» («Москва»).
Обратная ограничению операция обобщения понятия
состоит в переходе от видового понятия к его родо¬
вому понятию, т. е. от понятия с меньшим объемом к
понятию с большим объемом. Эта операция совершает¬
ся путем отбрасывания видообразующего признака (при¬
знаков). Например, обобщая понятие «сиамская домаш¬
няя кошка», получим следующие понятия: «домашняя
кошка», «кошка», «млекопитающее животное», «позвоноч¬
ное животное», «животное», «организм».
Обобщение — это логическая операция перехода от ви¬
дового понятия к родовому путем отбрасывания от
содержания данного видового понятия его видообразую¬
щего признака (признаков).
Пределом обобщения являются категории.
Категории в философии — это предельно общие, фун¬
даментальные понятия, отражающие наиболее существен¬
ные, закономерные связи и отношения реальной действи¬
тельности и познания1.
К категориям диалектического материализма относят¬
ся: материя и движение, пространство и время, созна¬
ние, отражение, истина, тождество и противоречие, со¬
держание и форма, количество и качество, необходимость
и случайность, причина и следствие и др.
В каждой науке имеются свои категории, используют¬
ся категории марксистско-ленинской философии, а также
общенаучные категории (например, информация, симмет¬
рия и др.). В научном познании выделяют категории,
которые определяют предмет конкретной науки (напри¬
мер, вид, организм в биологии).
Пример. Обобщить и ограничить понятие «комсо¬
мольская организация университета». <
Ограничение:
1. Комсомольская организация университета в РСФСР.
2. Комсомольская организация МГУ им. М. В. Ломоносова.
Обобщение:
1. Комсомольская организация вуза.
1 См.: Философский энциклопедический словарь, с. 251.
57

2. Комсомольская организация учебного заведения.
3. Комсомольская организация.
4. Молодежная общественная организация.
5. Общественная организация.
В процессе обобщения и ограничения понятий сле¬
дует отличать переходы от рода к виду, от отноше¬
ний целого к части (и наоборот). Так, например, непра¬
вильно обобщать понятие «центр города» до понятия
«город» или ограничивать понятие «пионерская дружи¬
на» до понятия «пионерский отряд», так как в обоих
случаях речь идет не об отношении рода и вида, а об
отношении части и целого.
В средней школе логическая операция обобщения
понятия применяется буквально во всех случаях, когда
даются те или иные определения через род и видовое
отличие. Например, «Имя существительное — это часть
речи...», «Натрий — это химический элемент» или лучше
(через ближайший род) «Натрий — это металл...».
Приведем примеры из русского языка. Ограничением
понятия «предложение» будут следующие понятия:
«простое предложение», «односоставное предложение»,
«односоставное предложение с главным членом сказу¬
емым», «безличное предложение». На этом примере видна
некоторая взаимосвязь операции ограничения с операцией
классификации понятия «предложение».
На уроках химии учитель может произвести опера¬
цию обобщения и ограничения понятия «кислота»,
например, следующим способом. Обобщение: «сложное
химическое вещество», «химическое вещество», «веще¬
ство». Ограничение: «неорганическая кислота», «бескисло¬
родная неорганическая кислота», «НС1».
§ 8. ОПЕРАЦИИ С КЛАССАМИ
(ОБЪЕМАМИ ПОНЯТИЙ)
Операции с классами — это такие логические действия,
которые приводят нас к образованию нового (в общем
случае) класса.
Существуют следующие операции с классами: объеди¬
нение, пересечение, вычитание, дополнение.
Объединение («сложение») классов
Объединение (или сумма) двух классов — это класс тех
элементов, которые принадлежат хотя бы к одному
58

из этих двух классов1. Объединение обозначается: А + В
или A (J В. Объединение класса четных чисел с классом
нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс
поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.
При объединении могут встретиться следующие 6 слу¬
чаев (рис. 5—10).
При выражении операции объединения классов поль¬
зуются обычно союзом «или» в смысле нестрогой
дизъюнкции. Например, говоря, что некто — член волей¬
больной или гимнастической секции, мы не исключаем
того, что этот человек может быть одновременно членом
обеих секций.
В языке существует и такое употребление союза
«или», при котором этот союз понимается в строго
разделительном смысле, например: «Данный глагол пер¬
вого или второго спряжения». Соответствующая операция
над классами называется симметрической разностью
и в наиболее интересном случае иллюстрируется графи¬
чески так, как это изображено на рис. 4. Класс, состав¬
ляющий симметрическую разность классов Л и В, на
чертеже выделен штриховкой. Симметрическая разность
не содержит общих членов классов Л и В.
а +в =А
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
1 Можно было бы определить операцию объединения сразу для
нескольких классов. Например, в результате объединения («сложения»)
классов имен существительных, имен прилагательных, глаголов, наре¬
чий, местоимений, имен числительных получим класс самостоятельных
частей речи. Но такую операцию всегда можно свести к нескольким
операциям с двумя классами.
59

4. Соподчинение
А +В
Рис. 8
5. Противоположность
Рис. 9 Рис. 10
6. Противоречие
Пересечение («умножение») классов
Общей частью, или пересечением двух,классов, называется
класс тех элементов, которые содержатся в обоих дан¬
ных множествах, т. е. это множество (класс) элементов,
общих обоим множествам1. Пересечение обозначается
А • В или A Q В; 0 — пустое множество.
1. Тождество 2. Подчинение 3. Перекрещивание
Например, операция пересечения классов «школьник»
(А) и «футболист» (В) заключается в нахождении таких
людей, которые одновременно являются и школьниками,
и футболистами. Это изображено на рис.
часть классов А и В заштрихована.
4. Соподчинение 5. Противоположность
13, где общая
6. Противоречие
0X9
в)
( А
В )
А В = ф
АВ=ф
А
■ В = ф
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
1 Подобно операции объединения классов операцию пересечения
классов можно было бы определить сразу для нескольких классов.
60

Основные законы логики классов
Законы операций объединения и пересечения
1. Законы идемпотентности.
А + А = А.
А А = А.
В школьном курсе алгебры таких законов нет.
В логике первый из этих законов означает следующее.
Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то
получим класс «дом», т. е’ домов не станет в два раза
больше и объем понятия «дом» останется прежним.
2. Законы коммутативности. Эти законы существуют
в алгебре, в арифметике, в теории множеств и в логике
классов.
А + В = В + А.
АВ = ВА.
Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное»,
то получим класс «организм»; тот же самый класс
получим, если мы к классу «животное» прибавим класс
«растение».
3. Законы ассоциативности. Они существуют в ариф¬
метике, алгебре, теории множеств и в логике классов.
(А + В) + С = А + (В + С).
(Л В) С = Л (В С).
4. Законы дистрибутивности.
(А + В)С = (ЛС) + (ВС).
(Л В) + С = (Л + С) (В + С).
5. Законы поглощения. Этих законов нет в арифмети¬
ке и в школьном курсе алгебры.
А + (А • В) = А.
А(А + В) = А.
Доказательство этих законов осуществляется графиче¬
ским методом.
Два закона поглощения для «сложения» и «умножения»
классов иллюстрируются графически на рис. 17 и рис. <8.
61

Промежуточный результат изображен горизонтальной
штриховкой. В первом законе поглощения он равен А • В,
а во втором — равен А + В. Конечный результат изобра¬
жен вертикальной штриховкой; он равен классу А.
Вычитание классов
Рассмотрим два множества (класса) 4 и В, из которых
В может и не быть частью А. Разностью множеств
(классов) А и В называется множество тех элементов
класса 4, которые не являются элементами класса В.
Разность обозначается 4 — В.
Могут встретиться следующие пять случаев (если
классы 4 и В не пусты и не универсальны).
1- й случай (рис. 19). Класс 4 включает в себя класс В.
Тогда разностью 4 — В будет заштрихованная часть 4,
т. е. множество тех элементов, которые не суть В.
Например, если мы из множества звуков русского языка
(4) вычтем множество гласных звуков (В), то получим
множество согласных звуков, изображенное на чертеже
в виде заштрихованного кольца.
2- й случай (рис. 20). Разностью двух перекрещиваю¬
щихся классов будет заштрихованная часть 4. Например,
разность множеств «рабочий» (4) и «рационализатор» (В)
даст множество рабочих, которые не являются рационали¬
заторами.
Рис. 19
А -В
Рис. 20
3- й случай (рис. 21). Если класс 4 полностью
включен в класс В и класс В полностью включен
в класс 4, то эти классы (множества) равны (тож¬
дественны). Тогда разность 4 — В даст пустой, или
нулевой, класс, т. е. класс, в котором нет ни одного
элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычтем
класс «сосна», то разность 4 — В будет равна пустому
классу.
4- й случай (рис. 22). Класс 4 и класс В не имеют
общих элементов. Тогда раэность 4 — В = 4, так как
62

всякий элемент класса А не является элементом класса В.
Например, разность класса «стол» (Л) и класса «стул» (В)
равна классу «стол» (Л).
рис. 21 А-В=А
Рис. 22
В результате «вычитания» классов, соответствующих
понятиям, находящимся в отношении противоположности
Е«низкий дом» (Л), «высокий дом (В)] или противоречия
«одушевленный предмет» (Л), «неодушевленный пред¬
мет» (В)], разность Л — В также равна Л (рис. 23, 24).
5-й случай (рис. 25). Если объем класса Л меньше
объема класса В, то в результате вычитания получим
пустой класс, так как нет элементов класса Л, которые
не являлись бы элементами класса В. Например, разность
класса «личное местоимение» (Л) и «местоимение» (В)
дает пустой класс.
А— В=А
Рис. 23
Противоположность
Рис. 24
«
Для операции вычитания классов справедливы сле¬
дующие законы:
1. А-В^А.
2. А^В+*А-В=0.
3. А = (АВ) + (А — В).
4. В-(А-В)=0.
5. В < В - (А - В).
63

В интерпретации логических алгебр посредством
классов запись А < В обозначает включение класса А
в класс В; А^В обозначает эквиваленцию (А тогда
и только тогда, когда В).
Дополнение к классу А
Дополнением к классу А называется класс Л1, который,
будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область
предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении
с классом А дает 0, т. е. для которого А + А1 = 1
и А- А1 = 0. Откуда А[ = 1 — А, поэтому операцию до¬
полнения к классу А можно рассматривать как частный
случай операции «вычитания» (из универсального класса).
Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных
чисел (Л), то мы получим класс нечетных чисел (т. е. Л1,
поскольку всякое целое число четное или нечетное
и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными).
Графически это можно изобразить так, что заштрихован¬
ная часть будет обозначать дополнение к Л, т. е. Л1.
Рис. 26
Законы операции дополнения
Для операции дополнения кроме указанных выше уста¬
новлены и следующие законы: 11 = 0; 01 = 1; (АИ1 = Л.
Рис. 27
Операции с классами
(объемами понятий) исполь¬
зуются во взаимосвязи со
всем комплексом логических
действий, применяемых к
понятиям. С помощью кру¬
гов Эйлера мы выражаем
отношения между различны¬
ми понятиями: «студент»
(А), «мастер спорта» (В) и
«лыжник» (С), а также раз¬
ными штриховками опера¬
ции С—В и Л В С.
64

Задачи к теме «Понятие»
I. Определить содержание, объем, подклассы объема
и элементы объема в следующих понятиях (кавычки
опущены): планета Солнечной системы; пионерская дру¬
жина имени Олега Кошевого; человек, проживший 205
лет; химический элемент; вольтметр; факультет педаго¬
гического института; закон Ома; Фридрих Энгельс; ма¬
терик; русалка; «парад» планет Солнечной системы в
1982 году.
II. Дать логическую характеристику следующим по¬
нятиям: активная жизненная позиция школьника; герои¬
ческое поколение; Южный полюс; небрежность; газета
«Комсомольская правда»; эффективность; качество; тру¬
довой героизм советского народа; трудящиеся массы;
Моральный кодекс строителя коммунизма; невесомость;
К. Э. Циолковский; невежливость; Олимпиада-80; неор¬
ганическое вещество; отсутствие должной предусмотри¬
тельности.
III. Определить отношения между следующими поня¬
тиями:
1. Оказание помощи больному, неоказание помощи
больному.
2. Каменный дом, трехэтажный дом, одноэтажный
дом, недостроенный дом.
3. Уважение к старшему, неуважение к стар¬
шему.
4. Героизм, трусость.
5. Педагогический институт, биологический факуль¬
тет.
6. Мать, дочь, бабушка, внучка, сестра.
7. Населенный пункт, город, город на Днепре, сто¬
лица, город УССР.
8. Спутник планеты, естественный спутник, спутник
Земли, «Союз-4», спускаемый аппарат «Венера-14», Юпи¬
тер, спутник Юпитера.
9. Пожар, молния, стихийное бедствие, явление при¬
роды.
10. Пожар, причина пожара, взрыв атомной бомбы,
поджог.
IV. Дать характеристику (указать вид, состав, пра¬
вильность) следующих определений:
3 А. Д. Гетманова
65

1. Дентин — особое вещество, покрывающее
зубы.
2. Наружное ухо — это ушная раковина.
3. Регенерация — процесс восстановления утраченных
или поврежденных частей тела.
4. Жанр — устойчивая форма художественного про¬
изведения.
5. Мировоззрение писателя — система его взглядов
на окружающий мир.
6. Дробь, числитель которой меньше знаменателя,
называется правильной.
7. Архаизмы — это слова, вышедшие из употребле¬
ния вследствие замены их новыми.
8. Рука — орган и продукт труда.
9. Ботаника — наука, изучающая растения.
10. Кость — это орган, обладающий сложным строе¬
нием.
11. Печень — это крупный орган массой около
1,5 кг.
12. Фразеология — раздел науки о русском языке, изу¬
чающий смысловые и структурные особенности фразеоло¬
гических единиц, их типы и функционирование в
речи.
13. Круглый цилиндр можно получить вращая прямо¬
угольник вокруг одной из его сторон, поэтому круглый
цилиндр называется также цилиндром вращения.
14. Окончание — это изменяемая часть слова, с по¬
мощью которой образуется определенная грамматичес¬
кая форма с конкретным грамматическим значением, вы¬
ражающая грамматическое подчинение данного слова дру¬
гому слову.
15. Путь крови от левого желудочка через артерии,
капилляры и вены всех органов тела до правого пред¬
сердия называется большим кругом кровообраще¬
ния.
16. Футуризмом называют одно из декадентских ху¬
дожественных течений XX века.
17. Безличными называются предложения, сказуемое
которых не допускает при себе подлежащего.
18. Прямой речью называется точно воспроизведенная
речь, переданная от лица того, кто ее произнес.
19. Общим делителем нескольких чисел называется
число, на которое делится каждое из них.
20. Шар можно получить вращая полукруг (или круг)
вокруг его диаметра.
66

V. Какие способы введения понятий использованы в
приведенных ниже примерах:
1. «Долг перед отечеством — святыня человека. От
нас, отцов и матерей, от воспитателей, зависит, чтобы
каждый наш юный гражданин дорожил этой святыней,
как дорожит честный человек своим добрым именем,
достоинством своей семьи» (В. А. Сухомлинский).
2. Гипофиз расположен в углублении основной кости,
похожей на турецкое седло.
3. Сердце человека четырехкамерное. В состоянии от¬
носительного покоя сердце ритмично сокращается при¬
мерно 70 — 75 раз в минуту. Сокращение обоих предсер¬
дий длится около 0,1 секунд. Масса сердца составляет
примерно 300 граммов.
4. «Воспитание без дружбы с ребенком^ без духовной
общности с ним можно сравнить с блужданием в по¬
темках» (В, А. Сухомлинский).
5. Кровяная сыворотка — плазма, в которой уже нет
фибриногена.
6. Природные компоненты — это горные породы и
рельеф их поверхности, вода, воздух, растительность,
животный мир и почва.
7. «Представьте себе непроходимый экваториальный
лес. Огромные деревья, стоят, как древние крепости,
воздушные мосты из лиан, похожие на толстый кабель,
соединяют верхушки деревьев на головокружительной
высоте. Здесь растут огромные яркие грибы, цветы с
резким запахом.
Небольшие растения-паразиты ослепительной красо¬
ты пристроились на ветвях огромного дерева; постепен¬
но они захватывают сетью своих корней весь ствол и
медленно душат дерево, пока оно не погибнет»1.
VI. Дать характеристику (указать вид, состав, пра¬
вильность) следующих делений и классификаций. Ука¬
зать на ошибки, если они имеются. *
1. Местоимения по значению делятся на личные, воз¬
вратные, притяжательные, указательные, вопроситель¬
ные, относительные, определительные, отрицательные,
неопределенные.
1 По материкам и странам. M., 1981, с. 76.
3
67

2. Второстепенные члены предложения делятся по
своему грамматическому значению на дополнения, опре¬
деления и обстоятельства.
3. Клетки бывают шаровидные, дисковидные, приз¬
матические, кубические, веретенообразные и многогран¬
ные.
4. Скелет крыла птицы состоит из одной плечевой
кости, двух костей предплечья — локтевой и лучевой —
и нескольких костей кисти.
5. Железы делят на железы внешней секреции и
железы внутренней секреции.
6. Семенные растения делятся на голосемянные и
покрытосемянные.
7. В эволюции органического мира выделяют два
вида отбора: естественный и искусственный.
8. Щелочи делят на активные и малоактив¬
ные.
9. Часы делятся на наручные, настенные, настоль¬
ные, башенные.
10. По назначению транспорт делится так:
11. Лучи делятся на ультрафиолетовые, видимые и
инфракрасные.
12. По механическому составу почвы подразделяются
на глинистые, суглинистые, супесчаные, песчаные.
13. Основными структурными элементами игры явля¬
ются: игровой замысел, сюжет игры или ее содержание,
игровые действия, роли, правила.
68

15. Существует несколько видов тепловых двигателей:
паровая машина, двигатель внутреннего сгорания, паро¬
вая турбина, газовая турбина, реактивный двигатель.
16. Игрушки делятся на образные, технические, иг¬
рушки-забавы, маскарадно-елочные, спортивно-мотор¬
ные, музыкальные и озвученные, театральные, дидакти¬
ческие, строительный материал, игрушки-самоделки.
VII. 1. Обобщить и ограничить следующие понятия:
река; геометрическая фигура; город в Крыму; мораль;
студенческий отряд; европеец.
2. Правильно ли проведены ограничения: строение —
комната; строение — беседка; населенный пункт — столи¬
ца — центр столицы — центр современной столицы?
VIII. 1. Произвести операции над классами Л, В, С,
изображенными на рис. 28 (объединение, пересечение, вы¬
читание).
2. Изобразить кругами Эйлера отношение между по¬
нятиями: колхозник, хлебороб, орденоносец. Произвести
операции над объемами этих понятий (объединение,
пересечение, вычитание); найти дополнение к каждому
из этих классов и указать его универсум.
69

Глава III
СУЖДЕНИЕ
§ 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СУЖДЕНИЯ
Суждение — форма мышления, в которой что-либо
утверждается или отрицается о существовании предме¬
тов, связях между предметом и его свойствами или об
отношениях между предметами.
Примеры суждений: «Ледоколы существуют». «Совет¬
ские альпинисты совершили восхождение на Эверест»,
«Киев больше Тулы», «Все банкиры — эксплуататоры»,
«Некоторые деревья не являются лиственными». Если в
суждении утверждается (или отрицается) наличие у пред¬
мета какого-то признака, или констатируется существо¬
вание какого-то предмета, или устанавливается отноше¬
ние между предметами и это соответствует действитель¬
ности, то суждение истинно. Суждения «Все ужи-
пресмыкающиеся», «10 больше 3», «Не существуют ру¬
салки», «Некоторые птицы не являются водоплаваю¬
щими» являются истинными, так как в них адекватно
(верно) отражено то, что имеет место в действитель¬
ности. В противном случае суждение ложно.
Наша обычная логика является двузначной, так как
в этой логике суждение имеет одно из двух значений
истинности: оно либо истинно, либо ложно. В трехзнач¬
ных логиках суждение имеет одно из трех значений
истинности, так как оно может быть либо истинным,
либо ложным, либо неопределенным. Например, сужде¬
ние «На Марсе есть жизнь» в настоящее время не яв¬
ляется ни истинным, ни ложным; оно неопределенно.
Многие суждения о будущих единичных событиях явля¬
ются неопределенными. Об этом писал еще Аристотель
(IV в. до н. э.), когда приводил пример суждения:
«Завтра необходимо будет морское сражение»1.
В простом суждении имеются субъект, предикат, связ¬
ка и квантор. В суждениях «Некоторые электростанции
являются атомными электростанциями» и «Все студенты
являются учащимися высшего учебного заведения» субъ¬
ектами являются соответственно понятия «электростан¬
ция» и «студент», предикатами — понятия «атомная элек¬
тростанция» и «учащийся высшего учебного заведения»,
1 Аристотель. Об истолковании. — Собр. соч. М., 1978, т. 2, с. 102.
70

кванторами — «некоторые» и «все», связки выражены сло¬
вом «являются». В суждении «Ледоколы существуют»
субъектом является понятие «ледокол», а предикатом —
понятие о существовании предмета, и он выражен сло¬
вами «то, что существует».
Субъект суждения — это понятие о предмете суждения.
Предикатом суждения называется понятие о признаке
предмета, рассматриваемом в суждении. Субъект обо¬
значается буквой S (от лат. subjectum), а предикат —
буквой Р (от лат. praedicatum). Связка может быть вы¬
ражена одним словом (есть, суть, является), или группой
слов, или тире, или простым согласованием слов («Со¬
бака лает», «Идет дождь»). Перед субъектом суждения
иногда стоит квантор (кванторное слово): «все», или «ни
один», или «некоторые» и др. Квантор указывает, от¬
носится ли суждение ко всему объему понятия, выра¬
жающего субъект, или к его части. Простые суждения,
о которых шла речь, называются ассерторическими.
Суждение и предложение
Понятия в языке выражаются одним словом или груп¬
пой слов. Суждения выражаются повествовательными
предложениями, которые содержат какое-то сообщение,
информацию. Например, «Буря мглою небо кроет»,
«Многие передовики производства выполнили досрочно
годовой план», «Ни один дельфин не является рыбой».
По цели высказывания предложения делятся на повест¬
вовательные, побудительные и вопросительные.
Вопросительные предложения не содержат в своем
составе суждения, так как в них ничего не утверждает¬
ся и не отрицается и они не ‘^истинны и не ложны.
Например, «Как распределяем мы свое свободное время?»
или «Когда состоятся соревнования по настольному тен¬
нису?». Если в предложении выражен риторический
вопрос, например «Какой русский не любит быстрой
езды?» (Н. В. Гоголь), или «Есть ли что-нибудь чудо¬
вищнее неблагодарного человека?» (В. Шекспир), или
«Кто из вас не любит стихов А. С. Пушкина?», или
«Кто не хочет счастья?», то в нем содержится сужде¬
ние, так как налицо утверждение, уверенность, что «Все
любят стихи А. С. Пушкина» или «Все хотят счастья»
и т. п.1
1 О вопросительных предложениях и роли вопроса в познании
будет подробно сказано в гл. VIII.
71

Побудительные предложения выражают побуждение
собеседника (читателя и других людей) к совершению
действия (предложение может выражать совет, просьбу,
обычное побуждение, приказ и т. д.). Побудительное
предложение не содержит суждения («Подожди меня!»,
«Вылей воду!»), хотя в них что-то утверждается. («Бере¬
гите лес!») или отрицается («Не выливай воду!», «Иди
не на каток, а в школу!»). Но предложения, в которых
сформулированы воинские команды, приказы, призывы
или лозунги, выражают суждения, но не ассерторические,
а модальные1. Например, «Пролетарии всех стран, соеди¬
няйтесь!», «Ни шагу назад!», «В атаку!», «Мой друг!
Отчизне посвятим души прекрасные порывы» (А. С. Пуш¬
кин). Воспитанники А. С. Макаренко выдвинули призыв
«Не пищать!», т. е. призыв не ныть, не падать духом
в трудные периоды жизни. Это предложение выражает
суждение, но суждение модальное, включающее в себя
модальное слово-запрещение «Нельзя падать духом!».
Выражают суждения и такие побудительные предложе¬
ния: «Берегите мир!», «Не кури!», «Выполняй взятые
на себя обязательства!» и др.2
Односоставные безличные предложения (например,
«Знобит», «Подморозило»), назывные предложения (на¬
пример, «Утро», «Осень») и некоторые виды повествова¬
тельных предложений’(например, «Он — ударник коммуни¬
стического труда», «Дальний Восток находится от нас
далеко») являются суждениями лишь при рассмотрении
их в контексте и при уточнении: «Кто —он?», «От
кого — от нас?» Если этого уточнения не сделано, то
неизвестно, выражает ли данное предложение истину
или ложь.
В некоторых случаях не совпадают субъект суждения
(S) с грамматическим подлежащим и предикат суждения
(Р) с грамматическим сказуемым. В примере «Студен¬
ты — учащиеся» совпадение полное. В примере
«Пресса Индии уделяет большое внимание проблеме неф¬
ти» (здесь прямой линией подчеркнуты подлежащее и
сказуемое, а волнистой — логические термины: субъект
1 Модальные суждения подробно рассматриваются в § 6. Они
включают в свой состав модальные операторы, выраженные слова¬
ми: возможно, необходимо, запрещается, доказано и др.
2 См.: Уемов А. //.’Истина и пути ее познания. M., 1975, с. 42—43.
72

и предикат), как видим, совпадения нет. В суждении
«Злая собака выбежала мне навстречу» также нет совпа¬
дения.
§ 2. ПРОСТОЕ СУЖДЕНИЕ
Суждения бывают простые и сложные: последние состоят
из нескольких простых. Суждение «Гражданам СССР га¬
рантируется неприкосновенность жилища» — простое, а
суждение «Прозрачный лес один чернеет, и ель сквозь
иней зеленеет, и речка подо льдом блестит» и «Лич¬
ная жизнь граждан, тайна переписки, телефонных пере¬
говоров и телеграфных сообщений охраняются законом»
(статья 56 Конституции СССР) — сложные суждения.
Виды простых суждений
1. Суждения свойства {атрибутивные). В суждениях
этого вида утверждается или отрицается принадлеж¬
ность предмету известных свойств, состояний, видов дея¬
тельности. Примеры: «У розы приятный запах», «Певец
исполняет арию из оперы „Евгений Онегин”», «Всякий
терьер — собака». Схемы этого вида суждения: 5 есть Р
или 5 не есть Р.
2. Суждения с отношениями. В этих суждениях гово¬
рится об отношениях между предметами. Например,
«Всякий протон тяжелее электрона», «Эльбрус выше
Монблана», «Н. В. Гоголь родился позднее А. С. Гри¬
боедова», «В. Г. Белинский — современник Н. В. Гоголя»,
«Отцы старше своих детей» и т. д.
Формула, выражающая суждение с отношением, запи¬
сывается как aRb или R{a, b), где а и b — имена пред¬
метов, a R — имя отношения. В суждении с отношением
может что-либо утверждаться или отрицаться не о двух
а о трех, четырех или большем числе предметов. На¬
пример, «Москва находится между Ленинградом и Кие¬
вом». ♦
3. Суждения существования {экзистенциальные). В них
утверждается или отрицается существование предметов t
(материальных или идеальных) в действительности. При¬
меры этих суждений: «Существует атомный ледокол
„В. И. Ленин“», «Не существует беспричинных явлений».
4. Категорические суждения и их виды (деление по
количеству и качеству). В традиционной логике атрибу¬
тивные суждения называются также категорическими. По
73

качеству связки («есть» или «не есть») категорические
суждения делятся на утвердительные и отрицательные.
Суждения «На многих советских предприятиях создаются
советы ветеранов труда», «Защита социалистического
Отечества есть священный долг каждого гражданина
СССР» утвердительные. Суждения «Некоторые дома не
являются благоустроенными», «Ни один карась не явля¬
ется хищной рыбой» отрицательные. Связка «есть» в
утвердительном суждении отражает наличие у предмета
(предметов) некоторых свойств. Связка «не есть» отража¬
ет то, что предмету (предметам) не присуще некоторое
свойство.
Некоторые логики считали, что в отрицательных суж¬
дениях нет отражения действительности. На самом деле
отсутствие определенных признаков также представляет
собой действительный признак, имеющий объективную
значимость. В отрицательном истинном суждении наша
мысль разъединяет (разделяет) то, что находится раз¬
деленным в объективном мире.
В зависимости от того, обо всем классе предметов,
о части этого класса или об одном предмете идет речь
в субъекте, суждения делятся на общие. частные и
единичные. Например, «Все совхозы — государственные
предприятия» — общее суждение; «Некоторые цветы — ро¬
зы» — частное; «Великий Октябрь — это подлинный три¬
умф ленинской стратегии и тактики революционной
борьбы» — единичное.
Структура общего суждения: «Все 5 есть (не есть)
Р».
Среди общих суждений встречаются выделяющие суж¬
дения, в состав которых входит квантор «только».
«Только добрый человек может быть врачом» (П. Дюбуа).
Примерами выделяющих суждений являются и следую¬
щие: «Только социализм открывает путь решения самых
важных и неотложных общечеловеческих проблем совре¬
менности. Только он способен навсегда избавить чело¬
вечество от угрозы всеобщей истребительной войны с
применением оружия массового уничтожения, сохранить
и улучшить природную среду».
Среди общих суждений имеются исключающие сужде¬
ния, например: «Все студенты нашей группы, за исклю¬
чением больных, пришли на субботник». К числу исклю¬
чающих суждений относятся и те, в которых выражены
исключения из правил русского или иных языков, правил
логики, математики и других наук.
74

Частные суждения имеют структуру: «Некоторые S
есть (не есть) Р». Они делятся на неопределенные и
определенные. Например, «Некоторые грибы — съедоб¬
ны» — неопределенное частное суждение. Мы не установи¬
ли, обладают ли признаком съедобности все грибы, но
не установили и того, что признаком съедобности не
обладают некоторые грибы. Если мы установили, что
«Только некоторые S обладают признаком Р», то это будет
определенное частное суждение, структура которого:
«Только некоторые 5 есть (не есть) Р». Примеры:
«Только некоторые грибы съедобны»; «Только некоторые
остроугольные треугольники являются равносторонни¬
ми»; «Только некоторые тела легче воды». В опреде¬
ленных частных суждениях часто применяются кванторы:
большинство, меньшинство, немало, не все, многие,
почти все, несколько и др. Для того, например, чтобы
устранить неопределенность частного суждения: «Некото¬
рые студенты опоздали на лекцию», — надо уточнить,
сколько студентов и кто именно опоздал, т. е. назвать
фамилии.
Единичные суждения имеют структуру: «Это S есть
(не есть) Р». Примеры единичных суждений: «Баку —
столица Азербайджанской ССР», «Эверест — высочайшая
вершина мира», «Вулкан Ключевская сопка — действую¬
щий».
Объединенная классификация простых категорических
суждений по количеству и качеству
В каждом суждении имеется количественная и качест¬
венная характеристика. Поэтому в логике применяется
объединенная классификация суждений по количеству и
качеству, на основе которой выделяются следующие 4
типа суждений.
А — общеутвердительное суждение. Структура его:
«Все S есть Р». Например, «Все люди — поэвейбчныЪ».
I — частноутвердительное суждение. Структура его:
«Некоторые S есть Р». Например, «Некоторые элемен¬
тарные частицы имеют положительный заряд». Услов¬
ные обозначения для утвердительных суждений взяты от
слова affirmo — утверждаю (при этом берутся две пер¬
вые гласные буквы: А — для обозначения общеутверди¬
тельного и I — для обозначения частноутвердительного
суждения).
75

Е — общеотрицательное суждение. Его структура: «Ни
одно S не есть Р». Пример: «Ни один дельфин не
является рыбой».
О — частноотрицательное суждение. Структура его:
«Некоторые S не есть Р». Например, «Некоторые рабо¬
чие не являются передовиками производства». Условные
обозначения для отрицательных суждений взяты от слова
nego — отрицаю.
Распределенность терминов в категорических
суждениях
В суждениях термины S и Р могут быть либо рас¬
пределены, либо не распределены. Термин считается рас¬
пределенным, если его объем полностью включается в
объем другого термина или полностью исключается из
него. Термин будет нераспределенным, если его объем
частично включается в объем другого термина или
частично исключается из него. Проанализируем четыре
вида суждений: Л, Z, Е, О.
Суждение А общеутвердителъное. Его структура: «Все
S есть Р». Рассмотрим два случая.
1-й случай. В суждении «Все караси — рыбы» субъек¬
том является понятие «карась», а предикатом — понятие
«рыба». Квантор общности — «все». Субъект распределен,
так как речь идет о всех карасях, т. е. его объем полнос¬
тью включен в объем предиката. Предикат не распре¬
делен, так как в суждении речь идет лишь о той части
объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.
Распределенность терминов в суждениях можно ил¬
люстрировать с помощью круговых схем Эйлера. На
рис. 29 изображено соотношение S и Р в суждении А.
Заштрихованная часть круга на рисунках 29 — 34 харак¬
теризует распределенность (или нераспределенность) тер¬
минов.
Если объем Р больше (шире) объема S, то Р не
Рис. зо
76

2-й случай. В суждении «Все квадраты — равносторон¬
ние прямоугольники» термины такие: S' — «квадрат»,
Р — «равносторонний прямоугольник», квантор общнос¬
ти — «все». В этом суждении S' распределен и Р рас¬
пределен, так как их объемы полностью совпадают
(рис. 30).
Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это
бывает в определениях и в выделяющих общих сужде¬
ниях 1.
Суждение I частноутвердительное. Его структура:
«Некоторые S есть Р». Рассмотрим два случая.
1- й случай. В суждении «Некоторые пионеры — филате¬
листы» термины такие: S — «пионер», Р — «филателист»,
квантор существования — «некоторые». Соотношение S и
Р изображено на рис. 31. Субъект не распределен, так как
в нем мыслится только часть пионеров, т. е. объем
субъекта лишь частично включается в объем предиката.
Предикат тоже не распределен, так как он также лишь
частично включен в объем субъекта (только некоторые
филателисты являются пионерами).
Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не рас¬
пределен.
2- й случай. В суждении «Некоторые писатели — дра¬
матурги» термины такие: S' — «писатель», Р — «драма¬
тург», квантор существования — «некоторые». Субъект не
распределен, так как в нем мыслится только часть пи¬
сателей, т. е. объем субъекта лишь частично включает¬
ся в объем предиката. Предикат распределен, так как
объем предиката полностью входит в объем субъекта
(рис. 32). Таким образом, Р распределен, если объем Р
меньше объема S, что бывает в частных выделяющих
суждениях.
Рис. 32
1 В учебниках ряда авторов (например: Кириллов В. И., Стар¬
ченко А. А. Логика. M., 1982, с. 73) второй случай назван исклю¬
чением. В учебнике Д. П. Горского «Логика» (M., 1963, с. 109 -110)
этот второй случай совсем не рассматривается.
77

Суждение Е общеотрицательное. Его структура: «Ни
одно S не есть Р». Например, «Ни один лев не есть
травоядное животное». В нем термины такие: S — «лев»,
Р — «травоядное животное», квантор общности — «ни
один». Здесь объем субъекта полностью исключается
из объема предиката, и наоборот. Поэтому и S, ис Р
распределены (рис. 33).
Суждение О частноотрицательное. Его структура:
«Некоторые S не есть Р». Например, «Некоторые уча¬
щиеся не являются спортсменами». В нем такие термины:
5 — «учащийся», Р — «спортсмен», квантор существова¬
ния — «некоторые». Субъект не распределен, так как
мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен,
ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых
не включен в ту часть учащихся, которая мыслится
в субъекте (рис. 34).
Рис. 34
Итак, S распределен в общих суждениях и не распре¬
делен в частных; Р всегда распределен в отрицательных
суждениях, в утвердительных же он распределен тогда,
когда по объему Р S.
Распределенность терминов в категорических сужде¬
ниях можно выразить в виде следующей схемы, где
знаком (4-) выражена распределенность термина, а знаком
( —) его нераспределенность. В ней же дана объединен¬
ная информация о простых суждениях.
78

Суждение
Отношение S и Р
(ES*=^\ t=S^R^
1 @
0 о
Распределенность
терминов
суждения
н
1+
+
+
и 4
1
1
Формула суждения
в математической
логике (исчислении
предикатов)
Vv -+РМ1
- 2
t xS
> £
1?
t
3
со
к
Х>
ii
к
m
в традиционной
логике
Все S суть Р
(SaP)
Некоторые S
сутьР
(SiP)
Ни одно S
не суть Р
(SeP)
Некоторые S
не суть Р
(SoP)
Обозна¬
чение
л
С
О
А
Вид
суждения
Частноутвердительное
Общеотрицательное
Частноотрицательное

§ 3. СЛОЖНОЕ СУЖДЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ
Сложные суждения образуются из простых суждений
с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции,
импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истин¬
ности этих логических связок следующие:
а
b
а /\Ь
a v b
a v b
а-> b
а= b
и
•и
и
и
Л
и
И
и
л
л
и
и
л
л
л
и
л
и
и
и
л
л
л
л
л
л
и
и
а
а
и
л
л
и
Буквы а, Ь, с — переменные, обозначающие суждения;
буква «и» обозначает истину, а «л» — ложь.
Таблицу истинности для конъюнкции (а л Ь) можно
разъяснить на следующем примере. Учителю дали корот¬
кую характеристику, состоящую из двух простых сужде¬
ний: «Он является хорошим педагогом (а) и учится
заочно (Ь)». Она будет истинна в том и только в том
случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отра¬
жено в первой строке. Если же а ложно или ложно,
либо и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается
в ложь, т. е. учителю была дана ложная характе¬
ристика.
Суждение: «Увеличение рентабельности достигается
путем повышения производительности труда (а) или
путем снижения себестоимости продукции (Ь)» — пример
нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестро¬
гой, если ее члены не исключают друг друга. Такое
высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя
бы одно из двух суждений (первые три строки табл. 2),
и ложно, когда оба суждения ложны.
Члены строгой дизъюнкции {a v b) исключают друг
друга. Это можно разъяснить на примере: «Я поеду
на юг на поезде (а) или полечу на самолете (Ь)».
Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь
на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда
истинно лишь одно из двух простых суждений.
Таблицу для импликации (а -► Ь) можно разъяснить
на таком примере: «Если через проводник пропустить
электрический ток (а\ то проводник нагреется (Z?)»1?
80

Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда
первое суждение истинно, а второе ложно. Действительно,
не может быть, чтобы по проводнику пропустили элект¬
рический ток, т. е. чтобы суждение (а) было истинным,
а проводник не нагрелся, т. е. суждение (Ь) было
ложным.
Эквиваленция в таблице (а = Ь) характеризуется так:
а = b истинно в тех и только в тех случаях, когда
и а, и b либо оба истинны, либо^ оба ложны.
Отрицание суждения а (т. е. а) характеризуется так:
если а истинно, то его отрицание ложно, и если а ложно,
то ъ истинно.
Если в формулу входят три переменные, то таблица
истинности для этой формулы, включающая все возмож¬
ные комбинации истинности или ложности ее перемен¬
ных в таблице, будет состоять из 23 = 8 строк; при
четырех переменных в таблице будет 24 = 16 строк;
при пяти переменных в таблице имеем 25 = 32 строки;
при п переменных — Т строк (см. две следующие таблицы
на стр. 81, 82).
Алгоритм распределения значений и и л для перемен¬
ных (например, для четырех переменных a, b, с, d) таков:
а
ь
с
d
И
и
и
и
и
и
и
и
л
л
л
л
л
л
л
л
и
и
и
и
л
л
л
л
и
и
и
и
л
л
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
Мы отвлекаемся здесь от различия между импликацией логики
высказываний и содержательным союзом «если... то». Следует также
отличать условные высказывания, выраженные изъявительным и со¬
слагательным наклонениями. Последние называются контрфактиче¬
скими высказываниями. Например, «Если бы на Земле не было
кислорода, то жизнь на ней была бы невозможна» (см.: Сидоренко Е. А.
Логическое следование и условное высказывание. M., 1983, гл. II).
81

Имеем 24 — 16 строк.
В столбце для а сначала пишем 8 раз «и» и 8 раз «л».
В столбце для b сначала пишем 4 раза «и» и 4 раза
«л», затем повторяем и т. д.
Тождественно-истинной формулой называется форму¬
ла, которая при любых комбинациях значений для
входящих в нее переменных принимает значение «истина».
Тождественно-ложная формула та, которая соответствен¬
но принимает только значение «ложь». Выполнимая
формула может принимать как значение «истина», так
и значение «ложь».
Приведем доказательство тождественной истинности
формулы: ((а -> (Ь л с)) л (b v с)) а.
а
b
с
а
ь
с
b л с
а->(Ь л с)
(b v с)
(a ->{Ь л с)
А (Ь V (?)
((л-
л (Ь'
► (д лс) л
✓ 7))-+а
и
и
и
л
л
л
и
и
Л
л
и
и
и
л
л
л
и
л
Л
и
л
и
и
л
и
л
и
л
л
Л
и
л
и
и
л
л
л
и
и
л
Л
и
л
и
л
и
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
и
и
и
л
л
и
и
и
л
л
и
и
и
и
л
л
л
и
и
и
л
и
и
и
и
Так как в последней колонке мы имеем только значе¬
ние «истина», формула является тождественно-истинной,
или законом логики (такие выражения называют тавто¬
логиями).
Выводы.
Конъюнкция (а л Ь) истинна тогда, когда оба простых
суждения истинны. Строгая дизъюнкция (a v b) истинна
тогда, когда только одно простое суждение истинно.
Нестрогая дизъюнкция (a v b) истинна тогда, когда хотя
бы одно простое суждение истинно. Импликация (а -> Ь)
истинна во всех случаях, кроме одного: когда а истинно,
а b ложно. Эквиваленция (а = Ь) истинна тогда, когда
оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (а)
истины дает ложь, и наоборот.
82

Способы отрицания суждений
Два суждения называются отрицающими или противоре¬
чащими друг другу, если одно из них истинно, а другое
обязательно ложно (т. е. они не могут быть одновре¬
менно истинными или одновременно ложными). Отри¬
цающими являются следующие пары суждений:
1. А — О. «Все S есть Р» и «Некоторые
а а S не есть Р».
2. Е — I. «Ни одно S не есть Р»
“и и «Некоторые S есть Р».
3. «Это S есть Р» и «Это S не есть Р».
Операцию отрицания в виде образования нового
суждения из данного следует отличать от отрицания,
входящего в состав отрицательных суждений. Существует
два вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутреннее
указывает на несоответствие предиката субъекту (связка
выражена словами: «не есть», «не суть», «не является»).
Например, «Некоторые люди не имеют высшего обра¬
зования». Внешнее отрицание означает отрицание всего
суждения. Например, «Не верно, что в Москве протекает
река Нева».
Отрицание сложных суждении
Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих
в своем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнк¬
ции, необходимо поменять знаки операций на противо¬
положные (т. е. конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот)
и над буквами, выражающими элементарные высказыва¬
ния, поставить знак отрицания, а если он уже есть, то
отбросить его. Имеем: avb = a л b. a v b = а л Ь. алЬ =
= a v b. а л b = a v b. (a v b) л (с v е) = (а л b) v (с л ё).
Если в сложном суждении имеется импликация, то
ее необходимо заменить на тождественную формулу без
импликации (с дизъюнкцией), а именно: (а -> b) = (a vtb);
затем по общему методу найти противоречащее суждение.
Например, «Если у меня будет свободное время (а),
то я почитаю книгу (Ь) или посмотрю телевизор (с)».
Формула этого сложного суждения: a -*(bv с). Проти¬
воречащее суждение будет: а -► (b v с) = a v (b v с) = а л
л (Ь л с). Оно читается так: «У меня будет свободное
время, но я не буду читать книгу и не буду смотреть
телевизор».
83

§ 4. ВЫРАЖЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК
(ЛОГИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ) В ЕСТЕСТВЕННОМ
ЯЗЫКЕ
В мышлении мы оперируем не только простыми, но
и сложными суждениями, образуемыми из простых
посредством логических связок (или операций) — конъ¬
юнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отри¬
цания, которые также называются логическими констан¬
тами или логическими постоянными. Проанализируем,
каким образом перечисленные логические связки выра¬
жаются в естественном (русском) языке.
Конъюнкция (знак « л ») выражается союзами «и», «а»,
«но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не
только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л»
соединяет простые суждения, образуя из них сложные.
В естественном языке союз «и» и другие слова, соот¬
ветствующие конъюнкции, могут соединять существитель¬
ные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части
речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики
и маслята» (а л Ь), «Интересная и красиво оформленная
книга лежит на столе». Последнее суждение нельзя
разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:
«Интересная книга лежит на столе» и «Красиво оформ¬
ленная книга лежит на столе», — так как создается впе¬
чатление, что на столе лежат две книги, а не одна.
В логике высказываний действует здкон коммута¬
тивности конъюнкции (а а b) = (b а а). В естественном
русском языке такого закона нет, так как действует
фактор времени. Поэтому не будут эквивалентными,
например, такие два суждения: 1) «Прицепили паровоз,
и поезд тронулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили
паровоз».
В естественном языке конъюнкция может быть выра¬
жена не только словами, но и знаками препинания:
запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула
молния, загремел гром, пошел дождь».
В логике высказываний конъюнкция истинна тогда,
когда все объединяемые конъюнкцией суждения истинны.
Во внимание принимаются лишь значения истинности
простых суждений — истина или ложь, связь же по
смыслу между простыми суждениями может отсут¬
ствовать. Например, в исчислении высказываний истин¬
ным будет такое высказывание: «Корова — млекопитаю¬
щее животное, и 5 х 6 = 30», — а в естественном языке
84

мы не строим такие сложносочиненные предложения
в силу их бессмысленности. Существует украинская
пословица «В огороде бузина, а в Киеве дядька», высмеи¬
вающая тех людей, которые пытаются связывать выра¬
жения, не связанные между собой по смыслу.
О выражении конъюнкции средствами естественного
языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая
логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит
(не исчерпывающий) список выражений естественного
языка, которые могут быть заменены символами «л»
или «&». Формула А л В в естественном языке может
выражаться так:
«Не только А, но и В. Как А, так и В,
В, хотя и А. А вместе с В.
В, несмотря на А. А, в то время как В»1.
Придумать примеры всех этих структур предоставляем
читателю.
В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозна¬
ченная a v b и a v Ь) выражается союзами: «или», «либо»,
«то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду
в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит
либо к позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Сочине¬
ние будет то ли по произведениям Толстого, то ли
по произведениям Горького».
Для обоих видов дизъюнкции действует закон ком¬
мутативности: (a v b) = (b v а) и (a v b) = (b v а). В есте¬
ственном языке эта эквивалентность сохраняется. Напри¬
мер, суждение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно
суждению «Я куплю хлеб или масло».
С. Клини показывает, какими разнообразными спосо¬
бами могут быть выражены в естественном языке
импликация (А В) и эквиваленция (А ~ В)2. (Буквами
А и В обозначены переменные высказывания.)
Приведем логические схемы и соответствующие им
примеры, иллюстрирующие разнообразные способы вы¬
ражения импликации. . *
1. Если А, то В.
Если поставщики вовремя доставят детали, то завод
выполнит свой производственный план.
2. Коль скоро А, то В.
1 Клини С. Математическая логика. М., 1973, с. 81.
2 См. там же.
85

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая
пружина возвращается к своей первоначальной форме.
3. Когда А, имеет место В.
Когда наступает плохая погода, имеет место повыше¬
ние числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.
4. Для В достаточно А.
Для того чтобы газы расширились, достаточно их
нагреть.
5. Для А необходимо В.
Для сохранения мира на Земле необходимо объединить
усилия всех государств в борьбе за мир.
6. А, только если В.
Студенты этого курса не приходили на субботник,
только если они были больны.
7. В, если А.
Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь
все домашние задания.
Приведем логические схемы и соответствующие им
примеры разнообразных способов выражения эквива-
ленции.
1. А, если и только если В.
Иванов не закончит свои эксперименты к сроку,
если и только если ему не помогут сотрудники.
2. Если А, то В, и наоборот.
Если студент сдал все экзамены и практику на
«отлично», то он получает диплом с отличием, и на¬
оборот,
3. Л, если В, и В, если А.
Многоугольник является вписанным в круг, если его
вершины лежат на окружности, и вершины многоуголь¬
ника лежат на окружности, если этот многоугольник
является вписанным в круг.
4. Для А необходимо и достаточно В.
Для того чтобы число без остатка делилось на 3,
необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа
делилась без остатка на 3.
5. А равносильно В (иногда).
То, что площадь правильного многоугольника равна
произведению полупериметра на апофему, равносильно
тому, что площадь правильного многоугольника равна
произведению периметра на половину апофемы.
6. А тогда и только тогда, когда В.
Фирма будет согласна принять предложение о покупке
товара тогда и только тогда, когда будет снижена
цена этого товара на 15%.
86

Из приведенных выше схем и соответствующих им
высказываний с конкретным разнообразным содержанием
становится ясно, насколько многогранны в естественном
языке (в частности, в русском) средства выражения
импликации, эквиваленции и других логических связок
(логических терминов). Это можно сказать и о других
естественных языках1.
Импликация (а -> Ь) не совсем соответствует по смыслу
союзу «если... то» естественного языка, так как в ней
может отсутствовать содержательная связь между сужде¬
ниями а и Ь. В логике высказываний законом является
формула: (а -► b) = (a v b). Но в естественном языке дело
обстоит иначе. Например, истинное суждение «Если ты —
гражданин СССР, то ты имеешь право на охрану здо¬
ровья» не эквивалентно по смыслу суждению «Ты не
являешься гражданином СССР или ты имеешь право на
охрану здоровья».
Кроме логических связок для выражения общих
и частных суждений в логике используются квантор
общности и квантор существования. Запись с квантором
общности УхР(х) обычно читается так: «Все х (из
некоторой области объектов) обладают свойством Р»,
а запись с квантором существования ЗхР(х) читается так:
«Существуют такие х (в данной области), которые
обладают свойством Р». Например, Зх(х > 100) читается
как «Существуют такие х, которые больше 100», где под
х подразумеваются числа. В русском языке квантор
общности выражается словами: «все», «всякий», «каждый»,
«ни один» и др. Квантор существования выражается
словами: «некоторые», «существуют», «большинство»,
«меньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот,
который», «не все», «многие», «немало», «немногие»,
«много», «почти все» и др.
С. Клини пишет о том, что, переводя выражения
обычного языка с помощью табличных пропозициональ¬
1 В качестве самостоятельного задания рекомендуем рассмотреть
выражение логических связок в каком-либо иностранном языке, как
сделали некоторые студенты / курса педагогического факультета
отделения педагогики и психологии и дошкольного факультета
МГПИ им. В. И. Ленина. Можно показать это также на произве¬
дениях отдельного писателя, например А. П. Чехова, а также
А. И. Герцена и др. Выражение отрицания в языке см.: Гетма¬
нова А. Д. Отрицания в системах формальной логики. М., 1972;
Озерова Н. Г. Средства выражения отрицания в русском и украин¬
ском языках. Киев, 1978; Бахарев А. И. Отрицание в логике и грам¬
матике. Саратов, 1980.
87

ных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла,
но зато выигрываем в точности1.
В практике математических и иных рассуждений
имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное
условие». Условие называется необходимым, если оно
вытекает из заключения (следствия). Условие называется
достаточным, если из него вытекает заключение (след¬
ствие). В импликации а->Ь переменная а является
основанием, переменная b — следствием (заключением).
Учащимся на уроках математики предлагаются задачи
типа 1—4, требующие в каждом из следующих пред¬
ложений вместо многоточия поставить слова: «необхо¬
димо» или «достаточно» либо «необходимо и доста¬
точно».
1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом ...
чтобы каждое слагаемое было четным.
2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно делилось
на 5.
3. Для того чтобы произведение (х — 3) (х + 2) (х — 5) было равно
О, ... чтобы х = 3.
4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... чтобы
все его углы были равны. И многие другие2.
§ 5. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ
ПО ИСТИННОСТИ
Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют
общий субъект или предикат) и несравнимые. Сравнимые
суждения делятся на совместимые и несовместимые.
Совместимые выражают одну и ту же мысль полностью
или лишь в некоторой части. Отношения совместимости:
эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпа¬
дение (субконтрарность). Совместимые эквивалентные
суждения выражают одну и ту же мысль в различной
форме («Юрий Гагарин — первый космонавт» и «Юрий
Гагарин первым полетел в космос»). Субъект здесь один
и тот же, а предикаты различные по форме, но одина¬
ковые по смыслу. В двух эквивалентных суждениях:
«Михаил Шолохов — лауреат Нобелевской премии» и
«Автор романа «Тихий Дон» — лауреат Нобелевской
премии» — одинаковыми являются предикаты, а различ¬
ными по форме выражения, но тождественными поня¬
тиями — субъекты.
В сочинении, при заучивании материала, в устном
1 Клини С. Математическая логика, с. 82.
2 См.: Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. М., 1964,
с. 71-72.
88

изложении текста, при переводе с одного языка на
другой — всюду учащиеся должны уметь кратко и кор¬
ректно излагать свои мысли. А. П. Чехов дал такое
сравнение: «Краткость — сестра таланта».
Совместимые суждения, находящиеся в отношении
логического подчинения, имеют общий предикат; понятия,
выражающие субъекты двух таких суждений, также
находятся в отношении логического подчинения. Отноше¬
ния между суждениями по истинности принято схема¬
тически изображать в виде «Логического квадрата»
(рис. 35).
Рис. 35
Возьмем суждение «Все учащиеся нашей группы —
комсомольцы». Это суждение А общеутвердительное
(подчиняющее). Суждение I — «Некоторые учащиеся на¬
шей группы — комсомольцы» — подчиненное.
Для суждений А и I, а также Е и О, находящихся
в отношении логического подчинения, истинность общего
суждения определяет истинность частного, подчиненного
суждения. Но ложность общего суждения оставляет
частное суждение неопределенным. Истинность частного
суждения оставляет общее суждение неопределенным (при
нарушении этого правила может возникнуть логическая
ошибка — «поспешное обобщение»). Ложность частного
суждения обусловливает ложность общего суждения.
Если истинно суждение «Ни одна трапеция не является
сферическим телом», то будет истинным и суждение
«Некоторые трапеции не являются сферическими телами».
Умозаключение от общего суждения к логически под¬
чиненному ему частному суждению всегда будет давать
истинное заключение.
89

В отношении частичного совпадения (субконтрарнос¬
ти) находятся два таких совместных суждения I и О,
которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые
предикаты, но различаются по качеству. Например, I —
«Некоторые свидетели дают истинные показания» и О -
«Некоторые свидетели не дают истинных показаний».
Оба они одновременно могут быть истинными, но не
могут быть одновременно ложными. Если одно из них
ложно, то другое обязательно истинно. Но если одно
из них истинно, то другое неопределенно (оно может
быть либо истинным, либо ложным). Например, если
истинно суждение I — «Некоторые книги в этой библио¬
теке — букинистические», то суждение О — «Некоторые
книги в этой библиотеке не являются букинистически¬
ми» — будет неопределенным, т. е. оно может быть как
истинным, так и ложным.
Отношения несовместимости: противоположность,
противоречие. По логическому квадрату в отношении
противоположности (контрарности) находятся суждения
А и Е. Два суждения: А — «Все люди трудятся добро¬
совестно» и Е — «Ни один человек не трудится добро¬
совестно» — оба ложны. Но А и Е не могут быть оба
истинными. Если одно из противоположных суждений
истинно, то другое убудет ложным.
Итак, из истинности одного из противоположных
суждений вытекает ложность другого, но ложность
одного из них оставляет другое суждение неопределен¬
ным.
В отношении противоречия (контрадикторности) нахо¬
дятся суждения А и О, а также Е и I. Два противо¬
речащих суждения не могут быть одновременно истин¬
ными или одновременно ложными. Если в настоящее
время истинно суждение I — «Некоторые летчики — кос¬
монавты», то ложным будет суждение «Ни один летчик
не является космонавтом».
Закономерности, выражающие отношения между суж¬
дениями по истинности, имеют большое познавательное
значение, так как они помогают избежать ошибок при
непосредственных умозаключениях, производимых из
одной посылки (одного суждения).
§ 6. ДЕЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ПО МОДАЛЬНОСТИ
В логике мы до сих пор рассматривали простые
суждения, которые называются ассерторическими, а также
сложные суждения, составленные из простых. В них
90

утверждается или отрицается наличие определенных
связей между предметом и его свойствами или конста¬
тируется отношение между двумя или большим числом
предметов. Например, «Школьники — учащиеся»; «В пря¬
моугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна
квадрату гипотенузы, т. е. а2 -I- Ь2 = с2»; «Объем конуса
1
равен -у площади основания, умноженной на высоту»;
«Яблоко сладкое и красное»; «Я эту работу не выполню
в срок»; «Если будет плохая погода, то мы не поедем
на теплоходе» и др. Общая форма таких простых
высказываний (суждений): «S есть (не есть) Р». Из простых
суждений образуются сложные. Например, «Если S есть
(не есть) Р, то есть (не есть) Рр>.
В этих ассерторических суждениях не установлен
характер связи между субъектом и предикатом. Характер
связи между субъектом и предикатом или между отдель¬
ными простыми суждениями в сложном суждении рас¬
крывается в модальном суждении. Из вышеприведенных
суждений можно образовать такие, например, модальные
суждения: «Несомненно, что все школьники — учащиеся»,
«Доказано, что в прямоугольном треугольнике сумма
квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», «Хорошо,
что яблоко сладкое и красное», «Возможно, что я эту
работу не выполню в срок», «Вероятно, что если будет
плохая погода, то мы не поедем на теплоходе». Мы видим,
что модальные суждения не просто утверждают или
отрицают некоторые связи, а дают оценку этих связей
с какой-то точки зрения.
О предмете А можно просто сказать, что он имеет
свойство В (это будет ассерторическое суждение). Но
можно сверх того уточнить, является ли эта связь А
и В необходимой или, наоборот, случайной; хорошо ли,
что А есть В или это плохо; доказано, что А есть В
или не доказано, а только есть предположение, и т. д.
В результате таких уточнений мы получаем модальные
суждения различных типов. Приведем другие примеры
модальных суждений: «Возможно, на Марсе есть жизнь»,
«Доказано, что в современных условиях невозможна
ограниченная ядерная война», «При переходе от одной
общественно-экономической формации к другой необхо¬
дима социальная революция», «При красном свете све¬
тофора проезд транспорта запрещен», «Советские люди
обязаны беречь общественную собственность» и др.
В модальном суждении к ассерторическому суждению
91

приписывается тот или иной модальный оператор (мо¬
дальное понятие): возможно, доказано, необходимо,
запрещено, обязательно, плохо и др.
Структура простых модальных суждений такая:
М (S есть Р) или М (S не есть Р),
где М обозначает модальный оператор (модальное
понятие).
Но как было уже сказано, модальными могут быть
и сложные суждения. Если а и b — простые суждения,
то из сложных ассерторических суждений: а л b, a v b,
a v b, a^>b, а = b — можно получить соответствующие
сложные модальные суждения:
М(а л Ь); М (a v b); М (а V Ь); Л/(а->&); М (а = Ь).
В каждом из этих пяти типов сложных модальных
суждений модальный оператор М может быть заменен
его разновидностями. Например, из сложного ассерто¬
рического суждения «Если в почву внести удобрения, то
урожай повысится» можно получить такие модальные
суждения: «Доказано, что если в почву внести удобрения,
то урожай повысится», «Хорошо, что если в почву
внести удобрения, то урожай повысится» и др.
Модальными простыми суждениями называют простые
суждения, выражающие связь между субъектом и преди¬
катом с помощью модальных операторов (модальных
понятий).
Модальными сложными суждениями называют слож¬
ные суждения, выражающие связь между составляющими
их простыми суждениями с помощью модальных опера¬
торов (модальных понятий).
Модальные высказывания изучаются в модальной
логике, в которой имеются следующие разделы (или
ветви): логика норм, логика времени и другие логики.
В настоящее время современной модальной логикой
изучены многие виды модальностей, и те из них,
которые сравнительно хорошо изучены, систематизиро¬
ваны в следующей таблице, предложенной А. А. Ивиным
1 См.: Ивин А. А. Логика норм. М., 1973, с. 29.
92

Логические
модальности
Онтологические
модальности
Эпистемические
модальности
знание
убеждение
Логически не¬
обходимо
Логически слу¬
чайно
Логически не¬
возможно
Онтологически
необходимо
Онтологически
случайно
Онтологически
невозможно
Доказуемо
(верифициру¬
емо)
Неразреши¬
мо (непрове-
ряемо)
Опровер¬
жимо (фаль¬
сифицируемо)
Полагает
(убежден)
Сомневается
Отвергает
Логически
возможно
Онтологиче¬
ски возможно
Допускает
Деонтические
модальности
Аксиологические
модальности
Временные
модальности
абсолютные
сравни¬
тельные
абсолютные
сравни¬
тельные
Обязательно
Норматив¬
но безразлич¬
но
Запрещено
Хорошо
Аксиоло¬
гически без¬
различно
Плохо
Лучше
Равно¬
ценно
Хуже
Всегда
Только
иногда
Никогда
Раньше
Одновре¬
менно
Позже
Разрешено
В каждую из групп модальностей входят три основ¬
ных модальных понятия. Второе из них называется
слабой характеристикой, первое и третье — соответ¬
ственно сильной положительной и сильной отрицатель¬
ной характеристиками. Иногда в дополнение к трем
основным модальным понятиям вводится четвертое,
которое может употребляться вместо них. *
Логические и онтологические модальности объединя¬
ются в общий вид — алетические модальности1. Они
1 Термин «эпистемическая модальность» происходит от грече-
ского слова «эпистеме», означавшего в античной философии высший
тип несомненного, достоверного знания. Термин «деонтический»
также заимствован из греческого языка и означает обязанность.
Термин «алетический» тоже греческого происхождения, он обозначает
необходимость.
93

включают такие модальные операторы или категории
модальности: необходимость и случайнрсть, возможность
и невозможность. Слова «необходимо», «возможно»,
«случайно» в обыденном языке употребляются в самых
различных смыслах.
Диалектико-материалистическая философия изучает
категории «необходимость», «случайность», «возмож¬
ность» и другие с их содержательной стороны. Фор¬
мальная логика изучает существующие между ними
формальные зависимости. Всеобщность модальных кате¬
горий, с точки зрения марксистской философии, состоит
в их приложимости к любой области действитель¬
ности.
Алетические модальности обозначаются так: «□ А» —
«необходимо А»: «V А» — «случайно А»; «О А» — «воз¬
можно А»; «~ О А» — «невозможно А» (знак «~» обо¬
значает отрицание). Иногда их обозначают так: «Ьр» —
«необходимо р», «Мр» — «возможно р».
Алетические модальности (логические и онтологиче¬
ские) часто содержательно истолковывают так: необхо¬
димыми считают логические законы, а также законы,
выявленные различными науками (естественными, мате¬
матическими, общественными и техническими), и все след¬
ствия из этих законов. Невозможными считают сужде¬
ния, противоречащие этим законам, отрицания этих
законов или их следствий. Случайными считают сужде¬
ния, не являющиеся законами или их следствиями, но
и не противоречащие законам или их следствиям.
Возможными считают положения, не противоречащие
законам или их следствиям.
Взаимосвязь алетических модальностей
Некоторые алетические модальности в ряде систем можно
определять одну через другую (« =» обозначает «равно
по определению», « л » — конъюнкцию, « v » — дизъюнк¬
цию, «~» — отрицание, «<-►» — эквиваленцию, «-►» —
импликацию). Например, □ А = ~ О ~ А.
Некоторые важные связи, характеризующие алетиче¬
ские модальности, выражены следующими формулами.
(1) □ А-> А («Если необходимо, что А, то А»);
(2) А -> О А («Если А, то возможно, что А»);
(3) □ А <-► ~ О ~ А («Необходимо, что А, тогда и только
тогда, когда невозможно, что не-А»);
94

(4) О А <-» ~ ~ А («Возможно, что Л, тогда и только
тогда, когда не необходимо, что
не-Л»),
Задачи к теме «Суждение»
1. Являются ли формулы законом логики?
1) а -> b = а /\Ь;
2) a v b = а д Ь;
3) а л b = а у Ъ\
4) ((а (Ь л с)) л(Ь v с))-* а;
5) ((а -► Ь) л (с -> d) л (b v d)) -> (a v с).
2. Определить вид суждения, его термины и их рас¬
пределенность в следующих суждениях:
а) Иногда люди опаздывают на работу.
б) Все распространенные предложения имеют второ¬
степенные члены.
в) Некоторые спортсмены не являются мастерами
спорта.
г) Вода, нагретая до 80 °C, не кипит.
д) Цыплят по осени считают.
е) Общественное бытие определяет общественное
сознание.
ж) Ни один учитель нашей школы не является
отличником народного просвещения.
з) «Некоторые лекарства опаснее самих болезней»
( Сенека ).
и) «Никакая причина не извиняет невежливость»
(Т. Г. Шевченко).
к) Среда — третий день недели.
л) Некоторые люди не изучают логику.
3. Определить вид и логическую форму следующих
сложных высказываний. Записать их структуру в виде
формулы:
а) Покрылись зеленью сопки, освобождаются от снега
вулканы, в скверы, на улицы Петропавловска-Камчат¬
ского в июне высажены деревья, кустарники, готовятся
клумбы под цветы.
б) Этот приезд не является ни необходимым, ни
желательным.
95

в) Поиски врага длились уже три часа, но результатов
не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.
г) Если эта фигура квадрат, то диагонали в ней
равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения
делятся пополам.
д) «Если вы желаете себе несокрушимого памятника,
вложите свою душу в хорошую книгу» (Б. Буаст).
4. Произвести отрицание следующих сложных сужде¬
ний, предварительно записав в виде формулы их
структуру.
а) Если мне дадут отпуск летом, то я поеду отды¬
хать к морю или по туристической путевке в Карпаты.
б) Если студент — член НСО, то он занимается науч¬
ной работой и выступает с лекциями по избранной
теме.
в) Неверно, что этот писатель — драматург или поэт.
5. Определить логические отношения между сужде¬
ниями А, Е, I, О с помощью «логического квадрата».
а) Все люди — грамотные. Некоторые люди — гра¬
мотные.
Ни один человек не является грамотным.
Некоторые люди не являются грамотными.
б) Некоторые предприятия не являются рентабель¬
ными.
Ни одно предприятие не является рентабельным.
Некоторые предприятия являются рентабельными.
Все предприятия являются рентабельными.
Аналогичные задания предусмотрены для задач в), г),
д). Но прежде следует сформулировать для каждой
задачи недостающие три суждения.
в) Ни одно сказуемое не является второстепенным
членом предложения.
г) Некоторые спортсмены-хоккеисты — олимпийские
чемпионы.
д) Некоторые подлежащие выражаются местоимением
в именительном падеже.
6. Определить с помощью «логического квадрата»
отношения между следующими простыми суждениями:
а) Неверно, что все дети послушны — Некоторые дети
являются послушными.
б) Все книги — рукописные — Ни одна книга не явля¬
ется рукописной.
96

7. Определить вид модальности в следующих сужде¬
ниях :
а) С появлением средств генной инженерии можно
предвидеть значительные успехи в улучшении качества
и состава микробиологической продукции.
б) Вероятно, молоко было одним из первых продуктов
сельского хозяйства.
в) Хлебопечение возникло на заре развития челове¬
чества, вероятно в Египте.
г) Необходимо соблюдать правила поведения в об¬
щественных местах.
д) Разрешен проезд автомобилей при зеленом свете
светофора.
е) Невозможно построить вечный двигатель.
ж) «Никогда не беспокой другого тем, что ты можешь
сам сделать» (Л. Н. Толстой).
8. Являются ли суждениями следующие предложения:
а) «Что без тебя просторный этот свет?
Ты в нем одна. Другого счастья нет».
(В. Шекспир).
б) В каком году родился писатель А. Толстой?
в) Принеси мне книгу в среду вечером.
г) Не в свои сани не садись.
д) «Кто не проклинал станционных смотрителей, кто
с ними не бранился?» (А. С. Пушкин).
е) «Каких цветов в саду весеннем нет!» (В. Шекспир).
Глава IV.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (ПРИНЦИПЫ)
ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ЛОГИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ
Материалистическая диалектика, разработанная К. Мар¬
ксом, Ф. Энгельсом и В. И. Лениным, — наиболее глу¬
бокое и всестороннее учение о развитии. Ее фундамент
составляют основные законы: закон взаимного перехода
количественных и качественных изменений, закон един¬
ства и борьбы противоположностей и закон отрицания
отрицания. Законы материалистической диалектики явля¬
ются всеобщими: они действуют в природе, обществе
и мышлении. Кроме законов материалистической диалек-
4 А. Д. Гетманова
97

тики в объективном мире действует много других зако¬
нов, изучаемых конкретными науками (физикой, химией,
биологией и др.); существуют и общенаучные законы
(например, закон сохранения энергии).
Закон есть необходимое, существенное, устойчивое,
повторяющееся отношение между явлениями1.
Исходя из этого общего определения категории
«закон», можно определить и категорию «закон мыш¬
ления».
Закон мышления — это необходимая, существенная,
устойчивая, повторяющаяся связь между мыслями.
Наиболее простые и необходимые связи между
мыслями выражаются в основных формально-логических
законах. К ним относятся законы тождества, непроти¬
воречия, исключенного третьего, достаточного основания.
Эти законы являются основными потому, что в логике
они играют особо важную роль, являются наиболее
общими, лежат в основе различных логических операций
с понятиями, суждениями и используются в ходе умо¬
заключений и доказательств. Первые три закона были
выявлены и сформулированы Аристотелем. Эти законы
можно выразить в виде формул математической (сим¬
волической) логики. Закон достаточного основания был
сформулирован Лейбницем; в виде формулы его выразить
нельзя. Основные законы логики являются отражением
в сознании человека определенных отношений между
предметами объективного мира. В. И. Ленин неоднократно
высказывал мысль о том, что законы и категории
логики суть отражения закономерностей развития при¬
роды и общества. «Законы логики суть отражения
объективного в субъективном сознании человека»2;
«... законы мышления отражают формы действительного
существования предметов, совершенно сходствуют, л не
различествуют, с этими формами...»3.
Формально-логические законы не могут быть отме¬
нены или заменены другими. Они имеют общечелове¬
ческий характер: они едины для людей всех рас, наций,
классов, профессий.
Формально-логические законы сложились в результате
многовековой практики человеческого познания при отра¬
жении таких обычных свойств вещей, как их устойчи¬
1 См.: Философский энциклопедический словарь, с. 188.
2 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 165.
3 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18, с. 383.
98

вость, определенность, несовместимость в одном и том
же предмете одновременно наличия и отсутствия одних
и тех же признаков.
Законы логики — это законы правильного мышления,
а не законы самих вещей и явлений мира.
Кроме четырех основных формально-логических зако¬
нов, отражающих важные свойства правильного мышле¬
ния — определенность, непротиворечивость, обоснован¬
ность, четкость мышления, выбор «или — или» в опре¬
деленных «жестких» ситуациях, — существует много неос¬
новных формально-логических законов, которым должно
подчиняться правильное мышление в процессе опериро¬
вания его отдельными формами (понятиями, суждениями,
умозаключениями).
Законы логики, как основные, так и неосновные,
функционируют в мышлении в качестве принципов пра¬
вильного рассуждения в ходе доказательства истинных
суждений и теорий и опровержения ложных суждений.
В математической логике законы, выраженные в виде
формул, выступают как тождественно-истинные выска¬
зывания. Это означает, что формулы, в которых выра¬
жены логические законы, истинны при любых значениях
их переменных. Среди тождественно-истинных формул
особо выделяются такие, которые содержат одну пере¬
менную :
а = а > — закон тождества.
а -> а)
а ла — закон непротиворечия.
a v а — закон исключенного третьего.
Связь логических критериев истинности знания
с практической деятельностью человека
Не во всех науках критерий практики действует не¬
посредственно. Следует подчеркнуть сложный, опосредо¬
ванный характер отражения действительности в логи¬
ческих системах и их операциях, в логических формах
и законах.
Каково соотношение критерия практики с логическим
критерием истинности заключений в умозаключении?
По этому вопросу В. И. Ленин писал: «...ПРАКТИ¬
ЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ЧЕЛОВЕКА МИЛЛИАРДЫ
РАЗ ДОЛЖНА БЫЛА ПРИВОДИТЬ СОЗНАНИЕ ЧЕ¬
ЛОВЕКА К ПОВТОРЕНИЮ РАЗНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ
4*
99

ФИГУР, ДАБЫ ЭТИ ФИГУРЫ МОГЛИ ПОЛУ¬
ЧИТЬ ЗНАЧЕНИЕ АКСИОМ»1. Вот почему для
проверки истинности заключений в умозаключениях не
обязательно обращаться всякий раз непосредственно
к практике, а можно воспользоваться логическим (т. е.
относящимся к форме рассуждения) критерием.
Определяющим критерием истины служит практика.
Логический же критерий истинности — вспомогательный
и производный, вытекающий из практики и сам опира¬
ющийся на нее, как на окончательный критерий истин¬
ности.
В истории философии и логики неоднократно делались
попытки абсолютизации логического критерия истины.
Известно, что еще Г. Лейбниц мечтал о таком времени,
когда противники, вместо того чтобы спорить, возьмут
перья в руки, сядут за стол и будут вычислять. Он пы¬
тался построить арифметизированное логическое исчисле¬
ние в виде некоторой вычисляющей машины (алгоритма),
с тем чтобы затем путем вычисления по сформулиро¬
ванным правилам определять, что является истиной,
а что — ложью (разумеется, не обращаясь к практике).
Но такое представление Лейбница о полной замене чело¬
веческого мышления вычисляющей машиной неправо¬
мерно. Построить такое универсальное исчисление, с по¬
мощью которого "всегда можно было бы отличить
истину от лжи, в принципе нельзя.
§ 2. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
И ИХ МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ
Закон тождества
Закон тождества является одним из законов правильного
мышления, соблюдение этого закона гарантирует опре¬
деленность и ясность последнего. Закон формулируется
так: «В процессе определенного рассуждения всякое поня¬
тие и суждение должны быть тождественны самим себе».
Закон тождества записывается как «а есть а» (для
суждений) и «А есть А» (для понятий), где а обозначает
любое суждение, любую мысль, а А — любое понятие.
В математической логике закон тождества выражается
следующими формулами:
1 Ленин В. И. Поли. собр. сон., т. 29, с. 172.
100

а == а, или а -> а (в логике высказываний) и
А = Л, или А -> А (в логике классов, в которой классы
отождествляются с объемами понятий).
Тождество есть равенство, сходство предметов в ка¬
ком-либо отношении. Например, все жидкости теплопро¬
водны, упруги. Каждый предмет тождествен самому себе.
В объективной реальности тождество существует в связи
с различием. Нет и не может быть двух абсолютно
тождественных вещей (например, двух листочков дерева,
близнецов и т. д.). Одна и та же вещь вчера и сегодня
и тождественна, и различна. Так, например, внешность
человека изменяется с течением времени, но мы его
узнаем и считаем одним и тем же человеком. Абстракт¬
ного, абсолютного тождества в действительности не
существует, оно означало бы прекращение развития.
Но при известных условиях (в определенных границах)
мы можем отвлечься от существующих различий и фик¬
сировать свое внимание только на тождестве предметов
или их свойств.
В мышлении закон тождества выступает в качестве
нормативного правила. Он означает, что в процессе
рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно
понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать
за различные, а различные — за тождественные.
Например, тождественными будут такие три понятия:
а) М. В. Ломоносов; основоположник Московского уни¬
верситета; русский ученый, открывший закон сохранения
и превращения вещества.
Нарушение закона тождества приводит к двусмыслен¬
ности, что можно видеть, например, в следующих рас¬
суждениях: «Ноздрев был в некотором отношении исто¬
рический человек. Ни на одном собрании, где он был, не
обходилось без истории» (Я. В. Гоголь). «Стремись упла¬
тить свой долг, и ты достигнешь двоякой цели, ибо
тем самым его исполнишь» (Козьма Прутков). Игра слов
в этих примерах построена на употреблении омонимов.
В мышлении нарушение закона тождества проявляет¬
ся тогда, когда человек выступает не по обсуждаемой
теме, произвольно подменяет один предмет обсуждения
другим, употребляет термины и понятия не в том смысле,
в каком это принято, не предупреждая об этом. Напри¬
мер, идеалистом иногда считают человека, верящего в
идеалы, живущего ради высокой цели, а материалистом —
человека меркантильного, стремящегося к наживе, к лич¬
ному обогащению и т. д. Ф. Энгельс писал о пони¬
101

мании материализма филистером (т. е. обывателем, ме¬
щанином): «Под материализмом филистер понимает об¬
жорство, пьянство, похоть, плотские наслаждения и тще¬
славие, корыстолюбие, скупость, алчность, погоню за ба¬
рышом и биржевые плутни, короче — все те грязные по¬
роки, которым он сам предается втайне»1. В философии
же, как известно, материализм — это направление, которое
первичным считает материю, а вторичным — сознание.
В «Литературной газете» прошла дискуссия о том,
какое содержание вкладывать в понятие «подарок» и
какое — в понятие «взятка», ибо порою под видом по¬
дарка дается взятка.
Иногда в ходе дискуссий спор по существу подме¬
няют спором о словах. Иногда люди говорят о разных
вещах, думая, что они имеют в виду одного и того же
человека либо одну и ту же вещь или событие. Отра¬
жая эту ситуацию, народная мудрость гласит: «Кто про
Фому, а кто про Ерему». Логические ошибки часто со¬
вершают при употреблении омонимов, т. е. слов, имею¬
щих два значения («следствие», «материя», «содержание»
и др.). Например, «Ученики прослушали разъяснения учи¬
теля», «Из-за рассеянности шахматист не раз на турни¬
рах терял очки». Иногда ошибка возникает при исполь¬
зовании личных местоимений «она», «оно», «они», «мы»
и т. д., когда приходится уточнять: «Кто — он?» или
«Кто — она?». В результате отождествления различных
понятий возникает логическая ошибка, называемая под¬
меной понятия.
При нарушении закона тождества возникает и другая
ошибка, называемая подменой тезиса. В ходе доказатель¬
ства или опровержения выдвинутый тезис часто умыш¬
ленно или неосознанно подменяется другим. В научных
и иных дискуссиях это проявляется в приписывании
оппоненту того, чего он не говорил. Такие приемы ве¬
дения дискуссий недопустимы.
К. А. Тимирязев писал о том, что излюбленным
приемом антидарвинистов был прием подмены тезиса:
вместо одного вопроса стремятся искусно подсунуть дру¬
гой, чтобы отвлечь в нужный момент внимание читателя,
наговорив кучу к делу не относящихся вещей, приписать
противнику то, чего он не говорил, и т. д.
Отождествление (или идентификация) широко исполь¬
зуется в следственной практике, например при опознании
1 Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч. 2-е изд., т. 21, с. 290.
102

предметов, людей, сличении почерков, документов, подпи¬
сей, отпечатков пальцев.
Закон тождества используется в науке, искусстве, в
программах для работы ЭВМ, в школьном преподава¬
нии, в повседневной жизни.
Такие понятия, как «один», «два», «три» и т. д.,
связаны с умением различать и отождествлять вещи, а
это умение и исторически, и логически предшествует
умению их считать. Закон тождества «а есть а» (а тож¬
дественно а) испокон веков относился людьми к логике.
Предикат тождества естественно считать логическим. По¬
нятия тождества и различия с логической точки зрения
являются логическими постоянными.
В действительности абсолютного тождества в изменя¬
ющихся предметах нет. Но для того, чтобы отобразить
движение в мысли, мы должны прибегнуть к идеализа¬
ции и упрощению действительности. «Изображение дви¬
жения мыслью есть всегда огрубление, омертвление,—
и не только мыслью, но и ощущением, и не только
движения, но и всякого понятия.
И в этом суть диалектики»1.
В науках существуют различные виды и модификации
тождества. Так, например, в математике это равенство,
эквивалентность (равномощность, равночисленность) мно¬
жеств, конгруэнтность, тождественное преобразование,
тождественная подстановка и т. д.; в теории алгорит¬
мов — одинаковость букв, устанавливаемая путем аб¬
стракции отождествления, равенство алфавитов (А = В),
равенство конкретных слов и т. д.
Равенства обладают свойствами рефлексивности (а =
= а), симметричности (если а = Ь, то b = а) и транзитив¬
ности (если а = b и b = с, то а = с). К равенствам при¬
менимо правило замены равного равным.
Различие также имеет свои виды и модификации:
неравенство, неэквивалентность (неравномощность) мно¬
жеств и т. д.; в теории алгоритмов — различие букв,
неравенство конкретных слов (например, пустого и не¬
пустого слова) и др. 4
Закон непротиворечия
Объективный мир устроен таким образом, что в одном
и том же предмете несовместимы (невозможны) нали¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 233.
103

чие (принадлежность, обладание) и отсутствие одних и
тех же признаков в одно и то же время.
Поэтому если предмет А обладает определенным
свойством, то в суждениях об А люди должны утверждать
это свойство, а не отрицать его. Если же человек,
утверждая что-либо, отрицает то же самое или утверж¬
дает нечто несовместимое с первым, налицо логическое
противоречие. Формально-логические противоречия — это
противоречия путаного, неправильного рассуждения. Та¬
кие противоречия затрудняют познание мира.
Нельзя смешивать формально-логические противоре¬
чия с диалектическими. Закон единства и борьбы про¬
тивоположностей действует всюду, поэтому диалектичес¬
кие противоречия свойственны природе, обществу и мыш¬
лению. Борьба противоположностей — движущая сила
развития природы, общества и мышления. В. И. Ленин
отмечал, что диалектическое противоречие — это «проти¬
воречие живой жизни, а не противоречие неправильного
рассуждения»1.
Древнегреческий философ и ученый Аристотель счи¬
тал «самым достоверным из всех начал» следующее:
«...невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же
время было и не было присуще одному и тому же
в одном и том же отношении»2. Тем самым Аристо¬
тель дал логическую формулировку закона непротиворе¬
чия: «Невозможно что-либо вместе утверждать и отри¬
цать»3. Эта формулировка указывает на необходимость
для человека не допускать в своем мышлении и речи
формально-противоречивые высказывания, в противном
случае его мышление будет неправильным.
В. И. Ленин указывал, что «„логической противоречи¬
вости”,— при условии, конечно, правильного логического
мышления — не должно быть ни в экономическом' ни
в политическом анализе» 4.
Мысль противоречива, если мы об одном и том же
предмете в одно и то же время и в одном и том же
отношении нечто и утверждаем, и отрицаем. Например,
«Кама — приток Волги» и «Кама не является притоком
Волги». Или: «Лев Толстой — автор романа „Воскре¬
сение”» и «Лев Толстой не является автором романа
„Воскресение”».
1 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 20, с. 152.
2 Аристотель. Метафизика. — Соч. M., 1976, т. 1, с. 125.
3 Аристотель. Вторая аналитика. — Соч. M., 1978, т. 2, с. 276.
4 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 30, с. 91.
104

Противоречия не будет, если мы говорим о разных
предметах или об одном и том же предмете, взятом
в разное время или в разном отношении. Противоречия
не будет, если мы скажем: «Осенью дождь полезен для
грибов» и «Осенью дождь вреден для уборки урожая»
или «Саша Голубев — перворазрядник (по настольному
теннису)» и «Саша Голубев не является перворазрядни¬
ком (по бегу)», так как предметы мысли в этих сужде¬
ниях берутся в разных отношениях. Суждения «Саша
Голубев не является перворазрядником по бегу» и «Са¬
ша Голубев является перворазрядником по бегу» не
будут противоречивыми, если они относятся к различному
времени, и будут противоречивыми, если они относятся
к одному и тому же времени.
Не могут быть одновременно истинными следующие
четыре типа простых суждений:
1. «Данное S есть Р» и «Данное S не есть Р».
2. «Ни одно S не есть Р» и «Все S' есть Р».
3. «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».
4. «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р».
При этом вторая пара суждений такова, что оба суж¬
дения могут быть ложными, например: «Ни один студент
не является спортсменом» и «Все студенты являются
спортсменами».
Формально-логическое противоречие чаще всего опре¬
деляется как конъюнкция суждения и его отрицания
(а и не-а). Но логическое противоречие может быть
выражено и без отрицания; оно имеет место между
несовместимыми утвердительными суждениями. Таково
именно логическое противоречие между суждениями, вы¬
двинутыми, с одной стороны, эмпириокритиками \ с дру¬
гой стороны, научными утверждениями естествоиспытате¬
лей. В отношении эмпириокритиков В. И. Ленин заме¬
чает: «...для эклектиков все и вся „совместимо”!..»1 2,—
а философию Маха и Авенариуса он характеризует так:
«...окрошка, набор противоречивых и бессвязных гносео¬
логических положений»3. 4
Логические противоречия имеют кроме гносеологичес¬
ких и социальные корни. На это обращали внимание
К. Маркс и Ф. Энгельс. В письме к Прудону К. Маркс
1 Эмпириокритицизм — субъективно-идеалистическое направление
в философии в начале XX в., связанное главным образом с име¬
нами Э. Маха и Р. Авенариуса.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 93.
3 Там же, с. 227.
105

писал о том, что мелкий буржуа составлен из «с одной
стороны» и «с другой стороны», он — воплощенное про¬
тиворечие. В. И. Ленин по поводу «кадетской» форму¬
лы: «Государственная дума с учредительными функция¬
ми для выработки конституции с утверждения госуда¬
ря...» — писал следующее: «Даже буржуазно-демократиче¬
ская печать отметила внутреннюю противоречивость и
нелепость этой формулы... Противоречивое классовое
положение буржуазии между самодержавием и пролета¬
риатом неизбежно порождает, независимо даже от воли и
сознания тех или иных отдельных лиц, бессмысленные
и нелепые формулы «соглашения»1. Из этого высказыва¬
ния В. И. Ленина видно, что имеются объективные
основы внутренне противоречивых формул — «соглаше¬
ний», отражающих противоречивое классовое положение
буржуазии. «Логика» вещей (в данном случае «логика»
поведения буржуазии) порождает логику идей (их внут¬
ренне противоречивые лозунги и формулы).
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что
формально-логическое противоречие возникает тогда, ког¬
да пытаются считать истинными два или несколько
утвердительных суждений, не совместимых между собой.
Не менее распространенной является форма логического
противоречия, когда одновременно утверждается и отри¬
цается одно и то же суждение, т. е. допускается конъ¬
юнкция а и не-а. Таким образом, в традиционной фор¬
мальной логике противоречием считается утверждение
двух противоположных (как контрарных, так и контра¬
дикторных) суждений об одном и том же предмете,
взятом в одно и то же* время и в одном и том же
отношении. В исчислении высказываний классической дву¬
значной логики закон непротиворечия записывается так в
виде формулы ала.
Закон непротиворечия читается так: «Два противопо¬
ложных суждения не могут быть истинными в одно и
то же время и в одном и том же отношении». К про¬
тивоположным суждениям относятся: 1) противные (кон¬
трарные) суждения А и £*, которые оба могут быть
ложными, поэтому не являются отрицающими друг дру¬
га и их нельзя обозначить как а и а; 2) противоре¬
чащие (контрадикторные) суждения А и О, Е и /, а
также единичные суждения «Это S есть Р» и «Это 5
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 12, с. 120—121.
106

не есть Р», которые являются отрицающими, так как
если одно из них истинно, то другое обязательно лож¬
но, поэтому их обозначают а и а.
Формула закона непротиворечия в двузначной класси¬
ческой логике ала отражает лишь часть содержатель¬
ного аристотелевского закона непротиворечия, так как
она относится только к противоречащим суждениям
(а и не-а) и не распространяется на противные (контрар¬
ные) суждения. Поэтому формула а л а неадекватно, не
полностью представляет содержательный закон непроти¬
воречия. Следуя традиции, мы сохраняем за формулой
ала название «закон непротиворечия», хотя оно значи¬
тельно шире, чем формула.
Если в мышлении (и речи) человека обнаружено
формально-логическое противоречие, то такое мышление
считается неправильным, а суждение, из которого выте¬
кает противоречие, отрицается и. считается ложным.
Поэтому в полемике при опровержении мнения оппонен¬
та широко используется метод «приведения к абсурду».
Часто использовал этот прием В. И. Ленин. Он как
бы договаривал за своего противника, продолжая цепь
его рассуждений, выводя из них логические следствия
до тех пор, пока ошибочность, ложность, абсурдность
этих следствий не станут очевидными. В работе «Ма¬
териализм и эмпириокритицизм» Ленин критикует попыт¬
ку Маха найти третий путь в философии (преодолеть
односторонности и материализма, и идеализма) путем
введения положения о том, что мир есть «комплекс
ощущений» субъекта, в данном случае автора этой фило¬
софской теории. Тогда все объекты, в том числе и дру¬
гие люди, — это тоже комплексы ощущений. Отсюда
логически следует положение крайнего солипсизма, со¬
гласно которому «существую только я», субъект, все
остальное — это комплекс моих ощущений. «Выходит, что
при помощи комплекса ощущений я (а я тоже не что
иное, как комплекс ощущений) ощущаю комплексы ощу¬
щений. Прелесть что за философия!»1.
Диалектические противоречия процесса познания иног¬
да выражаются в форме формально-логических противо¬
речий, например: опровержение гипотезы путем опровер¬
жения (фальсификации) следствий, противоречащих опыт¬
ным фактам или ранее известным законом; выступления
1 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. J8, с. 38.
107

докладчика и оппонента; обвинителя и защитника; взгля¬
ды людей, придерживающихся конкурирующих гипотез;
рассуждения врача (или врачей при консилиуме), полу¬
чившего клинические анализы, не совместимые с ранее
поставленным диагнозом болезни, и многие другие. Во
всех этих и подобных им ситуациях фиксируется не¬
совместимость суждения а и не-а, например несовмести¬
мость какого-либо суждения а из прежней теории и суж¬
дения не-а, выражающего мысль о новом полученном
опытном факте, т? е. фиксируется мысль, что суждения
а и не-а не могут быть оба истинными, а поэтому их
конъюнкция ложна.
Итак, здесь первичным (содержанием) выступает диа¬
лектическое противоречие, объективно возникающее в про¬
цессе познания и служащее его движущей силой; вто¬
ричным же является способ фиксации (выражения) диа¬
лектического противоречия в виде конъюнкции двух суж¬
дений а и не-а, т. е. в форме формально-логического
противоречия.
Здесь налицо ситуация, по своему типу аналогичная
случаю «антиномии-проблемы», когда возникшее
диалектическое противоречие в познании до момента его
разрешения выражается в форме «а и не-а», т. е. при¬
нимает облик, оболочку, внешнюю форму формально¬
логического противоречия, по существу же остается диа¬
лектическим, требующим своего разрешения в ходе иссле¬
дования возникшей проблемы. В результате диалектиче¬
ского синтеза тезиса и антитезиса получается новое зна¬
ние, отличающееся и от того, и от другого, а также
не являющееся их конъюнкцией. Итак, в мышлении
диалектическое противоречие до его разрешения иногда
принимает форму (структуру) формально-логического про¬
тиворечия, а обнаружение последнего свидетельствует
о том, что необходимы дальнейший анализ и исследова¬
ние возникшей в познании ситуации. Разрешение обнару¬
женного диалектического противоречия способствует
прогрессу познания.
Классическим случаем антиномии-проблемы является
знаменитая формулировка познавательной задачи в I то¬
ме «Капитала» К. Маркса: «...капитал не может возник¬
нуть из обращения и так же не может возникнуть вне
обращения. Он должен возникнуть в обращении и в то
же время не в обращении»1. Разрешив эту задачу,
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 23, с. 176.
108

Маркс раскрывает тайну возникновения прибавочной сто¬
имости: посредствующим звеном на пути к этому рас¬
крытию было установление того, что капитал возникает
в производстве, но при непосредственном соучастии об¬
ращения Ч
Закон исключенного третьего
В. И. Ленин неоднократно подчеркивал мысль о един¬
стве содержания законов объективного мира и законов
мышления: «Самые обычные логические „фигуры”...—
суть... самые обычные отношения вещей»1 2. Ф. Энгельс
также отмечал, что «...законы мышления и законы при¬
роды необходимо согласуются между собой, если только
они надлежащим образом познаны» 3. Эти высказывания
Ф. Энгельса и В. И. Ленина об объективном харак¬
тере законов логики относятся и к формально-логичес¬
кому закону исключенного третьего. Онтологическим
аналогом этого закона является то, что в предмете
указанный признак либо присутствует, либо нет.
В книге «Метафизика» Аристотель ’ сформулировал
закон исключенного третьего так: «Равным образом
не может быть ничего промежуточного между двумя
членами противоречия, а относительно чего-то одного
необходимо что бы то ни было одно либо утверждать,
либо отрицать» 4.
Закон исключенного третьего основывается на том,
что суждение может иметь только одно из двух истин¬
ностных значений: значение «истина» или значение
«ложь». Исходя из этого, Аристотель посредством семи
аргументов убедительно обосновывает невозможность
отрицания закона исключенного третьего.
В двузначной традиционной логике закон исключен¬
ного третьего формулируется так: «Из двух противоре¬
чащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего
не дано». Противоречащими (контрадикторными) называ¬
ются такие два суждения, в одном из которых 4то-
либо утверждается о предмете, а в другом то же самое
об этом же предмете отрицается, поэтому они не могут
быть оба истинными цли оба ложными; одно из них
1 См.: Нарский И. С. Диалектическое противоречие и логика
познания. М., 1969.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 159.
3 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 539 — 540.
4 Аристотель. Метафизика. — Соч., т. 1, с. 141.
109

истинно, а другое обязательно ложно. Такие суждения
называются отрицающими друг друга. Если одно из про¬
тиворечащих суждений обозначить переменной а, то дру¬
гое следует обозначить а.
Отрицающими являются следующие пары сужде¬
ний:
1. «Это S есть Р» и «Это S' не есть Р» (единич¬
ные суждения).
2. «Все S есть, Р» и «Некоторые S не есть Р»
(суждения А и О).
3. «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть
Р» (суждения Е и I).
В отношении противоречащих (контрадикторных)
суждений (А и О, Е и I) действует как закон исклю¬
ченного третьего, так и закон непротиворечия — в этом
одно из сходств данных законов.
Различие в областях определения (применения) этих
законов в том, что в отношении противных (контрар¬
ных) суждений А и Е (например, «Все грибы — съедоб¬
ны» и «Ни один гриб не является съедобным»), которые
не могут быть оба истинными, но могут быть оба лож¬
ными, действует лишь закон непротиворечия и не дей¬
ствует закон исключенного третьего. Поэтому сфера
действия содержательного закона непротиворечия (конт¬
рарные и контрадикторные суждения) шире, чем сфера
действия содержательного закона исключенного третьего
(лишь контрадикторные суждения, т. е. суждения типа
а и не-d). Действительно, истинно одно из двух сужде¬
ний: «Все дома в данной деревне электрифицированы»
или «Некоторые дома в данной деревне не являются
электрифицированными»; третьего не дано.
В классической двузначной символической логике за¬
кон исключенного третьего выражается формулой d v а
(знак «V» обозначает нестрогую дизъюнкцию, союз
«или»). Точнее этот закон было бы выражать форму¬
лой a v а, где «v» обозначает строгую дизъюнкцию,
характеризующую несовместимость а и а. Но мы здесь
и в дальнейшем будем придерживаться широко принятой
формулы для этого закона: a v а.
Закон исключенного третьего и в содержательном,
и в формализованном виде охватывает один и тот же
круг суждений — противоречащие, т. е. отрицающие друг
друга суждения.
Содержательные аристотелевские законы непротиворе¬
чия и исключенного третьего невыводимы один из дру-
110

того, так как области определения суждений, к которым
они применимы, различны.
В силу того что в формализованных законах непро¬
тиворечия и исключенного третьего, т. е. в формулах
а д а и a v а, области определения пропозициональных
переменных (т. е. переменных, обозначающих суждение
и его отрицание: а и а) оказываются одними и теми
же (берутся лишь противоречащие суждения), на основа¬
нии закона де Моргана, закона снятия двойного отри¬
цания и закона коммутативности дизъюнкции в двухзнач¬
ной классической логике путем элементарных эквивалент¬
ных преобразований из закона непротиворечия можно
вывести закон исключенного третьего (и наоборот):
ала = ауа = ача = а\/а.
В мышлении закон исключенного третьего предпола¬
гает четкий выбор одной, из двух взаимоисключающих
альтернатив. Для корректного ведения дискуссии выпол¬
нение этого требования обязательно. Так, В. И. Ленин,
критикуя одного из ликвидаторов, выступавшего по
вопросу о характере разногласий между большевиками
и меньшевиками, писал: «Одно из двух: ничтожны
разногласия или не ничтожны? Говорите же прямо.
Середины тут нет, ибо речь идет именно о том, воз¬
можно единство (да, возможно, если разногласия нич¬
тожны или малы), или невозможно (нет, невозможно,
если разногласия не «ничтожны»)»1.
Другим примером использования В. И. Лениным
закона исключенного третьего является критика попытки
Э. Маха преодолеть и материализм, и идеализм путем
введения понятия «элемент мира». «Либо „элемент”
есть ощущение, как говорят все эмпириокритики, и Мах,
и Авенариус, и Петцольдт, и т. д.,—тогда ваша фило¬
софия, господа, есть идеализм... Либо „элемент” не есть
ощущение, — и тогда с вашим „новым” словечком не свя¬
зано ровно никакой мысли...»2
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 24, с. 310.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 51.
111

Специфика действия закона исключенного третьего
при наличии «неопределенности» в познании
Как уже отмечалось, объективной предпосылкой дейст¬
вия в мышлении законов непротиворечия и исключен¬
ного третьего является наличие в природе, обществе
и самом мышлении относительно устойчивых состояний
предметов (относительного покоя), постоянства и опреде¬
ленности свойств и, отношений между предметами.
Но в природе и обществе происходят изменения,
переходы предметов и их свойств в свою противополож¬
ность, поэтому нередки переходные состояния, проме¬
жуточные ситуации. Неопределенность в самом познании
[и в одной из его форм (ступеней) — абстрактном мыш¬
лении] возникает, во-первых, в результате отражения
«переходных» состояний самих предметов действительно¬
сти и, во-вторых, в результате неполноты, неточности
(на каком-то этапе познания), не вполне адекватного от¬
ражения объекта познания в ходе его изучения.
Проанализируем некоторые «переходные» ситуации,
встречающиеся в природе, обществе и познании. В при¬
роде нестабильность перемещения воздушных потоков,
несущих циклоны и антициклоны, вызывает частые из¬
менения погоды, а неуправляемые стихийные явления
природы — землетрясения, наводнения, извержения вулка¬
нов, засухи или ливневые дожди — становятся причинами
бедствий. Точно предсказать погоду или землетрясение,
наводнение и многие другие природные явления пока еще
не всегда удается, и эта «неопределенность» нашего
познания нередко приводит к тому, что люди не могут
своевременно подготовиться к этим нежелательным при¬
родным явлениям.
По традиции, идущей от Аристотеля, часть логйков
считает, что в ситуациях, относящихся к будущему вре¬
мени, закон исключенного третьего неприменим, посколь¬
ку высказывания: „завтра необходимо будет морское
сражение” и „завтра необходимо не будет морского
сражения” сегодня не истинны и не ложны, но оба не¬
определенны \ Действительно, мы не можем сказать,
какое из двух противоречащих суждений: «Через месяц
в Ташкенте случится землетрясение» и «Через месяц в
Ташкенте землетрясения не случится» — будет истинно, а
какое ложно. В то же время солнечное затмение чело¬
1 Аристотель. Об истолковании. — Соч. M., 1978, т. 2, с. 102.
112

век может предсказать за сотни лет вперед с точнос¬
тью до секунды, поэтому в этой жесткой ситуации
закон исключенного третьего действует неограниченно,
так как мы можем точно указать, какое из двух про¬
тиворечащих суждений будет истинно: «27 декабря 1988 г.
в Москве будет солнечное затмение» и «27 декабря
1988 г. в Москве солнечного затмения не будет»,—хотя
оба эти суждения относятся к будущему времени. По¬
этому возможность применения закона исключенного
третьего к будущим единичным событиям надлежит каж¬
дый раз рассматривать конкретно.
В обществе, как и в природе, наряду с определен¬
ностью, стабильностью имеются неопределенные ситуа¬
ции, переходные периоды и состояния. Существуют не¬
предсказуемые, случайные события, например авиацион¬
ные катастрофы, железнодорожные и автомобильные ава¬
рии и т. д. Предсказать какую-то единичную катастрофу,
как правило, невозможно, поэтому применить в этой си¬
туации закон исключенного третьего не удается. Можно
возразить, что закон исключенного третьего говорит
лишь о том, что одно из двух противоречащих суж¬
дений истинно, а другое ложно, и третьего не дано, а
какое суждение окажется истинным — это задача конкрет¬
ного анализа. Но человек не может провести этот кон¬
кретный анализ для будущих событий и точно сказать,
приземлится ли этот самолет или нет, вернется ли на
свою базу самолет, идущий на боевое задание, или не
вернется. Ни одно из этих суждений не имеет опреде¬
ленного истинностного значения.
Поэтому относительно будущих единичных (конкрет¬
ных) событий утверждать истинность одного из двух
противоречащих суждений можно лишь с определенной
степенью вероятности (правдоподобия). Практически лю¬
ди именно так и поступают, более или менее надеясь
на успех и, следовательно, оценивая степень правдопо¬
добия, степень истинности того или иного суждения.
Неопределенные ситуации часто обнаруживаются в
познании, и не только потому, что такие ситуации име¬
ют место в природе и обществе или процесс позна¬
ния не завершен, но и потому, что необходимо ввести
третье значение истинности — «неопределенно» — в сами
процессы исследования, познания, обучения. Так, напри¬
мер, в социологических анкетах, распространяемых с
целью изучения общественного мнения, заранее плани¬
руется неопределенность ответа, поэтому, во-первых, дол¬
пз

жна быть предусмотрена графа с ответом: «Не знаю», а
во-вторых, должен учитываться случай, когда человек
вообще не ответит на тот или иной вопрос. При об¬
работке данных социологических обследований на ЭВМ
программа для нее должна предусматривать не только
случаи определенных ответов: «да» или «нет», но и слу¬
чаи неопределенных ответов. В процессе программиро¬
ванного обучения с помощью обучающих машин, в част¬
ности устройств типа «Экзаменатор», ответы на постав¬
ленные вопросы распределяются по трем группам:
1) «истинный ответ (или решение)»; 2) «ложный ответ
(или решение)»; 3) «не знаю». Итак, в ходе проверки
знаний учащихся или студентов с помощью машины за¬
ранее с определенной целью вводится третье значение
истинности — «неопределенно» — и закон исключенного
третьего не действует.
В научном и обыденном мышлении людям часто
приходится анализировать понятия, обладающие свой¬
ством гибкости, подвижности, не имеющие «жесткого»
фиксированного объема (например, понятие «молодой
человек», «старик», «модное платье» и многие другие).
В математике, логике, кибернетике и других науках
используются понятия с «жестким», фиксированным объ¬
емом, применяются алгоритмы, четко предписывающие
последовательность операций с этими понятиями. Но в
процессе отражения объективной реальности нам прихо¬
дится в мышлении оперировать и гибкими понятиями,
встречаться с так называемыми расплывчатыми алгорит¬
мами, иметь дело с методами, позволяющими решать
задачи, сама постановка которых включает в себя не¬
определенность. В теории «расплывчатых» множеств,
оперирующей такими понятиями, закон исключенного
третьего и закон непротиворечия не применяются. •
В приведенных выше примерах охарактеризованы си¬
туации, в которых закон исключенного третьего или
неприменим совсем или применим ограниченно: в опре¬
деленной области или на определенном этапе познания.
Проанализируем такие ситуации, в которых закон исклю¬
ченного третьего применим частично.
В процессе голосования разрешается голосовать за
принятие резолюции по системе трехзначной логики:
«за», «против», «воздержался», и здесь закон исключен¬
ного третьего не действует. Однако подсчет голосов
происходит по системе двузначной логики: либо резолю¬
ция принята, либо нет, третьего не дано.
114

К. Маркс писал: «Jus (право. — Ред.) знает только:
или — или» Действительно, в юридической практике
надо доказать суждение, что данный факт (преступление)
имел место, или его опровергнуть, и третьего не дано.
В случаях кассации вышестоящий суд принимает решение
опять-таки по закону исключенного третьего: «или вино¬
вен — или не виновен, третьего не дано». Но пока не за¬
кончено следствие и суждение, скажем, «Сомов виновен в
поджоге» еще не доказано и не опровергнуто, оно будет
не истинным и не ложным, а неопределенным.
Логические законы следует применять конкретно, в
зависимости от свойств тех предметных областей, кото¬
рые ими отображаются, что полностью относится и к
закону непротиворечия, и к закону исключенного треть¬
его.
В познании нередко возникают неопределенные ситуа¬
ции, которые отражают переходные состояния, имеющие¬
ся как в материальных явлениях, так и в самом процессе
познания (например, состояние клинической смерти; си¬
туации, когда гипотеза еще не подтверждена и не
опровергнута; когда мы не знаем, какова степень под¬
тверждения долгосрочного прогноза погоды; рассуждения
о будущих единичных событиях и т. д.). В такого рода
ситуациях мы не можем мыслить только по законам
классической двузначной логики, а прибегаем к трех¬
значной логике, в которой суждения принимают три зна¬
чения истинности: истина, ложь и неопределенность.
В ряде этих многозначных логик закон непротиворечия
не является тождественно-истинной формулой.
Итак, закон исключенного третьего применяется там,
где познание имеет дело с жесткой ситуацией: или —
или, истина —ложь; там же, где отражается неопреде¬
ленность в объективных процессах или неопределенность
в самом процессе познания, закон исключенного треть¬
его часто не может быть применен. Следовательно, ну¬
жен конкретный анализ конкретной ситуации с учетом
особенностей предметной области. «
Закон достаточного основания формулируется так:
«Всякая истинная мысль должна быть достаточно обо¬
снованной». Речь идет об обосновании именно и только
истинных мыслей; ложные же мысли обосновать нельзя.
Формулы для этого закона нет, ибо он имеет содер¬
жательный характер. В некоторых учебниках по логике
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 14, с. 649.
115

для выражения этого закона дается формула а -► Ь.
Однако в двузначной символической логике имеются па¬
радоксы материальной импликации, связанные с тем, что
в ней формула а->Ь истинна и в случае, если а и b оба
ложны, и в случае, если а ложно, а b истинно. Напри¬
мер, истинным в исчислении высказываний двузначной
логики считается такое суждение: «Если тигр — траво¬
ядное животное (а), то пятью шесть — сорок (Ь)», — хотя
в практике правильного мышления и в естественном
языке подобное высказывание является не просто ложью,
оно бессмысленно, так как между простыми суждениями
(а) и (Ь) отсутствует смысловая связь и тем более из
суждения (а) не следует суждение (6). Так как между
логической материальной импликацией, выражаемой в
логике формулой а -> Ь, и содержательным союзом
«если... то» нет полного соответствия, закон доста¬
точного основания не может быть выражен формулой
а -> Ь.
В качестве аргументов для подтверждения истинной
мысли могут быть использованы истинные суждения,
цифровой материал, статистические данные, законы науки,
аксиомы, теоремы.
Логическое основание и логическое следствие не всег¬
да совпадают с реальными причиной и следствием.
Так, например, дождь является реальной причиной того,
что крыши домов мокрые. Логические основание и след¬
ствие будут как раз обратными, так как, выглянув в
окно и увидев мокрые крыши домов (логическое осно¬
вание), мы выводим из него логическое следствие:
«Шел дождь». Поразительны выводы литературного героя
К. Дойля Шерлока Холмса, который по следствию
восстанавливал причину путем построения умозаключе¬
ния с высокой степенью достоверности от логического
основания, т. е. реального следствия, к логическому след¬
ствию, т. е. к реальной причине события. Врачи при
постановке диагноза заболевания также идут от реально¬
го следствия к реальной причине, поэтому их выводы
должны особенно тщательно проверяться и аргументи¬
роваться.
Особую доказательную силу имеют аргументы в
научных исследованиях, в процессе обучения, когда нельзя
принимать на веру недоказанные утверждения. «Гораздо
„легче” брать на веру то, что попадется, что доведется
услышать, о чем более „открыто” кричат, и тому по¬
добное. Но только людей, удовлетворяющихся этим,
116

зовут „легонькими”, легковесными людьми, и никто с
ними серьезно не считается»1.
В. И. Ленин высоко ценил громадную доказатель¬
ность изложения2, присущую «Капиталу» К. Маркса.
Принципы доказательства, приемы и методы обосно¬
вания истинных мыслей и опровержения ложных будут
освещены более подробно в главе «Логические основы
теории аргументации».
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИХ
ЗАКОНОВ В ОБУЧЕНИИ
Формально-логические законы действуют во всяком
мышлении, но в обучении необходимо их сознательное
использование, поскольку обучение направлено на форми¬
рование правильного мышления у учащихся. При таком
использовании законы формальной логики выступают
как нормативные правила мышления. Закон тождества
как нормативное правило мышления запрещает подме¬
нять в процессе рассуждения какое-либо понятие (или
суждение) другим понятием (или суждением), запрещает
употреблять термины в различных смыслах, требует чет¬
кости, ясности и однозначности понятий. В работе учи¬
теля это проявляется в необходимости четкого опреде¬
ления вводимых понятий, и в первую очередь основ¬
ных, опорных. В процессе обучения учащиеся встреча¬
ются с синонимами (око—глаз, болезнь — хворь) и омони¬
мами (поле, класс, группа и др.). Употребление омони¬
мов особенно опасно, если они имеют близкое значение.
В преподавании школьной дисциплины отсутствие омо¬
нимии — необходимое требование, ибо каждый термин
или каждый знак (символ) должен определяться одно¬
значно. В математике ошибки иногда проистекают из
того, что один и тот же термин употребляется в раз¬
ных смыслах. Так, например, раньше запись [ЛВ] обо¬
значала как отрезок с концами А и В, так и его дли¬
ну; теперь этот отрезок обозначается через [АВ], а его
длина — через \АВ\, при этом запись \АВ\ = 3 см читается
как «длина отрезка АВ равна 3 см». Слово «цифра» ис¬
пользовалось для обозначения соответствующего одно¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 23, с. 67 — 68.
2 См.: Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 1, с. 130.
117

значного числа, что приводило к путанице при изложе¬
нии материала.
Ясность и однозначность употребления понятий и сим¬
волов в математике требует особого математического
языка, краткого и точного, с правилами, которые в отли¬
чие от правил обычной грамматики не терпят никаких
исключений. «С этой точки зрения, составление
уравнений имеет сходство с переводом, переводом
с обычного языка на язык математических симво¬
лов» \
Анализируя новую задачу, учащиеся должны ввести
подходящие обозначения. Д. Пойа считает, что хорошая
система обозначений должна удовлетворять следующим
требованиям: быть однозначной, содержательной, легко
запоминающейся. Нельзя одним и тем же знаком обо¬
значать разные объекты (в одной и той же задаче),
но можно использовать различные символы для одного
и того же объекта (например, конъюнкцию суждений
можно обозначать как а&Ь, или а л Ь, или а-b). Учи¬
тель должен показать учащимся, что язык математических
символов помогает ему в решении задач.
Закон тождества требует изложения материала, как
устного, так и письменного, ясным и простым языком.
Учебник должен помочь учащемуся выделить принципи¬
альное, отделить главное от второстепенного, не впадая
в многословие, что сделать гораздо сложнее, чем на
лекции или на уроке. Изложение в учебнике должно
быть кратким, наглядным, логически четким, но не
сухим.
Не менее важно использование закона тождества на
уроках русского языка, литературы, истории, общество¬
ведения и др. Закон тождества, как и в математике,
требует однозначного употребления понятий, недопус¬
тимости логической ошибки «подмена понятия». К сожа¬
лению, учащиеся путают некоторые понятия, например
не могут удовлетворительно раскрыть понятие «собствен¬
ность», провести четкую грань между гражданской право¬
способностью и дееспособностью, недостаточно глубоко
усваивают понятие «административное право» 1 2. Для уче¬
ников ясна актуальность и злободневность критики ме¬
щанства, особенно в обстановке обострившейся идеоло¬
1 Пойа Д. Как решать задачу. М., 1961, с. 116.
2 См.: Анализ знаний, умений и навыков учащихся г. Москвы
(1981/82 учебный год). М., 1983, с. 84 — 85.
118

гической борьбы, нетерпимость к рецидивам мещанства
в нашей жизни; эта тема их волнует, однако они недо¬
статочно ясно, четко знают содержание понятия «ме¬
щанство»
На уроках литературы учителя используют закон
тождества для обучения школьников работе над сочине¬
ниями. Ранее мы отмечали, что нарушение закона тож¬
дества проявляется в отступлении от обсуждаемой темы,
в подмене одного предмета обсуждения другим. Боль¬
шинство учащихся при написании сочинений умеют опре¬
делить границы темы, отобрать соответствующий мате¬
риал, развернуть и доказательно раскрыть основную
мысль сочинения. Недостатки в сочинениях проявляются
в нарушении композиции (отсутствии вступления, выво¬
дов по теме, многословии, нарушении логики повество¬
вания). Законы логики (в том числе закон тождества)
требуют ясности, сжатости изложения, умения полностью
охватить тему сочинения, последовательности в изложе¬
нии, правильного построения системы аргументации.
Однако часть учащихся сужает тему, не умеет делать
обобщений и выводов, находить подходящее слово из
родного языка. Некоторые учащиеся отвечают на вопросы
и передают содержание прочитанного «книжными» фра¬
зами, не могут кратко передать основную мысль
«своими» словами (это относится и к переводу с иност¬
ранного языка на русский).
В ходе обучения в школе закон тождества исполь¬
зуется и при проведении операции деления, а также для
усвоения и построения различных классификаций, когда
осуществляется требование постоянства признака, являю¬
щегося основанием деления или классификации. Наруше¬
ние этого требования приводит к логической ошибке,
выражающейся в том, что члены деления не исключают
друг друга.
На основании закона тождества осуществляется иден¬
тификация, широко применяющаяся юристами-кримина¬
листами, историками (в ходе изучения археологических
раскопок), филологами, биологами, химиками, геолога¬
ми, географами и т. д. На уроках по соответствую¬
щим дисциплинам учителя используют нужный материал,
подтверждающий идентификацию (отождествление) раз¬
личных объектов в ходе их изучения. Правильное
1 Сущность этого понятия раскрыта в книге А. И. Новикова
«Мещанство и мещане» (Л., 1983).
119

отождествление дает нам знание об общих признаках
предметов.
С законом тождества связан закон непротиворечия,
ибо первый выражает отношение логической однозначно¬
сти, а второй — отношение логической несовместимости.
Использование законов тождества и непротиворечия в
школе тесно связано с операцией сравнения, в процессе
которой устанавливаются сходства и различия рассмат¬
риваемых предметов. К. Д. Ушинский в своей педаго¬
гической деятельности отводил сравнению одно из веду¬
щих мест. При сравнении мы встречаемся с двумя
формами несовместимости: А и А (первая, более прос¬
тая); А и В, где В распадается на не-А -I- С (вторая,
более сложная). Закон непротиворечия охватывает обе эти
формы несовместимости. Форма а и а, примененная к
суждениям, выражает отношения между суждениями
А и О, Е и I (см. «логический квадрат»). Форма
а и b выражает отношения между суждениями А и Е.
Закон непротиворечия используется в школе при
осуществлении дихотомического деления понятий, когда
мы понятие А делим на В и не-В (например, растения
делятся не съедобные и несъедобные). При этом В и
не-В являются несовместимыми понятиями, находящими¬
ся в отношении противоречия (т. е. противоречащими
понятиями). К несовместимым понятиям относятся и про¬
тивоположные понятия (белая бумага — черная бумага;
наказание — награда, надежда — отчаяние). Закон непро¬
тиворечия, подобно закону тождества, распространяется
не только на суждения, но и на понятия, а в логике
классов — на классы, где он выражается формулой
А • А [буквой А обозначается класс (множество)]. Когда
мы имеем дело с операцией дополнения к классу • А,
обозначаемой Л1, для которой действует закон А - А1 = 0
(пересечение класса А с его дополнением пусто), то это
лишь иная форма выражения закона непротиворечия
применительно именно к понятиям, а не к сужде¬
ниям.
Закон непротиворечия, примененный к понятиям, про¬
является в использовании в письменной и устной речи
слов-антонимов, противоположных по своему основному
значению и обозначающих противоположность тех или
иных предметов, качеств, действий, состояний, явлений,
желаний, результатов и т. д. (например, великан — кар¬
лик, продление — сокращение, гармония — дисгармония,
120

симметрия — асимметрия, легкий труд — нелегкий труд и
т. д.).
В зависимости от выражаемого типа противополож¬
ности антонимы делятся на следующие классы: 1. Ан¬
тонимы, выражающие качественную противоположность.
«Полную, истинную антонимию выражают крайние сим¬
метричные члены такого противопоставления, средние же
указывают на возрастание (или убывание) степени ка¬
чества: легкий (простой, пустяковый), нетрудный, сред¬
ней трудности, нелегкий, трудный (сложный)». 2. Анто¬
нимы, выражающие дополнительность. Это сравнительно
небольшой класс антонимов, которые представляют со¬
бой два противоположных члена, дополняющих друг
друга до выражения той или иной сущности, так что
отрицание одного из них дает значение другого: не +
-I- холостой = женатый (слепой — зрячий, конечный — бес¬
конечный). 3. Антонимы, выражающие противополож¬
ную направленность действий, признаков и свойств (раз¬
бирать — собирать, увеличивать — уменьшать, зажигать —
гасить, тушить и др.)1.
По способу образования слов антонимы можно под¬
разделить с помощью дихотомического деления (т. е.
на Л и не-А} таким образом.
| разно корневые |
| Антонимы |
| однокорневые [
Громкий — тихий
польза — вред,
верность — измена,
с отрицательными
приставками "не",
"без", "бес" и др.
с приставками
неотрицательными
день — ночь.
Долгий — недолгий,
Приход — уход,
грамотность —
безграмотность,
революция —
контрреволюция,
сон — бессонница,
ум — безумие,
честность —
бесчестность.
зацветать —
отцветать,
влететь — вылететь,
перелет — недолет.
4
1 Классификация антонимов дана Л. А. Новиковым. См.:
Львов М. Р. Словарь антонимов русского языка/Под ред. Л. А. Но¬
викова. М., 1978, с. 14—16.
121

Антонимы могут выражаться с помощью формально
различных средств, поэтому одному слову может про¬
тивопоставляться два или даже несколько слов. Напри¬
мер, в словаре М. Р. Львова имеются два антонима
для слова «друг» — «враг», «недруг»; для слова «серьез¬
ный» антонимами являются слова «несерьезный», «лег¬
комысленный»; для слова «благородный» — слова «низ¬
кий» (например, «благородный поступок» — «низкий по¬
ступок»), «неблагородный» («благородный человек» —
«неблагородный человек»), «низменный» («благородные
побуждения» — «низменные побуждения»)1.
Из приведенных примеров видно, что несовместимые
понятия, находящиеся в отношении противоречия или в
отношении противоположности, могут выражаться сло¬
вами-антонимами, имеющими разную структуру: 1) А -В
(доброта — злоба; герой — трус); 2) А - не-А (грамот¬
ность — неграмотность; виновность — невиновность).
Закон непротиворечия распространяется на понятия
обоих видов и соответственно на антонимы указанных
двух видов.
Задача учителя русского языка, литературы и других
предметов состоит в том, чтобы во избежание наруше¬
ния закона непротиворечия тщательно следить за исполь¬
зованием антонимов в письменной и устной речи. Сле¬
дует отличать смысловые оттенки двух антонимов ж од¬
ному и тому же слову (например, действие — бездейст¬
вие, действие — противодействие; выгодно — невыгодно,
выгодно — убыточно).
На уроках литературы учащиеся знакомятся с отдель¬
ными проявлениями противоречивости в мышлении лите¬
ратурных героев, учатся анализировать допущенные про¬
тиворечия в своих сочинениях, в ответах своих одно¬
классников.
Если человек нечто утверждает, а затем то же самое
отрицает, т. е. допускает противоречие, то его рассужде¬
ние неправильно.
В романе Тургенева «Рудин» есть такой диалог
Рудина и Пигасова.
«— Прекрасно! — промолвил Рудин.— Стало быть, по-вашему,
убеждений нет?
— Нет и не существует.
— Это ваше убеждение?
1 Львов М. Р. Словарь антонимов русского языка. М., 1984, с.
42-43, 331-332.
122

- Да.
— Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на
первый случай.
Все в комнате улыбнулись и переглянулись».
В работе по развитию речи учителя используют
различные методы, формы и средства обучения. В 5-м
классе учащимся было дано задание подобрать дома
открытку или репродукцию небольшого размера с изобра¬
жением уголка природы, найти точные и яркие слова,
словосочетания для описания этого предмета или явле¬
ния. На уроке учащиеся смотрели через эпидиаскоп
открытки и слушали описание того, что на ней изоб¬
ражено. В одной из работ ученик написал: «Вся поляна
наполнилась янтарным блеском. От берез и елей на
землю падали унылые тени...» (на экране — соответству¬
ющее изображение открытки). Сразу поднимается мно¬
жество рук, так как учащиеся замечают отсутствие яр¬
кого света на открытке. Оказалось, что ученик не знает
значения слова «янтарный». Сообща находят синонимы:
желтый, золотистый, золотисто-желтый. Смотрят на кар¬
тину и видят, что такого освещения на ней нет. И уже
сам ученик, автор сочинения, замечает, что «янтарный
блеск» и «унылые тени» несовместимы.
В школьном преподавании отдельных предметов, и в
первую очередь математики, часто используется метод
«приведения к абсурду» (reductio ad absurdum). Приме¬
нение этого метода в математике основано на законе
непротиворечия: ^сли из допущения а вытекает противо¬
речие, т. е. (Ь л Ь), то а должно быть отвергнуто, как
ошибочное. Однако Д. Пойа приводит ряд аргументов,
свидетельствующих о недостатках метода «приведения
к абсурду» и метода косвенного доказательства, так как
мы все время вынуждены концентрировать свое внимание
не на истинной теореме, которую следует запомнить,
а на ложном допущении, которое следует забыть. Сло¬
весная форма изложения, подчеркивает Д. Пойа, может
стать утомительной и даже невыносимой, так как неод¬
нократно повторяются слова «гипотетически», «предполо¬
жительно», «якобы»1. Однако было бы неблагоразумно
совсем отказаться от «reductio ad absurdum» в матема¬
тике, хотя лучше там, где возможно, заменить этот
прием и метод косвенного доказательства прямым до¬
казательством.
1 См.: Пойа Д. Как решать задачу, с. 176—178.
123

Закон непротиворечия используется в ходе проведения
диспутов в школе. Выдвинутое суждение одного учаще¬
гося и противоречащее ему суждение другого (например,
Л и О) не могут быть одновременно и в одном и том
же отношении истинными, одно из них обязательно
ложно. В ходе дискуссии ложность одного суждения
и должна быть доказана. Диспуты, в частности, при¬
меняются в процессе формирования читательских интере¬
сов школьников, наряду с обзорами новинок литературы,
обсуждениями, конференциями и другими способами по¬
вышения уровня читательской культуры учащихся. Дис¬
путы используются при обсуждении этических, эстетичес¬
ких и других проблем. Предметом дискуссии становит¬
ся вопрос, который в литературе и в жизни разными
людьми разрешается по-разному. Изучаемая проблема до¬
пускает несколько толкований (например, нравственные
проблемы), и в ходе дискуссии путем сравнения, анализа,
обсуждения различных точек зрения учащиеся приходят
к правильному выводу. Такие дискуссии можно прово¬
дить на уроках литературы, обществоведения. В ходе
дискуссии учащиеся ставят остро волнующие их вопро¬
сы, приводят отрицательные факты и явления, заслу¬
живающие общественного порицания (в частности,
«жизнь не по средствам», взяточничество, спекуляция,
должностные злоупотребления и т. д.).
В процессе обучения используется и закон исключен¬
ного третьего, причем в многообразных ситуациях; мы же
отметим лишь некоторые, наиболее важные. Закон исклю¬
ченного третьего требует выбора одной из двух взаимо¬
исключающих альтернатив.
Аналогично закону непротиворечия и закону тождест¬
ва закон исключенного третьего применим не только к
суждениям, но и к понятиям, а также к_ классам, • вы¬
ражающим объем понятия (формула A v А для классов).
В соответствии с этой формулой используется дихото¬
мическое деление понятия на два взаимоисключающих
и взаимодополняющих (до универсума) класса. Дихото¬
мия используется во всех науках и соответственно в
преподавании любой школьной дисциплины. Например,
предложения бывают простыми или сложными (непрос¬
тыми); внимание бывает произвольное или непроизволь¬
ное; числовой ряд конечный или бесконечный и т. д., и
кроме этих А или не-А третьего не дано.
Дополнение к классу А, т. е. Л1, строится в соответ¬
ствии с законом исключенного третьего и подчиняется
124

формуле А + А1 = 1. На уроках математики эта формула
и построение дополнения к классу А находит широкое
применение.
В процессе обучения важную роль играет закон до¬
статочного основания. Это выражается в требовании
доказательности в изложении учителя и в ответах уча¬
щихся, оптимального отбора информации. В связи с тем
что имеется отдельная глава «Логические основы аргу¬
ментации», мы отсылаем читателя к этому разделу книги.
Глава V.
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 1. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ
Формами мышления являются понятия, суждения и умо¬
заключения. Опосредованно, с помощью многообразных
видов умозаключений, мы можем получать новые зна¬
ния. Построить умозаключение можно при наличии од¬
ного или нескольких истинных суждений (называемых
посылками), поставленных во взаимную связь. Возьмем
пример умозаключения:
Все углероды горючи.
Алмаз — углерод.
Алмаз горюч.
Структура всякого умозаключения включает посылки,
заключение и логическую связь между посылками и за¬
ключением. Логический переход от посылок к заключе¬
нию называется выводом. В приведенном примере два
первых суждения, стоящих над чертой, являются посыл¬
ками; суждение: «Алмаз горюч» является заключением.
Для того чтобы проверить истинность заключения «Алм^з
горюч», вовсе не нужно обращаться к непосредственно¬
му опыту, т. е. сжигать алмаз. Заключение о горючести
алмаза с полной достоверностью можно получить с по¬
мощью умозаключения, опираясь на истинность посылок
и соблюдение правил вывода.
Умозаключение — форма мышления, в которой из од¬
ного или нескольких истинных суждений на основании
определенных правил вывода получается новое суждение,
125

с необходимостью или определенной степенью вероят¬
ности следующее из них.
Процесс получения заключений из посылок по прави¬
лам дедуктивных умозаключений называется выведением
следствий.
Понятие логического следования
Выведение следствий из данных посылок — широко рас¬
пространенная логическая операция. Как известно, усло¬
виями истинности заключения являются истинность по¬
сылок и логическая правильность вывода. Иногда, в хо¬
де доказательства от противного, в рассуждении до¬
пускаются заведомо ложные посылки (так называемый
антитезис при косвенном доказательстве) или принимают¬
ся посылки недоказанные, однако в дальнейшем эти по¬
сылки обязательно подлежат исключению.
Человек, не изучавший логику, делает эти выводы,
не применяя сознательно фигур и правил умозаключе¬
ния. Формальная логика знакомит с правилами различ¬
ных видов умозаключений. Математическая логика дает
формальный аппарат, с помощью которого в определен¬
ных частях логики можно выводить следствия из данных
посылок. Используя этот аппарат мы можем, имея неко¬
торые данные, получить из них новые сведения, непо¬
средственно не очевидные из этой информации, но за¬
ключенные в ней, можем выводить логические следст¬
вия, вытекающие из данной информации.
Логическое следствие из данных посылок есть предло¬
жение, которое не может -быть ложным, когда эти по¬
сылки истинны.
Иными словами, некоторое выражение В есть логиче-
кое следствие из формулы А, (где А и В — обозначения
для различных по форме предложений), если, заменив
те конкретные элементарные высказывания, которые вхо¬
дят в А и В, переменными, мы получим тождественно¬
истинное выражение (А -> В), или закон логики.
Возьмем такой пример. Нам даны три посылки:
1) «Если Иван — брат Марьи или Иван — сын Марьи,
то Иван и Марья — родственники»; 2) «Иван и Марья —
родственники»; 3) «Иван — не сын Марьи». Можно ли из
них вывести логическое следствие, что «Иван — брат
Марьи»? Многим сначала кажется, что такое логическое
заключение из данных трех посылок будет истинным.
Чтобы проверить это, следует составить формулу этого
126

умозаключения. Обозначим суждение «Иван — брат Ма¬
рьи» буквой (переменной) а. суждение «Иван — сын
Марьи» — буквой b и суждение «Иван и Марья — род¬
ственники» — буквой с.
Запишем нашу задачу символами (над чертой запи¬
саны три данные посылки, под чертой — предполагаемое
заключение):
(a v Ь) -> с, с, b
а
Объединив три посылки в конъюнкцию «л» и при¬
соединив к ним посредством знака «->» предполагаемое
заключение а, получим формулу:
(((a v Ь) -> с) л с л Ь) -> а.
Нам нужно проверить, является ли данная формула,
в которой а, Ь, с трактуются теперь как переменные,
законом логики.
Составим для этой формулы таблицу.
а
ь
с
в
a v b
(a v Ь) -
♦ с
((а у Ь)-> с) л
л с л Ь
{{a vZ>)->r)A
л с л Ь) -> а
И
и
и
л
л
И
л
И
И
и
л
л
л
и
л
И
и
л
и
и
и
и
и
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
и
л
и
и
л
и
л
и
л
л
и
л
л
и
л
л
и
и
л
и
и
л
л
л
л
и
л
и
л
и
В последней колонке формула в одном случае при¬
нимает значение «ложь», значит, она не является зако¬
ном логики. Следовательно, из данных трех посылок
не следует с необходимостью заключения, что «Иван *-
брат Марьи». Иван может быть племянником Марьи,
или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо
другим ее родственником.
Этот пример показывает, что эффективность средств
математической логики видна тогда, когда средствами
традиционной формальной логики трудно установить,
вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок
или нет, особенно в случае, когда мы имеем дело с
127

большим числом посылок (но не имеем еще дела с фор¬
мулами, содержащими кванторы).
Умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивнее
и умозаключения по аналогии. Умозаключения могут быть
логически необходимыми, т. е. давать истинное заключе¬
ние, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать
не истинное заключение, а лишь с определенной степе¬
нью вероятности следующее из данных посылок.
Для правильно построенного дедуктивного умо¬
заключения характерен необходимый характер логическо¬
го следования заключения из данных посылок.
§ 2. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Дедуктивное умозаключение — такое, в котором заключе¬
ние необходимо следует из посылок, выражающих зна¬
ния большей степени общности, и которое само являет¬
ся знанием меньшей степени общности.
Например,
Все рыбы дышат жабрами.
Все окуни - рыбы.
Все окуни дышат жабрами.
Здесь первая посылка «Все рыбы дышат жабрами»
является общеутвердительным суждением и выражает
большую степень обобщения по сравнению с заключе¬
нием, также являющимся общеутвердительным суждени¬
ем «Все окуни дышат жабрами». Мы строим умоза¬
ключение от признака, принадлежащего роду («рыба»),
к его принадлежности к виду — «окунь», т. е. от общего
класса к его частному случаю, к подклассу. Частный слу¬
чай при этом не надо путать с частным суждением
вида «Некоторые S' есть Р» или «Некоторые S не
есть Р».
Понятие правила вывода
Умозаключение дает истинное заключение, если исходные
посылки истинны и соблюдены правила вывода. Правила
вывода или правила преобразования суждений позволяют
переходить от посылок (суждений) определенного вида к
заключениям также определенного вида. Например, если
в качестве посылок даны два суждения, имеющих форму
«а v Ъ» и форму «а», то по одному из правил вывода
128

можно перейти к суждению вида «Ь». Это можно запи¬
сать так: ((л v Ь) л й)->Ь. Данная формула является
законом логики.
Логически правильно можно рассуждать в применении
к вопросам, относящимся к любым предметам. Логичес¬
кие ошибки также могут быть обнаружены в рассужде¬
ниях любого предметного содержания. Из этого не сле¬
дует, разумеется, что в любых условиях и к любой
предметной области должен быть применим один и тот же
аппарат формально-логических правил. Сам этот аппарат
должен развиваться вместе с развитием науки и прак¬
тической деятельности людей. Одна из характерных черт
логики состоит в том, что логика позволяет, получив
некоторую информацию, знания об обстоятельствах дела,
извлечь из них — точнее говоря, выявить — содержащиеся
в их совокупности новые знания. Так, наблюдая движе¬
ние Луны и Солнца и делая логические выводы из
этих наблюдений (включая и индуктивные обобщения),
люди еще в античной древности умели логически выво¬
дить из них достаточно точные предсказания о наступ¬
лении солнечных и лунных затмений.
Другая характерная черта логики, органически связан¬
ная с предыдущей, состоит в том, что всякий логи¬
ческий вывод из посылок предполагает некоторую фор¬
мализацию, т. е. может быть осуществлен по каким-ни¬
будь общим правилам, относящимся к способам выраже¬
ния знаний и способам переработки этих выражений:
способам образования и преобразования выражений. В
зависимости от средств, которыми мы располагаем, таких
способов формализации может быть много, начиная с
того, что одно и то же значение мы можем выразить
на разных языках. Но какой-нибудь из языков (под
«языком» не обязательно понимать звуковую речь) нам
необходимо употребить. Без языка, без материального
способа выражения мысли невозможно и само мышле¬
ние.
Формализация способов вывода состоит прежде всего
в том, что каждый шаг вывода совершается только в
соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных
правил вывода, относящихся только к способам опериро¬
вания с формальными выражениями мысли с помощью
материальных знаков. Среди последних имеются специ¬
фически логические, так называемые логические кон¬
станты (постоянные). В математической логике — это
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эк-
5 А. Д. Гетманова
129

виваленция, кванторы общности и существования
и др.
Выбор правил вывода в логической системе не явля¬
ется произвольным, как иногда утверждаю! позитивисты.
Правила вывода должны удовлетворять ряду требований.
Во-первых, из истинных посылок они должны позволять
выводить только истинное заключение. Во-вторых, пра¬
вила вывода должны быть непротиворечивыми (совмести¬
мыми) в данной логической системе, такими, чтобы
нельзя было одним способом вывести формулу а, а дру¬
гим — формулу а, т. е. нарушить закон непротиворечия.
В противном случае в противоречивой логической систе¬
ме было бы выводимо (доказуемо) все что угодно: как
истина, так и ложь. В-третьих, выдвигается требование
полноты системы правил вывода, которое означает то,
что мы, пользуясь только этими правилами вывода в
данной логической системе, можем вывести любое содер¬
жательно истинное заключение, сформулированное в
терминах данной системы и логически следующее из дан¬
ных посылок.
Различают правила прямого вывода и правила непря¬
мого (косвенного) вывода. Правила прямого вывода поз¬
воляют из имеющихся истинных посылок получить истин¬
ное заключение. Правила непрямого (косвенного) вывода
позволяют заключать-'о правомерности некоторых выво¬
дов из правомерности других выводов (эти правила
будут проанализированы в § 10 настоящей главы).
На основе правил прямого вывода построены де¬
дуктивные умозаключения. Типы дедуктивных умозаклю¬
чений (выводов) такие: выводы, зависящие от субъектно¬
предикатной структуры суждений; выводы, основанные на
логических связях между суждениями (выводы логики
высказываний).
Эти типы выводов и предстоит нам рассмотреть.
Рассмотрим выводы, основанные на субъектно-преди¬
катной структуре суждений.
К формам, типичным в практике рассуждений, отно¬
сятся следующие выводы из категорических суждений:
1) выводы посредством преобразования суждений; 2) ка¬
тегорический силлогизм, сокращенный силлогизм (энти-
мема), сложные (полисиллогизмы) и сложносокращенные
силлогизмы (сориты и эпихейрема).
130

§ 3. ВЫВОДЫ ИЗ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СУЖДЕНИЙ
ПОСРЕДСТВОМ ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Непосредственными умозаключениями называются дедук¬
тивные умозаключения, делаемые из одной посылки.
К ним относятся следующие: превращение, обращение,
противопоставление предикату и умозаключения по «ло¬
гическому квадрату».
Превращение
Превращение — вид непосредственного умозаключения,
при котором изменяется качество посылки без изменения
ее количества. Как уже отмечалось, по качеству связки
(«есть» или «не есть») категорические суждения делятся
на утвердительные и отрицательные.
При этом частноутвердительное суждение превраща¬
ется в частноотрицательное и наоборот, а общеутвер¬
дительное суждение превращается в общеотрицательное
и наоборот.
Превращение строится двумя способами:
а) путем двойного отрицания, которое ставится перед
связкой и перед предикатом:
S' есть Р.-+ S не есть не-Р.
Подлежащие — главные члены предложения.-* Ни од¬
но подлежащее не является не главным членом предло¬
жения;
б) отрицание можно переносить из предиката в связку.
S есть не-Р.~* S не есть Р.
Все галогены являются неметаллами.-> Ни один гало¬
ген не является металлом.
Превращению подлежат все четыре вида суждения:
Л, Е, Д О.
1. Л-*Е.
Структура: Все S есть Р.-> Ни одно S не есть не^Р.
Все волки — хищные животные. -► Ни один волк не яв¬
ляется нехищным животным.
2. Е-*Л.
Ни одно S не есть Р. -> Все S' есть не-Р.
Ни один многогранник не является плоской фигурой.-►
Все многогранники являются неплоскими фигурами.
3. 1->О.
Некоторые S есть Р.-> Некоторые S не есть не-Р.
5*
131

Некоторые грибы съедобны.-* Некоторые грибы не яв¬
ляются несъедобными.
4. O-+I.
Некоторые 5 не есть Л-* Некоторые 5 есть не-Р.
Некоторые члены предложения не являются главны¬
ми.—► Некоторые члены предложения являю гея неглав¬
ными.
Обращение
Обращением называется такое непосредственное умоза¬
ключение, в котором в заключении (в новом сужде¬
нии) субъектом является предикат, а предикатом — субъ¬
ект исходного суждения, т. е. происходит перемена мест
субъекта и предиката при сохранении качества суждения.
Приведем четыре примера:
1. Все дельфины — млекопитающие.-* Некоторые мле¬
копитающие являются дельфинами.
2. Все развернутые углы — углы, стороны которого
составляют одну прямую.-> Все углы, стороны которого
составляют одну прямую, являются развернутыми угла¬
ми.
3. Некоторые школьники являются филателистами.-*
Некоторые филателисты являются школьниками.
4. Некоторые музыканты — скрипачи.-* Все скрипачи
являются музыкантами.
Обращение бывает двух видов: простое или чистое
(примеры 2 и 3) и обращение с ограничением (примеры
1 и 4).
Обращение будет чистое, или простое, тогда, когда и
S, и Р исходного суждения либо оба распределены, либо
оба не распределены. Обращение с ограничением бы¬
вает тогда, когда в исходном суждении субъект распре¬
делен, а предикат не распределен, или наоборот, 5 не
распределен, а Р распределен.
Примеры:
1. Суждение А общеутвердительное.
а) «Все параллельные прямые в геометрии Евклида
суть прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие
общих точек» (определение).
После обращения данное суждение переходит в такое:
«Все прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие
общих точек, суть параллельные прямые в геометрии
Евклида». Это чистое, или простое, обращение.
132

б) Суждение А «Все советские космонавты — Герои
Советского Союза» обращается с ограничением: «Неко¬
торые Герои Советского Союза — советские космонавты».
2. Суждение Е общеотрицательное.
Так как в нем всегда и S, и Р распределены, то
его обращение чистое, или простое.
«Ни одна трапеция не является равносторонней фигу¬
рой».-» «Ни одна равносторонняя фигура не является
трапецией».
3. Суждение I частноутвердительное.
Два случая обращения:
а) Обращение чистое, если S и Р не распределены.
Например, суждение «Некоторые растения являются ядо¬
витыми» при обращении дает следующее суждение:
«Некоторые ядовитые организмы являются растениями».
б) Обращение с ограничением, когда объем Р меньше
объема 5, т. е. Р распределен, a S не распределен.
Например, суждение «Некоторые музыканты — компози¬
торы» при обращении переходит в суждение «Все ком¬
позиторы являются музыкантами».
4. Суждение О частноотрицательное.
Это суждение не обращается, так как из суждения
О необходимые выводы не следуют. Так, например, из
истинного частноотрицательного суждения «Некоторые
животные не являются собаками» путем обращения нель¬
зя получить истинного суждения.
Противопоставление предикату
Это такое непосредственное умозаключение, при котором
в новом суждении (т. е. в заключении) субъектом явля¬
ется понятие, противоречащее предикату исходного суж¬
дения, а предикатом является субъект исходного сужде¬
ния; вместе с этим связка меняется на противополож¬
ную.
Иными словами, мы делаем таким образом: 1) вместо
Р берем не-Р\ 2) меняем местами 5 и не-Р\ 3) связ¬
ку меняем на противоположную.
Например, дано суждение: «Все львы — хищные жи¬
вотные». В результате противопоставления предикату
получим суждение: «Ни одно нехищное животное не
является львом».
Противопоставление предикату можно рассматривать
как результат двух последовательных непосредственных
133

умозаключений — сначала превращения, затем обращения
превращенного суждения.
Противопоставление предикату для различных видов
суждений осуществляется так:
1. А. Все 5 есть Р.-> Ни одно не-Р не есть S.
Все металлы электропроводны.-» Ни один не элек¬
тропроводник не является металлом.
2. Е. Ни одно S не есть Р.-» Некоторые не-Р есть S.
Ни один красный мухомор не является съедобным
грибом.-» Некоторые несъедобные грибы есть
красные мухоморы.
3. О. Некоторые S не есть Р.-> Некоторые не-Р есть 5.
Некоторые преступления не являются умышлен¬
ными.-» Некоторые неумышленные деяния явля¬
ются преступлениями.
4. I. Из частноутвердительного суждения необходимые
выводы не следуют.
Задача
Сделать превращение, обращение и противопоставление
предиката для следующего суждения: «Все грибы — рас¬
тения».
Это суждение вида А.
Превращение — «Ни один гриб не является не рас¬
тением».
Обращение (с ограничением) — «Некоторые растения
являются грибами».
Противопоставление предикату — «Ни одно не расте¬
ние не есть гриб».
Все виды непосредственных умозаключений дают нам
новое знание, особенно умозаключение, называемое про¬
тивопоставлением предикату.
Умозаключения по «логическому квадрату»
На основании отношений между суждениями Л, Е, I, О
можно строить достоверные непосредственные выводы.
Например, пусть дано истинное суждение А : «Все
тюлени — ластоногие». Из него можно сделать следую¬
щие выводы: 1) суждение Е: «Ни один тюлень не
является ластоногим» — ложное суждение; 2) суждение /:
«Некоторые тюлени являются ластоногими» — истинное
суждение; 3) суждение О: «Некоторые тюлени не явля¬
ются ластоногими» — ложное суждение.
134

§ 4. КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ
Категорический силлогизм — это вид дедуктивного умоза¬
ключения, в котором из двух истинных категорических
суждений, связанных средним термином, при соблюдении
правил необходимо следует заключение.
Силлогизм происходит от греческого syllogismos
(сосчитывайте, выведение следствия).
В составе категорического силлогизма присутствуют
две посылки и заключение.
Все металлы (М) электропроводны (Р) — большая
посылка.
Медь (5) есть металл (А/) — меньшая посылка.
Медь (S) электропроводна (Р) - заключение.
Понятия, входящие в состав силлогизма, называются
терминами силлогизма. В приведенном примере терми¬
нами являются: Р («электропроводник») — больший тер¬
мин, это предикат заключения; 5 («медь») — меньший
термин, это субъект заключения; М («металл») — средней
термин, служащий в посылках для связывания S и Р
и отсутствующий в заключении.
Первая посылка, содержащая предикат заключения
(т. е. больший термин), называется большей посылкой.
Вторая посылка, содержащая субъект заключения (т. е.
меньший термин), называется меньшей посылкой.
В основе вывода по категорическому силлогизму
лежит аксиома силлогизма. «Все что утверждается о роде
135

(или классе), необходимо утверждается или отрицается
о виде (или о члене данного класса), принадлежащем
к данному роду». Иными словами: то что мы утверж¬
даем о металле как роде, мы утверждаем и о его виде —
меди, а именно утверждаем его признак «быть электро¬
проводником».
Фигуры и модусы силлогизма
Фигурами силлогизма называются формы силлогизма,
различаемые по положению среднего термина М в по¬
сылках/Различаются четыре фигуры.
м
м
S — P
///
Рис. 37
Примеры:
1. Все злаки (ЛГ) — растения (Р).
Рожь (5) - злак (Л/).
2. Все честные люди (Р) трудят¬
ся (Л/)-
Иванов (S) не трудится (Л/).
Рожь (S) — растение (Р).
3. Все углероды (Л/) — простые -
тела (Р).
Все углероды (Л/) — электро-
проводны (5).
Иванов (S') — не является чест¬
ным человеком (Р)
4. Все киты (Р) — млекопитаю¬
щие (Л/).
Ни одно млекопитающее (Л/)
не есть рыба (S3-
Некоторые электропроводники
(S’) — простые тела (Р).
Ни одна рыба (S) не есть кит
(Р)-
Особые правила фигур
I фигура.
II фигура.
III фигура.
Большая посылка должна быть общей,
меньшая — утвердительной.
Большая посылка общая и одна из по¬
сылок, а также заключение отрицатель¬
ные.
Меньшая посылка должна быть утверди¬
тельной, а заключение — частное.
136

IV фигура. Общеутвердительных заключений не дает.
Если большая посылка утвердительная,
то меньшая посылка должна быть общей.
Если одна из посылок отрицательная, то
большая посылка должна быть общей.
Модусы категорического силлогизма
Модусами фигур категорического силлогизма называются
разновидности силлогизма, отличающиеся друг от друга
качественной и количественной характеристикой входя¬
щих в них посылок и заключения.
Всего правильных модусов в четырех фигурах 19.
I фигура имеет следующие правильные модусы (бук¬
вы обозначают последовательно количество и качество
большей посылки, меньшей и заключения): AAA, ЕАЕ,
АП, ЕЮ. Пример 1 иллюстрирует модус А А А.
II фигура имеет правильные модусы: АЕЕ, АОО, ЕАЕ,
ЕЮ. Умозаключение 2 построено по модусу АЕЕ.
III фигура имеет правильные модусы: AAI, EAO, IAI,
ОАО, АП, ЕЮ. Модус AAI представлен примером 3.
IV фигура имеет правильные модусы: AAI, АЕЕ, IAI,
ЕАО, ЕЮ. Модус АЕЕ представлен примером 4.
Правила категорического силлогизма
Категорические силлогизмы в мышлении встречаются
весьма часто. Для того чтобы получить истинное за¬
ключение, необходимо брать истинные посылки и соблю¬
дать перечисленные ниже правила категорического сил¬
логизма (так же как и особые правила фигур категори¬
ческого силлогизма, перечисленные ранее).
I. Правила терминов
1. В каждом силлогизме должно быть только три тер¬
мина (S, Р, М). Ошибка называется «учетверение тер¬
минов». Ошибочное умозаключение:
Движение вечно.
Хождение в институт — движе¬
ние.
Хождение в институт вечно.
Здесь «движение» трактуется в разном смысле —
в философском и обыденном.
137

2. Средний термин должен быть распределен по край¬
ней мере в одной из посылок.
Некоторые растения (Л/) ядовиты (Р).
Белые грибы (S) — растения (Л/).
Белые грибы (5) — ядовиты (Р).
Здесь средний термин «растение» не распределен ни в
одной из посылок, поэтому заключение ложное.
3. Термин, не распределенный в посылке, не может
быть распределен в заключении. Иначе в терминах за-
ключенйя говорилось бы больше, чем в терминах по¬
сылок.
Во всех городах за полярным кругом бывают белые
ночи.
Ленинград не находится за полярным кругом.
В Ленинграде не бывает белых ночей.
Заключение ложное, так как нарушено данное правило.
Предикат вывода в заключении распределен, а в посылке
он не распределен, следовательно, произошло расшире¬
ние большего термина.
II. Правила посылок
4. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать ника¬
кого заключения.
Например:
Дельфины не рыбы.
Щуки не дельфины.
7
5. Если одна из посылок отрицательная, то и за¬
ключение должно быть отрицательным.
Все моржи — ластоногие.
Это животное не является ластоногим.
Это животное не является моржом.
6. Из двух частных посылок нельзя сделать заключе¬
ние.
138

Некоторые животные — пресмыкаю¬
щиеся.
Некоторые живые организмы — живот¬
ные.
9
7. Если одна из посылок частная, то и заключение
должно быть частным.
Все спекулянты подлежат наказанию.
Некоторые люди — спекулянты.
Некоторые люди подлежат наказанию.
Наиболее распространенные ошибки при умозаключении
по категорическому силлогизму такие:
1. Заключение делается по I фигуре с меньшей от¬
рицательной посылкой. Приведем два примера.
Все классные комнаты нуждаются в проветривании.
Эта комната — не классная.
Эта комната не нуждается в проветривании.
Все студенты сдают экзамены.
Смирнов не является студентом.
Смирнов не сдает экзамены.
Заключение не следует с необходимостью из посылок,
так как вторая посылка должна быть утвердительной.
2. Заключение делается по II фигуре с двумя утвер¬
дительными посылками.
Все студенты сдают экзамены.
Петров сдает экзамены.
Петров — студент.
Заключение не следует с необходимостью из этих по¬
сылок, так как одна из посылок и заключение должны
быть отрицательными суждениями.

§ 5. СОКРАЩЕННЫЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ
СИЛЛОГИЗМ (ЭНТИМЕМА)
Энтимемой, или сокращенным категорическим силлогиз¬
мом, называется силлогизм, в котором пропущена одна
из посылок или заключение.
Термин «энтимема» в переводе с греческого языка
означает «в уме», «в мыслях». Примером энтимемы яв¬
ляется такое умозаключение: «Мы — граждане СССР,
следовательно, мы имеем право на жилище».
Восстановим энтимему:
Все граждане СССР имеют право на жилище.
Мы — граждане СССР.
Мы имеем право на жилище.
Пропущена большая посылка.
«Право советского изобретателя охраняется государ¬
ством, а следовательно, и право этого человека охра¬
няется государством».
Восстановим энтимему:
Право советского изобретателя охраняется государством.
Право этого человека — право советского изобретателя.
Право этого человека охраняется государством.
Пропущена меньшая посылка.
«Все комсомольцы должны честно трудиться, а ты —
комсомолец». Пропущено заключение.
При восстановлении энтимемы надо, во-первых, опре¬
делить, какое суждение является посылкой, а какое,—
заключением.
Посылка обычно стоит после союзов «так как»,
«потому что», «ибо» и т. п., а заключение стоит после
слов «следовательно», «поэтому», «потому» и т. д.
Студентам дается энтимема: «Этот физический про¬
цесс не является испарением, так как не происходит
перехода вещества из жидкости в пар». Они восстанавли¬
вают эту энтимему, т. е. формулируют полный категори¬
ческий силлогизм. Суждение, стоящее после слов «так
как», является посылкой. В энтимеме пропущена боль¬
шая посылка, которую студенты формулируют на основе
знаний о физических процессах.
140

Испарение есть процесс перехода вещества из жидкости в пар.
Этот физический процесс не есть процесс перехода вещества
из жидкости в пар.
Этот физический процесс не есть испарение.
Данный категорический силлогизм построен по II фи¬
гуре; особые правила ее соблюдены, так как одна из
посылок и заключение отрицательные, большая посылка
общая, представляющая собой определение понятия
«испарение».
Энтимемами пользуются чаще, чем полными катего¬
рическими силлогизмами.
§ 6. СЛОЖНЫЕ И СЛОЖНОСОКРАЩЕННЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ
(ПОЛИСИЛЛОГИЗМЫ, СОРИТЫ, ЭПИХЕЙРЕМА)
Полисиллогизмом (сложным силлогизмом) называются
два или несколько простых категорических силлогизмов,
связанных друг с другом таким образом, что заклю¬
чение одного из них становится посылкой другого. Разли¬
чают прогрессивные и регрессивные полисиллогизмы.
В прогрессивном полисиллогизме заключение предшест¬
вующего силлогизма становится большей посылкой по¬
следующего силлогизма. Приведем пример прогрессив¬
ного полисиллогизма, представляющего собой цепь из
трех силлогизмов, и имеющего такую схему:
Все что укрепляет здоровье (А), полез¬
но (В).
Спорт (С) укрепляет здоровье (Л).
Значит, спорт (С) полезен (В).
Легкая атлетика (D) есть спорт (С).
Значит, легкая атлетика (Р) полезна
(В).
Бег (Е) есть вид легкой атлетики (£>).
Бег (Е) полезен (В).
Схема:
Все А есть В.
Все С есть А.
Значит, все С есть В.
Все D есть С.
Все D есть В.
Все Е есть D.
Все Е есть В.
Возьмем полисиллогизм, состоящий из двух силлогиз¬
мов, и справа запишем его схему.
141

Все металлы (Л) теплопроводны (В).
Щелочноземельные металлы (С) — ме¬
таллы (А).
Щелочноземельные металлы (С) теп¬
лопроводны (В).
Кальций (Р) — щелочноземельный ме¬
талл (Q.
Кальций (D) теплопроводен (В).
Схема:
Все А есть В.
Все С есть А.
Все С есть В.
Все D есть С.
Все D есть В.
Если общие категорические суждения заменить совпа¬
дающими с ними по смыслу условными суждениями,
то второй полисиллогизм примет следующий вид:
Если предмет есть металл, то он теплопроводен.
Если предмет есть щелочноземельный металл, то он, конечно, металл.
Если предмет есть щелочноземельный металл, то он теплопроводен.
Если предмет есть кальций, то он щелочноземельный металл.
Значит, если предмет есть кальций, то он теплопроводен.
Выразив суждение «Предмет есть металл» буквой а,
суждение «Предмет теплопроводен» — буквой Ь, суждение
«Предмет есть щелочноземельный металл» — буквой с,
суждение «Предмет есть кальций» — буквой d, мы полу¬
чим следующую формулу алгебры логики, соответствую¬
щую приведенному выше прогрессивному полисилло¬
гизму: ((а -> Ь) л (с -► л) л (с -► Ь) л (d с)) -> (d -> b).
Эта формула тождественно-истинна, если все посылки
полисиллогизма являются общими суждениями.
Регрессивный полисиллогизм — это такой сложный сил¬
логизм, в котором заключение предшествующего силло¬
гизма становится меньшей посылкой последующего сил¬
логизма.
1. Все организмы (В) суть тела
(Q.
Все растения (А) суть организ¬
мы (В).
2. Все тела (Q имеют вес (Z>).
Все растения (А) суть тела (С).
Все растения (А) суть тела (С).
Все растения (А) имеют вес (D).
Запишем эти два силлогизма схематически:
1. Все В суть С. 2. Все С суть D.
Все А суть В. Все А суть С.
Все А суть С.
Все А суть D.
142

Соединив их вместе и не повторяя дважды сужде¬
ние «Все А суть С», мы получим схему регрессивного
полисиллогизма для общеутвердительных посылок:
Все В суть С.
Все А суть В.
Все С суть D.
Все А суть С.
Все А суть D.
Формула ((Ь -> с) л (а-> Ь) л (с-> d) л (я-> с)) -► (а-> d).
Сорит (с общими посылками).
Прогрессивный и регрессивный полисиллогизм в
мышлении чаще всего применяются в сокращенной фор¬
ме — в виде соритов.
Существуют два вида соритов: прогрессивный и ре¬
грессивный.
Прогрессивный сорит получается из прогрессивного
полисиллогизма путем выбрасывания заключений пред¬
шествующих силлогизмов и больших посылок последую¬
щих.
Все что укрепляет здоровье (А), полезно (В).
Спорт (Q укрепляет здоровье (Я).
Легкая атлетика (D) — спорт (Q.
Бег (Е) — вид легкой атлетики (Z>).
Бег (Е) полезен (В).
Схема прогрессивного сорита:
Все А суть В.
Все С суть А.
Все D суть С.
Все Е суть D.
Все Е суть В.
Прогрессивный сорит начинается с посылки, содержа¬
щей предикат заключения, и заканчивается посылкой,
содержащей субъект заключения.
((а -> Ь) л (с -+ а) л (d с) л (е -> d)) -> (е -> Ь).
Регрессивный сорит получается из регрессивного поли¬
силлогизма путем выбрасывания заключений пред¬
шествующих силлогизмов и меньших посылок последу¬
143

ющих. В первом категорическом силлогизме меняем
местами посылки.
Все растения (А) суть организмы (В).
Все организмы (В) суть тела (С).
Все тела (Q имеют вес (D).
Всякое растение (А) имеет вес (D).
Схема регрессивного сорита:
Все А суть В.
Все В суть С.
Все С суть D.
Все А суть D.
Регрессивный сорит начинается с посылки, содержа¬
щей субъект заключения, и кончается посылкой, содержа¬
щей предикат заключения.
((а -► Ь) с) л (с d)) (а d).
Это формула алгебры логики (или исчисления вы¬
сказываний), соответствующая регрессивному сориту, со¬
стоящему из трех общеутвердительных посылок.
Формализация эпихеирем с общими посылками
Эпихейремой в традиционной логике называется такой
сложносокращенный силлогизм, обе посылки которого
представляют собой сокращенные простые силлогизмы
(энтимемы).
Схема эпихейремы, содержащей лишь общие и утвер¬
дительные высказывания, обычно записывается следую¬
щим образом:
Все А суть С, так как А суть В.
Все D суть Л, так как D суть Е.
Все D суть С.
Пример эпихейремы:
Благородный труд (А) заслуживает уважения (Q, так как благо¬
родный труд (Л) способствует прогрессу общества (В).
Труд советского учителя (D) есть благородный труд (Л), так как
труд советского учителя (D) заключается в обучении и воспитании
подрастающего поколения в СССР (Е).
Труд советского учителя (D) заслуживает уважения (С).
144

Первая и вторая посылки эпихейремы представляют
собой энтимемы, т. е. сокращенные категорические сил¬
логизмы, у которых одна из посылок опущена. Выразим
полностью первую и вторую посылки эпихейремы.
1. Все В суть С.
Все А суть В.
2. Все Е суть А.
Все D суть Е.
Все А суть С.
Все D суть А.
Возьмем заключения первого и второго силлогизмов
и сделаем их большей и меньшей посылками нового,
третьего силлогизма.
3. Все А суть С.
Все D суть А.
Все D суть С.
Восстановим полностью эпихейрему.
1. Все, что способствует прогрессу общества (В), заслуживает уваже¬
ния (0.
Благородный труд (А) способствует прогрессу общества (В).
Благородный труд (А) заслуживает уважения (0.
2. Обучение и воспитание подрастающего поколения в СССР (Е)
есть благородный труд (Л).
Труд советского учителя (D) заключается в обучении и воспита¬
нии подрастающего поколения в СССР (Е).
Труд советского учителя (£>) есть благородный труд (Л).
Заключения первого и второго силлогизмов делаются
посылками третьего силлогизма.
3. Благородный труд (Л) заслуживает уважения (0.
Труд советского учителя (Е>) есть благородный труд (Л).
Труд советского учителя (D) заслуживает уважения (0.
Приведем еще один пример эпихейремы.
Все рыбы (Л) — позвоночные животные (0, так как рыбы (Л) имеют
скелет (В).
Все акулы (Z>) — рыбы (Л), так как акулы (D) дышат жабрами (Е).
Все акулы (D) — позвоночные животные (С).
145

В виде правила вывода восстановленную эпихейрему
можно записать так:
Ь-+ с, а-*Ь\— а-* с
е-> a, d-> е\— d-+ а
d-> с
(Здесь «|—» — знак вывода.) Этому правилу соответствует
формула
((fe -> с) л (а -+ Ь) а (е а) л (d -> е)) -> (d с).
В целях большей наглядности переставим посылки и
запишем эту формулу так:
((J -* е) л (е -* а) л (а -> Ь) л (Ь -> с)) -> (d -* с).
Можно доказать, что эта формула является законом
логики.
Так же как и энтимемы, сложносокращенные силло¬
гизмы значительно упрощают наши рассуждения.
Выводы, основанные на логических связях
между суждениями (выводы логики высказываний)
Если в логике предикатов простые суждения расчленя¬
лись на субъект и предикат, то в логике высказываний
суждения не расчленяются, а рассматриваются как прос¬
тые суждения, из которых с помощью логических связок
(логических постоянных) образуются сложные суждения.
Правила прямых выводов логики высказываний позво¬
ляют из данных истинных посылок выводить истинное
заключение. На основе правил прямых выводов построе¬
ны чисто условные и условно-категорические, разделитель¬
ные и разделительно-категорические, а также условно¬
разделительные (лемматические) умозаключения.
§ 7. УСЛОВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Чисто условным умозаключением называется такое опо¬
средствованное умозаключение, в котором обе посылки
и заключение являются условными суждениями. Услов¬
ным называется суждение, имеющее структуру: «Если
а, то Ь». Структура чисто условного умозаключения
такая:
146

Если а, то b
Если 6, то с
Схема:
а -* Ь, Ь-> с
Если а, то с а-> с
Этот вид умозаключения часто используется в школе,
в частности на уроках математики, физики и др. При¬
ведем пример.
Если по проводнику пропустить электрический ток, то вокруг про¬
водника образуется магнитное поле.
Если вокруг проводника образуется магнитное поле, то железные
опилки располагаются в этом магнитном поле вдоль силовых линий.
Если по проводнику пропустить электрический ток, то железные
опилки располагаются в его магнитном поле вдоль силовых линий.
В чисто условном умозаключении существуют его раз¬
новидности (модусы). К ним относится, например, такой:
Если а, то b Схема:
Если не-а, то b а-> b
а-+Ь
b

b
Формула: ((а -> Ь) л (а^Ь))-^Ь.
Формула является законом логики. В этом умоза¬
ключении суждение b истинно независимо от того, утвер¬
ждается или отрицается а.
Примером такого умозаключения является следующее
рассуждение:
Если будет хорошая погода, уберем урожай.
Если не будет хорошей погоды, уберем урожай.
Уберем урожай.
При четырех посылках формула чисто условного умо¬
заключения будет такая:
((а -+Ь) л (Ь-+с) л (с->d) л (d-+ е)) -» (а -+ е).
У словно-категорические умозаключения
Условно-категорическое умозаключение — это такое де¬
дуктивное умозаключение, в котором одна из посы¬
лок — условное суждение, а другая — простое категоричес¬
кое суждение.
147

Оно имеет два правильных модуса, дающих заключе¬
ние, с необходимостью следующее из посылок.
I. Утверждающий модус (modus ponens).
Структура его: Если а, то Ь. Схема: а-*Ь.
а а
b Ь~
Формула (1): ((а -* Ь) л а)-* b — является законом логики.
Можно строить достоверные умозаключения от
утверждения основания к утверждению следствия.
Пример:
Если в стране произошла социальная революция, то в ней
была революционная ситуация.
В стране произошла социальная революция.
В стране была революционная ситуация.
Любое использование правил в русском языке, мате¬
матике, физике, химии и других школьных дисциплинах
основано на утверждающем модусе, дающем достовер¬
ное заключение, поэтому в практике мышления он на¬
ходит самое широкое применение.
Если этот металл натрий, то он легче воды.
Данный металл — натрий.
Данный металл легче воды.
II. Отрицающий модус (modus tollens).
Структура его: Если а, то b Схема: а -* b
Не-b - Ъ
Не-а а
Формула (2): ((а -► Ь) л Ъ) -► а — также является зако¬
ном логики (это можно доказать с помощью таблицы).
Можно строить достоверные умозаключения от отри¬
цания следствия к отрицанию основания.
Пример:
Если в данном предмете нарушена мера (а), то количественные
изменения приводят к качественным изменениям (Ь).
В данном предмете количественные изменения не привели к каче¬
ственным изменениям (Ь).
В данном предмете не нарушена мера (а).
Условно-категорическое умозаключение может давать
не только достоверное заключение, но и вероятное.
148

Первый вероятный модус
Структура его: Если а, то b Схема: а-> b
b Ь
Вероятно, а Вероятно, а
Формула (3): ((а -> Ь) л Ь)-+ а — не является законом ло¬
гики.
Нельзя получить достоверное заключение идя от
утверждения следствия к утверждению основания. На¬
пример, в умозаключении
Если бухта замерзла, то суда не могут входить в бухту.
Суда не могут входить в бухту.
Бухта замерзла.
заключение будет лишь вероятным суждением, т. е., ве¬
роятно, бухта замерзла, но возможно, что дует сильный
ветер или бухта заминирована либо существует другая
причина, по которой суда не могут входить в бухту.
Вероятное заключение получится и в таком умо¬
заключении:
Если данное тело — графит, то оно электропроводно.
Данное тело электропроводно.
Вероятно, данное тело — графит.
Второй вероятный модус
Структура его: Если а, то Ъ Схема: а -► b
Не-а а
Вероятно, не-b Вероятно, b
Формула (4): ((а -► Ь) л а) -> b — не является законом
логики.
Нельзя получить достоверное заключение идя от отри¬
цания основания к отрицанию следствия. Например:
Если человек имеет повышенную температуру, то он болен.
Этот человек не имеет повышенной температуры.
Этот человек не болен.
Учащиеся в школе также допускают логические
ошибки при построении умозаключений.
Если тело подвергнуть трению, то оно нагреется.
Тело не подвергли трению.
Тело не нагрелось.
149

Заключение здесь только вероятное, но не достоверное,
ибо тело могло нагреться по какой-либо другой при¬
чине (от солнца, в печи и т. д.).
Заметим, что приведения такого рода примеров
вполне достаточно для того, чтобы показать, что формы
умозаключений, выражаемые формулами (3) и (4), непра¬
вильны. Но никакое количество примеров применения
форм, соответствующих формулам (1) и (2), не в состоя¬
нии — если мы оперируем только примерами — обосно¬
вать их логическую правильность. Для такого обосно¬
вания требуется уже некоторая логическая теория. Такая
теория, фактически отсутствующая в традиционной
логике, содержится в алгебре логики. Если формула,
в которой конъюнкция посылок и предполагаемое заклю¬
чение соединены знаком импликации, не является тожде¬
ственно-истинной, т. е. не выражает закона логики, то
в умозаключении заключение не является достоверным.
На таблице истинности видно, что столбцы, соответ¬
ствующие формулам (1) (modus ponens) и (2) (modus tollens),
состоят из одних знаков «И» («истинно»); следовательно,
формулы (1) и (2) выражают законы логики, а это
означает, что modus ponens и modus tollens представляют
собой логически правильные формы умозаключений.
а
ь
а
ъ
а -> b
(а-
■* Ь) л а
л а)-> b
(а -> Ь) лЪ
л Ь) а
И
и
Л
л
И
И
И
Л
И
И
л
л
и
и
Л
И
л
и
Л
и
и
л
и
л
И
л
и
л
л
и
и
и
л
и
и
и
Таблицу для неправильных модусов предоставляем
построить читателю. В ней наряду со знаками «И» мы
увидим и знаки «Л» («ложь»), а это значит, что выра¬
жения ((а -> Ь) л Ь) -> а и ((а -> b) а а) -> b не являются
тождественно-истинными высказываниями, т. е. законами
логики.
Если умозаключение строится от утверждения след¬
ствия к утверждению основания, то вследствие множе¬
ственности причин, из которых может вытекать одно
и то же следствие, можно прийти к ложному заклю¬
чению. Например, выясняя причину заболевания человека,
надо перебрать все возможные причины: простудился,
переутомился, был в контакте с бациллоносителем и т. д.
150

§ 8. РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Разделительным называется умозаключение, в котором
одна или несколько посылок — разделительные (дизъюнк¬
тивные) суждения. Существуют чисто разделительные
и разделительно-категорические умозаключения.
В чисто разделительном умозаключении обе (или все)
посылки являются разделительными суждениями.
В традиционной логике принята следующая его
структура:
5 есть .4, или В, или С.
А есть или Alf или А2.
S есть или или А2, или В, или С.
В первом разделительном суждении каждое из трех
простых суждений: S есть A, S есть В, 5 есть С —
называется альтернативой. Из суждения «5 есть А»
образуются еще две альтернативы, которые составляют
два члена новой дизъюнкции.
Обозначив суждение «S есть А» буквой а, «5 есть
В» — буквой b, «S есть С» — через с, «А есть Аг» — через
аь «А есть А2» — через а2, получим схему чисто разде¬
лительного умозаключения:
a v b v с
at v а2
01 v о2 v b v с
Пример:
Всякая философская система есть или идеализм, или материализм.
Идеалистическая система является или объективным, или субъек¬
тивным идеализмом. *
Всякая философская система есть или объективный идеализм, или
субъективный идеализм, или материализм.
В разделительно-категорическом умозаключении одна
посылка — разделительное суждение, другая — простое
категорическое суждение. Этот вид умозаключения со¬
держит два модуса.
I модус — утверждающе-отрицающий (modus ponendo
tollens).
Данный глагол может стоять или в настоящем, или в прошедшем,
или в будущем времени.
Данный глагол стоит в настоящем времени. .
Данный глагол не стоит ни в будущем, ни в прошедшем времени.
151

Заменив конкретные высказывания в посылках и
заключении переменными, получим запись этого модуса
(с двумя членами дизъюнкции) в терминах символиче¬
ской логики в виде правила вывода:
a v b, a avb, b
— или т2—.
b а
В этом модусе союз «или» употребляется в смысле
строгой дизъюнкции. Формулы, соответствующие этому
модусу, имеют вид:
1) ((a v Ь) л а) -► 6; 2) ((а v b) л Ь) -> а.
Обе эти формулы выражают законы логики.
Если в этом модусе союз «или» взят в смысле
нестрогой дизъюнкции, то формулы (3) и (4), соответ¬
ствующие этому модусу, не будут выражать закон
логики.
3) ((a v Ь) л а) -* Ь; 4) {(a v b) лЬ)-> а.
Доказательство формул (1) и (3) дано в следующей
таблице.
а
ь
ь
a v b
(а ’
v Ь) л а
((а v Ь) л а) -*
а у b
(а
vb) /
\ а
((а v Ь) л
л а) -> Ь
И
и
л
И
И
л
л
л
И
И
л
и
и
И
И
И
И
И
л
и
л
и
л
и
и
л
и
л
л
и
л
л
и
л
л
и
Ошибки происходят из-за смешения в этом модусе
соединительно-разделительного и строго разделительного
смысла союза «или». Нельзя, например, рассуждать таким
образом:
Учащиеся в контрольной работе по математике допускают или
вычислительные ошибки, или ошибки в эквивалентных преобразо¬
ваниях, или ошибки в применении изученных алгебраических правил.
Учащийся Сидоров допустил в контрольной работе вычислитель¬
ные ошибки.
Сидоров не допустил в работе ни ошибок в эквивалентных пре¬
образованиях, ни ошибок в применении изученных алгебраических
правил.
Заключение не является истинным суждением, так как
Сидоров мог допустить все три вида ошибок.
152

II модус — отрицающе-утверждающий (modus tollendo
ponens). Приведем пример.
Минеральные удобрения бывают или азотными, или фосфорными,
или калийными.
Данное минеральное удобрение не является ни азотным, ни
фосфорным.
Данное минеральное удобрение является калийным.
Отрицающе-утверждающий модус (для случая дву¬
членной разделительной посылки) в виде правила вывода
в алгебре логики может быть записан следующим
образом:
avb, a a v b,b a v b, a a v b9b
b 9 a 9 b 9 a
Логический союз «или» здесь может употребляться
в двух смыслах: как строгая дизъюнкция (v) и как
нестрогая дизъюнкция (v), т. е. характер дизъюнкции
на необходимость заключения по этому модусу не влияет.
Этому модусу соответствуют четыре формулы, кото¬
рые являются законами логики:
1) ((a vb) ла)-^Ь; 3) ((а v b) л а) - Ь;
2) ((а v Ь) л Ь) -> а; 4) ((a v b) л Ь)-> а.
Обязательным условием при выводах по раздели¬
тельно-категорическому умозаключению является соблю¬
дение правила о том, что в разделительной посылке
должны быть предусмотрены все возможные альтернати¬
вы, т. е. деление должно быть полным. Это правило
для отрицающе-утверждающего модуса обязательно.
Пример:
*
Пожар мог произойти или в результате небрежного обращения с огнем,
или в результате поджога, или по причине неисправной электро¬
проводки.
Данный пожар не произошел ни в результате небрежного обращения
с огнем, ни по причине неисправной электропроводки.
Данный пожар произошел в результате поджога.
Заключение не достоверное, а вероятное, так как
в первой разделительной посылке перечислены не все
возможные причины возникновения пожара (например,
в результате взрыва или в результате загорания от
молнии и т. д.).
153

§ 9. УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ
(ЛЕММАТИЧЕСКИЕ) УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Условно-разделительное умозаключение — это такое умо¬
заключение, в котором одна посылка состоит из двух
или более условных суждений, а другая является разде¬
лительным суждением, В зависимости от числа членов
в разделительной посылке это умозаключение может
быть дилеммой (если разделительная посылка содержит
два члена), трилеммой (если разделительная посылка
содержит три члена) и вообще полилеммой (число раз¬
делительных членов больше двух).
Формализация дилеммы
Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструк¬
тивные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть
простыми и сложными.
Простая конструктивная дилемма
Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой
посылке утверждается, что из двух различных оснований
вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке,
которая является дизъюнктивным суждением, утвержда¬
ется, что одно или другое из этих оснований истинно.
В заключении утверждается следствие.
В традиционной формальной логике простую кон¬
структивную дилемму обычно представляют в виде сле¬
дующей схемы:
Если А есть В, то С есть £>; если Е есть F, то С есть D.
А есть В или Е есть F.
С есть D.
Приведем пример простой конструктивной дилеммы.
Если у больного болит зуб, то рекомендуется принять анальгин;
если болит голова, то также рекомендуется принять анальгин.
В данном случае у больного болит зуб или голова.
Больному рекомендуется принять анальгин.
Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение
«С есть D» — переменной Ь, суждение «Е есть F» — пере¬
менной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы
выразится в виде следующего правила вывода:
154

a-+b, c->b, a v c
b ’
Согласно определению логического следствия, сфор¬
мулированному в рамках исчисления высказываний
(алгебры логики), если b есть логическое следствие из
данных посылок, то, соединив посылки знаком конъюнк¬
ции и присоединив к ним посредством знака импликации
следствие, мы должны получить формулу, которая выра¬
жает закон логики, т. е. тождественно-истинную формулу.
В данном случае формула указанного вида будет такова:
((а -+ Ь) л (с -► b) л (a v с)) -* Ъ.
Доказательство тождественной истинности этой фор¬
мулы можно провести табличным методом.
Приведем еще один пример простой конструктивной
дилеммы:
Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;
если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.
Я могу идти через речку по мосту или вброд.
Меня могут заметить враги.
Сложная конструктивная дилемма
Это умозаключение строится из двух посылок. В первой
посылке имеются два основания, из которых вытекают
соответственно два следствия; во второй посылке, кото¬
рая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверж¬
дается истинность одного или другого основания; в заклю¬
чении утверждается истинность одного или другого след¬
ствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от
простой конструктивной дилеммы только тем, что дба
следствия ее условной посылки различны, а не оди¬
наковы.
Примером сложной конструктивной дилеммы является
рассуждение Штирлица из книги Ю. Семенова «Семнад¬
цать мгновений весны» (здесь дается реконструкция рас¬
суждения).
Если я поеду обратно в Берлин, то меня могут схватить в гес¬
тапо, а если я возвращусь в Москву, то я не выполню до конца
задание.
Но я могу ехать в Берлин или возвратиться в Москву.
Меня могут схватить в гестапо или я не выполню до конца
задание.
155

Так как дилемма означает сложный выбор из двух
альтернатив одной, причем обе они нежелательны для
субъекта (такая ситуация характеризуется выражением
«из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности
о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы».
В нашей речи встречается выражение: «Передо мной
стоит дилемма» (т. е. сложный выбор).
Схема сложной конструктивной дилеммы:
а -► Ь, с -> d, а у с _ „ , ч (
. Формула: ((а -> Ь) л (с -► d) л (a v с)) -►
b v d
d).
Данная формула выражает закон логики, что можно
доказать табличным способом.
Простая деструктивная дилемма
В этом умозаключении первая (условная) посылка ука¬
зывает на то, что из одного и того же основания
вытекают два различных следствия; вторая посылка
представляет собой" дизъюнкцию отрицаний обоих этих
следствий; в заключении отрицается основание.
Дример:
Если человек болен сыпным тифом, то на 4 —6-й день болезни
у него будет высокая температура и появится сыпь.
У больного нет высокой температуры или нет сыпи.
Этот человек не болен сыпным тифом.
Схема этой дилеммы:
а -+ (ft л с); b v с
а
Этой схеме соответствует формула
((а -* (Ь л с)) л (ft v с)) -► а.
Простая деструктивная дилемма может быть по¬
строена и по другой схеме:
а -► ft, а -> с, ft v с
а
Этой схеме соответствует формула
((а -> ft) л (а -> с) л (b v с)) -> а.
156

Пример:
Если учащийся принципиален, то он, заметив недостаток товарища,
скажет ему об этом и поможет избавиться от недостатка.
Заметив недостаток товарища, учащийся или не сказал ему об
этом, или не помог избавиться от недостатка.
Этот учащийся не принципиален.
Сложная деструктивная дилемма
Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую
из двух условных суждений с разными основаниями
и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнк¬
ция отрицаний обоих следствий; заключение является
дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме,
обычной для традиционной логики, сложную деструк¬
тивную дилемму можно представить в виде следующей
схемы:
Если А есть В, то С есть Z); если Е есть Г, то К есть М.
С не есть D или К не есть М.
А не есть В или Е не есть F.
Примером рассуждения по форме сложной деструктивной
дилеммы может быть следующий вывод:
Если учащийся Петров честен, то, не выполнив задания сегодня,
он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит
задание к следующему разу.
Но учащийся Петров не признался в том, что он сегодня не
выполнил задание, или не сделал его к следующему разу.
Учащийся Петров не честен или не добросовестен \
Схема сложной деструктивной дилеммы такая:
a-*b, c^>d, bvd
avc *
Этой схеме соответствует формула
((а -► Ь) л (с d) л (b v J)) -> (а v с),
которая является законом логики.
В предыдущих схемах, соответствующих четырем
видам дилеммы, во второй (разделительной) посылке
союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле,
т.е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы
алгебры логики, соответствующие дилеммам (четыре
1 Студентам можно дать задание — найти дилеммы в художе¬
ственной, исторической или иной литературе.
157

вида), тождественно-истинными, если союз «или» упо¬
требляется в строго разделительном смысле, т. е. если
взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами
логики следующие формулы:
1) (а -► Ь) .л (с ->Ь) л (a v с) -> Ь9
2) (а -> Ь) л (а -> с) л (b v с) -► а,
3) (а Ь) л (с -» d) л (a v с) -► (b v d),
4) (а -> b) л (с -> d) л (b v d) -► (a v с)?
(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импли¬
кация, то скобки можно опустить.)
Автором этой книги показано \ что независимо от
того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит
в соответствующие формулы, простым дилеммам (кон¬
структивной и деструктивной) соответствуют законы
логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и де¬
структивной) соответствуют законы логики лишь в том
случае, если союз «или» рассматривается как нестрогая
дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного
в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно
строгую дизъюнкцйю, ибо перед ним две взаимоисклю¬
чающие возможности (причем обе они нежелательны).
Это несоответствие возникло из-за отсутствия полного
совпадения смысла союза «если ... то» и смысла мате¬
риальной импликации (в двузначной логике).
Иногда дилемма строится так:
Если А есть В, то С есть D; если Е есть F, то G есть Н.
Но С не есть D и G не есть Н.
Следовательно, А не есть В и £ не есть F.
Пример:
Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.
Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.
Но я его не купил и не украду.
Я не богат и не бесчестен.
Здесь вторая посылка и заключение являются конъ¬
юнктивными, а не дизъюнктивными суждениями (как
это должно быть по правилам построения дилеммы),
поэтому приведенное выше умозаключение не является
дилеммой, так как в нем нет разделительной посылки,
характерной для дилеммы. Это умозаключение есть
1 См.: Гетманова А. Д. Выражение дедуктивных умозаключений
традиционной логики в символической логике. Мурманск, 1962.
158

Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо,
тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот
сам будет убит, а конь останется цел.
Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.
Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь
будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.
Деструктивные трилеммы, так же как и деструктив¬
ные дилеммы, бывают простые и сложные. Структура
их аналогична структуре дилеммы, только предусматри¬
ваются не две, а три возможные альтернативы.
Приведем пример простой деструктивной трилеммы.
Если в ближайшее время погода ухудшится, то у него будут
болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить
поясница.
Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось
артериальное давление, или не ломит поясница.
В ближайшее время погода не ухудшится.
В математике структура трилеммы используется тогда,
когда возникают три возможных варианта решения
задачи, доказательства теоремы и предстоит выбор
одного из них.
Сокращенные условные, разделительные
и условно-разделительные умозаключения
Категорический силлогизм в мышлении часто употреб¬
ляется в сокращенной форме — в форме энтимемы.
Сокращенными могут быть не только категорические
силлогизмы, но и условные, и разделительные, и услов¬
но-разделительные умозаключения, в которых может
быть пропущена либо одна из посылок, либо заключе¬
ние. Приведем примеры таких сокращенных умозаклю¬
чений.
1. В умозаключении пропущено заключение.
«Если данное тело — металл, то оно при нагревании
расширяется. Данное тело — металл». Заключение «Дан¬
ное тело при нагревании расширяется» не формулиру¬
ется в явном виде, а просто подразумевается в этом
условно-категорическом умозаключении.
В приводимом ниже разделительно-категорическом
умозаключении также пропущено заключение. «Много¬
го

угольники делятся на правильные и неправильные.
Данный многоугольник неправильный». Заключение
«Данный многоугольник не является правильным» опу¬
щено; оно легко может быть восстановлено.
В дилеммах и трилеммах заключение также может
явно не формулироваться, а подразумеваться. Например,
в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме
заключение явно не присутствует:
«Если соблюдать правила хранения зерна, то не
произойдет его самозагорания, а если организовать
хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет
умышленного поджога. Данный пожар произошел либо
от самозагорания зерна, либо от умышленного поджога».
Заключение — «В данном зернохранилище либо не соблю¬
даются правила хранения зерна, либо не налажена
охрана» подразумевается, а не высказывается в явной
форме.
2. В умозаключении пропущена одна из посылок.
В умозаключениях может быть пропущена первая
посылка; она может подразумеваться, если выражает
известное положение, теорему, закон и т. д.
В условно-категорическом умозаключении «Сумма
цифр данного числа делится на 3, следовательно, данное
число делится на 3» опущена первая посылка, форму¬
лирующая известную математическую закономерность:
«Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все
число делится на 3».
В приводимом ниже разделительно-категорическом
умозаключении также пропущена первая посылка: «Су¬
ществительное в русском языке может быть женского,
мужского или среднего рода», а все умозаключейие
сокращенно формулируется так: «Данное существитель
ное русского языка не является существительным ни
женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное
существительное мужского рода».
В приведенном ниже примере сложной конструктив¬
ной дилеммы: «Если я пойду через болото, то могу
попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не
успею вовремя доставить донесение. Следовательно,
я могу попасть в трясину или не успею вовремя
доставить донесение» — вторая посылка не формулирует¬
ся, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото
или в обход».
6 А. Д. Гетманова
161

Можно было бы привести и другие примеры сокра¬
щенных умозаключений: чисто условных, условно-кате¬
горических, чисто разделительных, разделительно-катего¬
рических, условно-разделительных (дилемм, трилемм)
с пропущенной первой или второй посылкой, — но
предоставляем это самостоятельно сделать читателю.
Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как
чисто условные, чисто разделительные, условно-категори¬
ческие, разделительно-категорические и условно-раздели¬
тельные (лемматические) умозаключения, сформулиро¬
ванные полностью и сокращенные (т. е. в которых
пропущена либо одна из посылок, либо заключение),
широко используются в процессе научного и обыден¬
ного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе.
Поэтому знание правил построения этих видов умо¬
заключений предостережет от логических ошибок в мыш¬
лении, поможет доказательнее, аргументированнее стро¬
ить свои рассуждения и приемы обучения учащихся
и студентов.
Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм
включают и такие виды:
1. Простая контрапозиция.
Правило простой контрапозиции имеет следующий
вид:
а-+Ь
Ъа
Это правило читается так: «Если из а следует Ь, то
из отрицания b следует отрицание а». Здесь а и b —
переменные, обозначающие произвольные высказывания,
или пропозициональные переменные.
Пример:
1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.
Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносто¬
ронний.
2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом
не соединяется.
Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это
вещество не является фосфором.
Заметим, что в алгебре логики а = а.
Формула (а -► Ь) = (Ь -+ а) называется законом простой
контрапозиции.
162

2. Сложная контрапозиция.
(а л Ь) -»■ с
— — правило сложной контрапозиции.
(а л с) -► b
Пример рассуждения по правилу сложной контрапо¬
зиции:
Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой
на каникулы.
Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой,
то, следовательно, я не была здорова.
3. Правило импортации (конъюнктивного объединения
условий).
П. С. Новиков называет его правилом соединения
посылок.
д -»(Ь -»с)
(а л Ь) -> с
Это правило читается так: «Если из а следует, что
из Ь следует с9 то из а и b следует с».
В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом
ребенка, если эта дружба озарена благородным увлече¬
нием, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце
ребенка никогда не появится зло». На основании пра¬
вила соединения посылок (правила конъюнктивного объ¬
единения условий) мы можем это высказывание
В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет
эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение:
«Если учитель стал другом ребенка и эта дружба
озарена благородным увлечением, порывом к чему-то
светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не
появится зло». *
4. Правило экспортации (разъединения условий).
(а л Ь)-> с
а —> (Ь—> с)'
Это правило читается так: «Если из а и & следует
(вытекает) с, то из а следует, что из b следует с».
Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве
иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухом¬
линского, только сначала прочитать наше полученное
заключение, из которого можно прийти к высказыванию
самого В. А. Сухомлинского.
6* 163

§ 10. НЕПРЯМЫЕ (КОСВЕННЫЕ) ВЫВОДЫ
К ним относятся: рассуждение по правилу введения
импликации; сведение «к абсурду»; рассуждение «от
противного» (противоречащего).
1. Рассуждение по правилу введения импликации.
Правило вывода сформулировано так:
Г, а\— b .
г|— а-+ь:
Данное правило читается так: «Если из посылок
гамма (Г) и посылки а выводится заключение Ь, то из
одних посылок Г выводится, что из а следует Ь». Это
правило вывода имеет и другое название: «Теорема
о дедукции». Здесь «Г» может быть и пустым множе¬
ством посылок.
Приведем пример рассуждения студента, поясняющий
приведенное правило. Пусть Г содержит следующие
посылки: 1) «Я сдал экзамен по педагогике на «отлично»;
2) «Я сдал экзамен по логике на «отлично»; 3) «Я сдал
экзамен по математике на «отлично». Посылка а озна¬
чает: «Я успешно выполнил всю порученную мне обще¬
ственную работу». Заключение b означает: «Я получу
повышенную стипендию». То, что записано над чертой,
будет содержательно прочитано так: «Если я сдал экза¬
мены по педагогике, логике и математике на «отлично»
и успешно выполнил всю порученную мне общественную
работу, то из этого последует заключение: «Я получу
повышенную стипендию». То, что записано под чертой,
содержательно можно прочитать так: «Я сдал экзамены
по педагогике, логике и математике на «отлично».
Отсюда следует заключение: «Если я успешно выполню
всю порученную мне общественную работу, то я получу
повышенную стипендию».
2. Правило сведения к абсурду. Это правило иначе
называется правилом введения отрицания.
Г, а\—Ь; а |—b
ГН •
Правило читается так: «Если из посылок Г и посылки а
выводится противоречие, т. е. b и не-b, то из одних Г
выводится отрицание а». Метод сведения к абсурду
широко применяется в мышлении, как научном, так и в
полемическом и в обыденном.
164

В классической двузначной логике метод сведения
к абсурду выражается в виде формулы: а = а-+ F, где
F — противоречие или ложь. Эта формула говорит о том,
что суждение а надо отрицать (считать ложным), если
из а вытекает противоречие.
Определение отрицания посредством сведения к абсур¬
ду, противоречию широко используется не только
в классической, но и в неклассических логиках: в много¬
значных, конструктивных и интуиционистской.
3. Правило непрямого вывода — рассуждение «от
противного» (противоречащего). Доказательство «от про¬
тивного» применяется тогда, когда нет аргументов для
прямого доказательства. Методом «от противного»
нередко доказываются математические теоремы.
Суть рассуждения «от противного» подробно будет
показана в теме «Доказательство», в разделе «Косвенное
доказательство».
Итак, мы рассмотрели правила прямых и непрямых
(косвенных) выводов и убедились, что как те, так и
другие широко применяются в мышлении. При этом
было показано, как та или иная форма прямого или
косвенного вывода наполняется конкретным содержанием,
взятым из областей педагогики, математики, физики,
этики и других областей науки и обыденного мышления,
а также из опыта преподавания в средней школе.
§ 11. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ
Логическая природа индукции
Дедуктивные умозаключения позволяют выводить *из
истинных посылок при соблюдении соответствующих
правил истинные заключения. Индуктивные умозаключе¬
ния обычно дают нам не достоверные, а лишь вероят¬
ные (правдоподобные) заключения.
Индукцией называется умозаключение от знания мень¬
шей степени общности к новому знанию большей сте¬
пени общности (т. е. от отдельных частных случаев
мы переходим к общему суждению).
Общее в природе и обществе не существует само¬
стоятельно, до и вне отдельного, а отдельное не
существует без общего; общее существует в отдельном,
через отдельное, т. е. проявляется в конкретных предме¬
тах. Поэтому общее, существенное, повторяющееся и
165

закономерное в предметах познается через изучение
отдельного, и одним из средств познания общего высту¬
пает индукция. Индукция бывает полная и неполная.
Кроме них есть математическая индукция.
Полной индукцией называется такое умозаключение,
в котором общее заключение о некотором классе пред¬
метов делается на основании изучения всех предметов
этого класса.
Заключение может быть сделано из единичных сужде¬
ний, как это видно из приведенного ниже умозаклю¬
чения. Явление, о котором пойдет речь, образно назы¬
вают «парадом» планет. Один раз в 179 лет все планеты
располагаются вместе по одну сторону от Солнца
в секторе с углом примерно в 95 градусов. Момент
их наибольшего сближения произошел 10 марта 1982 г.
(хотя в целом это длительный процесс, растянувшийся
на несколько лет).
Земля в 1982 г. была расположена вместе с другими планетами
по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно
в 95 градусов.
Марс в 1982 г. был расположен вместе с другими планетами
по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно
95 градусов.
Меркурий в 1982 г. был расположен вместе с другими планетами
по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно
95 градусов.
Земля, Марс, Венера, Нептун, Плутон, Сатурн, Уран, Юпитер,
Меркурий — планеты Солнечной системы.
Все планеты Солнечной системы в 1982 г. были расположены
вместе по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизи¬
тельно 95 градусов.
Заключение по полной индукции может быть сделано
не только из единичных, но и из общих суждений.
К полной индукции относится доказательство по
случаям.
Много примеров доказательства по случаям пре¬
доставляет математика, в том числе ее школьный курс.
Пример доказательства разбором случаев дает теорема:
«Объем прямоугольного параллелепипеда равен произве¬
дению трех его измерений» (v = а • b • е). При доказатель¬
стве этой теоремы рассматриваются особо следующие
три случая: 1) измерения выражаются целыми числами;
166

2) измерения выражаются дробными числами; 3) измере¬
ния выражаются иррациональными числами.
Полная индукция дает достоверное заключение, по¬
этому она часто применяется в математических и в
других строгих доказательствах. Чтобы использовать
полную индукцию, надо выполнить следующие условия:
1. Точно знать число предметов или явлений, подле¬
жащих изучению. 2. Убедиться, что признак принадлежит
каждому элементу этого класса. 3. Число элементов
изучаемого класса должно быть невелико.
Разновидностью полной индукции является умозаклю¬
чение от отдельных частей к целому. Например, выпол¬
нение народнохозяйственного плана СССР складывается
из его выполнения всеми отдельными союзными респуб¬
ликами СССР; оценка успеваемости в школе получается
в'результате подсчета успеваемости по отдельным классам
или по отдельным учебным предметам.
Математическая индукция
Один из важнейших методов доказательства в матема¬
тике основан на аксиоме (принципе) математической
индукции. Пусть 1) свойство А имеет место при п= 1;
2) из предположения о том, что свойством А обладает
какое-либо натуральное число и, следует, что этим
свойством А обладает и число п + 1. Тогда делаем
заключение, что свойством А обладает любое натураль¬
ное число.
Математическая индукция широко используется в
школе при выведении ряда формул арифметической
и геометрической прогрессии, формул бинома Ньютона
и др.
§ 12. ВИДЫ НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ
Неполная индукция применяется тогда, когда мы не
можем наблюдать все случаи изучаемого явления, а
заключение делаем для всех. Например, при нагревании
мы наблюдаем расширение азота, кислорода, водорода
и делаем заключение, что все газы при нагревании
расширяются. Один из видов неполной индукции —
научная индукция — имеет очень большое значение, так
как позволяет формулировать общие суждения и законы
науки (например, закон Ома, закон причинности, законы
общественной жизни и другие законы и закономерности).
167

По способам обоснования заключения неполная
индукция делится на три вида.
I вид. Индукция через простое перечисление
(популярная индукция)
На основании повторяемости одного и того же признака
у ряда однородных предметов и отсутствия противоре¬
чащего случая делается общее заключение, что все
предметы этого рода обладают этим признаком. Так,
например, на основе популярной индукции раньше
считали, что все лебеди белые, до тех пор пока не
встретили в Австралии черных лебедей. Такая индукция
дает заключение вероятное, а не достоверное. На началь¬
ной стадии построения гипотезы она имеет определенное
значение, но потом требует дальнейшей проверки. Харак¬
терной и очень распространенной ошибкой является
«поспешное обобщение». Например, столкнувшись не¬
сколько раз с ошибками в свидетельских показаниях,
говорят: «Все свидетели ошибаются» — или ученику
заявляют: «Ты ничего не знаешь по данному вопросу»
и т. п.
На основе популярной индукции народ вывел немало
полезных примет: ласточки низко летают — быть дождю;
если красный закат солнца, то завтра будет ветреный
день, и др.
II вид. Индукция через анализ и отбор фактов
В популярной индукции наблюдаемые объекты выбира¬
ются случайно, без всякой системы. В индукции через
анализ и отбор фактов исключается случайность обобще¬
ния, так как изучаются планомерно отобранные, наибо¬
лее типичные предметы — разнообразные по времени,
способу получения и существования и другим условиям.
Так, вычисляют среднюю урожайность поля, судят о
всхожести семян, о качестве больших партий товаров,
составе найденных полезных ископаемых. Например, при
изучении качества партии рыбных консервов банки
берутся из разных холодильников, выпущенные в разные
сроки, различными заводами, из различных сортов рыбы.
С древности на основании многолетних наблюдений
люди заметили, что серебро очищает питьевую воду.
Соли серебра добавляли в составы, которыми лечили
от ожогов. Постепенно люди пришли к выводу, что
168

серебро обладает целебными свойствами, и этот вывод
был получен на основе индукции через отбор. Впослед¬
ствии научные исследования показали, что серебро акти¬
вирует кислород, уничтожающий бактерии, следовательно,
первоначальный вывод оказался правильным.
Понятие вероятности
Различаются два вида понятия «вероятность» — объек¬
тивная и субъективная вероятность. Объективная вероят¬
ность — понятие, характеризующее количественную меру
возможности появления некоторого события при опреде¬
ленных условиях. Этот вид вероятности дает характе¬
ристику объективным свойствам и отношениям массовых
явлений случайного характера. Объективная вероятность
выражается с помощью математической теории вероят¬
ностей. Например, вероятность выпадения «орла» при
бросании монеты равна х/2, а вероятность выпадения
той или иной грани при бросании куба равна де¬
понятие математической вероятности можно плодо¬
творно применять лишь к массовым явлениям, происхо¬
дящим много раз. К таким событиям относится появле¬
ние ребенка определенного пола, появление определенной
буквы в большом тексте, выпадение дождя, появление
дефектного изделия в отдельных видах массовой про¬
дукции и т. д.
Субъективная вероятность позволяет анализировать
особенности субъективной, познавательной деятельности
людей в условиях неопределенности. Например, человек
утверждает: «Весьма вероятно, что в ближайшие годы
значительно большее распространение в промышленном
производстве получат автоматические манипуляторы
(промышленные роботы)». Здесь вероятность выступает
как мера субъективной уверенности. Последняя опреде¬
ляется, во-первых, имеющейся (или отсутствующей) у че¬
ловека информацией; во-вторых, психологическими осо¬
бенностями человека, которые играют важную роль при
оценке человеком степени вероятности наступления того
или иного события. В речи для характеристики явлений
мы используем различные слова: «очень вероятно»,
«мало вероятно», «невероятно», «неправдоподобно»
и др.
Условия повышения степени вероятности выводов
посредством индукции через анализ и отбор фактов
таковы:
169

1) количество исследованных экземпляров данного
класса должно быть достаточно большим. Например,
репрезентативным считается опрос мнения определенного
процента от количества людей, составляющих данную
группу; в каждом исследуемом случае этот процент, это
количество отобранных элементов класса будет иным;
2) элементы класса должны быть отобраны плано¬
мерно и быть более разнообразными;
3) изучаемый признак, по которому классифицируются
объекты, должен быть типичным для всех его элементов;
4) изучаемый признак должен быть существенным
для предметов рассматриваемого класса.
Приведем примеры из социологических исследований,
проводимых, в частности, и среди молодежи.
Все множество социальных объектов, изучаемое в
пределах, очерченных программой социологического
исследования и территориально-временными границами,
образует генеральную совокупность1. Возможно сплош¬
ное обследование, но оно является примером полной
индукции (например; всесоюзные переписи, проводив¬
шиеся ЦСУ при Совете Министров СССР в 1959 г.
и 1979 г., или, например, изучение всех объектов
в пределах данного региона, города, учреждения, школы
и т. д.). Здесь же мы рассматриваем неполную индук¬
цию. Примером ее является эмпирическое социологиче¬
ское исследование, которое проводится на некоторой
части генеральной совокупности. «Часть социальных
объектов генеральной совокупности, выступающих в ка¬
честве объектов наблюдения, называется выборочной
совокупностью»2. Модель (т. е. выборочная совокуп¬
ность) по размеру, разумеется, меньше, чем моделиру¬
емая (генеральная) совокупность. Чтобы лучше изучить
все целое, надо более четко и правильно выбрать для
изучения ее часть, тогда будет меньше ошибок в выводах
о целом.
Существуют различные виды выборки: стихийная,
квотная, вероятностная и др. При этом должны учиты¬
ваться следующие требования: полнота, точность, аде¬
кватность, удобство работы, отсутствие дублирования
единиц наблюдения 3. Основой могут служить алфавитные
списки сотрудников учреждения, школы, комсомольской
1 См.: Рабочая книга социолога. М., 1977, с. 258.
2 Там же, с. 264.
3 См. там же.
170

организации. Так, например, при изучении удовлетворен¬
ности трудом или при изучении социальной активности
молодежи данного предприятия основой выборки служит
список молодежи этого предприятия.
Под объемом выборки понимается общее число
единиц наблюдения, включенных в выборочную сово¬
купность. Выборка должна быть достаточно большой;
она зависит от степени однородности генеральной сово¬
купности и от необходимой степени точности выбороч¬
ных результатов. Выборка, достаточная для изучения
одного признака, может оказаться недостаточной для
другого.
При выборке часто совершается ошибка, называемая
«выбор себе подобных», которую нередко совершают
интервьюеры — студенты, молодежь, — берущие интервью
чаще у тех, с кем им легче общаться, в результате
этого часто завышается доля лиц с высшим образова¬
нием и молодых по возрасту.
При соответствующем виде выборки и выполнении
условий ее осуществления повышается степень вероят¬
ности заключений посредством индукции через анализ
и отбор фактов.
III вид. Научная индукция на основе установления
причинной связи
Научной индукцией называется такое умозаключение,
в котором на основании познания необходимых при¬
знаков или необходимой связи части предметов класса
делается общее заключение обо всех предметах этого
класса. Научная индукция, так же как полная индукция
и математическая индукция, дает достоверное заключение.
Достоверность (а не вероятность) заключений научной
индукции, хотя она охватывает и не все предметы
изучаемого класса, а лишь их часть (и притом неболь¬
шую), объясняется тем, что учитывается важнейшая из
необходимых связей — причинная. С помощью научной
индукции делается заключение: «Всем людям для их
жизнедеятельности необходима влага». В частности,
Ю. С. Николаев и Е. И. Нилов в книге «Голодание
ради здоровья» пишут, что человек без пищи (при полном
голодании) может прожить 30 — 40 дней, а воду он должен
пить ежедневно: без воды человек не может жить, ибо
процесс обезвоживания организма человека ведет к нару¬
шению внутриклеточного обмена веществ, что приводит
171

к гибели человека. Голодание же, наоборот, способствует
при многих заболеваниях (например, хроническом неф¬
рите, гипертонической болезни, стенокардии, атероскле¬
розе, нейродермите, бронхиальной астме, шизофрении,
общем ожирении и Многих других болезнях) выздоровле¬
нию при одноразовом или повторном длительном голо¬
дании. Этот вывод тоже был получен путем научной
индукции.
Причиной излечивания этих болезней при длительном
голодании является изумительная саморегуляция орга¬
низма во время полного лечебного голода, когда осу¬
ществляется общебиологическая перестройка организма
больного человека. Обычное переедание, которое еже¬
дневно задает огромную, совершенно ненужную работу
желудку и сердцу, — главная причина многих болезней,
усталости, ранней дряхлости и преждевременной смерти.
Применение научной индукции позволило сформули¬
ровать все научные законы (естественные и обществен¬
ные). Физические законы Архимеда, Кеплера, Ома
и другие сформулированы на основе выводов по научной
индукции. Например, закон Архимеда есть проявление
свойства всякой жидкости оказывать давление снизу
вверх на погруженное в нее тело.
Путем применения научной индукции получены и за¬
коны развития общества, например такие, как закон
соответствия производственных отношений характеру
и уровню развития производительных сил или основной
социологический закон определяющей роли способа
производства в общественном развитии. Путем научной
индукции получены и такие общие закономерности пере¬
хода от капитализма к социализму, как коллективизация
сельского хозяйства, культурная революция, руководящая
роль Коммунистической партии и др.
Научная индукция опирается не столько на большое
число исследованных фактов, сколько на всесторонность
их анализа и установление причинной зависимости,
выделение необходимых признаков или необходимых
связей предметов и явлений. Поэтому научная индукция
и дает достоверное заключение.

§ 13. ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ
ПРИЧИННЫХ СВЯЗЕЙ
Понятие причины и следствия
Причина — явление или совокупность явлений, которые
непосредственно обусловливают, порождают другое явле¬
ние (следствие).
Причинная связь является всеобщей, так как все
явления, даже случайные, имеют свою причину. Случай¬
ные явления подчиняются законам вероятности, т. е.
статистическим законам.
Причинная связь является необходимой, ибо при
наличии причины действие (следствие) обязательно на¬
ступит. Например, хорошая подготовка и музыкальные
способности являются причиной того, что этот человек
станет хорошим музыкантом. Но причину нельзя сме¬
шивать с условиями. Ребенку можно создать все условия:
купить инструмент и ноты, пригласить учителя, купить
книги по музыке и т. д., но если нет способностей, то
не выйдет из ребенка хорошего музыканта. Условия
способствуют или, наоборот, мешают действию причины,
но условия и причина не тождественны.
Методы установления причинной связи
Причинная связь между явлениями определяется посред¬
ством ряда методов, описание и классификация которых
восходит к Ф. Бэкону и которые были развиты
Дж. Ст. Миллем.
Метод сходства. Допустим, требуется выяснить при¬
чину какого-то явления а. Исходя из определения при¬
чины как явления или совокупности явлений, которые
предшествуют другому явлению и вызывают его, в дан¬
ном случае явление а, будем анализировать предшеству¬
ющие а явления. В первом случае появления а ему пред¬
шествовали обстоятельства АВС, во втором случае —
ADE, в третьем случае — АКМ. Что могло быть при¬
чиной а? Так как во всех трех случаях общим
обстоятельством было А, а все остальные обстоятельства
были различны, то делается вывод, что, вероятно, А
является причиной или частью причины явления а.
173

Случаи появления
события а
Предшествующие
обстоятельства
Наблюдаемое
явление
1
АВС
а
2
ADE
а
3
АКМ
а
Вероятно, А есть причина а.
Примером применения метода единственного сходства
является выяснение причины заболевания трех человек
энцефалитом. В первом случае заболеванию энцефалитом
одного человека предшествовали события: А — укус иксо-
дового клеща; В — начало летнего периода; С — пребы¬
вание в лесу на Урале. Во втором случае заболеванию
человека предшествовали такие события: А — укус иксо-
дового клеща; D — весенний период; Е — пребывание
в лесистом районе Восточной Сибири. В третьем слу¬
чае заболеванию человека предшествовали обстоятель¬
ства: А — укус иксоДового клеща; К — конец летнего
периода; М — пребывание в березовом лесу Алтая.
Общими во всех трех случаях заболевания энцефалитом
трех людей был укус иксодового клеща, что и явилось
возможной причиной их заболевания.
Если наблюдаемые случай какого-либо явления имеют
общим лишь одно обстоятельство, то, очевидно, оно
и есть причина данного явления.
Метод этот связан с наблюдением.
Метод различия применяется тогда, когда рассматри¬
ваются два случая, различающиеся тем, что в первом
случае явление а наступает, а во втором оно не насту¬
пает. При исследовании предшествующих обстоятельств
установлено, что они как в первом, так и во втором
случае сходны во всех пунктах, кроме одного, который
в первом случае присутствовал, а во втором отсут¬
ствовал.
Случай
Предшествующие
обстоятельства
Наблюдаемое
явление
1
ABCD
а
2
BCD
—
Вероятно, А есть причина а.
174

Метод различия в большей степени связан с экспе¬
риментом, чем с наблюдением, так как нам приходится
произвольно отделять то или другое обстоятельство
от других обстоятельств. Например, в аэропорту, чтобы
выяснить, нет ли у пассажиров крупных металлических
предметов, им предлагают пройти через устройство,
снабженное электромагнитом и подсоединенным к нему
электрическим звонком. Когда один из туристов группы
проходил через данное устройство, зазвенел звонок. Ему
предложили вынуть из карманов все металлические
предметы. После удаления им связки ключей и металли¬
ческих денег, когда он повторно прошел через данное
устройство, звонок не зазвенел. Следовательно, причиной
звонка было наличие именно данных металлических
предметов у этого пассажира. Все остальные предшеству¬
ющие обстоятельства были теми же самыми.
Если случаи, при которых явление наступает или не
наступает, различаются только в одном предшествующем
обстоятельстве, а все другие обстоятельства* тожде¬
ственны, то это одно обстоятельство и есть причина
данного явления.
Другой пример. Если человек съел клубнику и после
этого у него появилась аллергическая реакция, в то время
как все другие пищевые продукты оставались прежними,
и если в последующие дни, когда он не ел клубнику,
у него не было аллергических реакций, то врач сделает
вывод, что съеденная клубника вызвала у данного боль¬
ного аллергию.
Метод сопутствующих изменений. Если при изменении
предшествующего обстоятельства А изменяется и изуча¬
емое нами явление а, а все остальные предшествующие
обстоятельства, например В, С, Z>, Е, остаются неизмен¬
ными, то А является причиной а.
Например, если мы увеличим скорость движения
в 2 раза, то за то же самое время пройденный путь
увеличится тоже в 2 раза. Следовательно, увеличение
скорости есть причина увеличения пройденного пути
за тот же промежуток времени.
5 = v • t — формула равномерного движения, устанавли¬
вающая, что при изменении v или t (скорости движения
или времени движения) прямо пропорционально изменя¬
ется и путь (величина S).
Трение есть причина нагревания тела; увеличение
длины металлического стержня свидетельствует о его
нагревании. Эти и другие примеры иллюстрируют
175

применение метода сопутствующих изменений. При этом
мы не можем отделить трение от нагревания, поэтому
не могли бы использовать метод различия для уста¬
новления причины нагревания тела.
Если изменение одного обстоятельства всегда вызывает
изменение другого, то первое обстоятельство есть
причина' второго.
Метод остатков. Пусть изучаемое явление К распа¬
дается на несколько однородных частей: a, b, с9 d.
Установлено, что ему предшествуют обстоятельства: А,
В, С. При этом известно, что А является причиной а,
В — причиной b, С — причиной с. Должно быть сходное
с А, В, С обстоятельство £>, которое является причиной
остающегося необъясненным явления d.
Примером, иллюстрирующим этот метод, является
открытие планеты Нептун. Наблюдая за величинами
отклонения планеты Уран от вычисленной для нее
орбиты, ученые пришли к выводу, что отклонения на
величины а, Ь, с, вызванные наличием влияния планет
А, В, С, не исчерпывают реального отклонения от рас¬
четной орбиты. Оставалась еще величина d. На осно¬
вании этого был сделан вывод, что должна существовать
неизвестная планета £>, которая и вызывает это откло¬
нение. У. Леверье рассчитал положение этой неизвестной
планеты, а в 1846 г. И. Галле, построив телескоп, нашел
ее на небесной сфере. Так была открыта планета
Нептун.
Если известно, что причиной исследуемого явления не
служат необходимые для него обстоятельства, кроме
одного, то это одно обстоятельство и есть, вероятно,
причина данного явления.
Рассмотренные методы установления причинных свя¬
зей чаще всего применяются не изолированно, а в соче¬
тании, дополняя друг друга.
§ 14. ДЕДУКЦИЯ И ИНДУКЦИЯ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Как в любом процессе мышления (научного или обы¬
денного), так и в процессе обучения дедукция и индукция
взаимосвязаны. «Индукция и дедукция связаны между
собой столь же необходимым образом, как синтез
и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить
одну из них до небес за счет другой, надо стараться
применять каждую на своем месте, а этого можно
добиться лишь в том случае, если не упускать из виду
176

их связь между собой, их взаимное дополнение друг
друга»
В индукции мы идем от посылок, выражающих знания
меньшей степени общности, к новому суждению большей
степени общности, от отдельных конкретных явлений
к обобщению. В дедукции ход рассуждения противо¬
положный, т. е. от обобщений, выводов мы идем
к отдельным конкретным фактам или суждениям мень¬
шей степени общности.
В процессе обучения индуктивный и дедуктивный
методы используются в единстве. Индуктивный метод
используется тогда, когда изучается новый материал,
трудный для учащихся, и когда в результате беседы они
смогут сделать сами определенное заключение, обобще¬
ние, сформулировать правило, теорему или некоторую
закономерность. Индуктивный метод в большей мере
активизирует учащихся, однако требует от учителя твор¬
ческого подхода и гибкости в преподавании. При этом
затрачивается больше времени на подведение учащихся
к самостоятельному заключению.
Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам
формулирует общее суждение, выражающее какое-то
правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его,
иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами,
событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции
в процессе обучения дает два пути объяснения материала:
«Индуктивно-дедуктивный путь объяснения
материала, когда последнее начинается с индукции
и переходит затем в дедукцию (возможно, при значи¬
тельном перевесе индукции), и путь дедуктивно¬
индуктивный, когда сообщение учащимся нового
осуществляется самим учителем в виде готового, сфор¬
мулированного им правила или положения с последую¬
щими комментариями» 1 2.
К. Д. Ушинский высоко ценил применение индукции
при изучении грамматики. На специально подобранных
примерах он развивал у детей умение подмечать зако¬
номерности языка и делать самостоятельные обобщения,
формулировать правила, что имело огромное значение
для развития мышления младших школьников. Дедукцию
Ушинский ценил не меньше индукции и большую роль
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 542-543.
2 Текучее А. В. Методика русского языка в средней школе. M.,
1980, с. 64.
177

в обучении языку отводил последующим упражнениям,
направленным на подыскание самими учащимися приме¬
ров на только что сформулированное правило. Известный
советский методист А. В. Текучев, обобщив данные
экспериментальной проверки применения этих двух
способов изучения материала, сделал вывод о том, что
в работе над темой «Однородные члены предложения»
(общее понятие, союзы при однородных членах, обобща¬
ющие слова) с одинаковым успехом могут быть исполь¬
зованы оба пути; изучение же правил постановки знаков
препинания при однородных членах предпочтительнее
проводить дедуктивно-индуктивным способом1. Эти же
приемы используются не только на уроках родного
языка, но и на уроках математики, истории, физики и др.
Соответствующая методика преподавания школьного
предмета рекомендует учителям более конкретное ис¬
пользование этих методов в работе над отдельными
темами учебной программы.
В математике имеется много приверженцев как
индуктивного, так и’ дедуктивного метода. Например,
Л. Д. Кудрявцев полагает, что «на первых этапах
обучения надо отдавать предпочтение индуктивному
методу, постепенно подготавливая и используя дедуктив¬
ный подход»2, ибо индуктивные методы изложения
материала, при которых происходит последовательное
обобщение понятий, способствует более активному усвое¬
нию материала. Далее он отмечает: «В последние годы
наблюдается стремление заменять по возможности индук¬
тивный подход дедуктивным, целесообразность этого
часто представляется сомнительной»3.
Однако как при индуктивном, так и при дедуктивном
методе при изложении новых понятий или новых общих
теорий необходимо отводить значительное время на
конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ
частных ситуаций. От самого учителя зависит оптималь¬
ный выбор методов, позволяющий на высоком уровне
самостоятельности организовать познавательную дея¬
тельность учащихся.
В математике используются различные виды индук¬
ции: полная, неполная и математическая. Применение
1 См.: Текучев А. В. Методика русского языка в средней школе,
с. 65.
2 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание.
М, 1980, с. 127.
3 Там же, с. 131.
178

математической индукции покажем на следующем при¬
мере. Надо определить сумму п первых нечетных чисел:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n — I)1.
Обозначив эту сумму через S (и), положим и = 1, 2, 3, 4, 5;
тогда будем иметь:
S(l)=l,
S(2) = 1 + 3 = 4,
S(3) = 1 + 3+ 5 = 9,
S(4)= 1 + 3 + 5 + 7=16,
S(5) = 1 + 3+ 5+ 7 + 9 = 25.
Мы наблюдаем интересную закономерность: при
и = 1, 2, 3, 4, 5 сумма п последовательных нечетных
чисел равна и2. Но заключение по аналогии, что это
имеет место при любом и, сделать нельзя, ибо оно
может оказаться ошибочным. Применим метод мате¬
матической индукции, т. е. предположим, что для какого-
то числа п наша формула верна, и попытаемся доказать,
что тогда она верна и для следующего числа п + 1.
Итак, мы полагаем, что S (и) = 1 + 3 + 5 + ... + (2и — 1) =
= п2. Вычислим S (и + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2и — 1) +
+ (2и + 1). Но по предположению сумма п первых сла¬
гаемых равна и2, следовательно,
5 (и + 1) = п2 + (2п + 1) = (и + I)2.
Итак, предположив, что S (и) = и2, мы доказали, что
5 (и + 1) = (и + I)2. Но мы выше проверили, что эта
формула верна для п = 1, 2, 3, 4, 5, следовательно,
она будет верна и для п = 6, и для п = 7 и т. д.
Формула считается доказанной для любого числа сла¬
гаемых.
Этим же методом доказывается, что сумма
вых натуральных чисел, обозначенная St (и),
п • (п + 1)
~, т. е.
2
St (и) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + «= П(П+ 1}
*
п пер-
равна
2
1 Пример и решение см.: Головина Л. И., Яглом И. П. Индукция
в геометрии. М., 1961, с. 5. 7.
2 Читателям, интересующимся применением индукции в матема¬
тике, мы рекомендуем интересную книгу Д. Пойа «Математика
и правдоподобные рассуждения» (М., 1975), в которой том 1 называ¬
ется «Индукция и аналогия в математике».
179

В математическом мышлении присутствуют не только
логические рассуждения, но и математическая интуиция,
фантазия и чувство гармонии, позволяющие предвидеть
ход решения задачи или доказательства теоремы. Однако
в математике, пишет Л. Д. Кудрявцев, «интуитивные
соображения и правдоподобные рассуждения отдаются
на суд холодного рассудка для их изучения, доказав
тельства или опровержения». Истинность суждения там
доказывается «не проверкой его на ряде примеров,
не проведением ряда экспериментов, что не имеет для
математики доказательной силы, а чисто логическим
путем, по законам формальной логики» \ В ходе обу¬
чения математике предполагается, что «использование
знаний, математического аппарата, интуиции, чувства
гармонии, фантазии, умения думать, логики, экспери¬
мента происходит не последовательно по этапам — все
это взаимодействует между собой в течение всего про¬
цесса...» 1 2. В результате этого взаимодействия у учащихся
вузов и средних учебных заведений формируется, воспи¬
тывается математическая культура. Итак, единство де¬
дукции и индукции в обучении и в научном творчестве
своеобразно и ярко проявляется в математике — науке,
значительно отличающейся от естественных и от обще¬
ственных наук как по методам доказательства, так и по
методике передачи знаний учащимся.
Выше мы приводили типы и примеры сокращенных
умозаключений (категорического силлогизма, условных,
разделительных и др.).
В ходе обучения математике учащиеся приобретают
способность к свертыванию процесса математического
рассуждения при решении задач знакомого типа — об
этом писали еще известные русские методисты С. И. Шо-
хор-Троцкий (в 1916 г.) и Ф. А. Эрн (в 1915 г.). Они
отмечали, что «при многократном решении однотипных
задач учащимися отдельные этапы мыслительного про¬
цесса сокращаются и перестают осознаваться, но когда
нужно, учащийся может вернуться к полному разверну¬
тому рассуждению» 3. Методисты-математики П. А. Ше-
варев и Н. А. Менчинская в начале 40-х годов также
1 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание.
М, 1980, с. 91.
2 Там же, с. 2.
3 Крутецкий В. А. Психология математических способностей.
М., 1968, с. 291.
180

установили соответственно на алгебраическом и арифме¬
тическом материале, что «наряду с развернутыми умо¬
заключениями в умственной деятельности школьников
при решении задач занимают определенное место и свер¬
нутые умозаключения, когда ученик не осознает правила
общего положения, в соответствии с которыми он факти¬
чески действует... не выполняет всей той цепи соображений
и умозаключений, которые образуют полную, развер¬
нутую систему решения» х. Сокращение процесса рассуж¬
дения возникает благодаря упражнениям, причем спо¬
собные к математике учащиеся переходят к свернутым
рассуждениям быстро, средние — медленнее, у неспособ¬
ных же не замечалось сколько-нибудь заметного свер¬
тывания даже в результате многих упражнений.
В. А. Крутецкий высказывает такую гипотезу: «Вообще
никогда и нигде, вероятно, человек не мыслит до конца
развернутыми структурами» 1 2. Однако способные ученики
мыслят свернутыми структурами, сокращенными умо¬
заключениями при решении не только однотипных, но
и новых задач; при этом по просьбе экспериментатора
эти учащиеся восстанавливали свернутые структуры до
полной (с их точки зрения) структуры. «Свернутые»
мыслительные структуры способствуют более быстрой
переработке информации, ускорению процесса решения
задач, упрощают выполнение сложных операций.
Изучая компоненты структуры математических спо¬
собностей школьников, В. А. Крутецкий проанализировал
высказывания ряда ученых-математиков и преподавателей
математики средних школ по этому вопросу. Прибли¬
зительно 38 % опрошенных товарищей обратили внимание
на свертывание процесса рассуждения у способных уча¬
щихся. Приведем эти высказывания. «Процесс рассужде¬
ния у способных учащихся сокращен и никогда не
развернут до полной логической структуры. Это очень
экономно, и в этом его значение»; «Я часто наблюдал,
как мыслят способные ученики, — для учителя и класса
это развернутый и последовательный во всех звеньях
процесс, а для себя — это отрывочный, беглый, сокра¬
щенный, прямо стенограмма мысли» 3.
1 Крутецкий В. А. Психология математических способностей,
с. 291.
2 Там же, с. 293.
3 Там же. с. 207.
181

Перечисляя качества ума этих учащихся, почти все
опрошенные учителя математики и математики-ученые
(98 %) отмечали способность к обобщению, «Способный
ученик быстро обобщает не только математический
материал, но и мётод рассуждения, доказательства»;
некоторые из опрошенных указывали на способность и
даже своеобразную «страсть» к обобщению, способность
«видеть общее в разных явлениях», «способность прийти
от частного к общему»1.
Если проанализировать знания, умения и навыки
учащихся, относящиеся к использованию дедукции и ин¬
дукции в процессе обучения по дисциплинам нематема¬
тического профиля, то наряду с положительными мо¬
ментами можно выделить и ряд недостатков2. К поло¬
жительным результатам относится то, что подавляющее
большинство учащихся старших классов (84 %) при
написании сочинения умеет в соответствии с темой
подобрать материал, обобщить его, раскрыть основную
мысль сочинения, определить границы темы, сделать
самостоятельные выводы. Кроме того, «структурные
изменения... введение дедуктивного метода изучения
программного материала в курсах истории и общество¬
ведения... позволили учителям более последовательно
формировать у школьников понимание закономерностей
общественного развития, использовать теоретические
знания для лучшего усвоения последующего фактиче¬
ского материала...»3.
Вместе с тем отмечается и ряд недостатков. Прежде
всего недостаточно развито умение использовать дедук¬
тивный ход рассуждений: дав верное определение, уча¬
щийся не всегда справляется с анализом конкретного
произведения под углом зрения этого определения,
у некоторых учащихся отсутствуют выводы по теме
сочинения, в сознании учащихся иногда имеет место
разрыв между фактологическими и теоретическими зна¬
ниями и т. д.4
Отмеченные положительные моменты и недостатки
в знаниях учащихся свидетельствуют о важном значении
умелого сочетания индукции и дедукции в ходе изложе¬
1 Крутецкий В. А. Психология математических способностей,
с. 206, 209.
2 См.: Анализ знаний, умений и навыков учащихся школ
г. Москвы (1981/82 учебный год), ч. 1.
3 Там же, с. 63 — 64.
4 См. там же.
182

ния, закрепления и проверки усвоения школьного мате¬
риала. Общих рецептов по поводу того, как, в какой
мере использовать дедуктивный или индуктивный методы
в обучении, дать нельзя. В связи с этим можно отме¬
тить высказывание Л. Д. Кудрявцева о методических
принципах преподавания математики: «К сожалению, не
существует точных рецептов, как надо преподавать раз¬
личные разделы математики. Методика преподавания
математики не наука, а искусство. Правда, это вовсе
не означает, что методике преподавания математики не
надо учить. Всякому искусству можно и должно учить:
учатся и художники, и музыканты, и артисты, и пи¬
сатели» *.
На основе разбора ошибок, допускаемых в педаго¬
гическом процессе, можно еще раз сделать вывод о твор¬
ческом характере применения различных методов обу¬
чения и воспитания, о недопустимости шаблонного
подхода в процессе обучения.
§ 15. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО АНАЛОГИИ И ЕГО ВИДЫ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ
ОБУЧЕНИЯ
Термин «аналогия» означает сходство двух предметов
(или двух групп предметов) в каких-либо свойствах или
отношениях. Умозаключение по аналогии — один из
самых древних видов умозаключения, присущий чело¬
веческому мышлению с самых ранних ступеней развития.
Аналогия — умозаключение о принадлежности пред¬
мету определенного признака (т. е. свойства или отноше¬
ния) на основе сходства в существенных признаках
с другим предметом. В форме такого умозаключения
осуществляется приписывание предмету свойства или
перенос отношений.
В зависимости от характера информации, переносимой
с одного предмета на другой (с модели на прототип),
аналогия делится на два вида: аналогия свойств и ана¬
логия отношений.
В аналогии свойств рассматриваются два единичных
предмета (или два множества однородных предметов,
два класса), а переносимыми признаками являются
свойства этих предметов.
1 Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание,
с. 112.
183

Схема аналогии свойств в традиционной логике
такова:
Предмет А обладает свойствами а, Ь, с, d, е, f
Предмет В обладает свойствами a, b, с, d.
Вероятно, предмет В обладает свойствами е, f
Примером аналогии свойств может служить аналогия
симптомов протекания той или иной болезни у двух
разных людей (два единичных предмета) или у двух групп
людей (например, взрослых и детей). Исходя из сходства
признаков болезни (симптомов), врач по аналогии ставит
диагноз.
Аналогия свойств двух предметов иногда дает не
только вероятное, но даже достоверное заключение.
Например, обнаружено, что геологическая структура
Южно-Африканского плоскогорья имеет много общего
с геологической структурой Восточно-Сибирской плат¬
формы. В алмазных жилах Южной Африки находили
голубоватый минерал. Случайно обнаружили такой же
голубоватый минерал в устье одной из речек Якутии.
Сделали по аналогии заключение, что, вероятно, и в
Якутии есть месторождение алмазов. Это заключение
подтвердилось. Теперь в Якутии осуществляется про¬
мышленная добыча алмазов \
В аналогии отношений информация, переносимая
с модели на прототип, характеризует отношения между
двумя предметами. Пусть имеется отношение (aRb)
и отношение (mRvn\ Сходными, аналогичными выступают
отношения К и но а не аналогично т, а b не
аналогично п. Примером является предложенная Резер¬
фордом планетарная модель строения атома, которую
он построил на основании аналогии отношения между
Солнцем и планетами, с одной стороны, и ядром атома
и электронами, которые удерживаются на своих орбитах
силами притяжения ядра, — с другой. Здесь R — взаимо¬
действие противоположно направленных сил — сил при¬
тяжения и отталкивания — между планетами и Солнцем,
a Ki — взаимодействие противоположно направленных
сил — сил притяжения и отталкивания — между ядром
атома и электронами, но планеты не аналогичны
электронам, а Солнце не аналогично ядру атома.
См.: Эрдниев П. М. Аналогия в математике. М., 1970.
184

Кроме деления на два вида — аналогия свойств и ана¬
логия отношений — по характеру выводного знания (по
степени достоверности заключения) умозаключения по
аналогии можно разделить на три вида: 1) строгая
аналогия, дающая достоверное заключение; 2) нестрогая
аналогия, дающая вероятное заключение; 3) ложная
аналогия, дающая ложное заключение.
Строгая аналогия. Характерным признаком, отличаю¬
щим строгую аналогию от нестрогой и ложной, явля¬
ется наличие необходимой связи признаков сходства
с переносимым признаком.
Схема строгой аналогии такова:
Предмет А обладает признаками a, b, с, d, е.
Предмет В обладает признаками а, Ь, с, d.
Из совокупности признаков a, b, с, d необходимо следует е.
Предмет В обязательно обладает признаком е.
Если из совокупности признаков М = {a, b, с, d}
закономерно, необходимо следует признак е, то в виде
формулы алгебры логики эту зависимость записывают
так:
(алЬлсл(1)->е.
Последняя формула является законом логики, так как
по определению логического следствия е не может быть
ложным (т. е. признак е отсутствует), когда посылки
истинны [т. е. присутствует совокупность (конъюнкция)
признаков сходства: a, b, с, d]. Структура строгой
аналогии подобна структуре правила modus ponens
условно-категорического умозаключения и поэтому дает
достоверный, а не вероятный вывод. Отличие их в том,
что в modus ponens всего одно основание и одрю
следствие, а в строгой аналогии единая совокупность
оснований (сходных признаков), взятая как единое мно¬
жество (непустое и не единичное). Если бы множество
было пустым, т. е. не было бы сходных признаков,
то аналогия была бы невозможна, а если бы множество
было единичным, то это был бы modus ponens,
который выражается формулой ((а -» Ь) л а) -► Ь.
Строгая аналогия применяется в научных исследова¬
ниях, в математических доказательствах. Так, например,
формулировка признаков подобия треугольников осно¬
вана на строгой аналогии. «Если три угла одного
треугольника равны трем углам другого треугольника,
то эти треугольники подобны» (подобие — вид аналогии).
185

На свойствах умозаключения по строгой аналогии
основан метод моделирования. Научные аналогии позво¬
ляют использовать революционный опыт других стран,
других партий^ при этом кроме формально-логических
принципов проведенйя аналогий необходимо учитывать
и методологическое требование конкретности истины,
рассмотрения явления в конкретно-исторической обста¬
новке.
При овладении управляемой термоядерной реакцией
и создании термоядерной энергетики люди получат
практически неограниченные топливные ресурсы. В при¬
роде высокотемпературная плазма в естественном виде
существует в атмосфере звезд. «Для управляемого термо¬
ядерного синтеза необходимо необычное в земных усло¬
виях солнечное вещество — водородная плазма с темпе¬
ратурой около ста миллионов градусов. На Солнце она
удерживается гравитационным полем, а на Земле ее
можно держать в повиновении магнитным полем. Но
ведь по воздействию на частицы плазмы магнитное поле
совершенно не похоже на гравитационное...» 1
Советские ученые решили эту проблему. Созданная
ими теория равновесия и устойчивости плазмы уже
используется при проектировании термоядерных уста¬
новок, в том числе на установке Т-15. Строгая аналогия
термоядерных процессов, протекающих на Солнце и на
Земле позволяет научно обосновать поиски путей решения
проблем по управляемому термоядерному синтезу.
Строгая аналогия дает достоверное заключение, т; е.
истину, обозначаемую в классической логике, в много¬
значных логиках, в теории вероятностей через 1.
Нестрогая аналогия
В отличие от строгой аналогии нестрогая аналогия дает
не достоверное, а лишь вероятное заключение. Если
ложное суждение обозначить через 0, а истину — через 1,
то степень вероятности заключений по нестрогой аналогии
лежит в интервале от 1 до 0, т. е. 1 > Р > 0, где Р —
обозначение вероятности заключения по нестрогой ана¬
логии.
Примерами нестрогой аналогии являются, в частности,
следующие: испытание модели корабля в бассейне и
заключение о том, что настоящий корабль будет обладать
1 Велихов Е. Укрощают плазму. — Правда, 1982, 16 марта.
186

теми же характеристиками, испытание прочности моста
на модели, затем построение настоящего моста. При
строгом выполнении всех правил построения и испытания
модели этот способ умозаключения может приближаться
к строгой аналогии и давать достоверное заключение,
однако чаще заключение бывает вероятным. Разница
в масштабах, между моделью и прототипом (самим
сооружением) иногда бывает не только количественной,
но и качественной. Так же не всегда можно учесть
различие между лабораторными условиями испытания
модели и естественными условиями работы самого
сооружения, в результате чего возникают ошибки.
Для повышения степени вероятности заключений по
нестрогой аналогии следует выполнить ряд условий:
1) число общих признаков должно быть возможно
большим; 2) сходные признаки должны быть существен¬
ными. Аналогия на основе сходства несущественных
признаков типична для ненаучного и детского мышления.
Например, дети могут съесть ядовитые ягоды на основе
их внешнего сходства со съедобными; 3) общие признаки
должны быть по возможности более разнородными;
4) необходимо учитывать количество и существенность
пунктов различия. Если предметы различаются в су¬
щественных признаках, то заключение по аналогии может
оказаться ложным; 5) переносимый признак должен быть
того же типа, что и сходные признаки.
Ложная аналогия
При нарушении указанных выше правил аналогия может
дать ложное заключение, т. е. стать ложной. Вероятность
заключения по ложной аналогии равна О (Р = 0). Ложные
аналогии иногда делаются умышленно, с целью ввести
противника в заблуждение, и тогда они являются
софистическим приемом, в других случаях они делаются
случайно, в результате незнания правил построения
аналогий или отсутствия фактических знаний относи¬
тельно предметов Л и В и их свойств, на основании
которых осуществляется аналогия.
Подобную ошибку совершали в XIX в. сторонники
вульгарного материализма Л. Бюхнер, К. Фохт и
Я. Молешотт, которые, проводя аналогию между печенью
и мозгом, утверждали, что мозг выделяет мысль так же,
как печень выделяет желчь.
187

Обобщим сказанное о строгой, нестрогой и ложной
аналогиях. Если Р = 1, т. е. заключение получается
достоверным, то это будет строгая аналогия. Если
1 > Р > 0, т. е. заключение будет вероятным, то это
будет нестрогая аналогия. Если Р = 0, т. е. заключение —
ложное суждение, то это будет ложная аналогия.
Итак, рассмотрены три вида аналогии в зависимости
от характера выводного знания, т. е. по степени досто¬
верности заключения: получено истинное заключение,
определенная степень вероятности заключения или лож¬
ное заключение. Вероятностные заключения тем ценнее,
чем их вероятность ближе к 1 (истине).
Мы полагаем, что это деление на три вида в зави¬
симости от степени достоверности заключения можно
проследить и на индуктивных умозаключениях, а позднее,
в теме «Гипотеза», — и на гипотезах.
Среди индуктивных выводов различаются: 1) Строгая
индукция, которая дает достоверное заключение и видами
которой являются математическая индукция, полная
индукция и научная индукция; 2) нестрогая индукция,
дающая вероятное заключение. Ее видами являются:
популярная индукция, индукция через анализ и отбор
фактов; 3) ложная индукция, дающая ложное заключение,
которое может привести к логической ошибке — «поспеш¬
ное обобщение».
В теме «Гипотеза» мы увидим, что существуют
гипотезы, превращающиеся в научную теорию, вероят¬
ность такой гипотезы равна 1; степень вероятности
других гипотез 1 > Р > 0; вероятность ложных гипотез,
которые являются ложными суждениями или ложными
теоретическими построениями, равна 0 (т. е. Р = 0).
Несколько иначе обстоит дело в многозначных логиках, которые
включают в себя в качестве простейших трехзначные логики; в неко¬
торых из них истина обозначается 1, ложь — 0, а неопределенность — 1/2
(трехзначными являются логики Лукасевича, Рейтинга, Гудстейна,
Бочвара, Рейхенбаха). Эти логики могут служить для изучения вероят¬
ности заключений по аналогии, индукции, а также вероятности
в гипотезе. Аналогия, индукция, гипотеза в свою очередь делятся
каждая на три вида в зависимости от того, дают ли они истинное,
вероятное или ложное заключение. Вероятность и неопределенность —
это не одно и то же. Если неопределенность имеет фиксированное
значение, например х/г, то значение вероятности колеблется в пределах
между 1 и 0 (1 > Р > 0), не включая сами эти значения.
Эти три случая можно обобщенно записать так: 1 > Р 0
(1-й случай: Р = 1; 2-й случай: 1 > Р > 0; 3-й случай: Р = 0).
Второй случай: 1 > Р > 0 — может быть выражен построенной
автором (см. Приложение) бесконечно-значной логикой SKQi не вклю-
188

чающей ее предельных значений: 1 — истина и 0 — ложь. Бесконечно¬
значная логика 5Хо, значениями истинности которой являются: 1, 1/2,
^4, 3А, 7e, 7/в, 716, 15/1б, • ••> 0, охватывает все три случая,
объединенных в формулу 1 > Р > 0. Процесс познания идет от незна¬
ния к знанию, от неполного, неточного знания к более полному
и точному, от относительной истины к абсолютной, от явления
к сущности первого порядка, затем к сущности второго порядка
и т. д. Этот бесконечный процесс познания и отражает бесконечно¬
значная логика SX().
Использование аналогий в процессе обучения
Аналогии используются на уроках по всем школьным
дисциплинам. Мы приведем лишь некоторые примеры
использования аналогий на уроках истории, физики,
астрономии, биологии, математики.
На уроках истории учащиеся встретятся с примене¬
нием исторических параллелей и аналогий В. И. Лени¬
ным1. Например, известно, что В. И. Ленин проводил
историческую параллель (т. е. применял аналогию) между
Брестским миром (1918) и Тильзитским миром (1807).
Заключение Брестского мира было обусловлено тяжелым
положением страны и имело целью дать мирную пере¬
дышку для упрочения Советского государства. По этому
поводу В. И. Ленин пишет: «Мы заключили Тильзит-
с кий мир. Мы придем и к нашей победе, к нашему ос¬
вобождению, как немцы после Тильзитского мира 1807 го¬
да пришли к освобождению от Наполеона в1813и1814 го¬
дах. Расстояние, отделяющее наш Тильзитский мир от
нашего освобождения, будет, вероятно, меньше, ибо
история шагает быстрее» 2. Здесь В. И. Ленин осуществлял
аналогию одного исторического события другому на
основании их сходных признаков (т. е. свойств).
В науке встречается много аналогий: одни из них
дают истинные заключения, другие — ложные; последние
аналогии построены с нарушением логических правил.
Примером ложной аналогии является аналогия Г. Спен¬
сера, который в классовом обществе выделял различные
административные органы и считал их функции анало¬
гичными тем, которые возникают при разделении
функций между органами живого тела.
1 См.: Старченко А. А. Аналогии и исторические параллели
у В. И. Ленина. - Вестник МГУ, 1970, № 5.
2 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 35, с. 420.
189

На ложных аналогиях основаны также многие суеве¬
рия х. Например, некоторые считают, что если разбить
зеркало, то будет несчастье; если перед охотой проткнуть
чучело зверя, то охота будет удачной и т. д.
На уроках физики используются в основном строгие
аналогии, дающие истинное заключение. Известно, что
единство природы обнаруживается в «поразительной
аналогичности» дифференциальных уравнений, относя¬
щихся к разным областям явлений. В физике такие
аналогичные явления весьма часты. В качестве примера
можно привести корпускулярно-волновые свойства света
и аналогичные свойства электронов. Другой пример.
Закон Кулона, определяющий силу электростатического
взаимодействия двух неподвижных друг относительно
друга точечных зарядов qi и q2, расстояние между
которыми г, выражается формулой
г2
Этот закон формулируется так: «Сила электростати¬
ческого взаимодействия между двумя неподвижными
точечными зарядами прямо пропорциональна произведе¬
нию их величин и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними». Коэффициент к зависит от
выбора единиц и свойств среды, в которой осуществля¬
ется это взаимодействие зарядов.
Аналогичной формулой выражается закон всемирного
тяготения Ньютона:
„ mi-m2
F = y —.
Между двумя телами, массы которых mi и ш2, нахо¬
дящимися друг от друга на расстоянии г, действуют
равные силы взаимного притяжения, величина которых
пропорциональна произведению масс и обратно про¬
порциональна квадрату расстояния между ними; у —
коэффициент пропорциональности, или гравитационная
постоянная.
Здесь мы видим строгую аналогию, в которой пере¬
носимыми признаками являются не свойства, а отношения
между разными объектами (электрическими зарядами
и массами вещества), выраженными аналогичной струк¬
турой формул.
1 См. также раздел «Ошибки в индуктивных умозаключениях».
190

На уроках физики учитель демонстрирует применение
и нестрогих аналогий. Примеры нестрогих аналогий
в физике многочисленны. Часто наблюдается обращение
к старым идеям при создании новой техники. В настоя¬
щее время, например, снова начинают применяться парус¬
ные суда и дирижабли. Однако использование старых
идей происходит на новом уровне, а потому здесь может
иметь место лишь весьма отдаленная аналогия. За по¬
следние 20 лет спутники связи вытеснили подводные
средства, но в 1988 г. планируется прокладка нового
подводного кабеля для связи между Европой и Америкой;
он будет построен на световодах и будет вмещать
36 тыс. телефонных линий. В новейших часах опять
появился циферблат со стрелкой (а не с цифровой
индикацией), но это не та стрелка, к которой мы при¬
выкли, а лишь ее электронный аналог: бегущие стрелки —
это меняющееся изображение.
Использование аналогий в процессе обучения осу¬
ществляется и на уроках астрономии. Вот как описывает
открытия Г. Галилея Д. Пойа: «С помощью своего
только что изобретенного телескопа он открыл спутников
Юпитера. Он заметил, что эти спутники, обращающиеся
вокруг планеты Юпитер, аналогичны Луне, обращаю¬
щейся вокруг Земли, а также аналогичны планетам,
обращающимся вокруг Солнца. Он открыл также фазы
Венеры и подметил их сходство с фазами Луны» х.
В математике использование аналогий имеет свои
особенности. В качестве способа доказательства может
использоваться только строгая аналогия. Функции не¬
строгой аналогии более многообразны. Особенно часто
она применяется при решении однотипных задач. Арифме¬
тические, алгебраические и геометрические задачи подраз¬
деляются на свои типы, виды и подвиды, решение этих
задач или подчиняется определенному алгоритму, или
происходит по аналогии с другими уже решенными
задачами (таковы задачи на бассейны, движение, состав¬
ление уравнений, геометрические задачи с применением
тригонометрии или без нее и т. д.).
Аналогия в математике используется тогда, когда,
пытаясь решить предложенную задачу, мы ищем другую,
более простую. Например, при решении задачи из сте¬
реометрии мы находим подобную задачу в планиметрии;
1 Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.» 1975,
с. 47.
191

в частности, решая задачу о диагонали прямоугольного
параллелепипеда, мы обращаемся к задаче о диагонали
прямоугольника.
Между элементами двух систем, S и S', может суще¬
ствовать однозначнее соответствие (называемое изомор¬
физмом). Если за S принять стороны прямоугольника,
а за S' - грани прямоугольного параллелепипеда, то
изоморфизм (аналогия) между ними будет в том, что
отношения между сторонами прямоугольника сходны
с отношениями между гранями параллелепипеда: каждая
сторона прямоугольника параллельна и равна одной из
других его сторон и перпендикулярна остальным,
а каждая грань прямоугольного параллелепипеда парал¬
лельна и равна одной из его граней и перпендикулярна
остальным.
Можно строить аналогии и между другими фигурами
на плоскости и в пространстве: треугольником и пира¬
мидой, параллелограммом и призмой. В преподавании
математики аналогия используется и в такой функции.
Дается теорема: «Четыре диагонали параллелепипеда
имеют общую точку, являющуюся серединой каждой
из них». Ставится вопрос: «Существует ли более
простая аналогичная теорема?» Такой же вопрос ставится
й в отношении следующих теорем: «Сумма любых двух
плоских углов трехгранного угла больше, чем третий
плоский угол» и «Если две прямые в пространстве
пересекаются тремя параллельными плоскостями, то
соответствующие отрезки пропорциональны» х. Учащимся
даются задания на подбор не только аналогичных
теорем, но и аналогичных понятий: «Рассмотрите тетра¬
эдр как тело, аналогичное треугольнику. Перечислите
понятия пространственной геометрии, аналогичные сле¬
дующим понятиям плоской геометрии: параллелограмм,
прямоугольник, квадрат, биссектриса угла»1 2.
В геометрии имеется аналогия между кругом и шаром.
Существуют две аналогичные теоремы: «Из всех плоских
фигур равной площади наименьший периметр имеет круг»
и «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность
имеет шар». Д. Пойа пишет:«... сама природа располо¬
жена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри,
Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или
почти шарообразны» 3.
1 Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, с. 47.
2 Там же.
3 Там же, с. 187.
192

Д. Пойа приводит забавную аналогию и из области
биологии: когда в холодную ночь кот приготовляется
ко сну, он поджимает лапы, свертывается и таким
образом делает свое тело насколько возможно шаро¬
образным, очевидно, для того, чтобы сохранить тепло,
сделать минимальным его выделение через поверхность
своего тела. «Кот, — продолжает Д. Пойа, — не имеющий
ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пыта¬
ется уменьшить свою поверхность. Он решает задачу
о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью,
делая себя возможно более шарообразным»
Эту аналогию можно использовать как на уроках
математики, так и на уроках биологии. Можно также
привести аналогии отношения, на основе которых стро¬
ятся заключения в бионике. Бионика занимается изуче¬
нием объектов и процессов живой природы с целью
использования полученных знаний в новейшей технике.
Приведем три примера. Летучая мышь при полете
испускает ультразвуковые колебания, затем улавливает
их отражение от предметов, безошибочно ориентируясь
в темноте: обходит не нужные ей предметы, чтобы не
натолкнуться на них в полете, находит нужные, например
насекомых или место, где она хочет сесть, и т. д.
Человек, используя этот принцип, создал радиолокаторы,
обнаруживающие и определяющие местоположение объ¬
ектов в любых метеорологических условиях. Построены
машины-снегоходы, принцип передвижения которых за¬
имствован у пингвинов. Используя аналогию восприятия
медузой инфразвука с частотой 8 — 13 колебаний в секунду
(что позволяет медузе заранее распознавать приближение
бури по штормовым инфразвукам), ученые создали
электронный аппарат, предсказывающий за 15 часов
наступление шторма. Приведенные в этом разделе при¬
меры, а также примеры, которые учитель подберет по
своей школьной дисциплине, помогут раскрыть перед
учащимися эвристические функции умозаключений по
аналогии.
Задачи к теме «Умозаключение»
I. Даны три посылки: а) если целое число оканчивается
на 0 или на 5, то оно делится на 5; б) данное число
делится на 5; в) данное число не оканчивается на 0.
1 Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, с. 187.
7 А. Д. Гетманова 193

Вытекает ли из этих посылок логическое следствие, что
число оканчивается на 5?
II. Построить непосредственные умозаключения —
превращение, обращение и противопоставление предикату
суждений: а) «Все распространенные предложения имеют
второстепенные члены»; б) «Некоторые подлежащие
выражаются местоимениями в именительном падеже»;
в) «Ни один пионер нашего звена не является шахма¬
тистом»; г) «Некоторые летчики — советские космо¬
навты».
III. Доказать тремя способами: по особым правилам
фигур, по модусам, по правилам категорического силло¬
гизма,— являются ли приведенные ниже категорические
силлогизмы правильными, а заключение — истинным
суждением.
1. Все волки хищные. 2. Все кинозалы нуждаются в провет-
Это животное хищное. ривании.
Это помещение не является киноза-
Это животное волк. лом.
3 Всякая кража карается Это помещение не нуждается в
законом. проветривании.
Угон автомобиля есть 4. Все металлы - твердые тела,
кража. Ртуть - металл.
Угон автомобиля карается

законом. Ртуть - твердое тело.
IV. Восстановить следующие энтимемы до полного
категорического силлогизма.
1. Все представители отряда хоботных — млекопитаю¬
щие, так как хоботные вскармливают детенышей мо¬
локом.
2. Должностные лица обязаны в установленные сроки
рассматривать предложения и заявления граждан, давать
на них ответы и принимать необходимые меры, а
В. С. Петров — должностное лицо.
3. Все хвойные деревья нуждаются во влаге, поэтому
и ель нуждается во влаге.
V. Определить вид умозаключения, построить схему,
написать формулу и доказать, что она тождественно¬
истинна.
1. Существительное есть самостоятельная часть речи.
Собственное имя есть существительное.
Название города есть собственное имя.
Название столицы есть название города.
«Рим» — название столицы.
«Рим» есть самостоятельная часть речи.
194

2. Углеводороды есть органические соединения.
Метан - углеводород.
Метан — органическое соединение.
Органические соединения изучает органическая химия.
Метан - органическое соединение.
Метан изучает органическая химия.
3. Все тюльпаны — цветы.
Все цветы — растения.
Все растения используют для питания углекислый газ атмосферы
и выделяют в нее кислород.
Все растения, использующие для питания углекислый газ атмосферы
и выделяющие в нее кислород, содержат хлорофилл.
Все тюльпаны содержат хлорофилл.
4. Все что требует мужества и героизма, есть подвиг.
Первый полет человека в космос требовал мужества и героизма.
Первый полет человека в космос есть подвиг.
Подвиги бессмертны.
Первый полет человека в космос есть подвиг.
Первый полет человека в космос бессмертен.
IV. Восстановить эпихейремы, приведенные ниже.
1. Всякая общественно полезная работа заслуживает одобрения, так
как всякая общественно полезная работа есть труд.
Всякий добросовестный труд комсомольцев на субботнике есть
общественно полезная работа, так как всякий добросовестный труд
комсомольцев на субботнике есть бескорыстный труд на благо
общества.
Всякий добросовестный труд комсомольцев на субботнике заслу¬
живает одобрения.
2. Все млекопитающие — организмы, так как все млекопитающие
дышат кислородом.
Все обезьяны - млекопитающие, так как они кормят своих дете¬
нышей молоком.
Все обезьяны — организмы.
3. Честное и объективное отношение человека к себе заслуживает
уважения, так как оно высоконравственно. Самокритика выражает
честное и объективное отношение человека к себе, так как само¬
критика есть правдивое признание человеком своей ошибки.
Самокритика заслуживает уважения.
7*
195

4. Все растения — организмы, так как все растения питаются.
Все кустарники — растения, так как все кустарники обладают
свойством фотосинтеза.
Все кустарники — организмы.
5 Всякое преступление карается законом, поскольку оно общественно
опасно.
Грабеж есть преступление, так как грабеж — это открытое хищение
личного имущества граждан.
Грабеж карается законом.
6 Закаливание организма приносит пользу, так как закаливание
организма есть профилактика болезней.
Утренняя гимнастика есть закаливание организма, так как утренняя
гимнастика укрепляет здоровье.
Утренняя гимнастика приносит пользу.
VII. Определить вид умозаключения, написать форму¬
лу, доказать, является ли она законом логики.
1. Если животное млекопитающее, то оно относится к типу хордовых.
Это животное не является млекопитающим.
Это животное не относится к типу хордовых.
2. Если на металле появились следы ржавчины, то началась коррозия.
Коррозия не началась.
На металле не появились следы ржавчины.
3. Если должностное лицо получает взятку, то оно совершает
преступление.
Данное должностное лицо не получает взятку.
Данное должностное лицо не совершает преступление.
4. Если эта машина — двигатель внутреннего сгорания, то она явля¬
ется тепловым двигателем.
Если эта машина является тепловым двигателем, то в ней топ¬
ливо сжигается внутри цилиндра.
Если эта машина — двигатель внутреннего сгорания, то в ней
топливо сжигается внутри цилиндра.
VIII. Определить вид умозаключения, написать фор¬
мулу, доказать является ли она законом логики.
1. Фосфор бывает белый и красный.
Этот фосфор не красный.
Этот фосфор является белым. k
196

2. В зависимости от масштаба карты подразделяются на крупно¬
масштабные, среднемасштабные, мелкомасштабные.
Эта карта не является ни крупномасштабной, ни среднемасштабной.
Данная карта — мелкомасштабная.
3. Зональные природные комплексы восточноевропейской равнины
делятся на тундру, лесостепь, тайгу, смешанные леса, степь, полу¬
пустыню и пустыню.
Данная природная зона — тайга.
Данная природная зона не является ни тундрой, ни лесостепью,
ни смешанным лесом, ни степью, ни полупустыней, ни пустыней.
IX. Определить вид дилеммы или трилеммы, написать
формулу.
1. Если я пойду лесом, то могу попасть в плен, а если я пойду
полем, то могу подорваться на мине.
Но я могу идти или лесом, или полем.
Я могу попасть в плен или подорваться на мине.
2. Размышление человека, потерпевшего во время шторма корабле¬
крушение вблизи скалистых берегов:
Если я поплыву к берегу, то я утону; если я поплыву к берегу,
то меня разобьет о прибрежные скалы; если я поплыву к берегу,
то меня съедят акулы.
Я не утону, или меня не разобьет о прибрежные скалы, или
меня не съедят акулы.
Я не поплыву к берегу.
3. Если у больного острое респираторное заболевание, то больному
рекомендуется поставить банки. *
Если у больного воспаление легких, то больному рекомендуется
поставить банки.
В данном случае у больного или острое респираторное заболевание,
или воспаление легких.
Больному рекомендуется поставить банки.
4. Если количество холестерина в плазме крови превышает норму,
то он откладывается в стенках сосудов, сосуды теряют эластич¬
ность, повышается давление.
В данном случае или холестерин не откладывается в стенках
сосудов, или сосуды не теряют эластичность, или давление
нормально.
Значит, количество холестерина в плазме крови не превышает нормы.
197

5. Если классный руководитель правильно организует педагогическое
руководство пионерским отрядом, то в жизни отряда будет про¬
являться самодеятельность и романтика.
В данном пионерском отряде не проявляется романтики или
самодеятельности.
Классный руководитель неправильно организовал педагогическое
руководство пионерским отрядом.
6. Если Саша добросовестен, то он выполнит свое домашнее задание;
если он хороший друг, то он поможет сделать домашнее задание
больному товарищу.
В данном случае он не выполнил домашнее задание или не помог
своему больному товарищу.
Он недобросовестен или плохой друг.
7. Если я поеду из театра в метро, то мне надо будет долго идти
до дома; если я поеду из театра на троллейбусе, то мне придется
идти по темной улице.
Но я поеду из театра вечером или в метро, или на троллейбусе.
Мне придется идти по темной улице или надо будет долго идти
до дома.
8. Если я поползу по мосту, то меня захватит часовой, а если я пойду
по тонкому льду, то могу утонуть.
Я поползу по мосту или пойду по тонкому льду.
Меня захватит часовой или я утону.
9. Если у больного гипертоническая болезнь, то у него повышается
артериальное давление, появляется головная боль и ухудшается
зрение.
О данном больном известно, что у него или не повысилось арте¬
риальное давление, или не появилась головная боль, или не
ухудшилось зрение.
Данный больной не болен гипертонической болезнью.
Глава VI
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Познание отдельных предметов, их свойств происходит
посредством форм чувственного познания (ощущений и
восприятий). Мы видим, что этот дом еще не достроен,
ощущаем вкус горького лекарства и т. д. Эти истины
не подлежат особому доказательству, они очевидны.
Однако во многих случаях, например на лекции, в сочи¬
198

нении, в научной работе, в докладе, в ходе полемики,
в судебных заседаниях, на защите диссертации и во
многих других, нам приходится доказывать, обосновы¬
вать высказанные нами суждения.
Доказательность — важное качество правильного
мышления. В. И. Ленин видел политическую невоспи¬
танность «...в неумении искать точных доказательств по
спорным и важным историческим вопросам, в наивном
доверии к восклицаниям и выкрикам, к заверениям и
клятвам заинтересованных лиц»1. Анализируя рассуж¬
дения противников, он выявлял в них логические ошиб¬
ки и показывал, где и когда эти ошибки совершаются
умышленно (софизмы).
В современную эпоху обострения идеологической
борьбы особенно важно умело разоблачать лживую, под¬
рывную империалистическую пропаганду, вести аргу¬
ментированную полемику с нашими идейными против¬
никами.
Теория доказательства и опровержения является в
современных условиях средством формирования научно
обоснованных убеждений. В науке ученым приходится
доказывать самые различные суждения, например сужде¬
ния о том, что существовало до нашей эры, к какому
периоду относятся предметы, обнаруженные при археоло¬
гических раскопках, об атмосфере планет Солнечной си¬
стемы, о звездах и галактиках Вселенной, о теоремах
математики, о направлении развития ЭВМ, об осуще¬
ствлении долгосрочных прогнозов погоды, о тайнах
Мирового океана и космоса. Все эти суждения должны
быть научно обоснованы.
Доказательство — это совокупность логических при¬
емов обоснования истинности какого-либо суждение с
помощью других истинных и связанных с ним суж¬
дений.
Доказательство связано с убеждением, но не тож¬
дественно ему: доказательства должны основываться на
данных науки и общественно-исторической практики,
убеждения же могут быть основаны, например, на рели¬
гиозной вере в догматы церкви, на предрассудках, на
неосведомленности людей в вопросах экономики и по¬
литики, на видимости доказательности, основанной на
различного рода софизмах. Религиозные проповедники
могут «убедить» какую-то часть людей в существова¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 23, с. 306.
199

нии якобы бога, ада, рая и т. д. Поэтому убедить —
еще не значит доказать.
Структура доказательства: тезис, аргументы, демон¬
страция. Тезис — это суждение, истинность которого надо
доказать. Аргументы — это те истинные суждения, кото¬
рыми пользуются при доказательстве тезиса. Формой
доказательства, или демонстрацией, называется способ
логической связи между тезисом и аргументами.
Приведем пример доказательства.
В докладе товарища Г. А. Алиева «Историческая
правота идей и дела Ленина» на торжественном засе¬
дании в Москве, посвященном 115-й годовщине со дня
рождения В. И. Ленина, сформулирован один из тези¬
сов и приведены аргументы в его обоснование: «В центре
современной эпохи стоит международный рабочий класс,
класс, по определению Ленина, «поднимающийся к
победе». Достаточно сказать, что с начала века его
численность почти удесятерилась и приближается ныне
к 700 миллионам. В 95 странах действуют сейчас
коммунистические партии, а число их членов превысило
80 миллионов. В государствах, занимающих треть тер¬
ритории земного шара, — это партии правящие. Расши¬
рились рамки исторической миссии коммунистов: сегодня
она означает ответственность за спасение цивилизации,
за первейшее право человека — право на жизнь. Комму¬
нисты наиболее последовательно отстаивают интересы
трудящихся масс, народов своих стран, идут в авангарде
борьбы за демократию и социализм»1.
Различают несколько видов аргументов.
1. Удостоверенные единичные факты. К такого рода
аргументам относится так называемый фактический ма¬
териал, т. е. статистические данные о населении,
территории государства, выполнении плана, количестве
вооружения, свидетельские показания, подписи лица на
документе, научные данные, научные факты. Роль фак¬
тов в обосновании выдвинутых положений, в том числе
научных, очень велика.
В «Письме к молодежи» И. П. Павлов призывал
молодых ученых к изучению и накоплению фактов:
«Изучайте, сопоставляйте, накопляйте факты.
Как ни совершенно крыло птицы, оно никогда не
смогло бы поднять ее в высь, не опираясь на воздух.
1 Алиев Г. А. Историческая правота идей и дела Ленина. М.,
1985, с. 25.
200

Факты — воздух ученого. Без них вы никогда не
сможете взлететь. Без них ваши «теории» — пустые
потуги.
Но изучая, экспериментируя, наблюдая, старайтесь не
оставаться у поверхности фактов. Не превращайтесь
в архивариусов фактов. Пытайтесь проникнуть в тайну
их возникновения. Настойчиво ищите законы, ими управ¬
ляющие» х. И. В. Мичурин сказал: «Мы не можем
ждать милостей от природы; взять их у нее — наша
задача». Ценой десятков тысяч проведенных опытов,
сбора научных фактов он создает свою стройную науч¬
ную систему выведения новых сортов растений. Сначала
И. В. Мичурин увлекся работами по акклиматизации
южных и западноевропейских плодовых культур в ус¬
ловиях средней полосы России. Путем гибридизации
И. В. Мичурин сумел создать свыше 300 сортов пло¬
довых и ягодных культур. Это яркий пример того, как
подлинный ученый собирает и обрабатывает огромный
научный фактический материал.
В статье «Статистика и социология» В. И. Ленин
писал о доказательной роли фактов следующее: «Точные
факты, бесспорные факты — ... вот что особенно необ¬
ходимо, если хотеть серьезно разобраться в сложном и
трудном вопросе... Факты, если взять их в их целом, в их
связи, не только «упрямая», но и безусловно доказа¬
тельная вещь. Фактики, если они берутся вне целого,
вне связи, если они отрывочны и произвольны, являются
именно только игрушкой...»1 2.
В. И. Ленин предупреждал о недопустимости вых¬
ватывания отдельных фактов, игры в примеры, так как
подобрать отдельные примеры не представляет никакого
труда. «...Необходимо брать не отдельные факты, а^всю
совокупность относящихся к рассматриваемому вопросу
фактов, без единого исключения, ибо иначе неизбежно
возникнет подозрение, и вполне законное подозрение, в
том, что факты выбраны или подобраны произвольно,
что вместо объективной связи и взаимозависимости
исторических явлений в их целом преподносится «субъек¬
тивная» стряпня для оправдания, может быть, грязного
дела. Это ведь бывает ... чаще, чем кажется»3.
1 Павлов И. П. Избранные произведения. М., 1951, с. 51—52.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 30, с. 350.
3 Там же, с. 351.
201

2. Определения как аргументы доказательства. Опре¬
деления понятий формулируются в каждой науке. Пра¬
вила и виды определений были рассмотрены в теме
«Понятие»; там же были даны многочисленные примеры
определений из различных наук: математики, химии,
биологии, географии и др.
3. Аксиомы и постулаты. В математике, механике,
теоретической физике, математической логике и других
науках кроме определений вводят аксиомы. Аксиомы — это
суждения, которые принимаются в качестве аргументов
без доказательства, так как они уже подтверждены
многовековой практикой людей.
4. Ранее доказанные законы науки и теоремы как
аргументы доказательства. В качестве аргументов дока-
тельства могут выступать ранее доказанные законы
физики, химии, биологии и других наук, теоремы
математики (как классической, так и конструктивной).
Учение марксизма-ленинизма, законы материалистиче¬
ской диалектики (закон единства и борьбы противо¬
положностей, закон взаимного перехода количественных
и качественных изменений и закон отрицания отрицания)
также могут служить аргументами в процессе доказа¬
тельства. Юридические законы являются аргументами
в ходе судебного доказательства.
В ходе доказательства какого-либо тезиса может
использоваться не один, а несколько из перечислен¬
ных видов аргументов.
И наконец, следует еще раз подчеркнуть, что кри¬
терием истинности является практика. Если практика
подтвердила истинность суждения, то дальнейшее дока¬
зательство не нужно. «Советское общество сегодня —
это общество, в котором решены крупнейшие социаль¬
ные проблемы. На новую ступень зрелости поднялась
вся система общественных отношений, упрочился союз
рабочего класса, крестьянства и интеллигенции. Мы
еще дальше продвинулись по пути преодоления сущест¬
венных различий между городом и деревней, физическим
и умственным трудом. Расцвет наций и народностей
органически сочетается с их всесторонним сближе¬
нием.» 1
Практика — критерий истинности всякой теории. Все¬
1 Горбачев М. С. Бессмертный подвиг советского народа: Доклад
на торжеств, собрании в Кремлевском Дворце съездов, посвящ.
40-летию Победы сов. народа в Великой Отеч. войне 8 мая 1985 г.—
M.: Политиздат, 1985.
202

общая значимость основных законов социалистической
революции и строительства социализма подтверждена
опытом мирового социализма.
§ 2. ПРЯМОЕ И НЕПРЯМОЕ (КОСВЕННОЕ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Доказательства по форме делятся на прямые и непря¬
мые (косвенные). Прямое доказательство идет от рас¬
смотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е.
истинность тезиса непосредственно обосновывается аргу¬
ментами. Схема этого доказательства такова: из данных
аргументов (а, Ь, с...) необходимо следуют (вытекают)
истинные суждения (к, т, п...), а из последних сле¬
дует доказываемый тезис q. По этому типу проводятся
доказательства в судебной практике, в науке, в поле¬
мике, в сочинениях школьников, при изложении мате¬
риала учителем и т. д.
Широко используется прямое доказательство в стати¬
стических отчетах, в различного рода документах, в по¬
становлениях. Приведем пример прямого доказательства.
Тезис: «Проект ЦК КПСС «Об основных направлениях
реформы общеобразовательной и профессиональной
школы» в ходе всенародного обсуждения получил еди¬
нодушное одобрение и поддержку». В подтверждение
этого четко сформулированного тезиса приведены аргу¬
менты, в том числе статистические данные. «В собра¬
ниях по обсуждению участвовало 120 миллионов человек,
выступило 7 миллионов. Обширные материалы по ре¬
форме школы опубликованы в печати. Тысячи писем
трудящихся по этому вопросу поступили в партийные
и советские органы. Обсуждение проекта с новой силой
продемонстрировало подлинный демократизм социалис¬
тического строя, нерушимое единство партии и народа»1.
На уроке обществоведения при прямом доказатель¬
стве тезиса «Народ — творец истории» учитель пока¬
зывает, во-первых, что народ является создателем мате¬
риальных благ, во-вторых, обосновывает огромную роль
народных масс в политике, разъясняет, как в современ¬
ную эпоху народ ведет активную борьбу за мир, де¬
1 О реформе общеобразовательной и профессиональной школы:
Сб. документов и материалов, с. 10.
203

мократию и социализм, в-третьих, раскрывает его боль¬
шую роль в создании духовной культуры.
На уроках химии прямое доказательство горючести
сахара может быть представлено в форме категориче¬
ского силлогизма:
Все углеводы горючи.
Сахар — углевод.
Сахар горюч.
Непрямое (косвенное) доказательство — это доказатель¬
ство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосно¬
вывается путем доказательства ложности антитезиса.
Оно применяется тогда, когда нет аргументов для
прямого доказательства. Антитезис может быть выражен
в одной из двух форм: Q если тезис обозначить
буквой а, то его отрицание (а) будет антитезисом, т. е.
противоречащим тезису суждением; 2) антитезисом для
тезиса а в суждении a v b v с служат суждение b и
суждение с,
В зависимости от этого различия в структуре анти¬
тезиса косвенные доказательства делятся на два вида —
доказательство «от противного» (апагогическое) и раз¬
делительное доказательство (методом исключения).
Апагогическое косвенное доказательство (или доказа¬
тельство «от противного») осуществляется путем уста¬
новления ложности противоречащего тезису суждения.
Этот метод часто используется в математике.
Пусть а — тезис (или теорема), который надо дока¬
зать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е.
истинно не-а (или 5). Из допущения 5 выводим следствия,
которые противоречат действительности или ранее изве¬
стным теоремам. Имеем a v а, при этом а ложно,
значит, истинно его отрицание, т. е. а,_ которое по
закону двузначной классической логики (а->а) дает а.
Значит, истинно а, что и требовалось доказать.
Следует заметить, что в конструктивной логике
формула а -+а не является выводимой, поэтому ею в
доказательствах в конструктивной математике и кон¬
структивной логике пользоваться нельзя; закон исклю¬
ченного третьего также «отвергается» (не является вы¬
водимой формулой), поэтому косвенные доказательства
там не применяются.
Примеров доказательства «от противного» очень
204

много в школьном курсе математики. Так, например,
методом «от противного» доказывается теорема: «Если
две прямые перпендикулярны к одной и той же плос¬
кости, то они параллельны». Доказательство этой тео¬
ремы начинается словами: «Предположим противное,
т. е. что прямые АВ и CD не параллельны»1. Тогда они
пересекаются и образуют треугольник с двумя внутрен¬
ними прямыми углами, поэтому сумма всех трех внут¬
ренних углов треугольника больше 180°. Но это проти¬
воречит ранее доказанной теореме о том, что сумма
внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Следовательно, наше предположение, что АВ и CD
не параллельны, ложно, из чего (по закону исключен¬
ного третьего) вытекает доказанность теоремы о парал¬
лельности прямых АВ и CD.
Разделительное доказательство (методом исключения).
Антитезис является одним из членов разделительного
суждения, в котором должны быть обязательно пере¬
числены все возможные альтернативы, например:
Преступление могли совершить только либо А, либо В, либо С.
Доказано, что не совершали преступление ни А, ни В.
Преступление совершил С.
Истинность тезиса устанавливается путем последо¬
вательного доказательства ложности всех членов разде¬
лительного суждения, кроме одного.
Здесь применяется структура отрицающе-утверждаю-
щего модуса разделительно-категорического силлогизма.
Заключение будет истинным, если в разделительном
суждении предусмотрены все возможные случаи (альтер¬
нативы), т. е. если оно является закрытым (полным)
дизъюнктивным суждением. 41
a v b у с vrf; а л Ь л с m
d }
Как ранее отмечалось, в этом модусе союз «или» может
употребляться как строгая дизъюнкция ( v) и как не¬
строгая дизъюнкция (v), поэтому ему соответствуют
две логические схемы (1 и 2).
a v b v c v d: алЬ лс
л • (2)
1 Киселев А. П. Геометрия. M., 1974, ч. II, с. 13.
205

§ 3. ПОНЯТИЕ ОПРОВЕРЖЕНИЯ
Опровержение — логическая операция, направленная на
разрушение доказательства путем установления ложно¬
сти или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.
Суждение, которое надо опровергнуть, называется
тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых
опровергается тезис, называются аргументами опро¬
вержения.
Существуют три способа опровержения: 1) опровер¬
жение тезиса (прямое и косвенное); 2) критика аргу¬
ментов; 3) выявление несостоятельности демонстрации.
L Опровержение тезиса (прямое и косвенное)
Опровержение тезиса осуществляется с помощью сле¬
дующих трех способов (первый — прямой способ, второй
и третий — косвенные способы).
1. Опровержение фактами — самый верный и успеш¬
ный способ опровержения. Ранее подробно говорилось
о роли подбора фактов, о методике оперирования
ими; все это должно учитываться и в процессе опро¬
вержения фактами, противоречащими тезису. Должны
быть приведены действительные события, явления, ста¬
тистические данные, результаты эксперимента, свидетель¬
ские показания, научные данные, которые противоре¬
чат тезису, т. е. опровергаемому суждению. Например,
чтобы опровергнуть тезис «На Венере возможна орга¬
ническая жизнь», достаточно привести такие данные:
температура на поверхности Венеры 470 — 480 градусов
Цельсия, а давление 95 — 97 атмосфер. Эти данные
свидетельствуют о том, что жизнь на Венере в из¬
вестных нам формах невозможна.
2. Установление ложности (или противоречивости)
следствий, вытекающих из тезиса. Доказывается, что из
данного тезиса вытекают следствия, противоречащие
истине. Этот прием называется «сведение к абсурду»
(reductio ad absurdum).
Как уже отмечалось, в классической двузначной
логике метод сведения к абсурду выражается в виде
формулы а а-> F. где F — противоречие или ложь.
В более общей форме принцип сведения (приведе¬
ния) к абсурду выражается такой формулой: (а -> Ь) -►
->((а-> Z?)-> 5).
206

3. Опровержение тезиса через доказательство анти¬
тезиса. По отношению к опровергаемому тезису (суж¬
дению а) выдвигается противоречащее ему суждение
(т. е. не-а) и суждение не-а (антитезис) доказывается.
Если антитезис истинен, то тезис ложен, третьего не дано.
Например, надо опровергнуть широко распростра¬
ненный тезис «Все собаки лают» (суждение А, общеут¬
вердительное). Для суждения А противоречащим будет
суждение О — частноотрицательное: «Некоторые собаки
не лают». Для подтверждения последнего достаточно
привести несколько примеров или хотя бы один при¬
мер: «Собаки у пигмеев никогда не лают»1. Итак, дока¬
зано суждение О. В силу закона исключенного третье¬
го если О истинно, то А ложно. Следовательно, тезис
опровергнут.
II. Критика аргументов
Подвергаются критике аргументы, которые были вы¬
двинуты оппонентом в обоснование его тезиса. Доказы¬
вается ложность или несостоятельность этих аргументов.
Ложность аргументов не означает ложности тезиса:
тезис может оставаться истинным.
а -► Ь,а
Вероятно, b
Нельзя достоверно умозаключать от отрицания осно¬
вания к отрицанию следствия. Но достаточно бывает
показать, что тезис не доказан. Иногда бывает, что тезис
истинен, но человек не может подобрать для его до¬
казательства истинные аргументы. Случается и так, что
человек не виновен, но не имеет достаточных аргу¬
ментов для доказательства этого.
III. Выявление несостоятельности демонстрации
Этот способ опровержения состоит в том, что пока¬
зываются ошибки в форме доказательства. Наиболее
распространенной ошибкой является подбор таких ар¬
гументов, из которых истинность опровергаемого тезиса
не вытекает. Доказательство может быть построено
неправильно, если нарушено какое-либо правило умо-
См.: По материкам и странам, с. 79.
207

заключения или сделано «поспешное обобщение» (не¬
правильный переход от истинности суждения I к истин¬
ности суждения А или от истинности суждения О к
истинности суждения Е).
Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опро¬
вергаем ее ход, но не опровергаем сам тезис. Дока¬
зательство же истинности тезиса обязан дать тот, кто
его выдвинул.
Часто все перечисленные способы опровержения те¬
зиса, аргументов, хода доказательства применяются не
изолированно, а в сочетании друг с другом.
§ 4. ПРАВИЛА ДОКАЗАТЕЛЬНОГО РАССУЖДЕНИЯ.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И ОПРОВЕРЖЕНИИ
Если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных
ниже правил, то могут произойти ошибки, относящиеся
к доказываемому тезису, аргументам или к самой фор¬
ме доказательства.
I. Правила, относящиеся к тезису
1. Тезис должен быть логически определенным, ясным и
точным. О своем вкладе в науку К. Маркс писал:
«То, что я сделал нового, состояло в доказательстве
следующего: 1) что существование классов связано лишь
с определенными историческими фазами развития произ¬
водства, 2) что классовая борьба необходимо ведет к
диктатуре пролетариата, 3) что эта диктатура сама
составляет лишь переход к уничтожению всяких классов
и к обществу без классов»1.
Иногда люди в своем выступлении, письменном
заявлении, научной статье, докладе, лекции не могут
четко, ясно, однозначно сформулировать тезис. На соб¬
рании некоторые выступающие не могут четко сфор¬
мулировать 2 — 3 тезиса, а затем весомо, аргументи¬
рованно изложить их перед слушателями. И слуша¬
тели недоумевают: зачем он выступал в прениях и что
хотел доказать?
2. Тезис должен оставаться тождественным, т. е.
одним и тем же на протяжении всего доказательства
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 28, с. 427.
208

или опровержения. Нарушение этого правила ведет к
логической ошибке «подмена тезиса».
Ошибки, совершаемые относительно доказываемого тезиса
1. «Подмена тезиса». Согласно правилам доказательного
рассуждения, тезис должен быть ясно сформулирован
и оставаться одним и тем же на протяжении всего
доказательства или опровержения. При нарушении их
возникает ошибка, называемая «подмена тезиса». Суть
ее в том, что один тезис умышленно или не умыш¬
ленно подменяют другим и этот новый тезис начинают
доказывать или опровергать. Это часто случается во
время спора, дискуссии, когда тезис оппонента сначала
упрощают или расширяют его содержание, а затем на¬
чинают критиковать. Тогда тот, кого критикуют, за¬
являет, что оппонент приписывает ему то, чего он не
говорил. Ситуация эта весьма распространена, она встре¬
чается и при защите диссертаций, и при обсуждении
опубликованных научных работ, и на различного рода
собраниях и заседаниях, и при редактировании научных
или литературных статей. Здесь происходит нарушение
закона тождества, так как нетождественные тезисы пы¬
таются отождествлять, что и приводит к логической
ошибке.
В речи «Об обмане народа лозунгами свободы и
равенства» В. И. Ленин разоблачил подмену тезиса,
которую умышленно произвели буржуазные идеологи,
заявив, что марксисты под равенством понимают якобы
«равенство каждого человека с другим человеком».
В. И. Ленин сказал: «В этой бессмыслице, которую
они сами придумали, они пытались обвинить социа¬
листов. Но они не знали по своему невежеству, что
социалисты — и именно основатели современного науч¬
ного социализма, Маркс и Энгельс — говорили: равен¬
ство есть пустая фраза, если под равенством не по¬
нимать уничтожения классов. Классы мы хотим уничто¬
жить, в этом отношении мы стоим за равенство.
Но претендовать на то, что мы сделаем всех людей
равными друг другу, это пустейшая фраза и глупая
выдумка интеллигента...»1
2. «Довод к человеку». Ошибка состоит в подмене
доказательства самого тезиса ссылками на личные ка¬
1 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 38, с. 353.
209

чества того, кто выдвинул этот тезис. Например, вместо
того чтобы доказывать ценность и новизну диссерта¬
ционной работы, говорят, что диссертант — заслуженный
человек, что он много потрудился над диссертацией
и т. д. Разговор классного руководителя с учителем,
например, русского языка об оценке, поставленной уче¬
нику, иногда сводится не к доказательству, что этот
ученик заслужил эту оценку своими знаниями, а к ссыл¬
кам на личные качества ученика: он хороший общест¬
венник, много болел в этой четверти, по другим всем
предметам он успевает и т. д.
В научных работах иногда вместо конкретного ана¬
лиза материала, изучения современных научных данных
и результатов практики в подтверждение приводят ци¬
таты из высказываний крупных ученых, видных деятелей
и этим ограничиваются, полагая, что одной ссылки на
авторитет достаточно. При этом цитаты могут вы¬
рываться из контекста и иногда произвольно тракто¬
ваться. «Довод к человеку» часто представляет собой
просто софистический прием, а не ошибку, допущен¬
ную непреднамеренно.
Разновидностью «довода к человеку» является ошибка,
называемая «довод к публике», состоящая в попытке
повлиять на чувства людей, чтобы те поверили в истин¬
ность выдвинутого тезиса, хотя его и нельзя доказать.
Так, служители религиозных культов пытаются во время
своих проповедей воздействовать на чувства верующих.
3. «Переход в другой род». Имеются две разновид¬
ности этой . ошибки: а) «кто слишком много доказы¬
вает, тот ничего не доказывает»; б) «кто слишком мало
доказывает, тот ничего не доказывает».
В первом случае ошибка возникает тогда, когда
вместо одного истинного тезиса пытаются доказать дру¬
гой, более сильный тезис, и при этом второй тезис
может оказаться ложным. Если из а следует Ь, но из
b не следует а, то тезис а является более сильным,
чем тезис Ь. Например, если вместо того чтобы до¬
казывать, что этот человек не начинал первым драку,
начнут доказывать, что он не участвовал в драке, то
ничего не смогут доказать, если этот человек действи¬
тельно дрался и кто-нибудь это видел.
Ошибка «кто слишком мало доказывает, тот ничего
не доказывает» возникает тогда, когда вместо тезиса а
мы докажем более слабый тезис Ь. Например, если
пытаясь доказать, что это Животное — зебра, мы дока¬
210

зываем, что оно полосатое, то ничего не докажем, так
как тигр — тоже полосатое животное.
II. Правила по отношению к аргументам
1. Аргументы, приводимые в подтверждение тезиса,
должны быть истинными и не противоречащими друг
ДРУГУ-
2. Аргументы должны быть достаточным основанием
для подтверждения тезиса.
3. Аргументы должны быть суждениями, истинность
которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса.
Ошибки в основаниях (аргументах) доказательства
1. Ложность оснований («Основное заблуждение»). В ка¬
честве аргументов берутся не истинные, а ложные суж¬
дения, которые выдают или пытаются выдать за ис¬
тинные. Ошибка может быть непреднамеренной. Напри¬
мер, геоцентрическая система Птолемея была построена
на основании ложного допущения, согласно которому
Солнце вращается вокруг Земли. Ошибка может быть
и преднамеренной (софизмом), совершенной с целью
запутать, ввести в заблуждение других людей (например,
дача ложных показаний свидетелями или обвиняемыми
в ходе судебного расследования, неправильное опозна¬
ние вещей или людей и т. д.).
2. «Предвосхищение оснований». Эта ошибка совер¬
шается тогда, когда тезис опирается на недоказанные
аргументы, последние же не доказывают тезис, а только
предвосхищают его.
3. «Порочный круг». Ошибка состоит в том, ч!о
тезис обосновывается аргументами, а аргументы обос¬
новываются этим же тезисом. Это разновидность ошибки
«применение недоказанного аргумента». Примером мо¬
жет служить ошибка в рассуждениях Д. Уэстона, одного
из деятелей английского рабочего движения. Указывая
на эту ошибку, Маркс пишет: «Итак, мы начинаем с
заявления, что стоимость товаров определяется сто¬
имостью труда, а кончаем заявлением, что стоимость
труда определяется стоимостью товаров. Таким обра¬
зом, мы поистине вращаемся в порочном кругу и не
приходим ни к какому выводу»1.
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 16, с. 122.
211

III. Правила к форме обоснования тезиса
(демонстрации) и ошибки в форме доказательства
Тезис должен быть... заключением, логически следую¬
щим из аргументов по общим правилам умозаклю¬
чений или полученным в соответствии с правилами
косвенного доказательства.
Ошибки в форме доказательства.
1. Мнимое следование. Если тезис не следует из при¬
водимых в его подтверждение аргументов, то возни¬
кает ошибка, называемая «не следует». Иногда вместо
правильного доказательства аргументы соединяют с те¬
зисом посредством слов: «следовательно», «итак», «таким
образом», «в итоге имеем» и т. п.,—полагая, что они
установили логическую связь между аргументами и те¬
зисом. Эту логическую ошибку часто неосознанно допу¬
скают люди, не знакомые с правилами логики, пола¬
гающиеся на свой здравый смысл и интуицию. В ре¬
зультате возникает словесная видимость доказательства.
В качестве примера логической ошибки мнимого
следования Б. А. Воронцов-Вельяминов в своем учебнике
«Астрономия» указал на широко распространенное мне¬
ние, что шарообразность Земли якобы доказывается
следующими аргументами: 1) при приближении корабля
к берегу сначала из-за горизонта показываются верхушки
мачт, а потом уже корпус корабля; 2) кругосветные
путешествия и др. Но из этих аргументов следует не
то, что Земля имеет форму шара (точнее, геоида),
а только то, что Земля имеет кривизну поверхности,
замкнутость формы. Для доказательства шарообразной
формы Земли Б. А. Воронцов-Вельяминов предлагает
другие аргументы: 1) в любом месте Земли горизонт
представляется окружностью, и дальность горизонта
всюду одинакова; б) во время лунного затмения тень
Земли, падающая на Луну, всегда имеет округлые
очертания, что может быть только в том случае, если
Земля шарообразна.
2. От сказанного с условием к сказанному безусловно.
Аргумент, истинный только с учетом определенного
времени, отношения, меры, нельзя приводить в качестве
безусловного, верного во всех случаях. Так, если кофе
полезен в небольших дозах (например, для поднятия
артериального давления), то в больших дозах он вреден.
212

Аналогично мышьяк ядовит, но в небольших дозах его
добавляют в некоторые лекарства. Лекарства врачи
должны подбирать для больных индивидуально. Педа¬
гогика требует индивидуального подхода к учащимся;
этика определяет нормы поведения людей, и в различ¬
ных условиях они могут несколько варьироваться (на¬
пример, правдивость — положительная черта человека,
разглашение военной тайны — преступление). Если мы
говорим о мирном сосуществовании социализма и ка¬
питализма в области экономики и политики, то не
может быть мирного сосуществования в области иде¬
ологии.
Нарушение правил умозаключений (дедуктивных,
индуктивных, по аналогии)
1. Ошибки в дедуктивных умозаключениях. Например,
нельзя строить умозаключение от утверждения следст¬
вия к утверждению основания. Из посылок: «Если число
оканчивается на 0, то оно делится на 5» и «Это
число делится на 5» — не следует вывод: «Это число
оканчивается на 0». Ошибки в дедуктивных умозаклю¬
чениях были подробно освещены ранее.
2. Ошибки в индуктивных умозаключениях. Одна из
таких ошибок — «поспешное обобщение», например ут¬
верждение, что «все свидетели дают необъективные по¬
казания». Другой ошибкой является «после этого —
значит, по причине этого» (например, пропажа вещи
обнаружена после прихода в дом этого человека, зна¬
чит, он ее унес). На этой логической ошибке осно¬
ваны все религиозные суеверия.
3. Ошибки в умозаключениях по аналогии. Примерам
отчасти могут служить ритуальные танцы, которые
устраивают африканские пигмеи накануне охоты на
слона. Ритуал этот основан на мистических представле¬
ниях этого народа, и в нем несомненно присутствует
представление об аналогии, хотя последнее и не исчерпы¬
вает существа этого обряда.
«Охота на слонов требует особых приготовлений. Нужно уми¬
лостивить злых духов, получить моральную поддержку всех обита¬
телей деревни... Накануне охоты в деревне разыгрывают настоящий
спектакль, в котором охотники, сделав чучело слона и поставив
его на поляне, показывают своим сородичам, как они будут охо¬
титься. «Артисты» сначала осторожно двигаются, внимательно при¬
слушиваясь и вглядываясь вперед. Знаками они поддерживают
213

связь друг с другом... Тут вступают в игру барабаны. Они громко
бьют, предупреждая, что охотники нашли след...
Внезапно всех как будто пронизывает электрическим током; я
вздрагиваю и почти перестаю крутить ручку киноаппарата. Барабаны
громыхают: «Бум!» Предводитель резко выпрямляется, машет рукой
товарищам и со страхов и ликованием взор устремляет в чучело
слона, которое в этот момент всем присутствующим кажется на¬
стоящим,- живым гигантом... Охотники замирают и несколько се¬
кунд, показавшихся мне бесконечно долгими, смотрят на слона.
Затем охотники отходят на семь или восемь шагов и начинают
взволнованно обсуждать план атаки... Предводитель должен первым
поразить слона копьем. Он подкрадывается к слону сзади, но вдруг
его глаза расширяются от страха, как будто слон стал повора¬
чиваться, и он стремглав бросается к лесу... Три раза предводи¬
тель подкрадывается к слону и три раза убегает прочь... Затем
охотники, изобразив преследование раненого слона, бросаются на
него, яростно обрушивают копья в чучело и опрокидывают его...
Охотники исполняют вокруг поверженного чучела свой победный
танец... Через 5 минут под аккомпанемент барабанов пляшут уже
все зрители — энергично и весело» (Страны и материки. М. 1981,
с. 79-82).
§ 5. ПОНЯТИЕ О СОФИЗМАХ И ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСАХ
Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в
мышлении, называется паралогизмом. Преднамеренная
ошибка (как уже не раз отмечалось), совершаемая с
целью запутать противника и выдать ложное суждение
за истинное, называется софизмом. Софистами назы¬
вают людей, которые пытаются выдать ложь за истину
путем различных ухищрений. Софизмы идеалистов
разоблачал В. И. Ленин. Многочисленные примеры трму
можно найти в работе «Материализм и эмпириокри¬
тицизм».
Анализируя концепции разных представителей фило¬
софии эмпириокритицизма, В. И. Ленин приходит к
выводу, что «никакие увертки, никакие софизмы (кото¬
рых мы встретим еще многое множество) не устранят
того ясного и неоспоримого факта, что учение Э. Маха
о вещах, как комплексах ощущений, есть субъектив¬
ный идеализм, есть простое пережевывание беркли¬
анства»
Ленинский стиль разоблачения софизмов, яркий, ост¬
рый язык публициста и в дни борьбы с современ¬
ными софистическими ухищрениями является для нас
образцом. Последовательно проводя линию материа¬
лизма, он пишет: «Итак, ощущение существует без
1 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18, с. 35.
214

«субстанции», т. е. мысль существует без мозга! Неу¬
жели есть в самом деле философы, способные защи¬
щать эту безмозглую философию? Есть. В числе их
профессор Рихард Авенариус»1. «Софизм идеалисти¬
ческой философии состоит в том, что ощущение при¬
нимается не за связь сознания с внешним миром, а
за перегородку, стену, отделяющую сознание от внеш¬
него мира, — не за образ соответствующего ощущению
внешнего явления, а за «единственно сущее». Авена¬
риус придал лишь чуточку измененную форму этому
старому софизму, истрепанному еще епископом Беркли»2.
Разоблачая политические и философские софизмы своих
противников, В. И. Ленин сравнивал их с математи¬
ческими софизмами. Владимир Ильич писал, что они
похожи, «как две капли воды, на те рассуждения, ко¬
торые математики называют математическими софиз¬
мами и в которых, — строго логичным, на первый взгляд,
путем, — доказывается, что дважды два пять, что часть
больше целого и т. д.»3.
Математические софизмы собраны в целом ряде
книг4. Так, Ф. Ф. Нагибин формулирует следующие
математические софизмы: 1) «5 = 6»; 2) «2*2 = 5»;
3) «2 = 3»; 4) «Все числа равны между собой»;
5) «Любое число равно половине его»; 6) «Отрица¬
тельное число равно положительному»; 7) «Любое число
равно нулю»; 8) «Из точки на прямую можно опус¬
тить два перпендикуляра»; 9) «Прямой угол равен
тупому»; 10) «Всякая окружность имеет два центра»;
11) «Длины всех окружностей равны» и многие другие.
Например, 2*2 = 5. Требуется найти ошибку в следую¬
щих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4:4 =
= 5:5. Вынесем за скобки в каждой части этого тож¬
дества общий множитель. Получим 4(1 :1) = 5(1 :*1).
Числа в скобках раЬны. Поэтому 4 = 5, или 2*2 = 5.
5=1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать
так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно
и то же число 3. Получим числа 2 и —2. При воз¬
ведении в квадрат этих чисел получаются равные числа
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 43.
2 Там же, с. 46.
3 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 8, с. 67.
4 См.: Брадис В., Минковский В., Харчев А. Ошибки в матема¬
тических рассуждениях. М., 1959; Нагибин Ф. Ф. Математическая
шкатулка. М., 1964, с. 78 — 88.
215

4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа
5 и 1. Где ощибка?1
Понятие о логических парадоксах
Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истин¬
ность, так и ложность некоторого суждения, иными
словами, доказывающее как это суждение, так и его
отрицание. Парадоксы были известны еще в древности.
Примерами парадоксов являются: «куча», «лысый», «ка¬
талог всех нормальных каталогов», «мэр города», «ге¬
нерал и брадобрей» и др.
Парадокс «куча». Разница между кучей и не кучей —
не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (напри¬
мер, песка). Начинаем от нее брать каждый раз по
одной песчинке, и куча остается кучей. Продолжаем
этот процесс. Если 100 песчинок — куча, то 99 —тоже
куча и т. д. 10 песчинок — куча, 9 — куча, ... 3 песчинки —
куча, 2 песчинки — куча, 1 песчинка — куча. Итак, суть
парадокса в том, что постепенные количественные из¬
менения (убавление на 1 песчинку) не приводят к ка¬
чественным изменениям.
Парадокс «лысый» аналогичен парадоксу «куча», т. е.
разница между лысым и не лысым не в одной во¬
лосинке.
Парадоксы теории множеств
В письме Готтлобу Фреге от 16 июня 1902 г. Берт¬
ран Рассел сообщил о том, что он обнаружил пара¬
докс множества всех нормальных множеств (нормаль¬
ным множеством называется множество, не содержа¬
щее себя в качестве элемента).
Примерами таких парадоксов являются «каталог всех
нормальных каталогов», «мэр города», «генерал и бра¬
добрей» и др.
Парадокс, называемый «мэр города», состоит в сле¬
дующем: каждый мэр города живет или в своем го¬
роде, или вне его. Был издан приказ о выделении
одного специального города, где бы жили только эти
мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить
мэр этого специального города? Если он хочет жить
в своем городе, то он не может этого сделать, так
1 См.: Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка, с. 81—82.
216

как там живут только мэры, не живущие в своем го¬
роде; если же он не хочет жить в своем городе, то,
как и все мэры, не живущие в своих городах, он
должен жить в отведенном городе, т. е. в своем. Итак,
он не может жить ни в своем городе, ни вне его.
Парадокс «генерал и брадобрей» состоит в следующем:
каждый солдат может сам себя брить или бриться у
другого солдата. Генерал издал приказ о выделении
одного специального солдата-брадобрея, у которого бри¬
лись бы только те солдаты, которые себя не бреют.
У кого должен бриться этот специально выделенный
солдат-брадобрей? Если он хочет сам себя брить, то
он не может этого сделать, так как он может брить
только тех солдат, которые себя не бреют; если же
он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не
бреющие себя, он должен бриться только у одного
специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он
не может ни брить себя, ни не брить себя.
Этот парадокс аналогичен парадоксу «мэр города».
Рассмотрим парадокс Рассела о нормальных множе¬
ствах в виде парадокса о «каталоге всех нормальных
каталогов».
Парадокс этот получается так: каталоги подразде¬
ляются на два рода: 1) такие, которые в числе пере¬
численных каталогов не упоминают себя (нормальные),
и 2) такие, которые сами входят в число перечисля¬
емых каталогов (ненормальные).
Библиотекарю дается задание составить каталог всех
нормальных и только нормальных каталогов. Должен
ли он при составлении своего каталога упомянуть и
составленный им? Если он упомянет его, то составлен¬
ный им каталог окажется ненормальным, т. е. он rfb
имел права упоминать его. Если же библиотекарь не
упомянет его, то один из нормальных каталогов —
гот, который он составил, — окажется не упомянутым,
хотя он должен был упомянуть все нормальные каталоги.
Итак, он не может ни упомянуть, ни не упомянуть
составляемый им каталог.
Как же тут быть? На этом же примере видно, как
могут быть разрешены соответствующие парадоксы.
В самом деле, естественно заметить, что понятие
«нормальный каталог» не имеет фиксированного объема,
пока не установлено, какие каталоги следует рассмат¬
ривать: в какой, например, библиотеке и в какое время
они находятся. Если будет дано задание составить ка¬
217

тал or всех нормальных каталогов на 10 мая 1985 г.,
то объем понятия «каталог всех нормальных каталогов»
будет фиксирован и при составлении своего каталога
библиотекарь не должен будет упоминать его же.
Но если перед ним поставят снова аналогичное зада¬
ние после того, как его прежний каталог уже будет
составлен, то ему придется учесть и этот каталог.
Так будет разрешен парадокс.
Таким образом, в логику входит категория времени,
категория изменения: приходится рассматривать изме¬
няющиеся объемы понятий. А рассмотрение объема в
процессе его изменения — это уже аспект диалектиче¬
ской логики. Трактовка парадоксов математической ло¬
гики и теории множеств, связанных с нарушением
требований диалектической логики, принадлежит про¬
фессору С. А. Яновской.
Имеются и другие способы избежать противоречий
такого рода.
§ 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ДИСКУССИЯ
Роль доказательства в научном познании и дискус¬
сиях сводится к подбору достаточных оснований (аргу¬
ментов) и к показу тогог что из них с логической
необходимостью следует тезис доказательства. В. И. Ленин
писал: «Искусство всякого пропагандиста и всякого аги¬
татора в том и состоит, чтобы наилучшим образом
повлиять на данную аудиторию, делая для нее извест¬
ную истину возможно более убедительной, возможно
легче усвояемой, возможно нагляднее и тверже за¬
печатлеваемой» 1.
Правила ведения дискуссии можно показать на при¬
мере проведения диспута у старшеклассников. Диспут
способствует выработке у учащихся активной идейно¬
нравственной позиции. В. И. Ленин считал, что «без
прений, споров и борьбы мнений никакое движение...
невозможно»2. Диспут позволяет рассматривать, анали¬
зировать проблемные ситуации, развивает способность
аргументированно отстаивать свои знания, свои ком¬
мунистические убеждения.
Диспуты могут быть спланированы заранее или воз¬
никать экспромтом (в походе, после просмотра кино¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 21, с. 21.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 24, с. 166.
218

фильма и т. д.). В первом случае заранее можно про¬
читать литературу, подготовиться, преимущество второ¬
го — в эмоциональном отношении его участников к об¬
суждаемому предмету. Очень важно выбрать тему дис¬
пута, она должна звучать остро и проблематично.
Например, можно избрать такие темы \ «Революция
продолжается — как ты это понимаешь?»; «Основной
Закон нашей жизни — как программирует он твое буду¬
щее?»; «Твои идеалы, товарищ»; «Самостоятельно по¬
полнять свои знания, ориентироваться в стремительном
потоке научной и политической информации — как воспи¬
тываешь ты у себя это умение?»; «Твоя активная
жизненная позиция —в чем она проявляется?»; «Вопрос
самому себе: «Что сегодня полезного дал я людям?»;
«Только ли ты один имеешь право распоряжаться
собой?» и др.
В ходе диспута надо поставить 3 — 4 вопроса, но
таких, чтобы на них нельзя было дать однозначных
ответов. Вот, например, какие вопросы предлагаются
к теме диспута «Твои принципы — отстаиваешь ли ты их?»:
1. Быть принципиальным, что это значит?
2. Что по-твоему больше помогает в жизни: осто¬
рожное благоразумие или беспощадная прямота?
3. Принципиальность, такт, чуткость — как это со¬
отнести?
4. Идейная убежденность — в чем она должна прояв¬
ляться по-твоему?1 2
Диспут рекомендуется готовить один-два месяца.
Мнения учащихся выявляются путем анкетирования, их
ответы изучаются и обобщаются. Учащиеся заранее изу¬
чают рекомендованную учителем литературу.
*
В школе № 67 Москвы сами ребята составили такие «Правила
диспута».
— Прежде чем спорить, продумай главное, что ты хочешь дока¬
зать ;
— Если ты пришел на диспут, обязательно выступи и докажи
свою точку зрения;
— Говори просто и ясно, логично и последовательно;
— Говори только то, что тебя волнует, в чем убежден, не
утверждай того, в чем не разобрался сам;
— Спорить по-честному: не искажай мыслей того, с чьим мне¬
нием ты не согласен;
1 См.: Методика подготовки и проведения классного комсо¬
мольского собрания и диспута старшеклассников. М., 1978, с. 25.
2 См.: Методика подготовки и проведения классного комсомоль¬
ского собрания и диспута старшеклассников, с. 26.
219

— Не повторяй того, что до тебя уже было сказано;
— Не размахивай руками, не повышай тона, лучшее доказа¬
тельство-точные факты, железная логика;
— Уважай того, кто с тобой спорит: постарайся ничем не оби¬
деть, не оскорбить товарища; поступить так — значит, показать,
что ты не только силен в споре, но и воспитан».
Эти правила были изложены в ярком красочном плакате, ко¬
торый избещал о предстоящем диспуте и вывешивался за 1 — 2 дня
до диспута.
Великий советский педагог В. А. Сухомлинский писал
о большой силе слова, о необходимости пользоваться
им тактично, ибо необдуманно сказанное слово может
причинить много вреда: «Знай, что твое неразумное,
холодное, равнодушное слово может обидеть, уязвить,
огорчить, вызвать смятение, потрясти, ошеломить».
О бестактности некоторых людей, проявляющейся в их
речи, писал французский писатель, мастер афористи¬
ческой публицистики Ж. Лабрюйер: «Для иных людей
говорить — значит обижать: они колючи и едки, их
речь—смесь желчи с полынной настойкой; насмешки,
издевательства, оскорбления текут с их уст, как слюна».
И наоборот, о роли положительных эмоций, вызванных
добрыми словами, известный просветитель XVIII в.
Т. Пэн сказал так: «Если одно-два приветливых слова
могут сделать человека счастливым, надо быть.негодяем,
чтобы отказать ему в этом».
Диспуты рекомендуется проводить 1 — 2 раза в год,
так как они требуют значительной подготовки. Во время
диспута руководитель (учитель) не должен перебивать
ребят. Заключительное слово не может сводиться ни
к морализированию, ни к попыткам рассудить спорящих:
следует подчеркнуть коллективные находки и те выводы,
к которым ребята пришли самостоятельно, а также по¬
ставить вопросы для дальнейшего обсуждения.
Таковы примерные методические рекомендации по
организации диспута старшеклассников1.
Задачи к теме «Доказательство»
I. Найти тезис, аргументы, указать способ доказательства.
1. «Славное место эта долина! Со всех сторон горы
неприступные, красноватые скалы, обвешанные зеленым
плющом и увенчанные купами чинар, желтые обрывы,
1 Настоящие рекомендации подготовлены кандидатами педаго¬
гических наук С. Е. Хозе и М. М. Ященко.
220

исчерченные промоинами, а там высоко-высоко золотая
бахрома снегов, а внизу Арагва, обнявшись с другой
безымянной речкой, шумно вырывающейся из черного
полного мглою ущелья, тянется серебряной нитью и
сверкает, как змея своей чешуею» (М. Ю. Лермонтов).
2. «Страсти вводят нас в заблуждение, так как они
сосредоточивают все наше внимание на одной стороне
рассматриваемого предмета и не дают нам возмож¬
ности исследовать его всесторонне» (Л*. Гельвеций).
3. «Смерть для человека — ничто, так как, когда мы
существуем, смерть еще не присутствует, а когда смерть
присутствует, тогда мы не существуем» (Эпикур).
4. «Воздержанность и труд — вот два истинных врача
человека: труд обостряет его аппетит, а воздержанность
мешает злоупотреблять им» (Ж.-Ж. Руссо).
5. «Назойлив только глупец: умный человек сразу
чувствует, приятно его общество или наскучило, и
уходит за секунду до того, как станет ясно, что он —
лишний» (Ж. Лабрюйер).
II. Найти логическую и математическую ошибку в
следующем рассуждении (решении задачи).
«Доказать», что 2X2 = 5.
Берется равенство: 16 — 36 = 25 — 45. Затем к обеим
частям равенства прибавляется по равной величине 20^4,
получается: 16 — 36 + 20V4 = 25 — 45 + 20 V4. Затем дела¬
ются следующие преобразования:
42 - 2-4-9/2 + (9/2)2 = 52 - 2 - 5 - 9/2 + (9/2)2, (4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2.
Отсюда делается заключение: 4 — 9/2 = 5 — 9/2, 4 = 5,
2x2 = 5. В чем кроется ошибка?1
III. Какая логическая ошибка допущена в рассужде¬
нии Цандера? *
С. П. Королев принес Цандеру путевку в санаторий
в г. Кисловодск и предложил ему взять у врача разре¬
шение на продление отпуска. Вечером С. П. Королев
спросил у Цандера:
— Врач продлил вам отпуск?
— Да. Я говорю: «Продлите мне отпуск на неделю».
— А что такое? Зачем продлевать? — спрашивает врач.
— Устал.
— Что у вас за работа? На морозе или в горячем
цеху? Что это вы так устали?
1 См.: Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М., 1978, с. 132.
221

— Да нет, не на морозе. Я занимаюсь полетами
на другие планеты.
— A-а, тогда понятно. Может, вам дать месяц?
Соратники Цандера и Королев полегли со смеху.
Только один человек не понимал, что здесь смешного,
это Цандер»1.
IV. В чем кроются логические ошибки, допущенные
в следующих софизмах?
1. Все что ты не потерял, ты имеешь.
Ты не потерял рогов.
Ты имеешь рога.
2. В древности был известен софизм «Эватл». Древ¬
негреческий софист Протагор давал уроки Эватлу. Они
договорились, что после первого выигранного Эватлом
судебного процесса ученик платит своему учителю
за обучение. Но Эватл не провел ни одного судеб¬
ного процесса, поэтому не платил учителю за обучение.
Протагор сказал, что подаст на Эватла в суд и
Эватл ему заплатит: если судьи присудят уплатить, то
он обязан будет уплатить по решению суда, а если
судьи не присудят уплатить, то Эватл оплатит за свое
учение по их договору, так как он выиграл этот пер¬
вый процесс.
На это Эватл ответил, что он не уплатит ни в том,
ни в другом случае, ибо если судьи присудят уплатить,
то, значит, он проиграл свой первый процесс и не
обязан платить по их договору, а если судьи не при¬
судят платить, то он не заплатит по решению суда.
В чем состоит нарушение законов логики, допущен¬
ное в этом софизме?
V. В период перед поступлением в вузы препода¬
ватель математики повесил такое объявление: «Даю уроки
математики для поступающих в вузы. Платят за обу¬
чение только те, кто прошел в институт по конкурсу».
Какие могут встретиться варианты, связанные с оплатой
согласно этому объявлению?
1 Старостин А. Адмирал Вселенной. (С. П. Королев). M., 1973,
с. 228 -229.

Глава VII
ГИПОТЕЗА
§ 1. ГИПОТЕЗА КАК ФОРМА РАЗВИТИЯ ЗНАНИЙ
В науке, следственной практике, обыденном мышлении
мы идем от незнания к знанию, от неполного знания
к более полному; нам приходится выдвигать и затем
обосновывать различные предположения для объяснения
явлений и их связи с другими явлениями. Мы выд¬
вигаем гипотезы, которые могут перейти при их под¬
тверждении в научные теории или в отдельные истин¬
ные суждения, или, наоборот, будут опровергнуты и
окажутся ложными суждениями.
Гипотеза — это научно обоснованное предположение
о причинах или закономерных связях каких-либо явле¬
ний или событий природы, общества и мышления.
Важное значение гипотез в процессе познания отмечал
Ф. Энгельс, называя гипотезу формой развития естест¬
вознания.
Научно обоснованные предположения (гипотезы) надо
отличать от плодов беспочвенной фантазии в науке.
В письме, обращенном к научной молодежи, И. П. Пав¬
лов предостерегал от выдвижения пустых гипотез. Он
писал: «Никогда не пытайтесь прикрыть недостатки
своих знаний хотя бы и самыми смелыми догадками
и гипотезами. Как бы ни тешил ваш взор своими
переливами этот мыльный пузырь — он неизбежно лоп¬
нет и ничего, кроме конфуза, у вас не останется»1.
Существуют ложные гипотезы, например существо¬
вавшая до Коперника гипотеза неподвижности Земли.
Новая гелиоцентрическая система была изложена Ни¬
колаем Коперником (1473 — 1543) в основном сочине¬
нии — в книге «О вращениях небесных сфер»; эта книга
через 73 года после появления была внесена Ватика¬
ном в Индекс запрещенных изданий, где она числилась
до 1822 г. Рассматривая аргументы сторонников гос¬
подствующей в то время геоцентрической системы,
Н. Коперник писал, в частности, следующее: «Итак, об¬
наруживается, что в процессе доказательства, которое
называется pe3o6ov (методом), они или пропустили что-
1 Павлов И. П. Письмо к молодежи. — Избранные произведения.
М, 1951, с. 50.
223

нибудь необходимое, или допустили что-то чуждое и
никак не относящееся к делу. Этого не могло бы
случиться, если бы они следовали истинным началам.
Действительно, если бы принятые ими гипотезы не были
ложными, то, вне всякого сомнения, полученные из них
следствия оправдались бы» х.
Гипотеза является формой развития и естественных,
и общественных, и технических наук; с точки зрения
логической структуры она не сводится к какой-то одной
форме мышления: понятию, суждению или умозаклю¬
чению,—а включает в свой состав все эти формы.
Виды гипотез
В зависимости от степени общности научные гипотезы
можно разделить на общие, частные и единичные.
Общая гипотеза — это научно обоснованное предпо¬
ложение о причинах, законах и закономерностях при¬
родных и общественных явлений, а также закономер¬
ностях психической деятельности человека. Общие гипо¬
тезы выдвигаются с целью объяснения всего класса
описываемых явлений, выведения закономерного харак¬
тера их взаимосвязей во всякое время и в любом
месте. Примером общей гипотезы является гипотеза
Демокрита об атомистическом строении вещества, кото¬
рая впоследствии превратилась в научную теорию; дру¬
гой пример — гипотезы об органическом или неоргани¬
ческом происхождении нефти и др. В случае подтвержде¬
ния общая гипотеза становится научной теорией.
Частная гипотеза — это научно обоснованное предпо¬
ложение о причинах, происхождении и о закономер¬
ностях части объектов, выделенных из класса рассмат¬
риваемых объектов природы, общественной жизни или
психической деятельности человека.
Частные гипотезы создаются для выяснения причин
возникновения закономерностей у некоторого подмно¬
жества элементов данного множества.
Вот, например, три современные частные гипотезы:
«Серьезной философской и общебиологической пробле¬
мой является вопрос о происхождении вирусов. Пале¬
онтологи, занимающиеся происхождением растений и
животных, имеют в своем распоряжении ископаемые
остатки, по которым они могут в общих чертах просле¬
1 Коперник Н. О вращениях небесных сфер. М., 1964, с. 13.
224

дить основные этапы, основные звенья эволюции. Что
касается вирусов, то даже и мечтать о таких объектах
исследования не приходится. Пока остается только разра¬
батывать гипотезы. В соответствии с одной из них
вирусы берут начало от нормальных компонентов клеток,
которые вышли из-под контроля механизмов регуляции.
В соответствии с другой гипотезой вирусы — это по¬
томки бактерий, перешедших на внутриклеточный пара¬
зитический способ жизни. В процессе эволюции бакте¬
рии-предки потеряли способность к самостоятельному
обмену веществ, лишились клеточной оболочки. Более
естественной выглядит гипотеза о происхождении ви¬
русов от первичных доклеточных форм жизни. Однако
ни одно из предположений еще не нашло достовер¬
ного подтверждения»1. Опасность вирусов состоит в том,
что «по оценке многих специалистов, в настоящее время
вирусы снижают мировой урожай на 70 — 80% »2.
Существует также несколько частных гипотез о при¬
чинах возникновения злокачественных опухолей, в том
числе и гипотеза об онкогенных РНК, содержащих
вирусы.
Среди множества проблем, связанных с подготовкой
длительных космических полетов, наиболее серьезной и
наименее решенной, как отмечают эти авторы, является
проблема сосуществования человека с вирусами в замкну¬
том пространстве кораблей. Поэтому очень важным
аспектом биологических работ являются исследования
в области вирусологии; и превращение гипотез в науч¬
но обоснованные теории будет иметь большое научное
и практическое значение.
Гипотезы в области вирусологии мы называем част¬
ными, а не общими потому, что они выдвигаются
для выяснения закономерностей отдельных, только неко¬
торых из организмов — вирусов, а иногда даже не всех
вирусов, а их отдельных разновидностей.
Единичная гипотеза — научно обоснованное предполо¬
жение о причинах, происхождении и закономерностях
единичных фактов, конкретных событий или явлений.
Врач строит единичные гипотезы в ходе лечения конкрет¬
ного больного, подбирая для него индивидуально меди¬
каменты и их дозировку.
1 Затула Д. Г., Мамедова С. А. Вирус — друг или враг? М.,
1981, с. 127.
2 Там же, с. 76.
8 А. Д. Гетманова
225

В ходе доказательства общей, частной или единичной
гипотезы люди строят рабочие гипотезы, т. е. предпо¬
ложения, выдвигаемые чаще всего в начале исследо¬
вания явления и не ставящие еще задачу выяснения
его причин или закономерностей. Рабочая гипотеза
позволяет исследователю построить определенную си¬
стему (группировку) результатов наблюдения и дать
согласующееся с ними предварительное описание изучае¬
мого явления. Работа академика И. П. Павлова ярко
характеризует способы и цели построения рабочей гипо¬
тезы. Один из его учеников и сотрудников академик
П. К. Анохин вспоминает стиль работы И. П. Павлова.
«Поражало в нем то, что он не мог ни минуты работать
без законченной рабочей гипотезы. Как альпинист, потерявший одну
точку опоры, сейчас же заменяет ее другой, так и Павлов при
разрушении одной рабочей гипотезы старался сразу же на ее раз¬
валинах создать новую, более соответствующую последним фактам...
Но рабочая гипотеза была для него только этапом, через кото¬
рый он проходил поднимаясь на более высокий уровень исследо¬
вания, и поэтому он никогда не превращал ее в догму. Иногда,
напряженно думая, он с^ такой быстротой менял... гипотезы, что
трудно было поспеть за ним» \
В судебном расследовании выдвигаемые гипотезы на¬
зываются версиями. Версии бывают общие, объясняющие
все преступление в целом, частные, объясняющие неко¬
торые обстоятельства или моменты преступления, и еди¬
ничные, объясняющие отдельные, индивидуальные фак¬
ты : кто исполнитель, кто организатор преступления, если
было несколько участников, и т. д. Например, до сих
пор выдвигаются различные версии убийства американ¬
ского президента Джона Кеннеди. Общей версией явля¬
ется та, которая объясняет данное преступление в целом;
частных версий может быть несколько: убил ли пре¬
зидента одиночка-маньяк или это был заговор против
Д. Кеннеди, каковы причины убийства, как готовилось
это преступление; единичные версии: из какого оружия
убит президент, кто именно стрелял, из какого помеще¬
ния раздался выстрел и т. д.1 2
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ И ЭТАПЫ ЕЕ РАЗВИТИЯ
Гипотезы строятся тогда, когда возникла потребность
объяснить ряд новых фактов, которые не укладываются
1 Анохин П. К. И. П. Павлов. M., 1949, с. 317.
2 См.: Манчестер У. Убийство президента Кеннеди (пер. с англ.).
М., 1969.
226

в рамки известных ранее научных теорий или других
их объяснений. Вначале производится анализ каждого
отдельного факта, затем анализ их совокупности. Как уже
было отмечено в главе «Логические основы теории
аргументации», факты необходимо рассматривать лишь
в их совокупности. Чтобы подкрепить выдвигаемую ги¬
потезу, проводят дополнительные научные эксперименты
или эксперименты в ходе следственной практики.
Следующей задачей является синтез фактов и форму¬
лировка гипотезы. Гипотеза не должна противоречить
ранее открытым и подтвержденным практикой научным
законам и теориям. Могут быть выдвинуты конкури¬
рующие гипотезы, по-разному объясняющие одно и то же
явление, как это было, например, показано в случае
объяснения происхождения вирусов; конкурирующими
являются гипотезы об органическом и неорганическом
происхождении нефти и др. При построении гипотезы
надо учитывать и требование, чтобы гипотеза объясняла
наибольшее количество фактов, которые подвергались
анализу, а также была бы по возможности простой
по форме их обоснования.
В процессе построения и подтверждения гипотеза
проходит несколько этапов (разные авторы приводят 2,
3, 4 или 5 этапов). Эти этапы мы проиллюстрируем
ходом построения одной из гипотез о Тунгусском
метеорите.
1-й этап. Выделение группы фактов, которые не укла¬
дываются в прежние теории или гипотезы и должны быть
объяснены новой гипотезой.
В случае падения Тунгусского метеорита это были
следующие факты: «Тайга в долине Подкаменной Тун¬
гуски стояла в солнечном сиянии. Внезапно с неба упал
в тайгу огромный шар. Люди, ехавшие в тот день*
30 июня 1908 года, по Транссибирской железной дороге,
рассказывают об огненном столбе, который, как фонтан,
взметнулся с поверхности Земли. Края огненного столба
светились голубым светом и достигали нижних слоев
стратосферы. Взрыв сопровождался землетрясением, ко¬
торое охватило всю Центральную Сибирь. Сейсмиче¬
ские волны были отмечены многими геофизическими
станциями мира. Расчеты, сделанные уже теперь, пока¬
зывают, что взрыв на Тунгуске был равносилен взрыву
20-мегатонной водородной бомбы. Воздушная волна,
вызванная им, дважды обогнула весь земной шар...
Обращает на себя внимание отсутствие в районе ка¬
8*
227

тастрофы какого-либо кратера и остатков метеоритной
материи»1.
2- й этап. Формулировка гипотезы (или гипотез), т. е.
предположений, которые объясняют данные факты.
Существуют не одна, а по крайней мере полдю¬
жины гипотез относительно падения Тунгусского метео¬
рита. Приведем некоторые из них. Одна гипотеза пред¬
полагает, что в атмосферу попал целый рой блуждаю¬
щих метеоритов, которые упали в виде огненного дождя.
Другая гипотеза утверждает, что это было ядро кометы,
состоявшее из льда и застывших газов. Проходя через
плотные слои атмосферы Земли, оно нагрелось, газ, обра¬
зовавшийся при ударе о Землю космического льда,
взметнулся вверх огненным фонтаном и стал причиной
огромного пожара в тайге.
В 1973 г. была опубликована еще одна гипотеза
толкования катастрофы 1908 г., выдвинутая двумя аме¬
риканскими астрофизиками: Землю по прямой пронизало
космическое тело, так называемая черная дыра (сгусток
материи, стянутый -гравитацией в ничтожный объем
и имеющий практически бесконечно высокую плотность).
Хотя «черная дыра» имеет огромный вес, составляю¬
щий заметную часть земной массы, примерно миллион
миллиардов тонн, ее поперечник едва ли больше, чем
диаметр одного атома, поэтому, как утверждают авторы
данной гипотезы, Земля и смогла пережить это столкно¬
вение. Однако данная гипотеза маловероятна.
3- й этап. Выведение из данной гипотезы всех выте¬
кающих из нее следствий.
Из гипотезы о «черной дыре» вытекают такие след¬
ствия: не будет гигантского кратера; на пути этого
космического тела (фантастического сгустка материи)
в воздушной оболочке Земли, окружая тонкий канал
траектории, возникли мощные слои плазмы; за плазмой
шел ударный фронт воздуха; голубые края огненного
столба возникли в результате преобразования невиди¬
мых рентгеновских лучей в видимый свет.
4- й этап. Сопоставление выведенных из гипотезы след¬
ствий с имеющимися наблюдениями, результатами экспе¬
риментов, с научными законами.
Наблюдения в районе падения показали, что кратера
действительно не было; грохот ударной волны воздуха
1 Тунгусский метеорит. Еще один вариант объяснения. (От факта
к гипотезе). — Неделя, 1974, № 4/724), с. 7.
228

донесся вплоть до Монголии; люди наблюдали голубые
края огненного столба.
5-й этап. Превращение гипотезы в достоверное зна¬
ние или в научную теорию, если подтверждаются все
выведенные из гипотезы следствия и не возникает про¬
тиворечия с ранее известными законами науки1.
Ни одна из перечисленных и других более поздних
гипотез пока не подтверждена.
§ 3. СПОСОБЫ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ГИПОТЕЗ
1. Самым действенным способом подтверждения гипо¬
тезы является обнаружение предполагаемого объекта,
явления или свойства, которое является причиной рас¬
сматриваемого явления.
Примерами могут служить открытие планеты Нептун,
обнаружение ряда островов в Северном Ледовитом
океане, открытие явления искусственной радиоактив¬
ности, открытие алмазов в Сибири геологом М. По¬
пугаевой и др.
2. Основной способ подтверждения гипотез — выведе¬
ние следствий и их верификация.
Те, кто объяснял падение Тунгусского метеорита
столкновением Земли с «черной дырой», предложили
такой способ проверки их гипотезы: если тело вошло
в земной шар со скоростью 30 км/с под углом 30 гра¬
дусов к горизонту в районе Подкаменной Тунгуски
и пронизало его по хорде, то оно должно снова выйти
на поверхность планеты где-то между Ньюфаундленом
и Азорскими островами, где и должны были произойти
явления, сходные с теми, которые наблюдались при
катастрофе в Сибири. Поэтому американские физики
изучали метеорологические архивы этого района Атлан¬
тического океана (в день 30 июня 1908 г.).
В процессе верификации большая роль принадлежит
различным экспериментам: в космосе, полевым опытам
в сельском хозяйстве, поиску новых материалов, ле¬
карств, реактивов, способов лечения болезней у людей,
животных и растений, педагогическим экспериментам
и другим их видам. Эксперимент учитывает чаще всего
влияние не одного фактора, а многих, поэтому надо
1 Подробнее см.: Хилъкевич А. П. Гносеологическая природа гипо¬
тезы. Минск, 1974; Копнин П. В. Гипотеза и познание действи¬
тельности. Киев, 1962.
229

планировать эксперимент так, чтобы результат был по¬
лучен за более короткое время, более эффективно и
по возможности не дорого. Так, например, планируется
ход эксперимента в медицине при оценке последствий
приема лекарств для выбора оптимальной тактики ле¬
чения1.
Ленинской премии 1982 г. удостоен коллектив авто¬
ров под руководством академика Е. И. Чазова, в ре¬
зультате 10-летней работы создавший ферментные лекар¬
ственные препараты, стабильность которых в сотни,
тысячи и миллионы раз выше, чем у исходных фер¬
ментов. Полученные образцы проверялись в самых
жестких для белка условиях, например при нагревании.
В результате экспериментов было выявлено, что фер¬
мент, существующий в естественном состоянии при тем¬
пературе в 50 градусов лишь несколько секунд, в новом
виде сохраняет биологическую активность часами при
температуре 80 градусов. Итак, получены стабильные
ферментные препараты.
Затем надо было от физико-химических эксперимен¬
тов перейти к биологическим. Избрали стрептокиназу —
фермент, способный разрушать тромбы. Создан препарат
стрептодеказа, которым успешно лечат острый инфаркт
миокарда, применяют в предынфарктном состоянии.
Стрептодеказа быстро рассасывает сгустки крови в глазу
и возвращает зрение (уже около ста больных излечены
этим способом).
Это новое лекарство, не имеющее аналога в мире,
применяется уже с 1981 г.
Большая роль принадлежит эксперименту в судебной
практике. Здесь эксперимент проводится с целью под¬
тверждения выдвинутых версий, объясняющих то или
иное преступление.
Умозаключение от утверждения следствия к утверж¬
дению основания является вероятным, и формула ((а->
-^Ь) л Ь)-> а не является законом логики. Но подтверж¬
дение гипотезы на основании верификации ее следствий
осуществляется именно этим способом, поэтому надо
брать всю совокупность взаимосвязанных следствий, и
тогда гипотеза однозначно будет вызываться только
данной совокупностью следствий, а поэтому заключе¬
ние будет не вероятным, а достоверным, протекаю¬
1 См.: Адлер Ю. П., Грановский Ю. В., Маркова Е. В. Теория
эксперимента: прошлое, настоящее, будущее. М., 1982.
230

щим по формуле Н*=> (С{ л С2 лС3 л... л С„), где Н —
гипотеза; Ср С2, Су ..., Сп — следствия, вытекающие
из нее; «±т» импликация от гипотезы к совокупности
следствий и наоборот. Например, Н — предполагаемое
заболевание (диагноз врача), а С1? С2, С3 — симптомы,
присущие этому заболеванию, и только ему. Тогда гипо¬
теза будет подтверждена, т. е. диагноз поставлен пра¬
вильно.
Указанные два способа являются прямыми способами
превращения гипотезы в достоверное знание.
3. Косвенный способ превращения гипотезы в досто¬
верное знание состоит в опровержении всех ложных
гипотез (или версий), после чего заключают об истин¬
ности одного оставшегося предположения. Для этого
применяется разделительно-категорическое умозаключе¬
ние, отрицающе-утверждающий модус. Структура его
та же, что и при косвенном доказательстве.
Схема
Явление А могло быть вызвано либо В, либо С, либо D.
Явление А не вызвано ни В, ни С.
Явление А вызвано D.
Необходимо выполнить два условия: во-первых, пе¬
речислить все возможные гипотезы, причем дизъюнкция
может быть как строгой, так и нестрогой; во-вторых,
следует опровергнуть все ложные гипотезы. Косвенный
метод подтверждения гипотез может использоваться в
следственной практике, давая достоверный вывод.
*
§ 4. ОПРОВЕРЖЕНИЕ ГИПОТЕЗ
Опровержение гипотез осуществляется путем опроверже¬
ния (фальсификации) их следствий. При этом может
обнаружиться, что многие или все необходимые след¬
ствия рассматриваемой гипотезы не имеют места в
действительности. Кроме того, возможно, будут найдены
факты, противоречащие выведенным следствиям.
Опровержение гипотез происходит в форме отри¬
цающего модуса (modus tollens) условно-категорического
умозаключения, имеющего форму: ((a->fe) л &)->а. Этот
модус всегда дает достоверное заключение.
231

Структура опровержения гипотезы такова:
Если имела место причина (гипотеза) Н, то должны быть следствия:
Сь и С2, и С3, ..., и Сп.
Следствия Ср или С2, или Су ..., или Сп отсутствуют.
Причина Н не имела места.
В символической логике это умозаключение можно
записать таким способом:
ЛГ-* (Сх л С2 л С3 л ... л CJ
н
В данном умозаключении мы пользуемся законом
де Моргана: алЬ л c = av bv с, в котором дизъюнкция
берется нестрогая. Это означает, что могут отсутство¬
вать одно, два, три или все п следствий. Поэтому
для наглядности и удобства практического использова¬
ния структуру опровержения гипотез путем опроверже¬
ния (фальсификации) ее следствий лучше записать таким
образом:
Н—> (Ci л С2 л С3 л ... л Си)
Q v С2 v С3 v ... v С„
~Н
При более точном выражении эта структура опро¬
вержения совпадает по формуле не с правилом modus
tollens, имеющим только одно основание и одно след¬
ствие, а с простой деструктивной дилеммой, или три¬
леммой, или полилеммой, в зависимости от того, сколь¬
ко следствий вытекает из данной гипотезы: два, три
или более.
Приведем пример опровержения гипотезы, из кото¬
рой вытекают шесть следствий, т. е. пример простой
деструктивной полилеммы.
232

Если человек болен крупозным воспалением легких, то у него
будет высокая температура (39 — 40°), сильный озноб, частый сухой
кашель, боли в боку, одышка, общее тяжелое состояние.
У данного больного нет высокой температуры (39 — 40°), или
нет сильного озноба, или нет частого сухого кашля, или нет бо¬
лей в боку, или нет одышки, или общее состояние больного не
является тяжелым.
Этот человек не болен крупозным воспалением легких.
Чем большее число следствий отсутствует, тем выше
степень опровержения высказанной гипотезы. Если бы
в приведенном примере отсутствовало лишь одно или
два следствия, то нельзя было бы сделать вывод, что
человек не болен крупозным воспалением легких. Здесь
опровергаемые (фальсифицируемые) следствия тоже надо
брать по возможности в совокупности. Хотя простое
отсутствие следствий (или их необнаружение) не опровер¬
гает окончательно гипотезу, так как в данное время, при
данных обстоятельствах мы могли их не обнаружить,
выдвинутая гипотеза (или версия) будет подвергнута
сомнению. Гипотеза окончательно опровергнется, если
обнаруживаются факты, обстоятельства, явления, проти¬
воречащие вытекающим из данной гипотезы следствиям.
§ 5. ПРИМЕРЫ ГИПОТЕЗ, ПРИМЕНЯЮЩИХСЯ
НА УРОКАХ В ШКОЛЕ
Велика роль гипотезы в познании. Законы науки и
теории до их подтверждения прошли стадию гипотезы.
Поэтому учитель, излагая естественно-научные теории,
должен показать и стадии, предшествовавшие доказа¬
тельству теории. Ученые неоднократно подчеркивали
огромную роль гипотез. М. В. Ломоносов писал, что
гипотезы представляют единственный путь, котором
величайшие люди дошли до открытия самых важных
истин. Рассматривая роль гипотезы в развитии естест¬
вознания, Ф. Энгельс отмечал, что «дальнейший опыт¬
ный материал приводит к очищению этих гипотез, устра¬
няет одни из них, исправляет другие, пока, наконец,
не будет установлен в чистом виде закон. Если бы
мы захотели ждать, пока материал будет готов в чистом
виде для закона, то это значило бы приостановить до
тех пор мыслящее исследование, и уже по одному этому
мы никогда не получили бы закона»1.
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 555.
233

Надо показать учащимся, какой огромный труд вкла¬
дывали великие ученые как в процесс сбора научных
фактов, так и в их систематизацию при построении
и подтверждении научных гипотез. История научной
мысли будет способствовать формированию марксист¬
ско-ленинского мировоззрения, обеспечению более высо¬
кого научного уровня преподавания каждого предмета.
Во многих науках, и прежде всего «в физике и
химии,-писал Энгельс,- находишься среди гипотез,
словно в центре пчелиного роя»1. Для иллюстрации
этой мысли Ф. Энгельса о роли гипотезы в позна¬
нии учителя физики и химии смогут привлечь боль¬
шой и интересный материал из этих наук. Мы проил¬
люстрируем способ ознакомления учащихся при изуче¬
нии этих дисциплин в школе лишь некоторыми при¬
мерами как классических, так и современных гипотез.
На уроках физики учитель будет рассказывать о
К. Э. Циолковском — основоположнике теории косми¬
ческих полетов. В 1903 г. К. Э. Циолковский опуб¬
ликовал свою замечательную работу «Исследование ми¬
ровых пространств реактивными приборами», которая,
по словам академика С. П. Королева, определила его
жизненный и научный путь. В этой работе К. Э. Ци¬
олковский сформулировал гипотезу: «Центробежная си¬
ла уравновешивает тяжесть и сводит ее к нулю» —
таков путь к космическим полетам. «Вычисления могли
указать мне и те скорости, которые необходимы для
освобождения от земной тяжести и достижения планет»2
(обратим внимание на то, что в качестве фактов
К. Э. Циолковский использует результаты математи¬
ческих расчетов). «Почти вся энергия Солнца пропа¬
дает в настоящее время бесполезно для человечества,
ибо Земля получает в два (точнее в 2,23) миллиарда
раз меньше, чем испускает Солнце.
Что странного в идее воспользоваться этой энергией!
Что странного в мысли овладеть и окружающим зем¬
ной шар беспредельным пространством...» 3
На уроках физики учитель приведет научные сведе¬
ния об успехах СССР в освоении космоса, а также
о гелиоэлектростанциях, которые, по предположению
1 Энгельс Ф. Анти-Дюринг. — Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд.,
т. 20, с. 89.
2 Циолковский К. Э. Труды по космонавтике. M., 1967, с. 126.
3 Циолковский К. Э. Труды not космонавтике, с. 129.
234

~ ученых, смогут конкурировать с тепловыми и атом¬
ными электростанциями.
Учитель также познакомит учащихся с теорией есте¬
ственной радиоактивности. За открытие радиоактивно¬
сти (естественных радиоактивных элементов полония и
радия) А. Беккерель, П. Кюри и М. Склодовская-
Кюри награждены в 1903 г. Нобелевской премией. После
четырех лет упорного труда, переработав вручную на
старом складе более тонны урановой руды, Марии Кюри
удалось выделить чистый хлорид радия. Позднее, в 1911 г.,
за получение металлического радия (совместно с Дебь-
еном) Мария Кюри получила Нобелевскую премию по
химии. Она единственная в мире женщина, дважды
удостоенная Нобелевской премии. Мария Кюри пишет,
что изучение физических свойств радиоактивных веществ
еще не вполне закончено и что, хотя некоторые глав¬
ные положения уже установлены, большая часть выво¬
дов еще носит гадательный характер. Исследования раз¬
ных ученых, изучающих эти вещества, постоянно схо¬
дятся и расходятся. Эти высказывания М. Кюри сви¬
детельствуют о гипотезах («гадательный характер») и
о появлении конкурирующих гипотез, когда мнения уче¬
ных зачастую расходились.
В настоящее время выдвигается целый ряд гипотез
относительно возможности создания единой теории, ко¬
торая описывала бы все физические явления, включая
явления микромира, макромира и мегамира. Но это
дело будущего.
Много примеров выдвижения и подтверждения гипо¬
тез дает и история химии. Классический пример — бле¬
стящее подтверждение периодического закона и Пери¬
одической системы химических элементов Д. И. Менде¬
леева, следствием которого явилось предсказание суще¬
ствования еще не открытых тогда элементов, а также
того, что значения атомных весов урана, тория, берил¬
лия, индия и ряда других химических элементов должны
быть существенно иными. Впоследствии эти предска¬
зания получили эмпирическое подтверждение. Д. И. Мен¬
делееву принадлежат и другие гипотезы: о химической
энергии, о пределе химических соединений, о строении
кремнеземистых соединений и т. п.
Следует обратить внимание учащихся и на «густой
лес гипотез», который, по выражению Ф. Энгельса,
присутствует в науках, изучающих организмы. Ч. Дар¬
вин в своих исследованиях о происхождении видов
235

опирался на гипотезы, выдвигаемые на основе обоб¬
щения значительного числа фактов, полученных им во
время 5-летнего путешествия на корабле «Бигль».
Карл Линней прошел пешком почти 7000 км по
северу Скандинавии, изучая этот край и собирая фак¬
тический материал для построения гипотез и своей искус¬
ственной классификации растений. Он посетил многие
страны Европы, просмотрел гербарии многих ученых-
ботаников, его ученики побывали в Канаде, Египте,
Китае, Испании, Лапландии и оттуда присылали ему
собранные растения. Друзья Линнея из различных стран
присылали ему семена и высушенные растения. Таков
огромный материал, который послужил Линнею для
его систематизации.
Знакомясь с работами И. П. Павлова, учащийся
«увидит, как мало-помалу расширялся и исправлялся
наш фактический материал, как постепенно складыва¬
лись наши представления о разных сторонах предмета
и как, наконец, перед нами все более и более сла¬
галась общая картина высшей нервной деятельности»1.
Интересны работы Л. Пастера по проблемам болез¬
ней вина, в результате которых он пришел к созда¬
нию биохимической теории брожения. Одним из след¬
ствий этой теории была разработка процесса, назван¬
ного позже пастеризацией. Огромное практическое зна¬
чение имело также исследование Пастером болезни
шелковичных червей. В результате этой болезни в
бедственном положении оказались более 3,5 тыс. вла¬
дельцев недвижимого имущества шелководческих депар¬
таментов Франции. Почти пять лет посвятил Л. Пастер
трудным экспериментальным исследованиям и потерял
на этом свое здоровье, но тем не менее считал, что
был счастлив, так как принес пользу своей стране, изы¬
скивая способы предотвращения страшной нищеты:
«...дело чести ученого перед лицом несчастья пожерт¬
вовать всем ради попытки помочь от него избавиться.
Поэтому, может быть, я дал молодым ученым благот¬
ворный пример длительных усилий в разрешении труд¬
ной и неблагодарной задачи» 2.
На занятиях по биологии кроме этих классических
примеров превращения гипотез в теории в результате
их подтверждения учитель должен показать и совре¬
1 Павлов И. П. Поли. собр. соч., M. — Л., 1951, т. III, с. 20.
2 Пастер Л. Избр. труды. М.ч 1960, т. 2, с. 156.
236

менные биологические гипотезы. Следует обратить вни¬
мание учащихся на то, что многие из них построе¬
ны на стыке ряда наук. Очень важной является гипо¬
теза о возможности получения значительных урожаев
на солончаках, которых в мире имеется около
10 млн. кв. км, а общая площадь культивируемых
земель в мире сейчас 15,5 млн. кв. км, т. е. значи¬
тельный процент от всех земель в мире составляют
засоленные почвы. Поэтому встает общая проблема
мирового значения: как превратить пустынные солон¬
чаковые земли в сельскохозяйственные угодья? Среди
многих других гипотез выдвигается предложение куль¬
тивировать на этих землях галовиты — растения, устой¬
чивые к соли. С появлением средств генной инжене¬
рии количество таких предложений будет увеличиваться
и можно предвидеть значительные успехи в целенаправ¬
ленном изменении многих представителей животных и
растений.
Мы привели гипотезы из различных областей есте¬
ствознания. В общественных науках также выдвигается
большое число разнообразных гипотез. В. И. Ленин
писал, что Маркс, высказавший в 40-х годах XIX в.
гипотезу о материалистическом понимании истории, за¬
тем «берется за фактическое... изучение материала. Он
берет одну из общественно-экономических формаций —
систему товарного хозяйства — и на основании гигант¬
ской массы данных (которые он изучал не менее 25 лет)
дает подробнейший анализ законов функционирования
этой формации и развития ее»1. «Теперь —со времени
появления «Капитала» — материалистическое понимание
истории уже не гипотеза, а научно доказанное поло¬
жение...»2 В. И. Ленин не раз указывал на то, что
материалистическое понимание истории имеет фундамен¬
тальное значение для развития общественных наук, что
эта гипотеза впервые возвела социологию в степень
науки. Основополагающее значение материалистического
понимания истории В. И. Ленин видел в том, «что
только сведение общественных отношений к производ¬
ственным и этих последних к высоте производительных
сил дало твердое основание для представления развития
общественных формаций естественно-историческим про¬
цессом. А понятно само собой, что без такого воззре¬
1 Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 1, с. 138.
2 Там же, с. 139— 140.
237

ния не может быть и общественной науки»х. Таким
образом, мы возвращаемся к положению Ф. Энгельса
о том, что наука развивается посредством выдвижения
гипотез. Однако гипотеза имеет и практическое значение.
В другой общественной науке — юриспруденции — и
в юридической практике роль гипотез, называемых там
версиями, нельзя преувеличить. Любое расследование
преступления требует выдвижения всех возможных вер¬
сий, объясняющих преступление, и их проверки.
В педагогической науке, особенно в методике препода¬
вания математики, физики, химии и других предметов, а
также в методике начального обучения, также выдвига¬
ются свои гипотезы о путях более эффективного про¬
цесса обучения и воспитания, проводятся эксперименты в
школах для подтверждения этих гипотез.
В результате приведенных примеров, иллюстрирую¬
щих гипотезы, используемые в школе на уроках физики,
химии, биологии, истории, обществоведения (как класси¬
ческие, так и современные), в практике обучения и вос¬
питания, можно с уверенностью считать, что гипотеза
является формой развития знания во всех науках, а
также во всех других (а не только научных) отраслях
знаний.
Глава VIII
РОЛЬ ЛОГИКИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
Так как вопросы ставятся не только для решения новых
проблем и задач, стоящих перед наукой и практикой,
но и в процессе овладевания уже добытыми знаниями, в
педагогической работе, в ходе обучения и воспитания
школьников и студентов, в процессе полемики, дискуссий,
диспутов, рассмотрение роли логики в процессе обуче¬
ния мы начинаем именно с логической структуры вопро¬
сов.
§ 1. ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ВОПРОСА
Вопрос в познании играет особенно большую роль, так
как все познание мира начинается с вопроса, с поста¬
новки проблемы. Проблемы перед познанием, в том чис¬
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 1, с. 138.
238

ле перед различными науками, ставит практика, посколь¬
ку она выступает в качестве основы познания. В настоя¬
щее время общественно-историческая практика поставила
перед людьми такие проблемы, как получение замедлен¬
ной термоядерной реакции, борьба за мир и предотвра¬
щение термоядерной катастрофы, разработка методов
лечения онкологических заболеваний, решение продоволь¬
ственной проблемы и многие другие. Нет ни одной
сферы трудовой деятельности, где бы не возникали
вопросы.
Термины «проблема», «вопрос», «проблемная ситуа¬
ция» обозначают нетождественные, хотя и связанные
между собой понятия. Термин «проблема» означает та¬
кой вопрос из области науки, для ответа на который
недостаточно имеющейся к данному моменту информа¬
ции (знания)1. Гипотеза выступает как одно из возмож¬
ных решений стоящей проблемы. Вопрос же — форма
выражения проблемы. Но вопрос ставится и с целью
получения некоторой информации, уже имеющейся у чело¬
века, с целью выявления его личного мнения по дан¬
ному вопросу или с целью обучения. Велика роль вопроса
в процессе социологических исследований, проводимых
в форме интервью, анкетирования, при массовом или
выборочном опросе. В процессе передачи все большего
числа интеллектуальных функций ЭВМ умение правильно
сделать запрос для введения его в ЭВМ, способность
четко, корректно сформулировать этот вопрос (запрос)
будет содействовать быстрейшему информационному по¬
иску нужных сведений, цифрового материала и др.
Велика роль правильной, однозначной постановки вопро¬
сов в судебно-следственной практике.
Выдающийся советский педагог В. А. Сухомлинский
значительную роль в процессе обучения, в ходе разви¬
тия логического мышления школьников отводил умению
учителя ставить перед учениками вопросы и добиваться
правильных ответов на них, таких ответов, которые
способствовали бы интеллектуальному развитию личнос¬
ти ученика, будили бы собственную мысль ребенка.
Вопросы подбирались различные по сложности, много¬
образные по характеру привлекаемых учениками знаний
при ответе на них, разнообразные по форме, учиты¬
вающие возраст учеников.
1 См.: Берков В. Ф. Научная проблема. Минск, 1979.
239

Для маленьких детей в школе Сухомлинского выве¬
шивали картинки, помогающие осмыслить окружающую
действительность. Например, картинки под общим загла¬
вием «Почему это так происходит?». Веточка вербы,
воткнутая во влажную почву, дает ростки, превращается
в дерево, а веточка дуба засыхает. Почему? Вторая
серия картинок — «Зачем так делают?» Например, зачем
зимой в толстом льду пруда делают прорубь? В силь¬
ную жару пересыхающую почву вокруг овощных расте¬
ний посыпают мелким перегноем. Зачем? Картинки тре¬
тьей серии — «Что здесь неправильно изображено?» На
картинке умышленно допущены ошибки, например: под
густой тенью дуба зреют красные помидоры; тень от
тополей падает в ту же сторону, с какой светит солнце;
ульи с пчелами установлены на участке поля, засеянного
пшеницей. На одной из картинок четвертой серии —
«Где это происходит?» — изображен самолет, садящийся
на небольшую площадку, окруженную ледяными торо¬
сами. На стенде «Для чего так делают?» под картин¬
ками надписи: «Для-чего каменный уголь перед сжига¬
нием смачивают водой?»; «Для чего на зиму металли¬
ческие части машин смазывают маслянистыми вещест¬
вами?» Серия картинок — «Как узнать?». Будет ли весной
цвести яблоня — как узнать об этом зимой? И так далее.1
Мышление ученика направлено на поиски ответов на
вопросы. Вызвать такую потребность у ученика — это и
значит приобщить его к умственному труду. По мнению
Сухомлинского, самое трудное и самый верный показа¬
тель мастерства педагога — умение ставить вопросы.
Работая директором школы, Сухомлинский ежедневно
посещал по два урока своих учителей. Изо дня в день
слушая ответы учеников, он спрашивал себя: «Почему
в ответах часто отсутствует живая, собственная мысль
ребенка?» — и пришел к выводу: «Мы не учим ребенка
мыслить».
Вопрос формулируется в вопросительном предложе¬
нии, которое не выражает суждения, и, следовательно,
оно не истинно и не ложно. Например, «Когда родился
писатель Николай Островский?», «Запущен ли искусствен¬
ный спутник Марса?», «Все ли вулканы — горы?» и др.
Всякий вопрос включает в себя, во-первых, исход¬
ную информацию о мире (например, о писателе Нико¬
лае Островском, об искусственных спутниках), которая
1 Сухомлинский В. А. О воспитании, с. 52 — 53.
240

называется базисом или предпосылкой вопроса, и, во-
вторых, указание на ее недостаточность и необходимость
дальнейшего дополнения и углубления знаний.
В вопросе «Где был арестован американский певец
Дин Рид?» базисом служит неявно содержащееся в нем
утверждение «Существует х, являющийся местом ареста
американского певца Дина Рида».
Вопрос — это логическая форма, включающая исход¬
ную, или базисную, информацию с одновременным указа¬
нием на ее недостаточность с целью получения новой
информации в виде ответа1.
Виды вопросов
Обычно различают два вида (типа) вопросов:
I тип — уточняющие (определенные, прямые, или ли-
вопросы).
Например: «Верно ли, что И. С. Васильев успешно
защитил кандидатскую диссертацию?»; «Надо ли сдавать
вступительный экзамен по иностранному языку на исто¬
рическом факультете МГУ?»; «Действительно ли в
Москве больше жителей, чем в Ленинграде?» и др.
Во всех этих вопросах присутствует частица «ли»,
включенная в словосочетания «верно ли», «действитель¬
но ли», «надо ли» и т. д.
Уточняющие вопросы могут быть простыми или
сложными. Простые вопросы в свою очередь делятся
на условные и безусловные.
«Верно ли, что космонавты побывали на Луне?» —
простой безусловный вопрос.
«Верно ли, что если он сдаст все экзамены на
«отлично», то получит повышенную стипендию?» — прос¬
той условный вопрос. *
Сложные вопросы (как и сложные суждения) делятся
на вопросы конъюнктивные (соединительные) и дизъ¬
юнктивные (разделительные), включающие в себя строгую
или нестрогую дизъюнкцию. Каждый сложный вопрос
можно разбить на два или несколько простых. Например:
1. «Занимает ли СССР первое место в мире по объему
производства железной руды и стали, по добыче нефти
и угля?»
1 См.: Старченко А. А., Волченко М. В. Семантика вопросов
в естественном языке. — В кн.: Логико-методологические исследования.
M., 1980.
241

2, «Хотите кофе или чаю?»
3. «Вы пойдете в кино или не пойдете?»
Вопросы типа: «Если будет хорошая погода, то мы
поедем на экскурсию?» или «Если «Динамо» выиграет
этот матч у «Спартака», то команда «Динамо» выйдет
в финал розыгрыша?» — не относятся к сложным вопро¬
сам, так как их нельзя разбить на два самостоятельных
простых вопроса. Это примеры простых условных вопро¬
сов.
II тип вопросов — восполняющие (неопределенные, не¬
прямые, Х-вопросы). Эти вопросы включают в свой
состав вопросительные слова: «Где?», «Когда?», «Кто?»,
«Что?», «Почему?», «Какие?» и др. Невольно вспоми¬
наются телепередачи о «Клубе знатоков»: «Что?, Где?,
Когда?». Эти вопросы также делятся на простые и
сложные. Например, вопросы: «Какие черты советских
людей проявились в работе по перекрытию Ангары?»,
«Какой город является столицей Португалии?», «Когда
состоялся XI съезд РКП(б)?», «Что означает слово
„филистер44?» — являются простыми, направленными на
поиски недостающего знания, на восполнение недостаю¬
щей информации.
Сложными восполняющими вопросами являются те,
которые можно разбить на два или несколько прос¬
тых восполняющих вопроса, например: «Кто, где, когда,
из какого оружия совершил убийство президента США
Джона Кеннеди?», или «Как при увеличении стороны
равностороннего треугольника в 2 раза изменяется его
периметр или площадь?», или «Кто является автором
поэмы «Дом у дороги» и поэмы «Василий Теркин»?»
Предпосылки вопросов
Предпосылкой, или базисом, вопроса является содержа¬
щееся в вопросе исходное знание, неполноту или неопре¬
деленность которого требуется устранить. На эту непол¬
ноту или неопределенность указывают операторы вопро¬
са, т. е. вопросительные слова: «Кто?», «Что?», «Когда?»,
«Почему?» и др.
Вопросы делятся на логически корректные (правиль¬
но поставленные), т. е. такие, предпосылки (базисы)
которых являются истинными суждениями, и на логичес¬
ки некорректные (или неправильно поставленные), пред¬
посылки которых — ложные или неопределенные (по
смыслу) суждения. Если в основе поставленного вопроса
242

лежит простое незнание спрашивающего о ложности
базиса, то вопрос некорректен. Если же спрашивающий
знает о ложности базиса вопроса и задает вопрос с
целью провокации, запутывания своего оппонента, то
такой вопрос называют провокационным, а его постанов¬
ка есть софистический прием.
Например вопрос: «В каком году Р. Амундсен
первым достиг Северного полюса ?» — поставлен непра¬
вильно (некорректно), так как спрашивающий может не
знать, что Р. Амундсен первым достиг в 1911 г. Юж¬
ного полюса.
Примерами провокационных вопросов являются сле¬
дующие: «Каким образом при капитализме можно лик¬
видировать безработицу?», или «Какова форма „летаю¬
щих тарелок44?», или «Где живет „снежный человек64?»,
или «Как построить „вечный двигатель44?»
Предпосылки этих вопросов заведомо ложны, по¬
этому вопросы эти не просто неправильно поставлены,
сама постановка их — софистический прием.
Правила постановки простых и сложных вопросов
1. Корректность постановки вопроса. Итак, вопросы долж¬
ны быть правильно поставленными, корректными. Про¬
вокационные и неопределенные вопросы недопусти¬
мы.
2. Предусмотренные альтернативности ответа («да»
или «нет») на уточняющие вопросы. Например: «Шел ли
вчера в центре Москвы дождь?», «Выполнил ли АЗЛК
производственный план по выпуску автомобилей в 1984
году?», «Признает ли Ломов себя виновным в предъ¬
явленном ему обвинении?»
3. Краткость и ясность формулировки вопроса. Длин¬
ные, запутанные, нечеткие вопросы затрудняют их пони¬
мание и ответ на них.
4. Простота вопроса. Если вопрос сложный, то его
лучше разбить на несколько простых. Например, «Явля¬
лись ли Чехословакия и Монголия в 1960 году чле¬
нами СЭВ?» Этот сложный вопрос следует разбить на
два простых, так как ответы будут различными — «да»,
«нет» (ибо ЧССР являлась членом СЭВ, а Монголия не
являлась, поскольку она вступила в СЭВ в 1963 г.).
5. В сложных разделительных вопросах необходи¬
мость перечисления всех альтернатив. Например: «Пер¬
вой, второй или третьей премии достойна данная научная
243

работа С. В. Смирнова?» Здесь нет четвертой альтер¬
нативы — что работа не достойна никакой премии.
6. Необходимость отличать обычный вопрос от рито¬
рического вопроса (например, «Кто из вас не любит
А. С. Пушкина?»). Риторические вопросы являются суж¬
дениями, так как в них содержится утверждение или от¬
рицание, обычные же вопросы суждениями не являются.
Логическая структура и виды ответов
1. Ответы на простые вопросы. Ответ на простой вопрос
первого вида (уточняющий, определенный, прямой, ли-
вопрос) предполагает одно из двух: «да» или «нет». На¬
пример, «Является ли Александр Дюма-отец автором
романа „Двадцать лет спустя44?» (ответ: «да»).
Ответ на простой вопрос второго вида (восполняю¬
щий, непрямой, К-вопрос) требует привлечения точной,
исчерпывающей информации (о времени, месте, причинах,
результатах события, природного явления и других фак¬
торах).
2. Ответы на сложные вопросы. Ответ на сложный
конъюнктивный (соединительный) вопрос требует ответа
на все простые вопросы, входящие в сложный. Например:
«Верно ли, что в СССР ’ введены в эксплуатацию уни¬
кальные гидроагрегаты на Саяно-Шушенской гидростан¬
ции и к Единой энергетической системе страны присо¬
единилась объединенная энергосистема Сибири?» (ответ:
«да», «да»).
При ответе же на сложный дизъюнктивный (раздели¬
тельный) вопрос часто достаточно дать ответ лишь на
один или несколько из составляющих его простых
вопросов (на одну альтернативу). Например, на вопрос:
«Сочинение будет по произведениям Л. Н. Толстого,
или М. Горького, или М. Шолохова?» — ответом явля¬
ется суждение: «Сочинение будет по произведениям
Максима Горького».
В начале параграфа была показана важная роль вопро¬
сов в познании. Остановимся на столь же важной роли
вопроса в обучении, так как от качества и правиль¬
ности постановки вопросов в значительной мере зависит
усвоение материала и успеваемость учащихся.
В процессе обучения можно воспользоваться такой
классификацией вопросов. Первый тип вопросов — пря¬
мые, на которые можно ответить «да» или «нет», вто¬
рой — прямые, на которые нельзя дать такого однознач¬
244

ного ответа, и третий — полупрямые, в которых спра¬
шивается, какое из двух (или большего числа) суждений
истинно. В последнем случае сложный вопрос приходит¬
ся разбивать на несколько простых.
При ответе на вопрос учащийся должен выявить
предпосылки вопроса и установить, истинны они или
ложны. При ложных предпосылках вопрос должен быть
отвергнут как некорректный, т. е. неправильно поставлен¬
ный, например «Все ли гейзеры — вулканы?».
Корректные вопросы должны вызывать активную мыс¬
лительную деятельность учащихся, если в них заключено
оптимальное количество неопределенности. Если вопрос
содержит слишком большую неопределенноть, то он ста¬
вит ученика в значительное затруднение. Вопросы «лег¬
кие», с малой неопределенностью позволяют учащимся
ответить словами учебника, не требуют исследования,
рассмотрения частных случаев.
Например, вместо вопроса: «Сколько окружностей
можно провести через три точки, не лежащие на одной
прямой ?» (легкий ответ — «одну») — лучше поставить та¬
кой вопрос: «Существует ли окружность, проходящая
через три точки?»,—так как готового ответа на него в
учебнике нет и учащиеся сами должны рассмотреть
различные случаи расположения трех точек (на одной
прямой или не на одной прямой).
Учителю следует избегать постановки неопределенных
вопросов, например: «Что можно сказать о треугольнике
АВСЪ>, или «Какими свойствами обладает трапеция?»,
или «Какими свойствами не обладают кубы?»
Постановка вопросов в процессе проблемного обучения
Под проблемным обучением понимается такое изуче¬
ние материала, которое вызывает в сознании учащихся
познавательные задачи и проблемы, напоминающие на¬
учный поиск.1 Разрешение этих проблем активизирует
творческие умственные способности учащихся.
В младших классах проблемные ситуации возникают
при формулировании загадок, задач на сообразительность
и смекалку, шарад. Такие проблемные ситуации можно
создавать предлагая детям обобщить чувственные данные
и сделать вывод. Можно, например, поставить вопрос:
«Почему лед, пар, облака называют водой?» Другим
1 См.: Педагогика. М., 1976, с. 165.
245

примером проблемной ситуации для учащихся младших
классов является постановка задачи: построить треуголь¬
ник по трем заданным углам [специально даются та¬
кие углы, сумма которых значительно больше (или мень¬
ше) 180°]. Учащиеся не могут выполнить эту задачу
и думают над причиной, почему она неразрешима.
В начальных классах перед учащимися можно ста¬
вить проблемы, направленные на поиски математичес¬
ких закономерностей: 1) изменение суммы в зависимости
от изменения одного из слагаемых; 2) изменение част¬
ного в зависимости от изменения делимого или делителя;
3) изменение площади квадрата в зависимости от увели¬
чения или уменьшения в несколько раз его стороны и
т. д. Эффективны и отдельные проблемные вопросы тина:
«Почему четырехугольник назван четырехугольником ?
Можно ли было дать ему другое название, также свя¬
занное с его свойством?» или «Как бы вы назвали
треугольник, у которого один угол тупой?»1 Учитель
в процессе ответа на основной проблемный вопрос дол¬
жен уметь ставить наводящие вопросы.
В процессе обучения математике возникают различные
типы задач (стандартная, обучающая, поисковая, проблем¬
ная). Основными компонентами задачи считают: условие,
заключение, решение, обоснование решения, которые мо¬
гут быть неизвестны человеку (в частности, школьнику)
в момент постановки перед ним данной задачи. Стан¬
дартная задача — это такая задача, у которой четко
определено условие, известен способ решения и его обос¬
нование и которая представляет собой упражнение на
воспроизведение известного. Обучающей является та за¬
дача, в которой неизвестен (или плохо определен) один
из вышеуказанных основных компонентов. Если неизвест¬
ны какие-либо два компонента, то задачу называют по¬
исковой, а три — проблемной2.
Это деление задач несколько условно, так как в за¬
висимости от уровня знаний и методической подготовки
человека она может быть отнесена к тому или иному
типу. Например, при изучении темы «Вписанные четы¬
рехугольники» учитель ставит перед учащимися такую
вводную задачу (проблему): «Где расположить централь¬
ный штаб пионерской игры ,,3арница“, чтобы он нахо¬
1 См.: Крутецкий В. А. Психология. М., 1980, с. 307 — 311.
2 См.: Методика преподавания математики в средней школе. М.,
1980, с. 149.
246

дился на равных расстояниях от заданных мест распо¬
ложения четырех пионерских отрядов?»
Точками А, В, С, D обозначены А
места расположения отрядов, а точ- \
кой О — предполагаемое место рас- \
положения штаба х. /
В старших классах школьники в
процессе проблемного обучения /0
строят различные гипотезы, наме- /
чают способы проверки их истин- /
ности, самостоятельно «открывают» с
правила, законы, формулы, доказы-
Рис. 38
вают теоремы.
Общая учебная проблема включает в себя несколько
частных учебных проблем. Результаты их решения в своей
совокупности позволяют дать окончательное решение об¬
щей (главной) проблемы. Проблемное обучение включа¬
ет в себя не только создание проблемной ситуации
(постановку проблемного вопроса), но и самостоятель¬
ную творческую работу учащихся, открытие новых для
них закономерностей, свойств, отношений, а также логи¬
ческое обоснование (доказательство) истинности своих
суждений и правильности хода рассуждений при опровер¬
жении ложных суждений и неправильных умозаключений.
Разумеется, проблемный метод обучения нельзя превра¬
щать в универсальный; его надо использовать наряду
с объяснительным, сообщающим изложением материала
учителем.
§ 2. К. Д. УШИНСКИЙ И В. А. СУХОМЛИНСКИЙ
О РОЛИ ЛОГИКИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Большое значение в процессе обучения придавал логике
чешский педагог Я. А. Коменский. Он предлагал знако¬
мить учащихся с краткими правилами умозаключений,
подкреплять эти правила яркими жизненными примера¬
ми, а затем совершенствовать логическое мышление
учащихся, анализируя дискуссионные проблемы физики,
математики, этики. Большое внимание он уделял исполь¬
зованию анализа и синтеза, а также метода сравнения
в работе исследователя и учителя.
1 См.: Методика преподавания математики в средней школе,
с. 236.
247

Эти взгляды получили дальнейшее развитие в работах
великого русского педагога К. Д. Ушинского (1824—1870),
автора учебников и книг для детского чтения — «Дет¬
ский мир» и «Родное слово», создавшего большой
труд «Человек как предмет воспитания», по которому
учились поколения русских педагогов. Много внимания
уделял К. Д. Ушинский анализу логики в обучении.
Он считал, что логика — не что иное, как отражение
в нашем уме связи предметов и явлений природы. По
его убеждению, логика должна стоять в преддверии
всех наук. Научить ребенка логически мыслить — главное
назначение обучения в младших классах, основой же
развития логического мышления должно стать наглядное
обучение, наблюдение за природой.
В качестве приема развития логического мышления
младших школьников К. Д. Ушинский широко приме¬
нял сравнение, считая его наиболее эффективным приемом
и утверждая, что без сравнения нет понимания, а без
понимания нет суждения. Первые элементарные сравнения
школьников основаны на чувственном познании, нагляд¬
ном восприятии предметов. Например, роза и гвоздика
имеют много сходного, но и много различий1. При по¬
мощи сравнения учащиеся находят отличительные при¬
знаки предметов и формулируют суждения. Ушинский
писал о ступенях сравнивающей деятельности мышления:
«Первая ступень — предметы сравниваются сами не¬
посредственно; вторая — посредником сравнения двух
предметов служит третий, более или менее знакомый пред¬
мет ; третья ступень — несколько посредствующих пред¬
метов ; но чаще я чувствую сходство, а потом уже
подыскиваю посредников» 2.
Особый раздел «Детского мира» составляют его
знаменитые «Первые уроки логики», которые являются
педагогическим выводом из стройной логической тео¬
рии К. Д. < Ушинского. Большой интерес представ¬
ляет приведенная там беседа — спор учащихся о поня¬
тии «птица» 3.
Много внимания Ушинский уделял развитию родной
речи учащихся, обучению их родному языку как средству
четкого выражения мыслей. В книге «Родное слово» он
предлагал в качестве материала для чтения группы слов,
1 См.: Ушинский К. Д. Собр. соч., М. —Л., 1948, т. 4, с. 554.
2 Ушинский К. Д. Собр. соч., т. 10, с. 88.
3 См.: Ушинский К. Д. Собр. соч., т. 4, с. 565 — 568.
248

имеющие различные и одинаковые родовые признаки,
что помогает учащимся усваивать различные отношения
между понятиями. Ушинский считал, что в начальных
классах следует определять лишь те понятия, содержа¬
ние которых усвоено школьниками.
Развитие логического мышления, по мнению Ушин¬
ского, должно осуществляться и при изучении географии,
истории, арифметики..
Выдающийся советский педагог В. А. Сухомлинский-
также высказал ряд советов о развитии логического
мышления школьников.
В. А. Сухомлинский ярко, эмоционально рассказывает
о «Школе радости» — подготовительных занятиях с
6-летними детьми. Эти мысли особенно ценны сейчас, в
связи с переходом к обучению детей с 6-летнего воз¬
раста.
Наиболее интересны «уроки мышления» Сухомлин¬
ского в лесу, на лугу, у реки, в поле. Это были
именно уроки, а не простое наблюдение, и ясно было
видно, как пробуждался детский разум. Чтобы ученик
хотел учиться, он должен уметь учиться. Успех и инте¬
рес взаимосвязаны: интерес поддерживается успехом, к
успеху ведет интерес. Как же научить ребенка умствен¬
ному труду? О своих «уроках мышления» Сухомлинский
пишет: «Я продумал все, что должно стать источником
мысли моих воспитанников, определил, что день за
днем в течение 4 лет будут наблюдать дети, какие
явления окружающего мира станут источником их мыс¬
ли... Это — 300 наблюдений, 300 ярких картин, запечат¬
левшихся в сознании ребят. Два раза в неделю мы
шли на природу — учиться думать. Не просто наблюдать,
а учиться думать. Это были, по существу, уроки мыш¬
ления. Не увлекательные прогулки, а именно уроки/
Но то, что и урок может быть очень увлекательным,
очень интересным, — это обстоятельство еще больше обо¬
гащает духовный мир ребят» \
По мнению Сухомлинского, детская память потому
остра и цепка, что в нее вливается чистый ручеек яр¬
ких образов, картин, восприятий, представлений. «Дет¬
ское мышление как раз и поражает нас тонкими, не¬
ожиданными „философскими" вопросами, потому что оно
питается живительным источником этого ручейка... Я
стремился к тому... чтобы законы мышления дети осозна¬
1 Сухомлинский В. А. О воспитании, с. 97.
249

вали как стройное сооружение, архитектура которого
подсказана еще более стройным сооружением — природой.
Чтобы не превратить ребенка в хранилище знаний,
кладовую истин, правил и формул, надо учить его
думать» х. «В „путешествия^ к истокам слова мы шли
с альбомами и карандашами. Вот одно из наших пер¬
вых „путешествий64. Я поставил целью показать детям
красоту и тончайшие оттенки слова луг. Мы расположи¬
лись под склонившейся над прудом вербой. Вдали
зеленел освещенный солнцем луг. Говорю детям: «По¬
смотрите, какая красота перед нами. Над травою лета¬
ют бабочки, жужжат пчелы. Вдали стадо коров, похо¬
жих на игрушки. Кажется, что луг — это светло-зеленая
река, а деревья — темно-зеленые берега. Стадо купается
в реке. Смотрите, сколько красивых цветов рассыпала
ранняя осень. А прислушаемся к музыке луга: слыши¬
те тонкое жужжание мушек, песню кузнечика?» 1 2
По глубокому убеждению Сухомлинского, каждый учи¬
тель, преподающий свой предмет, должен быть препода¬
вателем словесности^ Слово — вот первый шаг к мысли
ученика. В результате коллективной работы учителей за
два года число неуспевающих по языку в их школе
сократилось в два раза. Незадолго до смерти он пи¬
сал: «Дайте мне на год детей — семилеток, равнодуш¬
ных к слову, и они возвратятся к вам с огоньками
мысли, глубоко личными, неповторимыми...» Сухомлин¬
ский предостерегает от попыток механического заимство¬
вания его опыта: обучение чтению и письму по этому
методу — творчество, и заимствовать новое можно только
творчески.
Большое значение в формировании абстрактного
мышления В. А. Сухомлинский придавал усвоению та¬
ких понятий, как причина и следствие, различие и сход¬
ство, возможность и невозможность и др. «Ребенок
мыслит образами, красками, звуками, — писал он, — но это
не означает, что он должен остановиться на конкрет¬
ном мышлении. Образное мышление — необходимый
этап для перехода к мышлению понятиями. Я стремился
к тому, чтобы дети постепенно оперировали такими по¬
нятиями, как явление, причина, следствие, событие,
обусловленность, зависимость, различие, сходство, общ¬
ность, совместимость, несовместимость, возможность,
1 Сухомлинский В. А. О воспитании, с. 97.
2 Там же, с. 91.
250

невозможность и др. Многолетний опыт убедил меня,
что эти понятия играют большую роль в формирова¬
нии абстрактного мышления. Овладеть этими понятиями
невозможно без исследования живых фактов и явле¬
ний, без осмысливания того, что ребенок видит своими
глазами, без постепенного перехода от конкретного пред¬
мета, факта, явления к абстрактному обобщению»1.
Чем больше обобщений надо усвоить на уроке, чем
напряженнее этот умственный труд, тем чаще ученик
должен обращаться, по мнению Сухомлинского, к приро¬
де, к ярким образам и картинам окружающего мира, ибо
умственное воспитание начинается там, где есть теоре¬
тическое мышление, где живое созерцание не конечная
цель, а лишь средство: яркий образ окружающего мира
является для учителя источником, в различных формах,
красках, звуках которого кроются тысячи вопросов.
§ 3. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
В процессе обучения оперированию понятиями отводит¬
ся ведущая роль. В третьем классе начальной школы
на уроках природоведения учащимся даются простей¬
шие, доступные для их понимания определения понятий:
«горизонт», «линия горизонта», «компас», «план мест¬
ности», «масштаб чертежа», «океан», «равнина», «овраг»,
«гора», «полезное ископаемое», «материк», «море» и др.
Эти определения простые, понятные для учащихся млад¬
ших классов. Например, «Границу видимого прост¬
ранства, где нам кажется, что небо сходится с землей,
называют линией горизонта» 2 3. Некоторые определения,
например что такое «океан», «равнина» и другие, даны
весьма условно: «Океаны — это огромные пространств!
воды». Или: «Большие пространства с ровной поверх¬
ностью называют равнинами» * и т. д. Но на этом этапе
обучения учащиеся могут пока довольствоваться приве¬
денными приблизительными определениями, а вернее, ха¬
рактеристиками. Отмечено, что школьники на уроках при¬
родоведения иногда недостаточно хорошо усваивают та¬
кие понятия, как «свойства снега (белый, непрозрачный,
тает, превращается в воду, рыхлый)»; «свойства льда (бес¬
1 Сухолиинский В. А. О воспитании, с. 95 — 96.
2 Мельчаков Л. Ф. Природоведение. М., 1977, с. 116.
3 Там же, с. 125, 129.
251

цветный, прозрачный, тает, превращается в воду, хруп¬
кий)»; «круговорот воды в природе»; «расширение воды
при охлаждении ниже 4-4° и при замерзании»1.
Учащимся начальных классов не просто даются гото¬
вые определения пойятий; они сознательно формируются
под руководством учителя. На примере формирования
грамматических понятий у младших школьников проана¬
лизируем этот сложный многогранный аспект обучения.
Воспользуемся опытом, отраженным в работе М. Р. Льво¬
ва. «Согласно программе в I —III классах, — пишет
М. Р. Львов, — школьники должны усвоить более ста
языковых понятий, среди них грамматические: «предло¬
жение», «главный член предложения», «подлежащее», «ска¬
зуемое», «второстепенный член предложения», «слово»,
«корень», «суффикс», «приставка», «окончание» ... поня¬
тия из области фонетики: «слог», «звук», «ударение»,
«согласный звук» ... и др.; из области графики: «бук¬
ва», «алфавит», «строчная буква», «заглавная буква» и
др.; из орфографии: «правописание», «правило правопи¬
сания», «проверочное слово» и др.; из лексикологии:
«близкие по смыслу слова», «противоположные по смыс¬
лу слова», «переносный смысл» и др.; из теории речи:
«сочинение», «рассказ», «текст», «тема», «план» и др.
Большинство из этих понятий уже в начальных клас¬
сах достигают более или менее высокой степени сфор¬
мированное™» 2. В указанной работе привлекает методи¬
ческий подход, состоящий в рассмотрении понятия не
как готового, уже ставшего, не в статике, а в динамике,
показ его в развитии, в обогащении новыми сущест¬
венными признаками и функциями. С одной стороны,
ученикам должны даваться точные и четкие определения,
на основе которых в начальных классах может быть
достигнута наиболее полная сформированность грамма¬
тического понятия (например, «имя существительное»,
«суффикс» и др.). С другой стороны, «некоторые язы¬
ковые явления, широко используемые в практической
работе учащихся, все-таки не изучаются в обобщенном
виде» 3. Такими, например, являются понятия: «звук речи»,
«местоимение», «наречие», «вид глагола», «грамматичес¬
1 См.: Анализ знаний, умений и навыков учащихся школ
г. Москвы..., с. 17.
2 Львов М. Р. Формирование грамматических понятий у младших
школьников. — Начальная школа, 1981, № 11, с. 23.
3 Львов М. Р. Формирование грамматических понятий у младших
школьников, с. 26.
252

кий род» и др. В статье М. Р. Львова четко выде¬
ляются три последовательных этапа в формировании
грамматических понятий в начальных классах, которые
раскрываются на примере формирования понятий: «имя
существительное» и «суффикс»: «Первый подготовитель¬
ный этап предполагает накопление эмпирического мате¬
риала — наблюдение изучаемого явления, выделение и на¬
зывание важнейших признаков и свойств этого явления,
первичное обобщение накопленного эмпирического мате¬
риала, выделение главных, наиболее существенных при¬
знаков и свойств.
Второй этап предполагает научное оформление поня¬
тия: введение термина, вывод определения понятия (или
сообщение его учащимся в готовом виде), составление
схемы, моделей и т. п. Вывод определения обыкновен¬
но состоит в подведении формируемого понятия под
ближайший род (родовое понятие) и в выделении не¬
скольких важнейших признаков.
Третий этап — это дальнейшее углубление понятия,
узнавание и выделение новых признаков, свойств изуча¬
емого явления, которые лежат в основе формируемого
понятия ... в школьном курсе количество новых свойств
изучаемого явления всегда ограничено, конечно» \ В на¬
чальных классах далеко не все понятия в процессе их
формирования проходят все три этапа; третий этап, а
иногда и второй могут осуществляться в последующих
классах средней школы.
Нам представляется, что вывод, сделанный М. Р. Льво¬
вым: «При всех различиях и самих понятий, и условий
их формирования описанные три этапа могут быть об¬
наружены в каждом отдельном случае» 1 2, — можно рас¬
пространить на формирование не только языковых по¬
нятий, но и понятий, относящихся ко всем прочигЛ
научным дисциплинам. Без четкого усвоения основных
понятий и их взаимосвязей в рамках учебной дисципли¬
ны учащиеся не смогут глубоко и прочно овладеть
основами наук.
В школе логические операции нельзя рассматривать
изолированно, особенно операцию «определение поня¬
тий», ибо надо понятие подводить под ближайший род
1 Львов М. Р. Формирование грамматических понятий у младших
школьников, с. 24.
2 Там же.
253

и при этом произвести операцию обобщения, а также
выделить существенные признаки, характерные для вида.
Этого же требует операция деления, при которой осно¬
ванием деления является существенный признак. Умение
правильно определять отношение между видом и родом
связано с умением выявлять разнообразные отношения
между понятиями: отношения подчинения, пересечения,
тождества, соподчинения, противоположности, противо¬
речия.
Учащихся начальной школы надо специально обучать
этим логическим операциям над понятиями. Для экспери¬
мента с учащимися третьего класса был подобран мате¬
риал, состоящий из двух идентичных частей (двух набо¬
ров логических задач). Первая часть материала давалась
без объяснения сущности операций над понятиями. После
выполнения ее анализировались допущенные ошибки, да¬
валось правильное решение и объяснение. Затем пред¬
лагалась вторая часть — контрольная. Проводилось срав¬
нение количества ошибок, допущенных в первой части
и в контрольной. Работа состояла из следующих за¬
даний.
1. Определить все виды отношений между понятиями
(6 вадов). В первый раз учащиеся допустили много
ошибок, во второй раз — значительно меньше.
2. Выполнить определенное задание по объединению
и пересечению объемов понятий. Эта работа была про¬
делана успешно.
3. Произвести операции ограничения и обобщения
понятий (были даны понятия «растение» и «лодка»). В
ограничении все учащиеся допустили ошибки двух видов:
а) дали неполное ограничение; б) допустили пропуск од¬
ного или ряда элементов при обобщении или ограниче¬
нии (например, ограничивали так: «растение — клен»,
пропустив понятия «дерево» и «лиственное дерево»).
4. При делении понятий «треугольник» и «член пред¬
ложения» допущены следующие ошибки: а) несоразмер¬
ность деления; б) скачок в делении.
5. При определении понятий «компас» и «остров»
ошибок было много как в первом, так и в контроль¬
ном задании.
Эксперимент показал, что после объяснения учащиеся
в конце 3-го класса быстро усваивают отношения между
понятиями, хорошо владеют операциями объединения и
пересечения понятий. Это объясняется тем, что на уроках
математики приходится рассматривать множества и его
254

элементы. Сложной оказывается работа по обобщению
и ограничению понятий.
Подобная картина наблюдалась при экспериментах с
учащимися 5 — 7 классов (в том числе с незрячими
детьми) и с учащимися 9-го класса. Эксперименты под¬
твердили, что учащиеся при разъяснении им логической
теории по теме «Понятие» удовлетворительно справля¬
ются с такими логическими действиями с понятиями,
как деление понятий, определение, обобщение, ограниче¬
ние понятий, и хорошо справляются с такими операция¬
ми с понятиями, как объединение, пересечение, дополне¬
ние, и выявляют отношения между понятиями.
§ 4. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ
УЧАЩИХСЯ В СРЕДНИХ И СТАРШИХ КЛАССАХ
НА УРОКАХ ЛИТЕРАТУРЫ, МАТЕМАТИКИ, ИСТОРИИ
И ДРУГИХ ПРЕДМЕТОВ
Разносторонние возможности для развития логического
мышления учащихся предоставляет преподавание литера¬
туры, развивающее специфические стороны мышления.
Учащиеся начинают с понятий «художественный образ»,
«литературный тип», «литературная форма», затем под¬
ходят к изучению наиболее общих понятий — «партий¬
ность литературы», «классовость», «народность», «прин¬
цип историзма», «социалистический реализм»; при этом
понятия берутся в их системе, а не изолированно. Пси¬
хологическая наука пытается дать классификацию типов
мышления на основе того или иного существенного
признака. «В одних случаях подчеркивается целенаправ¬
ленный характер мышления; из типов мышления нагляд¬
но-действенное и наглядно-образное названы исходными,*
а на их основе развивается теоретическое мышление..?
В других — подчеркивается проблемность мышления, его
направленность на решение какой-либо задачи. Особо от¬
мечено, что из основных видов мышления — практичес¬
кого (действенного), конкретно-образного и теоретическо¬
го (словесно-понятийного) — образный тип мышления не
является более низким по сравнению с теоретическим»1.
Какой же тип мышления формируется на уроках лите¬
ратуры? «В процессе изучения литературы, — пишет
О. Ю. Богданова, — развиваются взаимосвязанные компо¬
1 Богданова О. Ю. Развитие мышления старшеклассников на
уроках литературы. (Пособие к спецкурсу). М., 1979, с. 12.
255

ненты мышления учащихся: конкретно-образные, обоб¬
щенно-образные, теоретические и действенные»При
анализе произведения художественной литературы уча¬
щиеся должны использовать как научные (теоретические),
так и образные обобщения, самостоятельно применять
всю систему знаний и понятий.
Большое значение для развития мышления учащихся
имеет использование различных типов самостоятельных
работ по литературе: самостоятельные работы по образ¬
цу, реконструктивные, вариативные самостоятельные ра¬
боты на применение понятий науки, творческие самосто¬
ятельные работы, постановка самими учащимися пробле¬
мы и нахождение путей ее решения 1 2.
О. Ю. Богданова несколько условно выделяет четыре
этапа работы с учащимися старших классов на уроках
литературы. Первый этап ставит целью формирование
первоначальных обобщений о природе реалистического
искусства. Цель второго этапа — углубление связей между
восприятием произведения, его анализом и теоретико¬
литературными знаниями. На третьем этапе осуществля¬
ется активное использование обобщений о природе реа¬
листического искусства в процессе анализа художествен¬
ного произведения. Четвертый этап связан с работой
в выпускном классе. Цель его состоит в формирова¬
нии концептуального подхода к изучению литературы 3.
Осветить подробно этот эксперимент не представляет¬
ся возможным, поэтому мы остановимся лишь на неко¬
торых аспектах работы, иллюстрируя их соответствую¬
щими примерами.
В преподавании литературы, как и других школь¬
ных предметов, иногда вместо определения понятия при¬
меняется метод сравнения. Сравнение широко использует¬
ся для сопоставления литературных фактов и явлений,
в частности для сопоставления сюжета повести с ее
первоначальным планом. Учащимся предлагается вопрос
проблемного характера: «С какой целью Пушкин изме-
1 Богданова О. Ю. Развитие мышления старшеклассников на
уроках литературы, с. 14.
2 См.: Пидкасистый П. И. Самостоятельная деятельность уча¬
щихся. М., 1972, с. 105 — 106.
3 Методические рекомендации О. Ю. Богдановой (МГПИ им.
В. И. Ленина) нашли широкое экспериментальное подтверждение
в школах Москвы и других городов. В четырехлетием эксперименте
участвовало более 2000 учащихся, более 300 учителей школ, по этим
рекомендациям проведено свыше 500 уроков, автором сделано более
100 докладов и выступлений.
256

нил первоначальный план повести „Станционный смот-
ритель“?»
Преподавание литературы предполагает использова¬
ние разнообразных вопросов проблемного характера, на
которых мы остановимся подробнее. Эти вопросы пред¬
ставляют собой познавательные поисковые задачи. При¬
ведем примеры вопросов по повести А. С. Пушкина
«Пиковая дама», которые предлагаются учащимся перед
уроком: 1. Какую моральную оценку дает Пушкин
своему герою? 2.* Чем мотивируется поведение Германа
(в социальном или психологическом плане)? 3.* Как рас¬
крыта в повести тема «личность и общество»? Что ле¬
жит в основе конфликта между героем и окружающими
людьми? 4. С какой целью введены в повесть фантас¬
тические элементы? 5. Как относится Пушкин к наступ¬
лению буржуазного века? 6. Какова идея повести?1
Работа в классе строится с опорой на самостоятельные
высказывания учащихся по этим вопросам. Вопросы
проблемно-проверочного характера ставятся и с иной
целью: для выяснения особенностей мышления учащихся.
Например, после изучения творчества Лермонтова уча¬
щимся были предложены вопросы: 1. Что такое лите¬
ратурный тип? Показать на конкретном примере. 2. Что
я узнал о русской действительности прошлого столетия
из произведений Пушкина и Лермонтова? 3. Каковы
основные особенности реализма Пушкина и Лермонтова?
В чем вы видите сходство и в чем различие? Пока¬
зать на конкретном примере. 4. Каков нравственный
идеал Лермонтова? Что в этом идеале мне близко и
понятно, а что нет? Здесь обращают на себя внимание
вопросы, основанные на сопоставительном анализе, на
обобщениях.
В ходе последующей работы вопросы проблемного
характера усложняются. При изучении романа Достоев¬
ского «Преступление и наказание» учащимся предлага¬
лись следующие вопросы: 1. Какие события предшест¬
вуют преступлению и как они влияют на Раскольникова?
2. Сопоставьте Петербург Пушкина, Некрасова и Досто¬
евского. 3. Сопоставьте ответы Чернышевского и До¬
стоевского на вопрос: «Что делать?». 4. Как и в ка¬
ких сценах осуждается теория Раскольникова? 5. В чем
1 См.: Богданова О. Ю. Развитие мышления старшеклассников
на уроках литературы, с. 43, 45, 54, 64, 65. Звездочками обозначены
вопросы, которые используются в качестве индивидуальных заданий.
9 А. Д. Гетманова
257

заключается новаторство реалистической манеры До¬
стоевского? 6. В чем состоит противоречивость худо¬
жественного мира Достоевского? И другие.
Целенаправленная работа, идущая от формирования
первоначальных обобщений о литературных фактах к
концептуальному подходу в изучении литературы и
использованию системы знаний по истории и теории
литературы, — таков магистральный путь развития мыш¬
ления старшеклассников.
Развитие логического мышления на уроках математики
Математика способствует развитию творческого мыш¬
ления, заставляя учащихся искать решения нестандарт¬
ных задач, размышлять над парадоксами, анализировать
содержание условий теорем и сути их доказательств,
изучать специфику работы творческой мысли выдающих¬
ся ученых. А. Я. Хинчин видит воспитательный эффект
уроков математики в том, что специфическая для мате¬
матики логическая строгость и стройность умозаключений
призвана воспитывать в учащихся общую логическую
культуру мышления, и основным моментом воспитатель¬
ной функции математического образования он считает
развитие у учащихся способностей к полноценности аргу¬
ментации. В обыденной жйзни и в ряде естественно¬
научных дискуссий аргументацию почти не удается сде¬
лать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе :
«Здесь аргументация, не обладающая характером полной,
абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малей¬
шую возможность обоснованного возражения, беспощад¬
но признается ошибочной и отбрасывается как лишенная
какой бы то ни было силы... Изучая математику,
школьник впервые в своей жизни встречает столь вы¬
сокую требовательность к полноценности аргумента¬
ции» \ Школьники приучаются к взаимной критике; уче¬
ник, который «отобьется» от всех возражений своих то¬
варищей, почувствует, что именно логическая полноцен¬
ность аргументации была тем оружием, которое дало ему
эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно на¬
учится уважать это оружие и, даже находясь в других
ситуациях (в споре с другими или в своем «одиноком
мышлении»), будет искать точной, полноценной аргумен-
1 Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики. —
В кн.: Математика как профессия.. M., 1980, с. 36.
258

тации, что значительно повысит его логическую культуру.
А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные тре¬
бования, выполнение которых обеспечивает полноту аргу¬
ментации. Среди них борьба против незаконных обоб¬
щений и необоснованных аналогий, борьба за полноту
дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций.
Требование полноты и выдержанности
классификации
При построении классификаций необходимо соблюдать
правила деления понятий: классификация должна прово¬
диться по одному существенному основанию, члены
классификации должны исключать друг друга, классифи¬
кация должна быть полной. На уроках математики вос¬
питывается потребность осуществлять правильные класси¬
фикации.
Математический стиль мышления, по характеристике
А. Я. Хинчина, определяется следующими особенностя¬
ми: 1) доведенное до предела доминирование логичес¬
кой схемы рассуждения; 2) лаконизм, сознательное
стремление всегда находить кратчайший из ведущих к
данной цели логический путь; 3) четкая разбивка хода
рассуждений на случаи и подслучаи; 4) скрупулезная
точность символики. Указанные черты стиля математичес¬
кого мышления способствуют поднятию общей культуры
мышления школьников, развитию их интеллектуального
потенциала.
На уроках математики учащиеся оперируют всеми
формами мышления: понятиями, суждениями, умозаклю¬
чениями. Чаще всего учащиеся пользуются такими вида¬
ми дедуктивного умозаключения, как категорически^
силлогизм, энтимема, условно-категорические и раздели¬
тельно-категорические умозаключения, полисиллогизмы,
сориты, непосредственные умозаключения (превращение,
обращение, противопоставление предикату), дилеммы.

Развитие логического мышления на уроках истории
В начальной школе при изучении материала по истории
применяются различные приемы, способствующие раз¬
витию мышления, в первую очередь наглядные пособия:
картины, диапозитивы, рисунки на доске, аппликации,
иллюстрации учебника. С их помощью делаются срав¬
нения, устанавливаются различия, производятся обоб¬
щения. Например, предлагается сравнить работу крестьян
до революции и в настоящее время или сравнить вид
Москвы в XIII в. и сейчас. Используется анализ и син¬
тез в их единстве.
Учащиеся учатся составлять план рассказа, выделять
главное, устанавливать причинно-следственные связи яв¬
лений. Они хорошо усваивают единичные понятия (Мос¬
ковский Кремль, Степан Разин, Пугачев и др.), усваи¬
вают и общие понятия: орудие труда, помещик, раб,
стачка, восстание и др.1 Точные определения понятий,
как правило, не даются.
В средних и старших классах история преподается как
отдельный предмет. Место наглядных пособий занимают
словесные иллюстрации, яркие описания, характеристики,
часто вместо определения понятий применяются приемы,
их заменяющие: описание, характеристика, разъяснение
посредством примера, сравнение и различение. В средних
классах учащиеся иногда затрудняются выделить общие
и существенные признаки и дать точное определение
понятия, иногда указывают лишь род, не называя видо¬
вого отличия (разновидность логической ошибки «несо¬
размерность определения»: слишком широкое определе¬
ние). К числу таких определений можно отнести: «ку¬
лак — это эксплуататор», «мотыга — это сельскохозяй¬
ственное орудие». В средних и старших классах боль¬
ше используется так называемая условная наглядность:
схемы, картограммы, планы, таблицы, диаграммы, пла¬
каты, графики. Учащиеся знакомятся с рядом научных
понятий: «исторический факт (событие)», «причина
исторического события», «следствие исторического со¬
бытия», «историческая закономерность» и др. У уча¬
щихся вырабатывается понимание закономерностей ис¬
торического процесса, роли народных масс, соотноше¬
ние производительных сил и производственных отноше-
1 См.: Ефимов А. В., Редько А. 3. Развитие логического мыш¬
ления школьников в процессе обучения истории. М., 1958, с. 19.
260

ний. Для запоминания последовательности событий по¬
лезно давать самим учащимся составлять хронологичес¬
кую таблицу наиболее важных событий. Это развивает
умение выделить главное, существенное.
Перед учащимися ставятся проблемные вопросы, в том
числе вопросы, предполагающие сравнение событий или
явлений: 1. Чем отличается раб от крестьянина в Древ¬
нем Египте? 2. Чем отличается рабовладельческий строй
от первобытного? Предлагается задание — сравнить уро¬
вень культуры в разных странах и др. Значительное
число вопросов связано с установлением причинно-
следственных связей. На уроках истории часто ставится
вопрос: «Почему?»
Методисты считают, что понятия гражданской исто¬
рии лучше усваиваются, если учащиеся подведены к ним
индуктивным методом — путем ознакомления с рядом
сходных и типичных фактов и явлений; однако иногда
используются и дедуктивные умозаключения.
Следует обратить внимание на распространенную у
учащихся ошибку смешения повода и причины собы¬
тия.
В старших классах развитие логического мышления
на уроках истории осуществляется посредством усвоения
более абстрактного, теоретически обобщенного материа¬
ла, посредством более углубленного формирования поня¬
тий «класс», «социальная революция», «общественно-эко¬
номическая формация», «капитализм». Большее внимание
уделяется операции деления понятия и классификациям
(например, классификация орудий труда, видов оружия,
типов предприятий при капитализме, форм и типов го¬
сударственного устройства, видов классовой борьбы и др.).
На уроках истории используются и умозаключение
по аналогии. Гипотеза и ее роль в познании истори¬
ческих событий связаны с научным предвидением. При¬
мером могут служить сформулированные К. Марксом
и Ф. Энгельсом положения «Манифеста Коммунистичес¬
кой партии» — первого программного документа научного
коммунизма.
И. Я. Лернер к числу методов исторического позна¬
ния, имеющих общеобразовательное значение, относит
следующие:
1. Сравнительно-исторический метод.
2. Метод аналогии.
3. Статистический метод: выборочный, групповой и т. д.
4. Установление причин по следствиям.
261

5. Определение цели отдельных личностей и их групп по их
действиям и по следствиям этих действий.
6. Определение зародыша по зрелым формам.
7. Метод обратных заключений (определение прошлого по су¬
ществующим пережиткам),
8. Обобщение формул, т. е. свидетельств памятников обычного
и письменного права, анкет, характеризующих массовость тех или
иных явлений.
9. Реконструкция целого по части.
10. Определение уровня духовной жизни по памятникам мате¬
риальной культуры.
11. Лингвистический метод1.
Для усвоения норм правильного мышления И. Я. Лер¬
нер предусмотрел ряд заданий на различные логические
операции. Среди них определение понятий, анализ и син¬
тез как приемы образования понятий, сравнение и обоб¬
щение, деление понятий, классификация понятий, индук¬
тивные и дедуктивные умозаключения, умозаключения
по аналогии, прямое и косвенное доказательство.
Желательно было бы в задания включить и опериро¬
вание логическими законами. Учитель истории, разумеет¬
ся, обратит внимание учащихся и на использование
гипотез в историческом познании и свяжет это с научным
прогнозированием исторических событий и закономернос¬
тей. И. Я. Лернер предусматривает и другие виды зада¬
ний: «Задания на -усвоение норм диалектического мыш¬
ления» и «Задания на усвоение методологических зна¬
ний», — а также выделяет систему проблемных за¬
дач.
Очень важными средствами развития логического
мышления учащихся являются работа с историческими
документами и использование художественной литера¬
туры2.
Многое из сказанного выше о развитии логического
мышления учащихся на уроках истории применяется в
процессе преподавания обществоведения в выпускном
классе. Углубляется работа над общими понятиями и
категориями диалектического и исторического матери¬
ализма, политической экономии, которые изучаются на
1 См.: Лернер И. Я. Развитие мышления учащихся в роцессе
обучения истории. M., 1982.
2 См., например: Новейшая история в художественно-историчес¬
ких образах. 1917—1945 гг. M., 1980. Пособие содержит отрывки
из произведений советских и зарубежных писателей. Яркие образы
художественной литературы помогут учителю конкретизировать наи¬
более сложные понятия курса новейшей истории.
262

уроках обществоведения. Среди них понятия «производи¬
тельная сила», «производственные отношения», «средство
труда», «базис», «надстройка», «общественно-экономичес¬
кая формация», «общественное бытие», «общественное
сознание», «способ производства», «класс», «государство»,
«социальная революция» и др. В ходе преподавания
применяются разнообразные классификации понятий:
дается классификация видов материи, форм движения
материи, законов материалистической диалектики, исто¬
рических типов и форм эксплуататорского государства,
типов социальных революций и др.
Используются таблицы. Например, в процессе изуче¬
ния основных законов материалистической диалектики
на уроках учащиеся могут составить следующую таблицу.
Основные законы материалистической диалектики
Название
закона
Примеры действия закона
в области
природы
в области об¬
щественной
жизни
в области
мышления
1.
2.
3.
Эта работа способствует тому, что учащиеся более
активно и осознанно воспринимают материал, приучают¬
ся выделять главное. Дома учащиеся могут заполнить
колонки этой таблицы новыми примерами.
На уроках обществоведения, как и на других уроках,
широкое применение находит метод сравнения.
Итак, выявлено значительное многообразие средств,
методов, приемов развития логического, творческого
мышления учащихся на уроках в школе.
Кроме того, мы считаем необходимым введение в
школе отдельного предмета «Логика», который позволит
вооружить учащихся систематическими познаниями по
этой важной отрасли науки. Одна из важнейших задач
курса логики — показать на основе марксистско-ленин¬
ской теории познания основные формы и законы содер¬
жательного мышления, помочь интеллектуальному фор¬
мированию личности учащегося.

Приложение 1
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ РЯДА
НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК
§ 1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
Если в двузначной логике высказывание бывает истин¬
ным или ложным, то в многозначных логиках число
значений истинности аргументов и функций может быть
любым конечным и даже бесконечным. В настоящем
приложении отрицание обозначается через Nx или х,
конъюнкция — через Кху или х л у, нестрогая дизъюнк¬
ция — через Аху или х v у, материальная импликация —
через Сху или х -> у. Значения функции от аргумента а
будем записывать так: [а]. Тавтологией (или общезна¬
чимой) называется формула, которая при любых комби¬
нациях значений входящих в нее переменных принимает
значение «истина» (чаще всего в рассматриваемых систе¬
мах «истина» обозначается цифрой 1).
Развитие многозначных логик, по нашему мнению,
подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а так¬
же положение об относительном характере конкретно-
научных знаний: то, что является тождественно-истинным
в одной логической системе, не оказывается тождествен¬
но-истинным в другой.
Трехзначная система Лукасевича 2
Трехзначная пропозициональная логика была построена
Я. Лукасевичем в 1920 г. В ней «истина» обозначается 1,
«ложь» — 0, «нейтрально» — х/2. В качестве основных
1 Данное краткое приложение рассчитано на студентов, аспиран¬
тов и преподавателей математического факультета, изучивших курс
математической логики, занимающихся проблемами обоснования
математики и другими философскими вопросами современной мате¬
матики и математической логики.
2 См.: Lukasiewicz J. О pojeciu mozliwosci. — Ruch Filozoficzny.
Lwow, 1920, г. 5, № 9.
264

функций взяты отрицание (обозначается Nx) и имплика¬
ция (Сху); производными являются конъюнкция (Кху)
и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.
Отрицание и импликация соответственно определя¬
ются матрицами (таблицами) и равенствами так:
Конъюнкция определяется как минимум значений
аргументов: [Кху] = min ([х], [у]); дизъюнкция — как
максимум значений х и у: [Аху] = тах([х], [у]).
На основе данных определений отрицания, конъюнк¬
ции и дизъюнкции в системе Лукасевича не будут тав¬
тологиями (законами логики) закон непротиворечия
и закон исключенного третьего двузначной логики.
В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отри¬
цания законов непротиворечия и исключенного третьего
двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не явля¬
ется отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича
тавтологиями являются правило снятия двойного отри¬
цания, все четыре правила де Моргана и правило контр¬
апозиции: b = b -► а. Не являются тавтологиями пра¬
вила приведения к абсурду двузначной логики: (х х) ->х
и (х -> (у л у)) -► х (т. е. если из х вытекает противоречие,
то из этого следует отрицание х). Это можно доказать,
взяв [х] = 7г И [у] = 72.
В системе Лукасевича не являются тавтологиями и не¬
которые формулы, структурно выражающие правильные
дедуктивные умозаключения традиционной логики, фор¬
мализованные средствами алгебры логики, а именно
modus tollens, простая деструктивная дилемма, а также
формулы разделительно-категорического силлогизма
с нестрогой дизъюнкцией.
Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтоло¬
гиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение
265

71, то в логике Лукасевича и в двузначной логике
определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импли¬
кации и отрицания соответственно совпадут. Но так как
в логике Лукасевича. имеется третье значение истин¬
ности — Vz, то не все тавтологии двузначной логики
являются, тавтологиями в логике Лукасевича.
Трехзначная система Гентинга
В двузначной логике из закона исключенного третьего
выводятся: 1) х->х; 2) х->х. Исходя из утверждения,
что истинным является второе, Рейтинг разработал трех¬
значную пропозициональную логику. В этой логической
системе импликация и отрицание отличаются от опре¬
делений этих операций у Лукасевича лишь в одном
случае. «Истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «неопре¬
деленность» — 72. Тавтология принимает значение 1.
Отрицание Гейтинга
X
Nx
1
1/2
0
0
0
1
Импликация Рейтинга
у
• X \
1
1/2
0
1
1
1/2
0
1/2
1
1
0
0
1
1
1
1. [Сху] = 1, если [х] [у].
2. [Сху] = [у], если [х] > [у].
Конъюнкция и дизъюнкция определены обычным спо¬
собом как минимум и максимум значений аргументов.
Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то
из матриц системы Рейтинга вычленяются матрицы
двузначной логики. В этой трехзначной логике закон
непротиворечия является тавтологией, но ни закон
исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями
не являются. Оба правильных модуса условно-категори¬
ческого силлогизма, формула (х -* у) -► (у -* х), правила
де Моргана и закон исключенного четвертого: (х v
v х v х) — тавтологии.
Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах
отрицания и импликации Рейтингом в его системе были
произведены небольшие изменения, результаты оказались
значительными: в системе Рейтинга являются тавтоло¬
гиями многие формулы классического двузначного ис¬
числения высказываний.
266

Трехзначная система Бочвара1
Система советского логика Д. А. Бочвара построена на
разделении высказываний на имеющие смысл (т. е. ис¬
тинные или ложные) и бессмысленные. Бочвар выделяет
внешние формы (или функции) и внутренние. Внутренние
формы Бочвар называет классическими содержательными
функциями переменных высказываний, а внешние фор¬
мы — неклассическими. У Бочвара «истина» обозначается
К, «ложь» — F, «бессмысленность» — S. Мы обозначим
«истину» как 1, «ложь» — 3, «бессмысленность» — 2. Тав¬
тология принимает значение 1; а, Ь, с,., обозначают
переменные высказывания.
В настоящей работе не приводится полное опреде¬
ление функций (в силу его сложности). Бочвар ввел два
вида отрицания — внутреннее и внешнее, которые опре¬
деляются таблично, ~а — внутреннее отрицание, Па —
внешнее отрицание, а — внутреннее отрицание внешнего
утверждения.
а
~ а
~1а
а
1
3
3
3
2
2
3
1
3
1
1
1
Отличие внутреннего и внешнего отрицания лишь
в том, что внутреннее отрицание бессмысленного выска¬
зывания дает бессмысленное высказывание, а внешнее
отрицание бессмысленного высказывания дает ложнее
высказывание.
В системе Бочвара ни закон тождества двузначной
логики, ни его отрицание не являются тавтологиями.
Отрицание закона тождества сыграло важную роль при
анализе парадокса Рассела. Бочвар же не отбрасывает
принцип «а есть а» или «а<->а»; в его системе формула
а<-+а не является доказуемой.
Противоречиями в логике Бочвара являются следую¬
щие формулы: 1) а дПа; 2) а=Па; 3) а<->а. Здесь
1 См.: Бочвар Д. А. Об одном трехзначном исчислении и его
применении к анализу парадоксов классического расширенного функ¬
ционального исчисления. — Математический сборник, 1938, т. 4(46), № 2.
267

знак « = » означает внешнюю равнозначность (эквива¬
лентность), знак «<-►» — внешнюю равносильность.
Между законом непротиворечия и законом исклю¬
ченного третьего в логике Бочвара существует сходство,
а именно:
1. Неклассическое отрицание закона непротиворечия
и закона исключенного третьего всегда ложно.
2. Классические формы закона непротиворечия и за¬
кона исключенного третьего бессмысленны тогда, когда
данное высказывание бессмысленно.
3. Неклассическая форма закона непротиворечия
и закона исключенного третьего не может быть бес¬
смысленной.
Но между этими законами имеется и отличие.
Бочвар построил свое трехзначное исчисление с целью
разрешения парадоксов классической математической
логики методом формального доказательства бессмыс¬
ленности определенных высказываний. В частности,
с помощью своей системы Бочвар смог разрешить
парадокс Рассела о множестве всех нормальных мно¬
жеств, доказав несуществование такого предмета, как
множество всех нормальных множеств. В действитель¬
ности это означает, что, поскольку предметная область
состоит из фиксированных предметов, о которых можно
рассуждать по законам классической формальной логики,
множество всех нормальных множеств нельзя рассматри¬
вать как фиксированный предмет, не изменяющийся
в то время, пока о нем идет речь. Система Бочвара
позволяет элиминировать парадокс Рассела, не прибегая
к теории типов.
и-значная система Поста1
Система Поста является обобщением двузначной логики,
ибо при п = 2 в качестве частного случая мы получаем
двузначную логику. Своей системе Пост дал интерпре¬
тацию. Значения истинности суть 1, 2, ..., п (при и > 2),
где п — конечное число. Тавтологией является формула,
которая всегда принимает такое значение i, что 1 < i S,
где 1 < S п — 1; значения 1, ..., 5 называются выделен¬
ными или отмеченными; возможно, что S > 2.
1 См.: Post Е. L. Introduction to a general Theory of Elementary
Propositions. - American journal of mathematics, 1921, vol. 43, № 3.
268

Пост вводит два вида отрицания (Nlx и N2x), соот¬
ветственно называемые циклическим и симметричным.
Они определяются путем матриц и посредством ра¬
венств.
Первое отрицание определяется двумя равенствами:
1. [Nxx] = [х] + 1 при [х] < п - 1.
2. [Nxn] = 1.
Второе отрицание определяется одним равенством:
[N2x] = п — [х] 4- 1.
X
Nh
N2x
1
2
3
4
п — 1
п
2
3
4
5
п
1
п
п — 1
п-2
п-3
2
1
Характерной особенностью двух отрицаний Поста
является то, что при п = 2 эти отрицания совпадают
между собой и с отрицанием двузначной логики, что
подтверждает тезис: многозначная система Поста есть
обобщение двузначной логики. *
Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответ¬
ственно как максимум и минимум значений аргументов.
При указанных определениях отрицания, конъюнкции
и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х,
большем двух, законы непротиворечия и исключенного
третьего, а также отрицания этих законов не являются
тавтологиями.
Если значениями истинности являются 1, 2, 3, то из
n-значной системы Поста вычленяется трехзначная логика,
т. е. Рз. Аналогично при значениях истинности 1, 2, 3, 4
получается четырехзначная логика Р4 и т. д.
Трехзначная система Рз Поста имеет следующую
форму:
269

p
~*P
1
2
3
2
3
2
3
1
1
По¬
Пер¬
Вто¬
ясне¬
вое
рое
ния
отри¬
отри¬
ца¬
ца¬
ние
ние
Рч
P#
1 2 3
p v 3q
1 2 3
P^jfl
1 2 3
P =
1 2 3
1
2
3
1 2 3
2 2 3
3 3 3
1 1 1
I 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 2
1 1 1
1 2 3
2 2 2
3 2 1
По¬
ясне¬
ния
max(p, q)
min(p, q)
'(-3P)
IU
IU
В этих таблицах приняты обозначения, введенные
Постом при п = 3: первое отрицание обозначается через
(~зР), второе отрицание - через (~ Зр), конъюнкция -
через (р-3д), дизъюнкция — через (р v3^), импликация —
через (р =) з q)9 эквиваленция — через (р = 3 q).
Если в качестве значений истинности взяты лишь 1
«истина» и 3 «ложь», ,то из таблиц системы Р3 Поста
вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъ¬
юнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.
В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон
исключенного третьего не является тавтологией ни для
первого, ни для второго отрицания Поста, но является
тавтологией закон исключенного четвертого для первого
отрицания.
Трехзначная система Рейхенбаха1
Аппарат многозначных логик находит все более широкое
применение в различных науках. Проанализируем приме¬
нение аппарата трехзначной логики Г. Рейхенбаха к кван¬
товой механике.
Большинство операций этой системы были введены
уже Постом, но с целью приложения своей системы
к квантовой механике Рейхенбах вводит новые. У Поста
было введено два вида отрицания — первое и второе.
В системе Рейхенбаха они называются циклическим
отрицанием и диаметральным отрицанием, кроме них
Рейхенбах ввел полное отрицание. В системе Рейхенбаха
имеются стандартная импликация () и стандартная
эквивалентность ( = ). Вводятся и другие операции:
1 См.: Reichenbach Н. Philosophical Foundations of Quantum
Mechanics. Berkeley — Los Anqeles, 1946, § 32.
270

альтернативная импликация (-►), квазиимпликация (э)
и альтернативная эквивалентное гь (=). Знаком «•» обозна¬
чена конъюнкция, « V» — дизъюнкция.
Таблица для трех видов отрицаний Рейхенбаха.
Обозначения: ~А — циклическое отрицание; — Л — диа¬
метральное отрицание; А — полное отрицание.
Рейхенбах обозначил «истину» как 1, «неопределен¬
ность» — 2, «ложность» — 3. Тавтология принимает зна¬
чение 1.
А
— А
~А
1
2
3
2
3
1
3
2
1
2
1
1
Другие функции Рейхенбаха определяются матрицами
так:
А
в
АВ
Av В
А^В
А-В
АэВ
А =В
А =В
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
2
2
3
1
3
3
1
3
3
3
3
3
2
1
2
1
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
3
3
2
3
1
2
2
3
3
1
3
1
1
1
2
3
3
3
2
3
2
1
1
2
2
3
3
3
3
3
1
1
2
1
1
Отметим ряд свойств, присущих отрицаниям в систе¬
ме Рейхенбаха.
Для циклического отрицания верен закон снятия
тройного отрицания: ~~~А = А, т. е. в результате
тройного отрицания А возвращаемся к исходному зна¬
чению А. Для циклического отрицания законы непроти¬
воречия и исключенного третьего, правила де Моргана
двузначной логики не являются тавтологиями, но тавто¬
логией является закон исключенного четвертого A v ~
~А v ~ ~А.
Для диаметрального отрицания сохраняется правило
снятия двойного отрицания: А = А. Ни сами законы
непротиворечия и исключенного третьего, ни их отри¬
271

цания при диаметральном отрицании не являются тав¬
тологиями.
Для полного отрицания оказались тавтологиями закон
непротиворечия, псевдозакон исключенного третьего,
закон исключенного четвертого, правила де Моргана,
закон А = Л.
Рассмотрев три вида отрицания в их взаимосвязи,
Рейхенбах показал, что между циклическим и полным
отрицанием имеет место следующее отношение:
А = ~Л v ~~Л. (1)
Ранее отмечалось, что для циклического отрицания
является тавтологией закон исключенного четвертого:
Av~Av~~A. Последние два члена его можно заме¬
нить на основании равенства (1) на Л и получить для
полного отрицания формулу A v Л, которую Рейхенбах
назвал «псевдозаконом исключенного третьего», ибо он
не имеет свойств закона исключенного третьего дву¬
значной логики. Причина последнего в том, что полное
отрицание не имеет свойств обычного отрицания: оно
не дает нам возможности определить значение истин¬
ности Л, если мы знаем, что А истинно. Из таблицы,
определяющей полное отрицание, следует, что если
А истинно, то А может быть как ложным, так и не¬
определенным.
А
А
и
н
л
н
и
и
Вследствие этой двусмысленности для полного отри¬
цания нельзя определить обратной операции, т. е. опера¬
ции, ведущей от Л к Л.
Взаимосвязь трех видов отрицания выражается в том,
что закон непротиворечия сохраняется в таких трех
формах:
1) Л-Л; 2) Л-~Л; 3) Л--Л.
Рейхенбах построил свою трехзначную систему для
описания явлений квантовой механики. По его мнению,
говорить об истинности или ложности высказываний
правомерно лишь тогда, когда возможно осуществить
272

их проверку. Если нельзя ни подтвердить истинность
высказывания (т. е. верифицировать его), ни опровергнуть
его с помощью проверки (фальсифицировать), то такое
высказывание должно оцениваться третьим значением —
неопределенно. К числу таких высказываний относятся
высказывания о ненаблюдаемых объектах в микромире.
Сам Рейхенбах так пишет о значении трехзначной
логики для квантовой механики: «Введение третьего зна¬
чения истинности не делает все высказывания квантовой
механики трехзначными. Рамки трехзначной логики
достаточно широки, чтобы включать класс истинно¬
ложных формул. Когда мы хотим все высказывания
квантовой механики ввести в состав трехзначной логики,
то руководящей идеей будет: поместить в истинно¬
ложный класс те высказывания, которые мы называем
законами квантовой механики»
Бесконечнозначная логика как обобщение многозначной
системы Поста
Исходя из системы Рп Поста, можно построить беско¬
нечнозначную систему Sxo, которая примет следующий
вид. Значениями истинности являются 1 (истина), 0 (ложь)
и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построен-
/ 1 у / 1 у
ные в форме l-y I ив форме (2*— 1), где к —
целочисленный показатель. Иными словами, значениями
с ,113 17
истинности в системе SKn являются 1, —, —, —, —, —,
0 ’2 4 4 8 8’
0.
16’ 16’ ’ \2 J \ 2J V 7
Операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, им¬
пликация и эквиваленция в S^o — определены следующи¬
ми равенствами:
1. Отрицание: [^хОр] = 1 - [р].
2. Дизъюнкция: [р v xoq] = max([p], [g]).
3. Конъюнкция: [p a xoq] = min([p], [</]).
4. Импликация: [p =>XQ<?] = [~xop v*0<?]-
5. Эквиваленция: [p = xog] = [(p => XQq) a *0(q => xop)].
Отрицание в бесконечнозначной системе Sx0 таблично
можно выразить так:
1 Reichenbach Н. Philosophical Foundations of Quantum Mechanics,
c. 160.
273

р
1
0
1/2 *
1/2
1/4
3/4
3/4
1/4
1/8
7/8
7/8
1/8
1/16
15/16
15/16
1/16
(1/2)*
(1/2)*-(2*-1)
(1/2)*-(2* — 1)
(1/2)*
0
1
Отрицание в системе Sxo является обобщением вто¬
рого (симметричного) отрицания n-значной логики Поста.
Посредством именно этого отрицания строятся конъюнк¬
ция, импликация и эквиваленция в системе Sxo. Система
Sx0, построенная предложенным способом, имеет множе¬
ство тавтологий \ Тавтологией, например, является фор¬
мула, гласящая, что отрицание р, повторенное два раза,
даст первоначальное значение р: ^х0(^х0Р) = х0Р- Тавто¬
логиями в Sxo будут четыре правила де Моргана,
например такие:
1) ~ xq(^ v xq^) =XO(~X(/* A xq ~xq^)>
2) ^xo(xo« A Xo ~ xob) = xofl V Xofe.
Тавтологии в Sxo являются тавтологиями в двузначной
логике, ибо бесконечнозначная система Sxo является
обобщением системы Рп Поста, а последняя есть обобще¬
ние двузначной логики.
1 Тавтология принимает значение 1.
274

Для проверки правильности построения Sxo предло¬
женным нами способом на основании системы Sxo пост¬
роили систему S3, взяв в качестве значений истинности 1,
■у, 0. Система S3 совпадает с системой Р3 Поста.
Из системы Sxo также вычленяется 4-значная система S4,
значениями истинности аргументов которой являются 1,
11а 4. ~ 1 1 1 3 Л
—, —, 0, а значениями истинности функции: 1, —, —, — 0.
2 4 2 4 4
Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, экви-
валенция в S4 определены следующими таблицами.
р
-4^
1
0
1/2
1/2
1/4
3/4
0
1
р
я
Р ^4,4
Я ^4Р
Р=4Я
1
1
1
1
1
1
1/2
1/2
1
1/2
1
1/4
1/4
1
1/4
1
0
0
1
0
1/2
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/4
1/2
3/4
1/2
1/2
0
1/2
1
1/2
1/4
1
1
1/4
1/4
1/4
1/2
3/4
1/2
1/2
1/4
1/4
3/4
3/4
3/4
1/4
0
3/4
1
3/4
4
0
1
1
0
0
0
1/2
1
1/2
1/2
0
1/4
1
3/4
3/4
0
0
1
1
1
В 4-значной системе S4 содержится классическая дву¬
значная логика [при значениях истинности 1 («истина»)
и 0 («ложь»)], а также система Р3 Поста (при значениях
истинности 1, 1/2, 0).
Аналогично из Sxo вычленяется система S5, а также
S6, Sj9 S8 и т. д.
275

А
Р Л4?
Р v4?
Р = 4«
■н»
4
1 1 1 Л
‘и0
Р =4<1
АН»
1
1
2
4
0
1А 50
1110
2 2 4
111 о
4 4 4
0 0 0 0
1111
1111
2 2 2
111
1 244
1 -1 -1 0
2 4
■1Н
1 _3_3_3
4 4 4
1111
1111
1111
2 2 4
1И1
4 2 4
ч-ь
■н»
1111
2 2 2 2
113 3
4 2 4 4
0 121
2 4
По-
яс-
не-
ния
min([p], [<?])
max ([/>],[?])
[~4Р V4?]
l~4P v4?l
[(р = 4?) Л4
(9^4?)]
Об интерпретации системы 5Х0
В системе 5Х0 между крайними значениями истинности —
1 («истина») и 0 («ложь») лежит бесконечное число
значений истинности: х/2, V4, 3Д, х/в? 7/в и т- Д- Процесс
познания осуществляется таким образом, что мы идем
от незнания к знанию, от неполного, неточного знания
к более полному и более точному, от относительной
истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком
смысле) складывается из бесконечной суммы относитель¬
ных истин. Если значению истинности, равному 1, придать
семантический смысл абсолютной истины, а значению
О — значение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то
промежуточные значения истинности отразят процесс
достижения абсолютной истины как бесконечный процесс,
складывающийся из познания относительных истин, зна¬
чениями которых в системе Sxo являются */2, 3Д,
7/в • • • и т. д. Чем ближе значение истинности перемен¬
ных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень
приближения к абсолютной истине. Так осуществляется
процесс познания от незнания к знанию, от явления
к сущности, от сущности первого порядка к сущности
276

второго порядка и т. д. Этот бесконечный процесс позна¬
ния и отражает бесконечнозначная система Szo, построен¬
ная нами как обобщение двузначной классической логики,
характеризующей процесс познания в рамках оперирова¬
ния предельными значениями истинности суждений —
истина и ложь. Такова семантическая интерпретация
бесконечнозначной системы Sxo, раскрывающая ее роль
в процессе познания истины.
§ 2. КОНСТРУКТИВНЫЕ ЛОГИКИ
Конструктивное направление (в математике и логике)
ограничивает исследование конструктивными объектами
и проводит его в рамках абстракции потенциальной
осуществимости, отвергая так называемые чистые тео¬
ремы существования. Между идеями конструктивной
логики советских исследователей и некоторыми идеями
интуиционистской логики (например, в понимании дизъ¬
юнкции, в отказе от закона исключенного третьего)
имеются точки соприкосновения.
Однако между конструктивной и интуиционистской
логиками имеются и существенные отличия.
1. Различные объекты исследования. В основу кон¬
структивной логики, которая является логикой конструк¬
тивной математики, положена абстракция потенциальной
осуществимости, а в качестве объектов исследования
допускаются лишь конструктивные объекты (слова в
определенном алфавите).
В основу интуиционистской логики, которая является
логикой интуиционистской математики, положена идея
«свободно становящейся последовательности», которую
интуиционисты считают интуитивно ясной. *
2. Отличие ряда логических средств. Представители
узкоконструктивной логики признают так называемый
ленинградский принцип, который состоит в томг что если
имеется алгорифмический процесс и удалось опроверг¬
нуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно,
процесс закончится. Некоторые из представителей кон¬
структивной логики доказывают его в уточненной форме.
Представители интуиционистской логики не признают
«ленинградский принцип».
3. Обоснование интуиционистской математики и ло¬
гики дается с помощью идеалистически истолкованной
интуиции, а обоснование конструктивной математики
и логики дается на базе научного математического
277

понятия алгорифма (например, нормального алгорифма
А. А. Маркова) или эквивалентного ему понятия рекур¬
сивной функции.
4. Различные методологические основы. Методологи¬
ческой основой конструктивного направления в матема¬
тике советские исследователи считают положения диа¬
лектического материализма, с позиций которого крите¬
рием истинности познания (в том Числе и научного)
является практика. Это положение сохраняет свою силу
и для таких наук, как логика и математика, хотя здесь
практика входит в процесс познания лишь опосредованно,
в конечном счете.
Интуиционисты же, оставаясь в рамках субъективно¬
идеалистической философии, считают источником фор¬
мирования математических понятий и методов не чело¬
веческую практику, а первоначальную «интуицию», и кри¬
терием истинности в математике — «интуитивную яс¬
ность».
5. Различные интерпретации, А. Н. Колмогоров
интерпретировал интуиционистскую логику как исчисле¬
ние задач. А. А. Марков интерпретировал логические
связки конструктивной логики как прилагаемые к потен¬
циально осуществимым конструктивным процессам (дей¬
ствиям).
Интуиционистская логика Л. Брауэра и А. Рейтинга
интерпретируется ими как исчисление предложений
(высказываний), причем область высказываний у них
ограничивается математическими предложениями.
Конструктивные исчисления высказываний В. И. Гливенко
и А. Н. Колмогорова
Первыми представителями конструктивной логики были
советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Гли¬
венко. Первое исчисление, не содержащее закона исклю¬
ченного третьего, было предложено в 1925 г. А. Н. Кол¬
могоровым в связи с его критикой концепции Л. Брауэра.
Более сильное исчисление было построено В. И. Гли¬
венко. Позже было опубликовано исчисление Гейтинга,
которое Колмогоров интерпретировал как исчисление
задач, что породило содержательное истолкование исчис¬
лений, не пользующихся законом исключенного третьего,
а это, в свою очередь, легло в основу всех дальнейших,
подлинно научных исследований таких исчислений. С по¬
мощью введения понятий «псевдоистинность» (двойное
278

отрицание суждения) и «псевдоматематика» («математика
псевдоистинности») Колмогоров доказал, что всякий
вывод, полученный с помощью закона исключенного
третьего, верен, если вместо каждого суждения, входя¬
щего в его формулировку, поставить суждение, утверж¬
дающее его двойное отрицание. Тем самым он показал,
что в «математике псевдоистинности» законно примене¬
ние принципа исключенного третьего.
Колмогоров различает две логики суждений — общую
и частную. Различие между ними в одной аксиоме
А -> А, которая имеется лишь среди аксиом частной
логики. Интересна диалектика соотношения содержания
и областей применения этих логик: содержание частной
логики суждений богаче, чем общей, так как частная ло¬
гика дополнительно включает аксиому А А, но область
применения ее уже. Из системы частной логики можно
вывести все формулы традиционной логики суждений.
Какова же область применения частной логики сужде¬
ния? Все ее формулы верны для суждений типа А', в том
числе для всех финитных и для всех отрицательных
суждений, т. е. область применимости ее совпадает
^областью применимости формулы двойного отрицания
А->А. (Символами А\ В ... обозначены произвольные
суждения, для которых из двойного отрицания следует
само суждение.)
Конструктивная логика А. А. Маркова
Проблема конструктивного понимания логических связок,
в частности отрицания и импликации, требует применения
в логике специальных точных формальных языков. В ос¬
нове конструктивной математической логики А. А. Мар¬
кова лежит идея ступенчатого построения формальных
языков. Сначала вводится формальный язык Яо, в котором
предложения выражаются по определенным правилам
в виде формул; в нем имеется определение смысла
выражения этого языка, т. е. семантика. Правила вывода
позволяют, исходя из верных предложений, всегда
получать верные предложения.
В конструктивной математике формулируются теоре¬
мы существования, утверждающие, что существует объект,
удовлетворяющий таким-то требованиям. «Под этим
подразумевается, что построение такого объекта потен¬
циально осуществимо, т. е. что мы владеем способом
279

его построения» \ Это конструктивное понимание выска¬
зываний о существовании отличается от классического.
В конструктивной математике и логике иной является
и трактовка дизъюнкции, которая понимается как осу¬
ществимость указания ее верного члена. «Осуществи¬
мость» .означает потенциальную осуществимость кон¬
структивного процесса, дающего в результате один из
членов дизъюнкции, который должен быть верным.
Классическое же понимание дизъюнкции не предполагает
нахождения ее верного члена.
Новое понимание логических связок требует новой
логики. Мы считаем утверждение А. А. Маркова о не¬
единственности логики верным и весьма глубоким:
«В самой идее неединственности логики, разумеется, нет
ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все
наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны
управляться одними и теми же законами? Для этого нет
никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы,
если бы логика была единственна» 1 2.
В конструктивную математическую логику А. А. Мар¬
ков вводит понятие «разрешимое высказывание» и свя¬
занное с ним понятие «прямое отрицание». В логике
А. А. Маркова имеется и другой вид отрицания —
усиленное отрицание, относящееся к так называемым
полуразрешимым высказываниям.
Кроме материальной и усиленной импликаций, при
установлении истинности которых приходится заботиться
об истинности посылки и заключения, А. А. Марков
вводит дедуктивную импликацию, определяемую по
другому принципу. Дедуктивная импликация «если Л,
то В» выражает возможность выведения В из Л по
фиксированным правилам, каждое из которых в примене¬
нии к верным формулам дает верные формулы. Всякое
высказывание, выводимое из истинного высказывания,
будет истинным.
Через дедуктивную импликацию А. А. Марков опре¬
деляет редукционное отрицание (reductio ad absurdum).
Редукционное отрицание высказывания Л (сформулиро¬
ванного на данном языке) понимается как дедуктивная
импликация «если Л, то Л», где через Л обозначена
1 Марков А. А. О логике конструктивной математики. — Вестник
МГУ, серия математики, механики. 1970, № 2, с. 11.
2 Марков А. А. О логике конструктивной математики, с. 13.
280

стандартная нелепостьх. Это определение отрицания
соответствует обычной практике рассуждений матема¬
тика: математик отрицает то, что он может привести
к абсурду. Для установления истинности редукционного
отрицания высказывания не требуется вникать в смысл
этого высказывания. Высказывание, для которого уста¬
новлена истинность редукционного отрицания, не может
быть верным.
Эти три различных понимания отрицания не вступают
в конфликт друг с другом, они согласованы, что, по
мнению А. А. Маркова, даст возможность объединить
все эти понимания отрицания.
Показательно такое обстоятельство: А. А. Марков
строит свои конструктивные логические системы для
обоснования конструктивной математики таким образом,
что у него получается не одна законченная система,
а целая иерархия систем. У А. А. Маркова это система
языков Яо, Яь Я2, Я3, Я4, Я5, Ян (где N — натуральное
число), и объемлющего их языка после Яы строится
язык Яю|1 2.
Итак, мы склонны думать, что развивающуюся кон¬
структивную логику и математику невозможно вместить
в одно формальное исчисление, для этого нужна система,
состоящая из целой иерархии систем, в которой будет
иерархия отрицаний.
§ 3. ЗАКОНЫ ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО
И НЕПРОТИВОРЕЧИЯ В НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИКАХ
(МНОГОЗНАЧНЫХ, КОНСТРУКТИВНЫХ,
ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ)
В главе IV «Основные законы (принципы) правильного
мышления» была проанализирована специфика действия
закона исключенного третьего при наличии «неопределен¬
ности» в познании и сделан вывод, что закон этот
применяется там, где познание имеет дело с жесткой
ситуацией: или — или, истина — ложь. Во многих неклас¬
сических логических системах формулы, соответствующие
законам исключенного третьего и непротиворечия, не
являются тавтологиями.
Ниже приведена таблица, в которой знаком « + »
обозначено то, что в указанной логической системе закон
1 Марков А. А. О логике конструктивной математики, с. 28.
2 См.: ДАН СССР, 1974, т. 214, № 1-6; т. 215, № 1.
281

непротиворечия и закон исключенного третьего, т. е.
формулы а а а и a v а, являются (и соответственно зна¬
ком « —» не являются) тавтологиями (или выводимыми
формулами). Рассмотрено, кроме того, отрицание закона
непротиворечия, выражающееся формулой а л а, и отри¬
цание закона исключенного третьего, выражающееся
формулой a v а. В этих формулах имеется в виду та
форма отрицания, которая принята в указанной логи¬
ческой системе.
Вид
логической
системы
Закон ис¬
ключенного
третьего
a v а
Закон
непротиво¬
речия ала
Отрицание
закона ис¬
ключенно¬
го третьего
a v а
Отрицание
закона не¬
противо¬
речия а д а
Формаль¬
ное проти¬
воречие
ала
1- Дву-
значная
классиче¬
ская логика
-и
+
-
-
—
2. Трех¬
значная
логика Лу-
касевича
3. Трех¬
значная
логика Гуд-
стейна
—
—
—
—
—
4. Трех¬
значная ло¬
гика Рей¬
тинга
5. Трех¬
значная ло¬
гика Бочва¬
ра:
-
+
•
а) при
внутрен¬
нем от¬
рицании
и внутрен¬
ней конъ¬
юнкции
б) при
внешнем
отрица¬
нии и
внешней
конъюнк¬
ции
6. Трех¬
значная ло-
4-
282

Продолжение табл.
Вид
логической
системы
Закон ис¬
ключенного
третьего
a v а
Закон
непротиво¬
речия
ала
Отрицание
закона ис¬
ключенного
третьего
а \Г"а
Отрицание
закона не¬
противоре¬
чия ала
Формаль¬
ное проти¬
воречие
ала
гика Рей¬
хенбаха :
а) цикли-

—
ческое от¬
рицание
б) диа-
—
—
—
—
—
метраль-
ное отри¬
цание
в) полное
+
4-
отрицание
7. и-знач-
ная логика
Поста:
а) пер-
вое отри¬
цание
б) второе

отрицание
8. Конст¬
—
4-

руктивная
логика Мар¬
кова
9. Конст¬
4-
руктивная
логика Гли-
венко
10. Кон¬
4-
структивная
логика Кол¬
могорова
11. Кон¬
4-
♦
структивная
логика Во¬
робьева
12. Кон¬
4-
+
структивная
логика
Нельсона с
«сильным»
отрицанием
13. Ин¬
4-
туициони¬
стская ло¬
гика Рей¬
тинга
283

В интуиционистской и конструктивных логиках (за исключением
логики Нельсона с «сильным» отрицанием) закон исключенного треть¬
его для бесконечных множеств «не работает». Это происходит потому,
что в конструктивной математике и логике дизъюнкция понимается
как осуществимость указания ее верного (истинного) члена. «Осуще¬
ствимость» понимается как потенциальная осуществимость конструк¬
тивного процесса, дающего в результате один из членов дизъюнкции,
который должен быть истинным. Но так как для бесконечных мно¬
жеств нет алгорифма распознавания, что является истинным: а или
не-а, — конструктивная логика отвергает закон исключенного третьего
в пределах конструктивной математики.
Итак, из таблицы видно, что формула a v а9 соответ¬
ствующая закону исключенного третьего, из рассмотрен¬
ных 17 видов отрицания не является тавтологией или
доказуемой формулой для 14 видов.
Специфика закона непротиворечия в неклассических
логиках
В результате исследования 13 формализованных логиче¬
ских систем выявлено, что из 17 приведенных видов
отрицания для 10 видов закон непротиворечия является
тавтологией (или доказуемой формулой), для остальных
же 7 закон непротиворечия тавтологией (доказуемой
формулой) не является. По сравнению с законом исклю¬
ченного третьего закон непротиворечия более устойчив.
Закон непротиворечия не является тавтологией во
многих многозначных логиках. В классической, конструк¬
тивной и в интуиционистской логиках закон непротиво¬
речия, наоборот, признается неограниченно действующим.
Причина в том, что в многозначных логиках число
значений истинности может быть как конечным (большим
2), так и бесконечным. В логических системах, в которых
отражена жесткая ситуация, «или — или» (истина — ложь),
закон непротиворечия и закон исключенного третьего —
тавтологии. Но это предельные случаи в познании
(истина или ложь). Если же в процессе познания мы еще
не достигли истины или еще не опровергли какое-либо
утверждение (доказав его ложность), то нам приходится
оперировать не истинными и не ложными, а неопреде¬
ленными суждениями.
Классическая двузначная логика должна быть
дополнена многозначными логиками, в частности беско¬
нечнозначной логикой, которая применима в процессе
рассуждения об объектах, отражаемых в понятиях с не¬
фиксированным объемом, и бесконечное число значений
истинности которой лежит в интервале от 1 до 0.
284

Совсем другие ситуации в познании отражены в
конструктивных и интуиционистской логиках: конструк¬
тивный процесс или имеется (осуществляется), или его
нет, но то и другое не может иметь места одновремен¬
но по отношению к одному и тому же конструктивному
объекту или процессу, поэтому закон непротиворечия
в этих логиках действует неограниченно. В конструктив¬
ных логиках приняты идеализации, отличные от тех,
которые приняты в многозначных логиках. В конструк¬
тивных и интуиционистской логиках принимаются лишь
два значения истинности — истина и ложь, доказуемо
(выводимо) или недоказуемо (невыводимо), поэтому закон
непротиворечия — выводимая формула.
Однако независимо от того, является ли закон непро¬
тиворечия в той или иной логической системе тавтологией
или не является, сами логические системы строятся
непротиворечиво: иными словами, метатеория, метало¬
гика построения формализованных систем подчиняется
закону непротиворечия, иначе такие системы были бы
бесполезными, так как в них было бы выводимо все
что угодно — как истина, так и ложь.
Очень важным в гносеологическом и логическом
плане результатом является то, что закон непротиворе¬
чия и закон исключенного третьего нельзя опровергнуть,
так как отрицание этих законов ни в одной из их
известных форм, ни в одной из исследованных автором
18 логических систем не является тавтологией (или выво¬
димой, доказуемой формулой), что свидетельствует об
их фундаментальной роли в познании. Закон непротиво¬
речия — один из основных законов правильного человече¬
ского мышления — устойчив, его нельзя опровергнуть
и заменить другим, в противном случае стерлось бц
различие в познании между истиной как его целью
и ложью.
Ф. Энгельс справедливо писал о том, что «... теория
законов мышления отнюдь не есть какая-то раз навсегда
установленная «вечная истина», как это связывает со
словом «логика» филистерская мысль»1.
Многообразие логических систем свидетельствует о
развитии науки логики в целом и ее составных частей,
в том числе теории основных фундаментальных фор¬
мально-логических законов — закона непротиворечия и
закона исключенного третьего.
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 367.
285

ЛИТЕРАТУРА
Маркс К. Людвигу Кугельману, 11 июля 1868 г.— Маркс К.,
Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 32, с. 460 — 462.
Энгельс Ф. Анти-Дюринг.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд.,
т. 20, с. 33-39, 138- 139, 629-630.
Энгельс Ф. Диалектика природы. — Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е
изд., т. 20, с. 366-367, 537-544, 555-556.
Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. — Поли. собр. соч.,
т. 18, с. 149-150, 381-384.
Ленин В. И. Империализм, как высшая стадия капитализма.—
Поли. собр. соч., т. 27, с. 386 — 387.
Ленин В. И. О карикатуре на марксизм и об «империалисти¬
ческом экономизме», гл.«Что такое экономический анализ?».—Поли,
собр. соч., т. 30, с. 90 — 93.
Ленин В. И. Еще раз о профсоюзах, о текущем моменте и об
ошибках тт. Троцкого и Бухарина. — Поли. собр. соч., т. 42, с. 288 —
291.
Ленин В. И. Философские тетради. — Поли. собр. соч., т. 29,
с. 158-166, 198.
О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сб.
документов и материалов. М., 1984.
Горский Д. П. Логика. М., 1963.
Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. М., 1982.
Логика. Минск, 1974.
Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении.
М., 1954.
Копнин П. В. Философские идеи В. И. Ленина и логика. М.,
1969.
Об искусстве полемики. М., 1982.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1961.
Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики
и теория множеств. М., 1965.
Старченко А. А. Аналогии и исторические параллели у В. И. Ле¬
нина. — Вестник МГУ, 1970, № 5.
Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования. М.,
1970.
Сухомлинский В. А. О воспитании. М., 1975.
Ушинский К. Д. Первые уроки логики. — Собр. соч., М. —Л.,
1948, т. 4.
Богданова О. Ю. Развитие мышления старшеклассников на уроках
литературы. М., 1979.
Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе
обучения математике. М., 1982.
Лернер И. Я. Развитие мышления учащихся в процессе обучения
истории. М., 1982.
Львов М. Р. Речь младших школьников и пути ее развития.
М., 1975.
Моро М. И. Индукция, дедукция и аналогия при обучении
математике. — Начальная школа, 1975, № 8.
Никитин В. В. Сборник логических упражнений. М., 1970.
Развитие логического мышления учащихся в процессе преподава¬
ния математики в средней школе. 2-е изд. М., 1958.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Предмет и значение логики 3
§ 1. Мышление как предмет изучения логики 4
§ 2. Понятие о логической форме и логическом законе.
Истинность мысли и формальная правильность рас-
суждений 9
§ 3. Материалистическая диалектика — методологичес¬
кая основа логики 11
§ 4. Теоретическое и практическое значение логики . . . 15
§ 5. Логика и язык 16
Глава II. Понятие 25
§ 1. Понятие как форма мышления 25
§ 2. Содержание и объем понятия 28
§ 3. Виды понятий 29
§ 4. Отношения между понятиями 32
§ 5. Определение понятий 36
§ 6. Деление понятий. Классификация 48
§ 7. Ограничение и обобщение понятий 56
§ 8. Операции с классами (объемами понятий) .... 58
Глава III. Суждение 70
§ 1. Общая характеристика суждения 70
§ 2. Простое суждение 73
§ 3. Сложное суждение и его виды 80
§ 4. Выражение логических связок (логических постоян¬
ных) в естественном языке 84
§ 5. Отношения между суждениями по истинности 88
§ 6. Деление суждений по модальности ...... 90
Глава IV. Основные законы (принципы) правильного мышления 97
§ 1. Понятие о логическом законе 97
§ 2. Законы логики и их материалистическое понимание 100
§ 3. Использование формально-логических законов в
обучении 117
Глава V. Умозаключение 125
§ 1. Общее понятие об умозаключении 125^
§ 2. Дедуктивные умозаключения 128
§ 3. Выводы из категорических суждений посредством
их преобразования 131
§ 4. Категорический силлогизм 135
§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема) 140
§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы (поли¬
силлогизмы, сориты, эпихейрема) 141
§ 7. Условные умозаключения 146
§ 8. Разделительные умозаключения 151
§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умоза¬
ключения 154
§ 10. Непрямые (косвенные) выводы 164
§ 11. Индуктивные умозаключения и их виды .... 165
§ 12. Виды неполной индукции 167
§ 13. Индуктивные методы установления причинных
связей 173
287

§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе ... 176
§ 15. Умозаключение по аналогии и его виды. Исполь¬
зование аналогий в процессе обучения 183
Глава VI. Логические основы теории аргументации .... 193
§ 1. Понятие Доказательства 198
§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательство 203
§ 3. Понятие опровержения 206
§ 4. Правила доказательного рассуждения. Логические
ошибки, встречающиеся в доказательстве и опро¬
вержении 208
§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах 214
§ 6. Доказательство и дискуссия 218
Глава VII. Гипотеза 223
§ 1. Гипотеза как форма развития знаний .... 223
§ 2. Построение гипотезы и этапы ее развития . . . 226
§ 3. Способы подтверждения гипотез 229
§ 4. Опровержение гипотез 231
§ 5. Примеры гипотез, применяющихся на уроках в
школе 233
Глава VIII. Роль логики в процессе обучения 238
§ 1. Логическая ^структура вопроса . . 238
§ 2. К. Д. Ушинский и В. А. Сухомлинский о роли
логики в процессе обучения в начальной школе 247
§ 3. Развитие логического мышления младших школьни¬
ков ... 251
§ 4. Развитие логического мышления учащихся в сред¬
них и старших классах на уроках литературы, ма¬
тематики, истории 'и других предметов .... 255
Приложение. Особенности построения ряда неклассических
логик 264
§ 1. Многозначные логики , 264
§ 2. Конструктивные логики 277
§ 3. Законы исключенного третьего и непротиворечия
в неклассических логиках (многозначных, конструк¬
тивных, интуиционистской) 281
Литература 286