Text
УДК 530
ББК 22.3
П32
Пинский А. А. Задачи по физике / Под ред. Ю.И. Дика. — 3-е изд.,
стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 296 с. - ISBN 5-9221-0384-9.
Задачи составлены в полном соответствии с двухтомником «Основы фи-
физики» Б.М. Яворского и А.А. Пинского. Наряду с традиционным материалом
в сборник включены задачи по теории относительности (включая реляти-
релятивистские столкновения, ускорители, рождение частиц и т.п.), квантовой ме-
механике (соотношение неопределенностей, волны де-Бройля, потенциальный
барьер, вырожденное состояние вещества), статистике, волновой и квантовой
оптике, атомной и ядерной физике. Задачи с астрофизическим содержанием
иллюстрируют применение законов физики к космическим объектам.
Большинство задач, особенно трудных, снабжено подробными решения-
решениями и указаниями.
Для учащихся общеобразовательных школ, а также школ, гимназий,
лицеев с углубленным изучением физико-математических дисциплин для
подготовки к конкурсным экзаменам в вузы.
ISBN 5-9221-0384-9 © физматлит, 2000, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к первому изданию .............................. 5
Несколько практических советов.............................. 7
Задачи Решения Ответы
и указания
Часть первая. Движение и силы
1. Кинематика точки ................... 11 108 266
2. Сила. Давление ...................... 12 109 266
3. Динамика точки ..................... 14 111 266
4. Тяготение. Электрические силы ....... 17 115 267
5. Трение .............................. 18 118 267
6. Теория относительности .............. 20 126 268
Часть вторая. Законы сохраненим
7. Закон сохранения импульса. Центр масс 23 130 269
8. Полная и кинетическая энергия ....... 25 135 269
9. Соотношение неопределенностей ...... 26 138 —
10. Элементарная теория столкновений.... 26 139 269
11. Потенциальная энергия. Потенциал. ... 27 144 269
12. Закон сохранения энергии в ньютонов-
ньютоновской механике ....................... 28 146 270
13. Закон сохранения энергии ............ 30 151 270
14. Динамика вращения твердого тела .... 31 152 271
15. Неинерциальные системы отсчета и тя-
тяготение .............................. 34 159 271
Часть третья. Молекулярно-кинети-
Молекулярно-кинетическая теория газа
16. Идеальный газ ....................... 36 163 272
17. Первое начало термодинамики ........ 39 167 272
18. Второе начало термодинамики ........ 41 170 273
19. Основы газовой динамики ............ 43 175 273
Часть четвертая. Молекулмрные силы
и агрегатные состояния вещества
20. Твердое тело ........................ 46 178 274
21. Жидкость ........................... 48 181 274
22. Пар ................................. 49 183 275
23. Фазовые переходы ................... 50 184 275
Часть пятая. Электродинамика
24. Поле неподвижных зарядов в вакууме . 52 185 275
25. Диэлектрики ........................ 54 190 276
Содержание
193
197
199
204
206
209
210
211
213
215
217
221
223
224
228
230
233
234
240
276
277
277
278
278
279
279
279
280
280
281
282
282
282
283
283
284
284
285
26. Постоянный ток ..................... 56
27. Магнитное поле в вакууме ............ 59
28. Заряды и токи в магнитном поле ...... 61
29. Магнетики .......................... 64
30. Электромагнитная индукция .......... 66
31. Классическая электронная теория ..... 68
32. Электропроводность электролитов ..... 70
33. Ток в вакууме и газах ................ 71
Часть шестая. Колебания и волны
34. Гармонические колебания ............. 74
35. Свободные колебания ................. 75
36. Вынужденные колебания. Переменный
ток ................................. 77
37. Упругие волны....................... 80
38. Интерференция и дифракция ......... 81
39. Электомагнитные волны .............. 82
40. Интерференция и дифракция света .... 84
41. Дисперсия и поглощение света ........ 86
42. Поляризация света ................... 88
43. Геометрическая оптика ............... 89
44. Оптические приборы ................. 92
Часть седьмая. Основы квантовой
физики
45. Фотон ...............................
46. Элементы квантовой механики ........
47. Строение атомов и молекул ...........
48. Квантовые свойства металлов и полу-
проводников ......................... 101 257 288
Часть восьмая. Физика ядра и эле-
элементарных частиц
49. Строение ядра ....................... 103 260 288
50. Ядерные реакции .................... 104 262 289
51. Элементарные частицы ............... 105 265 289
Таблицы
1. Данные о планетах. ................................... 290
2. Механические свойства твердых тел.................... 290
3. Тепловые свойства твердых тел ........................ 291
4. Свойства жидкостей .................................. 291
5. Свойства газов. ....................................... 292
6. Электрические свойства веществ B0 °С)................ 293
7. Скорость звука (продольные волны).................... 293
8. Показатели преломления .............................. 293
9. Массы некоторых нейтральных атомов (а.е.м.) .......... 294
10. Фундаментальные физические постоянные. ............. 295
95
97
98
243
248
252
285
286
287
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Двухтомник «Основы физики», вышедший несколькими из-
изданиями1), переведенный на английский и польский языки,
пользуется популярностью у учащихся старших классов сред-
средних школ, изучающих физику на повышенном уровне, у студен-
студентов первых курсов вузов, преподавателей физики и методистов.
Вместе с тем в многочисленных письмах читателей и в рецензи-
рецензиях на книгу отмечается необходимость в системе задач, которые
были бы согласованы с теоретическим материалом двухтомника
и позволили читателю закрепить изученный материал, прове-
проверить свои знания и приобрести навыки творческого применения
теории к конкретным задачам физики.
В данной книге вниманию читателя предлагается свыше 750
задач, охватывающих тот же круг вопросов, что и двухтомник
«Основы физики». Содержание задач полностью соответствует
объему и порядку изложения теоретического материала в двух-
двухтомнике.
Учитывая наличие большого числа задачников, в которых
отражено традиционное содержание школьного курса физики,
мы усилили те разделы, которые в традиционных задачниках
отсутствуют: динамику вращающегося твердого тела, элементы
теории относительности, квантовой и статистической физики,
физики твердого тела, волновой оптики, атомной и ядерной фи-
физики и т.п. Задачи с астрофизическим содержанием иллюстри-
иллюстрируют применение законов физики к космическим объектам.
В пособии предложено небольшое число задач, требующих
элементарных навыков дифференцирования и интегрирования,
а также ряд задач, решаемых с помощью численных методов,
которые находят все большее применение в настоящее время.
Наряду с тренировочными задачами внимание читателя
обращено на достаточно сложные задачи, требующие углублен-
углубленных знаний теории.
К большинству задач даны подробные решения.
Вопрос о том, нужны ли в конце задачника подробные реше-
решения или нужно ограничиться только ответами, является спор-
спорным. Конечно, соблазн прочитать готовое решение весьма ве-
/ Б.М. Яворский, А.А. Пинский. «Основы физики». В 2 т. 4-е изд., пере-
раб. — М.: Физматлит, 2000 A-е изд. — 1969 г., 2-е — 1974 г., 3-е — 1981 г.).
Предисловие к первому изданию
лик! Но мы надеемся, что у читателя есть желание научиться
самому решать задачи, и поэтому он будет прибегать к готовым
решениям в крайнем случае. С другой стороны, учитывая, что
большинство читателей будет работать с книгой самостоятель-
самостоятельно, мы считаем необходимым оказать им помощь в том случае,
когда задача у них не выйдет. Заметим, что предлагаемые ре™
шения не всегда являются единственно возможными. Мы будем
благодарны читателям, которые укажут нам более изящные или
оригинальные решения.
В конце книги помещены справочные данные, которые пона-
понадобятся при решении задач. Они дополняют те справочные дан™
ные, которые имеются в соответствующих разделах двухтомни-
ка «Основы физики».
Сборник задач может служить пособием для лиц, готовя™
щихся к сдаче экзаменов по физике. Он может быть использо-
использован в физико-математических школах, на факультативных заня-
занятиях, в работе физических кружков. Большинство задач будет
полезно студентам педагогических вузов — будущим преподава-
телям физики, студентам технических вузов, а также препода-
преподавателям физики школ, техникумов и средних профтехучилищ.
Автор выражает глубокую благодарность проф. Н.Н. Мало-
ву и канд. пед. наук О.А. Селезневу, которые рецензировали эту
книгу, и проф. Б.М. Яворскому. Их ценные замечания позволи-
позволили автору внести ряд исправлений в рукопись.
Автор
НЕСКОЛЬКО ПРАКТИЧЕСКИХ СОВЕТОВ
1. Прежде чем приступить к решению задач в некоторой
главе, изучите соответствующие разделы двухтомника «Осно-
вы физики». Учтите, что если решить задачу не удается, то ча-
чаще всего это происходит из-за недостаточно глубоких, слишком
формальных знаний теории.
2. Продумайте, какие упрощающие предположения облегча-
облегчают решение задачи. Так, при расчете сил в динамике их обычно
считают постоянными, в теории колебаний — квазиупругими;
процессы в газах обычно считают квазистатическими, элементы
электрических цепей — линейными, волны — синусоидальными
и т.п. В необходимых случаях нарушения этих условий огова-
оговариваются, либо это следует из особенностей задачи (соленоид с
ферромагнитным сердечником, модулированная волна и т.д.).
3. Попытайтесь сделать схематический чертеж или рисунок,
это всегда облегчает ход рассуждений. В ряде случаев целесо-
целесообразно рассмотреть чертеж в динамике, расчленяя его на час™
ти или проводя последовательные упрощения (например, при
определении внутренних сил или при расчете сложных цепей).
Помните, что хорошо составленная схема — половина успеха при
решении задачи.
4. В большинстве случаев задачу целесообразно решать в об™
щем виде, обозначив все величины соответствующими буквами
и производя с ними нужные выкладки. Не смущайтесь, если
часть величин отсутствует в условии, — они либо сократятся,
либо их значения приведены в Приложениях в конце книги или
в «Основах физики». Не бойтесь выкладок и преобразований, —
умение свободно их производить есть один из элементов мате™
матической культуры, необходимых для изучения физики.
Учтите, что решать задачу в общем виде не всегда удобно.
Иногда общность покупается ценой излишне громоздких преоб-
преобразований. В этих случаях задачу целесообразно решать сразу
в числах, подставив значения физических величин.
5. Получив решение в общем виде, попытайтесь убедиться
в его разумности. Иногда здесь полезен анализ размерностей,
иногда — анализ частных или предельных случаев, а также
сравнение с уже решенной аналогичной задачей. Так, напри-
например, решив задачу по динамике с учетом силы трения, можно
сравнить результат с решением аналогичной задачи без трения,
релятивистский расчет — с аналогичным расчетом в ньютонов-
ньютоновской механике и т.п.
6. Если в задаче заданы числовые значения величин, то ответ
должен быть доведен до числа. Не пренебрегайте вычисления-
Несколько практических советов
ми, учтите, что на практике нас всегда интересуют числовые
значения искомых величин и гораздо реже — их выражение че-
через другие величины в буквенной форме.
Все данные, включая табличные, надо выразить в одной си-
системе единиц (как правило — в единицах СИ), записав все число-
числовые значения в стандартной форме, т.е. в виде числа а • КР, где
1 ^ а < 10. Все величины должны быть записаны с одинаковой
степенью точности.
7. Все расчеты (включая и большинство задач, решаемых
численными методами) надо вести с помощью калькулятора, со-
соблюдая вполне разумную точность вычислений. В тех случаях,
когда исходные данные приведены с точностью в две значащие
цифры, следует после расчета ответ округлить до такого же чис-
числа знаков.
Лишь в некоторых задачах по теории относительности, вол-
волновой оптике, атомным спектрам и т.д. расчеты следует вести с
точностью до четвертого или пятого знака. Для этого надо вос-
воспользоваться соответствующими математическими таблицами.
8. Получив ответ, сопоставить его с ответом в конце задачни-
задачника. Не огорчайтесь, если ваш ответ отличается от ответа автора.
Возможно, что это две разные формы одного и того же выра-
выражения. Так, выражения
sin a — /л cos a sin (a — (р)
. и .
sin a + [I cos a sin (а + (р)
тождественны, если положить /j, = tgip. Если вам не удается
найти пути преобразования одной формы ответа в другую, сде-
сделайте численный расчет с помощью обеих формул, и если ответы
совпадут, то ваше решение, очевидно, верное.
9. После получения верного ответа полезно ознакомиться с
решением, предлагаемым в задачнике. Если окажется, что ре-
решения различны, то попытайтесь разобраться, какое решение
лучше. Очень хорошо, если ваше решение проще авторского,
короче и изящнее. Но не исключены ошибки, случайно скомпен-
скомпенсировавшие друг друга так, что формально получился верный
ответ. Такой анализ решения весьма полезен и поучителен.
10. Если вам не удается сразу решить задачу, не спешите про-
прочитать готовое решение. Попробуйте еще раз изучить соответ-
соответствующий теоретический материал, обратив внимание на тон-
тонкости. Опыт показывает, что вторичное изучение теории при
наличии определенной целевой установки весьма эффективно,
быстро ведет к цели, и вторичный подход к задаче оказывается
успешным.
Но может оказаться, что и после вторичного изучения теории
задачу не удается решить. Не огорчайтесь и не отчаивайтесь! В
предлагаемом пособии довольно много творческих задач и за-
Несколько практических советов
дач повышенной трудности, так что ничего удивительного нет
в том, что не все задачи вам удастся самостоятельно решить. В
этом случае попытайтесь внимательно проанализировать реше-
решение, предложенное автором. Возможно, после этого вам удастся
найти новое решение. Опыт показывает, что внимательное изу-
изучение некоторых готовых решений также весьма поучительно и
способствует повышению уровня знаний и развитию творческих
способностей.
Рассмотрим на конкретном примере, как использовать ука-
указанные выше рекомендации.
Задача. Небольшое зеркальце массой 9,0 мг подвешено на
практически невесомой кварцевой нити длиной 4,0 см. Перпен-
Перпендикулярно к зеркальцу произведена мощная лазерная вспыш-
вспышка, вследствие чего система отклонилась на некоторый угол от
вертикали. Вычислить этот угол, зная, что энергия лазерной
вспышки 1,0 • 102 Дж.
Решение проведем по этапам.
1. В данной установке отклонение произошло за счет импуль-
импульса, который свет передал зеркальцу при отражении. Приобретя
некоторую скорость, зеркальце поднимается на некоторую высо-
высоту. Здесь кинетическая энергия преобразуется в потенциальную
энергию зеркальца в поле сил тяжести. Значит, для решения за-
задачи следует знать выражение для импульса световой вспышки,
законы сохранения импульса и энергии.
2. Для решения задачи введем некоторые упрощающие пред-
предположения. Прежде всего, мы не будем учитывать массу и упру™
гость нити, трение в точке подвеса и сопротивление воздуха.
Далее, будем считать зеркальце абсолютным отражателем (по-
(поглощением света пренебрежем). Наконец, учитывая малую ско-
скорость зеркальца, будем все расчеты вести в приближении нью-
ньютоновской механики.
3. Полезно сделать схематический чертеж, выясняющий ди-
динамику процесса (рис. 1). Здесь схема а иллюстрирует состояние
и
^ А А
б
Рис. 1
10 Несколько практических советов
системы до попадания света на зеркальце, б — момент отраже-
отражения света иб- отклонение зеркальца с нитью на искомый угол.
По чертежам видны и этапы решения задачи.
4. Обозначим энергию лазерной вспышки cf, ее импульс р =
= «f/c, скорость света с, массу зеркальца га, его скорость в мо-
момент отдачи v, высоту подъема h, длину нити I и угол отклоне™
ния а.
По рисунку в видно, что
h = I — I cos a = 1A — cos a) = 21 sin2 ^ .
Следовательно, для определения угла отклонения нужно найти
высоту, на которую поднялось зеркальце. Для этого воспользу-
воспользуемся законом сохранения энергии:
12 7 7 у2 . a v
- mv = гад*/г, откуда п = — и sin — = —= .
Скорость зеркальца найдем, воспользовавшись для момента
отражения вспышки (схема б) законами сохранения:
закон сохранения энергии Ш = cf; + - mv ;
Ш W .
закон сохранения импульса — = —— +mv.
ее
Умножив второе равенство на с и сложив с первым, исклю-
исключим неизвестную величину cf;; имеем: 2& = 1/2rmv2 + mvc. Учи-
Учитывая, что 1/2'mv2 ^Cravc, отбросим первое слагаемое. Получим в
этом приближении mvc = 2<f, откуда v = 2&/mc; следовательно,
. а Ш
sm~ =
2 mc^/gl
5. Анализ размерностей убеждает нас, что ответ правиль™
ный:
Дж-с „Дж-с2 и1
кг • мум • c^z • м к-1 * м
т.е. синус безразмерен, что и должно было получиться.
6. Для расчета выпишем все данные с точностью в две зна-
значащие цифры и выразим их в единицах СИ:
т = 9,0 мг = 9,0 • 10^6 кг, g = 9,8 м/с2, & = 1,0 • 102 Дж,
с = 3,0 • 108 м/с, I = 4,0 см = 4,0 • 10~2 м.
Подставляем числовые данные в конечную формулу:
• ol & 1,0-102 г п 1П-2
sin- = == = — =5,9-10 ,
2 тсл/gl 9,0 • 10 • 3,0 • 108^9,8 • 4,0 • 10
- =3°24;, а = 6°48/а
ЗАДАЧИ
Часть первая
ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ
1. Кинематика точки
1.1. Две материальные точки движутся вдоль оси абсцисс
равномерно со скоростями v\ = 8 м/с и V2 = 4 м/с. В началь-
начальный момент первая точка находилась слева от начала координат
на расстоянии 21 м, вторая — справа на расстоянии 7 м. Через
сколько времени первая точка догонит вторую? Где это произой™
дет? Начертить график движения.
1.2. Расстояние между двумя точками в начальный момент
равно 300 м. Точки движутся навстречу друг другу со скоростя-
скоростями 1,5 м/с и 3,5 м/с. Когда они встретятся? Где это произойдет?
Начертить график движения.
1.3. Из города вышел автомобиль, движущийся равномерно
со скоростью 80 км/ч. Через 1,5 часа вдогонку ему вышел мото™
цикл, скорость которого 100 км/ч. Через сколько времени после
выхода автомобиля мотоцикл его догонит? Где это произойдет?
Начертите график движения.
1.4. Скорость пловца относительно воды равна V, скорость
течения и. В каком направлении должен двигаться пловец, что™
бы попасть в противоположную
точку на другом берегу? Сколько y
времени он будет плыть, если ши- ^^с\^^^^^^
рина реки I? ~~
1.5. Под каким углом должен
плыть пловец, чтобы из точки А
попасть в точку С (рис. 1.5)? Ско
рость пловца г>, скорость течения и
и угол /3 заданы.
1.6. Под каким углом к тече-
течению должен плыть пловец, чтобы
быстрее достичь противоположно- Рис. 1.5
го берега?
1.7. Скорость катера относительно воды v = 7 м/с, скорость
течения и = 3 м/с. Когда катер двигался против течения, с него
сбросили в воду поплавок. Затем катер прошел против течения
4,2 км, повернулся и догнал поплавок. Сколько времени двигал-
двигался катер?
12 Задачи
1.8. Мотоциклист тронулся с места, в течение 20 с он дви-
гался с ускорением 1,5 м/с2, затем 2 мин двигался равномерно, а
потом равномерно тормозил в течение 15 с и остановился. Найти
максимальную скорость, ускорение при торможении и переме-
перемещение мотоциклиста (графически).
1.9. Доказать, что при равнопеременном движении по прямой
2а{1 - lo) = v2- vl
1.10. Снаряд вылетает из ствола пушки со скоростью 800 м/с.
Длина канала ствола 2,0 м. Определить среднее ускорение.
2. Сила. Давление
2.1. Найти жесткость к системы, составленной из двух по™
следовательно соединенных пружин.
2.2. К твердому телу приложены две параллельные и одина-
одинаково направленные силы Fi и F2. Доказать, что:
а) модуль равнодействующей силы равен сумме модулей сла-
слагаемых сил;
б) равнодействующая параллельна слагаемым силам и на-
направлена в ту же сторону;
в) равнодействующая проходит через центр параллельных
сил, т.е. через точку, которая делит расстояние между точками
приложения слагаемых сил
на отрезки, обратно про-
пропорциональные модулям этих
сил.
2.3. Найти положение цент™
ра системы параллельных
сил, приложенных к твердо-
твердому телу.
2.4. Найти положение цент-
центра двух антипараллельных
неравных сил. Расстояние
Рис. 2.5 а между точками приложения
сил Fi и F2 равно а.
2.5. Груз массой га висит на тросе так, что одна нить об™
разует с горизонтальной плоскостью угол Qfi, другая — угол «2
(рис. 2.5 а). Найти натяжения нитей.
2.6. На шарнирном кронштейне (рис. 2.6 а) висит груз массой
га. Найти усилия в стержнях.
2.7. На кронштейне (рис. 2.7 а) висит груз массой т; АВ =
= АС = ВС = ЕС = щ DE = а/2. Найти усилия в стержнях.
2.8. Доказать, что значение гидростатического давления
пропорционально высоте столбика жидкости (газа) и не зави-
зависит от формы сосуда.
2. Сила. Давление
13
2.9. Нормальное атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.
Выразить эту величину в единицах СИ.
2.10. Какова «цена» единицы давления 1 мм рт. ст. (тор) на
Луне? На Венере?
Рис. 2.6 а
Рис. 2.7 а
2.11. Найти силу, действующую на ворота шлюза. Ширина
ворот 8 м, перепад уровней воды на верхнем и нижнем бьефе
составляет 5 м.
2.12. Железный цилиндр массой 200 кг стоит вертикально
на дне реки (рис. 2.12). Какую силу надо приложить, чтобы
оторвать его от дна? Глубина реки 5 м, высота цилиндра 25 см.
У//////////////////////////.
Рис. 2.12
2.13. Медный куб плавает в ртути. Какая часть его находит-
находится над поверхностью жидкости?
2.14. Деревянный шар, плавая в воде, возвышается над ее
поверхностью на половину своего радиуса. Найти плотность де™
рева.
2.15. Чтобы определить, не заменил ли ювелир часть золота
серебром при изготовлении короны сиракузского царя Гиерона,
14
Задачи
Архимед взвесил корону сначала в воздухе, а затем в воде, и
получил следующий результат: масса в воздухе М = 2200 г,
кажущаяся масса в воде т = 2064 г. Сколько серебра в сплаве?
2.16. На какую высоту поднимется аэростат, наполненный
водородом при нормальных условиях, если объем аэростата
3,00 • 104 м3, масса оболочки, гондолы и груза — 2,46 • 104 кг.
Данные о свойствах атмосферы см. § 26.9, табл. 26.4. Оболочку
аэростата считать замкнутой и жесткой.
3. Динамика точки
3.1. Определить среднее давление пороховых газов в канале
ствола, если калибр (диаметр) пули 7,62 мм, ее масса 9,1 г, длина
ствола 610 мм. Пуля вылетает из ствола со ско™
ростью 715 м/с. Сопротивлением пренебречь.
3.2. Через блок, массой которого можно
пренебречь, перекинута нить, на которой ви-
висят две гири массой mi и rri2 (рис. 3.2). Найти
ускорение а системы, натяжение нити F и силу
-Рдавлэ которая действует на ось блока. Массой
нити и трением пренебречь.
Рис. 3.2
V/////////////////////////////////////////////////////////////
Рис. 3.3
М
3.3. Два связанных нитью тела массой mi и rri2 (rri2 > mi)
лежат на гладком столе. Силу Q прикладывают сначала к боль-
большему телу (рис. 3.3), а затем к
меньшему. Одинаково ли натя-
натяжение нити в обоих случаях?
3.4. На веревке, перебро-
переброшенной через неподвижный
блок, находится обезьянка
массой т (рис. 3.4). Второй
конец веревки прикреплен к
грузу массой М, который ле-
лежит на горизонтальной плите.
Пренебрегая трением, найти
ускорения обоих тел (относи-
тельно плиты) и натяжение
ис" * веревки в трех случаях:
1) обезьянка неподвижна относительно веревки;
2) обезьянка движется относительно веревки с ускорением Ъ
вверх;
3. Динамика точки
15
3) обезьянка движется относительно веревки с ускорением Ъ
вниз.
3.5. На наклонной плоскости с углом а при основании лежит
брусок массой М. Груз массой т присоединен к бруску нитью,
перекинутой через блок (рис. 3.5 а). Определить ускорение груза
и натяжение нити. Трением, массой блока и нити пренебречь.
v//////////////////////////////////////,
Рис. 3.5 а
Рис. 3.6 а
3.6. Стержень массой Ш2 опирается на клин массой т\
(рис. 3.6 а). Глагодаря ограничителям, стержень может двигать-
двигаться только вдоль оси ординат, клин — вдоль оси абсцисс. Найти
ускорения обоих тел и реакцию клина. Трением пренебречь.
3.7. На клин массой М положен брусок массой т (рис. 3.7 а).
Найти ускорения бруска а и клина Ъ в системе отсчета, связанной
со столом, и силу реакции. Трением пренебречь. Проанализиро-
Проанализировать предельный случай, когда клин
неподвижен.
3.8. Найти период обращения ко-
конического математического маятника,
нить которого длиной I составляет угол
а с вертикалью (рис. 3.8).
м
Рис. 3.
Рис. 3.S
3.9. Недеформированная пружина с жесткостью к имеет
длину /о- При вращении системы (рис. 3.9) с угловой скоростью
оо груз массой т растягивает пружину. Найти длину I пружины
при вращении.
16
Задачи
сз
(ЮООООООО
1
Рис. 3.9
3.10. Самолет движется со скоростью 200 м/с по горизонталь-
горизонтальной траектории с радиусом кривизны 5 км. Каков угол крена?
3.11. Самолет, движущийся с
постоянной скоростью 300 м/с, со-
совершает в вертикальной плоскости
петлю Нестерова радиусом 1,3 км.
Определить перегрузку в верхней
и нижней точках траектории.
3.12. Материальная точка бро-
брошена с начальной скоростью vq под
углом а к горизонту. Определить
радиус кривизны г в верхней точ-
точке траектории и его отношение к максимальной высоте подъема
Ник дальности полета L.
3.13. Уравнение параболы имеет вид х2 = 2ру, где параметр
р > 0. Найти радиус кривизны параболы в каждой точке траек-
траектории.
3.14. Доказать, что касательная к любой точке параболы
х2 = 2ру образует с осью абсцисс угол, тангенс которого равен
абсциссе точки, деленной на параметр р (т.е. tga = х/р).
3.15. Поверхность холма наклонена под углом а к горизонту
(рис. 3.15). С вершины холма под углом /3 к вертикали броса-
бросают камень с начальной скоростью vq. На каком расстоянии от
вершины камень упадет?
Рис. 3.15
Рис. 3.16
3.16. Тело свободно падает с некоторой высоты Н (рис. 3.16).
Одновременно с началом падения первого тела с поверхности
Земли бросают другое тело, которое сталкивается с первым на
высоте h = Н/2. Расстояние по горизонтали равно I. Найти на-
начальную скорость и угол бросания.
3.17. До Галилея полагали, что чем массивнее тело, тем бы-
быстрее оно падает. Попытайтесь, пользуясь аддитивностью мас-
массы, логически доказать, что все тела, независимо от их массы,
4- Тяготение. Электрические силы 17
должны падать одинаково. Тем самым вы повторите рассужде-
рассуждения Галилея. (Галилей рассуждал от противного.)
4. Тяготение. Электрические силы
4.1. Определить массу Земли по ее полярному радиусу и
ускорению свободного падения на полюсе.
4.2. Определить массу Земли, зная период обращения Луны
вокруг нее и радиус лунной орбиты.
4.3. Определить массу Солнца, зная среднее расстояние от
Земли до Солнца (астрономическую единицу) и период обраще-
обращения Земли вокруг Солнца.
4.4. Сравнить силы, с которыми Солнце и Земля действуют
на Луну. Как объяснить тот факт, что Луна все же является
спутником Земли, хотя притяжение Солнца сильнее?
4.5. Найти расстояние от Венеры до Солнца, зная период ее
обращения и период обращения Земли вокруг Солнца.
4.6. На какой высоте над планетой ускорение свободного па™
дения вдвое меньше, чем на ее поверхности?
4.7. Определить ускорение свободного падения на Венере,
Луне и Солнце.
4.8. При каком периоде вращения планеты на ее экваторе
будет наблюдаться состояние невесомости? Расчет сделать для
Земли.
4.9. Два маленьких шарика массой 0,5 г каждый висят на
общем крючке на нитях длиной по 0,8 м. Какой заряд передан
этой системе, если между нитями образовался угол 2о = 12°?
4.10. В двух вершинах квадрата расположены равные поло-
положительные заряды, в двух других — равные им по модулю от-
отрицательные заряды. Найти напряженность поля в центре квад-
квадрата.
4.11. На проводнике в виде кольца радиусом а равномерно
распределен заряд q. Найти напряженность поля на оси провод-
проводника в произвольной точке, расположенной на расстоянии х от
плоскости, в которой лежит проводник.
4.12. Молекулу воды в первом приближении можно рассматри-
рассматривать как диполь с электрическим моментом ре = 6Д-10^30 Кл-м.
Оценить силу притяжения между двумя молекулами воды.
4.13. Между плоскими параллельными пластинами длиной
L создано электрическое поле напряженностью Е. В поле вле™
тает пучок электронов под углом к пластинам а > 0 и вылетает
из него под углом /3 < 0 (рис. 4.13). Найти начальную скорость
электронов. Силой тяжести пренебречь.
4.14. Управляющими электродами электронно-лучевой
трубки служат две плоские параллельные пластины длиной
18 Задачи
I = 2 см. Расстояние от управляющих электродов до экрана
трубки равно L = 30 см. Параллельно управляющим элек-
электродам в середине между ними влетает пучок электронов со
скоростью vq = 2 • 107 м/с. Какова напряженность электри-
электрического поля между электродами, вызывающего смещение
электронного пучка на экране на расстояние d = 12 см?
+ +Г
Рис. 4.13 Рис. 4.15
4.15. Длина плоских параллельных электродов равна I, рас-
расстояние между ними /г, между электродами создано поле напря-
напряженностью Е. В поле вблизи нижней пластины влетает электрон
со скоростью v® под углом а к пластинам (рис. 4.15). При ка-
каких значениях напряженности поля электрон пролетит между
электродами, не задев ни один из них? При каких углах а это
возможно?
5. Трение
5.1. Неподвижное тело массой т опускается плавно на мас-
массивную платформу (М ^> га), движущуюся со скоростью vq =
= 4 м/с (рис. 5.1). Сколько вре-
времени тело будет скользить по
платформе и какое расстояние
оно пройдет за это время? Ко™
эффициент трения /i = 0, 2.
5.2. Решить задачу 3.4 при
р г -. условии, что коэффициент тре-
трения груза о плиту равен /i.
5.3. Найти ускорение бруска в задаче 3.5 при условии, что
коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен /i.
5.4. Найти реакцию клина в задаче 3.6 при условии, что
коэффициент трения клина о стол равен /i, а трением между
стержнем и клином можно пренебречь.
5.5. Найти силу реакции в задаче 3.7 при условии, что ко™
эффициент трения между бруском и клином равен /i. Трением
клина о стол пренебречь.
5. Трение 19
5.6. Найти силу реакции в задаче 3.7 при условии, что ко™
эффициент трения между клином и столом равен /i. Трением
между бруском и клином пренебречь.
5.7. На клине с углом а при основании лежит брусок. Ко-
Коэффициент трения между бруском и клином /i < tga. С каким
ускорением должен двигаться клин, чтобы брусок не соскальзы-
соскальзывал?
5.8. Диск совершает 70 об/мин. Где можно положить на диск
тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент трения покоя
тела о диск /лиок = 0,44.
5.9. В аттракционе «мотоциклетные гонки на вертикальной
стене» трек представляет собой вертикальную цилиндрическую
поверхность диаметром 18 м. С какой минимальной скоростью
должен двигаться мотоциклист, чтобы не соскальзывать с тре™
ка? Коэффициент трения /i ^ 0,8. Считать
мотоцикл материальной точкой.
5.10. Сферическая чаша радиусом R вра-
вращается вокруг вертикального диаметра. В
чаше находится небольшое тело, радиус™
вектор которого составляет при вращении
угол а с вертикалью (рис. 5.10 а). С какой уг-
угловой скоростью ш должна вращаться чаша,
чтобы тело не соскальзывало, если коэффи-
коэффициент трения покоя равен /1ПОк?
5.11. Мотоциклист движется со скоро- р , -.а
стью 90 км/ч. Каков радиус кривизны дуги,
которую мотоциклист описывает при повороте, если коэффици-
коэффициент трения резины об асфальт равен 0,65? Каков угол наклона
мотоциклиста к горизонту?
5.12. Стеклянный шарик диаметром 4,0 мм падает в раство-
растворе глицерина (ро = 1,21 • 103 кг/м3, г/ = 5,02 • 10™2 Па-с). Плот-
Плотность стекла р = 2,53 • 103 кг/м3. Определить установившуюся
скорость и начальное ускорение. Приближенно оценить время,
в течение которого шарик достигнет установившейся скорости,
и перемещение шарика за это время.
5.13. С помощью численного расчета найти мгновенные зна-
значения ускорения и скорости падения шарика в предыдущей за™
даче и построить график. Выбрать интервал времени равным
At = 0,02 с.
5.14. Оценить установившуюся скорость оседания пылинок
в комнате высотой 1 = 2,8 м и время оседания. Минимальный
диаметр частиц пыли 2г = 0,06 мм. Вязкость воздуха при 20 °С
равна г] = 1,8 • 10~5 Па-с, плотность вещества пылинок р =
= 2- 103 кг/м3.
20 Задачи
5.15. Оценить скорость падения града, если диаметр градин-
градинки 2г = 5 мм, а плотность р = 8 • 102 кг/м3.
5.16. После того, как вы научитесь интегрировать, найдите за-
зависимость мгновенной скорости шарика от времени в задаче 5.13.
6. Теормм относительности
6.1. Пользуясь принципом относительности, показать, что
поперечные размеры тела не меняются при переходе от одной
системы отсчета к другой.
6.2. Оценить относительную погрешность, возникающую
при расчете, если вместо релятивистского закона сложения ско-
скоростей воспользоваться классическим.
6.3. В ускорителе на встречных пучках протоны движутся
со скоростью 0,99000 с относительно установки. Чему равна ско-
скорость одного протона относитель-
J2 ^^ Vl НО ДРУГОГО?
n\\\4\\\\n^ / 6-4' Вот ОД110 из «опроверже-
«опровержений» релятивистского закона ело-
рис q ^ жения скоростей. Пусть два тела
находятся в одной точке, а затем
начинают двигаться относительно Земли в противоположных
направлениях (рис. 6.4). Суммарное перемещение тел
Д/ = Ah - Al2 = viAt - (-v2At) = (vi + v2)At.
Отсюда скорость сближения и = Al/At = v\ + v2.
Мы получили классический закон сложения скоростей, а не
релятивистский. Есть ли ошибка в рассуждениях?
6.5. Скорость света в неподвиж-
неподвижном веществе и = с/п, где с —
скорость света в вакууме, п — по-
показатель преломления вещества (см.
§ 63.1). Найти скорость света в веще-
веществе, движущемся равномерно отно-
относительно источника света.
6.6. В опыте Физо два свето-
световых пучка движутся навстречу друг
другу: один — вдоль потока жид-
жидкости, второй — навстречу потоку
(рис. 6.6). Полагая, что длина каж-
каждой трубы равна 1, скорость жидко-
жидкости v и показатель преломления п,
найти разность во времени распро-
странения обоих пучков света. ис'
6.7. Какое расстояние пролетит пион (тг-мезон) до распа-
распада, если его скорость v = 0,99с, а собственное время жизни
6. Теория относительности 21
tq = 2,6 • 10^8 с? Какова была бы длина пролета, если бы не было
релятивистского замедления времени? Расстояние измеряется в
лабораторной системе отсчета.
6.8. Найти собственное время жизни частицы, если ее ско-
скорость отличается от скорости света в вакууме на 0,2%, а рас-
расстояние, пролетаемое до распада, равно примерно 300 км.
6.9. С какой скоростью должна двигаться частица, чтобы ее
релятивистский фактор стал равным 3?
6.10. Найти релятивистский закон преобразования попереч-
поперечных компонентов вектора скорости.
6.11. В двух точках, покоящихся в некоторой инерциальной
системе отсчета, расстояние между которыми вдоль оси абсцисс
I = Х2~х\, одновременно произошли два события. Найти проме-
промежуток времени между этими событиями в произвольной инер-
инерциальной системе отсчета.
6.12. Электрон разгоняется в электрическом поле напряжен-
напряженностью Е = 3,0-106 Н/Кл. Найти скорость электрона через 1,0 не.
Какой будет скорость электрона, если расчет вести по фор-
формулам ньютоновской механики?
6.13. На частицу, которая движется с релятивистской ско-
скоростью, действует сила, перпендикулярная к траектории. Как
будет двигаться частица? Выразить силу через
скорость и радиус кривизны траектории. N
6.14. После того, как вы научитесь дифферен- ^
цировать тригонометрические функции, попытай- V
тесь показать, что в релятивистском случае фор-
мула F = та не справедлива.
6.15. Введем следующее определение: длина
движущегося стержня равна произведению его
скорости на промежуток времени между момента-
моментами, когда его начало и конец проходят мимо непо-
неподвижных часов. Собственная длина определяется
аналогично с помощью часов, движущихся с та-
такой же скоростью вдоль неподвижного стержня.
Найти соотношение между длиной движущегося
стержня I и его собственной длиной 1$.
6.16. Пусть на Земле проведена прямая MN.
Под очень малым углом а = 0, 26/; на эту прямую
налетает некоторая плоскость АВ, например кры- М
ло реактивного самолета, движущегося со скоро-
скоростью v = 600 м/с (рис. 6.16). Поверхность Земли рис> gjg
ярко освещается Солнцем. С какой скоростью V
тень от крыла скользит вдоль прямой MN1 Нет ли здесь про-
противоречия с теорией относительности? Не парадоксален ли по-
полученный результат?
22
Задачи
6.17. Нейтронная звезда (пульсар) радиусом 15 км соверша-
ет 103 об/с (см. задачу 14.21). Она испускает узкий пучок рентге-
рентгеновского излучения, который скользит по поверхности Земли
Рис. 6.17
(рис. 6.17). Какова скорость перемещения пучка, если расстоя-
расстояние от пульсара до Земли равно 10 св. лет? Нет ли здесь пара-
парадокса?
Часть вторая
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
7. Закон сохранения импульса. Центр масс
7.1. На горизонтальном дереьянном столе лежит деревянный
брусок массой 5,0 кг. В брусок попадает пуля массой 9,0 г, после
чего он проходит по столу расстояние 25 см и останавливается.
Найти скорость пули.
7.2. Железнодорожная платформа, масса которой вместе
с орудием М, движется со скоростью V вдоль оси абсцисс
ГТЧ , Щ ¦, 4Ч7 -М, i^J, JsA ДМ Л"Ч , hN 7 §•*? т 1?"? ^Ц №> тВД тЩ з *>N >
у//////////////////////////////////////////////////
Рис. 7.2
(рис. 7.2). Ствол орудия составляет с этой осью угол а. Сна-
Снаряд массой m вылетает из орудия со скоростью v относительно
орудия в ту лее сторону, куда движется платформа. Найти ско-
скорость платформы после выстрела.
При какой начальной скорости платформа остановится после
выстрела? Трением пренебречь.
Принять М = 10 т, га = 120 кг, V = 6,0 м/с, v = 900 м/с,
о = 30°.
7.3. Масса лодки М = 80 кг, масса мальчика m = 36 кг.
Мальчик переходит с кормы на нос лодки. На какое расстояние
переместится лодка, если ее длина I = 2,8 м? При столь малых
скоростях молено пренебречь сопротивлением воды.
7.4. Найти начальное ускорение ракеты, если ее начальная
масса 40 т, скорость истечения газов 4 км/с и расход топлива
200 кг/с.
24
Задачи
7.5. Стартовая масса ракеты Mq = 160 т, скорость истечения
газов 4 км/с. После того как выгорело 90 т топлива, отбрасы-
отбрасывается первая ступень массой 30 т. Затем выгорает еще 28 т
топлива.
Какова конечная скорость второй ступени? Какую сю>
рость приобрела бы одноступенчатая ракета при той же массе
топлива?
7.6. После того, как вы научитесь интегрировать, выведите
формулу Циолковского.
7.7. Почему по мере разгона космического корабля космо-
космонавты испытывают возрастающую перегрузку? Расход топлива
считать постоянным.
7.8. На рельсах находится закрытый со всех сторон вагон.
Могут ли пассажиры, находясь внутри вагона, привести вагон
в колебательное движение? Трением о рельсы пренебречь. Счи-
Считать массу вагона соизмеримой с массой пассажиров.
7.9. Доказать, что центр масс однородной треугольной пла-
пластины находится на пересечении медиан.
7.10. Найти положение центра масс однородной пластины,
изображенной на рис. 7.10 а.
Рис. 7.10 а
Рис. 7.11
7.11. Найти положение центра масс пластины, изображенной
на рис. 7.11. Принять R = 5,00 см, г = 3,00 см.
7.12. Пользуясь численными методами, найти положение
центра масс полукруга. Для простоты расчета положить R =
= 1,00.
7.13. Пользуясь численными методами, найти положение
центра масс полушара.
7.14. Пользуясь численными методами, найти положение
центра масс прямого кругового конуса высотой h = 1, обра™
зующая которого составляет угол а с высотой.
7.15. Пользуясь интегральным исчислением, решить задачи
7.12, 7.13 и 7.14 аналитически.
7.16. Третий закон Кеплера в § 9.4 был выведен для случая,
когда масса планеты много меньше массы Солнца, следователь-
8. Полная и кинетическая энергия 25
но, Солнце молено считать неподвижным. Вывести этот закон
для случая, когда два тела обращаются вокруг их центра масс.
8. Пол нам и кинетическая энергим
8.1. Определить энергию покоя (собственную энергию) элек-
электрона, протона и нейтрона.
8.2. Определить скорость частицы, если ее кинетическая
энергия равна энергии покоя.
8.3. Найти кинетическую энергию и импульс электрона,
имеющего скорость 0, 92 с.
8.4. Кинетическая энергия протона равна 10 ГэВ. Найти его
импульс и скорость.
8.5. В харьковском и ереванском линейных ускорителях ки-
кинетическая энергия электронов равна 10 МэВ. Найти скорость
электронов.
8.6. Какова погрешность при замене релятивистского выра-
выражения для кинетической энергии на классическое? Сделать рас-
расчет при tii = 0,1с; при U2 = 0,9с; при щ = 0,99с.
8.7. Мидделево сечение катера S = 4 м2, мощность двигателя
Р = 220 кВт, коэффициент полезного действия г] = 25 %. Какую
максимальную скорость может развить катер? Считать С = 0,5.
8.8. Лебедка с заданной мощностью двигателя Р тянет груз
вверх по наклонной плоскости (см. рис. 3.5 а). Плоскость накло-
наклонена к горизонту под углом а, коэффициент трения равен /i.
При каком угле наклона скорость груза будет минимальной?
8.9. Струя воды выбрасывается из гидромонитора со ско-
ростью 100 м/с. Расход воды равен 144 м3/ч. Найти мощность
насоса, если его КПД равен 75%.
8.10. Электрон, начальная скорость которого равна нулю,
разгоняется в электрическом поле напряженностью Е. Опреде-
Определить скорость электрона после того, как он пройдет расстояние I.
Расчет провести для нерелятивистского и релятивистского слу-
случаев. Показать, что в слабом поле релятивистская формула пе-
переходит в нерелятивистскую.
8.11. Для ультрарелятивистской частицы (рс ^> cfo) можно
положить, что ее полная энергия равна произведению импульса
на скорость света в вакууме, т.е. cf = рс. Определить, какая при
этом допускается погрешность.
8.12. Частица движется параллельно оси абсцисс со скоро-
скоростью их. Найти закон преобразования релятивистского фактора
при переходе в новую ИСО, движущуюся в том же направлении
вдоль оси абсцисс со скоростью v.
8.13. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти для
данного случая закон преобразования полной энергии и импульса.
26 Задачи
9. Соотношение неопределенностей
9.1. Полагая, что в атоме водорода электрон обращается во™
круг ядра по круговой орбите, оценить радиус этой орбиты.
9.2. Какую кинетическую энергию нужно сообщить электро-
электрону, чтобы он мог проникнуть в ядро? Размер а ядра имеет ве™
личину порядка 10~15 м.
9.3. Оценить кинетическую энергию электронов проводимо-
проводимости в металлах, где их концентрация порядка 1029 м~3.
9.4. По современным представлениям пульсар — это звезда,
состоящая практически целиком из нейтронов1). Полагая, что
масса пульсара равна массе Солнца B • 1030 кг), а радиус его
порядка 10 км, оценить кинетическую энергию нейтронов.
10. Элементарная теорим столкновений
10.1. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой
2,0 кг. Пуля массой 9,0 г, летящая со скоростью 800 м/с под
углом 30° к горизонту, попадает в брусок и застревает в нем. С
какой скоростью и в каком направлении стал двигаться брусок?
Не противоречит ли закону сохранения импульса кажущаяся
пропажа его вертикальной составляющей?
10.2. Ядро радона с атомной массой 216 выбрасывает альфа-
частицу с атомной массой 4 и кинетической энергией 8 МэВ.
Какова кинетическая энергия ядра отдачи?
10.3. Гладкий шар ударяется под некоторым углом о глад-
гладкую стенку. Удар упругий. Доказать, что угол отражения равен
углу падения.
10.4. Шарик, двигаясь параллельно оси ординат, сталкива-
сталкивается абсолютно упруго с параболическим зеркалом (у2 = 2рх).
Доказать, что независимо от того, в какой точке шарик ударит-
ударится о зеркало, он после отражения попадет в фокус F. Найти
положение фокуса.
10.5. Доказать, что при абсолютно упругом нерелятивист-
нерелятивистском столкновении двух частиц одинаковой массы, из которых
одна покоится, угол разлета равен 90°.
10.6. Релятивистский протон с кинетической энергией К
сталкивается с неподвижным протоном. Полагая, что столкно-
столкновение абсолютно упругое и что энергия распределяется меж-
между частицами поровну, найти угол разлета. Сделать расчет для
К = 500 МэВ и К = 10 ГэВ.
) Идея о возможности такого состояния вещества была выдвинута
Л.Д. Ландау в 1932 г.
11. Потенциальная энергия. Потенциал
27
Рис. 10.7 а
10.7. Диск радиусом г, движущийся по абсолютно гладкой
поверхности со скоростью v, абсолютно упруго сталкивается с
таким же покоящимся диском. Выра-
Выразить модуль и направление скорости
каждого из них после столкновения
как функцию прицельного расстояния
d (рис. 10.7 а). Ограничиться нереля-
нерелятивистским приближением.
10.8. Решить предыдущую задачу
при условии, что масса движущегося
диска mi и его радиус п., а у покоящегося, со-
соответственно rri2 и Г2 (рис. 10.8 а).
10.9. Рассчитать давление, производимое
потоком частиц, падающих на стенку под уг-
углом а к нормали. Рассмотреть случай упругого
соударения. Концентрация частиц равна п.
10.10. Оценить площадь парусов на парус-
парусной лодке, равномерно движущейся по направ-
направлению ветра, полагая, что площадь «мидделя»
Sq = 1,0 м2, коэффициент С = ОД, скорость
лодки v® = 3,0 м/с, скорость ветра v = 6,0 м/с.
10.11. С вершины холма, поверхность которого составляет
угол а с горизонтом, бросают горизонтально мячик со скоро-
скоростью v®. Считая, что мячик ударяется о поверхность холма аб™
солютно упруго, определить, где он вторично ударится о холм.
10.12. Частица массой т налетает на покоящуюся части-
частицу массой М. Удар абсолютно упругий, угол рассеяния падаю™
щей частицы равен 0, угол отдачи (р. Считая скорости движения
нерелятивистскими, найти отношение масс частиц.
Рис. 10.8 а
11. Потенциальная энергим. Потенциал
11.1. Доказать, что в однородном поле работа не зависит от
формы траектории.
11.2. Когда вы научитесь интегрировать степенную функ-
функцию, попытайтесь вывести формулы A8.6), A8.10) и A8.12).
11.3. Примем потенциальную энергию тела равной нулю, ее™
ли тело удалено от Земли на бесконечно большое расстояние.
Напишите выражение для потенциальной энергии тела в произ-
произвольной точке над Землей.
Чему равна потенциальная энергия тела на поверхности
Земли?
11.4. Примем потенциальную энергию тела за нуль, если
тело расположено на поверхности Земли. Напишите выраже-
28 Задачи
ние для потенциальной энергии тела в произвольной точке над
Землей.
Чему равна потенциальная энергия тела в бесконечности?
11.5. Вычислить энергию диполя. Какой смысл имеет знак
минус?
11.6. Дипольный момент молекулы хлористого водорода ра-
равен 3,44- 1СП30 Кл-м, плечо диполя 1,01 • 10"0 м. Оцените, сколь-
сколько энергии выделится при образовании 1 кг хлористого водорода
из исходных продуктов, если число молекул в 1 кг равно 1,6-1025.
11.7. Найти потенциал электрического поля на первой бо-
ровской орбите атома водорода.
11.8. Найти сумму кинетической и потенциальной энергий
электрона на первой боровской орбите. Объяснить смысл знака
суммарной энергии.
11.9. Найти импульс и скорость, которые приобретет элек-
электрически заряженная частица, пройдя разность потенциалов
ср = (рг — ср2. Начальную скорость частицы считать равной ну-
нулю. Расчет произвести для нерелятивистского и релятивистско-
релятивистского случаев.
11.10. Найти разность потенциалов, при которой с погреш-
погрешностью, не превышающей 5 %, можно вычислять импульс в пре-
предыдущей задаче, пользуясь нерелятивистским приближением.
Расчет сделать для электрона и протона.
11.11. В ультрарелятивистском случае импульс частицы,
ускоренной разностью потенциалов <р, находят по формуле р =
= еср/с, где eip выражено в МэВ, с — скорость света в вакууме.
Выразить р в единицах СИ. Определить, при какой разности
потенциалов использование этой формулы дает погрешность, не
превосходящую 5%. Расчет сделать для электрона и протона.
12. Закон сохранения энергим в ньютоновской
механике
12.1. Баллистический маятник представляет собой брусок
массой 3,0 кг, висящий на нити длиной 2,5 м. В брусок попадает
пуля массой 9,0 г и застревает в нем, вследствие чего система
отклоняется на угол 18° (рис. 12.1). Найти скорость пули.
12.2. Тело массой 5 кг поднимают вертикально вверх на вы™
соту Юме помощью силы 120 Н. Найти конечную скорость
тела двумя способами: по второму закону Ньютона и по закону
сохранения энергии. Начальная скорость равна нулю.
12.3. Решить задачу 5.1, пользуясь законом сохранения энер-
энергии.
12.4. На нити длиной I висит груз. Какова начальная ско-
скорость, которую ему надо сообщить в нижней точке, чтобы он
смог сделать полный оборот? Массой нити пренебречь.
12. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
29
12.5. Решить ту же задачу, полагая, что груз висит на тонком
стержне, массой которого можно пренебречь.
12.6. На нити висит груз массой га. Нить отвели на угол «о
и отпустили. Найти натяжение нити как функцию угла а.
12.7. На высшей точке шара радиусом R лежит небольшая
шайба массой га. После легкого толчка шайба начинает соскаль-
соскальзывать. Найти силу давления шайбы на шар как функцию угла
между радиус-вектором и вертикалью. Где шайба оторвется от
шара? Трением пренебречь.
Рис. 12.1
у//////////////////////////////
Рис.
12.8. Пусть велосипедист скатывается, не вращая педали,
по вертикальному треку «чертова петля» (рис. 12.8). Требуется
определить минимальную высоту До, с которой должен начать™
ся спуск, чтобы велосипедист не сорвался в верхней точке петли,
т.е. на наиболее опасном участке тра-
ектории.
12.9. Велосипедист скатывается с
высоты Н по треку «чертова петля».
Найти силу давления велосипедиста
на трек как функцию угла между
радиус-вектором и вертикалью. Сде-
Сделать расчет для случая, когда вело-
велосипедист скатывается с минимальной
высоты.
12.10. Небольшое тело движется
по мертвой петле, в которой сверху
сделан симметричный вырез с углом
2а (рис. 12.10). Найти максимальную и минимальную высоты,
при которых тело, оторвавшись в точке А от петли и пролетев
в воздухе, попадет в точку В. Найти соответствующие допусти-
допустимые углы выреза.
12.11. Ближайшая к Солнцу точка эллиптической орби-
орбиты планеты называется перигелием, наиболее удаленная точ-
V/////////////////////////.
Рис. 12.10
30 Задачи
ка — афелием (рис. 12.11). Обозначим расстояние от периге-
перигелия до Солнца через го, скорость планеты в перигелии через v®.
Найти радиус кривизны траекто-
траектории в перигелии и афелии, рассто-
расстояние от афелия до Солнца, ско-
скорость планеты в афелии.
Доказать, что движение плане-
планеты по эллиптической траектории
возможно лишь в том случае, если
ее полная энергия отрицательна.
12.12. Доказать, что если кос™
Рис 12 11 мический корабль движется по па-
параболической траектории, в фоку™
се которой находится Земля (или другая планета), то полная
механическая энергия корабля равна нулю.
12.13. Решить задачу 3.6, воспользовавшись законом сохра-
сохранения энергии.
12.14. Решить задачу 3.7, воспользовавшись законами сохра™
нения энергии и импульса.
12.15. С Луны должен подняться и улететь на Землю косми-
космический корабль массой 1 т. Определить необходимый для этого
запас топлива. Сравнить с запасом топлива для отправки такого
же корабля с Земли. Считать ракету одноступенчатой.
12.16. Если масса звезды больше массы Солнца более чем в
три раза, то при остывании она может сжаться настолько, что не
сможет излучать — из ее поля тяготения не сможет вырваться
ни частица вещества, ни свет. Оценить радиус такого объекта
(«черной дыры»).
13. Закон сохранения энергии
13.1. Навстречу друг другу с одинаковой скоростью летят
два одинаковых куска льда. При какой скорости они при неупру-
неупругом ударе испарятся? Начальная температура to = ^30 °С. По-
Потери на излучение не учитывать.
13.2. Свинцовая пуля пробивает доску, при этом ее скорость
падает с 400 м/с до 200 м/с. Какая часть пули расплавится?
Нагреванием доски пренебречь. Начальная температура около
30°С.
13.3. На освещенную Солнцем поверхность Земли ежесе-
ежесекундно падает луч интенсивностью J = 1,36 кВт/м2. Опре-
Определить ежесекундное уменьшение внутренней энергии и массы
Солнца. Сколько времени будет продолжаться излучение до по-
потери Солнцем 10 % его массы? Объем Солнца считать неизмен-
неизменным.
Ц. Динамика вращения твердого тела 31
13.4. Нерелятивистская частица неупруго сталкивается с
точно такой же покоящейся частицей. Какова кинетическая
энергия образовавшегося тела? Куда исчезла часть кинетиче-
кинетической энергии?
13.5. Частица массой М разделилась на два равных осколка,
разлетевшихся со скоростями 0, 90 с в противоположные сторо-
стороны. Найти массу каждого осколка.
13.6. Релятивистская частица неупруго соударяется с точно
такой же покоящейся частицей. Какова внутренняя и кинети-
кинетическая энергия образовавшегося сгустка. Кинетическая энергия
частицы до удара К = eip, где ip — потенциал ускоряющего
электрического поля. Сделать расчет для протона с кинетиче-
кинетической энергией 10 ГэВ и 76 ГэВ.
13.7. Найти кинетическую энергию, которую надо сообщить
позитрону, чтобы при его столкновении с неподвижным элек™
троном возникла пара частиц протон^антипротон.
13.8. Решить предыдущую задачу в предположении, что
столкновение осуществляется в ускорителе на встречных пуч-
пучках, т.е. электроны и позитроны движутся навстречу друг другу
с равными скоростями.
13.9. Сопоставить эффективность ускорителя на встречных
пучках с эффективностью ускорителя, где частицы налетают на
неподвижную мишень из таких же частиц.
13.10. Какой должна быть энергия электронов и протонов
в ускорителе с неподвижной мишенью, эффективность которо-
которого такая же, как у ускорителя на встречных пучках с энергией
200 МэВ?
14. Динамика вращеним твердого тела
14.1. Парой сил называется система из двух равных антипа-
антипараллельных сил; плечом пары называется кратчайшее расстоя™
ние между силами. Доказать, что момент пары равен произве-
произведению модуля силы на плечо, независимо от того, относительно
какой точки мы ищем этот момент.
14.2. Решить задачу 2.2, приложив к системе две пары сил с
равными по модулю и противоположными по знаку моментами.
14.3. Определить вращающий момент на валу электродвига-
электродвигателя мощностью 20 кВт, если его ротор совершает 1440 об/мин.
14.4. Модуль кручения спиральной пружины равен
2 Н-м/рад. Пружину закрутили на 10 оборотов. Какая работа
при этом совершена?
14.5. Определить момент инерции диска относительно оси,
проходящей через точку на краю диска перпендикулярно его
плоскости.
32
Задачи
14.6. Диск с вырезом (рис. 14.6) имеет массу т. Определить
момент инерции относительно оси, проходящей через точку А
перпендикулярно плоскости диска.
14.7. Когда вы научитесь интегриро-
интегрировать, выведите с помощью интеграла фор-
формулу для момента инерции диска.
14.8. С помощью интеграла вывести
формулу для момента инерции шара от-
относительно его диаметра.
14.9. С помощью интеграла вывести
формулу для момента инерции прямого
кругового конуса относительно его высоты.
14.10. Решить задачу 14.8 численными
методами.
14.11. Решить задачу 14.9 численными методами.
14.12. Однородный стержень длиной I может без трения
вращаться вокруг оси, проходящей через его верхний конец
(рис. 14.12). Стержень отклонили на угол «о и отпустили. Найти
скорость нижнего конца стержня как функцию угла а.
Рис. 14.6
Рис. 14.12
Рис. 14.13
14.13. На вершине наклонной плоскости длиной I с углом
наклона а находится сплошной цилиндр с радиусом основания
г (рис. 14.13). Цилиндр скатывается, не проскальзывая. Найти
скорость центра масс цилиндра внизу, если коэффициент тре-
трения качения равен к. Можно ли пренебречь трением качения?
Выполнить расчет при следующих условиях: I = 1 м, а = 30°,
г = 10 см, к = 5 • 10 м.
Какова была бы скорость, если бы трения не было и цилиндр
соскальзывал?
14.14. Решить задачу 14.13 при условии, что скатывается
тонкостенная труба с тем же радиусом и той же массой.
14.15. Сплошной маховик массой 20 кг и радиусом 120 мм
вращается, совершая 600 об/мин. С какой силой нужно прижать
Ц. Динамика вращения твердого тела 33
к нему тормозную колодку, чтобы он остановился за 3 с, если
коэффициент трения равен 0,1?
14.16. На общем валу сидят маховик с моментом инерции
0,86 кг-м2 и цилиндр радиусом 5 см, массой которого молено
пренебречь (рис. 14.16). На цилиндр намотана нить, к которой
подвешена гиря массой 6,0 кг. За какое время гиря опустится на
1 м? Какова будет ее конечная скорость? На™
чальную скорость считать равной нулю.
14.17. Решить задачу 3.2 при условии, что
момент инерции блока равен / и его радиус г.
14.18. Решить задачу 12.7 в предположе-
предположении, что с вершины скатывается без проскаль-
проскальзывания шарик, имеющий массу т и радиус
г. Потерей энергии на трение качения прене-
пренебречь.
14.19. Человек стоит в центре скамьи Жу-
Жуковского и вместе с ней вращается, совершая
30 об/мин. Момент инерции тела человека от-
относительно оси вращения — около 1,2 кг-м2. В Рис> 14'16
вытянутых руках у человека две гири массой
3 кг каждая. Расстояние между гирями 160 см. Как станет вра-
вращаться система, если человек опустит руки и расстояние между
гирями станет равным 40 см? Момент инерции скамьи 0,6 кг-м2;
изменением момента инерции рук и трением пренебречь.
14.20. На краю круглой платформы, вращающейся вокруг
своей оси, стоит человек массой 80 кг. Платформа вместе с че-
человеком совершает 12,0 об/мин. Как станет вращаться система,
если человек перейдет в центр платформы? Какую работу при
этом совершит человек? Масса платформы 200 кг, ее радиус
1,2 м.
14.21. Представим себе, что Солнце сожмется (сколлапсиру-
ет) в пульсар. Оценить минимальный радиус пульсара и пери™
од его обращения. Период вращения Солнца вокруг оси равен
25,38 сут.
14.22. Сравнить кинетическую энергию вращения пульсара
(см. задачу 14.21) и Солнца. За счет чего возрастает кинетиче-
кинетическая энергия?
14.23. Электрон имеет собственный момент импульса
(спин), проекция которого на произвольное направление равна
половине постоянной Планка, т.е. Lz = Н/2 = 5,25 • 10^35 Дж-с.
Учитывая, что скорость света в вакууме есть предельная ско-
скорость, показать несостоятельность модели, согласно которой спин
электрона сводится к вращению этой частицы вокруг своей оси.
14.24. Шар катится по горизонтальной поверхности без про-
проскальзывания. При какой скорости движения центра масс v® он
2 А.А. Пинский
34
Задачи
сможет преодолеть выступ высотой h < i?, где R — радиус шара.
Удар шара о выступ неупругий.
14.25. Решить предыдущую задачу при условии, что катится
сплошной диск; тонкостенная труба.
15. Немнерциальные системы отсчета и тяготение
15.1. Решить задачу 5.7, перейдя к системе отсчета, связан-
связанной с клином.
15.2. Решить задачу 5.8, перейдя к вращающейся системе
отсчета, связанной с диском.
15.3. Решить задачу 5.9, воспользовавшись вращающейся си™
стемой отсчета.
15.4. Решить задачу 3.8, воспользовавшись вращающейся си-
системой отсчета.
15.5. Решить задачу 3.9, воспользовавшись вращающейся си-
системой отсчета.
15.6. При какой угловой скорости вращения звезды с ее эк-
экватора начнет истекать вещество? Для расчета воспользоваться
системой отсчета, связанной с вра-
вращающейся звездой. Сравнить с зада™
чей 14.21.
15.7. Капли жира в молоке име-
имеют диаметр порядка 0,02 мм. Оце-
Оценить время отделения сливок в цен™
трифуге при комнатной температуре
(?«20°С), если высота сосуда 20 см,
радиус вращения 80 см и скорость
вращения 600 об/мин. Сопоставить
со временем отделения сливок в по™
ле тяжести.
15.8. Центробежный регуля-
регулятор имеет вид, изображенный на
рис. 15.8 а. Масса каждого груза
га, жесткость пружины к. Будет ли этот прибор работать в
невесомости? Как зависит угол а от скорости вращения систе-
системы? На какую максимальную скорость вращения рассчитан
прибор, если пружина может сжаться не более, чем на 10 %
своей первоначальной длины?
15.9. Доказать, что во вращающемся сосуде поверхность
жидкости имеет форму параболоида вращения.
15.10. Пользуясь принципом эквивалентности, объяснить
явление невесомости в космическом корабле, обращающемся во-
вокруг Земли (или другой планеты).
Рис. 15.8 а
15. Неинерциальные системы отсчета и тяготение 35
15.11. С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг
своей оси космический корабль, чтобы космонавт чувствовал се-
себя как в поле тяжести Луны, где ускорение свободного падения
в 6 раз меньше, чем на Земле? Диаметр корабля считать рав™
ным 6 м.
15.12. В октябре 1971 г. на самолете «Боинг™747», который
летел на высоте 10 км со скоростью 1000 км/ч с запада на вос-
восток, были помещены атомные часы. На земле остались точно
такие лее часы, позволяющие регистрировать время с точностью
до 1 не A не = 10^9 с). Самолет летел 2,5 сут, затем часы сличи-
сличили. Какова разность показаний часов на самолете и в наземной
лаборатории? Какой вклад вносит подъем на высоту, и какой —
скорость движения?
15.13. Определить гравитационное смещение частоты на
Солнце, на белом карлике и на пульсаре. Считать массу всех
звезд одинаковой и равной 2 • 1030 кг; радиус Солнца 7 • 105 км,
белого карлика — 103 км, пульсара — 10 км.
15.14. Задача 12.16 была нами решена некорректно: мы вос-
воспользовались для света формулой второй космической скорости,
которая выводилась из нерелятивистских выражений кинетиче-
кинетической и потенциальной энергий. Попробуйте вывести формулу
для радиуса «черной дыры» из релятивистских соображений.
Часть третья
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА
16. Идеальный газ
16.1. Пользуясь данными задачи 2.16, определить массу во-
водорода, которая выйдет в атмосферу, если открыть снизу обо™
лочку аэростата.
16.2. Определить среднюю скорость броуновской частицы
массой 5 • 10~17 кг при нормальной температуре.
16.3. Определить число столкновений за 1 с и длину свобод-
свободного пробега молекулы водорода при нормальных условиях.
16.4. В опыте О. Штерна A920 г.) атомы серебра, вылетав-
вылетавшие с поверхности раскаленной нити, проходили через щель и
оседали на охлажденной стенке наруж-
наружного цилиндра (рис. 16.4). Когда систе-
система приводилась в быстрое вращение,
изображение щели смещалось. Прибор
сначала приводился во вращение в од-
одну сторону, затем в другую, и изме-
измерялось расстояние между смещенными
изображениями щели. Найти это рас-
расстояние, если радиус внутреннего ци-
цилиндра 2,0 см, наружного 8,0 см. Ско-
Скорость вращения прибора 2700 об/мин,
температура нити 960°С. Оценить по-
погрешность измерения, если ширина са-
самой щели 0,5 мм.
16.5. С какой скоростью должен вращаться ротор в уста-
установке Ламмерта, чтобы через прорези прошли молекулы газа,
скорость которых 700 м/с? Какой разброс скоростей будет заре-
зарегистрирован в опыте? Расстояние между дисками принять 40 см,
угол между прорезями 20°, угловая ширина щели 2°.
Оцените погрешность эксперимента.
16.6. Температура поверхностного слоя Солнца (фотосфе-
(фотосферы) — около 6000 К. Почему с поверхности Солнца не улетают
атомы водорода, из которых в основном состоит фотосфера?
16.7. Толщина фотосферы много меньше радиуса Солнца.
Исходя из равенства гравитационных сил и сил давления, попы-
Рис. 16.4
16. Идеальный газ 37
таитесь оценить по этим данным толщину фотосферы, полагая,
что она вся состоит из атомарного водорода.
16.8. Плотность фотосферы, оцениваемая оптическими ме-
методами, составляет 2 • 1СР4 кг/м3. Определить среднее давление
газа в фотосфере и длину свободного пробега атомов водорода.
16.9. Зная массу и радиус Солнца, можно определить сред™
нюю плотность солнечного вещества. Предполагая для просто-
простоты расчета, что плотность постоянна и что ускорение свободного
падения в середине радиуса равно половине ускорения свобод-
свободного падения на поверхности, оценить давление и температуру
газа в этой точке. Какова здесь концентрация протонов?
16.10. Объясните, почему Луна не может удержать атмо-
атмосферу. Учесть, что в течение лунного дня ее поверхность нагре-
нагревается выше 100 °С.
16.11. В радиолампе создан вакуум — такое состояние газа,
когда длина свободного пробега частиц равна характерным раз-
размерам сосуда. Полагая, что размер лампы 5 см и лампа запол-
заполнена аргоном, оценить плотность и давление газа. Температура
комнатная B0°С).
16.12. Определить подъемную силу аэростата объемом
2 • 104 м3, наполненного гелием, на поверхности Земли и на высо-
высоте 10 км над уровнем моря. Оболочка аэростата снизу открыта.
Данные о свойствах атмосферы см. т. 1, § 26.9, табл. 26.4.
16.13. Определить молекулярную формулу аммиака, если
при давлении 780 мм рт. ст. и температуре 20° С его плотность
равна 0,736 кг/м3.
16.14. Закон Дальтона формулируется так: давление смеси
идеальных газов равно сумме парциальных давлений этих газов.
Парциальным называется то давление, которое производил бы
данный газ, если бы он один занимал весь сосуд. Докажите этот
закон.
16.15. В баллоне объемом 20 л находится смесь из 10 г во-
водорода и 48 г кислорода. Когда смесь подожгли искрой, образо-
образовавшийся газ нагрелся до 300°С. Опреде-
Определить давление газа.
16.16. Полагая, что воздух (М =
= 29 кг/моль) состоит в основном из кис-
кислорода и азота, определить процентное со-
содержание этих газов в атмосфере.
16.17. В 1908-^1910 гг. Перрен опре-
определил постоянную Авогадро. Для этого
он наблюдал в короткофокусный микро- Рис- 16-17
скоп распределение маленьких шариков
гуммигута в воде (рис. 16.17). Фокусируя микроскоп на тот
или иной слой, можно было подсчитать число частиц в каж-
38
Задачи
дом слое. В одном из экспериментов были получены следующие
данные:
Высота слоя над дном кюветы, мкм
Число частиц в слое
5
100
35
47
65
23
95
12
Зная, что радиус шарика 0,212 мкм, плотность гуммигута
1,252-103 кг/м3, плотность воды при 27°С равна 0,997-103 кг/м3,
определить постоянную Авогадро.
16.18. Газ вращается в центрифуге. Учитывая, что поле цен-
центробежных сил инерции эквивалентно полю тяжести, написать
выражение для барометрического распределения газа в центри-
центрифуге.
16.19. Для разделения изотопов можно использовать метод
центрифугирования. Для этого смесь двух газов помещают в бы-
быстро вращающийся цилиндрический сосуд, и благодаря центро-
центробежным силам концентрация изотопов у стенок цилиндра будет
отличаться от их концентрации в центре. Сравнить концентра-
концентрацию легкого и тяжелого изотопов урана у стенок центрифуги,
если диаметр цилиндра 10 см, частота вращения 2,0 • 103 об/с,
температура шестифтористого урана 27°С.
Найти степень обогащения смеси тяжелым изотопом у стенок
сосуда. Степенью обогащения называется частное от деления от-
отношения концентраций при вращении к начальному отношению
концентраций:
х _ ^2 , П02
П\ " П01
16.20. Сколько раз нужно, последовательно отбирая легкую
фракцию, подвергать ее центрифугированию, чтобы получить
смесь, содержащую 80 % легкого изотопа урана?
16.21. Барометрическое распределение было нами получе™
но для изотермической атмосферы, — действительно, в § 26.10
(см. т. 1) мы полагали температуру во всех точках неизменной.
Между тем, в реальной атмосфере температура с возрастанием
высоты уменьшается. Можно показать, что если температура
уменьшается с высотой линейно, т.е. Т = TqA — а/г), то баро-
барометрическая формула имеет вид
JL =
Fo
Доказать, что если а — малая величина, то данная форму-
формула переходит в формулу барометрического распределения для
изотермической атмосферы.
17. Первое начало термодинамики
39
16.22. Попробуйте вывести барометрическую формулу для
атмосферы, температура которой линейно убывает с высотой.
16.23. Измерения, проведенные советскими космическими
станциями «Венера» с помощью спускаемых аппаратов, пока™
зали, что, начиная с высоты 50 км над поверхностью Венеры и
ниже, температура атмосферы этой планеты меняется линейно.
Исходя из данных, приведенных в таблице, докажите, что этот
слой атмосферы состоит в основном из углекислого газа.
Высота над поверхностью /г, км
Давление р, атм
Температура t, °C
Т, К
50
1
80
353
42
3,3
160
433
37
6
200
473
15
37
360
633
0
90
485
758
Рис. 17.2
17. Первое начало термодинамики
17.1. В сосуде находится гелий, который изобарно расширя-
расширяется. При этом к нему подводится количество теплоты, равное
15 кДж. На сколько изменится внутренняя энер-
энергия газа? Какова работа расширения?
17.2. В цилиндре находится 0,15 кг водоро-
да. Цилиндр закрыт поршнем, на котором лежит
груз массой 74 кг (рис. 17.2). Площадь порш-
поршня 62 см2. Какое количество теплоты надо под-
подвести, чтобы груз поднялся на 0,6 м? Процесс
считать изобарным, теплоемкостью сосуда прене-
бречь. Внешнее давление нормальное.
17.3. Для одноатомных газов j = 1,66 ± 0,01.
Найти удельные теплоемкости гелия и неона.
17.4. Для большинства двухатомных газов при комнатных
температурах 7 = 1,40 ± 0,01. Найти удельные теплоемкости
азота при этих условиях.
17.5. В цилиндрическом сосуде диаметром 28 см находит-
находится 20 г азота, сжатого поршнем, на котором лежит груз массой
75 кг. Температура газа 17°С. Какую работу совершит газ, если
его нагреть до 250°С? Какое количество теплоты к нему надо
подвести? На сколько поднимется груз? Процесс считать изо-
изобарным, нагреванием сосуда и внешним давлением пренебречь.
17.6. При расширении газа его давление росло линейно
(рис. 17.6). Какую работу совершил газ? На сколько возросла
его внутренняя энергия? Какое количество теплоты к нему бы-
было подведено? Газ одноатомный.
Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе?
Сравнить с изобарной и изохорной теп л ©емкостями.
40
Задачи
17.7. Начальное давление газа равно 6 • 105 Па, объем 1
м°
При изотермическом расширении его объем увеличился вдвое.
Пользуясь численными методами,
р, 105Па
4
определить работу расширения газа.
Сравните с формулой § 27.6 (см.
т. 1) и оцените погрешность.
17.8. Когда вы научитесь инте-
грировать, выведите формулу для
вычисления работы при изотермиче-
изотермическом расширении газа.
17.9. Над газом совершен изо-
хорно-изобарный цикл 1-2-3-4-1
(рис. 17.9 а). Начертите график это-
этого цикла, откладывая на осях коорди-
координат переменные р — р\ V — Т; р — Т.
17.10. Над газом совершен изотермически-изохорный цикл
1—2—3—4—1 (рис. 17.10а). Начертите график этого цикла, откла-
откладывая на осях координат переменные р — V; р — р\ р — Т.
0,5 V, м5
Рис. 17.6
Pi
Рг -¦
2
1
\
3
4
г
2
1
3
)
4
4
V, V
т7 т
Рис. 17.9 а
Рис. 17.10 а
17.11. Когда вы научитесь интегрировать, выведите форму-
формулу Пуассона для адиабатного процесса.
17.12. Выразите зависимость между давлением и темпера-
температурой, а также между объемом и температурой в адиабатном
процессе.
17.13. Начальное давление воздуха равно 4,0-105 Па, началь-
начальный объем 2,0 м3. Газ адиабатно сжали так, что объем умень-
уменьшился в четыре раза. Найти конечное давление. Сравнить с
давлением, которое получилось бы, если бы сжатие было изо-
изотермическим.
При каком процессе надо совершить большую работу по сжа-
сжатию газа?
17.14. Начальное давление неона равно 2,0 • 105 Па, началь-
начальный объем 0,4 м3. Газ адиабатно расширился так, что его объем
возрос в три раза. Найти конечное давление. Сравнить с давле-
18. Второе начало термодинамики
41
нием, которое получилось бы, если бы газ расширялся изотер-
изотермически.
При каком процессе газ совершит большую работу расшире-
ния?
17.15. Какова должна быть степень сжатия воздуха, что™
бы его температура возросла с 15 °С до 700 °С? Сжатие считать
адиабатным.
17.16. Расстояние между центрами атомов в молекуле азота
1,094 • 10™10 м. Определить момент инерции молекулы и темпе™
ратуру, при которой соударения молекул приводят к изменению
состояния вращательного движения.
17.17. Собственная частота колебаний молекулы азота равна
4,4-1014 рад/с. Определить температуру, при которой возбужда-
возбуждаются колебания молекулы азота.
18. Второе начало термодинамики
18.1. Какова вероятность вытащить из колоды C6 карт):
а) пиковую карту; б) красную карту; в) какую-либо даму?
18.2. Какова вероятность вытащить из колоды: а) какую-
либо фигуру; б) какую-либо красную фигуру?
18.3. Какова вероятность вытащить из колоды подряд два
туза: а) если первый вытащенный туз возвращается в колоду;
б) если первый вытащенный туз в колоду не возвращается?
18.4. Определить математическую и термодинамическую ве-
вероятность пяти возможных распределений четырех шариков в
двух половинах сосуда (рис. 18.4).
о о
о о
о о
о
о
о о
Рис.
о о
18.4
о
о о
о
о о
о о
18.5. Попытайтесь обобщить результат предыдущей задачи
на случай, когда в одной части сосуда находится к из п шариков
(fc-Сп), при условии: а) вероятность попадания в левую и пра-
правую части сосуда разная; б) вероятность попадания в обе части
сосуда одинаковая.
18.6. Вычертить графики функций G| и Cg. (Масштаб по
оси абсцисс выбирать так, чтобы графики было удобно сопоста-
сопоставлять. Например, при п = 6 можно взять масштаб 1 : 13 мм, при
п = 8 — масштаб 1 : 10 мм.)
18.7. В сосуде объемом Vq содержится п молекул. Вычислить
вероятность события, когда все молекулы соберутся в части со-
сосуда V < Vq.
42
Задачи
щ
\
ъ
т
I
i
1
f
г
у
**•
\
<
|
i
¦=
J
==
У"»
s.
л
7
/
ц
*й
У
/
i
Т
f
/
i
Г
t
Рис. 18.9
18.8. Доказать теорему, обратную теореме § 28.8 (см. т. 1):
если при теплообмене, происходящем между двумя телами в
замкнутой и адиабатически изолиро-
изолированной системе, энтропия возрастает,
то количество теплоты передается от
нагретого тела к холодному.
18.9. На рис. 18.9 изображены ре-
результаты одного из наблюдений за ми™
грацией броуновской частицы. Ыаблк>
дение велось через каждые 30 с, темпе-
температура воды около 25°С, радиус бро-
броуновской частицы 4,4 • 1СР7 м. Измерив
«шаги» частицы в заданном масштабе,
найти квадрат среднего квадратично-
квадратичного перемещения за определенное вре-
время, вычислить постоянную Больцмана
и постоянную Авогадро. Масштаб: 1 мм на рисунке соответству-
соответствует перемещению 1,25 мкм.
18.10. Вычертить диаграмму T^S (т.е. график зависимости
между температурой и энтропией): а) для адиабатного процесса;
б) для изотермического процесса.
18.11. Как по Т- S-диаграмме вычислить количество теп-
теплоты, полученное (или отданное) системой?
18.12. Выразить количество теплоты, полученное системой
при изотермическом расширении, через температуру и энтро-
энтропию.
18.13. Когда вы научитесь интегрировать, вычислите изме-
изменение энтропии при произвольном квазистатическом процессе.
18.14. Решить предыдущую задачу
для изохорного, изобарного и изотерми-
изотермического процесса.
18.15. Найти работу за цикл в зада-
задачах 17.9 и 17.10.
18.16. Начертить цикл Карно вТ-
— S~координатах и вычислить его КПД.
18.17. На рис. 18.17 изображен идеа-
идеализированный цикл работы бензино-
бензинового двигателя внутреннего сгорания.
Участок 1—2 соответствует адиабатно-
адиабатному сжатию горючей смеси; участок
2—3 — изохорному сгоранию топлива,
когда рабочее тело получает количество теплоты Q; участок 3~4
соответствует адиабатному расширению рабочего тела; участок
4~1 — изохорному выхлопу отработавших газов. Выразить КПД
двигателя через степень сжатия х = V2/V1.
Рис. 18.17
19. Основы газовой динамики 43
18.18. Степень сжатия у автомобильного бензинового дви-
гателя около 1:7. Полагая, что для газовой смеси коэффици-
коэффициент Пуассона равен 1,38, определить предельный КПД этого
двигателя и сравнить его с реальным, который не превосхо™
дит 25%.
18.19. Воспользовавшись результатами задач 17.8 и 18.7, по™
пытайтесь найти связь между энтропией и термодинамической
вероятностью.
18.20. В двух половинах сосуда находится по одному молю
газа, причем Т2 > Т\. Стенки сосуда адиабатные, перегород-
перегородка абсолютно теплопроводна. Как изменится энтропия системы
при изохорном выравнивании температур (т.е. когда перегород-
перегородка неподвижна)?
18.21. Решить ту же задачу, предполагая процесс изобар-
изобарным, т.е. что давление в обоих сосудах одинаково, а перегородка
свободно перемещается, поддерживая при теплообмене постоян-
постоянное давление.
19. Основы газовой динамики
19.1. Нефть течет по трубопроводу со скоростью 0,8 м/с.
Расход нефти составляет 2 • 103 т/ч. Определить диаметр тру-
трубопровода.
19.2. Из канала брандспойта диаметром 2 см вырывается
струя воды со скоростью 18 м/с. Найти избыточное давление в
пожарном рукаве, диаметр которого равен 6 см.
19.3. Для измерения расхода газа в газопроводе создают су-
сужение и меряют разность давлений в широкой и узкой час-
частях (рис. 19.3). Определить расход газа, если его плотность
1,4 кг/м3, диаметр трубопровода 50 мм, диаметр сужения 30 мм,
разность давлений 18 мм водя-
водяного столба. Сжимаемостью га-
газа пренебречь.
19.4. Вывести уравнение
Бернулли для потока несжи™
маемой жидкости, движущейся
в наклонной трубе переменного рис ^д з
сечения в поле тяжести.
19.5. Из широкого сосуда через малое отверстие вытекает
вода. Выразить скорость истечения как функцию высоты столба
жидкости.
19.6. Пользуясь уравнением Бернулли для сжимаемой жид-
жидкости, получить соотношение между скоростью потока в данной
точке и местной скоростью звука.
44 Задачи
19.7. Найти уравнение ударной адиабаты (уравнение Гю-
гоньо), выражающее зависимость между давлением и плотно-
плотностью газа на прямом скачке уплотнения. Начертить график этой
адиабаты для одноатомного газа.
19.8. Показать, что на прямом скачке уплотнения есть пре-
дел возрастания плотности, и вычислить этот предел.
19.9. Доказать, что при очень малом адиабатном сжатии га-
газа уравнение Гюгоньо переходит в уравнение Пуассона.
19.10. При взрыве образуется ударная волна. Полагая, что
фронт этой волны можно рассматривать как прямой скачок
уплотнения, определить начальную скорость фронта волны, ког-
когда давление воздуха в 200 раз больше атмосферного. Учесть, что
при таком давлении 7 — 1?8.
19.11. При ударном сжатии воздуха его объем уменьшил™
ся в три раза. Во сколько раз увеличились давление воздуха и
его температура? Сравнить с изменением этих же величин при
квазистатическом адиабатном сжатии.
19.12. Реактивный самолет движется на высоте 1 км вдвое
быстрее звука. На каком расстоянии от наблюдателя будет на™
ходиться самолет, когда наблюдатель его услышит?
19.13. Показать, что ударное сжатие газа сопровождается
возрастанием его энтропии.
19.14. Температура пара в паровом котле равна 600 °С, дав-
давление 20 МПа. Пар выпускается через сопло Л аваля. Опре-
Определить скорость и температуру пара в критическом сечении.
Чтобы пар при выходе из сопла не конденсировался, его тем-
температура должна быть выше 100°С. С какой максимальной ско™
ростью пар покидает сопло?
19.15. Скорость истечения продуктов сгорания из сопла кос™
мической ракеты равна 2,0 км/с, температура 600 °С. Опре-
Определить температуру в камере сгорания и предельный КПД.
Считать, что топливо сгорает полностью и из сопла вытекает
углекислый газ.
19.16. Начальная масса ракеты 30 т, начальное ускорение
равно 3g*. У ракеты четыре сопла диаметром 20 см каждое.
Остальные данные взять из предыдущей задачи. Найти началь-
ный расход топлива (вместе с окислителем), плотность и давле-
давление газа на выходе из сопла.
19.17. Пассажирский лайнер движется со скоростью
900 км/ч на высоте 8 км. Скорость измеряется с помощью труб™
ки Пито^Прандтля. Определить разность давлений в дифферен-
дифференциальном манометре. Данные об атмосфере см. в т. 1, § 26.10,
табл. 26.3.
19.18. Определить скорость катера, если вода в трубке Пито
поднялась на 1,8 м.
19. Основы газовой динамики 45
19.19. Какое избыточное давление должен создавать насос
в нефтепроводе, если расстояние между насосными станциями
равно 50 км? Какова мощность насоса? Трубопровод считать
гладким, данные взять из задачи 19.1.
19.20. Можно ли при расчете трубопровода пользоваться
уравнением неразрывности? Уравнением импульсов? Уравнени™
ем Бернулли?
19.21. Доказать, что скорость звука в воздухе выражается
формулой а = 20\/Т (м/с).
Часть четвертая
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ И АГРЕГАТНЫЕ
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
20. Твердое тело
20.1. Алюминиевый кубик с ребром 1 см подвергается все-
всестороннему сжатию. Какая сила приложена к каждой грани,
если объем уменьшился на один процент?
20.2. При упругом растяжении (или сжатии) стержня спра-
справедлив закон Тука, который может быть записан по аналогии с
формулой предыдущей зада-
задачи с заменой модуля всесто-
всестороннего сжатия К на модуль
Юнга Е. Запишите эту фор-
формулу и выразите жесткость
стержня через его размеры.
20.3. Трос из мягкой ста™
ли содержит 120 жил диамет-
диаметром 1 мм каждая. Длина троса
4 м, расстояние между точка-
точками подвеса 3,8 м (рис. 20.3). В середине троса подвешен груз
массой 1 т. На сколько удлинится трос? При какой нагрузке
трос разорвется?
20.4. Представьте себе бесконечно длинный одномерный
ионный кристалл — цепочку чередующихся положительных и
отрицательных ионов, расстояние между которыми равно а
(рис. 20.4). Найти силу, действующую на произвольный ион со
Рис. 20.3
о е
о е
Рис. 20.4
стороны половины цепочки, и сопоставить ее с силой Fq, дей-
действующей между двумя соседними ионами. Расчет сделать с
точностью, не меньшей 0,001.
20.5. Определить сопротивление ионного кристалла на раз™
рыв (разрушающее напряжение), пренебрегая действием всех
ионов, кроме соседних. Сделать численный расчет для кристал-
20. Твердое тело 47
л а хлористого натрия, где по данным рентгеноструктурного ана-
лиза расстояние между центрами соседних ионов (постоянная
решетки а) равно 0,281 нм; то же для фтористого лития, где
а = 0,201 нм.
20.6. Теоретические значения разрушающих напряжений,
полученные в предыдущей задаче, в десятки раз превышают
прочность на разрыв хороших сталей и в тысячи раз — проч™
ность на разрыв реальных ионных кристаллов. Чем это объяс-
объясняется?
20.7. Стальной маховик имеет вид массивного кольца с
внешним диаметром 40 см и внутренним диаметром 30 см. На
какую максимальную скорость вращения он рассчитан? При ка-
какой скорости вращения он разорвется на части?
20.8. Какое давление может выдержать стальной баллон
сферической формы, если его внутренний радиус равен J?, тол™
щина стенок dl Сделать расчет при R = 50 см, d = 5 мм.
20.9. Доказать, что цилиндрический баллон при тех же усло-
условиях выдерживает вдвое меньшее давление.
20.10. Медный стержень зажат между двумя опорами. Его
температуру увеличили на 50°. Какое напряжение возникает в
стержне?
20.11. Стальной цилиндр был охлажден в жидком азоте
G2 К) и вставлен без зазора в обойму из хромо-никелевой стали
при комнатной температуре B0°С). Внутренний радиус обоймы
25 мм, наружный 35 мм. Полагая, что цилиндр существенно не
деформируется, определить напряжение в обойме и характер ее
деформации.
20.12. В расщелину скалы попала вода и замерзла. Какое
давление при этом возникло?
20.13. Для определения коэффициента объемного расшире-
расширения керосина в одном колене сообщающихся сосудов поддержи-
поддерживалась температура 10 °С, в другом 80 °С. Уровень жидкости в
одном колене был равен 280 мм, в другом 300 мм. Найти этот
коэффициент.
20.14. Чему равно число атомов в элементарной ячейке про-
простой кубической решетки? В элементарной ячейке объемноцен™
трированной кубической решетки?
20.15. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гра-
нецентрированной кубической решетки?
20.16. Чему равно число атомов в элементарной ячейке плот™
ноупакованной гексагональной решетки?
20.17. Найти выражение для энергии молекулярного взаи-
взаимодействия.
20.18. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти
минимальную энергию молекулярного взаимодействия.
48
Задачи
20.19. Найти энергию молекулярного взаимодействия при
условии, что расстояние между молекулами возрастает на 10%;
100%.
21. Жидкость
21.1. С повышением температуры вязкость ртути убывает
(табл. 21.1а). Проверить, справедливо ли для ртути соотноше-
соотношение C4.10). Вычислить энергию активации.
Таблица 21.1 а
Температура
t, °С
0
10
20
30
40
Вязкость rj,
мПа-с
1,681
1,621
1,552
1,499
1,450
Температура
t, °С
50
60
70
100
Вязкость rj,
мПа-с
1,407
1,367
1,327
1,232
21.2. На какую высоту поднимется вода в капиллярной
трубке диаметром 0,8 мм? Считать, что краевой угол равен ну-
нулю.
21.3. В воду погружен капилляр диаметром 0,8 мм. Над во™
дой выступает кусок трубки длиной 2 см. На какую высоту под-
поднимется вода? Как это согласовать с результатом предыдущей
задачи?
21.4. На стекле находилось 100 капелек ртути диаметром
1 мм. Затем они слились в одну большую каплю. Что произошло
с энергией поверхностного слоя? Процесс изотермический.
21.5. Для перекачки жидкости из несмачиваемого ею сосуда
в смачиваемый можно использовать силы поверхностного натя-
натяжения (капиллярный насос). С какой скоростью будет переме-
перемещаться бензин в капилляре диаметром 2 мм и длиной 10 см?
Опыт производится в состоянии невесомости.
21.6. Оценить, когда капиллярный насос с водой эффектив-
эффективнее — при низкой или при высокой температуре?
21.7. В капиллярной трубке жидкость поднимается на вы™
соту h. Какой столбик жидкости может удержаться в трубке,
если трубку полностью заполнить жидкостью в горизонтальном
состоянии и затем повернуть ее вертикально? Считать трубку
достаточно длинной.
21.8. Найти высоту подъема жидкости между двумя длин-
длинными параллельными пластинами, расстояние между которыми
равно d.
22. Пар
49
21.9. Между двумя хорошо очищенными стеклянными пла-
стинами находится капля воды массой 0,2 г. Расстояние между
пластинами 0,01 см. Найти силу, с
которой пластины притягиваются
друг к другу.
21.10. Два мыльных пузыря с
радиусами кривизны R\ и i?2 <
< R\ посажены друг на друга так,
как это показано на рис. 21.10.
Каков радиус кривизны пленки
между ними? Какой угол образу-
образуют между собой пленки в месте
контакта? Рис. 21.10
О
22. Пар
22.1. Пользуясь табл. 35.1 (см. т. 1), проверить, пригодно ли
уравнение Клапейрона-Менделеева для насыщенного водяного
пара. Можно ли считать насыщенный водяной пар идеальным
газом?
22.2. Не противоречит ли результату предыдущей задачи
тот факт, что изохора идеального газа на осях р ~~ Т изобра-
изображается линейным графиком, а изохора насыщенного пара нели-
нелинейна? (См. т. 1, § 35.3, рис. 35.2.)
22.3. В цилиндре под поршнем находится 8 г водяного пара
при температуре 55°С. Газ изотермически сжимают. При каком
объеме выпадет роса?
22.4. В цилиндре под поршнем находятся 3,5 г воды и 2,9 г
пара при температуре 40°С. Газ изотермически расширяется.
При каком объеме вода в цилиндре полностью испарится?
22.5. Температура воздуха 18 °С, точка росы 7°С. Опреде-
Определить абсолютную и относительную влажность воздуха.
22.6. Днем температура воздуха была 25 °С, относительная
влажность 68 %. Ночью температура упала до 11 °С. Выпадет ли
роса? Если да, то сколько ее выделится из каждого кубометра
воздуха?
22.7. Смешали 5 м3 воздуха, имеющего относительную влаж-
влажность 22 % и температуру 15 °С, и 3 м3 воздуха, имеющего отно-
относительную влажность 46 % и температуру 28°С. Общий объем
смеси 8 м3. Определить относительную влажность этой смеси.
22.8. Пользуясь значениями критических параметров воды
(см. т. 1, § 35.5), проверить, удовлетворяют ли эти параметры
уравнению состояния идеального газа. Объяснить полученный
результат.
50
Задачи
22.9. В табл. 22.9 приведены значения плотности жидкой уг-
углекислоты, а также давления и плотности ее насыщенного пара.
Определить критические параметры этого вещества. Построить
графики зависимости плотности от температуры.
Таблица 22.9
Температура
t, °С
0
10
20
25
30
31
31,25
31,35
Плотность
жидкости р, кг/м
914
856
766
703
598
536
497
464
Плотность пара
р, кг/м
96
133
190
240
334
392
422
464
Давление пара
р, МПа
3,47
4,48
5,70
6,41
7,16
7,32
7,38
7,39
23. Фазовые переходы
23.1. Какая работа совершается при превращении 1 кг воды
в пар при температуре 100 °С? Сколько энергии идет на разрыв
связей между молекулами?
23.2. Если через брусок льда перекинуть тонкую проволоку
и повесить на нее груз в несколько килограммов, то через неко-
некоторое время проволока прой-
пройдет сквозь лед, а брусок
останется целым (рис. 23.2).
Объясните это явление.
23.3. В смесь, состоя-
состоящую из 5 кг воды и 3 кг
льда, впустили 0,2 кг водя™
ного пара при температуре
100 °С. Что произойдет? По™
Рис 23 2 терями на излучение прене-
бречь.
23.4. Решить задачу 23.3 в предположении, что в смесь впу-
стили 1,1 кг пара.
23.5. В литр воды при комнатной температуре B0 °С) опу-
опустили 0,5 кг льда при температуре —15 °С. Что произойдет? По™
тери не учитывать.
23.6. Решить задачу 23.5 при условии, что воды было 3 л.
23.7. Чистую воду можно переохладить до —10 °С. Если бро-
бросить в нее кристаллик льда, то она немедленно начнет замер-
23. Фазовые переходы 51
зать. Какая часть воды замерзнет? Система адиабатно изолиро-
изолирована.
23.8. На электрической плитке мощностью 800 Вт кипит во™
да в чайнике. Найти скорость истечения пара, если сечение но™
сика 0,9 см2, а давление на выходе нормальное. КПД плитки
72%.
23.9. Лед при температуре 0°С заключен в адиабатную обо-
оболочку и сжат до давления 600 МПа. Известно, что при повыше™
нии давления на 13,8 МПа точка плавления льда снижается на
1 К. Полагая, что на этом участке фазовую диаграмму можно
считать линейной, определить, какая часть льда расплавилась.
23.10. Для определения степени теплоизоляции дьюаровско-
го сосуда в него поместили лед при 0°С; за сутки расплавилось
42 г льда. В этом дьюаре обычно хранится жидкий азот при тем™
пературе 78 К. Полагая, что количество теплоты, поступающей
в дьюар, пропорционально разности температур внутри и снару™
жи сосуда, определить, сколько азота испарится за сутки. Тем™
пература окружающего воздуха 20°С, теплота испарения азота
при нормальном давлении 1,8 • 105Дж/К.
23.11. Тройная точка углекислоты (СО2) соответствует дав-
давлению 5,18-105 Па и температуре 216,5 К. При каких температу-
температурах можно получить жидкую углекислоту? При каких условиях
происходит сублимация?
23.12. При 0°С плотность воды равна 999,8 кг/м3, а плот™
ность льда 916,8 кг/м3. Учитывая, что модуль упругости льда
составляет 10 ГПа, найти напряжение, возникающее при замер™
зании льда.
Часть пятая
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
24. Поле неподвижных зармдов в вакууме
24.1. Оценить верхнюю границу погрешности, которую мы
допускаем, вычисляя силу взаимодействия между заряженны-
заряженными проводящими шариками по закону Кулона. Радиусы шари-
шариков го, расстояние между их центрами г. Сделать расчет при
г > 20г0.
24.2. Два электрических заряда q\ = q и q<i — ^2g разнесены
на расстояние I = 6а. На плоскости, в которой находятся эти
заряды, найти геометрическое место точек, где потенциал поля
равен нулю.
24.3. Доказать тождественность единиц измерения напря-
напряженности Н/Кл и В/м.
24.4. Капля масла диаметром 0,01 мм удерживается в равно-
равновесии между горизонтальными пластинами, расстояние между
которыми равно 25 мм. Какой заряд находится на капле, если
равновесие достигается при разности потенциалов между пла-
пластинами 3,6 • 104 В?
24.5. В § 18.3, 18.7, 18.8 (см. т. 1) мы нашли выражение для
потенциала поля точечного заряда численными методами. Ког-
Когда вы научитесь дифференцировать, докажите, что из формулы
A8.25) следует известное из закона Кулона выражение для на-
напряженности поля точечного заряда.
24.6. Когда вы научитесь интегрировать, выведите формулу
A8.25) из известного вам выражения для напряженности поля
точечного заряда.
24.7. На проводнике в виде кольца радиусом а равномерно
распределен заряд q. Найти потенциал поля в произвольной точ-
точке на оси проводника, отстоящей на расстояние х от плоскости,
в которой лежит проводник. Пользуясь соотношением между
потенциалом и напряженностью, найти напряженность поля в
этой точке. Сравните с задачей 4.11.
24.8. В поле точечного заряда находится диполь, плечо ко-
которого много меньше расстояния от диполя до источника поля.
Определить действующую на диполь силу и вращающий мо-
момент, если диполь расположен:
24- Поле неподвчтсных зарядов в вакууме 53
а) перпендикулярно силовой линии;
б) вдоль силовой линии.
24.9. Два конденсатора, электроемкости которых С\ и С2,
соединены параллельно. Определить электроемкость батареи.
24.10. Те же два конденсатора соединены последовательно.
Определить электроемкость батареи.
24.11. Несколько одинаковых конденсаторов соединили па-
параллельно и зарядили до разности потенциалов щ. Затем с по™
мощью переключателя их соединили последовательно. Какова
будет разность потенциалов между крайними клеммами? Изме-
Изменится ли энергия системы?
24.12. Начертить схему переключателя, позволяющего про™
извести переключение батареи конденсаторов с параллельного
соединения обкладок на последовательное и обратно.
24.13. На сфере радиусом а равномерно распределен элек-
электрический заряд q. Найти напряженность поля Е{ внутри сфе-
сферы, Ес вне сферы и Eq на ее поверхности. Построить график
зависимости напряженности от расстояния до центра сферы.
24.14. Найти электроемкость сферического конденсатора.
Доказать, что при малом расстоянии между обеими сферами
электроемкость можно вычислить по формуле плоского конден™
сатора. Определить погрешность, которая при этом допускает™
ся.
24.15. Длинная тонкая нить заряжена равномерно, причем
линейная плотность электрического заряда 7 [Кл/м]. Найти на™
пряженность и потенциал электрического поля в произвольной
точке.
24.16. Цилиндрический конденсатор представляет собой два
коаксиальных цилиндра высотой h и радиусами R\ и i?2 (/i>
^> i?2 > -Ri)- Найти напряженность поля между цилиндрами,
разность потенциалов между ними и электроемкость. Доказать,
что при малом расстоянии между цилиндрами электроемкость
можно вычислять по формуле плоского конденсатора.
24.17. Допустим, что электрон можно рассматривать как
шарик радиусом а, на поверхности которого равномерно рас™
пределен электрический заряд е. Можно показать, что вне это™
го шарика и на его поверхности поле такое же, как у точечного
заряда; поле же внутри шарика равно нулю. Исходя из этих со™
ображений, найти энергию поля электрона. Полагая ее равной
энергии покоя электрона, оценить радиус этого шарика. Срав™
ните с задачей 14.23.
24.18. Сферическая оболочка радиусом R заряжена равно-
равномерно зарядом q. Возникающие при этом электрические силы
растягивают оболочку. Найти механическое напряжение в обо™
л очке.
54
Задачи
24.19. Мыльный пузырь имеет радиус 5 мм. Какой заряд
ему надо сообщить, чтобы он стал раздуваться?
24.20. Нижняя пластина плоского конденсатора лежит
на изолирующей пластине, верхняя заземлена через весы
(рис. 24.20). Весы уравновешены. Какой груз нужно положить
на левую чашку весов, чтобы сохранить равновесие, если между
пластинами создается разность потенциалов 5000 В? Расстояние
между пластинами 5 мм, площадь пластины 80 см2.
1-
¦1
Рис. 24.20
Рис. 24.21
24.21. Два одинаковых конденсатора заряжены до разных
потенциалов ср\ и (f2 относительно заземленных отрицатель-
отрицательных электродов. Затем конденсаторы соединяют параллельно
(рис. 24.21). Определить потенциал батареи после соединения и
изменение энергии системы.
24.22. Доказать справедливость теоремы Гаусса для потока
вектора напряженности гравитационного поля.
24.23. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти на™
пряженность гравитационного поля однородного шара массой
М и радиусом R вне шара Ес, внутри шара Ei и на поверхно™
сти Eq. Построить график зависимости напряженности поля от
расстояния до центра шара.
24.24. Из результата предыдущей задачи следует, что два
массивных шара притягиваются друг к другу с такой же си-
силой, с которой притягивались бы точечные массы, помещенные
в центры шаров. Почему такой же вывод нельзя сделать для
электрически заряженных шаров?
25. Диэлектрики
25.1. Расстояние между пластинами плоского конденсате™
ра1) 10 мм, разность потенциалов 10 кВ. В промежуток между
) Во всех задачах для плоского конденсатора краевыми эффектами пре-
пренебречь.
25. Диэлектрики
55
пластинами вдвинули пластину слюды, размеры которой равны
размерам конденсатора. Определить поляризационный заряд на
поверхности слюды, полагая, что пластины все время присоеди-
присоединены к источнику тока.
25.2. Решить задачу 25.1, предполагая, что пластина слюды
была вдвинута в конденсатор после того, как он был предвари-
предварительно заряжен.
25.3. Определить электроемкость конденсатора, состоящего
из 120 листочков парафинированной бумаги толщиной 0,1 мм,
проложенных листами станиоля размерами 5 см х 3 см. В каком
диапазоне напряжений может работать этот конденсатор?
25.4. Определить электроемкость конденсатора, если пло-
площадь пластин равна *S, расстояние между пластинами do, в кон-
конденсатор вложена диэлектрическая пластина толщиной d < do
(рис. 25.4).
In
Рис. 25.4
Рис. 25.5
25.5. Определить электроемкость конденсатора, в котором
часть пространства между пластинами заполнена диэлектриком
(рис. 25.5).
25.6. Капля воды находится в поле точечного заряда
10™5 Кл. На каком расстоянии от капли должен находиться за™
ряд, чтобы электрические силы преодолели силу тяжести? Раз-
Размер капли много меньше расстоя-
расстояния от капли до заряда.
25.7. Жидкость налита в
большой сосуд. Две вертикаль-
вертикально расположенные параллельные
пластины касаются поверхности
жидкости (рис. 25.7). Размеры
пластин а и 6, расстояние меле™
ду ними d. Пластины заряже-
заряжены до разности потенциалов щ
и отключены от источника. На
какую высоту поднимется жид-
жидкость? Капиллярные явления не
учитывать.
25.8. Решить задачу 25.7, полагая, что пластины все время
присоединены к источнику.
Рис. 25.7
56
Задачи
25.9. Электрическая восприимчивость водяного пара сильно
зависит от температуры:
Температура ?, °C
Давление р, нПа
Электрическая
восприимчивость жс
120
75,33
4,00-1(П3
150
81,19
3,72-10™3
180
87,06
3,49-10^3
210
93,06
3,29-10^3
Построив график, найдите зависимость электрической вое™
приимчивости от температуры. Вычислите дипольный момент
молекулы воды.
25.10. Диэлектрическая проницаемость газообразного арго-
аргона при нормальных условиях равна 1,00054. Определить диполь-
дипольный момент атома аргона в электрическом поле напряженно-
напряженностью 10 кВ/м. Сравнить с дипольным моментом молекулы воды.
26. Постоянный ток
26.1. Круглое кольцо из медной проволоки длиной 60 см
и диаметром 0,1 мм включено так, как показано на рис. 26.1.
Найти сопротивление цепи. При какой длине меньшего участка
АВ = х сопротивление цепи составит 0,2 Ом?
26.2. Найти сопротивление проволочной фигуры, изобра-
изображенной на рис. 26.2 а. Провод однородный, алюминиевый, диа-
диаметром 0,4 мм. Длина стороны квадрата 20 см.
Рис. 26.1
Рис. 26.2 а
Рис. 26.3
26.3. Из однородного проводника спаяна правильная пяти-
пятиконечная звезда (рис. 26.3). Сопротивление участка EL равно г.
Найти сопротивление участка FL.
26.4. Проволочная звезда, о которой говорилось в предыду-
предыдущей задаче, включена в сеть в точках F и С. Найти эквивалент-
эквивалентное сопротивление.
26. Постоянный ток
26.5. Проволочный куб, спаянный из одинаковых проводни-
проводников сопротивлением г каждый, включен в сеть в двух вершинах,
лежащих на концах пространственной диагонали (рис. 26.5 а).
Найти эквивалентное сопротивление.
\
\
3
\
5
\
Рис. 26.5 а
Рис. 26.6
26.6. Для определения сопротивления используется мост
Уитстона с реохордом — проволокой длиной L, обладающей
большим удельным сопротивлением (рис. 26.6). Здесь R — эта™
лонное сопротивление, Rx — неизвестное сопротивление. Пе-
Перемещая скользящий контакт, добиваются исчезновения тока
в гальванометре. Вычислить искомое сопротивление при этом
условии (балансе моста).
26.7. При каком условии мост Уитстона дает наименьшую
погрешность? Как этого добиться?
26.8. Ток 100 А течет по коническому медному проводнику,
размеры которого показаны на рис. 26.8. Определить плотность
тока и напряженность электрического поля на торцах провод-
проводника.
26.9. Когда вы научитесь интегрировать, определите сопро™
тивление проводника, описанного в предыдущей задаче, и раз-
разность потенциалов на его концах.
I = 20 мм
Рис. 26.8
± 1. 1.
т I I
0+
I I
0_
Рис. 26.10
26.10. ЭДС одного аккумулятора равна е, его внутреннее
сопротивление г. Найти ЭДС & и внутреннее сопротивление Щ
батареи, состоящей из п элементов, соединенных (рис. 26.10):
58 Задачи
а) последовательно;
б) параллельно;
в) в батарею из т последовательно соединенных групп
(т < п) по к = п/т параллельно соединенных аккумуляторов
в группе.
26.11. От динамомашины, напряжение на полюсах кото-
которой равно 230 В, необходимо зарядить 200 щелочных аккуму-
аккумуляторов. ЭДС аккумулятора 1,4 В, внутреннее сопротивление
0,01 Ом, зарядный ток 20 А. Предложить схему включения и
рассчитать сопротивление реостата.
26.12. Источник тока с ЭДС & и внутренним сопротивлени-
сопротивлением г замкнут на переменное сопротивление R. Определить, как
зависит полная мощность, выделяемая источником, и мощность,
отдаваемая во внешнюю цепь, от сопротивления нагрузки.
26.13. Определить, при каком нагрузочном сопротивлении
в цепь отдается максимальная мощность, и начертить графики
зависимости мощности от нагрузочного сопротивления.
26.14. Для нормального накала радиолампы нужно напря-
напряжение 6 В при силе тока 0,3 А. Начертить схему бестрансфор-
бестрансформаторного питания восьмилампового приемника от сети 220 В.
Сравнить количество теплоты, выделяющееся ежесекундно на
лампах и на добавочном сопротивлении.
26.15. Гальванометр с чувствительностью 3,0 • 10~4 А на де-
деление шкалы и внутренним сопротивлением 60 Ом нужно прев-
превратить в универсальный прибор: вольтметр с пределами 10 В,
100 В и 1000 В и амперметр с пределами 100 мА и 5 А. На-
Начертить схему и рассчитать систему сопротивлений. Вся шкала
прибора — 50 делений.
26.16. Сколько ламп мощностью 300 Вт, работающих при на-
напряжении 220 В, можно установить в здании, если напряжение
в магистрали 235 В, а для проводки использован алюминиевый
провод диаметром 6 мм? Линия двухпроводная, расстояние от
магистрали до здания 100 м.
26.17. Электроплитка с регулируемой мощностью, рассчи-
рассчитанная на напряжение 220 В, имеет две спирали с сопротивле-
сопротивлениями 120 и 60 Ом. Составить схему, позволяющую использо-
использовать плитку в трех режимах: 400 Вт, 800 Вт и 1200 Вт.
26.18. Рассчитать длину нихромовой спирали для электри-
электрической плитки, на которой за 8 мин можно довести до кипения
2 л воды. Начальная температура воды 20 °С, нагреванием чай-
чайника пренебречь, КПД установки 60 %, диаметр провода 0,8 мм,
напряжение 220 В, удельное сопротивление нихрома 10^6 Ом-м.
26.19. В проводнике сопротивлением 40 Ом сила тока за 10 с
возросла линейно от 5 А до 25 А. Сколько тепла выделилось
27. Магнитное поле в вакууме
59
за это время? Задачу решить двумя методами: а) численным
расчетом; б) интегрированием.
26.20. Когда вы научитесь интегрировать, попробуйте выве™
сти формулу для определения мгновенного значения силы тока
при разряде конденсатора через сопротивление.
26.21. Стабилитроном S называется проводник, идеализиро-
идеализированная характеристика которого изображена на рис. 26.21. По-
Последовательно с обычным резистором R стабилитрон подклю-
подключают к источнику тока с ЭДС &. Пренебрегая внутренним со-
сопротивлением источника, определить силу тока в цепи, а также
разность потенциалов на стабилитроне и резисторе.
i i
О ср0
Рис. 26.21
Рис. 26.22
26.22. Бареттером В называется проводник, идеализирован-
идеализированная характеристика которого изображена на рис. 26.22. После-
Последовательно с резистором R бареттер подключают к источнику
тока с ЭДС &. Пренебрегая внутренним сопротивлением источ™
ника, определить силу тока в цепи и разность потенциалов на
бареттере и резисторе.
27. Магнитное поле в вакууме
27.1. Вот еще один из парадоксов теории относительности.
Пусть пружина расположена перпендикулярно направлению
скорости системы отсчета. Под действием силы F® пружина рас-
растянулась на длину I® = F®/k. Как известно, при переходе к дру-
другой системе отсчета поперечные размеры не меняются (см. за-
задачу 6.1), следовательно, I = Iq. He противоречит ли это тому
факту, что поперечная сила при этом меняется по закону F =
= FoVl-V2/c2?
27.2. В ускорителе пучок протонов движется со скоростью
0,990 с относительно установки. Сравнить силы магнитного и
электростатического взаимодействия протонов.
27.3. Пользуясь принципом относительности, покажите, что
напряженность поперечного электрического поля движущихся
зарядов больше напряженности электростатического поля.
60 Задачи
27.4. Круговой виток диаметром 200 мм образован из 100
витков тонкого провода, по которому течет ток силой 50 мА.
Найти индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси
на расстоянии 100 мм от центра.
27.5. На длинный соленоид виток к витку намотан провод
(рис. 27.5), диаметр которого (с изоляцией) равен d. По про-
проводнику течет ток силой г. Найти индукцию магнитного поля в
центре О и вершине А катушки. Сделать расчет при d = ОД мм,
г = 5 А.
>О
UUUUUUUUUI
Рис. 27.5 Рис. 27.6
27.6. Кольца Гельмгольца представляют собой две плоские
тонкие катушки, расположенные, как показано на рис. 27.6.
Сравнив напряженность магнитного поля в центре каждого
кольца и в средней точке на оси, показать, что внутри колец
Гельмгольца магнитное поле близко к однородному. Расстояние
между катушками положить равным половине радиуса.
27.7. Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли
равна 16 А/м. Рассчитать размеры колец Гельмгольца, позво™
ляющих скомпенсировать магнитное поле Земли, если сила то-
тока в обмотке равна 200 мА, а число витков в каждой обмотке
равно 50.
27.8. Тонкое кольцо радиусом 10 см несет на себе равномерно
распределенный заряд. Кольцо равномерно вращается с часто-
частотой 1200 об/мин вокруг оси, проходящей через центр кольца пер-
перпендикулярно его плоскости. Определить заряд на кольце, если
индукция магнитного поля в центре кольца равна 3,8 • 10^9 Т.
27.9. Стеклянный диск толщиной h = 5 мм и радиусом
R = 50 мм наэлектризован трением так, что поверхностная
плотность заряда равна 10~2 Кл/м2. Диск вращается, совершая
1,6 об/с. Найти напряженность магнитного поля в центре диска.
Когда вы научитесь интегрировать, найдите магнитный мо™
мент и отношение магнитного момента к моменту импульса.
27.10. Магнитное поле создано круговым током г радиуса а.
Найти градиент магнитного поля (т.е. производную вектора ин-
28. Заряды и токи в магнитном поле 61
дукции магнитного поля) вдоль оси кругового тока в точке, рас™
положенной на расстоянии х от центра витка.
28. Заряды и токи в магнитном поле
28.1. Альфа-частица движется в однородном магнитном по™
ле с индукцией 1,2 Тл по окружности радиусом 49 см в плоско-
плоскости, перпендикулярной силовым линиям. Определить скорость
и кинетическую энергию частицы.
28.2. Решить задачу 28.1 для мюона. Каковы его скорость и
кинетическая энергия?
28.3. Заряженная частица, двигаясь в однородном магнит-
магнитном поле, прошла через слой свинца и за счет этого потеряла
половину своей кинетической энергии. Как изменится радиус
кривизны траектории? Сделать расчет для нерелятивистской и
релятивистской частицы.
28.4. Определить период обращения электрона с кинетиче-
кинетической энергией 1,5 МэВ в магнитном поле с индукцией 0,02 Тл.
Электрон движется в плоскости, перпендикулярной силовым
линиям.
28.5. Электрон, разогнанный в электрическом поле напря-
напряжением 20 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индук-
индукцией 0,1 Тл. Вектор скорости образует угол 75° с направлением
вектора индукции. Определить форму траектории.
28.6. Покажите, что в циклотроне дуанты нерационально по-
помещать в однородное магнитное поле. Укажите целесообразную
форму полюсных наконечников, обеспечивающую фокусировку
пучка частиц в середине дуантов.
28.7. В приборе, изображенном на рис. 28.7 а, пучок элек-
электронов отклоняется вверх с помощью поперечного магнитного
поля. Поле эффективно действу-
действует на длине I = 20 мм, расстояние
от отклоняющей системы до экра-
экрана L = 175 мм. Индукция маг- —,—^
нитного поля 10^3 Тл, анодное на- / ^ " '> <
пряжение 500 В. Определить, на
сколько отклонится пучок элек-
тронов на экране. ис" ' а
28.8. Какое электрическое поле нужно создать в установке,
рассмотренной в предыдущей задаче, чтобы вернуть электроны
в центр экрана?
28.9. В циклотроне для тяжелых ионов в Дубне ионы неона
разгоняются до энергии 100 МэВ. Диаметр дуантов 310 см, ин-
индукция магнитного поля в зазоре 1,1 Тл, ускоряющий потенциал
300 кВ. Определить кратность ионизации атома неона, полное
62 Задачи
число оборотов иона в процессе ускорения, а также частоту из™
менения полярности ускоряющего поля.
28.10. Диаметр магнита серпуховского синхрофазотрона ра-
вен 472 м. Протоны вводятся в ускорителвную камеру с энергией
100 МэВ и покидают ее с энергией 76,5 ГэВ. Определить началь-
начальное и конечное значения индукции магнитного поля в зазоре и
частоты ускоряющего напряжения.
28.11. В области пространства создано однородное электри-
электрическое поле с напряженностью 1 МВ/м и однородное магнитное
поле с индукцией 10~2 Тл. Вектор напряженности электричес™
кого поля перпендикулярен вектору индукции магнитного поля.
Перпендикулярно обоим векторам движется пучок мюонов, ко-
который при совместном действии полей не отклоняется. Какова
скорость частиц? Молено ли с помощью данного эксперимента
определить заряд частицы и ее знак?
28.12. В масс-спектрометре фильтр скоростей создан элек-
электрическим полем с напряженностью 1,1 • 102 В/м и перпенди-
перпендикулярным к нему магнитным полем с индукцией 2,0 • 10^2 Тл.
Отклоняющее однородное магнитное поле, перпендикулярное
пучку, имеет индукцию 9,0 • 10^2 Тл. Ионы с одинаковыми за™
рядами и с массовыми числами 20 и 22 пролетают фильтр ско-
скоростей и затем совершают оборот на 180° в отклоняющем поле
(рис. 28.12). Каково расстояние между точками S\ и $2?
I i
Фильтр
скоростей
Рис. 28.12
i i —
Фильтр
скоростей
I
Рис,
>i I
\ Ионная
ловушка
28.13
28.13. В масс-спектрометре Бейнбриджа (рис. 28.13) рас-
расстояние между выходом из фильтра (селектора) скоростей и
входной щелью регистрирующего прибора фиксировано и равно
I = 400 мм. Индукция магнитного поля в обеих частях прибо-
прибора одинакова и равна 5,00 • 10^2 Тл. При плавном изменении
электрического поля в фильтре скоростей пики анодного тока
в приемнике наблюдаются при напряженностях 1,20 • 104 В/м и
1,60 • 104 В/м. Полагая ионы однозарядными, идентифицировать
их (т.е. определить, какому химическому элементу они соответ-
соответствуют) .
28. Заряды и токи в магнитном поле 63
28.14. Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 1,5 см,
содержащая 200 витков тонкой проволоки, находится в магнит-
магнитном поле с индукцией ОД Тл. Плоскость рамки параллельна
линиям индукции. Найти вращающий момент, действующий на
рамку, когда по ней течет ток силой 1 мА.
28.15. Рамка гальванометра площадью 1 см2, содержащая
200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити и рас-
расположена вдоль силовых линий магнитного поля с индукцией
15 мТл. Когда через рамку пропустили ток 5,0 мкА, рамка по-
повернулась на 15°. На какой угол рамка повернется при токе
7,5 мкА? Каков модуль кручения нити?
28.16. Найти силу взаимодействия между двумя рамками с
током, расстояние между центрами которых много больше ли™
нейных размеров рамок (рис. 28.16).
28.17. Две небольшие одинаковые катушки с током имеют
следующие параметры: радиус витка 20 мм, число витков 103,
сила тока 0,5 А. Расстояние между катушками 300 мм. С какой
силой взаимодействуют катушки?
7й_
у рт r
Рис. 28.16 Рис. 28.19 а
28.18. Пусть электрический заряд движется в магнитном по™
ле в плоскости, расположенной перпендикулярно силовым лини™
ям. Показать, что орбитальный магнит-
магнитный момент циркулирующего заряда
направлен против поля. =
28.19. «Магнитной пробкой» назы-
называется область магнитного поля, в ко™ •
торой резко концентрируются силовые #
линии (рис. 28.19а). Пусть заряжен-
заряженная частица приближается к магнитной •
пробке, как показано на рисунке. Что с
ней произойдет?
28.20. Показать, что заряженная = = =
частица, влетающая в сильное однород- [* Н
ное магнитное поле, отражается зер™
кально, если ее скорость меньше неко- Рис 2g 20
торого предела (принцип «магнитного
зеркала», рис. 28.20). Найти кинетическую энергию электронов,
испытывающих зеркальное отражение, если пучок электронов
64 Задачи
движется перпендикулярно «магнитному зеркалу». Магнитное
поле с индукцией В = ОД Тл создано в большой области про-
пространства, толщина «магнитного зеркала» d = 10 см.
29. Магнетики
29.1. В магнитное поле с индукцией 2 • 10~5 Тл помещен ша-
шарик из висмута радиусом 5 мм. Каков магнитный момент ша-
шарика? Как он направлен? Магнитная восприимчивость висмута
Жт = --1,76 - Ю".
29.2. Решить аналогичную задачу для шарика из вольфра-
ма. Магнитная восприимчивость вольфрама кт = 1,76 • 10~4.
29.3. Магнитный момент атома гадолиния равен 7,95
магнетона Бора. Кристаллы гадолиния упаковываются в гране™
центрированную кубическую решетку с периодом 3,2 А. Опреде-
Определить намагниченность насыщения. Учесть, что в гранецентри-
рованной упаковке элементарная ячейка включает четыре атома
(см. задачу 20.15).
29.4. Парамагнетик находится при температуре 30 °С. Кон™
центрация атомов равна 1027 м~3, магнитный момент атома ра-
равен удвоенному магнетону Бора. Оценить, на сколько число ато-
атомов, магнитные моменты которых ориентированы вдоль поля,
больше числа атомов, магнитные моменты которых ориентиро-
ориентированы против поля, если индукция поля 1,2 Тл.
Как изменится результат, если охладить вещество до темпе-
температуры жидкого азота (—195,8 °С)?
29.5. Найти намагниченность вещества при условиях преды-
предыдущей задачи.
29.6. Показать, что природу ферромагнетизма нельзя объ-
объяснить, исходя из рассмотрения взаимодействия магнитных ди-
диполей.
29.7. Оценить энергию обменного взаимодействия спиновых
магнитных моментов электронов в доменах железа.
29.8. Рассчитать отклонение пучка от оси в опыте Штерна
и Герлаха при следующих данных установки: длина магнитных
полюсов 3,5 см, градиент магнитного поля порядка 102 Тл/м. В
опыте отклонялись атомы серебра, вылетавшие из «молекуляр-
«молекулярной печи» при температуре 730°С; проекция магнитного момен-
момента атома серебра на направление вектора индукции магнитного
поля равна магнетону Бора.
29.9. Кривая первоначального намагничивания технически
чистого железа показана на рис. 29.9 а. Пользуясь графиком,
найти значение магнитной проницаемости этого материала при
напряженностях магнитного поля: 50; 75; 100; 200; 500; 1000;
1500 А/м.
29. Магнетики
65
Построить график зависимости магнитной проницаемости от
напряженности поля. По графику оценить, при какой напря-
напряженности поля достигается
максимальная магнитная
проницаемость (/1Макс) и че™
му она ориентировочно рав™
на.
29.10. В табл. 29.10
приведены координаты неко-
некоторых точек предельного
гистерезисного цикла неко-
некоторого ферромагнетика. По-
Построить петлю гистерезиса.
(Рекомендуемый масштаб:
10 мм = 100 А/м и 10 мм = о
= 0,20 Тл.) Определить по
графику коэрцитивную силу
и индукцию при насыще™
нии. Вычислить намагниченность насыщения и остаточную
намагниченность Мг.
Таблица 29.10
1 5
1 П
Л ^
2
/
(
/
500 1000 1500 Н, А/м
Рис. 29.9 а
Напряжен-
Напряженность
магнитного
поля Я, А/м
0
100
200
300
400
Индукция магнитного
поля В, Тл
нижняя
ветвь
петли
-0,23
0
0,23
0,46
0,69
верхняя
ветвь
петли
0,23
0,46
0,69
0,92
1,08
Напряжен-
Напряженность
магнитного
поля Д А./м
500
600
700
800
Индукция магнитного
поля В, Тл
нижняя
ветвь
петли
0,92
1,10
1,20
1,26
верхняя
ветвь
петли
1,15
1,19
1,24
1,26
29.11. Для ряда практических задач важно знать не обыч-
1 .В
ную магнитную проницаемость а = — — , а так называемую
«дифференциальную» магнитную проницаемость // = — 377 •
/io dH
о dB
Здесь -— — производная от индукции поля по напряженности,
dH
т.е. тангенс угла наклона касательной на графике 29.9 а. Для
практических расчетов можно считать // = — —- , где АВ и
А*о Aii
АН выбираются столь малыми, чтобы участок графика можно
3 А.А. Пинский
66
Задачи
было считать прямолинейным. Определите приближенно зна-
чения дифференциальной проницаемости для тех же значений
напряженности магнитного поля, что и в задаче 29.9.
29.12. Доказать, что поток вектора магнитной индукции че-
рез произвольную замкнутую поверхность равен нулю (теоре-
ма Гаусса для магнитного поля). Пользуясь этим результатом,
доказать, что если в магнитопроводе прорезать узкую щель по™
перек силовых линий, то индукция магнитного поля в прорези
совпадет с индукцией магнитного поля в магнитопроводе.
в
D
Рис. 30.2
30. Электромагнитная индукцим
30.1. Самолет с размахом крыльев 18 м движется гори™
зонтально со скоростью 800 км/ч. Вертикальная составляющая
напряженности магнитного поля Земли —
около 40 А/м. Определить разность потен™
циалов между концами крыльев.
Будет ли гореть маломощная лампочка,
если с помощью проводов подключить ее к
Н концам крыльев?
30.2. По двум вертикальным проводни-
проводникам АВ и CD (рис. 30.2) может двигаться
без трения, но с идеальным электрическим
контактом проводник длиной I и массой га.
Перпендикулярно плоскости чертежа созда-
создано однородное магнитное поле с индукци-
индукцией В. Определить разность потенциалов на
пластинах конденсатора как функцию h.
30.3. Как будет двигаться проводник, если в схеме предыду-
предыдущей задачи заменить конденсатор резистором сопротивлением
R? Сопротивлением проводников пренебречь.
30.4. В однородном магнитном поле с индукцией В пер-
перпендикулярно силовым линиям расположен стержень длиной I.
Стержень вращается с угловой скоро-
скоростью ш вокруг оси, проходящей через ко™
нец стержня и параллельной силовым ли-
линиям поля. Найти разность потенциалов
между концами стержня.
30.5. В схеме, изображенной на
рис. 30.5, длина проводника I = 20 см,
скорость его движения и = 1 м/с и сопро-
сопротивление лампочки R = 1 Ом. Магнитное
поле с индукцией _В = 0,5 Тл возбуждено перпендикулярно плос-
плоскости чертежа. Какую силу следует приложить к проводнику,
чтобы он мог двигаться с указанной скоростью?
Рис. 30.5
30. Электромагнитная индукция 67
30.6. Магнитное поле создается горизонтально расположен-
расположенной плоской катушкой радиусом а, содержащей w витков про-
провода, по которому течет ток г. На оси ка-
катушки на расстоянии х® от ее центра по-
помещено горизонтально проводящее колеч-
колечко радиусом г (рис. 30.6). Колечко стало
падать вниз. Какая ЭДС возникает в нем?
Выразить ЭДС как функцию скорости дви-
движения.
30.7. В проволочное кольцо, присоеди-
ненное к баллистическому гальванометру
с сопротивлением 30 Ом, вставили магнит, у
вследствие чего стрелка гальванометра от-
отклонилась на 20 делений. Какой магнитный р 30 g
поток сцеплен с полюсом магнита, если по-
постоянная гальванометра 3 • 10 Кл/дел? Сопротивлением коль-
кольца и проводов можно пренебречь.
30.8. Чтобы определить индукцию магнитного поля в зазоре
между полюсами электромагнита, в него поместили рамку пло-
площадью 3,2 см2, содержащую 50 витков тонкого провода и присо-
присоединенную к баллистическому гальванометру с сопротивлением
100 Ом и постоянной 2-10"~5 Кл/дел. Когда рамку выдвинули из
поля, стрелка гальванометра отклонилась на 20 делений. Чему
равна индукция поля?
30.9. Кольцо выполнено из диэлектрика с полярными моле-
молекулами. Что произойдет с диэлектриком, если в кольцо вдвигать
магнит?
30.10. Круглая плоская катушка радиусом 10 см, содержа-
содержащая 200 витков провода, подключена к конденсатору емкостью
20 мкФ и помещена в однородное магнитное поле, индукция ко-
которого равномерно убывает со скоростью 10~2 Тл/с. Найти за-
заряд конденсатора. Плоскость катушки перпендикулярна сило-
силовым линиям поля.
30.11. Электрический двигатель работает от аккумулятор-
аккумуляторной батареи с ЭДС 12 В. При полной остановке якоря по цепи
течет ток 10 А. Какова мощность двигателя при номинальной
нагрузке, если сила тока при этом равна 3 А?
30.12. На картонный цилиндр длиной 60 см и диаметром
5 см навито 1200 витков медного провода. Какова индуктив-
индуктивность катушки?
30.13. В катушке из предыдущей задачи течет ток силой
500 мА. При выключении он падает до нуля за 10^4 с. Предпо-
Предполагая, что сила тока убывает линейно, найти ЭДС самоиндукции.
30.14. Из ферромагнитного материала, кривая намагничи-
намагничивания которого изображена на рис. 29.9 а, изготовлен сердеч-
68
Задачи
4ft
160
Рис. 30.14
ник, форма и размеры которого в миллиметрах показаны на
рис. 30.14. На сердечник виток к витку в один слой намота-
намотана обмотка из провода, толщина которого
(с изоляцией) равна 0,6 мм. Определить
индуктивность катушки при токе в обмот-
обмотке 200 мА. Найти энергию магнитного по-
поля и плотность энергии.
30.15. Какова была бы энергия маг-
магнитного поля катушки в предыдущей за-
задаче, если бы она была намотана на нефер-
неферромагнитный сердечник? Откуда берется
избыток энергии при наличии ферромаг-
ферромагнитного сердечника?
30.16. Из ферромагнитного материа-
материала, свойства которого описаны в зада-
задаче 29.10, изготовили сердечник и якорь
электромагнита, размеры которого в мил-
миллиметрах показаны на рис. 30.16. С какой силой якорь притяги-
притягивается к сердечнику, если вещество намаг-
намагнитили до насыщения? Какая сила будет
действовать после того, как ток будет вы-
выключен?
30.17. К аккумулятору последовательно
с дросселем подключают лампочку сопро-
сопротивлением 1,2 Ом. Оцените индуктивность
дросселя, если лампочка ярко загорается че-
через 2,5 с после замыкания цепи.
30.18. Когда вы научитесь интегриро-
интегрировать, попробуйте рассчитать режим при за-
замыкании цепи с катушкой и резистором на
источник тока с постоянной ЭДС, т.е. рас-
рассчитать зависимость силы тока от времени.
Полагать, что в катушке нет ферромагнитного сердечника.
30.19. Через сколько времени сила тока в цепи с катушкой
и резистором станет равна 0,9 от установившегося тока?
30.20. По формуле, полученной в задаче 30.18, установив-
установившееся значение тока достигается через бесконечное время. Как
это согласовать с тем фактом, что на самом деле установивше-
установившееся значение тока достигается через конечное время? Каковы
границы применимости формулы, полученной в задаче 30.18?
31. Классическая электронная теорим
31.1. В эксперименте, аналогичном опыту Стюарта и Тол-
мена, катушка диаметром d = 500 мм имела N = 400 витков
медной проволоки. С помощью двух скользящих контактов ка-
60
Рис. 30.16
31. Классическая электронная теория
69
тушка в момент торможения присоединялась к баллистическо-
баллистическому гальванометру (рис. 31.1). Общее сопротивление всей цепи
R = 50 Ом. Катушка приводилась в равномерное вращение со
скоростью п = 6000 об/мин и резко заторма-
затормаживалась, при этом через гальванометр про-
проходил заряд Q = 1,1 • 10^8 Кл. Определить
удельный заряд носителей тока в меди.
31.2. Медный диск радиусом г о = 20 см
вращается в вертикальной плоскости, совер-
совершая 3000 об/мин. Чувствительный гальвано-
гальванометр присоединен одной клеммой к оси диска,
другой — через ртутный контакт — к наруж-
наружному краю диска (рис. 31.2 а). Определить раз-
разность потенциалов.
Изменится ли направление отклонения
стрелки гальванометра при изменении направ-
направления вращения диска? Магнитное поле Земли
скомпенсировано.
31.3. Медная пластинка имеет размеры,
показанные на рис. 31.3. При продольной раз-
разности потенциалов А(р по проводнику течет
ток г. Если, не выключая тока, создать перпендикулярно пла-
пластинке магнитное поле с индукцией В, то между нижним и верх-
верхним основаниями возникает холловская разность потенциалов
Рис. 31.1
й/
Рис. 31.2 а
Рис. 31.3
p. Найти концентрацию свободных электронов в меди и их
подвижность, если I = 60 мм, h = 20 мм, d = 1,0 мм, Aip =
= 0,51 мВ, AipH = 55 нВ, г = 10 А, В = ОД Тл.
31.4. Вычислить постоянную Холла для серебра по его плот-
плотности и атомной массе.
31.5. Удельное сопротивление арсенида индия 2,5-10^3 Ом- м,
постоянная Холла 10~2 м3/Кл. Полагая, что проводимость осу-
осуществляется зарядами одного знака, определить их концентра-
концентрацию и подвижность. Сопоставить с задачей 31.3.
31.6. Допустимая сила тока в изолированном алюминиевом
проводе сечением 1 мм2 равна 8 А. Определить среднюю ско-
скорость дрейфового движения электронов проводимости.
70 Задачи
31.7. Определить среднее время свободного пробега электро-
электрона в меди и длину свободного пробега (при комнатных темпера-
температурах).
81.8. Термопара константан^медь имеет постоянную, равную
4,3 • 10"~2 мВ/К. Сопротивление термопары 0,5 Ом, гальваномет™
ра 100 Ом. Один спай термопары погрузили в тающий лед, вто-
второй — в горячую жидкость. Определить ее температуру, если
сила тока в цепи 56 мкА.
31.9. Постоянная термопары равна 7,6 мкВ/К, температура
холодного спая -80°С (сухой лед), горячего 327°С (расплавлен-
(расплавленный свинец). Какой заряд протечет через термопару, если горя™
чему спаю будет передано количество теплоты, равное одному
джоулю? КПД термопары 20%.
81.10. Температура Дебая для серебра равна 213 К. Посто-
Постоянная решетки 0,2 нм. Определить скорость звука.
31.11. Определить тепловой поток через медную пластину
толщиной 5 см, если на ее торцах поддерживается разность тем-
температур 100 К.
81.12. Кирпичная стена жилой комнаты имеет следующие
размеры: толщина 40 см, ширина 5 м и высота 2,8 м. В комна-
комнате поддерживается температура 20°С, наружная температура
^15°С. Сколько тепла в сутки теряется через эту стену?
31.13. Определить длину свободного пробега фонона в че-
тыреххлористом углероде.
31.14. Определить теплопроводность серебра и ртути при
комнатной температуре B0°С).
81.15. Удельное сопротивление чистого германия при 27°С
равно 0,47 Ом-м, кремния — 2,3 • 103 Ом-м. Пользуясь данными
§ 45.1, определить концентрацию электронов и дырок этих по-
полупроводников при данной температуре. Сопоставить с концен-
концентрацией электронов проводимости в металлах (см. в т. 1, § 44.2
табл. 44.1).
31.16. Пользуясь данными предыдущей задачи, определить
постоянную Холла в этих полупроводниках.
32. Электропроводность электролитов
32.1. Определить коэффициент диссоциации водного раство-
раствора хлорида калия с концентрацией 0,1 г/см3, если удельное со-
сопротивление этого раствора при 18 °С равно 7,36 • 10~2 Ом-м.
Подвижность ионов калия 6,7 • 10~8 м2/(В-с), ионов хлора
6,8 ^ 10""8 м2/(В-с).
32.2. Определить толщину слоя никеля, который отложится
на изделии площадью 1200 см2 за 6 часов электролиза при силе
тока 10,5 А.
33. Ток в вакууме и газах 71
32.3. Сколько меди выделится из раствора медного купороса
за 3 минуты, если ток, протекающий через электролит, меняется
по закону г = 6 — 0,03t? Все величины выражены в единицах СИ.
32.4. Электролитическая ванна с раствором медного купо™
роса присоединена к источнику постоянного тока с ЭДС 4 В
и внутренним сопротивлением 0,1 Ом. Сопротивление раствора
0,5 Ом, ЭДС поляризации 1,5 В. Сколько меди выделится за
час?
32.5. Определить, при какой наименьшей ЭДС источника
тока может происходить электролиз подкисленной воды, если
при сгорании 1 г водорода выделяется 1,45 • 102 кДж.
32.6. Конденсатор емкостью 10 мкФ заряжен до разности
потенциалов 600 В. Разрядим его через электролитическую ван-
ванну с подкисленной водой. Сколько водорода выделится? Сколько
энергии молено получить, сжигая этот водород? Как это увязать
с законом сохранения энергии?
32.7. Сколько энергии надо затратить, чтобы при нормаль™
ных условиях заполнить водородом воздушный шар с подъемной
силой 3000 Н? Сколько это стоит при тарифе 4 коп за 1 кВт-ч?
Нагревом раствора при электролизе пренебречь.
33. Ток в вакууме и газах
33.1. Определить силу тока насыщения в диоде с вольф-
рамовым катодом при температуре катода 2700 К, если дли-
длина нити канала 3 см и ее диаметр 0,1 мм. Постоянная В =
= 6°105 А/(м2-К2).
33.2. Как изменится сила тока насыщения в диоде с катодом
из цезия на вольфраме, если температура катода возрастет с
1000 К до 1200 К?
33.3. В современных диодах часто анод располагается очень
близко к катоду, так что их площади примерно одинаковы. Пола-
Полагая, что электроны покидают катод с нулевой скоростью, найти,
с какой силой они действуют на анод. Сила тока в лампе iHac =
= 500 мА, потенциал анода (ра = 600 В.
33.4. Сравнить эмиссионную способность катода из вольф-
вольфрама с цезиевым покрытием при 1000 К с эмиссионной способ-
способностью катода из чистого вольфрама при 2700 К. Постоянную В
в формуле Ричардсона-Дешмана считать одинаковой для обоих
катодов.
33.5. На рис. 33.5 изображены сеточные характеристики
триода, снятые при анодных напряжениях 450 В и 600 В. Опре-
Определить внутреннее сопротивление триода Щ на линейном участ-
участке характеристики и проницаемость лампы /i — число, показы-
72
Задачи
вающее, во сколько раз изменение потенциала сетки эффектив-
эффективнее изменения потенциала на аноде.
33.6. Ионизационная камера имеет два плоских электрода
площадью 300 см2, расстояние между ними 2 см. Камера за-
заполнена воздухом при нор-
нормальных условиях. При
напряжении 200 В сила то-
тока далека от насыщения и
равна 1,8 мкА. Найти кон-
концентрацию ионов и коэф-
коэффициент ионизации газа.
Подвижности ионов: /i+ =
L, мА
360
300
т
-30 -20 -10
10 20
240
= 1,89- 10^4 м2/(В-с).
33.7. Под действием
гамма-излучения кис-
кислород ионизуется, и
концентрация ионов сос-
составляет 1015 м^3. Опре-
Определить проводимость га-
о за при этих условиях. По-
ъ' ДВИЖНОСТИ ИОНОВ /i_|_ =
Рис. 33.5 = 1,32-10 м2/(В-с), /i_ =
= 1,81-КГ4 м2/(В-с).
33.8. Как изменится сила тока вдали от насыщения, если
приблизить друг к другу электроды ионизационной камеры?
Как изменится ток насыщения? Нарисовать вольт-амперные ха-
характеристики при некотором расстоянии d\ между электродами
и при с?2 < d\. Все остальные параметры считать неизменными.
33.9. В ионизационной камере объемом 0,5 л ток насыщения
равен 0,02 мкА. Определить концентрацию ионов, возникающих
ежесекундно.
33.10. Энергия ионизации атома водорода cfH0H — 13,6 эВ.
Между тем, ионизация водорода наблюдается при температу-
температурах, когда средняя кинетическая энергия молекул много меньше
этого числа. Чем это объяснить?
33.11. Высокотемпературная водородная плазма с темпера-
температурой 10 К помещена в магнитное поле с индукцией 0,1 Тл.
Определить циклотронные радиусы ионов и электронов (т.е. ра-
радиусы орбит, по которым движутся положительные ионы и элек-
электроны).
33.12. По трубе с проводящими стенками диаметром 5 см
течет ртуть со скоростью 20 см/с. Труба помещается в зазо-
зазоре между полюсами электромагнита, где создано магнитное по-
33. Ток в вакууме и газах 73
ле с индукцией 0,6 Тл. Повлияет ли магнитное поле на коэф-
фициент гидравлического трения? Электропроводность ртути
106 Ом-^м.
33.13. В условиях предыдущей задачи оценить влияние маг-
магнитного поля, если в трубе течет 30 %-ный раствор серной кис-
кислоты. Электропроводность раствора 74 Ом~1-м~1.
33.14. Оценить индукцию магнитного поля пульсара, учиты-
учитывая, что у обычных звезд индукция поля порядка 10~5 — 10~4 Тл
(см. задачу 14.21).
33.15. Найти давление магнитного поля пульсара и сопоста-
сопоставить его с давлением гравитационных сил (см. задачу 16.9).
Часть шестая
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
34. Гармонические колебания
34.1. Гармоническое колебание происходит по закону
s = 0,20cosC00i + 2).
Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу ко™
лебания 1).
34.2. Материальная точка массой 0,2 кг совершает колеба-
колебания по закону
s = 0,08 cos B07rt + | ) •
Найти скорость точки, ее ускорение и действующую силу, а так-
также амплитудные значения этих величин.
34.3. По условию предыдущей задачи найти кинетическую,
потенциальную и полную энергию осциллятора.
34.4. По условию предыдущей задачи определить частоту и
период изменения кинетической энергии.
34.5. Материальная точка совершает гармонические колеба-
колебания с частотой 0,5 Гц. В начальный момент она находится в
положении равновесия и движется со скоростью 20 см/с. Напи-
Написать закон колебания.
34.6. В начальный момент времени смещение частицы равно
4,3 см, а скорость равна — 3,2 м/с. Масса частицы 4 кг, ее полная
энергия 79,5 Дж. Написать закон колебания и определить путь,
пройденный частицей за 0,4 с.
34.7. Сложить аналитически и с помощью векторной диа-
диаграммы два колебания:
3 1 пл. I 7Г 1 о • (г* а. 7Г
sin [bt + -1 и S2 = о sin I or — -
\ 4 / \ 4
Найти амплитуду скорости результирующего колебания.
) Здесь и далее используются единицы СИ, т.е. амплитудное значение
смещения выражено в метрах, время — в секундах, частота — в герцах,
фаза — в радианах
35. Свободные колебания 75
34.8. Найти результирующую амплитуду и фазу суммарного
колебания
А ( ж \ А А ( Зтг \
S = A COS (jjt+ — COS \U)t+— I + — COS {(jjt + ж) + — COS [U)t + I .
2 V 2/4 v y 8 V 2/
34.9. Биения возникают при сложении двух колебаний:
si = cos D9997rt) и s2 = cos E001тг?).
Найти период биений и «условный период» почти синусоидаль-
синусоидального колебания.
34.10. Колебание материальной точки происходит по закону
s = 4cos2@,5t) • sin(lOOOt).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
34.11. Колебание материальной точки происходит по закону
s = A + cos21 + sin41) sin E00t).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
34.12. Колебание материальной точки происходит по закону
s = A + cos21 + cos41) sin (SOOt).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
34.13. Дифференциальное уравнение гармонического коле™
- т Т ~Ж~ *Т ~Ш"Ж"Ъ. IT ^Л ^Л Г~ГЛ T~^fc "Г "Ж" Т~Г" /~i I /1 Л „_____. I 1 § § ?""% -в- -w- )Р% ТТ Т "?" "Ж" S~4i rfT Т ^"" /"\ /™\ 1^~Ч Т~?" Т Т Т "?" g^ Г~1~1 в™\ Т1" Т "?" g^ Т "?" g^ ТТ "?" Т Т" СЧ ,Г-~?"
бания имеет вид «§/; + 45 = 0. Начальная координата и начальная
скорость равны соответственно 3 м и 8 м/с. Найти закон коле-
колебания.
35. Свободные колебания
35.1. На вертикально висящую пружину подвесили груз мас-
массой ттг, при этом удлинение пружины оказалось равным I. Затем
груз оттянули еще немного вниз и отпустили. Какова
собственная частота колебаний? УШ
35.2. На пружине с жесткостью 1,0 • 102 Н/м |о>
висит шарообразный медный груз радиусом 35О см,
опущенный в прованское масло (рис. 35.2). Опреде-
Определить собственную частоту колебательной системы, ее
добротность и время, в течение которого колебания
практически затухнут.
35.3. На горизонтальном стальном стержне может
колебаться груз массой 1 кг, прикрепленный к пру-
пружине с жесткостью 20 Н/м (рис. 35.3). Начальное от-
отклонение груза от положения равновесия равно 30 см.
Определить, сколько качаний сделает груз до полной Рис. 35.2
остановки. Одно качание — это движение от макси-
максимального отклонения до положения равновесия (или обратно).
Для численного расчета принять g = 10 м/с2 и га = 0,05.
76
Задачи
35.4. Поршень массой т делит цилиндр с газом на две рав™
ные части. Допустим, что поршень сдвинули влево на расстоя-
расстояние х и отпустили (рис. 35.4). Полагая процесс изотермическим,
определить частоту колебаний поршня.
d-x
i
1
d + x
Рис. 35.3
Рис. 35.4
35.5. Решить задачу 35.4, полагая, что процесс адиабатный.
35.6. В стеклянную трубочку (рис. 35.6) налили ртуть так,
что весь столбик имеет длину 20 см. Затем трубочку качнули, и
ртуть начала колебаться. Определить частоту и период колеба-
колебаний.
I I
20 см
Рис. 35.6
Рис. 35.7
35.7. Брусок из плотного дуба размерами 10 смх20 смх20 см
плавает в воде (рис. 35.7). Брусок слегка погрузили в воду и
отпустили. Найти частоту и период колебаний.
35.8. Маятниковые часы идут на поверхности Земли точно.
На сколько они отстанут за сутки, если их поднять на сотый
этаж высотного дома? Высота этажа 3 м.
35.9. Период маятника, покоящегося относительно земной
поверхности, равен 1,50 с. Каков будет его период, если поме™
стить маятник в вагон, движущийся горизонтально с ускоре-
ускорением 4,9 м/с2? На какой угол сместится положение равновесия
маятника?
36. Вынужденные колебания. Переменный ток 77
35.10. Математический маятник длиной 1 м отклонили на
угол 40° от вертикали и отпустили. Численным методом найти
период колебания.
Какую ошибку мы совершим, ввхчисляя в этом случае период
по формуле малых колебаний?
35.11. Период колебаний математического маятника при
больших углах отклонения можно определить по приближенной
формуле
g
Сравнить с результатом численного расчета в предыдущей за-
задаче.
35.12. Однородный стержень длиной I колеблется около оси,
проходящей через его конец. Найти период колебаний и приве-
приведенную длину этого маятника.
35.13. Физический маятник, изображенный на
рис. 35.13, состоит из стержня длиной 60 см и мае™
сой 0,50 кг и диска радиусом 3,0 см и массой 0,60 кг.
Определить период колебаний этого маятника.
35.14. Колебательный контур состоит из конден-
конденсатора емкостью 100 пФ и катушки индуктивностью
64 мкГ и сопротивлением 1,0 Ом. Определить соб-
собственную частоту колебаний, период колебаний, до-
добротность контура.
35.15. В контур, параметры которого заданы в
предыдущей задаче, включили последовательно ре-
резистор сопротивлением 2 кОм. Возникнут ли тогда в
контуре свободные колебания? Рис- 35-13
35.16. Если в колебательном контуре нет активного сопро-
сопротивления, то сумма энергий электрического и магнитного по-
полей сохраняется. Получить из этого условия дифференциальное
уравнение контура.
36. Вынужденные колебания. Переменный ток
36.1. На пружине с жесткостью ID3 Н/м висит железный
шарик массой 0,8 кг. Со стороны переменного магнитного поля
на шарик действует изменяющаяся по синусоидальному закону
сила, амплитудное значение которой равно 2,0 Н. Добротность
системы равна 30. Определить амплитуду вынужденных коле-
колебаний в случаях, если ш = ujq/2; uj = ujq; uj = 2u)q.
36.2. Нарисовать резонансную кривую для амплитуды ско-
скорости.
36.3. Груз массой 0,5 кг подвесили на пружину, которая при
этом растянулась на 5 мм. Когда систему вывели из состояния
78
Задачи
равновесия и отпустили, она совершала свободные колебания в
течение 3,5 с. Найти резонансную амплитуду для этой системы.
Что произойдет при резонансе?
36.4. Радиоприемник принимает телеграфную передачу, за™
кодированную по азбуке Морзе в виде синусоидальных импуль-
импульсов (рис. 36.4). Индуктивность контура 100 мкГ, емкость 250 пФ
Рис. 36.4
и активное сопротивление 0,2 Ом. Оценить скважность импуль-
импульсов тскв, т.е. время между двумя соседними сигналами, необхо-
необходимое для того, чтобы они не сливались. Полагая, что длитель-
длительность сигнала «точка» ттчк = 1,5тскв, а длительность сигнала
«тире» ттире = 4,5тскв, определить максимальный объем инфор-
информации в единицу времени.
36.5. Вывести выражение для индуктивного сопротивления
и сдвига фаз в цепи переменного тока с катушкой, полагая ее
активное сопротивление равным нулю.
36.6. Вывести выражение для емкостного сопротивления и
сдвига фаз в цепи переменного тока с конденсатором.
36.7. Построить векторную диаграмму для цепи с последо-
последовательным соединением катушки и резистора и найти полное
сопротивление этой цепи. Определить сдвиг фаз.
36.8. То же — при последовательном соединении конденса-
конденсатора и резистора.
36.9. То же — при параллельном соединении конденсатора
и резистора.
36.10. Выразить полное сопротивление последовательной це™
пи, состоящей из резистора, катушки и конденсатора, через ее
добротность и отношение частот j = ш/ш®.
36.11. Построить векторную диаграмму
токов в схеме, изображенной на рис. 36.11 а,
и найти силу тока в неразветвленном участ™
ке цепи. При каком условии сила тока в
неразветвленном участке цепи окажется ми-
минимальной? Каков сдвиг фаз между колеба-
колебаниями напряжения и силы тока в неразвет™
Рис. 36.11 а вленном участке цепи в общем случае и при
резонансе?
36.12. В схеме, изображенной на рис. 36.11а, емкость равна
20 мкФ, индуктивность 0,2 Г и активное сопротивление 5 Ом.
\R
36. Вынужденные колебания. Переменный ток
79
Какую мощность потребляет эта цепь, если на зажимы подано
напряжение и = 312 cos 314t?
36.13. При какой частоте тока в цепи, параметры которой за-
заданы в предыдущей задаче, сила тока в неразветвленном участ-
ке цепи окажется минимальной? Какая мощность будет потреб-
потребляться при той же амплитуде напряжения?
36.14. Докажите, что ваттметр электродинамической систе-
мы измеряет в цепи переменного тока активную мощность Р =
= IU cos (p.
36.15. Ваттметр на щите показывает мощность 12 кВт,
вольтметр — напряжение 380 В и амперметр — силу тока 36 А.
Какой сдвиг фаз в цепи? Чему равны полное и активное сопро-
сопротивления нагрузки?
36.16. Потенциал зажигания неоновой лампы 80 В, потенци-
потенциал гашения 70 В. Вольтметр показывает, что в цепи переменного
тока напряжение равно 60 В. Будет ли лампочка гореть в этой
цепи?
36.17. На конденсаторе указано, что его пробивное напря-
напряжение составляет 300 В. Можно ли его включить в цепь пере-
переменного тока с напряжением 220 В?
36.18. По двухпроводной ЛЭП передается мощность
100 МВт при коэффициенте мощности 0,87 и сопротивлении ли-
линии 8 Ом. При каком напряжении передается электроэнергия,
если потери мощности составляют 2 %?
36.19. Первичная обмотка сварочного трансформатора со-
содержит 120 витков провода сечением 20 мм2; ее сопротивление
8 • 10^2 Ом. При номинальной нагрузке сила тока равна 40 А.
Сколько витков содержит вторичная обмотка и каково сечение
ее провода, если коэффициент трансформации к = 220/60?
Полагая, что обмотки наматываются на
сердечник в один слой, определить сопротив-
сопротивление вторичной обмотки. Пренебрегая поте-
потерями на перемагничивание и токи Фуко (т.е.
потерями в стали), определить потери мощ-
мощности на нагрев обмоток и КПД трансфор-
трансформатора. Полезная мощность трансформатора
8 кВт.
36.20. Показать, что «потери в стали»
практически равны мощности, потребляемой
при холостом ходе трансформатора.
36.21. Объяснить, почему «парит» в воз-
воздухе медное кольцо при включении в обмотку
переменного тока (рис. 36.21).
36.22. Первичная обмотка трансформатора находится под
напряжением 220 В и потребляет ток силой 1,5 А. Вторичная
Рис. 36.21
80 Задачи
обмотка питает лампу накаливания током 20 А при напряже-
напряжении 12 В. КПД трансформатора 91 %. Определить коэффициент
мощности при этой нагрузке.
87. Упругие волны
37.1. Сравнить скорость звука в газе со средней квадратич™
ной скоростью его молекул. Сделать расчет для двухатомного
газа.
37.2. Скорость звука в стержне из дюралюминия 5,1-Ю3 м/с,
плотность вещества 2,7-103 кг/м3. Определить модуль Юнга.
37.3. Наблюдатель, находящийся на расстоянии 800 м от ис-
источника звука, воспринимает сначала звуковой сигнал, прошед™
ший по воде, а через 1,78 с — сигнал, прошедший по воздуху.
Определить скорость звука в воде и сжимаемость воды. Темпе-
Температура воздуха 17 °С.
37.4. Скорость звука в кислороде при нормальных условиях
317,2 м/с. Определить коэффициент Пуассона.
37.5. По цилиндрической круглой трубе распространя-
распространяется волна воздуха частотой 440 Гц. Интенсивность волны
1,2 • 10~2 Вт/м2. Определить плотность энергии и амплитуду ко-
колебаний, если температура воздуха 27 °С, давление 780 мм рт. ст.
37.6. Малый по размерам источник звука излучает волны
частотой 500 Гц. Мощность источника 5 Вт, температура воз™
духа 0°С, давление 1,01-105 Па. Каковы амплитуды колебаний
звуковой волны на расстояниях 10 ми 15 м от источника? За™
туханием пренебречь.
37.7. Сравнить уровни интенсивности звуковой волны по
данным предыдущей задачи.
37.8. На расстоянии 20 м от малого источника звука интен™
сивность волны равна 3,0 нВт/м2. Найти интенсивность волны
на расстоянии 32 м от источника, если для звука данной частоты
толщина слоя половинного поглощения равна 120 м. Сравнить
уровни интенсивности.
37.9. Найти связь между линейным коэффициентом погло-
щения волны /i и слоем половинного поглощения L.
37.10. Звук распространяется по цилиндрической трубе
длиной 80 см. Линейный коэффициент поглощения равен
1,2 • Ю~2 м. Сравнить уровни интенсивности звука в начале и
конце трубы.
37.11. Два камертона с собственной частотой 340 Гц движут-
движутся относительно неподвижного наблюдателя. Один камертон
удаляется от наблюдателя, второй приближается к нему с та™
кой же скоростью. При этом наблюдатель регистрирует биение
38. Интерференция и дифракция 81
с частотой 3 Гц. Определить скорость движения камертонов,
полагая, что скорость звука в воздухе 340 м/с.
37.12. Навстречу друг другу движутся два поезда со скоро-
скоростями 80 км/ч относительно земной поверхности. Один из них
испускает сигнал с частотой 520 Гц. Какую частоту сигнала вос-
воспримет наблюдатель во встречном поезде? Как изменится часто™
та, когда поезда разойдутся?
37.13. Уравнение плоской звуковой волны
s = 6,0 • 10^6 cos A900* + 5,72ж).
Найти частоту колебаний, длину волны и скорость ее распро-
распространения. Сравнить длину волны с амплитудой колебания, сю>
рость волны — с амплитудой скорости колебания.
37.14. По условию предыдущей задачи найти расстояние
между ближайшими точками волны, колеблющимися в проти™
воположных фазах. Каков сдвиг фаз между колебаниями двух
точек, расположенных вдоль луча на расстоянии 37 см?
37.15. Определить минимальную и максимальную длину
звуковой волны, воспринимаемой человеком в воздухе (см.
§ 58.1). Как изменится этот диапазон, если звук распространя-
распространяется в воде?
37.16. Ультразвуковой керамический преобразователь поме™
щен в касторовое масло. Какая доля энергии при этом переда-
передается маслу? Плотность керамики 2,8-103 кг/м3, скорость звука
в ней 6,2 -103 м/с.
37.17. Решить задачу 37.16 для магнитострикционного ни-
никелевого преобразователя, работающего в воде.
37.18. Почему при работе ультразвукового дефектоскопа
следят, чтобы между преобразователем и деталью всегда был
слой масла?
37.19. Ультразвуковой дефектоскоп работает на частоте
1,2 МГц, излучая импульсы длительностью порядка 60 перио-
дов. Какова разрешающая способность прибора? Разрешающую
способность будем оценивать как минимальное расстояние меж-
между поверхностью детали и дефектом, которое можно определить
с помощью прибора.
38. Интерференция и дифракцмм
38.1. Доказать, что если волна отражается от среды, где вол™
новое сопротивление больше, то на границе образуется узел сме-
смещения стоячей волны. Если же она отражается от среды с мень-
меньшим волновым сопротивлением, то возникает пучность смеще-
смещения.
82
Задачи
38.2. Кварцевая пластина (Х-срез) толщиной 7 мм слу-
жит кристаллом в ультразвуковом преобразователе. На какой
основной частоте работает генератор ультразвука? Изменится
ли частота преобразователя, если воздушный промежуток за™
лить маслом?
38.3. Магнитострикционный преобразователь работает на
частоте 25 кГц. Определить толщину пакета, набранного из пла-
пластин никеля.
38.4. Органная труба, открытая с одного конца, излучает
звук с частотой 1,5 кГц при длине трубы 17 см и температуре
воздуха 16°С. Какая это гармоника? Какова основная частота
колебания?
38.5. Две органные трубы, закрытые с обоих концов, служат
источниками звука. При этом возникают биения с частотой 2 Гц.
Длины труб 24,0 см, температура воздуха в
одной трубе 17°С. Какова температура воз-
воздуха в другой трубе?
38.6. Для определения скорости зву-
звука в воздухе используется установка, изо-
изображенная на рис. 38.6. Источник звука с
частотой 1,20 кГц устанавливается вблизи
верхнего конца узкой трубы; перемещени-
перемещением левого сосуда меняем уровень жидко-
жидкости в узкой трубе. Резонансное звучание на-
наблюдается при длинах воздушного столба
6,8 см, 20,6 см и 34,8 см. Определить ско-
скорость звука и оценить погрешность получен-
полученного значения.
38.7. Преобразователь ультразвукового
дефектоскопа диаметром 12 мм работает на
частоте 1,2 МГц. Какова угловая ширина
главного дифракционного максимума, если ультразвук распро-
распространяется в касторовом масле?
38.8. Каков диаметр преобразователя эхолота, работающего
на частоте 50 кГц в морской воде, если угловая ширина главного
максимума около 60°?
39. Электромагнитные волны
39.1. Определить длину волны в воздухе и трансформатор-
трансформаторном масле, если частота передатчика 60 МГц.
39.2. Определить основную частоту, излучаемую полуволно-
полуволновой антенной, и частоту гармоник.
39.3. Полуволновая антенна длиной 0,5 м погружена в эти-
этиловый спирт. Чему равна длина электромагнитной волны при
выходе из сосуда (в воздухе)?
Рис. 38.6
39. Электромагнитные волны 83
39.4. Плоская электромагнитная волна
Ez = 200cos F,28 • 108t + 4,55ж)
полностью поглощается поверхностью тела, расположенного
перпендикулярно оси абсцисс. В какой среде распространяется
волна? Какое давление она оказывает на тело? Сколько энергии
.2
л?
поглощает ежесекундно 1 м поверхности?
39.5. Амплитудное значение силы тока в полуволновой ан-
тенне равно 0,5 А. Какова мощность излучения? Какому актив™
ному сопротивлению эквивалентен этот вибратор? Для упроще-
упрощения расчета считать силу тока во всех точках одинаковой.
39.6. В накопительном кольце установки на встречных пуч-
пучках циркулирует сгусток электронов. Сила тока равна 500 мА,
скорость электронов 0,99 с. Какова мощность синхротронного
излучения?
39.7. С помощью генератора, излучающего электромагнит-
электромагнитные волны длиной 25 м, нужно передать с минимальными ис-
искажениями звуковые сигналы, частоты которых не превосходят
2 кГц. Найти параметры резонансного контура.
39.8. Вывести соотношение между частотами волны в двух
системах отсчета (эффект Доплера, см. § 59.8), а также соотно-
шение для косинусов углов между лучом и направлением дви-
движения источника (в обеих системах отсчета).
39.9. Попробуйте вывести выражения для релятивистского
продольного эффекта Доплера из принципа относительности и
классического эффекта Доплера, не пользуясь преобразования-
преобразованиями Лоренца.
39.10. Определить доплеровское уширение спектральных
линий в спектре «белого карлика» (температура поверхности
около 10 000 К). Сравнить с гравитационным красным смещени-
смещением линий спектра, приняв массу «белого карлика» равной массе
Солнца, а его радиус равным 0,01 радиуса Солнца.
39.11. В спектре возбужденных однократно ионизированных
атомов гелия имеется линия с длиной волны 410 нм. Пучок та™
ких ионов выходит из циклотрона с энергией 40,0 МэВ. Най-
Найти доплеровское смещение этой линии, если наблюдение ведется
под углом 30° к направлению пучка.
39.12. При наблюдении спектральной линии водорода Нд с
длиной волны 486,133 нм в спектре Солнца обнаружено, что на
противоположных краях диска на экваторе спектральные линии
отличаются по длине волны на 0,0065 нм. Найти период враще-
вращения Солнца вокруг своей оси.
39.13. В астрофизике часто вводится величина z =
= (А — Ао)/Ао, равная относительному изменению длины спек-
84 Задачи
тральной линии. Здесь Aq — длина волны, испускаемая источ-
ником, Л — длина волны, регистрируемая наблюдателем. Выра-
Выразить эту величину через лучевую скорость источника в системе
отсчета, связанной с наблюдателем.
39.14. Для некоторой оптической галактики, радиогалакти-
радиогалактики ЗС295 и квазара (квазизвездного радиоисточника) ЗС9 отно-
относительные изменения длин спектральных линий оказались рав-
ными: z\ = 0,034, Z2 = 0,46 и 2:3 = 2. Определить отношения
лучевых скоростей этих источников к скорости света; найти ско-
скорости источников.
89.15. С помощью эффекта Доплера открыты так называ-
называемые спектрально-двойные звезды. У этих звезд спектральные
линии периодически становятся двойными, из чего молено за-
заключить, что источник представляет собой две звезды, обра-
обращающиеся вокруг их центра масс. В спектре одной такой звез-
звезды наибольшее расстояние между компонентами периодически
раздваивающейся линии водорода с длиной волны 434,047 нм
составляет 0,053 нм. Найти орбитальную скорость звезд, соста-
составляющих двойной источник, в проекции на луч зрения.
39.16. У двойной звезды относительное максимальное сме-
смещение спектральных линий 2,08-10~3, период расщепления ли-
линий 3 дня, 2 часа и 46 минут. Считая обе звезды одинаковыми,
найти массы звезд и расстояние между ними.
39.17. Электромагнитная волна распространяется вдоль оси
абсцисс в веществе, которое движется в том же направлении
со скоростью v = /Зс. Найти диэлектрическую проницаемость и
показатель преломления в этом веществе.
40. Интерференция и дифракцим света
40.1. В установке Юнга расстояние между щелями 1,5 мм,
экран расположен на расстоянии 2 м от щелей. Щели осве-
освещаются источником с красным светофильтром (Л = 687 нм).
Определить расстояние между интерференционными полосами
на экране.
Как изменится расстояние между полосами, если заменить
красный светофильтр зеленым (Л = 527 нм)?
40.2. Сколько интерференционных максимумов можно будет
наблюдать, осветив установку Юнга, описанную в предыдущей
задаче, белым светом? Граничные длины волн Лкр = 690 нм,
Лф = 420 нм. Каково расстояние на экране между красным и
фиолетовым максимумами?
40.3. Между краями двух хорошо отшлифованных плос-
плоских пластинок помещена тонкая проволочка диаметром 0,05 мм;
40. Интерференция и дифракция света 85
противоположные концы пластинок плотно прижаты друг к
другу (рис. 40.3 а). Пластинки освещаются перпендикулярно к
поверхности. На пластинке длиной
10 см наблюдатель видит интерфе-
интерференционные полосы, расстояние меж-
между которыми равно 0,6 мм. Опреде™
лить длину волны.
40.4. При перемещении зеркала в
интерферометре Майкельсона интер™ рис 40 3 а
ференционная картина сместилась на
100 полос. Опыт проводится в свете с длиной волны 546 нм. На
сколько сместилось зеркало?
40.5. В оба пучка света интерферометра Майкельсона по-
поместили цилиндрические трубки длиной 10 см каждая, закры-
закрытые с торцов прозрачными плоскопараллельными пластинками.
Вначале из трубок был выкачан воздух, потом в одну из них
впустили водород, и интерференционная картина сместилась на
47,5 полос. Каков показатель преломления водорода? Опыт про-
проводился в свете с длиной волны 590 нм.
40.6. При контроле качества шлифовки поверхности с помо-
помощью микроинтерферометра Линника оказалось, что на поверх-
поверхности имеется царапина, вызывающая искривление интерферен-
интерференционных полос на 2,3 полосы. Наблюдение ведется в зеленом
свете с длиной волны 530 нм. Определить глубину царапины.
40.7. Желтая линия натрия состоит из двух компонент с
длинами волн 589,0 нм и 589,6 нм. При освещении интерферо-
метра Майкельсона этим светом и при перемещении подвижного
зеркала интерференционная картина то появлялась, то исчеза™
ла. В чем причина этого явления?
40.8. Зеленый свет с длиной волны 500 нм падает на щель
шириной 8 мкм. Определить, под какими углами наблюдаются
первый и второй минимумы.
40.9. Дифракционная решетка содержит 400 штрихов на
1 мм. На решетку падает монохроматический красный свет с
длиной волны 650 нм. Под каким углом виден первый макси-
максимум? Сколько всего максимумов дает эта решетка?
40.10. Определить длину волны монохроматического света,
падающего нормально на дифракционную решетку с периодом
2,20 мкм, если угол между направлениями на первый и второй
максимумы равен 15,0°.
40.11. Свет с длиной волны 530 нм падает на решетку, пери-
период которой равен 1,50 мкм, а общая длина 12,0 мм. Определить
угловую ширину главного максимума и разрешающую способ-
способность решетки.
40.12. Какой должна быть длина дифракционной решетки,
содержащей 300 штрихов на 1 мм, чтобы разрешить две спек-
86 Задачи
тральные линии с длинами волн 600,000 нм и 600,050 нм в спек™
тре второго порядка? В спектре наивысшего порядка?
40.13. Период дифракционной решетки 0,01 мм, общее число
штрихов равно 990. Увидим ли мы раздельно в спектре первого
порядка обе компоненты дублета желтой линии натрия с длина-
длинами волн 589,0 нм и 589,6 нм? Каково угловое расстояние между
этими максимумами в спектре второго порядка?
40.14. Плоская волна падает на дифракционную решетку с
периодом do под углом скольжения а. Показать, что результат
дифракции такой же, как если бы волна падала нормально на
решетку с периодом d = d® sin a.
40.15. Узкий пучок рентгеновского излучения падает под
углом скольжения 20° на дифракционную решетку с периодом
2,0 мкм. Первый дифракционный максимум наблюдается под
углом 12; к направлению пучка. Определить длину волны рент™
геновского излучения.
40.16. На грань кристалла каменной соли под углом сколь™
жения 31° 3; падает параллельный пучок рентгеновского излу-
излучения с длиной волны 0,147 нм. Определить расстояние меж-
между атомными плоскостями в кристалле, если при этом угле
скольжения наблюдается дифракционный максимум второго по-
порядка.
41. Дмсперсим и поглощение света
41.1. В черепковский счетчик из каменной соли влетает пу-
пучок протонов с энергией 10,0 ГэВ. Определить угол отклонения
от оси конуса для граничных красных @,67 мкм) и для фиоле-
фиолетовых @,40 мкм) лучей.
41.2. В черепковском счетчике, заполненном водой, пучок
релятивистских электронов излучает в фиолетовом участке
спектра в конусе с раствором 82°20;. Определить кинетическую
энергию электронов.
41.3. Полагая, что в плазме концентрация свободных элек-
электронов равна по, и пренебрегая взаимодействием электромаг-
электромагнитной волны с положительными ионами, определить зависи-
зависимость диэлектрической проницаемости плазмы от частоты волны.
41.4. Выразить групповую скорость света через скорость све-
света в вакууме, показатель преломления и производную показате-
показателя преломления по частоте (см. § 63.8).
41.5. Доказать, что в области нормальной дисперсии груп-
групповая скорость меньше скорости света в вакууме.
41.6. В оптическом диапазоне найти показатель преломле-
преломления плазмы, фазовую и групповую скорости волны в плазме.
41.7. Фазовая скорость света в плазме больше скорости света
в вакууме. Не противоречит ли это основному положению тео-
41. Дисперсия и поглощение света 87
рии относительности о предельном характере скорости света в
вакууме?
41.8. Может ли в плазме возникнуть черепковское излуче-
излучение?
41.9. Найти концентрацию свободных электронов в ионосфе-
ионосфере, если для радиоволн длиной 3,0 м показатель преломления
равен 0,90.
41.10. Для достаточно жесткого рентгеновского излучения
можно пренебречь энергией связи электронов вещества с ре™
шеткой и считать валентные электроны свободными. Вычис-
лить в этом приближении показатель преломления алюминия
для рентгеновского излучения с длиной волны 50 пм.
41.11. Определить коэффициент отражения волн оптическо-
го диапазона на границе раздела вакуум-плазма. (Учесть, что
в оптическом диапазоне с большой степенью точности справед-
справедливо приближенное равенство п + 1 « 2).
41.12. Сравнить коэффициенты отражения красного и фио-
летового света на границе воздух^плавленый кварц. Лучи пада-
падают перпендикулярно границе раздела.
41.13. В опыте Физо расстояние между зубчатым колесом и
зеркалом равно 7,0 км, число зубцов 720. Два последовательных
исчезновения света наблюдались при частоте вращения колеса
283 об/с и 313 об/с. Найти скорость света.
41.14. Доказать, что в плазме справедливо соотношение
uU = с2, где и, U — фазовая и групповая скорости электро-
электромагнитной волны.
41.15. Найти групповую и фазовую скорости света в силь-
сильвине для длины волны 508,6 нм в спектральном интервале 546Д-—
486,1 нм.
41.16. Две пластинки из одного и того же вещества толщи-
толщиной 3,8 мм и 9,0 мм поочередно вводят в узкий пучок монохрома-
монохроматического света и наблюдают, что первая пластинка пропускает
0,84 светового потока, вторая — 0,70. Определить коэффициент
поглощения и толщину слоя половинного поглощения этого ве-
вещества. Вторичными отражениями света пренебречь.
41.17. Точечный источник света находится в центре сфери™
ческого слоя вещества с внутренним радиусом г\ и наружным
радиусом г2. Известен показатель преломления вещества и ко-
коэффициент поглощения. Найти прозрачность данного слоя ве-
вещества. Вторичными отражениями света пренебречь.
41.18. Светофильтр толщиной 5 мм имеет переменный ко-
коэффициент поглощения, зависящий от длины волны по закону
/i = /i0 + а(Л0 - АJ, где а = 5,6 • 1020 м^3, Ло = 500,0 нм,
/10 = 4 м^1. Определить прозрачность светофильтра для волны
длиной Ло и ширину пропускания светофильтра. В ширину про-
Задачи
пускания включаются все волны, на которых прозрачность све-
тофильтра не меньше половины прозрачности на резонансной
длине волны. Отражением света от поверхностей пренебречь.
41.19. Сколько слоев половинного поглощения в пластинке,
уменьшающей интенсивность пучка в 60 раз?
41.20. На рис. 41.20 показана зависимость коэффициента по-
поглощения гамма™излучения от длины волны для свинца. Како
ва максимальная толщина слоя половинного поглощения гамма-
излучения в свинце?
JU, М
58
54
50
46
42
Рис. 41.20
41.21. Определить коэффициент отражения для пучка рент-
рентгеновского излучения с длиной волны 5 нм при нормальном па™
дении на границу раздела вакуум^алюминий.
42. Полмризацим света
42.1. На систему, состоящую из двух поляроидов, у кото™
рых угол между оптическими осями составляет 45°, падает есте-
естественный свет. Во сколько раз уменьшится интенсивность свето™
вого пучка? Потери света в каждом поляроиде составляют 10 %.
Потерями на отражение света пренебречь.
42.2. Если между двумя скрещенными поляроидами поме-
поместить третий, оптическая ось которого составляет угол а с оп™
тической осью анализатора, то поле зрения просветлеет. Найти
интенсивность прошедшего света. Потерями света на отражение
и поглощение пренебречь.
При каком угле а просветление максимальное?
42.3. Обыкновенный и необыкновенный лучи получаются
путем разложения одного и того же пучка естественного све-
света. Возникнет ли картина интерференционных максимумов и
минимумов, если свести оба луча вместе?
43. Геометрическая оптика 89
42.4. Определить толщину пластинки из кальцита, которая
в желтом свете с длиной волны 589,3 нм создаст сдвиг фаз меж-
между обыкновенным и необыкновенным лучами, равный тг/2 (пла-
(пластинка в четверть волны).
Какой сдвиг фаз возникнет при этом в фиолетовом свете
D04,7 нм), проходящем через эту же пластинку?
42.5. Чтобы скомпенсировать сдвиг фаз, вызванный чет™
вертьволновой пластинкой из кальцита, на пути светового пучка
поставили четвертьволновую пластинку из кварца. Сопоставить
толщины пластин. Опыт проводится в зеленом участке спектра
E08,6 нм).
42.6. Раствор глюкозы с концентрацией 2,8 • ID2 кг/м3, на™
литый в стеклянную трубку, поворачивает плоскость поляриза-
поляризации света, проходящего через раствор, на угол 64°. Другой рас™
твор, налитый в эту же трубку, вращает плоскость поляризации
на 48°. Найти концентрацию второго раствора.
42.7. Какой толщины кварцевую пластинку нужно поме-
поместить между скрещенными поляроидами, чтобы поле зрения
стало красным? Синим? Поляризатор освещается белым светом.
43. Геометрическая оптика
43.1. Из кальцита вырезана пластинка толщиной 4,0 см пер-
перпендикулярно оптической оси. На пластинку под углом 60° па™
дает узкий пучок естественного желтого света с длиной вол-
волны 589,3 нм. Определить расстояние между обыкновенным и
необыкновенным лучами после выхода света из пластинки в воз™
43.2. На призму из крона падает луч белого света перпен™
дикулярно грани. Найти преломляющий угол призмы, при ко™
тором красные лучи еще выходят в воздух, а фиолетовые испы-
испытывают полное отражение.
43.3. Катеты равнобедренной прямоугольной призмы по™
крыты зеркальным слоем, на гипотенузу падает луч света под
произвольным углом. Доказать, что из призмы выходит луч, па™
раллельный падающему.
43.4. На дне водоема глубиной 80 см находится точечный
источник света. Определить диаметр освещенного круга на по™
верхности воды.
43.5. Призма из флинта с преломляющим углом 30° находит-
находится в воде. Под каким углом должен падать луч света на грань
призмы, чтобы внутри он проходил перпендикулярно биссектри-
биссектрисе преломляющего угла? На какой угол повернется луч, пройдя
обе грани призмы?
90 Задачи
43.6. Линза из крона имеет в воздухе оптическую силу 8 ди-
оптрий. Какова будет ее оптическая сила в воде? В сероуглероде
(в = 1,63)?
43.7. Система состоит из двух тонких собирающих линз, рас™
положенных перпендикулярно их общей оси. Где находится изо-
изображение переднего фокуса линзы, находящейся слева? Выпол™
нить построение хода лучей.
43.8. Доказать, что оптическая сила системы, состоящей из
двух сложенных вплотную тонких линз, равна сумме оптиче-
оптических сил каждой из линз.
43.9. Как экспериментально определить оптическую силу
рассеивающей линзы?
43.10. Выпукло-вогнутая линза из крона имеет радиусы кри-
кривизны 1 м и 12 см. Какова ее оптическая сила? Линзу положили
горизонтально и налили на нее во-
воду (рис. 43.10). Как изменилась
оптическая сила?
__ 43.11. Вывести формулу для
оптической силы плоско-выпук-
Рис. 43.10 л°й линзы, выполнив построение
хода лучей в ней.
43.12. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями /i =
= 7 см и /2 = 6 см расположены на расстоянии d = 3 см. На
каком расстоянии от второй из упомянутых линз располагается
фокус системы? Система центрированная.
43.13. Две тонкие собирающие линзы расположены на общей
оси так, что центр одной лежит в фокусе другой. На двойном
фокусном расстоянии от левой линзы расположен предмет. Где
будет находиться его изображение? Каково поперечное увеличе-
увеличение системы? Оптическая сила каждой линзы Ф.
43.14. На круглую диафрагму диаметром 20 см падает схо-
сходящийся пучок света, образующий конус с углом при вершине
40°. В диафрагму вставили линзу с оптической силой 5 диоп-
диоптрий. Каков будет угол раствора образовавшегося конуса?
43.15. Сравнить продольное и поперечное увеличения в
тонкой линзе. Рассмотреть случай, когда продольные размеры
предмета малы.
43.16. На двойном фокусном расстоянии от линзы на ее оп-
оптической оси расположен шарик. Какой вид будет иметь его изо™
бражение?
43.17. Определить хроматическую аберрацию линзы из
флинта, если радиус кривизны обеих поверхностей равен 0,5 м.
Хроматическую аберрацию оценивать по разности фокусных
расстояний в крайних красном и фиолетовом свете. Найти от-
отношение хроматической аберрации к среднему значению фокус-
фокусного расстояния линзы.
43. Геометрическая оптика 91
43.18. На вогнутое сферическое зеркало с радиусом кривиз-
кривизны 0,2 м налили воду. Какова оптическая сила этой системы?
43.19. На вогнутое зеркало падает луч, как показано на
рис. 43.19 а. Построением найти дальнейший ход луча.
Рис. 43.19 а Рис. 43.20 а
43.20. На выпуклое зеркало падает луч, как показано на
рис. 43.20 а. Построением найти дальнейший ход луча.
43.21. На рис. 43.21 а показана оптическая ось линзы, светя-
светящаяся точка А и ее мнимое изображение А1. Построением опре™
делить положение линзы и ее фокусов. Какая это линза?
о А о А
о А
Рис. 43.21а Рис. 43.22 а
43.22. Задачу, аналогичную предыдущей, решить по
рис. 43.22 а.
43.23. Доказать, что у параболического зеркала нет сфери-
сферической аберрации.
43.24. Можно ли с помощью параболического зеркала полу-
получить строго параллельный пучок световых лучей?
43.25. Цилиндрический световод выполнен из кварцевого
стекла (п\ = 1,46), оболочка — из кварца, легированного приме™
сями (п2 = 1,41). Под каким максимальным углом может падать
свет на плоский торец световода, чтобы он распространялся вну™
три него, не выходя в оболочку?
43.26. Найти соотношение между диаметром цилиндриче™
ского световода d и радиусом кривизны дуги Д, на которую он
может быть изогнут. Данные взять из предыдущей задачи.
43.27. На гладко отполированную алюминиевую пластинку
падает из вакуума монохроматический пучок рентгеновского из™
лучения с длиной волны 50 пм. При каком угле скольжения пу-
пучок испытает полное отражение?
92 Задачи
43.28. Пользуясь условием интерференции аналогично тому,
как это было сделано для линзы (см. § 65.4), вывести формулу
для фокусного расстояния сферического зеркала (для широкого
и параксиального пучков).
44. Оптические приборы
44.1. Монохроматический источник света с длиной волны
555 нм излучает полный световой поток 1200 лм. Какова мощ-
мощность излучения? Какой должна быть мощность излучения для
получения такого же светового потока на длине волны 480 нм?
600 нм?
44.2. Точечный монохроматический источник с длиной вол™
ны 520 нм имеет силу света 20 кд. Каковы амплитудные значе-
значения напряженности электрического поля и индукции магнитно-
магнитного поля на расстоянии 50 см от источника?
44.3. Цилиндрический зал диаметром D освещается лампой,
укрепленной в центре потолка. Сравнить минимальную осве-
щенность стены и пола. Высота стены h.
44.4. Круглый стол радиусом г освещается подвешенной над
его центром лампой с силой света /. На какой высоте следует
подвесить лампу, чтобы освещенность на краю стола была мак-
максимальной? Чему она равна? Чему равна освещенность в центре
стола при этом условии?
44.5. Точечный источник света освещает экран, причем мак-
максимальная освещенность равна Eq. Как изменится освещенность
в этой точке, если за источником на расстоянии, равном поло-
половине расстояния от лампы до экрана, поместить большое плос-
плоское идеально отражающее зеркало?
44.6. Лампы уличного освещения диаметром 10 см с ярко-
яркостью 1,8 • 105 кд/м2 подвешены на высоте 12 м и на расстоянии
между ними 40 м. Найти освещенность под каждой лампой и в
средней точке между ними.
44.7. В центре вогнутого зеркала с радиусом кривизны 40 см
и диаметром 20 см находится точечный источник света силой
10 кд, освещающий экран, расположенный на расстоянии 2 м
от источника. Какова максимальная освещенность экрана? Как
изменится освещенность, если убрать зеркало?
44.8. Маленький предмет, расположенный далеко от линзы
диаметром D и фокусным расстоянием /, проецируется с по-
помощью этой линзы на экран. Показать, что освещенность изо-
изображения на экране пропорциональна светимости предмета и
светосиле линзы. (Светосилой линзы называется квадрат отно-
отношения диаметра линзы к ее фокусному расстоянию.)
44- Оптические приборы 93
44.9. Экран расположен на расстоянии 1 м от источника
света. Между источником и экраном поместили рассеивающую
линзу с оптической силой ^5 дптр так, что источник света ока™
зался в мнимом фокусе. Как изменится освещенность экрана на
оптической оси системы?
44.10. Расстояние наилучшего зрения для близорукого гла-
за равно 9 см. Какие очки следует надеть, чтобы приблизить
зрение к норме?
44.11. Показать, что оценка разрешающей способности гла-
за по условию дифракции на одной щели практически совпада-
совпадает с минимальным углом зрения, оцениваемым по расстоянию
между ближайшими элементами сетчатки. Диаметр зрачка при
хорошем освещении равен 2^3 мм.
44.12. У микроскопа длина тубуса 16 см, оптическая сила
объектива 185 дптр и окуляра 50 дптр. Определить угловое уве-
личение этого прибора.
44.13. Числовая апертура некоторого микроскопа в воздухе
0,46. Какое минимальное расстояние позволяет разрешить этот
прибор?
44.14. Объектив зрительной трубы с оптической силой
2 дптр и диаметром 10 см установлен в трубе Кеплера с
12-кратным увеличением. Определить оптическую силу и диа-
метр окуляра, а также наименьший разрешаемый этой трубой
угол. Каких размеров детали на Солнце сможет разрешить та-
такой телескоп?
44.15. Труба Галилея представляет собой телескопическую
систему, в которой объективом служит длиннофокусная выпук-
выпуклая линза, окуляром — короткофокусная вогнутая линза. Зад™
ний мнимый фокус окуляра совпадает с задним фокусом объек-
объектива. Начертить ход лучей в этой системе и определить угловое
увеличение.
44.16. Вычислить наименьшее расстояние между двумя точ-
точками на Луне и на Марсе, которые молено разрешить с помощью
рефлектора с зеркалом диаметром 6 м. Ближайшее расстоя-
расстояние от Земли до Марса («великое противостояние») составляет
5,6 • 1010 м.
44.17. Радиотелескоп диаметром около полукилометра ра-
работает в диапазоне сантиметровых волн водородного спектра
B1 см). Оценить его разрешающую способность. Сравнить ее
с разрешающей способностью оптического телескопа с трехмет-
трехметровым зеркалом.
44.18. В настоящее время лучшие спринтеры пробегают сто-
стометровку за 10 с. Какая экспозиция допустима при фотогра-
фотографировании, если на негативе размытие изображения не должно
превосходить х = 0,5 мм? Фотографирование производится с
94 Задачи
расстояния d = 6 м, оптическая сила объектива фотоаппарата
F = 20 дптр.
44.19. С помощью фотоаппарата с объективом, оптическая
сила которого 7,7 дптр, фотографируют пейзаж. Фотоаппарат
сфокусирован на предметы, расстояние до которых 12 м. Необ-
Необходимо, чтобы предметы, расположенные ближе или дальше на
3 м, получились достаточно четко — их размытость на негати-
негативе не должна превосходить 0,2 мм. До какого диаметра следует
задиафрагмировать объектив? Какова будет его светосила?
44.20. С помощью фотоаппарата с объективом, оптическая
сила которого 8 дптр, фотографируют предмет, находящийся на
дне водоема глубиной 1,2 м. Каково расстояние между объек-
объективом и пленкой? Объектив располагается вблизи поверхности
воды.
Часть седьмая
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
45. Фотон
45.1. На освещенную поверхность Земли от Солнца падает
ежесекундно излучение с интенсивностью 1,36 кВт/м2. Считая,
что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определить
температуру фотосферы.
45.2. Максимум энергии излучения Солнца приходится на
длину волны 470 нм. Считая, что Солнце излучает как абсолют-
абсолютно черное тело, определить температуру фотосферы.
45.3. Температура поверхности «белых карликов» порядка
ID4 К. В каком участке спектра лежит максимум излучения?
45.4. Глаз в темноте обладает большой чувствительностью,
воспринимая на длине волны 555 нм световой сигнал, содержа-
содержащий не меньше 60 фотонов в секунду. Какова интенсивность вол™
ны? Какова мощность источника, если он расположен от глаза
на расстоянии 10 км? Диаметр зрачка в темноте 8 мм.
45.5. Определить границу фотоэффекта для лития, цинка и
вольфрама.
45.6. Определить максимальную кинетическую энергию и
скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла под действи-
действием гамма-излучения с длиной волны 30 пм.
45.7. Определить, при каком запирающем потенциале пре-
прекратится эмиссия электронов с цезиевого катода, освещаемого
светом с длиной волны 600 нм.
45.8. При освещении катода светом с длинами волн сначала
440 нм, затем 680 нм обнаружили, что запирающий потенциал
изменился в 3,3 раза. Определить работу выхода электрона.
45.9. Существуют сорта фотобумаги, которые можно обра™
батывать при красном свете с длиной волны более 680 нм. Найти
энергию активации химической реакции.
45.10. Найти энергию и импульс фотона ультрафиолетового
излучения с длиной волны 280 нм.
45.11. Найти длину волны рентгеновского излучения, у ко™
торого энергия фотона равна собственной энергии электрона.
45.12. Фотоны излучаются движущимся источником. Най-
Найти выражения для энергии и импульса фотона в лабораторной
системе отсчета.
96 Задачи
45.13. Исходя из фотонных представлений, вычислить све™
товое давление на зеркальную поверхность, если угол падения
лучей равен а.
45.14. Небольшая идеально поглощающая пластинка массой
10 мг подвешена на практически невесомой кварцевой нити дли™
ной 20 мм. Свет лазерной вспышки падает перпендикулярно по-
поверхности, вследствие чего нить с пластинкой отклоняется от
вертикали на угол 0,6°. Оценить энергию лазерной вспышки.
45.15. Оценить размер частицы, если для нее сила светово-
светового давления от Солнца уравновешивает силу гравитационного
притяжения. Частицу считать абсолютно черной, плотность ее
принять 2,0* 103 кг/м3, солнечная постоянная равна 1,36 кВт/м2.
45.16. Какая доля энергии фотона передается электрону
отдачи при эффекте Комптона? Энергия рентгеновских фото-
фотонов до рассеяния равна &. Сделать расчет при энергии фотона
10 кэВ и угле рассеяния 60°.
45.17. Угол рассеяния фотона в эффекте Комптона равен 0,
угол отдачи электрона а. Определить энергию фотона до рас™
сеяния. Сделать расчет для в = 90°, а = 30°.
45.18. На слой вещества, находящийся в камере Вильсона,
падает рентгеновское излучение. Камера помещена в магнит-
магнитное поле с индукцией 0,02 Тл, и комптоновские электроны от-
отдачи образуют треки с радиусом кривизны 2,4 см. Определить
минимально возможную энергию рентгеновских фотонов, при
которой могут образоваться такие электроны отдачи, и соответ-
соответствующую длину волны.
45.19. Доказать, что свободный покоящийся в вакууме элек-
электрон не может поглотить фотон.
45.20. Доказать, что равномерно и прямолинейно движу-
движущийся в вакууме электрон не может излучить фотон.
45.21. Фотон с энергией Й7 летит через щель в непрозрач™
ном экране. Где его можно обнаружить за экраном? С какой
вероятностью? Объем счетчика, с помощью которого регистри-
регистрируется фотон, равен Vq, счетчик расположен далеко от экрана.
Ширина щели равна D.
45.22. Изменится ли вероятность обнаружения фотона за
экраном, если параллельно первой щели прорезать в экране вто-
вторую щель? Систему щелей?
45.23. Фотон летит через поляроид. Что с ним произойдет?
С какой вероятностью?
45.24. Электрон с энергией 5 ГэВ сталкивается «в лоб» с
летящим ему навстречу фотоном видимого света (cf7 « 1 эВ).
Найти энергию отразившегося фотона. (Это явление называется
обратным комптон-эффектом.)
46. Элементы квантовой механики 97
45.25. В опытах СИ. Вавилова по визуальному наблюдению
флуктуации фотонов интенсивность зеленого света (Л = 500 им)
составляла 2,1 • 10^13 Вт/м2. Диаметр адаптированного в пол™
ной темноте зрачка равен 7 мм. Сколько фотонов наблюдалось
за 1 с?
45.26. Фотон, движущийся вдоль оси абсцисс, сталкивается
с электроном, движущимся со скоростью v = /Зс под углом а
к этой оси. Фотон рассеивается под углом в. Определить длину
волны, соответствующей рассеянному фотону, если до столкно-
столкновения длина волны равна Л.
46. Элементы квантовой механики
46.1. Выразить длину волны де Бройля через кинетиче-
кинетическую энергию релятивистской частицы. При какой кинети-
кинетической энергии применение нерелятивистской формулы даст
ошибку менее 1 %?
46.2. Выразить длину волны де Бройля через ускоряющий
потенциал для релятивистского и нерелятивистского случаев.
46.3. Апертура электронного микроскопа равна 0,02, уско-
ускоряющий потенциал 104 В. Определить размеры деталей, кото-
которые можно разрешить с помощью этого прибора.
46.4. Почему разрешающая способность ионного проектора
на порядок выше разрешающей способности электронного ми-
микроскопа?
46.5. Параллельный пучок электронов, разогнанных в элек-
электрическом поле с разностью потенциалов 15 В, падает на узкую
прямоугольную диафрагму шириной 0,08 мм. Найти ширину
главного дифракционного максимума на экране, расположен-
расположенном на расстоянии 60 см от диафрагмы.
46.6. Узкий пучок нейтронов падает на естественную грань
монокристалла алюминия под углом скольжения 5°. Расстоя-
Расстояние между кристаллографическими плоскостями, параллельны-
параллельными данной грани монокристалла, равно 0,20 нм. Какова энергия
и скорость нейтронов, для которых в данном направлении на-
наблюдается максимум первого порядка? Какая температура со-
соответствует этой скорости нейтронов?
46.7. Определить длину волны де Бройля, соответствующей
средней квадратичной скорости молекул водорода при комнат-
комнатной температуре B0°С).
46.8. Электрон ускорен разностью потенциалов ID2 В. Най-
Найти групповую и фазовую скорости волн де Бройля. То же при
разности потенциалов 105 В.
46.9. Частица находится в основном состоянии в одномерной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Оценить
4 А.А. Пинский
98 Задачи
силу, с которой частица действует на стенку. Сделать расчет
для электрона в яме размером 1СР10 м.
46.10. Определить три первых энергетических уровня по
данным предыдущей задачи.
46.11. Собственная частота колебаний молекулы водорода
равна 1,26 • 1014 Гц. Определить энергию нулевых колебаний
молекулы. Могут ли колебательные степени свободы в этой мо-
лекуле возбудиться при 600 К?
46.12. Рассматривая атом как осциллятор и полагая энер-
энергию нулевых колебаний равной кинетической энергии электрона
на первой орбите, оценить размер невозбужденного атома водо-
водорода.
46.13. Найти вероятность просачивания электрона сквозь
потенциальный барьер шириной 0,5 нм и высотой 0,4 эВ, если
он разгоняется электрическим полем 0,3 В.
46.14. Оценить вероятность холодной эмиссии электронов из
металла, если вблизи поверхности металла создано сильное од-
однородное электрическое поле напряженностью Е.
46.15. Какова вероятность холодной эмиссии электронов
из вольфрама, если вблизи острия напряженность поля равна
5 • 1010 В/м?
46.16. Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой по™
тенциальной яме шириной L, найти выражение для амплитуд-
амплитудной волновой функции ф(хI для волнового числа, импульса и
энергии частицы.
46.17. В условиях предыдущей задачи определить координа-
координаты точек, в которых вероятность найти частицу на первом и вто-
втором энергетических уровнях одинакова. Определить отношение
вероятностей нахождения частицы в этих точках к амплитуде
вероятности.
47. Строение атомов и молекул
47.1. На какое минимальное расстояние приблизится альфа-
частица к ядру серебра? Кинетическая энергия альфа-частицы
0,40 МэВ.
47.2. Исходя из теории Бора, найти орбитальную скорость
электрона на произвольном энергетическом уровне. Сравнить
орбитальную скорость на наинизшем энергетическом уровне со
скоростью света.
47.3. Вычислить энергию фотона, соответствующего первой
линии в ультрафиолетовой серии водорода (лайман-а).
47.4. Электрон в невозбужденном атоме водорода получил
энергию 12,1 эВ. На какой энергетический уровень он перешел?
47. Строение атомов и молекул 99
Сколько линий спектра могут излучиться при переходе электро-
электрона на более низкие энергетические уровни?
Вычислить соответствующие длины волн.
47.5. В покоящемся атоме водорода электрон перешел с пя-
пятого энергетического уровня в основное состояние. Какую ско™
рость приобрел атом за счет испускания фотона? Какова энер-
энергия отдачи?
47.6. Вычислить радиус первой боровской орбиты однократ-
однократно ионизированного атома гелия. Сравнить с радиусом а® пер™
вой боровской орбиты в атоме водорода. Записать обобщенную
формулу Бальмера для этого иона. Найти головные линии, со-
соответствующие головным линиям серий Лаймана и Бальмера.
47.7. В своей первой работе «О строении атомов и молекул»
A913 г.) Нильс Бор в качестве одного из доказательств справед-
справедливости разработанной им теории указал на тот факт, что в га™
зоразрядной трубке наблюдается не более 12 линий серии Баль™
мера, а в спектрах небесных тел можно увидеть 33 линии. Бор
объяснил это тем, что диаметр атома водорода не может превос-
превосходить среднего расстояния между атомами, которое зависит от
давления. Исходя из этих соображений, оцените концентрацию
атомов, давление и плотность водорода в газоразрядной трубке
и в небесном теле.
47.8. Найти энергию ионизации двукратно ионизированного
атома лития.
47.9. В видимом участке спектра некоторой галактики об™
наружены линии 687,7, 498,9 и 454,8 нм. Какому веществу они
принадлежат? Что можно сказать о движении этой галактики?
47.10. Мезоатомом водорода называется атом, в котором
вместо электрона вокруг ядра обращается отрицательный мюон,
масса которого в 207 раз больше массы электрона. Определить
для мезоатома значения боровских радиусов и энергетических
уровней.
47.11. Для мезоатома записать обобщенную формулу Баль™
мера и найти головные линии, соответствующие головным ли-
линиям трех первых серий.
47.12. Позитронием называется образование из электрона и
позитрона, обращающихся вокруг их общего центра масс. Опре™
делить расстояние между частицами и энергию позитрония в
основном состоянии.
47.13. При каком значении потенциала между катодом и сет-
сеткой будет наблюдаться резкое падение анодного тока в опыте
Франка и Герца, если трубку заполнить атомарным водородом?
47.14. Доказать, что в s-состоянии могут находиться не боль-
больше двух электронов, а в р-состоянии — не больше шести элек-
электронов.
100 Задачи
47.15. Выписать значения всех четырех квантовых чисел
для каждого электрона в атомах бора и натрия.
47.16. У лития, натрия и калия атом содержит разное число
электронов. Почему же все эти элементы одновалентные?
47.17. Решить задачу 46.9 в предположении, что в потенци-
потенциальной яме находятся три бозона. Система находится в состоя-
состоянии с минимальной энергией.
47.18. Решить аналогичную задачу для трех фермионов.
47.19. Рентгеновская трубка работает под напряжением
40 кВ. Найти коротковолновую границу рентгеновского спектра.
47.20. Из какого вещества изготовлен антикатод рентгенов-
рентгеновской трубки, если длина волны Ка-линии характеристического
спектра равна 76 пм?
47.21. При каком наименьшем напряжении на рентгеновской
трубке с ванадиевым катодом проявятся линии серии Ка1
47.22. Длина волны Ж^линии в спектре никеля отличается
от коротковолновой границы рентгеновского спектра на 10%.
Найти напряжение на рентгеновской трубке.
47.23. Найти угловую скорость вращения молекулы водоро-
водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстоя-
расстояние между центрами атомов равно 74 пм.
47.24. Пусть молекула водорода перешла на первый коле™
бательно-вращательный энергетический уровень. Какая линия
спектра будет наблюдаться при ее переходе в основное состоя-
состояние?
47.25. Собственная круговая частота колебаний молекулы
HF равна 7,79-1014 рад/с. Между нулевым и первым возбужден-
возбужденным колебательными уровнями располагается 13 вращательных
уровней. Оценить расстояние между центрами атомов в этой мо-
молекуле.
47.26. Заметная диссоциация молекул водорода на атомы
наблюдается при температурах порядка 103 К. Не противоре-
противоречит ли это тому факту, что энергия связи атомов водорода в
молекуле равна 4,72 эВ?
47.27. Почему у атома гелия и у молекулы водорода столь
разные спектры?
47.28. При расчете энергетических уровней атома водорода
по теории Бора учитывают лишь кулоновское взаимодействие
электрона с протоном, пренебрегая магнитными моментами этих
частиц. Оценить ошибку, которая при этом совершается.
Как изменится схема энергетических уровней, если кроме ку-
лоновского учесть еще и магнитное взаимодействие электрона с
протоном?
47.29. Строгий квантовомеханический расчет показывает,
что при переходе между двумя подуровнями основного со-
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников 101
стояния атома водорода (см. предыдущую задачу) излучают™
ся или поглощаются фотоны, соответствующие длине волны
21,1 см. Опыт подтверждает этот результат с огромной точно™
стью A1 значащих цифр!).
Пользуясь классическими представлениями, попытайтесь
определить длину волны, соответствующей переходу между дву-
двумя подуровнями основного состояния водорода, и сравните по™
лучающийся при этом результат с истинным значением длины
волны.
47.30. Некое вещество освещается светом от ртутной лампы.
В спектре комбинационного рассеяния наблюдаются два бли™
жайших спутника с длинами волн 424,4 нм (красный спутник)
и 388,5 нм (фиолетовый спутник). Найти собственную частоту
колебаний молекулы этого вещества.
47.31. Лазерный пучок — это когерентная монохроматиче-
монохроматическая волна. Соответственно все фотоны имеют одинаковую энер-
энергию, импульс (направление распространения) и спин (поляриза-
(поляризацию). Не противоречит ли это принципу Паули?
47.32. Стержень рубинового лазера имеет диаметр 4 мм и
длину 35 мм. Лазер излучает когерентный свет с длинами волн
694,3 нм и 692,9 нм. Найти минимальный угол расхождения
лучей.
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников
48.1. Определить энергию и импульс электрона на уровне
Ферми для алюминия, натрия и меди.
48.2. Вычислить для алюминия, натрия и меди температуру
вырождения электронного газа.
48.3. Полагая, что средняя энергия электрона равна 3/5
энергии Ферми, оценить давление электронного газа в металле.
Сделать расчет для алюминия.
48.4. Показать, что давление и объем вырожденного элек-
электронного газа связаны уравнением, аналогичным уравнению
Пуассона, и найти «показатель адиабаты».
48.5. Вещество в «белых карликах» находится в вырожден-
вырожденном состоянии, и зависимость давления от плотности выража-
выражается уравнением Р = Ар5/3, где Р — давление, р — плотность.
Найти выражение для коэффициента А и показать, что давле-
давление создается электронным газом, а давлением тяжелых частиц
можно пренебречь.
48.6. Оценить долю электронов в меди, которые при ее на-
нагревании до 100 °С выйдут за пределы уровня Ферми.
48.7. Оценить теплоемкость электронного газа в меди при
100 °С и сравнить ее с теплоемкостью решетки.
102 Задачи
48.8. Определить длину свободного пробега электрона в ме-
ди и сравнить ее с межатомным расстоянием.
48.9. В сверхпроводящем кольцеобразном проводнике цир-
циркулирует незатухающий ток. Полагая, что проводник представ-
представляет собой гигантскую боровскую орбиту, показать, что сила
тока и магнитный поток квантуются. Учесть, что в сверхпро™
воднике электроны спарены (куперовские пары). Считать, что
энергия магнитного поля равна кинетической энергии куперов-
ских пар.
48.10. Опыт показывает, что электропроводность полупро-
полупроводников резко возрастает с ростом температуры. Полагая, что
вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону про™
водимости можно рассчитать с помощью барометрического рас-
распределения, вывести формулу зависимости электропроводности
полупроводников от температуры.
48.11. Сравнить электропроводность чистого германия при
-40 °С и +100 °С. Энергия активации для германия равна 0,72 эВ.
48.12. Собственная электропроводность германия при 27°С
равна 2,13 Ом^1 • м^1, подвижности электронов и дырок рав-
равны соответственно 0,38 и 0,18 м2/(В-с). Вычислить плотность
носителей тока и постоянную Холла.
48.13. Определить примесную электропроводность герма-
ния, который содержит индии в концентрации 2 • 10 м ; сурь-
сурьму в концентрации 5 • 1021 м~3.
48.14. Определить внутреннюю контактную разность потен-
потенциалов между алюминием и медью; медью и окисью цинка.
48.15. Оценить энергию ковалентной связи в алмазе и удель-
удельную теплоту сгорания этого вещества. Плотность алмаза равна
3,5-103 кг/м3. Сравнить с экспериментальными значениями этих
величин: 7,4 эВ/атом и примерно 30 МДж/кг.
Часть восьмая
ФИЗИКА ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
49. Строение мдра
49.1. Чем отличается по строению ядро легкого изотопа ге-
гелия от ядра сверхтяжелого водорода (трития)?
49.2. Естественный бор имеет атомную массу 10,811. Он со™
стоит из двух изотопов с массами 10,013 и 11,009. Определить
их процентное содержание.
49.3. Оценить радиусы ядер дейтерия и полония и высоту
кулоновского потенциального барьера этих ядер.
49.4. Определить энергию связи ядра дейтерия и удельную
энергию связи.
49.5. Сравнить удельную энергию связи трития и легкого
изотопа гелия.
49.6. Изотоп радия с массовым числом 226 превратился в
изотоп свинца с массовым числом 206. Сколько а- и /3-распадов
произошло при этом?
49.7. Ядро полония превратилось в свинец. Определить ки-
кинетическую энергию а-частицы и ядра отдачи.
49.8. Может ли произойти ядерная реакция 4Be —> 2Не +
+ 2Не3? Почему?
49.9. Может ли ядро кремния превратиться в ядро алюми-
алюминия, выбросив при этом протон? Почему?
49.10. Может ли ядро кремния превратиться в ядро фосфо-
фосфора? Какие частицы должны при этом выделиться? Какова их
суммарная энергия?
49.11. Какую энергию надо затратить, чтобы вырвать ней-
нейтрон из ядра углерода с массовым числом 13?
49.12. Кинетическая энергия а-частиц 5 МэВ. Какова ве-
вероятность просачивания такой «-частицы через потенциальный
барьер ядра полония?
49.13. Как изменится активность препарата кобальта в те™
чение двух лет? Период полураспада 5,2 года.
49.14. За два дня радиоактивность препарата радона умень-
уменьшилась в 1,45 раза. Определить период полураспада.
49.15. Активность препарата урана с массовым числом 238
равна 2,5 • 104 Бк, масса препарата 2,0 г. Найти период полурас-
полураспада.
104 Задачи
49.16. Определить возраст изделия из дерева, если известно,
что активность образца из этого изделия по изотопу С14 состав™
ляет одну треть активности свежей древесины.
49.17. При исследовании «-распада полония обнаружены а-
частицы с энергиями 5,30 и 4,50 МэВ. Учитывая отдачу ядра,
определить энергию 7тКвантов? испускаемых при распаде.
49.18. Ядро 57Fe испускает 7™кванты с энергией 14,4 кэВ.
Найти относительное изменение энергии 7™кванта за счет отда-
отдачи ядра. Сравнить эту величину с естественной относительной
шириной спектральной линии, если время жизни ядра в возбуж-
денном состоянии равно 1,4 • 10~7 с.
49.19. С какой относительной скоростью должны сближать-
сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных атомов же-
железа, чтобы возникло резонансное поглощение 7™кв^нтов? Энер-
Энергия квантов указана в предыдущей задаче.
49.20. Вывести закон радиоактивного распада, исходя из то™
го, что вероятность распада ядра не зависит от числа ядер и
пропорциональна времени наблюдения.
49.21. Пользуясь соотношением неопределенностей, рассчи-
рассчитать энергию локализации нейтрона в ядре, т.е. кинетическую
энергию, которой должен обладать нейтрон, чтобы попасть в
ядро. Размер ядра порядка 10~14 м.
Не противоречит ли этот результат опыту, согласно которо™
му в ядро проникают даже тепловые нейтроны, кинетическая
энергия которых порядка 10~2 эВ?
50. Мдерные реакции
50.1. Ядро урана U235 при делении освобождает энергию
200 МэВ. При взрыве урановой бомбы успевает прореагировать
около 1,5 кг урана. Какова масса эквивалентной тротиловой
бомбы, если теплотворная способность тротила 4,1 МДж/кг?
50.2. Определить энергию, которая освобождается при тер-
термоядерной реакции
3Ы6 + iH2 -^ 22Не4.
Расчет произвести на ядро и на один нуклон. Сравнить с энер-
энергией, выделяемой при делении урана.
50.3. Могут ли в газообразном дейтерии произойти акты ре-
реакции |Н + \Н —>> |Не при температурах порядка 108 К?
50.4. Нейтральный пион распадается на два 7^фотона:
тг° —>> 7 + 7-
Почему не может образоваться один фотон? Какому закону со™
хранения это противоречит? Какова энергия фотонов?
51. Элементарные частицы 105
50.5. Время жизни нейтрального пиона равно 8,0 • 1СР17 с.
С какой точностью может быть определена его масса?
50.6. В поле тяжелых ядер энергичный 7™фотон может пре-
вратиться в электронно-позитронную пару. Какова минималь-
минимальная энергия 7~кв^нта?
50.7. Доказать, что в вакууме фотон с любой, сколь угод-
угодно большой энергией не может превратиться в электронно™
позитронную пару.
50.8. Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино:
Найти отношение энергии нейтрино к кинетической энергии
мюона.
50.9. Покоящийся нейтрон распадается. Предполагая, что
образовавшийся протон тоже покоится, найти кинетическую
энергию электрона и энергию антинейтрино.
50.10. По трекам вторичных электронов было обнаружено,
что нейтральный пион распался на лету на два одинаковых фо-
тона. Угол между направлениями разлета фотонов равен 90°.
Найти кинетическую энергию пиона и энергию каждого фотона.
50.11. Протоны, ускоренные разностью потенциалов 6,8 MB,
бомбардируют неподвижную литиевую мишень. При столкно-
вении протона с ядром изотопа 7Li образуются две «-частицы,
разлетающиеся симметрично по отношению к направлению пуч-
пучка протонов. Определить кинетическую энергию и угол разлета
а-частиц.
50.12. Ускоренный электрон поглощается неподвижным про-
протоном, при этом образуется нейтрон. Написать уравнение реак-
реакции. Полагая, что возникший нейтрон остается в покое, вычис-
вычислить минимальную кинетическую энергию электрона, при кото-
которой реакция возможна.
51. Элементарные частицы
51.1. Пи-нуль-мезон распадается на два одинаковых фотона,
разлетающихся под углом 60° друг к другу. Определить энергию
каждого из фотонов и кинетическую энергию пиона до распада.
51.2. Сколько времени может существовать виртуальный за-
заряженный векторный бозон? Нейтральный векторный бозон?
Каков радиус слабого взаимодействия?
51.3. Время жизни заряженного пиона 2,6-10~8 с, нейтраль-
нейтрального пиона — 1,8 • Ю~16 с. Заряженный пион распадается за
счет слабого взаимодействия, нейтральный — за счет электро-
электромагнитного взаимодействия. Оценить, какое из взаимодействий
сильнее и во сколько раз.
106 Задачи
51.4. Возможен ли распад нейтральных гиперонов (S0, Л°
или 5°) на фотоны? Почему?
51.5. У всех барионов, кроме омега-минус-гиперона, спин ра-
равен 1/2, и только у $!^~гиперона он равен 3/2. Как ориентиро-
ориентированы спины кварков у барионов?
51.6. Как ориентированы спины кварков у мезонов?
51.7. Возможны ли барионы с целым спином? Мезоны с по-
полуцелым спином?
51.8. Все адроны построены из кварков. Почему же у мезо-
мезонов барионный заряд равен нулю, а у барионов — единице?
51.9. Распад типа /i~ —>• е~~ + j не противоречит законам
сохранения электрического заряда, энергии, импульса и спина.
Однако в эксперименте такая реакция не обнаруживается. Ка-
Какие законы сохранения ее запрещают?
51.10. Произойдет ли аннигиляция при столкновении элек-
электрона с положительным мюоном? Почему?
51.11. Произойдет ли аннигиляция при столкновении элек-
трона с электронным антинейтрино? Почему?
51.12. Произойдет ли аннигиляция при столкновении элек-
электрона и протона? Почему?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Кинематика точки
1.1. График показан на рис. 1.1. Закон движения: х\ = —21 + 8t;
= 7 + At.
X, М
35
21-
7
О
-7
-21
-
2,
/
/ 4
6
7?
I
I
I
I
I
8
t,c
X, М
200
100
ч
Рис. 1.1
20 40 60 t, с
Рис. 1.2
1.2. График показан на рис. 1.2. Закон движения: х\ = l,5t;
х2 = —300 + 3,5t.
1.3. График показан на рис. 1.3. Закон движения: х\ = 80t;
х2 = 120(t — 1,5).
1.4. Для того чтобы пловца не сносило течением, должно быть выполне-
выполнено условие —vx + и = 0 (рис. 1.4).
Отсюда следует указанный ответ.
Задача имеет решение при v > и.
1.5. Пловец движется под уг-
X, КМ
720
600
480
360
240
120
//
//
//
7
/
4
//
1
лом а к оси ординат. Его скорость
вдоль оси ординат vy = vcosa,
вдоль оси абсцисс vx = v sin a + и.
Имеем
х а vx vsina + u
tg/5 = — =
t; cos а
0
2 4 6
Рис. 1.3
Рис. 1.4
108
Решения
После несложных преобразований получим указанный ответ. Задача имеет
решение при условии v ^ ucos/3.
1.6. Если пловец движется перпендикулярно к течению, то его скорость
вдоль оси ординат максимальна. Это очевидно, если перейти к системе от-
отсчета, связанной с водой.
1.7. Первое решение. Свяжем систему отсчета с берегом. Двигаясь про-
против течения со скоростью v — и, катер прошел расстояние I. По течению он
двигался со скоростью v + и, но прошел большее расстояние, а именно I +
+ ut, где ut — перемещение поплавка относительно берега. Время движения
найдем из уравнения
I l + ut
_
Т —
V + U
откуда следует:
t =
21
v — и
Второе решение. Свяжем систему отсчета с водой. В этой системе от™
счета катер движется со скоростью v, поплавок покоится. Время движения
катера t = 21' /v, где /' — расстояние, пройденное катером относительно
воды в одном направлении. Очевидно, что
I _ Г _ t_
v — и v 2
Подставив в предыдущее равенство, придем к тому же ответу. Как видно,
в движущейся системе отсчета задача решается проще.
1.8. См. рис. 1.8.
v, м/с
30
20
10
/
/
/
\
\
\
0 20 40 60 80 100 120 140 f, с
Рис. 1.8
2. Сила. Давление
2.1. Под действием силы F удлинение всей системы AI = F/k, удли-
удлинения первой и второй пружин All = Fjk\ и AI2 = JF/fe- Поскольку AI =
= All + А12, то
1 _ 1 1
к кг къ
2.2. Приложим к телу две равные по модулю и противоположно на-
направленные силы Ti и Т2 (рис. 2.2).
2. Сила. Давление 109
Сложив силы Fi и Ti и, соответственно, F2 и Т2, получим две силы
Ri и R2, пересекающиеся в точке В. Перенесем силы Ri и R2 в эту точку
и разложим их вновь на прежние соста-
составляющие. Силы Ti и Т2 уравновешены,
силы же ?[ = Fi и F2 = F2 направлены
вдоль одной прямой, и их равнодейству-
равнодействующая R = F[ + F2 = Fi + F2.
Положение точки О — центра па-
параллельных сил — найдем из подобия
треугольников, а именно: из АА\ОВ ~
- AF{R[B и АА2ОВ - AF2R!2B полу-
получим
h _ OB h _ OB
T F\ T F2
откуда следует, что l\F\ = /2F2, что и
требовалось доказать.
2.3. Пусть ось абсцисс проходит че- ^ г л
рез точки приложения сил А\ и А2, коор™ f 2 2
динаты этих точек х\ и ж2, а координата
центра О пусть будет xq. Тогда li = хо — Рис. 2.2
— xi, fa = Х2 — xq. Подставив в результат
предыдущей задачи, получим F±(xo — xi) = F2(x2 — жо), откуда следует:
. + F2x2
Положение центра нескольких параллельных сил найдем методом пол-
полной индукции.
2.4. Большую силу Fi разложим на две параллельные составляющие
(рис. 2.4): силу Т2 = ^F2 приложим в точке А2, вторую силу Ti, модуль
которой Т\ = F\ — F2, приложим в точке С, расположенной от точки А\
на расстоянии d = aT2/Ti. Поскольку силы F2 и Т2 уравновешены, то
равнодействующая R = Ti; ее модуль R = T\ = F\ — F2.
Ant
Рис. 2.4
2.5. Из рис. 2.5 6, согласно теореме синусов,
Тг Т2 Р
sin /32 sin /3i sin [тг - (/3i + /32)] '
Учитывая, что /3\ = —¦ — ai, /32 = — — а2, получаем указанный ответ.
по
Решения
2.6. Треугольник сил подобен треугольнику кронштейна (рис. 2.6 б). По
теореме синусов имеем
Fi _ F2 mg
Рис. 2.6 6
sin/3 sin a sin [тг — (a + /3)]
2.7. Поскольку DC = алД/2, a DE =
= а/2, то ZCDE = 90°. Разложим силу Р =
= mg на две составляющие вдоль направле™
ний CD и СЕ (рис. 2.7 6). Получим: N = 2Р,
F = Ру/3. Теперь разложим силу F вдоль
стержней ВС и АС (рис. 2.7в). Поскольку
здесь параллелограмм сил — ромб с углом
60° при вершине, то
= F2 =
2 cos 30°
Рл/3
2^3/2
= P.
2.8. Какова бы ни была форма сосуда, в нем всегда можно выделить
малые вертикальные столбики жидкости, для которых формула р = pgh
Рис. 2.7 6
Рис. 2.7 в
выводилась. А так как на данной глубине давление во всех точках одина-
одинаковое (следствие закона Паскаля), то для вычисления давлений на глубине
h надо сложить давление всех вышележащих слоев:
р = Pi +P2 +рз + • • • = pg(hi +h2
+ ...)=
2.11. Сила, действующая на ворота шлюза, равна произведению сред-
среднего давления на площадь ворот. Поскольку с ростом глубины давление
растет пропорционально глубине, то среднее давление равно половине мак-
максимального. Итак,
F = (P)S =\pS=\pgh-hb=\ pgbh2.
2.12. На цилиндр действует сила тяжести и сила давления воды, при-
прижимающая его ко дну. Имеем
F = mg + pS = mg + pBg (H - h) = mg ( 1
Ptk.iI
3. Динамика точки 111
2.14. Объем шарового сегмента, возвышающегося над водой, равен
]/сегм = — 7rh2CR ~~ h), объем погруженной части FnorP = Уш — Усегм =
о
= - жDИ3 — 3Rh2 + h3). По закону Архимеда - 7^R3pg = - 7Tp7KgDR3 —
о о о
2.15. Согласно закону Архимеда, mg = Mg — pnVg. Но объем короны
т г т г т г т3 t тс М - тс тс М /1 1 \
V = V3-VC = — Н = Н = — + гас — ).
Рз Рс рз рс Рз \Рс Рс
Отсюда следует, что
т = М — ^ М — шс|— — ?1™ ),
Рз
/ Рв Рв \ ,, / 1 Рв 1
тс - -1— = М 1 - — - т.
Рз / V Рз
2.16. Согласно закону Архимеда, аэростат поднимется на такую высоту,
где выталкивающая сила воздуха уравновесит вес суммарного груза и вес
водорода внутри оболочки:
mg + pH2Vg = paTVg.
Пользуясь табл. 26.4, можно оценить высоту, на которую поднимется аэро™
стат.
3. Динамика точки
3.2. Направим ось координат вертикально вниз. "Уравнения движения
гирь запишутся следующим образом:
—F + niig = ^mia, —F + m2g = тга,
где F — натяжение нити. Решив систему, найдем ускорение и силу натяже™
ния.
3.3. "Уравнения движения для случая, изображенного на рис. 3.3, имеют
вид
Q = F\ = m2a, F\ = raia,
откуда следует:
F _ Qmi
nil + ТП2
Если приложить силу к меньшему телу, то натяжение нити
Qm2
3.4. 1) Если обезьянка неподвиж:на относительно веревки, то оба тела
движутся с одним и тем же ускорением а±. Уравнения движения:
F\ = Mai, mg — Fi =
где F\ — натяжение веревки.
112
Решения
2) Если обезьянка движется относительно веревки с ускорением Ь вверх,
то оба тела движутся по-разному: груз с ускорением аг, обезьянка с уско-
ускорением а!2 = а>2 — Ь. "Уравнения движения примут вид
F2 =
mg — F2 = та'2.
3) Движение обезьянки относительно веревки с ускорением Ь вниз опи™
сывается теми же уравнениями, в которых надо только изменить знак Ь.
Ускорение обезьянки относительно веревки вниз не может быть больше
ускорения свободного падения. (Почему?) Следовательно, аз ^ 0 и F% ^ 0.
3.5. На груз действует сила тя-
тяжести mg и сила натяжения нити F
(рис. 3.5 6). Уравнение движения:
mg — F = та.
На брусок действуют три силы:
сила тяжести Mg, сила реакции на-
наклонной плоскости Q и натяжение
нити F. Уравнение движения:
F — Ms sin a = Ma.
mg s
Отсюда следует указанный ответ.
Как видно, при т > Msina си-
Рис. 3.5 6 стема будет двигаться с ускорением в
направлении, указанном на рис. 3.5 б.
При т < М sin a направление ускорения окажется противоположным, а при
т = М sin а система будет двигаться равномерно с заданной начальной ско™
ростью или покоиться.
Заметим, что задачи 3.2 и 3.4 суть частные случаи задачи 3.5. Именно,
при условии а = тг/2 получим решение задачи 3.2, при а = 0 — первый
случай задачи 3.4.
N
Qslna
_ JQ cos a
Рис. 3.6 6
Рис. З.бв
3.6. На стержень действуют три силы: реакция клина Q, реакция огра-
ограничителей F и сила тяжести ni2g (рис. 3.6 6). "Уравнение движения (вдоль
оси ординат)
Qcosa =
3. Динамика точки
113
Соответственно на клин также действуют три силы: реакция стола JV, сила
тяжести mig и реакция стержня Q (рис. 3.6 в). Уравнение движения (вдоль
оси абсцисс):
—Qsina = m\a\.
Третье уравнение получим, сопоставив перемещения стержня А г/ = а2г2/2
и клина Аж = a\t2/2. Поскольку Ay = Axtga, то
(i2 = oli tga.
Далее решаем совместно систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Рис. 3.7 6
3.7. Задача сводится к решению системы из четырех уравнений
(см. рис. 3.76 и 3.7в):
—Q sin а = МЬХ, —
Q cos a = тау,
ау = (—ах
Ьх) tga.
a = wa| + a| = g sin a,
Ситуация с неподвижным клином может быть рассмотрена отдельно, а мо-
может быть проанализирована на основании общего случая в предположении
т <С М. В результате получим
ах = g sin a cos a, % = —g sin2 a,
= rag cos a.
3.9. Сила упругости FyTip = &(/ — /о)
сообщает грузу центростремительное уско-
ускорение.
3.10. На самолет действуют сила тяже™
сти Р и подъемная сила F, перпендикуляр-
перпендикулярная к плоскости крыла. Их равнодействую-
равнодействующая R сообщает самолету центростреми-
центростремительное ускорение (рис. 3.10). Угол крена
¦ v'2
а = arctg — , где г — радиус кривизны
gr
траектории.
3.11. Перегрузку определим как отношение силы давления к силе тя-
тяжести:
Л^ = v^_ N2 =v2 г
mg gr mg gr
114
Решения
3.12. В верхней точке траектории скорость v = vx =
ное ускорение равно ускорению свободного падения. Имеем
, нормаль™
v® cos2 a
3.13. Представим себе, что некоторое тело брошено вдоль оси абсцисс
с начальной скоростью vq, а в положительном направлении оси ординат
действует сила тяжести, сообщая телу уско-
ускорение g (рис. 3.13). Тогда закон движения
примет вид
у=хУ4,
a = g
х = vot, у = —— .
Уравнение траектории получается путем
исключения времени: х = 2v®y/ g^ т.е. пара-
параметр р = Vo/g. Из рисунка видно, что
1 2 3 4 5
Рис. 3.13
ате = gcosa = gvo/v.
Подставив v и ап в выражение для радиуса
кривизны, получим
ап
3/2
3.14. Как известно, скорость точки направлена по касательной к тра-
траектории. Из рис. 3.13 видно, что tga = gt/vo. Но так как t = xfv®^ то
gx х
tga= ^- = - .
vl р
После того, как вы научитесь дифференцировать, задача может быть
решена с помощью производной следующим образом ):
dy d
ga ~ ~dx ~ ~dx
2ж
3.15. Закон движ:ения камня:
у = Л, + во ? cos /3 — gt2/2, ж = г>о? sin /3.
При ударе камня о холм
жв = Ь cos a, yB = h — b sin а.
Подставив в закон движения, получим искомый результат.
) В школьном курсе математики принято производную обозначать штри-
штрихом; например, а = v1. Однако при такой записи часто не ясно, по какой
переменной надо брать производную. Поэтому мы будем пользоваться более
удобным обозначением: если у = /(ж), то производная обозначается —— .
4- Тяготение. Электрические силы
115
3.16. Законы движения первого и второго тела:
Х1=1, у1=Н-^-,
gt
х2 = votcosa1 2/2 = votsina — ^—
При встрече х = I, у = if/2. Отсюда следует:
Н
gt2
Н gt2
— = Н — —
После преобразований получим указанный ответ.
3.17. Допустим противное: более массивное тело падает быстрее. Пусть
у нас имеются два тела с разными массами. Тогда тело, масса которого
больше, падает быстро; второе тело, с малой массой, падает медленнее.
Прикрепим одно тело к другому. Поскольку масса вновь образованного тела
равна сумме масс слагаемых, то вновь образованное тело должно падать
быстрее первого. С другой стороны, поскольку более легкому телу якобы
свойственно падать медленно, то оно должно тормозить движение системы,
и скрепленные тела якобы должны падать медленнее, чем одно первое тело.
Полученное противоречие опровергает наше предположение. Никаких
противоречий не возникает, если положить, что все тела, независимо от их
массы, падают одинаково, что подтверждается экспериментом.
4. Тяготение. Электрические силы
4.4. Искомое отношение сил
Fe GtjiMq GmM® МеКф
Причина того, что Луна является спутником Земли, несмотря на то,
что Солнце притягивает ее в два раза сильнее, заключается в начальных
условиях — начальной координате и начальной скоро-
скорости, т.е. значениях этих величин в тот момент, когда
Луна оказалась в поле тяготения обоих этих тел (см.
§ 8.2).
4.9. Равновесие установится, если равнодействую™
щая электрической силы F, силы тяжести Р = rng и
натяжения нити Т окажется равной нулю (рис. 4.9).
Отсюда следует: F = Ptga. Подставив значение элек-
электрической силы, получим после преобразований
Q = 2q = 2y4:7i8orng tg a • I2 sin2 <
4.10. Если заряды расположены, как на
рис. 4.10 а, то напряженность поля в центре квадрата
равна нулю. рис ^ д
Если заряды расположены так, как на рис. 4.10 6,
то находим напряженность поля, создаваемого каждым зарядом, а затем
напряженности складываем векторно.
116
Решения
4.11. Разобьем проводник на столь малые участки, чтобы их можно
было считать точечными (рис. 4.11). Тогда проекция напряженности поля
Рис. 4.10 а
Рис. 4.10 6
от малого участка на ось симметрии проводника
Ag cos а Ад • х Ад • х
АЕХ =
АЕ-
Из условий задачи ясно, что поле направ-
направлено вдоль оси и напряженность поля есть
сумма проекций напряженности поля от от-
отдельных участков проводника.
4.12. Сначала найдем расстояние меж-
между молекулами. Масса одного кубомет-
ра воды равна 103 кг, киломоль воды
A8 кг) содержит 6,0 • 1026 молекул. Сле-
Следовательно, один кубометр воды содер-
1 ГK
жит N = 6,0 • 1026 • — = 3,3 • 1028 моле-
18
кул. Тогда расстояние между молекулами
воды
d = l/VN= {
Сила взаимодействия
.10^29 =3,1 -Ю^10 м.
Рис. 4.11
= 6,7-10~20Н.
4.13. Поскольку вдоль оси абсцисс на электрон никакие силы не дей-
действуют (силой тяжести пренебрегаем), то vx = const и время пролета элек-
электрона в поле t = L/vx. Вдоль оси ординат на электрон действует сила
Fy = —еЕ. Эта сила сообщает электрону ускорение ау = —еЕ/т. Проекция
скорости на ось ординат меняется по закону vy = voy +ayt. В точке вылета
электрона из поля имеем
vx tg /3 = vx tg a -
eEL
откуда vx (tg a - tg /3) =
eEL
Поскольку vx = vq cos а, получим
cos2 a(tg a - tg /3) =
eEL
4- Тяготение. Электрические силы
117
4.14. На электрон (рис. 4.14) вдоль оси абсцисс никакие силы не дейст™
вуют, и проекция скорости на эту ось не меняется: vx = vq = const. Вдоль
l
Рис. 4.14
оси ординат на электрон действует сила Fy = —еЕ все время, пока электрон
движется в поле. Это вызывает смещение электрона на расстояние
h =
at2
eEt2
при этом вдоль оси ординат он будет двигаться со скоростью
_ _ еШ
v mvo
Из поля электрон вылетает под углом, определяемым по условию
vy eEl
tga= -2- = 2 >
Vx TYIVq
и дальше движется по инерции. Как видно из рисунка,
eEl2 eElL
d = h + Ltga, или d =
v2 '
откуда следует:
E =
el(L
4.15. Вдоль оси абсцисс на электрон не действуют никакие силы, и
движение по этой оси равномерное со скоростью vx = vocosa. Вдоль оси
ординат на электрон действует сила Fy = —-eE^ и электрон движется с
ускорением ау = —еЕ/т; его мгновенная скорость
vy = vo sin a + ayt = vo sin a
eEt
Для того чтобы электрон, двигаясь вверх, не задел верхнюю пластину,
необходимо создать такое поле, чтобы за время t\ вертикальная составляю-
составляющая скорости упала до нуля, а перемещение h\ < h. Но 2ayh\ = —Voy
(см. задачу 1.9); следовательно
v0y
2hi
Vq Sin a
2h
118 Решения
Итак, первое условие можно записать следующим образом:
v
wivq sin2 a
Е> 2eh ¦
п vosina
Время движения электрона вверх ъ\ = . Столько же времени
ау
он будет двигаться вниз (докажите!). Чтобы не задеть нижнюю пластину,
он за все это время должен пройти вдоль оси абсцисс расстояние, превос-
превосходящее ее длину, т.е. ж = 2vxt± > I. Отсюда следует:
2^о sin a cos a
5
ау
и второе условие примет вид
2tjivq sin a cos a
Ь < .
el
Объединяя оба решения, получаем искомый результат.
5. Трение
5.1. Перейдем к системе отсчета, связанной с платформой. Здесь ско-
скорость тела вначале равна ^^о, в конце — нулю. Имеем
Т timg 0 — (—г>о) vq ат2 Vq
mm a fig 2 2/ig
5.2. 1) Если обезьянка неподвижна относительно веревки, то уравнения
движения имеют вид
F\ — I^Mg = Mai, mg — F\ = mai,
откуда следует искомый ответ. Решение имеет смысл при m > [лМ. Если
же m <С А*М, то а\ = 0, Fi = mg.
2) Если обезьянка движ;ется относительно веревки вверх с ускорением
Ь, то уравнения движения примут вид
F2 — p^Mg = Маг, mg — F2 = w(a2 — 6).
Решение имеет смысл при fiMg < m(g + Ь). В противном случае «2 = О,
а2 = -6, F2 =m(g +6).
3) Если обезьянка движется относительно веревки вниз с ускорением Ь,
то в уравнениях для предыдущего случая нужно изменить знак при Ь.
5.3. Так как направление силы трения скольжения Т противоположно
направлению скорости бруска, то результат будет существенно зависеть от
того, куда направлена начальная скорость бруска. Рассмотрим возможные
случаи.
1. Пусть начальная скорость груза направлена вниз (рис. 5.3 а). Урав-
Уравнения движения запишутся так:
mg — F = ma, F — T — Mg sin a = Ma,
где T = fiQ = fiMg cos а. Отсюда следует:
m — Mfsin a + и cos a)
a = S *?+М *'
mMg A + sin a + fi cos a)
~ m + M
5. Трение
119
Если т > M(slna + /xcosa), то а > 0 и скорость системы возрастает. Если
т < M(sina + /icosa), то a < 0 и скорость системы убывает. Наконец, если
т = M(sina + /xcosa), то а = 0 и система движется равномерно.
Рис. 5.3 а
Рис. 5.3 6
2. Пусть начальная скорость груза направлена вверх (рис. 5.3 6). Тогда,
как нетрудно убедиться,
т — M(sin a — /i cos a)
F =
ь т + М
mMg (I + sin a — /л cos a)
т + М
Если т > M(sin a — \i cos a), то a > 0 и скорость системы убывает. Если
т < M(sina — /icosa), то а < 0 и скорость системы возрастает. Наконец,
если т = M(sina — /xcosa), то a = 0 и система движется равномерно.
3. Пусть, наконец, система находится в покое. Тогда между бруском
и наклонной плоскостью действует сила трения покоя, направление кото-
которой зависит от того, куда передвигалась бы система в отсутствие трения.
Именно, если т > М sin a, то брусок при отсутствии трения поднимался
бы вверх, следовательно, сила трения направлена вниз, как на рис. 5.3 а.
Если же т < Msina, то брусок при отсутствии трения двигался бы вниз,
поэтому сила трения окажется направленной вверх, как на рис. 5.3 6.
Нетрудно убедиться на основе анали-
анализа двух предшествующих случаев, что при
т > M(sina + /icosa) брусок станет дви-
двигаться ускоренно вверх по наклонной плос-
плоскости; при т < M(sin a — /i cos а) брусок бу-
будет двигаться ускоренно вниз по наклонной
плоскости; наконец при
M(sin a — /i cos a) ^ m ^ M(sin a + \i cos a)
система будет находиться в покое.
5.4. Уравнение движения стержня не
изменится; в уравнении движения клина
следует учесть наличие силы трения Т =
Рис. 5.4
= /i(Q cos a + raig), направленной противоположно ускорению (рис. 5.4).
Итак,
Qsina + (i(Q cosa + mig) = m\ax.
120
Решения
После преобразований с учетом ау = ах tg а получим
_ m\m2g (cos а + и sin а)
Q= 9 ¦ • 2
mi cos2 а + Ш2 sin а — /шгг sin а cos а
—ni2g + /ig ctga(m2 + /Mi)
mi ctg а + rri2 tg а — /im-2
¦tga + /ig(m2+mi)
mi ctg a + гаг tg a — /лгп2
Решение имеет смысл при условиях
mi ctg a + m,2 tg a > /шгг, тг tg a > /х(тг +
Из второго неравенства следует:
Если же tga
, то ах = 0, ау = 0, О =
5.5. Уравнения движения примут вид (см. рис. 5.5 а и 5.5 6):
—Q sin a + Т cos a = МЬХ, Q sin a — Т cos a = max,
^?Bg + Q cos a + Tsln a = m%, % = (—аж + bx) tga, T = fiQ.
Отсюда следует:
mMg cos a
M + m sin a(sin a — /л cos a)
Mg cos a(sin a — /л cos a)
M + m sin a(sin a — /i cos a) '
?Bg cos a (sin a — /i cos a)
M + m sin a(sin a — /л cos a)
(M + m)g sin a(sin a — /л cos a)
M -\- m sin a(sin a — fi cos a)
Брусок может либо скользить по клину вниз, либо покоиться. Сколь-
Скольжение вниз возможно при условии sin a > /icosa, т.е. tga > /л.
ах =
Рис. 5.5 а
Рис. 5.5 6
В этом случае ах > 0, ау < 0 и Ьх < 0. Если же tga ^ /i, то брусок и
клин покоятся.
5. Трение 121
Заметим, что решение задачи 3.7 получается автоматически из решения
рассматриваемой задачи, если положить /х = 0.
5.6. Если клин перемещается влево, то уравнения движения примут
вид
Q sin a = maXj —mg + Q cos a = may, —Qsina + T = MbXi
ay = (—ax + bx) tg а, Г = /i(Q cos a + Mg),
откуда следует:
Mmg (cos a + /i sin a)
M + m sin a(sin a — /л cos a)
_ Mg sin a (cos a + /i sin a)
bx= fig -
M + m sin a(sin a — /i cos a) '
(M + rw)g sin a(sin a — /i cos a)
M + m sin a(sin a — /i cos a)
mg (cos a + /л sin a) (sin a — /i cos a)
M + m sin a(sin a — /i cos a)
Поскольку Ьж ^ 0 (объясните, почему), то
rwg (cos a + /i sin a) (sin a — /i cos a)
^ M + msinafsina — ficosa)
Отсюда после несложных преобразований получим, что наше решение име-
имеет смысл при условии
т sin a cos a
<
M + mcos2 a
При этом условии
Msina
sin a — /х cos a >
М + meos2 a
следовательно, ау < 0, что соответствует смыслу задачи.
_ m sin a cos a
ejCjim же окажется, что /j = — , то bx = и, т.е. клин будет
М + т cos2 a
двигаться вдоль стола равномерно с начальной скоростью vo (или покоить-
покоиться, если vq = 0). В этом случае
Msina
sin a — /i cos a = — — ,
M + mcos2 a
(M + m) cos a
sin a + /i cos a = —-— ,
M + mcos2 a
откуда следует:
Q = mg cos a,
ax = g sin a cos a, ay = ^g sin2 a,
5.7. Поскольку брусок не скользит по клину, то направление силы тре-
трения неизвестно. Очевидно, что если ускорение клина мало, то брусок будет
скользить вниз, и сила трения направлена, как это указано на рис. 5.7 а.
122
Решения
При больших ускорениях брусок станет скользить вверх, и направление
силы трения изменится (см. рис. 5.7 6).
\irng
Рис. 5.7 а
Рис. 5.7 6
Запишем уравнения движения для обоих случаев по осям координат.
Ось ординат: Q cos а + Т sin а — mg = О, Q cos а — Т sin а — mg = 0.
Ось абсцисс: Qsina — T cos a = mai, Q sin a + T cos a = ma2 •
Учитывая, что Т = fiQ, получаем после преобразований:
CL1 = ,
1
«2 =,
1 -//tga
Обозначив fj, = tgip, получим g tg (a — (p) ^ a ^ g tg (a + 99).
5.8. Если тело не соскальзывает с диска, то оно обращается с той же
угловой скоростью, что и диск. Центростремительное ускорение телу сооб-
N
ing
Рис. 5.8
щает сила трения покоя (рис. 5.8). Имеем
ТПШ Г ^ /inOK^Bg", ОТКуда Г ^ /inoxg/^ •
5.9. Мотоциклист не соскользнет, если сила трения окажется равной си-
силе тяжести, действующей на него. Двигаясь по искривленной поверхности,
мотоцикл давит на нее, а сила реакции сообщает ему центростремительное
ускорение. Уравнение движения имеет вид
Т - mg = О,
где сила трения Т = /хЛГ, а сила реакции N = mv2 jr. Отсюда
5. Трение
123
5.10. Поскольку тело покоится, то направление силы трения неизвест-
но. Поэтому мысленно будем уменьшать угловую скорость до тех пор, пока
тело не начнет соскальзывать вниз. Тогда сила трения будет иметь направ-
направление, показанное на рис. 5.10 6. "Уравнения движения имеют вид
N sin a — Т cos a = muj2Rsina1
N cos a + Т sin а — mg = О,
где Т = /inoKiV. Отсюда, полагая /хПок = tg <р, после несложных преобразо-
преобразований находим
R sin a
Увеличим мысленно угловую скорость так, что тело станет скользить
вверх. Тогда сила трения изменит направление (рис. 5.10в), и уравнения
движения примут вид
N sin a + T cos а = тш2 R sin a,
N cos а — Т sin а — mg = 0,
откуда
g tg (a + <р)
R sin a
Итак, тело будет находиться в равновесии при условии
g tg (а - (
Rsina
ш <
g tg (а + ф)
Rsina
Очевидно, что если а ^ (р, т.е. tga ^ /1Пок, то тело не будет соскальзы-
соскальзывать вниз даже в том случае, если чаша перестанет вращаться.
\frng
Рис. 5.10 6
Рис. 5.10 в
В качестве частного случая из решения следует, что при отсутствии
трения (/1пок = tg (p = 0) равновесие наступит при вращении чаши с угловой
скоростью
шо = л/g /R cos a.
124 Решения
5.11. Центростремительное ускорение мотоциклисту сообщает сила
трения, следовательно, /img = mv2r. Отсюда следует, что
г ^ v2/fig.
Мотоциклист должен наклониться к горизонту под таким углом, чтобы
равнодействующая силы реакции и силы трения была направлена вдоль
тела. Отсюда следует, что tga = N/T = l//i.
5.12. Уравнение движения шарика, падающего в жидкости, выглядит
так:
mg - Fapx - Fcoup = та.
Поскольку глицерин обладает большой вязкостью, число Рейнольдса неве-
невелико и силу сопротивления можно найти по закону Стокса, jFConp = 6ттг}гг).
Итак,
4 з 4 з л 4
г p 6
- жг pg - - жг pog - Ьтгг]гу = - жг pa.
1. Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно
нулю:
у = 2^(р-ро) = 2. 4. 10-е- 9,81-132-lQ» = = ^
9?j 9 • 5,02 • 10~2
Число Рейнольдса
_ pow _ 1,21 -103- 2,3 -10 -2-Ю
17 " 5,02-10^2 '
При столь малом числе Рейнольдса можно пользоваться законом
Стокса.
2. Начальное ускорение получаем из уравнения движения, полагая ско™
рость равной нулю:
_ (Р ~ Ро)ё _ B,53-1,21) -9,81 _ 2
р 2,53
3. Полагая приближенно, что среднее ускорение есть полусумма началь-
начального и конечного значений ускорения, находим приближенное значение вре-
времени, в течение которого достигается установившаяся скорость:
т-— -— - °'23 ' 2 -9 10~2с
аср ао 5,1
Перемещение за это время
_ Осрг2 ^а0т2 _ 5,1 • 81 • 10~4 _ 2 _1
5.13. Из закона движения (см. предыдущую задачу) получим закон
изменения ускорения с ростом скорости:
а = 5,10- 22,bv.
Для малых промежутков времени (At = 0,02 с)
vn = vn-i +an^iAt.
5. Трение
125
Составляется табл. 5.13 и строится график (рис. 5.13). Из них видно, что
установившаяся скорость v = 0,227 м/с, время установления т = 0,22 с
Таблица 5.13
п
0
1
2
3
4
5
t, с
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
v, м/с
0,000
0,102
0,158
0,189
0,206
0,215
а, м/с
5,10
2,80
1,54
0,84
0,47
0,26
п
6
1-7
(
8
9
10
11
t, с
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
v, м/с
0,220
0,223
0,225
0,226
0,226
0,227
а, м/с2
0,15
0,08
0,04
0,01
0,01
0,00
(сравните с ответом задачи 5.12, где рассматривалось приближенное реше-
решение, в предположении равноускоренного движения).
0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 t, с
Рис. 5.13
5.14. Плотность частиц пыли р много больше плотности воздуха ро,
следовательно, архимедовой силой можно пренебречь. Поскольку скорость
оседания пылинок мала, ее можно рассчитать, пользуясь законом Стокса.
В результате установившаяся скорость
2r2pg 2-9- Ю^10 -2- 103 -9,81
Число Рейнольдса
Re =
povr
9- 1,8-lO
1,3-0,2-3- 10"
77 1,8-Ю
что еще позволяет пользоваться законом Стокса.
Время оседания пылинок
I 2,8
т и — = — = 15 с.
v 0,2
= 0,2 м/с.
«0,4,
126
Решения
5.15. Элементарный расчет (см. § 11.9 «Основ физики») показывает,
что пользоваться законом Стокса нельзя, а силу сопротивления нужно рас-
рассчитывать по формуле R = CSpov /2. "Установившаяся скорость
5.16. Из формулы а = dv/dt = 5,10 — 22,Ьг
следует:
(см. решение задачи 5.14)
Сопоставьте полученный результат со значениями скорости, получен-
полученной численными методами.
6. Теория относительности
6.1. Допустим, что при движении тела относительно системы отсчета
его поперечные размеры меняются, например, сокращаются. Пусть стер-
стержень и отверстие в доске точно совпадают в некоторой системе отсчета
(рис. 6.1 а). Свяжем теперь систему отсчета с доской, а стержень пусть дви-
движется (рис. 6.1 б). Тогда, согласно нашему предположению о сокращении
поперечных размеров, стержень свободно пройдет через отверстие. Если
Рис. 6.1
же мы свяжем систему отсчета со стержнем, то согласно нашему предполо-
предположению уменьшатся размеры отверстия (рис. 6.1 в), и стержень через него
не пройдет. Полученное противоречие доказывает ложность предположе-
предположения о сокращении поперечных размеров. То же следует из преобразований
Лоренца.
6.2. Относительная погрешность
_
(и + v)(I + uvI'с2) _ uv
U + V С2
6.3. и =
0, 99000 с+ 0,99000 с _ 1,98000 с
1 + 0,990002 ~ 1,98010
= A - 5, 05 • 10~5) с = 0, 99995 с.
10-Ю"
6. Теория относительности 127
6.4. Проведенное рассуждение не содержит никаких ошибок, и для ско-
рости сближения и получен верный результат. Однако это не опровергает
релятивистского закона сложения скоростей. Дело в том, что, говоря о сло-
сложении скоростей, мы понимаем не сложение этих величин в данной систе-
системе отсчета^ а вычисление скорости того же тела в другой системе отсчета.
Именно, нас интересует, с какой скоростью, например, удаляется правое
тело от левого в системе отсчета, связанной с левым телом. Для этого и пе-
перейдем к системе отсчета, связанной с левым телом. Имеем: и = Alf /Atf,
поскольку в новой системе отсчета изменятся расстояние между телами и
темп времени. Из преобразований Лоренца следует:
Al' = —x'o + x\ =
, _ At + vzxi/c2 _ At / V2X1 \ _ At / 11Ш2
^ W2/C2 л/1-Р2 V At ¦ C ' л/1-Р2 V C
Таким образом,
, Al' Al 1 и vi + v2
At 1+V1V2/C2 1 +viv2/c2 I + V1V2IC2'
Мы получили, как и следовало ожидать, релятивистский закон сложе-
сложения скоростей.
6.5. Пусть вещество приближается к источнику света со скоростью v,
тогда согласно закону сложения скоростей получим
/ U + V (с/п) + v
1 + uv/c2 1 + v/cn
Если вещество удаляется от источника света, то
„ _ (с/п) - v
1 — v/cn
6.6. Время распространения света вдоль потока жидкости
_ 21 _ 21A - v/cn)
и" с/п — v
Время распространения света против потока жидкости
. _ 2/ _ 21A + v/cn)
и1 с/п + v
Разность во времени
21
Т = ti-t2 =
(с/пJ — v2
!--!)(? +Ю)_A + Л) (?_„)] =
СП У \П / V СП У \П /J
(с/пJ - t;2
Учитывая, что с/п ^> v, получаем т = 4h;(n2 — 1)/с2.
128 Решения
л- , vto 0,99-3,0- 108 -2,6-10"
6.7. I = vr — —
л/1 - 0,992
0,99-3,0-2,6 0,99-3,0-2,6
л/0,01 • 1,99 0,1-1,41
= 55 м,
10 = ото = 0, 99 • 3, 0 - 108 • 2, 6 • 10~8 = 7, 7 м.
6.8.
_ 3 • 105>/l-0,9982 _ 10>/0, 002-1,998
~ 0,998-3- 108 ~ 0,998
_ 5
6.10. Проекции скорости на ось аппликат в двух системах отсчета рав™
ны uz = dz/dt, u'z = dz' /dt'. Согласно преобразованиям Лоренца zf = z,
, t — XV/C2 . . . 1 — Uxv/c2 , / , xt
t = —, = следовательно dt = dt—. = , где ux = ax at. Под-
v/l - vyp Vl-«2/c2
ставив в формулы, выражающие проекции скорости, полученные значения,
придем к искомому результату.
6.11. Поскольку в данной системе отсчета события одновременны, то
ti — t\ = 0. В произвольной инерциальной системе отсчета
/ / #2 + X2V/C2 — ti — Xiv/c2 lv
T = t2 "™" t\ = ~~
y/1 - V2/C2 C2y/1-V2/C2 '
где v — скорость новой системы отсчета. Знак промежутка времени зависит
от знака скорости v, т.е. от направления движения системы отсчета.
6.12. Скорость электрона найдем по формуле (§ 13.2)
Ы
у/1+ЪЧ2/с2
Здесь Ь = F/m = eE/m. Для электрона е = 1,6 • 10^19 Кл, m =
= 9,1 • 101 кг. Имеем
9,1-10-31=
bt _ 5,3-1017-10"9
с " 3,0-108
'7Ь'
bt 5,3-1017-10"9 5,3-108 0 . 1п8 ,
= = — =2,6- 10 м/с.
20
i/l + l,762 2.
Если расчет вести по формулам ньютоновской механики, то скорость
электрона
eEt 1,6-10^19-3,0-106-10^9 8
^ =^ = п 1 ш 31 =5,3-10 м/с,
m 9,1 • 10^31
т.е. расчет по формулам ньютоновской механики дает значение, большее
предельной скорости.
6. Теория относительности
129
6.13. Поскольку сила перпендикулярна к траектории, модуль импульса
не меняется (рис. 6.13), |pi| = |рг| = р (см. § 16.4 и 18.1). Модуль изменения
Рис. 6.13
импульса |Ар| = pAtp. Модуль нормальной силы
A?
At
= рш =
6.14. Рассмотрим случай, когда на тело действует постоянная сила.
Тогда выражение
_, ^ т dv
F = Тта =
y/l-v2/c2
сводится к выражению
где — — производная скорости по времени, Ь = Flm — постоянная ве™
dt
личина. Легко убедиться, что полученное уравнение для производной то-
тождественно удовлетворяется, если положить v = sin (bt/c). В самом деле, в
этом случае
dv 1 Ы
— = Ъ cos — ,
at с
dv
следовательно, — = Ь\ 1 .
dt V с2
Но полученный результат для скорости является бессмысленным, по™
скольку через конечный промежуток времени
тгс ттст
t= 2b = lLF~
скорость тела окажется равной скорости света в вакууме, что противоречит
теории относительности.
6.15. Длина стержня, движущегося относительно системы отсчета, рав-
равна I = vtq, где го — промежуток времени между прохождением начала и
конца стержня мимо неподвижных часов. Длина же неподвижного стержня
измеряется движущимися часами: /о = vr.
Итак, I/Iq = го/т = у/1 — v2/с2, следовательно I = 1о = д/l — v2/с2, т.е.
тот же результат, что из преобразований Лоренца.
5 А.А. Пинский
130 Решения
6.16. Очевидно, что за время At, в течение которого точка В крыла
переместится в точку С, тень из точки А перейдет в ту же точку С. Итак,
ВС = vAt, AC = FAt, откуда ВС/АС = sin a = v/V, следовательно,
скорость перемещения тени V = v/sina, причем
и I/ v 600 • 180 • 3600 8
В результате V = ^-^ = ^^^^—^^^^— = 5,16 • 10 м/с, что в 1,7 раза
sin a 0, 24тг
больше скорости света в вакууме!
Никакого противоречия с теорией относительности, никакого парадокса
нет! В самом деле, здесь нет ни тел, ни частиц вещества, которые бы дви-
двигались со сверхсветовой скоростью. Нет и передачи информации: наблюда-
наблюдатели (регистрирующие приборы, например фотоэлементы), помещенные в
точках А и G, не связаны друг с другом, и они не знают, когда тень покры-
покрыла точку А, а когда — точку С. Для того чтобы это установить, нужно в
точках А и С расположить часы и какое-либо устройство, которое передает
сигнал из точки С в точку А. Но этот сигнал — либо свет (электромагнит-
(электромагнитная волна), либо частица, а они из С в А будут двигаться, как и положено,
со скоростью v < с, а не со скоростью V > с.
6.17. Пучок будет скользить по поверхности Земли со скоростью V =
= ujR = 2tvuR, где п — частота вращения пульсара, R — расстояние от
пульсара до Земли. Очевидно, что при п = 103 сГ1 и R = 10 св. лет =
= 3,94 • 1014 м скорость скольжения пучка много больше скорости света в
вакууме.
Но и здесь никакого парадокса нет. Обратимся вновь к рис. 6.17. В точ-
точку В попадают совсем не те фотоны, которые попали ранее в точку А, и
из точки А в точку В никакая информация не передается. В тот момент,
когда пучок попал в точку А, здесь регистрируется вспышка (например, с
помощью фотоэлемента), но об этом ничего не известно в точке В. Через
промежуток времени At = l/V пучок осветит точку В — но об этом ин-
информация в точку А не приходит. Если же мы захотим передать об этом
информацию в точку А, то надо в момент, когда осветится точка В, по-
послать оттуда сигнал в точку А, а для этого надо использовать либо свет,
либо частицу; скорость сигнала и ^ с и информация из В в А придет через
промежуток времени т = l/u > l/V = At.
7. Закон сохранения импульса. Центр масс
7.1. Направим ось координат по направлению движения пули. Пусть
масса пули т, масса бруска М. По закону сохранения импульса mv =
= (М + т)и, где v и и — проекции скорости пули и скорости бруска после
попадания в него пули. На скользящий брусок действует сила трения, на-
направленная против вектора скорости: Т = —fig{M + m). Ускорение бруска
а = Т/(М + m) = ^fig- На расстоянии I брусок останавливается, следова-
следовательно, 0 — и2 = 2al (см. задачу 1.9), или и = y/2/jLgl. Отсюда следует:
m
Подставив числовые значения величин и учтя, что тп <С iW, получим ука-
указанное значение скорости.
7. Закон сохранения импульса. Центр масс 131
7.2. Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с Землей. По
классическому закону сложения скоростей проекция скорости снаряда на
ось абсцисс в этой системе отсчета равна u + v cos а. Из закона сохранения
импульса следует:
(М + m)V = Ми + т(и + v cos a),
откуда
(М + m)V — mv cos a
М + т
Платформа после выстрела остановилась бы, если бы до выстрела она
двигалась со скоростью V = mvcosa/(M + т).
7.3. Учитывая, что центр масс не сместится, получаем
т{1 — х) = Мх.
Отсюда следует указанное в ответе значение перемещения лодки.
7.5. а. По формуле Циолковского находим конечную скорость первой
ступени:
о о 1 М0 п о л 1 160
vi = 2, Зи Iff — = 2, 3 • 4 • k ^^ .
Mi 70
Отсюда следует v\ =3,3 км/с.
Масса второй ступени Мо2 = 160 — 90 — 30 = 40 т, из них 28 т — это
топливо. Заметим, что в формуле Циолковского фигурирует приращение
скорости. Так как начальная скорость второй ступени — это конечная ско-
скорость первой ступени, то формула Циолковского для второй ступени ракеты
запишется так:
=2,31g , или V2 = vi + 2,3 • 4 • lg— .
U 1V12 -L &
Отсюда следует, что V2 = 8,1 км/с.
б. Если бы ракета была одноступенчатой и у нее выгорело бы 90 +
+ 28 = 118 т топлива, то конечная масса ракеты была бы равна 160 —
— 118 = 42 т. Воспользовавшись формулой Циолковского, мы получили бы
конечную скорость
v = 2, 3 • 4 • lg — =5,3 км/с.
Как видно, двухступенчатая ракета эффективнее — она позволяет со-
сообщить при той же массе топлива гораздо большую скорость космическому
кораблю.
7.6. Уравнение A5.7) из § 15.4 в дифференциальной форме имеет вид
dm dv
—mdv = и dm, или = — .
т и
Интегрируя, получаем
М v
f dm If
I = — I dv, откуда
J m и J
Mq Щ
7.7. Если расход топлива постоянный, то постоянной является и реак-
реактивная сила тяги F = —/ли. В то же время по мере выгорания топлива
132
Решения
масса ракеты уменьшается, следовательно, ускорение ракеты возрастает.
Вследствие этого растет и перегрузка, равная
N
~Р
а + g
7.8. Могут, например, перебегая периодически вдоль вагона туда и
обратно.
7.9. Разрежем мысленно треугольник на множество полосок, парал™
лельных основанию (рис. 7.9). Центр масс каждой полоски находится в ее
середине; множество середин всех полосок лежит
на медиане, следовательно, на этой же медиане на-
находится и центр масс треугольника. Такой же вы-
вывод справедлив и для двух других медиан, следо-
следовательно, точка пересечения медиан и есть центр
масс.
7.10. Поскольку пластина однородная, то мас-
масса любой ее части пропорциональна ее площади.
Учитывая далее, что ось абсцисс, проведенная так,
как показано на рисунках, является осью симмет™
рии пластины, мы можем утверждать, что центр
масс находится на этой оси, т.е. г/ц = z4 = 0. Далее
решение может быть проведено двумя способами.
Первый способ. Разрежем мысленно пластину
на две части — треугольник и симметричный оста-
остаток (рис. 7.10 6). Центр масс треугольника лежит от начала координат на
расстоянии, равном одной трети медианы, т.е. х\ = 1; центр масс второго
тела лежит в его центре симметрии, т.е. на расстоянии Х2 = 5 от начала
Рис. 7.9
О
V
о
X
\
/
/
\
X
Рис. 7.10 6
Рис. 7.10 в
координат. Массы этих тел гщ = 6 • 3/2 = 9 и гп2 = 6-10 — 2-9 = 42 условных
единицы. Координата центра масс
-1 + 42-5
О
- 7П2Х2
- ТП2
51
= 4,3.
Второй способ. Рассматриваем пластину как сумму
двух тел — прямоугольника с массой тз = 60 единиц и
треугольника с отрицательной массой гпа = ^9 единиц
(рис. 7.10в). Координаты их центров масс: жз = 5 и Х4 =
= 9. Согласно определению
Рис. 7.12
ТП4Х4
тез
60-5-9-9
60-9
= 4,3.
Естественно, что оба метода приводят к одинаковому результату.
7.12. Разбиваем радиус на 10 равных частей и находим координаты
центров масс полосок (рис. 7.12). Все они лежат на оси абсцисс и имеют
7. Закон сохранения импульса. Центр масс
133
координаты, отмеченные во второй колонке табл. 7.12. Поскольку пластину
мы считаем однородной, то масса каждой полоски пропорциональна ее
Таблица 7.12
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Хп
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
xl
0,0025
0,0225
0,0625
0,1225
0,2025
0,3025
0,4225
0,5625
0,7225
0,9025
rl
0,9975
0,9775
0,9375
0,8775
0,7975
0,6975
0,5775
0,4375
0,2775
0,0975
Гп
0,999
0,989
0,968
0,936
0,893
0,835
0,760
0,661
0,526
0,312
Сумма
ХпГп
0,050
0,148
0,242
0,328
0,402
0,459
0,494
0,496
0,448
0,296
3,363
2
%пГп
0,050
0,147
0,234
0,307
0,359
0,384
0,376
0,328
0,236
0,093
2,514
площади, т.е.
тп ~ Sn = 2Ажгп,
где Ах = 0,1. Как известно, произведение отрезков хорды равно произве™
дению отрезков диаметра, т.е.
Положение центра масс определим следующим образом:
S2X2 + ... +
Si + S2 + ... +
Г2Ж2 + ...
0,4 • 3, 363
уг/2
= 0,428.
Итак, координата центра масс полукруга хц = 0, 428R.
7.13. Разбиваем полушар на 10 «ломтиков» толщиной Аж = 0,1 каж-
каждый. Масса «ломтика» пропорциональна его объему:
тп ~ уп = тгг^Аж.
Координата центра масс
+ г|ж2 + ...
Vio
2тг/3
= 0,
Учитывая данные последней колонки табл. 7.12, получаем
134
Решения
7.14. Аналогично предыдущему разбиваем конус на 10 «ломтиков» тол™
щиыой Ах = 0,1 (рис. 744). Масса каждого «ломтика»:
R=htga
тп ~ Vn = тгАх • гп = тгжп tg a • Ах.
Координата центра масс
ж?0)
Vi + V2 + ... +
Trtg2 a • Ax{x\ + ж|
7rtg2a/3
Рис. 744 = 0, 300(ж? + ж3, + ... + ж?0).
Сведем результаты вычислений в табл. 744, из которой следует, что ж? +
+ ж3 + ... + ж30 = 2487, 500 • 10^3 и 2, 5. Поэтому координата центра масс
Жц = 0,3 • 2,5/г = 0,75/i.
Таблица 744
1
2
3
4
5
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
х3
0,125-КГ3
3,375-10"ь
15,62540"'
42,87540"
91,12540"'
п
6
7
8
9
10
Хп
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
166,37540^3
274,62540^3
421,875-10
614Д2540
857,37540
7.15. а. Для полукруга
R
= J2yxdx.
ttR
о
Но из уравнения окружности х + у = R следует, что xdx = -—ydy. По-
Поэтому
h
R 0
Численный расчет дает ошибку е = @, 428 - 0,424)/0, 424 = 0, 94 % < 1 %.
б. Для полу шара
R R о
" Г 2 л 3 Г з , з Гх/41 ш . _7__
Численный расчет дает ошибку е = @, 376 - 0, 375)/0, 375 < 0, 3 %.
в. Для конуса
h
7rh3 tg2
/тгж2 tg2 a • ж dx = —r I ж3 dx = — • —- = 0,
h6 J пЛ 4
75/i.
0 0
Численный расчет приводит нас к такому же результату.
8. Полная и кинетическая энергия 135
7.16. Положение центра масс (рис. 7.16) определяется по условию
г 1 = ТП2Г2- Обозначив п + г2 = R, получим из основного уравнения
динамики:
R2 ' T2 R2 '
тл 2/ 2/ Щ& ' ШЩ
Разделив равенство miVi/ri = ^2^2/^2 на С
2/2 2/2
77117*1 = ТВ2Г2, ПОЛуЧИМ Vi/ri = ^2/г2? ОТКу™
да следует, что оба тела обращаются вокруг
центра масс с одинаковым периодом Рис. 7.16
_ 2тгп _ 2тгг2
Преобразуем основное уравнение динамики к виду
v2 4тг2 Gm2 vi2 4тг2 Gmi
Г2 Т2 Д2Г1 ' r2 T2 R2r2 '
откуда следует:
<^^1 Г2
1/1 4тг2 ' z 4тг2
Сложив оба равенства, получим
з _ G(mi +m2) T2
Это и есть искомое выражение для обобщенного третьего закона Кеплера.
8. Полная и кинетическая энергия
8.2. Из К = cfо следует, что Й' = 2cf'o, или ^/l — v2/с2 = 1/2. Отсюда
—
8.3. Релятивистский фактор
= c— =2,6-108 м/с.
=2,55.
^1,92-0,08 ^1
Следовательно, полная энергия равна cf' = 2, 55<fo, а кинетическая энер-
энерК = Ш- &о = 1,55^0.
Импульс р =
8.4. Полная энергия Ш = iiT + cf'o = 10, 94 ГэВ. Импульс можно найти
из соотношения
3,0- 10J
10,9-1,6-10-10 _ й in_i8 7
3,0. ю8— =5'80 кг'м/с-
136 Решения
С достаточной степенью точности можно при К ^> &о считать, что
К 10-1,6-КГ10 _ . 1П_18 ,
р=7 = з,о-ю« =5'30 кг'м/с-
Погрешность составит
_ 5,8-5,3
е^ 5?8 ~5/о.
Скорость можно найти из соотношения:
и, Гтшз рс
^= С =
8.6. Относительная погрешность
Крел - Ккл л
Жрел 2(Гтс2 - тс2) 2с2(Г - 1)
Обозначив /3 = и/с, получим
= !-!¦
2A-^13^) 2A-1 + 02)
Ч«
8.8. При равномерном движ:ении груза по наклонной плоскости расхо-
расходуемая мощность
Р = (F + T)v = mgi;(sin a + /л cos a) = uigt;(sm а + tg ip cos а) =
mgv sin (a + у?)
COS if
где tg ip = fi. Скорость
V = / ч
wg sin (a + <?>)
будет минимальной, если sin (a + (p) = 1, т.е. a + <p = тг/2.
Итак,
a = — — arctg /i = arctg — .
2 /i
8.10. Учитывая, что Ко = 0, получаем, что работа электрических сил
равна конечной кинетической энергии:
К = А = еЕ1.
1. Нерелятивистский случай: ти /2 = еЕ1, следовательно,
/2еЕ1
2. Релятивистский случай: у Щ +р2с2 — &о = еЕ1. Отсюда
8. Полная и кинетическая энергия
137
1_и2/с2 — v-~u
После несложных преобразований получим
&о + еЕ1
3. Если
i0, то
2тс2еЕ1 2еЕ1
т.е. справедлива нерелятивистская формула.
8.11. Абсолютная погрешность
*2 ^2 „2
А = & — ЮС =
Щ
Ш + рс 2рс '
8.12. Согласно определению релятивистский фактор в первой ИСО
г = A-и2/с2Г1/2,
во второй ИСО
tV /1 /2 / 2\ —1/2
Г = A — и /с ) .
Из релятивистского закона сложения скоростей и'х = . Имеем
— uxv/c2
и
с2
c2{l-uxv/c2J
I — 2uxv/c2 + u2xv2 /с4 — u'l/c2 + 2uxv/c2 — •
Отсюда следует, что
,2 \ -V2
Г' = ( 1 - ^
— uxv/c
= Г-
— uxv/c
8.13. По определению полная энергия
да т^/ 2 ^ 2 1 - и^/с2 Ттс2 — Tmuxv & — pxv
S = Г тс = Гтс ;^ = = — .
Импульс
/ р/ /
; — г;)A — uxv/c2) _ Ттих — Fmc2v/c2 _ рх — ev/c2
- v2/c2
v2/c
Как видно, полученные законы преобразования энергии и импульса анало-
аналогичны преобразованиям Лоренца для координаты и времени.
138 Решения
9. Соотношение неопределенностей
9.1. Полагая, что электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой
орбите, запишем уравнение движения так:
2 2
4жеог2 г
Отсюда следует, что его кинетическая энергия
2 2
mv e
К =
2 8жеог '
Но если электрон локализован в области с характерным размером г, то его
кинетическая энергия
П2
^ 2mr2 '
Сравнивая оба выражения, получаем г ^ — .
A ft2
Величина ао = ^— = 5, 24 • 1СР11 м называется первым воровским
те2
радиусом (см. § 71.5).
9.2. Оценим сначала импульс и скорость электрона. Имеем
р ^ — и 10™19 кг • м/с.
а
Из формулы р = m/3c/\/l — /З2, где /3 = и,/с, получаем
^^ =^- =360;
отсюда следует: ^й1, т.е. электрон является ультрарелятивистским. Его
кинетическая энергия
К = рс = 3 • 10~п Дж = 200 МэВ.
9.3. Оценим вначале область локализации электрона, его импульс и
скорость. Имеем
Скорость найдем, как в предыдущей задаче:
_^Ц =JL =2-Ю-3.
Поскольку /3 и 2 • 10~, скорость электрона много меньше скорости света,
т.е. электроны проводимости в металле являются нерелятивистскими. Их
кинетическая энергия
1,3-10-19Дж«1эВ.
2т
9.4. Определим сначала число нейтронов и их концентрацию:
67 n=^ =31044M
N= 21Q =l,2-1067, n=—^- =3-1044M
1,67-Ю-27 ' ' 4тгг3/3
10. Элементарная теория столкновений
139
Область локализации нейтрона а = п
р ^ h/a и 7 • 1020 /
20 кг-м/с; релятивистский множитель
10-2О
Р
тс
(
= 1,5-10 15м. Импульс нейтрона
= 0,14,
1,67-Ю7 -3,0- 108
VI-/?2
откуда следует, что /3 и 0,14, т.е. нейтрон нерелятивистский. Его кинетиче-
кинетическая энергия
1,3 • 10~12 Дж^Э МэВ.
2т '
10. Элементарная теория столкновений
10.1. Результат не противоречит закону сохранения импульса: верти-
кальная составляющая импульса передается земному шару.
10.3. Направим ось абсцисс вдоль
стенки, ось ординат перпендикулярно к
ней (рис. 10.3). Поскольку стенка глад-
гладкая, то составляющая импульса вдоль оси
абсцисс не меняется. Полагая, что масса
стенки неизмеримо больше массы шари-
шарика, получаем, что составляющая импуль-
импульса вдоль оси ординат меняет знак, сохра-
сохраняя модуль (см. § 17.3). Итак,
Рх =
РУ =:
Отсюда следует, что а = а (знак угла нас
здесь не интересует).
10.4. Шарик, ударившись в точке М Рис. 10.3
о поверхность параболического зеркала
(рис. 10.4), отразится и попадет в точку F, называемую фокусом. Угол па-
падения а есть угол между направлением скорости шарика и нормалью MN;
он равен углу между касательной ME и
Лот осью абсцисс.Согласно задаче 3.14 имеем:
tga = х/р, где х = OK = MB — абсцисса
шарика до удара. Как видно из рисунка,
ZBMF = Р = 2а - тг/2 и
BF = ВМ
Фокусное
f = OF =
ttg/3 = xtg
расстояние
OB -BF =
— У
/ 7Г \
—xctg2a =
х2 -р2
2Р
=
х2
Р2
1
2р
Р
2
Итак, фокус параболы находится на
оси симметрии (ось ординат) на расстоя-
расстоянии р/2 от вершины. Частица, движущая-
движущаяся параллельно оси симметрии, после упругого отражения попадет в фокус
независимо от того, на каком расстоянии от оси она двигалась.
140 Решения
10.5. В системе отсчета одна из частиц до удара покоится, вторая дви™
жется со скоростью v. После столкновения их скорости v\ и V2] угол разле-
разлета а (рис. 10.5 а). Построим треугольник импульсов (рис. 10.5 б). "Учитывая,
что при упругом соударении сохраняются суммарный импульс и суммарная
кинетическая энергия, получаем
Отсюда следует, что cos /3 = Оиа = /3 = 90°
Рис. 10.5 а Рис. 10.5 6
10.6. Поскольку энергия распределяется между частицами поровну, то
же самое произойдет и с импульсами. Следовательно, после столкновения
протоны разлетаются под равными
углами к первоначальному направ-
направлению движения протона—снаряда
hPi (рис. 10.6). Из законов сохранения
/' суммарного импульса и суммарной
w то / ^ кинетической энергии получим
a 2picos| =p, 2Кг=К.
Из соотношения меж;ду энергией и им™
пульсом © = ©о+р с , учитывая, что
Ш=Шо+К, находим
,&т. Hi
Исключив из этих равенств импульсы и кинетическую энергию протона
после столкновения К\, получим
2 а 2&о+К
C°S 2 = if^T? '
откуда следует:
cos a = 2 cos — — 1 = —; .
Заметим, что в нерелятивистском случае, когда К <С Сро, будем иметь
cos а йОиай тг/2 (сравните с задачей 10.5).
При К = 500 МэВ, учтя, что &о = 938 МэВ (см. задачу 7.1), получим
cos а = 0,117, а = 0,46тг = 82°48;.
10. Элементарная теория столкновений
141
При К = 10 ГэВ получим
cos а = 0, 728, а = 0, 24тг = 43° 12;.
Мы видим, что по мере роста кинетической энергии частицы—снаряда
угол разлета уменьшается, и для ультрарелятивистских частиц (К ^> &о)
он стремится к нулю.
10.7. Один из дисков до удара покоился; его скорость после удара будет
направлена вдоль линии центров в момент контакта (рис. 10.7 б), ибо именно
в этом направлении на него действовала сила. Итак: sin «2 = dj2r\ ai +ctf2 =
= тг/2 (см. задачу 10.5).
Рис. 10.7 6
Рис. 10.8 6
Поскольку массы дисков одинаковы, треугольник импульсов превраща-
превращается в треугольник скоростей (см. рисунок). Имеем
V'2 = t;COSQ!2 = V\ 1 —
10.8. Направим оси координат, как показано на рис. 10.8 6. Как и в
предыдущей задаче, направление движения большего диска после столкно-
столкновения находим из условия
d
Оставшиеся три неизвестные величины — скорости v\ и V2 и угол а± —
найдем, записав уравнения сохранения составляющих импульсов по обеим
осям координат и уравнение сохранения кинетической энергии:
Ply - Р2у = 0, pix + P2x =
К2 = К,
р\ sin а\ — р2 sin «2 = 0,
Pi COS OL\ + P2 COS A2 = P,
Pi
P2
P
2mi
142
Решения
После преобразований получим
Р2 =
ГП\
Pi =
Р
т\ + ГП2
у/(тп,1 + ТВ2J — 4
Р2 Sin OL2
Pi
Заметим, что при пц = wi2 и п = Г2 мы придем к результатам преды-
предыдущей задачи.
10.9. Число частиц, ударяющихся о стенку за время At (рис. 10.9),
равно
N = nvS±Ai = nvSAt cos a
(см. § 17.5). Поскольку при ударе меняется только нормальная составляю-
щая скорости, то элементарная сила
A (mv±) 2mv cos a
f =
Сила давления
искомое давление
At
F = Nf = 2nSmv2 cos2 a,
p = 2nmv2 cos2 a.
Рис. 10.9
10.10. По условию задачи лодка движется в воде равномерно, что озна™
чает равенство модулей силы сопротивления и силы, действующей на парус.
Чтобы выяснить, по какому закону рассчитывается сопротивление во-
воды, найдем число Рейнольдса Re = PqVqIq/щ. По условию v® = 3 м/с, а
характерный размер 1о ~ 1 м. Итак, Re = 3 • 106, следовательно, основную
роль играет сопротивление давления R = CSqPqVq/2.
Будем для определенности считать, что воздух взаимодействует с пару-
парусом упруго. Учитывая также, что nm = p есть плотность воздуха, получаем
CSqPqVq/2 = 2pSv . Площадь парусов
S =
0,1- 1,0-103 -9,0
4-1,3-36,0
= 5 м .
10. Элементарная теория столкновений
143
10.11. Направим оси координат так, как это показано на рис. 10.11.
Тогда составляющие начальной скорости по осям координат имеют значе-
значения vqx = vocosa, voy = voslna, а составляющие ускорения ах = gsina,
ay = ^g cos а. Закон движения для первой ветви траектории запишется
так:
vx = vox + axt = vo cos a + gt sin a,
vy = voy + ayt = vq sin a — gt cos a,
voxt
2
avt
= wot cos a
у = y0 -j- voyt + y = vot sin a —
Поскольку в точке А\ ордината г/i =0, то
tg a 2wq sin a
2
gt2 cos a
g cos2 a
n2
vix = ^^^ A + sin a). wiv = ^wo sin a.
cos a y
После абсолютно упругого удара продольная составляющая скорости не
УФ
Рис. 10.11
изменится, а поперечная составляющая изменит знак. Следовательно, для
второй ветви траектории:
vox = vix =
vo
cos a
A + sin2 a), voy = —viy = vq sin a.
Закон движения запишется аналогично первому случаю:
X = XI
sin a wot(l + sin2 a) gt2sina
g cos2 a
У = yi+
+
= vot sin a
В точке А2 вновь ордината г/2 = 0, следовательно, абсцисса точки А2
4vq sin а ,. . 2 \
Х2 = ^— A + sin a).
g cos2 a
144
Решения
Отношение перемещений
h
- XI . 2
^^— = 1 + 2 sin a.
10.12. Поскольку удар абсолютно упругий, воспользуемся законами со-
сохранения импульса и кинетической энергии. Имеем (рис. 10.12):
Pi
Рис. 10.12
1
m
откуда следует:
М_
т
Pi = Po
sin ip sin (9 + <
P2 Po
sin 9 sin (9 + <p) '
Pi
A
P2
2m 2M
2m
Исключая импульсы p\
го равенства, получаем
из третье-
третьеsin
(p) - sin2 ip sin (9 + 2
11. Потенциальная энергия. Потенциал
11.1. Пусть тело перемещается в поле из точки М в точку N (рис. 11.1),
первый раз — по отрезку прямой MN = I, второй раз — по ломаной
MKN = h + I2. В первом случае работа
А = Fl cos a = Fd.
Во втором случае работа
А = А\ + А2 = Ff I cos «I + Fl2 cos a2 =
= F(Ii cos cl\ + I2 cos a2) = Fd.
Мы видим, что работа не зависит от фор-
формы траектории.
Рис. 11.1
11.2. a. F
Х2 Х2
= -кх, А= J Fdx=-k J xdx = —
XI
XI
kx\
г2
гг
qQ
GmM
' dr GmM
в. F = —,А= I Fdr = - GmM I -^ =
J J г2 г
Г\
Г\
GmM GmM
11. Потенциальная энергия. Потенциал 145
11.5. В диполе один точечный заряд находится в поле другого точеч™
ного заряда; следовательно,
q2 pi
где ре = qd — момент диполя, d — плечо диполя. Знак минус показывает, что
при образовании диполя из двух равных по величине, но противоположных
по знаку зарядов, расположенных вначале бесконечно далеко друг от друга,
выделяется энергия.
11.6. Энергия, выделяемая при образовании одной молекулы хлористо-
хлористого водорода, примерно равна 17 и 10, 3 • 10^20 Дж = 0,65 эВ. В расчете на
1 кг получаем А& = NU = 1, 65 • 106 Дж. (Заметим, что истинное значение
энергии, выделяющейся при образовании 1 кг хлористого водорода, состав-
составляет 2,5 МДж, т.е. по порядку величины наша грубая оценка дает верный
результат.)
2 2
11.8. 8 = K + U=— —^ =-13,6эВ.
2 4
Знак минус означает, что при образовании атома водорода из свободного
протона и электрона выделяется энергия, равная 13,6 эВ.
11.9. а. Рассмотрим задачу в приближении ньютоновской механики.
Положим Ко = 0, (fi — (р2 = ^] А = К — Ко = q((fi — tp2)- Имеем
q(f , и
б. В релятивистском случае
р = ти =
Получаем
Р=~с
_ Ттис2 _ рс2 _ cy/qtpB&o + q<p)
U^ Гтс2 ~ ~% ~ Шо+q^ '
В приближении ньютоновской механики ct'o >> g^? и эти формулы при-
принимают вид
Естественно, что мы получили те же выражения, что и в п. а.
11.10. Относительная погрешность
146 Решения
Отсюда следует:
= 2 g0
Q
Поскольку ? <С 1, имеем: 99 =
11.11. Относительная погрешность
Ррел
Отсюда следует:
12. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
12.1. По закону сохранения импульса mv = (М + ггг)^, по закону сохра™
нения энергии (М + т)и2/2 = (М + m)gh. Отсюда следует:
- т гг—г М + m
— y2g/i =
т т
12.2. а. По второму закону Ньютона
v = \/2gh = \/2gl(l — cosa).
б. По закону сохранения энергии работа силы равна изменению энергии:
о
TYIV
А = AU + К, или Fh
Отсюда следует v = 4 / 2h I — -ff .
12.3. Здесь работа силы трения Т равна убыли кинетической энергии.
В системе отсчета, связанной с платформой,
Т1 = Ко, или /л mg I = ° ,
откуда
9
1 =
Время торможения
- А _ 2* _ ^1
12.4. В верхней точке груз должен двигаться с такой скоростью, чтобы
натяжение нити Т и сила тяжести обеспечили необходимое центростреми-
центростремительное ускорение (рис. 12.4):
mg+T=^ .
12. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
147
Минимальную скорость в верхней точке найдем из условия Т = 0. В ре™
зультате
mg =
I
ушш = 2gl.
Приняв точку О (ось вращения) за нулевой уровень
потенциальной энергии, получим в соответствии с зако- у
ном сохранения энергии
о о
mt4HH
— mgl = — +mgl.
Отсюда следует vo
12.5. Если груз вращается на стержне, то его ско-
скорость в верхней точке может быть равна нулю. По за-
закону сохранения энергии получаем
откуда
mgl = — mgl,
Рис. 12.4
12.6. В направлении, перпендикулярном скорости, на груз действу-
действуют сила натяжения нити Т и составляющая силы тяжести F2 = mg cos a
(рис. 12.6). Согласно второму закону Ньютона
Скорость найдем по закону сохранения
энергии:
^0 = mgh ¦
Отсюда следует:
Т = mg cos a +
2mg(ho — h)
Однако ho = 1A — cos a), h = 1A — cos а);
следовательно, ho — h = I(cosa — cosao).
Подставив в выражение для силы натяже-
Рис 12 6 ния нити' получим
Т = mg C cos a — 2 cos «о) •
12.7. По третьему закону Ньютона сила давления шайбы на шар равна
по модулю силе реакции. В направлении, перпендикулярном вектору сю>
рости, на тело действуют сила реакции N и составляющая силы тяжести
F2 = mg cos а (рис. 12.7). Согласно второму закону Ньютона
' R '
Скорость найдем по закону сохранения энергии mgh = mv /2. Посколь-
Поскольку h = R(l — cos а), то после несложных выкладок получим
N = mgC cos a — 2).
148
Решения
Когда шайба оторвется от шара, она перестанет на него давить, и сила
реакции станет равна нулю. Условие отрыва: cos а = 2/3; а = 48°; h = R/3.
12.8. В верхней точке на велосипедиста дей-
действуют две силы: сила тяжести Р = mg и реак-
реакция опоры внутренней поверхности трека Q; их
равнодействующая сообщает велосипедисту нор-
нормальное ускорение а = v2/г. Согласно второму
закону Ньютона
_ mv2
mg +Q = .
Чтобы найти скорость в верхней точке пет-
петли, используем закон сохранения энергии: потен-
Рис 12 7 циальная энергия в начале спуска (на высоте if)
должна быть равна сумме кинетической и потен-
потенциальной энергий в верхней точке петли (на высоте h = 2г), т.е.
mgH = mg • 2r
mv
или Я = 2r H .
2
Подставив значение v2 = g + Qr/m, имеем
Qr
5г
Минимальная высота (без учета трения) получится, если в верхней точке
петли велосипедист проскальзывает, почти не касаясь трека. Тогда реакция
опоры Q = 0 и Но = 2, 5г.
12.9. Согласно рис. 12.9 имеем
N — mg cos a = mv2/R.
Скорость найдем по закону сохранения энер-
энергии:
mgH = mgR(t — cos a) + mv2/2.
Отсюда следует:
(су tj
3 cos а — 2 + —
R
В верхней точке петли а = тг, следовательно,
( т
iVBepxH = mg —5 + ^^
У////////////////щ ХЧ, F2
Рис. 12.9
Минимальная высота находится из условия iV"BepxH = 0, следовательно,
Ншши = 2, 5R. При этом условии
j\T = 3mg A + cos a) =
о Of
cos — .
12.10. Брошенное под углом а к горизонту со скоростью vq тело должно
пролететь в воздухе расстояние АВ = L = 2i2sina. Как известно (см. § 8.2),
L =
sin a cos a
12. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике 149
откуда
q
COS Of
Скорость vo найдем по закону сохранения энергии
mgH = mgR(l + cos a) + mvl/2,
откуда
Н 1
к = — = 1 + cos a + ¦
R ' —— ' 2cosa •
Для вычисления cos a получаем уравнение
2 cos2 a - 2(k - 1) cos a + 1 = 0.
Следовательно,
cos a = .
"Учитывая, что под корнем должно стоять неотрицательное число, по-
получаем: к — 1 ^ л/2, т.е. к ^ 1 + у/2.
С другой стороны, 0 < cos a ^ 1, т.е. к — 1 + у/(к — IJ — 2 ^ 2 и fe ^ 2, 5.
Итак,
1 + V2^fe^2,5, т.е. A + >/2) Д ^ Я ^ 2, 5Д.
Имеем для граничных значений косинусов:
cosa = ^2/2, т.е. ai=45°,
cos a = A,5 ± 0,5)/2, cosa2 = 0,5, cos аз = 1-
Очевидно, что решение аз = 1 не удовлетворяет условию задачи, поскольку
при аз = 0 нет выреза. Остается решение cosa2 = 0, 5, аг = 60°.
Итак, для высот A + л/2)К ^ Н ^ 2, 5jR соответственно допустимы
вырезы с углами 45° ^ a ^ 60°, которые подбираются по условию
к-1 - л/к2 -2к-1
cos a = .
12.11. Обозначим радиус кривизны в перигелии через До, кинетиче-
кинетическую энергию планеты в перигелии Ко = mvg/2 и потенциальную энергию
С/о = -GmM/ro.
Радиус кривизны в перигелии найдем из второго закона Ньютона:
mvl _ GmM
откуда
_ т^рНз _ 2г0Кр
~ GMm ~ С/о '
В афелии радиус кривизны такой же, как и в перигелии, ибо эллипс —
симметричная фигура. По второму закону Ньютона имеем
mvl GmM
По закону сохранения энергии полная механическая энергия планеты
l GmM mvl GmM
W7 =
2 го 2
150 Решения
Исключая скорости, получаем
GmMRo GmM _ GmMR0 GmM
После сокращений получим квадратное уравнение:
г2аBг0 - Ro) - 2rarl + Дого = 0.
Первый корень уравнения га = го. Это означает, что в данном случае
эллипс вырождается в окружность радиусом го. Тогда и радиус кривизны
Ro = го, следовательно, скорость движения на орбите v = vo =
Второй корень уравнения
2r0 -Ro W
Поскольку расстояние от афелия до Солнца — существенно положи-
положительная величина, то W < 0. Это означает, что планета может двигаться
по эллиптической орбите лишь в том случае, если сумма кинетической и по-
потенциальной энергии (т.е. полная механическая энергия) является отрица-
отрицательной величиной. В частности, для круговой орбиты W = -GmM/Bro).
12.12. Вычислим сначала полную энергию космического корабля в пе™
ригее (т.е. в вершине параболы): W = mv^/2 — GmM/ro. По второму закону
Ньютона GmM/ro = mvo/Ro, где Ro — радиус кривизны в этой точке. От-
Отсюда GmM/ro = rnvgro/Ro^ и полная энергия W = тг;оA/2 — ro/Ro).
Но расстояние от фокуса до вершины г о = / = р/2 (см. задачу 10.4),
а радиус кривизны в этой точке Ro = р (см. задачу 3.13). Подставив эти
значения, убедимся, что полная энергия равна нулю. По закону сохранения
энергии она будет равна нулю и в любой другой точке траектории.
12.13. Пусть стержень опустится на высоту А г/, тогда клин сместится
влево на расстояние Аж. Очевидно, что Ау = AжtgQ;. Поскольку движение
происходит без начальной скорости, то
Аж = axt2 /2, vx = axt, Ay = ayt2 /2, vy = ayt.
По закону сохранения энергии уменьшение потенциальной энергии стерж™
ня при его опускании равно приращению кинетической энергии стержня и
клина:
m2g Ay =
Подставив значения перемещения и скоростей, получим
2.2 ,
m2g€iy = fn2(iy + тп\аХ1 ау = ах tga,
откуда следует:
_ m2gtga _ m2g tg2 a
тп\ + тп2 tg^ a mi + ГП2 tgz a
Сила реакции
niiax mini2g cos a
sin a mi cos2 a + ni2 sin2 a
12.14. Воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса, по™
лучим
Л mvl mvl MV2 Ъ/ГТГ
mgAy = —^ + —^ + ^— , -MF = mvx.
18. Закон сохранения энергии 151
Учитывая, что А г/ = ayt2 /2, Аж = axt2 /2, АХ = Ы2 /2, vx = аж?, Vy =
= ayt и V = fei, а также, что А г/ = (Аж — АХ) tga, получаем после неслож-
несложных преобразований
Mg sin a cos a
М + т sin2 a
т.е. тот же результат, что и в задаче 3.7. Аналогично из этих же уравнений
выводится значение ау. Силу реакции получаем из условия
Q = та = т\
12.15. Вторая космическая скорость для Луны v = . 2GM^jR(r =
= 2,4 км/с. Полагая скорость истечения топлива 4 км/с, находим по форму-
формуле Циолковского: МТОПл = 0, 83 т. Для Земли вторая космическая скорость
11,2 км/с и масса топлива Мтопл = 15, 6 т.
12.16. Звезда не выпустит из своего поля тяготения частицы вещества
и свет, если вторая космическая скорость окажется равной скорости света
в вакууме. Эту идею высказал еще П. Лаплас в 1796 г. Поскольку с2 =
= 2GM/R, то R = 2GM/c2 и 9 км.
13. Закон сохранения энергии
13.1. Возрастание внутренней энергии системы происходит за счет
уменьшения ее кинетической энергии. При абсолютно неупругом ударе двух
одинаковых тел, летящих навстречу друг другу с одинаковыми скоростями,
АЖ" = 2Kq = mv . Изменение внутренней энергии
Acfo = 2m(a Ati + А + c2At2 + L),
где с\ и С2 — удельные теплоемкости льда и воды,
Atx = 0° - (-30°) = 30 °С, At2 = 100° - 0° = 100 °С.
Итак,
v = y/2(aAti + А + с2 At2 + L).
13.3. Умножив солнечную постоянную на поверхность сферы с радиу-
радиусом, равным астрономической единице, получим полную мощность солнеч-
солнечного излучения: Р = 4nJR . Ежесекундная потеря массы /i = Р/с . Десять
процентов массы Солнце потеряет за время
_ 0,1М0 _ Мес2
40ttXR2 '
13.5. До распада частица покоилась, и ее энергия cfo = Me2. Поскольку
она распалась на два равных осколка, то их суммарная полная энергия & =
= 2Гтс2 = 2т(? j\J\ — /З2, где т — масса осколка и и = /Зс — его скорость.
Из закона сохранения энергии следует: 2тс2 j'-\/l — f32 = Me2, откуда
Подставив значение скорости, получим значение массы осколка.
152 Решения
13.6. Используя законы сохранения импульса и полной энергии, полу™
чаем
р = р, &' = Ш + &о,
где Ш = Шо + К = &о -\- еср — полная энергия частицы до удара, р — ее им-
импульс, &f и р' — полная энергия и импульс сгустка, образовавшегося после
неупругого удара. Исключим импульс р , воспользовавшись соотношением
Со7 = cpq2 +p/2c ; получим значение внутренней энергии сгустка:
Кинетическая энергия сгустка
К' = &' - g'o = 2cf + е<р - у/2 & о B&o + eip).
Для протона (&о = 0,938 ГэВ) с кинетической энергией 10 ГэВ получим
&о = 4,7 ГэВ, К! = 7,2 ГэВ.
Для протона с кинетической энергией 76 ГэВ соответственно
&о = 12,1 ГэВ, К' = 65,8 ГэВ.
13.7. Для того чтобы из сгустка возникла пара частиц протон-
антипротон, нужно, чтобы энергия покоя сгустка была по меньшей мере
в два раза больше энергии покоя протона: «fg ^ 2 • 0, 938 = 1, 88 ГэВ. Учи-
Учитывая, что энергия покоя электрона &о = 0,511 МэВ (см. задачу 8.1), по-
получаем
Ц1
Такие ускорители еще не созданы.
13.8. В данном случае сгусток, возникший после неупругого соударе-
соударения, покоится, т.е. вся кинетическая энергия превратилась во внутреннюю.
Внутренняя энергия сгустка &f0 = 2К + 2срол = 2<foPOT, следовательно, К =
= ар = 87ОТ - с^71 = 938, 3-0, 511 = 937, 8 МэВ и 1 ГэВ.
Такие ускорители существуют уже сейчас.
13.9. Внутренняя энергия сгустка в обычном ускорителе при неподвиж-
неподвижной мишени &'о = i/2cpo Bс?о + ец>) (см. задачу 13.6), в ускорителе на
встречных пучках &f0 = е(рв + 2 cf о - Приравнивая оба выражения, получаем
Ч> = 2^
где ср — ускоряющий потенциал обычного ускорителя, ipB — ускоряющий
потенциал в ускорителе на встречных пучках.
Как видно, если е(рв <С &о, ускоритель на встречных пучках неэффекти-
неэффективен, ибо ускоряющий потенциал обычного ускорителя всего лишь в четыре
раза больше, чем в случае встречных пучков. Зато в ультрарелятивистском
случае, когда е<рвУ^&о, ускоритель на встречных пучках очень эффективен.
14. Динамика вращения твердого тела
14.1. Проведем через произвольную точку О ось перпендикулярно
плоскости, в которой лежат силы (рис. 14.1). Момент пары равен алгеб-
алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно оси. Имеем
М = Fia + F2(a + d) = Fia + F2a + F2d.
Ц. Динамика вращения твердого тела 153
Однако F\ = F, F2 = —F\ следовательно, N = —Fd. Знак минус показывает,
что относительно оси эта пара образует левый винт.
a I «1 L а2
7
IT
//
Рис. 14.1 Рис. 14.2
14.2. На рис. 14.2 показаны жирными стрелками силы Fi и F2, при»
ложенные к твердому телу в точках А\ и А2. Приложим в этих же точках
силы Ti и Т2, а в точке С — силы Тз и Т4 так, что Ti = Тз = F\ и Т2 =
= Т4 = F2. Точку С выберем так, что F\a\ = F4.CL4. Покажем, что новая
система из шести сил эквивалентна старой, т.е.
{Fi,F2,Ti,T2,T3,T4} - {Fi,F2}.
В самом деле, система этих сил сводится к прежним силам Fi и F2 и к
двум парам сил {Т1,Тз} и {Т2,Т4} с моментами
Mi = T\a\ sin а и М2 = —T2CL2 sin а.
Но точка С выбрана нами так, что \М\ | = |М2 , следовательно, эти моменты
уравновешиваются и на твердое тело никакого действия не оказывают.
С другой стороны, система шести сил эквивалентна системе сил Тз и
Т4, т.е.
{Fi,F2,Ti,T2,T3,T4} - {Т3,Т4}.
Действительно, силы Fi и Ti, а также силы F2 и Т2 уравновешены, и
неуравновешенными остаются силы Тз и Т4.
Итак, система сил {Fi,F2} эквивалентна системе сил {Тз,Т4} , что и
дает решение задачи.
14.4. Работа по закручиванию пружины на угол а эквивалентна работе
по растяжению пружины на длину ж, которая выражается формулой А =
= Fx/2 = кх2/2. Следовательно, искомая работа
_ Ma _ fa2
Обратите внимание, что модуль кручения системы / = М/а аналогичен
жесткости к = F/x.
14.7. Дифференциал массы равен массе кольца толщиной dr. Имеем
dm 2тгг dr 2Mr dr
М ttR2 ' R2
Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:
dl = dm • г =
2 2Mr3 dr
К2
154
Решения
Отсюда следует:
R R
Г , 2 2М f
1= J dm-r =— J
2 2М f з , 2М Г г4 Г 2MIF MR2
0 0 Д [4 Jo Я -4 2
14.8. Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения
(рис. 14.8). Дифференциал массы определяется выражением
М •
ЗМ
так как г2 = R2 — z2. Момент инерции такого диска
jt dm-г2 ЗМ 2 22
dl (R ) d
Момент инерции шара:
_
ЗМ
—
^+^1 = ^мд2
О
Рис. 14.8
14.9. Для конуса (рис. 14.9)
Mr2 dz
h
i
2h5
Rz
змд2
2h5
dI=
Рис. 14.9
dm-r2 3MR2z4dz
J z4dz
2 /i5
^ 3MR2 ¦ /f
2/i5 • 5
14.10. Из соображений размерности очевидно, что момент инерции ша-
шара J = aMR , где а — числовой коэффициент. Для проведения численного
расчета положим М = 1, R = 1 и разобьем радиус на десять равных частей
(см. задачу 7.12). Масса слоя
Атп = тгг2 Аж • р,
Ц. Динамика вращения твердого тела
155
где
М
Ш
3
4тг
Зг
Зг
Итак, Атпп = —— . Момент инерции слоя
А1п =
Amnrn
2 80
Момент инерции шара есть сумма моментов инерции двух полу шаров;
при М = 1 и R = 1 получим
I = а = 2(Д/1 + А/2 + ... + Д7ю) = |) (г? + г| + ... + г?0).
Используя данные табл. 7.12, выпишем в табл. 14.10 значения четвер-
четвертых степеней радиусов и найдем их сумму, равную 5,333. Отсюда а =
3•5 333
= ¦ = 0,4, т.е. численный расчет привел нас к такому же результату,
40
что и интегрирование.
Таблица 14.10
п
1
2
3
4
5
ri
0,995
0,956
0,880
0,770
0,636
п
6
7
8
9
10
ri
0,486
0,333
0,191
0,077
0,009
14.11. Для конуса, как и для шара, имеем из соображений размерности
I = /3MR2, где /3 — числовой коэффициент. Для проведения численного
расчета положим M = l, h = R=lvi разобьем высоту на десять равных
частей (см. задачу 7.14). Имеем
2 л i Л -. ЗМ 3
Amn = 7TrnAh • р = ОДтгГпр, р = „9, = - ,
TTlt^tl 7Г
Очевидно, что
0,05
0,15 no _ 0,95
i~ •)••••) ту Г
Таблица 14.11
п
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
,05
,15
,25
,35
,45
г
0,06
0,51
3,91
15,00
41,00
4
п
40^3
•10™3
•10^3
•10™3
40~3
п
6
7
8
9
10
Гп
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
96
178
316
521
815
4
,60-
,50-
,00-
,00-
,00-
1(Г3
10
10
10
10
156 Решения
При R = h = 1 получим табл. 14.11, из которой следует, что сумма четвер™
тых степеней радиусов составляет 1,983. В результате
1 = /3= ^ • 1, 983 = 0, 2975 = 0, 3.
Относительная погрешность по сравнению с точной формулой:
е= 0,3-0 2975 .100%w0>8%.
и,о
14.12. Пользуясь законом сохранения энергии для вращающегося твер™
дого тела, выразим сначала угловую скорость как функцию угла. Имеем
1ш2
К = С/о — U, где К = —— , С/о = mgho и U = mgk
Для стержня относительно оси, проходящей через его конец, момент инер-
инерции I = . При колебаниях центр тяжести стержня поднимается на
высоту
ho = - 1A — cosao),
h = — 1A — cos a).
Подставив полученные значения в уравнение баланса энергии, получим
— COSQfo)
I
скорость конца стержня v = ш1.
14.13. По закону сохранения энергии
U - Атр = К,
mg (I sin a + r cos a) — Ткач1 = H •
fcmg cos a
Сила трения качения Ткач = ^^^^^^ ; момент инерции сплошного цилин™
г
mr2 v тж
дра I = — и угловая скорость ш = — . Имеем
2 г
/f . N Ikmg cos a mv2 mv2
mg(l sin a + r cos a) 2 = —-— H — ,
откуда
/ -rt( /. . Ife cos a
v = if -3- I sin a + r cos a — ^^^^
3 V r
Трением в принципе пренебречь нельзя, ибо без трения диск будет не
скатываться, а скользить, и кинетическую энергию вращения учитывать
не надо. Но если трение достаточно слабое, то работой силы трения можно
пренебречь. Для этого должно выполняться следующее условие:
1к
Ц. Динамика вращения твердого тела 157
Для числового примера в задаче имеем
** 1'5-10 =5.10-3, /tga + r=^ +0,1 = 0,68,
3
510, /tga + r
г 10™1 3
т.е. при расчете можно пренебречь работой трения качения.
При соскальзывании цилиндра
2
mv
mg (I sin a + r cos a) = , v = у 2g (I sin a + r cos a).
/ /. . Ik cos a
14.14. v = a g [lsma +rcosa—
r
14.15. Уменьшение кинетической энергии маховика до нуля происходит
за счет работы силы трения. Имеем
л Т^ I^2 тг2ш2 . _. ^т uNourt
АЖ = — = —-— , ATp = Tl = fiNvcpt = ^— ,
откуда следует:
_ пггш жпггп
2/it /it
Попробуйте решить эту задачу, применив основное уравнение динамики
для вращающегося тела.
14.16. При опускании гири ее потенциальная энергия превратится в
кинетическую энергию гири и вращающегося маховика:
mv2 Iuj2
mgh = — + -у •
Маховик и цилиндр вращаются с одинаковой угловой скоростью ш = — ,
г
следовательно, 2mgh = v2 I m -\—- J , откуда
V r2 I
2mgh
m +1 /r2
14.17. Поскольку блок вращается ускоренно, на него должен действо™
вать вращающий момент, возникающий вследствие того, что натяжения
веревки справа и слева различны (см. рис. 3.2). Из основного уравнения
динамики
1Аш
— Т2 = ui2a, —m\g + Ti = wia, M =
At '
Момент силы М = (Т2 — Т\)г. Изменение угловой скорости
д V2 vi a At
Имеем
m2g —-12= 7W2fl, —mig + li = mia, i2 — li = — .
158 Решения
Отсюда следует:
(ra2-mi)g
а =
f- Ш2 + I/Г2 '
mi
T2= ПИ + Ш2 + I/Г2
При — <mi+ Ш2 получим ответ задачи 3.2.
г2
14.18. Ход решения задачи такой же, как и задачи 12.7, за исключением
того, что необходимо учесть кинетическую энергию вращения шарика:
_ nig A7 cos a — 10)
7
14.19. По закону сохранения момента импульса
14.21. Исходя из закона сохранения момента импульса, найдем соотно-
соотношение между радиусом пульсара и периодом его вращения:
2 2 2тг 2 2 2тг
5 10 5 1
следовательно,
Для того чтобы при увеличении скорости вращения не наблюдалось
истечения вещества, необходимо, чтобы на экваторе сила тяготения обеспе-
обеспечила вращение вещества с заданной угловой скоростью, т.е. muj2R < Ртяг.
Итак, < —— ; следовательно, второе искомое соотношение
между радиусом пульсара и периодом его обращения на орбите имеет вид
В?_ GMQ
Г2 4тг2 "
Исключая из обоих уравнений период пульсара, получаем
R> 4тг2Д| 47Г2 ¦ 7 ¦ 1032
~^" Т2 6, 67-Ю-11 -2-1030-2,22 -1012 ~i5KM'
14.22. Кинетическая энергия вращения Солнца
Iqujq 4тг MqRq
Кинетическая энергия вращения пульсара К =
5Г2
15. Неинерциальные системы отсчета и тяготение
159
Отношение этих величин
Т2
= -Щ- ^2 • 109
Т2
Возрастание кинетической энергии вращения звезды при ее сжатии
(коллапсе) происходит за счет работы сил тяготения.
14.23. Момент импульса шара L = 1ш = B/5)mr2 • v/r = B/5)mvr,
где v— окружная скорость на экваторе. Поскольку v < с, то L < B/5)mcr,
откуда
Г>
ЪЬ
г >
ЬК
= 4,?
1 л—13
10 м.
2тс ' """ " " 4тс
Этот размер противоречит опытным данным, согласно которым эффектив-
эффективные размеры электрона на два порядка меньше.
14.24. При неупругом столкновении шара с выступом часть кинетичес-
кинетической энергии превращается во внутреннюю, при этом превращается в нуль
Рис. 14.24
составляющая скорости V2 = vq cos а (рис. 14.24). За счет второй составляю-
составляющей скорости vi = vosina шар поворачивается вокруг точки контакта М.
Если кинетическая энергия вращения окажется не меньше потенциальной
энергии, необходимой для подъема шара на высоту /г, то шар преодолеет
1ш2
выступ. Условие перекатывания имеет вид J? mgh. По теореме Штей-
нера (см. § 22.3) I = Io + mR2 = B/5)mR2 + mR2 = G/5)mR2. Угловая
vq sin a vq(R — h)
i
скорость ш = — =
R
Итак, -
5
R
R2
¦ mgh, или vq
R
су о4 ^ ""t> '"' """ ^и >" ТУ -U
14.25. Для диска I = 10 + mR2 = mR2/2 + mR2 = C/2)mR2; для
тонкостенной трубы I = /0 + mR2 = mR2 + тй2 = 2mR2.
15. Немнерцмальные системы отсчета и тяготение
15.1. Система отсчета, связанная с клином, движется вдоль оси абсцисс
с ускорением а, следовательно, является неинерциальной. На брусок дей-
действуют четыре силы: сила тяжести mg, сила реакции Q, сила трения Т и
сила инерции I = -та. Для решения задачи надо рассмотреть те же два
160
Решения
случая, что и в задаче 5.7 (рисунки 15.1а и 15.16). Относительно неинер™
циальной системы отсчета брусок движется без ускорения, следовательно,
сумма проекций сил на обе оси координат равна нулю. Имеем для обоих
случаев:
ось ординат
Q cos а + Т sin а — mg = 0, Q cos a — Т sin а — mg = 0;
ось абсцисс
-h - Т cos a + Q sin а = 0, - J2 + T cos a + Q sin a = 0.
Полученные уравнения эквивалентны уравнениям задачи 5.7, следова-
следовательно, мы получим тот же ответ.
15.2. На тело во вращающейся системе координат действуют четыре
силы: сила тяжести mg, сила реакции Q, центробежная сила инерции 1цб =
= тш2т и сила трения Т (рис. 15.2). Для того чтобы диск не соскользнул,
необходимо выполнение условия
или тш г
ОТСЮДа
mg
Рис. 15.2
15.3. На мотоциклиста во вращающейся системе отсчета действуют си-
силы mg, Q, Т и 1цб (рис. 15.3). Очевидно, что
Q = I б = тш2г1 Т = uQ = итш2г = — .
г
Мотоциклист не соскользнет со стены, если Т ^ mg. Имеем
„2
^ mg, v I
15. Неинерциальные системы отсчета и тяготение
161
15.4. Во вращающейся системе отсчета на груз действуют три силы,
образующие замкнутый треугольник (рис. 15.4). Имеем
/цб = mg tga, или тш г = nig tga.
Учитывая, что г = I sin сч и ш = 2тг/Т, полу-
получаем
15.5. Из условия, что центробежная сила '
инерции равна силе упругости, получим тот же
результат, что и в задаче 3.9.
15.6. Во вращающейся системе отсчета на частицы вещества на эк-
экваторе звезды действует сила тяготения F = GmM/R2 и центробежная
сила инерции 1цб = muj2R. Вещество начнет истекать, если /цб ^ F, т.е.
ш ^ y/GM/R?.
15.7. В поле тяжести время всплывания капелек жира (см. § 11.9)
9-0,2-10-
= 9 • 10 с = 2,5 ч.
В центрифуге роль поля тяжести, согласно принципу эквивалентности
(§ 24.5), играет поле центробежных сил инерции. Следовательно, в запи-
санной выше формуле нужно просто заменить g на ш2й. Получим
9-0,2- 10"
2г2ш2К(рж - р)
• 4 • 102 • тг2 • 0,8 • 102
= 28 с.
Центрифуга эффективнее в uo2R/g = 320 раз.
15.8. Когда система не вращается, пружина не деформирована и имеет
максимальную длину 1$ = 2а. При вращении системы грузы отходят от оси
вращения, и длина пружины будет равна I =
= 2а cos а. Изменение длины
Д| = |0 — | = 2a(l — cos а).
Чтобы связать угол отклонения со сю>
ростью вращения, перейдем к вращающейся
системе отсчета. При сжатии возникает сила
упругости (рис. 15.8 6)
F = кА1 = 2каA - cos a),
которая уравновешивается центробежной си-
силой инерции
Разложим силу упругости на две парал-
параллельные равные составляющие F\ = F/2, при-
приложенные к грузам (см. задачу 2.2). Условие
равновесия системы относительно верхнего шарнира выглядит так:
la cos a = F\a sin a.
6 А.А. Пинский
162
Решения
Подставив значения сил I и F\, получим
тш a sinacosa = ka sina(l — cosa),
откуда следует, что cos a = к/(к + тш2).
Очевидно, что регулятор будет работать и в невесомости, поскольку мы
нигде не предполагали наличие поля тяготения.
Максимальную скорость вращения определим из условия AI ^ 0,1 • 2а.
Отсюда следует 2аA — cos а) ^ 0, 2а или 0, 9 ^ cos a < 1.
Подставив полученное значение cos а в усло-
условие равновесия, получим
15.9. Свяжем систему отсчета с вращаю-
вращающейся жидкостью. Тогда на каждую частицу
будут действовать три силы: сила тяжести mg,
сила реакции жидкости N и центробежная сила
инерции /цб = тш х (рис. 15.9). Угол между си-
силой реакции и осью ординат равен углу между
касательной и осью абсцисс (как углы со взаим-
взаимно перпендикулярными сторонами). Имеем
/цб ш2х
tga= -^ = — .
mg g
Рис. 15.9 В задаче 3.14 было показано, что у параболы
х2 = 2ру касательная наклонена к оси абсцисс
под углом tg a = х/р. Следовательно, мы можем утверждать, что во вра-
вращающемся сосуде поверхность жидкости есть параболоид, образованный
вращением параболы х = 2g|//cu2 вокруг оси ординат.
15.10. Космический корабль, обращающийся вокруг планеты, — это
неинерциальная система отсчета, движущаяся с ускорением g = GM/R ,
направленным к центру планеты. На тело, находящееся внутри корабля,
действуют две силы: сила тяготения jF = GmM/R2, направленная к цен-
центру планеты, и центробежная сила инерции /цб = mv /R, направленная в
противоположную сторону. Равнодействующая этих сил равна нулю, поэто™
му тело относительно корабля невесомо.
15.12. Замедление времени на «самолетных» часах вызвано двумя эф-
эффектами: уменьшением тяготения и скоростью движения. Имеем
cz
ЕС h V
((р— потенциал гравитационного поля). Поскольку —т- <1 и -т <1, вы-
с1 с1
ражение для времени примет вид
ь-сам — ь-зем [ -I- q II 12 1 —
С / \ ZC
1 _ ih _ _Н_
зем ' с2 2с2 Г
Замедление времени
At = t3em - iCaM = t3em
gh v
с2 2с2
16. Идеальный газ 163
Здесь
gh _ 9,81 • 104
10910
9,0 • 101в " ' '
= 0,43-10-
2с2 2 • 3,62 • 106 • 9,0 • 1016
Поскольку t3eM = 2,5 сут = 2, 5 • 8, 64 • 104 с, то замедление времени
At = 1,5 • 8,64 ¦ 104 • 1,52 • 10~12 = 3,3 • 10 с = 330 не.
Эффект общей теории относительности (влияние поля тяготения) ока-
оказывается сильнее эффекта специальной теории относительности (влияния
скорости) в 2,5 раза.
15.13. Для Солнца и белого карлика
Аи _ if _ GM
Для пульсара воспользуемся точной формулой:
Аи Л I 2GM
15.14. Свет не сможет выйти за пределы поля тяготения звезды, если
потенциал гравитационного поля на поверхности столь велик, что —т- ^ 1.
гл п^ 2GM
Отсюда следует, что радиус «черной дыры» it ^ .
с2
16. Идеальным газ
16.1. Пользуясь уравнением газового состояния, имеем
MV f ро р
Am = то — т = '
R \То Т
Значения р и Т получим из табл. 26.4.
16.2. Средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна сред-
средней кинетической энергии молекул газа, откуда следует, что m(v2)/2 =
= ЗкТ/2 и (v) = у/Щ = ЛДЩт.
16.3. Число соударений за 1 с равно z = Nl<t\J{v2) = Nl(J^/3RT/M.
16.4. Суммарное смещение изображения I = 2r2Co»i, где t— время про-
пролета молекулы между цилиндрами, т.е. t = (r2 — ri)/(v). Средняя квадра™
тичная скорость атомов серебра
Итак,
I = 2ШГ2(Г2
Чтобы оценить погрешность измерения, вычислим ширину несмещен-
несмещенного изображения щели:
а г2 &г2 0,5-8 п
— = — , откуда а = = = 2 мм.
Ь п п 2
164 Решения
Благодаря максвелловскому распределению скоростей смещенные изобра-
изображения еще больше расширены. Отсюда следует, что погрешность измерения
А ^ 2а/2 = а; относительная погрешность
Как видно, опыт Штерна позволял только качественно проверить данные
о молекулярных скоростях.
16.6. Средняя квадратичная скорость атомов водорода в фотосфере
Вторая космическая скорость
= 6,1 • 105 м/с.
Как видно, средняя квадратичная скорость в 51 раз меньше второй косми-
космической скорости, поэтому большинство атомов водорода не могут вырваться
из поля тяготения Солнца. Лишь очень небольшое число атомов, скорость
которых много больше средней, могут улететь, — они и создают солнечный
ветер.
16.7. Поскольку толщина фотосферы мала, можно считать ее плот-
плотность в среднем постоянной, а также считать постоянным ускорение свобод-
свободного падения. Для того чтобы фотосфера находилась в равновесии, необхо-
необходимо, чтобы гидростатическое давление уравновешивалось давлением газа,
т.е. р = pgQh = pRT/Mj где М — молярная масса газа. Отсюда следует
h = RT/MgQ.
16.9. В данной задаче, как и в задаче 16.7, мы будем исходить из ра-
равенства давления газа гидростатическому давлению, которое приближенно
можно вычислить так:
Р = (pQ)gQh = \Р®)^Г ' "у '
где средняя плотность вещества (р©) = M@/V® = ЗМ©/Dтг.К0).
16.10. При температуре 100°С средняя квадратичная скорость моле-
молекул водорода 2,15-10 м/с. Вторая космическая скорость для Луны 2,4 км/с
(см. задачу 12.14). Естественно, что тяготение Луны удержать водород не
сможет. Средние квадратичные скорости молекул других газов в несколько
раз меньше. Но согласно максвелловскому распределению всегда существу-
существует значительная часть молекул, скорость которых в несколько раз больше
средней. Следовательно, и другие газы не могут удержаться тяготением
Луны и рассеиваются в космическом пространстве.
16.12. Вблизи поверхности Земли, согласно табл. 26.3 (см. т. 1), атмо-
атмосферное давление 1,01 • 105 Па, плотность воздуха 1,23 кг/м3 и абсолютная
температура 288 К. Давление гелия внутри оболочки такое же, ибо обо-
оболочка сообщается с атмосферой; плотность гелия при этих условиях рне =
= рМ/RT = 0,16 кг/м . Подъемная сила есть разность архимедовой силы
и силы тяжести:
F = (рат - pUe)Vg.
16. Идеальный газ 165
16.13. Вначале определим молярную массу аммиака:
М = ¦-———¦ =17 кг/кмоль.
Р
Учитывая, что атомные массы элементов, из которых образуется аммиак,
суть Mi = 14 кг/кмоль (азот) и Мг = 1 кг/моль (водород), получаем урав-
нение
М = хгМ\ + Ж2М2, т.е. 17 = 14ж1+Ж2-
Решая его в целых числах, находим х\ = 1, ж 2 = 3. Следовательно, молеку-
лярная формула аммиака NH3.
16.14. При термодинамическом равновесии температура всех состав-
составляющих смеси газов одна и та же. Давление каждой составляющей
pi = щкТ = МгкТ/V, р2 = п2кТ = N2kT/V и т.д.
Сумма парциальных давлений:
кТ
Pi +Р2+Р3 + ... = {N1 + N2 +iV3 + ...)— .
Поскольку общее число молекул N есть сумма числа молекул всех состав-
составляющих смеси N = N\ + N2 + N3 + ..., то сумма парциальных давлений
равна давлению газа:
NkT
Pi + Р2 + +
16.15. При химической реакции образования воды 48 г кислорода сое-
соединились с 6 г водорода. Следовательно, в баллоне находится смесь из 54 г
водяного пара и 4 г водорода. Давление смеси находим по закону Дальтона.
16.16. Пользуясь законом Дальтона, легко получить уравнение тп/М =
= mi/Mi + ТП2/М2. С другой стороны, масса газа есть сумма масс его со-
составных частей: m = mi + ni2- Обозначив х = mi/m, у = тг/тв, получим
систему двух уравнений:
1 х у
м=ж+-к' 1=х+у-
Решая ее, находим искомое содержание газов.
16.17. Малые шарики гуммигута принимают участие в хаотическом
тепловом движении и ведут себя как гигантские молекулы. Следовательно,
их распределение по высоте соответствует барометрическому г):
Щ _ mg(h2 -Ы) Ni_ _ 0,434mg(/i2 -hi)
n2 ^exp кт ' gjv2 ~ кт
Следует учесть, что, кроме силы тяжести, на частицы действует архимедо-
архимедова сила. Если выразить постоянную Больцмана через газовую постоянную
и постоянную Авогадро, то для последней получим
N = mT\g(Ni/N2)
) Показательную (экспоненциальную) функцию ех обычно записывают
в виде ехрж, если показатель степени представляет собой громоздкое выра-
выражение.
166 Решения
Подставив известные данные, получим расчетную формулу
Для постоянной Авогадро имеем значения: 6,32 • 1026; 5,98 • 1026
и 5,45 • 1026. Среднее значение 5,92 • 1026, максимальная погрешность
0,3-10* . Итак, из данных этого эксперимента
NA = E, 9 ±0,3) • 1026 кмоль.
16.18. Для решения задачи следует вычислить потенциальную энергию
в поле центробежных сил:
тт __л__?1 _ ^бГ _ тш2г2
2 2 2
Подставив ее в формулу B6.26), получим искомый результат.
16.19. Для разделения изотопов используется газообразное соединение
урана и фтора — шестифтористый уран ХТРб. Молярные массы соединений:
М± = 349 кг/кмоль и М2 = 352 кг/кмоль. Отношение их концентраций до
вращения сосуда:
пш : nOi = 99, 28 : 0, 715 = 139 : 1.
При вращении центрифуги изотоп с большей атомной массой за счет дей-
действия центробежных сил концентрируется у стенок сосуда. На основе ре™
зультата предыдущей задачи имеем
щ =
т\ш2г2 М\ш2г2
wep
М2ш2г2
Отношение концентраций у стенок сосуда
2 2
П2 по2 (Мг — Mi)о; г
— ехр
ni noi ^ 2RT
Логарифмируя, получаем
П2 _, no2 0,434(М2 — Мг)ш2г2 _
ni Tioi 2RT
Отсюда следует, что тг2 : тц = 176 : 1. Степень обогащения
П2 П02 (Мг — Mi)о; г
х = — : = ехр -
2RT
Очевидно, что \gx = 0,103, х = 1, 27.
16.21.— =(l-ali)afeTo
" /г
-Щ
16.22. На вертикальный столбик газа действует силя тяжести pgSdh и
сила давления F = —Sdp. Поскольку эти силы уравновешены, то pgdh =
17. Первое начало термодинамики 167
= —dp. Плотность исключим с помощью уравнения Клапейрона-Менделе™
ева: р = pRT/M; из соотношения Т = ТЬA — ah) получим dT = —aTodh.
Отсюда следует:
dp _ Mg dT
~р ~ aRT0 ^F '
Интегрируя, находим
Ms
Ыр = —^ 1пТ + const.
aKl
Поскольку уравнение справедливо для любой точки поля тяжести, то на
поверхности планеты
Ms
lnpo = ^7F lnT° + const'
CLltl 0
Вычитая из предыдущего уравнения, исключаем постоянную интегрирова-
интегрирования и получаем
Ms
Ыр ~~ lnpo = ^§г (ЬТ - In То),
откуда и следует искомая формула для барометрического распределения.
16.23. Из барометрического распределения определяем молярную мае™
су газа
aRTolg(po/P)
gig (То/Т) '
где
а = ^1= 1,05-10-м-
"Учитывая, что для Венеры g =8,52 м/с (см. задачу 4.7), мы можем
для четырех значений высот получить значения молярной массы. Средняя
величина
пж 40,0 + 43,2 + 44,4 + 46,0
Мср = = 43,4 кг/кмоль.
Молярная масса ССЬ равна 44 кг/кмоль. Отсюда можно судить, что
атмосфера Венеры в основном состоит именно из углекислого газа. Это
подтверждают и другие методы исследования.
17. Первое начало термодинамики
17.1. При изобарном процессе Q : AU : А = Стр : Cmv '• R- Для одно-
одноатомного газа Стр : Сту : R = 5 : 3 : 2.
17.2. Работа по расширению газа
А = mrpgh + poA^2 — Vi) = mrpgh + poSh.
Количество теплоты найдем из соотношения
/1 С* 7
~А ~ ^fi^ ~ 2
(двухатомный газ!).
17.3. Из соотношений Стр — Cmv = R и j = Cmp/Cmv следует, что
Cmv = R/in — !)• Итак, молярная теплоемкость одноатомного газа при
постоянном объеме лежит в пределах
1,24 • 104 ^ Сшу ^ 1,28 • 104 Дж/(кмоль • К).
168
Решения
Соответственно,
2,07 • 104 <; Стр ^ 2,11 • 104 Дж/(кмоль • К).
Удельные теплоемкости получим, разделив молярные теплоемкости на
молярную массу.
17.4. Для двухатомных газов в указанном интервале температур имеем
R
0,41
R
0,39 '
т.е.
2,02 • 104 ^ CmV ^ 2,13 • 104 Дж/(кмоль • К),
Стр ^ 2,96 • 104 Дж/(кмоль ¦ К).
2,85 • 104
17.6. Работа
Изменение внутренней энергии
AU = — CmV(T2
Количество теплоты
Молярная теплоемкость
Q = AC/
ее отношение к газовой постоянной
P2V2-P1V1 '
=2'06'
% = т/ v
Л Р2 V2 — Pi Vl
в то время как для одноатомного газа Cmp/R = 2, 5, Cmv /R =1,5. Отсюда
можно сделать вывод, что
17.7. Разбиваем изменение объема на 10 равных частей, тогда AV =
= 0,1 м . Элементарная работа на малом участке А\ = (pi)AV. Следова-
Следовательно, полная работа
Таблица 17.7
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И,м3
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
(Щ, м3
1,05
1,15
1,25
1,35
1,45
1,55
1,65
1,75
1,85
1,95
\Vi)
5,71
5,22
4,80
4,45
4,14
3,87
3,64
3,43
3,24
3,08
17. Первое начало термодинамики
169
Сведем данные в табл. 17.7, из которой следует, что сумма (pi) равна
41, 58 • 105 Па. Как видно, работа при изотермическом расширении газа
А = О,1 • 41, 58 • 105 = 4,16 • 105 Дж.
По формуле § 27.6 имеем
А = 2, 3 • 6 • 105 • big 2 = 2, 3 • 6 • О, 301 • 105 = 4,17 • 105 Дж.
Относительная погрешность численного расчета
0,01- 100%
4,17
= 0,24%.
17.8. Работа при изотермическом расширении газа
V2 V2
ТГ = Т7 RTln^- =p1VilnT^ .
V IVl Vi V\
17.9. Циклы изображены на рисунках 17.9 6, 17.9 в, 17.9 г.
4 3
Pi
Pi
Pi
Pi
\
^^4
<
4
>
2
\
1
P2 Pi
Рис. 17.9 6
Рис. 17.9 в
Рис. 17.9 г
17.10. Циклы изображены на рисунках 17.10 6, 17.10 в, 17.10 г.
Рис. 17.10 6
Pi P2 Р
Рис. 17.10 в
Т2 Т
Рис. 17.10 г
17.11. Из первого начала термодинамики для адиабатного процесса
(Q = 0) следует:
^ CmvdT+pdV = 0.
170 Решения
Дифференцируя уравнение Клапейрона-Менделеева, получаем
р dV + F dp = ™rr R dT.
М
Исключив из этих выражений dT, найдем после преобразований
V р
Интегрируем
у „. р
V J р
7
J V J р
Vo Po
откуда
|/ — 7 In И) + lnp — lnpo = 0,
Следовательно, pV1 = PoVq .
17.13. Из уравнения Пуассона получим рад = ро ( — 1 =4-105 -41'4 =
= 42'4 • 105 = 2,79 • 106 Па. При изотермическом сжатии мы получили бы
Ризот = 4ро = 1,6 • 106 Па, т.е. почти в два раза меньшее давление.
Работа по адиабатному сжатию газа
VVl =1,87-10е Дж.
7-1
Работа по изотермическому сж:атию
АИзот = 2,3j9iFi lg ^ = 1,11 • 106 Дж.
V2
18. Второе начало термодмнаммкм
18.2. а) Каж:дой масти имеется три фигуры: валет, дама и король. Сле-
Следовательно, всего фигур 3 • 4 = 12.
б) Красных фигур 3-2 = 6.
Можно рассуждать и так. Вероятность вытащить красную фигуру есть
вероятность сложного события: вытащить фигуру (w\ = 12/36 = 1/3) и вы-
вытащить красную карту (иJ = 1/2). Вероятность одновременного выполне™
ния двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого
отдельного события: w = W1W2 = A/3) • A/2) = 1/6.
18.3. а) Вероятность вытащить первого туза равна 4/36 = 1/9. Если
вытащенный туз возвращается в колоду и колода перетасовывается, то ве-
вероятность вновь вытащить туза такая же. Вероятность вытащить подряд
два туза равна произведению вероятностей.
б) Если вытащенный туз в колоду не возвращается, то вероятность вы-
вытащить следующего туза равна 3/35. Вероятность вытащить подряд два
туза равна произведению вероятностей.
18.4. Пометим мысленно шары, например, обозначим их буквами а,
б, в, г. Распишем все возможные их распределения по обеим половинам
18. Второе начало термодинамики
171
сосуда (табл. 18.4 а). Мы видим, что всего имеется 24 = 16 распределений,
из которых первое и пятое состояния реализуются одним способом, второе
и четвертое — четырьмя способами и третье — шестью способами. Но это,
по существу, и есть термодинамические вероятности.
Математические вероятности получим, разделив полученные значения
на общее число случаев.
Сведем результаты в табл. 18.4 6, где показаны искомые термодинами-
термодинамические и математические вероятности событий.
Таблица 18.4 а
№ р ас-
преде™
ления
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Левая половина
а, б, в, г
а, 6, в
а, б, г
а, в, г
6, в, г
а, 6
а, в
а, г
б, в
б, г
в, г
а
б
в
г
Правая половина
г
в
б
а
в, г
б, г
б, в
а, г
а, в
а, б
б, в, г
а, в, г
а, б, г
а, б, в
а, б, в, г
Состояние
Первое
Второе
Третье
Четвертое
Пятое
Таблица 18.46
Состояние
Первое
Второе
Третье
Четвертое
Пятое
Термодинамическая
вероятность W
сЧ = 1
С\=4
С|=6
d = с\ = 4
а = с? = 1
Математическая
вероятность -ш, %
1/16 = 6
4/16 = 1/4 = 25
6/16 = 3/8 = 38
4/16 = 1/4 = 25
1/16 = 6
18.5. а. Пусть вероятность того, что данный шарик попадет в одну
часть сосуда, равна р; тогда вероятность для него же попасть в другую
часть сосуда q = 1 — р. Вероятность того, что к шариков попадут в первую
часть сосуда, равна рк
другую половину, есть
шариков попадут в первую часть сосуда, дьп — к шариков попадут во вторую
вероятность того, что остальные шарики попадут в
qn^ . Следовательно, вероятность события, когда к
172
Решения
часть сосуда, равна pkqn k. Однако все шарики мы считаем одинаковыми,
следовательно, данный результат может быть реализован Ск способами, —
иными словами, термодинамическая вероятность W данного состояния рав-
равна ct
Чтобы получить математическую вероятность to, нужно умножить чис-
число способов на вероятность одной благоприятной комбинации; следователь-
следовательно,
г^к к п — к s~ik к (-% \п — к
wk = Спр q = Спр A - р)
Такое распределение вероятностей называется биномиальным распределе-
распределением.
б. Если вероятность попадания в обе части сосуда одинакова, то р =
= q = 1/2. Имеем
= с* (I
-ск(-
~ п\2
Мы получили обобщение результата задачи 18.4 на случай п шариков.
18.7. Первый способ. Поскольку все части сосуда равноправны (это —
следствие однородности и изотропности пространства), то вероятность по™
падания частицы в объем V < Vo равна отношению объемов:
>= — , q=l-p =
Vo-V
Vo
В интересующей нас задаче к = п, т.е. все молекулы собираются внутри V.
По результатам задачи 18.5 имеем указанный результат.
При большом числе молекул вероятность такого события ничтожно
мала.
Второй способ. Задачу можно решить, и не обращаясь к биномиально-
биномиальному распределению, а основываясь непосредственно на теореме умножения
вероятностей (см. задачу 18.2). Именно, вероятность того, что одна моле-
молекула попадет в заданный объем, равна р = V/Vq. Вероятность же того, что
все п молекул попадут одновременно в этот объем, равна произведению
вероятностей: w = рп = (У/Уо)п.
18.8. Пусть AS > 0, тогда (см. т. 1, § 28.8) -Q/Ti +Q/T2 > 0, следова™
тельно, Q/T2 > Q/Ti, откуда вытекает Т\ > Тг. Итак, из закона возрастания
энтропии следует принцип запрета Клаузиуса (см. § 28.9 и 29.5).
18.9. Рассмотрим 10 последовательных шагов, начиная с нижнего ле-
левого. Измерим возможно точнее их длины в миллиметрах и переведем по
масштабу в истинные размеры (табл. 18.9).
Таблица 18.9
t
1
2
3
4
5
Размер на
чертеже
L{, мм
8
4
8
7
12
Истинные
размеры
Li, мкм
10
5
10
8,8
15
L2
мкм
100
25
100
77
225
t
6
7
8
9
10
Размер на
чертеже
Li, мм
9,5
14
4
4
3
Истинные
размеры
Li, мкм
11,9
17,5
5
5
3,8
L2
мкм
142
301
25
25
14
18. Второе начало термодинамики 173
Итак, квадрат среднего квадратичного перемещения А2 = 1,04 • 10™9 м2.
Подставляя в формулу Эйнштейна значение А2 и t = 300 с, получаем
Постоянная Авогадро
Рекомендуем читателю проделать аналогичный расчет на других участ-
участках и оценить погрешность метода.
18.11. Согласно определению AS = AQ/T, следовательно, малое ко-
количество теплоты AQ = TAS. Полное количество теплоты за процесс чис-
численно равно площади криволинейной трапеции на рисунке (в заданном мас-
масштабе). Задачу можно решить численными методами или интегрированием.
18.13. Поскольку AS = — , a AQ = dU + pdV = — CmVdT +pdV,
. _ m _, dT m ^dV тж
то AS = — Cmv — H Д • Интегрируя, получаем
JV1 1 ML V
^ ^ m
Если температурный интервал невелик, то можно положить, что изохорная
теплоемкость является постоянной величиной. В этом случае
S'2~Sl = W {СтуЫУг +RlnV '•
18.14. Изохорный процесс:
5, _ 5l - m с v In T2
b2 bl - M CmV 1П Ti .
Изобарный процесс:
Ь2 - Ьх - — Cmv И TjT '
Изотермический процесс:
S2Sl = Rln.
18.15. a) A = P2(V2 - Vi)-pi{V2 - Vi) = (р2 -pi)(V2 - Vi).
6)A=™RTllnYi _RT2ln ^^
M Vi M Vi M Vi
18.16. Коэффициент полезного действия цикла Карно
= Qi-Q2 = T1{S2-Si)-T2{S2-Si) = Ti-T2
Г1~ Qi ~
График цикла Карно в координатах Т — S дан на рис. 18.16.
174
Решения
18.17. КПД цикла 7] = A/Q. Поскольку на изохорных участках рабо-
работа равна нулю, то полезная работа равна разности работ адиабатического
расширения и сжатия:
тп тп тп
=^- Crnv(Ts -T4)-jj Cmv(T2 - Ti) = ¦? CmV(T3 -
1V1 1V1 1V1
- T4).
l Расширение 2
i Сжатие l
Рис. 18Л6
Рабочее тело получает количество тепло™
ты при изохорном сгорании топлива: Q =
= ^ Cmv(Тз - Т2). Итак, ту = 1 - ^ ~ у •
Воспользовавшись результатом задачи
7.12, выразим температуры через объемы.
Имеем: К^Тз = F^Ti и Vj^Ts = F17^1T4.
Разделив первое равенство на второе, получим
Г2/Тз = Т1/Т4. Преобразовав выражение для
КПД, приведем его к виду
. Г4 1-Ti/T4
г? = 1 —- — ;
1 Тз 1-Т2/Тз '
Но вторая дробь, очевидно, равна единице, а первая дробь Т4/Т3 =
= (Vb/ViO = ж7™1. Итак, г/ = 1 - ж7.
18.19. Пусть идеальный газ самопроизвольно изотермически сжался.
При этом в окружающую среду выделится количество теплоты
Qt = At=M ' Vo
(см. задачу 17.8), следовательно, изменение энтропии
Здесь N — число молекул. Поскольку сжатие газа происходило изотерми-
изотермически, то энергия молекулярного движения не изменилась и уменьшение
энтропии произошло только из-за изменения объема. Оценим вероятности
начального и конечного состояний. Математическая вероятность того, что
газ занимает весь объем Vo, практически равна единице, ибо это — достовер-
достоверное событие; итак, wo = 1. Математическая вероятность того, что газ займет
объем V < Vo найдена в задаче 18.7; она равна w = (V/Vo)N. Термодинами™
ческие вероятности макросостояний пропорциональны их математическим
вероятностям:
К. - ^L - (Y-
Wo wo \ Vo
Логарифмируя, получаем
W V
Wo Vo
Сопоставляя равенства A) и B), находим
S -So = klnW - klnWo,
19. Основы газовой динамики 175
откуда следует соотношение между энтропией и термодинамической веро™
ятностью.
18.20. Поскольку оболочка сосуда теплоизолирующая (адиабатная), то
теплообмена с наружной средой нет, но есть теплообмен сквозь перегород-
перегородку до тех пор, пока температуры обеих половин не выравняются. Итак,
Q = Qvi + Qv2 = 0, или Cmv(Ti - Т) + Cmv(T2 - Т) = 0, откуда Г =
= (Ti + Т2)/2. Изменение энтропии при этом процессе ASv = ASiv +
+ AS2v = CmV In (T/Ti) + CmV In (T/T2) = CmVln(T2/(T1T2))(cM. зада-
задачу 18.13). Подставив значение Т, получим
/ТТ 1 rp^ \ 2
ASv = Cmv In ¦
4TiT2 '
Покажем, что AS > 0. Имеем очевидное неравенство: (Т2 — Т\J > О,
или Т22 — 2T2Ti + Тх2 > 0. Прибавив к обеим частям неравенства 4T2Ti,
получим Т22 + 2TiT2 + Tl > 4TiT2, или (Т2 + TiJ/DTiT2) > 1, отсюда
ln[(T2+TiJ/DTiT2)] >0.
18.21. В этом процессе изохорную молярную теплоемкость надо заме™
нить на изобарную. Получим ASP = Сшр In [(Тг + T2J/DTiT2)] > ASV.
19. Основы газовом динамики
19.2. Применим уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
Скорость в пожарном рукаве найдем из уравнения неразрывности.
19.3. Применив к обоим сечениям уравнение Берну лли для несжимае-
несжимаемой жидкости и выразив скорость в сужении через скорость газа в трубо-
трубопроводе, получим
где Dud — диаметры трубопровода и сужения. Но расход
^ = pSv = — 7TpvD2,
а перепад давления Ар = pogh, где ро — плотность воды. После несложных
преобразований получим окончательное выражение для расхода.
19.4. Воспользуемся законом сохранения энергии в консервативных си-
системах. Здесь работа сил давления сопровождается изменением полной ме-
механической энергии системы: А = И^2 — W\ = (К2 + U2) — (K\ + Ui). Выделим
мысленно некий объем жидкости V = hSi = I2S2] масса этого объема m =
= pV. Работа сил давления
А = Fih - F2I2 = piSih - P2S2I2 = (pi - p2)V.
Подставив полученный результат в выражение для изменения энергии, по-
получим
- mghi,
откуда следует:
ллB ЛЛ,2
¦ pgh2.
176
Решения
19.5. Допустим, что за некоторое малое время из отверстия вытекает
столь малый объем жидкости, что снижение ее уровня в широкой части
сосуда незначительно. Поэтому скоростью движения жидкости в широкой
части сосуда можно пренебречь. Учитывая также, что перепад давлений
здесь определяется только гидростатическим давлением, мы придем к вы™
воду, что уравнение Бернулли примет вид pgh = рг;2/2, откуда и следует
формула Торичелли для скорости истечения жидкости через малое отвер-
отверстие.
19.6. Воспользовавшись формулами C0.9) и C0.17), получим искомый
результат.
19.7. В движущейся системе отсчета, связанной со скачком уплотнения,
справедлива система уравнений (см. т. 1, § 30.5):
ри = роио1
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-
I
1
абата
к
п
cd
К
; 1
т
i i i
1
i i ^
р + ри = ро +
и
У
+ ¦
7
'-1
7 Ро
' - 1 ро
Здесь uq = —w — скорость набегания невоз™
мущенного газа на скачок, ро ш ро — давле™
ние и плотность невозмущенного газа, и =
= v —- w — скорость газа за скачком, р и р —
его давление и плотность в этой области, w
— скорость тела (и головной волны) отно-
относительно Земли. Данная система уравнений
представляет собой уравнения неразрывно-
неразрывности, импульсов и энергии.
Из первых двух уравнений найдем ско-
скорости
- ро)
0 12 3 4 5 6 р/р0
Рис. 19.7
эти значения в уравнение
получим искомый результат
Подставив
Бернулли,
(рис. 19.7).
19.8. Знаменатель в уравнении Гюгоньо не должен обращаться в нуль.
А так как числитель — число положительное, то и знаменатель должен
быть положительным числом.
Р
19.9. Уравнение Гюгоньо приводится легко к виду -— =
Ро
G + 1)Р - G - 1)Ро ,-
= ; ; . \ , откуда после преобразования следует
G + 1)ро - G - !)Р
G + 1)(РРо - Pop) = G - 1)(РР - Роро). Положим ро = р - dp и р0 =
= р — dp и подставим в последнее уравнение. Приведя подобные и
пренебрегая слагаемым dp dp как бесконечно малой второго порядка
малости, получим 7— :=: — • Интегрируя, имеем jlnp = In о — In const
Р Р
или р/'р1 = const. А это и есть уравнение Пуассона.
19. Основы газовой динамики
177
19.10. Скорость ударной волны равна и = \ -*-\ т- • Здесь ро =
V Р(рр)
= 1,01 • 105 Па, ро = 1,29 кг/м3, р = 200ро, плотность на фронте ударной
волны найдем из уравнения Гюгоньо (см. задачу 19.7). Обозначив
/7оРо
y=JL =200,
Ро
7о -
= 3,5,
получим после преобразований
да/
1 а2 /280 ггт-г
- •— = aW — =ал/200.
а — 1 7о V 1,4
19.12. Из рис. 19.12 видно, что d =
sin а
= МЛ,, где М — число Маха.
Рг
Ръ
Р\
Квазистатическое
расширение
3
Р2 Р
Рис. 19.12
Рис. 19.13
19.13. Рассмотрим цикл, изображенный на рис. 19.13. Поскольку газ
возвращается в первоначальное состояние, изменение энтропии за весь цикл
равно нулю. Но при квазистатическом адиабатном расширении газа (уча-
(участок 2-3) энтропия не меняется, при изохорном охлаждении газа (участок
3-1) его энтропия убывает. Следовательно, при ударном сжатии (участок
1-2) энтропия возрастала. Сделаем расчет, полагая, что степень сжатия газа
х = p2/pi- Полагая, как и в задаче 19.10, а = G+1)/G~1)j получаем с помо™
щью уравнений Гюгоньо и Пуассона (задача 19.7) рг/pi = (ах ~~ 1)/(« — ж),
Рг/рз = ж7; следовательно, рз/pi = («ж — 1)/(а — х)х1.
Изменение энтропии при ударном сжатии равно изменению энтропии
при изохорном охлаждении, взятому с обратным знаком. Воспользовавшись
результатом задачи 18.14, получим
А5*уд = -
—
1 Tl
In — =
т
т
~М
^ =^стУы
¦ Т3 М ^'"bV ~ Pl M ^'"bV ~ (а - х)х^ '
19.14. В критическом сечении скорость потока равна местной скорости
звука; в котле скорость потока равна нулю. Воспользовавшись результатом
задачи 19.6, получим
откуда г;кр =
178 Решения
Для определения скорости пара при выходе из сопла воспользуемся
уравнением Бернулли в форме C0.8), в результате v = д/2ср(ТЬ — Т).
19.16. Силу тяги найдем по второму закону Ньютона: F — mg = ma^
откуда следует F = 4mg. Расход топлива с окислителем
_ F _ 4mg
A — — .
и и
Из уравнения неразрывности находим плотность газа
A Wmg
Р =
Su wD'2u2
Давление найдем из уравнения Клапейрона—Менделеева.
19.19. Прежде всего определим число Рейнольдса, взяв за характерный
размер диаметр трубопровода:
Re=Evd= 8- 1О'-О,8- 1,1 =? 1Q4
т] 10~2
что много больше 2320. Следовательно, коэффициент гидравлического тре-
трения надо искать по эмпирической формуле
0^516 2
Это позволяет по формуле C0.32) найти перепад давлений на участке.
Мощность найдем по формуле Р = Fv = ApSv.
Заметим, что этот расчет сделан для идеализированной гладкой тру-
трубы, в реальной трубе требуется существенно больший перепад давлений и,
соответственно, значительно большая мощность насоса.
19.20. Уравнение неразрывности есть следствие закона сохранения мас-
массы вещества, поэтому оно справедливо для любого установившегося тече-
течения жидкости. Уравнение импульсов и уравнение Бернулли выводятся для
идеальной жидкости, т.е. для случая, когда вязкостью можно пренебречь.
Между тем в трубопроводах вязкость жидкости играет существенную роль
и силами трения пренебречь невозможно.
19.21. В выражение а = л/jRT/M подставить значения j = 1,41, R =
= 8,31 кДжДкмоль-К) и М = 29 кг/кмоль.
20. Твердое тело
20.1. Напряжение а = F/S, где F — приложенная сила, S — площадь
сечения, по которому распределена эта сила. Воспользовавшись определе-
определением модуля всестороннего сжатия, получим
F = KSe = KS
V
20.3. Стрела провеса h = ^/(!/2J — (d/2J = 0,625 м. Сила, растяги-
растягивающая трос, F = mgljAh = 1,57 • 104 Н, сечение троса S = 120ttD2/4 =
= ЗОтг!J = 9,4 • 10~5 м2. Отсюда по закону Рука находим удлинение троса
Al=Fl
ES AESh
20. Твердое тело 179
По разрушающему напряжению находим силу, способную разорвать
трос: FM = ашБ. Груз, способный разорвать трос,
20.4. Искомая сила имеет вид
e2
4тгеоа2
(-
1
22
i
32
1
42 +•
e2
11
4тге0а2 \122 З2 • 42 52 • б2
Подсчитаем с точностью до трех значащих цифр значение ряда в скоб™
ках. Исходя из заданной точности, можно отбросить все члены, меньшие
0,001, т.е. взять сумму первых десяти членов ряда, в результате
Отсюда следует:
Как видно, с погрешностью, не превосходящей 20 %, можно пренебречь
взаимодействием всех ионов, кроме ближайшего соседа.
20.5. Для расчета рассмотрим плоскость с так называемым «шахмат-
«шахматным» чередованием ионов. Тогда разрушающее напряжение аш = Fqh^ где
F® = е /Dтт?оа ) — сила взаимодействия соседних ионов, п = а"" — кон-
концентрация ионов на единице площади. Итак,
20.7. Задачу будем решать во вращающейся системе отсчета. Выде-
Выделим мысленно участок маховика, видимый из центра под малым углом а.
На этот участок металла действуют центробежная сила инерции и две си-
силы упругости. Соотношение между ними вытекает из условия равновесия:
^цб = Та. Здесь Т = aSj где S — сечение обода маховика и а — напряже-
напряжение. Объем выделенного участка V = IS = о*5Шср, где Rcp = (R + г)/2 —
средний радиус обода маховика. Центробежная сила инерции
/цб = тпш Rep :=: 0^ Rep ' pV = oipSuj Rc-pi
где р — плотность металла. Подставив /цб в условие равновесия, получим
зависимость напряжения в металле от скорости вращения:
(т = рш Rcp.
Допустимой является скорость вращения, если напряжение не превы-
превысит предела упругости. В этом случае при уменьшении скорости вращения
маховик под действием упругих сил вернется в первоначальное состояние.
Следовательно, максимально допустимая угловая скорость вращения ма-
маховика
GE 2 \(ТЕ
Р
180
Решения
Разрушение маховика наступит в том случае, если напряжение в махо-
вике достигнет значения разрушающего напряжения:
_ 2
Шразр
20.8. Вырежем мысленно из сферы малый сферический сегмент
(рис. 20.8), радиус основания которого а = Rsina. По периферии этого
сегмента на элемент площадки AS = dAl дей-
действует элементарная сила упругости AT =
= aAS = adAl. Нормальная составляю-
составляющая элементарной силы АТп = AT sin а =
= adAl sin а. Суммируя по всей окружности
сегмента, получаем полную силу нормально-
нормального давления:
Тп = ad • 27raslna = 2тгaRd sin a.
Эта сила уравновешивает силу давления газа
jP = pS, которая действует на сегмент. При
малом угле поверхность сегмента S = тта =
= ttR2 sin2 а и сила давления F = TrpR2 sin2 а.
AT
Рис. 20i
AT
Из баланса сил следует, что р = 2ad/R.
20.9. Вырежем мысленно из цилиндрической поверхности вдоль обра-
образующей малый участок (рис. 20.9). Как видно, на участок действуют четыре
силы упругости. Две из них направлены вдоль образующей; их нормальные
составляющие равны нулю, поэтому они
не противодействуют давлению газа и их
в расчете учитывать не следует. Две дру™
гие силы направлены перпендикулярно
образующим; их нормальные составляю-
составляющие в сумме дают нормальную силу Тп =
= 2aldsina. Сила давления F = pS =
= 2pal = 2pl Rsina.
Из условия равенства сил следует,
что р = ad/R^ что и требовалось дока-
доказать (сравните с задачей 20.8).
20.10. В данном температурном ин-
интервале относительное изменение длины
пропорционально изменению температу-
температуры: е = AI/I = aiAt. По закону Гука а =
= Ее = EaiAt.
20.11. Задача решается аналогично
задаче 20.8. Выделив мысленно участок
обоймы, видный под малым углом а, по-
получим F = Та, где F = (J\Si — сила давления на обойму со стороны ци-
цилиндра, Т = aS2 — сила напряжения в кольце. Но S\ = hra, S2 = hd
(рис. 20.11), а давление на обойму найдем так же, как в задаче 20.10:
р = а\ = Е\е = Е\ = ЕгщАг.
г
Здесь Е\ — модуль Юнга для стали, а\ — коэффициент теплового расши-
расширения стали. Отсюда следует: EidiAirah = «72Л-acf, и напряжение в обойме
Рис. 20.9
21. Жидкость
181
20.12. Напряжение ищем по закону Гука: а = Ее = ЕАр/р. Изменение
плотности находим по данным § 33.5 (см. т. 1). Возникшее во льду напря-
напряжение равно давлению, которое он оказывает на скалу.
J_L
JL
hi
Рис. 20.11
Рис. 20.13
20.13. Условие равновесия жидкости в сообщающихся сосудах
(рис. 20.13): р\ = р2 или p\h\g = /J^2g. Но р = ро/A + &vt), откуда
1 + avt\ 1 + ay ?2
ay =
Л-2 — hi
20.14. В простой кубической решетке атомы расположены по вершинам
куба. Всего в восьми вершинах расположено восемь атомов, но в каждой
вершине атом делится на восемь кубиков, сходящихся в вершине. Следо-
Следовательно, на один кубик приходится один атом. В объемноцентрированной
решетке в центре ячейки находится еще один атом.
20.15. В гранецентрированной решетке атомы расположены в восьми
вершинах и на шести гранях. Вершина содержит 1/8 атома, грань — поло-
половину атома. Всего в ячейку входит 8 • A/8) + 6 • A/2) = 4 атома.
20.16. В гексагональной решетке три средних атома полностью входят
в ячейку; два атома, расположенные в центрах оснований, входят в ячейку
наполовину; двенадцать атомов, расположенных в вершинах призмы, де-
делятся каждый на шесть ячеек, сходящихся в одной вершине. Итак, всего в
элементарную ячейку входит 3-1 + 2- A/2)+ 12- A/6) =6 атомов.
20.17. Сила взаимодействия между молекулами / = —А/У7 + В /г13
(см. т. 1, § 31.4). По определению U = — j f dr.
20.18. Минимум энергии определяется из условия dUjdr = — / = О,
откуда следует, что он достигается при расстоянии между молекулами d =
= уВ/А. Подставив в выражение для энергии г = cf, получим искомый
результат.
21. Жидкость
21.1. Для проверки применимости экспоненциального закона зависи-
зависимости вязкости от температуры найдем, как зависит логарифм вязкости от
величины, обратной абсолютной температуре. Для этой цели по результа-
результатам табл. 21.1 а составим новую табл. 21.1 б. По данным этой таблицы стро-
строим график на миллиметровой бумаге. Как видно, почти все точки ложатся
182
Решения
на прямую линию
= а + Ьх,
lg A03f7) = а + 103- = а + — .
Потенцируя, получаем
21.16
т, к
273
283
293
303
313
х = 103/Т
3,66
3,53
3,41
3,30
3,19
y = lgA03i7)
0,226
0,210
0,191
0,176
0,161
Т, К
323
333
343
373
х = 103/Т
3,10
3,00
2,92
2,68
0,148
0,136
0,123
0,091
что отличается от формулы C4.10) лишь числовыми коэффициентами.
Для определения энергии активации ео используем две точки, лежащие
на прямой:
xi = 2,75, у = 0,100 и х2 = 3,60, у2 = 0,213.
Этим точкам соответствуют температуры Т\ = 10 jx\ = 364 К, Тг =
3 3 3
= 103/ж2 = 278 К и вязкости тц = 10^
= 1,63 • 10^3 Па-с. Отношение вязкостен
• Wyi = 1,26 •
Па-с, щ =
m
= exp
Отсюда, логарифмируя, находим
кТгТ2 m '
771) _ 2J3kT1T2\g(m/m)
T\ —T2 Ti — T2
21.3. Вода станет подниматься и дойдет до верхнего отверстия капил-
капилляра. Здесь кривизна вогнутой поверхности начнет уменьшаться до тех пор,
пока давление искривленной поверхности не сравняется с гидростатическим
давлением столбика воды. После этого вода перестанет подниматься. "Усло-
"Условие равновесия:
Л 2G COS в
Ар = = pgh.
Для краевого угла получим
2<Т
= 0,544, ^ = 57°.
21.4. Общая поверхность всех капелек So = 400тгг2 = ЮОж!2, объем
всех капелек Vo = 100тгс13/6. Когда капельки сольются в одну, объем не
22. Пар 183
изменится, а поверхность уменьшится: V = ttD3/6 = Vo, S = ttD2. Из
равенства объемов найдем диаметр большой капли:
3 ttD3
откуда D =
=
6 6
поверхность большой капли S = ird2 л^Ю4. Уменьшению площади AS = So —
— S = тгс?2A02 — 104^3) соответствует уменьшение энергии поверхностного
слоя
Д gnOB = aAS и a AS = wad2(W2 - 104/3).
21.5. В невесомости на жидкость действуют две силы: сила поверх-
ностного натяжения FnOB = тгсгс? и сила гидравлического сопротивления
i^conp = А— • ^г^ • —— (см. т. 1, § 30.16). Поскольку скорость движения
а 2 4
жидкости мала, то при малых числах Рейнольдса А = 64/Re = 64т]/(pvd).
Приравнивая силы, получаем после упрощений
ad
Вычислив скорость, найдем число Рейнольдса и убедимся, что оно много
меньше 2320.
21.7. Когда жидкость опустится до нижнего конца трубки, там обра-
образуется выпуклый мениск, по форме точно такой же, как и наверху. Избы-
Избыточное давление Ар = 2 • 2а/г. Но 2а/г = pgh, Ар = phH, откуда следует
Н = 2/г.
21.9. Допустим, что капля растеклась симметрично и имеет сверху вид
круга радиусом R. Площадь этого круга S = V/d = m/pd. Сила притяжения
между пластинами F = ApS, где Ар = 2а jd — избыточное давление под
искривленной поверхностью. Следовательно,
2ат
pd2 '
21.10. Давление слева и справа одинаково, т.е.
4G 4G 4G
АР1 + Ар = Ар2, или — + — = — ;
±ь\ it хь2
здесь Ар = 4сг/Д, ибо пленка имеет две поверхности — наружную и вну-
внутреннюю. Итак,
1 _ 1 1
д ~ Ж ~ Ж '
Поскольку в точке контакта трех пленок мы имеем систему трех равных
сил, уравновешивающихся на плоскости, то угол между силами находится
из условия, что они образуют замкнутый треугольник.
22. Пар
22.2. В отличие от идеального газа, у которого при изохорном процессе
концентрация молекул (и плотность) не меняется, у насыщенного пара с
ростом температуры концентрация молекул (и плотность) возрастает за
счет дополнительного испарения жидкости.
184 Решения
22.3. Плотность насыщенного пара при 55 ° С равна 104,3 г/м3. Следова-
Следовательно, 8 г насыщенного пара при этой температуре займут объем 8/104,3 =
= 7,6 • 10"" м = 7,6 л. Очевидно, что при меньшем объеме выпадет роса.
22.7. Сначала определим массу влаги в каждой части воздуха, т.е. аб-
абсолютную влажность смешиваемых объемов. Имеем в 5 м3 воздуха
пц = fiVi = pTcBiVi = 12,8 • 0,22 • 5 = 14,1 г.
В 3 м3 воздуха
т2 = pTcB2V2 = 27,2 • 0,46 • 3 = 37,5 г.
Далее найдем абсолютную влажность смеси:
пц + т2 /3
/ = т/ , т/ = 6,45 г/м .
Для определения относительной влажности надо найти температуру
смеси. Пренебрегая массой паров, можно уравнение теплового баланса за-
записать в виде
poVlCo(t - 15) = poF2coB8 - t),
где индексом нуль помечены плотность и теплоемкость воздуха. Имеем t =
= 20°С. Теперь уже легко определяется относительная влажность.
22.8. ДрКрТКр/М = 9,8 • 107 Па, в то время как ркр = 218 атм =
= 2,2-10 Па. Следовательно, к критическому состоянию неприменимо
уравнение Клапейрона-Менделеева. Причина в том, что здесь большую
роль играет молекулярное взаимодействие, которым мы пренебрегаем в иде-
идеальном газе.
23. Фазовые переходы
23.1. Поскольку парообразование происходит при постоянном давле™
нии, то А = p(vq^p — г>сГ), где vo = 1/р — удельный объем, т.е. объем одного
килограмма вещества. Итак,
Рпар р
Плотность пара при 100 °С найдем по табл. 35.1 (см. т.1, § 35.3). Поскольку
удельный объем пара почти в тысячу раз больше удельного объема жидко-
жидкости, то с погрешностью менее одного процента А = р/рПар-
Энергию, расходуемую на разрыв связей между молекулами, найдем по
первому началу термодинамики: АС/ = L — А, где L — удельная теплота
парообразования.
23.2. Под давлением проволоки лед плавится, и проволока опускается;
оказавшаяся сверху вода тут же вновь замерзает.
23.3. При конденсации пара и последующем охлаждении горячей воды
до точки плавления льда выделится Q = тз(Ь + cAt) = 5, 2 • 10 Дж тепла.
Этого не хватит на плавление всего льда: для этого необходимо Qnjl =
= ГП2Х = 106 Дж. Следовательно, расплавится лишь часть льда.
23.7. При замерзании воды выделяется теплота плавления, которая
пойдет на разогревание оставшейся воды до 0 °С. Пусть общая масса пере-
переохлажденной воды т, масса образовавшегося льда mi, масса оставшейся
24- Поле неподвитсных зарядов в вакууме 185
воды Ш2 = т — mi. Из уравнения теплового баланса имеем mi A =
= (т — mi)cAt, откуда следует:
mi cAt
х =
m A + с At
23.8. Скорость истечения равна v = p/pS, где расход пара /л — коли-
количество жидкости, испаряющейся ежесекундно. Очевидно, что ц = Q/Lt =
= rjP/L, где Р — мощность плитки и rj — ее коэффициент полезного дей-
действия. Итак,
v
pLS'
23.9. Сначала определим точку плавления: t = —Ар/к = ^4,35 °С. При
охлаждении льда до этой температуры выделится теплота Q = mcAt =
= mc|?|. Эта теплота пойдет на плавление льда: <ЭПЛ = mi А. Итак, распла-
расплавившаяся часть льда х = тг/т = c|t|/A.
При расчете будем считать теплоемкость льда и теплоту плавления по-
постоянными.
23.10. Приток теплоты в дыоар Q = а(ТВОЗд — Т), где а — некий ко-
коэффициент, Т — температура внутри дьюара. Для льда и азота получим
отношение
Ql _ Увозд — Т\
Q2 Гвозд — Тч
Но для азота Q2 = ТП2Ь, где L — теплота испарения азота; для льда, соот-
соответственно, Qi = 7711 А. Итак,
mi А Твозд - Тг пцХ(ТВОЗД - Т2)
— откуда ni2 =
Твоз —- Т2 '
23.12. По закону Гука а = еЕ. Относительное удлинение
_ А|
24. Поле неподвижных зарядов в вакууме
24.1. Для случая разноименных зарядов очевидно, что истинная сила
взаимодействия зарядов больше, чем если бы заряды были сконцентрировав
ны в центрах шаров, и меньше, чем если бы заряды были сконцентрированы
в самых близких друг к другу точках шаров:
- 2г0J
Абсолютная погрешность меньше разности граничных значений, отно-
относительная погрешность меньше отношения этой разности к минимальной
силе:
F2 -Fi _ г2 -(г- 2г0J _ 4ro(r-ro)
F ~ BJ ~ BJ '
186
Решения
24.2. Проведем оси координат, как показано на рис. 24.2. Пусть М
одна из точек, где потенциал равен нулю:
Я.
= 0,
откуда следует, что Г2 = 2г\.
Рис. 24.2
Подставив п = д/Cа — жJ + |/2 и г2 = д/Cа + жJ + |/2, получим после
преобразований:
(ж-5аJ+|/2 = 16а2.
Это — уравнение окружности, радиус которой равен 4а, а координаты цен-
центра Eа, 0).
24.4. На каплю вертикально вниз действует сила тяжести mg =
= (l/6)pD3pg. Ее уравновешивает электрическая сила F = qE = q<p/d,
направленная вверх. Из баланса сил находим заряд капли.
24.5. Здесь эквипотенциальные поверхности — сферы с центром в ис-
источнике, нормалями являются радиусы. Если потенциал ср = д/Dтгео^), то
напряженность поля
dr
что и требовалось доказать.
24.6. (р= -
q
(
dr \4тгеог
4тгео
+ const.
24.7. Потенциал найдем, разбив кольцо на малые участки и суммировав
потенциалы этих участков. Напряженность поля
Ь — —— — — —
dx 4тгео dx
(х2 + а
2x^3/2
•2х =
qx
24.8. а) Из рис. 24.8 а видно, что здесь на диполь действует пара сил.
Равнодействующая пары равна нулю; момент пары получим, умножив силу
на плечо.
24- Поле неподвчтсных зарядов в вакууме 187
б) Из рис. 24.8 б видно, что в этом случае на диполь действуют две си™
лы, направленные вдоль радиус-вектора. Отсюда ясно, что момент здесь
Рис. 24.8 а Рис. 24.8 6
равен нулю, а равнодействующая направлена вдоль радиуса к источнику.
Равнодействующую можно найти двумя способами. Можно воспользовать-
воспользоваться законом Кулона:
F = F^F =91+ Q* - 2<*"rf
4тге0 (г - 1/2J 4тге0 (г + 1/2J 4тгг0 (г - 12/4J '
Учитывая, что по условию задачи 1<г, получаем
_ 2Qr • gl 2Qpe
:= 4~ := ч" '
Этот же результат можно получить из формулы C7.15) (см. т. 1), за-
заменив отношение приращений производной:
F = Ре -Г- =Ре-Г
аг аг
24.9. При параллельном соединении конденсаторов все соединенные
между собой обкладки имеют одинаковый потенциал; следовательно, q\ =
= Ci((pi — if2) и g2 = C^i^fi — ^2M где gi и g2 — заряды соответствующих
конденсаторов. Заряд батареи g = gi + дг = (С\ + C2)(y?i — ^2). С другой
стороны, g = C(y?i — <^г), где С — емкость батареи. Отсюда следует искомая
формула.
24.10. При последовательном соединении конденсаторов их заряды пе-
перераспределяются так, что заряд всех конденсаторов оказывается одинако-
одинаковым. Чтобы в этом убедиться, рассмотрите, что получится, если разрядить
систему, соединив накоротко точки с потенциалами <f\ и у?2-
Имеем: c^i — с^?' = g/Ci, (pf — (f2 = g/CV Для всей батареи tpi — (f2 = q/C.
Сложив первые два равенства и сравнив результат с третьим, получим ис-
искомую формулу.
24.11. Энергия при параллельном включении
Ипар —
при последовательном включении
w _ ^посл^посл _ (Ср/п) -П2Ч>1 _ nGoifil _
КУпосл — - — - — - — ккпар-
24.13. Поскольку распределение заряда обладает сферической симмет-
симметрией, то это справедливо и для электрического поля, т.е. модуль вектора
напряженности зависит только от модуля радиус-вектора (рис. 24.13).
188
Решения
Проведем две вспомогательные концентрические сферы с радиусом
г\ <оиг2 > а. Из симметрии вытекает, что вектор напряженности перпен-
перпендикулярен поверхности сферы, т.е. а = 0. По-
Поэтому поток через замкнутую поверхность
Щ = J EdScosa = E • 4тгг2.
По теореме Гаусса этот поток равен No =
= A/?о) J2 Яг, где J2 qi — суммарный заряд вну-
внутри поверхности (см. т. 1, § 37.9).
Но для любой точки внутри заряженного
шара Yl Яг = 0? следовательно, Е{ • 4тгг2 = 0, и
напряженность поля внутри сферы равна ну-
нулю: Ei = 0.
Для любой точки вне заряженной сферы
^2qi = g, следовательно,
Ее • 4тггз = q/eo, и Ее = д/Dтге0г2).
Рис. 24.13
На поверхности сферы Ео = д/Dтгео«2) = сг/^о, где а = д/Dтта2) —
поверхностная плотность заряда.
24.14. Потенциал поля на поверхности одной и другой сферы равен
Разность потенциалов
(fl =
1
ж
q(Ri ^ R)
Электроемкость
С =
(р — (pi R\ — R
Приближенно, если d = R\ — R <C R, получим
C =
т.е. выражение для емкости плоского конденсатора. Погрешность
Ri — R _____ d
~ R '
E
г _____
R
24.15. Окружим нить коаксиальным цилиндром ра-
радиусом г. Из симметрии задачи вытекает, что вектор на-
напряженности электрического поля по модулю одинаков
во всех точках на поверхности цилиндра и направлен
перпендикулярно этой поверхности (рис. 24.15). Поток
же через оба дна цилиндра равен нулю, ибо здесь век-
вектор напряженности направлен вдоль плоскости.
Итак, полный поток через замкнутую поверхность
No = J E dS cos a = Е • 2wrh.
Рис. 24.15
Согласно теореме Гаусса, No = A/ео)
Напряженность поля Е = j/B7reor).
Яг =
24- Поле неподвчтсных зарядов в вакууме 189
24.16. По аналогии с предыдущей задачей напряженность поля между
пластинами цилиндрического конденсатора Е = 7/Bтг?о^), где j = q/h.
Разность потенциалов
R2 R2
Г Г
<pi-<f2= I Edr = I
r r J J
qdr q R2
= In — .
R
Электроемкость С = q/(<pi ^^2) = 2ттеоЬ/ In (R2/R1). Если расстояние меж™
ду пластинами d = Д2 ~ Ei С Д2, то
Имеем
24.17. Заряженный по поверхности шарик радиусом а можно рассма-
рассматривать как сферический конденсатор, у которого внешняя сфера удалена
бесконечно далеко (т.е. R = a, R± —»¦ 00). Воспользовавшись результатом
предыдущей задачи, получим
4тгеоаЯ1 4тгеоа .
С = hm = lim — = 4тгео«-
Ri^oo Ri — a Ri^oo 1 — a/ri
Энергия поля
2
2С 8ттеоа '
Приравняв ее энергии покоя электрона &о = тпес2, получим
™ =1,4-10м.
Как показано в § 72.5, обычно «классическим радиусом электрона» на™
зывается вдвое большая величина гкл = 2а = 2,8 • 1(Р5 м. Сравнивая с
результатом задачи 14.23, убеждаемся, что полученный там результат на
два порядка больше «классического радиуса». Это свидетельствует о некор-
некорректности решения обеих задач. В современной науке вопрос о размерах
элементарных частиц, в том числе и о размерах электрона, далеко еще не
решен.
24.18. Механическое напряжение равно плотности энергии электричес™
кого поля (см. § 37.8). Имеем: р = wo = s®E2/2; поле на поверхности шара
(см. задачу 24.14) Е = q/Dn?oR2). Отсюда следует искомый результат.
24.19. Электрические силы, растягивающие пленку, должны превысить
силы поверхностного натяжения:
q2 4a
R
24.21. До соединения на первом конденсаторе был заряд q\ = dpi, на
втором — g2 = df2- После того как верхние пластины конденсаторов со-
соединили, заряд q = qi + q2 распределился между ними поровну. Потенциал
незаземленных обкладок батареи
_ q _ qi + Q2 _ (pi + ^2
190 Решения
Энергия системы до соединения
энергия батареи
2C(<pi
rrudl 2 2-4 4
Она меньше, чем до соединения. Причина потери энергии заключается
в том, что при перетекании заряда от одного конденсатора к другому при их
соединении в батарею эта часть энергии перешла в другие виды энергии (на
нагрев проводов, образование искры, электромагнитное излучение и т.д.).
24.22. Поскольку выражение для напряженности гравитационного поля
точечной массы Е = Gm/r (см. т. 1, § 9.6) полностью аналогично выраже-
выражению для напряженности поля точечного заряда Е = д/DтгЕог2), то все рас-
рассуждения § 37.9 остаются в силе. Поэтому полный поток вектора напряжен-
напряженности гравитационного поля через замкнутую поверхность No = 4ttG ]P nii.
24.23. По аналогии с задачей 24.13 поле вне шара Ее = GM/r2, поле
на поверхности шара Ео = GM/R2. Чтобы найти напряженность поля вну-
внутри шара, следует в выражение теоремы Гаусса подставить массу вещества
внутри вспомогательной сферы. Имеем
y^ _ М • 4тгг3/3 _ Mr3
^Шг ~ 4тгД3/3 ~ R3 '
Итак, Е{ • 4тгг2 = 4wGMr3/R3, откуда Ег = GMr/R3.
24.24. Поскольку напряженность гравитационного поля вне шара та-
такая же, какую создавала бы точечная масса, помещенная в центре шара,
то закон взаимодействия шаров такой же, как и закон взаимодействия то-
точечных масс. Иначе обстоит дело с заряженными шарами. Здесь за счет
взаимодействия происходит перераспределение зарядов по поверхности, и
сферическая симметрия нарушается, что очень затрудняет расчет (см. за-
задачу 24.1).
25. Диэлектрики
25.1. Если пластины все время присоединены к источнику, то разность
потенциалов и, как следствие, напряженность поля остаются неизменными.
Плотность поляризационного заряда равна поляризуемости диэлектрика:
d
25.2. Если конденсатор отключен от источника, то неизменным оста-
остается заряд на пластинах; потенциал и
с^_————————— напряженность поля при вдвигании
//////////////////. диэлектрика уменьшаются в е раз.
Следовательно,
У/////////////////// ed
25.3. Листы станиоля соединя-
Рис 25 3 ются друг с другом через один,
вследствие чего возникает батарея
параллельно соединенных конденсаторов (рис. 25.3). Число конденсаторов
равно числу слоев диэлектрика.
25. Диэлектрики
191
Пробивное напряжение С/пр = EMd, рабочее напряжение выбирается в
2-3 раза меньшим.
25.4. Электроемкость конденсатора не изменится, если мы положим на
верхнюю плоскость изолятора очень тонкую фольгу. Следовательно, иско-
искомую емкость следует рассматривать как результат последовательного со™
единения двух конденсаторов с электроемкостями
„ ??oS __ _
d do — d
25.5. Здесь мы имеем дело с двумя параллельно соединенными конден-
конденсаторами с электроемкостями
d
6qS(Iq — I)
dT0
И С 2 =
dh
25.6. Под действием электрического поля капля поляризуется, приобре-
приобретая дипольный момент ре = PV, где Р = мееоЕ — модуль вектора поляри™
зации, V — объем капли. В неоднородном поле на каплю действует сила,
j? dE
=Ре
dr
т.е.
(e-l)VC
Эта сила направлена вертикально вверх (рис. 25.6). Вертикально вниз дей™
ствует сила тяжести mg = pVg. По условию задачи модуль электрической
силы должен быть больше модуля силы тяжести:
(e-l)VQ
8тг2еог5
откуда
(е - 1)Q2
25.7. Когда жидкость попадает в сильно неодно-
неоднородное поле на краях пластин, она поляризуется и
втягивается в пространство между пластинами. По-
Поскольку заряд пластин не меняется, а электроемкость
конденсатора при этом увеличивается, то энергия по-
поля уменьшается. Это компенсируется увеличением
потенциальной энергии столба жидкости между пла™
стинами. По закону сохранения энергии
д
2С0
mgh
Здесь Со = ^^ , С = — [а + (е — l)h] (см. задачу 25.5), m = pbhd.
Подставив значения величин в первую формулу, получим после упрощений
(е — 1)д2 = eopghab'2[a + (е — l)h].
Выразим заряд на пластинах через потенциал:
q —
192
Решения
Получим после упрощений квадратное уравнение
pgd2
Из его решения определим искомое значение высоты подъема жидкости.
25.8. Здесь также при подъеме жидкости возрастает емкость конденса-
конденсатора, но энергия поля не сохраняется, а возрастает. Кроме того, возрастает
и потенциальная энергия поднятой воды. Не противоречит ли это закону
сохранения энергии? Конечно, нет! При подъеме жидкости источник то-
тока совершает работу, и возрастание энергии системы будет равно работе,
совершаемой источником тока по перемещению зарядов к пластинам кон-
конденсатора:
Ашст = АИ^эл + AWnoT-
Но
AWBJI =
-^ист — ^
dp2 Coif2
^пот = - mgh = -
A I,,
После несложных преобразований получаем искомый результат.
25.9. Для построения графика удобно перейти к новым переменным:
х = 103/Т, где Т — абсолютная температура, и у = 103>fe, где же — электри-
электрическая восприимчивость. Соответ-
Соответствующие данные приведены на
рис. 25.9, из которого видно, что в
пределах эксперимента очень хоро-
хорошо выполняется закон Дебая (см.
§ 38.6). Исходя из этого, восполь-
зуемся для вычисления дипольно-
го момента молекулы водяного па-
пара формулой C8.26) (см. т. 1), а для
концентрации молекул — уравнени-
ем газового состояния.
Полезно сделать расчет по всем
четырем экспериментальным точ-
4,2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 х 10/Т кам и усреднить результат.
25.10. Для инертных газов ха-
Рис. 25.9 рактерна деформационная поляри-
поляризуемость. По формулам § 38.5 имеем
ме = па, где п = р/кТ — концентрация атомов, а — поляризуемость атома.
Дипольный момент атома в электрическом поле
(число Лошмид-
ре = аеоЕ =
Концентрация атомов при нормальных условиях п =
та). Итак,
_ мее0Е _ (е - 1)е0Е
Ре ~ NL NL
Расчет показывает, что даже в таком сильном поле дипольный момент ато-
атома аргона на шесть порядков меньше дипольного момента молекулы воды.
26. Постоянный ток
193
26. Постоянным ток
26.2. Из симметрии фигуры видно, что потенциалы точек 2 и 4 равны,
следовательно, по проводнику 2—4 ток не течет, и его можно убрать. Полу-
Получим цепь, изображенную на рис. 26.2 б, сопротив-
сопротивление которой найти очень просто. *—^
26.3. Сопротивления проводников пропорцио- 21 /\Ъ
нальны их длинам:
26.4. Задачу можно решить поэтапно. Снача-
Сначала звездочку заменим эквивалентным сопротив-
сопротивлением, изображенным на рис. 26.4 а, затем эк-
эквивалентным сопротивлением, изображенным на
рис. 26.4 б. Из симметрии задачи ясно, что потен-
потенциалы точек Н и К равны, следовательно, пере-
перемычку НК можно убрать. Получим цепь, сопро-
Рис. 26.2 6
тивление которой находится элементарно как половина сопротивления лю-
любого из двух параллельных звеньев, состоящих из трех проводников каж-
каждое.
2г
Рис. 26.4 а
Рис. 26.4 6
26.5. Из симметрии ясно, что потенциалы точек 2, 4 и 5 совпадают:
(р2 = (р4 = (-Р5 :=: <р и соответственно совпадают потенциалы точек 6, 8
и 8". (рв = (f8 = (рз = ^ • Если
мы закоротим точки равного по-
потенциала, т.е. соединим их меж-
между собой проводниками с ничтож-
ничтожно малыми сопротивлениями, то
сопротивление цепи не изменится.
Полученная при этом цепь пока- ,
зана на рис. 26.5 6, ее сопротив-
сопротивление равно сумме сопротивлений
трех последовательных участков
по три, шесть и три параллельных
звена в каждом.
Рис. 26.5 6
7 А.А. Пинский
194 Решения
26.6. При балансе моста ток через гальванометр равен нулю, следова-
следовательно, срс = y>D- Имеем по закону Ома для однородного участка: (рл^^рс =
= IR] ipс — <рв = IRx] (fA — y>D = iRi :=: iph/S] ipn — ^рв = iR2 = iph/S.
Отсюда находим неизвестное сопротивление.
26.7. Относительная погрешность 6 = hu/R + h/l + h/(L — l), где Hr —
погрешность эталонного сопротивления, h — погрешность положения движ-
движка реохорда. Имеем
Hr hL
R lyJ-j — Ij
следовательно, минимальная погрешность возникнет в том случае, если зна-
значение у = l(L — I) будет максимальным. Но
имеет максимальное значение при I = L/2, т.е. когда движок реохорда на-
находится посреди шкалы. Это возможно, если подобрать эталонное сопро-
сопротивление по возможности ближе к измеряемому.
26.8. Диаметр проводника в произвольном сечении, отстоящем на рас-
расстоянии х от меньшего сечения, равен у = а + x(D — а)/I. Плотность тока
и напряженность поля в произвольном сечении
г 4г . 4pi
S 7Ту2 7Гу2
26.9. Сопротивление проводника
I I
R= Г pdx^ = 4р г dx^
J S 7Г J tl2
0 о у
Сделаем замену переменных, учтя, что у = а при х = 0 и у = D при х = I.
Дифференцируя, имеем
dy = dx = —;— , откуда dx = — .
1 D — a
Подставив в выражение для сопротивления, получим
D
4pl f dy
= ж(В - a) J ^p
dy 4pl Г 1 1D 4pl
waD
26.10. а) При последовательном соединении элементов складываются
их ЭДС и внутренние сопротивления.
б) При параллельном соединении одинаковых элементов ЭДС остается
неизменной, а внутренние проводимости элементов складываются.
в) При смешанном соединении считают сначала ЭДС и сопротивление
группы, а затем — эти же параметры всей батареи.
26.11. Удобнее всего соединить аккумуляторы в две группы последо-
последовательно по 100 штук, а затем эти группы соединить параллельно и через
реостат подключить к зажимам динамомашины (рис. 26.11). ЭДС батареи
<f = пе/2 = 100-1,4 = 140 В, внутреннее сопротивление Щ = пг/4 = 0,5 Ом.
26. Постоянный ток
195
Сила тока в цепи I = 2г = 60 А. Закон Ома
запишется так: Aip — Ш = I(R + Ri), откуда
R =
-Ri.
26.13. Мощность Рполн = с' /(R + r) до-
достигает максимального значения в режиме
короткого замыкания (R = 0). Мощность при рис 26 11
коротком замыкании Рк.з = ct'2/r.
Мощность во внешней цепи достигнет максимума, когда R = г.
убедиться в этом, исследуем выражение
-Гвнешн —
Rr
Чтобы
на экстремум. Имеем
У =
гJ
Rr
R
г
г
~R
R
г
г
~R
- -J± +4.
Очевидно, что при R = г величина у = 4, т.е. имеет минимальное значение,
а мощность во внешней цепи окажется максимальной. Соответствующие
графики см. на рис. 26.13.
26.14. Соединим накалы всех
ламп последовательно (рис. 26.14) и
включим добавочное сопротивление
R = {U — пАф)/г = 573 Ом. Мощность
тепловых потерь Р = ill = 66 Вт. По-
Потери мощности на лампах и балласт-
балластном сопротивлении относятся как
U - nAtp '
26.15. Возможна схема с пятипози-
ционным переключателем (рис. 26.15).
В положениях 5 и 4 прибор использу-
используется как амперметр с клеммами «+»
Рис. 26.13 и А, в остальных трех положениях —
как вольтметр с клеммами «+» и V.
26.16. Потеря напряжения 40 В происходит на двухпроводной линии
с известными параметрами, что позволяет найти силу тока в сети. Число
Л1 Л2
Рис. 26.14
Рис. 26.15
196
Решения
параллельно включенных ламп равно частному от деления силы тока в сети
на силу тока в одной лампе.
26.17. Включение по схеме, изображенной на рис. 26.17, позволяет по-
получить любую из трех желаемых мощностей.
60 Ом 120 Ом
400 Вт 1200 Вт 800 Вт
-6
хх
^'
6-
V
——I Выключено
26.18. Длина провода I =
Рис. 26.17
Q,67rfl72ci2
4ртсАТ
26.19. а) Численный расчет. Сведем данные в табл. 26.19, из которой
следует, что сумма всех icp равна 2580 А . Количество теплоты, выделяемой
Таблица 26.19
t, с
0
1
2
3
4
5
t, A
5
7
9
11
13
15
*ср, А
6
8
10
12
14
16
4, а2
36
64
100
144
196
256
t, с
6
7
8
9
10
i, A
17
19
21
23
25
icp, A
18
20
22
24
i2 A2
*Cpj Л
324
400
484
576
за At = 1 с, равно AQn = i^RAt. Количество теплоты, выделяемое за все
время, равно сумме отдельных количеств теплоты:
Q =
AQ2 + ... + AQ9 = (г?ср + г|с
.. + i29cp)RAt =
= 2580 • 40 • 1 Дж = 1,03 • 105 Дж.
б) Интегрирование. Сила тока меняется по закону г = 5 + 2t. Количе-
Количество теплоты
10
10
10
Q= J i'2Rdt = 40 J E + 2tJ dt = 20 J E + 2tJ • dE + 2t)
^^=1,03.10»Дж.
Мы видим, что численный расчет дает точный результат.
26.20. Закон Ома для этой цепи Аср = iR преобразуется так:
dt
Аш = — , г = lim
^ С ' At^o \ At J
27. Магнитное поле в вакууме 197
Знак минус возник потому, что при разряде конденсатора его заряд умень™
шается. Подставив в выражение закона Ома, получим
q dq di dq
RC =~Tt> ИЛИ =
Интегрируя, имеем
где А — постоянная. Учитывая, что при t = 0 заряд q = go, находим:
О = — In go + In А, откуда А = до. Итак,
t
—- = -lng + lngo.
КО
Обозначив постоянную времени (время релаксации) через т = RC, опре-
определим
In — = — — , откуда q = qoe~t'T.
qo т
Для силы тока имеем
dq go -t/T . -t/т • ^о go Uq
di т т RC R
26.21. а) Если ЭДС батареи меньше потенциала зажигания стабили-
стабилитрона, то последний имеет бесконечно большое сопротивление и сила тока
в цепи равна нулю.
б) Если ЭДС батареи превысит потенциал зажигания стабилитрона, то
его сопротивление падает до нуля, а ток в цепи определяется значением
активного сопротивления и разностью значений ЭДС и потенциала зажи-
зажигания стабилитрона.
26.22. В цепи с бареттером сила тока определяется только пропускной
способностью этого прибора и не зависит от активного сопротивления. Од-
Однако ток возможен лишь в том случае, если ЭДС источника удовлетворяет
условию & — ioR > 0, т.е. & > г'о-R. В противном случае потенциал бареттера
упадет до нуля и ток через него прекратится.
27. Магнитное поле в вакууме
27.1. Упругость пружины есть результат существования электрических
сил взаимодействия частиц вещества. В движущейся системе отсчета попе-
поперечная сила уменьшается, следовательно, уменьшается и жесткость попе-
поперечно расположенной пружины:
А если жесткость меняется по тому же закону, что и сила, то поперечный
размер пружины не меняется, в полном соответствии с теорией относитель-
относительности.
27.3. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть по про-
проводнику (рис. 27.3 а) слева направо течет ток, следовательно, электроны
проводимости движутся влево с некоторой скоростью v. Пусть в ту же сто-
сторону с той же скоростью движется свободный электрон. В системе отсчета
xyz, связанной с проводником, на электрон действуют три силы: сила оттал-
отталкивания от электронного облака F—, сила притяжения к ионной решетке jP+
и сила Лоренца i^m, направленная в ту же сторону. Как известно из опыта,
равнодействующая всех трех сил направлена в сторону проводника.
198
Решения
Перейдем в систему отсчета жо|/о^о, связанную с электронами
(рис. 27.3 6). Здесь имеется точно такое же магнитное поле, но оно на непо™
Рис. 27.3 а
Рис. 27.3 6
движный электрон не действует! На электрон действует сила
^О) @)
ния F_ со стороны электронного газа и сила притяжения F_ со стороны
движущейся ионной решетки. Но если в прежней системе отсчета элек-
электрон притягивался к проводнику, то, согласно принципу относительности,
он в любой другой системе отсчета тоже притянется к нему. Следовательно,
\
F^ > F_\ значит и Е+ > Е_ . Мы видим, что напряженность попереч-
поперечного электрического поля движущихся зарядов больше поля неподвижных
зарядов, т.е. кулоновского поля.
27.4. Пренебрегая толщиной витка по сравнению с его радиусом и дру-
другими размерами, приходим к выражению для индукции поля на оси:
в =
где w — число витков, а — радиус витка и h — расстояние от центра до
искомой точки поля на оси витка.
27.5. Индукция поля в центре длинного соленоида В = /jtoin = /ioiw/1.
Если провод намотан виток к витку (см. рис. 27.5), то d = l/w есть диаметр
провода с изоляцией. Итак, В = fioi/d. В вершине соленоида поле в два
раза слабее.
27.6. Используя результат задачи 27.4, получаем для поля в центре
кольца
ви =
Индукция поля в средней точке
2fioiwa2
Вср —
= 0,913
2(а2+а2/!6K/2 ' о
Как видно, с небольшой погрешностью поле близко к однородному:
6 =
Вср - Вц _ 0,913 - 0,858
~BZ ~ 0,913
= 6%.
28. Заряды и токи в магнитном поле 199
27.8. Полагая в формуле В = fioqv / Dтгг2) скорость вращения кольца
v = иг, получаем искомый заряд.
27.9. Разобьем диск мысленно на тонкие концентрические кольца. Пло-
Площадь такого кольца AS = 2тттАг, где А г — толщина кольца. Заряд кольца
Ag = a AS = 2тктгАг. Вращаясь, этот заряд создает в центре кольца маг™
нитное поле с напряженностью
Aqv ашАг
2^ = ~2~ ¦
Полная напряженность поля в центре
Н = AHi + АЯ2 + ... = - его;(An + Ar2 + ...) = - ®uR,
где R — наружный радиус диска.
Магнитный момент кольца
2 2 Ао 1 о Ч
Арш = inr = тгг —¦ = — Aqujr = тгашг Аг.
Чтобы найти полный магнитный момент вращающегося диска, следует сло-
сложить все эти значения. Имеем
R
P
IX
= I тташг dr = —
J 4
О
Момент импульса L = 1ш = mR и/2 = TvouphR /2, где р — плотность
вещества. Имеем
Рт _ _о^
L ~ 2ph '
27.10. Индукция магнитного поля в искомой точке
Градиент
„ _ 2^oPm _ /iOPm ,2 ,
4тгг3 2тг
d2 23/2 = _ 3 AfOPm ( 2 ^^2)^5/2 . 2
dl ; 2 2 l ;
2 2тг v ' ; 2тгг5 "
28. Заряды и токи в магнитном поле
28.1. Импульс частицы найдем из условия mu /R = 2еВи, поскольку ol-
частица — это дважды ионизированный атом гелия. Убедившись, что это —
нерелятивистская частица, найдем ее скорость и кинетическую энергию из
равенств
2eBR 2e2B2R2
и = ^^— и К = ^^-^^ .
m m
28.2. Импульс мюона в два раза меньше, чем у а-частицы в преды-
предыдущей задаче. Легко убедиться, подсчитав величину /3/y/l — /З2 = р/тс =
= 1,66, что мюон в этой задаче — релятивистская частица. Находим /3 =
= 0,856, откуда можно найти скорость частицы.
200
Решения
Энергия покоя мюона в 207 раз больше энергии покоя электрона, т.е.
§0 = 207 • 0,511 = 106 МэВ (см. задачу 8.1). Полная энергия Ш =
= <f о / \А — /З2, а кинетическая К = Ш — <f о.
28.3. Поскольку заряд частицы и индукция магнитного поля не меня™
ются, то радиусы треков частиц пропорциональны их импульсам: R1/R2 =
= р\/р2- Связь же с кинетической энергией зависит от характера движения
частиц.
а) Нерелятивистская частица. Импульс частицы пропорционален корню
квадратному из кинетической энергии, следовательно, так же относятся и
радиусы треков.
б) Релятивистская частица. Здесь зависимость импульса от кинетиче-
ской энергии частицы более сложная:
1
р= -
с
Отсюда получается искомое отношение радиусов треков.
28.4. Это — релятивистский электрон, поскольку его полная энергия
cf = <$0-\- К = 0,511 + 1,5 = 2,0 МэВ существенно больше энергии покоя. Из
Гти2 /R = еиВ получим
Т =
2ttR 2тгшГ
2тг&
и еВ еВс2 '
28.5. В поле электрон приобретает кинетическую энергию 20 кэВ, ко-
которая много меньше энергии покоя E11 кэВ), следовательно, в данной за-
задаче это нерелятивистская частица. Разложим
скорость электрона на две составляющие относи™
тельно силовой линии: продольную v\\ = vcosa и
поперечную v± = г; sin а (рис. 28.5). В продоль-
продольном направлении на электрон никакие силы не
действуют, поэтому вдоль оси аппликат электрон
будет двигаться равномерно согласно уравнению
z = zo + tiy t = zo + vt cos a.
В поперечном направлении (т.е. в плоскости
ху) на электрон действует сила Лоренца, вслед™
ствие чего он движется в этой плоскости по
окружности радиусом
/2me(p sin a
R =
mv±
Рис. 28.5
еВ еВ
и с периодом Т = 2тгт/еВ. В пространстве элек-
электрон движется по винтовой линии, которая навивается на силовые линии.
Радиус окружности R указан выше. Шаг винта
2wmvcosa
h = v\\T = =27r,Rctga.
28.6. Если ион войдет в однородное магнитное поле под некоторым уг-
углом к силовой линии, то он станет двигаться по винтовой линии к одному
из полюсов магнита и через некоторое время столкнется с дуантами и вы-
выпадет из сгустка. Чтобы избежать потерь, нужно магнитное поле сделать
слегка неоднородным, придав ему «бочкообразную» форму (рис. 28.6). Как
легко убедиться, это поле фокусирует ионы, концентрируя их в средней
плоскости.
8. Заряды и токи в магнитном поле
201
28.7. В данной задаче электроны нерелятивистские, они входят в маг-
магнитное поле со скоростью и = у2елр/т = 1,33 • 10 м/с. В магнитном
поле они станут двигаться по дуге окружности радиусом R = ти/еВ
Рис. 28.6
Рис. 28.7 6
(рис. 28.7 6). Электроны отклоняются на угол Z.GCE = а, но угол Z.GCE
конгруэнтен углу АСОМ (как углы с перпендикулярными сторонами), сле-
следовательно,
_ МС_ _ l_ eBl_ _ еВ1
ОС R rneu ^/2mee(p '
Как видно из рисунка, GD = GE + ED, или
d = L tg a + R(l — cos a) = L tg a + I : = L tg a + I tg — .
Зная параметры установки, легко вычислить искомое смещение.
28.8. Воспользовавшись результатом задачи 4.14, получим
d =
eEl
2еср
I
El
откуда следует:
Е =
1/2) ¦
28.9. Вначале определим заряд иона из условия ти2/R = quB, име-
имеем q = mu/BR. Учитывая, что при энергиях в сотни мегаэлектронвольт
массивные ионы движутся с нерелятивистскими скоростями, имеем т =
= А • 1,66 • 1CF27, где А = 20,18 а.е.м.— атомная масса неона. Импульс иона
найдем по его кинетической энергии: ти = у2тК. Итак, заряд иона
Я. =
BR
д/2 • 20,18 • 1,66 • 107 • 100 • 1,6
1,55-1,1
1(Г19 Кл.
Разделив на заряд электрона, найдем, что ионы неона четырехкратно ио-
ионизированы.
Полное число оборотов иона равно его кинетической энергии, разделен™
ной на энергию, приобретаемую при двукратном прохождении ускоряющего
промежутка:
2q(f
2 • 4 • 300 • 104
=42.
202 Решения
Частота изменения полярности ускоряющего поля равна частоте обращения
иона:
_ и _ qB
П ~ 2ttR ~ 2тгт '
28.10. Индукция магнитного поля находится из условия
eR ecR
частота — из условия
Заметим, что в конце цикла ускорения энергия протона столь велика, что
практически п = c/BttR).
28.11. Условие баланса сил имеет вид еЕ = еиВ, откуда следует и =
= Е/В. Поскольку при изменении знака заряда частицы обе силы — элек-
электрическая и магнитная — одновременно меняют свое направление на про™
тивоположное, то знак заряда определить нельзя.
28.12. Искомое расстояние равно разности диаметров орбит ионов: D =
= 2(i^2 — Ri)- Скорости обоих ионов одинаковы и определяются условием
прохождения частицы через фильтр скоростей: и = Е/В. Радиус орбиты
R = mu/qBo = mE/qBBo, следовательно, искомая разность
9 FP
A (
Приняв, что ион однократно ионизирован, т.е. q = e, получим искомую
разность.
28.13. Используя результат предыдущей задачи и учитывая, что R =
= 1/2, получаем для массы иона выражение
еШ2 еШ2 4,82 ¦ 104
т= И = [ааМ] = [^Ш]
т^Е И 2-1,66-1
28.14. Магнитный момент рамки рт = wiS\ вращающий момент М =
= риьВ, ибо в нашей задаче а = тг/2.
28.15. На рамку действует вращающий момент М = wiSB, который
уравновешивается моментом, возникающим за счет упругости закручиваю-
закручивающейся нити: М = /а, где / — модуль кручения. Приравнивая, получаем:
fa = wiSB^ откуда видно, что при прочих равных условиях угол поворота
рамки пропорционален силе тока.
28.16. Нетрудно убедиться, что свободно подвешенные рамки располо-
расположатся так, что их плоскости окажутся перпендикулярными их общей оси.
Сила взаимодействия F = рт dB/dx. Учитывая, что
dB _ 6fiopmx
~dx ~ ^4тг(а2+ж2M/2
(см. задачу 27.11) и по условию задачи ж ~ г ^> а, имеем
dx 4тгг4
Сила взаимодействия
„ _ dB _ QjjlopI
rm dx 4тгг4 "
Она совершенно аналогична силе взаимодействия электрических диполей
(см. § 10.4 и 40.6, т. 1).
28. Заряды и токи в магнитном поле
203
28.17. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получим
F = --
Зж flow2 i2 a4
4тгг4
2г4
28.18. Положительный заряд циркулирует, как показано на рис. 28.18 а.
Направление магнитного момента определяется правилом буравчика
Рис. 28.18 а
Рис. 28.18 6
(см. т. 1, §40.5, 40.6). Направление циркуляции отрицательного заряда про-
противоположное (рис. 28.18 б), но магнитный момент направлен все равно про-
против поля.
28.19. Как было показано (см. задачу 28.5), частица будет двигаться
по винтовой линии, навиваясь на силовые линии поля. Разложим вектор
скорости на две составляющие: поперечную v± (орбитальную скорость) и
Рис. 28.19 6
Рис. 28.19 в
продольную v\\ (скорость дрейфа). Поскольку орбитальный момент цирку-
циркулирующего заряда направлен против поля, то магнитные силы выталкива-
выталкивают заряд в область слабого поля (сравните с § 37.4 и 41.10, где дипольный
и магнитный моменты ориентированы вдоль поля). Мы видим, что по ме-
мере приближения заряда к магнитной пробке скорость дрейфа убывает и
при достаточно сильном градиенте поля скорость дрейфа обратится в нуль
(рис. 28.19 6). Начиная с этого момента возникнет дрейф заряда в противо-
противоположном направлении, в сторону более слабого поля (рис. 28.19в).
28.20. Если заряженная частица влетает в магнитное поле перпенди-
перпендикулярно силовым линиям, то она движется в поле по дуге окружности ра-
радиусом R = р/еВ, где р — импульс частицы. Зеркальное отражение имеет
место, если вся траектория частицы окажется внутри поля.
Поскольку по условию задачи электроны движутся перпендикулярно
«магнитному зеркалу», то они отразятся назад, если радиус полуокружно-
сти будет меньше толщины «зеркала». Итак, р/еВ < d.
204 Решения
Полная энергия электрона Ш = \/Щ^ + р2с2 < \/Щ + e2B2d2c2; кинети™
ческая энергия К = Ш — <f о. Окончательно
29. Магнетмкм
29.1. Согласно определению вектора намагниченности М, магнитный
момент тела в магнитном поле
рт = MV = MmHV.
29.3. Намагниченность насыщения М"Нас '= nopmj где по = 4/а — кон-
концентрация атомов, рт = 7,95/1в — магнитный момент одного атома. Отсюда
следует, что
Мнас = 4*7,95/1в/а3.
29.4. Воспользовавшись результатом § 38.6 (см. т. 1), получим
g2-gt
kT ¦
Ho iVi — это число атомов, магнитные моменты которых ориентированы
вдоль поля; их энергия Ш\ = —ртВ'7 N2 — это число атомов, магнитные
моменты которых ориентированы против поля; их энергия &2 = РтВ. По™
этому
Щ 2ртВ
N2 ~ кТ '
29.6. Поскольку точка Кюри ферромагнетиков порядка сотен градусов
Цельсия, то энергия теплового движения
(е) ^кТ = 1,38 • 10~23 • 400 и 5 • 1021 Дж.
Энергия взаимодействия двух магнитных моментов
fem — Pm-tJ — . Q .
47ГГ3
Полагая г ~ 0,1 нм, pm = /ib, получаем
«, 4тг ¦ 9,282 ¦ IP'48 1П-23П
^^ 2^.10^.10-30 а2'10 Дж-
Мы видим, что энергия магнитного взаимодействия магнитных момен-
моментов на два порядка меньше энергии теплового движения; следовательно,
магнитное взаимодействие не может обеспечить самопроизвольного намаг-
намагничивания в пределах домена.
29.7. Точка Кюри для железа 770 °С; энергия обменного взаимодей-
взаимодействия должна быть больше энергии теплового движения при температурах
ниже точки Кюри вс- Итак, С9Обм > кОс-
29.8. На атом, обладающий магнитным моментом рт = =Ь/1_в, действует
dB dB at2
сила г = Рт-~;— 5 где —— — градиент поля. Отклонение а = , где
29. Магнетики
205
F I
a = — t = — . Подставив эти значения, получим
т v
, Pml2 dB
h = —— .
2mvz dz
u mv2 kT
Ho ^^ = ^^ , следовательно, окончательный результат
~ 6kT dz '
29.9. По графику 29.9 а (см. условие задачи) составляем схему
Я,А/м
/х
50
5,0-103
75
9,6-103
100
8,0-103
200
5,0-103
500
2,2-103
1000
1,2-103
1500
0,8-103
График для /л дан на рис. 29.9 б.
29.10. По данным таблицы строится правая половина гистерезисной
петли; левая половина строится симметрично (рис. 29.10). Коэрцитивная
10
8
6
4
2
0 100 200 300 400 500 600Я,А/м
800#,А/м
Рис. 29.9 6
Рис. 29.10
сила определяется в точке пересечения графика с осью абсцисс; индукция
насыщения — это та точка, где верхняя и нижняя ветви петли пересекаются.
Намагниченность насыщения
Ms = — - Hs и — ,
ибо Bs ^ /J>oHs. Остаточная намагниченность Mr = ??г//хо, где Вг опреде-
определяется в точке пересечения графика с осью ординат.
29.12. В природе не существует изолированных магнитных полюсов,
магнитные поля создаются только движущимися зарядами (токами). По-
Поэтому силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, т.е. магнитное поле
является вихревым. В результате силовые линии, входящие в замкнутую по-
поверхность, обязательно выйдут из нее, отрицательные слагаемые магнитно™
го потока будут равны по модулю положительным слагаемым, и суммарный
магнитный поток через замкнутую поверхность окажется равным нулю.
Это позволяет доказать вторую часть задачи. Рассмотрим схему маг-
нитопровода (рис. 29.12). Если прорезь в нем достаточно узкая, то силовые
206
Решения
линии практически не искажаются и поле остается однородным. Поток че-
рез замкнутую поверхность ABCD равен сумме потоков через участки АВ,
ВС, CD и DA. Но на участках ВС и DA вектор индукции перпендикуля-
перпендикулярен нормали, cos a = 0 и поток равен ну-
нулю. Поток через поверхность АВ отрица-
отрицательный, ибо вектор индукции направлен
противоположно нормали, а = тг и cos a =
= — 1. Поток же через поверхность CD по-
ложительный, поскольку нормаль и вектор
индукции имеют одинаковые направления,
а = 0 и cos a = 1. Полный поток через за-
замкнутую поверхность равен сумме потоков
через участки АВ и CD:
Фполн = Фав + ^cd = -В Sab + BupScDj
где В — модуль вектора индукции в маг-
нитопроводе, Впр — модуль вектора индук-
индукции в прорези. Но согласно теореме Гаусса,
Фполн = 0, а по построению Sab = Scd-
Итак,
0 = —BSab + BnpScDi
0000©
Рис. 29.12
Ах
откуда следует Вир = 1?, т.е. индукция магнитного поля в узкой поперечной
прорези равна индукции поля в магнитопроводе.
30. Электромагнитная индукция
30.1. Лампочка гореть не будет, поскольку не меняется магнитный по-
поток через контур, образованный крыльями, проводами и лампочкой.
30.3. На падающий проводник действует сила тяжести mg вертикально
вниз и сила Ампера F = iBl вертикально вверх. По закону Ома % = &/R,
а ЭДС индукции & = Blv Итак, сила Ампера F = B2l2v/R. Уравнение
движения падающего проводника
a_mg-F _ ВЧ2у
т mR
Начиная с некоторого момента, ускоре-
ускорение станет равно нулю, и проводник на-
начнет двигаться вниз равномерно с уста-
установившейся скоростью. (Сравните с за-
задачей 5.13.)
30.4. Стержень движется перпен-
перпендикулярно силовым линиям магнитного
поля, и в любом его малом участке воз-
возникает элементарная ЭДС А& = BvAx, Рис. 30.4 а
где Аж — длина участка ж v — его ско-
скорость (см. рис. 30.4 а). Разность потенциалов на концах есть сумма эле-
элементарных электродвижущих сил. Поскольку v = шх, то А& = ВшхАх.
Суммирование можно произвести двумя методами:
а) Интегрированием. Имеем
I
Аср = I Вшх dx = Вш
0
со
Рис. 30.4 6
30. Электромагнитная индукция 207
б) Графически. Строим график напряженности индуцированного поля
Е* = Acf'/Аж = Вшх. Поскольку это линейная функция, то ее график
имеет вид, показанный на рис. 30.4 б. Разность потенциалов численно равна
площади под графиком:
I • Вш1 Вш12
А
30.5. При равномерном движении проводника приложенная сила равна
по модулю силе Ампера. Но сила тока г = Ш /R = Blv/R. Итак,
F = iBl = B2l2v/R.
30.6. Поскольку колечко маленькое, можно считать, что поле во всех
точках внутри него одинаково и равно полю на оси. Следовательно, маг-
магнитный поток
ф= яч = 2
Здесь переменной является координата х = ж о — vt, где v — скорость паде-
падения. Модуль ЭДС индукции
? 2 2,-3/2 _
dt ( + '
dt 2 dt
_ 3 .._„ „2/2 , 2ч-5/2 o „<to _ 3fJ,oPmr2XV
30.7. ЭДС индукции cf = —АФ/At = Ф/At поскольку начальный маг-
магнитный поток через кольцо равен нулю. Заряд, протекающий через цепь,
_ Ш _ ф
Он равен постоянной гальванометра, умноженной на число делений: q =
= CN.
30.9. При изменении магнитного потока в диэлектрике возникает ин-
индуцированное электрическое поле с напряженностью Е* = ср'/Bтгг), где
г — радиус кольца. Под действием этого поля происходит поляризация ди-
диэлектрика, т.е. преимущественная ориентация молекулярных диполей вдоль
индуцированного электрического поля.
30.11. Сила тока в цепи I = (& — СрИНд)/Д, где & — ЭДС аккумулятор-
аккумуляторной батареи, R — сопротивление цепи (включая внутреннее сопротивление
аккумуляторов) и срИНд — ЭДС индукции, возникающая в якоре при его
вращении. При остановленном якоре с?Иыд = 0 и сила тока Jo = &'/R-, отку-
откуда находим сопротивление цепи. Мощность двигателя
30.14. Число витков найдем, разделив длину внутренней окружности
тора на диаметр провода:
d 0,6
Напряженность магнитного поля
iw iw iD
где диаметр средней окружности тора Dcp = 120 мм.
208 Решения
Зная напряженность магнитного поля, по графику рис. 29.9 а находим
индукцию поля; по формуле wm = ВН/2 найдем плотность энергии и, умно-
умножив ее на объем сердечника, — полную энергию магнитного поля. Индук-
Индуктивность найдем по формуле Wm = Ы /2.
30.15. В отсутствие ферромагнитного сердечника энергия магнитного
поля Wm = fi>oH2V/2 значительно меньше энергии поля при его наличии,
несмотря на то, что в обоих случаях по обмотке течет один и тот же ток.
Дело в том, что при отсутствии ферромагнитного сердечника сила тока в
катушке устанавливается очень быстро и источник тока производит малую
работу по возбуждению магнитного поля. При наличии же ферромагнит-
ферромагнитного сердечника ток устанавливается значительно дольше и источник со-
совершает значительно большую работу по возбуждению магнитного поля.
30.16. При хорошем контакте якоря и сердечника сила притяжения
на одном полюсе F = wmS7 следовательно, весь якорь притягивается с
силой F = 2wmS = B2S/fifi0, где S = 60 • 60 • 10~6 м2 = 36 • 10~4 м2 —
сечение сердечника (см. рис. 30.16). Поскольку мы предположили, что зазор
между якорем и сердечником ничтожно мал, то можно считать, что в зазоре
индукция поля такая же, как и в сердечнике. Магнитная же проницаемость
в зазоре равна единице (fi = 1).
Имеем: Fs = B^S/fio для случая намагничивания до насыщения и Fr =
= B^S/fio при остаточной намагниченности.
Величины Bs и Вг даны в таблице к задаче 29.10 (см. также рис. 29.10).
30.18. Закон Ома запишется в виде Ш + Шь = iR, где & — ЭДС источ-
источника и &l = —Ldi/dt — ЭДС самоиндукции. Итак,
Ш-Ь§ =гП.
dt
Разделим это уравнение на Ди введем обозначения: &/R = /м — устано-
установившаяся сила тока; L/R = т — время релаксации:
di di
1м-т— =г, или -г— =г-/м,
at at
откуда следует
di dt
г-/м т '
Интегрируя, имеем
— = I dt. откуда 1п(г —/м) = + 1пС,
г - 1М т J т
где С — постоянная интегрирования. Потенцируя, получаем
г — /
- = e^t/r.
С
При t = 0 сила тока % = 0, следовательно, С = —/м- После несложных
преобразований определяем
График этой функции см. т.1, § 43.12, рис. 43.6.
30.19. Согласно результату предыдущей задачи имеем при г = 0,9/м
показательное уравнение
31. Классическая электронная теория
209
Логарифмируя, получаем
t
~ lge =
-0,434 = -1.
т
Отсюда t = 2,3г.
30.20. Когда разность между мгновенным и установившимся значени-
значениями силы тока станет равна тепловым флуктуациям тока, формула, полу™
ченная в задаче 30.18, теряет силу. После этого плавный рост силы тока
сменится обычными тепловыми колебаниями этой величины относительно
равновесного состояния.
31. Классическая электронная теория
31.2. Здесь сторонней силой является центробежная сила инерции /цб =
= тш2г7 где г — расстояние от данной точки проводника до центра диска.
Напряженность стороннего поля
ЭДС индукции можно найти либо графически
(рис. 31.2 6), либо интегрированием:
го
го
dr =
rdr =
0
0
2 2
тш г0
2е
Рис. 31.2 6
31.3. Концентрация электронов может быть
вычислена из выражения для холловского потен-
потенциала (см. т. 1, § 44.2), а электропроводность меди — из данных о размерах
пластины, силе тока и продольной разности потенциалов. Зная эти величи-
величины, легко по формуле D4.8) найти подвижность электронов.
31.4. Поскольку серебро — одновалентное вещество, то концентрация
электронов равна концентрации атомов. Плотность р = топ, где то —
масса атома. Но то = A/Na, где А — атомная масса. Отсюда следует:
п = рМл/А, а постоянная Холла
Rh = —zj~~ •
epNA
31.9. Термопару можно рассматривать как тепловую машину, работа-
работающую в интервале температур Т\ — Тг, где индексы 1 и 2 относятся к
горячему и холодному спаям. При перемещении заряда через термопару
совершается работа А = rjQi. Перемещаемый заряд
А = rti
4 Ш а(Т! - Т2) '
31.13. Вначале находим объемную теплоемкость. Легко убедиться (на-
(например, проверив размерность), что С = рс. Согласно § 45.3 получим
зк зк
А =
аС
аре
31.15. Указание. Учесть, что при собственной проводимости концен-
концентрация электронов и дырок одинакова; j = еп(ре + /лъ.).
210
Решения
31.16. Поскольку при наличии тока в полупроводнике электроны про™
водимости и дырки движутся в противоположных направлениях, в маг-
магнитном поле они будут отклоняться в одну и ту же сторону. А так как их
подвижности разные, то постоянная Холла
Дм =
7
| , |
32. Электропроводность электролитов
32.1. Электропроводность электролита 7 :=: Яп(^+ + А*—) :=: (/
+ /i_), где а — искомый коэффициент диссоциации. Заряд одновалентного
иона q = е. Концентрация раствора С = mono = Мпо/Na, где М — моляр-
молярная масса растворяемого вещества. Подставив эти значения, получим
32.2. Масса вещества, выделившегося на катоде, т = pSd =
= Ai/(eNAZ); валентность никеля Z = 2. Остальные данные имеются в
условии задачи и в таблицах.
32.3. Определим вначале заряд, протекающий через раствор, для чего
воспользуемся графиком (рис. 32.3). Поскольку сила тока меняется линей-
линейно и конечное значение гк = 6 — 0,03 • 180 = 2,4 А, найти заряд просто:
q = (го+гк)?/2. Кстати, тот же резуль-
i д тат получаем, интегрируя выражение
180
q= f idt
0 30 60 90
120 150 180
^ с
0
(проверьте!). Затем массу меди нахо-
находим по закону Фарадея.
32.5. ЭДС источника тока должна
превосходить ЭДС поляризации, кото™
рую можно вычислить, зная удельную
энергию химической реакции:
ХА
Йпол = \К=
Рис. 32.3
32.6. Заряд конденсатора q = С А <р, запасенная им энергия М^КонД =
= С(А(рJ/2 = 1,8 Дж. Выделится водорода m = ACAlp/^NaZ)^ при его
сгорании выделится количество тепла, равное Q = тХ = 9,1 • 10™3 Дж, —
много меньше, чем энергия конденсатора. Очевидно, при разряде конденса-
конденсатора через электролит часть запасенной им энергии рассеивается в форме
теплоты и лишь небольшая часть энергии расходуется на химическую ре™
акцию.
32.7. Подъемная сила F = (ро — PH)Vg", где ро — плотность воздуха и
рн — плотность водорода; масса водорода
т = рвУ = pnF/[g(po - рн)].
По закону Фарадея найдем заряд д, протекающий через раствор электро-
электролита. Энергия, необходимая для получения водорода,
W = дЙпол + Q,
где Q — потери на джоулево тепло. ЭДС поляризации мы нашли в зада™
че 32.5.
33. Ток в вакууме и газах
211
33. Ток в вакууме и газах
33.1. Расчет ведется по формуле Ричардсона™Дешмана. Для удобства
расчета надо сначала найти логарифм силы тока:
lg i3 = lg тг + lg d + lg I + lg В + 2 lg Г - 0,434AoЦкТ).
33.2. По формуле Ричардсона™Дешмана имеем
'Тг "
«2
X = — =
ехр ¦
Для расчета следует найти lg ж.
33.3. Электроны сталкиваются с анодом неупруго, что позволяет вос-
воспользоваться для расчета силы формулой A7.19) из § 17.5. Учитывая, что
сила тока г = enSv^ получаем
F = = - \/2ешт.
е е
33.4. Отношение сил токов насыщения обоих катодов
1
х = — =
12
Тг
А2
кТ2
33.5. Расчеты следует делать для линейного участка характеристики.
Здесь изменение анодного напряжения на AUa = 150 В при неизменном по-
потенциале сетки (например, при Ug = 0) привело к изменению силы тока на
Aia = 75 мА. Внутреннее сопротивление лампы Щ = AUa/Aia. Проницае-
Проницаемость лампы, fi = AC/a/AC/g-, т.е. /i — это отношение изменения потенциала
анода к изменению потенциала сетки, вызвавшему одинаковое изменение
анодного тока. Из рис. 33.5 видно, что изменение анодного тока на 75 мА
можно получить либо изменением потенциала анода на A.Ua = 150 В, ли-
либо изменением потенциала сетки на AC/g = 7,5 В. Следовательно, сетка в
20 раз эффективнее анода меняет си-
силу тока в лампе (на линейном участке
характеристики).
33.6. Вдали от насыщения плот-
плотность тока выражается через подвиж-
подвижность ионов (см. т. 1, § 48.2), откуда для
концентрации ионов имеем
id
d2<dt
Концентрация молекул воздуха при U
нормальных условиях равна числу
Лошмидта (§ 26.9), откуда коэффици- Рис. 33.8
ент ионизации а = п/Nl-
33.8. Вдали от насыщения сила тока увеличится, ибо при сближении
пластин возрастает напряженность электрического поля. В режиме тока
насыщения сила тока уменьшится, ибо уменьшается эффективный объ-
объем ионизационной камеры. Вольт-амперные характеристики показаны на
рис. 33.8.
33.9. Ток насыщения is = /3noeV = z/eV, где и — число ионов, возни-
возникающих ежесекундно в единице объема камеры.
212 Решения
ион-
33.10. Обычно расчет ведут с помощью соотношения ЗкТ/2 = е
Однако это даст завышенное значение температуры
2^ = 2-1,6-ИГ"-13,6 в
Зк 3-1,38-Ю-29 '
На самом деле ионизация происходит при более низких температурах. При-
Причиной является максвелловское распределение молекул по скоростям, со-
согласно которому имеется заметный процент молекул, скорость которых пре-
превышает наиболее вероятную скорость. Например, из табл. 25.1 (см. § 25.2)
видно, что 9/368 ~ 2,5 % молекул имеют скорость, более чем втрое превы-
превышающую среднюю, следовательно, их кинетическая энергия более чем в 9
раз превышает среднюю кинетическую энергию молекулы.
33.11. При тепловом движении в магнитном поле ионы и электроны
движутся по дугам окружностей, радиусы которых можно рассчитать по
той же формуле, что и радиус циклотронной орбиты ионов (см. § 41.2).
Импульс частицы выразим через температуру газа: р = л/ЗтпкТ, откуда
циклотронный радиус R = \/3mkT /{еВ).
33.12. Найдем вначале число Рейнольдса:
Следовательно, поток турбулентный и оценку надо вести по числу Стюарта:
jB2l _ 1,05-106-0,36-5-1(Г2
~ pv ~ 13,б-103-0,2 ~ '
Но число Стюарта есть отношение магнитных сил к силе сопротивления
давления. Итак, в данном случае магнитные силы будут существенно вли-
влиять на коэффициент гидравлического трения.
33.13.
-«¦¦»-'«'¦
33.14. Поскольку силовые линии вморожены в плазму, то при сжатии
звезды магнитный поток сохраняется: Ф = Фо, или BR2 = BqR^. Отсюда
найдем индукцию поля пульсара. Данные о радиусах звезды (до сжатия) и
пульсара см. задачу 14.21.
33.15. Давление магнитного поля равно плотности энергии
В2
Pm = Wm = -— .
2/io
Давление гравитационных сил оценим, как в задаче 16.7:
- ЗМ GM R 3GM2
Рграв - {P)gh - ^^ • ^ • у - J^^ .
Подставив значения массы и радиуса пульсара (см. задачу 14.21), получим
значение давления гравитационных сил.
34- Гармонические колебания
213
34. Гармонические колебания
34.4. Выражение для кинетической энергии преобразуется так:
К = 2,50 cos2
- — = 1,25 1 + cos 407rf + — =
4 / L V 2 /j
= 1,25A +sin407rf).
Частота колебаний энергии z/K = 40тг/2тг = 20 Гц, период Тк = 0,05 с.
34.5. Закон колебания имеет вид s = .A cos (ut-\-(p). Поскольку so = 0, то
0 = A cos ip, откуда следует ip = Bк + 1)тг/2. Начальная фаза всегда меньше
периода синуса: ср < 2тг. Следовательно, ср = тг/2 или ср = Зтг/2.
Скорость точки v = ^Аш sin (cut + ср). Начальная скорость vq =
= ^ Аи) sin tp = 0,20 есть по условию число положительное, что возможно
лишь при (р = Зтг/2. Итак, Аш = 0,2. Но ш = 2тп/ = тг рад/с, следовательно,
амплитуда А = 0,20/тг = 0,064 м. Зная амплитуду, частоту и начальную
фазу, легко написать закон колебания.
34.6. Закон колебания имеет вид s = Acos(u)t + у?), полная энергия
W = тш2А2/2, скорость v = —Аш sin (cut + ip). В начальный момент
= Acoscfj vq = ^
W = mw A /2,
откуда следует: sin (p = —-vq/Auj = —г;оу77г/2И^; но так как sin^ > 0 и
cos (p > 0, то начальная фаза 0 < у? < тт/2.
Круговая частота ш = ^vo ctg^/so, амплитуда А = \/s\ + (vq/ujJ. Пе-
Период колебания равен 50 мс, следовательно, время 0,4 с составляет 8 перио-
периодов. За это время частица пройдет путь, равный 32 амплитудам.
34.8. Воспользуемся векторной диаграммой (рис. 34.8). Здесь
В =
А
(А/4) - (А/8) =1
А -(А/4) 2
34.10. Выполним следующие преобразования:
s = 4 cos2 - • sin 10001 = 2A + cos t) sin 10001 =
= 2 sin 10001 + 2 sin 10001 • cos t = 2 sin 10001 + sin 10011 + sin 9991.
Спектр представлен на рис. 34.10.
А, м
Рис. 341
0 999 1000 1001 ш, рад/с
Рис. 34.10
214
Решения
34.11. Имеем
1 + cos2 t + sin4 t = 1 + i A + cos 2t) + i A - cos 2iJ =
= - D + 2 + 2 cos 2i + 1 - 2 cos 2t + cos2 2t) =
i (l + cos4t)l = i A5 + cos4i).
Отсюда следует:
1 /- ~ + cos 4t) sin 500t = — sin 5001 + - sin 5001 • cos U =
8
8
8
i
Спектр представлен на рис. 34.11.
Л, мк А, м
= — sin50(H+ — sin504t+^ sin4961.
8 16 16
30/16
1/16
I
30/16
8/16
1/16
I
I
0 496 500 504 со, рад/с
Рис. 34.11
34.12. Имеем
496 498 500 502 504 со, рад/с
Рис. 34.12
1 + cos2 t + cos41 = 1 + - A + cos 2t) + - A + cos 2tJ =
= - D + 2 + 2 cos 2t + 1 + 2 cos 2t + cos2 2t) =
4
_ 1
~ 4
Отсюда следует:
1
4cos2t+ - A +cos4t) = - A5 + 8cos2t + cos4t).
s = - A5 + 8 cos 2t + cos 4t) sin 5001 =
8
15 1
= — sin 5001 + cos 2t • sin 5001 + - cos 4t • sin 5001 =
8 8
= ^ sin500t+™ sin502t+- sin498t+^ sin504t+^ sin4961.
8 2 2 16 16
Спектр рассматриваемого колебания см. на рис. 34.12.
34.13. Уравнение колебания имеет вид s = A cos Bt + ф). Амплитуду и
начальную фазу определим по начальным условиям. Скорость колебания
v = s = ^2AsinBt + Lp). При t = 0 имеем so = 3 = A cos 99, vo = 8 =
= ™2.Asin^ или Asln^ = —4, A cos 92 = 3. Возведя в квадрат и сложив оба
равенства, получим А = 5 м. Тогда sin (p = —0,8, cos (p = 0,6, откуда следует
(р = ^0,927 рад.
35. Свободные колебания 215
35. Свободные колебания
35.2. Добротность Q = k/hujo, где h = FTp/v = бттгг].
35.3. Сила трения FTp = fling не зависит от скорости, что позволяет
воспользоваться энергетическими соображениями. Пусть груз из начально™
го состояния максимального отклонения от положения равновесия с ампли-
амплитудой Ао перейдет в следующее аналогичное состояние с амплитудой А\7
тогда по закону сохранения энергии
- kAl - fimgAo = - kA\
откуда следует:
То же верно и для любых других последующих колебаний, т.е. ампли-
амплитуды образуют убывающую арифметическую прогрессию:
TYKZ
Ап = Ао -
Маятник остановится, когда амплитуда последнего колебания обратится в
нуль. Из Ап = 0 следует п = kAo/Bfimg). Так как все амплитуды, кроме
начальной, проходятся дважды, то число качаний:
iV = 2n-l = -^- -1.
Как видно, за счет силы трения механическая энергия довольно быстро
превращается во внутреннюю и колебания прекращаются.
35.4. При изотермическом изменении объема газа имеем, согласно за-
закону Бойля—Мариотта,
pi(d - x)S = p2(d + x)S = pdS.
Сила, действующая на поршень,
2pxSd 2pVx
F=(p2-pi)S= —
d?-:
где V — объем половины сосуда. Как видно, сила не подчиняется закону
Гука и колебания не гармонические. Но при малых отклонениях поршня,
когда х <С d, сила окажется квазиупругой: F = —2pVx/d21 и колебания
поршня будут гармоническими. Жесткость системы k = —Fjx = 2pV/d2.
35.5. При адиабатном процессе надо воспользоваться уравнением Пуас-
Пуассона и учесть приближенные равенства (при x<d)
d1 { х \-ч 7^ d1 ( х
A + ) 1I A
d J d ' (d-x)-r V d
Для силы получим
[ Pdl Pdl 1 o_
т.е. F^ = jFm3OT.
35.6. Как видно из рис. 35.6, сила, возвращающая тело в положение
равновесия, F = —pgAV = —2pgSx. Поскольку эта сила пропорциональна
216
Решения
смещению, собственную частоту колебаний найдем по формуле си о = л/к/т.
Здесь к = —F/x = 2pgS', m = pSl.
Итак, шо = y/2g/l.
35.7. Возвращающая сила F = —pogSx, где 5* = 20-20 см2 = 4-Ю™2 м2,
ро — плотность воды и х — дополнительное погружение. Поскольку сила
квазиупругая, частоту получим по известной формуле.
35.8. Период колебания маятника на поверхности Земли То = 27r^/f/g0,
на высоте h над поверхностью Земли Т = 2тгл/1/'g. Имеем: AT/То = т/то,
где то = 8,64 • 10 с — продолжительность суток, г — отставание часов.
Итак,
Ускорение силы тяжести g0 = GM/R2, g = GM/(R + Л,J, где Д —
радиус Земли. После несложных преобразований имеем
35.9. Нужно найти полное ускорение относительно Земли w =
= ^fa2 + g2. Тогда период колебаний маятника Т = 2тгл/TJw.
Положение равновесия отклонится от вертикали на угол (р =
= arctg (a/g).
35.10. Скорость тела в произвольной точке окружности (рис. 35.10)
= y/2gl(cosa —
где х = ^cosa — cosao- Элемент дуги As = 1Аа тело проходит за время
As
At=—=
lAa
Aa
Рис. 35.10
= 4(At1+At2
Примем Аа = 3° = тг/60. Тогда
V2
g 240жср
Период колебания
...) = 2тгЛ/- -^
11 60
Поскольку по формуле То = 2тг
колебаний, то Т = кТо, где
jfe =
60
рассчитывается период малых
1 1
— поправочный множ;итель. Сведем данные расчета в табл. 35.10, из кото-
которой следует, что 1 К.. = 44,23. Имеем к = у/2-44,23/60 = 1,042.
36. Вынужденные колебания. Переменный ток
Итак, период Т = 2тг1с4 / — = 2,08 с, в то время как То = 2тгд /— =
V g V g
= 2,00 с. Относительная погрешность при применении формулы малых ко™
лебаний составит в этом случае 4%.
Таблица 35.10
г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
а
45°
42°
39°
36°
33°
30°
27°
24°
21°
18°
15°
12°
9°
6°
3°
0
cos a
0,7071
0,7431
0,7771
0,8090
0,8387
0,8660
0,8910
0,9135
0,9336
0,9511
0,9659
0,9781
0,9877
0,9945
0,9986
1,0000
cos а — cos ао
0,0000
0,0360
0,0700
0,1019
0,1316
0,1589
0,1839
0,2064
0,2265
0,2440
0,2588
0,2710
0,2806
0,2874
0,2915
0,2929
X
0,000
0,190
0,265
0,318
0,362
0,399
0,428
0,454
0,476
0,494
0,508
0,520
0,530
0,535
0,540
0,541
Жср
0,095
0,228
0,292
0,340
0,380
0,414
0,441
0,456
П Л Q К
и,4оО
0,501
л Kin
UjJIU
0,525
П f^QI
U,OoZ
П K1Q
U,Ooo
0,540
1/Жср
10,50
4,38
3,43
2,94
2,63
2,42
AW , JLAW
2,27
2,15
о rifi
z,uo
1,99
1 Qfi
i,yu
1,91
1 QQ
l,oo
1 ОП
1,оУ
1,85
35.13. Момент инерции системы относительно оси
+ гJ.
Расстояние от центра масс до оси
I = - mil2 + - Ш2Г2 +
о 2
mil 12 + 1112A + r)
nil + П12
Отсюда находим период.
35.16. Суммарная энергия электрического и магнитного полей Ш =
= q2/Bс) + Ы2/2 = const. Взяв производную, получим 2qq'/Bc) + 2LU' /2 =
= 0. Но по определению г = </, i; = q". Искомое уравнение примет вид
q" + A/Lc)q = 0.
36. Вынужденные колебания. Переменным ток
36.1. Вдали от резонанса А = \FM/[m(ujQ — ш2)]\, при резонансе Арез =
= QACT3iT = QFm/k.
36.2. Поскольку Vm = шА, то при ш = 0 и при а; —>• сх) амплитуда
скорости FM = 0. Резонансная кривая показана на рис. 36.2.
218
Решения
36.3. Находим вначале собственную частоту (см. задачу 35.1); име-
ем (Jo = л/g /Аст8ьТ • По времени затухания находим добротность системы
Q и ujqt = т\/g/АСТат• Отсюда находим резо-
®e3 нансную амплитуду
Нетрудно убедиться, что при резонансе система
разрушится.
36.4. Для того чтобы два соседних импуль-
импульса не слились, промежуток времени между ни-
ними должен быть существенно больше времени за-
затухания одного импульса и времени нарастания
другого, т.е.
гСкв > 2т и 4 — .
со
Рис. 36.2
Чтобы найти максимальный объем информа-
информации за 1 с, следует учесть, что эта информация
должна состоять из JVi точек и N2 тире: N = JVi + JV2, где N — объем
информации. Но обычно в среднем N± и N2 и JV/2. Отсюда имеем
1 с =
+ iV2T2 + iVrCKB
1,5
I
4,5
I
WNQ
Находим объем информации: N ^ Rf(WL).
36.5. Пусть напряжение и = UMcosut, сила тока г = IM cos (out + ip).
Согласно определению ЭДС самоиндукции Шь = -—Ldi/dt, падение напря-
напряжения на индуктивном сопротивлении иь = ^(§ь = Ldi/dt (см. т. 2, § 54.2).
Подставив di/dt = —1шш sin (o;t + (^), получим С/м cos cut = —1шЬш sin (ш? + (^).
Отсюда следует
v Um т ж
XL = -— = Ьш, 9? = -- .
36.6. Пусть напряжение и = C/Mcoso;t, сила тока г = IM cos (cut + (р).
Падение напряж:ения на конденсаторе ис :=: q/Cj a сила тока
i C
dt di
Итак, IM cos (oot + (p) = —UmCuj sina;t, откуда следует
36.7. При последовательном соединении катушки и резистора сила то™
ка в них одна и та же, а напряжения сдвинуты по фазе. Поэтому векторную
диаграмму строят, беря за основу вектор, изображающий действующее зна-
значение (или амплитуду) силы тока (рис. 36.7).
36.8. Векторная диаграмма изображена на рис. 36.8.
36.9. При параллельном соединении конденсатора и резистора к ним
приложено одинаковое напряжение, а силы тока сдвинуты по фазе. Поэто-
Поэтому векторную диаграмму строят, беря за основу вектор, изображающий
действующее значение (или амплитуду) напряжения (рис. 36.9).
36. Вынужденные колебания. Переменный ток
219
II
к)
\j
/ /
v
7
/ I
/ I
1
1
]
I
1
1
U*=RI
UR=RI
Рис. 36.7
Рис. 36.8
36.10. В данной цепи Z = ^R2 + (La; — 1/СшJ. Вынесем активное со-
сопротивление за знак корня, а емкостное сопротивление Хс = t/Сш — за
скобки; получим
Z = R
(ЬСш2 - IJ
R2C2uj2 '
Собственная частота шо = ^/l/(LG), добротность Q = A/R)^/L/C =
= l/(RCuo), откуда LG = I/ojq, R2C2 = l/(Q2a;o). Подставив в выражение
для полного сопротивления, получим
= R
где 7 = о;/о;о.
36.11. Векторная диаграмма изображена на рис. 36.116 (см. зада-
задачу 36.9), где
Zq = л/R2 + L2a;2,
Из диаграммы видно, что
= R/Zo,
= Luj/Zq.
но так как а = (тг/2) — <fo, то
J2 = J2 +/2,-2/0/G Sin 990.
Подставив значения сил токов и sin (fo, получим
после несложных преобразований искомую вели-
величину действующего значения силы тока в нераз-
ветвленном участке цепи.
Из векторной диаграммы cos (f = Io cos <po/I = p 36 11 б
г т о / / j 17 \
— ty -iX/ I -/ ^0 J •
36.12. Мощность ищем по формуле Р = IU cos 99. Зная, что ампли-
амплитуда С/м = 312 В, надо найти действующее значение напряжения и подста-
подставить данные в формулы предыдущей задачи. Для простоты расчета считать
тг2 = 10.
36.14. У электродинамического ваттметра две катушки (рис. 36.14).
Неподвижная катушка из толстого провода включается в цепь последова-
последовательно с нагрузкой; следовательно, она создает магнитное поле с индукци-
индукцией, пропорциональной силе тока:
В ~ г, или В = k±IM cos (cut + (f).
220
Решения
Подвижная катушка включается параллельно нагрузке; следовательно,
магнитный момент этой катушки пропорционален напряжению:
рт ~ U, ИЛИ рт = fe l/M COS U)t.
Здесь k\ ж к,2 — коэффициенты пропорциональности. Мгновенное значение
вращающего момента, действующего на подвижную катушку, равно
М = ртВ = kik2lmUm cosut • cos (ujt + (p) = kik2lU[cos(p + cos Bujt + ф)\.
Среднее значение вращающего момента
(М) = kik2lU{cos(p + cos Buot + ср)) = kik2lUcostp,
поскольку среднее значение слагаемого cos Bu)t + ip) равно нулю. Мы видим,
что среднее значение вращающего момента, действующего на подвижную
часть прибора, пропорционально средней мощности в цепи; следовательно,
электродинамический ваттметр измеряет активную мощность.
U, В
85
80
70
0
70
80
85
Рис. 36.14
Рис. 36.16
36.16. Зажигание лампы определяется мгновенным, а не действующим
значением напряжения, которое показывает вольтметр. Поскольку ампли-
амплитудное значение напряжения UM = Uy/2 = 85 В, то в течение определенного
времени лампа будет гореть (рис. 36.16).
36.17. Амплитудное значение напряжения больше пробивного напря-
напряжения.
36.19. Пренебрегая сдвигом фаз, легко определить силу тока во вто-
вторичной обмотке /2 = kl\ и число витков W2 = w\/k.
Полагая, что допускаемая плотность тока в проводах одна и та же, най-
найдем, что сечения проводов пропорциональны токам, следовательно, 5*2 = к Si.
Для определения сопротивления вторичной обмотки надо знать дли-
длину провода. Учитывая, что по условию обмотка мотается на сердечник в
один слой, нетрудно убедиться, что длины проводов пропорциональны чис-
числу витков:
h W2 1
/1 wi к
А так как провода сделаны из одного и того же материала, то отношение
их сопротивлений
Дз _ hth _ J_
Ri ~ hS2 ~ к2 '
что позволяет найти сопротивление вторичной обмотки.
SI. Упругие волны 221
Потери на нагрев обмоток Рмедь = I\R\ + I2R2, а коэффициент полез™
ного действия
Р2 Pi - Рмедь
V = J\ = д •
36.20. При холостом ходе вторичная обмотка мощности не потребля-
потребляет, следовательно, Рх.х = /x.xri + РСТаль, где п — сопротивление первичной
обмотки. Но у правильно сконструированных трансформаторов благода-
благодаря огромному индуктивному сопротивлению ток холостого хода 1Х.Х очень
мал, мало и активное сопротивление обмотки. Отсюда следует, что первым
слагаемым в балансе мощностей можно пренебречь, и Рх.х = РСТаль-
36.21. У массивного медного или алюминиевого кольца активное сопро™
тивление ничтожно мало по сравнению с индуктивным. Пусть в первичной
обмотке течет синусоидальный ток; по этому же закону будет меняться
магнитный поток, пронизывающий кольцо. ЭДС, индуктируемая в кольце,
пропорциональна взятой со знаком минус производной от магнитного по™
тока; следовательно, ЭДС индукции отстает по фазе от тока в первичной
обмотке на <^g = —тт/2. Колебания силы тока в кольце, как и во всяком ин-
индуктивном сопротивлении, отстают от колебаний ЭДС по фазе на столько
же: Lpi = — тг/2. Следовательно, сдвиг фаз между током в кольце и током в
первичной обмотке Lp = ср% -\- ifi :=: -~~^-) т-е- У этих токов противоположные
фазы, значит, они текут в противоположных направлениях. А такие то-
токи, как известно, отталкиваются. Сила отталкивания уравновешивает силу
тяжести, вследствие чего кольцо «парит» в воздухе.
36.22. Вторичная обмотка работает на активную нагрузку, следова-
следовательно, (р2 = 0. Коэффициент мощности
COS ,>! =
.
Активную мощность Pi находим по коэффициенту полезного действия.
37. Упругие волны
37.5. Вначале следует определить плотность воздуха и скорость волны
и = y'jp/p при температуре 27°С, затем по формулам § 55.3 вычислить
энергию и амплитуду волны.
37.6. Находим интенсивность волны I = Р/Dтгг2), считая источник
точечным и изотропным. Затем, как и в предыдущей задаче, находим ам-
амплитуду волны.
37.7. Уровни интенсивности связаны с интенсивностями соотношением
к.
Но для точечного источника, согласно предыдущей задаче, I1/I2 =
следовательно,
n
37.8. Для малого (практически — точечного) источника интенсивность
волны обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Если
к тому же учесть затухание, то интенсивность волны на расстояниях п и
Г2 от источника выразится соответственно соотношениями
r{ rf2
222 Решения
где L — толщина слоя половинного поглощения. Отсюда следует:
Разность уровней интенсивности
+lg2.
37.9. Интенсивность волны I = 10 ¦ 2™ж/ь = 1ое™мж, следовательно,
Логарифмируя, получаем
Y In 2 = /хж,
откуда и следует искомое соотношение.
37.11. Для решения задачи следует воспользоваться выражением для
частоты, регистрируемой неподвижным наблюдателем в случае движуще-
движущегося источника:
Щ Щ
Щ = или i/2 = ,
1+ х 1-х
где х = v/u — отношение скорости источника к скорости волны. Частота
биений равна разности частот:
2 ж 1/о 2 г; 1/о
Получаем квадратное уравнение их + 2щх —- v = 0, откуда
ибо частота биений и много меньше собственной частоты колебаний камер-
камертона щ. Итак,
V V UV
- и 7—- , откуда v и 7—- .
и 2i/0 2i/0
37.12. При сближении источника и приемника справедливо соотноше-
соотношение
1 + V/u
1 — v/u
где V ш v — соответственно скорости приемника и источника относительно
передающей среды. Если же приемник и источник удаляются друг от друга,
то в соотношении надо изменить знаки в числителе и знаменателе.
37.18. При наличии масла ультразвук проходит в деталь. Если же меж-
между преобразователем и деталью образуется воздушный зазор, то волна пол-
полностью отразится от слоя воздуха в преобразователь и не пройдет в деталь.
37.19. Для того чтобы можно было увидеть раздельно импульсы отра™
женного и отправленного сигналов, между ними должен быть просвет, не
меньший примерно половины импульса. По времени это составит г = ЗОТ =
= ЗО/i/. За это время волна должна пройти толщину металла дважды, в
прямом и обратном направлении, т.е. т = 21/и. Отсюда I = 30и/2г/ = 15А.
38. Интерференция и дифракция 223
38. Интерференция и дифракция
38.1. Пусть уравнение волны в среде с волновым сопротивлением z\ =
= р\и\ имеет вид
si = A\ cos (out — kx).
Волна отражается от среды с волновым сопротивлением Z2 = P2U2 и урав-
уравнение отраженной волны на границе раздела
sOTp = AOTp cos (out + kx).
Но
л - л Zl ~ Z2
Z\ + Z2
следовательно, при Z2 > z\ амплитуда отраженной волны отрицательна, т.е.
фаза волны меняется на противоположную. Полагая для простоты расчета,
что Z2 ^> z\j имеем Аотр = —А\\ следовательно, уравнение волны в первой
среде
s = s\ + sOTp = A\ cos (uot — kx) — A\ cos (uot + kx) = 2A\ sin kx sin out.
На границе раздела жо = 0, следовательно, so = 0 для любого момента
времени. Итак, здесь возник узел стоячей волны.
Аналогично, при Z2 <C z\ имеем у4ОТр = Ai, уравнение стоячей волны
s = 2Ai coskx • cos cut,
ее амплитуда на границе раздела (жо = 0) равна 2А\, т.е. возникла пучность.
38.2. Волновое сопротивление кварца больше волнового сопротивления
как воздуха (верхняя поверхность), так и воды (нижняя поверхность). Сле-
Следовательно, на обеих границах установятся пучности (хотя и с разными
амплитудами). Отсюда следует, что на толщине пластины укладывается
целое число полуволн: I = пЛ/2, что позволяет найти частоту основного
тона и гармоник.
Если залить верхнюю поверхность кварца маслом, то частота не из-
изменится, хотя произойдет перераспределение мощности, излучаемой через
нижнюю и верхнюю поверхности кристалла.
38.5. Частота биений равна разности частот:
иг - и2
Отсюда
fPfT /FfT IV Т1-Т2 \V
V -/ 1 ~ V J-2 = — , ИЛИ __ ,——. = ——
10 ' л/Т\ + лЩ Ю
Ho Ti и Г2 = Т, следовательно, AT = 0,2li/y/T.
38.6. Резонанс наступит, когда на длине воздушного столба установится
нечетное число четвертей волны: I = Bп+1)Л/4. В нашем случае п = 0; 1; 2.
38.7. Первый интерференционный минимум будет наблюдаться, когда
вспомогательный угол ol\ = тт. Тогда очевидно, что угловая ширина глав-
главного максимума
Am и
л/ = 201 = 2 arcsin —— = 2 arcsin —=~ .
ttD vD
224 Решения
39. Электромагнитные волны
39.2. На антенне устанавливается стоячая волна, как это показано на
рис. 39.2. В самом деле, в середине антенны сила тока максимальна (пуч-
ность), на концах минимальна (узел), а так как напряжен-
ность магнитного поля пропорциональна току, то точно
так же распределена стоячая волна вектора напряженности
магнитного поля. Что же касается напряженности электри-
/ ческого поля, то на концах диполя образуется пучность (по-
/
/
/
/
I
н
/
чему Г j, а в середине — узел.
Итак, I = А/2, откуда следует А = 21.
« 39.3. При переходе из одной среды в другую, согласно
теории вынужденных колебаний, частота волны не меня-
меняется, меняется скорость и длина волны. Имеем v = и/Х =
'\ = с/Ао, где А = 21 — длина волны в жидкости, Ао — длина
\ волны в воздухе. Учитывая, что и = с/у/е, получаем Ао =
39.4. Прежде всего определим скорость волны и веще-
вещество, в котором она распространяется. Имеем и = и/к =
Рис. 39.2 = с/у/е, откуда диэлектрическая проницаемость вещества
9 1 9 i 9
е = с к /и -
Магнитная проницаемость вещества /i = 1,0. Находим амплитудное зна-
значение напряженности магнитного поля:
ям =
Амплитуда плотности энергии электромагнитной волны
ЕМНМ еЕш
wm = =
и с
Среднее значение энергии равно половине амплитудного значения:
В случае абсолютно поглощающей поверхности давление равно средней
плотности энергии.
Энергия, поглощаемая площадкой S за время t, равна
39.5. Амплитуда силы тока /м = enSVM, где VM = и А — амплитуда
скорости колебаний заряда. Величина колеблющегося заряда q = enSl, еле™
довательно, 1Ш = qAu/l. Мощность излучения
р =
127VC 127VC
Но для полуволновой антенны ul = же (см. задачу 39.2), следовательно,
D Ж г2
12 /i°
39. Электромагнитные волны
225
Мощность тока Р = I2R = I^R/2, следовательно, антенна эквивалентна
сопротивлению
„ 7Г 7Г //10
6 6 V ео
39.6. Мощность синхротронного излучения можно вычислить по фор-
формуле
Р =
fioq2a2
12жс
где а — ускорение ид — заряд сгустка. Но центростремительное ускорение
а = ш г, а сила тока I = q/T = дш/2тт, где Т — период вращения. Отсюда
следует q = 2тт1/ш. Подставив в выражение для мощности, получим
= 47Г2/10 2 2 2
12тгс
Но шг = v — скорости электронов, следовательно,
Зс " ¦
39.7. Спектр модулированного сигнала схематически показан на
рис. 39.7. Для того чтобы сигнал существенно не искажался, полуширина
резонансной кривой должна быть не меньше полуширины спектра моду-
модулированного сигнала: Аи > ь>\ — и, или щ/Q ^ изв,
откуда определяется добротность контура:
Выразив добротность и собственную частоту кон-
контура через его параметры, получим R/L ^ 2тг1/3в,
где изв — максимальная частота звукового сиг-
сигнала, который должен пройти через контур
без существенных искажений. Учитывая, что
изв и 2 • 103 Гц, имеем
- ^4тг-1О3 [Ом/Г].
JU
Емкость конденсатора С = 1/Dтг2|/(
= с/Л = 1,2 • 107 Гц, следовательно,
Рис. 39.7
собственная частота контура
С =
1
[Ф].
5,7- 1015Ь
Если выбрать, например, активное сопротивление R = 0,1 Ом, то полу-
получим разумные значения индуктивности и емкости.
39.8. Из инвариантности фазы (см. т. 2, § 59.8) следует выражение
E9.22). Воспользовавшись преобразованиями Лоренца, получим
to + vxq/c2
y/l-V2/c2
cos 9 xq + vto
zq sin 9
- V2/C2
to —
Xq COS <9o
Zq Sin ^o
А.А. Пинский
226 Решения
Раскрывая скобки и группируя, имеем
ШХо (V Л
^=^= - — cos в
-v2lc2 Vc /
t;eos<9 \ шхо fv Л uzosmt
1 - — + . — - - cos 0 - ^^^
у/1 - V2/C
с с
Учитывая, что жо, zo и to — независимые переменные, убеждаемся, что
полученное равенство возможно лишь в случае равенства множителей при
этих переменных. Полагая C = v/c, получаем
шA — /3cos(9) wV™,v K/ . .
—^— - = шо, =г^ = cjo cos Уо, шб\п9 = шо sin (9о.
Первое равенство дает нам выражение для эффекта Доплера. Разделив
второе уравнение на первое, получим соотношение для косинусов:
cos в - /3
- в cos в
= cos(9q.
39.9. Пусть источник и наблюдатель приближаются друг к другу со
скоростью v = /Зс. Согласно классическому эффекту Доплера, значение ча-
частоты при приближении источника равно ш1 = ио/A—/3), при приближении
наблюдателя — ш11 = шоA + C). Перейдя к периодам, получим
Т' = ТоA-/3), T" = -^V
Однако необходимо еще учесть изменение темпа времени. Именно, в
первом случае, когда движется источник, следует в формулу вместо То вве-
ввести величину 7^0, где 7 — релятивистский фактор. Во втором случае, когда
движется наблюдатель, следует вместо Т ввести величину "уТгг. Получим
Т'=уТ0A-13), 7Т" = Т^.
Поскольку, согласно принципу относительности Т = Т , имеем
То
ж 1 + /3
39.10. Доплеровское уширение
где Ж — молярная масса. Гравитационное смещение спектральной линии
А1/Грав _ ^грав _ Gfil
где m и г — масса и радиус звезды. На «белом карлике» Д|/грав больше
Ai/допл примерно на порядок.
39. Электромагнитные волны 227
39.11. Поскольку ионы движутся навстречу наблюдателю, длина волны
1 - /3 cos в
А = Ао —, .
Кинетическая энергия иона равна 40,0 МэВ, энергия покоя в четыре раза
больше энергии покоя протона (см. задачу 8.1). Имеем
&о 3,7284
3,7684
обратная величина
= 0,S
7= , г - = 1 + J™ =1,01.
Отсюда находим отношение скорости иона к скорости света:
/3 = - = у/1 - 0,9892 = -v/0,011 • 1,989 = 0,148.
с
Итак, наблюдаемая длина волны
А = 410A ~~ 0,148 cos 0) • 1,01 = 361 им.
39.12. Скорость вращения Солнца много меньше скорости света, поэто-
поэтому можно воспользоваться классическим выражением для эффекта Допле-
Доплера. От участка, движущегося к нам, Ai = АоA — /5), от противоположного
А2 = АоA +/3). Следовательно,
ДА = 2/3Ао :=: ,
сТ®
где Rq — экваториальный полудиаметр Солнца. Период вращения
ДАс '
39.15. Максимальное смещение спектральных линий будет наблюдать-
наблюдаться, когда одна звезда на орбите движется прямо на нас, вторая — от нас.
Поскольку орбитальные скорости звезд много меньше скорости света, уши-
рение спектральных линий можно рассчитывать по нерелятивистской фор-
формуле Доплера:
ДА = АоA + /3) - АоA - ?) = 2АО/3 = 2Л0 - ,
где v — проекция орбитальной скорости на луч зрения.
39.16. Период обращения звезд вокруг их общего центра масс вдвое
больше периода уширения спектральных линий. Зная орбитальную ско-
скорость и период, можно найти радиус орбиты
R= 2^ "
Затем по закону тяготения имеем
GM2 Mv2 4v2R 2v3T
Тш^ = ^W~ ' откУДа м = ^Т^ = ^7^ '
39.17. По определению п = с/и и п = с/и. Но из релятивистского
„ / и — v с/п — /Зс „
закона сложения скоростей и = = . Подставив в выра-
1 — uv/cz 1 — р/п
жение для ?/, получим
п' = ~г—ъ » ?' = (nff = т~
228
Решения
40. Интерференция и дифракция света
40.1. Очевидно, что в центре интерференционной картины наблюдается
главный (нулевой) максимум. Определим координату максимума с номером
га, которую обозначим через zm. Этот максимум будет наблюдаться при
условии, что разность хода г 2 — г\ = 2тА/2. Но
2 / i \ 2
2 т 2
7*1 = L ¦
т 2
= L ¦
вычитая, получаем (r2^ri)(r2+ri) = 2zmd. Поскольку d<^L и наблюдаются
на практике интерференционные максимумы с небольшими номерами (т.е.
2m < L), МОЖНО ПОЛОЖИТЬ Г 2 + 7*1 =
= 2L. Итак,
= zmd.
Отсюда находим координату макси-
максимума Zm = mXL/d. Расстояние меж-
между соседними максимумами (или ми-
минимумами)
Az = ,
- zm = XL/d.
Расположение максимумов на ин-
Рис. 40.1 терференционной картине см. на
рис. 40.1.
40.2. Интерференционная картина смажется, если красный максимум
порядка га наложится на фиолетовый максимум следующего порядка: z%? =
= 2*+i- Подставив значения величин, получим тАкр = (га + 1)Аф, откуда
га = т- ^—
А
т.е. m = 1,6 < 2.
Это значит, что отчетливо будут наблюдаться нулевой и первые максиму-
максимумы, а также первые и вторые минимумы (черные полоски). Второй макси-
максимум будет смазан, третий и последующие — вовсе не видны. Нулевой мак™
симум будет белым, первый будет спектрально окрашен — снаружи ока-
окажется красный цвет, изнутри фиоле-
фиолетовый, между ними — другие участки
спектра.
Расстояние на экране между крас-
красной и фиолетовой полосками
Az = (Акр - лф)^ •
Рис. 40.3 6
40.3. Как видно из рис. 40.3 6,
(г2 — r\)/d = h/l. Поскольку мы рас-
рассматриваем два соседних максимума (или минимума) и свет дважды про-
проходит расстояния п иг2, то справедливы соотношения
откуда следует
=2m^, 2г2 = 2(т
А
Итак, X/2d = h/l, откуда находим длину световой волны.
40. Интерференция и дифракция света 229
40.4. При сдвиге зеркала на полуволну происходит сдвиг на одну по™
лосу.
40.5. Оптическая разность хода А = ri2h — п\1\ = (п — 1I. На этой
разности хода укладывается N = 47,5 полуволн.
Итак, (п - 1I = JVA/2 и п = 1 + NX/21.
40.7. Интерференционная картина исчезнет, если максимумы, соот-
соответствующие одной длине волны, окажутся на месте минимумов, соот-
соответствующих другой длине волны.
40.9. Из условия dsin.0 = тХ видно, что mX/d ^ 1. Следовательно,
максимальный порядок наблюдаемого максимума т ^ d/A, причем нужно
выбрать максимальное целое число. При подсчете общего числа наблюда-
наблюдаемых максимумов следует учесть наличие нулевого (главного) максимума
и симметрию интерференционной картины относительно главного макси-
максимума.
40.10. Первый максимум наблюдается под углом 0i, определяемым из
условия cf sin в\ = А. Второй максимум наблюдается под углом 02 = 01 +15°,
определяемым из условия d sin 02 = 2А. Отсюда следует, что sin @i + 15°) =
= 2 sin 0i, что сводится к уравнению
tgg1= Sinl5° =0,2503.
2 — cos 15°
Зная угол отклонения первого максимума 0\, легко вычислить длину волны.
40.11. Находим общее число штрихов: N = l/d = 12,0 • 103/15,0 =
= 8000. Поскольку Nd = I много больше длины волны, то 7 = 2A/I, что
дает угловую ширину главного максимума.
Для определения разрешающей способности решетки следует оценить
число максимумов, которое можно получить. Имеем (см. задачу 40.9)
т^{ =5301-510-з =2.83, откуда т = 2,
т.е. с помощью этой решетки можно наблюдать спектры только первого и
второго порядков. Разрешающая способность А = А/АА = raiV.
40.12. Разрешаемый спектральный интервал ДА = А2 — Ai, разрешаю-
разрешающая способность А = Ai/AA = mN, что позволит определить общее число
штрихов. Длина решетки I = Nd = Xid/(mAX). Номер спектра наивысшего
порядка (см. задачу 40.9) определяется из условия т ^ d/X; в нашем случае
это 5.
40.13. Чтобы увидеть раздельно данные линии спектра, нужна решетка
с разрешающей способностью
а = =^=982.
АА 6
Наша решетка в спектре первого порядка имеет разрешающую способность
А = mN = 990, следовательно, спектральные линии будут разрешены, но
плохо; лучше измерение производить в спектре более высокого порядка.
Угловое расстояние между максимумами в спектре второго порядка на-
находим из условий d sin 0i = 2Ai и d sin 02 = 2A2. Вычисления следует прове-
провести с помощью микрокалькулятора, поскольку точность логарифмической
линейки для данной задачи недостаточна.
40.14. Пусть на решетку под углом скольжения а падает параллельный
пучок, иными словами — плоская волна (рис. 40.14). Очевидно, что нулевой
интерференционный максимум возникнет в том же направлении. Что каса-
касается максимума порядка ш, то он возникнет под углом скольжения /5, когда
230
Решения
разность хода А = а — Ь = т\. Учитывая, что а = do cos a, b = do cos/3, где
do — период решетки, получаем
do (cos а — cos/3) = т\.
Это и есть условие интерференционных максимумов при наклонном паде-
падении лучей на дифракционную решетку. Выразим теперь условие интерфе-
интерференции для угла (9, равного углу
отклонения дифракционного макси-
максимума от первоначального направле-
направления пучка. Так как /3 = а + 0, то
cos а — cos /3 = cos a — cos (a + в) =
= cos a — cos a cos в + sin a sin в.
Поскольку в обычно очень мал, то
cos в и 1 и cos a — cos/? и sin а sin 0.
Условие максимума примет вид
do sin a sin в = гаА,
Рис. 40.14
т.е. по отношению к наклонному пучку установка ведет себя так же, как
если бы перпендикулярно лучу поставили решетку с периодом d = do sin a.
41. Дисперсия и поглощение света
41.1. С учетом дисперсии условие черенковского излучения запишется
так: cos^ = c/nv. Поскольку протоны релятивистские, то
Отсюда следует:
где &о = 0,939 ГэВ — энергия покоя протона (см. задачу 8.1). Показатели
преломления для указанных участков спектра щ = 1,48 и П2 = 1,51.
41.2. Отношение /3 = v/c = l/(ncos0) = 1/A,3428cos41° 10;). Кинети-
Кинетическая энергия
41.4. Согласно определению групповая скорость
U = Ит
Да; da;
dk
Но волновое число к = ш/и = пш/с. Дифференцируя, получаем
dn
Отсюда
dk n ш dn 1
da; с с duo с
U =
п + ш dn/duj
41. Дисперсия и поглощение света 231
41.5. В области нормальной дисперсии
2 Л . ol е2п0
п = Ц 5 о ' где а = .
Шд — о;2 Some
Производную показателя преломления по частоте найдем, дифференцируя
данное равенство. Имеем
о dn в / о \
о1ш (ш^-ш2J (
Следовательно,
dn ш а
>
duo n (uJq — Ш2J
т.е. в области нормальной дисперсии производная показателя преломления
по частоте повсюду положительна.
Q
Пусть теперь шо > ш. тогда п > 1, и из формулы U = —г~г™ (см-
п + ш dn/duo
предыдущую задачу) сразу же следует U < с. Если же шо < ш, то п < 1.
Подставим в этом случае значение производной в выражение для групповой
скорости; учитывая значение п , получаем
С СП СП
4J О О О •
аш2 о оси2 ^
+ / о П2 + , о 1 +
Мы видим, что в знаменателе дроби стоит число, превосходящее единицу.
А так как в этом случае показатель преломления меньше единицы, то и
здесь U < с.
41.6. Поскольку у плазмы концентрация свободных электронов мала,
то при больших частотах второе слагаемое в формуле F3.15) много мень-
меньше единицы и диэлектрическая проницаемость близка к единице. Восполь-
Воспользовавшись приближенным соотношением у/1 + х = 1 + ж/2 (при х <С 1),
получим выражение для показателя преломления.
Групповую скорость найдем, вычислив производную от показателя пре-
преломления по частоте
dn e2no
duo еотеш3
и подставив это значение производной в формулу для групповой скорости.
Впрочем, проще воспользоваться последней формулой в решении предыду-
предыдущей задачи, положив в ней шо = 0.
41.8. В плазме черепковское излучение не может возникнуть, поскольку
фазовая скорость больше скорости света в вакууме, а частица, порождаю-
порождающая черенковское излучение, должна двигаться со скоростью, превосходя-
превосходящей фазовую скорость света в веществе.
41.10. Концентрация валентных электронов алюминия приведена в
табл. 44.1 (см. т. 1, § 44.2). Для показателя преломления воспользуемся
результатом задачи 41.6.
41.13. Время пробега светового импульса от зубчатого колеса до зер™
кала и обратно т = 21/с. За это время при щ = 283 об/с зубчатое колесо
провернется на к зубцов, причем к = zr/Ti = zrni, где z = 720 — число
зубцов на колесе. За это же время при п>2 = 313 об/с зубчатое колесо про™
вернется на к + 1 зубец, следовательно, к + 1 = гтп2. Вычитая, получаем
1 + zr(n2 —ni), откуда следует
с = 2lz(ri2 — ni).
232
Решения
41.15. Воспользуемся данными таблицы показателей преломления
для разных длин волн, выбрав спектральный интервал между желтым
E46,1 мм) и голубым D86,1 мм) участками спектра. В выражение для груп-
групповой скорости
Да;
"Л
''"/.
I' '/, 'Л
>
У
'/,
'/,
U =
Ш>2 —-
Ак fe — к\
подставим значения ш = 2ттс/п\ и к = 2тг/А;
отсюда получим
с(п\\\ — П2Х2)
U =
~" A2)
// у* Фазовая скорость и = с/п.
41.16. Рассмотрим баланс энергии при
прохождении света через пластинку. Пусть
Рис. 41.16 нормально на пластинку падает пучок интен-
интенсивностью Jo, тогда часть его отразится, и
внутрь пластинки пройдет свет интенсивностью I1 = TJo (рис. 41.16), где
Т — коэффициент прозрачности. До второй грани из-за поглощения дойдет
свет с интенсивностью 7" = I'e^^d. Наконец, в воздух выйдет свет интен-
интенсивностью I = TI" = T27oe"Md. Отсюда
следует:
h
h
Слой половинного поглощения имеет
толщину L = Aп2)//х (см. задачу 37.9).
41.17. Прозрачность слоя вещества
равна отношению интенсивности выходя-
выходящего пучка света к интенсивности входя-
входящего пучка: к = J/Jo (рис. 41.17). Здесь
/I
=
jii ti ' I
I = I —p
I = TI1' T =
G1+ IJ
Рис. 41.17
После подстановки соответствующих данных получим искомый результат.
41.18. Пусть на светофильтр падает белый свет с интенсивностью
Jnafl = А' . На резонансной длине волны Ао пройдет свет с интенсивностью
Jo = А е""^0 , на других длинах волн пройдет свет с интенсивностью
Нас интересует случай
I ^ Jo/2, т.е. e^ad(A°^AJ ^ 2^.
Логарифмируя, получаем ad(Xo — AJ
In 2, откуда следует Агр = Ао
± y/\n2/(ad). Ширина спектрального интервала А А = 2y/\n2/(ad).
Прозрачность на резонансной длине волны ко = Iq/A2 = e^Mod.
41.19. Из закона поглощения I = 10 • 2^d^L получим: d/L = \gz/\g2,
где z = Jo/J — кратность ослабления пучка.
42. Поляризация света
233
41.20. Максимальная толщина слоя половинного поглощения Ьмакс =
= In 2//1Мин, где /1Мин = 44 м™1 — коэффициент поглощения на длине волны
0,3 пм.
41.21. Как известно (см. т. 2, F3.10)), коэффициент отражения R =
2
. В данном случае
\п2
П2 =
2 8тг2те '
Учитывая, что второе слагаемое много меньше единицы, получаем R =
= [/1о^ое2Л2/A6тг2те)]2. Концентрация электронов проводимости в алюми-
алюминии приведена в табл. 44.1 (см. т. 1).
42. Поляризация света
42.1. На поляризатор падает естественный свет интенсивностью /Пад5
при этом обыкновенный луч поглощается полностью, а из необыкновенно-
необыкновенного поглощается 10 %. Следовательно, интенсивность поляризованного све™
та, вышедшего из поляризатора, 1ПОл = 0,51пад • 0,9 = 0,451пад. По закону
Малюса через анализатор пройдет свет I = 1ПОл cos2 а. Кроме того, 10 %
поглотится; следовательно,
Inpox = 0, 91пол cos2 a = 0,9 • 0,451пад cos2 a.
Ослабление света
2,5
inpox 0,9 • 0,45 • cos2 a cos2 a
42.2. У необыкновенного луча, прошедшего через поляризатор, век-
вектор напряженности электрического поля параллелен оптической оси поля™
Оптическая ось
поляризатора
N
м
Е±>
N2
Оптическая ось У
анализатора./
А
Е
N
/
fEi
i
2
М1
м2
Рис. 42.2 а
Рис. 42.2 6
ризатора MN (рис. 42.2 а). Разложим этот вектор на два луча: обыкно-
обыкновенный Е± и необыкновенный Е\ относительно среднего поляроида. Че-
Через этот поляроид пройдет только необыкновенный луч с соответствую-
соответствующим электрическим полем напряженностью Е\ = E^cxncosa. Аналогич-
Аналогично через анализатор пройдет необыкновенный луч, у которого напряжен-
напряженность поля (рис. 42.2 6) Е2 = I^isina = EUOJI sin a cos а. Интенсивность
волны пропорциональна квадрату вектора напряженности; следовательно,
234
Решения
I = /nojlsin acos а. Учитывая, что поляризатор поглощает половину ин™
тенсивности естественного света, имеем
I = - Jo sin2a cos2a = -
2 8
sin2 2a.
42.3. У обыкновенного и необыкновенного лучей одинаковые частоты и
постоянная во времени разность фаз, но векторы напряженностей соответ-
соответствующих полей взаимно перпендикулярны. Поэтому интерференционной
картины они не дают.
42.4. Сдвиг фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами в
направлении, перпендикулярном оптической оси, равен
2nd
Ан
2nd
Ао
Полагая Aip = Bт + 1)тг/2, что соответствует пластинке в четверть волны,
получаем
d_ Bm + l)Ap
4(?гоб - ^необ)
Зная толщину пластинки, находим сдвиг фаз в фиолетовом свете.
42.5. Имеем: А(р' + Aip" = 0, или
2nd' , , , ч 2nd1
—т— (поб - пнеоб) + ——
Ао Ао
(поб
= 0.
Отсюда следует:
d"
" "необ - "об
где один штрих относится к кальциту, а два штриха — к кварцу.
42.7. Для просветления поля зрения между скрещенными поляроидами
следует повернуть плоскость колебаний волны на 90°. Имеем
d-Bm D —
Ы
43. Геометрическая оптика
43.1. Ход лучей показан на рис. 43.1. Смещение лучей
х = ОЕ cos a = cfcosa(tgaHeo6 — tgaO6)-
Значения углов преломления получим из
соотношения
Sin a = Поб Sin «об =
SU1 анеоб •
Рис. 43.1
43.2. Легко убедиться, что угол паде™
ния луча на вторую грань равен прелом-
преломляющему углу призмы (р. Красный свет
выйдет в воздух, если пкр sin (p < 1; фио™
летовый испытает полное отражение, ес-
если Пф sin (р ^ 1. Отсюда следует:
— ^ sin у? < — , 40°48; ^ (р < 41°30;.
43. Геометрическая оптика
235
43.3. Ход лучей показан на рис. 43.3. Нетрудно показать, что
QL2 = 45 + Qi, OL\ = 90 —- Qf2 = 45 — Oil, (I4 = 45 —- «3 —- Ob
Отсюда следует с/ = «о-
43.4. Ход лучей показан на рис. 65.2 (см. § 65.2). Очевидно, что
где d — глубина водоема.
Рис. 43.3
Рис. 43.5
43.5. Ход лучей показан на рис. 43.5. "Угол преломления в стекле «2 =
= (fi/2j угол падения а.\ находим из условия п\ sinai = П2$та2- Луч по-
повернется на угол е = 2{сц — аг) = 2ai — (р.
43.7. Ход лучей показан на
рис. 43.7 г).
43.8. Воспользуемся пос-
построением хода лучей в преды-
дущей задаче и приблизим лип- ~
зы до соприкосновения. Тогда
точка F\ будет служить для си-
системы предметом, точка F2 — ее
изображением. Обозначив а\ =
= OF\ = /1 — фокусное рассто-
расстояние левой линзы, а2 = OF2 =
= h — фокусное расстояние правой линзы и / — фокусное расстояние
системы, получим по формуле линзы
1 1 1
+
Рис. 43.7
Ф = #1 + #2-
43.9. Подобрать собирающую линзу с оптической силой большей, чем
модуль оптической силы рассеивающей линзы, и определить обычным спо-
способом сначала оптическую силу собирающей линзы, затем системы. Полу-
Получим
Фрасс = Фсист — Фсобир-
) На приводимых в данном разделе построениях хода лучей собирающие
и рассеивающие линзы изображены, как это часто делается, символически.
236
Решения
43.10. Вначале находим оптическую силу стеклянной линзы: Ф± =
= (щ — l)(l/Ri — I/R2), где R\ = 1 м, R2 = 12 см. Затем находим оптиче-
оптическую силу плосковыпуклой водяной линзы: #2 = (п2 — l)/i?2' Окончательно
п1 — 1 ^1 — ^2
Ф = Ф± + Ф2 = •
43.11. Конечно, искомую формулу можно получить из общей, положив
один из радиусов кривизны равным бесконечности. Но можно получить
эту формулу независимо, воспользовавшись построением рис. 43.11. Здесь
/ = FC и FM = hctgtp. В свою очередь h = Rsina. Для параксиально-
параксиального пучка (h <C R) имеем sin а и а, sin/З и /3, tgy? и <?>. Закон преломления
wsina = sin/3 примет вид ?га = /3. Но /3 = а + ср, где а = Л,/Д, у? = Л-//.
Подставив, получим
па = а + у?, (п — 1)а = (р, (п — I)™— = -т ? Ф :=: ™7 :=: ^~^~ •
0
Рис. 43.11
Рис. 43.12
43.12. Ход лучей показан на рис. 43.12. Луч АВ, параллельный опти-
оптической оси, преломляется и идет по направлению ВС. Проводим DO2 || ВС
до пересечения с фокальной плоскостью второй линзы в точке Е. После
преломления во второй линзе луч ВС пойдет по направлению СЕ и пе-
пересечет оптическую ось в точке F. Расстояние FO2 обозначим через х.
Из подобия треугольников ACO2FCO
OOAEF2F, ACO2F! 00 AO2F2E имеем
СО2
F2E
СО2
F2E
Н
ж /2 - ж /i - d /2
Разделив первое уравнение на второе,
получим
Рис. 43.13
/2
откуда х =
/l + /2 " <
43.13. Ход лучей показан на рис. 43.13. Для определения х ш h надо
воспользоваться подобием треугольников.
43.14. Ход лучей показан на рис. 43.14. Через центр линзы проводим
луч ON || АВ до пересечения с фокальной плоскостью. Тогда луч AN —
это ход луча МА после его преломления в линзе. Точки D и В — сопряжен-
сопряженные; например, В есть мнимое изображение точки D. Отсюда, обозначив
ОВ = ai, OD = 0,2, имеем —1/ai + 1/«2 = 1//. Но а\ = i^ctga, 02 = Rctgfi,
43. Геометрическая оптика
237
где R — полудиаметр линзы, откуда следует:
Рис. 43.14
Рис. 43.15
43.15. Поперечное увеличение /3 = hf /h = а /а = f/(a — f). Продольное
увеличение а = х jx (рис. 43.15). Чтобы его вычислить, запишем уравнение
линзы в виде
1 1 _ 1
" 7'
отсюда
а' +х'
_ f(a-x)
Но а = af/(a — /), следовательно,
, _ f(a-x) af
а — f — х
a- f -x a- f (a- /)(o - f - х) '
Итак, продольное увеличение
х1 f2 B2(a — f)
а = ~ = ( - f\( _ f _ \ = _ f _ "
При малом продольном размере тела (ж С й - /) продольное увеличение
43.16. При а = 2/ поперечное увеличение /3 = 1, продольное а =
= 1/A — г//), где г — радиус шарика. Как видно, продольный размер изо™
бражения больше поперечного; следовательно, шарик будет изображаться
вытянутым эллипсоидом вращения.
43.17. Фокусное расстояние линзы с одинаковой кривизной поверхно-
поверхностей / = R/[2(n — 1)]. Значение хроматической аберрации
КР Ф 2 (пф - l)(raKp - 1)
Отношение хроматической аберрации к среднему фокусному расстоянию
/ср
Вкр - 2
43.18. Оптическая сила зеркала Ф± = 2/R. Оптическая сила плоско-
плосковыпуклой линзы из воды #2 = (п — 1)/R. Оптическая сила системы Ф =
= #i + #2, ибо свет проходит сквозь воду дважды. Итак, Ф = 2n/R.
238
Решения
43.19. Первое решение. Рассмотрим пучок, параллельный лучу MN.
После отражения от зеркала пучок соберется в побочном фокусе F',
который лежит в фокальной плоскости. Проведя через центр зеркала
луч DO || MNj найдем побочный фокус F . Луч NK является искомым
(рис. 43.19 6).
М
К
i
i
M
^><^ к
Рис. 43.19 6
Рис. 43.19 в
Второе решение. На луче MN выберем произвольную точку Ж и с
помощью характерных лучей построим ее изображение М'. Искомый луч
NK проходит через эту точку (рис. 43.19 в).
43.20. Ход лучей показан на рис. 43.20 6.
Рис. 43.20 6
Рис. 43.216
43.21. Ход лучей показан на рис. 43.21 6. Вначале проводим луч А А до
пересечения с оптической осью, получим центр линзы С. Поскольку мнимое
изображение увеличено, линза собираю-
собирающая. Проводим луч АВ параллельно оп-
оптической оси. Он преломляется в линзе
так, что проходит через фокус, а его про-
продолжение — через мнимое изображение.
Пересечение луча Af В с оптической осью
дает точку F — фокус линзы.
43.22. Ход лучей показан на
~~ рис. 43.22 6.
43.23. Задача решается совершенно
аналогично задаче 10.4, поскольку закон
отражения в обоих случаях одинаковый.
Мы получаем, что пучок любой ширины,
а не только параксиальный, собирается
параболическим зеркалом в фокус. А это
и означает отсутствие сферической абер-
аберрации.
С
Рис. 43.22 6
43. Геометрическая оптика
239
43.24. Поскольку истинно точечных источников света не существует,
нельзя получить строго параллельный пучок. Но для практических целей
можно получить пучок, близкий к параллельному. Учтите также роль ди-
дифракции.
43.25. Свет испытает полное отражение на границе с оболочкой свето™
вода, если а ^ апреД = arcsin G12/ni). Поскольку (рис. 43.25) свет падает на
торец из воздуха, то
1 . sin (р = m sin f3 = m cos а, ибо
Имеем
Vl-sin2a4
/3=2 -«¦
sin (f ^ rii cos «пред = п\
n2 ^r~ _-h_ — —- __
If!
Световод
n2 = —^_ ^3^ Ободочка
Рис. 43.25
43.26. Пусть пучок света падает нормально на торец световода. Весь
пучок испытает полное отражение, если луч АВ падает на оболочку под уг-
углом, большим предельного, — у остальных лучей угол падения еще больше
(рис. 43.26). Радиус кривизны наружной поверхности световода OB = R,
тогда О А = R — d. Условие а ^ «пред или sin a ^ sin оПред примет вид
R-d . md
„ ^ П2/7Ц, откуда R ^ ^—^— .
43.27. Угол скольжения является дополнительным к углу падения: 9 =
= 90° — а ^ 90° — «пред, или в = 90° — arcsin п, где п — показатель прелом-
преломления алюминия относительно вакуума (см. задачу 41.10).
Рис. 43.26
Рис. 43.28
43.28. Полагая, что в фокусе находится главный (нулевой) интерферен-
интерференционный максимум, мы видим, что разность хода волны вдоль луча AMF
240
Решения
и волны вдоль луча BCF равна нулю: AM + MF = ВС + CF, или MF =
= DC + CF (рис. 43.28). Обозначив MF = d, CD = ж, MD = hwCF = /,
имеем d = ж + /. Hod2 = Л2 + (/-жJ, следовательно, (ж + /J = Л2 + (/-жJ,
или 4/ж = /г2. С другой стороны, x{2R — жJ = /г2, или ж2 — 2Дж + h2 = 0,
следовательно, х = R — л/R2 — h2 = h2 / {R+ л/ R2 + /г2). Итак, для широкого
пучка / = (Д + V^2 - /i2)/4 = ДA + л/1 - h2/R2)/4. Для параксиального
пучка (ЛСД) получаем / = R/2.
44. Оптмческме приборы
44.1. На длине волны 555 нм мощности излучения 1,0 Вт соответствует
световой поток 683 лм. Отсюда находим мощность потока в 1200 лм. Что-
Чтобы получить мощность такого же светового потока на другой длине волны,
следует разделить рассчитанную мощность на относительную спектраль-
спектральную чувствительность глаза, называемую иначе коэффициентом видности.
44.2. Для определения амплитуды напряженности электрического поля
воспользуемся выражением для интенсивности волны E9.8) из § 59.2: J =
= (ЕН) = ЕшНм/2, поскольку монохроматическая волна синусоидальна.
Но fioH2 = ?qE2, следовательно, интенсивность волны J = Е^л/ео//1о/2.
С другой стороны, интенсивность волны есть мощность, приходящаяся на
единицу площади:
J =
Ф
4тгг2
• 4тгг2
Здесь J — сила света, К\ — относительная спектральная чувствительность
глаза.
Индукцию магнитного поля определим из соотношения
В =
= [лоЕл/ео/Aо = Еу/ещю = Е/с.
44.4. Освещенность на краю стола Е = Icosa/R2 = Ih/(r2 + /i2K^2, где
h — высота лампы над центром стола. Исследуем полученную функцию на
максимум:
Ж
Имеем
(г2
+ г2 + h2 =0, следовательно, h =
Умножив на (г2 + h2M^2, получим ^2
= г/л/2. Отсюда находим освещенность на краю и в центре стола.
44.5. Плоское зеркало отражает
лучи, которые лампа посылала в про-
противоположную от экрана сторону. В ре™
зультате получается, что экран освеща™
ется как бы двумя одинаковыми источ-
источниками: лампой и ее мнимым изобра-
изображением (рис. 44.5). Имеем
_ I J 5
Е — — +
1
Экран ^
^
Рис. 44.5
44- Оптические приборы
241
44.6. Сила света лампы выражается через ее яркость и диаметр сферы:
I = BS = ttBD2/4. Освещенность в точке под каждой лампой равна сум-
сумме освещенностей, создаваемых данной лампой и двумя соседними. Осве-
Освещенность в средней точке равна сумме освещенностей, создаваемых двумя
соседними лампами. Освещенность, создаваемая остальными лампами, ни-
чтожно мала, и ее можно не учитывать.
44.7. Максимальная освещенность экрана наблюдается в точке на оси
оптической системы (рис. 44.7). Для достаточно узкого пучка света роль
вогнутого зеркала в этом случае сводится к тому, что оно удваивает свето-
световой поток, попадающий на экран. Следовательно, если зеркало убрать, то
освещенность уменьшится вдвое.
Экран.
h
d
- ^
4
4
4
ч
A
< >
Рис. 44.7
Рис.
44.8. Если предмет расположен далеко от линзы, то его изображение
лежит практически в фокальной плоскости. Увеличение /3 = h /h = d /d =
= f/d. Освещенность изображения равна световому потоку Ф = JO, делен-
деленному на площадь изображения Sf = тг/г/2/4. Учитывая, что телесный угол
(рис. 44.8) О = ttD2/4d2, где D — диаметр линзы, получаем
~ S1
D2Id2
d2h2f2
h2 f2
Но В = 41/тг/г2 есть яркость предмета, a R = тгВ = 41 /h2 — его свети-
i? О2
мость. Имеем: Е = — —^- , где D2//2 — светосила линзы.
Заметим, что потерями света в
объективе мы пренебрегли.
44.9. По правилу знаков,
сформулированному в § 65.6 (см.
т. 2), фокусное расстояние рас™
свивающей линзы / и расстояние
от мнимого изображения df —
отрицательные числа. Без линзы
световой поток распределялся
на площадке So = ttDo/4, с
помощью линзы этот же поток
распределяется на площадке
S = ttD2/4 (рис. 44.9). Следова-
Рис. 44.9
тельно, Е/Ео =
2. Но Do = 0L/d, a D = 0(L(_1 Л) , где 0 -
диаметр линзы. В нашей задаче d = —/; следовательно, — 1// + 1/d' = 1//,
242
Решения
т.е. d! = //2. Имеем
El
D
Е
44.10. Для близорукого глаза — + — = Ф;, где А; = 9 см, d! —
расстояние от оптического центра глаза до сетчатки и Ф; — оптическая сила
этого глаза. Чтобы приблизить зрение к норме, надеваем очки с оптической
силой Ф; имеем — + — = Ф; + Ф, где А = 25 см. Вычитая из второго
равенства первое, определяем оптическую силу очков:
Ф = 1^±
А А' '
44.11. Из критерия Рэлея sin0 = X/D при малом угле имеем
Л _____ 555 ¦ 10"
ъ ~
• 180° • 3600"
2-Ю"
= 57
44.15. Ход лучей показан на рис. 44.15. Луч, идущий от удаленного
источника под углом зрения ао, должен был бы дать действительное изо-
изображение h в фокальной плоскости объектива. Но этому препятствует оку™
ляр, где луч вторично преломляется и выходит из него в глаз под углом
зрения а, который мы находим по известным правилам построения луча,
Мщ
поб
«0 Fok
Рис. 44.15
падающего на линзу произвольным образом. Чтобы найти угловое увели-
увеличение, проводим прямую MN параллельно лучу и получаем отрезок h в
левой фокальной плоскости окуляра.
Очевидно, что tgao = h/fO6, tga = h/\fOK\ и при малых углах
а
/об
/ок
44.18. Скорость перемещения луча по негативу во столько же раз мень-
меньше скорости бегуна, во сколько раз изображение меньше предмета. Обозна-
Обозначив поперечное увеличение через /3, имеем г;Нег = /3v = vd!/d = vf/d =
= v/^d), поскольку при большой оптической силе объектива изображение
практически находится в фокальной плоскости. Длительность экспозиции
получим, разделив размытость изображения на полученную скорость: т =
/ /
45. Фотон
243
44.19. Схематически ход лучей показан на рис. 44.19. Пусть точка А
изображается четко на негативе, тогда точка В, расположенная несколько
ближе к линзе, изобразится на негативе в виде пятнышка размером х. Пусть
расстояние от точки А до линзы равно а, точки В от линзы — 6, тогда
а' = о//(о - /), Ь' = bf/(b - /). Очевид-
но, что ж/0 = (bf — a')/br, где 0 — диа-
диаметр диафрагмы. Отсюда 0 = xbf /{Ь1 —а1) =
= Ьх{а — /)/[/(« — Ь)] = Ьх(аФ — 1)(а — Ь).
Рис. 44.19
Рис. 44.20
44.20. Вначале нужно определить кажущуюся глубину водоема d\
(рис. 44.20). Как видно,
d = ldga и ^ = g
. sin a
Для малых углов tga и sin a, следовательно, d\ = d ——— = d/тг. По фор-
формуле линзы имеем l/c?i + 1/d' = 1//; следовательно, искомое расстояние
меж:ду объективом и пленкой
df
d' =
d-nf '
45. Фотон
45.1. Общая энергия, излучаемая Солнцем в единицу времени, равна
N = 4тг JJ?2, где J — солнечная постоянная ий — радиус земной орбиты.
Излучательная способность Солнца
ЕТ =
N
JR2
где Rq — радиус Солнца. Полагая, что Солнце излучает как абсолютно
черное тело, получаем Ет = (тТ4, откуда
Т =
45.4. Интенсивность волны равна энергии, переносимой через единицу
площади в единицу времени. Имеем:
ANhu ANhc
_
=
ttD2
где N — число фотонов в единицу времени и D — диаметр зрачка.
244
Решения
Мощность источника Р = 4тгг21, где г — расстояние от источника до
глаза.
45.6. Поскольку энергия гамма-кванта значительно больше работы вы-
выхода, то кинетическая энергия фотоэлектрона практически равна энергии
фотона: К = Ш = hc/X.
45.7. Эмиссия с катода прекратится, когда запирающий потенциал ока™
жется равным кинетической энергии (в электронвольтах):
e
hu — Aq
he
45.8. Используя результат предыдущей задачи, получаем
_ hc(xXi — A2)
где х — отношение запирающих потенциалов.
45.12. Согласно эффекту Доплера (см. § 59.5
ной волны в лабораторной системе отсчета
частота электромагнит™
\
Л
а \
\
.-ficosO '
где шо — собственная частота волны. Но энергия и импульс фотона про-
пропорциональны частоте волны: &7 = huo и р1 = Нш/с; следовательно, та же
формула определяет соотношение между энергиями (и импульсами) в ла-
лабораторной и собственной системах от-
отсчета.
45.13. При нормальном падении фо-
фотонов на зеркальную поверхность спра-
справедливо выражение для светового давле-
давления р = 2nhuI'с = 2ги, где w — объемная
плотность энергии светового потока. Ко-
Коэффициент 2 появляется вследствие то-
того, что импульс фотона при отражении
меняется на противоположный. Если же
фотоны падают на зеркальную поверх-
поверхность под углом падения а, то знак из-
изменит нормальная компонента импульса.
Световое давление выразится так: р =
= 2гу cosa.
Рис. 45.14 45.14. Лазерная вспышка обладает
энергией & и импульсом р = Ш/с. Этот
импульс передается системе (рис. 45.14), и по закону сохранения импуль-
импульса mv = р = &/с. По закону сохранения энергии mv2/2 = mgl(l — cos a),
следовательно, v = \/4gI sin2(a/2). Энергия лазерной вспышки
& =
mvc = we
45.15. Сила светового давления на абсолютно черную сферическую ча-
частицу радиусом г
2 2
= ТТГ W = 7ГГ — ,
С
45. Фотон
245
где I — интенсивность электромагнитной волны в данной точке. Сила гра™
витационного притяжения
_ GmMQ _ 4nGpr3MQ
грав - R2 ~~ ^ •
где R — расстояние от частицы до Солнца. Из равенства сил следует
MR2
Г ~ 4GpcMQ '
Но IR = JRqj где J — солнечная постоянная, Rq — расстояние от Земли
до Солнца. Итак,
7~ 4GpcMQ '
45.16. Изменение длины волны при эффекте Комптона АЛ = Xf — А =
= 2Ак sin2 ((9/2), где в — угол рассеяния фотона. Подставив значения Л =
= hc/Ш и Лк = h/mec, получим
he he 2h . 2 в 1 1 2 sin2 @/2)
? ~ ? = ^ sm 2' йлй ? " 1 = g0 '
где &о = Т7гес — энергия покоя электрона. При столкновении фотона с
электроном последнему передается энергия
& =&-&'=
2cfsIn2F>/2) '
45.17. Задача решается с по-
помощью законов сохранения энер-
энергии и импульса (рис. 45.17):
€97
Рис. 45.17
где Ср7 и cf!y — энергия фотона до и после столкновения с электроном, &о
и р — энергия покоя и импульс электрона. Из этой системы следует исклю-
исключить неизвестные величины &!у и р. Имеем
1 sin 9
что приводит к системе двух уравнений:
сю сю sin a
7 = pc
sin (a + i
sin (9
Исключая из этой системы импульс электрона отдачи, получаем
сю сю Cp-y sin a
sin (а + в)
sin2(« + '
246 Решения
После несложных, но длинных преобразований получим искомое выраже-
ние для энергии фотона до рассеяния.
45.18. Поскольку нас интересует минимально возможная энергия фо-
фотонов, при которой образуются комптоновские электроны отдачи с данным
импульсом, то надо рассмотреть случай центрального удара, при котором
фотон передает электрону максимальный импульс. Из законов сохранения
энергии и импульса
получим выражение для энергии фотона:
Ш1 = i (РС -
С другой стороны, импульс электрона можно определить по кривизне тре-
трека: р = eBR (см. т. 1, § 41.2). Энергия фотона
g7 = I (ecBR - По
45.19. Допустим, что покоящийся электрон поглотил фотон, энергия
которого cf7 и импульс р1 = Ш1 /с. Законы сохранения энергии и импульса
запишутся так:
Исключив энергию фотона, находим cf'o +рс= у Щ + р2с2. После возведе-
возведения в квадрат и приведения подобных получим 2рс&о = 0, что невозмож-
невозможно. Это свидетельствует о ложности предположения о поглощении фотона
электроном.
45.20. Задачу проще всего решить, если перейти в ту инерциальную
систему отсчета, относительно которой электрон покоится. В самом деле,
если фотон существует в некоторой системе отсчета, то он существует и в
любой другой системе отсчета, хотя его энергия и импульс в разных систе-
системах отсчета разные (см. задачу 45.12). Следовательно, для решения задачи
можно выбрать ту систему отсчета, где электрон покоится. Но покоящийся
электрон обладает минимальной массой (и внутренней энергией). Для то-
того же, чтобы излучить фотон, электрон должен выделить какую-то часть
внутренней энергии, и его масса должна стать меньше минимальной. Сле-
Следовательно, выброс покоящимся электроном фотона противоречит закону
сохранения энергии. Но этот же вывод оказывается справедливым и в лю-
любой другой инерциальной системе отсчета.
45.21. Фотон может в принципе попасть в любую точку пространства
за экраном, но с разной вероятностью. Если счетчик расположен далеко
от щели в направлении, составляющем угол 9 с нормалью к экрану, то ве-
вероятность попадания фотона в счетчик пропорциональна объему счетчика
и интенсивности световой волны, соответствующей фотону. Эта интенсив-
интенсивность выражается формулой
т sin2 a 7rD sin 9
I = Iо 9 , где а =
a2 X
(см. § 57.9). Выражая длину волны через энергию фотона, получаем выра-
выражение для вероятности обнаружить фотон:
тг sin2 a wD&^y sin 9
w ~ Vo — , где а = .
a2 he
45. Фотон 247
45.22. Для системы из N щелей шириной D каждая: если расстояние
между щелями равно d, то вероятность обнаружить фотон в данной области
пропорциональна интенсивности соответствующей синусоидальной волны,
прошедшей через дифракционную решетку. Она существенно отличается
от вероятности обнаружить в данной точке фотон, прошедший через одну
щель. Учитывая результаты § 57.6-57.9, мы можем искомую вероятность
записать так:
Tr sin a sin N8
w ^ Vo — • . 2 ,
a2 sin /3
где Vo — объем счетчика, а вспомогательные углы а и /3 выражаются через
энергию фотона следующим образом:
sin в R жйШ1 sin в
he he
45.23. Фотон либо пройдет через поляроид, либо поглотится. Вероят-
Вероятность прохождения фотона через поляроид iiinpox = cos2 а, вероятность по-
поглощения Шпогл = sin' а, где а есть угол между оптической осью поляроида
и направлением колебания вектора напряженности электрического поля в
электромагнитной волне, соответствующей фотону.
45.24. До столкновения электрон и фотон движутся навстречу друг
другу, после столкновения они будут двигаться в ту сторону, куда первона-
первоначально двигался электрон. Законы сохранения энергии и импульса примут
вид
р ~~ — = р + — , & + hv = cf; + hv'.
с с
Отсюда следует:
Ш + ре = Ш' + ре + 2hv , cf — рс + 2/и/ = <f; — ре.
Перемножив, получим
Ср2 — р2с2 + 2hv(& + рс) = 8'/2 —р'2с2 + 2hu'{Ш1 —рс).
Но Г ^р2с2 = cf2 ^p/2c2 = cf2,. Поэтому
hv(& + рс) = hvf (&f —pfc), или hv(& + рс) =
Умножив обе части равенства на выражение с? + рс, получим
hv(& + pc) = hv'[&0+ 2hv(& + рс)].
Но в ультрарелятивистском случае Ш т^ рс (см. задачу 8.12). Итак,
45.25. Мощность излучения Р = тгID2/4, энергия фотона е = hc/X.
Искомое число фотонов п = Р/е = wID2X/Dhc).
45.26. Воспользуемся законами сохранения для энергии и для проекций
импульса на оси абсцисс и ординат (рис. 45.26):
he w he ф h h л
-т-+ср = т— +Gi, — +р cos а = ¦— cos в + pi cos ai,
A Ai A Ai
h . л
p sin a = — — sin 0 + pi sin ai
A
248
Решения
he a:, he
— + cl ^ — =
Л Ai
ар h h „
© l, -г +p cos a — — cos и = pi cos ai,
Л Ai
h
h . л
p sin a + — sin 0 = pi sin ai.
Ai
Умножим второе и третье равенства на с, возведем в квадрат все три ра-
У
До столкновения
После
столкновения
Рис. 45.26
венства и вычтем из первого сумму двух других. Поскольку & — р с =
= &i —pic = Суд, то мы тем самым исключим величины 8'i, p± иаь После
приведения подобных получим
2hc& 2hc& 2h2c2
X
A-COS0) -
2hpc2
X
cos a -
2hpc2
(cos a cos в — sin a sin (9) = 0.
Но р = Шю/с2 = cf/3/c следовательно, после сокращений получим
he , лч Ш Ш cf/З cf/3
—гт- A + cos6») + — - — - -?- cosa+ -?- cosF» + a) = 0.
AAi A Ai A Ai
Умножив на AAi, имеем окончательно
1^/3 cos (в + a) he I — cos в
1 — Р cos а Ш 1 — /3 cos 0
Нетрудно убедиться, что из этой формулы вытекает выражение для эф-
эффекта Комптона. В самом деле, если электрон покоится, то /3 = 0 и & =
= cfo = тес2. Отсюда
Ai = А + — A - cos в) = X + — sin2 - .
46. Элементы квантовом механики
46.1. Кинетическая энергия частицы К = & — & о = д/^о +Р2с2 — ^о,
откуда для импульса получим р = — у/КB&о + iiT), а для волны де Бройля
Нерелятивистское приближ:ение получим при К <С с?о, в результате
/гс h
46. Элементы квантовой механики 249
Погрешность при замене релятивистской формулы нерелятивистским
выражением
<* = 7 = 1/—т& !» откуда —- = A + Я) - 1 « 2?,
А у ZG>o ^G;o
ибо по условию 8 ^ 1. Итак, погрешность при замене релятивистского вы-
выражения нерелятивистским будет меньше 8, если К ^ 48 & о.
46.2. Кинетическая энергия частицы равна ее заряду, умноженному
на ускоряющий потенциал: К = eip. Подставив это значение кинетической
энергии в формулы, полученные в предыдущей задаче, мы выразим длину
волны де Бройля через ускоряющий потенциал.
46.3. Воспользуемся выражением для разрешающей способности ми-
микроскопа (см. т. 2, § 66.8), положив sinu = 0,02. Длину волны найдем
по нерелятивистской формуле, поскольку кинетическая энергия электро-
электрона, равная 10 кэВ, значительно меньше энергии покоя электрона, равной
510 кэВ.
46.4. Если положить, что апертуры электронного микроскопа и ионно-
ионного проектора мало отличаются, то различие в разрешающей способности
определяется только различием в длине волны. Полагая, что ускоряющие
потенциалы также примерно равны, убеждаемся, что разница в длине вол-
волны определяется в основном разницей в массе ускоряемых частиц, которая
у электрона примерно на три порядка меньше, чем у ионов.
46.5. Длина волны де Бройля для этих электронов А = hjл/Ъпёлр =
= 1,225/\/15 = 0,32 нм. Первый дифракционный минимум наблюдается
под углом ш\в = A/D, где D — ширина щели (см. т. 2, § 57.9). Поскольку
угол весьма мал, то ширина главного максимума
46.6. По формуле Вульфа-Брэгга для максимума первого порядка
(см. т. 2, § 62.7) определим длину волны де Бройля для нейтронов: А =
= 2tfsln.a, где а — угол скольжения. По длине волны найдем кинетическую
энергию нейтрона (см. задачу 46.1), его скорость и соответствующую тем-
температуру:
К= ^ v = — T= ^
2mA2 ' wA ' 3mkX2 '
46.7. Средний квадратичный импульс молекулы найдем из условия
3kT/2 = (p2)/2m, откуда (р) = л/ЗткТ, а длина волны де Бройля (А) =
= h/(p) = h/лДткТ.
46.8. 1) При ускоряющем потенциале ipi = 102 В электрон является
нерелятивистской частицей. Его импульс р± = y/2mecpi, скорость v\ =
= \j2eLp\jm. Но групповая скорость волны де Бройля равна скорости ча-
частицы: U\ = vi, а фазовая скорость
2) При ускоряющем потенциале (р2 = Ю5 В электрон является реляти-
релятивистской частицей. Его импульс находим из условия л/Щ +р2с2 =
откуда следует р2 = — у/е<р2B&о + е^)- Массу найдем из условия Тт2С2 =
= &о + е<^2, откуда Гт2 = — (&о + е^)- Групповая скорость (скорость
250 Решения
частицы)
U2 = V2 =
Гга2 cf0
Фазовая скорость
с(&о + е
и2 = — = —
2&0 + е(р2)
Заметим, что в этом случае энергию удобнее выражать не в джоулях,
а в килоэлектронвольтах, учитывая, что Go = 510 кэВ.
46.9. Если частица находится в основном состоянии, то на длине по-
потенциальной ямы укладывается одна де-бройлевская полуволна: L = А/2.
Импульс частицы р = h/X = h/2L. Частица отражается от стенки ямы
абсолютно упруго, следовательно, изменение импульса Ар = 2р = h/L.
Средняя сила давления равна произведению изменения импульса на число
соударений в единицу времени:
ср ^ M~^2L " mL ~ 2mL3 '
46.10. Энергия частицы Шп = р2/2m = n2h2/(8mL2), где квантовое
число п согласно условию задачи принимает значения 1, 2, 3.
46.11. Энергия нулевых колебаний &о = hi//2. Энергия первого воз-
возбужденного уровня ct'i = 3hi//2, следовательно, энергия возбуждения Acf =
= &i — &о = hi/. Колебательные степени свободы перестанут возбуждаться,
если энергия теплового движения окажется меньше энергии возбуждения.
Обычно здесь полагают ЗкТ/2 ^ hi/ и отсюда получают, что минимальная
температура
ТКол = 2hi//3k = 4 • 103 К,
что противоречит эксперименту: линии колебательного диапазона в спектре
молекул водорода наблюдаются при более низких температурах.
Пвление объясняется максвелловским распределением молекул по ско-
скоростям (см. § 25.2), из которого следует, что в газе имеются молекулы, ско-
скорость которых значительно больше средней, — например, около 2% молекул
движутся со скоростями более чем втрое большими средней скорости. Энер-
Энергия этих молекул более чем в 9 раз больше средней кинетической энергии.
46.12. Кинетическая энергия электрона на орбите К = mev /2 =
= теш г /2, энергия нулевых колебаний 8о = huj/2. Собственная частота
oj = л/kynp/nie = ^/Р/(тпеА), где F — квазиупругая сила и А— амплитуда
осциллятора. Полагая, что квазиупругой силой является кулоновская сила,
а амплитудой — радиус, получаем
Положив К = cfо и подставив значение круговой частоты, получим после
несложных преобразований
е2те
Несмотря на ряд произвольных допущений, получилось правильное выра-
выражение для первого боровского радиуса.
46.13. Вероятность просачивания сквозь потенциальный барьер
где a=
46. Элементы квантовой механики
251
46.14. При отсутствии внешнего электрического поля электрон в ме-
металле находится за бесконечно широким потенциальным барьером высотой
С/о (рис. 46.14 а). При на-
наличии сильного электри- Uo C/q
ческого поля напряжен-
напряженностью Е возникает по-
потенциальный барьер тре-
треугольной формы высотой
С/о и шириной L = (р/Е =
= Ао/еЕ (рис. 46.14 6), где
Ао — работа выхода. Пре-
Пренебрежем формой барье-
барьера и будем считать его
прямоугольным. Посколь-
Поскольку электроны в металле
имеют энергию &f и работа выхода Ао = С/о — &f (см. т. 2, § 75.3), то
параметр а, определяющий вероятность просачивания электрона сквозь по-
потенциальный барьер, примет вид
Рис. 46.14 а
Рис. 46.14 6
2aL =
2А0
еЕП
р(х)/А2
46.16. Запишем искомое выражение в виде ф(х) = Asinkx + Bcoskx
Поскольку на границах и за пределами потенциальной ямы (т.е. при х ^
^ 0 и при х ^ L) вероятность найти частицу равна нулю, имеем -0@) =
= 0 = A sin 0 + В cos 0, следовательно, В = 0 и ф(х) = Asinkx. Далее
ф(Ь) = 0 = AsinkL, что возможно, если kL = шг, где п = 1, 2, 3 ... Отсюда
к = пж/Lj р = hk = mrh/Lj Ш =
= р2/2т = n27r2h2/BmL).
Постоянную А найдем из условия
нормировки. В самом деле, вероят-
вероятность найти частицу внутри потен-
L
циальной ямы w = J ф (х) dx = 1.
о
Подставив значение ф(х), получим
L
I А>2 sin kxdx = 1.
о
Но
L
I sin2 kxdx = — I A — coskx)dx =
L/4L/3 L/2 2L/3 31/4
о
Рис. 46.17 2
поскольку второе слагаемое sin 2kL = sin 2птг = 0. Итак,
A2L/2 = 1,
А =
46.17. Вероятность найти частицу в какой-либо точке потенциальной
ямы (т.е. плотность вероятности) р(х) = ф'2(х) = B/L) sm2(n7rx/L) (см.
результат предыдущей задачи). По условию задачи pi (ж) = рг(ж), где 1 и
252 Решения
2 — номера энергетических уровней. Имеем sin2Gnc/L) = sin2B7nc/L), или
1 — cos Bжх/Ь) = 1 — cos Dтгж/Ь), откуда следует 2 sin (Зтгж/L) sin (тгх/L) =
= 0. Решением этого уравнения являются точки х = 0, х = L, х = L/3 и
ж = 2L/3. Первые две точки суть границы потенциальной ямы, где вероят-
вероятность найти частицу равна нулю. Остаются две точки внутри потенциаль-
потенциальной ямы: х\ = L/3 и Ж2 = 2L/3.
Плотность вероятности найти частицу в этих точках (при п = 2)
а в середине потенциальной ямы
— А2
' ЯМЫ
D-
sin
= А2
2тг!
3L
sin2
' л2 • 2
- = A sm
: 2ttL __ д2
2тг
3
sin
(рис. 46.17). Нетрудно убедиться, что р{х\) = /?(ж2).
47. Строение атомов и молекул
47.1. Минимальное расстояние между а-частицей и ядром будет до-
достигнуто при центральном соударении, когда вся кинетическая энергия ча™
Z Z* р2
стицы перейдет в потенциальную К = U = . , где Z\ ж Z2 — зарядо-
АтгЕог
вые числа.
47.2. Первое уравнение получаем, учитывая, что центростремительное
ускорение возникает под действием кулоновской силы:
2 2 2
mv e 2 е
, откуда nv г =
г 4тг?И
Второе уравнение дает условие квантования орбит: mvr = nh. Разделив
первое уравнение на второе, получим
1 е2
V = — • .
П 4ж?оП
Максимальная скорость соответствует первому (основному) энергети-
энергетическому уровню, ее отношение к скорости света в вакууме есть постоянная
тонкой структуры:
« = =^=7,3io =
с 4тг?осп 137
47.4. По формуле & = hcR ( — 1 = 13,6 ( 1 1 находим но-
\12 п2 J V п У
мер возбужденного уровня: п = 3. С третьего уровня возможен прямой
переход на первый и второй уровни, со второго уровня — переход на пер-
первый. Получим три линии спектра.
47.5. Энергия перехода из возбужденного состояния в основное распре-
распределяется между фотоном и атомом: Ш = Ни + J9, где D = р2/2М — энергия
отдачи атома, р — импульс, возникший при вылете фотона. По закону со-
сохранения импульса р = р\ = hi//с. Отсюда следует D = h2v2/{2Мс2) и
энергия перехода
47. Строение атомов и молекул 253
Решая это квадратное уравнение, получаем выражение для энергии фотона:
2&
Поскольку энергия перехода в атоме водорода меньше 13,6 эВ, а энергия
покоя атома водорода равна примерно 1 ГэВ, то 2&' /Мс2 и 1СР8, и с доста™
точной точностью можно отбросить в знаменателе это выражение и полу-
получить hi/ = &. А так как по условию задачи переход совершается с пятого
уровня на первый, то
24 242Л2!?2
Итак, hi/ = — hcR, энергия отдачи D = -—^гтпгт •> скорость атома v =
25 2 • 25 М.
= 24hR/BbM).
47.6. Учитывая, что для водородоподобного иона Шп = —Z2hcR/n2
получаем обобщенную формулу Бальмера:
Для гелия (Z = 2)
1
А
Головная линия для серии Лаймана возникнет при переходе со второго
уровня на первый (т = 1, п = 2), серии Бальмера — при переходе с третьего
уровня на второй (т = 2, п = 3).
47.7. Диаметр возбужденного атома водорода d = 2n2ao, где п — номер
энергетического уровня иао — боровский радиус. Концентрация атомов
п° ^ лз" ' или n° ^ (вп6^).
Поскольку серия Бальмера возбуждается при переходе электрона на вто-
второй уровень, то максимальный номер уровня на две единицы больше макси-
максимального числа наблюдаемых линий. Итак, в газоразрядной трубке п = 14,
в небесном теле п = 35.
47.9. Данные линии спектра очень напоминают первые три линии серии
Бальмера водородного спектра: 656,1, 486,1 и 434,0 нм. Чтобы убедиться,
что это те же самые линии, найдем отношение длин волн в спектре галак-
галактики к длинам волн, измеренным в лаборатории. Мы получим одно и то же
отношение:
_А_ _ 687,7 _ 498,9 _ 454,8 _
А^ ~ 656,3 ~ 486,1 ~ 434,0 ~ ' '
Сдвиг линий в красную сторону произошел, очевидно, за счет того, что
галактика от нас удаляется (эффект Доплера). Имеем
откуда
1-/?'
Решая это уравнение, определяем скорость удаления галактики.
254 Решения
47.10. Поскольку масса мюона всего в девять раз меньше массы про™
тона, здесь следует учесть, что протон и мюон обращаются вокруг обще™
1" „ Мюон
Г1 Г2
г
Протон
Рис. 47.10
го центра масс (рис. 47.10). Для определения радиусов получим систему
уравнений:
mivf _ m2v\ _ e2 . .
Г\ Г2 AtTEqU2 '
a = ri+r2, B)
miViri + ГП2У2Г2 = ПН, C)
77ЦГ1 = 7П2Г2- D)
Из первого и четвертого уравнений следует v\/r\ = 1^2/^2; из третьего
и четвертого v\ + V2 = nh/(miri) = пН/(т2Г2). Отсюда получаем значения
орбитальных скоростей: v\ = пН/(ат\), V2 = пН/{агп2)- Подставив их в
первое и второе уравнения, получим радиусы:
2o 2
П = П — , Г2 = П
1
Отсюда определяются боровские радиусы мезоатома:
2 4?Г6о^ ГПъ + ТПц,
ап = п ^^-^^ .
е2 гпрШ^
Энергия электрона на произвольном энергетическом уровне
ар mivf rn2V2 е2 е2 . _ ао
^п = -^- + ^— - . = - о = -hcR — ,
2 2 4тгео«?г ожеоап ап
где ао — первый боровский радиус атома водорода.
47.12. Задача решается аналогично задаче 47.10. Можно воспользо-
воспользоваться готовой формулой, полученной в задаче 47.10, положив mi = ni2 =
= me. Получим ап = п • 2ао, где ао — первый боровский радиус. Энергия
в основном состоянии (п = 1) примет вид &i = —hcR/2.
47.13. Первый скачок потенциала произойдет при переходе электрона
с первого уровня на второй:
47.14. s-состоянию соответствует орбитальное квантовое число I = 0;
значит, и магнитное квантовое число m = 0. Следовательно, электроны
могут отличаться только проекциями спинов: s = 1/2 и s = —\ji2. Таким
образом, имеются два варианта квантовых чисел: п, 0, 0,1/2 и в, 0, 0, —1/2.
47. Строение атомов и молекул 255
р-состоянию соответствует орбитальное квантовое число 1 = 1; значит, маг-
магнитное квантовое число может принять три значения: т = 1, т = О,
т = — 1. Так как каждому такому значению магнитного момента соответ-
соответствуют две возможные проекции спина, то всего имеются шесть вариантов
квантовых чисел:
п,1,1,1/2; п,1,1,-1/2; щ 1,0,1/2; щ 1,0, -1/2; п, 1,-1,1/2; п, 1,-1,-1/2.
47.16. Валентность определяется числом электронов на верхнем, не до
конца заполненном энергетическом уровне. У всех этих элементов на этом
уровне один электрон.
47.17. На бозоны принцип Паули не распространяется. Следовательно,
если система находится в состоянии с минимальной энергией, то все три
частицы будут находиться на первом энергетическом уровне. А так как
их импульсы окажутся при этом одинаковыми, то сила давления окажется
втрое больше.
47.18. Из трех фермионов лишь два могут находиться на наинизшем
энергетическом уровне (с противоположными спинами). Третий фермион
должен перейти на второй уровень, и при этом система будет обладать ми-
минимальной возможной энергией. На втором уровне на длине потенциальной
ямы укладываются две полуволны, т. е. L = Л. Импульс частицы оказыва-
оказывается равным р = h/X = h/Lj т.е. вдвое больше, чем на первом уровне.
Соответственно в четыре раза увеличится сила (см. задачу 46.9). Для ре-
результирующей силы имеем
(F)= ^ 4fe2 = З/,2
К ' 4mL3 4mL3 2mL3 '
47.19. Коротковолновая граница определяется кинетической энергией
электронов, бомбардирующих антикатод: he/ X ^ К, но кинетическая энер-
энергия электронов определяется ускоряющим потенциалом К = еср. Отсюда
etp
47.20. Воспользуемся законом Мозли в форме у = R(Z—1J | — — —^
Отсюда следует
Зная зарядовое число, легко определить вещество антикатода.
47.21. Для ванадия (Z = 23) длина волны линии Ка может быть опре-
определена по формуле Мозли. Эта линия проявится лишь в том случае, если
he
она не будет лежать за границей сплошного спектра, т.е. если Ха > —— .
Отсюда
he ^fr7 ,,2hcR
ш > —— , или ш > MZ — 1) —-— .
еХа 4е
47.22. По условию (Аа — Х)/Ха = 0,1. Отсюда следует, что А = 0,9Аа,
или hc/e(p = 0,9Аа. В результате (р = = (Z — IJ .
47.23. Момент импульса вращающейся квантовой системы, в том числе
и молекулы, равен L = л/1A + l)h, где I = 0,1, 2,... Соответственно кине-
кинетическая энергия
_ L2 _i(i + i)h2
вр ~ 2J ~ 2J '
256 Решения
где J — момент инерции. В первом возбужденном состоянии A = 1) кинети™
ческая энергия К\ = h2/J, момент импульса L\ = hy/2 и угловая скорость
здесь d = 74 пм — расстояние между центрами атомов в молекуле ит =
= 1,67 • 1СР27 кг — масса атома водорода.
47.24. Энергия молекулы на первом колебательно-вращательном
уровне
Оркол.вр Фкол ¦ севр "^ . **"
При переходе на основной уровень излучается фотон с энергией & 1 = &^р =
= h / J. Выразив энергию фотона через длину волны Ш'у = 2тг1гс/Л, получим
Л = 2тг J§ .
47.25. Схема энергетических колебательно-вращательных уровней по™
казана на рис. 47.25. Здесь всего два чисто колебательных уровня: &^°л =
= huj/2 и (pJOJI = 3huj/2 и тринадцать промежуточных колебательно-
вращательных уровней:
Шг = gJOJ1 + ^Р = Пш/2 + 1A + 1)П2/2 J, где 1 = 1,2,..., 13.
Из схемы ясно, что четырнадцатый колебательно-вращательный уровень
совпадает с первым чисто колебательным уровнем:
др Пш 14 • 15Я2 ЗПш 14 • 15Я2
14 = "У + 2J = ^^ ' откуда 2J = ^w-
Это позволяет определить момент инерции молекулы относительно ее цен-
центра масс: J = ЮЫг/uj. С другой стороны, момент инерции J = тнГн+трГр,
где гн + гр = d — искомое расстоя-
______^^ оркол ние меж;ду центрами атомов, и тпц^и =
————————————^^ g13 = тпргр. Но ?вр = 19тн, следовательно
g гн = 19rp = 19d/20. Подставив в выра-
ж:ение для момента инерции, получим
7 = тнгн(гн + гр)= 19
^^^^^^^^^^^^^^_ J1 Расстояние между центрами
/2,Ы03й
Рис. 47.25 а ~
47.27. У атома гелия спектральные линии образуются только за счет
перехода электронов с одного энергетического уровня на другой, вслед™
ствие чего возникает линейчатый спектр. В молекуле водорода, кроме элек-
электронных уровней, имеется набор колебательных и вращательных уровней.
Вследствие этого спектр молекулы водорода состоит не из отдельных ли-
линий, а из совокупности полос.
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников 257
47.28. Магнитные моменты протона и электрона могут ориентировать™
ся либо параллельно, либо антипараллельно друг другу. Следовательно,
полная энергия взаимодействия электрона с протоном
92 _ 92 I Я? _
€9 — С? кул -? <-9магн —
Относительная ошибка
8 =
где «о — боровский радиус.
Как видно, каждый энергетический уровень расщепляется на два под-
УРОВНЯ: верХНИЙ Ш'п = Ш + |Срмагн| И НИЖНИЙ Ш'п = <
номер уровня и | ^магн | — модуль значения энер™
гии магнитного взаимодействия. На рис. 47.28 ^з
штриховыми линиями изображ;ены три пер™
вых энергетических уровня по теории Бора, <^2
СПЛОШНЫМИ ЛИНИЯМИ — ПОДУРОВНИ, ВОЗНИКаЮ™
щие за счет магнитного взаимодействия. Мас-
Масштаб, естественно, не соблюден.
47.29. При переходе с верхнего подуровня gj
основного состояния водорода на нижний по™
лучается фотон с энергией <f7 = &i -~~ &'{ =
= 2|с9магн|- Соответствующая длина волны
l _ 4тг • 6,62 • 1(Г34 • 3,00 • 108 • 5,293
~ 1С9мс
Рис.
1(Гзз
1гн|, где
47.28
п —
<?9
«2
-«{
х
~ Щ 4/iO/ip/ie ~ 4 • 4тг • 10^7 • 1,41 • 10^6 • 9,28 • 10^24 М^
= 0,56 м = 56 см.
Как видно, классический расчет не дает правильного значения длины вол™
ны, но порядок величины получился правильный.
47.30. Как известно, частота ближайшего красного спутника в спектре
комбинационного рассеяния и^р = i/0 — A&KOJI/h7 фиолетового uf = щ +
+ Асркол/Л-, где i/Q — частота света. Но АсрКол = hi/, где v — собственная
частота колебаний молекулы. Следовательно, i/^p = i/o — i/, i/± = щ ^~ i/,
откуда собственная частота молекулы
47.31. Фотоны являются бозонами, и в одном и том же квантовом со-
состоянии фотонов может быть сколько угодно. Фермионы же подчиняются
принципу Паули, согласно которому в системе фермионов не может быть
даже двух частиц со всеми одинаковыми квантовыми числами.
47.32. Минимальный угол расхождения лучей найдем из условия 29 ~
и 2X/D.
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников
48.3. Определим полную энергию электронного газа: W = 3718VV/5,
где V — объем металла. Мысленно сожмем на малую величину dV, при
9 А.А. Пинский
258 Решения
этом совершится работа против сил давления АА = —PdV, где Р — давле™
ние электронного газа. Эта работа равна изменению энергии электронного
газа А А = dW. Чтобы найти дифференциал энергии, выразим концентра-
концентрацию электронного газа через его объем: п = iV/V, где N — общее число
электронов. Имеем
W=-N- — V\
5 2т
Дифференцируя, получаем
dw = -1.1 HL. (±
3 5 2m \8тг
5m \8тг
2
Давление электронного газа Р = — n&F-
5
48.4. Используя результат предыдущей задачи, получаем
i2 / о \ 2/3
Р- — ( —
откуда следует
FF5/3 = const.
«Показатель адиабаты» 7 = 5/3.
48.5. Давление в «белом карлике» создается газом, состоящим из сво-
свободных электронов и ядер гелия. Эти частицы находятся в вырожденном
состоянии, как в металле. Масса электрона почти в 8000 раз меньше массы
ядра гелия, поэтому энергия Ферми для электрона и давление электронно™
го газа во столько же раз больше. По этой причине давлением гелия можно
пренебречь. Используя результат предыдущей задачи для давления элек-
электронного газа, имеем
Бте \8тг
На каждое ядро гелия приходятся два электрона, следовательно, Ne =
= 2Na = 2M/mai где М — масса звезды, та = 4,002 • 1,66 • 10™27 кг — масса
ядра гелия.
Итак, PV5/3 = АМ5/3, или Р = Ар5/3, где
h2 / ч \2/3
л а I ** \ о о 1 глб тт 5 5/3
А = г / /оЧ./о т^ = 3,2 • 10 Па- м • кг ' .
48.6. Число электронов, вышедших за пределы уровня Ферми, оцени-
оценивается приближенной формулой Ап/п и кТ'/2Шр (см. § 75.7).
48.7. Теплоемкость одного киломоля электронного газа Cm :=
= RkT/2&F (см. § 75.8), теплоемкость решетки С?еш = 3R (см. § 45.2).
Имеем С™/С%ш = кТ/б&р.
48.8. Длину свободного пробега определим из квантового выражения
для электропроводности 7 = e2n\/pF (см. т. 1, § 75.9). Импульс Ферми
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников 259
определим по известной концентрации электронов проводимости. Расстоя-
ние между атомами определяется по концентрации атомов: d = п^ = 0,23
нм (см. § 44.2).
48.9. Приняв, что энергия магнитного поля равна кинетической энер-
энергии куперовских пар, получим Ф«/2 = Nknikvl/2, где индексом «&» обозна-
обозначено число пар, эффективная масса и скорость дрейфа куперовской пары.
Но сила тока г = q/T = 2JVfee/T, где Т = 2тгг/vk — период обращения ку-
куперовской пары по кольцеобразному еверх-проводнику радиусом г. Итак,
г = JVfeevfc/тгг, а магнитный поток Ф = NkrrikVk/i = 'ктпкЩТ/е.
Рассматривая сверхпроводящее кольцо как гигантскую боровскую ор-
орбиту, имеем nikUkr = ?гЛ,/2тг, где п = 1,2,3... Итак, магнитный поток,
создаваемый сверхпроводящим током Ф = nh/2e. Как видно, магнитный
поток квантован, и минимальное его значение (квант магнитного потока)
Фо = h/2e.
48.10. Электропроводность полупроводников пропорциональна концен-
концентрации электронов в зоне проводимости. Полагая, что вероятность перехо-
перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости можно рассчитать,
пользуясь барометрическим распределением, получаем п = Ae^AV'^feT, где
Acf — ширина запрещенной зоны (см. § 26.10, 34.3, 35.1). Отсюда электро-
электропроводность
= е2ХА е-^/кт = Ве-А%/кт
PF
где В — некоторая постоянная, характерная для данного вещества (при
данной температуре).
48.11. Длина свободного пробега электрона зависит от температуры
значительно слабее, чем экспоненциальный множитель, поэтому в первом
приближении можно пренебречь зависимостью коэффициента В от темпе-
ратуры. Имеем
72 = exp(^Ag'/fcT2) = ^ Ag(T2-Ti)
71 exp(-A?/JfeTi) GXP кТгТ2
48.12. При собственной электропроводности концентрация электронов
и дырок одинакова; следовательно, 7 :=: en(/ie + А*ьM где /ie — подвиж;ность
электронов, /ih — подвижность дырок. Отсюда п = 7/[е(А*е + А*ь)]-
Постоянную Холла найдем, учитывая, что холловские потенциалы при
электронной и дырочной проводимости имеют противоположные знаки (см.
т. 1, § 44.2)
D o(e) o(h) 1/^e ~ fJ>h\
Rh =RH -RH = •
48.13. Поскольку индий — трехвалентный элемент, примесь индия яв-
является акцепторной, а электропроводность — дырочной. Зная концентра-
концентрацию дырок и их подвижность (см. задачу 48.12), получаем 7ь = етгь/ih-
Сурьма — пятивалентный элемент, следовательно, примесь сурьмы являет-
является донорной. Электропроводность 7е = епе11е.
48.15. Ковалентная связь осуществляется спаренными электронами.
Энергию связи для одной пары можно оценить по формуле для энергии
частицы в потенциальной яме & = h f(8meL ), где L — размер потенци-
потенциальной ямы. Полагая, что размер потенциальной ямы равен расстоянию
между атомами в кристаллической решетке, получаем L~ ^/M/(pNa)- По-
Поскольку в ковалентной связи участвуют два электрона, находим значение
260 Решения
энергии связи:
Удельная теплота сгорания q и ШНа/М ^ 46 МДж/кг.
49. Строение ядра
49.2. Решаем систему из двух уравнений:
10,013ж + ll,009i/ = 10,811; х + у = 1,
где х ш у — соответственно доли легкого и тяжелого изотопов.
49.3. Радиус ядра оценим по формуле R = R®\/H (см. § 78.6), где R® =
= 1,4 • 10~ м, А — массовое число. Высота кулоновского потенциального
барьера С/о = Ze2 /(AtteoR), где Z — зарядовое число.
49.5. Энергия связи ядра трития fH:
^зн = A,00783 + 2 • 1,00867 - 3,01605) • 931,5 = 8,5 МэВ;
энергия связи ядра гелия !Не:
g|He = B ' 1,00783 + 1,00867 - 3,01603) • 931,5 = 7,7 МэВ.
49.6. Число а-распадов получим, разделив изменение массового числа
на 4, т.е. на массовое число а--частицы:
АТ ARa - АрЪ 226 - 206
iVa = = = 5.
А 4
При пяти а-распадах зарядовое число должно было бы уменьшиться на 10;
между тем, Zr& — Zpb = 88^82 = 6. Отсюда следует, что произошло четыре
/3-распада, каждый из которых приводил к возрастанию зарядового числа
на одну единицу.
49.7. Энергия перехода равна разности энергии исходного ядра и энер-
энергии покоя продуктов реакции:
& = [209,98297 - D,00260 + 205,97446)] • 931,5 = 5,5 МэВ.
Эта энергия равна сумме кинетических энергий а-частицы и ядра отдачи
(см. § 17.2): & = Ка+ КрЪ и Ка/КРЪ = МРЪ/Ма.
49.8. Сумма масс на конечном этапе предполагаемой реакции больше
массы исходного ядра. Реакция невозможна, ибо противоречит закону со-
сохранения энергии.
49.9. См. предыдущую задачу.
49.10. Масса ядра кремния больше массы ядра фосфора на величину
Am = 30,97535 - 30,97376 = 0,00159 а.е.м., чему соответствует энергия
А& = 0,00159 • 931,5 = 1,48 МэВ. Это больше энергии покоя электрона
@,51 МэВ), следовательно, возможен /5-распад:
Суммарная полная энергия /3™частицы и антинейтрино составляют
1,48 МэВ.
49. Строение ядра 261
49.11. Предположим, что кинетическая энергия вырванного нейтрона
равна нулю. Тогда работа по вырыванию нейтрона равна разности между
суммарной энергией продуктов реакции и энергией покоя исходного ядра:
А& = A2,00000 + 1,00867 - 13,00335) • 931,5 = 4,96 МэВ.
49.12. Вероятность оценим по формуле
w = е^2аЯ, где а = y/2m(U0 -К)/П2.
Здесь U® — высота кулоновского барьера и К — кинетическая энергия а-
частицы. Данные о радиусе ядра полония и высоте барьера см. в задаче 49.3.
49.13. Активность препарата равна числу распадов в единицу времени:
Q = ^dN/dt = XN (см. § 79.4). Отношение активностей
Зная период полураспада, легко подсчитать уменьшение активности.
49.15. Зная активность Q = XN и учитывая, что Л = Aп2)/Т =
= 0,693/Т, находим период полураспада Т = 0,693iV/Q. Число ядер N =
= tuNa/Aj где m — масса препарата, А — массовое число изотопа и Na —
число Авогадро. Окончательно Т = O^SwiNa/AQ.
49.17. На первый взгляд может показаться, что энергия 7™квантов cf7 =
= 5,30 — 4,50 = 0,80 МэВ. Однако этот расчет слишком груб, поскольку не
учтена энергия отдачи ядра. Для ряда же задач ядерной физики требуется
значительно большая точность. Рассмотрим схему энергетических уровней
при распаде полония (рис. 49.17). Символом РЬ* со звездочкой обозначено
возбужденное ядро свинца, испускающее 7™кванты. Полная энергия пере-
перехода
84 "О
где Кia =5,30 МэВ, R\ — энергия отдачи
ядра. Поскольку R\ = АК\а/2Ш (см. т. 1,
§ 17.2), то
&i = 5,30 + E,30 • 4/206) = 5,40 МэВ.
Аналогично энергия, выделившаяся при ±%л \i рь*
втором переходе,
Ш2 = 4,50 + D,50 • 4/206) = 4,58 МэВ.
Энергия j-b
Ш1 = Ш1^Ш2 = 5,40 - 4,58 = 0,82 МэВ. Рис- 49-17
Заметим, что энергией отдачи при излучении 7™кванта мы пренебрегаем
из-за большой массы ядра свинца.
49.18. Эта задача аналогична задаче 47.5, но благодаря большой энер-
энергии 7"кванта п0 сравнению с ультрафиолетовым излучением здесь отдача
существенно сильнее. Поскольку энергия 7™кванта Ш1 = 14,4 кэВ, а импульс
р7 = <f7/c, то энергия отдачи R = р^/2М = Щ/BМс2). Следовательно,
энергия перехода
19 = Ср-у + it = Ср-у
2Мс2
Относительное изменение энергии 5 = АШ/Ш1 = &7/BМс2).
262 Решения
Естественная относительная ширина спектральной линии дест = h/т Ш1,
где т — время жизни ядра в возбужденном состоянии.
49.19. При поглощении 7™фотона свободное ядро приобретает импульс,
равный импульсу фотона, и за счет этого приобретает кинетическую энер-
энергию R = p21j2M = Щ/BМс2). Следовательно, энергия поглощаемого фо™
тона Щогл = Ш + R, где Ш = &7 + R — энергия перехода, Ш1 — энергия
испускаемых фотонов. Итак,
/
српогл ср - с% ту Qe I -I ,
(97 = е>1 + 2Н = ср7 I 1 +
Me2
Тем самым резонансное поглощение нарушается. Если же сближать источ-
источник и поглотитель, то за счет эффекта Доплера энергия 7™Фотона возра-
& 9е 11+Р 9* /1 . о\ тт
стет: 67 = G7W- — и 67A + р). При определенной скорости получим
с&1, = cf"orjl, и возникнет резонансное поглощение. Имеем
49.20. Вероятность распада есть отношение числа распавшихся ядер к
общему числу ядер: w = —dN/N. По условию она пропорциональна времени
наблюдения: w = Xdt, или dN/N = —\di. Имеем
/dN Г
=-A I dt, откуда
iV J
iV
В начальный момент t = 0, N = i?o; следовательно, In JVio + G = 0, откуда
следует С = — In iVo. Подставив в предыдущую формулу, получим
lniV-lnJVo =-А?, или N = Noe^xt.
49.21. Кинетическая энергия нейтрона К ^ h2/Bma2) и 0,2 МэВ. На
первый взгляд может показаться, что в ядро могут проникнуть лишь весьма
энергичные нейтроны, но это противоречит эксперименту. Однако следует
учесть, что нейтрон в ядре не является свободной частицей: он сильно вза-
взаимодействует с остальными нуклонами ядра (ядерные силы). Как известно,
удельная энергия связи составляет несколько мегаэлектронвольт, что зна-
значительно больше энергии локализации, вычисленной выше. Это и позволяет
любым нейтронам, в том числе и тепловым, проникать в ядро.
50. Мдерные реакции
50.1. Число прореагировавших ядер N = tjiNa/A, где т — масса про-
прореагировавшего урана, Na — постоянная Авогадро и А — массовое число.
Умножив число ядер на А& = 200 МэВ, найдем энергию взрыва
w = 1,5-6,02 .10"-200-1,6-10-" Дж = 12 1Ql4 Дж
Разделив на теплотворную способность тротила, определим тротиловый эк-
эквивалент: тТрот = W/q.
50.2. Освобождаемую энергию найдем из баланса масс:
А& = F,01513 + 2,01410 - 2 • 4,00260) • 931,5 = 22,4 МэВ.
50. Ядерные реакции 263
На один нуклон выделяется 22,4/8 = 2,8 МэВ/нуклон. Это в три раза боль™
ше того, что выделяется при делении урана: 200/235 = 0,85 МэВ/нуклон.
50.3. Для того чтобы началась ядерная реакция, необходимо, чтобы
ядра дейтерия сблизились на расстояние, равное радиусу действия ядерных
сил, а для этого им надо преодолеть кулоновский потенциальный барьер
(см. задачу 49.3). Учесть максвелловское распределение (см. задачи 33.10
и 47.26).
50.4. Пусть пион в некоторой системе отсчета покоится, тогда его им-
импульс равен нулю. Если пион превращается в два фотона, то они разлетают-
ся в противоположные стороны, так что суммарный импульс оказывается в
этой системе отсчета равным нулю, хотя каждый фотон обладает импуль-
импульсом. Превращение пиона в один фотон невозможно, ибо это противоречит
закону сохранения импульса.
Энергия каждого фотона Ш1 = 135/2 = 67,5 МэВ.
50.5. Из соотношения неопределенностей для энергии имеем Acf и Я/г,
где т — время жизни частицы. Точность измерения массы (и энергии)
Am _ Acf _ П
m & ~ Шт '
50.6. По закону сохранения энергии имеем
для 7™кванта Ш1 ^ 2тес , где те — масса элек-
электрона.
50.7. Допустим, что фотон превратился в па-
пару частиц с одинаковыми импульсами (рис. 50.7).
Законы сохранения энергии и импульса запишут™
ся так:
<f7 = 2Ттс , р1 = с?7/е = 2Tmvcosa.
Отсюда следует, что 2Гте2 = 2Tmvccosa, или Рис. 50.7
с = v cos a, что невозможно.
50.8. Определим полную энергию, которая выделяется при реакции:
А& = (т* - тм) • 931,5 = 140 - 106 = 34 МэВ.
Энергия покоя мюона равна cfo^ = 106 МэВ, масса нейтрино равна нулю.
Полагая, что распадается покоящийся пион, получаем, что импульсы мюона
и нейтрино равны по модулю и противоположны по направлению. Имеем
, Vi y^f + Kfj,), откуда &u = уК^B&0/л +
Но по закону сохранения энергии &и = Acf ^Жм, следовательно, Acf ^K^ =
B cfод + Кц). Отсюда следует, что кинетическая энергия мюона
50.9. При распаде нейтрона выделяется энергия
Ас? = (гап - mp) • 931,5 = 939,6 - 938,2 = 1,4 МэВ.
Эта энергия делится между электроном и антинейтрино: Acf = &е + &и,
где полная энергия электрона есть сумма его энергии покоя (foe и кинети-
кинетической энергии Же, т.е. cfe = %>ое + Ке. По закону сохранения импульса при
покоящемся протоне
Ре =
264
Решения
Подставив значение энергии нейтрино, получим после простых преобразо-
преобразований:
2Acf
2Acf
2Acf
50.10. Обозначим полную энергию нейтрального пиона ШП1 энергию
покоя С9 0тг = 135 МэВ. По закону сохранения энергии &w = 2cf7, где cf7 —
энергия фотона; по закону сохранения импульса (рис. 50.10) имеем рп =
= 2р7 cos 45°. "Учитывая, что импульс фо-
фотона р1 = <?7/с, импульс пиона р^ =
— Щп1 получаем
Рис 50 10
Отсюда следует Шп = С9 0тгл/2.
Кинетическая энергия пиона Кп =
= ^Отг(л/2 - 1), энергия фотона Ш1 =
50.11. Ядерная реакция имеет вид: \Л + |Li = 2 |Не. Кинетическую
энергию а~чаетицы найдем, использовав закон сохранения энергии, кото-
который для данной ядерной реакции имеет вид
2Ка = (Мн + Мы - 2Ма) - 931,5 + КИ = 24,2 МэВ.
Поскольку кинетическая энергия а-частицы оказалась много меньше ее
энергии покоя C,75 ГэВ), то это означает, что возникшие при реакции
а-частицы являются нерелятивистскими.
Угол разлета найдем из закона сохранения
импульса (рис. 50.11)
рн = 2ра cos - .
Но для нерелятивистской частицы р =
= \/2тК7 следовательно,
50.12. Уравнение реакции имеет вид
0 4 4 0
Li
Рис. 50.11
Поскольку мы полагаем, что возникший нейтрон остается в покое, импульс
электрона полностью передается нейтрино. Законы сохранения импульса и
энергии запишутся так:
ре = Pv, Cfe + Cfop = Cfon + Шу.
Поскольку масса нейтрино равна нулю, его энергия
%и = PvC = реС = уЩ - Ще.
51. Элементарные частицы 265
Отсюда следует:
t9e c&Oe.
Решая это уравнение, получаем для полной энергии электрона
Кинетическая энергия электрона
ту ое Q2
Ке - Ве - бое -
Подставив значения величин, получим искомый результат.
51. Элементарные частицы
51.1. По закону сохранения импульса ртг = 2р1 cos (a/2) =
= 2(8?7/с) cos (а/2). По закону сохранения энергии cf^ = 2cf7 или
у Щп + р^с2 = 2cf7. Исключив из обоих равенств импульс пиона, полу-
чим (р'отг + 4:Щ cos2(а/2) = 4cf2, откуда Й'отг = 2cf7sin(a/2). Кинетическая
энергия пиона Кп = 8'^ — &07Т = 2&7 — Е07т = 8'o7r[cosec (а/2) — 1].
51.2. Воспользоваться соотношением неопределенностей для времени и
энергии бозона. Положить скорость виртуального бозона примерно равной
скорости света в вакууме.
51.3. Воспользоваться соотношением неопределенностей для времени и
энергии.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. Кинематика точки
1.1. t = 7 с; х = 35 м.
1.2. t = 60 с; х = 90 м.
1.3. t =7,5 ч; ж = 600 км.
1.4. sin а = гг/г;; t = l/vcosa.
1.5. а = Р — arcsin (ucos/3/v).
1.6. а = тг/2.
1.7. 35 мин.
1.8. 30 м/с; -2 м/с2; 4125 м.
1.9. Указание. Воспользоваться определением ускорения и средней ско-
скорости при равнопеременном движении.
1.10. 1,6-105 м/с2.
2. Сила. Давление
2.1. & = kik2/(ki +fe).
2.3. жо = (Firci + F2x2 + Fsx3 + ... )/(Fi + F2 + F3 + ...)•
2.4. d = F2a/(Fi -F2).
2.5. fe = fei + fo.
2.6. Ti = Pcos а2/ sin (ai + CU2), T2 = Fcosai/sln (ai + аг).
2.7. Fi = ?wg sin/3/sin (a + /9), F2 = mg sin a/sin (a + /3).
2.8. mg, mg и 2mg.
2.9. 101325 Па.
2.10. На Луне 1 мм рт. ст. — 22,1 Па, на Венере — 116 Па.
2.11. 9,8-105 Па и 1 МПа.
2.12. 6,7 кН.
2.13. 34,5%.
2.14. 8,4-102 кг/м3.
2.15. 507 г.
2.16. 3 км.
3. Динамика точки
{m2 + mi), ^давл = 2F.
2)
3)
3.1
3.2
3.3
3.4
а2 =
аз =
. 8,4-
. а =
. Во
.1)С
m(g
rn(g
10' Па.
g(m2 -
втором
ii = a>i ¦
+ Ь)/(г.
— b)/(r.
" ТП\)/(ГП2
+ mi),
случае больше.
= mg/{m
гг + М), а[
гг + М), а[
+ М), ,
г = а2 -
j = «з Ч
F
-Ь,
-ъ,
= 2т
= Ма
F2 =
F3 =
im2g
i;
Mtt2
Ма3
Ответы и указания 267
3.5. а = g(m — МшюI(т + М), F = mMg(l + sina)/(m + М).
3.6. <2i = —О ———————————————— , <22 = —G —————————————————— ,
m2 tg a + mi ctg a m2 tg a + mi ctg a
TOiW2gcoso;
TB2 sin2 a + mi cos2 a
M sin a cos a (M + m) sin2 a
M + m sin2 a M + m sin2 a
то sin a cos a mMg
M + m sin a M + тв sin a
3.8. T = 2iry/lcosa/g.
«5• У• I := Iq / il. — ТПШ I Ki).
3.10. 39°12;.
3.11. Перегрузка в нижней точке равна 8, в верхней 6.
3.12. г/Н = 2 ctg2 a; r/L = ctg a/2.
3.13. г =рA + ж2/р2K/2.
3.15. b = 2vq sin/3 cos (a — /3)/(g cos2 a).
3.16. vo = JgH(l + P/H2); tga = Я/1.
4. Тяготение. Электрические силы
4.1. 5,96-1024 кг.
4.2. 6,03-1024 кг.
4.3. l,99-1030 кг.
4.4. Солнце притягивает Луну в 2,1 раза сильнее, чем Земля.
4.5. 0,63 астр, единиц = 1,08-108 км.
4.6. 0,414 радиуса планеты.
4.7. 8,52 м/с2; 1,62 м/с2; 270 м/с2.
4.8. 1 ч 25 мин.
4.9. 4-Ю"8 Кл.
4.10. Е = 0; Е = дл/2/(тгеоа2).
4.11. Е = дж/4тг?0(«2 + ж2K/2.
4.12. 6,7-100 Н.
4.13. vo = л/eEL cos /3/[m cos a sin (a - /3)].
4.14. 4,3-104 Н/Кл.
4.15. 0 < tga < 4h/l; mvl sin2 a/Beh) < E < mvl sm2a/(el).
5. Трение
5.1. 2с;4м.
5.2. 1) ai = (m — /j,M)g/(m + M), Fi = mMg(l + /i)/(m + M);
2) a2 = [w(g + 6) - (j,Mg)/(m + M), F2 = mM[g(l + /i) + b]/(m + M);
3) a3 = [m(g - b) - fiMg)/(m + M), F3 = mM[g(l + //) - b]/(m + M).
268 Ответы и указания
т — M(sin a ± и cos a)
5.3. а = g —^ .
3 т + М
Указание. При решении задачи следует учесть начальную скорость
бруска.
кл гл mim2g cos(a-(р)
5.4. Q = s Ц Ч— т ; (р = aretg/i.
mi cosJ a cos ip + ni2 sin a sin (a — y>)
Указание. В уравнении движения клина (см. задачу 3.6) учесть силу
трения скольжения клина о стол.
mMg cos a cos ip
5.5. Q =
5.6. Q =
M cos (/? + m sin a sin (a — cp)
mMg cos (a — ip)
M cos a + m sin a sin (a — ip)
Указание. См. задачи 5.4 и 5.5.
5.7. g tg (a - <p) ^ a ^ g tg (a + <p), где 99 = arctg/i.
Указание. Учесть, что направление силы трения покоя неизвестно.
5.8. На расстоянии меньше 8 см от центра диска.
5.9. Больше 11 м/с.
5.10. л/g tg (а — <p)/R sin а ^ ш ^ ^g tg (a + <p)/Rsma, где у? = arctg/i.
Указание. Учесть, что направление силы трения покоя неизвестно.
5.11. 98 м; 57°.
5.12. 23 см/с; 5,1 м/с2; 0,09 с; 1 см.
5.13. Указание. Пользуясь результатами предыдущей задачи, выразить
мгновенное значение ускорения через мгновенную скорость.
5.14. 0,2 м/с; 15 с.
5.15. 11 м/с.
6. Теория относительностм
6.1. Указание. Сопоставить размеры стержня и отверстия, которые в
покое точно совпадают.
6.2. e = uv/c2.
6.3. 0,99995с.
6.4. Указание. Подумайте, имеет ли полученный результат смысл заю>
на сложения скоростей.
6.5. Указание. Принять вещество за систему отсчета, движущуюся со
скоростью v относительно источника света.
6.6. Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
6.7. 55 м; 7,7 м.
6.8. 6,3-10 с.
6.9. 2,83-108 м/с.
6.10. и'у = иуЛ/1 - v2/с2/A - uxv/c2)\ u'z =uzy/l- v2/c2/(l - uxv/c2).
6.11. Указание. Воспользоваться преобразованиями Лоренца.
6.12. 2,6-108 м/с; 5,3-108 м/с.
6.13. Частица движется по окружности. Нормальная сила Fn =
= Vmv2/г =
6.15. I =
6.16. 5- 108
6.17. 2,5-1018 м/с.
Ответы и указания 269
7. Закон сохранения импульса. Центр масс
7.1. 616 м/с.
7.2. -3,25 м/с.
7.3. 87 см.
7.4. 20 м/с2.
7.5. 8,1 км/с; 5,3 км/с.
Указание. Воспользоваться формулой Циолковского.
7.6. Указание. Уравнение A5.7) из § 15.5 записать в дифференциаль-
дифференциальной форме и проинтегрировать, учитывая, что скорость истечения газов —
постоянная величина.
7.7. Указание. Учесть изменение массы ракеты по мере выгорания топ™
лива.
7.8. Указание. Воспользоваться свойствами центра масс (§ 15.8).
7.10. Центр масс находится на расстоянии 4,3 единицы от левого края
пластины.
7.11. На расстоянии ж = г2 /{R + г) =1,13 см слева от центра большого
круга.
7.16. T2/R3 = 4тг/С(т1 + га2).
8. Полная и кинетическая энергия
8.1. Электрон: 8,19-Ю4 Дж = 0,511 МэВ; протон: 1,504-100 Дж =
= 938,3 МэВ; нейтрон: 1,506-Ю0 Дж = 939,6 МэВ.
8.2. 2,6-108 м/с.
8.3. 1,28-103 Дж = 0,8 МэВ; 6,4-102 кг-м/с.
8.4. 5,8-108 кг-м/с; и = /Зс =0,996с.
8.5. u = j3c= 0,9988с.
8.6. 0,8%; 69%; 92%.
8.7. 3,8 м/с.
8.8. а = arctg(l//i).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 10.5.
10. Элементарная теория столкновений
10.8. sin «2 = d/(r\ + Г2); V2 = 2miv cos d2/(mi
cos2 ot.2/(mi + ТП2J.
Указание. См. решение предыдущей задачи.
10.9. р = 2nmv2 cos a.
10.10. 5 м2.
10.11. Отношение расстояний h/h = 1 + 2 sin2 a.
10.12. М/т = sin в/ sin (в + 2(р).
11. Потенциальная энергия. Потенциал
11.1. Указание. Поле называется однородным, если сила, действующая
на тело, имеет одно и то же значение и одно и то же направление в любой
точке поля.
11.3. U = -GmM/r = -GmMj{R + h); 17ПОВ = -GmMjR = -mgR.
270 Ответы и указания
11.4. U = GmMh/R{R + h) = -mghR/(R + h)\ Uoo =GmM/R = mgR.
11.5. U = -pl/i^eod3).
11.6. 1,65 МДж.
11.7. 27,2 В.
11.8. -13,6 эВ.
11.9. р = л/2пщф] р = -
11.10. Для электрона 105 В; для протона 2-Ю8 В.
11.11. 1 МэВ/с = 5,33-10~22 кг-м/с. Для электрона 107 В, для протона
2-Ю10 В.
12. Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
12.1. 5,2-102 м/с.
12.2. 17 м/с.
12.4.
12.5.
12.6. mgCcosa — 2cosao).
12.7. mgCcosa- 2); аотр = arccos B/3) = 48°.
12.8. Но = 5Л/2.
12.9. 3mg(l +cosa).
12.10. A + y/2)R ^ Я ^ 2,5Д; 45°; 60°.
12.11. До = -2roKo/Uo; ra = -г0Ж0/^; va = v0W/K0.
12.12. Указание. Воспользоваться результатами задач 10.4 и 2.18.
12.13. Указание. Рассмотреть изменение кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействующих тел при любом возможном мысленном их
перемещении (принцип виртуальных перемещений).
12.14. См. задачу 12.13.
12.15. 0,83 т; 15,6 т.
12.16. 9 км.
13. Закон сохранения энергии
13.1. 2,5 км/с.
13.2. 89%.
13.3. 3,8-1026 Вт; 4,2-109 кг/с; 1,5-1012 лет = 4,7-1019 с.
13.4. Половина начальной кинетической энергии превратилась во внут-
внутреннюю.
13.5. 0,218 М.
13.6. 1) 4,7 ГэВ, 7,2 ГэВ; 2) 12,1 ГэВ, 65,8 ГэВ.
13.7. 3,46 ТэВ.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
13.8. 1 ГэВ.
13.9. Указание. Сравнить значения ускоряющего потенциала для до-
достижения одинаковой внутренней энергии сгустка.
13.10. 157 ГэВ; 886 МэВ.
Ответы и указания 271
14. Динамика вращения твердого тела
14.1. Указание. Через любую точку плоскости, в которой лежат си™
лы, провести перпендикулярно этой плоскости ось вращения, подсчитать
момент каждой силы относительно этой оси и найти их сумму.
14.3. 1,3-102 Нм.
14.4. 4 кДж.
14.5. | MR2.
14.6. | MR2.
Указание. Вырез рассматриваем как отрицательную массу.
14.7. Указание. Разбить диск на концентрические тонкие кольца.
14.8. 0,4МД2.
14.9. 0,ЗМД2.
Указание. Разбить тело на тонкие диски, перпендикулярные оси вра™
щения.
14.12. v = ^/3gl(cosa — cosao).
14.13. 2,7 м/с; 3,4 м/с.
14.14. 2,3 м/с.
14.15. 2,5-102 Н.
14.16. 3,5 с; 0,58 м/с.
14.17. а = g(wi2 — mi)/(rri2 + mi + I/r2).
14.18. a = arccosO,59 = 54°.
14.19. 83 об/мин.
14.20. 21,6 об/мин; 380 Дж.
Дж.
14.
14.
14.
21.
22.
24.
15
3,6
км;
•1045
^ R
10^3 с.
1 Дж; 1
R I
-h V
,6-
10
7
1036
•gh.
14.25. ^ " ' ^ T ^ R
15. Неинерциальные системы отсчета и тяготение
15.2. Указание. Во вращающейся системе отсчета на неподвижное от™
носительно этой системы тело действует центробежная сила инерции, рав-
равная произведению массы тела на центростремительное ускорение, взятое с
противоположным знаком: 1цб = ^тш2г.
15.6. ш ^ л/GWJW.
15.7. 28 с.
15.8. cos а = к/(к + тш2); ш ^ л/к/(9т).
15.9. Указание. Перейти к вращающейся системе отсчета и учесть ре™
зультат задачи 3.14.
15.11. 7 об/мин.
15.12. 330 не.
15.13. Солнце: 2,1-10~6; белый карлик: 1,5-10~3; пульсар: 16%.
272 Ответы и указания
16. Идеальным газ
16.1. 790 кг.
16.2. 15 мм/с.
16.3. 2,8409 сГ1; 6,54(П7 м.
16.4. 5,1 мм; 40%.
16.5. 5830 об/мин; 64 м/с; 9%.
16.6. Указание. Сравнить скорость теплового движения атомов водо-
водорода со второй космической скоростью.
16.7. 180 км. [Указание. Учесть результат задачи 4.7].
16.8. 104 Па; 0,24 мм.
16.9. 64Q3 Па; 6406 К; 1030 м^3.
16.10. См. указание к задаче 16.6.
16.11. 1,3-10 кг/м3; 0,8 Па = 6-Ю мм рт. ст.
16.12. 2-Ю5 Н; 7-Ю4 Н.
16.13. NH3.
16.15. 1,2-106 Па.
16.16. Азота 72,5 %, кислорода 27,5 %.
16.17. NA = E,9 ± 0,3) • 1026 кмоль.
Указание. Броуновские частицы ведут себя как гигантские молекулы,
для них справедливо барометрическое распределение.
16.18. п = тгоехр [тш2г2/BкТ)].
16.19. п2 : m = 176 : 1; х = ехр [(М2 - Мг)ш2г2/BRT)] = 1,27.
16.20. 20 раз.
Указание. См. § 27.9.
16.21. Указание. Учесть, что по определению е = lim(l + х)г^х.
16.22. Указание. Рассчитать силы, действующие на вертикальный стол-
бик газа бесконечно малой высоты, и проинтегрировать полученное урав-
уравнение.
16.23. Указание. Определить с помощью барометрического распреде-
распределения молярную массу газа.
17. Первое начало термодинамики
17.1. На 9 кДж; 6 кДж.
17.2. 2,8 кДж.
17.3. Гелий:
3,10-Ю3 ^ Cv ^ 3,20-103 Дж/(кг-К); 5,17-Ю3 ^ Ср ^ 5,28-Ю3 Дж/(кг-К);
Неон:
6,14-Ю2 ^ Cv ^ 6,34-102 Дж/(кг-К); 1,03-103 ^ Ср ^ 1,05-103 Дж/(кг-К);
17.4. 7,21 • 102 ^ Су ^ 7,60 • 102 Дж/(кг-К);
1,02 • 103 ^ Ср <; 1,06 • 103 Дж/(кг-К).
17.5. 1,38 кДж; 4,83 кДж; 1,9 м.
17.6. 1,8-105 Дж; 4,8405 Дж; 6,6405 Дж; 1,71 кДж/(кмоль-К);
Ответы и указания 273
17.11. Указание. Воспользуйтесь первым началом термодинамики для
адиабатного процесса и с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева ис-
исключите температуру.
17.12. (р/роТ-1 = (Т/ТоТ; (V/VJ-1) = (Го/Г).
17.13. 2,8-Ю6 Па; 1,6-1G6 Па; адиабатно газ сжать труднее.
17.14. 3,2404 Па; б,7404 Па.
17.15. Vi/V2 = 21.
17.16. 1,4-106 кг-м2; 6 К.
Указание. См. § 27.9.
17.17. 2,2-Ю3 К.
Указание. См. § 27.9.
18. Второе начало термодинамики
18.1. 1/4; 1/2; 1/9.
18.2. 1/3; 1/6.
18.3. 1/81; 1/105.
18.4. 1:4:6:4:1.
18.7. wn = (F/Fo)n-
s2
18.11. Q= fTdS.
Si
18.12. QT =T(S2-Si).
18.13. S2 - Si = — CmV In — + RIn —
18.17. f] = 1-х1'1.
18.18. 52%. Уменьшение реального КПД по сравнению с идеальным
вызвано необратимыми потерями энергии (трение, теплообмен с окружаю-
окружающей средой и т.п.).
18.19. S = к In W + const.
18.20. ASV = Cmv In [(Ti +T2J/DTiT2)] > 0.
18.21. ASP = Cmpln [(Ti +T2J/DTiT2)].
19. Основы газовой динамики
19.1. 1,1 м.
19.2. 1,6-105 Па = 1,58 атм.
19.3. /i = ^^ у ъг:г^ =1,7-10 кг/с.
19.4. Указание. Учесть, что в данном случае работа сил давления равна
изменению полной механической энергии (р + pv2/2 + pgh = const).
19.5. v = \/2gh.
19.6. vf/2 + a?/G ^ 1) = t;22/2 + a!/G - 1).
197 P = [G
19e8s A <
_ =
po G + l)/G-1)-p/po
7 + 1
<
po 7-1
274 Ответы и указания
19.10. 4,7-103 м/с.
19.11. р/ро =5,68; Т/То =1,89 (ударная адиабата); р/р0 =4,67; Г/Го =
=1,56 (квазистатическая адиабата).
19.12. 2 км.
19 13 АЯ ^тС In [G + l)/G
10.13. Д5УД - м Gmv [G + 1)/G _
Указание. Рассмотреть цикл, состоящий из трех процессов: ударного
сжатия, квазистатического адиабатного расширения и изохорного охлажде-
охлаждения газа до первоначального состояния (см. § 30.9).
19.14. 6,8-102 м/с; 1,4-103 м/с.
19.15. 3300 К; 73%.
19.16. 588 кг/с; 2,34 кг/м3; 3,86-105 Па = 3,8 атм.
19.17. 1,65-104 Па = 124 мм рт. ст.
19.18. 6 м/с.
19.19. 2,26405 Па; 172 кВт.
19.20. Да; нет; нет.
20. Твердое тело
20.1. 7,6404 Н.
20.2. F = ES\Al/l\; k = ES/L
20.3. 3,3 мм; 2,4 т.
20.4. F = G,82FO.
20.5. 3,84010 Па; 1,4-Ю11 Па.
20.6. Наличием дефектов кристаллической решетки.
20.7. 3700 об/мин; 7500 об/мин.
20.8. 2,8406 Па = 28 атм.
20.10. 1,3-108 Па.
20.11. 1,2-109 Па; обойма пластически деформируется.
20.12. 2,4408 Па = 2,4403 атм.
20.13. 1,0-10 К^1.
20.14. Один атом. Два атома.
20.15. Четыре атома.
20.16. Шесть атомов.
20.17. и = -А/Fг6) + В/{12г12).
20.18. ИмйН = u(d) = ^А2/A2В).
20.19. иA,Ы) = 0,81^миН; uBd) = 0,031гемин.
21. Жидкость
21.1. В интервале температур от О °С до 100 °С закон справедлив; энер™
гия активации ео = 4,2 • 10™21 Дж = 2,6-10™2 эВ.
21.2. 3,7 см.
21.3. Указание. Определить краевой угол при подъеме воды до верхнего
конца капилляра.
21.4. Выделится 0,12 мДж энергии в форме тепла.
21.5. 0,11 м/с.
Ответы и указания 275
21.6. Теплая вода движется быстрее.
Указание. Сравните скорости течения при двух разных температурах,
например, при 20 °С и 80 °С.
21.7. Столбик удвоенной высоты.
21.8. h = 2a/pgd.
Указание. Сравните с решением задачи 20.9.
21.9. 0,144 Н.
21.10. R = RiR2/{Ri - Д2); 120°.
22. Пар
22.1. Можно.
Указание. Проверить несколько точек.
22.2. Не противоречит.
Указание. Исследовать изменение плотности насыщенного пара за счет
изменения температуры.
22.3. Менее 7,6 л.
22.4. Более 125 л.
22.5. 7,8 г/м3; 51%.
22.6. Выпадет 5,6 г росы из каждого кубометра воздуха.
22.7. 37%.
22.8. Не удовлетворяют.
22.9. 304,4 К; 7,39 МПа; 464 кг/м3.
23. Фазовые переходы
23.1. 1,69-1G5 Дж/кг = 40 ккал/кг; 22,6-105 Дж/кг = 499 ккал/кг.
23.2. Указание. Проследите по фазовой диаграмме, как зависит точка
плавления льда от давления.
23.3. Образуется смесь из 6,8 кг воды и 1,4 кг льда.
23.4. Образуется вода при температуре 54 °С.
23.5. Образуется смесь из 1,2 кг воды и 0,3 кг льда.
23.6. Образуется вода при температуре 4,5 °С.
23.7. 11%.
23.8. 4,7 м/с.
23.9. 2,7%.
23.10. 854 г.
23.11. а) 216,5 К < Т < 304,4 К; б) давление меньше 5,18-Ю5 Па; тем™
пература ниже 216,5 К.
23.12. 45 МПа.
24. Поле неподвижных зарядов в вакууме
24.1. 23%.
24.2. Окружность, центр которой лежит на прямой, соединяющей за-
заряды, на расстоянии 2а правее положительного заряда. Радиус окружности
равен 4а.
24.3. Н-м = Кл-В = Дж.
24.4. 3,2-108 Кл.
24.7. (р = д/4тг?07а2+ж2.
24.8. a) Fr = 0; М = Qpe/(^Tre0r2); б) Fr = -2<Зре/D7Г80г3); М = 0.
276 Ответы и указания
24.9. С = Ci + С2.
24.10. 1/G = 1/Ci + 1/C2.
24.11. гкро] не изменится.
24.13. Указание. Воспользоваться соображениями симметрии и тем
фактом, что внутри сферы нет зарядов Ei = 0; Ее = д/Dтг^о^2); ^о = <г/ео.
24.14. G = 47ie0RRi/(R - Ri); S = (R- Ri)/R = d/R.
24.15. ^ = 7/Bтг80г).
24.16. C = 27re0h/\n(R2/Ri).
24.17. W = е2/(8тггоа); a = е2/(87геотес2) = 1,4 • 1(П15 м.
24.18. p = q2/C27r2e0R4).
24.19. 10^8 Кл.
24.20. га = e0Scp2/Bgd2) = 3,6 • 10^3 кг.
24.21. 9?бат 2
24.22. iV0 =
24.23. Ee = GM/r2; Eo = GM/R2; Ег = GMr/R3.
25. Дмэлектрикм
25.1. От 4,4-lCP5 Кл/м2 до 5,3-10^5 Кл/м2, в зависимости от значения
е для слюды.
25.2. От 7,4-10 Кл/м2 до 5,6-10 Кл/м2.
25.3. 0,03 мкФ; пробивное напряжение 4 кВ.
25.4. С =
edo — (е — l)d
25,5. с = ?o5[l° + (? ~ 1I
25.6. 26 см.
25.9. 6,45-100 Кл-м.
25.10. 1,78-106 Кл-м.
26. Постоянным ток
26.1. R = 4ржA - x)/(ttD21); 11 см.
26.2. 26 мОм.
26.3. х = 2r sin 18 ° = 0,62г.
26.4. г.
26.5. R = г/3 + г/6 + г/3 = 5г/6.
26.6. Дж = Шх/Ь = Ш/(Ь - !), где L = АВ, I = BD.
26.7. На середине реохорда.
26.8. а) 3,5-106 А/м2; 6,2-10 В/м; б) 1,3-106 А/м2; 2,2-10 В/м.
26.9. 7,4 мкОм; 0,74 мВ.
26.10. а) Ш = пе, Ri = пг; б) 8' = е, Ri = r/щ в) cf = we, Ri = mr/k =
= m2r/n.
Ответы и указания
26.11. 1 Ом.
26.12. Рполн = &2/(R + r); Рвнешн = /
26.13. Указание. Исследовать полученные в задаче 26.12 выражения на
экстремальные значения.
26.14. 14,4 Вт; 51,6 Вт.
26.15. 33,3 кОм; 0,3 МОм; 3 МОм; 0,181 Ом; 0,036 Ом.
26.16. 31 лампа.
26.17. Указание. Использовать четырехпозиционный переключатель,
включающий обе обмотки либо независимо каждую, либо параллельно.
26.18. 9,6 м.
26.19. 0,1 МДж.
26.20. г = ioe^t/r, где т = RC.
26.21. а) Если & < ^о, то г = 0, Lps = <?, 4>r = 0. б) Если & > ipo, то
г = (cf — Lpo)/R, Lps = <?о, ^r = Ш — (ро.
26.22. i = го, (fR = гоЩ ^в = & - ioK
27. Магнитное поле в вакууме
27.1. Указание. Подумайте, является ли инвариантом жесткость пру-
жины.
27.2. F = 0,141FKyjI.
Указание. Воспользуйтесь законом преобразования поперечной силы.
27.3. Указание. Рассмотреть взаимодействие заряда, движущегося па-
параллельно проводнику с током, с зарядами внутри проводника, пользуясь
разными системами отсчета.
27.4. 3,1-Ю Тл; 1,1-Ю Тл.
27.5. 6,3-10 Тл; 3,1-Ю Тл.
27.6. Поле близко к однородному с относительной погрешностью 6%.
27.7. Радиус кольца 0,57 м.
27.8. 3,0 -10™5 Кл.
27.9. 2,5-10 А/м; 4,9-10 А-м2; 4,1-Ю Кл/кг.
27.10. dB/dx = -6/10Ртж/Dтгг5), где г = \/а2 +ж2.
28. Заряды и токм в магнитном поле
28.1. 2,8-107 м/с; 16 МэВ.
28.2. 0, 856с = 2,57 • 108 м/с; 99 МэВ.
28.3. а) Нерелятивистская частица: R1/R2 = л/К\/К2. б) Релятивист™
екая частица:
28.4. 7 не.
28.5. Винтовая линия, навивающаяся на силовые линии поля. Радиус
окружности 23 мм, шаг винта 39 мм.
28.6. Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
28.7. 51 мм.
28.8. 1,38-104 В/м.
Указание. Использовать результат задачи 4.14.
28.9. 4; 42; 3,0 МГц.
278
Ответы и указания
28.10. б,34(П3 Тл; 87 кГц; 1,1 Т; 0,2 МГц.
28.11. 108 м/с; нет.
28.12. 2,3 мм.
28.13. 4,02 а.е.м. (t Не) и 3,01 а.е.м. (|Неили^Н).
28.14. 1,2-10 Н-м.
28.15. 22,5°; 10~10 Н-м/град = 5,7-10"9 Н-м/рад.
28.16. F = ^6^4
28.17. 2,9-10 Н.
28.18. Указание. Определить ориентацию вектора скорости циркули-
циркулирующего заряда относительно направления вектора индукции.
28.19. Указание. Определить характер действия магнитного поля на
циркулирующий заряд, если орбитальный магнитный момент направлен
против поля.
28.20. Менее 2,5 МэВ.
29. Магнетики
29.1. 1,5-10~9 А-м2; против поля.
29.2. 1,5-10~9 А-м2; вдоль поля.
29.3. 9,0-10"9 А/м.
29.4. а) Больше на 1,1 %; б) больше на 4,2 %.
29.5. 33 А/м; 130 А/м.
29.6. Указание. Сравнить энергию теплового движения с энергией вза-
взаимодействия двух магнетонов Бора, расположенных на атомных расстоя™
ниях.
29.7. Более 9,0-10 эВ.
Указание. Оценить энергию теплового движения при точке Кюри.
29.8. 1,27-10 м и 0,01 мм.
29.9. /1Макс =9,6- 103 при Н = 75 А/м.
29.10. 100 А/м; 1,26 Тл; 106 А/м; 1,8-105 А/м.
29.11.
Я, А/м
//
50
оо
75
6,4402
100
1,6-102
200
8-Ю2
500
4-Ю2
1000
10
1500
5
30. Электромагнитная индукция
30.1. 0,2 В; не будет.
30.2. А^ = Ш = Bly/2g(H-h).
30.3. Будет двигаться вниз с установившейся скоростью vyCT =
= mgR/B2l2.
30.4. А(р = Вш12/2.
30.5. 0,01 Н.
lfr. STTiioiwa r v(xn — vt)
30-6-|g|= 2[а* + (хо-\т*/* •
30.7. l,8-10 Вб.
Ответы и указания 279
30.8. 2,5 Тл.
30.9. Диэлектрик поляризуется.
30.10. 1,25 мкКл.
30.11. 25 Вт.
30.12. 5,9 мГн.
30.13. 29,5 В.
30.14. 41 Гн; 0,82 Дж; 1,36-102 Дж/м3.
30.15. 3,1-Ю Дж/м3; 1,8-10 Дж.
30.16. 4,5-103 Н; 1,5-102 Н.
30.17. 1,5 Гн.
30.18. ъ = 1мA - e^t/r), где 1М = &/R, г = L/R.
30.19. t = 2,3L/R.
31. Классическая электронная теория
31.1. q/m = 7T2d2nN/(QR) = 1,8 • 1011 Кл/кг.
31.2. 1,1-10~8 В; не изменится.
31.3. 1,1-Ю29 м^3; 3,2-10 м2/(В-с).
31.4. 1,07-10Ом3/Кл.
31.5. 6,2-1020 м^3; 4,0 м2/(В-с).
31.6. 0,24 мм/с.
31.7. 2-Ю4 с; 16 нм.
31.8. 131 °С.
31.9. 65 Кл.
31.10. 3,6-103 м/с.
31.11. 38 кВт/м2.
31.12. 90 МДж.
31.13. 0,4 нм.
31.14. 4,1-Ю2 Вт/(м-К); 68 Вт/(м-К).
Указание. Надо воспользоваться законом Видемана и Франца.
31.15. 2,5-1019 м™3; 1,1-Ю16 м™3.
31.16. 8,5-10 м3/Кл; 3,2-102 м3/Кл.
32. Электропроводность электролитов
32.1. 78%.
32.2. 65 мкм.
32.3. 200 мг.
32.4. 5 г.
32.5. 1,52 В.
32.6. 6,25-КГ11 кг; 9,1-Ю Дж.
32.7. Более 103 кВт-ч; более 40 руб.
33. Ток в вакууме и газах
33.1. 160 мА.
33.2. Возрастет в 21 раз.
33.3. 4,1-Ю Н.
280 Ответы и указания
33.4. Катод с покрытием эффективнее в 3,3 раза.
33.5. 2 кОм; 20.
33.6. 1,15-Ю14 м~3; 4,340~12.
33.7. 5,040^8 Ом^-м.
33.8. Указание. Рассмотреть отдельно явления при токе, много мень-
меньшем тока насыщения, и при токе насыщения.
33.9. 2,54014 м^.
33.10. 6403 К.
33.11. 5,2 мм; 0,12 мм.
33.12. Повлияет.
Указание. Найти число Стюарта.
33.13. Не повлияет.
33.14. 2.2404 Тл.
33.15. 44014 Па; 34032 Па.
34. Гармонические колебания
34.1. 20 см; 48 Гц; 2,1-Ю с; 2 рад = 114°39'.
34.2. v = l,67rcosB07rf + Зтг/4); а = 32тг2 cos B0?rt + 5тг/4); F =
= б,4тг2 cos B07rt + 5тг/4); 5,0 м/с; 3,2-102 м/с2, 64 Н.
34.3. К = 2,5cos2B07rf + 37r/4); U = 2,5cos2B07rf + 5тг/4); W = 2,5 Дж.
34.4. 20 Гц; 50 мс.
34.5. з = 0,064 cos (тгё + Зтг/2) = 0,064 sin nt.
34.6. з = 0,05 cos A26* + 0,53); 1,6 м.
34.7. 30 м/с.
34.8. В = ЗАл/Е/8 = 0,84 А; ср = arctg A/2) =0,464 рад= 26,6°.
34.9. 0,5 с; 0,4 мс.
34.10. Указание. Преобразовать произведение синусоидальных функ-
функций в сумму.
34.13. s = 5cosBt-0,927).
35. Свободные колебания
56.1. шоу/к/т = л/g/L
Указание. Жесткость пружины k = F/x = mg/I.
35.2. 1,6 Гц; 2,1-Ю2; 21 с.
35.3. 11 качаний, т.е. почти 3 полных колебания.
Указание. Сделать расчет, пользуясь законом сохранения энергии при
наличии внешнего трения.
35.4. ш^ЗОТ
35.5. а;ад =
35.6. 1,6 Гц; 0,63 с.
35.7. щ = -!- fE2?=lJ Гц; 0,6 с.
2тг у ph
35.8. На 4 с.
35.9. 1,42 с; 26°36;.
35.10. 2,08 с.
Ответы и указания 281
35.11. е =
35.12. Т = 2w^2l/3g; L = 21/3.
35.13. 1,5 с.
35.14. 2,0 МГц; 5,040~7 с; 800.
35.15. Нет.
36. Вынужденные колебания. Переменным ток
36.1. 2,7 мм; 60 мм; 0,7 мм.
36.3. 80 см.
36.4. Тскв = 2QT0/tt = 2 • 103То = 2 мс; не более N = ujo/16Q =
= 125 имп/с.
36.5. Указание. Записать напряжение в виде и = UM cos cut, силу тока
в виде г = IM cos {oot + <p) и воспользоваться для падения напряжения на
индуктивном сопротивлении данными § 54.2.
36.6. Указание. Записать напряжение в силу тока, как в задаче 36.5;
учесть, что сила тока есть производная заряда.
36.7. Z = \/R2 + Ь2ш2] ср = arctg (LuR).
36.8. Z = Jr2 + —^ ; <p = arctg
RCuj '
36.9. Z = , = ; 99 = arctg (RCuj).
36.10. Z = Щ/1 + ^ G2 - lJ; где 7 = ^ .
36.11. Сила тока в неразветвленном участке цепи
- IJ _ С/ , /72/Q2 + G2 - IJ
R2 + Ь2ш2 R у 1 + Q
Она минимальна при резонансе G = 1), сдвиг фаз равен
R
COS (f =
,2^iJ;
1
Cwy/R2 + Ь2ш2 *
36.12. 61 Вт.
36.13. 80 Гц; 24 Вт.
36.14. Указание. Рассмотрите принцип действия прибора и определи-
определите величины, от которых зависит среднее значение вращающего момента,
действующего на подвижную часть прибора.
36.15. 28°40;; 10,5 Ом; 9,3 Ом.
36.16. Будет гореть.
36.17. Нельзя.
36.18. 230 кВ.
36.19. 33 витка; 73 мм2; 6-10^3 Ом; 260 Вт; 97%.
282 Ответы и указания
36.21. Указание. Учесть, что активное сопротивление массивного мед™
ного или алюминиевого кольца много меньше его индуктивного сопротив-
сопротивления.
36.22. cos(р = 0,8; (р = 37°.
37. Упругие волны
37.1. a/v = ^/
37.2. 7,04010
37.3. 1,4-10
37.4. 1,42.
37.3. 1,4-103 м/с; 4,9-1(П10
37.5. 3,5-1(Г5 Дж/м3; 2,7 мкм.
37.6. 1,4 мкм; 0,9 мкм.
37.7. 3,5 дБ.
37.8. 1,1 нВт/м2; 4,4 дБ.
37.9. [1 = In 2/L = 2,3 lg 2/L = 0, 693/L.
37.10. % - (? = 4,34/хж = 4,2 • 10™2 дБ.
37.11. 1,5 м/с.
37.12. 593 Гц; 456 Гц.
37.13. 302 Гц; 1,1 м; 332 м/с; \/А = 1,8 • 105; u/Vm = 2,9 • 104.
37.14. 0,55 м; 2,12 рад = 121°16/.
37.15. От 17 м до 17 мм; от 70 м до 70 мм.
37.16. 28%.
37.17. 12%.
37.18. Указание. Оцените коэффициент отражения на границе «уль-
«ультразвуковой преобразователь—воздух».
37.19. Около 60 мм.
38. Интерференция и дифракция
38.1. Указание. Исследовать знак амплитуды отраженной волны.
38.2. 0,41 МГц; не изменится.
38.3. 9,7 см.
38.4. Третья; 0,5 кГц.
38.5. 18,6 °С или 15,4 °С.
38.6. 330 ±3 м/с; е=0,8%.
38.7. 12°.
38.8. 6 см.
39. Электромагнитные волны
39.1. 5 м; 3,4 м.
39.2. |/0 = с/21; v = Bn + 1)с/21.
39.3. 5,1 м.
39.4. е = 4,7 (керосин); 8,3-10 Па; 115 Дж.
39.5. 25 Вт; 197 Ом.
39.6. 97 Вт.
Ответы и указания 283
39.7. R и 0,1 Ом; L и 8 мкГн; G и 22 пФ.
39.8. Указание. Воспользуйтесь выражением E9.22) из § 59.8.
39.9. Указание. Учесть, что электромагнитное поле не является систе-
системой отсчета; следовательно, в электродинамике движение источника и дви-
движение наблюдателя равноправны и приводят к одинаковому изменению ча™
стоты.
39.10. (Д1//1/)Допл = 5 • 1(Г5; (Д|//|/)Грав = 20 • 10
39.11. 42 нм.
39.12. 2,19-Ю6 с = 25,3 сут.
39.13. При удалении источника от наблюдателя z = д/A + /3)/A —/3) — 1,
при сближении 2: = 1 — ^/A — /3)/A + /3), где /3 = v/c.
39.14. 1) /3 = 0,0334, v = 107 м/с; 2) /3 = 0,362, v = 1,1 • 108 м/с;
3) /3 = 0,67, г; = 2,0 • Ю8 м/с.
39.15. 18 км/с.
39.16. 1,6-1032 кг; 2,7-1010 м.
39.17. п' = (п - /3)/A - га/3); г; = (г - 2/3^ + /32)/(l - 2^^ + ^/З2).
40. Интерференция и дифракция света
40.1. 0,9 мм; 0,7 мм.
40.2. Три максимума — нулевой и два первых; 0,56 мм.
40.3. 6,0-102 нм.
40.4. 2,73-10 мм.
40.5. 1,00014.
40.6. 0,61 мкм.
40.8. 3°35;; 7°11/.
Указание. Воспользуйтесь условием минимумов при дифракции на од™
ной щели.
40.9. 15°; всего семь максимумов.
40.10. 534 нм.
40.11. 18/;; 1,6-104.
40.12. 20 мм; 8 мм.
40.13. Увидим; 25/;.
40.14. Указание. Рассмотреть условие максимума для двух соседних
лучей, выразив его через углы скольжения.
40.15. 2,4 нм.
40.16. 0,285 нм.
Указание. Воспользоваться условием Вульфа-Брэгга.
41. Дисперсия и поглощение света
41.1. 49°19;; 50°10;.
41.2. 3,5 МэВ.
41.3. е = 1— е2по/(еотеш2).
Указание. Следует воспользоваться законом дисперсии для газов и
учесть, что у свободного электрона собственная частота колебаний равна
нулю.
284 Ответы и указания
duj
41.5. Указание. Рассмотреть отдельно участки спектра, для которых
п > 1 и п < 1.
41.6. е = 1 — е2по/Bеотеш2); и = с/щ U = сп.
41.7. Сигнал распространяется не с фазовой скоростью, а с групповой,
которая меньше предельной.
41.8. Не может.
41.9. 2,44013 м^3.
41.10. w = 1 - е2п0\2/(8тг2е0тес2) = 1 - 2,3 • 1(Г7.
41.11. R= (е2п0/Dе0теш2)J.
41.12. 0,345; 0,361; Дф/Дкр = 1,05.
41.13. 3,0-108 м/с.
41.14. Указание. Воспользоваться результатами задачи 41.6.
41.15. U = 1,9 • 108 м/с; и = 2,0 • 108 м/с.
41.16. 35 м^1; 2,0 см.
41.17.*=^ =4 ^
=4 у^гге.
/о г| (п + IL
41.18. 98%; 1,0 нм.
41.19. 6 слоев.
41.20. 1,6 см.
41.21. 1,2-10.
42. Поляризация света
42.1. В пять раз.
42.2. I = /о sin2 a cos2 а/2; 45 °.
42.3. Не возникнет.
42.4. Bт + 1) • 0,856 мкм; Bт + 1) • 0,78тг рад = Bт + 1) • 140 °.
42.5. Aкв/с1кальц = 19.
42.6. 2,1-Ю2 кг/м3.
42.7 Bт + 1) • 5,19 мм; Bт + 1) • 2,75 мм.
43. Геометрическая оптика
43.1. 2,6 мм.
43.2. 41°.
43.4. 1,8 мм.
43.5. 18,7°; 7,4°.
43.6. 2,2 дптр; -1,0 дптр.
43.7. В заднем фокусе линзы, находящейся справа.
43.8. Указание. На рис. 43.7 сдвинуть линзы до соприкосновения.
43.9. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
43.10. -3,8 дптр; -1,1 дптр.
43.11. Ф = (n-l)/R.
43.12. 2,4 см.
43.13. х = //2; ft = h/H = 1/2.
Ответы и указания 285
43.14. 81°40;.
43.15. а = /З2 (при ж < а - /).
43.16. Вытянутый эллипсоид вращения.
43.17. 2,4 см; 6%.
43.18. 13,3 дптр.
43.19. Указание. См. § 65.5, рис. 65.9.
43.21. Собирающая линза.
43.22. Рассеивающая линза.
43.23. Указание. См. задачу 10.4.
43.24. Нельзя.
43.25. <^<22°.
43.26. R ^ 29d.
43.27. 2,3;.
44. Оптические приборы
44.1. 1,76 Вт; 8,8 Вт; 2,9 Вт.
44.2. 11 В/м; 3,7-10™8 Тл.
44.3. ^стены/^пола = D/2H.
44.4. ^Край = 21/(Зг2л/3) = 0,381/г2; ЕценТр = 21/г2
44.5. Е = 5^0/4.
44.6. 10 лк; 2,8 лк.
44.7. 5,0 лк; 2,5 лк.
44.8. E = RD2/Af.
44.9. Уменьшится в 3,2 раза.
44.10. Очки —7 дптр.
44.11. 57/; ^1; (см. § 66.4).
44.12. 370.
44.13. 0,6 мкм.
44.14. 24 дптр; 8,3 мм; 1,2; 830 км.
44.15.7= |/об//ок|.
44.16. 35 м; 5,2 км.
44.17. Арадио = 2,5 • 103; Аоит = 5,4 • 106.
44.18. Не более 6 мс.
44.19. 55 мм; 0,18.
44.20. 14,5 см.
45. Фотон
45.1. 5,8-103 К.
45.2. 6,16-Ю3 К.
45.3. 290 нм.
45.4. 4,3-103 Вт/м2; 5,4-10 Вт.
45.5. 540 нм; 295 нм; 275 нм.
45.6. 41 кэВ; 1,1-Ю8 м/с.
45.7. 0,2 В.
286 Ответы и указания
45.8. 1,3 эВ.
45.9. 1,8 эВ.
45.10. 4,4 эВ; 2,3-10"7 кг-м/с.
45.11. 2,5-10^3 нм = 2,5 пм.
45.12. Ш = &ол/1 -/32/A - Pcos6);p = poy/l -/32/(l -/3cos0).
45.13. р = 2ti; cos а, где w — объемная плотность энергии светового
потока.
45.14. 14 Дж.
45.15. 0,3 мкм.
45.16. Acf = 2cf2 sin2((9/2)/[cfо + 2cf sm2F»/2)]; 1 %.
45.17. fl7 = gocos(a + 0/2)/[sinasin@/2)]; 0,37 МэВ.
45.18. 83 кэВ; 15 пм.
45.19. Указание. Воспользоваться законами сохранения энергии и им-
импульса в релятивистской форме.
45.20. Указание. Перейти в инерциальную систему отсчета, относитель-
относительно которой электрон покоится.
45.21. Указание. См. § 68.7.
45.22. Изменится.
45.24. 370 МэВ.
45.25. 20 с.
1 — /3 cos а Шос 1 — /3 cos 0
46. Элементы квантовой механики
46.1. А = hc/y/KB&0 + K); К < 0,04cf0.
46.2. А = he/'\/е(рBШ® + ар); Анерел = h/л/Ъпщ).
46.3. 0,3 нм.
46.4. Указание. Сравнить длины волн де Бройля электрона и иона при
одинаковом ускоряющем потенциале.
46.5. 4,8 мкм.
46.6. 1,1-Ю9 Дж = 0,68 эВ; 1,1-Ю4 м/с; 5,4-103 К.
46.7. 0,15 нм.
46.8. 1) Ui = vi = 5,9 • 106 м/с = 0,019 с; иг = с2/гл = 51 с =
= 1,5 • 1010 м/с; 2) U2 = v2 = 0,549 с = 1,6 • 108 м/с; и2 = c2/t;2 = 1,83с =
= 5,5 • 109 м/с.
46.9. F = h'2/DmeL3) = 1,2 • 10 Н.
46.10. 38 эВ; 1,5-102 эВ; 3,4-103 эВ.
46.11. 0,26 эВ; могут.
46.12. г = 47TSoh2/e2me.
46.13. w = е'6 = 0,2 = 20 %.
46.14. w = ехр Г->/8
46.15. w = е^2 = 0,135 = 13, 5 %.
46.16. ф(х) = лД/1 sin (шгж/L).
46.17. L/3, 2L/3, 3/4.
Ответы и указания 287
47. Строение атомов и молекул
47.1. 3,44(П13 м.
47.2. v = vi/n, где v\ = е2/Dтг?о^); а = vi/c = 1/137.
47.3. & = 3hcR/4 = 3 • 13,6/4 эВ = 10,2 эВ.
47.4. п = 3; 102,5 нм; 656,0 нм; 121,5 нм.
47.5. 4,2 м/с; 9,1-Ю"8 эВ.
47.6. n = ao/Z = 26,4 пм; 1/Л = 4R(l/m2-l/n2); Ai = 1/ЗЯ = 30,40 нм;
А2 = 9/5Д = 164,0 нм.
47.7. а) 1,1-Ю23 м^3; 3,5 мм рт. ст.; 1,9-10 кг/м3; б) 4,6-1020 м^3;
1,4-10 мм. рт. ст.; 7,7-10^7 кг/м3.
47.8. Ш = Z2hcR = 9 • 13,6 = 122, 4 эВ.
47.9. Водород: v = 0,0436с = 1,3 • 104 км/с.
47.10.
2043 п2ао
пna0 ; gn
е2 трт^ 1836 • 207 186
= _J_ .2,53кэВ.
тг2 п2
47.11. 1/А = 186ДA/т2 - 1/п2); Ai = 4/C • 186Д) = 654 пм; А2 =
= 36/E • 186Л) = 3,53 нм; А3 = 144/G • ШК) = 10,9 нм.
47.12. аг = 2а0 = 106 пм; Шг = -hcR/2 = -13,6/2 = -6,8 эВ.
47.13. 10,2 В.
47.15. а) Бор: 1, 0, 0,1/2; 1, 0, 0, -1/2; 2, 0, 0,1/2; 2, 0, 0, -1/2; 2,1, 0,1/2.
б) Натрий: 1,0,0,1/2; 1,0,0,-1/2; 2,0,0,1/2; 2,0,0,-1/2; 2,1,0,1/2;
2,1,0,-1/2; 2,1,1,1/2; 2,1,1,-1/2; 2,1,-1,1/2; 2,1,-1,-1/2; 3,0,0,1/2.
47.16. Указание. Определить число электронов на верхнем не до конца
заполненном энергетическом уровне.
47.17. (F) = 3h2/DmL3).
47.18. (Fc) = 3h2/BmL3).
47.19. 31 пм.
47.20. Z = 41 — ниобий.
47.21. Более 5 кВ.
47.22. 8,2 кВ.
47.23. 3,2 • 1013 рад/с.
47.24. 41 мкм.
47.25. 95 пм.
47.26. Не противоречит.
Указание. См. задачи 33.10 и 46.11.
47.28. 2/ip/ie/(e2c2ao) = 4 • 10~8
47.29. 56 см.
47.30. 3,2 • 1013 Гц.
47.31. Не противоречит.
47.32. 2в = 1,2'.
288 Ответы и указания
48. Квантовые свойства металлов и полупроводников
48.1. Алюминий: 12,8 эВ; 1,9 • 1СР24 кг-м/с; натрий: 3,1 эВ;
9,5 • 10~25 кг-м/с; медь: 8,6 эВ; 1,6 • 10~24 кг-м/с.
Указание. См. § 44.2.
48.2. 9,9 • 104 К; 2,4 • 104 К; 6,6 • 104 К.
48.3. Р = 2no&F/5 = 1,7 • 1011 Па.
48.4. FF5/3 = const; 7 = 5/3.
48.5. А = h . 4K/Q и 3,2 • 106 Па-м5-кг5/3.
20ш(ш/2M/з
48.6. 0,2%.
48.7. С% = 12,5 Дж/(кмоль-К); С%/С%ш = 5 • 104.
48.8. А = 30 нм; A/d^l50.
48.9. Ф = nh/2e, где п = 1,2,3,...
48.10. 7 = Ве~АШ/кТ.
48.11. 72/71 = б,6-105.
48.12. п = 2,4 • 1019 м^3; RH = 9,4 • 10~2 м3/Кл.
48.13. 5,8 • 102 Ом^; 3,0 • 102 Ом "^м.
48.14. 0,55 В; 8,6 В.
Указание. Выражение для внутренней контактной разности потенциа-
потенциалов см. в § 78.1.
48.15. 5,7 эВ/атом; 46 МДж/кг.
49. Строение ядра
49.1. Гелий 2Не — два протона, один нейтрон; тритий ]_Н — один протон,
два нейтрона.
49.2. 20 % легкого изотопа и 80 % тяжелого.
49.3. Дейтерий: R = 1,8 • 10^15 м; Uo = 0,8 МэВ. Полоний: R =
= 8,3 • 10~15 м; С/о = 14,6 МэВ.
49.4. 2,23 МэВ; 1,12 МэВ/нуклон.
49.5. 2,84 МэВ/нуклон; 2,56 МэВ/нуклон.
49.6. Пять «-распадов и четыре /5-раепада.
49.7. Ка = 4,45 МэВ; КРЪ = 1,05 МэВ.
49.8. Не может.
49.9. Не может.
49.10. Может; электрон и антинейтрино; 1,48 МэВ.
49.11. 4,96 МэВ.
49.12. w = е2'5 = 1,7 • 10~10.
49.13. Уменьшится в 1,3 раза.
49.14. 3,7 дня.
49.15. 1,4- 1017 с = 4- 109 лет.
49.16. 8800 лет.
49.17. 0,82 МэВ.
49.18. Яотд = cf7/BMc2) = 1,4 • 10~7; 6еСт = П/тШ1 = 3,2 • 103.
Ответы и указания 289
49.19. v = Ш1/Мс = 81 м/с.
49.20. N = Noe~xt.
49.21. 0,2 МэВ.
50. Мдерные реакции
50.1. 3- 107 кг = 30 000 т.
50.2. 22,4 МэВ; 2,8 МэВ/ыуклоы.
50.3. Могут.
50.4. Противоречит закону сохранения импульса; 67,5 МэВ.
50.5. <^ = fi/Tcf = б-10~8.
50.6. €97 ^ 1,02 МэВ.
50.8. К^ = 4,1 МэВ; &и = 29,9 МэВ; &V/K^ = 7,3.
50.9. Ке = 0,28 МэВ; Шу = 0,61 МэВ.
50.10. Кп = 56 МэВ; g7 = 95 МэВ.
50.11. 12,1 МэВ; 158,4°.
50.12. _?е + }р -+ In + %щ 0,24 МэВ.
51. Элементарные частицы
51.1. Ш1 = К7Г= ЕОж = 135 МэВ.
51.2. 8 • 10~27 с; 7 • 10~27 с; менее 2 • 108 м.
51.3. ^сл/8эл.-м«Ю-8.
51.4. Нет; запрещено законом сохранения барионного заряда.
51.5. У всех барионов (кроме ?1~) спины двух кварков антипараллель™
ны; у О^-гиперона спины всех кварков параллельны.
51.6. Антипараллельно.
51.7. Невозможны.
51.8. Сумма барионных зарядов кварка и антикварка равна нулю; сум-
сумма барионных зарядов трех кварков равна единице, трех антикварков —
минус единице.
51.9. Законы сохранения лептонного мюонного и лептонного электрон-
электронного зарядов.
51.10. Нет; запрещено законами сохранения электронного и мюонного
лептонных зарядов.
51.11. Нет; запрещено законом сохранения электрического заряда.
51.12. Нет; запрещено законом сохранения лептонного и барионного
зарядов.
10 А.А. Пинский
ТАБЛИЦЫ
1. Данные о планетах
Планета
Солнце
Венера
Земля
Марс
Луна
Эквато-
Экваториальный
полудиаметр,
106 м
700
6,2
6,4
3,4
1,7
Масса, кг
1,98-1030
4,Э4024
5,98-1024
6,54023
7,44022
Среднее
расстояние
до Солнца,
109 м
—
108,11
149,46
227,7
—
Период
обращения
вокруг
Солнца, су т.
—
227,70
365,26
686,98
—
2. Механические свойства твердых тел
Вещество
Сталь мягкая
Сталь
хромоникелевая
Серебро
Алюминий
Медь
Никель
Свинец
Лед (-2° С)
Золото
Модуль
всесто-
всестороннего
сжатия К,
1010 Па
17
17
10,4
7,6
14
16
4,1
-
22,7
Модуль
Юнга Е,
1010 Па
20
22
8,0
7,0
13
20
1,7
0,28-1,0
7,9
Допус-
Допускаемое
напряже-
напряжение СГдоп,
107 Па
14
30
3-8
3-8
3-12
—
—
—
2-2,5
Разру-
Разрушающее
напряже-
напряжение при
растяже-
растяжении <7М,
108 Па
4-6
10-15
0,9-1,5
0,9-1,5
1,2-4,0
—
0,2
—
1,4
Плот-
Плотность р,
103 кг/м
7,8
7,8
10,5
2,7
8,9
8,9
11,3
0,92
19,3
Таблицы
291
3. Тепловые свойства твердых тел
Вещество
Сталь
Серебро
Алюминий
Медь
Никель
Свинец
Лед
(-2°С)
Удельная
теплоемкость с,
кДжДкг-К)
(от 0° до 100° С)
0,45
0,23
0,84
0,38
0,46
0,126
2,1
Удельная
ТРТТ ТТПТЯ
± слили id
плавле-
плавления л,
105 Дж/кг
2,7
0,88
4,0
2Д
3,0
0,25
3,4
Точка
плавле-
ним,
i ор
1440
980,6
660
1080
1453
327
0,00
Коэффи-
Коэффициент
линейного
расши-
расширения а,
10-11
20,5
27
20
18
30
51
Коэффи-
Коэффициент
теплопро-
теплопроводности
К,
Вт/(м-К)
50^70
4,2-102
2,3-102
3,8-102
0,9-102
35
2,2
4. Свойства жидкостей
Вещество
Нефть
Вода B0° С)
Вода (80° С)
Ртуть
Масло
касторовое
30% H2SO4
Плотность р,
103 кг/м3
(при0°С)
0,8
0,9982
0,9718
13,595
0,95
1,02
Вязкость 7/,
мПа-с
(при 20° С)
1-10
1,00
0,36
1,55
986
2,44
Поверхностное
натяжение сг,
мН/м
(при 20° С)
30
72,8
62,8
475,0
36,4
^60
Коэффициент
объемного
расширения /3,
10~4 К^1
7-10
2,1
6,3
1,8
6
Вещество
Нефть
Вода B0° С)
Вода (80° С)
Ртуть
Масло
касторовое
30% H2SO4
Коэффициент
теплопровод-
теплопроводности К,
ВтДм-К)
(при 20° С)
0,15
0,60
0,68
10
0,18
0,6
Точка
кипения, °С
(при норм.
атм. дав л.)
—
100
—
356,6
—
Удельная
теплота паро-
парообразования
L, МДж/кг
(при норм,
атм. дав л.)
—
2,28
—
0,25
—
Удельная
теплоем-
теплоемкость с,
кДж/(кг-К)
1,7-2,1
4,183
4,195
0,14
2,13
1,4
10*
292
Таблицы
5. Свойства газов
Вещество
Гелий
Неон
Азот (N2)
Водород (Н2)
Водород* (Н)
Кислород (О2)
Воздух
Пары воды A00° С)
Углекислый газ (С О 2)
СО2, 100 °С
СО2, 300 °С
СО2, 500 °С
Эффективное
сечение а.
10^20 м2
3,1
7,0
10,8
5,7
3,5
9,6
10
6,0
16,2
—
—
—
Вязкость 7/,
мкПа-с (при
нормальных
условиях)
18,6
29,8
16,6
8,4
—
19,2
17,1
12,8
13,8
18,6
26,7
—
Теплопро-
Теплопроводность Ж",
мВт/(м-к)
(при норм,
условиях)
143
46
24,3
173
—
24,4
24
26
14,3
21,2
—
55,7
Вещество
Гелий
Неон
Азот (N2)
Водород (Н2)
Водород* (Н)
Кислород (О2)
Воздух
Пары воды A00° С)
Углекислый газ (С О 2)
СО2, 100 °С
СО2, 300 °С
СО2, 500 °С
Удельная
теплоемкость ср,
кДж/(кг-К)
(от0оСдо100°С)
0,523
1,05
1,04
14,3
0,913
1,01
1,951
0,91
0,90
0,85
0,83
Показатель
адиабаты
7 = cp/cv
1,630
1,642
1,401
1,407
1,667
1,400
1,40
1,334
1,300
1,30
1,22
1,20
Плотность р,
кг/м3
(при норм,
условиях)
0,1785
0,8999
1,2505
0,0899
1,4289
1,293
0,598
1,9769
* Вычислено по формуле а = 4тга,д, где а® = 50 им — боровский радиус.
Таблицы
293
6. Электрические свойства веществ B0 °С)
Вещество
Парафинированная бумага
Слюда
Стекло кварцевое
Масло трансформаторное
Спирт этиловый
Воздух
Диэлектричес-
Диэлектрическая проницае-
проницаемость €
2
6-7
4-10
2,2
26
1,000590
Пробивная
напряженность
Еы, МВ/м
40-60
80-200
20-30
15-20
—
3-4
7. Скорость звука (продольные волны)
Вещество
Кварц (Х-срез)
Никель (в магнитном поле
с индукцией 0,3 Тл)
и, км/с
5,72
4,86
Вещество
ВодаA7°С)
Вода морская
Масло касторовое
и, км/с
1,407
1,50
8. Показатели преломления
Свет
Инфракрасный
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
Ультрафиолетовый
Длина
волны А,
нм
1256,0
Г 670, 8
< 656,3
[б43,8
589,3
546,1
508,6
486,1
480,0
404,7
Г 303, 4
bl4,4
[185,2
Флюорит
1,4275
1,4323
1,4325
1,4327
1,4339
1,4350
1,4362
1,4369
1,4371
1,4415
1,4534
1,4846
1,5099
Плавленый
кварц
—
1,4561
1,4564
1,4568
1,4585
1,4602
1,4619
1,4632
1,4636
1,4697
1,4869
1,5339
1,5743
Каменная
соль NaCl
1,5297
1,5400
1,5407
1,5412
1,5443
1,5475
1,5509
1,5534
1,5541
1,5665
1,6085
1,7322
1,8933
294
Таблицы
Окончание табл. 8
Овет
Инфракрасный
Красный
Оранжевый
Желтый
Зеленый
Голубой
Синий
Фиолетовый
Ультрафиолетовый
Сильвин
КС1
1,4778
1,4866
1,4872
1,4877
1,4904
1,4931
1,4961
1,4983
1,4990
1,5097
1,5440
1,6618
1,8270
Вода
B0 °С)
1,3210
1,3308
1,3311
1,3314
1,3330
1,3345
1,3360
1,3371
1,3374
1,3428
1,3581
1,4032
—
Стекло
крон
1,5042
1,5140
—
1,5149
1,5170
—
—
1,5230
—
1,5318
1,5552
—
—
флинт
1,6268
1,6434
—
1,6453
1,6499
—
—
1,6637
—
1,6852
—
—
—
9. Массы некоторых нейтральных атомов (а.е.м.)
Водород 1 Н
Дейтерий \ Н
Тритий ? Н
Гелий 1 Не
^Не
Литий з Li
зЫ
Бериллий 1 Be
? Be
Масса
1,00783
2,01410
3,01605
3,01603
4,0026
6,01513
7,01601
7,01693
9,01219
Углерод 1° С
12 р
6 ^
13 (-л
6 ^
14 р
6 ^
Алюминий 13 А1
Кремний i4 Si
Фосфор 15 Р
Свинец If Pb
Полоний Ц° Ро
Масса
10,00168
12,00000
13,00335
14,00324
29,99817
30,97535
30,97376
205,97446
209,98297
Таблицы
295
10. Фундаментальные физические постоянные
Величина
1. Магнитная постоянная
2. Электрическая постоянная
3. Скорость света в вакууме
4. Элементарный заряд
5. Постоянная Планка
6. Постоянная Авогадро
7. Атомная единица массы
8. Масса электрона
мюона
протона
нейтрона
9. Удельный заряд электрона
10. Постоянная Фарадея
11. Постоянная Ридберга
12. Боровский радиус
13. Комптоновская длина
волны для электрона
14. Магнетон Бора
15. Магнитный момент
электрона
протона
16. Газовая постоянная
17. Объем 1 киломоля
идеального газа
18. Постоянная Больцмана
19. Постоянная Стефана™
Больцмана
20. Гравитационная постоянная
21. Энергетический эквивалент
1 а. е. м.
* Фундаментальные физические
тов, 1988.
Обозначение
МО
So = 1//10С2
с
е
h
П = /г/2тг
NA
1 а. е. м.
тс
тр
тп
F = eNA
Roo
®0
\с = h/mec
цв = eh/2me
/ie
тр
R
к = R/NA
а
G
Значение *
4тг • 10~7 Гн-м (точно)
8,8541878240^12 Ф-м^1
299792458 м-с^1 (точно)
1,6021773340^19 Кл
6,6260755404 Дж-с
1,0545726640^34 Дж-с
6,02213674026 кмоль
1,660540240^27 кг
9,1093897-Ю^31 кг
5,4857990340^4 а.е.м.
1,8835327-108 кг
0,113428913 а. е. м.
1,6726231407 кг
1,007276470 а. е. м.
1,674928640^27 кг
1,008664904 а. е. м.
-1,75881962 • 1011 Кл-кг^1
9,6485309407 Кл-кмоль
1,0973731534407 м^1
5,29177249-Ю™11 м
2,42631058402 м
9,274015440™24 Дж-Тл™1
9,2847701404 Дж-Тл
1,4106076140^26 Дж-Тл^1
8,314510-103 Дж/(кмоль-К)
22,41410 м3-кмоль^1
1,380658-103 Дж-К
5,67051-10^8 Вт/(м2-К4)
6,67259-Ю1 Н-м2/кг2
931,49432 МэВ
константы ГСССД 1-87. — М.: Изд»во стандар-
Учебное издание
ПИНСКИЙ Аркадий Аронович
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Редактор Д.А. Миртова
Корректор Л. Т. Варъяш
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.02.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 25. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
\ ФГУП «Ивановская областная типография».
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0384-9
9 78592203848