Author: Белонучкин В.Е. Заикин Д.А. Ципенюк Ю.М. Кингсеп А.С. Локшин Г.Р.
Tags: физика задачи по физике
ISBN: 5-9221-0149-8
Year: 2001
Text
УДК 53
ББК 22.3
Б43
АВТОРЫ
Белонучкин В.Е., Заикин Д.А., Кингсеп А.С.,
Локшин Г.Р., Ципенюк Ю.М.
Задачи по общей физике / Белонучкин В.Е., Заикин Д.А., Кингсеп А.С.,
Локшин Г.Р., Ципенюк Ю.М. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 336 с. —
ISBN 5-9221-0149-8.
Задачник составлен в соответствии с учебником «Общая физика», написанным
тем же авторским коллективом, и полностью отражает современную программу
курса общей физики для технических вузов. Он содержит задачи различной степени
трудности, многие из них — оригинальные. К более сложным задачам имеются
подробные решения. В начале каждого раздела приводятся основные формулы и
определения. В приложении даны необходимые справочные данные.
Для студентов технических вузов.
ISBN 5-9221-0149-8 © ФИЗМАТЛИТ, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................................... 5
Ответы и
Глава I Задачи Решения
МЕХАНИКА
1. Кинематика материальной точки ................................... 7 203
2. Динамика материальной точки...................................... 9 204
3. Движение тела с переменной массой.............................. 14 205
4. Работай энергия. Законы сохранения энергии и импульса.. 17 206
5. Гармонические колебания материальной точки ................ 21 208
6. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса 24 209
7. Движение твердого тела............................................... 28 210
8. Неинерциальные системы координат.............................. 33 212
9. Упругие деформации и элементы гидродинамики............. 35 213
10. Элементы релятивистской механики .............................. 38 215
Глава II
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
1. Электрическое поле в вакууме ...................................... 41 218
2. Электрическое поле в веществе. Электроемкость.............. 43 219
3. Постоянный ток. Электрические цепи ............................ 46 221
4. Магнитное поле тока................................................... 49 223
5. Электромагнитная индукция......................................... 52 225
6. Магнитное поле в веществе. Проводники в магнитном поле 55 227
7. Квазистационарное электромагнитное поле. Переменный
ток........................................................................... 59 230
8. Уравнения Максвелла.................................................. 65 233
9. Электромагнитные волны............................................. 67 234
10. Газовый разряд. Элементы физики плазмы...................... 70 236
Глава III
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. Кинематика колебаний................................................. 72 238
2. Свободные колебания в линейных системах .................... 76 242
3. Вынужденные колебания. Спектральный анализ линейных
систем. Параметрические колебания............................... 80 245
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Волновое уравнение. Кинематика волн........................... 85 249
5. Упругие волны ........................................................... 87 250
6. Электромагнитные волны............................................. 90 253
7. Интерференция волн. Когерентность.............................. 93 255
8. Дифракция волн. Разрешающая способность спектральных
и оптических приборов. Пространственная фильтрация.
Голография................................................................ 99 258
9. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия....................... 105 262
10. Поляризация. Элементы кристаллооптики. Нелинейные оп-
оптические явления........................................................ 107 264
Глава IV
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
1. Атомные спектры и планетарная модель атома................. 113 267
2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения ... 115 267
3. Волны де Бройля. Соотношения неопределенностей ......... 117 270
4. Уравнение Шредингера. Операторы. Туннельный эффект... 119 272
5. Дискретность энергетических состояний ........................ 121 274
6. Спин. Магнитные свойства атомов................................. 125 278
7. Атом в магнитном поле................................................ 127 279
8. Свойства атомных ядер................................................ 129 281
9. Ядерные реакции. Деление........................................... 130 282
10. Элементарные частицы................................................ 134 285
Глава V
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
1. Элементы молекулярно-кинетической теории .................. 136 287
2. Элементы термодинамики............................................ 142 291
3. Приложения законов термодинамики ............................. 150 294
4. Элементы статистической физики.................................. 154 295
5. Неравновесные процессы............................................. 162 300
6. Квантовая теория излучения ......................................... 165 304
7. Кристаллические структуры твердых тел ........................ 172 309
8. Динамика атомов кристаллической решетки. Фононы ....... 175 310
9. Электроны в кристаллах .............................................. 181 314
10. Сверхпроводимость .................................................... 192 321
11. Магнетизм веществ..................................................... 196 325
Справочные данные........................................................ 329
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый задачник по основам физики по своему содержа-
содержанию соответствует современной программе курса физики для техни-
технических вузов и практически повторяет структуру учебника «Основы
физики». Сборник содержит задачи различной степени трудности.
В книге есть как сравнительно простые вычислительные задачи,
необходимые для получения первоначальных навыков решения, так
и достаточно сложные. Многие задачи, включенные в сборник,
являются оригинальными. Некоторые задачи, их можно назвать
классическими, встречаются в различных опубликованных задачни-
задачниках. Часть задач взята из недавно изданного трехтомного «Сбор-
«Сборника задач по физике», составленного коллективом преподавателей
МФТИ. Авторы старались приблизить условия задач к реальным
явлениям. В таких задачах рассматриваются физические эксперимен-
эксперименты, как классические, так и современные, рассчитываются процессы,
протекающие в различных технических и бытовых устройствах. К
большинству задач в сборнике приводятся лишь ответы, часть задач
снабжена указаниями, а к наиболее сложным имеются подробные
решения. Кроме того, из методических соображений в каждом раз-
разделе даны решения некоторых характерных примеров. В начале
каждого раздела приводится сводка основных определений и фор-
формул. В приложениях приведены современные значения физических
констант и таблицы физических величин, необходимых для решения
задач. По мнению авторов, в таком виде задачник фактически может
служить независимым учебным пособием по физике и в то же время
оставляет достаточно широкие возможности для самостоятельной
работы. В книге используется международная система единиц (СИ),
однако в некоторых задачах встречаются широко распространенные
внесистемные единицы. Надеясь, что задачник может принести
пользу при изучении физики в вузах, в первую очередь технических,
авторы заранее благодарны всем, кто сочтет возможным прислать
свои замечания и предложения.
ЗАДАЧИ
Г л а в а I. Межаника
Г л а в а II. Электричество и магнетизм
Г л а в а III. Колебания и волны
Г л а в а IV. Квантовая физика
Г л а в а V. Статистическая физика и термодинамика
Глава I
МЕХАНИКА
1. Кинематика материальной точки
1. Скорость и ускорение точки
dr dv d2T
v = —, а = — = —,
dt dt dt2
где г — радиус-вектор точки.
2. Проекции ускорения точки на касательную и нормаль к траек-
траектории
_ dvt _ v2
где R — радиус кривизны траектории в данной точке, a v — модуль
скорости.
3. Угловые скорость и ускорение
dtp о duj
dt' H dt
4. Связь между линейными и угловыми величинами
v = [u;r], ап = и2р, at = /Зр,
где г — радиус-вектор рассматриваемой точки, ар — ее расстояние
от оси вращения.
1.1. На рис. 1.1 изображен график зависимости модуля ускоре-
ускорения а от времени t для прямолинейно движущегося тела. Определить
значение времени tx, соответствующее мак-
максимальному значению модуля скорости
движения тела.
1.2. Минометная батарея расположена
у подножья горы с наклоном к горизонту
45°. Под каким углом а к горизонту на-
надо установить ствол орудия, чтобы мина ^ ^
достигла склона на максимальной высоте? Рис -| -|
Сопротивление воздуха не учитывать.
1.3. Под каким углом ср к горизонту следует бросить камень
с вершины горы с уклоном 45°, чтобы он упал на склон на
максимальном расстоянии?
1.4. Атлет толкает ядро с разбега. Считая, что скорость ядра
относительно атлета в момент броска равна по величине скорости
разбега, найти угол а, под которым следует выпустить ядро по
8
ГЛАВА I
отношению к земле, чтобы дальность полета была максимальной.
Высоту самого атлета не учитывать.
1.5. На одну пару обкладок электронного осциллографа подается
синусоидальное, на другую — пилообразное напряжение. Какая
картина будет видна на экране, если периоды синусоиды и «пилы»
связаны соотношениями: Гс/Гп = 2; 1; 1/2; 3/2? Что будет, если Тс
чуть-чуть больше, чем Тп?
1.6. Тело движется по горке, имеющей форму, изображенную на
рис. 1.2. В момент t = 0 тело находится в точке х = 0, z = 0 и имеет
\ ->
2
/
у
-2
5 \х, м
\
D
Рис. 1.2
Рис. 1.3
скорость v = v®. Нарисовать траекторию тела в фазовой плоскости
с осями координат z, dz/dt. Скорость vq принимает два значения
(^o)i = 5 м/с, (ЪоЬ = 7 м/с.
1.7. В массивный цилиндр с внутренним диаметром D забра-
забрасывают шарик (рис. 1.3). Определить, при каких значениях vq и
а траектория подъема шарика после удара о дно цилиндра будет
симметрична траектории его падения и шарик не выскочит из
цилиндра.
1.8. Определить скорость, с которой движется тень луны по зем-
ной поверхности во время полного солнечного затмения, если оно
наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что Солнце, Земля
и Луна находятся в одной плоскости, а земная ось этой плоскости
перпендикулярна. Скорость света считать бесконечно большой по
сравнению со всеми остальными скоростя-
скоростями. Радиус лунной орбиты Дд = 3,8 • 105 км.
1.9. Обруч радиуса R катится без сколь™
жения по горизонтальной плоскости с угло™
вой скоростью ш (рис. 1.4). Его движение
можно рассматривать, как вращение вокруг
мгновенной оси А. Верно ли утверждение,
что ускорение точки В равно ш2х и на-
направлено к точке А (х — расстояние между
точками А и В)? Вывести формулу для уско™
рения точки В, рассматривая ее движение
как вращение вокруг мгновенной оси А.
1.10. Колесо радиуса R равномерно катится без скольжения по
горизонтальному пути со скоростью v. Найти координаты х и у
У///////////////////////////.
Рис. 1.4
МЕХАНИКА
9
произвольной точки А на ободе колеса, выразив их как функции
времени t или угла поворота колеса <р, полагая, что при t = 0:
(р = 0, х = 0, у = 0 (рис. 1.5). По найденным выражениям для х и
у построить график траектории точки на ободе колеса.
1.11. Автомобиль с колесами радиуса R движется со скоростью v по
горизонтальной дороге, причем v2 > Rg, где д — ускорение свободно™
го падения. На какую максимальную высоту h может быть заброшена
вверх грязь, срывающаяся с колес автомобиля? Указать положение той
точки на покрышке колеса, с которой при данной скорости движения
автомобиля грязь будет забрасываться выше всего. Сопротивление
воздуха движению отброшенной вверх грязи не учитывать.
Рис. 1.5
Рис. 1.6
Рис. 1.7
1.12. Колесо радиуса R движется горизонтально со скоростью
v и вращается с угловой скоростью ш. Точка А на ободе (рис. 1.6)
описывает в пространстве некоторую траекторию. Найти радиус ее
кривизны р в момент, когда точка находится на уровне центра колеса.
1.13. Диск радиуса R, вращающийся вокруг своей оси с угловой
скоростью ш, брошен под углом а к горизонту со скоростью v®.
Точка А на ободе описывает в пространстве некоторую траекторию
(рис. 1.7). Найти радиус ее кривизны р в момент наибольшего
подъема, если точка А находится при этом над центром колеса.
1.14. Вращение от двигателя автомобиля передается ведущим коле™
сам через дифференциал — устройство, благодаря которому каждое из
ведущих колес может вращаться с различной скоростью. Зачем нужен
дифференциал? Почему нельзя оба ведущих колеса закрепить жестко
на одной оси, которой передается вращение от двигателя?
2. Динамика материальной точки
Уравнение движения материальной точки массы т под действием
силы F (второй закон Ньютона):
dv ¦—,
т— = F.
dt
В проекциях на касательную и нормаль к траектории это уравнение
имеет вид
^ 2
R
10
ГЛАВА I
Рис. 1.
1.15. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы
М (рис. 1.8). Другое тело, массы ж, подвешено на нити, переки-
перекинутой через блок и привязанной к первому телу.
Найти ускорение тел и натяжение нити. Трени-
Трением тела массы М о плоскость и трением в блоке,
а также массами блока и нити пренебречь.
1.16. На верхнем краю идеально гладкой
наклонной плоскости укреплен блок, через ко-
который перекинута нить (рис. 1.9). На одном ее
конце привязан груз массы mi, лежащий на
наклонной плоскости, а на другом подвешен
груз массы wi2. Найти ускорение грузов и натя-
натяжение нити. Трением и массами блока и нити
пренебречь. Наклонная плоскость образует с
горизонтом угол а.
1.17. Три груза висят на блоках (рис. 1.10).
Крайние блоки неподвижны, а средний мо-
может передвигаться. Считая заданными rai и
7П2 определить массу груза газ, при котором
средний блок будет оставаться неподвижным.
Трением и массами блоков и веревки пренебречь.
1.18. Два груза висят на блоках, а третий лежит на горизонтальной
плоскости (рис. 1.11). Крайние блоки неподвижны, средний может
передвигаться. Считая заданными т\ и Ш2, определить газ, при
котором груз 3 будет оставаться неподвижным. Трением и массами
блоков и веревки пренебречь.
т1
Рис. 1.9
\w\wwww\w\
m
Рис. 1.10
Рис. 1.11
Рис. 1.12
1.19. Два груза соединены весомой нерастяжимой однородной
нитью длины 1 (рис. 1.12). Массы грузов равны га, нити — 2га/3.
При какой длине вертикального отрезка нити х силы, действующие
на грузы со стороны нити, окажутся равными (Т\ = Г2)? Чему
равны эти силы? Каково ускорение системы в этом случае?
1.20. Камень массы М лежит на горизонтальной плоскости на
расстоянии L от края пропасти. К камню прикреплена веревка, не™
рекинутая через гладкий уступ; по веревке лезет обезьяна массы га.
С каким постоянным (относительно земли) ускорением она должна
лезть, чтобы успеть подняться раньше, чем упадет камень? Начальное
расстояние от обезьяны до уступа равно Н < (M/m)L. Коэффициент
трения камня о плоскость равен к.
МЕХАНИКА 11
1.21. Через неподвижный невесомый блок перекинута неве™
сомая нерастяжимая веревка. К одному ее концу привязан шест
длины Z, за который ухватилась обезьяна, масса которой равна
массе шеста. Вся система уравновешена грузом, подвешенным
к другому концу веревки. В начальный момент обезьяна нахо-
находится в нижней точке шеста. На той же высоте находится груз.
Обезьяна поднимается из нижней точки шеста в верхнюю. На
какую высоту обезьяна и груз поднимутся относительно земли и
на сколько опустится шест, если не учитывать трение в блоке? Тела
подвешены на такой высоте, что движения их могут происходить
беспрепятственно.
1.22. На столе лежит доска массы М = 1 кг, а на доске —
груз массы т = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске,
чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между
грузом и доской 0,25, а между доской и столом — 0,5.
1.23. Груз массы т лежит на доске массы М. Коэффициент трения
между доской и грузом равен к\, а между доской и опорой — &2- По
доске наносят горизонтальный удар, и она начинает двигаться с на-
начальной скоростью vq. Определить время, через которое прекратится
скольжение груза по доске.
1.24. По наклонной плоскости с углом наклона а соскальзывает
брусок массы mi, на котором находится второй брусок массы
Ш2- Коэффициент трения нижнего бруска о наклонную плоскость
равен fci, а коэффициент трения между брусками равен ^2, причем
к\ > &2. Определить, будет ли двигаться верхний брусок относи™
тельно нижнего и каковы ускорения обоих брусков. Как изменится
результат, если к\ <к2 < tg a?
1.25. Плоская шайба массы М лежит на тонкой пластине на рас-
расстоянии L от ее края (рис. 1.13). Пластину с большой постоянной ско-
скоростью выдергивают из-под шайбы, которая при этом практически
не успевает сместиться. Найти зависимость x(t) расстояния, прохо-
проходимого шайбой, от времени ее скольжения по поверхности стола. На
какое расстояние в итоге сместится шайба?
Считать, что сила трения между шайбой и
доской, шайбой и столом прямо пропорцио-
пропорциональна скорости с коэффициентом пропорци-
пропорциональности 7-
1.26. Хоккейная шайба падает на лед со Рис. 1.13
скоростью v® под углом а и продолжает сколь-
скользить по льду. Найти скорость скольжения как
функцию времени, если коэффициент трения
к шайбы о лед не зависит скорости и силы
давления шайбы на лед.
1.27. На какой угол а наклонится авто- Рис | |4
мобиль при торможении (рис. 1.14)? Центр
масс расположен на равном расстоянии от
передних и задних колес на высоте h = 0,4 м над землей. Коэф-
Коэффициент трения к = 0,8; расстояние между осями I = ЬН. Упругость
12 ГЛАВА I
всех пружин подвески одинакова и такова, что у неподвижного
автомобиля на горизонтальной площадке их прогиб 6 = 10 см.
1.28. При торможении всеми четырьмя колесами тормозной путь
автомобиля равен So- Найти тормозные пути этого же автомобиля
при торможении только передними и только задними колесами.
Коэффициент трения скольжения к = 0,8. Центр масс автомобиля
расположен на равном расстоянии от передних и задних колес и на
высоте h = 1/4, где 1 — расстояние между осями.
1.29. Длинная однородная балка массы М и длины I перевозится
на двух коротких санях (рис. 1.15). Какую силу тяги нужно прило-
приложить для равномерного перемещения это-
I JT^^t го гРУза по горизонтали? Коэффициент
| А^ i ^ lh трения для передних саней к\, для зад-
sx\\\\\\\\\\\\\\\\\\vk\\v них — ^2- Сила тяги горизонтальна и
приложена к балке на высоте h от поверх-
с* • 5 ности земли. Массами саней пренебречь.
1.30. Парусный буер массой 100 кг
начинает движение под действием ветра, дующего со скоростью v =
= 10 м/с. Вычислить время, через которое мощность, отбираемая
буером у ветра, будет максимальной, если сила сопротивления паруса
ветру пропорциональна квадрату относительной скорости между
буером и ветром с коэффициентом пропорциональности к = 0,1 кг/м.
Силой трения пренебречь.
1.31. Тело бросают вертикально вверх в вязкой среде. Сила вяз-
вязкого трения пропорциональна скорости движения тела. Вычислить
время t\ подъема тела на максимальную высоту его полета вверх и
сравнить его со временем to подъема в отсутствие трения. Начальная
скорость тела в обоих случаях одинакова.
1.32. Из зенитной установки выпущен снаряд вертикально вверх
со скоростью vq = 600 м/с. Сила сопротивления воздуха F = —kv.
Определить максимальную высоту Н подъема снаряда и время его
подъема т до этой высоты, если известно, что при падении снаряда
с большой высоты его установившаяся скорость v\ = 100 м/с.
1.33. Из одного неподвижного облака через т секунд одна за
другой начинают падать две дождевые капли. Как будет изменяться
со временем расстояние между ними? Решить задачу в двух случаях:
1) полагая, что сопротивление воздуха отсутствует; 2) полагая, что
сопротивление воздуха пропорционально скорости капель.
1.34. С палубы яхты, бороздящей океан со скоростью 10 узлов
A8 км/ч), принцесса роняет в воду жемчужину массы т = 1 г. Как
далеко от места падения в воду может оказаться жемчужина на дне
океана, если при ее движении в воде сила сопротивления F = — /5v;
/3 = 10^4 кг/с?
1.35. Колобок, желая полакомиться подсолнечным маслом из
бочонка, свалился туда и через St = 2 с достиг дна. Масса Колобка
т = 200 г, плотность его в 1,05 раза больше плотности масла, а
сила сопротивления при перемещении Колобка в масле F = ^/3v;
/3 = ОД кг/с. Оценить высоту бочонка Н, если он был залит до краев.
МЕХАНИКА 13
1.36. Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности со
скоростью vq и по касательной попадает в область, ограниченную
забором в форме полуокружности (рис. 1.16). Опреде-
Определить время, через которое брусок покинет эту область. -*-¦ ^х
Радиус забора R, коэффициент трения скольжения R/ \
бруска о поверхность забора к. Трением бруска о * J
горизонтальную поверхность пренебречь, размеры v
бруска много меньше R. м _>
1.37. Автомобиль движется с постоянной скоро-
скоростью 90 км/ч по замкнутой горизонтальной дороге, Рис 1.16
имеющей форму эллипса с полуосями 500 м и 250 м.
На каких участках дороги ускорение автомобиля максимально и
минимально? Чему равны максимальное и минимальное ускорения?
Каков должен быть коэффициент трения между полотном дороги и
шинами автомобиля, чтобы автомобиль при движении по эллипсу не
заносило?
1.38. Велосипедист при повороте по кругу радиуса R наклоняется
внутрь закругления так, что угол между плоскостью велосипеда и
землей равен а. Найти скорость v велосипедиста.
1.39. Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с по-
постоянной скоростью v на одной и той же высоте. Определить радиус
R этой окружности, если плоскость крыла самолета наклонена к
горизонтальной плоскости под постоянным углом а.
1.40. Метатель посылает молот на расстояние L = 70 м по
траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска при
данной начальной скорости. Какая сила действует на спортсмена
при ускорении молота? Вес ядра молота 50 Н. Разгон ведется по
окружности радиуса R = 2 м. Сопротивление воздуха
не учитывать. А
1.41. Шарик, подвешенный на нити длины!, лежит
на поверхности гладкой сферы радиуса R. Расстояние
от точки подвеса до центра сферы равно d (рис. 1.17).
Вычислить натяжение нити и реакцию сферы для непо-
неподвижного шарика. Определить скорость v, которую
надо сообщить шарику в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном плоскости чертежа, чтобы реакция сферы стала
равной нулю. Шарик считать точечным. Нить невесома
и нерастяжима. Рис | 17
1.42. На врытый в землю столб навита веревка,
за один конец веревки тянут с силой F = 10 000 Н.
Какую силу надо приложить к другому концу веревки, чтобы она
не соскользнула со столба? Коэффициент трения веревки о столб
к = 1/тг. Веревка обвита вокруг столба 2 раза.
1.43. Нить перекинута через бревно. На концах нити укреплены
грузы, имеющие массы mi и Ж2. Считая заданным коэффициент
трения к нити о бревно, найти условие, при котором грузы будут
оставаться в покое. Определить ускорение а системы грузов при
нарушении условий равновесия.
14
ГЛАВА I
1.44. Незакрепленная пружина жесткости к и массы М лежит
на гладком горизонтальном столе. К одному из ее концов привязана
тонкая нерастяжимая нить, перекинутая через непо-
движный блок, укрепленный на краю стола. Нить
свисает с него вертикально. К свисающему концу
нити прикрепляют грузик массы га, который в опре-
определенный момент отпускают без начальной скоро™
сти. Определить удлинение пружины при движении.
Жесткость ее считать достаточной, чтобы удлинение
было мало по сравнению с первоначальной длиной.
1.45. Катушку ниток радиуса R пытаются, при™
слонив к стене, удержать на весу с помощью соб-
собственной нитки, отмотанной на длину I (рис. 1.18).
При каких значениях коэффициента трения между
катушкой и стеной это возможно?
Рис. 1.18
3. Движение тела с переменной массой
Уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещер-
Мещерского):
dv dm , тч
dt
dt
'/////////////у///////////////
Рис. 1.19
1.46. Найти выражения для ускорения и скорости платформы, дви-
движущейся под действием постоянной горизонтальной силы F (рис. 1.19),
если на платформе лежит песок, который
высыпается через отверстие в платформе.
За 1 с высыпается масса ёт песка, в мо-
момент времени t = 0 скорость платформы
v равна нулю, а масса песка и платформы
вместе равна М.
1.47. Платформа длины L катится
без трения со скоростью v® (рис. 1.20).
В момент времени t = 0 она поступает
к пункту погрузки песка, который вы-
высыпается со скоростью /л [кг/с]. Какое
количество песка будет на платформе,
когда она минует пункт погрузки? Масса
платформы равна М®.
1.48. По горизонтальным рельсам
Рис. 1.20 без трения движутся параллельно две
тележки с дворниками. На тележки падает
/л [г/с] снега. В момент времени t = 0 массы тележек равны т®у а
скорости — vq. Начиная с момента t = 0, один из дворников начинает
сметать с тележки снег, так что масса ее в дальнейшем останется
МЕХАНИКА
15
77/77/7/77/77/77/77.
Рис. 1.21
Рис. 1.22
постоянной. Снег сметается в направлении, перпендикулярном дви-
движению тележки. Определить скорости тележек. Какая тележка будет
двигаться быстрее? Почему?
1.49. На краю массивной тележки (рис. 1.21) покоящейся на го-
горизонтальной плоскости, укреплен цилиндрический сосуд радиуса г
и высоты Н, в нижней части которого имеется
небольшое отверстие с пробкой. Сосуд напол-
наполнен жидкостью плотности р. В момент времени Н
t = 0 пробку вынимают. Найти максималь- М
ную скорость, которую приобретает тележка, ж SJ^H
считая, что Н ^> г и М ^> ттг2рН, где М —
масса тележки е сосудом. Пояснить смысл этих
ограничений. Трением в подшипниках тележки,
трением качения и внутренним трением жидко™
сти пренебречь.
1.50. Два ведра с водой висят на веревке
(рис. 1.22), перекинутой через блок. Масса одного
ведра М®, масса другого ведра М® + Am. В на-
начальный момент более легкому ведру сообщается
скорость v®, направленная вниз. В этот момент
начинается дождь, и в результате масса каждого
ведра увеличивается с постоянной скоростью. Че™
рез какое время т скорость ведер обратится в ноль?
Трением, массами веревки и блока пренебречь.
1.51. Космический корабль стартует с начальной массой то
и нулевой начальной скоростью в пространстве, свободном от
поля тяготения. Масса корабля меняется во времени по закону:
m = moexp(—At), скорость продуктов сгорания относительно
корабля постоянна и равна и. Какое расстояние х пройдет корабль
к моменту, когда его масса уменьшится в 1000 раз?
1.52. Для поражения цели с самолета запускают ракету. Самолет
летит горизонтально на высоте Н = 8 км со скоростью v® =
= 300 м/с. Масса ракеты изменяется по закону m(t) = mo exP (^/T)
и уменьшается за время полета к цели в е раз. Скорость истечения
газов относительно ракеты и = 1000 м/с, корпус ракеты во время
ее полета горизонтален. Каково расстояние L от цели до точки, над
которой находился самолет в момент запуска ракеты? Сопротивление
воздуха не учитывать.
1.53. Найти связь между массой ракеты m(t), достигнутой ею
скоростью v(t) и временем t, если ракета движется вертикально
вверх в поле тяжести Земли. Скорость газовой струи относительно
ракеты и считать постоянной. Сопротивление воздуха и изменение
ускорения свободного падения д с высотой не учитывать. Какую
массу газов /x(t) должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы
оставаться неподвижной относительно Земли?
1.54. Человек поддерживается в воздухе на постоянной высоте с
помощью небольшого реактивного двигателя за спиной. Двигатель
16 ГЛАВА I
выбрасывает струю газов вертикально вниз со скоростью отно-
относительно человека и = 1000 м/с. Расход топлива автоматически
поддерживается таким, чтобы в любой момент, пока работает двига-
двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько
времени человек может продержаться на постоянной высоте, если его
масса mi = 70 кг, масса двигателя без топлива wi2 = 10 кг, начальная
масса топлива то = 20 кг? Какое расстояние I в горизонтальном
направлении может преодолеть человек, если он разбежался по земле,
приобрел горизонтальную скорость v = 10 м/с, а затем включил
двигатель, поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?
1.55. Космическая станция движется по направлению к центру
Луны со скоростью vq = 2,1 км/с. Для осуществления мягкой
посадки на поверхность Луны включается двигательная установка
на время t = 60 с, выбрасывающая газовую струю со скоростью
и = 2 км/с относительно станции в направлении скорости станции.
В конце торможения скорость уменьшилась практически до нуля. Во
сколько раз уменьшилась масса станции за это время, если торможение
осуществлялось вблизи поверхности Луны, где ускорение свободного
падения можно считать постоянным и равным д/6 (д « 10 м/с2)
1.56. Насколько максимальная скорость, достижимая в свободном
космическом пространстве с помощью двухступенчатой ракеты,
больше, чем в случае одноступенчатой ракеты? Масса второй сту-
ступени двухступенчатой ракеты составляет М1/М2 = а = ОД от
массы первой ступени, а отношение массы горючего к полной массе
ступени во всех случаях равно МТ/М = к = 0,9. Относительно
ракет скорости истечения газов в сравниваемых ракетах одинаковы
и равны и = 2000 м/с.
1.57. Космический корабль, движущийся в пространстве, сво-
свободном от поля тяготения, должен изменить направление своего
движения на противоположное, сохранив скорость по величине. Для
этого предлагаются два способа: 1) сначала затормозить корабль, а
затем разогнать его до прежней скорости; 2) повернуть, заставив
корабль двигаться по дуге окружности, сообщая ему ускорение в
поперечном направлении. В каком из этих двух способов потребуется
меньшая затрата топлива? Скорость истечения газов относительно
корабля считать постоянной и одинаковой в обоих случаях.
1.58. Ракета запускается с небольшой высоты и летит все время
горизонтально с ускорением а. Под каким углом к горизонтали
направлена реактивная струя? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.59. На некотором расстоянии от вер-
вертикальной стенки на гладкой горизонталь-
горизонтальной поверхности лежит игрушечная ракета
(рис. 1.23). Из состояния покоя ракета на-
начинает двигаться перпендикулярно стенке
по направлению к ней. Через промежуток
времени Т\ происходит абсолютно упругий
Рис. 1.23 удар ракеты о стенку. При этом ракета не
МЕХАНИКА 17
меняет своей ориентации относительно стенки. Определить, через
какое минимальное время Г2, после удара скорость ракеты окажется
равной нулю. Считать, что скорость истечения газов относительно
ракеты постоянна, а масса ракеты зависит от времени по закону
m(t) = mg — at. Время удара о стенку мало по сравнению с Т\.
Выполнить вычисления для то = 1 кг; а = 0,01 кг/с; Т\ = 10 с.
4. Работа и энергия. Законы сохранении энергии и импульса
1. Приращение импульса тела (или системы тел):
2
Г
Р2 - Pi = F dt,
j
1
где F — сумма всех внешних сил, действующих на это тело
(систему тел).
2. Работа силы
А = \?ds = F8ds.
3. Мощность силы
4. Приращение кинетической энергии тела
К2-Кг = А,
где А — работа всех сил, действующих на тело.
5. Изменение потенциальной энергии тела в силовом поле
и2-и1 = -д
где А — работа сил поля при перемещении тела из положения 1 в
положение 2.
6. Связь между силой и потенциальной энергией тела в поле
р-_у[Л F - ^— F - ^— F - - —
JL V U * -L т* 1 -*- II 1 -*- 7 •
1.60. На частицу массы 1 г действует сила Fx (t), график которой
(рис. 1.24) представляет собой полуокружность.
Найти изменение скорости Avx, вызванное Fx, дин
действием силы, и работу этой силы, если 2|
начальная скорость vqx = 4 см/с. Почему работа
зависит от начальной скорости?
1.61. Санки могут спускаться с горы из 1 2 3 4 t, с
точки А в точку В по путям АаВ, АЬВ и АсВ
(рис. 1.25). В каком случае они придут в точку Рис. 1.24
2 Задачник
18 ГЛАВА I
В с большей скоростью? Считать, что сила
трения, действующая на санки, пропорцио-
пропорциональна нормальному давлению их на плос-
плоскость, по которой они скользят.
1.62. Какую работу надо затратить, что-
В бы втащить (волоком) тело массы т на
горку с длиной основания L и высотой Н,
Рис- l-25 если коэффициент трения между телом и
поверхностью горки равен kl Угол наклона
поверхности горки к горизонту может меняться вдоль горки, но его
знак остается постоянным.
1.63. Автомобиль «Жигули» на скорости г; = 50 км/час способен
двигаться вверх по дороге с наибольшим уклоном а = 16°. При
движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же
скорости мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л. с.
Aл. с. = 736 Вт). Найти максимальную мощность двигателя, если
масса автомобиля 1200 кг.
1.64. Отчаянно газуя и пробуксовывая всеми четырьмя ведущими
колесами, автомобилист на «Ниве» пытается въехать по заснеженной
и обледенелой дороге, на которой, к счастью, выбита устойчивая
колея, на длинный крутой подъем, перед которым установлен знак
10% (т.е. угол подъема а = arcsin0,l). После предварительного
разгона на горизонтальном участке (также с пробуксовкой) ему это
удается. На обратном пути по уже размякшей дороге он отмечает
по спидометру, что длина разгона оказалась равной пути подъема.
Пользуясь этими данными, найти коэффициент трения шин об
обледенелую дорогу.
1.65. Три лодки одинаковой массы га идут в кильватер (друг за
другом) с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно
в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью и относительно
лодки грузы массы rai. Каковы будут скорости лодок после пере-
переброски грузов?
1.66. Лодка длины L® наезжает, двигаясь по инерции, на отмель
и останавливается из™за трения, когда половина ее длины оказывается
на суше (рис. 1.26). Какова была начальная ско-
^=^~^*7у рость лодки v? Коэффициент трения равен к.
- у 1.67. На покоящейся тележке массы М
укреплена пружина жесткости fc, которая на™
Рис. 1.26 ходится в сжатом состоянии, соприкасаясь с
L покоящимся грузом массы га (рис. 1.27). Пру™
w w жина сжата на расстояние xq от равновесного
|ШЙШ^| | положения, а расстояние от груза до правого
(V\ ГЛ открытого края тележки равно L, длина пру™
^уууУ/уууууууууууууу/ууу. жины в несжатом состоянии меньше L. Пру-
жину освобождают, и она выталкивает груз с
Рис-1>27 тележки. Какова будет скорость v груза, когда
он соскользнет с тележки? Коэффициент трения груза о тележку равен
а, трением тележки о поверхность пренебречь.
МЕХАНИКА
19
1.68. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над
столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки,
а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки I.
Нить пережигают, и за время падения муха перелетает со дна в самый
верхний конец пробирки. Определить время, по истечении которого
нижний конец пробирки стукнется о стол.
1.69. На прямоугольный трехгранный
клин ABC массы М, лежащий на абсолютно
гладкой горизонтальной плоскости, положен
подобный же, но меньший клин BED массы т
(рис. 1.28). Определить, на какое расстояние х
сместится влево большой клин, когда малый
клин соскользнет вниз и займет такое поло™
жение, что точка D совместится с С. Длины
катетов АС и BE равны соответственно ажЪ.
1.70. Математический маятник (груз малых размеров на легком
подвесе длины I) находится в положении равновесия. Определите,
какую скорость и надо сообщить грузу, чтобы он мог совершить
полный оборот, для двух случаев: груз подвешен а) на жестком
стержне и б) на нити.
1.71. Брусок I лежит на таком же бруске 2 (рис. 1.29 а). Оба они как
целое скользят по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью
Рис. 1.28
77777777777777777777777/
7777777777777777777777?.
Рис. 1.29
v® и сталкиваются с аналогичным покоящимся бруском 8. Удар
бруска 2 о брусок 3 абсолютно неупругий (бруски 2 и 8 слипаются,
рис. 1.29 б). Чему равна длина брусков I, если известно, что брусок 1
прекратил свое движение относительно брусков 2 и 3 из-за трения
после того, как он полностью переместился с 2 на 31 Коэффициент
трения между брусками I и 3 равен к. Трением о поверхность, а
также между брусками 1 и 2 пренебречь.
1.72. Для натягивания тетивы на лук лучнику необходимо при-
приложить усилие F\ = 800 Н. Перед выстрелом лучник удерживает
стрелу с силой F2 = 200 Н. Определить максимальную дальность
поражения цели на высоте, равной росту лучника. Масса стрелы
т = 50 г. Тетива представляет собой легкую нерастяжимую нить
длины Iq = 1,5 м. Изменением деформации лука в процессе выстрела
пренебречь.
1.73. На наклонной плоскости стоит ящик с песком; коэффициент
трения к ящика о плоскость равен тангенсу угла а наклона плоскости.
В ящик вертикально падает некоторое тело и остается в нем. Будет
ли двигаться ящик после падения в него тела?
20
ГЛАВА I
Рис. 1.30
1.74. По наклонной плоскости под углом а к горизонту движется
брусок. В тот момент, когда его скорость равна V, на брусок
вертикально падает со скоростью v пластилиновый шарик такой же
массы, как и брусок, и прилипает к нему. Определить время т, через
которое брусок с шариком остановятся. Коэффициент трения равен к.
При каком значении к это возможно?
1.75. Диск радиуса R и толщины S насажен на вал радиуса г
таким образом, что оказывает на единицу поверхности соприкос-
соприкосновения давление Р (рис. 1.30). Коэффициент трения
соприкасающихся поверхностей /л. Какую силу надо
приложить к диску, чтобы снять его, двигая со скоро-
скоростью v, с вала, вращающегося с угловой скоростью ш!
Во сколько раз она отличается от силы, с которой
придется снимать диск с неподвижного вала? (Вал
прокручивается относительно диска, диск движется
поступательно.)
1.76. Идеально упругий шарик движется вверх
и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от
пола по законам упругого удара. Найти связь между
средними по времени значениями его кинетической К и потенци™
альной U энергии.
1.77. Два идеально упругих шарика с массами mi и Ш2 движутся
вдоль одной и той же прямой со скоростями vi и V2. Во время столк-
столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетической
энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем де-
деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь
переходит в кинетическую. Найти значение потенци-
потенциальной энергии деформации 17 в момент, когда она
максимальна.
1.78. Шар I, летящий со скоростью v, ударяется
в покоящийся шар 2, масса которого в 3 раза больше
массы налетающего (рис. 1.31). Найти скорости
шаров после удара, если в момент столкновения
угол между линией, соединяющей центры шаров, и
скоростью налетающего шара до удара равен 60°.
Удар абсолютно упругий. Трения нет.
1.79. Движущаяся частица претерпевает упру-
упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать,
что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы
разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться
частицы после лобового столкновения?
1.80. Две частицы, массы которых равны mi и ni2 (mi > гп2O
движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой с одинаковыми
скоростями. После упругого столкновения тяжелая частица откло-
отклоняется от направления своего первоначального движения на угол
а = 30° в лабораторной системе отсчета или на угол /3 = 60° в
системе центра масс. Определить отношение rai/ra2.
Рис. 1.31
МЕХАНИКА 21
1.81. Ядерная реакция 7Li + р —>> 7Ве + п (литий неподвижен)
имеет порог Ешр = 1,88 МэВ, т.е. может идти только тогда, когда
энергия протона равна или превосходит величину Ешр. При каких
энергиях бомбардирующих протонов Ер нейтроны в такой реакции
могут лететь назад от литиевой мишени?
1.82. Ядра дейтерия D и трития Т могут вступать в реакцию
D + Т —>> 4Не + п + 17,6 МэВ, в результате которой образуют™
ся нейтроны и а-частицы. В каждой реакции выделяется энер™
гая 17,6 МэВ. Определить, какую энергию уносит нейтрон и какую
а-частица. Кинетические энергии, которыми обладали частицы до
реакции, пренебрежимо малы.
5. Гармонические колебания материальной точки
1. Уравнение собственных колебаний
где ш — круговая частота собственных колебаний, связанная с
периодом Т этих колебаний соотношением ш = 2тт/Т.
2. Общее решение этого уравнения
х = х® соб(шг + <?о)?
где постоянные xq (амплитуда) и <р$ (начальная фаза) определяются
начальными условиями конкретной задачи.
3. Период собственных колебаний математического маятника
Т = 2
где I — длина маятника, д — ускорение свободного падения.
1.83. Период малых колебаний шарика, подвешенного на спи™
ральной пружине, равен Т = 0,5 с. Пренебрегая массой пружины,
найти статическое удлинение пружины х под действием веса того
же шарика.
1.84. Небольшой шарик массы т, летящий горизонтально со
скоростью v, ударяется в вертикально расположенную упругую сетку.
Считая, что деформация сетки пропорцио-
пропорциональна приложенной силе с коэффициентом U1
пропорциональности к, найти время t, за кото™
рое сетка получит максимальную деформацию.
1.85. Материальная точка совершает од-
одномерные колебания в треугольной потен-
потенциальной яме U(х) ос \х\ (рис. 1.32) с
периодом Го. Найти период гармонических
колебаний Г этой точки в параболической
22
ГЛАВА I
потенциальной яме U(x) ос ж2, если максимальная потенциальная
энергия точки и амплитуда колебаний в обоих случаях одинаковы.
1.86. Шарик массы т подвешен на двух последовательно соеди-
соединенных пружинках с коэффициентами упругости к\ и &2 (рис. 1.33).
Определить период его вертикальных колебаний.
1.87. На доске лежит груз массы 1 кг. Доска совершает гармони-
гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом Г = 1/2 с
и амплитудой А = 1 см. Определить величину силы давления F
груза на доску.
Рис. 1.34
1.88. На чашку весов, подвешенную на пружине, падает с высо-
высоты h груз массы га и остается на чашке (рис. 1.34), не подпрыгивая
относительно нее. Чашка начинает колебаться. Коэффициент упруго-
упругости пружины к. Определить амплитуду А колебаний (массой чашки
и пружины по сравнению с массой груза пренебречь).
1.89. На массивной чашке пружинных весов лежит маленький
грузик (рис. 1.35). Масса чашки равна га, масса грузика пренебре-
пренебрежимо мала. Ко дну чашки подвешен груз массы М, Вся система
находится в равновесии. При каком соотношении между массами М
и га грузик на чашке начнет подскакивать, если быстро снять груз Ml
1.90. Тело массы га колеблется без трения внутри коробки
массы М, лежащей на горизонтальной поверхности стола. К телу
прикреплены пружины с жесткостями к\ и &2,
концы которых закреплены на боковых стенках
коробки (рис. 1.36). Определить, при какой ам-
амплитуде колебаний коробка начнет двигаться по
поверхности стола, если коэффициент трения
между коробкой и столом равен /i.
1.91. Тело массы т колеблется в верти-
вертикальном направлении внутри коробки массы М,
лежащей на горизонтальной поверхности стола. К телу прикреплены
пружины с жесткостями к\ и ^2 (рис. 1.37), концы которых закреп-
закреплены на верхней и нижней стенках коробки. Определить, при какой
амплитуде колебаний коробка начнет подпрыгивать, отрываясь от
поверхности стола, на котором лежит.
к?
\\\\\\\\\\\\\V\X\\\\V
Рис. 1.36
МЕХАНИКА
1.92. Тело массы то колеблется без трения внутри коробки
массы М, лежащей на гладком столе. К телу прикреплены пружины
одинаковой жесткости, концы которых
закреплены на боковых стенках коробки
(рис. 1.38). Вначале коробка закреплена,
а затем ее отпустили и она может сво™
м
\\X\\\N\\\\\\V\\\N\\\N
Рис. 1.37
Рис. 1.38
Рис. 1.39
бодно перемещаться по столу. Определить отношение частот колеба-
колебаний в этих случаях.
1.93. Академик А.Ф. Иоффе для определения амплитуды колеба™
ния ножки камертона подносил к ней стальной шарик на нити вплоть
до соприкосновения шарика с ножкой (рис. 1.39). Какова амплитуда
колебания А ножки камертона, если максимальный подъем шарика при
многочисленных опытах после одного отскока оказался равным HI
Частота колебаний ножки камертона v. Масса шарика много меньше
массы камертона.
1.94. Гантель длины 21 скользит без трения по сферической
поверхности радиуса R (рис. 1.40). Гантель представляет собой
две точечные массы, соединенные невесомым стержнем. Вычислить
период малых колебаний при движении: а) в перпендикулярном
плоскости рисунка направлении; б) в плоскости рисунка.
1.95. Найти частоту малых колебаний шарика массы га, подве-
подвешенного на пружине, если сила растяжения пружины пропорцио-
пропорциональна квадрату растяжения, т.е. F = k(l ^ I®J, где Iq— длина
пружины в ненагруженном состоянии.
1.96. Два незакрепленных шарика с массами т\ и Ш2 соединены
друг с другом спиральной пружинкой с коэффициентом упругости к.
Определить период колебаний шариков относительно центра масс
системы, которые возникнут при растяжении пружинки.
1.97. По гладкой доске без трения скользят со скоростью v®
два груза равной массы га, соединенные пружиной жесткости к,
находящейся в несжатом состоянии (рис. 1.41). В момент t = 0
m fc m
У///////.
2/
Рис. 1.40
Рис. 1.41
24 ГЛАВА I
левый груз находится на расстоянии L от вертикальной стенки, в
направлении к которой они оба движутся. Через какое время t центр
масс окажется в том же положении, что и в момент t = 0? Удар о
стенку считать мгновенным и абсолютно упругим.
1.98. Часы с маятником, будучи установленными на столе, пока-
показывали верное время. Как изменится ход часов, если их установить на
свободно плавающем поплавке? Масса М часов вместе с поплавком
в 1Q3 раз превосходит массу маятника га.
1.99. Система состоит из двух одинаковых масс га, скрепленных
пружиной жесткости к. На одну из масс действует гармоническая
сила с амплитудным значением /о, направленная вдоль пружины.
Найти амплитуду колебаний растяжения пружины, если частота
вынуждающей силы вдвое превышает собственную частоту системы.
6. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса
1. Уравнение моментов
^ = М,
dt
где L — момент импульса системы, а М — результирующий момент
внешних сил.
2. Момент импульса L в произвольной инерциальной системе
отчета связан с моментом I/ в системе центра масс соотношением
L = L' + [rcP],
где гс — радиус-вектор центра масс, р — импульс системы.
3. Сила гравитационного взаимодействия между двумя точечны-
точечными массами (закон всемирного тяготения):
F= ™+ГП2я
Г2
4. Потенциал гравитационного поля точечной массы
р
г
5. Первая и вторая космические скорости
v\K = у/дЩ, v2k =
где Дз— радиус Земли.
Квадраты периодов обращения планет Солнечной системы отно-
относятся как кубы больших полуосей их орбит (третий закон Кеплера),
т.е. отношение
а3 /Г3 = К
постоянно для всех планет Солнечной системы — так называемая
постоянная Кеплера.
МЕХАНИКА
25
_ш л
////У/////////////////////////////
Рис. 1.42
1.100. Прочная доска длины 21 = 4 м может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее середину. Один
конец доски прикреплен жесткой пру-
пружиной к полу (высота опоры много
меньше длины доски). На этом конце
лежит шар массы т = 10 кг. На дру-
другой конец с высоты h = 1,5 м прыгает
мальчик массы М = 30 кг (рис. 1.42).
При приземлении происходит толчок,
доска поворачивается, шар подбрасы-
подбрасывается вверх и на доску не возвра-
возвращается. Определить, на какую высоту
х подбросит мальчика растянувшаяся
пружина. Массой доски пренебречь.
1.101. Расположенная горизонтально система из трех одинаковых
маленьких шариков, соединенных невесомыми жесткими спицами
длины I, падает с постоянной скоростью vq и уда-
/ / ряется левым шариком о массивный выступ с го™
ризонтальной верхней поверхностью (рис. 1.43).
Определить угловую скорость вращения систе™
мы ш сразу после удара, считая удар абсолютно
упругим.
Рис. 1.43 1.102. По внутренней поверхности кониче-
конической воронки, стоящей вертикально, без трения
скользит маленький шарик (рис. 1.44). В началь-
начальный момент шарик находился на высоте /iq, a
скорость его vq была горизонтальна. Найти vq9
если известно, что при дальнейшем движении
шарик поднимается до высоты h, а затем начинает
опускаться. Найти также скорость v шарика в
наивысшем положении.
1.103. Легкий стержень вращается с угловой
скоростью ujq по инерции вокруг оси, перпенди-
перпендикулярной ему и проходящей через его середину.
Рис. 1.44 По стержню без трения может двигаться тяжелая
муфта массы га, которая удерживается с помощью
нерастяжимой нити, перекинутой через блок (рис. 1.45). Определить
закон изменения угловой скорости системы по мере подтягивания
муфты к оси вращения, закон изменения
силы натяжения нити и работу подтягива-
подтягивания муфты с радиуса R® до радиуса R®/2.
1.104. Ракета с космонавтом стартует с
поверхности Земли и движется вертикаль-
вертикально вверх так, что космонавт испытывает все
время постоянную перегрузку п = 1. После
того, как скорость ракеты стала равной первой космической скоро-
скорости, двигатели выключают. Определить, покинет ли ракета пределы
Земли или упадет на нее. Перегрузкой п называют отношение п =
Рис. 1.45
26 ГЛАВА I
= (Р — Pq)/Pq, где Pq — вес космонавта на Земле, Р — вес, который
показали бы пружинные весы при взвешивании космонавта в полете.
1.105. Как изменилась бы продолжительность земного года, если
бы масса Земли увеличилась и сделалась равной массе Солнца, а
расстояние между ними осталось без изменения?
1.106. Материальная точка массы т взаимодействует с неподвиж-
неподвижным центром. Потенциальная энергия есть U = а/г + Ъг. В начальный
момент точка находилась на расстоянии г о = 2^/а/Ь, от центра и
имела нулевую скорость. Найти: 1) минимальное расстояние гт{п на
которое сможет приблизиться точка к центру; 2) устойчивое положение
равновесия материальной точки; 3) величину силы, действующей на
материальную точку в точках го и гш{п 4) «первую космическую
скорость» при движении материальной точки вокруг центра.
1.107. Космический корабль «Аполлон» обращался вокруг Луны
по эллиптической орбите с максимальным удалением от поверхности
Луны (в апоселении) 312 км и минимальным удалением (в периселе-
периселении) 112 км. На сколько надо было изменить скорость корабля, чтобы
перевести его на круговую орбиту с высотой полета над поверхностью
Луны 112 км, если двигатель включался на короткое время, когда ко™
рабль находился в периселении? (Средний радиус Луны R = 1738 км,
ускорение свободного падения на ее поверхности д = 162 см/с2.)
1.108. Со спутника, движущегося по круговой орбите со скоро-
скоростью vo, стреляют в направлении, составляющем угол 120° к курсу.
Какой должна быть скорость пули относительно спутника, чтобы
пуля ушла на бесконечность?
1.109. Искусственный спутник Земли вращается по круговой ор-
орбите радиуса R с периодом Т\. В некоторый момент на очень короткое
время был включен реактивный двигатель, увеличивший скорость
спутника в а раз, и спутник стал вращаться по эллиптической
орбите. Двигатель сообщал спутнику ускорение все время в направ-
направлении движения. Определить максимальное расстояние спутника от
центра Земли, которого он достигнет после вы-
выключения двигателя. Найти также период Т2, обра-
обращения спутника по новой (эллиптической) орбите.
1.110. Спутник поднят ракетой-носителем вер-
вертикально до максимальной высоты, равной R =
= l,25i?3 (R3 — радиус Земли), отсчитываемой
от центра Земли. В верхней точке подъема ракет-
ракетное устройство сообщило спутнику азимутальную
(горизонтальную) скорость, равную по величине
первой космической скорости: vq = v\K и вывело
его на эллиптическую орбиту (рис. 1.46). Каковы
Рис. 1.46 максимальное и минимальное удаления спутника
от центра Земли?
1.111. По круговой окололунной орбите с радиусом, равным удво™
енному радиусу Луны, вращается орбитальная станция с космическим
кораблем. Корабль покидает станцию в направлении ее движения с
МЕХАНИКА 27
относительной скоростью, равной половине начальной орбитальной
скорости станции. Каково должно быть соотношение масс корабля и
станции тк/тс для того, чтобы станция не упала на Луну?
1.112. Вокруг Луны по эллиптической орбите обращается косми-
космическая станция, при этом ее наименьшее и наибольшее расстояния
от лунной поверхности равны соответственно 2R и 41?, где R —
радиус Луны. В момент нахождения станции в наименее удаленной
от Луны точке ее покидает ракета в направлении по касательной
к орбите станции. Определить, в каких пределах может изменяться
стартовая скорость ракеты и относительно станции, чтобы последняя
продолжала свое существование (т.е. не врезалась бы в Луну и не
улетела бы в бесконечность). Масса станции в три раза больше массы
ракеты, ускорение свободного падения на поверхности Луны д.
1.113. Вокруг Луны по эллиптической орбите обращается косми-
космическая станция, при этом ее наименьшее и наибольшее расстояния от
лунной поверхности равны соответственно R и 7R, где R — радиус
Луны. В момент нахождения станции в наиболее удаленной от Луны
точке ее покидает ракета в направлении по касательной к орбите
станции. В результате вылета ракеты станция переходит на круговую
окололунную орбиту. Определить, чему равна стартовая скорость
ракеты и относительно станции. Масса станции в девять раз больше
массы ракеты, ускорение свободного падения д на поверхности Луны
считать известным.
1.114. Комета Брукса принадлежит к семейству Юпитера, т.е. мак-
максимальное ее удаление от Солнца равно радиусу орбиты Юпитера.
Минимальное расстояние кометы от Солнца равно радиусу круговой
орбиты астероида Венгрия. Зная периоды обращения вокруг Солнца
кометы Брукса Г = 6,8 г. и Юпитера Т\ = 11,86 г., определить период
обращения Венгрии Т2.
1.115. Космический аппарат «ВЕГА» на первом этапе полета
посетил окрестности Венеры. Выйдя из поля тяготения Земли, он
двигался по эллипсу с афелием у орбиты Земли и перигелием у
орбиты Венеры. С какой скоростью относительно Венеры он вошел
в окрестность планеты? Известна орбитальная скорость Земли V% =
= 29,8 км/с и отношение радиусов орбит Венеры и Земли к = 0,723.
Орбиты обеих планет можно считать круговыми.
1.116. По круговой окололунной орбите с радиусом, равным
утроенному радиусу Луны, вращается стартовая «платформа» с кос-
космическим кораблем. Корабль покидает «платформу» в направлении
ее движения с относительной скоростью, равной первоначальной
орбитальной скорости «платформы», после чего она падает на Луну.
Определить угол а, под которым «платформа» врезается в лун-
лунную поверхность, если отношение масс «платформы» и корабля
28
ГЛАВА I
7. Движение твердого тела
1. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z
ldft = Mz"
где / — момент инерции тела относительно оси z.
2. Теорема Штейнера
I = /с + та2,
где 1С — момент инерции относительно центра масс.
3. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении
1 2 1 2
К = -1сш + -mvr.
2 2
4. Основное уравнение простейшей теории гироскопа (связь
угловой скорости п прецессии гироскопа с его моментом импульса
L и моментом внешних сил М):
[OL] = М.
1.117. К шкиву креста Обербека (рис. 1.47) прикреплена нить, к
которой подвешен груз массы М = 1 кг. Груз опускается с высоты
h = 1 м до нижнего положения, а затем начина-
начинает подниматься вверх. В это время происходит
«рывок», т. е. увеличение натяжения нити.
Найти натяжение нити Т при опускании или
поднятии груза, а также оценить приближенно
натяжение во время рывка Грыв, радиус шкива
г = 3 ем. На кресте укреплены четыре груза
массы га = 250 г каждый на расстоянии R =
= 30 см от его оси. Моментом инерции самого
креста и шкива пренебречь по сравнению с
моментом инерции грузов. Растяжение нити во
время рывка не учитывать.
1.118. На тяжелый барабан, вращающий-
Рис. 1.47 ся вокруг горизонтальной оси, намотан легкий
гибкий шнур. По шнуру лезет вверх обезьяна
массы М. Определить ее ускорение относительно шнура, если ее
скорость относительно земли постоянна. Момент инерции барабана
равен J, его радиус R.
1.119. На сплошной цилиндр массы га намотана тонкая невесо™
мая нить. Другой конец прикреплен к потолку лифта, движущегося
вверх с ускорением а. Найти ускорение цилиндра относительно
лифта и силу натяжения нити.
1.120. К боковой поверхности вертикально расположенного
сплошного цилиндра массы М, радиуса R и высоты Н прикреплена
трубка, согнутая в виде одного витка спирали, по которой может
м
МЕХАНИКА
29
Я
Рис. 1.48
скользить без трения шарик массы га (рис. 1.48).
Цилиндр может вращаться вокруг своей оси. Шарик
опускают в верхнее отверстие трубки без начальной
скорости. Найдите скорость шарика после вылета из
нижнего конца трубки. Массой трубки и трением в
оси пренебречь. Считать, что 2жЯ = 2U, а масса
шарика т = М/4.
1.121. Карусель представляет собой однород-
однородный массивный диск массы Mq, вращающийся без
трения вокруг вертикальной оси. В момент времени
t = 0, когда угловая скорость карусели достигает
значения uq, выключается мотор, вращающий кару-
карусель. С этого же момента карусель начинает равномерно покрываться
снегом, падающим в вертикальном направлении. Определить ско-
скорость вращения карусели ш в произвольный момент времени t, если
ежесекундное приращение массы снега на карусели равно /i. Как
изменится результат, если на карусели находится человек, который
непрерывно сгребает лопатой весь падающий снег к периферии и
сбрасывает его в радиальном направле-
направлении? Масса человека гораздо меньше
массы карусели.
1.122. Катушка с ниткой находит™
ся на наклонной плоскости. Свободный
конец нити прикреплен к стене так,
что нитка параллельна этой плоскости
(рис. 1.49). Определить ускорение, с ко™
торым катушка движется по наклонной
плоскости. Масса катушки га, момент
инерции катушки относительно ее оси
Jo, коэффициент трения катушки с этой
плоскостью к.
1.123. Доска массы М (рис. 1.50) ле-
лежит на двух одинаковых цилиндрических
катках массы га каждый. Доску начинают
толкать в горизонтальном направлении с
силой F, и система приходит в движение
так, что проскальзывание доски по каткам и катков по поверхности
отсутствует. Определить ускорение доски.
1.124. С колеса движущегося автомобиля соскакивает декоратив-
декоративный колпак, который, попрыгав по дороге, начинает катиться сразу
без скольжения. При какой скорости автомобиля vq это возможно?
Радиус колеса R = 40 см, колпак можно рассматривать как однород-
однородный диск радиуса г = 20 см, коэффициент трения между колпаком и
дорогой к = 0,2.
1.125. Длинная тонкая доска лежит на гладком столе вплотную
к гладкой стене. По доске без проскальзывания катится цилиндр в
направлении, перпендикулярном стене (рис. 1.51). Цилиндр абсо-
абсолютно упруго ударяется о стену. Определить долю первоначальной
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУТ/
Рис. 1.49
О О
Рис. 1.50
ГЛАВА I
кинетической энергии, перешедшей в тепло при трении между
цилиндром и доской к моменту, когда цилиндр скатится с доски.
Масса цилиндра равна половине массы доски. Трение качения не
учитывать.
1.126. Шарик сначала лежит на столе так, что его центр С
находится над самым краем, затем начинает падать, поворачиваясь
вокруг края стола (точка А на рис. 1.52). Найти коэффициент трения
скольжения к, если шарик начинает проскальзывать после поворота
на угол (р = 30°.
/7777777/777777/.
Рис. 1.51
Рис. 1.52
Рис. 1.53
1.127. Вращающийся с угловой скоростью ш® сплошной одно-
однородный цилиндр радиуса г ставится без начальной поступательной
скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол а с
горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Опре-
Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего
положения на наклонной плоскости.
1.128. С шероховатой наклонной плоскости, образующей угол
а с горизонтом, скатываются без проскальзывания два цилиндра,
имеющие одинаковую массу т и один и тот же радиус (рис. 1.53).
Один из них сплошной, другой — полый, тонкостенный. Коэффи-
Коэффициент трения между цилиндрами к. Как следует расположить полый
цилиндр — впереди сплошного или за ним, чтобы цилиндры ска-
скатывались вместе? Найти ускорение а цилиндров и силу давления N
одного на другой.
1.129. Обруч радиуса R бросают вперед со скоростью vq и
сообщают ему одновременно угловую скорость ujq. Определить
минимальное значение угловой скорости шт{п, при котором об™
руч после движения с проскальзыванием покатится назад. Найти
значение конечной скорости v, если ш > шт{п. Трением качения
пренебречь.
1.130. Бильярдный шар катится без скольжения по горизонталь-
горизонтальной плоскости со скоростью v и ударяется в такой же покоящийся
бильярдный шар, причем линия центров параллельна скорости
движения. Определить скорости обоих шаров после того, как их
движение перейдет в чистое качение. Какая доля первоначальной
кинетической энергии перейдет в тепло? Считать, что при столк™
новении шаров передачи вращательного движения не происходит.
Потерей энергии на трение при чистом качении пренебречь.
1.131. Шар радиуса Ry раскрученный вокруг горизонтальной оси
до угловой скорости cjQ, кладут на шероховатый стол и толкают
МЕХАНИКА
31
горизонтально на высоте h (h < R) от стола (рис. 1.54) так,
что шар приобретает поступательную скорость v® в направлении,
перпендикулярном оси вращения. При какой угловой скорости ш®
шар через некоторое время после начала движения начнет двигаться
в обратную сторону?
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\V\V\\X\\XV
Рис. 1.54
Рис. 1.55
1.132. Пуля массы га, летящая горизонтально со скоростью v®,
попадает в покоящийся на горизонтальном столе металлический шар
массы М и радиуса R на расстоянии R/2 выше центра шара и ри-
рикошетом отскакивает от него вертикально вверх (рис. 1.55). Спустя
некоторое время движение шара по столу переходит в равномерное ка-
качение со скоростью vi. Определить скорость пули после удара по шару.
1.133. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежит
стержень длины I и массы га, который может скользить по этой
поверхности без трения (рис. 1.56). В одну из точек стержня ударяет
шарик массы га, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком
расстоянии х от середины стержня должен произойти удар, чтобы
шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию? Удар
считать абсолютно упругим. При каком соотношении масс Миш
это возможно?
1.134. Однородный стержень длины L падает, скользя концом
по абсолютно гладкому горизонтальному полу. В начальный момент
стержень покоился в вертикальном положении. Определить скорость
центра тяжести в зависимости от его высоты h над полом.
1.135. Абсолютно твердая однородная балка веса Р и длины L
лежит на двух абсолютно твердых симметрично расположенных
опорах, расстояние между которыми равно I (рис. 1.57). Одну из
С
b
Рис. 1.56
Г
1
{
1
Рис.
р
1.57
Г
1
ГЛАВА I
опор выбивают. Найти начальное значение силы давления F, дей-
действующей на оставшуюся опору. Рассмотреть частный случай, когда
I = L. Почему при выбивании опоры сила F меняется скачком?
1.136. Две одинаковые однородные пластинки, имеющие форму
квадрата, подвешены с помощью тонких невесомых нитей двумя
способами (рис. 1.58). Расстояние от точек подвеса до верхних сторон
пластинок равно длине сторон. Найти отношение периодов малых
колебаний получившихся физических маятников в вертикальной
плоскости, совпадающей с плоскостью пластинки.
1.137. Через неподвижный блок с моментом инерции I (рис. 1.59)
и радиусом г перекинута нить, к одному концу которой подвешен груз
массы га. Другой конец нити привязан к пружине с закрепленным
нижним концом. Вычислить период колебаний груза, если коэффи-
коэффициент упругости пружины равен к, а нить не может скользить по
поверхности блока.
у/////////
\\\\\\\\\\х\\\\х\\уу\
Рис. 1.58
Рис. 1.59
Рис. 1.60
1.138. Симметричный волчок, ось фигуры которого наклонена
под углом а к вертикали (рис. 1.60), совершает регулярную прецес-
прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна.
Определить, под каким углом /3 к вертикали направлена сила, с
которой волчок действует на плоскость опоры.
1.139. Гироскопический маятник, используемый в качестве
авиагоризонта, характеризуется следующими параметрами: масса
маховичка гироскопа т = 5 • 103 г, момент инерции маховичка
относительно оси фигуры /ц = 8 • 104г-ем2, расстояние между
точкой подвеса и центром масс маховичка I = 10,25 см. Гироскоп
совершает 20 000 об./мин. Когда самолет, на котором был уста™
новлен прибор, двигался равномерно, ось фигуры маятника была
вертикальна. Затем в течение времени т = 10 с самолет двигался
с горизонтальным ускорением а = 1 м/с2. Определить угол а, на
который отклонится от вертикали ось фигуры гироскопического
маятника за время ускорения.
1.140. Определить максимальное гироскопическое давление
быстроходной турбины, установленной на корабле. Корабль под™
вержен килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 с вокруг оси,
перпендикулярной оси ротора. Ротор турбины массой 3500 кг и
МЕХАНИКА
G
радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об./мин. Расстояние между
подшипниками равно 2 м.
1.141. Гироскопические эффекты используются в дисковых мель-
мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун), способный вра-
вращаться вокруг своей геометрической оси, при-
приводится во вращение вокруг вертикальной оси
(с угловой скоростью О) и катится по горизон-
горизонтальной опорной плите (рис. 1.61). Такое вра-
вращение можно рассматривать как вынужденную
прецессию гироскопа, каковым является бегун.
При вынужденной прецессии возрастает сила
давления бегуна на горизонтальную плиту, по
которой он катится. Эта сила растирает и
измельчает материал, подсыпаемый под каток
на плиту. Вычислить полную силу давления
катка на опорную плиту, если радиус бегуна
г = 50 см, а рабочая скорость 1 об./с.
1.142. Ротор гироскопа (диск радиуса
R = 1 см, вращающийся с угловой скоростью
v = 30 000 об./мин) шарнирно закреплен в
точке А. Центр масс ротора расположен на
расстоянии Ъ = 2 см от шарнира (рис. 1.62).
Системе, находящейся в поле тяжести Земли,
сообщают горизонтальное ускорение а =
= 1 м/с2. Определить максимальное отклоне™
ние оси гироскопа от вертикали и время, через которое первый раз
будет достигнуто это положение.
Рис. 1.61
Рис. 1.62
8. Неинерциальные системы координат
В IT'-системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением
а относительно какой-либо инерциальной системы, уравнение дви-
движения материальной точки имеет вид
т-
dt
= F — ma.
Такое уравнение в Ж'-системе, вращающейся с постоянной угло-
угловой скоростью ш относительно неподвижной оси:
™ = F
dt
тш2т
2тп[лг'ш].
1.143. Из орудия, установленного в точке земной поверхности с
географической широтой ср = 30°, производится выстрел в направле-
направлении на восток. Начальная скорость снаряда vq = 500 м/с, угол вылета
снаряда (т.е. угол наклона касательной в начальной точке траектории
J Задачник
34 ГЛАВА I
к плоскости горизонта) а = 60°. Пренебрегая сопротивлением возду-
воздуха и учитывая вращение Земли, определить приближенно отклонение
у точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое это будет
отклонение — к югу или к северу? (Плоскостью стрельбы называется
плоскость, проходящая через направление касательной в начальной
точке траектории и направление отвеса в той же точке.)
1.144. Из ружья произведен выстрел строго вверх (т.е. парал-
параллельно линии отвеса). Начальная скорость пули vq = 100 м/с,
географическая широта места <р = 60°. Учитывая осевое вращение
Земли, определить приближенно, насколько восточнее или западнее
от места выстрела упадет пуля. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.145. Под каким углом а к вертикали надо выстрелить, чтобы
пуля упала обратно в точку, из которой был произведен выстрел?
Использовать данные предыдущей задачи.
1.146. На полюсе установлена пушка, ствол которой направлен
горизонтально вдоль меридиана и может свободно вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через замок орудия. С какой угловой
скоростью относительно Земли будет вращаться ствол пушки после
выстрела? Считать, что в начальный момент времени снаряд нахо-
находится на оси вращения и движется внутри ствола при выстреле с
постоянным ускорением а. Масса пушки (М = 1000 кг) значительно
больше массы снаряда (га = 10 кг). Длина ствола значительно
больше его диаметра.
1.147. Стрелок и мишень находятся в диаметрально противопо-
противоположных точках карусели радиуса R = 5 м, равномерно вращаю-
вращающейся вокруг вертикальной оси. Период вращения карусели Т =
= 10 с, скорость пули v = 300 м/с. Пренебрегая максимальной
линейной скоростью вращающейся карусели uR по сравнению
со скоростью пули, определить приближенно, под каким углом
а к диаметру карусели должен целиться стрелок, чтобы поразить
мишень. Задачу рассмотреть как с точки зрения вращающейся, так
и с точки зрения неподвижной системы, и сравнить результаты.
1.148. С какой скоростью v® должен идти человек по салону
автобуса по направлению к кабине водителя, чтобы «взлететь»
(потерять вес). Автобус преодолевает вершину холма (неровного
участка дороги) с радиусом кривизны R = 42 м. Скорость автобуса
и = 72 км/ч. Человек находится в центре автобуса.
1.149. На сколько будут отличаться конечные скорости разбега
самолета, если он взлетает на экваторе, причем один раз его разбег
производится с запада на восток, а второй раз - с востока на запад?
Подъемная сила, действующая на крылья самолета, пропорциональ-
пропорциональна квадрату его скорости относительно Земли. Необходимая конечная
скорость разбега самолета вдоль меридиана равна vq.
1.150. В центре неподвижной карусели находится человек. Он пе-
переходит с постоянной скоростью к краю карусели, двигаясь при этом
с востока на запад. Считая карусель однородным диском, определить,
при каком соотношении масс человека и карусели тп/М последняя
приобретет угловую скорость, равную четверти угловой скорости
МЕХАНИКА 35
суточного вращения Земли. Считать, что карусель находится на
широте (р = 30°, трением в подшипниках карусели пренебречь.
1.151. Заводской кран стоит на рельсах. Стрела крана, соста-
составляющая с вертикалью угол а = 60°, находится в плоскости,
перпендикулярной к рельсам. Оставаясь в этой плоскости, стрела
поворачивается на угол 2а. Какую скорость V приобретет при этом
кран? Масса крана со стрелой М = 73 т, масса стрелы т = 20 т,
центр масс стрелы отстоит на расстояние I = 5 м от ее основания.
Рельсы направлены по меридиану, географическая широта (р = 60°.
Трением качения и трением в осях колес крана пренебречь.
1.152. На горизонтально расположенный стержень надета неболь-
небольшая муфта, которая может перемещаться вдоль стержня. Стер-
Стержень вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью О
(рис. 1.63). В начальный момент време-
времени муфта находится на расстоянии гд Г
от оси вращения и имеет скорость v$,
направленную от оси вращения. Далее
оказалось, что скорость муфты v от-
относительно стержня растет линейно с
удалением от оси вращения v = vgr/r®.
При каком коэффициенте трения к меж-
между муфтой и стержнем возможно такое Рис. 1.63
движение? Силой тяжести пренебречь.
1.153. Оценить максимальную скорость, которую можно со-
сообщить небольшому предмету в кабине спутника, вращающегося
вокруг Земли с периодом 1,5 ч, чтобы этот предмет в своем движении
на протяжении нескольких часов ни разу не стукнулся о стенки. Каков
характер траектории его движения, если направление толчка лежит
в плоскости орбиты? Диаметр кабины спутника равен 3 м.
9. Упругие деформации и элементы гидродинамики
1. Закон Гука
е = а/Е, 7 = r/G;
здесь е — относительное удлинение, а — напряжение, Е — модуль
Юнга, 7 — относительный сдвиг, т — тангенциальное напряжение,
G — модуль сдвига.
2. Коэффициент Пуассона
fi = -e'/e,
где е1 — относительное поперечное сжатие (растяжение), возникаю-
возникающее при продольном растяжении (сжатии) е.
3. Коэффициент сжимаемости (всестороннего сжатия):
В - ^l^Z - 3(х 2)
V d ~
V dp E
36 ГЛАВА I
4. Связь между упругими константами:
G.
2A+ /i)
5. Объемная плотность энергии упругих деформаций
и? = Ее2 /2, ит = Gr2/2.
6. Уравнение Бернулли вдоль линии тока, в стационарном потоке
идеальной жидкости
р/р + <р + v2 /2 = const,
где р — давление, р — плотность, ip — гравитационный потенциал.
7. Объем жидкости, протекающей в единицу времени по цилин-
цилиндрической трубе длины I и радиуса г (формула Пуазейля):
п _ жг4 Ар
где rj — коэффициент вязкости жидкости, Ар — разность давлений
на концах трубы.
8. Сила сопротивления движению шарика радиуса г в вязкой
жидкости (формула Стокса):
F =
9. Число Рейнольдса
Re = pvl/r),
где I — некоторый характерный размер.
1.154. На сколько вытягивается стержень из железа, подвешенный
за один конец, под влиянием собственного веса? На сколько при этом
меняется его объем?
1.155. Стержень поперечного сечения S растягивается силой F,
параллельной его оси. Под каким углом а к оси наклонено сечение,
в котором тангенциальное напряжение т максимально? Найти это
напряжение.
1.156. Резиновый цилиндр высотой h, весом Р и площадью осно-
основания S поставлен на горизонтальную плоскость. Найти энергию
упругой деформации цилиндра, возникающей под действием его
собственного веса. Во сколько раз изменится энергия упругой дефор-
деформации рассматриваемого цилиндра, если на его верхнее основание
поставить второй такой же цилиндр?
1.157. Определить отношение энергий деформаций стального и
пластмассового цилиндров, поставленных рядом друг с другом и
сжатых между параллельными плоскостями, если до деформации
они имели одинаковые размеры. Модуль Юнга для стали —
2 • 105Н/мм2, для пластмассы — 102Н/мм2. Определить это же
МЕХАНИКА
Рис. 1.64
отношение для случая, когда цилиндры поставлены друг на друга
и сжаты такими же плоскостями.
1.158. Стальная линейка длины L = 30 см и толщины d =
= 1 мм свернута в замкнутое кольцо. Найти распределение и
максимальную величину напряжений в линейке. Модуль Юнга для
стали Е = 2- 1011 Па.
1.159. Однородный круглый резиновый жгут длины I и диа-
диаметра D помещен в стальную трубку с закрытым концом того же
диаметра (рис. 1.64). На конец жгута со
стороны открытого конца трубки начинает
действовать сила F, равномерно распреде-
распределенная по всему сечению жгута. На сколько
уменьшится при этом длина жгута? Упругие
свойства резины считать известными.
1.160. Определить максимальное дав-
давление, которое может произвести вода при
замерзании. Плотность льда р = 0,917 г/см3, модуль Юнга Е =
= 2,8 • 1011 дин/см2, коэффициент Пуассона /i = 0,3.
1.161. Медная пластинка запаяна между такими же по площади,
но вдвое более тонкими стальными пластинками. Найти эффек-
эффективный температурный коэффициент расширения такой системы
в длину, если известны температурные коэффициенты линейного
расширения меди аш = 1,7 • Ю^К и стали аст = 1,2 • 10~5К~1? a
модуль Юнга стали вдвое выше, чем у меди, и равен 2 • 1012 дин/см2.
1.162. Кабина лифта массы га = 1000 кг равномерно опускается
со скоростью г?о = 1 м/с. Когда лифт опустился на расстояние
I = 10 м, барабан заклинило. Вычислить максимальную силу,
действующую на трос из-за внезапной остановки лифта, если
площадь поперечного сечения троса S = 20 см2, а модуль Юнга
троса Е = 2 • 1011 Н/м2 (I — длина недеформированного троса).
Изменением сечения троса пренебречь.
1.163. В вертикально стоящий цилиндрический сосуд налита иде-
идеальная жидкость до уровня Н (относительно дна сосуда). Площадь
дна сосуда равна S. Определить время t, за которое
В д. уровень жидкости в сосуде опустится до высоты h
Щ (относительно дна сосуда), если в дне сосуда сделано
малое отверстие площади а. Определить также время
Г, за которое из сосуда выльется вся жидкость.
1.164. Для того, чтобы струя жидкости выте-
вытекала из сосуда с постоянной скоростью, применяют
устройство, изображенное на рис. 1.65. Определить
скорость истечения струи v в этом случае.
1.165. Цилиндрический сосуд высоты h погру-
погружен в воду на глубину h$. В дне сосуде площади
S появилось маленькое отверстие площади а. Определить время т,
через которое сосуд утонет.
Рис, 1.65
38 ГЛАВА I
1.166. Цилиндрический сосуд радиуса R с налитой в него идеаль-
идеальной несжимаемой жидкостью вращается вокруг своей геометрической
оси, направленной вертикально, с угловой скоростью ш. Определить
скорость истечения струи жидкости через малое отверстие в боковой
стенке сосуда при установившемся движении жидкости (относитель-
(относительно сосуда).
1.167. Проволоку радиуса т\ = 1 мм протягивают с постоянной
скоростью vq = 10 см/с вдоль оси трубки радиуса г2 = 1 см,
которая заполнена жидкостью вязкости rj = 0,01 П. Определить
силу трения /, приходящуюся на единицу длины проволоки. Найти
распределение скоростей жидкости вдоль радиуса трубки.
1.168. Длинный вертикальный капилляр длины L и радиуса R
заполнен жидкостью плотности р, коэффициент вязкости которой
равен г]. За какое время т вся жидкость вытечет из капилляра под
действием силы тяжести? Влиянием сил поверхностного натяже™
ния пренебречь. Процесс установления скорости жидкости считать
мгновенным.
1.169. В дне сосуда с жидким гелием образовалась щель ши-
шириной S = 10^4 см и длиной I = 5 см. Толщина дна сосуда d =
= 0,5 мм. Найти максимальную скорость гелия в щели vmax и
полный расход жидкости dM/dty если высота столба гелия над
дном сосуда h = 20 см. Плотность и вязкость гелия равны р =
= 0,15 г/см3, г] = 3,2 • 10~5 г/(см • с). (Расходом называется масса
жидкости, протекающая через щель в течение одной секунды.)
10. Элементы релятивистской межаники
1. Преобразования Лоренца. Если система отсчета К1 движется
относительно системы К со скоростью V в направлении оси ж, оси
х и х1 совпадают, а оси у1 и z' соответственно параллельны осям у
и z, то координаты и время в системе К1 связаны с координатами и
временем в системе К соотношениями
х — Vt i i ±1 t — xV/c
у = у, z = z, t = ; =.
2. Преобразование скорости:
i = vxV i = уу/(у/У
х l-vxV/C*' y l^vxV/c^ '
3. Лоренцево сокращение длины и замедление хода движущихся
часов
где lo — собственная длина, a Atg — собственное время движу™
щихся часов.
МЕХАНИКА 39
4. Релятивистские энергия и импульс
Е= , т(? , р=
5. Инвариантный интервал
s2 = с2At2 - Al2 = inv,
где At — промежуток времени между двумя событиями, А1 —
расстояние между точками, где эти события произошли.
Для изолированной системы тел инвариантной является также
величина
Е2 - Р2с2 = М2с\
где Е, Р и М — полная энергия, импульс и масса этой системы тел
соответственно.
1.170. Две линейки, собственная длина каждой из которых равна
1о, движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х с
релятивистскими скоростями. Наблюдатель, связанный с одной из
них, зафиксировал, что между совпадениями левых и правых концов
линеек прошло время т. Какова относительная скорость линеек?
1.171. Межзвездный корабль движется к ближайшей звезде,
находящейся на расстоянии L = 4,3 световых года, со скоростью
v = 1000 км/с. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно.
На какое время At часы на корабле отстанут от земных часов по
возвращении корабля на Землю?
Примечание. Ввиду большой скорости корабля движение звезды
относительно Солнца можно не учитывать.
1.172. Космический корабль летит со скоростью v = 0,6с от
одного космического маяка к другому. В тот момент, когда он
находится посередине между маяками, каждый из них испускает в
направлении корабля световой импульс. Найти, какой промежуток
времени пройдет на корабле между моментами регистрации этих
импульсов. Расстояние между маяками свет проходит за 2 месяца.
1.173. Световой сигнал, посылаемый на Землю с планеты Саракш,
возвращается на Саракш через время 2Т = 30 лет. Скорость планеты
относительно Земли пренебрежимо мала, а ее календарь согласован
с земным. Звездолет летит по направлению к Солнечной системе со
скоростью v = 0,6 с. В день, когда он пролетает мимо Саракша, на
звездолете рождается мальчик Ваня. В тот же день (по саракшско-
земному календарю) на Земле рождается мальчик Петя. Сколько лет
будет Ване и Пете, когда звездолет будет пролетать мимо Земли?
1.174. Прогрессор Комов (герой Стругацких) совершает меж-
межзвездное путешествие на звездолете. В день, когда ему исполнилось
30 лет и звездолет находился вблизи планеты Пандора, он послал
на Землю световой сигнал. Сигнал приняли на Земле через 12,5 лет.
Когда Комову исполнилось 45 лет, и звездолет вновь оказался вблизи
40 ГЛАВА I
планеты Пандора, прогрессор принял отраженный от Земли сигнал.
Вычислить скорость звездолета Vq. Часы звездолета и Земли в
момент посылки сигнала синхронизованы. Скоростью Земли отно-
относительно планеты Пандора можно пренебречь.
1.175. Два космических корабля I и 2 направляются к Земле
(рис. 1.66), двигаясь вдоль одной прямой с одинаковыми скоростями.
В некоторый момент времени каждый
корабль и Земля посылают друг другу
короткие световые сигналы (корабль 1
посылает сигнал на корабль 2 и на
Землю, корабль 2 — на корабль 1 и
на Землю, и Земля — на корабли I и
Рис. 1.66 2). Известно, что все сигналы посыла-
посылаются одновременно в системе отсчета,
связанной с Землей. Оказалось, что промежуток времени между
принятыми сигналами по бортовым часам корабля I составил т\ =
= 1 с, а по бортовым часам второго корабля — Т2 = 0. Какое время
между принятыми сигналами тз будет зарегистрировано на Земле?
1.176. Можно ли с помощью фотоаппарата зафиксировать сокра-
сокращение Лоренца по изменению формы предмета, пролетающего мимо
точки фотографирования с релятивистской скоростью? Рассмотреть
случай куба и шара, летящих на большом расстоянии от точки
фотографирования.
1.177. Найти скорость частицы (заряд е, масса га), прошедшей
разность потенциалов V без начальной скорости. Найти предельные
выражения для скорости: 1) для классического случая (v<c); 2) для
ультрарелятивистского (v « с).
1.178. Выразить релятивистский импульс частицы, масса которой
равна га, через ее релятивистскую кинетическую энергию.
1.179. С космического корабля, приближающегося к Земле со
скоростью v = 0,6 с, ведется прямая телевизионная передача позво-
позволяющая видеть на экране телевизора циферблат корабельных часов.
Сколько оборотов сделает на экране секундная стрелка за 1 мин по
земным часам?
1.180. При столкновении протонов высоких энергий могут обра-
образовываться антипротоны р согласно реакции р + р —>- Р + Р + Р +
+р. Какой минимальной (пороговой) кинетической энергией должен
обладать протон, чтобы при его столкновении с покоящимся прото-
протоном была возможна такая реакция?
1.181. За распадом остановившегося в ядерной фотоэмульсии
К+-мезона по схеме: К+ —>> тг+ + тг° последовал распад тг°-мезона
по схеме тг° —>> j + е+ + е~, причем вершина пары е+е~ находилась
на расстоянии I = ОД мкм от места остановки К+-мезона. Оценить
время то жизни тг°-мезона, если известно, что энергия покоя К+-
мезона М^с2 = 494 МэВ, энергия покоя тг+-мезона Мж+с2 =
= 140 МэВ и энергия покоя тг°-мезона Мжос2 = 135 МэВ.
Глава IT
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
1. Электрическое поле в вакууме
1. Закон Кулона
12 = 2~*
2. Теорема Гаусса
Е*
EdS = -*—.
3. Теорема Гаусса в локальной форме
dlvE = ¦?-.
4. Электрическое поле точечного заряда
5. Электрическое поле заряженной плоскости
6. Электрическое поле диполя
^ 4 R4 R R3
где
7. Потенциал точечного заряда
8. Связь между полем и потенциалом
Е = -V<p.
9. Уравнение Пуассона
42
ГЛАВА II
-ч
+q
Рис. 2.1
2.1. На двух одинаковых капельках воды находится по одному
лишнему электрону (е = —1,6 • 1019 Кл). Сила кулоновского отталки-
отталкивания капель уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы
их радиусы?
2.2. Имеются два точечных заряженных тела с зарядами ^q и
+Q и массами т и М, соответственно. На каком расстоянии d
друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем
однородном электрическом поле Е, направленном вдоль прямой,
проходящей через заряды, они ускорялись как единое целое, т.е. не
изменяя взаимного расположения?
2.3. Электрический квадруполь состоит из двух положительных
и двух отрицательных одинаковых по величине точечных зарядов q,
расположенных в вершинах квадрата со сто-
+<?§ ®-q роной а, как показано на рис. 2.1. Найти
| •} л электрическое поле такого квадруполя в точ-
я •< г »« ке А, находящейся на расстоянии г ^> а от его
I центра О, если линия О А параллельна одной
т а »© из сторон квадрата.
2.4. Найти силу взаимодействия двух то-
точечных диполей, если их дипольные моменты
Pi и р2 направлены вдоль соединяющей их
прямой, а расстояние между диполями равно d.
2.5. Представить в векторной форме элек-
электрическое поле внутри однородно заряженно-
заряженного шара с объемной плотностью заряда р в
зависимости от радиуса г.
2.6. Найти электрическое поле Е в шаро-
шаровой полости внутри однородно заряженного
шара (рис. 2.2). Объемная плотность заряда
равна р. Расстояние между центром полости
и центром шара равно L
Рис. 2.2 2.7. С какой скоростью достигают анода
электронной лампы электроны, испускаемые
катодом, если напряжение между анодом и катодом равно 200 В?
2.8. На шарик радиуса R = 10 см, располагающийся уединенно
в атмосфере, падает пучок электронов. Какой заряд можно накопить
таким способом на шарике, если электрическая прочность воздуха
при нормальных условиях равна 3 • 106 В/м?
2.9. Точечный заряд q располагается на расстоянии а от заземлен-
заземленной плоской металлической поверхности с характерным размером Ь^а.
Определить характер и силу взаимодействия заряда с поверхностью.
2.10. На расстоянии г от центра изолированного металлического
незаряженного шара помещен точечный заряд q. Определить потен-
потенциал шара.
2.11. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра
незаряженного проводящего шара радиуса г. Какой заряд протечет
по проводнику, если заземлить шар?
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 43
2.12. В пространстве между пластинами плоского конденсатора
имеется свободный поток электронов, который создает равно-
равномерный объемный заряд. Расстояние между пластинами равно d,
потенциал одной из пластин равен ср. При каком значении объемной
плотности заряда р потенциал и напряжен™
ность поля у другой пластины равны нулю?
2.13. Определить силу притяжения между
точечным зарядом q и металлическим шаром
радиуса R (рис. 2.3). Заряд находится на
расстоянии d от центра шара. Рассмотреть два
случая: 1) шар заземлен; 2) шар изолирован, и
его полный заряд равен нулю.
2.14. Заземленный металлический шар
радиуса R лежит на тонком равномерно заря- Рис. 2.3
женном диске того же радиуса. Найти заряд
шара, если заряд диска равен Q.
2.15. Найти, какую максимальную разность потенциалов можно
поддерживать между проводами бесконечной двухпроводной линии,
если напряженность пробоя воздуха Еша^ = 30 кВ/см, диаметр
проводов d = 1 см, а расстояние между проводами Ь = 1 м.
2. Электрическое поле в веществе. Электроемкость
1. Соотношение между поляризацией и полем в веществе
Р = * = C?оЕ =>
dV
=>• (в случае линейной связи) D = ?qA + /3)Е = 6q?~E.
2. Теорема Гаусса
D dS = у. Qi =^ (в случае линейной связи) ф Е dS =
г
3. Закон Кулона
4. Емкость уединенного проводника
/Т W
5. Емкость плоского конденсатора
44 ГЛАВА II
6. Энергия заряженного конденсатора
W = = У-
2 2С'
7. Плотность энергии электрического поля
ED
w = .
2
8. Энергия системы зарядов
2.16. Два шара, один диаметром d\ = 10 см с зарядом gi =
= б • 1СП10 Кл, другой — с?2 = 30 см и д2 = ^2 • 10~9 Кл, соединя™
ются тонкой проволокой. Какой заряд переместится по ней?
2.17. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены
последовательно и подключены к источнику ЭДС. Внутрь одного из
них вносят диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, запол™
няющий все пространство между обкладками. Как и во сколько раз
изменится напряженность электрического поля в этом конденсаторе?
2.18. Импульсную стыковую сварку медной проволоки осуще-
осуществляют посредством разряда конденсатора емкостью С = 1000 мкФ
при напряжении на обкладках V = 1500 В. Какова полезная мощ-
мощность разряда, если его длительность т = 2 мкс и КПД установки
г] = 0,04?
2.19. Найти емкость сферического проводника радиуса г, окру-
окруженного концентрическим слоем диэлектрика с внешним радиусом
R и диэлектрической проницаемостью е.
2.20. Определить электрическую энергию ядра урана I35U при
равномерном распределении заряда Z = 92 по объему сферы
радиуса R = 1,3 • КГ15^/3 м, где А = 235 —
массовое число.
2.21. Как изменится энергия заряженного
конденсатора с вакуумным зазором, если запол-
заполнить последний жидкостью с диэлектрической
проницаемостью el
2.22. Имеется длинный тонкий диэлектри-
диэлектрический цилиндр длиной 21 и радиусом г с
Рис 24 «замороженной» поляризованностью Р. Найти
напряженность поля в точке А (рис. 2.4). Во
сколько раз это поле сильнее, чем в точке В?
2.23. По сфере радиуса R распределен равномерно заряд Q.
Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное
взаимодействием зарядов.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
45
Рис. 2.5
2.24. Конденсатор переменной емкости состоит из двух непо™
движных металлических пластин, расположенных на расстоянии d
друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая
может поворачиваться и входить в зазор между металлическими
пластинами (рис. 2.5). Все пластины имеют форму
полукруга радиуса R, причем зазоры между диэлек™
трической пластиной и пластинами конденсатора
пренебрежимо малы в сравнении с d. Пренебрегая
краевыми эффектами, найти момент сил М, дей™
ствующих на диэлектрическую пластину, когда она
выведена из положения равновесия. Конденсатор
заряжен до разности потенциалов У", диэлектриче™
екая проницаемость подвижной пластины равна е.
2.25. С какой поверхностной плотностью ав
следует распределить электрический заряд по по-
поверхности сферы радиуса R, чтобы поле внутри нее
было однородным и равным Eg? Каково при этом
будет электрическое поле вне сферы?
2.26. На сколько отличается от единицы ди-
диэлектрическая проницаемость «идеального газа», состоящего из
большого числа проводящих шариков радиуса г? Концентрация п
шариков мала, так что пг3 <С 1.
2.27. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которо-
которого линейно меняется от значения е\ у одной пластины до значения
^2 < ?i У другой. Расстояние между пластинами d, площадь каждой
из них равна S. Найти емкость конденсатора.
2.28. Три проводящих шара с радиусами i?i = 10 см, i?2 = 20 см
и Лз = 30 см и, соответственно, потенциалами (pi = 450 В, (f2 =
= 300 В и <?з = 150 В в вакууме разведены далеко друг от друга.
Какое количество тепла Q выделится после того, как их соединят
тонкими проволочками, емкостью которых можно пренебречь?
2.29. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е =
= 4. Разность потенциалов между обкладками U = 300 В, расстоя™
ние между ними d = 1 см. В диэлектрике имеются два воздушных
пузырька радиуса г = 1 мм, расстояние между ними I = 1 см, и они
расположены в плоскости, параллельной обкладкам. Оценить ве™
личину и направление силы электростатического взаимодействия
между пузырьками.
2.30. Пластина пьезоэлектрика толщины 2d вследствие неодно-
неоднородной деформации поляризована так, что поляризация ее в центре
равна Pq, направлена вдоль оси х и изменяется по закону Р =
= PqA — х2/d2), где х отсчитывается от плоскости симметрии
пластины. Определить напряженность электрического поля вну™
три и вне пластины, а также разность потенциалов U между ее
поверхностями.
46 ГЛАВА II
3. Постоянный ток. Электрические цепи
1. Сопротивление участка цепи
R=* = ±.
S XS
2. Электродвижущая сила, включенная в цепь:
3. Закон Ома, интегральная форма:
U = IR; ^ =
4. Закон Ома, локальная форма:
р
5. Джоулево тепловыделение, интегральная форма:
Q = Ш2.
6. Джоулево тепловыделение, локальная форма:
7. Закон Кирхгофа для произвольного узла в квазистационарной
электрической цепи
к
8. Закон Кирхгофа для произвольного контура в квазистационар-
квазистационарной электрической цепи
2.31. Определить сопротивление Rab цепочки, изображенной
на рис. 2.6.
2.32. Два гальванических элемента ЭДС и внутренние сопро-
сопротивления которых равны, соответственно, <?i, r\ и J2? r2, соединены
параллельно и нагружены на сопротивление R (рис. 2.7). Определить
падение напряжения на сопротивлении R.
2.33. Металлический сплошной цилиндр вращается вокруг
своей оси, делая п = 20 об./с. Определить напряженность электри-
электрического поля, возникающего внутри него, как функцию радиуса,
и разность потенциалов между осью и переферией, если диаметр
цилиндра D = 5 см.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
47
2.34. Имеется ли вблизи поверхности проводника, по которому
течет постоянный ток, электрическое поле?
91 Т
Рис. 2.6
Рис. 2.7
Рис. 2.8
Рис. 2.9
R
2.35. Имеется ли на проводнике, по которому течет постоянный
ток, нескомпенсированный электрический заряд?
2.36. Найти ток, проходящий через резистор До в схеме,
представленной на рис. 2.8, считая все параметры заданными.
2.37. Сопротивления R\ и Д2 B схеме
рис. 2.9 подобраны так, чтобы ток через
гальванометр был равен нулю. Считая из-
известными ё\ и <?2> найти S при условии,
что внутренними сопротивлениями батареи
можно пренебречь в сравнении с R\ и Д2.
2.38. В схеме, изображенной на рис. 2.10,
заданы сопротивления R\ ш R2. Определить
сопротивление Д, при котором рассеивае™
мая на нем мощность максимальна. Каково
условие того, что ток, проходящий через это
сопротивление, равен нулю?
2.39. Два проводника имеют при 0° С со™
противления Дох и ^02 и, соответственно, тем-
температурные коэффициенты сопротивления а\
и «2. Определить эффективный температурный
коэффициент сопротивления при а) последова-
последовательном и б) параллельном соединении этих
проводников.
2.40. Показать, что сопротивление однородной проводящей
среды, заполняющей все пространство между двумя идеальными
проводниками произвольной формы, равно рео/С, где р — удель™
ное сопротивление среды, а С — взаимная емкость этой системы
электродов в вакууме.
2.41. Имеется п идеально проводящих тел в вакууме с зарядами
gi, (j2? •••> Чп и потенциалами y?i, (f2j •••? Фп- Какое количество тепла
будет выделяться в единицу времени, если пространство между
этими телами заполнить однородной жидкостью с проводимо-
проводимостью А и диэлектрической проницаемостью е, а потенциалы тел
поддерживать при прежних значениях?
Рис. 2.10
48
ГЛАВА II
Рис. 2.11
2.42. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено многослойным диэлектриком (рис. 2.11), обладающим
слабой электропроводностью. Диэлек-
Диэлектрическая проницаемость и удельная про-
проводимость изменяются от ?i,Ai у одной
пластины до Е2Д2 У другой пластины.
Конденсатор включен в цепь с постоянной
ЭДС. Определить величину и знак суммар™
ного свободного заряда q, сосредоточенно-
сосредоточенного в объеме диэлектрика, когда в цепи уста-
установится постоянный электрический ток /,
текущий через диэлектрик по направлению
от пластины 1 к пластине 2.
2.43. По цилиндрическому стержню
течет ток плотности j. Проводимость А на
участке длины I изменяется по линейному закону от Ai до А2. Найти
объемную плотность свободных зарядов р на этом участке цепи.
2.44. Пространство между пластинами плоского конденсатора
заполнено двумя однородными слабо проводящими слоями диэлек-
диэлектрика с толщинами d\ и cfe, а их диэлектрическая проницаемость
и проводимость равны, соответственно, ?1, Ai и ?2? А2. Найти плот-
плотность поверхностных свободных зарядов а, которая устанавливается
на границе между диэлектриками при наложении на конденсатор
постоянного напряжения V.
2.45. Заземление концов телеграфной линии осуществлено по-
посредством металлических шаров радиуса г\ и Г2, соответственно
(рис. 2.12). Удельная проводимость грунта вблизи них равна Ai и
А2. Найти сопротивление R земли между шарами. Считать почву в
окрестности каждого из них однородной на расстояниях, больших
по сравнению с радиусами шаров.
Рис. 2.12
Рис. 2.13
2.46. Цепь постоянного тока состоит из длинной однопроводной
линии, в которую включен источник ЭДС. Линия замыкается через
Землю, в которую зарыты два металлических шара на большом
расстоянии друг от друга (рис. 2.13). Известны радиусы шаров
г\ и Г2, а также проводимость и диэлектрическая проницаемость
грунта в местах, где они закопаны — соответственно, \\,Е\ и
А2,?2. Пренебрегая всеми сопротивлениями, кроме сопротивления
заземления, определить заряд каждого шара.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 49
2.47. К большому металлическому листу
толщины а приварены на расстоянии Ь друг от
друга два цилиндрических проводника радиуса
го (рис. 2.14). Оценить сопротивление R между
проводниками, полагая а <С tq <C b. Считать, что
проводимость Ai проводников много больше
проводимости А материала листа. Рис-2.14
2.48. Две плоские прямоугольные пласти-
пластины образуют конденсатор (рис. 2.15). Между
ними без трения может двигаться диэлектри-
ческая пластина, толщина которой совпадает с
зазором между обкладками h, а ширина равна Ь
(на рисунке не показана). Известны также ЭДС
источника и диэлектрическая проницаемость Рис. 2.15
материала пластины е. Какую мощность затра-
затрачивает батарея в момент, когда втягивание диэлектрика в конденсатор
происходит с мгновенной скоростью v? Как распределяется эта
мощность между механической и электрической энергией?
4. Магнитное поле тока
1. Теорема Гаусса:
divB = 0 или
S
2. Соотношение между индукцией и напряженностью поля в
вакууме:
В = //оН, где /10 = 4тг • 1СГ7Гн/м.
3. Закон Био и Савара:
4тгг3
4. Теорема о циркуляции:
= 1 или rotH=j.
5. Закон Ампера для тонкого провода в магнитном поле:
d? = [Idl,B].
6. Закон Ампера в локальной форме:
fSf = И,в].
7. Сила Лоренца
F = e[v,B].
4 Задачник
50 ГЛАВА II
8. Циклотронная частота
- **L
т
9. Поле прямого провода
Н = —.
2жК
10. Поле в центре кольца с током
~ 2Д*
11. Поле внутри длинного соленоида с плотностью намотки п
I '
12. Определение магнитного момента:
13. Магнитный момент витка с током
m = ISn^ где п — вектор нормали.
14. Поле магнитного диполя
15. Сила, действующая на диполь во внешнем поле:
F = V(mB).
16. Момент силы, действующий на диполь во внешнем поле:
М= [тВ].
17. Потенциальная энергия диполя во внешнем поле
W = -(тВ).
2.49. Из куска изолированной проволоки сделан круглый виток
радиуса R и подключен к источнику тока с постоянной ЭДС. Как
изменится напряженность магнитного поля в центре окружности,
если из того же куска проволоки сделать два прилегающих друг к
другу витка радиуса R/21
2.50. По двум одинаковым металлическим обручам радиуса R,
один из которых расположен горизонтально, а другой — вертикаль-
вертикально, идут одинаковые токи I. Найти величину и направление индукции
В в их общем центре.
2.51. Между полюсами электромагнита в горизонтальном маг-
магнитном поле находится прямолинейный проводник, расположенный
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
51
горизонтально и перпендикулярно к магнитному полю. Какой ток
должен идти через проводник, чтобы уничтожить натяжения в под-
поддерживающих его гибких проводах? Индукция поля 0,01 Тл, масса
единицы длины проводника 0,01 кг/м.
2.52. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпенди-
перпендикулярно к силовым линиям. По какому закону он будет двигаться в
дальнейшем?
2.53. Электроны, летящие в телевизионной трубке, обладают энер-
энергией 12 кэВ. Трубка ориентирована так, что движение электронов
происходит с юга на север. Вертикальная составляющая индукции
магнитного поля Земли направлена вниз и равна 5,5 • 10^5 Тл. В каком
направлении и на сколько отклонится луч на пути 20 см?
2.54. Определить траекторию движения произвольной заряжен-
заряженной частицы в скрещенных полях Е, Н; напряженности поля Е и Н
известны; Е _L H; sqE2 <C ЦоН2.
2.55. Вдоль стенки цилиндрической трубы идет постоянный ток I.
Какова напряженность магнитного поля Н внутри и вне трубы?
2.56. По длинному цилиндрическому соленоиду с плотной на™
моткой (N витков на единицу длины) протекает постоянный ток I.
Определить величину и направление магнитного
поля внутри и вне соленоида вдали от его торцов.
2.57. Электрический ток I протекает по про™
воду, изогнутому так, как показано на рис. 2.16.
Найти значение магнитной индукции в центре
окружности (радиус окружности К).
2.58. Найти напряженность магнитного поля
в центре плоского прямоугольного контура со
сторонами ашЬ, обтекаемого током I.
2.59. Над плоской поверхностью сверхпро-
сверхпроводника I рода параллельно этой поверхности на
расстоянии h от нее подвешен тонкий прямоли-
прямолинейный провод, по которому течет ток I. Найти
линейную плотность сверхпроводящего тока г,
протекающего по поверхности сверхпроводника.
Указание. Применить метод зеркальных изо-
изображений.
2.60. По прямолинейному цилиндрическому
проводнику радиуса R протекает ток I, рав-
равномерно распределенный по сечению провод-
проводника. Найти напряженность магнитного поля
внутри и вне проводника в зависимости от расстояния г от оси.
2.61. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводни-
проводникам А и В, выполненным из немагнитного материала и ограничен™
ным пересекающимися цилиндрическими поверхностями, текут
в противоположных направлениях токи одинаковой плотности j
(рис. 2.17). Найти величину и направление магнитного поля в
полости 17.
гг-
Рис. 2.16
П
Рис. 2.17
52 ГЛАВА II
2.62. Определить силу притяжения, приходящуюся на единицу
длины каждого из двух тонких параллельных прямых проводов, если
ток в них 1\ = I2 = 1 А, а расстояние между проводами х = 1 м.
2.63. На тонкий латунный прут, свернутый в кольцо, намотано
равномерно N = 104 витков провода. Во сколько раз магнитная
индукция Bq на оси прута больше, чем Вс в центре кольца?
2.64. Равномерно заряженный тонкий диск радиуса R вращается с
угловой скоростью ш вокруг своего неподвижного диаметра. Полный
заряд диска Q. Определить магнитный момент вращающегося диска.
2.65. Равномерно заряженный шарик радиуса R вращается с
угловой скоростью ш вокруг своего неподвижного диаметра. Заряд
шарика Q равномерно распределен по объему. Найти магнитное поле
шарика на расстояниях г ^> R.
2.66. В результате некоторого космического события образо
валась система, состоящая из звезды (масса Mq, магнитный мо-
момент то) и планеты (масса М <С Мо, магнитный момент т).
Планета движется по круговой орбите радиуса R. Найти возможный
разброс величины периода обращения в зависимости от ориентации
магнитных моментов, считая плоскость орбиты перпендикулярной то.
5. Электромагнитная индукции
1. Коэффициент самоиндукции (индуктивность):
L = Ф/1,
где / — ток, протекающий в контуре, а Ф = J BtfS — магнитный
поток через контур, создаваемый этим током.
2. Энергия магнитного поля, создаваемого током через контур:
W = -Ы2.
2
(В случае нелинейной связи между током и потоком Ф именно эта
формула часто используется как определение индуктивности.)
3. Коэффициент взаимной индукции определяется соотношениями
*12 = Luhj Ф12 = L2ihj L12 = L2i = M.
4. Закон Фарадея:
где ? — ЭДС в контуре, а Ф — магнитный поток через контур.
5. Закон Фарадея в локальной форме:
rotE = -**.
dt
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
53
2.67. Коаксиальная линия состоит из двух соосных цилиндриче-
цилиндрических проводников. Ток течет по внутреннему проводнику радиуса г\
и возвращается по внешнему цилиндрическому проводнику радиу-
радиуса г2. Определить индуктивность на единицу длины такой линии.
Внутренний проводник, как и внешний, считать полым и тонким в
сравнении с масштабами r\1 r2.
2.68. Имеется длинный соленоид с плотной намоткой и с маг-
нитомягким сердечником; радиус соленоида R, длина I, полное
число витков N, магнитная проницаемость сердечника /i. Найти
индуктивность соленоида.
2.69. Один и тот же ток идет по двум параллельным проводам в
противоположных направлениях. Провода имеют круглые сечения
радиуса г = 2 мм, а расстояние между ними d = 2 см. Найти
индуктивность единицы длины такой системы, учитывая поле только
вне проводов.
2.70. На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивности
их равны, соответственно, L\ = 0,5 Гн и L2 = 0,7 Гн. Чему равна их
взаимная индуктивность в отсутствие рассеяния магнитного потока?
2.71. Внутри длинного соленоида с плотностью намотки п,
вдали от его концов, расположен параллельно оси намагниченный
стержень с магнитным моментом т^. Найти магнитный поток Ф,
пронизывающий соленоид.
2.72. В плоскости ху расположен круглый виток радиуса Rq9
по которому течет ток I. Найти поток магнитной индукции через
заштрихованную часть плоскости ху, если R = 10 Rq (рис. 2.18).
2.73. Определить коэффициент самоиндукции коаксиала, обра™
зеванного соосно расположенным железным стержнем (/i ~ 1000)
и медной трубкой (/i ~ 1), замкнутыми на одном конце проводящим
диском. Длина стержня и трубки Л = 10 см, диаметр стерж™
ня 2г\ = 2 мм, внутренний диаметр трубки 2т*2 = 9 мм, на-
наружный — 2гз = 10 мм. Считать, что в стержне и трубке токи
равномерно распределяются по сечениям.
2.74. Нагрузкой мощного импульсного генератора служит легкая
проводящая оболочка — «лайнер» (на рис. 2.19 показан пунктиром).
Пробой
Н
Рис. 2.18
Рис. 2.19
54 ГЛАВА II
Вся система токопроводов аксиально симметрична и может считаться
идеально проводящей. Вскоре после срабатывания генератора в
подводящем коаксиале происходит пробой, шунтирующий выходной
узел. Как изменится ток в лайнере, когда последний сожмется под
действием силы Ампера в 10 раз? R = 5 см, Н = 2 см, h = 1 см,
г о = 4 см, г = 2 см.
2.75. Прямоугольная рамка а хЬ лежит в одной плоскости с пря-
прямым проводником, по которому течет ток J, и который расположен
параллельно стороне 5, на расстоянии d > а от
ближайшей стороны (рис. 2.20). Какой заряд Q
пройдет через сечение провода рамки, если она
повернется вокруг ближайшей к проводу сторо-
ны b на угол ж и останется в этом положении?
Сечение провода рамки 5, удельное сопротив-
сопротивление р. Самоиндукцией рамки пренебречь.
2.76. Металлическое кольцо радиуса г и
ис* ' массы М падает в магнитном поле, у которого
вертикальная составляющая индукции зависит
от высоты h по закону В (К) = BqA — ah), где а — некоторая
константа. Плоскость кольца при падении горизонтальна, омическое
сопротивление кольца равно R. Пренебрегая индуктивностью коль-
кольца, найти зависимость скорости его падения от времени.
2.77. Соленоид длины I с числом витков N и сечением S
подключен к батарее с ЭДС $ через некоторое сопротивление R.
В соленоид вставлен сердечник из сверхпроводника той же длины,
но с сечением 5/2. Сердечник быстро вынимают из соленоида.
Определить ток в цепи в зависимости от времени.
2.78. Разборный трансформатор включен в сеть, причем ко вто-
вторичной обмотке подключена нагрузка. Как изменится ток в обмотках
при удалении части разборного сердечника?
2.79. Оценить коэффициент взаимной индукции Ж обмоток
трансформатора, считая число витков и магнитную проницаемость
сердечника известными, а сам сердечник —
замкнутым и односвязным, с периметром I и
площадью поперечного сечения S.
2.80. Медный диск радиуса 10 см вращает-
вращается в однородном магнитном поле, делая 100 обо-
оборотов в секунду (рис. 2.21). Индукция магнитно-
магнитного поля, перпендикулярного к плоскости диска,
равна 1 Тл. Две щетки, одна на оси диска, дру-
Рис-2-21 гая — на периферии, соединяют диск с внешней
цепью, включающей реостат с сопротивлением
10 Ом и амперметр, сопротивлением которого можно пренебречь,
как и сопротивлением самого диска. Что показывает амперметр?
2.81. Намагниченная пуля пролетает вдоль оси тонкой плоской
катушки, соединенной с баллистическим гальванометром через иде-
идеальный выпрямляющий элемент. Пуля намагничена вдоль своей оси,
ее размеры малы в сравнении с диаметром катушки D. Опреде-
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 55
лить магнитный момент пули га, если известно, что гальванометр
отклонился после пролета пули на угол (р. Известны баллистическая
постоянная гальванометра Ъ [рад/Кл], число витков катушки п и
сопротивление цепи R.
2.82. По длинному идеально проводящему соленоиду длины I
течет постоянный ток Iq. Как будет меняться ток во времени, если
растягивать и сжимать соленоид таким образом, чтобы длина его
менялась по закону I = Iq + a cos ut ?
2.83. Два диска с радиусами R\ и i?2 вращаются в одном
направлении с угловой скоростью ш в однородном магнитном поле
с индукцией В7 перпендикулярном их плоско-
плоскости (рис. 2.22). Центры дисков присоединены
к обкладкам конденсатора С±, а ободы —
через скользящие контакты к обкладкам кон-
конденсатора С2. Найти разности потенциалов на
конденсаторах.
2.84. В ускорителе электронов — бета-
бетатроне — роль ускоряющего напряжения игра- Рис 2 22
ет ЭДС индукции, возбуждаемая изменением
магнитного потока, пронизывающего орбиту
электрона. Электроны же при этом движутся по орбитам примерно
постоянного радиуса. Определить необходимое для этого соотно-
соотношение между средним магнитным полем (B)(t), пронизывающим
орбиту электрона, и магнитным полем Bo(t) непосредственно на
орбите. Поле считать нормальным к плоскости орбиты.
6. Магнитное поле в веществе. Проводники в магнитном поле
1. Связь между макроскопическими полями:
где J — удельный магнитодипольный момент (намагниченность)
вещества.
2. То же в случае линейной связи:
J = %Н => В = /х/х0Н, /л = 1 + х-
3. Плотность энергии магнитного поля
w = ±ВН.
2
4. Магнитное давление
cm _ ¦'¦¦rtt
(УМ — —JLJJLJL.
2
5. Объемная плотность силы Ампера
56
ГЛАВА II
6. Сила, действующая на сердечник в соленоиде:
~ 2 dx I
dx J
2.85. По двум параллельным проводящим плоскостям текут ан-
антипараллельные токи с однородной линейной плотностью dl/dl = г
(рис. 2.23). Определить величину и направление дав-
давления на каждую плоскость.
2.86. Один из способов получения сверхсильных
магнитных полей — взрывное сжатие металлического
лайнера, подобного изображенному на рис, 2.24, внутри
которого предварительно создается магнитное поле с
индукцией Bq. Определить индукцию поля в цилиндре
в момент максимального сжатия, если Bq = 5 Тл,
начальный внутренний радиус лайнера Rq = 5 см,
радиус в момент максимального сжатия КШш = 0,5 см.
Оболочку считать идеально проводящей. Оценить дав™
ление, необходимое для такого сжатия.
2.87. На рис. 2.25. изображена схема электромагнитного насоса
для перекачки расплавленного металла. Участок трубы квадратного
сечения со стороной а = 1 см, заполненный металлом, помещен в
магнитное поле В = ОД Тл, перпендикулярное оси трубы; через этот
же участок, перпендикулярно как полю, так и оси трубы, пропускается
ток I = 100 А. Найти избыточный перепад давлений, созданный
насосом.
h
Рис. 2.23
Рис. 2.24
2.88. На расстоянии L = 10 см от прямого провода, по которому
течет ток 1\ = 10 кА, расположена квадратная рамка со стороной
I = 1 см, по которой течет ток /2 = 1 кА (рис. 2.26). Вся система
пребывает в одной плоскости. Найти силу взаимодействия между
проводом и рамкой.
2.89. В высокий цилиндрический сосуд радиуса R налит электро-
электролит. Внутри сосуда параллельно его оси расположен цилиндрический
металлический стержень радиуса го, поверхность которого покрыта
изолирующей краской (рис. 2.27). Расстояние между осями стержня
и сосуда равно d. В электролите течет параллельно оси равномерно
распределенный по сечению ток I, возвращающийся обратно по
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
57
Рис. 2.27
стержню. Найти силу, с которой магнитное поле,
созданное рассматриваемыми токами, действует на
единицу длины стержня. Куда эта сила направлена?
2.90. Два параллельных достаточно длинных
провода находятся на расстоянии 20 см друг от
друга. В них поддерживаются антипараллельные
токи силой 20 А каждый. Какую работу на единицу
длины проводов совершает магнитное поле при
удалении проводов на расстояние 40 см? Как
изменится при этом магнитная энергия на единицу
длины линии?
2.91. Вдоль равновесного цилиндрического
электронейтрального плазменного шнура (пинча)
течет ток I (рис. 2.28). Определить температуру
на оси пинча, считая температуру на его границе
пренебрежимо малой. Плотность тока и концентра-
концентрация частиц плазмы однородны по сечению, причем
известно число частиц на единицу длины dN/dz.
2.92. Две одинаковых небольших катушки рас-
расположены так, что их оси лежат на одной прямой
(рис. 2.29). Расстояние между катушками I = 10 см
существенно превышает их линейные размеры. Чис™
ло витков — N, площадь витков S = 10 см2. С
какой силой взаимодействуют катушки, когда по их
обмоткам текут одинаковые токи I = ОДА? Чему
равен коэффициент взаимной индукции катушек Ж1
2.93. Бесконечная плоская пластина изготов-
изготовлена из однородно намагниченного ферромагне-
ферромагнетика. Найти поля В и Н внутри и вне пластины,
если вектор J а) параллелен и б) перпендикулярен
плоскости пластины.
2.94. Длинный однородный цилиндр изготовлен из материала
с «замороженной» однородной намагниченностью, вектор которой
параллелен его оси. Индукция в точке А оказалась равной В а =
= ОДТл (рис. 2.30). Найти индукцию В вблизи торца короткого
цилиндра, изготовленного из того же материала, если h = 5 • 10~2D.
\А
Рис. 2.28
Рис. 2.29
Рис. 2.30
58
ГЛАВА II
2.95. Имеется подковообразный
электромагнит из тонкого железного
бруса с поперечным сечением S и ли-
линейными размерами, представленными
на рис. 2.31. Сила тока в обмотке I, число
витков обмотки N, магнитная проница-
проницаемость сердечника и якоря равна /л. Как
велика подъемная сила электромагнита?
2.96. Длинный сердечник из мате™
риала с /л = 100 втягивается с силой
F = 10 Н в длинный прямой соленоид,
по которому течет ток I = 10 А. Сер™
дечник занимает все сечение соленоида
и вставлен на глубину, значительно
превышающую его диаметр. Найти ко™
эффициент самоиндукции L соленоида (без сердечника), если его
длина I = 0,5 м.
2.97. Длинный цилиндрический стержень с магнитной проница-
проницаемостью /л и площадью сечения S расположен вдоль оси соленоида
так, что один его конец находится внутри, а другой — вне солено-
соленоида. Найти силу F, с которой стержень втягивается в соленоид с
собственным полем Н.
2.98. На железный сердечник постоянного сечения длиной I = 1 м
с зазором А = 1 мм намотана катушка с числом витков N = 1600, по
которой течет ток I = 1 А (рис. 2.32а). Зависимость В(Н) материала
сердечника представлена на (рис. 2.326). Определить поле в зазоре.
Рис .2.31
2500 5000
Я/71, А/м
2г
Рис. 2.32
Рис. 2.33
2.99. Катушка, имеющая N витков, намотана на железный
тороидальный сердечник с проницаемостью /л (рис. 2.33). Радиус
тора R, радиус сечения сердечника г 4С R. Тор разрезан на две
половины, раздвинутые так, чтобы образовался воздушный зазор
d<^r. Определить силу притяжения между половинками тора, если
в обмотке течет ток I.
2.100. В сердечнике электромагнита имеется малый зазор I, в
котором помещена пластинка из того же материала (рис. 2.34.). Какую
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
59
работу нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить
пластинку из зазора? Периметр сердечника равен L, сечение всюду
одинаково и равно S, магнитная проницаемость /i ^ 1, ток через N
витков обмотки равен I. Рассеянием магнитного поля пренебречь.
Я
Рис. 2.34
Рис. 2.35
Рис. 2.36
2.101. Железный цилиндр длиной L = 10 см и радиуса г = 1 см
помещен внутрь длинного соленоида, по которому пропускается пе-
переменный ток с частотой v = 50 Гц. Ток перемагничивает цилиндр от
—-Внас до Вшс и затем от Вшс до —-ВНас- Оси соленоида и железного
цилиндра параллельны. Петлю гистерезиса данного образца можно
аппроксимировать кривой прямоугольной формы, представленной
на рис. 2.35. Подсчитать, какое тепло выделится в сердечнике за
время At = 1 мин.
2.102. Безграничная плоская магнитная пленка толщины h вклю-
включает одну доменную стенку G, разграничивающую две полуплоско-
полуплоскости с противоположной намагниченностью =pJo (рис. 2.36). Вектор
Jo ортогонален к пленке. Пленка помещена в однородное электри-
электрическое поле Е || Jq. Над границей раздела на расстоянии L ^> h
параллельно ей движется с постоянной скоростью электрон. При
какой величине Е такое движение возможно?
7. Квазистационарное электромагнитное поле.
Переменный ток
1. Уравнение колебательного контура:
dt2
dt С
или
dt
I Г
- j Idt = 0.
2. Колебания в контуре описываются следующей зависимостью:
х = Ae^St cos(W + (р),
60 ГЛАВА II
или
х = Ae~xp(iujt — St + i(p)j
где
3. Добротность контура
I2nW
R ATW
где W — запасенная в контуре энергия, a AtW — потери энергии
за 1 период колебаний Г.
4. Импедансы конденсатора, индуктивности и резистора
17с = — J, UL = iujLI, UR = IK
iuoC
5. Импеданс последовательного контура
6. Фазовый сдвиг между током и напряжением
7. Среднее по периоду энерговыделение:
(W) = -IqUqcoslp.
8. Резонансная частота
О = ш® = .
9. Ширина резонансной кривой
10. Глубина скин-слоя
11. Интегральное преобразование Фурье:
сю ос
р
iujt)duj, fw = — f(i)exQ(iu)t)dt.
; 2тг J w v '
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
61
2.103. Для нагрева электропечи до нужной температуры Т при
питании постоянным током требуется 5 А. Если через обмотку
печи пропускать переменный ток после однополупериодного вы-
выпрямителя, то какие показания должны давать включенные в цепь
а) амперметр постоянного тока, б) амперметр переменного тока,
чтобы печь имела нужную температуру?
2.104. Вольтметр магнитоэлектрической системы, присоединен-
присоединенный к выпрямителю, показывает 100 В. Каково амплитудное значе-
значение напряжения, даваемое выпрямителем, если выпрямитель а) од-
нополупериодный; б) двухполупериодный?
2.105. Вблизи катушки колебательного контура с параметра-
параметрами LijCjR расположена вторая катушка с индуктивностью L<i
(рис. 2.37). Взаимная индуктивность катушек равна Ж. Какой бу-
будет частота собственных колебаний контура, если выводы второй
катушки замкнуты накоротко? Считать, что активное сопротивление
второй катушки пренебрежимо мало. При каком условии резонанс
недостижим?
Рис. 2.37
Рис. 2.38
Рис. 2.39
2.106. Последовательно соединенные дроссель и омическое со-
сопротивление присоединены к источнику постоянного напряжения
ЭДС $ (рис. 2.38). Индуктивность дросселя, когда в него вставлен
железный сердечник G, равна L±, а без сердечника — 1/2. Вначале
сердечник был вставлен, ток в цепи установился. В момент времени
t = 0 сердечник очень быстро вынимают (за время, много меньшее
времени релаксации). Определить ток в цепи I(t) при t > 0.
2.107. В схеме, изображенной на рис. 2.39, в некоторый момент
времени замыкают ключ К, и конденсатор емкости G, имеющий пер-
первоначальный заряд до, начинает разряжаться через катушку индук-
индуктивности L. Когда ток разряда достигает максимального значения,
ключ К вновь размыкают. Найти заряд Q, который протечет через
сопротивление R. Сопротивление диода D в прямом направлении
много меньше R, в обратном — бесконечно велико.
2.108. Цепь, состоящая из последовательно соединенных ре-
резистора R и катушки большой индуктивности L присоединена к
источнику, поддерживающему на зажимах постоянное напряжение
U® (сеть постоянного тока). Для ограничения перенапряжении при
отключении источника параллельно с зажимами включают некото-
некоторый конденсатор емкости С (рис. 2.40). Определить напряжение
62
ГЛАВА II
С
Рис. 2.40
Рис. 2.41
Рис. 2.42
J
на конденсаторе U(t) после отключения источника. Параметры
удовлетворяют условию L/C > R2/4.
2.109. Две одинаковые катушки, намотанные на общий каркас,
включены последовательно в колебательный контур с емкостью С
двумя способами (рис. 2.41). При этом резонансные частоты оказа-
оказались равны ы\ и uJj соответственно. Найти индуктивность каждой
катушки и коэффициент их взаимной индукции.
2.110. К высокодобротному колебательному контуру L\,C\
с известной резонансной частотой ш может быть подключена
ключом К последовательно цепочка Ь2^2 (рис. 2.42). При этом
резонансная частота не изменяется. Определить коэффициент вза-
взаимной индукции катушек.
2.111. Высокодобротный колебательный контур включает две
последовательно соединенных катушки с индуктивностями L\^L2
(рис. 2.43). После того, как катушку L2 замкнули
накоротко, частота собственных колебаний кон-
контура не изменилась. Определить коэффициент
взаимной индукции катушек.
2.112. Колебательный контур содержит ий-
дуктивноеть и емкость. В некоторый момент
из конденсатора быстро извлекают пласти-
пластину с диэлектрической проницаемостью е = 4.
Как изменится частота колебаний контура? Во
сколько раз изменятся максимальные величины
заряда на конденсаторе и тока в катушке, если
пластину извлекают в момент, когда заряд на
конденсаторе а) отсутствует и б) максимален?
2.113. Длинный соленоид с плотной на™
моткой размещен на цилиндрическом железном
сердечнике с магнитной проницаемостью /i и
проводимостью А. Соленоид замкнут на кон™
денсатор, в результате чего образован кон™
тур с резонансной частотой ш (рис. 2.44).
Радиус сердечника г о, утечки в конденсате™
ре несущественны, обмотку и соединитель™
ные провода можно считать идеально проводящими. Определить
добротность контура.
Рис. 2.43
2г0
С-
А
J
Рис. 2.44
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
2.114. Оценить глубину скин-слоя San в зависимости от па-
параметров проводящей среды в пределе высоких частот, когда она
становится меньше длины свободного пробега электронов 1е.
2.115. Для изображенной на рис. 2.45 схемы определить частоты
источника ЭДС, соответствующие резонансам токов и напряжений.
Построить график сдвига фазы тока I относительно ЭДС источника
(d в зависимости от частоты источника, считая все активные сопро-
сопротивления пренебрежимо малыми.
2.116. Железный сердечник несет на себе две обмотки (рис. 2.46).
Одна обмотка, из большого числа п витков, присоединена к источ-
источнику синусоидальной ЭДС $.
Другая обмотка состоит из од-
одного однородного кольца, со-
сопротивление которого R. Точки
L/2
(A)
i
/б
Рис. 2.45
Рис. 2.46
\Г)%
С
\R
Рис. 2.47
Д Л, С этого кольца отстоят друг от друга на равных расстояниях.
Если к двум из этих точек присоединить амперметр переменного
тока с сопротивлением г, что он покажет? Рассмотреть два варианта
подключения, обозначенных на рис. 2.46.
2.117. Цепь переменного тока показа- L г
на на рис. 2.47. Определить: а) сдвиг фазы
между напряжением на конденсаторе и
током через сопротивление; б) сдвиг фазы
между напряжением на сопротивлении R
и ЭДС всей цепи.
2.118. Разделительный трансформа-
трансформатор имеет две одинаковых обмотки, у каж-
каждой из которых индуктивное сопротивле-
сопротивление на рабочей частоте в п = 5 раз больше
омического. Найти отношение мощностей,
потребляемых в первичной цепи при зам-
замкнутой и разомкнутой вторичной цепи.
2.119. На вход схемы, изображенной
на рис. 2.48, подается синусоидальное
напряжение с частотой ш. Исследовать
зависимость амплитуды и фазы выходно-
выходного напряжения от величины сопротивле™
ния R. Рис. 2.48
R
R
иш
64
ГЛАВА II
2.120. Колебательный контур включает конденсатор е утечкой,
т.е. часть тока, поступающая на одну из обкладок, проходит через ела-
бопроводящий диэлектрик на другую обкладку. Считая параметры
контура известными и пренебрегая всеми сопротивлениями, кроме
сопротивления утечки R, вывести уравнение собственных колебаний
контура.
2.121. При изменении частоты v вынуждающей силы, действую-
действующей на линейную колебательную систему, меняется фаза 8 устано-
установившихся колебаний системы и запасенная в ней энергия W. Пусть
при малом сдвиге частоты от резонанса 5и = 1 Гц фаза колебаний
6 изменилась на тг/4. Как изменится при этом энергия W? Каково
время затухания системы т в режиме установившихся колебаний?
2.122. Найти спектры следующих колебаний: 1) f(t) = A cos2 out
(квадратичное преобразование монохроматического сигнала);
2) f(t) = А{1 + mcosut) сов out при п «С ои^т < 1 (амплитудная
модуляция); 3) f(t) = Acos[out + тcosШ] при О <С ш, т < 1
(фазовая модуляция).
2.123. Колебательный контур (рис. 2.49) воз™
буждается синусоидальным напряжением U =
= C/q cos ooi, частота которого отличается от соб-
собственной частоты cj0? причем расстройка Аш =
= ш — ujq больше ширины резонансной кривой
Аш > 6. Можно ли раскачать колебания в кон-
контуре периодическим замыканием и размыканием
ключа К1 При какой частоте переключении О ам-
амплитуда колебаний в контуре будет максимальной?
2.124. Сигнал с выпрямителя имеет вид V(t), представленный
на рис. 2.50 а (половинки косинусоид). Его подают на схему,
изображенную на рис. 2.50 б. Контур L, С настроен на частоту cjq,
Д > ojoI и й > г. Считая этот контур идеальным, определить
форму сигнала VBblx(t).
2.125. Найти спектр одиночного прямоугольного импульса ам-
амплитуды А и длительности т.
Рис. 2.49
'AT
К
Рис. 2.50
Рис. 2.51
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 65
2.126. Плоский вакуумный диод подключен к источнику достоян-
ного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением
(рис. 2.51). Эмиссионная способность катода столь мала, что ток через
диод протекает в виде одиночных импульсов отдельных электронов,
каждый из которых имеет длительность т. Найти спектр сигнала на
измерительном приборе при прохождении такого импульса.
8. Уравнения Максвелла
1. Уравнения Максвелла в локальной форме:
dt ?
dlvD = p;
divB = 0.
2. Уравнения Максвелла в интегральной форме:
— Т 4- д
~ Е at
5
BdS = 0.
3. Материальные соотношения:
D = ё
В простейшем случае ё = е, (I = /i — константы вещества.
4. Граничные условия на произвольной поверхности раздела:
[Ет] = 0;
[В„] = 0;
[Dn] = 0 или а = dq/dS;
[Нг] = 0 или г = dl/dl.
5 Задачник
66 ГЛАВА II
5. Плотность энергии электромагнитного поля
w = -(ED + ВН).
6. Вектор Пойнтинга
7. Теорема Пойнтинга в интегральной форме:
- Isds.
V s
8. Теорема Пойнтинга в локальной форме:
— + divS = -jE.
dt
2.127. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков
радиуса R. Расстояние между дисками d<^t R. Пространство между
ними заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической и
магнитной проницаемостями е и /i. Конденсатор включен в цепь
переменного тока I = Iq cosut. Пренебрегая краевыми эффектами,
определить отношение максимальной магнитной энергии в конден-
конденсаторе к максимальной электрической.
2.128. Пространство внутри длинного соленоида, обмотка ко-
которого включает N витков, заполнено однородным веществом с
диэлектрической и магнитной проницаемостью, соответственно, е
и II. Известна длина соленоида I и радиус R. По обмотке течет
ток I = Jocoscjt. Пренебрегая краевыми эффектами, определить
отношение максимальной электрической энергии в соленоиде к
максимальной магнитной.
2.129. Имеется двухпроводная линия из идеального проводника
(без тепловых потерь). Одна пара концов линии присоединена к
генератору постоянного тока, другая — к некоторому сопротивлению
(нагрузке). Показать, что в этом случае вектор Пойнтинга S в про-
пространстве между проводами направлен вдоль проводов от генератора
к нагрузке. Как изменится картина, если учесть сопротивление
проводов?
2.130. Плоский воздушный конденсатор, обкладками которого
являются два одинаковых диска, заряжен до высокой разности по-
потенциалов, а затем отключен от источника напряжения. В центре
конденсатора происходит пробой — по оси проскакивает электриче-
электрическая искра и, как следствие, конденсатор разряжается. Считая разряд
квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, определить
полный поток электромагнитной энергии, вытекающий за время
разряда из пространства между обкладками.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 67
2.131. Цилиндрический нерелятивистский электронный пучок ра-
радиуса го распространяется в свободном пространстве. Электроны пуч™
ка летят параллельно, энергия их w, а концентрация п. Найти величину
и направление вектора Пойнтинга в любой точке пространства.
2.132. По металлическому проводнику, имеющему форму плос-
плоской ленты, течет ток с плотностью j. Носителями тока являются
электроны с концентрацией п. Найти величину и направление век-
вектора Пойнтинга в произвольной точке внутри проводника вдали
от края ленты. Считать толщину ленты много меньше ее ширины,
сопротивление не учитывать; /j, ~ 1.
2.133. Постоянный ток I течет по цепи, состоящей из резистора
сопротивлением R, длинной катушки радиуса г 2 с плотной намоткой
(линейная плотность витков п) и соосного
с катушкой прямого провода радиуса г\
(рис. 2.52). Пренебрегая сопротивлением
катушки и провода, найти аксиальную Sz
и азимутальную S^ компоненты вектора
Пойнтинга внутри катушки вдали от ее
торцов. Найти также полный поток энер-
энергии через сечение катушки.
2.134. Длинный соленоид (длина I, Рис-2-52
радиус г, число витков N) подключается к
источнику постоянной ЭДС $ через сопротивление R (сопротивлени-
(сопротивлением самого соленоида можно пренебречь). Найти электромагнитную
энергию, втекающую в соленоид в процессе установления тока, и
сравнить ее с магнитной энергией соленоида LI2/2.
9. Электромагнитные волны
1. Плотность импульса электромагнитного поля
Ф 1 /г» фэм S ГЕН]
^7 = Т*"» Где 4w = ngY =^ ^7 = 1 = 2 •
dV с2 dV с2 с2
2. Плоская волна (одномерный случай):
/(ж, t) = Acos(kx — ut + ф) или f(x,t) = Aex.p[i(kx — wt + tp)].
3. Плоская волна (трехмерный случай):
/(г, t) = Ао exp[i(kr -ut + (f)}.
4. Волновое уравнение в вакууме:
или
dt2
c2V2B
, С
I
д2Е _ ^
dt2
1
2 2
1016(m/cJ,
68 ГЛАВА II
5. Волновое уравнение в прозрачной среде:
^ = «2V2E, где « = ?
t2
6. Закон дисперсии электромагнитных волн:
и;2 = к2с2.
7. Плотность энергии в электромагнитной волне
н = -4
8. Плотность импульса в электромагнитной волне
' dp \ S k (w)
\dV/ ~ с2 ~ 1 с
9. Давление света на черную поверхность
dSdt x '
10. Мощность излучения колеблющегося диполя
1 2 4
w = РоШ
12ТГ?О С3
11. Соотношения между углами падения, отражения и прелом-
преломления:
/ sin ер пц
sin t/? щ
где ni, пц — показатели преломления первой и второй среды.
12. Формулы Френеля:
sln((/? — ф) # , 2 sin ^ cos у? #
sin(y? + 0) sin(? + ^)
_, ф), +i _ 2sin^cos^
ф) " sin(y? + ф) cos((p — ф)
13. Угол Брюстера (угол полной поляризации света, отраженного
от поверхности диэлектрика):
(рв = arctgn.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 69
2.135. Мощный СВЧ-генератор питает через волновод переда-
передающую антенну. Генератор посылает в волновод мощность Nq =
= 100 кВт, которая частично излучается антенной, а частично от-
отражается и поглощается в специальных нагрузках обратной волны.
В волноводе, как следствие, возникает суперпозиция прямой и
отраженной волн. Найти мощность NBMX, излучаемую антенной, если
коэффициент стоячей волны в волноводе I = Етж/Ет\п = 2.
2.136. Рассматривая импульс, представляющий собой суперпози-
суперпозицию двух монохроматических волн с близкими по величине частота-
частотами ш\, Ш2 и волновыми числами к\, &2, определить фазовую скорость
биений (так называемую групповую скорость волн).
2.137. Плоская монохроматическая электромагнитная волна ча-
частоты ш падает нормально на плоскую гладкую поверхность провод-
проводника. Проводимость материала А, магнитная проницаемость /х ~ 1.
Оценить коэффициент отражения по мощности и амплитуде.
2.138. Плоская монохроматическая электромагнитная волна
падает нормально на отражающую поверхность, частично поело
щается, а частично отражается. В пространстве перед зеркалом
образуется суперпозиция падающей и отраженной волн, причем
коэффициент стоячей волны — отношение амплитуды в пучности
к таковой в узле — равен I = 10. Определить коэффициент отра-
отражения по мощности.
2.139. Электрон совершает циклотронное вращение в однород-
однородном магнитном поле В. Получить зависимость его энергии от
времени и оценить, сколько оборотов он сделает до остановки.
2.140. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверх-
поверхность стекла с показателем преломления п = 1,5. Найти интенсив-
интенсивность (Е2)г отраженной волны, полагая величину (E2)i известной.
2.141. Электромагнитное излучение заданной интенсивности
{E2)i падает по нормали из вакуума на поверхность диэлектрика
с диэлектрической проницаемостью е. Определить давление на
поверхность раздела сред.
2.142. Определить степень поляризации преломленного света,
если первичный поток неполяризованного света падает под углом
Брюстера из пустоты на поверхность стекла с показателем прелом-
преломления п — 1,5.
2.143. Переменное электромагнитное поле с характерной часто-
частотой ш создается на границе слабопроводящей диэлектрической среды
с параметрами ?, /i, Л <С squ. Определить характерную глубину
проникновения.
2.144. Лазером СО2 излучаются электромагнитные волны на двух
близких частотах v\, V2 при средней вакуумной длине волны А =
= 10,6 мкм. После смешения в нелинейном кристалле с излучением
лазера на неодимовом стекле (Aq = 1,06 мкм) образуются волны с
комбинационными частотами v\ + щ, V2 + щ. Установлено, что
соответствующие им длины волн отличаются на 6А = 0,5 нм.
Определить разность длин волн А А излучения С О2 -лазера.
70 ГЛАВА II
10. Газовый разрмд. Элементы физики плазмы
1. Проводимость ионизованного газа
2. Магнитное давление
3. Объемная плотность архимедовой силы
p
r dt
4. Квазинейтральность пе =
5. Плазменная частота
6. Радиус дебаевского экранирования
VTe еокТ
шре у пе2
7. Высокочастотный предел диэлектрической проницаемости
плазмы
? ~ ~ ^Р'
8. Закон дисперсии электромагнитных волн в плазме:
2.145. В пространстве между пластинами плоского конденсатора,
заполненного газом и подсоединенного к батарее, образуется пара
ионов с зарядами ±е. Найти зависимость тока в цепи от времени,
считая подвижность каждого из них постоянной величиной. Какой
интегральный заряд протечет в цепи в результате движения ионов?
2.146. Площадь электродов плоского газонаполненного диода
S = 10 см2, межэлектродный зазор а = 10 см. В режиме несамо-
несамостоятельного разряда ток насыщения Is = 10^6 А. Какое количество
элементарных зарядов того и другого знака создается ежесекундно
внешним ионизатором в 1 см3?
2.147. Мощный источник тока создает в тонкой цилиндрической
плазменной оболочке ток I = 5 • 106 А, параллельный оси и равно-
равномерно распределенный по азимуту. Внутри оболочки предварительно
создано магнитное поле Bq = ОД Тл. Начальный радиус цилиндра
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 71
До = 20 см. В дальнейшем под действием тока оболочка сжимается
по радиусу. Считая ее идеально проводящей, оценить, при каком
радиусе ускорение оболочки поменяет знак.
2.148. Плоский конденсатор заполнен плазмой со средней кон-
концентрацией электронов и ионов щ и температурой Г. Расстояние
между пластинами а, разность потенциалов U. Пренебрегая током
через плазму и считая eU <C к^Т, определить пространственную
зависимость потенциала между обкладками.
2.149. Электромагнитная волна падает на поверхность плазмы,
концентрация которой растет вглубь, а на поверхности много меньше
критической. Угол падения <9, частота волны ы. Какой концентрации
соответствует поверхность, от которой произойдет отражение? Будет
ли угол отражения равен углу падения?
2.150. В плазме находится дипольный излучатель, на который
подается переменное напряжение с частотой ш. При какой концен-
концентрации электронов плазмы он перестает излучать электромагнитные
волны?
2.151. Концентрация электронов на Солнце на расстоянии г =
= 0,06Д от границы фотосферы (Д ~ 7 • 108 м — радиус Солнца)
примерно равна п ~ 2 • 1014 м^3. Могут ли радиоволны из этой
области Солнца достигать Земли, если вакуумная длина волны равна
1) Юм; 2) 1 м?
2.152. Через конденсатор колебательного контура с резонансной
частотой ujq = 107 с^1 параллельно пластинам пропускается
электронный пучок, полностью заполняющий пространство между
ними. Ток пучка 1=1 мА, энергия пучка W = 1 кэВ, сечение пучка
S = 100 см2. Как изменится резонансная частота?
Глава III
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. Кинематика колебаний
1. Гармоническим колебанием называется колебание, описывае-
описываемое уравнением вида
S(t) = acos(u)t + <?>),
где ш = 2тг/Т — круговая частота, Т — период колебаний, а —
амплитуда, (ut + ф) — фаза, (р — начальная фаза.
Гармоническое колебание изображается вектором, длина кото-
которого равна амплитуде колебаний, а угол наклона (относительно
горизонтальной оси) — начальной фазе колебаний.
Сумму двух гармонических колебаний одинаковой частоты и с
амплитудами а\ и п2 и начальными фазами <pi и (f2 можно найти
по правилу сложения векторов. Амплитуда а суммарного колебания
определяется равенством
а2 = а\ + а\ + 2а\а2 cos(y?i — еря)-
Гармоническое колебание можно записать в комплексной форме:
V(t) = аег^^ = Аегш\
где Ае%кр — комплексная амплитуда.
2. Фазовая траектория гармонического колебания изображает
колебательный процесс в координатах 5, к и соответствует семейству
эллипсов:
с полуосями а и аи. Изображающая точка движется по эллипсу по
часовой стрелке, совершая один оборот за время Т = 2тт/ш.
Модулированное колебание записывается в виде
S(t) = a(t) cos[w0t + tp(t)],
где a(t) определяется законом амплитудной модуляции, a (p(t) —
законом фазовой модуляции.
3. Биения — результат сложения двух гармонических колебаний
с близкими частотами Si = acos(a;o — ft)t ш S2 = acos(ujQ + u)t
(п <С uq). Результирующее колебание
S(t) = 2a cos Qt cos u$b
можно рассматривать как колебание частоты ljq, амплитуда которого
A(t) меняется по закону A(t) = 2a| cos Ot|. Период биений Г =
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 73
= тг/О много больше периода «несущего» колебания с периодом
Го = 2tt/cjo при условии Q <С ш®.
4. Спектральное разложение — представление колебательного
процесса S(t) в виде суммы гармонических колебаний:
2nCOs@Jnt + (fn).
71=1
Комплексная форма спектрального разложения записывается в
виде
S(t) =
где сп — комплексные коэффициенты, связанные с ап и <рп равен-
равенствами
сп -—е , С—п сп.
Следует иметь в виду, что S(t) — действительная функция. От-
Отрицательным п соответствуют формально введенные отрицательные
частоты ш^п = ^шп.
Спектральное разложение периодической функции S(t) с перио-
периодом Г:
оо
S(t) = У ап cos(no;o + (рп)
является суммой гармонических колебаний с кратными частотами
шп = пшо, где шо = 2тт/Т. Амплитуды ап и начальные фазы (рп
находятся с помощью равенств:
Т/2 Т/2
г Г
«о = — S(t)dt, ап = у Ь^
j
Т/2
Т/2
п
dn = - S(t) sin uotdt, (fn = ^ - arctg y-, <po = 0,
-T/2
В общем случае непериодическая функция S(t) представляется в
виде непрерывной суммы (интеграла Фурье):
S(t) = — [ С(ш)еш<1ш.
74
ГЛАВА III
При заданной форме сигнала S(t) его спектр (преобразование
Фурье) С(ш) определяется с помощью равенства
С{ш)= S(t)e-tuJtdt.
— (X)
Соотношение неопределенности связывает ширину спектра Да;
с длительностью сигнала At:
Аи)At ~ 2тг.
5. Векторные колебания. Если вектор S имеет координаты Sx и
Sy, меняющиеся по гармоническому закону с частотой ш, т.е.
Sx = А\ cos(u)t + <pi), Sy = А2 cos(u)t + ^2I
то конец вектора S движется в плоскости ху по эллипсу, уравнение
которого имеет вид
X
If
2ху
2 — (pi) =
При (pi = Lp2 эллипс вырождается в прямую у = (A2/Ai)x,
лежащую в первом и третьем квадрантах. При (fi — (f2 = ±^" —
в прямую у = —(A2/Ai)x, лежащую во втором и четвертом квадран-
квадрантах. При условии <pi — <Р2 = =Ьтг/2 уравнение эллипса принимает вид
X
А*
А\
= 1.
3.1. Для графиков, изображенных на рис. 3.1, найдите амплитуду
частоту и начальную фазу гармонических колебаний.
3.2. Постройте графики еле™
дующих гармонических колеба-
колебаний: S\{€) = 2 cos edit, *$2(t) =
= cos(a;t+-),Sr3 = 3cos(a;?+-),
uji = 200тг рад/с, ш = ЮОтг рад/с.
Рис. 3.1
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 75
Изобразите колебательные процессы Si(t), S2(t) и Ss(t) в виде
векторов. Найдите комплексную амплитуду этих колебаний. Най-
Найдите амплитуду и начальную фазу колебания, являющегося суммой
колебаний $2 и S%.
3.3. Найдите разность фаз двух гармонических колебаний оди-
одинаковой частоты и амплитуды, если а) амплитуда суммарного коле-
колебания равна амплитуде слагаемых колебаний; б) в л/2 раз больше
амплитуды слагаемых колебаний.
3.4. Используя векторное изображение, найдите сумму N коле-
колебаний одинаковой частоты и амплитуды, фазы которых составляют
арифметическую прогрессию (рп = па, п = О,1,2... , JV ™- 1. При
каких а амплитуда суммарного колебания максимальна и чему она
равна?
3.5. Напишите уравнения фазовых траекторий для колебаний Si,
S2, S3 (см. зад. 3.2). Найдите положение изображающей точки на
фазовой плоскости для этих колебаний в момент времени t = 0.
Докажите, что точка, изображающая состояние системы, движется
по фазовой траектории по часовой стрелке.
3.6. Напишите уравнения модулированных колебаний с несущей
частотой ш, начальной фазой (рд и законом амплитудной модуляции:
a) ai(t) = 2ад соб2 Ш; б) в2 = 1 + mcosQt, т ^ 1.
Объясните смысл условия т ^ 1 в выражении для a,2(t).
3.7. Каковы уравнения фазово-модулированных колебаний с несу-
несущей частотой ш, амплитудой а и законом фазовой модуляции:
a) (p(t) = га cos Ш; б) cp(t) = Ш.
Дайте векторную интерпретацию модулированных колебаний в за-
задачах 3.6 и 3.7 при О <С ш.
3.8. Найдите результат сложения двух гармонических колебаний
одинаковой амплитуды с близкими частотами ш шш + п, п <^ш. Ка-
Каков закон изменения во времени амплитуды суммарного колебания?
3.9. При сложении двух гармонических колебаний с близкими
частотами ш и ш + О, Q <С ш интенсивность суммарного колебания
изменяется вдвое. Каково отношение интенсивностей слагаемых
колебаний?
3.10. Найдите спектр следующих гармонических колебаний:
1) Si(t) = acos2a;ot; 2) S2{t) = a(l + mcosut) cosujot; 3) Ss(t) =
= a cos(a?ot + mcos Ш) прит<1. Дайте графическое изображение
спектральных разложений. Сравните спектры колебаний $2 и S%. В
чем их различие? (При разложении в спектр колебания S% членами
порядка т? и выше пренебречь.)
3.11. Найдите спектр периодической последовательности пря™
моугольных импульсов длительности т. Период следования им™
пульсов Т.
3.12. Найдите спектр прямоугольного импульса длительности т,
сравните его со спектром периодической последовательности пря-
76
ГЛАВА III
моугольыых импульсов. Найдите ширину спектра и проверьте спра-
справедливость соотношения неопределенностей.
3.13. Найдите спектр цуга — обрывка косинусоиды S(t) =
= p(t) cos uiQt, где p(t) — прямоугольный импульс длительности т.
3.14. Проекции вектора S изменяются по гармоническому закону
Sx = aicos(u)t + (pi), Sy = a2cos(ujt + 992), Sz = 0. Докажите,
что конец вектора S описывает в плоскости ху эллиптическую
траекторию. Каково уравнение эллипса? Покажите, что этот эллипс
вписан в прямоугольник со сторонами а\, а,2, ориентированны-
ориентированными вдоль осей х и у. Рассмотрите частные
случаи (fi =
— ?>i = =Ь-.
Рис. 3.2
Каково движение конца вектора S по эллипсу
в последнем случае?
3.15. Проекции вектора S меняются по гар-
гармоническому закону: Sx = а\ cos(nut + (pi),
Sy = «2 cos(mujt + (f2), Sz = 0, где пит —
целые числа. Конец вектора S описывает пло-
плоскую траекторию, которая называется фигурой
Лиссажу. Показать что эта фигура — замкнутая
кривая. Как относятся периоды по ж и по у в случае, изображенном на
рис. 3.2? Какой вид имеет фигура Лиссажу при п = га?
2. Свободные колебания в линейных системах
1. Уравнение гармонического осциллятора без затухания:
где ujQ — собственная частота; ш® = ук/т для груза массы га,
колеблющегося на пружине жесткости к, и ш® = \j\jLC для LC-
колебательного контура. Свободные колебания являются гармониче-
гармоническими S(t) = Acos(u)Qt + (р), где А и (р определяются начальными
условиями, т.е. значениями S шБв начальный момент времени t = 0.
2. Гармонический осциллятор с затуханием описывается уравне-
уравнением
S + 2SS + ujIS = 0.
Здесь S — коэффициент затухания, равный R/2L для колебательного
контура и а/2т для груза, колеблющегося на пружине в среде с
вязким трением F = —aS.
3. Процесс колебаний имеет вид
S(t) = Ае cos(u)t + (р) при 6 <
ш
= v42 - *2,
где
= -S±
при
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
77
S(t) = (А + Bt)e^st при 8 = и0.
4. Логарифмический декремент затухания
«n+i N
где an, an+i — амплитуды двух последовательных отклонений, Т —
период колебаний, N — число колебаний за время затухания т = 1/6.
5. Добротность осциллятора Q = тт/d. Для осциллятора с малым
затуханием (8 <С cjq) добротность
AW
где W — энергия колебаний, a AW — потери энергии за время,
равное одному периоду колебаний.
3.16. Используя второй закон Ньютона, вывести уравнение малых
колебаний в системах, показанных на рис. 3.3: а) математический
маятник — материальная точка массы га, подвешенная на нерастя-
нерастяжимой нити длины I; б) физический маятник — твердое тело массы
т, которое может свободно вращаться относительно оси О, момент
У////////////////////////////////,
Рис. 3.3
инерции относительно оси равен J; в) пружинный маятник —
брусок массы га, лежащий на гладком горизонтальном столе,
прикрепленный с помощью пружины жесткости к к вертикальной
стенке. Показать, что уравнения малых колебаний во всех трех
случаях имеют математически тождественный вид s + uj2s = 0,
где s = а — угол отклонения маятника от положения равновесия
в примерах а и б и s = х — смещение бруска от положения
равновесия в примере в. Доказать, что свободные колебания во всех
трех случаях являются гармоническими. Каков период колебаний
в системах а, б, в?
78 ГЛАВА III
3.17. Вывести уравнение малых колебании в идеальном электри-
электрическом контуре (рис. 3.4), считая емкость конденсатора равной G,
индуктивность катушки L. Предполагается, что
? 1 условие квазистационарности выполнено. Пока-
Показе ~\~С зать, что уравнение малых колебаний имеет вид
q + и q = 0, где q — заряд конденсатора. Найти
Рис 3 4 период колебаний.
3.18. Найдите период малых колебаний элек-
электрического диполя с дипольным моментом р, на-
находящегося в однородном электрическом поле напряженности Е.
Момент инерции диполя относительно оси, проходящей через его
центр, равен J.
3.19. Согласно модели Томпсона, атом представляет собой поло-
положительно заряженное облако радиуса R с равномерно распределен-
распределенным зарядом q. Внутри облака колеблется отрицательно заряженный
точечный электрон с зарядом —q. Найти частоту колебаний элек-
электрона, полагая радиус облака, определяющий размер атома, равным
R = 10"8 см.
3.20. Рассмотрев примеры колебательных систем в задачах 3.16-
3.19, вывести уравнения малых колебании, используя закон сохра-
сохранения энергии. Убедиться в том, что к уравнению гармонического
осциллятора приводит квадратичный закон изменения потенциаль-
потенциальной энергии.
3.21. Вывести уравнение малых колебаний в системах, изобра-
изображенных на рис. 3.5. Найти период колебаний если к\ и &2 —
жесткость пружин.
3.22. Вывести уравнение колебаний камня в тоннеле, прорытом
от одного полюса Земли до другого. Радиус Земли R = 6400 км.
Найти период колебаний, полагая плотность Земли постоянной.
3.23. Найти частоту колебаний двух тел с массами т\ и Ш2,
связанных пружиной жесткости к (рис. 3.6).
3.24. Найти отношение частот колебаний молекулы Щ и молеку™
лы HD, считая, что сила взаимодействия атомов в молекуле пропор™
циональна относительному смещению ядер из положения равновесия.
а °^ С ^°
О • О
б ^ ^
7777777777777777777777
Рис. 3.5 Рис. 3.6 Рис. 3.7
3.25. Возможны два типа линейных колебаний молекулы ОСЬ:
а) ядро углерода неподвижно, а ядра кислорода движутся в про
тивоположных направлениях и б) ядра кислорода движутся с оди-
одинаковыми скоростями навстречу ядру углерода (рис. 3.7). Найти
отношение частот этих колебаний.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
79
Рис. 3.8
km? Найти
3.26. Ящик массы М находится на гладкой горизонтальной
плоскости. Внутри ящика брусок массы га прикреплен пружиной
жесткости к к боковой стенке и может сколь-
скользить без трения по дну ящика (рис. 3.8). Опре- li ь ~~11 м
делить период его колебаний.
3.27. Найти период вертикальных колеба-
колебаний жидкости в U-образной трубке, если общая
длина столба жидкости I . Силами поверхност-
поверхностного натяжения пренебречь.
3.28. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктив-
индуктивности и конденсатора, через ключ подключен к источнику с ЭДС
$ и внутренним сопротивлением г (рис. 3.9). Первоначально ключ
замкнут. После установления стационарного
режима ключ размыкают, и в контуре возникают
колебания с периодом Т, при этом амплитуда
колебаний напряжения на конденсаторе в п
раз больше ЭДС батареи. Найти индуктивность
катушки и емкость конденсатора.
рис з 9 3.29. При колебаниях груза на пружине в
жидкой или газообразной среде сила сопро-
сопротивления при небольших скоростях пропор-
пропорциональна скорости F = — 7V- Вывести уравнение колебаний.
Каков закон колебаний при 7 < 2 у'km и при
потери энергии за один период колебаний.
3.30. Показать, что если рассеиваемая мощ-
мощность при колебаниях линейного осциллятора
пропорциональна квадрату скорости, то си-
сила сопротивления пропорциональна скорости.
3.31. Каков закон изменения во времени
заряда на конденсаторе колебательного контура
L, С, R после замыкания ключа (рис. ЗЛО)? Рис. ЗЛО
Начальный заряд конденсатора до- Рассмотреть
случаи R < 2^/L/C, R > 2^/L/C. Найти потери энергии за один
период колебания.
3.32. Выразить добротность колебательного контура с малым
затуханием R/BL) <C \j\jLC через его параметры L, G, R. Решить
ту же задачу для пружинного маятника, масса груза га, жесткость
пружины к, если сила сопротивления
пропорциональна скорости F = —jv.
3.33. Показать, что добротность ос-
осциллятора с малым затуханием выража-
выражается через параметры S — затухание и
ujq с помощью равенства Q = ujq/B6).
3.34. Определите добротность коле-
колебательной системы, осциллограмма ко-
Рис. 3.11 торой показана на рис. 3.11.
80 ГЛАВА III
3.35. Изобразить качественно фазовый портрет затухающего
осциллятора при 8 < ш® и при 8 > ш®. Как зависит шаг скру-
скручивающейся спирали на фазовой плоскости от логарифмического
декремента затухания при 8 < ujq?
3. Вынужденные колебания. Спектральный анализ линейных
систем. Параметрические колебания
1. Уравнение осциллятора под действием гармонической «внеш-
«внешней силы» имеет вид
S + 28S + uj®S = ш® cosujt.
2. Процесс вынужденных колебаний — гармоническое колеба-
колебание:
S = Bcos(ojt + <р),
частота которого совпадает с частотой ш внешней силы.
3. Величина В(ш) (отношение амплитуды вынужденных колеба-
колебаний к амплитуде внешней силы):
В (ш) = ^
называется резонансной кривой (амплитудной характеристикой си-
системы), а величина <р(ш) (сдвиг по фазе вынужденных колебаний
относительно колебаний внешней силы):
(р{и) = arctg
называется фазовой характеристикой.
4. Частотная характеристика осциллятора определяется комплекс-
комплексной функцией
которая представляет собой отклик линейной системы на гармони-
гармоническое внешнее воздействие el(Jjt.
5. Для контура с малым затуханием
ВЦ) = Q,
т.е. амплитуда вынужденных колебаний при резонансе (ш = ш®) в Q
раз больше амплитуды внешней силы.
6. Полуширина резонансной кривой — отклонение частоты внеш-
внешней силы от резонансной частоты шд, при котором амплитуда вынуж™
денных колебаний уменьшается в л/2 раз (т.е. равна В(ш®)/л/2)) —
определяется равенством Аш = 8. Вдали от резонанса амплитуда
колебаний
В{ш) с± 1 при ш <С ш® + S и В(ш) ~ (ш®/ш) при ш ^> ш® + 8.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
81
7. Уравнение колебаний осциллятора под действием произволь-
произвольной внешней силы f(t) имеет вид
При спектральном подходе внешняя сила f(t) представляется в виде
суммы гармонических колебаний f(t) = ^aneluJnt и находится
отклик системы (вынужденные колебания) на каждую из гармониче-
гармоничеelujt:
ских составляющих внешней силы anel
Sn(t) = H{un)aneiw"\
где Н{ш) — частотная характеристика системы. Результирующий
процесс вынужденных колебаний:
3.36. Вывести уравнения колебаний двух систем, показанных на
рис. 3.12, и описать процесс колебаний, возникающий в системах,
если в момент t = 0 подставку в системе а убирают, а ключ в
системе б замыкают. Груз в системе а стоит на подставке так, что
пружина не деформирована, а начальный заряд на конденсаторе в
системе б равен нулю. Какова максимальная деформация пружины и
максимальное напряжение на конденсаторе при колебаниях?
3.37. Генератор с малым внутренним сопротивлением посылает в
контур прямоугольный импульс напряжения (рис. 3.13). Пренебрегая
затуханием, найти а) при какой длительности импульса в контуре
т
С
Рис. 3.12
Рис. 3.13
отсутствуют колебания после прекращения импульса; б) при какой
длительности импульса амплитуда колебаний после прекращения
импульса максимальна. Чему она равна? Для обоих случаев нари-
нарисуйте графики тока и напряжения как функции времени, начиная с
момента tg.
3.38. Вынужденные колебания механического осциллятора раска-
раскачиваются внешней силой, перемещающей стенку, к которой прикреп-
прикреплен левый конец пружины (см. рис. 3.3 в), по закону ? = ^о cos out.
6 Задачник
82 ГЛАВА III
Вывести уравнение вынужденных колебаний осциллятора. Найти
зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Каков
фазовый сдвиг между колебаниями внешней силы и колебаниями
осциллятора? Трение отсутствует.
3.39. На рис. 3.14 показаны: а) цепочка L-R, б) цепочка R—C
и в) механическая система — тело массы га движется в среде с
I TfYYYY^t 1
1 ^
f(t) Rp s
I I 0 i i ^ v///////////////////.
вязким трением F = ^7v. В примерах а и б колебания напряжения
на конденсаторе и на сопротивлении возбуждаются внешней ЭДС
/(?). В примере в на тело действует внешняя сила f(t). Показать,
что уравнение, которому подчиняется поведение всех трех систем,
имеет вид
г т
где т = L/R в примере а, т = ДС в примере б, и т = га/7 в
примере в.
3.40. Найти частотные характеристики Н(ш) систем, показанных
на рис. 3.14 (см. задачу 3.39).
3.41. Качественно опишите движение вначале покоившегося ос-
осциллятора под влиянием одиночного толчка и серии одинаковых
толчков, следующих друг за другом через период, и постройте фазо-
фазовый портрет этого осциллятора, если сила сопротивления движению
пропорциональна его скорости.
3.42. В цепь, состоящую из последовательно включенных со-
сопротивления R, индуктивности L и емкости С, включен после-
последовательно источник синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды
и перестраиваемой частоты. Изменяя частоту источника, ее на-
настраивают в резонанс с частотой цепи, затем уменьшают емкость
контура в два раза и снова добиваются резонанса. Изменится ли
сила тока при резонансе? Каково отношение резонансных частот,
соответствующих первому и второму случаям?
3.43. Показать, что в контуре предыдущей задачи амплитуда
силы тока I при отклонении частоты внешней ЭДС на небольшую
величину А/ от резонансной частоты /о связана с амплитудой силы
тока при резонансе Iq следующим соотношением:
" Vl + BA///oW'
где Q = A/R) \JLJC — добротность контура.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 83
3.44. При свободных колебаниях некоторого контура амплитуда
падает в е раз за время т = 1 с. Считая добротность этого контура
достаточно большой, найти: а) расстройку Аш± (при снятии резо-
резонансной кривой), при которой потребляемая контуром мощность
падает в два раза; б) расстройку Аш2У при которой сдвиг фазы
меняется на тг/4.
3.45. При изменении частоты / вынуждающей силы, действующей
на линейную колебательную систему, меняется фаза S установившихся
колебаний этой системы и запасенная в ней энергия W. Пусть при
малом сдвиге частоты от резонансной А/ = 1 Гц фаза колеба-
колебаний 6 изменилась на тг/4. Как изменится при этом энергия W1
Каково время затухания т системы в режиме свободных колебаний?
3.46. При снятии резонансной кривой коле-
колебательного контура (рис. 3.15) с малым затуха-
затуханием найдено, что напряжение на конденсаторе
максимально при частоте /о = 1 кГц; при
частотах / <С /о это напряжение равно U® =
= 1 В. Чему равно выходное напряжение U\
при частоте д = 16 кГц?
3.47. В определенном пункте напряжен- Рис. 3.15
ность электрического поля, создаваемого ра-
радиостанцией А, в пять раз больше, чем напряженность электриче-
электрического поля радиостанции В. Определить добротность контура, с
помощью которого можно принимать в данном пункте станцию В
без помех со стороны станции А, если для этого необходимо, чтобы
амплитуда сигнала станции В в контуре была бы по крайней мере
в 10 раз больше амплитуды сигнала станции А. Частота станции А
равна 210 кГц, частота станции В равна 200 кГц (см. задачу 3.43).
3.48. Колебательный контур возбуждается переменной ЭДС,
частота которой ш отличается от собственной частоты шд, причем
расстройка Аш = ujq—uj больше ширины резонансной кривой (| Аш >
> 6). Можно ли «раскачать» колебания в контуре (рис. 3.16) перио-
периодическим замыканием и размыканием ключа К1 При какой частоте
переключений амплитуда колебаний в контуре будет максимальной?
-? CZI 1 0—ПЗ 1—0 0—\[
К К 1Г /@ сф g(t) fit) r\\ g(t)
0 *—0
Рис. 3.16 Рис. 3.17
3.49. При каких условиях, налагаемых на вид сигнала /(?)
(и его спектра F(u))\ напряжение g(i) на выходе ДС-цепочек,
изображенных на рис. 3.17 а и рис. 3.17 6, совпадает с входным
напряжением ()
84 ГЛАВА III
3.50. Высокодобротный колебательный контур находится под
действием внешней амплитудно-модулированной ЭДС, изменяющейся
по закону S{€) = А{\ + га cos Qt) cosuj®t. Резонансная частота кон-
контура может перестраиваться при помощи изменения емкости. Считая
коэффициент затухания контура 6 заданным, определить амплитуду
вынужденных колебаний в следующих случаях: а) контур настроен на
несущую частоту ш®; б) контур настроен на частоту ш® + 20.
3.51. На вход колебательного контура с высокой добротно-
добротностью подается амплитудно-модулированное колебание e{t) =
= АA + га cos2 Ш) cos out. При перестройке несущей частоты ш
наблюдается несколько резонансов. Указать резонансные значения
частоты ш. Определить глубину модуляции га, если известно, что
амплитуда вынужденных колебаний в кон-
контуре уменьшилась вп = 4 раза при пере™
стройке частоты ш от значения ш® до ш® +
+ п + 8 (ш® — собственная частота, 8 —
коэффициент затухания контура).
3.52. В схеме, изображенной на
рис. 3.18, действует переменная ЭДС, из™
меняющаяся по закону ${€) = ё® cos2 Ш.
Определить токи I и Д, если известно,
что параметры цепи удовлетворяют соот™
L с ношению П2 = 1/DLC).
0 rYYY\ • 0 ? х J
I 3.53. На вход колебательного кошу™
увх R[] увых ра (рис. 3.19) подается амшштудно-мо-
0 -Г—0 дулированное напряжение: VBX = V®A +
+ т cos Ш) cos uj®t (m < 1). Контур на-
Рис. 3.19 строен в резонанс с частотой ш®. Вычислить
FBbIX, если ш® = 2 • 106 с™1, О = 5 • 103 с,
добротность контура Q = 100.
3.54. На вход колебательного контура (рис. 3.19) подается периоди™
ческая последовательность прямоугольных импульсов, длительность
которых в 4 раза меньше величины
периода. Частота повторения им™
пульсов совпадает с резонансной
частотой контура. Вычислить отно-
отношение амплитуд второй гармоники
к первой на выходе контура, если
его добротность Q = 100.
3.55. Индуктивность колеба-
колебательного контура периодически Lu -
IAL
Т0 ! Зт0
I
i То i
1 I
Зт0
I
1
I
I
I
изменяется во времени по зако-
закону, указанному на рис. 3.20. При
каком значении емкости колеба-
колебательного контура возможен пара-
параметрический резонанс? При каком Рис. 3.20
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
85
максимальном значении активного сопротивления контура произой-
произойдет возбуждение параметрических колебаний? Выполнить числовой
расчет для Lo = 4 -i(T4 Г, AL = 4 • 1СГ5 Г, т0 = 1СГ6 с.
3.56. Для поддержания незатухающих колебаний в ЬС1?-контуре
3 10
= 1 Ом) емкость конденсатора
(L = 4 • 1(Г3 Г, С = 1(Г10 Ф, Б
быстро изменяют на величину АС
каждый раз, когда напряжение на
нем равно нулю, а через время
т = 6,4 • 1СП8 с возвращают в
исходное состояние. Определить
величину и знак АС.
3.57. В схеме, изображенной
на рис. 3.21, анодный ток 1а при
малых колебаниях в контуре линей™
но зависит от напряжения на сетке
Vc по закону Ia = SVC + Iq, где
S и /о — постоянные величины.
Катушка колебательного контура L
и катушка связи LCB, намотаны на общий магнитный сердечник.
Считая величины L, LCB, С и S заданными, определить, при каком
максимальном значении активного сопротивления R контура возможно
возбуждение автоколебаний. Какова будет эффективная добротность
контура, если выбрать R = 2i?max? Провести числовой расчет для
L = 4 • 10 Г, LCB = 4 • 10 Г, С = 10"8 Ф, S = 2 . 10 А/В.
Рис. 3.21
4. Волновое уравнение. Кинематика волн
1. Одномерное волновое уравнение
dz2 v2 dt2
описывает волны, распространяющиеся по оси z со скоростью v:
S(z, t) = Si(z- vt) + S2(z + vt).
Функция S\{z — vt) описывает волну, бегущую в положительном
направлении оси z, а функция S2 (z + vt) — волну, бегущую во
встречном направлении. В более общем случае, если S зависит от
трех координат ж, у, z, волновое уравнение имеет вид
дх2 ду2 dz2 v2 dt2
2. У гармонической волны:
5(r, t) = a(r) cos[ujt — ^(г)]?
функции а (г) и (р(т) описывают пространственную структуру волны, и
уравнение ср (г) = const является уравнением волновых поверхностей.
86 ГЛАВА III
3. Комплексная форма записи гармонических волн:
V(r,t) = а(г)е-*^-^(р)] = /(т)е~ш,
где /(г) = а(г)ег(р^ — комплексная амплитуда волны, подчиняю-
подчиняющаяся уравнению Гельмгольца
V2/ + fc2/ = 0, к = — — волновое число.
V
4. Плоская монохроматическая волна описывается уравнением
S(r,t) = acos(u)t — kr — у>),
где г(ж,у, z) — радиус-вектор точки наблюдения, h(kXJkyjkz) —
волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности
к • г = кхх + куу + kzz = const, причем |к| = uj/v = 2тг/А,
v — фазовая скорость волны (скорость перемещения волновых
поверхностей).
5. Комплексная амплитуда плоской волны записывается в виде
/(г) = ae^eikr.
6. Уравнение сферической волны:
S(r,t) = —cos(ut-kr),
Г
где г = \fx2 + у2 + z2 — расстояние от источника. Комплексная
амплитуда сферической волны имеет вид
/(г) = ^-eikr.
3.58. Показать, что любая функция вида S(z,t) = S\(z — vt) +
+ $2B + vt) описывает волновой процесс, то есть подчиняется
волновому уравнению
^Я _ ?^Я _ Q
dz2 v2 dt2 ~ '
где Si ш S2 — произвольные функции. Показать, что функция
S\{z — vt) описывает волну, бегущую слева направо (в положи™
тельном направлении оси z), а функция S2 {z + vt) волну, бегущую
справа налево со скоростью v.
3.59. Показать, что любая функция вида S(r =p vt) подчиняется
трехмерному волновому уравнению
V25 = — + — + — = ^ —
дх2 ду2 dz2 v2 dt2
где г(ж, у, z), v(vx,vyj vz), причем |v| = v.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 87
3.60. Написать уравнение гармонической (монохроматической)
волны. Дать определение комплексной амплитуды волны. Показать,
что комплексная амплитуда удовлетворяет уравнению Гельмгольца.
3.61. Написать уравнения плоской и сферической монохромати-
монохроматических волн. Найти комплексные амплитуды плоской и сферической
волн. Показать, что эти комплексные амплитуды удовлетворяют
уравнению Гельмгольца.
3.62. Волновой вектор плоской монохроматической волны (длина
волны А = 1 м) составляет угол а = тг/6 с осью z (и лежит в
плоскости xz). Найти разность фаз колебаний в точках Р\ и Р2,
координаты которых Pi(l, 0, д/3) и Р2C, 0, 2\/3) указаны в метрах.
Написать уравнение волновых поверхностей этой волны.
3.63. Найти направление волнового вектора плоской волны (А =
= 1 м), если колебания в точках Pi A,0, д/3) иР2C, 5, 2д/3) оказались
синфазны (координаты указаны в метрах).
3.64. Найти результат суперпозиции двух волн одинаковой ча-
частоты и амплитуды, бегущих вдоль оси z навстречу друг другу.
Каково расстояние между максимумами амплитуды (пучностями) и
минимумами (узлами) получившейся стоячей волны? Каково фазо-
фазовое соотношение между колебаниями в соседних пучностях?
3.65. Дать определение скалярной и векторной волны, продоль-
продольной и поперечной волны, плоско-поляризованной и эллиптически-
поляризованной волны.
3.66. Векторная волна с компонентами Sx = eicos(a;t — fez),
Sy = a2(ujt — kz — (p), Sz = 0 бежит вдоль оси z. Является ли эта
волна поперечной? При какой разности фаз волна является линейно-
поляризованной? Какова при этом ориентация плоскости колебаний?
При каких условиях волна имеет круговую поляризацию? Каково
направление вращения вектора S?
5. Упругие волны
1. Смещение частиц упругой среды ?B, t) при распространении
в ней продольной упругой волны подчиняется уравнению
dz2 v2 dt2
т.е. имеет вид ?(z ± vt); v = уЕ/р — скорость волны, Е —
модуль упругости, р — плотность среды в равновесном состоянии.
Соответствующие волны деформации e(z, t) и напряжения a(zJt)
2. Волна скорости смещения частиц среды имеет вид
88 ГЛАВА III
3. Скорость упругой волны в жидкости или газе v = y/dP/dp. В
частности, в идеальном газе v = л/jRT, где j = Cp/Cv.
4. Объемная плотность энергии в упругой волне
5. Плотность потока энергии в упругой волне (вектор Умова):
Р = —аип,
где п — единичный вектор в направлении распространения волны.
Аналогичное выражение имеет место для потока энергии в жидкости
или газе Р = Арип, где Ар — изменение давления в жидкости или
газе при распространении волны Ap(zj t) = —®{z11).
6. Продольные стоячие волны смещений в стержне с закреплен-
закрепленными концами имеют вид
?(z,t) = 2аsin. (n—z) smunt,
где L — длина стержня, а шп = w—n = — w —п. Соответствующие
L L у р
волны скоростей и деформаций имеют вид и = d?/dt и е = ^/
1. При нормальном падении звуковой волны на границу разде-
раздела двух упругих сред амплитудные коэффициенты отражения р и
прозрачности т равны
1 — 7 47
1+7 1+7
где Ei, pi — соответственно модуль упругости и плотность среды,
в которой бежит падающая на границу волна, индекс 2 относится ко
второй среде.
3.67. Показать, что процесс сжатий и разряжений, распространяю™
щихся в упругой среде, для которой справедлив закон Гука, подчиня-
подчиняется волновому уравнению. Показать, что скорость распространения
волны (скорость звука) равна v = у/Е/р, где
Е — модуль упругости, р — плотность среды в
равновесном состоянии.
3.68. Упругая волна бежит по стержню
„ (вдоль оси z). По заданному графику мгновен™
-/-и z ного распределения смещений ?(z) (рис. 3.22),
р . 22 постройте графики скорости смещений частиц
стержня u(z), деформации и напряжения для
волны, бегущей слева направо и волны, бегущей справа налево.
3.69. Постройте графики распределения деформации и скоро™
сти а) в волне сжатия и б) в волне разряжения, бегущей по упругому
А В
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 89
стержню, если соответствующий
график смещений ?(z) имеет вид,
показанный на рис. 3.23.
3.70. Вдоль стержня бежит упру-
упругая волна. Показать, что изменение
энергии за единицу времени в участ-
участке стержня между сечениями 1 и 2
определяется равенством: dW/dt =
= (^1^2M, где q = -aun — вектор Рис. 3.23
плотности потока энергии (вектор
Умова), а 1 и G2 — напряжение, щ и
щ — скорость частиц стержня соответственно в сечениях 1 и 2, п —
единичный вектор, направление которого совпадает с направлением
распространения волны, S — площадь сечения.
3.71. Найти мгновенное распределение потока энергии в упругой
волне смещений: ^(z, t) = Acos(ujt — kz). Показать, что средний за
период поток энергии одинаков через любое сечение.
3.72. Найти поток энергии в стоячей упругой волне в зависимости
от координаты z и времени t. Найти расстояние между сечениями
z = const, поток энергии через которые равен нулю в любой
момент времени. Какова полная энергия упругой стоячей волны,
заключенная между двумя ближайшими единичными сечениями,
поток энергии через которые равен нулю? Каков при этом закон
изменения во времени кинетической и потенциальной энергии?
3.73. Стержень длины L закреплен на концах. Найти возможные
типы продольных стоячих волн смещений и деформаций. Опреде-
Определить соответствующие частоты колебаний (плотность материала р,
модуль Юнга Е).
3.74. Найти энергию собственных типов продольных упругих
колебаний в стержне, закрепленном на концах (см. зад. 3.73), если
максимальная амплитуда смещений равна А. Какой тип колебаний
имеет наименьшую энергию?
3.75. Определить наименьшую резонансную частоту колебаний
воздуха между двумя параллельными близко расположенными (L =
= 20 м) высокими зданиями. Скорость звука в воздухе V = 320 м/с.
3.76. Вывести волновое уравнение для поперечных упругих волн
в натянутой струне. Сила натяжения струны на единицу площади
сечения <т, плотность материала р. Какова скорость распространения
этих волн? Каковы частоты собственных типов поперечных колеба-
колебаний в натянутой струне длины L, закрепленной на концах?
3.77. С какой силой следует натянуть гитарную струну длины
L = 60 см и с линейной плотностью /i = ОД г/см, чтобы она звучала
с частотой v = 100 Гц на первой гармонике.
3.78. Как изменяется скорость звука в барокамере, наполненной
смесью гелия и кислорода, по сравнению со скоростью звука в
воздухе? Как изменяются в барокамере голоса людей?
90 ГЛАВА III
3.79. Вывести формулы, связывающие амплитуду звуковой волны,
падающей нормально на границу раздела двух упругих сред, с ампли-
амплитудой отраженной и прошедшей волны. Найти коэффициент отражения
R и коэффициент прозрачности Т при нормальном падении.
3.80. Показать, что сумма потоков энергии в отраженной и
прошедшей упругих волнах равна потоку энергии в падающей волне
(рассмотреть случай нормального падения).
3.81. Показать, что при условии E±pi = Е2Р2 для звуковой волны
(см. зад. 3.79) нет отражения (R = 0), а при 7 = 0 и 7 = оо
нет прошедшей волны (Т = 0), где j = yf^^jEipi. Индекс 1
относится к среде, в которой бежит падающая на границу раздела
волна, индекс 2 — к среде, в которой бежит прошедшая волна.
3.82. Показать, что коэффициенты отражения и прозрачности не
зависят от того, с какой стороны волна падает на границу раздела
двух упругих сред.
3.83. Показать, что на границе раздела двух упругих сред ко-
колебания смещений в отраженной волне синфазны с колебаниями в
падающей волне, если 7 < 1, и эти колебания противофазны, если
7 > 1, где 7 = \ 2р2 - Индекс 1 относится к среде, в которой бежит
V Егрг
падающая на границу раздела волна.
3.84. Рассмотреть предельные случаи j = 0 и 7 = оо (нет волны,
прошедшей во вторую среду) и показать, что стоячая волна в первой
среде имеет при этом пучность смещений на границе при j = 0, и
узел смещений (а значит пучность давлений), если 7 = оо. Какой из
этих случаев реализуется, если звуковая волна падает из воздуха на
поверхность воды?
3.85. Почему даже тихий разговор людей на берегу реки распу-
распугивает рыб и, в то же время, «разговор» рыб не слышен на берегу?
6. Электромагнитные волны
1. В плоской монохроматической электромагнитной волне, рас-
распространяющейся в направлении оси z в однородной среде с ди-
диэлектрической и магнитной проницаемостями ей /л соответственно,
электрическое и магнитное поле имеют вид
Ex{z^t) = l?0CGs(a;t — kz), By(zJt) = Bocos(ujt — kz\
причем поля Ех и By связаны равенством
Ех = ——Ву.
/Ц
В волне, бегущей во встречном направлении, Ех = —{c/y/eJl)By.
2. Плотность потока энергии в электромагнитной волне (вектор
Пойнтинга) S = Е х Н.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 91
3. В стоячей электромагнитной волне
Ех = 2Eq cos кz cos out, Ву = 2 ——Eq sin kz smut.
4. В случае электромагнитной волны, бегущей между двумя па-
параллельными идеально проводящими стенками с расстоянием d меж-
между ними (электрическое поле Ех параллельно стенкам, см. рис. 3.25):
Ex(y,z,t) = 2asm[n'K^)sm(Lxjt-kzz)J kz = \/ (-) -п2[-) .
V d/ ухе/ \d/
Фазовая скорость волны ^ф и длина волны А в волноводе опреде-
определяются выражениями:
ш с л 2тг Ао
5. При нормальном падении плоской электромагнитной волны
на границу раздела двух диэлектриков амплитудные коэффициенты
отражения и прозрачности
п — 1 4п п 1
р= , т= , п— —.
71+1 71+1 П2
Угол полной поляризации отраженного света (угол Брюстера)
tg (рв = п, электрическое поле в отраженной волне перпендикулярно
плоскости падения.
3.86. Используя непосредственно уравнения Максвелла, пока-
показать, что меняющиеся во времени электрическое и магнитное поля
распространяются в пространстве в виде волны, т.е. подчиняются
волновому уравнению. Рассмотрите простейший случай — среда
однородная и изотропная с диэлектрической проницаемостью е и
магнитной проницаемостью /л, токи и заряды отсутствуют, а поля Е
и В зависят от одной координаты z (и от времени t). Какова скорость
распространения волны?
3.87. Какова связь между полями Е и В в электромагнитной волне,
бегущей в однородной и изотропной среде с диэлектрической прони-
проницаемостью е и магнитной проницаемостью /л?
3.88. В каком направлении распространя-
распространяется электромагнитная волна, моментальный
снимок которой показан на рис. 3.24? Как
изменится направление распространения вол-
ны, если направление полей либо Е, либо В
изменить на противоположное?
3.89. Какова амплитуда колебаний на- рис ^ 24
пряженности электрического поля и началь-
начальная фаза волны, являющейся суперпозицией монохроматических
волн одинаковой частоты: Е\ = а\ cos(a;t — kz — <?>iM E2 =
92 ГЛАВА III
= «2 cos(ujt — kz — (f2) (колебания полей Ei и Ег происходят в
одной плоскости)?
3.90. Найдите результат суперпозиции двух монохроматических
волн одинаковой амплитуды с близкими частотами ш и ш + $1,
распространяющихся в одном направлении. Каково распределение
средней за период энергии колебаний результирующей волны вдоль
направления распространения @<w)?
3.91. Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль
оси z. Показать, что изменение во времени электромагнитной энер-
энергии между двумя единичными сечениями z\ и Z2 определяется
равенством dW/dt = S\ ~~ S2, где S = Е х Н — вектор плотности
потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга), Si и $2 —
плотность потока энергии соответственно в сечениях z\ и Z2.
3.92. Найдите результат суперпозиции двух бегущих навстречу
друг другу электромагнитных волн одинаковой частоты, амплитуды
и поляризации. Каково распределение амплитуд колебаний полей Е
и В в результирующей стоячей волне вдоль направления распро-
распространения? Каков фазовый сдвиг между колебаниями полей Е и В
в фиксированной плоскости z = const? Каково расстояние между
ближайшими узлами электрического и магнитного полей?
3.93. Найдите результат отражения нормально падающей плоской
монохроматической электромагнитной волны от плоской поверхности
идеального проводника. Каково положение узлов и пучностей электри-
электрического и магнитного полей в образовавшейся стоячей волне?
3.94. Две параллельные идеально проводящие стенки, нахо-
находящиеся на расстоянии d друг от друга, образуют простейший
волновод. Стенки параллельны плоскости xz (рис. 3.25). Найдите
возможные типы волн Ex(z,yJi) часто-
ты а;, распространяющихся в таком вол-
волноводе вдоль оси 2, параллельной стен™
кам волновода, если электрическое поле
параллельно оси х. Каковы возможные
распределения амплитуд колебаний в се™
чениях z = const, перпендикулярных оси
волновода? Найти фазовую скорость волн.
Какова связь длины волны в волноводе с
Рис. 3.25 длиной волны той же частоты в свободном
пространстве? Какова критическая часто-
частота для рассматриваемых типов волн? Являются ли электромагнит™
ные волны в волноводе поперечными?
3.95. Исходя непосредственно из граничных условий для элек-
электрического и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика,
найти коэффициент отражения р света при нормальном падении на
границу раздела. Выразить коэффициент отражения через показатель
преломления диэлектрика п. Найти значения р при отражении света
от поверхности воды (п = 1,33) и стекла (п = 1,5).
3.96. Найти коэффициент пропускания а при нормальном падении
света из воздуха на стекло с показателем преломления п = 1,5.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 93
3.97. Проверить с помощью формул Френеля, что поток энергии
падающей волны через границу раздела сред равен сумме потоков
энергии прошедшей и отраженной волн через ту же границу.
3.98. Найти угол полной поляризации для света, отраженного
от стекла с показателем преломления п = 1,5. Найти степень
поляризации преломленного света А = — при падении света
J-s ~\~ J-p
под этим углом. Падающий свет — естественный.
3.99. Как меняется фаза волны, отраженной от плоской границы
раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями
Е\ и 82 в случае е\ < ?2 и в случае е\ > е<р. Рассмотреть случай
нормального падения.
3.100. Почему при переходе через плоскую границу раздела
вакуум-диэлектрик перпендикулярная границе раздела составляю-
составляющая поля Е уменьшается в е раз, а параллельная — не меняется,
перпендикулярная границе раздела составляющая поля В не меняет-
меняется, а параллельная — увеличивается в /х раз, е и /х — соответственно
диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
7. Интерференции волн. Когерентность
1. При наложении двух монохроматических волн одинаковой
частоты с интенсивностями 1\ и I2 интенсивность суммарной волны
где А(р — разность фаз колебаний.
2. Видность интерференционной картины
тт- J-max J-min 2у I1J2
+ /min Л +
3. Ширина интерференционной полосы
где (р — угол схождения интерферирующих волн. При малых углах
схождения I ~ \/(р.
4. Максимально допустимая разность хода при интерференции волн:
где АА — ширина спектра волн, т — время когерентности (дли™
тельность цуга), ст — длина цуга. Ширина спектра Да; и время
когерентности т связаны соотношением неопределенности тАш ~ 2тг.
5. Радиус пространственной когерентности
А А о
7
94 ГЛАВА III
где ф — угловой размер источника, Ь — его линейный размер,
R — расстояние до источника. Максимально допустимая апертура
интерференции птж ~ A/ft.
3.101. Спутник Земли, поднимаясь над горизонтом, излучает ра-
радиоволны длиной А = 10 см. Микроволновый детектор расположен
на берегу озера на высоте h = 1 м над уровнем воды. Рассматривая
поверхность воды как идеальный проводник, определить, при
каком угле а спутника над горизонтом детектор зарегистрирует
1-й и 2-й максимумы интенсивности сигнала. Рассмотреть случаи
горизонтальной и вертикальной поляризации.
3.102. Радиоизлучение космического источника длины волны А,
имеющего угловой размер ф, принимается горизонтальным вибрато-
вибратором, служащим антенной. Вибратор расположен на отвесном берегу
на высоте h над уровнем моря. Рассматривая поверхность воды как
плоское зеркало, определить, как будет меняться интенсивность при-
принимаемого сигнала в зависимости от угла а возвышения источника
над горизонтом. При каких значениях углового размера источника
интенсивность принимаемого сигнала не будет зависеть от а? Для
простоты расчет провести для малых значений ашф.
3.103. Радиоизлучение от точечного космического источника,
находящегося в плоскости экватора, принимается с помощью двух
одинаковых антенн, расположенных по направлению восток-запад
на расстоянии L = 200 м друг от друга. На входной контур приемника
подается сумма сигналов, приходящих от обеих антенн по кабелям
одинаковой длины. Как меняется в результате вращения Земли
амплитуда напряжения Щ на входном контуре приемника, если длина
волны А = 1 м?
3.104. Три колебания, происходящие вдоль одной и той же
прямой, имеют одинаковую амплитуду и частоту. Какова средняя ин-
интенсивность при сложении этих колебаний, если их фазы независимо
и беспорядочно меняются, принимая значения 0 или тг?
3.105. Направления распространения двух плоских волн одной и
той же длины А составляют друг с другом малый угол (р. Волны
падают на экран, плоскость которого приблизительно перпенди-
перпендикулярна к направлению их распространения. Написав уравнения
обеих плоских волн и сложив их поля, показать, что расстояние Ах
между двумя соседними интерференцион-
интерференционными полосами на экране определяется
i выражением Ах = Х/(р.
j 3.106. Как изменится выражение для
Ах в предыдущей задаче, если интерфери-
интерферирующие лучи падают на экран наклонно?
Рис. 3.26 3.107. Найти длину волны А монохрома-
монохроматического излучения, если в опыте Юнга рас™
стояние первого интерференционного максимума от центральной по-
полосы х = 0,05 см. Данные установки (рис. 3.26): а = 5м, d = 0,5 см.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 95
3.108. Преломляющий угол бипризмы а = 3;26;/. Между точеч™
ным источником монохроматического света (Л = 5000 А) и бипризмой
помещена линза таким образом, что ширина интерференционных
полос оказалась не зависящей от расстояния от экрана до бипризмы.
Найти расстояние между соседними темными полосами, если пока-
показатель преломления стекла бипризмы п = 1,5. Найти максимальное
число полос N, которое может наблюдаться в этой установке, если оно
получается при удалении экрана от бипризмы на L = 5 м.
3.109. При каком положении экрана в установке, описанной в
предыдущей задаче, будет наблюдаться максимальное число интерфе™
ренционных полос, если расстояние между вер-
вершинами преломляющих углов бипризмы соста™
вляет I = 4 см? Чему равно это число полос N1
При каком положении экрана интерференцион-
интерференционные полосы исчезнут?
3.110. Три синфазных излучателя i, 2, 3
расположены вдоль прямой (рис. 3.27). Расстоя-
Расстояние между излучателями 1 и 2 равно Л/2, а меж-
между излучателями 2 и 3 — в полтора раза больше. Рис 3 27
Амплитуды излучателей I и 2 одинаковы. Како-
Какова должна быть амплитуда излучателя 3, чтобы
в диаграмме направленности системы существовали минимумы
нулевой интенсивности? Найти направления на эти минимумы.
3.111. Найти разность длин волн D-ттим Na, если извест™
но, что резкость интерференционной картины, наблюдаемой в
интерферометре с двумя лучами, минимальна у четыреста девя™
ностой, тысяча четыреста семидесятой и т.д., а максимальна у
первой, девятьсот восьмидесятой и т.д. полос. Средняя длина
волны D-линий А = 5893 А.
3.112. На экран с двумя узкими параллельными щелями падают
лучи непосредственно от Солнца. При каком расстоянии d между
щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за экраном?
Угловой диаметр Солнца а « 0,01 рад.
Примечание: для упрощения расчета диск Солнца заменить ква-
квадратом постоянной поверхностной яркости.
3.113. Изображение Солнца получено при помощи линзы с
фокусным расстоянием / = 50 мм на отверстии экрана (размер
отверстия равен величине изображения). За экраном помещены две
узкие параллельные щели на расстоянии d = 1 мм друг от друга. При
каком расстоянии L между экраном и щелями могут наблюдаться
интерференционные полосы?
. (а к 3.114. Свет от протяженного моно-
S ^ ^ -d_jm_ _ _ _ _ 1р хроматического источника S падает на
*"|" J; непрозрачный экран Э, в котором имеются
L »|< L >| ^^а маленьких отверстия. Интерференция
света, прошедшего через отверстия, на-
Рис. 3.28 блюдается в точке Р (рис. 3.28). Источник
96
ГЛАВА III
света S и точка Р находятся на одинаковом расстоянии L от
экрана. При увеличении расстояния d между отверстиями изме-
изменение интенсивности в точке Р имеет осциллирующий характер.
Определить линейный размер Ь источника света, если 1-й минимум
интенсивности в точке Р наблюдается при d = d\ = 1 см, а
амплитуда осцилляции становится равной нулю при d = d\ = 20 см
(условие d <C L выполняется всегда).
3.115. Два пучка белого света, полученные от одною точечного
источника, сходятся на входной щели оптического спектрального
прибора. Разность хода равна А = 300 м. Оценить разрешающую
способность R спектрального прибора, который может обнаружить
интерференцию этих пучков.
3.116. Два пучка белого света от одного источника приходят в
точку наблюдения Р (рис. 3.29 а) с разностью хода А. С помощью
спектроскопа высокой разрешающей способности исследуется рас-
/(V)
a/MV/\
Av
Рис. 3.29
пределение энергии в спектре колебания, возникающего в точке Р
при наложении обоих пучков. Оказалось, что наблюдаются череду-
чередующиеся максимумы и минимумы спектральной интенсивности 1(и),
причем частотный интервал между соседними максимумами Аи =
= 10 МГц (рис. 3.29 б). Определить разность хода А.
3.117. В двулучевой интерференционной схеме с равными ин-
тенсивностями интерферирующих лучей используется источник бе-
белого света, размер которого Ь = 0,025 см. Интерференционная
картина, наблюдаемая через светофильтр, изображена на рис. 3.30.
Оценить полосу пропускания фильтра АЛ и апертуру интерферен-
интерференции О. Средняя длина волны равна Л = 500 нм.
3.118. Интерференционная картина, полученная при интерфе-
интерференции двух пучков одинаковой интенсивности при апертуре ин-
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
97
терференции О = 10 3 рад, изображена на рис. 3.31. Оценить
немонохроматичность источника АЛ и его линейный размер Ь.
Средняя длина волны равна Л = 500 нм.
I, усл. ед.
3.119. Найти видность V интерференционной картины в опыте
Юнга при использовании протяженного источника света. Размер
источника света ft, расстояние от источника до экрана со щеля-
щелями L, расстояние между щелями d. Средняя длина волны равна Л
(L > d, L > ft).
3.120. Определить видность V интерференционной картины,
при использовании в двухлучевой интерференционной схеме источ-
источника, спектр излучения которого изображен на рис. 3.32. Как зависит
видность V от ширины спектра А/?
/о
А/ ъ
Рис. 3.32
Рис. 3.33
3.121. При измерении углового диаметра гигантской красной
звезды Бетельгейзе на установке, схематически изображенной на
рис. 3.33, Майкельсон нашел, что интерференционные полосы
исчезли, когда расстояние между внешними зеркалами Mi и Мч
равнялось 306,5 см. Считая, что эффективная длина волны света от
Бетельгейзе равна 5750 А, вычислить угловой диаметр этой звезды.
3.122. Излучающая система состоит из ряда равноотстоящих па™
раллельных вибраторов с линейно меняющейся вдоль ряда разностью
фаз излучения. Как должен меняться со временем сдвиг фаз между
двумя соседними вибраторами, чтобы главный лепесток диаграммы
направленности всей системы (т.е. главный дифракционный максимум)
совершал круговой обзор местности с постоянной угловой скоростью
(при отсутствии вращения самой решетки вибраторов)?
7 Задачник
98
ГЛАВА III
Опыт Юнга
Бипризма Френеля
Схема Ллойда
Билинза Бийе
Опыт Поля
У//////М/////////Л
Рис. 3.34
3.123. Проанализируйте работу интерференционных схем, по-
показанных на рис. 3.34. Какие параметры схем определяют ширину
интерференционных полос и апертуру интерференции? В какой из
схем возникают наиболее сильные ограничения на степень монохро-
монохроматичности и размеры источника?
3.124. С помощью зрительной трубы, установленной на бесю>
нечность, наблюдаются полосы равного наклона в тонкой плос-
плоскопараллельной пластинке толщиной h = 0,2 мм с показателем
преломления п = 1,41. При этом угол наблюдения ср может
изменятся от 0° до 90°. Найти максимальный и минимальный
порядок интерференционных полос. Оценить допустимую степень
монохроматичности АЛ, при которой
будут наблюдаться все интерференцией™
ные полосы. Каков допустимый размер
2^1^ источника в этом эксперименте?
-^ z 3.125. Три плоские монохромати™
ческие волны с амплитудами 1, а и а
(а < 1) падают на плоскость z = 0,
первая из них — по нормали к плос™
кости, а две другие — под углами а и
^а (рис. 3.35). При смещении плоскости
наблюдения в область z > 0 наблюдаются периодические измене™
ния контраста интерференционной картины. Объясните явление.
Какова максимальная и минимальная величина контраста? Каковы
положения плоскости наблюдения при этом?
X,
Рис. 335
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 99
8. Дифракция волн. Разрешающая способность спектральных
и оптических приборов. Пространственная фильтрации.
Голография
1. Волновой параметр р = yj\z/b, где А — длина волны,
z — расстояние от препятствия до плоскости наблюдения, Ь —
характерный размер препятствия. Область геометрической оптики
соответствует волновому параметру р <С 1, дифракция Френеля
происходит при р ~ 1, а в области дифракции Фраунгофера р ^> 1.
2. Поле в плоскости, примыкающей к препятствию /о(?), и поле
д(х) в области р ^> 1 связаны преобразованием Фурье:
. кх
3. Дифракционная расходимость света за щелью ширины Ъ (уг-
(угловая полуширина главного дифракционного максимума) Ав с^ А/6.
4. Разрешающая способность спектральных приборов определя-
определяется как А/А А, где А А — минимально обнаружимый (по критерию
Рэлея) спектральный интервал.
5. Для дифракционной решетки А/АА = mN, m — порядок
дифракции, N — число щелей решетки.
6. Для интерферометра Фабри-Перо
АЛ ЛA-Д)'
где R — коэффициент отражения зеркал, L — расстояние между
зеркалами.
7. Область дисперсии: АА = А/т, для интерферометра Фабри-
Перо А А ~ A2 /2L. Здесь А А — максимальный спектральный
интервал, при котором спектральные максимумы разных порядков
не перекрываются.
8. Разрешающая способность линзы (минимально разрешаемое
расстояние между двумя некогерентными точечными источниками
одинаковой интенсивности) I c± l,22Az/Z), где D — диаметр линзы,
z — расстояние до источников.
9. Угловое разрешение телескопа фШт — 1,22А/1?, где D —
диаметр объектива.
10. Разрешающая способность голограммы (ограничения, обу-
обусловленные дифракцией) Al ^ Xz/D, где D — размер голограммы,
z — расстояние до предмета при записи голограммы.
3.126. Какова интенсивность света I в центре дифракционной
картины от круглого экрана, если он закрывает первую зону Френе-
Френеля? Интенсивность света в отсутствие экрана равна Iq.
100
ГЛАВА III
3.127. Непрозрачный экран, имеющий форму полудиска, поме-
помещен между точечным источником S и точкой наблюдения А таким
образом, что точка О располагается на одной прямой с точками S
и А (рис. 3.36). Экран закрывает небольшое
нечетное число полузон Френеля. Какова ин-
интенсивность в точке А1 (Интенсивность в от-
отсутствие экрана равна Jq.)
3.128. Между точечным источником S и
точкой наблюдения А помещен диск, центр ко-
которого расположен на одной прямой с точками
5 и ^4 (рис. 3.36). Одна половина диска прозрач-
прозрачна, другая непрозрачна. Диск закрывает первые
три зоны Френеля. Толщина прозрачной части
диска I = N , где п — показатель
2A)
Рис. 3.36
о J
s c\
Рис. 337
преломления прозрачной части диска, N — целое число. Какова
интенсивность в точке А при четном и нечетном N?
3.129. Вдали от точечного источника S электромагнитной
волны поставлен бесконечный идеально отражающий экран АВ
(рис. 3.37). Пользуясь векторной диаграммой,
В найти, как изменится интенсивность отраженной
волны в точке S, если из экрана вырезать диск CD
с центром в основании перпендикуляра, опущен™
ного из S на плоскость экрана, и сместить этот
диск по направлению к источнику на одну двена-
А дцатую длины волны. Площадь диска составляет
одну треть от площади первой зоны Френеля. Как
изменится результат, если смещение произвести
в противоположную сторону на ту же величину?
3.130. В установке предыдущей задачи площадь диска соста-
составляет половину площади центральной зоны Френеля. На какое
минимальное расстояние h следует сместить диск в направлении
от источника, чтобы интенсивность отраженной волны в точке S
осталась неизменной?
3.131. Оценить, во сколько раз отличаются напряженности элек™
трического поля монохроматической волны А = 1 мкм в фокусе
сферического зеркала (диаметр D = 10 см, радиус кривизны R =
= 1 м) и на его входе.
3.132. Линза с фокусным расстоянием F = 50 см и диаметром
D = 5 см освещается параллельным монохроматическим пучком
света с длиной волны А = 630 нм. Найти, во сколько раз ин-
интенсивность волны I в фокусе линзы превышает интенсивность
волны Jq, падающей на линзу. Оценить размер Ъ пятна в фокальной
плоскости.
3.133. Параболическое зеркало диаметром D = 1 м используется
как антенна для волн длиной А = 3 см. Оценить наименьшее
расстояние Ьш\п, на котором следует поместить приемник для снятия
диаграммы направленности.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 101
3.134. Найти угловое распределение интенсивности света при
фраунгоферовой дифракции на решетке из N щелей с периодом d
при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а
ширина щелей равна Ъ.
3.135. Какова интенсивность света в фокусе зонной пластинки
Френеля, если радиус пластинки R, фокусное расстояние /. Пла-
Пластинка освещается параллельным пучком света интенсивности Iq, с
длиной волны А.
3.136. Плоская волна (А = 1 м) падает нормально на плоскую
периодическую структуру периода d = 5 м. На каких расстояниях
можно наблюдать на экране изображение структуры без использова-
использования каких-либо фокусирующих элементов.
3.137. С искусственного спутника Земли, обращающегося по круго-
вой орбите на расстоянии h = 250 км, проводится фотографирование
земной поверхности. Разрешающая способность фотопленки N =
= 500 линий/мм. Какими параметрами должен обладать объектив
фотоаппарата (диаметр D, фокусное расстояние /), чтобы при фото-
фотографировании разрешались детали с линейными размерами /«1м?
3.138. С самолета, летящего на высоте Н = 5 км, производится
аэрофотосъемка местности. Какими следует выбрать фокусное
расстояние / и диаметр объектива D фотоаппарата, чтобы сфо™
тографировать объекты размером I ^ 2,5 см на фотопленку с
разрешающей способностью п = 500 штрих/мм? На какое вре™
мя т следует открывать затвор фотоаппарата (экспозиция), чтобы
движение самолета со скоростью V = 360 км/час не приводило к
размытию изображения?
3.139. Каково должно быть минимальное расстояние между двумя
точками на поверхности Марса, чтобы их изображение в телескопе
(рефракторе) с диаметром объектива 60 см можно было отличить
от изображения одной точки? Считать, что Марс наблюдается в
момент великого противостояния, когда расстояние до него от Земли
минимально и составляет 56 • 106 км.
3.140. Космонавты прибыли на Луну. Чтобы сообщить об этом на
Землю, они растягивают на поверхности Луны черный круглый тент.
Каким должен быть радиус г этого тента, чтобы его можно было
заметить с Земли в телескоп с объективом D = 5 м? Контрастная
чувствительность приемника 0,01.
3.141. Самый большой в мире телескоп был сооружен в России
и установлен в астрономической обсерватории на северных отрогах
Кавказского хребта, вблизи станции Зеленчукская. Диаметр зеркала
этого телескопа D = 6 м. Найти разрешаемое им угловое расстоя-
расстояние 80 для длины волны А = 5500 А.
3.142. Излучение лазера непрерывного действия на длине волны
А = 0,63 мкм мощностью N = 10 мВт направляется на спутник с по-
помощью телескопа, объектив которого имеет диаметр D = 30 см. Свет,
отраженный спутником, улавливается другим таким же телескопом
и фокусируется на фотоприемник с пороговой чувствительностью
102 ГЛАВА III
^пор = Ю 14 Вт. Оценить максимальное расстояние Lmax до спут-
спутника, на котором отраженный сигнал еще может быть обнаружен.
Поверхность спутника равномерно рассеивает падающий свет с
коэффициентом отражения р = 0,9. Диаметр спутника d = 20 см.
3.143. Оценить расстояние L, с которого можно увидеть невоору-
невооруженным глазом свет лазера, генерирующего в непрерывном режиме
мощность N = 10 Вт на частоте v = 6 • 1014 Гц, если для форми-
формирования луча используется параболическое зеркало диаметром D =
= 50 см. Глаз видит источник в зеленой части спектра, если в зрачок
(диаметр зрачка d = 5 мм) попадает п = 60 квантов в секунду.
3.144. В фокальной плоскости объектива телескопа помещена фо-
фотопластинка. Освещенность изображения звезды на фотопластинке в
а = 10 раз меньше освещенности дневного неба. Во сколько раз надо
увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображения
звезды на фотопластинке стала в /3 = 10 раз больше освещенности
изображения неба?
3.145. Какую разрешающую силу должен иметь спектральный
аппарат для разрешения дублета D-линии натрия (Ai = 5890 А,
А2 = 5896 А)?
3.146. Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом
1 мкм под углом 89о30;. Угол дифракции для спектра второго порядка
равен 89°. Найти А.
3.147. Найти условие равенства нулю интенсивности га-го макси-
максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели ft.
3.148. Спектр некоторого вещества в видимой области содер-
содержит ряд спектральных линий в диапазоне от 400 нм до 600 нм
с минимальной разницей длин волн 8А = 0,5 А. Он изучается с
помощью достаточно большой дифракционной решетки с периодом
d = 0,01 мм. С помощью линзы спектр проецируется на экран,
расположенный в ее фокальной плоскости, и рассматривается затем
невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения (L = 25 см).
Определить минимальные значения диаметра линзы D и ее фокус-
фокусного расстояния /, при которых наблюдатель может разглядеть все
линии спектра. Диаметр зрачка глаза принять равным d = 0,5 см.
3.149. Чему равен порядок спектра при работе с эталоном Фабри-
Перо в зеленой части спектра (А = 5500 А), если расстояние I между
пластинками 1 см? Угол падения очень мал.
3.150. Разрешающую способность интерферометра Фабри-Перо
можно определить, пользуясь следующим критерием. Для разреше-
разрешения двух спектральных линий А и А' необходимо, чтобы в интер-
интерференционной картине, даваемой им, эти линии были разведены
на расстояние не меньше полуширины линии. Пользуясь данным
критерием, найти выражение для разрешающей способности интер-
интерферометра Фабри-Перо.
3.151. Зеркала интерферометра Фабри-Перо, имеющие коэффи-
коэффициент отражения р = 99% (по интенсивности), расположены на
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
103
расстоянии L = 1 м друг от друга. Эталон используется в качестве
оптического резонатора на длине волны А = 0,63 мкм. Пользуясь
аналогией с колебательным контуром, определить добротность резо-
резонатора и ширину 8и резонансной кривой (в мегагерцах). Определить
также частотный интервал Аи между двумя соседними резонансами.
3.152. Интерферометр Фабри-Перо состоит из двух одинако-
одинаковых плоских зеркал с коэффициентом отражения по энергии р =
= 0,95, расположенных на некотором расстоянии L друг от друга.
На интерферометр нормально падает плоская волна, содержащая
две спектральные компоненты Ai = 546,740 им и А2 = 546,768 им.
При изменении L интерферометр последовательно настраивается на
пропускание одной из спектральных компонент (Ai или А2). Оценить
минимальное Ьш1п и максимальное Ьтах значения, при которых
интерферометр способен отделить одну спектральную компоненту
от другой.
3.153. На интерферометр Фабри-Перо, состоящий из двух оди-
одинаковых зеркал, падает пучок света с длиной волны А ~ 0,5 мкм.
Интерференционная картина наблюдается в фокальной плоскости
линзы диаметром D = 2,5 см с фокусным расстоянием / = 10 см и
имеет вид концентрических колец. Первое кольцо имеет диаметр
d = 1 см. Оценить максимальную разрешающую способность
спектрального прибора в этих условиях.
3.154. При наблюдении фазовых (прозрачных) структур мето-
методом темного поля в общей фокальной плоскости линз Л\ и Лч
(рис. 3.38) на оптической оси уста-
устанавливается проволока 77. Оце- х
нить ее допустимый диаметр
(clmax и cfmin) для наблюдения
на экране Э интерференционной
картины от фазовой синусоидаль-
синусоидальной решетки с периодом Л =
= 2 мм, освещаемой нормально
падающей плоской волной длины
А = 0,5 мкм. Диаметр линзы J72
равен D = 2 см, фокусное рассто-
расстояние / = 20 см.
3.155. Один из методов на-
наблюдения фазовых (прозрачных)
объектов состоит в следующем: в
общей фокальной плоскости линз
Л\ и Лч на оптической оси уста-
устанавливается прозрачная пластин-
пластинка 77, вносящая фазовую задержку
в 7г/2 (рис. 3.39). Найти распределение интенсивности 1{х) в
плоскости изображения (в задней фокальной плоскости линзы ./72)?
если предмет — фазовая синусоидальная решетка с амплитудным
коэффициентом пропускания т(х) = exp(imcosfix), m< I —
Рис. 3.38
Рис. 3.39
104 ГЛАВА III
расположен в передней фокальной плоскости линзы Л\. Как из-
изменится картина интенсивности, если использовать пластинку с
задержкой в Зтг/2? Как изменится контраст, если пластинка обладает
коэффициентом поглощения ка?
3.156. Один из методов наблюдения фазовых (прозрачных)
объектов состоит в том, что плоскость наблюдения Р смещается
на некоторое расстояние I относи-
тельно плоскости Pq, сопряженной
4 ^°р с объектом (т.е. плоскости, в ко-
;|d А | торой, в соответствии с геометри-
геометрической оптикой, располагается его
изображение, рис. 3.40). При этом
контрастность наблюдаемой карти-
2/ J. 2/
ны периодически изменяется при
ис' 3' изменении I. Найти период d фазо-
фазовой синусоидальной решетки, если
в схеме, представленной на рисунке, ее контрастное изображение в
первый раз возникло при 1\ = AL. При каких других значениях I
изображение будет контрастным?
3.157. Найти амплитудный коэффициент пропускания т{х) го-
голограммы точечного источника света, если в качестве опорной
волны используется нормально падающая на плоскость голограммы
плоская волна. Расстояние от источника до голограммы равно L. Счи-
Считать, что прозрачность голограммы пропорциональна интенсивности
света при записи. Найти положение действительного и мнимого изо-
изображений при восстановлении изображения нормально падающей
плоской волной. Как изменится положение восстановленных изо-
изображений, если при записи использовать наклонный опорный пучок
с углом наклона в? Оценить минимальный размер amin голограммы,
при котором полностью используется разрешающая способность
фотоэмульсии, равная п линий/мм. Найти размер Ъ восстановленного
изображения.
3.158. Голограмма записана на пластинке радиусом г = 5 см.
Она освещается квазимонохроматическим светом длины волны
А = 0,5 мкм, а изображение получается на расстоянии L =
= 1 м. Найти допустимую немонохроматичность света ДА, при
которой еще полностью используется теоретическая разрешающая
способность голограммы.
3.159. Получена голограмма небольшого предмета, расположен-
расположенного на расстоянии Ь = 50 см от нее. Каким должен быть размер
D фотопластинки, чтобы записать на голограмме детали размером
Ъ « 0,01 мм? Какая немонохроматичность света А А допустима при
записи голограммы? Длина волны света А = 0,5 мкм.
3.160. При записи голограммы предмета, находящегося на рас-
расстоянии L = 1 м, используется излучение He-Ne лазера (А =
= 6300 А). Восстанавливается изображение с помощью протяжен-
протяженного квазимонохроматического источника с угловым размером а =
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 105
= 1СГ4 рад. Каков минимальный размер деталей в восстановленном
изображении? Какова при этом требуемая монохроматичность?
3.161. Излучение He-Ne лазера (А « 6300 А) используется для
записи голограммы. Расстояние от предмета до голограммы L =
= 1 м. Какого минимального размера d детали можно восстановить
с помощью немонохроматического источника с шириной полосы
А А = 9 А? Каков необходимый для этого размер голограммы D?
9. Фазовам и групповам скорость. Дисперсия
1. Фазовая скорость (скорость перемещения волновой поверхно-
поверхности монохроматической волны) v = ш/к (к — волновое число).
2. Групповая скорость (скорость перемещения «волнового паке-
пакета» — группы волн) и = duj/dk.
3. Связь между фазовой и групповой скоростью (формула Релея):
л dv
и = v — А — ,
где закон дисперсии задан в виде зависимости фазовой скорости от
длины волны v(\). Если закон дисперсии задан в виде зависимости
показателя преломления от длины волны п(А), то
I -I , A dn 1
и = vl 1 + или и =
dw
4. Закон дисперсии электромагнитных волн (в модели среды,
состоящей из невзаимодействующих осцилляторов):
е(ш) = 1+ п , где шп = ^,
щ — ш2 + 2wqj som
В этом выражении q — заряд электрона, т — его масса, N —
число осцилляторов в единице объема, ujq — собственная частота
осциллятора.
5. Для радиоволн в ионосфере, когда дисперсия обусловлена
свободными электронами (cjq — 0), и рентгеновских лучей (ш ^> ш®)
закон дисперсии имеет вид
s = l- oj2Jlo2.
При этом связь между фазовой и групповой скоростью: uv = с2.
3.162. Рассматривая импульс, представляющий собой суперпози-
суперпозицию двух гармонических волн Si = sin(ujt — кх) и S2 = asin(ujft —
— к'х), найти групповую скорость и. Считать, что ш « ш\ к « к1.
106 ГЛАВА III
3.163. Выразить групповую скорость и = duj/dk через фазовую
скорость света v и dv/dXy а также через v и dn/dX.
3.164. Изобразим кривой зависимость
фазовой скорости волны v от длины вол-
волны А (рис. 3.41). Показать, что отрезок ОА
на оси v, отсекаемый касательной к этой
кривой в точке Aq, равен групповой скоро-
сти для длины волны А = Aq (построение
П.С. Эренфеста).
3.165. Плоское волновое возмущение
0 а0 а распространяется в среде с линейным зако-
законом дисперсии v = а + ЬА, где v — фазовая
Рис- 3-41 скорость, а а и b — постоянные. Показать,
что каково бы ни было возмущение, форма
его, непрерывно изменяясь, будет периодически восстанавливаться
по истечении времени т = dX/dv = I/ft. Показать, что отношение
пути s, пройденного возмущением за промежуток времени т, к
продолжительности этого промежутка равно групповой скорости.
3.166. Найти групповую скорость и рентгеновского излучения
в среде, если предельный угол полного внутреннего отражения
при падении этих волн на среду из воздуха равен а. Показатель
преломления рентгеновских волн определяется выражением п2 =
= 1 — ujpfuj2, где шр — постоянная.
3.167. Получить формулу для диэлектрической проницаемости
s{ui) ионизованного газа в монохроматическом электрическом поле
Е = Eq cos out. Столкновениями электронов и ионов пренебречь.
3.168. Может ли показатель преломления быть меньше единицы?
3.169. Диэлектрическая проницаемость плазмы е(ш) (см. зад. 3.167)
отрицательна, если ш < ujq. В этом случае показатель преломления
п = л/е — чисто мнимая величина. Выяснить физический смысл
чисто мнимого показателя преломления.
3.170. Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот
могут проходить через ионосферу? Какие волны будут полностью
отражаться?
3.171. Показатель преломления ионосферы для радиоволн с ча-
частотой v = 10 МГц равен п = 0,90. Найти концентрацию N
электронов в ионосфере, а также фазовую v и групповую и скорости
для этих радиоволн.
3.172. Получить выражение для фазовой скорости радиоволны в ио™
носфере в зависимости от длины волны А в ионосфере (см. зад. 3.167).
3.173. Для оценки интегральных и средних характеристик меж-
межзвездной плазмы можно использовать экспериментальный факт, уста-
установленный сразу же после открытия пульсаров. Оказалось, что из-за
дисперсии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров на более
низких частотах всегда запаздывают по отношению к импульсам
более высоких частот. Рассмотрите следующий идеализированный
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 107
пример. Два монохроматических сигнала с длинами волн Ai = 3 см
и А2 = 5 см распространяются в плазме. Определить полное число п
свободных электронов на пути сигналов (т.е. их число в цилиндре
площадью 1 см2 и высотой, равной расстоянию источник^приемник),
если испущенные одновременно сигналы запаздывают относительно
друг друга на время At = 1СП5 с. Хотя концентрация электронов и
не постоянна вдоль пути сигналов, но показатель преломления везде
весьма близок к единице. Определить также среднюю концентрацию
п свободных электронов на пути сигналов, если их относительное
запаздывание At/tg = 10~15 (to — время распространения от
источника до приемника).
3.174. Импульсное излучение пульсара СР1919 + 21 на частоте
v\ = 80 МГц достигает Земли на At = 7 с позже, чем соответству-
соответствующий импульс на частоте щ = 2000 МГц. Оценить расстояние L
до пульсара, если принять среднюю концентрацию электронов в
межзвездном пространстве равной N « 0,05 см~3.
3.175. Для того, чтобы короткий импульс-сигнал, описываемый
функцией /(?), передать через диспергирующую среду (толщина ере™
ды L) без искажений, предлагается на входе в среду сформировать
плоское волновое возмущение, периодически повторяя сигнал /(?).
Закон дисперсии среды в полосе частот сигнала имеет вид к (и) = Вы4.
Какова необходимая минимальная частота повторения, при которой на
выходе из среды повторяется неискаженная форма сигнала?
10. Поляризация. Элементы кристаллооптики.
Нелинейные оптические явления
1. При прохождении электромагнитной волны через кристалли-
кристаллическую пластинку (одноосный кристалл), вырезанную параллельно
оптической оси, разность фазовых набегов обыкновенной волны (век™
тор Е параллелен главной плоскости, содержащей луч и оптическую
ось) и необыкновенной волны (вектор Е перпендикулярен главной
плоскости) равна
А(р = —(no — ne)d,
А
где щ и пе — соответственно необыкновенный и обыкновенный
показатели преломления, d — толщина пластинки.
2. В пластинке «А»: А(р = 2жт.
3. В пластинке «А/2»: А(р = тг + 2тгт.
4. В пластинке «А/4»: А(р = ±(тг/2) + 2тгт.
5. Закон Малюса: при прохождении линейно-поляризованной
волны через поляризатор интенсивность I прошедшей волны связана
с интенсивностью /о падающей волны равенством 1 = 1$ cos2 (p,
где (р — угол между плоскостью колебаний волны и разрешенным
направлением поляризатора.
108
ГЛАВА III
3.176. Найти наименьшую толщину d пластинки кварца, вы-
вырезанной параллельно оптической оси, чтобы падающий плоско
поляризованный свет выходил поляризованным по кругу (пе =
= 1,5533, п0 = 1,5442, Л = 5 • 10 см),
3.177. При какой толщине пластинка из исландского шпата явля-
является пластинкой в четверть волны для света с длиной волны Ai =
= 5880 А и может поворачивать плоскость поляризации на 90°
для света с длиной волны А2 = 5740 А? Разность показателей
преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей принять
равной 0,2 для обеих длин волн. Считать, что обыкновенный и
необыкновенный лучи идут по одному направлению.
3.178. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку
исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси. Опре-
Определить разность хода Д обыкновенного и необыкновенного лучей,
прошедших через пластинку. Толщина пластинки равна 0,03 мм;
п0 = 1,658, пе = 1,486.
3.179. Какова должна быть наименьшая толщина d пластинки
слюды, чтобы она могла служить в качестве пластинки в 1/4 волны
для света натриевого источника, если для этого света показатели
преломления волн, идущих перпендикулярно к пластинке, соответ-
соответственно равны по = 1,5941, пе = 1,5887?
3.180. Ветровое стекло и фары автомашин снабжают пластинками
из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы
шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал
бы от света фар встречных машин?
3.181. В интерференционном опыте Юнга между щелью S
и щелями Si и Й2 (рис. 3.42) введен поляроид Р, главные оси
которого параллельны или перпендикулярны к щелям Si и $2. Как
изменится интерференционная картина на экране, если щели S\ и
S2 прикрыть пластинками в полволны, ориентированными взаимно
перпендикулярно друг к другу (параллельно и перпендикулярно к
щелям)? Что произойдет, если поляроид Р повернуть на 90°? Какая
картина будет наблюдаться, если убрать поляроид? Рассмотреть
ту же задачу, если вместо пластинки в полволны используется
пластинка в четверть волны. Щели Si и S2 предполагаются узкими
(порядка длины волны), а расстояние между ними — большим по
сравнению с их шириной.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 109
3.182. Частично линейно поляризованный свет рассматривается
через николь. При повороте николя на 60° от положения, соответ-
соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два
раза. Найти степень поляризации пучка А = ~^^ — и отношение
¦*тах ~г J-min
интенсивностей естественного и линейно поляризованного света
(Imax и Jmin — максимальная и минимальная интенсивности света
проходящего через николь).
3.183. Определить, во сколько раз изменится интенсивность
частично поляризованного света, рассматриваемого через николь,
при повороте николя на 60° по отношению к положению, соот-
соответствующему максимальной интенсивности. Степень поляризации
света А = Imax ~ Imin = 0,5.
3.184. Один поляроид пропускает 30% света, если на него па-
падает естественный свет. После прохождения света через два таких
поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол (р между осями
поляроидов.
3.185. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и
света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид.
Найдено положение поляроида, соответствующее максимальной ин-
интенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого
положения на угол а = 30° интенсивность света уменьшается нар =
= 20%. Найти отношение интенсивности /к света, поляризованного
по кругу, к интенсивности линейно поляризованного света /л.
3.186. Как отличить свет, левополяризованный по кругу, от пра-
вополяризованного?
3.187. Как отличить естественный свет от света, поляризованного
по кругу, и от смеси естественного света с поляризованным по кругу?
3.188. Как отличить друг от друга: 1) эллиптически-поляризо-
ванный свет; 2) смесь естественного света с линейно-поляризован-
линейно-поляризованным светом (отчасти линейно-поляризованный свет); 3) смесь есте-
естественного света с эллиптически-поляризованным светом (отчасти
эллиптически-поляризованный свет)?
3.189. Параллельный пучок света падает нормально на пластин-
пластинку исландского шпата, вырезанную параллельно оптической оси.
Определить разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей,
прошедших через пластинку. Толщина пластинки равна 0,03 мм;
т = 1,658, пе = 1,486.
3.190. Какова должна быть наименьшая толщина d пластинки
слюды, чтобы она могла служить в качестве пластинки в 1/4 волны
для света натрия, если для этого света показатели преломления
волн, идущих перпендикулярно к пластинке, соответственно равны
щ = 1,5941,П2 = 1,5887?
3.191. Между скрещенными николями помещена пластинка квар-
кварца, вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пла-
пластинки составляет угол 45° с главными направлениями николей.
110 ГЛАВА III
Рассчитать минимальную толщину пластинки, при которой одна
линия водорода Ai = 6563 А будет сильно ослаблена, а другая А2 =
= 4102 А будет обладать максимальной интенсивностью. Величина
анизотропии кварца An = 0,009.
3.192. Расположив пластинку, вырезанную из исландского шпа-
шпата, параллельно его оптической оси между скрещенными николя-
ми, можно осуществить монохроматор, позволяющий, например,
задержать одну из линий дублета натрия и пропустить другую.
Найти, какой должна быть при этом минимальная толщина d
пластинки и как ее нужно ориентировать. Показатели преломления
исландского шпата для линии Ai = 589,0 нм равны nei = 1,48654
и по\ = 1,65846, для линии А2 = 589,6 нм равны ве2 = 1,48652 и
по2 = 1,65843.
3.193. Имеется горизонтальный параллельный пучок эллипти-
эллиптически поляризованного света. Обнаружено, что при прохождении
пучка через пластинку в А/4 при определенной ее ориентации
свет оказывается линейно поляризованным под углом а\ = 23°
к вертикали. Если пластинку повернуть на угол 90°, то весь свет
снова оказывается линейно поляризованным под углом а2 = 83° к
вертикали. Найти отношение а/Ъ полуосей эллипса поляризации и
угол (р наклона большой оси.
3.194. Показатель преломления кристаллического кварца для
длины волны А = 589 нм равен по = 1,544 для обыкновенного
луча и пе = 1,553 для необыкновенного луча. На пластинку из
кварца, вырезанную параллельно оптической оси, нормально падает
линейно поляризованный свет указанной длины волны, занимающий
спектральный интервал АА = 40 нм. Найти толщину пластинки d
и направление поляризации падающего света, если свет после пла-
пластинки оказался неполяризованным.
3.195. Два когерентных пучка квазимонохроматического непо-
ляризованного света равной интенсивности дают на экране
интерференционные полосы. Какой толщины кристаллическую
пластинку надо ввести на пути одного из этих пучков, чтобы
интерференционные полосы исчезли и притом так, чтобы их нельзя
было восстановить никакой стеклянной пластинкой, вводимой в
другой пучок? Как изменится картина, если за
Z^ кристаллической пластинкой поставить поляро™
^ Р ид? При каком положении поляроида интерфе™
• ренционных полос не будет?
3.196. Плоская волна монохроматического
света, поляризованного по кругу, создает в точ-
точке Р интенсивность 1$. На пути волны ставят
большую пластинку из идеального поляроида,
и ' как показано на рис. 3.43. Показатель прелом™
ления вещества поляроида п. Найти толщину d
пластинки, при которой интенсивность света в точке Р будет
максимальной. Чему равна /тах?
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
111
3.197. Плоская волна монохроматического света, поляризован-
поляризованного по кругу, создает в точке Р интенсивность I®. На пути волны ста-
ставят две большие пластинки в А/4, как показано на рис. 3.44. Главные
направления пластинок ориентированы взаимно перпендикулярно.
Найти интенсивность I в точке Р.
Рис. 3.44
Рис. 3.45
3.198. Плоская волна круговой поляризации (длина волны А)
падает на полубесконечный экран (рис. 3.45), изготовленный из
поляроида с показателем преломления для разрешенного направ™
ления п (п - 1 < 1) и толщиной а = А/[4(п — 1)]. Какова степень
поляризации /3 света в точке наблюдения Р1
3.199. Бесконечный экран состоит из двух поляроидных по-
полуплоскостей, граничащих друг с другом вдоль прямой. Главное
направление одной из полуплоскостей параллельно, а другой —
перпендикулярно к этой прямой. На экран перпендикулярно к его
поверхности падает пучок параллельных лучей естественного света
с длиной волны А. Описать качественно дифракционную картину,
получающуюся за экраном.
3.200. Зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных
зонах поляроид ориентирован вертикально, во всех нечетных —
горизонтально. Какова будет интенсивность света в основном фокусе
пластинки, если она освещается неполяризованным светом?
3.201. Как изменится разрешающая способность дифракционной
решетки, если одну ее половину прикрыть поляроидом, ориентиро-
ориентированным параллельно штрихам решетки, а другую — поляроидом,
ориентированным перпендикулярно к штрихам? Будет ли зависеть
разрешающая сила решетки от поляризации падающего света?
3.202. Параллельный пучок естественного света интенсивно-
интенсивностью Jq и длины волны А падает на систему из двух скрещенных
поляроидов III и П2 и клина К из
кварца с малым преломляющим
углом а. Показатели преломле- ^ ,
ния кварца равны пе и по. Оп- ,
тическая ось клина параллельна )
его ребру и составляет угол 45°
с разрешенными направлениями
поляроидов (рис. 3.46). Пройдя
через систему, свет падает на
Рис, 3.46
112 ГЛАВА III
белый экран Э. Найти распределение интенсивности света 1(х) на
экране. Что увидит наблюдатель на экране Э, если между ним и
поляроидом П2 расположить линзу так, чтобы экран оказался в ее
фокальной плоскости?
3.203. Явление самофокусировки объясняется зависимостью по-
показателя преломления от интенсивности света (п = щ + П2Ед, где
Eq — амплитуда напряженности электрического поля в световой
волне). Одним из самых больших значений П2 обладает сероуглерод
(п2 = 2 • 10~п ед. СГСЭ). Мощный пучок лазерного излучения
с параболической зависимостью интенсивности от расстояния до
центра пучка (I = JqA — ^2/го) ПРИ г < го? I = 0 ПРИ г > го)
проходит сквозь слой сероуглерода толщиной L = 5 см. Найти,
на каком расстоянии от кюветы с сероуглеродом сфокусируется
лазерный пучок Jq = 5 • 108 Вт/см2, г о = 5 мм.
3.204. Гауссов пучок неодимового лазера (Л = 1 мкм) с ради-
радиальным распределением поля по сечению: Е = Eq exp[^r2/'(i?2)]
(R = 3 мм) и с плоским волновым фронтом падает на плос-
плоскопараллельную пластинку толщиной d = 1 см, сделанную из
нелинейного вещества, показатель преломления которого зависит от
интенсивности: п = щ + П2Е2 (ri2 = 10~п ед. СГСЭ). Оценить,
при какой мощности лазера возможно уменьшить диаметр пучка
(фокусировка) после прохождения пластинки.
Глава TV
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
1. Атомные спектры и планетарная модель атома
1. Обобщенная формула Бальмера для спектров излучения водо-
водорода и водородоподобных атомов:
где ш — частота перехода, Z — порядковый номер атома или иона,
R\ — постоянная Ридберга или энергия Ридберга, равная 13,59 эВ
(в оптике постоянной Ридберга называют также величину К\/2жКс^
определяющую спектр обратных длин волн 1/А), п\жп2 — целые
числа: п\ = 1, 2,..., П2 = п\ + 1, п\ + 2,... Спектральные серии
(т.е. группы линий с определенным значением п{) атома водорода
носят названия серий Лаймана {п\ = 1), Бальмера (п\ = 2), Пашена
{п\ = 3), Брэкета {п\ = 4), Пфунда {п\ = 5).
2. Правило квантования Бора для круговых орбит электрона
в атоме водорода (в предположении бесконечно большой массы
протона):
mevr = nhj n = 1,2,...
3. Радиусы боровских орбит атома водорода и водородоподобных
атомов
n2h2
rv = .
meZe2
4. Спектр энергий атома водорода и водородоподобных атомов:
jp meZ2e4
5. Учет конечной массы ядра приводит к замене в приведенных
формулах массы электрона те на приведенную массу /л электрона
и ядра.
4.1. Согласно боровской теории в атоме водорода электрон вра-
вращается под действием электростатического притяжения по круговой
орбите вокруг ядра (протона), массу которого можно считать бес-
бесконечно большой по сравнению с массой электрона. Показать, что
для произвольной орбиты кинетическая энергия электрона численно
равна половине потенциальной энергии, а полная энергия равна по
модулю кинетической энергии, но противоположна ей по знаку.
114 ГЛАВА IV
4.2. Согласно правилу квантования Бора угловой момент может
принимать только значения, кратные постоянной Планка Н. Показать,
что возможное значение полной энергии есть —теА/{2п2Н2), где п —
главное квантовое число.
4.3. Вычислить радиусы и полные энергии (в эВ) у ближайшей к
ядру орбиты (п = 1) в случае водорода и водород ©подобного атома
олова, заряд ядра которого равен 50.
4.4. При переходе электрона с орбиты с главным квантовым
числом п на орбиту с главным квантовым числом п — 1 избыточная
энергия АЕ излучается с круговой частотой АЕ/Н. Показать, что
при увеличении п частота излучения стремится к частоте обращения
электрона на орбите.
4.5. Согласно Луи де Бройлю движущийся электрон с импульсом
р подобен волне с длиной волны А = h/p. Показать, что условие
квантования Бора эквивалентно требованию, чтобы на орбите укла-
укладывалось целое число длин волн де Бройля.
4.6. Длина волны границы серии Бальмера равна 3650 А. Опре-
Определить длину волны границы серии Пашена.
4.7. Головная линия серии Бальмера в излучении атомарного
водорода, т.е. линия, соответствующая переходу атома в состояние
с квантовым числом п = п\ = 2 из ближайшего состояния с п =
= п\ + 1 = 3, имеет длину волны Ai = 6,56 • 10 м. В излучении
межзвездной среды обнаружена серия излучения того же атомарного
водорода с длиной волны головной линии А2 = 48,8 см. Определить
соответствующее квантовое число конечного состояния атома П2
(учесть, что П2 ^> 1).
4.8. Атомарный водород освещается ультрафиолетовым излуче-
излучением с длиной волны А = 1000 А. Определить, какие линии появятся
в спектре водорода.
4.9. Какую наименьшую скорость должен иметь электрон, чтобы
при соударении с невозбужденным атомом водорода вызвать излуче-
излучение хотя бы одной линии спектра водорода? Вычислить длину волны
этой линии.
4.10. Определить наименьшую энергию, необходимую для воз-
возбуждения полного спектра дважды ионизованных атомов лития.
4.11. Постоянная Ридберга, найденная по спектру водорода,
составляет 109677,6 см™1, а по спектру гелия — 109722,3 см™1.
Определить отношение массы протона к массе электрона.
Г
4.12. Известно, что для финитного движения частицы wpdq =
j
= 2жпН, где р, q — обобщенные координаты, описывающие движе-
движение частицы. Показать, что применение этого условия к вращению
приводит к закону квантования проекции момента импульса на
заданную ось.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 115
2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения
1. Связь энергии Е и импульса р фотона с частотой ш и волновым
вектором к электромагнитной волны:
Е = Ни), p = Кк.
2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
где Р — работа выхода (энергия связи) электрона в веществе.
3. Изменение длины волны фотона в результате комптоновского
рассеяния
АА= _5_(l-cos0),
тес
где в — угол рассеяния фотона, Л = h/mec = 2,42 • 1СП12 м — так
называемая комптоновская длина волны.
4.13. По классической электромагнитной теории света поток
световой энергии непрерывно распространяется от источника во
все стороны. Через какое время, согласно этой теории, отдельный
атом танталового катода может накопить столько энергии, чтобы
стал возможен вылет фотоэлектрона, если катод находится на
расстоянии 10 м от лампочки мощности 25 Вт? Работа выхода
электрона из тантала равна 4 эВ. Считать, что фотоэлектрону
передается вся энергия, накапливающаяся в атоме тантала, диаметр
которого равен 0,3 нм.
4.14. Излучение гелий-неонового лазера мощностью W = 1 МВт
сосредоточено в пучке диаметром d = 0,5 см. Длина волны излуче-
излучения А = 0,63 мкм. Определить плотность потока фотонов в пучке.
4.15. Возбужденный атом водорода летит со скоростью v = 2 х
х 103 м/с. На сколько процентов изменится скорость атома вследствие
отдачи при излучении фотона длиной волны 0,1 мкм в направлении
движения атома?
4.16. На зеркальную поверхность площадью 10 см2 падает под
углом 45° пучок фотонов интенсивностью 1018 фотон/с. Длина
волны падающего света 400 нм. Определить величину светового
давления на поверхность, если коэффициент отражения поверхно-
поверхности 0,75.
4.17. В опытах Лебедева, доказавшего существование светового
давления, энергетическая освещенность соответствовала приблизи-
приблизительно 1,5 кал/(см2*мин). Вычислить давление, которое испытывали
зачерненые и зеркальные лепестки его измерительной установки.
4.18. Определить красную границу фотоэффекта для серебра, у
которого работа выхода равна 4,74 эВ.
116 ГЛАВА IV
4.19. Какова максимальная скорость электронов, вылетающих с
поверхности цезия под действием излучения с длиной волны 3600 А?
Работа выхода цезия равна 1,97 эВ.
4.20. Красная граница фотоэффекта для рубидия равна 5400 А.
Определить работу выхода и максимальную скорость электронов при
освещении поверхности металла светом с длиной волны 4000 А.
4.21. Рентгеновские лучи с длиной волны 0,5 А выбивают элек-
электроны из атома молибдена. Какова скорость электронов, выбитых с
JiT-уровня атома? Длина волны Ка-линии молибдена равна 0,708 А.
4.22. Определить величину наименьшего задерживающего потен-
потенциала, необходимого для прекращения эмиссии с еурьмяно-калиево-
натриевого фотокатода, если его поверхность освещается излуче-
излучением с длиной волны 0,4 мкм и красная граница фотоэффекта для
катодов данного типа лежит при 0,67 мкм.
4.23. Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолето-
ультрафиолетовым светом длины волны А = 250 нм. До какого максимального
потенциала зарядится шарик? Работа выхода для цинка Р = 3,74 эВ.
4.24. Электромагнитная волна круговой частоты 0 = 2- 1016 с^1
промодулирована синусоидально по амплитуде с круговой частотой
ш = 2 • 1015 с^1. Найти энергию W фотоэлектронов, выбиваемых
этой волной из атомов с энергией ионизации Wi = 13,5 эВ.
4.25. Показать, что законы сохранения энергии и импульса при-
приводят к тому, что свободный электрон не может поглощать фотоны
или излучать их.
4.26. Исходя из классического закона преломления, вывести за-
закон сохранения тангенциальной компоненты импульса фотонов при
прохождении плоской границы прозрачных сред.
4.27. На рис. 4.1 изображены результа-
результаты, полученные Комптоном при исследова-
исследовании рассеяния рентгеновских лучей в графите.
Наблюдения велись под углом в = 135° к
направлению падающего пучка. Определить
+. масштаб длин волн по оси абсцисс.
^i ^2 ^ 4.28. В результате комптоновского рассе-
рассеяния длина волны фотона с энергией 0,3 МэВ
Рис- 4Л изменилась на 20%. Определить энергию элек-
электрона отдачи.
4.29. В результате эффекта Комптона фотон с энергией 0,3 МэВ
испытал рассеяние под углом 120°. Определить энергию рассеянного
фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.
4.30. Фотон рубинового лазера (А = 6943 мкм) испытывает
лобовое соударение с электроном, имеющим кинетическую энергию
WK = 500 МэВ. Оценить энергию W7 фотона, испускаемого в резуль-
результате «обратного комптон-эффекта» и движущегося вдоль траектории
электрона.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 117
4.31. Фотоны длиной волны Л = 1,4 А испытывают комптонов-
ское рассеяние на угол в = 60°. Рассеянные фотоны попадают в
рентгеновский спектрограф, использующий принцип интерферен-
интерференционного отражения Брегга-Вульфа. При какой минимальной тол-
толщине кристаллической пластинки спектрографа можно обнаружить
изменение длины волны рассеянного излучения (комптоновское
смещение) в первом порядке, если постоянная кристаллической
решетки d = 1 А?
4.32. В результате комптоновского рассеяния фотона на покоя-
покоящемся электроне последний получил импульс отдачи р. Определить,
под какими углами по отношению к направлению падающего фотона
мог вылететь электрон с таким импульсом.
4.33. В результате комптоновского рассеяния фотона на покоя-
покоящемся электроне последний вылетел под углом 60° к направлению
падающего фотона. Какую кинетическую энергию мог приобрести
электрон отдачи в этом случае?
4.34. При прохождении 7-квантов через вещество образуются две
группы быстрых электронов: одна — в результате фотоэффекта, а
другая — комптоновского рассеяния. Каково должно быть энерге-
энергетическое разрешение регистрирующей аппаратуры, чтобы отличать
фотоэлектроны от комптоновских электронов с максимальной энер-
энергией? Энергия 7-квантов W1 = 5 МэВ.
3. Волны де Бройля. Соотношении неопределенностей
1. Длина волны де Бройля для частицы с импульсом р
А=*.
Р
2. Соотношения неопределенностей координата-импульс:
АрхАх r^j ft? ApyAy ~ hj ApzAz ^ h.
3. Соотношение неопределенностей энергия-время:
AEAt ~ h.
4. Соотношения неопределенностей координата-импульс в форме
Вейля:
/ * о" / * п „ П,
и т.д.
4.35. В квантовой механике частице соответствует волна, при-
причем должны выполняться следующие условия: при прохождении
частицей плоской границы, разделяющей области, в которых потен-
потенциальные энергии различны, длина волны изменяется так, чтобы
для частицы и для волны показатели преломления были одинаковы;
групповая скорость волны равна скорости частицы. Показать, что при
118 ГЛАВА IV
выполнении этих условий: а) частота v и длина волны А связаны с
энергией Е и импульсом р соотношениями де Бройля v = E/h, А =
= h/p, где Е — полная энергия, ар — импульс частицы; б) при
нормальном отражении частицы от движущегося зеркала изменение
энергии и доплеровское изменение частоты находятся в соответствии
с соотношением де Бройля.
4.36. Вычислить длину волны де Бройля для «-частицы, ней™
трона и молекулы азота, двигающихся с тепловой скоростью при
температуре 25°С.
4.37. Электрон, движущийся со скоростью 5000 км/с, попа-
попадает в однородное ускоряющее электрическое поле напряженно-
напряженностью 10 В/см. Какое расстояние должен пройти электрон в поле,
чтобы длина его дебройлевской волны стала
%г$У равной 1 А?
4.38. Электроны с энергией WK = 100 эВ па-
дают под углом (р = 30° к нормали на систему,
состоящую из двух параллельных сеток, между
которыми создана разность потенциалов U\ =
= 36 В (рис. 4.2). Найти относительный пока-
" ' затель преломления сред, расположенных по обе
р 4 2 стороны сетки. При какой разности потенциалов
С/2 произойдет полное отражение электронов от
второй сетки?
4.39. Оценить размеры щели, на которой было бы возможно
наблюдать дифракцию в потоке стальных дробинок диаметра ~ 1 мм,
летящих со скоростью 100 м/с.
4.40. Если допустить, что масса фотона т1 ф 0, то скорость
электромагнитных волн в вакууме будет зависеть от длины волны А.
До настоящего времени по данным локационных измерений среднего
расстояния L между Луной и Землей (L = 3,5 • 105 км) такая зависи-
зависимость не обнаружена. Измерения были проведены в сантиметровом
(А = 20 см) и оптическом диапазонах. Их точность определялась в
основном неровностью поверхности Луны 5L = ±100 м. Исходя
из этих данных, оценить возможную верхнюю границу массы покоя
фотона га7.
4.41. Оценить минимальный размер пятна Dmim создаваемого на
детекторе пучком атомов серебра, испускаемых печью с температу-
температурой Т = 1200°С. Расстояние от выходной щели печи до детектора
равно L = 1 м.
4.42. При комптоновском рассеянии фотонов на атомных электро-
электронах явление осложняется тем, что электроны в атоме не находятся в
покое. Оценить связанный с этим разброс в углах вылета электронов
отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии рентгенов-
рентгеновских квантов (А = ОД нм) строго назад.
4.43. Действие силы на свободно движущуюся частицу массы га
можно обнаружить, наблюдая изменение ее координаты во времени.
Оценить, какую минимальную силу, действующую по направлению
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 119
движения частицы, можно обнаружить таким образом за время
наблюдения т.
4.44. Процесс измерения координаты электрона путем облучения
его фотоном приводит к неконтролируемому возникновению вир-
виртуальных пар, и в силу неразличимости электронов мы не можем
отличить исходный электрон от электрона рожденной пары. Оценить,
к какой погрешности Ах это приводит.
4.45. Возбужденный атом испускает фотон в течение 0,01 мкс.
Длина волны излучения равна 6000 А. Найти, с какой точностью
могут быть определены энергия, длина волны и положение фотона.
4.46. Электрон движется со скоростью v в плоскопараллельном
слое вещества с показателем преломления п перпендикулярно к огра-
ограничивающим плоскостям. Толщина слоя — Ь. Скорость электрона
v > с/п, так что наблюдается излучение Вавилова-Черепкова. Оце-
Оценить угловую расходимость Аср излучения, обусловленную конечной
толщиной слоя.
4.47. Коллимированный пучок электронов с кинетической энер-
энергией К = 1,65 кэВ пропускается через резонатор лазера, гене-
генерирующего на длине волны А = 0,63 мкм. При некоторых углах
падения пучка относительно оси лазера, близких к прямому, может
наблюдаться брэгговское рассеяние электронов на электромагнитной
волне (эффект Капицы-Дирака). Найти эти углы.
4. Уравнение Шредингера. Операторы. Туннельный эффект
1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы
во внешнем силовом поле с потенциалом V(xy у, z):
где
V +
дх2 ду2
2. Оператор импульса частицы
г
. h д . h д . h д
хе. Рх = ^ —, р у = ^ —, Pz = ^ —.
г ох г ду г dz
3. Плотность потока вероятности частицы в состоянии, описыва-
описываемом волновой функцией Ф:
j
2т
4. Приближенная формула для коэффициента прохождения ча-
частицы массы т сквозь потенциальный барьер U(х) произвольной
120 ГЛАВА IV
формы:
/ 9 Х[ . X
D = Do ехр -- y/2m(U(x) - E)dx ,
V h J /
где #i и Ж2 — так называемые «точки поворота», для которых
U{x\) = U{x2) = i?, предэкспоненциальный фактор D(E) —
медленно меняющаяся функция энергии Е, определяемая для каждой
конкретной задачи.
4.48. Проверить следующие операторные равенства, действую-
действующие на произвольную функцию ф(х):
\ d i. d r\ ( -i i d \ н . o d . d2
*>х 1 + х 6){1 + ) 1 + 2 +
4.49. Найти результат применения оператора (d2/dx2)x2 к функ-
функции cos ж.
4.50. Каков результат применения оператора [(d/dx)x]2 к функ-
функции еж?
Указание. Действие указанного оператора эквивалентно после-
последовательному выполнению операций
d \( d х
—х —же
dx ) \dx
4.51. Коммутатором операторов А ш В называется величина
[АВ] = АВ — В А. Проверить следующие равенства для операторов:
[х,рх] = ih; [х,ру] = 0; \рх,Ру] = 0.
4.52. Найти плотность потока вероятности для: плоской волны
ip = ехр [i—z] = е ; сферической волны гр = —е ; суммы
\ Н У кг
сходящейся и расходящейся сферических волн ф = —(8егкг —
- е^гкг),
4.53. Найти энергию электрона, при которой он беспрепятственно
пройдет над прямоугольным барьером высоты 5 эВ и ширины 1СП8 см.
4.54. Оценить для электрона энергии 1 эВ проницаемость од-
одномерного прямоугольного потенциального барьера шириной 5 А и
высотой 2 эВ. Каков при этом коэффициент прозрачности барьера?
Указание. Проницаемостью прямоугольного барьера называется
величина
I "
2тпа /тт т-,\
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 121
где C/q — высота барьера, Е — энергия налетающей частицы,
га — ее масса. Коэффициентом прозрачности барьера называется
квадрат отношения амплитуды волновой функции прошедшей волны
к амплитуде волновой функции падающей волны.
4.55. Оценить для а-частицы энергии 4 МэВ проницаемость одно-
одномерного прямоугольного потенциального барьера шириной 10~12 см
и высотой 8 МэВ.
4.56. Рассчитать коэффициент прозрачности параболического
барьера
U(x) =
UqA - х2/а2) при \х
О при \х
< а,
> а.
4.57. Электрон с энергией Е = 1,5 эВ находится в одномерной
потенциальной яме, изображенной на рис. 4.3. Ширина ямы d =
= 3 • 1СП8 см. Найти высоту потенциального барьера Uq и его
прозрачность D. За какое время t ве-
вероятность найти частицу в яме умень-
уменьшится в 2 раза? Отражением волновой
функции на задней границе потенци-
потенциального барьера пренебречь.
4.58. Вывести закон Гейгера-Нет-
тола, справедливый для а-распада и
выражающий связь между периодом ^ис- 4-3
полураспада Т и энергией Е вылета-
вылетающих а-частиц с помощью соотношения In Г = А/л/Е + ft, где А
и В — постоянные. Считать, что потенциальный барьер U(г) имеет
вертикальную стенку при г = R (R — радиус ядра) и определяется
законом Кулона при г ^ R. Энергия вылетающей а-частицы Е <С Uq
(Uq — высота барьера).
5. Дискретность энергетических состояний
1. Волновые функции и энергии частицы массы m в одномерной
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины а
I . ЖПХ I .Ьп , \ т^ Ж П П
y>n{x,t) = W-sin exp -г—t , En = ——-,
V a a \ h J 2ma2
квантовое число п принимает значения 1,2,... и т.д.
2. Спектр энергий одномерного гармонического осциллятора
массы га:
n = 0,1,2... ,
где ш — частота классических колебаний; волновая функция основ-
122 ГЛАВА IV
ного состояния (п = 0):
/ 1 ( х \Г^
Фо=?, -exp \——\ где х0 = J?—.
3. Структура волновой функции атома водорода, т.е. связанного
состояния электрона в кулоновском поле протона:
ф(г, #, ф) = RnJ(r)plm(^m((p)i Ф(^) = А= ехр(гту?),
где пг,1и т—радиальное, орбитальное и магнитное квантовые числа.
Они характеризуют, соответственно, число узлов радиальной волновой
функции, квадрат орбитального момента импульса: L2 = h2l(l + 1) и
проекцию момента импульса на выделенное направление: Lz = hm.
В кулоновском поле энергия частицы зависит от суммы радиального и
орбитального квантовых чисел. Поэтому для характеристики состоя-
состояния частицы в кулоновском поле вместо радиального квантового числа
используют так называемое главное квантовое число п = пг + I + 1,
от которого зависит энергия атома водорода
г^ lie4 I meMv
Ьп = —?™ , где а = — ~ те.
Квантовые числа принимают значения:
п= 1,2,3,..., I = 0,l,2,...,n- I, m = 0,±l,±2,...,±Z.
Кратность вырождения уровней водорода (без учета спина), т.е.
полное число состоянии, имеющих одну и ту же энергию Еп, равна
п-1
1=0
Квадрат момента импульса трехмерного симметричного ротатора
может принимать значения h2l(l + 1), а энергия — Е\ = — -?
где I = 0,1, 2,..., а <# — момент инерции ротатора относительно
оси вращения.
Квантово-механическое правило вычисления средних значе-
значении физических величин: среднее значение величины, описываемой
оператором L, в состоянии, описываемом волновой функцией ф,
равно ф*Ьф dV.
4.59. Вычислить вероятность того, что частица с точностью до
0,01а находится находится на расстоянии а/8 от края одномерной
потенциальной ямы с бесконечными стенками ширины а, если
энергия частицы соответствует пятому уровню энергии.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 123
4.60. Найти ширину потенциальной одномерной ямы с бесконеч-
бесконечными стенками, в которой энергия протона на самом глубоком уровне
равнялась бы 10 МэВ.
4.61. Частица находится в основном состоянии в одномерной по-
потенциальной яме с бесконечными стенками шириной а. Определить
отношение вероятностей пребывания частицы в середине ямы и на
расстоянии а/4 от края. Каково будет это отношение, если частица
находится на втором энергетическом уровне?
4.62. Поток свободно распространяющихся нейтронов падает на
непроницаемую стену толщины L. Сквозь стену проходит канал
с прямоугольным сечением ширины d = 1СГ3 см и высоты h ^>
^> d. Длина канала L^> h. Найти величину минимальной скорости
частицы v в падающем пучке, при которой нейтроны могут пройти
сквозь канал. Чему равна v в случае квадратного сечения канала dxdl
4.63. Частица, находящаяся в потенциальной яме с непроницае-
непроницаемыми стенками, излучает фотон, переходя из состояния с номером
п + 1 в состояние с номером п. Определить
связь частоты фотона с классическим пери-
периодом колебаний частицы с энергией Еп. и >
4.64. Потенциальную энергию взаимо-
взаимодействия U(z) атома гелия с плоской по-
поверхностью твердого тела z = 0 можно
аппроксимировать прямоугольной ямой не-
некоторой глубины [/"о и ширины а = 5 А,
причем U(z = 0) = +оо (рис. 4.4). Полагая,
что волновая функция адсорбированного ис' *
атома в основном состоянии достигает максимума при z = 0,99а,
оценить размер области локализации (z) для адсорбированных
атомов в основном состоянии.
4.65. Волновая функция частицы массы т, совершающей одно-
одномерное движение в поле с некоторым потенциалом V(x), имеет вид
ф(х) = Ах ехр(—х/а) при х > 0 и равна 0 при х ^ 0. Найти V{x) и
полную энергию частицы Е, если известно, что V —>> 0 при х —>> оо.
Найти среднее значение кинетической энергии частицы.
4.66. При переходе пиона с 4/- на Зс1-оболочку мезоатома
фосфора (Z = 15) испускается рентгеновский квант с энергией
Е = 40 кэВ. Определить массу пиона и радиус Зс?™оболочки
мезоатома фосфора.
4.67. Задача об отыскании уровней энергии атома решается в
предположении, что заряд ядра точечный, на самом деле ядро имеет
конечный размер: его радиус равен 1?я = 1,3-10~13т41//3 см, где А —
атомная масса. Оценить знак и порядок величины относительной
поправки к энергии АЕ/Е мюона на iT-оболочке неона (Z = 10,
А = 20), связанной с тем, что часть времени мюон находится
внутри ядра, т.е. в поле, отличном от кулоновского. Волновая
функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет
124 ГЛАВА IV
вшдф = (тта|I//2 = ехр(™г/ав)9гдеаБ—радиус первой боровской
орбиты.
4.68. В кулоновском поле простейшим сферически-симметрич™
ным решением уравнения Шредингера является волновая функция
ф = ехр(^ог). Какой энергии (в эВ) соответствует это состояние
для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Z = 10?
4.69. Вычислить энергию (в эВ) и длину волны (в А) перехода
25-15' в ионе Не+.
4.70. Волновая функция одного из состояний атома водорода
имеет вид ф = АA + аг) ехр(—/Зг), где А, а7 C — некоторые
константы. Определить энергию этого состояния, его квантовые
числа и значения констант А, а, /3.
4.71. В угарном газе СО из-за возбуждения молекул наблюдается
пик поглощения инфракрасного излучения на длине волны А =
= 4,61 мкм. Определить амплитуду Aq нулевых колебаний молекулы
СО. Оценить температуру, при которой амплитуда тепловых колеба-
колебаний превзойдет Aq.
4.72. Оценить отношение кванта колебаний молекул Н2 и О2
к характерной энергии возбуждения валентных электронов Ее,
считая эффективный коэффициент упругости молекулярной связи
к равным ^Ее/а2, где а — межатомное расстояние. Оценить
амплитуду нулевых колебаний.
4.73. Волновая функция трехмерного изотропного осциллятора,
характеризуемого классической частотой ы и приведенной мае™
сой /i, имеет вид ф = АA + аг) ехр(^/3г 2), где А, а, /3 — неко-
торые константы. Определить энергию этого состояния, главное
квантовое число и значения констант А, а, /3.
4.74. В атоме гелия два электрона совершают колебания вокруг
общего центра с частотой, которая может быть оценена, исходя
из того факта, что гелий сильно поглощает излучение в области
вакуумного ультрафиолета на длине волны 584 А. Оценить ди-
_^__^_ электрическую проницаемость жидкого гелия в ста-
1 4 ционарном поле (плотность гелия равна 0,14 г/см3).
2хю эВ 4.75. На опыте измерены переходы между тремя
1 10~4 в последовательными уровнями вращательной полосы
^—^— двухатомной молекулы (рис. 4.5). Найти квантовые
числа I этих уровней и момент инерции J молекулы.
Рис-4-5 4.76. Переход из первого вращательного состо™
яния молекулы НВг в основное состояние сопрово™
ждается излучением с обратной длиной волны 17 см^1. Оценить
размер молекулы.
4.77. При прохождении света через среду наряду с упругим
происходит и неупругое рассеяние фотонов, связанное, в частно™
сти, с их взаимодействием с колебательными степенями свобо™
ды молекул — комбинационное рассеяние. Оценить отношение
интенсивностей фиолетового и красного спутников в спектре
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 125
рассеянного монохроматического излучения от молекул четырех™
хлористого углерода ССЦ при температуре, равной 27° С, если
известно, что обратная длина волны соответствующего перехода
в колебательном спектре 1/Л = 217 см™1.
4.78. При комбинационном рассеянии линии ртути с длиной
волны 3650 А молекулами кислорода наблюдается спутник с дли™
ной волны 3870 А. Определить частоту собственных колебаний
молекул кислорода.
6. Спин. Магнитные свойства атомов
1. Магнитный момент атома
где /хб — магнетон Бора, g — фактор Ланде (g-фактор), J, L, 5 —
квантовые числа полного, орбитального и спинового моментов элек-
электронной оболочки соответственно.
2. Формула тонкой структуры спектра атома водорода (с учетом
релятивистских поправок):
4 + 5
где а = е2/he = 1/137 — постоянная тонкой структуры, п — главное
квантовое число, j — квантовое число полного момента электрона,
принимающее значения I ± 1/2 (I — орбитальное квантовое число).
4.79. Электрон массой m и зарядом е под действием центральных
сил ядра описывает замкнутую траекторию. Показать, что отношение
магнитного момента заряда на орбите к угловому моменту есть
постоянная величина, не зависящая от формы орбиты и равная е/2тс
в системе CGSE.
4.80. Атомное ядро можно рассматривать как вращающееся жест-
жесткое тело с угловым моментом L и магнитным моментом 7L. Показать,
что если на ядро действует магнитное поле Н, то вектор L, независи-
независимо от величины угла между Н и L, прецессирует вокруг Н с угловой
частотой 7Н.
4.81. Вычислить механический и магнитный моменты атома
водорода в основном состоянии.
4.82. Определить значения проекции механического и магнитного
момента электрона на направление магнитного поля при орбиталь-
орбитальном движении с орбитальным квантовым числом 1 (спин электрона
не учитывать).
126 ГЛАВА IV
I 4
4.83. Пучок атомов натрия вылетает из печи, температура ко-
которой Т = 350 К. Пучок расщепляется в поперечном неоднородном
магнитном поле с градиентом dB/dx = 50 Тл/м на пути I = 1 см.
Детектор удален от магнита на расстояние L = 6,5 см. Найти
расстояние s между пятнами на экране.
4.84. Пучок атомов лития в основном состоянии с максимальной
кинетической энергией W^ = ОД эВ проходит через магнит типа
Штерна-Герлаха длиной I = 6 см с градиентом
dB/dx = 5 Тл/см. Перед магнитом стоят две оди-
одинаковые диафрагмы S (рис. 4.6) на расстоянии
L = 1 м одна от другой. При каком максималь-
максимальном размере диафрагм компоненты разделенного
пучка полностью разойдутся?
4.85. Параллельный пучок нейтронов с энер-
Рис-4-6 гией Е = 0,025 эВ проходит через коллимиру-
ющую щель шириной d = ОД мм и затем через
зазор в магните Штерна-Герлаха длиной L = 1 м. Оценить значение
градиента поля dB/dz, при котором угол магнитного отклонения
компонент пучка равен углу дифракционного уширения. Магнитный
момент нейтрона примерно в 700 раз меньше магнетона Бора.
4.86. Объяснить, почему пучок атомов цинка, находящихся в основ™
ном состоянии, не испытывает расщепления в опыте Штерна-Герлаха.
4.87. Образец тефлона (полимера с химической формулой (CF2)n?
где п — целое число) массой 50 г намагничивается в магнитном поле
с индукцией В = 2 Тл при температуре Т = 0,05 К. Намагничивание
обусловлено расщеплением основного состояния ядра фтора гд? в
магнитном поле на два подуровня. При выключении поля образец
получает момент импульса L = 24,2 • 10^6 г-см2-^1 (аналог эффекта
Эйнштейна и де Гааза в ферромагнетиках). Определить магнитный
момент ji ядра фтора.
4.88. В опытах Шалла A968 г.) наблюдалось расщепление пучка
нейтронов на два пучка при преломлении на границе однородного
магнитного поля. Найти угол в между направлениями этих пучков.
Индукция В однородного магнитного поля равна 2,5 Тл, а нейтроны
с дебройлевской длиной волны А = 0,5 нм падают под углом 30° к
достаточно резкой границе магнитного поля.
4.89. Определить кратность вырождения уровня (число состоя-
состояний с одинаковой энергией) для водородоподобного иона с главным
квантовым числом 4, если а) не учитывать спин электрона, б) учиты-
учитывать спин.
4.90. На сколько уровней расщепляется терм атома водорода с
главным квантовым числом п = 3 в результате спин-орбитального
взаимодействия?
4.91. Оценить длину волны А излучения межзвездного атомар-
атомарного водорода в радиодиапазоне. Межзвездный водород находится в
основном состоянии, и его излучение обусловлено переориентацией
спина электрона.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 127
4.92. Оценить по порядку величины энергию расщепления АЕ
головной линии серии Бальмера в спектре водорода за счет вза-
взаимодействия магнитных моментов электрона и ядра (сверхтонкое
расщепление спектральных линий). Можно ли обнаружить это рас-
расщепление с помощью спектрального прибора, если среднее время
жизни возбужденных атомов водорода порядка 10 не?
7. Атом в магнитном поле
1. Расщепление уровней атомов в сильном магнитном поле В
(простой эффект Зеемана):
АЕВ =
где т и ms — квантовые числа проекций орбитального и спинового
моментов электронной оболочки, /1б — магнетон Бора. Соответству-
Соответствующее расщепление спектральной линии
Аш = (Am ^ Б
2тес 2тес
Расщепление уровней в слабом магнитном поле (сложный эффект
Зеемана):
где g — фактор Ланде, mj — квантовое число проекции полного
момента (магнитное квантовое число). Расщепление спектральной
линии в слабом поле
A) B)
yg2 -my
A / A) B) Л[1БВ
Аш = (myg2 -myg2)^—,
(i)
где rrij и gi — магнитные квантовые числа и факторы Ланде
соответствующих подуровней. Правила отбора:
= 05±l, Am5 = 0,
при этом переходы J = 0 —>> J = 0 запрещены; запрещены также
переходы mj = 0 —> mj = 0, если AJ = 0. В сложных атомах
возможны переходы AL = 0 за исключением случаев, когда атом
находится в состоянии с L = 0; кроме того переходы с AL =
= 0 невозможны для атомов, электромагнитное излучение которых
связано с изменением движения только одного электрона.
2. Спектроскопические обозначения термов: 2S+1Lj, при этом
значениям квантового числа L = 0,1, 2, 3,4, 5, 6,... сопоставляются
латинские буквы S^P^D^ F, G,H,I и далее по алфавиту.
128 ГЛАВА IV
4.93. Для наблюдения эффекта Зеемана кальциевая дуга поме-
помещена в магнитное поле напряженностью 20 000 Э и рассматривается
спектральная линия А = 4226,7 А. Вычислить разность длин волн
для смещенной и несмещенной компонент.
4.94. Сколько спектральных линий будет наблюдаться в перехо™
де 3Di —>> 2Pq в сильном и слабом магнитных полях?
4.95. Сколько спектральных линий будет наблюдаться в перехо-
де 515 —>> ЪН^ в сильном и слабом магнитных полях?
4.96. На сколько уровней расщепится в магнитном поле во-
водородный терм с п = 3 при простом эффекте Зеемана? Какова
разность энергий соседних уровней?
4.97. Найти зеемановское расщепление Аш спектральной ли™
нии 2D%/2 —>• 2Р\/2 в слабом поле. Указать число компонент в
расщепленной линии.
4.98. Цезий принадлежит к числу щелочных металлов; при
Р —± S переходе в атомарном цезии испускается широкий дублет,
состоящий из двух линий: Ai = 0,456 мкм и А2 = 0,459 мкм. Найти
расщепление термов этого дублета в магнитном поле. Какими
формулами описывается в этом случае расщепление линий в
магнитном поле с индукцией В = 3 Тл: формулами для простого
или сложного эффектов Зеемана?
4.99. Оценить, какую индукцию В магнитного поля звезды типа
Солнца (период вращения т = 106 с, радиус R = 108 м, температура
поверхности Т = б • 103 К) можно обнаружить в оптической области
спектра ш ~ Ю15 с™1 на основании измерения эффекта Зеемана.
4.100. Атомарный водород помещен в магнитное поле В =
= 2Тл (много большее характерного поля атома). Определить
максимальную дополнительную энергию, которую приобретает
атом в состоянии с п = 3.
4.101. При переходе Р —)> S из возбужденного состояния атома в
основное испускается дублет Ai = 455,1 нм и А2 = 458,9 нм. Какие
линии, соответствующие переходу 3Sr1/2 —>* 2-?з/2> %ДУТ наблюдаться
в спектре поглощения газа, состоящего из таких атомов, при наложении
магнитного поля В = 50 кГс при температуре Т = 0,5 К?
4.102. При наблюдении ядерного парамагнитного резонанса
(ЯМР) на ядрах 25Mg обнаружено резонансное поглощение излу-
излучения на частоте v = 1,4 МГц в поле В = 5,4 кГс. Спин ядра 25Mg
равен J = 5/2. Найти магнитный момент и g-фактор ядра.
4.103. Найти частоту ЭПР для солей трехвалентного празеодима
в магнитном поле В = 0,1 Тл. На 4/-оболочке этого иона находятся
два электрона, остальные оболочки заполнены.
Указание. По правилу Хунда в основном состоянии J = L — S,
если заполнено меньше половины оболочки, и J = L + S, если больше
половины.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 129
8. Свойства атомных ядер
1. Радиус ядра с массовым числом А
R= 1,
2. Энергия связи ядра с массовым числом А и зарядовым чис-
числом Z (полуэмпирическая формула Вайцзеккера):
Есв = аА- (ЗА2/3 - 1Z2A~1/3 - е(А/2 - ZJA~l + 5кА~3/4,
где константы имеют следующие значения (в МэВ):
а = 14,03, /3 = 13,03, 7 = 0,5835, е = 77,25, S = 34,57,
+1 для четно-четных ядер;
к = { 0 для нечетных А;
— 1 для нечетно-четных ядер.
4.104. Оценить, исходя из формулы для радиуса ядра, плотность
ядерного вещества.
4.105. Оценить концентрацию нуклонов и объемную плотность
электрического заряда в ядре.
4.106. Определить, устойчиво ли ядро 8Ве относительно распада
на две а-чаетицы, если известно, что энергии связи на один нуклон
в ядрах 8Ве и 4Не равны, соответственно, 7,06 и 7,08 МэВ.
4.107. С помощью формулы Вайцзеккера найти заряд Zq наи-
наиболее устойчивого ядра-изобары при заданном А. Выяснить, каков
характер активности у ядра 27Mg.
4.108. С помощью формулы Вайцзеккера найти минимальное
значение параметра Z2 /А, при котором становится энергетически
выгодным деление ядра с четными А и Z на две одинаковые части.
4.109. Разница в энергии связи ядер 3Н и 3Не обусловлена
энергией электростатического взаимодействия протонов. Оценить
размеры ядра 3Не, если его энергия связи составляет 7,7 МэВ, а
энергия связи ядра 3Н — 8,5 МэВ.
4.110. Оценить высоту кулоновского потенциального барьера для
а-чаетиц, испускаемых ядрами 222Rn. Какова у этих ядер ширина
барьера («туннельное расстояние») для а-частиц, вылетающих с
кинетической энергией 5,5 МэВ?
4.111. Предполагая, что а™частица находится в ядре в качестве
самостоятельной частицы, оценить на основе соотношения неопре-
неопределенностей приближенную зависимость постоянной распада А от
коэффициента прозрачности D кулоновского барьера и радиуса
ядра R.
9 Задачник
130 ГЛАВА IV
4.112. Определить порядковый номер и массовое число иония,
получающегося из урана-238 B38U) в результате двух а- и двух
/3-распадов. Изотопом какого элемента является ионий?
4.113. Показать, что в составе атомного ядра не может быть
электронов.
4.114. Волновая функция основного состояния дейтрона в си-
системе центра масс имеет вид ф(г) ос г^1 ехр(^аг), где а = 2,2 х
х 1012см^1. Определить красную границу фоторасщепления дей-
дейтрона, т.е. расщепления дейтрона 7-квантами.
4.115. В 1942 году американский физик Аллен измерил мак-
максимальную энергию Eg атомов 7Ы, образующихся в результате
К™захвата 7Ве, и она оказалась равной 50 эВ. Оценить на основе
этих данных разность масс атомов 7Li и 7Ве.
4.116. Простейшей обол очечной моделью ядра является трехмер-
трехмерный гармонический осциллятор. Считая, что такая потенциальная
яма имеет глубину Щ = 70 МэВ, a U(Rq) = 0, где До —
эффективный радиус ядра, оценить энергию связи нуклона для ядра
кислорода g6O.
4.117. На спектрометре высокого разрешения GAMS4 в Гренобле
у изотопа 49Т1 зарегистрирован каскадный переход из высоковозбу-
высоковозбужденного в основное состояние с последовательным испусканием
двух гамма-квантов с энергиями Е\ = 5 МэВ и Еч = 1,5 МэВ.
Прецизионные измерения формы линии Е2 показали, что она имеет
ширину АЕ = 400 эВ. Оценить время жизни уровня с энергией 1?2-
9. Ядерные реакции. Деление
1. Эффективное сечение процесса взаимодействия
N
где N — число актов взаимодействия в единицу времени, j —
плотность потока падающих частиц, Мя — число ядер мишени
на площади, перекрытой пучком (строго говоря, это определение
справедливо для тонкой мишени, т.е. такой мишени, в которой не
происходит заметного ослабления пучка падающих частиц).
2. Ослабление интенсивности падающего пучка на глубине х
мишени
j(x) =joexp(-nax),
где п — плотность ядер, с которыми происходит взаимодействие, в
мишени.
3. Эффективное сечение резонансной реакции (формула Брейта-
Вигнера):
(Т„ = -g ^
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 131
где к — волновое число падающей частицы (в системе центра масс),
Е — энергия падающей частицы, Eq — ее энергия, соответствующая
уровню составного ядра (энергия резонанса), Ге — парциальная
ширина упругого рассеяния, Та — парциальная ширина рассматри-
рассматриваемого процесса, Г = ^ Г^ — полная ширина уровня составного
г
ядра, g — статистический фактор:
2J + 1
где J — спин уровня составного ядра, j\ и J2 — спины налетающей
частицы и ядра-мишени.
4.118. Частица массы m налетает со скоростью v <C с на покояще-
покоящееся ядро массы М, возбуждая эндотермическую ядерную реакцию
(Q — энергия реакции). Показать, что пороговая кинетическая
энергия налетающей частицы равна
4.119. Используя результат предыдущей задачи, вычислить
пороговую кинетическую энергию налетающего протона в реакции
р + 3Н ->> 3Не + п.
4.120. В реакции термоядерного синтеза d + t = a + n + Q выде™
ляется энергия Q = 17,8 МэВ. Какова энергия, уносимая нейтроном?
4.121. Узкий пучок 7™лучей с энергией 150 кэВ при прохожде™
нии серебряной пластинки толщиной 3 мм ослабляется в четыре
раза. Найти эффективное сечение взаимодействия (в барн/атом)
этих 7-квантов в серебре.
4.122. Выразить эффективное сечение реакции А(а,Ь), зная се-
сечение образования составного ядра аа и ширины Г и Г& его уровня,
через который идет реакция. Здесь Г — полная ширина уровня, а
Г^ — парциальная ширина, отвечающая испусканию частицы Ъ.
4.123. Оценить величину сечения взаимодействия нейтрона с
энергией 10 МэВ с ядрами Аи.
4.124. Поток нейтронов из обычного реактора v = 1014 с^-см.
Определить скорость реакции в мишени толщиной 1 см. Поперечное се-
сечение реакции сг = 10^27см^2,плотность ядер мишенип = 1022см^3.
4.125. Для регистрации медленных нейтронов широко использу-
используются счетчики, наполненные газообразным 3Не. Счетчик предста-
представляет собой цилиндр диаметра D = 25 мм, наполненый газом при
давлении 10 атм. и температуре 300 К. В счетчике происходит ре-
реакция 3Не(п,рKН, сечение которой для регистрируемых нейтронов
равно а = 5400 барн. Рассчитать долю регистрируемых нейтронов,
предполагая, что нейтроны в счетчике движутся вдоль его диаметра.
132 ГЛАВА IV
4.126. Найти среднее эффективное сечение а реакции а + \\ А1 —>>
—>> р + f^Si. Известно, что при облучении толстой алюминиевой
мишени а-частицами с энергией 8 МэВ выход протонов равен г) =
= 8 • 1СП6. Длина пробега а-частиц в воздухе /в = 7,0 см. Выходом
ядерной реакции называется отношение числа актов реакции к числу
падающих частиц.
4.127. Толстая мишень, содержащая п ядер/см3, облучается а-
частицами. Зависимость дифференциального выхода исследуемой
реакции от энергии а™частиц в интервале 1-10 МэВ оказалась ква™
дратичной, т.е. drjfde = кЕ2. Определить приближенно характер
зависимости эффективного сечения реакции от энергии сг(Е). При
этом в выражении для ионизационных потерь энергии пренебречь
логарифмическим и релятивистским членами, т.е. считать, что
de/dx = А/Е, где А — некоторая постоянная.
4.128. Реакция термоядерного синтеза d + t —> п + а идет
при низких энергиях преимущественно при столкновениях ядер с
полным моментом импульса J = 3/2. Во сколько раз изменится
среднее сечение этой реакции, если дейтериево-тритиевая плазма
помещена в магнитное поле, полностью поляризующее спины взаи-
взаимодействующих ядер?
4.129. Поток нейтрино ve с энергией Е = 10 МэВ проходит
через Землю. Оценить вероятность поглощения нейтрино веществом
Земли, считая, что вещество Земли содержит 50% протонов и 50%
нейтронов. Сечение взаимодействия таких нейтрино ov = 10^41 см2,
масса Земли М = б • 1027 г, радиус Земли R = 6,4 • 108 м. Какова
длина свободного пробега этих нейтрино во Вселенной? Плотность
межзвездного газа р = 2-10"™26 г/см3. Нейтрино с указанной энергией
взаимодействуют только с нейтронами.
4.130. Мюон, попав в свинцовую пластинку, очень быстро
тормозится, после чего захватывается на К~оболочку РЬ, на которой
живет 7-Ю""8 с. Это время примерно в 30 раз меньше времени жизни
свободного мюона. Взаимодействие с каким нуклоном ограничи™
вает время жизни мюона? Какова соответствующая реакция? Дать
оценку ее сечения.
4.131. Время жизни ядра fgAr в результате К-захвата составляет
Т = 32 дня. Оценить эффективное сечение слабого взаимодействия
в реакциир + е~~ —>• п + ие.
4.132. При комнатной температуре примерно 20% 7™распадов
119Sn в соединении BaSnOs происходит без отдачи (эффект Мессба™
уера). Оценить, какой должна быть толщина L источника, чтобы
в нем не происходило заметного поглощения мессбауеровских
7~квантов. Плотность BaSnO3 p = г/см3, содержание изотопа 119Sn
в естественной смеси е = 8%, энергия 7™квантов Е1 = 24 кэВ.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 133
4.133. Исследование структуры жидкого и твердого 3Не с помо-
помощью пропускания нейтронов через слой вещества затруднено из-за
большой величины сечения экзотермической реакции 3Не(п,рKН,
которое для нейтронов с энергией 300 К равно 5400 бн. Определить
энергию нейтронов, с помощью которых можно изучать слои 3Не
толщиной 1 мм, чтобы через них проходило не менее 10% от потока
падающих нейтронов. Концентрация ядер 3Не п = 1022 см™3. Се-
Сечение указанной реакции для нейтронов с энергией до 1 МэВ носит
нерезонансный характер.
4.134. Одним из перспективных методов получения новых изо-
изотопов является синтез тяжелых ядер с их последующим распадом.
Найти пороговую скорость v ядер урана, бомбардирующих урановую
мишень, для реакции
238т т - 238т т . 476 y v V^ v
92и i 92и "^ 184Л ~~^ / ^жг-
4.135. Сечение деления урана-238 7-квантами с энергией 3 МэВ
составляет 0,1 нб A0™34 см2). Каков должен быть полный поток пада-
падающих на мишень квантов, чтобы можно было заметить вынужденное
деление в 1 мг 235U на фоне спонтанного деления (Tiy2 = Ю15 лет)
при продолжительности эксперимента t = 100 час?
4.136. Ядерный реактор с топливом из 235U работает в стационар-
стационарном режиме. В среднем половина рождающихся нейтронов захваты-
вается конструкционными материалами и самим ураном. Какова доля
нейтронов, уходящих из активной зоны, если при элементарном акте
деления урана рождается в среднем v = 2,5 быстрых нейтронов?
4.137. Реактивностью реактора называют величину р = (к — 1)/к,
где к — коэффициент размножения нейтронов; если \к — 1| «С 1, то
р « fc — 1. Найти в этом приближении изменение мощности P(t)
реактора в надкритическом режиме, когда к > 1. Определить период
Т реактора, т.е. время возрастания мощности Рве раз. Среднее
время жизни одного поколения нейтронов равно т. Как изменится
мощность при увеличении температуры от 1 кэВ до 10 кэВ?
4.138. В первом поколении термоядерных реакторов предпола-
предполагается использовать реакцию дейтерия с тритием: d + t —>> 4Не +
+ п + 17,6 МэВ. Величина ~av (где а — сечение реакции, а г; —
относительная скорость реагирующих частиц), усредненная по мак-
свелловскому распределению, равна
Ш = 5,5 • 10^21см2/с при Г = 1 кэВ
Ш = 1,1 • 10~16см2/е при Т = ЮкэВ.
Предполагая, что плазма содержит равное количество атомов дейте-
дейтерия и трития, рассчитать плотность Р тепловой мощности и полную
мощность W термоядерной установки, если объем плазмы 500 м3,
плотность электронов п = 1014 см™3.
134 ГЛАВА IV
10. Элементарные частицы
1. Релятивистский инвариант для системы частиц:
Е2 - Р2е2 = inv,
где ?иР — полная энергия и полный импульс системы. Пороговая
кинетическая энергия частицы rai для реакции т\ + гп2 —> Yl mi
(частица rri2 покоится):
4.139. Чему равно наибольшее число пионов, которое может быть
образовано при стокновении протона с энергией Wp = 5 ГэВ с
покоящимся протоном?
4.140. Определить пороговое значение энергии тг-мезонов для
реакции тг™ + р —>> К0 + Д°.
4.141. Вычислить энергетический порог рождения антипротона
в рр~соударениях, считая протоны в мишени неподвижными. При
написании возможных реакций учесть закон сохранения барионного
заряда.
4.142. Рассмотрев законы сохранения энергии и импульса, до-
доказать, что в вакууме невозможен процесс образования фотоном
электрон-позитронной пары.
4.143. Показать невозможность аннигиляции электрона и пози-
позитрона с испусканием одного 7-кванта.
4.144. На основании законов сохранения барионного заряда и
странности определить, какие из приведенных реакций возможны:
1) тт° + п^ К+ + К~; 2) К~ +р^7г° + Л°;
3) р + р^р + К° + К+.
4.145. Рассмотреть, какие из приведенных реакций запрещены
законами сохранения лептонных зарядов:
1) fi~ -> е^ + ие + х>м; 2) /х~ ->> е~ + i/^ + z>e;
3) /i+ -^ e^ + 75 4) К+ -+ е+ + ие + тг°;
4.146. В эффективном сечении упругого процесса тг+р —>> тг+р
при кинетической энергии налетающего пиона Тж = 190 МэВ
(в лабораторной системе координат) наблюдается резонанс с по™
лушириной Г/2 =100 МэВ, который называется А++-изобарой.
Определить время жизни и массу этой частицы.
4.147. Нуклонный резонанс JVA520) с массой М = 1520 МэВ
образуется при рассеянии пиона на протоне. Оценить эффективное
сечение этого процесса.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 135
4.148. Определить минимальную кинетическую энергию нейтро-
нейтрона, при столкновении которого с ядром водорода в жидководородной
мишени образуется лямбда-частица.
4.149. Мезонные резонансы ф и ф1 с массами 3,1 ГэВ и 3,7 ГэВ
можно считать, соответственно, основным и первым возбужденным
состояниями в системе очарованных кварков. Пользуясь нереляти-
нерелятивистским приближением и считая, что потенциал взаимодействия
кварков V = —q2/г, оценить характерный размер ^-мезона.
4.150. Построить кварковую схему нейтрального каона.
4.151. Построить кварковую схему Н° и Л°-гиперонов.
4.152. Исходя из кварковой модели, определить странность S и
гиперзаряд Y адрона, электрический заряд которого q = 1, проекция
изотопического спина /з = 0, а барионный заряд В = 1. Что это за
частица?
4.153. Исходя из кварковой модели, определить странность S и
гиперзаряд Y нейтрального адрона, проекция изотопического спина
которого /з = +1/2, а барионный заряд В = — 1. Что это за частица?
4.154. Возможны ли следующие распады частиц и если нет, то по
какой причине:
1) О^^Л° + тг™; 2) 3~->гс + тг~;
3) п -> р + fi~ + i>M; 4) п ^р + е~~ + i>M;
5) р -+ /i+ + i>M; 6) п~ -+ Е° + /j,-?
4.155. Исходя из кварковой модели, дописать следующие реакции
с участием мюонного нейтрино:
1) f/M+p^?; 2) и^ + п^?;
3) z^+p^?; 4) v^ + n^l.
Каково отношение эффективных сечений этих реакций?
4.156. При больших энергиях полное сечение рассеяния рр при™
мерно постоянно и равно 40 мбн. Принимая во внимание кварковую
структуру протона и пиона, оценить, какой будет в этих условиях вели-
величина полного сечения рассеяния тгр. Считая, что для каон-нуклонного
рассеяния a(KN) = 19 мбн, оценить сечения рассеяния AN и HiV.
4.157. Магнитные моменты кварков определяются, как и для
электрона, формулой
2mqc
где mq и Qq — масса и заряд кварка. Каков магнитный момент
бариона Ш
4.158. При столкновении встречных протон-антипротонных пуч-
пучков возможно рождение W+-бозона. Написать эту реакцию на квар-
ковом уровне. Оценить пороговую энергию протонов, если известно,
что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами в
соотношении 0,45 : 0,55. Масса W^-бозона М\у = 80,6 ГэВ.
Глава V
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
1. Элементы молекулярно-кинетичеекой теории
1. Уравнение состояния идеального газа:
PV = ™RT = uRT,
Р = пкъТ,
где Р — давление, V — объем, m — масса газа, /л — относительная
молярная масса, v — число молей, Т — температура, R — универ-
универсальная газовая постоянная, п — концентрация молекул.
2. Соотношение между частными производными:
Т/ р \dV/T \dPJv
3. Закон Фика для плотности потока (числа частиц, пересекающих
единицу поверхности в единицу времени):
1
dS dt
где D — коэффициент диффузии.
4. Закон Ньютона (зависимость тангенциального напряжения в
направлении оси х от скорости направленного движения и):
dux
тх = -Ц — ,
ау
где г] — коэффициент вязкости (динамический).
5. Закон Фурье для плотности потока тепла:
4 dSdt
где к — коэффициент теплопроводности.
6. Зависимость средней длины свободного пробега от сечения
столкновения молекул а:
7. Уравнение теплопроводности:
д(рсТ) _ д ( дТ
гь
дТ дх\ дх ^
где р — плотность, с — удельная теплоемкость.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 187
8. Коэффициенты переноса в газах
где х — ^/рс — коэффициент температуропроводности; v = rj/p —
кинематический коэффициент вязкости.
Уравнение состояния. Идеальный газ
5.1. Доказать, что коэффициент объемного расширения а, темпе-
температурный коэффициент давления Л и изотермическая сжимаемость /3
физически однородного и изотропного тела связаны соотношением
где Vq ш Pq — объем и давление тела при 0° С.
5.2. Вычислить для идеального газа следующие величины: ко-
коэффициент объемного расширения ау температурный коэффициент
давления А, изотермическую сжимаемость /Зт, изотермический мо-
модуль объемной упругости Кт = —V(dP/dV)T- (См. зад. 5.1)
5.3. При нагреве моля идеального газа на АГ = 1 К при
постоянном объеме давление возрастает на АР = 10 Па. Если при
том же исходном состоянии нагреть газ на 1 К при постоянном дав-
давлении, объем Q увеличится на АV = 1 дм3. Определить параметры
исходного состояния газа.
5.4. Натянутый резиновый шнур при увеличении силы натяжения
на А/ = 1 Н изотермически растягивается на А1 = 1 см. Шнур
нагрели, и его длина уменьшилась на Alf = 4 см. Как надо изменить
натяжение, чтобы при новой температуре длина шнура оказалась
равной исходной?
5.5. Коэффициент объемного расширения ртути а при 0 °С и
атмосферном давлении равен 1,8 • 10~4 К. Сжимаемость /3 = 3,9 х
х 1СП6 атм. Вычислить температурный коэффициент давления А
для ртути.
5.6. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содер-
содержащий m = 17,5 г воды, чтобы он разорвался, если известно, что
стенки шара выдерживают давление не более Р = 107 Па, а его
объем V = 1 дм3.
5.7. Перед вылетом пули из ствола винтовки объем, занимаемый
пороховым газом (продуктами сгорания пороха), в п = 100 раз
превышает объем твердого пороха. Температура газов в этот момент
Т = 1000 К. Молярная масса продуктов сгорания fi = 30 г/моль,
плотность твердого пороха р® = 1 г/см3. Определить давление
пороховых газов при вылете пули.
5.8. Баллончик для приготовления газированной воды имеет
объем V = 5 см3 и содержит углекислый газ СО2 под давлением
138 ГЛАВА V
Р = 15 атм. Можно ли на весах чувствительности т® = 10 мг
заметить разницу в массах полного и «пустого» баллончиков?
5.9. Шаровая молния представляет собой слабо светящийся газовый
шар, свободно плавающий в воздухе. Обычно она наблюдается после
грозы. Согласно одной из моделей молния состоит из идеального газа,
представляющего собой комплексное соединение, каждая молекула
которого содержит ион азота, связанный с несколькими молекулами
воды. Температура молнии t = 600°С, температура окружающего
воздуха to = 20 °С. Сколько молекул воды связывает каждый ион
азота? Электроны, потерянные атомом азота, связаны с молекулами
воды, так что комплексная молекула остается в целом нейтральной.
5.10. Температура комнаты была t\ = 10°С. После того, как
протопили печь, температура в комнате поднялась до ?2 = 20°С.
Объем комнаты V = 50 м2, давление в ней Р = 97 кПа. На сколько
изменилась масса воздуха, находящегося в комнате?
5.11. Масса МТ пороха, сгорающего в единицу времени в камере
ракетного двигателя, зависит от давления Р по закону Мт = АРп.
Найти показатель степени п, если при уменьшении сечения сопла
двигателя в 2 раза давление в камере возрастает в 4 раза. Скорость
истечения газа из сопла пропорциональна давлению в камере Р.
5.12. В камере сгорания реактивного двигателя объемом V =
= 0,1м3 при температуре Г = 2000 К давление Р = 1,5 • 106 Па.
Скорость сгорания топлива Мт = 30 кг/с, средняя молярная масса
продуктов сгорания /л = 21 г/моль. Определить время пребывания
топлива в камере сгорания.
5.13. Определить массу воздуха га, заключенного между двумя
оконными рамами при атмосферном давлении Р, считая, что тем-
температура между рамами меняется по линейному закону от Т\ до Т2
(Г2 > Ti). Площадь окна равна S, расстояние между ними — L
5.14. Сосуд разделен на две равные части полупроницаемой
неподвижной перегородкой. В первую половину сосуда введена
смесь аргона и водорода при давлении Р = 1,5 • 105 Па, во второй
половине вакуум. Через перегородку может диффундировать только
водород. После окончания процесса диффузии давление в первой
половине оказалось равным Р1 = 105 Па. Во время процесса
температура поддерживалась постоянной. Определите отношение
масс аргона и водорода в смеси, которая была первоначально введена
в первую половину сосуда.
5.15. Под тяжелый поршень, скользящий без трения внутри
вертикального откачанного сосуда, вводится смесь водорода и гелия,
в результате чего поршень располагается посередине сосуда. С тече-
течением времени поршень смещается вниз, так как материал, из которого
он изготовлен, оказался проницаемым для одного из газов — гелия.
Окончательное положение равновесия поршня находится на 1/3
высоты цилиндра. Каково отношение масс водорода и гелия в смеси?
5.16. В сосуде находится смесь азота и водорода. При темпера™
туре Г, когда азот полностью диссоциировал на атомы, а диссоциа-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 189
цией водорода еще можно пренебречь, давление в сосуде равно Р.
При температуре 2Т, когда оба газа полностью диссоциировали,
давление в сосуде равно ЗР. Каково отношение чисел атомов азота
и водорода в смеси?
5.17. В сосуде постоянного объема находится кислород (О2).
После того, как в сосуде был осуществлен электрический разряд,
половина молекул кислорода распалась на атомы, а температура газа
выросла вдвое. Как изменилось давление?
5.18. В сосуде вместимостью V = 1 дм3 находится углекислый
газ массой т = 0,2 г. При температуре Т = 2600 К некоторая
часть молекул СО2 диссоциировала на молекулы оксида углерода и
кислорода: 2СО2 ^ 2СО+О2.Приэтомдавлениевсосудеоказалось
равным Р = 108 кПа. Найдите степень диссоциации СО2 при этих
условиях.
5.19. Серный ангидрид в количестве v\ = 1 моль поместили в
замкнутый сосуд и нагрели до температуры Т\ = 1000 К, при которой
он частично диссоциировал на сернистый ангидрид и кислород:
ЗОз = 8О2 + 0,5Оз. Степень диссоциации SO3 в этих условиях
оказалась равной а.\ = 0,2. Когда в тот же сосуд поместили г>2 =
= 0,4 моль SO3, то для получения такого же, как в первом опыте,
давления газ пришлось нагреть до температуры Т2 = 2000 К. Опре-
Определить степень диссоциации SO3 во втором опыте. Все вещества
находятся в газообразном состоянии.
5.20. Рассчитать число молекул в 1 дм2 воздуха при нормальных
условиях (температура Г = 273 К, давление Р = 101325 Па).
5.21. В комнате вместимостью V = 60 м3 испарили капельку
духов, содержащую m = 104 г ароматического вещества. Сколько
молекул ароматического вещества попадает в легкие человека при
каждом вдохе? Объем вдыхаемого воздуха Vq = 1 дм3. Молярная
масса ароматического вещества v = 1 кг/моль.
5.22. При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония 242Ри)
получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония.
Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во
всей атмосфере, подсчитать число радиоактивных частиц, попадаю-
попадающих в объем V = 1 дм3 воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли
принять равным R = б • 106 м.
5.23. Найдите среднее расстояние между молекулами насыщен-
насыщенного водяного пара при температуре t = 100° С.
Явления переноса
5.24. Стальной стержень длины I = 20 см с площадью попереч-
поперечного сечения S = 3 см2 нагревается с одного конца до температуры
t\ = 300°С, а другим концом упирается в лед. Предполагая, что
передача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без по-
потерь через стенки), подсчитать массу m льда, растаявшего за время
т = 10 мин. Теплопроводность стали к, = 0,16 кал/(с-см • К).
140 ГЛАВА V
5.25. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами
с радиусами R\ и i?2 заполнено проводящим тепло однородным
веществом. Найти распределение температуры в этом пространстве,
если температура внутреннего цилиндра t\, а внешнего — ^.
5.26. Найти распределение температуры в пространстве между
двумя концентрическими сферами с радиусами R\ и i?2, заполнен-
заполненном проводящим тепло однородным веществом, если температуры
обеих сфер постоянны и равны t\ и ?2.
5.27. Спутник сечением S = 1 м движется с первой космической
скоростью v = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на
высоте орбиты (h = 200 км) Р = 1,37 • 10~4 Па, температура Т =
= 1226 К. Определите число столкновений спутника с молекулами
воздуха в единицу времени.
5.28. Оцените длину свободного пробега молекулы в воздухе при
нормальных условиях. Диаметр молекулы d = 3,7 • 10~10 м.
5.29. Сколько столкновений z испытывает в среднем молекула
СО2 за одну секунду при нормальном давлении и температуре?
Газокинетический диаметр молекулы СО2 равен d = 10^7 см.
5.30. Сколько столкновений z происходит ежесекундно в 1 см3 меж-
между молекулами кислорода, находящегося при нормальных условиях?
Газокинетический диаметр молекулы кислорода d = 3,1 • 10~8 см.
5.31. В настоящее время в околоземном пространстве находится
примерно N ~ 103 рукотворных тел (спутники, обломки аварий и
т.д.). Принимая толщину «заселенного» слоя атмосферы равной h =
= 100 км, а характерный размер объектов — I = 1 м, оценить «время
жизни» отдельного тела. Считать, что тела «вымирают» только в
результате взаимных столкновений, т.е. торможение в атмосфере не
учитывать. Оценить также время между столкновениями любых двух
рукотворных тел — насколько часто вообще должны происходить
столкновения в околоземном пространстве.
5.32. На очень большом гладком поле лежит большое количество —
N ^> 1 бильярдных шаров. Шары расположены случайным образом, но
в среднем равномерно заполняя некоторый круг и при этом не касаясь
друг друга. В это скопление внедряется со стороны со скоростью
v такой же шар, запутывается и приводит в движение весь массив.
Оценить по порядку величины время, по истечении которого шары
прекратят сталкиваться друг с другом. Радиус каждого шара равен г.
5.33. Идеальный газ нагревают при постоянном давлении. Как
изменяются длина свободного пробега А и число z столкновений его
молекул в единицу времени с изменением температуры?
5.34. Идеальный газ сжимают изотермически. Найти зависимо-
зависимости А и z от давления.
5.35. Найти стационарное распределение температуры в идеальном
газе между двумя плоскопараллельными бесконечными пластинами,
расположенными на расстоянии L друг от друга. Температуры пластин
Т\ и ?2 > Т\ поддерживаются постоянными. Зависимостью эффектив-
ного сечения столкновения молекул от температуры пренебречь.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 141
5.36. По оси длинного цилиндра, заполненного идеальным газом,
расположена тонкая проволока радиуса г, по которой течет ток. При
этом выделяется постоянная мощность на единицу длины q. Темпера-
Температура То внешнего цилиндра поддерживается постоянной, его радиус R.
Найти разность температур AT между нитью и цилиндром, учитывая
зависимость коэффициента теплопроводности газа от температуры.
При температуре То теплопроводность известна и равна k,q.
5.37. Сфера радиуса R имеет постоянную температуру То и
находится в бесконечной среде идеального газа. На большом уда-
удалении от сферы температура газа пренебрежимо мала по сравнению
с Tq. Определить тепловую мощность q которая подводится к сфере.
Учесть зависимость теплопроводности газа от температуры. При
температуре То коэффициент теплопроводности равен k,q.
5.38. В цилиндрическом сосуде находится идеальный газ при
температуре То и давлении Pq. Боковые стенки сосуда — теп-
теплоизолирующие. Крышку сосуда нагревают до температуры Т =
= 4Tq, а температура днища поддерживается равной Tq. Определите
установившееся давление в сосуде.
5.39. В цилиндрическом сосуде под поршнем находится идеаль-
идеальный газ при температуре Tq. Боковые стенки сосуда не пропускают
тепла. Поршень сосуда нагревают до Т = 9Tq, а температура днища
поддерживается равной Tq. Во сколько раз изменится первоначаль-
первоначальный объем после установления стацио-
стационарного режима теплопередачи. Коэффи-
Коэффициент теплопроводности зависит от тем-
температуры. Внешнее давление постоянно.
5.40. Цилиндрический сосуд дли-
длины L, боковые стенки которого не про-
проводят тепло, а торцы — проводят, зажат
между тепловыми резервуарами с темпе-
температурами Т\ и Т2 (рис. 5.1). Внутри сосуда Рис. 5.1
находится тонкий поршень, проводящий
тепло, по обе стороны от которого в сосуде содержится по одному
молю идеального газа. Определить, какое положение займет поршень
после установления равновесия. Теплопроводность газа считать во
всем объеме одинаковой.
5.41. При нагреве азота N2 практически все молекулы диссо-
диссоциировали на атомы, и в результате коэффициент самодиффузии D
вырос в 3 раза. Как изменился коэффициент теплопроводности к!
5.42. При нагреве кислорода О2 под постоянным давлением от
температуры Т до температуры Т\ = 4Т практически все молекулы
диссоциировали на атомы. При этом коэффициент вязкости вырос
вдвое. Как изменился коэффициент диффузии?
5.43. Димер аргона Аг2 можно рассматривать как двухатомную
молекулу, которая состоит из двух атомов аргона, соединенных
межмолекулярными связями. При нагреве такого газа от темпера-
температуры То до температуры Т = 4Tq димер распадается на атомы.
Сечение столкновения атомов в к = 1,6 раза меньше сечения
<—/-
—J
L
142 ГЛАВА V
столкновения молекул Аг2. Во сколько раз в результате нагрева
изменился коэффициент теплопроводности газа?
5.44. При низкой температуре Го молекулы связаны в пары
межмолекулярными силами — образуют ассоциат. При нагреве до
температуры Т = 2Т® ассоциат распадается на молекулы. Сечение
столкновения молекул в к = 1,5 раза меньше сечения столкновения
ассоциатов. Определите, во сколько раз коэффициент самодиф-
самодиффузии молекул при температуре Т отличается от коэффициента
самодиффузии ассоциатов при температуре То, если давления в
обоих случаях одинаковы.
5.45. При нагреве азота N2 от температуры Т до температуры
Т\ = 4Т практически все молекулы диссоциировали на атомы, а ко-
коэффициент теплопроводности вырос втрое. Как отличается сечение
столкновения атомов азота от сечения столкновения молекул?
5.46. При нагреве кислорода О2 под постоянным давлением от тем-
температуры Т до температуры Т\ = 4Т практически все молекулы дис-
диссоциировали на атомы, и коэффициент диффузии вырос в 16 раз. Как от-
отличается сечение столкновения атомов кислорода от сечения молекул?
5.47. В шине электропроводки, выполненной в виде широкой
пластины толщины 2<i, в результате протекания тока в каждой
единице объема выделяется в единицу времени количество тепло™
ты q. Найти установившееся распределение температуры по тол™
щине шины. Температура внешних поверхностей поддерживается
равной Tq. Теплопроводность материала шины пропорциональна
температуре: к = AT.
5.48. Урановый шар радиуса R = 10 см, помещенный в сосуд с
водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате ре-
реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия q = 100 Вт/см3.
Температура воды То = 373 К, теплопроводность урана к =
= 400Вт/(м-К). Найти стационарное распределение температуры в
шаре, а также температуру в его центре.
5.49. Определить, на какой угол (р повернется диск, подвешенный
на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращается
с угловой скоростью ш = 50 рад/с второй такой же диск. Радиус
дисков R = 10 см, модуль кручения нити / = 100 дин-см/рад, вязкость
воздуха считать равной г) = 1,8 • 10~4 дин-с/см2. Краевыми эффектами
пренебречь. Движение воздуха между дисками считать ламинарным.
2. Элементы термодинамики
1. Первое начало термодинамики: подведенное к системе тепло
идет на изменение внутренней энергии системы и на работу:
Q = AU + A.
2. Теплоемкость
C=SQ
dT
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 148
3. Соотношение между теплоемкостями при постоянном давле-
давлении Ср и при постоянном объеме Су
СР-Су=(д-Л \(Щ +
\dTjp[\dvJT
4. Уравнение политропы идеального газа:
5. Адиабата Пуассона:
PV1 = const, где 7 = ~^~-
Cv
6. Скорость истечения газа
7. Скорость звука в газе
>/ад
8. Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины
_ А_ _ Qi +(
V ~ Qi ~ Qi
9. КПД цикла Карно
10. Энтропия (приведенная теплота в обратимом процессе):
11. Неравенство Клаузиуса:
12. Энтропия идеального газа
13. Термодинамические потенциалы:
внутренняя энергия U; dU = TdS — PdV;
энтальпия Н = U + PV; dH = TdS + VdP;
свободная энергия F = U -TS; dF = -SdT - PdV;
потенциал Гиббса Ф = U + PV - TS; d<l> = -SdT + VdP.
144 ГЛАВА V
14. Константа химической реакции в газовой фазе (для ограни-
ограниченного диапазона изменения параметров):
КР(Т) =
(пояснение обозначений — в решении зад. 5.98)
15. Формула Ричардсона для тока насыщения вакуумного диода:
/Н(Г) = AT2 • e~w/ksT,
где W — работа выхода электрона.
/ начало термодинамики
5.50. В вертикальном теплоизолированном цилиндре может пере™
мещаться тяжелый поршень. Вначале поршень закреплен; над порш-
поршнем — вакуум, под ним — воздух. Затем поршень освобождается.
После установления равновесия объем, занимаемый воздухом, ока™
зался вдвое меньше первоначального. Как изменилась температура
воздуха? Молярную теплоемкость воздуха считать равной Су = 5 Л/2.
5.51. В теплонепроницаемом сосуде под поршнем находится один
моль идеального одноатомного газа при температуре Tq. В некоторый
момент времени давление на поршень мгновенно увеличивается в
два раза. После установления равновесия давление также мгновенно
уменьшается, возвращаясь к первоначальному значению. Опреде-
Определить конечную температуру газа.
5.52. Один моль идеального двухатомного газа находится в
цилиндре под поршнем, на котором стоит гиря. Температура газа Го.
Гирю снимают с поршня, и после установления равновесия давление
в сосуде оказывается в 3 раза меньше начального. После этого гирю
возвращают на место. Определите конечную температуру газа.
5.53. В хорошо откачанной вакуумной системе открывают кран,
соединяющий ее с атмосферой. Сразу после уравнивания давлений
кран закрывают. Каким окажется давление в системе после установ-
установления теплового равновесия с окружающим воздухом?
5.54. 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он
расширяется по закону PV2 = const? 2. Какова его молярная
теплоемкость в этом процессе?
5.55. Решить предыдущую задачу для идеального газа, расширя-
расширяющегося по закону P2V = const.
5.56. Вычислить работу одного моля идеального газа в полит-
политропическом процессе, если объем газа изменяется от начального
значения V\ до конечного значения V^. Рассмотреть частные случаи
изотермического и адиабатического процессов.
5.57. Найти в координатах (V, Г) уравнение процесса для иде-
идеального газа, при котором молярная теплоемкость газа меняется с
^п V
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 145
температурой по линейному закону С = Cq + aT, где а — некоторая
постоянная. Рассмотреть частный случай Cq = 0.
5.58. Найти в координатах (V, Т) уравнение адиабаты для идеаль-
идеального газа в области температур, в которой теплоемкость газа меняется
по закону Су = Су0 + аТ2, где а — некоторая постоянная.
5.59. В некотором диапазоне параметров политропа вещества,
подчиняющегося уравнению состояния идеального газа, описывает-
описывается уравнением PT^C~R^R exp(—aT2/R) = const. Как ведет себя
при этом теплоемкость Су?
5.60. Состояния моля идеального газа в ходе некоторого процес-
процесса изображаются точками, лежащими на отрезке прямой, соединя-
соединяющей точки А и В (рис. 5.2): Va = 0, Ра = Pq;
Vb = Vb, Рв = 0. Найти зависимость темпера-
туры газа от объема; определить максимальную
температуру газа в ходе такого процесса.
5.61. Для процесса, описанного в задаче 5.60,
определить молярную теплоемкость газа как
функцию объема. Молярная теплоемкость при
постоянном объеме Су известна. р . 2
5.62. Многоатомный идеальный газ (Су =
= 31?) расширяется в ходе процесса, описанного
в задаче 5.60. На каких участках тепло подводится к газу, а на каких
отводится от него?
5.63. Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре Т\ =
= 273 К, вытекает в атмосферу по трубке, в конце которой он
приобретает скорость v = 400 м/с. Найти температуру вытекаю™
щего воздуха Г2 в конце трубки, а также давление Р\ воздуха в
баллоне. Процесс истечения газа считать адиабатическим.
5.64. Скорость звука в воздухе при температуре 0°С и нормальном
давлении Р = 76 см рт. ст. равна v = 332 м/с; плотность воздуха р =
= 0,0013 г/см3. Определить 7 = СР/Су.
5.65. Две органные трубы одинаковой длины продувают: одну
воздухом при комнатной температуре Го? а другую — гелием. Какова
должна быть температура гелия Т, чтобы тоны второй трубы были
на одну октаву выше соответствующих тонов первой (отношение
частот равно 2)? Считать известными показатели адиабат газов и их
молярные массы.
5.66. Найти скорость адиабатического истечения идеального
газа сосуда через небольшое отверстие в вакуум, если известно, что
скорость звука в газе равна v3B.
Термодинамические циклы. Тепловые машины
5.67. На рис. 5.3 изображен цикл, проведенный с одним молем
идеального одноатомного газа. Вычислить КПД цикла.
5.68. На рис. 5.4 изображен цикл, проведенный с одним молем
идеального двухатомного газа. Вычислить КПД цикла.
10 Задачник
146
ГЛАВА V
р ,
з/V
2Р0
1Л>
1VO
I
2V0
3V0
V
p
3P0
2P0
1 , .2
1VO2VO3VO
Рис. 5.3
Рис. 5.4
5.69. Холодильный коэф™
фициент некоторой идеальной
машины равен к. Каким бу™
дет отопительный коэффициент
К при работе этого устройства
в качестве теплового насоса при
тех же значениях температур «на-
«нагревателя» и «холодильника»?
5.70. Бытовой холодильник
потребляет электроэнергию в
количестве Е = 0,8 кВт-час в сутки, поддерживая при комнатной
температуре {t\ = 27°С) температуру в камере равной t^ = 7°С.
Считая холодильный агрегат идеальной машиной, работающей меж-
между камерой холодильника и комнатой, оценить, какое количество
теплоты поступает в холодильник в единицу времени.
5.71. С помощью бензиновой горелки в помещении поддержива-
поддерживается температура i\ = ^3°С при температуре на улице t<i = 23°С.
Предлагается использовать бензин в движке с КПД г) = 0,4 D0%),
а с помощью полученной механической энергии запустить тепловой
насос. Какой должна быть в этом случае температура в помещении txl
5.72. Работу одного из первых двигателей внутреннего сгорания
можно моделировать циклом, состоящим из адиабаты, изобары и
изохоры (рис. 5.5). Определить теоретический КПД такого двигателя,
если известно отношение п максимального и минимального объемов
газа (степень сжатия).
2 5
nVl V
Рис. 5.5
Рис. 5.6
nlVl nVx V
Рис. 5.7
Рис. 51
5.73. Работу карбюраторного (бензинового) двигателя внутрен-
внутреннего сгорания можно моделировать циклом Отто, который состоит
из двух адиабат и двух изохор (рис. 5.6). Выразить теоретический
КПД двигателя через степень сжатия п.
5.74. Цикл Дизеля, описывающий работу одноименного двигате-
двигателя, состоит из изобары, изохоры и двух адиабат (рис. 5.7). Вычислите
теоретический КПД, зная пипь
5.75. В газовой турбине изменение состояния рабочего тела опи-
описывается циклом из двух изобар и двух адиабат (рис. 5.8). Найти
теоретический КПД турбины, если отношение давлений на изобарах
равно т.
5.76. Двигатели Отто и Дизеля имеют одинаковые КПД. Степень
сжатия в двигателе Отто равна п = 10, степень расширения на
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 147
изобаре в двигателе Дизеля — п\ = 3. Определить для двигателя
Дизеля степень сжатия на адиабате по.
5.77. В цилиндр карбюраторного двигателя (см. зад. 5.73) впрыс-
впрыскивается в ходе одного цикла масса бензина т = 20 мг. Какую работу
совершает за цикл двигатель, если степень сжатия равна п = 10, а
КПД двигателя в 2 раза меньше теоретического?
Примечание: В этой и следующих задачах принимать теплоту
сгорания топлива равной Л = 4,2 • 107 Дж/кг и показатель адиабаты
рабочего тела двигателя j = 1,4.
5.78. Дизель грузовика КамАЗ при скорости V = 60 км/час
расходует ms = 25 кг топлива на 100 км пути при мощности N =
= 50 кВт. Какую долю теоретического значения % = 0,65 F5%)
составляет реальный КПД двигателя щ?
5.79. При равнономерном движении автомобиля «Жигули» со
скоростью v = 60 км/час расход бензина равен ms = 5 кг на 100 км
пути. Степень сжатия рабочего тела двигателя п = 10, причем КПД
двигателя в 3 раза меньше теоретического (см. зад. 5.73). Какую
мощность развивает двигатель в этом режиме?
5.80. Турбина Костромской теплоэлектростанции развивает мощ-
мощность N = 1200 МВт в режиме, при котором отношение давлений на
изобарах равно т = 6 (см. зад. 5.75). КПД турбины составляет 90%
от теоретического значения. Какое количество топлива (мазут, Л =
= 4 • 107 Дж/кг) необходимо для непрерывной работы такой турбины
в течение суток?
Энтропия
5.81. Сосуд разделен перегородкой на две равные части, в одной
из которых вакуум, а в другой находится один моль двухатомного иде-
идеального газа. Перегородку удаляют и, после того, как газ равномерно
заполнит весь сосуд, этот газ квазистатически возвращают в исходное
положение теплонепроницаемым поршнем. На сколько изменятся
энтропия и температура газа по сравнению с первоначальными?
5.82. В двух сосудах находится по одному молю разных иде-
идеальных газов. Температура в обоих сосудах одинакова. Давление
в первом сосуде Pi, а во втором — Р^. Определить, на сколько
изменится энтропия системы, если сосуды соединить. Как изменится
результат, если газы одинаковы?
5.83. Теплоизолированный цилиндр разделен на две равные части
закрепленным теплонепроницаемым поршнем. В каждой части сосу-
сосуда находится один моль гелия, причем температура в одной из частей
в два раза больше, чем в другой. Поршень освобождают, и после
установления равновесия объем одной из частей сосуда оказывается
в п = 1,5 раза больше объема другой части. Определить суммарное
изменение энтропии гелия.
5.84. В одной части сосуда (зад. 5.83) находится один моль
воздуха, а в другой — два. Вначале температуры порций газа
одинаковы. После освобождения поршня объем одной из частей
10*
148
ГЛАВА V
T i
Рис. 5.(
Т к
сосуда в п = 1,5 раза больше другого. Опреде-
Определить суммарное изменение энтропии воздуха.
5.85. Тепловая машина с произвольным ве™
ществом в качестве рабочего тела совершает обра-
обратимый термодинамический цикл, представленный
на рис. 5.9. Выразить КПД цикла через максималь™
ную Т\ и минимальную Г2 температуры газа.
S 5.86. Тепловая машина с произвольным ве™
ществом в качестве рабочего тела совершает обра-
обратимый термодинамический цикл, представленный
на рис. 5.10. Выразить КПД цикла через макси-
максимальную Т\ и минимальную Т2 температуры газа.
5.87. Цикл тепловой машины на TS-
диаграмме изображается окружностью. Макси-
Максимальная и минимальная температуры рабочего
тела отличаются в 3 раза. Определить КПД цикла.
5.88. Найти КПД цикла, изображенного на
Т рис. 5.11. Все процессы политропические; Т2 =
= 2Т\. Уравнение состояния рабочего вещества
не задано.
5.89. Холодильная машина работает по обрати-
мому циклу, состоящему из двух ветвей (рис. 5.12):
процесса I, в котором энтропия уменьшается с ростом температуры как
линейная функция квадрата абсолютной температуры и политропы П.
Уравнение состояния рабочего вещества неизвестно. Определить ко-
количество тепла, отобранное из холодильной камеры при затраченной
работе 1 кДж, если отношение максимальной и минимальной абсолют™
ных температур рабочего вещества в цикле а = 1,2.
5.90. Холодильная машина работает по обратимому циклу, состоя™
щему из двух ветвей (рис. 5.13): политропы I и процесса II, в котором
Рис. 5.10
Рис. 5.11
Рис. 5.12
Рис. 5.13
энтропия рабочего вещества убывает с ростом температуры как линей™
ная функция л/Т. Уравнение состояния рабочего вещества неизвестно.
Отношение максимальной и минимальной абсолютных температур рабо-
рабочего вещества в цикле а = 1,1. Определить количество тепла, отбира-
отбираемое у холодильной камеры на каждый джоуль затраченной работы.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 149
Термодинамические потенциалы
5.91. Уравнение состояния некоторой термодинамической систе-
системы имеет вид Р = АТ^, причем коэффициент пропорционально-
пропорциональности А зависит от объема, но не зависит от температуры. Найти
(dCv/dV)T в точке Р = 105 Па, Т = 300 К.
5.92. Свободная энергия F одного моля некоторого вещества
дается выражением F = ln(AT3V2), где А — некоторая
А
константа. Найти теплоемкость Ср этого вещества.
5.93. Термодинамический потенциал Ф одного моля некоторого
ж RT Л АТБ л
вещества дается выражением Ф = In , где А — некоторая
А ±
константа. Найти теплоемкость Су этого вещества.
5.94. Уравнение состояния термодинамической системы имеет
вид Р = A(V)T3. Найти (dQ/dV)T в точке Р = 1 атм, Г = 300 К.
5.95. Найти общий вид уравнения состояния вещества, теплоем-
теплоемкость Су которого не зависит от объема.
5.96. Один из методов получения очень низких температур осно-
основан на использовании зависимости термодинамических величин
некоторых веществ (парамагнитных солей) от индукции магнитного
поля В. В не слишком сильных полях свободная энергия соли
имеет вид F = F® — (а/Т)В2. Определить количество теплоты,
поглощаемое солью при изотермическом размагничивании от поля
В = В® до поля В = 0 при температуре Т.
5.97. Образец парамагнитной соли при температуре Т = 1 К
находится в магнитном поле с индукцией В = ОД Тл. Какой будет
температура образца после его адиабатического размагничивания,
если в соответствующем диапазоне параметров свободную энергию
соли можно принять равной F = —АТ4/(а + ЛJ, где А и а —
постоянные, причем а = 10^4 Тл?
5.98. При температуре Т\ = 2000 К и нормальном давлении
степень диссоциации водорода а\ = 8,4 • 10™4, т.е. доля молекул
Н2, распавшихся на атомы, равна а\. При температуре Тд = 2500К
и том же давлении степень диссоциации равна «2 = 1,33 • 10^2.
Определить теплоту реакции диссоциации водорода.
5.99. При температуре Т = 1500 К и нормальном давлении
степень диссоциации йода J2 на атомы J равна а = 0,26. Как
изменится эта величина при понижении давления в 10 раз?
5.100. Используя данные зад. 5.99, определить степень диссо™
циации йода при температуре Т' = 2000 К и давлении, в 10 раз
выше нормального. Теплота реакции диссоциации йода равна Qp =
= 1,44 • 105 Дж/моль.
5.101. Ток насыщения диода при температуре вольфрамового катода
Т\ = 2200 К равен 1\ = 2 мА, а при температуре Т2 = 2400 К возраста-
ет до /2 = 17,5 мА. Определить работу выхода электрона для вольфрама.
150 ГЛАВА V
3. Приложении законов термодинамики
1. Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса:
2. Критические параметры:
а гг1 8а
VK = 36;
27Ъ21 27BR
3. Внутренняя энергия моля газа Ван-дер-Ваальса
V
4. Энтропия моля газа Ван-дер-Ваальса
S = Су In Г + R ln(F - Ъ) + So.
5. Дифференциальный эффект Джоуля-Томсона (адиабатическое
дросселирование — процесс без изменения энтальпии):
/АГ\ _ Bа/ВТ) -Ь
VAP/H ~ 'Ор *
6. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса для связи давления и темпе-
температуры на кривой фазового перехода:
dP A
dT TAV'
где Л — молярная теплота фазового перехода, AV — изменение мо-
молярного объема; если высокотемпературная фаза — идеальный газ,
а объемом конденсированной фазы можно пренебречь, то dP/dT =
= AP/RT2.
7. Формула Лапласа для избыточного давления под поверхностью
с главными радиусами кривизны г\ и г2'.
где а — коэффициент поверхностного натяжения.
8. Поднятие жидкости в капилляре радиуса г:
/г = —.
рдг
9. Изменение давления насыщенных паров над искривленной
поверхностью
г рж
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 151
Газ Ван-дер-Ваалъса
5.102. Атмосфера Венеры почти целиком состоит из СО2. Най-
Найти давление на поверхности планеты, если плотность газа Р =
= 0,07 г/см3 и его температура Г = 750 К. Газ считать ван-дер-
ваальсовским с критическими параметрами Рк = 73 атм, VK =
= 94 см3/моль и Тк = 304 К. Провести сравнение с давлением
идеального газа при тех же условиях.
5.103. В откачанную ампулу заливают эфир при температуре 18°С и
запаивают ее. Какая часть ампулы должна быть заполнена жидкостью,
чтобы после нагрева до критической температуры Тк = 467 К эфир
оказался в критическом состоянии? Известны Рк = 35,5 атм, плотность
жидкого эфира рж = 0,714 г/см3, РнA8°С) = 400 мм рт. ст. Считать,
что к указанному эфиру применима модель газа Ван-дер-Ваальса.
5.104. Для демонстрации критического состояния вещества в про™
бирку заливают такое количество жидкости (эфира), для которого
объем пробирки как раз равен критическому. После демонстрации
пробирка охлаждается. Оказалось, что при некоторой температуре Т
жидкость, плотность которой рж = 1,9рк, заполняет ровно полови-
половину пробирки. Определить эту температуру Критическая температура
эфира Гк = 487 К. Считать, что эфир (как газ, так и жидкость) во
всем диапазоне изменения параметров подчиняется уравнению Ван™
дер-Ваальса.
5.105. Моль азота расширяется в вакуум от начального объема
1 л до конечного 10 л. Найти понижение температуры АГ при таком
процессе, если постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота
равна 1,35 • 106 атм-см6/моль2.
5.106. Газ Ван-дер-Ваальса вначале расширяют в вакуум от
исходного объема Vq до 2 Vq, а затем изотермически сжимают до Vo/2.
Найти изменение энтропии одного моля газа, считая известными
константы а и Ь, а теплоемкость Су не зависящей от температуры.
Начальная температура газа Го.
5.107. Найти Ср — Су для моля газа Ван-дер-Ваальса.
5.108. Моль газа Ван™дер~Ваальса расширяется изотермически
от критического состояния до девятикратного увеличения объема.
Определить изменение энтропии газа, подведенное к газу тепло и совер™
шенную им работу. Критическую температуру Гк считать известной.
5.109. Моль эфира (Су = 31?), находящийся в критическом состо-
состоянии, расширяется в теплоизолированный откачанный сосуд, причем
занимаемый им объем увеличивается в п = 17 раз. Определить
изменение энтропии газа.
5.110. Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса,
считая, что его теплоемкость Су не зависит от температуры.
5.111. Найти работу, совершаемую двигателем, работающим по
циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм. Рабочим веще-
веществом является один моль газа Ван-дер-Ваальса. Начальный объем
V\ = 5Ь, конечный V2 = 6Ь, где Ь — константа Ван-дер-Ваальса.
Температуры на изотермах t\ = 10°C, t<i = 20°С.
152
ГЛАВА V
5.112. Найти КПД цикла, состоящего из адиабаты, изотермы
(температура Т\, объем уменьшается от V2 до V\) и изохоры (объ-
(объем Vi, температура увеличивается от Т\ до Ту. Рабочим веществом
является один моль газа Ван-дер-Ваальса, константы а и Ъ которого
известны, а теплоемкость Су не зависит от температуры.
5.113. При какой температуре Т гелий в опыте Джоуля-Томсона
начнет охлаждаться, если известно, что критическая температура
гелия Тк = 5,2 К? Считать, что состояние гелия описывается
уравнением Ван-дер-Ваальса.
5.114. Двухатомный газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-
Ваальса, при температуре 300 К охлаждается в процессе Джоуля-
Томсона на 0,024 К при уменьшении давления на 0,1 атм. Найти
критическое давление и критический объем, если критическая тем-
температура равна ^147°С.
Фазовые превращения. Поверхностные явления
5.115. В сосуд объема V = 22,4 дм3 поместили один моль кисло-
кислорода и один моль водорода. Гремучую смесь подожгли. Какая мак-
максимальная масса воды может сконденсироваться после охлаждения
продуктов реакции в этом сосуде до температуры Т = 373 К? Каким
при этом будет давление в сосуде?
5.116. Ромбическая сера превращается в моноклинную при t =
= 96,5°С. При атмосферном давлении удельная теплота превра-
превращения q = 2,2 кал/г. Скачок удельного объема серы при фазовом
превращении Av = 0,014 см3/г. Найти смещение AT точки фазового
перехода серы при изменении давления на АР = 1 атм.
5.117. Уксусная кислота при атмосферном давлении плавится при
температуре t = 1б,6°С. Разность удельных объемов жидкой и твердой
фаз уксусной кислоты Av = 0,16 см3/г. Точка плавления уксусной
кислоты смещается на АГ = 1 К при изменении давления на АР =
= 41 атм. Найти удельную теплоту плавления q уксусной кислоты.
5.118. Найти давление насыщенного водяного пара при темпе™
ратуре 101°С. Считать пар идеальным газом.
5.119. Найти изменение темпера-
температуры плавления льда АГ при повыше-
повышении давления на АР = 1 атм.
5.120. Гейзеры могут рассматри-
рассматриваться как большие подземные резер-
резервуары, наполненные грунтовой водой
и прогреваемые подземным теплом
(рис. 5.14). Выход из них на поверх-
поверхность земли осуществляется через уз-
узкий канал, который в «спокойный»
период заполнен водой. Считая, что
«активный» период наступает, когда
закипает вода в подземном резервуаре, и что во время извержения
гейзера канал заполнен только паром, который и выбрасывается
Водонепроницаемые
пласты
Нагретые пласты
Рис. 5.14
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 158
наружу, оценить, какую часть воды теряет резервуар гейзера во время
одного извержения. Глубина канала h = 90 м.
5.121. Определить удельную теплоту испарения воды Ai при тем™
пературе Т\ = 323 К, если при температуре Тч = 373 К ее значение
А2 = 2,26 • 103 Дж/г. Удельную теплоемкость воды в этом диапазоне
температур считать постоянной и равной с = 4,20 Дж/(г-К).
5.122. Какую максимальную работу можно получить от периоди™
чески действующей тепловой машины, нагревателем которой служит
т\ = 1 кг воды при начальной температуре Т\ = 373 К, а холо™
дильником Ш2 = 1 кг льда при температуре Т2 = 273 К, к моменту,
когда растает весь лед? Чему будет равна температура воды в этот
момент? Удельная теплота плавления льда q = 335 Дж/г. Зависимостью
теплоемкости воды от температуры пренебречь.
5.123. Капля ртути массой m = 1 г помещена между двумя
параллельными стеклянными пластинками. Какую силу надо при-
приложить к верхней пластинке, чтобы ртуть имела форму круглой
лепешки радиусом г = 5 см? Поверхностное натяжение ртути а =
= 0,465 Н/м. Считать, что ртуть совершенно не смачивает стекло,
так что угол между свободной поверхностью ртути и стеклянной
пластинкой равен нулю.
5.124. Капля воды массой m = 0,01 г введена между двумя па-
параллельными стеклянными пластинками, полностью смачиваемыми
водой. Как велика сила притяжения между пластинками, если они
находятся на расстоянии d = 10^4 см
друг от друга? Поверхностное натяже-
натяжение воды а = 0,073 Н/м.
5.125. В вакууме в чашку с маслом,
имеющим весьма низкую упругость па™
ра и хорошо смачивающим стекло, по™
гружена стеклянная капиллярная трубка
радиусом г. Найти давление в масле на
высоте /г/3 над уровнем масла в чашке,
где h — высота, на которую поднимается
масло в капилляре (рис. 5.15). Поверх™
ностное натяжение масла равно а. .. ис. ..
5.126. На сколько отличается от Ср
молярная теплоемкость идеального газа С, если его нагревают вну-
внутри мыльного пузыря радиуса г = 1 см? Поверхностное натяжение
мыльного раствора а = 50 мН/м. Зависимостью а от температуры
пренебречь. Давление вне пузыря Pq = 1 атм.
5.127. Вычислить давление насыщенного водяного пара при 20°С
над сферической поверхностью капли воды, если ее радиус: Х)п =
= 10~5 см (капелька тумана), 2) г2 = 10~7 см. При такой температуре
для воды а = 72,7 мН/м, уж = 1,002 см3/г, Pq = 17,5 мм рт. ст.
5.128. Переохлажденный водяной пар находится при давлении
Ро = 1 атм и температуре to = 99° С в сосуде с не смачиваемы-
/г/з;
i
h
.-_-_-_-_-_-_-_v
154 ГЛАВА V
ми стенками. Каков минимальный размер капли, которая должна
образоваться, чтобы произошла конденсация пара? Коэффициент
поверхностного натяжения воды принять а = 70 мН/м.
4. Элементы статистической физики
1. Среднее значение величины а для дискретного распределения
а= (а) = — | \^щЩ) = У^aiWi.
г г
2. Среднее значение для непрерывного распределения с плотно-
плотностью вероятности /(?)
3. Дисперсия случайной величины
4. Абсолютная среднеквадратичная флуктуация
^а = y/~D~a = V((ai - (a)J)'
5. Относительная среднеквадратичная флуктуация
^а = <7а/{0>)-
6. Характеристики серии А из N однотипных событий а
(A) = N(a);
DA = NDa;
ел = va/A = сгал/N/Na = еа/л/Н.
7. Барометрическая формула:
Р = Poe-»°h/RT;
п =
8. Распределение Гиббса (число подсистем в состоянии с энерги-
энергией Ei\ /i — химический потенциал):
9. Распределение Максвелла-Больцмана:
dN = а ехр ( - ^21Л _ -H^(vl + vl + v2z))dxdydzdvxdvvdv
F\ kBT 2кБТК x у z)) У х у
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 155
10. Распределение Максвелла:
dw(v) =
2жкБт)
11. Нормированное распределение Максвелла (? = v/vBQp):
12. Формула Болыдмана для связи энтропии и вероятности:
S = k^lnw.
13. Распределение Гаусса (нормальное распределение):
14. Средняя кинетическая энергия на одну степень свободы
15. Формула Найквиста для флуктуационного напряжения тепло-
теплового шума в полосе частот Аи
16. Формула Шоттки для флуктуации тока (дробового шума) при
среднем токе I:
(ijy = 2eIAu.
17. Средний квадрат перемещения броуновской частицы (при
подвижности В):
(ж2) = 2kBTBt;
(В2) = GkbTBt.
18. Эффективный коэффициент диффузии броуновской частицы
(соотношение Эйнштейна):
Db = кБТВ»
Элементы теории вероятностей
В задачах 5.129-5.134 описаны события (так, в зад. 5.131
одиночным событием следует считать последовательность из ше~
сти бросаний монеты) и указаны количественные оценки исходов.
Вычислите средние значения получаемых результатов, среднеква-
среднеквадратичные абсолютные (а) и относительные (е) их флуктуации.
Монеты и кости считать «нормальными», то есть все возможные
исходы —равновероятными.
156 ГЛАВА V
5.129. Если монета падает аверсом вверх (выпадает «орел»),
засчитываете^ одно очко, т.е. полагается а = 1; если сверху реверс
(решетка, «решка») — а = 0.
5.130. Монету бросают 2 раза и суммируют полученные очки.
Как изменится ответ, если бросают сразу 2 монеты?
5.131. Монету бросают 6 раз, результат А — сумма очков. Как
изменится ответ, если бросают сразу 6 монет; если трижды бросают
по 2 монеты? Каждый раз суммируются 6 результатов.
5.132. Бросают игральную кость. Результат — число очков на
верхней грани.
5.133. Бросают две кости, и очки суммируют.
5.134. Кость бросают 10 раз (или бросают 10 костей).
5.135. Стрелок производит один выстрел. Известно, что он попа-
попадает в цель с вероятностью w\ = 0,8 (очевидно, вероятность промаха
w® = 0,2). За попадание засчитывается 1 очко, за промах — 0.
5.136. Стрелок с вероятностью w\ = 0,7 выбивает а\ = 10 очков,
и с вероятностью W2 = 0,3 — «2 = 9 очков (остальные результаты
практически невероятны).
5.137. Стрелок из зад. 5.136 делает серию из 10 выстрелов (очки
суммируются).
В задачах 5.138, 5.139 для заданных распределений (заданной
плотности вероятности) вычислите с, (а), а и е.
5.138. f(x) = с для 0 ^ х ^ 1, f(x) = 0 для всех остальных х.
5.139. f(x) = сх для 0 ^ х ^ 1, f(x) = 0 для всех остальных х.
5.140. Математический маятник совершает гармонические ко-
колебания по закону (р = щ cos out. Найти вероятность того, что
при случайном измерении угла отклонения маятника это значение
будет лежать в интервале [<?,<? + d(p], т.е. определить плотность
вероятности значений угла ср: f(<p) = dw((p)/d(p.
Барометрическая формула. Распределение Больцмана
5.141. Вычислить, где больше содержится воздуха: в слое у
поверхности Земли толщиной 10 см или в слое толщиной 1 км на
высоте 100 км. Считать атмосферу изотермической при Т = 300 К.
Изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь.
5.142. Оценить, на какой высоте Н в горах можно сварить яйцо,
если белок свертывается при температуре Тс = 353 К (80°С).
Атмосферу считать изотермической со средней температурой (Т) =
= 280 К G°С). Теплота испарения воды при этой температуре равна
Л = 4.45 • 104 Дж/моль.
5.143. Из результатов многочисленных измерений известно, что
в диапазоне высот от Hi = 120 км до Нч = 160 км температура в
атмосфере меняется по линейному закону от Т\ = 332 К до Т2 =
= 1155 К. Определить давление Р2 на высоте Н2, если на высоте Hi
оно равно Pi = 2,5 • 10^3 Па. Молярная масса воздуха на таких
высотах равна fi = 27,5 г/моль.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 157
5.144. Относительная концентрация аргона 40Аг в атмосфере
вблизи поверхности Земли составляет 0,9%. Считая атмосферу изо-
изотермической (Т = 280 К), оценить относительную концентрацию
аргона на высоте, где давление падает в 10 раз.
5.145. Перрен в опытах по проверке распределения Больцмана
использовал взвесь частичек коллодия массы m = 1,25 • 10~13 г и
плотности р = 1,21 г/см3 в воде (плотность воды ро = 1 г/см3).
Концентрация частиц в исходной взвеси составляла щ = 1011 см^3.
После установления равновесия наблюдалось распределение частиц
по высоте. Определить концентрацию частиц у дна и у верха кюветы
глубины Н = 0,1 мм при температуре Т = 295 К.
5.146. Для опыта, описанного в зад. 5.145, определить, на каком
расстоянии от дна кюветы концентрация частичек равна исходной.
5.147. После отбора сливок в молочном сепараторе остался
раствор белка (молярная масса /i = 22 кг/моль, плотность р =
= 1,1 г/см) в воде (плотность воды ро = I г/см3). Моделируя сена™
ратор цилиндром радиуса г = 10 см, вращающимся вокруг своей
геометрической оси с угловой скоростью ш =
= 103 с^1, определить, на каком расстоянии от оси
концентрация белка равна исходной. Температура
равна Т = 295 К.
5.148. Конический сосуд высоты Н, заполнен-
заполненный идеальным газом с молярной массой /i, подве-
подвешен вершиной вниз, как показано на рис. 5.16. При
какой температуре наиболее вероятное значение
координаты z молекулы равно Н/21
5.149. Сферический сосуд радиуса R, напол™
пенный идеальным газом, расположен в области ис' '
однородного поля тяжести с ускорением свободного
падения д. При какой температуре газа Т наиболее вероятное положе™
ние молекулы газа будет находиться вблизи горизонтальной плоскости
на расстоянии R/2 от центра сферы? Масса молекулы газа га.
5.150. Пользуясь формулой Больцмана, найти среднюю потен-
потенциальную энергию ёп молекулы газа в земной атмосфере, считая
последнюю изотермической (с температурой Т), а поле тяжести —
однородным. Вычислить теплоемкость газа С при этих условиях.
5.151. Теплоизолированный герметический цилиндрический со-
сосуд высоты Н, наполненный газом, подвешен в вертикальном по-
положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде
везде одинакова и равна Т. Найти среднюю потенциальную энергию
молекулы газа е-а.
5.152. Пользуясь распределением Больцмана, найти среднюю по™
тенциальную энергию молекул идеального газа в поле U(х) = ах2;
а > 0.
5.153. Энергия молекулы в магнитном поле может принимать
два значения ei^ = ±?. При какой температуре средняя энергия
158 ГЛАВА V
взаимодействия молекулы с магнитным полем окажется равной (е) =
= -е/2?
5.154. Энергия молекулы в магнитном поле может принимать три
значения: е = 0, ?\^ = ±?. Определить энергию взаимодействия с
магнитным полем моля таких молекул при температуре Т = е/к^.
Распределение Максвелла
5.155. При какой температуре средняя квадратичная скорость
молекул кислорода равна таковой же скорости молекул азота при
температуре 100°С.
5.156. Как зависит от давления средняя скорость молекул идеаль™
ного одноатомного газа при адиабатическом сжатии или расширении?
5.157. Скорости молекул v\ и V2 равновероятны. Во сколько раз
они отличаются от vBep? если V2Jv\ = и = 5?
5.158. Написать выражение для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены между е и е + de.
5.159. При каком значении температуры число молекул, нахо-
находящихся в пространстве скоростей в фиксированном интервале
(у, v + dv), максимально?
5.160. В диоде электроны, эмитируемые накаленным катодом,
попадают в задерживающее поле анода. До анода доходят лишь
достаточно быстрые электроны. Считая, что тепловые скорости
эмитируемых (вышедших из катода) электронов распределены по
закону Максвелла с температурой Т = 1150 К, определить долю
электронов а, преодолевающих задерживающий потенциал: 1) V =
= 0,2В; 2) V = 0,4 В. Катодом является тонкая прямолинейная нить,
натянутая по оси цилиндрического анода.
5.161. Выразить число молекул z, ударяющихся о квадратный
сантиметр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость
движения газовых молекул, если функция распределения молекул по
скоростям изотропна (т. е. зависит только от абсолютного значения
скорости молекулы, но не от ее направления). Рассмотреть частный
случай максвелловского распределения.
5.162. В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при
температуре Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое
молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение е ки-
кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за
время опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде
пренебрежимо малы.
5.163. Теплоизолированная полость разделяет два сосуда с одним
и тем же газом. Температура газа в одном из сосудов Т\ = 200 К,
¦,sssssss,ss,sssssss,ss в ДРУГ0М — ^2 = 800 К. Давление в обоих
///шш////уу///у///, С0Судах одинаково и равно Р = 1 атм. Полость
т д п т сообщается с сосудами посредством малых от-
отверстий (рис. 5.17). Оба отверстия одинаковы.
Найти давление и температуру, установившиеся
У///////////////////77?
Рис. 5.17 внутри полости.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 159
5.164. Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при
температуре Т = 2000 К, уменьшается в массе, как показали изме-
измерения, со скоростью q = 1,14 • 10^13 г/(с-ем2). Вычислить давление
насыщенного пара вольфрама при этой температуре.
5.165. Какова бы была мгновенная скорость испарения воды с
каждого квадратного сантиметра ее поверхности, если бы над этой
поверхностью был вакуум, а температура воды в тот момент рав-
равнялась 300 К? Табличное значение давления насыщенного водяного
пара при этой температуре Р = 27 мм рт. ст. Сравнить получен-
полученную величину с величиной скорости испарения воды при обычных
условиях (т. е. когда над поверхностью воды находится воздух при
нормальном давлении) и объяснить получившееся расхождение.
5.166. Кривые распределения Максвелла по модулю скорости для
температур Т\ и Т2 пересекаются в максимуме кривой для Г2. Найти
отношение температур.
Статистический смысл энтропии. Флуктуации
5.167. Оценить среднеквадратичные относительные флуктуации
числа молекул N воздуха при нормальных условиях в объеме 1 мкм3.
5.168. Определить величину объема идеального газа, в котором
средняя квадратичная флуктуация числа частиц составляет а = 10™6
от среднего числа частиц в том же объеме. Определить также среднее
число частиц п в таком объеме. Газ находится в стандартных условиях.
5.169. В адиабатически изолированном сосуде, содержащем один
моль кислорода при нормальных условиях, выделен объем размером
10~6 см3. Во сколько раз вероятность состояния, в котором темпера-
температура в этом объеме отличается от средней на 10 ~3 К (при сохранении
числа молекул внутри этого объема), меньше вероятности равновес-
равновесного состояния?
5.170. Во сколько раз изменится средний квадрат флуктуации
температуры (AT2) одноатомного идеального газа, находящегося
в фиксированном малом объеме v при адиабатическом увеличении
объема всей системы V в 8 раз (и < V)?
5.171. В кубическом сосуде емкостью V = 1 л при комнатной
температуре находится N молекул водорода. Найти вероятность ш
того, что эти молекулы соберутся в одной половине сосуда. Оценить
величину N, при которой такое событие можно ожидать один раз на
протяжении эпохи порядка возраста наблюдаемой части Вселенной
(Г ~ 1010 лет).
5.172. Два одинаковых сосуда, в которых находится по молю одно-
одного и того же идеального газа при одинаковых условиях, сообщаются
между собой через отверстие. Какое число молекул п должно перейти
из одного сосуда в другой, чтобы возникшее состояние стало в а =
= е раз менее вероятным, чем исходное?
5.173. Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме насыщения чув-
чувствительность к свету К = 0,12 А/Вт. Какова относительная флукту-
160 ГЛАВА V
ация е числа электронов, выбиваемых при падении на фотоэлемент
светового потока мощностью Ф = 1,3 • 1СГ11 Вт? Время регистрации
т = 1(Г3 с.
5.174. Вычислить среднюю относительную флуктуацию потен-
потенциальной энергии внутримолекулярных колебаний двухатомной мо-
молекулы идеального газа, а также одного моля таких молекул.
5.175. Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступа-
поступательного движения молекулы идеального газа.
5.176. Найти относительную среднеквадратичную флуктуацию
высоты столбика смачивающей жидкости в капилляре, опущенном
в широкий сосуд. Плотность жидкости — р, поверхностное натя™
жение — а.
5.177. Оценить предельную чувствительность АТ/Т идеально-
идеального газового термометра, в котором температура измеряется по объ™
ему газа при постоянном давлении. Количество газа в термометре
равно 1СП3 моля.
5.178. Известно, что тепловое движение механизма пружинных
весов определяет при заданной температуре Т предел их чувстви-
чувствительности. Оценить предельно малую массу, которая может быть
определена при однократном взвешивании на пружинных весах,
считая, что коэффициент жесткости пружины равен а.
5.179. Сигнал от радиопередатчика, принятый на расстоянии
1о = 1 км, равен по мощности уровню собственных тепловых
шумов приемника. С какого расстояния I можно вести прием с
тем же соотношением сигнал/шум, если охладить входные цепи
приемника от комнатной температуры Т® = 300 К до температуры
жидкого гелия Т = 4,2 К?
5.180. Во сколько раз надо увеличить мощность передатчика
зад. 5.179, чтобы прием с расстояния I = 8,5 км можно было вести
при комнатной температуре входных цепей приемника?
5.181. Малые колебания тока диода регистрируются измерительной
схемой со временем усреднения г w 1 с. Оценить минимальное
значение отклонений тока AImin от его среднего значения, равного
1=1 мА, которые могут быть зарегистрированы на фоне дробовых
шумов диода.
Теплоемкость. Броуновское движение
5.182. Определите суммарную энергию вращательного движения
молекул метана СЕЦ, занимающего объем V = 1 дм3 при давлении
Р = 105Па.
5.183. Какова будет средняя кинетическая энергия вращательного
движения молекулы водорода, если первоначально он находился при
нормальных условиях, а затем был адиабатически сжат в 32 раза?
5.184. Найти значение средней энергии е, приходящейся, согласно
классической кинетической теории газов, на одну степень свободы
вращательного движения молекулы газа при t = 27°С. Найти значение
средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при этих
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 161
условиях. Момент инерции молекулы кислорода вокруг оси, перпен-
перпендикулярной к оси симметрии молекулы, 1± = 19,2 • 10^40 г-ем3.
5.185. Определить среднеквадратичную угловую скорость враще-
вращения молекулы азота в воздухе при нормальных условиях. Расстояние
между ядрами в молекуле N2 равно г = 1,1 А.
5.186. Свободный пробег молекул Н2 в Не при нормальных усло-
условиях равен приблизительно 3 • 1СГ5 см. Найти среднеквадратичное
смещение \/(г2) молекул Н2 в Не за 1 с; за 100 с. Как изменится
результат, если: 1) давление Не увеличить в 4 раза; 2) температуру
Не увеличить в 3 раза; 3) давление и температуру увеличить в 4 раза?
5.187. Зная, что средняя длина свободного пробега однозарядного
иона аргона™40 в некотором газе равна 10^5 см, найти (приближенно)
среднюю скорость дрейфа v иона в этом газе под действием однород-
однородного электрического поля Е = 300 В/см. Температура газа комнатная.
5.188. Космические лучи блуждают в Галактике, отклоняясь в
межзвездных магнитных полях. Этот процесс подобен диффузии.
Найти время т, за которое частицы пройдут путь порядка размеров
Галактики R ~ 5 • 1022 см, если эффективная длина свободного
пробега Л « 3 • 1020 см.
5.189. В микроскоп рассматривают тонкий слой крови. Оценить,
какое время потребуется, чтобы заметить броуновское смещение
эритроцитов, плавающих в плазме крови, если минимальное рас-
расстояние, которое можно зафиксировать, составляет I = 10~6 м.
Вязкость крови г) = 4,5 • 10^3 Па-с, эритроцит считать шариком
радиуса г = 3 • 10™6 м. Температура t = 27°С.
5.190. При прохождении быстрых заряженных частиц через ка™
меру Вильсона, наполненную аргоном при давлении Р = 1 атм и
насыщенными парами воды, происходит образование ионов аргона,
являющихся центрами конденсации паров воды. Считая, что движение
ионов обусловлено только диффузией, оценить ширину следа частиц,
если конденсация наступает через т = 0,01с после пролета частиц. Эф™
фективное сечение рассеяния ионов аргона на атомах а = 10™15 см2.
Атомная масса аргона А = 40, температура Т = 300 К.
5.191. В рацион питания космонавта было включено молоко,
которое за несколько суток до старта залили в вертикально располо-
расположенный цилиндрический сосуд. За это время в молоке образовался
состоящий из капелек жира слой, толщина которого оказалась значи-
значительно меньше высоты сосуда. Успеет ли восстановиться однородное
распределение капель жира в сосуде за такое же время пребывания в
невесомости? Считать, что размер капель во времени не меняется
и что запуск ракеты (ввиду его кратковременности) не привел к
перемешиванию молока.
5.192. Сферический сосуд радиуса г\ заполнен газом. Молярная
масса газа — /i, температура — Г. Через трубочку радиуса r<i и
длины I газ поступает в масс-спектрометр. Сечение молекул а та-
11 Задачник
162 ГЛАВА V
ково, что выполнены условия 1/пг2 ^> о" >» l/nri, где п — концентра™
ция газа. В некоторый момент времени в центре сосуда возникает при™
месь изотопа того же газа, мало отличающегося по массе. Оценить вре™
мя, через которое масс-спектрометр сможет зафиксировать примесь.
5.193. Энергия молекулы в магнитном поле может принимать
два значения e\^i = ±e. Определить изменение теплоемкости моля
газа из-за взаимодействия молекул с магнитным полем при условии
е < квТ.
5.194. Решить задачу 5.193 при условии е ^> к^Т.
5.195. Энергия молекулы в магнитном поле может принимать три
значения: sq = 0, ?i?2 = ±?. Определить изменение теплоемкости
моля газа из-за взаимодействия молекул с магнитным полем при
УСЛОВИИ ? <С fcfiT.
5. Неравновесные процессы
1. Открытыми, называются системы, способные обмениваться
веществом и энергией с внешней средой. Скорость роста энтропии
за счет неравновесных процессов а = dS/dt > 0 (она равна нулю
только в идеализированном случае строго равновесного процесса) и
ее значение в единице объема носит название функции диссипации.
2. Внутренняя структура, или самоорганизация, поддерживается
в открытой системе за счет поглощения отрицательной энтропии,
которая носит название, негэнтропии. Если в открытой системе отток
энтропии наружу уравновешивает ее рост в самой системе, то такое
стационарное состояние называется текущим равновесием и при
этом функция диссипации имеет минимум.
3. С математической точки зрения неустойчивость и пороговый
характер самоорганизации связаны с нелинейностью уравнений, опи-
описывающих поведение системы при больших отклонениях от рав-
равновесия. Для широкого класса гидродинамических, механических,
химических, электрических систем установлено, что переход от про-
простого к хаотическому состоянию происходит через последовательность
периодических состояний. Характерной чертой перехода системы от
простого периодического к сложному апериодическому является по™
следовательное удвоение периода при изменении параметров системы.
5.196. Газ расширяется адиабатически, но неравновесно, из на-
начального равновесного состояния 1 в конечное, также равновесное,
состояние 2. При этом газ совершает некоторую работу. Затем газ
квазистатически сжимают до начального состояния 1: сначала изо-
изотермически, потом адиабатически. Работа, затраченная при сжатии,
оказалась больше работы, совершенной газом при расширении, на
величину А = 20 Дж. Температура газа Т в состоянии 2 равна
250 К. Найти изменение энтропии газа при переходе из состояния 1
в состояние 2.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 168
5.197. В цилиндрическом сосуде постоянного объема находился
моль одноатомного идеального газа при температуре Т® и давле-
давлении Р®. В сосуде устанавливают постоянный градиент температуры,
причем температура днища равно То, а крышки — 4Tq. Определить
изменение энтропии газа
Указание. См. задачу 5.38.
5.198. В сосуде под поршнем находился моль двухатомного
идеального газа при температуре Т®. В сосуде устанавливают посто-
постоянный градиент температуры, причем температура днища равна Го,
а поршня — 9Т®. Определить изменение энтропии газа.
Указание. См. задачу 5.39.
5.199. Биологические системы принципиально являются от-
открытыми системами и тем самым неравновесными. Согласно
постулату Пригожина общее изменение энтропии dS открытой
системы может происходить независимо либо за счет процесса
обмена с внешней средой (deS), либо вследствие внутренних
необратимых процессов (diS). Показать, что для изолированной
системы мы приходим неизбежно к классической формулировке
второго закона термодинамики. Что можно сказать при этом об
изменении энтропии во внутренних процессах?
5.200. Пусть единственной причиной необратимости и увеличе-
увеличения энтропии системы являются ее внутренние процессы. Как связа-
связано при этом изменение во времени энтропии внутренних процессов
с термодинамическим потенциалом Гиббса Ф?
5.201. Самоорганизация и эволюция открытых биологических
систем на всех уровнях (от клетки до биосферы в целом) происходит
вследствие оттока энтропии в окружающую среду. Оценить верхний
предел оттока энтропии от Земли. Получаемая Землей от Солнца
энергия составляет dE/dt = 1,2 • 1017 Вт.
5.202. По отношению к космическому кораблю организм космо-
космонавта является открытой системой, хотя сам корабль хорошо изо-
изолирован от окружающего космического пространства. Показать, что
стационарное состояние космонавта поддерживается возрастанием
энтропии в окружающей среде.
5.203. Пусть имеется простейшая замкнутая популяция клеток,
в которой происходит процесс размножения и гибели, и пита™
тельный раствор имеется в избытке. Как меняется численность
клеток в такой системе со временем и может ли в ней установиться
стационарное состояние?
5.204. Процесс роста и деления клетки феноменологически может
быть описан на энтропийном языке. Предполагая клетку сферой
радиуса г, в которой производство энтропии пропорционально ее
объему (Si = оУ), а отток в окружающее пространство ее поверх-
поверхности (Se = —/3S), найти стационарный радиус клетки. Насколько
изменится энтропия, если клетка разделится пополам?
5.205. Показать, что информация эквивалентна негэнтропии,
причем увеличение энтропии всегда больше количества полученной
информации (негэнтропийное толкование информации было предло-
11*
164 ГЛАВА V
жено Л. Сциллардом в 1927 г.). На основе указанной эквивалентности
вычислить информацию о системе двух газов с количеством моле-
молекул JVi и N2 соответственно, определив изменение энтропии при
смешении газов.
Указание. Количество информации I о состоянии системы опре-
определяется соотношением I = log2 Р, где Р — число различных
равновероятных событий (например, при бросании монеты Р = 2,
при бросании кости Р = 6). Единицей информации служит один бит,
отвечающий одному выбору из двух равновероятных возможностей,
как это имеет место при бросании монеты (двоичная альтернатива).
5.206. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости может быть
приведено к разностному уравнению
u(t + Т)=щ- Re^
и0
если предположить, что в нем имеется некоторое характерное те-
течение с периодом Т. В этом уравнении и — скорость течения,
щ — некая характерная скорость течения, например, скорость дви-
движущегося в нем тела, a Re — число Рейнольдса. Какова будет
при этом скорость такого периодического течения? Найти условие
устойчивости периодического течения и показать, что на границе
устойчивости возникает движение с удвоенным периодом.
5.207. Рассмотрим уравнение Каданова — квадратичное преоб-
преобразование
которое переводит значение х(п) в последующее х(п + 1) значение
как
%п+1 = f{xn).
Найти аналитически и графически неподвижные точки этого преобра-
преобразования (последовательность таких точек может рассматриваться как
преобразование с периодом равным единице в интервале (ОД) значе™
ний ж и А). При каких значениях А таких точек две, а при каких одна?
5.208. Неподвижная точка ж* является устойчивой (притягиваю-
(притягивающей или аттрактором), если выполняется условие
При каких значениях А найденные в предыдущей задаче неподвижные
точки являются устойчивыми? Показать графически, как происходит
эволюция системы, если начальная точка х® = ОД ф ж*, а А = 0,5.
5.209. Как следует из задачи 5.208, при А > 3/4 у преобразования
/ = 4АжA — х) нет притягивающих точек. Показать, что эти же
неподвижные точки не являются притягивающими и для функции /2.
Указание. Воспользоваться условием устойчивости неподвиж-
неподвижных точек, приведенным в задаче 5.208.
5.210. При А > 3/4 у функции /2 (дважды вычисленной функции
/) появляются две устойчивые неподвижные точки, являющиеся
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 165
аттрактором с двойным периодом, т.е. происходит удвоение пери-
периода эволюции системы. Построить графически последовательные
итерации функции / при А = 0,785 и убедиться, что функция /
преобразует одну из неподвижных точек функции /2 в другую, т.е.
имеются две точки х\ и х^, которые преобразуются следующим
образом: х\ = /(а^), х\ = f{x\).
6. Квантовая теория излучении
1. Электромагнитное поле может рассматриваться как газ ча-
частиц — фотонов, обладающих энергией Е = Нш и импульсом р =
= Нк, т.е. характеризующихся законом дисперсии Е = ре. Число
уровней, приходящихся на единичный интервал энергии, или иначе
статистический вес, определяется выражением
g(E)dE = ^
2. Объемная спектральная плотность равновесного излучения иШ9
т.е. энергия излучения, отнесенная к единице объема и к единичному
интервалу частоты, определяется выражением
ишаш = аш«
тг2с3 eicp(huj/kBT) - 1
которое называется формулой Планка.
3. Длина волны, на которую приходится максимум спектральной
энергетической светимости абсолютно черного тела, вычисляется по
формуле
А ^ b
где Т — абсолютная температура тела. Этот закон называется
законом смещения Вина, а константа
b = 2,9 • 1(Г3м • град
постоянной смещения Вина.
4. Полная (интегральная) лучеиспускательная способность или
энергетическая светимость R тела—это величина электромагнитной
энергии Ф, испускаемой по всем направлениям единицей поверхно-
поверхности тела в единицу времени во всем интервале длин волн
где S — излучающая поверхность. Величина R зависит от природы
тела и его температуры.
5. Спектральная (монохроматическая) лучеиспускательная спо-
способность или спектральная энергетическая светимость г\^т тела —
это величина, численно равная величине электромагнитной энергии,
166 ГЛАВА V
испускаемой единицей поверхности тела по всем направлениям в
единицу времени в интервале длин волн от А до А + АЛ:
dR
6. Спектральная погаощательная способность а\^т тела есть
безразмерная величина, показывающая, какую долю монохромати-
монохроматического потока Фпад лучистой энергии, падающей на тело, данное
тело поглощает:
Фл,пог
а\,т = •
Ф л
^л,пад
7. Интегральной поглощательной способностью тела или коэф-
коэффициентом поглощения называется величина
А(Т) = ^.
Тело, полностью поглощающее падающее на него излучение всех
длин волн, называется абсолютно черным. Для него а\,т = 1. Для
всех других тел а\^т < 1.
8. Связь между испускательной и поглощательной способностя-
способностями любого тела устанавливает закон Кирхгофа
а\,т
который формулируется следующим образом: отношение лучеис-
лучеиспускательной и лучепоглощательной способностей не зависит от
природы тела, а является для всех тел одной и той же функцией
длины волны и температуры.
9. Закон Стефана-Больцмана для интегральной излучательной
способности абсолютно черного тела:
где величина
Вт
= 5,57 ¦ Ю
15c2Ji3 м2 • град4
называется постоянной Стефана-Больцмана.
Для нечерных тел коэффициент поглощения а\^т меньше еди-
единицы и предпологается, что он не зависит от длины волны. Закон
Стефана-Больцмана принимает вид
п4
10. Световое давление определяется по формуле
p = -c{i+p),
где Е — энергетическая освещенность поверхности, р — коэффици-
коэффициент отражения.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 167
11. Переходы атома из возбужденного состояния на более низ-
низко расположенные энергетические уровни происходят самопроиз-
самопроизвольным образом (спонтанные переходы), тогда как под действием
внешнего излучения (фотонов) в атоме могут происходить и инду-
индуцированные переходы. Отношение числа индуцированных к числу
спонтанных переходов с уровня 2 на уровень 1, что эквивалентно
отношению вероятностей этих переходов, определяется лишь числом
имеющихся в системе фотонов данной энергии
iV21 W21
12. В обозначениях Эйнштейна числа переходов N\2 и N2\ запи-
записываются через спектральную плотность иш следующим образом:
N12 = ВиМгиа^ N21 = В21М2иш1 + A2iN2t.
Коэффициенты Эйнштейна В\2, В2\ и А2\, связаны соотношениями
B2\ = -В12, А2\ = — #21-
7ГС3
13. При взаимодействии излучения со средой происходят как
процессы поглощения, так и спонтанного и индуцированного ис-
испусканий. Если спонтанное излучение значительно менее вероятно,
чем индуцированное (достаточно высока интенсивность падающего
излучения), то
где Wa — вероятность поглощения одного кванта, а интенсивность
падающего излучения зависит от расстояния как
I = 10ехр[^(аЧ^2 - Njdz],
14. Если в среде заселенность уровней соответствует равно-
равновесной, т.е. всегда N2 < N1, то происходит только затухание
падающей волны. Иначе говоря, в термодинамически равновесной
среде всегда поглощение оказывается большим, чем излучение.
Чтобы происходило усиление падающего излучения, в среде должна
быть инверсная заселенность уровней, т.е. N2 > N\. О такой среде
говорят как о неравновесной, или активной среде.
Излучение как идеальный газ фотонов
5.211. Рассматривая равновесное тепловое излучение как иде-
идеальный газ фотонов, получить формулу Р = и/3, связывающую
плотность энергии теплового излучения и с давлением излучения Р.
5.212. Найти теплоемкость Ср и уравнение адиабаты фотонного
газа, заключенного в сосуд с переменным объемом.
5.213. Найти изменение энтропии равновесного теплового излу-
излучения абсолютно черного тела при расширении объема, занятого
168 ГЛАВА V
излучением, от V\ до У~2 при постоянной температуре. Давление
излучения Р = и/3, где и — плотность энергии излучения.
5.214. Рассматривая излучение в полости как газ фотонов с
импульсом р и энергией Е = ср (с — скорость света), покажите,
что закон адиабатического сжатия излучения в объеме с идеально
отражающими стенками имеет вид PF4/3 = const.
5.215. Найти с помощью законов термодинамики зависимость
плотности энергии теплового излучения от температуры, основыва-
основываясь на модели излучения как идеального фотонного газа.
Указание. Учесть, что плотность энергии излучения не зависит
от объема.
5.216. Основываясь на модели излучения как фотонного газа,
найти связь между энергетической светимостью абсолютно черного
тела и плотностью энергии теплового излучения.
5.217. Какова температурная зависимость теплоемкости фотон-
фотонного газа?
Формула Планка
5.218. Найти число собственных колебаний струны длины I в
интервале частот (V, v + dv). Считать, что струна может колебаться
лишь в одной плоскости.
5.219. Показать на примере полости в виде прямоугольного па-
раллелепида, что число собственных колебаний электромагнитного
поля в полости объемом V с абсолютно отражающими стенками в
интервале частот (о;, и + duj) равно
dZ и dj
где с — скорость света в вакууме.
5.220. Электромагнитное поле, заполняющее некоторую полость,
можно представить в виде совокупности собственных колебаний
(осцилляторов) с различными частотами. Считая, что энергия осцил-
осцилляторов может принимать любое значение (непрерывный спектр),
а распределение осцилляторов по энергиям подчиняется закону
Больцмана N(E) = Ae~E^kT, найти среднюю энергию осциллятора
при температуре Т и объемную плотность энергии излучения в
интервале частот (о;, ш + du).
5.221. Исходя из формулы Планка для числа квантов равновесно-
равновесного теплового излучения в единице объема в интервале частот (cj, ш +
+ du), найти выражение, определяющее число квантов в интервале
длин волн (А, А + dX).
5.222. В области частот Нш/к^Т <С 1 равновесное излучение
можно рассматривать с позиций классической физики. Показать, что
при указанном условии формула Планка переходит в формулу Рэлея™
Джинса. Получить эту же формулу из общих термодинамических
соотношений.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 169
5.223. На какую длину волны приходится максимум энергии излуче-
излучения абсолютно черного тела при температуре 100°С, 1000°С, 10 000° С?
5.224. Излучение абсолютно черного тела, имеющего темпе-
температуру 2400 К, падает на светофильтр, который пропускает 90%
излучения только в области длин волн от 0,5 мкм до 0,4 мкм. Какую
долю полного падающего потока пропускает светофильтр?
5.225. Слой вещества поглощает все фотоны с энергией Е ^
^ 0,2 эВ и полностью прозрачен для фотонов меньшей энергии.
Оценить, какую долю солнечной энергии а пропускает вещество.
Солнце считать источником равновесного теплового излучения с
температурой Т = 6500 К.
5.226. Слой вещества поглощает все фотоны с энергией Е >
> 12 эВ и полностью прозрачен для фотонов меньшей энергии.
Оценить, какую долю солнечной энергии а поглощает вещество.
Солнце считать источником равновесного теплового излучения с
температурой Т = 6500 К.
5.227. Яркостной температурой тела называется такая температура,
при которой абсолютно черное тело имеет при определенной длине
волны Л ту же монохроматическую яркость излучения, что и заданное
тело. Найти связь между истинной температурой Т и яркостной
температурой Тя для серого тела с коэффициентом излучения ех^т
Считать, что в рассматриваемой спектральной области монохроматиче-
монохроматическую энергетическую светимость можно вычислить по формуле Вина
5.228. Оптическим пирометром, снабженным светофильтром,
пропускающим излучение с длиной волны 0,665 мкм, измерена яр-
костная температура тела. Определить истинную температуру тела,
если яркостная температура оказалась равной 2600 К. Коэффициент
излучения поверхности тела равен 0,8.
Интегральные характеристики излучения
5.229. Имеются две полости с малыми отверстиями одинаковых
диаметров d = 1 см и абсолютно отражаю-
отражающими наружными поверхностями (рис. 5.18). ^™~л Ы
Расстояние между отверстиями R = 10 см. В 1
первой полости поддерживается постоянная
температура Т\ = 1700 К. Какова установив-
установившаяся температура во второй полости? рис 5 18
5.230. Вследствие повышения темпера-
температуры максимум спектральной энергетической
светимости абсолютно черного тела уменьшился с 2 мкм до 1 мкм.
Во сколько раз изменилась интегральная энергетическая светимость?
5.231. При какой температуре в полностью ионизованной водо-
водородной плазме плотности р = ОД г/см3 давление излучения равно
кинетическому давлению частиц плазмы?
170 ГЛАВА V
Указание. При высоких температурах вещество хорошо описы-
описываются уравнением идеального газа.
5.232. При измерении интенсивности реликтового излучения
Пензиас и Вильсон использовали обычный радиотелескоп на длине
волны А = 3 см, антенный тракт находился при температуре
Т = 300 К. Этот тракт поглощал 1% поступающей мощности
и естественно создавал тепловой шум, мешающий наблюдениям.
Какая эффективная температура тракта в области измерений?
5.233. Температура абсолютно черного тела возросла от 500°С до
1500°С. Во сколько раз увеличилась его интегральная энергетическая
светимость?
5.234. Оценить световое давление в центре урановой бомбы
в момент ее взрыва, предполагая, что излучение — равновесное,
температура внутри бомбы Т ^ 10 кэВ.
5.235. Вычислить температуру поверхности Солнца, считая его
абсолютно черным телом, если известно, что на 1 м2 земной поверх-
поверхности падает лучистый поток 1,35 • 103 Вт/м2. Расстояние от Земли
до Солнца 1,5 • 108 км, радиус Солнца 6,5 • 105 км.
5.236. Зачерненная пластинка помещена перпендикулярно
падающим лучам в вакууме. Определить лучистую энергию, по™
глощаемую 1 см2 поверхности в минуту, если температура плас™
тинки установилась равной 327°С. Потерями на теплопроводность
пренебречь.
5.237. При какой температуре давление теплового излучения
равно 1 атм?
5.238. Показать, что максимум объемной плотности гх(А, Т) равно™
весного теплового излучения, а также максимум излучательной спо-
способности Е{\,Т) абсолютно черного тела растут пропорционально Г5.
5.239. Определить силу светового давления солнечного излуче™
ния на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной и
не учитывая поглощения излучения в атмосфере Земли. Если бы
атмосфера не поглощала, то 1 см2 земной поверхности, располо-
расположенный перпендикулярно лучам, получал бы около 8,1 Дж/мин.
Радиус Земли 6400 км.
5.240. Оценить порядок величины радиуса сферической кос-
мической частицы, для которой сила притяжения к Солнцу урав-
уравновешивается силой светового давления солнечного излучения.
Поверхность частицы считать абсолютно черной, плотность ее
равна 7,8 • 103кг/м3. Солнце считать абсолютно черным излуча™
телем температуры 6000 К, масса Солнца 1,97 • 1030 кг, радиус
Солнца 6,96 • 105 км. Дифракцией света на частице пренебречь.
5.241. Определить, за какое время медный шар, помещенный в
вакуум, охладится с Т\ = 500 К до Т2 = 300 К. Радиус шара 1 см,
поглощательная способность поверхности шара е = 0,8, удельная
теплоемкость меди С = 390 Дж/(кг-град), плотность меди р = 8,9 х
х 103 кг/м3. Влиянием окружающих предметов пренебречь.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 171
5.242. Отношение интегральной энергетической светимости неко-
некоторого тела к интегральной энергетической светимости абсолютно
черного тела при той же температуре равно 0,36. Определить,
во сколько раз будет отличаться истинная температура тела от
радиационной.
5.243. Нить лампы накаливания излучает как абсолютно черное
тело, имеющее температуру 2400 К. Вычислить, сколько фотонов
испускается с 1 см2 поверхности нити в 1 с, если среднюю энергию
кванта излучения считать равной 2175к^Т.
5.244. В фокусе параболического зеркала радиусом 10 см с
фокусным расстоянием 1 м расположен тонкий матовый диск, по
размерам совпадающий с изображением Солнца в фокусе зеркала.
Какова максимально возможная температура диска, если Солнце
излучает как черное тело с температурой 6000 К?
5.245. Вольфрамовая нить накала электрической лампочки диа-
диаметром 5 • 1СП3 см работает в режиме постоянного тока при темпе-
температуре 3000 К. Когда нить питается переменным током при той же
номинальной мощности, то интенсивность света колеблется вблизи
среднего значения на 25%. Оцените отсюда постоянную Стефана-
Больцмана. Объемная теплоемкость вольфрама 4 Дж/(см3-К).
5.246. Освещенность L, создаваемая звездой первой величины
на поверхности Земли при нормальном падении света, составляет
1СП4 лк. Можно ли объяснить мерцание звезд квантовыми флукту™
ациями света?
5.247. При работе лампы накаливания на переменном токе наи-
наибольшая и наименьшая температуры нити отличаются на 70 К.
Принимая среднюю температуру нити равной 2450 К, определить
относительное изменение лучистого потока за полупериод («мига-
(«мигание» лампы).
5.248. Определить температуру абсолютно черного тела, спек-
спектральная яркость излучения которого равна яркости лазерного из-
излучения светового диапазона с энергией в импульсе Е = 1 Дж.
Считать, что расходимость лазерного пучка определяется дифрак-
дифракцией на выходной апертуре, а немонохроматичность излучения —
длительностью импульса.
5.249. В настоящее время мощность всех источников энергии на
Земле составляет Р = 1013 Вт, в то время как мощность солнечной
энергии, поступающей на Землю, Pq = Ю17 Вт. К какому перегреву
AT поверхности Земли приводят земные источники энергии?
5.250. Оценить, до какой максимальной температуры может
разогреться в космосе кусочек металлического урана-238 массой
га = 4 г за счет естественной радиоактивности. Плотность урана
р = 18,7 г/см3, период спонтанного деления Ту2 = 1016 лет.
Характеристики его альфа-распада — Т^>2 = 109 лет, Еа = 4,2 МэВ.
Влиянием солнечной радиации и космических лучей пренебречь.
172 ГЛАВА V
Спонтанное и индуцированное излучение. Лазеры
5.251. В какой области спектра равновесного (черного) излуче-
излучения при температуре Т = 300 К интенсивность индуцированного
излучения превосходит интенсивность спонтанного?
5.252. При какой температуре равновесного (черного) излучения
индуцированное излучение в видимой области (А = 550 нм) превос-
превосходит спонтанное?
5.253. Определить диапазон длин волн электромагнитного из-
излучения, в котором вероятность спонтанного перехода более чем в
100 раз превосходит вероятность индуцированного перехода под вли-
влиянием равновесного теплового излучения комнатной температуры.
5.254. Определить время установления колебаний и добротность
в оптическом резонаторе, используемом в лазерах (длина волны
излучения А = 0,63 мкм) и состоящем из двух плоскопараллельных
зеркал, расположенных на расстоянии L = 100 см друг от друга
и имеющих коэффициент отражения R\ = 100% ж R2 = 80%.
Явлениями дифракции на краях зеркал пренебречь.
5.255. Найти условие самовозбуждения генерации света в резона™
торе лазера, если он состоит из двух плоскопараллельных зеркал и запол-
заполнен газом двухуровневых молекул. Спонтанное время жизни молекул
на верхнем уровне равно тсп, полная ширина спектра излучения моле™
кул равна Аи, расстояние между зеркалами L, коэффициент отражения
зеркал R. Практически все потери излучения происходят на зеркалах.
5.256. С какой точностью должна быть стабилизирована темпе-
температура лазерного резонатора длиной L = 1 м, чтобы обеспечить
стабильность частоты Аш/ш = 10^15? Коэффициент линейного
расширения считать равным а = 10~7 К.
5.257. Возбужденный атом с энергией возбуждения Е = 1 эВ
находится в поле равновесного излучения с температурой Т = 300 К.
Найти отношение вероятностей индуцированного и спонтанного
излучений атома.
5.258. Электрон, ориентированный под действием магнитного поля
с индукцией В = ОД Тл, находится в поле равновесного излучения с
температурой Т = 300 К. Каково отношение вероятности индуциро-
индуцированного к вероятности спонтанного переворота спина электрона?
7. Кристаллические структуры твердых тел
1. Три вектора, которые позволяют построить бесконечную про-
пространственную решетку, называются векторами трансляции. Обо-
Обозначим векторы трансляции а, Ь, с. Параллелепипед, имеющий в
качестве ребер векторы а, Ь, с называется примитивной ячейкой.
Радиус-вектор любой другой точки кристаллической решетки полу-
получается естественным образом при трансляции примитивной ячейки:
г = nia + 712b + B3C,
где П1,П2,пз — произвольные целые числа.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 178
2. Положение узла элементарной ячейки задается координатами,
которые выражаются в долях длин векторов а, Ь, с, а начало коор-
координат выбирается в вершине угла элементарной ячейки. Например,
координаты атома, находящегося в центре элементарной ячейки
объемно-центрированной кубической (оцк) решетки, равны -, -, -.
Л А А
3. Для описания положения плоскостей используются индексы
Миллера, которые определяются следующим образом: 1) найдем
точки, в которых данная плоскость пересекает основные коорди-
координатные оси, и выразим их координаты в единицах постоянных ре-
решетки; 2) возьмем обратные значения полученных чисел и приведем
их к наименьшему дел ому, кратному каждому из чисел. Индексы
Миллера, определяющие плоскость, заключаются в круглые скобки.
Например, для плоскости, которая пересекает оси в точках с коор-
координатами 4, 1 и 2, обратные числа будут -, 1 и -; следовательно,
индексы Миллера для этой плоскости есть A42). Если плоскость
пересекает ось в области отрицательных значений координат, то над
соответствующим индексом Миллера ставится черта. Индексы Мил-
Миллера (hkl) по существу определяют кристаллографическую ориента-
ориентацию плоскости, т.е. они задают семейство параллельных плоскостей.
4. Полный набор элементов симметрии какой-либо материаль-
материальной фигуры называется группой (видом) симметрии этой фигуры,
которая определяет то или иное физическое явление в кристал-
кристаллах. Принято обозначать плоскость симметрии буквой Р, ось
симметрии к~то порядка — С&5 зеркально-поворотную ось к-то
порядка — Ski центр симметрии (центр инверсии) — I. Порядок
оси симметрии п = 360°/а, где а — угол наименьшего поворота,
приводящего фигуру в совмещение.
5. Во многих случаях можно считать, что кристалл представляет
собой систему из соприкасающихся твердых шаров. Минимуму
энергии будет соответствовать такая структура, в которой шары
наиболее плотно упакованы. Плотность упаковки или коэффициент
компактности определяется отношением объема частиц к объему
элементарной ячейки Va. В случае частиц одного сорта кратчайший
период а и соотношение между радиусом шаров R и а определяется
контактом соседних шаров.
Число ионов противоположного знака, которое составляет бли-
ближайшее окружение данного иона в кристалле, называется координа-
координационным числом К. Значение координационного числа определяется
величиной отношения радиусов ионов противоположного знака га /гв •
6. Основой для описания законов дифракционного рассеяния
является условие Брэгга Вульфа
2йш\в = пЛ,
где п = 1,2,3,..., — целое число, называемое порядком интер-
интерференции, Л — длина волны используемого излучения, d — рас-
174 ГЛАВА V
стояние между соседними плоскостями семейства кристаллических
плоскостей, в — угол скольжения падающей и рассеянной волн
относительно этих плоскостей.
5.259. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку
в кристаллах с простой, объемноцентрированной и гранецентриро-
ванной кубической структурой?
5.260. Какие плоскости в кубической решетке являются эквива-
эквивалентными в кристаллографическом и физическом смысле плоско-
плоскости A00)?
5.261. Показать графически, как пересекают
атомную плоскость кристалла @01) системы
плоскостей A10), A00), A20), A10), A20), C20).
5.262. Какая примитивная ячейка соот-
соответствует гексагональной двумерной структуре,
ис* ' показанной на рис. 5.19? Перечислить элементы
симметрии, присущие данной структуре.
5.263. Перечислить элементы симметрии (с указанием их числа),
присущие простым решеткам следующих кристаллографических
систем: 1) кубической, 2) тетрагональной, 3) гексагональной.
5.264. Определить постоянную кристаллической решетки алю-
алюминия, образующего гранецентрированный куб.
5.265. Альфа-железо имеет кубическую объемноцентрирован-
ную структуру (а = 2,86 А), гамма-железо — кубическую структуру
с центрированными гранями (а = 3,56 А). Как изменится плотность
железа при переходе его из а- в 7-модификацию?
5.266. Количественной мерой плотности упаковки в кристалличе-
кристаллической структуре служит степень упаковки, равная отношению объема,
занятого атомами (твердыми шарами) в элементарной ячейке, к
ее объему. Вычислить степень упаковки для простой кубической
решетки, объемноцентрированной кубической решетки и гранецен-
трированной кубической решетки.
5.267. Сильвин (КС1) представляет собой кубический кристалл с
плотностью 1,98 • 103 кг/м3. Найти расстояние между двумя соседними
атомами и минимальное расстояние между атомами одного сорта.
5.268. Ионные кристаллы хорошо описываются моделью со-
соприкасающихся шаров. Вычислить на основе этой модели период
гранецентрированой кубической решетки поваренной соли NaCl,
исходя из ее плотности р = 2,17 • 103 кг/м3 и молекулярного веса
/л = 58,45 кг/кмоль.
5.269. В некоторых металлах происходит структурный пере-
переход от объемноцентрированной к гранецентрированной кубической
решетке, практически не сопровождающийся изменением объема
тела. Найти отношение di/cfo, где di, d,2 — кратчайшие расстояния
между атомами в гранецентрированной и объемноцентрированной
решетках.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 175
5.270. Чему должна быть равна энергия протонов, для которых
кристалл с постоянной решетки 1А мог бы играть роль дифракци-
дифракционной решетки?
5.271. Для «очистки» пучка медленных нейтронов из реактора от
всегда имеющихся быстрых нейтронов, он пропускается через блок
прессованного графита. При этом все нейтроны, которым соответ-
соответствует длина волны меньше 6,7 А, испытывают интерференционное
отражение. Определить, какой максимальной температуре соответ-
соответствует скорость выходящих после графита медленных нейтронов и
чему равна постоянная решетки графита.
5.272. Структурный фазовый переход всегда сопровождается из-
изменением симметрии кристаллической решетки. Предполагая, что ис™
ходной была простая кубическая решетка, а при структурном переходе
происходит изменение угла между ребрами квадрата в основании
решетки на в = 3° и он становится ромбом, определить, как качествен-
но изменится спектр рассеянных на такой структуре нейтронов (от
диагоналей). Каково должно быть относительное угловое разрешение
детектора | Д0/0|, чтобы заметить искажение решетки?
5.273. Определить угол, под которым пучок рентгеновских лучей
с длиной волны Л = 1,1 А отражается в максимальном порядке от
системы кристаллических плоскостей, расстояние между которыми
d = 2,5 А.
5.274. Металлический натрий кристаллизуется в объемноцентри-
рованную решетку. Показать, что среди рефлексов от его решетки нет
отражений от плоскостей куба.
8. Динамика атомов кристаллической решетки.
Фононы
1. Закон дисперсии для гармонических колебаний одномерной
решетки, составленной из одинаковых атомов массы га, описывается
соотношением
/—
ка
sin —
2
где 7 — жесткость связей в решетке. Звуковые волны распространя-
распространяются в этой решетке со скоростью s = а ут/га.
2. Если в одномерной цепочке имеются два сорта атомов, т.е.
она состоит из расположенных на расстоянии а попеременно частиц
массой га и М, то дисперсионное уравнение имеет вид
wg ± y/l-a2sm2(ka/2)\,
2 47 2тМ 9 4тМ ^ -
где Шп = —, и = , ог = . В спектре колебании
0 /х ' Р т + М' (m + MJ F
176 ГЛАВА V
появилось две ветви: низкочастотная, соответствующая знаку «—»,
ее называют акустической, она полностью аналогична колебаниям
линейной цепочки из одинаковых частиц, и высокочастотная — опти-
оптическая. При малых значениях к (ка<^1) выражения для акустической
и оптической частот колебаний приобретают вид
шл = \ка) , Ысу = —.
3. Каждой волне, следуя идеям де Бройля, можно сопоста-
сопоставить частицу (вернее квазичастицу), называемую фононом. При
взаимодействии какой-либо падающей частицы с кристаллической
решеткой механическая энергия колебаний может измениться только
на величину, кратную энергии фонона Ни. Тепловые свойства кри-
кристалла — теплоемкость, теплопроводность — хорошо описываются
моделью идеального газа фононов. В так называемом дебаевском
приближении предполагается, что для фононов линейный закон
дисперсии справедлив во всем диапазоне ш и к. Максимальная
частота фононов называется дебаевской частотой шд и она равна
шд = s\/Qti2N',
где N — концентрация атомов. Дебаевской частоте ставится в
соответствие характеристическая температура — температура
Дебая 9, определяемая соотношением:
—)• в =
8. В дебаевской модели теплоемкость кристалла при низких темпе™
ратурах (Т <С в) пропорциональна кубу температуры (закон Дебая):
Су = 1^Атъ ос Г3
v 5 h43
При высоких температурах (Т ^> в) теплоемкость описывается клас-
классическим законом Дюлонга и Пти
С = 3NkB,
В расчете на один моль вещества С = 31?, где R — газовая постоянная.
5. Коэффициент решеточной теплопроводности равен
X = \CsX,
о
где С — теплоемкость единицы объема, А — средняя длина свобод-
свободного пробега фононов, s — скорость звука. Длина свободного пробега
фононов, которая ограничивается столкновениями с дефектами, на
стенках кристалла, с другими фононами, равна
где п — концентрация рассеивающих центров, а — сечение рассея-
рассеяния фононов.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 177
Колебания атомов кристаллической решетки
5.275. Определить число собственных колебаний струны длиной I
в интервале частот (а;, а; + doj), если скорость распространения
колебаний равна v.
5.276. Найти фазовую и групповую скорости волн как функции вол™
нового числа к в одномерной цепочке, состоящей из атомов массой га,
среднее расстояние между которыми равно а. Атомы взаимодействуют
с ближайшими соседями по закону j(xn+i — жпJ/2, где хп —
координата n-го атома.
5.277. Одномерное дисперсионное уравнение для фононов имеет
вид ш = С\ sin(fca/2)|. Чему равна константа G, если скорость звука
равна 5000 м/с? Каковы величины фазовой v и групповой и скоростей
для величин волнового вектора к = тг/2а, —тг/2а, тг/a, Зтг/2а?
Какие из приведенных значений волнового вектора соответствуют
эквивалентным фононам?
5.278. Каково относительное изменение частоты колебаний од-
одномерной цепочки, построенной из одинаковых атомов, если сдвиг
фазы между колебаниями соседних атомов изменился от тг/3 до тг?
5.279. В одномерной цепочке, составленной из одинаковых ато-
атомов, скорость звука равна s = 2 • 103 м/с, а постоянная решетки
а = 0,3 нм. При какой частоте колебаний ш сдвиг фаз между двумя
атомами, находящимися на расстоянии 10а, составит тг/2?
5.280. В кристалле поваренной соли максимум поглощения света
приходится на длину волны А = 61 мкм. Показать, что этот максимум
соответствует возбуждению фонона в центре зоны Бриллюена. Для
NaCl упругая константа (жесткость цепочки) 7 = 15 Н/м.
5.281. Вычислить температуру Дебая железа, в котором скорости
продольных и поперечных волн равны соответственно 5850 и 3230 м/с.
5.282. Найти максимальную частоту фонона, который может
родиться в жидкости под действием света с длиной волны А =
= 4000 А. Показатель преломления среды п = 1,5, скорость звука
в жидкости s = 5 • 103 м/с.
5.283. Спектрометром анализируется свет от лазера с длиной
волны А = 6328 А, рассеянный под углом (р = 90° в воде (п = 1,5).
Какова должна быть разрешающая способность спектрометра,
чтобы различить линии, соответствующие неупругому рассеянию
света с рождением или поглощением фонона? Скорость звука в
воде s = 1,5 • 103 м/с.
5.284. Из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов на
кристалле КВг известно, что максимальная частота фононов, соот-
соответствующих акустическим поперечным колебаниям атомов ребер
его кубической решетки, составляет ш = 7,85 • 1012 с^1. Оценить в
рамках модели колебаний одномерной цепочки скорость поперечных
звуковых колебаний вдоль этого направления. Плотность кристалла
р = 2,75 • 103 кг/м3.
12 Задачник
178 ГЛАВА V
5.285. Статические диэлектрические проницаемости ионных кри-
кристаллов NaF и NaBr, обусловленные поляризацией решетки, рав-
равны 5,1 и 6,4, а их плотности — 2,84 • 103 и 3,18 • 103 кг/м3. Оценить
отношение частот оптических фононов этих кристаллов.
Эффект Мессбауэра
5.286. Какова должна быть скорость источника относительно
поглотителя, чтобы изменение энергии излучения свободным ра-
радиоактивным нуклидом 119mSn из-за отдачи скомпенсировать за
счет доплеровского сдвига? Расстояние между основным и первым
возбужденным уровнем у олова-119 равно Е® = 23,8 кэВ.
5.287. Свободное покоящееся ядро иридия-131 переходит из воз-
возбужденного состояния с энергией Е = 129 кэВ в основное, испуская
7-квант. Найти энергию излучаемого 7-кванта Е1 и энергию отдачи
R ядра. Рассчитать изменение энергии излучаемого кванта в случае,
когда ядро находится в кристаллической решетке массой Мк =
= 1 г, которая полностью воспринимает импульс отдачи ядра (эффект
Мессбауэра).
5.288. При комнатной температуре примерно / = 20% 7-распадов
119Sn в соединении BaSnOs происходит без отдачи (эффект Мессбау-
Мессбауэра). Оценить, какой должна быть толщина источника, чтобы в нем
не происходило заметного поглощения мессбауэровских 7-квантов.
Плотность Ва8пОз р = 3 • 103 кг/м3, содержание изотопа 119Sn в
естественной смеси е = 8, энергия 7-квантов Е1 = 24 кэВ.
5.289. Оценить, каково при комнатной температуре уширение
(в электрон-вольтах) линии 7-излучения олова-119т за счет тепло-
теплового движения, если излучающее ядро является свободным.
5.290. В мессбауэровской спектроскопии широко используется
ядро 57Fe, излучающее 7-кванты с энергией 14,4 кэВ. Оценить, како-
каково у такого свободного ядра при комнатной температуре отношение
доплеровской ширины к сдвигу линии за счет энергии отдачи.
5.291. Время жизни т первого возбужденного состояния у ядра
119Sn равно 3 • 1СП8 с. При какой температуре у этого свободного ядра
доплеровское уширение будет порядка естественной ширины линии
7-излучения?
5.292. Естественная ширина линии первого возбужденного состо™
яния с энергией 22,4 кэВ у ядра 119Sn равна АЕ = 3 • 1СП8 эВ. Какова
должна быть скорость источника относительно поглотителя, чтобы
при наблюдении эффекта Мессбауэра интенсивность счета прошедших
7-квантов уменьшилась вдвое? Считать, что ядра источника и поглоти-
поглотителя находятся в идентичных условиях и при одинаковой температуре,
т.е. максимум интенсивности соответствует нулевой скорости.
5.293. При излучении 7-кванта ядром находящимся в кристалли-
кристаллической решетке, энергия отдачи переходит в возбуждение фононов,
т.е. набор осцилляторов, соответствующих собственным колебаниям
кристалла. Согласно квантовой механике, существует конечная ве-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 179
роятность / осцилляторам остаться в невозбужденном состоянии, и
этот процесс соответствует излучению без отдачи (эффекту Мессбау-
эра), который определяется выражением
/ = exp(-47rV>/A),
где (ж2) — среднеквадратичное смещение ядер в процессе тепловых
колебаний решетки (в направлении вылета 7-кв^нта)? А — длина
волны 7-излучения. Воспользовавшись соотношением неопределен-
неопределенностей, получить выражение для вероятности эффекта Мессбау-
эра в зависимости от разброса импульса осциллирующего ядра,
осуществив тем самым переход от волновой картины процесса к
корпускулярному.
5.294. Воспользовавшись выражением для вероятности эффекта
Мессбауэра, приведенным в предыдущей задаче, оценить ее величи-
величину для ядра 119Sn, находящегося в кристаллической решетке олова
при температуре, равной его температуре Дебая в = 195 К. Энергия
излучаемых 7-квантов Е1 = 23,8 кэВ.
Модель Дебая
5.295. Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане,
если его характеристическая температура равна 280 К, а скорость
звука в нем s = 6 • 103 м/с.
5.296. Какова в эВ максимальная энергия фононов в кристалле
свинца, если его температура Дебая 0 = 94 К?
5.297. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близки-
близкими параметрами и имеют почти равные модули упругости. Оценить
отношение их дебаевских температур.
5.298. Оценить максимальные значения энергии и импульса
фононов в алюминии, у которого температура Дебая в = 375 К,
а элементарной ячейкой его кристаллической решетки является
гранецентрированный куб с ребром г о = 4,04 А.
5.299. Каково отношение числа фононов с дебаевской частотой
ид = kO/hK числу фононов с частотой шд/2в кристалле, описыва-
описываемом моделью Дебая, при температурах Т\ = в и Г2 = в/10?
5.300. Оценить, какую долю постоянной решетки а = 5,8 А
твердого криптона (А=84) составляет амплитуда колебаний атомов
при температуре плавления Г = 117 К. Дебаевская температура
криптона в = 57 К.
Теплоемкость и теплопроводность решетки
5.301. Используя аналогию между фотонами и длинноволновыми
фононами, выразить низкотемпературную решеточную теплоемкость
кристаллов через скорости поперечного и продольного звуков st и 5/.
5.302. Найти температурную зависимость решеточной теплоем-
теплоемкости одномерных (С\) и двумерных (С2) кристаллов в области
низких температур.
12*
180 ГЛАВА V
5.303. Удельная теплоемкость решетки пирографита (одной из
модификаций углерода) зависит от температуры как Т2, а не как
Т3, что обычно имеет место для твердых тел. Что можно сказать о
структуре этой специфичной фазы углерода?
5.304. В кристалле поваренной соли NaCl при температуре Т =
= 10 К теплоемкость единицы объема Су = 830 • 10^4 Дж/(м3-К).
Оценить скорость звука в кристалле и его дебаевскую температуру.
Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.
5.305. Температура Дебая у алмаза равна 2000 К. Какова его
удельная теплоемкость при температуре Т = 30 К?
5.306. Какова удельная теплоемкость цинка при 100° С? Темпера-
Температура Дебая в = 330 К.
5.307. Одинаковые массы свинца 207РЬ и кремния 28S1 охлаждают
с помощью жидкого гелия (температура кипения гелия равна при
нормальном давлении 4,2 К) от температуры Т\ = 20 К до Т2 =
= 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых
для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские
температуры равны: в(РЬ)= 95 К и 0(Si)= 645 К. Теплоемкостью
электронов пренебречь.
5.308. Определить в дебаевской модели отношение теплоемко-
стей образцов Be и Си одинакового объема при Т = 300 К. Плотности
бериллия и меди соответственно равны 1,8 • 103 и 8,9 • 103 кг/м3,
температуры Дебая 1440 К и 340 К.
5.309. При комнатной температуре средняя длина свободного про-
пробега фононов в кристалле хлористого натрия в 4 раза больше постоян™
ной его решетки d = 5,64 А. Вычислить коэффициент теплопроводно-
теплопроводности этого кристалла, если скорость звука в нем 5 = 5- 103 м/с.
5.310. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов
в кристалле серебра при Т = 300 К, если коэффициент теплопро-
водности серебра х — 418 Вт/(м-К), а скорость распространения
звука s = 3700 м/с.
5.311. В кварце при комнатной температуре длина свободного
пробега фононов имеет порядок Аф = 3 • 10™4 м, скорость звука
s = 103 м/с. Оценить теплопроводность кварца.
5.312. Оценить длину свободного пробега фононов в германии
при температуре 300 К, используя следующие данные: дебаевская
температура германия в = 360 К, коэффициент теплопроводности
X = 80 Вт/(м-К), атомный вес равен 72,6, плотность р = 5500 кг/м3,
средняя скорость звука s = 4500 м/с. Считать, что перенос тепла
осуществляется только фононами.
5.313. Дебаевская температура алмаза в = 2000 К. Вычислить
отношение теплопроводности алмаза при температуре Т = 50 К
к теплопроводности при 4 К, предполагая, что в обоих случаях
преобладающим процессом рассеяния фононов является рассеяние
на границах кристалла.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 181
5.314. Рассчитать коэффициент теплопроводности при Т = 1К
кристаллического стержня диаметром 3 мм из синтетического ко-
корунда (AI2O3). Скорость звука в корунде s = 5000 м/с, его плотность
р = 4000 кг/м3, дебаевская температура в = 1000 К.
5.315. Оценить максимально возможную величину коэффициента
теплопроводности цилиндра диаметром d = 3 мм из кристаллического
искусственного сапфира при температуре 30 К. Температура Дебая у
сапфира 9 = 100 К, скорость звука s = 104 м/с, а его теплоемкость
при Т<6 определяется выражением Су = ОДТ3 Дж/(м3-К).
5.316. Фононы рассеиваются в кристалле на примесных центрах
с поперечным сечением рассеяния а порядка геометрического
A0~15 см2). Оценить фононную теплопроводность кристалла при
температуре Г = 30 К, если концентрация примесей в нем п =
= 1021 м™3, а скорость звука 5 = 3- 103 м/с. При какой толщине
кристалла начнет сказываться рассеяние фононов на границах?
5.317. Одномерная цепочка состоит из атомов с массами m и
М = 9т. Оценить относительный вклад в теплоемкость оптических
колебаний атомов цепочки при температуре Т = в/10, где в —
соответствующая температура Дебая.
9. Электроны в кристаллах
Металлы
1. В модели свободных электронов предполагается, что металл
содержит свободные электроны, способные перемещаться по всему
объему (газ свободных электронов). В основном состоянием низшие
одноэлектронные уровни полностью заполнены вплоть до некоторой
энергии, называемой уровнем Ферми Е^ и равной
2т
Здесь fcp — максимальное значение волнового вектора электронов —
определяется выражением
где п = N/V — плотность электронов. Соответственно уровень
Ферми или энергия Ферми Е? — максимальная энергия электронов,
отсчитанная от нулевой кинетической энергии, дается выражением
EF = J_C7T2J/3^n2/3 ~ ^п2/3,
2m m 2т
а фермиевский импульс (максимальный импульс электронов)
182 ГЛАВА V
2. Температура, соответствующая энергии Ферми, называется
температурой вырождения
2ткв
3. Функция распределения электронов по энергиям при ненуле-
ненулевых температурах f{e) (распределение Ферми) имеет вид
т
ехр
Электронная часть теплоемкости металла оценивается по формуле
С| къп ЗТ.
2 Ер Ер
Химпотенциал /л в металлах практически совпадает с Е$.
4. Взаимодействие атомов при образовании кристаллической
решетки приводит к расширению энергетических уровней атомов
и превращению их в кристалле в энергетические зоны. В случае
изотропной трехмерной решетки в модели сильной связи, когда
учитываются только перескоки электронов к ближайшим соседним
ионам, закон дисперсии будет имеет вид
Е = Eq — 2 A cos kxax — 2 A cos kyay — 2A cos kzaz.
В этом выражении константа А определяет ширину зоны проводи™
мости.
5. Величина
играет роль массы для электрона при его движении в кристалле
и называется эффективной массой, электрона. Эффективная масса
электрона в кристалле — это масса такого свободного электрона,
которую он должен был бы иметь для того, чтобы под действием
внешней силы приобрести такое же ускорение, как и электрон в
кристалле под действием той же силы.
6. Рассматривая электроны как газ свободных квазичастиц, можно
найти на основе газокинетической теории выражение для коэффици-
коэффициента электронной теплопроводности:
X = \Cvvl,
где С — электронная теплоемкость, v^ — фермиевская скорость
электронов, I = 1/па — их длина свободного пробега (а, п соответ-
соответственно эффективное сечение рассеяния и концентрация рассеиваю-
рассеивающих центров).
7. Удельное сопротивление р как металлов, так и полупроводни-
полупроводников может быть вычислено по формуле Друде-Лоренца
га*
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 188
где т — время релаксации, т.е. среднее время пробега электрона меж-
между двумя последовательными столкновениями. Время релаксации
электронов в металле может быть выражено через длину свободного
пробега I и их фермиевскую скорость:
I
т = —?
а в полупроводниках через подвижность /л:
Полупроводники
8. Концентрация электронов пп в зоне проводимости (дырок в
валентной зоне пр) определяется выражением
пп(р) = Ч
где А — ширина запрещенной зоны.
Величина
1* ЬТ^ 3/2
определяет эффективное число уровней в зоне проводимости (ва-
(валентной зоне) и носит название статистического фактора зоны.
Произведение концентраций электронов и дырок равно
9. Проводимость, обусловленную процессом теплового возбу-
возбуждения исходной (без примесей) кристаллической решетки, назы-
называют собственной^ поскольку она определяется свойствами самого
кристалла. Соответственно и концентрацию носителей щ в зоне
проводимости, возникающих за счет переходов из валентной зоны,
называют концентрацией собственных носителей. В беспримесном
полупроводнике концентрация собственных носителей щ, равная как
концентрации электронов, так и дырок, которые рождаются парами,
может быть записана в виде
о-А/2кБТ
откуда следует соотношение
пппр = nf.
В полупроводнике без примесей (собственном полупроводнике)
уровень Ферми расположен практически посредине запрещенной зоны.
В примесных полупроводниках n-типа (полупроводниках с донорными
примесями) уровень Ферми при Т = 0 будет равен половине энер™
гни донорного уровня Ed отсчитанной от дна зоны проводимости.
184 ГЛАВА V
Аналогично у полупроводника р™типа (с акцепторными уровнями)
уровень Ферми при нулевой температуре равен Еа/2 (Еа — энергия
акцепторного уровня). По мере увеличения температуры в примесных
полупроводниках уровень Ферми смещается к значению А/2.
10. При контакте полупроводников с разным типом допирования
образуется так называемый (р—ть) -переход — обедненный носителя-
носителями переходной слой, имеющий очень большое сопротивление. При
подаче на (р — п)-переход внешнего напряжения Ve ток через него
равен сумме токов электронов и дырок:
I = Ie + Ip = A[Ie{±-) - Ie{^)} = Ae^A^T(eeVe^T - l).
В этой формуле константа А определяется концентрациями акцеп-
акцепторных и донорных примесей, а величина Ve включает в себя знак, а
именно Ve < 0 при подключении положительного полюса внешнего
источника к р-области.
11. Эффект Холла. Если пропустить ток вдоль проводника,
находящегося в магнитном поле, перпендикулярном движению тока,
то в поперечном направлении возникает ЭДС (ЭДС Холла), причем
ее направление перпендикулярно магнитному полю. Если пропус-
пропускаемый ток — 1% (предполагается, что ток переносится только
носителями одного типа — либо электронами либо дырками), а его
ширина — у, то ЭДС Холла равна
Л Г 1 IxBZ yy IXBZ
УХ =
у у
Коэффициент пропорциональности Кц между Vx и Bz, Ix называется
константой Холла, она определяется только концентрацией носите-
носителей тока и равна 1/пе.
12. Квантовый эффект Холла, заключается в том, что в дву-
двумерном электронном газе (МДП-структуры, гетеропереходы) про-
продольное сопротивление становится исчезающе малым, а холловское
сопротивление Rx принимает дискретные значения
R = V& = Вл = _h_
Ix v ue2
где R\ ~ 25,8 кОм — квантованное холловское сопротивление,
a v — целое число (фактор заполнения), определяющее количество
заполненных уровней Ландау, равное числу электронов в образце N,
деленному на число квантов магнитного потока Фо = h/e, пронизы-
ващего образец:
_ _N^_ _ N _ iVe
V ~ МФ ~ Ф/Фо ~ Фк'
где Ф — поток магнитного поля через образец.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 185
Модель свободных электронов. Распределение Ферми
5.318. Найти с помощью соотношения неопределенностей число
свободных электронов с энергиями в интервале (Е, E+dE) в металле
при температуре Т = 0. Металл имеет форму прямоугольного
параллелепипеда объемом V. При определении числа квантовых
состояний электрона в данном интервале энергий считать, что физи-
физически различны только те состояния, у которых проекции импульса
различаются не меньше чем на Арх = 2nh/lx, 1Х — ребро «ящика»
объема V (аналогично для Ару и Apz).
5.319. При каких условиях квантовомеханичеекая функция рас-
распределения Ферми-Дирака приближается к классической функции
распределения частиц по энергии (распределению Больцмана)?
5.320. Оценить отношение средней потенциальной энергии взаи-
взаимодействия двух электронов к энергии Ферми для металла, электро-
электроны которого наполовину заполняют зону проводимости. Концентра-
Концентрация атомов п = 3 • 10~3 м~3, эффективную массу электронов считать
равной массе свободного электрона.
5.321. При какой концентрации свободных электронов в кристал-
кристалле температура вырождения электронного газа в нем равна 0°С?
5.322. Вычислить энергию Ферми при Т = 0 К для алюминия. Счи-
тать, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона.
5.323. На какой высоте (в электронвольтах) от дна зоны проводи-
проводимости находится уровень Ферми в одновалентном натрии, который
содержит 2,5 • 1023 атомов/м3. Считать температуру Т = 0 К.
5.324. Найти разницу энергий (в единицах к^Т) между электро-
электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися
на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0,20 и 0,80.
5.325. Какова вероятность заполнения электронами в металле
энергетического уровня, расположенного на 0,001 эВ ниже уровня
Ферми, при температуре 18° С?
5.326. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения
электронами энергетического уровня в металле, если уровень рас-
расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется
от 200 до 300 К?
5.327. Определить, какая часть электронов проводимости в ме-
металле при Г = 0 К имеет кинетическую энергию, большую 0,5Ер.
5.328. При какой температуре вероятность найти в проводнике
электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%?
5.329. Электроны, находящиеся в тонком приповерхностном слое
полупроводника, могут в определенных условиях рассматриваться
как двумерный вырожденный электронный газ. Найти фермиевский
импульс таких электронов, если их концентрация в расчете на
единицу поверхности п = 1017 м~2.
5.330. Вычислить фермиевскую скорость носителей заряда в ме-
металле с одним электроном на элементарную ячейку и «одномерным»
законом дисперсии Е = Eq cos kza, где Е® = 0,5 эВ, а = 3 А.
186 ГЛАВА V
5.331. Вычислить в модели свободных электронов при Т = О К
плотность электронов вблизи уровня Ферми Е? = 3 эВ.
5.332. Найти интервал (в эВ) между соседними уровнями сво-
свободных электронов в металле при Т = О К вблизи верхнего запол-
заполненного уровня (энергии Ферми), если объем металла равен 1 см3,
а концентрация свободных электронов п = 2 • 1028 м^3.
5.333. Найти связь между концентрацией электронов п и энергией
Ферми при Т = О К.
5.334. Чему равна максимальная энергия электронов в серебре, счи™
тая, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону?
5.335. Определить число свободных электронов на атом меди и
алюминия, граничные энергии для которых соответственно равны
7,04 и 11,7 эВ.
5.336. Давление электронного газа является одним из основных
факторов, определяющих сжимаемость металлов. Найти сжима™
емость и давление электронного газа для меди при температуре
Т = 0 К, если концентрация электронов проводимости п = 8,5 х
х 1028 м~3. Эффективную массу считать равной массе свободного
электрона.
5.337. Сжимаемость щелочных металлов близка к сжимаемости
электронного газа. Чему равен коэффициент сжимаемости металли-
металлического калия при Т = 0 К, если концентрация свободных электро-
электронов в этом металле п = 1,3 • 1028 м™3?
5.338. При увеличении всестороннего сжатия положение уровня
Ферми в металле изменяется на 0,1%. Оценить, каково при этом
относительное изменение дебаевской температуры кристалла в.
Скорость звука s считать постоянной.
5.339. Для электронов с квадратичным законом дисперсии найти
связь между их средней энергией и фермиевской энергией при
температуре Г = 0 К.
5.340. Вычислить среднюю кинетическую энергию свободногых
электронов в алюминии при Т = 0 К, если известно, что их макси-
максимальная энергия равна 11,7 эВ.
5.341. Металлический натрий при кристаллизации образует ку-
кубическую объемно-центрированную решетку с расстоянием между
ближайшими атомами а = 3,7 А. Найти в модели свободных элек-
электронов среднюю кинетическую энергию электронов проводимости
в этой решетке.
5.342. У дна зоны проводимости электроны обладают квадратич-
квадратичным законом дисперсии Е = Ак2, где константа А = 5 • 10^37 Дж-м2.
Какова величина эффективной массы электронов?
5.343. Вычислить при Т = 0 К фермиевскую энергию, импульс и
скорость электронов металла с изотропным квадратичным законом
дисперсии электронов, эффективная масса которых равна 0,8 массы
свободного электрона, а концентрация 1029 м^3.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 187
5.344. Вывести формулу Ричардсона-Дешмана, определяющую
плотность тока электронов, испускаемых термоэлектронным катодом
J = 2
где константа А = Anmek^/h^ = 120 • 104 А/(м2К2). Величина <р есть
работа выхода, которая зависит от материала катода и от состояния
поверхности материала и обычно выражается в эВ.
5.345. Показать, что внешнее электростатическое поле Е умень-
уменьшает работу выхода на величину (еЕ/АттвоI^2 эВ (эффект Шоттки).
5.346. Насколько возрастет термоэлектронная эмиссия под дей-
действием приложенного к катоду электрического поля напряженностью
105 В/м, если рабочая температура катода 1000 К?
5.347. Предположим, что анод и катод представляют собой пло-
плоскопараллельные пластины, расположенные на расстоянии d = 1 см
друг от друга, и пространственный заряд не ограничивает вели-
величину тока. Температура катода равна Т = 2000 К. Какую разность
потенциалов V надо приложить между катодом и анодом, чтобы
эмиссионный ток увеличился на 10% по сравнению с формулой
Ричардсона-Дешмана?
Теплоемкость, теплопроводность
и электропроводность металлов
5.348. Вычислить относительный вклад электронного газа в
общую теплоемкость серебра при комнатной температуре. Считать,
что на каждый атом приходится один свободный электрон и что
теплоемкость серебра при данной температуре определяется законом
Дюлонга и Пти.
5.349. Оценить решеточную и электронную теплоемкость се™
ребра при температурах 300К и ЗК. Дебаевская температура
серебра в = 220 К, электронную теплоемкость считать по модели
свободных электронов.
5.350. Для типичных значений параметров металлов оценить
температуру, при которой сравниваются электронная и решеточная
теплоемкости.
5.351. В одновалентных металлах при комнатной температуре
длина свободного пробега электронов Ае = 10^3 м, скорость Фер™
ми Vf = 105 м/с, а Су = 0Д1?. Какова величина теплопроводности,
обусловленная электронами?
5.352. При Т = 300 К коэффициент теплопроводности германия
равен 80 Вт/(м-К), а его удельное сопротивление составляет 10^2 Ом-м.
Каково отношение его электронной теплопроводности к решеточной?
5.353. Удельное сопротивление сплава Ag+1%N1 при температуре
Т ~ 0 К равно р = 10~6 Ом-см. Постоянная решетки а = ЗА,
решетку считать кубической, в зону проводимости каждый атом
серебра отдает один электрон. Оценить величину сечения рассеяния
электронов на атомах никеля.
188 ГЛАВА V
5.354. Длина свободного пробега электронов в тонких проволоках
из чистых металлов при низких температурах практически опреде-
определяется их диаметром. Оценить, какова в этих условиях при Т = 10 К
эффективная удельная электропроводность медной проволоки диа-
диаметром d = ОД мм.
5.355. Оценить удельное сопротивление металла с А = 100
при температуре Т = 300 К, считая, что радиус эффективного
рассеяния электронов на фононах порядка амплитуды тепловых
колебаний атомов, фермиевская скорость v^ = 3 • 106 м/с, темпера-
температура Дебая в = 200 К.
5.356. Образец высокочистой меди имеет остаточное сопротив-
сопротивление 10^10 Ом-м, но при введении ОД атомного % ионов Cd2+, оно
увеличивается до 5 • 10^10 Ом-м. Оценить, каково будет удельное
сопротивление меди, если ввести ОД ат.% 1п3+ или Sn4+.
Указание. При низких температурах сопротивление металла,
обусловленное примесными ионами, пропорционально (AZJ, где
AZ — разница валентности примесных ионов и ионов металла.
5.357. Энергия Ферми алюминия равна 12 эВ, а его удельное
сопротивление при Т = 300 К равно 3 • 10^8 Ом-м. Чему равна
длина свободного пробега электронов проводимости и их дрейфовая
скорость в поле напряженностью 1000 В/м? Атомный вес алюминия
равен 27, плотность 2700 кг/м3.
5.358. Твердый водород является диэлектриком, плотность ко-
которого при нормальном давлении равна 76 кг/м3. Чтобы водород
стал металлом, его энергия Ферми должна быть равной потенциа-
потенциалу ионизации. При каком давлении возможен переход водорода в
металлическое состояние? Какой плотности это соответствует?
5.359. Современная технология позволяет методом молекулярной
эпитаксии наносить на диэлектрическую подложку металлические
проводники шириной d в несколько нанометров. Электроны движут-
движутся в таких проводниках практически без рассеяния и поэтому они
фактически являются волноводами для электронных волн, и поэтому
даже при Т = 0 К проводимость мостика при достаточно малой
концентрации электронов оказывается равной нулю. Начиная с каких
значений поверхностной плотности электронов п сопротивление
такого мостика с d = 1 мкм становится конечным ?
Зонная теория. Собственные полупроводники
5.360. При сближении атомов возможен туннельный переход
наружных электронов из одного атома в другой, что приводит к
уширению уровней (образованию зон в твердом теле). Считая, что
электрон находится в прямоугольной потенциальной яме шириной
а = 2гб ~ 1А на глубине, равной энергии ионизации Uq = 10 эВ,
а ширина барьера d равна среднему расстоянию между атомами,
оценить энергетическое уширение в кристалле с d = 1 А.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 189
5.361. Ширина запрещенной зоны полупроводника равна 1 эВ.
Какова вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна зоны
проводимости при температуре 290 К? Увеличится ли эта вероят-
вероятность, если на полупроводник действует электромагнитное излуче-
излучение с длиной волны 1,0 мкм; 2,0 мкм?
5.362. Хотя для простых собственных полупроводников энер-
энергия Ферми практически не зависит от температуры, небольшой по
величине поправочный член надо вводить. Покажите, что энергия
Ферми может быть записана в виде Е? = -(Ес + Ev) + аТ, где Ес
и Ev энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны
соответственно, а а — константа. Предположите, что плотности
состояний в полосах разрешенных значений энергии электронов
имеют зависимость А(Е — Ес)г/2 и В(Е — Еу)г/2 соответственно.
5.363. В образце очень чистого германия край непрерывного
оптического поглощения при Т = 300 К соответствует А™1 = 5,5 х
х 105 м^1. Оцените, насколько надо увеличить температуру, чтобы
при этом электропроводность возросла на 20%.
5.364. Найти минимальную энергию, необходимую для обра™
зования пары электрон-дырка в кристалле GaAs, если его элек-
тропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры
от +20 до -3° С.
Примесные полупроводники
5.365. В образец кремния внесено 10~4 атомных процентов
атомов фосфора (доноров), которые при комнатной температуре ока-
оказываются все однократно ионизованными. Измерения подвижности
электронов показали, что она составляет 0,15 м2/(В-с). Рассчитайте,
каково собственное удельное сопротивление кремния. Плотность
кремния равна 2300 кг/м3, его атомный вес равен 28.
5.366. Образец германия n-типа содержит 1023 ионизованных
доноров в 1 м3. Оценить отношение сопротивления этого образца при
комнатной температуре к сопротивлению германия высокой чистоты.
5.367. В антимониде индия эффективная масса электрона при-
примерно равна 0,01 массы электрона, а диэлектрическая постоянная
равна 17. Оценить энергию ионизации донорных атомов и радиус
электронной орбиты.
5.368. Полупроводник допирован как донорньми атомами
A022 м~3), так акцепторными E • 1021 м~3), причем их энергетические
уровни расположены на расстоянии 10^2 эВ от потолка и дна запрещен-
запрещенной зоны соответственно. Подвижность носителей равна 0,2м2/(В-с).
Каково сопротивление этого образца при температуре 20 К?
Указание. Когда в полупроводнике имеется как п- так и р-типа
примеси происходит так называемый эффект компенсации, т.е. доноры
ионизуют акцепторы и тем самым уменьшается их эффективное число.
190 ГЛАВА V
5.369. Полупроводниковый кристалл объемом 1 мм3 дотирован
1022 атомами донора в 1 м3, чтобы его можно было использовать
в качестве детектора инфракрасного излучения с величиной А =
= 104м^1 за счет переброса носителей через щель величиной
1СП2 эВ. Время жизни носителей равна 1СП2 с, детектор охлаждается
до 4 К. Оценить, во сколько раз изменится сопротивление полу-
полупроводника при облучении его мощностью 1СГ2 Вт. Считать, что
в детекторе падающее излучение полностью поглощается.
5.370. Красная граница внешнего фотоэффекта сурьмяно™цези™
евого фотокатода (при очень низкой температуре) соответствует
Ai = 0,65 мкм, а красная граница фотопроводимости — А2 =
= 2,07мкм. Определить в эВ положение дна зоны проводимости
данного полупроводника относительно вакуума.
5.371. Ширина запрещенной зоны у германия равна 0,7 эВ.
Насколько изменяется концентрация свободных носителей при уве-
увеличении температуры от комнатной B7° С) до 50° С?
5.372. Удельное сопротивление чистого кремния при комнатной
температуре равно 1000 Ом-м, ширина запрещенной зоны А =
= 1,1 эВ. Предполагая, что эффективные плотности состояний и
подвижности носителей не зависят от температуры, найти величину
сопротивления кремния при температуре 50°С.
5.373. Оценить отношение электронной теплоемкости чистого тер-
мания к его решеточной теплоемкости при температуре 1000 К. Счи™
тать, что концентрация электронов проводимости пе = 1,5 • 1024 м^3,
ширина запрещенной зоны А = 0,7 эВ, дебаевская температура 9 =
= 540 К, плотность атомов N = 5 • 1028 м^3.
5.374. Длинноволновый край полосы поглощения чистого гер-
германия лежит вблизи длины волны Aq = 19 мкм. Оценить отсюда
ширину запрещенной зоны германия (в эВ).
5.375. Германиевое фотосопротивление освещают монохрома-
монохроматическим излучением, равномерно поглощаемом во всем объеме.
Удельное сопротивление образца равно 45 Ом-см, концентрация
электронов и дырок повышается вследствие освещения на 1017 м^3.
Подвижности электронов и дырок равны /хе = 0,38 м2/(В-с) и /ip =
= 0,18 м2/(В-с). Каково относительное изменение электропроводно-
электропроводности пластинки германия?
5.376. Найти минимальную энергию, необходимую для образо-
образования пары электрон-дырка в чистом теллуре, если известно, что
его электропроводность возрастает в г) = 5,2 раза при увеличении
температуры от Тг = 300 К до Т2 = 400 К.
5.377. Вычислить удельное сопротивление полупроводника в~типа
при температуре Т = 50 К, если известно, что концентрация донорных
атомов п = 5 • 1023 м~3, энергия их активации Е^ = ОД эВ, подвиж-
подвижность электронов Ь = 0,05 м2/(В-с).
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 191
р — п-переход
5.378. (р-п)-переход изготовлен из материала, характеризую-
характеризующегося при температуре Т = 300 К концентрацией собственных
носителей щ = 2 • 1017 м^3. Концентрации доноров и акцепторов по
обе стороны перехода одинаковы равны п = 6 • 1023 м^3. Определить
величину потенциального барьера на переходе.
5.379. При комнатной температуре и при прямом смещении 0,15 В
через (р-п)-переход течет ток I = 1,66 мА. Какой ток пойдет через
переход при обратном смещении?
5.380. При приложении к полупроводниковому диоду обратного
смещения ток через диод обладает свойством насыщения. Каков
механизм возникновения этого тока? Как изменится ток насыщения
при понижении температуры от 20 до 0°С? Диод изготовлен из
материала с шириной запрещенной зоны Ед = 0,7 эВ.
5.381. Сопротивление (р-п)™перехода при малых напряжениях
R = 400 Ом, а площадь S = 0,5 см2. Оценить максимальную плот™
ность обратного тока (тока насыщения) при температуре Т = 300 К.
5.382. Оценить, при какой температуре начнет исчезать эффект
выпрямления в полупроводниковом диоде, у которого ширина запре-
запрещенной зоны Eg = 1 эВ, концентрации примесей по обе стороны
перехода пщ = 1023 м^3, а концентрация свободных носителей при
температуре Го = 300 К равна щ = 2 • 1017 м^3.
Эффект Холла
5.383. Холловский датчик для измерения магнитного поля изго-
изготовлен в виде кубика, подвижность носителей равна 0,5 м2/(В-с).
Какое должно быть приложено напряжение, чтобы в поле 10^4 Тл
холловская разность потенциалов была равна 1 мВ?
5.384. Вычислить величину ЭДС Холла, возникающую при про-
пропускании тока 100 мА через пластинку из металлического натрия в
поле ОД Тл. Ширина образца, вдоль которой измеряется холловское
напряжение и перпендикулярно которой приложено магнитное поле,
равна I = 1 мм. Решетка Na — объемноцентрированный куб со
стороной 4,28 А.
5.385. Вычислить удельную проводимость кристалла кремния,
если константа Холла для него Кц = ^2,7 • 10™4 м3/Кл.
5.386. При каких условиях в полупроводнике, имеющем свобод-
свободные носители заряда, тем не менее не наблюдается эффект Холла?
5.387. Определить подвижность в [см2/(В-с)] электронов в гер-
германии n-типа, у которого удельное сопротивление р = 1,7 Ом-см, а
постоянная Холла Ru = 7 • 10^17 СГСЭ.
5.388. Определить знак, концентрацию и подвижность свободных
носителей заряда в полупроводниковом образце, который обладает
примесной проводимостью и сопротивлением 338 Ом. При токе 50 мА
и магнитной индукции 0,1 Тл холловская разность потенциалов в
192 ГЛАВА V
образце равна 200 мВ. Размеры образца: толщина Ь = 0,1 мм, ширина
d = 5 мм.
5.389. Пластинка из полупроводника р-типа шириной d = 1 см
и длиной I = 3 см помещена в однородное магнитное поле на-
напряженностью Н = 0,5 Тл. К концам пластинки (вдоль ребра с
размером I) приложено постоянное напряжение 17 = 180 В. При этом
поперечная холловская разность потенциалов оказалась равной V =
= 5 мВ. Определить концентрацию и подвижность дырок в данном
полупроводнике, удельное сопротивление которого р = 0,03 Ом-м.
5.390. Константа Холла у алюминия равна — 0,3 • 10~10В-м/(Д-Тл).
Сколько электронов от каждого атома принимают участие в прово™
димости? Плотность алюминия 2700 кг/м3, атомный вес 27.
5.391. По цилиндрическому проводу протекает ток, плотность
которого j однородна по сечению проводника. Концентрация элек-
электронов проводимости равна п. Пренебрегая сопротивлением и
учитывая поле Холла, определить величину и направление вектора
Пойнтинга в проводнике в зависимости от расстояния до оси г.
Считать, что е = /л = 1.
5.392. В квазиодномерном электронном газе, образующегося в
МДП-структурах (металл-диэлектрик-полупроводник) или гетерострук-
турах (в последнем случае это, как правило, GaAs), при низких
температурах и в сильных магнитных полях наблюдается целочис-
целочисленный квантовый эффект Холла (ЦКЭХ). Сущность этого эффекта
состоит в том, что в зависимости холловского сопротивления от маг™
нитного поля наблюдаются последовательные ступеньки (холловские
плато), причем величина холловского сопротивления на этих плато
пропорциональна кванту холловского сопротивления, определяемому
только фундаментальными константами, и не зависит от параметров
материала структуры. Исходя из соотношений размерности, найти
величину кванта холловского сопротивления ARK при ЦКЭХ.
5.393. Холловское сопротивление МДП-структуры в магнитном
поле В = 2,5 Тл равно Rx = 4,3 кОм. Какова плотность электронов?
5.394. Для наблюдения дробного квантового эффекта Холла,
при котором фактор заполнения оказывается не целым, а дробным
числом, необходимо, чтобы кулоновское взаимодействие U между
электронами было существенно больше их кинетической энергии Е.
Оценить, насколько надо изменить плотность электронов в двумер-
двумерном электронном газе, чтобы отношение U/E увеличилось в 10 раз?
10. Сверхпроводимость
1. Конфигурация магнитного поля внутри сверхпроводящего
образца должна удовлетворять уравнению
rot rot В = B/Al,
которое впервые было предложены братьями Ф. Лондоном и Г. Лон-
Лондоном и носит название уравнение Лондонов. Для плоской поверх-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 198
ности в параллельном ей поле решение имеет вид
В = Воехр(-ж/Аь),
где Bq—значение В на поверхности, х—расстояние от поверхности
в глубину образца, а
характерная глубина проникновения для сверхпроводника с концен-
концентрацией сверхпроводящих электронов ns (как правило считается, что
концентрация сверхпроводящих электронных пар вдвое меньше кон-
концентрации электронов, так как электрический ток в сверхпроводящей
фазе переносится парами) называется лондоновской длиной.
2. Установление парных корреляций между электронами при тем-
температурах ниже критической Гс приводит к понижению их энергии
и образованию в спектре электронных возбуждений энергетической
щели А. По теории БКШ
2А0 = 3,52&бТс,
здесь До — величина щели при нулевой температуре.
3. Эффективное число электронов, участвующих в спаривании,
равно
А
и тем самым энергия спаривания (энергия электронов в сверхпрово-
сверхпроводящем конденсате)
п АЛ пА2
Eh Eh
4. Микроскопическое состояние сверхпроводника характеризу-
характеризуется кроме лондоновской длины еще одним параметром длины —
длиной когерентности
^ ~ А '
где v$ — фермиевская скорость электронов. Длина когерентности
определяет характерный масштаб, на котором «залечиваются» нару-
нарушения сверхпроводящего упорядочения.
5. В магнитном поле образование сверхпроводящих куперовских
пар будет происходить в образце до тех пор, пока энергия, которую
выиграл образец за счет перехода в сверхпроводящее состояние,
будет превышать энергетические затраты на вытеснение магнитного
поля ос (B2/2/io)F (V — объем образца).
6. В сверхпроводниках второго рода возможно смешанное со-
состояние, когда в объеме возникают квантованные вихревые нити,
сердцевина которых находится в нормальном состоянии.
Каждый вихрь несет в себе квант магнитного потока
= — = 2,07-1(Г15Вб.
2е
13 Задачник
194 ГЛАВА V
Вихри начинают проникать в сверхпроводник при значении маг-
магнитного поля, больше так называемого первого критического поля,
индукция которого определяется соотношением
Полностью переход сверхпроводников второго рода в нормальное
состояние происходит в поле (второе критическое поле):
5.395. В 1911г. Г. Камерлинг-Оннес при измерении сопротив-
сопротивления ртути, охлаждаемой жидким гелием, обнаружил, что при
откачке паров гелия из криостата сопротивление ртути исчезает. Так
было открыто явление сверхпроводимости. Вычислить, до какого
давления надо было откачивать пары гелия, если при давлении рк =
= 1 атм температура кипения гелия Тк = 4,22 К, теплота испарения
при этом давлении q = 84 Дж/моль, а критическая температура
сверхпроводящего перехода ртути Тс = 4,15 К.
5.396. При каком напряжении V начнет течь ток через туннель-
туннельный переход металл-изолятор-сверхпроводник, если Тс = 92 К, а
измерения проводятся при Т<СГС?
5.397. Из широкой сверхпроводящей ленты был свернут длинный
цилиндр радиусом а = 1 см и края ленты сварены вдоль образующей.
Измерения показали, что электрический контакт в месте сварки оказал™
ся не очень хорошим, поскольку за один час ток в кольце уменьшался
на 1%. Каково сопротивление R единицы длины сварного шва?
5.398. В 1964 г. Крибье с сотрудниками с помощью упругого
рассеяния нейтронов на ниобии экспериментально подтвердил, что
в сверхпроводниках II рода в магнитном поле В > Вс\ образуется
треугольная вихревая решетка Абрикосова. В опытах наблюдался мак-
максимум первого порядка в отражении нейтронов с длиной волны А = 5 А
под углом в = 20; по отношению к падающему пучку от плоскостей,
разделенных расстоянием h (высота равностороннего треугольника
структуры). В каком магнитном поле проводился эксперимент?
5.399. Точечный магнитный диполь с магнитным моментом /х =
= 1 А-м2 висит над поверхностью сверхпроводника I рода (темпера-
(температура Т ~ О К), у которого критическое магнитное поле Вс = 0,05 Тл.
Ось диполя перпендикулярна плоскости. Какова максимально допу-
допустимая масса m диполя?
5.400. Какой максимальный ток течет по поверхности сверхпро-
сверхпроводника I рода, если Вс = 4 • 104 А/м, a Al = 0,5 • 10^7 м?
5.401. Дивер и Фербенк наблюдали квантование магнитного
потока в длинной оловянной трубочке с внутренним диаметром
d = 15мкм. Какому магнитному полю соответствует один квант
магнитного потока через сечение такой трубки?
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 195
5.402. Оценить неоднородность магнитного поля в сверхпрово-
сверхпроводящей пленке толщиной, много меньшей лондоновской длины.
5.403. Индуктивностью резонансного контура (щ = 10 МГц)
служит длинная однослойная катушка диаметром d = 10 мм.
Насколько изменится резонансная частота контура, если внутрь
катушки вставлен на всю длину сверхпроводящий цилиндр диамет-
диаметром d/21 Концентрация сверхпроводщихэлектронов ns = 1028 м™3,
температура Т<ГС.
5.404. Оценить в электронвольтах величину энергетической щели
(энергию спаривания электронов) в свинце, у которого критическая
температура Тс = 7,2 К.
5.405. Оценить в электронвольтах энергию электрона в сверхпро-
сверхпроводнике в критическом магнитном поле при Т = 0 К, если известно,
что Тс = 10 К, постоянная решетки а = 3 А.
5.406. Тантал кристаллизуется в объемно-центрированную куби-
кубическую решетку с ребром а = 3 А, и является сверхпроводником
I рода с Тс = 4,4 К. Считая, что каждый атом тантала отдает
в зону проводимости один электрон, эффективная масса которого
равна массе свободного электрона, оценить из энергетических со-
соображений величину индукции критического магнитного поля Вс
при Т ~ 0 К как поля, в котором разрушаются куперовские пары.
5.407. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить харак-
характерный линейный размер (длину когерентности ?) электронной пары
в сверхпроводнике с энергетической щелью 3 мэВ в электронном
спектре. Учесть, что в образовании пары участвуют электроны вблизи
поверхности Ферми, скорость которых принять равной up = 106 м/с.
5.408. В сверхпроводнике электроны образуют пары с проти™
воположно направленными спинами (куперовские пары). В каком
магнитном поле произойдет разрушение таких пар, сопровождаем
мое изменением спина электронной системы, если в нулевом поле
критическая температура сверхпроводника равна Тс = 92 К ?
5.409. Длинный цилиндр из сверхпроводника TI рода, у которого
нижнее критическое поле Вс\ = 0,04 Тл, помещен в магнитное поле
В = 0,05 Тл, параллельное его образующей. При этом его намаг-
намагниченность составила половину того значения, которое было при
В = Вс\. Оценить среднее расстояние между вихрями магнитного
потока в этом поле.
5.410. У высокотемпературного сверхпроводника УВа2СизО7 ниж-
нижнее критическое поле равно Вс\ ~ 0,1 Тл, а верхнее ВС2 ~ 102 Тл.
Оценить глубину проникновения А и длину когерентности ? в этом
соединении при Т = 0 К.
5.411. Найти зависимость скорости сверхпроводящих электронов
от расстояния до оси кванта магнитного потока, проникшего в сверх-
сверхпроводник.
5.412. Длинный цилиндр из сверхпроводника II рода с массой
М = 25 г и с высотой I = 10 см подвешен на тонкой нити. Вдоль оси
цилиндра прикладывается такое магнитное поле Н = 104 Э
13*
196 ГЛАВА V
что индукция В ~ /j,qH. Вначале, когда температура цилиндра была
Т < Тс, цилиндр покоился, а затем температура поднялась выше
критической. Найти установившуюся угловую частоту вращения
цилиндра. Глубина проникновения магнитного поля Л = 10~7 м,
плотность сверхпроводящих электронов ns = 1028 м~3.
5.413. Плоская лента ширины b = 0,5 см из сверхпроводника
II рода в смешанном состоянии помещена в магнитное поле В =
= 10 Тл, перпендикулярное поверхности ленты и много большее
величины первого критического поля. По ленте без диссипации течет
ток I = 10 А. Вихри, удерживаемые дефектами сверхпроводника,
при этом неподвижны. Вычислить силу F, действующую на от-
отдельный вихрь со стороны дефектов кристалла. Считать, что ток
распределен по образцу однородно, а вихревую структуру создают
другие, независимые от I токи.
11. Магнетизм веществ
1. Восприимчивостью веществ называется отношение магнитно-
магнитного момента единицы объема I к внешнему полю Н, т.е. в соотно-
соотношении I = хН под восприимчивостью подразумевается объемная
восприимчивость. Часто для характеристики магнитных свойств
веществ используют удельную магнитную восприимчивость (т.е.
магнитную восприимчивость единицы массы): х = Xv/P? гДе Р —
плотность вещества, a %v — магнитная восприимчивость единицы
объема. Кроме того, магнитную восприимчивость иногда относят
к одному молю вещества (Хт)- Величины % и Хт связаны между
собой соотношением %ш = х^-> здесь М — относительная молеку™
лярная масса. Объемная восприимчивость величина безразмерная,
тогда как размерность удельной восприимчивости равна м3/кг, а
молярной — м3/кмоль.
2. Диамагнетизм. Магнитная восприимчивость диамагнетиков
определяется выражением (формула Ланжевена)
X = -f^-^—Z.
от
Здесь а2 — средний квадрат расстояния электрона от ядра, N — чис-
число атомов в единице объема, Z — заряд ядра атомов диамагнетика.
3. Парамагнетизм. Вещества, атомы которых обладают неском-
пенсированным магнитным моментом, принадлежат к парамагне™
тикам (при температурах выше температуры магнитного упорядо™
чения—температуры Кюри Tq — ферромагнетики также являются
парамагнетиками). Если полный момент атома J, то парамагнитная
часть восприимчивости равна
Х =
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 197
В этой формуле д — фактор Ланде, определяющий связь между
магнитным и полным моментом системы. Для ионов группы
железа (Cr, Mn, Fe, Co, NI, Си) происходит «замораживание» орби™
тального момента и их парамагнетизм обусловлен только спином
их внешней d-оболочки, и поэтому в формуле для парамагнитной
восприимчивости необходимо заменить J на S и множитель Ланде
у них д = gs = 2. Если магнитный момент атома определяется
лишь спином одного внешнего электрона, т.е. S = 1/2, эта формула
приобретает вид
1 =
Н
N N
Н к-БТ кБТ '
Полученная формула носит название закона Кюри и показывает,
что магнитная восприимчивость парамагнетиков обратно пропор-
пропорциональна температуре.
4. Ферромагнетизм. В феноменологической теории ферромаг™
нетизма, построенной П. Вейссом в 1907г., для описания взаимо™
действия соседних электронов предполагается, что в ферромаг™
нетике имеется некоторое эффективное магнитное поле Нэф (это
поле называют также обменным в силу его квантовомеханической
природы). Величина обменного поля пропорциональна имеющей™
ся намагниченности (количеству электронов с коррелированными
направлениями магнитных моментов)
Нэф = А/,
где А — некоторая константа, положительная у ферро- и отрица-
отрицательная у антиферромагнетиков.
Температурная зависимость восприимчивости ферромагнетика в
парамагнитной фазе определяется формулой Кюри-Вейсса
Y = — = iV v ОС
н зкв(т-в) т^е?
где величина
называется парамагнитной точкой Кюри.
Простейшая модель ферромагнетизма основывается на представ-
представлении, что вся обусловленная принципом Паули зависимость энергии
от намагниченности проявляется посредством энергии обмена, и
фактически она является непосредственным обобщением теории
молекулы водорода на случай большого числа атомов. Обменная
энергия кристалла есть сумма обменных энергий между соседними
атомами и записывается следующим образом:
\ ~yf too
/ щи/ ^ ^
где SiSj — скалярное произведение векторов г-го и j-re спина
198 ГЛАВА V
(энергия взаимодействия записана в виде, аналогичном взаимо
действию двух магнитных диполей), а штрих у знака суммы
означает, что при суммировании, чтобы не учитывать каждую
пару дважды, надо считать, что г < j. Так как в квантовой
механике проекции спина на заданную ось могут принимать лишь
дискретные значения, то и скалярное произведение S^Sj принимает
лишь дискретные значения.
Если обменный интеграл положителен, то низшую энергию
имеет симметричное состояние и простейшим примером является
ферромагнитное состояние, а если он отрицателен, то низшую
энергию имеет антисимметричное состояние и этот случай соот-
ветствует антиферромагнитному состоянию с антипараллельными
спинами.
5. В системе упорядоченных спинов возможны своеобразные
возбуждения спиновой системы — спиновые волны, — которые
представляют собой колебания относительной ориентации спинов
в решетке. В пределе длинных волн Ь<1 закон дисперсии оказы-
оказывается квадратичным по волновому числу к:
Пш = BJSa2)k2.
5.414. Исходя из формулы для ларморовой частоты прецессии
показать, что диамагнитная восприимчивость атомарного газа опре-
определяется приближенно формулой
_
от
где N — число атомов, Z — их порядковый номер, г2 — средний
квадрат расстояний электронов от ядра.
5.415. Основной вклад в диамагнетизм вносят внешние электро-
электроны атомов. У атома хлора 8 внешних электронов, а его диамагнитная
восприимчивость равна ^30,8 • 10^8 м3/кмоль. Оценить радиус на-
наружной электронной оболочки атома хлора.
5.416. В бензине (CgHg) углеродные атомы образуют правильные
шестиугольники (гексагоны) со стороной а = 1,4 А. Волновая функ-
функция каждого внешнего электрона от углеродного атома простирается
на все кольцо атомов. Оценить вклад этих электронов в удельную
диамагнитную восприимчивость жидкого бензина, плотность кото-
которого равна 0,88 • 103 кг/м3.
5.417. Вычислить молярную диамагнитную восприимчивость
атомарного водорода в основном состоянии, для которого волновая
функция имеет вид
ф(г) = Gr
где ri — первый боровский радиус.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 199
5.418. Вывести выражение для магнитной восприимчивости ела-
бого раствора постоянных диполей, магнитный момент каждого из
которых равен М, в предположении, что диполи ориентированы произ-
произвольно относительно направления слабого магнитного поля, т.е. когда
магнитная энергия диполя MB <C к^Т. Какова будет восприимчивость,
если диполи ориентированы лишь по или против поля?
5.419. Найти магнитный момент парамагнитного газа, состоя™
щего из N атомов в состоянии 2S]_/2 при температуре Т в магнитном
поле В, при условии /иВ <С к^Т.
5.420. Рассчитать парамагнитную восприимчивость 1 см3 газо-
газообразного кислорода, находящегося в слабом магнитном поле при
нормальных условиях. Магнитный момент молекулы кислорода
fi = 2,8^б-
5.421. Длинный парамагнитный стержень диаметром d = 5 мм
сбалансирован на весах, причем один конец стержня находится
между полюсами магнита, создающего горизонтальное магнитное
поле, а другой в области, где это поле мало. Если магнитная индукция
поля равна В = 1 Тл, то кажущееся увеличение массы стержня 1,5 г.
Какова магнитная восприимчивость материала стержня? Такой метод
измерения магнитной восприимчивости называется методом Гюи.
5.422. Магнитная восприимчивость жидкого 3Не выше темпера-
температуры 1 К ведет себя точно по закону Кюри, т.е. % ос 1/Г. Вычислить
величину удельной восприимчивости 3Ые при температуре Т = 2 К.
Плотность 3Не при этой температуре равна р = 0,07 • 103 кг/м3.
5.423. Известно, что щелочные металлы обнаруживают парамаг-
парамагнетизм, не зависящий от температуры. Он может быть объяснен
следующим образом. При включении внешнего магнитного поля Н
свободные электроны с антипараллельными вектору Н спинами
начнут поворачиваться вдоль Н, но при этом в соответствие с
принципом Паули они будут переходить на более высокие незанятые
энергетические уровни. Этот процесс будет происходить до тех
пор, пока уменьшение магнитной энергии электронов не сравняется
с увеличением их кинетической энергии. Найти отсюда величину
парамагнитной восприимчивости металла объемом 1 см3 в слабом
магнитном поле, если концентрация электронов равна 2 • 1028 м~3.
5.424. Оценить величину молекулярного поля (поля Вейсса) в
железе, температура Кюри которого в = 770°С.
5.425. Атомы, обладающие магнитным моментом, могли бы об-
образовывать упорядоченную структуру за счет магнитного взаимо-
взаимодействия. Оценить, при какой максимальной температуре это еще
возможно, если межатомное расстояние порядка постоянной решет-
решетки в твердом теле а = 3 А.
5.426. Учитывая, что в ферромагнетике имеется обменное по-
поле Лэф, получить выражение для его парамагнитной восприимчиво-
200
ГЛАВА V
сти (закон Кюри-Вейсса)
г-в
5.427. Считая известным, что обменный интеграл J для элек-
электронной конфигурации молекулы водорода отрицателен, показать,
что синглетное состояние (состояние с антипараллельными спина-
спинами) обладает более низкой энергией, чем триплетное (состояние с
параллельными спинами).
5.428. Оценить энергию обменного взаимодействия (в эВ) в
никеле, в котором упорядочение электронных спинов происходит
при температуре Кюри Тс = 358°С.
5.429. В гадолинии, который принадлежит к группе редкоземель-
редкоземельных элементов, магнетизм обусловлен спиновым магнитным момен-
моментом 4/-оболочки, расположенной в «глубине» атома. У каждого иона
Gd имеется п = 12 ближайших соседей, а среднее значение спина
5 = 7/2. Оценить величину обменного интеграла в Gd, у которого
температура Кюри Тс = 293 К.
5.430. В феноменологической теории ферромагнетизма Вейсса
каждый магнитный атом испытывает действие эффективного по-
поля Иэф, тогда как в квантовой теории Гейзенберга-Френкеля энергия
взаимодействия атомов выражается соотношением U0^M = ^2 JS^Sj
(S{Sj — спины взаимодействующих атомов). Учитывая взаимодей-
взаимодействие атома только с п ближайшими соседями и считая его с ними
одинаковым, найти связь феноменологической константы Вейсса с
^_________^^^^_ обменным интегралом J. Объем V7
приходящийся на один атом, счи-
считать заданным.
5.431. Два соседних домена,
намагниченных в различных на
правлениях, всегда разделены пере-
переходным слоем конечной толщины
(стенкой Блоха), в котором проис-
происходит постепенный поворот спинов
(см. рис. 5.20). Оценить толщину
этого переходного слоя для кри-
кристалла железа, у которого направ-
направления намагниченности в соседних
слоях антипараллельны, температура Кюри Тс = 1043 К, постоянная
решетки а = 3,6 А, а энергия анизотропии К = 4 • 104 Дж/м3. Спин
атома железа считать равным S = 1.
Указание. Энергией анизотропии называется разность энергии
намагничивания вдоль легкой и трудной осей.
5.432. В ферромагнетиках при низких температурах заметный
вклад в тепловые процессы вносят колебания в системе поляри-
поляризованных спиновых моментов — спиновые волны, для которых
закон дисперсии имеет вид из = Ак , а среднее число квантов —
Рис. 5.20
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 201
магыонов — в тепловом равновесии определяется той же формулой
Планка, что и для фононов. Выяснить характер температурной
зависимости вклада магнонов в теплоемкость ферромагнетиков.
5.433. В антиферромагнетиках (спиново упорядоченных магнети-
магнетиках с антипараллельными магнитными моментами соседних атомов)
закон дисперсии длинноволновых магнонов (см. пред. задачу) имеет
вида; = \k\v, где скорость v = const. Отличительным свойством маг-
магнонов в антиферромагнетиках является то, что для каждого значения
к возможны два состояния поляризации. Найти отношение вкладов
магнонов и фононов в теплоемкость при низких температурах для
кристалла с величиной v = 3,0 • 103 м/с и усредненной скоростью
звука s = 5,0 • 103 м/с.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Г л а в а I. Межаника
Г л а в а II. Электричество и магнетизм
Г л а в а III. Колебания и волны
Г л а в а IV. Квантован физика
Г л а в а V. Статистическая физика и термодинамика
Глава I
МЕХАНИКА
1. Кинематика материальной точки
1.1. v(t) = ± \a(t)\dt =
tx =
l, когда v(t) = vq + I (направления а и v совпадают),
l, когда v(t) = vq — I, если/ > 2\vq\,
), когда v(t) = vq + I, если I < 2|г>о|.
1.2. a = Зтг/8.
1.3. <p = тг/8.
1.4. a = тг/6.
1.7. Условие возврата шарика на траекторию падения после завершения подъема
Vq sin 2a = Dg. Число соударений за период движения в цилиндре N = 2к + 3,
где к — число ударов шарика за время его движения от первого удара о стенку до
первого удара о дно.
1.8. Тень движется с запада на восток со скоростью, равной 2тг I J «
~ 0,5 км/с, где Тмес— продолжительность месяца, Тсут— продолжительность суток.
1.9. Нет; ar = uj2Rm направлено к центру обруча.
1.10. х = R((p — sin (р) = R(ujt — sin cjt), у = R(l — cos Lp) = R(l — cos out),
где у? = oot и ш = v/i? есть угловая ско-
скорость вращения колеса. Траекторией точек,
находящихся на ободе движущегося колеса,
будет простая циклоида, уравнения которой в
параметрической форме и получены (рис. 1.1').
1.11. Решение. Координата у произволь-
произвольной точки на ободе колеса (см. рис. 1.5 к
задаче 1.10.) может быть записана следующим
образом:
Рис. 1.Г
т>(л Vt\ ¦ ¦ Vt
у = R A — cos — , откуда у = v sin —.
V R/ R
R
Величины у, у и h связаны соотношением
Подстановкой в последнее выражение находим
t;2 дВ2
"¦шах — -ЯН 1 ,
2д 2v2
из условия dh/d(f = 0. После этого получаем
204ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.12.
... _ (vq cos a + ujRJ
1.14. При повороте автомобиля его внешние и внутренние (по отношению к
центру закругления дороги) колеса описывают разные окружности, т.е. проходят
разные пути, и угловая скорость вращения колес, если они не скользят по дороге,
должна быть различной. Это условие для задних ведущих колес обеспечивает
дифференциал в заднем мосту автомобиля. Колеса, не имеющие привода от мотора,
могут вращаться независимо друг от друга с различной угловой скоростью, так как
они установлены на подшипниках.
2. Динамика материальной точки
га Mm
1.15. а = д; Т =
+ М
д;
m + М га + М
i sin a -гаг m
д, Т=
mi + ГП2 mi + ГП2
mi sin a -гаг m т\т2 (л . ч
1.16. а = д, Т= (l-\-sma)g.
+ +
1.17. шз=
mi + m-2
1.18. га3 =
rai
1.19. Силы становятся равными, когда длина свешивающейся части нити
3 2 3
принимает значение ж 1 = -Z; Т = -тд; х\ = -р.
5 5 5
* *»« т-т т "^ ^ (^1 — M)qH 1 ^ m
1.20. При Л < — а ^ , при fc ^ — ускорение любое.
М ML -тН М
1.21. Обезьяна и груз поднимутся на расстояния 31/4 и 1/4, а шест опустится
на 1/4.
1.22. F > 0,25(М + т)д + 0,5(М + т)д « 22,5Н.
1.23. t =Н2
д{к1+к2){1 +
1.24. Будет двигаться; а\ = р sin а — fcicosa — (fci — fo)—cos а ; «2 =
L mi -I
(sina — fecoscc), т.е. fl2 > «ь При fci < ^2 < tgo; (
cos a).
1.25. x(t) = L(l - e^t/M); ж(оо) = ^M = L.
7
1.26. i;(t) = г;о cos a — k(vo sin a + 5ft).
1.27. a = M*?l = 0,032 рад « 1°50;.
1.28. 5i = 2Я0 (l ^ —) = lfiSo; S2 = 2S0 (l + —) = 2,4S0.
129 F= {ki+k2)
2[l-h(k1 -
130. T = J0l = 50 с
2Jb
1.31. ti = to— lnf 1 H j, где v* — скорость установившегося движения в
vo ^ v*'
вязкой среде, to = vo/g.
МЕХАНИКА 205
132. Н = М^ sine*-
д l
ln(l + ^ sine*)] «1,6км;
133. 1) AS = pr (t + -); 2)AS = v0 [r + I?Vrt/m
); ) 0 [ ( )], где v0 —
скорость установившегося движения капель, г — коэффициент сопротивления при
падении капель в воздухе. Время t отсчитывается от начала падения первой капли.
134. x(t) = —-A — е~^^т)9 т.е. если глубина океана не ограничивает
mv0
времени падения хтах = = 50 м.
0
135. С точностью до размеров колобка Н = ( — ) — й 0,7 м, где д' =
\/3 ' е 21
ускорение свободного падения с учетом архимедовой силы.
1.36. * = — (e^-l).
137. amax = 5 м/с2; amin = 0,625м/с2; к ^ 0,5.
138. v = л/Rg ctg a.
139. R= ——.
gtga
Указание. Когда самолет летит прямолинейно, плоскость крыла горизонтальна.
Подъемная сила в этом случае направлена вертикально вверх. При повороте корпуса
самолета вокруг продольной оси подъемная сила поворачивается на то же угол,
т.е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы
взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от относительного
движения самолета и среды.
р т
1.40. F = — = 1,75 кН.
R
d2 + I2 + R2
1.41. г; = л Igl ( cos <р ], где <р =
- cos (p ' lid
1.42. Fx = Fe « 183 H.
1.43. Если а\ — ускорение в сторону груза массы mi, а в2 — ускорение
mi -—m2ekn m-2 — т\екж ,Т
системы в сторону груза гаг, то а\ = ; п2 = . Условие
mi + т,2ек7Г ГП2 + га\ек7г
__k ГП2 ктт
неподвижности системы е < — < е .
mi
1 лл Л I Х
1.44. AI =
2к М +
1.45. к^ — + -.
2Я 21
3. Движение тела е переменной массой
1.46. Ускорение платформы — = . Интегрируя это уравнение и
dt M-Smt
F M
учитывая, что v = 0 при t = 0, получаем v = — In .
Sm M — Smt
г / а Т. \ 1
1.47. М = N.
206 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.48. vi = vq ехр ( |;
fit
3 M
1.50. г = ^
д
1.51.x = 455(ln
А А
1.52. L = (v0 + -)> Щ- = 32 км.
V 2/V 9
1.53. Решение. Уравнение движения ракеты
dv dm
т— = ^и тд
dt dt
перепишем в форме
d , ч dm d(u + gt) и
m—[v + gt) = —u или = .
dt dt dm m
Это дает
то
= ехр ( ), v = и In gt.
т ^ и ' т
т^ dm
Величина /х, очевидно, равна и находится из условия, что для неподвижной
dt
dv
ракеты — = 0:
dt
dm mog ( д \
/л = = expf —-t).
dt и ^ и '
1.54. t = — lnf 1 H j = 22 с. Приближенно, ввиду малости ,
д ^ 7П1 + Ш2 ' т\ + 7J12
получаем: t « = 25 с, I = vt = 220 м.
7711 + т2 д
т
1.56. Av = и lnf — J = 3,4 км/с,
1.57. Первый способ требует меньшей затраты топлива.
1.58. ctg«= -.
ато
4. Работа и энергии, законы сохранения энергии и импульса
1.60. Avx « 6,3 см/с; А « 45 эрг.
1.61. г;с > г;а > г;ь.
1.62. А = тд{Н + кЬ).
1.63. iVmax = Ж + гтг^г; sin а « 81,2 л.с.
1.64. fc= Sin" ^0,05.
1 + cos а
МЕХАНИКА 207
* *-- mi (v + и) + ту mi (v — и) + mv
1.65. vi = ; V2 = v; V3 = .
m + mi г?г + mi
1.66. г? = — y/kgL.
1.67. г; =
2M (kxl
т(М + т) \ 2
1.68. t =
1.69. ж = "" (a-b).
M + m
1.70. a) v2 ^ %l; 6) v2 > 5pZ.
Указание. Во втором случае скорость в верхней точке должна быть достаточно
велика, чтобы сила тяжести не превышала необходимой центростремительной силы.
V2
1.71. Бруски имеют длину I = —^-.
Qkg
1.72. Я = ^^ = 37,5 м.
AF
1.73. Ящик не будет двигаться, потому что сообщаемая ему нормальная рп и
тангенциальная pt (по отношению к наклонной плоскости) слагающие импульса
р вертикально падающего тела будут удовлетворять соотношению pn/pt = tga,
которому удовлетворяют слагающие веса ящика mgn/mgt = tga = k, а в
результате действия последних ящик не приходит в движение. После полной
остановки падающего тела в ящике увеличение веса ящика по той же причине
не приведет его в движение.
1 f V - kvcosa \ , V
1.74. т = — ( v J; k ^ tg а -\ .
2д ^ к cos a ¦— sin a ' v cos a
1.75. F = Fq— —; где Fq = 2жгSfiP — сила, с которой можно снять
y/v2 + (WfJ '
диск с неподвижного вала.
1.76. 2К = U.
1 Ш1Ш2 , х2
1.77. П = (vi — v2) .
2 TOl + TO2
1.78. vi = t; ; V2 = -.
4 4
1.79. Решение. Пусть v — скорость первой частицы до столкновения, vi и V2 —
скорости частиц после столкновения. Законы сохранения импульса и энергии дают
v = vi + v2, v2 = v\ + v\.
Возводя первое соотношение в квадрат и вычитая из него второе, получим vi • V2 =
= 0. Если оба вектора vi и V2 не равны нулю, что будет при нелобовом ударе,
то угол между ними будет равен 90°. При лобовом столкновении vi = 0, V2, т.е.
частицы просто обмениваются скоростями.
1.80. ^1=3.
т<2
т2
1.81. Ер = ——Епор = 1,92 МэВ. При больших энергиях появятся
w|e - Шр2
нейтроны, летящие назад.
1.82. Альфа-частица уносит 3,5 МэВ, нейтрон — 14,1 МэВ.
208 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5. Гармонические колебания материальной точки
U3. х = — « 6,2 см.
4тг2
1.84.*=-,/^.
2 V fc
1.85. Г = -То.
4
1.87. Решение. Если сила, действующая на груз со стороны доски, F' = —F,
то уравнение движения груза Р — F' = га , где Р = mcjr. Значение ускорения
dt2
груза находим из закона его колебаний: х = A cos wi; тогда получаем
^F1 = F = ^Р ^тАш2 cosujt = -A + 0,32 cos4тг*)Я.
Рекомендуем начертить график изменения силы I7 со временем.
V g
1.89. М > т. Решение. При снятии груза М положение равновесия сместится
вверх на величину ж о = Мд/к. Возникнут колебания чашки относительно нового
положения равновесия: х = х® cos ujt. Когда чашка начнет подниматься вверх,
то вместе с ней будет подниматься и грузик га. В верхнем положении ускорение
чашки достигает максимального значения атах = ш2х + 0 = кхо/т = Мд/т
и направлено вниз. Если атах < д, т.е. М > га, то грузик отстанет от чашки и
появятся подскакивания.
, где a; — частота колебании незакрепленной, awo —
закрепленной пружины.
2tti/ V 2
1.94. а) Г = — \/R? — l2 (перпендикулярно плоскости рисунка).
л/9
б) Г = — — (в плоскости рисунка).
L97.i=^+7r 'т
МЕХАНИКА 209
1.99. A=^-
6k
6. Уравнение моментов. Закон сохранения импульса
1.100. х = 0,85 м.
h + ho h -\- ho
¦ш .ш ЛЛ const _ const . 3 о „о
1.103. о; = ; F = ; А = -ти>оЩ.
г2 г3 2
1.104. Решение. Решение задачи сводится к поиску полной энергии ракеты
после выключения двигателей. Оказывается, что Е = —— —- < 0, т.е. ракета
2 1,23
не покинет пределы Земли; до — ускорение свободного падения на поверхности
Земли, Из — радиус Земли.
1.105. Уменьшилась бы в \/2 раз.
1.106. 1) rmin = -А/^; 2) г^ = ,р; 3) F(r0) = --Ъ, F(rmm) = ЗЬ > 0;
2 у Ь V Ь 4
л \ 2 Л/аЬ ( Г Гравн \
4) viK = I — 1 — имеет смысл при г > гравш.
Г ^Гравн Г '
1.107. Av = — a —Aa = ™44 м/с, где а — радиус конечной круговой орбиты,
4а V а
Aa = 200 — разность между максимальным и минимальным удалением корабля.
1.108. v = — A + у/Б) « 1,62и0.
1.109. Дтах = ^^; Г2 = ^ (а2 ^ 2).
1.110. Решение. Энергия спутника в полярных координатах
Е = ™{г2 + (г2фJ] - - (С = 7шМ3).
Момент импульса относительно центра сил L = тг{гф). Исключая из уравнения
энергии ф и учитывая, что в точках максимального и минимального удаления
спутника от земли г = 0, уравнение энергии можно записать в следующем виде:
гг+0
\Е\ 2т\Е\
Здесь учтено, что полная энергия спутника Е на эллиптических орбитах всегда
отрицательна. Два корня этого уравнения дают расстояние до перигея г\ и апогея г2
эллиптической орбиты. Согласно теореме Виета:
С L2
г\ + Г2 = 2а = —, Г1Г2 =
\Е\ 2т\Е\
где а — главная полуось эллиптической орбиты. Используя уравнение эллипса в
полярных координатах, записанное для перигея и апогея ri52 = r(l ± e), можно
14 Задачник
210 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
представить все геометрические параметры орбиты через механические константы
движения.
В данной задаче полная энергия спутника
Е = _С + гп&= С_
R 2 Я3
С1
где Vq = Vik = квадрат первой космической скорости. Большая ось орбиты
К
2а = — = п + гг, отсюда г\ = 1,25Дз, г2 = г\ « 2,1Д3-
1^1 ' |Я|
1.114. Г2 = Ti hf —2/3 -
: 2,71 км/с.
|_у k(k + l) V/cJ
л/9
1.116. tg a =
7. Движение твердого тела
1.117.Г = = = 0,99Го; .
1 + Mr21' I I + Mr2 /DmR2)
«1 ,42Tq, где I — момент инерции системы, То — натяжение нити при неподвижном
грузе.
1.118. a = mgR2/I.
1.119. «о™ = -(# + а); Т = ^т(д + а),
о о
1.120. v = 4/^
33
1.121. cji = ; Ш2 = ехр
Mo+fJLt V Mo
¦« ^^.^ rsina-—k(r-\-R)cosa
1.122. а = mgr.
/о + mr2
1.124. vo = SkRJ—?— « 8,6 км/ч.
1.125. ^ = ^.
К 21
МЕХАНИКА 211
1.126. к = —=^^— = 0,21.
17 cos (p — 10
1.127. Решение. Пусть F — сила трения, действующая на цилиндр в месте
соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис. 1.2'). Она заставляет цилиндр
подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилось чистое
качение, F является силой трения скольжения. После перехода движения в чистое
качение F становится силой трения покоя (сцепления). Однако, независимо от
характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс
— = F — тд sin а и уравнению моментов (относительно
dt
duj
геометрической оси цилиндра) I— = —Fr. Исключая F,
dt
получим
dv T duj
тпг— = —I mgr sin a.
dt dt
Интегрирование этого уравнения с учетом начального усло-
условия (ш = шо при t = 0) дает
mrv = I(ujq — cj)mgrt sin a.
~ Рис. 1.2
Это соотношение справедливо в течение всего времени дви-
движения, независимо от того, происходит оно со скольжением
или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть v = 0. Отсюда
следует, что в той же точке ш = 0. В противном случае цилиндр продолжал бы
вкатываться, и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема
t найдется, если в предыдущем уравнении положить v = ш = 0. Это дает
1шп гшп
t =
mgr sin ol 2g sin en
Любопытно, что время поднятия t не зависит от коэффициента трения между
цилиндром и наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже в случае пере-
переменного коэффициента трения. Решение предполагает, однако, что трение достаточно
велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном
трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно
подсчитать, что время замедления будет определяться прежней формулой.
Напротив, время обратного скатывания вниз, а также наибольшая высота
поднятия зависят от коэффициента трения. Такое различие объясняется тем, что
скатывание цилиндра все время является чистым качением. Поднятие его вверх
сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение.
1.128. Впереди должен быть полый цилиндр;
4д sin a nT mg sin a
а = ; iV = .
fc + 7 fc 4- 7
1.129. шт1п = —; v = .
R 2
1.130. Скорость первого шара v\ = 2г>/7, второго — V2 = bv/7. Потеря кине-
кинетической энергии на трение составляет 20/49 начального значения кинетической
энергии.
5v°h
I IМ
4 / 1. Для возможности описанного процесса необходимо
2лД V т
М ^ га. Условие х ^ 1/2 дает еще М ^ 4га.
14*
212 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
T 9* /^ T 9
. 1\ = Z7T4 / , 12 = ^
1.137. T = А
Vfcr
1.138. tg/3 = a3m2(/sin а/A2ш2), где /ц — момент инерции волчка относи-
относительно оси фигуры, т — масса волчка, а — расстояние от точки опоры волчка до
его центра масс.
max
Tl
1.141. Решение. FmB = P + -^— = Р + ~mO2r, где Р — вес бегуна, т — его
г 2
масса. При г = 50 см и рабочей скорости 1 об./с (О = 2тг рад/с) получаем О2г/2 ps
« rap = Р. Следовательно, -Рдав ps 2P. Заметим, что полный момент импульса L не
направлен вдоль оси фигуры бегуна, так как имеется еще момент, возникающий
из-за вращения вокруг вертикальной оси. Однако, последний момент остается
неизменным при вращении катка, а поэтому при решении задачи его можно не
принимать во внимание.
1.142. ow = 2а0 = 2arctg - = 22°40;; т = - « 9,9 с, где О « 0,318 с.
п
8. Неинерциальные системы координат
AwvZ sin (p cos a sin2 a
1.143. К югу, у = У ps 71 м.
^2
1.144. Пуля отклонится к западу на расстояние
Жзап = ^^ COS О? РЙ 51 СМ.
3 д2
Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова сила
направлена на запад, а при движении вниз — на восток. На первый взгляд кажется,
что отклонение к западу должно компенсироваться последующим отклонением
к востоку. На самом деле это не так. Когда тело движется вверх, его боковая
начальная скорость равна нулю. В наивысшую точку тело приходит, однако,
с западной составляющей скорости, которую оно приобретает под действием
кориолисовой силы. Поэтому обратное падение тела начинается с начальной
скоростью, направленной на запад. Следовательно, скорость все время направлена
на запад и перед ударом о землю обращается в нуль.
1.145. Ствол ружья надо отклонить к востоку на угол
3 д
2,45 • 10раД
1.146. Решение. В системе координат, связанной с Землей, на движущийся вну-
внутри ствола снаряд (а следовательно, и на систему пушка-снаряд) будет действовать
сила Кориолиса, направленная на запад и равная F = 2mvu)o, где v — мгновенное
МЕХАНИКА 213
значение скорости снаряда, ujq = 7,3-10 5рад/с — угловая скорость вращения
Земли вокруг своей оси.
Уравнение движения пушки со снарядом имеет вид
I— = 2muJovr.
dt
где I — момент инерции пушки (моментом инерции снаряда можно пренебречь
ввиду условия М ^> га), г — расстояние снаряда от оси вращения в данный момент
времени, ш — мгновенное значение угловой скорости вращения ствола пушки.
Полагая v = at, получим
ш to
-Ml duo = тшоа t dt,
3 J J
о о
где to = л/21/а — время движения снаряда внутри ствола. Интегрируя это
уравнение, находим ш: ш = Зтшо/М = 2,2 • 10™6 рад/с.
1.147. а = 4ttR/(vT) = 0,0209 рад = 1,2°.
1.148. vo ^ 0,29 м/с.
1.149. Решение (в системе координат, связанной с Землей). С учетом действия
центробежной силы инерции и кориолисовой силы условия отрыва самолета от
Земли можно записать в следующем виде:
1) при разбеге с запада на восток
тд -
2) при разбеге с востока на запад
тд ¦
3) при разбеге вдоль меридиана
тд — uiujqR = kv0,
где vi и V2 — окончательные скорости разбега, R — радиус Земли. Решение этой
системы дает
Учитывая, что д ^> ojqR, находим: At; « 2ujqVq/'g, где ujq — угловая скорость
вращения земли вокруг своей оси.
1.150. М = 2т, если человек останется на карусели; М = 4га, если он
спрыгнет с нее.
1.151. V = sin ю sin а = = 0,3 мм/с.
м м
1.152. к = , т.е. при Ого > г;о.
2LV0 Or0J
1.153. t;max ~ 0,003 м/с; траектория близка к окружности.
9. Упругие деформации и элементы гидродинамики
1.154. AI = рд12/2Е, где р — плотность вещества стержня, I — его длина,
Е — модуль Юнга; объем увеличивается на AV = VoP9, где Vq —
2.S Е
первоначальный объем, fi — коэффициент Пуассона, S — поперечное сечение.
1.155. а = 45°; т = —.
25
214
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.156. U =
P2h
6ES
; упругая энергия увеличится в 7 раз.
1.157. 1) ^ = ^ = 2 • 103; 2) ^L = ^ = 5 • 1(Г4.
?Лш Еил Ujiji Ест
2ттх
1.158. Т = Е, где х — расстояние от нейтрального сечения.
4Fl(l - ji-2}i2)
1.159. А/ =
1.160. Р = Е-
{ 2 • 104 атм.
2рвA - 2/х)
1.161. а = ам + 2аст = 1,37 ¦ 1(Г5 К^1.
3
1.162. Fmax = тд + voj^^- « 2,1 • 105 Н.
1.163. «=АХ[
а у д а у д
1.164. Пока уровень жидкости в сосуде выше нижнего конца трубки АВ,
скорость истечения постоянна и равна v = y/2gh. После этого скорость истечения
начнет уменьшаться.
1.166. Решение. Перейдем в систему отсчета, в которой жидкость покоится.
В ней добавятся две силы инерции: центробежная и кориолисова. Кориолисова
сила не совершает работы. Она лишь искривляет линии тока, но не сказывается
на справедливости и форме общего уравнения Бернулли. Центробежная сила
добавляет новый член к потенциальной энергии. Полная потенциальная энергия
единицы массы жидкости будет и = gz — ш2г2 /2, так что
уравнение Бернулли запишется в виде
Ь gz ш2г2 Н = В = const,
2 2 р
где v — относительная скорость жидкости (т.е. скорость
относительно вращающейся системы отсчета). Постоянная
Бернулли В одна и та же для всех линий тока, поскольку все
они начинаются вблизи поверхности жидкости, где скорость v
пренебрежимо мала. Применим полученное уравнение к линии
тока АВ, начинающейся на поверхности жидкости в точке А
(рис. 1.3'). Если начало координат поместить в точке А, то za = г а = va =
= 0, Ра = Рв = Дь ^в = v, zb = —h, гв = R, и мы получим, что v =
= ^/2(gh + uJR2) означает высоту наиболее низкой (центральной) точки А уровня
жидкости относительно отверстия. Переход к неподвижной системе отсчета не
представляет затруднений.
Рис. 1.3'
1.167. / =
1.168. т =
1.169. Vmax
In(r2/ri)
SrjL
^0,27 дин/см; v(r) = •
pghS2
8rjd
In(r2/ri)
- ускорение свободного падения.
i 2,3 см/с; М = -plvmaxe = 1,15 • 1(Г4
3
г/см.
МЕХАНИКА
215
10. Элементы релятивистской межаники
1.170. v =
1.171. At=—(l- л/1 - р2) « - - = 0,0143 лет = 5,24 сут.
v ^ 'се
1.172. По собственным часам корабля пройдет промежуток времени т =
Lv
—^=^= = 1,5 мес.
c\fcz — vz
1.173. Ване будет 20 лет, а Пете — 25 лет.
1.174. Vo = сл 1- ( — ) = -с, где г0 = 15 лет, г = 25 лет.
V VW 5
1.175. Помимо обычного возможно графическое решение этой задачи. Из
2X2
XI - Х2
Х2 i- — i
С 1 + ,
1.176. Решение. Фотоаппарат фиксирует лучи, которые приходят в него одновре-
одновременно. Поэтому, вследствие конечности скорости света, точки предмета, лежащие
дальше от фотоаппарата, чтобы дать вклад в изображение, должны испустить лучи
раньше, чем более близкие точки.
Рассмотрим, например, светящийся предмет кубической формы со стороной I,
пролетающий на большом расстоянии от точки фотографирования со скоростью
v перпендикулярно к лучу света, направленному на фотоаппарат (рис. 1.5'а).
Вследствие движения тыльная грань ABEF, невидимая при неподвижном кубе,
E E
С
D
X-y
Рис. 1.4'
Рис. 1.5'
становится видимой, так как из точек Е и F свет излучился на время 1/с раньше,
чем с грани ABCD, когда точки Е и F находились в положении Е' и F'. На
фотографии (рис. 1.5' б) грань ABEF выйдет в виде прямоугольника А1 В1 Е1 F' со
стороной A'F' = -I.
с
216 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С другой стороны, грань ABCD вследствие сокращения Лоренца будет сжатой
в направлении движения в y/l — v2 /с2 раз так, что ее изображение A'B'C'D' на
фотографии получится в виде прямоугольника со стороной A'D' = ly/l — v2/с2.
Нетрудно видеть, что на фотографии общая форма движущегося куба не искажается,
так как он кажется повернутым на угол arcsinv/e при сохранении своих пропорций
(рис. 1.5'б). Аналогично, для движущегося шара вследствие совместного действия
запаздывания света и сокращения Лоренца видимая форма шара не искажается: на
фотографии он получается в форме круга. Чтобы наблюдать при помощи фотоаппарата
сокращение Лоренца в чистом виде, нужно воспользоваться внешним источником
освещения, например, лампой-вспышкой, который исключает кажущийся поворот
движущихся предметов.
1.177. Решение. Кинетическая энергия равна работе поля, так что
кт = тс G — 1) = еУ, где
eV / 1
откуда 7 = 1 -\ , а следовательно, v = cwl . Окончательно:
тс2 У 72
Если eV <C тс2, то
, то
Г1 1/тос2\2
V = С 1 I
L 2 V eV i
В последних двух случаях используется разложение подкоренного выражения
основной формулы в ряд по малому параметру.
1.178. рс = /
1.179. Стрелка совершит два оборота.
1.180. Решение. Условие, при котором рассматриваемая реакция происходит с
минимальной затратой энергии, легко найти, рассмотрев процесс в системе центра
масс. Затраченная энергия будет минимальна, если в этой системе все четыре
образовавшихся частицы покоятся. В лабораторной системе они будут двигаться
с одинаковыми скоростями, как если бы образовалась одна частица с массой покоя
М = 4гар или энергией покоя 4трс2. Эту энергию удобно обозначить 2Е. Таким
образом, 2Е = 4трс2 = АЕ0, где Ео — энергия покоя протона. Полная энергия
движущегося протона (с импульсом р) до реакции будет равна у/Е% + (рсJ.
Поскольку при столкновении импульс сохраняется, полная энергия образовавшихся
частиц представится выражением у/BЕJ + (рсJ. Закон сохранения энергии даст
5 + (рсJ + Е0 =
отсюда
Чтобы найти исходную кинетическую энергию протона, надо из его полной энергии
вычесть энергию покоя. Это дает
К= Je2 + (рсJ - Ео = 2
МЕХАНИКА 217
В рассматриваемом случае Е = 2Е0, так что К = 6Е0 = 5,62 ГэВ.
1.181.
Е' = /Ео =2—^Ео^ 213ГэВ,
- - (З'2 Ео
где Ео = 0,937 ГэВ — энергия покоя протона, /3' — относительная скорость дви-
движущейся частицы, которую следует вычислить по теореме о сложении скоростей:
р = Ротн = -, тю = = « 2,2 • 10 с
7
где 7 = A - /32r1/2 « 1,8; /3 = - и 0,84
с
Глава IT
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
1. Электрическое поле в вакууме
2.1. R = ^^ (~^~) ~ °'076 мм-
2.2. d =
qQ(m + М)
2.4. F12 = — i^bi = 3pip2/B7T?o^4). Параллельные диполи притягиваются,
антипараллельные — отталкиваются.
2.5. Е= (Зео)'1 рт.
2.6. Решение. Представим полость как область пересечения двух однородно за-
заряженных шаров с объемной плотностью заряда, соответственно, р и —р. Используя
результат предыдущей задачи, а также векторное равенство ri — 1 = гг, приходим
к следующему результату: поле в полости однородно; Е = (Зео)^-
2.7. 8,4 • 106 м/с.
2.8. 3,3 • 10~6 Кл.
2.9. Притяжение; F = q2 / Атте^а2.
2.10. Решение. Поверхность шара, а следовательно, и полость внутри него,
эквипотенциальны, поэтому наиболее удобно определить потенциал центра шара.
Поскольку полный заряд, индуцированный на его поверхности, остается нулевым, а
любая точка поверхности находится на одном и том же расстоянии от центра, вклад
в потенциал центральной точки зарядов, распределенных на поверхности, остается
нулевым. Таким образом, искомый потенциал определяется исключительно внеш-
внешним зарядом и равен д/4тгео^-
2.11. Sq= -q-.
d
2.12. Решение. Введем ось Ох, как показано на рис. 2.1', и воспользуемся
теоремой Гаусса в форме divE = р/е$. В нашей одномерной задаче ЕЦОж,
следовательно, divE = дЕ/дх. Таким образом,
дЕ/дх = р/ео, откуда!? = const-j-рх/ео. Посколь-
р = ? ! ку E(d) = 0, const = —pd/eo, т.е. Е = р(х — d)/eo.
Далее,
О\
1
(р =
<p(d) =
(р(х) = (fo - \ Edx;
= 0;
d2
Рис. 2.1;
2.13. Решение. 1) Предположим, что мы можем
реализовать нужную конфигурацию полей вне шара,
заменив последний точечным зарядом Q, расположенным на линии «заряд q -
центр шара» (учитывается осевая симметрия задачи) и сдвинутым на некоторое
расстояние а от центра (рис. 2.2;). Если такая модель адекватна, то (р = 0 на
поверхности сферы, в частности, в ее точках, в самой близкой и в самой удаленной
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
219
относительно заряда q: <p(d — R) = (p(d + R) = 0, или,
подробнее,
= 0;
= 0,
d-R R-a d + R
откуда следует а = R2/d, Q = —qR/d.
Докажем, что при такой замене потенциал на всей
сфере обратится в нуль. Воспользуемся осевой симметри-
симметрией (рис. 2.3;) и получим уравнение геометрического места
точек в произвольном сечении, для которых у? = 0:
101 _ я
Рис. 2.2;
Подставим сюда уже вычисленные Qua:
R2/d2 _ 1
откуда в два действия следует х + у = R . Наше
утверждение доказано, так что и окончательный ответ
для силы получить нетрудно:
<г|0| _ 42Rd
F =
- R2J
Рис. 2.3;
2) В случае изолированного шара мы можем воспользоваться тем же по-
построением, но теперь следует обеспечить нейтральность шара в целом, для чего
внести внутрь шара дополнительный заряд —Q = qR/d. Поместить его следует в
центре шара, чтобы не нарушить эквипотенциальность сферического проводника.
Соответственно, появится добавка к силе взаимодействия:
2.14. q = -г
2.15. A^max = Emaxdln(b/d) « 186 кВ.
2. Электрическое поле в веществе. Электроемкость
= 9,5 - НГ10Кл.
2.17. Уменьшится в A + е)/2 раз.
2.18. N = CU2t]/2t w 225 кВт.
2 19 с =
2.20. W = 3Z2e2/20we0R « 1,5 • 100 Дж.
2.21. Решение. Ответ зависит от режима процесса заполнения. Емкость кон-
конденсатора увеличится в е раз. Если конденсатор был предварительно заряжен,
а при заполнении от источника отключен, то мы должны считать инвариантом
заряды на обкладках ±Q. Тогда энергия Q2 /2C уменьшится в е раз. Напротив, если
при заполнении конденсатор остается подключенным к источнику напряжения, то
инвариантной останется разность потенциалов между обкладками, соответственно,
энергия CU2 /2 увеличится в е раз. Тот же результат можно получить, сравнивая
220
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
плотность энергии в пустом конденсаторе и заполненном, но в первом случае D =
= inv, Е ос е, а во втором — Е = inv, D ос е.
2.22. ЯА = Р/2е0; #в/Яа ~ г2/!2.
2.23. Решение. Энергия заряженной сферы W = Q(fi/2 = Q2/8tt6oR. Мыслен-
Мысленно дадим радиусу сферы малое приращение: R —>> Д + E1?. Приращение энергии
свяжем с работой искомого давления:
Q2
~ W - P4ttRzSR =
~ W -
Отсюда получаем Р = Q2/[2DтгJе0К%
2.24. Решение. Подобно предыдущей, задача решается методом виртуальных
перемещений. Дадим углу приращение S9, при этом SA = Ж'80.
При подключенном источнике (V = const) последний совершает при переме-
перемещении работу
dW = Vdq = V2dC
—- = -У — \sR
d0 2 d0\
3 J d 4d
2 d^ 2 d6> L 2
При отключенном источнике (Q = const) энергия конденсатора сохраняется:
Q2
1 = — d—, где Q = CF = const. Отсюда следует
2C
2C2 dO Ad
2.25. Решение. Воспользуемся решением задачи 2.6, которое не накладывало
никаких условий ни на соотношение радиусов шара и полости, ни на величину
сдвига 1. Поэтому однородное поле вну-
внутри сферы можно получить, предста-
представив ее как совокупность двух сфер с
плотностями заряда ри -р, чуть-чуть
сдвинутых (на рисунке 2 А1 а утрирова-
утрировано). Шар в целом будет нейтрален, и
лишь в пограничных областях образу-
образуется разбаланс зарядов. Тогда в «поло-
«полости» Е = (Зео)^гр1. Поверхностную
плотность заряда можно определить
Рис. 2Л'
следующим образом: а = pln cos в =
= 3soE0cos9 (рис. 2.4;б). Хотя шар нейтрален как целое ( adO = 0
его дипольныи момент не равен нулю, причем во внешнем пространстве шар
действует как точечный диполь. В самом деле, р = ^2i g^ = ]Г\ qfrf —
~~ J2i ^r7 = Я\ — R3pl = — 4тг?ОД3Ео, ибо распределения зарядов обоих
о
знаков сферически симметричны. Теперь мы можем определить поле вне шара,
приняв его центр за начало координат:
v _ 3(pr)r - т2р = Е /Я\3 _ з/д^з (Еог)г
4тгео^5
2.26. Решение. Условие пг3 <С 1 позволяет считать, что шарики поляризуются
исключительно во внешнем поле, а влияние на поляризацию искажения поля,
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 221
вносимого соседними шариками, пренебрежимо мало. Внешнее поле Е создает
в проводящем теле поле Ео = — Е, значит, каждый шарик, согласно решению
предыдущей задачи, приобретает во внешнем поле дипольный момент 4тг?оЛ3Е,
а дипольный момент единицы объема оказывается равным 4тгео^Л3Е, так что
поляризуемость /5 = 4жпК3, и окончательно: е = 1 + 4wnR3.
2 27 С — Se°^?l ~ ?2^
dln(ei/e2)
2.28. Q = 2w?o[R1<fl + Д2Р2 + ^з^1 - (Ri + #2 + ^з)^2] « 4 • 10Дж, где
<р — установившийся потенциал системы после соединения всех шаров.
? П^1
2.29. F * -*?- = (^П^1 и з • 10-» Н.
4ттео14 12we0d2l4
d/2
230. Е(х) = ^PqEq1 A ], U= E dx = , вне пластинки поле
^ d2' J Зео
равно нулю.
3. Постоянный ток. Электрические цепи
2.31. Каб = -г.
232. UR= ^ira+^ri Д.
Г1Г2 + 7*i.R + Г2Я
2.33. E(R) = 4ir2n2-r, Д^ = ^^ « 2,8 • 101 В.
e 8e
2.34. В проводнике при конечной проводимости имеет место соотношение j =
= АЕ. Поскольку на границе [Е]т = 0, поле будет отлично от нуля и в окружающем
проводник пространстве.
2.35. Решение. Проводник с постоянным током обязательно является элементом
замкнутой электрической цепи, вдоль которой при конечной проводимости имеет
место перепад потенциала (р. Поскольку разные участки
цепи пребывают под разными значениями потенциала, /Ч
между ними в пространстве возникает электрическое поле +]_ / \
(рис. 2.5;). Окружая любой из проводников на рис. 2.5; п~
цилиндрической поверхностью, легко видеть, что поток I _—Т
электрического поля через эту поверхность не равен нулю,
а значит, по теореме Гаусса, не равен нулю и заряд в ,
произвольном месте электрической цепи. "ИС" ^
Примечание: Квазинейтральность токонесущего провод-
проводника означает, что поле следует искать из закона Ома, а возмущение заряда дает к
этому полю лишь малые поправки.
#( /)^
1.5Ь. 1 =
R1/R2
2.38. a) R = R + RlR2 ; б) IR = 0, если <fi/<f2 = Ri/R2.
Ri + R2
2.39. a) aef = ; б) aef =
01 + 02 01 + 02
2.40. Решение. Идеальная (или просто очень высокая) проводимость электродов
в динамической задаче есть условие их эквипотенциальности. Постоянное удельное
сопротивление среды позволяет сформулировать динамическую задачу в форме,
222 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
математически эквивалентной электростатике. Поставим целью в обоих случаях
вычислить одну и ту же величину: напряжение между электродами.
Электростатика:
divE = 0, <?>i,2 = consti,2, V = — =
ladS ео\
so ErpdS
С С С
Постоянный ток:
divj = 0 = ^^, <р! 2 = consti 2, V = IR = R hrpdS = - [егрс18.
Р J ' р J
Интегралы берутся по поверхности любого (но одного и того же) электрода.
В силу теоремы однозначности, решение при заданных потенциалах полностью
определено. Приравнивая выражения для V, получим R = pso/C.
2.41. — = —Ew-
at eeo
2.42. Решение. Условие постоянства тока:
I/S = j = \(х)Е(х) = const.
Отсюда Е(х) = 1/ЯЛ(ж),темсамым!)(ж) = eo(I / S)[e(x) / Х(х)]. Соответственно:
р = divD = —ео —.
дх S \{х)
Искомая величина получается интегрированием плотности заряда по объему:
2
о Г л г/62 €1\
q = 5 pax = ?qI I 1.
J ^A2 Ai ^
l
2.43. p = solj , где x — текущая координата вдоль участка
[Ai/ + (A2 -\i)xf
длины I.
1 лл T^^2Ai ^ ?iA2
2.44. a = €qV
2.45. Решение. Для получения сопротивления заземления в компактной форме
полезно пренебречь также асимметрией, связанной с подводящими проводами.
Таким образом, для каждого (почти уединенного) шара задача о течении заряда
оказывается с точностью до малых поправок сферически симметричной. Отсюда
сразу следует:
I = const = 4wr2j(r) => E(r) = j/X = 1/4жг2Х.
Г
При вычислении падения напряжения следует учесть, что интеграл Е dr быстро
сходится, поэтому зависимостью А (г) вдали от электродов можно пренебречь, и,
кроме того, падения напряжения на двух электродах войдут аддитивно:
оо сю
Idr Г Idr
откуда и следует
4тг vAm А2Г2
2.46.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 223
; 42 =
Г2/Г1+ \l/\2 Г1/Г2 + А2/А1
2.47. Решение. Поскольку Ai ^> Аг, цилиндрические проводники можно считать
эквипотенциальными по всей длине. Ввиду того, что г о ^С Ь, будем считать, что
вблизи проводника Е = А /г, тогда разность потенциалов между ними можно
оценить как
ъ
V ~ 2 \{A/r)dr = 2Aln(b/ro)
(коэффициент 2 учитывает вклад двух особенностей вида 1/г). Ток вблизи каждого
из стержней можно представить в виде I = 2ттгоа\Е(го) = 2жгоаХА/го. Отсюда
следует:
R= - = — 1п(Ь/го).
/ тгАа
2.48. Мощность N = ео (е — 1)Ы(о2 fh распределена поровну между увеличени-
увеличением электрической энергии конденсатора и кинетической энергии диэлектрической
пластины.
4. Магнитное поле тока
2.49. Увеличится в 4 раза.
2.50. Вектор В направлен под углом тг/4 к плоскости обручей, при этом
направления токов в кольцевых проводниках определяют, в каком квадранте он
расположен; В = ^= —.
/2Н
/
2.51./~ 9,8 А.
2.52. По окружности, плоскость которой нормальна к силовым линиям. При
этом v = const, ш = о;ве = еВ/тп.
2.53. К востоку примерно на 3 мм.
2.54. Решение. Движение заряженной частицы в магнитном поле определяется
силой Лоренца. В направлении оси Ож||Н (рис. 2.6;а) на частицу не действуют
ни сила Лоренца, ни сила еЕ, так что
в этом направлении движение будет -у. ? _ ______ _
Ф '' ljOOOlj
р у
равномерным: vx = const. Формула
F = e[v, В] допускает интересную
трактовку. Перейдем в систему отсчета,
связанную с частицей. В этой системе
частица имеет нулевую скорость, а зна-
б Л Н
0
(о)
^х /^\ r~~
\J XJ
уу р,
чит, не работает и сила Лоренца. Но / х
сама сила остается, и ее невозможно z^ H
трактовать иначе, как перенормировку а б
электрического поля в движущейся си-
системе отсчета: рис 2 б;
Е; = E+[vB].
Теперь попробуем найти такую систему отсчета, в которой Е; = 0. Умножаем
Е; векторно на В:
[Е,В] = -[[vB]B] = vB2 - B(vB).
224 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку мы уже отделили движение параллельно магнитному полю, второй
член справа можно без ограничения общности приравнять нулю. Таким образом, в
системе отсчета, движущейся со скоростью
частица вообще не будет чувствовать магнитное поле, и ей останется лишь совер-
совершать циклотронное вращение с частотой еВ/т. Однако это вращение зависит от
заряда и массы частицы. Полная траектория есть результат сложения усредненного
движения с v||Oz 1 Е,Ни циклотронного вращения в плоскости ху; вид ее в
зависимости от начальных условий представлен на рис. 2.6; б. Конечно, все это
верно только при условии (г;) = E/fioH <C с = (fiosoI^2, откуда и следует
ограничение
2.55. Внутри трубы Н = 0, а вне ее Н = I/2wR, где R — расстояние от точки
наблюдения до оси цилиндра.
2.56. Внутри соленоида силовые линии — прямые, параллельные оси соле-
соленоида, при этом Н = N1. Вне соленоида силовые линии — концентрические
окружности, и Н ~ I/2wR, где R — расстояние от точки наблюдения до оси
цилиндра.
2.57. В =
2.58. Н = /
2.59. Сверхпроводящий ток антипараллелен току I, г = Ih/жг2, где г —
расстояние между проводом и точкой наблюдения.
2.60. Вне проводника Н = 1/2тгг, а внутри его Н = Ir/2wR2.
2.61. Решение. Введем вектор АВ = d (рис. 2.7; а) в сечении проводни-
проводников и воспользуемся принципом суперпозиции полей. Поскольку плотности тока
в проводниках равны и противоположно
направлены, дополним мысленно каж-
дый из них до цилиндра, так что нулевой
ток в полости получается как результат
сложения встречных токов. Произволь-
Произвольная точка полости будет характеризо-
характеризоваться радиус-векторами Жа и R^; d =
= Жв ~~ R^. Внутри цилиндрического
проводника, по которому течет однород-
однородный ток j (рис. 2.7' б)— поле на радиусе
R находится из теоремы о циркуляции
(см. зад. 2.60): Н = -R,-. Если же
2 '
мы хотим определить вектор Н, то, как
можно понять из рис. 2.7;б, это соотношение следует переписать в виде векторного
произведения: Н = [j, R]/2. Вычислим поле в полости, имея в виду, что Jb = —За'
НП = -(\}А,В.Л\ + [JB.Rb]) = -\JA,B.A ~ Rb] = ~\JA,d].
Таким образом, поле в полости будет однородным и направлено в нашем случае
снизу вверх.
2.62. — = /10^ = 2.1(Г7Н/м.
dl 2тгж
2.63. В0/Вс = N/ж ~ 3 • 103.
2.64. m= ^QR2uj.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ225
5
2.66. Решение. Добавочная сила, действующая между диполями, может
быть представлена в форме F = А (т/В), где поле В = /х0Н, где Н =
— поле диполя. В нашем случае вычисления существенно
упрощаются, поскольку максимальные поправки к периоду обращения с очевидно-
очевидностью соответствуют параллельной и антипараллельной ориентации диполей. При
этом первый член в числителе обращается в нуль, так что для энергии и силы
взаимодействия получаются следующие выражения:
тжт Mo mom г _. Здо mom
W = =р =^ oFT = =F — •
4тг R3 4тг R4
Уравнение баланса сил во вращающейся системе отсчета:
7Т,
Я2 4тг Я4
где 7 — гравитационная постоянная. Мы пренебрегли ради простоты ответа
различием между массой планеты и приведенной массой, полагая, что наша
поправка будет относительно больше, чем M/Mq. Далее, представляя частоту
обращения в виде ш2 ~ cjq T 2шо6ш, где cjq = jMq/R3, получаем:
2ёш __ 2ST _ 3fio тот
шо Го 4тг jMqMR2 '
Искомая величина разброса периода обращения AT = 2ST, так что окончательный
ответ выглядит следующим образом:
2
5. Электромашитнаи индукции
dl 2тг Vri
I
2.69. L = ^ In ^—^ ~ 9 • 1СГ7 Гн/м.
7Г Г
2.70. Решение. Поскольку магнитный поток не рассеивается (это означает,
помимо надлежащей геометрии сердечника, /i ^> 1), то через каждый виток он один
и тот же: Ф = inv. Пусть, для определенности, ток течет через первую обмотку:
Ф = #i/JV"i = #12/^2 —> L1I/N1 = L12I/N2.
Аналогичным образом L21/N1 = L2/N2. По теореме взаимности L21 =
= Li2. Исключая число витков Ni9 N2, получаем
L12 = (L1L2I = 0,59 Гн.
Простая формула {L1L2I'2 представляет максимально возможный коэффициент
взаимной индукции при заданной индуктивности двух катушек. Реально он всегда
меньше, потому что невозможно полностью исключить рассеяние магнитного потока.
2.71. Решение. Прямое вычисление было бы громоздким, и в нем легко
ошибиться. Но мы можем сделать мысленно совершенно эквивалентную замену.
15 Задачник
226 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Пусть вместо постоянного магнита в соленоид помещен виток с током, так что
IS = гам. Далее воспользуемся теоремой взаимности, пропустив ток I не через
виток, а через обмотку соленоида. Тогда В = fiom^n/S, и магнитный поток через
виток, как раз и равный искомому, Ф =
40
4 Я 40
2.73. L = ^ (^± + In ^ + rl In r±\ ~ ЮмГн.
2тг \ 2 п т\— т\
2Л4. Ь. = H\n(R/r) + hln(R/r)
'/о
.5.Q
а + 6 4тгр d — а
2.76. Решение.
1 = = = , где v = —.
R R dt R dt
F = m— = ^(ттг2аВоJ — . где га = 1жг2.
dh R
du о о и
М— = ™(тгг аВо) Мд, причем v = 0 при t = 0.
Отсюда t; = ^ооA ™ е 1/т), где ^оо =
() ()
= -; г = ^; Ьо = —.
2.78. В первичной обмотке ток возрастет, во вторичной — уменьшится.
2.79.^ с^ fifjLoN1N2S/l.
2.80.1 = 0,314 А.
2.81.
/io Ьп
2.82.1 =/о A + ^
2g3 ^ = шВ (Ri~R2J у = шВ (Д1 - Д2J
2 1
2.84. Решение. Если частица движется по круговой орбите, то частота обраще-
обращения шв = еВ/т. При импульсе частицы р радиус орбиты равен R = v/шв = р/еВ.
Условие R = inv эквивалентно следующему: р ос Во или, что то же, р/р = Во/Во.
Ускорение электрона на орбите постоянного радиуса происходит в соответствии с
законом р = еЕ, где электрическое поле определяется из закона Фарадея:
ЕЛ = 2ttRE = = тгД2(В).
dl
Таким образом, зависимость Е = R(B)/2 подставляется в соотношение
Д) _ еЕ
Во ReB0'
Отсюда следует, что Bo(t) = (B)(t)/2 в любой момент времени, что эквивалентно
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
227
6. Магнитное поле в веществе. Проводники в магнитном поле
2.85. Решение. О направлении силы давления можно сразу сказать, что плос-
плоскости должны отталкиваться друг от друга. Вычислим поле, создаваемое токами
каждой плоскости (рис. 2.8; а). Ввиду вы-
высокой симметрии задачи, силовые линии д
должны быть просто прямыми, параллель-
параллельными плоскости. В каждом полупростран-
полупространстве поле однородно — иначе мы могли бы
построить контур, который не пересекался
бы током, но циркуляция поля была бы
ненулевой. На рисунке контур ABB' А'
пронизывается током г • А А', а циркуляция А
поля по нему равна 2 • Н • АА', так что а 5
поле в каждом полупространстве Но =
= г/2. В системе параллельных плоско- рис 2 g;
стей (рис. 2.8; б) поле вне ее обратится
в нуль, а между плоскостями будет равно
2Но, соответственно, индукция В = /ioi Однако в закон Ампера надо подставлять
не все это поле, а лишь его половину, потому что ток каждой из плоскостей
выталкивается полем другой плоскости, но сам себя он никуда толкать не может.
Итак:
1 = гВю =
2.86..
2.87. ^2 -
2.88. F =
= 500
- «2*1 =
Тл, Р~
= IB /a 2
IX2
10ь атм.
1 кПа.
2тг
Рис. 2.9;
2.89. Решение. Антипараллельные токи оттал-
отталкиваются, поэтому стержень, очевидно, будет вы-
выталкиваться в радиальном направлении. Учтем, что
ток, текущий через стержень, каков бы он ни был,
при единственном условии однородности не будет
смещать стержень, но будет лишь сжимать его. Сле-
Следовательно, в выражении для силы — =
dl
ст
(рис. 2.9;) мы можем заменить истинное поле В
полем, которое создавал бы ток через электролит
с плотностью j = I/w(R2 — го), но равномерно
заполняющий все сечение сосуда, включая область
стержня, и получим правильный результат. Обозна-
Обозначим это поле через В;. Тогда (см. решение зад. 2.61)
2 2тг
силы dF/dl заметим, что вектор [f. В'], где j; — плотность тока через стержень,
направлен строго по радиусу г и пропорционален г.
rs' та'1 _ 1 ^о/
Теперь вычисление интеграла по площади сведется к определению центра тяжести
15*
228 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
фигуры сечения стержня: | rdS = wr2d. Окончательно
d? _ fiol2d
dl ~ 2тг(Я2 -rg)"
2.90. а) А = 8 In 2 • 10~7 Дж; б) увеличится на AW = 8 In 2 • 10~7 Дж.
2.91. Решение. Условие равновесия плазменного шнура — баланс силы Ампера
и архимедовой силы. В плазме, как и в газе, давление можно выразить через
концентрацию частиц и абсолютную температуру: & = пк^Т, где къ — постоянная
Больцмана. Таким образом, плотность архимедовой силы в нашей осисимметрич-
ной системе можно представить в виде
. _^ ( , dT
ip = —л/пквТ =^> (tp)r = —пкъ — •
dr
Плотность силы Ампера также имеет только радиальную компоненту:
fB = [j, в] => (/в)г = -j»Bv = -iB-
Поле В находится при однородном распределении тока с помощью теоремы о
циркуляции: В = -fiojr. Из баланса сил следует
А
dr 2 nk$
Интегрируя это уравнение, получаем Т(г) ос (const — г2), причем из условия
Т ~ 0 на внешней границе пинча следует const = R2, где R — радиус плазменного
шнура. Вблизи его оси (г = 0) получаем ответ
Т@) = ,
4 пк$
который приобретает окончательный вид после подстановки j = I/wR2, n =
= (dN/dz)/irR2:
Г@) = ^ .
4тг kB(dN/dz)
Интересно отметить, что при попытке решить задачу, приравнивая константе
сумму газокинетического и магнитного давления, мы получили бы результат,
отличный от правильного в два раза — в данном случае нельзя пренебречь
«натяжением силовых линий».
.9.() 60; лГ0
2.93. а) Внутри пластины Н = 0; В = fi0J. Вне пластины Н = 0; В = 0;
б) внутри пластины В = 0; Н = — J. Вне пластины В = 0; Н = 0.
2.94 В = 2BA(h/D) = 10~2 Тл.
2.95. Решение. Воспользуемся принципом виртуальных перемещений. «Ото-
«Оторвем» якорь от сердечника; пусть он отодвинут на расстояние х. Дадим величине
х малое приращение dx. Тогда Fdx = 8А^ — SAi — dWb, где ёА^ — работа
источника, SAi — приращение джоулева тепла, dWb — изменение энергии
магнитного поля. Величины bAg и eAj должны исчисляться за время перемещения
на фоне постоянной мощности, потребляемой электромагнитом, тогда как dWb
зависит лишь от начального и конечного положения якоря. Введем в рассмотрение
также величины dl и d<& в момент перемещения:
г1Ф tit
dl)dt - ildt = idldt = -g—^ = ^
dt R
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 229
Mi = R(I + dlfdt - Rfdt = 2RIdIdt = -21 йФ,
dWL = ^d(Lf) = ^fdL = -ЫФ.
2 2 2
/Ф 1 J#
Таким образом, Wl = — =>> F = . Интересно отметить, что (чисто
2 2 dx
формально) работа при виртуальном перемещении как раз совпадает с изменением
энергии магнитного поля. Для вычисления Ф воспользуемся теоремой о циркуляция:
Ф АЬ + ^2 = N1, где AL = 21 + тгг + А.
Максимальное значение F соответствует х —» 0:
2.96.
L =
2.97. F= ^/
2.98. Решение. В силу граничного условия для нормальной компоненты В,
В в зазоре равно В в сердечнике. Используем
теорему о циркуляции —А + HI = N1. А теперь ' л
МО
объединяем график рис. 2.32 6 и линейную зави- i ^
симость В(Н)9 следующую из полученного урав- '
нения. Результат представлен на рис. 2.10;. Ответ:
В ~ 1,5 Тл.
2
2.100. А =
1600 Я, А/м
Рис. 2.10;
2.101. AQ = 2wBHacAHr2Li/At = 120 Дж.
2.102. Решение. Скачок индукции В на плоской доменной границе может быть
связан с линейной плотностью тока намагничивания i = dl/dl:
АВ = 2J0; AB = i => i = 2J0.
Поскольку электрон располагается от пленки на расстоянии L ^> h, для него ток
намагничения будет выглядеть как линейный ток I = ih, создающий в точке, где
находится электрон, поле
Н = = ——.
2тгЬ тгЬ
Согласно результату зад. 2.54, электрон может двигаться равномерно в скрещенных
полях только при условии ?qE2 <C fJ^oH2. Таким образом, для нашего случая
получаем
230 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
7. Квазистационарное электромагнитное поле.
Переменный ток
2.103. а) 3,2 А; б) 5 А.
2.104. а) 314В; б) 157В.
2.105. ш = 4 / ( — J , 6 = —, где L = Li — : . Резонанс недостижим,
V LC ^2Ь/ 2L L2
если (R/2LJ > 1/LC, т.е. если
R2C T Ж2
4 L2
2.106. Решение. При быстром удалении сердечника изменяется индуктивность
дросселя и ток через него, но магнитный поток измениться мгновенно не может:
Ф = 1а- =L2Io,
R
где /о — ток через дроссель в момент t = 0. В последующие моменты времени
цепь подчиняется уравнению
Решение этого уравнения с правой частью имеет вид
— <) + -.
Ь2 ' R
Его нужно еще связать с начальным условием I(t = 0) = /о-
Отсюда следует ответ (рис. 2.11'):
R
p
L2 ^ L2
I(t) = — Ц exp 1) .
2.108. Решение. Исходим из уравнения контура LI + Ш + //С = 0. Собствен™
ные значения: Xi2 = —R/2L ± \/R2/4L2 — 1/LC оказываются при заданном в
задаче условии комплексными, а значит, режим релаксации — колебательным. Это
будет тем более верно, если конденсатор отсутствует, а вместо него в игру вступают
малые паразитные емкости. Запишем общее решение при 17@) = Щ:
U =
где 7 = R/2L, uj =
I = Q = CUoe 7 [(аи; — 7) cos ^ + (а7 + ш) s^
Константу а определим из условия 1@) = Uq/R = CUo(au) — у). Таким образом,
U(t) = l/0e^7t[cosu;i+ (I + -J_^sinu;t].
L V (jj (jj ff,( / ' -I
2.110. ^#= ifbi— ^L2) = -(— L2
2 V c J 2У2С
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 231
2.111. \Ж\ = L2.
2.112. uji/ujo = л/е = 2; а) Д = /о, gi = go/2; б) 1\ = 2I0, gi = go.
2.113. Решение 1. Будем считать, что шА <^ 1/(//мГо). При этом условии
можно пренебречь скинированием токов Фуко в сердечнике. Тогда можно считать
магнитное поле внутри сердечника однородным и записать закон Фарадея в виде
Е2ттг = шттг2Вsinujt =>• Е = — ursinujt,
2
где Е(г) — вихревое электрическое поле. Подсчитаем мощность энерговыделения
на единицу длины сердечника:
г0
д- I _-^ 1 22 2 I 3
— (W) = 7*Л jdS = -Аи; Во sin u)i 2тгг dr.
dl I 4 J
0
Таким образом, потери на единицу длины
-» ~2 - ¦ . тг2(ВЯ)т_, 4
оо о шХ.
dl 8 2 2
С другой стороны, полная энергия, запасенная в контуре, равна
W = WL + We = 2(FFb)T = {ВН)ттгг201
Вспоминая определение добротности, получаем ответ:
Q= 8
Решение 2. Рассмотрим ту же задачу в пределе высоких частот, когда токи
Фуко заведомо скинированы, т.е. шХ ^> 1/(/1мг2). Теперь ток и поле в сердечнике
будут сосредоточены в тонком слое Sef, прилегающем к поверхности, где Sef c±
~ B7rI//2/(o;A/i/ioI//2. Чтобы не смешивать эффекты разной природы, предполо-
предположим, что магнитная проницаемость от частоты не зависит.
Полагая неравенства достаточно сильными, мы не будем решать точной задачи
о распределении полей и энерговыделения, а ограничимся оценочными формулами,
а именно:
d • f -1 12 2 2 еЗ
— W = jX jdS = -Аи; -Во sin out • 2wroef
dl J 4
и далее
dl
Окончательный результат
2.114. ёш ~
2.115. а) Резонанс токов Z^1 = 0 =^> ujq =
= 1/y/LC; б) резонансы напряжений Z = 0 =^
5ф j
:со0 : со2 со
=> ил = \/2 - лД/л/ЬС ~ 0,52/VXC, w2 = -Ti/2
= ^2 - лД/л/LC с± 1,93/у/LC. Зависимость сдви-
сдвига фазы от частоты представлена на рис. 2.12;. Рис. 2.12'
232 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.116. а) 1а = ; б) 1а = •
n(9r + 2R) n(9r + 2R)
2.117. а) 0; б) напряжение опережает ЭДС:
8 = arctg
2.118. — = — ~ 13, где No — мощность при разомкнутой и
Щ 1 + 4тг2
N — при замкнутой цепи.
2.119. Амплитуды на входе и на выходе одинаковы:
_ 2ujRL
g ~ u2-R2'
2.120. \- 27 Ь ujqV = 0, где 7 =
+ 27 + ujIV 0, где 7 , "о
dt2 dt 2RC LC
2.121. W = Wo/2; т = 1/2ttAi/ = 0,16 с
2.122. l)/(t) = (A/2)[l + e2iwt/2 + e~2iuft/2];
2)f(t) = (A/2)[eiujt + e~iwt + (m/2)el(a;+o)t + (m/2)e^
2.123. Решение. Раскачать колебания в контуре можно, если гармоники в
разложении сигнала попадут в пределы резо-
резонансной кривой. Сигнал, поступающий на кон-
контур при периодическом замыкании-размыкании
ключа, можно представить в виде U(t) =
z = U0F(t)G(t),meF(t) = (l/2)[eiujt + e^iujt],a
функция G(t) показана на рис. 2.13;. Ее можно
Рис. 2.13 представить в виде ряда:
оо
G(t)= Yl Cne^inut, где О = 2тг/Г;
п= — оо
Т/2 Т/2
Gn = - I G(t)etnntdt = - I cos(nut)dt = — N,
T } Г J ттп
-Т/2 О
где N = 2 при n = 2k^rlnN = 0 при п = 2k. Таким образом,
2тг . ^ 2k +
fe= — 00
Очевидно условие резонанса: 0B^ + 1) G (Аш — 6, Аш + 6), а амплитуда отклика
будет максимальной при Q (Е (Аш — 6, Аш + S).
Л 1
1 вых 2.124. FBbiX(t) = -Vo cos^ot| (рис. 2.14 ).
2
оо т/2
V УУУ , 2.125. /ы = — [ f(t)eiutdt = — [ eiwtdt =
I Т 2тг J 2тг J
РИС. 2.14' =Asin^
-оо -т/2
7ТШ 2
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
233
2.126. Решение. При пролете одиночного электрона работа источника IUdt =
= eEdx = (eU/l)dx, где I — ширина зазора. Отсюда I(t) = (e/l)(dx/dt) =
= {eat)/{ат2/2) = 2е?/т2. Спектр такого сигнала находится из преобразования
Фурье:
1
2тг
*dt =
2^J 7^
• ехр(гшт)
-[ехр(го;т) —1].
8. Уравнения Максвелла
2.127. ^ = 1
W3 8
2.128. — = -
WM 8'
2.129. При учете конечного сопротивления вектор Пойнтинга имеет две компо-
компоненты: параллельная проводам по-прежнему направлена на нагрузку, а нормальная
к поверхности провода обеспечивает поток энергии
в проводник, который уравновешивается джоулевым
тепловыделением.
2.130. Искомый поток равен нулю вследствие пол-
полной компенсации тока проводимости током смещения.
2.131. Решение (рис. 2.15;). Вектор S всюду будет
параллелен оси пучка и направлен туда же, куда и
скорость частиц. Электрическое поле ищется из тео-
теоремы Гаусса, магнитное — из теоремы о циркуляции.
Результаты будут различными при г > го (индекс in) и
г < го (индекс ех). Как всегда в симметричных конфи-
конфигурациях, ток вне контура или заряд вне поверхности
интегрирования на величине поля не сказываются.
Плотность тока в пучке j = neBw/mI^2. Далее,
Е-ш =
neR2
Рис. 2.15'
2т
2.132. Решение (рис. 2.16/). В плоскости симметрии ленты магнитное поле
равно нулю, вне ее силовые линии лежат в плоскостях у = const, причем,
как следует из теоремы о циркуляции, B(j) = jy. В отсут-
У | ствие сопротивления единственный источник электрического
поля — эффект Холла, но не во внешнем магнитном поле,
которого здесь нет, а в собственном поле тока:
о-Е
Рис. 2.16'
-пеЕ + Ц,В] = 0; j _L В :
При этом вектор Е направлен извне по направлению к
плоскости симметрии проводника. Таким образом, искомый
вектор Пойнтинга оказывается антипараллельным вектору j (т.е. сонаправлен со
скоростью электронов — носителей тока) и равен S = fioj3y2/пе.
234 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.133. Sz = ; S^ = . Полный поток энергии через
2тг 2 1(/) \(/)
сечение Qw = I2R.
2.134. W =
21В? 2
9. Электромагнитные волны
2.135. JVBbIX = iVo(l - г2) ~ 89 кВт, где г2 = (I - 1J/{1 + IJ — коэффициент
отражения по мощности.
2.136. гх = ~ —.
кг - к2 дк
2.137. Решение. Отличие коэффициента отражения от единицы обуслов-
обусловлено джоулевой диссипацией в скин-слое, т.е. на глубине вплоть до ёег ~
~ BттI^2/(ujXfioI^2. Удобно вычислять связанные с этим потери, относя их к
единице площади поверхности зеркала, а затем получить коэффициент отражения,
нормируя эту диссипацию на поток энергии. Итак:
<PW ^f 2
с± —oef = Ail/
dSdt X
Модуль вектора Пойнтинга, равный потоку энергии на поверхность зеркала,
можно представить в виде
|S| E2
С/10
Отнеся интенсивность потерь к потоку энергии, получим коэффициент поглощения
по энергии; вычитая последний из единицы, получим коэффициент отражения по
мощности R:
Поскольку отраженная волна представляет собой электромагнитную волну той же
частоты, что и падающая, и с тем же соотношением между ЕиН, амплитудный
коэффициент отражения равен просто квадратному корню из коэффициента отра-
отражения по мощности: г = yHl. Точность полученных нами результатов не слишком
велика — именно потому, что не слишком точно оцененную величину приходится
вычитать из единицы. Гораздо более надежна оценка коэффициента поглощения по
мощности:
которая позволяет правильно оценить порядок величины потерь при отражении.
П- 1\2
2.138. Д= (-—-) ~0,67.
4 + 1/
2.139. Решение. Сила Лоренца не совершает работы над заряженной частицей,
но при ее движении по круговой орбите (а это — движение с ускорением)
происходит излучение электромагнитных волн, оно-то и тормозит частицу. Мы
сделаем одно упрощающее предположение: пусть энергия, потерянная на излучение
за один оборот, будет много меньше кинетической энергии электрона. Дипольный
момент единственной частицы р = — ег. Удобно поместить начало координат в
центре циклотронной орбиты, тогда ро = ev/шв, где v — скорость электрона на
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 285
орбите, а шв = еВ/т — циклотронная частота. Поскольку диполь в данном случае
вращается, а не осциллирует, интенсивность потерь нужно удвоить:
бтгео с3 бтгеос3 Зтг теос3
где We — кинетическая энергия электрона. Составляя уравнение dWe/dt = —W,
находим, что кинетическая энергия электрона должна убывать по экспоненциаль-
экспоненциальному закону:
Зтг
Как обычно при экспоненциальном затухании, характерное время остановки не
зависит от начальной энергии — по смыслу это масштаб времени, по истечении
которого энергия становится существенно меньше начальной. Это время можно
выразить через характерное число оборотов:
т = Зтг
т
еос3 N
Отсюда и получаем ответ:
Наше предположение о малости потерь за период эквивалентно сильному неравен-
неравенству N ^> 1, что приводит к следующему условию на поле:
В < Зтгт2?0с3е~3 ~ 1012 Тл.
Оно с запасом выполнено при всех доступных значениях поля. Соответственно, с
большим запасом выполнено условие N^>1, так что при рассмотрении не слишком
большого числа оборотов частицы в магнитном поле мы вполне можем пользоваться
приближением стационарной орбиты.
2.140. (Е2)г = ^ 2 *
2Л41. ^
С2 С2 V П + 1
2.142. Решение. Из условия tgip = п находим ср = 56°19;. Искомая величина
At может быть выражена через коэффициенты прозрачности:
д _
Далее, учитывая, что sin <р = п sin ф = п cos ф, подстановкой в формулы Френеля
получаем:
COS
-2/
Д _ ^^^ учк у; ___ ^'" / \^ i *"у ~ 0 08
2O + /) 1 1 + 42/A + 2) ~~
- 4п2/A + п2)
2.143. Решение. Задача отличается от задачи о скин-эффекте тем, что, согласно
условию, ток смещения доминирует над током проводимости, что сразу следует из
уравнений Максвелла в Фурье-представлении:
[к,Е] =шВ; (///iow^MkjE]] = -(/i/io^VE = -гЛЕ - ше0Е.
Поэтому в данном случае мы будем иметь дело не с квазистационарным профилем
тока, а с проникающей в среду электромагнитной волной. Для нее, однако, частота
и волновое число не могут быть одновременно вещественными, как нетрудно
увидеть из второго уравнения. Постановка задачи соответствует пространственному
236 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
затуханию волны, поэтому комплексным нужно выбрать к, причем, в силу малости
проводимости, относительно малой будет и мнимая часть:
к = ко+гк =>• Е,В (х ехр(^кж), к <С ко,
где х — координата по направлению вглубь среды от границы. После сокращения
амплитуды Е получаем:
.Л/io к2 kl 2ik0K
07 UJA UJZ UJZ
Из главных членов этого равенства следует, как обычно, ш/к = с/п; приравнивая
члены первого порядка малости, получаем
к = Xfio —.
2п
Таким образом, эффективная глубина проникновения, определенная через показа-
показатель экспоненты, оказывается равной
2п
_i
Oef = К =
А/10 с
Заметим, что из условия к «С к, которое, в свою очередь, есть следствие малой
проводимости, вытекает, что глубина проникновения многократно превосходит
длину волны.
2.144. АЛ ~ (Л/ЛоJ<5Л = 50 им.
10. Газовый разряд. Элементы физики плазмы
2.145. Указание. См. решение задачи 2.126.
I = —(vi + V2) при 0 < t < h = —;
d vi
T lei ^ , d — x
I = ^^2 при ti ^ t < t2 = ;
d V2
где d — зазор диода, х — координата рождения ионной пары, v\, V2 — скорости
ионов в зазоре. Полный заряд q = ||
2.146. NT = — ~ 6
eSa
2.147. Л = У- ~ 4 мм.
/101
2.148. Решение. Из механики известна барометрическая формула Больцмана:
/ тдх\
п = по ехр ,
v кБт;
где ?п — масса отдельной молекулы, д — ускорение силы тяжести, ось Ох
направлена вертикально вверх. Эта формула — частный случай гораздо более
общего закона, который называется статистическим распределением Больцмана.
В случае произвольной потенциальной функции U(г) он имеет вид
(
п = по ехр
и \
.
кБТ^
онов в
/ е(р \ ( еср \ ( eip \ (ар \
щ = по ехр ~ п0 1 1; пе = п0 ехр с± п0 1 -\ ,
^ къТ^ V къТ^ vfcBT/ V кБт;
Распределение Больцмана для электронов и ионов в нашем случае можно линеари-
линеаризовать:
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ 237
затем подставить в уравнение Пуассона:
d?ip е, ч 2пе2 _ 2
= -(Пе — Пг) С± = (f.
dx* ? ' е0къТ г-Г
Уравнение получилось линейным и однородным, причем корни характеристическо-
характеристического уравнения вещественны:
) +(^2ехр ж ).
У \ гв /
у?(ж) = (^iexp —х)
V rD У гв
Принимая во внимание граничные условия
х = 0, ср = 0, ж = а, </? = С/,
приходим к следующему ответу:
2.149. Угол отражения равен углу падения;
еотш2 2 л
пк = cos 0.
2
2.150. п >
2.151. Чтобы электромагнитная волна могла достигнуть Земли, ее длина должна
быть Л < — м ~ 2,3 м.
2.152.^= ^ Х
/2mW
¦ш~ 1,44 •Ю'с.
Глава III
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. Кинематика колебаний
3.2. Векторное изображение колебаний Si, S2, S3 показано на рис. 3.1;. Их
комплексные амплитуды есть соответственно:
/i=2, f2=etw/2, /3 = 3el7r/e.
Сумму колебаний 52 и Яз находим с помощью треугольника векторов (см. рисунок)
по теореме косинусов:
Квадрат амплитуды суммарного колебания (интен-
(интенсивность) есть
Рис. 3.1; / \
а2 = 1 + 9 + 2 • 3 cos I - ~~ - ) = 13, а = л/13.
Ь б)
Начальная фаза колебания
хр / LA(p tg(p = 5/3 V3.
3.3. В случае а) векторы Si, S2 и их сумма S =
= Si + S2 составляют равносторонний треугольник,
Рис. 32' поэтому
А(р = — + 2тгп (п = 1,2 ...).
о
В случае б) три вектора составляют прямоугольный треугольник (рис. 3.2;) поэтому
Аш = —Ь 7тп.
2
3.4. Векторная диаграмма показана на рис. 3.3;. Слагаемые колебания (вектора) со-
составляют правильный многоугольник, вписанный в окружность, радиус которой равен
Амплитуда суммарного колебания (длина суммарного
вектора) равна
Na
2
Na
sin
Окончательно А = а —.
sin —
2
Амплитуда максимальна и равна А = Na, если Рис. 3.3
колебания синфазны: а = 2тгп (п = 1,2 ...).
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
239
3.5. Уравнения фазовых траекторий — эллипсы — и соответствующее поло-
положение изображающих точек Mi, M2, М3 показаны на рис. 3.4;. Уравнения эллип-
эллипсов имеют вид
о2
Dl
22
о2
Dl _
I2
З2 (ЗшJ
Рис. 3.4;
3.6. Уравнения модулированных колебаний
имеют соответственно вид: si = 2ао cos2 Ш x
xcos(o;t+(po);6)S2 = A+mcosQi) cos(o;i+^o).
При га > 1 колебание S2 модулировано не
только по амплитуде, но и по фазе — при изменении
знака а фаза колебания изменяется на тг.
3.7. Уравнения фазово-модулированных колебаний имеют вид: a) Si =
= acos(cji + mcosQi); б) S2 = acos[(a; + Q)t]. Амплитудно-модулированное
колебание изображается вектором, угол наклона которого фиксирован, а длина
вектора изменяется со временем в соответствии с законом модуляции a(t). Фа-
зово-модулированное колебание изображается вектором неизменной длины, угол
наклона которого меняется в соответствии с законом (p(t).
3.8. Сумма колебаний Si и S2 есть
S = a cos out + a cos[(w + Q)t] = 2а cos — cos I I ш + — ]t
Амплитуда суммарного колебания: A(t) = 2a
3.9. Амплитуда суммарного колебания определяется формулой
а = a-i + о>2 + 2aia2 cos Qt,
где О = uji — Ш2 — разность частот.
Максимальная и минимальная интенсивности I = a
равны соответственно 1тж = /i + /2 + 2л/Тг12; Imm = h
I2 — интенсивности слагаемых колебаний. Из условия 1та
суммарного колебания
/2 — 2y/Iil2, где Д и
= 2/тт находим
3.10. Спектральные разложения колебаний Si и S2 есть
Si(t) = -aH—
2 2
= a cos a;ot
cos[(a; - O)t]
O)t].
Спектральное разложение колебания 5з найдем, используя условие ма-
малости глубины модуляции фазы га «С 1, а также приближенные равенства
sin(mcosQi) ~ mcosftt, cos(?ncosOt) ^ 1, справедливые при m С 1 с
точностью до членов порядка га. После несложных тригонометрических пре-
преобразований получим
^ aw Г/ ч тг] am Г, ^4 тг
5з = a cos cjot Н cos \(ш + O)t -\— -\ cos \(ш — У )t H—
2 [ 2J 2 L 2
240
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2С0п
СО
ао
I
coo-Q co0
Рис. 3.5;
со
Спектр колебания 5з отличается от 52 только сдвигом фазы на тг/2 боковых
спектральных компонент (на частотах ш ± О). Графическое изображение спектров
показано на рис. 3.5;.
3.11. Периодическая функция S(t) с периодом Т представляется в виде ряда
Фурье:
сю
S(t) = V a cos(nuj0t + ) ojo = —
п=0
где коэффициенты ап ряда (амплитуды спектральных гармоник) определяются
формулой (S(t) — четная функция):
Т/2
Т/2
i
—
Т
S(t)dt, an = -
S(t) cos nujotdtj
используя которую, находим
= —, ап =
2т
sin (пшот/2) \
пшот/2
Спектр показан на рис. 3.6; (отрицательным значениям аП9 соответствует
изменение начальной фазы гармоник на частотах пшо на тг).
3.12. Спектр непериодической функции
a S(t) (ее преобразование Фурье) имеет вид
2т/Г
Т>.2'
271/Т
О 2со0
со
Рис. 3.6;
Рис. 3.7;
оо
С(ш)= \
В нашем случае (S(t) — единичный прямо-
прямоугольный импульс длительности т) находим
С(ш) = •
sin(ujr/2)
ujt/2
Спектр С(ш) показан на графике (рис. 3.7;). В
отличие от задачи 3.1', в данном случае име-
имеем непрерывный спектр, вклад в суммарный
сигнал S(t) дают гармонические колебания на
всех частотах ш, а не только на дискретных ча-
частотах пшо. Связь между спектром отдельного
импульса и спектром периодической последо-
последовательности таких же одинаковых импульсов,
как видно из сравнения задач 3.11 и 3.12,
имеет вид ап ~ С(пшо), т.е спектр отдель-
отдельного импульса является огибающей частокола
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 241
спектральных компонент периодической последовательности импульсов. Ширину
спектра принято оценивать по ширине главного максимума функции С(ш) (опре-
(определяемого положением первого нуля): out/2 = тг. Отсюда следует соотношение
неопределенностей: Ашт = 2тг.
3.13. Пусть S(i) = p(t) cos ujot. Используя формулу Эйлера cosuoi =
= ^(eiuJot + e~iuJot), получаем:
2
С(ш) = \s{t)e~iuJQtdt= - \p{t)e~l{uJ+UJQ)tdt + -
J ^ J Л ,
1 1
2 2
где Ci(lo) — спектр прямоугольного импульса p(t) (см. решение зад. 3.12).
Сравнивая последнее выражение со спектром от-
отдельного импульса мы видим, что каждая спек- с
тральная компонента импульса, имеющая часто-
частоту ш, смещается на частоту ои® ± ш (шо — несущая /\
частота), при этом амплитуды спектральных rap- ^./ i у
моник на этих частотах уменьшаются вдвое. Таким -со0
образом, спектр обрывка косинусоиды имеет вид,
показанный на рис. 3.8;.
3.14. Уравнения Sx = а\ cos{out + <pi), Sy =
= «2 cos(cjt + y?2) можно рассматривать какуравне- Рис. 3.8;
ния некоторой траектории, записанные в парамет-
параметрической форме (параметром служит f). Перепишем эти уравнения, используя
известные тригонометрические формулы, в виде
S S
— = cos (fi cos cjt + sin (pi sin cjt, — = cos up2 cos u)t + sin if 2 sin out.
CLl «Я-2
Умножим первое уравнение на cos (f2 второе — на — cos ipi и сложим результаты.
S S
Получаем — cosy?2 — —^-cosy?i = sinct;isin((^2 — ^2)- Умножим теперь первое
«1 «2
уравнение на sin 992, а второе — на — sin (fi, и также сложим результаты — sin c/?2 —
S
siny?i = cos ujt sin((p2 — ^2)- Возводя в квадрат оба последних уравнения и
«2
сложив левые и правые части получившихся равенств, находим окончательно
Мы получили уравнение второго порядка, причем максимальные по модулю
значения Sx и Sy ограничены величинами ai ип2 соответственно, поэтому эллипс
вписан в прямоугольник со сторонами 2ai, 2a,2- В случае синфазных колебаний
<fii ~~ ^2 = 2тгп из уравнения эллипса получаем
^^^1 =0.
а2 J
Откуда Sy = —Sx- Это — уравнение прямой, лежащей в первом и третьем
квадрантах, вектор S колеблется вдоль этой прямой туда-сюда, мы получаем
линейно-поляризованное (или плоско-поляризованное колебание). Если колеба-
колебания противофазны (pi — <р2 = Bп + 1)тг, то из уравнения эллипса получаем
16 Задачник
242 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
S S \2
— -\—- I =0, откуда Sy = Sx. Это — уравнение прямой, лежащей во
а\ «2 У сц
втором и четвертом квадрантах. Снова имеем плоско-поляризованное колебание,
однако с иной ориентацией плоскости колебаний. Наконец, при (pi—<f2 = —+2тгп
получаем из общего уравнения эллипса
«1
Это — эллипс, главные оси которого ориентированы вдоль осей Sx и Sy. Причем
конец вектора S движется по эллипсу по часовой стрелке. При а\ = «2 эллипс
превращается в окружность. При (pi — <f2 = Ь 2тгп получаем тот же эллипс,
однако конец вектора S движется по нему против часовой стрелки.
3.15. Значения Sx и Sy повторяются через промежуток времени t = —,
так как фазы колебаний Sx и Sy изменяются через время — на 2тгп и 2тгт
UJ
соответственно. Поэтому конец вектора S оказывается в той же точке. При п = т
фигура Лиссажу превращается в эллипс (см. зад. 3.14). Для фигуры, показанной на
рисунке, отношение периодов Тх = 2ТУ.
2. Свободные колебания в линейныж системах
3.16. Решение. Для системы а) второй закон Ньютона имеет вид тх =
= —тд sin а, где х = la (см. рис. 3.3). Полагая колебания малыми sin а с± а,
находим окончательно а. + ш^а = 0, где ш = уд/1. Для системы б) второй
закон Ньютона имеет вид la = —Img sin а, где I — момент инерции тела
относительно оси О, ^Img sin a — момент силы тяжести относительно той же оси.
Окончательно имеем, полагая колебания малыми (sin а ~ а): а + ш2а = 0, где ш =
— \^тФ/^' Для системы в) второй закон Ньютона есть тх = —кх, где —кх — сила
упругости, действующая на груз со стороны деформированной пружины (последнее
справедливо при малых деформациях). Окончательно находим х + ш2х = 0, где
ш = у/к/т. Легко проверить, что решением полученных уравнений во всех трех
случаях является гармоническое колебание, т.е. функция вида acos(ujt + ф)9 при
любых постоянных значениях аш(р.
3.17. Используя второй закон Кирхгофа для замкнутой квазистационарной цепи
(сумма падений напряжения на всех участках замкнутой цепи равна сумме ЭДС),
имеем — = —Lq, где падение напряжения на конденсаторе, —Lq — ЭДС
С С
индукции в катушке индуктивности L. Поскольку / = q, имеем Lq-\ = 0, или,
G
окончательно, q + ш2д = 0, где ш = 1/л/ЬС. Период колебаний Т = 2tt\/LC.
3.19. С помощью теоремы Гаусса найдем напряженность электрического поля
на расстоянии г от центра облака и, соответственно, силу, действующую на
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 243
электрон:
3 2
so \R
Используя второй закон Ньютона mr = F = г, получаем г + ш2г = О,
2
где uj = а1 частота колебаний. Окончательно находим
3.20. Решение. Законы сохранения энергии при колебаниях осцилляторов в
задачах 3.16-3.19 имеют вид
а) для математического маятника
П т^2 .1/1 \ х 1
Е = h mglll — cos a) = const, x = 1а;
2
б) для физического маятника
Е = Ь mgl(l — cos a) = const, ш = а.
А
В обоих случаях потенциальная энергия маятника при отклонении от поло-
положения равновесия на угол а равна En = mgl(l — cos а), или, при малых а,
rngl 2
Еп ~ ol .
2
Для пружинного маятника ,Б = 1 = const, где потенциальная
2 2 ' 2
энергия упругой деформации.
Для электрического колебательного контура: Е = 1 = const, J =
2G 2
= g, где Wm = и We = соответственно магнитная энергия катушки и
2 2С
электрическая энергия конденсатора. Для электрона в атоме Томпсона (принимая
потенциал центра облака за ноль):
(см. зад. 3.19). Во всех случаях потенциальная энергия квадратично зависит от
переменных a,x,q, r. Во всех случаях к уравнению гармонического осциллятора
приходим, используя постоянство полной энергии, т.е. равенство: dE/dt = 0.
3.21. Уравнение колебаний имеет вид тх + кх = 0, где к = в сис
теме а, и к = кг + &2 в системе б.
3.22. Силу, действующую на камень, находящийся в тоннеле на расстоянии г
от центра Земли, найдите, используя теорему Гаусса для поля тяготения. Уравнение
колебаний имеет вид г + ш2г = 0, где ш = y/g/R. Период колебаний Т = 2т
(д — ускорение свободного падения на поверхности Земли).
16*
244 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.23. Уравнение колебаний имеет вид х + ш2х = 0, где ш = д / частота
V тп
_. mim.2
колебании, тп = приведенная масса.
mi + W2
3.24. Частоты колебаний пропорциональны , где т — приведенная масса
л/т
иъ 2
(см. зад. 3.23). Для молекул if2 и Ни имеем соответственно mn = —-, ran = -mp
2 3
/ ч ал 2
(гар — масса протона), поэтому отношение частот равно — = —.
UJ2 \/3
3.25. Механическая модель молекулы СОг показана на рисунке. Учитывая
различие в приведенных массах при колебаниях типа а и б, получим — = д / —.
Ш2 V 11
3.26. Г = 2тгд / —-, где гап — приведенная масса.
V к
3.27. Уравнение колебаний имеет вид х + —х = 0, где х — смещение
поверхности жидкости в трубке относительно равновесного положения. Период
колебаний: Т = 2тг4 / —.
V 29
3.28. Ток в катушке в стационарном режиме I = $ /г. Максимальное напряже-
напряжение на конденсаторе при колебаниях после размыкания ключа находим из закона
сохранения энергии
2 2
Используя затем условия I7max = nS и Т = 2n\/LC, получаем
С= —^-.
2?г
3.29. Используя второй закон Ньютона, получаем уравнение х + 2ёх + ujqX = О,
где ё = 7/Bга) — коэффициент затухания, шо = у/к/т — собственная частота.
Решение этого уравнения при ё < шо имеет вид x(t) = Ae~ l cos(wi + ф), ш =
= \/uJq — ё2, где Ажр — произвольные постоянные (они находятся из начальных
условий — условий возбуждения колебаний). При ё > шо решение уравнения имеет
вид x(t) = С\е ll + Сге 2t, где Ai и А2 — корни алгебраического уравнения: А2 +
+ 2<5А + о;0 = 0 (оно называется характеристическим, при ё > шо эти корни
действительные). Это — экспоненциально затухающее решение. Максимальные
отклонения при колебаниях x(t) и x(t + Т) связаны равенством = е
Соответственно, отношение энергий есть
W(t) _ 2ST
W(t + Г)
Относительные потери энергии (при малом затухании) равны
W(t)
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
245
3.30. Решение. Уравнение колебаний имеет вид q + 2Sq + oooq = 0, ё = R/BL),
ш0 = 1/y/LC.
Если «5 < шо (т.е. 1? < 2 у/L/C), то его решение при заданных начальных
условиях есть
q(t) =
e"~ l(cosout -\ smut),
/LC
(при t = 0 имеем g = go, / = g = 0). Потери энергии за период колебания равны
* 25Т =
W V L
Если <5 > шо (т.е. R > 2^/L/C), то решение, удовлетворяющее начальным
условиям, есть
q(t) = qo\-
_exlt _ ^^e>
L A2 — Ai A2 — Ai
3.31. Для колебательного контура: Q = {1/R)\/L/C. Для пружинного
маятника: Q = Vmk/j.
3.32. Добротность можно оценить по числу колебаний N, в течение которых
амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из графика на рисунке следует N с± 5,
и, следовательно, Q = ttjV ~ 15.
3.35. Фазовые траектории при S < шо и при <5 > ^
> о;о показаны на рис. 3.9;. Шаг спирали AS связан с ч g
логарифмическим декрементом затухания равенством ^ °
AS = Sn -Sn^i =A~ Ae~ST = A(l -e~s
3.36. Уравнения колебаний имеют вид:
а) для пружинного маятника
х + cj х = р, ш= л/к/т;
б) для колебательного контура
F + w2F = o;V, w = l/y/LC.
Соответственно процесс колебаний есть:
a) x{t) = —A - coswt); б)
~ AST.
б) со0 < 5
- coswt).
Рис. 3.9;
Отсюда находим максимальное напряжение на конденсаторе "Кпах = 2# и
максимальную деформацию пружины жтах = 2тд/к.
3. Вынужденные колебания. Спектральный анализ линейныж
систем. Параметрические колебании
3.37. a) Ti = п2жл/ЬС; б) Т^ = Bп + 1)тг^ЬС. При этом амплитуда колебаний
f^ax = 2Uq. Соответствующие графики показаны на рис. 3.1 (У.
3.38. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид х + ujqX = ujq^q cos ujt,
где шо = л/k/m. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты
(резонансная характеристика):
А{ш) =
246
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Рис. ЗЛО'
При ш < шо, колебания синфазны с колебаниями внешней силы, а при ш > ujq
колебания происходят в противофазе с колебаниями внешней силы.
339. Используйте второй закон Кирхгофа в примерах а и б и второй закон
Ньютона — в примере с.
3.40. Решение. Частотная характеристика описывает отклик линейной системы
на гармоническое внешнее воздействие, записанное в комплексной форме etuJt.
При этом отклик S(t) = Н(ш)егшг также является гармоническим колебанием,
где Н(ш) — искомая частотная характеристика. Подставляя последнее выражение
для S(t) в уравнение S + - = —etU}t, описывающее процесс колебаний в
т т
рассматриваемых системах (см. зад. 3.39), приходим к алгебраическому уравнению
для Н(ш), откуда находим
ян = -J—.
1 + 1(л)Т
3.41. После одиночного толчка изображающая точка на фазовой плоскости
смещается из начала координат (состояния покоя) в точку Р (см. рисунок), после
чего начинается процесс затухающих колебаний, который изображается на фазовой
плоскости скручивающейся спиралью (см. зад. 3.35). При толчках, следующих
друг за другом через период колебаний, сначала происходит раскачка колебаний
(если энергия, сообщаемая осциллятору при толчке, превосходит потери энергии
за период колебаний), а затем, когда потери энергии (которые растут с ростом
амплитуды колебаний) сравниваются с энергией, сообщаемой осциллятору толчком,
колебания устанавливаются — фазовая траектория становится замкнутой.
3.42. Сила тока как функция частоты внешней ЭДС есть:
ujCJ
При резонансе (ш = 1/vLC) I = ?b/R и не зависит от С, поэтому сила тока
остается без изменений. Резонансная частота возрастает в \/2 раз.
3.43. Указание. Преобразуйте стандартную формулу для амплитуды силы тока
в контуре:
В? +
I =
подставив в нее Jo = ?b/R, ш = 2тг/о = 1/л/ЬС и частоту внешней силы ш =
= 2тг(/о + А/). Пренебрегая квадратами и более высокими степенями отношения
А///о (это отношение мало для осциллятора высокой добротности), получите
требуемый результат.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 247
3.44. При расстройке Aw = 1/т амплитуда колебаний тока /о и амплитуда
колебаний напряжения Uo = IqR спадают в у/2 раз, поэтому потребляемая
мощность N ^ JOUO спадает в два раза. Итак, Ашг = 1/т. Используя выражение
для фазовой характеристики:
2ёш
можно получить <р(шо) = —. Если (р = — и, следовательно, Д^? = ^(шо) =
2 4 4
= —, то =1, откуда 2с5(шо + Аш) = (с^о — cj)(cjo + ш)\ и если Дш <С cjq, to
4 ш§ — ш2
25шо ~ 2ujqAuj, т.е. Аш2 = S = —.
т
3.45. Энергия уменьшится в два раза, т = ~ 1,16 с (см. решение зад. 3.44).
3.46. Из выражения для резонансной характеристики осциллятора:
'и
следует, что при си = cj0 17 = Qcfo, при ш <С ш0 U с± cf0, а при ш > о;0
С/ с± ( — ] So, откуда следует
17 ~ ( — ) 170 ~ 0,01В.
3.47. Очевидно, контур должен быть настроен на частоту станции В, т.е. ujq =
= шв. И при этом частота шд станции А должна лежать вне полосы резонансной
/ \2
кривой контура. Оба эти условия дают Ub — Q$b, Ua = I — I $a (см. решение
\ a; /
зад. 3.47), откуда получаем:
EbJ \ша
3.48. Можно. Амплитуда колебании максимальна при О = \wq — ш\ (это —
электрический аналог опыта Мандельштама).
3.49. Частотные характеристики фильтров:
Н2(Ш) =
1 + iujRC 1 + iujRC
g ~ f(t), если wmax < ; 5» ~ f(t), wmin > .
RC RC
3.50. Решение. Внешнюю ЭДС можно представить в виде суммы гармонических
колебаний
= A Н )Аcosujot -\ cos[(a;o + 2il)t\ -\ cos[(c«Jo — 2O)tj.
2 4 4
а) При настройке контура на частоту шо имеем Ai=Qi|lH \ А.
248 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
б) При настройке на частоту шо + 20 получаем А2 = Q2 , где
4
~ шо шо + 20
Q Q
3.51. Резонанс наступает на частотах шо и ш±2п, (см. решение зад. 3.50). На
. on . * л (шо + 2О) тА 1 Ai
частоте ш + 2О + о амплитуда равна А2 = . Из условия — =
28 4 у/2 А2
= п = 4 находим га = = 0,7.
п
3.52. Решение. Переменная ЭДС &(?) = <?Ь cos2 Ш является суммой постоянной
/? j?
ЭДС S'i = — и гармонической ЭДС частоты 20: <#'(?) = — cos 2Ot. Сопротивление
участка цепи, содержащей конденсатор, для постоянной составляющей ?\ бесконеч-
бесконечно велико (разрыв цепи), поэтому постоянный ток течет через участок цепи Ri,Li,
/i = . Переменная составляющая тока течет через участок цепи LC,
поскольку сопротивление этого участка Z = BО)Ь для частоты 20 равно
нулю. Поэтому
I2 = — cos 2Ш.
3.53. FBbix = Vo[l + rni cos(Ot + (p)] cosooot, где rai =
3.54. Решение. Воспользуемся спектральным разложением периодической по-
последовательности прямоугольных импульсов
_ 2т / sin(no;oT/2) \
0"П -— I " I ,
Т \ пшот/2 у
где шо = 2тг/Т, Т — период следования импульсов, т — длительность импульсов
(Т = 4т), откуда следует а\/п2 = л/2.
Амплитуды первой и второй гармоники выходного сигнала есть соответственно
(поскольку частота второй гармоники ш2 ^> шг + S, см. решение зад. 3.46).
Окончательно
V fш \21 а 11
Fl \Ш2/ Qd! y/2Q'
3.55. Решение. Как ясно из графика, Т = 2ттл/ЬоС = 4т, откуда С =
4т2
= —— = 10~ Ф. Условие параметрической раскачки колебаний — превышение
подводимой энергии над потерями — имеет вид
AL RT _ тг
AZ/
где Г — период колебаний, откуда Rmax = = 10 Ом.
4т0
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 249
3.56. Емкость конденсатора нужно уменьшать на величину АС в моменты,
когда напряжение на конденсаторе максимально. При этом энергия возрастает на
величину
AW = Af *- j = ^^UlAC (при AC < 0, AW > 0).
Период колебаний Т = 2тгуЬС = 4 • 1CF6 с.
I2 Я
Потери энергии за период AWn = ——Т.
Поскольку Im = qmuj, то AWn = ж2С2и2гКш.
Для поддержания незатухающих колебаний необходимо, чтобы APf ^ AWn,
откуда |АС| ^ 2жС2Кш.
4. Волны. Волновое уравнение. Кинематика волн
3.60. Уравнение гармонической волны!? (г, t) = а(г) cos (out — ip (г)). Комплекс-
Комплексная амплитуда волны /(г) = а(г)ег??(^ есть комплексная функция координат, опре-
определяющая как амплитуду гармонических колебаний в каждой точке пространства
г (ж, у, z), так и начальную фазу.
3.61. Уравнение плоской монохроматической волны:
Е(т, t) = ао cos(a;t — kr — <ро).
Уравнение сферической волны:
E(r, t) = — cos(o;t — kr — ^о), где г = л/х2 + у2 + z2.
«о
г
Соответственно, их комплексные амплитуды:
/(г) = аоег(кг+??о), /(г) = ^V^
3.62. Уравнение плоской волны
.Е7(ж, ^, t) = ао cos[cjt — кхх — kzz].
Фаза колебаний в точках Pi и Рг есть соответственно:
(fi = fc^i sin a + fczi cos a, ^?2 = ^^2 sin a + fc^2 cos a.
Разность фаз Atp = ^(^1^x2) sin a+k{z\ —Z2) cos a, т.е. колебания противофазны.
Уравнение волновых поверхностей кх sin a + kz cos a = const или х + ^3;г =
= const.
3.63. Решение. Условие синфазности колебаний в точках Pi и Р2 есть
— [{х2 — х\) sin a + (zi — z\) cos a] = 2тгт,
А
откуда sin а + л/3 cos a = mA или sin(a — /3) = га— = —, где /3 — угол между
осью z и прямой, соединяющей точки Pi и Р2, расстояние между которыми I =
= у/'(АхJ + (AzJ = 2 | sin/3 = — = - 1. Получаем а = — + arcsin I —
V 12/ 6 \ 2 .
Окончательно находим
. 7Г . 7Г 7Г 2?Г . 5?Г
а = ±-,±-, ,Н ,± —.
6 2 3 3 6
250
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.64. Суперпозиция бегущих навстречу друг другу волн
Si(z, t) = acos(uut — kz) и 62B, t) = acos(u)t + kz)
есть S(z, t) = Si -\- S2 = 2a cos kz cos ujt.
Расстояние между узлами (и между пучностями) равно Az = ж/к = А/2.
Разность фаз колебаний в соседних пучностях равна тт.
3.66. Волна поперечна. При tp = 0 и (р = тг волна линейно поляризована. При
9? = 0 плоскость колебаний лежит в первом и третьем квадрантах, при (р = ж —
во втором и четвертом квадрантах. Поляризация круговая при (р = ± —. При у? =
2
= — вектор S вращается по часовой стрелке (если смотреть навстречу волне), при
2
у? = вектор Ь вращается против часовой стрелки.
5. Упругие волны
3.68. Если ?(z, t) = f(z — vt) — волна смещения частиц упругой среды (волна
бежит в положительном направлении оси z)t то волна скоростей имеет вид и =
= — = ~vf'{z — vt), а волна деформаций: s = — = f{z — vt) (штрих
dt dz
означает дифференцирование по аргументу z — vi). Соответствующие графики u(z)
и e(z) (мгновенные фотографии) показаны на рис. 3.11; (функции u(z) и e(z)
пропорциональны производной по z функции f(z — vt) при фиксированном t = to).
Г)
Ui
таД
n
и
в,
0
-аД
^—
и
\
I
' U
Z
I
I
1 1
А В
А В
I
Рис. 3.11;
Рис. 3.12'
t
3.69. Графики u(z) и e(z) показаны на рисунках 3.12; а и б.
3.71. Волны напряжений и скоростей есть соответственно:
а = Ее = Е^ =
t - kz),u = — = - a; A sin (cut -
dt
поэтому плотность потока энергии q = — <тг/ равна
q = ЕкшА2 sin2(a;t - kz).
Средний за период колебаний поток энергии
q= ^
2
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 251
3.72. Решение. Стоячая волна смещений ?(z,t) (сумма бегущих навстречу друг
другу волн A cos(u)t — kz) и A cos(o;? + kz)) имеет вид
?(z,t) = 2A cos kz cos ujt.
Тогда волны скоростей и напряжений есть соответственно:
u(z,t) = — = —2uAcoskzsmcjt, o"(z,t) = —2ЕкA sin kz cos ujt.
dt
Отсюда поток энергии q = —аи равен
q = — ЕшкА2 sin 2kz sin 2ujt.
Расстояние между сечениями, поток энергии через которые равен нулю: z® = — =
2к
= —. Например, поток энергии равен нулю через сечение z = 0 и сечение z = zq .
4
Плотность упругой энергии
w = ^ри2 + i^cT2 = 2А2(рш2 + ?Jfc2) cos2 ibsin2 kz,
а полная энергия упругой волны между этими двумя единичными сечениями равна
? Г? 1 Г? 1
W = w(z)dz = 2pui2A2 cos2 kzdz sin2 ut + 2Ek2 A2 sin2 kzdz cos2 ut.
J L J J L J J
0 0 0
Или W = — [p— sin2 wt + ?^fe cos2 wt].
2 L fc J
Так как = Ьк = uj\/ Ьр, то окончательно находим
w = —
Как и следовало ожидать, энергия в этом участке стержня остается постоянной,
неизменной во времени величиной, и лишь преобразуется из одного вида в другой.
Первое слагаемое
W = —Ек sin2 ojt
2
описывает закон изменения во времени кинетической энергии, а второе
W = — Ек cos2 out
2
— закон изменения во времени потенциальной упругой энергии.
3.73. Возможные типы стоячих волн в стержне с закрепленными концами
удовлетворяют граничным условиям ?@, ?) = ?(L,t) = Ои имеют вид
t ( л\ о • fП7Г \ • л П7Т Е
4n(z, t) = 2а sin I —2 I sincjnt, где
\ L J
3.74. Энергии возможных типов колебаний (см. решение зад. 3.73) Wn =
= a2WnV, где V — объем стержня. Наинизшую энергию имеет тип колебаний
n = l; Wl=a2(-Y-V.
\Lj р
252 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.75.1/1 =v/BL) = 16 Гц.
3.76. Скорость распространения волн в струне v = \/а / р. Частоты собствен-
собственных типов колебаний
v па
Un = П = а -.
2L 2L у р
3.77. Частота первой гармоники
_ v _ 1
2L 2L
где а — сила натяжения, отнесенная к единице площади, р — плотность материала,
fi = pS — линейная плотность. Получаем
F = 4L2i/i/i = 144 Н.
3.79. Решение. Пусть падающая на границу раздела двух сред волна смещений
(она распространяется в первой среде) имеет вид
?i(z,t) = а\ cos(u)t — k\z).
Соответственно, отраженная волна ?[(z,i) и прошедшая во вторую среду волна
^[(Zjt) = a'i cos(a;? + kiz), ^(z, t) = п2 cos(a;t — k2z).
На границе z = 0 должны выполняться следующие условия: ?i@,?) + ?i@,?) =
= ^2@, t) (одно и то же смещение границы z = 0 выражается как через волновое
возмущение в первой среде, так и через волновое возмущение во второй среде).
Кроме того, упругая сила (на единицу площади), действующая со стороны
первой среды на вторую, равна по величине силе, действующей на первую среду со
стороны второй: <ti@, t) + cri @, t) = cr2@, t).
Оба эти граничные условия дают
где 7=4/ • Коэффициенты отражения R и прозрачности Т связывают средние
У Eipi
за период потоки энергии в отраженной и прошедшей волнах с потоком энергии в
падающей волне.
3.80. Из выражений для коэффициентов отражения и прозрачности (см. решение
зад. 3.79) следует
3.81. Решение. Из выражений для коэффициентов отражения и прозрачности
(см. зад. 3.79) следует, что при 7 = 1 (Eipi = Е2Р2) R = 0, Т = 1, т.е. волна
полностью проходит во вторую среду (нет отражения). При 7 = 0 и 7 = оо нет
прошедшей волны, т.е. волна полностью отражается R = 1, Т = 0
3.82. Решение. Действительно, при замене 7 на 1/7 (т-е- ПРИ замене местами
первой и второй среды) величины ДиГне изменяются:
I/7
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ253
3.83. Решение. При 7 = 4 / — < 1 (первая среда плотнее и (или) жестче, чем
вторая) амплитудный коэффициент отражения
= —- > О,
1 + 7
что означает синфазность колебаний в отраженной и падающей волнах. При j > 1
амплитудный коэффициент отражения отрицателен (амплитуды а[ и а\ имеют разные
знаки), что означает противофазность колебаний в отраженной и падающей волнах.
3.84. Решение. Из выражения для амплитудного коэффициента отражения:
1 + 7
следует, что при j = 0 а[ = а\ — колебания смещений в падающей и
отраженной волнах синфазны на границе раздела и стоячая волна смещений:
?(z,t) = 2а cos kz cos шг имеет пучность на границе z = 0, при этом стоячая
волна напряжений (давлений): Р = —а = —Е— = 2акЕ sin kz cos out имеет на
границе узел.
При 7 = оо «1 = ~a'i — колебания смещений в падающей и отраженной
волнах противофазны, поэтому стоячая волна смещений: ?(z, t) = 2а sin kz cos cut
имеет в этом случае узел на границе, при этом стоячая волна напряжений (давлений):
Р = —а = ~Е— = 2акЕ cos kz cos out имеет на границе пучность.
3.85. Решение. При падении волны, бегущей в воздухе, на поверхность воды
велико, коэффициент отражения близок к единице, однако колебания смещений
в падающей и отраженной волнах противофазны (см. решение зад. 3.84) и
на поверхности воды имеем узел смещений и пучность давлений. Поэтому
амплитуда колебаний давления в волне, прошедшей в воду, почти вдвое больше
амплитуды давления в волне, падающей на поверхность. Если же звуковая волна,
бегущая в воде (излучаемая говорящими рыбами), падает на границу с воздухом,
то г с^ 1 > 0 — на границе возникает узел давления (точнее, амплитуда колебаний
давления, равная разности амплитуд в падающей и отраженной волнах, очень
мала — много меньше амплитуды колебаний давления в падающей на границу
раздела волне). Столь же малую величину имеет и амплитуда колебаний давления
в волне, прошедшей в воздух.
6. Электромагнитные волны
3.86. Связь между полями Е и В имеет вид Е = В.
3.87. Волна бежит слева направо, т.е. в положительном направлении оси z.
При изменении направления полей либо Е, либо В, направление распространения
волны изменится на противоположное.
3.88. a2=ai + a22 + 2а1п2 cos(^ -<pa),tg>p=
а\ cos (pi + <i2 cos (р2
254 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.89. Результат суперпозиции Е двух волн Е\ и Еъ с близкими частотами ш и
ш + Q, бегущих в одном направлении, есть
Е = ао cos(u)t — kz) + ao cos[(u) + O)t — kz] = 2ao cos — cos (ш-\ )? — &?,
^ ^/ё/J Ot r/ O\ l
В = -?—?7 = 2a0 -— cos — cos \{ш -\ )t — kz\.
с с 2 LV 2' J
Объемная плотность энергии колебаний равна
1 ^2 1 В2
Е \
2 2/х/хо
2 Ш 2 Г/ , О\ 1
cos —cos \[uj -\ )t — kz\,
2 LV 2/ J
— 2 2^*
а средняя за период величина w: w = 2ееоа cos — одинакова при всех z.
3.92. Результат суперпозиции — стоячая волна: Е = 2а cos kz cos wt, В =
= 2 —— a sin fcz sin out.
с
Амплитуды колебаний полей Е и В: E®{z) = 2а cos kz, Во = 2^~—a sin kz.
с
Фазовый сдвиг равен тг/2. Расстояние между ближайшими узлами равно А/4.
3.93. Результат отражения — стоячая волна с узлом электрического поля и
пучностью магнитного поля на поверхности проводника (z = 0): E(z,t) =
= 2а sin kz sin u;t, B(z, t) = 2^»—a cos kz cos o;t.
с
mr™ 1 sin(cj? — kzz\ где fez =
_ ^
2
7Г
Фазовая скорость волн
с Л 2тгс
^=, где Ло = .
V2dy
Длины волн
где Ло — длина волны в свободном пространстве. Критическая частота сс?кр =
с ,
= к — , где a — расстояние между стенками волновода, параллельными полю Ьх.
d
Электромагнитные волны в волноводе не являются поперечными.
(\ 2
1 . Для воды р = 2, для стекла р = 4.
п + 1/
Указание. Используйте граничные условия — равенство тангенциальных ком-
компонент векторов Е и В по обе стороны от границы раздела.
3.96. а = — = 0,96.
( 1J
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 255
3.97. Указание. Следует учесть, что поперечные сечения h и h падающего и
h h п
преломленного пучков света связаны соотношением: = , где аир
cos a cos /3
соответственно угол падения и отражения.
3.98. Угол полной поляризации отраженного света (рв (угол Брюстера) опреде-
определяется формулой tg у?Б = Щ степень поляризации преломленного света
где 18 п. 1Р — соответственно интенсивности компонент электрического поля,
параллельного и перпендикулярного плоскости падения.
3.99. Из выражения для амплитудного коэффициента отражения: г = =
1 + 71
= следует, что при в\ < 62 (т.е. п = — > 1) г < О — фаза колебании
711 + П<1 П2
меняется на тг, а при е\ > еч (т.е. п\ > пг) г > 0 — фаза не меняется.
3.100. Указание. Граничные условия для нормальных и тангенциальных ком-
компонент поля Е определяются из соответствующих уравнений Максвелла (теоремы
Гаусса и теоремы о циркуляции).
7. Интерференция волн. Когерентность
3.101. Решение. Максимумы интенсивности соответствуют синфазному сло-
сложению волн, одна из которых падает на детектор непосредственно, а вторая —
после отражения от поверхности воды. При этом следует учесть, что в случае, когда
вектор Е в падающей волне перпендикулярен плоскости падения (так называемая
горизонтальная поляризация), отражение происходит с изменением фазы на тг, что
соответствует изменению разности хода на А/2. В этом случае условие максимума
имеет вид 2hsma = тХ + А/2 (га = 0,1...), откуда а\ = A/4/i. В случае,
когда вектор Е лежит в плоскости падения, изменения фазы при отражении не
происходит (так как в этом случае требуемое граничное условие — равенство
нулю тангенциальной компоненты вектора Е на поверхности проводника —
автоматически выполняется). При этом условие максимума имеет вид 2h sin a =
= raAi, откуда а± = 0, «2 = X/2h = 2°40;.
3.102. Решение. Для малой излучающей площадки dtp, имеющей угол возвы-
возвышения ф (так же, как для точечного излучателя), интенсивность принимаемого
сигнала равна dl = 21'dtp 1 + cos f —h cos ф) , где 2 — Л, cos ф — разность фаз
интерферирующих волн, I — интенсивность волны, приходящей с площадки
единичного углового размера. Интегрируя последнее равенство по ф в пределах
от а — ф/29 до а + ф/2 (ф — угловой размер источника) и полагая ф малым,
получим
7 = 27. 11
sin 2жф [ —
где /о — интенсивность принимаемого сигнала в отсутствие отражения от
, . A sin [2жф (h/X)]
поверхности воды. При ф ^ — множитель ^—— становится малым.
2h 2тгф (h/X)
Интенсивность в этом случае с± 2/о и не зависит от угла возвышения а.
256 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.103. Uo ~ 1 + cos | J, где а = uj3t, ш3 — угловая скорость вращения
V А /
Земли.
3.104. Колебания некогерентны — интенсивность суммарного колебания равна
сумме интенсивностей слагаемых колебаний: I = З/о.
3.105. Решение. Уравнения слагаемых плоских волн имеют вид
Е\ = Eq cos(u)t — к sin a • ж), Е2 = Eq cos(ujt + к sin a • х).
Интенсивность суммарного колебания в любой точке фиксированной плоскости
наблюдения z = const есть I = 2/о[1 + cosB^sino; • ж)]. Расстояние между
соседними максимумами находим из условия 2к sin а • Ах = 2тг. Откуда
Л Л Л
Ах =
2 sin o: sin (f/2
При малых (р получим Ах ~ Х/<р.
3.106. Ax = , где 0 — угол между нормалью к плоскости наблюдения и
(fi COS в
биссектрисой угла между интерферирующими пучками.
3.107. А = — = 5 • 10~5 см = 5000 А.
а
3.108. Указание. На призму (после линзы) падает параллельный пучок света,
угол преломления которого призмой (с малым преломляющим углом а) равен ip =
= (п — 1)а, поэтому угол схождения интерферирующих волн равен 2(р. Получаем
(см. зад. 3.105):
л А _ „_ дг AL(n — 1Jа2 .„
Ах = = 0,05 мм N = — = 10.
2(n-l)a A
3.109. Максимальное число полос N = (п — 1)— получается при удалении
А
экрана на Lq = = 20 м от бипризмы. Полосы исчезнут при удалении на
4(п — 1)а
Г ^> 2 Г
3.110. Амплитуда излучателя 3 должна быть в \/2 раз больше амплитуд
излучателей 1 и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под углами в =
= ±60° к линии, соединяющей источники.
3.111. Воспользуемся условием га(А + 5Х) = (га + 1)А (га-й максимум
интенсивности для линии А + SX совпадает с (т + 1)-м максимумом для линии А),
откуда
т 980
3.112. Расстояние d между щелями должно быть меньше радиуса когерентности
р = А/а, d < А/а с± 0,05 мм.
3.113. L > fda/X ~ 100 см (см. решение задачи 3.112).
3.114. Ъ ^ 2dl/d2 = 0,1 см.
Указание, Расстояние cfe должно быть меньше радиуса когерентности с?2 ^
^ (X/b)L. Длина волны находится из условия 2у L2 + d\ — 2L = А/2 (условие
минимума при d = di), откуда di/L ^ А/2.
3.115. Решение. Полоса пропускания спектрального прибора А А должна быть
достаточно малой, чтобы для выделенного спектрального интервала разность
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
257
л2
хода А была меньше длины когерентности А ^ —, откуда
АЛ
^, Д50
А АЛ Л
3.116. Решение. Используется спектроскоп, разрешающая способность ко-
которого не меньше величины R = А/Л (см. зад. 3.115). При перестройке
спектроскопа с линии А (А = (га + 1)Л) на линию А + А А (А = га (Л + АЛ))
получаем (га + 1)Л = т(Х-\- SX), откуда га = А/АЛ и окончательно
Л2 с
АА с± тХ = — = — = 30 нм.
АЛ Аи
3.117. АЛ = Л/га, где га — максимальный порядок интерференции. Как видно
из графика, га ~ 5. Апертура интерференции определяется видностью нулевой
полосы
о °'5Л 1п-з
О = ^ 10 рад.
6
3.118. Решение. Из графика определяется видность нулевой полосы:
V =
3,3 + 0,7
откуда ж = = — иЬ = — = 2,5-10 см. Немонохроматичность определяется
Х/Ъ 2 2п
максимально различимым порядком интерференции га ~ 10 и А А ~ — ^50 нм.
3.119.
3.120.
V =
iax ^min
lax ~\~ ^niin
V =
smGrbd/AL)
(тгЬс1/ЛЬ)
где А — разность хода.
3.121. При расстоянии между внешними зеркалами М\ и Мг, равном радиусу
когерентности D = Х/ф (ф — угловой размер источника), полосы исчезают, откуда
ф = X/D = 0,0047/;
3.122. Решение. Направление а на нулевой максимум (главный лепесток
диаграммы направленности) определяется условием: (р — —dsina = 0 (раз-
А
ность фаз волн от двух соседних излучателей в направлении а равная —dsina,
л
скомпенсирована начальной разностью фаз (р, d — расстояние между соседними
вибратотами ). При а = Ш получаем
(p(t) = —dsinQt.
л
17 Задачник
258 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.124. Решение. Разность хода волн, отраженных от нижней и верхней поверх-
поверхностей пластинки, равна А = 2hn cos ф, где ф — угол преломления, га-й порядок
интерференционных полос определяется условием А = гаА, откуда т = .
А
Максимальный угол преломления ф (и, следовательно, минимальное значение га)
отвечает максимальному углу падения на пластинку, равному тг/2. При этом sin ф =
= —, cos ф = — уп? — 1, и мы получаем
п п
2hVn2 - 1 _ОЛ 2hn ^^
mm* = ^ 720, mmax = ~ 1000.
А А
Максимально допустимая разность хода Атах связана со степенью монохроматичыо-
А2 А
сти условием Атах — —, откуда АЛ с± ~ 1,4 нм. Апертура интерференции
А А ттах
в этом эксперименте равна нулю, поэтому нет серьезных ограничений на размеры
источника.
3.125. Решение. При сложении трех плоских волн с комплексными амплитудами
1, а, а (а <С 1) получаем
Iikz , г (к sin си-ж + fc cos a-z) , г( — к sin а-ж + fc cos a-z)
? 2
= ekz 1 + 2ae 2 - cos(ksina • x)\.
Отсюда интенсивность (квадрат модуля комплексной амплитуды) с точностью до
членов порядка а равна
г -1 л (ко2
I с± 1 + 4а cos
V 2 )
Максимальный контраст наблюдается в плоскостях z = const, где zm = тж,
2
mX
откуда zm = • При этом контраст равен
а2
у _ 1шш - /min _ 4fl>
¦*max I -*min
Минимальному (нулевому) контрасту соответствует условие
ко2 ( 1\ (ш + 1/2)Л
z = ( га + - )тг, откуда zm = ^^•
2 V 2/ а2
8. Дифракция волн. Разрешающая способность спектральных
и оптических приборов. Пространственная фильтрация.
Голография
3.126. Решение. На спирали Френеля амплитуда колебаний в отсутствие экрана
определяется длиной вектора Ао, вклад первой зоны Френеля определяется век-
вектором Ai (проведенным из начала в конец полувитка), следовательно, вклад всех
зон Френеля за исключением первой закрытой зоны изображается вектором А (см.
рис. 3.13;), длина которого равна длине вектора Ао. Соответственно, интенсивность
равна интенсивности в отсутствие экрана.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
259
А?
Рис. 3.13'
Рис. 3.141
3.127. Решение. Вклад небольшого нечетного числа зон Френеля изображается
на спирали Френеля вектором Ai (см. рис. 3.14;). Напомним, что каждый элемен-
элементарный вектор на векторной диаграмме, изображающей спираль, является вкладом
вторичных источников, лежащих внутри тоненького колечка, на которые разбит
волновой фронт в плоскости препятствия, центр этого колечка лежит на прямой
ОР. Спираль составлена из этих элементарных векторов. Если половина площади
колечка перекрывается непрозрачным экраном, то длина элементарного вектора
уменьшается вдвое (вдвое уменьшается число вторичных источников, дающих
синфазный вклад в суммарное колебание), при этом направление элементарного
вектора остается неизменным. Суммарный вклад всех элементарных векторов,
составляющих небольшое нечетное число зон Френеля изображается поэтому
вектором того же направления, что и вектор Ai, однако имеющим вдвое меньшую
длину: вектор А2 на рисунке, который совпадает с вектором Ао, изображающим
колебание в отсутствие препятствия. Поскольку вклад всех зон, за исключением
небольшого нечетного числа зон, изображается вектором А, имеющим ту же длину,
что и вектор Ао, но противоположно направленным, то амплитуда суммарного
колебания равна нулю и интенсивность равна нулю.
3.128. При четном N прозрачная часть диска вносит дополнительную разность
хода, равную (п — 1I = тХ (га — целое число) и дополнительную разность фаз,
равную 2жт, т.е. не изменяет фазовые соотношения, поэтому (см. зад. 3.126) 1 = 0.
При нечетном N вектор А2 изменяет направление на
противоположное, поэтому А = 2А2 и I = 4/q.
3.129. Амплитуда колебаний в точке наблюдения
увеличится в у/3 раз, а интенсивность в 3 раза.
Указание. Вклад 1/3 части первой зоны Френеля
изображается вектором А (см. рис. 3.15;).
3.130. h = -Л.
8
и, и 4
3.131. — ~ — с± 10 .
Eq XR
3.132. L*(*'
h \XR
= 1,5 • 107, b = — ~ 1(Г3 см.
D
Рис. 3.15!
3.133. Для снятия диаграммы направленности необходимо удалить приемник в
зону Фраунгофера.
3.134.1@) =
fkb
sin — sine?
3.135.1 = /о
4Я4
fkb .
[ — sin 0
2
/Nkd
<4
¦ sin в
(kd
sin —
17*
260 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2d2
3.136. zm = га = га • 50 м (га = 1,2,...), (Эффект Талбота).
А
3.137. D ^ 1,22— = 16,8 см; / ^ — = 50 см; - = -.
I N1 ' / 3
3.138. / ^ 40 см; D ^ 10 см; т ~ 2,5 • 10^3 с.
3.139. I ^ 1,22 —, где L — расстояние от Земли до Марса. Полагая А =
= 5 • 10™7 м, находим I ^ 28 км.
3.140. г ^ д/0,01— ~4м, где L = 4 • 103 км — расстояние до Луны.
3.141. ?0 = 1,22— = 0,023/;.
D
3.142. Решение. Мощность излучения, падающего на спутник: Ni = N ———,
^ D '
а отраженная мощность Nf = pN. Мощность, падающая на объектив телескопа,
принимающего излучение, равна
Из условия N2 ^ iVnOp находим
3.143. L ^ — 4 / — ^ 3,2 • 10 км, где h — постоянная Планка.
с V nh
3.144. Освещенность изображения дневного неба (как протяженного источника)
ф 2
In = — ~ D , где Ф — световой поток, падающий на объектив, S — площадь
S
изображения, не зависящая от диаметра объектива. Освещенность изображения
звезды I ^j D45 поскольку площадь изображения (дифракционного пятна) S <^>
'А/\2 1
— ~ — получаем
¦ D ' D2
3.145. R= — ~ 1000.
SX
3.146. А = 0,573 А.
3.147. т= -.
Ъ
3.148. Dmin = —, /min = —L = 125 см.
2АА d
3.149. т = — ~ 36300.
А
3.150. — ~ , где L — расстояние между зеркалами интерферометра,
R — коэффициент отражения зеркал.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 261
3.151. Решение. Добротность колебательной системы Q связана с потерями
W
энергии за один период колебании AW равенством Q = 2тг , где W — энергия
AW
колебаний. Потери энергии при полном обходе волны через интерферометр туда-
обратно (т.е. при двукратном отражении от зеркал) равны AWi = 2WA — R)
(при условии, что коэффициент отражения R близок к единице). Поскольку время
полного обхода равно 2L/c, а период колебаний Т = А/с, то потери энергии за один
период есть —AW. Окончательно находим
2L
АA - R)
Ширина резонансной кривой связана с добротностью равенством:
откуда
2жЬ и 6и= — =0,05 МГц, Аи= — = 150 МГц.
Q 2L
, ц,
ёи АA - R) Q 2L
3.152. Указание. Интервал между спектральными линиями не должен превы-
А А А2
шать области дисперсии: А А ^ — = = —.С другой стороны, интервал
m BL/A) 2L
АХ должен разрешаться интерферометром: — ^ . Из этих двух условий
получаем
bmin ~ 0,0085 см, Lmax ~ 0,53 см.
3.153. Лтах~ — = 5-Ю5.
Ad
3.154. Максимальный диаметр проволоки должен быть меньше расстояния
между дифракционными максимумами ± первого порядка dmax < 2А//Л =
= 10™2 см. Минимальный размер определяется шириной дифракционного мак-
о \ f
симума. Проволока должна его перекрыть полностью dm[n ^ = 10~3 см.
3.155.1{х) = 1 + 2m cos Qx (для пластины тг/2),
1(х) = 1 — 2m cos Ож (для пластины Зтг/2).
При введении пластинки с коэффициентом поглощения кп контраст увеличится
в A/кп) раз.
3.156. Указание. Разность фазовых набегов плоских волн, одна из которых
распространяется вдоль оптической оси z, а две другие — под углами sin a =
= ±\/d, равен
Atp = kz — к cos a • z = kz(l — cos a) ^ z = тг —.
При А(р = тг/2 + 2жп фазовая решетка превращается в амплитудную.
3.157. т(х) ~ 1 + cos ( kL -\ ). Минимальный размер голограммы ат\п =
V 2L /
= nXL, размер восстановленного изображения Ъ с^ 1/п.
3.158. Решение. При записи голограммы предмета, находящегося на расстоянии
L от голограммы, разность хода не должна превышать длину когерентности А ^
г2 A2 2LX2
с± — ^ —, откуда А А ^ = 0,2 нм.
2L АХ г2
262
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.159. D > XL/b = 2,5 см, АЛ < Sb2/L = 1,6 нм.
3.160. d ~ aL = КГ2 см, АЛ ^ 2а2L ~ 2 • 10~3 см.
3.161. d ~ л/ьКЩ ~ 10 см, ?> ~ XL/d ~ 6 см.
9. Фазовам и групповая скорость. Дисперсия
3.162. Решение. Суперпозиция волн s\ = a sin(ujt — kx) и si = a sin(a/i — k'x)
есть
. Suj Sk , .
= 2а cos I —t x ) sin
2 2
-t-
2 2
где Sou = a; — a/, Sk = k — k'. При a; c^ a/ и A; c± fc; имеем
s = 2a cos —t x smfcjt — kx).
V 2 2 У
Групповая скорость — это скорость перемещения огибающей, описывающей супер-
суперпозицию гармонических колебаний (например, скорость, с которой перемещается
максимум амплитуды):
A(t, х) = 2a cos
Suj 5k
— t x
2 2
Из условия Euj/2)t — (Sk/2)x = const находим
dx Suj uj — u/
U = = 2^ .
dt Sk к- к'
3.163. Используя выражение для фазовой скорости v = —, находим
к
duj d , , ч , dv x dv
и = — = —(vk) = v + «fe— = г; — Л —.
dk dk dk dX
jj с dv dn . v 1
Далее, так как v = ™,то — = nav = an, откуда находим
n v n n
I X dn
и = v 1 1 H
\ n dX
3.164. Решение. Из графика (см. рис. 3.41) следует v = О А + Л tg а, где а —
угол наклона касательной в точке Ло, т.е. tg a =
v(X-AX) = ^в получаем О А = v - Л^ = и.
dX dX
3.165. Решение. Рассмотрим две произ-
произвольные монохроматические компоненты воз-
возмущения с длинами волн Л и Л — АЛ
(рис. 3.16'). Суперпозиция этих компонент
восстановит свое взаимное расположение (и,
следовательно, свою пространственную фор-
форму), когда волновой фронт А волны с длиной Л,
двигаясь со скоростью v(X) догонит волновой
фронт А1 волны с длиной Л — АЛ (он переме-
перемещается с меньшей скоростью г; (Л — АЛ)). Мы
получаем АЛ = [г;(Л) — г;(Л — ДА)]т, откуда
АЛ fdv\^1
т = — =1 — 1 . Через время г точка
Дг> ^dX'
Рис. 3.16'
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 263
суммарного волнового возмущения О с фиксированной амплитудой колебаний
(равной нулю), переместится на расстояние s = vr — А. Мы получаем — = v =
т т
= v ~~ \Ъ = а. И так как гг = г; — А— = а + ЬА ^ ЬА, то — = гг.
dA т
3.166. Решение. Для закона дисперсии п2(ш) = 1 — шр/ш2 имеем
или
/ 2 \
с2^2 = cj2(l- -M =cj2-cj2.
Дифференцируя последнее равенство, находим 2c2kdk = 2ш2с1ш. Окончательно
получаем связь между фазовой и групповой скоростью uv = с2, поэтому имеем
и = с2 /v = с sin a.
3.167. е = 1 -, где шр = , N — концентрация электронов, т — масса
ш2 som
электрона.
3.168. Показатель преломления п < 1 для радиоволн в ионосфере и для
рентгеновских волн (см. задачи 3.166 и 3.167).
3.169. Мнимость показателя преломления означает, что волна не может рас-
распространятся в среде при ш < шр (ее амплитуда экспоненциально спадает по мере
проникновения в среду.
/ 2
3.170. Указание. При ш > шр показатель преломления п = Wl действи-
у ш2
тельная величина — волна проходит через ионосферу без поглощения. При ш < шр
п — чисто мнимая величина (действительная часть показателя преломления п =
= п' + in" равна нулю), т.е. имеет место полное отражение при любом угле падения.
Предельное значение частоты ш = шр = л / определяется максимальной
У еот
величиной концентрации свободных электронов на некоторой высоте, далее которой
волна не распространяется.
2 "I
3.171. Диэлектрическая проницаемость плазмы е = п =1 -, где шр =
ш2
[
плазменная частота, откуда
3.173. Импульс радиоизлучения распространяется с групповой скоростью гл =
/i w? 2 iVe2 n , ,. dx
= с 4 /1 -, где шр = . Расстояние ах импульс проходит за время at = —,
V ш2 еот и
Фазовая скорость v = с/п = 3,3-10 м/с, групповая скорость и = с /v ^
~ 2,7 • 108 м/с.
3.172. и =
264 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
поэтому полное время распространения импульса t = —. Используя полученные
J и
выражения, находим
п = N(x)dx =
е2 -15
где го = = 2,8-10 м — классический радиус электрона.
42
3.174. L = ^— (см. задачу 3.170).
N2 \ \
Ne2
- v
3.175. Разность фазовых набегов между любой га-й гармоникой и основной
(первой гармоникой) периодического сигнала: А(рт = [к(тшо) — к(шо)]Ь =
= ??(т4 — 1)u)qL. Выберем частоту повторения ш® так, чтобы BojqL = 2тг, т.е.
j = Тогда А(р = 2ж(т4
q . Тогда А(рт = 2ж(т4 — 1) кратно 2тг для всех т, т.е. повторяется
BL
неискаженная форма сигнала. Таким образом
10. Поляризация. Элементы кристаллооптики.
Нелинейные оптические явления
3.176. d = = 0,0014 мм.
4(пе - По)
3.177. Решение. Пластинка должна служить пластинкой в Л/4 для длины волны
Ai, и одновременно пластинкой А/2 для длины волны А2:
And = raAi H—- = т\2 -,
4 2
откуда тёк = —, где 5Х = Аг — Ai, т с± с± 10, d = 0,003 мм.
4 46Х
3.178. А = (по — ne)d = 5,16 мкм.
3.179. d = = 0,027 мм.
4(щ - п2)
3.180. В стекле и фарах автомашины разрешенные направления поляроидов
должны быть параллельны между собой и составлять угол 45° с горизонтом, при
этом у всех машин они должны быть повернуты в одну и ту же сторону (считая по
ходу машины).
3.181. При введении пластинки в полволны интерференционные полосы сме-
смещаются на половину ширины полосы, при повороте поляроида на 90° полосы
смещаются на половину ширины полосы в противоположную сторону (относи-
(относительно начального положения). Если поляроид убрать, то положение полос не
изменится, а интенсивность возрастет вдвое. При введении пластинки в А/4 полосы
смещаются на четверть ширины полосы. Если в этом случае убрать поляроид, то
интерференционные полосы исчезнут.
3.182. Решение. При первом положении николя 1\ = 1П + —, а при втором 1^ =
2
Т 4 1
= /п COS2 F0°) + —. ПО УСЛОВИЮ, h = 2J2, ОТКуда /п = /е, /max = -In, Imin. = -^п,
2 2 2
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 265
=3.
следовательно
А=- —
2' / •
3.183. h/h =0,5.
3.184.(^ = 45°.
/к _ sin2 a - (F/100) _ 1
# /л Р/200 2 *
3.186. С помощью пластинки в А/4 и поляроида. После прохождения пластинки
свет становится линейно-поляризованным, причем направление колебаний вектора
Е составляет угол ±45° с осью кристалла. Далее направление колебаний определя-
определяется с помощью поляроида.
3.187. Поставим на пути света пластинку в А/4 и николь (поляроид). Если при
вращении николя (и любом положении пластинки) интенсивность не меняется, то
свет естественный, если меняется и падает до нуля — поляризованный по кругу,
если меняется, но не падает до нуля — частично поляризованный.
3.189. А = 5,16 мкм.
3.190. d = = 0,027 мм.
4(щ - тг2)
3.191. d = 0,07 мм. Указание. Пластинка кварца должна быть пластинкой в А
для линии Ai, и пластинкой в А/2 для линии Аг.
3.192. Оптическая ось пластинки должна быть ориентирована под углом 45°
к разрешенным направлениям поляроида, причем для одной из линий дублета она
должна быть пластинкой в А/2, а для другой — пластинкой в А.
3.193. а/Ь = v3, (p = 53°. Указание. Эллиптически поляризованный свет
оказывается линейно поляризованным при прохождении пластинки в А/4 лишь
в том случае, когда оси эллипса ориентированы вдоль главных направлений
пластинки. В этом случае сдвиг фаз между двумя взаимно перпендикулярными
колебаниями, происходящими вдоль главных направлений и равный тг/2 либо
компенсируется пластинкой, либо дополняется до тг — в любом случае свет
становится линейно поляризованным.
3.194. Свет на выходе пластинки оказывается неполяризованным, если, во-
первых, разность хода двух взаимно перпендикулярных компонент светового пучка,
ориентированных вдоль главных направлений пластинки, окажется больше длины
когерентности (no — ne)d ^ А2/ДА и, во-вторых, амплитуды колебаний этих
компонент равны, т.е. а = 45°,
d ^ = 1 мм.
АА(тго — пе)
3.195. Разложим световую волну на две компоненты с взаимно перпендикуляр-
перпендикулярной ориентацией плоскости колебаний вектора Е (направления колебаний совпа-
совпадают с главными осями пластинки). При введении пластинки интерференционные
полосы от каждой компоненты сместятся, причем разность смещений окажется
равной половине ширины полосы, если использовать пластинку в А/2 — полосы
исчезнут, а при введении поляроида появятся вновь. Исключение составляет случай,
когда разрешенное направление поляроида составляет угол 45° с осями пластинки.
В этом случае полосы наблюдаться не будут.
,max
п- 1 8
3.197.1= i/0.
2
3.198. /3 = -.
3
266 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.200.1 = N2Iq, где /о — интенсивность падающей на пластинку волны, N —
число зон Френеля.
3.201. Уменьшится вдвое независимо от поляризации падающего света.
3.202. Решение. Линейно поляризованный свет после прохождения полярои-
поляроида 17 можно рассматривать как суперпозицию двух волн, в которых колебания
вектора Е совпадают с одним из главных направлений пластинки из кварца
(и имеют одинаковые фазы и амплитуду А = —, Ао — амплитуда падающей на
А
поляроид волны). Для луча, проходящего клин на расстоянии х от ребра, разность
хода этих волн равна А = ах(по — пе), а разность фаз ip = ках(по ~~ пе). После
прохождения второго поляроида эти волны создают два одинаково поляризованных
(вдоль разрешенного направления поляроида) колебания, которые имеют амплитуду
— = (и интенсивность I = —) и интерферируют на экране Э. Мы получаем
лД 2лД 8
1(х) = 2/о[1 + cos(f(x)] = — {1 + cos[kdx(no — пе)]} .
4
При установке линзы с фокусным расстоянием F получим на экране два светлых
пятна на расстоянии L = а (по — ne)F.
2
3.203. R = ^ = 3 м.
3.204. Пороговая мощность Рпор с± —— = 0,4 ¦ 108 Вт.
16П2
Глава TV
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
1. Атомные спектры и планетарнам модель атома
43. 0,53 и 0,11 А; 13,4 эВ и 33,5 кэВ.
4.6. 8210 А.
4.7. Решение. АЕ ос 1/п2 - 1/(га + IJ ос 1/А,
A2/Ai = [(fii) - (ni + iy2]/[(n2y2 - (па + I)] ~ E/36)/[2n2/(n2L
n2 = [B • 0,49 • 36)/E • 6,56 • 10™7)]1/3 ~ 220.
4.8. 1216 A, 1026 A, 6563 A.
4.9. v = 1,9 • 108 см/с, А = 1216 A.
4.10. E = 122,2 эВ.
4.11. 1850.
I I
4.12.Решение, <bpdq = ФМdtp = 2ttMz = 2тгп!г; mz = n/i.
2. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения
4.13. Решение. Пусть W — мощность лампочки, L — расстояние между
лампочкой и катодом, d — диаметр атома тантала. За время t энергия, накопленная
в атоме, равна (И/Г/4тгЬ2)(тгс12/4)?. Для вылета фотоэлектрона необходимо, чтобы
эта энергия была не меньше работы выхода Р, т.е. t > ШРЬ2 /Wd2 = 455 с.
4.14. Решение.
тжг , с wd2 4WX
W = h — n , п = ,
А 4 7rd2hc
где п — плотность потока фотонов, с — скорость света, h — постоянная Планка.
4.15. 0,2%.
4.16. 2,03- 10~6Н/м2.
4.17. 3,5 • 10~6 Н/м2; 7 • 10~6 Н/м2.
4.18. 2620 А.
4.20. А = 2,29 эВ; v = 5,4 • 107 см/с.
4.21. 2,3 • 109 см/с.
4.22. 1,25 В.
4.23. Решение. Выбитые светом электроны не должны уходить на оо, т.е.
eFmax = Екшя = ^^Р; Vmax =l(*^-p)= 1,22эВ.
4.24. Решение. Такая волна является суперпозицией синусоидальных волн с
частотами О и О ± ш. Энергии соответствующих фотонов равны Ml = 13,2 эВ,
h(Q — oj) = 11,9 эВ и h(Q -\- lj) = 14,5 эВ. Таким образом, энергия фотоэлектронов
W = h(Q + w)-Wi = l эВ.
4.25. Решение. Рассмотрим сначала нерелятивистский случай. Пусть в выбран-
выбранной нами системе координат электрон до столкновения покоился (такой выбор
никак не ограничивает общности рассмотрения). Законы сохранения в этой системе
выглядят следующим образом:
, mv2 hu
аи = , — = mv.
2 с
268
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Деля первое соотношение на второе, имеем v = 2с, т.е. получаем нефизический
результат, так как скорость электрона после поглощения не зависит от частоты (т.е.
энергии) кванта, да и к тому же принимает знчение 2с! Теперь покажем, что и
релятивистское рассмотрение не спасает дела:
, 2 ^nc2 hu тс/3
hu + тс = — , — = —,
Отсюда немедленно следует, что
= 1 или
= 1,
что может иметь место только при /3 = 0 или /3 = 1. Опять результат абсурдный.
Следовательно, использованные здесь уравнения несовместны. Это означает, что
процесс поглощения фотона свободным электроном невозможен, поскольку для
такого процесса не могут одновременно выполняться законы сохранения энергии
и импульса. Аналогично можно убедиться, что и излучение фотона свободным
электроном также невозможно.
4.26. Решение. Пусть (р и ф — углы падения и преломления соответственно;
при переходе через границу волновой вектор к изменяется в п раз, где п —
относительный показатель преломления второй среды относительно первой, т.е.
^2 = пк\. Тангенциальная составляющая импульса фотона в первой среде равна
hk\ sin (р, а во второй — Ъкъ sin ф = hk\ sin ф = hk\ sin ср (так как sin (р = п sin ф),
что и требовалось доказать.
4.27. Решение.
АХ = Ai - Ао = —A - c
тс
4.28. 0,05 МэВ
4.29. 0,16 МэВ; 0,14 МэВ.
430. Решение.
= 2,42-10^10(l-
Отсюда следует:
hu — hu'
В результате
hu' =
+ /3)
2тос2A - C) + Ahuy/l - (З2
Численные оценки дают:
Wk
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 269
или /З2 = 1 - 10, /3 = 1 - 0,5 • 10,1 - /3 = 0,5 • 10, hv = hc/X и 1,8 эВ;
и таким образом,
7 ,
М-Р
4.31. Решение. Разрешающая способность Л должна быть больше, чем
АЛ
где Л — комптоновская длина волны. Оцениваем R по формуле R = mN, где га —
порядок интерференции (в нашем случае т = 1), а N — число интерферирующих
лучей, равное b/d, где Ь — толщина кристаллической пластинки. В результате
получаем
, ^ Xd Xfnecd „ _ .
Ь ^ = = 11,4 мм.
2Asin2t?/2 2/isin2t9/2
432. Решение. Законы сохранения приводят к соотношениям:
hi/ = hv' + Г, где Т = л/р2с2 + т2с4 — шс2;
sin $ = р sin <?>;
с
— = cos # + р cos ср.
с с
Из последних двух соотношений получается
су \ с
что совместно с первым соотношением дает
'\2 /l..\2
(WJ = (/и/J +Г2 +2hv'T + p2c2 - 2hv'pccosLp^ 2Tpccos(p.
В результате
/ _ Т2 +р2с2 - 2Tpccos(^
По смыслу величина /iz/' положительна, и поскольку числитель этого выражения
всегда положителен, то должно выполняться неравенство pc cos ср — Т > 0 или
cos <р > Т/рс. Таким образом
2 2
тс тс
433. Решение. Из решения зад. 4.32 следует, что pccos^ — Т > 0. Отсюда
нетрудно получить, что в условиях настоящей задачи
\/р2с2 + т2с4 — шс2 < —,
2
2 2
2 2. 24^,РС, 2 . 24
р с + m с < Ь рстпс + яг с ,
4
270 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
откуда получается, что
рс 2 2
— < -тс .
2 2
В результате Т < -тс , то есть Т < 0,34 МэВ.
о
3. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей
434. Решение. Искомое разрешение АТ/Т = (Тф - Тк)/Тф; Тф « W7, TK =
= W7 - Wy, то есть АТ/Т = Wy/W1. А поскольку Wy = hc/(X + АЛ),
А = hc/Wj и АА = 2h/mc, то
AT _ W7/ _ Л 2И
Т Жу \ т<
436. 0,73 А, 1,4 А, 0,28 А.
437. 7,9 см.
438. Решение. Показатель преломления п = sin <p/ sin ^);, где sin (p = v±/v, и
sin (^; = vf±/v; при этом v^ = i;j_. Таким образом,
п = — = а = у 1,36 « 1,17.
v V WK
В случае полного отражения sin tp' = 1, и no = sin <p, то есть
Д , eU2 1 е172 3 тт
по = л/Ц = -, = --, 172 = 75В.
V WK 2 WK 4
439. Решение. Чтобы дифракция была наблюдаема, размер щели должен быть
порядка длины волны де Бройля, которая равна Л = h/mv, где m ~ 0,005 г. Таким
образом:
Л 6,6- 107 1П^26 m
Л = — ~ Ю смA).
5 • Ю-3 • 104
4.40. Решение. Максимальное различие результатов измерений времени распро-
распространения электромагнитных волн от Земли до Луны и обратно составляет At =
= 2(L + SL)/c — 2(L — SL)/c = 46L/с. В случае m1 ф 0 различие во времени
распространения с разными длинами волн равно At1 = 2L/v — 2L/vf « 2LAv/c ,
где г; и г/ — скорости фотонов, соответствующих разным длинам волн. Эти скорости
являются групповыми скоростями соответствующих волн де Бройля:
Угр = —\/р2
—\/р2с2 +
V
Таким образом, Av = v' — v = m7c3(A2 — X'2)/2h2. Но поскольку А> А; (А; лежит
в оптическом диапазоне), то Av = т^с3Х2/2h2 и Д?; = Lm^cX2/h2. Оценка
верхней границы т1 получается, если положить At1 = At, т.е. Lm^cX2/h2 =
= 2SL/c, откуда следует, что
cA
-4i
r.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
271
4.41. Решение. Диаметр пятна D складывается из ширины выходной щели Ь
и уширения пучка за счет его дифракции на щели. Последняя определяется как
LAp±/p. Величина Ар± оценивается согласно соотношению неопределенностей:
Ар± ^ h/Ъ. Таким образом,
D = b+^L, *°=o, l-«,
6/p db pb2
Поскольку p
2v^
2мкм.
4.42. Решение. Наибольшему углу отдачи в этом случае соответствует электрон,
первоначальный импульс которого ро перпендикулярен направлению движения
фотона. Величину ро оцениваем из соотношения неопределенностей: ро ~ h/a, где
а — размер атома (радиус первой боровской орбиты). Продольную составляющую
pi импульса электрона отдачи нетрудно оценить из закона сохранения импульса:
hu)/c = huj'/с + pi, откуда следует, что
_ 2wh 2тгН
Pl А Л + АЛ
Л
АЛ = — A - cos#) = — = 4,84 ¦ 10~12м.
тс тс
Следовательно,
4тта
= 0,16, т.е.
10°.
4.43. Решение. Изменение координаты частицы Axf в результате действия на
нее силы F в течение времени т равно Ft2 /2т. Обнаружить это изменение воз-
возможно, если оно будет превышать неопределенность координаты Ах по прошествии
времени t = т, которая включает в себя неопределенность Ажо в момент времени
t = 0 и неопределенность Ахр = Арт/тп, появляющуюся за время движения
г в результате существования неопределенности импульса Ар. Результирующую
неопределенность Ах находим по правилу сложения неопределенностей незави-
независимых величин, т.е. Аж2 = Ажц + Ах р. Поскольку Ар2 ^ h2 /4Axq, то Аж2 ^
^ Ажд + h2r2/4m2 Axq и минимальное значение Ах2, соответствующее значению
Ажц = hr /2т, составляет Fit/т. Следовательно, Ах% = F2t4 /Am2 ^ hr/m, и
таким образом, F ^ ^/Amh/r3.
4.44. Решение. Рождение виртуальной пары электрон-позитрон приводит к
неопределенности энергии АЕ ^ 2те с2. Соотношение неопределенностей энергия-
время дает оценку времени существования такой пары: т ^ h/2mc2. За это время
электрон пары может сместиться на расстояние в пределах
и представляет собой неопределенность координаты электрона, т.е.
4.45. АЕ = 6,7 • 1(П8 эВ, АЛ = 1,9 • 1(П4 А, Ах = 300 см.
4.46. Решение. Угол (р между направлениями излучения и движения электрона
в рассматриваемом случае определяется условием cos (p = c/nv. Поэтому неопре-
неопределенности этого угла и скорости электрона связаны соотношением
smtpAtp =
ст, что по существу
Ах ~ h/2mc.
Находясь в слое вещества толщины 6, электрон имеет неопределенность импульса
. где n = 1,2,3,...; при n = 1 tpi = 0,1 мрад.
272 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ар ~ h/b и неопределенность скорости Av ~ Н/теЪ. Отсюда следует оценка
неопределенности угла <р:
4.47. sin — =
4. Уравнение Шредингера. Операторы. Туннельный эффект
4.48. а)Решение. ( —хф) = ф + ж— = (l + ж— )ф.
^dx ' dx ^ с?ж^
4.49. B — ж2) cos ж — Ах sin ж.
4.50. A + Зж + ж2)еж.
4.52. Решение. Для плоской волны ф = exp(ifcz) по определению потока
получается, что jx = jy = 0, и jz = hk/m = Pz/тп = vz. В случае сферической
расходящейся волны ф = A/kr) exp(ifcr) вектор плотности потока направлен по
радиусу-вектору г. Так как радиальная компонента вектора А есть д/дг, то по
определению потока получаем
. _ hk 1 г
или, поскольку к || г:
(кгJ т (кгJ
Тот же результат можно получить и в декартовых координатах:
ih ( , дф* ,*дф\ hkx I vx
2т \ дх дх J т (кгJ (кгJ
и т.д. Для суммы сходящейся и расходящейся волн аналогичным образом получаем
\ JK/q*Q -I \ ( \ Q\2 Л\
J — \^ ^ — / — V — /¦
y?l\ii j III y?l\ii j
4.53. Решение. Для прямоугольного барьера высоты U и ширины а в случае,
когда энергия падающей частицы больше высоты барьера, т.е. Е > U, для
коэффициента отражения г и коэффициента прохождения d получаются следующие
выражения:
(h2 — h2\A — f>%ika\ Ab-, Ь*=-ъ(к1-к)а
r= ^^ , d= ,
(кг + кJ - (кг - kJe2ika (кг + кJ - (кг - kJe2ika
где к = \/2тЕ/h — волновое число падающей частицы. Для того, чтобы частица
не отражалась от барьера, необходимо, чтобы г = 0, т.е.
2ка = 2жп и Е = U -\ , п = 1,2,...,
2та2
т.е. энергия частицы должна совпадать с одним из собственных значений энергии
в бесконечно глубокой яме, дно которой расположено на высоте барьера. Таким
образом, Еп = E + 37,62п2) эВ, п = 1,2 ...
4.54. 2,5; 2644- 1(Г2.
4.55. 8,8.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
273
4.56. Решение.
— Uo E \dx , где xq = aA /1 .
- Е)
В результате
D « ехр —
® - Е)
= ехр —2
где ш =
4.57. Решение. Так как ширина барьера достаточно велика (9d), то при опре-
определении глубины ямы можно считать, что при х > d волновая функция электрона
имеет вид ф = Аехлр(-ах), где а = ^/2m(Uo — E)/h. При х < d, волновая
функция выглядит как ф = В sin kx, где к = \f2mEfh. Сшивая логарифмические
производные при х = d, получаем ctg kd = —а/к, или sin2 kd = к2/(к2 + а2) =
= E/Uq. Таким образом, Uo = EsiiC2{d\/2mE/h) = 1,655 эВ. Прозрачность
барьера D ра ехр [—18 d ^/2m(Uo^E)/ Щ «1,8 7 • 10 ~ 5. У чет пред экспоненциального
фактора, равного в этом случае 16E(Uo — E)U^2, увеличивает значение D всего
на ?^35%. Если п — число ударов о стенку в секунду, то время t равно (nD)^1 In 2.
Число ударов оцениваем как п = v/2d, где v — средняя скорость электрона в яме.
Последнюю можно оценить как из соотношения неопределенностей (г; ^ h/md)9
так и из соотношения v = y/2E/m. Обе оценки дают для п близкие значения
п rsj ю15 с. В результате получаем для искомого времени оценку t ~ 3 • 10~г1 с.
4.58. Решение. Коэффициент прозрачности барьера (рис. 4.1;) равен
D',
i ехр
h
где го = UqR/E. Интеграл в выражении для D легко берется, например, с помощью
подстановки х = у/1 — Ег/UqR. В результате
2Ry/2UQma ( [Щ
h
-arccos
U
При
это выражение переходит в
7Г
R г0
Для приближенной оценки вероятности распада в еди-
единицу времени можно, исходя из классических пред-
представлений, умножить D на число соударений «-частиц _ ;
с потенциальной стенкой за одну секунду, которое по fuc. 4.1
порядку величины равно v/R, где v — средняя скорость
«-частиц в ядре. Эту скорость можно оценить из соотношения неопределенностей:
v = р/та рз h/maR. Таким образом, вероятность распада в секунду (так
18 Задачник
274 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
называемая константа распада) равна А D, а период полураспада Т = =
maB? А
-. Подставляя сюда выражение для D и логарифмируя, получаем
HD
искомое соотношение 1пТ = А/л/Е + В, где А и В — некоторые постоянные.
5. Дискретность энергетических состояний
4.59. Решение. Стационарная часть волновой функции частицы имеет вид ф =
= л/2/asinkx, где к = птг/а, п = 1,2,... Вероятность нахождения частицы в
интервале от а/8 до а/8 ± 0,01а от края потенциальной ямы при п = 5 будет
ф2Ах = - sin2 — - • 0,01а = 0,02 • 0,9252 = 0,017.
а а 8
4.60. 4,7 -10~13 см.
4.61. 2; 0.
4.62. Решение. Нейтрон, попавший в канал, находится в двумерной бесконечно
глубокой яме в плоскости, перпендикулярной оси канала
(рис. 4.2;). Поэтому его энергия должна быть больше, чем
I (Л минимальная энергия в такой яме:
> '1 ¦ 1
2 2т
Отсюда следует, что в первом случае v > nh/md « 2 см/с,
а во втором (h = d) — v > \/2тгН/тй218 см/с. Отме™
тим, что аналогичную оценку (но более грубую) можно
получить, использовав соотношения неопределенностей в
плоскости, перпендикулярной оси канала.
4.63. Решение. Частота излученного фотона
= Еп+1 - Еп = тгЦп + 1/2)
КВ ~ h ~ та2
Классичесская частица с энергией Еп в таком потенциале совершает периодическое
движение, отражаясь от стенок ямы. Скорость ее движения в яме легко определить
из условия mv2/2 = Еп, которое дает: v = wfm/rna. Период такого движения
равен
,- 2а 2а2 2тг n2hn
Т = — = , и шш = — = -.
v 7vhn T та2
Таким образом, шш/шКЛ = 1 + 1/2п.
4.64. Решение. Внутри ямы @ ^ z ^ а) ф = A sin kz, вне ее (т.е. при z > a)
Ф = be^p(-Kz). Условие сшивания при z = а дает ctgka = —к/к. Поскольку
максимум ф согласно условию задачи достигается при z\ = 0,99а, то kz\ = тг/2
или
к=—A + 6), где S = 0,01.
2а
Тогда условие сшивания можно переписать в виде
/тг тгД ж5 к жёк (тг\28 1
c^g —I—о та = или п = та ( — 1 —, т.е. к^> —.
\2 2 J 2 к 2 \2/ а а
В качестве оценки размера области локализации атома можно принять расстояние,
на котором \ф\2 убывает в е раз, т.е. (z) ~ 1/2/с та 100 А. Отметим, что расчет этого
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 275
размера как квантово-механического среднего расстояния атома от поверхности
твердого тела приводит к величине ^150 А.
4.65. Решение. Плотность вероятности ш(х) нахождения частицы в точке х
пропорциональна |г^(ж)|2, то есть ш(г) ос х2 ехр(—2х/а). Нетрудно показать,
что максимум ш(х) расположен при х = а, а ширина максимума А с± а. Если
принять эту величину за неопределенность координаты, то согласно соотношению
неопределенностей Ар ^ Н/а. Полагая р ~ Ар, получаем оценку для средней
кинетической энергии Т ~ h2/2ma2. Подставляя ф(х) в уравнение Шредингера:
получаем
2т \а2 а
При ж —»> оо
х = Ех, т.е. Е = — и V(x) = .
Л max
Теперь рассчитаем средние значения Т ш V. Для этого из условия нормировки
определим постоянную А:
оо
1 Г 2 / 2x\J а3 л 2
— = \ х ехр \ах = —, т.е. л = ——-
A J V а ) 4 лЛ?
Таким образом,
оо
? = JVi
0
\ 2m
0
- i i XM & d?\( ( x\\
= — жехр - - - -- —- ж ехр - - ) )dx =
a3 J V a/\ 2mdx2J\ \ aJJ 2ma2
о
что совпадает с оценкой средней кинетической энергии, полученной из соотноше-
соотношения неопределенностей (точное совпадение в значительной мере случайно и связано
с выбором Ах = а). Аналогично находим V:
оо
17 %2 4 Г ( 2х\й h2
V = ж ехр I 1 ах = .
wa a3 J \ a / mo2
о
Легко видеть, что Т + V = Ё = Е.
4.66. тжс2 = 137 МэВ; а3 « 1,2 • 101 см.
4.67. Решение. Вероятность найти мюон на расстояниях от г до г + dr от центра
ядра равна w(r)dr = Dтгг2/тга|) ехр(™2г/ав)с?г. Поправка к энергии
at, I Ze2 4r2 , , Ч| Ze2 Г, / 2гя\1 / 2гя\
АЕ = exp(^r/aB)cfr = 1 - 1 + —^ ехр ^ «
J г ag «Б L V «Б / J V «Б /
(
б «Б \ «Б
18*
276 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Поскольку Е = п/2 = Ze2/2аБ (U — потенциальная энергия), то АЕ/Е =
= 8г2я/а1 = 0,16.
4.68. Решение.
дг2 г дг h2
Подстановка решения в уравнение дает
h2
- , =0, ~?а+^^=0.
h2 r h2r
Откуда
a = ^^; E = ~^^Z2 = 13,5эВ • 100 = 1,35кэВ.
Это основное состояние водородоподобного атома.
4.69. АЕ = 40,8 эВ, Л = 0,3 • 10~5 см = 300 А.
4.70. Решение. Подставляя ф в уравнение Шредингера (в сферических коорди-
координатах):
h2 ( d2 2 d \ , е2 ,
f drz r dr
определяем значения энергии Е и констант а и /3:
8h2 ~ ' Э ' 2h2 ~ ' т2
Поскольку для атома водорода
Еп = ~-"Л
2Н2п2
то главное квантовое число п рассматриваемого состояния равно 2; орбитальное
квантовое число I = 0, так как ф зависит только от г, т.е. описывает сферически
симметричное состояние. Постоянную А определяем из условия нормировки:
сю
Г 2 2
4тг |^| г dr = 1,
о
которое дает
л/ж \гт
4.71. Решение. Для осциллятора в основном состоянии
27ГС т{О)т(С) _ 24
о = а — =3,3-10^1Осм.
V
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 277
Для оценки требуемой температуры естественно считать, что при этой темпера-
температуре в результате тепловых колебаний заметную роль начинают играть переходы
молекулы в возбужденные вибрационные состояния, т.е. к$Т ^ huj, T ^ ЗОРОК.
4.72. Решение. Классическая частота колебаний молекулы равна ш = у/к//л,
где ц — приведенная масса двух атомов молекулы. Таким образом:
Ни)
Ее а V ЕеМ
где М — масса атома. Для молекулы Eh a ~ 0,74 • 1CF8 см, аМ= 1,67 • 1CF24 г.
Принимая характерную энергию возбуждения электронов Ее ^ 5 эВ, получаем для
молекулы водорода hoj/Ee « 0,05, а для СЬ (а с± 1,2 • 10™8 см) — huj/Ee ~ 0,1.
Амплитуда нулевых колебаний для обоих случаев получается ~ 0,1а, т.е. <~ 10^9 см.
4.73. Решение. Подставляя ф в уравнение Шредингера:
2fj, \dr2 r dr J 2
определяем значения энергии Е и констант аи C:
7fc 2/1Ш /icu
2 ЗЯ 2И
Так как энергия трехмерного осциллятора En = hu)(N + 3/2), то в нашем случае
N = 2. Постоянную А определяем из условия нормировки:
оо
4тг | |^|Vdr = 1,
о
откуда следует, что
2 \7ThJ
4.74. 1,13.
4.75. Решение. Поскольку трем последовательным уровням в ротационной
полосе двухатомной молекулы соответствуют квантовые числа I, I + 1 и I + 2,
то условие задачи дает нам следующие соотношения:
El+1 -Ei = \- 10~4 эВ и ?^i+2 - ^i+i = 2 • 10~4 эВ.
Используя формулу для уровней симметричного ротатора, получаем
Ei+2 - ^+i _ (/ + 3)(Z + 2) - (Z
= 2,
откуда следует, что 1 + 2 = 2A + 1), или I = 0. А так как
Ei = — -, то = 10 эВ,
2J 2J
и в результате
10~4эВ
4.76. Решение.
2/ 2mvr2
278 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
так как протон вращается вокруг тяжелого брома.
АЕ=^^ = -^-, г = 1,4-Ю-8 см.
Л трГ2
4.77. Решение. Появление спутников при комбинационном рассеянии обуслов-
обусловлено процессами рассеяния фотонов с поглощением и испусканием колебательного
кванта:
fa^Kpac = flUJ ~ huJV7 Ни}фИОл = fhUJ + flU)v, UJV = 2тГс/Л.
Интенсивность спутников пропорциональна заселенности уровней:
4.78. 7,45- 1013 с.
6. Спин. Магнитные свойства атомов
4.81. L = 0,525 • 10^27 эрг-с; ц = 9,27 • 10^21 эрг/Гс.
4.82. Ьн = 0; ±1,05 • 10^27 эрг-с; \iH = 0; ±9,27 • 10^21 эрг/Гс.
Примечание. В единицах СИ момент количества движения измеряется в Дж-с;
1 эрг-с = 10~7 Дж-с, магнитный момент — в А-м2; 1 эрг/Гс = 10~3 А-м2.
4.83. Решение. Отклонение каждого из пучков складывается из отклонения fei
при пролете в поле магнита и отклонения 62 при пролете от магнита к детектору.
Таким образом, расстояние между пятнами s = 2fei + 2&2- При этом
iidB/dx ( I \2 . v± T udB/dx XL
61 = — , 62 = —L= -,
2m \vt,
где m — масса атома, v^ = Зк^Т/т, и таким образом,
. dBl/2 + lL dBl(L + l/2) .
s = 2fj, = 2fi L-L « 4 mm.
dx mv\ dx 31Т
4.84. <imax = /1б « 0,9 см.
dx 2WK
4.85. Решение. Угол расхождения компонент пучка равен (см. решение зад. 4.83):
v± 2finL dB finL dB
a = 2— = 2 = .
vy mnv^ dx E dx
Но по условию этот угол должен равняться дифракционному, т.е. 2X/d. Отсюда
следует, что
dB 2XE 4wh Г^ 1ППТ. ,
— = = a c± 100Гс/см.
dz /j,nLd finLd V 2mn
4.87. Решение. Пусть JVi и Л^2 — числа ядер фтора, магнитные моменты
которых направлены по полю и против поля. Их разность AN = N±^N2 = N1 [1 —
— ех.р(—2[лВ/кв)} ~ Ni « Щ «С 1, где Щ — число ядер фтора в образце.
кБТ къТ
После выключения поля числа ядер с различными ориентациями магнитного
момента сравниваются, т.е. ориентацию магнитного момента изменят {N\ —N2)/2
ядер, и образец получит момент импульса, равный
4кБТ
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА279
и поскольку No = 2N\, to
2^TL=2N3 10_23э Гс-г =
hNB
2кБТ hNAB
где /1Я — ядерный магнетон.
4.88. Решение. Расщепление пучка нейтронов в однородном магнитном поле
обусловлено переориентацией спинов нейтронов по полю и против него. Измене-
Изменение энергии нейтрона при пересечении границы магнитного поля равно AW =
= ±/лВ, где знак «плюс» соответствует случаю, когда спин нейтрона параллелен
полю, «минус» — когда он антипараллелен полю, а /л — проекция магнитного
момента на направление поля, равная магнетону Бора /хб. Кинетическая энергия
связана с дебройлевской длиной волны А соотношением WK = 2п2 h2 / {mn\2).
Показатель преломления равен
п± = A ± fiB/WKI/2 ~ I ± //B/BWk),
и для углов преломления на границе можно записать
sin 60°/sin 0± = 1/п±.
Отсюда определяем угол расщепления в = ф+ — ф-. Окончательно получаем в «
« (sin6Oo/cos0)(n+ - п^) = fj,Btg60°/WK = \/3mn\2fiB/B7T2h2) « мкрад
(ф — средний угол преломления, т.е. ф ~ 60°).
4.89. а) 16, б) 32.
4.90. На 3 уровня.
4.91. Решение. Изменение энергии электрона в результате переориентации
спина электрона равно
2/1бМ 2ДБМ l
= 0,529 • 10~8 см, /хБ = -^- = 0,927 • 10~20 эрг/Гс,
2ттгес
/хя = -^- = 5,05 • 104эрг/Гс.
2
В результате получаем, что А « 1 м.
4.92. Решение.
е!г
2тпес 2тпрс тпеег
• 2,8 Ё— = — mec a ~ 10 эВ.
2 26^6 64
2тес 2трс 26^6 64 тр
В то же время естественная ширина линии SE ~ h/r ~ 10™7 эВ, т.е. ширина линии
на порядок больше сверхтонкого расщепления. Следовательно, последнее нельзя
обнаружить никаким прибором.
7. Атом в магнитном поле
493. ОД 67 А.
4.94. Три линии в обоих случаях.
4.95. Три линии в обоих случаях.
4.96. На 5 уровней, расстояние между которыми равно АЕ = ehB/2mec.
280
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.97. Решение, (см. рис. 4.3;). В состоянии 2D3/2 имеем J = 3/2, L = 2,
Я = 1/2, и следовательно:
2D3/2 /
2р
1/2
3/2
¦ 1/2
¦ -1/2
¦-3/2
mi-
missis
-• - + 2-3
2 2 2 2
2--.-
2 2
5 2mec
¦ 1/2
¦-1/2
Для состояния 2Pi/2 J = 1/2, L = 1, S = 1/2, и
Рис. 43f
В результате
3 з
4 + 4 ^
—
2
i , 13 , 11 1
2 AZ71 2
= -, АЕ = rrij.
3 3 2тоес
2ттНс
15 15 15 J 2mec
4.98. Решение, (см. рис. 4.4;). Расщепление за счет тонкой структуры ААТ0Н =
= А2 — Ai = 38 А. Для зеемановского расщепления имеем: Аи = AE/h, и
_ сАи
зеем ^ —
и так как АЕ ~ /хб-В, то
ААзеем ^ ^ 1U А.
Таким образом, ААзеем *С ААТОН, то есть поле слабое, эффект сложный.
гЗ/2
1/2
^ 1/2
Р3/2 /-
\
/
j
3/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
1/2
-1/2
s1/:
¦ 1/2
--1/2
¦ 1/2
¦-1/2
Рис. 4.4;
4.99. Решение. Чтобы обнаружить зеемановское расщепление, необходимо,
чтобы оно было больше доплеровского уширения в результате теплового движения
атомов и вращения звезды, то есть
Аш
Да
С С
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 281
поскольку, как нетрудно убедиться:
_ 2тгЯ
^вращ — <*5~". ^теп ~
Т
(т — масса атома). В результате
Bmin= _!^_ /_5_«о,2Тл.
2дбс у 2т,р
4.100. Д^щах = 3//Б# = 3,4 • 10™4 эВ.
4.101. Решение. Факторы Ланде для состояний 2Рз/2 и 2Si/2 равны соот-
соответственно 4/3 и 2. Основной уровень расщеплен на два подуровня, расстояние
между которыми равно AE(Si/2) = 2/хбВ ~ 10™15 эрг, тогда как к^Т « 0,7х
х10~16 эрг, т.е. AE(Si/2) ^> ^б^. Следовательно, практически все атомы при
такой температуре будут находиться на нижнем подуровне, и с учетом правил
отбора в спектре поглощения будут наблюдаться три линии, смещенные относи-
относительно Ео на АЕ = ( —1, +1/3, +5/3)^БВ.
4.102. Решение, v = g/iKB/h, т.е. д = hu//iKB. Так как ядерный магнетон /1Я =
= 5,05 • 10~24 эрг/Гс, то в результате получаем, что д = 0,34, а магнитный момент
ядра (точнее — его максимальная проекция) /х = д[ля J = 0,85/хя.
4.103. Решение. Согласно тому же правилу Хунда минимальной энергией
обладает терм с максимальным значением S и максимально возможным при этом
S значением L. Для двух электронов это можно объяснить тем, что при 5 = 1
пространственная часть их волновой функции антисимметрична, т.е. эффективно
они находятся на большем расстоянии, чем в случае, когда S = 0, и следовательно,
их потенциальная энергия кулоновского отталкивания меньше, чем для S =
= 0. Максимально возможное значение L для двух /-электронов, допустимое
согласно принципу Паули, равно 5 (а не 6!). Таким образом, в основном состоянии
рассматриваемого иона S = 1, L = Б, «7 = 4, и фактор Ланде д = 4/5. Резонансная
частота v = дцъВ/h = 1,12 • 109 Гц.
8. Свойства атомных ядер
4.104.1,5-Ю14 г/см3.
4.105. п - 1044 нуклон/м3; р - 1024 Кл/м3.
4.106. Неустойчиво, при распаде выделяется 0,16 МэВ.
4.107. Решение. При фиксированном А условие максимума энергии связи
8ECB/dZ = 0 приводит к результату Zo = А • [2 + Bj/e)A2/3]^1 и А • B +
+ 0,15 • 10™2 • у!2/3)™1. Для Л = 27 Zo = 12,64, и поскольку Z принимает лишь
целочисленные значения, наиболее связанным оказывается ядро с Z = 13, т.е. 27А1.
Это означает, что МB7А1) < MB7Mg), и так как для Mg атомный номер Z =
= 12, то ядро 27Mg должно быть нестабильным и распадаться, переходя в 27А1, т.е.
претерпевать /3™-распад.
4.108. Решение. Возможность такого деления реализуется, если М(А, Z) >
> 2M(A/2,Z/2), что соответствует ECB(A,Z) < 2ECB(A/2,Z/2). Из этого
неравенства следует, что Z2/А > 18.
4.109. Решение. Энергия кулоновского взаимодействия протонов, находящихся
с равной вероятностью внутри сферы радиуса R ядра с зарядовым числом Z, равна
Ещш = 3Z(Z — 1)е2 /(БВ). Эта величина и определяет разницу энергий связи,
равную по условию 0,8 МэВ. Отсюда получается, что R = 2 • 10™13 см.
4.110. С7кул = 29 МэВ; Аг = 3,56 • 10~12 см.
282 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.111. Решение. Так как D представляет собой вероятность прохождения а-
частицы сквозь барьер при одном ударе о стенку потенциальной ямы, то число ядер
dN (из общего числа N а-активных ядер), распадающихся за время dt, можно
записать следующим образом \dN\ = XNdt = nDNdt, где п — число ударов
частицы о стенку ямы в единицу времени. Если скорость а-частицы внутри ямы —
vq и радиус ядра — R,Tonc^ vq/R. Имея в виду, что mavoR c± Н, получим
Л HD
л — .
4.112. Z = 90; А = 230; ионий — изотоп тория B30Th).
4.113. Решение. Оценим, какова должна быть энергия электрона, чтобы его
дебройлевская длина волны была порядка размера ядра (имея в виду, что pRK ~ К):
Ее = — = « 5 • 101 Дж « 3 • 108 Дж,
2m 2mR2
а кулоновское притяжение составляет лишь
Это означает, что электрон не может быть удержан кулоновскими силами в
области, обладающей размерами порядка ядерных, иными словами, существование
электронов в ядре невозможно.
4.114. Решение. Поскольку для фоторасщепления необходимо, чтобы энергия
7-кванта была не меньше энергии связи дейтрона, красная граница фоторасщепле-
фоторасщепления равна этой энергии. Выражение для волновой функции дейтрона, приведенное в
условии задачи, получается в приближении нулевого радиуса ядерных сил. Поэтому
везде, кроме г = 0, эта волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
для сферически симметричного случая, а именно
где Е < 0 и |.Е| =есв,/1 — приведенная масса протона и нейтрона. Подстановка
Ф = г^гХ приводит это уравнение к виду
dr2
где а2 = 2fi(—E)/h2 « mpem/h2. Его решение, правильно ведущее себя на оо,
имеет вид ос ехр(^от), что как раз и дает волновую функцию, приведенную в
условии задачи. Таким образом, красная граница фоторасщепления дейтрона W =
= ет = h2a2 fmp « 2 МэВ.
p
4.115. АЕ = л/2тс2Е0 = 0,8 МэВ.
= ю,б МэВ.
9. Ядерные реакции. Деление
4.119. 1,02 МэВ.
4.120. Решение. В с.ц.м. ра = рп, Ei = p2/2mi, поэтому
пт л Е 4- Е О ^ АО
?n + Ea=Q, "+ ° =-^- = -, Дп = ^ = 14МэВ.
, n + а Hi >
Еп та 4 Еп Еп 4
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 283
4.121. сгполн = 118 барн/атом.
4.122. ааЪ = ааТь/Т.
4.123. а ~ tt(R + А/2тгJ = 2,9 барн, где R — радиус ядра, а А — длина волны
налетающего нейтрона.
4.124. Решение. Поскольку па <; 1, то dN/dt = van = 109 событий/(см2-с).
4.125. Решение. Пусть на 1 см2 поверхности счетчика падает N нейтронов, из
которых при прохождении слоя dx вступают в реакцию (то есть регистрируются)
Nandx, где п — концентрация атомов 3Не в счетчике, иными словами, изменение
потока нейтронов при прохождении расстояния dx составляет dN = — Nandx.
Интегрируя это соотношение, получаем
N D
dN Г
= —an dx,
N J
No О
или N = Nq exp(~cmD) — такое число нейтронов пройдет через счетчик, не
зарегистрировавшись. Значит, зарегистрированная часть нейтронов составит е =
= (No - N)/No = 1 - exp(-anD). Так как п = 2,7 • 1020 см^3, то anD =
= 3,63 и б = 1 — 2,6 • 10~2 = 0,974. Эта оценка показывает, что эффективность
рассматриваемого счетчика близка к 1.
4.126. Решение. Реакция происходит в слое толщиной, равной длине свободного
пробега а-частицы в веществе мишени. Поскольку выход ?]С1ив условии задачи
речь идет о среднем сечении (вообще говоря, сечение меняется на длине пробега, так
как меняется энергия а-частиц), то выход реакции п = ПА\а1м, где па\ — плотность
атомов А1 в мишени, а — искомое сечение, Iai — пробег ск-частиц в А1. Таким
образом, а = п/(пм1м)- Поскольку потери на ионизацию пропорциональны числу
электронов в 1 см3 вещества, т.е. nZ, то Iai/Ib = (^b^b)/(^ai^ai). В результате
а = nZAl/(lBnBZB) « 4 • 1(Г26 см2.
4.127. Решение. Число реакций в слое dx на глубине х равно dN = andx, где
п — плотность ядер в мишени, сечение а есть функция энергии, а энергия зависит
от глубины х из-за ионизационных потерь, и таким образом, а = а(х). Выход
реакции
XQ
г] = — = п a(x)dx,
где ж о — максимальная глубина проникновения пучка, т.е. глубина, на которой
а-частица полностью теряет свою энергию. Переходя в интеграле от переменной х
к энергии, получаем
(Ef)dEf
откуда
\dE'/dx\
dE \dE/dx\ A
4.128. Решение. При низких энергиях реакция идет при нулевом орбитальном
моменте, и поэтому полный момент импульса складывается из спинов ядер d
и t. Так как их взаимные ориентации равновероятны, то столкновения могут
происходить cJ = 3/2BJ+l = 4 различных состояния) и J = 1/2 BL + 1 =
= 2 состояния). Поскольку реакция идет только с J = 3/2, то среднее сечение
а = Dсг3/2 + 2<7i/2)/6 ~ 2<тз/2/3. При наложении магнитного поля, полностью
284 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
поляризующего ядра, для всех столкновений J = 3/2, и следовательно, среднее
сечение возрастет в 1,5 раза.
4.129. Решение. Вероятность поглощения
,p , = 2 • 1(Г
4тгЯ2
Средний свободный пробег нейтрино
^ 1043 см.
п<т„ NApav 6 • 1023 • 2 • 10~26 • 10~41
4.130. Решение. Радиус ядраРЬ Д~8 • 10~13 см, а радиус мюонной Ж-оболочки
в ядре РЬ а\ = авте/(т^И) « 3 • 10~13 см. Следовательно, а\ < R, т.е. мюон на
Ж-оболочке практически находится внутри ядра. Короткое время жизни мюона на
Ж-оболочке ядра по сравнению с временем жизни свободного мюона обусловлено
его захватом ядром в результате реакции /х + р —> п + v^. Время жизни мюона в
ядре до его захвата протоном равно т = (nva)^1, где а — искомое сечение, v —
скорость мюона в ядре, п — плотность протонов в ядре. Плотность протонов п =
= Z'I'DтгR31'3), где R = гоА1^3 —радиус ядра. Таким образом, а = Anr^A/^rvZ.
Скорость мюона на Ж-оболочке v = Ze2 /h. Отметим, что эта формула следует из
представления о заряде ядра как о точечном, что в данном случае неверно и поэтому
приводит лишь к грубой оценке; рассчитанная так скорость v « 1,8 • 1010 см/с, что
составляет около 2/3 скорости света, т.е. скорость существенно релятивистская. В
результате для сечения получается оценка а ~ 10^41 см2.
4.131. Решение. Оценка сечения здесь во многом аналогична оценке предыдущей
задачи. Отличие состоит в том, что, во-первых, на Ж-оболочке здесь находятся
два электрона и, во-вторых, радиус iiT-оболочки для электрона а\ = a^/(Z — 1)
(поскольку Z — 1 представляет собой эффективный заряд для Ж-электрона с
учетом действия пространственного заряда других электронов). Таким образом,
ai « 3 • 10~10, что существенно больше радиуса R ядра 37Аг, равного ~ 4,3 • 10~13.
Следовательно, электрон находится внутри ядра с вероятностью W<^.1. В результате
для времени жизни получаем г ^ {2nv<rW)^1 (вместо (nva)^1 предыдущей
задачи), где, как и раньше, п = 3^/DтгЛ3), v = e2(Z — 1)/^ ~ 3,7 • 109 см/с.
Вероятность нахождения электрона в ядре равна
W = 4тг \г2\ф{г)\2йг,
где ф = (тга?)^1/2 exp(^r/ai) — волновая функция i^-электрона. Таким образом,
W = 4Д3/(За?), и а = BnrvW)~1 = Gra?)/BZrv) « 10™46 см2.
4.132. Условие отсутствия заметного поглощения: naL «С 1, т.е. L <^ (па) ~~г, где
п — плотность ядер Sn, «принимающих участие» в процессе поглощения, которая
равна п = fepNa/A; здесь Na — число Авогадро, А — молекулярный вес BaSnO3,
равный 304. Самопоглощение мессбауеровских 7-квантов — резонансный процесс,
описываемый одноканальной формулой Брейта-Вигнера:
4тг Г2
а к2 (Е^Е0J
В резонансе а = Аи/к2 = 4nh2c2 /E2, и таким образом, получаем, что
L ^ 2f^2 w 12 . 10-з
4h22fN
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 285
4.133. Ослабление пучка частиц при прохождении слоя вещества толщины х
происходит по экспоненциальному закону: j(x) = jo ехр(^пстж). Для выполнения
поставленного условия необходимо, чтобы j(h)/jo = ехр(—шт/ь) ^ 0,1, где h =
= 1мм, т.е. сечение не должно превосходить (nh)^1 In 10 = 2,3 • 10™21 см2 =
= 2300 бн. Поскольку в нерезонансной области энергий сечение захвата нейтронов
подчиняется закону 1/v, то <т/а0 = ^Ео/Е, где сто = 5400 бн, а Ео = 0,025 эВ.
Следовательно, энергия нейтронов должна быть не меньше Е = Е^а^/а2 = 0,14 эВ.
4.134. Для осуществления такой реакции необходимо сблизить ядра урана
так, чтобы они слились, т.е. преодолеть кулоновское отталкивание, потенциальная
энергия которого, равная Z2e2 /R (R — радиус ядра урана), играет роль пороговой
энергии реакции. Следовательно, пороговая кинетическая энергия налетающего
ядра урана (предполагается, что второе ядро покоится) равна Mv2 /2 = 2Z2e2 /R
и v = 2Ze\/MR « 7 • 107 м/с.
4.135. Решение. Для спонтанного деления dNs/dt = XN, а для вынужденно-
вынужденного — dNi/dt = аМФ. Заметить превышение актов вынужденного деления над
фоном спотанного можно будет, если дисперсия фона порядка эффекта, т.е.
Nt
4.136. Решение. Из 2,5 рождающихся в процессе замедления нейтронов в
среднем захватывается 1,25 нейтронов, 1 нейтрон необходим для работы реактора
в стационарном режиме, а 0,25, т.е. 10% уходит из активной зоны.
4.137. Решение. P(t) = P@)kt/T = Р@) ехр (- In А;) « Р@) ехр(р*/т);
\т /
Т = г/р.
4.138. Решение. Р = QWvn2/A = 4,4 • 1,6 • 10~13п2о^Т [Вт/см3].
При Т = 1 кэВ Р = 3,87 • 10~5 Вт/см3, W = 19,35 кВт.
При Г = 10 кэВ Р = 0,774 Вт/см3, W = 387 МВт.
10. Элементарные частицы
4.139. п = 10.
4.140. 0,98 ГэВ.
4.141. 5,6 ГэВ.
4.144. Возможна только реакция 2.
4.145. Запрещены реакции 1, 3, 5.
4.146. Решение. Среднее время жизни т с^ h/Т с± 3 • 10~24 с. Для определения
массы рассмотрим релятивистский инвариант S = Е2 — р2с2 (Е и р — полная
энергия и полный трехмерный импульс взаимодействующих частиц) в лаборатор-
лабораторной системе и системе центра масс:
mlc4 = Е2А^ р2с2 = (гпрс2 + тжс2ТжJ - [(тжс2 + ТжJ - mlc%
то есть
тАс2 = [(тр + тжJсА + 2тжс2Т7Г}1/2 = 1232 МэВ.
4.147. а = 4ж/к = 7 мбн.
4.148. Тпор = 1,6 ГэВ.
4.149. Решение. Задача аналогична задаче о позитронии. Разность энергий
между первым возбужденным и основным состояниями АЕ = {^qA/2h2) x
х A — 1/22) = 3q4ii/8h2. Здесь q — эффективный «сильный заряд» кварка, fi —
приведенная масса системы сё, т.е. /! = гас/2, а тпс = Еф/2 = 1,55 МэВ, и таким
286 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
образом, АЕ = 3mcq4/16h2. Характерным размером системы ее (так называемого
чармония) в таком подходе будет радиус первой боровской орбиты а = h2 / fiq2 =
= 2h2/mcq2, где q2 = 4h(AE/3mcI/2. Таким образом, а = h/2s/3mcAE ~
~ 2 • 1(Г14 см.
4.150. Решение. Каон JiT0 имеет странность S = +1. Следовательно, в своем
составе он должен содержать антикварк ё, для которого S = +1hQ = 1/3. Чтобы
получить комбинацию с кварком, которая имела бы Q = 0, возможен единственный
вариант: К0 = ds.
4.151. Е = uss, Л° = ttds.
4.152. Решение. Поскольку В = 1, то частица должна состоять из трех кварков
(не антикварков!). Для выполнения условия 1з = 0 возможны две комбинации: uds
и sss, из которых первая не подходит, так как для нее q = 0, а для второй g = — 1,
что и требуется. Таким образом, квартовый состав частицы - sss, что соответствует
О "-гиперону, для которого странность S = — 3, а гицерзаряд У = В + 5 = —2.
4.153. S = 0, У = — 1; частица — антинейтрон (udd).
4.154. Такие распады запрещены, поскольку: 1) AS = 2; 2) AS = 2; 3) mn <
< mp + ra^; 4) не сохраняются лептонные заряды Le и LM; 5) не сохраняются
барионный (В) и лептонный (L) заряды; 6) не сохраняется LM.
4.155. Решение, а) Из сохранения Ьй следует, что в процессе взаимодействия
Vn может перейти в р" + f+, a f+ должен быть поглощен одним из кварков
протона (р = uud). W+ может быть поглощен d-кварком (d-\- W+ —^ и) и не может
поглощаться -м-кварком, так как в этом случае появился бы кварк с зарядом 5/3, а
таких кварков нет. В результате и^ + р —)> /i~ + (иии), т.е. i/M + _р —>- /i~ + A++.
б) В этом случае происходит то же самое с той лишь разницей, что п = udd, и
в конечном состоянии получается система uud (протон), т.е. v^ + р —^ /z~ + р.
Поскольку в нейтроне два d-кварка, то вероятность реакции б) в два раза больше,
чем реакции а), в) Рассуждения аналогичны: и^ —^ fi+ + W~, и гх + W+ —^ d;
в результате г>м + р —>- /i+ + п. r) f>M + (udd) —t /i+ + (ddd), u^ + n —>- /i+ +
+ А™, и вероятность этой реакции в два раза меньше предыдущей. Таким образом,
сга : сгб : trB : сгг = 1 : 2 : 2 : 1.
4.156. Решение. Так как в сильных взаимодействиях при больших энергиях
протон и нейтрон ведут себя практически одинаково, то можно предположить, что
сечения взаимодействия между нестранными кварками одинаковы, т.е. а(ии) =
= a(ud) = cr(dd) = <jq. Будем считать, что при этих энергиях сечение кварк-
антикварк равно сечению кварк-кварк, что также оправдывается эксперимен-
экспериментальными данными о примерном равенстве сечений частица-частица и частица-
античастица при энергиях Е >» тс2. Тогда сечение (т(рр) = 9сто, а <т(тгр) = бсто «
« 27 мбн. Для оценки сечений AN и 5JV делаем аналогичные предположения
о взаимодействии странных кварков с нестранными: a(su) = a(sd) = a(su) =
= ... = (т\. В соответствии с этим a(KN) = Зсго + 3<ti, cr(AJV) = бсто + Зсгь
Поскольку сто = 40/9 мбн, а аг = A9 - 40/3) = 17/9 мбн, то a(AN) « 32 мбн,
и ct(SJV) « 25 мбн.
4.157. fin pa 2/1я, где /1Я — ядерный магнетон.
4.158. и + J ->> W+, (?7 + ^)поР = 515 ГэВ.
Глава V
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
1. Элементы молекулярно-кинетической теории
5.1. Указание. Коэффициенты а, А, /3 определяются выражениями
VoKdTjp Po\dTjv V\dPjT
Кроме этого, коэффициенты а и А часто определяются такими выражениями:
1 ( dV\ 1 ( дР
а= — — , а= —
Для твердых и жидких тел между этими определениями по существу нет разни-
разницы. Первое определение обладает тем преимуществом, что для идеальных газов
величины а и А оказываются постоянными, тогда как при втором определении
они меняются обратно пропорционально абсолютной температуре Т. Величина р
называется также изотермической сжимаемостью вещества.
5.2. а = 1/Г0; А = 1/Г0; Рт = 1/Р; Кт = Р. Здесь Го — абсолютная темпе-
температура, соответствующая нулевой температуре по шкале Цельсия. Используя второе
определение коэффициентов а и А приведенное в указании к решению задачи 5.1,
мы получили бы а = А = 1/Г, т.е. при таком определении коэффициенты а и А
для идеальных газов не были бы постоянными.
5.3. Р = RAT/AV = 8,3 • 103 Па; V = RAT/АР = 0,83 м3; Г = PV/R =
= R(ATJ/APAV = 830 К.
5.4. Увеличить натяжение на 40 Н.
Указание. По аналогии с формулой из п. 2 можно записать соотношение
(dl/dT)f{df/dl)T{&r/df)i = -1.
5.5. Л = 46 К.
5.6. Т = 1250 К. Расчет проведен в предположении, что вся вода превратилась
в пар. В нашем случае это заведомо справедливо, так как при температуре,
превышающей tr = 374,1°С (критическую температуру воды), водяной пар не
может быть превращен в жидкость ни при каком давлении.
5.7. Р = pRT/ц = poRT/пц = 2,5 • 106 Па.
5.8. Можно, так как разность масс составляет около 140 мг > то.
5.9. Решение. Плотность газа, составляющего шаровую молнию, равна плот-
плотности воздуха, так как молния свободно плавает в воздухе. Равны, очевидно, и
давления. Следовательно, молярные массы вещества молнии и воздуха обратно
пропорциональны их абсолютным температурам, и мы можем найти молярную
массу вещества молнии: /х = /jqTo/T = 86 г/моль, где /хо = 29 г/моль — молярная
масса воздуха. Искомое число молекул воды, связанных с ионом азота, найдем из
соотношения п = (/i — {in)/^b = 4, где fiN = 14 г/моль — молярная масса ионов
азота (практически равная молярной массе атомарного азота), /iB = 18 г/моль —
молярная масса воды.
5.10. Решение. Применяя к воздуху, занимающему объем комнаты, при темпе-
температурах t\ = 10 °С и #2 = 20 °С уравнение газового состояния, имеем
) = 2,26 кг.
288 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Здесь Т\ ш Т2 — абсолютные температуры, соответствующие температурам по
Цельсию t\ и ?2.
5.11. Решение. При установившемся режиме горения в камере двигателя
будет такое давление, при котором скорость истечения массы газа из сопла равна
скорости сгорания пороха: aPS = АРп, где а — некоторая постоянная; отсюда
Рг^п = A/aS, Р = {A/aSI/{1^n). Отношение давлений в камерах P2/Pi =
= (Si/S2I/{1^n). По условию Si/S2 = 2 и Р2/Р\ = 4. Таким образом, 4 =
/(п), 1/A - п) = 2, п = 1/2.
t = 8- 1(Г3с.
S
5.13. га = — In —.
R(T2-T!) Ti
5.14. Решение. Первоначальное давление Р в первой половине сосуда равно
сумме парциальных давлений аргона и водорода:
После окончания диффузии
V
так как водород теперь занимает объем 2V. После несложных преобразований
найдем ma/mB = 10.
5.15. Массы гелия и водорода одинаковы.
5.16. Атомов азота вдвое меньше, чем атомов водорода.
5.17. Давление выросло в 3 раза.
5.18. Решение. Если бы диссоциации СО2 не было, давление в сосуде оказалось
бы равным Pq = (RTm)/(Vfj,) = 98кПа, где (J, = 44 г/моль — молярная масса
СО2. На каждые две диссоциированные молекулы ССЬ приходится две молекулы
СО и одна молекула Ог. Если степень диссоциации ССЬ равна а, то в сосуде будет
щ = A — а)тп/(j, молей СО2, щ = am/'/j, молей СО и 1/3 = am/2fi молей Ог.
Применяя закон Дальтона для смеси газов, найдем полное давление Р в сосуде:
р=ДтA-а)т + ктшп + дтш» 1 +
Vfi V fj, V 2fi
Отсюда следует, что 1 + а/2 = Р/Ро = 1,1; а = 0,2, т.е 20%.
5.19. «2 = 2 Г^^ Л + ^l") _ 1] =0,75.
5.20. N = NaPV/RT = 2,688 • 1022.
A
li V
5.22. Решение. Число радиоактивных частиц во всей атмосфере: N = MNa/A =
= 2,5 • 1024. Масса атмосферного воздуха Мо = Лэ • 4тгД2/д = 4,6 • 1018 кг. Число
молекул воздуха во всей атмосфере: Nq = MqNa/^ = 9,6 • 1043. При нормальных
условиях число молекул в объеме V = 1 дм3 воздуха легче всего найти из условия,
что 1 моль F,02 • 1023 молекул) воздуха занимает объем Vo = 22,4 дм3/моль, по =
= Na/Vo = 2,7 • 1022 дм^3. Зная полное число молекул воздуха и радиоактивных
частиц найдем число частиц в объеме V = 1 дм3: noN/No = 700 дм^3. Итак, одна
атомная бомба дает 700 радиоактивных частиц на каждый человеческий вдох!
5.23. Моль газа занимает объем V = RT/P. На одну молекулу приходится
объем Vi = RT/PNa = квТ/Р. Среднее расстояние между молекулами, таким
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 289
образом, I = (квТ/РI/3. При температуре t = 100°С давление насыщенного
водяного пара Р = 105 Па. Окончательно получаем ? = 3,7- 1СР9м.
tSk
5.24. m = (?i — ?2) = 54 г, где q = 80 кал/г = 335 Дж/г — удельная теплота
ql
плавления льда.
5.25. t(R) = ?1гЬ
Ri - R2 R Ri- R2
5.27. z = SvNaP/RT = 6 • 1019 с.
5.28. Л = ^^ = ——— = 8,75 • 10^8 м, где давление Ро = Ю5 Па,
nwd2 NAP0wd2
температура То = 273 К.
Примечание. Табличная длина пробега при таких условиях А = 6,20 • 10~8м.
Расхождение в основном связано с тем, что в расчете, приводящемся к формуле,
указанной выше, все молекулы, кроме той, за движением которой мы следим,
считаются неподвижными.
Подробный анализ показывает, что учет относительного движения молекул при-
приводит к изменению длины свободного пробега в 1/\/2 раз. Помножив полученный
результат на этот множитель, окончательно имеем Л = 6,19 • 10™8м.
5.29. z = 4 J — Pdz и 4 • 1010 с.
5.30. z =
m i
5.31. Решение. Средняя высота, на которой летают тела, и толщина слоя h
гораздо меньше радиуса Земли Дз ~ 6400 км. Поэтому объем слоя можно считать
равным V ~ 4тгЛ| h. Принимая сечение равным а^12, получаем «длину свободного
пробега» Л « 1/па « V/N12.
Относительные скорости тел по порядку величины равны первой космиче-
космической рз 8 км/с. Время «свободного пробега» — время жизни отдельного тела —
равно п ~ Л/г; ~ V/vNl2 « A-KR2h/vNl2 « 105 лет.
Столкновения во всем заселенном слое придется ждать в JV/2 раз меньшее
время, т. е. г « 200 лет.
гм Trj т>/\//2 /fli
С IX -у rv Т1™/2' \ глг Т7
iJ.JJ. /С LA. J. , /\ La. A. .
5.34 г ос Р; X ос Р.
[/ \
X I rpS/2 /jt3/2 \ rp3/
— I 2 1 I'l
i\ /
2/3
Г3/2 ^ _
\ 47TKQ
537. q= —
3
5.38. Решение. Рассчитаем профиль температуры в сосуде. Так как боковые стенки
не пропускают тепло, через любое сечение сосуда проходит один и тот же поток тепла.
Это условие мы можем записать в следующем виде: q ос K,{x){dT/dx) = const, где
х — расстояние от днища. Коэффициент теплопроводности пропорционален средней
тепловой скорости молекул (г?) или к ос у/Т. Значит, у/ТвТ = Adx (A — некоторая
19 Задачник
290 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
константа) или Т3'2 = А\х + В, где А\ и В — новые константы. Подставляя значения
Т(х = 0) = ТоиТ(ж = I) = 4Т0 (I — длина сосуда), получаем Т = Т0A + 7ж/1J/3.
Пусть сечение сосуда равно S. Тогда массу газа, приходящуюся на элемент длины dx,
можно записать в виде dm = pSdx = (fiP/RT)Sdx, и условие сохранения массы
газа в сосуде приводит к следующему соотношению:
1
dx 3PI
одаР =
5.39. —
5.40.1 -
7Р0/3.
3 *
L ^^¦
Ш
То
р
~ То
5.41. кг/к = (Ьг/ЩСуг/Су)^/»!) = 3 • C/5) ¦ 2 = 3,6.
5.42. Вг/D = (W*?)№ AW/ii) = 16.
5.43. к/ко = (Cv/Cvo)((To/(t)(T/ToI/2 - (/io/^I/2 = 2,7.
5.44. D/Do = (ao/a)(T/Tof/2(fio/fiI/2 = 6,
5.45. Решение. Запишем выражение для коэффициента теплопроводности в
форме к = nm{Cv/l*)(v/Зпа). Очевидно, что mi/fii = m/fi, и для отношения
коэффициентов имеем п\/к = (Cvi/Cv)(vi/v)(a/(Ti). Отсюда получаем
= A/3) • 2 • л/2 • C/5) = 2^2/5 « 0,564.
5.46. <7i/о- = (D/D^^/n/my/iTx/TK = A/16)8^2 = 0,707.
5.47. Т2 = (ТоJ + q(d2 — х2)/А, где ж — расстояние от средней плоскости
шины.
5.48. Решение. Уравнение теплопроводности при наличии источников тепла с
плотностью мощности q для сферически симметричных задач имеет вид
п дТ 1 д ( 2дТ\
pCv— = [кг — -\-q .
dt г2 дг\ дг)
В стационарном случае дТ /dt = 0 и после однократного интегрирования записан-
записанного уравнения по радиусу (q = const) получим
dT q С
— = г + — .
dr Зк г2
Постоянная интегрирования С должна равняться нулю, так как в противном случае
в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной dT /dr.
Интегрируя вторично с учетом граничного условия Т = То при г = R, найдем
Температура а центре шара
с>2
ТЦ = ТО + -— = 790 К.
6
5.49.^= ^^ = 1,4 рад «80°.
2/Л
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 291
2. Элементы термодинамики
5.50. Температура выросла в отношении 5/3.
Указание, Процесс неравновесный, поэтому пользоваться уравнением адиабаты
Пуассона нельзя. Необходимо применить первое начало термодинамики, т.е. закон
сохранения энергии.
5.51. Тх = B8/25)Т0.
5.52. Тх = E4/49)Г0.
5.53. Решение. Допустим, в вакуумную систему перешло из атмосферы v молей
воздуха, занимавших при комнатной температуре Го и атмосферном давлении Ро
объем Vo- При этом окружающие порции воздуха совершают работу А = PqFq.
Пренебрегая теплообменом за время заполнения системы, запишем баланс энергии:
иСуТ = иСуТо + PoVo = v(CvTo + RT0) = иСРТ®.
Отсюда получаем температуру воздуха Т сразу после заполнения системы, т.е. при
атмосферном давлении, Т = 7^0 • Процесс последующего охлаждения воздуха до
комнатной температуры То происходит при постоянном объеме. При этом давление,
очевидно, упадет в 7 раз.
Итак, Р = Р0/7 = 5Ро/7 « 057Р0.
5.54. 1. Газ охлаждается при расширении, причем его температура пропорцио-
пропорциональна 1/F.
2. С = Cv — R- При расширении от газа отводится тепло.
5.55. 1. Газ при расширении нагревается, причем его температура пропорцио-
пропорциональна y/V.
2. С = Ср + R. При расширении к газу должно подводиться тепло.
5.56. A=™\l- ( * У"'] = ^ \(ЩП" - ll, в частности, для
адиабатического процесса Аад = А, если заменить показатель политропы п на
показатель адиабаты 7- Для изотермического процесса Аш = P2V2I11—, где
P2V2 = RT;
5.57.
5.58. FTc^o/V*T2/2i? = const.
5.59. СУ = 2аТ2.
5.60. T(V) = F(P0 - VPo/Vo)/R; Tmax = PoVo/4R при V = Vo/2.
5.61. Решение. Согласно первому началу термодинамики AQ = АС/ + А, т.е.
САГ = CVAT + PAF. Отсюда
C = CV + P^.
AT
Из уравнения состояния моля газа PV = RT имеем PAF + FAP = RAT
или Р + F(AP/AF) = R(AT/AV), откуда
AF _ R
AT P + F(AP/AF) *
Подставляя сюда выражения для нашего процесса Р = Ро — F(Po/Fo) и
(AP/AF) = — (Po/Vo), получаем окончательно
5.62. Решение. По определению теплоемкости AQ = CAT. До значения
ух = Fo/2 температура растет, т.е. АГ > 0, и теплоемкость С > 0; значит,
тепло подводится к газу. Начиная с этого значения объема температура убывает.
19*
292 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Однако именно в этой точке меняет знак теплоемкость. Далее С < 0 и AT <
< 0, а значит, тепло продолжает поступать к газу. Начиная с точки Vy =
= 4Fo /7 теплоемкость вновь становится положительной, а температура продолжает
уменьшаться. Следовательно, именно здесь начинается отвод тепла от газа.
Примечание. В точке Vx = Fo /2 прямая АВ является касательной к проходящей
через эту точку изотерме, а в точке Vy = 4Fo/7 она же служит касательной к
адиабате. Между этими точками температура понижается, но прямая идет более
полого, чем пересекаемые ею адиабаты. Это означает, что температура понижается
медленнее, чем на адиабате, и следовательно, тепло продолжает поступать к газу.
И только после точки Vy прямая идет круче адиабат. При этом газ охлаждается
быстрее, чем в отсутствие теплообмена; следовательно, начинается отвод тепла.
Отметим еще, что значение Vy зависит от величины Су •
2 / —, \ 7/G-!)
5.63. Т2 = Ti - — = 194 К; Pi = Р2 I — 1 = 3,3 атм, где /х —
2СР \Т2)
молярная масса, Ср — молярная теплоемкость, Р2 — атмосферное давление.
5.64.7 = 1,41.
5.66. V = V:
5.67. rj = 4/15 (используйте решение зад. 5.62).
5.68. rj = 6/67 (используйте решение зад. 5.62).
5.69. К = к+1.
5.70. Q = ЕТ2/{Тг - Т2)т = 467 Дж/с.
5.71. Используя условие теплового баланса, получаем
(Тх - T2)/(Ti - Г2) = ^/(Т, - Г2) .
Отсюда Тж = 299 К, т.е. ts = 26 °С.
5.72. Из уравнения адиабаты в форме TV1^1 = const можно получить, что
Т2 = Tin1. Кроме того, Т2 = пТз. Тепло подводится на изохоре, а отводится на
изобаре. Для КПД получаем
= 1_ 1^231 = i_ ^р№ ^Тз) = х_ 7(^ - 1)
Q31 Cv(Ti — Тз) n'Y — 1
5.73.?] = 1 5-j-.
5.74., = l-^-1
5.75.77 = 1 -
1(ni — 1)
7(ni-l)
5.77. А = 250 Дж.
5.78. гь/пг = 0,44.
5.79. N = 7 кВт.
5.80. га = 7200 тонн.
5.81. AS = RIn 2; AT = B7^ - 1)Г0 « 0,32Г0.
5.82. AS = Rln —h 2R In 2; если газы одинаковые, второе слагаемое
4FF
отсутствует.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 298
5.83. AS = Cv ln[9n/2(n + IJ] + Д1п[4п/(га + IJ] = 7,46 • 10~2Л =
= 0,62 Дж/К.
5.84. AS = Cv In[27n2/4(n + IJ] + Rln[Sn2/(n + IK] = 7,22 • 10^2Д =
= 0,6 Дж/К.
5.85. 77= Tl ~T<2.
5.86. 77 = Tl ~T2.
2Ti
5.87. Решение. Так как ?Q = TdS, на ГЯ-диаграмме (рис. 5.1/) подведенное
к рабочему телу тепло определяется площадью под кривой ABC, а отданное
холодильнику — площадью под кривой CD А. Радиус г
окружности ABCDA равен расстоянию от точки D до
оси абсцисс. Из геометрических соображений получаем
Q\ ос 4г2 + тгг2/2 и \Q2\ ос 4г2 — жг2/2. Используя з1
выражение для КПД цикла в форме rj = (Qi — \Q2 \)/Qi,
получаем, что rj = 2тг/(8 + тг) « 0,564 E6,4%).
5.88. г} = 1-1п2.
5.89. «° = 181.
А
— = 2570.
А
5.91. Решение. Теплоемкость Cv = FQ/dT)v* -р ^ w
Учитывая, что SQ = TdS, получаем Cv = Т(^Я/аТ)у, и С*
(dCv/dV)T = Т[^F>5/ет)у/6)У]т. Переставляя поря™
док дифференцирования по V и по Т, а также учитывая соотношение (dS/dV)T =
= (дР/дТ)у, получаем (dCv/dV)r = 6AT2. С учетом того, что по условию
Р = AT3, имеем: (<9CV/aF)T = 6Р/Г = 2 • 103 Па/К.
5.92. Ср = -R (идеальный газ).
2
5.93. Cv = -R (идеальный газ).
2
5.94. ( —1 = ЗР = 3 • 1Q5 Па.
dv/T
5.96. Q= -Б§.
Т
5.97. Тж = Г[а/(а + В)]2/3 « 10 К.
Указание. В данном случае 5 = —{дР/дТ)в>
5.98. Решение. При распаде моля Н2 образуется два моля атомарного водорода.
Если исходное количество Н2 принять за единицу, то в результате диссоциации
получится 2а молей атомарного водорода Н и останется 1 — а молей Н2. Запишем
уравнение реакции Н2 = 2Н в стандартном виде: Н2 — 2Н = 0. Тогда п\ = 1,
П2 = -2и константа реакции выглядит так:
КР(Т) = Р^/Рщ = Kexp{-Qp/RT),
где Qp = — Yl niHi = 2U(H) — Н(И2) — разность энтальпий продуктов реакции
и исходных веществ, т.е. теплота реакции (при постоянном давлении).
Учитывая, что давления газов пропорциональны числу молей, т.е. Pi = щР,
получаем КС(Т) = BаJ/A - а) = (К'/Р) exp(^Q
294 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Принимая во внимание равенство давлений в двух рассматриваемых случаях,
приходим к соотношению
Qp = [RT1T2/(T2 - Ti)] ln[Kc(T2)/i^c(Ti)] = 4,6 • 105 Дж/моль.
5.99. ax = 0,6.
5.100. ax = 0,94.
5.101. W = {kT1T2/{T2 - Ti)] • [21n(Ti/T2) - ln(/i//2)] = 4,54эВ.
3. Приложении законов термодинамики
5.102. Р « 98 атм; Рид « 198 атм.
5.103. х = Уж/К « 0,25.
5.104. Т = 0,8Тк = 373 К.
5.105. AT = —(- -) ^0,25 К.
5.106. AS « ~Д In 2 —.
2V0T0 Vo
RTV3
5.108. Решение. Так как температура постоянна, из выражения для энтропии
газа Ван-дер-Ваальса имеем: AS = Rln[(V2 — b)/(Vi — b)]. По условию V\ = VK =
= 36, откуда AS = Шп13. Вновь используя условие постоянства температуры,
получаем Q = ТАЯ = RTK In 13. Из формулы для внутренней энергии AU =
= (a/Vi) ~~ (a/V2) = 8а/27Ь, или, если использовать выражение для критической
температуры: AU = RTK. Тогда из первого начала термодинамики получаем: А =
= Q- AU = ДТкAп13-1).
5.109. А5 = Cf ln[En + 3)/8n] + Д ln[Cn -
5.110. Г(^ - Ь)п^г = const, где n = И —
5.111. А = R(T2 - Ti) In Yl^. - 21 Дж.
V\ — b
5.112.77 = 1 In — .
5.113. Т<ТИНВ = 35,1 К.
5.114. FK = 113 см3/моль; Рк = 34,4 атм.
5.115. m = 4,8 г; Р = 1,7 • 105 Па.
5.116. AT = (T/g) AvAP « 0,056 К.
5.117. g « T(AP/AT)AF « 184 Дж/г « 44 кал/г (опыт дает 46,4 кал/г).
5.118. Р « I 1 Н 1 Ро = 1,035 атм, где А — удельная теплота парообра™
зования, v = 1/18 — число молей в 1 г воды, Ро — атмосферное давление.
5.119. AT/АР = Г(иж - Vn)/q = -0,0075 К/атм. Дьюар опытным путем
нашел AT/АР = ^0,0072 К/атм.
5.120. Am/rn « С(Тю — Ti)/A « 14%, где с — удельная теплоемкость воды,
Ti и Тю — температуры кипения при 1 и 10 атм, соответственно.
5.121. Решение. Подсчитаем изменение внутренней энергии вещества при
переходе из состояния «вода при температуре Ti» в состояние «газ при температуре
Т2» двумя способами.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 295
1. Сначала вода испаряется, получая тепло Ai и совершая работу P\V\ =
= RTi/fj,. Изменение ее внутренней энергии равно Ai — RTi/fi. Затем водяной
пар нагревается до температуры Т2, и приращение внутренней энергии равно
CV(T2 - Ti)//i. Всего AUi = Xi - Ж\//х + CV(T2 - Ti)//i.
2. Вода нагревается до температуры ТЬ, при этом можно считать, что все тепло
с(Т2 — Ti) идет на увеличение ее внутренней энергии. Затем вода испаряется, и
прирост внутренней энергии: А2 — RT2/fi. Всего AU2 = A2 — RT2f fi + c(T2 — Ti).
Внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно, AUi =
= AU2. Отсюда Ai = А2 + [с - (Су + Д)/а*](Т2 - Тг) « 2,38 • 103 Дж/г.
5.122. A^ = cmi(Ti - Г) - qm2 = 61,8 кДж;
Т = Т\ ехр [ — J = 279 К, где с — удельная теплоемкость воды.
5.123. F = 2артг2г4/гп = 780 Н, где р = 13,6 г/см3 — плотность ртути.
5.124. F = 2am/pd2 = 1,46 • 103 Н, где р = 1 г/см3 — плотность воды.
5.125. Решение. Легко видеть, что давление внутри столба масла, втянутого
силами поверхностного натяжения в трубку, будет отрицательным (т.е. столб
растянут, а не сжат). Действительно, в условиях данной задачи внешнее давление на
поверхность масла равно нулю. Поэтому давление внутри столба на уровне масла в
чашке тоже равно нулю, так как давление в жидкости в точках, расположенных
на одном уровне, всегда одинаково. Во всех точках внутри столба давление
будет меньше нуля на значение гидростатического давления. В частности, для
точки, находящейся на уровне h/З будем иметь Р = ^pgh/З. Высоту h можно
определить, записав условие равновесия столба под действием силы тяжести и силы
поверхностного натяжения: h = 2а/'рдг. Подставляя это выражение в формулу
для Р, найдем Р = ^
5.126. С - СР = ^^ = -R • 10~4 « 5,56 • 10^4Дж/(моль-К)
ЗРог 3
1,33 • 1(П4 кал/(моль-К).
5.127. 1) Р - Ро « ^ « -^ = 25,2Н/м2 = 0,19 мм рт.ст.
г?п г RT
Р / fIVM 2G
2) Р/Ро = 2,9. При столь малых размерах формула — = ехр .
Ро V RT г
которой и был получен этот результат, может рассматриваться как оценочная.
5.128. г = 2аТ « 225 А= 2,25 • 10~8 м.
РжХАТ
4. Элементы статистической физики
5.129. (а) = 0,5; а = 0,5; е = 1.
5.130. Соответственно 1; 0,707; 0,707. Ответ не изменится.
5.131. (А) = 6(а> = 3; аА = (талМ « 1,22; еА = еа/л/^ « 0,289 во всех трех
вариантах ((а) — из зад. 5.129).
5.132. Соответственно 3,5; 1,71; 0,488.
5.133. 7; 2,415; 0,345.
5.134. 35; 5,4; 0,154.
5.135. 0,8; 0,4; 0,5.
5.136. 9,7; 0,458; 0,047.
5.137.97; 1,45; 0,015.
5.138. с = 1; (ж) = 1/2; а = 1/BлД) « 0,289; е = 1/лД « 0,577.
5.139. с = 2; (х) = 2/3; а = 1/C^2) « 0,236; е = 1/B^2) « 0,354.
296ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.140.
Nq
5.141. — « 9,5 (у поверхности Земли больше).
Nt
В1л<* и (ТС-ТО){Т)А
5.142. h = « 6 км.
Указание. На уровне моря при давлении Ро температура кипения воды То =
= 373 К. Подставляя вместо Т в уравнение Клапейрона-Клаузиуса Тс, а в
барометрическую формулу — (Т), и приравнивая получившиеся выражения,
находим высоту, на которой температура кипения воды равна 80 °С.
5.143. Решение. Линейность означает, что на высоте Hi + x температура равна
Ti + х . Плотность газа р = . Тогда для скорости изменения давления
Н2 - #i RT
dP (iPg
имеем — = —рд = . Окончательно получаем
dP figdx
р m -
После интегрирования от х = 0 до х = Н2 — Н\ получаем
Дд^ = _^(Яа-Я1Iп7Ь= ^
Pi ЩТ2-Тг) Тг
Отсюда Р2 = Pie'967 = 0,14Pi = 3,5 • 10 Па.
5.144. Решение. Учтем, что во-первых, давление и концентрация п для
идеального газа пропорциональны друг другу и, во-вторых, один идеальный
газ не влияет на поведение другого. Концентрации газов с разными молярными
массами по-разному убывают с высотой. Концентрация аргона весьма мала,
поэтому можно считать, что до высоты, на которой давление падает в 10 раз,
молярная масса воздуха не меняется (измерения подтверждают это). Поэтому мы
можем записать изменение концентрации для воздуха в целом (jii = 29 г/моль) и
отдельно для аргона (fi2 = 40 г/моль):
n1(h)=n1@)e-tM19h/RT,
n2(h) =m@)e^^9h/RT.
Поделив второе равенство на первое и учитывая, что отношение концентраций
аргона и воздуха есть относительная концентрация с, получим
с(А) = С@)е("-
Прологарифмируем второе и третье равенство и поделим одно на другое:
ln[n(h)/n@)] = /л
ln[c(/l)/c@)] [11 ^ 112 '
Учитывая, что по условию задачи n(h)/n@) = 0,1, а с@) = 0,009, окончательно
получаем
c(h) = е@) • ю^1~^)/м1 _ 0;0038 (о,38%).
5.145. Решение. Распределение концентрации частиц можно записать в виде
п(К) = п\ exp(-ah), где h — расстояние от дна кюветы, ni — концентрация у
/ а \ гп9(р — Ро)
дна, и (с учетом силы Архимеда) а = ——^^~.
ркТ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 297
Запишем условие неизменности полного числа частиц:
н
n(h)dh = п®Н .
о
В результате получаем п\ = поНа[1 — ех.р(—аН)} = 5,2 • 1CF11 см™3, а для
концентрации у верха кюветы П2 = п\ ехр(-аН) = 2,8 • 1CF13 см™3.
5.146. h = 0,03 мм.
5.147. гх = 8,1см.
5.148..
т
Указание. Число молекул в слое толщины dz равно произведению концентрации
n(z) = n@) exp(~[igz/RT) на объем слоя, который пропорционален z2.
5.149. Т= 2
4 А;Б
5.150. е„ = кБТ; С = СР.
5.151. ё„ = ^
5.152. t/=^
2
5.153. Г = —?
5.154. Е = ^ ,
е2 + е + 1
5.155. t = 153 °С.
5.156.г)осР1/5.
5.157.^= [^^-11/2 = 0,366, ^ = 1,83.
vB [п2 - lj vB
Указание. Удобно, полагая vi/^b = С и ^г/^в = ^С? воспользоваться нормиро-
нормированным распределением Максвелла.
5.158. dN = /
5.159. Т = /()
5.160. а = ехр[—eV/(feT1)], где е — заряд электрона (по абсолютной вели-
величине); 1) а = 13,5%; 2) а = 1,8%.
5.161. Решение. Рассмотрим сначала частный случай, когда абсолютные зна-
значения скоростей всех молекул одинаковы, но их распределение по скоростям
изотропно. В этом случае число молекул в 1 см3, направления скоростей которых
лежат внутри телесного угла dft, будет dn = ndO/D7r), где п — число молекул в
1 см3. Рассмотрим молекулы, ударяющиеся об 1 см стенки и подлетающие к ней с
углами падения между в и в + d0. Для них
du = 2тг sin 0 d0, dn = n sin 0 d0/2.
Число ударов молекул рассматриваемого типа об 1 см2 стенки в 1 с будет
dz = nv sin в cos в dd/2.
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до тг/2, найдем z = nv/4.
Если абсолютные скорости молекул различны, то молекулы следует разбить
на группы с практически одинаковыми значениями скоростей. Таким путем легко
298 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
получить
1
z = -nv,
4
где v — средняя скорость молекул. Для максвелловского распределения
п
5.162. ё = 2кБТ.
5.163. То = VTiT2 = 400 К; Р = - — + — « 1,06 атм.
2 [\T2J KnJ \
5.164. Решение. Скорость испарения определяется выражением
1
q = -nmv,
4
где п — концентрация атомов насыщенного пара вольфрама. Его давление
о 1 Т 4 ^
Р = -nmv1 = —q— .
3 3 v
При максвелловском распределении
v V 8то V 8Л
где А — относительная атомная масса, равная для вольфрама 184. Окончательно
получаем
Подставив сюда численные значения, найдем для давления насыщенных паров
вольфрама при Т = 2000 К: Р « 8,5 • 10~10 Па « 6,4 • 10~12 мм рт. ст.
5.165. = Р\ ~ 0,38 г/(с-см2), где и — молярная масса.
dt V 2ttRT
5.166. Для двух значений температуры должны быть равными следующие
выражения
3/2 mv2
1 4тгг;2е 2квт .
К2тгкБТ/
В точке пересечения, очевидно, v\ = V2. Кроме того, mv2/2k^T\ = 1. Поэтому,
обозначив Ti = nTi, получаем е~ = п~ ' е~ 'п или п In n = 2(п — 1)/2.
Отсюда п^ 0,5 @,4664).
5.167. eN « iV^1/2 « 2 • 10 « 0,02%.
5.168. V = l/(Na2) = 3,7 • 10~8 см3; п = 1/а2 = 1012, где iV — число
молекул в единице объема (N = 2,7- 1019см~3).
е- tr-л ад1 AS/fcr щ-162 Д*^ 1 v0 C~V I AT \
5.169.— = е ' ь~10 ,где = ,V — объем сосуда,
wo кБ 2 V к V То /
vo = 10 см3.
5.170.
1/2.
{(AT)?)
5.171. го = A/2)ж; N = log2(Т/г) ~ 70, где т ~ Ю с — время разлета,
т.е. время, которое требуется молекуле газа, чтобы пролететь расстояние порядка
размеров сосуда.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 299
5.172. п = 7,8- 1011.
5.173. е« 0,01.
= v2 для одной молекулы;
(и) {U)
одного моля.
5.175. Решение. Согласно выражению для среднего числа dN молекул газа,
кинетические энергии которых заключены между е и е + ds (см. ответ зад. 5.158):
{?) =
о
где введено обозначение а = 1/(кьТ). Обозначая знаменатель через Z и диффе-
дифференцируя его по параметру а, получим
/ \ - _1^? / 2\ - г d2z
Вычислив интеграл Z, по этим формулам найдем (е) = ЗквТ/2, (е2) = 15к^Т2/4
и далее
(As2) = (в2) - (вJ = 3fcB2r2/2.
5.176. <^2>1/2 = (мЬбТМ1/*
h 2a
Указание. При изменении высоты столбика жидкости на некоторую величину
eh возникает возвращающая сила / = рдбЬтгг2, где г — радиус капилляра.
Тогда избыточная потенциальная энергия равна тгг2pg(ShJ/2, Ее среднее значение
должно быть равно кТ/2.
¦л-11
5.178. га;
9
5.179.1 = 1о(То/ТI/2 « 8,5 км.
5.180. Примерно в 72 раза.
5.181. A/mm и Bе//тI/2 « 1,8 • 101 А.
5.182. Е = 1,5PF = 150 Дж.
5.183. е = kBT{V1/V2I^1 = 1,65 • 10~13 эрг.
5.184. е = feT/2 = 2,1 • 10~14 эрг; Л/Щ = 7,2 • 1011 Гц.
5.185. л/Щ = -^ = 7,3 • 1012 с.
5.186. ^/(г2)«3,3 см; 1) результат уменьшится в 2 раза; 2) увеличится в ^8 раз;
3) увеличится в л/2 раз.
5.187. v = 4 / «15 м/с, где га — масса иона Ar, e — заряд электрона.
V 2га
5.188. г « — « « « 1,4 • 10 с~4,4 • 10 лет, где v — скорость
6D 2Xv 2Xc
космической частицы, близкая к скорости света с в вакууме.
5.189. rmin = Ш Ж7]Г « 15 с.
2кЕТ
300 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
= 12,4г/моль^
приведенная молярная масса Аг и
5.191. Время образования жирового слоя toq ~ ~ 1 сут (по условию). Время
F В
I2
восстановления однородного распределения тв « . Подсчет показывает, что
тв « 1011 - 1012 с - 1000 лет.
5.192. Решение. Вначале газ должен продиффундировать от центра сосуда
до входа в трубку. В соответствии с общим соотношением {elJ « 2Dt время,
через которое газ достигнет входа в трубку, можно оценить как n = r\/2D\ =
= ^r\na /2{v) « rfna(fi/RTI^2. Затем газ диффундирует по трубке. При оценке
времени распространения по трубке вместо длины пробега 1/па мы должны
подставлять величину гг, и значит, Т2 = I2/2D2 = Ш2 /2r2(v) « ^(fi/RTI'2 /r2.
Для полного времени распространения газа от центра сосуда до конца трубки
получаем оценку г « (г2шт + I2 /^
5.193. АС = 72
5.194. АС =
5.195. AC =
5. Неравновесные процессы
5.196. AS = А/Т = 0,08 Дж/К.
5.197. Решение. Как следует из задачи 5.38 в сосуде устанавливается профиль
температуры Т = То + ЗТЬж/L. Пусть площадь сечения сосуда ст. Выделим на
высоте х бесконечно малый слой высотой dx. Число молей в этом объеме
Р Pa Pa dx
аи = dV = dx =
RT RT RTQ 1 + Зж/L
Так как во всем объеме находится один моль газа, то в начальном состоянии 1 =
= и = PoLa/RTo, а в конечном
Г Л PL(J 1 л
1 = di/ = In 4 ,
J ЗЯТ
т.е. Р = ЗРо/ In 4. Общее выражение для изменения энтропии
dS = СР ln(T/T0)du - Rln(P/P0)duJ
поэтому в данном случае мы имеем:
AS = fcpln(T/T0)di/-i*lnC/ln4).
Выполним интегрирование в первом члене, учитывая, что Р = ЗРо/In 4, PoLa/RTo ¦¦
= 1 и dx/(l + Sx/L) = (L/3)d[ln(l + Sx/L)]:
L
Cp I I In -
1 + Зж/Ь / RTq 1 + Зж/Ь In 4 V 1 + Зж/Ь
о
Окончательно
AS = ^Шп4 - Rln — = 0,961? = 7,97 Дж/К.
4 In 4
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 801
5.198. Аналогично приведенному в предыдущей задаче решению с учетом
результата задачи 5.39 и, принимая во внимание, что давление в цилиндре все
время постоянно, имеем
AS= \cP\n(T/To)du= ?^^31 = — 1п9 = 3,85Д = 31,9Дж/К.
J In 9 2 4
5.199. Так как по условию deS = 0, то это значит, что diS ^ 0. Для обратимых
и равновесных процессов diS = 0.
5.200. По определению Ф = U + PV - TS, поэтому ™Т— = ( —
dt \ dt
т.е. внутренние процессы ведут к уменьшению ее термодинамического потенциала.
5.201. Решение. В силу теплового баланса Земли точно такое же количество
тепла, которое получает Земля от Солнца (Тс = 6000 К), Земля излучает обратно в
космическое пространство, однако при другой температуре — Тз = 260 К. В силу
термодинамического соотношения SQ = TdS общий экспорт энтропии равен
dt KdTjlTc T3
Плотность оттока энтропии в среднем
4тгЯ|
Это верхний предел экспорта энтропии Землей, ответственный за биологическое
развитие и эволюцию.
5.202. Решение. Общее изменение энтропии всей системы по второму началу
термодинамики положительно, т.е.
dS = dSi + dS2 > 0,
где dSi и dS2 — изменение энтропии космонавта и окружающей среды, причем
dSi = diSi +deSi.
Здесь diS — энтропия, производимая внутри системы, a deS — энтропия, поступа-
поступающая извне или уходящая во внешнюю среду.
Изменение dS2 происходит в результате обмена среды веществом и энергией с
космонавтом — продукции энтропии в среде, окружающей космонавта, практиче-
практически нет. Поэтому
dS2 = -deSi и dS = dtSi > 0.
Если состояние космонавта стационарно, то
dSi = 0, deSi = -diSi < 0,
dS2 = dS = diSi > 0.
Стационарное состояние космонавта поддерживается возрастанием энтропии
в окружающей среде, определяемым оттоком в нее энтропии из организма
космонавта, компенсирующим продукцию энтропии в организме. Энтропия
среды возрастает (dS2 > 0) вследствие выделения теплоты космонавтом и вслед-
вследствие того, что энтропия веществ, выделяемых космонавтом, выше энтропии
потребляемых им веществ.
5.203. Решение. Дифференциальное уравнение для числа клеток со временем
имеет вид
dN/dt = Vpa3 - Vn6, Vm6 = ktN, VU = k2N.
Мы записали, что скорость размножения и гибели клеток пропорциональны их
полному числу N. Итак
dN/dt = ktN - k2N = kN.
302 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение этого уравнения
N = Noe^kt.
Если кг > к2 (к > 0), то N(t) —> сю при t —> сю. Если же кг < къ (к < 0), то
N(t) —t 0 при t —ь оо. Условие равновесия кг = fc2, что приводит к стационарному
состоянию N = No.
5.204. Решение. На основе баланса энтропии в клетке получаем:
AS = Si - S2 = аDтгг3/3) - /3Dтгг2).
Клетка растет до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние, при
котором AS = 0, что соответствует радиусу клетки го = 3/3/а.
При г > 3/3/а производство энтропии внутри клетки уже не компенсируется
оттоком и клетка гибнет. Но если она при этом делится, то А Я вновь становится
отрицательной величиной. Объем при делении сохраняется, но поверхность возра-
возрастает, поэтому радиус г\ двух новых клеток находится из соотношения 2D?rrf/3) =
= 4тгго/3 —^ ri = го/21'3. Суммарная поверхность двух новых клеток равна
8тгго/41//3, а разница энтропии
AS = 36тг^A - 21/3) ~ ^29,4^ .
5.205. Решение. Во-первых следует иметь в виду, что получение информации
о физической системе требует реальных физических воздействий на нее, т.е.
получить информацию о событиях в адиабатически изолированной системе
нельзя. Любой опыт, дающий информацию о некоторой системе, приводит к
увеличению энтропии системы или ее окружения. Подобно количеству инфор-
информации, энтропия выражается как логарифм термодинамической вероятности —
числа микросостояний, реализующих данное макросостояние, т.е S = ЩпИ^.
Как видно, выражения энтропии и информации аналогичны, что позволяет
выражать количество информации и в энтропийных единицах. По определению
одна энтропийная единица A э.е.) равна 1 Дж/К.
Пусть число микро со стояний убывает от Лэ до Pi. Количество получаемой при
этом информации составляет
т.е. действительно I равно уменьшению энтропии или увеличению негэнтропии.
Информация оплачивается энтропией, так как наблюдение связано с увеличением
энтропии, с необратимым процессом.
При смешении iVi молекул первого газа и N2 молекул второго газа энтропия
образовавшейся смеси S больше энтропии разделенных газов So на величину
смешения
AS = S - So = -UBJV(Pilog2Pi + P2log2P2) > 0,
где N = Nt + JV2, Pi = iVi/(JVi + JV2), P2 = iV2/(iVi + N2). Это равносильно
уменьшению количества информации на ту же величину. Значит исходная инфор-
информация составляла
Jo = ^fcBiV(PiIog2Pi + P2log2P2).
5.206. Строго периодическое решение означает, что u\(t + Т) = иг(Т).
Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем
= uo — Re — , откуда и\ =
, уд \ o
wo 2Re
Пусть периодическое решение испытывает некоторое возмущение Аи. Подставляя
в исходное уравнение решение в виде и = иг + Аи и ограничиваясь членами
первого порядка по Аи, получаем
Ul(t + T) + Au(t + T) = u0- в^
МО
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 303
Учитывая, что ui(t + Т) также удовлетворяет исходному уравнению, получаем
соотношение
A^ + T) = -2Re^W.
Если 2ReiAi < ио, то течение устойчиво, так как \A(t + Т)\ < \Au(t)\. Потеря
устойчивости происходит при условии ^Rei^i = uq. Найдем величину Rei,
подставляя это условие в соотношение для и\:
= (y/l + 4Re — l)u0 откуда л/l + 4Rei = BRei?/i + uo)/uq = 2,
т.е. Rei = 3/4. Теперь из условия для Аи следует требуемое утверждение:
Au(t + Т) = -Au(t) или Au(t + 2Г) = -Au(t + Г) = Au(t).
5.207. Неподвижные точки находятся из условия, что отображение переводит
точку саму в себя:
Из этого уравнения следует, что такими точками являются Ж1=0иж2 = 1^ 1/ D А).
Как видно, в заданном интервале значений переменной х две неподвижные точки
получаются только при условии 1/4 ^ А ^ 1. Если параметр А < 1/4, то
пересечение функций происходит лишь в одной точке х* = 0.
Ерафически неподвижные точки находятся следующим геометрическим по-
построением. Построим графики функций у = х и у = /(ж). В точках пересечения
графиков имеем х = у = /(ж), и поэтому пересечения этих функций как раз
являются неподвижными точками, как это показано на рисунке 5.2;. Если в точке
х = 0 производная f'{x) > 0, то, как видно из рисунка, неподвижной точкой
является только точка ж* = 0.
1 н
5.208. Производная от отображающей функции равна: f'(x) = 4АA — 2х).
Для найденных в предыдущей задаче устойчивых точек эта производная f'{x\) =
= /@) = 4А, f{x*2) = /'A - 1/4А) = 2 - 4А. Мы видим, что если 0 < А < 1/4,
то устойчива только одна точка ж 1 = 0, а если 1/4 < А < 3/4, тож!—неустойчива,
а Х2 — устойчива.
На приведенном графике (рис. 5.3;) показано, как происходит эволюция систе-
системы, когда ее начальное состояний соответствует х@) = 0,15. Чтобы графически
найти поведение системы в результате последовательных итераций, надо выполнять
следующие действия: отложим на оси абсцисс значение х®. Значение х\ равно
ординате /(жо). Чтобы найти xi, надо перевести вначале значение х\ на ось абсцисс,
т.е. провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком у = ж, а затем
уже найти Ж2 = f(xi) и т.д.
304
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Как видно из построения, проведенного на ри-
рисунке, в нашем примере итерационная последователь-
последовательность будет сходиться к устойчивой точке ж* = 1/2.
5.209. Решение. Выразим вначале производную
от функции /2 через производные от функции /. По
определению ж 2 = /2(жо), где х\ = /(жо), ж 2 =
= f(xi). Из правила дифференцирования сложной
функции следует, что [f2(x0)]f = f'(xo)ff(x1). Для
неподвижной точки ж* = /(ж*) из приведенного выше
соотношения следует [/2(ж*)]; = //(ж*)//(ж*) =
= [/''(ж*)]2. Таким образом, если неподвижные точки
преобразования / неустойчивы, то они неустойчивы и
для преобразования /2.
5.210. При Л > 3/4 в неподвижной точке ж* моду-
модули производных функций / и /2 больше единицы, т.е.
бывшая притягивающая точка ж* теряет устойчивость,
но у функции /2 появляются две новые неподвижные
точки. Как видно из рис. 5.4;б, график /2 пересекает
прямую у = ж в двух дополнительных точках, причем
наклон функции /2 в двух новых неподвижных точках
меньше 45°, т.е. они являются устойчивыми: каждая
двойная итерация / будет притягиваться либо кж1,
если она достаточно близка к х{, или к Ж2, если она
достаточно близка к ж2.
Как видно из рис. 5.4;а, итерации «наматываются» на устойчивый 2-цикл.
Элементами 2-цикла являются неподвижные точки х\ и х\ преобразования /2.
6. Квантовая теории излучении
5.212. СР = оо, VT3 = const.
5.213. Решение, и = аТ4, внутренняя энергия U = uV = aVT4.
dS =
dU -
- aT3dV + — dV = ,
5.215. ишл осТ4.
5.216. Аналогично газокинетической формуле для молекулярного потока
I = с<иИзл/4.
5.217. Су ос Г3.
5.218. dN{v) = Bl/s)di/9 где s — скорость распространения волн вдоль струны.
5.219. Решение. Возникающие стоячие волны (собственные колебания) можно
рассматривать как суперпозицию стоячих волн, которые устанавливаются вдоль
сторон параллелепипеда h, /2, /3. Запишем условия для этих волн: п\ = hki/тг,
П2 = bfe/тг, ^з = 1зкз/тт, где кг = 2тт/\i. В этих соотношениях пг, П2, пз —
целые числа, характеризующие числа полуволн, укладывающихся в направлениях,
параллельных сторонам h,h,h-
Число различных колебаний, приходящихся на интервал (ni, m + dn\; пг, П2 +
+ dm] пз, пз + dns), равно
dZ =
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 805
где произведение dk\dk2dk% можно рассматривать как элемент объема в про-
пространстве волновых чисел кг. Построим в этом к -пространстве сферу радиуса к,
уравнение которой к\ + fcf + к2 = к2. Все точки этой сферы соответствуют одной
и той же длине волны А, а, следовательно, одной и той же частоте ш. Поэтому
число колебаний в интервале (к, к + dk), или в интервале соответствующих частот
(ш, ш + duS), равно
,7 _ у Г _ v 1 2» _ v 2г
^ ™~ тг3 J 123^тг387Г ~ 2тг2с^Ш
Коэффициент 1/8 появился в этой формуле вследствие того, что интегрирование
следует производить лишь в пределах одного октанта сферического слоя радиусами
(к, к + dk), так как нас интересуют только положительные значения чисел к\, &2,
кз. Полученное выражение необходимо еще умножить на 2 в соответствие с тем,
что каждой частоте отвечают два состояния поляризации (две волны со взаимно
перпендикулярными плоскостями поляризации).
5.220. Решение. По определению среднее значение энергии осциллятора равно
оо
f EN(E)dE
N{E)dE
о
Имея в виду, что Uujduj = (E)dZUJ, и пользуясь результатом предыдущей задачи для
числа колебаний в полости, получаем
Uojduj = ш duo .
7Г2С3
Мы получили формулу Рэлея-Джинса для плотности равновесного излучения, что
вполне естественно, так как по условию задачи осциллятор является классическим
(непрерывный энергетический спектр).
5.221. fi\d\ = 8тгА [Gx.p Bтт he/квТХ) — 1] d\.
5.222. Решение. При Jwo/квТ <С 1 экспоненту в формуле Планка можно
разложить в ряд и, ограничиваясь первым членом разложения, получаем
7Г2С3 flUJ 7Г2С3
Эта формула может быть также получена на основе следующих рассуждений.
Всего в единице объема имеется о;2/(тг2с3) осцилляторов с частотой ш, а по
теореме о равнораспределении энергии в равновесной системе на каждую степень
свободы приходится энергия квТ/2. У осциллятора квТ/2 приходится в среднем на
кинетическую энергию и feT/2 на потенциальную, т.е. средняя энергия осцилля-
осциллятора, находящегося при температуре Т, равна к^Т. Перемножая среднюю энергию
осциллятры на их число, мы приходим к формуле Рэлея-Джинса.
5.223. 7,76 мкм, 6780 А, 2820 А.
5.224.1,6- 10~3.
5.225. а = E/тг4)(Е^БТK ~ 0,2%.
Указание. Все значения энергии фотонов Е = hoo ^ 0,2 эВ удовлетворяют
у с ловию fkj/fe Т <О и поэтому можно считать, что [ехрAгй;/^БГ)^1]^1 с± квТ /?ш.
5.226. а = AБ/ж4)(Е/къТK ехр(-Е/квТ) ~ 0,8 • 10~6.
Указание. Для всех фотонов с энергией Е ^ 12 эВ можно считать, что
[ех.\)(?ьи)/къТ) — I]™1 с± ехр(
20 Задачник
306 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.227. Решение, Спектральная яркость серого тела с коэффициентом излучения
ел,т вычисляется по формуле
В'х,т=е\,т — е^С2/хт .
7Г
По определению яркостной температуры В\,тя = ?»а,т- Следовательно,
С\ ^Со/хтя С\ —Со/хт
— е ¦ = ел,т — е
7Г 7Г
После логарифмирования получаем
= + 1пел,т,
ХТЯ XT
откуда
Т= ~ т~'
где Т — истинная температура тела.
5.228. 2350 К.
5.229. Решение. При тепловом равновесии мощность излучения, проникающего
во вторую полость, равна мощности излучения, выходящего из этой полости:
j AQ _ 1 дп _ же2
~ 2' ~ 4R2 '
а значит Т2 = Тг <s/d/2R = 380 К.
5.230. В 16 раз.
5.231. Давление теплового излучения Р = и/3, и — плотность энергии
излучения.
\2(тМ )
где М — масса атома водорода.
5.232. Решение. Оценим вначале величину
^10-з*.6,3.3.101° 1 ^ 0,0015 <1.
кБТ 3 1,4 • 103 • 300
Таким образом, измеряемая частота лежит в классической области спектра и
согласно закону Рэлея-Джинса
и(ш) = ^ш2 ос Т.
Если бы антенный тракт был абсолютно черным телом, то он бы поглощал все
излучение, на самом деле он «серый» и коэффициент серости в области длин
волн ~ 3 см равен 0,01. Это значит, что и излучать он будет 0,01 часть от
интенсивности излучения абсолютно черного тела при температуре 300 К. Итак,
так как мощность излучения пропорциональна Т, то АТЭ$ = a AT, где а = 0,01,
то есть Гэф = 0,01 • 300 = 3 К. Это и есть шумовая температура антенного тракта.
5.233. В 28 раз.
5.234. Р = и/3 = D<j/3c)T4 = 4,6 • 1011 атм.
5.235. 5960 К.
5.236. 44,3 Дж-см- мин.
5.237. Т = (ЗсР/4<тI/4 = 1,4 • 105 Дж.
5.238. Решение. Плотность теплового излучения можно представить в виде
и(Х,Т) = (Г/АM/(А,Т), где функция / зависит только от произведения AT. В
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 807
максимуме согласно закону смещения Вина XT = const, а потому и(Х, Т) ос Т5. То
же справедливо для излучательной способности, так как Е(Х,Т) = (с/4)и(А,Т).
5.239. 5,8 • 108 Н.
5.240. 8,7 • 1(Г6 см.
5241 З 41
5.241. За 41 мин.
Указание. -mCdT = eaST4dt, -— = — dt, = Зе —At.
Т4 C Tf Tl C
4dt dt З
5.242. В 1,3 раза.
5.243. 2,1 • 1021 фотон/(см2-с).
5244 1600 К
dt, Зе
Т4 mC Tf Tl mC
5.244. 1600 К.
5.246. Решение. Среднее число фотонов, попадающее от звезды в зрачок глаза
-r LAS л „34 а
в одну секунду 7V = ^ 10 , где А — механический эквивалент света
hc/X
@,00160Вт/лм), площадь зрачка глаза S принята равной 0,5 см2, а длина волны
А = 550 нм. Статистические свойства фотонов описываются распределением
Пуассона, а потому (AiVJ = JV, =y (AiVJ ~ 10~ . Отсюда видно, что
N v
квантовые флуктуации света к мерцанию звезд не имеют отношения.
5.247. 0,12.
5.248. Решение. Эквивалентная температура черного тела будет заведомо столь
высокой, что для видимого света энергия фотонов Нш «С квТ, поэтому мы можем
пользоваться для оценки температуры классической формулой Рэлея-Джинса. В
таком приближении плотность излучения абсолютно черного тела равна
4кЕТ
7Г2С3 flUJ 7Г2С3 А2 7Г2С3 СА2
а поток
т си кБТ
1чт^ = •
4 А2
Спектральная яркость лазерного излучения, как и любого источника, по опреде-
определению есть плотность потока излучения qv единицы поверхности в единичном
интервале частот и в единицу телесного угла
/л —
и она связана с энергией излучения соотношением
4
где D — диаметр выходной апертуры. Согласно условию задача Аи ^ 1/т, АО =
= tt(A/DJ. Таким образом, яркость лазерного излучения равна
1; = qvT = 4E
Л ~ тг(А/1)J ~ тг2А2 *
Приравнивая яркости лазерного излучения и излучения абсолютно черного тела,
окончательно имеем
^4- 1022К.
5.249. AT = ГоA + Р/РоI/4 ~ (Р/4Р0)Г0 = 0,006К, где То = P0/Sa =
= 240 К — температура поверхности в отсутствие земных источников тепла.
5.250. Решение. Число ядер в урановом кусочке N = wiNa/'/i = Ю22. Число
распадов в единицу времени dNi/dt = XiN = Nln2/Ty2- Хотя выделяемая
20*
308 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
при делении энергия Еспов ~ 200 МэВ, выделяемая за единицу времени энергия
преимущественно определяется альфа-распадом, так как ЕаХа 3> ДлюнАспон. Из
условия теплового баланса получаем, считая кусочек урана шариком: EaXaN =
= aTAS = аТ44тгCт/4тгрJ/3. Температура урана равна
5.251. Если 1 и 2 — какие-либо два невырожденных уровня в стенках поло-
полости, в которых заключено равновесное излучение, то отношение интенсивности
индуцированного к интенсивности спонтанного излучения равно
1
5 =
ehv/khT _ x
Если ехр(кг//квТ) ^ 2, т.е.
> he
A<g ,
кБХЫ2
то интенсивность индуцированного излучения становится больше или равна интен-
интенсивности спонтанного. При Т = 300 К получаем А ^ 692 мкм.
5.252. Т > hc ~ 3,8 • 104 К.
квХЫ2
5.253. Решение. Рин = nPcmm = [ехрAгш/квТ) — 1]~ откуда следует, что
Рин < 0,01РСПОн и е^р(?ьш/квТ) - 1 > 100, aw> (кБТ/Н) In 101. таким образом
А < ~ 11 мкм.
fcBTlnl01
5.254. т = ——— ~ 2 • 10^7 с, Q = — ~ 108.
сA-Л2) А
5.255. Генерация возникает, когда мощность света, излучаемая молекулами,
превышает потери мощности при отражении на зеркалах. Когда световая волна
проходит расстояние L, она один раз отражается от зеркала, теряя при этом часть
1 — R своей энергии. За единицу времени теряется часть энергии, равная — =
Трез
= — -. Время Грез можно считать временем жизни фотона в резонаторе. Таким
L
образом, потеря мощности излучения на зеркалах резонатора равна
-'рез —
где V — объем резонатора, а (Е2)/4ж — средняя плотность электрической энергии
в световой волне.
Скорость убывания числа молекул на верхнем энергетическом уровне 2 опре-
определяется уравнением
—- = -A21N2 - B21N2uv + Bi2Niuv ,
dt
где JVi и N2 — концентрации молекул на уровнях 1 .и 2, uv — спектральная
плотность энергии излучения на частоте перехода v между этими уровнями, В\2 =
= В21 и A21 = 1/тспон — коэффициенты Эйнштейна, связанные между собой
соотношениями
в -в - с3
-?521 — -?'12 — •
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 309
Спонтанным излучением, поскольку оно происходит по всем направлениям, можно
пренебречь. В этом приближении для мощности индуцированного излучения в
резонаторе находим
Рин = -Vhv±-± = V(N2 - Nt) uv .
dt 8тп/2тСпон
С учетом равенства и v А и = —(Е ) условие генерации света Ряш ^ Ррез принимает
4тг
вид
N2 ^
- R
¦Тсп.
5.256. AL/L = Аш/ш = 10~15, а значит AL = аАТ =
А. Следователь-
Следовательно AT ~ 10"8 К.
5.257. гоин/госпон = п(?7) = [ех.р(Е/кТ) — 1] , где п — средние планковские
числа заполнения для осцилляторов. Так как энергия возбуждения атома Е ^> к^Т, то
^ ) ~ 1,6 • Ю-17 .
5.258. Энергия электрона в заданном магнитном поле /хВ <С квТ, поэтому
~ 2,2 • 103 .
7. Кристаллические структуры твердых тел
5.259. 1; 2; 4.
5.260. @10), @01), A00), @,1,0), @,0,1) и т.д. Кристаллографическая экви-
эквивалентность их проявляется в том, что эти плоскости совмещаются друг с другом
при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90°, физическая
их эквивалентность в том, что все эти плоскости обладают одинаковой структурой
в расположении узлов решетки а, следова-
следовательно, и одинаковыми физическими свой- fr
ствами.
5.261. См. рисунок 5.5;
5.262. Примитивной ячейкой является
60°-й ромб; гексагональная структура ин-
инвариантна к повороту на 2тг/6 относитель-
относительно оси, проходящей через точку решетки
перпендикулярно ее плоскости (ось 6-го по-
порядка), и имеет две плоскости зеркального
отражения. Поэтому ее группу симметрии
обозначают часто как бтт.
5.263. 1) ЗС4, 4С3, 5С2, 9Р, I;
2)С4, 4С2, 5Р, I
3)С6, 6С2, 7Р, L
5.264. 4,04 А.
5.265. Увеличится на 4%.
5.266. 0,52; 0,68; 0,74.
5.267. 3,14 А; 6,28 А.
5.268. На одну элементарную ячейку приходится 4
A00)
@10)
Рис. 5.5;
иона Na
Объем d3 занимают 4 молекулы, объем одного моля FM =
и 4 иона С1.
= f^/p, d =
310
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.269. Решение. Пусть а±, а 2 — соответствующие постоянные решетки. Тогда
d\ = (y/2/2)ai, d,2 = (\/3/2)а2. В гранецентрированной решетке на одну
ячейку приходится 4 атома, а в объемноцентрированной — 2. По условию объем,
приходящийся на один атом, не изменяется, поэтому af/4 = a\j2 и di/efe =
= 21/3^/2/3 = 1,03.
5.270. - 8 • 1(Г2 эВ.
5.271. Т = 14 К, а = 3,3 А.
5.272. Пик от диагоналей расщепится на два:
(—) рад, cf ~ l,001d0 .
cos(tt/2-0)
Расстояние между пиками равно 2dsin 0 = пЛ. Угловое разрешение
Ав
Ad
d
= 10"
5.273. По условию Вульфа-Брэгга sin в = n\/2d ^ 1, поэтому угол скольжения
в = 60,5°.
5.274. Решение. Отражение от плоскостей, проходящих через грани куба,
может быть лишь тогда, когда разность фаз от соседних плоскостей равна 2тг. В
случае объемноцентрированной кубической решетки есть еще одна промежуточная
атомная плоскость, проходящая через атомы в центре куба, и получается, что
разность между последовательными параллельными плоскостями равна тг. Это
означает, что результирующая амплитуда равна 1 + е~г7Г = 1 — 1 = 0.
8. Динамика атомов кристаллической решетки.
Фононы
5.275. Решение. Из условия I = п\/2, где А — длина волны, п = 1, 2,3,... —
число полуволн, укладывающихся на длине I, получим, что п = Iuj/ttv. Таким
образом, каждому значению п отвечает определенная частота ш, а значит в интервале
частот duj число колебаний dZ = dn или
5.276. „ = 4L = 2Л
к ка
ка
dZ = —duo»
7TV
dk
ка
где скорость звука s =
771
5.277. С = 3,3 • КРс; v = лДаС/тг, ^лДаС/тг, аС/тт, л
и = аС/2\/2, —аС/2л/2, 0, —аС/2л/2; эквивалентными являются фононы,
соответствующие к = —ж/2а и Зтг/2а.
5.278. В 2 раза.
5.279. ш = (тг/20)(з/а) ~ 1,05 • 1012 с.
5.280. Решение. Так как NaCl образует при кристаллизации гранецентри-
рованную кубическую решетку, то можно считать, что ее фононный спектр
описывается моделью одномерной двухатомной цепочки. Это означает, что в этом
кристалле могут возбуждаться как акустические, так и оптические колебания.
В центре зоны Бриллюена, т.е. при к = 0, частота акустических колебаний
равна нулю, а оптических ^2j/fi и эта частота является максимальной частотой
колебаний для двухатомной линейной цепочки. Для NaCl приведенная масса
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 811
равна \i = тМ/(т + М) = 14а.е.м. Длина волны оптических колебаний при
к = 0 равна
Л = = 2тгс4 / — =60 мкм,
ш V 27
что и требовалось показать.
_ _,„. Л 1г о / 18тг п ^гт/лт^ /-
5.281. в = — i3/ = 470 К, где п — число атомов в еденице объема.
* V 1/? + 2/?
5.282. Максимум соответствует 180°-рассеянию:
ш = п + ш\ пк = К - пК\ ш = ck, п = sK,
n(k - У) = —, п{к + к')=К^К = 2 кп - 2пк .
с 1 + ns/c
п = sK = 2^ = ±^i = iii^iiiiiiiiiH! ^ 2M.10ii c-
с Л 4- 10™5
5.283. w = o;/ + O^ifc = fc/ + si^/c ~ к',
X = 2к sin r ~ 2— sin [ — ) = sin ( — ).
V2/ с V2/ Л V2/
4тгп5 . /тг\ 1,5 • 105 • 1,5л/2 ю -i
О = SK = sin I — ) = 4тг^ =3-10 с .
Л V4/ 6,4- 1СГ5 • 3
Разрешение
N = - = — = 6;3 ' 3 ' 1Ql° ~ 105
О АО 6,3 • 10~5 • 3 • 1010 ~~
5.284. Решение. В одномерной цепочке с двумя различными атомами (тяжелым
Mi = Мвг и легким М2 = Мк) частота колебаний
wmax = ш(ж/а) = д/27/Mi, ш@) = V7/[2(Mi + М2)]А;а,
1/а3 = p/DMi + 4M2) -)> а = D • 120 • 1,6 • 10~24)/2,74 = 6,5 • 10~8 см.
Поэтому скорость звука s = cjmax\/Mi[4(Mi + М2)]а = 2 • 103 м/с.
5.285. Смещение ионов х определяется локальным полем Е\ пропорциональ-
пропорциональным поляризации вещества Р:
, пе2Е' к
кх = еЕ , Р = пех = , — = ш0) // =
к i±
Поскольку р = п(М+ + М~), а е = 1 + Р/е0Е = 1 + РЕ'/(e0EEf), мы имеем:
_ тге2 ?' _ ре2 ?;'
eofiuj^ Е еош^М+М^ Е
и, следовательно,
гч-< 2 2
5.286. v = — ~ 2^о = 60 м/с.
?J7 2MSnc2 ^о
312 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.287. Решение, Поскольку энергия возбуждения атомных ядер всегда много
меньше энергии покоя атомного ядра, задачу можно решать в нерелятивистском
приближении. Из законов сохранения энергии и импульса следует:
ря = р = Ej. Е = E1 + R, R= ^- = ^ ~ —— = 0,047эВ.
с 2МЯ 2Мяс2 2Мяс2
Энергия излучаемого кванта отличается от энергии перехода на эту же величину.
В случае эффекта Мессбауэра R ~ 10™23 эВ.
5.288. При прохождении через вещество интенсивность излучения уменьшается
с расстоянием L по экспоненциальному закону I = /о ex.p(~naL). Условие
отсутствия заметного поглощения определяется неравенством naL <С 1 т.е. L <С
<С (шт), где п — число ядер Sn, «принимающих участие» процессе поглощения.
Эта величина равна п = fepNA/A, где Na — число Авогадро, А — молекулярный
вес BaSnOs, который равен 304. Самопоглощение мессбауэровских 7-квантов —
резонансный процесс, сечение которого описывается формулой Брейта-Вигнера
_ 4тг (Г/2J
а ^ к2 {Е~Е®J+Т2/4 '
В резонансе, т.е. при Е = Е®
4тг
а = — =
к2 Е2
При этом мы учли, что для 7-квантов соотношение между импульсом и волновым
вектором линейно р = hk, а энергия j-кванта Е^ = рс, т.е. k = E1/hc. Таким
образом, получаем, что толщина источника должна удовлетворять неравенству
L « ^2 ~ 1,2 • Ю-5 м.
47rfepNAh2c2
5.290. D/R ~ ^къТМс2/Е2 = 2,5.
5.292. v = {АЕ/Е)с = 0,4 мм/с.
5.293./ = ехр[-/г2&1/Dтг(р2))].
5.294. Решение. При температуре Дебая возбуждаются преимущественно фо-
ноны с частотой шд, и поэтому среднеквадратичное смещение атомов в решетке
можно оценить по формуле Мо;д(ж2) ^ к^О. Вероятность эффекта Мессбауэра
будет примерно равна / = ех.р[—Е^/(МквОс2)} с± е^0'22 ~ 0,8. Как видно, для
наблюдения эффекта Мессбауэра температуры источника и поглотителя должны
быть не больше температуры Дебая.
5.295. 10,2 А.
5.296. 8,2 • 10~2 эВ.
5.297. Oi/e2 = V'а*2/mi = 1,6.
5.298. Етах = Лштж = квв = 5,16 • 103 Дж, pmax = hkmax = 2жП/\ткП ~
— nil/ #0 — -LU Kl •М/С
e5^l
5.299.
т=&
е- 1
~ 1,5;
= 4-
~ 0,027.
т=е/ю
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 818
5300. Мш2х20 ~ кБТ,
ш^шд = къв/h, хо/а ~ (!ъ/квва)(кьТ/МI/2 ~ 0,025.
15 \? f/
5.302. Ci осТ, С2 ос Г2.
5303. Квадратичная зависимость теплоемкости свидетельствует о том, что
кристалл является двумерным; в данном конкретном случае углеродные плоскости
разделены большими промежутками.
5304. s = Bтг2къ/ЬаI/3(квТ/П) ~ 5,3 • 103 м/с;
в = F7T2I/3(hs/kBa) ~ 520 К.
5305. 0,385 Дж/(кг-К).
5306. 380 Дж/(кг-К).
5307. Решение. Так как начальная температура много меньше температур
Дебая обоих веществ, то справедливо низкотемпературное приближение. Теплота,
отбираемая при охлаждении у тел, равна
AQ =
Это выражение можно записать в виде
л, =
Так как масса кристалла М = ЛГА, где А — атомная масса, то AQ ос . Так как
АО3
масса испарившегося гелия пропорциональна величине отбираемой у тела теплоты,
то окончательно имеем:
mm = (AsAfe(Si)\3 _ 28 /645^ 12
wsi V ^рь / V в(РЬ) / 207 \ 95 /
5308. Cv(Be) = — NBekB( —) ; CV(Cu) = 37VCufe; — = 1,44,
5 \6Be/ %
Су (Be) = l^iVBe (ЛУ ~i 1
CV(Cu) 15 ЛГсЛвве/ '
5309. 6,7 Дж/(м-с-К).
5310.1,47- 10^5см.
5.311. Теплоемкость решетки Су = 31?, а теплопроводность
X = ™
3
5312. 30 нм.
5313. 1953:1.
5314. Решение. Максимум теплопроводности будет при условии, что длина
свободного пробега фононов определяется границами образца. В этом случае
X = -dsCy = 2,7 • 102 Вт/(м • К).
о
5315. 1,9Вт/(м-К).
5316. Решение. Длина пробега фононов, определяемая рассеянием на приме-
примесях, 1 с± 1/(па) = 1 см, т.е. при меньших толщинах длина рассеяния будет опре-
определяться уже размерами кристалла. Фононная теплопроводность и теплоемкость
314 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
определяются соотношениями
-1П6 Дж
Сф =
5 s3h3 3 15 s2h3 м-с-К
5317. Решение. Так как /х ^ га, то оптическая ветвь имеет практически
постоянную частоту fia;On = hy/2j/m (следует иметь в виду, что в одномерной
решетке с двумя разными атомами число колебательных мод в одной ветви
равно N/2, а не N).
оп _ (д.
v ~ \&.
= \[Ш,
N ,
2
Е) ~
7т =
%)Тьи
2
3, а
о =
<• (
*{
N
2
Нш
кБТ
on/ rS
ехр(Я
\ 2
) [ex
ш
ш/кБ
ехр(
:р(Н(м
30^
Т)-1
»/^бТ)
>> 1 то
Т)
-I]2
Так как йшоп/квВ =
Для одномерной цепочки (учитывая, что L = Na/2)
оо сю
Ыж тг2 4 ^ак тт2кв __/ Т
J еж-1
V
-1 6 12 \в
о о
и соответственно
2
ггП T ) \Т 6
9. Электроны в кристаллах
5318. Решение. Число состояний в интервале импульсов (р,р + Ар) равно
V
dZp = = р ф.
АржАр^Ар^ 2тг21г3
Так как в каждой фазовой ячейке, объем которой Арх Ару Apz, могут находиться два
электрона с антипараллельными спинами, то число электронов в рассматриваемом
интервале импульсов равно n(p)dp = 2dZp. Переходя к кинетическим энергиям,
получим
n(E)dE=
5319. При таких энергиях, когда ех.р[(Е — Е^)/къТ] ^> 1.
5320. Решение. Так как заполнена половина зоны проводимости, то это
означает, что каждый атом отдает по одному электрону и среднее расстояние между
электронами г ~ п^1^3, потенциальная энергия VK ~ е2/г = е2^1/3, энергия
Фермий = h2C7r2nJ/3/2m.
VK/EF =
,86- 1025
5322. 12 эВ.
5.321. п = 1,86- 1025м™3
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 815
h2 /З- 2,53- Ю28Ч2/3
5323. Ер = — J Дж=3,14 эВ.
2т \ бтг /
5324. -1,38&БТ и -1,38&бТ.
5325. 0,6.
5326. Уменьшится в ~ 1,14 раза.
5327. 0,65.
5328. Т = 1490 К.
5.329. рр = Ьл/Ъгп = 0,83 • 10~24 кг-м/с.
5330. (vf)z = Eoa/h = 2,3 • 105 м/с, (v?)x = (v?)y = 0.
5331. Решение. Плотность состояний (число энергетических уровней в единице
объема) равно
а плотность электронов при энергии Е в интервале dE есть
dn(E) = n(E)dE = g(E)f(E)dE,
где f(E) — функция распределения Ферми-Дирака и при Т = О К она равна
единице вплоть до Е?. Подставляя численные значения констант, получаем
dn
dE
- = 5,4-102ОэВ~
Е=Е? П*П»
5332. Решение. Из распределения Ферми при Т = 0 и при Е = Е$ следует, что
АЕ= жЧ2Ап =1,8^10^22эВ;
шCтг2пI/з
где An = 2, так как на каждом энергетическом уровне находится два электрона.
5.333. га = I g(E)f(E)dE--
?3/2
5.334. Я™*°= 5,5 эВ.
5335. 1 и 3 соответственно.
5336. Решение. Модулем объемного (изотермического) или всестороннего
сжатия вещества К называется величина —У(дР/дУ)т, обратная ей величина —
сжимаемостью. Так как концентрация электронов п по определению равна N/V
(N — полное число частиц), то
л dv ш dv
dn = N = — п— ,
V2 V
и соответственно сжимаемость
1 _ _ 1 0V _ 1 дп
К V дР пдР'
В случае изотропного распределения частиц газа по скоростям и квадратичного
закона дисперсии Е(р) = р2 /2т давление газа
Р = 2-п(Е) = -nEF = -^(Зтг2J/Зп5/3 .
3 5 5т
Таким образом,
дп Зт 3
316 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
- = - [^(Зтг2J/Зп2/31 "' = ^(Зтг2Г2/3тГ5/3 = 1,9 • КГ11 Па^1
К nl3m J h" A,9-Ю-6 am).
Р = C/Б)К ~ 3,08 • 1010 Па C,14 • 105 атм).
Интересно сравнить полученные значения с экспериментально измеренными
величинами. Так для алюминия сжимаемость равна 12,7 • 10~12 Па, у золота она
равна 6 • 10^12, у железа 5,8 • 10 ~12. Как видно, эти величины близки к полученной
оценке электронной сжимаемости металла.
2
5337. К'1 = А = 9*2™ = 3,63 • Ю-6 атм.
5F П2C2M/3
5F ()
5.338. Решение. Пусть концентрация электронов в металле равна п. Как
известно, Е^ ос п2^3, В ос sn1'3. Поэтому
в Зте
5.339. Решение. При квадратичном законе дисперсии Е = р2 /2т плотность
состояний (число состояний в единичном интервале энергии) в единице объема равна
Средняя энергия (Е) по определению есть
оо Е?
f Eu{E)dE f
i
о о
При интегрирования мы учли, что при Т = 0 К распределение электронов по
энергии простирается от 0 до Е^.
5.340. (Т) = 7 эВ.
5.341. (Е) = 1,93 эВ.
5.342.1,2 • КГ2те.
5.343. Е? = 9,8 эВ, р? = 1,5 • 10~23 кг-м/с, vf = 2,1 • 106 м/с.
5.344. Решение. Заметную вероятность выхода из катода имеют только те элек-
электроны, кинетическая энергия которых больше работы выхода и которые движутся
в направлении к поверхности. Следовательно, плотность тока dJx определяется
выражением dJx = evxdN; здесь vx — скорость вылета, a dN — число электронов
с энергией, достаточной для преодоления поверхностного потенциального барьера:
vx = ^ , dN = -f{E)dpxdPydpz,
m fi6
где распределение Ферми
f(E) =
определяет вероятность для электрона обладать энергией Е. Подставляя выражения
для vx и dN в формулу для плотности тока, получаем
2е
dJx = f (E)pxdpxdpydpz.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 317
Если теперь проинтегрировать это выражение по ру и pz в пределах от — оо до +оо
а по компоненте рх от рх до +оо, то мы получим формулу Ричардсона-Дешмана.
5345. Решение. Когда электрон испускается поверхностью металла, на ней об-
образуется вакансия с зарядом +е, который создается за счет вырванного отрицательно
заряженного электрона. Таким образом, возникает кулоновская сила притяжения
между отрицательным электроном и положительно заряженной дыркой. Если
вырванный электрон удалился на расстояние х от поверхности, то сила притяжения
между этими зарядами имеет вид
е2 е2
F= = — .
2 2
Если электрон находится во внешнем электрическом поле Е, на него действует еще
одна сила еЕ. На некотором критическом расстоянии а рассмотренные две силы
равны одна другой:
еЕ =
откуда находим
1
а = -
2
—)
4тге0Е/
1/2
Чтобы полностью удалить электрон из области кулоновского притяжения (сил
зеркального изображения), необходимо сообщить ему энергию, достаточную для
прохождения расстояния а, а также некоторую дополнительную энергию, необхо-
необходимую для перемещения его в бесконечность. Таким образом, электрон должен
приобрести энергию
= еЕа +
dx = еЕа +
Штгеоа
Эта формула отражает вклад электрического поля в полную энергию. Если мы
подставим в нее вместо а его значение, то
получим дополнительную энергию, которую Sg
получит электрон за счет электрического
поля, равную
1/2
(—У
Эта дополнительная энергия снижает работу
выхода на величину
Эффективный барьер
Г?о/ Рис. 5.6'
На рисунке 5.6; показаны графики за-
зависимости как отдельных членов выраже-
выражения для <fp, так и всей энергии в целом от расстояния до катода: I — вклад
внешнего электрического поля, 2 — вклад поля на поверхности.
5346. Решение. При наличии электрического поля, снижающего работу выхода
на А<р, формула Ричардсона-Дешмана преобразуется к виду
Согласно задаче 5345 А(р =
t ( — V \ ( ^f \ т ( А^Р \
ехр ехр I = ./«, ехп I I
\къТ) \к
= Ja exp
318ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставив численные значения, получим
Ja \ Т
откуда J = 1,15 J8, т.е. приложенное поле способствует увеличению тока на 15%.
5347. По условию задачи J = 1,1JS, т.е. мы можем написать, что
ех.р(А(р/квТ) = 1,1 (см. решение зад. 5.352), откуда следует, что
^ = In 1,1 = 0,0953, А(р = е(-^- ) = 2,63 • 10^21 Дж.
кТ \4/
Напряженность поля и приложенная разность потенциалов между плоскопарал-
плоскопараллельными пластинами связаны соотношением Е = V/d. Поэтому
/2Д<р\2 _ eV
\ е у weod
т r к т/ тгвосг/2А^\2
Таким образом, требуемая разность потенциалов равна V = 1 I =
е \ е /
= 1880 В.
5348. 0,8%.
5349. В расчете на один атом Среш(Ш) = 6 • 10~%, СрешC00К) = Зкъ,
СЭЯ(Ш) = 2,4 • 10&б, СэлC00К) = 2,4 • :
5350. Т =
к24тт2Е?/ 50
5351. 3,5 • 10^3Д/с.
5352. 9,2 • 10^6 : 1.
5353. Решение. Плотность электронов п = 1/а3, число рассеивающих центров
ГЦ = О,О1П
1 TIG Т ТЪ& ГЬ , 2 \1/3 3/1 2 Р^1 16 2
— := =: , Vf =:: —(Зтг п) ^ —, о" =: ЮОв — =:: 3*10 см
р ТП 771711 СУр 7П 771 Ct 31ъ
5.354.1,5-109 Ом см.
5355. Мш^а2 = feT -^ Ma2(kBB/h) = кБТ, а2 = h2T/(MkBB2),
т = — = , сг = = , р = 10 Ом • см.
vp fpfiTra2 77i m h2vj;7rT
5356. 1,7 и 3,7 • 10^9 Ом-м соответственно.
5357. 21,6 нм; 1,85 м/с.
5358. EF = Ei = 13,6 эВ, п =
p = пМп = Bw?;^ 2 м ^ 600 кг/мз m
Внешнее давление должно быть равно давлению электронного газа: Р ~
= 107 атм.
5359. Решение. Конечное сопротивление мостика появится только тогда, когда
длина волны де Бройля электронов Адб = 2ж/к? ^ 2d. В двумерной системе fep =
= \/2тгп, и поэтому критическое значение ns равно тг/2с?2 = 1,6 • 1012т^2.
5360. Проницаемость барьера D равна D = Do exp[—B/h)y/2mUod\. Ско-
Скорость электрона v ~ h/ma, частота попыток v = v/a = 1016 с^1, а время
туннелирования т = 10^16е3'3 = 2,7-10~15 с. Ширина зоны А Е = h/т ~ 0,25эВ.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 819
г /f^fM^1
5361. Р(Е) = 1 + ехр ™ = A + ехр20)^1 = 2,06 • 10^9.
L V кТ )\
Энергия излучения с Л = 1,0 мкм равна
E = hu = hc/X = 2 • 10~19 Дж = 1,24 эВ,
и соответственно 0,62 эВ для 2,0 мкм. Поскольку 1,24 эВ>1 эВ, т.е. больше ширины
запрещенной зоны данного материала, то вероятность нахождения электронов в
зоне проводимости увеличивается, но излучение с длиной волны 2 мкм не изменяет
вероятность перехода электрона в зону проводимости.
5363. 4 К.
5.364. 1,4 эВ.
5365. 8,4 • 10~4 Ом-м.
5.366.10:1.
5367. 5 • 10 эВ; 1700гБ = 1(Г7 м.
5368. 2 Ом.
5369. В 5000 раз.
5370. 1,3 эВ.
5371. Решение. Концентрация собственных носителей тока щ определяется
выражением п2 = QcQv ехр(™А/^Б^). Эффективные плотности состояний (фак-
(факторы зоны) пропорциональны Т3^2. Фактор кЕТ равен 0,025 эВ при 300 К и 0,027 эВ
при 323 К. Поэтому
_ /323\3/2Гехр(~0,7/0,027I1/2
|J
~~
гц C00 К) \300/ |_exp(-0,7/0,025)J
5372. Решение. Аналогично решению задачи 5.377:
ШC23К) = /323\ 3/2 Г ехр(-1,1/0,027) 11/2 _ g 3
пг(ЗООК) \300/ |_exp(-l,l/0,025)J
Удельное сопротивление чистого кремния определяется выражением
рC00 К) = 1000 Ом • м = .
ще(цр - Цп)
Следовательно
рC23К) _ п»C00К)
рC00К) п^ C23 К) *
При температуре 50 ° С
рC23 К) = рC00 К) п*C00К) = 214 Ом • м.
C23К)
5373. Решение. Полная энергия складывается из теплового возбуждения име-
имеющихся в зоне проводимости электронов и дырок в валентной зоне, число которых
равно пе (энергия каждого электрона и дырки равна C/2)fcfiT) и перевода новых
электронов из валентной зоны, на что требуется энергия А. Получаем для электрон-
электронной теплоемкости
Сэ = dU/dT = (d/dT)[(A + ЗкБТ)пе] = ЗкБпе + A(dne/dT).
Мы пренебрегли членом CkBT/2)(dne/dT), так как ЗкБТ/2 = 6,2 • 10~21 Дж <
<С А = 1,2 • 10^19Дж. Концентрация электронов в зоне проводимости пе =
= А ехр(^ А/?2квТ), и потому выражение для теплоемкости принимает вид Сэ =
= Зквпе + (А/квТJ(кпе/2). Так как температура образца больше дебаевской, то
320 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
для решеточной теплоемкости можно пользоваться классической формулой Ср =
= ЗМкв, и тем самым для отношения теплоемкостей имеем
+
N L Q\kBTj J 6 N \kETj
5374. 0,65 эВ.
5375. 4 -1(Г5.
5377. р = —
5378. Решение. Будем обозначать концентрацию носителей в р-области индек-
индексом 1, а в п-области — индексом 2. Пусть величина запорного потенциала равна
V. Тогда отношение концентраций дырок в р-области и в n-области определяется
больцмановским фактором Пр /пр = ехр(—еУ/А^Т), и точно так же nJ/'/n^ =
= exp(^eF/feT). По условию задачи Пр = nh, = п, а. концентрация неоснов-
неосновных носителей пр = Пп ' = п^/п. Последнее соотношение можно переписать в
виде nf/n2 = Пп /п = Пп /rin , что с учетом выше приведенных формул для
отношения концентраций неосновных носителей приводит к формуле 2 ln(rii/n) =
= —eV/квТ. Таким образом, величина потенциального барьера на переходе равна
eV = -2квТ Ы(щ/п) = 2A/40) 1пF • 1023/2 • Ю17) эВ = 0,75 эВ.
5379. 5 мкА.
5380. Решение. Ток насыщения возникает за счет тепловой генерации неоснов-
неосновных носителей в переходе, где из-за запирающего напряжения, приложенного к
переходу, концентрация носителей меньше равновесной. Скорость этой генерации,
стремящейся восстановить нарушенное равновесие, пропорциональна равновесной
концентрации неосновных носителей по обе стороны (р — п)-перехода, которая
зависит от температуры по закону пнеосн ос ех.р(~Ед/квТ). Поэтому изменение
тока насыщения определяется соотношением
/нас(Т)
5381. Решение. Ток через переход описывается выражением
/ = jsS(eeV/ksT - 1) ~ jsSeV/faT = V/R.
Мы учли, что eV/квТ <t^ 1. Плотность обратного тока
3 s = — = 1,28 А/м2.
eSR
5382. Решение. Выпрямляющие свойства полупроводникового диода начнут
быстро падать, когда тепловая энергия окажется порядка энергии запорного слоя.
Как показано в решении зад. 5378, для диода справедливо соотношение eV/k^T =
= 21п(пг/ппр). Это означает, что при условии eV c± к^Т должны быть примерно
равны концентрации собственных и примесных носителей, т.е. тгц ^ пщ. Кон-
Концентрация собственных носителей зависит от величины щели и температуры, и
отношение Пг{Т)/пг{То) равно:
щ(Т) _ е^р(^Ед/2кБТ)
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 821
Выпрямление исчезает при такой температуре Тт, при которой щ(Тт) = ппр, и
тем самым для температуры Тт мы получаем соотношение
-^- (— - -1) = In(^) = In E • 10б) = 13.
Отсюда следует, что Тт ~ 900 К.
5383. 20 В.
5384. RB = -— = -2,45 • 10~10 м3/Кл; С7Х = RqBI/1 = 2,45 нВ.
пе
5.385. 390 (Ом-м).
5386. В полупроводниках со смешанной проводимостью (п- и р-типа) постоян-
постоянная Холла зависит от концентраци носителей тока (п, р) и их подвижности (гхп, ир):
2 2
Дв = . Поэтому, эффект Холла не будет наблюдаться, если — =
е(ирр + unn)
2
5387. Ь = сЕв/р = 3700 см2/(В-с).
1,8 • 1021 м^3, ип = 2 м2
^^ = 1,25 • 1018 см^3,
edpV dHU
/()
5388. п = 1,8 • 1021 м^3, ип = 2 м2/(В-с).
5389. п = ^^ = 1,25 • 1018 см^3, 6 = ^^ = 500 см2/(В-с).
dV dHU
5390. 3,4.
5391. Решение. -пеЕ + [jB] = 0; S = [ЕВ]. Так как Е J_ j, В и Е = ЦВ]/пе,
то
—j.
пе
Учитывая, что В = jr/29 получаем
j
4тге
5392. ARK = h/e2.
5393. Фактор заполнения z/ = Ri/Rx = 6, значит
n = z/iV# = — =4,3-1014м2.
5394. Решение. Плотность электронов п с± 1/а2, где а — среднее расстоя-
расстояние между электронами. Оценить кулоновскую и кинетическую энергию можно
следующим образом
V~e*/a, Er
2т 2т 2т
U 2
ос
E a 7rh2n
Таким образом, плотность электронов надо уменьшить в 100 раз.
10. Сверхпроводимость
5395. Решение. По уравнению Клайперона-Клаузиуса
Р = Рк ехр = 1 • ехр 10 = 0,961 атм.
[Н\ТК Tj\ [ V4,22 4,15/ '
21 Задачник
322 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Это соответствует 726 мм рт. ст. При более точном подходе надо учитывать
зависимость теплоты парообразования от температуры. В этом случае Р =
= СТехр(~д/ДТ), где С — константа, и поэтому необходимое давление
Р = РК—ехр РЦ — - — ) = 0,945 атм.
Экспериментальная величина — 715 мм.рт.ст. @,946 атм).
5396. Решение. При Г = 0 в сверхпроводнике в области от Е? — А до Е? +
+ А не существует электронных состояний. Щель А ~ к^Тс. Поэтому ток через
туннельный переход начнет течь при условии eV = А. Отсюда V с± квТс/е =
= 0,8-10~2В.
5.397. Решение. Индуктивность единицы длины цилиндра L = цотта2. Измене-
Изменение запасенной магнитной энергии равно омическим потерям
d LI2 UT2 dU RT тил ( R
= RI , или = —/, и lit) = /о ехр 1
dt 2 dt L V L
Отсюда сопротивление 1 м шва
R = ± Ы (J*-) = ^^ In 1,01 ~ Ю-15 Ом.
t \I(t)J t
5398. Решение. Плотность вихрей щ = В/Фо. С другой стороны, площадь
равностороннего треугольника с ребром d равна S = d2V3/4. Каждый вихрь
принадлежит 6 ячейкам, поэтому щ = 1/BS) = 2/{\f^d2). По закону Вульфа^
Брэгга 2h sin a = п\, где а — угол скольжения, равный 9/2 в данном эксперименте,
h = d\/%/2. Поэтому
В = щФо = ~ ~ 1,9 Тл.
2А2
5399. Решение. Индукция магнитного поля вдоль его оси равна
в _ мо 2/i
~ 4тг г3 '
Магнитное поле на поверхности сверхпроводника можно найти, воспользовавшись
методом зеркальных изображений. Потенциал диполя с моментом /i, расположен-
расположенного на высоте г от поверхности сверхпроводника, в поле «зеркального» диполя
В = (/io/47r)/i/BrK, находящегося на расстоянии 2г от него, равен
\и\ = ^в= 2^2 .
4тгBгK
Магнитное поле у поверхности есть сумма полей от исходного и зеркального диполя
и его максимально возможное значение равно критическому полю
jDc =
4тг BгK
Таким образом, расстояние диполя от поверхности сверхпроводника, на котором
поле у поверхности равно критическому, равно
гз = 2Мо4^
4тгВс "
Сила, действующая на исходный диполь со стороны зеркального диполя
дBг) 4тг 8г4 *
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 323
Парение магнитного диполя возможно только тогда, когда его вес Р меньше силы
отталкивания от сверхпроводника:
:(t
Таким образом, максимальная масса парящего диполя составляет примерно 0,06 кг.
5.400. Решение. Из уравнения Лондонов следует, что поле в сверхпроводник
проникает по закону В(х) = Во ехр(^ж/Аь). Согласно уравнению Максвелла
_ (dB\ _ во _
\dx / max AL
= 8-1011А/м2.
5.401. Б = 10~5 Тл.
5.402. Решение.Пусть плоскость х = 0 проходит по центру тонкой пластинки
(пленки), поверхности пластины совпадают с плоскостями х = did/2, магнитное
поле направлено по оси z. Поле внутри пластины должно удовлетворять уравнению
Лондонов. Учитывая, что по соображениям симметрии индукция В внутри пласти-
пластины должна быть направлена вдоль оси z и зависеть только от ж, это уравнение
можно записать в виде d2B/dx2 ^ Х^2В = 0с граничными условиями B(zLd/2) =
= 0. Общее решение этого уравнения имеет вид В = Bich(x/\L)-\-B2sh(x/\L),rRe
В\, Въ — постоянные интегрирования. Подставляя граничные условия, получим и
решим два алгебраических уравнения с двумя неизвестными В\ и ?»2. В результате
имеем окончательно
о/ ч о ch(a?/AL)
В(Х) = -DQ •
ch(d/AL)
Воспользовавшись этим уравнением и уравнением Максвелла rot В = fiojs, можно
найти плотность сверхтока в пластине
. _ 1 dB _ 1 Во sh(x/AL)
Но dx fio Al ch(d/Ab)
Из полученного решений следует, что и магнитное поле и ток проникают вглубь
пластины только на глубину порядка Al, если пластина толстая (а ^> Al). Если же
это тонкая пленка (d <C Al), to, разлагая гиперболические функции по степеням
малых параметров ж/Al и d/\i, получим, учитывая, что при малых аргументах
2
= 1
2/2:
jfc> = jfc>0
Вох
Это означает, что магнитное поле практически полностью проникает в пленку,
а плотность сверхтока — линейная функция координаты. Токи текут по краям
пластины так, чтобы созданное ими магнитное поле уничтожало внешнее поле Во
в глубине пластины. Распределение поля
и тока в пластине при d ~ Al показано на
рис. 5.7;. Из найденного распределения
поля в пленке легко найти неоднород-
неоднородность поля АВ/В как разность поля в
центре пластины и на краю, деленную на
величину поля:
АВ _ B(d/2) - В@)
В ~ B(d/2)
d2
5.403. Решение. Длина волны, соот-
соответствующей резонансу, равна А = с/и =
= 30 м, поэтому задачу можно считать
21*
324 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
статической. Оценим лондоновскую длину данного сверхпроводника
А2 = т = — = 10^15, AL = 1,8 • Ю^8 м.
fi0nse2 1,26 • 10~6 • 1028 • 2,6 • Ю-38
Таким образом, по сравнению с диаметром цилиндра вкладом лондоновской
длины, определяющей расстояние, на которое проникает поле, можно пренебречь.
Следовательно, внутри сверхпроводящего цилиндра поле равно нулю, поток умень-
уменьшится в 4 раза, индуктивность также в 4 раза, так как Ф = Ы, а резонансная частота
увеличится (ш2 = 1/LC) в 2 раза.
5.404. А = 3,5fcTc/2 - 1Д5 мэВ.
5.405. Решение. При магнитном поле, равном критическому, проигрыш в
энергии по «выталкиванию» поля из сверхпроводника равен выигрышу за счет
энергии конденсации электронов. Энергия Ферми равна
2т 2та2
где мы оценивали концентрацию электронов как п с± а~3. Поэтому мы можем
написать следующее соотношение для энергии магнитного поля
В2 А л 2пта2А2 _ /2аД\2
—?- = ns — А = = 2тп( .
2/i0 ^F тг2^2 V h '
Учитывая, что А = l,75feT, окончательно получаем следующее выражение для
энергии электрона в критическом магнитном поле, обусловленное взаимодействием
его спина с полем:
эВ = 0,7-1(Г5эВ.
1,6-Ю-19
5.406. Решение. Концентрация электронов п = 2/а3. Как следует из решения
предыдущей задачи
2 А2
Вс = 2[ions— =
?р « V
После подстановки численных значений входящих в это выражение величин
получаем, что Вс = 0,046 Тл. Отметим, что экспериментальное значение индукции
критического магнитного поля у тантала составляет 8,3 • 10^2 Тл.
5.407. Решение. ? ~ Ах, и ?Ар ~ h. Неопределенность в импульсах пар Ар
находим, используя выражение для групповой скорости частицы v = дЕ/др, т.е.
Ар = AE/vf. Таким образом получаем, что ? ^ hv^/AE ~ 0,2 мкм.
5.408. Решение. Энергия Е, затрачиваемая на разрушение пары, составляет
цьВ и имеет порядок энергии связи пары, определяемой критической температурой
сверхпроводника, т.е. [лвВ — квТс, а значит В ~ квТс/'//б — 100 Тл.
5.409. При В = ВС1, Вг = /ю(Яс1. +/) = ()->>/= -ВсХ. При В = 1,25Бс2,
В2 = /хо(# + 1/2) =fj,o(B- Bci/2) = 0,03 Тл.
Плотность вихрей п = В2/Ф0, а среднее расстояние между вихрями
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 325
5.410.
Л = (Фо/тгДлI72 = 0,8 • 1(Г7м.
С = (Ф0/тгБс2I/2 = 2,5 • 1(Г9 м.
5.411. Решение. Скорость электронов в вихре находится из условия квантования
iq = 2m®vsdl = 2mvs • 2жг = 2тгН, vs = h/2mr.
5.412. Решение. Момент инерции J = Mr2 /2, число вихрей N = SB/Фо =
= 7тг2В/Фо, угловой момент одного вихря длиной I
fJ
о о J П37Т\2Ы
2mvsr2wrdr = ,
-2пч\2ЫВ
ш = " — ~ 2 • 10 4 рад/сек.
Следует отметить, что с ростом температуры момент не изменяется, так как остается
постоянным произведение п,3Х2.
5.413. Решение. Со стороны магнитного поля, которое в сверхпроводнике
создает плотность вихрей п = В/Фо, на текущий ток плотности j = I/Ь действует
сила Лоренца. На единицу объема dFj\ = jBdV. Эта же сила по третьему
закону Ньютона действует на вихревую структуру. Поэтому на единичный вихрь
со стороны дефектов действует сила F = 1Фо/В.
11. Магнетизм веществ
5.414. Решение. Ларморова круговая частота прецессии шд = fioeH/2rn
электронной оболочки атома эквивалентна диамагнитному току I = Zeu)j\ /2тг.
Магнитный момент кругового тока fi = /тгр2, где р2 = х2 + у2 — средний квадрат
расстояний электронов от оси г, взятой в направлении поля Н. При сферически
симметричном распределении заряда в атоме х2 = у2 = z2 и средний квадрат
расстояния от начала координат г2 = х2 + у2 + z2 = C/2)p2. Отсюда
/xiV
X = =
Я 6т
5.415. 1,04 А.
5.416. Решение. Восприимчивость
Х<)
Am
В данном случае мы имеем дело не со сферическо-симметричным распределением
заряда, а с цилиндрически-симметричным, и поэтому г — это расстояние от оси
(скажем z), т.е. г2 = ж2 + у2 = р2. Поэтому в знаменателе выражения для
восприимчивости стоит численный коэффициент 4, а не 6. Среднее число электронов п
в единице объема в данном случае равно 6 • 6,02 • 1023 • @,88/78) • 106 = 4,1 • 1028 м^3,
так как у нас в молекуле вносят вклад в восприимчивость 6 электронов. Для случайно
ориентированной плоской молекулы (г2) = B/3)A,4) А2, а значит \ — —1,4 • 10™
что составляет более 50% от экспериментально наблюдаемой величины.
0™6
326 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.417. Для вычисления диамагнитной восприимчивости атомарного водорода
необходимо вычислить средний квадрат расстояния электрона от ядра. Согласно
квантовомеханическим правилам вычисления среднего
оо
Г
г2 = г2 ф2 Аттг2 dr = Sri.
о
После подстановки этого значения в формулу для %•> получаем \ = ^2,37 х
х 1СГ9 м3/кмоль.
5.418. Решение. Равнодействующий магнитный момент равен
(Mcos0) =
Раскладывая экспоненту в ряд по малому параметру МВ/к^Т, получаем
/1/П М2В М2
(М) ~ и, следовательно, \ =
В случае ориентирования диполей по или против поля
Восприимчивость в этом случае равна М2
5.419.
а _ -а
I = N/IE- —
а ^
где а = {ЛъВ/къТ. При а <С 1
5.420. Число атомов в 1 см3 равно N = 6- 1023/22,4 • 103 ~ 2,6 • 1019 .
Воспользовавшись решением зад. 5.424 для неориентированных диполей,
получаем
ЗквТ
5.421. 1,5- 10~7 А-м3
5.422. Решение. Магнетизм 3Не обусловлен магнитным моментом непарного
нейтрона, т.е. это ядерный магнетизм. Учитывая, что магнитный момент нейтрона
равен [in = —1,91 fiab, легко вычислить парамагнитную восприимчивость жидкого
гелия-3, она равна 3 • 10 ™4 м3/кг.
5.423. Решение. Пусть на свободные уровни переходят v электронов (у значи-
значительно меньше полного числа свободных электронов). При этом их кинетическая
энергия увеличится на и2 АЕ, где АЕ — интервал между соседними уровнями.
При переходе следующего электрона кинетическая энергия увеличится на
2i/AE, а магнитная энергия уменьшится на 2fiB, где /х — магнитный момент
электрона. Из равенства 2i/AE = 2fiB находим и, затем суммарный магнитный
момент непарных электронов I = 2иц и парамагнитную восприимчивость %:
ш^2 /о 2 \1/3 а 1П-7
у = —^^(Зтг п) ' =6-10 .
2^2 V ;
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 827
5.424. Hw ^ квв//1В = 1,6 • Ю3 Тл.
5.425. Решение. Упорядочение есть результат энергии взаимодействия двух
магнитных диполей, если считать только одного ближайшего соседа, что достаточно
для оценки:
АЕ ~ ^БВ = /ю/^тга3) > кБТ, Tmax ~ /ю^|Dт^Ба3) = 2 • 10 К.
5.426. Для каждого атома магнитное квантовое спиновое число ms = ±1/2,
и если обменный интеграл J отрицателен для рассматриваемой конфигурации
электронов, то энергия триплетного состояния (Si = Sj = 1/2) равна
а в синглетном (Si = 1/2, Sj = —1/2)
Разность энергий синглетного и триплетного состояний равна — | J|/2 — |J|/2 =
= — | J\, т.е. действительно синглетное состояние молекулы водорода обладает
более низкой энергией.
5.427. Wo6 ~ къТс = 8,7 • 10~21 Дж =0,054 эВ.
5.428. J ~ ^^ = 2,76 • 10~23 Дж= 1,7 • 10 эВ.
nS2
5.429. Решение. Обменная энергия представляет собой разность между сред-
средними значениями кулоновской энергии для параллельных и антипараллельных
спинов Si, и Sj. Пусть магнитный атом имеет п ближайших соседей. Энергия,
требуемая для переворота данного спина в присутствии всех других спинов, вдвое
больше обменной энергии с какой-то определенной ориентацией спина, так как
Uff = — С/Т4, (см. зад. 5.433). Поэтому ее можно записать (пренебрегая компонен-
компонентами спина S, перпендикулярными к направлению средней намагниченности) в
следующем виде:
U ^2
где S — среднее значение S в направлении намагниченности.
По теории Вейсса воздействие всех спинов на данный характеризуется средней
намагниченностью I = /i/F, и мы эту же энергию переворота спина можем
записать в виде U = 2/хЛзфф = 2/iAI = 2/л —, где V — объем, приходящийся
V
на один атом. Средний магнитный момент электрона, обусловленный его спином,
есть \i = gSfiB- Следовательно, для константы Вейсса А мы получаем следующее
выражение
_ 2nJV
~ ^?*
5.430. В ферромагнетиках векторы спиновых магнитных моментов соседних
электронов выстраиваются параллельно, тогда как внутри доменной границы
происходит постепенный поворот вектора самопроизвольной намагниченности,
что приводит к изменению обменной энергии. Обменная энергия между двумя
электронами in j равна
Eij = ^JSiSj = -2JS2 cos <pij ,
где (fij — угол между спиновыми магнитными моментами электронов. Если этот
угол мал, то добавка к обменной энергии за счет непараллельности спинов в первом
приближении равна
328 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Пусть доменная граница содержит N атомных плоскостей, расстояние между
которыми равно а, где а — постоянная решетки. Тогда, так как полный поворот
вектора намагниченности на 180° осуществляется с помощью N равных углов
ф = тг/N, то добавка к обменной энергии из-за неколлинеарности векторов
намагниченности в соседних плоскостях будет равна
а полная обменная энергия в цепочке из N атомов
JS2tt2
Азб = •
N
Мы просуммировали по всей цепочке обменную энергию только соседних спинов,
так как обменная энергия очень сильно спадает с расстоянием и существенно
взаимодействие только ближайших соседей. Всего на единицу площади приходится
l/а2 таких цепочек, и потому плотность обменной энергии доменной границы равна
Na2
С другой стороны, появление междоменной границы приводит к увеличению
магнитного материала, в котором спиновые магнитные моменты отклонены от
направления оси легкого намагничивания. Для оценки можно считать, что плотность
энергии анизотропии wK возрастает на величину, равную произведению объема
переходного слоя на энергию анизотропию:
wK c± NaK.
Реальная ширина междоменной границы будет определяться минимумом суммар-
суммарной энергии доменной границы
w = w0 + wK ~ Ь NaK.
Na2
Дифференцируя это выражение по числу слоев, получаем
dw tt2JS2
= h Ka.
dN N2a2
Число слоев N, соответствующее минимуму энергии междоменной границы, равно
l то2Х V2
и, следовательно, толщина границы
Ка
Оценку величины обменной константы можно сделать из температуры Кюри:
J ^ къТс,
и мы окончательно получаем, учитывая, что S = 1/2:
7T2kBTcS2
Ка V 4- 104 -3,6- Ю^1
5.431. С ос Г3/2, закон Блоха.
Сфон 3 V
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
1. Основные физические постоянные
Величина
Скорость света
в вакууме
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Число Авогадро
Газовая постоянная
Гравитационная постоянная
Постоянная Стефаыа-Больцмана
Постоянная Вина
Магнитная постоянная
Электрическаая постоянная
Электронвольт
Постоянная Ридберга
«Радиус первой боровской орбиты»
для атома водорода
Атомная единица массы
Комптоновская длина волны
электрона
Магнетон Бора
Ядерный магнетон
Постоянная тонкой структуры
Масса электрона
Масса протона
Заряд электрона
Магнитный момент протона
Масса нейтрона
Магнитный момент нейтрона
Квант магнитного потока
Обозначение
с
h
h = h/2ir
кБ
NA
R
1
(Т
Ь = Amax ' Т
/Ю
?о
эВ
R
«Б
а.е.м.
Л
/i«
а
I/a
me
mp
e
mn
/in
Фо
Числовое значение
c = 2,998- 108м/с
6,63-10^34Дж-с
1,05-1СГ34Дж-с
1,38049 • 103 Дж/град
6,02-1023мольт1
8,ЗДж/(моль-К)
6,7-10"пН-м3/кг2
5,7-10^8Вт-м^2-К^4
2,9-10^3м-К
1,26-10^6Гн/м
8,86-1(Г12Ф/м
1,6-109Дж
0,097-107м^1
5,3-10™9см
931 МэВ
2,4-1(Г12м
9,3-104А-м2
0,51-10^27А-м2
7,3-10
137
9,Ы0~31кг
1,7-107 кг
1,6-109Кл
+2,8/хя
1,7- 10~27 кг
939 МэВ
-1,9/Хя
2,07-10^15Вб2
2. Некоторые астрофизические постоянные и единицы
1 год = 3,1557 • 107 с.
1 св.год. = 9,46053 • 1017 см.
Солнце
Масса Солнца М© = 1,989 • Ю30 кг
Радиус Солнца Rq = 6,96 • 108 м
Угловой диаметр Солнца на среднем расстоянии от Земли а® = 31/59.26я с^
~ 0,0093 рад.
Температура поверхности Солнца (эффективная температура) Tq = 5770 К
Энергия, излучаемая Солнцем в 1 с, или светимость Lq = 3,826 • 1026 Вт
Солнечная постоянная (полная плотность потока излучения Солнца на среднем
расстоянии от Земли до Солнца вне атмосферы Земли) Jq = 1373 Вт/м2
Земли и Луна
Масса Земли М3 = 5,976 • 1024 кг
Средний радиус Земли Кз = 6,371 • 106 м
Средняя плотность Земли рз = 5, 517 • 103 кг/м3
Среднее расстояние от Земли до Солнца Ьз = 1,498 • 108 км
Среднее расстояние от Земли до Луны Ьд = 3,844 • 1005 км
Средняя скорость движения Земли по орбите vs = 29, 79 км/с
Угловая скорость вращения Земли а;пт,з = 7, 272 • 10™5 с™1
Первая и вторая космические скорости
vi = \/дМз = 7,91 км/с; V2 = \^2vi = 11,19 км/с
Масса Луны Мл = 7,35 • 1022 кг
Средняя плотность Луны рл = 3,341 • 103 кг/м3
Период обращения вокруг Земли Тд = 29, 531 сут.
Средний радиус Луны Дд = 1738,2 км
3. Термодинамические величины
Количество теплоты Q = 1 калория A кал) = 4,18 Дж
Нормальные условия
температура Го = 0° С = 273,15 К~ 273 град
давление Ро = 1 атмосфера A атм) = 760 мм ртутного столба = 101325 Па
Средняя молярная масса воздуха /1Возд = 28,9 г/моль
Плотность ртути ррт = 13,6 г/см3
Плотность воды рв = 1,0 г/см3
Плотность льда рл = 0, 5 г/см3
Удельная теплоемкость воды Св = 4,18 Дж/(г-К)
Удельная теплоемкость льда Сл = 2,09 Дж/(г-К)
Удельная теплота испарения воды Ав = 2260 Дж/г
Удельная теплота плавления льда qn = 335 Дж/г
4. Кварки и иж аромат
Название
Верхний
Нижний
Странный
Очарованный
Красивый
Правдивый
Символ
и
d
s
с
Ь
X
Масса, МэВ
300
300
500
1500
5000
175000
Заряд
Q(e)
+2/3
4/3
4/3
+2/3
4/3
+2/3
В
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
S
0
0
-1
0
0
0
с
0
0
0
+1
0
0
b
0
0
0
0
+1
0
t
0
0
0
0
0
+1
5. Кварковая структура мезонов и барионов
Частица
7Г+
тго
К+
К0
р
п
Л°
Е+
Е°
Е-
А++
А^
¦з—
Масса, МэВ
140
135
140
494
498
494
938
940
1115
1189
1192
1197
1236
1236
1321
1345
1672
Q
+1
0
4
1
0
4
+1
0
0
+1
0
4
+2
4
4
0
4
h
+1
0
4
+1/2
4/2
4/2
1/2
4/2
0
+1
0
-1
3/2
-3/2
-1/2
1/2
0
Кварковый состав
ud
(ий - dd)/^2*
ud
us
ds
us
uud
udd
uds
uus
uds
dds
uuu
ddd
dss
uss
sss
* Истинно нейтральны обе комбинации из кварка и антикварка ий и dd, но в результате
сильных взаимодействий эти кварк-антикварковые состояния могут переходить друг
в друга, поэтому определенное значение массы имеет лишь квантовомеханическая
суперпозиция этих состояний.
6. Соотношения меяеду некоторыми единицами систем СИ и
СГС
Физическая величина
Длина
Масса
Время
Сила электрического
тока
Количество
электричества
Сила
Работа, энергия,
количество тепла
Мощность N, W,
тепловой поток J, Ф
Давление, напряжение
(механическое) Г, а
Динамическая
ВЯЗКОСТЬ Г]
Кинематиче екая
вязкость v (и = rj/p)
Коэффициент
теплообмена
(теплопередачи)
Теплопроводность к
Температуро-
Температуропроводность х
Электрический потен-
потенциал, электрическое
напряжение
Электрическое
сопротивление
СИ
м
кг
с
А
Кл
Н
Дж
Вт
Па
Па-с
м2/с
Вт/м2
Вт/(м-К)
м2/с
В
Ом
СГС
см
г
с
ед. тока СГС
ед. заряда СГС
дин (дина)
эрг
эрг/с
дин/см2
П (пуаз)
дин -с/см2
Ст (стоке)
см2/с
эрг/(с-см2)
эрг/(с-см-К)
см2/с
ед. напряже-
напряжения СГС
ед. сопротив-
сопротивления СГС
(с/см)
Соотношение
1 м = 102 см
1 кг = 103 г
1 А « 3 • 109 ед. СГС
1 Кл « 3 • 109 ед. СГС
1 Н = 105 дин
1 Дж = 107 эрг
1 Вт = 107 эрг/с
1 Па =10 дин/см2
1 Па-с = 10 П
1 м2/с — 104 Ст
JL IVJL / \^ -1L \j \^у 1
1 Вт/м2 =
= 103 эрг/(с-см2)
1 Вт/(м-К) =
= 105 эрг/(с-см-К)
1 м2/с = 104 см2/с
1 В « — ед. СГС
300
1 Ом « -• 101 с/см
9
7. Некоторые внесистемные единицы
Килограмм-сила
Атмосфера техническая
(килограмм-сила на кв.
сантиметр, 1 кгс/см2 = 1 ат)
Атмосфера физическая
Миллиметр водяного столба
Миллиметр ртутного столба
= 1 Торр
Бар*
Лошадиная сила
Ангстрем
Калория международная
Астрономическая единица
длины
Световой год
Парсек
Электрон-вольт
Год
Градус Цельсия
(кгс)
(ат)
(атм)
(мм вод. ст.)
(мм рт. ст.)
(бар)
(л. с.)
(А)
(кал)
(а. е.)
(св. год)
(ПК)
(эВ)
(год)
(°С)
9,80665 Н (точно)
98066,5 Па (точно)
101324,72 Па = 760 мм рт. ст.
9,80665 Па
133,322 Па
105Па
735,499 Вт
10~8см
4,1868 Дж (точно)
1,49600 • 1011 м
9,4605 • 1015 м
3,0857-1016м
1,60219-10^19Дж^
«1,6 • 1(Г12 эрг
3,16-1Q7 с
t = Т - То, где Го — тем-
пература в Кельвинах, То =
= 273,15 К. 1°С = 1К
* Баром в акустике называют иногда единицу звукового давления, равную 1 дин/см2, т.е.
единицу в 106 раз меньшую, чем в таблице 2.
Учебное издание
БЕЛОНУЧКИН Владимир Евгеньевич,
ЗАИКИН Дмитрий Алексеевич,
КИНГСЕП Александр Сергеевич,
ЛОКШИН Геннадий Рафаилович,
ЦИПЕНЮК Юрий Михайлович
ЗАДАЧИ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Редактор О. А. Ленина
Компьютерная верстка Е. Ю. Морозова
ЛР№ 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 20.06.01. Формат 60x90 Vie-
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 24,15. Тираж 5000 экз. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в Чебоксарской типографии № 1
428019 г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0149-8
785922 101493