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CALCULO VECTORIAL
Quinta Edición
JERROLD E. MARSDEN
California Institute of Technology, Pasadena
ANTHONY J. TROMBA
University of California, Santa Cruz
Traducción
Patricio Cifuentes Muñiz
Jesús García Azorero
José Pedro Moreno Díaz
Fernando Quirós Gracián
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid
Revisión Técnica
Eugenio Hernández Rodríguez
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid
PfARSON
Madrid • México • Santafé de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Lima • Montevideo • San Juan
San José • Santiago • Sao Paulo • White Plains

/ Datos de catalogación bibliográfica
MARSDEN, J. E.; TROMBA, A. J.
CÁLCULO VECTORIAL Quinta Edición
PEARSON EDUCACIÓN, S.A ., Madrid. 2004
ISBN: 84-7829-069-9
Materia: Cálculo, 372
Formato 195 x 250
Páginas: 696
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción,
distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización
de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados
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DERECHOS RESERVADOS
© 2004 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A.
Ribera del Loira, 28
28042 Madrid (España)
MARSDEN, J. E.; TROMBA, A. J.
CÁLCULO VECTORIAL. Quinta Edición
ISBN: 84-7829-069-9
Depósito legal: M. 36.308-2004
ADDISON WESLEY es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A .
First published in the United States by
W. H . FREEMAN A}<'D CO., New York and Basingstoke
Copyright© 2004 by W. H . Freeman and Co. All Rights Reserved
Publicado originalmente en Estados Unidos por
W. H . FREEMAN AND CO., New York and Basingstoke
Copyright© 2004 by W. H . Freeman and Co. Al! Rights Reserved
Equipo editorial:
Editor: Miguel Martín-Romo
Técnico editorial: Marta Caicoya
Equipo de producción:
Director: José Antonio Ciares
Técnico: Isabel Muñoz
Diseño de cubierta: Equipo de diseño de PEARSON EDUCACIÓN, S.A.
Composición: COPIBOOK, S.L.
Impreso por: CLOSAS-ORCOYEN, S.L .
IMPRESO EN ESPAÑA PRlNTED IN SPAIN
Este libro ha sido impreso con papel y timas ecológicos

Contenido
Prefacio ......................................................................................
vn
Agradecimientos .......................................................................... . . .
ix
Introducciónhistórica ........................................................................
xi
1. La geometría del espacio euclídeo .....................................................
1.1.Vectoresenlosespaciosdedosydetresdimensiones..............................
1
1.2.Productoescalar,longitudydistancia.....................
........................
22
1.3.Matrices,determinantesyelproductovectorial.....................................
36
1.4.Coordenadascilíndricasyesféricas.................................................
61
1.5.Elespacioeuclídeon-dimensional.................................................
70
EjerciciosderepasodelCapítulo1......................................................
84
2.Diferenciación..........................................................................
89
2.1.Lageometríadelasfuncionesconvaloresreales...................................
90
2.2.Límitesycontinuidad..............................................................
101
2.3.Diferenciación.....................................................................
121
2.4.Introducciónatrayectoriasycurvas................................................
134
2.5.Propiedadesdeladerivada.........................................................
144
2.6.Gradientesyderivadasdireccionales...............................................
156
EjerciciosderepasodelCapítulo2......................................................
167
3.Derivadasdeordensuperior:máximosymínimos....................................
175
3.1.Derivadasparcialesiteradas........................................................
176
3.2.ElteoremadeTaylor..............................................................
187
3.3.Extremosdefuncionesconvaloresreales..........................................
196
3.4.ExtremoscondicionadosymultiplicadoresdeLagrange............................
217
3.5.Elteoremadelafunciónimplícita.................................................
237
EjerciciosderepasodelCapítulo3......................................................
247

vi
Cálculo vectorial
4. Funciones con valores vectoriales ............. ............... .........................
253
4.1. La aceleración y la segunda ley de Newton .................. ................. .....
253
4.2. Longitud de arco .... ......................................... .....................
266
4.3. Campos vectoriales ..... . . . . ........... . ..... .. .......... . ........... .... ..........
276
4.4. La divergencia y el rotacional ..... ...................................... . ..........
286
Ejercicios de repaso del Capítulo 4 .... . . ........... .....................................
305
S. Integrales dobles y triples . .. ..... .... . ..... ............................ ...............
309
5.l. Introducción .... . ..... . . . . . . .... ...................................................
309
5.2. La integral doble sobre un rectángulo ............ ......... ....... ... ...............
319
5.3. La integral doble sobre regiones más generales ................. . ... ........ . ... ....
331
5.4. Cambio del orden de integración . . . . . . . . .. .. . .. . .... ..... ...................... ....
339
5.5. La integral triple .. ... . ... .. .. .... ...................... ..................... ...... .
345
Ejercicios de repaso del Capítulo 5 ..... .. ............ ..... ................... ...........
356
6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración . .. ... ...........
359
6.1. Lageometríadelasaplicaciones de IR2 en IR2 ..... .... ... . . ..................... . ..
360
6.2. El teorema del cambio de variables ...... ................. . . .. . . .. ..... ... ..... ....
367
6.3. Aplicaciones ..... ...... . ... . .. .......... . ... . . .. ... .. . .. . ..........................
384
6.4. Integrales impropias ........ .. .....................................................
396
Ejercicios de repaso del Capítulo 6 . . .. . ..................... .. . .........................
406
7. Integrales sobre curvas y superficies .................................... .... ..........
411
7.1. La integral a lo largo de una trayectoria ..... . .............. . . ......................
411
7.2. La integral de línea .......... . . . . . . . . ....... .......................................
419
7.3. Superficies parametrizadas ..... . . . ......................... . .......................
439
7.4. El área de una superficie ......... ............... ........................ ...........
448
7.5. Integrales de funciones escalares sobre superficies ... ......... . .. ... ... ... ... .......
460
7.6 . Integrales de campos vectoriales sobre superficies ........... . .... . .. .. ... ...... . . . .
468
7.7. Aplicaciones a la geometría diferencial, la Física y a las formas de la vida . . . . . .. ..
483
Ejercicios de repaso del Capítulo 7 ........ ............................... ...............
496
8. Los teoremas de integración del análisis vectorial .... .......... ...... ......... .......
499
8.l. El teorema de Green .. ..... ... . ... . ..... ...... .......... .... . ......... ... ..........
499
8.2. El teorema de Stokes .... .. . ....... .......... . ..... ......... ..................... . .
513
8.3. Campos conservativos ......... .......... . ........... . ............. ......... .......
530
8.4. El teorema de Gauss ............. .......................... .................... ....
541
8.5. Algunas ecuaciones diferenciales de la mecánica y la tecnología ........... .. .......
555
8.6. Formas diferenciales .. ...... ............. .... .. . . ......... . ........................
567
Ejercicios de repaso del Capítulo 8 ..... ... . ....... . ... . ....... ... . . ...... .... ...........
584
Respuestas a los ejercicios impares ............... . . .... . .. ............. . . . . ..................
587
Índice alfabético . .. ....... ......... .. . ................. .......... . .............. ... ..........
645
Créditosdelasilustraciones ....... . . ... ........ . ..... ...... .. . ... . . .. . .. . . ......... ..... . ....
655

Prefacio
E ste libro de texto ha sido diseñado para un curso semestral de cálculo de funciones de varias
variables y análisis vectorial, que normalmente se explica durante el segundo año univer­
sitario. Además de haber realizado cambios y mejoras a lo largo de todo el texto, en esta nueva
edición hemos añadido una cantidad importante de materiales que presentan el desa.
.'
Tollo his­
tórico del tema y también hemos intentado transmitir una sensación de entusiasmo, relevancia e
importancia de los temas tratados.
Requisitos
A veces, los cursos de cálculo vectorial vienen precedidos por un primer curso de álgebra lineal,
pero no es éste un requisito esencial. Solamente requeriremos rudimentos básicos de álgebra de
matrices y los conceptos necesarios se desarrollan en el texto. Si el presente curso está precedi­
do por un curso de álgebra lineal el profesor no tendrá problemas para ampliar el material pre­
sentado. Sin embargo sí que damos por sabido lo fundamental del cálculo de una variable -los
procesos de diferenciación e integración y sus interpretaciones geométricas y físicas así como el
conocimiento de las funciones elementales como son las trigonométricas y la exponenciaL
El papel de la teoría
El texto incluye la mayor parte de la teoría básica así como muchos ejemplos y problemas con­
cretos. Algunas de las demostraciones técnicas de los teoremas de los Capítulos 2 y S se ex­
ponen en secciones opcionales que son fácilmente accesibles en la página web del libro en
www.librosite.netjmarsden (véase la descripción en la página siguiente). La Sección 2.2, sobre
límites y continuidad, se ha diseñado para tratarse someramente y es deliberadamente breve.
Temas teóricos más sofisticados, como la compacidad y algunas demostraciones delicadas de la
teoría de la integración, se han omitido ya que corresponden a un curso más avanzado de análi­
sis real.
Concreto y orientado al estudiante
Las técnicas de cálculo y la comprensión intuitiva son importantes a este nivel, y hemos tratado
de ajustamos a este requisito haciendo el libro concreto y orientado al estudiante. Por ejemplo,

viii
Cálculo vectorial
aunque formulamos correctamente la definición de derivada, se ha hecho utilizando matrices de
derivadas parciales en vez de transformaciones lineales abstractas. Incluimos también un buen
número de ejemplos tomados de la física, como mecánica de fluidos, gravitación y teoría elec­
tromagnética, y también de la economía aunque no se supone ningún conocimiento de estas ma­
terias.
Ordenación de los temas
Una característica especial de este texto es la pronta introducción de los campos de vectores, la
divergencia y el rotacional en el Capítulo 4, antes de la integración. Con frecuencia, el análisis
vectorial queda desplazado en un curso de este tipo y la ordenación presente va dirigida a evitar
esta tendencia. Para ir incluso más allá, puede considerarse el explicar el Capítulo 3 (teoremas
de Taylor, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange) tras el Capítulo 8 (teoremas e
integración del análisis vectorial).
La quinta edición se ha reestructurado completamente, pero conserva y mejora el equilibrio
entre teoría, aplicaciones, material opcional y notas históricas que estaba presente en anteriores
ediciones.
Suplementos
Uno de los cambios principales en esta edición está en los suplementos. Son los que siguen:
l. Librosite. La página web del libro contiene los materiales siguientes:
• Suplemento en Internet, un archivo PDF que tiene material adicional adecuado para
utilizar en proyectos así como demostraciones técnicas y exámenes de muestra con
soluciones completas.
• Diapositivas en PowerPoint y en KeyNote para que el profesor pueda mostrar en
clase las figuras del texto, así como resúmenes por secciones.
• Archivos LaTeX y PDF de exámenes de muestra (en el sitio Internet protegido para
profesores).
• Puestas al día.
Jerry Marsden y Tony Tromba,
Caltech y UC Santa Cruz, verano de 2003.

Agradecimientos
M uchos colegas y estudiantes de la comunidad matemática nos han hecho sugerencias y
contribuciones valiosas desde que este libro comenzó a redactarse. Un primer borrador del
libro se escribió en colaboración con Ralph Abraham. Le agradecemos el habernos permitido
seguir adelante basándonos en su trabajo. Es imposible citar a todos los que nos han ayudado en
este libro, pero queremos agradecer especialmente a Michel Hoffman y Joanne Seitz por su ayu­
da en las primeras ediciones. También hemos recibido comentarios valiosos de Mary Anderson,
John Ball, Patrick Brosnan, Andrea Brose, David Drasin, Gerald Edgar, Michael Fischer, Frank
Gerrish, Mohammad Gohmi, Jenny Harrison, Jan Hogendijk, Jan-Japp Oosterwijk y Anne van
Weerden (Uterecht), David Knudson, Richard Kock, Andrew Lenard, William McCain, Gordon
McLean, David Merriell, Jeanette Nelson, Dan Norman, Keith Phillips, Anne Perleman, Oren
Walter Rosen, Kenneth Ross, Ray Sachs, Diane Sauvageot, Joel Smoller, Francis Su, Melvyn
Tews, Ralph y Bob Tromba, Steve Wan, Alan Weinstein, John Wilker y Peter Zvengrowski.
Los estudiantes y profesores de Austin Community College merecen una nota especial de agra­
decimiento, así como nuestros estudiantes de Caltech y de UC Santa Cruz.
Debemos un agradecimiento especial a Stefan Hildebrant por sus consejos sobre historia.
Agradecemos las revisiones detalladas del manuscrito que hemos recibido de los siguientes
profesores: Dr. Michael Barbosu, SUNY Brockport; Brian Bradie, Christopher Newpon Univer­
sity; Mike Daven, Mount Saint Mary; Elias Deeba, University of Houston-Downtown; John Fe­
roe, Vassar; David Gurari, Case Western Reserve; Alan Horowitz, Penn State; Rhonda Hughes,
Bryn Mawr; Frank Jorres, Rice University; Leslie Hay, Virginia Tech; Richard Laugesen, Uni­
versity of Michigan; Namyong Lee, Minnesota State University; Tanya Leiese, Rose Hullman
Institute; John Lott, University of Michigan; Gerald Paquin, Université du Québec a Montréal;
Joan Rand Moschovakis, Occidental College; A. Shadi Tahvildad-Zadeh, Princeton University;
Dr. Stuart Smith, California State University at Hayward; Howard Swann, San Jose State Uni­
versity; Denise Szecsei, Stetson University; Edward Taylor, Wesleyand y Chaogui Zhang, Case
\Vestern Reserve. En esta quinta edición queremos dar las gracias a todos los revisores, pero
especialmente a Andrea Brose, UCLA, por sus detallados y valiosos comentarios. Los más im­
portantes de todos son los lectores y usuarios del libro cuya lealtad durante más de un cuarto de
siglo ha hecho posible esta quinta edición.
Un palabra final de agradecimiento a aquellos que nos ayudaron en la preparación del origi­
nal y en la producción del libro. De las ediciones anteriores agradecemos a Connie Calica, Nora
Lee, Marnie McElhiney, Ruth Suzuki, Ikuko Workman y Esther Zack su excelente mecano­
grafiado de varias versiones y revisiones del manuscrito; a Herb Rolden de Gonzaga University

X
Cálculo vectorial
y Jerry Kazdan de la Universidad de Pennsylvania por sugerir y preparar las versiones primeras
de las figuras generadas con computador; a Jerry Lyons and Holly Hodder por sus respectivos
papeles como nuestros anteriores editores matemáticos; a Christine Hastings por su supervisión
editorial; y a Trumbull Rogers por su experta revisión del texto. En esta quinta edición, agrade­
cemos a Matt Haigh y a Wendy McKay su ayuda en la preparación del material con TeX y con
Mathematica, y también a Terri Ward, la editora de adquisiciones matemáticas de W. H. Free­
roan, su excelente conducción del proyecto, y a Vivien Weiss su excelente manejo de los asun­
tos de producción.
Mantendremos al día en la página web una lista de correcciones y sugerencias a la quinta
edición y nos encantará recibir de nuestros lectores cualquier sugerencia o corrección adicionaL
Por favor, envíenoslas bien a Jerrold Marsden (marsden@cds.caltech.edu), bien a Anthony Trom­
ba (tromba@cats.ucsc.edu).

Introducción histórica:
Un breve relato
Esto, por tanto, es matemáticas; te recuerda la forma invisible del alma:
da luz a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el
intelecto; ilumina nuestras ideas intrínsecas; elimina el olvido y la ig­
norancia que nacen con nosotros.
�.e-. 450
Cum Deus Calculat Fit Mundus.
(Según Dios calcula se va creando el mundo.)
L a palabra «matemáticas» viene de la palabra griega mathema, que significa conocimiento,
entendimiento o percepción, lo que sugiere que el estudio de lo que hoy llamamos matemá­
ticas comenzó haciéndose preguntas acerca del mundo. De hecho, la evidencia histórica su­
giere que las matemáticas comenzaron hace alrededor de 2.700 años como un intento de com­
prender la naturaleza. Desafortunadamente, en la mayor parte de los escritos y conferencias de
matemáticas se sacrifica tanto el contexto como las motivaciones históricas. En esta nueva edi­
ción los autores abordan de nuevo este problema incrementando la discusión del material histó­
rico y contextua] en los lugares apropiados. Así, antes de sumergirnos en las matemáticas del
Cálculo vectorial, discutimos brevemente el desarrollo de las matemáticas hasta al descubri­
miento del cálculo.
Matemáticas egipcias, babilónicas y griegas
De forma generalizada, se admite que las matemáticas se desarrollaron en los siglos septimo y
sexto a.C., algún tiempo después de que los griegos desarrollaran un alfabeto uniforme. No
quiere esto decir que las matemáticas no existieran antes de los griegos. De hecho los egipcios y
los babilonios conocían un gran número de hechos empíricos siglos antes del nacimiento de la
civilización griega. Por ejemplo, resolvían ecuaciones de segundo grado, calculaban el área de
ciertas figuras geométricas, como cuadrados, rectángulos y triángulos, y tenían una fórmula su­
ficientemente buena para calcular el área del círculo, que usaba 3,16 como valor de re. Sabían
también cómo calcular ciertos volúmenes como el del cubo, los de paralelepípedos, conos, cilin­
dros y (no es de sorprender) pirámides. Los antiguos conocían también el teorema de Pitágoras
(al menos empírican1ente).

xii
Cálculo vectorial
Los griegos, que se asentaron por todo el Mediterráneo, debieron de jugar un papel muy
importante como preservadores y divulgadores del conocimiento matemático de los egipcios y
los babilonios. Sin embargo los griegos se dieron cuenta de que tenían fórmulas distintas para
calcular las mismas áreas o volúmenes. Por ejemplo, los babilonios tenían una fórmula para
calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada y los egipcios otra (véase la
Figura 1).
L
>"t:.l'!l�'i"it�:B; Volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada:
V=�h(a2+ab+b2).
No es de sorprender que los egipcios (con experiencia en la construcción de pirámides) tu­
vieran la fórmula correcta. Ahora bien, dadas dos fórmulas estaba claro que solamente una de
ellas podía ser correcta. Pero, ¿cómo se podía decidir cuál era la correcta? No es ésta, cierta­
mente, una cuestión de debate, como lo sería la cuestión de la calidad de una obra de arte. Pro­
bablemente fue la necesidad de responder a estas preguntas la que llevó al desarrollo de la de­
mostración matemática y el método del razonamiento deductivo.
La persona a la que usualmente se atribuye la invención de la demostración matemática ri­
gurosa fue un comerciante llamado Tales de Mileto (624-548 a.C.). Se dice que fue Tales quien
creó la geometría griega, y que fue esta geometría (medida de la tierra) como teoría matemática
abstracta (no como una recolección de hechos empíricos) apoyada en demostraciones deducti­
vas rigurosas uno de los puntos de partida del pensamiento científico. Esto llevó a la creación
del primer modelo matemático para los fenómenos físicos.
Por ejemplo, una de las más bellas teorías geométricas desarrolladas en la antigüedad fue la
de las secciones cónicas (véase la Figura 2).
Las cónicas incluyen la línea recta, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. Se
atribuye su descubrimiento a Menecmo, miembro de la escuela del gran filósofo griego Platón.
Platón, discípulo de Sócrates, fundó su escuela, la Academia (véase la Figura 3), en un área
sagrada de Atenas dedicada al héroe Akademos. Todas las academias posteriores reciben su
nombre de esta institución, que existió sin interrupción durante 1.000 años hasta que el empera­
dor romano Justiniano la disolvió en 529 d.C.
Platón planteó a sus discípulos el problema siguiente:
Explicad el movimiento de los cuerpos celestes por medio de alguna teoría geométrica.
¿Por qué era ésta una cuestión de interés y confusión para los griegos? La observación de
estos movimientos desde la Tierra parece muy complicada. Los movimientos del Sol y de la
Luna se pueden describir aproximadamente como circulares con velocidad constante, pero las
desviaciones de una órbita circular eran problemáticas para los griegos y se sentían retados a
hallar una explicación a estas irregularidades. Las órbitas observadas de los planetas son incluso
más complicadas ya que en una misma revolución parecen cambiar de dirección varias veces.
Los griegos querían entender este movimiento aparentemente errático por medio de su geome­
tría. Eudoxo, Hiparco y más tarde Apolonio de Pérgamo (262-190 a.C.) sugirieron que las

Introducción histórica: Un breve relato
xiii
�{!��1]!�� Academia de Platón (mosaico
hallado en Pompeya, Villa de
T. Siminius Stephanus. 86 x 85 cm.
Nápoles. Museo Arqueológico).
Los siete personajes se han
identificado con certeza como
Platón (tercero por la izquierda) y
otros seis filósofos que discuten
sobre el universo. las esferas
celestes y las estrellas. El mosaico
muestra la Academia de Platón con
la ciudad de Atenas al fondo.
Es probablemente copia
(del primer siglo a.C .) de una
pintura helenística.
órbitas celestes se podlian explicar como combinaciones de movimientos circulares (es decir,
por la construcción de curvas, llamadas epiciclos, descritas por círculos que se mueven sobre
otros círculos). Esta idea llegaría a ser la teoría astronómica más importante de los dos mil años
siguientes. Esta teoría, que conocemos a través de los escritos del astrónomo griego Tolomeo de
Alejandlia, se llamó posteriormente «teolia tolemaica>>.

xiv
Cálculo vectorial
Grabado sobre madera del Theoreticae novae
planetarum de Georg von Peurbach. editado por
Oronce Fine como libro de texto de la Universidad
de París (1515}. Fue la descripción canónica del cielo
hasta el final del siglo xv1 e incluso tuvo una gran
influencia en Copérníco. Peurbach describía la
representación por esferas sólidas de los modelos
planetarios de Tolomeo. probablemente a través
del trabajo «Sobre la configuración del mundo» de
ibn al-Haytham (traducido al latín en el siglo xm).
La misma portada se usó en la edición
de Sacrobosco de los primeros cuatro libros de los
Elementos de Euclides (en extractos). que
aparecieron bajo el título Textus de Sphaera
en París (1521 ).
Euclides recopiló la mayor parte de la geometría griega en sus Elementos (de matemáticas).
En realidad, los Elementos están formados por trece libros en los que Euclides recopiló la
mayor parte de los conocimientos matemáticos de su época (c. 300 a.C.) transformándolos en
una obra lúcida y lógicamente desarrollada. Además de los Elementos han llegado hasta noso­
tros algunos otros de los escritos de Euclides que incluyen la Óptica y la Catóptrica (teoría de
los espejos).
El éxito de las matemáticas griegas tuvo una gran influencia en la concepción de la naturale­
za. Los platonistas, o seguidores de Platón, distinguían entre el mundo de las ideas y el mundo
de los objetos físicos. Platón fue el primero en proponer que la verdad o el conocimiento final
no podían obtenerse del mundo material, que está en constante can1bio, sino solamente de mo­
delos o construcciones matemáticas. Así, el conocimiento infalible sólo podría lograrse a través
de las matemáticas. Platón no solamente quería utilizar las matemáticas en el estudio de la natu­
raleza, sino que incluso llegó a tratar de sustituir la naturaleza por las matemáticas. Para Platón
la realidad vive únicamente en el mundo de las ideas, especialmente de las ideas matemáticas.
No todo el mundo antiguo coincidía en este punto. Aristóteles, un discípulo de Platón, criti­
có la reducción platónica de la ciencia al estudio de las matemáticas. Aristóteles pensaba que el
estudio del mundo material era una de las fuentes primarias de la realidad. A pesar de la crítica
de Aristóteles, la visión de que las leyes matemáticas gobernaban el universo se estableció con
firmeza en el pensamiento clásico. La búsqueda de las leyes matemáticas de la naturaleza
había comenzado.
Tras la muerte de Arquímedes, en 212 a.C., la civilización griega comenzó un periodo de
lenta decadencia. El golpe final lo recibió en 640 d.C. con la conquista de Egipto por los árabes.
Los libros griegos que aún permanecían de la gran biblioteca de Alejandría se quemaron. Los
sabios que sobrevivieron emigraron a Constantinopla (hoy parte de Turquía), la capital del Im­
perio Romano de Oriente. Fue en esta gran ciudad donde lo que sobrevivió de la civilización
griega se conservó para su redescubrimiento por la civilización europea alrededor de quinientos
años más tarde.

Las matemáticas indias y árabes
Introducción histórica: Un breve relato
XV
Sin embargo, la actividad matemática no cesó con la caída de la civilización griega. Mediado el
siglo VI en algún lugar del valle del Indo, en India, se desarrolló nuestro sistema de numeración
moderno. Los indios desarroUaron un sistema basado en el diez, con diez símbolos abstractos
del cero al nueve que se parece «ligeramente» a los de hoy. Desarrollaron las reglas de la suma,
la multiplicación y la división (como las de hoy), un sistema infinitamente superior al ábaco
romano, que se usó (por una clase especial de criados llamados aritméticos) en toda Europa
hasta el siglo xv.
Tras la caída de Egipto comenzó la civilización árabe, centrada en Bagdad. Se invitó a sa­
bios procedentes de Constantinopla y de India a compartir sus conocimientos. Los árabes, a tra­
vés de estos contactos, aprendieron el saber antiguo y el nuevo sistema de numeración descu­
bierto por los indios (véase la Figura 5).
11•
Detalle del Codex Lfjgifanus (976 A.D . . norte de España). la primera aparición conocida de los nueve
dígitos indoarábigos en la Europa occidental (biblioteca de El Escorial. Madrid).
Fueron los árabes quienes nos dejaron la palabra álgebra, que procede del libro del astróno­
mo Mohamed ibn Musa al-Khuwarizmi titulado Al-Jabr w'al muqabola, que significa «restau­
rar» o «equilibrar» (ecuaciones). Al-Khuwarizrni también es responsable de un segundo libro,
de gran influencia, titulado Kitab al jami' wa'l tafriq bí hisab al hind («Técnica india de la
suma y la resta»), que describía y aclaraba el sistema indio decimal de posición.
Al-Khuwarizmi nos dio también otro nombre a una rama fundamental de la ciencia, la pala­
bra algoritmo. Su nombre latinizado dio primeramente algorism, después algorismus y fi­
nalmente algoritmo. El término designaba inicialmente el sistema indio de numeración, pero
finalmente acabó usándose en su sentido computacional moderno.
La caída de la civilización árabe coincidió con el nacimiento de la civilización europea. La
edad moderna comenzó cuando Ricardo Corazón de León llegó a los muros de Jerusalén. Apro­
ximadamente, desde 1192 hasta alrededor de 1270 los caballeros cristianos trajeron a Europa los
conocimientos de los «infieles>> . Alrededor de 1200-1205, Leonardo de Pisa (conocido también
como Fíbonacci), que había viajado ampliamente por África y Asía Menor, escribió su ínter-.
pretación (en latín) de las matemáticas árabe y griega. Sus textos históricos trajeron el trabajo
de al-Khuwarizmi y Euclides a la atención de una gran audiencia en Europa.
Las matemáticas europeas
Alrededor de 1450, Johann Gutenberg inventó la imprenta de caracteres móviles. Combina­
da con la llegada del papel de lino y algodón descubierto por los chinos hizo crecer de forma

xvi
Cálculo vectorial
impresionante la divulgación del conocimiento. El acentuado desarrollo del comercio y las ma­
nufacturas favorecieron el crecimiento de la riqueza y un cambio muy importante en las so­
ciedades europeas desde el feudalismo hasta las ciudades estado. En Italia, la madre del Renaci­
miento, observamos la aparición de estados extraordinariamente ricos, como Venecia bajo los
Doges y Florencia bajo los Medici.
La demanda de la creciente clase de los mercaderes aceleró la adopción del sistema indio de
numeración. Las enseñanzas de la Iglesia Católica, que se apoyaban en la autoridad absoluta y
en el dogma, empezaron a cuestionarse por las ideas de Platón. Los sabios aprendieron de Pla­
tón que el mundo era racional y podía entenderse, y que el medio para entender la naturaleza
eran las matemáticas. Sin embargo, estas ideas contradecían las enseñanzas de la Iglesia, que
enseñaba que Dios había creado el universo. La única solución posible a esta contradicción apa­
rente era que «Dios ha creado el mundo matemáticamente» o que «Dios es un matemático».
Quizás sea sorprendente cuánto inspiró este punto de vista el trabajo de muchos matemáti­
cos y científicos entre los siglos XVI y XVIII ya que, si este era el caso, entendiendo las leyes
matemáticas del universo uno se acercaría a entender al mismísimo Creador. Créase o no, este
punto de vista ha sobrevivido hasta hoy. La siguiente es una cita de Paul Dirac, premio Nobel
de Física y creador de la moderna teoría de la mecánica cuántica.
Parece ser una de las propiedades principales de la naturaleza que las leyes fundamen­
tales de la física se describan en términos de una teoría matemática de gran poder y belleza
que requiere un alto conocimiento de las matemáticas para entenderla. Podríamos pregun­
tarnos: ¿por qué la naturaleza se ha construido de esta forma? Solamente podemos respon­
der que nuestros conocimientos presentes parecen mostrar que la naturaleza se ha construi­
do así. Simplemente tenemos que aceptarlo. Podríamos quizás describir la situación
diciendo que Dios es un matemático de un nivel muy alto y que ha usado matemáticas muy
avanzadas para construir el universo. Nuestros débiles intentos con las matemáticas nos
permiten entender un poco del universo, y según desarrollemos matemáticas más y más
avanzadas podemos esperar entenderlo mejor.
Las matemáticas comenzaron a vislumbrar nuevos descubrimientos y aplicaciones. En los
siglos XVI y XVII, el álgebra de al-Khuwarizmi fue amplian1ente superado por Cardano, Vieta, y
Descartes. Los babilonios ya habían resuelto la ecuación de segundo grado, pero ahora, dos mil
años después, del Ferro y Tartaglia resolvieron la de tercer grado, que condujo a su vez al des­
cubrimiento de los números imaginarios. Como veremos, estos números imaginarios jugarían
más adelante un papel fundamental en el desarrollo del cálculo vectorial. A principios del siglo
XVII Descartes, motivado quizás por la técnica de la cuadrícula utilizada por los pintores italia­
nos de frescos para localizar puntos sobre la pared o sobre el lienzo, creó en un momento de
gran inspiración matemática, la geometría de coordenadas (o analítica). Este nuevo modelo ma­
temático nos permite reducir la geometría de Euclides al álgebra y proporciona un método pre­
ciso y cuantitativo para describir las curvas y superficies del espacio, y realizar cálculos.
Anteriormente, el gran trabajo de Arquímedes sobre estática y equilibrio (centros de grave­
dad, el principio de la palanca --que estudiaremos en este libro) se había comprendido y mejo­
rado, y había llevado a logros de ingeniería impresionantes. En una caJ.Tera arquitectónica que
aún hoy resulta sorprendente, los avances en ingeniería propiciaron el levantamiento de un nú­
mero increíble de catedrales por toda Europa, que incluyen la catedral de Florencia, Notre
Dame de París y la gran catedral de Colonia, por mencionar algunas (véase la Figura 6).
Filippo Brunelleschi (1377-1446) estudió las obras de Euclides y de Hiparco, y fue el primer
artista que empleó las matemáticas sistemáticamente. Los principios matemáticos de la perspec­
tiva los completó posteriormente Piero della Francesca (1410-1492). Los príncipes en guerra

������� Catedral de Florencia.
Introducción histórica: Un breve relato
xvii
contrataban a matemáticos e ingenieros para activar la construcción de armas avanzadas y desa­
rrollar la ciencia balística. El más famoso de todos ellos no fue otro que Leonardo da Vinci, a
quien en los últimos años de su vida contrató el duque de Milán. Fue en estos últimos años­
cuando pintó la Mona Lisa que ahora se encuentra en el Louvre de París. Véase la Figura 7.
Fue, sin embargo, la astronomía, como en tiempo de los griegos, la que iba a dar a las mate­
máticas su mayor ímpetu. No es de sorprender que los astrónomos griegos situaran la Tierra y
no el Sol en el centro del universo, ya que día a día vemos al Sol salir y ponerse. Aun así, es
interesante preguntarse si los griegos, que fueron tan magníficos pensadores, al menos trataron
de estudiar la teoría heliocéntrica, que sitúa al Sol en el centro del universo. De hecho, en el
siglo III a.C., Aristarco de Samas enseñaba que la Tierra y otros planetas se movían en órbitas
circulares alrededor de un sol fijo. Sus hipótesis, por razones varias, fueron rechazadas. Prime­
ramente, los astrónomos contrarios a ellas razonaban que si la Tierra verdaderamente se movie-
Leonardo, autorretrato.
,,_,<,,,,,,,,,
,

xviii
Cálculo vectorial
Nicolás Copérnico (1473-1543).
ra tendríamos que notarlo; en segundo lugar, ¿cómo podrían permanecer en una Tierra móvil los
objetos que giran con nosotros?, finalmente, ¿por qué las nubes no se quedan atrás en una Tierra
en movimiento?
Estos mismos argumentos volverían a usarse en el siglo XVI contra el astrónomo polaco
Nicolás Copémico (véase la Figura 8), quien en 1543 introdujo la teoría heliocéntrica (los
planetas se mueven en órbitas alrededor del Sol). Su libro Revolutionibus Orbium Coelestium
(«Sobre la Revolución de las Órbitas Celestes») iniciaría la «revolución copemicana» de la
ciencia y daría al mundo una nueva palabra, revolucionario.
En 1619, el astrónomo alemán Johannes Kepler (véase la Figura 9), utilizando los cálculos
astronómicos del astrónomo danés Tycho Brahe, demostró que las órbitas de los planetas eran
��é�f��� Johannes Kepler (1571-1630).

4otrorlucción histórica: Un breve relato
xix
El movimiento de Marte. De la Astronomia
Nova de Kepler ( 1609).
en realidad elípticas, las mismas elipses que los griegos habían estudiado como formas abstrac­
tas alrededor de 2.000 años antes (véase la Figura 10).
Pero la ley de Kepler de las órbitas elípticas no era más que una de las tres leyes que gobier­
nan el movimiento de los planetas y que él descubrió. La segunda ley de Kepler establece que si
un planeta se mueve de un punto A a otro punto B en un tiempo dado T, y se mueve también de
A' a B' en el mismo tiempo, y si S es un foco de la órbita elíptica, entonces las secciones SAB y
SA'B' tienen áreas iguales (véase la Figura ll). La tercera ley de Kepler dice que el cuadrado
del tiempo T que un cuerpo planetario necesita para completar una órbita es proporcional a a3,
donde a es el eje mayor de la órbita elíptica. En forma de ecuación, T
2
= Ka3
, dondeKesuna
constante (obtendremos esta ley para órbitas circulares en el Capítulo 4).
A'
Segunda ley de Kepler.
A pesar de la profundidad de estas observaciones faltaba una explicación de la razón por la
cual estas leyes se verificaban. Sin embargo, a mediados del siglo XVII, se entendía con claridad
que un cambio en la velocidad requiere la acción de alguna fuerza, pero cómo estas fuerzas
podían influir en el movimiento no estaba nada claro. En 1674 Robert Hooke, intentando ex­
plicar las leyes de Kepler, supuso la existencia de una fuerza atractiva que el Sol debía ejercer
sobre los planetas, una fuerza que decrecía con la distancia planetaria. La teoría de Hooke, sin
embargo, era solamente cualitativa.
Newton
El punto importante que faltaba era una definición precisa tanto de velocidad como de aceleración,
asunto que se resolvió fmalmente con el invento del cálculo por Isaac Newton y por Gottfried Wil­
helm Leibniz (véase la Figura 12). Hooke nunca llegó a comprender las ideas profundas en que
se basaba el 'cálculo infmitesimal; sin embargo, durante el periodo 1679-1680 Hooke discutió
sus ideas con Newton, incluida la de que la fuerza que el Sol ejerce sobre los planetas era inver­
samente proporcional al cuadrado de la distancia.

XX
Cálculo vectorial
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Después de que Sir Christopher Wren, astrónomo aficionado, arquitecto de la ciudad de
Londres y de la magnífica catedral de St. Paul lanzara el reto público sobre la «determinación
teórica» de las órbitas de los planetas, Isaac Newton se interesó seriamente por el problema.
Quizás siguiendo algunos rumores, el gran astrónomo inglés Edmund Halley (1656-1743) visitó
a Newton en Cambridge, en agosto de 1684, y le preguntó directamente cuál debía ser la órbita
de un planeta sometido a una fuerza del inverso del cuadrado. Newton le respondió que debía
ser una elipse. Al preguntarle el sorprendido Halley cómo lo sabía, la conocida respuesta de
Newton fue «Porque lo he calculado>>. Halley finalmente presionó a Newton para que publicara
sus resultados en un libro y éstos aparecieron en 1686 en los ahora legendarios Principia de
Newton (véase la Figura 13).
Este libro, a menudo y con justicia citado como fundamento de la ciencia moderna, tuvo un
impacto inmediato sorprendente. Alexander Pope escribió:
La Naturaleza y sus leyes yacen ocultas en la noche,
Dios dijo: «Hágase Newton>> y se hizo la luz.
En la portada de este libro vemos a Newton sosteniendo un ejemplar abierto de sus Prin­
cipia.
Aunque Newton no utilizó el cálculo en los Principia, se han dado razonamientos convin­
centes de que Newton originalmente utilizó el cálculo para deducir las trayectorias de las ór­
bitas planetarias a partir de la ley del inverso del cuadrado1• Los Principia aportaban profunda
evidencia de que el universo, como los griegos primitivos habían comprendido, estaba de he­
cho diseñado matemáticamente. Por cierto, fue Newton quien primero conceptualizó la fuerza
como un vector, aunque no dio una definición formal de lo que era un vector. Una definición
formal tendría que esperar a William Rowan Hamilton siglo y medio tras los Principia. Fue
por este logro y por su creación del cálculo por lo que hemos elegido a Newton para nuestra
portada.
1 Estudiaremos el problema de las órbitas planetarias en la Sección 4.1 y con más detalle en el suplemento de
Internet.

PHILOSOPHIJE
NATURALIS
PRINCIPIA
MATHEMA TICA.
Autore 1 S. NE WTON, Trin. Col!. Catttab. Soc. Mathefeos
Profelfore Lucajiano, & Socieraris Regalis Sodali.
IMPRIMATUR·
S.pEPYS,Reg.Soc.PR.!ESES.
'Julii S· 1686.
LONDINI,
Jutfu S«ietatú Regi.: ac Typis ]ofephi Streater. :roftat apud
piures Bibhopolas. Anno MDCLXXX\ II.
Introducción histórica: Un breve relato
xxi
lfiiL�ii� Frontispicio de la impresión con
dos líneas de los Principia. que
lleva la impresión «Prostat apud
piures Bibliopolas», que se llama
a veces «la primera entrega» de la
primera edición. La «versión para
la exportación» (con las tres líneas
«Prostant Venales apud
Sam Smith... aliosq; nonnulos
Bibliopolas») se llama la segunda
entrega de la primera edición. Esta
distinción entre !a primera y la
segunda entrega parece ser
infundada. Se ha sugerido que
Halley hizo un acuerdo con Smith
respecto a las ventas en el
extranjero; de hecho, la mayor
parte de las cincuenta copias
de Smith parece ser que se
vendieron en el continente.
La invención del cálculo y el desarrollo subsiguiente del cálculo vectorialfue el verdadero
principio de la ciencia y tecnología modernas que han transformado nuestro mundo de forma
tan sorprendente. De las matemáticas de la mecánica de Newton a las profundas construcciones
intelectuales de la electrodinámica de Maxwell, de la relatividad de Einstein y de la mecánica
cuántica de Heisenberg y de Schri:idinger hemos visto los descubrimientos de la radio, la televi­
sión, las comunicaciones sin hilos, el vuelo, los computadores, los viajes espaciales y las incon­
tables maravillas de la ingeniería.
Como trasfondo de estos avances están las matemáticas, una emocionante aventura de la
mente y una manifestación sobresaliente del espíritu humano. En este contexto comenzamos
nuestro relato del cálculo vectorial.

Requisitos y notación
D amos por sabido el cálculo de funciones de una variable real, incluida la geometría analíti­
ca del plano. Algunos estudiantes también pueden haber tenido alguna experiencia con las
matrices, aunque lo que necesitaremos de ellas se dará en las Secciones 1.3 y 1.5.
También damos por sabidas las funciones habituales del cálculo elemental: senx, cosx, ex y
logx (escribimos logx o lnx para el logaritmo natural, a veces denotado 1ogex). El estudiante
debe conocer, o repasar según transcurre el curso, las reglas básicas de derivación e integración
de funciones de una variable, como la regla de la cadena, la regla del cociente, la integración
por partes, etc.
Resumimos a continuación las notaciones que utilizaremos más adelante. El estudiante pue­
de revisarlas ahora de forma rápida y volver a ellas más adelante si lo necesitare.
El conjunto de los números reales se denotará por IR. Por tanto IR incluye los enteros, . ..,
-3, -2, - 1, O, 1, 2, 3, ... ; los números racionales, pjq, donde p y q son enteros (q o/= O); y los
números irracionales, como J2, n y e. Los elementos de IR se pueden visualizar como puntos
de la recta real numérica, como se muestra en la Figura P.1.
-3
-2
-1
o
J
2
2
3Jt
Representación geométrica de puntos en la recta real numérica.
Al escribir a E IR queremos decir que a es un elemento del conjunto R, en otras palabras,
que a es un número real. Dados dos números reales a y b con a < b (es decir, a menor que b)
construimos el intervalo cerrado [a, b], que consiste de todos los x tales que a ::( x ::( b, y el
intervalo abierto (a, b), que consiste de todos los x tales que a < x < b. De igual manera pode­
mos construir los intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) (Figura P.2).
a
b
e
d
e
f
Cerrado
Abierto
Semi abierto
iit�'�i{! Representación geométrica de los intervalos [a. b], (c. d) y [e, f).

xxiv
Cálculo vectorial
El valor absoluto de un número aEIR se escribe lal y se define como
lal={
a
-a
si a�O
sia<O.
Por ejemplo, 131=3, ¡- 31=3, 101=O y 1-61=6. La desigualdad la+bl�lal+lbl se vetifi­
casiempre.Ladistanciadeaabesigualala-bl.Portantoladistanciade6a10es4yde
-6a3es9.
Si escribimos A e IR queremos decir que A es un subconjunto de IR. Por ejemplo, A podría
ser el conjunto de los enteros {. .. ,
-3, - 2,-1,O, 1,2,3, . ..}. Otro ejemplo de un subconjunto
de IR es el conjunto Q de los números racionales. En general, dadas dos colecciones de objetos
(es decir, conjuntos) A y B, A e B quiere decir que A es un subconjunto de B; es decir, cada
elemento de A es también un elemento de B.
El símbolo AuB representa la unión de A y B, la colección cuyos elementos son miembros
deAodeB(odeambos).Portanto
{.. .,
- 3, -2,-1,0}u{-1,0,1,2,...}={ ... ,
-3, -2,-1,0,1,2, ... }.
De forma análoga, A n Bes la intersección de A y B; es decir, el conjunto que consiste en aque­
llos elementos de A y B que están en A y en B. Por tanto, la intersección de los dos conjuntos
anteriores es {- 1, O}.
Escribiremos A\B para el conjunto de elementos de A que no están en B. Por tanto,
{... ,
- 3, -2,-1,0}\{-1,0,1,2, . .. }={ . .. ,
-3, -2}.
También podemos definir conjuntos como sigue:
{aEIRla es un entero}={ ...,
-3, -2, -1,O, 1,2, ...}
{aEIRla es un entero par}={ .. . ,-2,O, 2,4, ...}
{xEIRia�x�b}=[a,b].
Una función .f: A--+ Bes una regla que asigna a cada aEA un número específico .f(a) de B.
Llamamos a A el dominio de f y a B el espacio de llegada de f El conjunto {f(x) 1 xEA} que
consiste de todos los valores de .f(x) se llama rango de .f; se denota por .f(A). El rango es un
subconjunto del espacio de llegada B. Puede ser todo B, en cuyo caso se dice que f es una
función sobre B. El hecho de que f envíe a a .f(a) se denota por a--+ .f(a). Por ejemplo, la fun­
ción .f(x)=x3j(l- x) que asigna el número x3/(l- x) a cada x =11 en IR puede definirse tam­
bién por medio de la regla x --+x3/(1 - x). Las funciones también se denominan aplicaciones o
transformaciones. La notación f: A e IR--+ IR significa que A es un subconjunto de IR y que f
asigna un valor f(x) en IR a cada xEA. La gráfica de f es el conjunto de puntos del plano de la
forma (x,
.
f(x)) (véase la Figura P.3).
n
La notación L a¡ significa a1 + · · · +an,donde al> ... ,an son números dados. La suma de
i=l
los primeros n enteros es:
'\'1.__n(n+l)
1+2+···+n=¿
2
i=l

y
A= dominio
Gráfica def
(x,f(x)) )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
Req uisitos y notación
XXV
Gráfica de una función que tiene por
dominio el intervalo semiabierto A.
La derivada de una función f(x) se denota por f'(x) o
y la integral definida se escribe
df
dx'
f f(x)dx.
Si escribimos y = f(x), la derivada también se denota por
dy
dx
Se supone que el lector está familiarizado con la regla de la cadena, la integración por partes
y otros resultados básicos del cálculo de funciones de una variable. En particular, debe saber
derivar e integrar la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas. Unas tablas con­
cisas de derivadas e integrales, adecuadas a los requisitos del texto, se encuentran en las con­
traportadas del libro.
Las siguientes notaciones se usarán de forma equivalente: ex = exp x, ln x = log x y
sen-1x=arcsenx.

1.1.
La geometría
del espacio euclídeo
Los cuatemiones vienen de Hamilton [...}y han sido una verdadera
maldición para quienes, de un modo u otro, han tenido alguna rela­
ción con ellos. El vector es un superviviente inútil [...]y jamás ha sido
de la más mínima utilidad para criatura alguna.
E n este capítulo se consideran las operaciones básicas con vectores en los espacios de dos
y tres dimensiones: suma de vectores, multiplicación por un escalar, y los productos esca­
lar y vectorial. En la Sección 1.5 se generaliza alguna de estas nociones al espacio de n
dimensiones y se repasan las propiedades de las matrices que se necesitarán en los Capítu­
los2y3.
Vectores en los espacios de dos
y de tres dimensiones
Los puntos P del plano se representan mediante pares ordenados de números reales (a1, a2); los
números a1 y a2 se llaman coordenadas cartesianas de P. Dibujemos dos rectas perpendicula­
res, que llamaremos ejes x e y, y tracemos ahora perpendiculares desde P a estos ejes, como en
la Figura l. l. l. Después de designar a la intersección de los ejes x e y como origen y de escoger

2 Cálculo vectorial
y
X
Coordenadas cartesianas en el plano.
unidades en estos ejes, definimos dos distancias con signo a1 y a2 como se muestra en la figura;
a1 es la coordenada x de P, y a2 es la coordenada y.
Los puntos del espacio se pueden representar de forma similar como temas ordenadas de
números reales. Para ello, elegimos tres rectas perpendiculares entre sí que se corten en un pun­
to del espacio. Estas rectas se llaman eje x, eje y, y eje z, y el punto en el que se cortan es el
origen (éste es nuestro punto de referencia). Escogemos una escala en estos ejes, como se mues­
tra en la Figura 1.1.2.
z
3
X
La terna (0, O, O) corresponde al origen del sistema de coordenadas, y las Hechas en
los ejes indican las direcciones positivas. Por ejemplo, la tema (2, 4, 4) representa un punto
que se encuentra a 2 unidades del origen según la dirección positiva del eje x, 4 unida­
des según la dirección positiva del eje y, y 4 unidades según la dirección positiva del eje z
(Figura 1.1.3).
Puesto que de esta manera podemos asociar puntos del espacio con ternas ordenadas, se
utiliza con frecuencia la expresión «el punto (a1, a2, a3)» en lugar de esta otra más larga «el
punto P que corresponde a la tema (a1, a2, a3) ». Decimos que a1 es la coordenada x (o primera
coordenada), a2 es la coordenada y (o segunda coordenada), y a3 es la coordenada z (o ter­
cera coordenada) de P. También es frecuente denotar los puntos del espacio con las letras x, y, z
en lugar de a1, a2, a3. Así, la tema (x, y, z) representa el punto cuya primera coordenada es x, su
segunda coordenada es y, y su tercera coordenada es z.

4
X
6
y
Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
3
Representación geométrica del punto (2. 4. 4)
en coordenadas cartesianas.
Se empleará la siguiente notación para la recta, el plano y el espacio tridimensional:
i) La recta de los números reales se denota por IR1 o simplemente IR.
ii) El conjunto de los pares ordenados (x, y) de números reales se denota IR
2
.
iii) El conjunto de las temas ordenadas (x, y, z) de números reales se denota IR3.
Cuando se habla de IR
1
,IR
2
yIR3almismotiempo,seescribeIRn, donde11=1,2o3;oIRm,
donde m= l, 2, 3. A partir de la Sección 1.5 también se estudiará IRn para 11 = 4, 5, 6, ..., pero
los casos n = l, 2, 3 son los más cercanos a nuestra intuición geométrica y se pondrá mayor
énfasis en ellos a lo largo del libro.
Suma de vectores y multiplicación por un escalar
La operación de suma se puede extender de IR a IR
2
y a IR3. Para IR3 se hace como sigue. Dadas
dos temas (a1, a2, a3) y (b1, b2, b3), se define su suma como
(1, l,l)+(2, -3,4)=(3, -2,5),
(x,y,z)+(0,O,O)=(x,y,z),
(l,7,3)+(a,b,e)=(l+a,7+b,3+e).
El elemento (0, O, O) se llama elemento cero (o simplemente cero) de IR3• El elemento
(-a1, a2, - a3) es el opuesto de (a1, a2, a3), y se escribirá (a1, al> a3)- (b1, b2, b3) en lugar
de (a1, a2o a3) +(-b1, - b2, - b3).
Cuando se suma un vector con su opuesto, el resultado es cero:
Existen varias e importantes operaciones de multiplicación que se definirán en IR3. Una de
éstas, llamada producto escalar, asigna un número real a cada par de elementos de IR3. Será
estudiado con detalle en la Sección 1.2. Otra operación de multiplicación en IR:3 es la llamada

4 Cálculo vectorial
multiplicación por escala res (la palabra <<escalar» es aquí un sinónimo de «número real>> ). Este
producto combina escalares (números reales) y elementos de IR
3
(temas ordenadas) para produ­
cir elementos de IR
3
: dado un escalar r:x y una tema (a1, ab a3), definimos la multiplicación por
un escalar como
2(4,e, 1)=(2·4,2 ·e,2·1)=(8,2e, 2),
6(1,1,1)=(6,6,6),
l(u, v, w) =(u, v, w),
O(p,q,r)=(0,O,0).
La suma de ternas y la multiplicación por un escalar satisfacen las siguientes propiedades:
i) (rxfJ)(a1, az, a3) = r:x[fJ(a1, a1, a3)]
(asociativa)
ii) (IX+ jJ)(a¡, a2, a3) = IX(a¡, a2, a3)+ fJ(a1, a1, a3)
(distributiva)
iii) 1X[(a¡, a2, a3)+ (b1, b2, b3)] = r:x(a1, az, a3)+ 1X(b1, b2, b3) (distributiva)
iv) 1X(O,O,0)=(0,O,O)
(propiedad del cero)
v) O(a1, az, a3)=(0,O,O)
(propiedad del cero)
vi) l(a1, a2, a3) = (a1, a2, a3)
(propiedad del elemento
unidad)
Estas identidades se demuestran directamente a partir de la definición de suma y multiplica­
ción por un escalar. Por ejemplo,
(IX+ fJ)(a1, a2, a3) = ((IX+ fJ)a1, (IX+ {:3)a2, (IX+ fJ)a3)
= (1Xa1 + f3a1, 1Xa2+ {:3a2, 1xa3+ {:3a3)
= 1X( a1, a2, a3) + {:3(a1, a2, a3).
Para IR
2
, la suma y la multiplicación por un escalar se defmen como en IR
3
, suprimiendo la
tercera componente de cada vector. Todas las propiedades i) a vi) también son válidas.
Interpretar la ecuación química 2NH2+ H2 = 2NH3 como una ecuación alge­
braica de pares ordenados.
Solución Se puede pensar en la molécula NxHy (x átomos de nitrógeno, y átomos de hi­
drógeno) como el par ordenado (x, y). Entonces, la ecuación química dada es equivalente a
2(1, 2)+ (0, 2) = 2(1, 3). Claramente, ambos lados de la igualdad son iguales a (2, 6).

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
S
La geometña de las operaciones vectoriales
Volvamos a la geometría de estas operaciones en IR
2
yIR
3
.
Por el momento, definiremos un
vector como un segmento recto con punto inicial en el origen, y con dirección y tamaño especi­
ficados. La Figura 1.1.4 muestra diferentes vectores, dibujados con flechas que empiezan en el
origen. En los textos, los vectores se suelen denotar usualmente con letras en negrita, como a.
Cuando se escribe a mano, se suelen denotar como a o simplemente como a, a veces con una
línea recta u ondulada debajo.
X
Geométricamente. los vectores se identifican
con flechas que parten del origen.
Usando esta definición de vector, podemos asociar a cada vector a el punto (a¡, a2, a3) don­
de termina a y, recíprocamente, cada punto (a1, a2, a3) del espacio se puede asociar con un vec­
tor a. De este modo, identificaremos a con (a1, a2, a3) y escribiremos a = (a1, a2, a3). Por esta
razón, los elementos de IR
3
no son sólo ternas ordenadas de números reales sino también vecto­
res. La terna (0, O, O) se denota O. Llamamos a a1 , a2 y a3 las componentes de a y, cuando lo
pensamos como un punto, sus coordenadas.
Dosvectoresa=(a1,a2,a3)yb=(b¡,b2,b3)sonigualessiysólosia1=b1,a2=b2y
a3 = b3. Geométricamente esto significa que a y b tienen el mismo sentido y la misma longitud
(o «tamaño>>).
La suma de vectores se define geométricamente como sigue. En el plano que contiene a los
vectores a= (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) (véase la Figura 1.1.5), se forma el paralelogramo
cuyos lados adyacentes son a y b. La suma a + b es el segmento que parte del origen y recorre
la diagonal del paralelogramo.
X

6 Cálculo vectorial
Esta interpretación geométrica de la suma de vectores es útil en muchas situaciones físicas,
como· se verá en la sección siguiente. Para tener un ejemplo fácil de visualizar, considérese un
pájaro o un avión volando con velocidad v1 a favor del viento, que tiene velocidad v2. La velo-_
cidad resultante, v1 + v2, es la que uno ve; véase la Figura 1.1.6 .
X
Para demostrar que nuestra definición geométrica de suma es consistente con la definición
algebraica, probaremos que a + b = (a1 + b¡, a2 + b2o a3 + b3). Demostraremos este resultado
en el plano y dejaremos al lector la demostración en el caso del espacio tridimensional. De modo
que vamos a demostrar que si a= (a1, a2)yb= (b1, b2), entonces a+b= (a1 + b1, a2 + b2).
En la Figura 1.1.7 sea a= (a1, a2) el vector que termina en el punto A y sea b = (b1, b2) el
vector que termina en el punto B. De acuerdo con la definición, el vector a + b termina en el
vértice e del paralelogramo OBeA. Para comprobar que a + b = (a1 + b¡, a2 + b2), basta pro­
bar que las coordenadas de e son (a1 + b1, a2 + b2). Los lados de los triángulos OAD y BCG
son paralelos, y los lados OA y Be tienen igual longitud, lo que escribimos OA = BC. Estos
triángulos son semejantes, luego BG = OD; como BGFE es un rectángulo, EF = BG. Además,
OD=a1 yOE=b1• Deaquíque EF=BG=OD=a1. ComoOF=EF+OE, setieneque
OF= a1 + b1. Esto demuestra que la coordenada x de a+ b es a1 + b1. La prueba de que la
coordenada y es a2 + b2 es análoga. En este razonamiento se ha supuesto que A y B están en el
primer cuadrante; en los demás casos se pueden utilizar argumentos similares.
D
E
F
�����![�j� Construcción usada para probar que
(a¡,a2)+(b1,b2)=(a1+b¡,a2+b2).
La Figura l. L8(a) ilustra otra manera de ver la suma de vectores, con triángulos en lugar de
paralelogramos: se traslada, sin girarlo, el segmento que representa el vector b para que empiece

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
7
donde termina el vector a. El punto donde termina este segmento trasladado es el punto donde
termina el vector a + b. Obsérvese que cuando a y b son colineales, el triángulo se reduce a un
segmento, como se ilustra en la Figura 1.1.8(b).
y
t
r7
1/�/""
--��
�=-----------------------�> X
(a)
y
a+L///
/b trasladado
�
--
-'f"'-----------------+
X
(b)
�!!��!����: (a) La suma de vectores se puede visualizar usando triángulos. así como con paralelogramos.
(b) El triángulo se reduce a un segmento cuando a y b son colineales.
En la Figura 1.1.8 hemos colocado a y b final con inicio. Esto es, el imcio de b está situado
enelfinaldea,yelvectora+bvadeliniciodeaalfinaldeb.Sihacemosestoenorden
inverso, b + a, obtenemos el mismo vector recorriendo el paralelogramo por el otro camino. De
acuerdo con esta figura, es útil dejar que los vectores «resbalen» o «se deslicen» manteniendo
su tamaño y sentido. De hecho, vamos a considerar que dos vectores son iguales si tienen el
mismo tamaño y sentido. Cuando se insista acerca de vectores que tienen su inicio en el origen,
diremos que tenemos vectores fijos. Si admitimos que los vectores empiecen en otros puntos,
hablaremos de vectores libres o simplemente vectores.
La multiplicación de vectores por un escalar tiene también una interpretación geométrica. Si
rx es un escalar y a un vector, se define rxa como el vector cuya longitud es lrxl veces la longitud
deaycuyosentidoeselmismodeasirx>Oyopuestosirx<O.LaFigura1.1.9loilustracon
varios ejemplos.
Usando argumentos basados en triángulos semejantes encontramos que si a = (a1, a2, a3), y
rx es un escalar, entonces
Esto es, la definición geométrica coincide con la algebraica.

8 Cálculo vectorial
y
y
-f-------.. X
_la
4
y
y
iJ¡�(ill Algunos múltiplos escalares del vector a.
Dados dos vectores a y b, ¿cómo representamos el vector b - a geométricamente?, es decir,
¿cuáleslageometríadelarestadevectores?Comoa+(b-a)=b,vemosqueb-aesel
vector que hay que sumar a a para obtener b. En vista de esto, podemos concluir que b - a es
paralelo y tiene la misma longitud que el segmento que empieza en el final de a y termina en el
final de b cuando a y b empiezan en el mismo punto (véase la Figura 1.1.10).
La geometría de la resta de vectores.
Sean u y v los vectores que aparecen en la Figura 1 .1.11. Trácense los dos vecto­
res u+ v y - 2u. ¿Cuáles son sus componentes?
y
2
3
Hallar u+ v y -Zu.

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
9
Solución Basta colocar el inicio de v en el final de u para obtener el vector que se muestra en
la Figura 1.1.12.
y
-6
-1
-2u
-
2
t-3
-4
V
X
li�tÍ��llfiiJIJ Cálculo de u + v y 2u.
El vector - 2u, que también aparece dibujado, tiene dos veces la longitud de u y apunta en el
sentido opuesto. De acuerdo con la figura, vemos que el vector u + v tiene componentes
(5, 2) y -2u tiene componentes ( -6, -4).
a) Dibujar -2v, donde v tiene como componentes (-1, 1, 2).
b) Si v y w son dos vectores cualesquiera, probar que v - �w y 3v - w son paralelos.
Solución
a) El vector -2v tiene dos veces la longitud de v pero apunta en el sentido opuesto (véase la
Figura 1.1.13).
b) v - �w = �(3v - w); los vectores que son múltiplos uno del otro son paralelos.
z
X
• (2,-2,-4)
(-1, ], 2)
y
Multiplicación de
(-1. 1.2)por -2.

1 O Cálculo vectorial
Los vectores de la base canónica
Para representar vectores en el espacio es conveniente introducir tres vectores especiales sobre
los ejes x, y, z:
i: el vector de componentes (1, O, 0),
j: el vector de componentes (0, 1, 0),
k: el vector de componentes (0, O, 1).
Estos vectores de la base canónica están dibujados en la Figura 1.1.14. En el plano se tiene la
base canónica i y j de componentes (1, O) y (0, 1).
Sea a cualquier vector y sean (a1, a2, a3) sus componentes. Entonces
a=a1i + a2j + a3k,
ya que el lado derecho, en componentes, está dado por
a1(1,O,O)+a2(0,l,O)+aiO,O,1)=(a¡,O,O)+(0,a2,O)+(0,O,a3)
= (a¡, a2, a3).
Por tanto, cada vector se puede expresar como suma de múltiplos escalares de i, j y k.
¡-
Escribir el vector cuyas componentes son (e, n, - .J3) en función de la base
canónica.
Solución
Sustituyendoa1=e,a2=n,ya3= -,_/3ena=a1i+aJ+a3ksetiene
v=ei+nj-}3k

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
11
•
1
Elvector(2,3,2)esiguala2i+3j+2kyelvector(0, -1,4)es -j+4k.La
Figura 1.1.1S muestra el vector 2i + 3j + 2k; el estudiante debe trazar el vector - j + 4k.
,.y
X
La suma de vectores y la multiplicación por escalares pueden escribirse usando los vectores
de la base canónica del siguiente modo:
y,
El vector que une dos puntos
Para emplear vectores en problemas geométricos es útil asignar a cada vector un par de puntos
del plano o del espacio, del siguiente modo. Dados dos puntos P y P', podemos trazar el vector
v con inicio en P y final en P', como se muestra en la Figura 1.1.16, donde escribimos PP' en
lugar de v.
�·
p
SiP=(x,y,z)yP'=(x', y
'
, z'), entonces los vectores que van del origen a P y P' son
a=xi+yj+zkya
'
= x'i + y'j + z'k, respectivamente, de modo que el vector PP' es la dife­
rencia a
'
-
a= (x'- x)i +(y' y)j + (z'- z)k. (Véase la Figura 1.1.17.)
y

12 Cálculo vectorial
a) Hallar las componentes del vector que va de (3, 5) a (4, 7).
b) Sumarelvectorvquevade(-1,O)a(2,3)conelvectorwquevade(2,O)a(1,1).
e) Multiplicar el vector v de (b) por 8. Si el vector resultante se representa como el vector que
une (5, 6) con Q, ¿quién es Q?
Solución
a) Como en el recuadro anterior, restamos los pares ordenados: (4, 7) - (3, 5) = (1, 2). Así,
las coordenadas buscadas son (1, 2).
b) El vector v tiene componentes (2, - 3) - ( -1, O) = (3, - 3), y w tiene componentes
(1, 1)-(2, O)= (-1, 1). Por tanto, el vector v + w tiene componentes (3, - 3) + (-1, 1) =
(2, - 2).
e) El vector 8v tiene componentes 8(3, - 3) = (24, -24). Si este vector se representa mediante
el vector que une (5, 6) con Q, y Q tiene coordenadas (x, y), entonces (x, y) - (5, 6) =
(24, -24),demodoque(x,y)=(5,6)+(24, -24)=(29, - 18).
SeanP=(-2, -1),Q
=
(-3, -3) y R = (-l, -4) puntos en el plano xy.
a) Trazarlosvectores:vqueunePyQ;wqueuneQconR;uqueuneRconP.
b) ¿Cuáles son las coordenadas de v, w, y u?
e) ¿Cuáleselvectorv+w+u?
Solución
a) Véase la Figura 1.1.18.
y
�ii��(l!ii El vector v que une P con Q: w que une Q con R
yuqueuneRconP.

C:q¡:¿ít¡;¡
j
o i . La geometría del espacio euclídeo
13
E1JTHE RIOS - REP. ARGENTINA
b) Comov=PQ,w=QRyu=RP,setiene
V=(-3
,
-3)-( -2, 1)= (-1
,
-2),
w=(-1
,
-4)-(-3, -3)= (2
,
-1)
,
u= -( -1,-4)+(-2
,
1)=(-1,3).
e) v + w+ u=(-1,-2)+ (2,-1) + (-1, 3)=(0, 0).
Teoremas de geometría con métodos vectoriales
Muchos de los teoremas de la geometría plana se pueden demostrar usando vectores. Éste es un
ejemplo.
Utilizar vectores para probar que cada diagonal de un paralelogramo corta a la
otra en su punto medio.
Solución
Sea OPQR el paralelogramo con dos lados adyacentes representados por los vectores a= OP y
b = OQ. Sea M el punto medio de la diagonal OR y N el punto medio de la otra diagonal, PQ.
(Véase la Figura 1.1.19.)
p
R
o
Q
R
Q
Hay que probar que los puntos
medios M y N coinciden.
Obsérvese que OR = OP + OQ = a+ b por la regla del paralelogramo de la suma de vec­
tores, de modo que OM = �OR = &Ca+ b). Por otro lado,
PQ=OQ-OP=b -a,
luego
y, por tanto,
ON=OP + PN= a+�(b-a)=�(a+b).
Puesto que OM y ON son vectores iguales, los puntos M y N coinciden, de manera que las
diagonales se cortan en sus puntos medios.
Ecuaciones de rectas
Los planos y las rectas son objetos geométricos que se pueden representar mediante ecuaciones.
Se postergará a la Sección 1.3el estudio de las ecuaciones que representan planos. Sin embargo,
usando la interpretación geométrica de la suma de vectores y la multiplicación por escalares, se

14
Cálculo vectorial
estudiará ahora la ecuación de una recta l que pasa por el extremo del vector a y tiene la direc­
ción del vector v (véase la Figura 1.1.20).
Conforme t recorre el conjunto de los números reales los puntos de la forma tv son todos los
múltiplos del vector v y, por tanto, recorren todos los puntos de la recta que pasa por el origen
y tiene la dirección de v. Como cada punto de la recta l es el final de la diagonal de un paralelo­
gramo con lados a y rv para algún valor real de t, se comprueba que todos los puntos de l son de
la forma a + rv. Por tanto, la recta l se puede expresar mediante la ecuación l(t)= a + tv. Se
dirá, en este caso, que l está expresada paramétricamente, con parámetro t. En t= O, l(t)= a.
Según t va creciendo, el punto l(t) se mueve alejándose de a en el sentido que marca v.
���¡��1��!��� La recta l. dada en forma
paramétrica por l(t) =a + tv.
tiene la dirección de v y pasa
por el extremo de a.
Conforme t decrece desde t= O tomando valores negativos, l(t) se mueve alejándose de a en el
sentido de - v.
Determinar la ecuación de la recta l que pasa por el punto (l, O, O) y tiene la
dirección de j (véase la Figura 1.1.21).
Solución
La recta deseada se puede expresar pararnétricamente como l(t)= i + tj. Usando coordenadas,
l(t)= (1, O, O)+ t(O, 1, O)= (1, t, 0).

7(1,0,0)
l(t)
X
Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
15
lij�i;l[i!!l La recta 1 pasa por el
extremo de i en la
dirección de j.
a) Encontrar las ecuaciones de la recta en el espacio que pasa por el punto (3, -1, 2) y tiene
dirección 2i 3j + 4k.
b) Encontrar la ecuación de la recta en el plano que pasa por el punto (1, -6) y tiene direc­
ción 5i - nj.
e) ¿Qué dirección tiene la recta x= -3t + 2, y= -2(t-1), z= 8t + 2?
Solución
a) Aquía=(3, -1,2)=(x1,y1,z1)yv=2i-3j+4k,demodoquea=2,b= -3y
e= 4. Entonces, las ecuaciones son
X=3+2t,
y= -1 -3t,
z=2+4t.
b) Ahora a= (1, -6) y v= Si nj, de modo que la recta buscada es
l(r)=(1, -6)+(St, -nt)=(1+St, -6
-
nt);
o también
X=1+St,
y= -6 -nt.
e) Fijándonos en el recuadro anterior, construimos el vector v= ai + bj + ck usando los coefi­
cientes det: a= -3, b= -2, e= 8. Por tanto, la dirección de la recta es v= -3i-2j + 8k.
¿Se intersecan las rectas (x, y, z)= (t, -6t + 1, 2t- 8) y (x, y, z)= (3t + 1, 2t, O)?
Solución
Si las rectas se intersecan, debe haber dos números t1 y t2 tales que los puntos correspondientes
sean iguales:
(t¡, -6t¡ +1,2t¡-8)=(3t2+1,2t2, 0);

16
Cálculo vectorial
es decir, deben satisfacer estas tres ecuaciones:
f¡ =3t2+ 1,
-6t¡ + 1 =2t2,
2t1-8=O.
De la tercera ecuación, t1 =4. La primera ecuación se convierte entonces en 4 =3t2 + 1 y, así,
t2 = l. Hemos de comprobar si estos valores satisfacen la segunda ecuación:
Como t1 =4 y t2 = 1, entonces
?
-24+1=2,
que es falso, de modo que las rectas no se intersecan.
Nótese que puede haber muchas ecuaciones para una misma recta. Algunas se pueden obte­
ner eligiendo, en lugar de a, otro punto diferente de la recta y escribiendo la ecuación paramé­
trica de la recta que pasa por este nuevo punto y tiene la dirección v. Por ejemplo, el extremo de
a+ v está en la recta l(t) = a+ tv y, por tanto, l1(t) =(a+ v) + tv representa la misma recta.
También se pueden obtener nuevas ecuaciones observando que si ex "# O, el vector rxv tiene el
mismo (u opuesto) sentido que v. Así, 12(t) = a+ tcxv es otra ecuación de la recta l(t) =a+ tv.
Por ejemplo, las ecuaciones l(t) =(1, O, O)+ (t, t, O) y l1(s) =(0, -1, O)+ (s, s, O) repre­
sentan la misma recta ya que ambas tienen la misma dirección i+ j y ambas pasan por el punto
(1,O,O);Ipasapor(1,O,O)ent=Oyl1pasapor(1,O,O)ens=l.
Por tanto, la ecuación de una recta no está determinada de forma única, a pesar de lo cual es
costumbre utilizar el térm ino «la» ecuación. Teniendo esto en cuenta, deduzcamos. la ecuación
de una recta que pasa por los extremos de dos vectores a y b. Como el vector b - a es paralelo
al vector que une el extremo de a con el de b, calculamos la ecuación paramétrica de la recta
que pasa por a y tiene dirección b - a (Figura 1.1.22). Así,
l(t) = a+ t(b- a);
o, también,
l(t) =(1 - t)a+ tb.
La recta f. dada en forma paramétrica
por l(t)=a+ t(b- a)= (1 t)a + tb.
pasa por Jos extremos de a y b.
Conforme t crece de O a 1, t(b - a) empieza como el vector cero y crece en longitud (mante­
niendo la dirección deb-a) hasta que en t = l es el vector b - a. Así, para l(t) =a+ t(b- a),

Capitulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
17
según t crece de O a 1, el vector l(t) se mueve desde el extremo de a al extremo deb a lo largo
del segmento que une ambos puntos.
Si P= (x1, y1, z1) es el extremo de a y Q = (x2, Yz, z2) es el extremo deb, entonces
v = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 z1)k, de modo que las ecuaciones de la recta son
X=X¡ +(x2-X¡)t,
y=)'¡ +(y2-)'¡)t,
Z=Z1+(z2-Z¡)t.
Eliminando t, estas ecuaciones se pueden escribir como
x-
= )'-)'¡
=
Z- Z¡
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (2, 1, -3) y (6, -1, - 5).
Solución
Haciendo uso del recuadro anterior, elegimos (x1, y1, z1) = (2, 1, - 3) y (x2, Yz, z2) = (6, - 1, - 5),
de manera que las ecuaciones son
X=2+(6-2)t=2+4t,
y=1+(-1
- 1)t=1 -2t,
z= -3+(-5
- (-3))t= -3
-
2t.
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( -1, 1, O) y (0, O, 1) (véase la
Figura 1.1.23).
Solución
Si representamos los puntos dados como a = - i + j yb = k, tenemos
I(t)=(1-t)(-i+j)+tk= - (1-t)i+(1-t)j+tk.

18 Cálculo vectorial
X
La ecuación de esta recta se puede escribir por tanto como
l(t)=(t-l)i+(1-t)j+tk,
o, equivalentemente, si l(t)=.xi + yj + zk,
X=t- 1,
y=1- t,
z=t.
La descripción de un segmento de recta requiere que el conjunto de valores que toma t esté
restringido, como en el siguiente ejemplo.
Encontrar la ecuación del segmento que une (1, 1, 1) con (2, 1, 2).
Solución
La recta que pasa por (l, 1, 1) y (2, 1, 2) se describe en forma paramétrica como (x, y, z)=
(1 + t, 1, 1 + t), donde t toma todos los valores reales. Cuando t=O, el punto (x, y, z) es (1, 1,
1), y cuando t=1, el punto (x, y, z) es (2, 1, 2). Por tanto, el punto (x, y, z) se encuentra entre
(1,1,1)y(2,1,2)cuandoOe:
:;
te:
:;
1, de modo que el segmento se describe mediante las ecua­
ciones
X=1+t,
y=1,
z=1+t,
junto con las desigualdades O e:
:;
te:
:;
l.
Además. de las rectas,. también podemos describir de forma paramétrica otros objetos geo­
métricos.

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
19
•
t
Describir los puntos que están en el paralelogramo cuyos lados adyacentes son
los vectores a y b con punto inicial en el origen (incluyendo los puntos que están en los lados
del paralelogramo).
Solución
Observemos la Figura 1.1.24. Si P es cualquier punto dentro del paralelogramo y trazamos rec­
tas l1 y l2 que pasan por P y son paralelas a los vectores a y b, respectivamente, vemos que !1
interseca el lado del paralelogramo determinado por el vector b en algún punto tb, donde
O � t � l. Del mismo modo, l2 interseca el lado determinado por el vector a en algún punto sa,
dondeO�s�l.
b
iii5fJ!)\lill Descripción de los puntos que están dentro
del paralelogramo formado por los vectores
a y b, con vértice O.
Nótese que P es el final de la diagonal de un paralelogramo que tiene como lados adyacen­
tes sa y tb; por tanto, si v es el vector OP, vemos que v = sa + tb. Así, todos los puntos que
están en el paralelogramo dado son finales de vectores de la forma sa + tb con O � s � 1 y
O � t � l. Invirtiendo los pasos anteriores vemos que todos los vectores de esta forma terminan
dentro del paralelogramo.
Del mismo modo que dos rectas distintas que pasan por el origen determinan un plano que
las contiene, así sucede con dos vectores que no sean paralelos. Si aplicamos el mismo razona­
miento que en el Ejemplo 1.17, vemos que el plano que contiene a los dos vectores no paralelos
v y w consta de todos los puntos de la forma sv + tw donde s y t pueden tomar cualquier valor
real, como se puede ver en la Figura 1.1.25.
X
�gfi]!j��� Descripción de los puntos P
del plano determinado por
los vectores v y w.

ZO
Cálculo vectorial
Hemos descrito los puntos de un plano por medio de dos parámetros. Por esta razón, deci­
mos que el plano tiene dos dimensiones. Del mismo modo, se dice que una recta tiene una di­
mensión, ya esté en el plano, en el espacio o se trate de la recta de los números reales.
El plano que pasa por el origen y contiene a v y w se llama plano generado por v y w.
Cuando v es un múltiplo escalar de w y w =1= O, entonces v y w son paralelos y el plano degene­
ra en una línea recta. Cuando v = w = O (esto es, ambos son el vector cero), obtenemos un solo
punto.
Existen tres planos particulares que aparecen de forma natural en un sistema de coordenadas
y que serán útiles más adelante. Al plano generado por los vectores i y j se le llama plano xy, el
plano generado por j y k es el plano yz y, finalmente, el plano generado por i y k es el plano xz.
Pueden verse estos planos en la Figura 1.1.26.
yz
plano xz
Completar los cálculos en los ejercicios del 1 al 4.
l. (-21, 23)- (?, 6)=(-25, ?).
2. 3(133,-0,33, O) + (-399,0,99,0) =(?, ?, ?).
3. (8a, -2b, 13c)=(52, 12, 11) + kC?. �. ?).
4. (2,3,5)-4i+3j=(?,?,?).
En los ejercicios del 5 al 8, dibujar los vectores dados v y w. En el mismo dibujo, trazar los vectores -v,
V+W,yV-W.
5. v=(2,l)yw=(l, 2).
6. V= (Q, 4)yW=(2, -J).
7. v=(2,3, -6)yw=(-l, 1, 1).
8. v=(2,1,3)yw=(-2,0, -1).

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
21
9. ¿Qué restricciones deben tener x, y y z para que la tema (x, y, z) represente un punto sobre el eje y?,
¿y sobre el eje z?, ¿y en el plano xz?, ¿y en el plano yz?
10. a) Generalizar la construcción geométrica de la Figura 1.1.7 para demostrar que si v1 = (x, y, z) y
v2= (x', y', z'), entonces v1+ v2 = (x+ x', y+ y', z+ z').
b) Usando un argumento basado en triángulos semejantes, probar que av = (ax, ay, az) cuando
v=(x,y,z).
En los ejercicios del 11 al 17, usar la notación conjuntisra, la vectorial o ambas para describir los puntos
que están en las siguientes configuraciones.
11. Elplanogeneradoporv1=(2,7,0)yv2=(0,2,7).
12. Elplanogeneradoporv1=(3, -1,l)yv2=(0,3,4).
13. La recta que pasa por (- l, -1, - 1) y tiene la dirección de j.
14. La recta que pasa por (0, 2, 1) y tiene la dirección de 2i -k.
15. La recta que pasa por los puntos ( -1, -1, -1) y (l, -1, 2).
16. La recta que pasa por los puntos (- 5, O, 4) y (6, -3, 2).
17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores i + 3k y - 2j.
18. Hallar los puntos de intersección de la recta x = 3+ 2t, y = 7+ 8t, z
l(t) = (3 + 2t, 7 + 8t, - 2 + t), con los planos coordenados.
-2 + t, es decir,
19. Demostrar que no existen puntos (x, y, z) que satisfagan 2x- 3y+ z - 2 = O y estén en la recta
V= (2, -2, -1)+ t(l, 1, 1).
20. Demostrar que cualquier punto de la recta v
5x-3y-z-6=O.
(1, - l, 2) + t(2, 3, 1) satisface la ecuación
21. Determinarsilasrectasx=3t+2,y=t -1,z=6r+1,yx=3s-1,y=s-2,z=sseínter­
secan.
22. ¿Seintersecanlasrectas (x,y, z)=(t+4,4t+5, t-2)y(x, y,z)=(2s+3, s+l,2s-3)?
En los ejercicios del 23 al 25, usar métodos vectoriales para describir las configuraciones dadas.
23. El paralelepípedo con aristas a, b y e que salen del origen.
24. Los puntos dentro del paralelogramo con un vértice en (x0, y0, z0) y con lados que salen de ese vérti­
ce iguales en tamaño y sentido a los vectores a y b.
25. El plano determinado por los puntos (x0, y0, z0), (x1, y1, z1) y (x2, )'2, z2).
Demostrar las afirmaciones de los ejercicios 26 a 28.
26. El segmento que une los puntos medios de dos de los lados de un triángulo es paralelo y tiene la
mitad de la longitud que el otro lado.

22 Cálculo vectorial
1.2.
27. Si PQR es un triángulo en el espacio y b > O es un número, existe un triángulo con lados paralelos a
los de PQR y con longitudes b multiplicado por las longitudes de PQR.
28. Las medianas de un triángulo se intersecan en un punto, y este punto divide a cada mediana en razón
de2:l.
Los problemas 29 y 30 requieren algún conocimiento de notación en química.
29. Escribir la ecuación química CO+ H20 =H2+ C02 como una ecuación con ternas ordenadas
(x¡, xb x3) donde X¡, x2, x3 son el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxigeno, respectiva­
mente, en cada molécula.
30. a) Escribir la ecuación química pC3H403+ q02 = rC02 + sH20 como una ecuación con ternas
ordenadas con coeficientes desconocidos p, q, r y s.
b) Hallar la solución positiva más pequeña para p, q, r y s.
e) Ilustrar la solución mediante un diagrama en el espacio.
31. Encontrar una recta que esté completamente contenida en el conjunto definido por la ecuación
x
2
+/-l=l.
Producto escalar, longitud y distancia
En esta sección y en la siguiente estudiaremos dos productos de vectores: el producto escalar y
el producto vectoriaL Ambos son muy útiles en algunas aplicaciones físicas y tienen interesan­
tes interpretaciones geométricas. El primer producto que vamos a considerar se llama producto
escalar. También se le llama a veces producto interno.
El producto escalar
Supongamos que tenemos dos vectores a y b en !R3 (Figura 1.2.1) y queremos determinar el
ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan. El
producto escalar nos permite hacerlo, pero antes de comprobar esto vamos a desarrollar el con­
cepto formalmente. Sean a= a1i + a:J + a3k y b = b1i + b:J + b3k. Definimos el producto es­
calar de a y b, y Jo escribimos a· b, como el número real
X

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
23
Nótese que el producto escalar de dos vectores es un escalar. Algunas veces el producto escalar
se escribe <a, b) ; por tanto, <a, b) y a·b significan exactamente lo mismo.
a) Sia=3i+j-2kyb=i -j+k, calcular a·b.
b) Calcular (2i + j - k)·(3k- 2j).
Solución
a) a·b=3 ·l+l·(-l)+(-2)·1=3-l
-
2=O.
b) (2i+j - k)·(3k - 2j)=(2i+j - k)·(Oi- 2j+3k)
=2 .o
-
1.2 -1
.
3= -5.
Algunas propiedades del producto escalar se siguen directamente de la definición. Si a, b, y
e son vectores en IR3, y rx y f3 son números reales, entonces:
i) a·a;:
:
O;
a·a =O
siysólosi
ii) rxa·b= rx(a·b) y
iii) a·(b+e)= a·b + a·c
iv) a·b =b·a.
a= O.
a· f3b= {3(a·b).
y
(a+b) ·e= a·e +b·c.
Para probar la primera de estas propiedades obsérvese que si a=a1i +a:J +a3k, entonces
a·a=ai+a�+a�. Como a1, a2 y a3 son números reales, sabemos que af;?: O, a� ;?: O, a�;?: O.
Así, a·a ;:
:
O. Además, si af +a�+a�=O, entonces a1 =a2=a3= O; por tanto, a=O (vec­
tor cero). Las demostraciones de las demás propiedades del producto escalar se pueden obtener
también fácilmente.
Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a=a1i+a:J +a3k es
Jaf +a�+a� (véase la Figura 1.2.2). La longitud del vector a se denota por liaJI. Esta canti­
dad se llama frecuentemente la norma de a. Como a·a= a� + a� + a�, se sigue que
X
llall=(a·a)112
.
���(!��l� La longitud del vector a= (a1• a,. a3) viene
dada por la fórmula pitagórica: ..../a� + a� + a�.

24 Cálculo vectorial
Vectores unitarios
Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i, j, k
son vectores unitarios. Nótese que para cualquier vector a, a/llall es un vector unitario; cuando
dividimos a entre llall, decimos que hemos normalizado a.
a) Normalizar v= 2i + 3j -�k
b) Hallar vectores unitarios a, b y e en el plano, tales que b +e= a.
Solución
a) Tenemos llvll= J22 + 32 + (1/2)2= (l/2)}53, de modo que la normalización de v es
1
4
6
1
u=-v=--i +--j
-
--
k
llvllJ53J53J53·
b) Puesto que los tres vectores deben tener longitud 1, el triángulo que tiene como lados a, b y
e tiene que ser equilátero, como en la Figura 1.2.3. Si situamos el triángulo como en la
figura, podemos tomar a= i y entonces, necesariamente,
b=�i+J3j.
2
2'
y
Se puede comprobar que efectivamente llal\= 1\bll = 1\e\1= 1 y que b +e= a.
Los vectores a. b y e están representados por los lados de un
triángulo equilátero.
En el plano, el vector i8 = (cos 8)i + (sen 8)j es un vector unitario que forma un ángulo e
con el eje x (véase la Figura 1.2.4).
y
cose
Las coordenadas de ie son cose y sen IJ: es un vector
unitario porque cos
2
e+sen2e=i.

Distancia
Capítulo, b�:%'ometría del espacio euclídeo
25
Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b - a es paralelo y tiene la misma longitud que
el segmento que une los extremos de a y b. De aquí se tiene que la distancia entre ambos extre­
mos es precisamente llb - all (véase la Figura 1.2.5).
z
Q
�b-a\1
p
X
Hallar la distancia entre el extremo del vector i, esto es, el punto (1, O, O) y el
extremo del vector j, es decir, el punto (0, 1, 0).
Solución
m-ill=)co-1)2+o-0)2+co-0)2=fi.
Ángulo entre dos vectores
Ahora veremos que el producto escalar sirve efectivamente para medir el ángulo entre dos vec­
tores.

26
Cálculo vectorial
Se deduce de la identidad a· b =llall llbllcose que si a y b son distintos de cero, podemos
expresar el ángulo que forman como:
X
1
./
1/
(a·b )
e=arccos
llall llbll
·
1'
__________ ..:,/
Los vectores a. b y el ángulo e que forman entre ellos:
la geometría del Teorema 1 y su demostración.
DEMOSTRACiÓN Si aplicamos la regla trigonométrica del coseno al triángulo que tiene un
vértice en el origen y como lados adyacentes los vectores a y b (como se muestra en la figu­
ra), se sigue que
!lb - a\f = llal\2+llbil2- 2\lalllib\1 cose.
Puesto que !lb- a\12 = (b-a)· (b - a), llall2=a· a y llb!f=b ·b, podemos escribir la
ecuación anterior como
(b- a)·(b-a)=a·a+b·b-2\lall llbllcose.
También podemos desarrollar (b- a)· (b-a) así:
Por tanto,
Esto es,
(b-a)·(b - a) = b·(b - a)-a·(b - a)
=b·b-b·a-a·b+a·a
= a·a+b·b -2a·b.
a·a+b·b-2a·b =a·a+b·b - 2\\all llhllcosB.
a·b = 1\all\\b\\ cose.

X
Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
27
Hallar el ángulo entre los vectores i + j + k y i + j - k (véase la Figura 1.2.7).
Solución
Usando el Teorema 1, tenemos
(i+j+k).(i+j-k)=lli+j+klllli+j-k[[cose,
y así:
1+1-1=cJ3)cj3)cose.
Por tanto,
cose= � .
Esto es,
8= arccos(�)::
::::
1,23 radianes (71°).
La desigualdad de Cauchy-Schwarz
El Teorema 1 muestra que el producto escalar de dos vectores es el producto de sus longitudes
por el coseno del ángulo que forman. Esta fórmula es a menudo muy útil en los problemas de
naturaleza geométrica. Una consecuencia importante del Teorema 1 es:
DEMOSTRACIÓN Si a no es un múltiplo escalar de b entonces el ángulo e que forman am­
bos vectores no es cero ni n:, de modo que [cose¡ < 1 y se tiene la desigualdad; de hecho, si
a y b son distintos de cero, se tiene la desigualdad estricta. Cuando a es un múltiplo escalar
de b, entonces e= O o n y leose¡= 1, y en este caso se tiene la igualdad.

28 Cálculo vectorial
Comprobar que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para a= -i + j + k
Solución
Elproductoescalaresa·b= -3+O+1= -2,demodoquela·bl=2.Además,
llall =ji+ 1 + 1= J3 y llbll=.J9+l=.jiO, y ciertamente 2,:
::;
J3·.jiO ya que
fi·JiO > .J�·J3=3? 2.
Si a y b son vectores de IR3 distintos, no nulos, y e es el ángulo que forman, entonces
a·b=O si y sólo si cos e = O. Por tanto, el producto escalar de dos vectores no nulos es cero
si y sólo si los vectores son perpendiculares. De este modo, el producto escalar proporciona un
buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares. Con frecuencia diremos que
los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base canónica i, j y k son orto­
gonales entre sí y tienen longitud 1; dichos sistemas de vectores se llaman ortonormales. Adop­
taremos la convención de que el vector cero es ortogonal a todos los vectores.
Los vectores i8 = (cos e)i + (sen e)j y j8= - (sen e)i + (cos e)j son ortogo-
ie.jg= -cos esene+ senecose=o
(véase la Figura 1.2.8).
y
i
�
---�
-�"-
-
-
--'---
-
-)X
Sean a y b dos vectores ortogonales no nulos. Si e es un vector en el plano
generado por a y b, existen escalares o: y {3 tales que e=o:a + {3b. Usar el producto escalar para
calcular a y {3 (véase la Figura 1.2.9).
Solución
Efectuando el producto escalar de a y e, tenemos
a·e= a·(::xa + {Jb)= o:a·a + {Ja·b.
Como a y b son ortogonales, a·b=O, y así
a·c
a·c
o:=--=--
a·a liail2

De igual modo,
X
1�om
/
a·e
·
a
Jlcll cosB=-.
�
[jali
Proyección ortogonal
Capitulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
29
!it�i��iJB Geometría para calcular a y {J.
dondee=aa+{Jb.
Al vector cxa del ejemplo anterior se le llama proyección de e sobre a, y f3b es la proyección
sobre b. Formulemos esta idea de manera más general. Si v es un vector, y l es la recta que
pasa por el origen y tiene la dirección del vector a, la proyección ortogonal de v sobre a es el
vector p cuyo extremo se obtiene al trazar una recta perpendicular a l desde el extremo de v,
como se muestra en la Figura 1.2 .10.
p es la proyección ortogonal de v sobre a.
Mirando el dibujo, vemos que p es un múltiplo de a, y que v es la suma de p y un vector q
perpendicular a a. Por tanto,
v =ca+ q,
donde p = ca y a· q = O. Si multiplicamos por a escalarmente en ambos lados de la igualdad
v = ca+ q, tenemos que a· v = ca· a, de modo que e = (a· v)/(a·a), y entonces
a·v
p-
a
-
llall2 .

30 Cálculo vectorial
La longitud de p es
ja·vl
ja·vl
IIPII = -
.
-
2
1\all = -- = llvll cose.
j¡ali
l!all
Hallar la proyección ortogonal de i+ j sobre i-2j.
Solución
Llamando a = i - 2j y v = i+j, la proyección ortogonal de v sobre a es
(véase la Figura 1.2.11).
Proyección
ortogonal
devsobrea
V
a
a·v
1-2
1
-
a=--(i-2j)=- -
(i-2j)
a·a
1+4
5
La desigualdad triangular
Una aplicación importante de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, conocida como desigualdad
triangular, relaciona las longitudes de los vectores a y b con la de su suma a+ b. Geométrica­
mente, la desigualdad triangular dice que la longitud de cualquier lado de un triángulo es menor
o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados (véase la Figura 1.2.12).
L2/Q;
O
b
R
i�i�fi�����J Esta configuración geométrica muestra que
I!OQII ,; IIORII + I!RQII o. con notación vectorial.
que lla + b[[ ,; lía[¡ + llbll. que es precisamente
la desigualdad triangular.

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
31
DEMOSTRACIÓN Aunque el resultado es claro geométricamente, es útil dar una demostra­
ción usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, puesto que la prueba se puede generalizar al
caso de vectores n-dimensionales. Primero elevamos el lado izquierdo al cuadrado:
lla+ hll2 =(a+ b) ·(a+ b) = llall2+ 2a· b+ llhll2.
Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos
ilall2+ 2a · b+ llhll2 � llall2 + 211all llbll+ llbW = (llall+ llbli)2.
Por tanto,
haciendo la raiz cuadrada en ambos lados se obtiene el resultado.
a) Comprobar la desigualdad triangular para a = í+ j y b = 2i+ j + k.
b) Demostrar que llu - vil � llu - wll+ llw - vil para cualesquiera vectores u, v y w. Ilus­
trarlo con un dibujo en el que u, v y w tengan el mismo oligen.
Solución
a) Tenemos que a+ b =3i+ 2j+ k, luego lla+ bll ='-/9+ 4 + 1 =.ji4. Por otra parte,
llall = J2 y llbll = .}6, así que la desigualdad triangular asegura que J l4 � J2+ .}6.
Los números confirman esta afirmación: .ji4 ::
:o
3,74, mientras que
"\/2+J6 ::
::;
1,41 + 2,45 = 3,86.
b) Si observamos que u - v = (u - w)+ (w - v), el resultado se sigue de la desigualdad
triangularalreemplazaraporu-wybporw-v
.
Geométricamente, estamos conside­
rando el triángulo sombreado de la Figura 1.2.13.

32 Cálculo vectorial
Aplicaciones de los vectores en la física
Un ejemplo sencillo de un concepto físico que se representa mediante un vector es un desplaza­
miento. Supongamos que en una parte de la superficie terrestre, suficientemente pequeña para
poder considerarla plana, introducimos coordenadas de modo que el eje x apunte al este, el eje y
apunte al norte y la unidad de longitud sea el kilómetro. Si estamos en un punto P y queremos ir
a un punto Q, el vector desplazamiento d = PQ que une P con Q nos dice en qué sentido y qué
distancia hemos de recorrer. Si x e y son las componentes de este vector, el desplazamiento de P
a Q es «X kilómetros al este, y kilómetros al norte».
•
11
Supongamos que dos navegantes que no pueden verse entre sí, pero que pueden
comunicarse por radio, quieren determinar la posición relativa de sus barcos. Explicar cómo
pueden hacerlo si cada uno de ellos es capaz de determinar su vector de desplazamiento con
respecto al mismo faro.
Solución
Sean P1 y P2 las posiciones de los barcos y sea Q la posición del faro. El desplazamiento del
faro con respecto al barco i-ésimo es el vector d¡ que une los puntos P¡ con Q. El desplazamien­
to del segundo barco con respecto al primero es el vector d que une los puntos P1 y P2.Tenemos
que d + d2 = d1 (Figura 1.2.14), luego d = d1 - d2. Esto es, el desplazamiento de un barco al
otro es la diferencia entre los desplazamientos desde los barcos al faro.
��{¡��-�� Se pueden usar vectores para situar objetos.
Podemos representar también la velocidad de un objeto en movumento mediante un vec­
tor. Por ahora, sólo consideraremos objetos que se mueven con velocidad uniforme a lo largo
de rectas. Supongamos, por ejemplo, que un barco cruza un lago navegando a 10 kilóme­
tros por hora (km/h) en dirección noreste. Después de una hora de viaje el desplazamiento es
(lOJ.j2, IO/.j2)::
::::
(7,07, 7,07); véase la Figura 1.2.15.
Posición después de 1 h
1�12_
&:o__j J2
Posición
lO
inicial
J2
Sí un objeto se mueve en dirección noreste a 1 O km/h. su vector
velocidad tiene componentes (10!JZ, iO!JZ) = 10(1!JZ, i!JZ),
donde (it,.,/2. il,/2) es el vector unidad en la dirección noreste.

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
33
El vector cuyas componentes son (10/.)2, 10/Jl) se llama vector velocidad del barco. En
general, si un objeto se mueve a lo largo de una recta, su vector velocidad es el vector desplaza­
miento desde su posición en cualquier momento a su posición 1 unidad de tiempo más tarde. Si
aparece una corriente en el lago que se mueve hacia el este a 2 km/h y el barco continúa en su
dirección original con el motor a la misma potencia, su desplazamiento después de una hora
tendrá como componentes (10/Jl + 2, 10/Jl); véase la Figura 1.2.16. Por tanto, el nuevo
vector velocidad tendrá como componentes (10/Jl + 2, IO/.j2). Nótese que este vector es la
suma del vector velocidad original (10/Jl, 10/Jl) y el vector velocidad de la corriente (2, 0).
Desplazamiento debido
a la corriente
Desplazamiento en el tiempo t
El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos
debidos al motor y a la corriente.
¡]iJillJI Desplazamiento = tiempo x velocidad.
Un pájaro vuela en línea recta con vector velocidad lOi + 6j + k (en kilóme­
tros por hora). Supongamos que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura.
a) Si en cierto momento el pájaro está en la posición (1, 2, 3), ¿cuál será su situación una hora
más tarde?, ¿y un minuto más tarde?
b) ¿Cuántos segundos tarda el ave en subir lO metros?
Solución
a) El vector desplazamiento desde (l , 2, 3) después de una hora es lOi + 6j +k, de modo que
la nueva posición es (1, 2, 3) + (10, 6, 1) = (11, 8, 4). Después de un minuto, el vector
desplazamiento desde (1, 2, 3) es to(lOi + 6j + k)= �i + }oj + fok y, así, la nueva posi-
ción es (1, 2, 3) +(�,Jo, to) = (�, �. 1�1).
b) Después de t segundos (= t/3.600 horas), el vector desplazamiento desde (1, 2, 3) es
(t/3.600)(10i + 6j + k) = (t/360)i + (t/600)j + (t/3.600)k. El incremento en altura es la
componente z, esto es, t/3.600. Éste será igual a 10m(= 1�0 km) cuando t/3.600 = 1�, es
decir, cuando t = 36 s.

34
Cálculo vectorial
Las fuerzas físicas tienen sentido, dirección y tamaño, por lo que pueden repre­
sentarse mediante vectores. Si varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un objeto, la fuerza
resultante se representa mediante la suma de los vectores de cada una de las fuerzas. Suponga­
mos que dos fuerzas i + k y j +k actúan sobre un cuerpo. ¿Qué tercera fuerza F hay que apli­
car para contrarrestar a las otras dos, esto es, para conseguir que la fuerza total sea igual a cero?
Solución
La fuerza F deberá escogerse de manera que (i+k)+G +k)+F = O; por tanto, F =- (i +k)­
G+k)=-i
-
j- 2k (recordemos que O es el vector cero, el vector cuyas componentes son
todas cero).
l. Calcular (3i + 2j + k)·(i + 2j-k).
2. Calcular a· b donde a=2i + 10j- 12k y b=-3i + 4k.
3. Hallar el ángulo entre 7j + 19k y -2i- j (aproximado al grado más cercano).
4. Calcular u· v, donde u=)3i- 315j + 22k y v=u/llull.
5. ¿Es li8i- 12kll·ll6j + kll 1(8i- 12k) · (6j + k)l igual a cero? Explicarlo.
En los ejercicios del 6 al 11, calcular llull. flvll, y u · v para los vectores dados de IH3.
6. u=15i - 2j + 4k, v=ni+ 3j-k
.
7. U=2j-i, V=-j + i.
8. u=Si-j+2k, V=i+j-k.
9. U = -i+3j+k,V=-2i-3j-7k.
10. U=- i + 3k, V=4j.
11. U=-i + 2j-3k, V=-i-3j + 4k.
12. Normalizar los vectores de los Ejercicios 6 a S.
13. Hallar el ángulo que fom1an los vectores de los Ejercicios 9 a 11. Si es necesario, se puede expresar
la respuesta en términos de arccos.
14. Hallar la proyección de u=-i + j + k sobre v =2i + j- 3k.
15. Hallar la proyección de v=2i + j- 3k sobre u=- i + j + k.

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
35
16. ¿Qué valores debe tomar el escalar b para que el vector 2i + bj sea ortogonal a a) - 3i + 2j +k y
b) k?
17. Hallar dos vectores ortogonales a (1, 1, 1) que no sean paralelos.
18. Hallar la recta que pasa por (3, L - 2), y que interseca y es perpendicular a la recta x = - l + t,
y = - 2 + t, z = - 1 + t. [INDICACIÓN: Si (x0, y0, z0) es el punto de intersección, hallar sus coorde­
nadas.]
19. Un barco situado en la posición (1, O) en una carta náutica (que tiene el norte en la dirección positiva
del eje y) avista una roca en la posición (2, 4). ¿Cuál es el vector que une el barco con la roca? ¿Cuál
es el ángulo () que forma este vector con la dirección norte? (A este ángulo se le llama la orientación
de la roca desde el barco.)
20. Supongamos que el barco del Ejercicio 19 navega con rumbo norte a una velocidad de 4 nudos res­
pecto del agua. Hay una corriente que fluye en dirección este con velocidad de 1 nudo. Las unidades
de la carta son millas marinas; l nudo = l milla marina por hora.
a) Si hubiera corriente, ¿qué vector u representaría la velocidad del barco con respecto al fondo del
mar?
b) Si el barco se dejara llevar por la corriente, ¿qué vector representaría su velocidad con respecto
al fondo del mar?
e) ¿Qué vector w representa la velocidad total del barco?
d) ¿Dónde estará el barco después de una hora?
e) ¿Debería cambiar el capitán el rumbo del barco?
f) ¿Y si la roca fuera un iceberg?
21. Un avión se encuentra en la posición (3, 4, 5) al mediodía y viaja con una velocidad de 400i +500j -k
kilómetros por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posición (23, 29, 0).
a) ¿A qué hora pasará el avión sobre el aeropuerto? (Suponemos que la tierra es plana y que el
vector k apunta hacia arriba.)
b) ¿Cuál será la altura del avión cuando pase sobre el aeropuerto?
22. La velocidad del viento v1 es de 40 kilómetros por hora (krn/h) de este a oeste mientras que un avión
viaja con una velocidad en el aire v2 de lOO krn/h en dirección norte. La velocidad del avión con
respecto al suelo es el vector suma v1 + v2.
a) Encontrar v1 + v2.
b) Hacer un dibujo a escala.
23. Una fuerza de 50 kp forma un ángulo de 50° con el eje horizontal y apunta hacia la derecha. Deter­
minar sus componentes horizontal y vertical. Ilustrar los resultados con un dibujo.
24. Dos personas tiran horizontalmente de dos cuerdas atadas a un poste y el ángulo entre las cuerdas es
de 60°. La persona A tira con una fuerza de 150 kp, mientras que la persona B lo hace con una fuerza
de 110 kp.
a) La fuerza resultante es el vector que resulta de sumar ambas fuerzas. Hacer un dibujo a escala
que represente gráficamente las tres fuerzas.
b) Usando trigonometría, encontrar las componentes de las dos fuerzas en un sistema de coordena­
das elegido convenientemente. Hacer la suma algebraica y deterrninar el ángulo que la fuerza
resultante forma con la fuerza ejercida por A.

36
Cálculo vectorial
1.3.
25. Una masa de 1 kilogramo (l kg) situada en el origen cuelga de dos cuerdas fijadas en los puntos (1,
l, l) y ( - l, - 1, l). Si la fuerza de la gravedad tiene la dirección del vector -k, ¿cuál es el vector
que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [INDICACIÓN: Usar la simetría del problema. Un
kilogramo de masa pesa 9,8 newtons (N).]
26. Supongamos que sobre un objeto que se mueve en la dirección i + j actúa una fuerza dada por el
vector 2i + j. Expresar esta fuerza como la suma de una fuerza en la dirección del movimiento y otra
perpendicular a éste.
27. Una fuerza F de 6 N (newtons) forma un ángulo de rr/4 radianes con el eje y, y apunta hacia la
derecha. La fuerza actúa en contra del movimiento de un objeto que se mueve a lo largo de la recta
que une (l, 2) con (5, 4).
a) Hallar una fórmula para el vector F.
b) Hallar el ángulo que forman la dirección del desplazamiento D = (5 - l)i + (4 - 2)j y la direc­
ción de F.
e) El trabajo realizado es F · D o, equivalentemente, iiFII IIDII cos 8. Calcular el trabajo con ambas
fórmulas y compararlo.
Matrices, determinantes y el producto vectorial
En la Sección 1.2 se definió un producto de vectores que daba como resultado un escalar. En
esta sección definiremos un producto de vectores que da como resultado un vector; esto es, ve­
remos cómo a partir de dos vectores a y b se puede obtener un tercer vector a x b, llamado
producto vectorial de a por b. Este nuevo vector tendrá la agradable propiedad de que es per­
pendicular al plano generado (o determinado) por a y b. La definición del producto vectorial se
basa en los conceptos de matriz y determinante que, por ese motivo, desarrollaremos primero.
Una vez hecho esto, podremos estudiar las implicaciones geométricas de la estructura matemáti­
ca construida.
Matrices 2 x 2
Definimos una matriz 2 x 2 como una tabla u ordenación
donde a11, a12, a21 y a22 son cuatro escalares. Por ejemplo,
[-1 o]
11,
y[
1
63 7]
11
son matrices 2 x 2. El determinante

;Capít\l
l
oct>. La geo!TI�tría del espacio euclídeo
37
de dicha matriz es el número real definido mediante la ecuación
1�11=1 -1 =O·
1
'
Matrices 3 x 3
¡�
Una matriz 3 x 3 es una ordenación
21=4 -6 = -2·
4
'
1�:1=40-42= -2.
(1)
donde, de nuevo, cada au es un escalar; au denota el elemento de la matriz que está en la fila
i-ésima y en la columna j-ésima. Definimos el determinante de una matriz 3 x 3 mediante la
regla
(2)
Sería difícil memorizar la Fórmula (2) sin algún recurso mnemotécnico. La regla que hay que
aprender es que recorremos la primera fila multiplicando a1j por el determinante de la matriz
2 x 2 que resulta al eliminar la primera fila y la j-ésima columna, y después sumamos todo,
recordando poner un signo de resta delante del término a12. Por ejemplo, el determinante que
hay que multiplicar en el segundo témlino de la Fórmula (2), a saber,
se obtiene tachando la primera fila y la segunda columna de la matriz 3 x 3 dada:
J!Z o!3]
122 a23
lf32 a33

38 Cálculo vectorial
1
o
o
o
1
o
o
1
1� ��-
o
J�
o
��+oJ�11=1
o
.
2
45
78
3
�1-
2
1�
6=
115
9
8
�1+ 31�51
=-3+12-9 =o
8
.
Propiedades de los determinantes
Una propiedad importante de los determinantes es que cambian de signo al intercambiar dos
filas o dos columnas. Para determinantes 2 x 2, esto es consecuencia de la definición: para las
filas, tenemos,
y para las columnas,
DejaJ.nos que el lector compruebe esta propiedad para el caso 3 x 3.
Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que podemos sacar como fac­
tor común escalares de cualquier fila o columna. Para determinantes 2 x 2, esto significa
1o:an
o:a21
al2
1=l
a¡¡
a22
a21
o:a12
1=o:
1a
u
o:an
a21
a12
1 =IO'.au
a22
a21
De manera análoga, para determinantes 3 x 3 tenemos
o:a¡¡ o:a12 o:a13
au a12 a13
a21
an
a23
=o: a21 a22 a23
a31
a32
a33
a31 a32 a33
=
12
1 1a11
a22
=
o:a21
a¡¡ o:a12 a13
a21 rxa22 a23
a31 o:a32 a33
al2
1o:a22
y así sucesivamente. Estos resultados se deducen de las definiciones. En particular, si cualquier
fila o columna contiene únicamente ceros, el valor del determinante es cero.
Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el siguiente: si cambiamos una
fila (o columna) sumándole otra fila (respectivamente, otra columna), no cambia el valor del
determinante. Para el caso 2 x 2, esto significa que
a2+b2
1=1
a1
b2
b1+a1

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
39
Para el caso 3 x 3, esto significa:
a¡a2a3
a1+b1 a2+b2 a3+b3
a1+a2 az a3
h¡b2b3
h¡
b2
b3
h¡+b2 b2 b3
C¡c2c3
C¡
c2
c3
c1+c2 c2 c3
y así sucesivamente. De nuevo, esta propiedad se puede probar usando la definición de determi­
nante.
Supongamos que
a=o:
:
b+f3c;
Demostrar que
a2 a3
b2 b3 =O.
C¡c2c3
Solución
Vamos a demostrar el caso o:
:
=1=O,f3=!=O.El casorx=O =f3 estrivial, y elcaso en queexacta­
mente uno de rx, f3 sea cero es una simple modificación del caso que probamos. Usando las pro­
piedades fundamentales de los determinantes, el determinante en cuestión es
(sacando el factor - 1/rx de la segunda fila)
=(-;)(1)rxb1+f3c1
-
-rxb
f3
1
-
{3c¡
rxb2 + f3c2
-o:
:
b2
-
f3c2
o:
:
b3+f3c3
-;xb3
-
f3c3
(sacando el factor - 1/f3 de la tercera fila)
f3c3
- ab3 (sumando la segunda fila a la primera)
f3c3
o
- ab3 =O (sumando la tercera fila a la primera).
- f3c3

40 Cálculo vectorial
Estrechamente ligado a estas propiedades está el hecho de que podemos desarrollar un de­
terminante 3 x 3 recorriendo cualquier fila o columna usando los signos del siguiente patrón:
+
+
+
+
+
Por ejemplo, el lector puede comprobar que podemos desarrollar «por menores>> recorriendo la
fila del medio:
a11 a12 a13
a2! an a23
a3! a32 a33
Volvamos a calcular el segundo determinante del Ejemplo 1.31 usando esta fórmula:
23
456
789
23
3
2
-
4
+5
-6
=(-4)(-6)+(5)(-12)+(-6)(-6)=0.
89
79
78

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
41
El producto vectorial
Una vez establecidas las propiedades necesarias de los determinantes y referida su historia, esta­
mos listos para estudiar el producto vectorial.
DEFINICIÓN: El producto vectorial Supongamos que a = a 1 i + a2j + a3k y
b= b1i + b2j + b3k. El producto vectorial o producto cruz de a y b denotado por a x b, se
define como el vector
o, formalmente,
jk
axb=a1 a2 a3
b¡b2b3
Aunque hemos definido únicamente los determinantes para matrices de números reales, esta ex­
presión formal que incluye vectores es una ayuda útil para recordar el producto vectorial.
Solución
Hallar(3i-j+k)x(i+2j-k).
j
(3i-j+k)X(i+2j-k)= 3
-
1
k
2-l
- i+4j+7k.
Algunas propiedades algebraicas del producto vectorial se deducen de la definición. Si a, b
y e son vectores, y ex, fJ y y escalares, entonces
i)axb= -(bxa)
ii) ax({Jb+ye)={J(axb)+y(axe)y(cxa+{3b)xe=cx(axe)+fJ(bxe).
Nótese que a x a= -(a x a), por la propiedad i). Por tanto, a x a= O. En particular,
iXi=0, jXj=0, kXk=O.

42 Cálculo vectorial
También,
iXj=k, jXk=i, k Xi=j,
lo que podemos recordar permutando cíclicamente i, j, k de este modo:
Para dar una interpretación geométrica del producto vectorial vamos a introducir primero el
producto mixto. Dados tres vectores a, b y e, el número real
(a x b)·e
se llama producto mixto de a, b y e (en este orden). Para obtener una fórmula de éste, sean
a=a1i + a:J + a3k, b=b1i + b:J + b3k, y e=c1i + c:J + c3k. Entonces,
(aXb)·e = (1::
= 1::
a3
1i_,
a¡
b3
b¡
¡a¡
[b¡
:: lj
+
1::
a3
1c2+¡
a¡
b3
,b¡
Éste es el desarrollo «por menores» siguiendo la tercera fila del determinante, de modo que
a1a2a3
(axb)·e=b1 b2 b3
c1c2c3
Si e es un vector del plano generado por los vectores a y b,'la tercera fila del determinante que
expresa (a x b) ·e es una combinación lineal de la primera y la segunda fila, y por tanto
(a x b). e =O. En otras palabras, el vector a x b es ortogonal a cualquier vector del plano
generado por a y b, y en particular a ambos vectores.
A continuación calcularemos la longitud de a x b. Nótese que
Si desarrollamos los términos de la última expresión, podernos agruparlos para obtener
(ai+a�+a;)(bi+b�+b�)-(a1b1+a2b2+a3b3)
2
,
que es igual a

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
43
donde8es elánguloque forman a yb,O::
::;
8::
::;
1r. Sacando raíces cuadradas y usando que
"¡
¡¿.
= lkl, obtenemos que lla x bll = llall llbll lsen81.
Combinando estos resultados concluimos que a x b es un vector perpendicular al plano 'P
generado por a y b, y tiene longitud llall l!bll lsell e¡. En la Figura 1.3.1 podemos ver que esta
longitud es también el área del paralelogramo (con base llall y altura llb sen 811) generado por a y
b. Existen dos vectores que satisfacen estas condiciones, pues se pueden escoger dos direccio­
nes perpendiculares (o normales) a 'P. Esto se ve claramente en la Figura 1.3.1, que muestra las
dos posibilidades ll¡ y - ll¡ perpendiculares a 'P , con ¡¡n¡ll = ¡¡- ll¡ll = llall llbl! lsen e¡.
¿Qué vector representa a x b, n1 o n1? La respuesta es n1. Calcular algunos casos senci-
llos como k = i x j para comprobarlo. La siguiente «regla de la mano derecha» sirve en general
para determinar la dirección de a x b. La mano derecha se coloca de tal modo que los dedos se
curven de a hacia b, a través del ángulo agudo 8 que forman ambos, como se muestra en la
Figura 1.3.2. Entonces el dedo pulgar apunta en la dirección de a x b.

44
Cálculo vectorial
aXh
X
y
fji(l!:IJr,���";�,:�� La longitud de a x b es el área del
paralelogramo formado por a y b,
Encontrar el área del paralelogramo definido por los dos vectores a =i + 2j + 3k
yb=-i -k
Solución
Calculamos el producto vectorial de a y b aplicando la fórmula de las componentes o fórmula
deldeterminante, cona1=1, a2=2, a3 =3,b1=-1,b2=O,b3= -1:
a x b= [(2)( -1)- (3)(0)]i + [(3)( -1)- (1)(- l)Jj + [(1)(0)- (2)(- 1)}k
2i-2j+2k

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
45
Por tanto, el área es
Solución
lla x hll=�(-2)2 +( 2)2 +(2)2= 2.j3.
Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores i +j y j + k.
Un vector perpendicular a i +j y j +k es su producto vectorial, esto es, el vector
(i+j)X(j+k)= 1
o
Como lli- j +kll = .j3, el vector
1
jk
o =i-j+k.
-
(i- j +k)
.J3
es un vector unitmio perpendicular a i + j y j +k.
Deducir una identidad que relacione los productos escalar y vectorial a partir de
las fórmulas
IJu X Vjl = llull llvllsene
mediante la eliminación de e.
Solución
y
u·v = llull llv[lcose
Que sene y cose estén multiplicados por la misma expresión sugiere que podemos elevar al
cuadrado ambas fórmulas y después sumar el resultado. Obtenemos
luego
Esta identidad es interesante porque establece una relación entre los productos escalar y vecto­
rial.
La geometría de los determinantes
Usando el producto vectorial podemos obtener una interpretación geométrica de los determinan­
tes2 x2y3x3.Seana=a1i+a�yb=b1i+b�dosvectoresenelplano;sieeselángulo

46
Cálculo vectorial
que forman a y b, hemos visto que ))a x b)) = ))a)) ))b)) )sen 8) es el área del paralelogramo cuyos
lados adyacentes son a y b. El producto vectorial escrito como un determinante es
axb=a1
b¡
j
Por tanto, el área ))a x bJ) es el valor absoluto del determinante
\:: ::l=a1b2-a2b1•
Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (l, 1), (0, 2) y (3, 2)
(Figura 1.3.4).
y
y
(b)
"\f�g��:����-�!'if (a) Hallar el área A del triángulo sombreado expresando los lados como diferencias de vectores,
(b)paraobtenerA=ll(b-a)x(e-a)))/2.
Solución
Sean a=i + j, b =2j y e=3i + 2j. Es claro que el triángulo cuyos vértices son los extremos
delosvectoresa,byetienelamismaáreaqueeltriánguloconvérticesenO,b -aye-a
(Figura 1.3.4). De hecho, este último es simplemente una traslación del primero. Como el área
del triángulo trasladado es la mitad del área del paralelogramo con lados adyacentes b - a =
i+jye-a=2i+j,tenemosqueelárea deltriánguloconvértices en (1,1),(0,2)y
(3, 2) es el valor absoluto de
��-1 ��=
2t21
esto es, 3/2.
3
2'

Capítulo i . La geometría del espacio euclídeo
47
Existe una interpretación de los determinantes de matrices 3 x 3 como volúmenes que es
análoga a la interpretación de los determinantes de matrices 2 x 2 como áreas
.
Para probar la afirmación del cuadro anterior vamos a la Figura 1.3.5 y observamos que la lon-
_
gitud del producto vectorial, a saber, !la x b\
1
, es el área del paralelogramo cuyos lados adya- j
centessonayb
.
Además, (a x b
)
·e= lla x bll llellcos lj;, donde lj; es el ángulo que forma e
con la normal al plano generado por a y b
.
Como el volumen del paralelepípedo con lados
adyacentes a, by ees el producto del área de la base por la altura !la x bll \le\\lcos lf;\
,
se deduce
que el volumen es \(a x b
)
·e
J
.
Anteriormente vimos que (a x b
)
·e= D, de modo que el volu­
men es igual al valor absoluto de D.
z
X
Solución
;i1�����l§ El volumen del paralelepípedo definido
por a, b, e es el valor absoluto del
determinante de la matriz 3 x 3 cuyas
filassona, byc.
volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores i + 3k,
El volumen es el valor absoluto de
o3
2l-2
5o4

48 Cálculo vectorial
Si desarrollamos este determinante por menores con respecto a la segunda columna, el único
término distinto de cero es
�� !)el)= - II,
de modo que el volumen será igual a ll.
La ecuación de un plano
Sea P un plano en el espacio que contiene al punto P0 = (x0, y0, z0) y supongamos que
n= Ai + Bj + Ck es un vector normal a ese plano (véase la Figura 1.3.6). Sea P = (x, y, z)
un puntoen IR3Entonces P=(x, y,z)estáenelplano PsiysólosielvectorPoP=
(x - x0)i + (y - y0)j + (z - z0)k es perpendicular a n, esto es, P0P · n = O o, equivalentemente,
X
Por tanto,
(Ai+Bj+Ck)·[(x-Xo)i+(y-y0)j+(z-z0)k]=0.
:;?-
-------
y
l��\i;�����§j?i( Los puntos P del plano que pasa por P0 y es
perpendicular a n satisfacen la ecuación P0P · n = O.
A(x-xo)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
49
Los cuatro números A, B, e y D no están determinados de manera única por el plano 'P. Para
ver esto, nótese que (x, y, z) satisface la ecuación Ax+By+ez+D=O si y sólo si satisface
también
(ÁA)x+ (}B)y+(},C)z+(},D)=O
para cualquier constante ), 1= O. Además, si A, B, e, D y A', B', C, D' determinan el mismo
plano P, entonces A=)A', B = },B', e=},C', D= A_D' para un escalar k Por consiguiente, A,
B, e, D están determinados por P salvo un múltiplo escalar.
Hallar una ecuación para el plano que es perpendicular al vector i+j+k y
contiene al punto (l, O, 0).
Solución
Usando la forma general A(x - x0)+B(y - y0)+ecz - Zo)=O, el plano es 1(x - 1)+
l(y- 0)+l(z- O)=O; esto es, x +y + z=l.
Hallar una ecuación para el plano que contiene a los puntos (1, l, 1), (2, O, 0) y
(1, 1, 0).
Solución
Método J. Éste es un método de «fuerza bruta>> que se puede usar cuando se han olvidado los
métodos vectoriales. La ecuación de cualquier plano es de la forma Ax+By+ez + D = O.
Como los puntos (l , 1, 1), (2, O, O) y (1, 1, O) están en el plano, tenemos que
A+B+e+D=O,
2A
+D=O,
A+B
+D=O.
Por eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a
2A+D=O
2B+D=O
e=O
(segunda ecuación)
(2 x tercera - segunda)
(primera - tercera).
Puesto que los números A, B, e y D están determinados salvo por un múltiplo escalar, podemos
fijar el valor de uno de ellos, digamos A=1, y entonces los otros estarán ya determinados de
manera única. Obtenemos A=1, D= -2, B = 1, e = O. Así, una ecuación del plano que con­
tiene a lospuntos dados es x+y- 2 =O.
Método 2. Sean P=(1, 1, 1), Q =(2, O, 0), R =(1, 1, 0). Cualquier vector normal al plano
ha de ser ortogonal a los vectores QP y RP, que son paralelos al plano, ya que sus puntos inicial
y final están en éste. Por tanto, n=QP x RP es normal al plano. Calculando el producto vecto­
rial tenemos:
jk
n= -1
1 =i+j.
oo
Como el punto (2, O, O) está en el plano, concluimos que la ecuación viene dada por
(x -2)+(y-0)+O·(z-O)=O;estoes,x+y-2=O.

50 Cálculo vectoFial
Dos planos se llaman paralelos cuando sus vectores normales son paralelos. Así, los planos
A1x+ B1y+C1z+D1 =O y A:cX+Bv+C2z+D2=O son paralelos cuando n1 = A1i +B¡j +C1k
y n2 = A2i +BJ.i +C2k son paralelos; es decir, n1 = o-n2 para una constante o-. Por ejemplo, los
planos
X- 2y+Z=0
y
-2x +4y-2z= 10
son paralelos, pero los planos
X- 2y+Z=0
y 2x- 2y+z=lO
no lo son.
Distancia de un punto a un plano
Ahora, vamos a calcular la distancia de un punto E = (x1, y1, z1) al plano 'P descrito por la ecua­
ción A(x - x0) +B(v - y0) +C(z - z0) = Ax +By +Cz + D = O. Para ello, consideramos el
vector normal unitario
Ai+Bj+Ck
que es un vector de longitud l nonnal al plano. Trazamos la perpendicular desde E al plano y
construimos el triángulo REQ que aparece en la Figura 1.3.7. La distanciad= IIEQII es la lon­
gituddelaproyeccióndev=RE(el vectorquevadeRaE)sobren.
X
Así,
�.��gui;a'j11���.��1 La geometría para determinar la distancia
del punto E al plano 'P.
Distancia = lv ·ni = l[(x1 - x0)i +(y1 - y0)j +(z1 - z0)k] ·ni
IA(x1 - x0) +Br.J'1 - y0) +C(z1 - z0)1
jA
2
+B
2
+C
2
Si el plano viene dado en la forma Ax +By +Cz +D = O, entonces para cualquier punto
(x0, y0, z0)'que esté en·él, D = - (Ax0 +By 0 +Cz0). Al sustituir en la fórmula.anterior se tiene
lo siguiente:

Solución
.· �¡;>Ltl;J:lp 1. La georr:etría del espacio euclídeo
S1
CalcularladistanciadeQ=(2,O,-1)alplano3x-2y+8z+1=O.
Sustituimos en la fórmula del cuadro anterior los valores x1 = 2, y1 = O , z1 = -1 (el punto) y
A=3.B =
-
2,C =8,D =1(elplano),paraobtener
.
.
13.2+(-2).o+8(-l)+11 1-11
1
Distancia =
=
,.
.-
=--.
'
32
+(-2)2+82
177 ¡Ti
y
y
"

52 Cálculo vectorial

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
53

54
Cálculo vectorial

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
SS

56 Cálculo vectorial

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
57
l. Comprobar que al intercambiar las dos primeras filas del determinante 3 x 3
cambia el signo del detem1inante.
l2
3o
2o2

58 Cálculo vectorial
2. Calcular los determinantes
a)2-1o
e)
49
4
32
4916
3
o
91625
b)361817
d)235
452420
71113
35-2
171923
3. Calcularaxb,dondea=i -2j+k,b=2i+j+k.
4. Calcular a·(b x e),donde aybson como en elEjercicio3ye= 3i-j+2k.
5. Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores a y b del Ejercicio 3.
6. Un triángulo tiene vértices (0, O, 0), (1, 1, 1) y (0, -2, 3). Hallar su área.
7. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados 2i + j - k, 5i - 3k, y i - 2j +k?
8. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo con lados i, 3j - k, y 4i + 2j - k?
En los ejercicios del 9 al 12, describir todos los vectores unitarios ortogonales a los veclOres dados.
9. i,j.
10.
- 5i+9j-4k,7i+8j+9k.
ll.
5i+9j-4k,7i+8j+9k,O.
12. 2i - 4j+3k, -4i+8j - 6k.
13. Calcular u+v, u·v, llull, llvll y u x v, donde u= i-2j +k, v = 2i - j +2k.
14. RepetirelEjercicio13parau=3i+j-k,v = -6i-2j-2k.
15. Encontrar una ecuación del plano que
a) Es perpendicular a v = (1, 1, 1) y pasa por (1, O, 0).
b) Es perpendicular a v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1).
e) Es perpendicular a la recta l(t) = (5, O, 2)t + (3, -1, 1) y pasa por (5, -1, 0).
d) Esperpendicularalarectal(t)=( -1, -2,3)t+(0,7.1)ypasapor(2,4, -1).
16. Hallar una ecuación para el plano que pasa por
a) (0,O,0),(2,O, -1)y(0,4, -3).
b) (l,2,0),(0,1, -2)y(4,O,1).
e) (2, -1,3),(0,O,5)y(5,7, -1).
17. a) Demostrar que dos planos paralelos o bien son idénticos o bien tienen intersección vacía.
b) ¿Cómo se intersecan dos planos que no son paralelos'�
18. Hallar la intersección de los planos x + 2y+z= O y x - 3y - z= O.

Capítulo i. La geometría del espacio euclídeo
59
190 Hallar la intersección de los planos x+(y- 1)+z=O, y -x+(y+1) - z=O.
200 Hallar la intersección de los dos planos cuyas ecuaciones son 3(x - 1) +2y+(z+1)=O y
(x- 1)+4y- (z+1)=O.
21. a) Probar las dos identidades del triple producto vectorial
(a x b) x e=(aoe)b- (boe)a y
a x (b x e)=(aoe)b- (aob)c.
b)Probarque(uxv)xw=ux(vxw)siysólosi(uxw)xv=O.
e) Probar también que (u x v) x w+(v x w) x u+(w x u) x v=O (identidad de ]acobi).
220 a) Demostrar, sin recurrir a la geometría, que
uo(v x w)=vo(w x u)=w·(u x v)=-u·(w x v)
=-w·(v x u)=-v·(u x w).
b) Usar el apartado a) y el Ejercicio 2l.a) para probar que
(u x v)·(u' x v')= (u·u')(vov')- (u·v')(u'ov) =
23. Comprobar la regla de Cramer.
l u·u'
1u'ov
u·v' [
vovf
24o Hallar una ecuación para el plano que pasa por el punto (2, -1, 3) y es perpendicular a la recta
V=(l, -2, 2)+t(3, -2, 4).
250 Hallar una ecuación para el plano que pasa por el punto (1, 2, - 3) y es perpendicular a la recta
V= (0, -2, l)+t(l, -2, 3).
26. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, - 2, - 3) y es perpendicular al plano
3x- y - 2z+4=O.
27. Hallar una ecuación del plano que contiene las dos rectas (paralelas)
V¡=(0, 1, -2)+t(2, 3, -1) y
v2=(2, -1, O)+t(2, 3, -1).
280 Calcular la distancia del punto (2, 1, - 1) al plano x- 2y+2z+S=O.
29o Hallar una ecuación del plano que contiene la recta v= (-!, 1, 2)+t(3, 2, 4) y es perpendicular al
plano 2x+y- 3z+4=O.
30o Hallar una ecuación del plano que pasa por (3, 2, - 1) y (1, - 1, 2), y es paralelo a la recta
V=(1, -1, O)+t(3, 2, -2).
31. Repetir Jos Ejercicios 19 y 20 de la Sección 1.1 usando el producto escalar y lo que ya sabemos de
vectores normales a planos.
32o Dados dos vectores a y b, ¿es cierto que las ecuaciones x x a= b y xoa = llall determinan un único
vector x? Razonar geometríca y analíticamente.
33. Calcular la distancia del plano 12x+l3y+Sz+2=O al punto (1, 1, -5).

60 Cálculo vectorial
34. Calcular la distancia al punto (6, 1, O) del plano que pasa por el origen y es perpendicular a
i- 2j +k.
35. a) En mecánica, se define el momento M de una fuerza F con respecto a un punto O como la
magnitud de F multiplicada por la distancia d del punto O a la línea de acción de F. El vector
momento l\1. es el vector de magnitud M cuya dirección es perpendicular al plano de O y F, y
cuyo sentido está deteiminado por la regla de la mano derecha. Probar que M =R x F, donde
Res cualquier vector de O a la línea de acción de F (véase la Figura 1.3.10).
F
o
i':
Lmea de acciÓn
b) Calcular el momento del vector fuerza F = i - j + 2k newtons con respecto al origen si la línea
de acción es x=1 +t,
y=1 -t,z=2t.
36. Demostrar que el plano que pasa por los tres puntos A=(a¡, a2o a3), B =(b1, b2o b3) y C = (c1, c2, c3)
está formado por los puntos P = (x,
y, z) dados por
a¡ -x a2-
y a3-z
b¡-x b2-
y b3-z =O.
C¡ -x c2-
y c3-z
[INDICACIÓN: Escribir el determinante como un producto mixto.]
37. Dos medios con índices de refracción n1 y n2 están separados por una superficie plana perpen­
dicular al vector unitario N. Sean a y b vectores unitarios a lo largo de los rayos incidente
y refractado, respectivamente, con el mismo sentido que dichos rayos de luz. Demostrar que
n1(N x a) = n2(N x b) usando la ley de Snell, sen 8¡/sen 82 =nJn1, donde 81 y 82 son los ángulos
de incidencia y refracción, respectivamente. (Véase la Figura 1.3.11.)
1\
Rayo de luz

1.4.
38. Justificar los pasos en los siguientes cálculos:
p23
1
2
3
='�
1�
S6o-3
-6
lo
810
7810
Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
61
2
3
-6i
-3
-6
=1-3
' =33 -36= -3.
-6
-llj
-6
-11
39. Demostrar que sumar un múltiplo de la primera fila a la segunda fila de una matriz no cambia el
determinante; esto es,
a¡
b¡
C¡
a¡b¡C¡
a2+í.a1 b2+í,b¡ c2+ÍcC¡
a2b2el
a3
b3
CJ
a3b3c3
[De hecho, sumar un múltiplo de cualquier fila (columna) a otra fila (columna) de la matriz no cam­
bia el determinante.]
Coordenadas cilíndricas y esféricas
La manera usual de representar un punto en el plano IR2 es mediante coordenadas rectangulares
(x, y); sin embargo, como seguramente aprendió el lector en cálculo elemental, las coordenadas
polares en el plano pueden ser muy útiles. Como se muestra en la Figura 1.4.1, las coordena­
das (r, 8) están relacionadas con (x, y) mediante las fórmulas
x =reos8
y
y= rsen8,
dondeusualmentetomamosr:?OyO�()<2n.
)'
(x,y)
Á
------�
-----L------�x
Recomendamos a los lectores que no estén familiarizados con las coordenadas polares estu­
diar la sección correspondiente en su libro de cálculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de
representar puntos en el espacio distintas de las coordenadas cartesianas (x, y, z). Estos sistemas
de coordenadas alternativos son particularmente adecuados para ciertos tipos de problemas, ta­
les como el cálculo de integrales por medio de un cambio de variables.

62 Cálculo vectorial
Coordenadas cilíndricas
X
DEFINICIÓN Las coordenadas cilíndricas (r, 8, z) de un punto (x, y, z) están definidas por
(véase la Figura 1.4.2)
z
i li(x,y, z)
1
1z
X= rCOS e,
y= rsen e,
z= z.
(1)
'��uf<l�1���;' Representación de un punto (x. y. z) en función
de sus coordenadas cilíndricas r, e y z.
Para expresar r, e y z en función de X, y, Z, y para asegurar que e está entre o y 2n, podemos
escribir
{'""ta" (yfx)
si x>Oey?eO,
�
e= n+arctan (yjx)
r= �x-+y,
siX<O,
Z= Z,
2n+arctan(y/x) si x>O ey<O,
donde arctan (y/x) se toma entre - n/2 y n/2. La condición O � e< 2n determina de manera
únicaeyr;?;oparacualquierXey.SiX=O,entoncese= n/2paray>oy3n/2paray<O;
si X= y= O, e no está definido.

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
63
En otras palabras, dado cualquier punto (x, y, z), representamos su primera y segunda coor­
denadas en función de las coordenadas polares y no cambiamos su tercera coordenada. La Fór­
mula (1) demuestra que dado (r, e, z), la terna (x, y, z) está completamente determinada y vice­
versa, si restringimos e al intervalo [0, 2n) (a veces, conviene utilizar el intervalo (- n, n]) y
además r >O.
Para ver por qué usamos el término coordenadas cilíndricas, nótese que si O :( e < 2n,
oo < z < oo y r = a es una constante positiva, entonces el lugar geométrico de estos puntos
es un cilindro de radio a (véase la Figura 1.4.3).
z
r=a
--
--
y
;·.7_,:<¡:":';\iC-c¿;,•: ,;-:.;,;; La gráfica de los puntos cuyas coordenadas
x
cilíndricas satisfacen r = a es un cilindro.
a) Hallar las coordenadas cilíndricas de (6, 6, 8) y dibujarlas.
b) Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (8, 2n/3, - 3), ¿cuáles son sus coordenadas carte­
sianas? Dibujarlas.
Solución
Para laparte a), tenemos r= --.j62 + 62= 6.j2ye= arctan(6/6)= arctan(1)= n/4.Por tan­
to, las coordenadas cilíndricas son (6.j2, n/4, 8). Es el punto P de la Figura 1.4.4. Para la parte
b), nótese que 2n/3 = n/2 + n/6 y, entonces,
y
2n
X=rCOSe=8COS- =
3
8
2
-4
2n
..
.._
/3,-
y=rsene=8sen-= 8 - = 4.J3.
3
2
Así, las coordenadas cartesianas son ( -4, 4
"
/3, - 3). Es el punto Q de dicha figura.

64 Cálculo vectorial
z
Coordenadas esféricas
Las coordenadas cilíndricas no son la única generalización posible a tres dimensiones de las
coordenadas polares. Recordemos que, en dos dimensiones, la magnitud del vector xi + yj (esto
es, ..J x2 + l) es la r en el sistema de coordenadas polares. Con las coordenadas cilíndricas la
longitud del vector xi + yj + zk, a saber,
no es una de las coordenadas del sistema: en cambio, usamos la magnitud r = J� + l, el
ángulo 8 y la <<altura» z.
Vamos a modificar esto introduciendo el sistema de coordenadas esféricas, que usa a p co­
mo coordenada. Las coordenadas esféricas son útiles con frecuencia en problemas donde hay
simetría esférica (simetría relativa a un punto), mientras que las coordenadas cilíndricas se pue­
den utilizar cuando hay simetría cilíndrica (simetría relativa a una recta).
Dado un punto (x, y, z) E IR3, sea
y representemos x e y con coordenadas polares en el plano xy:
x = reos8,
y= rsen 8
(2)
¡-
-;;-----;;
donde r = ..Jx2 + l y 8 está determinado por la Fórmula (1) [véase la expresión de 8 según la
Fórmula (l)]. La coordenada z viene dada por
z=pcosrjJ

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
65
donde cp es el ángulo (entre O y rr, ambos inclusive) que forma el radio vector v = xi + yj + zk
con el eje positivo de la z, en el plano que contiene al vector v y al eje z (véase la Figura 1.4.5).
Usando el producto escalar podemos expresar cp del siguiente modo:
X
z
v·k
coscp= -.
llvll ·
� �(x,y,z)
/·��J .. y
esto es,
(v·k)
cp = arccos
M.
Fj�t..�.s;� Coordenadas esféricas (p. e. rp); la gráfica de
los puntos que satisfacen p = a es una esfera.
Tomamos como coordenadas las cantidades p, e, cp. Dado que
r=psencp,
podemos usar la Fórmula (2) para obtener x, y, z en función de las coordenadas esféricas p, e, cp.
DEFINICIÓN Las coordenadas esféricas de (x, y, z) son (p, 8, cj;) y se definen como sigue:
X= pSencj;COSe,
y=psencpsene'
z=pcoscp
(3)
donde
p?:
:
O, o::
::;
e< 2rr,
o::
::;
cp::
::;
1[.

66 Cálculo vectorial
a) Calcular las coordenadas esféricas del punto (1, - 1, l) y dibujarlo.
b) Calcular las coordenadas cartesianas del punto (3, n/6, n/4) dado en coordenadas esféricas
y dibujarlo.
e) Consideremos el punto (2, -3, 6) en coordenadas cartesianas. Calcular sus coordenadas
esféricas y dibujarlo.
d) Consideremos un punto dado en coordenadas esféricas (1, - n/2, n/4). Calcular sus coorde­
nadas cartesianas y dibujarlo.
Solución
(") (-1
)n7n
e=2n+arctan � =2n+arctan -
�
- =2n-4=4'
4; = arccos (�) = arccos (
1
¡;:;
-J;:
:::
0,955 � 54,74°.
P
v.J/
Véase la Figura 1.4.6(a) y la expresión para e deducida de la Fórmula (1).
b) x= psen c/Jcose= 3sen(�)cos(�)= 3( �)J3=
3
�,
4
6
'\/2 2 2.,)2
z= pcos4;=3cos(�)=_2_=
3
)2.
4
122
V
Véase la Figura 1.4.6(b).

(a)
(b)
y
X
4
X
Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
67
p=3
y
�jígufli:'J���;�;:¡• Cálculo de (a) las coordenadas esféricas del punto (1. - 1. 1) y (b) las coordenadas cartesianas
de (3. n/6, n/4).
e= 2n: + arctan (�)= 2n: + arctan(�3) ::
::::
5,3004 radianes ::
::::
303,69
°
,
cjJ= arccos (�) = arccos (�) ::
::::
0,541 ::
::::
31,0
°
.
Véase la Figura 1.4.7(a).
(a)
z
(b)
z
7
y
y
X
X
����������¡��� Cálculo de (a) coordenadas esféricas del punto (2. -3. 6) y (b) coordenadas cartesianas de
(1, - n/2, n/4).
(7!)(7!)(fi)
d) x=psencpcose=1sen ¡ cos -2
=
2 ·O=O,
y=psencjJsene= 1sen(¡)sen(-�)=(v;)e-1) =
_fi
2
z=pcos4>=1cos(¡)=f.
Véase la Figura 1.4.7(b).

68 Cálculo vectorial
das esféricas.
Solución
Expresar a) la superficie xz = 1 y b) la superficie x
2
+l-l =lencoordena-
DelaFórmula(3),x = psencpcos8,yz=pcoscp, yasílasuperficiexz = 1dea)estáformada
por los puntos p, 8, e/> tales que
p2 sen cpcos 8cos el>= 1,
esto es,
p2sen2cpcos8 =2.
Para el apartado b) podemos escribir
de modoque la superficie esp2(l-2cos2e/>)=1;estoes, - p2cos(2c/>)= l.
Asociados a las coordenadas cilíndricas y esféricas existen vectores unitarios que se corres­
ponden con i, j y k en las coordenadas rectangulares. Se muestran en la Figura 1.4 .8. Por ejem­
plo, er es el vector unitario paralelo al plano xy que tiene dirección radial, de manera que
er = (cos 8)i + (sen B)j. Del mismo modo, en coordenadas esféricas, eq, es el vector unitario tan­
gente a la curva parametrizada por la variable e/> manteniendo fijas las variables p y 8. Utilizare­
mos estos vectores unitarios más adelante cuando usemos coordenadas cilíndricas y esféricas en
cálculos vectoriales.
(a)
X
z
(b)
z
X
(a) Vectores ortonormales er. e0 y ez asociados con las coordenadas cilíndricas. El vector er
es paralelo a la recta r. (b) Vectores ortonormales eP e0 y e, asociados con las coordenadas
esféricas.
l. a) Los siguientes puntos vienen dados en coordenadas cilíndricas; expresar cada uno en coordena­
das rectangulares y esféricas: (1, 45°, 1), (2, n/2, -4), (0, 45°, 10), (3, n(6, 4), (1, n/6, 0) y
(2, 3n/4, - 2).
b) Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y es­
féricas: (2, 1, -2), (0, 3, 4), c,/2. 1, 1), ( 2}3, -2, 3).
2. Describir el significado geométrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas cilíndricas:

a) (r, e. z)--+(r, e, - z).
b) (r,e,z)..
....
(r,e+71, -z).
e) (r,e,z)..
....
(-r,e -n/4,z).
(:apítyl9l-. ,�a, geometría del espacio euclídeo
69
:.
.
,, ••
' 1 ···---··- --·�'
3. Describir el significado geométrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas esféricas:
a) (p,e,fjJ)-t(p,e+n, f/J).
b) (p,e.f/J)..
....
(p,e,n -f/Jl.
e) (p,e,fjJ)-t(2p,e+n/2, f/J).
4. a) Describir las superficies dadas en coordenadas cilíndricas: r= constante, e= constante y z =cons­
tante.
b) Describir las superficies dadas en coordenadas esféricas: p =constante, e= constante y fjJ =cons­
tante.
5. Demostrar que para representar cualquier punto de IR3 mediante coordenadas esféricas basta tomar
valores de 8 entre O y 2n, valores de fjJ entre O y n, y valores de p ?e O. ¿Son únicas estas coordena­
das si admitimos que p :( O?
6. Usando coordenadas cilíndricas y Jos vectores ortonormales (ortogonales normalizados) e" ee y ez
(véase la Figura 1.4.8),
a) expresarcadaunodelosvectorese"e6yezenfuncióndei,j,ky(x,y,z);y
b) calcular e8 x j analíticamente, usando la parte a), y geométricamente.
7. Usando coordenadas esféricas y los vectores ortonormales (ortogonales normalizados) eP, e8 y e,¡,
(véase la Figura 1.4.8 (b)),
a) expresar cada uno de los vectores eP, e8 y e,¡, en función de i, j, k y (x, y, z); y
b) calcular e8 x j y e,¡, x j analítica y geométricamente.
8. Expresar el plano z = x en coordenadas a) cilíndricas y b) esféricas.
9. Demostrar que en coordenadas esféricas:
a) peslalongituddexi+yj+zk.
b) fjJ =arccos(v · k/llviiJ. donde v = xi + yj + zk.
e) e = arccos(u · i/llull). donde u = xi + yj.
10. Dos superficies están descritas en coordenadas esféricas por medio de dos ecuaciones p =¡ce, fjJ) y
p = - 2f(B, fjJ), donde f(e, cp) es una función de dos variables. ¿Cómo se obtiene geométricamente
la segunda superficie a partir de la primera?
11. Una membrana circular en el espacio está sobre la región x2 + l :( a2 El valor máximo de la com­
ponente z de los puntos de la membrana es b. Supongamos que (x, y, z) es un punto de la membrana.
Demostrar que ese punto expresado en coordenadas cilíndricas (r, e, z) satisface las condiciones
o:(r:(a,o:(e:(271,lzl:(b.

70 Cálculo vectorial
1.5.
12. Un tanque que tiene forma de cilindro circular recto de radio 3 m y altura 5 m está lleno hasta la
mitad de líquido y reposa de lado. Describir el espacio vacío dentro del tanque eligiendo un sistema
adecuado de coordenadas cilíndricas.
13. Se va a diseñar un vibrómetro que soporte los efectos del calentamiento de su cubierta esférica de
diámetro d, que debe enterrarse a una profundidad de d/3 en la tierra y cuya parte superior estará
calentada por el sol (suponemos que la superficie terrestre es plana). El análisis de la conducción del
calor requiere una descripción de la parte enterrada de la cubierta en coordenadas esféricas. Encon­
trarla.
14. Un cartucho de filtro de aceite es un cilindro recto circular poroso dentro del cual el aceite se difunde
desde el eje hacia la superficie curvada e xterior. Describir el cartucho en coordenadas cilíndricas si el
diámetro del filtro es de 11,4 cm, la altura de 14,2 cm y el centro del cartucho está taladrado (a lo
largo) desde arriba para permitir la entrada de un perno de � cm de diámetro.
15. Describir la superficie que en coordenadas esféricas viene dada por p = cos 28.
El espacio euclídeo n-dimensional
Vectores en el espacio n-dimensional
En las Secciones 1.1 y 1.2 estudiamos los espacios IR = IR 1, IR2 y IR3• y dimos sus interpretacio­
nes geométricas. Por ejemplo, un punto (x, y, z) en IR3 se puede pensar como un objeto geomé­
trico, a saber, el segmento recto dirigido o vector que sale del origen y termina en el punto (x, y,
z). Por consiguiente, podemos pensar IR3 de cualquiera de estas dos formas:
i) Algebraicamente, como un conjunto de temas (x, y, z) donde x. y y z son números reales.
ii) Geométricamente, como un conjunto de segmentos rectos dirigidos.
Estas dos formas de ver IR3 son equivalentes. Para una generalización, es más fácil usar la
definición i). Precisamente, podemos definir IR'\ donde n es un entero positivo (posiblemente
mayor que 3), como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas (x1, x2, ... , X11 ), donde los X¡ son
números reales. Por ejemplo, (1, Js, 2, ..j3) E IR4.
El conjunto IR11 así definido se conoce como espacio euclídeo n-dimensional, y sus elemen­
tos, que se denotan x = (x¡, x
2, . .. , X11 ) , se llaman vectores n-dimensionales o, simplemente, vec­
tores. Tomando n = 1, 2 o 3, obtenemos la recta, el plano y el espacio tridimensional, respecti­
vamente.
Comenzaremos nuestro estudio del espacio euclídeo n-dimensional introduciendo varias
operaciones algebraicas. Éstas son análogas a las introducidas en la Sección 1.1 para IR2 y IR3.
Las dos primeras, suma y multiplicación por escalares, se definen como sigue:
y,
ii) para cualquier número real r:x,
La importancia geométrica de estas operaciones en el caso de IR2 y IR3 ya se discutió en la Sec­
ción 1.1.

Los n vectores
Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
71
e1=(1,O,O, ..., 0),e2=(0,1,O, ..., 0), ..., en=(0,O, ..., O,1)
se llaman vectores de la base canónica de IR", y generalizan los tres vectores unitarios ortogonales
i,j,kdeIR3.Elvectorx=(x1, x2, ..., xn)sepuedeescribircomox=x1e1+x2e2+ ·
· · +xnen-
Para dos vectores x = (x1, x2, x3) e y = (y1, Yz, y3) de IR3, definimos el producto escalar x ·y
como el número real x ·y = x1y1 + XzY2 + x3y3. Esta definición se generaliza fácilmente a IR";
precisamente, para x = (x1, x2, ..., x,) e y = (y1, y2, •.., Yn), definimos el producto escalar de x e
y como x·y = x1y1 + X2)'z + · · · + XnYn - En IRn, se utiliza con frecuencia la notación (x, y) en
lugar de x·y para el producto escalar.
Continuando la analogía con IR3, definimos la noción de longitud o norma de un vector x
mediante la fórmula
Longituddex=llxll=vri =Jxf+xa+···+x�.
Si x e y son dos vectores del plano (IR2) o del espacio (IR3), sabemos que el ángulo entre
ambos viene dado por la fórmula
x·y
cos8= �-
-
..
llxii iiYII
El lado derecho de esta ecuación se puede definir en IR
n
del mismo modo que en IR
2
o IR3. Sigue
representando el coseno del ángulo entre x e y; este ángulo está geométricamente bien definido,
puesto que x e y están en un subespacio bidimensional de IR
n
(el plano determinado por x e y) y
nuestras ideas geométricas habituales son válidas en estos planos.
Será útil disponer de algunas propiedades algebraicas del producto escalar. Éstas se resumen
en el siguiente teorema [compárense con las propiedades (i), (ii), (iii) y (iv) de la Sección 1.2].
DEMOSTRACIÓN Cada una de las cuatro afirmaciones se puede probar mediante un cálculo
sencillo. Por ejemplo, para probar la propiedad (i) escribimos:
(cxx+fJy)•Z =(cxx¡+fJYJ>CXX2+fJyz, ..., cx
x
n + fiYn) ·(Z¡, Z2, ...
, Zn)
=(CX
X
¡+fJy¡)Z¡+(cx
x
2+fJY2)Z2+·· ·
+(cx
x
, + fiyn)Zn
=CX
X
¡Z¡+fJy¡Z¡+CXX2Z2+fJYzZ2+· ··
+CX
X
nZn + fJYnZn
= cx(x•z)+fJ(y•z).
Las otras demostraciones son similares.

72 Cálculo vectorial
En la Sección 1.2, probamos una interesante propiedad del producto escalar conocida como
desigualdad de Cauchy-Schwarz4. Para IR2la demostración requirió el uso de la ley de los cose­
nos. Para Rn podríamos utilizar este método, restringiendo nuestra atención a un plano en Rn.
Sin embargo, también podemos dar una prueba directa, completamente algebraica.
DEMOSTRACIÓN Sea a= y·y, y b = - x ·y. Si a= O, el teorema es claramente válido
porque entonces y= O y ambos lados de la desigualdad se reducen a O. Por tanto, podemos
suponer que a o¡!= O. Por el Teorema 3 tenemos:
O :o( (ax +by)·(ax +by)= a2x·x +2abx·y +b2y·y
= (y·y)2x·x- (y·y)(x·y)2.
Dividiendo por y·y se obtiene O :o:; (y·y)(x·x) - (x·y)2, esto es, (x·y)2 :o:; (x·x)(y ·y)=
llxi12IIYII2. Tomando raices cuadradas en ambos lados de esta desigualdad se llega al resultado
deseado.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz posee una consecuencia muy útil en términos de longi­
tudes. La desigualdad triangular en IR3 es clara geométricamente y ya se discutió en la Sección
1.2. La demostración analítica de la desigualdad triangular que dimos en la Sección 1.2 funcio­
na exactamente igual en !Rn y prueba lo siguiente:
Si el Teorema 4 y su corolario se desarrollan algebraicamente, se convierten en las siguien­
tes desigualdades útiles:
1n1(n)!/2(n)1/
2
LX;)!;:o:; .LXT Ll;
¡=l
¡=l
l=l
4 Algunas veces llamada desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, o simplemente desigualdad CBS, porque
fue descubierta independientemente en casos particulares por el matemático francés Cauchy, el matemático ruso Bunya­
kovskii y el matemático alemán Schwarz.

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
73
Sea x= (1, 2, O, -1) e y= ( -1, 1, l, 0). Comprobar para este caso el Teore­
ma 4 y su corolario.
Solución
X•y=1(-1)+2·1+0·1 +(-1)0=1
X+y=(0,3,1, -1)
Calculamos x ·y= 1 ::
::;
4,24 ::
:::
J6j3= llxii iiYII. lo que verifica el Teorema 4. Del mismo
modo podemos comprobar su corolario:
1\x+Yll=Jl
l
::
:::
3,32
::
::;
4,18= 2,45 + 1,73 ::
:::
J6 + ./3= lixll + IIYII-
Por analogía con IR3, podemos definir la noción de distancia en !Rn; a saber, si x e y son
puntos de !Rn, la distancia entre x e y se define como jjx -yjj, la longitud del vector x -y. No
intentaremos definir el producto vectorial en !Rn excepto para n = 3.
Matrices generales
Para generalizar matrices 2 x 2 y 3 x 3 (véase la Sección 1.3) podemos considerar matrices
m x n que son ordenaciones de mn números:
l""
G¡2
"'" ]
A= a21 a22
a2n
aml am2
amn
También escribiremos A como (a,:;]. Definimos suma y multiplicación por un escalar compo­
nente a componente, como hicimos con los vectores. Dadas dos matrices m x n, A y B, pode­
mos sumarlas para obtener una nueva matriz m x n, C = A + B, cuyo ij-ésimo elemento C;j es
lasumadeaijybij.EsclaroqueA+B=B+A.

74
Cálculo vectorial
a) G 4�J+[-���J=G
b) [1 2]+[O -1]=[1 1].
e) [� �J-[� �]=[� �J.
2
43]8.
Dado un escalar A y una matriz m x n, A, podemos multiplicar A por ). para obtener una
nueva matriz m x n, M = e, cuyo elemento ij-ésimo es el producto AaiJ·
-
3
3
o
Pasamos ahora a la multiplicación de matrices. Si A = [aiJ] y B = [b¡i] son matrices n x n,
el producto AB = e tiene como elementos
n
ciJ = I a;,Pki'
k�J
que es el producto escalar de la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B:
columnaj-ésima
¡
bu
fila i-ésima
bnl
Sean
A�
[i
o
�] B�
[!
l
n
1
y
o
o
Entonces,
AB�
[�
4
�] BA�
[;
1
n
2
y
o
Nótese que AB 'i"' BA.
bln
bnn

Capítulo i . La geometría del espacio euclídeo
75
De manera análoga, podemos multiplicar una matriz m x n (m filas, n columnas) por una
matriz n x p (n filas, p columnas) mediante la misma regla, para obtener una matriz m x p (m
filas, p columnas). Nótese que para que AB esté definido, el número de columnas de A debe ser
igual al número de filas de B.
Sean
A=
[��JB
�
[�
o
n
o
2
y
Entonces,
AB= C
1
�l4
y BA no está definido.
Sean
A�
lrlyB=[2 2
2].
Entonces,
AB�
l�
2
fl4 2
21
y
BA= [13].
63
Cualquier matriz m x n, A, determina una aplicación de IRn en IRm definida como sigue: sea
x= (x1, ..., x
n
) E IRn; consideremos la matriz columna n x l asociada a x, que denotaremos mo­
mentáneamente como x
T
y multipliquemos A por x
T
(considerada como una matriz n x l) para obtener una nueva matriz
mx1:

76 Cálculo vectorial
que corresponde al vector y= (y1, ••• , Y
m
) 5. Así, aun cuando pueda causar alguna confusión,
escribiremos x= (x1, ••. , xn) e y= (y1, •.•,y� como matrices columna
cuando se trate de multiplicación de matrices; esto es, identificaremos estas dos formas de escri­
bir vectores. Por tanto, suprimiremos la T de x
r
y consideraremos iguales x
T
yx.
Así, Ax= y «realmente» significará lo siguiente: se escribe x como una matriz columna, se
multiplica por A, y el vector y tiene como componentes las de la matriz columna resultante. La
regla x -+ Ax define entonces una aplicación de ¡p¡n en ¡p¡m. Esta aplicación es lineal, es decir,
satisface
A(x+y)=Ax+Ay
A(o:x)= o:(Ax),
o: un escalar,
como puede comprobarse fácilmente. En un curso de álgebra lineal se aprende que, recíproca­
mente, cualquier transfom1ación de ¡p¡n en ¡p¡m se puede representar de este modo mediante una
matriz m x n.
Sí A= [a,;¡] es una matriz m x n y e1 es el vector j-ésimo de la base canónica de ¡p¡n, enton­
ces Ae1 es un vector de ¡p¡m con componentes iguales a la j-ésima columna de A; esto es, la
componente i-ésima de Aei es aiJ. Simbólicamente, (Aej)i= aiJ.
Si
A=[-���].
212.
-121
entonces x -+ Ax de IR3 en IR4 es la aplicación definida por
5 Al usar una matriz A para obtener una aplicación de vectores x = (x¡, ..., x") a vectores y= (y1, ••• , yJ de acuerdo
con la ecuación Ax r
=y
r
, escribimos los vectores en forma de columna x
r
en lugar de en forma de fila (x1, ... , xJ. Este
repentino cambio de escribir x en forma de columna es necesario debido a las convenciones usuales sobre multiplica­
ción de matrices.

Capitulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
77
A continuación se ilustra lo que le sucede a un punto específico cuando se le
aplica una matriz 4 x 3:
2
5
2
Propiedades de las matrices
La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa: si A y B son matrices n x n en­
tonces, generalmente,
AB#BA,
como demuestran los Ejemplos 1.48, 1.49 y 1.50.
Una matriz n x n se dice invertible si existe una matriz B también n x n tal que
AB =BA =/"'
donde
1oo
o
o1o
o
1=
n
oo1
o
ooo
es la matriz identidad n x n: /11 tiene la propiedad de que I11e = e/n = e para cualquier matriz
e de orden n x n. Denotamos B por A-1 y llamamos a A- 1 la inversa de A. La inversa, cuando
existe, es única.
Si
4
2
o
entonces
1[
4
A-1 =
20
3
-6
-8
4
12
-
n
ya que AA-! = /3 =A -1A, como se puede comprobar multiplicando las matrices.
Los métodos para calcular inversas se aprenden en álgebra lineal; en este libro no se requie­
ren estos métodos. Si A es invertible, la ecuación Ax = y se puede resolver y despejar x multi­
plicando ambos lados por A -1 para obtener x =A - 1y6.
6 De hecho, la regla de Cramer de la Sección 1.3 proporciona un método para invertir matrices. Otros más eficien­
tes desde un punto de vista numérico, basados en métodos de eliminación, se aprenden en álgebra lineal o en cálculo
numérico.

78 Cálculo vectorial
En la Sección 1.3, definimos el determinante de una matriz 3 x 3. Éste se puede generalizar
por inducción a determinantes n x n. Mostramos aquí cómo escribir el determinante de una ma­
triz 4 x 4 en función de los determinantes de matrices 3 x 3.
G¡¡ al2 a13 a¡4
a22 a23 a24
a21 a23 a24
a21 a22 a23 a24
=a¡¡ a32 a33 a34
a¡2 a3J a33 a34
a31 a32 a33 a34
a42 a43 a44
a41 a43 a44
a4¡ a42 a43 a44
a2J
a22 a24
a21 a22 a23
+aJ3 a31 a32 a34 -a¡4 a31 a32 a33
a41 a42 a44
a41 a42 a43
(véase la Fórmula (2) de la Sección 1.3; los signos se alternan: +, -, +, - ) .
Las propiedades básicas de los determinantes 3 x 3 que se repasaron en la Sección 1.3 son
válidas para determinantes de una matriz n x n. En particular, si A es una matriz n x n y Bes la
matriz formada al sumar un múltiplo escalar de una fila (o columna) de A a otra fila (o columna,
respectivamente) de A, entonces el determinante de A es igual al determinante de B (véase el
Ejemplo 1.54).
Un teorema básico del álgebra lineal afirma que si A es una matriz n x n, A es invertible si
y sólo si su determinante no es cero. Otra propiedad básica es que el determinante es multiplica­
tivo: det (A B) = (detA)(det B). En este texto no utilizaremos demasiada álgebra lineal, de modo
que dejaremos sin demostrar estas afirmaciones.
Sea
Hallar detA. ¿Tiene A inversa?
Solución
A= [�
O
l�]
2
o1.
1
o2
Al sumar ( - 1) x la primera columna a la tercera columna, tenemos
ooo
1
o
o
detA=
=11
-
2
21-21
1-12
1-12
Sumando ( -1) x la primera columna a la tercera columna de este determinante 3 x 3 obtenemos
detA =
o
-2
-]
o
¡-2
o=
-1
1
Así, detA = -2 #O y, por tanto, A tiene inversa.
o¡
=-2
1
.

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
79
Si tenemos tres matrices A, By C tales que los productos AB y BC están definidos, entonces
los productos (AB)Cy A(BC) también están definidosy son, de hecho, iguales (esto es, la multi­
plicación de matrices es asociativa). Llamamos a esto triple producto de matrices y lo denota­
mos por ABC.
Sea
A=
GlB=[1 1]
Entonces,
�][�
y
C=
GJ
ol
=
[2o
].
o_j
1o

80
Cálculo vectorial

82
Cálculo vectorial
l. Calcularelproducto escalar dex=(1, -1,O,2)EIR4ey=(1,2,3,4)EIR4.
2. En IR" demostrar que
a) 2[jx[[2 + 2\lyll2= llx + Yll2 + lix- Yll2 (Esto se conoce como la ley del paralelogramo.)
b) llx-Yllllx +Yli:;:
:;
llxll2 + IIYII2.
e) 4<x, y)= llx + y[[2 - [[x- y[[2 (Esto se llama identidad de polarización.)
Interpretar estos resultados geométricamente en términos del paralelogramo formado por x e y.
Comprobar que se cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular para los vecto­
res de los Ejercicios 3 al 6.
3. x=(2,O, -1),y=(4,O,-2).
4. x =(1,0,2,6),y=(3,8,4,1).
5. x=(1, -1,1, -1,1),y=(3,O,O,O,2).
6. x=(1,O,O,1),y=( -1,O,O,1).
7. Calcular AB, detA, detB, det(AB) y det(A + B) para
-1 o]
32
11
y
8. Calcular AB, detA, detB, det(AB) y det(A + B) para
[3o
A=12
lo
y
[1o
B=2O
o1
9. Usar inducción en k para probar que si X¡, .. ., xk E IR", entonces
-1]
l.
o

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
83
10. Probar, usando álgebra lineal, la identidad de Lagrange: para números reales x1, .. . , xn y y1, . . . , Yn-
(.I X;Y;)
2
=
(Ixf)(Il)- L (x¡yJ- x¡yf
¡=}
¡=}
¡=}
1<)
Usar esto para dar otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en IRn.
11. Probar que si A es una matriz n x n, entonces
b) si Bes una matriz obtenida a partir de A multiplicando cualquier fila o columna por un escalar Á,
entonces det B = }, detA.
En los ejercicios del 12 al 14, A, B y e denotan matrices n X n.
12. ¿Es cierto que det (A + B) = det A + detB? Dar una demostración o encontrar un contraejemplo.
13. ¿Es cierto que(A +B)(A-B) = A2-B2?
14. Suponiendo cierta la ley det(AB) = (det A)(detB) , demostrar que det (ABC) = (detA.)(detB)(det C) .
15. (Este ejercicio supone el conocimiento de la integración de funciones continuas de una variable.) Ob­
sérvese que la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Teorema 4) depende únicamente
de las propiedades del producto escalar enumeradas en el Teorema l. Usar esta observación para
establecer la siguiente desigualdad para funciones continuas f, g: [0, 1]- > IR:
1S:f(x)g(x) dxl � S: [f(x)]2dx JJ: [g(x)]2dx.
Hacer esto
a) Comprobando que el espacio de funciones continuas de [0, 1) en IR es un espacio vectorial; es
decir, podemos pensar en las funciones f, g en abstracto como «vectores» que se pueden sumar
entre sí y multiplicar por escalares.
b) Introduciendo el producto escalar de funciones
¡.g = L f(x)g(x) dx
y comprobando que satisface las condiciones (i) a (iv) del Teorema 3.
16. Si A es una matriz n x n se defme su traspuesta, A T, como sigue: el elemento ij-ésimo de A T es aJi,
donde a;; es el ij-ésimo elemento de A. Demostrar que AT se caracteriza por la siguiente propiedad:
para cada x, y de IRn,
17. Comprobar que la inversa de
.es

84 Cálculo vectorial
18. Usar la respuesta del Ejercicio 17 para demostrar que la solución del sistema
az+by=e
cx+dy=f
es
19. Suponiendo cierta la ley det(AB) =(detA)(detB), verificar que (detA)(detA -t) = 1 y concluir que,
si A tiene inversa, entonces detA # O.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1
l. Sea v= 3i+4j+5k y w = i- j+k. Calcular v + w, 3v, 6v+8w, -2v, v·w, v x w. Interpretar
cada operación geométricamente dibujando los vectores.
2. Repetir el Ejercicio 1 con v= 2j+k y w= -i- k.
3. a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 2, - l) y tiene dirección j.
b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, 2, -1) y (-3, 1, 0).
e) Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector (-2, 1, 2) y que pasa por el punto ( -1, 1, 3).
4. a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, l, O) y tiene dirección 3i+k.
b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, 1, 1) y (0, l, 0).
e) Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector ( -1, 1, -1) y que pasa por el punto (1, 1, 1).
S. Calcular v · w para los siguientes conjuntos de vectores:
a) v= -i+j;w=k.
b) V= Í+2j - k; W=3i+j.
e) v=-2i- j+k;w=3i+2j- 2k.
6. Calcular v x w para los vectores del Ejercicio 5.
7. Hailar el coseno del ángulo que forman los vectores del Ejercicio 5.
8. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores del Ejercicio 5.
9. Usar notación vectmial para describir el triángulo en el espacio cuyos vértices son el origen y los
extremos de los vectores a y b.

Capítulo 1 . La geometría del espacio euclídeo
85
10. Demostrar que los tres vectores a, b, e están en el mismo plano que pasa por el origen si y sólo si
existen escalares a, {3, J', no todos cero, tales que aa + {Jb + yc = O.
11. Para los números reales a1, a2, a3, b1, b2, b3, demostrar que
12. Sean u, v, w vectores unitarios ortogonales entre sí. Si a = au + {Jv + yw, demostrar que
ex= a·u,
{3=a·v,
y= a·w.
Interpretar el resultado geométricamente.
13. Sean a, b dos vectores en el plano, a =(a¡, a2), b =(b1, b2), y sea le un número real. Demostrar que
el área del paralelogramo determinado por a y b + }.a es la misma que la del paralelogramo determinado
por a y b. Hacer un esbozo. Relacionar este resultado con una propiedad conocida de los determinantes.
14. Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vértices (0, 1, 0), (l, 1, 1 ), (0, 2, O) y
(3, 1, 2).
15. Dados dos vectores distintos de cero a y b en IH
3
, demostrar que el vector v = l!a!lb + l!b!!a biseca el
ángulo que forman a y b.
16. Usar métodos vectoriales para probar que la distancia del punto (x¡, y1) a la recta ax + by = e es
iax1+by1-el
Ja2
+b
2
17. Comprobar que la dirección de b x e viene dada por la regla de la mano derecha, escogiendo b, e
entre los vectores i, j y k.
18. a) Supongamos que a·b = a'·b para todo b. Demostrar que a = a'.
b) Supongamos que a x b=a' x b para todo b. ¿Es cierto que a=a'?
19. a) Usando métodos vectoriales demostrar que la distancia entre dos rectas no paralelas 11 y 12 viene
dada por
donde v1 y v2 son dos puntos cualesquiera en 11 y 12, respectivamente, y a1 y a2 son las direccio­
nes de !1 y 12. [INDICACióN: Considérese el plano que contiene a 12 y es paralelo a l1• Demostrar
que el vector (a1 x a2)/!la1 x a2!1 es normal unitario a este plano; ahora, proyectar v2 - v1 sobre
esta dirección normal.]
b) Hallar la distancia entre la recta !1 determinada por los puntos ( -1, -1, 1) y (0, O, 0), y la recta
/2 determinada por los puntos (0, -2, O) y (2, O, 5).
20. Demostrar que dos planos dados por las ecuaciones Ax+By+ Cz+ D1 =O y Ax+By+ Cz + D2=O
son paralelos, y que la distancia entre ellos es

86 Cálculo vectorial
21. a) Demostrar que el área del triángulo en el plano con vértices (X¡, y1), (x2 , }2), (x3, y3) es el valor
absoluto de
b) Hallar el área del triángulo con vértices (1,2), (0, l), (-1,1).
22. Transformar los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas y dibu­
jarlos:
a) (0,3, 4)
b) c-)2, r, o)
e) (O,O,0)
d) (-1,0,1)
e) (-2.)3, -2,3)
23. Transformar los siguientes puntos dados en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y esféri­
cas, y dibujarlos:
a) (1,n /4,1)
b) (3,n/6, -4)
e) (0,n/4. l)
d)(2,-n/2,l)
e) (-2, n/2,1)
24. Transformar los siguientes puntos de coordenadas esféricas a cartesianas y a cilíndricas. Dibujarlos:
a) (1, n/2, n)
b) (2,- n/2,n/6)
e) (0,n/8, n/35)
d) (2, -n/2, -n)
e) (- l, n,n/6)
25. Reescribir la ecuación z = x2 - l utilizando coordenadas cilíndricas y esféricas.
26. Utilizando coordenadas esféricas, probar que
(u·k)
cjJ=arceas --
lluil
donde u = .xi + yj + zk. Dar una interpretación geométrica.
27. Verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular para
X =(3,2,1' O) e
y=(1, l, l, 2).
28. Multiplicar las matrices
y
¿Es cierto que AB =BA?
29. a) ProbarquesiAyBsondosmatricesnxnyxEIR:n,
(A B)x =A(Bx).

Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo
87
b) ¿Qué implica la igualdad del apartado a) respecto a la relación entre la composición de las aplica­
ciones x --+ Bx, y --+Ay y la multiplicación de matrices?
30. Hallar el volumen del paralelepípedo generado por los vectores
(1,O,1), (1,1,1)
y (-3,2,0).
31. (Para estudiantes con algún conocimiento de álgebra lineal.) Comprobar que una aplicación lineal T de
!Rn en Rn está determinada por una matriz n x n.
32. Hallar la ecuación del plano que contiene a (3, -1, 2) y a la recta de ecuación v=(2, -1, O)+t(2, 3, 0).
33. El trabajo W realizado al mover un objeto desde (0, 0) a (7, 2) sujeto a una fuerza constante Fes
W = F· r, donde res el vector con final en (7, 2) e inicio en (0, 0). Las unidades son metros y kilos.
a) Supongamos la fuerza F= 1O cos Oi+ lO sen Oj. Hallar W en función de O.
b) Supongamos que la fuerza Ftiene una magnitud de 6 kilos y forma un ángulo de n/6 rad con la
horizontal, apuntando a la derecha. Calcular W en kilos-metros.
34. Si una partícula con masa m se mueve con velocidad v, su momento es p = mv. En un juego de
canicas, una canica con masa 2 gramos (g) se tira con velocidad 2 metros por segundo (m/s), choca con
dos canicas de masa 1 g cada una y queda inmóvil. Una de las canicas sale con una velocidad de 3 m/s
formando un ángulo de 45° con la dirección incidente de la canica grande, como en la Figura l.R.l. Supo­
niendo que el momento total antes y después de la colisión es el mismo (de acuerdo con la ley de conser­
vación del momento), ¿con qué velocidad y ángulo se movió la segunda canica?
3m/s /
2mls
\l/� �/4
----41
1
8..
..
--,.
._�
)'--.;
;
C:
:::.
--.l.-
---
2g
/\\.�
35. Demostrar que para todo x, y, z,
36. Demostrar que
X+2 y
Z
z
y+1 10
5
5
2
si x, y y z son distintos.
37. Demostrar que
66 628 246
88 435 24
2-1 1
Momento y canicas.
y x+2
z
1 z-x- 2 10-z
5
5
2
?
Xx-
yl#O
zi
68 627 247
86 436 23
2-1

88 Cálculo vectorial
38. Demostrar que
n
n+l n+2
n+3 n+4 n+5
n+6 n+? n+8
tiene el mismo valor sin importar cuánto valga n. ¿Cuál es este valor?
39. El volumen de un tetraedro con aristas concurrentes a, b, e viene dado por V= �a· (b x e).
a) Expresar el volumen como un determinante.
b) Calcular V cuando a=i + j+k, b=i -j+k, e= i+j.
Usar la siguiente definición para los Ejercicios 40 y 41: sean r¡, .. . , rn vectores en !R3 desde O a las masas
m1, .• ., mw El centro de masa es el vector
I m¡r¡
i=l
c=
-
n
--·
Im¡
i=l
40. Un tetraedro dado en coordenadas xyz tiene un vértice en (0, O, O) y las tres aristas concurrentes en
(0, O, O) coinciden con los vectores a, b, c.
a) Dibujar una figura y marcar el final de los vectores a, b, c.
b) Hallar el centro de masa de cada una de las caras triangulares del tetraedro si se coloca una masa
unidad en cada uno de los vértices.
41. Demostrar que para cualquier vector r, el centro de rnasa de un sistema satisface
i=l
i=1
donde m= I m¡ es la masa total del sistema.
i=l
En los ejercicios del 42 al 47, hallar un vector unitario que tenga la propiedad dada.,
42. Paralelo a la recta x=3t+1, y=16t - 2, z= - (t+2).
43. Ortogonalalplanox-6y+z=12.
44. Paralelo a los planos 8x+y+z= 1 y x - y
-
z =O.
45. Ortogonalai+2j-kyak. '
46. Ortogonalalarectax=2t-1,y = -t
-
1,z =t+2,yalvectori-j.
47. Formando un ángulo de 30° con i y ángulos iguales con j y k.

Diferenciación
Me al<Uo con pánico y terror de las malditas funciones que no tienen
derivadas.
���
En una carta a Thomas Jan Stielljes.
E ste capítulo extiende los principios del cálculo diferencial de funciones de una variable a
funciones de varias variables. Comenzarnos en la Sección 2.1 con la geometría de las fun­
ciones con valores reales y estudiamos las gráficas de estas funciones como ayuda para visuli­
zarlas. La Sección 2.2 da las definiciones básicas relativas al límite y la continuidad. Este tema
se trata con brevedad, ya que desarrollarlo completamente requiere tiempo y madurez matemáti­
ca, y por lo tanto es mejor dejarlo para cursos más avanzados. Afortunadamente no es necesario
llegar a comprender todos los detalles del concepto de límite para nuestros propósitos; el estu­
diante que encuentre dificultades en esta sección debe tenerlo en cuenta. Hay que añadir, no
obstante, que la noción de límite es básica en la definición de derivada, pero no en el cálculo de
la mayor parte de las derivadas en problemas específicos, como ya sabemos del cálculo de una
variable. Las Secciones 2.3 y 2.5 abordan la definición de derivada y fijan algunas reglas bási­
cas del cálculo, a saber: cómo diferenciar una suma, producto, cociente o composición. En la
Sección 2.6 estudiamos derivadas direccionales y planos tangentes relacionando estas ideas con
las de la Sección 2.1. Finalmente, el suplemento de Internet da algunas demostraciones técnicas.
Al generalizar el cálculo de una a varias dimensiones es conveniente, a menudo, utilizar el
lenguaje del álgebra de matrices. Todo lo que necesitaremos se ha resumido en la Sección 1.5.

90 Cálculo vectorial
2. 1. La geometría de las funciones con valores reales
Comenzamos nuestro estudio de funciones con valores reales desarrollando métodos para visua­
lizarlas. En particular, presentamos las nociones de gráfica, curva de nivel y superficie de nivel
de dichas funciones.
Funciones y aplicaciones
Sea funa función cuyo dominio es un subconjunto A de IRn y con recorrido contenido en IRm .
Con esto queremos decir que a cada x = (x1, ..., x
n
) E A, f asigna un valor j(x), una m-tupla
de IRm. Estas funciones f se denominan funciones con valores vectoriales1 si m > 1, Y fun­
ciones con valores escalares si m= l. Por ejemplo, la función con valores escalares f(x, y, z)
= (x2+y2+ir:-3/2llevaelconjuntoAde(x,y,z)=1=(0,O,0)deIR3(n=3enestecaso)enIR
(m= 1). A veces denotamos fpor medio de
Nótese que en IR3 utilizamos a menudo la notación (x, y, z) en vez de (x1, x
2
,x
3
). En general,
la notación x---> f(x) es útil para indicar el valor al que se envía el punto x E IRn. Escribimos
f
:
AeIRn--
->
IRm para indicar que A es el dominio de f(un subconjunto de IRn) y que el recorri­
do está contenido en IRm. También usamos la expresión faplica A en IRm. Estas funciones fse
llaman funciones de varias variables si A e IRn, n > l.
Otro ejemplo: tomamos la función con valores vectoriales g: IR6 --
->
IR2 definida por la regla
La primera coordenada del valor de g en x es el producto de las coordenadas de x.
Las funciones de IRn en IRm no son solamente abstracciones matemáticas, aparecen de forma
natural en problemas que se estudian en todas las ciencias. Por ejemplo , dar la temperatura Ten
una región A del espacio requiere una función T
:
AeIR3--
->
IR(n=3,m= 1);esdecir,T(x,y,z)
es la temperatura en el punto (x, y, z). Dar la velocidad de un fluido que se mueve en el espacio
requiere una aplicación V: IR4--
->
IR3, donde V(x, y, z, t) es la velocidad del fluido en el punto
(x, y, z) del espacio en el instante t (véase la Figura 2.1.1). Para dar la velocidad de reacción de
una solución que contiene seis productos químicos en reacción A, B, C, D, E, F en proporciones
x, y, z, w, u, v se requiere una aplicación CJ: U e IR6--
->
IR, donde CJ(X, y, z, w, u, v) da la veloci­
dad cuando los productos químicos tienen las proporciones indicadas. Para dar el vector cardía­
co (el vector que indica la magnitud y la dirección de la corriente eléctrica del corazón) en el
instante t se requiere una aplicación e: IR --
->
IR3, t--
->
c(t).
1 Algunos matemáticos escribirían esta f en negrita, de la fonna f(x), ya que la función tiene valores vectoriales.
No lo hemos hecho así porque, personalmente, no nos gusta. Escribimos en negrita principalmente las aplicaciones que
son campos vectoriales, definidos más adelante. La noción de función se ha desarrollado a lo largo de varios siglos,
abarcando casos nuevos según aparecían. Por ejemplo, en 1667 James Gregory definió una función como <<una cantidad
que se obtiene de otras cantidades por una sucesión de operaciones algebraicas o por cualquier otra operación imagina­
ble». En 1775 Euler dio la definición siguiente: <<Si unas cantidades dependen de otras de forma tal que varíen siempre
que las últimas se hagan variar entonces las primeras se dicen funciones de las últimas».

y, z, t) = velocidad del fluido
Capítulo 2. Diferenciación
91
ii[�'fir:ll¡ Un fluido en movimiento define un campo vectorial V que da la velocidad de las partículas
del fluido en cada punto del espacio y en cada instante.
Cuando f: U e IRn--
->
IR, decimos que f es unafunc
i
ón den var
i
ables con valores reales y
dom
i
n
i
o U. La razón por la cual decimos «n variables>> es simplemente porque consideramos
las coordenadas del punto x = (x1, .. ., x
n
) E U como n variables y f(x) = f(x1, ..., x,J depende
de estas variables. Decimos «con valores reales>> porque f(x1, ... , x
n
) es un número real. Gran
parte de nuestro trabajo se llevará a cabo usando funciones con n valores reales, a las que, por
tanto, prestamos gran atención.
Gráficas de funciones
Sif:UeIR--
->
IR (n = 1), la gráfica de f es el subconjunto de IR2 formado por los puntos
(x, f(x)) del plano en los que x es un punto de U. Podemos interpretar este conjunto como una
curva en IR2. Simbólicamente escribimos
gráficaf={(x,f(x))EIR21xEU},
donde las llaves significan «el conjunto de todos» y la barra vertical se lee como «tales que».
Dibujar la gráfica de una función de una variable ayuda a visualizar el comportamiento de la
función (véase la Figura 2.1.2). Será útil generalizar la idea de gráfica de una función a varias
variables. Esto nos lleva a la siguiente definición:
DEFINICIÓN: Gráfica de una función Sea f: U e IRn--
->
IR. Definimos la gráfica de f
como el subconjunto de IRn+
1
formado por los puntos
de IRn+
1
en los que (x1, ..., x
n
) es un punto de U. Simbólicamente,
Para el caso n = 1 la gráfica es una curva en IR2 mientras que para n = 2 es una superficie
en IR3 (véase la Figura 2.1.2). Para n = 3 es difícil visualizar la gráfica, ya que, como vivimos
en un mundo tridimensional, nos resulta difícil imaginar conjuntos de IR4. A fin de superar esta
dificultad, presentamos la idea de conjunto de nivel.

92
Cálculo vectorial
y
Gráfica de f
--�-
--o----------o-----�
X
u
X
(a)
(b)
Las gráficas de (a) una función de una variable y (b) una función de dos variables.
Conjuntos de nivel, curvas y superficies
Supongamos que f(x, y, z) = :? + y2 +l. Un conjunto de nivel es un subconjunto de !R13 en el
que f es constante; por ejemplo, el conjunto en el que :? + l + i = 1 es un conjunto de nivel
de f Este conjunto sí podemos visualizarlo: es, exactamente, la esfera de radio l en IR13. Formal­
mente, un conjunto de nivel es el conjunto de (x, y, z) tales que f(x, y, z) = e, donde e es una
constante. El comportamiento o la estructura de una función quedan determinados en parte por
la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia, la comprensión de estos conjuntos nos
ayuda a entender la función en cuestión. Los conjuntos de nivel resultan también útiles para
entender las funciones de dos variables f(x, y), en cuyo caso hablamos de curvas de nivel.
La idea es similar a la que se usa para preparar mapas topográficos en los que se trazan
líneas que representan altitudes constantes; caminar sobre una de estas líneas significa caminar
sobre un camino horizontaL En el caso de una colina que se alza sol;)re el plano .:�.y una gráfica
de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función h(x, y) qué representa la altura
de la colina en cada punto (x, y) (véase la Figura 2.1.3).
(a)
(b)
Las curvas de nivel de una función se definen de la misma manera que las curvas de nivel
de un plano topográfico.
La función constante f: IR12-+ IR, (x, y) -+ 2, es decir, la función f(x, y) = 2, tiene
porgráficaelplanohorizontalz=2enIR13.La curvadeniveldelvaloreesvacíasie.¡,.2,yes
todoelplanosie=2.

Capítulo 2. Diferenciación
93
La función f: IR
2
-+ IR, definida por f(x, y) = x +y +2, tiene por gráfica el pla­
no inclinado z= x +y +2. Este plano interseca al plano X}' (z= O) en la rectay= -x
-
2y
alejezenelpunto(0,O,2).ParaunvaloreEIR,lacurvadeniveldevaloreesunalínearecta
y = - x +(e - 2); en símbolos, el conjunto
Le= {(x, y)jy= -x +(e-2)} e IR
2
.
Indicamos unas .cuantas curvas de nivel de la función en la Figura 2.1.4. Esto es un plano topo­
gráfico de la función f
Recta de
intersección del
planoz=x+y+2
yelplano;ry
fj[i��l������ Las curvas de nivel de f(x) = x +y+ 2 muestran
los conjuntos sobre los que f toma un valor dado.
A partir de las curvas de nivel marcadas con el valor o «altura» de la función se puede infe­
rir mentalmente la gráfica elevando cada curva de nivel a la altura apropiada sin estirarla, incli­
narla ni deslizarla. Si se visualiza este procedimiento para todas las curvas de nivel Le, es decir,
para todos los valores e E IR, se compondrá la gráfica de f completa, como indica el plano som­
breado de la Figura 2.1.5. Si se visualiza la gráfica utilizando un número finito de curvas de
nivel se construye un modelo topográfico. Si fes una función suave, su gráfica será una superfi­
cie suave y, por tanto, el modelo topográfico suavizado mentalmente da una buena idea de la
gráfica.
Curva de nivel elevada
a la superficie
-
�-
-
-
-:+y+2=2enelplano;ry
y
La relación entre las curvas de nivel de la Figura 2. 1 .4 con la gráfica de la función
f(x.y)= x+y+2. que es elplano z= x+y+2.

94
Cálculo vectorial
DEFINICIÓN: Curvas y superficies de nivel Sea f: U e !Rn--> IR y sea e E IR. Entonces,
el conjunto de nivel de valor e se define como el conjunto de los puntos x E U en los cuales
f(x)=c. Si n=2, hablaremos de curva de nivel (de valor e); y si n=3, hablaremos de
superficie de nivel. Con símbolos, el conjunto de nivel de valor e se escribe:
{x E U[f(x)=e} e IRt.
Nótese que el conjunto de nivel siempre está en el dominio de la función.
Describir la gráfica de la función cuadrática
Solución
La gráfica es el paraboloide de revolución z=x2 + /, orientado hacia arriba desde el origen y
alrededor del eje z. La curva de nivel de valor e es vacía para e <O; para e >O la curva de
nivel de valor e es el conjunto {(x, y) 1 x2 + l = e}, una circunferencia de radio Jc con centro
en el origen. Por tanto, elevado a la altura e sobre el plano xy, el conjunto de nivel es una cir­
cunferencia de radio Jc, lo que indica la forma parabólica (véanse las Figuras 2.1.6 y 2.1.7).
y
:>?+y2= ¡2
:>?+y2=22
:>?+y2=32
:>?+l
=
42
,if'iiáuíra'l�'f261�': Algunas curvas de nivel de
lafunciónf(x.y)=x2+y2
.
El método de las secciones
X
Las curvas de nivel de la
Figura 2.1 .6 elevadas a la gráfica,
Por sección de la gráfica de f entendemos la intersección de la gráfica con un plano (vertical).
Por ejemplo, si P1 es el plano xz de IR3, definido por y=O, entonces la sección de la función f
del Ejemplo 2.3 es el conjunto
P1 ngráfica f= {(x, y, z)[y =O, z = x2},

1
&fi!A�ulo 2. Diferenciación
95
que es una parábola en el plano xz. De igual forma, si P
2
denota el plano yz, definido por x = O,
entonces la sección
P
2
ngráfica f= {(x, y, z)\x =O, z=/}
es una parábola en el plano yz (véase la Figura 2.1.8). Suele ser conveniente calcular al menos
una sección para complementar la información dada por los conjuntos de nivel.
s,:z=Xl,y=o
--
--*
Y
X
La gráfica de la función cuadrática
f: IR2-+ IR,(x,y)-+x2- l
Dos secciones de la gráfica
def(x.y)=x
2
+ y2.
se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar, centrado o centrada en el origen. Dibujar su
gráfica.
Solución
Para visualizar esta superficie dibujamos primeramente las curvas de niveL Para determinar las
curvas de nivel resolvemos la ecuación x2 - l =c. Consideramos los valores e= O, ±1, ±4.
Para e= O tenemos l = x2 o y= ±x, por tanto este conjunto de nivel consiste de dos líneas
rectas que pasan por el origen. Para e=1 la curva de nivel es r- ·i=1, o y=±�.
que es una hipérbola que cruza verticalmente el eje x por los puntos(±1, O) (véase la Figura
2.1.9). De igual forma, para e= 4 la curva de nivel está definida por y= ± Jx2="4, que es la
hipérbola que cruza verticalmente el eje x en los puntos(±2, 0). Para e= - 1 obtenemos la
curva x2 - l = - l, es decir, x = ±JY2=1", la hipérbola que cruza horizontalmente el eje y
por los puntos (0, ±1). Y para e= -4 se obtiene la hipérbola que pasa por (0, ±2). Estas
curvas de nivel se muestran en la Figura 2.1.9. Dado que a partir solamente de estos datos no es
fácil visualizar la gráfica de f, calcularemos dos secciones como en el ejemplo previo. Para la
sección por el plano xz tenemos
P1 ngráfica f= {(x, y, z)\y=O, z= x2},
que es una parábola abriéndose hacia arriba; y por el plano yz
P
2
n gráfica f=
{
(x, y, z)lx=O, z= -l},

96
Cálculo vectorial
que es una parábola abriéndose hacia abajo. Ahora puede visualizarse la gráfica levantando las
curvas de nivel a las alturas apropiadas y tratando de imaginar una superficie suave que las con­
tenga. Calculando las secciones parabólicas podemos facilitar el situarlas de forma apropiada.
Este procedimiento genera la silla de montar hiperbólica que se indica en la Figura 2.1.1O.
Compárese ésta con las gráficas obtenidas mediante computador de la Figura 2.1.11 (nótese que
se ha cambiado la orientación de los ejes).
6
4
2
o
-2
-4
-6
z
-2
2
-2
La gráfica de z= x2 - y2 y sus curvas de nivel.
�Dril Curvas de nivel de la fUnción
f(x, y)= x2 - y2.
-1
Algunas curvas de nivel de la
gráfica de f(x, y)= x2- y
z
.
o
Ejex
2

Describir los conjuntos de nivel de la función
f: IR3
--
-
>IR,(x, y, z)--
->
x2 +l+i.
Solución
Capítulo 2. Diferenciación
97
Éste es el análogo tridimensional del Ejemplo 2.3. En este contexto, los conjuntos de nivel son
superficies en el dominio tridimensional IR3. La gráfica, en l!r, no puede visualizarse directa­
mente, sin embargo se pueden calcular sus secciones.
El conjunto de nivel de valor e es el conjunto
Le= {(x,y,z)1x2+l+i=e),
que es la esfera centrada en el origen con radio Jc para e > O, es un solo punto en el origen
parae=O,yesvacíaparae<O.Losconjuntosdenivelparae=O,1,4y9seindicanenla
Figura 2.1.12.
�-
--+
Y
Algunas curvas de nivel
X
def(x.y,z)=x
2
+y2+z2
.
Describir la gráfica de la función f: IR3 --
-
>IR definida por
f(x, y, z)= x2 + l-l,
que es el análogo tridimensional del Ejemplo 2.4, y que también se llama silla de montar.
Solución
Formalmente la gráfica de f es un subconjunto del espacio de cuatro dimensiones. Si denota­
mos los puntos de este espacio por (x, y, z, t), entonces la gráfica es
{(x, y, z, t)1t= x2 +l-l}.

98 Cálculo vectorial
Las superficies de nivel de f se definen como
Le= {(x,y,z)1x2+l i=e}.
Para e = O se obtiene el cono z = ± .,¡;!+? centrado en el eje z. Para e negativo, diga­
mos e = - a2, se obtiene z = ±vx2 + y2 + a2, que es un hiperboloide de dos hojas alrededor
del eje z, que corta al eje z en los puntos (0, O, ±a). Para e positivo, digamos e = b2, la superfi­
cie de nivel es el hiperboloide de revolución de una hoja alrededor del eje z definido por
z = ± Jx2 + l - b2, que interseca el plano xy en la circunferencia de radio lhl. Estas superfi­
cies de nivel se representan en la Figura 2.1.13.
X
X2+y2-z2=-]2
X2+j'-z2=02
X2 + y2-z2= ¡2
!iiiRI Algunas superficies de nivel de la función f(x. y, z) = x2 + y2 - z2
.
Se pu�tener otra perspectiva de la gráfica por medio de una sección. Por ejemplo, el
subespacio Sy=O = { (x, y, z, t) 1 y = O} interseca la gráfica según la sección:
Sy=Ongráficaf={(x,y,Z,t)1y=0,t =r
-
z2},
es decir, el conjunto de puntos de la forma (x, O, z, x2 - i), que se puede considerar como una
superficie en el espacio xzt (véase la Figura 2.1.14).
Hemos visto cómo los métodos de las secciones y de los conjuntos de nivel se pueden usar
para entender el comportamiento de una función y de su gráfica; estas técnicas pueden resultar
muy útiles a quien desee una visualización exhaustiva de datos complicados. Para realizar este
proceso existen muchos programas informáticos; mostramos los resultados de uno de estos pro­
gramas en la Figura 2.1.15.

_,2-zl=-!
Capítulo 2. Diferenciación
99
La sección de la gráfica de f(x. y
,
z)=x2+y2-z2segúnelplanoy=O.
(a)
2
Ejey O
-1
-2
-2
-1
o
Ejex
(e)
(b)
2
Gráfica generada por computador de z = (x2 + 3y2) exp (1 x2- y2) representada de tres
formas: (a) por secciones, (b) por curvas de nivel sobre la gráfica, (e) por curvas de nivel
en el plano zy.

1 00 Cálculo vectorial
l. Dibujar las curvas de nivel y las gráficas de las funciones siguientes:
a) f: IR2--
->
IR, (x,y)--
->
x -y+2
e) f: IR2--
->
IR,(x,y)--
->
-xy
b) f: IR2--
->
IR,(x, y)--
->
x2+41
2. Describir, según varía e, el comportamiento de la curva de nivel f(x,y) = e para cada una de las
funciones:
b) f(x,y)=1- x2 -1
e) f(x,y) = x3-x
3. Para las funciones de los Ejemplos 2.2,2.3 y 2.4 calcular la sección de la gráfica según el plano
Se= {(x,y, z)IY =xtane}
para una constante dada e. Para ello, expresar z como una función de r, donde x =reos e,y=rsen e.
Determinar cuál de estas funciones f tiene la propiedad de que la forma de la sección Se n gráfica es
independiente de e.
En los ejercicios del 4 al 10, trazar las curvas de nivel (en el plano xy) para la función dada f y los
valores de e especificados. Dibujar la gráfica de z = f(x, y).
4. J(x,y)=4- 3x+2y,c=O, 1,2,3,-1, -2,-3 .
5. f(x,y)=(100-�2-/)112,e=O, 2,4,6, 8, 10.
6. f(x,y)=(x2 + /)112,e =O, l, 2,3,4,5.
7. j(x, y)=¿±_l. e=O, l, 2, 3, 4,5.
8� j(x,y)=3x-7y,c=O,1,2,3, -1, -2, -3 .
9. j(x,y)=x2+.:1:y,c=O,1,2,3, -1, -2,-3.
10. f(x, y)=xiY,e= O, 1,2, 3,-1,-2,-3.
En los ejercicios del 11 al 13, dibujar o describir las supeificies de nivel y una sección de la gráfica de
cada función.
11. J: IR3--
->
IR, (x, y, z)--
->
-x2 -1-l.
12. f: IR3--
->
IR, (x,y , z)--
->
4x2 +1+9z2
13. f: IR3--
->
IR,(x,y,z)--
->
x2+/.
En los ejercicios del 14 al 18, describir la gráfica de cada función, calculando algunos de sus conjuntos
de nivel y algunas de sus secciones.
14. f: IR3--
->
IR, (x,y,z) --+ xy.
15. f: IR3--+ IR, (x, y,z)--
->
xy+yz.
16. f: IR3--
->
IR, (x, y, z)--
->
xy+z2

2.2.
17. f: IR2-> IR, (x, y)-> \y\.
18. f: IR2-> IR, (x, y)-> max (\x\, \y\).
Capítulo 2. Diferenciación
1O1
Dibujar o describir las superficies de IR3 de las ecuaciones de los ejercicios 19 al 31.
19. 4x2+l= 16.
21. z2= l+4.
Xli
23.
-
=- +-
25.
27.
449
29. 4x2 - 3/+2l=O.
20. x+2z=4.
22. x2+l-2x=O.
yzi
xz
24.
-+-= 1+-.
94
16
26. l+z2=4.
Ylz2
30.
-+-+-=l.
9129
31. x2+/+i+4x - by+9z - b =O, dondeb es una constante.
32. Describir, utilizando coordenadas polares, las curvas de nivel de la función definida por
f(x, y)=2xyj(Y+/), si(x, y)#(0,0)yf(O,O)=O.
33. Sea f: IR2\{0}-> IR la función dada en coordenadas polares por f(r, &) = (cos 2&)/?. Dibujar algunas
curvas de nivel en el plano xy. Aquí, IR
2
\(O}={xEIR2\x#O}.
34. Demostrar que en la Figura 2.1.15 la «curva>> de 1úvel z = 3 tiene sólo dos puntos.
Límites y continuidad
Esta sección desarrolla los conceptos de conjunto abierto, límites y continuidad; se necesitan los
conjuntos abiertos para entender los límites, y los límites se necesitan, a su vez, para entender la
continuidad y la diferenciabilidad.
Como en el cálculo elemental, no es necesario asimilar completamente el concepto de límite
para resolver Jos problemas de diferenciación. Por esta razón, el profesor puede tratar el mate­
rial que sigue con grados variables de rigor. El estudiante debe consultar con el profesor la pro­
fundidad de comprensión requerida.
Conjuntos abiertos
Comenzamos definiendo qué es un disco abierto para formular el concepto de conjunto abierto.
Sea x0 E /Rn y sea r un número real positivo. Se define disco abierto (o bola abierta) de radio r
y centro x0 como el conjunto de puntos x tales que llx - x0Jl < r. Este conjunto se denota por
Dr(x0), y es el conjunto de puntos x en !Rn cuya distancia a x0 es menor que r. Nótese que inclui­
mos solamente aquellos x para los que se verifica la desigualdad estricta. El disco D/Xo) está
ilustrado en la Figura 2.2.1 paran= l, 2, 3. En el cason = l y x0 E IR, el disco abierto Dix0)

102 Cálculo vectorial
es el intervalo abierto (x0 - r, x0 + r), formado por los números x E IR que están estrictamente
entrex0-ryx0+r.Enelcason=2,XoE�2,Dr(Xo)esel«interior»deldiscoderadior
centrado en ¡x0. En el caso n = 3, Xo E �3, Dr(x0) es la parte «interior» de la bola de radio r
centrada en :k.o.
)'
-+-
----------+
X
)'
n=1
n=2
X
n=3
(a)
(b)
(e)
DEFINJCi.ÓN: Conjuntos abiertos Sea U e !Rn (es decir, sea U un subconjunto de �n).
Llamamos a U conjunto abierto si para todo punto x0 en U existe r >O tal que Dr(x0) está
contenido dentro de U; simbólicamente escribimos D/x0) e U (véase la Figura 2.2.2).
El número r >O puede depender de x0, y por lo general r decrecerá cuando x0 se aproxime
al «borde» de U. Intuitivamente, un conjunto U es abierto cuando los puntos de la «frontera» de
U no pertenecen a U. En la Figura 2.2.2, la línea discontinua no está incluida en U.
Convendremos en que el conjunto vacío 0 (el conjunto que no tiene elementos) es abierto.
Hemos definido disco abierto y conjunto abierto. Por la elección que hemos hecho de los
términos parece que un disco abierto debería ser un conjunto abierto. Si se piensa un poco se ve
que este hecho requiere demostración. El teorema que sigue lo prueba.
)'
Un conjunto abierto U es aquel que contiene
completamente algún disco Dr(Xo) para cada
uno de sus puntos x0.

Capítulo 2. Diferenciación
103
DEMOSTRACIÓN Sea x E D/Xo), es decir, sea 1/x - x0// < r. Según la definición de conjun­
to abierto, debemos hallar un s >O tal que D,(x) e: Dr(x0). Si miramos la Figura 2.2.3, ob­
servamos que s= r- Jlx - x0/l es una elección razonable; nótese que s >O, pero que s es
tanto menor cuanto más cerca está x del borde de D/x0).
d = llx- x011
s=r-llx-xoll
tti!��¡l���� La geometría de la demostración
de que un disco abierto es un
conjunto abierto.
Para demostrar que Dix) e: Dr(Xo) sea y E Ds(x); es decir, sea //y - xll < s. Queremos
demostrar que también y E Dr(x0). Demostrarlo, dada la definición de r-disco, es lo mismo
que demostrar que IIY- x.oll < r. Esto lo hacemos utilizando la desigualdad triangular para
vectores de !Rn:
Jly-Xoll=//(y-x)+(x-Xo)l/:(IIY-xll+llx-Xo/1<s+llx-Xo/i=r.
Así, IIY- Xoll < r.
El ejemplo siguiente ilustra ciertas técnicas útiles para determinar si un conjunto es abierto.
Demostrar que A= {(x, y) E !R2[x >O} es un conjunto abierto.
Solución
El conjunto está representado en la Figura 2.2.4 .
Intuitivamente, este conjunto es abierto ya que ninguno de los puntos de la «frontera»,
x = O, está contenido en el conjunto. Un razonamiento de este tipo será, con frecuencia, sufi­
ciente cuando uno se ha acostumbrado al concepto de conjunto abierto; sin embargo, al princi­
pio deben darse más detalles. Para demostrar que A es abierto mostramos que para todo punto
(x,y)EAexister>OtalqueDrCx,y)e:A.Si(x,y)EA,entoncesx>O.Seeliger=x. Si
(x1, y1) E Dr(x, y), tenemos que

104
Cálculo vectorial
X
Demostrar que A es abierto.
yportantox1-x<x y x-x1<x.Laúltimadesigualdadimplicaquex1>O,esdecir,
(x1, y1) E A. Por tanto Dr(x, y) e A es abierto (véase la Figura 2.2.5).
y
X
���!�� Construcción de un disco alrededor de un punto de A
que está completamente contenido en A.
Es útil dar un nombre especial a un conjunto abierto que contiene a un punto x, ya que esta
idea aparece con frecuencia en el estudio de límites y continuidad. Así, por entorno de x E !Rn
se entiende un conjunto abierto U que contiene al punto x. Por ejemplo, para todo r >O, DrCx0)
es un entorno del punto Xo· El conjunto A del Ejemplo 2.7 es un entorno del punto x0 = (3, -lO).
Frontera
Introducimos ahora el concepto de punto frontera, que mencionamos en el Ejemplo 2.7
.
DEFINICIÓN: Punto frontera Sea A e !Rn. Un punto x E !Rn se llama punto frontera de A
si todo entorno de x contiene al menos un punto de A y al menos un punto que no está en A.
En esta definición el mismo x puede estar o no estar en A; si x E A, entonces x es un punto
frontera si todo entorno de x contiene al menos un punto que no está en A (ya contiene un punto
de A: el propio x). De forma análoga, si x no está en A, éste es un punto frontera si todo entorno
de x contiene al menos un punto de A.

Capítulo 2. Diferenciación
1OS
Nos interesarán particularmente los puntos frontera de los conjuntos abiertos. La definición
de conjunto abierto implica que ningún punto de un conjunto abierto A es un punto frontera de
A. Por tanto, un punto x es punto frontera de un conjunto abierto A si y solamente si x no es un
punto de A y todo entorno de x tiene intersección no vacía con A.
Lo anterior expresa en términos precisos la idea intuitiva de que un punto frontera de A es
un punto que está en el «borde» de A. En muchos ejemplos es obvio cuáles son los puntos fron­
tera.
a) Sea A = (a, b) un intervalo de R Entonces los puntos frontera de A son los puntos a y b.
La Figura 2.2.6 y la definición lo muestran con claridad [se pedirá al lector que lo demues­
tre en el Ejercicio 20c) de esta sección].
f Puntos frontera \
--�------------------�--_.X
a
b
�-�lilli Los puntos frontera del intervalo (a. b).
b) Sea A = D,.(x0, y0) un r-disco con centro (x0. y0) en el plano. La frontera está formada por
los puntos (x, y) tales que (x - x0)2 + (y - y0)2
= ? (Figura 2.2.7).
y
Frontera
(x0, y0) =A
1---+- ---- ------ ------_.
.
X
e) SeaA={(x,y)EIR
2
1 x > O}. Entonces la frontera de A está formada por todos los puntos
del eje y (el estudiante debe hacer un esquema).
d) Sea A el disco D,.(x0) menos el punto x0 (un disco «perforado>> con centro x0). Entonces x0
es un punto frontera de A.
Límites
Ponemos ahora nuestra atención en el concepto de límite. En toda la discusión siguiente el do­
minio de definición de lafunciónf será un conjunto abierto A. Nos interesa hallar el límite de f
cuando x E A se aproxima, bien a un punto de A, bien a un punto frontera de A.
El lector debe apreciar el hecho de que el concepto de límite es una herramienta básica y
útil para el análisis de funciones: nos permite estudiar derivadas, y por tanto máximos y mí­
nimos, asíntotas, integrales impropias y otras características importantes de las funciones, y
además es útil en las series infinitas y en las sucesiones. Daremos una teoría de límites de fun­
ciones de varias variables que incluye la teoría para funciones de una variable como caso par­
ticular.

1 06 Cálculo vectorial
En el cálculo de una variable, el estudiante ha visto la noción de limf(x) = l para una fun-
ción f: A e IR--+ IR de un subconjunto A de los números reales en los números reales. Intuitiva­
mente significa que cuando x se acerca más y más a x0, los valores de j(x) se acercan más y
más a (el valor límite) l. Para fundamentar matemáticamente esta idea intuitiva usualmente se
introduce, bien el «método de los épsilon (¡;) y delta (b)>> , bien el «método de los entornos>>.
Para las funciones de varias variables se hace lo mismo. En lo que sigue desarrollamos el méto-
/ do de los entornos para estudiar límites. El método épsilon-delta se deja como estudio opcional
al final de esta sección.
DEFINICIÓN: Límite Sea f: A e �Rn--+ �Rm, donde A es un conjunto abierto. Sea Xo un
punto de A o un punto frontera de A, y sea N un entorno debE �Rm. Decimos que f finaliza
enNcuando xtiendeax0siexisteunentorno UdeXotalquex# x0,xE UyxEAimplica
j(x)E N. (El significado geométrico de esta definición se ilustra en la Figura 2.2.8; nótese
que no es necesario que el punto Xo pertenezca a A, de forma que j(x0) no está necesaria­
mente definido). Decimos que j(x) tiende ab cuando x tiende a Xo, o simbólicamente
lim j(x) =b
o
f(x)--+b
cuando
X--�>XQ
si, dado cualquier entom01Vtleb, f finaliza en N cuando x tiende a Xo (es decir, «j(x) está
cerca deb si x está cerca de Xo>>). Puede ocurrir que cuando x tiende a x0, j(x) no se aproxi­
me a ningún número en particular. En este caso decimos que lim j(x) no existe.
X-+XQ-
N
X
[��S��!ii!l Límites por entornos: si x pertenece a U entonces f(x) pertenecerá a N (el circulito blanco
indica que el punto no está sobre la gráfica). En la figura, f: A= {(x. y) ¡x2 + y2 < 1} __,IR
(la línea discontinua no está en la gráfica de f).
Por tanto, siempre que hablemos del concepto de lim j(x), supondremos que Xo bien perte-
x-x0
nece a un conjunto abierto en el que f está definida, bien está en la frontera de este conjunto.

:LCepituJ¡
¡¡¡
iV Diferenciación
107
Una de las razones por las que insistimos en que x =1= Xo en la definición de límite es la que
podemos recordar del cálculo de una variable en el que queremos definir la derivada f'(x0) de
una función f en el punto x0 por medio de
!'()_1
.
f(x) - f(xo)
x0-1m
,
x-x0
X- x0
y esta expresión no está definida para x = x0.
a) Este ejemplo muestra una función para la que no existe el límite en un punto. Considera­
mos la función f: IR-+ IR definida por
f(x)={
1
-1
six>O
si x,.:;
;
O.
El lim f(x) no existe ya que existen puntos x1 tan cerca como se quiera de O para los que
x-+0
f(x1) = 1 y también puntos x2 tan cerca como se quiera de O para los que f(x2) = 1; es
decir, no hay un único número al que f se acerque cuando x se acerca a O (véase la Figura
2.2.9). Si f se restringe al dominio (0, 1) o al dominio (- 1, 0), entonces el límite sí que
existe. ¿Puede el lector decir por qué?
y
f(x1)=1
--
-------------.--��-------------+
x
X¡
mri;�m� El límite de esta función
cuando x � O no existe.
b) Este ejemplo muestra una función cuyo límite existe pero cuyo valor límite no es igual al
valor de la función en el punto en el que se toma el límite. Definimos f: IR-+ IR por me­
dio de
f(x)={�six=1=O
six=O.
Ciertamentelimf(x)=O,yaqueparatodoentorno UdeO,xE Uyx=1=Osetieneque
X-+Ü
f(x) =O. En la Figura 2.2.10 se ve que f se acerca a O cuando x-+ O; no nos importa quef
tome un valor distinto en O.

108
Cálculo vectorial
y
(0, 1)
--
------9-------_,..
x
E! límite de esta función cuando
X-> O es cero.
Usar la definición para verificar el «obvio» lim x=x0, donde x y Xo E !Rn.
x�xo
Solución
Sea f la función definida por f(x)=x, y sea N un entorno cualquiera de Xo· Tenemos que de­
mostrar que f(x) finaliza en N cuando x _,. Xo· Según la definición debemos hallar un entorno U
deXoconlapropiedaddequesix#x0yxE U,entoncesf(x)EN.TomamosU=N.SixE U,
entonces x E N; dado que x=f(x) se sigue que f(x) E N. Por tanto hemos demostrado que
lim x=x0. De igual forma tenemos que
X-+Xo
lim
x=x0,
etc.
(x,y)�(XQ,)'())
En lo que sigue el estudiante puede suponer, sin demostración, la validez de los límites del
cálculo de una variable. Por ejemplo, se podrá usar que lim Jx=Jl= 1 y que lim sen e
x-+1
8-+0
=senO=O.
Este ejemplo muestra otro caso en el que el límite no puede simplemente «leer­
se» de la función. Hallar lim g(x) donde
x�!
Solución
X-l
g:X_,. h
.
-yx-1
Esta función se representa en la Figura 2.2.ll(a).
Vemos que g(l) no está definido ya que la división por cero no está definida; sin embargo,
si multiplicamos el numerador y el denominador de g(x) por Jx + l, hallamos que para todo x
en el dominio de g se tiene que
X-1
()
-
r,1
gX= r
-
vfXT ,
..jx-1
X# l.

y
--
----=
1
�: x-�--
..JX-1
--+-
---.----------------�
X
(a)
y
Capítulo 2. Diferenciación
109
����!] Estás dos gráficas son iguales excepto en que en la parte (a) g no está definida en x = 1,
mientras que en la parte (b) g* está definida para todo x ;?o O.
La expresión g*(x) = Jx + 1 está definida y toma el valor 2 en x = 1; del cálculo de una va­
riable g*(x)-+ 2 cuando x-+ l. Pero dado que g*(x) = g(x) para todo x �O, x # 1, tenemos for­
zosamente que g(x)-+ 2 cuando x-+ l.
En breve estudiaremos otros ejemplos con dos variables.
Propiedades de los límites
Para hablar con propiedad de el límite tendremos que demostrar que f no puede tener más de
un límite cuando x -+ x0. Intuitivamente esta propiedad es cla ra y ahora la enunciamos formal­
mente (véase la demostración en el suplemento de Internet).

11O Cálculo vectorial
Estos resultados debieran ser intuitivamente claros.. Por ejemplo, la regla ii) dice que si f(x)
está cerca de b1 y g(x) está cerca de b2 cuando x está cerca de Xo, entonces f(x) + g(x) está
cerca de b1 + b2 cuando x está cerca de x0. El ejemplo siguiente muestra cómo se usa.
Seaf:IR2-->IR,(x,y)-->x
2
+ l + 2. Calcular el límite
lim f(x, y).
(x,y)�(O,l)
Solución
Aquí f es la suma de las tres funciones (x, y)--> x
2
, (x, y)-->/, y (x, y)--> 2. El límite de una
suma es la suma de los límites y el límite de un producto es el producto de los límites (Teorema
3). Por tanto, usando el hecho de que
lim
x = x0 (Ejemplo 2.10), obtenemos
(x, y)� (xo, Yo)
y, por el mismo razonamiento,
lim y
2
= y5. En consecuencia
(x,y)�(xo,yo)
lim j(x,y)=0
2
+12+2=3.
(x,y)�(O, 1)
Funciones continuas
En el cálculo de una variable aprendimos que la idea de función continua se basa en la noción
intuitiva de una función cuya gráfica es una curva sin fracturas, es decir, una curva que no tiene
saltos, o la curva que trazaría una partícula en movimiento o la punta de un lápiz deslizándose
por el papel sin levantarse.
Para realizar un análisis detallado de las funciones necesitamos conceptos más precisos que
la vaga noción recién enunciada. Un ejemplo puede aclarar estas ideas. Considérese la función
concretaf:IR-->IRdefinidaporf(x)= -lsix�Oyf(x)=1six>O.Lagráficadefse

Capítulo 2. Diferenciación
111
muestra en la Figura 2.2.12(a). El pequeño círculo abierto denota que el punto (0, 1) no está en
la gráfica de f Claramente, la gráfica de f se rompe en x = O. Considérese también la función
g:x-+x
2
.
Ésta es la función dibujada en la Figura 2.2.12(b). La gráfica de g no se rompe en
ningún punto.
y
y
--
-------------r--------------�
x
--
------..
-1
(a)
(b)
��[lfi�JáiJm La función fen la parte (a) no es continua ya que su valor salta cuando x cruza el punto o.
mientras que la función gen la parte (b) es continua.
Si se examinan ejemplos de funciones como f cuyas gráficas se rompen en algún punto x0,
y funciones como g cuyas gráficas no se rompen, se ve que la principal diferencia entre ellas es
que para una función como g los valores de g(x) se acercan a g(x0) cuando x se acerca más y
más a x0. La misma idea funciona para funciones de varias variables. Pero la noción de «más y
más cerca» no es suficiente como definición matemática; por tanto formularemos estos concep­
tos en términos de límites.
Dado que la condición de lim f(x) = j(x0) significa que f(x) está cerca de j(x0) cuando x
X--*XO
está cerca de x0, vemos que la condición de límite ciertamente coincide con el requisito de la no
rotura de la gráfica de f (véase la Figura 2.2.13 en la que se ilustra el caso f: IR1-+IR). El caso
de varias variables es más fácil de visualizar si tratamos con funciones de valores reales de la
forma f: IR12
-+ R En este caso podemos visualizar f dibujando su gráfica, que consiste en los
puntos (x, y, z) en IR13 con z = j(x, y). La continuidad de f significa, por tanto, que su gráfica no
tiene «fracturas» (véase la Figura 2.2.14).
DEFINICIÓN: Continuidad Sea f: A e IR1n-+ ¡¡;gm una función dada con dominio A. Sea
x0 E A. Decimos que f es continua en x0 si y solamente si
lim· j(x) = f(x0).
x�xo
Si decimos solamente que f es continua, queremos decir que f es continua en cada punto x0
de A. Si f no es continua en x0, decimos que f es discontinua en x0. Si f es discontinua en
algún punto de su dominio decimos que f es discontinua.

112 Cálculo vectorial
y
y
f(xÜJ
--- --- ---- �
X
f(x)
�
J
1
1
1
1
(a)
X
f(x)
f(xo)
--
--
--
--�--------._��----�·
X
(b)
(a) Función discontinua en la que lim f(x) no existe. (b) Función continua
x-xo
en la que el límite existe y es igual a f(XQ).
Conjunto de discontinuidades
Fractura en la
superficie z �j(x, y)
y
de f, es decir, el conjunto de puntos
donde fes discontinua
(a)
X
z = f(x,y)
��----�
�
���----·y
1
1
1
1
1
•
"o
(b)
(a) Una función discontinua de dos variables. (b) Una función continua.
Cualquier polinomio p(x) = a0 + a1x + · · ·
+a,.;:nescontinuodeIRenRDe
hecho, por el Teorema 3 y el Ejemplo 2.10,
lim(a0+a1x+
+a/)=lima0+lima1x+··· +lima/
x--+xo
x--+xo
=a0+a1x0+···+a,x:Q,
ya que el límite de un producto es el producto de los límites, lo que da
lim�=(limx)
n
= x0.
x-xo
x--+xo

Capítulo 2. Diferenciación
113
Sea f
:
IR2 -.IR, f
(
x, y)= xy. Entonces fes continua ya que, por los teoremas
y el Ejemplo 2.10,-
lim
xy= ( lim
x)( lim y)= x0y0.
(x,y)�(xo.Yo)
(x,y)-(xo.Yo)
(x,y)�(xo.Yo)
Se puede ver por el mismo método que cualquier polinomio p(x, y) (por ejemplo, p(x, y)=
3x2-6xy2+/)enxeyescontinuo.
La función f
:
IR2-> IR definida por
f
(
x,y)=g
si x::
:;
Ooy::
:;
O
en otro caso,
no es continua en
(
0, O) o en cualquier punto en la parte positiva del eje x o en la parte positiva
delejey.Dehecho,si(x0,y0)=uesunodeestospuntos(esdecir,x0=OeYo)oO,oYo=O
yx0;;
;:,
O) y o >O, existen puntos
(
x,y)ED.:�(u),unentornodeu,conf
(
x, y)= 1 y puntos
(
x,y)ED,(u)conf
(
x, y)= O. Por tanto no es cierto que f
(
x, y)..
....
f
(
x0, y0) = 1 cuando
(
x,
y)..
....
(
xo, Yo).
Para demostrar que una función es continua podemos utilizar los teoremas del límite (véase
el Teorema 3 y el Ejemplo 2.13). Si transcribimos esos resultados en términos de continuidad,
ello nos conducirá al siguiente teorema:
Frecuentemente se usa una variante de iv): si f
(
Xo) #O y fes continua, entonces j(x) #O
en un entorno de x0 y, por tanto, 1/festá definida en ese entorno y 1/fes continua en x0.

114 Cálculo vectorial
Solución
Sea f: !R2--+ !R2, (x, y)--+ (x2y, (y+ x3)/( l + x2)). Demostrar que fes continua.
Para verlo, por la propiedad v) del Teorema 4 es suficiente mostrar que cada componente es
continua. Como hemos mencionado, cualquier polinomio de dos variables es continuo; por tan­
to, la aplicación (x, y)--+ 2y es continua. Dado que 1 + 2 es continua y distinta de cero sabe­
mos, por la__
_
Propiedad iv), que 1/(1 + x2) es continua; así que (y + x3)/( l + x2) es el producto
de dos fuíÍCiones continuas y, por iii), continuo.
Razonamientos similares se aplican a ejemplos como la función e: IR--+ !R3 dada por
c(t) = (?, 1, t3/(1 + 2)) para mostrar que también son funciones continuas.
Composición
A continuación estudiemos la composición, otra operación básica que se puede realizar con fun­
ciones.SigaplicaAenByfaplicaBenC,lacomposicióndegconf,odefsobreg,quese
denota por f o g, aplica A en e y lleva X--+f(g(x)) (véase la Figura 2.2.15). Por ejemplo, sen (x2)
es la composición de x--+ 2 con y--+ sen y.
g
�
fog
La composición de f sobre g.
La intuición que hay tras esto es fácil; la demostración formal en el suplemento de Internet
sigue un esquema similar. Intuitivamente, debemos demostrar que al acercarse x a x0, f(g(x)) se
aproxima a f(g(x0)). Pero cuando x se acerca a x0, g(x) se aproxima a g(Xo) (por la continuidad
de g en x0); y al acercarse g(x) a g(x0), f(g(x)) se acerca a f(g(Xo)) (por la continuidad de f
en g(Xo)).
Seaf(x,y,z)=(2+y2+C)30
+ senz3. Probar que f es continua.
Solución
Podemos escribir f como suma de dos funciones (2 + l + l)30
y sen z3, por tanto es suficien­
te demostrar que cada una de ellas es continua. La primera es la composición de (x, y, z)--+
(x2+l+z2)conu--+u3
0
y la segunda, la composición de (x, y, z) --+ z3 con u--+ sen u, y por
tanto obtenemos la continuidad por el Teorema 5.

Capítulo 2. Diferenciación
11S
Límites en términos de e y 5
Enunciamos ahora un teorema (demostrado en el suplemento de Internet del Capítulo 2) que da
una formulación útil de la noción de límite en términos de épsilons y deltas, y que a menudo se
toma como definición de límite. De hecho, ésta es otra forma de hacer precisa la formulación
intuitiva «j(x) se acerca a b cuando x se acerca a x0». Como ayuda para entender esta formula­
ción el lector debe estudiarla en cada uno de los ejemplos ya presentados.
y
y
A
X
--+-
------------------�
X
A fin de ilustrar la metodología de la técnica épsilon-delta del Teorema 6, estudiamos los
ejemplos siguientes.
Demostrar que
lim
x = O usando el método e-6.
(x.y)�(O.O)
Solución
Nótesequesi,S>O,ll(x,y)-(0,0)11=Jx2+l<,Simplica
lx-01=lxl=fl�)x2+l<<5.
Por tanto, si ll(x, y) - (0, 0)11 < <5, entonces jx - 01 también es menor que <5. Dado s > O debemos
hallar ,S> O (que, por lo general, dependerá de s) con la propiedad de que O<ll(x, y)- (0, 0)11<,S
implique lx - 01 < s. ¿Cómo elegiremos nuestro 6? Del cálculo que precede vemos que si elegi­
mos ,S = s, entonces ll(x, y) - (0, 0)11 < ,S implica que lx - 01 < e, lo que demuestra que
lim x = O. Dado s > O también podríamos haber tomado 15 = s/2 o e/3, pero es suficiente
(x,y)�(O,O)
con hallar un solo 15 que satisfaga los requisitos de la definición de límite.

116
Cálculo vectorial
Considerar la función
sen(x2 +l)
j(x, y)=
?+
2
x-y
Aun �ndo f no está definida en (0, 0), determinar si j(x, y) se aproxima a algún número
cuand; (x, y) se aproxima a (0, 0).
Solución
Del cálculo de una variable o por la regla de l'Hópital sabemos que
sen ex
lim -- =l.
0:-+Ü Cl.
Por tanto, es razonable conjeturar que
.
sen llvll2
lim j(v) = llm
lj'·l2 =l.
v�(O,O)
v�(O,O) 1 V1
Dehecho, dadoque lim(sena)/!X= 1,para s>Opodemos hallar b>O,O<3<1,talque
a�o
O<j!Xj<6implicaquej(sena)/a- lj<e.SiO<llvll<b,entoncesO<llvll2<62<6,ypor
tanto
lf(v) lj =¡ sen[lvW _ 11 <
llvW
t:.
Así, lim j(v) = l. Si representamos gráficamente [sen (x2 + /)]/(� + /) en el computador
v�(O,O)
obtenemos una gráfica que de hecho se comporta bien cerca de (0, O) (Figura 2.2.17).
X

Demostrar que
Solución
x2
lim
=O.
(x,y)-(0,0) ,/x2+/
Capítulo 2. Diferenciación
117
Tenemos que demostrar que 2¡.,j2+l es pequeño cuando (x, y) está cerca del origen. Para
hacerlo utilizamos la desigualdad siguiente:
x2
x2+l
o�"'
�
�
.Jx2+l .y2+l
= .Jx2+/.
(yaquel?:O)
Dado e> O, elegimos 6 =&.Entonces JJ(x, y) - (0, 0)\J = JJ(x, y)\1 = jx2 +/,y por tanto
ll(x, y) - (0, 0)11 < 6 implica que
1x2
1
x2
/7+7-O
¡'=
�- �J2+l=ll(x, y)-(0,011<6=e.
"
y
J2+l
Por tanto se cumplen las condiciones del Teorema 6 y se comprueba el valor del límite.
a) .¿Existe lim x2/(2+/)?
(x,y)-(0,0)
[Véase la Figura 2.2.18(a).]
b) Demostrar que [véase la Figura 2.2.18(b)J
Cuando (x, y) se acercan
a(0,O)alolargode
este borde, z -+ 1
(a)
.
2x2y
hm-
2
--2
=O.
(x,y)-->(0,0) X +y
Cuando (x, y) se aproxima
a(0,O)eneste
valle, z-+ O
(b)
(a)Lafunciónz=x
2
/(x
2
+y2
) no tiene límite en (O. O). (b) La función z
{�y)/(x
2+y2)
tiene límite O en (0, 0).

118 Cálculo vectorial
Solución
a) Si el límite existe, x2j(x2 +/) debe aproximarse a un valor determinado, llamémoslo a,
cuando (x, y) se aproxima a (0, 0). En particular, si (x, y) se aproxima al origen a lo largo
de un trayectoria dada, entonces x2/(� +/)debe aproximarse al valor límite a. Si (x, y) se
aproxima a (0, O) a lo largo de la recta y= O, el valor límite es, claramente, l (póngase
y= O eni:a-e*J3resión precedente y se obtend.ráx2/� = 1). Si (x, y) se aproxima a (0, O) a lo
largo de la recta x= O, el valor límite es
!Y
lim -
2
--2
= O#.l.
y�oO+y
Por tanto, no existe lim x2/(� + y2).
(x.y)�(O.O)
b) Nótese que
¡::yll �1
2
�yl
=
2¡
y
¡.
Por tanto, dado e> O, elijase 6 = e/
2
;entoncesO<ll(x,y)-(0,0)11=.)�+l<bim­
plica que IY! < b y por tanto
1?2
�Y
2-O1<
2
6= e.
x- +y
Utilizar la notación E-b nos lleva a la siguiente refommlación de la definición de continuidad.
En los ejercicios siguientes el lector puede suponer que las funciones exponencial, seno y coseno son con­
tinuas y puede utilizar con libertad récnicas del cálculo de una variable, como la regla de l'Hopital.
Demostrar que los subconjuntos del plano de los ejercicios 1 a 4 son abiertos:
l. A ={(x,y)1-1<x<1, -l<y<1}.
2. B ={(x,y)[y>0).

3. C={(x,y)j2<x2+l<4}.
4. D={(x,y)/X#0yy#0}.
5. Calcular los límites:
a)
lim .i3y.
(x.y)�(O,l)
cosx
b) lim
x2
X-+Ú
6. Calcular los límites siguientes:
a)
lim e"y.
(x.y)�(O, 1)
sen
2
x
b) lim-- .
X-+0 X
7. Calcular los límites siguientes:
a) lim (x2- 3x+ 5).
x�3
b) lím senx.
x-o
8. Calcular, si existen, los límites siguientes:
(x+Yi- (x- y)2
a)
lim
b)
(x.y)�(O,O)
X}'
Iim
(x,y)�(O,O)
senxy
y
9. Calcular, si existen, los límites siguientes:
exy-1
a)
lim
(x.y)�(O,O) y
b)
lim
(x,y)�(O,O)
cos(xy)-1
x2/
10. Calcular, si existen, los límites siguientes'
eJ.:y
a)
lim
(x,y)�(O,O) X+ l
b)
lím
(x. y)�(o,O)
cosx- l - (x2j2)
x4+l
11. Calcular, si existen, los límites siguientes:
a)
Iim
(x,y)�(O.O)
senxy
xy
eh
-
1
Capítulo 2. Diferenciación
119
e) lim --.
h�o h
sen
2
x
e) lim --2 -.
x-o.O X
e)
e)
e)
.
(x+ h)2- x2
hm--
---
h�o
h
x3_
Y3
lim -
2
--2 .
(x,y)�(O,O) X +y
X}'
lim
2
2
.
(x, y)-(0,0) X +y +2
(x- Yl
e) 1im-2--2·
(x,y)-(0,0) X +y

120 Cálculo vectorial
b)
lim
(x, y, z)�(o, O,O)
sen (xyz)
xyz
e)
lim
f(x, y, z), donde f(x, y, z) =(x2 + 3/)/(x+ 1).
(x,y, z)�(O, O, 0)
12. Calcular, si existen, los límites siguientes:
Uy cosz
a)
sen2x- 2x
lim----:o-
-
-­
x3
e)
lim
2
2
(x,y,z)�co.o.o) x +y
b)
lim
(x,y)-(0, 0)
sen2x- 2x +y
x3 +y
13. Calcular, si existe, lim j(x), en los casos siguientes:
x-xo
a) f:IR-+IR,x-+
\
x\,x0 =l.
b) f:IR"--+IR,x_,.llxf!,conXoarbitrario.
e) f:IR-+IR2,X-+(x2,ex),Xo=l.
d) f: IH2\t(0,O)) -+ IH2, (x, y)_,. (sen(x - y), ex(y+
l) - x- 1)/\\(x, y)\\, Xo = (0, 0).
14. Sea A e IR2 el disco unidad abierto D1(0, O) con el punto �. = (1, O) añadido, y sea f: A-+IH ,
x _,. f(x) la función constante f(x) = l. Demostrar que lim j('x) = l.
X-+XQ
15. Si f: IR" _,. IR y g: IR" _,. IR son continuas, demostrar que las funciones
y,
!2 +g:IR"_,. IR, x_,. [f(x)]2 +g(x)
son continuas.
16. a) Demostrar que f: IR1-->IR, x _,. (l - x)8 + cos (1 +x3) es continua.
b) Demostrar que la aplicación f: IR ->IR1, x-+ �e"/(2- senx) es continua.
17. a) ¿Puede hacerse [sen(x + y)]/(x +y) continua definiéndola adecuadamente en (0, 0)?
b) ¿Puede hacerse xy/(x +y) continua definiéndola adecuadamente en (0, O)?
e) Demostrar que f: IR2-+ IR:, (x, y)-
+
ye" + senx + (X)f es continua.
18. Utilizando bien E y S, bien coordenadas esféricas, demostrar que
.
X)'Z
hm
2
2
2
=O.
(x,y,z)-(0.0,0) X +y + Z
19. Utilizar la formulación s-S del los límites para demostrar que x2 _,. 4 cuando x _,. 2. Dar otra demos­
tración utilizando el Teorema 3.
20. a) DemostrarqueparaxEIR:"ys<t,D.(x)eD,(x).
b) Demostrar quesiUyVsonentornosdexEIR1"entonces tambiénloson UnVyUuV.
e) Demostrar que los puntos frontera de un intervalo abierto (a, b) e 1R1 son los puntos a y b.

2.3.
Capítulo 2. Diferenciación
121
21. Supóngase que x e y están en IRn y que x * y. Demostrar que existe una función continua j: IRn -+IR
conj(x)=l,j(y)=Oy,paratodozenIRn,O �j(z)�l.
22. Sea j: A e IRn-+ IR y sea x0 un punto frontera de A. Decimos que lim j(x) = oo si para todoN>O
X--+XQ
existe un b>O tal que O< ilx- x0Ji <by x E A implican que j(x) >N.
a) Demostrar que lim (.x- l)- 2 = oc.
x�l
b) Demostrar que lim 1/\.x\ = oo. ¿Es cierto que lim 1/.x = oo?
x-o
x�o
e) Demostrar que
lím 1/(.?+y2)= oo.
(x,y)�(O,O)
23. Sea bE IR y f: IR\(b]-+ IR una función. Escribimos lim j(x) = Ly decimos que Les el límite por
x--+b-
laizquierdadefenbsi,paratodoE>O,existeuno>Otalquex<byO<l.x
-
bl < b implican
que
l
f(.x) - L
l
<E.
a) Formular una definición de límite por la derecha, o lim j(x).
b) Hallar lim l/(1 + e11) y lim 1/(1 + e11].
x�o-
x-O+
e) Dibujar la gráfica de 1/( l + e11).
24. Probar que j es continua en Xo si y solamente si
x--+b+
lim llf(x) - j(xo)l\ =O .
x�xa
25. Sea j: A e IR\n-+ IR\m que, para constantes K y rx positivas, satisface llf(x) - f(y)\1 � Kllx - y\1" para
todos x e y en A. Demostrar que f es continua (las funciones que verifican la propiedad anterior se
llaman continuas Holder o, si rx = 1, continuas Lipschitz).
26. Demostrar que f: IR\n-+ IR\m es continua en todos los puntos si y solamente si la imagen inversa de
todo conjunto abierto es abierta.
27. a) Hallar un número concreto b>O tal que si \al < b entonces ia3 + 3a2 +al < 1/100.
b) Hallar un número concreto b>O tal que sí x2 + i < ¡;p entonces
).x2 + y2 + 3xy +l80.x,i\ < l/10.000.
Diferenciación
En la Sección 2.1 estudiarnos algunos métodos para dibujar la gráfica de una función. Utilizan­
do solamente estos métodos puede resultar imposible obtener suficiente información para captar
incluso las características generales de una función complicada. Sabemos del cálculo elemental
que la idea de derivada nos puede ayudar mucho en esta tarea; por ejemplo, nos permite locali­
zar máximos y mínimos, y cuantificar el cambio. La derivada tiene también muchas otras apli­
caciones, como el estudiante habrá descubierto en cálculo elemental.
Intuitivamente sabemos, a partir del trabajo realizado en la Sección 2.2, que función conti­
nua es aquella que no tiene «fracturas» en su gráfica. Una función diferenciable de IR2 en IR

122
Cálculo vectorial
debería ser tal que no solamente no tuviera fracturas en su gráfica sino que también tuviera un
plano tangente bien definido en cada punto. Por tanto tendrá que carecer de bruscos dobleces,
esquinas o picos en su gráfica (véase la Figura 2.3.1). En otras palabras, la gráfica tendrá que
ser suave.
pico
y
X
X
(a)
(b)
�fj�'ij��!¡�� (a) Un�gráfica suave y (b) una no suave.
Derivadas parciales
Para hacer precisas estas ideas necesitamos una definición de lo que queremos decir con la frase
«j(x1, •.• , xn) es diferenciable en x = (x¡, ... , xn)»; de hecho, esta definición no es tan simple
como pudiera pensarse. Para ese fin comenzamos con la noción de derivada parcial. Esta no­
ción descansa únicamente en nuestro conocimiento del cálculo de una variable (un repaso rápi­
do de la definición de derivada en algún libro de cálculo de una variable es aconsejable en este
punto).
DEFINICIÓN: Derivadas parciales Sea U e IR
n
un conjunto abierto y supóngase que
f: U e IRn-> IR es una función con valores reales. Entonces 3f/3x1, .•., 3f/3xm las derivadas
parciales de f respecto de la primera, segunda, ..., n-ésima variable, son las funciones con
valores reales den variables que. en el punto (x1, . . . , xn) = x, se definen como
.
f(x + he) -f(x)
= hm=-
-
----'---:.
..
-
h�o
h
'
si los límites existen, donde 1 � j � n y ej es el vector j-ésimo de la base canónica definido
por ej = (0, ..., 1, ..., 0), conel1 enlaposiciónj-ésima(véase laSección 1.5).Eldominiode
la función 3f/3xj es el conjunto de X E !R
n
para los que el límite existe.

Capítulo 2. Diferenciación
123
En otra palabras, af¡ax1 es la derivada de f respecto de la variable x1, con las otras variables
fijas . Si f: �3--. R a menudo utilizaremos la notación anax, a¡¡ay, a¡;az en vez de a¡¡ax1,
a¡jax2, af!ax3. Si f: U e �n
--.�
m
, entonces podemos escribir
de forma que podemos hablar de las derivadas parciales de cada componente; por ejemplo,
ofmfaxn es la derivada parcial de la componente m-ésima respecto de x n
, la variable n-ésima.
Si j(x, y) = x2y + l, hallar ojj3xy of/8y.
Solución
Para hallar a¡jax fijamos y (piénsese que es un número, digamos 1) y diferenciamos solamente
respecto de x; esto da
a¡
ax
De forma análoga, para hallar a¡¡ay fijamos X y diferenciamos solamente respecto de y:
a¡
ay
Para indicar que una derivada parcial debe evaluarse en un punto particular, por ejemplo en
(x0, y0), escribimos
a¡
ox
(xo, Yo ),
o
a.t l
OX (xo.Yo)
.
Cuando escribamos la variable dependiente como z = f(x, y), escribiremos a veces azjox en vez
de ofjax. Estrictamente, esto es un abuso de notación, pero es práctica común el utilizar estas
dos notaciones de forma indistinta.
Si z =con-y+ xcosy = f(x, y), hallar las dos derivadas parciales (ozjox)(J:o, y0)
y (oz/oy)(.xo, Yo).
Solución
Fijamos primero Yo y diferenciamos respecto de x, para obtener
oz
d(cosxy0+ xcos y0) 1
¡¡(xo,Yo) =
dx
.
X
1 x=xo
= (-y0sen.\"}'o + cos yo )lx= xo
= -Yosenx0y0+ cos y0.

124
Cálculo vectorial
De forma análoga, si fijamos x0 y diferenciamos respecto de y, obtenemos
Solución
8z
_
d(cos XoY + Xo COS y)1
-;
;---
(xo, Yo) -
d.
oy
y
y�yo
= - x0senxoYo - x0senYo·
Hallar 8jj8x si j(x, y) =:xy¡Jil + /.
Por la regla del cociente,
a¡ y.J?+}?-xy(x/�)�y(x2 +/)-2-y
ax
x2+l
-
(x2 + y2)3;2
Una definición de diferenciabilidad que requiera únicamente la existencia de derivadas par­
ciales resulta ser insuficiente; muchos resultados típicos, como la regla de la cadena para fun­
ciones de varias variables, no se verificarían, como muestra el Ejemplo 2.25. Más adelante vere­
mos cómo arreglar esta situación.
Sea j(x, y) =x113y113• Por definición,
oj
j(h O) -j(O O)
O-O
-
(0O)=lim
'
'
=lim -- =O
ax
,
h�o
h
h�o h
,
y, de forma análoga, (ojjoy)(O, 0) =O (¡no hay indeterminaciones!). Es necesario utilizar la
definición original de derivada parcial ya que las funciones x113 y /13 no son diferenciables en
el origen. Supóngase que restringimos f a la recta y =x y obtenemos f(x, x) =x2/3 (véase la
Figura 2.3.2). Podemos considerar la sustitución y =x como la composición f o g de la función
g: IR-+ IR2 , definida por g(x) =(x, x), y f: IR2-+ IR, definida por f(x, y) =x 10y113
.
Por tanto, la composición f o g viene dada por (f o g)(x) = x213. Cada componente de g es
diferenciable en x, y f tiene derivadas parciales en (0, 0), pero f o g no es diferenciable en x =O
en el sentido del cálculo de una variable. En otras palabras, la composición de f con g no es
diferenciable en contraste con el cálculo de una variable, donde la composición de funciones
diferenciables es diferenciable. Más adelante daremos una definición de diferenciabilidad que
tiene la agradable consecuencia de que la composición de funciones diferenciables es diferen­
ciable.
Hay otra razón para no estar contentos con la mera existencia de derivadas parciales de
j(x, y) =x1í3y113 : no existe pla.
T
lo tangente a la gráfica, de forma razonable alguna, en (0, 0). El
plano xy es tangente a la gráfica a lo largo de los ejes x e y, ya que f tiene pendiente cero en
(0, O) a lo largo de estos ejes; es decir, ofjox =O y ofloy =O en (0, 0). Por tanto, si hay plano
tangente éste debe ser el plano .xy. Sin embargo, como es evidente en la Figura 2.3.2, el plano xy

Capítulo 2. Diferenciación
125
no es tangente a la gráfica en otras direcciones, ya que la gráfica tiene una arruga muy acusada
y por tanto el plano xy no puede decirse que sea tangente a la gráfica de f.
X
La aproximación lineal
La parte de la gráfica de x113y113
en el primer cuadrante.
A fin de «motivar» nuestra definición de diferenciabilidad calculemos cuál tendría que ser la
ecuación del plano tangente a la gráfica de f: IR2 --
->
IR,(x, y)--
->
f(x, y) en (x0, y0) si f fuera
suficientemente suave. En IR3 un plano no vertical tiene ecuación de la forma
z = ax+by+c.
Si éste fuera el plano tangente a la gráfica de f, las pendientes a lo largo de los ejes x e y ten­
drían que Ser iguales a Oj/CX y Cjjcy, las variaciones de j respecto de X e y; por tanto, a= ojjcx,
b = cjjcy (evaluadas en (x0, y0)). Finalmente, podemos determinar la constante e utilizando que
z = f(x0, y0) cuando x = x0, y= y0. Así, se obtiene la aproximación lineal:
¡a¡
J [a¡
J.
z = f(xo, Yo)+
L-;- (xo, Yo) (x- Xo)+ -:
:::-
(xo, Yo) (y- Yo),
ox
oy
(l)
que debe ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (x0, y0), si f es «suficiente­
mente suave» (véase la Figura 2.3.3).
Nuestra definición de diferenciabilidad significará que, en efecto, el plano definido por
la aproximación lineal (1) es una «buena» aproximación de f cerca de (x0, y0). Para hacerse una
idea de lo que se debe entender por una buena aproximación volvamos por un momento al
cálculo de una variable. Si f es diferenciable en el punto x0, entonces sabemos que
Si x = x0+Ax, reescribamos lo anterior como
l
.
f(x) -f(xo) _f
'
()
1m
-
x0.
x�xo
X- Xo

126 Cálculo vectorial
X
Plano tangente a la
gtáfica de f en
(xo, YoJ(xo,Yoll
Para los puntos (x. y) que están cerca
de (XQ. y0), la gráfica del plano tangente
está cerca de la gráfica de f.
Utilizando el límite trivial lim f'(x0) = f'(x0) podemos reescribir la ecuación precedente como
es decir,
es decir,
X-+XQ
l. f(x)- .f(xo) 1.
j'( )
rm
=rm
x0;
x--+xo
X- Xo
X-+xo
lim [
j(x)- f(xo)
-
f'(x0)J = O;
x--+xo
X- x0
l
.
.
f(x)- f(x0)- f'(x0)(x- xo)
0
nn
=
.
x--+xo
X- Xo
Por tanto, la recta tangente en (x0, .f(x0)) con pendiente f'(x0) está cerca de f en el sentido de
que la diferencia entre f(x) y l(x) = j(i0) + f'Cr:0)(x- x0), la ecuación de la recta tangente, tien­
de a cero cuando x tiende a x0, incluso dividida por x- x0. Ésta es la noción de «buena aproxi­
mación>> que vamos a adaptar para las funciones de varías variables, con la recta tangente reem­
plazada por el plano tangente (véase la Ecuación (1), dada anteriormente).
Diferenciabilidad de funciones de dos variables
Con la ayuda de la aproximación lineal estamos listos para definir la noción de deferenciabili­
dad.
DEFINICIÓN: Diferenciabilidad, dos variables Sea .f: IR2 �IR. Decimos que f es dife­
renciable en (x0, y0) si 3f/3x y 8f/3y existen en (XQ, y0), y, además,
.f(x, y)- . f(xo. Yo)- [�.f
(xo. Yo)J (x- xo)- [�.
f
(xo, Yo)J (y- Yo)
.
ox
0)'
·
�o
w
ll(x, y)- (xo. Yo)ll

Capítulo 2. Diferenciación
127
cuando (x, y) --
->
(x0, y0). Esta ecuación expresa lo que queremos decir cuando decimos que
[a¡
J [a¡
J
f(xo, Yo) + --;
;-
(xo,Yo)(x-Xo)+--;
;-
(xo, Yo) (y- Yo)
OX
O)'
es una buena aproximación de la función f
No siempre es fácil utilizar esta definición para ver si f es diferenciable, pero será fácil de
usar otro criterio que daremos en breve en el Teorema 9.
El plano tangente
Hemos usado la noción informal de plano tangente a la gráfica de una función para motivar
nuestra definición de diferenciabilidad. Ahora estamos preparados para adoptar una definición
formal de plano tangente.
DEFINICIÓN: Plano tangente Sea f: IR2 --
->
IR diferenciable en Xo= (x0, y0). El plano de
IR3 definido por la ecuación
[a¡
J [a¡
J
Z=f(xo,Yo)+ ax
(xo, Yo) (x- Xo) +
ay
(xo, Yo) (y- Yo),
se llama plano tangente de la gráfica de f en el punto (x0, y0).
Calcular el plano tangente a la gráfica de z = x2 +y4 +e-'Y en el punto (1, O, 2).
�
Solución
Utilícese la Fórmula (1) con x0 = 1, Yo= O, y z0 = f(x0, y0)= 2. Las derivadas parciales son
y
az
-
= 4/ +xex:l
ay
En (1, O, 2) estas derivadas parciales son 2 y 1 respectivamente, por tanto, por la Fórmula (1), el
plano tangente es
z=2(x-1)+1(y-O)+2,
es decir,
z=2x+y.
Escribamos como Df(x0, y0) la matriz fila

1 28 Cálculo vectorial
de forma que la definición de diferenciabilidad afirma que
[X-Xo]
f(xo, Yo) + Df(xo, Yo)
Y- Yo
(3)
es nuestra buena aproximación de f cerca del punto (x0, y0). Como anteriormente, «buena» se
toma en el sentido de que la Expresión (3) difiere de f(x, y) en algo pequeño multiplicado por
v (x- x0)2 + (y - y0)2. Decimos que la Expresión (3) es la mejor aproximación lineal de f
cerca de (x0, y0).
Diferenciabilidad: El caso general
Ahora estamos preparados para dar una definición de diferenciabilidad de funciones f de !Rn en
!Rm utilizando la discusión precedente como motivación. La derivada Df(x0) de f= (f1, ... , f
m
)
en un punto x0 es una matriz T cuyos elementos son rij = 3J¡ /oxj evaluadas en x0 2.
DEFINICIÓN: Diferenciable, n variables, m funciones Sea U un conjunto abierto en !Rn
yseaf:UeIRn-+IR
m
una función dada. Decimos que f es diferenciable en x0 E U si las
derivadas parciales de f existen en Xo y, además,
.
llf(x)- f(xo)- T(x- Xo)ll
hm
=O,
x-xo
1\x- Xoll
(4)
donde T = Df(x0) es la matriz m x n con elementos 3fJ3xj evaluadas en Xo, y T(x- x0) es
el producto de T por x- x0 (visto como matriz columna). Llamamos a T la derivada de f
en x0.
Aquí siempre denotaremos la derivada T de f en x0 por Df(x0), aunque en algunos libros se
denota por df(x0) y se refieren a ella como la diferencial de f En el caso en el que m = l la
matriz T es simplemente el vector fila
(algunas veces, cuando haya posibilidad de confusión, separaremos los elementos por comas).
Además, si n = 2 y se pone esta expresión en la Ecuación (4), resulta que las condiciones (2)
2 Resulta que solamente es necesario postular la existencia de una matriz que dé la mejor aproximación lineal cerca
de Xo E IR" ya que, de hecho, esta matriz es necesariamente la matriz cuyo ij-ésimo elemento es cj;jc:xy (véase el Capítu­
lo 2 del suplemento de Internet).

Capítulo 2. Diferenciación
129
y (4) coinciden; por tamo, si ponemos h= x - x0, una función con valores reales f den varia­
bles es diferenciable en un punto x0 si
ya que
1¡
n
a¡
1
lim
-l lhll
f(xo-h)-f(xo)-2:
:
-;
;-
(Xo)hJ = O,
h-o
J�1 oxJ
En el caso general en el que f está definida sobre un conjunto de !Rn con valores en !Rm, la
derivada es la matriz m x n dada por
8J¡
Of, l
8x1
ax
n
Df(Xo)=
ai,n
'
a¡m
8x1
axnJ
donde las a¡;¡axJ se evalúan en Xo· La matriz D.f(Xo) se llama, con propiedad, matriz de las
derivadas parciales de f en Xo·
Calcular las matrices de derivádas parciales para las funciones:
a) .f(x, y)= (ex+y + y, /x).
b) f(x, y)=(_¿+ cosy, yc).
e) f(x, y, z)= (zex, - yez).
Solución
a) Aquí f: lR2--> lR2 se define por medio de f1(x, y)= ex+y +y, y de .f
2
(x, y)= ./x; por tan­
to,Df(x,y)eslamatriz2x2
b) Tenemos que
e) En este caso
[ex+y
Df(x, y)=
o
y-
ex+y + 1]
2xy
.
[2x -s
e
exny] .
Df(x, y)=
x
ye
[zex
Df(x,y,z)= 0
o

130
Cálculo vectorial
Gradientes
Para funciones con valores reales utilizamos una terminología especial para la derivada.
DEFINICIÓN: Gradiente Considérese el caso especial f: U e IR
n
-+ IR. En este caso Dj(x)
esunamatriz1xn:
[a¡
a¡
J
Df(x) =
-
···
�.
ax¡
OXn
Podemos formar el vector correspondiente (ofjox¡, ..., offoxn), llamado gradiente de f y de­
notado por Vf o grad f
A partir de la definición vemos que, para f: IR3-+ IR,
mientras que para f: IR2-+ IR,
El significado geométrico del gradiente se discutirá en la Sección 2.6 . En términos del pro­
ducto escalar podemos escribir la derivada de f como
Df(x)(h) = Vf(x) ·h.
Sea f: IR3 --+IR, f(x, y, z) = xeY. Entonces
Si f: IR2-> IR está definida por (x, y)-+ eX)' + sen .Ay, entonces
Vf(x, y) = (yexy' + ycos.xy)i + (u"l' + xcosxy)j
= (exy + cosxy)(yi + xj).
En el cálculo de una variable se demuestra que si f es diferenciable entonces f es continua.
El Teorema 8 establece que este resultado es también cierto para funciones diferenciables de
varias variables. Como sabemos, hay muchas funciones de una variable que son continuas pero
no diferenciables, como f(x) = lx[. Antes de enunciar el resultado vamos a dar un ejemplo de
una función de dos variables cuyas derivadas parciales existen en un punto pero no es continua
en ese punto.

Capítulo 2. Diferenciación
131
Sea f: �2--
->
� la función definida por
f(x, y)= g
six=Oosiy=O
en otro caso.
Dado que f es constante en los ejes x e y, sobre los que es igual a 1,
Yx(0, O)= O
y
a¡
-;-(0,O)=O.
uy
Pero f no es continua en (0, 0), ya que no existe lim f(x, y).
(x,y)-(0, O)
Algunos teoremas básicos
El primero de estos teoremas básicos relaciona la diferenciabilidad y la continuidad.
Este resultado es muy razonable, ya que «diferenciabilidad» significa que hay suficiente
suavidad como para tener plano tangente, que es más fuerte que ser simplemente continua. Con­
súltese el Capítulo 2 del suplemento de Internet para ver una demostración formal.
Como hemos visto, usualmente es fácil decidir cuándo las derivadas parciales de una fun­
ción existen utilizando lo que sabemos del cálculo de una variable. Sin embargo, la definición
de diferenciabilidad parece más bien complicada y la condición de aproximación requerida en
la Ecuación (4) puede parecer, y a veces lo es, difícil de verificar. Afortunadamente existe un
criterio sencillo, que se da en el teorema siguiente, que nos dice cuándo una función es diferen­
ciable.
Damos la demostración en el Capítulo 2 del suplemento de Internet. Obsérvese la siguiente
jerarquía:
Teorema 9
l
Definición
de derivada
l
Parciales continuas = Diferenciable = Parciales existen

132 Cálculo vectorial
Cada uno de los enunciados recíprocos, obtenidos invirtiendo una implicación cualquiera, es
falso (como contraejemplo al recíproco de la primera implicación utilícese j(x) = :r? sen (1/x),
j(O) = O; para la segunda, véase el Ejemplo 1 en el Capítulo 2 del suplemento de Internet o
utilícese el Ejemplo 2.25 de esta sección).
Se dice que una función es de clase C1 si sus derivadas parciales existen y son continuas;
por tanto, el Teorema 9 dice que toda función C1 es diferenciable.
Sea
cosx + exy
f(x, y)=
2
2
·
X+y
Demostrar que f es diferenciable en todos los puntos (x, y) # (0, 0).
Solución
Obsérvese que las derivadas parciales
a¡ (X2 +y2)(yexy- Sen X) - 2x(C0SX + eXY)
ax
(x2 +i)2
a¡ (X2 +i)xexy- 2y(COSX + e�Y)
ay
(x2 +i)2
son continuas excepto cuando x=O e y=O (por los resultados de la Sección 2.2). Por tanto, f
es diferenciable por el Teorema 9.
En el suplemento de Internet demostramos que j(x, y)=xy¡J:r? +l (con j(O, O)=O) es
continua, tiene derivadas parciales en (0, 0) y aun así no es diferenciable en ese punto (véase la
Figura 2.3.4). Por el Teorema 9, sus derivadas parciales no pueden ser continuas en (0, 0).
Esta función no es diferenciable en (0. O)
ya que está «arrugada».

Capítulo 2. Diferenciación
133
l. Hallar 3j
(
3x, 3f
i
3y si
a)j
(
x, y)= xy.
b)j
(
x, y)= exy.
e)j
(
x, y)=xcosxcosy.
d)j
(
x, y)=
(
x2 +y
2
)log (x
2
+ /).
2. Evaluar las derivadas parciales 3z
/
3x, 3z
/
3y de las funciones dadas en los puntos indicados.
a) z=.Ja
2
x
2
-
/; (0, 0),
(
a/2, a/2).
b) z=logjl +xy; (1,2),(0,0).
e) z= e=cos
(
bx +y);
(
2n/b,0).
3. En cada uno de los casos que siguen hallar las derivadas parciales 3w
/
3x, 3w
/
3y.
a) w=xex2+y2•
x2+l
b) w=-
2
--
2
.
X-y
e) w= exylog(x
2
+y2).
d) w=x
/
y.
e) w= cos
(
yexy)senx.
4. Demostrar que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en cada punto de su dominio de
definición . Decidir cuáles de ellas son C1.
a)
b)
e)
2xy
j
(
x, y)=
(x
2
+/)
2
.
Xy
j
(
x, y)=- +-.
yX
j
(
r, IJ) = �rsen21J, r >O.
d)j
(
x, y)=
xy
Jx
2
+y
2
.
?
e)
x-y
f
(
x, y)= -4--
2
·
X+y
S. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z= x
2
+l en (3, 1, 10).
6. Para cada una de las funciones del Ejercicio 1 calcular respectivamente el plano tangente a su gráfica
en el punto indicado .
a) (0, 0).
b) (0, 1).
e) (0, n).
7. Calcular la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes:
a) j:�
2
--*
�
2
,
j
(
x, y)=
(
x, y).
b)f:�
2
-+�
3
,j
(
x, y)=
(
xeY+cosy,x,x+eY).
e)f:�
3
-+�
2
,j
(
x, y, z)=
(
x+é+y,yx 2).
d)f:�
2
-+�
3
•j
(
x, y)=
(
xye')' , xseny, 5xy
2
).
d) (0, 1).

134
Cálculo vectorial
2.4.
8. Hallar la matriz de derivadas parciales de
a) f(x, y)=(ex, senxy).
b) f(x, y, z)=(x -y, y +z).
e) f(x, y)=(x +y, x -y, xy).
d) f(x,y,z)=(x+z,y -Sz,x -y).
9. ¿Dónde corta el eje z al plano tangente a z=ex-y en (1, l, 1)?
10. ¿Por qué deben llamarse «tangentes» en (0, O) las gráficas de f (x, y) = x2 + y2 y de
g(x, y)= - x2-l+xy3?
ll. Sea j(x, y)=exy. Demostrar que x(ojjox)=y(ojjoy).
12. Utilizar la aproximación lineal para aproximar una función adecuada f(x, y) y a partir de ella esti­
mar:
a) (0,99e
0·02)
8
.
b) (0,99)3 + (2,01)3 - 6(0,99)(2,01).
13. Calcular el gradiente de cada una de las siguientes funciones:
a) f(x, y, z)=xexp ( - x2 - l - z2) (Nótese que exp u=e".)
b) f(x, y, z)=
2+2+2
·
X
yZ
xyz
14. Hallar el plano tangente en (1, O, l) para cada una de las funciones del Ejercicio 13.
15. Hallar la ecuación del plano tangente a z=x2 +2l en (l, l, 3).
16. Calcular \lh(l, l, 1) si h(x, y, z)=(x +z)ex-y_
17. Sea f(x, y, z)=x2 +l-i. Calcular \7f(O, O, 1).
18. Evaluar el gradiente de j(x, y, z)=Jog (x2 +l +z2) en (1, O , 1).
19. Describir todas las funciones continuas Holder con o: > 1 (véase el Ejercicio 25, Sección 2.2). [INDI­
CACIÓN: ¿Cuál es la derivada de una función de este tipo?}
20. Supóngase que f: IR(n-> IR(m es una aplicación lineal. ¿Cuál es la derivada de f?
Introducción a trayectorias y curvas
Introducimos en esta sección algunos de los métodos básicos de la geometría y del cálculo de •
trayectorias en el plano y en el espacio. Serán éstos un ingrediente importante de la regla de la
cadena que se trata en la sección siguiente. Volveremos a estudiar más propiedades de las'
trayectorias en el Capítulo 4.

Trayectorias y curvas
Capítulo 2. Diferenciación
135
A menudo imaginamos una curva como una línea trazada en un papel, como una línea recta,
una circunferencia o una sinusoide. Es útil imaginar matemáticamente una curva C como el
conjunto de valores de una función que lleva un intervalo de números reales en el plano o en el
espacio. Llamaremos a una aplicación de este tipo una trayectoria. Normalmente denotaremos
una trayectoria por c. La imagen C de un camino coincide entonces con la curva que vemos en
el papel (véase la Figura 2.4.1). A menudo representamos por t la variable independiente y la
imaginamos como el tiempo, de forma que c(t) es la posición en el instante t de una partícula en
movimiento, que traza una curva al variar t. Decimos también que e parametriza a C. Estricta­
mente hablando debemos distinguir entre c(t) como punto del espacio y como vector con base
en el origen.
X
a
�c(b)
(,""'-
----
curva C = imagen de e
•
c(a)
e = trayectoria
b
''·'•·'f·•·'"''·"'··''·"'"'"•' La aplicación e es la trayectoria;
su imagen Ces la curva que
«VemOS>>.
La recta L en IR3 que pasa por el punto (x0, y0, z0) con la dirección del vector v
1magen de la trayectoria
con t E IR (véase la Figura 2.4.2). Por tanto, nuestra noción de curva incluye las rectas como
casos especiales.
V
c(l)=(x0,y0,z0)+rv
� (xo, Yo· zo)
L
-.-
-�/--��------------------+
y
X
1/
1/
/
"--
L es la recta del espacio que pasa por
(XQ. y0, Zo) con dirección v; su ecuación es
c(t)=(x0,Yo·Zo)+tv.

t36
Cálculo vectorial
La circunferencia unidad C: x
2
+l=1enelplanoeslaimagendelatrayec-
e(t) = (cos t, sen t),
O::;
;
t::;
;
2n,
(véase la Figura 2.4.3). La circunferencia unidad también es la imagen del camino
c(t) =(cos2t, sen2t),O::;
;
t::;
;
n. Por tanto, trayectorias diferentes pueden parametrizar la mis­
ma curva.
��i!J,�:��;���,f�;� c(t) = (ces t. sen t) es una trayectoria cuya imagen C
es la circunferencia unidad.
La trayectoria c(t) = (t, r) traza un arco de parábola. Esta curva coincide con la
gráfica de .f(x) = x2 (véase la Figura 2.4.4).
y
/d
' (1,1) = c(l)
X
c(O) = (0, O)

Capítulo 2. Diferenciación
137
Un disco de radio R rueda hacia la derecha con velocidad v sobre una recta.
Utilizar métodos vectoriales para hallar la trayectoria c(t) de un punto del disco que inicial­
mente se encuentra a distancia r bajo el centro.
Solución
Colocamos el disco en el plano .xy con su centro inicialmente en (0, R) de forma que la posición
del centro en el instante t la describe el camino C(t)= (vt, R) (véase la Figura 2.4.5).
dC.
-=v1
dt
0AC(t
�
d(l2) �
c(r2) •
¡���!f�&��¡� El vector d(t) apunta desde el centro de la rueda, C(t). a la posición c(t) de un punto del disco
y gira en el sentido de las agujas del reloj al moverse el disco hacia la derecha.
La posición del punto c(t) respecto del centro la da el vector d(t) = c(t) - C(t), que tiene
valor inicial -rj y rota en el sentido de las agujas del reloj. La velocidad de rotación es tal que
el disco da una vuelta completa cuando el centro se ha desplazado la distancia 2rrR (igual a la
longitud de la circunferencia del disco). Esto lleva un tiempo de 2nRív, de forma que la veloci­
dad angular de la rueda, d8ídt, es víR. Dado que la rotación tiene lugar en el sentido de las
agujas del reloj, la función vectorial d(t) es de la forma
d(t) = r(cos[-�t+eJi+sen[-�t+eJj)
para un ángulo inicial dado e. Dado que d(O)= -rj, tenemos que cose= O y que sene= - l,
por tanto e= -n/2, y entonces
Usando que cos(!.p- rrí2) = sen1.p y que sen (1.p- rrí2)= -cos�.p, juntamente con cos (-�.p)
= cos 1.fJ y sen (-l.fJ) = -sen l.fJ, obtenemos:
(vt
ot
)
d(t) = r -sen
R
i-cos
Rj.

138 Cálculo vectorial
Finalmente la trayectoria c(t) se obtiene sumando las componentes de la función vectorial d(t) a
las coordenadas del camino C(t); el resultado es:
(vt
vt)
c(t)= vt-rsen
R,R -rcos
R.
Enelcasoespecialv=R =r = 1,obtenemosc(t)=(t-sent, 1 -cost).LacurvaimagenC
de este camino e se muestra en la Figura 2.4.6; se llama cicloide.
y
c(l)=(1-sent,1-cos1)
_,.
.__
¡
211:
����l��1§m La curva que traza un punto
del borde de una circunferencia
que rueda se llama cicloide.
El ejemplo anterior consideraba la trayectoria que traza un punto que no está en el borde de
un disco que rueda sobre una recta. Cuando el disco rueda sobre una circunferencia la curva
resultante se llama epiciclo. Éstos son los epiciclos de los que se habla en la teoría tolemaica, en
la introducción. Si el disco está fuera de la circunferencia y el punto está sobre el borde la curva
se llama epicicloide, y cuando el disco está en el interior de la circunferencia se trata de una
hipocicloide. Un ejemplo de esta última se muestra en la Figura 2.4.7.
�ji�[���� Ejemplo de una hipocicloide.

Velocidad y tangente a una trayectoria
Capítulo 2. Diferenciación
139
Si imaginamos a e(t) como la curva trazada por UP.� partícula y a t como el tiempo, es razonable
definir el vector velocidad como sigue.
DEFINICIÓN: Vector velocidad Si e es una trayectoria y es diferenciable decimos que e
es una trayectoria diferenciable. La velocidad de e en el instante t se define como3:
e(t+h)-e(r)
e'(t) = lim --
---
h�o
h
Normalmente trazamos el vector c'(t) con origen en el punto c(t). La rapidez de la trayec­
toria e(t) es s = jje'(t)jj, la longitud del vector velocidad. Si c(t) = (x(t), y(t)) está en !R2, se
tiene
c'(t) = (x'(t), y'(t)) = x' (t)i + y'(t)j
y, si c(t) = (x(t), y(t), z(t)) está en IR3, entonces
e'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k.
Aquí x'(t) es la derivada en una vmiable dx/dt. Si interpretamos los límites de vectores como
límites componente a componente, las fórmulas que dan el vector velocidad se obtienen de la
definición de derivada. Sin embargo, el límite puede interpretarse también en el sentido vecto­
rial. En la Figura 2.4.8 vemos que [e(t + h) - e(t)]/h aproxima la tangente a la trayectoria cuan­
doh-+O.
X
El vector e' ( t) es tangente
a la trayectoria e( t).
3 Si t es el extremo de un intervalo, se deben tOmar, como en el cálculo de una variable, límites por la derecha o por
la izquierda.

140
Cálculo vectorial
Si imaginamos la derivada Dc(t) como una matriz, ésta será un vector columna con elemen­
tos x'(t), y'(t) y z'(t) ; por tanto, esta derivada es consistente con nuestra noción anterior.
Calcular el vector tangente a la trayectoria c(t) = (t, ?, e') en el punto t = O.
Solución
Resulta que c(t) = (1, 2t, e') y en t =O obtenemos el vector tangente (1, O, 1).
Describir la trayectoria c(t) = (cos t, sen t, t). Hallar el vector velocidad en el
punto de la curva imagen cuando t = n/2.
Solución
Para un t dado, el punto (cos t, sen t, O) está sobre la circunferencia x2 + l = 1 en el plano xy.
Por tanto, el punto (cos t, sen t, t) está t unidades sobre el punto (cos t, sen t, O) si tes positivo y
-
t unidades por debajo de (cos t, sen t, O) si t es negativo. Cuando t crece (cos t, sen t, t) se
enrolla alrededor del cilindro x2 + l = 1 con la coordenada z creciente. La curva que traza se
llama hélice y aparece dibujada en la Figura 2.4.9. En t= n/2, c'(rr/2) =( sen rr/2, cos n/2, 1) =
(-1,O,1)=-i+k.
c'(rc/2)=-i+k
(cos t, sen t, t)
___.,.
.
y
(cos t, sen 1, 0)
X
La hélice c(t) = (cos t. sen t, t) se
enrolla sobre el cilindro x2 + y2 = 1 .
La trayectoria cicloidal de una partícula en el borde de un disco de radio R que
se mueve con velocidad v está definida por c(t) = (vt- R sen (vt/R), R- R cos (vt/R) (véase el
Ejemplo 2.35). Hallar la velocidad c'(t) de la partícula como una función de t. ¿Cuándo es la
velocidad igual a cero? ¿Es el vector velocidad vertical en algún momento?

Solución
Para hallar la velocidad derivamos:
c'(t) = (� (vt Rsen-
-
R
vt) d(
R 'dt
(vt
vt)
=
v-vcos
-
vsen-
.
R'
R
Capítulo 2. Diferenciación
141
Reos �))
En notación vectorial, c'(t) = (v - v cos (vt/R)i + (v sen (vt/R))j. La componente en la dirección
de i es v (l - cos(vt/R)), que vale cero cuando vt/R es un múltiplo entero de 2n. Para dichos
valores de t, sen (vt/R) también es igual a cero, por tanto los únicos instantes en los que la velo­
cidad es cero son t = 2nnR/v para cualquier entero n. En estos instantes, c(t) = (2n n R, 0), de
forma que el punto en movimiento está tocando el suelo. Estos instantes ocurren tras intervalos
de tiempo de 2n Rjv (más frecuentemente para discos pequeños así como para discos que ruedan
rápidamente).
El vector velocidad nunca es vertical ya que su componente horizontal solamente se anula
cuando también lo hace la vertical.
La Figura 2.4.1 O muestra algunos de los vectores velocidad superpuestos sobre la trayectoria
cicloidal de la Figura 2.4.6.
y
--+-
----------------J------------+
X
Recta tangente
Vectores velocidad de la curva trazada
por un punto en el borde de un disco
que rueda.
La recta tangente a una trayectoria en un punto es la recta que pasa por el punto con la direc­
ción del vector tangente. Usando la forma punto-vector de la ecuación de una recta obtenemos
la ecuación paramétrica de la recta tangente.

142
Cálculo vectorial
Nótese que hemos escrito la ecuación de tal forma que l pasa por el punto c(t0) en el instante
t= t0 (y no en t= O) (véase la Figura2.4.11).
l(t)
Una trayectoria en IH3 pasa por el punto (3, 6, 5) en el instante t = O con vector
tangente i - j
.
Hallar la ecuación de la recta tangente.
Solución
La ecuación de la recta tangente es
l(t)=(3,6,5)+t(i-j)=(3,6,5)+t(l,-1,O)=(3+t,6-t,5).
Encoordenadas (x,y,z,),larectatangenteesx=3+t,y=6 -t,z=5.
Desde el punto de vista de la física, podemos interpretar el movimiento sobre la recta tan­
gente como la trayectoria que seguiría una panícula sobre la curva si se la liberase en un deter­
minado instante.
Supóngase que una partícula sigue la trayectoria c(t) = (e', e-', cos t) hasta que
se sale por la tangente en el instante t = l. ¿Dónde estará en el instante t = 3?
Solución
El vector velocidad es (e', -e -r, -sen t), que en instante t = 1 es el vector (e, -1je, -sen 1).
La partícula está en (e, !fe, cos 1) en el instante t = l. La ecuación de la recta tangente es
l(t) = (e, !fe, cos 1) + (t - l)(e, 1/e, -sen 1). En el instante t = 3 la posición sobre esta
recta es:
1
- sen1 ) = (3e, - � ,cosl-2 senl)
e
� (8 ,155, -0,368, -1,143).

Capítulo 2. Diferenciación
143
Dibujar las curvas que son imagen de las trayectorias de los Ejercicios 1 a 4.
l. x= sent, y=4cost, donde O,:; t,:; 2rr.
2. x =2sent,y=4cost,dondeO,:;t,:;2n.
3. c(t)=(2t- l, t + 2, t).
4. c(t)=(-t, 2t, 1/t),donde1,:;t,:;3.
En los Ejercicios 5 a 8 determinar el vector velocidad de la trayectoria dada.
5. c(t)=6ri + 3i'j + t3k.
6. c(t) = (sen 3t)i + (cos 3t)j + 2t3Í2k.
7. r(t)=(cos
2
t, 3t- t3, t).
8. r(t) = (4e', 6t4, cos t).
En los Ejercicios 9 a 12 calcular el vector tangente a la trayectoria dada.
9. c(t) = (e', cos t).
10. c(t)=(3?, t").
11. c(r) = (t sen t, 4t).
12. c(t)=(i', e2).
13. ¿Cuándo es horizontal el vector velocidad de un punto en el borde de un disco que rueda? ¿Cuál es la
velocidad en ese instante?
14. Si la posición en el instante t de una partícula en el espacio es (6t, 3?, t3), ¿cuál es su vector veloci­
dad en el instante r=O?
En los Ejercicios 15 y 16 determinar la ecuación de la recta tangente a la trayectoria dada para el valor
de t especificado.
15. (sen 3r, cos 3t, 2�Í2); r= l.
16. (cos
2
t,3t-r
3
, t);t=O.
En los Ejercicios 17 a 20 suponer que una partícula que sigue la trayectoria c(t) se sale por la tangente en
el instante t=t0. Calcular la posición de la partícula en el instante t1 dado.
17. c(t)=(i', t3 - 4t, 0), donde t0=2, t1 =3.
18. c(t)=(e', e-', cost), donde t0= 1, t1 = 2.
19. c(t)=(4e', 6t4, cos t), donde t0=O, 11 = l.
20. c(r) =(sen e', t, 4- r"), donde t0= l, r1 =2.

144
Cálculo vectorial
2.5. Propiedades de la derivada
En el cálculo elemental se aprende a derivar sumas, productos, cocientes y funciones compues­
tas. Generalizamos ahora estas ideas a las funciones de varias variables, poniendo especial aten­
ción en cómo derivar funciones compuestas. La regla para derivar las composiciones, llamada
r;;.gla de la cadena, adquiere, para las funciones de varias variables, una forma más profunda
;<Iue para las funciones de una variable.
Si f es una función con valores reales de una variable, escrita como z =f(y), e y es una
función de x, escrita como y = f(x), entonces z será una función de x por sustitución, es decir,
z =f(g(x)), y tendremos la familiar regla de la cadena:
dz dzdy
-
=
--
=f
'
(g(x))g'(x).
dx dydx
Si f es una función con valores reales de las tres variables u, v, y w, escrita en la fon11a f(u, v, w),
y las variables u, v, w son a su vez funciones de x, u = g(x), v = h(x), w = k(x), entonces susti­
tuyendo g(x), h(x) y k(x) por u, v y w obtenemos z como función de x: z =f(g(x), h(x), k(x)). La
regla de la cadena en este caso se traduce en:
dz azdu azdv 8zdw
-
=--+--+--
dx audx avdx awdx.
Uno de los propósitos de esta sección es explicar este tipo de fórmulas en detalle.
Sumas, productos, cocientes
Estas reglas funcionan de igual forma que en el cálculo de una variable.

Capítulo 2. Diferenciación
145
DEMOSTRACIÓN Las demostraciones de las reglas i) a iv) siguen casi exactamente las mis­
mas líneas que en el caso de una variable pero con una notación ligeramente diferente. De­
mostraremos las reglas i) y ii), y dejaremos las demostraciones de las reglas iii) y iv) como
Ejercicio 25 de esta sección.
i) Para demostrar que Dh(x0) = cDj(x0) tenemos que demostrar que
.
jjh(x) - h(xa)- cDf(x0)(x - x0)11
hm
=0,
x�xo
llx - Xoll
es decir, que
.
llcf(x)- c.f(xo)- cD.f(x0)(x- x0)11
hm
·
=O.
x�xo
llx - Xoll
·
(véase la Ecuación (4) de la Sección 2.3). Esto es obviamente cierto ya que fes diferen­
ciable y la constante e puede sacarse como factor común (véase el Teorema 3.i) de la
Sección 2.2).
ii) La desigualdad triangular nos permite escribir
llh(x) h(Xo) - [D.f(Xo) + Dg(xo)](x- Xo)ll
llx- Xoll
llf(x) - f(Xo)- [Df(xo)J(x- Xo) + g(x)- g(Xo)- [Dg(Xo))(x Xo)!i
lix- Xoll
llf(x)- f(Xo)- [Df(Xo)](x- Xo)ll lig(x)- g(Xo) - [Dg(x0)](x - Xo)ll
:;:;
;
+
'
llx - Xoll
llx- Xoll
expresión en la que cada término tiende a O cuando x --
->
x0, de lo que se sigue la regla ii).
Solución
En este caso
Verificar la fórmula para Dh en la regla iv) del Teorema 10 para
f(x,y,z)=x2+i+i y
g(x, y, z) =.¿+l.
,
x2+/+i
h(x,y,z;=
�
,
x-+l

146 Cálculo vectorial
de forma que derivando directamente:
'7
=
[oh eh oh]=[(x2+1)2x-(�+l+z2)2x ��]
Dh(x, ) , "'")
",",�
(2
+
l)2
,
2+1, 2+1
OXuyOZ
X,
X
X
[2x(l - l
-
i) 2y
2z
J
=
(x2 + 1)2
'x2+1'x2+1·
Por la regla iv) obtenemos
�.
gDf-fDg (x2 + 1)[2x, 2y, 2z]-(x2 + y2+ z2)t2x, O, 01
�1=
= ----------� ----�--�� ------ ------
-
l
(x2+li
que es igual a lo obtenido directamente.
La regla de la cadena
Como hemos mencionado anteriormente, es en la derivación de funciones compuestas donde
nos encontramos con variaciones sustanciales de la fórmula del cálculo de una variable. Sin em­
bargo, si utilizamos la notación D, es decir, la notación matricial para las derivadas, la regla de
la cadena para funciones de varias variables parece similar a la de la regla para una variable.
Daremos ahora una demostración de la regla de la cadena bajo la hipótesis adicional de que
las derivadas parciales de f son continuas. Demostramos el caso general a través de dos casos
particulares que son importantes por sí mismos (la demostración completa del Teorema 11 sin
la hipótesis adicional de la continuidad se da en el suplemento de Internet, Capítulo 2).
Primer caso especial de la regla de la cadena
Supóngase que e: IR --+ IR3 es una trayectoria diferenciable y que f: IR3 --+ IR. Sea
h(t) = f(c(t)) =f(x(t), y(t), z(t)), donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces
dh efdx , 3fdy 3fdz
-
-
=--- -,-
-
--+
--.
dt 3xdt aydt 8zdt
(2)

Es decir:
dh
-
= Vj(c(t)) · c'(t),
dt
Capítulo 2. Diferenciación
147
donde c'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)).
Éste es el caso especial del Teorema 11 en el que tomamos e = g, y f una función con
valores reales, y m = 3. Nótese que
Vj(c(t))·c'(t) = Dj(c(t))Dc(t),
donde el producto en el miembro izquierdo es el producto escalar de vectores mientras que el
producto en el miembro derecho es una multiplicación de matrices en la que hemos tomado
Df(c(t)) como matrizfila y Dc(t) como matriz columna. Los vectores Vj(c(t)) y c'(t) tienen las
mismas coordenadas que sus equivalentes matriciales; el cambio en la notación indica el cambio
de matrices a vectores.
DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN (2) Por definición,
dh
.
h(t)- h(t0)
-
(t0) = hm
.
dt
r�to
t- t0
Sumando y restando dos términos escribimos
h(t)- h(t0) j(x(t), y(t), z(t))- j(x(t0), y(t0), zCto))
t- t0
t- t0
f(x(t), y(t), z(t))- j(x(t0), y(t), z(t))
t- t0
f(x(t0), y(t), z(t)) f(x(t0), y(t0), z(t))
+--
---------------------------
t- t0
f(x(to), y(to), z(t))- f(x(to), y(t0), z(to))
+
.
t- t0
Ahora utilizamos el teorema del valor medio del cálculo de una variable, que dice: si g:
[a, b]-+ fR es continua y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto
e en (a, b) tal que g(b) - g(a) = g'(c)(b - a). Aplicando lo anterior a f como función de x,
podemos afirmar que, para algún e entre x y x0,
j(x, y, z)- j(x0, y, z) = [�� (e, y, z)]ex- x0).

148
Cálculo vectorial
De la misma manera, hallamos que
h(t) h(t0) [of
J x(t) - x(to) [of
J y(r) - y(to)
--'---=-= -:
::-
(e, y(t), z(t))
+-:
::-
(x(t0), d, z(t))
t-t0
ox
t-t0
oy
t-t0
[of
J z(r) - z(tci)
+ -:::- (x(t0), y(t0), e)
,
oz
t-t0
donde e, d y e están entre x(t) y x(t0), entre y(t) e y(t0), y entre z(t) y z(t0) respectivamente.
Tomando el límite cuando t --
->
t0, usando la continuidad de las derivadas parciales aj/3x,
cf/3y, 3f/3z y el hecho de que e, d y e convergen a x(t0), y(t0) y z(t0) respectivamente, obte­
nemos la Fórmula (2).
Segundo caso especial de la regla de la cadena
Sea f: IR3--
->
IRyseag:IR3--
->
IR3. Escribimos
g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
y definimos h: IR3--
->
IR por medio de
h(x, y, z) =f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)).
En este caso la regla de la cadena dice que
[ah ah
3x ay
�]=[a¡
oz
au
a¡ a¡
J
av Ow
cu3u3u
axaya7
av3v8v
3xay3z
awawaw
ax3y3z
(3)
En este caso especial hemos tomado, para concretar, n = m = 3 y p = 1 y, por simplicidad,
U= IR3 y V= IR3, y hemos escrito explícitamente el producto de matrices [Df(y0)][Dg(x0)] (en
donde no se han escrito los puntos x0 e Yo en las matrices).
DEMOSTRACIÓN DEL SEGUNDO CASO ESPECIAL DE LA REGLA DE LA CADENA Por de­
finición, ah/ax se obtiene derivando h respecto de X, dejando y y z fijas. Pero entonces
(u(x, y, z), v(x, y, z), z(x, y, z)) puede considerarse como un vector función de una sola va­
riable x. El primer caso especial se ajusta a esta situación y, tras renombrar las variables,
produce
oh a¡au a¡av a¡aw
-=--+--+--
ax auax avax awax.
(3')

Capítulo 2. Diferenciación
149
De forma análoga,
oh afau afav ' afow
-=-- + ---r--
3y auay avay away
(3")
y,
eh a¡au a¡av a¡aw
-
=�-+��+-�---:
:;-
.
az oucz ovoz owoz
(3"')
Estas ecuaciones son exactamente lo que se obtendría al multiplicar las matrices de la Ecua­
ción (3).
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 11 El caso general de la Ecuación (1) puede demos­
trarse en dos pasos. Primero, la Ecuación (2) se generaliza a m variables; es decir, para
f(x1, ..., xm) y c(t) = (x1, ..., xm) se tiene
dh
dt
donde h(t) = f(x1(t), ..., xm(t)). En segundo lugar, el resultado obtenido en el primer paso se
usa para obtener la fónnula
donde f = u;, . .. , fp) es una función vectorial de las variables )'¡, ..., Ym; g(x¡, ..., Xn) =
(y¡(X¡, ..., xn), ... , Ym(X¡, ..., xn)); y h/X¡, ..., xn) = f/Y¡(X¡, ..., xn), ..., Ym(X¡, ..., Xn)) (utilizar la
letra y tanto para la función como para las variables es un abuso de notación, pero es útil
para recordar la fórmula). Esta fórmula es equivalente a la Fórmula (l) una vez que en ésta
se han multiplicado las matrices.
La forma de la regla de la cadena se verá mejor una vez que el estudiante haya resuelto unos
cuantos ejemplos más. Por ejemplo:
a
�&�&���&
-
f(u(x, y), v(x, y), w(x, y), z(x, y)) = -;:;- -:
:;-
+--:
:;-
-:
::-
+-;
;-
--:
:;-
+ --:;--:;-,
ax
Ou OX
OVOX OWOX
OZ OX
con una fórmula análoga para af/cy.
La regla de la cadena nos puede ayudar a entender la relación entre la geometría de la apli­
cación f: IR:
2
� IR:2 y la geometría de curvas de IR:2 (se puede hacer afirmaciones análogas acerca
de IR:3 o, en general, de IR:
n
). Si c(t) es una trayectora en el plano entonces, como vimos en la
Sección 2.4, c'(t) representa el vector tangente (o vector velocidad) a la trayectoria c(t). Sea

1 SO Cálculo vectorial
ahora p(t) = j(c(t}),donde f: IR2--+ IR2. La rrayectoria p representa la imagen mediante la apli­
cación f de la trayectoria c(t). La regla de la cadena da el vector tangente a p:
multiplicación
� de matrices
p'(t) = Dj(c(t)) c'(t).
L_
__l
vector
columna
En otras palabras, la matriz derivada de f aplica el vector tangente (o vector velocidad) de una
trayectoria e sobre el vector tangente (o vector velocidad) de la correspondiente trayectoria
imagen p (véase la Figura 2.5.1). Por tanto, la función f es una aplicación entre puntos, mien­
tras que la derivada de f es una aplicación entre vectores tangentes a curvas, evaluada en cada
punto del dominio de definición sobre el vector tangente en ese punto.
y
t
donde
Solución
Ahora
y
= Dj(c(t))c'(t)
p(r) es la imagen de c(r) porf
Verificar la regla de la cadena en la forma dada por la Fórmula (3') para
f(u,v,w)=u2+v2-w
v(x, y, z)=l,
w(x, y, z) = e-xz.
h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
= (x2y)2+)'4_e
-xz=x4l+y4_e
-xz.
Por tanto, derivando directamente,

Capítulo 2. Diferenciación
1S1
Por otro lado, usando la regla de la cadena,
oh a¡óu a¡av a¡aw
-p
-;:
:-
=-:
::-
-;:
:-
+-;:
:-
-;:
:-
+-;:
:-
-:
:;-
= 2u(2xy)+2v·O +(-l)(-ze ')
OX OUOX OVOX OWOX
que coincide con la ecuación precedente.
Dadasg(x, y)=(2+1,/)yj(u, v)=(u+v, u, v
2
), calcular la derivada de
fog en el punto (x, y) = (1, 1) usando la regla de la cadena.
Solución
Las matrices de derivadas parciales son:
a¡] a¡]
au av
Df(u, v) =
a¡2 a¡2
au av
a¡3 a¡3
au Ov
� [iiJy [2x o]
Dg(x, y) =
.
o2y
Nótese que, cuando (x, y) = (1, 1), g(x, y) = (u, v) = (2, 1). Por tanto
D(f og)(1, 1)
�
Dj(2, 1)Dg(l, 1)
� [i�][� �]�[��]
es la derivada pedida.
Dados j(x, y) y el cambio de variables x =reos 8, y=rsen ()(coordenadas po­
lares), dar una fórmula para a¡¡ae.
Solución
Por la regla de la cadena
es decir
óf
ae
a¡ a¡ex eféy
-
=-
-
+-
-
ae ex(;() ayae
a¡
a¡
-
rsen()-+rcos()-
ax
ay.

t52
Cálculo vectorial
Sean f(x,y)=(cosy + x2, ex+Y) yg(u,v)= (eu
2
, u- senv).
a) Dar una fórmula para f og.
b) Calcular D(f og)(O, O) por medio de la regla de la cadena.
Solución
a) Tenemos
(f og)(u, v)= f(eu
2
, u- senv)
= (cos(u- senv) + e
2
u
2
,
e
e"'
+u
- senv
).
b) Por la regla de la cadena,
Ahora bien,
y
D(f og)(O, O)= [DJ(g(O, O))}[Dg(O, O)}= [Df(l, O)}[Dg(O, 0)}.
[2ueu
2
Dg(O, O)= l
[2x
DJ(l, O)=
ex+y
seny] [2 O]
ex+y (
x
.
y
)�(l,O)
=
ee.
Recuérdese que Df se evalúa en g(O, 0), ¡no en (0, 0)!). Por tanto,
Seaf:Ue!R
n
--
-+
!Rm diferenciable, con f= (f1, ... , fm) , y sea g(x) =sen[f( x) -f(x)].
Calcular Dg(x).
Solución
Por la regla de la cadena, Dg(x) = cos [j(x) · f( x)} Dh(x), donde h(x)
fiCx) + · · · + f�(x). Entonces:
[ah
oh]
Dh(x)=
-
..,-
···
-
..,
OX¡
OXn
[ oj¡
ofm
of¡
ofm]
=
2J¡ -
.
.,-+
... +2Jm-
.
.,-
...
2j¡ -
..,-- +
...
+2fm-..,
-
'
OX¡
OX¡
OXn
OXn
[f(x) · f(x)}=

�p��l� .�. Rit,erenciación
153
que puede escribirse 2f(x)Df(x), donde consideramos que f es una matriz fila:
a¡]
a¡!
ax¡
OXn
/[/¡
j,n]
y
Dj=
a¡m
Cfm
ax¡
oxn
P,or tanto, Dg(x) = 2[cos(f(x) ·f(x))]f(x)D/(x).
l. Si f: U e IR" --+IR es diferenciable, demostrar que x,.
.....
f2(x) + 2f(x) también es diferenciable y cal­
cular su de1ivada en función de Df(x).
2. Demostrar que las siguientes funciones son diferenciables y hallar sus derivadas en un punto cual­
quiera:
a) f: IR2--+IR, (x, y)--+2.
b) f: IR2-> IR, (x, y)-+x +y.
e) f:IR2->IR,(x,y)--+2+x+y.
d) f: IR2-> IR, (x, y)-> Y+/.
e) f:IR2--+IR,(x,y)--+ e
xy
f) f:U-+IR,(x,y)-+j1-x2-y2,dondeU={(x,y)lx2+/<1}.
g) f: IR2-.IR, (x, y) -+x4 -/
.
3. Dar la regla de la cadena para cada una de las funciones siguientes y justificar en cada caso la res­
puesta por medio del Teorema 11.
a) ohj3x,
b) dhjdx,
e) ohjox,
donde
donde
donde
h(x, y) = f(x, u(x, y)).
h(x) = f(x, u(x), v(x)).
h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)).
4. Verificar la regla de la cadena pata ohj3x, donde h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) y
v(x, y) = exy.
5. Verificar el primer caso especial de la regla de la cadena pata la composición f o e en cada uno de
los casos siguientes:
a) f(x, y) =.le)', e(t) = (e'
, cos t).
b) f(x,y)=exy
, e(t) = (3t2, ?).

154
Cálculo vectorial
e) f(x, y)=(x2 + /)log jx2 + /, c(t) =(e', e-').
d) f(x, y)=xexp (x2 + :/), c(t) =(t, -t).
6. ¿Cuál es el
�
vector velocidad para cada uno de los caminos c(t) del Ejercicio 5�
7. Sean f: iR3 --+iR y g: iR3--+ iR diferenciables. Demostrar que
\l(fg)=f\lg + g\lf.
8. Sea f: iR3 --+iR diferenciable. Tras hacer el cambio de variables:
X =pCOSesencp,
y=psenesencj;,
z =pcos cj;
(coordenadas esféricas) en f(x, y, z), calcular 8f/3p, 8f/3e, y 3f/3cf; en función de a¡¡ax, 3f/3y, y
Of/Oz.
9. Sean f(u, v) =(tan(u - 1) - e", u2 - v2) y g(x, y) =(e'-Y, x -y). Calcular fog y D(fog)(1, 1).
10. Sean f(u, v, w)=(e"-w, cos(v+ u)+sen(u+ F+ w))yg(x, y)=(ex, cos(y- x), e-Y).Calcular
fog Y D(fog)(O, 0).
.
11. Hallar (3/os)(foD(l. 0), donde f(u, v)
(cos (rs), log "'/1 + s2).
cosusenvyT:iR2--+iR2sedefinecomoT(s,t)=
12. Supóngase que la temperatura en el punto (x, y, z) del espacio es T(x, y, z) = x2 + l + z2 Una partí­
cula sigue la hélice circular O"(t) =(cos t, sen t, t) y sea T(t) su temperatura en el instante t.
a) Calcular T'(t).
b) Hallar el valor aproximado de la temperatura en el instante t = (n/2) + 0,01.
13. Supongamos que un pato nada sobre la circunferencia x=cos t, y =sen t, y que la temperatura del
agua la da la fó1mula T=x2eY- ..>.·l . Hallar dT/dt, el cambio de la temperatura por unidad de tiempo
que el pato notaría:
a) Por medio de la regla de la cadena.
b) Expresando Ten función de t y derivando.
14. Sea f: ¡¡;¡;n--+ iR"' una aplicación lineal de forma que (por el Ejercicio 20 de la Sección 2.3) Df(x) es
la matriz de f. Comprobar directamente la validez de la regla de la cadena para aplicaciones lineales.
15. Sea f: IR2--+ iR2; (x, y)--+ (e'+ y, ex-y). Sea c(t) una trayectoria con c(O)=(0, O) y c'(O) = (1, 1).
¿Cuál es el vector tangente a la imagen por f de c(t) en t =O?
16. Sea f(x, y) = 1/JY + /. Hallar \1f(x, y).
17. a) Sea y(x) la función definida implícitamente por G(x, y(x))=O, donde G es una función dada de
dos variables. Demostrar que si y(x) y G son diferenciables, entonces
dy
dx
3Gj3x
3G/3y
si
3G
--;
;-
"#O.
oy
b) Obtener una fórmula análoga a la de la parte (a) si y¡, Y
2
se definen implícitamente por
G¡(X, }'¡(X), J
2
(X))=O,
G
2
(x, y1(x), Y
2
(x))=O.

e) Sea y la función definida implícitamente por
Calcular dy¡dx en función de x e y.
18. Los textos de termodinárnica4 usan la relación
(ay)(�z)(�x)
=
_
l.
oxoyoz
Capítulo 2. Diferenciación
1SS
Explicar el significado de esta ecuación y demostrar que es cierta. [INDICACIÓN: Comenzar con una
relación F(x, y, z) = O que define x = f(y, z), y = g(x, z) y z = h(x, y), y derivar implícitamente.]
19. La ecuación de estado de Dieterici para nn gas es:
P(V - b)ea¡RVT = RT,
donde a, b y R son constantes. Considerar el volumen V como función de la temperatura T y de la
presión P, y demostrar que:
av
ar
R+-
-
-
-
-
(a)
1(RT
a
)
rv/v-b v"·
20. Este ejercicio da otro ejemplo del hecho de que la regla de la cadena no se puede aplicar si f no es
diferenciable. Considérese la función
-
2
--
2
{xl
f(.x,y)= �
+
y
Demostrar que:
a) ojjo.x y ojjoy existen en (0, 0
)
.
(.x,y)=1-(0,O)
(.x, y) =(0,0
)
.
b) Si g(t) (at, bt) para constantes a, b, entonces f o g es diferenciable y (fa g)'(O) = ab2f(a2+b2),
pero \7j(O, 0
)
· g'(O)=O.
21. Demostrar que si f: U e IJ;R" -->IJ;R es diferenciable en x0 E U, entonces existe un entorno V de O E IJ;R"
yunafunciónR1: V-->IJ;RtalqueparatodohEVtenemosx0+hEU,
y
f(xo+h
)
=.f(x0
)
+ [Dfi'x0
)
]h+ R1(h
)
R1(h
)
--
-->0
llhll
cuando
h--> O.
22. SupóngasequeXoEIJ;R"yqueo�r¡<r
2
· Demostrar que existe una función .f: IJ;!¡"--> IJ;!¡ de clase C1
tal que .f(x
)
=O si llx- x0ll:;?: r
2
;O<f(x
)
<lsir1<llx-Xoll<r
2
;y.f(x
)
= l síllx- Xoll�r1•
[INDICACIÓN: Aplicar un polinomio cúbico que verifique g(d
)
=lyg(r�
)
= g'(r�
)
= g'(ri
)
=O
a llx- xoll
2
cuandor1<llx-x0ll<r
2
.
]
4 Véase S. M. Binder, «Mathematical Methods in Elementary ThermodynamicS>>, J. Chem. Educ. 43 (1966): 85-92.
Un conocimiento adecuado de la derivación parcial puede ser muy útil en las aplicaciones; por ejemplo, véase M. Fein­
berg, «Constitutive Equation for Ideal Gas Mixtures and Ideal Solutions as Consequences of Simple PostulateS>>, Chem.
Eng. Sci. 32 (1977): 75-85.

1 56 Cálculo vectorial
2.6.
23. Hallar una aplicación f: IR13 ---> IR3 de clase C1 que transforme el vector i + j + k con origen en (0, O,O)
en el vector i- j con origen en (l, 1, 0), y que transforme k con origen en (l, 1, 0) en k- i con
origen en (0, O, 0).
24. ¿Qué es incorrecto en el razonamiento siguiente? Supóngase w =f(x,y,z) y z = g(x,y). Por la regla
de la cadena
ew ewex ewey ewez ew ewez
-=--+--+--=-+--.
ex éxex eyex ezéx ex ozOX
Por tanto, O = (ewjez)(í3zíí3x),y entonces ewjí3z =O o i3zjí3x =O, lo que en general es absurdo.
25. Demostrar las reglas iii) y iv) del Teorema 10. [hmiCACIÓN: Utilizar los mismos trucos de sumar y
restar que en el caso de una variable y del Teorema 8.]
26. Demostrar que h: IR" --
->
IR'" es diferenciable si y solamente si cada una de sus m componentes
h;:IR"--
->
IR es diferenciable. [INDICACIÓN: Utilizar la función proyección sobre cada coordenada y la
regla de la cadena para obtener una de las implicaciones y tener en cuenta que
jlfh(x) - h(x0) - Dh(Xo)(x - Xo)ii l2
L
!lx- Xoil
L [h;(x) - h;(x0)Dh;(x0)(x - x0)f
i=l
para obtener la otra.]
27. Utilizar la regla de la cadena y derivación bajo el signo integral, es decir,
para demostrar que
28. ¿Para qué enteros p > O es
dl"b
Jb a¡
-j f(x,y)dy= -:
:;-
(x,y)dy,
dxa
aOX
dix
ix a¡
-
f(x,y)dy =f(x,x) + -:
:;-
(x,y)dy.
dxO
OOX
{xP sen (l/x) x #O
f(x)=O
x=O
diferenciable') ¿Para qué valor o valores de p es la derivada continua?
29. Supóngase que f: IR" ---> IR y g: IR" --+ IR"' son diferenciables. Demostrar que la función pro­
ducto h(x) = f(x)g(x) de IR" en IRm es diferenciable, y que si x0 e y están en IR", entonces
[Dh(Xo)]y =f(x0){ [Dg(XQ)]y} + { [Df(x0)]y} g(x0).
Gradientes y derivadas direccionales
En la Sección 2.1 estudiamos las gráficas de las funciones con valores reales. Ahora retomamos
este estudio usando los métodos del cálculo. Concretamente, se usarán gradientes para obtener
una fórmula del plano tangente a una superficie de nivel.

Gradientes en !R3
Recordemos la definición.
Capítulo 2. Diferenciación
157
DEFINICIÓN: El gradiente Si f
:
U e IR3 -+ IR es diferenciable, el gradiente de fen
(
x,y, z)
es el vector del espacio dado por
(of a¡ a¡)
vf= -;-.--;
;-
,--;
;-
.
uxcyoz
Este vector también se denota por vf
(
x, y, z). Por tanto, vfes exactamente la matriz de la
derivada Dfescrita como vector.
Sea f
(
x,y,z)=.Jx2+/+z2=rladistanciadesdeOa
(
x, y, z). Entonces
(a¡ of a¡)
Vj
(
x,y,z)= -:
:-
,-:
:;-
,-;
;­
excyoz.
donde r es el punto (x, y, z.). Por tanto, Vf es un vector unitario en la dirección de
(
x, y, z).
Sij
(
x,y,z)=xy+z, entonces
(a¡ a¡ a¡)
Vf
(
x,y,z)= --;
;-
,-:
:-
,--;
;-
= (y,x,1).
OXOyOZ
Supóngase que f
:
!Flt3 -+ IR es una función con valores reales. Sean v y x E IR3 vectores fijos,
y considérese la función de IR en IR definida por t-+f
(
x + tv). El conjunto de puntos de la for­
ma x + tv, tE R es la rectaL que pasa por el punto x y es paralela al vector v (véase la Figu­
ra 2.6.1).
X
L
-J�i:+!:
,n---l---;r....;_----,/-
y
1/
______________ _2.,.-/
/
/
/
liell��� La ecuación de Les l(t} x + tv.

158 Cálculo vectorial
Derivadas direccionales
La función t--. j(x + tv) representa la función f restringida a la recta L. Por ejemplo, si un pá­
jaro vuela siguiendo esta recta con velocidad v, de forma que x + tv es su posición en el instan­
te t, y si f representa la temperatura como función de la posición, entonces f(x + tv) es la tem­
peratura en el instante t. Podemos preguntarnos: ¿con qué velocidad cambian los valores de f
sobre la recta L en el punto x? Dado que la variación de una función la da una derivada, pode­
mos decir que la respuesta a esta pregunta es el valor de la derivada de esta función de t en
t=O(cuandot=O,x+tvsereduceax).Éstaseríaladerivadadefenelpuntoxenladirec­
ción deL, es decir, de v. Podemos formalizar este concepto como sigue.
DEFINICIÓN: Derivadas direccionales Si f: IR3-> IR, la derivada direccional de f en x
según el vector v es
si ésta existe.
!!._f(x+ tv)1
dt
r�o
En la definición de derivada direccional normalmente elegimos como v un vector unita­
rio. En este caso nos movemos en la dirección v con rapidez uno y nos referimos a
d/dt f(x + tv)l,�o como la derivada direccional de f en la dirección v.
Ahora razonamos sobre por qué se elige un vector unitario en la definición de derivada di­
reccional. Supongamos que f mide la temperatura en grados y que nos interesa la velocidad con
la que cambia la temperatura cuando nos movemos en una determinada dirección. Si medimos
la distancia en metros entonces la variación de la temperatura se medirá en grados por metro.
Supongamos, por simplicidad, que la temperatura cambia a un ritmo constante -digamos dos
grados por metro- cuando nos movemos en una dirección dada v comenzando en x. Por tanto,
cuando nos adelantemos un metro, la temperatura cambiará dos grados. Es decir:
f(x+v)-f(x)=2.
Una relación de este tipo solamente se verificará cuando v sea un vector unitario reflejando el
hecho de que nos adelantamos un metro. Con más generalidad, la definición de derivada direc­
cional sólo medirá verdaderamente la variación de f respecto de la distancia a lo largo de una
recta en una dirección dada si v es un vector unitario.
A partir de la definición podemos ver que la derivada direccional también puede definirse
por medio de la fórmula
.
f(x + hv) -f(x)
hm
·
.
h�o
h

Capítulo 2. Diferenciación
159
DEMOSTRACIÓN Sea c(t) = x + tv, de forma que f(x + tv) = f(c(t)). Por el primer caso
especial de la regla de la cadena, (djdt)j(c(t)) = Vf(c(t)) · c'(t). Sin embargo, c(O) = x y
c'(O) = v, y por tanto
como se pedía demostrar.
!:.
._
j(x + tv)l = Vj(x)·v,
dt
¡=Q
Nótese que no es necesario utilizar rectas al calcular la variación de f en una dirección deter­
minada v. De hecho, para una trayectoria c(t) general, con c(O) = x y c'(O) = v, por la regla de
la cadena tenemos:
e}_ j(c(t))l = Vj(c(t)) · c'(t)l = Vj(x)·v.
dt
¡=Q
,1=0
Sea f(x, y, z) = x2e-yz_ Calcular la variación de f por unidad de longitud en la
dirección del vector unitario
(111)
v=
J3'J3' v
Í3
en el punto
(l, O, 0).
Solución
La variación requerida es, utilizando el Teorema 12,
Vj·v = (2xe-yz, -x2ze-yz, -x2ye-y2)· ( �·
1
G, �).
.y3vf3v3
queenelpunto(1,O,O)es
(2,O,0)·(�,�,�-) =
2
�.
v3�3v·3 ,_¡3
Direcciones de máximo crecimiento
También podemos obtener del Teorema 12 el significado geométrico del gradiente:
DEMOSTRACIÓN Si n es un vector unitario, la vanacmn de f en la dirección n la da
Vj(x) · n = !IVj(x)ll cos 8, donde 8 es el ángulo entre n y Vj(x). El máximo se alcanza para
8 = O; es decir, cuando n y Vf son paralelos (cuando Vj(x) = O esta variación es O para
todo n).

160
Cálculo vectorial
En otras palabras, si deseamos movernos en la dirección en la que f crece más rápidamente,
debemos hacerlo en la dirección V'f(x). De forma análoga, si deseamos movernos en la direc­
ción en la cual f decrece más rápidamente, debemos hacerlo en la dirección � V'.f(x).
Desde el punto (0, l). ¿en qué dirección crece .f(x, y) = x
2
-
y2 más rápida-
mente?
Solución
El gradiente es
V'f = 2xi 2vj,
y por tanto en (0, 1) es:
V'!leo. JJ =
�
2j.
Por el Teorema 13, .f crece lo más rápidamente en la dirección � j (¿puede ver el lector por qué
esta respuesta es consistente con la Figura 2.1.9?).
Gradientes y planos tangentes a los conjuntos de nivel
Hallamos ahora la relación entre el gradiente de una función f y sus superficies de nivel. El
gradiente apunta en la dirección en la cual los valores de f cambian más rápidamente, mientras
que una superficie de nivel está en las direcciones en las que no cambia en absoluto. Si f se
comporta razonal5lemente bien, el gradiente y la supelficie de nivel serán perpendiculares.
X
f'iglU'a 2-��2. ' Significado geométrico del
gradiente: 'V f es ortogonal
a la superficie S sobre la cual
f es constante.

Capítulo 2. Diferenciación
161
DEMOSTRACIÓN Sea c(t) un punto de S; entonces f(c(t)) = k. Sea v como en las hipótesis;
entonces v = c'(O). Por tanto, el hecho de que f(c(t)) sea constante en r y la regla de la cade­
na dan:
O = !!_ f(c(t))j = \7f(c(O)) · v.
dt
\,�o
Si estudiamos la conclusión del Teorema 14 vemos que es razonable definir el plano tangen­
te a S como el plano ortogonal al gradiente.
DEFINICIÓN: Planos tangentes a superficies de nivel Sea S la superficie que está for­
mada por aquellos (x, y, z) tales que f(x, y, z) = k, para k constante. El plano tangente a S en
el punto (x0, y0, z0) de S se define por medio de la ecuación
(1)
si \7f(x0, y0, z0) # O. Es decir, el plano tangente es el conjunto de puntos (x, v, z) que satisfa­
cen la Ecuación (1).
Esto extiende la definición de plano tangente a la gráfica de una función que dimos anterior­
mente (véase el Ejercicio 11 al final de esta sección).
Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie definida por
3xy+z2
=4en(1,1,l).
Solución
Enestecasof(x,y,z)=3xy+z2y\?f=(3y,3x,2z),queen(1,l,1)eselvector(3,3,2).Por
tanto, el plano tangente es
(3,3,2)·(x-1,y -l,z -l)=O;
es decir,
3x+3y+2z=8.
En el Teorema 14 y en la definición que lo sigue, podríamos haber trabajado tanto en dos
dimensiones como en tres. Por tanto, sí tenemos f: IH.2 -> IH. y consideramos una curva de nivel
e= {(x, y) lf(x, y) = k),
entonces \7f(x0, y0) es perpendicular a e en cualquier punto (x0, y0) de C. De la misma manera,
la recta tangente a e en (x0, y0) tiene por ecuación
\7f(xo.Yo)·(x-Xo,Y -Yo)=O
(2)
si \7f(x0, y0) #O; es decir, la recta tangente es el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen la
Ecuación (2) (véase la Figura 2.6.3).

162
Cálculo vectorial
y
1VJ ·�···'·'·
Recta tangente a C
)
Fig'ura 2.6.3. En el plano, el gradiente V fes ortogonal
a la curva f= constante.
El campo vectorial gradiente
A menudo nos referimos a Vf como un campo vectorial gradiente. La palabra «campo>> signifi­
ca que Vf asigna un vector a cada punto en el dominio de f En la Figura 2.6.4 describimos el
gradiente Vf no por medio de su gráfica que, si f:
-> R sería un subconjunto de IR6, es
decir, el conjunto de pares (x, Vf(x)), sino representando Vf(P), para cada punto P como un
vector que parte del punto P, no del origen. Como en una gráfica, este método de representación
de Vf contiene el punto P y el valor Vf(P) en la misma figura.
Figura 2.6.�, El gradiente V fde una función f
:
IF!3->IR:esun
campo vectorial en IF!3; en cada punto P,. V f
(
P;)
es un vector que parte de P;·
El campo vectorial gradiente tiene un importante significado geométrico. Muestra la direc­
ción en la que f crece más rápidamente y la dirección que es ortogonal a todas las superficies
de nivel (o, en el plano, curvas) de f Que muestra las dos cosas al mismo tiempo es muy plau­
sible. Para verlo imaginemos una montaña como se muestra en la Figura 2.6.5(a). Sea h la fun­
ción altitud, una función de dos variables. Si trazamos las curvas de nivel de h éstas son simple­
mente las curvas de nivel topográficas de la montaña. Podemos imaginarlas como trayectorias
de nivel sobre la montaña (véase la Figura 2.6.5(b)). Una cosa debe ser obvia para cualquiera
que haya hecho senderismo: para llegar a la cima de la montaña lo más rápidamente posible
debemos caminar perpendicularmente a las curvas de nive15. Esto es consistente con los Teoremas
5 Esta discusión supone que se camina a la misma velocidad en todas las direcciones. Por supuesw, Jos montañeros
saben que esto no es necesariamente cierto.

(a)
Una curva de
crecimiento
máximo
_Clf
fl
i}l:jJg.?v Diferenciación
163
(b)
Mapa topográfico
de una colina
Figura2.6.5. Ilustración física de los dos hechos: (a) vf es la dirección de máximo crecimiento de t, y
(b) v f es ortogonal a todas las curvas de nivel.
13 y 14 que establecen que la dirección de máximo crecimiento (el gradiente) es ortogonal a las
curvas de nivel.
La fuerza gravitatoria sobre una unidad de masa m en (x, y, z) producida por
una masa l'v! en el origen de IR3 es, según la ley de gravitación de Newton
GmM
F=�-�
0
�
n,
r
donde G es constante; r = llrll = ,/x2 +
-
l+z2 es ladistanciade(x, y, z)al origen;y n r/r
el vector unitario en la dirección de r = xi + Jj + zk, que es el vector posición desde el origen
a(x,y,z).
Nótese que F = \l(GmM/r) = �\IV, es decir, F es el opuesto del gradiente del potencial
gravitatorio V= GmMjr. Esto se puede verificar como en el Ejemplo 2.47. Nótese que F está
orientado hacia el origen. Además, las superficies de nivel de V son esferas. El campo vectorial
gradiente F es normal a estas esferas, lo que confirma el resultado del Teorema 14.
Hallar un vector unitario que sea perpendicular a la superficie S, dada por
z=x2l+y+1,enelpunto(0,0,1).
Solución
Sea f(x, y, z) = x2/ +y + 1 � z y considérese la superficie de nivel definida por j(x, y, z) = O.
Dado que éste es el conjunto de puntos (x, y, z) que cumplen z = x2l + y + 1, vemos que este
conjunto de nivel coincide con la superficie S. El gradiente es
y por tanto
cf3fcf
,
?
Vf(x,y,z)= -:;-i+-:;-j+¿k=2_cJ.-i+(2x-y+l)j k,
ox
cy
oz
Vf(O,O,1)=j �k

164
Cálculo vectorial
Este vector es perpendicular a S en (0, O, l) y, por tanto, para hallar un vector normal unitario n
dividimos este vector por su longitud para obtener
Vj(O, O, l)
1
n
= IIVf(O,O, 1)11=j2O-k).
Se consideran dos conductores, uno cargado positivamente y el otro negativa­
mente. Se establece un potencial eléctrico entre ellos. Este potencial es una función cp: IH3 --> IH
(un ejemplo de un campo escalar). El campo eléctrico está dado por E = -V cp. Sabemos, por
el Teorema 14, que E es perpendicular a las superficies de nivel de </J. Estas superficies de nivel
se llaman superficies equipotenciales, ya que el potencial es constante sobre ellas (véase la Fi­
gura 2.6.6).
Línea de <j; constante
Figura 2�6.6. Las superficies equipotenciales (las líneas
de puntos) son ortogonales al campo
de fuerzas eléctrico E.
l. Demostrar que la derivada direccional de f(x, y, z)=ix + l en (1, 1 , 2) en la dirección
(1/jS)i + (2/Js)j es 2}5.
2. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones indica­
dos:
a) f(x, y)=x + 2xy - 3/, (x0, y0)=(l, 2), v =�¡ + �j.
b) f(x, y)=log-vx
2
+ y2, (x0, y0)=(1, 0), v =0/)S)(2i + j).
¡-
¡-
e) f(x, y)=excos (ny), (x0, y0)=(0, -1), v = - (lj,_) S)i + (2/,j5)j.
d) f(x, y)=),'l + x3y, (xo, Yo)=(4, -2), v =0/)!0)i + (3/.jlü)j.
3, Calcular las derivadas direccionales de las funciones siguientes en los puntos indicados y según un
vector unitario en una dirección paralela al vector.dado en cada caso.
a) f(x, y)=x', (x0, y0)=(e, e), d =5i + 12j.
b) f(x,y,z)=e
'
+yz, (x0,y0,z0) (1,l,l),d=(1, - l,1).
e) f(x, y, z)=xyz, (x0, v0, z0)=(!,O, !), d =(1,O, 1).

Capítulo 2. Diferenciación
165
4. Hallar los planos tangentes a las superficies siguientes en los puntos indicados:
a) .>?+2l+3xz=lO.enelpunto(1,2,�).
b)/-x
2
=3, en el punto (1, 2, 8).
e) -""YZ =1, en el punto (!, 1, 1).
S. Hallar la ecuación del plano tangente a cada superficie z =f(x, y) en el punto indicado:
a) z=x3
+y'- 6xy, en el punto (1, 2, - 3).
b) z =(cos x)(cos y), en el punto (0. n/2, 0).
e) z =(cos x)(seny), en el punto (0. n/2, 1).
6. Calcular el gradiente \7f para cada una de las funciones siguientes:
a)f(x,y.z)=
b) f(x,y,z)=xy+yz+xz.
7. Para las funciones del Ejercicio 6, ¿cuál es la dirección de máximo crecimiento en (1, 1, l)"
8. Demostrar que el vector normal unitario a la superficie x
3
l+y-z+2=Oen(0.O,2)es
n =0/.}2JU - k).
9. Hallar el vector normal unitario a la superficie cos(.:c-y) = ez - 2 en (1, n, 0).
10. Verificar los Teoremas 13 y 14 para f(x, y, z) =x
2
+/ +z
2
11. Demostrar que la definición que sigue al Teorema 14 da, como caso especial, la fórmula del
plano tangente a la gráfica de f(x, y) si se considera la gráfica como una superficie de nivel de
F(x, y, z) =f(x. y) - z (véase la Sección 2.3).
12. Seaf(x,y)=-(l-x
2
-
si (x, y) verifica x2 +/ < l. Demostrar que el plano tangente a la
gráfica de f en el punto (x0, y0, f(x0• y0)) es ortogonal al vector con componentes (x0, y0, f(x0• y0)).
Interpretar esto geométricamente.
13. Para las siguientes funciones .f: IR3 ...-.IR y g: IR-. IR3
, hallar \7f y g', y evaluar (f o g)'(1).
a) f(x, y, z) =xz +yz +xy, g(t) = (e', cos r, sen r).
b) f(x, y, z) =en·z, g(r) =(6r, 3?, t3).
e) f(x. y, z) =(x
2
+/+ log
, g(t) =(e', e -r. r).
14. Calcular la derivada direccional de f en las direcciones dadas v y en los puntos dados P.
a) f(x,y,z)=xl+
+z3x, P =(4, -2, -1), v =l/.JÍ4(i +3j +2k).
b) f(x,y,z)=xvz.P =(e,e,0),v =Hi+f¡j+-&k.
15. Sean r =xi +yj +::k y r = \lrll. Demostrar que

166
Cálculo vectorial
16. El capitán Ralph tiene problemas cerca de la cara iluminada de Mercurio. La temperatura del casco
de su nave cuando se encuentra en el punto (x, y, ::) es de T(x, y, ::) = e- x2- 2-"2- 302, donde, x, y, z se
miden en metros. En este momento está en (1, l, 1 ).
a) ¿En qué dirección debe moverse para que la temperatura baje lo más rápidamente posible?
b) Si la nave vuela a es metros por segundo. ¿a qué velocidad bajará la temperatura cuando se des­
place en esa dirección')
e) Desafortunadamente el metal del casco se fracturará si se enfría a una velocidad mayor de
..JÍ4e2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones según las cuales puede despla­
zarse para bajar la temperatura a un ritmo inferior al límite permitido.
17. Una función f: IR2--+ IR se dice independiente de la segunda wriable si existe una función g: IR--> IR
tal que f(x, y)= g(x) para todo x en IR. En este caso, calcular V f en función de g
'
.
18. Sean f y g funciones de IR3 en IR. Supóngase que f es diferenciable y Vf(x) = g(x)x. Demostrar que
las esferas con centro en el origen están contenidas en los conjuntos de nivel de f; es decir, f es
constante en dichas esferas.
19. Una función f: IR" --+IR se llama función par si f(x) = f( x) para todo x de L�". Si f es diferencia­
ble y par, hallar Df en el origen.
20. Supóngase que una montaña tiene forma de paraboloide elíptico z = e - ax2
-
hl,dondea,bye
son constantes positivas, x e y son las coordenadas este-oeste y norte-sur en el mapa, y z es la altitud
sobre el nivel del mar (x, y, z se miden en metros). En el punto (!, l ), ¿en qué dirección crece la
altitud más rápidamente? Si una canica se soltara en (1, 1), ¿en qué dirección comenzaría a rodar?
21. Un ingeniero quiere construir un ferrocarril que suba a la montaña del Ejercicio 20. Sí lo dirigiera
directamente a la cima tendría demasiada pendiente para la potencia de la máquina. En el punto
(1, 1), ¿en qué direcciones podría tenderse la vía de forma que subiera con una pendiente de un 3%
-e s decir, un ángulo cuya tangente sea 0,03? (hay dos posibilidades). Esbozar un esquema de la
situación indicando las dos posibles direcciones con una pendiente del 3% en (1, 1 ).
22. En electrostática, la fuerza P de atracción entre dos partículas de cargas opuestas es P= k(r/llrl!)
(Ley de Coulomb). donde k es una constante y r = .1.i + yj + zk. Demostrar que Pes el gradiente de
f = - k/llrll.
23. El potencial electrostático V generado por dos filamentos infinitos y paralelos con densidades linea­
les de carga J. y -;, es V= (},/2rrE0)In
donderT=(x-x0)2+.lyr�=(x+x0)2+/.Su­
ponemos que los filamentos están en la dirección z y que atraviesan el plano xy en ( - x0, O) y (x0, 0).
Hallar 'VV(x, y).
24. Para cada una de las siguientes funciones hallar los valores máximo y mínimo que la función f al­
canza a lo largo de la trayectoria c(t):
a) f(x,y)=xy;c(t)=(cost,sent);O�r�2rr.
b) f(x,y)=x2+/;c(r)=(cost,2sent);O�1�2rr.
25. Supongamos que una partícula sale despedida de la superficie x2 + l z2
1 desde el punto
r
( J, l, ...j3) según la normal a la superficie, dirigida hacia el plano x_v, en el instante r = O, con una
velocidad de 10 unidades por segundo. ¿Cuándo y dónde cruzará el plano xy?
26. Sea f: IR13 --+ IR y considérese Df(x, y, z) como una aplicación lineal de IR13 en Llli. Demostrar que el
núcleo (es decir, el conjunto de vectores que se transforman en cero) de Df es el plano de IR3 ortogo­
nal a Vf.

Capítulo 2. Diferenciacíón
167
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2
l. Describir las gráficas de
a) f(x, y)=3x2 + /.
b) f(x,y)=.xy+3x.
2. Describir algunas superficies de nivel y secciones adecuadas de las gráficas de
a) j(x, y, z)=2x2 +l + z2
b) j(x, v, z)=x2
e) j(x, y. z)=xyz.
3. Calcular la derivada D.f(x) de cada una de las siguientes funciones:
a) .f(x, y)=(x2y, e- xy ) .
b) .f(x) = (x, x).
d) .f(x, y, z)=(x, y, z).
4. Supóngase que f(x, y) = f(y, x) para todo (x, y). Demostrar que
(3j/í3x)(a. b)=(í3f/3y)(b, a).
S. Sea .f(x, y)=(1 - x2 -
.
Demostrar que el plano tangente a la gráfica de f en (x0, y0, f(x0, y0))
es ortogonal al vector (x0, y0, f(x0• y0)). Dar una interpretación geométrica.
6. Sean F(u. v) y u=h(x, y, z), v=k(x, y, z) funciones dadas (diferenciables) con valores reales y sea
f(x, y, z) definida por f(x, y, z)=F(h(x, y, z), k(x, y, z)). Escribir una fórmula para el gradiente de .f
e1�érminos de las derivadas parciales de F, h y k.
7. Hallar una ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0, y0, f(x0, y 0)) para
a) .f:IR2-+IR,(x,y)-+X-y+2,
b) f: IR2-+ IR,(x, y)-+ x2 +4/,
e) f: IR;2-+ IR, (x, y)-+..t}',
d) .f(x, y)=log(x + y)+ xcosy + arctan(x + y),
e) .f(x, y)=jx2 +l.
f) .f(x, y)=xy,
(xo, Yo)=(1, 1).
(xo, Yo)=(2, - 1).
(xo. Yo)=(-1, -1).
(xo. Yo)=(1, 0).
(xo, Yo)=(l, l).
(xo, Yo)=(2. 1).
8. Calcular una ecuación del plano tangente a las superficies siguientes en los puntos indicados.
a) x2+/+i=3,
(1, 1' 1).
b) x3-2i+z3=O,
(1, l, l).
e) (cos x)(cosy)e0=O,
(n/2, l, 0).
d) eXYZ =
l,
(1, l, 0).

168
Cálculo vectorial
9. Dibujar algunas curvas de nivel de las siguientes funciones:
a) f(x. y)=1/xy.
b) f(x,y)=x1 -xy-/.
10. Considérese una función temperatura T(x,y)=xsen y. Dibujar unas cuantas curvas de nivel. Calcu­
lar \!T y explicar su significado.
11. Hallar los límites siguientes si existen:
a)
lim
(x,y)-(0,0)
cosxy -
X
b)
lim ...jl(x +y)j(x- y)l, x i= y.
(x,y) --
-+
(0, 0)
12. Calcular las derivadas parciales primeras y los gradientes de las funciones siguientes:
a) f(x, y, z) = xe' +ycosx.
13.
14.
b) f(x,y,z)=(x+y+
e) f(x, y, z)=(x1 +y)/z.
a
�
.,
Calcular-:;-
-
[x exp (l +x- +y')].
ex
Sea y(x) una función diferenciable definida implícitamente por F(x, y(x))=O. Por el Ejercicio l7(a)
de la Sección 2.5 sabemos que
dy
3Fj3x
dx
3Fj3y
Considérese la.superficie z = F(x,y) y supóngase que Fes creciente como función de x y como fun­
ción de y; es decir,3Fj3x > O y 3Fj3y > O. Considerando la gráfica y el plano z = O, demostrar que
para z fijado en z=O, y debe decrecer cuando x crece, y x debe decrecer cuando y crece. ¿Concuer­
da esto con el signo menos en la fórmula de dxjdy?
15. a) Considérese la gráfica de la función f(x, y) (Figura 2.R.1(a)). Sea (_cx:0, y0) un punto sobre la cur­
va C, de forma que \!f(x0,y0) es perpendicular a dicha curva. Demostrar que el plano tangente a
la gráfica es el plano que: (i) contiene a la recta perpendicular a \!f(x0, y0) que está sobre el
plano horizontal z = f(x0, y0) y (ii) tiene pendiente II'Vf(x0, Yolll respecto del plano xy (por pen­
diente de un plano p respecto del plano xy entendemos la tangente del ángulo e, o � e � n,
entre p, la normal a P hacia arriba, y el vector unidad k).
b) Usar este método para ver que el plano tangente a la gráfica de f(x, y) = (x + cos y)x2 en
(1,O, 2) es como se esboza en la Figura 2.R .l(b).
16. Hallar el plano tangente a la superficie z=x1 +l en el punto (1, -2, 5). Explicar el significado
geométrico del gradiente de f(x, y) Y + :l para esta superficie (véase el Ejercicio 15).
17. ¿En qué dirección es igual a cero la derivada direccional de f(x, y) = (x2- :ll/(x2 +/) en (1, 1).
18. Hallar la derivada direccional de la función dada en el punto dado y en la dirección del vector dado.
a)f(x,y,z)=e
x
cos (yz),
b) f(x, y,z)=xy +yz +zx.
Po=(0, O,0),
Po= (1, 1, 2),
V=(2, 1, 2).
v=(lO, -1,2).
19. Hallar el plano tangente y la recta normal al hiperboloide x2 + l - z2=18 en (3, 5, - 4).

(
Curva de nivel
X
(a)
Pendiente del plano tangente = ii V'f 11
Curva de nivel elevada a la gráfica
(xo, Yo· f(xo, Yo))
Gráfica de!
Capítulo 2. Diferenciación
169
(b)
f'igur<� ..2tR.1. (a) La relación entre el gradiente de una función y el plano tangente a la gráfica
(Ejercicio 15(a)}. (b) Ejemplo concreto del plano para el EJercicio 15(b}.
20. Sea (x(t), y(t)) una trayectoria en el plano, O :S: t :S: 1, y sea f(x, y) una función de clase e
1
en dos
variables. Suponer que (dx/dt) fx + (dy/dt) f.,. :S: O. Demostrar que f(x(l), y(l)) :S:
:
/(x(O), y(O)).
21. Un insecto se encuentra en un medio tóxico. El nivel de toxicidad lo da T(x, y) =2x2 � 4/. El in­
secto está en (- 1, 2). ¿E n qué dirección debe moverse para reducir la toxicidad lo más rápidamente
posible?
22. Hallar la dirección en la cual la fut1l:ión w =x2 + xy crece más rápidamente en el punto (- 1, 1 ).
¿Cuál es la magnitud de Vw en este punto? Inteq)retar geométricamente esta magnitud.
23. Sea f una función definida en un conjunto abierto S en IR". Decimos que fes homogénea de grado
psobre S sifUx)=}f'f(x)paratodo real), y todo x en Spara losque ),x E S.
a) Si una función de este tipo es diferenciable en x, demostrar que x · Vf(x) =pf(x). Esto se
conoce como teorema de Euler para funciones homogéneas [INDICACIÓN: para x fijo. definir
g().) = f(h) y calcular g'(l).]
b) Hallar p y comprobar el teorema de Euler para la función f(x, y, z) =x- 2y­
gión donde xz > O.
en la re-
24.Siz
z+
[f (x, y)]/y (donde f es diferenciable e y # 0), demostrar que se verifica la identidad
+ y(cz/cy) o.
25. Dada z =f((x + y)j(x - y)) donde f es una función e 1
, demostrar que
a7
a7
X,�+ y�=O.
ex
cy
26. Sea funa función con derivadas parciales óf(x)/3x¡, i =l, 2, . . . , 11 en cada x de un conjunto abier­
to U de IR". Si f tiene una máximo local o un mínimo local en el punto x0 de U, demostrar que
iif(x0)jcx, =O para cada i.

170
Cálculo vectorial
27. Considérense las funciones definidas en IR;2 por medio de las fórmulas siguientes:
i) f(x,y)=J.
.'Y
/(2 +
si
ii) f(x,y)=x2l/(2 +/) Sl
(x,y) #- (0,0).
(x,y) #- (0,0),
f(O, O)= O.
f(O, O)=O.
a) En cada caso, demostrar que las derivadas parciales cf(x, y)fcxy cf(x, y)fcy existen para todo
(x, y) de !R;2, y calcular estas derivadas explícitamente en función de x e y.
b) Explicar por qué las funciones descritas en (i) y (ii) son o no son diferenciables en (0,0).
28. Calcular el vector gradiente Vf(x, y) en todos los puntos (x, y) de IR;2 para cada una de las siguientes
funciones:
a) f(x,y) �
log
si
b) f(x,y)=xysenll/(2+/)J si
(x,y)--le(0,0),
(x. y) #- (0,0),
j(O,O)=O.
f( O,O)=O.
29. Hallar las derivadas direccionales de las funciones siguientes en el punto (1, 1) en la dirección
(i +j)/j2:
a)
b)
e)
f(x, y)= x arctan (x/y).
�
f(x,y)= cos (ví x� +y-).
f(x, y)=exp( �x2 � ll.
30. a) Seau=i �2j +2kyv=2i +j�3k.Hallar: llul\.u·v, uxv,yunvectorconlamismadi­
rección que u pero de longitud unidad.
b) Hallar la razón de variación de e-"
"
sen (xyz) en la dirección u en el punto (0,1, l ).
31. Denótese por h(x, y)= 2e-x2 +e-3y
2
la altura de una montaña sobre el punto (x, y). ¿En qué direc­
ción,a partir de (1,0), se debe comenzar a caminar para ascender de la forma más rápida?
32. Calcular una ecuación del plano tangente a la gráfica de
en x= 1.y=2.
X
e
f(x,y)=�
+2
X
y
33. a) Dar un enunciado cuidadoso de la forma general de la regla de la cadena.
b) Sean f(x, y)=x2 +y y h(u)=(sen 3u, cos 8u). Sea g(u)=f(h(u)). Calcular dgjdu en u= O
tanto de forma directa como usando la regla de la cadena.
34. a) Esbozar las curvas de nivel de f(x,y)= - x2
-
9/parae=O, -1,�1O.
b) Sobre este esbozo, trazar V.f en (l,l). Discutirlo.
35. En el instante t= O una partícula sale despedida de la superficie x2 + 2/ + 3l= 6 en el punto
(!, l, 1), en una dirección normal a la superficie a la velocidad de 10 unidades por segundo. ¿En qué
instante atraviesa la esfera x
2
+i +z2= 103�
36. ¿En que punto (o puntos) de la superficie del Ejercicio 35 es el vector normal paralelo a la línea
x=y= z?

37. Calcular ezjí3x y czjí3y si
-x--Y
u=e
·.
Capítulo 2. Diferenciación
171
a) Por sustitucióny cálculo directo.
b) Por la regla de la cadena.
38. Calcular las derivadas parciales como en el Ejercicio 37 si z = uv, u = x + y, y v=x - y.
39. ¿,Qué falla en el razonamiento siguiente? Supóngase que w=f(x, y) y y=.r. Por la regla de la ca­
dena
C1-v
Ow Ox OwCy Cw
Ovv
.1-:
:---
=��+
--=�+2x�.
ex exax oycx ax
ay
Por tanto, O=2x(3w¡'ey),y entonces 3w¡'í3y=O. Buscar un ejemplo explícito que muestre que esto es
ciertamente incorrecto.
40. Un barco navega con rumbo nordeste a 20 km/h. Suponiendo que la temperatura baja a razón de
0,2 °C/km en dirección norte y 0,3 °Cjkm en dirección este, ¿cuál es la razón a la que cambia la
temperatura que se observa en el barco?
41. Usar la regla de la cadena para hallar una fórmula para (d/dt) exp [/(t)g(t)].
42. Usar la regla de la cadena para hallar una fórmula para (d/dt)(f(t) g(rl).
43. Comprobar la regla de la cadena para la función f(x, y, z) = [In(! + x
2
+2z
2
)]/(l + ll y la trayec­
toriac(t)=(t,1 -?,cost).
44. Comprobar la regla de la oadena para la función f(x, y)=x2/(2+ cosy) y la trayectoria x=e',
Y=e
-
'
45. Supóngase que u(x, t) satisface la ecuación diferencial u,+ uux=O y que x, como función x=f(t)
de t, satisface dxjdr=u(x, y). Demostrar que u(f(t), t) es constante en t.
46. El desplazamiento en el instante t de la posición horizontal sobre una recta x de una cuerda de violín
es u=sen(x - 6t) + sen(x + 6t). Calcular la velocidad de la cuerda en x= l cuando t=�.
47. La ley de los gases perfectos PV = nRT relaciona una constante R, el número n de moles del gas, el
volumen V, la temperatura en grados Kelvin T y la presión P.
a) Demostrar que cada una de las variables n, P, T, V es función de las otras y determinar explícita­
mente las fórmulas que las definen.
b) Calcular 3Vj3T, 3Tj3P, 3P/3Vy demostrar que su producto es igual a -l.
48. La temperatura potencial f) se define en función de la temperatura Ty de la presión p por
('1.000)
0
,
286
fJ=T --
P
La temperatura y la presión se pueden considerar como funciones de la posición (x, y, z) en la atmós­
fera y también del tiempo t.

172
Cálculo vectorial
a) Hallar fórmulas para ae¡ax, 8Gjo y,88/Gz, 88/ot en función de las derivadas parciales de T y p.
b) La condición 88/oz < O se considera como atmósfera inestable, ya que lleva a grandes desplaza­
mientos verticales de paquetes de aire a partir de un solo ímpetu hacia aniba o hacia abajo. Los
meteorólogos usan la fórmula
ae e(aT g)
az
=
raz+cp
donde g = 32,2 y CP es una constante positiva. ¿Cómo varía verticalmente la temperatura en una
atmósfera inestable?
49. El volumen específico V, la presión P y la temperatura T de un gas de van der Waals están relaciona­
dos por P= RT/(V� {3) � :x/V2, donde :x, f3 y R son constantes.
a) Explicar por qué dos cualesquiera de V, P y T pueden considerarse variables independientes que
determinan la tercera variable.
b) Hallar 8Tj8P, oP/oV, 8Vj8T. Identificar qué variables son constantes e interpretar el sentido físi­
co de cada derivada parcial.
e) Comprobar que (oT¡'oP)(oPjoV)(oVfon= �1 (¡no + 1 !).
50. La altitud h del volcán Mauna Loa en Hawaii se describe (aproximadamente) por la función h(x, y)
= 2,59 0,00024/� 0,00065x2, donde h es la altitud en millas sobre el nivel del mar, y x e y miden
las distancias en millas este-oeste y norte-sur desde la cima de la montaña. En (x, y)=(�2, �4):
a) ¿A qué velocidad crece la altitud en la dirección (1, l) (es decir, en la dirección nordeste)? Ex­
presar la respuesta en millas de altitud por milla horizontal recorrida.
b) ¿En qué dirección se encuentra el camino de máxima pendiente positiva?
51. a) ¿En qué dirección es la derivada direccional de f(x, y)= (x
2
�y
2
)/(x
2
+/)en (l,l)igual a
cero?
b) ¿Y en un punto arbítrmio (x0, y0) deL primer cuadrante?
e) Describir las curvas de nivel de .f En particular, estudiarlas en función del resultado del aparta­
do (b).
52. a) Demostrar que la curva x2 / =e, para cualquier valor de e, satisface la ecuación diferencial
dy/dx= xjy.
b) Trazar algunas de las curvas x
2
�/=e, digamos para e= ±l . En varios puntos (x, y) a lo
largo de estas curvas, dibujar un segmento cm1o de pendiente xfy; comprobar que estos segmen­
tos parecen ser tangentes a la curva. ¿Qué sucede en y= O? ¿Qué sucede cuando e= O?
53. Supóngase que fes una función diferenciable de una variable y que la función u = g(x, y) se define
como
(X+
y
)
u=g(x,y)=xyfry .
Demostrar que u satisface una ecuación diferencial (parcial) de la forma:
y hallar la función G(x, y).
.,Ou
7Ou
x--- v--= G(x y)u
i!x.ay
'

1 S�BfWJP.kv Diferenciación
173
54. a) Sea F una función de una variable y f una función de dos variables. Demostrar que el vector
gradiente de g(x, y) = F(J(x, y)) es paralelo al vector gradiente de f(x, y).
b) Sean .f(x, y) y g(x, y) funciones tales que íl.f= ícílg para cierta función ).(x, y). ¿Qué relación
hay entre las curvas de nivel de f y g" Explicar por qué podría existir una función F tal que
g(x, y) = F(f(x, y)).

Derivadas de orden superior:
•
•
rnaXIJl
l
OS y rn1n1rnos
Todo lo superfluo disgusta a Dios y a la Naturaleza.
Todo lo que disgusta a Dios y a la Naturaleza es peruerso.
'
... a saber, puesto que la forma de todo el Uniuerso es la más perfecta
y, de hecho, está diseñada.por el creador más sabio, nada ocurrirá en
el mundo sin que salga a relucir, de alguna manera, una regla máx:ima
o mínima.
E n el cálculo de una variable, para saber si una función f(x) tiene un máximo o un mínimo
local se utiliza a menudo la segunda derivada. Buscamos puntos críticos x0, esto es, puntos
x0 para los cuales j'(x0) = O, y estudiamos el signo de la derivada segunda f"(x0) en ellos.
Si f"(x0) <O, f(x0) es un máximo local de f; si j"(x0) >O, f(x0) es un mínimo local de j; si
f"(x0) = O, el criterio falla.
Este capítulo extiende estos métodos a funciones de varias variables con valores reales. Co­
menzamos en la Sección 3.1 con el estudio de las derivadas parciales iteradas y de orden supe­
rior, y en la Sección 3.2 examinamos el teorema de Taylor para funciones de varias variables;
este teorema se usa en la Sección 3.3 para deducir criterios que permiten detectar máximos,
mínimos y puntos de silla. Como sucede con las funciones de una variable, estos métodos ayu­
dan a visualizar la forma de una función.
En la Sección 3.4 estudiamos el problema de maximizar una función con valores reales some­
tida a condiciones adicionales, también conocidas como restricciones. Por ejemplo, podríamos

176
Cálculo vectorial
3.1.
querer maximizar f(x, y, z) restringiéndonos a aquellos (x, y, z) que están en la esfera unidad,
x2 + / + z2 = l. En la Sección 3.5 se presenta un teorema técnico (el teorema de la función
implícita) útil en el estudio de restricciones. También será útil más adelante cuando estudiemos
superficies.
Derivadas parciales iteradas
En el capítulo anterior se obtuvo infonnación considerable sobre la derivada de una aplicación y
se investigó la geometría asociada con la derivada de funciones con valores reales mediante el
uso del gradiente. En esta sección pasamos a estudiar las derivadas de orden superior, con el fin
de probar la igualdad de las «derivadas parciales segundas cruzadas>> de una función. Comenza­
mos definiendo la nomenclatura necesaria.
Sea f: IR3-+ IR de clase C1. Recordemos que esto significa que a¡¡ax, í3J/oy y of/oz existen
y son continuas. Si estas derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas, diremos que
fes de clase C2, o que es dos veces diferenciable con continuidad. Así mismo, que f sea de
clase C3, significa que ftiene derivadas parciales iteradas de tercer orden continuas, y así suce­
sivamente. A continuación damos algunos ejemplos de cómo se escriben las derivadas de se­
gundo orden:
c2f a (a¡)
��� =--:
:;--
-:
:::---
'
OX
2
OX OX
etc.
Evidentemente, el proceso se puede repetir para las derivadas de tercer orden, y así sucesiva­
mente. Sí fes función sólo de X e y, y oflax, a¡¡ay son diferencíables con continuidad, al to­
mar las derivadas parciales segundas obtenemos las cuatro funciones
axay
y
Todas ellas reciben el nombre de derivadas parciales iteradas, mientras que a2j/oxoy y
a2¡jayax se llaman derivadas parciales cruzadas.
Hallar las derivadas parciales segundas de f(x, y) = xy + (x + 2y)2.
Solución
Las primeras parciales son
a¡
--:;-=y+2(x+2y),
OX
a¡
--:;-=x+4(x+2y).
oy
Ahora derivamos cada una de estas expresiones con respecto a x e y:

Solución
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
177
Hallar las derivadas parciales segundas de f(x, y)= senxsen
2
y.
..
...--..
..,
Procedemos como en el Ejemplo 3.1:
a¡
2
-;:
:-
= cosxsen y,
OX
� senxsen
2
y,
a2¡
-;:;-:
:;--
= cosxsen2y,
oxoy
a¡
-;:
:-
= 2senxsenycosy = senxsen2y;
oy
a2r
� = 2senxcos2y;
oy
a2¡
-;:;-:
:;--
= 2 eosxsenyeosy= cosxsen2y.
oyox
Sea f(x, y, z) = e.xy + z cosx. Entonces:
a¡
-=ye.xy�7senx
ax
-
,
�
senx,
a¡
XV
-= xe·
ay.
,
axaz
� senx,
a¡
-;- = cosx,
uz
etc.
""'
Las derivadas parciales cruzadas son iguales
En todos estos ejemplos observamos que los pares de derivadas parciales cruzadas, tales como
a2jjaxay y o2jjayax, o a2¡jazax y e?¡¡axaz, son iguales. Es un hecho fundamental y quizás sor­
prendente que esto siempre es así para funciones C
2
• Lo probaremos en el siguiente teorema en
el caso de funciones f(x, y) de dos variables, pero la demostración se puede extender fácilmente
a funciones de n variables.
DEMOSTRACIÓN Consideramos la siguiente expresión (véase la Figura 3.1.1):
S(Ax,�y)=f(xo+Ax,Yo+�y)�f(xo+Ax,Yo)
� f(xo, Yo + �y) + f(xo, Yo).

178
Cálculo vectorial
y
(x0+ L\.x, Yo+ t.y)
+ !Dt,B
(x0 + L\.x, y0)
--+-
------------------------------�)
X
'Jii��ri�.f1j¡: Álgebra que subyace en la
igualdad de las derivadas parciales
cruzadas: escribir la diferencia
de diferencias de dos maneras.
Manteniendo y0 y �Y fijos, definimos
g(x) = f(x, Yo +�y) - f(x, Yo),
de forma que S(fu, �y) = g(x0 + fu) - g(x0), lo cual expresa S como una diferencia de di­
ferencias. Por el teorema del valor medio para funciones de una variable, g(x0 + fu) g(x0)
es igual a g'(x)fu para algún x entre x0 y x0 + fu. Por tanto,
S(fu,�y)= -;:;-(i,Yo+�y)--;:;-(.X,y0)�x.
[a¡
a¡
J
ox
ox
Si aplicamos el teorema del valor medio una vez más, tenemos que existe un y entre y0 y
Yo+ �y tal que
az¡--
S(fu, �y) = � (x, y)fu�y.
oyox
Dado que a2¡/ayax es continua, se sigue que
a�
1
-
a�(xo,Yo)= lim
A..A
[S(fu, �y)].
yox
(LU:, t.y)-co, o) L.Uuy
Si observamos que S es simétrica en fu y �y, podemos mostrar de fom1a similar que a2¡jaxay
viene dada por la misma fórmula límite, lo que prueba el resultado.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
1.79
En el Ejercicio 11 se pide al lector deducir, a partir del Teorema I, que para una función C3
dex,yyz,
a3_¡
a3_t
a3_¡
axoyoz ozoyox oyozox'
etc.
En otras palabras, podemos calcular las derivadas parciales iteradas en el orden que deseemos.
Verificar la igualdad de las derivadas parciales segundas cruzadas para la función
Solución
Aquí
y por lo tanto tenemos que
f(x,y)=xeY+yx2
a¡
- =eY+2xy
ax
'
o2f
••
-
V+2
-�--e-
x,
oxcy
a2¡
=
a2¡
oyox axay
A veces se usa la notación fx, ¡;,, fz para las derivadas parciales fx= offox, y así sucesiva­
mente. Con esta notación, escribimos fxy = Cfx)y, de manera que la igualdad de las derivadas
parciales cruzadas se denota por fxv= fvx· Obsérvese que fxv = o2f/oyox, de forma que el orden
de x e y se invierte en las dos notacionés; afortunadamente: la igualdad de las derivadas parcia­
les cruzadas hace que esta ambigüedad potencial sea irrelevante. El siguiente ejemplo ilustra
esta notación con subíndices.
Sea
z =f(x, y)= e
x
senxy
y escribimos x =g(s, t), y = h(x, t) para ciertas funciones g y h. Sea
k(s, t) =f(g(s, t), h(s, t)).
Calcular k5,.
Solución
Por la regla de la cadena,

180
Cálculo vectorial
Derivando con respecto a t, usando la regla del producto, obtenemos
Aplicando nuevamente la regla de la cadena a Cfx)1 y C.f)r se tiene
de manera que k"1 pasa a ser
kst = Cfugl + f,),hl)g
_
, + fxgst + Cfyxgl + J;,Jlr)hs + Jyhvt
= f-xgrgs + fx,(h,gs + h,gr) + fyyhrh, + f,Xw + J;11w
Obsérvese que esta última fórmula es simétrica en (s, t), verificándose la igualdad k5, = k,:,. Al
calcular fw fn· y
se obtiene
k51 = (exsen.xy + 2yexcosxy - lexsenxy)g1g5
+ (xexcosxy+ e
x
cosxy - x�yexsen xy)(h1g5 + h,g1)
-
(x2exsen xy)h¡l15 + (exsen xy + ye
x
cos .:t)')g_u + (xexeos xy)h",
donde se entiendequex = g(s, t) ey =h(s, t).

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
181

182
Cálculo vectorial

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
183
l .ru,e.d�utid� <t1r�eqo�4e)1iz poiJoh�nBefugul� n�.-m�chgs":3ños des¡Jnés por)e� ·l
11 :q·R��Ii;d'Alenl!)�rt e11 su}':�tjJqjo de.cl)Jl
l
oiletei
1.
ninar•.t:l.rn?yimient() de �naS!l��da yt� _j
.brante. (ci:n11o por eje�19'l11la cuer� dt: violín)� .se eil(;OJ1trÓ utilid;¡ci.a la Ecuación_.��)
.
tant�. en_rl.estu*o d�'cue!Yos :envi§rf\CÍ�l1 é()f1
1
0 t;n ela¡¡tic�d<{d¡Co�o 7'eremos. efi, lli�(X;: j
•·
.
. ci ón.•�.s. al c(}npiJ�iar.·las. ecuaci�uei?�·Ma�wen· del•_e1ectromí.u�neiis1l
l
ü� ·esta ·r=uácii1�. •11
surge .también eri ei esiud}o:Uela::Pr¿pag�ei:011 cie radiación �Jecti;magné�ca .Y o11das:s� 1
�¡
( )lO� ,.··
La ecuación en deJivadas parciales u, + u,xx + uux = O, conocida como ecuación
de Korteweg-de Vries (para abreviar, KdV ), describe el movimiento de ondas acuáticas en un
canal poco profundo.
a) Muéstrese que para cualquier constante positiva e la función
u(x, t)= 3e sech
2
[�(x- ct)Jc]
es una solución de la ecuación de Korteweg-de Vries. (Esta solución representa una «joro­
ba>> de agua que viaja por el canal y recibe el nombre de solitón 1
.
)
b) ¿Cómo dependen de e la forma y la velocidad del solitón'�
Solución
a) Calculamos ul' u" uxx y uxxx usando la regla de la cadena y la formula de derivación
(djdx)sechx= -sechxtanhx del cálculo de una variable. Tomando a= ! Cx- et)Jc,
Así mismo,
a
a�
u,= 6e secha - secha= - 6e sech
2
a tanha -
ar
ar
Ux=
"
?
O'Y
-
6e sech- a tanha -
ax
-
3e312 sech
2
a tanh a=
1
._Jeu tanha,
yportantou,+eux= Oy
uxx = - Jc [ux tanha + u(sech2
a) fJ= -Jc (tanhcx)ux - �
u2
o
u2
= c(tanh
2
a)u-6= e(l-sech-a)u - 6
u2
u2
u2
=eu----=eu--
.
36
2
1 Los solítones fueron observados por vez primera por 1. Scott RusseH alrededor de 1840 en unos canales para
barcazas cerca de Edimburgo. Presentó sus resultados en Trans. R . Soc. Edinburgh 14 (1840): 47�109.

184
Cálculo vectorial
Así pues,
Por tanto,
es decir,
b)" La velocidad del solitón es e, puesto que u(x + ct, t) = u(x, 0). El solitón es más alto y más
estrecho cuanto mayor es c. Su forma en el instante t = 10 se muestra en la Figura 3.!.3.
-10
-5
0,1
1
0,6
0,5
0,4
0.3
0,2
0,1
u
--
-+
X
5
10
-!O
(a)
u
0,7
0,6
0,5
0,,
_¿;
"
0,1
T
1)X
-5
5
10
(b)
Fi_�u�ll;3�'f:s.:; Gráfica de u(x, t) = 3 sech
2
cJccx- ct)/2parae=1en lostiempos(a)t=Oy(b)t=10.
En los Ejercicios 1 a 6 se pide calcular las derivadas parciales segundas í32J!í3:?, í32fíí3xí3y, í32f/cycx,
í32jjíJj para cada una de las siguientes funciones. Verificar el Teorema 1 en cada caso.
l. f(x, y) = 2xy/(f- + /)2, en la región donde (x, y) # (0, 0).
2. f(x,y,z)=ez+(1/x)+xe-Y,enlaregióndondex#O.
3. f(x, y) = cos (xy2).
6. f(x, y)=log(x y).
7. Calcular í32 z/í3:?, í32z/í3xí3y, í32zjí3yí3x, y í32 z/í3J para
a) z=3x2+2/.
b) z=(2x2+7x2y)j3xy,enlaregióndondex#Oey#O.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
185
8. Hallar todas las derivadas parciales segundas de
a) z=sen(x2-3xy).
b) z = x2y2e2"".
9. Hallar
f.-�· f:x y fn� para
10. Seaz=
-
xs+y4
a) Calcular
b) Calcular
cy,
f(x,y,z)=x2y+xl+yl.
exy
ey (también denotada por e3z/e2cy).
eyY
ex (también denotada por
11. Utilizar el Teorema para probar que, si .f(x, y. z) es de clase C3• entonces
12. Verificar que
para f(x, y, z) = zexy + yz32.
c3f
aj'
--
-
=--
-
exeyez ilyczex
aj'
e3f
exeyilz ilzcyex
13. Comprobar que L�w =hwx para f(x, y, z, w) = e'J'Z sen (.xw).
14. Si f(x, y, z, w) es de clase C3, demostrar que Lzw =fzwx·
15. Evaluar todas las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones:
a) f(x, y) = x arctan (x/y).
b) f(x,y)=cosJx2+/.
e) f(x, y) = exp(-x2- yz).
16. Seaw =f(x,y)unafuncióndedosvariablesyseanx=u + v,y =u - v. Demostrarque
i32w
i32w il2w
ouov
=
ex2- oy2
.
17. Sea.f:IR2..
....
IR una función C2 y sea c(t) una curva C2 en IR2. Escribir una fórmula para la derivada
segunda (d2/dt')((foc)(t)) utilizando dos veces la regla de la cadena.
18. Sea.f(x,y,z)=exztan(yz)yseanx=g(s,t),y =h(s,t),z =k(s,t).Definimoslafunción
m(s, t) = f(g(s, t), h(s, t), k(s, t)). Hallar una fórmula para ms, utilizando la regla de la cadena y veri­
ficar que es simétrica en s y t.
19. Se dice que una función u=f(x, y) es una función armónica si tiene derivadas parciales segundas
continuas y éstas satisfacen la ecuación de Laplace
Demostrar que la función u(x, y) = x3 - 3xy2 es armónica.

186
Cálculo vectorial
20. ¿Cuáles de las siguientes funciones son armónicas� (Véase el Ejercicio 19.)
a) f(x, y)=x2 -/ .
d) j(x, y)=l + 3x2y.
b) f(x, y)=xl + /.
e) f(x, y)= sen x cosh y.
e) f(x. y)=xy.
f) f(x, y) =exseny.
21. Sean f y g funciones de clase C2 de una variable. Definimos fjJ=j(x - t) + g(x + t).
a) Demostrar que fjJ satisface la ecuación de ondas éPcp¡ar=iPfjJ/3)?.
b) EsbozaT la gráfica de fjJ frente a t y x, sí
.
f(x)=x2 y g(x)=O.
22. a) Comprobar que la función g(x, r)=2 + e-' sen x satisface la ecuación del calor: g,=gn (aquí
g(x, t) representa la temperatura en un hilo metálico en el punto x en el instante t).
b) Esbozar la gráfica de g para t �O. [INDICACIÓN: Considerar las secciones por los planos t=O,
t=1 y t=2.]
e) ¿Qué sucede con g(x, t) cuando t--. �? Interpretar este límite en términos del comportamiento
del calor en el hilo.
23. Demostrar que el potencial newtoniano V= - GmM/r satisface la ecuación de Laplace
24. Sea
(véase la Figura 3.1.4).
para
{xy(x2 - ll/(:l + /),
.
f(x
,
y
)= O,
a) Si (x, y)# (0, 0), calcular o.fjox y o.f/oy.
b) Demostrar que (of/ox)(O, O)=O=(o.f/oy)(O, 0).
(x, y, z)# (0, O, 0).
(x, y)# (0, 0),
(x, y)=(0, 0)
e) Demostrar que (o2
.
floxoy)(O, O)= l, (32
.
f/3yox)(O, 0)= -l.
d) ¿Qué ha fallado? ¿Por qué no son iguales las derivadas parciales cruzadas?
2
1
o
-1
-2

3.2.
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y ¡nínimos
187
El teorema de Taylor
Cuando introdujimos la derivada en el Capítulo 2, vimos que la aproximación lineal de una
función desempeñaba un papel esencial, tanto por una razón geométrica --encontrar la ecuación
del plano tangente- como por una razón analítica -encontrar valores aproximados de las fun­
ciones-. El teorema de Taylor trata la importante cuestión de encontrar aproximaciones cua­
dráticas y de orden superior.
El teorema de Taylor es una herramienta central para encontrar aproximaciones numéricas
de funciones y, como tal, desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática
aplicada y computacionaL En la próxima sección lo utilizaremos para obtener el criterio de la
derivada segunda para máximos y mínimos de funciones de varias variables.
La estrategia empleada para probar el teorema de Taylor es reducirlo al caso de una vmiable
evaluando la función de varias vmiables a lo largo de rectas de la forma l(t) = x0 + th que par­
ten del punto x0 con dirección h. Por lo tanto, nos resultará útil comenzar por un repaso del
teorema de Taylor del cálculo de una variable.
El teorema de Taylor para una variable
Cuando uno recuerda teoremas de cursos anteriores, es útil preguntarse las siguientes cuestiones
básicas: ¿Qué es lo esencial del teorema? ¿Cuáles son las ideas clave de la prueba? ¿Entiendo
mejor el resultado esta segunda vez?
El principal objetivo del teorema de Taylor de una variable es encontrar aproximaciones a
una función cerca de un punto dado que sean precisas con un orden mayor que el de la aproxi­
mación lineaL La idea clave de la prueba es utilizar el teorema fundamenTal del cálculo seguido
de una integración por partes. Sin más que recordar estas ideas básicas es posible reconstruir
toda la demostración. Razonar de esta forma nos ayudará a organizar todas las piezas que es
necesario ensamblar para dominar las aproximaciones de Taylor de funciones de una y varias
variables.
Para una función suave f: IR--+ IR de una variable, el teorema de Taylor afirma que:
j"(xo)
j(x0 +h)=j(x0) +f'(x0)·h+�
2
�!l+
(1)
donde
es el resto. Para h pequeño, este resto es pequeño hasta orden k, en el sentido de que
(2)
En otras palabras, Rk(x0, h) es pequeño comparado con la cantidad, ya de por sí pequeña, hk.

188
Cálculo vectorial
Lo que precede es el enunciado fonnal del teorema de Taylor. ¿Qué podemos decir de la
demostración? Como prometimos, empezamos con el teorema fundamental del cálculo, escrito
en la forma:
¡xo+h
j(x0+h)=f(xo)+
Jxo j'(r)dr.
A continuación, escribimos dr= d(x0 + h- r) e integramos por partes2 para obtener:
rxo+h
f(x0+h)=f(xo)+f'(xo)h+ 1 j"(r)(x0+h- r)dr,
.JX()
que es la fórmula de Taylor de primer orden. Integrando por partes otra vez:
1 rxo+h
=
-2 !,
j"(r)d(x0 + h- ·d
flixo
1
] fxo+h
=- j"(x0)h2+-
j"'(r)(x0 + h- r)2dr,
2
2xo
que, una vez sustituido en la fónnula precedente, da la fórmula de Taylor de segundo orden:
f(xo + h) = f(xo)+j'(xo)h + - f"(xo)h2 + -
j'"(r)(x0 + h- r)2dr.
1
1 fxo+h
2
2xo
Éste es el teorema de Taylor para k = 2.
El teorema de Taylor para k general se obtiene por medio de sucesivas integraciones por
partes. La Fónnula (2), que dice que R
k
(x0, h)jll--
-->
O cuando h--
-->
O, se puede interpretar de la
siguiente manera. Parar en el intervalo [x0, x0+h], tenemos que lx0+h- r 1 � 1 hl y fk+ 1(r),
puesto que ¡k+1(r) es continua, está acotada; pongamos que lfk+1(r)i �M. Entonces:
1fxo+h (x + h- r)k
1 lllk+l
o
k+l
1
IR
k
(x0, h)l =
k'
f (r)dr � -1-M
-
'O
•
k.
y, en particular, IR
k
(x0, h)jlll � lhiM/k! ---
->
O cuando h ---
->
O.
2 Recordemos que la integración por partes (la regla de derivación del producto leída al revés) dice que
Aquítomamosu=j'(T)yv=x0+h-T.
rb udv= uvl��fb vdu.
Ja
a

-
capítulo 3.. Derivada;>_pf;' o;;c¡en superior: máximos y mínimos
189
El teorema de Taylor para varias variables
El siguiente objetivo de esta sección es probar un teorema análogo que sea válido para funcio­
nes de varias variables. Ya conocemos una versión de primer orden, esto es, cuando k = J. En
efecto, si f: IR" -+ IR es diferenciable en x0 y definimos
de manera que
entonces, por la definición de diferenciabilidad,
cuando
h-+ O,
es decir, R1(x0, h) se anula hasta primer orden en x0. Resumiendo, tenemos:
La versión de segundo orden es como sigue:
3 Para probar el teorema tal como lo hemos enunciado basta con que f sea de clase C2, pero para tener una fon11a
conveniente para el resto supondremos que f es de clase e'.

190 Cálculo vectorial
Nótese que este resultado se puede escribir en forma matricial como
(�! �!)llh¡)
f(h0+h)=f(xo)+�,..., � :
OX¡
OX11
h,.
donde las derivadas de f se evalúan en x0.
¡p¡
a2t
ax,axn
(h¡ )
'7;2
'
hn¡
En el transcurso de la demostración del Teorema 3 obtendremos una útil fórmula explícita
para el resto, como en el teorema de una sola variable.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 Sea g(t) = f(x0 + th) con x0 y h fij os, que es una fun­
ción C3 de t. Ahora aplicamos el teorema de Taylor de una variable (1) a g, con k= 2, para
obtener
donde
g"(O)
g(l)=g(O)+g'(O)+2J+R2,}
(1 (r 1)2
R2=
J o -2-1- g'"(t) dt.
Por la regla de la cadena,
y
na¡
g'(t) = I (x0 + th)h¡;
i�l 3x¡
Escribiendo R2 = R2(x0, h) hemos probado, por tanto:
(3)

f(xo + h)=f(xo) +
donde
R2(Xo, h) =
n
).:.
...
i=l
I
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
191
a¡
1
h¡
(Xo)+-
Cxi
2
(t-1)2
��--
Ii,j= 1
o3f
h;hj
o2f
�
�
OX¡OXj
(x0) + R2(x0,
(x0 + th)h, h)1k dt.
(4)
i.j,k= 1 f 2 í'Jx;oxjoxk
h),)
El integrando es una función continua de t y, en consecuencia, está acotado por una constan­
te positiva C en un pequeño entorno de x0 (puesto que tiene que estar próximo a su valor en
x0). Obsérvese también que lh;l ::;:
::
llhll, para llhll pequeño y que, por tanto,
En particular,
cuando h _.,.O,
como se pide en el teorema.
La demostración del Teorema 2 se sigue de forma análoga de la fórmula de Taylor (l)
con k= l. Un argumento semejante para R1 demuestra que IR1(x0, h)!/llhll _.,.O cuando
h _.,. O, aunque esto también se obtiene directamente de la definición de diferenciabilidad.
Las fórmulas que involucran a C;¡ y cijk (llamadas «formas de Lagrange del resto>>), se obtie­
nen haciendo uso del segundo teorema del valor medio para integrales_ Este teorema dice que
fb
�b
0 h(t)g(t) dt = h(c) 1 g(t) dt,

192
Cálculo vectorial
siemprequehygsean continuas, y g?Oen [a, b};aquí e es algún número entre a yb4. Esto
se aplica en la Fórmula (5) para la forma explícita del resto con h(t)= (82f/8xJ3x¡)(x0 + th) y
g(t)=1 -t.
La fórmula de Taylor de tercer orden es:
donde R3(x0, h)/llhJI3 __,.O cuando h __,.O, y así sucesivamente. La fórmula general se puede pro­
bar por inducción, utilizando el método de demostración que acabamos de ver.
Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para la función j(x, y)=
sen (x + 2y), en un entorno del punto x0= (0, 0).
Solución
Obsérvese que
Así pues,
donde
j(O, O)= O,
8f
--:
:;-
-
(0,0)= cos(O+2·O)=1,
ex
a¡
-:;-
---
(0,O)=2cos(O+2·O)=2,
oy
cuando
82!
-;:;-;
;-
(0, O)= O.
oxoy
h ->0.
4 Dem
.
ostración: Sí g = O, el resultado está claro, por lo que podemos suponer que g i' O; por tanto, podemos
asumir s: g(t)dt > O. Sean M y m los valores máximo y mínimo de h, alcanzados en tM y t,, respectivamente. Puesto
que g(t) :?o O,
m r g(t)dt � f h(r)g(t)dt � M l g(t)dt.
Así pues, (J: h(t)g(t)dr)/(J: g(t)dt) está entre m= h(tm) y M= h(tM) y, por consiguiente , por el teorema de los
valores intermedios, es igual a h (e) para algún punto intermedio c.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
193
Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para f(x, y)= ex cos y alrededor
del punto x0 = O, Yo=O.
Solución
Aquí
y por tanto
donde
f(O, O)= l,
ar
_:.
._
(O O)=1
ex
,
,
32{
-
·
(OO)=�1,
ay2
,
cuando
ar¿ (0, 0)=O,
oy
h__,o.
En el caso de funciones de una variable se puede desarrollar f(x) en una serie infinita de
potencias, llamada serie de Taylor,
siempre y cuando se pueda probar que Rk(x0, h)--> O cuando k--> oo. Análogamente, para fun­
ciones de varias variables los términos anteriores se sustituyen por los correspondientes que in­
volucran derivadas parciales, como hemos visto en el Teorema 3. De nuevo, se puede represen­
tar una función tal por su serie de Taylor siempre que se pueda probar que Rk --> O cuando
k--> oo. Este punto se examina con mayor profundidad en el Ejercicio 7.
Encontrar las aproximaciones de Taylor de primer y segundo orden a f(x, y)=
sen (xy) en el punto (x0, y0),= (l , n/2).
Solución
En este caso:
f(xo, Yo)=sen (xoYo)= sen (n/2)= 1,
n
fxCxo, Yo)= Yo cos(x0y0)= � cos(n/2)=O,
2
/y(x0, y0)=x0 cos(x0y0)= cos (n/2)=O,
1[
2
f=(xo, Yo)= �yiisen(x0y0)= � 4 sen(n/2)= � n2/4,
n
.f,/x0, y0)= cos (x0y0) � x0y0 sen(x0y0)= � 2 sen(n/2)= � n/2,
f,y(x0, y0)= �x6 sen(x0y0)= �sen(n/2)= l.

194
Cálculo vectorial
Así, la aproximación lineal (de primer orden) es
l(x, y) = f(xo, Yo) +flxo, Yo)(x- Xo) + f/xo, YoKv -Yo)
= 1+o+o= 1,
y la aproximación de segundo orden (o cuadrática) es
L-r
1(n
2
)7( n)(n)
g(x,y)=1+O+O+2 -4(x-1t+ -2(x-1)y-2
1
(n)
2
+2(--l) y
--
2
=1
-
�2
ex- 1)2
-
�ex-n(y-�)-�(y-�r
Véase la Figura 3.2.1.
'r¡!Jlíf�'a:��'J;'� Las aproximaciones lineal y cuadrática a z = sen (XY) cerca de ( 1, rr/2).
Hallar las aproximaciones lineal y cuadrática a la expresión (3,98 - 1 )2í(5 ,97 - 3)2
.
Comparar con el valor exacto.
Solución
Sea f(x , y) = (x- 1)2í(y- 3)2
.
La expresión deseada es parecida a f(4, 6) = l. Para encontrar
las aproximaciones, derivamos:
2(x-1)
fx=(y-3)2'
-4(x- 1)
fxy=fyx= �_:_
_
�-c;-'-
(y-
2

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
195
En el punto de aproximación, tenemos
2
f.(4, 6)=3
'
J;.
=
2
3, fxy =fvx =
La aproximación lineal es entonces
2
2
4
9'
l+-(-o02)--(-o03)=100666.
3
'
3
'
'
La aproximación cuadrática es
2
2
2 (-0,02)2 4
+3(-0,02)-3(-0,03)+9
2
-
9(
2 (-0.03)2
o02)(-o03)+-
·-
·
---
,
'
32
= 1,00674.
El valor «exacto» utilizando una calculadora es 1,00675.
En
'
cada uno de los ejercicios del 1 al 6, dererminar la fórmula de Taylor de segundo orden para la fun­
ción dada alrededor del punro xo. y0.
l. f(x, y)=(x + y)2
, donde x0=O, Yo=O.
2. f(x, y)= l/(i' + l + l), donde x0=O, Yo=O.
3. f(x, y)=ex
+
v, donde x0=O, Yo= O.
4. f(x, y)=e-
x
2
-
Y2 cos (.:t·y), donde x0 =O, Yo=O.
5. f(x, y)=sen (xy) + cos (xy), donde x0=O, v0=O.
6. f(x, y)=e(x- 1)2 cos y, donde Xo= l, Yo=O.
7. (Difícil.) Una función f: IR--> IR se llama analítica si
'
.[<kl(x) k
f(x + h)=f(x)+f(x)h+ .
.·
+--h+..·
.
k!
(esto es, la serie del segundo miembro converge y es igual a f(x + h)).
a) Supongamos que f satisface la siguiente condición: en cualquier intervalo cetTado [a, b] existe
una constante .M tal que para todo k= 1, 2, 3,
.
. ., lfk\x)l�.MkparatodoxE[a,b].Probarquef
es analítica.

196
Cálculo vectorial
3.3.
b) Sea
{e-
!
¡x x>O
j(X)=0
X� o·
Demostrar que f es una función C"", pero que f no es analítica.
e) Dar una definición de función analítica de IR" en IR. Generalizar la demostración de la parte a) a
esta clase de funciones.
d) Desarrollar f(x, y) = e
x+y
en serie de potencias alrededor de x0 =O, y0 =O.
Extremos de funciones
con valores reales

198
Cálculo vectorial

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
199
en los días .más penosos de su vida, Esto es de nuevounejel1
1
plo conmovedor dela
antigua verdad de que nuestros principios más p�ofundos y sagrados.están firmement�
ar
r
aigados en lo más hondo de nuestra alma, independientemente de nuestra experien�
cia en el mundo exterior..
.
.
.
.
.
•
.
.
...
.
..
.
_.
.
·
•.•
.
La ciencia moderna, en particular
.
bajo la influencia. d�l ;desar
r
ollq d�la 11oción fl�
causalidad, se ha alejado mucho delpunto de vista teleológico d� Leil:Jniz, Lacienc�ia��
ha abandona.do la suposiCión de un motivo esp ecial; anti¡:
:
i}Jat9riol.� con&ider� (:ada.¡
suceso del mundo natural y espiritual, .al menos e� principi�, �oino r.�dl.lcible a esta(los
.
pre vios. Pero todavía observamos un hecho, especialn1ente en!a ¡:
:
ienéia Ináse.Xacta,
que, al menos en este contexto, es de lo más sorprendente, La física actual, en la me­
dida en que está organizada teóricamente, está gobernada completamente por un siste�
ma de ecuaciones diferencíales espacio-temporales que establecen que cada proceso
en la naturaleza está totalmente det,erminado pol,"
"
)(ls suc�s()s qpe acaece1l.·�n..s:u entor:_
no t emporal y espacial inmediato. Este rico sistema déecua�ion:s dif�re1lciales, aun-.·
que difieren en el detallet puesto que se refier� a pro�esbs mecánicos; eléctricos,
magnéticos y térmicos , está ahora c.ompletamente contenido en rini·única afhmacíórí,
el principio de mínimaacción. ��te, en �reve, �firma que,de. todos los posibles nroce­
sos, los únicos que enefecto ocunen sori aqu;ellos que imp1ícan un gast0 de ;cción
mínimo,. .Como .st; pn�:de ver,·.sólo hac�falta _un. pequeñ� p(l_sopara re�()nocer en. la
preferencia.p
.
or.la 11
1
enor cantidad de acción. los designios de la Raió� Divina: y des�
cubrir ::tsiuna parte delordenamiento teleológico del universo de Leibniz5: ..
.
•.·
.>
·
..•
En la fís1ca �®erna el principio de mínima acCión desempeña un papel relativa­
mente. menor: Nó encajademasiado bien en el marco d� l(l.S teorías actuales. Porsu-
puesto: se admite que. es un enunciado con-ecto; sin e�bargo , frecuente�ente no
·
sirve comofundamento de la teoría, sino. como un ap�.udic7 v�rd(.ld�J:Q per<;> SUJ?.e!fluo,
pues to que la física teórica act�al está adapt�ga completaRlei}te. <Ü principio de l�s
efectos loc;ales infinitesimales, y considera las extensi?n:� a espacips y tie11
1
pos ,11
1
ayo�
res como un� col11plicacióniiD1ecesaria y antiec?nórnica d�l método. Por �onsig\üente,
1á física se inclina � COnsiderar el príneipio i:.i� fuínirmi áCCÍÓÍl ll
l
¡ÍS COmO üná CUI"ÍOSÍ-
dad fonnal y a ccidental que como un pilar del conocimiento físiéo.
·.
,_'
,,
Se pu ede decir nmclio más sobre lahistoriá del prin<;ipio de �ínima a¿ci<:sh, sobre el
que volveremos enla Sección 4,L
·
·'
�-: '
'
--
_
-
-
-
-
:�<-�':
:
:-
5 Para más· inforrnación y más detalles históricos: consúltese el libro de S. fiíldebrandt yA J..Troiriba� The
Parsimoníous Universe: Sl;ape ami Form in rhe Natural Worüi, S:gtingér-Verlag, Núeva .Yprk/B.erJín,< 1995. ¡
----- ---- ---- --
�
Máximos y mínimos de funciones
de n variables
Como muestran los comentarios anteriores, para Leibniz, Euler y Maupertuis, y también para
gran parte de la ciencia moderna, todo en la naturaleza es consecuencia de algún principio de

200
Cálculo vectorial
max1mo o m1mmo. Para elaborar unas ideas tan grandiosas -y también otras más prácticas­
de forma efectiva, antes es necesario aprender las técnicas para encontrar máximos y mínimos
de funciones de n variables.
Puntos de extremo
Entre las características geométricas básicas de la gráfica de una función se encuentran sus pun­
tos de extremo, en los que la función alcanza su mayor y menor valor. En esta sección obtendre­
mos un método para determinar estos puntos. De hecho, el método encuentra también puntos de
extremo locales. Éstos son puntos en los que la función alcanza un valor máximo o mínimo
respecto a los puntos cercanos. Comenzamos definiendo los términos empleados.
DEFINICIÓN Si f: U e IR" --+ IR es una función escalar dada, se dice que un punto Xo E U es un
punto de mínimo local de f si existe un entorno V de x0 tal que para todos los puntos x de
V, f(x) ?e f(x0) (véase la Figura 3.3.2). Análogamente, x0 E U es un punto de máximo local si
existe un entorno Vde x0 talquef(x)�f(x0)paratodox E V. ElpuntoXo E U es unpuntode
extremo local o relativo si es punto de mínimo local o de máximo local. Un punto x0 es un
punto critico de f si, o bien .f no es diferenciable en x0, o bien Df(x0) = O. Si un punto crítico
no es punto de extremo local, se dice que es un punto de silla 6.
Gráfica def
xo
Punto de mínin1o local
Punto de máximo local
X
X
Figura 3.3.2. Puntos de (a) mínimo local y (b) máximo local para una función de dos variables.
Condición de la derivada primera para puntos
de extremo local
La búsqueda de los puntos de extremo está basada en el hecho siguiente, que debería conocerse
del cálculo de una variable (caso n = 1): todo punto de extremo es un punto crítico.
6 El término <<-punto de silla» no siempre se usa con esta generalidad: exmninarernos los puntos de silla con más
detalle en el desarrollo posterior.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
201
TE.OREIVIA4: Condición de la derivada primera p<�ra puntos de. extremo l�cál siiF� IR1n
es abierto, lafunción f: U e JR" ·e-:+ lR es diferenciable y Xo EU esun punto de extremo local,e�tüp:-:
¿esDf(Xo)·""' O; es decir; Xo esunpuntocríticode f ' ·
·
··
DEMOSTRACIÓN Supongamos que f alcanza un máximo local en x0. Entonces para cual­
quier h E �" la función g(t) =f(Xo + th) tiene un máximo local en t = O. Por consiguiente, el cálculo
de una variable nos dic
_
e que g'(O) = O 7. Por otra parte, por la regla de la cadena,
g'(O) = [Df(x0)]h.
Así pues, lDf(Xo)]h =O para todo h, de modo que Df(x0) =O. El caso en que f alcanza un míni­
mo local en x0 es completamente análogo.
Si recordamos que Df(x0) =O significa que todas las componentes de D.f(x0) son cero, pode­
mos reformular el resultado del Teorema 4: si x0 es un punto de extremo locaL entonces
i=1, ..., n;
esto es, cada derivada parcial es cero en x0. En otras palabras, 'Vf(x0) = O, donde \1f es el gra­
diente de f
Si queremos hallar lo puntos de extremo o los puntos de extremo local de una función, se­
gún el Teorema 4 debemos: buscar entre los puntos críticos. En ocasiones es posible decidir si
efectivamente son puntos de extremo o puntos de extremo local por inspección, pero lo común
es utilizar criterios (que desanollaremos más adelante) análogos al criterio de la derivada segun­
da del cálculo de una variable.
Hallar los puntos de máximo y de mínimo de la función .f:
-+ � definida por
f(x, y) = x2 + /. (Ignorar el hecho de que este ejemplo se puede resolver por inspección.)
Solución
En primer lugar identificamos los puntos críticos de f resolviendo las dos ecuaciones ?f/Dx = O y
=O,paraxey.Pero
cf
-;:
:-
=2x
ox
y
cf
-
-
= 2y,
de modo que el único punto crítico es el origen (0, 0), donde el valor de la función es cero. Dado
que f(x, y) �O, este punto es un punto de mínimo relativo --de hecho, un punto de mínimo absolu­
to o global- de f Puesto que (0, O) es el único punto crítico, no hay puntos de máximo.
7 Recordemos la demostración del cálculo de una variable: como g(O) es un máximo local, g(t) ,:; g(O) para 1 > O
pequeño. de modo que g(r) - g(O) ,:; O, y por tanto g'(O) =
,
��1 (g(1) - g(O))/r,:; O. donde ,��1 denota el límite cuan-
do 1 _,O, 1 > O. Para r <O pequeño. tendríamos de manera análoga g'(O) =
,
�;;'- g(l) - g(0))/1;? O. Por consigtliente,
p'(Q) =O.

202
Cálculo vectorial
Consideramos la función f: IR2--+ IR, (x, y)--+ x2 � / . Ignorando por el momen­
to que esta función tiene un punto de silla y ningún punto de extremo, aplicar el método del
Teorema 4 para localizar los puntos de extremo.
Solución
Como en el Ejemplo 3.11, vemos que f sólo tiene un punto crítico, el origen, y que el valor de
f en él es cero. Si examinamos los valores de f en puntos próximos al origen, vemos que f(x,
O) ;:? f(O, O) y f(O, y) � .f(O, 0), con desigualdades estrictas cuando x =!= O y y =1= O. Dado que x o
y pueden tomarse arbitrariamente pequeños, el origen no puede ser ni un punto de mínimo rela­
tivo ni un punto de máximo relativo (por lo tanto, es un punto de silla). Por consiguiente, esta
función no puede tener puntos de extremo relativo (véase la Figura 3.3 .3).
Gráfica def
X
y
-Figi
i
ra3.3.3. Una función de dos variables
con un punto de silla.
Hallar todos los puntos críticos de z= x
2
y +/x.
Solución
Derivando, obtenemos que
oz
)
-= 2xy +x-.
cy
.
Igualando las derivadas parciales a cero,
2xy +/=O,
2xy +x2 =O.
Restando, obtenemos x2 =/. Así, x = ±y. Sustituyendo x = ±y en la primera de las dos
ecuaciones anteriores, encontramos que
2/ +l= 3y2
=O,
demodoquey=Oyportantox=O.Six= �y.entonces
� 2/+/= �i=O,

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
203
de manera que y = O y por consiguiente x = O. Así pues, el único punto crítico es (0, 0). Para
x = y, z = 2x3, que es tanto positivo como negativo para x cerca de cero. Por lo tanto, (0, O) no
es punto de extremo relativo.
Obsérvese la Figura 3.3 .4, una gráfica dibujada con computador de la función
z = 2(x2 +/)e-x'-''. ¿Dónde están los puntos críticos?
2
2
Figura 3.3.4, El volcán: z = 2(x2
+y
2
)exp(- x2 -y
2
).
Solución
Dado que z = 2(x2 + y2)e-x
2_
"2
,
:tenemos que
y,
'1-
.--,
:_
�z
= 4x(e-x'-v') + 2(x2 +/)e x2 _v'c�2x)
OX
= e-xLy2[4x � 4x(x2 +/)]
= 4x(e- '2- ,.2)(1 � x2 -
az
-_..
.
.
2
?
-:
:;-
= 4y(e
r-)(1 - x2 -- y2).
oy
Ambas se anulan si x = y = O o si x2 +/ = l. Esto es consistente con la figura: los puntos del
borde del cráter son puntos de máximo y el origen es un punto de mínimo.
Criterio de la derivada segunda para puntos
de extremo local
El resto de la sección está dedicado a obtener un criterio, basado en la derivada segunda, para
decidir si un punto crítico es un punto de extremo relativo. En el caso particular n = 1, nuestro
criterio se reducirá a la conocida condición del cálculo de una vmiable: si f"(x0) > O, el punto
es de mínimo y si j"(x0) <O, es de máximo. Sin embargo, en el caso general la derivada segun­
da es un objeto matemático bastante complicado. Para enunciar nuestro criterio, introducimos

204
Cálculo vectorial
una versión de la derivada segunda llamada hessiana, que a su vez está relacionada con las for­
mas cuadráticas. Las formas cuadráticas son funciones g: IR" --> IR del tipo
g(h¡, ..., h,) = I aijh;h¡
i,j= 1
donde [a¡¡] es una matriz n x n. En términos de multiplicación de matrices, podemos escribir
an2
:::] [JJ
Por ejemplo, si n = 3,
g(h,,h,,h,l �¡,¡ -2h,h,+hl�rh,h,h,J[-i
-1
o
o
es una forma cuadrática.
Si queremos, podemos suponer que [a;) es simétrica; de hecho, g no cambia si reemplaza­
mos [a¡
¡
] por la matriz simétrica [b;¡]. donde b¡¡ = � (a;¡ + a¡;), pues h;h¡ = h¡/1; y la suma es so­
bre todo i y j. La naturaleza cuadrática de g se refleja en la identidad
que se deduce de la definición.
Ahora estamos preparados para definir las funciones hessianas (llamadas así en honor de
Ludwig Otto Hesse, quien las introdujo en 1844).
DEFINICIÓN Supongamos que f: U e: IR"-+ IR tiene derivadas de segundo orden continuas
(J2f/Jx;Jx¡)(x0), para i, j = 1, .. . , n, en el punto x0 E U. La hessiana de .f en x0 es la forma
cuadrática definida por:
1
= 2 (h¡, ..., h/1)
a2¡
3x13x1
�
�
OX¡OX11
m-
Nótese que, por la iguaidad de las detivadas parciales cruzadas, la matriz de las derivadas
segundas es simétrica.

Esta función se usa, por lo común, en puntos críticos x0 E U. En este caso, Df('Xü) = O,
de manera que la fórmula de Taylor (véase el Teorema 3, Sección 3.2) se puede escribir de la
forma
j(x0 + h) =j(x0) + Hf(x0)(h) + Rix0, h).
Así, en un punto crítico la hessiana es igual al primer término no constante de la serie de
Taylor de f.
Una forma cuadrática g: IR" --> IR se dice definida positiva si g(h) )o O para todo h E IR" y
g(h) = O sólo para h =O. De manera análoga, g es definida negativa si g(h) � O y g(h) = O
sólo para h =O. Obsérvese que sin= 1, H.f(x0)(h) = �.f"(x0)h2
, que es definida positiva si y
sólo si .f"(x0) > O.
En realidad probaremos que los extremos obtenidos con este criterio son estrictos. Un punto
de máximo relativo x0 se dice que es estricto si .f(x) < .f(x0) para x próximo a x0, x #- x0. Los
puntos de mínimo relativo estricto se definen de forma análoga. El teorema también es válido si
.f es tan sólo C2; hemos supuesto que .f es C3 por simplicidad.
La demostración del Teorema 5 requiere del teorema de Taylor y el siguiente resultado de
álgebra lineal.
DEMOSTRACIÓN Para llhll = 1, tomamos g(h) = H(h). Entonces g es una función continua
de h para !lhll = l y por tanto alcanza su valor mínimo, digamos M8. Como Hes cuadrática,
tenemos
para cualquier h #O. (El resultado es válido de manera obvia si h = 0.)
8 Aquí usamos, sin demostración, un teorema análogo al del cálculo de una variable que afirma que toda función
continua en un intervalo [a, b] alcanza su máximo y su mínimo; véase Teorema 7.

206
Cálculo vectorial
Nótese que la fom1a cuadrática asociada con la matriz simétrica �(c2f/3x¡(!x) es exactamente
la hessiana.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA S Recordemos que si J: U e IR" -> IR es de clase C3 y
x0 E U es un punto crítico, el teorema de Taylor se puede expresar de la forma
donde (R2(x0, h))/llhll2-> O cuando h--> O.
Como HJ(x0) es definida positiva, el Lema 1 asegura la existencia de una constante
M>OtalqueparatodohEIR".
Como R2(x0, h)/llhll
2
-->Ocuandoh-->O,existe un3>OtalqueparaO<lihll<3,
Así,O<HJ(x0)(h)+R2(x0, h)=f(x0 +h)-f(Xo)paraO<llhll<3,demaneraquex0es
un punto de mínimo relativo, de hecho, un punto de mínimo relativo estricto.
La demostración en el caso de que la forma cuadrática hessiana sea definida negativa es
similar; también puede obtenerse aplicando la anterior a -_f, y se deja como ejercicio.
Consideramos nuevamente la función f:
-->R(x,y)..
....
x2+/.El(0,0)es
un punto crítico, y f ya está dada en la forma del teorema de Taylor:
f((O, O) + (h1, h2)) = J(O, O)+ (hT + h�) +O.
Podemos ver directamente que la fonna cuadrática hessiana en (0, O) es
que evidentemente es definida positiva. Así, (0, O) es un punto de mínimo relativo. Por supuesto.
este caso sencillo se podría haber hecho sin ningún cálculo. En efecto, está claro que f(x, y) > O
para todo (x, y) #- (0, 0).
Para funciones de dos variables f(x, y), se puede escribir la forma cuadrática hessiana como
sigue:
Presentaremos ahora un criterio que sirve para saber cuándo una forma cuadrática definida por
una matriz 2 x 2 de ese tipo es definida positiva. Será útil combinado con el Teorema 5.

LEMA2 Sea
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
207
B =.[q. ·.·.b].·
be
Entonces H(h) es definida positiva si y sólo si a ;> O y
DEMOSTRACIÓN Tenemos
Completamos el cuadrado escribiendo
1(
b)21(b2)o
H(h)=2ah1+�h
2
+2 e---;
;
h7..
Supongamos que H es definida positiva. Haciendo h
2
=O, vemos que a>O. Tomando
h1 = -(bja)h2, obtenemos e- b2/a>O. Recíprocamente, si a>O y e -lija>O, H(h) es
una suma de cuadrados, de manera que H(h) �O. Si H(h) = O, entonces cada cuadrado tiene
que ser cero. Esto implica que tanto h1 como h
2
deben ser cero, de modo que H(h) es defini­
da positiva.
De manera análoga, se puede ver que H(h) es definida negativa si y sólo si a < O y
ae - b2>O. Obsérvese que una formulación alternativa es que H(h) es definida positiva (res­
pectivamente, negativa) si a + e = traza B >O (respectivamente, <O) y det B >O.
Criterio del determinante para decidir si una forma
cuadrática es definida positiva
Hay criterios similares para una matriz n x n simétrica B. Consideramos las n submatrices cua­
dradas a lo largo de la diagonal (véase la Figura 3.3.5). Bes definida positiva (esto es, la fmma
cuadrática asociada con B es definida positiva) si y sólo si los determinantes de estas subma­
trices diagonales son todos mayores que cero. Para B definida negativa, los signos deben ser
•
•
•
Figura 3.3.5. En el criterio para decidir si una forma cuadrática es
definida positiva se usan submatrices «diagonales": todas
deben tener determinante >O.

208
Cálculo vectorial
alternativamente <O y >O. No demostraremos aquí el caso general9. Si los detenninantes de
las submatrices diagonales son todos distintos de cero. pero la matriz no es definida positiva ni
negativa, el punto crítico es de tipo silla; en este caso se puede demostrar, como en el Ejemplo
3 .12, que el punto no es ni de máximo ni de mínimo.
Criterio de la derivada segunda
El Lema 2 y el Teorema 5 implican el siguiente resultado:
Clasificar los puntos críticos de la función f: IR2 --* IR definida por (x, y) --*
Solución
Como en el Ejemplo 3.15, f(O, O) =; O, el origen es el único punto crítico y la forma cuadrática
hessiana es
que es claramente definida positiva. Así, (0, O) es un punto de mínimo relativo de f. Como alter­
nativa, podemos aplicar el Teorema 6. En (0, 0), 32f/3Y = 2, 32f/3l =; 4 y 32f/3x3y = -2 . Se
cumplen las condiciones i), ii) y iii), de modo que (0, O) es un punto de mínimo relativo de f.
9 Esto se demuestra, por ejemplo, en el libro de K. Hoffman y R. Kunze, Linear Algebra, Prentice Hall, Engle­
woods Cliffs, N J, 1961, pp. 249-251. Los estudiantes familiarizados con el álgebra lineal se darán cuenta de que Bes
definida positiva cuando todos sus autovalores (que son necesariamente reales, puesto que Bes simétrica) son positivos.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
209
Si en el Teorema 6 se tiene D < O, entonces estamos ante un punto de silla. De hecho, se
puede demostrar que j(x, y) es mayor que j(x0, y0) cuando nos alejamos de (x0, y0) en una
cierta dirección, y menor cuando nos alejamos en la dirección ortogonal (véase el Ejercicio 26).
Por consiguiente, el aspecto general es similar al mostrado en la Figura 3.3.4. Para conocer la
forma de la gráfica cerca de (x0, y0) en el caso D = O es necesario hacer un análisis más pro­
fundo.
Resumamos el procedimiento para tratar con funciones de dos variables: hallamos todos los
puntos críticos y calculamos las correspondientes formas cuadráticas hessianas; algunas de estas
hessianas pueden ser definidas positivas, indicando que se trata de un punto de mínimo relativo;
otras pueden ser definidas negativas, indicando que estamos ante un punto de máximo relativo;
y algunas tomarán valores positivos y valores negativos, indicando que el punto es de silla. La
forma de la gráfica en un punto de silla en el que D < O es como la de la Figura 3.3.4. Los
puntos críticos para los que D el O se llaman puntos críticos no degenerados. Dichos puntos son
puntos de máximo, de mínimo o de silla. Los puntos c1iticos restantes, para los cuales D = O, se
pueden examinar directamente, por medio de conjuntos de nivel, secciones o cualquier otro mé­
todo. Dichos puntos críticos se llaman degenerados; los métodos desarrollados en este capítulo
no nos dan una idea del comportamiento de una función cerca de un punto de este tipo, por lo
que hay que estudiar cada punto por separado.
Localizar los puntos de máximo y mínimo relativos, y los puntos de silla de la
función
f(x,y)=log(x2+/+1).
Solución
En primer lugar tenemos que localizar los puntos críticos de esta función; por consiguiente, de
acuerdo con el Teorema 3, calculamos
2x
V'f(x, y) =
2+2
,
1i+
X
V-r
+ 1j.
Así,V'j(x,y)=Osiysólosi(x,y)=(0,0),demodoqueelúnicopuntocríticodefes(0,0).
Ahora debemos determinar si se trata de un punto de máximo, de mínimo o de silla. Las deriva­
das parciales segundas son
y:
Por lo tanto,
a2¡ 2(x2+l+
3x2
a2j 2(x2 + y2 + l) - (2y)(2y)
al
(x2+l+1)2
éij -2x(2y)
axcy (x2+l+1)2·
�"¡
�"r
e� (0,O)=2 =e�o(0,0)
ay-
y

21 O Cálculo vectorial
lo que lleva a
D=2·2 =4>O.
Como (liJ/c:l-)(0, O) >O, concluimos, por el Teorema 6, que (0, 0) es un punto de mínimo lo­
cal. (¿Se puede mostrar esto a partir tan sólo de que log t es una función creciente en t > (}'))
La gráfica de la función g
(
x, y) = 1 /xy es una superficie S en iR3 Hallar los
puntos de S más cercanos al origen (0, O, 0). (Véase la Figura 3.3.6 .)
15
10
o
Solución
Figura 3.3,6. La superficie z = 1/zyen el
primer cuadrante. (L.as figuras
en los otros cuadrantes son
similares; no obstante, z < O en
el segundo y en el cuarto
2
cuadrante.)
Cada punto de S es de la forma
(
x, y, 1/xy). La distancia de este punto al origen es
d
(
x,y)= x2+/+
\
Como es más fácil trabajar con el cuadrado de d, tomamos f
(
x,y)=x2+l+(l
que
tendrá el mismo punto de mínimo. Nótese que f
(
x,y) se hace muy grande a medida quex ey se
hacen cada vez mayores; J
(
x,y) también se hace muy grande cuando
(
x,y) se acerca a los ejes x
oy, donde f no está definida; así pues, f tiene que alcanzar un mínimo en algún punto crítico.
Los puntos críticos están determinados por:
a¡
2
-=2x-�=O,
CX
Xy
a¡
2
-;
;-
=2y-'
2
=O,
oy
yx

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
211
esdecir,x"/-1 =Oyx"/-l =O.Delaprimeraecuaciónobtenemos/=
y, al sus-
tituir esto en la segunda ecuación, obtenemos
Así, x = ± 1 e }' = ± l. de donde se sigue que f tiene cuatro puntos críticos, a saber, (l. 1),(1,
-1),(-1, 1) y(-1, -1). Nótese que f toma el valor 3 en todos estos puntos, de modo que
todos ellos son mínimos. Por consiguiente, los puntos de la superficie más cercanos al origen
son(l.l, l).(l. -1, 1),(-l, l, -l) y(-1. l, l),y la distancia mínima es'-/í3.¿Es esto
consistente con la gráfica de la Figura 3.3.6?
Analizar el comportamiento de z = x5y+xi +xy en sus puntos críticos.
Solución
Las derivadas parciales primeras son
y
3z
4
s
4
4
-;.;-
-
= Sxy+y+y=y(Sx+y+l)
ex
8z
4
-:
::-
= x(Sy +x
4
+ 1).
oy
Los tém1inos 5x
4
+/+1 y5y4+x
4
+ 1 son siempre mayores o iguales que 1, de donde se
deduce que el único punto c1itico es (0, 0).
y
Las derivadas parciales segundas son
�)
crz
4
4
--= Sx+5v+1.
oxoy
.
Así, D = -l en (0, 0), de modo que (0, O) es un punto de silla no degenerado y la gráfica de z
cerca de (0, O) tiene el mismo aspecto que la gráfica de la Figura 3.3.3.
Máximos y mínimos globales
Terminamos esta sección con un estudio de la teoría de máximos y mínimos absolutos o globa­
les de funciones de varias variables. Desgraciadamente, en general es mucho más difícil locali­
zar los máximos y mínimos absolutos para funciones de IR" que para funciones de una variable.

212
Cálculo vectorial
DEFINICIÓN Supongamos que f: A --> � es una función definida en un conjunto A de �2 o
.
Se dice que un punto x0 E A es un punto de máximo absoluto (o de mínimo absoluto) de
f si f(x) :o;_f(x0) [o f(x):;? f(x0)] para todo x E A.
En cálculo de una variable se aprende -aunque con frecuencia no se demuestre- que toda
función continua sobre un intervalo ceJTado 1 alcanza su valor máximo (o mínimo) absoluto en
algún punto x0 de /. En �n también se cumple una generalización de este resultado teórico. Es­
tos teoremas garantizan que el máximo o el mínimo que uno busca realmente existen; por consi­
guiente, la búsqueda no será en vano.
DEFINICIÓN Se dice que un conjunto D E �n es acotado si existe un número M > O tal
que llxll < M para todo x E D. Un conjunto es cerrado si contiene todos los puntos de su
frontera.
Así, un conjunto está acotado si está estrictamente contenido en alguna bola (que puede ser
grande). La generalización adecuada del teorema de una variable sobre máximos y mínimos es
el siguiente resultado, que enunciamos sin demostración.
TEOREMA 'l: ;J'eo¡:em� de e:g:i�t�ncia d�'máxim:?s ymínilnos glÓbaÍes .. Sea p ce¡-rado
y acotado en JH:n, y sea f:. D -7!R continua. Entcmces existen_ pl}ntos Xo! x1 deJ' donde f·
alcanza sus valore� máximo y inínimo.
·
·
·
·
·
·
·
•
·
·
·
•··.
Dicho de manera simple, x0 y x1 son puntos donde f alcanza su valores mayor y menor.
Como en el cálculo de una variable, estos puntos no tienen por qué ser únicos.
Supongamos ahora que D = U u é!U, donde U es abierto y eU es su frontera. Si D e �2•
supondremos que é!U es una curva suave a trozos; es decir, D es una región limitada por una
familia de curvas suaves -por ejemplo, un cuadrado o los conjuntos que se muestran en la
Figura 3.3 .7.
y
y
D=uuau
"-
-...
--au
-+-
----------------------__.>
X
. Figura 3�3,7. .. D = U u e U. Dos ejemplos de regiones cuya frontera es una curva suave a trozos.
Si Xo y X¡ están en U, sabemos, por el Teorema 4, que son puntos críticos de f. Si están en au
y é!U es una curva suave (esto es, la imagen de una trayectoria suave e con e' =!= 0), entonces
son puntos de máximo o de mínimo de f considerada como una función sobre é!U. Estas

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
213
observaciones proporcionan un método para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de f
en una región D.
Estrategia para hallarlos puntos de máxinto y mínimo absohttos en. \lna región c:Ó�
frontera Sea f una función continua de dos variables. defmida í?lluna región D en !R2 e��
náda y acotada, que está lirúitada por una curva cenada suave, Paia hallar el máximo y el·
mínimo absolutos de en D:
·
··
·
··
i) Localizar todos los. punt()s.críiicosde.jen D.
ü)
üi) üÍ.lcular elvalor de f en todos. estos puntos críticos:
iv) Comparar to<ios estos valores y. �eleccio�Ír
r
el mayor y el me11or.
Si D es una región limitada por una familia de curvas suaves (como lo es un cuadrado), se
sigue un procedimiento análogo, pero incluyendo en el paso iii) los puntos donde se unen las
curvas (en el caso del cuadrado, las esquinas).
En estos momentos el estudiante dehelia estar ya familiarizado con todos estos pasos, salvo
el ii). Una forma de llevar a cabo el paso ii) en el plano es hallar una parametrización suave de
cD; esto es, hallar una trayectoria e: 1--> aD, donde 1 es algún imervalo, cuyo rango sea DD. A
continuación se considera la función de una variable t -->.f(c(t)), donde tE/, y se localizan los
puntos de máximo y de mínimo t0, t1 E 1 (¡recuerde revisar los extremos del intervalo!). Enton­
ces c(t0), c(t1) serán puntos de máximo y mínimo de f como función definida en aD. Otro mé­
todo para hacer frente al paso ii) es el método de los multiplicadores de Lagrange, que presenta­
remos en la siguiente sección.
Hallar los valores máximo y mínimo de la función .f(x, y) = x2 + l- x
-y+1
eneldiscoDdefinidopor x2 +l�1.
Solución
i) Para hallar los puntos críticos hacemos af¡ax = ef¡ay= O. Así, 2x - 1 = O, 2y · -
l=O, y
por lo tanto (x, y)=C4,4)es el único punto crítico en el discoabiertoD={(x, y)1x2+/< 1 }.
ii) La frontera cD se puede parametrizar por c(t)= (sen t, cos t), O � t � 2n. Así,
. f(c(t))= sen
2
t+cos
2
t-sent-cost+1=2 -sent-cost=g(t).
Para hallar los puntos críticos de f en aD, basta con localizar el máximo y el mínimo
de g. Ahora bien, g'(t)= O sólo cuando:
sen t= cos t,
esto es, cuando
nSn
t=--
4'4
.
Por consiguiente, los candidatos para puntos de máximo y mínimo de f en í3D son los
puntos c(n/4), c(Sn/4) y los extremos c(O) = c(2n).

Z14
Cálculo vectorial
iii) Los valores de f en los puntos críticos son: fC&, �) = & del paso i) y. del paso ii),
y
J2J2)�7
,.
2'2
�-
+ V2•
f(c(O)) = f(c(2n)) = f(O, 1) = l.
,.
¡-
iv) Comparando todos los valores t 2- ,j2, 2 + .J2, l, está claro que el mínimo absoluto
se alcanza en (1/2, 1/2) y el máximo absoluto en ( - JÍ/2, � JÍ/2).
En la Sección 3.4 consideraremos una generalización de esta estrategia a regiones D de IR"
para hallar el máximo y el mínimo absolutos.
En los ejercicios del 1 al 16, hallar los puntos críticos de la función dada y determinar cuáles son puntos
de máximo local, de mínimo local o de silla.
L f(x, y)=x2 - l+xy.
2. f(x, y)=x2+l - Jt)'.
3. f(x,y)=x2+l + 2xy.
4. f(x, y)=x2+l+3
.
xy
.
5. f(x, y)=e2'_,2 '"2.
6. f(x, y)=x2 - 3
.
xy+Sx - 2y+6/+8.
7. f(x, y)=3x2+2.xy+2.x+l+y+4.
8. f(x. y)=sen (x2+/) [considerar sólo el punto crítico (0, 0)].
9. f(x, y)=cos (x2+/) [considerar sólo los tres puntos críticos (0, 0), (�. Jrr/2) y (0, j;)].
10. f(.x,y)=y+xsen y.
11. f(
.
x, y)=ex COS y.
12. f(.x, y)=(
.
x-y)(xy-1).
11
13. f(.x, y)=xy+-+
.
X
y

14. f(x, y) = log (2 + senxy).
15. f(x, v) =xsenv.
16. f(x,y)=(x+y)(xy+1).
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
21S
17. Hallar los puntos de máximo y mínimo locales para z = (x
2
+ 3>?)e1-x2 "2 (véase la Figura 2.1 .15).
18. Seaf(x,y)=x
2
+ l + kxy. Si imaginamos la gráfica cambiando a medida que se incrementa k, ¿en
qué valores de k cambia cualitativamente su forma?
19. Un examen de la función f: n;R2--> R (x, .)') -->(y � 3x
2
)(v�x
2
) nos dará idea de la dificultad para
hallar condiciones que garanticen que un punto crítico es un punto de extremo relativo cuando falla
el Teorema 6 10. Mostrar que
a) el origen es un punto crítico de f;
b) f tiene un mínimo relativo en (0, 0) en cada recta que pasa por (0. O); es decir. si g(t) = (at, bt),
entonces f o g: n;R --> n;R tiene un mínimo relativo en O para cualquier elección de a y b;
e) el origen no es un punto de mínimo relativo de f
20. Seaf(x,y)=Ax
2
+ E donde A y E son constantes. ¿Cuáles son los puntos críticos de f? ¿,Son pun­
tos de máximo local o de mínimo local?
21. Seaf(x,y)=x
2
�
2xy + ./. Aquí D = O. ¿Podría decir si los puntos críticos son de mínimo o máxi­
mo local, o de silla?
22. Hallar el punto del plano 2x � y + 2z = 20 más próximo al origen.
23. Demostrar que una caja rectangular de volumen dado tiene una superficie mínima cuando es un cu­
bo.
24. Demostrar que el paralelepípedo rectangular con una superficie dada y un volumen máximo es un
cubo.
25. Escribir el número 120 como suma de tres números de modo que la suma de los productos tomados
de dos en dos sea máxima.
26. Mostrar que si (x0, y0) es un punto crítico de una forma cuadrática f(x, y) y D < O, entonces hay
puntos (x, y) próximos a (x0, y0) en los cuales f(x, y)> f(x0, y0) y, de manera análoga, puntos para
los Ct1ales f(x, y) < f(xo, Yol-
27. Determinar la naturaleza de los puntos ciiticos de la función:
f(x,y,z)=x
2
+/+z2+xy.
28. Sea n un entero mayor que 2 y sea f(x, y) = ax" + cy", donde ac #O. Determinar la naturaleza de
los puntos críticos de f
29. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f(x, y) = x
3
+l�6xy+6x+3y.
10
Este interesante fenómeno fue señalado por primera vez por el famoso matemático Giuscppe Peano (1858-1932).
En el Ejercicio 41 se da otra «patología>> curiosa.

216
Cálculo vectorial
30. Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x. y) = (x2 + y2)4 en el disco x2 + l :( l. (No
tiene que usarse cálculo.)
31. Repetir el Ejercicio 30 para la función f(x, y) = x2 + xy + i.
32. Una curva e en el espacio está definida implícitamente en el cilindro x2 + y2 = 1 por medio de la
ecuación adicional x2 - xy + l - z2 = l. Hallar el punto o puntos de e más cercanos al origen.
33. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos para f(x, y) = sen x + cos y en el rectángulo R defini­
doporO:(x:(2rr,O:(y:(2rr.
34. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos para la función f(x, y) = xy en el rectángulo R defini-
dopor-1:(x:(1, 1:(y:(l.
35. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f(x, y) = xy + 1/x + 8/y.
En los ejercicios del 36 al 40, D denota el disco unidad.
36. Sea u una función e2 en D «estrictamente subarmónica»; esto es, satisface la siguiente desigualdad:
V2u =
+
> O. Mostrar que u no puede tener un punto de máximo en D\3D (con-
junto de puntos de D que no están en 3D).
37. Sea u una función armónica en D; esto es, 'V2u = O en D\oD con u continua en D. Mostrar que si u
alcanza su valor máximo en D\oD, también lo alcanza en 3D. Este hecho se denomina en ocasiones
«principio del máximo débil» para funciones annónicas. [INDICACIÓN: Considerar V2(u + sex). ¡; > O.
Se puede usar el siguiente hecho, que se demuestra en textos más avanzados: dada una sucesión de
puntos {p,), n = 1, 2, ... , en un conjunto cerrado y acotado A, en IR2 o IR3, existe un punto q tal que
todo entorno de q contiene al menos un elemento de {Pnl-l
38. Parafraseando el Ejercicio 36, definir el concepto de función u estrictamente superarmónica en D.
Mostrar que u no puede tener un punto de mínimo en D\oD.
39. Sea u armónica en D, como en el Ejercicio 37. Mostrar que si u alcanza su valor mínimo en D\JD,
también lo alcanza en 3D. Este hecho se denomina en ocasiones «principio del mínimo débil» para
funciones armónicas.
40. Seae/>:oD-->IRcontinuayseaTunasoluciónenDde'V2T=O,continuaenD,conT=4>en3D.
a) Utilizar los Ejercicios 36 a 39 para mostrar que dicha solución, si existe, debe ser única.
b) Supongamos que T(x, y) representa una función de temperatura independiente del tiempo, siendo
4> la temperatura en la frontera de una placa circular. ¿Podría dar una interpretación física del
p1incipio enunciado en el apartado a)?
41. a) Sea f una función e1 en la recta real IR. Supongamos que f tiene exactamente un punto crítico
x0, que es un punto de mínimo local estricto de f. Mostrar que x0 es también un punto de míni­
mo absoluto de f, esto es, que f(x) � f(x0) para todo x.
b) El siguiente ejemplo muestra que la conclusión de la parte a) no se cumple para funciones de
más de una variable. Sea f: IR2 --> IR definida por
i) Mostrar que (0, 0) es el único punw crítico de f y que es un punto de mínimo local.
ii) Argumentar de manera informal que .f no tiene mínimo absoluto.

3.4.
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
217
42. Supongamos que un pentágono está compuesto por un rectángulo debajo de un triángulo isósceles
(véase la Figura 3.3.8). Si la longitud del perímetro está dada, hallar la máxima área posible.
e
X
y
Figura s::J.s.. ' Maximizar el área para un perímetro dado.
Extremos condicionados y multiplicadores
de Lagrange
Frecuentemente se desea maximizar o m1mmizar una función sujeta a ciertas restricciones o
condiciones adicionales. Por ejemplo, podríamos necesitar maximizar f(x, y) sujeta a la con­
dición de que x
2
+ l = 1 ; esto es, que (x, y) esté en la circunferencia de radio uno. Con mayor
generalidad, podríamos tener que maximizar o minimizar f(x, y) sujeta a la condición adicional
de que (x, y) satisfaga también la ecuación g(x, y) = e, donde g es alguna función y e es una
constante (en el ejemplo anterior, g(x, y) = x
2
+y2ye = l).Elconjuntodedichos(x,y)esuna
curva de nivel de g.
El propósito de esta sección es desarrollar algunos métodos para manejar esta clase de pro­
blemas. En la Figura 3.4.1 dibujamos la gráfica de una función f(x, y). En este dibujo, el máxi­
mo de f parece estar en (0, 0). Sin embargo, supongamos que no estamos interesados en este
máximo, sino sólo en el máximo de f(x, y) cuando (x, y) pertenece a la circunferencia unidad;
esto es, cuando x2 + y2
= l. El cilindro sobre x
2
+l=1intersecalagráficadez=f(x,y)en
una curva que está contenida en esta gráfica. El problema de maximizar o minimizar f(x, y)
sujeta a la restricción x
2
+ l = 1 equivale a encontrar el punto en esta curva donde z es mayor
o menor.
X
z = f(x, y) sujeta
a la restricción
x2+y2=!
(Punto en x2 + y2 = 1 donde .f se maximiza
Figura 3.4:L Significado geométrico
de maximizar f sujeta a la
restricción x2 +y 2 1.

218
Cálculo vectorial
El método de los multiplicadores de Lagrange
Engeneral,seanf:UeIR" -.IRyg:UeIR" -> IRfuncionesC1dadas,yseaSelconjuntode
nivel de g con valor e (recordemos que éste es el conjunto de puntos x E IR" con g(x) = e).
Cuando f se restringe a S, de nuevo tenemos el concepto de máximo o mínimo local (extre­
mos locales), y un máximo absoluto (el mayor valor) o un mínimo absoluto (el menor valor)
debe ser un extremo local. El siguiente método proporciona una condición necesaria para que
haya un extremo condicionado:
TEOREMA 8: El método de los multiplicadores de Lagrange Sean . .f: U e IR" y
g:-U e IR"-> IRfunciones C1 con valores reales. Sean.xo.E U y g(Xo) = e, y sea S el conjunto
de. nivelde g con \' alor e (refordemos que éste es el conjumo de los pu11tÜs x E IR" que satis-
.faceng(x) ""'e), Supongamos que Vg(Xa} #O. .
.·
.•.• ·. .
··
·
.
•
$ifiS, que deuotá «.frei¡tringida a S>>', alcal12:a.en x0 un "�''�""�v
entonces existe up número real Xtal que
·
En general, un punto x0 donde se cumple la Ecuación (1) se dice que es un punto crítico
de f[S.
DEMOSTRACIÓN No hemos desarrollado técnicas suficientes para dar una prueba comple­
ta, pero podemos dar los puntos esenciales. (Las cuestiones técnicas adicionales necesarias se
tratan en la Sección 3.5 y en el suplemento de Internet.)
En la Sección 2.6 aprendimos que para n = 3 el espacio tangente o plano tangente a S en
x0 es el espacio ortogonal a Vg(x0). Para n arbitraria podemos dar la misma definición de
espacio tangente a S en x0. Esta definición se puede motivar, considerando tangentes a
trayectorias c(t) contenidas en S, como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(O) = x0, en­
tonces c'(O) es un vector tangente a S en x0; pero
d
d
--
g(c(t)) =- e = O,
dt
dt
y por otra parte, por la regla de la cadena,
ti_ g(c(t)) 1 = Yg(x0) . c'(O),
dt
r�o
de manera que Yg(x0) • c'(O) = O; es decir, c'(O) es ortogonal a Vg(x0).
Si JI S tiene un máximo en x0, entonces, j(c(t)) tiene un máximo en t = O. Por cálculo de
una variable, dj(c)(t))/dtl,�o = O . Entonces, por la regla de la cadena,
O = ti_ j(c(t)) 1 = Yf(x0) • c'(O).
dr
r�o

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
219
Así, 'Vj(x0) es perpendicular a la tangente a cualquier curva en S y por tanto es perpendicular
al espacio tangente a S en x0. Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una
recta. 'Vj(x0) y 'Vg(x0) son paralelos. Dado que 'Vg(x0) =F O, se deduce que 'Vf(x0) es un múl­
tiplo de 'Vg(x0), que es la conclusión del teorema.
Extraigamos algo de geometría de esta prueba.
TEOREMA 9 Si al restringir f a Una . SUpf:rficie S, tiene. unmáxinío. o un mfnimo. en. Xo�
entonces V/(Xo) és perpendicular a S en x0 (véase la Figura 3.4.2):
·
·
Grad j\x0• y0. z0) = 'i7f(x0• Yo· :0)
/ Plano tangente a S
/ / Superficie S
Figura 3.4�2. La geometría de los extremos
condicionados.
Estos resultados nos indican que, con el fin de hallar los extremos condicionados de f, tene­
mos que buscar entre aquellos puntos x0 que satisfagan las conclusiones de estos dos teoremas.
Daremos varios ejemplos de cómo usar cada uno de ellos.
Cuando se usa el método del Teorema 8, debemos buscar un punto x0 y una constante A
llamada multiplicador de Lagrange, tal que 'Vf(x0) = ),\7g(x0). Este método es de una naturale­
za más analítica que el método geométrico del Teorema 9. Sorprendentemente, Euler introdujo
estos multiplicadores en 1744, ¡unos cuarenta años antes que Lagrange!
La Ecuación (1) dice que las derivadas parciales de f son proporcionales a las de g. Hallar
los puntos x0 donde eso ocurre significa resolver las ecuaciones simultáneas
a¡
(X¡,
Xn)=),
ag
(x¡,
xn)
ax¡
..
.
,
ax¡
... ,
a¡
(x¡,
x,) =A.
ag
(x¡,
xn)
Ox2
... ,
ax2
...
,
(2)
a¡
(X¡,
x,) =A.
ag
(X¡,
xn)
�
.
.
.,
axn
..
.
,
oxn
g(X¡, . .., xn) =e

220
Cálculo vectorial
enx1, •••, X11y),.
Otra manera de considerar estas ecuaciones es así: pensamos en / como en una variable
adicional y formamos la función auxiliar
h(x�> ... , x, ).)=f(xb ..., X11)- l[g(x1, ..., X11)- e].
El teorema de los multiplicadores de Lagrange dice que para hallar los puntos de extremo de
fl S debemos examinar los puntos críticos de h. Éstos se encuentran resolviendo las ecuaciones
ah a¡ .ag
0=-=- -Ji
OXj
OXj
' CXj
eh
O=-;
;-::
= g(x1,
Ole
que coinciden con las Ecuaciones de (2) anteriores.
Xn)- e
(3)
Más adelante en esta sección, en el Teorema 10, daremos criterios que usan las derivadas
segundas para determinar si los puntos Son de máximo o de mínimo, análogos a los de la Sec­
ción 3.3. No obstante, en muchos problemas es posible distinguir entre máximos y mínimos por
observación directa o métodos geométricos. Como con frecuencia esto es más sencillo, conside­
raremos primero ejemplos de este tipo.
Sea S e IR:2 la recta que pasa por ( l, O) con una inclinación de 45°, y sea
--+IR:, (x, y) --+ x2 + /. Hallar los extremos de JI S.
Solución
Aquí S= {(x, y)Jy- x- l =0}, y por consiguiente hacemos g(x, y)=y- x- 1 y e= O. Te­
nemos Vg(x, y)= - i + j # O. Los puntos de extremo relativo de JI S deben hallarse entre
aquellos puntos en que Vf es ortogonal a S, esto es, en rectas con una inclinación de - 45°
L
y
S
FigÍlrli a)ta.' La geometría asocíada con la
búsqueda de los extremos de
f(x. y) = x2 + y2 restringida a
S= {(x.y)[y-x-1 =0}.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
221
Pero 'Vf(x, y) = (2x, 2y), que tiene la pendiente deseada tan sólo cuando x = -y o cuando
(x, y) está en la recta L que pasa por el origen con una inclinación de - 45". Esto puede suceder
en el conjunto S sólo en el único punto en el que se intersecan L y S (véase la Figura 3.4.3). Las
curvas de nivel de f indican que este punto ( - 1/2, 1/2) es un punto de mínimo relativo de fl S
(aunque no de f).
Obsérvese que en este problema f tiene un mínimo en S, pero no un máximo.
Sea f: IR;2-> IR, (x, y) -+ x2 - y2 y sea S la circunferencia de radio uno centrada
en el origen. Hallar los extremos de fl S.
Solución
El conjunto S es la curva de nivel de g con valor l, siendo g:
--.
.
IR;,(x,y)-+x2+ .Comoya
estudiamos ambas funciones en ejemplos anteriores, conocemos sus curvas de nivel; se mues­
tran en la Figura 3 .4.4. En dos dimensiones, la condición de que 'Vf = ),'\lg en x0, esto es, que
'Vfy 'Vg sean paralelos en x0, es la misma que pedir que las curvas de nivel sean tangentes en x0
(¿por qué?). Así, los puntos de extremo de fl S son (0, ± l) y ( ± 1, 0). Evaluando f, hallamos
que (0, ±1) son puntos de mínimoy (±1, 0) de máximo.
y
f= -1
f=o
f=1
g=1
�Figuiaii4:..e La geometría asociada con el problema
de hallar los extremos de x2 - y
2en
S={(x.y){x2 +y2
= 1].
Resolvamos el problema también analíticamente, por el método de Jos multiplicadores de
Lagrange. Claramente,
'Vf(x, y)=(
of
, �f)= (2x, -2y)
ex ay
y
'Vg(x, y) = (2x, 2y).
Nótese que 'Vg(x, y) =1= O sí x2 + l = l. Así, de acuerdo con el teorema de los multiplicadores
de Lagrange, tenemos que hallar un }, tal que
(2x, -2y)=-1.(2x,2y) y (x,y)ES,
í.e., x2+l=l.
Estas condiciones producen tres ecuaciones, que se pueden resolver en las tres incógnitas x, y, y
A.De2x= J2xconcluimosquex=Oo},=l.Six= O,entoncesy= ±1y -2y=-1.2yimpli­
ca que ),= - l. SíA=1, entonces y=Oyx= ±l.Así, obtenemos lospuntos (0, ±l)y(±l,0),

222 Cálculo vectorial
como antes. Como hemos mencionado, este método sólo localiza puntos de extremo potencia­
les; para determinar si son puntos de máximo o de mínimo, o ninguna de las dos cosas, habrá
que usar otros medios, tales como argumentos geométricos o el criterio de la derivada segunda
que se presenta más adelante
11.
Maximizar la función f(x, y, z)=x + z sujeta a la restricción x2 + y2 + z2= l.
Solución
Sabemos, por el Teorema 7, que la función f restringida a la superficie de la esfera unidad
x2 + / + z2=1 tiene un máximo (y también un mínimo). Para hallar el máximo utilizamos
nuevamente el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Buscamos }. y (x, y, z) tales que
1 = 2xJ.,
o 2y),
y
y
De la primera o de la tercera ecuación vemos que i. of O. Así, de la segunda ecuación obtenemos
y=O. De la primera y de la tercera ecuación, x=z, y por tanto de la cuarta, x = ± l/Jl=z.
Por consiguiente, nuestros puntos son (1jj2, O, l j.,jl) y (--1¡)2, O, -1/Jl). Comparando
los valores de f en estos puntos, podemos ver que el primer punto produce el máximo de f
(sometida a la restricción) y el segundo el mínimo.
Supongamos que entre todas las cajas rectangulares con una superficie de 1O
metros cuadrados hay una con el mayor volumen posible. Hallar sus dimensiones.
Solución
Six,y,yzsonlaslongitudesdesuslados,x�O,y�O,z�O,yelvolumenesf(x,y,z)=xyz.
La restricción es 2(xy + xz + yz)= 10; es decir, .xy + xz + yz = 5. Así, las condiciones del
multiplicador de Lagrange son:
yz =),(y + z)
xz =),(x + z)
.xy =).(y+x)
xy+xz+yz=5.
En primer lugar. x # O, pues x=O implica yz=5 y O=iz, de modo que }, = O y obtenemos la
ecuaciónyz=O,quecontradice a laanterior. De manera análoga, y#O, z #O, x + y#O.Al
eliminar ;, de las primeras dos ecuaciones se tiene yzj(y + z)=xz/(x + z), lo cual da x=y; aná­
logamente, y=z. Sustituyendo estos valores en la última ecuación, obtenemos 3x2=5 o
x = J5i3. Así, llegamos a la solución x=y=z=J5i3, y xyz=(5/3)3¡2. Esta forma (cúbica)
debe por lo tanto maximizar el volumen, suponiendo que exista una caja de volumen máximo.
11
En estos ejemplos Vg(x0) # O en la superficie S, tal y como exige el teorema de los multiplicadores de Lagrange.
Si Vg(x0) fuera cero para algún x0 en S. entonces habría que incluirlo entre los posibles puntos de extremo.

·¡8JPítu)9 3. Derivadasdi""orG<;llc�.\lperior: máximos y mínimos
223
Existencia de soluciones
Debemos hacer notar que la solución del Ejemplo 3.24 no demuestra que el cubo sea la caja
rectangular de mayor volumen con una superficie dada; prueba que el cubo es el único candida­
to posible para un máximo. Más adelante esbozaremos una demostración de que en realidad es
el máximo. La distinción entre mostrar que hay sólo una solución posible al problema y mostrar
que, de hecho, existe una solución, es una sutileza que muchos (incluso grandes) matemáticos
han pasado por alto.
La reina Dido (aprox. 900 a.C.) se dio cuenta de que entre todas las regiones planas con un
perímetro fijo, el disco es la región de área máxima. No es difícil demostrar este hecho bajo el
supuesto de que existe una región de área máxima: sin embargo. demostrar que esa región de
área máxima existe es un asunto (difícil) bastante diferente. No fue hasta la segunda mitad del
siglo diecinueve que el matemático alemán Weierstrass dio una demostración completa.
Consideremos una situación no matemática paralela. Pongámonos en el lugar de Lord Peter
Wimsey, famoso detective creado por Dorothy Sayers:
«Sin duda>> , dijo Wimsey, «pero si piensas que esta identificación hará de tu vida una dulce
y maravillosa canción, estás equivocado...
Ya que hemos dedicado una gran cantidad de
tiempo y pensamientos al caso, bajo la hipótesis de que fue un asesinato, conviene saber que
la hipótesis es correcta.>>
Wímsey ha encontrado el cuerpo de un hombre muerto, y después de algún tiempo ha en­
contrado diez sospechosos. Está seguro de que nadie aparte de los sospechosos puede ser el ase­
sino. Al reunir todas las pruebas y verificar las coartadas, reduce el número de sospechosos has­
ta que, finalmente, sólo queda el mayordomo; por lo tanto, ¡él es el asesino' Pero esperen, Peter
es un hombre muy cauteloso. Al verificar todo una vez más, descubre que el hombre se suicidó;
así que no hay asesinato. Véase el caso: no basta con hallar un claro y único sospechoso en un
caso criminal en el que se supone que hubo asesinato; hay que probar que realmente hubo un
asesinato.
Lo mismo vale para nuestro cubo; el hecho de que sea el único candidato posible para un
máximo no demuestra que sea un máximo. (Para más información, véase The Parsimonious
Universe: Shape and Form in the Natural \Vorld. por S. Hildebrandt y A. Tromba, Springer­
Verlag, Nueva York/Berlín, 1995.)
La dificultad para demostrar que f(x , y, z) = xyz realmente tiene un máximo se encuentra
en el hecho de que f es una función continua que está definida en la superficie no acotada
S: xy + xz + yz = 5, y no en un conjunto acotado que incluya su frontera, en cuyo caso podría­
mos aplicar el Teorema 7 de la Sección 3.3. Ya hemos visto problemas de esta clase para fun­
ciones de una y dos variables.
La manera de demostrar que f(x, y, z) = xyz � O tiene, en efecto, un máximo en
xy+yz+xz=5esmostrarquesix,yoztiendenaoo,entoncesf(x,y,z)--+O.Apelandoal
Teorema 7, podemos entonces concluir que el máximo de f en S tiene que existir (el estudiante
deberá completar los detalles). Así, supongamos que (x, y, z) está en S y x--+ w, entonces y-+ O
y z --.O (¿por qué')). Multiplicando la ecuación que define S por z, obtenernos la ecuación
xyz+xi+yz2
= 5z-+O cuando x-+c.G. Como x, y, z�O,xyz=f(x, y, z)--+O.Análoga­
mente, f(.1:, y, z) -+O si y o z tienden a x. Por consiguiente, tiene que existir una caja de volu­
men máximo.
Puede resultar útil tener algunas directrices generales para abordar problemas de máximos
y mínimos con restricciones. En primer lugar, si la superficie S es acotada (por ejemplo, un

224
Cálculo vectorial
elipsoide), entonces f tiene un máximo y un mínimo en S. (Véase el Teorema 7 de la sección
anterior.) En particular, si f tiene tan sólo dos puntos que satisfacen las condiciones del teorema
de los multiplicadores de Lagrange o del Teorema 9, entonces uno de ellos debe ser un punto de
máximo y el otro de mínimo. Sin embargo, si hay más de dos puntos tales, algunos pueden ser
puntos de silla. Asimismo, si S no es acotada (por ejemplo, si es un hiperboloide), entonces f
no tiene por qué tener máximos o mínimos.
Varias restricciones
Si una superficie S está definida por varias restricciones, a saber,
g¡(X¡,
x"H' }
gix¡,
x,) =c2
(4)
x,) =ck
,
gk(xb
entonces el teorema de los multiplicadores de Lagrange se puede generalizar como sigue: si f
tiene un máximo o un mínimo sobre S en x0, deben existir constantes ..1.1, •.., ),k tales que
12
(5)
Este caso se puede demostrar generalizando el método utilizado en la demostración del teorema
de los multiplicadores de Lagrange. Demos un ejemplo de cómo se utiliza esta formulación más
general.
PI'"���.�.����
�
�
·
·�� Hallar Jos puntos de extremo de f(x, y, z) = x + y + z sujeta a las dos condicio­
nesx2+l=2yx+z=l.
Solución
Aquí hay dos restricciones:
g1(x,y,z)=x
2
+l-2 =O
y
g2(x,y,z)=x+z-l =O.
Así, debemos encontrar x, y, z, ),1 y ).2 tales que
g1(x, y, z) =O
y
gix, y, z) =O.
12
Al igual que con la hipótesis Vg(Xo) ¡lo O en el teorema de los multiplicadores de Lagrange, aquí tenemos que
suponer que los vectores Vg1(x0), ... , Vgk(x0) son linealmente independientes; es decir, ningún Vg;(x0) es combinación
lineal de los otros Vg1{X0), j '1 i.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
225
Calculando los gradientes e igualando componentes, obtenemos
=),1 •2x+/c
2
·1,
= A.1
• 2y+}2·O,
l=le¡ .o+).
2
.
1,
y
x+z=I.
Éstas son cinco ecuaciones para x, y, z, i1 y ),
2
.
De la tercera ecuacwn )
2
=1,ypor
tanto 2x)1 = O, 2y),1 = l. Como la segunda implica A1 =1 O, tenemos x= O. Por consiguiente,
y= ± v�f2 y z= l. Por lo tanto, los posibles puntos de extremo son (0, ± fi, 1). Una simple
inspección muestra que (0, fi, 1) da un máximo relativo y (0, - fi, l) un mínimo relativo.
La condición x2+/=2 implica que x e y tienen que estar acotadas. La condición
x + z= 1 implica que también z está acotada. Se deduce que el conjunto S dado por las restric­
ciones es cerrado y acotado. Del Teorema 7 se sigue que f tiene un máximo y un mínimo en S,
que se deben alcanzar en (0, fi, 1) y (0, - fi, 1), respectivamente.
El método de los multiplicadores de Lagrange nos proporciona otra herramienta para encon­
trar los puntos de máximo y mínimo absolutos de funciones diferenciables sobre regiones acota­
das en IP12 (véase la estrategia para encontrar puntos de máximo y mínimo absolutos descrita en
la Sección 3.3).
Hallar el máximo absoluto de f(x, y)=.xy en el disco unidad D, donde D es el
conjunto de puntos (x, y) con x2+y2 � l.
Solución
Sabemos, por el Teorema 7 de la Sección 3.3, que el máximo absoluto existe. Hallemos en primer
lugar todos los puntos críticos de f en el conjunto U de los puntos (x, y) tales que x2+/ < l.
Como
a¡
-;
;-
=y
ox
y
a¡
�=x,
oy
(0, O) es el único punto crítico de f en U. Ahora consideramos f en la circunferencia uni­
dad, la curva de nivel g(x, y)= 1, donde g(x, y)=x2+y2
.
Para localizar los puntos de máxi­
mo y mínimo de f en C, escribimos las ecuaciones de los multiplicadores de Lagrange:
Vf(x, y)= (y, x)= !c'Vg(x, y)=),(2x, 2y) y x2+l= l. Reescribiéndolas componente a com­
ponente, obtenemos
Así
y=2/.
.
x,
X=2)
,
y,
x2+/=l.

226 Cálculo vectorial
r
�
o/.= ±1/2ey=±x, loque significa que x2 + x2 =2.� =1 o x= ±l/�2, y= ±1/-}2. El
resultado de nuestro cálculo es que hay cuatro candidatos en e para puntos de máximo y míni­
mo absolutos, a saber,
(11)
----
,.-'
,..-
-
'
-)2 -)2
El valor de f tanto en ( -1/)l,
-
l/-}2) como en 0/fi, 1/fi) es 1/2. El valor de f en
--
1
1
1
( -l/)2, 1/�2) y (1/�2, -1/�2) es -1/2, y el valor de f en (0, 0) es O. Por consiguiente, el
máximo absoluto de f es 1/2 y el mínimo absoluto es -1/2, y ambos se alcanzan en C. En
(0, 0), ay¡a_� =O, 82fjcy" =O y 82{/cxcy = 1, de modo que el discriminante es - l y por tan­
to (0, O) es un punto de silla.
Hallar el máximo y el mínimo absolutos de f(x , y) = 4x2 + 4l en la región
elíptica D definida por �x2 + l e( 1.
Solución
De nuevo por el Teorema 7 de la Sección 3.3, el máximo y el mínimo absoluto existen. Para
empezar, localizamos los puntos críticos de f en el conjunto U de los puntos (x, y) tales que
4x2+l<l.Como
cf
CX
=X,
el único punto crítico es el origen (0, 0).
cf
-;:
:--
=y,
oy
A continuación hallamos los puntos de máximo y mínimo de f restringida a la frontera e de
U, que es el conjunto de nivel g(x, y) =1, siendo g(x, y)= �x2 + )7. Las ecuaciones de los mul­
tiplicadores de Lagrange son
\1f(x, y)= (x , y) =}\1g(x, y) =J.(x, 2y)
y (x2 /2) + y2 = l. En otras palabras,
X= Jc.X
y= 2/cy
x2
- +l=J.
2-
Six=O
,
entoncesy=±ly), = �.Siy=O,entoncesx=±fiy}=1.Six#Oey=fO,
tenemos simultáneamente ;, =1 y 1/2, lo cual es imposible. Así, los candidatos para puntos de
r
máximo y mínimo de f en e son (0, ±1),(±v/2,O) y para f dentro de D el candidato es
(0,0).Elvalordefen(0,±1)es1/2,en(±fi,0)es1yen(0,O)esO.Porlotanto,el
mínimoabsolutodefsealcanzaen(0,O)yesO.ElmáximoabsolutodefenDes 1yse
.
r
alcanza en los puntos ( ± -j2, 0).

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
227
Máximos y mínimos globales
El método de los multiplicadores de Lagrange refuerza nuestras técnicas para hallar máximos y
mínimos globales. En este sentido, es útil lo que sigue.
DEFINICIÓN Sea U una región abierta en IR" con frontera oU. Decimos que au es suave si
au es el conjunto de nivel de una función suave g cuyo gradiente Vg nunca se anula (esto es,
Vg # 0). Entonces podemos seguir la estrategia que sigue.
Hallar el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x, y, z) = x + y + z en
el conjunto D = {(x, y, z) lx
2
+l+z
2
:S;l}.
Solución
Como en los ejemplos anteriores, sabemos que el máximo y el mínimo absoluto existen. Ahora
bien, D =UuoU,donde
U={(x, y, z)1x
2
+l+i<1}
y
au={(x, y, z)lx
2
+.i+z
2
= J}.
El gradiente de f es Vf = (J, J, 1), y por tanto f no tiene puntos críticos en U. Por consi­
guiente, los valores máximo y mínimo de f se tienen que alcanzar en au.
Seag(x,y,z)=x
2
+/+z2
.
Entonces ()U es el conjunto de nivel g(x, y, z) = l. El método
de los multiplicadores de Lagrange nos dice que el máximo y el mínimo se deben alcanzar en un
punto crítico de JI au, es decir, en un punto Xo en el que Vj(x0) = ),Vg(x0) para algún escalar X
Así.
(1, 1, l) = )(2x, 2y, 2z);
esto es
x=�
'
2/c'
e
7
7+71b
'
+ 1312
(1. ¡:
:;
1' 13
omox-+y z- =
,otenemosque�e= �.,_J1yportantox0=±/v.1, 1--.J,
Claramente,
-�
(1/)3, 1 1j,/3) es el punto en el que f alcanza su mínimo absoluto (a
saber,
.,¡r:3") y (lj..j3, 1/jJ, LjJ), el punto donde f alcanza su valor máximo )3.

228
Cálculo vectorial
Dos aplicaciones adicionales
Presentamos a continuación otras dos aplicaciones, a la geometría y a la economía, de las técnicas
matemáticas que hemos desarrollado en esta sección. Comenzamos con un ejemplo geométrico.
Supongamos que tenemos una curva definida por la ecuación
</>(x, y)= Ax2 +2Bxy + ei- 1 =O.
Hallar la máxima y la mínima distancia de la curva al origen (éstas son las longitudes de los
semiejes mayor y menor de esta cuádrica).
Solución
El problema equivale a hallar los valores extremos de f(x, y)=x2 +y2 sujeta a la condición
restrictiva cf;(x, y)=O. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, tenemos las
siguientes ecuaciones:
2x + ),(2Ax +2By)=O
2y + ),(2Bx + 2ey) =O
Ax2 +2Bxy +ey2= l.
Sumando x veces la Ecuación (6) a y veces la Ecuación (7), obtenemos
2(x2 +y") + 2).(Ax2 +2Bxy + el) =O.
(6)
(7)
(8)
De la Ecuación (8) se sigue que x2 +l +le=O. Sea t = - lj), = l/(Y +/)(el caso;,= O es
imposible, ya que (0, 0) no está sobre la curva cj;(x, y)=0). Entonces las Ecuaciones (6) y (7)
se pueden escribir como sigue:
2(A- t)x + 2By=O
2Bx +2(e - t)y=O.
(9)
Si estas dos ecuaciones tienen una solución no trivial(recordemos que (x, y) = (0, 0) no está en
nuestra curva, y que por tanto no es una solución), se sigue de un teorema de álgebra lineal que
su determinante se anula 13:
B
1=O
e-r
·
Dado que esta ecuación es cuadrática en r, tiene dos soluciones, que llamaremos t1 y t
2
.
Como
·.
2+7
�
;-
-.;
Ah. b
.
�ld
.
.
(
-1, =x
y-, tenemos vr +y= v - /..
ora ten, v x- +y es a IStanCia del punto x,
y) al origen. Por consiguiente, si (x1, y1) y (x
2
,y
2
) denotan las soluciones no triviales de la Ecua-
ción (9) correspondientes a t1 y t
2
, y si t1 y r2 son positivas, obtenemos Jx� +y�= l/.J0. y
vx� +YT= 1/�. En consecuencia, si t1 > t
2
, las longitudes de los semiejes mayor y menor
son 1/� y 1/fi, respectivamente. Si la curva es una elipse, tanto t1 como t
2
son, de hecho,
reales y positivas. ¿Qué sucede con una hipérbola o una parábola?
1 3 La matriz de coeficientes de las ecuaciones no puede tener inversa. porque esto implicaría que la solución es
cero. Recorden1os que una matriz que no tiene inversa tiene determinante cero.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
229
Por último, estudiaremos una aplicación a la economía.
Supongamos que la producción de una compañía manufacturera es una cantidad
Q de un cierto producto, donde Q es una función f(K, L), siendo K el capital invertido en equi­
pos (o inversión) y L la mano de obra utilizada. Si el precio de la mano de obra es p, el precio
de los equipos es q y la compañía no puede gastar más de B euros, ¿cómo podemos hallar las
cantidades de capital y trabajo que maximizan la producción Q?
Solución
Es de esperar que si se aumenta la inversión o la mano de obra, aumente también la producción;
esto es,
aQ
-
>-o
aKe/'
y
oQ
-
-
>-o
aLe/'
•
También es de esperar que a medida que se añada mano de obra a una inversión en equipos
dada, la cantidad de producción adicional obtenida sea cada vez menor; esto es,
Análogamente,
íPQ
--2 <O.
oK
Con estas hipótesis sobre Q, es razonable esperar que las curvas de nivel de producción (llama­
das isocuantas) q(K, L) = e tengan un aspecto parecido al de las curvas bosquejadas en la Figu­
ra 3.4.5, con c1 <c2 <c3.
B
p
L
Q=c3
�;' <-��.:
:...i
::S::----� Q = c2
B
q
Q=C¡
.Figur�3.;4,s. ¿Cuál es el mayor valor
de Q en el triángulo
sombreado?
Podemos interpretar la convexidad de las isocuantas como sigue: cuando uno se mueve
hacia la derecha a lo largo de una cierta isocuanta, se necesita cada vez más inversión para
sustituir una unidad de mano de obra y seguir produciendo lo mismo. La restricción sobre el

230 Cálculo vectorial
presupuesto significa que tenemos que permanecer dentro del triángulo limitado por los ejes y
la recta pL + qK = B. Geométricamente, está claro que produciremos lo máximo posible si gas­
tamos nuestro dinero de tal forma que seleccionemos la isocuanta que justo toca, pero no cruza,
la línea de presupuesto.
Como el punto de máximo está en la frontera de nuestro dominio, aplicamos el método de
los multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo. Para maximizar Q =j(K, L) sujeta a la
restricción pL + qK = B. buscamos los puntos críticos de la función auxiliar
Así, queremos
h(K,L,Jc)=f(K,L)�i(pL+qK�B).
cQ.
�
-
-=l.q,
oK
cQ.
eL
=
/P
y
pL+qK=B.
son las dos condiciones que tenemos que satisfacer para maximizar la producción (en el
31 se le pide al lector resolver un caso particular).
En el ejemplo anterior, ). representa .algo interesante. Sean k = qK y l= pL, de forma que k
es el valor en euros de la inversión y les el valor en euros de la mano de obra empleada. Enton­
ces las dos primeras ecuaciones pasan a ser
r!QlC:Q.1(lQr!Q
- =--=/ =--=--
ckqaK'PeLaz·
Por consiguiente, en el punto de producción óptima, el cambio marginal en la producción por
cada euro de inversión adicional en equipos es igual al cambio marginal de producción por cada
euro de mano de obra adicional, y ). es este valor común. En el punto óptimo, el intercambio de
un euro de inversión en equipos por un euro de mano de obra no cambia la producción. Lejos
del punto óptimo las producciones marginales son diferentes, y uno de los dos cambios se tradu­
cirá en una mayor producción.
Criterio de la derivada segunda para extremos
condicionados
En la Sección 3.3 obtuvimos, examinando el término de segundo grado de la serie de Taylor de
f, un criterio con las derivadas segundas para extremos de funciones de varias variables. Si la
matriz hessiana de las derivadas parciales segundas es o bien definida positiva o bien definida
negativa en un punto crítico de f, este punto es, respectivamente, un punto de mínimo o de
máximo relativo.
De manera natural surge la pregunta de si hay un criterio con las derivadas segundas para
problemas de máximos y mínimos sometidos a restricciones. La respuesta es sí, y el criterio
involucra una matriz denominada hessiana orlada. En primer lugar estudiamos el criterio y
cómo se aplica para el caso de una función f(x, y) de dos variables sujeta a la restricción
g(x, y) =c.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
231
Hallar los puntos de extremo de f(x, y)= (x �y)" sujeta a la restricción
x2 +l=1,donden;?e1.
Solución
Igualamos a cero las derivadas primeras de la función auxiliar h definida por h(x, y, /,) =
(x�y)" � A(x2+l�1):
n(x � y)"-1
�
2Jc.x=O
� n(x �y)"-1
� 2)cy=O
�(x2+l�1)=O.
A partir de las dos primeras ecuaciones vemos que A(x +y) = O. Si ), =O, entonces
x= y= ± fl/2. Si /e # O, entonces x= �y. Los cuatro puntos críticos se representan en la
Figura 3.4.6 y los correspondientes valores de f(x, y) se escriben a continuación:
(A) X= fl/2
y= Jl/2
A=O
f(x, y)= O.
X= j2¡2
¡-
)e=n(fl)"
2
r:
:
(B)
y= � .J2/2
f(x, y)= Cj2)".
(C) x=
Jl/2 y= �j2¡2 A=O
f(x, y)=O.
(D) x= �j2¡2 y= /212
y;
),
=(
�
nn-2n(j2)"-2
f(x, y)= e� fir.
Vemos por inspección que si n es par, entonces A y e son puntos de mínimo, y B y D de
máximo. Si n es impar, entonces B es un punto de máximo, D es de mínimo, y A y e no son
ninguna de estas dos cosas. Veamos si el Teorema 1 O es consistente con estas observaciones.

232
Cálculo vectorial
y
El determinante de la matriz hessiana orlada es
o
-2x
\H\= -2x n(n - l)(x - y)"-2- 2),
-2y
-n
(
n- 1)(x- y)"-2
-2y
-n
(
n- 1)(x- yt-2
n
(
n- l)(x- y)"-2-2A
Sin=1osin;?3,\H\=OenA,B,CyD.Sin=2,entoncesIH\=OenByD,y -16enA
y C. Así, el criterio de la detivada segunda reconoce los mínimos en A y C, pero no concluye la
existencia de Jos máximos en B y D paran =2. Tampoco es concluyente para los demás valo­
res de n.
Tal como sucede en el caso sin restricciones, también hay un criterio con las deriva­
das segundas para funciones de más de dos variables. Si buscamos los puntos de extremo de
f(x1, •••, x,) sujeta a una única restricción g(x1, ..., x,) =e, primero formamos la matriz hessiana
orlada para la función auxiliar h(x1, ••., x,) =f(x1, •••, x,) l(g(x1, •.., x,) -e) como sigue:
o
-ag -ag
-ag
OX¡
ox
2
axn
-ag o2h
o2h
o2h
OX¡
oxi OX¡OX
2
OX¡OX,
-ag o2h
o2h
o2h
ox2 OX¡OX
2
ex�
ax
2
0xn
-ag o2h
o2h
o2h
�
OX¡OX, ox
2
ox,
ox2
oxn
n
En segundo lugar, examinamos los determinantes de las submatrices diagonales de orden ;? 3 en
los puntos críticos de h. Si todos son negativos, esto es, si

o
cg
og
og
o
ag
ag
CX¡
i3x
2
CX3
CX¡
i3x
2
"
82h
i32h
i32h
oa
6
cg c2h
32h
OX¡
cxi CX¡CX2 CX¡CX3
OX¡
"
2
CX¡OX2
<O,
ag c2h
32h
32h
<O, ... ,
CX¡
ag c2h
82h
cx
2
CX¡CX2
"
2
CX
2
Ox28x3
ax
2
OX¡CX2
exa
ag 32h
32h
c2h
cx3 CX¡OX3 cx
2
3x3
cxj
entonces estamos en un punto de mínimo local de JI S. Si comienzan con un subdeterminante
3 x 3 y alternan los signos (esto es, >0, <0, >0 , <0, ... ),entonces estamos en un punto de
máximo local. Si son todos distintos de cero y no encajan en ninguno de estos patrones, enton­
ces el punto no es ni de máximo ni de mínimo (se dice que es de tipo silla de montar) 14.
Solución
Estudiar los puntos de extremo local de f(x, y, z) = xyz en la superficie de la
x2+l+z2 = 1, utilizando el criterio de la derivada segunda.
Igualando a cero las derivadas parciales de la función auxiliar
se obtiene
h(x, y, z, A)= xyz- lc(x2+l+z2- 1)
yz= 2J.x
xz = 2Jcy
xy=Vz
x2+l+i=!.
Así,3xyz = 2X(x2+y2+z2)= 2}. Si ), = O, las soluciones son (x, y, z, )) = ( ± l,O, O, 0), (0,
±l, O, O) y (0,O, ±1, 0). Si J. =FO, entonces tenemos 2),=3xyz=6)z2, de modo que z2 = i.
De manera análoga, x 2 = l = �. Los puntos críticos de h y los correspondientes valores de f se
danenlaTabla3.1.En ella sevequelospuntosE,F,GyKson demínimo. LospuntosD,H,I
y J son de máximo. Para ver si esto concuerda con el criterio de la derivada segunda necesita­
mos considerar dos determinantes. Veamos en primer lugar el siguiente determinante:
o
cgj3x -8gj3y
o -2x -2y
JH2J =
-
cg/3x 32h/3� c2jcx3y
-
2x -V
z
-
cg/oy 32hji3x3y c2h/ol
-
2yz
-2)
= 8J.x2 + 8X/+8xyz = 8X(x2+y2 + 2z2).
14 Para un estudio detallado véase C. Caratheodory. Ca/culus of Variations and Portia! Differential Equations, Hol­
den-Day, San Francisco, 1965; Y. Murara, Mathematics for Stability and Optimization of Econmnic Sysrems, Academic
Press. Nueva York, 1977, pp. 263-271; o D. Spring, Am. Math. Mon. 92 (1985): 631-643.

Z34
Cálculo vectorial
Tabla 3.1. Puntos críticos A, B, .. . , J, K de h y los correspondientes valores de f.
X
y
z
;¡_
j(x, y, z)
±A
±1
o
o
o
o
±B
o
±1
o
o
o
±e
o
o
±1
o
o
D
J3¡3
"
/3/3
j
3¡3
J3¡6
�19
�-
E
�
J3f3
r-
j3¡3
r-
�
J3/9
-.}3/3
-,J3/6
F
}3¡3
�J3¡3
j3¡3
-
Í316
V1
--
j3¡9
G
"/3/3
)3¡3
1
�
v3/3
- J3/6
�J3/9
H
J3¡3
�
}3/3
�
j3¡3
j3¡6
}3/9
I
�
J3¡3
r
r;:
13 16
j3¡9
�3/3
�y3/3
VI
J
�J3/3
�
}3/3
¡;
y 3/3
r;
�3;6
j3¡9
K
J3¡3
-)3¡3
- }3¡3
-
j3¡6
-
J3¡9
Obsérvese que signo (jH2j) = signo A= signo (xyz), donde el signo de un número es si ese
número es positivo y - 1 si es negativo. En segundo lugar consideramos
o
-ogfox
- ogfoy -og/oz
IH31 =
- ogfox o2h/o2 o2h/oxoy o2hjoxoz
-og/oy o2h/oxoy o2h/o1 o2hJoyoz
- ogfoz o2hfoxoz o2h/oyoz o2h/ol
o -2x -2y -2z
-2x -2A
z
y
-2y z
-2A X
-2z y
X
- 2),
queresultaser +4enlospuntos ±A, ±By±e,y -lf'enlosotrosochopuntos.EnE,F,Gy
K tenemos IH21 < O y IH31 < O, de modo que el criterio indica que son puntos de mínimo local.
EnD,H,IyJtenemosIH21 >OyIH31<O,ypor tanto elcriteriodicequesonpuntosdemáxi­
mo local. Finalmente, el criterio de la derivada segunda muestra que ±A, ±B y ±e son pun­
tos de silla.
En los Ejercicios 1 al 5, hallar los puntos de extremo de f sujeta a las resrricciones enunciadas.
l. f(x,y,z) x�y+z,sujetaax2+l+l�2.
2. f(x.y)=x
�
y,sujetaax2�l =2.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
235
3. f(x,y)= x, sujeta a x2 +2/= 3.
4. f(x,y,z)=x+y+z, sujeta a x2 -/ = 1, 2x+: = l.
5. f(x,y)= 3x +2y, sujeta a 2x2+3/= 3.
Hallar los puntos de extremo relativo de flS en los Ejercicios 6 al 9.
6. f: �2-->R(x,y) -+x2 +y2,S= ((x,2) lx E�).
7. f:�2-> �. (x,y)-+x2 +y2,S=((x, y) [y?:2).
8. f: �2-> �. (x, y)-+ x2 - l, S=((x,cosx) ix E�).
9. f:�3-+R(x,y,z)-+x2+l+z2,S=((x,y ,z)lz?:2+x2 +/).
10. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo ab­
solutos de f(x, y) = x2 +l-x
-y+ l en el disco unidad (véase el Ejemplo 3.20 de la Sección
3.3).
11. Consideramos la función f(x,y) = x2+;\.")'+i definida en el disco unidad D= ( (x,y) 1 x2 -l :S:
:
1}.
Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos de máximo y de mí­
nimo de f en la circunferencia unidad. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo ab­
solutos de f en D.
12. Una caja rectangular sin tapa tiene una superficie de 16m
2
Hallar las dimensiones que maximizan
su volumen.
13. Diseñar una lata cilíndrica (con tapa) que contenga 1 litro de agua, usando la mínima cantidad de
metal posible.
14. Demostrar que las soluciones de las Ecuaciones (4) y (5) se corresponden biunívocamente con los
puntos críticos de
h(x�o ... ,x,,
... ,A .k)=f(x1, ••., x,)- ).1[g1(x1,. .., x,) c1]
-
· ··-
.1.k[gk(x1, .. ., x,)-cd.
15. Hallar el maxnno y el mínimo absolutos para la función f(x, y, z) = x + y - z en la bola
B= {(x,y,z)1x2+l+z2 :S:
:
lJ.
16. Repetir el Ejercicio 15 para f(x, y,z)= x +yz.
17. Se va a adornar un espejo rectangular que tiene un área de A centímetros cuadrados, a lo largo de sus
bordes. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan p céntimos por centímetro y los de
los lados verticales q céntimos por centímetro, hallar las dimensiones que minimizarán el costo total.
18. Un canal de riego en Arizona tiene los lados y el fondo de hormigón, una sección transversal trape­
zoidal de área A =y(x+y tan G) y perímetro húmedo p=X + 2y/cos e, donde X = anchura del fon­
do, y = profundidad del agua, y e= inclinación de los lados medida a partir de la vertical. El mejor
diseño para una inclinación () fija se halla resolviendo P = mínimo sujeto a la condición A = cons­
tante. Demostrar que l =(A cos G)/(2 -· sen 8).
19. Aplicar el criterio de la derivada segunda para estudiar la naturaleza de los puntos de extremo de los
Ejercicios 1 y 5.

236
Cálculo vectorial
20. Un rayo de luz viaja del punto A al punto B atravesando la frontera entre dos medios (véase la Figura
3.4 .7). En el primer medio su velocidad es v1, y en el segundo v2• Demostrar que el viaje se realiza
en el menor tiempo posible cuando se cumple la ley de Snell:
y
+
1
l
1
1))-
--i
sen 8¡
V¡
�-=-
A�
·
�
1
------- -- --- ------- ��: ------------------+> X
1
1
B
21. Un servicio de mensajería exige que las dimensiones de una caja rectangular sean tales que la longi­
tud más el doble de la anchura más el doble de la altura no rebase 108 centímetros:
l+2w+2h,s;108.
¿Cuál es la capacidad de la caja de mayor volumen que transportará la compañía?
22. Sea P un punto en la superficie S de IR:3 definida por la ecuación f(x, y, z) = 1, donde f es de clase
C1. Supongamos que P es un punto donde se maximiza la distancia de S al origen. Demostrar que el
vector que sale del origen y acaba en P es perpendicular a S.
23. Sea A una matriz 3 x 3 simétrica distinta de cero. Así, sus elementos satisfacen au = aJi. Considera­
mos la función f(x) = !CAx) · x.
a) ¿Cuál es \1f?
b) Considerar la restricción de f a la superficie de la esfera unidad S= ((x, y, z) i x2 + l + z2 = 1}
en IR:3 Sabemos por el Teorema 7 que f tiene un máximo y un mínimo en S. Demostrar que
tiene que haber un x E S y un ), # O tales que Ax = Jcx. (El vector x se llama autovector, mien­
tras que el escalar ;, se llama autovalor.)
e) ¿Cuáles son el máximoy el mínimodef en B = {(x, y, z)1x
2+l+z2,s;1P
24. Supongamos que la matriz A de la función f definida en el Ejercicio 23 no es necesariamente simé­
trica.
a) ¿Cuál es \1f?
b) ¿Es posible concluir la existencia de un vector propio y de un valor propio, como en el Ejerci­
cio 23?

3.5.
Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
237
25. a) Hallar Jos puntos críticos de x + l sujeta a la restricción 2x2 + l = l.
b) Utilizar la matriz hessiana orlada para clasificar los puntos críticos.
26. Responder a la pregunta planteada en la última línea del Ejemplo 3.29.
27. Intentar encontrar Jos puntos de extremo de xy + yz entre aquellos puntos que satisfacen xz = l.
28. La función de producción de una empresa es Q(x, y) = xy. El coste de producción es C(x, y) 2x + 3y.
Si esta empresa puede gastar C(x, y)= 10, ¿cuál es la máxima cantidad que puede producir?
29. Hallar el punto de la curva (cos t, sen t, sen (t/2)) que está más alejado del origen.
30. Una compañía utiliza fibra de algodón y lana para producir tela. La cantidad de tela producida está
dadapor Q(x,y)=xy x y+ 1,donde xes el númerodekilos delana,yelnúmero dekilosde
algodón, x > 1 e y > l. Si la lana cuesta p euros el kilo y el algodón q euros el kilo, y la compañía
puede gastar B euros en materiales, ¿cuál debe ser la proporción entre algodón y lana para producir
el máximo de tela?
31. Llevar a cabo el análisis del Ejemplo 3.30 para la función de producción Q(K, L) = AK"L J-a. sien­
do A y rx constantes positivas, y O < rx < l. Ésta es la llamada función de producción de Cobb­
Douglas y se utiliza en ocasiones como un modelo macroeconómico simple. En ese caso Q es el
producto agregado de la economía para una cantidad dada de capital y mano de obra.
El teorema de la función implícita
En esta sección enunciamos dos versiones del teorema de la función implícita, tal vez el teore­
ma más importante de todo el análisis matemático. Todo el fundamento teórico de la noción de
superficie, así como el método de los multiplicadores de Lagrange, dependen de éL Es más,
es la piedra angular de varias áreas de las matemáticas, como la topología diferencial y la geo­
metría.
El teorema de la función implícita de una variable
En el cálculo de una variable se aprende la importancia del proceso de hallar la inversa de una
función. Por ejemplo, x = Iny es la inversa de y = ex, y x = arcseny es la inversa de y = senx.
También es importante saber calcular la inversa en el caso de funciones de varias variables; por
ejemplo, el cambio entre coordenadas polares y cartesianas en el plano involucra invertir dos
funciones de dos variables.
Recordemos del cálculo de una variable que si y = f(x) es una función C1 y f'(x0) i= O, en­
tonces podemos despejar x localmente, en un entorno de x0, para obtener la función inversa
X= ¡-1(y). Aprendimos que (j-1)'(y) = 1/f '(x); es decir, dx/dy = 1/(dy/dx). Es razonable espe­
rar que y = f(x) se pueda invertir, puesto que f'(x0) i= O significa que la pendiente de y = j(x)
no es cero, de modo que la gráfica está subiendo o bajando cerca de x0. Así, si reflejamos la
gráfica con respecto a la recta y = x, sigue siendo una gráfica cerca de (x0, y0), donde
y0 = f(x0). Por ejemplo, en la Figura 3.5.1 podemos invertir y = f(x) en la caja sombreada, por
lo que x = f-1(y) está definida en este rango.

238
Cálculo vectorial
y
y = f(x) es invertible
�cerca de (x0, y0)
Un resultado particular
�iq�ra���.j;¡t Si f'(x0) ,e o, entonces
y= f(x) es localmente
invertible.
A continuación consideramos la situación en el caso de funciones con valores reales de las va­
riables X¡, ... , Xn y Z.
En el suplemento de Internet se da una prueba de este teorema.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
239
Una vez sabemos que z = g(x) existe y es diferenciable, se puede comprobar la Fórmula (1)
derivando implícitamente; para ver esto, nótese que la regla de la cadena aplicada a F(x, g(x)) = O
da
DJ(x, g(x)) + [�: (x, g(x))J [Dg(x)] = O,
que es equivalente a la Fórmula (l ).
En este caso particular del teorema de la función implícita es importante darse
cuenta de la necesidad de tomar entornos U y V suficientemente pequeños. Por ejemplo, consi­
deremos la ecuación
estoes,F(x,z)=x2+z2- l,conn= l.Aquí(3F(3z)(x,z)=2z,demodoqueelcasoparticu­
lar del teorema de la función implícita se puede aplicar en puntos (x0, z0) que satisfagan
x6 + z6 - l = O y z0 #- O. Así, cerca de dichos puntos z está definida de manera única como
funcióndex.Estafunciónesz=+-.j1-x2siz0>Oyz= -.J1-2sizo<O.Nótesequez
está definida sólo para llx[[ < 1 (U no debe ser demasiado grande) y z es única sólo si está cerca
de z0 (V no debe ser demasiado grande). Estos hechos y la no existencia de 3z(3x en z0 = O son,
por supuesto, claros partiendo de que x2 + z2 = 1 define una circunferencia en el plano xz (Fi­
gura 3.5.2).
/z=�
.-.
.-
-,-_,1'
� no existe aquí
ax
Figufa:S.'s��:: En el teorema de la función
implícita es necesario tomar
entornos pequeños.
El teorema de la función implícita y las superficies
Apliquemos el Teorema 11 al estudio de superficies. Estamos interesados en el conjunto de ni­
vel de una función g: U e IR" -7 IR, es decir, en la superficie S fonnada por los puntos x que
satisfacen g(x) = c0, donde x0 está dado y c0 = g(x0). Para ser más específicos, tomamos n = 3.
Así pues, estamos tratando con el conjunto de nivel de una función g(x, y, z) que pasa por un
punto dado (x0, y0, z0). Como en el teorema de los multiplicadores de Lagrange, suponemos que

240
Cálculo vectorial
Vg(x0, y0, z0) # O. Esto significa que al menos una de las derivadas parciales de g es distinta de
cero. Para ser específicos, supongamos que (og/oz)(J:o, y0, z0) #O. Aplicando el Teorema 11 a la
función (x, y, z) -+ g(x, y, z)� c0, sabemos que hay una única función z = k(x, y) que satisface
g(x, y, k(x, y)) = c0 para (x, y) próximo a (x0, y0) y z próximo a z0. Así, cerca de z0 la superficie
S es la gráfica de una función k. Como k es continuamente diferenciable, esta superficie tiene un
plano tangente en (x0, y0, z0) dado por
[ok
J Lok
J
z=Zo+ -;:;-(xo,Yo)(x�xo)+ -;
;-
(xo, Yo) (y -- Yo).
Pero, por la Fórmula (1),
og
ok
OX
-;
;
-
C:<o, Yo) =
ox
Og
oz
ex
oy
(xa, Yo, zo)
ok
y
-;
;-
(xo. Yo) =
zo)
oy
(xo, Yo.
og
(xo,
ay
oz
(xa,
(2)
Yo, zo)
Yo, zo)
Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación del plano tangente se obtiene esta descripción
equivalente:
esto es,
(x�x0,y�Yo· z �z0)·Vg(x0, y0, z0)=O.
Así, el plano tangente a la superficie de nivel de g es el complemento ortogonal a Vg(x0, y0, z0)
que pasa por el punto (x0, y0, z0). Esto concuerda con la caracterización de planos tangentes a
conjuntos de nivel que dimos en el Capítulo 2.
Ahora estamos preparados para completar la prueba del teorema de los multiplicadores de
Lagrange. Para ello debemos demostrar que todo vector tangente a S en (x0, y0, z0) es tangente a
una curva en S. Por el Teorema 11, basta con demostrar esto para gráficas de la forma z=k(x, y).
Sin embargo, si v = (x� x0, y � y0, z- z0) es tangente a la gráfica (esto es, si satisface la
Ecuación (2)), entonces v es tangente a la trayectoria en S dada por
c(t)=(x0+t(x x0),Yo+r(y y0),k(x0+t(x �x0),Yo+t(y y0)))
en t =O. Esto se puede verificar usando la regla de la cadena (véase la Figura 3.5.3).
¿Cerca de qué puntos es posible representar la superficie
como la gráfica de una función diferenciable z = k(x, y)?

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
241
Solución
Aquítomamos F(x,y,z)=x3+3/+8xz2-3z1y-1eintentamos despejar zdeF(x,y,z)=O
como función de (x, y). Por el Teorema 11, esto se puede hacer cerca de un punto (x0, y¡¡, z0) si
(3F/í3z)(�¡, y0, z0) #O, esto es, si
z0(16x0 9zoYo) #O,
lo cual significa a su vez
y
16x0 # 9zoYo·
z
Larecta(x0+t(x-x0),Yo+t(y-y0))
X
Construcción de una trayectoria e( t) en la superficie S con vector tangente v.
El teorema general de la función implícita
A continuación enunciaremos, sin demostración, el teorema general de la .función implícita 15.
En lugar de tratar de despejar una variable de una ecuación, intentamos despejar m variables
z1, ..., Zm de m ecuaciones:
F¡(X¡,
Xn, Z¡,
Zm) =O
F2(X¡,
Xn, zb
Zn,) =O
(3)
Fm(x1, ..., xn, Z¡,
Zm) =O.
15 Se pueden consultar tres demostraciones diferentes del caso general en:
a) E. Goursat, A Course in Mathematical Analysis, I, Dover, Nueva York, 1959, p. 45. (Esta demostración deduce el
teorema general mediante aplicaciones sucesivas del Teorema 11.)
b) T. M. Apóstol, Mathematica/ Analysis, segunda edición, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1974.
e) J. E. Marsden y M. Hoffman, Elemental)' Classical Analysis, segunda edición, Freeman, Nueva York, 1993.
De estas fuentes, las dos últimas utilizan ideas más sofisticadas que normalmente no se cubren hasta un curso avan­
zado de análisis. La primera, sin embargo, la puede comprender fácilmente el lector que tenga algún conocimiento de
álgebra lineal.

242
Cálculo vectorial
En el Teorema 11 teníamos la condición 8Fj8z # O. La condición adecuada para el teorema ge­
neral de la función implícita es que fl # O 16, donde fl es el determinante de la matriz m x m
8F1
8F1
azl
azm
OFm
8Fm
8z1
azm
evaluado en el punto (x0, z0) ; en un entorno de dicho punto podemos despejar z, de manera
única, en términos de x.
Demostrar que es posible despejar u y v de
xu+yvu2=2
como función de x y z de manera única cerca del punto (x, y, u, v) = (1, 1, l, 1). Calcular 3uj3x
en el punto (1, 1).
Solución
Para comprobar que se puede despejar, formamos las ecuaciones
F1(x,y,u,v)=xu+yvu2�2
16
Para estudiante" que hayan cursado álgebra lineal: la condición t. "i" O tiene una interpretación simple en el caso
en que Fsea lineal; a· saber, �.7i' O es equivalente a que el rango de F sea igual a m, lo que a su vez equivale a que el
espacio de soluciones de F = O sea. m-dimensional.

y el determinante
Caprtulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
243
oF1 oF1
eu av
11=
oF2 oF2
eu cv
=
¡x + �yuv
3u-x
=
1� �1=
9.
yu
2
14it?
-
1
en
(1,1,l,l)
en
(1,l,1,1)
Como 11 #- O, el teorema general de la función implícita nos asegura que es posible despejar.
Para hallar 8ujcx derivamos implícitamente la ecuación dada con respecto a x usando la regla de
la cadena:
au
avo
au
x-+u+v--u-+2vvu-= O
ex
.
ex
-
ax
Haciendo (x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1) se tiene que
Bu Bv
3-+-=
-l
ax ax
Bu
cv
3-+4-=
-
1.
ex
ax
Despejamos 8ujcx multiplicando la primera ecuación por 4 y restándole la segunda, obtenién­
dose 8uj8x = }.
El teorema de la función inversa
El teorema de la función inversa es un caso particular del teorema general de la función implí­
cita. Aquí trataremos de despejar x1, .••,
X11 como funciones de y1, •••, Yn en las ecuaciones
(4)
_fn(x¡,
es decir, estamos intentando invertir las ecuaciones del sistema (4). Esto es análogo a formar las
inversas de funciones como senx =y y ex =y, algo con lo que el lector debería estar familiari­
zado por el cálculo elemental. Ahora, sin embargo, tratamos con funciones de varias variables.
A la pregunta de si es posible despejar, se responde mediante el teorema general de la función

244
Cálculo vectorial
implícita aplicado a las funciones Y;- f(x1, •••, x") con las incógnitas (x1, •••, xn) (anteriormente
llamadas (z1 , ••., z,)). La condición para poder despejar en un entorno de un punto x0 es .0. 7'= O,
donde .0. es el determinante de la matriz Df(x0), y f=(f1, ... , fn). La cantidad .0. se denota por
a(f1, •••, f,,)/a(x1, ..• , x,), a(y1, •••, y,)ja(x1, •••, x,) o J(f)(x0), y recibe el nombre de determinante
jacobiano de f. Explícitamente,
a(f¡,
f,
,
)
1 =l(f)(Xo) =
a(x¡,
Xn) x=xo
a¡,
-
"
- (xo)
CX¡
ar,
�()
"
Xo
CX¡
a¡_I (xo)
axn
(5)
ar,
-.:.
...'2
(xo)
axn
El lector notará que en el caso en que fes lineal, por ejemplo f(x)=Ax, donde A es una
matriz n x n, la condición .0. 7'= O es equivalente a que el determinante de A sea distinto de cero,
detA 7'= O, y de la Sección 1.5 sabemos que A, y por tanto f, tiene una inversa.
El determinante jacobiano desempeñará un papel importante en nuestro trabajo sobre inte­
gración (véase el Capítulo 5). El siguiente teorema resume este análisis.
Consideramos las ecuaciones
x4+l
--
-
=u
X
'
sen x + cosy=v.
¿Cerca de qué puntos (x, y) podemos despejar x, y en ténninos de u, v?
Solución
Aquí las funciones son u=f1(x, y)=(x4 + y4)/x y v=f2(x, y)= sen x + cosy. Queremos cono­
cer los puntos cerca de los cuales podemos despejar x, y como funciones de u y v. Según el teore­
ma de la función inversa, primero debemos calcular el determinante jacobiano a(f¡, f2)/o(x, y).
Como dominio de f = (f1, f2) tomamos U=((x, y) E IR21 x 7'= O}. Ahora
a¡, a¡]
o(f¡, !2) ax ay
a(x, y) a¡2 a¡2
ax
3x4- y4 4l
X
COSX
-seny
seny
4y3
(y4-3x4)-
-
cos x.
X

Por consiguiente, en los puntos donde esto no se anula podemos despejar x, y en ténninos de u y
v. En otras palabras, podemos despejar x, y cerca de aquellos x, y para Jos cuales x 1= O y
(sen y)(y4
-
3x
4
) 1= 4xl cos x. Por ejemplo, si x0 = rc/2, y0 = rc/2, podemos despejar x, y cerca
de (x0, y0), porque ahí o(f1, f2)/c(x, y) 1= O. En general estas condiciones no se pueden resolver
explícitamente.
l. Consideramos una curva en el plano xy que pasa por el punto (x0, y0), definida por F
(
x, y)=O, donde
Fes C1. Supongamos que (3Ffoy)(Xo. y0) 1= O. Demostrar que esta curva se puede representar local­
mente como la gráfica de una función y=g(x). Demostrar que i) la recta ortogonal a VF
(
x0, y0) coin­
cide con ii) la recta tangente a la gráfica de y=g
(
x).
2. Demostrar que en xy + z + 3xz5 = 4 se puede despejar z como función de
(
x, y) cerca de (1, O, 1).
Calcular ozjcx y í3zjí3y en (1, 0).
3. a) Determinar directamente
(
esto es, sin utilizar el Teorema ll) dónde se puede despejar la variable
y en términos de x en la ecuación F
(
x, y)=l+y + 3x+1=O.
b) Comprobar que la respuesta de la parte a) concuerda con la respuesta que se espera del teorema
de la función implícita. Calcular dy/dx.
4. Repetir el Ejercicio 3 con F
(
x, y)=xi - 2y+x2 + 2=O.
5. Demostrar que se puede despejar z como función de (x, y) en x3l - z3yx O cerca de (1, 1, 1), pero
no cerca del origen. Calcular 3z/3x y oz(oy en (1, 1).
6. Analizar la posibilidad de despejar u, v, IV en términos de x, y, z en el sistema
3x+2y+z2+u+v2
=O
4x+3y+z+u2+v+w+2=O
X+Z+IV+u
2+2=0
cerca de x=y=z=O, u=v=O y IV= - 2.
7. Analizar la posibilidad de despejar u, v en términos de x, y en
)'+X+ UV=0
ux·y+v=O
cerca de x =y=u= v=O, y comprobarlo directamente.

246
Cálculo vectorial
8. Investigar si se puede o no despejar x, y, z en términos de u, v, w en el sistema
cerca de (x, y, z)=(0, O, 0).
u(x,y,z)=x+xyz
v(x,y,z)=y+xy
w(x,y,z)=z+2x+3z2
9. Consideramos f(x, y)=((x2 - y2)/(:2 + /), xy/(:2 + /)). ¿Tiene esta aplicación de IH:2 \ (0, O) en IH:2
una inversa local cerca de (x, y)=(0, 1)?
10. a) Definimos x: IH:2--+ IR: mediante x(r, e)=reos e y definimos y: IH:2--+ IR: mediante y(r, e)=rsen e.
Demostrar que
�(x, y)
1..
=ro.
O(r, e) ¡(ro. Go)
b) ¿Cuándo se puede formar una función inversa suave (r(x, y), e(x, y))? Comprobarlo directa­
mente y con el teorema de la función inversa.
e) Consideramos las siguientes transformaciones a coordenadas esféricas (véase la Sección 1.4):
X(p,q;,O)=psencj;cose
y(p, q;,e)=psene/;sene
z(p,q;,e)=pcoscj;.
Demostrar que el determinante jacobiano viene dado por
o(x, y, z)
?
--'-
-
--=p- sen e/;
acp, q;, e)
·
d) ¿Cuándo se puede despejar (p, cj;, e) en términos de (x, y, z)?
11. Sea(x0,y0,z0)unpuntodellugargeométricodefinidoporl+xy-a =O,l+x2-y2-b=O,
donde a y b son constantes.
a) ¿Bajo qué condiciones se puede representar la parte de este lugar geométrico que está cerca de
(xo. y0, zo) en la forma x=f(z), y=g(z)?
b) Calcular f'(z) y g'(z).
12. ¿Es posible despejar u(x, y , z), v(x, y, z) en el sistema de ecuaciones
-<),2+ xzu+ yv2=3
u3yz + 2xv - u2v2=2
cerca de (x, y, z)=(l, 1, 1), (u, u)=(1, 1)? Calcular ovjoy en (x, y, z)=(1, 1, 1).
13. El problema de factorizar un polinomio x" + a,_ 1 x"- 1 + · · ·
+ a0 en factores lineales es, en cierto
sentido, un problema de <<función inversa». Se puede pensar en los coeficientes a; como en funciones
de las n raíces rj. Nos gustaría expresar las raíces como funciones de los coeficientes en alguna re­
gión. Con n=3, aplicar el teorema de la función inversa a este problema y enunciar lo que dice
sobre la posibilidad de llevar a cabo lo anteriormente planteado .

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
247
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3
l. Analizar el comportamiento de las siguientes funciones en Jos puntos indicados. (La respuesta del
apartado b) puede depender de la constante C.)
a) z=x2�/+3xy,
b) z= x2�y2+Cxy,
(x,y)=(0,0).
(x, y)=(0,0).
2. Hallar y clasificar los valores extremos (si los hay) de las funciones de [k\;2 definidas por las siguien­
tes expresiones:
b) (x� 1)2+(x�y)2
e) x2+x/+/.
3. a) Hallar la rrúnima distancia del origen en [k\;3 a la superficie z = p-=1 .
b) Repetir la parte a) para la superficie z = 6xy + 7.
4. Hallar algunos de los primeros términos del desarrollo de Taylor de f(x, y) = eX)' cos x alrededor de
X= O, y=O.
5. Demostrar que
tiene un máximo local, un mínimo local y un punto de silla (la gráfica se muestra en la Figura 3cR.l ).
Gráfica de z = (3x4
-
4x3
-
12x2 + 18)/12(1 + 4y2).
6. Hallar los puntos de máximo, de mínimo y de silla de la función z (2 + cos rrx)(sen rry), cuya grá­
fica se muestra en la Figura 3.R .2.

248
Cálculo vectorial
7. Hallar y describir los puntos críticos de j(x. y) =y sen (rrx) (véase la Figura 3.R .3).
2
1
o
-1
-2
Gráfica de z =ysen (nx).
8. En la Figura 3.R .4 se muestra la gráfica de la función z = sen (rrx)/(l + /). Comprobar que esta fun­
ción alterna puntos de máximo y de mínimo sobre el eje x. sin otros puntos críticos.
0,5
o
-0,5
Eje y
2
o
Ejex
�-�!j��t�i���;:�s�� Gráfica de z = sen (nx)/(1 + y2).
En los Ejercicios 9 al 14, hallar los extremos de las funciones dadas sujetas a las restricciones especifi­
cadas.
9. f(x,y)=x
2
2J:}'+2/,sujetaax2+/=l.
10. f(x,y)=J:}' /,sujetaax
2
+y2 l.

Capítulo 3. Derivadas de orden superior: máximos y mínimos
249
11. f(x, y)=cos (x2 �/), sujeta a x2+ /= l.
13. z= xy, sujeta a la condición x+ y = l.
14. z= cos2
x+ cos
2
y, sujeta a la condición x+ y= rr/4.
15. Hallar los puntos de la superficie z2 �xy 1 más cercanos al origen.
16. Utilizar el teorema de la función implícita pata calcular dy/dx pata
a) x/y= 10.
b) x3 � seny+y4=4
e) ex+y
2
+ l=O.
17. Hallar la distancia más corta del punto (0, b) a la parábola x2 � 4y=O. Resolver este problema utili­
zando el método de los multiplicadores de Lagrange y también sin usar dicho método.
18. Resolver los siguientes problemas geométricos mediante el método de Lagrange.
a) Hallar la distancia más corta del punto (a¡, a
2
,
a3)enIR
3
al plano de ecuación
b1x1+b
2
x
2
+b3x3+b0=O,donde(b1,b
2
, b3)-¡:. (0, O, 0).
b) Hallar el punto más próximo al origen sobre la recta de intersección de los dos planos
a1x1+ a
2
x2+ a3x3=O y b1x1+ b
2
x
2
+ b3x3+ b0 =O.
e) Demostrar que el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que se puede inscribir en el
elipsoide
es 8abc/3fi.
19. Una partícula se mueve en un potencial V(x, y)= x
3
�
y2+ x2+ 3xy. Determinar si (0, 0) es un pun­
to de equilibrio estable --esto es, si (0, 0) es o no un punto de mínimo local estricto de V.
20. Estudiar la naturaleza de la función f(x, y)= x
3
�
3.xy2 cerca de (0, 0). Demostrar que el punto (0, O)
es un punto crítico degenerado, esto es, D = O. Esta superficie se llama silla de mono.
21. Hallar el máximo de f(x, y)=X)' sobre la curva (.x+ 1)2+ /= l.
22. Hallar el máximo y el mínimo de f(.x, y)= xy �y+ x � 1 en el conjunto .x2+ / <:
:;
2.
23. La planta de Baraboo, Wisconsin, de la Intemational Wídget Co., Inc., usa aluminio, hierro y mag­
nesio para producir cachivaches de alta calidad. La cantidad de cachivaches que se puede producir
utilizando x toneladas de aluminio, y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q(x, y, z)=XJ'Z.
El coste de las materias primas es: aluminio, 6 dólares por tonelada; hierro, 4 dolares por tonelada; y
magnesio, 8 dólares por tonelada. ¿Cuántas toneladas de aluminio, hierro y magnesio deberán usarse
para manufacturar 1.000 cachivaches al menor coste posible? [INDICACIÓN: Hallar un valor de extre­
mo, ¿de qué función sujeta a qué restricción?].
24. Sea.f:IR-.IRdeclaseC
1
y sea:
u=f(x)
v= -y+ xf(x).

250
Cálculo vectorial
Si f'(x0) # O, probar que esta transformación de !F&2 en !F&2 es invertible cerca de (x0, y0) y que su
inversa está dada por
25. Demostrar que el par de ecuaciones
x=f
I
(u)
y= �v+uf-
1
(u).
x2�l
u3+v2+4=O
2xy+l�2u2+3v4+8=O
determinan funciones u(x, y) y v(x, y) definidas para (x, y) próximo a x= 2 e y=
u(2, � 1) 2yv(2, � 1)=l.Calcularcujoxen(2. � 1).
l, tales que
26. Demostrar que existen números positivos p y q, y funciones únicas u y v del intervalo ( 1 � p,
�
1+p)enelintervalo(l �q,1+q)quesatisfacen
xeu(x) + u(x)ev(x)= O= xev(x) + v(x)eu(x)
para todo x en el intervalo ( � 1
�
p, �1+p)conu(�1)=l=v(�1).
27. Para hacer este ejercicio, el lector deberá estar familiarizado con la técnica de diagonalización de una
matriz 2 x 2. Sean a(x), b(x) y c(x) tres funciones continuas definidas en U u eU, donde U es un
conjunto abierto y e U denota el conjunto de los puntos de su frontera (véase la Sección 2.2). Usamos
la notación del Lema 2 de la Sección 3.3 y suponemos que para cada X E u u au la forma cuadrática
definida por la matriz
es definida positiva. Dada una función V de clase C2 en u u au, definimos el operador diferencial L
mediante Lv= a(32vjo:?) + 2b(o2vjoxoy) + c(o2v/ol). Dada la condición de que la matriz sea defi­
nida positiva, se dice que este operador es elíptico. Se dice que una función v es estrictamente subar­
mónica respecto a L si Lv > O. Demostrar que una función estrictamente subarmónica no puede tener
un punto de máximo en U.
28. Se dice que una función v está en el núcleo del operador L descrito en el Ejercicio 27 si Lv= O en
u u au. Argumentando como en el Ejercicio 37 de la Sección 3.3, demostrar que si V alcanza su
máximo en U entonces también lo alcanza en í3U. Esto recibe el nombre de principio del máximo
débil para operadores elípticos.
29. Sea L un operador diferencial elíptico como el de los Ejercicios 27 y 28.
a) Definir la noción de función estrictamente superarmónica.
b) Demostrar que dichas funciones no pueden alcanzar su mínimo en U.
e) Si v es como la del Ejercicio 28, demostrar que si alcanza su mínimo en U, también lo alcanza
en au.
El método de los mínimos cuadrados que se describe a continuación deberá aplicarse en los ejercicios
del 30 al 35.
Sucede en ocasiones que la teoría que hay detrás de un experimento indica que los datos experimen­
tales deberían disponerse aproximadamente a lo largo de una recta de la forma y= mx + b. Está claro
que los resultados obtenidos en la realidad nunca concuerdan exactamente con la teoría. Nos enfrentamos

entonces al problema de hallar la recta que se ajusta mejor a un cieno conjunto de datos experimentales
(x¡, y1), .•., (xn, y,), como en la Figura 3.R.5. Si conjeturamos que la recta y= mx + b se ajustará a los
datos, cada punto se desviará verticalmente de la recta en la cantidad d, =y,� (mx,+b).
Figura.ajü,:> El método de los mínimos
cuadrados trata de hallar la
recta que aproxima mejor a un
conjunto de datos.
Nos gustaría escoger a y b de tal manera que el efecto total de estas desviaciones sea tan pequeño
como sea posible. Sin embargo, como algunas son negativas y otras son positivas, podríamos tener muchas
cancelaciones y obtener un ajuste muy malo. Esto nos hace sospechar que una mejor medida del error total
podría ser la suma de los cuadrados de estas desviaciones. Así, llegamos al problema de hallar m y b que
minimicen la función
S=f(m,b)=df+d�+· ·· +d�=L(V¡�ln:X¡ b)2
,
i=l
donde X¡, . . . , x, e y1, .•.,y, son los datos dados.
30. Para cada conjunto de tres puntos dato, dibujar los puntos, escribir la función f(m, b) a partir de la
ecuación anterior, hallar los valores m y b que dan la recta que mejor se ajusta de acuerdo con el
método de los mínimos cuadrados, y dibujar dicha recta.
a) (x1,y1)= (l, 1)
(x2o Y2) = (2, 3)
(x3, )'})= (4, 3).
b) (X¡,)'¡) = (0, 0)
(x2, Y2l = (1, 2)
(x3, )'}) = (2, 3).
31. Demostrar que si sólo se dan dos puntos dato (x1,y1) y (x2, J2), este método produce la recta que pasa
por (x1,y1) Y (x2, J2) .
32. Demostrar que las ecuaciones para determinar puntos cliticos 3sfí3b = O y 3s/í3m= O son equivalen­
tes a
y
donde todas las sumas van de i= l a i= n.
33. Siy= mx+b es la recta que mejor se ajusta a los datos (x1, y1), ... , (x,,y, ) de acuerdo con el
método de los mínimos cuadrados, demostrar que
L(y,�nu:, �b)=O;
i=l
esto es, la desviaciones positivas y negativas se cancelan (véase el Ejercicio 32).

252 Cálculo vectorial
34. Utilizar el criterio de la derivada segunda para demostrar que el punto crítico de f es un punto de
mínimo.
35. Utilizar el método de los mínimos cuadrados para hallar la recta que mejor se ajusta a los puntos (0,
1), (1, 3), (2, 2), (3, 4) y (4, 5). Dibujar los puntos y la recta 17
17 El método de los mínimos cuadrados se puede modificar y generalizar de varias maneras. La idea básica se pue­
de aplicar a ecuaciones de curvas más complicadas que la rec ta. Por ejemplo, esto se puede hacer para hallar la parábola
que mejor se ajusta a un conjunto dado de puntos dato. Estas ideas también formaron parte de las bases para el desa­
rrollo, debido a Norbert Wiener, de la cibernética. Otra versión del problema de aproximación por mínimos cuadrados
es la siguiente: dada una función f definida e integrable en [a, b], encontrar un polinomio P de grado ,; 11 tal que el
error cuadrático medio
f [f(x) � P(x)[2 dx
sea lo más pequeño posible.

4.1.
Funciones
con valores vectoriales
... quien con vigor mental casi divino, fue el primero en demostrar los
movimientos y formas de los planetas, las trayectorias de los cometas
y el flujo de las mareas.
L os Capítulos 2 y 3 se centraron en las funciones con valores reales. Este capítulo se dedica
principalmente al estudio de las funciones con valores vectoriales. Comenzamos en la pri­
mera sección con una continuación de nuestro estudio de las trayectorias, añadiendo aplicacio­
nes de la segunda ley de Newton. Luego, estudiamos la longitud de arco. Después de esto, defi­
nimos la divergencia y el rotacional· de un campo vectorial que, juntamente con el gradiente,
son los operadores básicos del cálculo diferencial vectorial. En particular, se estudian los princi­
pales aspectos geométricos y propiedades an alíticas de la divergencia y el rotacional. El cálculo
integral asociado se verá más adelante, en el Capítulo 8.
La aceleración y la segunda ley de Newton
En la Sección 2.4, estudiamos la geometría básica de las trayectorias, aprendiendo a esbozar
curvas (las imágenes de las trayectorias) y calcular rectas tangentes. También aprendimos a
interpretar una trayectoria, como su nombre sugiere, en términos del movimiento de una partí­
cula y en, consecuencia, a ver la derivada de una trayectoria como su vector velocidad. En esta

254
Cálculo vectorial
sección continuamos nuestro estudio de las trayectorias incluyendo algunos aspectos adiciona­
les, en particular el concepto de aceleración y la segunda ley de Newton.
Diferenciación de trayectorias
Recordemos que una trayectoria en IR" es una aplicación e de IR o un intervalo en IR con valores
en IRn. Si la trayectoria es diferenciable, su derivada en cada instante tes una matriz n x l. Más
concretamente, si las componentes del vector c(t) son x1 (t), . .. , x,Jt), la matriz derivada es
ldx1/dt]
dx7/dt
c'(t) = �-
,
dx,:jdt
que también puede escribirse en forma de vector como
o
ex; (t), . .., x;,(t)).
Recordemos de la Sección 2.4 que c'(t) es el vector tangente a la trayectoria en el punto c(t).
Recordemos también que si e representa la trayectoria de una partícula en movimiento, entonces
su vector velocidad es
v = c'(t),
y su rapidez es s = llvll-
El cálculo práctico de derivadas de trayectorias se simplifica si tenemos en cuenta las si­
guientes reglas:
Estas reglas se deducen inmediatamente aplicando componente a componente las fórmulas
usuales de derivación de funciones escalares.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
255
Demostrar que si c(t) es una función vectorial tal que [[c(r)[[ es constante, enton­
ces c'(t) es perpendicular a c(t) para todo t.
Solución
Puesto que [[c(t)ll es constante, entonces su cuadrado llc(t)ll2 = c(t) · c(t) también lo es. La deri­
vada de una constante es cero, de modo que aplicando la fórmula para la derivada del producto
escalar de dos funciones vectoriales,
d
O =- [c(t) · c(t)] = c'(t) · c(t) + c(t) · c'(t) = 2c(t) · c'(t);
dt
por tanto, c(t) · c'(t) = O; es decir, c'(t) es perpendicular a c(t).
Para una trayectoria que describe un movimiento rectilíneo y uniforme, el vector velocidad es
constante. En general, el vector velocidad es una función vectorial v = c'(t) que depende de t. Su
derivada a = dv/dt = c"(t) se denomina aceleración de la curva. Si la curva es (x(t), y(t), z(t)),
entonces la aceleración en el instante t viene dada por
a(t) = x"(t)i + y"(t)j + z"(t)k.
Una partícula se mueve de manera que su aceleración es igual al vector constante
-k.Sienelinstantet=Oseencuentraenelpunto(0,O,1),ylavelocidadent=Oesi+j,
¿cuándo y en qué punto cruza la partícula el plano z = 0'l Describir la trayectoria seguida por la
partícula (suponiendo t ::;
;,
0).
Solución
Sea (x(t), y(t), z(t)) la trayectoria descrita por la partícula, de modo que el vector velocidad es
c'(t) = x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k. La aceleración c"(t) es igual a -k, de manera que x"(t) = O,
y"(t) = O y z"(t) = -l. Se sigue que x'(t) e y'(t) son funciones constantes, y z'(t) es una fun­
ción lineal, con pendiente -l . Puesto que c'(O) = i + j, obtenemos c'(t) = i + j - tk. Inte­
grando de nuevo, y usando que la partícula parte inicialmente del punto (0, O, l), obtenemos que
(x(t), y(t), z(t)) = (1, t, 1 - �P). La partícula cruza el plano z = O cuando 1 - �t2 = O, es decir,
t=J2(porquet::;
;,
0). En �se instante su posición es (.j2, .j2, 0). La trayectoria descrita por
la partícula es una parábola en el plano y = x (véase la Figura 4.1 .1), puesto que en ese plano la
ecuación viene descrita por z = 1 � x2
z
X
La trayectoria de la partícula con posición inicial (0.0, 1 ),
velocidad inicial i + j y aceleración constante -k es una
parábola en el plano y= x.

256
Cálculo vectorial
La imagen de una trayectoria C1 no es necesariamente «muy suave»; en efecto, puede tener
bruscos cambios de dirección. Por ejemplo, corno puede verse en la Figura 2.4.6, la cicloide
c(t) = (t sen t, 1 - cos t) no tiene recta tangente cuando e toca al eje x (es decir, cuando
1 - cos t =O, lo que sucede cuando t = 2nn, n =O, ± 1, ...).Otro ejemplo es la hipocicloide de
cuatro puntas, e: [0, 2n] -+IR?, t-+ (cos3 t, sen3 t), que tiene picos o cúspides en cuatro puntos
(véase la Figura 4.1.2). En tales puntos, c
'
(t) = O, lo que es coherente con la no existencia de
recta tangente. Evidentemente, la dirección de la velocidad c'(t) puede cambiar abruptamente en
los puntos en los que la partícula se ha parado.
Diremos que una trayectoria diferenciable e es regular en t = t0 si c'(t0) i= O. Si se verifica
c'(t) i= O para todo t, diremos que e es una trayectoria regular. En este caso, la curva imagen
tiene un aspecto suave.
y
Imagen de e
{Fi;&ü�;iiifi'�:Z-�•· La imagen de la trayectoria regular
c(t) = (cos3 t. sen3 t), una hipocicloide,
no tiene un «aspecto suave».
Una partícula se mueve sobre una hipocicloide, según la ecuación
x=cos3t,
y= sen3 t,
a:(t:(b.
¿Cuáles son la velocidad y la rapidez de la partícula?
Solución
El vector velocidad de la partícula es
y su rapidez es
dx dv
v=-i+..
...::..
j= - (3sentcos2t)i+(3costsen2t)j,
dt
dt
s=llvll =(9sen2tcos4t +9cos2tsen4t)112=3lsentllcost!.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
2.57
La segunda ley de Newton
Si una partícula de masa m se mueve en IR3, la fuerza F que actúa sobre ella en el punto c(t) está
relacionada con la aceleración a(t) mediante la segunda ley de Newton 1:
F(c(t)) = ma(t).
En caso de que sobre la partícula no actúe ninguna fuerza, entonces a(t) = O, de modo que c'(t)
será constante, y la partícula seguirá una línea recta.
En el problema de determinar la trayectoria c(t) de una partícula bajo la influencia de un
campo de fuerzas dado F, la ley de Newton se convierte en una ecuación diferencial (es decir,
una ecuación que involucra derivadas) para c(t).
Por ejemplo, el movimiento de un planeta que sigue una trayectoria r(t) alrededor del Sol
(que consideramos situado en el origen de coordenadas de IR3) obedece a la ley
GmM
nzr"=-
r,
donde M es la masa del Sol, m la del planeta, r = llrll, y G es la constante gravitacional. La
relación usada para detenninar la fuerza, F = - GmMrj?, se denomina ley de Newton de la
gravitación (véase la Figura 4.1.3). No harernos en este libro un estudio general de tales ecua­
ciones, sino que nos restringiremos al caso especial de las órbitas circulares. (Órbitas más gene­
rales -las secciones cónicas- se discuten en el suplemento de Intemet.)
X
z
Una masa M atrae a una masa m con una
fuerza F dada por la ley de Newton
de la gravitación: F = - GmMr!r3
1 tviuchos científicos consideran que F = ma es ]a ecuación más importante en ciencia e ingeniería.

258
Cálculo vectorial
Órbitas circulares
Consideremos una partícula de masa m que se mueve con rapidez constante s siguiendo una
trayectoria circular de radio r0. Si suponemos que se mueve en el plano xy. podemos suprimir la
tercera componente, y escribir su posición como
(st
st)
r(t) = r0cos-, r0sen-
.
ro
ro
Nótese que esto es la ecuación de una circunferencia de radio r0 y que su rapidez es llr'(t)ll = s.
La cantidad sjr0 se denomina frecuencia y se denota por w. Por tanto,
r(t) = (r0cos wt, r0sen wt).
La aceleración viene dada por
a(t) = r"(t) =
(-�cosE_, -�senE_)= - �r(t)=
w2r(t).
ro
ro
ro
ro
ro
Es decir, la aceleración tiene la dirección opuesta a r(t), de modo que apunta hacia el centro de
la circunferencia (véase la Figura 4.1 .4). Esta aceleración, multiplicada por la masa de la par­
tícula, se denomina fuerza centrípeta. Aun cuando la rapidez es constante, la dirección de la
velocidad está cambiando continuamente, y por tanto la aceleración, que mide una razón del
cambio bien en rapidez, bien en dirección, bien en ambas, es distinta de cero.
y
Figura;4:�·llf';: La posición. velocidad y aceleración de una partícula
en movimiento circular.
La ley de Newton ayuda a descubrir una relación entre el radio de la órbita y el período, es
decir, el tiempo que la partícula que gira tarda en describir una vuelta completa. Consideremos
un satélite de masa m que se mueve con rapidez s alrededor de un cuerpo central de masa M
siguiendo una órbita circular de radio r0 (distancia medida desde el centro del sólido esférico
central). Por la segunda ley de Newton, F = ma, obtenemos
s
2
m
GmM
-
�
o
r(t) = - �3- r(t).
ro
ro

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
259
Las longitudes de los vectores de ambos lados de esta ecuación deben ser iguales. Por tanto,
Si T denota el periodo, entonces s = 2nr0/T; sustituyendo este valor en la ecuación precedente,
y despejando T, obtenemos lo siguiente:
Hemos definido dos conceptos básicos asociados con una trayectoria: su velocidad y su acelera­
ción. Ambos requieren del cálculo diferencial. El concepto básico de la longitud de una trayec­
toria, que requiere del cálculo integral, será considerado en la sección siguiente.
Supongamos que un satélite sigue una órbita circular en tomo a la Tierra de mo­
do que permanece fijo en el cielo sobre un punto del ecuador. ¿Cuál es el radio de una tal órbita
geoestacionaria? (La masa de la Tierra es de 5,98 x 1024 kilogramos y G = 6,67 x 10-11 en el
sistema de unidades metro-kilogramo-segundo.)
Solución
El periodo del satélite debe ser 1 día, es decir T = 60 x 60 x 24 = 86.400 segundos. A partir
de la fórmula T2 = r6(2n)2/GM, obtenemos r6 = T2GM/(2ni, de modo que
(86.400)2 X (6,67 X 10 -!! ) X (5,98 X 1024)
�-
---
-·----
-�-------
-
;.;:
:;
7,54 x 1022 m
3
.
Portanto, r0=4,23 x107m=42.300km.
Suplemento a la Sección 4. 1 : Órbitas planetarias,
principio de Hamilton y trayectorias de naves espaciales
En esta sección hemos estudiado trayectorias en el espacio y la segunda ley de Newton. Afor­
tunadamente, el estudiante puede darse cuenta de que estas ideas se aplican al mundo real -el
movimiento de la Tierra alrededor del Sol, por ejemplo, está gobernado por estas leyes. Pero la
historia no termina aquí, como intentaremos mostrar a continuación.

260
Cálculo vectorial
Feynman y el principio de Hamilton
En sus legendarias Lecciones de Física del Caltech, el premio Nobel de Física Richard Phillips
Feynman (véase la Figura 4.1.5) incluyó lo que denominó una «Lección especial>> sobre un te­
ma muy querido para él, que escuchó por primera vez a su profesor de secundaria en Nueva
York, Mr. Bader. Mr. Bader contó a su (aparentemente aburrido) estudiante Feynman cómo
aplicar principios de máximo y mínimo a las trayectorias de objetos en movimiento y en parti­
cular cómo el principio de acción de Maupertuis, Leibniz y Hamilton (examinado en la Sección
3.3) se aplica a la mecánica newtoniana, gobernada por F = ma.
El profesor Feynman, al final de su lección, señala que «Un físico, un estudiante de Mr. Ba­
der, demostró en 1942 cómo este principio de acción era también aplicable a la mecánica cuán­
tica>>. Este estudiante fue el propio Feynman, quien recibió el premio Nobel por sus aportacio­
nes, que también incluyen el descubrimiento de las integrales de Feynman. La moraleja de esta
historia es: Presta atención a tus profesores -¡especialmente a los mejores!
A continuación incluimos la primera parte de la conferencia de Feynman, y una versión más
detallada en el suplemento de Internet; consultar la lección 19 del volumen II de las Lecciones
de física de Feymnan para ver el texto completo.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
261
Richard P. Feynman (1918-1988).
El principio de mínima acción, por Richard Feynman
Cuando era un estudiante de secundaria, mi profesor de Física -cuyo nombre era Mr. Ba­
der- me llamó un día después de su clase y me dijo: <<Pareces abmTido; voy a contarte algo
interesante,. Entonces, me explicó algo que me pareció absolutamente maravilloso, y que,
desde entonces, siempre me ha fascinado. Cada vez que el tema aparece, trabajo sobre él.
En efecto, cuando comencé a preparar esta conferencia, me vi a mí mismo haciendo más
análisis sobre él. En lugar de preocuparme de la charla, me vi envuelto en un nuevo proble­
ma. El tema es este, el principio de mínima acción.
Mr. Bader me contó lo siguiente: Supongamos que tenemos una partícula (en un campo
gravitatorio, por ejemplo) que parte de algún lugar, y se mueve libremente hacia otro punto
-la lanzamos, y entonces sube y después baja (véase la Figura 4.1.6).
Movimiento real �
".
.
Final
Inicio
La partícula va de la posición inicial a la posición final en un cierto intervalo de tiempo.
Ahora, intentamos un movimiento diferente. Supongamos que para ir de un punto al otro, lo
hacemos de esta forma (véase la Figura 4.1.7), pero hacemos el recorrido justo en el mismo
intervalo de tiempo.
Entonces, dijo: «Si calculas la energía cinética de la trayectoria en cada instante, restas
la energía potencial e integras el resultado a Jo largo del tiempo que dura el recoiTido, verás
que obtienes un número más grande que el obtenido para el movimiento real>> .

262
Cálculo vectorial
En otras palabras, las leyes de Newton pueden enunciarse no en la forma F = ma sino
en la forma: la energía cinética media menos la energía potencial media es tan pequeña co­
mo sea posible para la trayectoria de un objeto que va de un punto a otro.
/� Final
\)t2
Inicio
Déjenme ilustrar un poco mejor qué significa esto. Sí tomamos el caso del campo gravi­
tatorio, entonces si la partícula sigue la trayectoria x(t) (por el momento, tomemos simple­
mente el caso unidimensional; imaginemos una trayectoria que sube y baja, sin desviaciones
laterales), donde x es la altura sobre el suelo, la energía cinética es �m(dx/dt)2 y la energía
potencial en cualquier instante es mgx. Ahora, tomo la energía cinética menos la potencial
en cualquier instante sobre la trayectoria e integro esto con respecto al tiempo desde el ins­
tante inicial hasta el instante final. Supongamos que en el instante inicial t1 partimos a cierta
altura y que en el instante final t
2
terminamos en algún otro lugar (véase la Figura 4.1.8).
X
Entonces la integral es
["' [l ('dx)2 J
J,,
2m
dt
�
mgx dt.
El movimiento real es algún tipo de curva -es una parábola sí lo dibujamos como función
del tiempo- y nos da un cierto valor para la integral. Pero podemos imaginar algún otro
movimiento, que suba muy alto, y después baje y suba de algún modo peculiar (véase la
Figura 4.1 .9).

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
263
Podemos calcular la energía cinética menos la energía potencial e integrar para tal
trayectoria... , o para cualquier otra trayectoria que queramos. El milagro es que la trayecto­
ria real es aquella para la que tal integral es mínima.
X
Trayectorias en la vida real
En nuestro propio sistema solar aparecen interesantes trayectorias en IR3 que obedecen a la se­
gunda ley de Newton y que son usadas por la NASA para planear misiones espaciales. Una de
esas misiones, la Genesis Discovery Mission, lanzada desde la Tietra el 8 de agosto de 2001 (y
que debe volver a la Tiena en septiembre de 2004) tiene una trayectoria especialmente intere­
sante, como se ve en la Figura 4.1 .1 O. Se puede encontrar más información sobre esta trayecto­
ria y los objetivos de la misión en http://gencsismission.jpl.nasa.govj.
Órbita
halo
/ Sol
Transferencia
a halo
Órbita
Trayectoria
de retorno
? f'i9UJ"á4.10�H)� Trayectoria de la nave espacial Genesis desde la Tierra hasta una órbita periódica situada
aproximadamente a un millón y medio de kilómetros de la Tierra, y la interesante trayectoria
de retorno a la Tierra.

264
Cálculo vectorial
Los puntos denotados por L1 y L2 son puntos de equilibrio (descubiertos por Euler) ent1
Tierra y e1 Sol. Una nave espacial colocada en uno de esos puntos permanecería allí indefin
mente. Hay órbitas periódicas alrededor de esos puntos que hemos denominado (libremente:
bitas halo. La dinámica básica de la nave espacial está gobernada por las atracciones de la
n·a y el Sol (y en muy pequeña medida por la Luna) sobre la nave. Por tanto, esto forma¡:
del célebre problema de los tres cuerpos estudiado y hecho famoso por Poincaré alredt
de 18902.
Emmy Noether y el principio de Hamilton
Emmy Noether (1882-1935) (véase la Figura 4.1.11) es probablemente más conocida por
trabajos en álgebra, pero también hizo una contribución significativa al p1incipio de Hamilt1
Para el movimiento planetario, el vector momento angular J = r(t) x mr(t) no depende
tiempo (es decir, es una cantidad que se conserva), como puede verse fácilmente calculand
derivada de J y usando F = ma (véase el Ejercicio 20). Lo que descubrió Noether fue una 1
funda conexión entre tales cantidades conservadas y las simetrías en el principio de Hami
-en
el caso del momento angular, su simetría rotacional-. Desde entonces, los descubrim
tos de Noether tuvieron una profunda influencia en el estudio de los sistemas mecánicos, t
clásicos como cuánticos.
Emmy Noether (1882-1935).
2 Para más información sobre Poíncaré. t:éase F. Dícau y P. 1-!olmes, Ce/esrial Encounrers. The Origin ol Chaos
Stability, Princeton University Press, Princeron, NJ, 1996.
3 T-- -�--�
-"""
...,
.,,-.
.
,..,�
,...,...,,- ,-,,.
..
-,

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
Z6S
En los ejercicios del 1 al 4, para el valor de 1 indicado, hallar los vectores velocidad y aceleración, y la
ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas siguientes:
l. r(t)=(cost)i+(sen2t)j, en t=O.
2. e(t)=(1sent, tcos1,J3r),en 1=O.
3. r(t)=Jlti+e'j+e-'k,ent=O.
4. e(t)=ti+tj+�t312k,ent=9.
En los ejercicios del 5 al 8, sea e1(t) = e' i +(sen t)j +?k y e2(t) = e-' i +(cos t)j - 2t3k. Hallar cada
una de las derivadas indicadas de dos maneras diferentes para comprobar las reglas de derivación de
trayectorias enunciadas antes del Ejemplo 4.1.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
d
-
[e 1 (t) + eo(r)].
dt
.
-
d
-
[e1(t) X eo (t)].
dt
"
d
-
{ e1(t) · [2eo(t) +e1(t)Jl.
dt
-
Si r(t) = 6ti +3t2j +t3k, ¿qué fuerza actúa sobre una partícula de masa m que se mueve a lo largo
derenelinstantet=O?
Supongamos que una partícula de masa 1 g sigue la trayectoria del Ejercicio l, con unidades en se­
gundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en el instante t = O? (La respuesta debe incluir
las unidades correspondientes.)
Un cuerpo de 2 kg de masa se mueve a lo largo de una circunferencia de 3 m de radio, completando
una revolución cada 5 segundos. Hallar la fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo.
Hallar la fuerza cennipeta que actúa sobre un cuerpo de 4 kg de masa, que se mueve sobre una cir­
cunferencia de 10 m de radio con una frecuencia de 2 revoluciones por segundo.
Demostrar que si la aceleración de un objeto es siempre perpendicular a la velocidad, entonces la
rapidez del objeto es constante. [INDICACIÓN: Véase e! Ejemplo 4.1.]
Demostrar que en un máximo o mínimo local de llr(t)l! el vector r'(t) es perpendicular a r(t).
Un satélite está en una órbita circular 500 millas por encima de la superficie terrestre. ¿Cuál es el
periodo de la órbita? (Como valor del radio de la Tierra podemos tomar 4.000 millas, o bien
6.436 x 106
metros.)
¿Cuál es la aceleración del satélite del Ejercicio 15?, ¿y la fuerza centrípeta?
Hallar la trayectoria e tal que e(O) = (0, -5, 1) y e'(t) = (t, e', r2).
Sea e una trayectoria en iR3 con aceleración nula. ?emostrar que e es una línea recta o un punto.

266
Cálculo vectorial
4.2.
19. Hallar trayectorias c(t) cuyas imágenes sean las siguientes curvas:
a) {(x, y) IY=e").
b) {(x, y)l4 x2 + y2= l}.
e) Una línea recta en IR3 que pasa por el origen y por el punto (a, b, e).
d) {(x, y)J9x2 + 16/=4}.
20. Sea c(t) una trayectoria, v(t) su velocidad y a(t) la aceleración. Supongamos que F es una aplicación
C1 de IP13 en IP13, m >O, y F(c(t)) = ma(t) (segunda ley de Newton). Demostrar que
d
-
[mc(t) x v(t)]=c(r) x F(c(r))
dt
(es decir, <<razón del cambio de momento angular=momento de la fuerza>>). ¿Qué podemos concluir
si F(c(t)) es paralelo a c(t)? ¿Es éste el caso del movimiento planetario?
21. Continuar las investigaciones del Ejercicio 20 para demostrar la ley de Kepler que afirma que la
trayectoria de un planeta que se mueve alrededor de un sol bajo la int1uencia de la gravedad está
contenida en un plano.
Longitud de arco
Definición de longitud de arco
¿Cuál es la longitud de una trayectoria c(t)? Puesto que la rapidez llc'(t)ll mide la razón del cam­
bio de la distancia recorrida con respecto del tiempo, la distancia recorrida por un punto que se
mueve sobre la curva debe ser igual a la integral de la rapidez con respecto al tiempo sobre el
intervalo [t0, t1] que dura el trayecto; es decir, la longitud de la trayectoria, también llamada su
longitud de arco, es
i,,
L(c) = llc'(t)il dt.
'o
Se plantea la pregunta de si esta fórmula efectivamente corresponde con la verdadera longi­
tud de arco. Por ejemplo, supongamos que tomamos una curva en el espacio y pegamos sobre
ella ajustadamente una cinta, cortando el sobrante de manera que la cinta se superponga exacta­
mente sobre la curva. Si después despegamos la cinta, la enderezamos y la medimos con una
regla, es claro que obtendremos exactamente la longitud de la curva. Al final de esta sección se
justifica que nuestra fórmula para la longitud de arco coincida con el resultado obtenido por este
procedimiento.
La longitud de arco de la trayectoria c(t) = (r cos t, r sen t), para t contenido en el
intervalo [0, 2n], es decir, para O � t � 2n, es
12"
L(c) = J o j(-rsent)2 + (rcosr)2dt = 2nr,

, Capítt,llo A.- funcio11
_
es �o
_
r;,;:alores vectoriales
267
ENTRE Fi.iOS - REP. ARGEI",ffH"'.!A
que es la longitud de una circunferencia de radio r. Si hubiéramos tomado O :( t :( 4n:, habría­
mos obtenido 4n:r, puesto que en ese caso la trayectoria recorre por dos veces la misma circun­
ferencia (Figura 4.2.1 ).
__F igu r: � -f. '2: 1 ,, La longitud de arco de una circunferencia
recorrida dos veces es 4nr.
Para curvas planas, se omite el término z'(t), como en el Ejemplo 4.5. A continuación se mues­
tra un ejemplo en [R3.
Hallar lalongitudde arco de (cost, senr, r),O:(t:( n:.
Solución
La trayectoria c(t) = (cos t, sen t, r) tiene como vector velocidad V = (-sen t, cos t, 2t). Puesto
que
la longitud de arco es
L(c) = I 2FGYdt.
Esta integral puede evaluarse usando la siguiente fórmula de la tabla de integrales:

Z68
Cálculo vectorial
Por tanto,
1 [ j(¡)2 (1)2( f (1)2)]1"
L(e)=2-2
t.J?+2 +2 log t+)t2+2
r=O
��(�)1(!1)
=rr
,r'..,.. 4+4log rr+ ..¡n +4 -4Iog )4
1[
1
=--J
1+ 4rr2+ -log (2rr+ v
1+ 4rr2) ::
::::
10,63.
2
4
Como una comprobación de nuestro resultado, podemos observar que la trayectoria e conecta
los puntos
(
1,O,O)y(-
1, O, rr2). La distancia entre estos puntos es J4 + rr2 ::
::::
3,72, que es
menor que 10 ,63, como debía ser.
Sí una curva está formada por un número finito de trozos cada uno de los cuales es C1 (con
derivada acotada), calculamos su longitud de arco sumando las longitudes de cada uno de sus
trozos. Tales curvas se denominan cr a trozos. A veces diremos simplemente «suaves a trozos>>.
·
•
�,
Una bola rodando en una mesa de billar sigue la trayectoria e:
[
-
1,1]-+JR3de-
finida por e(t)=(x(t), y(t), z(t))=(it\, it - �\, 0). Hallar la distancia recorrida por la bola.
Solución
Esta trayectoria no es suave, porque x(t)=itl no es diferenciable en t=O, como tampoco
y(t)=it- �� es diferenciable en�- Sin embargo, si dividimos el intervalo
[
-
1, 1] en los trozos
[
1, 0],
[
0,�1 y
[
�, 1], vemos que x(t) e y(t) tienen derivadas continuas en cada uno de los
intervalos
[
-
1, 0],
[
0,�] y
[
�, 1]. (Véase la Figura 4.2.2.)
En el intervalo
[
- 1, 0], x(t)= - t, y(t)= - t +� y z(t)=O, de modo que JJe'(t)J\=)2.
Por tanto, la longitud de arco de e entre -
1 y O es J�1 J2 dt=..j2. Análogamente, en
[
0,�],
x(t)=t, y(t)= - t + �. z(t) =O, y nuevamente lle'(t)JI=)2, de manera que la longitud de arco
de e entre O y� es �J2. Finalmente, en
[
�, 1] tenemos x(t)=t, y(t)=t- �. z(t) =O, y la longi­
tud del arco e entre� y 1 es�J2. Por tanto, la longitud de arco total de e es 2)2. Por supuesto,
también podríamos haber calculado la solución como la suma de las distancias desde e(1)
hasta e(O), desde e(O) hasta e(�), y desde e(�) hasta e(l).
y
Una trayectoria suave a trozos.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
269
Considérese una partícula cuya función de posición es
c(t)=(t-sent, 1 -cost),
que describe la cicloide estudiada en la Sección 2.4 (véase la Figura 2.4 .6). Hallar la velocidad,
la rapidez y la longitud de un arco.
Solución
El vector velocidad es c'(t) = (1 - cost, sent), de manera que la rapidez en el punto c(t) es
llc'(t)ll = jo - cost)2 + sen2t = j2 - 2 cost.
Por tanto, c(t) se mueve con rapidez variable, aunque el círculo rueda a velocidad constante.
Además, la rapidez de c(t) es cero cuando t es un múltiplo entero de 2n. En esos valores de t, la
coordenada y del punto c(t) es cero y por lo tanto el punto está sobre el eje x. La longitud de
arco de un ciclo es
('
2
n
¡2n �
L(e)=j0..j2-2costdt=2
J0 V--;¡-
--
dt
= 2J:"sen�dt(porque1-cost=2sen2�ysen�?oOen[0,2n])
La diferencial de la longitud de arco
La fórmula de la longitud de arco sugiere la introducción de la siguiente notación, que será útil
en el Capítulo 7, en nuestro estudio sobre integrales de línea.

270
Cálculo vectorial
z
X
,¡------------..,.
.
,"
'
"'
:
""¡
'
'
�---T-------
'
'
'
'
':
,"'
,.
,,
dy
dx
fj�����:�:� Diferencial de la longitud de arco.
Estas fómmlas ayudan a recordar la fórmula de la longitud de arco como
it¡
Longitud de arco =
ds.
to"
.
Al igual que hicimos antes con otros conceptos geométricos como la longitud y el ángulo, pode­
mos extender la noción de longitud de arco a trayectorias en el espacio n-dimensionaL
Calcular la longitud de la trayectoria en IR4 dada por c(t) = (cos t, sen t, cos 2t, sen 2t)
y definida en el intervalo desde O hasta n.
Solución
Tenemos c'(t) = (-sen t, cos t, -2 sen 2t, 2 cos 2t) y por tanto
l+4=Js,

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
271
una constante, de manera que la longitud de la trayectoria es
('1t
JoJSdt=Jsn.
Es una práctica habitual introducir lafunción longitud de arco s(t) asociada a una trayecto­
ria c(t), mediante la fórmula siguiente:
s(t) = f llc'(u)lldu,
de modo que (por el teorema fundamental del cálculo)
s'(t) = llc'(t)JI
y,
rs'(t)dt = s(b) - s(a) = s(b).
Considérese la gráfica de una función de una vmiable y = f(x) para x en el
intervalo [a, b]. Podemos considerar esta gráfica como una curva parametrizada por t = x, es
decir, c(x) = (x, f(x)) para x entre a y b. La fórmula de la longitud de arco nos da
L(c) = r ..j l + [f'(x)fdx,
lo que coincide con la fómmla de la longitud de una gráfica hallada mediante el cálculo de una
variable.
Justificación de la fórmula de la longitud de arco
La discusión siguiente requiere el conocimiento de la integral definida, enunciada en términos
de las sumas de Riemann. Si la formación del lector en este tema necesita algún refuerzo, este
material puede posponerse hasta después del Capítulo 5.
En IR3 hay otro modo de justificar la fórmula de la longitud de arco, basada en aproximacio­
nes poligonales. Dividimos el intervalo [a, b] en N subintervalos de igual longitud:
a=t0<t1<···<tN=b;
para
O�i�N-1.
Consideramos la línea poligonal obtenida uniendo los sucesivos pares de puntos c(t¡), c(t¡+ 1 )
para O�i�N- l. Esto nos da una aproximación poligonal a e, como en la Figura 4.2.4.

272 Cálculo vectorial
Por la fórmula de la distancia en IR3, resulta que el segmento rectilíneo que une e(t¡) con e(t,.+ 1)
tiene longitud
donde e(t) = (x(t), y(t), z(t)). Aplicando el teorema del valor medio a x(t), y(t), y z(t) en el inter­
valo [t,., t,.+ 1 ], obtenemos tres puntos t[, t¡**, y t¡*** tales que
y,
x(t;+ 1) - x(t¡) = x'(t¡*)(t;+ 1 - t),
y(t¡+ ¡) - y(t¡) = y'(t¡**)(t;+ 1 - t;),
Así, el segmento rectilíneo que une e(r,.) con e(t;+ 1) tiene longitud
Por tanto, la longitud de nuestra aproximación poligonal es
N-1
SN = I v [x'(t,.*)f + [y'(t¡**)f + [z'(t,-*
*
*)]2 (t,.+ 1 - t,-).
i=O
Cuando N-+ oo, esta poligonal se aproxima cada vez más a la imagen de e; por tanto, pode­
mos definir la longitud de arco de e como el límite, si existe, de la sucesión SN cuando N__,. w.
Puesto que suponemos que las derivadas x
'
, y', y z' son continuas en el intervalo [a, b], podemos
concluir que, efectivamente, el límite existe, y viene dado por
••••••
•
lim SN = fb j[x'(t)f + [y'(t)f + [z'(t)f dt.
N-eo
a
z
e
X
Una trayectoria e se puede aproximar mediante una línea poligonal obtenida uniendo cada
e( t;) con e( t1+ 1 ) mediante un segmento rectilíneo.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
273
(La teoría de integración relaciona la integral con límites de sumas mediante la fórmula
Íb
N-J
f(t) dt = lim L f(r¡*)(t¡+ 1 - r¡),
.;a
N--
-+
x} i=O
donde t0, . .., tN es una partición de [a, b], t¡* E [r¡, ti+¡] es arbitrario y f es una función continua.
En nuestro caso puede ocurrir que los puntos t¡*, t¡** y t¡*** sean diferentes, y por ello se necesi­
ta una extensión conveniente de la fórmula anterior.)
En los ejercicios del 1 al 6, hallar la longitud de arco de la curva dada en el inren,alo especificado4
.
l.
2.
3.
4.
5.
6.
(2cost.2sent,t),paraO�t�2rr.
(1, 3r, ?), para o�t � l.
(sen3t, cos3t, 2t312),paraO�t� l.
(2/2n
17)
t+1, T t3
'-+7, 2 r ,para 1
(t,t,r),para1�t�2.
(t,tsent,tcost),paraO�t�rr.
�t�2.
7. Hallar la longitud de la trayectoria e(t), definida por e(t) = (2 cos t, 2 sen t, t), si O � t � 2rr, y por
e(t)=(2,t -2rr,t),si2rr�t�4rr.
8. Sea e la trayectoria e(t) = (t, t sen t, t cos t). Hallar la longitud de arco de e entre los dos puntos
(0,O,O)y(rr,O, - rr).
9. Sea e la rrayectoria e(t) = (2t, r2, log t), definida para t > O. Hallar la longitud de arco de e entre los
puntos (2, 1, O) y (4, 4, log 2).
10. Dada una trayectoria e(t), la función longitud de arco asociada s(t), dada por s(t) = f lle'(r)Jidr,
representa la distancia recorrida hasta el instante t por una partícula que viaja a lo largo de la
trayectoria, habiendo iniciado su movimiento en el instante a; es decir, da la longitud de e entre
e(a) y e(t). Hallar las funciones longitud de arco para las curvas rx(t) = (cosh t, senh t, t) y
{J(r)=(cost,sent,t),tomandoa =O.
4 Varios de estos problemas requerirán el uso de la fórmula
f1-
2
-
2
1[
,
-
?
-,
'
�·J
-.Jx+adx=2 xyx-+a-+a-log(x+.,¡x"+a")+C,
que puede encontrarse en la tabla de integrales al final de este libro.

274
Cálculo vectorial
11. Sea c(t) una trayectoria dada, con a :s; t :S; b. Seas= cx(t) una nueva variable, donde ex es una función
C1, estrictamente creciente, definida en [a, b]. Para cada s en [a(a), a(b)], existe un único t tal que
a(t)= s. Defínase la función d: [a(a), a(b)]-> �3 mediante la ecuación d(s)= c(t).
a) Justificar razonadamente que las curvas e y d tienen la misma imagen.
b) Demostrar que e y d tienen la misma longitud de arco.
('l
e) Seas=cx(t)=1 1lc'(-rJII d-r. Defínase d igual que antes, d(s)= c(t). Demostrar que
La trayectoria s-> d(s) se denomina reparametrización de e por la longitud de arco (véase también
el Ejercicio 13).
En los ejercicios del 12 al 17 se desarrollan algunos aspectos de la geometría diferencial clásica de
curvas.
12. Sea e: [a, b] -> �3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los
órdenes). Supongamos c'(t) #O para todo r. El vector c'(t)/llc'(t)ll= T(t) es tangente a e en el punto
c(t) y, puesto que !IT(r)!l= 1, T se denomina la tangente unitaria a c.
a) Demostrar que T'(t) · T(t)=O. [INDICACIÓN: Derivar T(t) · T(t)= l.]
b) Escribir una fórmula para T'(t) en términos de c.
13. a) Una trayectoria c(s) se denomina una reparametrización por la longitud de arco o, lo que es lo
mismo, se dice que tiene rapidez unitaria, si !!c'(s)ll= 1. Para una trayectoria parametrizada por
la longitud de arco en [a, b], demostrar que /(e)=b- a.
b) La curvatura en un punto c(s) de una trayectoria se define por k=IIT'(s)ll cuando la trayectoria
está parametrizada por la longitud de arco. Demostrar que k=llc"(s)ll-
e) Sí e viene expresada en términos de algún otro parámetro t, y c'(t) es siempre distinto de O, de­
mostrar que k= llc'(t) x c"(tlll/!lc'(t)ll3
d) Calcular la curvatura de la hélice c(t)=O/.J2)(cos t, sen t, r). (Esta curva e es un múltiplo esca­
lar de la hélice circular recta.)
14. Si T'(t) #O, del Ejercicio 12 se deduce que N(t)=T'(t)/IIT'(t)ll es normal (es decir, perpendicular) a
T(t); N se denomina vector normal principal. Consideremos un tercer vector unitario perpendicular a
T y a N, definido por B=T x N; B se denomina vector binormal. Los tres juntos, T, N y B, forman
un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de
la trayectoria (Figura 4.2 .5). Demostrar que
dB
a) -·B=O.
dt
dB
b)
T=O.
dt
e) dB/dt es un múltiplo escalar de N.

X
15.
z
Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
275
"�igura�4:2.s;· Tangente T. normal principal N y binormal B.
>". ,,,.,
,''�;"_,
Si c(s) está parametrizada por la longitud de arco, usamos el resultado del Ejercicio 14(c) para definir
una función con valores escalares r, llamada torsión, mediante la fórmula
dB
ds
a) Demostrar que T = [c'(s) x c"(s)] · c'"(s)/llc"(s)ll2
b) Demostrar que si e está expresada en términos de otro parámetro t,
[c'(t) x c"(t)] · c"'(t)
r=
lic'(t) x c"(t)l12
Comparar con el Ejercicio 13(c).
e) Calcular la torsión de la hélice c(t) = (l/j2)(cos t, sen t, t).
16. Demostrar que si una trayectoria está contenida en un plano, entonces su torsión es cero. Para ello,
probar que B es constante y es un vector normal al plano que contiene a c. (Si la torsión no es cero,
entonces da una medida de lo rápidamente que la curva se despega del plano formado por T y N.)
17. a) Utilizar los resultados de los Ejercicios 13, 14 y 15 para probar las .fórmulas de Frenet siguien­
tes para una curva de rapidez unitmia:
dT
-= kN·
ds
•
'
dN
ds
- kT+rB;
dB
ds
b) Reescribir en forma vectorial los resultados del apanado a), como
para un vector w apropiado.
-rN.
18. En relatividad especial, el tiempo propio de una trayectoria c:[a, b] -+ 11
11
4, con componentes dadas
por c(A) = (x(}c), y(}c), z(}.), t(J.)), se define mediante la fórmula:
•b
1 J- [x'(A.)f - [y'(A)f - [z'(A)f + c2[t'(A.)f dA.,

276
4.3.
Cálculo vectorial
donde e es la velocidad de la luz, una constante. En la Figura 4.2 .6, demostrar, utilizando una nota­
ción clara y fácil de entender, la <<paradoja de los gemelos»:
tiempo propio (AB) + tiempo propio (BC) < tiempo propio (AC).
e
x= -cr
B
x=cr
A
-------------e�-- ----------------�x
La desigualdad triangular relativista.
19. Los antiguos griegos sabían que una línea recta era el camino más corto entre dos puntos.
Euclides, en su libro Óptica, enunció el «principio de reflexión de la luZ>> - -es decir, la luz que
se mueve en un plano lo hace en línea recta y, cuando se refleja en un espejo, el ángulo de
incidencia es igual al ángulo de reflexión-- .
Los griegos no podían tener una prueba de que la
línea recta era el camino más corto entre dos puntos porque, en primer lugar, no conocían la
definición de longitud de una trayectoria general. Ellos pensaron que esta propiedad de las lí­
neas rectas era más o menos «Obvia>>.
Utilizando la justificación de la longitud de arco dada en esta sección y la desigualdad
triangular de la Sección 1 .5, justificar razonadamente que si c0 es el segmento rectilíneo
c0(t)=tP+(l-t)QqueunelospuntosPyQenIR13, entonces:
para cualquier otra trayectoria e que una P y Q.
Campos vectoriales
El concepto de campo vectorial
En el Capítulo 2, presentamos un tipo particular de campo vectorial: el gradiente. En esta
sección estudiamos campos vectoriales generales, examinando su importancia geométrica y
física.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
Z77
Podemos representar F dibujando una flecha en cada punto (véase la Figura 4.3.1). Para dife­
renciarla de los campos vectoriales, una aplicación f: A e IR"-> IR que asigna un número a
cada punto se llama campo escalar. Un campo vectorial F(x, y, z) en IR3 tiene tres componentes
F1, F2 y F3, cada una de las cuales es un campo escalar, de manera que
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), Fix. y, z). F3(x, y, z)).
Análogamente, un campo vectorial en IR" tiene n componentes F1, .•., F,. Si cada componente es
una función e". diremos que el campo vectorial Fes de clase e". En adelante, supondremos que
los campos vectoriales que aparezcan serán al menos de clase C1, salvo que se diga expresa­
mente lo contrario.
r!f/
1¿
....
.---;;:"'
'"'
•
\11
'
X
/F(x)
X�
..
.-
·--�
y
t'isllra�,S.�j�' un campo vectorial F asigna un vector F(x)
a cada punto x de su dominio.
En muchas aplicaciones el vector F(x) representa una cantidad física (fuerza, velocidad, etc.)
asociada con la posición x, como puede verse en los ejemplos siguientes.
El flujo de agua a través de una tubería se llama estacionario si en cada punto
del interior de la tubería la velocidad del fluido que pasa por ese punto no cambia con el tiem­
po. (Obsérvese que esto es muy distinto de afirmar que el agua de la tubería no se mueve.)
Asignando a cada punto la velocidad del fluido en él, obtenemos el campo de velocidades V
(véase la Figura 4.3.2). Obsérvese que la longitud de las Hechas (la rapidez), así como la direc­
ción del flujo, pueden cambiar de un punto a otro.
}!'igul�;<�;:a::2.2 Un campo vectorial que describe la
velocidad de un fluido en una
tubería.
Algunos movimientos giratorios (por ejemplo el movimiento de las partículas
en un plato que está rotando) pueden describirse mediante el campo vectorial
V(x, y)= -yi + xj.

278
Cálculo vectorial
Véase la Figura 4.3.3, en la que, para mayor claridad, hemos dibujado en lugar de V el campo
más corto ±V, de manera que las flechas no se solapen. Esto es una práctica común al dibujar
campos vectoriales.
y
Fi!lur�,4.3:ar Un campo vectorial rotatorio.
En el plano, IR2, consideramos el campo vectorial x definido por
yi
xj (y
V(x, y) = -o--o
-
--
-
=
---o,
x�+y- x2+y2
x2+y�
(excepto en el origen, donde V no está definido). Este campo vectorial es una buena aproxima­
ción para la componente plana de la velocidad del agua que fluye a través de un agujero en la
base de una cuba (véase la Figura 4.3.4). Obsérvese que la velocidad aumenta cuando nos apro­
ximamos al desagüe.
Campo vectorial gradiente
En la Sección 2.6 definimos el gradiente de una función mediante la expresión
n¡(
)
a
¡(
)''
a
¡
(
)
.
' af(
)k
V X,y,Z
=-;
;--
X,y,ZlT-
a
X,y,ZJT-;
;--
X,)', Z ".
ox
y
oz

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
279
Ahora vamos a interpretarlo como un ejemplo de campo vectorial -asigna un vector a cada
punto (x, y, z). En consecuencia, nos referiremos a Vf como campo vectorial gradiente. Estos
campos aparecen en un variado número de situaciones, como muestran los dos ejemplos si­
guientes.
Considérese un objeto sólido que está siendo calentado por un extremo y enfria­
do por el otro. La temperatura en cada punto del interior del cuerpo en un instante dado viene
descrita por una función escalar T(x, y, z). El flujo de calor puede representarse por un campo
vectorial, donde las flechas indican la dirección y magnitud del flujo (Figura 4.3.5). Este campo
vectorial flujo de calor o energía viene dado por J = - k'VT, donde k > O es una constante
llamada conductividad, y 'VT es el gradiente de la función escalar T. Los conjuntos de nivel de
T se llaman isotermas. Obsérvese que el calor fluye de las regiones calientes hacia las frías,
puesto que -'VT apunta en la dirección en que T decrece.
Vector de flujo de calor
�Fi!}�,.i:.:.s.s:, Un campo vectorial que describe la
dirección y magnitud del flujo de calor.
La fuerza de atracción de la TietTa sobre una masa m puede describirse median­
te un campo vectorial, llamado campo gravitatorio. Tomamos un sistema de coordenadas cuyo
origen está situado en el centro de la Tierra (que suponemos esférica). De acuerdo con la ley de
Newton de la gravitación, este campo viene dado por
F=
mMG
- �r,
donde r(x, y, z) = (x, y, z), y r = llrll (véase la Figura 4.3.6). El dominio de este campo vectorial
consiste en aquellos valores de r para los que llrll es mayor que el radio de la Tierra. Como
vimos en el Ejemplo 2.52, Sección 2.6, F es un campo gradiente, F = - 'VV, donde
•
!
mMG
V=-
--
r
es el potencial gravitatorio. Obsérvese nuevamente que F apunta en la dirección hacia la que V
decrece. Escribiendo F en términos de sus componentes, vemos que
(-mMG -mMG -mMG )
F(x, y, z)=
r3
x,--
--e,---
y,
z.

280
Cálculo vectorial
\¡
""\
1/
/
..
......,.._
�
--
y
.-
�
/
""'-
X
/
t\'
tt
Figur�'4.37�,: El campo vectorial F dado por la ley
de la gravitación de Newton.
Según la ley de Coulomb, la fuerza que actúa sobre una carga e situada en una
posición r, bajo el efecto de una carga Q situada en el origen, es
eQe
F=-r=-\7V,
r3
donde V= sQe/r y 8 es una constante que depende de las unidades que estemos usando. Para
Qe > O (cargas del mismo signo) la fuerza es repulsiva [Figura 4.3.7(a)], y para Qe <O (cargas
de distinto signo) la fuerza es atractiva [Figura 4.3.7(b)]. Como el potencial 1l es constante so­
bre sus superficies de nivel, éstas reciben el nombre de supe1jicies equipotenciales. Obsérvese
que la fuerza es ortogonal a las superficies equipotenciales (la fuerza es radial, mientras que las
superficies equipotenciales son esferas concéntricas).
'\t
"-
�
/1
¡
(a)
�¡
1/
1/
�
..
.....¡..-
.,_.
..¡..
�
�
/
/1
"-
�
'
(b)
Los campos vectoriales asociados con (a) cargas del mismo signo (Qe > O) y (b) cargas
de distinto signo (Qe < 0).
El ejemplo siguiente demuestra que no todo campo vectorial es un campo gradiente.

�apítulo 4. Fu/�dones con valores vectoriales
281
Demostrar que el campo vectorial V en IR2 definido por V(x, y) = yi - xj no es
un campo gradiente; es decir, no existe ninguna función f de clase e1 tal que
Solución
a¡ a¡
V(x,y)=V'f(x.y)=--
-.:;-
i+
�
a
j.
ox
y
Supongamos que existiera una tal f. Entonces (jf1ax= y y af/ay= -X. Puesto que éstas son
de clase e1
, f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas. Pero a2f¡axay = - 1 y
a2f/ayax= 1, lo que contradice la igualdad de las derivadas cruzadas; por tanto, V no puede ser
un campo gradiente.
Conservación de la energía y escape del campo
gravitatorio terrestre
Consideremos una partícula de masa m que se mueve en un campo de fuerzas F que es un cam­
po potencial. Es decir, suponemos F = -V' V para una función escalar V, y que las partículas se
mueven según la ley F = ma. Entonces, si la trayectoria es r(t), se tiene
mr(t) = - V'V(r(t)).
(1)
Una característica básica de tal movimiento es la conservación de la energía. La energía E de la
partícula se define como la suma de las energías potencial y cinética,
1.
o
E= 2 mllr(t)ll- +V(r(t)).
(2)
El principio de conservación de la energía afirma que si se cumple la segunda ley de Newton,
entonces E es independiente del tiempo; es decir, dE/dt= O. La prueba de esta identidad es un
sencillo cálculo; utilizamos la Ecuación (2), la regla de la cadena, y la Ecuación (1):
Velocidad de escape
dE
.
..
.
�= mr·r+(VV)·r
dt
= r·(-V'V+V'V)=O.
Como aplicación de la conservación de la energía, calcularemos la velocidad que un cohete de­
be alcanzar para poder escapar de la influencia gravitacional de la Tierré[. Supongamos que m es
la masa del cohete, que está a una distancia R0 del centro de la Tierra (o de cualquier otro pla­
neta) cuando alcanza la velocidad de escape ve, y a partir de ese punto viaja sin usar sus moto­
res. La energía en ese instante es
•
1o
mMG
E0=?mv;- -
R.
-
o
(3)

282
Cálculo vectorial
Por la conservación de la energía, E0 debe ser igual a la energía en un instante posterior, que
escribimos como
l
mMG
E=E=-mv2---
o
2
R
(4)
donde v es la velocidad y R es la distancia hasta el centro de la Tierra (u otro planeta). Lo que
denotamos por el término velocidad de escape es que ve se elige de modo que cuando el cohete
alcanza grandes distancias apenas se mueve; es decir, v está próxima a cero y Res muy grande.
Por tanto, de la Ecuación (4), vemos que E = O y entonces E0 = O; despejando ve en esta expre­
sión usando la Ecuación (3) obtenemos
Ahora, GM/R 6 es exactamente g, la aceleración de la gravedad a distancia R0 del centro del
planeta. Por tanto, podemos escribir:
Para la Tierra, si la velocidad se alcanzase en la superficie (lo que, por supuesto, no es muy
realista), deberíamos obtener
ve = yl2·9,8 m/s
2
· 6.371.000 m = ll. l 27 m/s.
Sin embargo, este valor es una buena aproximación de la velocidad que necesita un satélite si­
tuado en una órbita baja alrededor de la Tierra para escapar del campo gravitatorio terrestre.
Líneas de flujo
Un concepto importante relacionado con los campos vectoriales (no necesariamente provenien­
tes de un gradiente) es el de línea de flujo, definida del modo siguiente:
En el contexto del Ejemplo 4.l l, una línea de flujo es la trayectoria seguida por una pequeña
partícula suspendida en el fluido (Figura 4.3 .8). Las líneas de flujo también se llaman apropia­
damente líneas de corriente o curvas integrales.
Geométricamente, una línea de flujo para un campo vectorial dado F es una curva trazada
sobre el dominio de F de manera que el vector tangente a la curva en cada punto coincide con
el campo vectorial, como se representa en la Figura 4.3.9.

Vector velocidad
Línea de flujo
Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
283
]F'��f�4.3:�;: El vector velocidad de un fluido
es tangente a las líneas de flujo.
Fi01
1
1ra',4:.�Ulc> Una línea de flujo discurriendo sobre
un campo vectorial en el plano.
Una línea de flujo puede interpretarse como la solución de un sistema de ecuaciones dife­
renciales. En efecto, podemos escribir su definición c'(t) = F(c(t)) como
x'(t) = P(x(t), y(t), z(t)),
y'(t) = Q(x(t), y(t), z(t)),
z'(t) = R(x(t), y(t), z(t)),
donde c(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, y donde
F=Pi+Qj+Rk.
Estos sistemas se analizan en cursos sobre ecuaciones diferenciales, pero suponemos que no se
ha seguido uno de estos cursos.
Demostrar que la trayectoria c(t) = (cos t, sen t) es una línea de flujo para el
campo vectorial F(x, y) = - yi + xj. ¿Hay más líneas de flujo?
Solución
Debemos comprobar que c'(t) = F(c(t)). El término de la izquierda es (-sen t)i + (cos i)j,
mientras que el término de la derecha es F(cos t, sen t) = (-sen t)i + (cos t)j, de manera que
tenemos una línea de flujo. Como sugiere la Figura 4.3.3, las otras líneas de flujo también son
circunferencias. Su ecuación es
c(t) = (reos (t- t0), r sen (t- t0))
con r y t0 constantes.

284
Cálculo vectorial
En muchos casos es imposible encontrar fórmulas explícitas para las líneas de flujo, lo que
nos lleva a recurrir a métodos numéricos. La Figura 4.3.10 muestra una gráfica obtenida me­
diante un programa que calcula numéricamente líneas de flujo y las dibuja en la pantalla del
computador.
y
:'fj!Jt,r�54:s?�(C, Curvas integrales del campo vectorial
F(x. y) = (seny)i + (x2 - y)j generadas por
computador. Este dibujo fue obtenido usando
el programa 3D-XplorMath. disponible en la
página web de Richard Palais
http://rsp. math.brandeis.edu/30-XplorMath.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
285
1·
·
c{eberfa �er(;orrepta. Estasideas también.han guiadolos recientes.esfuerzospari�et�et��; 1
ondas grá\l"itatodas. Para· una discúsión 1;nás . pro funda del traóajo de Eiustdri, . vgdse la. ·j
�- t1}���xl�·d� campo tam9i�n ·��
·
·��sa
·
e�.-· ÍU$eÍl
l
e1ia�para
.
des<:;pbir .si�t�l�as
.
el�stic()s·�
·
j
i i¡Ít�resaJ]���f�ópi�dade��crQ��tr��rurhles. de los.IP:aterjal�s· ER lafísio� té�nca�ll1o4ér:: 1
¡· �a, el s�l1��ptó'4e.cam_po. se .. us<tpatü
·
describlJ:partíclllig;_.elenient:l
l
es_•.y e� un� lle1T<il
lli
en�_··
··
·
·
·
·
l
l
¡·_
.
·•_.
.
ta�en,tríl
l
éq-Ígs esfuerzos·de.los físü::os teóricos niódémós por UlJ�fic<lf·Ia i,<favedadco11}a
·
.
Il
l
ecá11ica cuánti�a (le las _partkt11� elem9ntales. Es imposible �1nagi�ar un.marcq ,teór_ico l
¡. ll10ciefl
l
9 q(u; no)�c()rpore: alg�n tipp de cortpépto de campo .C!Jll
l
O'-iugr�di�nte pe(¡tral::.•• j
En los ejercicios del 1 al 8, esbozar el campo vectorial dado o 1m pequeíio múltiplo suyo.
l. F(x,y)=(2,2).
2. F(x,y)=(4,0).
3. F(x,y)=(x,y).
4. F(x,y)=( -x,y).
S. F(x, y) = (2y, x).
6. F(x,y)=(y, -2x).
7.
(X
F(x, y) =
7
7,
Jx- +y-
8. F(x, y)=
X
)
'
�x
2+y2 ·
En los ejercicios del 9 al 12, esboz.ar algunas líneas de flujo del campo vectorial dado.
9. F(x,y)=(y, -x).
10. F(x, y) = (x, -y).
11. F(x, y) = (x, x2).
12. F(x,y,z)=(y, -x,0).
En los ejercicios del 13_al 16, demostrar que la curva dada c(t) es una línea de flujo del campo de veloci­
dades dado F(x, y, z).
13.
14.
c(t)=(e2', logltl. 1/r),t #O;F(x,y, z)=(2x, z.
-
-')
r
c(t)=(t-, 2t-1,..
.;
t),t>O;F(x.y,z)=(y+l.2,!/2z).

286
Cálculo vectorial
4.4.
15. c(t) =(sent, cost, e
'
);F(x,y,z)=(y, -x,z).
16. c(t)=(�,e
'
));F(x,y,z)=( -3z4
,y,-
r
t
17. Demostrar que para colocar un satélite en una órbita a baja altura sobre la Tierra se necesita la mitad
de la energía requerida para hacerlo escapar de la atracción de la Tierra (ignorar el efecto de la rota­
ción terrestre).
18. Sea c(t) una línea de flujo de un campo gradiente F = -'VV. Demostrar que V(c(r)) es decreciente
como función de t.
19. Supongamos que todas las isotermas en una región son esferas concéntricas centradas en el origen.
Demostrar que el campo vectmial que representa el flujo de energía apunta en la dirección del radio,
bien hacia el origen, bien hacia fuera.
20. Esbozar el campo gradiente - V' V para V(x, y) (x + y)/(?- + /), y la superficie equípotencíal
\1=l.
La divergencia y el rotacional
Para definir las operaciones divergencia y rotacional, vamos a utilizar el operador nabla, defini­
do por
a
a
a
V'=i-+j-+k-
OX ay
az·
Para funciones de una variable, el cálculo de una derivada puede interpretarse como una opera­
ción o proceso; es decir, dada una función y = f(x), su derivada es el resultado de operar sobre
y mediante el operador derivada d/dx. Análogamente, podemos escribir el gradiente como
(a a)
a¡ a¡
V'f= i-;:-+.i� f=i-:;-+.i--;
;-
ax
t,y
ax
ay
para funciones de dos variables y
(aaa)
ar ar
a¡
V'f= i-;:-+j" +k- f=i-'-+j¿+k-
ax
ay
oz
ex
ay
az
para tres variables. En términos operacionales, el gradiente de f se obtiene tomando el operador
V' y aplicándolo sobre f.
Definición de divergencia
Definimos la divergencia de un campo vectorial F fom1almente tomando el producto escalar del
operador V' con F.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
287
Análogamente, si F= (Fb ... , F ,) es un campo vectorial en IR", su divergencia es
Solución
Calcular la divergencia de
F=x2
yi+zj+xyzk.
o
a
a
divF=-;
;--
(x2y) + -;
;--
(z)+- (xyz)=Lry+O+xy = 3xy.
ox
oy
az
Interpretación
La divergencia tiene una importante interpretación física. Si imaginamos que F es el campo de
velocidades de un gas (o de un fluido), entonces div F representa la razón de expansión por
unidad de volumen bajo el flujo del gas (o del.fluido). Si div F <O, el gas (o fluido) se está
comprimiendo. Para un campo vectorial en el plano F(x, y) = F1i + F2j, la divergencia
mide la razón de rJXpansión del área.
3F1 3F1
V·F=-+ ­
ax ay
Esta interpretación se explica gráficamente del modo siguiente. Tomemos una pequeña re­
gión W alrededor de un punto x0. Para cada punto x de W, sea x(t) la línea de flujo que parte de
x. El conjunto de puntos x(t) describe cómo fluye el conjunto W tras un tiempo t (véase la Figu­
ra 4.4.1).
Denotamos la región resultante en el instante t por W(t) y sea V(t) su volumen (o área, si
estamos en dos dimensiones). Entonces, la razón relativa de cambio de volumen es la divergen­
cia, más exactamente,
ld
1
-
.
-
-
V(t)
::
:::
div F(x0),
V(O) dt
t=O
donde la aproximación se hace más y más exacta según W se contrae a x0. Se puede encontrar
una prueba directa de este resultado en el suplemento de Internet, pero en el Capítulo 8 se pre­
senta un argumento más natural, en el contexto de los teoremas sobre integrales del cálculo
vectorial.

288
Cálculo vectorial
y
Fi!Jlí?.t4.4:1:' Deformación de una región W
siguiendo las líneas de flujo
de un campo vectorial.
Considerar el campo vectorial en el plano dado por V(x, y) = xi. Relacionar el
signo de la divergencia de V con la razón del cambio de áreas bajo el flujo.
Solución
Interpretamos V como el campo de velocidades de un tluido en el plano. El campo vectorial V
apunta hacia la derecha para x > O, y hacia la izquierda para x < O, como podemos ver en la
Figura 4.4.2. La longitud de V es más corta cuando nos acercamos al origen. Cuando el fluido
se mueve, se expande (el área del rectángulo sombreado aumenta), de manera que es de esperar
quedivV>O.Enefecto,divV=l.
y
+-
-
�!�
--+
..,_
__
..
......
�
__
__,..
D--+c:=
=J
X
+-
---
..
......
�
__
__....
+-
-
..
......
-.
..
__
__....
Figura :4:4".2.; El fluido se está expandiendo.
Las líneas de flujo del campo vectorial F = xi + yj son semirrectas que parten
del origen (véase la Figura 4.4.3).
Si estas líneas de flujo se corresponden con un fluido, entonces éste se está expandiendo
conforme se aleja del origen, de modo que div F debería ser positiva. En efecto,
o
o
\7.F = -···
X+-V=2>O.
ex
.
1

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
Z89
y
..
�''\
1//�
..
...______
�"-.
....
"'
,;>(/_.
./"'
__.
...---*
X
--
---
�/y
"'-..
.__.,._
--
-.......
--
----...
�//1
\""'"-.
..
�
�ig�f.
."
�;4.�'.;. El campo vectorial F(x. y) = xi + yj.
Consideremos el campo vectorial F = - xi - )j. A diferencia del caso anterior,
aquí las líneas de flujo apuntan hacia el origen (véase la Figura 4.4.4). Por tanto, el fluido se
está comprimiendo, de manera que esperamos que div F < O. Haciendo los cálculos, vemos que
y
a
a
V·F =-;:;-
--
(-x)+-;:;-
--
(-y)= - l
-
1= -2<O.
ox
oy
FiiJuta 4:4.;4�, El campo vectorial F(x. y) = - xi - yj.
Como vimos en la última sección, las líneas de flujo de F = - yi + xj son cir­
cunferencias concéntricas centradas en el origen, moviéndose en el sentido contrario al de las
agujas del reloj. Según la Figura 4.4.5, parece que el fluido ni se comprime ni se expande. Esto
se confirma calculando
a
a
V·F =-.
.;--
(-y)+-(x)=O+O=O.
ex
ay

290
Cálculo vectorial
Figur� 4.4.5. El campo vectorial F(x. y) = �· yi + xj tiene divergencia cero.
En la Figura 4.4.6 se muestran algunas líneas de flujo del campo F =.ti - yj.
Aquí nuestra intuición sobre expansión o compresión no es tan clara; sin embargo, es cierto que
las regjones sombreadas tienen la misma área, y calculamos que
/111
/111
//11
//11
�..
.,.-
;/�
""'-.
..
""'-.
.
''
"'''
a
a
\7.F =-X+-:;-(-y)=l+(-l)=O.
ax
ay
y
">�.,_'X
¡?(.;>(
¡(/
..
...,.._
_.
...,..-
/
�
�
/
X
Las partículas del fluido
se n1ueven de la región smnbreada
a la otra después de un intervalo
de tiempo fijo. Las dos áreas
coinciden.
Figkl'a4}úi. El campo vectorial F(x. y) = xi- yj.
El rotacional
Para calcular el rotacional, la segunda operación básica para campos vectoriales, tomamos for­
malmente el producto vectorial de \7 con F.

El rotacional de un fampo vectorial Si F = F1i + F:J + F3k, entonce� el rotaÚon"aia�
F. e� el campc: V(Xtoriá1.·
Si usamos una notación alternativa, y escribimos F = Pi + Qj + Rk, la fórmula del rotacio­
nal se escribe
jk
aa3
rotF=
Oxayaz
pQR
=
(�R _ a�Q)
i + (�R_�p)
j+(�Q_oP)
k.
ay
cz
ox
cz
ex
SeaF(x,y,z)=xi+xyj+k.HallarVxF.
Solución
Utilizamos la fórmula anterior:
jk
aea
VxF=
= (0-O)i-(O-O)j+(y-O)k.
axay07
xxy
Portanto,VxF=yk.
Hallar el rotacional del campo xyi - sen zj + k.
Solución
SeaF=xyi-senzj+k,

292
Cálculo vectorial
jk
a
a
a
VxF=
axayaz
xy -senz
a
-
)ay
- senz
a
a
í3z
1¡
-
1ax
l
xy
= coszi - xk.
a
a
oz)j +)ax
l
xy
a
-¡
avk
-senz
A diferencia de la divergencia, que se puede definir en ¡p;n para cualquier n, sólo definimos
el rotacional en un espacio tridimensional (o en el caso de vectores en el plano, suponiendo que
su tercera componente es igual a cero).
El rotacional y las rotaciones
El significado físico del rotacional será discutido en el Capítulo 8, cuando estudiemos el teore­
ma de Stokes; sin embargo, podemos considerar una situación específica, en la cual el rotacio­
nal está asociado con rotaciones.
•
llj-·
Consideremos un sólido rígido B que gira alrededor de un eje L. El movimiento
de rotación del cuerpo puede describirse mediante un vector w a lo largo del eje de rotación,
eligiendo su dirección de modo que el cuerpo gire en tomo a w, como en la Figura 4.4.7. Deno­
minaremos al vector w como vector velocidad angular. La longitud w = llw llse toma de modo
que coincida con la rapidez angular del sólido B, es decir, la rapidez de cualquier punto de B
dividida por su distancia al eje de rotación L. El movimiento de los puntos.en el cuerpo rotante
está descrito por el campo vectorial v cuyo valor en cada punto es la velocidad en ese punto.
Para hallar v, sea Q un punto cualquiera en B, y sea 7. la distancia entre Q y L.
L
X
y
La velocidad v y la velocidad angular w de un
sólido en rotación están ligadas por la fórmula
V=wXr.
La Figura 4.4.7 muestra que ex = llrllsen fi, donde res el vector que parte del origen de coor­
denadas y termina en Q, y fi es el ángulo entre r y el eje de rotación L. La velocidad tangencial

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
293
v de Q se dirige en el sentido contrario al de las agujas del reloj sobre la tangente a una circun­
ferencia paralela al plano xy de radio e>:, y tiene magnitud
jjvjj = (J)(X = wjjrjj sen e = llwll llrll sen e.
La dirección y magnitud de v implican que v = w x r. Eligiendo un sistema de coordenadas en
elcualLseaelejez,podemosescribirw=wkyr=xi+yj+zk.Entonces,
v=wxr= -wyi+wxj,
y por tanto
...
jk
�
o
aa
rotV=
= 2wk=2w.
exayOz
-wyúJXo
Es decir, para la rotación de un sólido rígido, el rotacional del campo de velocidades es un nue­
vo campo vectorial cuyo valor es el mismo en todos los puntos. Su dirección es la del eje de
rotación, y su magnitud es el doble de la velocidad angular.
El rotacional y las rotaciones en un flujo
Si un campo vectorial representa el flujo de un fluido, entonces el valor de V' x F en un punto
es el doble de la velocidad angular de un pequeño sólido que rotase del mismo modo que lo
hace el fluido cerca de ese punto. En particular, V' x F = O en un punto P significa que el fluido
está libre de rotaciones rígidas en P, es decir, no tiene remolinos. Otra justificación de esta idea
depende del teorema de Stokes del Capítulo 8. Sin embargo, podemos decir informalmente que
rot F = O significa que si una pequeíia rueda rígida dotada de paletas flota en el fluido, se mo­
verá con él, pero no rotará alrededor de su eje. Tal campo vectorial se denomina irrotacional.
Por ejemplo, se ha determinado a partir de experimentos que el movimiento de un líquido con­
tenido en una cuba, mientras ésta se vacía por un desagüe en su parte inferior, es usualmente
irrotacional excepto justo en el centro, a pesar de que el fluido esté girando alrededor del desa­
güe (véase la Figura 4.4.8). En el Ejemplo 4.28, las lineas de flujo del campo vecrorial V son
Observación desde arriba de
un fluido en el que flota una
rueda con paletas. El campo
de velocidades V(x, y, z) =
(yi - xj)l(x2 + y2) se
irrotacional; la rueda no
gira alrededor de su eje w.

294
Cálculo vectorial
circunferencias centradas en el origen, a pesar de lo cual demostraremos que el flujo es irrota­
cional; por tanto, el lector debería estar prevenido ante la posible confusión que puede ocasionar
el término «irrotacional>>.
Comprobar que el campo vectorial
yi- xj
V(x,y,z)=�
+
2
X
y
es irrotacional cuando (x, y) # (0, O) (es decir, excepto cuando V no está definido).
Solución
El rotacional es
jk
a
a
a
vxv=
ax
ay az
y
-x
x
2
+
lx
2
+
y2o
.
.
[a(-x)a(y)]
=01
+
0J
+
-
---
-
-
--- k
axx
2
+l ayx2
+
y2
Los campos gradiente son irrotacionales
La siguiente identidad es una relación básica entre gradiente y rotacional, que se debería com­
parar con el hecho de que para cualquier vector v se tiene v x v = O.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
295
DEMOSTRACIÓN Puesto que Vf = (cfjcx, éf/cv,
jk
aaa
VXVf=
exeycz
ararcf
exaycz
por definición tenemos
Cada una de las componentes es cero, por la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
El recíproco de este teorema (un campo vectorial con rotacional cero, bajo hipótesis adecua­
das, es un campo gradiente) se tratará en el Capítulo 8.
Sea V(x, y, z) = yi - xj. Demostrar que V no es un campo gradiente.
Solución
Si V fuera un campo gradiente, según el Teorema 1 debería verificar rot V = O. Pero
jk
eoa
rot V=
oxay8z
-2k #O,
y-xo
de manera que V no puede ser un gradiente.
Rotacional escalar
Hay una operación sobre campos vectoriales en el plano que está muy relacionada con el con­
cepto de rotacional. Si F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es un campo vectorial en el plano, también
puede interpretarse como un campo vectorial en el espacio tridimensional, para el cual la com­
ponente k es cero y las otras dos componentes son independientes de la coordenada z. Entonces,
el rotacional de F se reduce a
(ao aP)
VXF=
�
.
---;;-k
ox
cy
y siempre apunta en la dirección k. La función
cQ cP
Cx ay
que depende de las variables x e y se denomina el rotacional escalar de F.

296
Cálculo vectorial
Solución
El rotacional es
Hallar el rotacional escalar de V(x, y) = -li + xj,
jk
aaa
'VXV=
= (l+2y)k,
exoyaz
-
lXo
de modo que el rotacional escalar, que es el coeficiente de k, vale 1 + 2y,
Los rotacionales tienen divergencia cero
A continuación, enunciamos una relación básica entre los operadores divergencia y rota­
cionaL
Al igual que ocurría en la prueba de que el rotacional de un gradiente es cero, en este caso la
demostración del teorema se basa en la igualdad de las derivadas cruzadas, El lector debería
escribir Jos detalles, El resultado recíproco se estudiará en el Capítulo 8.
Demostrar que el campo vectorial V(x, y, z) = xi + yj + zk no puede ser el rota­
cional de ningún campo vectorial F; es decir, no existe ningún campo F tal que V= rot F.
Solución
Si existiera un tal F, según el Teorema 2 deberíamos tener div V= O. Pero
.
axayaz
diVV=-+-+-=3#0
axCyOz
'
de modo que V no puede ser rot F para ningún F.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
297
El laplaciano
El operador de Laplace \72, que actúa sobre funciones f, se define como la divergencia del gra­
diente5:
Este operador desempeña un importante papel en muchas leyes físicas, como ya mencionamos
en la Sección 3.1.
Demostrar que V2f = O para
f(x,y,z)=
J
o
o
.2=
x-+ y+z
r
donde r = xi+yj+zk, y r = iirll.
Solución
Las derivadas primeras son
cf
x
cf
ex (�+i + l)3/2' cy
Calculando las derivadas segundas, resulta
c2.f
3x2
ox2 (x2+y2 + 2z)s;z
a2¡
3y2
el (x2 + y2+l-)5/2
c2
.
f
3l
cz2
(�+l+l-)5/2
Por tanto,
y (x,y,z)#(0,O,0),
cf
-
z
cz (x2+Yz+22)3;2 ·
3
3
3
=
(xz+l + z2)3¡2 -(xz + l + z2)3/2
=O
.
5 Nota de los traductores: otra notación muy habitual en la literatura para representar el operador de Laplace es el
símbolo 1\..

298
Cálculo vectorial
Identidades vectoriales
En este momento tenemos a nuestra disposición cuatro operadores básicos: gradiente, divergen­
cia, rotacional y laplaciano. El siguiente cuadro contiene algunas fórmulas que son útiles cuan­
do se calcula con campos vectoriales.
Identidades básicas del análisis vectorial
.1.
2.
3.
4.
5.
6.
7;
12. \,P(fg) = t'l1g+gV2f+2(Vf�Vg).
13,
14. div (!Vg� gVJJ =fV2g - gV2j:
Demostrar la identidad número 7 del cuadro anterior.
Solución
El campo vectorial JF tiene componentes fF, para i = l, 2 , 3, y por tanto

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
299
Por otra parte, según la regla del producto, (i7/i'x)(fF1) =foF1jcx +F1cf/cx, con expresiones
similares para los otros términos. Por tanto,
div (fF) = !('é�1 + 0�.
.
2
+ C/:.
.
_,')1 + F1 <:f+F2 �.
.
f
.
+F3�
.
·
·
¡
·
ex
oy
e::
:
.
ex
cy
e::
= f(V·F) + F·\?f.
Vamos a utilizar estas identidades para repetir el Ejemplo 4.32.
Demostrar que para r #-O, V
2
r1/r) =O.
Solución
Como en el caso del potencial gravitatorio, V( l /r) = - r/ r 3 En generaL V(r n) = nrn
2
r (véase
el Ejercicio 30). Por la identidad V(fF) = .fV · F +V¡
. F, obtenemos
(r) 1
/1)
V·
-
= - V·r+r·\711
r'
r3
\r"

300
Cálculo vectorial
tanto, ló que. ah ora llamamos divergencia de Y es la pa.qeesc�ar de �ste producto
cambiada de signo, y rot V es la paqe vectorial (consultar la discusión.sobre los cuater.,.
niones en la Sección 1.3}.
.
·
·
.
.
.·
..
.
•.
.
<>>
.
.·•
.
·
.
•.
.
Hasta donde sabemos,
.
Hamilton nunca dio · una interpretación física de la. divergenCi¡
y delrotacional pero; .a consecuencia de.suprofunda fe en ellos; sin dudacreía·que debían
tener u,n importante sentidofísic<L Su confianza eusufonnalismo m.atemático estabajus­
títü:ad(l. pero la explicación física de la dívergénciayetrotacional Uiv� queesperaT hasta
la publiéación de Treatise onEJectriáf)' �nd Magnetism, de.James. (:;ler�'.M'axwéll. En, él,.
•
1\{ax"\Vell Utilizó tant()ladivergeneia COITIO elrot&cional en SUS e9Ua(;ÍOJ+eSp�aJ�interac­
.
de Cll1Upos eléctricos'y magnéticos (las ecuacionés:de 1\{axwell.�e ·tqttatánen él §:a�
pítuo8).
..<<
.
.
·
·
.
.
.
·
·.
••.
.
·
.·••
.
·
•·
·
. •···
·
····
•.
·
·
.
·.•
.
•.. .
•
>.•
..
.
·.
Curiosamente; Maxwell se refiere a la divergencil'! como convergencia y alr()1:aciqna1
como ;rotación6, un .término que aún se utiliza en
.
. la literatura. Fue JosiáJ1 Gibbs (Figura
4.4:9) quie¡:¡ rebautizó convergencia y rotación co11}os tém1il
l
os más �l.l.IJl iliares que usa�
moshoydía --:-divergencia y rotaCionaL
·
·
·
·
·

..
Capítl
l
\0 4� ft,12S\?I,lrs con valores vectoriales
301

302
Cálculo vectorial
Ésta es la. cantidad neta de fluido que sale del cu.bo por unidad de
de. esta cantidad dividida pór el volumen del c.ubo, dxdy dz,. da 1a tasa
.de ia densidad:Esto es
En los ejercicios del 1 al 4. hallar la divergencia de los campos vectoriales.
l. V(x, y, z) = ex'¡ - e""]+ex'k.
2. V(x, y, z) = yzi+ xzi+xyk.
3. V(x, y, z) = xi +(y+ cosx)j +(z + ex')k.
4. V(x, y, z) x2i+(x+y)2j +(x+y+z)
2
k.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
303
5. La Figura 4.4.11 muestra algunas líneas de flujo y el movimiento de algunas regiones para un fluido
que se mueve en el plano según un campo de velocidades V. ¿En qué zonas div V> O y en qué
zonasdivV<O?
.r
--
---------------+----------------�
X
!"iglml;IA.:1t;; Líneas de flujo de un fluido que
se mueve en el plano.
6. Sea V(x, y, z)= .xi el campo de velocidades de un fluido en el espacio. Relacionar el signo de la
divergencia con la tasa de variación de volumen bajo el flujo dado.
7. Esbozar algunas líneas de flujo para F(.x, y)= yi. Calcular 'V· F y explicar por qué la respuesta es
consistente con el esbozo de las líneas de flujo.
8. Esbozar algunas líneas de flujo para F(.x. y)= - 3xi - yj. Calcular V· F y explicar por qué la res­
puesta es consistente con el esbozo de las líneas de flujo.
En los ejercicios del 9 al 12, hallar la divergencia de los campos vectoriales.
9. F(x, y)= .x3i - x sen (.xy)j.
10. F(.x. y)= yi xj.
11. F(.x, y) = sen (.xy)i - cos (.x2y)j.
12. F(.x, y)= xeYi - lv/(.x + y)]j.
Calcular el rotacional, 'V x F, de los campos vectoriales indicados en los ejercicios del 13 al 16.
13. F(.x,y,z)= .xi+yj+zk.
14. F(.x,y,z)=yzi+xzj+.xyk.
15. F(.x,y,z)=(.x2+y2+i)(3i+4j+5k).
16.

304
Cálculo vectorial
Calc ular el rotacional escalar de cada uno de los campos vectoriales dados en los ejercicios del 17 al 20.
17. F(x, y)= sen xi + cos xj.
18. F(x,y)=yi-xj.
19. F(x,y)=xyi+(x2-lJj.
20. F(x,y)=xi+yj.
Comprobar que V' x (\7f) = O para las funciones indicadas en los ejercicios del 21 al 24.
21. f(x,y,z)=
22. f(x,y,z)=xy+yz+xz.
23. f(x,y,z)=1/(.i'+l+
25. Demostrar que F ='y(cos x)i + x(sen y)� no es un campo gradiente.
26. Demostrar que F = + /)i - 2xyj no es un campo gradiente.
27. Demostrar la identidad lO de la lista de identidades vectoriales.
(
28. Supongamos que V'· F = O y \7 · G = O. ¿Cuál de los campos siguientes tiene necesariamente diver­
gencia nula?
a) F+G.
b) FXG.
29. SeaF=2xz
2i+j+izxk,yf=x
2
y. Calcular las cantidades siguientes:
a) \7f.
b) V'XF.
e) FxV'f.
d) F·(V'f).
30. Sear(x,y,z)=(x,y,z),yr=.Jx
2
+l+z2
= llrll. Demostrar las identidades siguientes:
a) V'(l/r)= -rj?, r#O;y,engeneral,V'(r") =nr"-2ryV'(logr)=rjr2
b),.
.,
o¡
O
n2n
( 1)n-'
2
v-o ¡r) =
, r#O;y,engeneral,vr =nn+ r
.
e) V'· (r/Y") = O; y, en general, V'· (r"r) = (n + 3)r".
d) \7xr=O;y,engeneral,V'x(r"r)=O.
31. ¿Deben ser perpendiculares \7 x F y F?
32. SeaF(x,y,z)=3x
2
yi+(x3+y3)j.
a) Comprobar que rot F =O.
b) Hallar una función f de manera que F = V'f (en el Capítulo 8 se darán técnicas para construir f
en general. En este problema en panicular, es posible encontrar la f pedida simplemente por

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
305
33. Demostrar que las partes real e imaginaria de cada una de las siguientes funciones complejas forman
las componentes de un campo vectorial en el plano que es irrotacional e incompresible (aquí,
i=,(=l).
a) (x- iy)2
b) (x- iy)3
e) ex-iy=e'(cos y - i sen y).
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4
En los ejercicios del 1 al 4, hallar el vector velocidad, el vector aceleración, la rapidez y la ecuación de la
recta tangente en el punto indicado.
l. c(t)=(t3 + 1, e··', cos (m/2)), en t = l.
2. c(t)=(r - l. cos (t2), t4), en t=,/;.
3. c(t) = (e', sen r, cos t), en t=O.
r
4. c(t)=
i+tj+k,ent=2.
l+
S. Calcular los vectores tangente y aceleración para la hélice c(t)=(cos t, sen t, t) en el punto t=n/4.
6. Calcular los vectores tangente y aceleración para la cicloide c(t)=(t- sen t, 1 - cos t) en el punto
t= n/4, y dibujar un esquema del resultado.
7. Consideremos una partícula de masa m moviéndose a lo largo de la trayectoria c(t)=(r, sen t, cos t).
Calcular la fuerza que actúa sobre la partícula en el instante t=O.
8. a) Sea c(t) una trayectoria con llc(t)ll = constante, es decir, la curva está contenida en una esfera.
Demostrar que c'(t) es ortogonal a c(t).
b) Sea e una trayectoria cuya rapidez es siempre distinta de cero. Demostrar que e tiene rapidez
constante si y sólo si el vector aceleración e" es siempre perpendicular al vector velocidad e'.
9. Expresar la longitud de arco de la curva x2=i =z5 entre x= 1 y x=4 como una integral, utilizan­
do una parametrización adecuada.
10. Hallarlalongituddearcodec(t)=ti+(logt)j+2y'2tkpara1eS;teS;2.
11. Una partícula se mueve alrededor de la circunferencia unidad en el plano xy según la fórmula
(x, y, z)=(cos (r), sen (r), 0), t )'o O.
a) Determinar el vector velocidad y la rapidez de la partícula como funciones del parámetro t.
b) ¿En qué punto de la circunferencia debe1ia liberarse la partícula con el fin de alcanzar un blanco
situado en el punto (2, O, O)? (Téngase cuidado con el sentido en que se mueve la partícula alre­
dedor de la circunferencia.)
e) ¿En qué instante de tiempo t debería ser liberada la partícula? (Hallar el mínimo t > O que cum­
pla la condición anterior.)
d) ¿Cuáles son la velocidad y rapidez en el instante de la liberación''
e) ¿En qué instante se alcanza el blanco?

306
Cálculo vectorial
12. Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de una fuerza F= - kr. donde k es una cons­
tante y r(r) es la posición de la partícula en el instante t.
a) Escribir las ecuaciones diferenciales que satisfacen las componentes de r( t).
b) Resolver las ecuaciones del apartado a) bajo las condiciones iniciales r(O)= O, r'(O)= 2j + k.
13. Escribir en forma paramétrica la curva descrita por las ecuaciones x
l=2y+l=3z+2.
14. Escribir en forma paramétrica la curva x= l = z2 + l.
15. Demostrar que c(t) = (l/0 - t). O. e'/( 1 - t)) es una línea de flujo del campo vectorial definido por
F(x, y, ::)= (x2, O, ;:(1 + x)).
16. Dada una función de una variable .f definimos el campo vectorial F(x, y)= f(x2 + /)[- yi + xj].
Determinar qué ecuación debe satisfacer una función g(t) de manera que
c(t)= [cosg(l)i + lseng(t)] j
sea una línea de flujo para el campo F.
Haílar í7 · F y í7 x F para los campos vectoriales de los ejercicios del 17 al 20.
17. F=2xi+3yj+4zk.
19. F=(x+y)i+(y+z)j+(z+x)k.
20. F=xi+3xyj+zk.
Hallar la divergencia y el rotacional para los campos vectoriales dados en los Ejercicios 21 y 22 en los
puntos indicados.
21. F(x,y,z)=yi+zj+xk,enelpunto(l,l,1).
22. F(x, y, z)= (x + y)3i + (senx
y
)j + (cosxyz)k, en el punto (2, O, 1).
Hallar el gradiente de las funciones dadas en los ejercicios del 23 al 26, y comprobar que í7 x í7f= O.
23. f(x, y)= e"'' + cos (xy).
24. f(x, y)=
25. f(x,y)=ex
2
-
cos Cxl).
26. f(x, y)= tan-! (x2 +
27. a) Sea f(x, y, z)= .<yz2; hallar í7f.
b) SeaF(x,y,z)=xyi+yzj+zyk.Calcularí7xF.
e) Calcular í7 x (fF) utilizando la identidad lO de la lista de identidades vectmiales. Comparar
con el cálculo directo.

Capítulo 4. Funciones con valores vectoriales
307
Calcularv·FyvxF.
b) Hallar una función f(x, V, z) tal que F = v.f
29. Sea F(x. y) = f(x2 + /)[ � yi + xj], como en el Ejercicio 16. Calcular la divergencia y el rotacional
del campo F, y analizar las respuestas teniendo en cuenta los resultados del Ejercicio 16.
30. Sea una partícula de masa m, moviéndose a lo largo de la hélice elíptica c(t) = (4 cos t, sen t, r).
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la hélice en el instante t = n/4.
b) Hallar la fuerza que actúa sobre la partícula en el instante t = n/4.
e) Escribir una expresión (en términos de una integral) para la longitud de arco de la curva e(r)
entret=Oyt=n/4.
31. a) Seag(x,y,z)=x
3
+Syz+z
2
, y sea h(u) una función de una variable tal que h'(l) = l/2. Sea
f = h o g. Partiendo del punto (l, O, 0), ¿en qué dirección está cambiando f al 50% de su tasa
máxima de variación'!
b) Parag(x,y,z)=x
3
+ Syz + z2, calcular F = vg y comprobar directamente que v x F = O en
cada punto (x. y, z).
32. a) Escribir en forma paramétrica la curva determinada por la intersección de las superficies
x2+/+z2=3ey=l.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1, 1).
e) Escribir una expresión integral para la longitud de arco de esta curva. ¿Cuál es el valor de esta
integral"
33. En meteorología, el gradiente negativo de presiones G es un vector que apunta desde las regiones de
altas presiones hacia las direcciones de bajas presiones, perpendicular a las líneas de presión constan­
te (isobaras).
a) En un sistema de coordenadas xy,
cP 3P
G= �-;
;-
i�-;
;-
j.
ex
cy
Escribir una fórmula para la longitud del vector G.
b) Si el gradiente de presiones horizontales fuera la única fuerza horizontal actuando en el aire, el
viento debería soplar directamente a través de las isobaras en la dirección de G y, para una masa
de aire dada, con aceleración proporcional a la longitud de G. Explicar este hecho usando la
segunda ley de Newton.
e) Debido al efecto de la rotación terrestre, el viento no sopla en la dirección sugerida por el apar­
tado b). En lugar de esto. obedece la ley de Buys-Ballot, que dice: <<Si en el hemisferio norte,
nos colocamos con la espalda en contra del viento, entonces la zoua de altas presiones está a la
derecha y la zona de bajas presiones a la izquierda>>. Dibujar un esquema e introducir coordena­
das xy de modo que G apunte en la dirección correcta.
d) Enunciar e ilustrar gráficamente la ley de Buys-Ballot para el hemisferio sur, en el cual la orien­
tación de altas y bajas presiones se invierte.

308
Cálculo vectorial
34. Una esfera de masa m, radio a y densidad uniforme tiene un potencial gravitatorio, denotado por u, y
una fuerza gravitatoria, denotada por F, a una distancia r del centro (0, O, 0), dados por las fórmulas:
3m
7
nz¡--
u=----,,
2a 2a·'
111
u=�,
r
donder=III'!I.r=xi+yj+zk.
m
F=-- r
r3
a) Comprobar que F= Vu dentro y fuera de la esfera.
b) Comprobar que u satisface la ecuación de Poisson:
dentro de la esfera.
e) Demostrar que u satisface la ecuación de Laplace
esfera.
(r:Sa),
(r >a),
+
+
=constante
=O fuera de la
35. Una hélice circular soportada en el cilindro x2 + l=R2, con un desplazamiento vertical p en cada
vuelta, puede describirse paramétricamente por
x =Reos(:!,
y= RsenO,
z=p(J,
()�O.
Una partícula se desliza a lo largo de la hélice, sin flicción, bajo la acción de la gravedad (que actúa
paralela al eje z). Si la partícula sale de una altura z0 > O, entonces cuando pasa por la altura z su
velocidad viene dada por
ds
dt
. �(z0 - z)2g,
donde s es la longitud de arco a lo largo de la hélice, g es la aceleración de la gravedad, t es el
tiempoyO:Sz:SZo-
a) Hallar la longitud de la parte de la hélice comprendida entre los planos z = z0 y z = zb
0:S;Z¡ <Zo-
b) Hallar el tiempo T0 que tarda la partícula en alcanzar el plano z = O.
36. Una esfera de JO centímetros de radio con centro en (0, O, O) gira alrededor del eje z con velocidad
angular 4, en una dirección tal que el sentido de giro, visto desde la parte positiva del eje z, es contra­
rio al de las agujas del reloj.
a) Hallar el vector de rotación w (véase el Ejemplo 4.27, en la Sección 4.4).
b) Hallar la velocidad v = w x r cuando r = 5�l(i -j) está sobre el «ecuador>>.
e) Hallar la velocidad del punto de la esfera de coordenadas (0, s.j3, 5).
37. Hallar la velocidad de los estudiantes de una clase situada a una latitud 49° N, provocada por la rota­
ción de la Tierra (ignorar el movimiento de traslación de la Tien·a alrededor del Sol, el movimiento
del Sol en la galaxia, etc.; el radio de la Tierra es de 6.378 km).

5.1.
Integrales
dobles y triples
Es a Arquímedes mismo (ca. 225 a.C .) a quien debemos la aproxima­
ción más cercana a la integración actual que podemos encontrar entre
los griegos. Su primer auance notable en esta dirección tiene que uer
con su demostración de que el área de un segmento parabólico es cua­
tro tercios la del triángulo que tiene la misma base y el mismo uértice o
dos tercios la del paralelogramo circunscrito.
z:>. &. Sm.l.d, ��a¡�
E n este capítulo y el siguiente estudiaremos la integración de funciones reales de varias va­
riables; este capítulo trata las integrales de funciones de dos y tres variables, o integrales
dobles y triples. La integral doble tiene una interpretación geométrica básica como volu­
men, y se puede definir rigurosamente como límite de sumas aproximantes. Presentaremos di­
versas técnicas para calcular integrales dobles y triples, y consideraremos algunas aplicaciones.
Introducción
Esta sección se ocupa de algunos aspectos geométricos de la integral doble, aplazando hasta la
Sección 5.2 un estudio más riguroso en términos de sumas de Riemann.
Integrales dobles como volúmenes
Consideremos una función continua de dos variables f: R e IR:2-> IR: cuyo dominio R es un
rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectángulo R se puede describir en

31O
Cálculo vectorial
términos de los dos intervalos ceiTados [a, b] y [e, d] que representan los lados de R a lo largo
de los ejes x e y, respectivamente, como en la Figura 5.1.1. En este caso, decimos que R es el
producto cartesiano de [a, b] y [e, d]. y escribimos R = [a, b] x [e, d].
Supongamos que f(x, y) .? O en R, de modo que la gráfica de z = f(x, y) es una superficie
sobre el rectángulo R. Esta superficie, el rectángulo R y los cuatro planos x = a, x = h, y = c. y
y= d forman la frontera de una región V en el espacio (véase la Figura 5.1.1 ).
X
Gráfica de
z=f(x. y)
Figura 5.L1. La región Ven el espacio está acotada
por la gráfica de f. el rectángulo R y las
cuatro caras verticales indicadas.
Hay que enfrentarse al problema de cómo definir rigurosamente el volumen de V, y se resol­
verá en la Sección 5.2 mediante el método clásico de exhaución o, dicho en términos más mo­
dernos, el nl.étodo de las sumas de Riemann. Para tener una comprensión intuitiva de la integral
doble, supondremos provisionalmente que el volumen de una región ya ha sido definido.
a) Si f está definida por f(x, y)= k, donde k es una constante positiva, entonces
fL f(x. y)dA = k(b � a)(d- e),
pues la integral es igual al volumen de una caja rectangular con base R y altura k.
b) Sif(x,y)=1 �xyR=[0,1]x[0,1],entonces
fL Jcx. y)dA = �·
ya que la integral es igual al volumen de sólido triangular que se muestra en la Figura
5.1
.2.

o.
•
(1. 1, 0)
X
Capítulo 5. Integrales dobles y triples
311
Figura 5.1.2:. Volumen bajo la gráfica z = 1 - x. y sobre
R=[0,1]X[0,1].
Supongamos que z = f(x, y) = x
2
+lyR=[ l,1]x[0,1].Entonceslain­
tegral JJR (x
2 + y2) dx dy es igual al volumen del sólido dibujado en la Figura 5.1.3. Calculare­
mos esta integral en el Ejemplo 5.3 .
z=f(x,y)=x2+y2
X
Figqra 5.1.3. Volumen bajo z = x
2
+y2,y
sobre R=T-1. 1] x [0, 1].
Estas ideas son similares a las de la integral simple J� f(x) dx, que representa el área bajo la
gráfica de f si f;?e O; véase la Figura 5.1.4 1.
Las integrales simples J� f(x) dx se pueden definir rigurosamente, sin recurrir al concepto de
área, como el límite de sumas de Riemann. La idea es aproximar J� f(x) dx eligiendo una parti­
cióna=x0<x1<
< x, = b de [a, b], seleccionando puntos e; E [x;, X;+ 1] y escribiendo la
suma de Riemann
n-1
fb
i�O j(c;)(X¡+ 1 � X¡) ::
:::;
a j(x) dx
1 Los lectores que no estén familiarizados con esta idea deberían repasar las secciones correspondientes de su libro
de introdución al cálculo.

312
Cálculo vectorial
y
a
Figura S.bt,
b
El área bajo la gráfica de una función continua no
negativa f desde x=a hasta x=b es S� f(x)dx.
(véase la Figura 5.1 .5). Examinaremos el proceso análogo para integrales dobles en la Sec­
ción 5.2.
y
.,.
.....--._
'\"-
-
/
V..
........
""
"
/�""-.
.
Principio de Cavalieri
i'-
-
y =f(x)
X
Figura S;t�S;"s La suma de las áreas de los
rectángulos sombreados es una
suma de Riemann. que aproxima
eláreadebajode fentrex=a
y x=b.
Existe un método muy útil para calcular volúmenes, conocido como principio de Cavalieri. Su­
pongamos que tenemos un cuerpo sólido y denotemos por A(x) el área de la sección transversal
en un plano Px que está a una distancia x de un plano de referencia (Figura 5.1 .6).
A(x) = área de
la sección
transversal
'figur�5.f.s.· Cuerpo sólido con área de sección
transversal A(x) a distancia x de un
plano de referencia.

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
313
De acuerdo con el principio de Cavalieri, el volumen del cuerpo viene dado por
volumen = J:A(x) dx,
donde a y b son el mínimo y el máximo respectivamente de las distancias al plano de referencia.
Esto se puede entender de manera intuitiva. Si partimos [a, b] en a= x0 < x1 < --- < xn = b, en­
tonces una suma de Riemann aproximante para la integral anterior es
¡¡-¡
I A(c¡)(x1+ 1 - x¡).
i=O
Pero esta suma también aproxima el volumen del cuerpo, porque A(x)Ll.x es el volumen de una
rebanada con sección transversal de área A(x) y anchura Llx (Figura 5.1.7). Por tanto, es razona­
ble aceptar la fórmula anterior para el volumen. Una justificación más cuidadosa de este método
puede verse en el suplemento de intemet al Capítulo 5.
Figu�a.,s01;7; El volumen de una rebanada con área de sección transversal A(x)
y anchura Ll.x es A(x)LI.x. El volumen total del cuerpo es J� A(x) dx.

314
Cálculo vectorial
Reducción a integrales iteradas
Ahora usaremos el principio de Cavalieri para calcular integrales dobles. Consideremos la re­
gión sólida bajo la gráfica z f(x, y) y definida en la región [a, b] x [e, d], donde fes conti­
nua y mayor que cero. Hay dos funciones naturales para el área de sección transversal: una ob­
tenida usando planos de corte perpendiculares al eje x y otra obtenida usando planos de corte
perpendiculares al eje y. La sección transversal determinada por un plano de corte x = x0, del
primer tipo, es la región plana bajo la gráfica de z = f
(
x0•y)entrey=eey=d
(
Figura 5.1.8).
z =f(x. y)
d
-
+--,.,-
-
-
--y
/'
Figura .5. LB. Dos secciones transversales
diferentes que barren el volumen
x
bajo z = f(x, y).
Cuando fijamos x=x0, obtenemos la función y--> f(x0, y), que es continua en [e, d]. El área de
la sección transversal A(x0) es, por tanto, igual a la integral J� f(x0, y)dy. Así, la función de área
de la sección transversal A tiene dominio [a, b] y viene dada por la fórmula A: x--> J� f(x, y)dy.
Según el principio de Cavalieri, el volumen V de la región bajo z = f(x, y) debe ser igual a
V= f A(x)dx = f[ff(x, y)dyJdx.
La integral J� [J� f(x, y)dy]dx se conoce como integral iterada porque se obtiene integrando
con respecto a y y, después, integrando el resultado con respecto a x. Como SJR f(x, y) dA es
igual al volumen V, obtenemos el siguiente resultado.

Capítulo S. Integrales dobles y triples
315
De este modo, si nuestra intuición sobre volúmenes es correcta, las Fórmulas (l) y (2) deben
ser válidas. Y es así, de hecho, cuando los conceptos en discusión se definen de un modo rigu­
roso, y el resultado se conoce como Teorema de Fubini. Daremos una prueba de este teorema
en la siguiente sección.
Como ilustran los siguientes ejemplos. ia noción de integral iterada y las Ecuaciones (1) y
(2) proporcionan un método poderoso para calcular la integral doble de una función de dos va­
riables.
Calcular la integral
IJ� (x2+ /Jdxdy,
V
R
dondeR=[-l,1]x[0,1].
Solución
Según la Ecuación (2),
Para hallar Jl_ 1 (x2 + /) dx, tratamos y como una constante e integramos respecto a x. Como
x3j3+ /x es una primitiva de x2+ l con respecto a x, podemos integrar usando el teorema
fundamental del cálculo para obtener
J.J (x2+
-l
2
-
2
[x3
Jl
?
dx=
-+y x
= -+2y.
3
x=-
1
3
A continuación, integramos �+ 2/ con respecto a y entre O y 1, obteniendo
fl(a+2l)dy = [�y+�lJ
1
Jo-'
3
3 y=o
4
3
Por tanto, el volumen del sólido que vimos en la Figura 5.1.3 es 4/3.
Para completar, evaluemos SJR (x2+ _l)dxdy usando la Ecuación (l) -esto es, integrando
con i·especto a y primero y después con respecto a x-.
Tenemos
Jt (x2+ _l)dxdy = r
l
[f (x2+ _l)dyJdx.
Tratando a x como una constante en la integración con respecto a y, obtenemos
(x2+ _l)dy = x2y+ -
= x2+-
f¡[lJ1
1
O
3 y=O
3
A continuación, calcnlamos Jl_ 1 (x2+ *) dx para obtener
Jl(
j
) [X3 XJI
x2+- dx- -+-
_
1
3
33x=-1
que concuerda con la respuesta obtenida previamente.
4
3'

316
Cálculo vectorial
Calcular la integral doble f f s cos x sen y dxdy, donde S es el cuadrado
[0, n/2] x [0, n/2] (véase la Figura 5.1 .9).
z=cosxseny
Volumen bajo z = cos x sen y.
X
y sobre el rectángulo [0, rr/2] x [0, rr/2].
Solución
Según la Ecuación (2),
Jí
¡rr/2 [ lrr/2
l
vS cosxsenydxdy =Jo Jo cosxsenydx dy
= 1'1
2
sen y [J:12 cos xdx
ldy = L"12 senydy = l.
En la Sección 5.2, usaremos las sumas de Riemann para definir con rigor la integral doble
para una clase amplia de funciones de dos vmiables , sin recurrir a la noción de volumen. Aun­
que eliminaremos la condición j(x, y) �O, las Ecuaciones (1) y (2) seguirán siendo válidas. De
este modo, la integral iterada proporcionará de nuevo la clave para calcular la integral doble. En
la Sección 5.3, trataremos las integrales dobles sobre regiones más generales que los rectán­
gulos.
Finalmente, observamos que es usual eliminar los paréntesis en las integrales iteradas como
las descritas en las Ecuaciones (l) y (2), y escribir
y,
-
f f f(x, y)dydx
rre
a
f(x, y)dxdy
en lugar de
en lugar de
f[f j(x, y)dy ldx
�Tr 1
1a
j(x, y)dx dy.

l. Calcular las siguientes integrales iteradas:
dydx.
b) f�12 Só (ycosx + 2)dydx.
Capítulo S. Integrales dobles y triples
dydx.
d) f01 H c-x!ogy)dydx.
2. Calcular las integrales del Ejercicio integrando con respecto a x, y después con respecto a y.
317
3. Usar el principio de Cavalieri para demostrar que los volúmenes de dos cilindros con la misma base
y altura son iguales (véase la Figura 5.1 .1 0).
4. Usando el principio de Cavalieri, calcular el volumen de la estructura mostrada en la Figura 5.1 .11;
cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y anchura 3.
Calcular este volumen.
5. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r mediante dos
cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con ángulo 8. Calcular el volumen de
la cuña W usando el principio de Cavalieri (véase la Figura 5.1 .12).
6. a) Probar que el volumen del sólido de revolución mostrado en la Figura 5.1.13(a) es
rr e [f(x)f dx.
va
b) Probar que el volumen de la región obtenida rotando la región bajo la gráfica de la parábola
y= -x2 + 2x + 3, -1 � x � 3, alrededor del eje x es 51 2rr/l5 (véase la Figura 5.l .l3(b)).

318
Cálculo vectorial
X
y
Figura 5.1.12, Hallar el volumen de W
)'
(a)
(b)
l"iiJ'ir¡iS.Lt3; El sólido de revolución (a) tiene volumen rr r� [ f(x)]2 dx. La parte (b) muestra el sólido
de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x la región que está entre la gráfica
dey= �x2+2x+3yelejex.
Calcular las integrales dobles de los Ejercicios 7 a 9, donde R es el rectángulo [0, 2] x [ � l, 0].
7. IL + x)dydx.
8.
9.
10.
I'I
l
JR
(�xexsen
2
ny) dydx.
Hallar el volumen acotado por la gráfica de f(x, y) = l + 2x + 3y, el rectángulo [l. 2] X ro. l) y los
q¡atro lados verticales del rectángulo R, como en la Figura 5.1.1 .
11. Repetir el Ejercicio 1 O para la función f(x, y) = x
4
+/yelrectángulo[ 1,!)x[�3, �2].

5.2.
Capítulo S. Integrales dobles y triples
319
La integral doble sobre un rectángulo
Ya estamos preparados para dar una definición rigurosa de la integral doble como límite de una
sucesión de sumas. Ésta se usará para defhúr el volumen de la región bajo la gráfica de una
función f(x, y). No será necesario suponer que f(x, y) :? O; pero, si f(x, y) toma valores negati­
vos, interpretaremos la integral como un volumen con signo, como se hace con el área bajo la
gráfica de una función de una variable. Además, estudiaremos algunas propiedades algebraicas
fundamentales de la integral doble y probaremos el teorema de Fubini, que asegura que la inte­
gral doble se puede calcular como una integral iterada. Para empezar, vamos a establecer la
notación para particiones y sumas.
Definición de la integral
Consideremos un rectángulo cerradoR e IFe; esto es, R es el producto cartesiano de dos inter­
valos: R =[a, b] x [e, d]. Por una partición regular deR de orden n entenderemos dos fami­
lias ordenadas de puntos (.xj}f'�o y {ykJZ�o que satisfacen
(1=Xo<X¡<···
<X11 = b,
C=Yo<)'¡<···<Yn =d
y,
(véase la Figura 5.2.1 ).
y
d= y4
V·3
y2
\'
.]
1
e=V
J
·O
.. ...... ...... i ·
···· ··
a= x0
X¡
b-a
X¡+¡ -X¡=-11-
.
-,
11-
1
1
R
11
1
lxl
x3
x4=b
X
d-e
Yk=-
-
­
n
Partición regular de un rectángulo
R.conn=4.
Una función f(x, y) se llama acotada si existe un número M> O tal que -M�f(x, y)�M
para todos los (x, y) en el dominio de f. Una función continua en un rectángulo cerrado es
siempre acotada pero, por ejemplo, f(x, y)= l jx sobre (0, 1] x [0, 1] es continua pero no aco­
tada, ya que l jx se hace arbitrariamente grande para x cerca de O. El rectángulo (0, 1] x [0, l]
no es cerrado, pues el punto inicial O falta en el primer factor.
Sea R¡k el rectángulo [x1, X¡+ 1] x [Yk. Yk+ 1] y sea c1k cualquier punto de RJk· Supongamos que
f: R--+ IR; es una función acotada con valores reales. Consideremos la suma
n-·
1
n�I
sn
=
I f(c¡k)Ax !ly = I f(c¡k)M.,
�k�O
hk-0
(l)

320 Cálculo vectorial
donde
V-,
b-a
L'.x=X¡+i-x1=-11-,
L'.y= Yk+ 1
L'.A= L'.x L'.y.
d-e
Yk=--,
n
En esta suma tanto j como k toman todos los valores entre O y n- l, de modo que hay n2 su­
mandos. Una suma de este tipo se llama suma de Riemann para f.
DEFINICÍÓN: Integral doble Sí la sucesión {S,} converge a un límite S cuando n--+ w y
si este límite S es el mismo para cualquier elección de puntos c1k en los rectángulos R¡k> en­
tonces decimos que f es integrable sobre R y escribimos
fLf(x, y)dA,
para designar el límite S.
fL f(x, y),dxdy
o
Así, podemos escribir nuevamente la íntegrabílidad del siguiente modo:
para cualquier elección de c1k E �k·
Propiedades de la integral
La prueba del siguiente teorema básico puede encontrarse en el suplemento de Internet al Capí­
tulo 5.
TEOREMA 1 Cualquier función coritííma
grable.
y
Sí f(x, y) � O, la existencia de lím,_ ce. S, tiene un sígnific;ido geométrico inmediato. Conside­
remos la gráfica de z = f(x, y) como l� tapa de un sólido c
'
uya base es el rectángulo R. Si esco­
gemos c1k como el punto de R1k donde f(x. y) alcanza su mínimo valor2, entonces f(c1k)L'.x L'.y
representa el volumen de una caja rectangular con base R¡k· La suma L}."k�o f(c¡k)L'. xL'.y es el
volumen de un sólido inscrito, parte del cual se muestra en la Figura 5.2.2.
Del mismo modo, sí c1k es el punto donde f(x, y) alcanza su máximo sobre R1k> entonces la
suma I�.k�o f(c1k)L'.xL'.y es igual al volumen de un sólido circunscrito (véase la Figura 5.2.3).
Por tanto, sí lim,Hoc S, existe y es independiente de c1k E R¡k> los volúmenes de los sólidos
inscrito y circunscrito convfrgen al mismo límite cuando n--+ w. Es entonces razonable llamar
Dicho C¡k existe en virtud de la continuidad de f en R; uéase el Teorema 7 de la Sección 3.3.

e
d
X
X
.
Cap(tulp 5 .. I.nt?Wi'Jl�� dobles y tríples
321
Figura 5.2.2..
La suma de las cajas ínscrítas aproxíma
el volumen bajo la gráfica de z = f(x, y).
Fisura 5.2.3: El volumen de las cajas círcunscrítas
tambíén aproxíma el volumen bajo
z=f(x.y).
a este límite el volumen exacto del sólido bajo la gráfica de f. Así, el método de las sumas de
Riemann sirve de base a los conceptos que se introdujeron de forma intuitiva en la Sección 5.1.
Hay un teorema que garantiza la existencia de la integral de ciertas funciones discontinuas.
Necesitaremos este resultado en la siguiente sección para estudiar las integrales de funciones
sobre regiones más generales que los rectángulos. Estaremos especialmente interesados en fun­
ciones cuyas discontinuidades estén sobre curvas del plano xy. La Figura 5.2 .4 muestra dos fun­
ciones definidas en un rectángulo R cuyas discontinuidades están sobre curvas. En otras pala­
bras, f es continua en cada punto de R salvo en los puntos de la curva, donde puede no serlo.
Las curvas útiles son las gráficas de funciones tales como y = c/J(x), a :S: x :S: b o x = tf¡(y),
e :S: y :S: d, o uniones finitas de tales gráficas. Algunos ejemplos se muestran en la Figura 5.2 .5 .
El siguiente teorema proporciona un importante criterio para determinar si una función es
integrable. La prueba puede encontrarse en el suplemento de Internet.

322 Cálculo vectorial
X
Una «superficie rota>>
z=f(x,y)
Conjunto de discontinuidades def
X
Corte en la
superficie
z=f(x,y)
�R
(
Conjunto de discontinuidades def
Figura 5.2.4. Aspecto que pueden presentar las gráficas de funciones discontinuas de dos variables:'"-
)'
Figura S.Z.S. Curvas en el plano representadas como gráficas.
Usando el Teorema 2 y las observaciones que lo preceden, vemos que las funciones esboza­
das en la Figur¡1 5.2,4 son integrables sobre R, ya que están acotadas y son continuas excepto en
gráfiGaS-tle- fúnciones continuas.
De la definición de la integral como límite de sumas y de los teoremas sobre límites, pode­
mos deducir algunas propiedades fundamentales de la integral JSR j(x, y) dA; estas propiedades
son esencialmente las mismas que las de la integral de una función real de una variable.
Sean f y g funciones integrables sobre el rectángulo R y sea e una constante. Entonces
f+ g y ef son integrables y
i) Linealidad
fL [f(x. y)+ g(x. y)] dA= f1 Jcx. y) dA+ fL g(x. y) dA.
ii) Homogeneidad
JLcj(x, y)dA. =e JL j(x, y)dA.

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
323
iii) Monotonía Si .f(x, y) � g(x, y), entonces
fL.f(x, y)dA � fL g(x, y)dA.
iv) Aditividad SiR¡, i = 1, .. . , m son rectángulos con interiores disjuntos dos a dos, .f es
acotada e integrable sobre cadaR¡ y Q=R1 uR2 u··· uRm es un rectángulo, entonces
f: Q -+ IR es integrable sobre Q y
íÍ .f(x, y)dA= t ff f(x, y)dA.
"JQ
t-1
R1
Las propiedades i) y ii) son consecuencia de la definición de integral como límite de una
suma y de los siguientes resultados sobre convergencia de sucesiones {S,} y {T,), que se de­
muestran de la misma forma que los teoremas para límites del Capítulo 2:
lim(T,+S,)=limT,+limS,
11--
---t
-X
lim (eS,)= e lim S,.
Para demostrar la monotonía observemos primero que si h(x,y) �O y (S,} es una sucesión
de sumas de Riemann que converge a JSR h(x, y)dA, entonces S, �O para todo n, de ma­
nera que JSR h(x, y)dA= lim,_% S, �O. Si
. f(x, y) � g(x, y) para todo (x, y) E R, entonces
(.f - g)(x, y) �O para todo (x, y) y, usando las propiedades i) e ii), tenemos:
fÍ.f(x,y)dA - ff g(x, y)dA = íf[f(x, y) - g(x,y)]dA �O.
..,.R
R
""'
R
Esto prueba la propiedad iii). La demostración de iv) es más técnica y se prueba un caso parti­
cular en el suplemento de Internet. Esta propiedad debería resultar intuitivamente obvia.
Otro resultado importante es la desigualdad:
1fL.fdA 1 �fL l.fldA.
Para comprobar la certeza de (2) nótese que, por la definición de valor absoluto,
-l.fl �! � l.fl;
por tanto, de la monotonía y la homogeneidad de la integración (con e= - l), se deduce
fL lfldA � fL fdA � fL lfldA,
que es equivalente a la desigualdad (2).
(2)

324
Cálculo vectorial
El teorema de Fubini
Aunque hemos visfo una amplia clase de funciones integrables, aún no hemos establecido ri­
gurosamente un método general para calcular integrales. En el caso de una variable evitamos
calcular f� f(x)dx a partir de su definición como límite de una suma, mediante el uso del
teorema fundamental del cálculo integral. Este importante teorema nos dice que, si fes conti­
nua, entonces:
f f(x)dx = F(b)- F(a),
donde F es una primitiva de f; esto es, F' =f.
'Esta técnica no funciona, tal como está enunciada, para funciones f(x, y) de dos variables.
Sin embargo, como ya indicamos en la Sección 5.1, una integral doble sobre un rectángulo se
puede reducir con frecuencia a integrales simples iteradas; el teorema fundamental se puede
apli¿l:¡r entonces a cada una de estas integrales. El teorema de Fubini, que ya fue mencionado en
la últi'rna sección, justifica rigurosamente esta reducción a integrales iteradas por medio de su­
mas de Riemann. Como vimos en la Sección 5.1, la reducción
ftf(x, y) dA=f[ff(x, y)dyldx = r[ff(x, y)dxldy,
es una consecuencia del principio de Cavalieri, al menos cuando f(x, y) ?e O. En términos de
sumas de Riemann, esto se coiTesponde con la siguiente igualdad:
que se puede probar de manera más general como sigue: sea [a¡1J una matriz n x n, donde
O�j�n - 1 yO�k�n - l. Sea I:'i.k"�o ajkla suma delos n2 elementos dela matriz. Entonces,
n-I
n-1
2:
:
aJk= 2:
:
j.k�O
j�O
(n-J
) n-J
e-l
)
2:
:
aJk=2:
:
Lajk .
k=O
k=O
·
=o
(3)
En la primera igualdad, el lado de la derecha representa la suma de los elementos de la ma­
triz primero por filas y después sumando los resultados:
l"
oc
ao¡
ao2
aJO
aJI
la,.,-" a(n ·-1)1
n-1
2:
:
aok
k=O
n-1
2:
:
aJk
k�O
n-1
a(n -·D<n- J) 2:
:
a(n -1)k
k=O

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
325
Claramente, esto es igual a I.J'.Z�o a¡k• la suma de todos los aJk· Del mismo modo, la suma
I z:¿ CI/:(i ajk) representa una suma de los elementos de la matriz agrupados por columnas.
Esto prueba la Ecuación (3) y hace plausible la reducción a integrales iteradas si recordamos
que las integrales se pueden aproximar mediante las con·espondientes sumas de Riemann. De
hecho, la prueba del teorema de Fubini utiliza esta idea.
TEOREMA3:.Teorema de Ful:tini Sea fu.nafunción.continua sobre un uv.uwmv
guiar R [a, b] x [e, d]. E11toD.ces
.
..
r �_f(x,y)dydx =J
_
·.
.
d
.
rJ(¿;,y)dxdy�·-·s
.
·t
_
•.._:_
.
_ fc-x ,y)dA.
JaJc,_
-
_
-
��J'! -
-
,
Jn
DEMOSTRACIÓN Primero probaremos que
Íbfd
í�
f(x, y)dydx= J f(x, y)dA.
Ja
e
.1R
Seae=Yo<_v1< ··
· < Yn =duna partición de [e, d] en n partes iguales. Definamos
�d
F(x) =J f(x, y)dy.
Entonces
F(x) = �t:Lk+1 f(x, y)dy.
Usando la versión integral del teorema del valor medio3, para cada x fijo y para cada k te­
nemos
(véase la Figura 5.2 .6), donde el punto Y,(x) está en [_vk, Yk+ 1] y puede depender de x, k y n.
Hemos probado entonces que
n-I
F(x) = I f(x, Yk(x))(Yk+ 1 � Yk)­
k�o
De la definición de integral en una variable como límite de sumas,
fF(x) dx = f[ff(x, y)dyJdx = }�� �t:F(p)(x¡+ 1 -�
x),
(5)
3 Éste asegura que si g(x) es continua en [a, b], entonces J;; g(x) dx = g(c)(b - a) para algún punto e E [a, b]. El
segundo teorema del valor n1edio, más general, se demostró en la Sección 3.2 .

326
Cálculo vectorial
X
1
J Y3(x)
\' v1\'1\'Ysy6Y?d'=Ys
�--,V-- --· _ .. :_¡_:_¡_�-�-!\.:.�--
-
.------ -- --- ----·�"------ ).
.
y
�-r�r-�
�--���r-�
/
Figura 5.2.6. Notación necesaria en la demostración del teorema de Fubini: n = 8.
dondea=x0<x1<·· ·
< X11 = bes una partición del intervalo [a, b
]
en n partes iguales y p1
es cualquier punto en [x1, x1+ 1]. Tomando C¡k = (p¡. Yk(p )) E R1k tenemos (sustituyendo P; por
x en la Ecuación (5)).
Por tanto.
n-1
F(p¡) = L f(c1k)(yk+ 1 - _h).
k�o
ib rd
ib
n-1
a
J , f(x,y)dydx=
a F(x)dx= }��J�O F(p)(xj+J -x)
n-} n-1
= lim L L f(c1k)(vk+l- Yk)(x¡+J- x)
n-">-::.c j=O k=O
= JL.rcx,y)dA.
Así, hemos probado que
1/y (d
(f'
JoJ
f(x, y)dydx =
Jt f(x, y)dA.
Usando el mismo razonamiento podemos probar que
r f .f(x, y)dxdy = ft f(x, y)dA.
Estas dos conclusiones son exactamente lo que queríamos probar.

Capítulo S. Integrales dobles y triples
327
El teorema de Fubini se puede generalizar al caso en que f no sea necesariamente continua.
Aunque no lo vamos a demostrar, enunciamos aquí esta versión más general del teorema.
Solución
Calcular ffR (x2 +y) dA, donde Res el cuadrado [0, 1) x [0, 1 ) .
Por el teorema de Fubini,
De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, podemos integrar con respecto a x:
rl [x3
JI
1
(x2+y)dx=
�
+yx
=-+y.
•O
3
.
x�O
3

328
Cálculo vectorial
Por tanto,
JI'
11[] J [1 lJl
JR
(x2
+
y)
dA
=
Jo3+
ydy=
3y
+20
S
6
Lo que hemos hecho es dejar fijo y, integrar con respecto a x, y después evaluar el resultado
entre los límites dados para la variable x. A continuación, hemos integrado la función resultante
(que depende sólo de y) con respecto a y para obtener la respuesta final.
Una consecuencia del teorema de Fubini es que el intercambio del orden de inte­
gración en las integrales iteradas no cambia el resultado. Comprobar esto en el Ejemplo 5.5.
Solución
Rea lizamos la integración en �� otro orden:
\/
_
[x3 x]1
-
-+-
32o
S
6
Hemos visto que cuando f(x, y):? O sobre R =[a, b] x [e, d], la integral JSR f(x, y)dA se
puede interpretar como un volumen. Si la función también toma valores negativos, entonces la
integral doble se puede pensar como la suma de todos los volúmenes que están entre la superfi­
ciez=f(x,y)yelplanoz=O,acotadaporlosplanosx=a,x =b,y =eey=d;aquílos
volúmenes sobre z =O se cuentan como positivos y los que están por debajo, como negativos.
Sin embargo, el teorema de Fubini tal como está enunciado sigue siendo válido en caso de que
f(x, y) sea negativa o cambie de signo en R; es decir, no hay restricción por razón del signo de f
en las hipótesis del teorema.
Sea R el rectángulo [- 2, 1] x [0, 1] y sea f definida por f(x, y) =y (x3 - J2x);
f(x, y) toma valores positivos y negativos en R. Calcular la integral JSR f(x, y)dxdy =
Jh y(x3- I2x)dxdy.
Solución
Por el teorema de Fubini, podemos escribir
J'l y(.J:3- 12x)dxdy =
11 [Jl y(x3- J2x)dx
]dy=57eydy=
57
.
JR
Jo
-
2
4.�o
8
De otro modo, si integramos primero con respecto a y, tenemos
JL y(x3- J2x)dydx = f2 [L (x3 - l2x)ydyJdx
'
57
8

La pri11
1
era. :vez que la mayoría. de l<Js esiu
r
utante'>
nombre de. Bemhard Rieman.n es en sus
Ríemann. Leibniz había entendido .ml:egral
sun;.a infinita (eLsigno [ designa
una.··«anchura ihfinitesiÜml>� y
delgadm> rectángulo. :Este enJ�oque
dánlental
·
··
··
Capítulo 5. Integrales dobles y triples
329

330
Cálculo vectorial
l. Calcular cada una de las siguientes integrales si R=[0, 1] x [0, 1].
a) Jt (x3+/)dA
b) Jt yeX)dA
d) Jt ln[(x+ l)(y+ l)]dA.
2. Calcular cada una de las siguientes integrales si R=[0, 1] x [0, 1].
a)
b)
fIR
(xn'y'')dxdy, donde m, n > O.
JL(ax
.
+ by+e)dxdy.
e)
d)
Jí sen(x+y)dxdy.
,R
íi (x2+ 2.xy+yJx)dxdy .
.,R
3. Calcular el volumen de la región sobre el rectángulo [0, l] x [0, 1] y bajo la gráfica de z= xy.
4. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano .A}', los planos x= 1 e
y= 1, y la superficie z x2+y4
S. Sea f continua en [a, b] y g continua en [e, d]. Demostrar que
Jt[f(x)g(
y
)]dxdy= [ff(x)dx J[fg(y)dy J.
donde R=[a, b] x [e, d].
6. Calcular el volumen del sólido acotado por la gráfica z= seny, los planos x=1, x= O, y = O,
ey=n/2y elplano.A)'.
7. Calcular el volumen del sólido acotado por la gráfica z= x2+y, el rectángulo R=[0, l] x [1, 2.] y
las <<Caras verticales» de R.
8. Sea f continua en R=[a, b] x [e, d]; para a< x< b, e< y<d, definimos
F(x, y)=
f ff(u, v)dvdu.
Demostrar que iflFjoxoy= o2Fjcyox=f(x, y) . Usar este ejemplo para estudiar las relaciones enu·e el
teorema de Fubini y la igualdad de las derivadas parciales mixtas.
9. Sea f:[0, 1] x [0, 1] -+IR; definida por
f(x, y)= {
1
2.y
x racional
x irracional.
Demostrar que la integral iterada J6 [_í/¡ f(x, y)dy]dx existe pero que f no es integrable.
10. Expresar .Í.ÍR coshxydxdy como una sección convergente, donde R=[0, l] x [0, 1].

5.3.
Capítulo S. ÍrÍtt=grales dobles y triples
331
'
'
,'"-
_;
11. Aunque el teorema de Fubini se verifica para la mayoría de las funciones que nos encontramos en la
práctica, debemos mantener cierta prudencia. En este ejercicio se da un ejemplo para el que el teore­
ma falla. Usando un cambio de variable que involucre a la función tangente, demostrar que
miemra' que
4
¿Por qué no contradice esto los Teoremas 3 o 3'?
12. Sea f continua, f?; O, sobre el rectángulo R. Si JSR fdA = O , demostrar que f = O en R.
La integral doble sobre regiones más generales
Nuestro objetivo en esta sección es doble: en primer lugar, queremos definir la integral doble de
una función f(x, y) sobre regiones Dmás generales que los rectángulos; en segundo lugar, que­
remos desarrollar una técnica para calcular este tipo de integraL Para llevarlo a cabo definire­
mos tres clases especiales de subconjuntos en el plano .xy, y extenderemos a ellos la noción de
integral doble.
·
Regiones elementales
Supongamos que tenemos dos funciones reales continuas </J1 : [a, b] --> lR y </J2: [a, b] --> lR que
satisfacen </J1(x),-; </Jix) para cada x E [a, b]. Sea Del conjunto de todos los puntos (x, y) tales
que x E [a, b] y </J1(x),-;y,-;</Jix), A la región D se la llama y-simple. En la Figura 5.3.1 se
muestran varios ejemplos de regiones y-simples. Las curvas y segmentos rectilíneos que delimitan
la región son la frontera de D
,
que se denota por 3D
:
Usamos la denominación y-simple porque la
región se puedt:! describir de un modo relativamente sencillo, expresando y en función de x.
y
y
y
t
Fig�t¡¡�S.;.'J�r Algunas regiones y-simples.
Decimos que una región Des x-simple si existen funciones continuas IÍJ1 y IÍJ2 definidas en
[e, d] tales que Des el conjunto de los puntos (x, y) que satisfacen
yE[e,d]
y
siendo IÍJ1(v),-;lÍfi:y) para cada y E [e, d]. De nuevo, las curvas que delimitan la región Dcons­
tituyen su frontera 3D
.
Se muestran algunos ejemplos de regiones x-simples en la Figura 5.3.2.
En este caso, x es la variable distinguida que viene dada en función de y. La denominación
x-simple es, por tanto, adecuada
.

332
Cálculo vectorial
y
-
---f------�---------- ---
-+
X
y
f'i!Jura!j.3,2� Algunas regiones x-simples.
y
Por último, una región simple es aquella que es a la vez x-simple e y-simple; así, una región
simple se puede describir como región x-simple y como región y-simple. Un disco unidad es un
ejemplo de región simple (véase la Figura 5.3.3).
Algunas veces nos referiremos a cualquiera de estas regiones como regiones elementales.
Nótese que la frontera cD de una región elemental es el tipo de conjunto de discontinuidades de
una función permitido en el Teorema 2.
y+
1
__
__
¡ ____
-11
1
\
i
1
�+¿,,,,i
=-)!-xl
1
(a)
(b)
Fi
i
gu�a15.3rz3�·-··
-
• El disco unidad es una región simple: (a) visto como región y-simple. y (b) visto como región
x-simple.
La integral sobre una región elemental
Vamos a utilizar ahora un interesante «truco>> para extender la definición de integral de rectán­
gulos a regiones elementales.
DEFINICIÓN: Integral sobre una región elemental Si D es una región elemental en el
plano, elijamos un rectángulo R que contenga a D. Dada una función continua (y, por tanto,
acotada) f: D --
-->
R definimos SJD f(x, y) dA, la integral de f sobre el conjunto D, como
sigue: extendemos f a una función f* definida sobre todo R como
f*(x v) = {f(x, y)
,-
o
SI(x,y)ED
si(x,y)rfcDy(x,y)ER.

Capítulo S. Integrales dobles y triples
333
Nótese que f* es acotada (ya que f lo es) y continua excepto posiblemente en la frontera de
D (véase la Figura 5.3.4). La frontera de D está formada por gráficas de funciones continuas,
de modo que f* es integrable sobre R por el Teorema 2. Entonces, podemos definir
JL f(x, y) dA= J1 f*(x, y)dA.
Cuando f(x, y) ): O sobre D, podemos interpretar la integral JS0 .f(x, y)dA como el volumen de
la región tridimensional que está entre la gráfica de f y D, como es evidente en la Figura 5.3 .4.
de z =f(x. y)
def*
X
Región elemental
X
(a)
(b)
;;�'�"''�"' ·��B',1�,1� (a) Gráfica de z = f(x, y) sobre la región elemental D. (b) La región sombreada muestra
la gráfica de z = f*(x. y) en un rectángulo R que contiene a D. En este dibujo vemos que
los puntos de la frontera de D pueden ser puntos de discontinuidad de f*, ya que la gráfica
de z = f*(x, y) puede estar rota en estos puntos.
Hemos definido JS0 f(x, y)dxdy eligiendo un rectángulo R que contiene a D. Debería ser
intuitivamente claro que el valor de JS0 .f(x, y) dxdy no depende del rectángulo elegido; demos­
traremos esto al final de esta sección.
Reducción a integrales iteradas
Si R = [a, b] x [e, d ] es un rectángulo que contiene a D, podemos usar los resultados sobre
integrales iteradas de la Sección 5.2 para obtener:
JL .f(x. y)dA = JI f*(x. y)dA= f f f*(x. y)dydx
Id Ib
=
f*(x, y) rL>:dy,
e
a

334
Cálculo vectorial
donde f* es igual a f en D 'y cero fuera de D, como antes. Supongamos que D es una región
y-simple definida por las funciones cp1: [a, b]--> IR; y cp2: [a, b]-> R Consideramos la integral
iterada:
fbf
d f*(x, y)dydx
a
e
y, en particular, la integral interior J� f*(x, y) dy para x fijo (Figura 5.3 .5). Como por definición,
f*(x, y) = O si y< cp1(x) o y> c/Jix), obtenemos
y
t
!'
d
f</>z(
x
)
("</>z(
x
)
Jf*(x. y)dy=
.
f*(x,y)dy=j .
.
j(x, y) dy.
e
cp1(x)
.p11x
)
dl
!
-
-
-
'-R·• ! .•.c.. '>e·.,·.•· '""'
�.·.,y= </>2(x)
y= </>¡(x)
e ---�-
-----+-�
i1
-f--- .____,¡__¿______,_ X
':Fi!J���,3t5{ Esta región entre las dos gráficas
es una región y-simple.
1
a
X
b
A continuación se resume lo que hemos obtenido.
Encasodeque f(x, y)= lparacada(x, y)ED,JJDf(x, y)dAes elárea deD.Porotro lado,
en este caso, el lado derecho de (1) se convierte en:
fb f</>z(
x
)
fb
f(x, y)dydx =
[ c/J2(x)
a
cp1(x)
a
cp1(x)]dx = A(D),
que es la fórmula para el área de D que se aprende en el cálculo de una variable.
Hallar Jh (x3y + cosx)dA, donde Tes el triángulo formado por todos los puntos
(x,y)talesqueO<x<ní2.O<y<x.

Solución
Capítulo 5. Integrales dobles y triples
335
Según la Figura 5.3 .6 y la Fórmula (1), tenemos:
y
frr/2 [X3)'2
J
x
frr/2 (XS
)
=
-'">- + ycosx
dx=
-
+ xcosx dx
O
L.
.
y=O
O
2
=
-
+
(xcosx)dx =
+ [xsenx + cosx]"/2
[X
6
Jrr/2 frr/2
n6
12o
o
(12)(64)
o
n6
n
=-+--1.
768 2
11\§u.r�.�:�;�:�i El triángulo T representado como
una región y-simple.
En el siguiente ejemplo usaremos la Fórmula (1) para hallar el volumen de un sólido cuya
base es una región D no rectangular.
Hallar el volumen del tetraedro limitado por los planos y = O, z = O, x = O, e
y-x+z= 1(Figura5.3.7).
Solución
Primero observamos que el tetraedro tiene una base triangular D cuyos puntos (x, y) satisfacen
-
1:(x:(OyO:(y:(1+x;por tanto, Desunaregióny-simple;dehecho, Desunaregión
simple (véase la Figura 5.3.8).
Para cualquier punto (x, y) en D, la altura de la superficie z sobre (x, y) es 1 y + x. Así, el
volumen buscado viene dado por la integral
IL(1-y+x)dA..

336
Cálculo vectorial
(0, O, 1)
X
<f;2(x)=x+1
ty
(0,1)1
fig����:�l!{i, El tetraedro limitado por los planos
y=O.z=O,x=O,ey-x+z=1.
------��������._--�X ,Fii�ras:�;ar��;.� La base del tetraedro de la Figura 5.3.7
representada como una región y-simple.
(-1, O)
i(O, O)
Usando la Fórmula (1) con cp1(x) =O y cp2(x) = x + 1, tenemos:
fL(1- y+ x)dA = r
l
Ll+x (1 -y+ x)dydx = rl [o + x)y-�I�:dx
Solución
1
6
Sea D una región y-simple. Describir su área A(D) como límite de sumas de
Si recordamos la definición, A(D) = SJD dxdy es la integral de la función f = 1 sobre un rec­
tángulo R que contiene a D
.
Una suma de Riemann Sn para esta integral se obtiene dividiendo R
en subrectángulos y haciendo la suma Sn = IJ,k'�o f*(c1k)!':.
.x
fly, como en la Fórmula (l) de la
Sección 5.2. Ahora f*(c1k) es 1 o O, dependiendo de si c1k está en Do fuera de D
.
Consideramos
aquellos subrectángulos R1k que tienen intersección no vacía con D
,
y elegimos c1k en Dn RJk·

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
337
Así, S, es la suma de las áreas de los subrectángulos que intersecan D, y A(D) es el límite de
ésta cuando n __,. ce; por tanto, A(D) es el límite de las áreas de los rectángulos que «circunscri­
ben» a D. Es recomendable hacer un dibujo para acompañar la argumentación anterior.
Los métodos para tratar las regiones x-simples son totalmente análogos. Concretamente, te­
nemos el siguiente teorema.
Para hallar el área de D, sustituimos f = 1 en la Fórmula (2); esto nos da
De nuevo, este resultado para el área coincide con el resultado que se obtiene en el cálculo de
una variable para el área de una región entre dos curvas.
Tanto el método para regiones y-simples como el método para x-simples se pueden utilizar
para el cálculo de integrales sobre regiones simples.
Se sigue de las Fórmulas (1) y (2) que JfD fdA no depende de la elección del rectángulo R
que contiene a D y que se usa en la definición de JSD fdA ya que, de haber escogido otro rec­
tángulo conteniendo a D, habríamos llegado a la misma Fórmula (l).
l. Calcular las siguientes integrales iteradas y dibujar las regiones D determinadas por sus límites.
Decir si las regiones son x-simples, y-simples o simples.
a)
b)
ff"
0 0 dydx.
f rx+
l
12x
dydx.
e)
d)
J: f' (x +y)dydx.
rr2
Ox3
ydydx.
2. Calcular las siguientes integrales y dibujar las correspondientes regiones.
a)
b)
rr2
(x2
+y) dxdy.
-3o
rrl
-!
-
21x
l
ex+y dydx.
e)
Lr-
,2)1/2
dydx.
d)
f
'2
fosx
0
0 ysenxdydx.

338
Cálculo vectorial
e)
il
f"
, (x1' + y"')dxdy,
oy-
m,n>0.
f)J
O i2(I-x
2
)1/
2
xdydx.
-IO
3. Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio r.
4. Usando integrales dobles, determinar el área de una elipse cuyos semiejes tienen longitudes a y b,
respectivamente.
5. ¿Cuál es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6 m x 12 m, paredes de 9 m de
altura al frente (que está del lado que mide 6 m) y 12 m detrás? El granero tiene un techo plano. Usar
integrales dobles para calcular dicho volumen.
6. Sea D la región limitada por los semiejes positivos de x e y, y la recta 3x + 4y = lO. Calcular
7. Sea D la región acotada por el eje y, y la parábola x = -4l + 3. Calcular
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
1' ¡x2
Calcular
J0J
0(x
2
+ xy- l)dydx. Describir esta integral como una integral sobre una cierta re-
gión D en el plano .:t}'.
Sea D la región formada por los (x, y) que satisfacen 1 �x
2
+l�2ey�O.¿EsDunaregión
elemental? Calcular SJD f(x, y)dA donde f(x, y) = 1 + .:t}'.
Usar la fórmula A(D) = SJD dxdy para hallar el área encerrada por un periodo de la función sen x,
paraO�x�2n,yelejex.
Hallar el volumen de la región encerrada por la superficie z = x
2
+lentrez=Oyz=10.
Expresar mediante una integral el volumen del cono cuya base tiene radio r y cuya altura es h.
Calcular SJD ydA, donde D es el conjunto de puntos (x, y) tales que O �2xín �y, y �sen x.
Según el Ejercicio 5 de la Sección 5.2, r rf(x)g(y)dydx = (f f(x)dx) (fg(y)dy) . ¿Es cier­
to SJD f(x)g(y)dxdy = (f f(x)dx)(J;<:ll g(y)dy) para regiones y-simples?
Sea D la región formada por los puntos (x, y) tales que - cj;(x) �y �cj;(x), y a �x �b, donde cp es
una función continua no negativa definida en el intervalo [a, b]. Sea f(x, y) una función sobre D tal
que f(x, y)= - f(x, -y) para todo (x, y) E D. Demostrar que HDf(x, y)dA= O.
Usar los métodos estudiados en esta sección para probar que el área del paralelogramo D determina­
do por dos vectores planos a y bes la1b2- a2b¡j, donde a= a,i + a2j y b= b1i + b2j.
Describir el área A(D) de una región como límite de áreas de rectángulos inscritos, como en el Ejem­
plo 5.IO�

5.4.
Capítulo S. Integrales dobles y triples
339
Cambio del orden de integración
Supongamos que D es una región simple (es decir, x-simple e y-simple). Entonces, se puede
expresar como el conjunto de los puntos (x, y) tales que
a::
::;:
x::
::;:
b,
y, también, como el conjunto de los puntos (x, y) tales que
e::
::;:
y::
::;:
d,
Por consiguiente, tenemos las fórmulas:
fb f<f>2(x
)
I
d
f
!f2(Y
)
JSD f(x, y)dA=
f(x, y)dydx =
f(x, y)dxdy.
a
.p1(x)
e
if/¡(y)
Si se nos pide calcular una de las integrales iteradas anteriores, podemos hacerlo calculando
la otra integral iterada; esta técnica se llama cambio en el orden de integr ación. Puede resultar
útil hacer este cambio cuando calculamos integrales iteradas, pues quizá una de las integrales
iteradas es más difícil de calcular que la otra.
Cambiando el orden de integración, calcular
Solución
NótesequexvaríaentreOya,yque,paraxfija,setieneO::
::;:
y::
::;:
(a2 x2)112. Así, la integral
iterada es equivalente a la integral doble:
SSD (a2 -l)112dydx,
donde D es el conjunto de puntos (x, y) tales que O::
::;:
x::
::;:
ayO::
::;:
y::
::;:
(a2 -x2)112. Como ésta
es la representación de un cuarto (la parte correspondiente al cuadrante positivo) del disco de
radio a, D también se puede describir como el conjunto de los puntos (x, y) que satisfacen
O::
::;:
y::
::;:
a,
(véase la Figura 5.4.1). Por tanto,
= r [x(a2 l)l/2l��t2)1/2dy
�
f>'
y')dy�[
a
'y-
�J: 3

340
Cálculo vectorial
y
i
(0. a)
x=}a2�y2
o
-
-
�X
(a, O)
figura 5.4, 1. La parte del cuadrante positivo de un disco
de radio a.
Podríamos haber calculado directamente la integral iterada inicial pero, como el lector pue­
de comprobar fácilmente, el cambio del orden de integración hace el problema más sencillo. El
siguiente ejemplo muestra que puede no ser obvio cómo calcular una integral iterada y, sin em­
bargo, ser relativamente simple calcular la integral iterada que se obtiene al cambiar el orden de
integración.
Calcular
Solución
f? l'ioo <
1- Jo
o
(x- l),/1+é' dydx.
Cambiar el orden de integración simplificará las cosas. Obsérvese primero que la integral es
igualaSJD(x- 1)J1+e
2"
dA, donde Des el conjunto de los (x, y) tales que
l'(x'(2 y
O:(y:( logx.
La región Des simple (véase la Figura 5.4 .2) y se puede describir también como
O:( y:( log2
y
e
Y
'(X'( 2.
y
Figura�.�.z., D es la región de integración para el Ejemplo S. 12.

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
341
Así, la integral iterada que queremos calcular es igual a:
-
Í_
!
_+_e
_
2Y�
-
fol
o
g2
[7
v
2
-
J:og2 (e�Y -
eY)J1 + e2y dy
¡
fl
og2
__
flag2
-
e2YJ!+e2Ydy+
e-vJl +e2Ydy.
2o
o
(1)
En la primera integral sustituimos u = e2 Y en la Expresión (1) y, en la segunda, v = eY Entonces
obtenemos
-
-
�du +
..
.¡
l+v2dv.
1
J4f
2
41
1
(2)
Las dos integrales de la Expresión (2) se pueden calcular fácilmente con técnicas del cálculo de
una variable (o consultando la tabla de integrales de este libro). Para la primera integral, obte­
nemos
La segunda integral es
(véase la Fórmula 43 en la tabla de integrales). Por último, restamos la Ecuación (3) de la Ecua­
ción (4) para obtener la respuesta:
1(í� h
J5+2) 1 3'2
3/2
-
2 5-v2+log---
-
-
[5'
-
2}.
2'
fi+l
6
Desigualdad del valor medio
1
Concluimos esta sección con una desigualdad que nos ayudará alestimar integrales. Suponga-
mos que m y M son números tales que m �f(x, y)< lVl para tod</(x, y) E D. Entonces, integran-
do sobre D, obtenemos
·
m·A(D) � JL f(x, y)dA � M·A(D),
(5)

342
Cálculo vectorial
donde A(D
)
es el área de la región D
.
Aunque esta desigualdad es obvia, puede ayudamos a
estimar integrales que no se pueden calcular con exactitud.
Consideremos la integral
donde Des el cuadrado unidad [0, 1] x [0, 1]. Como el integrando satisface, para x e y entre O
yl,
l
-
<
::
:::
1,
J3..
.._,
ji+x6+l
y puesto que el cuadrado tiene área 1, obtenemos:
Igualdad del valor medio
La desigualdad del valor medio puede convertirse en una igualdad cuando f es continua
.
De
modo más preciso:
DEMOSTRACIÓN No podemos probar el teorema con todo rigor ya que para ello se requie­
ren algunos conceptos sobre funciones continuas que no se demuestran en este libro; pero
podemos esbozar las ideas principales de la demostración.
Como f es continua sobre D
,
alcanza un valor máximo M y un valor núnimo m. Por
consiguiente, m :S:j(x, y) :(M para cada (x, y) E D
.
Además, f(x1, y1) =m y f(xb }2) =M
para algún par (x1, y1) y (x2, y2) en D
.
Si dividimos por A(D) la desigualdad (5), tenemos:
rn:(-
1
-JIf(x. y)dA :(M.
A(D
)
D
(6)

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
343
Como una función continua sobre D toma todos los valores entre su máximo y su mínimo
(éste es el teorema de los valores intermedios de dos variables que se demuestra en cálculo
avanzado; véase también el Ejercicio de repaso 32), y como el número [1/A(D)]fJv j(x, y) dA
está, de acuerdo con la desigualdad (6), entre estos valores, debe existir un punto (x0, y0) tal
que
f(xo, Yo) = A:D) ftj(x, y)dA,
que es precisamente la conclusión del Teorema 5.
l. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integración, dibujar las conespondientes regiones y
calcular las integrales de las dos maneras.
a) J: f xydydx.
b)
r1
2roso
cosedrdf!.
e) ( Íl-y(x+y)2dxdy.
Jo J1
d) J: r· f(x. y)dxdy (expresar la respuesta en términos de prirrutivas).
2. Hallar:
JI
��
a)
J. (x+y)2dxdy.
-1 IYI
e) f r2 dxdy.
I
J f /(9-y')
b) �3 : 1(9-y
'J
xdxdy.
V
.
d) j"1 lrr/4
(sec
5
x)dxdy.
O Jarctan y
3. Sij(x,y)=esen(x+y)yD=[-rr,rr]X
rr, rr], probar que
4. Demostrar que
���(If(x, y)dA �e.
e 4rr�1•D
�(l-cosl)�I'(
sen x
dxdy � l.
2
J[Ü,I] x (0.1] j +

344
Cálculo vectorial
5. SiD= [ -- 1 ,1] x [-J,2].probarque
Íll'
dxdy
::s;••Dx2+l+1::s;6.
6. Usando la desigualdad del valor medio,probarque
1ff
dA
1
��
�-,
6
Dy-x+3 4
dondeDes el triángulo con vértices (0, 0), (1, 1) y (1, 0).
7. Calcular el volumen de un elipsoide con semiejes a, by c. [INDICACióN: Hallar p1imero el volumen
de medio elipsoide y después usar un argumento de simetría.]
8. Calcular
IID
f(x,y)dA, donde f(x,y) = lJx yDes el conjunto de Jos (x,y) talesque x >O,
y>x2,ey<10-x2
.
9. Hallar el volumen de la región delimitada por x2 + l + z2 ::s; 10, z � 2. Usar el método de las sec­
ciones circulares del cálculo de una variable y decir cómo está relacionado éste con el principio de
Cavalieri.
10. Calc;ular
IID
ex-ydxdy,dondeDes el interior del triángulo con vértices (0, 0), (1, 3) y (2,2).
11. Calcular
IID iCx2 + /)- 312dxdy,dondeDes la región determinada por las condiciones 1 ::s; y ::s; 1,
y�+/::s;J.
12. Sabiendoque la integral doble íf f(x, y)dxdy de cierta función continua y positiva fes igual a la
..;D
integral iterada l1 [Ix f(x,y)dy]dx,dibujar la regiónDe intercambiar el orden de integración.
Jo x2
13. Sabiendoque la integral doble
IID
f(x,y)dxdy de cierta función continua y positiva fes igual a la
integral iterada
I� [1,¡
2
_ ,.,
f(x, y)dx]dy, dibujar la regiónDe intercambiar el orden de integra­
ción.
14. Probar que 2 f r f(x)f(y) dydx = (f f(x)dx r [INDICACIÓN: Nótese que (f f(x) dxy
= J'f
f(x)f(y)dxdy.J
J[a,b] x [a,b]
15. Demostrarque (véase el Ejercicio 27 de la Sección 2.5):
d·x
I
d
I
d
I"I
d
dx1
f
(
x, y, z)dzdy = f(x,y,z) dx +
fx(x,y,z)dzdy.
..
.,
a
e
e
a
e

s.s.
i;' ::;¡C:;¡AL
Capítulo 5. Integrales dóbles y triples
345
La integral triple
Las integrales triples son necesarias en muchos problemas físicos. Por ejemplo, si la temperatu­
ra dentro de un horno no es uniforme, determinar la temperatura media involucra «suman> los
valores de la función temperatura en todos los puntos de la región delimitada por las paredes del
horno y después dividir el resultado por el volumen de éste; dicha suma se expresa matemática­
mente como una integral triple.
Definición de la integral triple
Nuestro objetivo ahora es definir la integral triple en una caja (un paralelepípedo rectangular)
B = [a, b] x [e, d] x [p, q] de una función f(x, y, z). Procediendo como en el caso de las inte­
grales dobles, dividimos los tres lados de B en n partes iguales y escribimos la suma
S,=I
I I f(ciJk)llV,
i�O j�O k�O
donde ciJk es un punto de Bijk• el ijk-ésimo paralelepípedo rectangular (o caja) en la partición de
B, y !1V es el volumen de BiJk (véase la Figura 5.5.1).
Figura 5:5.1. Partición de una caja B en n3
subcqjas Buk·
\
DEFINICIÓN: Integrales triples Sea f una función acotada de tres variables definida en
B. Si lim,�co S
,
= S existe y es independiente de la elección de 'ciJk• decimos que f es inte­
grable y llamamos a S su integral triple (o simplemente la integral) de f en B, y la denota­
mos por
Ift fdV,
fft f(x, y, z)dV
o
fft f(x, y, z)dxdydz.

346
Cálculo vectorial
Propiedades de las integrales triples
Como antes, podemos demostrar que las funciones continuas definidas en B son integrables.
Más aún, las funciones acotadas cuyas discontinuidades están contenidas en gráficas de funcio­
nes continuas (tales como x = a( y,z),y = {3(x, z) o z = y(x,y)) son integrables. Las demás pro­
piedades básicas (tales como el hecho de que la integral de una suma es la suma de las integra­
les) para integrales dobles también se cumplen para integrales triples. Especialmente importante
es la reducción a integrales iteradas.
a) Sea B la caja [0, 1] X [�&,o] X [o,H Calcular
JJL (x+2y+3ddxdydz.
b) Comprobar que se obtiene la misma respuesta si integramos primero con respecto a y,des­
pués con respecto a z y, finalmente, con respecto a x.
Solución
a) De acuerdo con el principio de reducción a integrales iteradas, esta integral se puede calcu­
lar así:
11/3
Jo
1'1
.
J (x+2y+3ddxdydz
o
-1/2 o
11/
3
Jo [(x+2y+3d¡ 1 J
=
,.
.,
dydz
o
-1¡2
;J
x�o
�1/3
Jo1
=
-
[O+ 2y +3d� (2y +3d]dydz
•o
-1/23

b)
Solución
Capítulo 5. Integrales dobles y triples
347
r1j3 1
=
Jo 24
[(1 +2y +3d - (2y +3z)4]/�� _
1/2 dz
¡I/
3j
=
J - [(3z+ 1)4- 2(3d + (3z- 1)4]dz
o24
= -1- [(3z+ 1)5 - 2(3d+ (3z- 1)5]1:1�0
24• 15
c-
J
5
l
=
24. 15
(2-2)=
12.
IIL (x+ 2y + 3ddydzdx
=r
1
e/
3
f� -� (x +2y +3zfdydzdx
Jo Jo
l;L
= rl ¡1/3 [(x+ 2y+ 3z)31
o
Jdzdx
Jo Jo
6
,
y�-
1
/2
= rr1
13 �[ex+ 3d- (x+ 3z- 1)3]dzdx
JoJo 6
=
(�{[(x +
,.,
3z)4
-
(x +3z - 1)4]1J/
3
}dx
Jo6
L
12
z
�
o
= (1-.!:_
_
[Cx+ 1)4+ (x- 1)4- 2x4]d.x
Jo 72
=-.!:_
_
�[Cx + 1)5+ (x - 1)5 - 2x5]1_
=-.!:_
_
725 .
x
-O
12.
Integrar e x+y+z en la caja [0, 1] x [0, l] x [0, l].
Efectuamos las integraciones en el orden usual:
L L f� ex+y+zdxdydz = I I (ex+v+z ¡;�o)dydz
= r f� (e1+y+z- ¿•+z)dydz = f� [e1+y+zJ;, �odz
=
I[e2+z- 2e1 +z+ e2) dz = [e2+z- 2e1 +z + e2]�
=
e3-3e2+3e-1 =(e-l)3

348
Cálculo vectorial
Como en el caso de dos variables, definimos la integral de una función f en una región W con­
siderando una nueva función f*, que es igual a f en W y a O fuera de W, y definiendo después:
Jft,
f(x, y, z)dxdydz
= JIL f*(x, y, z)dxdydz.
donde B es cualquier caja que contenga a la región W.
Regiones elementales
Como antes, restringimos nuestra atención a regiones particularmente sencillas. Una región ele­
mental en el espacio tridimensional es aquella en la que una de las variables está entre dos fun­
ciones de las otras dos variables, siendo los dominios de estas funciones una región elemental
(esto es, x-simple o y-simple) en el plano. Por ejemplo, si Des una región elemental en el plano
xy, y si y1(x, y) y yix, y) son dos funciones tales que y
2
(x, y)� y1(x, y), una región elemental es
la formada por los puntos (x, y, z) tales que (x, y) está en Dy ¡1(x, y):S;z:S; J!2(x, y). En la
Figura 5.5.2 se muestran dos regiones elementales.
Z �Y/X, y)
X
z�y1(x,y)
X
"igura 5.5.2. Dos regiones elementales en el espacio. El dominio Den la figura de la izquierda es y-simple.
mientras que en la de la derecha es x-simple.
Describir la bola unidad x
2
+ y2 + l :S; 1 como una región elementaL
Solución
Se puede hacer de varias maneras; una de ellas, en la que Des y-simple, es:
-
/l-x2:S;y:S; �,
-
Jl-';2l:S;z�.J1-x2-/.

Capítulo S. Integrales dobles y triples
349
Al hacer esto, escribimos primero los hemisferios superior e inferior como z = ..
.¡
1-x2-ly
z = - ._J 1 - x2 -/,respectivamente, donde x e y se mueven dentro del disco unidad (esto es,
-
Jl -x2 �y � ._J l - x2,y x varía entre - 1 y 1) (véase la Figura 5.5.3.) Podemos describir
la región de otras maneras al intercambiar los papeles de x, y, y z en las desigualdades.
X
z = y2(x, v)=/1-x2-y2
y= 4>/x) =JI -xl
y
Z = y1(x, y)=-)l -x2 -i
fi!Ju,�S:�:s.� La bola unidad vista como
una región elemental
del espacio.
Integrales sobre regiones elementales
Como en el caso de las integrales en el plano, cualquier función de tres variables que sea conti­
nua en una región elemental es integrable en esa región. Un argumento semejante al utilizado
para las integrales dobles demuestra que una integral triple sobre una región elemental se puede
escribir como una integral iterada en la que los límites de integración son funciones. En el si­
guiente cuadro se dan las fórmulas para estas integrales iteradas.
Si f = 1, obtenemos la integral JSJw dxdydz, que es el volumen de la región W.
Comprobar la fórmula del volumen para la bola de radio 1:
fffw
dxdydz = � n,
dondeWeselconjuntodelos(x,y,z)talesquex2+l+z2�l.

350
Cálculo vectorial
Solución
Usamos la descripción de la bola unidad dada en el Ejemplo 5.16. Según la primera fórmula del
cuadro anterior, la integral es
dzdydx.
Manteniendo x e y fijas, e integrando con respecto a z, obtenemos:
J�1f
11=7
J
r-
o
-,
dydx =
2J � (1 - x2- i'-)112dy dx.
,,/l-x--
y
-
l
Como X es fijo en la integral con respecto a)', ésta se puede expresar como ra_ a (a2 - /)1
12dy,
dondea=(1-x2
)112
Esta integral es el área de una región semicircular d� radio a, de modo
que
(también podríamos haber usado un cambio de variable trigonométrico o una tabla de integra­
les). Por consiguiente,
de modo que
f-,j1-x2
2
') 112
1-x2
(1-x
-
y)1dy=-2-n,
-
.,J1 -x2
x3)��
=�n
.
3x�1
3
En la Figura 5.5.4. se muestran otros tipos de regiones elementales; por ejemplo, en la segunda
región, (y, z) está en una región elemental del plano yz y x se mueve entre dos gráficas:
Como se muestra en la Figura 5.5.5, algunas regiones elementales se pueden describir de cada
una de estas tres maneras. Estas regiones se llamarán regiones elementales simétricas.
A cada descripción de una región como región elemental le corresponde una fórmula de in­
tegración; por ejemplo, si W es el conjunto de los (x, y, z) tales que
entonces
e� y�d,
ffj•
Idf
¡f;c(Y)
fP1U'. z)
f(x. y, z)dxdydz =
f(x, y, z.)dxdzdy.
W
e
t,Y1(y) p1(y,z)

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
351
La tapa y el fondo
El frente y la parte posterior Los lados izquierdo y derecho
son superficies z = Y(x, y)
son superficies x = p(y, z)
son superficies y= S(x, z)
. Figul;!l§��:��·;' Tipos de regiones elementales en el espacio.
X
, FI9\u-� S;S.S.� Una región elemental simétrica se puede describir de tres maneras.
Sea Wla regiónlimitadapor los planos x=O,y =O, z =2,yla superficie
z = x2 + l y que está en el cuadrante x�O, y�O. Calct¡lar JJSw
xdxdydz y esbozar la región.
Solución
Mérodo J. La región W está dibujada en la Figura 5.5.6 . Como se indica en la figura, podemos
describir la región mediante las desigualdades
Por tanto,
O�x�.J2,
fff'
íÍ2[í-fi=7(í2 )J
Jw
xdxdydz =
Jo
v
.Jo
-
Jx'+y' xdz dy dx
Í!'ii i?-x'
1 ,"-
v-.
x(2 -
x2 - /)dydx
.o
o

352
Cálculo vectorial
X
=2
friguioa s.s:a:.� w es 1a región que está bqjo el plano z = z.
sobre el paraboloide z = x
2
+y2
, yenJos
semiespacios x � O e y� O.
Método 2. También podemos establecer primero los límites para x y describir W como aquellos
(x,y,z)talesque(y,z)estáenDyO:;:
:;
x:;:
:;
(z - .l)1í2
, donde D es el subconjunto del plano yz
definido mediante O :;:
:;
z:;:
:;
2yO:;:
:;
y:;:
:;
z112
(véase la Figura 5.5.7).
D
Por tanto,
y=Fz
x=Jz-y2
Figu�a#��':7�Ú Una descripción distinta de la región
del Ejemplo 5. 18.

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
353
f2J
"l/2
(
"
)
�
Z- V�
=
�-··
dvdz
oo
2
.
que coincide con la respuesta anterior.
Calcular
Dibujar la región de integración W e interpretar la integral.
Solución
rl rx
dzdydx =
JoJ
o (2- x2 -/)dydx
Esta integral es el volumen de la región dibujada en la Figura 5.5 .8 .
412
· Figut� s.s.s; La región W se encuentra entre el paraboloide z = x2 + y2• el plano z = 2
y sobre la región D.
2
3

354
Cálculo vectorial
En los ejercicios del 1 al 4, efectuar la integración indicada en la caja dada.
l. ííl x2dxdydz, B =[0, 1] x [O, 1] x [0, 1].
��JB
2.
ffLe dxdydz, B =[0, 1] x [0, 1] x [0, 1].
3. JJL(2x+3y+z)dxdydz, B = [0, 2] x [-1, l] x [0, 1].
4.
ffL zex+ydxdydz. B = [0, l1 X [0, 1] X [0, 1].
En los ejercicios del 5 al 8, describir la. región dada como una región elemental.
5. La región que está entre el cono z =
y el paraboloide z =x2 +/.
6. La región cortada por el cilindro x2 +/ +z2 � 4 en la bola 2x2 + z2 =1, esto es, la región dentro
del cilindro y de la bola.
7. La región dentro de la esfera x2+/ + z2 =1 y sobre el plano z =O.
8. LaregiónlimitadaporJosplanosx=O,y=O,z =O,x+y=4,yx=z-y
-
1.
En los ejercicios del 9 al 12 hallar el volumen de la región correspondiente.
9. La región limitada por z =x2+y2, y z =10 - x2 - 2/.
10. Elsólidolimitadopor x2 +2/=2, z = O,y x+y+2z=2.
11. Elsólidolimitadoporx=y,z =O,y=O,x =l,yx+y+z=O.
12. La región que resulta de intersecar los dos cilindros x2 +/ � a2 y x2 + z2 � a2
Calcular las integrales en los ejercicios del 13 al 21.
rjf
2(.l
13.
L
cos [n(x +y+z)J dxdydz.
.;O1�
2
14.
IrJ:ev + xz)dzdydx.
15.
íff (x2+l +z2)dxdydz; W es la región acotada por x +y+z =a (donde a > O), x =O, y =O,
.;
w
yz=O.

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
355
16. fff
w
zdxdydz; W es la región acotada por los planos x = O, y= O, z= O, z= l, y el cilindro
x2 +l=1conx�O,y�O.
17. fff
w
x
2
coszdxdydz; Wes la región acotada por z=O, z=n, y= O, y l, x=O , y x+y=1.
18. f J: J:+y dzdydx.
19. fff
w
(1 - dxdy dz; W es la pirámide con vértice superior en (0, O, l) y cuyos vértices en la base
son(0,O,0),(l,O,0),(0, 1,O)y(L1,0).
20. ffl.v(x
2
+ll dxdv dz; W es la misma pirámide que en el Ejercicio 19.
21. (
1(2x
fx
+
y dzdydx.
JoJo x2 +y2
22. a) Dibujar la región de integración de la integral
(1 ¡xJ
�.v
.
f(x. y, z)dzdy dx.
JoJo o
b) Escribir la integral con el siguiente orden de integración: de dydz.
Para las regiones de los ejercicios del 23 al 26, encontrar los límites de integración apropiados rp1(x),
rp
2
(x), ¡•1(x, y), y ¡•
2
(x, y), y escribir la imegral triple en la región W como una integral iterada de la .fonna:
J�íffdV=
J.�h {f•f>2(.<) [fn<x. .vl .f(x, y, z)dzJ dy} dx.
._
'W
O
<fl¡(X)
]'¡(X, J')
23. W={(x,y,z)1jx2 +l�z�l).
24. W=((x,y,z)1��z�1,yx2 +/+z
2
� 1}.
25. W =((x,y,z)1x
2
+.l�1,z�O,yx
2
+l+l�4}.
26. W=((x,y,z)llxl�1,IYI�1,z�O,yx2 +l+z
2
� 1}.
27. Demostrar que la fórmula que usa integrales triples para calcular el volumen bajo la gráfica de una
función positiva f(x, y) definida en una región elemental D en el plano se reduce a la integral doble
de .f sobre D.
28. Sea W la región limitada por los planos x=O, y= O, z=O, x +y= 1, y z= x +y.
a) Hallar el volumen de W.
b) Calcular JSSw xdxdydz.
e) Calcular SJJw ydxdydz.
29. Sea .f continua y sea B, la bola de radio t. centrada eh el punto (x0, y0, z0). Sea vol (B,J el volumen de
Br.- Probar que
lim --
1
- Jrff
.
f(x, y, z)d\1=.f(xo. Yo· Zo).
e�o vol (B,J
s,

356 Cálculo vectorial
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO S
Calcular las imegrales de los ejercicios del 1 al 4.
l. Í3 Íx2+
1
xydydx.
Jo J -x2_._1
2. Í1J
l'l
(x+
dydx.
Jo ,•x
3. rjfelX
xlnydydx.
Jo t>-'
4.Í
1
J
r2
Í3 cos[rr(x +y+z)]dxdydz.
Jo1J2
Invertir el orden de integración en las integrales de los ejercicios del 5 al 8 y calcularlas.
5. La integral del Ejercicio l.
6. La integral del Ejercicio 2.
7. La integral del Ejercicio 3.
8. La integral del Ejercicio 4.
9. Calcular la integral
(1 (x
e- (y+ xz)dzdydx.
JoJoJo
10.
11.
12.
J
Iv2
Calcular
f. exh dxdy.
o)'
rl r(arcsenx)\•
Calcular
Jo Jo
ycosxydxdy.
Cambiar el orden de integración y calcular
(2f
!
(x + y)2dxdy.
Jo _v/2
13. Demostrar que el cálculo de fID
dxdy, donde D es una región y-simple, reproduce la fómmla para
el área encerrada entre dos curvas estudiada <en el cálculo de una variable.
14. Cambiar el orden de integración y calcular
('}
f!J
(Y+ /x)dxdy.
o _vl/:2

Capítulo 5. Integrales dobles y triples
357
15. Sea D una región en el plano xy dentro del círculo unidad x2 + l = l. Calcular f Jo f(x, y)dxdy en
cada uno de los siguientes casos:
a) f(x,y)=xy.
16. Hallar SJ0 y[l- cos(nxj4)]dxdy, donde Des la región de la Figura S.R .l.
y
t
'< � e,� c�>.SJÚ.•; Lo cegióo de iotegcocióo del Ejecdcio 16
Calcular las integrales de los ejercicios del 17 al 24. Dibujar e id enrificar el tipo de región (que corres­
ponde a cómo está es crita la integral).
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
f
n
f
3senx
x(I + y)dydx.
O senx
rlJ
xcos (rrx/2) 0
(x- + xy + 1)dydx.
,.,O
x-I
1
(2- y)2 3
)
ff.(
-
Jx-2y dxdy.
�1
_v2/3
2
f2f
3
(.j4=?¡(2
(5)
,-
-----
+ i dydx.
O -3(.j(
4
- x-)/
2
..}2 +X
Jl
f
x2
00
(x2 + .:t}'-/)dydx.
f4 fy3"
3dxdy.
2 y--1
JI fx (x + y)2dydx.
Ox2
Jl
(
3v
ex+vdxdy.
o•o
En los ejercicios del 25 al 27, integrar la fun ción f en la región D.
25. f(x, y) =x-y; D es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (2, l).
26. f(x, y) =x3y + cos x; D es el triángulo definido por O �x � n/2, O �y �x.

358
Cálculo vectorial
27. f(x,y)= x2+ 2_,ty2+ 2;Deslaregiónlimitadaporlagráfica dey= - x2+ x. el eje x, ylas rectas
X=ÜyX=2.
En los Ejercicios 28 y 29, dibujar la región de integración, intercambiar el orden y calcular .
28. J
4
r·/:;:(x2 + /) dydx.
29.
L f_,
(x + y)2dxdy.
30. Demostrar que
31. Demostrar que
4es:S;Jf
J[l,3] X [2,
4
]
4n:S;ff
D
(x2+/+!)dxdy:S;20n,
donde D es el disco de radío 2 y centro el origen.
32. Supongamos que W es una región conexa por arcos, es decir, dados dos puntos cualesquiera de W
existe un trayectmia continua que los une. Si f es una función continua definida en W, usar el teore­
ma del valor medio para demostrar que existe al menos un punto en W en el que el valor de f es
igual al promedio de f en W, esto es, al valor de la integral de f en W dividido por el volumen de W.
(Comparar esto con el teorema del valor medio para integrales dobles.) ¿Qué sucede si W no es
conexa?
33. Probar:
folt F(u)du}t = r (x- u)F(u)du.
Calcular las integrales de los ejercicios 34 al 36.
34. í l r� e· x/z3 dxdydz.
JoJoJo
35.
36.
f� I Iív'3
f ffy
X
dzdxdy.
dxdydz.
37. Escribir la integral iterada [1 f1 f
1 f(x, y, z)dzdydx como una integral en una región de lfl:3 y
Jo I-x
x
después escribirla en los otros cinco órdenes de integración posibles.

La fórmula del cambio
de variables y aplicaciones
de la integración
Si se atasca en un problema de cálculo y no sabe qué otra cosa hacer
intente integrar por partes o cambiar de variables.
Si no lo consigue, dqelo, tómese una taza de café y ¡piense!
Ure�
L a fórmula de cambio de variables es uno de las más potentes métodos de integración del
calculo de una variable; permite calcular integrales como
por medio de la sustitución, o cambio de variables u = x2, que reduce el problema a la fácil
tarea de integrar eu respecto de u. En este capitulo desanollamos la fórmula multidimensional
del cambio de variables, que es especialmente importante y útil para evaluar integrales múlti­
ples en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
Uno de los ingredientes básicos en la fórmula del cambio de variables es cómo cambiar va­
riables en varias dimensiones, que lleva implícita la definición de aplicación, la cual aparece en
varias situaciones interesantes. Por ejemplo, considérese un objeto que se deforma, como un pez
en el agua. Al cambiar su forma, puede imaginarse la correspondencia instantánea entre los
puntos del pez en su estado de reposo y su forma actual. Este tipo de correspondencia es, de
hecho, la principal idea que hay en un cambio de variables, en este caso de una región tridimen­
sional (el pez en su estado de reposo) a otra (el pez en su forma actual).

360
Cálculo vectorial
6.1.
La primera sección de este capítulo describe los conceptos clave en las aplicaciones entre
regiones del plano. A continuación se desarrolla la técnica del cambio de variables para integra­
les dobles y triples. El capítulo incluye también algunas de las aplicaciones físicas importantes
de la integral.
La geometría de las aplicaciones de lR2 en [R2
En esta sección nos interesarán las aplicaciones de subconjuntos de IR2 en IR2• La comprensión
geométrica obtenida será útil en la sección siguiente, cuando se estudie la fórmula del cambio
de variables para integrales múltiples.
Aplicaciones de una región en otra
Sea D* un subconjunto de IR'.2; supóngase que consideramos una aplicación diferenciable T
:
D*--> IR2, de forma que Tlleva puntos deD* en puntos de IR2 Denotamos el conjunto de puntos
de la imagen porDo por T
(
D*); entoncesD = T
(
D*) es el conjunto de todos los puntos
(
x
,
y)E
IR2 tales que
(
x
,
y)=T
(
x*, y*). para algún
(
x*, y*) E D*.
Una forma de comprender la geometría de una aplicación Tes ver cómo ésta deforma o
cambia D*; por ejemplo, la Figura 6.1 .1 ilustra una aplicación Tque lleva una región ligera­
mente retorcida en un disco.
----..
..
X
Fig�raG.f1/ Una función T de una región D* en un disco D.
Sea D* e IR2 el rectángulo D* = [0, 1] x [0, 2n]. Entonces todos los puntos de
D*sondelafom1a (r, 8),dondeO� r�1,O�8 �2n. SeaTel «cambiode variables» a coor­
denadas polares definido por T
(
r,8)=
(
reos 8, rsen 8). Hallar el conjunto imagen de D
.
Solución
Sea
(
x,y)=
(
reose,rsen8). Por la identidadx2+/ =r2cos2e+r2sen2e =r2� 1, vemos
que los puntos del conjunto de
(
x
,
y) E IR2 tales que
(
x
,
y) EDverifican que�+ l � 1, y por
tanto Destá contenido en el disco unidad. Además
,
todo punto
(
x, y) en el disco unidad puede
escribirse como
(
reos e, rsen 0) para ciertos O�r� 1 y O� 8 � 2n. Por tanto Des el disco
unidad (véase la Figura 6.1.2).

2n:
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
361
y
T:(r,8)--+(rcose,rsen8)=(x,y)
��g\lya Ei�;·l�z:: T da un cambio de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
El círculo unidad es la imagen de un rectángulo.
Sea T la aplicación definida por T(x, y) = ((x + y)/2, (x - y)/2), y sea
D* = [-1, 1] x [- 1, 1] e 1Rl2 un cuadrado de lado 2 centrado en el origen. Determinar la ima­
gen D que se obtiene al aplicar T a D*
Solución
Determinemos primeramente el efecto de T sobre la recta c1(t) = (t, 1), donde -1�t�1
(véase la Figura 6.1.3). Tenemos que T(c1 (t)) = ((t + 1)/2, (t - 1)/2). La aplicación tl-
--7
T(c1(t))
es una parametrizacióndela rectay=x - 1,O�x�1,yaque (t-1)/2=(t+ 1)/2-.
Éste
es el segmento de recta que une (1, O) y (0, -1).
V
Sean
u
c2(t) = (l, t),
c3(t) = (t, - 1),
c4(t) = (-1, t)),
Dominio de la transformación T del Ejemplo 6.2 .
-1�t�1
-1�t�1
- 1�[�1
parametrizaciones de los restantes lados del cuadrado D*. Usando el argumento anterior vemos
que Toc2 es una parametrización de la recta y = 1 - x, O�x� 1 (el segmento que une (0, l) y
(1,O));Toc3eslarectay=x+l, -1�x�O,queune(0,1)y(-1,0),yToc4eslarecta

362
Cálculo vectorial
y=-x
-
l, - l:(x:(O,queune(-1,O)y(O. - l).Aestasalturasparecerazonablepensar
que T «inclina>> el cuadrado D* y lo lleva al cuadrado D, cuyos vértices son (l , 0), (0, l ),
(-1, 0), (0, - 1) (véase la Figura 6.1 .4).
y
t
1 T(l,-1)=(0, 1)
-·..
....P..
X
T(l,l)=(l,O)
El efecto de T sobre la región D*.
Para demostrar que efectivamente es así, sea -1 :( cx :( l y sea La (Figura 6. 1.3) una recta
fijada, parametrizada por c(t) = (iX, t), -1 :( t :( 1; entonces T(c(t)) = ((iX + t)/2, (iX- t)/2) es
una parametrización de la recta y = - x + iX, (iX - l)/2 :( x :( (iX + 1)/2. Esta recta comienza,
para t = 1, en el punto ((iX- 1)/2, (1 + cx)/2) y finaliza en el punto ((l + iX)/2, (iX- 1)/2);
como es fácil de comprobar, estos puntos están sobre las rectas Toc3 y Toc1 respectivamente.
Por tanto, al variar iX entre - 1 y 1, La bane el cuadrado D* mientras que T(Lx) bane el cuadra­
do D definido por los vértices (-1, 0), (0, 1), (1, O) y (0, -1).
Imágenes de aplicaciones
El siguiente teorema es un método útil para describir la imagen T(D*).
La demostración del Teorema 1 se deja como Ejercicio 10 al final de esta sección. Este teo­
rema simplifica la solución del Ejemplo 6.2, ya que solamente necesitamos hallar los vértices de
T(D*) y conectarlos por rectas.
Aplicaciones inyectivas
Aunque no podemos visualizar la gráfica de una función T: IR2-->- IR2, resulta de ayuda estudiar
cómo la función deforma subconjuntos. Sin embargo, no obtendremos una descripción completa
del comportamiento de T estudiando solamente estas deformaciones. Podemos caracterizar T
con mayor preót'Hón usando la noción de aplicación inyectiva.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
363
Una aplicación es inyectiva en D* si para (u, v) y (u', v') E D*, T(u, v) -
', v')implica que u= u' y v= v'.
Este enunciado significa que T no aplica dos puntos disrintos de D* sobre el mismo punto
de D. Por ejemplo, la función T(x, y)= (x2 +y2, /)no es inyectiva ya que T(l, -1)= (2, 1) =
= T(l,1)y,sinembargo, (1, - 1)#(1,1).
Considérese la aplicación de cambio a coordenadas polares T: IR2-> IR2, descrita
en el Ejemplo 6.1, definida por T(r, fJ)= (reos fJ. r sen fJ). Demostrar que T no es inyectiva si su
dominio es todo IR3.
Solución
Si fJ1 # fJ2, entonces T(O, fJ1) = T(O, fJ2) y por tanto T no puede ser inyectiva. Esta observación
implicaquesiLeselladodelrectánguloD*= [0,1]x[0,2n]dadoporO<fJ=2nyr=O
(Figura 6.1.5), entonces T transforma todo Len un solo punto, el centro del disco unidad D. Sin
embargo, si consideramos el conjunto S* = (0, 1] x [0, 2n), entonces T: S*-> S es ínyectíva
(véase el Ejercicio 1 de esta sección). Evidentemente, para determinar si una aplicación es
inyectiva debe tenerse muy en cuenta el dominio elegido.
y
.¡.
1
X
"Fig-l.!ra �.j::>. La transformación a coordenadas polares T transforma la recta Len el punto (O. O).
Solución
Demostrar que la función T: IR;2 -> IR;2 del Ejemplo 6.2 es inyectiva.
Supóngase que T(x, y)'= T(x', y'); entonces
y tenemos que
x +y::
::::::
x' +y',
x-y= x' - y'.

364
Cálculo vectorial
Sumando obtenemos
2x = 2x'.
Por tanto x = x' y, de forma similar, restando se obtiene y = y', lo que demuestra que T es
inyectiva (con dominio todo R
2
). Realmente, dado que T es lineal y T(x) = Ax, donde A es una
matriz 2x2, sería también suficiente ver que det A#0 (véase el Ejercicio 8 de esta sección).
Aplicaciones
s
En los Ejemplos 6.1 y 6.2 hemos determinado la imagen D = T(D*) de una región D* según
una aplicación T. Lo que nos interesará en la sección siguiente es, en parte, el problema inverso;
concretamente, dado D y una aplicación inyectiva T de R
2
enR
2
, hallar D* tal que T(D*) — D.
Antes de examinar este problema con mayor detalle, introducimos la noción de «sobreyectiva».
DEFINICIÓN La aplicación T es sobreyectiva sobre D si para todo punto (x, y) e D existe
al menos un punto (u, v) en el dominio de T tal que T(u, v) = (x, y).
Por tanto, si T es sobreyectiva, dado (x, y) e D podemos resolver la ecuación T(u, v) = (x, y)
en (u, v). Si, además, Tes inyectiva, ésta solución es única.
Para las aplicaciones lineales T de IR* en R" (o de R" en R") resulta que inyectiva y sob-
reyectiva son nociones equivalentes (véanse los Ejercicios 8 y 9 de esta sección).
Si nos dan una región D y una aplicación T, la determinación de una región D* tal que
T(D*) = D será posible solamente cuando para cada (x, y) e D existe un (u, v) en el dominio de
Ttal que T(u, v) — (x, y) (es decir, Tdebe ser sobreyectiva sobre D). El ejemplo siguiente mues-
tra que esto no siempre puede hacerse.
EJEMPLO 6.5 Sea T: R
2
-*R
2
dadaporT(u,v)=(«, 0).SeaDelcuadradoD=[0,1]x[0,1].
Dado que T transforma todo R
2
en un eje, es imposible hallar un D* tal que T(D*) = D.
Volvamos al Ejemplo 6.2 y usemos estos métodos.
Sea T definida como en el Ejemplo 6.2 y sea D el cuadrado cuyos vértices son
(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, - 1). Hallar un D* tal que T(D*) = D.
Solución
Dado que T es lineal y que T(x) = Ax, donde A es una matriz 2x2 que verifica det A # 0,
sabemos que T: R
2
—>R
2
es sobreyectiva (véanse los Ejercicios 8 y 9 de esta sección), y por
tanto se puede hallar D*. Por el Teorema 1, D* tiene que ser un paralelogramo. Para hallar D*
es suficiente con hallar los cuatro puntos en los que se transforman los vértices de D, pues
uniendo éstos por segmentos habremos hallado D*. Para el vértice (1, 0) de D, debemos resol-
verT(x,y)=(1,0)=((x+y)¡2,(x~y)/2),esdecir,(x+y)/2=1,(x-y)/2=0.Portanto,
(x, y) = (1, 1) es uno de los vértices de D*. Resolviendo de igual forma los otros vértices tene-
mos que D* = [—1, l]x[—l,l];lo que coincide con lo que obtuvimos con más trabajo en el
Ejemplo 6.2.
pCapitulo 6. La: fórmula del cambio de variables-y. aplicaciones de la integración 365
-. PERcVRA i,/o - C.:^:ii',\: •• :..ü; ,CL;;'CIC'.-J OEL URUGUAV
ENTRE RÍOS - REP. ARGENTiNA
mtBuammM Sea D la región del primer cuadrante comprendida entre los arcos de circunferen-
cia x2 + y2 = a2, x2 + y2 = b2, 0 < a < b (véase la Figura 6.1.6). Estas circunferencias tienen
ecuaciones r = a y r = b en coordenadas polares. Sea T la transformación a coordenadas pola-
res dadapor T(r, B) = (reos9, rsen9) = (x,y). HallarD*tal que T(D*) =D.
(a, 0) (£>, 0)
figura 5.1.6. Buscamos una región D* en el plano Br cuya imagen
por el cambio a coordenadas polares sea D.
Solución
EnlaregiónD,a2^x2+y2<b2\ydadoquer=x2+y2,vemosquea^r^b.Claramente,
en esta región 9 varía entre 0 < 9 < 7r/2. Por tanto, si D = [a, b] x [0, n/2] tenemos que
T(D*) = D y T es inyectiva.
NOTA El teorema de la función inversa, que se ha estudiado en la Sección 3.5, es importante
en lo aquí tratado. Establece que si el determinante de DT(w0, v0) (que es la matriz de las deri-
vadas parciales de T evaluadas en (w0, v0)) no es cero, entonces para (u, v) cerca de («0, v0) y
(x, y) cerca de (x0, y0) = T(u0, vQ), la ecuación T(u, v) = (x, y) se puede resolver de forma única
en (u, v) como funciones de (x, y). En particular, por unicidad T es inyectiva cerca de (u0, v0);
además, Tes sobreyectiva en un entorno de (x0, v0), ya que T(u, v) = (x, y) es resoluble en (u, v)
si (x, y) está cerca de (x0, y0).
Sin embargo, incluso si T es inyectiva cerca de cada punto, y también sobreyectiva, no
es necesariamente inyectiva globalmente. Por tanto, debemos actuar con prudencia (véase el
Ejercicio 12 de esta sección).
Sorprendentemente, si D* y D son regiones elementales y T: D* —>• D tiene la propiedad de
que el determinante de T)T(u, v) no se anula en ningún (u, v) de D, y si T transforma la frontera
de D* de forma inyectiva y sobreyectiva en la frontera de D, entonces T es inyectiva y sob-
reyectiva de D* en D* (la demostración es de un nivel superior al de este libro).
Resumiendo, tenemos:
Aplicaciones inyectivas y sohreyectivas Una aplicación T: /)* -> D es inyectiva si trans-
forma punios distintos en puntos distintos. Es sobreyectiva cuando ¡a imagen de D* según T
es todo D.
Una transformación lineal de R2 en R2 dada por la multiplicación por una matriz .4 es
invectiva y sobreyectiva cuando y sólo cuando det A ¥-- 0.

¥--
D
l
sobreyectiva
0
Tes
)
(w
<
Capitulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración 365
364 Cálculo vectorial
Sumando obtenemos
2x = 2x'.
Por tanto x = x' y, de forma similar, restando se obtiene y = y', lo que demuestra que T es
inyectiva (con dominio todo R2). Realmente, dado que T es lineal y T(x) = Ax, donde A es una
matriz 2x2, sería también suficiente ver que det A#0 (véase el Ejercicio 8 de esta sección).
Aplicaciones sobreyectlvas
En los Ejemplos 6.1 y 6.2 hemos determinado la imagen D = T(D*) de una región D* según
una aplicación T. Lo que nos interesará en la sección siguiente es, en parte, el problema inverso;
concretamente, dado D y una aplicación inyectiva T de R2 en R2, hallar D* tal que T(D*) — D.
Antes de examinar este problema con mayor detalle, introducimos la noción de «sobreyectiva».
DEFINICIÓN La aplicación T es sobreyectiva sobre D si para todo punto (x, y) e D existe
al menos un punto (u, v) en el dominio de T tal que T(u, v) = (x, y).
Por tanto, si T es sobreyectiva, dado (x, y) e D podemos resolver la ecuación T(u, v) = (x, y)
en (u, v). Si, además, Tes inyectiva, ésta solución es única.
Para las aplicaciones lineales T de IR* en R" (o de R" en R") resulta que inyectiva y sob-
reyectiva son nociones equivalentes (véanse los Ejercicios 8 y 9 de esta sección).
Si nos dan una región D y una aplicación T, la determinación de una región D* tal que
T(D*) = D será posible solamente cuando para cada (x, y) e D existe un (u, v) en el dominio de
Ttal que T(u, v) — (x, y) (es decir, Tdebe ser sobreyectiva sobre D). El ejemplo siguiente mues-
tra que esto no siempre puede hacerse.
EJEMPLO6.5 SeaT:R2-*R2dadaporT(u,v)=(«,0).SeaDelcuadradoD=[0,1]x[0,1].
Dado que T transforma todo R2 en un eje, es imposible hallar un D* tal que T(D*) = D.
Volvamos al Ejemplo 6.2 y usemos estos métodos.
Sea T definida como en el Ejemplo 6.2 y sea D el cuadrado cuyos vértices son
(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, - 1). Hallar un D* tal que T(D*) = D.
Solución
Dado que T es lineal y que T(x) = Ax, donde A es una matriz 2x2 que verifica det A # 0,
sabemos que T: R2 —> R2 es sobreyectiva (véanse los Ejercicios 8 y 9 de esta sección), y por
tanto se puede hallar D*. Por el Teorema 1, D* tiene que ser un paralelogramo. Para hallar D*
es suficiente con hallar los cuatro puntos en los que se transforman los vértices de D, pues
uniendo éstos por segmentos habremos hallado D*. Para el vértice (1, 0) de D, debemos resol-
verT(x,y)=(1,0)=((x+y)¡2,(x~y)/2),esdecir,(x+y)/2=1,(x-y)/2=0.Portanto,
(x, y) = (1, 1) es uno de los vértices de D*. Resolviendo de igual forma los otros vértices tene-
mos que D* = [—1, l]x[—l,l];lo que coincide con lo que obtuvimos con más trabajo en el
Ejemplo 6.2.
Sea D la región del primer cuadrante comprendida entre los arcos de circunferen-
cia x
2
+y
2
=a
2
,x
2
+y
2
=b
2
, 0 < a < b (véase la Figura 6.1.6). Estas circunferencias tienen
ecuaciones r = a y r = b en coordenadas polares. Sea T la transformación a coordenadas pola-
resdadaporT(r, B)=(reos9, rsen9)=(x,y).HallarD*talqueT(D*) =D.
(a, 0) (£>, 0)
figura 5.1.6. Buscamos una región D* en el plano Br cuya imagen
por el cambio a coordenadas polares sea D.
Solución
En la región D, a
2
x
2
+y
2
<b
2
\ydadoquer=x
2
+y
2
, vemos que a ^ r ^ b. Claramente,
en esta región 9 varía entre 0 < 9 < 7r/2. Por tanto, si D = [a, b] x [0, n/2] tenemos que
T(D*) = D y T es inyectiva.
NOTA El teorema de la función inversa, que se ha estudiado en la Sección 3.5, es importante
en lo aquí tratado. Establece que si el determinante de DT(w0, v0) (que es la matriz de las deri-
vadas parciales de T evaluadas en (w0, v0 no es cero, entonces para (u, v) cerca de 0, v0) y
(x, y) cerca de (x0, y0) = T(u0, v ), la ecuación T(u, v) = (x, y) se puede resolver de forma única
en (u, v) como funciones de (x, y). En particular, por unicidad T es inyectiva cerca de (u0, v0);
además,
sobreyectiva en un entorno de (x0, v0), ya que T(u, v) = (x, y) es resoluble en (u, v)
si (x, y) está cerca de (x0, y0).
Sin embargo, incluso si T es inyectiva cerca de cada punto, y también sobreyectiva, no
es necesariamente inyectiva globalmente. Por tanto, debemos actuar con prudencia (véase el
Ejercicio 12 de esta sección).
Sorprendentemente, si D* y D son regiones elementales y T: D*
D tiene la propiedad de
que el determinante de T)T(u, v) no se anula en ningún (u, v) de D, y si T transforma la frontera
de D* de forma inyectiva y sobreyectiva en la frontera de D, entonces T es inyectiva y sob-
reyectiva de D* en D* (la demostración es de un nivel superior al de este libro).
Resumiendo, tenemos:
Aplicaciones inyectivas y
s Una aplicación T: * -> D es inyectiva si trans-
forma punios distintos en puntos distintos. Es sobreyectiva cuando a imagen de D* según T
es todo D.
Una transformación lineal de R
2
enR
2
dada por la multiplicación por una matriz .4 es
invectiva y sobreyectiva cuando y sólo cuando det A 0.

366 Cálculo vectorial
l. SeaS*= (0,1]x[0,2n)ysea T
(
r, e)=
(
reose, r sen e). Hallar la imagen del conjunto S. Demostrar
que Tes inyectiva en S*
2. Definimos
(x*-v*x*+y*)
T
(
x*, y*)= --
-¡f-
.--,.-
.
...
.;
2
..)2
Demostrar que Trota el cuadrado unidad D* = [0, l} x [0, l}.
3. SeaD* = [0, l]x[0, l]ydefínase TenD* mediante T
(
u,v)=
(
- u2 +4u, v). Hallar la imagen D.
¿Es Tinyectiva?
4. Sea D* el paralelogramo limitado por las rectas y = 3x +4, y= 3x, y= �x, e y = �
(
x +4). Sea
D= [0, 1] x [0, l]. Hallar una aplicación T tal que D sea la imagen de D* por T
.
5. SeaD*= [0,1] x [0,1]y defínase TenD* como T
(
x*, y*)=
(
x*y* , x*). Hallar la imagen D. ¿Es T
inyectiva? Si no lo es, ¿se puede quitar un subconjunto a D* de forma que en lo que quede T sea
inyectiva?
6. Sea D* el paralelogramo con vértices en
(
-1, 3), (0, 0),
(
2, -1)y
(
1, 2), y D el rectángulo
D= [0, 1] x [0, 1]. Hallar una aplicación Ttal que D sea la imagen de D* por T.
7.SeaT
:
IR3-. IR3 el cambio a coordenadas esféricas definido por
(
p, cp,e)f-7
(
x, y, z), donde
X= p Sen cpcose,
y= p sen cpsene,
z= pcos cp.
Sea D* el conjunto de puntos
(
p, cp, e)tales que cp E[0, n],e E[0,2n],pE [0, l}. HallarD= T
(
D*).
¿Es Tinyectiva? Si no lo es, ¿se puede quitar un subconjunto a D* de forma que en lo que quede T
sea inyectiva?
En los ejercicios 8 y 9, sea T
(
x)=Ax, dondeA es una marriz2 x2.
8. Demostrar que Tes inyectiva si y solamente si el determinante de A no es cero.
9. Demostrar que det A # O si y solamente si Tes sobreyectiva.
10. Supóngase que T
:
IR2 -. IR2 es lineal, dada por T
(
x) = Ax, donde A es una maniz 2 x 2. Demostrar
que si det A # O, entonces Ttransforma paralelogramos en paralelogramos [INDICACIÓN: El paralelo­
gramo general de IR2 se puede describir como el conjunto de puntos q= p +),v +f.lW con -1, f.1 E (0, 1)
donde p, v, w son vectores de IR2 tales que v no es un múltiplo de w].
11. Supóngase que T
:
IR2-.IR2escomoenelEjerciciolOyqueT
(
P*)= P es un paralelogramo. De­
mostrar que P* es un paralelogramo.
12. Considérese la aplicación T
:
D -+ D, donde D es el disco unidad del plano, dada por
T
(
rcose, rsene) =
(
?cos2e, ?sen2G).
Usando notación compleja
:
, z= x +iy, la aplicación T puede escribirse como T
(
z) = z2. Demostrar
que el determinante jacobiano de Tse anula en el origen; por tanto, lejos del origen, Tes localmente
inyectiva. Por otra parte, demostrar que Tno es globalmente inyectiva en IR2 menos el origen.

6.2.
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
367
El teorema del cambio de variables
Dadas dos regiones D y D* de IR2, una aplicación diferenciable Tde D* con imagen D, es decir,
T(D*) = D, y una función con valores reales f: D--
->
IR, querríamos expresar Ho f(x, y)dA co­
mo una integral sobre D* de la función compuesta Jo T
.
En esta sección veremos cómo se hace.
Supóngase que D* es una región del plano uv y que D es una región del plano xy. Se define
la aplicación T por medio de las dos funciones coordenadas:
T(u, v)= (x(u, v), y(u, v)) para
(u,v)ED*.
En principio podría conjeturarse que
ft f(x, y)dxdy
;_ ffD*
f(x(u, v), y(u, v))dudv,
(1)
donde f o T(u, v) = f (x(u, v), y (u, v)) es una función compuesta definida en D*; sin embargo,
si consideramos la función f: D--
->
IR2 donde f(x, y)= 1, entonces la Ecuación (1) implicaría :
A(D) = fLdxdy
;_ ffD*
dudv= A(D*).
(2)
Pero la Ecuación (2) sólo se verifica en unos cuantos casos especiales y no para una aplicación
Tcualquiera. Por ejemplo, defínase Tpor medio de T(u, v)= (- u2 + 4u, v). Si se resttinge Tal
cuadrado unidad, es decir, a la región del plano uv, D*= [0, 1] x [0, 1] (véase la Figura 6.2.1).
Entonces, como en el Ejercicio 3 de la Sección 6.1, T transfonna D* en D= [0, 3] x [0, 1]
.
Obviamente, A(D) # A(D*) y por tanto la Fórmula (1) no es válida.
V
T
�
u
(3, 0)
����!����!� La aplicación T: (u. v) >-> ( - u2 + 4u. v) transforma el cuadrado D*
en el rectángulo D.
Determinantes jacobianos
Para corregir la fórmula incorrecta (1) nos hace falta una medida de cómo distorsiona una trans­
fom1ación T: IR2 --> IR2 el área de una región. Ésta la da el determinante jacobíano, que se define
como sigue.

368
Cálculo vectorial
DEFINICIÓN: Determinante jacobiano Sea T: D * e []\l;
2
-->[]\l;
2
una transfom1ación de cla­
se C1 dada por x = x (u, v) y y = y (u, v). El determinante jacobiano de T, que se escribe
o(x, y)/3(u, v), es el determinante de DT(u, v), la matriz derivada de T:
ex axl
c(x, y) au av
c(u, v) ay ay
au av
La función de 11{
2
en[R;
2
que transforma coordenadas polares en coordenadas car-
tesianas es
X= I'COS e,
y= rsen e
y su determinante jacobiano es
�e1re
ox,y"
=
leos
c(r, e) 1sen e
�
rsen e¡
o
1= r(cos-e+sen
2
8)=r.
reos 8
Bajo restricciones adecuadas en la función T, deduciremos más abajo que el área de
D = T(D*) se obtiene intergrando el valor absoluto del jacobiano c(x, y)/c(u, v) en D*; es decir,
tenemos la ecuación
If If lc(x, y)/
A(D) =
dxdy =
-
_,
--
.
dudv.
D
D* o(u, v)
(3)
Por ejemplo: en el Ejemplo 6.1 tómese T: D*--> D, donde D = T(D*) es el conjunto de
(x, y) que verifican x2 + y
2
c:S1yD*=[0,1]x[0,2n],yT(r, e)=(reos8, rsene).Porla
Fónnula (3),
JI lc(x
,y)/JJ
A(D) =
--
·
- drde=
rdrde
D* C(r, 8)
D*
(r y 8 juegan aquí el papel de u y v). Del cálculo precedente se deduce que
rdrd8 =
rdrde =
-
d8 =-
de=n
Il l2
n11l
2
n [1;2]1
¡1
2
n
D*
O
O
O
2O
2O
(4)
es el área del disco unidad D, lo que confüma la Fórmula (3) en este caso. De hecho, podemos
recordar del cálculo de una variable que la Ecuación (4) es la fórmula correcta del área de una
región en coordenadas polares.
No es tan fácil demostrar rigurosamente la afirmación de (3). Sin embargo, si se mira de
forma adecuada resulta ciertamente plausible. Recuérdese que A(D) = SJDdxdy se obtuvo divi­
diendo D en rectángulos pequeños , sumando sus áreas, y finalmente tomando el límite de esta
suma cuando el tamaño de los subrectángulos tiende a cero. El problema es que T puede trans­
formar rectángulos en regiones cuya área no sea fácil de calcular. La solución pasa por aproximar
estas imágenes por medio de regiones simples cuya área podamos calcular. Una herramienta

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
369
para hacerlo es la derivada de T que, como sabemos (por el Capítulo 2), da la mejor aproxima­
ción lineal de T.
Considérese un rectángulo pequeñoD* en el plano uv como muestra la Figura 6.2.2. Sea T
la derivada de T calculada en (u0, v0), por lo que T es una matriz 2 x 2. Sabemos, por el traba­
jo que hemos hecho en el Capítulo 2, que
da una buena aproximacwn a T(x, y) donde l1u = u - u0 y /',.v = v - v0. Esta aplicación T
transformaD* en un paralelogramo con vértice en T(u0, v0) y con lados adyacentes dados por
los vectores
y,
donde
se evalúan en (u0• v0).
lax
ou
T(l1ui) =
.�
cy
iiu
lax
ou
T'(l1vj) =
oy
au
ox] �ox]
-
-
av /',.u
au
"
[J=/',.u �
= l1uTu
oyO
cy
-
-
Ov
Lau
ex] lox]
-
-
avo
i!v
=/',.v
= l1vT
?'[AJ �y "
ov
ov
iix iiy
T =- i+-j
u
Ou Ou
y
ex i!y
T=-:- i+-j
V
QV QV
Recuérdese de la Sección 1.3 que el área del paralelogramo con lados iguales a los vectores
ai + bj y ci + dj es igual al valor absoluto del determinante
V
y
t.v ax¡ +¡t.v ayj
av1av
T(uo, vol + T'(D*l
T
= T(uo, vol
-+-
--------------�
X
t��1i�i�i� El efecto de la transformación T en un rectángulo pequeño D*.

370
Cálculo vectorial
Por tanto el área de T(D*) es aproximadamente igual al valor abso luto de
calculado en (u0, v0).
ex
-
¿1¡;
ov
ov
--'-L1v
av
l�xeu
=
���
�
ex
av
o(x. y)
LluL1v = --
'
-
Llu Llv
cy
o(u, v)
Este hecho y un razonamiento utilizando una partición deben hacer plausible la Fórmula (3).
De hecho, si se hace una partición de D* en rectángulos pequeños con lados de longitud L1u y
L1v, las imágenes de estos rectángulos se aproximan a paralelogramos con lados Tu L1u y T" L1v,
y por tanto con área jo(x, y)/c(u, v)j L1uL1v. Así, el área de D* es aproximadamente L L1uL1v,
donde la suma se extiende sobre todos los rectángulos dentro de D* (véase la Figura 6.2.3). Por
tanto, el área de T(D*) es aproximadamente la suma l: jo(x, y)/c(u, v)jL1uL1v. En el límite esta
suma será:
-,-- dudv.
J,.r- 1
c(x, y)
1
JD* o(u, v)
V
y
T
-+-
--
--- --- --
----�
u
--+-
-
-----
----
----
-�
X
·Fi����,�-�;3\) El área del rectángulo pequeño Res 1'\.ut-v. El área de T(R) es aproximadamente liJ(x, y)lc(u,
v)IL'l.ul'l.v.
Vamos a dar otro argumento informal para el caso especial (4) de la Fórmula (3), es decir, el
caso de las coordenadas polares. Considérese la región D del plano xy y una malla correspon­
diente a una partición en las variables r y e (Figura 6.2.4). El área de la región sombreada es
aproximadamente (L1r)(ruL1e), ya que la longitud de un arco de circunferencia de radio r y ángu­
lo cp es rcp. El área total es entonces el límite de Ir
J
kL1rL1e, es decir, J JD*rdrde. La idea clave
es, por tanto, que eljk-ésimo «rectángulo polar>> de la malla tiene área aproximadamente igual a
riJL1rL1e (para n grande, el rectángulo polarjk-ésimo parecerá un rectángulo con lados de longi­
tudes ru L1e y L1r). Lo anterior debería dar una idea de por qué decimos: el «elemento de área
dxd y>> se transforma en el «element o de área rd rde>>.
Sea D la región elemental del plano .xy acotada por la gráfica de la ecuación en
coordenadas polares r = j(e), donde 80� e� e1 y j(e)
=
O (véase la Figura 6.2.5). En el plano
re consideramos la región r-simple D*, donde e0� B � e1 y O � r� j(e). La transformación

e
Capítu\o 6. La fórmu\a del cambio de variables y aplicaciones de la integración
371
x=reos O, y=rsen fllleva la región D* sobre la región D. Utilizar la Ecuación (4) para calcu­
lar el área de D.
Solución
l'f
fr lo
(x
.y)l
A(D)=j dxdy= J �
fl
drdfl
D
D* 0(1, )
fl' f&
¡[
l'j(8)
J
=
� * rdrdfl=
Jrdrdfl
.,D
00
O
rO¡
[¡.J.
Jf(&)
rO¡
[j(fl
)
f
-
d8= l.
-- de.
•Oo2o
.;Go
2
Esta fórmula para A(D) debe resultar familiar del cálculo de una variable.
'Jk !ir
y
+
1
/-
-+
"Fi���JtZ.�-�=-� D* se transforma en D por la ap\icación de cambio a potares T.
e

37Z
Cálculo vectorial
Fórmula del cambio de variables
Antes de enunciar la fórmula del cambio de variables en dos variables, que es el objetivo de
esta discusión, recordemos el teorema correspondiente del cálculo de una variable que recibe a
veces el nombre de método de sustitución:
fb
d
�x(b)
f(x(u))�du = J..
f(x)dx,
a
du
x(a)
donde fes continua y u f-
-'7
x(u) es continuamente d(ferenciable en [a, b].
(5)
DEMOSTRACIÓN Sea F una primitiva de f; es decir, F' = f, cuya existencia garantiza el
teorema fundamental del cálculo. El miembro derecho de la Ecuación (5) se convierte en
fx(b)
f(x)dx = F(x(b)) - F(x(a)).
x(a)
Para calcular el miembro izquierdo de la Ecuación (5), ponemos G(u) = F(x(u)). Por la regla
de la cadena, G'(u) = F'(x (u))x'(u) = f(x (u))x'(u). De nuevo por el teorema fundamental,
ff(x (u))x'(u)du = f G'(u)du = G(b)- G(a) = F(x (b))- F(x (a)),
como se quería.
Supóngase que ahora tenemos una fu n ción C1, u f-
-'7
x(u), que es inyectiva en [a, b]; por tanto
debe ser dxjdu ?e O en [a, b] o dxjdu :( O en [a, b]1. Sea!* el intervalo [a, b], y sea I el intervalo
cerrado con extremos x(a) y x(b) (por tanto, l= [x(a), x(b)] si Uf-'>x(u) es creciente el= [x(b),
x(a)] si uf-
-'7
x(u) es decreciente). Con estas convenciones podemos reescribir la Fórmula (5)
como
r f(x(u))1dx1du =
f f(x)dx.
JT*
du
r
Esta fórmula se generaliza a integrales dobles, como ya se ha hecho de manera informal
en la Fórmula (3): !* se convierte en D*, l se convie11e en D, y \dxjdu\ se reemplaza por
\3(x, y )j3(u, u)\. Enunciemos el resultado formalmente (se omite la demostración, que es técnica).
Uno de los propósitos del teorema del cambio de variables es el de proporcionar un método
que permita simplificar algunas integrales dobles. Uno puede tropezarse con integrales JJD fdA
1 Si dxfdu es primero positiva y Juego negativa, la función x = x (u) primero sube y luego baja, y por tanto no es
inyectiva; un resultado similar se da si dxfdu es primero negativa y después positiva.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
373
en las que bien el integrando ,f, bien la región D, es complicado y para el que un cálculo directo
es difícil. Por tanto, se elige una aplicación T de forma que la integral sea más fácil de calcular
con el nuevo integrando y la nueva región D* (definida por T(D*) = D). Desafortunadamente,
el problema puede en realidad hacerse más difícil si T no se elige cuidadosamente.
p¡.;¡¡
¡,¡.¡,¡
¡¡
¡¡.¡,¡
�,¡
¡¡,¡;¡
'a.;
·
·Qiól
·
¡¡j¡j
'
ll
ll
Sea P el paralelogramo limitado por y= 2x, y= 2x- 2, y= x, e y= x
+1
(véase la Figura 6.2.6). Calcular Jfpxydxdy por medio del cambio de variables
X=U-V,
y= 2u- v,
esdecir, T(u,v)=(u-v,2u-v).
Solución
La transformación T tiene determinante distinto de cero y por tanto es inyectiva (véase el Ejer­
cicio 8 de la Sección 6.1). Se ha construido de fonna que lleve el rectángulo P*, limitado por
v=O,v= -2,u=O,u= 1,enP.ElusodeTsimplificalaregióndeintegracióndePaP*.
Además,
--
-
= 'det
l.3(x, y)11 ! ¡1
3(u, v)J 1 L2
Por tanto, por la fórmula del cambio de variables,
V
f.r xydxdy= f.r ..
(u - v)(2u - v)dudv= fo rl(2u2 -3vu + v2)dudv
JP
JP·
·
2J
o
(1, O)
=f
o [�u3
-
3u2v +
v2u]Jdv= fo[�-� v +
v2] dv
�
23
2
o
�
232
=
[�V-�1!2+
1
!
3
]0=-
[�(-2)-3
-
�J
3
4
3�2
3
3
y
(3, 4)
2
T
�
·--
---Jo.
X
(O, O)

374 Cálculo vectorial
Integrales en coordenadas polares
Supóngase que consideramos el rectángulo D* definido por O :S; 8 :S; 2n, O :S; r :S; a en el plano
r8. La transformación T, dada por T(r, 8) = (reos8, r sen 8), transforma D* en el disco D de
ecuaciónx2+l:S;a
2
en el plano .xy. Esta transfom1ación representa el cambio de coordenadas
cartesianas a coordenadas polares. Sin embargo T no satisface los requisitos del teorema de
cambio de variables ya que no es inyectiva en D*: en particular, T transfonna todos los puntos
con r= O en (0, O) (véase la Figura 6.2.7 y el Ejemplo 6.3). No obstante, el teorema del cambio
de variables es válido en este caso. La razón es, básicamente, que el conjunto de puntos en los
que T no es inyectiva está contenido en uno de los lados de D*, que es la gráfica de una curva
suave y, por tanto, es irrelevante a efectos de integración. En resumen, la Fórmula:
es válida cuando T transforma D* en D de forma inyectiva salvo quizás los puntos de la frontera
de D*.
8
y
2n:
T
(r=O)
X
JffliglJ:t���i���� La imagen del rectángulo D* por medio de la transformación a coordenadas
polares es el círculo D.
•
1•
Calcular SSD log (x2 + y2)dx dy, donde D es la región del primer cuadrante com-
prendida entre los arcos de circunferencia x2 + l= a2 y x2 + l= b
2
, donde O <a <b (Figu­
ra 6.2.8).
Solución
Estas circunferencias tienen en coordenadas polares las sencillas ecuaciones r = a, r = b. Ade­
más, r2= x2 + l aparece en el integrando; por tanto, un cambio a coordenadas polares simpli­
ficará tanto el integrando como la región de integración. Según el Ejemplo 6.7 la transforma­
ción
x = rcos8,
y= rsen ()

e
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
375
a
b
y
t
La aplicación de cambio a coordenadas polares transforma
el rectánguo D* en parte del anillo D.
que pasa de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, transforma el rectángulo D* dado
por a � r � b, O � 8 � n/2 en la región D. Esta transformación es inyectiva en D* y por tanto,
por la Fórmula (7), tenemos
f'í
fb Ín/2
Jo log(x2 + /)dxdy =
aJ
o rlogr2d8dr
nfb
nfb
=-
rloar2dr=-
2rJoardr.
2
b
?
b
a
-
a
Aplicando integración por partes o utilizando la fórmula
fx2
x2
xlogxdx = -loax- -
2b
4
de la tabla de integrales del libro, obtenemos el resultado
nfb
n[o
2
l2
2]
-
2rlogrdr=- b�logb-a loga -?(b -a) .
2a
2
_
La integral gaussiana Una de las aplicaciones de mayor belleza de la fórmu­
la del cambio de variables a coordenadas polares y la reducción a integrales iteradas es su uso
en la fórmula siguiente, conocida como integral gaussiana:
fw'. e-x2dx = Jn.
-oo
No sólo es esta fórmula muy elegante en sí misma sino que además es útil en áreas como la
estadística. Ilustra además la unidad que existe entre los números trascendentes e y n casi tan
bien como lo hace la fórmula clásica ein =
-
1.

376
Cálculo vectorial
Para llevar a cabo la integración de la integral gaussíana2, calculamos primeramente la inte­
gral doble
fí. e- (x2+y
2
)dxdy,
�Da
dondeDaeseldisco x2+y2 �a2. Dadoque r2
= x2 +/,y dxdy= rdrd(), la fórmula del cam­
bio de variables da:
ff -(x2+v2)d d
e
·
xy=
Da
í2rr ra
í2n( l )1a
Jo Jo
e-
r2
rdrd()=
Jo
-
2e-,
2
o
d()
Si hacemos a --> CD en esta expresión, damos sentido a la integral impropia y obtenemos
JI -(x2+ ,2)
e
;.dxdy=Jr.
01
1
2
Si suponemos (como se hace en el suplemento de Internet) que también podemos evaluar esta
integral impropia como el límite de las integrales sobre los rectángulos Ra = [-a, a] x [-a, a],
cuando a-'* CD, obtenemos
Por reducción a integrales iteradas podemos escribir esto último como
lim
esto es
[fa
e-x2
dxf
a
e-yzdy]=[ lim f
a
e-x2dx]
2
=n;
-a
-
a
a-+CD
-
a
Por tanto, si tomamos raíces cuadradas llegamos al resultado deseado.
Una variante de la integral gaussiana: evaluar
2 El método que sigue no es en forma alguna directo, sino que requiere un truco. El nuco consiste en comenzar con
la fórmula deseada y elevar al cuadrado ambos miembros. Se observará entonces que el primer miembro parece una
integral iterada. Hay otras formas de calcular la integral gaussiana pero todas ellas requieren métodos que no son
obvios. Para ver cómo se calcula usando métodos de variable compleja consúltese, por ejemplo, J. Marsden y M. Hoff­
man, Basic Complex Analysis, 3.' ed., W. H. Freeman, New York, 1998.

Para hacerlo, utilizar la fórmula del cambio de variables con y = flx a fin de reducir el proble­
ma a la integral gaussiana recién calculada:
J
OCo
fa
e-2x2dx= lim
e
-
2x2dx= lim
�a:
:;
Q..
.-4
0C
-a
0--J.%
-
v2 dy
e.�-
fl
1foo
,
1�
A'
-
\!""
1
=
fi-oo
e.dy=
J2-;n=
2·
'V
Fórmula del cambio de variables para integrales triples
Para enunciar esta fórmula definimos primeramente el jacobiano de una transformación de IR3
en IR3 �es una extensión fácil del caso de dos variables.
DEFINICIÓN Sea T: W e IR3--> IR3 una función C1 definida por las ecuaciones x= x(u, v, w),
y=y(u, V, w), z =z(u, V, w). Entonces el jacobiano de T, que se denota por
a
(x, y, z)j
a
(u, V, w),
es el determinante
a
x
a
x
"
ox
a
u
a
v 3lv
a
y
a
y
a
y
a
u
a
v
a
w
8
z
a
zaz
a
u
a
v
a
w
El valor absoluto de este determinante es igual al volumen del paralelepípedo determinado
por los tres vectores
a
x.
a
y.
a
z
Tu=�1+-:
:;---
J+�k,
a
u
ou
a
u
ex.
a
y.
a
z
T =-•+-J+- k
V
a
v
a
v
OV'
a
x.
a
y.
8
z
Tw
=
-:
::-
•+-
a
J+-
8
k.
ow
w
w
Igual que en el caso de dos variables, el jacobiano mide cómo la transfom1ación T distorsiona el
volumen de su dominio; por tanto, para las integrales de volumen (triples) la fórmula del cam­
bio de variables toma la forma siguiente:

378
Cálculo vectorial
Coordenadas cilíndricas
Vamos a aplicar la Fórmula (8) primero. a coordenadas cilíndricas y después a coordenadas esfé­
ricas. Primeramente calculamos el jacobiano de la aplicación que define el cambio a coordena­
das cilíndricas. Dado que
x = rcose,
y= rsene,
Z= Z,
tenemos
o(x, y, z)
cose - rsene o
c(r, e, z)
sene
reoseo=r.
o
o
Por tanto obtenemos la fórmula
Coordenadas esféricas
"'
A continuación consideramos el sistema de coordenadas esféricas. Recuérdese que se defi-
ne por
x = psen if>cos8,
y= psen if>sene'
z=pcosif>.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
379
Por tanto, tenemos
o(x,y, z)
o(p, e, r/J)
sen rjJcos ()
sen rjJsen O
cos rjJ
Desarrollando por la última fila obtenemos
�
p sen rjJsen (1
psenr/Jcose
o
pcosr/Jcos()
pcosr/Jsene
�
psen rjJ
o(x, y, z)
¡·
"
= cosrjJ
o(p, e, r/J)
psenr/Jsene
psenr/Jcose
pcosrjJcose1 ¡senr/Jcose
�
psen rjJ
pcosrjJsenO
sen rjJsen e
�
p2 cos2 rjJsen rjJsen2 O � p2 cos2 rjJsen rjJcos2 e
�
p2 sen3 rjJcos2 O � p2 sen3 rjJsen2 e
Llegamos, por tanto, a la fórmula:
�
psenrjJsene1
psen r/Jcose
Para demostrar la Fórmula (10) se debe mostrar que la transformación S en el conjunto W* es
inyectiva excepto en un conjunto que es unión finita de gráficas de funciones continuas. Deja­
mos esta verificación como Ejercicio 34.
Calcular
donde W es--la bola unidad de IR3.
Solución
Nótese primeramente que no podemos integrar fácilmente esta función usando integrales itera­
das (¡inténtese!). Por tanto (empleando la estrategia de la cita que abre este capítulo ) iQtentemos
un cambio de variables. La transformación a coordenadas esféricas parece apropiada, ya que la
expresión completa x2 + l + l se puede sustituir por una variable: p2. Si W* es la región tal
que
O:S;p:S;l,
o:S;e:S;2n,
O:S;rjJ:S;n,

380
Cálculo vectorial
podemos aplicar la Fórmula (10) y escribir
Esta integral es igual a la integral iterada
Solución
LLJ:" e''3
p2sen cpd8dcpdp = 2n
f�LeP3
p2sen cpdcpdp
= -2n e p2eP3[cos 013 dp
.;0
:'f
ff
l
= r= neP3J =:: n(e 1).
L3
o
3
Sea W la bola de radio R y centro (0, O, O) en IR3. Hallar el volumen de W.
El volumen de W es SJJwdxdydz. Esta integral se puede calcular reduciéndola a integrales itera­
das o considerando W como un volumen de revolución, pero vamos a evaluarla aquí por medio
de coordenadas esféricas. Obtenemos
dxdydz =
p2sen cjJ dpd8dcp =-
sen cjJ d8dcp
fíf InI
2rr
IR
R3
f"f
2n
�w
ooo
3oo
2nR3
f"
2nR3
=�-
sencjJdcp= -- {-[cos(n) - cos(O)]}
3o
3
que es la fórmula usual del volumen de la esfera.
l. Sea D el disco unidad x2 + l � l. Calcular
fLexp(x2 + /)dxdy
por medio de un cambio de variables a coordenadas polares.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
381
2. SeaDlaregiónO'(y'(x,yO'(x'(l.Calcular
Jl'r ex+ y)dxdy
,
D
por medio del cambio de variables x = u + v, y=u - v . Comprobar el resultado por medio del cál­
culo directo de la integral resolviendo una integral iterada.
3, Sea T(u, v)=(x(u, v), y(u, v)) la aplicación definida por T(u, v) = (4u, 2u + 3v). Sea D* el rectán­
gulo [0, 1] x [1, 2]. Hallar D=T(D*) y calcular
a) JL xydxdy,
b) JL (x- y)dxdy,
por medio de un cambio de vmiables que las calcule como integrales sobre D*
4. Repetir el Ejercicio 3 con T(u, v) =(u, v(l +u)).
5. Calcular
rÍ
dxdy
JJD..jl+X+2y'
donde D =[0, 1] x [0, 1], haciendo T(u, v) (u, v/2) y calculando una integral sobre D*, donde
T(D*) =D.
6. Definir T(u, v)=(u 2- 1?, 2uv). Sea D* el conjunto de (u, v) con u2+ v2 '( 1, u�O, v �O. Hallar
T(D*)=D. CalcuJir SJDdxdy.
7. Sea T(u, v) como en el Ejercicio 6. Por medio de un cambio de variables calcular «fom1almente» la
integral <<impropia»
8.
9.
10.
fi dxdy
Djx2+l.
NOTA: Esta integral (y la d�l ejercicio siguiente) es impropia, ya que el integrando !/Jx2 + l nc es
ni continuo ni acotado en el dominio de integración (la teoría de integrales impropias se estudiará en
la Sección 6.4).
fl'
1
Calcular J -- dydx, donde R es la región acotada por x=O, y=O, x + y=
R X+y
medio de la aplicación T(u, v)=(u - uv, uv).
I'I
?..
..
F)
•
?
Calcular J
D
(x2+ y)''-dxdy, donde D es el drsco x- + y2 '( 4.
1, x+ y=4, por
Sea D* una región v-simple en el plano uv acotada por v=g(u) y v=h(u) '(g(u) con a '(u '( b.
Sea T:IR2--
->
IR2 la transformación dada por X=u, y=tf¡(u, v) donde tf¡ es de clase C1 y atf¡¡av nunca
se anula. Suponer que T(D*)=D es una región y-simple; demostrar que si f: D --
->
IR es continua
entonces
fLf(x, y)dxdy =
fL. f(u, t/J(u, v)) \��1dudv.
11. Usar integrales dobles para hallar el área encerrada por la curva r= 1 + sen e.

382
Cálculo vectorial
12. a) Expresar Í1 C' J.ydydx como una integral sobre el triángulo D*, que es el conjunto de puntos
Jo .o
(u, v) que cumplen O � u � 1, O � v � u [INDICACIÓN: hallar una aplicación biyectiva T de D*
en la región de integración dada.]
b) Calcular directamente esta integral como una integral sobre D*.
13. Integrar zex'+ Y' sobre el cilindro x2 +/ � 4, 2 � z � 3.
14. Sea Del disco unidad. Expresar Jí (! + x2 + /)31
2dxdy como una integral sobre [0, l] x [0, 2rr] y
calcularla.
�D
15. Hallar el área acotada por la lomúscata (x2 + /)2 = 2a2 (x2 - /), utilizando coordenadas polares.
16. Hacer de nuevo el Ejercicio 11 de la Sección 5.3 por medio de un cambio de variables y comparar
los esfuerzos requeridos en cada método.
17. Calcular Jí (x + y)2ex-ydxdy, donde Res la región acotada por x+y= 1, x+y= 4, x-y= -1,
�R
yx-y= l.
18. Sea T: IR3 --> IR3 la transformación definida por
T
(
u,v,w)=
(
ucosvcosw, usenvcosw, usenw).
a) Demostrar que Tes sobreyectiva sobre la esfera unidad; es decir, todo (x, y, z) con Y+/+i= 1
se puede esetibir como (x, y, z) = T
(
u, v, w) para algún (u, v, z).
b) Demostrar que T no es inyectiva.
19. Integrarx2+/+z2 sobre el cilindrox2+/�2, - 2�z� 3.
20. Calcular 1'" e- 4x2 dx.
21. Sea B la bola unidad. Calcular
fíf dxdydz
•
Bj2+x2+/+z2
por medio de un cambio de variables apropiado.
22. Calcular JI [1/(Y + /)21dxdy, donde A está determinado por las condiciones x2 + / � 1 y
x+y?o!.
23. Calcular
III 2
dx
�ydz
2
3
12
, donde W es el sólido acotado por las dos esferas x2 + y2 + l= a2
w(x+y+z)
yx2+y2+z2=b2
, dondeO<b<a.
24. Calcular
ffD
x2 dxdy, donde D esta determinado por las dos condiciones O � x � y, y x2 + / � l.
25. Integrar
e- Cx' +Y'+z'J sobre la región descrita en el Ejercicio 23.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
383
26. Calcular las siguientes integrales usando coordenadas cilíndricas.
a)
ffIB
z dx:dydz, donde Bes la región dentro del cilindro x2+l = 1 por encima del plano xy,y
por debajo del cono z = (x2+/)1/
2
b)
JIfw
(x2 + l+ z2)- 1il dx d.ydz, donde W es la región determinada por las condiciones
4�z�lyx2+y 2+i�I.
27. Calcular Íjr- (x+y)dxdy, donde Bes el rectángulo del plano xy con vértices en (O, 1), (1. 0), (3, 4)
.;B
y(4, 3).
28. Calcular
IID
(x+y)dxdy, donde Des el cuadrado con vértices en (0, 0), (1, 2), (3, 1)y(2.
-
1).
29. Sea E el elipsoide (x2jcl)+(/jb2)+
�1, donde a, bye son positivos.
a)
b)
Hallar el volumen de E. i
ff'{ 70
7¡7
7?
Calcular
J E [(x�¡a�) + (y1b�)+(z�¡c-)]dxdydz
utilizar coordenadas esféricas.]
[INDICACIÓN: cambiar variables y después
30. Utilizando coordenadas esfé1icas, calcular la integral de f(p, cjJ, 8) = 1/p sobre la región del primer
octante de IR3 que está
'
a'C��ada por los conos cjJ = 11:¡4, cjJ= arctan 2yla esfera p = j6.
31. La aplicación T(u, v) = (u2 -'v2, 2uv) transfonna el rectángulo 1�u�2, l � v � 3 del plano uv en
una región R del plano xy.
a) Demostrar que Tes inyectiva.
b) Hallar el área de R utilizando la fórmula de cambio de variables.
32. Sea R denota la región interior a x2+/ = 1,yexterior a Y+/= 2y con x ? O, y ? O.
a) Esbozar esta región.
b) Sea u= x2+/, v = x2+l- 2y. Esbozar la región Ddel plano uv que se corresponde con R
bajo este cambio de coordenadas.
e) Calcular í 1 xeYdxdy usando este cambio de coordenadas.
.JR
33. Sea D la región acotada por x312+l/2= a3i2, para x ? O, y ? O, y Jos ejes coordenados x = O,
y= O. Expresar í 1 f(x, y) dxdy como una integral sobre el triángulo D*, que es el conjunto de
JD
puntos O�u�a, O�v�a - u (no intentar calcularla).
34. Demostrar que S(p, G, cjJ) = (p sen cjJcos B, psen cjJsen B, peas cjJ), la aplicación de cambio a coor­
denadas polares, es inyectiva salvo en un conjunto que es unión finita de gráficas de funciones con­
tinuas.

384
Cálculo vectorial
6.3. Aplicaciones
En esta sección discutiremos medias, centros de masa, momentos de inercia y el potencial gra­
vitacional como aplicaciones.
Medias
Si x1, ... , xn son n números su media se define como
]n
[x¡]m = --
----
=-LX¡.
n
ni=!
Nótese que si todos los X¡ tienen el mismo valor e entonces su media es también, por supuesto,
igual a c.
Este concepto lleva a definir los valores medios de las funciones como sigue.
Nótese de nuevo que el denominador se ha elegido de forma que si f es una constante, digamos
e, entonces [/Jm = c.
Hallar el valor mediodef(x, y)= xsen2(Áy)enla regiónD = [0, n] x [0, n].
Solución
Primeramente calculamos
JLf(x, y)dxdy = f 1' xsen2
(xy)dxdy
f"[f
"
1 - cos (2xy)
J
=
X��
o
o
2

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
385
=
1"[�_
sen(2x
y)Jxl" dx
Jo-
4x
y�o
= 1" [rcx _ sen(2rcx)Jdx = [
-rcx2 +
_
co
_
s
_:_(2
_
rc
_-_x)J1"
Jo2
4
4
8rc
0
?
Por tanto, el valor medio de f, por la Fórmula (l), es:
La temperatura en los puntos del cubo W = [-1, l] x [-l, 1] x [-1, 1] es
proporcional al cuadrado de la distancia al origen.
a) ¿Cuál es la temperatura media?
b) ¿En qué puntos del cubo es la temperatura igual a la temperatura media?
Solución
a) Sea e la constante de proporcionalidad de forma que T = c(x2
+
l + i) y la temperatura
media es [T]m = i SJJw Tdxdy dz, ya que el volumen del cubo es 8. Por tanto,
[T]m=-
(x2
+
l+
z2)dxdydz.
C
JIJIJ
I
8-1
-]
-I
La integral triple es la suma de las integrales de x2, del, y de l. Dado que el papel de x,
y, z en la descripción del cubo es simétlico, las tres integrales serán iguales; por tanto
[T]m =-
z2dxdydz = -
i
dxdy dz.
3cJIJlJI
3cJI (JIJI )
8-]
-]
-I
8-1
-1
-1
La integral interior es igual al área del cuadrado [ - 1, 1] x [ - l , l]. El área del cuadrad�
es 4, luego
3cJ
1
2
3c (z3)11
[T]m=-
4zdz=-
-
=c.
8-1
23-1
b) La temperatura es igual a la temperatura media en todos los puntos que satisfacen
c(x2
+
l+
z2) = e, es decir, que están en la esfera x2
+
l+ z2 =l,quees laesfera ins­
Ciita en el cubo W.

386 Cálculo vectorial
Centros de masa
Sisesitúan masasm1, .. . , mn enlospuntosx1, •••, x,delejex,sucentrodemasasedefinecomo
-
Ll1
1
¡X¡
x=---.
I:m¡
(2)
Esta definición se justifica por medio de la siguiente observación: si se equilibran varias masas
sobre una palanca (Figura 6.3.1) el punto de equilibrio x es el punto en el que el momento total
(masa por distancia al punto de equilibrio) es cero, es decir, para el que I m¡ (x¡ - .X) = O. Un
principio físico que se remonta a Arquímedes y, en su forma general, a Newton, establece que
esta condición es equivalente a que la palanca no tenga tendencia a rotar.
X¡
X2
x
���
11
1
¡
m2
Fig',.u·ll�:3..t. La palanca está equilibrada si ¿(X; - x)m; = O.
Para una densidad de masa continua 6(x) sobre la palanca (medida, digamos, en gramos/cm)
la fórmula análoga a (2) es
_
S xb(x) dx
x=
S b(x) dx
Para superficies planas, lo anterior se generaliza a:
Centro de masa
Placa
Figilr,a;B:3.23;. La placa se equilibra cuando se apoya en el centro de masa.
(3)

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
387
Hallar el centro de masa del rectángulo [0, l] x [0, 1] si la densidad de masa
Solución
Primeramente calculamos la masa total:
fLex+vdxdy = L L ex+vdxdy = L (ex+v ¡;�o)dy = L (e!+y- eY)dy
= (e1+y- eY)I; �o
=e2 --e-(e-1)=e2-2e+l.
El numerador de x en la Fórmula (4) es
(
!
Í1
xex+v dxdy = Íl (xex+y- ex
+.v') 1
Jo Jo
Jo
por tanto
¡'1
dy=
Jo
[e1+v- e1+y- (Oe"- e'')]dy
Los papeles de x y de y pueden intercambiarse en estos cálculos, por lo que también
y= 1/(e- 1) � 0,582.
Para una región en el espacio W con densidad de masa 3(x, y, z) sabemos que
volumen =
fffw
dxdydz,
masa
= fffw
3(x, y, z)dxdy dz.
(5)
(6)
Si las coordenadas del centro de masa se denotan por (x, y, Z), entonces la generalización de las
fórmulas en el recuadro precedente es la siguiente:

388 Cálculo vectorial
El cubo [1, 2] x [1, 2] x [1, 2] tiene densidad de masa dada por d(x, y, z))
= (1 + x)e"y. Hallar su masa total.
Solución
La masa del cubo, por la Fórmula (6), es
f2J
l'2
J�2
(1 + x)e'ydxdydz
=
f2f2[(x + x2)
ezy]
x�
2
dydz
1
11
1
l
2
x�I
f2f2 5
12 15
[15 ]'�2
15
=
-e'ydydz= j
-e'dz=
-e'
=-(e2-e).
l
l2
•l4
4 z�l
4
Si tanto una región como su densidad de masa son simétricas respecto de un plano, el centro
de masa cae en ese plano. Por ejemplo, en la fórmula de x en (7) si la región y la densidad de
masa son ambas simétricas respecto del plano yz, entonces el integrando es impar en x y por
tanto x= O. Esta forma de usar la simetría se ilustra en el ejemplo siguiente.
Hallar el centro de masa de W, la región semiesférica definida por las desigual­
dadesx2+i+i::s;1,z)oO(supóngasequeladensidadesiguala1).
Solución
Por simetría, el centro de masa debe caer sobre el eje z, por tanto x = y = O. Para hallar z debe­
mos calcular, por la Fórmula (7), el numerador I= ffJwzdxdydz. La semiesfera es una región
elemental y por tanto la integral es
Dado que z es constante en las integraciones respecto de x y de y, podemos extraerla de los dos
primeros signos de integración y obtener
l! (f·./1-z2
!'�
)
I=
z
j dxdy dz.
o
-
-
"/1 -y2--z 2
En vez de calcular explícitamente la integral iterada entre parémesis, observamos que ésta es
igual a la integral doble JJDdxdy sobre el disco x2 + l ::s; 1 - i, considerado como región x­
simple del plano. El área de este disco es rr(l - z2) y por tanto
¡=7[ez(l
.,o
2
f1
3
lz2 z4J 1
z)dz=n
(z-z)dz=rr
-
-
-
o
24o
El volumen de la semiesfera es � rr y entonces z= (rr/4)/(� rr) = t.
rr
4

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
389

390
Cálculo vectorial
Momentos de inercia
Otro concepto importante en mecánica, necesario para estudiar la dinámica de un cuerpo rígido
en rotación, es el de mo mento de inercia. Sí el sólido W tiene densidad uniforme 6, los momen­
tos de inercia Ix, I
Y, Iz respecto de los ejes x, y, z, respectivamente, se definen por
El momento de inercia mide la respuesta de un cuerpo a los esfuerzos para someterlo a rotacio­
nes; como por ejemplo, cuando uno trata de hacer girar un tiovivo. El concepto de momento de
inercia es análogo al de masa, que mide la respuesta de un cuerpo a los esfuerzos para someter­
lo a traslaciones. Sin embargo, a diferencia del movimiento de translación, los momentos de
inercia dependen de la forma y no solamente de la masa total. Es más difícil hacer girar una
placa grande que una bola compacta de la misma masa.
Por ejemplo, Ix mide la respuesta del cuerpo a las fuerzas que intentan hacerlo rotar alrede­
dor del eje x. El factor y
2
+ i, que es el cuadrado de la distancia al eje x, pondera más las
masas más alejadas del eje de rotación, cosa que coincide con la idea intuitiva que acabamos
de dar.
''
4\1•1
Calcular el momento de inercia L del sólido por encima del plano xy, acotado
porelparaboloidez=x2+/yporelcilindro).+/=a
2
, si se supone que a y la densidad
de masa son constantes.
Solución
El paraboloide y el cilindro se intersecan sobre el plano z = a2 . Utilizando coordenadas cilíndri­
cas hallamos, a partir de la Ecuación (8), que
,.a i2rr ir
2
ia i2n ir
2
,)6
Iz
=
Jor
2 . rdzd6dr =o
r
3
dzd6dr = �.
00o
00o
3
Campos gravitatorios de cuerpos sólidos
Otra aplicación física interesante de la integración
'
triple es la determinación de los campos
gravitatorios de cuerpos sólidos. El Ejemplo 2.52 mostraba que el campo de fuerzas gravita­
torias F(x, y, z) de una partícula es el gradiente cambiado de signo de una función V(x, y, z)
llamada potencial gravitatorio. Si en el punto (x, y, z) hay una masa puntual M entonces

Capítulo 6. La .fórmula del car¡;¡bio de variables y aplicaciones de la integración
391
el potencial gravitatorio que actúa sobre una masa m en el punto (x1, y1, z1) debido a ella
es -GmM[(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2r
1
/2, donde G es la constante de gravitación uni­
versal.
Si el objeto atractor ocupa un dominio W con densidad de masa ií(x, y, z), podemos imagi­
narlo como constituido por regiones cúbicas infinitesimales con masa dM = b(x, y, z) dx dy dz
situada en cada punto (x, y, z). El potencial gravitatorio total V de W se obtiene «sumando>> Jos
potenciales debidos a las masas infinitesimales. De esta forma se llega a la integral triple (véase
la Figura 6.3 .4):
(x1, y¡, Z¡)
(9)
El potencial gravitatorio que produce sobre una masa m
situada en el punto (x1, y1, z1) una fuerza debida a la
actuación de la masa dM = J(x, y, z) dxdydz desde
el punto (x, y, z) es � [Gmb (x. y, z) dxdydz]fr.
Sea W una región con densidad constante y con masa total M. Demostrar que el
potencial gravitatorio es
V(x¡, y1, z1) = [�lGMm,
donde [1/rlm es la media sobre W de

392
Cálculo vectorial
Solución
Según la Fórmula (9),
JI'Jf'
f 15dxdydz
-
V(x1,y1,z1)=Gm
0
2
2
w-Jcx-x¡)-+(y-y1) +(z-Z¡)
JJJw
-;=
==
c;=
=
dx
�
dyd=o;=:z ==:
:==;;
= Gm [15 volumen(W)] --
-'------------�
volumen(W)
= GmM[�J ,
rm
como se pedía,
Usemos ahora la Fónnula (9) y coordenadas esféricas para hallar el potencial gravitatorio
V(x1, y1, z1) de una región W con densidad constante entre las esferas concéntricas p = p1 y
p = p2, Antes de evaluar la integral de la Fórmula (9) vamos a hacer varias observaciones que
simplificarán los cálculos, Dado que G,m y la densidad son constantes podemos primeramente
ignorarlas, Dado que el cuerpo atractor W es simétrico respecto de las rotaciones con centro en
el origen, el potencial V(x1,y1,z1) también debe ser simétrico y por tanto V(x1, y1,z1) depende
solamente de R = Jxf + YT + zi,la distancia al origen, Nuestro cálculo será lo más simple po­
sible si lo efectuamos en el punto (0, O,R) que está sobre el eje z (véase la Figura 6,3.5). Por
tanto tenemos que calcular la integral:
(0, O, R)
X
ffr
dxdydz
V(O, O,R) =-
.
Jw Jx
2
+l+(z-Ri
y
"Fig�(���';�1� El potencial gravitatorio en (x1, y1, z1) es el mismo
queen(0,O,R),dondeR=Jx�+T,+z7.
En coordenadas esféricas , a W la definen las desigualdades p 1 � p � p2, O � fJ � 2n y
O�cp�n;portanto
V(O,O,R)=
J
,•p2 f" j'2"
p2
sen cpdfJdcpdp
p1oo-Jp2
sen
2
c/J(cos
2
fJ+sen
2
fJ) +(pcos 1J- Rf

�apítulo 6. La f9r:nrula del cambio de variables y :aplicaciones de la integración
393
Sustituyendo cos2 8+sen 2 O por de forma que el integrando ya no depende de 8, podemos
integrar en 8 y obtener:
=2n
p2
dp.
J
"P2
(rrr
Sen rj>drj>
)
p1
�o Jp2- 2Rp cos rj>+R2
La integral interior en e/> puede evaluarse por medio del cambio u=
2Rp cos rj>. Obtenemos
-
(p-+u+ R-)
1
·-du=- (p-+u+R-)1'2
J f2Rp
o
o-n
2o
�,12R
p
2Rp -2Rp
2Rp
-2Rp
= � [(l+2Rp+ R2)Ii2- (p2- 2Rp+R2)1/2
Rp
=
� l[rp +R\2]1;2 _ f(p _ R)2]
1/2¡
Rp
l'
.
'
L
'
'
1
=- (p+ R- IP- Rl).
Rp
La expresión p+R siempre es positiva, pero p - R puede no serlo, por tanto debe mantenerse
el signo de valor absoluto. Sustituyendo en la fómmla de V se obtiene
IP2 p2
?n
IP2
- V(O,O,R)=2n
-
(p+ R-¡p- RI)dp==-
p(p+ R-¡p- Rl)dp.
1'
¡
Rp
.
RP
¡
Consideramos paraR dos posibilidades que conesponden a potenciales gravitatorios de objetos
en el in terior o en el exterior de la bola hueca W.
Caso l. SiR� p
2
(es decir, si (x1, y1,z1) está fuera de W), entonces IP- Rl= R p para
todo p en el intervalo [p1,p2] de forma que
-V(O,O,R)=-
p[p+R- (R-p)]dp=-
p2dp=-
- (p�- p�).
2n
IP2
4n
IP2
l4n
RP
¡
RP¡
R3
El factor (4ní3)(p� - pf) es igual al volumen de W. Teniendo ahora en cuenta las constantes
G,m y la densidad de masa llegamos a que el po tencial gra vita torio es - GmM/R,donde M es
la masa de VV. Por tanro , V es exa ctamente ig ual a lo que sería si toda la masa de W estuviera
concentrada en el punto central.
Caso 2. SiR� p1 (es decir, si (x1, y1,z1) está dentro del hueco), entonces IP- Rl= p-R
parapen[p1,p
2
] y por tanto
2n
IP2
j�'2
-V(O,O,R)= (Gm)R p[p+ R- (p- R)]dp=(Gm)4n !. pdp
P¡
�P1
=(Gm) 2n (p�- Pi).

394
Cálculo vectorial
El resultado es independiente de R y, por tanto, el potencial V es constante dentro del hueco.
Dado que la fuerza de gravitación es menos el gradiente de V cambiado de signo, concluimos
que ¡no hay fuerza de gravitación en el interior de un planeta hueco uniforme!
Dejamos al lector el cálculo de V(O, O, R) en el caso p1 < R < p2•
Un razonamiento similar muestra que el potencial gravitatmio en el exterior de cualquier
cuerpo de masa M con simetría esférica (incluso si la densidad es variable) es V= GMm/R,
donde R es la distancia a su centro (que es su centro de masa).
Hallar el potencial gravitatorio producido por una estrella esférica con masa
M= 3,02 x 1030 kg, que actúa sobre una unidad de masa situada a una distancia de 2,25 x !011 m
desucentro (G=6,67x lO-11N.m
2
jkg2).
Solución
El potencial negativo es
CM 6,67 X 10-11 X 3,02 X 1030
-
V=
R
=-�
2,25 x 1011
-�-
= 8,95 x 108 m2j.i'.
l. Hallar la media de f(x, y) =ysenxy sobre D = [0, rr] x [0, rr].
2. Hallar la media de f(x, y) =ex+ Y sobre el triángulo con vértices (0, 0), (0, 1) y (1, O).
3. Hallar el centro de masa de la región entre y = x
2
ey=x,siladensidadesx+y.
4. Hallar el centro de masadelaregión entrey =O ey =x
2
, dondeO:s;x:s;�.
S. Una placa de oro labrada D está definida por O :s; x :s; 2n y O :s; y :s; n (centímetros) y tiene densidad
demasa 6(x, y)=/sen2
4x + 2 (gramos por centímetro cuadrado). Si el oro se vende a 7 euros por
gramo, ¿cuánto vale el oro de la placa?
6. En el Ejercicio 5, ¿cuál es la densidad de masa media en gramos por centímetro cuadrado0
7. a) Hallar la masa del paralelepípedo [0, �] x [0, 1] x [0, 2], suponiendo que la densidad es uniforme.
b) Hallar lo mismo que en (a), pero con densidad de masa 6(x, y, z) = x
2
+3/+z+l.
8. Hallar la masa del sólido acotado por el cilindro x
2
+l=2xyporelconol=x
2
+ /, si la densidad
es¿¡= Jx
2
+l.
9. Hallarelcentrodemasadelaregiónacotadaporx+y+z=2,x=O,y=Oyz=O,suponiendoque
la densidad es unifonne.
10. Hallar el cenrro de masa del cilindro x
2
+l:s;1,1:s;z:s;2,siladensidades¿¡=(x2+/Jz2
11. Hallar el valor medio de sen2
nz cos
2
nxsobreelcubo[0,2]x[0,4]x[0,6].

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
12. Hallarelvalormediodee-zsobrelabolax2+/+z2�l.
395
13. Un sólido con densidad constante está acotado superiormente por el plano z= a e interiormente por el
cono desCJito en coordenadas polares por 4;=k, dende k es una constante, O < k < rc/2. Expresar por
medio de una integral su momento de in�rcia re;,pecto del eje z.
14. Hallar el momento de inercia respecto del eje y de la bola x2 + l + z2 � R2 si la densidad de masa es
una constante 6.
15. Hallar el potencial gravitatorio producido por un planeta esfé!ico de masa M=3 x 1026 kg sobre una
masa m situada a una distancia de 2 x 108 m de su centro.
16. Hallar la fuerza gravitatoria ejercida sobre un objeto de 70 kg en la posición del Ejercicio 15.
17. Se dice que un cuerpo W es simétrico respecw a un plano si por cada partícula a un lado de dicho
plano existe otra partícula de igual masa situada en la imagen especular de la p1imera respecto del
plano.
a) Discutir los planos de simetlia de la canocería de un automóvil.
b) Sea el plano xy el plano de simetría, y sean W + y w- las partes de W por encima y por debajo del
plano respectivamente. Por hipótesis, la densidad de masa satisface 6(x, y, - z) =b(x, y, z) . Justifi­
car los pasos siguientes:
z·
fj�f
b(x, y, z)dxdydz= íff z6(x. y, z)dxdydz
Hl
.;
W
=
fffw+
zb(x, y, z)dxdydz +
fffw-
zb(x, y, z)dxdydz
=
fffw+
zb(x, y, z) dxdydz +
fffw-
-w6(u, v, -w)dudvdw
=O.
e) Explicar por qué la parte b) demuestra que si un cuerpo es simétrico respecto de un plano entonces
su centro de masa cae sobre ese plano.
d) Deducir la siguiente ley de la mecánica: Si un cuerpo es simétrico respecto dedos planos entonces
su centro de masa cae en la recta de intersección.
18. Una placa rectangular uniforme de acero de lados a y b rota alrededor de su centro de masa con veloci­
dad angular constante w.
a) La energía cinética es igual a � (masa)(velocidad)2• Justificar que la energía cinética de un elemen­
to de masa 6dxdy(6 =constante) es igual a 6(w2/2)(x2 + l)dxdy siempre que el origen (0, O)
esté en el centro de masa de la placa.
b) Justificar la fómmla de la energía cinética:
ff"
w�
2
')
E. C.=
¿¡) (x + y�) dxdy.
placa
-
e) Calcular la integral suponiendo que la placa esta definida por las desigualdades - aj2 � x � a/2,
b/2 �y� b/2.

396
Cálculo vectorial
6.4.
19. Como es bien sabido, la densidad de un planeta no es uniforme. Supóngase que el planeta C. M . W .
tiene radio 5 x 108 cm y densidad de masa (en gramos por centímetro cúbico):
{3X1Q4
p(x,y,z)=
r
'
3,
donde r = ylx2 + l + i. Hallar la fónnula del potencial gravitatorio en el exterior de C. M . W .
Integrales impropias
En esta sección estudiaremos integrales impropias, es decir, integrales en las que bien la función,
bien la región de integración pueden ser no acotadas. Recordaremos en primer lugar lo que sucede
con funciones de una variable.
Integrales impropias de una variable
En el estudio de las integrales de las funciones de una vmiable se encuentran varios tipos de inte­
grales «impropias»; es decir, integrales de funciones no acotadas definidas sobre intervalos o inte­
grales de funciones sobre intervalos no acotados. Por ejemplo,
rl1
-dx
�oJx
y
son integrales impropias. Éstas se evalúan por medio de un paso al límite; por ejemplo,
y
fl1
Jl1
( /1)
�
í..dx = lim
e_dx=lim 2Jx =lim(2-2.Ja)=2
oyx
a�o 0yx
a-+0
a
a--
---+
0
f(X) dx
rb dx
(¡lb) (1)
2=lim
2=lim -
=liml-
-
=l.
lX
b__
__,.
x.;1X
b-+oc,
X¡
b-+w
b
Si en estos procesos de paso al límite éste no existe (o es infinito), decimos que la integral no
existe (o que la integral diverge).
Integrales impropias en el plano
A continuación describimos tres tipos de integrales impropias de dos variables sobre una región
D. Los dos primeros tipos se describen en el texto que sigue y el tercero (integrales sobre regiones
no acotadas) se plantea en los ejercicios. Evaluaremos todas las integrales por medio de un proce­
so de paso al límite como en el caso de una variable.
A fin de simplificar la exposición, nos limitaremos a estudiar funciones no negativas --es
decir, f(x, y) >O en todos los puntos (x, y) E D- y regiones y-simples descritas como el conjunto
de puntos (x, y) tales que
a�x�b,
como en la Figura 6.4.1.

y
a
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
397
En el primer caso que queremos tratar, supongamos que f: D � IR es continua excepto en los
puntos de la frontera de D. Consideramos, por ejemplo,
f(x, y) =
Jo
o'
1-x--y
donde D es el disco unidad D = {(x, y)lx2 + l� 1 ) . Claramente, f no está definida en la fronte­
ra de D, donde x2 + l = 1; aun así será de interés práctico calcular SJD f(x, y)dA, ya que esta
integral representa el área de la semiesfera de radio l en el espacio de tres dimensiones.
Regiones exhaustivas
La idea básica es la de integrar f sobre regiones más pequeñas D', donde sepamos que la integral
existe, y después hacer «tender>> D' hacia D; es decir, «agotamos>> D y vemos si SJD f dA tiende
hacia algún límite. Con esta idea en mente, elegimos una clase especial de D' como sigue.
Sea 11 > O lo suficientemente pequeño como para que a + '1 < b - '1· Sea d > O lo suficien­
temente pequeño como para que tj;1(x) + 6 < tj;2(x) - 6 para todo x, a�x�b (véase la Figu­
ra 6.4.2). Si t/Jix) = tj;1(x) para algún x, no existirá tal 6, pero de este detalle mínimo nos ocupa­
remos cuando aparezca en nuestros últimos ejemplos. Entonces la región
D,1_15 = {(x, y)\a + r¡�x�b- 17 y tj;2(x) + 6�y�tj;1(x)- 6)
es un subconjunto de D y cuando (17, 6)� O, D,1• 15 tiende a D.
y
Un dominio reducido D,7_ o para integrales
impropias.

398
Cálculo vectorial
Las integrales impropias como límites
Dado que fes continua y acotada en D
1
1
,5, la integral ffo,bfdA existe. Ahora podemos pregun­
tamos qué sucede cuando las regiones D
1
1, 5 se expanden hasta llenar la región D -es decir
,
cuando (1], 6) --
->
(0, 0). Si
lim
ff fdA
(1¡,5)�(0,0)
D,¡,ó
existe, decimos que la integral de fsobre Des convergente o que fes integrable sobre D
,
y
definimos ffD fdx dy como este límite.
Calcular
fr �dA.
JD �X}'
donde Des el cuadrado unidad [0, 1] x [0, 1].
Solución
Des, claramente, una región y-simple. Elegimos r¡ >O y 6 >O de forma que D
ry
,beD
,
como
en la Figura 6.4.3. Entonces, por el teor
.
ema de Fubini:
Ji1I
I-I¡ fl-o 1
�� dA=
--
---;=
dydx
D,1,,1 �
1
1
o
..Jxy
JIIJ1
II-
5
1
-
--
-;=
dx
--
----¡=
dy
-
11
,Yx
s
.UY
= �(o _ 11)2/3 _ 11213}�(o _ 6)2;3 _ 6213).
Si hacemos (ry, 6) --
->
(0, O) vemos que
y
(ry.kr:to.o) It.,ó ;xy
dydx = ��=�-
f'i���a��4:�:;, El cuadrado unidad ligeramente
reducido.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
399
Desafortunadamente, no siempre es posible evaluar estos límites tan directa y sencillamente.
Éste es a menudo el caso en los ejemplos más interesantes, como ocurría con la superficie de la
semiesfera, más arriba mencionada. ¡Es como si el «mundo real>> siempre presentase los mayo­
res retos al matemático! Por tanto, vamos a extender un poco nuestra discusión teórica.
Las integrales impropias como límites
de integrales iteradas
Supongamos que fes integrable sobre Dry,o· Entonces podemos aplicar el teorema de Fubini y
obtener
l fdA=
'
2
f(x,y)dydx.
f( f!J
�
,.f
dJ
(x)
�
!i
.; D�¡.�5
a+ry q)1(x)+ó
Por tanto, si .f es integrable sobre D,
JI
fb�>
¡
f1;2(x)�6
fdA= lim
.f(x,y)dydx.
D
(ry,li�(O,O) a+r
y
<iJ,(x)+o
(1)
La función F(IJ, b) = JSD,
,.
J dA es una función de dos vaTiables, 17 y b, ya que al cambiar 17 y b
obtenemos valores diferentes. Ahora bien, si f es integrable entonces
lim F(IJ, b) =L
(•¡.aJ�o
existe. De aquí se sigue que los límites iterados
lim lim F(17, b) y lim lim F(ry, b)
,1�o s�o
ó-..0 ¡¡..
....,+
0
también existen y son ambos iguales aL, que en nuestro caso es JSD fdA. Por tanto, el límite
iterado
fb� 1/ f'ÍJ,(X) O
lim lim
.f(x, y)dydx.
ry�O s�o
a+•¡ 4>,Cx)+b
también existe. Recíprocamente, aunque el límite iterado exista no se sigue, en general, que el
límite lim F(17, b) exista.
(ry,S)�(O,O)
Por ejemplo, si resultara que F(ry, b) = 1Jb/(ry2 + 62), entonces lim lim F(ry, b) = lim
r¡--
-
+0 ó--+-O
13-o
l,im F(IJ, b) = O , y sin embargo lim F(1J, b) no existe, ya que F(IJ, 17) = 1/2 (véase la Sec-
,1�o
C•¡.a)�o
ción 2.2).
A la vista de Jo anterior, consideramos la Expresión (1) de nuevo. Si f es integrable en­
tonces
ff
fb
�r
y
f
<iJ,(x)�o
f(x, y) dA= lim
f(x, )')dydx
D
(n.h)�(O,O) a+•¡ <P,<x)+o
fb '1
f
'ÍJ,(x) � b
= lim lim
f(x,y)dydx.
>¡�O ó�O
a+r¡ q;1(x)+b

400
Cálculo vectorial
Supóngase ahora que para cada x
existe. Denótese por st,�
�
l f(x, y)dy. Supóngase, además, que
fb-n f</Jix)
lim
f(x, y) dy
1]..
..__,.
0 a+17 cfJ¡(x)
también existe. Denotamos este límite por s: S!,��) f(x, y) dydx. Entonces, si todos los límites
existen todos los límites deben ser iguales. Por tanto, fes integrable y la integral impropia itera­
da existe, de donde se sigue necesariamente que
r{ fb {</J2(x)
l. f(x, y)dA =
!. f(x, y)dydx.
•�D
a , </J1(x)
A continuación nos ocupamos de esta importante cuestión: ¿la existencia de las integrales itera­
das implica la integrabilidad de f?
El teorema de Fubini para integrales impropias
Para las integrales sucede algo realmente notable. A diferencia de lo que ocun-e en el caso ge­
neral con los límites iterados (como en el contraejemplo considerado más arriba), la existencia
de éstos implica la integrabilidad de f siempre que se tenga f;:?: O. Por tanto, si f;:?: O y si
s: S;f;:c<:/ f(x, y)dydx existe como límite iterado, entonces f es integrable y
JI Ib f</J2(x)
f(x, y)dA =
f(x, y)dydx.
D
a
</J1(x)
Si Des una región x-simple con la coordenada x entre dos funciones 1/;1 y 1/;2, y si
Id �tjf"
(
y
)
J - f(x, y)dydx
e
t/f1(y)
existe como integral impropia, de nuevo se sigue que fes integrable y
JI Idf
t/f2(y
)
f(x, y)dA=
f(x, y)dxdy.
D
e
t/f1(y)
Todos estos resultados, que son los análogos impropios de los Teoremas 4 y 4' de la Sección
5.3, se conocen como Teorema de Fubini para integrales impropias, que enunciamos formal­
mente.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
401
TEOREMA 3: Teorema de Fubini
La demostración requiere conceptos avanzados de análisis y por tanto la omitiremos. Este
resultado puede ser muy útil en los cálculos, como muestra el siguiente ejemplo.
Seaf(x,y)=1/)1-x2
/. Demostrar que f es integrable y que
SJD f(x, y) dA = 2n, la mitad del área de la superficie de una esfera de radio l.
Solución
Para-1<x<1,tenemosque
Claramente,
lim
JI-•¡ IJ1-x2
ry�o
-
I+ry -
dy
1'
1 J¡-x" -6
= limarcsen( , ¿
2
)[
,\�O
.,_j1- X
-
6
= lim {arcsen (1 - h)- arcsen (-1 +
6
)}
o�o
1- x2
j1-x2
n
( -n)
= arcsen(l)- arcsen(-1)=2--2- = n.
dydx
JJ-¡¡
_;¡
2--"=lim
ndx=limn(2-2n)=2n.
'V-X
-y�
ry--+0
-1+17
IJ--+0
Por tanto, f es integrable. Para ver la gran utilidad que tiene este teorema, inténtese demostrar
de forma directa a partir de la definición que f es integrable. ¡No es tan fácil hacerlo!

402
Cálculo vectorial
Seaf(x,y)=1
/
(x- y)y sea Del conjunto de(x, y)que satisfacen O :S; x:S; 1y
O :S; y :S; x. Demostrar que f no es integrable en D.
Solución
Dado que el denominador de f es cero sobre la recta y = x, f no está acotada sobre parte de la
frontera de D. Sean O< 17 < 1 y O< 6< r¡, y sea D,1,o el conjunto de (x, y) que verifican
IJ:o(X:o(1- IJy6:o(y:o(X-6(Figura 6.4.4).
�iguf¡
¡
;s)J:4Y Dominio contraído D,1_ ,1 para el dominio triangular D.
En este caso la región Des y-simple con cp1(x) = O , cp2(x) = x y cp1(0) = c/J2(0). Para asegu­
rar que D,1
, o e D, como muestra la figura , debemos elegir 6 con un poco más de cuidado. Un
sencillo razonamiento geométrico nos muestra que debemos elegir 2c5 :S; r¡. Entonces
Ji JI->¡ Jx-ó
J
fdA =
.
--
dydx
D,1_0
ry
iJ
X-y
J
I->¡
=
[-log(x - y)JJ;r6 dx
1
Jl-r¡
=
[ -log(6 ) + log(x-6)] dx
1]
J
I->¡
JJ-¡¡
= [- log6]
dx+
log(x-6)dx
1
1]
= -(l- 21¡)Jog6 + [(x- 6)log(x- 6)- (x- 6)]J;1-'1•
En el último paso hemos usado que f log u du = u log u - u. Si continuamos la anterior sucesión
de igualdades obtenemos
JL fdA =-
(1- 21¡)log6 + (1- 11- 6)log(l- 17 - 6)
t¡,Ó
-
1(1- r¡- i5)- (1¡- 6)log(17-6) + (1¡-6).
Cuando (r¡, 6) --
-*
(0, O) el segundo término converge a llog 1 = O, y el tercero y el quinto
convergen a -1 y a O, respectivamente. Sea v = r¡ -6. Dado que v log v --
-*
Ocuandov--
-*
O (lí­
mite que se calcula por medio de la regla de L'Hopital que se estudia en cálculo3), vemos que
3 La regla de L'Hopital fue descubierta por Bernoulli y se publicó en el libro de texto de L'Hopital.

Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
403
el cuarto término tiende a cero cuando (r¡, 3) -+ (0, 0). El primer término es el que nos dará tra­
bajo. Ahora bien:
(l - 211)logo= -logo + 211log3,
(2)
expresión que no es difícil ver que no converge cuando (1], 3) -+ (0, 0). Por ejemplo, sea 11= 2o;
entonces la Expresión (2) es igual a -log e) + 43 log 3. Como anteriormente, 43 log 3 -+O cuan­
do 3 -+ O, pero log 3 -+ + cxJ cuando 3 -+O, lo que muestra que la Expresión (2) no converge.
Por tanto,
lim JSo,, J f dA no existe, por lo que f no es integrable.
(>¡,<1)�(0,0)
.
Funciones no acotadas en puntos aislados
Consideramos ahora funciones no negativas f que se hacen «infinito» o no están definidas en
puntos aislados de una región D que sea x-simple o y-simple. Por ejemplo, considérese la fun­
ciónf(x,y)=l/'V/2+/eneldiscounidadD={(x,y)/x2 +y2�l}.Denuevof?oO,perof
no está acotada ni definida en el origen.
Sea (x0, y0) un punto de una región general D en el que una función no negativa f no está
definida. Sea, además, D6= D;; (x0, y0) el disco de radio 3 con centro en (x0, y0) y sea D\D;; la
región D a la que se le ha quitado D,1. Supóngase que f es continua en todos los puntos de D
excepto en (x0, y0). Entonces JSD\D,¡ f dA está definida. Decimos que JSD f dA es convergente, o
que f es integrable en D, si
existe.
Solución
lim
ffD
\
D
fdA
s�o
·
ó
Demostrar que j(x, y)= l/�2 + /es integrable en el disco unidad D y calcu-
Sea D6 el disco de radio 3 con centro en el origen. La función fes continua en todo D excepto
en (0, 0). Por tanto, JS006 fdA existe. Para calcular esta integral cambiamos las variables a
coordenadas polares, x =reos &, y= rsen &. Entonces, f(rcos &, rsen O)= 1/r y
Por tanto,
ff f1f
2
"
1
f
l
f2
"
f dA=
-
fd&dr=
d8 dr= 2n(1 - 3).
D
\D
ó
SOr
i5O
fffdA= lim ��D'D- fdA= 2n.
¿)__,.Q''j\o
D
..;•
Con mayor generalidad, de forma análoga se puede definir la integral de una función no
negativa f continua salvo en un número finito de puntos de D. También pueden combinarse
ambos tipos de integrales impropias; es decir, se pueden considerar funciones que sean con­
tinuas excepto en un número finito de puntos de D o de la frontera de D, y definir JSD f dA
apropiadamente.

404
Cálculo vectorial
Si f toma tanto valores positivos como negativos, puede utilizarse una teoría de integración
más a�anzada, llamada integral de Lebesgue, para generalizar la noción de integral convergente
SfD f dA. Utilizando esta teoría, se puede demostrar que si HD f dA existe, entonces se puede
evaluar como una integral iterada. Esta última propiedad se conoce con el nombre de teorema
de Fubini.
Regiones no acotadas
Como se ha mencionado anteriormente, dejaremos el estudio de regiones no acotadas para la
sección de ejercicios. Sin embargo debemos señalar que ya hemos apuntado la idea central en el
Ejemplo 6.12 sobre la integral gaussiana. En ese ejemplo integramos exp ( - x2 - /) sobre todo
IR2, integrando primeramente sobre el disco de· radio a y después tomando el límite cuan­
doa-+oo.
En los ejercicios 1 a 4, calcular, si existen, las integrales siguientes (discutir cómo definir la integral si
ésta no fue definida en el texto).
l. fLdA,dondeD=[0,1]x[0,1].
·s
1
2. J � dxdy, donde D = {(x, y) JO�x�1,O�y�l, y�x}.
D'vJx-Yl
3.
ffD
(y/;)dxdy,dondeDestáacotadaporx=l,x =y,yx=2y.
ll ("e'
4. 1, J logxdxdy.
�oo
5. a) Calcular
donde D es el disco unidad de IR2.
b) Determinar los números reales Jc para los que
es convergente, donde, de nuevo, D es el disco unidad.
6. a) Discutir cómo se definiría JfD f dA si D fuera una región no acotada, por ejemplo, el conjunto de
(x, y) tales que a�x < oo y, dadas rj>1(x)�y� rj>2(x), r/>1 � r/>2 (véase Figura 6.4.5).
b)
')
'))
Calcular JSDxye-(x-+y- dxdy, si x )o O, O�y� l.

405
y= q,, (x)
Una región no acotada D.
7. Usando el Ejercicio 6, integrar e�xy para x;:
::,
O, 1 �y� 2 de dos formas distintas. Suponiendo que
se pueda usar el teorema de Fubini, demostrar que
8. Demostrar que la integral
existe, y calcular su valor.
9. Discutir si la integral
ÍOoc e�x
X
e�2x
J,
dx=log2.
f� J: (x/Ja2 -l)dydx
existe, donde D = [0, 1] x [0, l]. Si existe, calcular su valor.
10. También se pueden considerar integrales impropias de funciones que son discontinuas en una curva
contenida en una región D. Por ejemplo, dividiendo D = [0, 1] x [O, 1] en dos regiones, definir y
después discutir la convergencia de la integral
ff --
1
--== dxdy.
D Jix- Yi
11. SeaWelprimeroctantedelabolax2+l+z
2
�a2, donde x ;:
::,
O,y;:
::,
O,z;:
::,
O. Calcular la integral
impropia
fff(x2+l+2z)l/4
--;��:=
=
=:;==� dxdydz
wJz+(x2+l+i)2
por medio de un cambio de variables.
12. Sea f una función no negativa que puede ser no acotada y discontinua en la frontera de una re­
gión elemental D. Sea g una función similar tal que f(x, y) � g(x, y) siempre que ambas estén defi­
nidas. Supóngase que SJD g(x, y)dA existe. Razonar informalmente que esto implica la existencia de
Hn f(x, y) dA.
13. Utilizar el Ejercicio 12 para demostrar que
Jt
existe, donde D es el disco unidad x2 + l � l.
dydx

406
Cálculo vectorial
14. Sea f como en el Ejercicio 12 y sea g una función tal que O o( g(x, y) o( f(x, y) siempre que
ambas estén definidas. Supóngase que Hn g(x, y)dA no existe. Razonar informalmente por qué
Hn f(x, y) dA no puede existir.
15. Utilizar el Ejercicio 14 para demostrar que
J
f'r ex2+y2
dydx
Jnx y
noexiste,dondeDeselconjuntode(x,y)talesqueOo(xo(1yOo(yo(x.
16. Sea Duna región no acotada definida como el conjunto de (x, y, z) tales que x2 + l + z2 ;o, l. Por
medio de un cambio de variables, calcular la integral impropia
fff dxdydz
D (x2+l+il.
17. Calcular
11í'�dxdy
.JO.JOY
y
¿Se puede aplicar el teorema de Fubini?
18. En el Ejercicio 11 de la Sección 5.2 demostramos que:
11�1 X
� dydx.
O.lxY
Por tanto, el teorema de Fubini no se verifica en este caso, aun cuando ambas integrales impropias
iteradas existen. ¿Qué es lo que falla?
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6
l. a) Hallar una transformación lineal que lleve el cuadrado S= [O, 1] x [0, 1] en el paralelogramo P
con vértices (0, 0), (2, 0), (1, 2), (3, 2).
b) Dar una fórmula del cambio de variables apropiada para la transformación hallada en a).
2. a) Hallar la imagen del cuadrado [0, 1] x [0, !] por la transformación T(x, y)= (2x, x + 3y).
b) Dar una fórmula del cambio de variables apropiada a la transformación y a la región hallada
en a).
3. Sea B la región del primer cuadrante acotada por las curvas xy= l, xy = 3, x2 l= 1, y
x2 -l = 4. Calcular JS8 (x2 + y2)dxdy utilizando el cambio de variables u= x2 -l. v = xy.
4. En los apartados a) a d), realizar el cambio de variables indicado (sin calcular la integral).
11
.j(l-/)
a)
(ff,.-
-----,-
(x2 + ll1¡2dxdydz, coordenadas cilíndricas.
Jo -1
-
.¡o- y-)

b)
e)
d)
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicaciones de la integración
407
f!f
J(J=7)
-]
-
��.r:
::
.
JJ(2-/)
J '-¡L
-..
..¡
(2-y
'
)
f,/(4-x'-ll
xyz dzdxdy, coordenadas cilíndricas.
- .,/(4-x'-ll
J<4-x2-y')
f_
ldz dxdy, coordenadas esféricas.
J; J:14 J:" p
3
sen 2cp d8dcpdp, coordenadas cartesianas.
5. Hallar el volumen encerrado por las superficies x2+/ = z, y x2 +/+z2 = 2.
6. Hallar el volumen encerrado entre el cono x2+/ = z2 y el plano 2z - y
-
2=O.
7. Se perfora un orificio cilíndrico de diámetro l en una esfera de radio 2. Suponiendo que el eje del
cilindro pasa por el centro de la esfera, hallar el volumen del sólido que resulta.
8. Sean C1 y C2 dos cilindros ilimitados de diámetro 2 cuyos ejes son los ejes coordenados x e y, res­
pectivamente. Hallar el volumen de su intersección C1 n C2.
9. Hallar el volumen acotado por x/a+y/b+z/c = 1 y por los planos coordenados.
10. Hallar el volumen determinado por z :<:
::;
6-x2-/,yz?oJx2+/.
11. Eltetraedro definido por x ?o O, y ?o O, z ?o O, x+y+z :<:
::;
1 se corta en n secciones del mismo volu­
men por medio de planos paralelos al plano x +y+z = l. ¿Dónde deben darse los cortes?
12. Sea E el elipsoide sólido E = { (x, y, z) 1 (x2/a2) +(//b2) +(z2/c2) :<:
::;
1),dondea>O,b>Oye>O.
Calcular
a) sobre todo el elipsoide; y
fffxyzdxdydz,
b) sobre la parte del primer cuadrante:
X?oO,
y
z): O,
13. Hallar el volumen del «cucurucho de helado» definido por las desigualdades x2 + / :<:
::;
�z2, y
o:<:
::;
z:<:
::;
s+Js - x2 -/.
14. Sean p, 8, cp coordenadas esféricas en IR3; supóngase que una función continua y positiva p =f(B, cp)
describe una superficie que encierra el origen. Demostrar que el volumen encerrado por la super­
ficie es
V=-
[f(8, cp)]3 sen cp dcpd8.
¡
fln
f"
3oo

408
Cálculo vectorial
15. Usando un cambio de variables adecuado, calcular
rr exp [(y- x)j(y + x)] dxdy
.,;.;B
donde É es el interior del triángulo con vértices en (0, 0), (0, l) y (1, 0).
16. Supóngase que la densidad de una bola de radio R está dada por ( l + d3)- 1, donde d es la distancia
al centro de la bola. Hallar la masa total de la bola.
17. La densidad del material de un casco esférico cuyo radio interior es de 1 m y cuyo radio exterior es
de 2 m es de 0,4d2 g/cm\ donde d es la distancia en metros al centro de la esfera. Hallar la masa
total del casco.
18. Si el casco del Ejercicio 17 se echase en una gran balsa de agua pura, ¿flotaría?, ¿y si el casco hicie­
se agua? (supóngase que la densidad del agua es exactamente de 1 g/cm3).
19. La temperatura en cada punto del cubo e= {(x, y, z) \-1�x�1, -1�y �1, -1�z�1} es
de 32 d2, donde d es la distancia del punto el origen.
a) ¿Cuál es la temperatura media?
b) ¿En qué puntos del cubo es la temperatura igual a la temperatura media?
20. Utilizar coordenadas cilíndricas para hallar el centro de masa de la región definida por
2
2
1
y+z�-,
4
(x- 1)2+/+i�l,
21. Hallar el centro de masa del hemisferio sólido
si la densidad es constante.
X;?ol.
22. Calcular Jf8 e-x'-J"dxdy, donde B está formado por los puntos (x, y) que satisfacen x2 + /�l,
y�O.
23. Calcular
dondeSeselsólidoacotadoporlasesferas x2+/+i=a2,y x2+/+i=b2,dondea>b>O.
24. Calcular JJID (Y + / + i) xyzdxdy dz sobre cada una de las siguientes regiones:
a) LaesferaD=((x, y, z)\x2+/+z2�R2).
b) LasemiesferaD={(x, y, z)\x2+/+/�R2, z;?o0}.
e) EloctanteD=((x, y,z)1x)oO,y)oO,z?oO,y2+/+l�R2}.
25. Sea e la región cónica {(x, y, z) 1 )x2 + y2�z�1} en IR3, calcular la integral
JJL(1 + )x2 + /)dxdydz.

26.
27.
Capítulo 6. La fórmula del cambio de variables y aplicacion�s de la integración
Ííl"
-
'
')
')
')
"'/')
Hallar
\ 3 j(x, y, z)dxdydz, donde f(x, y, z)= ex.p[-(x- +y· + z·t'·-].
v�,.;R
409
La rigidez El de una viga uniforme es el producto de E, su módulo de elasticidad de Young, e !, el
momento de inercia de la sección normal de la viga respecto de una línea horizontal 1 que pase por el
centro de gravedad de esta sección. En este caso
•
··"
I= 11' [d(x, y)fdxdy,
••R
donde d(x, y)= distancia de (x, y) a /, y R= sección normal de la viga considerada.
a) Supóngase que la sección normal R es el rectángulo - 1 �x �1, - 1 �y �2, y 1 es la recta
y= l/2. Hallar /.
b) Supóngase que la sección normal R es el círculo de radio 4 y 1 es el eje x. Hallar 1 usando coor­
denadas polares.
28. Hallar fJS¡;¡3 f(x. y, z)dxdydz donde:
f(x, y, z)=
[l+
29. Supóngase que D es una región no acotada de IR2 dada por el conjunto de (x, y) con O �x < oo,
O �y �x. Sea f(x, y)= x ·- 312eY- x. ¿Existe la integral impropia JfD f(x, y) dxdy?
30. Si el mundo fuese bidimensional las leyes de la física predecirían que el potencial gravitatorio de una
masa puntual sería proporcional al logaritmo de la distancia al punto. Utilizando coordenadas polares
escribir una integral que dé el potencial gravitatorio de un disco con densidad constante.
31. a) Calcular la integral impropia
b) Calcular
Ioc Iy
0
0
xe··y3dxdy.
donde B es la porción que hay en el primer cuadrante del disco de radio 2 centrado en el origen.
32. Sea f una función no negativa definida sobre una región x-simple o y-simple D e IR2, que es conti­
nua salvo en puntos de la frontera de D y, a lo sumo, en un conjunto finito de puntos interiores de D.
Dar una definición adecuada de JSD fdA.
33. Calcular S]if!2 f(x , y)dxdy, donde f(x, y)= l/(l + x2 + ll312. [INDICACIÓN: puede suponerse que un
cambio de variables y el teorema de Fubini son ambos válidos para integrales impropias.]

7.1.
Integrales sobre curvas
y superficies
Tengo como cierto: (1) que las partes pequeñas del espacio son de na­
turaleza análoga a pequeñas colinas en una superficie que es en pro­
medio plana; (2) que esta propiedad de estar curuado o distorsionado
se transmite continuamente de una parte del espacio a otra como si
fuera una onda; (3) que esta variación de la curvatura del espacio es
lo que realmente sucede en el fenómeno que llamamos movimiento de
la materia, ya sea ponderable o etérea; (4) que en este mundo {isico
no ocurre sino esta variación, sujeta, posiblemente, a la ley de conti­
nuidad.
'U'. J<:. e� f!F7o;
E n el Capítulo S se estudió la integración sobre regiones en IR:2 y [f;\;3 En este capítulo estudia­
remos la integración sobre curvas y superficies. Esto será fundamental para comprender el
Capítulo 8, en el que consideraremos la relación básica entre el cálculo diferencial vectorial
(Capítulo 4) y el cálculo integral vectorial (este capítulo), una relación que generaliza a varias
variables el teorema fundamental del cálculo. Esta generalización se resume en los teoremas de
Green, Gauss y Stokes.
La integral a lo largo de una trayectoria
En esta sección se introduce el concepto de integral sobre una trayectmia; ésta es una de las
muchas formas en que se puede generalizar la integral de una función de una variable a funcio­
nes de varias variables. Además de aquéllas presentadas en el Capítulo 5, hay otras generaliza­
ciones, que se tratarán en secciones posteriores.
Supongamos que nos dan una función escalar f: 1Rl3-+ IR, de modo que f envía puntos de
a números reales. Será útil definir la integral de dicha función f a lo largo de una trayectoria

412
Cálculo vectorial
e:1=[a,b]--
-.
IR3, donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Para relacionar este concepto con algo tangible,
supongamos que la imagen de e representa un alambre. Podemos hacer que f(x, y, z) denote
la densidad de masa en (x, y, z); entonces la integral de f será la masa total del alambre. Si
f(x, y, z) indica la temperatura, podemos usar la integral para determinar la temperatura media a
lo largo del alambre. Comenzamos dando una definición formal de la integral a lo largo de una
trayectoria y después, tras un ejemplo, la motivaremos un poco más.
DEFINICIÓN: Integrales a lo largo de trayectorias La integral de f(x, y, z) a lo largo
de la trayectoria e está definida cuando e: I = [a, b] --
->
IR3 es de clase e1 y la función com­
puesta t�-
-+
f(x(t), y(t), z(t)) es continua en l. Definimos esta integral por la ecuación
1fds = f f(x(t), y(t), z(t))llc'(t)ll dt.
A veces fe f ds se denota por
o,
1f(x, y, z) ds
ef(c(t))llc '(t)ll dt.
�a
Si c(t) sólo es e1 a trozos o f(c(t)) es continua a trozos, definimos fe f ds descomponien­
do [a, b] en segmentos sobre los cuales f(e(t))llc'(t)ll sea continua y sumando las integrales
sobre los segmentos.
Cuando f = 1 recuperamos la definición de la longitud de c. Nótese también que para que la
definición anterior tenga sentido sólo se necesita que f esté definida en la curva e imagen de e,
y no necesariamente en todo el espacio.
Sea e la hélice e: [0, 2n]--
->
IR3, t�-
-+
(cost, sent, t) (véase la Figura 2.4.9), y sea
f(x, y, z) = x2 +l +i. Evaluar laintegral fef(x, y, z)ds.
Solución
En primer lugar calculamos lle'(t)ll:
A continuación, sustituimos x, y, y z en términos de t para obtener
f(x,y,z)=x2+i+i=cos2t+sen2t+el=1+el

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
413
a lo largo de c. La inserción de esta información en la definición de la integral a lo largo de la
trayectoria produce
f i2rr
[3J2rr2/)
.,
r
r:
:
r
1LTC
')
f(x, y, z)ds =
(l+r)y'2dt=.,_¡2 t+-
= -"'-- (3 + 4n�).
e
O
3O
3
Para motivar la definición de la integral a lo largo de una trayectoria consideramos sumas SN
de «tipo Ríemann>> de forma análoga a lo que hicimos para definir la longitud de arco en la
Sección 4.2. Para simplificar, sea e de clase C1 en l. Subdividimos el intervalo 1 = [a, b] por
medio de una partición
a=t0<t1<···<tN=b.
Esto conduce a una descomposición de e en trayectorias c1 (Figura 7 .1.1) definidas en [t1, t¡ + 1 1
para O � i �N-- l . Denotemos la longitud de arco de e, por D.s1; así,
D.s, = f+' llc'(t)[[dt.
e
•••••••••••
X
Cuando N es grande, la longitud de arco D.s1 es pequeña y f(x, y, z) es aproximadamente cons­
tante para puntos en c1 . Consideramos las sumas
N-!
SN = I f(x1, y,, z,) D.s1,
i=O
donde (x1, y1, z¡) = c(t) para algún t E [t1, t1+1]. Sabemos, por el teorema del valor medio,
que D.s1 = llc'(t¡*)I[D.t¡, donde t1 � t¡* � t1+ 1 y M1 = t;+ 1- t1• A prutir de la teoría de sumas de
Riemann se puede demostrar que
J� SN = J�� �t: .f(x1, y1, z¡)[[c'(t¡*)[[D-t1 = 1 f(x(t), y(t), z(t)[[c'(t)[[dt
= 1 .f(x, y, z)ds.

414
Cálculo vectorial
Integrales a lo largo de trayectorias para curvas planas
Un caso particular importante de integral a lo largo de una trayectoria se presenta cuando la
trayectoria e describe una curva plana. Supongamos que todos los puntos e(t) están en el plano
xy, y que .f es una función de dos variables con valores reales. La integral de .f a lo largo de e es
L.f(x, y)ds = f .f(x(t), y(t))jx'(t)2 + y'(t)2dt.
Cuando .f(x, y) �O, esta integral admite una interpretación geométrica como el <<área de una
valla>>. Podemos construir una «valla>> cuya base sea la imagen de e y cuya altura en (x, y) sea
f(x, y) (Figura 7.1.2). Si e recorre sólo una vez su imagen, la integral Scf(x, y)ds representa el
área de un lado de esta valla. El lector debería intentar justificar esta interpretación, usando un
argumento similar al utilizado para justificar la fórmula de la longitud de arco.
La integral a lo largo de una
trayectoria como el área
de una valla.
La tía de Tom Sawyer ha pedido a éste que pinte ambos lados de la vieja valla
que se muestra en la Figura 7 .1.3. Tom estima que por cada 2,5 m
2
que deje que alguien blan­
quee en su lugar, la víctima voluntaria le pagará 50 centavos. ¿Cuánto espera ganar Tom, supo­
niendo que su tía le proporciona gratis la pintura?
Solución
Según la Figura 7 .1.3, la base de la valla coincide en el primer cuadrante con la trayectoria
e: [0, rr/2]-+ 11{2, r� (3 cos
3
t,3sen
3r), ylaaltura dela valla en (x, y)es .f(x, y) =1+y/3.El
área de un lado de la mitad de la valla es igual a la integral Se f(x, y) ds = SeO + y/3)ds. Como
e'(t) = (-9cos
2
t sen t, 9sen
2
t cosr), tenemos Jie'(t)il =9sen t cos t. Así, la integral es
L(1+nds=f
12
(1+
3s
�n
3
r
)9senrcosrdr
1"/2
=9
Jo (sent + sen4t)costdt
=9 --+--
=9 -+-
=63
[sen2 t sen5 t
J
"12
(1 1)
2
5o
25"

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
41.5
que es el área de un lado en el primer cuadrante. Por consiguiente, el área de un lado de la valla
es de 12,6 m2
.
Como hay que blanquear ambos lados, tenemos que multiplicar por 2 para hallar
el área total, que es de 25,2 m
2
• Al dividir por 2,5 y multiplicar después por 50 centavos, halla­
mos que Tom puede ganar hasta 5,04 dólares por el trabajo.
z
1 f(x,y)=1+�
1
e:�(30cos3r,30sen3r)
X
Esto concluye nuestro estudio de la integración de funciones escalares a lo largo de trayec­
torias. En la siguiente sección volveremos nuestra atención hacia la integración de campos vec­
toriales sobre trayectorias. Veremos más aplicaciones de la integral a lo largo de una trayectoria
en el Capítulo 8, cuando estudiemos análisis vectorial.
Suplemento a la Sección 7.1: la curvatura total de una curva
Los ejercicios del 12 al 17 de la Sección 4.2 describen las nociones de curvatura K y torsión T
de una curva suave e en el espacio. Si e: [a, b] --> e e iR3 es una parametrización de e por
longitud de arco, de manera que llc'(t)il = 1, entonces la curvatura K(p) en pE e se define por
K(p) = llc"(t)ll, donde p = c(t). Un resultado de la geometría diferencial dice que si dos curvas
parametrizadas por su longitud de arco tienen la misma curvatura y la misma torsión, entonces
una se puede obtener a partir de la otra por medio de una traslación, una rotación y una simettia.
La curvatura K: e--> iR es una función con valores reales sobre el conjunto e, de modo que
definimos la curvatura total como la integral a lo largo de C: .fe K ds. Los matemáticos han sido
capaces de probar algunos hechos sorprendentes sobre la curvatura total. Por ejemplo, si e es
una curva plana cerrada (esto es, c(a) = c(b)), entonces
í.Kds:)o2rr,
�e
y es igual a 2rr sólo si e es una circunferencia. Si e es una curva cerrada en el espacio con
fe
Kdse:(4rr,

416
Cálculo vectorial
entonces e «no tiene nudos>>; es decir, e se puede deformar de manera continua (sin cortarse
nunca a sí misma) en una circunferencia. Por consiguiente, para curvas con nudos,
Véase la Figura 7.1 .4 .
fe
Kds > 4n.
Una curva con nudos en IR3.
El enunciado formal de este hecho se conoce como teorema de Fary-Milnor. Cuenta la leyenda
que John Milnor, compañero de John Nash1 en la Universidad de Princeton, estaba dormido en
una clase de matemáticas mientras el profesor escribía en la pizarra tres problemas sin resolver
de teoría de nudos. Al final de la clase, Milnor (todavía un estudiante de licenciatura) se desper­
tó y, creyendo que los problemas de la pizarra habían sido propuestos como ejercicios para casa,
los anotó rápidamente. A la semana siguiente regresó con la solución de los tres problemas
-¡uno de los cuales era la prueba del teorema de Fary-Milnor! Algunos años más tarde consi­
guió un puesto de profesor en Princeton y en I 962 recibió (si bien por otro trabajo) la Medalla
Fields, el mayor reconocimiento en matemáticas, considerado generalmente como el Premio
Nobel de matemáticas.
l. Seaf(x,y,z)=y,ye(t)=(0,O,t),O"(t"(l.Demostrarquefefds=O.
2. Evaluar las siguientes integrales a lo largo de trayectorias fe f(x, y, z) ds, donde
a)f(x,y,z)=x+y+zye:t,_,(sent,cos1,t),tE[0,2n].
b)f(x,y,z)=cosz,yecomoena).
3. Evaluar las siguientes integrales a lo largo de trayectorias fe f(x, y, z) ds, donde
a) f(x,y, z)=exp�,ye: l!-ó>(1,2,r),tE[0,1].
b)f(x,y,z)=yz,ye:t,._,(t,3t,2t),rE[1,3).
1 John Nash es el protagonista de la famosa biografía Una mente maravillosa, de Sylvia Nasar, llevada al cine
en 2001.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
417
4. Evaluar la integral de f(x. y, z) a lo largo de la trayectoria e donde
a) f(x,y,z)=xcosz,e:t>-?ti+t2j,tE[0,1].
b) f(x,y, z)=(x+y)j(y+z),ye:t,_.,(t,�t3i2,t),tE[1,2].
5. Seaf: IR;3\{plano xz)-+ IR; definida por f(x, y,;:)
estádadapor e(r) =(logt)i + tj + 2k.
. Evaluar Se f(x, y, z)ds, donde c:f1, e] -+ IR;3
6. a) Demostrar que la integral de J(x, y) a lo largo de una trayectoria dada en coordenadas polares
porr=r(8),81,:;8�82,es:
b) Calcularlalongituddelatrayectoriar = 1 +cos8,O�8�2rr.
7. Seaf(x,y)=2x-y,yconsideremoslatrayectoriax=t4,y =t4, -1�t�l.
a) Calcular la integral de f a lo largo de esta trayectoria e interpretar la respuesta geométricamente.
b) Evaluar la función longitud de arco s(t) y rehacer la parte a) en términos de s (puede ser conve­
niente consultar el Ejercicio 2 de la Sección 4.2).
Los Ejercicios 8 al 11 tratan de la aplicación de la integral a lo largo de una trayectoria al problema de
definir el valor promedio de una función escalar a lo largo de la misma. Definimos el valor promedio de .f
a lo largo de e como el número
Aquí l(c) es la longitud de la trayectoria:
.f(x, y, z) ds
/(e)
1(c) lllc'(t)ll dt.
(Esto es el análogo al promedio de una función sobre una región, definido en la Sección 6.3 .)
8. a) Justificar la fórmula rJc f(x, y, z) ds]jl(e) para el valor promedio de f a lo largo de e utilizando
sumas de Riemann.
b) Demostrar que el valor promedio de falo largo de e en el Ejemplo 7.1 es (1 + 1n2).
e) En el Ejercicio 2 a) y b) ante1ior, hallar el valor promedio de f sobre las curvas dadas.
9. Hallar el promedio de la coordenada y de los puntos sobre la semicircunferencia parametrizada por
e: [0, n]-+IR;3,8,.
....,
(0,asen8,acos8);a>O.
10. Supongamos que la semicircunferencia del Ejercicio 9 está hecha de un alambre con una densidad
uniforme de 2 gramos por unidad de longitud.
a) ¿Cuál es la masa total del alambre?
b) ¿Dónde está el centro de masa de este alambre? (Consultar la Sección 6.3.)
11. Sea e la trayectoria dada por c(r) = (t2, t, 3) para tE [0, l].
a) Hallar la longitud de la trayectoria, l(c).
b) Hallar el promedio de la coordenada y a lo largo de la trayectoria c.

418 Cálculo vectorial
12. Si f: [a. b] _,.IR es diferenciable con continuidad a trozos, definimos la longitud de la gráfica de f
en [a, b] como la longitud de la trayectoria tr-> (t, f(t)) para tE [a, b].
a) Demostrar que la longitud de la gráfica de f en [a, b] es
f ,/1 +[f'(x)fdx.
b) Hallarlalongituddelagráficadey=logxdex=l ax=2.
13. Hallar la masa de un alambre fmmado por la intersección de la superficie esférica
x
2
+/ +z2
= l yelplanox+y+z=Osiladensidaden(x,y ,z)estádadaporp(x,y,z)=x
2
gramos por unidad de longitud del alambre.
14. Evaluar fefds, donde f(x, y, z) = z y c(t) =(reost, tsen t, t) para O:<:
:;
t:<:
:;
t0.
15. Escribir el siguiente límite como la integral de f(x, y, z) = xy sobre alguna trayectoria e en [0, 1] y
evaluarlo:
N-1
lim
JV_._._
_..
u:.
Idul�1 -rf),
i"-"" 1
donde t¡, . . ., tN es una partición de [0, l].
16. Consideramos trayectorias que conectan los puntos A = (0, 1) y B = ( 1, 0) en el plano xy, como en la
Figura 7.1.52.
y
..
A (0,1)
/ Trayectoria circular
f'iguril7,·�.S: Una curva que une los puntos A y B.
Galileo se había planteado la siguiente pregunta: ¿si una cuenta de collar se deslizase bajo la influen­
cia de la gravedad caería de A a B en el menor tiempo posible describiendo una curva que fuera un
arco de circunferencia?
Para una trayectoria dada, el tiempo de caída es la integral a lo largo de la misma
fdt
T=
-
V
donde la velocidad de la cuenta es v = .j2gY, siendo g la constante gravitatoria. En 1697 Johann
Bernoulli retó al mundo matemático a encontrar la trayectoria a lo largo de la cual la cuenta se
Agradecemos a Tanya Leise el habernos sugerido este ejercicio.

7.2.
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
419
deslizaría desde A. hasta B en el menor tiempo. Esta solución determinaría si las reflexiones de Gali­
leo habían sido acertadas.
a) Calcular T para la trayectoria rectilínea y = l � x .
b) Escribir una fórmula para T para el caso de la trayectoria circular de Galileo, dada por
(x�l)2+(y l)2=l.
Por cierto, Newton fue el primero en enviar la solución (que resultó ser una cicloide, la misma curva
(invertida) que estudiamos en el Ejemplo 2.35), pero lo hizo anónimamente. Sin embargo, no engañó
a Bernoulli. Cuando éste recibió la solución, se dio cuenta inmediatamente de quién era su autor y
exclamó: «Reconozco al León por sus garras». Aunque la solución de este problema es una cicloide,
se la conoce en la literatura como la braquistocrona. Éste fue el comienzo del importante campo
conocido como cálculo de variaciones.
La integral de línea
Consideramos ahora el problema de integrar un campo vectorial a lo largo de una trayectoria.
Comenzaremos por considerar la noción de trabajo, con el fin de motivar la definición general.
Trabajo ejercido por un campo de fuerza
Si F es un campo de fuerza en el espacio, entonces una partícula de prueba (por ejemplo, una
pequeña carga unidad en un campo eléctrico o una unidad de masa en un campo gravitatorio)
experimentará una fuerza F. Supongamos que la partícula se mueve a lo largo de la imagen de
una trayectoria e mientras F actúa sobre ella. Un concepto fundamental es el de trabajo realiza­
do por F sobre la partícula a medida que recorre la trayectoria c. Si e es un desplazamiento
rectilíneo dado por el vector d y si F es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por
F para mover la partícula a lo largo de la trayectoria es el producto escalar F · d:
F · d = (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza).
Si la trayectoria es curva, podemos imaginar que está formada por una sucesión de desplaza­
mientos rectilíneos infinitesimales o que se puede aproximar por un número finito de despla­
zamientos rectilíneos. Entonces (como en nuestra deducción de las fórmulas para la integral a lo
largo de una trayectoria de la sección anterior) llegamos a la siguiente fórmula para el trabajo
realizado por el campo de fuerza F sobre una partícula que se mueve a lo largo de una trayecto­
riae: [a, b]-->!R3:
trabajo realizado por F = r F(e (t)) ·e
'
(t) dt.
Podemos justificar un poco más esta deducción como sigue. A medida que t varía sobre un pe­
queño intervalo de t a t + tlt, la partícula se mueve de e (t) a e (t + Llt), lo que supone un vector
de desplazamiento fls = c(t +M) c(t) (véase la Figura 7.2.1).
A partir de la definición de derivada obtenemos la aproximación tls � c'(t)Llt. Por lo tanto,
el trabajo realizado al ir de c(t) a c(t + M) es aproximadamente
F(c(t)) · 1ls � F(c(r)) · c'(t)M

420
Cálculo vectorial
c(b)
a
r +L'.r
b
c(a)
X
Sisubdividimoselintervalo[a, b]en npartesigualesa=t0<t1 < · · · <tn= b,con/l;t=tí+1 �f¡,
entonces el trabajo realizado por F es aproximadamente
¡¡�}
n-1
L F(e(t¡)) · /l,s � I F(e(t¡)) · e'(t¡)M
i=O
i=O
Cuando n--+ oo, esta aproximación se vuelve cada vez mejor, de modo que es razonable defi­
nir el trabajo como el límite de la suma anterior cuando n --> oo. Este límite está dado por la
integral
f F(e (t)) · e'(t) dt.
Definición de la integral de línea
Las consideraciones anteriores sobre el trabajo motivan la siguiente definición.
DEFINICIÓN: Integrales de línea Sea F un campo vectorial en IR3 continuo sobre la
trayectoria C
1
e: [a, b]--.IR3 DefinimosJ�F ·ds, laintegraldelíneadeF alolargodee, por
la fórmula
LF·ds= f F(e(t)) · e'(t)dt;
es decir, integran1os el producto escalar de F con e' sobre el intervalo [a, b].
Como sucede con las funciones escalares, también podemos definir fe F · ds si F(e (t)) · e'(t)
es sólo continua a trozos.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
421
Para trayectorias que satisfagan c'(t) # O, hay otra fórmula útil para la integral de línea: a
saber, si T(t) = c'(t)/[[c'(t)[[ denota al vector tangente unitario, tenemos
JF·ds= f F(c (t))·c'(t)dt
=
Jrh [F(c (t))·
c
:(t)
1
J[[c'(t)l[dt
a
llc (t)1[
�b
= t [F(c (t))·T(t)] llc'(t)lidt.
(por definición)
(cancelando [[c'(t)[i)
(1)
Esta fórmula dice que Jc F·ds es la integral de F(c(t))·T(t), la componente tangencial de Fa lo
largo de la trayectoria c. De hecho, la última pane de la Fórmula (1) es la integral de una fun­
ción escalar a lo largo de c3.
Para calcular una integral de línea en un caso particular se puede usar la definición original
o integrar la componente tangencial de F a lo largo de e, como dice la Fórmula ( l ), dependien-­
do de qué sea más fácil o más apropiado.
Sea c(t)= (sen t. cos r, r) con O � t � 2n. Sea el campo vectorial Fdefinido por
F(x,y,z)=xi+yj+zk.CalcularJcF·ds.
Solución
Aquí F(c (t))= F(sen t, cos t, t)= (sen r)i + (cos t)j + tk, y c'(t)= (cos t)i - -
(sen t)j + k. Por
consiguiente,
F(c(t))·c'(t) = sentcost- costsent + t = t,
y por tanto
Otra manera común de escribir la integrales de línea es
donde F1, F2 y F3 son las componentes del campo vectorial F
.
Decimos que la expreswn
F1 dx + F2dy + F3dz es una forma diferencial4. Por definición, la integral de una forma dife­
rencial a lo largo de una trayectoria e, donde e (t) = (x (t), y (t), z (t)), es:
I
fb( dx
dy
dz) I
F1dx+F2dy+F3dz=
F1-+F2-+F3-dt=
F ·ds.
e
a
dt
dt
dt
e
3 Si e no se corta a sí misma (esto es, si e (11) = e (12) implica que 11 = 12), entonces cada puma P sobre C (la curva
imagen de e) se puede escribir de manera única como e(t) para algún t. Si definimos f(P) = f(c(r)) = F(c)·T(t), fes
una función de C; por definición. su integral a lo largo de e viene dada por la Fórmula (1) y no hay ninguna dificultad
en interpretar literaln1ente .fe F · ds cmno una integral a Jo largo de una trayectoria. Si e se corta a sí misn1a, no es
posible definir fcomo función de C como hicimos antes (¿por qué?); sin embargo, en este caso sigue siendo útil pensar
en el lado derecho de la Fómmla (1) como una integral a lo largo de una trayectoria.
4 Véase la Sección 8.6 para un breve estudio de la teoría general de formas diferenciales.

· 422
Cálculo vectorial
Nótese que podemos pensar en ds como la forma diferencial ds = d.-ti + dyj + dzk. Así , la
forma diferencial F1 dx+ F
2
dy+ F
3
dz se puede escribir como el producto escalar F · ds.
Evaluar la integral de línea
(x2d.x+xydy+dz,
.le
donde e: [0, l] -. IR3 está dada por e(t)= (t, r, 1)= (x (t), y (t), z (t)).
Solución
Calculamos dx/dt= 1, dy/dt=2t, dz/dt=O; por consiguiente ,
x2 dx+ ;rydy+ dz=
[x(t)]2-+ [x(t)y(t)] __:
:_
dt
f
i1(
dx
dy)
e
o
dt
dt
Evaluar la integral de línea
('
Je
cos zdx+ ex dy+ eY dz,
donde la trayectoria e se define por c(t)= (l, t, e') y O :( t :( 2.
Solución
Calculamos dxjdt = O, dyjdt = l, dz/dt = e', de modo que
1 coszdx+ exdy+ eYdz= 1
2
(O+ e + e2')dt
11
15
[l
2
]2
14l
= et+2e' 0=2e+2e -2 .
Sea e la trayectoria
X=COS3e,
y=sen3e,
z=e,
7n
o::
:;:
e::
:;:
-
2
(véase la Figura 7.2 .2). Evaluar la integral Se
sen zdx+ cos zdy - (xy)1í3 dz.
Solución
En este caso tenemos
dx
de
-3cos2esene,
dy
de
=3sen2ecose,
dz
-=l
d()
'

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
423
de modo que la integral es
f
13
e senzdx+ coszdy- (xy) 1 dz
¡7rr/2
=
Jo
(
-3cos2esen28+3sen28cos2e- cos8sene
)
d8
.
Los dos primeros términos se cancelan , de manera que tenemos
_
S:"1
2
cosesened8=
-
G sen2eInjl
2
X
Fiigti��1��i.;.� Imagen de la trayectoria x = cos3 e.
y=sen3e.z=e;o,:
:;
e,:
:;
7n!2.
Supongamos que F es el campo vectorial de fuerza F
(
x, y,z) =x
3
i+yj+zk.
Parametrizar la circunferencia de radio a en el plano yz haciendo que c
(
8
)
tenga componentes
X= O,
y= acos8,
z =asen8, oo:S;eo:S;2n.
Como F
(
c
(
8
))·
c'
(
8
)
=O, el campo de fuerzas Fes nom1al a la circunferencia en cada punto de
la misma, por lo que Fno realizará ningún trabajo sobre una particula que se mueva a lo largo
de la circunferencia
(
Figura 7.2
.
3
).
Podemos comprobar mediante un cálculo directo que el trabajo realizado por F es cero:
W=1 F
·
ds=1 x
3
dx+ydy +zdz
= J:" (O a2 cos8sen8+a2 cos8sen8
)
d8=O
.

424
Cálculo vectorial
F
F
X
Fig'uJ:.�i�z;��" Campo vectorial F normal a una circunferencia
en el plano yz.
p¡.
.;
¡;
;.¡,
�¡.y¡¡,¡
¡;
�>._·�: 11
1
Si consideramos el campo y la curva del Ejemplo 7 .6, vemos que el trabajo reali­
zado por el campo es - i, una cantidad negativa. Esto significa que el campo se opone al movi­
miento a lo largo de la trayectoria.
Reparametrizaciones
La integral de línea Se F · ds no depende sólo del campo F, sino también de la trayectoria
e: [a, b]--> IR3. En general, si c1 y c2 son dos trayectorias diferentes en IR3, Se, F·ds # Se2 F·ds.
Por otra parte, veremos que Se, F · ds = ± Se2 F · ds se cumple para todo campo vectorial F si c1
es lo que llamamos una reparametrización de c2; para entendernos, esto significa que c1 y c2
son descripciones diferentes de la misma curva geométrica.
DEFINICIÓN Sea h: l-->11 una biyección e
1
entre los intervalos/= [a, b] e/1= [a1, b¡].
Sea e:/1 --> IR3 una trayectoria e
1
a trozos. Diremos entonces que la composición
p=coh:!-->IR3
es una reparametrización de c.
Esto significa que p(t) = e (h(t)), de modo que h cambia la variable; de manera alternativa,
se puede pensar que h cambia la rapidez con la que un punto se mueve a lo largo de la trayecto­
ria. En efecto, obsérvese que p'(t) = c'(h(t)) h'(t), de manera que el vector velocidad de p es
igual al de e, pero multiplicado por el factor escalar h'(t).
Está implícito en la definición que h debe enviar los extremos del intervalo a extremos del
intervalo; esto es, o bien h(a)= a1 y h(b) = b1, o bien h(a) = b1 y h(b) = a1• Distinguimos así
dos tipos de reparametrización. Si e ohes una reparametrización de e, entonces o bien
(coh)(a) = c(a1)
y (coh)(b) = c(b1)
o
(coh)(a) = c(b1)
y (coh)(b) = c(a1).
En el primer caso se dice que la reparametrización conserva la orientación, y una partícula que
recorra la trayectoria e oh se mueve en la misma dirección y sentido que la partícula que recorre c.
En el segundo caso se dice que la reparametrización invierte la orientación, y una partícula que

Capítulo 7. Integrales �ol;Jre curvas y superficies
425
recorra la trayectoria eoh se mueve en el sentido opuesto al de la partícula que recom·e e (Figu­
ra 7.2.4).
Por ejemplo, siC es la imagen de una trayectoria e, como se muestra en la Figura 7.2.5, esto
es, C = e([a1, b1}), y si h conserva la orientación, entonces eoh(t) irá de e(a1) a e(b1) a medida
que t vaya de a ah; y si h invierte la orientación , eoh (t) irá de e(a1) a e(b1) a medida que t
vaya de a ah.
y
y
b¡r
1
h
1
1
1
a¡
1
-�-�
-+-
-._--------�._--+
X
1
-+-
-._--------��--�
X
a
b
a
b
Gráfica de h
Gráfica de h
ae-
-------------
b
a<>-
---------
b
\
a¡<>-
-----------------------
a,.-
-----------------------.
h conserva la orientación
h invierte la orientación
(a)
(b)
é:Flgur�'7.2:4�; Ilustración de (a) una reparametrización que conserva la orientación
'-''-'>,
,-'
''-
-
'""" '" ,_
X
•
•
a
1
y (b) una reparametrización que invierte la orientación.
p(a) = c(a1)
h
�
•
b
a¡
e
h(t)
h¡
Fi�Íirll.-fz�si" La trayectoria p = e oh es una reparametrización de c.

426
Cálculo vectorial
Sea e: [a, b]-+ IR13 una trayectoria e1 a trozos. Entonces:
a) La trayectoria c0P: [a, b]-+
, t>-7c(a + b- t), es una reparametrización de e que corres­
ponde a la aplicación h: [a, b]--> [b, a}, t>-7a + b- t; a C0P se la llama trayectoria opuesta
a c. Esta reparametrización invierte la orientación.
b) La trayectoria p: [0, 1] --> IR13, t f-7 e (a + (b - a) t), es una reparametrización de e que
conserva la orientación, correspondiente al cambio de coordenadas h: [0, 1] -> [a, b],
f>-7a + (b- a)t.
DEMOSTRACIÓN Por hipótesis, tenemos una aplicación h tal que p = e o h. Por la regla de
la cadena
p'(t) = c'(h (t)) h'(t),
y por tanto
r
f
b
tF·ds=
a
[F(c (h(t))) · c'(h (t))] h'(r)dt.
Haciendo el cambio de variables s = h (t), esto se convierte en
f
h(b)
F(c (s)) · c'(s)ds
h(a)
{f
b
¡
f
F(c (s)) · c'(s)ds =
F·ds,
_
a1
e
fa
1
r
F(c (s))·c'(s)ds = -j F·ds,
b1
e
si p conserva la orientación,
si p invierte la orientación.
El Teorema l también es cierto para trayectorias el a trozos, como se puede ver descompo­
niendo los intervalos en segmentos sobre los cuales las trayectorias sean de clase el y sumando
los resultados obtenidos al integrar sobre cada trozo.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
427
Si cuando calculamos una integral conviene reparametrizar la trayectoria, el Teorema 1 ga­
rantiza que el valor de la integral no se verá afectado, excepto tal vez por el signo, dependiendo
de la orientación.
SeanF(x,y,z)=yzi+xzj+.xyk,ye:
S, JO]-+ IR3 definida por t>-'> (t, :2, t3).
Evaluar S F·dsv f. F ·ds.
e
�
. Cop
Solución
Para la trayectoria e tenemos dxjdt = 1, dyjdt = 2t, dz/dt = 3r, y F(c(t)) = t5i + r4j + t3k. Por
lo tanto,
fF·ds = f10 ÍF1
dx
+F2dy+F3
dz)dt= j
"10 (t5 + 2t5 + 3t5) dt = [t6]1_0
5
= 984.375.
e
_
5
\dt
dt
dt
_
5
Por otra parte, para
C0P: [-S,10]-+IR3, t>-'>e(S-t)=(S-t, (S-d,(5-t)3),
tenemosdx/dt= - l,dy¡dt= - lO+2t= -2(S-t),dzjdt= -7S+30r-3t2= -3(5-t)2,
y F(c0p(t)) = (S- t)5i + (S - t)4j + (S - t)3k. Por consiguiente,
� F-ds = f10_ [-(5- t)5- 2(S-1)5- 3(S - t)5]dt ='[(S - t)6]1�
5
= -984.37S.
&J Cop
-)
Estamos interesados en las reparametrizaciones porque, si la imagen de una e particular se
puede representar de muchas maneras, queremos estar seguros de que las integrales sobre
trayectorias de funciones escalares y de campos vectoriales dependen sólo de la curva imagen, y
no de la parametrización utilizada. Por ejemplo, para algunos problemas conviene representar la
circunferencia unidad por medio de la aplicación p dada por
.X(t)= cos2t,
y(t) = sen2t,
O�t�7r.
El Teorema 1 garantiza que cualquier integral calculada con esta representación coincide con la
obtenida representando la circunferencia por medio de la aplicación p dada por
X(t)=COSt,
y(t)= sent,
O�t�2n,
puesto que p = e oh, donde h(t) = 2t, siendo por tanto p una reparametrización de e que man­
tiene la orientación. Sin embargo, nótese que la aplicación y dada por
y(t) = (cos t, sen t), O�t�4n
no es una reparametrización de e; aunque recorre la misma curva imagen (la circunferencia), lo
hace dos veces (¿por qué implica esto que y no es una reparametrización de e?).
La integral de línea es una integral orientada, en la que el signo cambia (como hemos visto
en el Teorema 1) si se invierte la orientación de la curva. La integral a lo largo de una trayecto­
ria no tiene esta propiedad. Esto es una consecuencia del hecho de que al cambiar t por - t (al
invertir la orientación) sólo cambia el signo de e'(t), no su longitud. Ésta es una de las diferen­
cias entre las integrales de línea y las integrales a lo largo de trayectorias. El siguiente teorema,

428
Cálculo vectorial
que se demuestra por el mismo método que el Teorema l, muestra que las integrales a lo largo
de trayectorias no cambian bajo reparametrizaciones, incluso si invierten la orientación.
Integrales de línea de campos gradiente
A continuación consideramos una técnica útil para evaluar ciertos tipos de integrales de línea.
Recordemos que un campo vectorial F es un campo uectorial gradiente si F = \lf para alguna
función f con valores reales. Así,
a¡a¡a¡
F=-i+-j+-k
exoyoz.
Supongamos que g y Gson funciones continuas con valores reales definidas sobre un intervalo
cerrado [a, b], que G es diferenciable en (a, b) y que G
'
= g. Entonces, por el teorema funda­
mental del cálculo,
fg(x)dx = G(b)- G(a).
Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de Gen los extremos del intervalo [a, b].
Como 'Vf representa a la derivada de f, podemos preguntamos si Se\lf·ds está determinada
completamente por el valor de f en los extremos c(a) y c(b). La respuesta está contenida en la
siguiente generalización del teorema fundamental del cálculo.
DEMOSTRACIÓN Al aplicar la regla de la cadena a la función compuesta
F: tl-
--'7
f(c (t))
obtenemos
F'(t) = (Joc)'(t) = 'Vf(c(t))·c'(t).

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
429
La función Fes una función con valores reales de la variable t y, por tanto, por el teorema
fundamental del cálculo de una variable,
•b
r F'(t)dt=F(b)-F(a)=j(e(b))-j(e(a)).
•"
Por consiguiente,
1 'Vf·ds= r 'Vj(e(t))·e'(t)dt= r F'(t)dt=F (b)-F(a)
= j(e(b)) - j(e(a)).
Sea e la trayectoria e(t)=(t4/4, sen 3(tn:í2), 0), t E [0, l]. Evaluar
1'
1 ydx+xdy
(que significa JcYdx+xdy+Odz).
Solución
Reconocemos ydx + xdy o, de manera equivalente, el campo vectorial yi + xj + Ok, como el
gradiente de la función f(x, y, z)=xy. Así,
f
1
1
e ydx+xdy=j(e(l))-j(e(O))=¡
· 1-O=¡
·
Obviamente, si se consigue identificar el integrando con un gradiente, la evaluación de la
integral será mucho más fácil. Como ejemplo, el lector debería tratar de obtener la integral del
Ejemplo 7.11 directamente. En cálculo de una variable toda integral se puede obtener, en princi­
pio, hallando una primitiva; sin embargo, para campos vectoriales esto no siempre es cierto,
pues un campo vectorial dado no es necesariamente un gradiente. Examinaremos este punto en
detalle en la Sección 8.3, donde obtendremos un criterio para determinar cuándo un campo vec­
torial F es un gradiente; esto es, cuándo F = 'Vj para alguna f.
Integrales de línea sobre curvas geométricas
Hemos visto cómo definir integrales a lo largo de trayectorias (integrales de funciones esca­
lares) e integrales de línea (integrales de funciones vectoriales) sobre curvas parametriza­
das. También hemos visto que nuestro trabajo se simplifica si elegimos la paramettización con
sensatez. Como estas integrales no cambian con la parametrización (excepto tal vez por el
signo), parece natural expresar la teoría en una forma que sea independiente de la misma y que
sea, por tanto, más «geométrica>>. Haremos esto brevemente y de manera algo informal a conti­
nuación.

430
Cálculo vectorial
DEFINICIÓN Definimos una curva simple e como la imagen de una aplicación e1 a trozos
e: I--> IR;3, que es inyectiva en un intervalo !; e recibe el nombre de parametrización de C. Así,
una curva simple es aquella que no se corta a sí misma (Figura 7.2.6). Si I = [a, b], llamamos
a e (a) y e (b) extremos de la curva.
-
·
--
-
��� /1
a
b
'-
-./
(c(b)
Curva simple
•
a
c(a)
•
b
c(b)
Curva no simple
-�g��){�.�··' A la izquierda se muestra una curva simple, que no se corta a sí misma. A la derecha
tenemos una curva que se corta a sí misma. y que por tanto no es simple.
Cada curva simple e tiene dos orientaciones o sentidos asociados. Si P y Q son los extremos de
la curva, entonces podemos considerar a e como dirigida, bien de P a Q o de Q a P. La curva
simple e junto con una de estas dos orientaciones es una curva simple orientada o curva sim­
ple dirigida (Figura 7.2.7).
l<'i9ttt;t' '].z:.?V Una curva simple que une P y Q tiene dos posibles orientaciones.
DEFINICIÓN: Curvas cerradas simples Por curva cerrada simple entendemos la imagen
de una trayectoria e1 a trozos e: [a, b]--> IR3 inyectiva en [a, b) y tal que e(a) = e(b) (Figu­
ra 7.2.8). Si e satisface la condición e (a) = e (b), pero no es necesariamente inyectiva en
[a, b), diremos que su imagen es una curva cerrada. Las curvas cerradas simples tienen dos
orientaciones, correspondientes a los dos posibles sentidos de movimiento a lo largo de la
curva (Figura 7.2 .9).
.,._
_._...
a
b
·
-­
a
b
·¡ligúJ-a 7.2.,at Una curva cerrada simple (izquierda) y una curva cerrada que no es simple (derecha).

e
e
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
431
.Rigllr�7;Z.9.; Las dos posibles orientaciones de una
•
•·•· ··
··
curva cerrada simple C.
Si C es una curva simple orientada o una curva cerrada simple orientada, podemos definir
integrales de línea a lo largo de la misma sin ninguna ambigüedad.
En virtud de los Teoremas 1 y 25, estas integrales no dependen de la elección de e, siempre
y cuando e sea inyectiva (salvo quizá en los extremos). El punto que queremos destacar aquí es
que si bien hay que parametrizar la curva para poder integrar a lo largo de la misma, no es
necesario incluir la parametrización en la notación de la integral.
Si 1 = [a, b] es un intervalo cerrado en el eje x, entonces 1, como curva, tiene
orientaciones: una corresponde al movimiento de a a b (izquierda a derecha) y la otra
corresponde al movimiento deba a (derecha a izquierda). Si fes una función continua en 1 con
valores reales, entonces, denotando a 1 con la primera orientación por 1+ y a 1 con la segunda
orientación por 1-, tenemos
ff(x)dx = fbf(x)d.x= - (af(x)dx = - f f(x)dx.
¡+
Ja
Jb
r
Una curva cenada simple dada se puede parametrizar de muchas maneras. La Figura 7.2.10
muestra a e representada como la imagen de una función p, con p(t) avanzando en una direc­
ción prescrita alrededor de una curva orientada e a medida que t varía de a a b. Nótese que
•••
•••
��jt���a�:i!í:ir(j:.?i A medida que t va de a a b, p(t) se
mueve alrededor de la curva C
en algún sentido f¡jo.
5 No hemos probado que dos trayectorias inyectivas cualesquiera e y p con la misma imagen sean reparametriza­
ción una de la otra, pero omitiremos este detalle técnico.

432
Cálculo vectorial
también p'(t) apunta en este sentido. La velocidad con la que recorremos e puede variar de pa­
rametrización a parametrización pero, de acuerdo con los Teoremas 1 y 2, en tanto la orienta­
ción se conserve la integral no cambia.
Respecto a estas observaciones debe tomarse la siguiente precaución. Es posible que dos
funciones e y p tengan la misma imagen, que induzcan la misma orientación en la imagen y
que, sin embargo,
1F·ds1=IF·ds.
Por ejemplo, sean e(t)=(cost, sent, O)yp(t)=(cos2t, sen2t, 0),O�t�2n, con F(x, y, z)
= (y,O,0).EntoncesF1(x,y,z)=y,F2(x,y,z)=OyF3(x,y,z)=O,demodoque
í. f2n
dx:
f2"
F·ds =
F1(e (t))- dt = - 1 sen2tdt = -n.
•e
O
dt
JO
Sin embargo, SP F·ds = -2 J6" sen22tdt = 2n. Claramente, e y p tienen la misma imagen,
concretamente la circunferencia unidad en el plano .xy. Además. ambas recorren la circunferen­
cia unidad en el mismo sentido; no obstante, Se F · ds 1= SP F ·ds. La razón es que e es inyectiva,
pero p no (p recorre la circunferencia unidad dos veces en sentido contrario al de las agujas del
reloj); por consiguiente, p no es una parametrización de la circunferencia unidad considerada
como curva cerrada simple.
Como consecuencia del Teorema l y generalizando la notación del Ejemplo 7.12, adopta­
mos el siguiente convenio:
También se tiene lo siguiente.
Una razón para escribir una curva como una suma de componentes es que puede ser más fácil
parametrizar individualmente las componentes e¡ que parametrizar a e como un todo. Si éste es
el caso, la Fórmula (4) proporciona una manera conveniente de evaluar Se F ·ds.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
433
La notación dr para las integrales de línea
A veces se escribe la integral de línea, como haremos nosotros ocasionalmente más adelante,
utilizando la notación
L F-dr.
El motivo es que podemos pensar en describir una trayectoria C1
, e, términos de un vector posi­
ción móvil que parta del origen y tenga como extremo el punto e (t) en el instante t. Los vecto­
res de posición se denotan con frecuencia por r = xi + yj + zk, y en consecuencia se describe
la curva por medio de la notación r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k en lugar de e (t). Por definición,
la integral de línea está dada por
fb
dr
F(r (t)) ·- dt.
a
dt
Si cancelamos formalmente los dt y usamos la independencia de la parametrización para susti­
tuir los límites de integración por la curva geométrica C, llegamos a la notación Jc F · dr.
Consideramos C, el perímetro del cuadrado unidad en 1Pi.2, orientado en el senti­
do contrario al de las agujas del reloj (véase la Figura 7.2.12). Evaluar la integral de línea
y
(0, 1) ..____.,.
.
___ (1, 1)
---.----��----_.____+X
(0, O)
C1
(1, 0)
�'¡¡�'t\��;?¡�ii;:''ij��!i'-�� Perímetro del cuadrado unidad parametrizado
en cuatro trozos.

434
Cálculo vectorial
Solución
Evaluamos la integral utilizando una parametrización de C conveniente que induzca la orienta­
ción dada. Por ejemplo:
Entonces
e: [0, 4] -IR2,
f(t, 0),
t�
l(l, t- 1),
(3-t, l ),
(0, 4- t),
o:S;t:S;1,
1:S;t:S;2,
2:S;t:S;3,
3:S;t:S;4.
f
r·�
e Ydx+xydy = Jo (r + O)dt+
J.
[O+(t- !)]dt
Ahora evaluamos otra vez esta integral de línea, utilizando la Fórmula (4) y parametrizando
las C; por separado. Nótese que C = C1 + C2+C3+ C4, donde las C¡ son las curvas orientadas
que se muestran en la Figura 7.2. 12. Éstas se pueden parametrizar como sigue:
Por tanto
Así, de nuevo
C1:C¡(f)=(t,0),0::(t::(1,
C
2
:c
2
(t)=(1,t),O:S;t:S;1,
C3:c3(t)=(1-t,1),O:S:t:S:1,
C4:c4(t)=(0,1 -t),O:S;t:S;l.
f.x2dx+.:tydy= ( t2dt=�
�
Jo
3
fx2dx+xydy= Í1 tdt =�
e2
Jo
2
Í x2dx+XJ'dy = Í1 Odt = O
Je4
Jo
f x2dx+xvdy=�+�-�+O=�.
e
-
323
2
1
3

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
435
p¡m•��-"a.g¡� Una aplicación interesante de la integral de línea es la formulación matemática
de la ley de Ampere, que relaciona corrientes eléctricas con sus efectos magnéticos6
.
Suponga­
mos que H denota un campo magnético en IR3 y sea e una curva orientada cerrada en IR3 Con
las unidades físicas adecuadas, la ley de Ampere asegura que
tH·ds = !,
donde les la corriente neta que pasa a través de cualquier superficie limitada por e (véase la
Figura 7.2.13).
Corriente J
Fig!u��.'(;�,t;¡: El campo magnético H que rodea a un
alambre por el que circula una corriente f
satisface la ley de Ampére ]eH· ds = f.
Finalmente, mencionemos que la integral de línea tiene otro significado físico importante,
concretamente, la interpretación de Jc V· ds como circulación, donde V es el campo de veloci­
dades de un fluido, como veremos en la Sección 8.2. Así, con la ayuda de las integrales de línea
es posible analizar una amplia variedad de conceptos físicos, desde la noción de trabajo hasta
los campos electromagnéticos y los del movimiento de fluidos.
l. Sea F(x, y, z) = xi + yj + zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las siguientes trayec­
torias:
a) e(r)=(r,r,t),O,-:
:;
r,-:
:;
l.
b) e(t)=(cost,sent,0),O,-:
:;
t,-:
:;
2n.
e) e(t)=(sent,O,cost),O,-:
:;
t,-:
:;
2n.
d) e(t) =(t2
, 3t,2t3), -l,-:
:;
t,-:
:;
2.
2. Evaluar cada una de las siguientes integrales de línea:
a) fe xdy- ydx, e(t) = (cos t, sen t), O,-:
:;
t,-:
:;
2n.
b) Jcxdx+ydy, e(t)=(cosnt,sennt),O,-:
:;
t,-:
:;
2.
6 El descubrimiento de que las corrientes eléctricas producen efe.c10s magnéticos lo hizo Haas Christian Oersted
alrededor de 1820. Véase cualquier texto de física elemental para el estudio de los fundamentos físicos de estas ideas.

436
Cálculo vectorial
e) fe yzdx + xzdy + xydz, donde e está formada por los segmentos rectilíneos que unen (l, O, O)
con(0,1,0),yéstecon(0,O,1).
d) fex2dx�xydy+dz,dondeeeslaparábolaz=x2,y=O,de(�1,O,1)a(1,O,1).
3. Consideremos el campo de fuerza F(x, y, z) = xi + yj + zk. Calcular el trabajo realizado al mover
unapartículaalolargodelaparábolay=x2,z =O,dex=. � 1ax=2.
4. Sea e una trayectoria suave.
a) Supongamos que F es perpendicular a e'(t) en el punto e(r). Demostrar que
L F·ds =O.
b) Si F es paralelo a e'(r) en e(t), demostrar que
r F·ds = f IIFIIds.
Je
e
(Por paralelo a e'(t) se entiende que F(e (t)) = ;, (t) e'(t), donde ).(t) > 0.)
S. Supongamos que la trayectoria e tiene longitud l y que IIFII :(M. Demostrar que
6. Evaluar fe F · ds, donde F(x, y, z) = yi + 2xj + yk y la trayectoria e está definida por
e(t)=ti·+?j+r3k,O:s;t:(l.
7. Evaluar
Lydx+(3/�x)dy+zdz
para cada unadelas trayectorias e(t) = (t, t", 0), O:( t:( 1, donde n =1, 2,3, ...
8. Este ejercicio hace referencia al Ejemplo 7.14. Sea L un alambre muy largo, del cual se muestra
una sección transversal (con el plano perpendicular al alambre) en la Figura 7.2.14. Supongamos
que este plano es el plano xy. Los experimentos muestran que H es tangente a toda circunferencia en
el plano xy cuyo centro sea el eje de L, y que la magnitud de H es constante en cada una de esas
y
rT
(x, y)

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
437
circunferencias. Así, H = HT, donde T es el vector tangente unitario a e, y H es algún escalar.
Usando esta información, probar que H = I/2nr, donde r es el radio de la circunferencia e J es la
corriente que circula por el alambre.
9. En la Figura 7.2. 15 se muestra la imagen de la trayectmia plana tl-7 (cos3 t, sen
3t),O,:
:;
t,:
:;
2n. Eva­
luar la integral del campo vectorial F(x, y) = xi + yj a lo largo de esta curva.
y
(0, 1) =e(�)
(-I,O)=c(n)
(0, -1) =e(�)
La hipocicloide
c(t) = (cos
3
t. sen3 t).
10. Supongamos que c1 y c2 son dos trayectorias con los mismos extremos y que F es un campo vecto­
riaL Demostrar que Se, F· ds = Se2 F· ds es equivalente a Se F· ds = O, donde e es la curva cerrada
que se obtiene al moverse primero a lo largo de c1 y después a lo largo de c2 en el sentido opuesto.
11. Sea e (t) una trayectoria y T el vector tangente unitario. ¿Qué es Se T · ds ?
12. Sea F= (z
3
+ 2.Ay)i+ Yj+ 3xz2k. Demostrar que la integral de Fa lo largo del perí metro del cua­
drado unidad con vértices (± 1, ± 1) es cero.
13. Usando la trayectoria del Ejercicio 9, observar que una aplicación e: [a, b]--+ IR\3 de clase C
1
puede
tener una imagen que no «parece suave>>. ¿Podtia suceder esto si c'(t) fuera siempre distinto de cero?
14. ¿Cuál es el valor de la integral de un campo gradiente a lo largo de una curva cerrada e?
15. Evaluar la integral de línea
donde e es una curva simple orientada que conecta (1, 1, l) con (1, 2, 4).
16. Supongamos que Vf(x, y, z) = 2xyzex\ + zex1j+ yex1k. Si f(O, O, 0) = 5, hallar f(l, l, 2).
17. Consideramos el campo de fuerzas gravitatorio (con G =m= M= 1) definido (para (x, y, z) #
#(0,O,O))por
l
F(x,y, z)= -
0
2
0 312 (xi+ yj+ zk).
ex-+y+z-)

438
Cálculo vectorial
Demostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la partícula se mueve de (x1, y1, z1)
a (x2, y2, z2) a lo largo de cualquier trayectoria depende sólo de los radios R1 = Jxf + yf + zf y
R2=y'X�+Y�+¿
18. Una ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la Figura 7.2 .16. Realiza
un giro completo alrededor de la montaña para alcanzar la cima, siendo su pendiente de subida cons­
tante. Durante el viaje ejerce una fuerza descrita por el campo vectorial
F(x,y,z)=yi+xj+k.
¿Cuál es el trabajo realizado por la ciclista al viajar de A a B? ¿Qué es poco realista en este modelo
de ciclista?
x2+y2+z=2n:
A
X
z
t.F�;p¡n;,;tt;�)i�i�· ¿Cuánto trabqjo se realiza
al subir en bicicleta esta
montaña?
19. Sea e: [a, b]-+ !R3 una trayectoria tal que e'(t) #O. Recordemos de la Sección 4.1 que cuando
se cumple esta condición se dice que e es regular. Sea la función f definida por la fórmula
f(x) = j; lle'(t)il dt.
a) ¿Qué es df/dx?
b) Utilizando la respuesta de a), demostrar que f: [a, b]-+ [0, L
]
, donde Les la longitud de e, tiene
una inversa diferenciable g: [0, L]-+ [a, b] que satisface jo g(s) = s, g o f(x) = x (se puede usar
el teorema de la función inversa de una variable que se enunció al comienzo de la Sección 3.5).
e) Calcular dgjds.
d) Recordemos que se dice que una trayectoria s f-7 b (s) tiene rapidez unidad, o que está parametri­
zada por longitud de arco, si llb'(s)ll = l. Demostrar que la reparametrización de e dada por
b (s) = e o g (s) tiene rapidez unidad. Concluir que cualquier trayectoria regular se puede repara­
metrizar por longitud de arco (así, por ejemplo, las fórmulas de Frenet del Ejercicio 17 de la
Sección 4.2 se pueden aplicar a la reparametrización b).
20. A lo largo de una «trayectoria termodinámica» C en el espacio (V, T, P),
i) El calor ganado es ]e AvdV + KvdT, donde Av. Kv son funciones de (V, T, P), dependiendo del
sistema físico particular.
ii) El trabajo realizado es ]e P dV.
Para un gas de van der Waals se tiene que
RT
a
P(V T)= --
--
,
v-b V2'
RT
lAv= �­
V-b
y Kv= constante,
donde R, b, a y J son constantes conocidas. Inicialmente el gas está a una temperatura T0 y tiene un
volumen V0.

7.3.
.
Capítulo7.. 1ntegra[í'S sobre curvas y superficies
439
;
•
--�-•>:;-,
''-· '.
.
•�
a) Un proceso adiabático es una evolución termodinámica (\l(t), T(t), P(t)) para el cual
dT dT/dt
Av
d\1 d\1/dt
Kv
Si el gas de van der Waals se somete a un proceso adiabático en el cual el volumen se duplica
hasta 2\10, calcular
1) el calor ganado;
2) el trabajo realizado; y
3) el volumen, la temperatura y la presión finales.
b) Después del proceso indicado en a), el gas se enfría (o calienta) a volumen constante hasta que
se alcanza la temperatura original T0. Calcular:
1) el calor ganado;
2) el trabajo realizado; y
3) el volumen, la temperatura y la presión finales.
e) Después del proceso indicado en b), se comprime el gas hasta que regresa a su volumen original
\10. Calcular:
1) el calor ganado;
2) el trabajo realizado; y
3) el volumen, la temperatura y la presión finales.
d) Para el proceso cíclico descrito en a), b) y e), calcular:
1) el calor total ganado; y
2) el trabajo total realizado.
Superficies parametrizadas
En las Secciones 7.1 y 7.2 hemos estudiado integrales de funciones escalares y vectoriales a lo
largo de curvas. Pasaremos ahora a integrales sobre superficies y comenzaremos por estudiar la
geometría de las propias superficies.
Las gráficas son muy restrictivas
Ya estamos acostumbrados a un tipo de superficie, a saber, la gráfica de una funciónf(x, y). En
el Capítulo 2 se hizo un estudio exhaustivo de gráficas, y sabemos cómo calcular sus planos
tangentes. Sin embargo, nos limitaríamos indebidamente si nos restringiéramos a este caso. Por
ejemplo, muchas superficies surgen como superficies de nivel de funciones. Supongamos que
nuestra superficie S es el conjunto de los puntos (x, y, z) tales que x � z + z
3
= O.AquíSesuna
hoja que se dobla (respecto al plano xy) sobre sí misma (véase la Figura 7.3.1). Evidentemente,
queremos llamar a S una superficie, pues se trata simplemente de un plano con un pliegue. Sin
embárgo, S no es la gráfica de ninguna función z = f(x, y), pues esto significa que para cada
(x0, y0) E IR2 debe haber un z0 tal que (x0, y0, z0) E S. Como se ilustra en la Figura 7.3 .1, esta
condición se viola.
Otro ejemplo es la superficie de un donuts, llamada toro, que aparece dibujada en la Figura
7.3.2. Todo el mundo diría que el toro es una superficie; sin embargo, por el mismo razona­
miento que antes, un toro no puede ser la gráfica de una función diferenciable de dos variables.
Estas observaciones nos animan a extender nuestra definición de superficie.

440
Cálculo vectorial
X
'F.ig�if¿l$*:1:, Una superficie que no es la gráfica de una función z = f(x, y).
y
X
El toro no es la gráfica de ninguna función de la forma z = f(x, y).
La motivación para la definición ampliada que damos a continuacwn es, en parte, que se
puede pensar en una superficie como algo que se obtiene a pmtir del plano, «enrollando», «do­
blando» y «empujando». Por ejemplo, para obtener un toro, tomamos una parte del plano y la
enrollamos (véase la Figura 7.3 .3), después tomamos los dos «extremos>> y los acercamos hasta
que se juntan (Figura 7.3.4).
1-
-------10

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
441
Las superficies parametrizadas vistas como aplicaciones
En nuestro estudio del cálculo diferencial·hemos tratado las aplicaciones .f: A e IR" -> IR"'. To­
mar n = 2 y m = 3 corresponde al caso de una superficie bidimensional en el espacio tridimen­
sional. Con las superficies, igual que con las curvas, queremos distinguir entre una aplicación
(una parametrización) y su imagen (un objeto geométrico). Esto nos lleva a la siguiente defi­
nición.
DEFINICIÓN: Superficies parametrizadas Una parametrización de una superficie es
una función <I>: D e IR2-> IR3, donde D es algún dominio en IR2. La superficie S conespon­
diente a la función <I> es su imagen: S = <l>(D). Podemos escribir:
<l>(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Si <I> es diferenciable o de clase e1 [que es lo mismo que decir que x(u, v), y(u, v) y z(u, v)
son diferenciables o funciones e1 de (u, v)], llamamos a S superficie diferenciable o e1.
Podemos pensar que <I> tuerce o dobla la región D del plano para producir la superficie S
(véase la Figura 7 .3.5). Así, cada punto (u, v) de D se convierte en una etiqueta para un punto
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de S.
u
X
Por supuesto, las superficies no tienen por qué doblarse o retorcerse en absoluto. De hecho, los
planos son superficies, como se muestra en el siguiente ejemplo.
En la Sección 1.3 estudiamos la ecuación de un plano P. Lo hicimos en térmi­
nos de gráficas y conjuntos de nivel. Ahora examinamos la misma noción utilizando una para­
metrización.
Sea P un plano que es paralelo a los dos vectores o: y fJ, y pasa por el extremo de otro vector
y, como en la Figura 7.3 .6.
Nuestro objetivo en este ejemplo es hallar una parametrización de este plano. Obsérvese que
elvectoro:xfJ=N,quetambiénpodemosescribircomoAi+Bj+Ck,esnormalaP.Siel

442
Cálculo vectorial
/
X
Figura 7.3�6� ·• Descripción paramétrica
de un plano.
extremo de -;es el punto (xch y0, z0), entonces la ecuación de P como un conjunto de nivel (tal
como vimos en la Sección 1.3) viene dada por:
A(x x0)+B(y�Yo)+C(z zo)=0.
Sin embargo, el conjunto de todos los puntos del plano P también se puede describir como
el conjunto de todos los vectores que son -; más una combinación lineal de rx y [3. Utilizando
nuestra elección favorita de parámetros reales, u y v, llegamos a la ecuación paramétrica del
plano P:
<l>(u,v)=rxu+f3v+-;.
Vectores tangentes a una superficie parametrizada
Supongamos que <l> es una superficie parametrizada que es diferenciable en (u0, v0) E IR2. Fijan­
do u en u0, obtenemos una aplicación IR__,. IR3 dada por tt--
-7
<l>(u0, t) cuya imagen es una curva
sobre la superficie (Figura 7.3 .7). Sabemos, por los Capítulos 2 y 4, que el vector tangente a
esta curva en el punto <l>(u0, v0), que denotamos por T"' está dado por
De manera análoga, si fijamos v y consideramos la curva t t--7 (t, v0), obtenemos el vector tan­
gente a esta curva en <l>(u0, v0), dado por
Superficies regulares
Como los vectores Tu y Tv son tangentes a dos curvas sobre la superficie en un punto dado, el
vector Tu x Tv--debería ser normal a la superficie en dicho punto.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
u
v = constante
x
Figura '{�3.7. Los vectores Tu y Tv son tangentes a curvas sobre la superficie S
y, por lo tanto. son tangentes a S.
y
443
Decimos que una superficie S es regular o suave 7 en <l>(u0, v0), si Tu x T, i= O en (u0, v0).
Se dice que la superficie es regular si es regular en todos los puntos <P(u0, v0) E S. El vector no
nulo Tu x Tv es normal a S (recordemos que el producto vectorial de Tu y Tv es perpendicular
al plano generado por Tu y Tu); el hecho de que sea no nulo asegura que habrá un plano tangen­
te. Intuitivamente, una superficie suave no tiene «esquinas»8
.
Consideramos la superficie dada por las ecuaciones
X=UCOSV,
y= usen v,
z =u,
u� O.
¿Es diferenciable? ¿Es regular?
Solución
Estas ecuaciones describen la superficie z =
(para verificarlo, elevar al cuadrado las
ecuaciones para x, y, y z), que se muestra en la Figura 7.3.8. Esta superficie es un cono con
«vértice» en (0, O, O); es una superficie diferenciable porque cada función componente es dife­
renciable como función de u y v. Sin embargo, la superficie no es regular en (0, O, 0). Para ver
esto, calculamos Tu y T v en (0, O) E IR\2:
a<P ax
ay
az
Tu= -
..
,-= --:;-
--
(0, O)i +--:;-
--
(0, O)j +--:;-
--
(0, O)k= (cos O)i + (sen O)j +k= i +k,
ou
ou
ou
ou
7 Hablando estrictamente, la regularidad depende de la parametrización <!">, y no sólo de su imagen S. Por consi­
guiente, esta terminología es algo imprecisa; sin embargo, es descriptiva y, y no debería causar confusión (véase el
Ejercicio 17 de esta sección).
8 En la Sección 3.5 mostramos que las superficies de nivel f(x, y, z) = O eran de hecho gráficas de funciones de dos
variables en un entorno de cualquier punto (x0, y0, Zo) tal que ílf(.-.:0, y0, z0) io O. Esto unificaba dos conceptos de super­
ficie -gráficas y conjuntos de nivel-.
Asimismo, usando el teorema de la función implícita es posible demostrar que
la imagen de una superficie parametrizada <!"> es también la gráfica de una función de dos variables en el entorno de todo
punto (u0, v0) donde T., x T,. io O. Así, todas las definiciones de superficie son consistentes (véase el Ejercicio 18 de
esta sección).

444
Cálculo vectorial
X
y, de manera semejante,
'Figifr�.7;,l;8J, La superficie z = Jx2 + y2 es un cono;
''
'
,, �:-_, ',- < ::--
-
\ _, -- ;;:-_,->
no es regular en su vértice.
a<P
Tv = -�- = 0(-senO)i + O(cosO)j + Ok=O.
ov
Así, Tu x T" =O, de modo que, por definición, la superficie no es regular en (0, O, 0).
El plano tangente a una superficie parametrizada
Podemos usar que 11 = Tu x Tv es normal a la superficie tanto para definir formalmente el pla­
no tangente como para calcularlo.
DEFINICIÓN: El plano tangente a una superficie Si una superficie parametrizada
<P: De IR2--> IR3 es regular en <P(u0, v0), esto es, si Tu x Tv #O en (u0, v0), definimos el
plano tangente a la superficie en <P(u0, v0) como el plano determinado por los vectores Tu y
Tv· Así, 11=Tu x Tv esunvector normaly
(x-x0,y -y0,z -z0)·11=O,
(1)
donde n está evaluado en (u0, v0), es una ecuación del plano tangente a la superficie en
(x0, y0, z0); es decir, el plano tangente es el conjunto de los puntos (x, y, z) que satisfacen (l).
Si11=(n1,n2,n3)=n¡l+n2j+n
3
k, entonces la Fórmula (1) se convierte en
Sea <P: IR2-->IR3dadapor
X= UCOS V,
y= usenv,
¿Dónde existe un plano tangente? Hallar el plano tangente en <P( l, 0).
Solución
Calculamos
Tu=(cosv) i + (senv)j + 2uk
y
Tv=
u(senv)i + u(cosv)j + 2vk,
(1')

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
445
de manera que el plano tangente en el punto cf>(u0, D0) es el conjunto de vectores que pasan por
cf>(u0, D0) perpendiculares a
si este vector es distinto de cero. Como Tu
x Tv es igual a O en (u0, D0)= (0, 0), no podemos
hallar el plano tangente en cf>(O, O)= (0, O, 0). Sin embargo, podemos hallar la ecuación del
plano tangente en todos los demás puntos, donde Tu
x T"#O.Enelpuntocf>(l,O)=(1,O,l),
n=(Tu X Tu)(l,O)=(-2,O,l)= -2i+k.
Como tenemos el vector n normal a la supetficie y un punto (1, O, 1) sobre la superficie, pode­
mos usar la Fórmula (1') para obtener una ecuación del plano tangente:
- 2(x- 1) +(z- 1)=O; esto es, z= 2x- l.
Supongamos que una superficie S es la gráfica de una función diferenciable
g: IR2 -+ IR. Escribir S en forma paramétrica y demostrar que la superficie es suave en todos sus
puntos (u0, D0, g(u0, D0)) E IR3.
Solución
Escribimos S en forma paramétrica como sigue:
X= U,
y= V,
z= g(u, D),
que es lo mismo que z= g(x, y). Entonces, en los puntos (u0, v0),
y
a
a
n=T
u
xTv=-.,
g
(u0, D0)i- .,
g
(u0, D0)j +k# O.
ou
OD
(2)
Esto es distinto de cero, pues el coeficiente de k es 1; en consecuencia, la parametrización
(u, v)1-
-é>
(u, v, g (u, D)) es regular en todo los puntos. Además, por la Fórmula (1), el plano tan­
gente en el punto (x0, Yo. z0)= (u0, Do, g (u0, v0)) está dado por:
(ag ag
)
(x- x0, y-y0, z- Zo)·
-
-
3
,---;:;-,1=O,
u
ov
donde las derivadas parciales están evaluadas en (u0, v0). Recordando que x= u e y= v, pode­
mos escribir esto como
(ag
) (ag
)
Z-Zo=
ax
(x-Xo) +
ay
(y- Yo),
(3)
donde ag¡ax y ag¡ay están evaluadas en (x0, y0).

446
Cálculo vectorial
Este ejemplo muestra también que la definición del plano tangente para superficies parame­
trizadas coincide con la que hemos dado para superficies consideradas como gráficas, pues la
Ecuación (3) es la misma fórmula que obtuvimos (en el Capítulo 2) para el plano tangente a S
en el punto (x0, y0, zo) E S.
También es útil considerar superficies suaves a trozos, es decir, superficies compuestas de
un cierto número de imágenes de superficies parametrizadas suaves; por ejemplo, la superficie
de un cubo en �3 es una superficie de este tipo. Estas superficies se estudian en la Sección 7.4 .
Hallar una parametrización para el hiperboloide de una hoja:
Solución
Como x e y aparecen en la forma x
2
+ l. la superficie es invariante bajo rotaciones alrededor
del eje z, así que es natural escribir
x=rcose,
y=rsen e.
Entonces x
2
+l-i
=
se convierte en r
2
-
z2
= l. Esto se puede parametrizar convenien­
temente por9
r= cóshu,
z= senhu.
Así, una parametrización es
x= (coshu)(cose),
dondeÜ:(e<2n, - 00<U<OO.
y= (coshu)(sen e),
z= senhu,
En los ejercicios del 1 al 3, hallar una ecuación para el plano tangente a la supe1jicie dada en el punto
especificado.
l. x =2u,
y= t/ +V,
en (0, 1, 1).
y= U+V,
z=u
2
+ 4v,
en(-*·!.2).
y=usene",
en(13, -2, 1).
4. ¿En qué puntos son suaves las superficies de los Ejercicios l y 2?
5. Hallar una expresión para un vector unitario normal a la superficie
x=cosvsenu,
y= senvsenu,
z=cosu
en la imagen de un punto (u, v) para u en [0, n] y v en [O, 2n]. Identificar esta superficie.
9 Recordemos del cálculo de una variable que cosh u = (e" + e- ")/2 y senh u = (e" - e - ")/2. A partir de estas de­
finiciones se puede C()mprobar fácilmente que cosh
2
u
senh
2
u=l.

6. Repetir el Ejercicio 5 para la superficie
X=3COSesen<j;,
paraeen[0,2n]y<Pen[0,n].
7. Repetir el Ejercicio S para la superficie
x =sen v,
paraO�v;,;2ny -l�u�3.
8. Repetir el Ejercicio 5 para la superficie
X=(2-COSV)COSU,
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
y=2sen esen <f;,
z=cos<P
y=u,
Z=COSV
y=(2- cos v) sen u,
z=senv
para - n�u�n, - n�v�n. ¿Es regular esta superficie?
9. a) Obtener una fórmula para el plano tangente a la superficie x = h (y, z).
b) Obtener una fórmula similar para y=k(x, z).
447
10. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie x = u2 y = v
2
,z=u2+v
2
enelpuntou=l,
V
L
11. Hallar una parametrización de la superficie z=3x2 + 8xy y usarla para hallar el plano tangente en
x = 1, y = Q, z = 3. Comparar la respuesta con la que se obtiene viendo la superficie como una gráfica.
12. Hallar una parametrización de la superficie x3 + 3xy + i = 2, z > O, y usarla para hallar el plano
tangente en el punto x= l, y=�. z=O. Comparar la respuesta con la que se obtiene viendo la su­
perficie como un conjunto de niveL
13. Considerar la superficie en IR3 parametrizada por
<P(r, e) =(reos e, rsen e, e),
a) Esbozar y describir la superficie.
y
o�e�4rr.
b) Hallar una expresión para una normal unitaria a la superficie.
e) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto (x0, y0, z0).
d) Si (x0, y0, z0) es un punto sobre la superficie, demostrar que el segmento de recta hmizontal de
longitud uno que va del eje z hacia (x0, y0, z0) está contenido en la superficie y en el plano tan­
gente a la superficie en (x0, y0, z0).
14. Dada una esfera de radio 2 centrada en el origen, hallar la ecuación del plano tangente a ella en el
punto (1, 1, fl) considerando la esfera como:
a) una superficie parametrizada por <P (e, <P) = (2eos e sen <f;, 2 sen e sen </;, 2 cos <P);
b) un conjuntode niveldef(x,y. z)=x2 +l+z2; y
e) la gráfica de g(x, y)=.J4- x2 -l.
15. a) Hallar una parametrización para el hiperboloide x2 + i - z2=2S.
b) Hallar una expresión para una normal unitmia a esta superficie.
e) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en (x0, y0, 0), donde x6 + Y6 = 2S.
d) Demostrar que las rectas (x0, y0, 0) + t(-y0, x0, S) y (x0, y0, O) + t(y0, - x0, 5) están en la su­
perficie y en el plano tangente hallado en e).

448
7.4.
Cálculo vectorial
16. Una superficie parametrizada se describe por una función diferenciable <P: IR2-;. IR3
·
.
De acuerdo con
el Capítulo 2, la derivada debería proporcionar una aproximación lineal que produce una representa­
ción del plano tangente. Este ejercicio demuestra que, en efecto, éste es el caso.
a) Suponiendo que Tu x T, # O, demostrar que el rango de la aplicación lineal D<P(u0, t:0) es el
plano generado por Tu y T, (aquí Tu y T,. están evaluados en (u0, v0)).
b) Demostrar que w _1_ (Tu x T,) si y sólo si w está en el rango de D<P(u0, u0).
e) Demostrar que el plano tangente según se ha definido en esta sección coincide con el «plano
parametrizado>>
17. Considerar las superficies <P1(u, v) = (u, v, O) y <P2(u, v) = (u3, v3, 0).
a) Demostrar que las imagenes de <P1 y <P2 son el plano ..ty.
b) Demostrar que <P1 describe una superficie regular, pero <P2 no. Concluir que la noción de regu­
laridad de una superficie S depende de la existencia de al menos una parametrización regular
para S.
e) Probar que el plano tangente a S está bien definido independientemente de la parametrización
regular (biyectiva) (será necesario utilizar el teorema de la función inversa de la Sección 3.5).
d) Después de estas observaciones, ¿cree que será usted capaz de hallar una parametrización regu­
lar del cono de la Figura 7.3 .7?
18. Sea <P una superficie regular en (uo. L'o): esto es, <P es de clase C1 y Tu X TV # () en (uo, Vo).
a) Usar el teorema de la función implícita (Sección 3.5) para demostrar que la imagen de <1> cerca
de (u0, v0) es la gráfica de una función C1 de dos variables. Si la componente z de Tu x T" es
distinta de cero, podemos escribirla como z = f(x, y).
b) Demostrar que el plano tangente a <l>(u0, v0) definido por el plano generado por Tu y Tv coincide
con el plano tangente a la gráfica de z = f(x, y) en este punto.
El área de una superficie
Antes de pasar a las integrales de supe1ficie en general, consideremos primero el problema de
calcular el área de una superficie, igual que consideramos el problema de hallar la longitud de
una curva antes de estudiar integrales sobre trayectorias.
Definición del área de una superficie
En la Sección 7.3 definimos una superficie parametrizada S como la imagen de una función
<P: De IR2--
-+
IR3, escrita como <P(u, u)= (x(u, u), y(u, u), z(u, u)). A la función <P se la llamó
la parametrización de S y se dijo que era regular en <P(u, v) E S si Tu x T, #-O, donde
y,
3x
3y
3z
Tu=� (u, v)i + � (u, v)j =�(u, v)k
C'U
OU
OU
3x
3y
3z
T,. =- (u, v)i +-;
;--
(u, v)j =-;
;--
(u, v)k.
3v
OV
OV
Recordemos que una superficie regular (hablando informalmente) es aquella que no tiene esqui­
nas ni roturas.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
449
En el resto de este capítulo y en el siguiente consideraremos sólo superficies regulares a
trozos que sean unión de imágenes de superficies parametrizadas <P,: D
,
-+ IP13, para las cuales:
i)D
1
es una región elemental en el plano;
ii) <P1 es de clase C1 e inyectiva, salvo quizá en la frontera deD
¡
;y
iii) S
¡
, la imagen de <P1, es regular, excepto quizá en un número finito de puntos.
DEFINICIÓN: Área de una superficie parametrizada Definimos el área10 A(S) de una
superficie parametrizada por:
A(S) =
fL liT, x T,,lldudv
(1)
donde liT, x Tvll es la norma de T, x T0• Si Ses una unión de superficies S
;
, suáreaesla
suma de las áreas de las S
,
.
Como el lector puede comprobar fácilmente, tenemos
donde
[o(x, y)J2 [o(y, z)J2 [o(x, z)J2
liT, X T,li =
-
�
-+--+
--
.
u(u, v)
o(u, v)
o(u, v) .
ox OX
o(x, y) ou ov
o(u, v) ay oy
Ou ov
y así sucesivamente. De este modo, la Fórmula (1) se convierte en
JI [o(x, y)
.
]2 [o
.
(y, z)
J2 [o(x, z)J2
A(S) =
--
+--+
--
dudv
D\O(U,V)
O(U, V)
O(U, V)
.
Justificación de la fórmula del área
(2)
(3)
Podemos justificar la definición del área de una superticie analizando la integral SJD liT, x Tvlldudv
en términos de sumas de Riemann. Por simplicidad, supongamos queDes un rectángulo; consi­
deramos la n-ésima partición regular deD y sea RiJ el ij-ésimo rectángulo de la partición con
vértices (u;, v), (u;+I• v), (u¡, vJ+l) y (u;+t• vJ+1), O� i �n- l, O�j �n-l. Denotamos
los valores de Tu y Tv en (u¡, V¡) por T,, y Tv/ Podemos pensar en los vectores t.uTu
,
y t.vT
"1
como tangentes a la superficie en <P(u,, v) = (xu, YiJ• z;), donde t.u = LL;+ 1-LL¡, t.v = vi+1 - v1.
Entonces, estos vectores forman un paralelogramo Pu que está en el plano tangente a la superfi-
cie en (xu, Yu· z;) (véase la Figura 7.4 .1).
·
1° Como todavía no hemos considerado la independencia de la parametrización, podría parecer que A(S) depende
de la parametrización <!">.Estudiaremos la independencia de la parametrización en la Sección 7.6; el uso de esta notación
aquí no dehería causar confusión.

450
Cálculo vectorial
L'
J'
(u1, Lj�
l
i
�..
Rij ��t.v
1
1
1
1
1
..
..
..
uo
u
un
•u
X
FÍgtira 7.4.1_, liTu, x T ,111 flu 1\ v es igual al área de un paralelogramo que aproxima
el área de un trozo de la superficie S= <I>(D).
V
Tenemos así una «aproximación» de la superficie por los PiJ· Para n grande, el área de PiJ es
muy parecida al área de .P(RiJ). Como el área del paralelogramo generado por los dos vectores
v1 y v2 es !lv1 x v211 (véase el Capítulo 1), vemos que
Por consiguiente, el área de la aproximación es
111n-1
n-1 n-1
An= 2:
:
2:
:
A(P,) = 2:
:
2:
:
[\Tu, X T,)l /:
:,
u/:
:,
v.
i=O j=O
i=O j=O
Cuando n -+ x, las sumas A11 convergen a la integral
Como A11 debería acercarse al área de la superficie cada vez más a medida que n-+ CXJ, llegamos
a la Fórmula (1) como una definición razonable de A(S).
SeaDlaregióndeterminadaporO�e�2rr,O�r�1,ysea<P:D__
_.
!R13 una
parametrización del cono S definida por:
x=rcosO,
y= rsenB,
z=r
(véase la Figura 7.3.8). Hallar el área de la superficie.
Solución
En la Fórmula (3),
3(x, y)
=
1cose
aer, 0) sen (]
3(y,z)=1sene
3(r, 0)
l
- rsen o¡
=r
reosO
'
+reos o ¡
= --reosO
o
,

y.
o(x, z)
=
leosa
o(r, a)
1
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
451
-
rsen o¡
=rsena,
o
de modo que el integrando del área es
Claramente, liT, x Totl se anula para r =O, pero <P(O, 0) = (0, O, 0) para cualquier 1:1. Así, (0. O, O)
es el único punto donde la superficie no es regular. Tenemos
f�
¡eni¡ i2n¡
1 liT, x T0ll drdfl = 1, firdrd() =
) J2dO=
,�D
.,o
O
O-
7[.
Para confirmar que ésta es el área de <P(D), tenemos que verificar que <P es inyectiva (para
puntosquenoesténenlafronteradeD).SeaD0elconjuntodelos(r,a)conO<r<1y
O < f) < 2rr. Entonces D0 es D sin su frontera. Para ver que <P: D0-> IFR3 es inyectiva, suponga­
mos que <l>(r, 0) = <P(r', {}') para (r, (1) y (r', 0') E D0. Entonces
reosA=r'cos1:1',
rsen 8 =r' sena',
r =r'.
De estas ecuaciones se deduce que cosO= cosa· y sen G =senO'. Así, o bien O=O' o 8=O'+ 2rrn.
Pero el segundo caso es imposible si n es un entero distinto de cero, pues tanto 8 como O' perte­
necen al intervalo abierto (0, 2rr), y por tanto no pueden distar más de 2rr radianes. Esto prueba
que fuera de la frontera <P es inyectiva (¿es <1>: D-> IFR3 inyectiva')) En futuros ejemplos por lo
general no comprobaremos que la parametrización es inyectiva cuando esto sea intuitivamente
claro.
Un helicoide se define por <P: D-> IFR3, donde:
x =reosO,
y=rsenO,
z=e
y Des la región donde O� O� 2rr y O� r� 1 (Figura 7.4.2). Hallar su área.
X
El helicoide x =reos e. y= rsen O. z = fi.

452
Cálculo vectorial
Solución
Calculamos 3(x, y)/a(r, e)=r como en el Ejemplo 7.20 y
3(y, z)
=
¡sen e
3(r, 8)
O
3(x, z)
=
leos e
3(r, e)
O
reose ¡
1 =sen e,
-
rsene¡
1
=,ose.
El integrando del área es por tanto Jr
2
+ 1, que no se anula nunca, de modo que la superficie
es regular. El área del helicoide es
Después de unos pocos cálculos (usando la tabla de integrales), hallamos que esta integral es
igual a
n[.Ji+log (1 + .j2)J
Área de una superficie expresada como una gráfica
Una superficie S dada en la forma z =g(x, y), donde (x, y) E D, admite la parametrización
X=- U,
y=V,
z=g(u, v)
para (u, v) E D. Cuando g es de clase C1 esta parametrización es suave, y la fórmula para el área
de la superficie se reduce a
después de aplicar las fórmulas
y,
.
ag
Tu=I+--_:;-k,
GU
.
ag
T"=J +·::
::-
k,
GV
ag. ag.
ag. ag•
TuXT0=--¡--
J+k= -
-
I--
J+k
au av
ax ay
'
como se hizo notar en el Ejemplo 7.18.
(4)

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
453
Superficies de revolución
En la mayoría de los libros de cálculo de una variable se muestra que el área de la superficie
lateral generada al girar la gráfica de una función y = f( x) alrededor del eje x está dada por
A= 2n f lf(x)I.Jl + [f'(x)fdx.
(5)
Sí la gráfica se gira alrededor del eje y, el área de la superficie es
A= 2n f lxlji + [f'(x)fdx.
(6)
Deduciremos la Fónnula (5) utilizando los métodos que acabamos de desarrollar; la Fórmula (6)
se puede obtener de una manera similar (Ejercicio 10 de esta sección).
Para deducir la Fómmla (5) a partir de la Fórmula (3), tenemos que dar una parametrízación
de S. Definimos la parametrización por
X::
::::::
U,
y = f(u)cosv,
z=f(u)senv
sobre la región D dada por
a�u�b,
O� v� 2n.
Ésta es, en efecto, una parametrización de S, porque para u fija el punto
(u, f(u)cosv, f(u)senv)
describe un círculo de radio lf(u)l con centro (u, O, O) (Figura 7 .4 . 3).
y
Calculamos
Circunferencia = 2rrlflx)l
acx, y)
acu, v)
- f(u)senv,
X
�(y, z)
= f(u)f'(u),
o(u, v)
acx, z)
.
-
a
--
=j(u)cosv,
.(u, v)

454
Cálculo vectorial
y así, por la Fórmula (3),
JrJ JTia(x, y)
J2 [c(y, z)
J2 [a(x, z)
J2
A(S) =
--
+--
+--
du dv
D
C(u, V)
C(U, V)
C(U, V)
{"{"
1J j [f(u)}2sen
2
v + (f(u)}2[f'(u)f + [f( u)]2 cos
2
vdudv
.;D
= fL [f(u)[ Jl + [f'(u)]2du dv
=
f f" [f(u)[�l + [f'(u)]2dv du
f'b
= 2n l [f(u)[ )1 + [f'(u)]2 du,
que es la Fónnula (5).
Sí S es la superficie de revolución, entonces 2n[f(x)[ es la longitud de la circunferencia perí­
metro de la sección vertical de S perpendicular al eje en el punto x (Figura 7.4.3). Obsérvese
que podemos escribir
2n f [f(x)[jl + [f'(x)f dx = 1 2n[f(x)[ ds,
donde la expresión de la derecha es la integral de 2n[f(x)[ a lo largo de la trayectoria dada por
e: [a, b]-+IR2
,
tl-7 (t, f(t)). Por consiguiente, la superficie lateral de un sólido de revolución se
obtiene integrando las longitudes de las circunferencias que limitan las secciones a lo largo de
la trayectoria determinada por la gráfica de lafunción dada.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
455

456
Cálculo vectorial

457
l. Hallar el área de la superficie de la esfera unidad S representada paramétricamente por <1>: D-> S e IR13,
dondeDeselrectánguloO�()�2n,O�cjJ�n,y<1>estádadaporlasecuaciones:
x = cos()senc/J,
y= sen8sencp,
z=coscp,
11 Para más información sobre este fascinante tema. el lector puede consultar The Parsimonious Uníverse: Shape
and Form in rhe Natural World, por S. Hildebrandt y A. Tromba, Springer-Verlag, NuevaYork/Heidelberg, !995.

458
Cálculo vectorial
Nótese que podemos representar toda la esfera paramétricamente, pero que no podemos representarla
enlaformaz =j(x,y).
2. En el Ejercicio l, ¿qué pasa si permitimos que rjJ varíe de � n/2 a n/2?, ¿y de O a 2n� ¿Por qué
obtenemos respuestas distintas?
3. Hallar el área del helicoide del Ejemplo 7.21 si el dominio Des O� r� l y O� e� 3n.
4. El toro T se puede representar paramétricamente por la función <1>: D-> IR3, donde <1> viene dada por
las funciones coordenadas x= (R + cos r/J) cose, y = (R + cos r/J) sene, z =sen r/J; D es el rectán­
gulo [0, 2n] x [0, 2n], esto es, O� {)� 2n, O� rjJ� 2n; y el valor R > l está fijado (véase la Figura
7.4 .7). Demostrar que A(T)= (2n)2R, en primer Jugar usando la Fórmula (3) y después usando la
Fórmula (6).
z
·•·��;;..:;,¡¡;,�,¡,{_7-,,,_,< Una sección transversal
X
de un toro.
S. Sea <l>(u, v)=(u � u, u + u, uv) y sea D el disco unidad en el plano uu. Hallar el área de <I>(D).
6. Hallar el área de la porción de la esfera unidad contenida en el cono z ;?- Jx2 + l (véase el Ejer­
cicio 1).
7. Demostrar que la superficie x=1/Jl + i, donde 1� x < oo, ¡se puede llenar pero no se puede
pintar!
8. Hallar una parametrización de la superficie x2 � l = 1, donde x > O, � l� y� 1, y O� z� l.
Utilizar la respuesta para expresar el área de la superficie como una integral.
9. Representar el elipsoide E:
paramétricamente y escribir la integral que da el área A(E) de esta superficie (no evaluar la integral).
10. Rotamos la curva y=j(x), a� x� b, alrededor del eje y. Demostrar que el área de la superficie
barTida viene dada por la Ecuación (6); esto es,
A=2n f lxl )l + [j'(x)fdx.
Interpretar la fórmula geométricamente utilizando la longitud de arco y la distancia al eje de rota­
ción.
11. Hallar el área de la superficie obtenida rotando la curva y=_,;', O� x� 1, alrededor del eje y.
12. Utilizar la Fórmula (4) para calcular el área de la superficie del cono del Ejemplo 7.20.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
13. Hallar el área de la superficie definida por x +y+ z = l, x2+ 2/ ,s; l.
14. Demostrar que para los vectores Tu y T , se tiene la fórmula
.
/[o(x, y)]" [8(y, z)J2 [8(x, z)J2
liT xT¡I=
--
+--+
--
"
"
..J 8(u, u)
8(u, u)
8(u, v) ·
15. Calcular el área de la superficie dada por
X=reOSe, y= 2rcose,
Esbozada.
z =e.
O,s;r,s;l,
o,s;e,s;2n.
459
16. Demostrar el teorema de Pappus: sea e: [a, b] -t IR2 una trayectoria C1 cuya imagen es una curva
cerrada simple contenida en el semiplano derecho. El área de la superficie lateral generada al rotar la
imagen de e alrededor del ejey es igual a 2nx l(e), donde x es el valor promedio de la coordenada x
de los puntos de la imagen de e, y /(e) es la longitud de e (véanse los Ejercicios 8 al ll de la Sección
7.1 para un estudio de valores promedio).
17. El cilindro x2+ l =x divide la esfera unidad S en dos regiones S1 y S
2
, donde S1 está dentro del
cilindro y S
2
fuera. Hallar el cociente de las áreas A(S
2
)/A(S1).
18. Supongamos que una Sl\perficie S es el grafo de una función z =f(x, y), donde (x, y) E D e IR2, que
también se puede describir como el conjunto de los (x, y, z) E IR3 con F(x, y, z) =O (un conjunto de
nivel). Deducir una fórmula para A(S) que involucre sólo a F.
19. Calcular el área del cono truncado que se muestra en la Figura 7.4 .8 usando a) sólo geometría y, en
segundo lugar, b) una fórmula para el área de una superficie.
y
a
b
y=m.x+q
�igurfi�f�:�g¡ Un segmento de recta rotado alrededor
del eje y genera un cono truncado.
20. Se perfora un agujero cilíndrico de radio l a través de una bola maciza de radio 2 para formar una
junta anular, como se muestra en la Figura 7.4.9. Hallar el volumen y el área de la superficie exterior
de esta junta.
21. Hallar el área de la gráfica de la función f(x, y)=� (x3/2+l12) que está sobre el dominio [0, l] x[0, 1].
22. Expresar el área de la superficie de las siguientes gráficas sobre la región indicada como una integral
doble. No hay que evaluarlas.
a) (x+ 2y)2; D=[-1, 2] x [0, 2].
b) xy+x/(y+ l); D =[1, 4] x[1, 2].
e) xlex2y2; D =círculo unidad centrado en el origen.
d) icos2x; D =triángulo con vértices (-1, 1), (0, 2) y (l, 1).

460
Cálculo vectorial
7.5.
--
--+
)'
X
Figura 7.4:9. Hallar el área de la superficie exterior y el
volumen de la región sombreada.
23. Demostrar que el área de la superficie de la semiesfera superior de radio R, z = V R2 - x2 - y2, se
puede calcular por medio de la Fórmula (4), evaluada como una integral impropia.
Integrales de funciones escalares
sobre superficies
Ahora estamos preparados para definir la integral de una función escalar fsobre una supeifi­
cie S. Este concepto es una generalización natural del área de una superficie, que corresponde a
la integral sobre S de la función escalar f
(
x, y, z) = l. Esto es bastante parecido a considerar la
integral a lo largo de una trayectoria como una generalización de la longitud de arco. En la
siguiente sección estudiaremos la integral de una función vectorial F sobre una superficie. Estos
conceptos desempeñarán un papel especial en el análisis vectorial que se trata en el capí tulo
final.
Comenzamos con una superficie S parametrizada por la aplicación <P: D--+ S e: !R3, donde D
es una región elemental, que escribimos como <P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
DEFINICIÓN: La integral de una función escalar sobre una superficie Si f
(
x,y,z)es
una función continua con valores reales, definida sobre una superficie parametrizada S, defi­
nimos la integral de f sobre S como
JLJ(x, y, z)dS = JLfdS = JLJ(<P(u, v))I!Tu x Tvlldudv.
(1)
Desan-ollada, la Ecuación (1) se convierte en:
JLfdS = JLJ(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) [3(x, y)J2 [3(_y, z)J2 [3(x, z)J2
--+--+
--
dudv (2)
3(u, v)
3(u, v)
3(u, v)
·
Así, si fes idénticamente l, recuperamos la Fórmula del área (3) de la Sección 7.4. Al igual
que el área de una superficie, la integral de superficie es independiente de la parametrización
particular empleada. Esto se estudiará en la Sección 7.6.

Capítulo. 7. Integrales sobre curvas y superficies
461
Podemos obtener algún conocimiento intuitivo sobre esta integral al considerarla como un
límite de sumas. Sea D un rectángulo dividido en 112 rectángulos Ru con áreas f.
.
uf.
.
v. Sea
Su= <D(Ru) el trozo de la supelficie <l
l
(D) correspondiente a Ru (véase la Figura 7.5.1) y sea
A(Su) el área de esta porción de la superficie. Paran grande, f será aproximadamente constante
en Su, y formamos la suma
n--I n-1
S,= I
I f(<D(u;. V¡))A(S¡¡).
;�o ¡�o
donde (z.l;, v¡) E Ru. De la Sección 7.4 tenemos una fórmula para A(S;¡):
A(Su) =JI IITu x T,.!ldudv,
R¡J
(3)
que, por el teorema del valor medio para integrales, es igual a liTu. x T, .. ¡¡ f.
.
uf.
.
v para algún
'
j
punto (u¡*,
en R¡¡. Por Jo tanto, nuestra suma se convierte en
n-I n-I
S,= I If(<l
l
(u¡, Lj))!!Tu� X T,.,¡¡ f.
.
uf.
.
v,
;�o ¡�o
'
1
que es una suma que se aproxima a la última integral de la Fórmula (1). Por consiguiente.
V
lim s" =Ji tds.
11--
--J.
X
JS
X
Figllra 7:s�1. <1> envía una porción Ru de D a una porción de S.
Nótese que cada término en la suma de la Fórmula (3) es el valor de f en algún punto
ct>(u;, v¡) multiplicado por el área de Su. Compárese esto con la interpretación en términos de
sumas de Riemann de la integral sobre una trayectoria que hicimos en la Sección 7.l .
Si S es una unión de supetficies parametrizadas S;, i = 1, ... , N, qne no se cortan salvo
tal vez a lo largo de las curvas que definen sus fronteras, entonces la integral de f sobre S se
define por
como era de esperar. Por ejemplo, la integral sobre la superficie de un cubo se puede expresar
como la suma de integrales sobre las seis caras.

462
Cálculo vectorial
Supongamos que el helicoide se describe como en el Ejemplo 7.21, y sea f da­
da por f(x, y, z)= JY. +l +l. Hallar HsfdS.
Solución
Como en los Ejemplos 7.20 y 7.21,
3(x, y)
3(y, z)
3(x, z)
c(r, e)
=r,
-
3 /)=sen8,
J(r, u)
�
e
=cose.
o(r, )
Además, f(rcose, rsene, e) = )1:2 + l. Por consiguiente ,
fLf(x, y, z)dS =
fLf(<l>(r, O))IIT,. x T011drd(J
-
lo
2
�lo
!
12"
4
8
-
J? +l -Jr2 +ldrde= !,
-de=- rr .
.,o 3
3
Integrales de superficie sobre gráficas
Supongamos que S es la gráfica de una función C1, z = g(x, y). Recordemos de la Sección 7.4
que podemos parametrizar S por
y que en este caso
de modo que
X= U,
y= V,
z=g(u,v),
J (aa)
2
(ag)
2
IITuXT,jl= 1+-!- +--:
:;--:
,
ou,
ov
JL f(x. y, z)dS = JLf(x, y, g(x, y)) FG!Y+G�Ydxdy.
(4)
Sea S una superficie definida por z= x2 +y, donde D es la región O � x � 1,
-1�y�l.EvaluarHsxdS.
Solución
Si hacemos z= g(x, y)= x2 +y, la Fórmula (4) da:
JL xds= JLx (ag)
2
(ag)
2
JlJ
I
l+-::;- +�dxdy=
xjl+ 4x2 + ldxdy
ex
O}
-1o
l íl[JI
J2]JI
=-
(2 +4x2)
11
28xdx dy= ::;- ·-
[(2 +4x2)3i2JI bdy
8�-
l
o
.J8 -1

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
463
Solución
Evaluar Hs z2 dS,dondeS es la esfera unidad x2 + y2 +i=l.
Para este problema es conveniente usar coordenadas esféricas y representar la esfera paraméni­
camente mediante las ecuaciones x = cos e sen </J, y = sen e sen </J, z = cos </J, sobre la región D
del plano 8</;, dadas por las desigualdades O ,s; <P ,s; n:, O ,s; 8 ,s; 2n:. De la Ecuación (1) obtenemos
que
Un pequeño cálculo (usar la Fórmula (2) de la Sección 7.4; véase el Ejercicio 6 de esta sección)
muestra que:
(Nóteseque para O,s;<P,s;n:, tenemos sen<P;?:0.)Así,
1 12"
2 f21I
4n:
=
-
[-cos
3
<PJI�de = -
d8=-.
3o
3o
3
Este ejemplo también muestra que sobre una esfera de radio R,
o, abreviadamente, el elemento de área sobre la esfera está dado por
dS = R2 sen </Jd<f>de.
Integrales sobre gráficas
A continuación obtendremos otra fórmula para integrales de superficie cuando la superficie se
puede representar como una gráfica. Sea S la gráfica de z = g(x, y) y consideremos la Fórrnu­
la (4). Afirmamos que
JI!(· ' 7)dS =JI f(x, y, g(x, y))
dd
X,), _
.
e
X
y,
S
D
COS
(5)
donde 8 es el ángulo que forma la normal a la superficie con el vector unitatio k en el punto
(x, y, g(x, y)) (véase la Figura 7.5.2). Si describimos la superficie por la Ecuación </J(x, y, z) =
z g(x, y)=O, un vector normal Nes V1>; esto es,
3g
3g
N= --
i--
j+k
ax ay
(6)

464
Cálculo vectorial
(véase el Ejemplo 7.18, o recuérdese que la normal a una superficie con ecuación g(x; y, z) =
constante está dada por Vg). Así,
N·k
cos()=-- = --
-;
====;
;
====;;==
IINII yi(3gf3xi + (ogfóyl +
Si sustituimos esta fórmula en la Ecuación (4), se obtiene (5). Nótese que cos () = n ·k, donde
n = N/JIN!I es la normal unitaria. Así, podemos escribir:
dxdy
dS=-­
n·k
El resultado es, de hecho, geométricamente obvio, ya que si un pequeño rectángulo en el
plano �\Y tiene área LiA, entonces el área de la porción de la superficie que está sobre él es
LiS= .ó.Afcos () (Figura 7.5.2). Este enfoque intuitivo nos puede ayudar a recordar la Fórmu­
la (5), así como a aplicarla a problemas.
z
t1Scose=M
X
i1��r���i�¡:�j� El área Li. s del trozo de la
superficie sobre el rectangulo Li.A
es aproximadamente Li.S = Li.Aicos e.
donde e es el ángulo que la normal
unitaria n forma con k.
Calcular fSsxdS, donde S es el triángulo con vértices (1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)
(véase la Figura 7.5.3).
z
X
c'FJI�ili�JT¡�r!�f� Al calcular una integral de superficie concreta,
como paso previo para aplicar la Fórmula (S)
hay que encontrar una fórmula para la normal
unitaria n y calcular el ángulo e.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superñcies
465
Solución
Esta superficie es el plano descrito por la ecuación x + y + z = l. Como la superficie es un
plano, el ángulo e es constante y un vector normal unitario es n = (1/fi, 1/fi, 1/fi). Así,
cose = n ·k = l!v�· y por la Ecuación (5),
JL xdS= fi JL xdxdy,
donde D es el dominio en el plano xy. Pero
/3f'�Xdxdv= /3�l�l-x Xdydx = /3(l X(! - X)dx=
fi.
v
JD�
v JoJo
vJo
6
Las integrales de funciones sobre superficies son útiles para calcular la masa de una superfi­
cie cuando se conoce la función densidad de masa m. La masa total de una superficie con densi­
dad de masa (por unidad de área) m está dada por
M(S)= JL m(x, y, z)dS.
(7)
Sea $: D--> IR\3 la parametrización del helicoide S= <P(D) del Ejemplo 7.21.
Recordemos que <P(r, e)= (r cose, r sene, e), donde O :<:; e :<:; 2n y O :<:; r :<:; l. Supongamos
que S tiene una densidad de masa en (x, y, z) E S igual al doble de la distancia de (x, y, z) al eje
central (véase la Figura 7.4
.2), esto es, m(x, y, z)= 2v/x2 + .l = 2r, en el sistema de coorde­
nadas cilíndricas. Hallar la masa total de la superficie.
Solución
Aplicando la Fórmula (7),
M(S) = JL 2vfx2 + y2dS= JL 2rdS = JL 2ri1Tr x T811drde.
Del Ejemplo 7.21 vemos que IITr x T0!1= ji + r2. Así,
M(S)= JL 2r...jl + r2drdf! =
f"L
2rv/l + r2drde
=
-
(1 + r2)3/2 df!=
-
(23¡2 - 1)de= � (23/2 - 1).
f2n[2 J
1
f2n
2
4
o
3
o
o3
3
l. CalcularSfs.:t}'dS,dondeSeslasuperficiedeltetraedrodecarasz=O,y =O,x+z=1yx=y.
2. Evaluar Hs xyz dS, donde S es el triángulo con vértices (1, O, 0), (0, 2, O) y (0, 1, 1).

466
Cálculo vectorial
3. Evaluar Hs z dS, donde S es la semiesfera superior de radio a, esto es, el conjunto de los (x. y, z) con
z=.ja2�x2�/.
4. Evaluar J.f5 (x + y + z) dS, donde S es la frontera de la bola unidad B; esto es, S es el conjunto de los
(x, y, z) con x2 + l + i = l. [INDICACIÓN: Usar la simetría del problema.]
5. a)
b)
Calcular el área del trozo del cono x2 + v
2=z2
con z ?o O que está dentro de la esfera
x2 + / + z2 = 2Rz, donde R es una constan�e positiva.
¿Cuál es el área del trozo de la esfera que está dentro del cono?
6. Comprobar que en coordenadas esfé1icas. sobre una esfera de radio R.
liTq1 x Telldq)dO = R
2
sen cpdq)dO.
7. Eva!uarSJszdS,dondeSeslasuperficiez=x2+/.x2+y2�l.
8. Evaluar laintegraldesuperficieHsz2dS.dondeS eslafrontera del cuboe =! �1' 1J Xr l' 1J X
[ � 1, 1]. (ll'-I'DICAC!ÓN: Hacer cada cara por separado y sumar los resultados.]
9. Hallar la masa de una superficie esférica S de radio R tal que en cada punto (x, y. z) E S la densidad
de masa es igual a la distancia de (x, y, z) a algún punto fijo (x0, y0, z-o) E S.
10. Una superficie metálica S tiene la forma de un hemisferio z = y R2 � x2
�
y2, donde (x, y) satisface
O�x2+/�R2Ladensidaddemasaen(x.y,z)ESestádadaporm(x,y,z)=x2+/.Hallarla
masa total de S.
11. Sea S la esfera de radio R.
a) Razonar por simetría que:
b) Usar este hecho y algún razonarrúento ingenioso para evaluar. con muy poco cálculo, la integral
e) ¿Ayuda esto en el Ejercicio lO?
12. a) Utilizar sumas de Riemann para justificar la fórmula
-
1
-ff1cx}' 7)ds
A(S) S
,
'�
para el valor promedio de f sobre la superficie S.
b) En el Ejemplo 7.24, demostrar que el promedio de f(x, y, z) = z 2 sobre la esfera es � -
e) Definimos el centro de gravedad (x, y, z) de una superficie S de manera que .\', y, y i. sean los
valores promedio de las coordenadas x, y, y z sobre S. Demostrar que el centro de gravedad del
triángulo del Ejemplo 7.25 es (�, �. �).
13. Hallar las coordenadas x, y, y z del centro de gravedad del octante de la esfera de radio R centrada en
el origen, determinada por x ?o O, y ?o O, z ?o O. [INDICACIÓN: Escribir este octante como una superfi­
cie parametrizada -véanse el Ejemplo 7.24 y el Ejercicio 12 de esta sección.]

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
467
14. Hallar la coordenada z del centro de gravedad (el promedio de la coordenada z
)
de la superficie de
una semiesfera (z � 0) con radio r (véase el Ejercicio 12). Razonar por simetría que los valores pro­
medio de las coordenadas x e y son ambos cero.
15. Sea <P: D e IR2 --. IR3 una parametrización de una superficie S definida por
x= x(u, v
)
,
y= y(u, v
)
,
a) Sea
y
z=z(u, v
)
.
3<P_(3x 3y 3z)
Jv- 3v'3v'3v'
esto es, 3<f>j3u = T, y 3<Pj3v = T,, y definamos
Demostrar que
y que el área de la superficie S es
3<P 3<P
F=
-.-
3u av
,
tt c:<P \12
G=l ¡-
.
13v ,
"/EG-F2 =liT, X T,,11.
A(S
)
= JL JEG- F2dudv.
Con esta notación, ¿cómo podemos expresar Hs fdS para una función f general?
b) ¿En qué se convierte la fórmula para A(S
)
si los vectores 3<P/3u y 3<Pjcv son ortogonales?
e) Utilizar a) y b) para calcular el área de la superficie de una esfera de radío a.
16. Se define el funcional de Dirichlet para una superficie parametrizada <P: D-+ IR3 -+ !R3 por12
Utilizar el Ejercicio 15 para razonar que A(<P
)
� J(<f>
)
y que la igualdad se satisface si
a)
y
b
)
c<P a<P
---
=0.
3u 3v
Comparar estas ecuaciones con el Ejercicio 15 y las observaciones del final de la Sección 7.4. Sí una
parametrizacíón <f> satisface las condiciones a) y b) se dice que es conforme.
17. Sea De IR2 y sea <f>: D-+ !R2 una función suave <P(u, v
)
= (x(u, v), y(u, v)) que satisface las condi­
ciones a) y b) del Ejercicio 16, y supongamos que
[�X
ou
det
ay
3u
3x]
Ov
>O.
Oy
av
12
El funcional de Dirichlet desempeñó un papel protagonista en las matemáticas del siglo XIX. El matemático
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) lo utilizó para desarrollar su teoría de funciones complejas y para dar
una prueba del famoso teorema de la aplicación de Riemann. Hoy en día sigue siendo una herramienta muy utilizada en
el estudio de ecuaciones en derivadas parciales.

468
Cálculo vectorial
7.6.
Demostrar que X e y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann oxjcu = <'iyjcv, cx/cv = - cy/cu.
Concluir que '172 <f> = O (es decir, cada componente de <f> es armónica).
18. Sea S una esfera de radío r y p un punto en el interior o el exterior de la esfera (pero no sobre ella).
Demostrar que
---dS=
JI'
1
{4nr
si
Jsllx -Pil
4mJ. /d si
p está dentro de S,
p está fuera de S,
donde d es la distancia de p al centro de la esfera y la integración es sobre la esfera.
19. Hallar el área de la superficie de la parte del cilindro x2 + :? = a2 que está dentro del cilindro
x2+y"=2ayytambiéneneloctantepositivo(x?oO,y?oO,z.?o0).Suponerquea>O.
20. Sea una superficie S definida implícitamente por F(x, y, z) "'= O para (x, y) en un dominio D de IH2
Demostrar que
ri /cF
i
'
�'!'
¡·(i'-F\2 (cF)2 (tJF\2
¡-;
;
dS=jj. / e¡,.}+ ;. + ;¡7) dxdy.
� S1(�1
DV
C., 1
\')
'-/
Comparar con el Ejercicio 18 de la Sección 7.4 .
Integrales de campos vectoriales
sobre superficies
El objetivo de esta sección es desarrollar la noción de integf·al de un campo vectorial sobre una
superficie. Recordemos que la definición de integral de línea de un campo vectorial estaba mo­
tivada por la noción física fundamental de trabajo. De fom1a semejante, la noción física básica
de flujo motiva la definición de la integral de superficie de un campo vectorial.
Por ejemplo, si el campo vectorial es el campo de velocidades de un fluido (tal vez el campo
de velocidades de un río) y ponemos una superficie imaginaria en el fluido, podemos preguntar­
nos: «¿Cuál es la tasa con la que el fluido cruza la superficie dada (medida en, digamos, metros
cúbicos por segundo)?>>. La respuesta viene dada por la integral de superficie del campo vecto­
rial de velocidades del fluido sobre la superficie.
Volveremos a la interpretación física en breve y la explicaremos en términos de la defini­
ción formal que damos en primer lugar.
Definición de integral de superficie
Definimos ahora la integral de un campo vectorial, denotado por F, sobre una superficie S. Em­
pezaremos dando la definición y en una parte posterior de la sección daremos su interpretación
física. Ésta se puede utilizar también como motivación de la definición si el lector así lo desea.
Comenzaremos con una superficie parametrizada <1> y más adelante estudiaremos la indepen­
dencia de la parametrización.

DEFINICIÓN: La integral de superficie de un campo vectorial Sea F un campo vecto­
rial definido sobre S, la imagen de una superficie pararnetrizada <P. La integral de superficie
de F sobre <P, denotada por:
IL F·dS,
se define por (véase la Figura 7.6.1):
V
fL, F·dS = IL F·(Tu X TJdudv.
cl>(D) =S
�
X
Sea D el rectángulo en el plano 8 cp definido por
O� 8� 2n,
y
y sea S la superficie definida por la parametrización <P: D --> IR3 dada por
x=cos8sencp,
y=sen8sencp,
z=coscp.
(Así, 8 y cp son los ángulos de las coordenadas esféricas y S es la esfera unidad parametrizada
por$). Sea r el vector posición r(x, y, z) = xi + yj + zk. Calcular H<t> r · dS.
Solución
En primer lugar hallamos
de donde
T8 = (-sen cpsen8)i + (sen cpeosG)j,
Tq,=(cos8coscp)i+(sen8coscp)j-(sencp)k,
T8xTq,=(--sen
2
cpcos G)i-(sen2 cpsen G)j (sen cpcos cp)k.

470
Cálculo vectorial
Evaluamos entonces
r·(T8 x T<l>) = (xi +yj +zk)·(Te x T<l>)
= [(cos 8 sen </J)i +(sen 8 sen </J)j +(cos </J)k]
· ( -sen </J)[(sen </Jcos8)i +(sen </Jsen 8)j +(cos </J)k]
= (-sen <P)(sen2<P cos28 +sen2 <P sen28 +cos2 <P) = -sen </J.
Así,
JLr·dS=JL-sen</Jd</Jd8=J:"(-2)d8= -4rr.
Orientación
Se puede establecer una analogía entre la integral de superficie Sfw F · dS y la integral de línea
fe
F · ds. Recordemos que la integral de línea es una integral orientada. Necesitábamos la noción
de orientación de una curva para extender la definición de J
e
F·ds a integrales delíneaJeF·ds
sobre curvas orientadas. Extendemos la definición de <P a superficies orientadas de forma si­
milar; esto es, dada una superficie S parametrizada por una aplicación <P, queremos defi­
nir Sfs F · dS = JJw F · dS y demostrar que esto es independiente de la parametrización, excepto
tal vez por el signo. Para llevar a cabo esto, necesitamos la noción de orientación de una super­
ficie.
DEFINICIÓN: Superficies orientadas Una superficie orientada es una superficie con dos
caras en la que se especifica una de ellas como cara exterior o positiva; la otra cara recibe el
nombre de cara interior o negativa13. En cada punto (x, y, z) E S hay dos vectores normales
unitarios n1 y n
2
, donde n1 = -n2 (véase la Figura 7.6.2). Cada una de estas dos normales se
puede asociar con un lado de la superficie. Así, para especificar una cara de una superficie S,
en cada punto elegimos un vector normal unitario n que apunta hacia fuera desde la cara
positiva de S en ese punto.
.f]itJil
l
ra· '1;,�-��.�.D Las dos posibles normales unitarias a una
superficie en un punto.
13 Utilizamos el tétmino «Cara» en un sentido intuitivo. Este concepto se puede definir rigurosamente, pero no lo
haremos aquí. También, la elección de la cara qne se va a denotar como positiva viene dictada con frecuencia por la
propia superficie, como, por ejemplo, en el caso de la esfera. En otros casos la elección es un tanto arbitraria (véase, por
ejemplo, el trozo de superficie representado en la Figura 7.6.2).

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
471
Esta definición asume que nuestra superficie tiene dos caras. De hecho, esto es necesario,
porque ¡hay ejemplos de superficies con una sola cara! El primer ejemplo de una superficie tal
fue la banda de Mobius (llamada así por el matemático y astrónomo alemán A. F. Mobius
quien, junto con el matemático J. B. Listing, la descubrió en 1858). En la Figuras 7.6.3 se da
dibujo de esta superficie. En cada punto de M hay dos normales unitarias ni y n2. Sin embargo,
ni no determina una única cara de M y tampoco lo hace n2. Para verlo de forma intuitiva, pode­
mos deslizar n2 a lo largo de la curva cenada e (Figura 7.6 .3). Cuando n2 regresa a un punto p
de e dado, coincidirá con ni, mostrando que tanto 11i como 112 apuntan hacia fuera del mismo
lado de M y que, en consecuencia, M sólo tiene una cara.
M
Figura ']�6.3� La banda de Móbius: deslizamos
n2 alrededor de C una vez;
cuando n2 regrese a su punto
inicial. coincidirá con n1 = - n2.
Sea <1>: D -7 IR3 una parametrízación de una superficie orientada S y supongamos que
S es regular en <P(u0, v0), (u0, v0) E D; así, el vector (Tuo x T,0)/IITuo x T,0ll está definido. Si
n <P (u0, v0)) denota la normal unitaria a S en <P(u0, v0), se sigue que
Se dice que la parametrización <P conserva la orientación si tenemos el signo + ; esto es, sí
(Tu+ TJíiiTu x T,ll = n(<P (u, v)) en todos los (u, v) E D para los cuales S es regular en
<P (u, v). En otras palabras, <P conserva la orientación si el vector T, x T, apunta hacia el ex­
terior de la superficie. Si Tu x T, apunta hacia el interior de la superficie en todos los puntos
(u, v) E D para Jos que S es regular en <l>(u, v), entonces se dice que <P invierte la orientación.
Usando la notación precedente, esta condición cmTesponde a la elección (Tu x T,,)/IITu x T,ll =
= - n(<l>(u, v)).
Se sigue de este análisis que la banda de Mobius no se puede parametrizar por una úni­
ca parametrización para la cual n = Tu x T" =F O, siendo n continua sobre toda la superficie14
14 Hay una única parametrizacíón que se obtiene cortando una tira de papel, retorciéndola y pegando los extremos,
pero produce una n discontinua sobre la superficie.

472
Cálculo vectorial
(si hubiera una parametrización tal, entonces M tendría en realidad dos caras, una determinada
por n y otra determinada por -n). La esfera del Ejemplo 7.27 se puede parametrizar por medio
de una única parametrización, pero no por una que sea inyectiva en todas partes -véase la dis­
cusión al comienzo de la Sección 7.4.
Así, cualquier superficie parametrizada inyectiva para la cual T, x T" nunca se anule se
puede considerar como una supe1jicie orientada con una cara positiva determinada por la di­
rección de Tu x T,.
Podemos dar una orientación a la esfera unidad x
2
+/+/=1en!P;3(Figu­
ra 7.6.4) seleccionando el vector unitario n(x, y, z) = r, donde r = xi + yj + zk, que apunta ha­
cia el exterior de la superficie. Esta elección corresponde a nuestra noción intuitiva del exterior
para la esfera.
n
n
(0, l, 0)
�---..
.
)'
n
La esfera unidad orientada por su normal
exterior n.
Ahora que la esfera S es una superficie orientada, consideramos la parametrización <1> de S
dada en el Ejemplo 7.27. El producto vectorial de los vectores tangentes T0 y T4> --
-e
sto es, una
normal a S- está dado por
(-sen q))[(cosBsen q))i + (sen8sen q))j + (cos q))k] = -rsenq).
Como -sen q) � O para O � q) � n, este vector normal apunta hacia el interior de la esfera. Así,
la parametrización dada invierte la orientación. Intercambiando el orden de 8 y q) obtendríamos
una parametrizació n que conserva la orientación.

Capitulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
473
La orientación y el elemento vectorial de superficie
de la esfera
Consideramos la esfera de radio R, a saber, x2 +
+ z2 = R2. Es costumbre orientar la esfera
con la normal exterior unitaria. En términos del vector posición r = xi + yj + zk, la normal
exterior unitaria está dada por
El orden de las coordenadas esféricas que corresponde a esta orientación, como es evidente a
partir del Ejemplo 7.28, está dado por el orden (cj>, G). El cálculo del Ejemplo 7.28 muestra que
el elemento de área de esta superficie está dado entonces por
dS=n·(T<PxT0)dcj>dG=rRsencj>dcj>dfJ=nR2sencj>dcj>dfJ.
La orientación de gráficas
El siguiente ejemplo considera los convenios sobre orientación para gráficas. Calcularemos el
elemento de área para gráficas más adelante en esta sección.
Sea S una superficie descrita por z = g(x , y). Como en la Ecuación (6) de la
Sección 7.5, hay dos vectores unitarios normales a S en (x0, y0, g(x0, y0)). a saber, ±n. donde
ag
.
og
.
-
-
(xo. Yo)! - --;:;-
-
(xo. Yo)J + k
ax
oy
n = -,�======���======��==
[�
g
(xo. Yo)]
2
+[�
g
(xo. y0)]
2
+
ex
oy
Podemos orientar todas las superficies de este tipo tomando como cara positiva de S la cara
de la cual se aleja n (Figura 7.6.5). Así, la cara positiva de una superficie tal está determinada
por la normal unitaria n con componente k positiva --esto es, apunta hacia arriba. Si parame­
trizamos esta superficie por <P(u, v) = (u, v, g(u, v)), entonces <P conservará la orientación.
n
Figura '1.6.5. n se aleja de la parte exterior de la superficie.
X

474
Cálculo vectorial
Independencia de la parametrización
Ahora enunciamos sin prueba un teorema que muestra que la integral sobre una superficie
orientada es independiente de la parametrización. La prueba de este teorema es análoga a la del
Teorema 1 (Sección 7 .2); el núcleo de la prueba es nuevamente la fórmula del cambio de varia­
bles -esta vez aplicada a integrales dobles.
Nótese que si f = 1 obtenemos:
A(S)=JJ� dS =If dS,
<1>¡
$2
lo que demuestra que el área no depende de la parametrización.
Por consiguiente, podemos usar la notación
sin ninguna ambigüedad (o una suma de tales integrales, si S es una unión de superficies para­
metrizadas que se cortan sólo a lo largo de sus curvas de frontera), donde <P es una parametriza­
ción que conserva la orientación. El Teorema 4 garantiza que el valor de la integral no depende
de la elección de <P.
Relación con las integrales escalares
Recordemos de la Fómmla (l) de la Sección 7_2 que una integral de línea se puede ver como la
integral de la componente tangencial de Fa lo largo de la trayectoria e (aunque para el caso en
que e se cruza consigo misma la integral obtenida no sea técnicamente una integral sobre una
trayectoria). En el caso de las integrales de superficie se da una situación similar, puesto que
estamos suponiendo que las aplicaciones <P que definen la superficie S son inyectivas salvo, tal
vez, sobre la frontera de D, que se puede ignorar para los propósitos de la integración. Así, al

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
475
definir integrales sobre superficies, en este libro supondremos que las superficies no se cortan a
sí mismas,
Para una superficie orientada suave S y una parametrización <P de S que conserve la orienta­
ción, podemos expresar Hs F ·dS como una integral de una función f de valores reales sobre la
superficie. Sea n = (Tu x T,)!IITu x T,ll la normal unitaria que apunta hacia el exterior de S.
Entonces
JI F·dS = JL F·dS = JL F·(T11 x T,)dudv
fí(1TuxT,)
=
F·
--
x-
·
l liT" x T,lldudv
.;D
IITII
T¡ol,
JL (F·n)IIT, x Tu!!dudv =JI (F·n)dS = II fdS,
donde f = F ·n. Hemos probado así él siguiente teorema.
sobre S; JJsF : dS, es igual· a la integral de la
·�m�<>rtli'·i<> Enresuméi1,
·
·
Interpretación física de las integrales de superficie
El significado geométrico y físico de la integral de superficie se puede comprender expresándo­
la como un límite de sumas de Riemann. Para simplificar, supondremos que D es un rectángulo.
Fijamos una parametrización <P de S que conserve la orientación y descomponemos la región D
enn
2
trozosD;¡,O:S;i:S;n� 1,O:S;j:S;n-l.Denotamospor!:
:.
u a la longitud del lado hori­
zontaldeD;¡ypor!:
:.
va la longitud del lado vertical de Du. Sea (u, v) un punto de Du y (x, y, z)
= <P(u, v) el punto correspondiente sobre la superficie. Consideramos el paralelogramo con la­
dos !:
:.
uT"y!:
:.
vT, que está en el plano tangente a S en (x, y, z), y el paralelepípedo formado por
F,!:
:.
uT11y!:
:.
vT, .. El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto
F· (!:
:.
uTux!:
:.
vT,) = F·(T, x T¡o)!:
:.
u!:
:.
v.
El vector T" x T, es normal a la superficie en (x, y, z) y apunta hacia fuera desde el exterior de
la superficie. Así, el número F ·(Tu x T,) es positivo cuando el paralelepípedo está en el exte­
rior de la superficie (Figura 7.6.6).
En general, el paralelepípedo está en la cara de la superficie de la que se aleja F. Si pensa­
mos en F como el campo de velocidades de un fluido, F(x, y, z) apunta en la dirección en la que
se está moviendo el fluido a través de la superficie cerca de (x, y, z). Es más, el número

476
Cálculo vectorial
--�-
-----------------�
u
X
Figura7.6.6. F·(Tu x T.,)> O cuando el paralelepípedo formado por L\.vTv. L\.uTu,
y F está en el «exterior" de la superficie S.
mide la cantidad de tluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo.
Como el signo de F · (LiuTu x LivT,.) es positivo si el vector F apunta hacia fuera en (x, y, z) y
negativo si F apunta hacia dentro, Lt.j F · (Tu x T,)LiuLiv es una medida aproximada de la can­
tidad neta de fluido que fluye hacia fuera a través de la superficie por unidad de tiempo (recor­
demos que <<fuera>> o «dentrO>> dependen de nuestra elección de la parametrización. La Figura
7.6.7 ilustra a F dirigido hacia fuera y hacia dentro, dados T,, y T"). Por lo tanto, la integral
Jfs F · dS es la cantidad neta de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. Esta
integral recibe el nombre de flujo de F a través de la superficie.
F
FiguraJ.6.7, Cuando F·(Tu x Tul> O (izquierda). F apunta hacia fuera;
cuando F · (Tu x Tu) < O (derecha). F apunta hacia dentro.
En el caso en que F represente un campo eléctrico o magnético, Hs F · dS también se conoce
comúnmente como el flujo. Puede que el lector esté familiarizado con leyes físicas (tales como
la ley de Faraday) que relacionan el flujo de un campo vectorial a través de una superficie con
la circulación (o corriente) a lo largo de la curva que la limita. Ésta es la base histórica y física
del teorema de Stokes, que consideraremos en la Sección 8.2. El principio correspondiente de
mecánica de fluidos se conoce como teorema de la circulación de Kelvin.
Las integrales de superficie también se aplican al estudio del flujo de calor. Sea T(x, y, z) la
temperatura en un punto (x, y, z) E W e iR3, donde W es alguna región y T es una función C1.
Entonces
ararar
'VT= -- i+--j+--k
ex
oy
oz

representa el gradiente de la temperatura y el calor «fluye» con el campo vectorial -k\!T = F,
donde k es una constante positiva (véase la Sección 8.5). Por consiguiente, JJs F · dS es el flujo
de calor a través de la superficie S.
Supongamos que una función de temperatura en IR(3 viene dada por la fórmula
T(x, y,z)=x2+l+z2,yseaSlaesferaunidadx2+l+z2= l orientadasegúnlanormal
exterior (véase el Ejemplo 7.28). Hallar el flujo de calor a través de la superficie S si k= l.
Solución
Tenemos
F= -\!T(x, y,z)= -2xi -2yj-2zk.
Sobre S, el vector n(x, y, z) = xi + yj + zk es la normal «exterior>> unitaria a S en (x, y, z) y
f(x,y,z)=F ·n= - 2x2 -2y2-2i= -2eslacomponentenormaldeF.PorelTeoremaS
podemos ver que la integral de superficie de F es igual a la integral de su componente normal
f=F·nsobreS.Así,
IrF-dS= f'ffdS= -2 fj�' dS= -2A(S)= -2(4n)= -8n.
�S
�
S
S
El flujo de calor está dirigido hacía el centro de la esfera (¿por qué hacia dentro?). Claramente,
nuestra observación de que JJs F · dS = Hs fdS nos ha ahorrado un tiempo de cálculo conside­
rable.
En este ejemplo F(x, y, z) = - 2xj - 2yj - 2zk podría representar también un campo eléc­
trico, en cuyo caso JJs F · dS = -8n sería el flujo eléctrico a través de S.
Ley de Gauss Hay una ley física importante, debida al gran matemático y fí­
sico K. F. Gauss, que relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie «cerrada»
S (por ejemplo, una esfera o un elipsoide) con la carga neta Q encerrada por la superficie, con­
cretamente (en las unidades adecuadas)
(l)
(véase la Figura 7.6.8). Examinaremos la ley de Gauss con detalle en el Capítulo 8. Esta ley es
análoga a la ley de Ampere (véase el Ejemplo 7.14).
Supongamos que E = En; esto es, E es un múltiplo escalar constante de la normal unitaria
a S. Entonces la ley de Gauss, la Ecuación (1) de este ejemplo, se convierte en
yaqueE=E·n.Así,
E= _fl_ __
A(S)
(2)

478
Cálculo vectorial
E
S = superficie cerrada
E = campo eléctrico
Figur¡¡ '7.6.8..
LaleydeGauss:SJ5E·dS=Q.
donde Q es la carga neta en el
interior de S.
En el caso en que S es la esfera de radioR. la Ecuación (2) se transforma en
(véase !a Figura 7.6.9).
1E
"'
-
o�
¡ \ :c�'1�fíl1'7li-'!,iQ El campo E debido a una carga puntual Q
es E = Qn/4nR
2
.
(3)
Supongamos ahora que E está generado por carga puntual aislada Q. Por simetría, es razo­
nable que E = En, donde n es la normal unitaria a cualquier esfera centrada en Q. Por tanto,
se satisface la Ecuación (3). Consideramos una segunda carga puntual, Q0, situada a una distan­
ciaR de Q. La fuerza F que actúa sobre esta segunda carga, Q0, está dada por
QQo
F=EQ0=EQ0n=--2n.
4nR
Si F es la magnitud de F, tenemos:
que es la ley de Coulomb para la fuerza entre dos cargas puntuales 1 5.
15 En ocasiones se ve la fórmula F = (lj4rrc0)QQ0/R" La constante extra c0 aparece cuando se utilizan las unidades
MKS para medir la carga. Estamos utilizando unidades CGS, o gaussianas.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
479
Integrales de superficie sobre gráficas
Finalmente, vamos a deducir las fórmulas de las integrales de superficie para campos vectoria­
les F sobre superficies S que son gráficas de funciones. Consideramos la superficie S descrita
por z = g(x, y) con (x, y) E D, donde S está orientada con la normal unitaria que apunta hacia
aniba:
n
-
+- +1
(ag)2 (ag)2
ex
oy
Hemos visto que podemos parametrizar S por <P: D--> IR3 dado por <P(x, y) = (x, y, g(x, y)). En
este caso, Hs F · dS se puede escribir de una forma especialmente simple. Tenemos:
.
og
TX=l+-;
;--
k,
ox
.
og
T,. =J+-;
;--
k.
.
oy
Así,Tx x T, = - (og/ox)i- (og/oy)j+k. SiF= F1i+F
2
j +F3 k es un campo vectorial con­
tinuo, entonces obtenemos:
Las ecuaciones
z=12,
describen un disco de radio 5 contenido en el plano z = 12. Supongamos que r es el campo
vectorial
r(x,y,z)=
xi +yj +zk.
Calcular Hs r ·dS.
Solución
Haremos el cálculo de tres maneras. Primero, tenemos ozjox = ozjoy = O , ya que z = 12 es
constante en el disco, de modo que
r(x, y, z)·(Tx x Ty) =
r(x,y,z)·(ixj)=r(x,y,z)·k =z.

480
Cálculo vectorial
Utilizando la definición original del comienzo de la sección, la integral pasa a ser:
JL r·dS = Jt zdxdy=JL l2dxdy= 12(área de D
)
=300n.
Una segunda forma de resolver el problema: como el disco es paralelo al plano .<)', la nor­
mal exterior unitaria es k. Por lo tanto, n(x, y, z)=k, y r ·n=z. Por otra parte, IITx x Tvll=
llkil= 1, y por tanto sabemos, por las consideraciones que preceden al Teorema 5, que
ff r-ds=j"f r·nds=JI
zds= rr !2dxdy=3oon.
V
S
.s
S
J.D
Tercera forma: podemos resolver el problema utilizando la Fórmula (4) directamente. con
g(x, y)= 12 y Del disco x
2
+i'-(25:
+y· O+ 12)dxdy= 12 (área de D
)
= 300n.
Resumen: fórmulas para integrales de superficie
1. Superficie parametrizada: ct>(u, v).
a) Integral de una función escalar f:
fLfdS
=
ftf
(<l'>
(u
,
v))IIT, x T,lldudv.
b) Elemento de superficie escalar:
dS=liT, X Tvlldudv.
e) Integral de un campo vectorial F:
d) Elemento de superficie vectorial:
2. Gráfica: z=g(x, y).
dS=(T" x T,) du dv = ndS.
a) Integral de una función escalar f:
J'I fdS=JJI' f (x, :· �(x
,
y))
dxdy.
S
D
COs 8
b) Elemento de superficie escalar:
dS=
dx dy
= l(�
_
g)2 + (�g
_
)2+ 1dxdy,
cos8 V ex
cy
donde cos (-} = n ·k, y n es el vector normal unitario a la superficie.

e) Integral de un campo vectorial F:
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
481
ff Íjl'í clg
clg
)
sF·dS=j
D
\-F1 o
.
�-F
2oy+F
3 dxdy.
d) Elemento de superficie vectorial:
dS=n·dS=
-
�i-_:
:...
j+k dxdy.
(o¡; a¡;
)
3. Esfera:x2+l+z2=R
2
.
a) Elemento de superficie escalar:
.
ex
dS=R
2
sen cpdcpd8.
b) Elemento de superficie vectorial:
dS=(xi +yj +zk)Rsencpdcpd()= rRsencpdcpd8= nR
2
sen cpdcpd8.
l. Supongamos que la temperatura de un punto en iR13 viene dada por T(x, y, z.) 3x2 + 3z2 Calcular el
flujodecaloratravésdelasuperficiex2+z.2=2,O�y�2,sik=1.
2. Calcular el flujo de calor a través de la esfera unidad S si T(x, y, z) x. ¿Puede interpretar su res-
puesta físicamente?
3. SeaSlasuperficiecerradaformadaporelhemisferiox2+/+z2 = 1,z�O,ysubasex2+/�l,
z = O. Sea E el campo eléctrico definido por E(x, y, z) = 2xi + 2yj + 2zk. Hallar el f1ujo eléctrico a
través de S. [INDICACIÓN: Descomponer S en dos trozos, 51 y 5
2
, yevaluar Hs, E·dSyJfs, E·dSpor
separado.]
4. Supongamos que el campo de velocidades de un í1uido está descrito por F = Jy¡ (medido en metros
por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de Huido están atravesando la superficie x2 + z2 = L
O�y�1,O�x�1encadasegundo.
5. Evaluar J]s(\7 x F)·dS,dondeS es la superficie x2 +/ +3z2 = 1, z � O,yFes el campo vectorial
F = yi - xj + zx3/k (supondremos que n, la normal unitaria, apunta hacia arriba).
6. Evaluar Sfs(\7xF)·dS, dondeF=(x2 +y-4)i+3xyj+(2xz+z2)kySes la superficie
x2 + / + ·z2 = 16, z �O (supondremos que n, la normal unitaria, apunta hacia a!Tiba).
7. Calcular la integral Hs F- dS, donde S es toda la superficie de la semiesfera x2 + / + i � 1, z �O
y F = (x + 3l)i +(y+ lOxz)j + (z- xy)k (supondremos que S está orientada por la normal que
apunta hacia el exterior).
8.16
Se está construyendo un restaurante en la ladera de una montaña. En la Figura 7.6.10 se muestran
los planos del arquitecto.
16
La resolución de este problema puede llevar bastante tiempo.

482
Cálculo vectorial
Alzado
X
X
Planta
Figt.tra '?'-6.10� Planos del restaurante.
a) La pared curvada vertical del restaurante se va a construir de cristal. ¿Cuál es el área de esta
pared?
b) El ingeniero consultor informa alpromotor de que para ser rentable el volumen del interior éste
tiene que exceder nR
4
/2. ¿Para qué R satisface la estructura propuesta este requisito?
e) Durante un día de verano típico, los "alrededores del restaurante están sometidos a un campo de
temperaturas dado por
T(x,y,z)=3x2+(y-R)2+l6z2
.
Una densidad de flujo de calor V = - k'VT (k es una constante que depende del grado de aisla­
miento que se va a utilizar) a través de toda la superficie del restaurante (incluyendo el techo y
la pared que está en contacto con la colina) produce un flujo de calor. ¿Cuál es el flujo de calor
total? (La respuesta depende de R y k.)
9. Hallar el flujo del campo vectorial V(x, y, z) = 3.lJ/i +3x2yj +z3k hacia el exterior de la esfera
unidad.
10. Evaluar la integral de superficie Jí5 F· ndS, donde F(x, y, z) = i +j +z(x2 +/)2k y S es la superfi­
cie del cilindro x2 +l�1, O�z�l .
ll. Sea S la superficie de la esfera unidad. Sea F un campo vectorial y F,. su componente radial. Demos­
trar que
ífF·dS = J
2rr
In F;sen qydcpdf!.
v
s
o�o q,�o
¿Cuál es la fórmula correspondiente para funciones f con valores reales?
12. Demostrar el siguiente teorema del valor medio para integrales de superficie: Si F es un campo vec­
torial continuo, entonces
fL F-ndS = [F(Q)·n(Q)]A(S)
para algún punto Q E S, donde A(S) es el área de S. [INDICACIÓN: Demostrarlo primero para funcio­
nes reales, reduciendo el problema a una integral doble. Más concretamente, demostrar que sí g � O,
entonces
ffn.tgdA = j(Q) ffn gdA

7.7.
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
483
para algún Q E D (hacer esto considerando CSSDfgdA)/(SJDgdA.) y usando el teorema de los valores
intermedios).]
13. Deducir una fórmula análoga a la del Ejercicio 11 para la integración sobre la superficie de un cilindro.
14. Sea S una superficie en IR;3, que es en realidad un subconjunto D del plano .l
.
')'. Demostrar que la
integral de una función escalar f(x,y,z) sobre S se reduce a la integral de f(x, y, :;:) sobre D. ¿En qué
se convierte la integral de un campo vectorial sobre S? (Comprobar que la respuesta es compatible
con el Ejemplo 7.32.)
15. Supongamos que el campo de velocidades de un fluido está descrito por F = i + xj + zk (medido en
metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido están cruzando la superficie descrita
por x2 +/+z2 = 1, z�O en cada segundo.
16. a) Un fluido uniforme que fluye verticalmente hacia abajo (lluvia intensa) es descrito por el
campo vectmial F(x, y, z) = (0, O, - 1). Hallar el flujo total a través del cono z = (x2+
x2+/�l.
b) La lluvia es desviada lateralmente por un fuerte viento, de manera que cae con un ángulo de 45°,
r
r
lo que se describe por F(x, y, z) = - ( •.,/2/2, O, --.j2/2). ¿Cuál es ahora el flujo a través del cono?
17. Para a>O, b >O, e>O, sea S la mitad superior del elipsoide
1,z�o}.
con la orientación detenninada por la normal hacia arriba. Calcular Hs F dS, donde F(x, y, z) =
= (x3, O, 0).
18. Si S es la semiesfera superior { (x, y, z) 1 x2 + y2+ z2 = 1, z�O) orientada según la nonnal que apunta
hacia el exterior de la esfera, calcular Hs F · dS para los apartados a) y b).
a) F(x,y,z)=.1.i+yj.
b) F(x, y,z) =yi+xj.
e) Para cada uno de los campos vectoriales anteriores, calcular .fSs (V x F) · dS y Jc F · ds, donde e es
la circunferencia unidad en el plano X)' reconida en sentido contrario al de las agujas del reloj
(vista desde la parte positiva del eje z). (Obsérvese que e es la frontera de S. El fenómeno ilustrado
en este ejemplo se estudiará más a fondo en el capítulo siguiente, usando el teorema de Stokes.)
Aplicaciones a la geometña diferencial,
la Física y a las formas de la vida17
En la primera mitad del siglo XIX, el gran matemático alemán Karl Friedrich Gauss desaiTolló
una teoría de las superficies curvadas en !R3. Más de un siglo antes, Isaac Newton había definido
una medida de la curvatura de una curva en el espacio, y Gauss fue capaz de hallar extensiones
de esta idea de curvatura que podían aplicarse a las superficies. Al hacer esto, Gauss realizó
varios descubrimientos destacables.
17 Esta sección se puede omitir en una primera lectura, sin pérdida de continuidad.

484
Cálculo vectorial
.
Curvatura de superficies
Para trayectorias e: [a, b]--> IR3 parametrizadas por longitud de arco -esto es, lle'(t)ll = 1- la
curvatura K de la curva imagen en el punto e(t), K(e(r)), se define como la longitud del vector
aceleración. Es decir, lle"(t)il = K(e(t)). Para trayectorias e en el espacio, la curvatura es real­
mente una medida de la curvatura de la curva imagen geométrica C. Como vimos al final de la
Sección 7.1, la «CUrvatura total>> S Kds sobre e tiene implicaciones «topológicaS>>. Lo mismo, e
incluso más, sucederá con la definición de Gauss de la curvatura total de una superficie. Co­
menzamos con algunas definiciones.
Sea <P: D --+ �3 una superficie parametrizada suave. Entonces, como sabemos,
y
a<�>
Tv=-�­
OV
son vectores tangentes a la superficie imagen S= <P(D) en el punto <P(u, v). Supondremos ade­
más que existe un vector normal bien definido; es decir, supondremos que la superficie es regu­
lar: Tu X T,. "#O.
Sean
-118<1> 112
E-¡
-
ou'
a<P a<�>
F=-.
­
au Ov'
En el Ejercicio 15 de la Sección 7.5, vimos que
Por razones de notación, denotaremos EG F2 mediante W. Además, denotaremos mediante
al vector normal unitario a la superficie imagen en el punto p = <P(u, v). A continuación defini­
remos dos nuevas medidas de la curvatura de una superficie en p -la «curvatura gaussiana»,
K(p), y la «curvatura media>> , H(p). Ambos conceptos tienen profundas conexiones con la no­
ción de curvatura de las curvas en el espacio, que esclarecen el significado de sus definiciones,
pero no las investigaremos aquí.
Para definir estas dos curvaturas, primero definimos tres nuevas funciones e, m, n sobre S
del modo siguiente:
a2<P
m(p) = N(u, v) ·-.
.;-;;----
= N(u, v)·<P""'
ouov
a2<P
n(p)=N(u, v)·� =N(u, v)·<1>,-c·
uV
La curvatura gaussiana K(p) de S en el punto p viene dada por
en- m2
K(p) = --w-
(1)
(2)

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
485
y la curvatura media H(p) de S en el punto p se define mediante 18
G€+En - 2Fm
H(p) =
2W
(3)
donde los miembros de la derecha de ambas expresiones están calculados en el punto p = <P(u, v).
Los planos tienen curvatura nula Sea <l>(u, v) = :xu + f3v + y, (u, v) E IR2,
donde :x, {3, y son vectores en IR3 Según el Ejemplo 7.15, esto determina un plano parametriza­
do en IR3 Demostrar que en cualquier punto, tanto la curvatura gaussiana como la curvatura
media son cero, y que por tanto K y H son funciones idénticamente nulas.
Solución
Puesto que <�>uu = <�>u,· = <P,.v = O, las funciones €, m, n se anulan en todos los puntos, de mane­
ra que lo mismo ocun-e con H y K. Así, un plano tiene curvatura nula. Por tanto, al menos en
este ejemplo, deberíamos estar convencidos de que H y K miden efectivamente lo «llano» que
es el plano. Recíprocamente, se puede demostrar que si H y K son idénticamente cero, entonces
S es un trozo de plano (L'éase el Ejercicio lO de esta sección).
Curvatura de una semiesfera Sea:
<P(u, v) = (u, v, g(u, v)),
dondeg(u, v) =víR2
-
u2-v
2
es una parametrización de la «Semiesfera superior>> de radio R.
Demostrar que la curvatura gaussiana en cada punto es !/R2 y la curvatura media es 1/R.
Solución
En primer lugar debemos calcular las siguientes cantidades:
Tu, T,TuXT,., <�>uu• <1>,,, <1>,,.,E,G,F,e,m,n.
Antes de nada, tenemos
Según la Fórmula (2) de la Sección 7.3, tenemos
ag.
--¡
ou
ag
j+k
av
u
"
7k,
u�- v-
18
En rigor, K(p) y H(p) podrían depender, en principio. de la parametrización <I> de S, pero se puede demostrar
que en realidad son independientes de <I>.

486
Cálculo vectorial
Por tanto,
A partir del Ejercicio 15 de la Sección 7.5, sabemos que
"
o
(R2 - u2) (R2- u2)- u2v2
liT" xT"W=EG-F -=
o
2
22
(k-U
V)
Ahora un cálculo directo muestra que·
Además,
Así,
uv
<1\v=
2
?
23
'
2k.
(R -u--
u)1
¡(R2-u
2
)
n=N·<P,v =-
2
2
2,
RR-u
-u

Por consiguiente,
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
487
Dividiendo esta cantidad por W obtenemos K= 1íR2
.
Así, la curvatura gaussiana no cambia de
un punto a otro de la semiesfera; es decir, es constante. Esto confirma nuestra intuición de que
la esfera es perfectamente simétrica y de que su curvatura es igual en todas partes. Por tanto, la
curvatura media también debería ser constante. Esto se comprueba mediante el siguiente cálculo:
G€ +En- 2Fm
H=--
----
2W
Superficies de curvatura constante
Las superficies con curvatura gaussiana y curvatura media constantes son de gran interés para
los matemáticos. En el siglo XIX se sabía que las únicas superficies suaves cerradas y acotadas,
«sin frontera» y con curvatura gaussiana constante eran las esferas. En el siglo XX, el matemáti­
co ruso Alexandrov demostró que las únicas superficies suaves cerradas y acotadas, sin frontera,
que no tienen autointersecciones y tienen curvatura media constante también debían ser esferas.
Los matemáticos creían que el resultado de Alexandrov debía ser cierto incluso si se permitían
autointersecciones en la superficie, pero nadie pudo hallar una prueba. En 1984, el profesor
Henry Wente (Toledo, Ohio) sorprendió al mundo al encontrar un toro con autointersecciones y
curvatura media constante.
Las superficies con curvatura media constante son importantes físicamente, y aparecen por
todas partes en la Naturaleza. Las pompas de jabón tienen curvatura media constante distinta de
cero, y las películas jabonosas (que no encierran aire) tienen curvatura media constante igual a
cero (véanse las Figuras 7.7.1 y 7.7.2).
Al principio del siglo XIX, el matemático francés Delaunay descubrió todas las superficies
de revolución que tienen curvatura media constante: el cilindro, la esfera, la catenoide, la undu­
loide y la nodoide. La catenoide puede construirse mediante una película jabonosa tendida entre
dos contornos circulares.

488
Cálculo vectorial
Un helicoide. H = O.
,�:fiigl:tra;'j�fi�l<ÍÍ�l Una película jabonosa. H = O. tendida entre
dos alambres circulares: esta superficie
es la catenoide.
Formas óptimas en la Naturaleza
A lo largo de todas las edades, el hombre se ha preguntado el por qué de las formas de las
cosas. ¿Por qué la Tierra y las estrellas son «redondas>> y no cúbicas? ¿Por qué los seres vivos
tienen las formas que tienen?
En 1917, el filósofo de la Naturaleza británico D' Arcy Thompson publicó un provocativo
trabajo titulado Sobre el Crecimiento y la Fonna, en el que investigaba las fuerzas que actuaban
tras la creación de formas vivas en la Naturaleza. Él escribió:
«En un organismo, grande o pequeño, no es simplemente la naturaleza de los movimientos
de la sustancia viva lo que debemos interpretar en términos de fuerzas (de acuerdo con la
cinética), sino también la configuración del propio organismo, cuya permanencia o equili­
brio se explica mediante la interacción o balance de fuerzas, como describe la estática.»

C��ítulo 7. Integraré� sobre curvas y superficies
489
ENTRE RIOS - REP. ARGENTINA
Sorprendentemente, Thompson descubrió todas las superficies de Delaunay en las formas de
organismos unicelulares (véase la Figura 7.7.3). La curvatura media constante de estos organis­
mos se puede explicar por principios del mínimo semejantes a los descritos en la Nota Histórica
de la Sección 3.3. En 1952, Watson y Crick determinaron que la estructura del ADN era una
doble hélice, un descubrimiento que sentó las bases de la revolución genética. Observando pe­
lículas de jabón, como las de la Figura 7.7.1, vemos que la Naturaleza gusta de las formas heli­
coidales y que tiende a repetir sus diseños. Conocer mejor los ptincipios científicos que subya­
cen a la vida podría ayudar en última instancia a que los matemáticos jugasen un papel más
prominente en esta área de la biología teórica.
Superficies de revolución con curvatura media constante
como organismos unicelulares.
Curvatura y física
La teoría de las superficies curvadas, iniciada por Gauss, tuvo un profundo efecto sobre la
Física. Gauss comprendió que la curvatura gaussiana K de una superficie sólo dependía de
la medida de las distancias sobre la propia superficie; es decir, la curvatura gaussiana era una
propiedad intrínseca de la superficie. Esto no es cierto para la curvatura media H. Así, seres
<<viviendo>> sobre una superficie deberían ser capaces de decir que la superficie está curvada, sin
hacer ninguna referencia a un mundo <<externo>> . El propio Gauss encontró tan asombroso su
resultado matemático, que lo llamó <<teorema egregio>>, o «teorema extraordinario>>. La teoría de
Gauss fue generalizada por su estudiante Bernhard Riemann a superficies n-dimensionales para
las cuales es posible describir una noción de curvatura.
Recordemos que Newton introdujo la idea de una fuerza de atracción gravitatoria actuando a
través de las vastas distancias galácticas. Al principio del siglo xx, Albert Einstein utilizó las
ideas de Riemann para desarrollar la teoría general de la relatividad, una teoría de la gravita­
ción que eliminaba la necesidad de considerar fuerzas (como hizo Newton) actuando a grandes
distancias. La teoría de Einstein explicó la curvatura de la luz a causa del Sol, los agujeros ne­
gros, la expansión del Universo, la formación de las galaxias y el propio Big Bang. Para muchas
aplicaciones, incluyendo la dinámica de nuestro sistema solar, la teoría de Newton es suficiente,
y se usa comúnmente hoy en día por la NASA para diseñar misiones espaciales, como vimos en

490
Cálculo vectoríal
la Sección 4.1. Pero para aplicaciones cosmológicas a grandes escalas, la teoría de Einstein sus­
tituyó a la de Isaac Newton, publicada en sus Principia en 1687.
Como un testamento de su genio, y a pesar del increíble éxito de su teoría, Newton estaba
preocupado por cómo actuaba esta fuerza gravitatoria. No pudo dar más explicación que decir:
«Yo no he sido capaz de deducir a partir de los fenómenos la razón para estas propiedades de la
gravitación, y yo no invento hipótesis; puesto que cualquier cosa que no pueda ser deducida a
partir de los fenómenos debe ser denominada como una hipótesis>>. Además, en una carta dirigi­
da a su amigo, Richard Bentley, Newton escribió:
«El que la gravedad debe ser innata, inherente y esencial a la materia, de modo que un cuer­
po puede actuar a distancia sobre otro, a través del cual su acción puede ser dirigida de uno
a otro, es para mí un absurdo tan grande que creo que ningún hombre, que tenga una facul­
tad aceptable para pensar en temas filosóficos, pueda ni siquiera caer en él.»
Newton acuñó el término acción a distancia (que significa «fuerza actuando a distancia»)
para describir el misterioso efecto de la gravitación a largas distancias. Este efecto es actual­
mente tan difícil de entender como lo fue en la época de Newton.
Johann Bernoulli encontraba difícil aceptar la existencia de una fuerza que actuara a través
del espacio vacío a distancias de cientos . de millones de kilómetros. Consideraba esta fuerza
como algo repulsivo para las mentes acostumbradas a no aceptar principios de la Física a no ser
que fueran incontestables y evidentes. Además, Leibniz consideró la gravitación como un poder
incorpóreo e inexplicable, filosóficamente vacío.
Quizá la mayor inspiración de Albert Einstein fue reemplazar el modelo newtoniano de la
gravitación por un modelo que habría encantado a los antiguos griegos -un modelo geométrico
de la gravitación-.
En la teoría de Einstein, el concepto de fuerza actuando a grandes distan­
cias ha sido sustituido por la curvatura de un mundo espacio-temporal19. Como ilustra la cita
del principio del capítulo, ¡ W. K. Clifford tuvo una premonición de los acontecimientos por ve­
nir! Para aclarar el esquema de Einstein, presentaremos un modelo muy simplificado, que trans­
mite algunas de sus ideas básicas.
Representamos el espacio como una superficie que imaginamos como una cama elástica ori­
ginalmente plana (el estado coJTespondiente al vacío), que está fuertemente deformada en algún
punto por el peso de una gigantesca bola de acero (el Sol). Una pequeña bola de acero rodando
por la cama elástica es nuestro planeta TieJTa (véase la Figura 7.7.4).
Si la bola pequeña rueda por la cama elástica plana, se moverá siguiendo una trayectoria
rectilínea. Sin embm-go, si colocamos la bola gigante de acero en el centro de la cama elástica,
provocará que su superficie se doble, o «curve», incluso «muy lejos» de la bola grande. Si em­
pujamos entonces nuestra bola pequeña, ya no se moverá en línea recta, sino que seguirá una
19 El espacio-tiempo es localmente como IR4 con tres coordenadas espaciales y una coordenada temporal.

trayectoria curva. La gran bola afecta a la trayectoria de la bola pequeña curvando el espacio
alrededor suyo. Con el empujón preciso, la bola pequeña debería incluso orbitar alrededor de la
grande durante cierto tiempo. Este modelo de la cama elástica explica cómo un cuerpo masivo
puede, curvando el espacio, influir sobre otro pequeño a gran distancia.
Einstein afirmó que el espacio-tiempo está curvado por la materia y por la energía. En este
espacio-tiempo curvado, incluso los rayos de luz se tuercen cuando pasan cerca de objetos con
una gran masa, como el Sol. Gracias a Gauss y a Riemann, la curvatura del espacio-tiempo no
requiere ningún universo «externo>> para ser explicada.
(a)
(b)
(e)
(a) Una partícula sobre una cama elástica tensa se mueve en línea recta. (b) Una pesada bola
de acero distorsiona la cama elástica. (e) Una partícula que se mueve sobre la cama elástica
distorsionada sigue una trayectoria curva.

492
Cálculo vectorial
Las ecuaciones que nos dicen cuánto están curvados el espacio y el tiempo a causa de la
materia y la energía se conocen como las ecuaciones del campo de Einstein. Una descripción de
estas ecuaciones está más allá del contenido de este libro, pero no así el núcleo matemático del
cual surgen; este núcleo está basado en otro resultado destacable de las investigaciones de
Gauss y Bonnet.
El Teorema de Gauss-Bonnet
En el Ejemplo 7.34 calculamos la curvatura gaussianaKde la esfera x2 + l + z2 = R2 de ra­
dio R y hallamos que era igual a la constante l/R2. La curvatura gaussianaKes una función con
valores escalares sobre la superficie y, como tal, podemos integrarla sobre la misma. Queremos
considerar una constante multiplicada por esta integral, más precisamente:
1rJ
-
J KdA.
2ns
Para la esfera de radio R, esta cantidad resulta ser
dA-
-2
1
ff 4nR2
2nR2
s
- 2nR2
-
·
Lo que descubrieron Gauss y Bonnet fue que si S es una superficie cualquiera cerrada y «pareci­
da a la esfera>> (cerrad a y acotada, pero sin frontera, como en la Figura 7.7.5), entonces
_!_ffKdA=2
2rr
s
sigue siendo cierto20.
Una esfera deformada. 1 /2rr ffs K dA = 2.
Así, la integral
_1_ 'IKdA
2nJ s
S
20 De modo infonnal, esto significa que S puede obtenerse a partir de la esfera mediante dobleces y estiramientos
(como un globo) pero sin romperse (¡el globo explotaría').

Capitulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
493
siempre es igual al entero 2, y es por tanto un invariante topológico de la superficie. El que la
integral de la curvatura debería ser una cantidad interesante, debería estar ya claro, a partir de la
discusión del final de la Sección 7.1.
Consideremos ahora un toro, superficie con forma de rosquilla. Podemos considerar que el
toro se obtiene a partir de la esfera, recortando dos pequeños discos y pegando en ese lugar un
asa (véase la Figura 7.7.6).
Toro
Además, podemos continuar este proceso añadiendo 1, 2, 3, . .. , g asas a la esfera. Si pe­
gamos g asas, diremos que la superficie resultante tiene género g, como en la Figura 7.7.7.
Obsérvese que el toro tiene género l.
/
Si dos superficies tienen género diferente, son topológicamente distintas, y no se puede
obtener una a partir de la otra mediante dobleces o estiramientos. Dos superficies con el mis­
mo género se pueden colocar en el espacio en fonnas muy diferentes y complejas, como
en la Figura 7.7 .8. Sorprendentemente, incluso aunque la integral (o curvatura total) dada por
(l /2n) Hs K dA dependa del género, no depende de cómo se sitúa la superficie en el espacio
(y por tanto no depende de K).

494
Cálculo vectorial
Rosquilla doble simple
<<La galleta del panadero»
Fl�urá7::i.�;': Dos manifestaciones de una superficie S de género 2 en IR3
Gaus y Bonnet demostraron que
_!_
_
íJ Ké
.
A=2-2g.
2nJ s
Así, para la esfera (g= 0), siempre es igual a 2 (como ya comprobamos); para el toro, siempre
es O (véase el Ejercicio 8 de esta sección).
Hay algo todavía más notable en relación con el teorema de Gauss-Bonnet, observado por el
gran matemático alemán David Hilbert (Figura 7.7.9).
David Hilbert (1862-1943) fue un matemático
destacado en su época.
Hilbert observó que el teorema de Gauss-Bonnet es, en efecto, una versión bidimensional de
las ecuaciones de campo de Einstein. En la literatura física, este hecho se conoce como princi­
pio de acción de Hilbert de la relatividad general21. No resulta extraño que los investigadores
actuales empleen ideas geométricas similares en su esfuerzo por unificar la gravedad y la mecá­
nica cuántica -por «cuantizan> la gravedad, por así decirlo.
21 Véase C. Misner, K. Thome y A. Wheeler, Graeizarion, Freeman, Nueva York, 1972.

l. El helicoide puede describirse mediante:
Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
<l>(u, v) =(ucosv, usenv,bv), donde b #O.
495
Demostrar queH=Oyque K= - b
2
/(b2+u2)
2
. En las Figuras 7.7 .1 y 7.7 .5 vemos que el helicoide
es en realidad una superficie formada por una película de jabón. Las superficies en las cuales H = O
reciben el nombre de superficies mínimas.
2. Considerar la superficie con forma de silla de montar z = xy. Demostrar que
y que
3. Demostrar que <l>(u, v)=(u, v, !og cosu -log cosu) tiene curvatura media cero (y por tanto es una
superficie mínima; véase el Ejercicio 1).
4. Hallar la curvatura gaussiana del paraboloide elíptico
5. Hallar la curvatura gaussiana del paraboloide hiperbólico
6. Hallar la curvatura gaussiana del elipsoide
x
2
y-
z=-;
;
-
b2'
x
2
Y22
2
-+'-
--
+-=!.
a
2
b2 c2
7. Demostrar que la superficie de Enneper
es una superficie mínima (H = 0).
8. Considerar el toro T dado en el Ejercicio 4 de la Sección 7 .4. Calcular su curvatura gaussiana y
comprobar que se cumple el teorema de Gauss-Bonnet. [INDICACIÓN: Demostrar que liTe x T.p!i" =
= (R+coscj;)2yK=cosc/J/(R+coscj;).]
9. Sea la superficie de revolución <l>(u, u)
K= -h"/h[ 1 + (h')
2
}2
(u, h(u) cos v, h(u) sen u), h > O. Demostrar que
10. Diremos que una pa:rametrización <1> de una superficie S es conforme (véase la Sección 7.4), si
E= G, F =O . Supongamos que <1> parametJ.íza de manera conforme a la superficie S22. Demostrar
que si H y K son idénticamente cero, entonces S debe ser un trozo de un plano en IR13
22
Gauss demostró que siempre existe una parametrización confonné de una superficie. El resultado de este ejerci­
cio sigue siendo válido incluso aunque <í> no sea conforme, pero la prneba es más difícil.

496
Cálculo vectorial
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
1. Integrar j(x, y, z)=.xyz a lo largo de las trayectorias siguientes:
a) e(t)=(e' cos t, e' sen t, 3), O� t� 2n.
b) e(t)=(cos t, sen t, t), O� t� 2n.
e) e(t)=� t2 i+2t2j+tk, O� t� l.
d) e(t)=ri +o;.j2)r2j +tr3k, o� t� l.
2. Calcular la integral de f a lo largo de la trayectoria e en cada uno de los casos siguientes:
a) f(x, y, z)=x+y+yz; e(t)=(sen t, cos t, t), O� t� 2n.
b) f(x, y, z)=x + cos2z; e(t)=(sent, cost, t),O� t�2n.
e) j(x, y, z)=x +y+z; e(t)=(t, t2, �t3), O� t� l.
3. Calcular cada una de las siguientes integrales de línea:
a) fe (sen nx) dy - (cos ny) dz, donde e es el triángulo cuyos vértices son (1, O, O), (0. 1, O) y
(0, O, 1), en ese orden.
b) fe (sen z) dx + (cos z) dy - (xy)113 dz, donde e es la trayectoria e(e) = (cos3 e, sen3 e, e),
o� e� 7n/2.
4. Si F(x) es onogonal a e'(t) en cada punto de la curva x=e(t), ¿qué se puede decir de Jc F · ds?
S. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x, y)=(x2 - lli+2xyj para desplazar una partícula en
sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor del cuadrado con vértices (0, 0), (a, 0), (a, a),
(0, a), a> O.
6. Un anillo cuya forma se describe mediante la curva x2+l=a2 está hecho con un alambre fino , que
pesa fxi + fyl gramos por unidad de longitud en (x, y). Hallar la masa del anillo.
7. Hallar una parametrización para cada una de las siguientes superficies:
a) x2+l+l - 4x- 6y=12.
b) 2x2 +l+z2 - 8x= l.
e) 4x2+9/ - 2z2=8.
8. Hallar el área de la superficie definida por <1>: (u, v) >-
->
(x, y, z), donde
x=h(u, v)=u+v,
y=g(u, v)=u,
z=f(u, v) =v;
O� u� 1, O� v� l. Hacer un dibujo.
9. Escribir una fórmula para el área de la superficie <1>: (r, e)>-
->
(x, y, z), donde
X=rCOS e,
y=2rsen e,
z=r;
O� r� 1, O� e� 2n. Describir la superficie.
10. Supongamos que z=f(x, y) y que (ojjcx? +(cjjoy?=c. e >O. Demostrar que el área del trozo de
la gráfica de f situado por encima de una región D contenida en el plano xy es � veces el
área de D.
11. Calcular la integral de j(x, y, z)=x2+l+l sobre la superficie del Ejercicio de repaso número 8.

Capítulo 7. Integrales sobre curvas y superficies
497
12. Hallar SJ5 f dS en cada uno de los siguientes casos:
a) j(x, y, z)=x; S es el trozo del plano x+y+z=1 contenido en el primer octante, definido por
X;?!O,y;?!O,z;?!O.
b) f(x, y, z)=r; S es el trozo del plano x=z contenido dentro del cilindro x2 +l=l.
e) j(x, y, z)=x; S es el trozo del cilindro x2+l=2x con O;( z ;( .,Jx2+l.
13. Calcular la integral de j(x, y, z)=xyz sobre el rectángulo de vértices (1, O, 1), (2, O, 0), (1, 1, 1) y
(2, 1, 0).
14. Calcular la integral de x+y sobre la superficie de la esfera unitaria.
15. Calcular la integral de superficie de x sobre el triángulo de vértices (1, 1, 1), (2, 1, 1) y (2, O, 3).
16. Un paraboloide de revolución S está parametrizado por <l>(u, v)=(u cos v, u sen P, u2), O;( u;( 2,
O;(v;( 2rr.
a) Hallar una ecuación en x, y, z que describa la superficie.
b) ¿Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y v?
e) Hallar un vector unitario ortogonal a la superficie en <l>(u, v).
d) Hallar la ecuación del plano tangente en <l>(u0, v0)=(1, 1, 2) y expresar el resultado de las dos
maneras siguientes:
i) parametrizado en términos de u, v; y
ii) en términos de x, y, z.
e) Hallar el área de S.
17. Sea j(x, y, z)=xeY cos rrz.
a) Calcular F =ílf.
b) Evaluar le F · ds, donde c(t)=(3 cos4 t, 5 sen7 t, 0), O;( t;( rr.
18. Sea F(x, y, z) = x i+y j+zk. Calcular Hs F · dS, donde S es la mitad superior de la esfera unitaria
x2+l+i=l.
19. Sea F(x, y, z)=xi +yj+zk. Calcular Se F . ds, donde c(t)=(e', t, r), o;( t ;( l.
20. Sea F =ílf, dQnde fes una función e�calar dada. Sea c(t) una curva cerrada, es decir, c(b)=c(a).
Demostrar que le F · ds=O.
21. Considerar la superficie <l>(u, v)=(u2cosv, u2 senv, u). Calcular la normal unitaria en u=1, v=O.
Hallar la ecuación del plano tangente en ese punto.
22. Sea S el trozo del cono i=x2+l con z entre 1 y 2, orientado mediante la normal que apunta hacia
fuera del cono. Calcular Hs F · dS, donde F(x, y, z)=(x2, l. z2).
23. Sea F
xi+x2j+yzk un campo vectorial que representa el campo de velocidades de un fluido
(con la velocidad medida en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido cruzan
elplanoxyatravésdelcuadradoO;(x;(1,O;(y;(1encadasegundo.
24. Demostrar que el área del trozo de la esfera x2+ y2+z2=1 situado encima del rectángulo conteni­
doenelplanoxy[-a,a]x[ a,a],donde2a2<1,es
A=2fa arcsen(' 1 a
-a
y1

498
Cálculo vectorial
25. Sea S una superficie y C una curva cetTada que la limita. Comprobar la identidad
JL (\7 x F)-dS=L F-ds
si F es un campo gradiente (utilizar el Ejercicio de repaso número 20).
26. Calcular SJs F · dS, donde F(x. y, z)=(x, y,
� y) y S es la superficie cilíndrica definida por
x2 + l= l. O� z� 1, con la orientación dada por la normal que apunta hacia el exterior del ci­
lindro.
27. Sea S el trozo del cilindro x2 + l=4 limitado por los planos z=O, z= x + 3. Calcular las integra­
les siguientes:
a) Hs x2dS.
b) Jfs /dS.
e) J.fs z2dS.
28. Sea 1 la curva formada por la intersección del plano z=ax + b:v con el cilindro x2 + y2= l. Hallar
todos los valores de los números reales a y b tales que a2 + b2= 1 y
J_ydx + (z � x)dy- ydz=O.
29. Una hélice circular contenida en el cilindro x2 + l=R2, con pendiente p , se puede describir para­
métricamente mediante
x=Rcose,
y=Rsen8,
z=p8, e)oo.
Una partícula se desliza a lo largo de la hélice bajo la acción de la gravedad (que actúa paralela­
mente al eje s) sin rozamiento. Si la partícula comienza a la altura z0 > O, entonces cuando alcanza la
altura z, O� z < z0, sobre la hélice su rapidez viene dada por
ds c-­
dt
=�(zo � z)2g,
donde s es la longitud de arco a lo largo de la hélice, g es la constante gravitatoria, y tes el tiempo.
a) Hallar la longitud del trozo de hélice comprendido entre los planos z= z0 y z= z1, O� z1 < z0.
b) Calcular el tiempo T0 que tarda la partícula en alcanzar el plano z=O.

8.1.
Los teoreanas de integración
del análisis vectorial
Toda la teoría del mouimiento de los fluidos ha sido reducida a la solu­
ción de fórmulas analiticas.
Los fluidos son mucho más sencillos de beber que de entender.
A hora ya estamos preparados para relacionar el cálculo diferencial vectmial con el cálculo
integral vectorial. Esto se hará mediante los importantes teoremas de Oreen, Oauss y
Stokes. Además, destacaremos algunas de las aplicaciones físicas de estos teoremas para el es­
tudio de la electricidad y el magnetismo, la hidrodinámica, la conducción del calor y las ecua­
ciones diferenciales.
Los teoremas básicos del análisis vectorial tienen su origen en las aplicaciones. Por ejemplo,
el teorema de Oreen, descubierto hacia 1828, surgió en conexión con la teoría del potencial (que
incluye los potenciales gravitatmios y eléctricos). El teorema de Oauss -el teorema de la di­
vergencia- apareció en relación con el estudio de la capilaridad (este teorema debería ser atri­
buido conjuntamente a Oauss y al matemático ruso Ostrogradsky, quien lo descubrió aproxima­
damente al mismo tiempo). El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez en una carta
enviada a Stokes por el físico Lord Kelvin en 1850, y fue utilizado por Stokes en los exámenes
para el Premio Smith en 1854.
El teorema de Green
El teorema de Orcen relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cen-ada C en el
plano
con una integral doble en la región encen-ada por C. Este importante resultado se

500
Cálculo vectorial
generalizará en las secciones siguientes a curvas y superficies en IR3. Nos referiremos a integra­
les de línea a lo largo de curvas que son la frontera de regiones elementales (véase la Sección
5.3). Para entender las ideas de esta sección puede ser necesario remitirse a la Sección 7.2.
Regiones simples y elementales, y sus fronteras
Una curva cerrada simple e que es la frontera de una región elemental tiene dos orientaciones
-la contraria al sentido de las agujas del reloj (positiva) y la del sentido de las agujas del reloj
(negativa). Denotaremos e con la orientación opuesta a la de las agujas del reloj por e
+
, ycon
la orientación correspondiente a la de las agujas del reloj por e- (véase la Figura 8.1.1 ).
Orientación positiva
(a)
Orientación negatíva
(b)
(a) Orientación positiva de C.
(b) Orientación negativa de C.
La frontera e de una región y-simple se puede descomponer en sus partes inferior y supe­
rior, e1 y e2, y (en su caso) segmentos vettica!es a izquierda y derecha, B1 y B2• Siguiendo la
Figura 8.1.2. escribimos,
donde el superíndice « + >> indica que las curvas están orientadas de izquierda a derecha o de
abajo a arriba, y el superíndice « - >> indica que las curvas están orientadas de derecha a izquier­
da o de arriba a abajo.
a
b
Dos ejemplos que muestran cómo descomponer la frontera positivamente orientada
de una región y-simple Den varias componentes orientadas.
Podemos hacer una descomposición semejante de la frontera de una región x-simple en tro­
zos izquierdo y derecho, y (en su caso) segmentos horizontales superior e inferior (Figura 8.1.3).
Análogamente, la frontera de una región simple tiene dos descomposiciones -una en mitad
superior y mitad inferior, y otra en mitad izquierda y mitad derecha.

El teorema de Green
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
501
':Fi�tira a:t.�.� Un ejemplo que demuestra cómo descomponer
la frontera positivamente orientada de una
región x-simple en componentes orientadas.
A continuación vamos a demostrar dos lemas previos al teorema de Green.
DEMOSTRACIÓN Supongamos que la región D está descrita por
a�x�b,
Descomponemos e+ escribiendo e+ =e( + B:{ + e2- + s; (véase la Figura 8.1.2). Por
el teorema de Fubini, podemos calcular la integral doble como una integral iterada, y usar
entonces el teorema fundamental del cálculo:
JI 0p
fb f<h.(xl 8P
-;:;-
-
(x, y)dxdy =
-:
:;--
(x, y)dydx
DOy
a
</J¡(X) oy
fb
=
a [P(x, cp2(x)) - P(x, cp1(x))] dx.
Por otra parte, como et puede parametrizarse mediante x�-+ (x, cp¡(x)), a� X� b, y e;
puede parametrizarse mediante x �-+ (x, cp2(x)), a� x :S b, tenemos
fb
P(x, 4J1(x)) dx = Í P(x, y) dx
a
Jet

502
Cálculo vectorial
y,
fb
�
P(x, 4>ix))dx = j
+
P(x, y) dx.
a
.
e2
Entonces, invirtiendo las orientaciones·.
Por tanto,
-
fb P(x, 4>ix))dx = J � P(x, y)dx.
a
e2
ff �pdxdy= - r Pdx-
f Pdx.
DO)'
o�ej
C?_
Como x es constante en B:{ y B1-, tenemos
de modo que
fPdx= O=
f Pdx,
B1
s-¡
J� Pdx=J Pdx+f.Pdx+J Pdx+f Pdx=J Pdx+J Pdx,
e+
ej
B2
e2
Bj
ej
C2
de donde finalmente obtenemos
f'( aP
dxdy= - f Pdx- f Pdx= -J. Pdx.
JD ay
et
e2
C'
A continuación probamos un lema análogo intercambiando los papeles de x e y.
DEMOSTRACIÓN Supongamos que D está dada por
e:(y:(d.
Utilizando la notación de la Figura 8.1.3 y observando que y es constante en B'( y B2, te­
nemos
í.Qdy=J' - .
é
+
-
Qdy= í. +Qdy+
f�Qdy,
..
..
e+
e1,-B1+e2+B2
..,
e2
e1

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
503
donde e2
+
es la curva parametrizada por y>-
-+
(t/12(y),y), e:S;y:S;d,yeteslacurva
y>-
-+
(t/J1(y), y), e :S; y :S; d. Aplicando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cál­
culo, obtenemos
f"
oQ
fd f¡fo(y) oQ
f'd
J�dxdy=
-.
-:
:;--
dxdy = J [Q(t/Jh), y) � Q(¡j¡1 (y), y)] dy
DOX
e
tf¡(v) OX
e
r.Qdy�1 Qdy=J" Qdy+1 Qdy=1 Qdy.
�c2
ct
e�
e¡
e+
Sumando los resultados de los Lemas 1 y 2, se prueba el siguiente (e importante) teorema.
La orientación correcta (positiva) para la curva frontera de D se puede recordar usando el
siguiente truco: si caminamos a lo largo de la curva e con la orientación correcta, la región D
debe estar a nuestra izquierda (véase la Figura 8.1.4).
Una generalizacion del teorema de Green
La orientación correcta
para la frontera
de una región D.
El teorema de Green en realidad es válido para cualquier región «decente>> en IR
2
.
Por ejemplo,
el teorema de Green es válido en regiones que no son simples, pero que se pueden descomponer
en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Se muestra un ejemplo en la Figura 8.1.5. La
región D es un anillo; su frontera consiste en dos curvas e = e1 + e2 con las orientaciones
indicadas. (Obsérvese que para la región interna la orientación coiTecta para asegurar la validez
del teorema de Green es en el sentido de las agujas del reloj; ¡el truco de la Figura 8.1.4 conti­
núa sirviendo para recordar la orientación!) Si se aplica el Teorema 1 a cada una de las regio­
nes D1, D2, D3 y D4, y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de
Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas

504
Cálculo vectorial
interiores en direcciones opuestas se cancelan entre sí. Este truco, en efecto, muestra que el teo­
rema de Green es cierto para prácticamente todas las regiones con fronteras razonables que uno
puede esperar encontrarse (véase el Ejercicio 8 de esta sección).
:·¡,;,;;::.;;��'�R''\i''J:
:
'l;\j El teorema de Green es válido
enD=D1uDzuD3uD4.
Utilicemos la notación oD para la curva Qrientada e+, es decir, la curva frontera de D orien­
tada en el sentido descrito por la regla ilustrada en la Figura 8.1 A. Entonces podemos escribir el
teorema de Green corno:
f
ÍI (aQ ap)
Pdx+Qdy=
--;:
:-:
-
-;
;-:
dxdy.
8D
V
DOX
Oy
El teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la fron­
tera de una región con una integral de área sobre el interior de la región, y en muchos casos será
más fácil evaluar la integral de línea que la integral de área, o viceversa. Por ejemplo, si sabe­
mos que P se anula en la frontera, podemos concluir inmediatamente que JS0 (oP/oy)dxdy = O
incluso aunque oPjay no se anule en el interior. (¿Puede el lector construir una tal P en el cua­
drado unidad?)
Comprobar el teorema de Green para P(x, y) = x y Q(x, y) = xy, donde D es el
cír.culo unidad x2 + / � l.
Solución
Haremos la comprobación evaluando directamente ambos lados del teorema de Green. La fron­
tera de D es la circunferencia unidad parametrizada por x = cos t, y = sen t, O � t � 2n, y por
tanto:
fPdx+Qdy=(
2"
[(cost)(-sent) + costsentcosr]dt
ao
Jo
-
[cos2 tl 2n
[ cos3
tl 2rr
-
-
--
+---
-
0.
2o
3o

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
SOS
Por otro lado,
Ir (�o � �p)dxdy = Jí ydxdy,
Jv ex
oy
Jv
que también es cero, por simetJia. Por tanto, el teorema de Green se satisface en este caso.
Áreas
Podemos usar el teorema de Green para obtener una fórmula para el área de una región acotada
por una curva cerrada simple.
DEMOSTRACIÓN Sea P(x, y) = �y, Q(x, y) = x; entonces, por el teorema de Green te-
nemos
1f
1
JÍ, [ax 3(�y)
J
-
xdy�ydx=-
-
�
--
dxdy
2oD
2•D3x3y
= �JL[1 + l]dxdy = JLdxdy =A.
Sea a> O. Calcular el área (véase la Figura 8.1 .6) de la región encerrada por la
hipocicloide definida por x213 + /13 = a213 usando la parametrización
X= acos3 e,
y= asen3e,
o� e� 2n.
Solución
Según el teorema anterior, y usando las identidades trigonométricas cos2 e + sen2 e = 1,
sen 28 = 2 senecose, y sen2 q:, = (l - cos 2c/J)/2, obtenemos
A=� f xdy-ydx
2av
l 12rc
1
7
o
7
=
-
[(a cos· e)(3a sen-ecos 8) - (a sen·' e)(- 3a cos-esen e)] de
2o

506
Cálculo vectorial
3 1'2n
3 f2n
=-a
2
J (sen
2
8 cos
4
8+cos
2
8 sen
4
8)d8= - a
1
sen
2
8 cos
2
8d8
2
o
2
o
�(-a, 0)
=-a
2
sen
2
28d8= - a
2
dfJ
3 fln
312
" (l - COS48)
8
o
8
o
2
=-a
1
d()--a
2
cos 48 d()
3 f2n
3 12"
16
o
16
o
y
(0. a)
(0, -a)
3
-
rca
2
.
8
Forma vectorial utilizando el rotacional
La hipocicloide x = acos3e,
y= asen3e, o� e� 2n.
El enunciado del teorema de Green admite una expresión particulam1ente simple utilizando el
lenguaje de los campos vectoriales. Como veremos, esta expresión indica el camino para una
posible extensión del teorema a IR3•
Este resultado se sigue del Teorema 1 y de la fórmula (V X F). k = aQ¡ax- ap¡ay. Sugerimos
al lector que complete los detalles en el Ejercicio 14 de esta sección.

k
X
Capitulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
507
�í!Jill'a 8.1�'i;�'' La forma vectorial del teorema de Green.
Sea F(x, y)= (x/, y + x). Integrar (V x F) ·k en la región contenida en el pri­
mer cuadrante acotada por las curvas y = x2, y= x.
Solución
Método l. Primero calculamos el rotacional,
( oF2 oF1)
VxF=OO---=(1-?xv)k
'
'
,.
.,
""\
_...-"
.
ox
oy
Por tanto, (V x F) ·k= 1 - 2xy. Esta función se puede integrar sobre la región D (véase la Fi­
gura 8.1 .8) utilizando integrales iteradas del modo siguiente:
y
(0, O)
Método 2.
fL (V x F)·kdxdy= I f: (1- 2xy)dydx = I [y-
dx
= r[x-x3-x2+x5]dx=�-�
-
�+� = ��.
;!igü:�¡(�?f,.��� La región acotada por las curvas y= x2 e y= x.
Utilizamos el Teorema 3 para obtener:
f·¡(V x F)·kdxdy =
f F·ds.
Jn
Z:D
La integral de línea de F a lo largo de la curva y = x de izquierda a derecha es:
J
•l
rol
1
0F1dx+F2dy=t(x3+2x)dx=4+1
S
4

508
Cálculo vectorial
Alolargodelacurvay=x
2
obtenemos
rl
t'l
12l4
F1dx+F2dv=j x
5
dx+(x+x
2
)(2xdx) = - +
-
+-=
-.
,.�o
.
o
6323
Por tanto, recordando que la integral a lo largo de y = x ha de tomarse de derecha a izquierda,
como en la Figura 8.1 .8,
Í F·ds=�
JaD 3
5
412
Forma vectorial usando la divergencia
Hay otra versión del teorema de Green que se puede generalizar a IR3.
DEMOSTRACIÓN Recordemos que c'(t) = (x'(t), y'(t)) es tangente a 3D, y observemos que
n·e
'
= O. Por tanto, n es normal a la frontera. El signo de n se elige de manera que eones­
panda a la dirección hacia el exterior de la región (en lugar de hacia el interior). Por la defi­
nición de integral de línea (véase la Sección 7.2),

fJ
f'h P(x(t), y(t))y'(t) - Q(x(t), y(t))x'(t) 1
"
.
"
F·qds =
,
"
v [x'(tW + [y'(tWdt
CD
a
y[x'(t)]- + [y'(t)f
= f [P(x(t), y(t))y'(t)- Q(x(t), y(t))x'(t)}dt
= j'·.
Pdy- Qdx.
cD
Por el teorema de Green, esto es igual a
ff (oP oQ
}Ir
-;
;-
+-::;- dxdy=
divFdA.
DOX
O)'/
vD
Sea F = li + x5j. Calcular la integral de la componente normal del campo F a
lo largo del cuadrado unidad.
Solución
Esto puede resolverse usando el teorema de la divergencia. En efecto,
f- F·nds=
J(f divFdA.
oD
D
Pero div F =O, y por tanto la integral es nula.
l. Usando el teorema de Green, evaluar Jc y dx - x dy, donde C es la frontera del cuadrado
[ -!, 1] x [- l, 1] orientada en la dirección contraria al sentido de las agujas del reloj.
2. Hallar el área del círculo D de radio R usando el teorema de Green.
3. Comprobar el teorema de Green para el círculo D de centro (0, O) y radio R, y las funciones:
a) P(x, y) =xy
2
, Q(x,y)= -yx
2
b) P(x, y) =x +y, Q(x, y) =y.
e) P(x,y)=xy =Q(x,y).
d) P(x, y) =2y, Q(x, y) =x.
4. Utilizando el teorema de la divergencia, demostrar que Jav F · n ds = O, donde F(x, y) = yi - xj y D
es el círculo unidad. Comprobarlo además directamente.
5. Hallarelárealimitadaporunarcodelacicloidex=a(O-sen8),y =a(!-cos0),dondea>Oy
O�()�2n,yelejex(usarelteoremadeGreen).

510
Cálculo vectorial
6. Bajo las condiciones del teorema de Green, demostrar:
a)
b)
r
JI [ (aP aP) (ao aQ\)]
.
PQdx+PQdy=
Q ---:;-
-
+P--:
:;--
-� {b.:dy.
_,?D
D
ax O)'
OX
ay
f' ap
aQ)
(aQ
3P) fi(32Q
32P
)
.
(Q-:;--P-:;- dx+ P� -Q-:;- dy=2
P�-- Q� dxdy.
cD
OX
OX
O)'
O)'
.,D
OXO)'
7. Evaluar la integral de línea
donde e es la circunferencia unidad, y comprobar el teorema de Green para este caso.
8. Demostrar la siguiente generalización del teorema de Green: Sea D una región en el plano .xy cuya
frontera está formada por un número finito de curvas orientadas simples y cerradas. Supongamos
que, utilizando un numero finito de segmentos paralelos a los ejes coordenados, D puede descom­
ponerse en un número finito de regiones simples D1, con la frontera de cada D1 orientada en el senti­
do contrario al de las agujas del reloj (véase la Figura 8.1 .5). Entonces, si P y Q son de clase e1 en
D.
JI(ao 3P) r
--:
:;--
--:
dxdy=
Pdx+Qdy,
DOX
0)'
.,CD
donde 3D es la frontera orientada de D. (INDICACIÓN: Aplicar el teorema de Green a cada D1.)
9. Comprobar el teorema de Green para el integrando del Ejercicio 7 (es decir, P = 2x3 - l y
Q = x3+il y la región anuJlli· descrita por a � x2+/ � b, con la frontera orientada como en la
Figura 8.1.5.
10. Sea D una región en la cual es válido el teorema de Green. Supongamos que f es armónica; es decir,
en D. Demostrar que
ra¡
a¡
- dx- --dv=O.
•an3y
3x·
11. a) Comprobar el teorema de la divergencia para F=xi+yj y D el círculo unidad x2+/ � 1.
b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyi - /j a lo largo de la elipse definida por
x2ía2+/¡b2=l.
12. Sea P(x, y)=-
+/) y Q(x, y)=x/(Y+/). Suponiendo que D es el círculo unidad, analizar
por qué no es cierto el teorema de Green para P y Q en esta región.
13. Utilizar el teorema de Green para evaluar fe+
+x3)dx+x4dy, donde e+ es el perímetro del
cuadrado [0, 1] x [0, 1] recorrido en la dirección contraria a la cie las agujas del reloj.
14. Comprobar el Teorema 3 demostrando que ('V x F) ·k=3Q/3x- 3Pj3y.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
511
15. Usar el Teorema 2 para calcular el área encerrada por la elipse x2ja2 + lfb2 = 1.
16. Usar el Teorema 2 para recuperar la fórmula del área para una región expresada en coordenadas po­
lares�A = iJ� r2d&.
17. Esbozar la prueba del teorema de Green para la región mostrada en la Figura 8.1.10.
�F'i�l.Ir���·iE�O:·i Demostrar el teorema de Green para esta región.
18. Demostrar la identidad
19. Utilizar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro pétalos r = 3 sen 28.
(INDICACIÓN: xdy- ydx = r2d8].
20. Demostrar que si e es una curva cerrada simple que acota una región en la cual es aplicable el teore­
ma de Green, entonces el área de la región D encen·ada por e es:
A=f Xdy=- f. ydx.
co
ao
Demostrar que de esto se deduce el Teorema 2.
Los ejercicios del 21 al 29 ilustran la aplicación del teorema de Green a las ecuaciones en derivadas
parciales. (En el suplemento de Internet se tratan aplicaciones más avanzadas.) En particular, se refieren
a propiedades de soluciones de la ecuación de Laplace, es decir, funciones armónicas. Para estos ejer­
cicios, sea D una región abierta en \R2 con frontera oD. Sea u: D u cD-+ IR ww función continua que es
de clase e2 en D. Supongamos que pE Des un punro de D y que la bola cerrada BP
= Bp(p)de radiop
centrada en p está contenida en D para O < p �R. Definimos l(p) mediante la fórmula
l(p)=�J uds.
p <iBp
21. Demostrar que limp-o l(p) = 2nu(p).
22. Sea n la normal exterior unitaria a oBP y oujon = Vu· n. Demostrar que
fou
-ds
3B 011
p
23. Usando el Ejercicio 22, demostrar que /'(p) = (l/p)JS8
P
V2u dA.

512
Cálculo vectorial
24. Supongamos que u satisface la ecuación de Laplace 'i72u = O en 13. Usar el ejercicio anterior para
demostrar que
u(p) = -1- J uds.
2nR asR
(Esto expresa el hecho de que el valor de una función armónica en un punto es la media de sus valores a lo
largo de cualquier circunferencia centrada en él.)
25. Utilizar el Ejercicio 24 para demostrar que si u es armónica (es decir, sr \¡2u = 0), entonées u(p)
puede expresarse como una integral de área:
u(p)=�JIudA.
nR
BR
26. Supongamos que u es una función armónica definida en D (es decir, 'i72u = O en D) y que u tiene un
máximo (o mínimo) local en un punto p deD.
a) Demostrar que u debe ser constante en algún círculo centrado en p. [INDICACIÓN: Utilizar el re­
sultado del Ejercicio 25.]
b) Supongamos queD es conexo por arcos (es decir, dados dos puntos cualesquiera p y q conteni­
dosenD,existe un caminocontinuo e: [0,1]-+Dtalquee(O)=pye(1)= q)yqueparaalgún
pel máximo o mínimo en p es absoluto; entonces u (q) � u(p) o u (q) � u(p) para todo q en D.
Demostrar que u debe ser constante enD.
(El resultado de este ejercicio se llama priizcipio del máximo fuerte (o principio del mínimo fuerte)
para funciones armónicas. Compárese esto con los ejercicios del 36 al 40 de la Sección 3.3.)
27. Se dice que una función es subarmónica en D si 'i72u �O para todos los puntos de D. Se dice que es
superarmónica si 'i72u � O.
a) Deducir un principio del máximo fuerte para funciones subannónicas.
b) Deducir un principio del mínimo fuerte para funciones superarmónicas.
28. SupongamosqueD es el círculo {(x, y)1x2 + y2 <1} y ees la circunferencia {(x, y)1x2 +:l = 1}.
En el suplemento de Intemet demostraremos que si f es una función continua con valores reales en
e. entonces existe una función continua u definida en D u e que coincide con f sobre e y es ar­
mónica en D. Es decir, f tiene una extensión armónica al círculo. Suponiendo cierto este resultado,
demostrar lo siguiente:
a) Si q es una función continua no constante enD u e que es subarmónica (pero no armónica) en
D, entonces existe una función continua u definida en D u C que es armónica en D tal que u
coincide con q sobre eyq <u en todoslospuntos deD.
b) El mismo resultado sigue siendo válido si «subarmónica» se sustituye por «Superarmónica», y
«q <u» por <<q >u».
29. Sea D como en el Ejercicio 28. Sea f: D-> IR. una función continua. Demostrar que hay una única
solución de la ecuación 'i72u = O que satisfaga u(x) = f(x) para todo x E 3D.
30. Usar el teorema de Oreen para demostrar el siguiente caso particular de la fórmula del cambio de
variables:
JIdxdy = Jí /í3(x,
11dudv
D
.
JD* O(u, V)
para una transformación (u, v) f-7(x(u, v), y(u, v)).

8.2.
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
S13
EL·teorema de Stokes
El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una
curva simple cerrada C en IR3 con una integral sobre una superficie S cuya frontera es C. En este
sentido, es muy similar al teorema de Green.
El teorema de Stokes para gráficas
Comencemos por recordar algunos hechos estudiados en el Capítulo 7. Consideremos una su­
perficie S que es la gráfica de una función f(x, y), de manera que S puede parametrizarse por
{X= U
y=v
z =f(u, v) =f(x, y)
para (u, v) en algún dominio Den el plano. La integral de una función vectorial F sobre S fue
desarrollada en la Sección 7.6 como:
dondeF=F1i+F2j+F3k.
az) ( az)
J
-;.:
:-
+F2 --;.:
:-
+ F3 dxdy,
OX
O)'
(l)
En la Sección 8.1 comenzamos por suponer que considerábamos regiones D simples; aun­
que esta hipótesis se usaba en la pmeba del teorema de Green, observamos que en realidad el
teorema es válido para una clase más amplia de regiones. En esta sección supondremos que D
es una región cuya frontera es una curva cerrada simple, y en la cual el teorema de Green es
aplicable. El teorema de Green exige elegir una orientación de la frontera de D, como se explicó
en la Sección 8.1. La elección de la orientación coherente con el teorema de Green se llamará
positiva. Recuérdese que si D es simple, entonces la orientación positiva es la opuesta al sentí­
do de las agujas del reloj.
Supongamos que e: [a, b]-+ IR2, c(t) = (x(t), y(t)) es una parametrización de aD en la direc­
ción positiva. Entonces definimos la curva frontera as como la curva orientada cerrada y sim­
ple que es la imagen de la aplicación p: tl-7(x(t), y(t), f(x(t), y(t))), con la orientación inducida
por p (Figura 8.2.1).
Para recordar esta orientación (es decir, la dirección positiva) sobre as, el lector puede ima­
ginar que es un «observador>> que camina a lo largo de la frontera de la superficie de manera
que el vector normal señala hacia arriba; entonces la dirección del movimieilto será positiva si
la superficie está a la izquierda. Esta orientación de as se llama frecuentemente orientación
inducida por una normal hacia arriba n.

n
X
aD
'.Figura 8:2:1;: La orientación inducida en as. Cuando
se camina a lo largo de la frontera.
la superficie debe estar a la izquierda.
Recuérdese que J85 F · ds es la integral a lo largo de as de la componente tangencial de F,
mientras Hs G ·dS es la integral sobre S de G · n, la componente normal de G (véanse las Sec­
ciones 7.2 y 7.6j. Por tanto, el teorema de Stokes dice que la integral de la componente normal
del rotacional de un campo vecrorial F sobre una supeificie S es igual a la integral de la com­
ponente tangencial de F a lo largo de la frontera as.
DEMOSTRACIÓN Si F = F1i + F2j + F3k, entonces
(3F3 aF2) . (aF1 aF3) . (aF2 aF1)
rotF=
-
�-
1+-
�
-
J+-
�
-
k
ay az
3z ax
axay.
Por tanto, usamos la Fórmula (l) para escribir
Por otro lado,
ff Íf [(3F3 3F2)( az)
rot F·dS =
-
�
-
..,-
�
�
S
�
D
ay
OZ
OX
(aF1 aF3)( az) (aF2 aF1)]
+ -�-
�
-
..,-
�
:;-
-
+ -..,-
�
-..,- dA.
oz
ox
oy
ox
oy
(2)
donde p: [a, b]--+ IR3, y p(t) = (x(t), y(t), j(x(r), y(t))) es una parametrización que preserva
la orientación de la curva simple orientada as discutida antes. Por tanto,
f fb(
dx
dv
dz)
F·ds =
F1-+F2..
...::_
+ F3- dt.
as
a
dt
dt
dt
(3)

<;:apítulo 8. Los teoremas de integraCión del análisis vectorial
S1S
'_·';·-�';',.
�',-
_., -,
Por la regla de la cadena,
dz ozdx ozdy
-
=--
+-­
dt axdt aydt
Sustituyendo esta expresión en la Ecuación (3), obtenemos
(4)
Aplicando el teorema de Green a la Ecuación (4) resulta (estamos suponiendo que el teorema
de Green es válido en la región D)
f·¡ [oCF2 + ;3oz/oy) � acF¡ + �F3az;ax1
Jd.A.
JD OX
dy
Ahora usamos la regla de la cadena, recordando que F1, F2 y F3 son funciones de x, y, z, y
que z es una función de x, y, de modo que
Puesto que las derivadas cruzadas coinciden, los dos últimos términos de cada paréntesis se
cancelan entre sí, y podemos reordenar los ténninos restantes para obtener la integral de la
Ecuación (2), lo que concluye la prueba.
Sea F = yez i + xe2j + xye2k. Demostrar que la integral de F a lo largo de una
curva cerrada orientada y simple C que es la frontera de una superficie S vale O (supóngase que
S es el grafo de una función, como en el Teorema 5).
Solución
En efecto, Je F · ds = Hs (\7 x F) · dS, por el teorema de Stokes. Pero, calculando el rotacional,
jk
aaa
VXF=
=O,
axayoz
yez xé xyé
y por tanto Jc F · ds = O. Alternativamente, también podemos observar que F = \7(.AJ•e2), de ma­
nera que su integral a lo largo de una curva cenada es cero.

S16
Cálculo vectorial
Usar el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea
donde e eS la intersección del cilindro X2 + y2= J y el plano X+ y+ Z= 1, y la orientación de
e corresponde a un movimiento en sentido contrario al de las agujas del reloj en el plano xy.
Solución
La curva e limita la superficie S definida por la ecuación z = l - x
-
y=f(x, y), para (x, y) en
el conjunto D={ (x, y) 1 x2 + l "( 1} (Figura 8.2.2). Consideramos el campo F= -li+x3j- z3k,
cuyo rotacional es \7 x F =(3x2+ 3/)k. Entonces, por el teorema de Stokes, la integral de lí­
nea es igual a la integral de superficie
X
IL(\7 X F)·dS.
(0, 1, 0)
¡.-
--
--'-
--
-�y
La curva Ces la intersección del cilindro
x2 +y2
= 1ydelplanox+y+z= 1.
Pero \7 x F sólo tiene componente k. Por tanto, según la Fórmula (l), tenemos
JL (\7 x F)·dS = JL (3x2 + 3/)d:xdy.
Esta integral puede evaluarse cambiando a coordenadas polares. Haciendo esto, obtenemos:
1'1'
11 r27t
J·l
63
3 J I (x2+/)dxdy=3
r2·rd8dr=6n
r3dr=�=�
.D
O.,o
O
4
2

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
S17
Comprobemos directamente este resultado evaluando la integral de línea
fe
-
ldx+x3dy- z3dz.
Podemos parametrizar la curva 3D mediante las ecuaciones
X= COSt,
y= sen t,
z=O,
O�t�2n.
Por tanto, la curva C estará parametrizada por
X=COS t,
y= sent,
Entonces,
fe
-
ldx+x3dy= z3dz
z=l-sent-cost,
= f:" [(- sen3 t)( sen t) + (cos3 t)(cos t)
-
(1- sent- cost)3(-cost +.sent)]dt
O�t�2n.
�J:" (cos4 t+ sen4t) dt - f:" (1 - sen t - cos r)3(- cost+ sen t) dt.
El segundo integrando es de la forma u3 du, donde u = 1 - sent - cos t, y por tanto la integral
es igual a
Por tanto, sólo queda calcular
1
-
[(1 sen t - cost)4l6" = O.
4
fo2
" (cos4t + sen4 t) dt.
Esta integral puede evaluarse utilizando las Fórmulas (18) y (19) de la tabla de integrales.
También podríamos usar el procedimiento siguiente: utilizar las identidades trigonométricas,
-
cos 2t
sen2t=-- - -
2
l +cos2t
cos2t =--
-
-
2
sustituyendo y elevando al cuadrado estas expresiones, la integral anterior se reduce a
-
(1+ cos2 2t) dt =n+-
cos2 2t dt.
l 12"
1 12"
2o
2o
Usando nuevamente la identidad cos2 2t = (1 + cos 4t)/2, resulta
1 12"
1 12"
1 1.2"
n+-
(1+ cos4t)dt=n+-
dt +-
cos4tdt
4o
4o
4�o
n
3n
=n+-+0=-.
2
2

518
Cálculo vectorial
El teorema de Stokes para superficies parametrizadas
Para simplificar la prueba del teorema de Stokes que dimos anteriormente, hicimos la hipótesis
de suponer que S podía ser descrita como la gráfica de una función z = f(x, y), (x, y) E D, donde
D es una región en la cual es aplicable el teorema de Green. Sin embargo, sin mucho más es­
fuerzo podemos conseguir un teorema más general para superficies parametrizadas orientadas
S. La complicación principal es la definición de la frontera de S.
Supongamos que <1>: D-+ !R;3 es una parametrización de una superficie S y e (t) = (u(t), v (t))
es una parametrización de oD. Podríamos tener la tentación de definir as como la curva para­
metrizada por t>-
--i>
p(t) = <(l(u(t), v(t)). Sin embargo, con esta definición, as podría no ser la
frontera de S en ningún sentido geométrico razonable.
Por ejemplo, podríamos concluir que la frontera de la esfera unidad S parametrizada usando
coordenadas esféricas en IR;3 es la mitad del círculo máximo contenido en el plano xz, pero cla­
ramente, en un sentido geométrico, S es una superficie suave (sin picos o cúspides) que no tiene
ni frontera ni borde en modo alguno (véase la Figura 8.2.3 y el Ejercicio 20 de esta sección).
Por tanto, ese círculo máximo es en algún sentido la frontera «incorrecta» de S.
S
(0, 1, 0)
y
Podemos evitar esta dificultad suponiendo que 4> es uno-uno sobre todo D. Entonces la ima­
gen de aD bajo <1>, es decir, <l>(oD), será la frontera geométrica de S= <I>(D). Sí c(t) = (u(t), v(t))
es una parametrización de í3D en la dirección positiva, definimos oS como la curva cerrada
orientada y simple que es la imagen de la aplicación p: t..
....,
<l>(u(t), v(t)), con la orientación de
oS inducida por p (véase la Figura 8.2.1).
Este teorema se prueba del mismo modo que el Teorema 5.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
519
Sea S la superficie mostrada en la Figura 8.2.4, con la orientación indicada. Sea
F=yi-xj+exzk.EvaluarJSs(VxF)·dS.
Solución
Esta superficie se puede parametrizar utilizando coordenadas esféricas basadas en el centro de
la esfera. Sin embargo, no necesitamos hallar <1> explícitamente para resolver este problema. Por
el Teorema 6, Hs (V X F).dS = Ses F.ds, y, por tanto, si parametrizamos as por x(t) = cos t,
y(t) =sent,O�t�2n, obtenemos
f 1•2n(dx dv\ r2n
il
n
F·ds =
y-
-
x_:_}dt=1 (-sen
2
t-cos2t)dt= -
dt= -2n
as
•o
dt
dt;
.Jo
o
yportantoHs(VxF)·dS= -2n.
X
Fiiaura;·s.�!A,;;: Esta superficie S es una porción de una esfera
colocada sobre el circulo x
2
+y
2
= 1. No incluye
el círculo x
2
+y
2
< 1 contenido en el plano zy.
El rotacional como circulación por unidad de área
A continuación vamos a usar el teorema de Stokes para justificar la interpretación física de
V x F en términos de una rueda con palas que se propuso en el Capítulo 4. Parafraseando el
Teorema 6, tenemos:
ff (rotF)·ndS = JI (rotF)·dS = f F·ds =
f FTds,
S
S
3S
3S
donde FT es la componente tangencial de F. Esto dice que la integral de la componente nonnal
del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie orientada S es igual a la integral de
línea de F a lo largo de as, que a su vez es igual a la integral de trayectoria de la componente
tangencial de F sobre as.
Supongamos que V representa el campo de velocidades de un fluido. Consideremos un pun­
to P y un vector unitario n. Sea SP el círculo de radio p y centro P que es perpendicular a n. Por
el teorema de Stokes,
ffrotV·dS = ffrotV·ndS= Jf'_ V·ds,
Sp
Sp
oSP

520
Cálculo vectorial
donde oSP tiene la orientación inducida por n (véase la Figura 8.2 .5).
n
Por el teorema del valor medio para integrales (Ejercicio 12, Sección 7 .6), existe un punto Q
en sp tal que
Jr rotV·ndS = [rotV(Q)·n]A(Sp),
o)Sp
donde A(Sp) = nl es el área de SP y rotV(Q) es el valor de rotV en Q. Entonces,
lim -
1
-
f..
V·ds=lim-
1
- JI (rotV) ·dS
p�o A(Sp) asp
p�o A(Sp)
sr
Por tanto1,
= lim rotV(Q)·n = rot V(P)·n.
p�o
rotV(P)·n = lim -1- f . V·ds.
p�o A(Sp) as r
(5)
Detengámonos a considerar el significado físico de S e V·ds cuando V es el campo de ve­
locidades de un fluido. Supongamos, por ejemplo, que V apunta en la dirección tangente a la
curva orientada e (Figura 8.2.6). Entonces, claramente fe V·ds >O, y las partículas de e
tienden a girar en sentido contrario al de las agujas del reloj. Si V apunta en la dirección
opuesta, entonces Se V·ds < O, y las partículas tienden a girar en el sentido de las agujas del
reloj. Si V es perpendicular a C, entonces las partículas no rotan sobre e en modo alguno, y
Se V·ds = O. En general, Se V·ds, que es la integral de la componente tangencial de V, re­
presenta la cantidad neta de giro del Huido en sentido contrario al de las agujas del reloj a lo
largo de C. Por esta razón, Se V·ds se denomina la circulación del campo V alrededor de e
(véase la Figura 8.2 .7).
Estos resultados nos conducen a ver el significado preciso de rotV respecto del movimiento
de un fluido. La circulación Sas V. ds es la velocidad neta del fluido alrededor de asp, de modo
que (rotV)·n representa el efe�to de giro o rotación del fluido alrededor del eje n.
' Algunos textos informales adoptan la Ecuación (5) como definición del rotacional, y la usan para «demostrar>> el
teorema de Stokes; sin embargo, este método aumenta el riesgo de caer en un razonamiento circular, puesto que para
demostrar que la Ecuación (5) realmente define un vector «rot V(P)>> es necesario usar el teorema de Stokes, o algún
argumento similar.

Movimiento
de las partículas
del t1uido
\.
.
V
(a)
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
521
Movimiento
de las partículas
del t1uido
\.
(b)
¡�É1i�ii��!�:i�riJ Circulación de un c ampo vectorial (campo de velocidades de un fluido): (a) la circulación
alrededor de e es cero; (b) circulación no nula alrededor de e («remolino»).
Obsérvese que la máxima mag nitud de rotV(P) ·n se alcanza cuando n = rotV/IIrotV 11 (eva­
luado en P). Por tanto, el efecto de rotación en Pes mayor con respecto al eje que es paralelo al.
vector rotV/ 11 rotV 11. Por tanto, rotV es adecuadamente llamado el vector vorticidad.
Podemos utilizar estas ideas para calcular el ro tacional en coordenadas cilíndricas.
Sean e" e8, ez los vectores unitarios asociados a las coordenadas cilíndricas,
como se muestra en la Figura 8.2.8. Sea F = F,.e,. + F¡¡e 8 + Fz ez (los subíndices en este caso
denotan componentes de F, no derivadas parciales). Hallar una fórmula para la componente e,.
de \7 x F en coordenadas cilíndricas.

522
Cálculo vectorial
X
Solución
e,
:'f¡�!JI'�:�.ll!.'s;> Vectores ortonormales ero e0 y ez asociados a las
coordenadas cilíndricas. El vector e,. es paralelo
a la línea denotada por r.
Sea S la superficie representada en la Figura 8.2.9. El área de S es rd8dz, y el vector normal
unitario es e,..
La integral de F a lo largo de los bordes de S es aproximadamente
X
[F8(r, 8, z)- F0(r, 8, z + dz)lrd8 + [Fz(r, 8 + d8, z)- F:(r, 8, z)] dz
d8
aF0
aF,
;:
:::
-- dzrd8+�
' d(Jdz
az
ae
··
Por tanto, la circulación por unidad de área es esta expresión dividida por rd8dz, es decir,
1 aFz aFe
- �--
ra8az
De acuerdo con el resultado que relaciona circulación y rotacional, esto debe ser la componente
e,. del rotacional.
El gradiente, la divergencia y el rotacional en coordenadas
cilíndricas y esféricas
Por argumentos semejantes a los del Ejemplo 8.8, encontramos que el rotacional en coordena­
das cilíndricas viene dado por
e,.
re0 ez
1aaa
\?XF=-
araeaz
r
F,.
rF8 Fz

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
523
Podemos encontrar otras cantidades vectoriales importantes expresadas en diferentes sistemas
de coordenadas. Por ejemplo, la regla de la cadena prueba que el gradiente en coordenadas ci­
líndricas es
_
a¡
1,f
,a¡
\7f---;:
:--
e
r
+-
-�e0-r--;:
:--
e
0
,
or
rcfl
cz
y en la Sección 8.4 desarrollaremos técnicas relacionadas, que dan la fórmula siguiente para la
divergencia en coordenadas cilíndricas:
1la
3F1¡
a
J
\7•F=-
-.
.:;-
(rF
r
)+--:
:;---
+-(rF) .
ror
ofl az
Las fórmulas correspondientes para gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas esféricas
son
y
a¡
1a¡
1a¡
\7{=-e +--e + ---- e
.
3pppocpq,psencpaee
1a2
1a
1 aFe
'V·F =- -(pF)+-- --
-,-
(sencpFq,) + - --
p
2
ap
p
psencp acp
psencp ae
[1a
1 aFq,
J
\7xF=
---
-;:;-
--
(sen cpF
8
)----
-
-
fl
eP
psencp ocp
psencp a
[1 aF
P
1a
J[1a
1aF
P
J
+ ---
---:
::--
(pF
8
)edJ+ --(pF)-
-
-
�-e
8
,
psencp ae p op
.
pap 'P pocp
donde e
P
,e
q,
, eB son vectores unitarios como se indica en la Figura 8.2.1 O y
:n1�u•.'l.·•
•
·�'�'"' Vectores ortonormales eP. eq, y e0 asociados
X
con las coordenadas esféricas.
La ley de Faraday
El cálculo vectorial juega un papel central en la teoría del electromagnetismo. El siguiente
ejemplo muestra cómo se aplica el teorema de Stokes.

524
Cálculo vectorial
Sean E y H campos eléctrico y magnético respectivamente, dependientes del
tiempo, en el espacio tridimensional. Sea S una superficie con frontera C. Definimos:
r E·ds = circulación del campo eléctrico alrededor de e,
vC
ff H·dS = flujo del campo magnético a través de S.
La ley de Faraday (véase la Figura 8.2.11) afirma que la circulación del campo eléctrico al­
rededor de e es igual a la tasa de cambio de flujo del campo magnético a través de S, cam­
biada de signo. Demostrar que la ley de Faraday se sigue de la siguiente ecuación diferencial
(una de las ecuaciones de Maxwell):
aH
VxE=
ar·
e
La Ley de Faractay.
Solución
Supongamos que � oHjot= V X E. Por el teorema de Stokes,
tE·ds = fL(\7 >-. E)·dS.
Suponiendo que podemos pasar la derivada 3/ot dentro de la integral, obtenemos
y por tanto
-!}_JI H·dS =JI -
oH
·dS =JI(VXE)·dS = f E·ds
Ots
s
Ot
s
e
f E·ds =��JI H·dS,
C
Ot
s
que es la ley de Faraday.

C:ápítulo 8. Los teoremas d-"e
·
integración del análisis vectorial
525
'.
-
.-
Suplemento a la Sección 8.2: Teorema de Stokes.
astronautas y gatos que se caen
La caída de un gato
Todos nos hemos preguntado en alguna ocasión por qué los gatos caen siempre de pie. Si sol­
tamos a un gato desde una posición de reposo en la que sus patas están por encima de su cabe­
za, el gato es capaz de retorcerse, cambiar su orientación 180° y caer sobre sus patas. Este fenó­
meno bien conocido ha fascinado a la gente por muchos años -¡especialmente en ciudades
como Nueva York, donde se conocen gatos que han sobrevivido a caídas de 8 a 30 pisos!
Se han dado muchas explicaciones inconectas a la habilidad de los gatos para enderezarse
en el aire, incluyendo la idea de que eso tenía que ver con el modo en que el gato hace girar su
cola. Esto no puede ser cierto, porque hay razas de gatos que no tienen cola (Manx cats) y, sin
embargo, ¡pueden realizar esas hazañas!
Uno observa, como en la Figura 8.2 .12, que el gato consigue cambiar claramente su orien­
tación retorciendo su cuerpo, creando cambios en su configuración o forma interna. Visto super­
ficialmente, esto produce una aparente contradicción; puesto que el gato parte de una posición
de reposo, tiene momento angular cero al inicio de la caída y, por tanto, de acuerdo con una ley
básica de la física llamada conservación del momento angular, el gato tiene momento angular
cero durante toda su caída2• Sorprendentemente, el gato cambia efectivamente su posición an­
gular, ¡mientras que mantiene el momento angular nulo!
.
������a�.z:iz';'t: Un gato se endereza durante su caída retorciendo
partes de su cuerpo.
El proceso exacto por el que esto acune es sutil; los razonamientos intuitivos pueden con­
ducimos por caminos enóneos y, como hemos indicado, se han ofrecido muchas explicaciones
falsas a lo largo de la historia de los intentos de resolución de este misterio3. Recientemente, se
han aportado nuevas e interesantes ideas usando métodos geométricos que, en efecto, están rela­
cionados con la curvatura (véase la Sección 7.7)4.
2 Vimos un ejemplo de la ley de conservación del momento angular en la Sección 4. I, Ejercicio 20.
3 Otro popular argumento falaz para demostrar que un gato no puede girar sobre sí mismo mientras cae (¡ !) es el
siguiente: «Aceptamos de la física que el momento angular es el momento de inercia por la velocidad angular (los
momentos de inercia se discuten en la Sección 6.3). Pero el momento angular del gato es cero, de manera que la veloci­
dad angular también debe ser cero. Como la velocidad angular es la razón del cambio de la posición angular, la posición
angular es constante. Por tanto. el gato no puede girar.» ¿Dónde está el enor? Este argumento ignora el hecho de que el
gato cambia su forma, y por tamo su momento de inercia. durante la caída.
4 Véase T. R. Kane y M. Scher, «A Dynamical Explanation of the Falling Cat Phenomenon», Int . J. Solids Struct., 5
(1969): 663-670. Véase también R. Montgomery, dsoholonomic Problems and Sorne Applications», Commun. Math.
Phys., 128 (1990): 565-592; R. Montgomery, «How Much Does a Rigid Body Rotare? A Berry's Phase from the IS'h

526
Cálculo vectorial
El modo en que la curvatura y la geometría están relacionadas con el fenómeno de los gatos
en caída libre no es fácil de explicar en todos sus detalles, pero podemos explicar un fenómeno
semejante que es sencillo de entender. Uno de los puntos a destacar es que el teorema de Stokes
es la clave para probar todos los teoremas significativos.
Cambios en la orientación de astronautas
Otro ejemplo para ayudar a visualizar este efecto es considerar astronautas que quieren cambiar
de orientación por sí mismos, en el espacio libre. Como el gato en caída, de nuevo este movi­
miento puede conseguirse usando giros internos, o cambios de forma. Por ejemplo, considere­
mos un astTonauta que mueve sus brazos como si estuviera removiendo con un palo un líquido
en un gran caldero. Los brazos se dirigen hacia delante, en un plano horizontal paralelo al suelo,
a la altura de los hombros; las manos se cierran juntas y permanecen en este plano horizontal
durante el movimiento circular. En el punto de máxima extensión de los brazos, el momento de
inercia del cuerpo con respecto a un eje vertical también alcanza su máximo. La conservación
del momento angular requiere que el cuerpo gire en sentido opuesto, proporcionalmente al mo­
vimiento de los brazos. Cuando los brazos giran y se aproximan al tronco, en cambio, el mo­
mento de inercia del cuerpo se reduce. El movimiento de reacción del cuerpo por tanto también
se reduce. Así, en un ciclo completo del movimiento de los brazos, el cuerpo sufre una rotación
neta en la dirección opuesta al movimiento. Cuando se alcanza la orientación deseada, el astro­
nauta tan sólo necesita detener el movimiento de sus brazos para permanecer en reposo. Fre­
cuentemente, el movimiento adicional alcanzado de esta manera se denomi nafase geométrica.
Conexión con la geometriá no euclídea
La teoría de fases geométricas también aparece de manera interesante en la geometría no
euclídea como en la geometría de los triángulos dibujados sobre una esfera. Una manera sen­
cilla de explicar esta conexión es la siguiente. Supongamos que mantenemos el brazo estirado,
permitiendo el giro del hombro. Movemos la mano a lo largo de tres círculos máximos, forman­
do un triángulo sobre una esfera imaginaria; durante el movimiento a lo largo de cada arco,
mantenemos el pulgar paralelo; es decir, la mano se mueve de modo que el pulgar forma un
ángulo fijo con respecto a la dirección del movimiento en cada arco, y no gira cuando pasamos
de un arco a otro. Tras completar el circuito alrededor del triángulo, el pulgar habrá girado un
cierto ángulo con respecto de su posición de partida (véase la Figura 8.2.13). ¿Puede ver el lec­
tor en la Figura 8.2.13 que el ángulo de rotación es de 90° (o n/2 radianes) y que esto es lo que
ocurre cuando hace el experimento por sí mismo?
Para triángulos esféricos genéricos, este ángulo (en radianes) viene dado por e = L1 - n,
donde L1 es la suma de los ángulos del tliángulo. El hecho de que e es estrictamente positivo (¡ !)
es uno de los postulados básicos de la geometría no euclídea -¡la suma de los ángulos de un
triángulo sobre la esfera es mayor que rr! Este ángulo también está relacionado con el área A
encerrada por el triángulo mediante la relación e = A/r
2
, donde r es el radio de la esfera. El
Century», Am. J. Phys., 59 (l99lb): 394-398. Véase también J. E . Marsden y J. Ostrowski, «Symmetries in Motion:
Geometric Foundations of Motion Control», Nonlinear Science Today (!998), http:/¡link-springer-ny.com; R. Batter­
man, «Falling Cats, Parallel Parking, and Polarized Light», Phi/os. Soc. Are. (2002); http://philsci-archive.pitt.edufdocn­
mentsjdisk0/00/00JOS/83, http:j;www.its.caltech.edu/ �mleokjfalling_cats.htm, y las referencias allí contenidas.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
527
�igu;á�;��!��% Un movimiento paralelo del pulgar alrededor de un
triángulo esférico produce un desplazamiento de fase.
cambio en el ángulo del pÚlgar tras su recorrido alrededor del triángulo esférico está directa­
mente relacionado con la curvatura de la esfera y con el área encerrada por el camino que se
describe. Obsérvese primero que para un triángulo esférico que sea 1/8 de la esfera, A = 4nr2/8
= nr2/2. Por tanto, Ajr2 = n/2. Obsérvese también que cuando r--> oo, la esfera se hace cada
vez más plana y por tanto se aproxima a un plano euclídeo, en cuyo caso e = O.
El recorrido cíclico del pulgar a lo largo del camino cerrado es análogo al movimiento cí­
clico interno hecho por el gato durante su caída; el giro de 90° en la dirección del pulgar tras
una vuelta es análogo a la reorientación de 180° del gato. Una mirada más profunda a las mate­
máticas subyacentes demuestra que, en efecto, son dos manifestaciones del mismo fenómeno
(denominado holonomía) -y el teorema de Stokes es la clave para comprenderlo.
l. Repetir el Ejercicio 5 de la Sección 7.6 usando el teorema de Stokes.
2. Repetir el Ejercicio 6 de la Sección 7.6 usando el teorema de Stokes.
3. Comprobar el teorema de Stokes para la semiesfera superior z = )1 - x2
-l.z)oO,yelcampo
vectmial radial F(x, y, z) = xi + yj + zk.
4. Sea S una superficie con frontera as, y sea E un campo eléctrico perpendicular a as. Demostrar que
el flujo magnético inducido a través de S es constante en el tiempo. [INDICACIÓN: Usar la ley de
Faraday.]
5. Sea S la superficie cilíndrica con tapa mostrada en la Figura 8.2.14. S es la unión de dos super­
ficies, S1 y S
2
, dondeS1 eselconjuntodepuntos(x, y, z)tales que:?+y2= 1,O�z�1,yS2
eselconjuntodepuntos(x, y,z)talesquex2+l+(z-1)2=1,z)ol.SeaF(x,y,z)=
(z.x + z2y + x)i + (z3yx + y)j + z4x2k. Calcular Í.Ís(V x F) · dS. [INDICACIÓN: El teorema de Stokes
es válido para esta superficie.]
6. Sea e el camino formado por los segmentos rectilíneos que unen (1, O, 0), (0, 1, 0) y (0, O, l), y
sea S el triángulo con estos vértices. Comprobar el teorema de Stokes directamente para
F=yzi+xzj+xyk.
7. Calcular la integral Hs (V x F) · dS, donde S es la porción de la superficie de una esfera definida por
x2+l+z2=1yx+y+z)o1,ydondeF=rx(i+j+k),r =xi+yj+zk.

528
Cálculo vectorial
X
Este cilindro con tapa es la unión de 51 y 52.
S. Demostrar que los cálculos del Ejercicio 7 pueden simplificarse observando que Jas F·dr =
J8¿; F · dr para cualquier otra superficie .L Eligiendo :E apropiadamente, JJ¿; (V x F)·dS puede ser
fácil de calcular. Demostrar que éste es el caso si tomamos como :E el trozo del plano x + y + z = 1
acotado por el círculo oS.
9. Calcular la integral de superficie Hs (V' x F)·dS, donde S es la semiesfera x2 + y2 + z2 = l, x � O,
y F =x3i- /j.
.
10. Hallar fSs (V x F)·dS, donde S es el elipsoide x2 + / + 2z2 = lO y F es el campo vectorial
F = (senxy)i + exj - yzk.
11. Sea F =yi - xj+ zx3/k. Hallar Hs(V x F)· ndA, donde S es la superficie definida por
x2+l+l=l,z:(O.
12. Un globo de aire caliente tiene forma de esfera truncada, como se muestra en la Figura 8.2 .15. Los
gases calientes se escapan a través de la superficie porosa del globo según un campo de velocidades
V(x,y,z)=Vx<J>(x,y,z),
donde <J>(x,y,z)= -yi+xj.
Si R =5, calcular el flujo de los gases a través de la supe1ficie del globo.
R/4
X
13. Demostrar que la ley de Faraday implica V x E = 8Hí8t.
14. Sea S una superficie, y sea F perpendicular a la tangente a la frontera de S. Demostrar que
fL(V X F)·dS =O.
¿Cuál es el significado físico de este resultado si F es un campo eléctrico?

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
529
15. Considerar dos superficies, S1 y S2, con la misma frontera as. Describir mediante un esquema cómo
deben orientarse S1 y S2 para asegurar que
ÍI(V' X F).dS=fJ� (V' X F).dS.
-
�
�
16. Para una superficie S y un vector fijo v, demostrar que
donde r(x, y, z) =(x, y, z).
2 JL v·ndS=
Ls
(v x r)·ds,
17. Razonar intuitivamente que si S es una superficie cerrada, entonces
fL(V' X F).dS=o
(véase el Ejercicio 15). (Una superficie cerrada es aquella que forma la frontera de una región acota­
da en el espacio; por ejemplo, una esfera es una superficie cerrada.)
18. Si e es una curva cerrada que es la frontera de una superficie S, y f y g son funciones e2, demostrar
que
a) f fV'g·ds= !f (Y'j x V'g)·dS.
e
•
s
b) L (j\i'g + g\i'f)·ds=O.
19. a) Si e es una curva cerrada que es la frontera de una superficie S, y v es un vector constante,
demostrar que
fe
v·ds=O.
b) Demostrar que el resultado anterior es cierto aunque e no sea la frontera de ninguna superfi­
cie S.
20. Demostrar que la parametrización de la esfera unitaria dada por <1>: D-+ IR3, D
=[0, n] x [O, 2n],
<1>(</J, 8)=(cos 8 sen</>. sen 8 sen </J, cos </>),manda la frontera de Den la mitad de un círculo máximo
en S.
21. Verificar que se cumple el Teorema 6 para el helicoide <l>(r, 8)=(reos 8, rsen 8, 8), (r, 8) E
[0, 1] x [0, n/2], y el campo vectorial F(x, y, z)=(x, y, z).
22. Demostrar el Teorema 6.
23. SeaF=x2i+(2xy+x)j+zk.Seanelacircunferenciax2+l=1ySelcírculox2+l:;:;:lcon­
tenidos en el plano z =O.
a) Determinar el flujo de F hacía el exterior de S.
b) Determinar la circulación de F a lo largo de C.
e) Hallar el flujo de V' x F. Comprobar directamente en este caso el teorema de Stokes.

530
8.3.
Cálculo vectorial
24. Sea S una supe1ficie con frontera eS, y supongamos que E es un campo eléctrico perpendicular a cS.
Usar la ley de Faraday para demostrar que el flujo magnético inducido a través de S es constante en
tiempo.
25. IntegrarVxF,F =(3y, -xz.-
sobre el trozo de la superficie 2z = x
2
+ / que está por debajo
del plano z = 2 de dos formas: directamente y usando el teorema de Stokes.
26. La ley de Ampere afirma que si la densidad de cmTiente eléctrica se describe por un campo vectorial
J y el campo magnético inducido es H, entonces la circulación de H alrededor de la frontera e de
una superficie S es igual a la integral de J sobre S (es decir, la COJTiente total que atraviesa S). Véase
la Figura 8.2.16. Demostrar que esto es una consecuencia de la ecuación de Maxwell estacionaria
VXH=J.
Corriente 1 =
de flujo J
H
J
27. La ley de Faraday relaciona la integral de línea del campo eléctrico alrededor de una espira e con la
integral de superficie de la tasa de cambio del campo magnético sobre una superficie S con frontera
C. Tomando la identidad V x E = - 3Hj3t como ecuación básica, la ley de Faraday es una conse­
cuencia del teorema de Stokes. como vimos en el Ejemplo 8.9.
Supongamos que tenemos dados un campo eléctrico y un campo magnético en el espacio, que
satisfacen la relación V x E = - éiH/ct. Supongamos que e es la frontera de la banda de Miibius,
mostrada en las Figuras 7.6.3 y 7.6 .4 . Puesto que la banda de Miibius no es una superficie orientable,
el teorema de Stokes no se puede aplicar sobre ella. ¿En qué se transforma la ley de Faradayry ¿Cuán­
to debería valer Jc E · ds?
28. a) Si escribimos en coordenadas esféricas
er= e>:i+f3j+;;k,hallare>:,f3yy.
b) Encontrar fórmulas semejantes para eq, y e0.
Campos conservativos
En la Sección 7.2 vimos que en el caso de un campo de fuerza S que proviene de un gradiente,
F = V'f, las integrales de línea de F se calculaban del modo siguiente.
1 F·ds =f(c(b))- f(c(a)).
El va.ror de la integral sólo depende de los puntos extremos de la trayectoria, c(b) y c(a). En
otras palabras, si: usásemos otra trayectoria con los mismos puntos inicial y final, seguiríamos
obteniendo el mismo resultado. Esto nos lleva a decir que la integral es independiente de la
trayectoria�.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
531
Los campos que provienen de un gradiente son importantes en muchos problemas físicos.
Por ejemplo, si V= � f representa una energía potencial (gravitatoria, eléctrica, etc.), entonces
F representa una fuerza5 Considérese el ejemplo de una partícula de masa m en el campo gravi­
tatorio terrestre; en este caso .f viene dada por Gmfvf/r o V= � GmM/r, donde G es la constante
gravitatoria, M es la masa de la TieiTa y r es la distancia desde el centro de la Tierra. La fuerza
cmTespondiente es F = � (GmM/r
3
)r = � (GmM/r
2
)n, donde n es el vector unitario en la di­
rección radial. Obsérvese que F no está definida en el punto r = O.
¿Cuándo un campo vectorial es un gradiente'?
Deseamos caracterizar los campos vectoriales que pueden escribirse como un gradiente. Nuestra
tarea se simplifica considerablemente gracias al teorema de Stokes.
DEMOSTRACIÓN Probaremos la siguiente cadena de implicaciones, con lo cual demostra­
remos el teorema:
i)=ii)=iii)=>iv)=i).
Primero demostramos que la condición i) implica la condición ii). Supongamos que e1 y e2
son parametrizaciones que representan a C1 y C2, con los mismos puntos extremos. Entonces,
construimos la curva cenada e obtenida recorriendo primero e1 y después �e2 (Figura 8.3.1)
o, simbólicamente, la curva e = e1 e2. Suponiendo que la curva resultante e es simple, la
condición i) implica
fF·ds=fF·ds�fF·ds=O,
e
e¡
c2
5 Sí se utiliza el signo menos, entonces V es decreciente en la dirección de F.
6 En el plano [R(2 no se permiten puntos excepcionales (véase el Ejercicio 12 de esta sección). El Teorema 7 puede
probarse del mismo modo si F está definido y es de clase C1 sólo en un conjunto abierto y convexo de iR(2 o IR(·'. (Un
conjunto D es convexo si P, Q E D implica que el segmento que une P y Q también está contenido en D.)

532
Cálculo vectorial
(a)
(b)
Construcción de una curva
cerrada simple orientada
c1- c2 (a) a partir de dos
curvas simples orientadas (b).
y por tanto se satisface la condición ii). (Si e no es simple, se requiere un argumento adicio­
nal, que omitimos aquí.)
A continuación, demostramos que la condición ii) implica la condición iii). Sea C una
curva simple orientada que une un punto cualquiera, que podemos suponer el origen (0, O, 0),
con (x, y, z), y supongamos que C está representada por la parametrización e (si (0, O, O) es
un punto excepcional para F, entonces podemos elegir un punto inicial para e distinto del
origen, sin que el argumento se vea alterado). Definimos f(x, y, z) como Je F · ds. Por la
hipótesis ii), f(x, y, z) es independiente de C. Vamos a demostrar que F = grad f. En efecto,
elegimos como e la trayectoria mostrada en la Figura 8.3.2, de modo que
X
j(x,y,z)=rF1(t,O,O)dt+ ÍYF2(x,t,O)dt+ eF3(x,y,t)dt,
Jo
Jo
.o
(x,y, z)
Se sigue del teorema fundamental del cálculo que 3J/3z = F3. Podemos repetir este pro­
ceso usando otras trayectorias diferentes para ir de (0, O, O) a (x, y, z) (por ejemplo, trazando
los segmentos que unen (0, O, O) con (0, y, 0), éste punto con (x, y, 0), y finalmente este
último con (x, y, z)), demostrando de manera análoga que 3fjox = F1 y 3f/3y = F2 (véase el
Ejercicio 22 de esta sección). Por tanto, V'f= F.
En tercer lugar, la condición iii) implica la condición iv), puesto que, como se probó en
la Sección 4.4,
V'XV'j=0.
Finalmente, sea e una representación de una curva cerrada C y sea S cualquier superficie
cuya frontera es e (si F tiene puntos singulares, elegimos S de forma que no contenga nin­
guno de ellos). La Figura 8.3.3 indica que probablemente siempre podremos encontrar tal

e
n
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
533
superficie; sin embargo, una prueba fom1al de este hecho requiere el desarrollo de ideas ma­
temáticas más sofisticadas que las que podemos presentar aquí.
Por el teorema de Stokes,
LF·ds= 1 F·ds = JL (V x F)·ndS = JL (rotF)·ndS.
Puesto que V x F = O, esta integral es nula, de modo que la condición iv) => condición i).
Interpretaciones físicas de J e F · ds
Ya hemos visto con anterioridad que una interpretación de la integral de línea dice que ésta es
el trabajo realizado por F al mover una partícula a lo largo de C. Una segunda interpretación es
la noción de circulación, que vimos al final de la sección anterior. Recordemos que, en ese caso,
interpretamos F como el campo de velocidades de un fluido; es decir, en cada punto P del es­
pacio, F toma el valor del vector velocidad del fluido en ese punto P (en la sección anterior,
denotamos F como V). Sea e una curva cerrada, y sea �s una pequeña cuerda dirigida de C.
Entonces, F · �s es aproximadamente la componente tangencial de F multiplicada por ll�sll. La
circulación Se F·ds es la componente tangencial neta alrededor de C. Una pequeña rueda con
paletas colocada en el fluido debería girar si está centrada en un punto en el cual F es cero y la
circulación del fluido es no nula, o Se F·ds f= O, para pequeñas curvas cerradas e alrededor de
ese punto (véase la Figura 8.3.4).
rotF
":
:¡
fc'''�!",�:!;�;:t�:,1i'c\'·' Se F· ds #O implica que una rueda con paletas
sumergida en un fluido con campo de
velocidades F girará alrededor de su eje.

534
Cálculo vectorial
Existe una interpretación similar en la teoría electromagnética: si F representa un campo
eléctrico, entonces la corriente fluirá alrededor de una espira C si Je F · ds # O.
Por el Teorema 7, un campo vectorial F tiene circulación cero si y sólo si rotF = V x F=O.
Por tanto , un campo vectorial F con rotF = O se llama irrotacional. Por tanto, hemos demos­
trado que un campo vectorial en IR3 es irrotacional si y sólo si es un campo gradiente para
alguna función, es decir, si y sólo si F = V
.
f. La función f se denomina función potencial del
campo F.
Considerar el campo vectorial F en IR3 definido por
F(x, y, z)=yi + (zcosyz + x) j + (ycosyz)k.
Demostrar que F es irrotacional y encontrar un potencial escalar para F.
Solución
Calculamos V x F:
VxF=
a
ax
y
j
k
a
a
oy
oz
x+ zcosyz ycosyz
(cosyz - yzsenyz - cosyz + yzsenyz)i + (O - O)j+ (1 - l)k
=Oi+Oj+Ok=O,
de modo que F es irrotacional . Por tanto, según el Teorema 7, existe un potencial. Podemos
hallar este potencial por varios métodos.
Método l. Siguiendo la técnica usada en la demostración del Teorema 7 para demostrar
que la condición ü) implica la condición iii), podemos esc1ibir
f(x, y, z)=J: F1(t, O, O)dt+ I: F2(x, t, O)dt+ s:F3(x, y, t)dt
= s:Odt + Lv xdt + J:ycosytdt
=O+ xy + senyz= xy + senyz.
Es fácil comprobar que, como queríamos, Vf=F:
"'! a¡.
+
a¡.
+
a¡
k
.
(+
)'+ (y
)k
V=-;
;-
1-;
;-
J-
=)'1+ X ZCOS)'ZJ
. COS)'Z .
ox
oy
oz
Método 2. Puesto que sabemos que el potencial f existe, será posible resolver el sistema
de ecuaciones
a¡
-=y
ax
'
a¡
-;
;-
= x+ zcosyz,
oy
a¡
-;
;-
=y cosyz,
oz

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
S3S
para f(x, y, z). Este sistema es equivalente a decir que f satisface las ecuaciones
a)f(x,y,z)=.1.y+h¡(y,z),
b) f(x,y,z)=senyz+xy+h2(x,z),
e) f(x, y, z) = senyz + h3(x, y),
para funciones h1, hb y h3 independientes de x, y, z (respectivamente). Tomando h1(y, z) =
senyz, hix, z) = O, y h3(x, y) = xy, las tres ecuaciones coinciden, lo que nos da el potencial
buscado para F. Sin embargo, sólo hemos obtenido h1, h
2
y h3 de manera intuitiva. Para deducir
la fórmula para f en un modo más sistemático, observemos que como f(x, y, z) = xy + h1(y, z)
y 8f/8z = ycosyz, entonces
o bien
h1(y, z) = fycosyzdz + g(y) = senyz + g(y).
Por tanto, sustituyendo esta expresión en la Ecuación a) obtenemos
f(x.y,z)=xy+senyz+g(y);
pero, por la Ecuación b)
Puesto que el miembro de la derecha de esta ecuación es una función de x y de z, y el miembro
de la izquierda es sólo función de la variable y, concluimos que ambos deben ser iguales a al­
guna constante C. Por tanto,
f(x,y,z)=xy+senyz+e
y hemos determinado f, salvo una constante.
Una masa M situada en el origen de !Rl
3
ejerce una fuerza de magnitud GmMjr2
dirigida hacia el origen sobre una masa m colocada en el punto r = (x, y, z). En la fórmula an­
terior G es la constante gravitatoria, cuyo valor depende de las unidades de medida, y
r = llrll = Jx2 + y2 + z2. Si recordamos que rjr es un vector unitario dirigido hacia el ori­
gen, podemos escribir el campo de fuerzas como
GmMr
F(x,y,z)= - --3-.
r
Demostrar que F es irrotacional y hallar un potencial escalar para F. (Obsérvese que F no está
definido en el origen, pero el Teorema 7 sigue siendo aplicable, pues admite la presencia de un
punto excepcional.)

536
Cálculo vectorial
Solución
Primero comprobemos que V x F= O. Usando la Fórmula lO de la tabla de identidades vecto­
riales de la Sección 4.4, obtenemos:
VxF= -GmM[V(:3)Xr+:3VxrJ
Pero V(l/r3)= - 3r/r
5
(véase el Ejercicio 30, Sección 4.4), y por tanto el primer término se
anula, puesto que r x r= O. El segundo término también se anula, porque
jk
aaa
cz ay
)-e
xaz
).c
yax
)
Vxr=
=
---
1+-
--
r+---
k=o
axoyaz
ay az
az ax
ox ay
.
X
yr
Portanto,VxF=O(parar=F0).
Si recordamos la fórmula V(r11)= nr"-
2
r (véase nuevamente el Ejercicio 30 de la Sección
4.4), entonces podemos deducir por inspección un potencial escalar para F. Tenemos F= - VV,
donde V(x, y, z)= - GmM/r se denomina la energía potencial gravitatoria.
(Observemos de paso que según el Teorema 3 de la Sección 7.2, el trabajo realizado por F
para mover una partícula de masa m desde un punto P1 hasta un punto P2 viene dado por:
donde r1 es la distancia radial de P1 al origen, y r2 se define de manera análoga.)
El caso plano
Con la mi sma demostración, el Teorema 7 es también válido para campos vectoriales F de clase
C1enlhR2
• En este caso exigimos que F no tenga ningún punto excepcional; es decir, F sea suave
en todos Jos puntos (véase el Ejercicio 12 de esta sección). Obsérvese, sin embargo, que la con­
clusión puede ser válida a pesar de que existan puntos excepcionales, como por ejemplo ocurre
con el campo (xi + yj)/(X' + /)312. Un ejemplo en el que la conclusión no se cumple es
(- yi + xj)/CY' + /), como se prueba en el Ejercicio 12.
Si F = Pi+ Qj, entonces
vxF=(3o-
aP
)k.
ax ay
A veces, aQ¡ax- aPjoy recibe el nombre de rotacional escalar del campo F. Por tanto, la
condición V x F= O se reduce a
aP aQ
ay ax

Por tanto, tenemos:
·;t<:?í):tii�B: Los teoremas d�J�t-�gración del análisis vectorial
537
Insistimos una vez más en que este corolario puede ser falso si F no es de clase C
1
incluso
en un único punto (se da un ejemplo en el Ejercicio 12 ). Sin embargo, como ya indicamos, en
IR3 se permiten excepciones en puntos aislados (véase el Teorema 7).
a) Detenninar si el campo vectorial
es un campo gradiente.
b) Repetir a) para el campo vectorial
F=(2xcosy)i�
(
x2seny)j.
Solución
a) En este caso, P
(
x,y)=ex;•yQ
(
x, y)= ex+y, de modo que
JQ�
x+v
-�
e·.
Jx
Estas dos cantidades no son iguales, y por Jo tanto F no puede tener una función potencial.
b) En este caso resulta
JP
Jy
JQ
�?x seny=-
-
ax'
de modo que F tiene una función potencial f. Para calcular esta función f resolvemos las
ecuaciones
Jf--;
;--
= 2x cosy,
ox
a¡
Jy
= �x2seny.
Así, f
(
x, y)=x2cosy + h1
(
y)yj
(
x, y)= x2cosy + h
2
(
x).Sih1yh
2
son la misma constan­
te, entonces se satisfacen las dos ecuaciones, de manera que j
(
x, y)=x2cosy es una fun­
ción potencial para F.
Sea e: [1, 2]-+ IR2dada por x = e'-
1, y= sen (n/t). Calcular la integral
1 F·ds= 1 2x cosydx � �senydy,
donde F =
(
2x cosy)i �
(
x2seny)j.

538
Cálculo vectorial
Solución
Los extremos son c(l) = (1, O) y c(2) =(e, 1). Puesto que 8(2x cosy)joy = o(-x2seny)/8 x, F
es in-oracional y por tanto un campo gradiente (como vimos en el Ejemplo 8.12). Por tanto, por
el Teorema 7, podemos sustituir e por cualquier curva e1 a trozos que tenga los mismos ex­
tremos, en particular, por la trayectmia poligonal que va de (1, O) a (e, O) y a (e, 1). Así, la
integral de línea debe ser igual a
f F·ds =fe 2tcos0d t + Í1
e
1
Jo
Podemos dar una prueba alternativa usando el Teorema 3 de la Sección 7.2, ya que
l.2xcosydx-x2senydy=f\l.f ·ds =.f(c(2))- .f(c(l))=e2cos1 -1,
�e
e
porque f(x, y) = x2 cosy es una función potencial para F. Evidentemente, esta técnica es más
simple que calcular la integral directamente.
Concluimos esta sección con un teorema que, en esencia, es bastante similar al Teore­
ma 7. El Teorema 7 estaba motivado en parte como un recíproco del resultado que dice que
rot\1f=Opara cualquier función de clase e1 f: �3 --. � -o, si rotF = O, entonces F = \1f-.
También sabemos (Fórmula (9) en la tabla de identidades vectoriales de la Sección 4.4) que
div(rot G) = O para cualquier campo vectorial G de clase e2. Podríamos plantearnos el enun­
ciado recíproco: si div F = O, ¿entonces F es el rotacional de algún campo vectorial G? El si­
guiente teorema responde afirmativamente a esta cuestión.
La prueba se esboza en el Ejercicio 16 de esta sección. Debemos advertir al lector de que, al
contrario que en el Teorema 7, el campo vectorial F del Teorema 8 no puede tener puntos ex­
cepcionales. Por ejemplo, el campo de fuerza gravitatoria F = - (GmMr/r3) tiene la propiedad
de que div F = O, y sin embargo no existe ningún campo G para el cual F = rot G (véase el
Ejercicio 25 de esta sección). El Teorema 8 no es aplicable, porque el campo de fuerza gravita­
toria F no está definido en O E �3.
l. Demostrar que dos funciones potenciales cualesquiera para un mismo campo vectorial en [R3 difieren
como máximo en una constante.
2. a) Sea F(x, y) = (xy, l), y sea e la trayectoria y= 2x2 uniendo los puntos (0, O) y (l, 2) en IR2
Evaluar Je F · ds.
b) ¿Depende la integral de a) depende de cuál sea la trayectoria que une los puntos (0, O) y (l, 2)?

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
539
3. Sea F(x, y, z)= (2\)'Z + senx)i+ x2zj + x2yk. Hallar una función f tal que F= V'f.
4. Evaluar Jc F · ds, donde c(t) = (cos5 r, sen3 t, r4), O�t�n, y F es el campo del Ejercicio 3.
S. Si f(x) es una función suave de una variable, ¿el campo F(x, y)=f(x)i+ f(y)j debe ser un campo
gradiente?
6. a) Demostrar que F = -r/
!
lrll 3 es el gradiente de f(x, y, z)= 1/r.
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F = -r!ilril3 al mover una partícula desde un punto
r0 E IR3 <<hasta W>>, donder(x, y, z)= (x, y, z)?
7. Sea F(x, y, z) = xyi + yj + zk. ¿Puede existir una función f tal que F= V'f?
8. Sea F=F1i+F
2
j + F3k, y supongamos que cada componente Fk satisface la condición de homoge­
neidad
k=1,2,3.
Supongamos además que V' x F = O. Demostrar que F= V'f, donde
2f(x, y,z) = xF1(x, y, z) +yF
2
(x, y, z) +zF
3
(x, y. z).
[INDICACIÓN: Usar el Ejercicio de repaso 23, Capítulo 2.]
9. Sea F(x, y, z)=(e' seny)i+(e' cosy)j + lk. .Evaluar la integral .fe F · ds, donde e(t) = (jt, r', exp jt),
O�t�l .
10. Sea un fluido con campo de velocidades F(x, y, z) = xyi+ yzj + xzk. ¿Cuál es la circulación alrede­
dor de la circunferencia unidad en el plano xy? Interpretar la respuesta.
1 L La masa de la Tiena es aproximadamente de 6 x 1027 g, y la masa del Sol es 330.000 veces mayor.
La constante gravitatoria es de 6,7 x 10-8 cm3/ s2 · g . La distancia de la Tierra al Sol es aproximada­
mente de 1,5 x 1012
cm. Calcular aproximadamente el trabajo necesario para aumentar la distancia
delaTienaalSolenl cm.
12. a) Demostrar que fe (x dy - y dx)/(2 + = 2n, donde e es la circunferencia unidad.
b) Concluir que el campo vectorial asociado [-y/(2 +l)]i+ [xj(.l +lllj no es un campo con­
servativo.
e) Demostrar que, sin embargo, 3P¡í)y = 3Qj3x. ¿Contradice esto al corolario del Teorema 7? Si no
es así, ¿por qué no'�
13. Determinar cuál de los siguientes campos vectoriales en el plano F es el gradiente de una función
escalar f. Si una tal f existe, calcularla.
a) F(x, y)= xi+yj.
b) F(x, y)= .l .yi+ xyj.
e) F(x, y)= (x2 + lli + 2xyj.
14. Repetir el Ejercicio 13 para los siguientes campos vectoriales:
a) F(x, y)= (cos xy- xy senxy)i-
sen xy)j.
b) F(x, y)=(xJx2l + l)i + CvJx2l + l)j.
e) F(x, y)= (2x cosy + cosy)i- (x2seny + xseny)j.

540
Cálculo vectorial
15. Demostrar que los campos vectoriales siguientes son conservativos. Calcular fe F · ds para la curva
dada.
a) F = (x/ + 3x2y)i + (x +y)x2j; e es la curva fom1ada por dos segmentos que unen (1, ·l) con
(0,2)y(3,0).
2x
+1
2y(x2+ 1)
2
2 j; e está parametrizada por X
(y+l)
b) F=
16. Demostrar el Teorema 8. [INDICACIÓN: Definir G = G1i + G2 j + G3k mediante
G¡(x,y, z) =J('Z F2(x,y, t)dt - rF3(x, r, 0)dt
()
"o
G2(x,y,z)= - J:F1(x,y,t)dt
yG3(x,y,z)=0.]
17. ¿Es cada uno de los campos siguientes el rotacional de algún otro campo vectorial? En caso afir­
mativo, hallar de cuál.
a) F= .A.i+yj+zk.
b) F=(x2+1)i+(z - 2xy)j+yk.
18. SeaF = xzi -·yzj+yk.Comprobarque\7·F =O.Hallar uncampoGtalqueF=\7 xG.
19. Repetir el Ejercicio 18 para F = /í + l.i +.?k.
20. SeaF=xeYi-(xcosz)j-ze-"k.HallaruncampoGtalqueF=\7xG.
21. Sea F = (x cosy)i (seny)j+ (sen x)k. Hallar un campo G tal que F = \7 x G.
22. Usando diferentes trayectorias que unen (0, O, O) con (x, y, z), demostrar que la función f definida en
la prueba del Teorema 7 para demostrar «condición (ii) implica condición (íii)» satisface 3f/3x = F 1
y 3f/3y = F2.
23. Sea F el campo vectorial en IR3 dadopor F = - yi+xj.
a) Demostrar que F es rotacional, es decir, que F no es irrotacional.
b) Supongamos que F representa el campo de velocidades de un fluido. Demostrar que si coloca­
mos un corcho en este fluido, girará en un plano paralelo al plano xy, en una trayectoria circular
alrededor del eje z.
e) ¿En qué sentido girará el corcho?
24. Sea G el campo vectorial en IR3 \ [eje z} definido por:
-
y
X
G=-2--2i+-,--oj.
X+y
x-+y-
a) Demostrar que G es irrotacional.
b) Demostrar que los resultados del Ejercicio 23 b) también son válidos para G.

8.4.
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
541
e) ¿Cómo podemos explicar el hecho de que las trayectorias de F y G sean iguales (circunferencias
alrededor del eje z) aunque F sea rotacional y G no? [INDICACIÓN: La propiedad de tener rotacio­
nal no nulo es una condición local, es decir, una propiedad del tluido en un entorno del punto.]
25. Sea F = - (GmMr/r3) el campo de fuerza gravitatorio definido en iR3\ {0).
a) Demostrar que div F = O.
b) Demostrar que F i= rot G para cualquier campo vectorial G de clase C1 en IR3 \ {O}.
El teorema de Gauss
El teorema de Gauss afim1a que el flujo de un campo vectorial hacia el exterior de una super­
ficie cem·ada es igual a la integral de la divergencia de ese campo vectorial sobre el volumen
encerrado por la superficie. Es un resultado paralelo a los teoremas de Stokes y Oreen, en el
sentido de que relaciona una integral sobre un objeto geométrico cerrado (curva o superficie)
con otra integral sobre la región contenida (superficie o volumen).
Regiones elementales y sus fronteras
Comenzaremos pidiendo al lector que repase las diferentes regiones elementales en el espacio
que fueron presentadas cuando consideramos la integral de volumen; estas regiones están repre­
sentadas en las Figuras 5.5.2 y 5.5.4. Como indican estas figuras, la frontera de una región ele­
mental en JR3 es una superficie construida con un número finito (como máximo seis, como míni­
mo dos) de superficies que pueden describirse como gráficas de funciones de IR2 a IR. Este tipo
de superficie se llama superficie cerrada. Las superficies S1, S2, ... , SN que componen tal super­
ficie cerrada se llaman sus caras.
El cubo de la Figura 8.4.1 (a) es una región elemental, y en efecto es una región
elemental simétrica, cuya frontera está formada por seis rectángulos. La esfera de la Figura
8.4.1 (b) es la frontera de una bola maciza, que también es una región elemental simétrica.
(a)
(b)
Regiones elementales simétricas y
superñcies 5¡ que componen sus
fronteras.
Las superficies cerradas se pueden orientar de dos maneras: la orientación exterior consis­
tente en tomar como vector normal el que apunta hacia el espacio exterior a la región encerrada
por la superficie, y la orientación interior, consistente en tomar como vector normal el que
apunta hacia el interior de la región encerrada (Figura 8.4 .2).

542
Cálculo vectorial
Nom1al exterior
Supongamos que S es una superficie cerrada orientada en una de esas dos formas, y F es un
campo vectorial sobre S. Entonces, como definimos en la Sección 7.6,
ILF·dS =�IL F·dS.
Sí damos a S la orientación exterior, Sfs F·dS mide el flujo total de F que sale al exterior a
través de S. Es decir, si pensamos en F como el campo de velocidades de un fluido, Sfs F·dS
indica la cantidad de fluido que sale de la región acotada por S por unidad de tiempo. Si damos
a S la orientación interior, la integral Sfs F·dS mide el flujo total de F que atraviesa S hacia el
interior.
Recordemos otra manera habitual de escribir estas integrales de superficie, una manera que
especifica explícitamente la orientación de S. Supongamos que la orientación de S viene dada
por un vector normal unitario n(x, y, z) en cada punto de S. Entonces tenemos la integral orien­
tada
es decir, la integral de la componente normal de F sobre S. En el resto de esta sección, si S es
una superficie cerrada que rodea una región W, adoptaremos el convenio de que S = oW tiene
asignada la mientación extelior, con nom1al exterior unitaria n(x, y, z) en cada punto (x, y, z) E S.
Además, denotaremos la superficie con la orientación opuesta (interior) por oWop· Entonces, la
dirección normal unitaria asociada a esta orientación será - n. Por tanto,
ff F·dS =
ff (F·n)dS = - ff [F·(-n)]dS =
atv
s
�
s
El cubo unitario W dado por:
�X� 1,
O�z�l
ff-
F·dS.
oW0p
es una región elemental simétrica en el espacio (véanse las Figuras 8.4.3 y 5.5.5).
Escribimos sus caras como
S'¡: z =O, 0�X�1,
0�X� 1,
o�y� 1,
o�y� 1,

/
ns=�j �-
-
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
543
S3:X=O, O::;
;;
y::;
;;
l,
o::;
;:
z::;
;:
1,
S4: X= l'
o::;
;;
y::;
;;
l,
o::;
;:
z::;
;:
1,
S5: y= O,
0::;
;:
X::;
;:
l,
o::;
;:
z::;
;:
1,
S6: y= 1'
O::;
;;
x::;
;;
l,
o::;
;:
z::;
;:
l.
n2 =k
n3=�i
n1 =�k
.figi!é•a;4�.� Orientación exterior en el cubo.
A partir de la Figura 8.4 .3, vemos que
de modo que para un campo vectorial continuo F = F1i + F2j + F3k,
ffw
F·dS = JL F·ndS =-JL F3dS + J1
2
F3dS- Jt F1dS
+ J14 F¡dS- JLF2dS + Jl6
F2dS.
El teorema de Gauss
Hemos llegado al último de los tres teoremas centrales de este capítulo. Este teorema relaciona
integrales de superficie con integrales de volumen; en otras palabras, el teorema afirma que si W
es una región en IR\3, entonces el flujo de un campo vectorial F hacia el exterior, a través de la
superficie cerrada oW, es igual a la integral de div F sobre W. Empezaremos suponiendo que W
es una región elemental simétrica (Figura 5.5 .5).

544
Cálculo vectorial
DEMOSTRACIÓN Sí F =Pi+ Qj + Rk entonces, por definición, la divergencia de F viene
dada por divF = cPfcx + cQjcy + cRjcz, de manera que podemos escribir (usando la aditi­
vidad de la integral de volumen)
fff divF dV =
J
fJJe:dV+JJ(J( 0�dV+ '((f�R
dV.
w
wox
way
VJ.woz
Por otro lado, la integral de superficie en cuestión es
f·r_
_
F·ndS = Jrf_ (Pi+ Qj + Rk)·ndS
Jcw
oW
=
ff Pi·ndS + ff Qj·ndS+ ff Rk ·ndS.
aw
a1v
aw
El teorema quedará demostrado sí probamos las tres identidades
y
f'( Pi·ndS = (JI �p dV,
Jcw
Jwox
ff,w
Qj·nds = ffL �� dv,
Jf Rk:ndS = fj'J �R dV.
aw
woz
(1)
(2)
(3)
Demostraremos la Ecuación (3); las otras dos identidades se pueden demostrar de manera
análoga.
Puesto que W es una región elemental simétrica, existe un par de funciones
Z = g¡(X, y),
z =gix, y),
cuyo dominio común es una región elemental Den el plano xy, de manera que W es el con­
junto de puntos (x, y, z) que satisfacen
(x,y)ED.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
545
Por reducción a integrales iteradas, tenemos
- dV=
- dz dxdv
fff aR
fl ( �z =g2(x.yl oR )
WOZ
D 1=g¡ (x.y) OZ
",
y por tanto, por el teorema fundamental del cálculo,
fffw �: dV = fL [R(x, y, gix, y))- R(x, y, g1(x, y))] dxdy.
(4)
La frontera de W es una superficie cerrada cuya parte superior S2 es la gráfica de z = g2(x, y),
donde (x, y) E D, y cuya parte inferior S1 es la gráfica de z= g1(x, y), (x, y) E D. Las otras
cuatro caras de aw son superficies S3, S4, S5 y S6, cuyas normales son siempre perpendicula­
res al eje z. (Véase la Figura 8.4 .4 . Obsérvese que alguna de las otras cuatro caras puede
faltar; por ejemplo, si W es una bola y aw es una esfera.) Por definición,
JI- Rk·ndS= ff Rk·n1dS+ jj Rk·n2dS+ I J�f Rk·n;dS.
olV
S¡
S2
¡=3
S¡
z=g2 (x, y)
z=g1(x,y)
>Jii!:iura's;��;:J:'< Una región elemental simétrica w para la cual
How Rk· dS = JH w (oR/oz) dV. Las cuatro caras
de oW denotadas por 53 . .5'4. SS y Se tienen
normales perpendiculares al eje z.
Puesto que la normal n; es perpendicular a k en cada S3, S4, S5, S6, sobre esas caras tenemos
k·n = O, y por tanto la integral se reduce a:
JI- Rk·ndS = ff Rk·dS1 + ff Rk·dS2•
-
S¡
�
La superficie S1 está definida por z = g1(x, y) y,
(�
a
dS= o
g
¡·+�·
1
�l
;:¡J
ux
uy
(5)

546
Cálculo vectorial
(la fórmula general para dS para gráficas de la Sección 7.6 cambiada de signo, porque la
normal apunta hacia abajo). Por tanto,
It
Rk·dS,
íJ� R(x, y, g1(x, y))dxdy.
�
D
Análogamente, para la cara superior 52,
Por tamo,
('"'�)
og2 .
og2 .
dS2 =
-
-
�
-I-
-�-J +k dxdy.
ex
oy
íf. Rk·dS2 = Jí R(x, y, g2(x, y))dxdy.
V
S¿
VD
(6)
(7)
Sustituyendo las Ecuaciones (6) y (7) en la Ecuación (5) y comparando el resultado con la
f Ecuación (4), obtenemos
Jff a�dV= J�f
.
R(k ·n)dS.
W L,,
oW
'
��as igualdades restantes, (1) y (2), pueden probarse de manera semejante para completar la
demostración.
Generalizaciones del teorema de Gauss
El lector debe notar que la prueba del teorema de Gauss es similar a la del teorema de Green.
Por el procedimiento utilizado en el Ejercicio 8 de la Sección 8.1, podemos extender el teorema
de Gauss a cualquier región que admita una descomposición en regiones elementales simétricas.
Esto incluye todas las regiones de interés para nosotros. Un ejemplo de región en la que el teo­
rema de Gauss es válido es la región comprendida entre dos superficies cerradas, una dentro de
la otra. La frontera de esta región consiste en dos trozos orientados como muestra la Figura
8.4.5. Aplicaremos el teorema de la divergencia a una región así cuando demostremos la ley de
Gauss en el Teorema 10.
::Figur.;'a:>J;;�.< Una región más general en la cual se puede
aplicar el teorema de Gauss.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
547
Considérese F =2xi + l.i + z2k, y sea S la esfera unitaria definida por
x2+l+i=l.Evaluar ffsF·ndS.
Solución
Por el teorema de Gauss,
ftF·n
dS =fffw (divF)dV,
donde W es la bola acotada por la esfera. La integral de la derecha es
2 fffw(1+Y+z)dV=2 ffLdV+ 2 ffLydV+2 ffLzdV.
Por simetría,'podemos razonar que JSJw ydV =.fJSw zdV =O (véase el Ejercicio 17, Sección
6.3). Por tanto, puesto que una esfera de radio R tiene volumen 4nR
3/
3
,
2ffL(1+Y+z)dV=2ffLdV=
8
3
n
.
El lector puede convencerse de que el cálculo directo de Hs F · ndS resulta inmanejable.
Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar
ffaw
(x2 +y+ z)dS,
dondeWeslabola macizax2+l+lzl.
Solución
Para aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, hallamos un campo vectorial
F=F1i+F
2
j+F3k sobre WtalqueF·n =x2 +y+z. En cualquier punto (x, y, z) EcW, la
normal unitaria exterior n a aw es
n =xi+yj+zk,
porque sobre aw, x2+l+i =1 yel radio vector r =xi+yj + zk es normal ala esfera aw
(Figura 8.4 .6).
Por tanto, si F es el campo vectorial deseado, entonces
Tomamos

548
Cálculo vectorial
X
(0, !, O)
t-
----+
Y
n es la normal unitaria a dW, la frontera
delabolaW.
y despejamos F1, F2 y F3, hallando que F= xi +j+ k, Calculando divF, obtenemos
divF= 1+O+O= L
Por tanto, por el teorema de la divergencia de Gauss,
ff (2
+y+ z)dS
� fflr
dV = volumen (W)= � 7L
3W
�W
3
La divergencia como flujo por unidad de volumen
El significado físico de la divergencia es que, dado un punto P, divF(P) es la tasa de flujo neto
hacia el exterior, por unidad de volumen, en el punto P. Esto se sigue del teorema de Gauss y
del teorema del valor medio para integrales: si WP es una bola en IR3 de radio p centrada en P,
entonces existe un punto Q E W P tal que
y por tanto
ffowP
F·ndS
=
JffwP
divFdV= divF(Q)·volumen(Wp)
divF(P)= lim divF(Q)= lim -1- JI F·ndS.
p�o
p�o V(WP) aw"
Esto es análogo a la fonnulación del rotacional en términos de un límite, que se presenta al final
de la Sección 8,2. Así, si divF(P) > O, consideramos P como una fuente, porque hay un flujo
neto hacia el exterior en un entorno de P; si divF(P) < O, P se denomina un sumidero para F.
Un campo vectorial F de clase C1 definido en IR3 se dice libre de divergencia si divF= O.
Si Fes libre de divergencia, entonces tenemos Hs F · dS =O para todas las superficies cerradas
S. El recíproco también puede ser demostrado fácilmente usando el teorema de Gauss: si
Hs F ·dS= O para todas las superficies cerradas S, entonces F es libre de divergencia. Si F es
libre de divergencia, vemos que el flujo de F a través de cualquier superficie cerrada es O, de
modo que si F es el campo de velocidades de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
549
hacia fuera de cualquier región debe ser O. Así, debe entrar en la región exactamente la misma
cantidad de fluido que sale de ella (por unidad de tiempo). Un fluido con esta propiedad se
denomina incompresible.
·
•
�t:
Evaluar Hs F·dS, donde F(x, y, z) = xli + x2yj + yk, y S es la superficie del
cilindrox2+l=1,acotadaporlosplanosz=1yz= - 1,eincluyendolostrozosx2+l�1
cuando z = ±l.
Solución
Se puede calcular esta integral directamente, pero es más sencillo utilizar el teorema de la diver­
gencia.
Ahora, S es la frontera de la región Wdada por x2 + /� 1,
-
1�z� l.Por tanto,
Hs F·dS =HJw i(div F)dV Además,
ffL. (divF)dV =
fffw (x2 + /)dxdydz= f
1
(L+y2,;
;
1
(x2 + /)dxdy) dz
=2 JI
(x2 + /)dxdy.
Jx2+y2� 1
Antes de evaluar la integral doble, observamos que la integral de superficie satisface
Esto sigr}ifica que SJ3w F·dS, el flujo neto de F hacia el exterior del cilindro, es positivo.
Pasamos a coordenadas polares para evaluar la integral doble:
x =reos e,
y= rsen e,
O�r�1,
o� e� 2n.
Entonces, tenemos 3(x, y)/3(r, &) = r, y x2 + l =r2. Así,
ff (x2 + /)dxdy =¡2rc (11
r3dr)de =� n.
x2+y2,;
;:
1
JO JO
2
Por lo tanto, SJJw divFdV= n.
La ley de Gauss
Como destacamos anteriormente, el teorema de la divergencia de Gauss se puede aplicar a re­
giones en el espacio más generales que las regiones simétricas elementales. Para concluir esta
sección, utilizaremos esta observación en la demostración de los siguientes resultados impor­
tantes.

550
Cálculo vectorial
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS Primero, supongamos (0, O, O) rf= M. Entonces rjr3
es un campo vectorial de clase C1 sobre M y 3M y, por tanto, por el teorema de la divergen­
cia,
Pero \7 · (r/?) = O para r el O, como el lector puede comprobar fácilmente (véase el Ejercicio
30, de la Sección 4.4). Así,
ff r·n
--:3dS=O.
3Ml
A continuación, supongamos que (0, O, O) E M. Ya no podemos usar el método anterior,
porque r/r3 no es suave sobre M, ya que el denominador se anula en r = (0, O, 0). Puesto
que(0,O,O)EMy(0,O,O)rf=3M,existeun 8>OtalquelabolaNderadio8centrada en
(0, O, 0) está completamente contenida dentro de M. Sea W la región entre M y N Entonces
W tiene como frontera 3N u 3M = S. Pero la orientación sobre 3N inducida por la normal
exterior a W es la opuesta a la obtenida a partir de N (véase la Figura 8.4.7).
M
Orientación exterior inducida sobre 5:
Wes Mmenos la bola N.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
551
Ahora, V· (r/?) = O sobre W y, por tanto, por el teorema de la divergencia aplicado a la
región (no elemental) W,
Puesto que
Ji' r·n
Jí. r·n
ff r·n
J-
3
dS=
-
3
dS+
:3 dS,
sr
•aMr
aNr
donde n es la normal exterior sobre S, tenemos
j.j.
r
.
n
dS=-j
'j�
r
·3
n
dS.
cM
aNr
Sin embargo, sobre éJN, n = r/r y r = E, puesto que éJN es una esfera de radio E, de modo
que
i'
f r·n
ffE
?
1f
f
-
J-
3
dS=
.
4 dS=-:2
J dS.
aNr
oN¡;
E
eN
Pero JSm dS = 4nE
2
, el área de una esfera de radio e. Esto demuestra el resultado.
La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a
una carga Q en el punto (0, O, O) viene dado por
Q
Q
cp(x,y,z)=
4
-
=
¡222'
nr 4nvx+y+z
y el campo eléctrico con-espondiente es
E=
Así, el Teorema lO dice que el flujo eléctrico total JJcM E· dS (es decir, el flujo de E hacia el
exterior de una superficie cerrada 3M) es igual a Q si la carga está dentro de M, y cero en otro
caso. Obsérvese que incluso si (0, O, O) rt M, E es distinto de cero sobre M.
Para una distribución continua de cargas descrita por una densidad de carga p en una región
W, el campo E está relacionado con la densidad p por
divE=V'·E=p.
Por tanto, por el teorema de Gauss,
flw
E·dS =
ffLp dV=Q;
es decir, el flujo hacia el exterior de la superficie es igual a la carga total en el interior.

552
Cálculo vectorial
La divergencia en coordenadas esféricas
A continuación, usamos el teorema de Gauss para deducir la fórmula
.
1ao
1
a
1 oFe
d1vF =-- (p-F) + - --
(senc/>Fq,) + - --
p2 op
p
psen 4> oc/>
psen 4> o8
(8)
para la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas esféricas, fórmula que fue enuncia­
da en la Sección 8.2 (de nuevo, en este caso los subíndices representan componentes, no deriva­
das parciales). El método es usar la fórmula
divF(P) = lim -
1
- ff. F·ndS,
w�P V(W) i'W
(9)
donde W es una región con volumen V(W), que se contrae a un punto P (en la prueba del Teore­
ma lO tomamos una bola, pero pueden usarse regiones de cualquier forma). Sea W la región
sombreada en la Figura 8.4.8.
p sen</> d8
l��¡,;;;;;;;Ji'�li''1� Volumen infinitesimal determinado
X
pordp,d8,d<j)en(p.e.<j)).
Para las dos caras ortogonales a la dirección radial, la integral de superficie en la Ecuación
(9) es aproximadamente
FP(p + dp, cf>, 8) x (área de la cara externa) - Fp(p, cf>, 8) x (área de la cara interna)
�Fp(P+dp, cf>, 8)(p+dp)2sencf>dcf>d8-F
P(p, cf>, G)p2 sen cf>dcf>d8
a
�-
a
(Fpp2sen cf>)dpdcf>d8,
p
(10)
por el teorema del valor medio para funciones de una variable. Dividiendo por el volumen de la
región W, es decir, p
2
sen cf>dpdcf>d8, vemos que la contribución al miembro de la derecha de la
Ecuación (9) es
1a7
--
(p-F)
P2 ap
p
(11)

__Fspftulo 8. Los.teore¡n;;z;(l�Jqtegración del análisis vectorial
553
para estas caras. Del mismo modo, la contribución de las caras ortogonales a la dirección 4> es
1
a
---+- � (sen 4>FdJ),
psen V' oq>
·
y para la dirección,
psen4>38·
Sustituyendo (11) y estas expresiones en la Ecuación (9) y pasando al límite, se obtiene la Ecua­
ción (8).
l. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular el í1ujo del campo F = (x- y)i +(y- z)j +(z- x)k
hacia el exterior de la esfera unidad_
2. Sea F = x3i +ij + z3k Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unidad.
3. Evaluar Sfaw F·dS, donde F = xi + yj + zk y W es el cubo unitario (en el primer octante)_ Realizar
el cálculo directamente y comprobarlo usando el teorema de la divergencia_
4. Repetir el Ejercicio 3 para:
a) F=i+j+k
b) F= x2i +x2j +z2k.
J
5. Sea F = yi + zj + xzk. Evaluar Haw F · dS para cada una de las siguientes regiones W:
a) x2+l�z�l_
b) X2+l�Z�lyX_:;,Q_
e) x2+l�z�lyx�O.
6. Repetir elEjercicio 5para F= (x- y)i+(y- z)j+(z - x)k.
7. Hallar el t1ujo del campo vectorial F = (x - /)i + yj + x3k hacia el exterior del paralelepípedo
[0,J]X(1,2]X[1,4].
8. Evaluar Hs F· dS, donde F = 3x/i +3x2yj + z3k y S es la superficie de la esfera unitaria.
9. Evaluar Haw F·ndA, donde F(x, y, z) = xi +yj - zk y W es el cubo unitario en el p1imer octante.
Realizar el cálculo directamente y comprobarlo usando el teorema de la divergencia.
10. Evaluar la integral de superficie Has F · ndA, donde F(x, y, z) = i + j + z(x2 +/ik y 3S es la su­
perficiedel cilindro x2+l � l,O� z� l.
11 Demostrar que
ffLC'Vf)·Fti<dydz =
fLw
fF·ndS HL f'\l·Fdxdydz.

554
Cálculo vectorial
12. Demostrar la identidad
V·(FXG)=G·(VXF)-F ·(VXG).
13. Demostrar que SJJw (ljr2)dx dydz = JS,ow (r·n/r2)dS, donde r = xi + ):j + zk.
14. Dados vectores v1, ... , vk E IR3 y números («cargas>>) q1, ... , qb definimos la función <jJ como
</J(x. y, z) = L:7� 1 q;/(4rrllr - v,ll). donde r=(x, y, z). Demostrar que para una superficie ce1Tada S y
E= -V<jJ,
donde Q es la carga total en el interior de S. (Supóngase que la ley de Gauss del Teorema lO es
aplicable y que ninguna de las cargas está situada en S.)
15. Demostrar las identidades de Green
y
fLw fVg·ndS = JJL(fV2g + Vf· Vg)dV
JL,j/ uvg- gVf)·nds = fJL ctV2g- gV2f)dv.
16. Supongamos que F satisface divF =O y rotF =O en todo IR13 Demostrar que podemos escribir
F = Vf, donde V2f=O.
17. Sea p una función continua en IR3 tal que p(q) =O excepto para q en alguna región W. Sea q E W
denotada por q = (x, y, z). El potencial de p se define como la función
ff�
.
)
=
p
\
q
.
dV
<f>(p)
J4 ,,
11 (q
),
IV n¡¡p-q
donde IIP- qll es la distancia entre
p
yq.
a) Usando el método del Teorema lO, demostrar que
ff V4>·ndS
=
-
fff pdV
óW
W
para aquellas regiones W que se pueden descomponer como una unión finita de regiones simétri­
cas elementales.
b) Demostrar que 4> satisface la ecuación de Poisson
[INDICACióN: Utilizar el apartado (a).] (Obsérvese que si pes una densidad de carga, entonces la
integral que define 4> puede interpretarse como la suma de los potenciales sobre
p
debidos a
cargas puntuales distribuidas sobre W, de acuerdo con la densidad p
.
)
18. Supongamos que F es tangente a la superficie cerrada S = aw de una región W. Demostrar que
JJL (divF)dV =O.

8.5.
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
555
19. Usar la ley de Gauss y la simetría para demostrar que el campo eléctrico debido a una carga Q repar­
tida uniformemente sobre la superficie de una esfera es el mismo en el exterior de esta superficie que
el campo producido por una carga puntual Q colocada en el centro de la esfera. ¿Cuál es el campo en
el interior de la esfera?
20. Reformular el Ejercicio 19 en términos de campos gravitatorios.
21. Mostrar cómo puede usarse la ley de Gauss para resolver el apartado b) del Ejercicio 25 de la Sec­
ción 8.3.
22. Sea S una superficie cerrada. Usar el teorema de Gauss para demostrar que si F es un campo vecto­
rial de clase C2, entonces se tiene SSs (\7 X F). dS = O.
23. Sea S la superficie frontera de una región W. Demostrar que
JL r·ndS = 3 volumen (W).
Explicar esto geométricamente.
Algunas ecuaciones diferenciales de la mecánica
y la tecnología
Según se cuenta, Isaac Newton dijo: «Todo en la Naturaleza se reduce a ecuaciones diferen­
ciales». Este punto de vista fue parafraseado por Max Planck (véase la Nota Histórica de la
Sección 3.3): «[...] la Física actual, en tanto que organizada teóricamente, está completamente
gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales espacio temporales».
En esta sección aplicamos los teoremas centrales del análisis vectorial en la deducción de
las ecuaciones diferenciales que gobiernan la transmisión de calor, el electromagnetismo y el
movimiento de algunos fluidos.
Tengamos en mente la importancia de estos problemas en la tecnología moderna. Por ejem­
plo, una buena comprensión de los Huidos y la capacidad de realizar cálculos para resolver las
ecuaciones que los gobiernan está en el corazón de cómo se construye un moderno aeroplano o
se diseña un submarino. Por ejemplo, el flujo del aire (el fluido en este caso) sobre las alas de
un avión es muy sutil, incluso aunque las ecuaciones que lo rigen sean relativamente simples.
En esta sección describiremos una fonna ligeramente idealizada de esas ecuaciones. Del mismo
modo, las ecuaciones del electromagnetismo, que serán discutidas en los pán·afos siguientes,
son un tema central en la ind':!-stria de las comunicaciones; radio, televisión y el funcionamiento
de los modernos aparatos e)éctrónicos, incluyendo los computadores, depende de estas ecuacio­
nes fundamentales y otras! relacionadas.
Leyes de conservación
Como preparación para la deducción de las ecuaciones de un Huido, primero vamos a tratar una
importante ecuación que se conoce como ecuación de conservación. Aplicaremos estas ideas a
la ecuación de la conducción del calor y al electromagnetismo.

556
Cálculo vectorial
Sea V(t, x, y, z) un campo vectorial de clase e1 en IR3 para cada t, y sea p(t, x, y, z) una
función real de clase e1• Por la ley de conservación de masa para V y p, queremos decir que la
condición
r}_ fff
pdV= - j�"(.· J·ndS
dt
w
Jaw
se satisface para todas las regiones W en IR 3, donde J = pV (véase la Figura 8 .5 . ! ) .
Masaen W JJJwPdxdydz
J
J·n = masaquefluye
fuera de W por unidad
de área y por unidad
de tiempo
f��¡��!i�i[;�;�� La tasa de cambio de masa en W es igual a la tasa con que la masa cruza JW.
Si pensamos en p como en una densidad de masa (p también puede ser una densidad de
carga) --es decir, la masa por unidad de volumen- y en V como el campo de velocidades de
un fluido, la condición dice simplemente que la tasa de cambio de la masa total en W es igual a
la tasa con la que la masa fluye hacia dentro de W. Recordemos que SSaw J · ndS se denomina el
flujo de J. Necesitamos el resultado siguiente:
DEMOSTRACIÓN Primero observemos que derivando bajo el signo integral se obtiene
� JJLpdxdydz = Jffw � dxdydz

y también
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
557
ff,
J·ndS = ííf, divJdV,
oW
..,..,\-V
por el teorema de la divergencia. Así, la conservación de la masa es equivalente a la condi­
ción
Puesto que esto sucede para cualquier región W, es equivalente a div J + 3pf3t = O.
La ecuación divJ + 3p/3t = O se llama ecuación de continuidad. Una observación intere­
sante es que, usando la fórmula del cambio de variables, puede demostrarse que la ley de con­
servación de masas es equivalente a la condición
� JJL,
pdV =O,
donde W, es la imagen de H( obtenida moviendo cada punto de W a lo largo de líneas de flujo de
V durante un intervalo de tiempo t. Este resultado es un caso particular del teorema de transpor­
te que discutimos a continuación.
/
El teorema de transporte
El teorema de transporte es una interesante aplicación del teorema de la divergencia que será
necesaria en nuestra deducción de las ecuaciones de un fluido.

558 Cálculo vectorial
Tomando f = 1, el Teorema 12 implica que las siguientes afirmaciones son equivalentes (lo
que justifica el uso del término incompresible):
l. divF=O.
2. volumen (W,) =volumen (lV).
3. J(x, t)= l.
Sean <jJ, J, F, f, definidos anteriormente. También hay una forma vectorial del teorema de
transporte, concretamente
� fffw,
(JF)dxdydz
= fffw, [� (JF) + F·v(JF) + (fF)divFJ dxdydz,
donde F · v(JF) denota la matriz derivada DCJF), de dimensión 3 x 3, actuando sobre el vector
columna F; en coordenadas cartesianas, F · V'G es el vector cuya i-ésima componente es:
Dejaremos al lector las pruebas de estos resultados, que son extensiones de los argumentos usa­
dos en la demostración del Teorema 11 (véanse los ejercicios).
Deducción de las ecuaciones de Euler para
un fluido perfecto
La ecuación de continuidad es insuficiente para determinar completamente el movimiento de un
fluido -necesitamos otras condiciones.
Los fluidos gobernados por la ecuación de continuidad pueden ser compresibles. Si
div V =O (el caso incompresible) y p es constante, la Ecuación (1') se cumple automática­
mente. Pero en general, incluso para fluidos incompresibles, la ecuación no es automática por­
que p puede depender de (x, y, z) y t. Así, incluso si se satisface la ecuación div V=O, puede
suceder que div (pV) i= O.
Aquí analizamos la ecuación de Euler para un fluido perfecto. Consideramos un fluido no
viscoso que se mueve en el espacio según un campo de velocidades V. Cuando afirmamos que
el fluido es perfecto, queremos decir que si W es cualquier porción del fluido, la presión actúa
sobre la frontera de W a lo largo de la dirección normal. Suponemos que la fuerza por unidad de
área actuando sobre oW es - pn, donde p(X, y, Z, t) es una función llamada la presión (véase la
Figura 8.5.2). Así, la presión total actuando sobre W es:
F- =fuerza= -JI pndS
oW
·
aw

Un trozo de aw
n
Las fuerzas ejercidas
por el fluido sobre W
actúan sobre aw
en la dirección n
'''"'li�·�J..,,,.,..,,,,);: La fuerza que actúa sobre oW
por unidad de área es - pn.
Esta cantidad es vectorial; la i-ésima componente de Faw es la integral de la i-ésima compo­
nente de pn sobre la superficie aw (que es, por tanto, la integral de superficie de una función
real ). Si e es un vector fijo cualquiera en el espacio, tenemos
\ Fcw·e =
-
ff pe·ndS,
aw
que es la integral de una función escalar sobre aw. Por el teorema de la divergencia y la identi­
dad (7) de la tabla de identidades vectoriales
,
(Sección 4.4), obtenemos
de modo que
E·Faw =
-
Jffw
div(pE)dxdydz =
-
Jffw
(gradp)·Edxdydz,
Faw =
-
Jffw
Vpdxdydz.
Ahora aplicamos la segunda ley de Newton a una región móvil Wr. Como en el teorema de trans­
porte Wr = <¡&¡(W), donde <¡&,(x ) = <j>(x, t) denota el flujo de V. La tasa de cambio del momento
del fluido en Wr es igual a la fuerza act\ndo sobre él:
� JfJw,
pVdxdyJz = Faw,
=JJ
L, Vpdxdydz.
Aplicamos la forma vectorial del teorema de transporte al miembro de la izquierda, para obtener
fffw
,
[:t
(pV) +V·V(pV) +pVdivVJdxdydz
=
-
fffw,
Vpdxdydz.
Puesto que la región W, es arbitraria, esto es equivalente a
a
-
(pV) +V· V(pV) + pVdivV
=
- Vp.
ar

560
Cálculo vectorial
Simplificando mediante la ecuación de continuidad, es decir, la Fórmula (1'), resulta
(av
)
p -+V·V'V =
3t
V'p.
(2)
Ésta es la ecuacÚn d; .Euler para un fluido perfecto. Para los fluidos compresibles, p es una
función dada dependiente de p (por ejemplo, para muchos gases p = Ap;·, con A y y constantes).
Por otro lado, si el fluido es incompresible, p se determina a partir de la condición div V = O.
Entonces, las Ecuaciones (1) y (2) gobiernan el movimiento del fluido.
La conservación de la energía y la deducción
de la ecuación del calor
Si T(t, x, y, z) (una función de clase C2) denota la temperatura de un cuerpo en el instante t,
entonces V'T representa el gradiente de temperaturas: el calor «fluye» según el campo vectorial
-
V'T = F. Obsérvese que V'T apunta en la dirección en la que T crece. Puesto que el calor fluye
desde las zonas calientes a las frías, hemos incorporado un signo menos, para reflejar este hecho
observable físicamente. La densidad de energía, es decir, la energía por unidad de volumen, es
cp0T, donde e es una constante (denominada el calor específico) y p0 es la densidad de masa,
7 La Fundación Clay ha ofrecido un premio de un millón de dólares para cualquiera que demuestre que para las
ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles, datos regulares en el instante t = O producen soluciones regulares para
todo t >O.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
561
que suponemos constante. _(Aceptamos estas afirmaciones de la física elemental.) El vector flujo
de energía se define como J = kF, donde k es una constante llamada la conductividad.
A continuación, se añade la hipótesis de que la energía se conserva. Esto significa que J y
p = cp0T deben obedecer la ley de conservación de masas, con p jugando el papel de «masa»
(obsérvese que es densidad de energía, no masa); es decir,
d ¡'!'¡
t'f
-
JJ1pdV= - J J·ndS.
dt .,w
aw
Por el Teorema 11, esta identidad es equivalente a
Pero
ap
divJ +�=O
ar
·
divJ=div(-k'VT)= - k\l2T.
\
(Recuérdese que V2T= a2T/í3.,¿ + o2T/o/ + í32Tíaz? y Y'2 es el operador de Laplace.) Conti­
nuando, tenemos
Así, la ecuación div J + ap¡ar =O se convierte en:
aTk
2
"
�= -V T= K'V"T
at CPo
,
(3)
donde K= k/cp0 se denomina la difusividad. La Ecuación (3) es la importante ecuación del
calor.
Así como las Ecuaciones (1) y (2) rigen el flujo de un fluido ideal, la Ecuación (3) gobierna
la conducción del calor, en el sentido siguiente: dada una distribución inicial de temperaturas
T(O, x, y, z), hay una única T(t, x, y, z) que satisface la Ecuación (3). En otras palabras, la con­
dición inicial en t =O da el resultado para t > O\ Obsérvese que si T no cambia con el tiempo
(el caso estacionario), entonces debemos tener VfT=O (ecuación de Laplace).
Las ecuaciones de Maxwell y la predicción de ondas
de radio: comienza la revolución de las comunicaciones
A continuación volvemos a las ecuaciones de Maxv
v
ell, que rigen la propagación de campos
electromagnéticos. La forma de estas ecuaciones depende de las unidades físicas que estemos
usando, y los cambios de unidades hacen aparecer factores como 4n y la velocidad de la luz.
Nosotros elegiremos el sistema en el cual las ecuaciones de Maxwell sean lo más simples po­
sible.

562
Cálculo vectorial
Sean E y H funciones de clase C1 de (t, x, y, z), que son campos vectoriales para cada t.
Diremos (por definición) que satisfacen las ecuaciones de Maxwell con densidad de carga
p(t, x, y, z) y densidad de corriente J(t, x, y, z) cuando se cumplan las siguientes condiciones:
y
V·E=p (ley de Gauss),
V· H= O (no hay fuentes del campo magnético),
aH
VxE + -= O(ley de Faraday)
at
aE
VxH-- = J (ley de Ampere).
at
(4)
(5)
(6)
(7)
De estas leyes, las Ecuaciones (4) y (6) fueron descritas en forma integral en las Secciones 8.2 y
8.4; históricamente, aparecieron en esta forma como leyes empíricas. La ley de Ampere fue
mencionada en un caso particular en el Ejemplo 7.14 de la Sección 7.2.
Físicamente, se interpreta E como el campo eléctrico y H como el campo magnético. Según
las ecuaciones anteriores, conforme avanza el tiempo t, estos campos interactúan entre sí, y con
las cargas y corrientes que estén presentes. Por ejemplo, la propagación de ondas electromagné­
ticas (señales de televisión, ondas de radio, la luz solar, etc.) en el vacío está gobemada por esas
ecuaciones, con J=O y p=O.
Puesto que V· H= O, podemos aplicar el Teorema 8 (de la Sección 8.3) para concluir que
H=VxA para algún campo vectorial A (estamos suponiendo que H está definido en todo IR3
para cada instante t). El campo vectorial A no es único, y podemos elegir indistintamente
A' = A +Vf para cualquier función f(t, x, y, z), porque VxVf= O. (Esta libertad en la elec­
ción de A se denomina libertad en la elección de la .función gauge.) Para una elección cualquie­
ra de A, según la Ecuación (6) tenemos
aH
a
O=VxE+-=VxE+-VxA
at
at
aA
=VxE+Vx­
at
=Vx E+-
.
( aA)
at
Aplicando el Teorema 7 (de la Sección 8.3), existe una función con valores reales cjJ definida en
IR3 tal que
aA
E+-= -Vcp.
at
Sustituyendo esta ecuación y H=VxA en la Ecuación (7), y usando la identidad vectorial
(cuya prueba se deja como ejercicio)

obtenemos
Así,
Esto es,
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
563
J=V'XH-
-
=V'X(V'XA)--:;-
-
--
V'1>
óE
ó( óA
)
at
ot
Ót
a2A a
=V'(V'·A) - '172A+ -.:;-o+ --
(V'4J).
ot�
3t
(8)
Usando de nuevo la ecuación E + 3A/3t=-V'1> y la ecuación V'·E = p, obtenemos
Es decir,
p=V'.E =V'.
-V'1>- -.
=-'1
1
21>--�� .
( óA)
a(V' ·A)
ar
ót
\
2
acv·A)
V'4>= -p-
-a
-
t-.
(9)
A continuación, utilizaremos la libertad en nuestra elección de A. Imponemos la «condición»
a1J
V'·A+-=0
ót
.
(1 O)
Debemos estar seguros de que podemos hacer esto. Suponiendo que hemos tomado A0 y la co­
rrespondiente 1J0, ¿podemos elegir una nueva A = A0+ V'f y por tanto una nueva 1J tales que
V'· A+ a4Jjot = O? Con esta nueva A, la nueva </> es </>0 - a¡¡ar; dejamos la comprobación
como ejercicio para el lector. Entonces, la Ecuación (lO) se transforma en
o
acd-. - a¡1ar)
JA. a2¡
o=V' .(A+V'/)+ 'PO
1
=V'.A+'172f+_'P_
·
O-
-
o
ar
o
ar ar2
v2¡ -
a2! =
--(v ·
.
A+
a <Po)
ar¿
\oar·
(ll)
Así, para ser capaces de elegir A y </>de modo que se satisfaga V'·A + aq;;ar =O, debemos
ser capaces de resolver la Ecuación (11) para f. En efecto, esto se puede hacer bajo condiciones
generales, aunque no lo demostraremos aquí. La Ecuación (ll) se llama ecuación de ondas no
homogénea.
Sí aceptamos que A y 4> pueden elegirse de modo que se cumpla V'· A+ ó4>fat= O, enton­
ces las Ecuaciones (8) y (9) par;
;t
A y </> se convierten en
a2A
v2A-
a?=
-
J;
(8')
(9')

564
Cálculo vectorial
Recíprocamente, si A y cp satisfacen las ecuaciones V· A+ ocplot =O, V2cj;- �cp¡o? = - p y
\72A - ífA/o? = - J, entonces E = - Vcp - cA/ot y H =V x A satisfacen las ecuaciones de
Maxwell. Por tanto, este procedimiento «reduce» las ecuaciones de Maxwell al estudio de la
ecuación de ondas8.
Desde el siglo XVIII, las soluciones de la ecuación de ondas se han estudiado ampliamente
(se aprenden en la mayoría de los cursos de ecuaciones diferenciales). Para indicar la naturaleza
ondulatoria de las soluciones, por ejemplo, obsérvese que para cualquier función f,
cp(t,x,y,z)=f(x-t)
es solución de la ecuación de ondas V2cj;- (éicjJ/ot2) = O . Esta solución simplemente propaga
la gráfica de f como una onda; por tanto, podemos conjeturar que las soluciones de las ecuacio­
nes de Maxwell tienen una naturaleza ondulatoria. Históricamente, todo esto fue la gran aporta­
ción de Maxwell y condujo rápidamente a Hertz al descubrimiento de las ondas de radio. Citan­
do las Lecciones de Física de Feynman (vol. II):
Cuando la historia de la humanidad pueda verse con la suficiente perspectiva --digamos,
por ejemplo, dentro de diez mil años a partir de ahora- seguramente habrá muy pocas du­
das de que el descubrimiento por parte de Maxwell de las leyes de la electrodinámica será
juzgado como el acontecimiento más importante del siglo diecinueve. La guena civil nor­
teamericana parecerá una insignificancía provinciana en comparación con este importante
acontecimiento científico de la misma década.
Las matemáticas muestran de nuevo su extraña capacidad no sólo para describir, sino tam­
bién para predecir los fenómenos naturales.
Hay otras técnicas (llamadas «métodos de la función de Green>> ) para tratar las ecuaciones
básicas de la mecánica y la física matemática que también se basan en el cálculo vectorial. Al­
gunos de estos métodos se presentan en el suplemento de Internet de este libro.
l. Usar un argumento directo (o bien la prueba del Teorema 1 en el suplemento de Intemet a la Sec­
ción 4.4) para demostrar que
a
-
J(x, t) = [(divF)(.j>(x, t))]J(x, t).
ot
2. Usando el teorema del cambio de variables y el Ejercicio 1, demostrar que dada una función f(x, y, z, t)
y una región arbitraria W e IFR3, se satisface la ecuación de transporte
� JIL, f(x, y, z, t)dxdydz = JJL, (;; +. fdivF)dxdy dz,
8 Hay variantes de este procedimiento. Para mayores detalles, véase por ejemplo G. F . D . Duff y D. Naylor, Dif
f
e­
rential Equarions of Applied Mathemarics, Wiley, New York, 1966, o bien libros sobre teoría electromagnética, tales
como J. D. Jackson, Classica/ Electrodynamics, Wiley, New York, 1962.

,,CiJpíJ:ulo 8. Los. teor;�rn
.
a¡; __de int�gración del análisis vectorial
565
donde W, = q),(W) es la región que se mueve con el flujo, y donde Df/Dt = cflct + V¡. F es la
derivada material.
3. Utilizar la ecuación de transporte para demostrar que
'
!._ flrf pdxdydz =O
dt•w,
es equivalente a la ley de conservación de masa.
4. Usando el Ejercicio 3 y el teorema del cambio de variables, demostrar que p(x, t) puede expresarse
en términos del Jacobiano J(x, t) del flujo q)(x, t) y de p(x, 0) mediante la ecuación
p(x, t) J(x, t) = p(x, 0).
¿Qué puede deducirse a partir de esto para los flujos incompresibles?
5. Demostrar la forma vectorial del teorema de transporte, es decir
� JJL,
(JF)dxdydz = JIL, [i (JF) + F· V(JF) + (.fF)divF}xdydz,
donde F · V(JF) denota la matriz 3 x 3 de derivadas D (JF) actuando sobre el vector columna F; en
coordenadas cartesianas, F-· VG es el vector cuya i-ésima componente es
3
cG"
cG¡
cG¡
cG¡
IFj�- = F¡-,- +F2-,- +F3-
,
-.
j�1
OX;·
ex
oy
cz
6. Sea V un campo vectorial que genera un flujo qy(x, t), y supongamos que V y p cumplen la ley de
conservación de masa. Sea W, la región transportada por el flujo. Demostrar la siguiente versión del
teorema de transporte:
!._j
('
ff pfdxdydz = fff
pDf
dxdydz.
dt
w,
w,
Dt
7. (Ley de Bemoulli) a) Supongamos que V y p satisfacen la ley de conservación de masa y la Ecua­
ción (2) (ecuación de Euler para un fluido perfecto). Supongamos que V es írrotacional y por tanto
tenemos V = V q) para alguna función q). Demostrar que si C es una trayectoria que conecta dos pun-
tos P1 y P2 entonces
�-�
(oc/> 1
')\\p"
fd
-
+- \\V \\2
-
+ _E=O.
Jt2
p1
eP
[INDICACIÓN: Puede ser necesaria la identidad vectorial (V· V)V = � V(\\Vi\2) +(V x V) x V.]
b) Si en a) V es estacionario -es decir, cVjct = 0- y p es constante, demostrar que
es constante en el espacio. Deducir que, en esta situación, las presiones altas están asociadas con
velocidades del fluido bajas.
8. Utilizando el Ejercicio 7, demostrar que si cjJ satisface la ecuación de Laplace V2¡f¡ = O , entonces
V = V q:, es una solución estacionaría de la ecuación de Euler para un tluido perfecto e incompresible
con densidad constante.

566
Cálculo vectorial
9. Comprobar que las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de continuidad para J y p.
10. Para una distribución de cargas estacionaria y una distribución de corriente de divergencia cero, los
campos eléctrico y magnético E(x, y, z) y H(x, y, z) satisfacen
VXE=O,
V·H =0,
V·J =O, V· E=p
y
VXH=J.
Aquí, suponemos que p=p(x, y, z) y J(x, y, z) son conocidos. La radiación que los campos producen
a través de una superficie S está determinada por un campo vectorial de densidad del flujo de radia­
ción, llamado el campo vectorial de Poynting,
p=EXH.
a) Si S es una superficie cen·ada, demostrar que el flujo de radiación --es decir, el flujo de P a
través de S- viene dado por
fLP·dS =-
fftE·jdV,
donde V es la región encerrada por S.
b) Ejemplos de tales campos son
E(x, y, z)=zj + yk
y
H(x, y, z)
-xyi+xj+yzk.
En este caso, hallar el flujo del vector de Poynting a través de la superficie hemisférica mostrada
en la Figura 8.5.3 (obsérvese que se trata de una superficie abierta).
x2+y2+z2=25
--
----
y
X
[fi�i�.�!Ji:�[i!J La superficie del Ejercicio 10.
e) Los campos vectoriales de b) producen un campo vectorial de Poynting que pasa a través de la
superficie toroidal mostrada en la Figura 8.5.4. ¿Cuál es el flujo a través de ese toro?
X

8.6.
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
567
Formas diferenciales
La teoría de formas diferenciales proporciona una elegante manera de unificar los teoremas
de Green, Stokes y Gauss como un único resultado, el teorema fundamental del cálculo. El
nacimiento del concepto de forma diferencial es otro claro ejemplo de cómo las matemáticas
hablan a los matemáticos y dirigen su propio desarrollo. Estos tres teoremas son, en realidad,
generalizaciones del teorema fundamental del cálculo de Newton y Leibniz para funciones de
una variable,
rf'(x)dx = f(b) - f(a),
a dos y tres dimensiones.
Recordemos que Bernhard Riemann creó el concepto de espacio n-dimensional. Si el teore­
ma fundamental del cálculo fuera realmente fundamental, entonces debería ser generalizable a
dimensiones arbitrarias. Pero, ¡un momento! El producto vectorial, y por tanto el rotacional, no
se extienden a dimensiones superiores, como señalamos en la nota a pie de página 3, en la Sec­
ción 1.3; por tanto, se necesita alguna idea nueva.
Recordemos que Hamilton estuvo buscando durante casi quince años sus cuatemiones, que
finalmente le condujeron al descubrimiento del producto vectorial. ¿Qué es lo que nos está di­
ciendo la no existencia de un producto vectorial en dimensiones superiores? Si el teorema fun­
damental del cálculo es el concepto clave, esto sugiere la existencia de un lenguaje matemático
en el cual pudiera ser formulado en un eontexto n-dimensional. Para conseguir esto, los mate­
máticos se dieron cuenta de que estaban obligados a abandonar los vectores, y avanzar hacia el
descubrimiento del espacio dual y un objeto matemático completamente nuevo, las formas dife­
renciales. En este nuevo lenguaje, los teoremas de Green, Stokes y Gauss tienen la misma ele­
gante y extraordinariamente simple forn1a.
Enunciado de manera sencilla y muy breve, una expresión del tipo P dx + Qdy es una
1-forma, o una l-fonna diferencial en una región en el plano xy, y Fdx dy es una 2-forma. Aná­
logamente, podemos definir la noción de n-forma. Existe una operación d, que lleva n-formas
en n + l-fom1as. Es una especie de rotacional generalizado y tiene la propiedad de que para
w = Pdx +Qdy, tenemos
dw=(
aQ
-
aP
)dxdy
.
o..x.'" ay
·,.
y así, con esta notación, el teorema de Green se 'transforma en
fúJ=rdw,
ao
Jo
que, curiosamente, simplemente cambia el operador de frontera a por el operador d. Sin embar­
go, las formas diferenciales son algo más que simple notación. Crean una bella teoría que puede
generalizarse al caso n-dimensional.
En general, si M es una superficie orientada de dimensión n con una frontera (n - 1)-dimen­
sional aM y si w es una (n - 1)-forma sobre M, entonces el teorema fundamental del cálculo
(también llamado teorema de Stokes generalizado) dice que
fw=fdw.
CM
i\4

568
Cálculo vectorial
Una cosa útil para el lector es considerar en este punto en qué sentido el teorema fundamen­
tal del cálculo es un caso particular de este resulrado.
En esta sección, haremos una exposición muy elemental de la teoría de las formas diferen­
ciales. Puesto que nuestro objetivo principal es demostrar que los teoremas de Green, Gauss y
Stokes se pueden unificar en un mismo enunciado, nos daremos por satisfechos con una versión
de estos teoremas que no es la más general posible. Además, presentaremos las formas diferen­
ciales de una manera puramente axiomática y no constructiva, evitando así el tremendo número
de preliminares algebraicos que habitualmente se requieren para su construcción. Para el puris­
ta, nuestro enfoque estará lejos de ser completo, pero para el estudiante será comprensible. Es­
peramos que motive a algunos estudiantes para profundizar más allá en la teoría de las fon11as
diferenciales.
Empezaremos presentando el concepto de O-forma.
O-formas
Sea K un conjunto abierto en 1Ri3. Una O-forma sobre K es una función con valores reales
f: K-+ IR. Cuando derivemos f una vez, supondremos que es de clase C1, y si la derivamos dos
veces, supondremos que es de clase C2
.
Dadas dos O-formas f1 y f2 definidas sobre K, podemos sumarlas de la manera usual, obte­
niendo una nueva O-forma f1 +f2, o multiplicarlas entre sí para obtener una O-forma f¡J2.
!1(x, y,z)=xy+yz,yf2(x, y,z)=ysenxzsonO-formassobreIR3:
(f1 +f2)(x, y,z)= xy+yz+ysenxz
y,
1-formas
Las 1-formas básicas son las expresiones dx, dy y dz. Por el momento, las consideraremos sólo
como símbolos formales. Una 1-forma w sobre un conjunto abierto K es una combinación lineal
formal
w = P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz,
o simplemente
w=Pdx+Qdy+Rdz,
donde P, Q y R son funciones con valores reales definidas sobre K. Por la expresión P dx deno­
taremos la l-forma Pdx + O·dy +O·dz, y análogamente para Qdy, y Rdz. Además, el orden
de Pdx, Qdy y Rdz es indiferente, de manera que
Pdx+Qdy+Rdz=Rdz+Pdx+Qdy,etc.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
569
Dadas dos !-formas w1 = P1dx + Q1dy + R1dz y Oh= P2d.x + Q2dy + R2dz, podemos su­
marlas para obtener una nueva !-forma w1 + w2 definida por
y dada una 0-forma f, podemos construir la 1-forma fw1 definida por
Seanw1 = (x+/)dx+(zy)dy+(exyz)dzyw2=senydx+senxdydos1-for-
mas. Entonces
w1 +w2=(x+l+seny)dx-1-(zy-1-senx)dy-1-(e:":)dz.
Si f(x, y, z) = x, entonces
fw2 = xsenydx + xsenxdy.
2-formas
Las 2-formas básicas son las expresio"t
t
es formales dxdy, dydz y dzdx. Estas expresiones deben
ser interpretadas como productos de dx con dy, dy con dz y dz con dx.
Una 2-forma 11 sobre K es una expresión formal
r¡ = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx,
donde F, G y H son funciones con valores reales sobre K. El orden de Fdxdy, Gdydz y Hdzdx
es indiferente; por ejemplo,
Fd.xdy + Gdydz -1- Hdzdx = Hdzdx + Fdxdy + Gdydz, etc.
En este punto, es útil observar que en una 2-forma las !-formas básicas dx, dy, dz aparecen
siempre en pares cíclicos (véase la_fjg_ura 8.6.1), es decir, dxdy, dydz, y dzdx.
Por analogía con las O-formas y las 1-fonnas, podemos sumar dos 2-formas
r¡¡ = F;dxdy -1- G¡dydz + H;dzdx,
i = 1 y 2, para obtener una nueva 2-forma

570
Cálculo vectorial
Asimismo, si f es una O-forma y 17 es una 2-forma, podemos tomar el producto
j1¡ = (fF)dxdy+ (fG)dydz + (fH)dzdx.
Finalmente, con la expresión Fdxdy denotaremos la 2-forma Fdxdy + O·dydz+ O · dzdx.
Las expresiones:
171 = :ldxdy + ·/xdydz+ sen zydzdx
y,
172 = ydydz
son 2-formas. Su suma es
171+172=x
2
dxdy + Clx + y)dydz + senzydzdx.
Si f(x, y, z) = xy, entonces
3-formas
Una 3-forma básica es una expresión formal dxdydz (en este específico orden cíclico, como en
la Figura 8.6.1). Una 3-forma v sobre un conjunto abierto K e IR3 es una expresión de la fonna
v = f(x, y, z)dxdydz, donde fes una función con valores reales sobre K.
Podemos sumar dos 3-formas y podemos multiplicarlas por O-formas de la manera obvia.
Aparentemente, hay poca diferencia entre una O-fom1a y una 3-forma, puesto que ambas involu­
cran una única función con valores reales; pero las distinguiremos con un propósito que se verá
claramente cuando multipliquemos y derivemos formas diferenciales.
x
2
d
Seanv1=ydxdydz,v2 =e xdydzyf(x,y,z)= .xyz.Entoncesv1+v2=
1
u'+ ex-)dxdydz y fv1 = lxzdxdydz.
Aunque podemos sumar dos O-fom1as, dos 1-fonnas, dos 2-formas o dos 3-formas, no nece­
sitaremos sumar una k-forma y una j-fom1a si k # j. Por ejemplo, no necesitaremos escribir
f(x, y, z)dxdy+ g(x, y, z)dz.
Ahora que hemos definido estos objetos formales (formas), podemos preguntarnos legítima­
mente para qué valen, cómo se usan y, quizás lo más importante, qué significan. La respuesta a
la p1imera pregunta aparecerá claramente según avancemos en el estudio, pero podemos desCl·i­
bir inmediatamente cómo se usan y cómo se interpretan.
Una función con valores reales sobre un dominio K en IR3 es una regla que asigna un núme­
ro real a cada punto de K. Las formas diferenciales son, en cierto sentido, generalizaciones de
las funciones con valores reales que hemos estudiado en el cálculo diferencial. En efecto, las
O-formas sobre un conjunto abierto K son simplemente funciones sobre K. Así, una O-forma f
lleva puntos de K en números reales.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
571
Nos gustaría interpretar las k-formas diferenciales (para k;?: l) no como funciones sobre
puntos en K, sino como funciones sobre objetos geométricos tales como curvas y superficies.
Muchos de los antiguos geómetras griegos interpretaban las rectas y curvas como si estuvieran
compuestas por infinitos puntos, y los planos y superficies como si estuvieran compuestos por
infinitas curvas. En consecuencia, hay al menos una justificación histórica para aplicar esta je­
rarquía geométrica a la interpretación de las formas diferenciales.
Dado un subconjunto abierto K e IR3, distinguiremos cuatro tipos de subconjuntos de K
(véase la Figura 8.6 .2):
X
i) puntos en K,
ii) curvas orientadas simples y curvas orientadas cerradas simples, e, en K,
iii) superficies orientadas S e:
:
K,.,
iv) subregiones elementales, R e K.
K
Fig�ta8.fi�2. ··
Los cuatro tipos geométricos de
subconjuntos de un conjunto abierto
Kelh!
!
3 a los cuales se aplica la teoría
de las formas diferenciales.
Integrales de 1-formas sobre curvas
Comenzaremos con las !-formas. Sea
w=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
una 1-forma sobre K, y sea Cuna curva orientada simple como en la Figura 8.6.2. El número
real que w asigna a e está dado por la fórmula
Lw=LP�x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.
(1)
Recordemos (véase la Sección 7.2) que esta integral se evalúa de la forma siguiente. Supon­
gamos que e: [a, b] -> K, c(t) = (x(t), y(t), z(t)) es una parametrización de e que preserva la
orientación. Entonces
fw = f w = fb[P(x(t), y(t), z(t))
dx
e
e
a
dt
dy
dz]
+ Q(x(t), y(t), z(t)) - + R(x(t), y(t), z(t)) - dt.
dt
dt

572
Cálculo vectorial
El Teorema I de la Sección 7.2 garantiza que Se w no depende de la elección de la parame­
trización c.
Así, podemos interpretar una !-forma w sobre K como una regla que asigna un número real
a cada curva orientada e e K; una 2-forma r¡ se interpretará análogamente como una regla
que asigna un número real a cada superficie orientada S e K; y una 3-forma v será una re­
gla que asigna un número real a cada subregión elemental de K. Las reglas para asociar núme­
ros reales con curvas, superficies y regiones están completamente contenidas en las expresiones
formales que hemos definido.
Sea w = xydx+ldy+dz una 1-forma sobre IR:3, y sea e la curva simple
orientada en IR:3 descrita mediante la parametrización c(t) = (r, f, 1), O :S; t �l. e está orien­
tada eligiendo como dirección positiva aquella en la que e(t) recorre la curva cuando t va desde
O hasta l. Entonces, según la Fómmla (1 ) .
Así, esta !-forma w asigna a cada curva orientada simple y a cada curva cerrada orientada sim­
pleeenIR:3elnúmeroSew.
Integrales de 2-formas sobre superficies
Una 2-forma 11 sobre un conjunto abierto K e IR:3 puede interpretarse análogamente como una
función que asocia cada superficie orientada S e K con un número real. Esto se consigue me­
diante la noción de integración de 2-formas sobre superficies. Sea
17 = F(x, y, z)dxdy + G(x, y, z)dydz + H(x, y, z)dzdx
una 2-forma sobre K, y sea S e K una superficie orientada parametrizada mediante una función
<P: D -.!R;3, De IR:2, <P(u, v) = (x (u, v), y(u, v), z(u, v)) (véase la Sección 7.3) .
DEFINICIÓN Si S es una tal superficie y 17 es una 2-forma sobre K, definimos J.fs IJ me­
diante la fómmla
JL1J=JL
Fdxdy + Gdydz + Hdzdx:
ff[
o(x, v)
=
F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · --·-
D
�u, 0
o(y, z)
+ G(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · -0 -­
(u, v)
o(z, x)]
+ H(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · -
�
-- dudv,
o(u, v)
(2)

donde
óx óx
ó(x, y) ou ou
o(u, u) oy oy
au av
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
573
oy oy
oz az
a(y,z) óuóu
acz, x) au Ov
--
-
o(u, v) oz í3z
o(u, u) ax OX
au cv
au ov
Si S está compuesta por varios trozos S;, i = 1, . .. , k, como en la Figura 8.4 .4, cada uno con
su propia parametrización <P;, definimos
r{f11 =tÍÍ17·
S
I-1
.., .,;S¡
Se debería verificar que Hs 11 no depende de la elección de la parametrización <P. Este re­
sultado está contenido esencialmente (pero no de manera obvia ) em el Teorema 4 de la Sec­
ción 7.6.
Sea
17
= z2 dx dy una 2-forma sobre IR3, y sea S la semiesfera superior de radio 1
en IR3. Hallar JSs r¡.
Solución
Parametricemos S mediante
<P (u, v)= (senucosv, senusenu, cosu),
donde (u, v) E D = [0, n/2] x [0, 2n]. Por la Fómmla (2),
donde
Por tanto,
fl fi 7[o(x, y)
J
r¡=
cos -u -�--
.
dudv,
s
D
o(u, v)
o(x, y)
=
lcosucosv
O(U, V)
COSUsenV
-senusenv 1
senucosv
= senucosucos2u + cosusenusen2v = senucosu.
ffs 17
=
ffD
cos2ucosusenududv
=
cos3usenududv=
-
--
.
dv= :_
_
.
f2
rr l.rr/
2
f2rr [ cos4 ¡¡]"12
n
O�O
O
4O
2

574
Cálculo vectorial
Evaluar Sfs xdydz+ ydxdy, donde S es la superficie orientada descrita por la
parametrización X= u+ V, y = u
2
v
2,z =uv,donde(u,v)ED=[0,1)Xro,1).
Solución
Por definición, tenemos
En consecuencia,
a(y, z)
=
¡2u
8(u, v)
v
8(x, y)
11
8(u, v)
=
2u
1
1= -2(u+ v).
2v
JL xdydz+ ydxdy = JJD [(u+ v)(2)(u
2
+v2
)+ (u
2
-v
2
)(-2)(u+ v)]dudv
Integrales de 3-formas sobre regiones
Finalmente, debemos interpretar las 3-formas como funciones sobre las subregiones elementales
de K. Sea
v
= f(x, y, z) dxdydz una 3-forma y sea R e K una subregión elemental de K. Enton­
ces, para cada R e K asignamos el número
JIL v
= JIL f(x, y, z)dxdydz,
(3)
que es simplemente la integral triple ordinaria de f sobre R, tal como fue descrita en la Sec-
,.
...
�..<.
.
-.-.
..
".:
::

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
575
p!JS¡f¡!Q!�I:fJI Supongamos v = (x+ z)dxdydz y R = [0, 1) x [0, l) x [0, 1). Evaluar HJR v.
Solución
Calculamos:
JJLv = JJL(x + z)dxdydz � I f I (x + z)dxdydz
ÍI ÍI
[x2
J
1
=
J0J0 2
+zx�dydz
_
[z2
2
]1
-
-+�
22o
l.
ffG+ z)dydz =
fG z)dz
El álgebra de las formas dif-e�enciales
'
Estudiaremos ahora el álgebra (o reglas de multiplicación) de formas diferenciales lo que, junta­
mente con las reglas de derivación de formas, nos permitirá enunciar los teoremas de Green,
Stokes y Gauss en términos de formas diferenciales.
Siwesunak-formay11esuna!-formasobreK,conO"(k+l"(3,existeunproductode­
nominado producto exterior w 1\ 11 de oJ y r¡ que es una k + l forma sobre K. El producto ex­
terior satisface las siguientes leyes:
i) Para cada k, existe una k-forma nula, denotada por O, con la propiedad de que O+ w = w
paratodak-formaw,yO1\11=Oparatoda!-formar¡,siO"(k+l"(3.
ii) (Distributiva) Si f es una O-forma, entonces
iii) (A.nticonmutativa) (J.) 1\ 11 = ( - !)k1 (r¡ 1\ w).
iv) (Asociativa) Si w1, w2, w3 son k1, k2, k3 formas, respectivamente, con k1 + k2 + k3 "( 3,
entonces
v) (Homogeneidad con respecto a las funciones) Si f es una O-forma, entonces
w1\(fr¡)=(fw)1\11=j(w1\17).
Obsérvese que en realidad la regla v) se deduce de las reglas (ii) y (iii).

576 Cálculo vectorial
vi) Se cumplen las siguientes reglas para la multiplicación de 1-formas:
dx11dy=dxdy,
dy/\dx= -dxdy=(-I)(dx11dy),
dy11dz=dydz= (-I)(dzAdy),
dz11dx=dzdx=(-l)(dx11dz),
dx11dx=O,dy11dy=O,dz11dz=O,
dx11 (dy1\dz)=(dx11dy)1\dz=dxdydz.
vii) Si fes una O-forma y w es una k-forma cualquiera, entonces f11 w = fw.
Usando las leyes de la i) a la vii), podemos hallar ahora un único producto de cualquier !-forma '1
con cualquier k-forma w, si O � k+ l � 3.
Demostrar que dx 11 dydz = dxdydz.
Solución
Por la regla vi), dydz = dy 11 dz. Por tanto,
dx1\dydz=dx11 (dy11dz)=dxdydz.
Siw=xdx+ydy,yr¡=zydx+xzdy+xydz,calcular w 11r¡.
Solución
Calculando w 1\ 17, resulta
w 11 17 =(xdx+ydy)A(zydx+xzdy+xydz)
= [(xdx+ ydy) A (zydx)] + [(xdx+ ydy) 11 (xzdy)]
+ [(xdx + ydy) 11 (xydz)]
= xyz(dx 11 dx)+ zy2(dy 11 dx)+ x2z(dx 11 dy)+ xyz(dy 11 dy)
+ x2y(dx 11 dz)+ xy2(dy 11 dz)
- z/ dxdy + x2zdxdy- x2ydzdx + .xy2 dydz
= (x2z - /z)dxdy - x2ydzdx+ xy2 dydz.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
577
Solución
Si w=xdx- ydy, y 17=xdydz + zdxdy, calcular w A 17.
w 1\ 17 =(xdx- ydy)A(xdy dz+ zdxdy)
= [(xdx- ydy)A (xdydz)]+[(xdx- ydy) 1\ (zdxdy)]
=�dxl\��-��/\��+�dxAdx�
-
(yzdy 1\ dxdy )
=[x
2
dx 1\ (dy1\dz)] -[xydy 1\(dy1\dz)]+[xzdxA(dx A dy)]
- [yzdy1\(dx1\dy)]
=�d.x��-��1\�A�+��/\�/\�
-
[yz(dy 1\ dx)Ady]
2
;
= x dxdydz-xy(O1\ dz)+ xz(O1\ dy)+[yz(dyAdy)A dx]
=x
2
dxdydz.
El último paso importante en el desarrollo de esta teoría es definir cómo derivar formas. La
derivada de una k-forma es una (k+ 1)-forma si k< 3, y la derivada de una 3-forma es siempre
cero. Si w es una k-forma, denotaremos la derivada de w por dw. La operación d tiene las pro­
piedades siguientes:
l. Si f: K--> IR es una O-forma, entonces�
a¡
a¡
a¡
df=- dx+- dy+- dz .
ax
ay. az
2. (Linealidad) Si w1 y w2 son k-formas, entonces
d(w1 + w2)= dw1 + dw2•
3. Si w es una k-forma y r¡ es una /-forma,
d(w 1\ r¡) =(dw 1\ r¡)+(-l)k(w 1\ dr¡).
4. d(dw) = Oy d(d.x) =d(dy)=d(dz)=O o, simplemente, d2 =O.
Las propiedades (1) a (4) proporcionan información suficiente como para definir de manera úni­
ca la derivada de cualquier forma.
Sea w= P(x, y, z)dx+ Q(x , y, z)dy una 1-forma sobre algún conjunto abierto
.
Calcular dw.
Solución
d[P(x, y , z)dx+Q(x, y , z)dy]
=d[P(x,y,z)Adx]+d[Q(x,y,z)Ady]
= (dPAdx)+[P 1\ d(dx)]+(dQAdy)+[Q 1\ d(dy)]
(usando 2)
(usando 3)

578
Cálculo vectorial
= (dP1\dx)+(dQ1\dy)
(aP
aP
aP
)
=
--:
:;-
dx+--:
:;--
dy+--dz 1\dx
OX
oy
3z
(ao .aQ
aQ)
+ ��dx-r-dy+-dz Ady
OX
ay
az
(aP
) (aP
) (aP
)
=
ax
dx1\dx +
ay
dy1\dx +
az
dz1\dx
(aQ
) (ao
\ (ao
)
+ -�-dx1\dy + -�-dyAdy¡+ --:;-dzAdy
�
cy
/
�
aP
aP
aQ
aQ
=---:
:;--
dxdy +- dzdx +-dxdy---:;- dydz
oy
az
ax
oz
(3Q ap
)aP
aQ
=
--
-:
:;
-
dxdy +- dzdx- -�- dydz.
ax
oy
az
oz
(usando 4)
(usando 1)
Sea f una O-forma. Usando únicamente las reglas de derivación (1) a (3), y el
hecho de que d(dx) = d(dy) = d(dz) = O, demostrar que d(df) = O.
Solución
Por la regla (l),
y por tanto
a¡
a¡
a¡
df=- dx+-dy+-d7
ax
ay
az �,
(a¡)(a
t)(a
t)
d(df) = d
ax
dx +d
a
�dy +d
¡jz
dz.
Trabajando sólo con el primer sumando y usando la regla (3), obtenemos
(a¡)(ar)(a¡)
ar
d--:
:;--
dx =d �1\dx =d - 1\dx+¿1\d(dx)
�
fu
fu
�
(a2¡
a2¡
a2f )
=
-
a2dx+
-
a-dy+-a
-
dz 1\dx+o
X
yax
azX
32!
a2
t
=--
dy1\dx+-·-dzAdx
ayax
azax
a2¡
a2¡
-
-�- dxdy + � dzdx.
ayox
ozox

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
579
Análogamente, se puede demostrar que
y
(a¡ ) a2¡
d-dy=-
�
-dxdy
oy
oxoy
a2¡
-- dvdz
OzOy �
Sumando estos tres términos, obtenemos d(df) =O, por la igualdad de las derivadas parciales
cruzadas.
Demostrar que d(dxdy), d(dydz) y d(dzdx) son cero.
Solución
Para demostrar el primer caso, usamos la Propiedad (3):
'(
d(dxdy) = d(dxA dy) = [d(dx)A dy- dxA d(dy)] =O.
Los otros casos son similares.
Si 17 = F( x, y, z)dxdy +G(x, y, z)dydz +H(x, y, z)dzdx, hallar d11.
Solución
Por la Propiedad (2),
d11 = d(Fdxdy) +d(G dydz) +d(H dzdx).
Calcularemos d(Fdxdy). Utilizando nuevamente la Propiedad (3), obtenemos
d(Fdxdy) = d(FA dxdy) = dFA (dxdy) +FA d(dxdy).
Según el Ejemplo 8.33, d(dxdy) =O, de modo que nos queda calcular
(aF
oF
oF)
dFA (dxdy) = -:
:;-
dx+-dy+-:
:;-
dz A (dxA dy)
OX
0)1
OZ
[oF
J [JF
J
=
ox
dx1\(dx1\dy)+
oy
dy1\(dx1\dy)
[aF
J
+
Jz
dzA (dxA dy) .

580
Cálculo vectorial
Ahora
y
dxA(dx1\dy)=(dx1\dx)1\dy=OAdy=O,
dy1\(dxAdy)=-dyA(dy1\dx)= -(dy1\dy)Adx=O1\dx=O,
dzA(dxAdy)=( -1)2(dxA dy)Adz=dxdydz.
En consecuencia
oF
d(Fdxdy) = -;
;-
dxdydz.
oz
Análogamente, resulta
Por tanto,
oH
oc
d(Gdydz) =
-
�
dxdydz
OX
y
d(Hdzdx) = -
�
dxdy dz.
oy
(oF oc oH
)
=
-;
;-
+-�-+ -
�
-
dxdydz.
OZ
OX
O)'
Ya hemos desarrollado todos los conceptos necesarios para refonnular los teoremas de
Green, Stokes y Gauss en el lenguaje de las formas diferenciales.
Aquí, dw es una 2-forma sobre K, y D es en efecto una superficie en !R3 parametrizada por
t:I>: D -> IR3, t:I> (x, y) = (x, y, 0). Puesto que P y Q son funciones que no dependen de la variable
z, entonces oPjoz y oQ/oz =O, y según el Ejemplo 8.31, dw = (oQjox-oPjoy)dxdy. En con­
secuencia, el Teorema 13 no quiere decir más que
fPdx+Qdy=J'f(�Q
-
�p)dxdy,
3D
JD OX
O)i
que es precisamente el teorema de Green. Por tanto, el Teorema 13 está demostrado. Análoga­
mente, tenemos los teoremas siguientes.

as
X
Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
581
�Fi��f�--�Z���;'� Una superficie orientada sobre la que el teorema
de Stqkes es aplicable.
Probablemente, el lector habrá observado la fuerte semejanza en los enunciados de estos
teoremas. En las formulaciones basadas en los campos vectoriales, utilizamos la divergencia pa­
ra las regiones en IR3 (teorema de Gauss), y el rotacional para superficies en IR3 (teorema de
Stokes) y regiones en IR2 (teorema de Green). Aquí, simplemente usamos la notación unificada
de derivada de una forma diferencial para los tres teoremas; y, en efecto, podemos enunciar
todos los teoremas como uno solo introduciendo un poco más de terminología.
Por una 2-variedad orientada con frontera en IR3 entenderemos una superficie en IR3 cuya
frontera es una curva cerrada simple con una orientación como la descrita en la Sección 8.2. Por
una 3-variedad orientada en IR3 entenderemos una región elemental en IR3 (y suponemos que su
frontera, que es una superficie, está orientada según la orientación exterior estudiada en la Sec­
ción 8.4). Llamaremos al siguiente teorema unificado «teorema de Stokes>> , como se hace habi­
tualmente.

582
Cálculo vectorial
Aquí, la integral se interpretará como simple, doble o triple, según corresponda. En efecto,
ésta es la forma del teorema de Stokes que se generaliza a espacios de dimensión arbitraria.
l. Evaluarw1\r¡si:
a) uJ=2xdr:+ydy,
17=x3dx +ldy.
b) w=xdx� ydy,
r¡=ydx+ xdy.
e) w=xdx+ydy+zdz,
11 =zdxdy+xdydz+ydzdx.
2. Demostrar que
d) w =xydydz+x
2
dxdv,
17 =dx+dz.
e) w=e"Yz dxdy,
1J=e-xvzdz.
(a1 dx+a2 dy+a3 dz) 1\ (b1 dydz+b
2
dzdx+b3dxdy) =(t1 a¡ b)dxdydz.
3. Hallar dw en los ejemplos siguientes:
a) w =x2y+l.
e) w=(x
2
+lldydz.
b) w =l cosxdy+xydx+dz.
f) w=(x
2
+
·
y2+z2)dz.
w=xydy+(x+y)
2
dx.
�x
y
e)
g) (J)=�2--
?
dx+
dy.
X+y
d) w=xdxdy+zdydz+ydzdx.
h) w=x2ydydz.
4. Sea V: K-+ �3 un campo vectorial definido por V( x, y, z)=G(x, y, z)i+H(x, y, z)j +F(x, y, z)k, y
sea 11 una 2-forma sobre K dada por
1 1 =Fdxdy+Gdydz+Hdzdx.
Demostrar que d1¡=(div V)dxdydz.
5. Si V =A(x, y, z)i +B(x, y, z)j +C(x, y, z)k es un campo vectorial sobre K e �3, definimos la ope­
ración Form2: campos vectoriales -+ 2-formas mediante
Fonn2(V) =Adydz +Bdzdx+Cdxdy.
a) Demostrar que Form2(aV1 +V2) =a Form2(V1) +Form2(V2), donde a es un número real.
b) Demostrar que Form2 (rot V)=dw, donde w=Ad:x+B dy+Cdz.
6. Utilizando la versión para formas diferenciales del teorema de Stokes, demostrar la versión para
campos vectoriales de la Sección 8.2. Hacer lo mismo con el teorema de Gauss.
7. Interpretar el Teorema 16 en el caso k=l.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
583
8. Sea w= (x +y) dz +(y +z) dx +(x +z) dy y sea S la parte superior de la esfera unidad; es decir, S
es el conjunto de puntos (x, y, z) con x
2
+l +z
2
= 1 y z ? O. 3S es la circunferencia unidad en el
plano xy. Calcular J35 w directamente, y mediante el teorema de Stokes.
9. Sea T el tetraedro limitado por el plano xy, el plano xz, el plano yz, y el plano 2x + 3y +6z= 12.
Calcular
directamente, y mediante el teorema de Gauss, si
a) F1=3y,F2=18z,F3=
!2; y
10. Evaluar ff s w, donde w= z dx dy +x dy dz +y dz dx y S es la esfera unidad, directamente y mediante
el teorema de Gauss.
11. Sea R una región elemental en lf.&3 Demostrar que el volumen de R viene dado por la fórmula
l"f
v(�-==3J i!R {dydz +ydzdx +zdxdy.
12. En la Sección 4.2 vimos que la longitud l(c) de una curva c(t)= (x(t), y(t), z(t)), a� t � b, venía
dada por la fórmula
/(e)= f ds= r(�:)dt
donde, de manera informal, (ds)
2
= (dx)
2
+(dy)
2
+(dz)
2
, es decir
ds
= J(dx
)2
+
(dy
)2
+(c!
!:.
)2
dt
dt
dt
dt
A continuación, supongamos que una superficie S viene dada en forma parametrizada por <1> (u, u) =
(x(u, v), y(u, v), z(u, u)), donde (u, u) E D. Demostrar que el área de S puede expresarse como
A(S) = fL dS,
donde formalmente (dS)
2
=(dx1\dy)
2
+(dy 1\ dz)
2
+(dz 1\ dx)
2
, una fórmula que requiere una ex­
plicación. [INDICACIÓN:
3x
3x
dx= - du+-dv,
3u
3v
y análogamente para dy y para dz. Utilizar las leyes de las formas diferenciales para las !-formas
básicas du y dv. Entonces, dS resulta ser una función multiplicada por la 2-forma básica du dv, que
podemos integrar sobre D.]

584
Cálculo vectorial
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8
l. SeaF =2yzi+(-x +3y + 2)j+(x2 +z)k.Evaluar Hs(\7xF)·dS,dondeS es elcilindro
x2+l=a
2
, O � z � 1, sin las tapas superior e inferior. ¿En qué cambiaría el resultado si se in­
cluyeran estas dos tapas?
2. Sea W una región en IR:3 con frontera oW. Demostrar la identidad:
fLv
[F x (\7 x G)]·dS= JJL(\7 x F)·(\7 x G)dV-
ffLF(\7x\7xG)dV
.
3. Sea F = x2yi + z8j - 2xyzk. Evaluar la integral de F sobre la superficie del cubo unidad.
4. Comprobar el teorema de Green para la integral de línea
fex2ydx + ydy ,
dondeCeslafronteradelaregiónlimitadaporlascurvasy=xey =x3,O�x�l.
S. a) Demostrar que F = (x3 - 2xl)i - 3x2/j es un campo vectorial gradiente.
b) Evaluar la integral de F a lo largo de la trayectoria X=cos3e, y = sen3e, o � e � n/2.
6. ¿Es posible deducir el teorema de Green en el plano a partir del teorema de Gauss?
7. a) Demostrar que F=6xy(cosz)i+3x2(cosz)j-3x2y(senz)k es conservativo (véase la Sección 8.3).
b) Hallar f tal que F =\7f
e) Evaluar laintegraldeF alolargodela curvax=cos3e, y =sen3?.z = O,O�e�n/2.
8. Sea r(x, y, z) =(x, y, z) , r= 11 rll- Demostrar que \7
2
(log r)=ljr2 y V\r")=n(n + l)r"- 2
9. Supongamos que la velocidad de un fluido está descrita por F = 6xzi + x2
vj + yzk. Calcular la tasa
con que el fluido está saliendo del cubo unidad.
10. Sea F =x2i+(x2y- 2xy)j -· x2zk. ¿Existe un campo G tal que F =\7 x G?
ll. Sea a un vector constante y F =a x r [como es habitual, r(x, y, z) =(x, y,z)]. ¿F es conservativo?
En caso afirmativo, hallar un potencial.
12. (Para aquellos estudiantes que hayan estudiado la Sección 8.5.) Considerar el caso de un fluido in­
compresible con campo de velocidades F y densidad p.
a) Si p es constante para cada t fijo, demostrar que entonces p también es constante respecto de t.
b) Si p es constante respecto de t, demostrar que F · \7p = O.

Capítulo 8. Los teoremas de integración del análisis vectorial
585
�t'itrH::.. n;u� - ht:..t-'. AHGi:
:::.
NYlNA
13. a) Sea f(x, y, z) = 3.ryez2 Calcular V'f.
b) Sea e(t) = (3 cos3 t, sen2 t, e'), O� t� 11:. Evaluar
f.V'f·ds.
•.e
e) Comprobar directamente el teorema de Stokes para campos vectoriales gradiente F = V'f.
14. Usando el teorema de Green, o de alguna manera alternativa, evaluar fe x3 dy � l dx, donde e es la
circunferencia unidad (x2+y2 = 1 ).
·
15. Evaluar la integral Hs F · dS, donde F = xi+ yj + 3k, siendo S la superficie de la esfera unitaria
x2+l+l=1.
16. a) Enunciar el teorema de Stokes para superficies en !R3
b) Sea F un campo vectorial en IR3 que satisface V' x F= O. Utilizar el teorema de Stokes para
demostrar que fe F·ds = O, donde e es una curva cenada.
17. Utilizar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de la curva x =a sen(} cos B, y =a sen2 B,
paraa>OyO�(}�rr.
-�
\
18. Evaluar je yzdx +xzdy + .rydz, doiil
l
e e es la curva intersección del cilindro x2+l = 1 y la su-
perficie z = /.
19. Evaluar Je (x+ y) dx+ (2x z) dy+ (y+ z) dz, donde e es el perímetro del triángulo que conecta
(2,O,0),(0,3,0)y(0,O,6),eneseorden.
20. ¿Cuáles de los siguientes campos en !R;3 son conservativos? Para los que lo sean, hallar una función f
tal que F= V'f.
a) F(x, y, z)= 3x2yi+x3j+5k.
b) F(x, y, z)=(x + z)i � (y+z)j+(x � y)k.
e) F(x, y, z) = 2xli+x2z3j +3x2yz2k.
21. Considerar los dos campos vectoriales en !R3 siguientes:
i) F(x, y, z)=/i � z2j+x2k.
ii) G(x, y, z) = (x3 3x/)i+ (y3 � 3x2y)j+ zk.
a) ¿Cuál de ellos es conservativo en IR3 (en caso de que alguno lo sea)'? (Es decir, ¿cuál es un
campo gradiente?) Razonar la respuesta.
b) Hallar un potencial para los campos que sean conservativos.
e} Sea ex la trayectoria que va desde (0, O, O) hasta (1, 1, 1) siguiendo las mistas del cubo
O�x�1,O�y�1,O�z�1,yendodesde(0,O,O)hasta(0,O,1),luegoa(0,1,1)yfinal­
mente a (l, 1, 1). Sea fJ la trayectoria que va desde (0, O, O) hasta (1, 1, 1) directamente a lo
largo de la diagonal del cubo. Hallar los valores de las integrales de línea
1F·ds,
1 G·ds,
tF·ds,
Í G·ds.
Jfl

586
Cálculo vectorial
22. Considerar el campo vectorial constante F(x, y, z) = i + 2j -k en IR3.
a) HallaruncampoescalarcjJ(x,y,z)enIR3talque17cjJ=FenIR3ycp(O,O,O)=O.
b) Encontrar todos los puntos de la esfera 1.: de radio 2 y centrada en el origen tales que:
i) cjJ es máximo, y
ii) cjJ es mínimo.
e) Calcular los valores máximo y mínimo de cjJ sobre 1.:.
23. Sea F un campo vectorial de clase e
'
, y supongamos que 17 · F(x0, y0, z0) > O. Demostrar que para
una esfera S suficientemente pequeña, centrada en (x0, y0, z0), el flujo de F hacia el exterior de S es
positivo.
24. Sea B e !R;3 una región plana y sea O E !R;3 un punto. Si conectamos todos los puntos de B con el
punto O obtenemos un cono, que llamamos e, con vértice en O y base B (véase la Figura S.R.l ).
Demostrar que
l
volumen (C) = - área (B) h,
3
.
donde h es la distancia de O al plano que contiene a la región B, usando los siguientes pasos:
l. Supongamos que O es el origen de coordenadas. Definimos r(x, y, z) = (x, y, z). Evaluar el flujo
de r a través de la frontera de e, es decir, Hac r · n dA, donde n es la normal unitaria exterior
a3C.
2. Evaluar la divergencia de r en e, es decir, SfSc 17 · rdV.
3. Usar el teorema de Gauss, que dice que la divergencia total de un campo vectmial en una región
encerrada por una superficie es igual al flujo de ese campo vectorial a través de la frontera:
Jft17·rdV=Haer·ndA.

Respuestas a los ejercicios
•
1111pares
Las soluciones que requieren demostración pueden estar incompletas o haber sido omitidas.
Capítulo 1
Sección 1.1
l.4;17
5.
y
VW
v+w
\
3. (-104+ 16a, -·24 - 4b, -22+26c)
7.
y
X
v+w
V-\\'
9. X=O,z=O,yEIR;X=O,y =O,zEIR;y=O,X,zEIR;X=O,y,zEIR
11. {(2s, 7s + 2t, 7t)\sE IR, tE IR}
15. l(t) = (21- 1)i- j + (3t- l)k
13. l(t)= -i+(t-l)j-k
17. {si+3sk-2tj1O,s;s,s;l,O,s;t,s;1}

588 Cálculo vectorial
19. Si(x,y,z)estáenlarecta,setienex=2+t,y= -2+tyz= -l+t.Entonces,2x-3y+z-2
= 4+2t+6 -3t - 1+t -2=7, que no es cero. Por lo tanto, ningún (x, y, z) satisface ambas
condiciones.
21. Sí.
23. El conjunto de vectores de la forma
v=pa+qb+rc
dondeO�p�1,O�q�1,yO�r�l.
25. Todos los puntos de la forma
(xo+ t(x¡
xo)+ s(x2 - xo). Yo+ t(y1 Yo)+ s()'2 -Yo). zo+ t(Z¡ - zo)+ s(z2 - Zo)).
donde t y s son números reales.
27. Si un vértice se coloca en el origen y los dos lados adyacentes son u y v, el nuevo triángulo tiene
ladosbu, bvyb(u-v).
29. (1, O, 1)+(0, 2, 1)=(0, 2, 0) + (l, O, 2).
31. Dosde estas rectas (hay otras muchas) son x=1, y=t, z=t y x=l,y=t, z = -t.
Sección 1.2
l.6
5. No, es 75,7; sería cero sólo cuando los vectores fueran paralelos.
7. llnll = Js, llvll=fi, u·v= -3
11. llnll= fo, llvll= J26, u· v= - 17
9.
r:-:
¡-
-
llnll= ··./11, llvll = y'62, u· v= -14
13. En el Ejercicio 9, arceas(- 14/fo j62); en el Ejercicio lO, nj2; y en el ll, arccos( -17¡fo j26).
15.
- 4(- i+j+k)/3
19. i+ 4j, e ""' 0,24 radianes hacia el este a par­
tir del norte.
23.
y
+
¡ F�so kp
11
1 V1 F,o >O�" (;o1"
�
f
1
»X
'
' Fx�50 COS (50°) kp
17. Cualquier (x, y, z) con x+y+ z= O;
por ejemplo, (l, -1, O) y (0, 1, -1).
21. a) 12:03 h de la mañana
b) 4,95 km
25. (4,9, 4,9, 4,9) y ( - 4,9, 4,9, 4,9) N

Sección 1.3
12
l.3o1-8,
2o2
3.
-3 i+j+5k
7. 10
3o
2
2o2
b)::
:::;
0,322 radianes o 18,4°
=8
5.fo
9. ±k
11. ±(l13i+l7j- 103k)/j23.667
e) 18}2
13. U+V=3i 3j+3k; U' V= 6; llull = J6; llvll = 3; U X V=-3i+3k
15. a) x+y+z-1=O
b) x+2y+3z- 6 =O
e) 5x+2z= 25
\
d) x+2y-3z =13 -
17. a) Los planos paralelos Ax+By+Cz+D=O y uAx+uBy+uCz+D' O son idénticos cuan-
do D'= uD, y si esto no sucede nunca se cortan.
b) En una recta.
19. La recta x= t, y= 2t, z =-5t.
21. a) Hacer el primero manipulando cada lado en coordenadas, y después utilizar que
ax(bx.e)=-(bxe)xa
para obtener el segundo.
b) Utilizar .las identidades de a) para escribir las cantidades en términos de productos escalares.
e) Utilizar las identidades de a) y simplificar.
23. Calcular los resultados con la regla de Cramer y comprobar que satisfacen la ecuación.
25. x- 2y+3z+12 =O
29. 10x- 17y+z+25=0
27. 4x-6y-lOz=14
31. Por el Ejercicio 19 de la Sección 1.1 observar que (2, -3, 1) · (1, l, l) =O; por tanto la recta y el
plano son paralelos, y (2, - 2, -1) no está en el plano. Por el Ejercicio 20 de la Sección 1.1, la recta
y el plano son paralelos y (1, -1, 2) pertenece al plano.
33. fi¡13
35. a) Demostrar que M satisface las propiedades geométricas de R x F.
37. Demostrar que n1(N x a) y n2(N x b) tienen la misma longitud y sentido.
b) 2j3

590
Cálculo vectorial
39. Un método consiste en escribir todos los términos en la parte izquierda y observar que todos los tér­
minos que contienen ), se cancelan. Otro método es observar primero que el determinante es lineal
por filas y por columnas, y si una fila o columna se repite, la respuesta es cero. Entonces,
O¡
a2 +A.o1
03
Sección 1.4
l. a)
Cilíndricas
r
()
z
1 45°
1
2n/2-4
o 45°
10
3 n/6
4
1
n/6
o
2 3rr/4 -2
b)
Rectangulares
X
y
z
2
1-2
o
34
;-:
:,
vk
l
1
r;
;
-2v3 -2 3
b¡
C¡
O¡b¡C¡
O¡b¡C¡
O¡b¡C¡
b2+),b¡ c2+Ac1
a2b2c2
+}O¡b¡ C¡
alb2c2
b3
c3
a3b3c3
Rectangulares
X
y
z
p
'2!2 fl/2 1
�-
r
.J2
o
2
-4
¡-
2.J5
o
o
10
JO
3}3/2 3/2
4
S
J3;"2
J
o
2
1
-fi
h
-y2
-2
2-Jj
Esféricas
p
(}
3
arctan i
n - m -ecos (2/3)
S
n/2
arccos (4/5)
2 arctan (fl/2)
n/3
S
7rr/6
arcos �
a3b3c3
03blc3
Esféricas
(}
4>
4S0
45°
rr/2 n - arccos (2j5/5)
4S0
n/6
n/6
3rr/4
r
e
�5
3
r
'�
y.:Y
4
o
arcos �
n/2
3rr/4
Cilíndricas
()
arctang �
n/2
r:
:
arctang (y' 2/2)
7rr/6
z
2
4
1
3
3. a) Rotación por n alrededor del eje z.
b) Simetría con respecto al plano xy.
e) Rotación de rr/2 alrededor del eje z con una
expansión radial con factor 2.
5. No;(p,e, rp)y(-p,e+ n, n + r/>)representan el mismo punto.
7. a) eP=(xi+yj+zk)/.Jx"+l+z2=(xi+yj+zk)/p
e0=(-yi+xj)¡j.?+l=(-yi+x
.
i)/r
e.p=(xzi+yzj-(x2+/)k)/rp
b) e8 xj = -yk(j.?+/, e.pxj=(xz/rp)k+(r/p)i

9. a) Lalongituddexi+yj+k:zes(x2+/+z2
)1i
2
=p
b) cosq;=z/(Y+l+z2)112
e) cose=x/(Y + y2)1;2
11. O� r � a, O� e� 2n significa que (r, e, z) está dentro del cilindro con radio a con eje en z, y
lzl � b significa que la distancia al plano .xy es como máximo b.
13.
d/(6cos rj;)�p�d/2,o�e�2n, y 1I- arccos(�)�1;�1[
15. Ésta es una superficie cuya sección transversal con cada esfera z =e es una rosa de cuatro pétalos.
Los pétalos disminuyen hacia cero cuando 1 cj varía desde O hasta 1 .
Sección 1.5
l.7
3.
rr;:-;:
lx·yi =lO=.V5�20 =llxii iiYII. por tanto lx·yl � llxii iiYII es cierto.
!lx + Yll =3..)5 =llxll + IIYII. por tanto llx + Yll � llxll + IIYII es cierto.
5. jx·yl =5 < J65 =IJxii iiYII. por tanto jx·yj,:;
;
llxll llYII es cierto.
llx + Yll =J28 <�S+ Ji3 = ilxll + IIYII. por tanto llx + Yll � llxll + IIYII es cierto.
7. AB=[ -:
-6
-1
11
5 3]�, detA =-5, detB=-24,
detAB =120(=detA detB), det(A. + B) = -61(7" detA. + detB)
9. INDICACIÓN: Para k=2 utilizar la desigualdad triangular para demostrar que llx 1 + x21! � jjx1jj + jjx2jj;
entonces, para k=i + 1 observar que jjx¡ + x2 + ··· + X;+Iil� llx¡ + X2 + ··· + x1ll+ jjx,+¡jj.
11. a) Comprobar n = 1 y n = 2 directamente. A continuación, reducir un determinante 11 x 11 a una
suma de determinantes (n - J) x (11 - 1) y usar inducción.
b) El argumento es similar al de a). Supongamos que la primera fila está multiplicada por Jc. El
primer término de la suma será Aa¡¡ veces un detem1inante (11 - 1) x (n- l) sin factores de A.
Los otros términos obtenidos (al desarrollar por la primera fila) son similares.
13. No necesariamente. Intentar A. =[� �J y B =[� �J.
15. a) Las sumas de dos funciones continuas y un múltiplo escalar de una función continua son conti­
nuas.
b) i) (rxf+ fJg) · h =Jb ((f.f+ fJg)(x)h(x) dx
=Jb f(x)lz(x) dx + {3 Jb g(x)h(x) dx
=(f.f·h + flg·h
ii) ¡. g =]Ó f(x)g(x) dx =Sb g(x)f(x) dx =g .¡
Para las condiciones (iii) y (iv) el integrando es un cuadrado perfecto. Por tanto, la integral es no
negativa y puede ser O sólo si el integrando es cero en casi todo punto. Si f(x) 7" O para algún x,
entonces sería positiva en un entorno de x por la continuidad, y la integral sería positiva.

592
Cálculo vectorial
17. Calcular los productos de matrices de las dos maneras y comprobar que se obtiene la identidad.
19. (detA)(detA -J)=det(AA. -J)=det(J)= 1
Ejercicios de repaso del Capítulo 1
l. v+w=4i+3j+6k; 3v= 9i+ l2j+!Sk; 6v+8w=26i+ 16j+38k; -2v=-6i- Sj- lOk;
v· w=4; v x w=9i+2j- 7k. Su esbozo debe mostrar v, w, 3v, 6v, Sw, 6v+Sw, v · w como la
proyección de v en la dirección de w y v x w como un vector perpendicular a ambos v y w.
3. a) l(t)=-i+(2+t)j- k
b) l(t)=(3t- 3)i+(t+ l)j- tk
S.a)Ob)5
e) -lO
7. a) n/2
e) -2x+y+2z=9
9. {sta+s(!-t)b1O:S;t:S;1yO:S;s:S;1}
11. Sea v=(a1, a2 , a3), w (b1, b2, b3), y aplicar la desigualdad CBS.
13. El área es el valor absoluto de
(Un múltiplo de una fila de un determinante puede añadirse a otra fila sin que cambie el valor del
determinante.) Su dibujo debe mostrar dos paralelogramos con las mismas base y altura.
15. Los cosenos de las dos partes del ángulo son iguales, porque
a· v/llall llvll=(a· b+llall llbll)/llvll=b· v/llbll llvll-
jk
17. jXj=1 o o=k;etc.
o
o
19. a) INDICACIÓN: El ángulo de la proyección del vector que une cualquier par de puntos, uno de cada
recta, sobre (a1 x a2)//JJa1 x a211 es d.
b)J2
21. a) Observar que
1
o
o
=
�'x2 x1 X3-X¡ '
-
X¡xlXJ
-
X¡ x2-x1 X3-X¡
2
2
2 Y2-)'¡ Y3-Y1
)'¡ Y2 Y3
)'¡ Y2- )'¡ Y3- )'¡
b) l/2

23. Rectangular
a) cj2;2, j2¡2, I)
b) (3fi/2, 3/2, -4)
e) (0,O,1)
d) (0, -2, l)
e) (0,2,l)
.
He�.�uest�� �-���!��[Sicios impares
593
Esférica
a) cj2, n/4. n/4)
b) (5. n/6, arcos ( - 4/5))
e) (1, n/4, 0)
d) cJs, 3nf2, arcos cJs/5))
e) cJs, n/2, arcos cJs/5))
(Se omite el dibujo)
25. z =r2cos211;coscj;=psen2cj;cos28
27. lx·yl=6 <J9s =llxiiiiYII;llx +Yll=J'3¿ <ji4 +Ji=llxll+IIYII
·
·,
29. a) La propiedad asociativa para la multiplicación de matrices se puede comprobar como sigue:
[(AB)C]¡¡ = I (AB);kCkj= I I A;¡B¡kCkj
k�1
k�l 1�1
= I 4;(BC)Ij = [A(BC)]ij.
!�1
Use este resultado con C siendo un vector columna.
b) La matriz para la composición es la multiplicación de matrices.
31. IR" está generado por los vectores e1, e2, ... , e"' Si v E IR" se tiene
Sea au = (Te1 · e), de manera que
Entonces
Esto es, si
como se quería.
Te1 = I a¡¡e;.
j�l
Tv ·ek = I (v ·e;)aki·
i=I
_
[�11 ···a¡,] [�1]
entonces Tv - :
:,
an1 ..
.
a,m
Vn
33. a) 70 cos e+20 sen e b) (2Ij3+6)kg·m
35. Cada lado coincide con 2xy- 7yz + 5z2- 48x + 54y- 5z- 96 (o cambiar las dos primeras colum­
nas y a continuación la primera fila de la segunda).
37. Sumar la última fila de la primera y restar el resultado de la segunda.

594
Cálculo vectorial
l
a¡a2a3
39.a)-b¡b2b3
b) 1/3
6
C¡c2c3
41. Utilizar que 11 all
2
= a· a; desarrollar ambos lados y usar la definición de c.
47. cJ3/2)i + o;2j2)j + o;2j2)k
4s. c2;j5)i - o;Js)j
Capítulo 2
Sección 2.1
l. Las curvas de nivel y las gráficas se dibujan a continuación. La gráfica en la parte e) es un paraboloi­
de hiperbólico como el del Ejemplo 2.4, pero girado 45° y comprimido verticalmente por un fac\or
de1/4.Paraverestouselasvariablesu=x+y,yu=x -y.Entoncesz=(v2
-
u
2
)/4.
y
a)
y
z=l
z
,
r
j'
--
Intersección
"��-,
con el plano zy
l
X
Sección
z=4y
2
,
x=O
Sección
z=x2
,
y=O
z
Intersección
1
con el plano xy
\� Intersección
'V con el plano xz
\ ____¿

b)
y
Sección x = -y
e)z=-.ct-:y
---
3. ParaelEjemplo2.2,z = r(cose+sene)+2,laformadependedeO;paraelEjemplo2.3,z = r2, la
forma es independiente de e; para el Ejemplo 2.4, z = r2(cos2 e- sen2 e), la forma depende de e.
5. Las curvas de nivel son circunferencias x2 + l = 100- e
2
cuando e� 10. La gráfica es el hemisfe­
riosuperiordex2+l+z2= 100.
y
+
c=8
.c.
..----r-t"l'c-
e=!O
y
X
7. Las curvas de nivel son circunferencias y la gráfica es un paraboloide de revolución. Véase el Ejem­
plo 2.3 de esta sección.
9.Sie=O,lacurvadeniveleslarectay= -xjuntoconlarectax O.Sie-¡oO,entonces
y= -x+(e/x).Lacurvadenivelesunahipérbolaconelejey,ylarectay= -xcomoasíntotas.
La gráfica es un paraboloide hiperbólico. Las secciones a lo largo de la recta y = ax son las parábo­
lasz=(l+a)x2.
11. Si e > O, la superficie de nivel f(x, y, e) = e es vacía. Si e = O, la superficie de nivel es el punto
(0, O, 0). Si e < O, la superficie de nivel es la esfera de radio
con centro en (0, O, 0). Una
sección de la gráfica deterrrilnada por z = a está dada por t =
-
l - a2, que es un paraboloide
de revolución abierto hacia abajo en el espacio xyt.

596 Cálculo vectorial
13. Si e<O.la superficiede nivel es vacía. Si e = O,la superficiede nivel es el eje z. Si e> O, esel
cilindro circular recto x
2
+y2=ederadio}-:
:
cuyo eje es z. Una sección de la gráfica determinada
por z = a es el paraboloide de revolución t = x
2
+ /. Una sección determinada por x = b es una
«depresión>> con sección transversal parabólica t(y, z) = l + b2
15. Poniendo u= (x �z)(j2yv = (x+ z)/J2nosdanlosejes uy v rotandolosejes x yz45°alrede­
dor del eje y. Puesto que f = vy J2, las superficies de nivel f= e son «cilindros>> perpendiculares al
plano vy (z = � x) cuyas secciones transversales son las hipérbolas vy = c/J2, de manera que
Sx�a n gráfica de f es el paraboloide hiperbólico t = (z + a)y en el espacio yzt [véase el Ejerci­
cio 1 e)]. La sección Sv�b n gráfica de f es el plano t = bx + bz en el espacio xzt. La sección
Sz�b n gráfica de f es e} paraboloide hiperbólica t = y(x + b) en el espacio xyt.
17. Sie<O,lacurvadenivelesvacía.Sie=O,lacurvadeniveleselejex.Sie>O,eselparde
rectas paralelas lyl = c. Las secciones de la gráfica con x constante son las curvas, en forma de V,
z = lyl en el espacio yz. La gráfica se muestra en la figura siguiente.
19. El valor de z no importa, de manera que obtenemos un «cilindro>> con sección transversal paralela al
ejezqueesunaelipseyquecortaalplanoxyen4x
2
+l=16.

Res�uéstas a los ejercicios impares
597
ENTRE RIOS
y
21. El valor de x no importa, de manera que obtenemos un «cilindro» paralelo al eje x con sección trans­
versal hiperbólica que corta al plano yz en la hipérbola z2 - l = 4.
23. Un paraboloide elíptico con eje a lo largo del eje x.
y
"'
'
X
25. El valor de y no importa, de manera que obtenemos un «cilindro» de sección transversal parabólica.
27. Ésta es una superficie en forma de silla de montar similar al la del Ejemplo 2.4, pero las hipérbolas,
que son curvas de nivel, no tienen asíntotas perpendiculares.

598
Cálculo vectorial
y
Curvas de nivel
29. Un doble cono con eje a lo largo del eje y, y secciones transversales elípticas.
y
X
31. Completar elcuadradoparaobtener(x+2)2+(y-b/2?+(z+�f=(b2+4b+97)/4.Estoesun
elipsoide con centro (- 2, b/2, - i) y eje paralelo a los ejes coordenados.
33. Las curvas de nivel quedan descritas por cos 28 = e?. Si e > O, entonces - n/4 � e � n/4 o
3nj4�e�Sn/4.Sie<O,entoncesn/4�e�3n/4oSn/4�e�?n/4.Encualquieradeloscasos
se obtiene una figura en forma de ocho, llamada lemniscata, a través del origen (tales curvas fueron
estudiadas por primera vez por Jacques Bemoulli y algunas veces se les llama <<lemniscatas de Ber­
noulli»).
y
.¡.

Respuest:'�.
.
a
.
los ejercicios impares
599
ENTRE RIOS • REP. ARGENTINA
Seccion 2.2
l. Si (x0, y0) E A, entonces lx01 < 1 e fy01 < l. Sea r=rrún (1 - lx01, l - ly01). Demostrar que
Dr(x0, y0) e A o bien analíticamente o bien dibujando una figura.
3. Poner r=min(2-Jx� + y6, Jx� + Y6- j2).
5.a)o b)-I/2 e)
7.a)5
b)o
e) 2x
9.a)ob)-1/2e)o
11. a) Componer f(x, y)=xy con g(t) = (sen t)/t para t #O y g(O)= l.
b)oe)O
13. a)
b) llxoll
e) (1, e)
d) El límite no existe (estudie separadamente los límites para x =O e y =0).
15. Utilice las partes ii) e iii) del Teorema 4.
17. a) Poner el valor de la función igual a 1 en el punto (0, 0).
b) No.
19. Para lx-21<6=�-2 tenemos lx
2
-
41=lx-2llx+21<6(6+4)=8. Por elTeorema
3 iii), lim x
2
= (lim x)
2
=22=4.
x--2
x--
-jo.
2
21. Sea r= llx- Yll/2. Si llz- Yll � r, sea f(z)=llz- Yll/r. Si llz-Yll > r, sea f(z)=l.
23. a)
b)
e)
lim j(x)=Lsipara cada8>Oexiste6>Otalquex>byO<x-b<6implica
x-b+
lf(x)-Ll<E:.
lim (l/x)=- oo, lim e'=O y por tanto lim e11
x
=O. Entonces lim 1/(l + el!) = J. El
x-o-
{-.
.
'X)
x-o�
x--
-
..o-
otro límite es O.
y
i
1
2
1
l+ellx

600 Cálculo vectorial
25. Para E> O y x0 sea el (s/K)'i". Entonces llf(x) - f(x0)!1 < Kel"= ¡; cuando llx - Xoll < el. Observe
que la elección de el no depende de Xo· Esto significa que f es uniformemente continua.
27. a) Elejir el < 1/500.
Sección 2.3
l. a) i3f/i3x=y; i3ffi3y=x
b) Elejir 6 < 0,002.
b) i3fji3x= yeX}'; i3fli3y= xexy
e) i3f/i3x=cosxcosy- xsenxcosy; i3fji3y= - x cosxsen y
d) i3f/i3x= 2x[l + log(x
2
+ /)]; i3ffoy 2y[l + log(x2
+/)]; (x, y)# (0, O)
3. a) i3wji3x=(1 + 2x2) exp (x2
+.l); i3wji3y=2xy exp (x2 + /)
b) i3wji3x= - 4x//(2 - / )2; i3wji3y=4yx2j(2 -/)2
e) i3wjcx=yeX}'log(x2
+/)+2xeX}'/(2+/);
cwjcy=u""log(x2 + ),2) + 2ye·D'j(.,J- +/)
d) i3wji3x= 1/y; i3w(i3y = -xjy
e) i3w/i3x= -lexy sen yexy senx + cos ye·D' cos x;
owfcy=(xyexy + ex.v)(- sen ye"Y senx)
5. z=6x+3y-11
7. a) [��]
e)
d)
[z�y x2
�]
[(y+xy')''"
sen y
5/
(x +>'y)¿']
xcosy
!Oxy
9. En z=l.
11. Ambos son xyeX}'.
15. 2x+6y-z=5
17.
-2k
19. Son constantes. Demostrar que la derivada es la matriz cero.

Sección 2.4
l. Esta curva es la elipse (y2/l6) + x2
=1
"
y
-+-
R�SPI;i,�
�
as a los ejercicios impares
601
3. Esta curva es._] a recta que pasa por el punto ( - l. 2, O); en la dirección de (2, 1, 1)
5. 6i+6tj+3t2y
9. c'(t) = (e', -sen t)
------
/
-
/
�/+
1
���----- +y
/,
X
1
1
7. (-2costsent,3 -3r
2
,1)
11. c'(t) =(tcost + sent, 4)
13. Horizontal cuando t = (R/v)nn, n entero; la rapidez es cero si n es par; la rapidez es 2v si n es impar.
15. (sen3,cos3,2)+(3cos3, - 3sen3,S)(t- l)
17. (8, 8, O)
19. (8, O, l)
Sección 2.5
l. Utilizar las partes (i), (ii) y (iii) del Teorema 10. La derivada en x es 2(/(x) + l)Dj(x).
3. a) h(x, y) = f(x, u(x, y)) = f(p(x), u(x, y)). Se utiliza p sólo como notación: p(x) = x.
��������
��
Desarrollando: - =
--
+-- =
-
+-- puestoque - =
-
=1
ax apdx auax ap auax'
dxdx

602
Cálculo vectorial
JusTIFICACIÓN: Sean (p, u) las variables de f Para usar la regla de la cadena debemos expresar h
como una composición de funciones; esto es, primero encontrar g tal que h(x, y) =f(g(x, y)).
Sea g(x, y) = (p(x), u(x, y)). Se tiene Dh = (Dj)(Dg). Por lo tanto
[oh
ox
l
og
¡
oh
ofa¡ax
aJ
=
[ap aJ ogz
OX
of ou]
auoy '
a¡][1 o]
-:
:---
ou ou
ou
-
-
ox oy
oh a¡ ofou
oh a¡ ofou
yentonces-= -+-'--.
Puede que también aparezca como solución - = - + -'- - .
ox op auox
ax ox ouox
Esta fórmula requiere una interpretación cuidadosa debido a la posible ambigüedad acerca del
significado de of/ox, razón por la cual nosotros usamos el nombre p.
oho
.
fo
.
fdu of dv
b)-=-+--
+--
OX ox oudx ovdx
oh ofou ofov ofdw
e)-=--+--+--
ox ouox ovox owdx
5. Calcular cada una de ellas de dos maneras diferentes; las respuestas son:
a) (.foc)'(t) = e'(cost
-
sent)
b) (foc)'(t) = 15t 4exp(3t5)
e) (foc)'(t) =(e2'- e-2')(1 + log (e2' + e-2')]
d) (foc)'(t) =(l + 4t2) exp (2t 2)
7. Utilizar el Teorema lO iii) y reemplazar las matrices por vectores.
9. (fog)(x, y)= (t an(ex-y- l)- ex-y, e2(x-y)- (x - y)2), y
D(fag)(l, 1) =
[0 0].
2-2
11. i cos(l) cos(l og j2)
13.
- 2 cos t sen tesen' + sen4t + cos3 tesen'
3 cos2 t sen2t tanto para a) como para b).
15. (2, 0)
17. a) G(x, y(x)) =O,
b)l
dy1 J l3G1
-
-
dx
oy1
dYz
=
-
�Gz
dx
oy1
y por tanto
-
-
oc ocdy
-+ --=
0.
ox oydx
oG1J-1
roG1 J
oy2
ox
_
1•
.
.•
donde
s1gmfica la matnz mversa.
3G2
oG2
-
-
oyz
ox

La primera componente de esta ecuación es
dy -2x
e) -= --­
dx 3l+eY
oC¡ oc2 oc2 oC¡
---+ --
dy1
oxoy2oxoh
dx
oC1 oC2 oC2 oC1
-- ---
oy¡ oh oy¡
19. Aplique la regla de la cadena a oCjoT donde C(t(T, P),p(T, P), V(T, P)) = P(V- b)ea;Rvr- RT es
idénticamente O; t(T, P) = T, y p(T, P) = P.
/
21. Definir R1(h) =j(x0 + h)- j(x0)- [Df(x0)]h.
23. Sean g¡ y g2 funciones C
1
de IR3 en IR tal que g¡(X) = 1 para llxl! < fl/3; g¡(X) =o para
llxll > 2j2j3; g2(x) = 1 para IJx- (1, l, 0)11 < j2¡3; �(X)= O para llx- (1, l, O)IJ > 2j2¡3
(véase el Ejercicio 22). Sea
y esCiibir f(x) = g1(x)h1(x) + g2(x)h2(x).
25. La demostración de iii) es la siguiente:
y
l h(x)- h(xo)- [f(x0)Dg(xo) + g(x0)Df(x0)](x- x0)1
llx- Xoll
l g(x)- g(xo) - Dg(x0)(x- x0)1
:S; lf(xo)l
IJx _ xoiJ
+ lf(x) - f(xoll 1 g(x) - g(xoll
ll(x _ Xolll-
llx - xoll
llx- xoll
�][:
:]
Cuando x-> XQ, los dos primeros términos tienden a cero debido a la diferencíabilidad de f y de g. El
tercero también tiende a cero porque lf(x) - f(xo)l/llx- x0ll y jg(x) - g(x0)/llx- Xoll están acotados
por una constante, digamos M, en alguna bola D..(x0). Para ver esto elegir r suficientemente pequeño
de manera que [f(x)- f(Xo)l/llx - x0ll esté a distancia inferior a 1 de Df(x0)(x- x0)/llx- x011 si
llx - x011 < r. Entonces tenemos
lf(x)- f(xo)l/llx- Xoll :S; 1 + IDJ(xo)(x- xo)i/Jix- xoll =
= 1 + IV'f(xo) · (x- Xo)l/llx- Xoll :S; 1 + IIV'f(xolll
por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
La demostración de la regla iv) se deduce de la regla iii) y el caso especial de la regla del cocien­
te con f idénticamente 1; esto es, D(l/g)(Xo) = [- l/g(x0)
2
]Dg(x0). Para obtener esta respuesta,

604
Cálculo vectorial
observar que en alguna bola pequeña Dr(x0), g(x) > m > O. Utilizar la desigualdad triangular y la
desigualdad de Schwarz par demostrar que
1111
1
--
-+--o Dg(Xo)(x- xo)
g(x) g(x) g(xot
1
llx-xoll
1
1 lg(x) - g(x0) Dg(x0)(x - Xo)i
�----
-
:_:cc_
_
__:
:_
:._:
::_
__=.
._
..:;.___c:_
_:
lg(x) lg(Xo)l
llx-xoll
lg(x)-g(xoll IDg(XQ)(x Xoll
+----� ___c.
..
___
lg(x)!g(x0)2 llx- xoll
l \g(x)- g(x0)- Dg(Xo)(x- xo)\ \\V'g(xo)\\
�-:;-
11
11
+
3
lg(x)- g(Xo)l .
�
x-Xo
m
Los dos últimos términos tienden a cero, puesto que g es diferenciable y continua.
27. Primero encontrar la fórmula para (ojox)(F(x, x)) utilizando la regla de la cadena. Poner F(x, z) =
J� f(z, y) dy y usar el teorema fundamental del cálculo.
29. Por el Ejercicio 26 y el Teorema 10 iii) (Ejercicio 25) cada componente de k es diferenciable y
Dk¡(x0)=f(x0)Dg¡(x0) + g,{x0)Df(Xo). Puesto que [Dg¡(x0)]y es la componente i-ésíma de [Dg(x0)]y,
y [D.f(x0)]y es el número V'f(x0)·y obtenemos [Dk(x0)]y=f(x0)[Dg(Xo)]y + [Df(x0)]y[g(x0)]=
f(xo)[Dg(x0)]y+[V'f(xo) · y]g(x0).
Sección 2.6
l. V'j(l, 1, 2) ·V= (4, 3, 4) ·(1jj5, 2/jS, 0)= 2j5
3. a) 17ee/13 b) e¡fi e) O
S. a) z+9x=6y-6
b) z+y=n/2 e) z=1
1
-�(i+j+k)
7. a)
-
fi(i+j +k)
b) 2i+2j+2k
e)
33
9.k
11. La gráfica de f es la superficie de nivel O= F(x, y , z) =j(x, y) - z . Por tanto, el plano tangente está
dado por
O= 'VF(xo, Yo. Zo) · (x-Xo, Y-Yo, z- Zo)
(a¡
a.r
)
=
ox (xo, Yo),
oy
(xo, )'o), -1
· (x-Xo, y - )'o, Z-Zol·
Puesto que z0=f(x0, y0), esto es, z=.f(x0, y0) +(of/ox)(Xo, y0)(x- xo) +(ofloy)(XQ, y0)(y- y0).
13. a) 'Vf=(z+y, z + x, x+y) , g'(t)=(e\ -senr, cost), (.fog)'(l) =leeos1 + cos21- sen
2
1
b) V'.f=(yzexyz, xzexyz, xyexyz), g'(t) = (6, 6t, 3r\ (jog)'(l)= 108e18

Resp�:_stas_a
.
1.0.
s �jercicios impares
605
e) ílf=[1 + log(x2+l+l)J(xi+yj+zk), g'=(e', -e -', 1),
(fog)'(l) = [1 + log(e2 + e-2 + l)](e2- e-2 + 1)
15. Sea f(x, y, z) = 1/r = (x2 + l + z2) -J 12; r=(x, y, z). Entonces obtenemos
ílf= -(XI+l + i)-312(x, y , z)= -(l/r3)r.
17. ílj=(g
'
(x),O)
19. Dj(O,O, ... , 0)= [0, ...,O]
21. d1 = [-(0,03 + 2by1)/2a]i + y¡j, d
2
= [-(0,03 + 2bY2)/2a]i + y:J, donde y1 e Y
2
son las soluciones
2
?7
(0,032
2
)
de(a +b-)y+0,03by+ -
4
--a
=O.
X
23.
ílV-�[(x+Xo
-
2n<'Ü
rj
__
2
_
0
i+2y-
x-x)(1
r1
G
25. Se cruza en el punto (2, 2, 0), .}5;10 segundos depués.
Ejercicios de repaso del Capítulo 2
l. a) Paraboloide elíptico.
b) Sea y'=y+ 3 y escribir z= xy
'
. Éste es un paraboloide hiperbólico (desplazado).
3. a)
b)
[b)'
Df(x, y)=
-xy
-ye
Df(x)=
Cl
x2l
- xe-x"
e) Df(x, y, z)= [ex eY ez]
Df(x, y,<)� G
o
�]
d)
l
o
5. El plano tangente a una esfera en el punto x0, y0, z0 es normal a la recta que pasa por el centro y por
el punto x 0, y0, z0.
7. a) z=x- y+2
d) 1Ox+6y- 4z=6-n
b) z=4x-Sy-8
e) 2z=J2x+J2y
e) x+y+z=-1
f) X+2y-Z=2

606 Cálculo vectorial
9. a) Las curvas de nivel son hipérbolas .xy = 1/e:
11.a)O
b) El límite no existe.
15. a) La recta L(t) = (x0, y0, j(x0, y0)) + t(a, b, e) está contenida en el plano z = f(x0, y0) sí e =O y
es perpendicular a \1f(xo. y0) si a(of/3x)(x0, y0) + b(ob/3y)(x0, y0) =O. En L tenemos
[a¡
J [a¡
]·
f(xo. Yo) +
ex
(xo.Yo)(x-Xo)+
oy
(xo.Yo) (y-Yo)
[a¡
J [a.r
J
=f(xo.Yo)+at
ex
(xo,Yo) +bt 8y(xo.Yo)
=f(xo.Yo)=z

flespues,tas a los ejercicios impares
607
Por tanto, L está contenida en el plano tangente. Un vector unitario normal al plano tangente es
p = (! + 11v!11- 112(�(3fj3x)(x0, y0), � (3f/3y)(XQ, y 0)), l . Por consiguiente,
cose= p·k =(! + llvfii2)-I/2
y
que era lo que queríamos probar.
b) El plano tangente contiene a la recta horizontal que pasa por el punto (1, O, 2) y es perpendicular
a vf(l, O) =(5, 0), esto es, paralela al eje y. Forma un ángulo de arctan Cilvj(l, 0)!1) =are­
tan 5 � 7S,7° con respecto al plano xy.
11. o;fi.11filoe�Ilfi. � J/fil
19. Un vector unitario normal es cfi/10)(3, 5, 4). El plano tangente es 3x + 5y + 4z =lS.
21. 4i+l6j
)
23. a) Puesto que g es la composición de }.�-
-+
1x�-
-+
f():x)
'
, la regla de la cadena produce
Entonces,
[X¡]
g'(}.) =Df(/,x) : .
x,.
g'(l) � Df(>) [J:J � V[(>).,
Pero también g(l,) =}!'f(x), de manera que g'(..t) =p}!'-
1f(x) y g'(l) =pf(x).
b) p=l.
25. Diferenciar directamente usando la regla de la cadena, o utilizar el Ejercicio 23 a) con p =O.
27. a) Si (x, y)# (0,0), se puede calcular que para i) se tiene 3f/3x =Ci � yx2)/(2 + /)2 y 3jj3y=
(.:?
�
x/)/(2 + ll. Si x =y =O, utilizar la definición para mostrar que ambas deriva­
das parciales son O. Para ii), si (x, y) # (0, 0), se tiene 3f/3x = 2x/'/(2 + ll2 y 3fj3y =
(2x4y � 2x2l)/(2 + y4)2 Las parciales en el origen son cero.
b) La función i) no es continua en (0, O); la función ii) es diferenciable, pero su derivada no es
continua.
29. a) firr/S
31. (�4e.1
,0)
b)�senJ2e) �')17-2
�v �e
33. a) Véase el Teorema 11.
b) g(u) =(sen3u)
2
+ cosSu
g'(u)=6sen3ucos3u �SsenSu
g'(O) =O
vf=(2x, 1)
vj(h(O)) =vj(O, 1) =(0,l)
h'(u) =(3 cos 3u, �S sen Su)
g'(O) =vj(h(O)) · h'(O) =(0, l) · (3, O) =O
35. t =Jl4( �3 + }359)/70=(�3 + .j359)f5fo

608 Cálculo vectorial
37.
39.
41.
43.
45.
Observar que y= x2, de manera que si y es constante, x no puede ser una variable.
[f'(t)g(t) + f(t)g'(t)] exp [f(t)g(t)]
d [f(e(t))]jdt= 2r/[(l + t2 + 2 cos
2
t)(2-2r+l)]
-4t(r- 1)ln(l + t2 + 2cos
2
t)/(2- 2r + r4)2
-4costsent/[(l + t2 + 2cos
2
t)(2-2r+t4)]
Sea x= f(t), y= t, y usar la regla de la cadena para diferenciar u(x, y) con respeto a t.
47. a) n = PV/RT; P= nRT/V; T= PV/nR; V= nRT/P.
b) oVjoT= nRjP; oTjoP= VjnR; oPjcV= -nRTílf2 Multiplicar, recordando que PV= nRT.
49. a) Se puede resolver para cualquiera de las variables en función de la otras dos.
b) oTjoP= (V- fJ)jR;
oPjoV= -RT/(V- /3)2 + 2ajV';
3V/3T R/[(V- fJ) (RTj(V- /3)2- 2aílf3)]
e) Multiplicar y cancelar factores.
51. a) (l¡j2, l/.}2)
b) La derivada direccional es cero en la dirección
(xoi +Yo.il/J.xil+Y�·
e) La curva de nivel por el punto (x0, y0) debe ser tangente a la recta que pasa por (0, O) y (x0, y0 ).
Las curvas de nivel son rectas o se mirrectas que parten del origen.
53. G(x, y)= x- y
Capítulo 3
Sección 3.1
3x3y
3.
cPJ
í3x2
32!
axay
32f
-6x4 + 36x2/- 6l
oyox
(x2 + /)4
- /cos (x/),
í'!yox
-2y sen (x/)- 2xy3 cos (xy2)

2(cos2 x+e-y )cos 2x+2 sen2 2x
(cos2 x+ e Y)3
e-y- COSX
eY(cos2x+eYi
7. a) ;Pz¡a:l- = 6, a2zjaj = 4,
a2 zjaxay = a2zjayax = o
b) a2z¡a:l- = o, a2z;aj = 4x/3l,
a2zjaxay = a2 z/ayax = - 2/31
9. /xy=2x+2y,/yz=2z,fzx=O,fxyz=O
11. Puesto que f y a¡¡az son ambas de clase C2 , se tiene
a3¡
a2 a¡ a2 a¡ a /a2¡) a(a2¡)
axayaz
=
axay az
=
ayax az
=
ay (axaz
=
ay azax = ayazax.
/
13. f,zw =fzwx = e-'YZ[2xycos(xw)+x2/zcos(xw) - x2yw·sen(.xw)]
15. a)
b)
a¡
x
xy
- =arctan-+--­
ax
y x2+l
a¡ -2
ay x2+l
az¡
2/
a2¡
ax2 (x2 +/)2' al
a2¡
-2.xy2
2x2
(x2 +/)2
axay ayax (x2 +/)2
a¡ -xsenjx2 + l
ax
..jx2 + /
al¡ x2 sen ,/x2 +/
ax2
(x2 +/)3/2
al¡ /senvx2+l
al (xz +/)3/2
a¡ -ysenJx2 +l
ay
Jx2+/
x2cos�x2 +/
x2 +/
leos lx2+v2
"\,/
.
x2 +/
�
senJx-+y-
(x2 +/l1¡
2
sen,./x2+l
(xz + /)1/2
a¡
e)
ax
z
2
a¡
2
"
2xexp(-x
-
y), -:;-
-
= -2 y exp(-x
-
y),
oy
?
2
¡-p¡2
.2
?
2)exp(- x-
-
y), -,=(4y - 2)exp(-x
- y-),
ay-
az¡ az¡
--
=
--
= 4xyexp(-x2
-
/)
axay ayax

61O
Cálculo vectorial
¿p¡ (dx)2
a2¡ dxdy ¡p¡(dy)2 ' a¡d2x a¡d2y
.
17. -:
:;---
-
+2-"---+0 -
'-:
::--
--
--.,
+-:
::--
2, donde c(t) = (x(t), y(t)).
ox2 dt
axoydtdt oy dt
oxdt" oydt
19. Evaluar las derivadas a2u¡a;! y
21. a) Evaluar la derivadas y comparar.
b)
, y sumar.
�""
x=t
23. V= -CmM/r= --CmM(x2+ /+ - 112 Comprobar que
Sección 3.2
[R
2
(0,h)=Oenestecaso]
7. a) Demostrar que !Rk(x, a)\� ABk+
1 /(k+ 1)1 para dos constantes A y B, y x en un intervalo fijado
[a, b]. Demostrar que R
k
-> O cuando k-> oo. (Utilizar la convergencia de la serie L: ck/k! = ec y
el teorema de Taylor.)
b) El único problema posible es en x = O. Usar la regla de L'HÓpital para probar que
lim p(t)e' = oo
t--
--..
oc
para cualquier polinomio p(t). Utilizando este resultado, establecer que lim p(x)e- l!x = O para
x-o+
toda función racional p(x). y concluir que j<k\0) = O para todo k.

e)f:IR"->IResanalíticaenx0silaserie
Respuestas a los ejercicios impares
611
.
.
j
"
of
1"
o2
f
f(xo)+Ih;-;-
-
(xo)+- I h;h¡�-(x0)+
i=!
OX¡
2i
.
j=I
converge a f(x0 + h) para todo h = (h¡, ... , h,) en una bola suficientemente pequeña llhll_ < B. La
función fes analítica si para todo R >O existe una constante M tal que ICoY/ox;,--- ox;)(x)l < Mk
para todas las derivadas de orden k en todo punto x que satisface llxli :(R.
d)
1k/k).
'
.
f(x,y)= l+x+y+�(x2+2xy+/)+ ·-- + ¡ I ( . xiy"-1+
k. ¡�o \J
Sección 3.3
l. (0, O); punto de ensilladura.
3. Los puntos críticos están en la recta y = - x; son mínimos locales, puesto que f(x, y) = (x + y)2 �O
yesigualacerocuandox= -y.
5. (0, O); punto de ensilladura.
7. ( - �- il; mínimo locaL
9. (0, 0); máximo local (el críterio falla, pero se puede usar el hecho de que cos z :( 1).
cFnfi, ..
..
FifiJ, mínimo locaL
(0, j;), mínimo locaL
11. No tiene puntos críticos.
13. ( 1, 1) es un punto de mínimo locaL
15. (0, mr); puntos críticos; no tiene ni mínimos ni máximos locales.
17. Mínimo en (0, O) y máximo en (0, ±1) [y puntos de ensilladura en (±1, 0)].
19. a) a¡¡ax y a¡¡ay se anulan en (0, 0).
b) Demostrar que f(g(t)) =O en t = O y que f(g(t)) �O si lrl < lbl/3if.
e) fes negativa en la parábola y 2x2
21. Los puntos críticos están en la recta y = x y son mínimos locales (véase el Ejercicio 3).
23. Minimizar S= 2xy+2yz + 2xz con z = Vjxy, donde V es el volumen constante.
25. 40, 40, 40.
27. El único punto crítico es el (0, O, O). Es un mínimo, porque
x2+
f(x,yz)�
2
"
1
')
2
+z� + xy= 2(x+y¡-+z �O.

612
Cálculo vectorial
29. En (1, �)hay un punto de ensilladura; en (5, '!flhay un mínimo local.
31. � es el máximo absoluto y O es el mínimo absoluto.
33.
-2 es el mínimo absoluto; 2 es el máximo absoluto.
35. (�. 4) es un punto de mínimo local.
37. Si u,(x, y) = u(x, y) + (ljn)e"', entonces V'2u, = (1/n)e" > O. Por lo tanto, un es estrictamente subar­
mónica y puede tener su máximo absoluto solamente en 8D, digamos, en Pn = (x, y,). Si (x0, y0) E D,
comprobar que esto implica u(x"' y,) > u(x0, y0) - efn. Por consiguiente, deberá existir un punto
q = (x00, YxJ en 8D de manera que tan cerca como queramos de q podamos encontrar un punto
(x, y,) paran grande. Deducir de la continuidad de u que u(x00, Yo:J � u(x0, y0).
39. Utilice los mismos métodos que en el Ejercicio 37.
41. a) Si existiera un punto x1 con f(x1) <f(x0), el máximo de f en el intervalo entre x0 y x debería ser
un punto crítico.
b) Verificar i) con el criterio de la segunda derivada; para ii), f tiende a - oo cuando y --> oo y
X= -y.
Sección 3.4
l.
3.
5.
Punto de máximo en v1(l, -1, l); punto de mínimo en v1(-1, l, - 1).
Punto de máximo en (j3, O); punto de mínimo en (-j3, 0).
Punto de máximo en ( ;_
_
,
�);punto de mínimo en ( - h.
-
4)
..¡70 ..j70
..¡70
.fiO
.
7. El valor mínimo 4 se alcanza en (0, 2). Usar un dibujo en lugar de los multiplicadores de Lagrange.
9. (0,O,2)esunpuntodemínimodef.
11. � es el máximo absoluto y O el mínimo absoluto.
13. El diámetro debe ser igual a la altura, 201�hrr cm.
15. El valor máximo en J3 en ( �e¡·
1
,
3
,-
-.
..,J
'
,J
y el valor mínimo -J3 en (- j¡.
._¡-
17. La longitudhorizontal es jqA/p y la vertical es jPA/q.
19. Para el Ejercicio 1, elhessiano orlado que se necesita es
o2x
2y
IH21=2x -2)" o
= 8.1.(x2 + /),
2yo
o2x
2x -2),
IH31 =
2yo
2zo
-2.1.
2y
o
-2.1.
o
2z
o
o
-2).
-I6A.(x2 + l +i).
l
l
)
fi' fi.

Respuestas' a 1os ejercicios impares
613
'-.
-,, .,- �:r
:
::.-" ..
..
' ·�· .........
.
..
. �. ·- ...--
En v/%(1, -1,1) el mul!_i:plicador de Lagrange es A=J6/4 >O, lo que indica un máximo en v/%
(l, - 1, 1), y ),=- J6/4 <O indica un mínimo en ,j� ( -1, 1, -1). Para el Ejercicio 5,
IHI=24}, (4.? + 6/) y por tanto A=j70¡12 >O indica un máximo en (9/J70, 4/j70) y
A= -J70/l2 <O indica un mínimo en ( -9/J?O,-4jj70).
/
21. 11.664 cm
3
-�/
23. a) Vj(x)=Ax.
b) S está definida por la restricción g(x)=xi + x� + x�- l. Puesto que Vg(x)=2x no es O, se
puede aplicar el Teorema 9. En un punto x en el que f tiene un extremo existe J.j2 tal que
Vf(x)=(},/2)/Vg(x). Esto es,Ax=},x.
25. Mínimo en(-1/fl,0),máximo en(�, ±}7
78
), mínimo local en (1/fl, O)
27. No hay puntos críticos: ni máximos,ni mínimos.
29. (-1,0,1)
31. El punto (K, L)=(rxB/q, (1 - rx)B/p) optimiza el' beneficio.
Sección 3.5
l. Usar el caso particular del teorema de la función implícita paran=1 (véase el Ejemplo 3.33). La recta
i) está dada por O=(x-Xo, Y - Yo)· VF(xo, Yo)=(x- x0)(3Fj3x)(x0, y0) +(y-y0)(3Fj3y)(x0, y 0).
Para la recta(ii) el Teorema 1 J produce dyfdx=- (3Fj3x)(3F/3y) y por lo tanto las rectas coinciden
y tienen por ecuación
(oFjox)(:xo, y0)
y=Yo=- e· "
F/3)( )
(x-Xo)-
0
YXQ,Yo
3. a) Si x < -� .podemos despejar y en función de x usando la fórmula cudrática.
5.
b) 3F/3y=2y + 1 no es cero cuando (y 1 y < -� } e {y 1 > -� }.Estas regiones corresponden a las
mitades superior e inferior de una parábola horizontal con vértice en (- ±, -1), y con la elec­
ción de signo en la fórmula cuadrática. La derivada dy/dx= - 3(2y + 1) es negativa en la mitad
superior de la parábola y positiva en la mitad inferior.
Sea F(x, y, z)=.>?l- z3yx; 3Fj3z=2x
3
z
obtenemos soluciones z=O y z=x, por
3z/3y= -l .
3lyx#O en(1,1,1). Cerca del origen,con x=y#O
lo que existe solución única. En (l , 1) 3z/3x=2 y
7. Con F1 =y + x + uv y F2=uxy + u, el determinante en el teorema general de la función implíci­
ta es
13F¡j3u
3F2j3u
3F1/3vl
aF!".
=u-uxy,
21ov
que es O en(0,O, O, 0). Por lo tamo,el teorema de la función implícita no se puede utilizar. Si se
intenta directamente, encontramos que u=- uxy, de manera que x + y= u2xy. Para un elección
particular de (x, y) cerca de (0, 0),o bien no hay solución para (u, u) o hay dos.
9. No. f(x,y)=(-1, 0) tiene infinitas soluciones,a saber,(x, y)=(0, y) para todo y.

614
Cálculo vectorial
11. a) xii+Y6ofO.
b) f'(z) = - z(x + 2y)j(:l- + /); g'(z) = z(y -2x)¡(.¿ + /).
13. Multiplicar e igualar coeficientes par obtener a0, a1 y a2 como funciones de r¡, r2 y r3. A continua­
ción calcular el determinante jacobiano 3(a0, a¡, a2)/3(r¡, r2, r3) = (r3 - r2)(r1 - r2)(r1 - r3). Esta
expresión no es nula si las raíces son distintas. Por lo tanto, el teorema de la función inversa muestra
que las raíces pueden hallarse como funciones de los coeficientes en un entorno de cualquier punto
en el que las raíces sean distintas. Esto es, si las raícaes r¡, r2 y r3 de x
3
+ a2x
2
+a1x+a0sontodas
diferentes, existen entornos V de (r1, r2, r3) y W de (a0, a1, a2) tal que las raíces en V son funciones
suaves de los coeficientes en W.
Ejercicios de repaso del Capítulo 3
l. a) Punto de ensilladura.
b) Punto de ensilladura para cualquier C.
3. a)
b) }83¡6
5. Usar el criterio de la segunda derivada; (0, O) es un punto de máximo local; (- l, O) es un punto de
ensilladura; (2, 0) es un punto de rrúnimo local.
7. Punto de ensilladura en (n, 0), n entero.
9. Máximo � 2,618, mínimo � 0,382.
11. Máximo l, mínimo cos l.
13. z=l/4
15. (0,O, ±1)
17. Si b � 2, la distancia mínima es 2Jb - l; si b ,s; 2, la distancia mínima es lbl.
19. No estable.
23. x =(20/3)�/3;)'=lO'i3;z=5'i3
25. El determinante del teorema general de la función implícita no es cero, y por lo tanto podemos resol­
ver para u y v, (3u/íJx)(2, -l) = 13/32.
27. Se puede encontrar una nueva base ortonormal con respecto a la cual la forma cuadrática dada por la
matriz
tiene forma diagonal. Este cambio de base define nuevas variables � y 1¡, que son funciones lineales
de x e y. Manipulaciones algebraicas y la regla de la cadena producen Lv = ),(32
vj3�
2
) + !1(32
vj3J¡
2
).
Los números }, y 11 son los autovalores de A. y son positivos, puesto que la forma cuadrática es defini­
da positiva. En un punto de máximo ov/3� = 3vj3n = O. Además 3
2
vjoe,s;Oy3
2
vjor¡
2
,s; O, puesto

_Respuesta,s a los ejercidos impares
615
que si uno de ellos fuera mayor que O, la sección transversal del gráfico en esta dirección tendría un
mínimo. Entonces Lz; � O, y �e tiene una contradicción con la subarmonicidad estricta.
29. Dar la vuelta a las desigual).lades de los Ejercicic .• 27 y 28.
31. Las ecuaciones para un punto crítico , 3x/3m= 3sj3b= O, cuando se resuelven para m y b producen
m= (y1 � Y2)/(x1 � x2) y b= (Y2x1 - y1x2)/(x1 � x2). La recta y=mx + b pasa por (x1, y1) e (x2,
J2
).
33. En un punto de mínimo des tenemos O= 3s/ob= � 2 I:'� 1 (y1 � mx1� h).
Capítulo 4
Sección 4.1
1. r' (t)=�(sen t)i + 2(cos 2t)j, r'(O)= 2j. a(t) = �(cosr)i� 4(sen 2t)j,a(O)= -- i, l(r)= i + 2tj
3. r'(t)= y/2¡ + e'j�e-'k, r'(O) = fli + j�k, a(t) = e'j + e-'k. a(O)= j +k, l(t)= ,/2ti +
(l + t)j+ (1�t)k
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
(e'�e-',cos t�scnr, �3r)
- 3t2 (2 senr + cos t)�t3 (2 cos t�sen r)]i + [312 (2e' +e_,) +r\2e'
�e
-
1)]j + [e'(cos t � sen1)�
e--' (�sent + cos 1)]k
m(O, 6,O)
�24n2(cos (2nt/5), sen (2m/5))/25
d
7
d
dv
-
Cllvllt=- (v·v) = 2v· -= 2v·a =O
dt
d1
dt
6.129 segundos
(t
2
c(t)= 2, e'
t3
)
6- +l
.
3
19. a) c(t)= (t, e
'
), �oc < t < XJ. La imagen de esta trayectoria es la gráfica de y= e
x
.
b) c(t)=(�cost, sent),O�t�2n,unaelipse.
e) c(t)= (m, bt, cr).
d) c(t)=(�cos t, ! sen 1), O � t� 2n,una elipse.
21. c(r) x c'(t) es normal al plano de la órbita en el instante t. Como en el Ejercicio 20,su derivada es
cero y por lo tanto la órbita está en un plano.

616 Cálculo vectorial
Sección 4.2
l. 2j5n
3. 2(2j2-1)
6-Ji 1 [2J2+3l
5. �-,- + log
,
�
�22�
.)2+-J3
9. 3+1og2
11. a) Puesto que a es estrictamente creciente, es biyectiva de [a, b] en [a(a), cx(b)). Por definición, ves
la imagen de e si y sólo si existe t en [a, b] con e(t)= v. Hay un punto s en[a(a), a(b)] con
s = a(t), de manera que d(s) = e(t) = v. Por lo tanto, la imagen de e está contenida en la imagen
de d. Utilizar a- 1 de manera similar para probar la inclusión contraria.
(b)
I
a(b)
I
s�,x(b)
Id=
x(a) lld'(s)lids =
F
x(a) lld'(cx(t))lla'(t) dt
= r�: lld'(a(t))a'(t)i! dt = f lle'Ctlll dt = le.
d) Diferenciar d usando la regla de la cadena.
13. a) le = S�lle'(s)ilds= S�ds=b-a
b) T(s) = e'(s)/lle'(s)ll = e'(s), de manera que T'(s) = e"(s). Entonces k= II T'II = lle" (slll.
e) Demostrar que si v y w están en IR13, liv x wl! = llw- (v·w/llvll2lvll·llvll- Usar esto para demos­
trar que si p(t) = (x(t), y(t), z(t)) nunca es (0, O, O) y f(t) = p(t)/IIP(t)ii, entonces
df
1[
p(t)·p'(t) l
d"t=
IIPCt)ll P'(t)
-
IIP(tlll2
P(t)
y
df IIP(t) X p'(tlll
dt
11p(t)ll2
Con p(t) = e'(t) esto produce
e"(t)
e'(t)·e"(t)
T'(t) =
lle'(t)ll - lle'(tlll3
e'(t)
y
IIT'Ctlll =
lle'(t) x e"(t)il
_
lle'(tlll2
Sises la longitud de arco de e, dsjdt = lle'(tlll, y por tanto
ll dd���= ���� ���= klle'(t)ll.
Entonces,
k=_
l
_
lldT[I
=
lle'(t) x e"(t)ll
lle'(t)ll dt 1
lle'(t)ll3
·
(Este resultado es útil para el Ejercicio 15.)
d) 1/J2

15. a) Puesto que e está parametrizada por la longitud de arco, T(s)=e'(s) y N(s)=e"(s)/Jie"(s)JJ.
Usar el Ejercicio 13 para mostrar que-
y
dB
(e"\ (e'"
e"·e'" )
ds
=
e"x
�}
+e' x
Jle"ll
-
�e"
T=
dB
(e' x e'")·e" (e' x e")·e"'
�·N=- -'-
----
-�-
ds
l!e"l!2
b) Obtener T'(t) y IIT'(t)ll como en el Ejercicio 13. B es un vector unitario en la dirección de
e' x T' =(e' x e")/lle'll, de manera que B=(e' x e")/IJe' x e"ll . Utilizar la solución del Ejerci­
cio 13 con p =e' x e" para escribir
dB/dt=(e' x c'")/lle' x e"JI - {[(e' x e")· (e' x e'"Jl/lle' x e"ll3}(e' x e"),
\
y los valores de T' y ljT'll para obtener
N=Clle'll/lle',x e"ll)(e" - (e' x e")/lle'll2).
Finalmente, usar la regla de la cadena y el producto escalar de estos dos vectores para tener
T=
e) j2¡2
[dB
l1dB
(e' x e")·e"'
-
ds
(s(t)) . N(s(t))=-
ld�/dtl-;¡;
·N=
lle' x e"ll2
17. a) N está definido como T'/IIT'll, de manera que T'=IIT'JI N=kN. Puesto que T·T'=O, T, N y
B forman una base ortonormal de IR13 Diferenciar B(s)·B(s)= 1 y B(s)·T(s)=O para obtener
B'·B=O y B'·T + B·T' =O. Pero T'·B=IIT'IIN·B=O, de manera que también B'·T=O.
Entonces B'=(B' ·T)T + (B'· N)N + (B'·B)B=(B'· N)N=-TN. Tambien N'· N=O, pues­
to que N·N= l. Entonces, N' (N'·T)T + (N'·B)B. Al diferenciar N·T =O y N·B=O se
obtiene N'·T =-N·T' = -k y N'·B=-N·B' =T, de donde se deduce la ecuación central.
b) (1)=TT+kB
19. Seguir la indicación del texto.
Sección 4.3
l.
y
/l/
I/
-�-
--+--------l>
X
//
3.

618
Cálculo vectorial
5. F =(2y,x):
y
+
�..
...,._
�� ��,/'Y
'
..
...,..
�� ��,/'Y
""..
..,..,
�-"
"'
,?f,?f
tt,x
7.
\
'\
'
y
11.1 /
1/
1
--���+----+
------------?X
1
//¡1
/1i
9. Las líneas de flujo son circunferencias concéntricas:
11. Las líneas de flujo para t > 0:
13. c'(t) = (2e2
', ljt, - l/t
2
) = F(c(t))
15. c'(t) = (cos r, -sen t, e') = F(c(t))
y
t
17. CompaTar i mt? para la velocidad de escape ve= ,/2gR0 y para la velocidad en una órbita de radio
R¡1 dada en la Sección 4.1 (ignorar la rotación de la tierra).
19. Usar que.
-
'VFes·.perpendicular a la superficie T = constante.

Sección 4.4
5. div V > O en el primer y tercer cuadrantes.
div V < O en el segundo y cuarto cuadrantes.
3.3
,Res,J?��ytfl§:f:
:
/Rnejercicios impares
619
7. \7 · F = O; si F representa un tluido no hay ni expansión ni compresión; el área de un pequeño rectán­
gulo no cambia.
13. o
15. (lOy-8z)i+(6z-1Ox)j+(8x-6y)k
17.
-
senx
21. \7X\7f=0
25. \7XF#o
)
11. y cos (xy) + x2 sen (x2y)
19. X
23. \7X\7j=0
27. Sea F = F1i + F2 j + F3k y calcular ambos lados de la identidad.
29. a) 2xyi + x2j
b) C3lxz, 4xz -lz, O)
31. No.
33. Separar cada una de las expresiones en sns partes real e imaginaria y tratar el resultado como un
campo de vectores en IR2 Calcular directamente el rotacional y la divergencia.
Ena),F =(x2-l)i-2xyj.
En b), F = (x3- 3.:>.)•2)i + Cl- 3x2y)j.
Ene),F =(excosy)i-(e'seny)j.Demostrarque\7•F =Oy\7xF=Oencadacaso.

620
Cálculo vectorial
Ejercicios de repaso del Capítulo 4
l. v(l)=(3,-e 1,-rr/2); a(l)=(6,e-1,0);
s(l)=)9 +e 2 + �; l(t)=(2, e-1, O)+ (t- 1)(3, -e --1, rr/2)
r:
3. v(O)=(1, l, O); a(O)=(1, O, - 1); s = ._¡2; l(t)=(1,O, l) +t(l, l, 0)
S. Vector tangente: v= -O/)l)i + O/fi)j +k
Vector aceleración: a=-O/fi)(i + j)
7. m(2, O, -1)
11. a) v=(-2t sen (12), 21 cos (t2), 0); s = 2t
b)G,J3)
-
o
2
,
/
2t
13. X=l +/,)'=-2+2,Z=-3+3
9.
f
15. Calcular c'(t) y comprobar que coincide con F(c(t)).
17. 9;o
21. O; -i
-j-k
19. 3; -i
- j-k
dt
23. \1f (ye'"' - ysenxy, xe.n- - x sen xy, O); comprobar que \1 x \1f=O en este caso.
25. \!f=(2xex' + / sen x/ , 2xysenxy2, O); comprobar que \1 x VJ= O a partir de esta fórmula.
27. a) (yz2, xz2, 2xyz);
e) (2xyz3 - 3.;c·/i,
b) (z -y, O,-x)
29. div F=O; rot F (0, O, 2(x2 + /)f'(x2 +
+ 2f(x2 + /))
31. a) Un cono alrededor de i formando un ángulo de n/3 con i.
b) \1g=(3x2, Sz, Sy + 2z)
33. a)
+
b) Un pequeño paquete de aire obedecerá la ley F=ma.

e)
N � Dirección del viento
'S)vg
35. a)
jR2+p2
-----
(zo -- Z¡)
p
37. 1.095,5 km/h.
Capítulo S
Sección 5.1
l. a)
13
13
b)
E
b)
e)
d)
d)
! f,l€?EJVeP.'!:91!�aí los ejercicios impares
621
·�Dr-!r\!d rH:
::·
¡ ltDilr"
"
!IJJI.'U'
s
Dirección del viento
log2-�
3. Para demostrar que los volúmenes de los dos cilindros son iguales, hay que demostrar que sus fun­
ciones área son la misma.
5.
9. (2/n)(i + 1)
Sección 5.2
l. a)
3. 1/4
.1_
12
b) e-2
e) bsen1
5. Utilizar el teorema de Fubiní para escribir
7.
11.
d)
26
9
_!2_(>
15
21n4- 2
fL [J(x)g(y)]dxdy =r g(y{f f(x) dxldy.
y observar que J� f(x)dx es constante, por lo que puede sacarse fuera de la integraL
7. 11/6
9. Puesto que Jb dy = J6 2ydy = l, tenemos Jb [j6 f(x, y)dy]dx =l. En cualquier partición de R =
[0, 1] x [0, l ], cada rectángulo R¡k contiene puntos c}fl con x racional y cj?;l con x irracionaL Si en

622 Cálculo vect;orial
una partición regular de orden n elegimos cik=c)f l en los rectángulos para los que O� y��, y
c1k= ej'fcl cuando y>�. las sumas de aproximación son las mismas que las de la función
g(x, y) =
J
2
{1 o�y�l
2y 2<y<J.
Puesto que g es integrable, las sumas de aproximación deben converger hacia JR gdA= 7/8. Sin
embargo, si hemos elegido cu = e)P todas las sumas de aproximación valdrán l.
11. No se puede aplicar el teorema de Fubini puesto que el imegrando no es continuo ni está acotado en
(0, O)
Sección 5.3
l. a) 1/3, ambos
b) 5/2, ambos
e) (e2 - 1)/4, ambos
d) 1/35, ambos
3. A=f�,.f�,.
'
-x
'
dydx=2
_
[,.
Jr2-x2dx=r2[arcsen1
m·csen(-l)]=nr2
S. 1.620 m3
7.o
9. y-simple; n/2
11. SOn
13. n/24
lS. Calcular primero la integral con respecto a y. Dividir esta integral en dos integrales entre [- </J(x), O]
y [0, </J(x)], y cambiar de variables en la primera integral o usar simetría
.
17. Sea {Rul una partición de un rectángulo R que contiene aDy sea f igual a 1 enD
.
Entonces, fes 1
enDy O en R\D
.
Sea eJk E R \Dsi R;¡ no está contenido enD
.
La suma de aproximación de Riemann
es la suma de las áreas de los rectángulos de la partición contenidos en D
.
Sección 5.4
l. a) 1/8
b) n/4
e) 17/]2
d) G(b) - G(a), donde dGjdy=F(y, y) -F(a, y) y 3Fjox=f(x, y).
3. Observar que el valor máximo de f enDes e y que el valor mínimo de f enDes 1/e. Usar las ideas
de la demostración del Teorema 4 para mostrar que
��� ff f(x, y)dA� e.
e
4n·
S. Elmenor valor def(x, y)=1/(Y+l + 1) enDes i. en(l, 2), ypor lo tanto
ft f(x,y)dxdy?- � ·áreaD= l.
El mayor valor es l. en (0, 0), y por lo tanto
IID
f(x, y )dxdy�!·áreaD=6.

4
7.
� nabc
3
11. fi¡4
13. D se parece a una cuña de tarta.
.; �7�PU!"�Hs a los ejercicios impares
623
9. n (20jl0 - 52)/3
L [Lf(x,y)dy]dx+ J.fi I/2-
x
'
f(x,y)dyJd:c
15. Usar la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo.
Sección S.S
l. 1/3
9. 50n/J6
13. o
17. o
21. 1/6
23.
.��,
Ílf
'¡1-x-
('l
J �- f(x, y, z)dzdydx
•-1
-J1-x2
/x'+l
\
25.
Í,/l,·+x2, i /4�x'-/
_
�" 0'
.
f(x, y, z)dzdydx
..¡
"\./1X
27. ff r(x,y) dzdxdy = íf f(x,y)dxdy
D.;0
,D
3. lO
11. l/2
19. 3/10
29. Sean M, y m, el máximo y el mínimo de f en B,. Se tiene la desigualdad m, vol (B,) � ]Lfs. fdV
�M, vol (BJ. Dividir por vol (B,), hacer E-> O y usar la continuidad de f
Ejercicios de repaso del Capítulo S
l. 81/2
1
9
3.
-
e2- e+-
4
4
5. 81/2
l
9
7.
�
e2- e+�
4
4
9. 7/60
11. 1/2

624
Cálculo vectorial
13. Con la notación de la Figura 5.3 .l.
15.a)O
b) n/24
17. y-simple; 2n + n
2
19.
. x -simple; 73/3
21. y-simple; 33/140
23. y-simple; 71/420
Ir dxdy = rb [ql2(.x)- q\¡(.x)]d
.
x
.
.JD
Ja
e)O
�1
�1
y
y
t
o¡
1
X
,... . -- -· · ..·�- ·- ·�· �--- · �-�:--��X

25. l/3
29. 7/12
y
i
JsJ..--+x
1
1
31. La función f(x, y) = x
2
+l+lestáentrely\2?+l=5enD,yporlotantolaintegralestáentre
estos valores multiplicados por el área de D, que es 4n .
33. Intercambiando el orden de integración (el lector deberá hacer un dibujo en el plano (u, t)):
35. n/12
jf"x I'F(u)dudt= "x íxF(u)dtdui=
(x(x�u)F(u)du.
OJO
..
.
o�u
Jo
37. La región es la región sombreada W de la figura.
La integral en el orden dydxdz, por ejemplo, es
1, 1)
w
(1, l. 1)
(1
J
1
J
1
f(x, y, z)dydxdz.
Joz1-
x
Capítulo 6
Sección 6.1
l. S = el círculo de radio 1 menos el centro.
3. D =[0,3]X[0,1].
5. La imagen es el triángulo con vértices (0, 0), (0, !) y (1, 1). T no es inyectiva, pero sí lo es si elimi­
namos la porción x* = O.

626
Cálculo vectorial
7. Des el conjunto de todos los (x, y, z) que satisfacen x
2
+/+z2�l(labolaunidad).Tnoesinyec­
tiva, pero sílo esen(0, 1] x(0, n) x(0, 2n].
9. Demostrar que T es suprayectiva es equivalente en el caso 2 x 2 a demostrar que el sistema
ax+by=e,ex+dv=.fsiempresepuederesolverparaxey,donde
A=
[: �l
Cuando se calculan las soluciones, o bien por eliminación o bien por la regla de Cramer, la cantidad
por la que se debe dividir es det (A). Por lo tanto, si det (A) #O, el sistema se puede resolver siempre.
11. Puesto que det (A) # O, T es biyectiva de !R2 en !R2 Sea T-
1
la transformación inversa. Demostrar
que T-
1
tiene como matriz A -I y det (A -I) = 1/det (A), con det (A) # O. Por el Ejercicio 10,
P* = y- \P) es un paralelogramo.
Sección 6.2
l. n(e- 1)
3. DeslaregiónO�x�4, �x+3�y��x+6.
a) 140
5. D*eslaregiónO�u�1,O�u�2;�(9-2j2-3jJ).
7.n
64n
9.
5
11. 3n/2
5n4
13.
-(e-1)
2
15. 2a2
2
2
1(e-D
17.
b) -42
19. 1 OOní3
21.
e
'
'
4n[y3/2 -log(l + ..J3) + log..J2l
23. 4n log(a/b)
25. 2n[(b2 +
27. 24(usarelcambiodevariablesx=3u-v+1,y =3u+v).
4
29. a) 3 nahe
b)
4
-
n abe
5
l)e- "' -(a2 + 1)e
31. a) Comprobar que si T(u1, v1)= T(u2, v2), entonces u1 = u2 y v1 = v2•
b) 160/3
"'J

Respuestas a los-ejercicios impares
Sección 6.3
l.
3.
(11 65
)18' 126
5. 503,64 euros
7. a) 6, donde() es la densidad de masa (constante).
b) 37/12
9.G·2
·D
11. l/4
13. Siendo (j la densidad, el momento de inercia es
(je
I2n
Iasec q,
(p
4
sen3 cp) dp d{ldcp.
..,o
o
o
627
17. a) El único plano de simetría para el automóvil es el que divide el coche en sus lados derecho e
izquierdo.
b) z· SJSw b(x, y, z)dxdydz es la coordenada z del dentro de masa multiplicada por la masa de W.
Una reordenación de la fórmula para z da la primera línea de la ecuación. El paso siguiente se
justifica por la propiedad aditiva de las integrales. Por simetría, podemos sustituir z por z e
integrar en la región por encima del plano xy. Finalmente, podemos sacar el signo negativo fuera
de la segunda integral, y puesto que S(x, y, z) = S(u, v, - w) estamos restando la segunda inte­
gral de ella misma. Por consiguiente, la respuesta es O.
e) En la parte (b) se muestra que z veces la masa de W es O. Puesto que la masa es positiva, tene­
mos z=O.
d) Por e), el centro de masas debe estar en ambos planos.
19. V= (4,71 x 1019)Gm
/
R::o:
:
-
(3,04 x l09)m/R, donde m es la masa de una partícula a distanciaR
del centro del planeta.
Sección 6.4
l.4
3. 3/16
5.a)3rr
b)),<1
7. La integración de SS e-x"dxdy primero con respecto a x y después con respecto a y produce log 2.
Cambiando el orden de integración se obtiene la integral enunciada en el ejercicio.
9
.
Integrar sobre [E, 1] x [s, 1] y hacer E--. O para mostrar que la integral impropia existe y vale 2 log 2.
2rr
11.
-
[(1 +
9

628
Cálculo vectorial
13. Utilizar
15. Utilizar
/(x-y) � 1/(x-y) en la región dada.
17. Cada una de las integrales vale l/4 y se puede aplicar el Teorema 3 (teorema de Fubini).
Ejercicios de repaso del Capítulo 6
l. a) T(�)= (� �)(�)=e"2:") =(�)
b) .f.\P f(x, y)dxdy =4 Hs f(2u+ v, 2v)dudv
3. 3 (hacer el cambio de variables u =x2 - /, v =xy)
5.
7.
9. abc/6
(5rr/2)ji5
11. Cortar con los planos x +y+ z =.J'k/n, l�k�n- 1, k entero.
13. (25 + IOjS)n/3
15. (e -e -1)/4(usarelcambiodevmiablesu =y -x, v =y+x)
17. (9,92 x l06)rr gr
19. a) 32
b) Esto ocune en los puntos de la esfera unidad x2+ l+ z2 = l inscrita en el cubo.
23. 4rr ln (a/h)
25. rr/2
27. a) 9/2
b) 64n
29. Trabajar primero la integral con respecto a y en la región D,,L = [(x, y)ls� x�L, O� y�x pm:a
obtener I,,L =SSn,,L fdxdy =s; x-312(1- e-x)dx. El integrando es positivo, y por lo tanto I,,L cre­
cecuandoE--+OyL--+w.Acotarl-e-x poran·ibaporxcuandoO<x<lyporlcuando
l < x < w, para ver que I,,L permanece acotada y por tanto debe converger.
31. a) l/6
b) l6n/3
33. 2n

Capitulo 7
Sección 7.1
Respuestas a los ejercicios impares
629
1 ...:� _;L<3
1. f f(x, y, z)ds = ( f(x (t), y(t), z(t))!lc'(t)l[ dt = 11 O.¡ dt =O.
e
JI
Jo
3.a)2
b) 52ji4
5.
7. a)
b)
9. 2a/n
La trayectoria sigue la línea recta en el plano ..ry desde (0, O) hasta (1, 1) y regresa a (0, 0). Sobre
la curva, la gráfica de fes una recta desde (0, O, O) hasta (1, 1, 1). La integral es dos veces el
área del triángulo resultante y es igual a fi.
La trayectoria es
Yfefds =fi.
s(t) = ffio- t4) cuando -l �t�O
(fio + Z4) cuando O <t�l.
c(s) ={(I -_.:1'/)2)(1, l)
(s¡(.j2- l))(l, 1)
cuando
cuando
O�s�fi
fi�S�2fi
11. a) [2j5 + log(2 + jS)]/4
b) csJS- l)/[6j5+3log(2+jS)]
13. La curva es la circunferencia unidad centrada en (0, O, 0) en el plano x + y + z = O y por tanto pue­
de ser paran1etrizada por c(8) = (cos IJ)v + (sen 8)w, donde v y w son vectores miogonales unitarios
contenidos en el plano. Por ejemplo, se puede tomar v= O/fi)( -1, O, -- 1) y w= (1/,./6)(1, -2,
l). La masa total es 2ní3 gr.
15. Sepuede elegir c(t)=(?, l,O)oc(t)=(1,?,O),O�t�l.
Sección 7.2
l. a) 3/2
b)o
e)O
d) 147
3.9
5. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, IF(c(t)) · c'(t)l�IIF(c(t))ll llc'(t)ll para cada t. Entonces
11F
·ds
1= 1rF(c(t)) · c'(t) dt
1�r
IF(c(t)) · c'(t)l dt
� f IIF(c(t))llll c'(t)!l dr �M f llc'(t)ll dt = Ml.

630
Cálculo vectorial
3
7. 4�cn�1)/(n+l)
9.o
11. La longitud de c.
13. Si c'(t) nunca es cero O, el vector unidad T(t) = c'(t)/llc'(t)ll es una función continua de t y por lo
tanto es una tangente que se mueve suavemente por la curva. La respuesta es no.
15. 7
l
1
17. Usar que Fes un gradiente para demostrar que el trabajo realizado es -� -, independientemente
R2 R1
de la trayectoria.
19. a) llc'(x)ll
b) f tiene derivada positiva; es biyectiva sobre [0, L] por los teoremas del valor medio y de los
valores intermedios. Tiene una inversa diferenciable debido al teorema de la función inversa.
e) g'(s) =1/llc'(x)ll. donde s =f(x).
d) Por la regla de la cadena, b'(s) = c'(s) · g'(s), que tiene longitud l por el apartado e).
Sección 7.3
1.z=2(y-l)+l
3. l8(z�1)�4()'+2)�(x�13)=O,ol8z�4y�x
�
13 =O.
S. El vector n = (cos u sen u, sen v sen u, cos u) = (x, y, z). La superficie es la esfera unidad centrada en
el origen.
7. n = --(sen v)i � (cos v)k; la superficie es un cilindro.
9. a) x =Xo + (y � Yo)(3h/3y)(y0, z0) + (z � z0)(3hj3z)(-y0, z0) describe el plano tangente a x = h(y, z)
en (xo, Yo. zo), Xo = h(J'o, zo).
b) y= Yo+ (x � xo)(JkjJx)(XQ, zo)+ (z- Zo)(3k/3z)(xo, zol.
11. z �6x�8y+3=O
13. a) La superficie es un helicoide. Parece una rampa espiral rodeando el eje z (véase la Figura 7 .4 .2).
Da dos vueltas, puesto que e va desde O hasta 4rr.
b) n = ±(l/�1+ r2)(sene, �cose, r) .
e) YoX � XQV+ Cx6+ y6)z = (x6 + y§)zo.
d) Sí (xo, Yo. zo) = (ro cos eo, ro sen e0, 00), representando el segmento en la forma
( (r cos 00, r sen e0, 00) 1 O '-S r '-S l} se demuestra que la recta está en la superficie. Representando
la recta como ( (x0, t}'0, �0) 1 O '-S t '-S 1/(x;l+ y6)) y sustituyendo en los resultados del apartado e)
se demuestra que está en el plano tangente a (x0, y0, z0).

15. a) Usar coordenadas cilíndricas para obtener la parametrización
<P(z, 0)=
como una posible solución.
b)n=
e) x0.x+YoY=25.
cosO. "h5 + z2 senO, z),
-
w<z<w,o�e�2n
senO, - z)/.y 25 + 2z2
d) Sustituir las coordenadas de las rectas en la ecuación que define la superficie y en el resultado
del apartado e).
17. a) u>->u, t•>->u, ut--i>u3 y v>->t) llevan lR en lR
.
:!_e manera sobreyectiva.
h)
e)
T, x Tr = (0, O, l)para <1>1• que nunca es O. Parala superficie <Il2• T, x T,. = 9u2v2(0,O, 1), y
estoesceroalolargodelosejesuyv.
Queremos probar que cualesquiera dos parametrizaciones suaves de una superficie cerca de un
punto darán el mismo plano tangente. Por lo tanto. supongamos que <P: D e !R2 --+ lR3 y �:
B e [R2 --. [R3 son superficies parametrizadas tal que
(i)
y
y
(ii)
de manera que <P y '1' son suaves e inyectivas en entornos de (u0, u0) y (s0• r0), que podemos
suponer que están contenidos en D y B. Supongamos, además, que «describen la misma superfi­
cie», esto es, <P(D) = 'IT(B). Para comprobar que dan el mismo plano tangente en (x0, )'¡¡, z0),
demostrar que tienen vectores normales paralelos. Para hacer esto, demostrar que existe un
conjunto abierto e con (uo. Vol E e e D y una función diferenciable .f: e --+ B tal que
<P (u , v) = 'l'(.f(u, v)) para (u, v) E C. Una vez hecho esto, un cálculo muestra que los vectores
normales están relacionados por T�' x T�' = [é)(s, t)/c(u, v)]T;' x T(.
Para demostrar que existe l observar que puesto que T;' x T( cfo O al menos uno de los de­
terminantes 2 x 2 del producto vectorial no es nulo. Supongamos. por ejemplo, que
Cx ay
Cs as
ex ay #O.
ar ot
Usar ahora el teorema de la función inversa para escribir (s, t) como una función diferenciable
de (x, y) en algún entorno de (x0, Yol-
d) No.
Sección 7.4
l.4n
5.
1
-
rr(6/6-8)
3v
3. �nfJ2+log(1+j2)]

632
Cálculo vectorial
7. La integral para el volumen converge, mientras que la integral par el área diverge.
9. A(E) = (n [ Ja2b2 sen2 cpcos2 cp+b2c2 sen4 cp cos2e + a2c2 sen4 cp sen2e dcpd()
Jo ._�o
11. (n/6)(5 ../S - 1)
13. (n/2)j6
15. 4Js; para e fijo, (X, y, z) Se mueve a lo largo del segmento horizontal y = 2x, Z = e desde el eje Z
hasta un radio de Js jcos Bj, pasando por el primer cuadrante cuando cos () > O y por el tercer cua­
drante si cose < O.
17.
19.
21.
(n+2)/(n - 2)
n(a + b)yl !+n12(b -a)
4
r:
:
¡-
!
5
(9..j3- 8-)2+ l)
23.
Jo
o
o
Con f(x, y) = R-- x--y�, (4) se transforma en
ff J x2+v2
A(S') =
-
2
-� +1 dxdy
D
RX-y
donde Des el disco de radio R. Usar coordenadas polares, observando que la integral es impropia en
la frontera, para obtener 2nR2
Sección 7.5
1.
�
) f?R2
"·av-n
3.
7.
_r:(
5
Js+.2.
.
)
43
15

.
Respuestas á ío� ej�:rdcios impares
633
'
'
'
''; ••"' ':"
'
('':
:j
11. a) La esfera tiene la misma forma mirándola desde cualquiera de los tres ejes, de manera que las
tres integrales deben ser iguales, con etiquetas diferentes en los ejes.
b) 4rrR
4
/3
e) 4rrR
4
/3
13. (R/2, R/2, R/2)
15. a) Calcular directamente el producto vectorial Tu x T, calcular su longitud y comparar la respues­
ta con el lado izquierdo.
b) En este caso, F=O, de manera que A(s) = JSD �EGdudv.
e) 4na2
17. Sea a=
b= 3yj3u, e= 3xj3v y d=3yj3v. Las coordenadas a) y b) en el Ejercicio 16 son
a2+b2=
+d2yac+bd=O.Demostrarqueao¡O;sepuedesuponerquea=lporunargu­
mento de normalización. Continuar calculando.
Sección 7.6
l. ±48rr (el signo depende de la orientación)
3. 4n
S. 2n (o - 2n, si se elige una orientación diferente)
7. 2n
9. l2rr/5
11. Con la parametrización en coordenadas esféricas T8 x T<P = --sen cpr (véase el Ejemplo 7.27). En­
tonces
y
f1F·dS=fIF·(T<P x T0)dcpdO= ff(F· r)sencpdcpdO
�2
n
I
n
j F,sencpdcpd8
•o
o
13. Para un cilindro de radio R = 1 y componente normal F,
15. 2n/3
fLF·dS = rJ:n
F,dOdz.

634
Cálculo vectorial
Sección 7.7
l. Aplicar la Fórmula (3) de esta sección y simplificar; H = O y K= ilj(u2
+ b2)2
3. Aplicar la Fórmula (3) de esta sección y simplificar.
5.
7. Aplicar la Fórmula (3) de esta sección y simplificar.
9. Aplicar la Fórmula (2) de esta sección y simplificar: K= - h"/[(1 + (11')2)217].
Ejercicios de repaso del Capítulo 7
l. a) 3}2(1 - én)/!3
e) (236, 158 ./26 8)/35 . (25)3
b)
d) 8}2/18 9
3. a) 2/rr+1
b) -1/2
5. 2a3
7. a) Una esfera de radio 5 centrada en el punto (2, 3, O); <I>(e, ¡jJ)=(2+5cosOsen¡fJ,
3+5sen(isen¡fJ,5cos¡fJ);o�e�2rr;o�¡fJ�rr.
b) Un elipsoide con centro en el punto (2, O, 0); <I> (e, ¡fJ) = (2 + (l/j2)3cose sen ¡fJ, 3sen e sen ¡fJ,
3cos¡jJ);O�O�2rr,O�¡fJ�rr.
e) Un hiperboloide elíptico de una hoja; <I>(8, z)=GJil+2z2eosO, �J8 +2z2senO, z);
O�O�2rr. -w<z<co.
J ("2n
9. A(<l>) = ::; J J3 cos2 O + 5 dO; <I> describe un cono con secciones transversales horizontales elíp-
�
o
ticas.
11. Ilj:3/6
13.
)213
15.
r
5..)5/6
17. a) (eY cos rrz. xe' cos rrz. - rrxe-" sen rrz)
19.
21.
17
-(e+ l)
2
n
(11 /5)·--1 o?'
!y\
••
-J.
23. o
2z-x=l
b)o

Respue�t<Js
�,� �qs ejercicios i�pares
635
25. Si F=V'cp. entonces V' x F O (al menos cuando cjJ es de clase C2; véase e! Teorema J de la Sec-
ción 3.4). El Teorema 3 de la Sección 7.2 demuestra que .fe V' cp ·ds =O puesto que e es una curva
cerrada.
27. a) 24n
b) 24n
29. a)
�
[.JR- + p (zo- z1)]/p
Capítulo 8
Sección 8.1
l.
-8
3.
5.
9.
13.
a)o
"
7
.)7[(¡-
3n(b2 -
o
b) -nR2
e) 60n
b)
e)o
d) -nR2
7. 3nf2
11. a) Ambos lados son 2n.
b)o
15. nah
17. Un segmento horizontal divide la región en tres partes a cada una de las cuales se le puede aplicar el
teorema de Green; utilizar el Ejercicio 8 o la técnica de la Figura 8.1.5 .
19. 9n/8
21. Si E> O, existe ó > O tal que Ju(q) - u(p)J < 8 cuando Jlp- q[[= p < ,). Parametrizar i7Br>(p) por
q(8)= p + p(cos 8, sen 8). Entonces
II(p)- 2nu(p)[ � r
rr
[u(q(8)) u(p)[d8 � 2nE.
23. Parametrizar cBP(p) como en el Ejercicio 21. Si p = (p1, p2), entonces
I(p)= J6rr u(p¡ + ¡JCosO,p2 + psen 0)d8.
Diferenciando bajo el signo integral se obtiene
d!
=
Í2rr
V'u·(cosD,senO)d8=
Í2rr
V'u·nd(l=_l_
Ícu
ds=_l_
Í
j� V'2udA
dp Jo
Jo
fl J?B,. rJl1
flJR,
.
(la última igualdad utiliza el Ejercicio 22).
25. Usar el Ejercicio 24 para obtener
ff udA=
ÍR ÍOr
r
u [p + p(cosO, sen 8)]pd0dp
B8
Jo Jo
!•R'f)�R
.
{ _ uds dp= J 2npu(p)dp= rrR2u(p).
..U\rB,,
O
27. Supongamos que u es subarmónica. Estableceremos las afirmaciones correspondientes al Ejercicio
26 a) y b). El argumento para funciones superarmónicas es similar,con las desigualdades cambiadas.

636
Cálculo vectorial
Supongamos V
2
u ;:o,O y u(p) ;:o, u(q) para todo q en BR(p). Por el Ejercicio 23, l'(p) ;:o,O si
O< p �R, y el Ejercicio 24 demuestra que 2nu(p) � l(p) �/(R) para O < p �R. Si u(q)< u(p)
para algún q = p + p(cos80, sen80) E BR(p), entonces, por continuidad, existe un arco [00 - 3, 80 + (l]
en ilBp(p) donde u< u(p)- d para algún d >O. Esto implicaría
2nu(p) � l(p) = íln ufp + p(cos8, sen8)]pd8
.o
�(2n - 2,?)u(p) + 23[u(p) - d] �2nu(p) - 2bd .
Esta contradicción demuestra que debemos tener u(p) = u(q) para algún q en Bs(p).
Si el máximo en p es un máximo absoluto en D, el último párrafo demuestra que u(x) = u(p)
para todo x en algún disco alrededor de p. Si e: [0, 1] -+ D es una trayectoria de p a q, se tiene
u(c(t)) = u(p) para todo ten algún imervalo [0, b). Sea b0 el mayor bE [0, l] tal que u(c(t)) = u(p)
para todo tE [0, b). (Hablando propiamente esto requiere la noción supremo que puede encontrarse en
libros de cálculo.) Puesto que u es continua, u(c(b0)) = u(p). Si b0 # l, el último párrafo podría
aplicarse par c(b0) y u sería constante e igual a u(p) en un disco alrededor de c( b0). En particular,
existe¿¡>O tal que u(c(t)) = u(c(b0)) = u(p) en [0, b0 + 3). Esto contradice el que b0 sea el máxi­
mo, de manera que debemos tener b0 = l. Esto es, c( q) = c(p). Puesto que q era un punto arbitrario
de D, u es constante en D.
29. Supongamos que V
2
u1=OyV
2
u2 =O son dos soluciones. Sea cjJ = u1 - u2. Entonces V2c/J =O
y cp(x) =O para todo x E ilD. Considerar la integral J.fv cjJV
2
cjJ dA= - JSD Vc/J· Vc/J dA. Entonces,
SJD VcjJ ·VcjJ dA =O, lo que implica V cjJ = O; por lo tanto cjJ es una función constante y debe ser idén­
ticamente cero.
Sección 8.2
l.
-2n
3. Cada una de las integrales en el teorema de Stokes es cero.
5.o
7.
9.o
11. ±2n
13. Por la ley de Faraday, Hs [V x E + ilH/ilt]· dS =O para cualquier superficie S. Si el integrando fue­
ra un vector no nulo en algún punto, por continuidad de la integral sobre un disco pequeño centrado
en el punto y perpendicular al vector tendríamos un resultado no nulo.
15. La orientación de ilS1 = ilS2 debe coincidir.
17. Supongamos que e es una curva cerrada en la superficie trazada de tal manera que divide a la super­
ficie en dos piezas S1 y S2. Para la superficie de un donuts (toro) se deberán usar dos curvas cerradas
cruzadas; ¿puede averiguar por qué? Entonces, e acota S1 y S2o pero con orientación positiva con
respecto a una y negativa con respecto a la otra. Por consiguiente,
JisVxF·dS=
ILVxF·dS+ILV xF·dS=LF·ds- LF·ds=O.

Respuestas a ré kJercicios impares
637
-
'
''
;�-.�!.'._,.,..
.
•\·�
ENTRE RlOS • REP. ARGENTINA
19. a) Si e=as. Se v·ds=Hs ('V X v)·dS=Hs O·ds=O.
b) Jc v·ds= J� v·e'(t) dt= v · J� e'(t)dt= v·(e(b) - e (a)), donde e: [a, b] -. l!i3 es una parametri­
zación de C. (El vector integral es el vector cuyas componentes son las integrales de cada fun­
ción componente.) Si e es cerrada, la última expresión es O.
21. Ambas integrales dan rr/4.
23.a)O
25.
- 20rr (o 20n si se utiliza la orientación contraria).
b)rr
e)rr
27. Una respuesta posible: la curva de Méibius e es también la frontera de una superficie orientada S; la
ecuación de la ley de Faraday también es válida para esta nueva superficie.
Sección 8.3
l. SiF='Vf='Vg y ees una curva desde v hasta w, entonces (f- g)(w) -(f- g)(v) .fe
'V(f- g)·ds=O y por tanto f ·· g es constante.
3.
-
cosx +e
5. Sí, es el gradiente de g(x, y) = F(x) + F(y), donde F(x) =f(x).
7. No;VxF=(0,O, -x)cftO
9.
ll.
1
esen1+-e3
3
3
3,5 X 1029 ergios
e)
b) F no es un campo gradiente.
11
2
f=�x· +xy +e
"
15. Usar el Teorema 7 en cada caso.
a) -3/2
17. a) No
b)
e) cos (e2)- cos (Jje)je
21. (- zseny +ysen x, xzcosy, 0) (también son posibles otras respuestas).
23. a) VxF=(0,O,2)cftO
b) Sea c(t) la trayectoria de un objeto en el t1uido. Entonces f(e(t))= e'(t). Sea c(t)=(x(t), y(t), z(t)).
Entonces x'=-y,y'=x y z
'
= O, por lo que z es constante y el movimiento es paralelo al pla­
no.AJ'. También , x" +x=O,y" +y=O.Entonces x=Acost +Bsent ey=ecost + Dsent.
Sustituyendo estos valores en x' = -y, y' = x, obtenemos e= B, D =A, de manera que
x
2
+l=A
2
+B2 y tenemos una circunferencia.
e) En el sentido contrario al de las agujas del reloj.

638
Cálculo vectorial
GmM
25. a) F=
[x2+i+l-3x2
x2+
\7·F =-GmM
2
"
"5·o +
(x+y-+z-),_
+
=O
b) Sea S la esfera unidad, 51 el hemisferio norte, 52 el hemisferio sur y C la circunferencia unidad.
Si F =\7 x G, entonces,
Jí F·dS =JI
..
F·dS =íf' F·dS =J G·ds- J_ G·ds =O.
.;S
.)1
.; .JS:.
C
L
Pero Hs F·dS = GmM Sfs (r/llr[[3)·ndS = -4nGmM. puesto que [[r[[ = l y r = n en S.
Entonces, F = \7 x G es imposible. Esto no contradice el Teorema 8 porque F no es suave en el
origen.
Sección 8.4
l. 4rr
3.3
5.a)O
b) 4/15
e) -4/15
7.6
9.
11. Aplicar el teorema de la divergencia a JF utilizando \7 • (JF) = \7f·F + f\7·F.
13. Si F = rjr2 entonces \7 ·F = l/r2 Si (0, O, O) $ Q, el resultado se deduce del teorema de Gauss. Si
(0, O, O) E Q se calcula la integral eliminando una pequeña bola B, = { (x, y, z) 1 (x2 + l +
<s}
alrededor del origen y haciendo E -> 0:
JÍI 1 JJI
l
JI r·n
2 dV =lim
2 dV =lim
--:2dS
•
0r
e�o
O\B, r
c:-•0
o(O\BJ 1
=lim
(ff.
r
:2
n
dS
1:>-_
_,.
o
an¡
If r·n
=
dS.
i'O
'
Ir·n )
(1'' r·n
J-
2
dS =lim JJ dS
es, r
c--+0
?D.
La integral sobre oB, se obtiene del Teorema lO (ley de Gauss), puesto que r =e en B,.
15. Utilizar la identidad vectorial para div (JF) y el teorema de la divergencia para la parte (a). Usar la
identidad vectorial \7 · (f\lg - g\7f) = f\72g - g\72 f para la parte (b).

Respuestas a.los ejercicios impares
_
639
17. a
)
Si </>(p) = fH w p(q)/(4niiP- q
\
i)dV(q), entonces
V'</>(p) = JIL [p(q)/4n]V'p(l/IIP- qll)dV(q)
=
-
ffJ,,
[p(q)/4n][(p- q)/ llp- qll3]dV(q),
donde VP significa el gradiente con respecto a las coordenadas de p y la integral es el vector
cuyas componentes son cada una de las integrales. Si p varía en V u av y n, es el vector unitario
normal exterior a av, podemos hacer el producto escalar usando estas componentes y uniendo
los trozos para obtener
Entonces,
••�
()1
V'</>(p)·n =- jjj �
(p- q)·ndV(q).
w 47! IIP-q
\
13
!
JJ� V<f>(p)·ndV(p) =-
ff (JJr p(q)
� 3 <P- q)·ndq) dv(p).
av
av
•w4nIIP q
\
1
Hay esencialmente cinco variables de integración en esta fórmula, tres porque q está en W y dos
porque p está en av. Utilizar el teorema de Fubini para obtener
ff
fff p(q)
[JI (p- q)·n
l
V'<f>·n·dS = -
-
_
3
dS(p) dV(q).
cv
w4n
cv IIP q¡¡
Si V es una región elemental simétrica, el Teorema lO dice que la integral del interior es 4n si
qEVyOsíqtV.Entonces
ff V<f>·ndS = -
fff p(q)dV(q).
(rv
wnv
Puesto que p =O fuera de W,
fJ,v
v<t>·nds = - fffvp(q)dV(q).
Sí V no es una región elemental simétrica, se divide en una unión de tales regiones. La ecuación
se satisface en cada uno de los trozos y, sumándolos todos, las integrales sobre los bordes inter­
nos convenientemente orientados se cancelan, produciendo el resultado deseado.
b) Por el Teoremaa 9, JSav V'</>·dS = JSJv \72</>dV y entonces JJJv \72</>dV = - JJJv pdV. Puesto
que p y \72</> son continuos y esto se satisface para regiones arbitrariamente pequeñas, debemos
tener \72</> =- p.
19. Sí la carga Q se distribuye uniformemente sobre la esfera S de radio R centrada en el origen, la densi­
daddecargaporunidaddeáreadebeserQ/4nf?2.SípesunpuntoquenoestáenSyqES,la
contribución del campo eléctrico en p debido a una carga cerca de q se dirige a Jo largo del vector
p-q
.
Puesto que la carga se distribuye uniformemente, la componente tangencial de esta contri­
bución se cancelará con la contribución de un punto simétrico al otro lado de la esfera a la misma
distancia de p (hacer -un dibujo). El campo total resultante debe ser radial. Puesto que S parece lo

640
Cálculo vectorial
mismo desde cualquier punto a una distancia IIPII del origen, el campo debe depender sólo del radio
y ser de la forma E =f(r)r.
Si miramos a la esferaL: de radio IIPII, tenemos
(carga dentro deL:)= ft E ·dS
=f
t f(IIPII)r ·ndS
Si IIPII < R, no hay carga dentro deL:; si IIPII > R, la carga dentro deL: es Q, y por lo tanto
{lQ
E(p) = 4n IIPW
p si IIPII>R
o
si IIPII <R.
21. Por el Teorema 10, ffaM F ·dS= 4n para cualquier superficie que tiene en su interior al migen. Pero
si F fuera el rotacional de algún campo, la integral sobre una tal superficie cerrada debería ser O.
23. Si S= oW, entonces Hs r. ndS = SHw V. rdV= HSw 3dV= volumen 3 (W). Para explicarlo geo­
métricamente, supongamos que (0, O, O) E W y consideremos el cono inclinado con vértice en (0, O,
1
O) con base óS y altura llr[j. Su volumen es- (llS)(r · n).
3
Sección 8.5
l. Esctibir las componentes de cj; como l;(x, t), 1¡(x, t) y ((x, t). Primero, observar que por la definición
de </J,
o
Jr </J(x, t)= F(</J(x, t), t).
El determinante J puede diferenciarse recordando que el determinante de una matriz es multili­
neal en las columnas (o filas). Por lo tanto, manteniendo x fijo,
ool;
Ot Ox
a
oa¿;
-
]
=
at
ar oy
ool;
ot az
Escribir ahora
orr o(
ol;oor¡o(
ol;
ox OX
ox orox ox ox
01} o(
ol;o01}ae
ol;
+-
-
+
ay oy
oy aray oy
oy
or¡ o(
a�oarro(ol;
oz a7
azatozoz
oz
oa¿; oa¿; a
ot ax
=
axa;
=
ox
F¡(({J(X, t), t),
oor¡ ool; o
--
=-;:;-
-
= - F2(!fJ(X, t), i),
otoy ayot oy
oac ao( o
--
=--=
- F3(!p(X, t), t).
aroz azot az
or¡oo(
OX orox
or¡ao(
oyotoy
or¡oo(
az atoz

Respuestas a los ejercicios impares
641
'
.
1
t-l'<ilnL.;.nii-.
.J
..;J; - r\1::. .-. "'til.:ti:
:.
l\1tlNA
Las componentes F1, F2 y F3 de F en esta expresión son funciones de x, y y z por medio de q;(x, t);
por consiguiente,
a
oF1a� oF1or¡ oF1ac
-
F¡(tp(X, t), t) = -,-- + -,- -;:
:-
+- -,
OX
o� OX
or¡OX 3(ox
Cuando esto se sustituye en la expresión anterior para oljot, se obtiene
oF¡
oF2
oF3
- J+-J+ -· J= (divF)J.
a�
or¡
a�
3. Il\'DICACIONES: Por la ecuación de transporte del Teorema 12, con V en lugar de F,
� HL pdxdydz = JJL. e:;+ pdivV)dxdydz.
Usar ahora que
Dp
op
- +pdivV=divJ+-,
Dr
ar
donde J = pV, como en el texto.
5. Si V; es la componente i-ésima de un vector v, por la ecuación de transporte (Ejercicio 2),
[� JJL fFdxdydzJ = � IJL.
(JF);dxdydz = � IJL.
fF; dxdydz
= fJL[D�;
;
)
+ CfF;)divF]dxdydz
=
JJL. [fr(JF;) + Dx(JF;)·F + (fF;)divFJdxdydz
=
JJL. [fr (JF;) + V(JF;)·F + (fF;)divFJdxdydz
=
IJL. {fr CJF;) + [D(JF)F]; + [(fF)divF];}dxdydz
=
fff [3_ (JF) + D(JF)F + (JF) div FJ dxdydz
�&
i
[fff � (JF) + D(JF)F + (JF) div Fdxdydz]
�m
;
= [fffw. (fr (JF) + (F·V)(JF) + (fF)divF)dxdydzl

64Z
Cálculo vectorial
1
7. a) Puesto que V= 'V <j;, 'V x V= O y se tiene (V· 'V)V=- 'V(IIV112). La ecuación de Euler se escri-
2
be de la forma
--
=-+
-
'VCIIVII2)= V-+ IIVII2 .
'VpdV1
(d</> 1
)
pdt2
dt2
Si e es una trayectoria desde P1 hasta P2, se tiene
J.1
í1 f(d</> 1
"
)
-
-
dp= -
-'l
l
p·e'(t)dt= V-+ ¡¡v¡¡-
· e'(t)dt
eP
•P
e
dt2
b) Si dV/dt= O y p es constante, se tiene �'V(IIVI12)= - ('l
l
p)/p= -'l
l
(pjp), y por tanto
vG IIVII2 + P!P)=o.
-
9. Por la ley de Ampere, 'V. J= 'V. ('V X H) - 'V. (3E/3t)= -'V. (3E/3t)= - ca;ar)('V. E). Por la ley
de Gauss esto es - 3p/3t. Por lo tanto, 'V· J + 3pj3t= O.
Sección 8.6
l. a)
b)
e)
3. a)
b)
e)
d)
(2x/ - yx3)dxdy
(x2 + /)dxdy
d) (xy + x2)dxdydz
e) dxdydz
(x2 + / + i)dxdydz
2xydx + (x2 + 3/)dy
e) 2xdxdydz
- (x + /senx)dxdy
f) 2ydydz- 2xdzdx
-
(2x + y)dxdy
dxdydz
g)
h)
4xy
-
dxdy
(x2 + /)2
2xydxdydz
=(aA1+A
2
)dydz+(aB1+B
2
)dzdx
+(aC1+C
2
)dxdy
= a(A1dydz + B1dzdx + C1dxdy)
+(A
2
dydz+B
2
dzdx+C
2
dxdy)

e Respuestas a los' ejercicios impa�es.
643
(MMM)
,
b) dw= -;:-dx+-;:-dy+-;:-dz 1\dx+A(dx)-
ox
oy
oz
(as
as
as)
,
+ -;:-dx:+-dy+� dz 1\dy+B(dy)-
ox
oy
oz
(ac
ac
ac)
,
+ -dx+-;:-dy+-dz 1\dz+C(dz)-
.
ox
oy
oz
Pero,(dx)2=(dy)2=(dd=dx1\dx=dy1\dy=dz1\dz=O,dy1\dx= -dx1\dy,
dz1\dy= -dy1\dz,ydx1\dz= -dz1\dx.Portanto
dw={---;:-dydz+ -;:---;:-dzdx+ ---dxdy
i(]C oB) (/oA oC') (oB oA )
\oy oz
oz
oy
ox oy
= Forma2 (rot V).
7. Una variedad de dimensión l orientada es una curva. Su frontera es un par de puntos que puede
considerarse como una variedad de dimensión O. Por lo tanto, w es una O-forma o función, y faM dw
= w(b)- w(a) si la curva M va desde a hasta b_ Además, dw es una 1-forma (owj ox)dx + ( owioy)dy.
Por lo tanto ÍM dw es la integral de línea JM (owfox)dw + (owjdy)dy = JM Vw · ds. Por consiguiente,
obtenemos el Teorema 3 de la Sección 7.2, JM Vw · ds = w(b) - w(a).
9. Poner w=F1dxdy+F
2
dy dz. + F3 dzdx. La integral se transforma en
a)O
b) 40
f{ fíf fff (OF¡ í3F, oF3)
lar ú)
=
�T
dw=
TOZ
+
OX
-
+
-¡; dxdydz.
1
11. Considerar w = xdydz + ydz dx + zdxdy. Calcular dw = 3 dxdydz, de manera que
3
JJaR
1
w= 3JJSRdw= JJSR dxdydz= v(R).
EJercicios de repaso del Capítulo 8
l. a) 2na2
b)o
3.o
S. a) f= x4/4- x2/
b) -1/4
7. a) ComprobarqueVxF=O
9. 23/6
11. No:Vx(axr)=2a
13. a) Vf= 3yé'í + 3xez'j + 6xyzé'k
b) f= 3x2ycosz +e
e)o
b)o
e) Ambos lados son cero.

644
Cálculo vectorial
15. Sn/3
17. na2/4
19. 21
21. a) G es conservativo; F no lo es.
b)
3
1
G=ílcf;sicf;=(x4/4)+(//4)-22/+2i+C
,
donde Ces cualquier constante.
e) (F·ds=O;(G·ds= -�;(F·ds=�;fG·ds= -�
J�
J,
2Jp
3p
2
23. Usar la fórmula (íl· F)(x0, y0, z0) = lim p�o V<�,) fJan,
F · ndS que aparece en la Sección 8.4 .

ÍNDICE ALFABÉTICO
O-forma, 568, 569
1-forma, 568
!-formas básicas, 568
2-forma, 569-570
2-formas básicas, 569
3-fonna, 570
3-formas básicas, 570
A
acción a distancia, 490
aceleración, 253, 255-258
agujero cilíndrico, 459
Alexandrov, 487
álgebra de las formas, 575-580
al-Khuwarizmi, xv
ángulo entre dos vectores, 25-27
anticonmutativa, 575
aplicaciones, viii
de IR2 en IR2, 360-362
determinantes jacobianos, 368-371
físicas de los vectores, 32-34
imágenes de, 362
inyectivas, 362, 363, 365
sobreyectivas, 364, 365
superficies parametrizadas de, 441
Apolonio, xii
aproximación
de orden superior, 187
lineal, 125, 126, 128, 187, 194, 195
aproximaciones cuadráticas, 187, 194, 195
área
de la sección transversal, 312, 313
rotacional como circulación por unidad de área,
519-522
superficies, 448-454
teorema de Green, 505
área de una superficie
definición, 448-452
_
expresada como una gráfica, 452
superficies de revolución, 453, 454
Arquímedes, xiv, 389, 454, 455
asociativa, 4, 56, 79, 575
autovalor, 236
autovector, 236
B
banda de Miibius, 470-472
base canónica, 1O, 11, 71
Bemoulli, Jacob, 62
Bemoulli, Johan II, 183, 197
bola
abierta, 101
unidad, 348, 382
volumen de, 380
Bolyai, 80
braquistocrona, 419
e
cálculo de variaciones, 419
cambio del orden de integración, 339-341
campo
eléctrico, 562
escalar, 277
gravitatorio, 279, 284, 538
magnético, 562
vectorial constante, 586
vectorial de energía,
vectorial flujo de calor, 279
vectorial general, 276, 277
vectorial gradiente, 278-281, 162-164
conservativos, 530-538
integrales de línea sobre un, 428-430
vectorial irrotacional, 293, 534-536
vectorial rotatorio, 278
campos
conservativos
caso plano, 536-538
definición, 531

646 Cálculo vectorial
identificación del gradiente, 531-533
interpretación física, 533-536
de fuerza
campo de fuerza gravitacional, 279, 284, 538
trabajo ejercido por, 419, 420
de vectores
campo vectorial general, 276, 277
campo vectorial gradiente, 162-164, 278-281
campo vectorial rotatorio, 278
campos conservativos, 530-538
divergencia, 286-290
identidades básicas del análisis vectorial, 298, 299
integración sobre trayectorias, 431-435
integrales sobre superficies, 468-470
líneas de flujo, 282-284
operador de Laplace, 297
rotacional, 290-295
rotacional escalar, 295-296
escalares componentes, 277
. canal de riego, 235
canicas, 87
Cardano, Girolamo, 51-53
Cauchy, Augusten-Louis, 40, 53, 455
Cavalieri, Bonaventura, 313
Cayley, Arthur, 81
centro de gravedad, 466
centro de masa, 88, 386-388
cicloide, 138
cilíndrico, 317
con tapa, 528
circulación, 435, 519-522
circulación y rotacionaL 132
circunferencia unidad, 510
composición, 114
conductividad, 279, 561
conjunto
abierto, lül-104
acotado, 212
cerrado, 212
de nivel, 92, 97
conmutativa, 77
cono, 444, 459
troncado, 459
conservación de la energía, 281, 282, 560
constante gravitacional, 531
continuidad
de la composición, 114
de Lipschitz, 121
definición, 111, 112
Holder, 121
teoremas, 131
contornos de nivel, 92-96
coordenada x, 2
coordenada y, 2
coordenada z, 2
coordenadas, 1-3
cartesianas, 1, 2
cilíndricas, 62-64
cambio de variables, 378
esféricas, 64-68
cambio de variables, 379, 380
divergencia, 552
teorema de Stokes, 522, 523
polares, 61, 62
cambio de variables, 374, 375
Copernico, Nicolás, xviii
criterio del detenninante
para formas definidas positivas, 207-211
cuatemiones, 54-57, 300
cubo unidad, 542
curva
cerrada, 430
simple, 431, 432
frontera, 513
simple dirigida, 430
simple orientada, 430, 431
curvas, 134-138, 268
a trozos, 268
anudadas, 416
componentes, 432
con nudos, 416
curvatura total, 415
de nivel, 92-96
integral de !-formas sobre, 571, 572
integrales de línea sobre, 429-433
curvatura, 415, 416, 484
D
de Gauss, 80, 484, 487, 489, 492
media, 80, 485, 487
planos, 485
semiesfera, 485-487
superficies de curvatura constante, 487
total, 415, 416, 484
d' Alembert, LeRond, 183
Da Vinci, Leonardo, xvii, 389
Dalauney, 487
Darboux, 457
del Ferro, Scipione, 51
densidad
carga, 556
energía, 560, 561
masa, 556

derivada
de una 3-forma, 577
de una función, xxv
de una k-forma, 577
material, 557
derivadas
de orden superior, 175
direccionales, 158-160
parciales 122-125, 129
cruzadas, l 76-179
iteradas, 176, 177, 179
igualdad de las derivadas parciales cruzadas, 177,
178
gradientes, 130
propiedades, 144-146
Descartes, René, 79, 80
desigualdad
Cauchy-Schwarz, 27-31, 72
triangular, 30, 31, 72, 145, 276
valor medio, 342, 343
determinante
hessiano orlado, 231, 232
jacobiano, 244, 368-371, 377
determinantes
geometría de, 45-48
matriz, 36, 37
propiedades, 48-41, 78
diferenciabilidad, 124-126
caso general, 128-129
funciones de dos variables, 126
plano tangente, 127
teoremas, 131
diferenciab1e dos veces con continuidad, 176
diferenciación, 121, 122
difusividad, 561
Dírac, Paul, xvi
disco
abierto, 101-105
unidad, 216
discriminante del hessiano, 208
distancia, xix
de un punto a un plano, 50, 51
entre los extremos de un vector, 25
distributiva, 4
divergencia
coordenadas cilíndricas, 522, 523
coordenadas esféricas, 522, 523, 552
definición, 286
dominio, xxiv
interpretación física, 287
operador de Laplace, 297
rotacionales, 296
Índice alfabético
647
teorema de Gauss, 544-548, 552
teorema de Green, 508, 509
dominio y-simple, 397
Douglas, Jesse, 457
E
economía, 229, 230
ecuación
de continuidad, 557
de Dieterici, 155
de Korteweg-de Vries, 183
de Laplace, 182
de ondas, 182
de ondas no homogénea, 563
de Poisson, 182, 554
del calor, 181, 561
del campo de Maxwell, 284, 530, 561-564
del transporte, 557, 558
hidrodinámica, 302
potencial, 182
química, 4
ecuaciones, 17, 18
cuadráticas, 51
cúbicas, 51
de Cauchy-Riemann, 468
de Euler, 178
para un fluido perfecto, 558-560
de Navier-Stokes, 560
del campo de Einstein, 492
descripción de un segmento, 18
diferenciales, 181
ordinarias, 181
en derivadas parciales, 181
Einstein, Albert, 81, 284, 285, 489-491
ejex,1
ejey,1
ejez,l
elasticidad, 409
elemento cero, 3
elipsoide, 458, 483
sólido, 407
energía potencial gravitacional, 536
entorno, 104
epiciclo, xiii, 138
epicicloide, 138
Escher, M. C., 471
esfera, 518, 519
integrales de supert!cie, 48!
unidad, 457, 472

648
Cálculo vectorial
espacio
de llegada, xxiv
euclídeo n-dimensional, 70
matrices, 73-79
vectores en el, 70-73
estrictamente subarmónica, 250
Euclides, xiv
Eudoxo, xii
Euler, Leonhard, 52, !75, 178, 182, 219, 260, 455, 560
extremo
local, 200
relativo, 200, 220, 235
extremos, 200
condicionados, 217-224
F
criterio de la derivada segunda, 230-234
teorema de los multiplicadores de Lagrange para
varias variables, 224, 227
Faraday, Michael, 456
Feynman, Richard, 260-263, 564
Fior, Antonio, 51
fluidos incompresibles, 549
flujo, 476, 477, 548
flujo estacionario, 277
Fontana, Nicolo, 51
forma cuadrática, 204
definida negativa, 205-207
definida positiva, 205-211
formas diferenciales, 421, 567, 577
0-fonnas, 568
!-formas, 568
2-formas, 569, 570
3-formas, 570, 571
álgebra de las formas, 575
integral de 1-formas sobre curvas, 571
integral de 3-formas sobre regiones, 574
teorema de Gauss, 581
teorema de Green, 580
teorema de Stokes, 581
fórmula
de Tartaglia y Cardano, 52
de Taylor de primer orden, 189, 191, 193, 194
de Taylor de segundo orden, 188-191, 193
de Taylor de tercer orden, 192
del cambio de variables, 359, 372
aplicaciones, 384-394
coordenadas cilíndricas, 378
coordenadas esféricas, 379, 380
coordenadas polares, 374, 375
integral gaussiana, 375, 376
integrales dobles, 372, 373
integrales triples, 377-380
fórmulas de Frenet, 275
Fourier, Joseph, 181
frecuencia, órbita, 258
Fubini, Guido, 329
fuerza centrípeta, 258
función
acotada, 319
integrabilidad, 321-323
analítica, 195
armónica, 185
con valores escalares, 90 _
con valores vectoriales, 90, 253
cuadrática, 204-207
de producción de Cobb-Douglas, 237
gauge, 562
potencial, 534, 537, 554
subarmónica, 250, 512
superarmónica, S12
funcional de Dirichlet, 467
funciones, vii
analítica, 195
armónicas, 185
C1, 132
C2, 176
continuas, 110-114
propiedades, 113, 114
cuadráticas, 204-207
de clase C1' 176
de clase C2, 411, 490
de Green, 564
de variable real
extremos, 196-214
geomettia, 90-99
de varias variables, 90
diferenciabilidad, 126
discontinuas, 111
gráficas, 91-100
inyectivas, 362, 363, 364
longitud de arco, 270
no acotadas en puntos aislados, 403, 404
potenciales, 534, 537, 554
sobreyectivas, 364, 365
valor medio, 384, 385
G
galaxia Andrómeda, 490
Galileo, 180

gas de van der Waals, 438
Gauss, Karl Friedrich, 52, 80, 4831-484, 489 - -
-
-
-
geometría
determinantes, 46-48
funciones con valores reales, 90-99
multiplicación por un escalar, 4, 7
resta de vectores, 8
suma de vectores, 5-7
teoremas por métodos vectoriales, 13
Gibbs, Josiah Willard, 56, 57, 300, 302
globo de aire caliente, 528
gradiente de presiones negativo, 307
gradientes, 130, 131, 156, 157, 160
normal a las superficies de nivel, 160
gráfica no suave, 122
gráficas, xxiv, xxv
área de una superficie, 452
coordenadas cilíndricas, 522, 523
coordenadas esféricas, 522-523
funciones con valores reales, 90-99
integrales de superficie sobre, 462-465, 479-481
orientación, 473
suave, no suave, 122
teorema de Stokes, 513-518
gráfico suave, 122
H
Hamilton, Sir William Rowan, 53-56, 80, 260, 299, 300
Heaviside, 57
hélice, 140, 412
helicoide, 451, 452, 462, 465, 488
hemisferio
curvatura, 485-487
hessiano, 204-206, 209
Hilbert, David, 494
Hiparco, xii
hiperboloide, 446
de revolución de una hoja, 98
hipocicloide, 138, 437, 506
de cuatro cúspides, 256
holonomía, 527
homogénea de grado, 169
Huygens, Christian, 52, 80, 138, 455
1
identidad de polarización, 82
identidades de Green, 554
igualdad de las derivadas parciales cruzadas, 177-178
fn, 77
integrabilidad, 321-323
-
- integración
por partes, 187, 188
reducción de integrales iteradas, 314-316, 333-337
reducción de integrales triples, 346-348
integral
de línea, 516
de campos gradiente, 428-429
definición, 420, 421 1
formas diferenciales, 421
notación dr, 433
reparametrización, 424-428
sobre curvas, 429-433
teorema de Stokes, 516, 517
trabajo hecho por un campo de fuerzas, 419, 420,
423
de trayectoria, 411-415
definida, xxv
doble, 320-328
Feynman, 260
función escalar sobre superficies, 460
gaussiana, 375, 376
impropia, 399, 400
independiente de la trayectoria, 530
invariante topológico, 493
iterada, 314-316, 333-337, 399-401
orientada, 427
Riemann, 329
superficie, 462-465, 468-470, 474-481
trayectoria, 411-416
triple, 345-348, 378-380
definición, 345
propiedades, 346-348
reducción a integrales iteradas, 346-348
sobre regiones elementales, 349
integrales de superficie
de campos vectoriales, 468-470
independencia de la parametrización, 474
interpretación física, 475-478
relación con las integrales escalares, 474
resumen de fórmulas, 480-481
sobre gráficas, 462-465, 479, 480
integrales dobles
cambio de orden de integración, 339-343
como volúmenes, 309-312
desigualdad del valor medio, 341
fórmula del cambio de variables, 372, 373
funciones acotadas, 321-323
igualdad del valor medio, 342
principio de Cavalieri, 312, 313
reducción a integrales iteradas, 314-316, 333-337
sobre regiones elementales, 332, 333

650 Cálculo vectorial
sobre un rectángulo, 319-329
teorema de Fubini, 324-328
integrales impropias
como límites, 398
como límites de integrales, 399,400
integrales impropias de una variable, 396
iteradas en el plano, 396
regiones exhaustivas, 397
integrales iteradas
integrales impropias como límite de integrales
iteradas, 399-400
propiedades, 320-323
reducción de integrales dobles, 314-316, 333-336
teorema de Fubini, 400
intersección, xxiv
intervalo
abierto, xxiii
cerrado, xxiii
isobara, 307
isocuanta, 229, 230
isoterma, 279
J
Jacobi, 41
K
Kepler, 259, 260,xviii
L
Lagrange, Joseph Louis, 65
Laplace, Pierre-Sirnon de, 41,182
Lebesgue, Henri, 329, 456,457
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 40, 52,80, 81
lemniscata, 382
ley de Ampere, 435,477,530, 562
ley de Bernoulli, 565
ley de Buys-Ballot, 307
ley de Coulomb, 280,284, 478
ley de Faraday, 476, 562
teorema de Stokes, 523, 524
ley de Gauss, 477,549-551, 562
ley de gravitación de Newton, 163,180,198,257,279,
280,489,490
ley de la conservación de la masa, 556
ley de los gases perfectos, 171
ley de Snell, 60
ley del coseno, 26
ley del paralelogramo, 82
leyes de conservación, 555, 561
leyes de Kepler del movimiento celestial, xix, 180,
259
límite
por la derecha, 121
por la izquierda, 121
límites
con E y 6, 115-118
definición, 105,106, 115
en términos des y 6, 115-118
entornos, 107
función, 107-109
propiedades, 109,110
unicidad, 109
líneas
de corriente, 282
de flujo, 282:284
Listing, J. B ., 471
localización de objetos, 32
longitud de arco
definición, 266,267,270
diferencial, 269,270
función, 271
justificación de la fómmla, 271, 272
reparametrización, 274
longitudes, vectores, 23-25,71,139
Lovachevsky, 80
M
Maclaurin, 40
Marcelo, 454
masa
centro de, 386-389
densidad de, 395,556
ley de conservación de la, 556
matemáticas
árabes, xv
babilónicas, xi
egipcias, xi
europeas, xv
griegas, xi
indias, xv
matrices
2 X 2,36,37
3X3,37
derivadas parciales, 129, 151
determinantes, 36-40,45-47, 78
generales, 73-77
invertibles, 77

producto mixto, 42, 79
triple producto, 79
matriz2x2,36,37,73
matriz3x3,37,73
Maupertuis, Pierre-Louis de, 196-199
máximo
absoluto, 2ll-214, 225-227
global, 2ll-214, 227
local
condición de la derivada primera, 200-203
definición, 200
derivada segunda
criterio para máximos y mínimos de funciones de
dos variables, 208-211
Maxwell, James Clerk, 56, 300, 302, 564
mejor aproximación lineal, 128
método
de los mínimos cuadrados, 250
de los multiplicadores de Lagrange, 218-222
para varias restricciones, 224-226
soluciones de extremos globales, 227
de sustitución, 372
métodos de la función de Green, 564
Milnor, John, 416
mínimo
absoluto, 211-214, 226
global, 211-214, 227
local, 200-211
criterio de la primera derivada, 200-203
definición, 200
derivada segunda
criterio de máximo y mínimo, 203-207
mínimos cuadrados, 250
Mobius, A. F., 470
modelo tolemaico del movimiento planetario, xiv, 196
módulo de elasticidad de Young, 409
momento, 87
de fuerza, 60
momentos de inercia, 390
Muir, T., 41
multiplicación, 3, 4, 7, 9
escalar, 3, 4, 7, 9, 51
N
Newton, Sir Isaac, xix, 53, 62, 260, 313, 391, 490
Noether, Emmy, 264
número
irracional, xxiii
racional, xvi
números
o
complejos, 52-54
imaginarios, 51, 52, 54
operador
diferencial, 250
elíptico, 250
laplaciano, 297
nabla, 286, 299
opuesto, 3
órbita
circular, 258, 259
geoestacionaria, 259
halo, 264
orden de integración, 339-342
Índice alfabético
651
organismos unicelulares, superficies de Delauney,
487-489
orientación
elemento de vector de superficie de una esfera, 473
gráficas, 473
inducida, 513, 514, 520, 550
superficies, 470-472
origen, 1
p
paraboloide, 353
de revolución, 94
hiperbólico, 95, 96
paralelepípedo, 47
paralelogramo, 373, 449, 450
cálculo con el producto vectorial, 43, 44
descripción paramétrica, 18, 19
parametrización, 135, 136, 361, 423, 430, 431, 434,
444-446, 474
conforme, 467, 495
por longitud de arco, 274
partición regular, 319
Pascal, Blaise, 138
permutando cíclicamente, 42
Plank, Max, 198, 555
plano tangente, 127, 444-446
a superficies de nivel, 161
planos
curvatura, 485
descripción paramétrica, 19, 20
dimensión, 20
ecuaciones de los, 48-50
parametrización, 441, 442
de tres coordenadas, 20

652
Cálculo vectorial
Plateau, Joseph, 456, 457
Platón, xii
Poincaré, 264
pompas de jabón, 487
potencial, 554
gravitatorio, 182, 279, 390-394
newtoniano, 182, 186
preserva la orientación
parametrización, 471, 472
reparametrización, 424, 425
presión, 558
Principia, xx
principio
de acción de Hilbert, 494
de Cavalieri, 312, 314
de Hamilton, 264
de la mínima acción, 196-199
de Maupertuis, 196-198, 260
fuerte del máximo, 512
fuerte del mínimo, 512
problema de los tres cuerpos, 264
proceso adiabático, 439
producto
cartesiano, 31O
escalar, 22-23, 27, 45, 51, 57, 65, 71
exterior, 575
mixto, 42, 79
vect01ial, 36, 41-45, 51, 290
productos escalares, 22, 23, 25, 28, 72
propiedad
del cero, 4
del elemento unidad, 4
propiedades
derivadas, 144-146
determinantes, 38-40, 78
funciones continuas, 113
integrales iteradas, 320-323
integrale;, •ripies, 346-348
límites, 109, llO
punto
crítico degenerado, 209
crítico del tipo de silla, 208-210, 233
de silla, 200, 202, 209, 234
puntos
R
críticos, 200-203, 208, 213, 214, 218, 231
críticos no degenerados, 209, 211
frontera, 104, 105
singulares, 532
rango, xxiv
rapidez, 139, 258, 269
unitaria, 274, 380
recta tangente a una trayectoria, 142, 143
rectas
dimensión, 20
ecuaciones de, 13-17
expresión paramétrica, 14-17
forma punto-vector director, 14
que pasan por los extremos de dos vectores, 16
región conexa por arcos, 358
regiones
elementales, 348, 349
integrales dobles sobre, 331-333
integrales triples sobre, 349-353
simétricas, 350, 351
teorema de Gauss, 541-543
teorema de Green, 501
exhaustivas, 397
no acotadas, 404
simples, 331, 332, 336
x-simples, 337, 500
y-simples, 331, 334, 335, 396, 500
regla
de Cramer, 40
de L'Hopital, 116
de la cadena, 144, 146, 150-152, 179, !80, 183, 218,
254, 515
caso general y demostración, 146, 149
primer caso especial, 146, 147
segundo caso especial, 148, 149
de la mano derecha, 43
de la multiplicación por una constante, 144
de la multiplicación por una función escalar, 254
de la suma, 144, 254
del cociente, 145
del producto, 144
del producto escalar, 254
del producto vectorial, 254
reparametrización, 424-428
resta de vectores, 8
Riemann, Bemhard, 53, 80, 81, 329, 457, 489, 491
rigidez EI, 409
IR", 3
rotacional, 519-524
asociación rotacional, 292
definición, 290-292
divergencia, 296
escalar, 295, 296
flujo del rotacional, 293
gradientes, 294
rueda con paletas, 533

S
Schwartz, H. A., 457
sección
normal de una viga, 409
transversal de un toro, 458
secciones cónicas, xii
segunda ley de Newton, 253, 257-259, 263, 27!, 281
semieje
mayor, 228
menor, 228
series de Tay!or, 193
silla, 95-97
sólido de revolución, 317
solitón, 183
subconjunto, xxiv
suma de vectores, 3-7
definición, 5
geometría de la, 5-7
interpretación física, 6
libres, 7
vectores de la base canónica, 1O
sumas de Riemann, 309-313, 320, 325, 413, 449
superficie
cerrada, 529
de un donuts, 439
orientada, 470-474
regular, 443, 444
suave, 443-445
superficies
T
integral de 2-fom1as sobre superficies, 572-574
integrales de funciones escalares sobre· superficies,
460-462
de nivel, 94, 160
de películas jabonosas, 456, 457
equipotenciales, 170, 280
mínimas, 495
parametrizadas, 518-520
cambio en la orientación, 525, 526
como aplicaciones, 441, 442
definición, 441
integrales de superficie, 480
plano tangente a, 444-446
restricciones en gráficas, 439, 440
superficie regular, 442, 443
teorema de Stokes, 518, 519
vectores tangentes a, 442, 443
Tait, Peter Guthrie, 55, 57
Tales de Mileto, xii
írictice alfabético
653
Tartaglia, Nicola, 51, 52, 389 ·
temperatura, 166, 171, 172, 439, 481
potencial, 171
teorema
de Euler, 169
de Fary-Milnor, 416
de Fubini, 324-329
para integrales impropias, 400-403
de Gauss, 499, 541
de la divergencia, 544-546
divergencia como flujo por unidad de volumen, 548
formas diferenciales, 58! '
generalización de, 546-548
regiones elementales y fronteras, 541-543
de Gauss-Bonnet, 492-494
de Green, 501
átea de una región limitada por una curva, 505,
506
de la divergencia en el plano, 508, 509
forma vectorial, 506-508
formas diferenciales, 580
generalización de, 503. 504
lemas, 501-503
orientación correcta para la frontera de una región,
503
regiones simples y elementales, y sus fronteras, 500,
501
de la circulación de Kelvin, 476
de la función implícita en un caso particular, 238, 239
y superficies, 239, 240
de la función implícita, 238, 24!-243
de la función inversa, 243, 244
de Pappus, 459
de Pitágoras, 23
de Stokes, 292, 476, 499, 513
campos conservativos, 530, 531
conexión con la geometría no euclídea, 526
formas diferenciales, 580
ley de Faraday, 523, 54
para gráficas, 5!3-517
rotacional como circulación por unidad de área,
519-522
de Taylor, 187, 205
de una variable, 187
fórmula de primer orden, 188, 189, 192, 193
fórmula de segundo orden, 188, 189, 192, 193
fórmula de tercer orden, 192
para varias v:niables, !89-!95
del cambio de variables, 367
fundamental del álgebra, 52
fundamental del cálculo, 187, 271, 327, 501, 567
fundamental del cálculo integral, 324

654
Cálculo vectorial
general de la función implícita, 241-243
teoremas
cambio de variables, 367
circulación de Kelvin, 476
Euler, 169
Fary-Milnor, 416
Fubini, 324-329, 400-403
función implícita de la general, 241-243
función implícita, caso particular, 238-241
función inversa, 243-245
fundamental del cálculo, 188, 271, 327, 501, 567
Gauss-Bonnet, 492-494
Green, 499-508
Pappus, 459
Pitágoras, 23
Stokes, 292, 499
Taylor, 187, 205
transporte, 557, 558
valor medio, 413
y superficies, 239-241
temia general de la relatividad de Einstein, 489-490
terna, 2
tetraedro, 335, 336
Thomae, Karl J., 329
Thompson, D'Arcy, 488
tiempo propio de una trayectoria, 275
Tolomeo, xiii
topológico invariante, 493
toro, 440, 458, 493, 494, 566
torsión, 275
trabajo, 87, 419, 420, 423
transformaciones, viii
trayectoria, 134-138
cicloidal, 140
diferenciación, 254-256
integración de una función escalar sobre, 411-416
opuesta, 426
regular diferenciable, 256
suave, 212
suave a trozos, 286
termodinámica, 438
triple producto mixto, 79
u
unión, xxiv
V
valor
absoluto, xxiv
medio de una función, 384-385
promedio, 417
Vandermonde, 40
vector
binormal, 274
cero, 34
desplazamiento, 32, 33
flujo de energía, 561
libre, 7
momento, 60
normal principal, 274
normalizado, 24, 25
posición, 433
Poynting, 566
que une dos puntos, 12
unitario, 24
velocidad, 32, 33, 139, 141, 149, 150
angular, 292
vectores
de fuerza, 34
n dimensionales, 70
ortogonales, 28, 42
ortonormales, 28, 68
perpendiculares, 28
tangente, 140, 150, 442, 443
velocidad de escape, 281
Vía Láctea, 490
w
Weierstrass, 457
Wente, Henry, 487
Weyl, Hermann, 82
Wi1son, E. B., 57, 301

CRÉDITOS DE LAS ILUSTRACIONES
Portada: David Gifford/Photo Researchers
Fig. 3: Erich Lesssing/Art Resource, NY
Fig. 4: De Theoreticae novae planetarum
Fig. 5: Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.
Fig. 6: J. L . Charmet/Photo Researchers, Inc.
Fig. 7: Del Codex Virgilanus, Biblioteca de El Escorial, Madrid
Fig. 8: Michael Pasdzior/Getty
Fig. 9: Alinar/Art Resource
Fig. 10: Corbis
Fig. 11: Corbis
Fig. 12: De Astronomía Nova de Kepler (1609), p. 4
Fig. 14: Corbis
Fig. 15: De Principia
Fig. 1.3.8: Corbis
Fig. 1.3.9: Getty Images
Fig. 1.5.1: Corbis
C03: Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.
Fig. 3.3.1: De Parsimonious UniversejCortesía de Anthony Tromba
Fig. 4.1.5: Corbis
Fig. 4.1.6: Cern/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.
Fig. 4.1.11: Roby Wilson, JPL
Fig. 4.4.9: Corbis
Fig. 6.3.3: Del tratado de Leonardo sobre pintura, Tractat vond der Mahlerey, 23 edición, Nüremberg, 1747
Fig. 7.4.4: Stadtische Galerie; Liebieghaus Frankfurt am Main
Fig. 7.4.5: Fritz Goro
Fig. 7.6.4: Moebius Strip II, 1963, de M. C. Escher. Fundación Escher, Haags Gemeentemuseum, La Haya
Fig. 7.7.2: Cortesía de Anthony Tromba
Fig. 7.7.3: © 1997 Michael Dalton/Fundamental Photographs, NYC
Fig. 7.7.12: Corbis

dau
du
l.
-=a-
dx
dx
d(u+ v) du dv
2.
=
-+
-
dx
dxdx
d(uv)
dv
du
3.
--= u-+ v-
dx
dx
dx
d(u/v)
4.
v(du/dx)- u(dv/dx)
v2
dx
d(u")
,-1 du
5.
-- =nu
dx
dx
d(u")
v-1 du
'
dv
6.
--= vu
- + u'(logu) -
dx
dx
dx
d(e")
du
7.
--
=eu-
dx
dx
d(eau)
du
8.
--
= aeau-
dx
dx
dau
du
9.
-= au(!oga)-
dx
dx
d(logu)
10.
dx
d(loga u)
11.
ldu
udx
du
dx
u(loga) dx
12.
13.
dsen u
du
--=eos u-
dx
dx
deos u
dx
du
-sen u­
dx
DERIVADAS
dtan u
7
du
14.
- -=see-u -
15.
dx
dx
deot u
dx
0
du
-ese u­
dx
dsee u
du
16.
--
= tan usee u-
dx
dx
dese u
du
17.
--=-(eotu)(eseu)-
dx
dx
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
darcsenu
du
dx
vf1-112 dx
darcos u
-1 du
dx
�dx
darctan u
du
darccot u
-1
du
dx
1+u
2
dx
darcsec u
du
dx
u(¡¿=!dx
v
darccsc u
dx
-1
du
Ju2-1 dx
dsenhu
du
--
-
= coshu-
dx
dx
dcoshu
du
--
-
= senhu-
dx
dx
dtanhu
2
du
--
-
= sech u-
dx
dx

658 Cálculo vectorial
dcothu
0
du
darctanh- 1 u
du
27.
--
-
=
-
(csch- u)-
32.
=
l- u2dx
dx
dx
dx
dsechu
du
darccoth- 1 u
du
28.
- (sechu)(tanhu)-
33.
u2-1dx
dx
dx
dx
dcschu
du
darcsech- 1 u
-
1du
29.
dx
-
(cschu)(cothu)-
dx
34.
dx
u�dx
darcsenh- 1 u
du
darccsch- 1 u
-1 du
30.
dx
jl + u2dx
35.
dx
lu\ )1 + u2dx
darccosh- 1 u
du
31.
dx
�d
�u--1 X

INTEGRALES
l. Jx"dx = -1- xn+J (ni= -1)
n+1
2. f�dx = log)x)
3.
fexdx =ex
4.f
axdx =
l::a
5.f
senxdx = -cosx
6.f
cosxdx = senx
7. f tanxdx = -log[cosx)
8. f cotxdx = log[senx)
9. f secxdx = log)secx + tanxl = log) tanC4x +in))
10. f ese dx = log1esex- cotxl = log1 tan 4xl
11.
farcsen �dx =xarcsen � + Ja
2
- x2 (a>O)
a
a
fXX
�
12.
arcos-dx = x arceas-
-
�a�-x� (a>O)
a
a
13.
fX Xa22
arctan-dx = xarctan- -
-log(a + x)
a
a2
14.
sen- mxdx = - (mx - senmcrcosmx)
fo
1
2m
(a> O)

660
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Cálculo vectorial
ro
1
eos-mxdx = -(mx+ senmxeosmx)
•
2m
,.
J see2xdx = tan x
1'
J ese2xdx = - eotx
f sen"-1xeosx n- 1
f2
sen"xdx =-
+ -- sen"- xdx
n
11
f eos"-- 1xsenx n- 1
f?
eos"xdx =
+ -- eos"-- xdx
n
11
tan"xd:r: =
-
tan"-2xdx (n =/= 1)
f tan"-1X f
n-1
f eotn-l x
eot"xdx =-
--
-
11-1
feot"-2xdx (n i= 1)
see"xdx =
+ -- see"-2xdx
f tanxsee" -2x n- 2
f
n-1
n-1
(ni=1)
fese"xdx =
eotxese"-2x 11
.
-
2f
----- + --
ese" 2xdx
n-1
n-1
fsenhxdx = eoshx
feoshxdx = senhx
ftanhxdx = log 1 eoshx
l
feothxdx =log 1 senhx
l
fseehxdx = aretan( senhx)
Jeschxdx = log \ tanh �� =
l
eoshx + l
--loa
2 "'eoshx- 1
fsenh2xdx =� senh 2x - �x
(ni=1)

31.
32.
33.
34.
35.
36.
fcosh2 xdx = l senh2x+lx
4
2
fsech2 xdx = tanhx
arcsenh-
-
dx = xarcsenh- -- ...¡x +a (a> O)
f1
X
1
x
��2-
--
-
2
a
a
farccosh- 1
-
dx=
x
¡xarccosh- 1 �-�x2-a2 [arccosh-1 (�)> O,
.
a
xarccosh -I �+Jx2-a2 [arccosh -I (�)<O,
farctanh-I ::
:
dx = xarctanh -I ::
:
+¡:
:
log/a2-x2/
a
a2
37. f�dx = � arctan::
:
(a> O)
a+x
a
a
38.
39.
40.
2
2
X�a
X
f
2
�dx =-
1 a-x +- arcsen-
"-'
2"'
2
a
(a> O)
f2
? 3'2
X
2
?
� 3a4
X
(a-x-)1dx=- (5a- 2x-)�a-x+-arcsen- (a>O)
8
8
a
� dx = arcsen- (a> O)
f1
X
�a2-x2
a
41. f�dx=_!_
__
log l
a+x
l
a-x
2a
a-x
42.
43. fJx2±a2dx=��x2±a2±�log/x+Jx2±a2/
44. f � dx = log/x+-y��-a2/ = arccosh-1::
:
(a> O)
..
.¡
�-�
a
45. f--
1
--dx=�loa,__
x
_,
x(a+bx)
aoa+bx

662 Cálculo vectorial
46. fxJa+bx dx =
2(3bx-
�a)(a+bx)3/2
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
f�
f
1
x
dx= 2ja+bx+a
�dx
xJa+bx
fx
dx=
2(bx - 2a)�
Ja+bx
3b2
¡_
1
log��a+bx-
Ja¡ (a> 0)
f'
1
dx = Ja Va+bx+Ja
x-Ja+bx
2
1Ja+bx 1
� arctan
--=-
-;;--
(a<O)
f��¡
a+
�,
x
dx=va2-x1-a!og
V;'- ..t
fxJa2-x2 dx=- �(a2 x2)3/2
f2J� _X
2
2
�a4
X
x
a
x dx-8(2x-a)-Ja-- x +
S arcsen � (a> O)
fx2
x�a2
x
í2-
-:1
dx=
-
-
2
va 2 - x2+- arcsen- (a> O)
va-x-
2
a
f� � l a+Jx2+a2 1
x
dx= yx2+a2 - a log
x
f��
a
dx= vx-
-a2-aarcos- (a>O)
x
lxl
fx2
x� a2
.�--
Jx2+a2
dx=
2
- 2 log(x+Jx2+a2)
f
1
dx= �JoaJ-x-!
xJx2 + a2
a "'a+Vx2+a2
f11
a
�dx=- arccos- (a>O)
x�x-- a-
a
/xl

f1
/x?+a2
61.
�dx= ::¡:
:
v
2
-
x\¡� ± a2
ax
62.
f 1 dx= Jx2+a2
Jx2±a2
-
63.
¡1
Jog
l2ax+b- jh2- 4ae l
(b2> 4ae)
f1
dx=
.Jb2- 4ae
2ax+b+Jb2- 4ae
ax2+bx+e
2
2ax+b
/
arctan
(b2< 4ae)
v 4ae- b2
.J4ae- b2
64.
65.
66.
67.
68.
69.
2
dx=-!og[ax2+bx+el- -
2
dx
J
I'
X
1
bf
1
ax +bx+e
2a
2a ax +bx+e
f � log[2ax+b+2J�Jax2+bx+el (a> O)
1
va
--
---;
=:
:;
==== "'x =
.Jax2+bx+e ,.
l1
2ax- b
� arsen
(a< 0)
v-a
.Jb2 - 4ae
f
2ax+b
4ae- b2 f
1
Jax2+bx+edx =
Jax2+bx+e+
dx
4a
8a
.J ax2+b+e
fx
Jax2+bx+e b f
1
--
--;
=:;==== dx=
-
-
dx
-Jax2+bx+e
a
2a -Jax2+bx + e
¡-1
12Jc�+bx+e+bx+2e
J
--¡:
::
log
f1
dx=
.Je
x
1
x..
..¡
ax2+bx+e
l
bx+2e
--
arcsen
(e< O)
� !x[,j b2- 4ae
fx3 /.>?+a2dx=(lx2_]_a2) 1(a2+x2)3
V
5
15V
(e> 0)
71.
senax senbxdx=
-
----
e<-r-
f
sen(a- b)x sen(a+b)x
(,�2
-.
.L
b2)
2(a- b)
2(a+b)
f
cos(a- b)x cos(a+b)x
2
2
72.
senaxcosbxdx=-
-
(a i=b)
2(a-b)
2(a+b)
73.
cosaxcosbxdx=
+
(a2 i= b-)
f
sen(a- b)x sen(a+b)x
7
2(a- b)
2(a+b)
Integrales
663

664
Cálculo vectorial
74. f secxtanxdx = secx
75. f cscxcotxdx = -cscx
f
cosm- 1xsenn+ 1x m - 1
f
76.
cosmxsennxdx =
+ -- cosm-
2
xsennxdx
m+n
m+n
senn-lXCOSm+1X n- l
f
=-
+--
cosmxsenn-
2
xdx
m+n
m+n
77. fxn senaxdx= - �xneosax+�fxn-1 eosaxdx
78. fxn cosaxdx= �xnsenax- �fxn- 1 senaxdx
79. fxneax dx =
xn
;ax - �fxn- 1e=dx
80. Jxn logaxdx = xn+ 1
[log
ax
-
1
2
]
n+1 (n+1)
81. fxn (logax)m dx =
xn+ 1
(logax)m - __
__!!}____
fxn (logax)m- 1 dx
n+1
n+1
f eax(a senbx- b cosbx)
82.
e= sen bxdx =
2
,
a +b-
f eax(b sen bx+ a cos bx)
83.
eax cos bxdx =
2
2
a+b
84. f sechxtanhxdx = - sechx
85. f cschxcothxdx = - cschx

ÍNDICE DE SÍMBOLOS
Los símbolos están ordenados por orden de aparición en el texto
SÍMBOLO
IR
[a, b]
(a, b)
[a, b)
(a, b]
!al
Q
i,j,k
llall
a·b
axb
(r, e, z)
(p, e, c/J)
D,.(x0)
lim
X--+Xo
a¡
í'Jx
NOMBRE
números reales xxm
intervalo cerrado {x 1 a ,:;
;
x,:;
;
b} xxiii
intervalo abierto {x 1 a < x < b) xxm
intervalo semiabierto {x 1 a ,:;
;
x<b} xxm
intervalo semiabierto {x 1 a < x ,:;
;
b} xxm
valor absoluto de a xxiv
números racionales xx1v
espacio n-dimensional 3
base canónica de R3 10
norma de un vector a 23
producto escalar de los vectores a y b 23
producto vectorial de los vectores a y b 41
coordenadas cilíndricas 62
coordenadas esféricas 65
disco de radio r con centro x0 102
límite cuando x tiende a x0 106
límite por la izquierda; x--> b por la izquierda 121
derivada parcial de f con respecto a x 122
derivada de f en el punto x0 128
grad f, gradiente de la función f 130
diferenciable con continuidad 132
una trayectoria 135
diferenciable con continuidad dos veces 176
hessiano de f en el punto x0 205
del o nabla 286

666
Cálculo vectorial
SJD fdA = JSD f(x, y)dx, dy
Hfw fdV = Hfw f(x, y, z)dxdydz
3(x, y)
J=--
3(u, v)
cop
Íc fds
JcF·ds
Hs fdS
.fSsF ·dS = Hs F·ndS
divF, divergencia de F 287
rotF, rotacional de F 291
laplaciano 297
integral doble 333
integral triple 347
jacobiano 368
trayectoria opuesta 426
integral de trayectoria 431
integral de línea 431
integral escalar sobre una superficie 460
integral vectorial sobre una superficie 474