/
Author: Никольский С.М. Бугров Я.С
Tags: анализ математика задачи по математике высшая математика сборник задач точные науки
ISBN: 5-9221-0177-3
Year: 2001
Text
УДК 517
ББК 22.1
Б 90
Бугров Я.С, Никольский С. М. Сборник задач по высшей
математике: Учеб. пособие. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. —
304 с. — ISBN 5-9221-0177-3.
Задачник составлен применительно к учебникам тех же авторов «Диф-
«Дифференциальное и интегральное исчисление», «Элементы линейной алгебры
и аналитической геометрии» и «Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного».
Третье издание — 1997 г.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
© ФИЗМАТЛИТ, 2001
© Бугров Я.С, Никольский СМ.,
ISBN 5-9221-0177-3 1997, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В 1987 г. авторы данного комплекса учебников получили за него
Государственную премию СССР.
С грустью отметим, что Я. С. Бугров теперь уже скончался.
Третье издание задачника существенно расширено. Добавлено
почти 500 задач. Добавление принадлежит известному методисту по
высшей математике А. Д. Кутасову. Задачи А. Д. Кутасова составля-
составляют отдельное приложение П.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание отличается от первого рядом изменений. Добав-
Добавлено приложение, содержащее задачи повышенной трудности. После-
Последовательность расположения радач в нем, как правило, иная, чем в
основном тексте, поэтому читателю необходимо приложить некото-
некоторые усилия, чтобы распознать тип задачи и уяснить, какую теорию
данной главы надо привлечь для успешного ее решения. Авторы счи-
считают, что задачи и примеры в приложении можно использовать для
работы со студентами, успешно занимающимися высшей математи-
математикой. Авторы выражают благодарность С. Г. Кальнею, Ю.П. Лисовцу
и другим читателям за отмеченные опечатки и ценные конструктив-
конструктивные предложения, которые способствовали улучшению задачника. Ав-
Авторы выражают также глубокую благодарность рецензентам задачни-
задачника профессору В. А. Ильину и руководимой им кафедре за тщательное
рассмотрение пособия и ценные замечания.
В 1983 г. первое издание задачника удостоено Диплома почета
ВДНХ СССР, а в 1984 г. комплекс учебников по высшей математике,
состоящий из трех книг (учебников) и данного задачника, удостоен
премии MB и ССО СССР и ЦК профсоюзов работников просвещения,
высшей школы и научных учреждений.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Задачник составлен применительно к нашим учебникам по
высшей математике. При этом принято следующее обозначение
учебников:
[1] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление».
[2] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии».
[3] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного».
В начале каждого параграфа задачника указаны глава и пара-
параграф из названных учебников, где можно найти соответствующий
теоретический материал.
Как правило, число задач по разделу минимально и соответству-
соответствует числу учебных часов, отведенных на изучение данного материала.
Можно рекомендовать задачи с нечетными номерами решать в ауди-
аудитории, а задачи с четными номерами давать студентам для самосто-
самостоятельного решения.
На практических занятиях можно также использовать задачи,
вошедшие в учебники [1-3]. В задачник эти задачи не включены.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Действительные числа. Множества
Применяя метод математической индукции, доказать следующие
соотношения:
1. 1 + 2 + 3 + .. . + п = п(п + 1)/2.
2. I2 + 22 + ... + п2 = п(п + 1)Bп
3. A + х)п ^ 1 + пж, х > -1.
.13 2п - 1 1
4. - • - ... — <
2 4'" 2п у/2п + 1'
Для решения нижеследующих задач необходимо изучить главу 1
из [1].
5. Пусть множество А состоит из юношей данной группы, а В —
из девушек той же группы. Найти Аи В, А П 5, А\В. Рассмотреть
также случаи, когда А или В — пустые множества.
6. Пусть А = {2п}, В = {2п + 1}. Найти А + В, АВ, А\В
(п натуральное).
7. Какое число больше, а или Ь:
а = 1,A234512), Ъ= 1,A2345);
а = 1,A2302), Ъ= 1,A23);
а = 1,A23412), Ъ= 1,A234)?
8. Выяснить, к какому числу а стабилизируется последователь-
последовательность действительных чисел:
сц =0,1010101010... ,
а2 =0,1100110011... ,
а3 =0,111000111000... ,
а4 = 0,111100001111... ,
ап = 0,11... 100... 01... 10... 0 .
п раз п раз
9. Найти сумму действительных чисел а = 0, A2) и Ъ = 0, A3).
10. Даны множества А = [2, 5], В = C,6). Найти А + В, АВ, А\В.
11. Решить неравенства:
а) |ж + 3| <0,1; б) \х-3\^ 10;
в) \х\ >\х + 3|; г) \3х -1\<\х- 1|;
ж-2
12. Какое из чисел больше: а или (—а)?
13. Пусть а ^ 0. Для каких чисел 6 имеют место соотношения:
а) |а + Ь| = |а| + |Ь|; б) |а-Ь| = |а| + |Ь|;
в) \а + Ъ\ < \а\ + |Ь|; г) \а - Ъ\ < \а\ + |Ь|?
14. Найти модуль числа: а) 1пA/е); б) sinC7r/2); в) cosGtt/4).
§ 2. Предел последовательности
(см. [1, гл. 2])
15. Доказать, что lim = 1, и определить для каждого е > 0
п—>-оо 77.
число По = по(е) такое, что
п + 1
- 1
< г, если п > по-
Заполнить таблицу
?
П0
0,1
0,001
0,00001
Найти пределы:
_, „ ,. 106п _,,_ ,. na sin (п!) /Гк . 1Ч
16. hm — . 17. Hm ^^ @ ^ а < 1).
п-^оо П2 + 1 п-^оо П + 1
18. lin
20. Доказать, что переменная ап есть бесконечно малая, если:
_ п _ 1 _ 1
П3 + 1' П TlV П л/п2 + 1 '
21. Доказать, что переменная (Зп является бесконечно большой,
если: г-
/Зп = (-1)пп2; /Зп = 2^; /3n = In (п + 1).
22. Будет ли последовательность
_r7(-i)n/2
бесконечно большой?
Доказать равенства:
2п2 + Зп + 1
Пользуясь теоремой существования предела монотонной последо-
последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
ОЛ 2 3 4 5 п + 1
26. хп = т • - • - • -...
13 5 7 2п-1
27. Найти наибольший элемент последовательностей:
/пТТ
.0 + п '
28. Найти наименьший элемент последовательностей:
хп = A -\ ) ; хп = п2 — 9п — 10.
V п/
29. Найти inf xn, supxn (n G N), Нтжп, Нтжп, если:
30. Какие числа являются частичными пределами последователь-
последовательности
1 - -1 1 - -1 1 - -1 1 ?
J-j 2' ' ' q' ' ' 4' J-,....
Под частичным пределом произвольной ограниченной последова-
последовательности мы понимаем предел ее сходящейся подпоследовательности.
7
Существование таких подпоследовательностей у ограниченной после-
последовательности вытекает из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последова-
последовательностей:
п. _
31. хп = ^-
22 2п
к=1
V 1 qq _ V COS/с!
к—\ к—\
§ 3. Функция. Предел функции
(см. [1, гл. 3])
Найти область Е задания функции у = f(x) и образ Е\ — f(E)
множества Е при помощи функции /:
34. ?/=—L_. 35. у = л/2 + Зх-х2.
1 ~г х
36. Найти /@), f(x + 2), f(l/x), f(x) + 1, l/f(x), если
Построить графики функций:
37. у = 8х- 2х2. 38. у = \IL^.
X —г" Ж
39. у = -ж2 + 2ж- 1.
лп 1-х лл Зж + 4
40. у = . 41. у = .
1 + ж 4ж — 3
42. Определить нижнюю и верхнюю грани множества значений
функции /(ж), если:
/(ж)=ж2на [-2,5]; <р(ж) = х + i на @,3].
Указание. На множестве @,3] <р(х) ^ 2.
43. Построить графики функций:
f(x) = sup |sin?}; ф(х) = inf
Найти пределы функций:
6) lim
44. a) lim — -; 6) lim
ж^о 2ж2 — ж — 1 ж^-i 2ж2 — ж — 1
\ г х -1
в) hm — -;
ж-Юо 2х2 — X — 1
г) Hm
/1 + 2ж - 3 т
у/х-2 '
/ж + 13 -2Л/ЖТТ.
л/ж2 -9
ч -,. л/ж ~" л/л + \fx--a
и) Ит —
2 _Л2
/аг — а
д) Нт
ж) Нт
е) Hm
з) Нт
ж2 + Зж3
ж2 + 3-1хЖ
2ж2 - ж + 4
ж3 + 8
к) Нт [sin л/ж~ТТ — sin л/ж"
ж—)>+оо L
лр, ч т 8тЗж ^ч т 1— СО8 2ж ч т tg4ж
45. а) Ит ; б) Ит ; в) Нт ——.
46. Нт
sin л/ж
47. a) Hm f 1 +-) *; б) НтA
' ж^оо V Ж/ У ж^(Г
48. а) Пт
4ж) ^ч ,. ах - аъ
}-\ б) Пт
^б Ж 6
'; в) Нт (sina;)tga;.
(а > 0).
Исследовать на непрерывность, изобразить графически функции
и определить характер точек разрыва:
'ж2 -1
49. /(ж) = \х- 1|.
51. /(ж) = sign (ж2 - 2ж - 3).
53. у= —^—.
50./(ж) = ^ ж-1
1 + ж
¦, ж^1,
55. у =
54. ^/ = sign (cosж).
1 cos ж, ж ^ О,
2-ж, 1 < ж ^ 2.
56. /(ж) =
I а + ж, ж > 0.
Функция /(ж) называется равномерно непрерывной на [а, 6],
если Уг > 0 3 ?(е) > 0 (не зависящее от точек промежутка) такое, что
\f(xi)-f(x2)\<e,
как только
\Xi — Х2\ < S.
Доказать, что функции /(ж) равномерно непрерывны на [а, Ь]:
57-№) = {20-8х, Ultl
58. /(ж) =ж3, О^ж ^2.
59. Найти обратную функцию для функции
_ ах -\-Ъ /, l/гл
Пусть ж —> 0. Выделить главный член вида Ахт:
60. /(ж) = Зж + ж4. 61. /(ж) = у/ТТх - у/1-х.
§ 4. Производная
(см. [1, гл. 4])
62. Найти /'@), /'B), если /(ж) = 2 - 2ж + ж3.
63. Найти /'(О), /41), если /(ж) = xarcsin -.
ж + 1
Найти производные функций:
64. у =
и) у —
sin ж — ж cos ж
;
cos ж + ж sin ж
66. 2/ = tg ж + о tg3^.
68. а) у = sin ж2;
в) у = sin3 ж7;
д) у = cos ж2;
з) 2/ = tg- -ctg -;
к) 2/ =
cosn ж
мJ/ = ее +
о) у = arcsin
1-х2
67. ?/ = е-ж .
б) у = sin2 ж;
г) у = cos (sinж);
е) у = cos2 ж4.
10
69. а) у = arcsin (ж/а); б) у = arctg (ж/а);
в) 2/ = In [ ж + л/а2 + ж2 j; г) у = arcsin (sin ж);
д) у = агссоз(ж/а); е) 2/ = еж +ж.
70. 2/ = Intg (ж/2).
71. а) у = ж arctg ж; б) 2/ = In3 ж2;
в) у = In (In (In ж)); г)у = -\п— ;
д) у = л/ж + 1 — In A + л/ж + 1);
е)|/ =
ж) 2/ = - Aп3
з) 2/= ! (l-
и) у = л/ж - arctg л/ж;
к) у = arctg—Ь^;
л/3
м) 2/ = 1 + дл2 + arctg^65 н) 2/ = arctg (tg2 ж);
о) у = ж arctg ж — 0, 5 In A + ж2) — 0, 5(arctgжJ;
п) у = arctg f ж + V 1 + ж2 J.
р) Имеет место формула
ац (ж) ... а!П(ж)
d
dx
ani(x)
апп(х)
где элементы определителя а^(ж) — дифференцируемые функции.
Таким образом, производная определителя n-го порядка равна сум-
сумме п определителей n-го порядка, каждый из которых отличается от
11
исходного определителя тем, что в нем соответствующая строка за-
заменена строкой из производных элементов этой строки.
Доказать формулу дифференцирования для определителей второ-
второго и третьего порядков.
Найти производные и построить графики функций и их произ-
производных:
\1-х,
72. у= I A-х
1-B-
¦)B-х
ж),
-2
г), 1
2
<
<
ж
ж
ж
<
<
1,
2,
4.
Найти логарифмические производные (т.е. у'/у) функций у:
pw л 1-Х г-г , О
74. у — х\\- . 75. у — сп х.
у 1 + х
Найти производные от гиперболических функций:
76. а) у = sh (х2 + 1); б) у = sh3 ж6.
77. ?/ = ch2O2 +ж + 1).
78. а) у = th2x; б) у = thx2.
79. а) 2/ = th (In ж + 1); б) у = Arsh ж;
в) у = Arch f ж + л/l + ^2J; г) ^/ = In sh ж;
д) 2/ = сЫпж; е) у = е*Ьж;
ж) ?/ = (sh x)chx (x > 0); з) у = 1
СП Ж
и) у = th| ~cth|.
80. Для функции /(ж) = ж2 + ж + 1 определить дифференциал и
приращение в точке ж = 1 для Аж = 0,1.
Найти дифференциалы функций:
81. d(xex). 82. d(sh ж).
83. d(sh ж - ж ch ж). 84. d(ln A - ж2)).
12
85. Найти производные второго порядка от следующих функций:
а) у = е~х = ехр (—ж2); б) у = xyl + х2.
86. Пусть дан определитель (Вронского)
У\ О) ... 2/п(ж)
(п-1)/
/ (
где функции у\ (ж),... ,уп(х) непрерывны на (а, 6) вместе со своими
производными до n-го порядка включительно. Доказать, что
Vi0) ... уп(х)
у[(х) ... у'п(х)
dW
dx
(п-2)
/ (
87. у — хъ^ найти
88. ^/ = ех In ж, найти
Найти производные у'х и ^/^2 от функций у = 2/(ж), заданных па-
параметрически, если:
89. x = 2t-t2, y = St-t3.
90. х =
91. х = f'(t), у = tf'(t) - f(t). 92. x = t-sint, у = 1-cost.
93. а) Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у = 2 + х - х3
в точке А = B, —4).
б) Выяснить, имеют ли общую касательную графики функций
у = sh х и у = In A + 2ж) в точке @, 0).
Углом между кривыми у = fi(x) и у = /2(ж) в их точке пере-
пересечения с абсциссой х = хо называется
угол ср между касательными к этим кри-
кривым в этой точке.
Поэтому
_ /2O0) ~ /lQo
где (fi, (f2 — углы, образованные указан- (
ными касательными с осью х (рис. 1).
13
94. Под каким углом пересекаются кривые у = sin ж и у = cos ж
(О < Ж < 7Г)?
1-\-<х
95. Под каким углом пересекаются кривые у = ха и у = хг~а
(О < а < 1) в точке A,1)?
96. Под каким углом кривая у = In A + (ж/л/3)) пересекает ось ж?
97. а) Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
2/ = (Ж-1)(Ж-2)на[1,2].
б) Многочлен Р±(х) = ж4—жэ+ж2—ж имеет корень х = 1. Доказать,
что многочлен —РАх) имеет действительный корень, принадлежащий
ах
интервалу @,1).
jn
в) Доказать, что все корни многочлена Рп(х) = -j-^(l — х2)п
действительны и принадлежат интервалу (—1,1).
98. Проверить справедливость теоремы Лагранжа
f(b)-f(a)=f(c)(b-a)
для функций:
а) у = 1 + х + ж3;
б) /(ж) = ж2 + Лж2 + Вх + С, А, В, С — действительные числа;
в) /(ж) = Лж2 + Вх + С на [0,1]. Найти точку с.
99. Доказать, что если функция /(ж) имеет ограниченную произ-
производную на (a, b) (\f'(x)\ ^ M), то:
а) /(ж) равномерно непрерывна на (а, Ь);
б) если а и b — конечные числа, то /(ж) ограничена на (а, Ь).
Указание. Пусть ж — произвольная точка, а жо — фиксирован-
фиксированная точка (а, Ь). Тогда
\f(x)\ = \f(x) - /Ы + /Ы1 «S \№ -
где с находится между точками ж и жо;
в) если интервал (а, Ъ) бесконечный, то функция /(ж) может быть
неограниченной. Рассмотреть функцию /(ж) = In ж на A, оо).
100. Определить промежутки монотонности у функций:
а) у = 3 + ж — ж2; б) у = 4ж — ж4.
Если функция (f(x) непрерывна на [а, Ь] и имеет положительную
(отрицательную) производную на (а, 6), то она возрастает (убывает)
на [а, Ь].
Этот факт можно использовать при доказательстве неравенств.
14
Например, функция ip(x) = ех — 1 — х непрерывна на [0, оо). Она
возрастает на [0, оо), так как ip'(x) = ех — 1 > 0 на @, оо). Далее,
</?@) = 0, поэтому Уж е @, оо)
ех - 1 - х > 0.
На (—оо, 0) функция ip(x) убывает, поэтому ех — 1 — х > ip(O) = 0.
Таким образом, Уж ф О
Доказать неравенства:
х3 ж2
101. х - — < sinx < х (х > 0). 102. cosx > 1 - — (х > 0).
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:
103. 1нп4ПвЖ tR2x
105. Hm
sinbx '
arcsin 2x — 2 arcsin ж
107. lim X
4ж2 + 1 '
106.
108.
lim -
lim
ж
хх
х - sin 2ж
ж3
/ч1птх1/ж2 /[дтЛ/,2
109. a) lim (f2±) ; б) lim ( ^ ) ;
ж-И) V Ж / ж-И) V Ж /
ч ,. sh аж ч ,. th Зж
в) hm ; г) Hm ;
у ж^о sh Ьх J ж^о tg ж
ч т ж ctg ж — 1 ч ,. th ж — ж
д) Hm ^г ; е) Hm —;
ж-^0 Ж2 ж-^0 Ж — Sh Ж
ts; Зж / 1 \
ж) lim ——; з) lim ( cth x );
ж^тг/2 tgЖ ж^О V Ж/
! / I \ Ж
и) lima;1-1: к) lim (In — ) ;
ж->-1 ж^+0 V Ж/
л) lim (th x)x] м) lim
н) lim
аж-жа
ч 1/Ж2
х — а
о) lim (п — целое число);
п) lim — — (т, п — целые числа);
р) lim -^—-;
ж^1 УХ - 1
15
с) lim I \ x + \ x + \fx — \fx I. Указание. Умножить и разде-
ж^оо I V v I
лить на сопряженное выражение;
4 1./-, ч , тгж ч r tgж — sin ж
т) limfl — x)tg—; у) hm — о .
J x^V J ь 2 ' JJ x^o sin3 ж
110. Выяснить возможность применения правила Лопиталя в
примере
,. ж — sin ж
lim :—.
ж-юо х + smx
Написать разложения следующих функций по степеням х:
111. f(x) = tgx до члена ж5.
112. /(ж) = е2ж-*2 до члена х3.
113. ^/ = In cos ж до члена ж4.
114. ^/ = sin (sinж) до члена ж3.
Найти пределы, применяя разложение по формуле Тейлора:
ллг, л. cos ж — ехр (—ж2/2) i-i^ v /1 1 \
115. lim 7-^ ^-^. 116. lim .
ж-^0 Ж4 ж-^0 \Ж 81ПЖ/
117. lim —. 118. lim .
ж^О Ж3 ж^О Ж4
119. С помощью формулы Тейлора вычислить:
а) число е с точностью до 10~6;
б) число sinl° с точностью до 10~6;
в) число л/б с точностью до 10~3;
г) числа In2 и In3 с точностью до 1СП5 (см. [1, § 9.14, (8)]).
120. Исследовать на локальный экстремум функции:
а) у = 2 -ж -ж2; б) у = |ж|;
в) у = 2ж2 - ж4; г) ^/ = ж + -;
д) ^ = ех sin ж @ ^ ж ^ 2тг); е) у = ——-;
ж) У = 1 +^2; з) у = х3 - бж2 + 9ж - 4;
и) ^/ = cos ж + 0, 5 cos 2ж; к) у = sin ж + 0, 5 sin 2ж.
121. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
&)у = 2х на [0,5]; б)у = х + - на NL К)].
ж [2 J
16
122. Найти расстояние от кривой у = ж2 до прямой у — ж + 2 = 0.
123. Найти sup и inf следующих функций:
_ Г 1, 0 ^ ж ^ 1,
^ У ~ 1 4 - 2ж, К ж ^ 2;
б) ^ = 7^4 на @,оо).
124. Найти промежутки вогнутости и точки перегиба следующих
функций:
а) у = Зж2 — ж3; б) у = ехр (—ж2).
125. Найти асимптоты графиков функций:
а) у = ж + -;
в) ^/ = ехр (-жJ;
г) у =
126. Построить графики функций, проведя полное исследование
их поведения (экстремум, перегиб, нули функции, направление вогну-
вогнутости, асимптоты):
v ж-3 ^ ех
127. Построить графики функций, заданных в параметрическом
виде (см. [1, § 4.22]):
а)ж = 2?-?2, y = 3t-t3; б) ж =
2/ =
128. а) В эллипс
— + ^- = 1
а2 б2
вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям коорди-
координат, наибольшей площади (рис. 2).
У А
IJ
Рис. 2 Рис. 3
б) Дан квадратный лист жести со стороной а. Из него в его углах
вырезают одинаковые квадраты (рис. 3) со стороной х и, загибая лист
по штриховым линиям, делают прямоугольную коробку. При каких
размерах квадратов объем коробки будет наибольшим?
17
в) Корабль К (рис. 4) стоит в 9 км от ближайшей точки В пря-
прямолинейного берега. С корабля нужно послать курьера в лагерь L,
находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу)
от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, что-
чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время, если он идет пешком со
скоростью 5 км в час, а плывет в лодке со скоростью 4 км в час?
Рис. 4
Рис. 5
г) Из круглого бревна диаметром d надо вырезать балку прямо-
прямоугольного сечения с основанием а и высотой h (рис. 5). При каких
значениях а и h прочность балки будет наибольшей, если известно,
что прочность балки пропорциональна ah2?
129. В параболу, заданную уравнением у = 3 — ж2, вписать пря-
прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала
на оси ж, а две вершины — на параболе (рис. 6).
Рис. 6 Рис. 7
130. Два корабля А и В плывут с постоянными скоростями и и v
по прямым линиям, составляющим угол в между собой. Определить
наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент
времени расстояния их от пересечения путей были соответственно
равны а и Ъ (рис. 7).
131. Определить радиус кривизны кривых:
2 2
а) у2 = 2рх; б) ^ + |j = 1;
в) У = о A ~ cos?), х = - A — sin?) (циклоида).
А А
132. Составить уравнение эволюты циклоиды:
х = a(t — sin?), у = аA — cost).
Глава 2
ИНТЕГРАЛЫ
133. fx2(b-xLdx.
§ 1. Неопределенный интеграл
(см. [1, гл. 5])
Применяя табличные интегралы, найти:
134. j{l-x2fdx.
136. / A + sin x + cos x) (
138. fig2 xdx.
140. fcth2xdx.
139. / Xh1 xdx.
!\ + x2 + л/l - x2
141
¦p
/1-х4
dx. 142. fBx-3)"dx.
б)
в)
—I 1
X X2 X6
19
¦ dx;
и)
л) / (ashж + bchx) dx;
к) |BЖ + ЗжJ dx;
м) ГBх - 9I0 dx;
dx
- 2 '
P) [(e~2x +e~3x)dx.
Преобразовывая надлежащим образом подынтегральное выраже-
выражение или применяя подходящие подстановки, найти:
144. / Д^_.
У VI-ж2
146. Л
dx
cosz ж sin" ж
148. fig xdx.
150. A
152. a) /-^
У уж2 —
ч /" xdx
145.
147. / , dx t
J л/1 +х + л/х - 1
149. /тт^г
У A + ж)
151
dx
r2x3xdx
J 9х - 4Ж
б) /ж2у 1 + ж3^ж;
ж3с?ж <
с?ж
. + е
27'
ж)у —
з) /
л)
м) / sh2 жс&г;
) / ch2 xdx;
sh2 ж ch2 ж '
20
ч Г х dx
тт 1 /
' / з/ '
„\ f dx
Применяя метод интегрирования по частям, найти:
153. / arctgxdx.
155. /xshxdx.
157. / arcsinxdx.
159. / arctgv^dx.
160. a) /x2sin2xdx;
в) jx2e~2xdx;
д) / lnxdx;
ж) /x3ch3xdx;
154. xe x dx.
156. /xsinxdx.
158. /xcosxdx.
6) /xarctgxdx;
r) fx3e~x2dx;
e) / xn In x dx (n t^
з) /x2shxdx;
и) / sin ж In (tg ж) dx.
Применяя метод неопределенных коэффициентов, найдем интег-
интегралы от рациональных функций:
161. a)
¦ dx;
¦ dx.
162.
ж2-2ж + 2'
2ж-2
ч /* 2ж - 2 ,
з) / — dx.
у У х2 - 2х + 2
163. а)
dx
«>/i
dx
J (ж + 1)(ж +
21
ч Г х10 dx ч Г dx
в)уЖ2+ж_2; г)У^тт;
xdx ч Г dx
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей:
165. Г dx
dx
г
' ^ У jt~-
ч Г dx
*41 + ^+Vtt-x;
\ С dx / ч
) / — — (п — натуральное число).
} J ^{х-аУ+^х-Ъу-1 V У
Найти интегралы от квадратических иррациональностей:
Г dx
' У л/1 + ж-
167. / , dx 168.
+ х2
Интегрирование тригонометрических функций:
169. a) [sm4xdx; б) [-^-.
I I sin 2ж
170. a) f cos3 xdx; б) /"-
cos 2ж
(t tg
2 sin ж-cos ж - 1 V b 2
172. а) / 2 , 2 "^ — (t = tgo:);
7 a2 sin х + о2 cos2 ж
с?ж ^ f dx
— cos ж
1 + sin ж '
22
д)
§ 2. Определенный интеграл
(см. [1, гл. 6])
173. Доказать, что функция Дирихле
{О, х иррационально,
1, х рационально,
не интегрируема на любом промежутке [а, Ь].
174. Не вычисляя интегралы, выяснить, какой из них больше:
тг/2 тг/2 тг/2 1 1
а) / sinxcb, xdx, / — dx; б) ех dx, / A + х) dx.
Вычислить определенные интегралы при помощи формулы Нью-
Ньютона-Лейбница:
у/3 тг/4
dx
175. а) I -^- б) I
1/л/З °
тг/2 тг/
в) / cosxdx; г) /
о о
1/2 sh2
ч Г dx ч Г .
Д) / Гл 2; е) / ^Т
7 VI — х2 J VI
-1/2 shl
2 2
ж) /|1 —x|dx; з) xlnxdx.
о
тг/2
/
176. / , 2 (а,Ь>0).
У a2 sin ж + б2 cos2 ж
тг In 2
177. xsinxdx. 178. хе~х dx.
о о
1
179. fxf"(x)dx.
180. Доказать, что при натуральных к и
I 0, если к ф\,
-. <
I тг, если к — I;
2тг
а) / sin^xsi
о
23
к\ f 1 7 л f 0, если к
б) / cos кх cos Ixdx — '
о
2тг
тг, если к = /;
в) / cos &ж sin lx dx = 0 Vfc,Z.
Указание. Преобразовать подынтегральное выражение в сум-
сумму тригонометрических функций.
181. Найти производные от интегралов:
х Ь
а) ± [sint2dt; б) 4-
ах J da
Ъ
в) — / sin ж2 dx.
ах J
182. Проверить выполнение теоремы о среднем
ъ
для функции f(x) = х2 на [0,1].
183. Вычислить определенный интеграл от функции
f(x) = I1' O^x^l,
J[X) |42ж 1<ж^2
§ 3. Приложения определенного интеграла
(см. [1, гл. 7])
Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
184. у = ж2, у = 2-х.
185. y = h[l-=r), y = 0 (ft >0, Ь >0) (рис. 8).
V b J
186. ^- + f- = 1.
a2 b2
187. r = a(l + cos(/?), r, (p — полярные координаты (рис. 9).
188. Вычислить длину дуги кривой
ж2 1
у = — - -\пх A ^ х ^ е).
24
Рис. 8
189. Найти длину дуги астроиды (рис. 10)
Рис. 9
190. Найти длину дуги одной арки циклоиды (рис. 11)
х = a(t — sin?), у = аA — cost) @ ^ t ^ 2тг).
191. Вывести формулу длины дуги
кривой, заданной в полярных координа-
координатах уравнением р = /(#).
192. Найти длину дуги кривой, за-
заданной уравнением (рис. 12)
г — a cos3 ^
в полярных координатах.
193. Найти длину дуги кардиои-
кардиоиды (см. рис. 9)
г — а(\ + cos</?).
194. Найти объем:
а) конуса (рис. 13) с образующей
у = — х (О^ж^/г);
Г1
У*
У\
Рис. 12
Рис. 13
25
Рис. 14
Рис. 15
б) конической бочки с радиусами оснований г\ и Г2 и высотой h
(рис. 14);
в) тела, образованного вращением одной арки синусоиды у = sin ж
(О^х^тг);
г) тела, образованного вращением параболы у2 = 2рх вокруг оси х
(О ^ж ^ а) (рис. 15).
195. Вычислить площади поверхностей, образованных вращени-
вращением кривых:
а) х = a(t — sin?), у = аA — cost) @ ^ t ^ 2тг) вокруг оси сим-
симметрии кривой;
б) 9у2 = жC — хJ @ ^ ж ^ 3) вокруг оси Ох;
в) у = х3 @ ^ ж ^ 1) вокруг оси Ож;
г) ж = а cos3 t, у = а sin3 ? (астроида) вокруг оси Ож.
196. Вычислить интегралы по формулам прямоугольников, тра-
трапеций, формулам Симпсона и оценить погрешность:
197. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа третьей
степени для функции /(ж), если /@) = 0, /A) = 1, /B) = 2, /C) = 0.
§ 4. Несобственные интегралы
(см. [1, гл. 6])
198. Вычислить интегралы:
rvi 1
х dx
Н
+ ж
4 '
Г dx
J л/1 - X2 '
A-х)"
1/2
dx
ж In ж
(а > 0);
26
199. Исследовать сходимость интегралов, применяя признак
сравнения:
оо
а) / ехр (-х2) dx; б)
о
оо
ч /"sin ж j ч
в) J —^~ dx\ Ч
JQ VL +
1
Г ах
О
200. Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по
частям:
оо оо
a) fxe~xdx; б) Ге~ах cos bxdx (a > 0);
о о
7Г
ех s'mxdx.
о
201. Исследовать сходимость интегралов:
оо оо
ч С cos ax dx ( . Лч ^ч Г sin ж dx ( ЛЧ
а) у 1+жР (Р^О); ^]^Г^ (Р.9^0);
о
о о
с?ж
Глава 3
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Определители и матрицы
(см. [2, § 1-3])
Вычислить определители:
5 3
6 4
8 5
3 2
cos a
sin a
sin /3 cos /3
х 2х +
202.
204.
206.
208.
210.
211. Выяснить четность или нечетность перестановок:
а) 1, 2, 4, 3, 5; б) 5, 1, 2, 3, 4;
в) 1, 3, 2, 5, 4; г) 1, 4, 3, 2, 5.
-1
203.
205.
207.
209.
1
3
2
4
cos а
sin а
а + b
а -
-b
-
а
а
sin а
cos а
-Ь
+ ь
2
1
1
1
2
1
1
1
2
0
ж
0
X
1
ж
0
ж
0
28
212. Найти адьюнкты всех элементов определителя
а х х
Д =
x b x
X X С
и проверить, что
к=1
213. Вычислить определители путем накопления нулей в строке
или столбце:
а) о Т о ^ 5 б)
1
2
3
4
1
1
1
1
4
3
2
1
1
0
1
0
214. Вычислить определители Вандермонда:
1 2 22 23
а)
1
1
1
3
5
6
3"
52
б2
3°
53
б3
б)
а
Ь
с
а
Ь2
2
= 7
215. Перемножить определители
12 3 2 1
Аг =332=5 и Д2=13
2 3 2 11
всеми четырьмя возможными способами (т.е. умножением строк или
стобцов Дх на строки или столбцы Дг). Проверить, что во всех слу-
случаях произведение определителей Д = Д1Д2 равно 35.
216. Пусть даны матрицы
Найти матрицу С = АЛ + /j,B, если:
А =
а) А = 1, fjL = 2;
217. Для матрицы
б) А = -5, /х =
Л =
найти сопряженную с ней матрицу А* и определить ранг А.
29
§ 2. Системы линейных уравнений
(см. [2, § 4])
Решить системы уравнений по правилу Крамера:
218.
х + Ъх2 = 4.
220. $Х + У = 1>
[х-у = 2.
'ж - ^/ + 3? = 9,
222. ^ Зж- by + z = -4,
223. Путем преобразования расширенной матрицы В выяснить,
разрешима ли система
f2x+ 7y + 3z+ t = 5,
х + Зу + bz — 2t = 3,
224. Найти ранги матриц
B 1 4 5^
10 12
1 2 4 Оу
путем преобразования строк и столбцов матриц (накапливая нули).
§ 3. Векторы
(см. [2, § 5])
225. а) Найти проекцию вектора а = A,4) на направление, опре-
определяемое вектором Ь = A/л/2, 1/л/2).
б) Вычислить проекции х, у, z вектора а на оси координат, если
\а\ = 2, а = тг/4, /3 = тг/3, 7 = 2тг/3, где а, /3, 7 — углы, которые
составляет вектор а с осями ж, 2/, z соответственно.
30
в) Найти проекции вектора а из пункта б) на направленную пря-
прямую L с единичным ортом b = A/2,1/2,1/л/2).
226. Пусть даны векторы а = A,2,2), Ь = B,1,-1). Найти мо-
модули этих векторов, расстояние между точками а и Ь (если век-
векторы а и b отложены из начала координат) и скалярное произве-
произведение аЬ.
227. Найти косинус угла между векторами:
а) а =B,-4,4), Ь= (-3,2,6);
б)а=(л/2,1,-1), 6= A,0,0);
в)а=A,3,л/б), Ь = A,1,0).
228. Может ли вектор а = (ж, 2/, z) составлять с осями координат
углы а = тг/б, /3 = тг/4?
229. Найти координаты вектора а, если |а|=3, а = /3 = 7-
230. Даны векторы а и 6 такие, что |а| = 13, |Ь| = 19, \а + Ь =
= 24. Найти \а - Ь\.
231. Даны векторы а и 6 такие, что |а| = 11, |Ь| = 23, \а - Ь\ =
= 30. Найти |а + Ь .
232. Найти угол между векторами а = A,1,1,1), Ь = @,1, 0,1).
233. Пусть векторы оиЬ/0 ортогональны. При каком значении
параметра Л вектор а + ЛЬ ортогонален к вектору а + 6?
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
(см. [2, § 7])
234. Найти на отрезке, соединяющем точки О = @,0,0) и
А = A,2,2) трехмерного пространства R^, точку М = (x,y,z), де-
делящую этот отрезок в отношении 2:3.
235. Найти координаты центра масс М = (ж, у) системы двух ма-
материальных точек А = C,-5), В = (—1,1), в которых сконцентриро-
сконцентрированы массы q = р = 1.
236. В условиях задачи 235 пусть q = 3, р = 5. Найти коорди-
координаты центра масс.
237. Отрезок с концами А = A, -5), В = D,3) разделен на три
равные части. Определить координаты точек деления.
31
§ 5. Прямая линия
(см. [2, § 8])
238. Выяснить, какие из точек Mi = C,1), М2 = B,3), М3 =
= (—2,1) лежат на прямой 2х + Зу — 13 = 0.
239. Записать уравнение прямой 2х + Зу — 13 = 0 как уравнение
прямой с угловым коэффициентом и как уравнение прямой, проходя-
проходящей через некоторую точку в данном направлении.
240. Дана прямая х + 2у + 1 = 0. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку Mq = B,1):
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
241. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
2х - Зу + 5 = 0, Зх + 2у - 7 = 0
и одна из его вершин О = @,0). Составить уравнения двух других
сторон этого прямоугольника.
242. Привести уравнения прямых:
а) 2х + Ъу + 4 = 0; б) х + у - 1 = 0,
в) 2х - у + 3 = 0
к нормальному виду.
243. Найти расстояние от точки А = A,2) до прямых:
а) 2х + \у - 5 = 0; б) 2х + 8у + 1 = 0;
в) ж + у = 0.
§ 6. Плоскость
(см. [2, § 9])
244. Составить уравнение плоскости, проходящей через точ-
точку Mq = A, 2, —3) и перпендикулярной вектору v — A, —2, 3).
245. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точ-
ки: A,1,1), A,-1,0), B,1,3).
246. Написать уравнение плоскостей, проходящих через точ-
точку A,1,1): а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости
2х + 4у + z - 5 = 0.
32
247. Какие из плоскостей параллельны друг другу:
а) 4х + 2у - 4z + 5 = 0, 2х + у - 2z - 1 = 0;
б) х - 3z + 2 = 0, 2х - 6z - 7 = 0;
в) 2х - Зу + 5z - 7 = 0, 4ж - 6?/ + 10* - 14 = 0;
г) 2х - Зу + 5z - 7 = 0, 4ж - Зу + 10* - 14 = О?
248. Привести уравнения плоскостей:
а) 2х - Зу + 6z - 7 = 0; б) 4ж - 2/ + 8z - 14 = О
к нормальному виду.
249. Найти расстояния от точки А = A, 2,1) до плоскостей:
а) 2х - Зу + 6z - 7 = 0; б) 2ж + ?/ - 2z = 0.
250. Найти угол между плоскостями задачи 248.
251. Написать уравнение шаровой поверхности с центром в на-
начале координат, касающейся плоскости
2х + Зу + 4:Z - 12 = 0.
252. Записать уравнение 2х -\- у — bz — 6 = 0 как уравнение плос-
плоскости в отрезках.
253. Составить уравнение плоскости, которая проходит через
точку B, —1,1) перпендикулярно плоскостям:
2х - у + 3z - 1 = 0, х + 2у + * = 0.
254. Определить углы а, /3, 7> которые составляет нормаль к
плоскостям с осями координат:
а) х + 2/л/2 + * - 1 = 0; б) жл/З + ^ + 1 = 0.
255. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
а) х - 2у - 2z - 1 = 0, х - 2у - 2z - б = 0;
б) 2х - Зу + 6z - 1 = 0, 4ж - б?/ + 12* + 1 = 0.
§ 7. Прямая в пространстве
(см. [2, § 10])
256. Найти точки пересечения прямой
х + у + *-1 = 0
с координатными плоскостями.
33
257. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэф-
коэффициенты прямой
' Агх + Вгу + dz + Dx = О,
k А2х + В2у + C2z + L>2 = 0,
для того чтобы она: а) пересекала ось абсцисс и б) совпадала с ней.
258. Составить канонические уравнения прямой, проходящей че-
через точку A, 0, —1) параллельно вектору а = B, — 3, 5).
259. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку A, -1, -3) параллельно вектору а = B,1, 5).
260. Составить канонические уравнения прямых:
Г х - 2у + 3z - 4 = 0,
*' \3х + 2у - 5z - 4 = 0; ^ \2х + Зу - 2z + 5 = 0.
261. Найти угол tp между прямыми
х -2 _ у -3 _ z х + 1 _ у -2 _ z + 5
262. Даны прямые
ж + 2 _ у_ _ z- 1 ж -3 _ |/- 1 _ г- 7
2 ~ ^3 ~ 4 ' / ~ 4 ~ 2 '
При каком значении / они пересекаются?
263. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A,-1,0)
и перпендикулярной плоскости 2х — Ay + z = 3.
§ 8. Ориентация системы векторов.
Векторное и смешанное произведение
векторов
(см. [2, § 10-13])
264. Заданы векторы:
а) а =A,2), 6= C,5); б) а =A,2), Ь=C,7).
Выяснить их ориентацию относительно системы хОу.
265. Пусть векторы а и Ь образуют угол и = тг/б, кроме того,
\а\ = 7, |6| = 6. Найти \а х Ь|.
266. Выяснить, коллинеарны ли векторы а = A, 0, 3) и 6 = B, 0, 6).
34
267. Какому условию должны удовлетворять векторы а, 6, чтобы
векторы а + b и а — b были коллинеарны?
268. Доказать, что если а + b + с = 0, то
axb = bxc = cxa.
269. Вычислить синус угла, образованного векторами а = (—2,
2,1) и 6= F,3,2).
270. Найти площадь S параллелограмма, построенного на плос-
плоских векторах а = A,2), b = C,4).
Замечание 1. Если в плоскости хОу задан треугольник с вер-
вершинами А = (xi,2/i), В = (#2,2/2)? ^ = (жз?2/з)? то площадь этого
треугольника, очевидно, равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах АВ = (х2 — #1,2/2 ~~ 2/1) и ^-^ = (жз — #ъ
Уз — 2/1 )• Таким образом, площадь треугольника Л5С равна
5 =
2/2 -2/1
2/з -2/1
Это равенство можно также записать в виде
2/2 1
2/з 1
Последний определитель третьего порядка равен определителю
второго порядка, записанному выше. Чтобы убедиться в этом, доста-
достаточно умножить первую строку определителя третьего порядка на
(—1) и сложить со второй и третьей строками и затем разложить
определитель по элементам третьего столбца.
В качестве примера вычислить площадь треугольника ABC с
вершинами А = A, 2), В = B, -1), С = @,1).
271. Проверить, компланарны ли векторы:
а) а= B,3,-1), Ь= A,-1,3), с= A,9,-11);
б) а =A,1,0), 6= @,1,0), с =A,1,1).
272. Доказать, что четыре точки А =A,2,-1), В = @,1,5),
С = (-1, 2,1), D = B,1, 3) лежат в одной плоскости.
Замечание 2 (взаимное расположение прямых). Зададим две
прямые L\ и L/2'.
(Li)
X
X
— Х\
— Х2
_ У
_ У
— 2/1
01
~У2
Z
_ z
- z\
7i
- Z2
OL2 /32 72
35
где а2 + 01 + j2 = 1 (г = 1, 2). Введем (единичные) векторы а1 = (ai,
/3i?7i)j a = (^25/^2572) и точки Ai = (#1,2/1, zi), Л 2 = (#2? 2/2 5^2)-
Расстоянием d между прямыми L\ и L2 называют минимум рас-
расстояний между произвольными точками A Е L\ и В G ^2-
Может быть три случая расположения прямых Li и L2.
I. Прямые L\ и L/2 пересекаются в некоторой точке. В этом случае,
очевидно, d = 0.
П. Прямые L\ и L2 скрещивающиеся, т.е. они не пересекаются
и не параллельны между собой. В этом случае векторы а и а не
коллинеарны и расстояние d между L\ и L2 вычисляется по формуле
• хг 2/2 - 2/1 ^2
1
а1 х
Pi
а2
7i
72
A)
В самом деле, пусть Щ есть плоскость, проходящая через прямую L\
параллельно прямой L2, и П2 — плоскость, проходящая через L2 па-
параллельно L\. Очевидно, что плоскости Щ и П2 параллельны между
собой и перпендикулярны вектору а1 х а2. Поэтому расстояние между
прямыми L\ и L2 равно расстоянию между плоскостями Щ и П2. Так
как точка А\ G L\ С III, а точка А2 G L2 С Пг, то расстояние с? меж-
ду IIj и П2, очевидно, равно абсолютной величине проекции вектора
А1А2 на вектор a1 x а2:
что равно правой части A) (см. [2, § 5, с. 37]).
III. Прямые L\ и L2 параллельны. В этом случае можно считать
(изменив, если нужно, знак в уравнениях пря-
2 мой L2), что а1 = а2. Расстояние d между L\
и L2 вычисляется по формуле (рис. 16)
d =
Замечание 3 (принадлежность двух прямых к одной плоскос-
плоскости). Покажем, что для того, чтобы две прямые L\ и L2 принадлежали
36
к некоторой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство
> - xi y2-yi z2 - ;
7i
= 0.
B)
Oi2 Р2 72
В самом деле, это равенство можно записать в векторной форме
следующим образом: AiA2 (a1 x а2) = 0. Но это есть условие при-
принадлежности трех векторов, AiA2j а1, а2, к одной плоскости (см. [2,
§ 13]), а следовательно, и условие принадлежности прямых L\ и L2 к
одной плоскости.
Замечание 4. В случаях I и III прямые L\ и L2j очевидно,
находятся в одной плоскости. Поэтому для них выполняется равенст-
равенство B). В случае же II прямые L\ и L2 заведомо не принадлежат ни к
какой одной плоскости, и поэтому для них в этом случае равенство B)
не выполняется.
В качестве упражнения найти расстояние между следующими
прямыми:
х — 1 v — 2 z — 6
а)
б)
в)
— 6
X
X
X
X
4
X
4
-
4
-
4
-
1
+
1
1
2
У
1
У
У
У
'-1
5
У
5
-
5
-
5
+
2
+
2
2
1
2
1
Z
z
Z
3
' + 2
4
4
-
4
-
3
-
6
1
1
5
X
X
-
2
-
1
X
1
ж
2
1
ж
5
-
8
+
У
5
У
1
-
2
+
4
+
2
1
2/
2
2
2/
6
-
10
+
z
3
z
1
-
1
+
6
: -
1
2
z
1
6
3
1
+
6
-
1
1
у 1 2 1 '
(ответы: а) 0; б) Зл/2; в)
д) 7/л/2; е) 0).
Приведем решение задачи б). В данной примере А\ = A,2,6),
Л2 = @,1, 2). Векторы D, 5,4) и A, 2,1) не являются единичными. Ум-
Умножая уравнения прямых на модули этих векторов, получим уравне-
уравнения прямых в требуемом для нас виде:
х — 1 _ у — 2 _ z — 6 х _У~l_z~%
4/л/57 5/л/57 4/л/57' 1/л/б 2/л/б
т.е.
37
Легко проверить, что условие B) не выполняется, т.е. наши пря-
прямые скрещивающиеся. Поэтому искомое расстояние будем находить
по формуле A). Найдем векторное произведение единичных векторов
1 2
а1 =
n), «2 =
a1 x a2 =
(a2
i
ai
a2
02,'
3
Pi
02
/2):
к
7i
72
Отсюда la1 x а2] = 1/л/19. Теперь по формуле A) получаем
-1 -1 -4
л/19
1
__
л/2*
Замечание 5 (объем тетраэдра). Пусть в пространстве задан
тетраэдр (треугольная пирамида) ABCD с вершинами А = (#i, 2/ъ ^i)?
^ = @:2,2/2,^2), С = (жз,2/з,^з), ^ = (Ж4,2/4,^4). Требуется найти
^сч~ ~л объем этого тетраэдра (рис. 17).
Из рисунка видно, что объем тетраэд-
тетраэдра ABCD равен 1/6 объема параллелепипе-
параллелепипеда, построенного на векторах АВ, AC, AD.
Но нам известно (см. [2, § 13]), что объем это-
этого параллелепипеда равен абсолютной вели-
величине векторно-скалярного (смешанного) про-
Рис. 17 изведения векторов АВ, AC, AD. Поэтому
объем V треугольной пирамиды ABCD равен
1
V =
- (AB x AC) AD =
=
— Xi 2/2
- Ж1 2/3
- Ж1 2/4
- 2/1 z2- zi
— 2/1 ^з — ^1
- 2/1 *4 - ^1
1
6
xi 2/1
Ж2 2/2
хз Уз
X4 2/4
1
Z2 1
^3 1
Z4 1
Задача. Найти объем тетраэдра, заданного вершинами:
а) Л = @,0,0), В = A,1,0), С =B,1,0), D = @,0,6);
б) Л = @,0,0), В = D,1,1), С =A,1,0), 23 = @,0,8)
(ответы: а) 1; б) 4).
38
§ 9. Зависимые и независимые системы векторов
(см. [2, § 14])
273. Выяснить, будут ли векторы:
а) а1 = A,1,1,1), а2 = A,2,1,2), а3 = C,1,3,1), а4 = @,1,1,0);
б) а1 = A,0,1), а2 = A,1,2), а3 = B,1,2)
линейно зависимы или линейно независимы.
274. Доказать, что система векторов, содержащая два равных
вектора, линейно зависима.
275. Найти все значения Л, при которых вектор Ь = G,—2, Л)
линейно выражается через векторы а1 = B,3,5), а2 = C,7,8),
а3 = A,-6,1).
§ 10. Линейные операторы. Базис
(см. [2, § 15-17])
276. Вычислить произведение матриц АВ и В А:
/5 8 -4\ /3 2\
в) А = I 6 9 -5 ], В = I 4 1 ].
\4 7 -3/ \1 2/
277. Вычислить выражения:
1 1\2 /1 1\ /1 1\ ч /1 Г3
•Но 1=0 -П„ ,]= Ч
b)(J
278. Найти все матрицы В = ( ,), перестановочные (ком-
(коммутативные) с матрицей А:
39
279. Найти матрицы, обратные данным:
/2
= 6
/cos a — sin a\
\sma cos a)
280. Решить матричное уравнение
'1 2\ /3 5
,3 4JX-l5 9
где
х у
z t
Решение. Найдем матрицу, обратную к матрице А =
= 4, А12 = -3, А21 = -2, Л22 = 1, А =
А~г =
1 2
3 4
1 2
3 4
= -2;
Умножая слева обе части уравнения на Л , получаем (А А = Е)
X = А
-1
3 5
5 9
-1 -1
2 3
281. Решить матричное уравнение
'3 ~2\ _ (~l 2
V5 -4/ ~ V-5 б
Чтобы найти матрицу Л, обратную к матрице Л, можно ре-
решить систему у = Ах относительно х. Пусть х = By. Тогда
Л — В, потому что АВу — Ах — у, т.е. АВ — Е, В Ах = By = ж,
т.е. В А = Е, где Е — единичная матрица, т.е. АВ = В А = Е.
Найдем этим способом обратную матрицу для матрицы А =
1. Составим линейную систему:
о 4 /
Ах = t/, или
Решая эту систему, получим
Х\ + 2^2 = ;
¦2/2,
40
Отсюда
А- =1 з _ll.
V 2 2/
282. Найти А~х указанным способом для матриц:
&)А=( ); б)А = 0 1 1
V У \1 0 1,
283. Выяснить, какие из преобразований (операторов) Ах яв-
являются линейными, и для линейных операторов найти их матрицу:
a) J±.X — \ 2 ~г »*^3 , ¦"«*-'1 ~п 3/3 j o3Ti «7J2 ~п Ж3 ) 5
О) J±.X — I Ж[[, Ж2 ~п -L, Жз ~п /*
284. Пусть в базисе г , г , г заданы линейно независимые векто-
векторы а1, а2, а3. Найти линейное преобразование, переводящее векторы
а1, а2, а3 соответственно в Ь1, Ь2, Ь3, если
о1 = B,3,5), а2 = @,1,2), а3 = A,0,0);
Ь1 = A,1,1), Ь2 = A,1,-1), а3 = B,1,2).
Указание (см. [2, § 16]). Если заданы системы векторов
а1 = (an,a2i,a3i), a2 = (ai2, a22, a32), a3 = (ai3, a23, a33);
то линейный оператор, порожденный матрицей
(an a12 ai3\
a2i a22 a23 I ,
«3i a32 a33/
отображает базис г1, г2, г3 соответственно в а1, а2, а3. Следователь-
но, А~ отображает а , a , а соответственно в г , г , г . Далее, опе-
оператор 5, порожденный матрицей
Fц 6i2 6
62i 622 6
631 6з2 6
отображает базис г1, г2, г3 соответственно в Ь1, Ь2, Ь3. Следователь-
Следовательно, ВА~х отображает а1, а2, а3 соответственно в Ь1, Ь2, Ь3.
285. Найти линейное преобразование, переводящее векторы
о1 = B,0,3), а2 = D,1,5), а3 = C,1,2)
соответственно в векторы
Ь1 = A,2,-1), б2 = D,5,-2), Ь3 = A,-1,1).
41
286. Линейное преобразование А в базисе г1, г2, г3, г4 имеет мат-
матрицу (Х 2 0 1
3 0-12
2 5 3 1
Vl 2 13/
Найти матрицу этого же преобразования в базисе:
а) г\г3,г2,г4;
б) г\ г1 + г2, г1 + г2 + г3, г1 + г2 + г3 + г4.
287. Линейное преобразование А в базисе а1 = A,2), а2 =
/ 1 -2\
= (—1,1) имеет матрицу А = I I. Найти матрицу этого пре-
образования в базисе Ь1 = A, -2), Ь2 = C, -1).
288. Пусть преобразование А в базисе а1, а2 (см. задачу 287)
/1 2\
имеет матрицу А = ( I. Найти матрицу этого преобразования в
базисе Ь1, Ь2.
289. Проверить, какие из пар векторов ортогональны:
а) ж = A,2,3), у = @,-3,2);
б) ж = A,2,1), у = @,1,2);
в) ж = A,0,1), у = @,2,1).
290. Показать, что система векторов
е1 = A, 2,3), е2 = @, -3, 2), е3 = A3, -2, -3)
есть ортогональный базис в R%. Найти координаты вектора х =
= A,0,0) в этом базисе.
291. Пополнить ортонормированную систему векторов
ж = A/V2, 0, 1/л/2, 0), у = @, -1/л/2, 0, 1/л/2)
для ортонормированного базиса в R± векторами z и t.
292. Выяснить ориентацию ортогонального базиса по отношению
к основному базису г1 = A,0,0), г2 = @,1,0), г3 = @,0,1):
\ 1 /2 2 1\ 2 /2 1 2\ з / 1 2 2\
а)а =1з'з'-з)' а =1з'-з'з)' а =1-з'з'з);
42
293. Пусть новый ортогональный базис Ь1, Ь2 задается ортого-
ортогональной матрицей / /q \
А=|Т" "
1 л/3
V 2 2 /
Записать формулы, связывающие координаты (жьЖг) вектора а
в старом базисе с его координатами (x'lJx'2) в новом базисе.
294. Пусть базис а1, а2 задан матрицей А = ( ). Записать
формулы перехода от координат вектора а в старом базисе к коорди-
координатам в новом базисе и наоборот.
§ 11. Линейные подпространства
(см. [2, § 20])
295. Является ли линейным подпространством совокупность
векторов:
а) имеющих нечетные целые координаты;
б) имеющих четные целые координаты;
в) лежащих на прямой, проходящей через начало координат;
г) лежащих на оси х или оси у;
д) концы которых лежат в первой четверти системы координат
(начало вектора предполагается совпадающим с началом координат);
е) концы которых лежат на данной прямой;
ж) концы и начало которых лежат на данной прямой;
з) являющихся всевозможными линейными комбинациями векто-
векторов ж1, ж2, ... ,хк в Rn (к ^ п)?
296. Перечислить все линейные подпространства it^-
297. Пусть L — подпространство R2 (т.е. совокупность векто-
векторов, лежащих на прямой Х2 = кх\). Найти ортогональное к нему под-
подпространство L'.
298. Найти размерность и базис линейных подпространств,
являющихся линейными комбинациями векторов (или, как говорят,
натянутых на данную систему векторов):
а) а1 = A,0,0, -1), а2 = B,1,1,0), а3 = A,1,1,1),
а4 = A,2,3,4), а5 = @,1,2,3);
43
б) а1 = A,0,1), а2 = A,1,1), а3 = B,1,2), а4 = C,2,3).
299. Пусть L — подпространство в R±, натянутое на векторы
о1 = A,0,0,-1), а2 = B,1,1,0).
Найти подпространство L', ортогональное к L.
Пусть вектор а ортогонален к L'. Доказать, что он есть линейная
комбинация векторов а1, а2 (а = аа1 + Ра2).
300. Пусть е1, е2 — ортонормированный базис плоскости и ли-
линейный оператор А в базисе f1 = e1, f2 — е1 + е2 имеет матрицу
1 2\
1. Найти матрицу сопряженного оператора А* в том же
базисе f1, f2.
Решение. В базисе е1, е2 матрица оператора Л* является со-
сопряженной к матрице оператора Л.
Найдем сначала матрицу оператора Л в базисе е1, е2. Имеем
A(e1)=A(f1) = f1+f=2e1+e2,
А(е2) = A(f - f) = A(f) - A{f) = f- 2f = -e1 - 2e2.
Таким образом, матрица оператора Л в базисе е1, е2 имеет вид
2
-1 -2У
Найдем теперь значение оператора Л* на векторах f1, f2:
A*fl=A*e1=2e1-e2=3f1-f;
A*f = A*(ex + e2) = A*ex + A*e2 = 3/1 - f + e1 - 2e2 = 6/1 - 3/2.
Таким образом, матрица Л* в базисе f1, f2 имеет вид
3
301. Пусть в задаче 300 матрица оператора А в базисе f1, f2
/1 3\
равна I 1. Найти матрицу Л* в том же базисе.
302. Линейный оператор Л в базисе
/ = A,2,1), /2 = A,1,2), /3 = A,1,0)
задан матрицей
0 5 -11.
V2 7 -3/
Найти матрицу Л* в том же базисе, считая, что координаты векторов
даны в некотором ортонормированном базисе (например,
/1=е1+2е2+е3).
44
§ 12. Самосопряженные операторы.
Квадратичные формы
(см. [2, § 22, 23])
303. Найти наибольшее собственное значение самосопряженного
оператора, определяемого матрицей:
2
304. Пользуясь теоремой Сильвестра, выяснить, будет ли квад-
квадратичная форма строго положительной:
а) х\+ х\+
б) 2х\х2
в) 2х\ + xl + 3x1 + 2ж1Ж2 + 2ж1Ж3 + 2х2х3.
305. Находя собственные значения, выяснить тип квадратичной
формы:
а) / = х2 + 4;п/ - У2; б) / = х2 + 26?/2 + l(to/;
в) / = ж2 + З^/2 + 2л/3ж2/.
306. Привести квадратичную форму к каноническому виду:
а) Зж?> + З^з + \х\х2 + 4:Х±хз — 2х2х^\
б) 7ж2 + 7^2 + 7^з + 2ж1Ж2 + 2хххъ - 2х2х3.
307. Найти ортогональное преобразование, приводящее следую-
следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
а) 6х2
б) 2
§ 13. Кривые второго порядка
(см. [2, § 24])
Общее уравнение кривой второго порядка записывается так:
Ах2 + 2Вху + Су2 +Dx + Ey + F = 0, A)
где А, В, С одновременно не равны нулю.
Считаем, что В ^ 0. Иначе к этому можно свести уравнение A),
полагая х = а/, у = — у'. Соответствующее ортогональное преобразо-
45
вание приводит уравнение A) к виду
AiC2 + Л2т72 + 2d? + Зет] + д = 0, B)
где Ai, Л2 — собственные значения линейного самосопряженного опе-
оператора, порожденного квадратичной формой
Ах2 + 2Вху + Су2 C)
и с?, е, д — некоторые числа. При В = 0 уравнение A) имеет вид B).
Поэтому считаем далее В > 0.
Координаты ?, ?? рассматриваются в новой прямоугольной сис-
системе (новом ортонормированном базисе), единичными ортами кото-
которой являются собственные векторы указанного самосопряженного опе-
оператора. При этом если первый собственный вектор х1 (единичный),
соответствующий собственному значению Ai, имеет координаты
(жо,2/о)? т0 за ВТОРОИ собственный вектор (при В > 0) берем вектор
(~2/о>жо) или (уо,-хо). Отметим, что векторы (жо,2/о)> (~2/о?жо) ори-
ориентированы так же, как исходный базис г = A,0), j = @,1). Век-
Векторы же (жо,2/о)? B/°' ~жо) ориентированы противоположным образом
V 2/о -
Итак, если 5 > 0, то преобразование координат имеет вид
(х =
\у =
В двумерном случае собственные значения и собственные векто-
векторы можно вычислять по формулам, которые были получены в [2, § 24]:
А2 =
1 А-С
2 2Л/4Б2 + (А-СJ'
1 _ А-С
2 ~ 2Л/4Б2 + (А-СJ'
Конечно, можно каждый раз находить собственные числа как кор-
корни характеристического уравнения
А-А В
В С -X
а координаты собственного вектора х1 — как решение системы
'(А- Хг)х0 - Ву0 =0,
+ (С-\1)уо=0.
46
= 0,
Уравнение B), если оба числа, Ai и Л2, не равны нулю, можно
записать так:
Ai(?-aJ+A2( /?J a=-f, /3=-f, D)
где 7 — постоянная, откуда, полагая и = ? — a, v = т\ — C, получим
\lU2 + \2v2 =7. E)
Если ЛС — В2 > 0, то Л1Л2 > 0 и из E) непосредственно получа-
получается каноническое уравнение эллипса (действительного или мнимого)
или точки.
Если же АС — В2 < 0, то Л1Л2 < 0 и из E) легко получается ка-
каноническое уравнение гиперболы или пары пересекающихся прямых.
Если же АС - В2 = 0, то AiA2 = 0. Однако одно из чисел, Ai
или А2, пусть, например, Ai, отлично от нуля. Тогда уравнение B)
записывается в виде
\i(?-aJ + 5г] = си. F)
Если S = 0, то уравнение F) определяет пару прямых (действи-
(действительных или мнимых). Если же 5 ф 0, то, полагая и = ? — a, v = rj —-
о
и, возможно, v = — v', получим каноническое уравнение параболы.
308. Установить тип кривых и привести их уравнения к канони-
каноническому виду:
а) Зх2 + Зу2 -6х-12у + 3 = 0;
б) Зх2 + 2у2 -6х- 12у + 15 = 0;
в) х2 - 2у2 + 42/ - 4 = 0;
г) Зх2 + Зу2 -6х- 12у + 15 = 0;
д) х2 - 2у2 + 42/ - 2 = 0;
е) -Зу2 + 4ж + 122/ - 12 = 0;
ж) Зх2 + 2у2 -6х- 122/ + 22 = 0.
309. Установить тип кривых и привести их уравнения к канони-
каноническому виду. Записать преобразования системы координат. Изобра-
Изобразить системы координат и кривые:
а) Зх2 + Юху + Зу2 -2х- Uy - 13 = 0;
б) 25ж2 - Uxy + 2by2 + 64ж - 642/ - 224 = 0;
в) 9х2 - 2Аху + 16у2 - 20ж + 110у - 50 = 0.
310. Дано уравнение кривой
4ж2 - 4;п/ + У2 + бж + 1 = 0.
Определить, при каких значениях к прямая у = кх:
а) имеет одну общую точку с кривой;
47
б) пересекает кривую в двух точках;
в) не имеет общих точек с кривой.
311. Выяснить, при каких значениях к прямая у = кх касается
кривой
( J 2
312. Записать уравнение кривой второго порядка, проходящей
через точки @,0), A,0), A,1), (-2,1), @,3).
§ 14. Поверхности второго порядка
(см. [2, § 25])
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
\ а22^2 + азз^з + 2ai2?i?2 + 2ai3x\x3 + 2а23х2х3 +
+ 2А1х1 + 2А2х2 + 2А3х3 + В = 0. A)
Если в уравнении A) отсутствуют смешанные произведения пе-
переменных (т.е. ai2 = ai3 = а2з = 0), то приведение уравнения по-
поверхности к каноническому виду осуществляется путем образования
полных квадратов относительно переменных xi, x2-, х% вида
а11(х1 - aiJ + а22(х2 - ol2J + а33(х3 - а3J
и параллельного переноса начала координат в точку (ai,a2,a3).
Если же смешанные произведения присутствуют, то сначала
приводим к каноническому виду симметрическую квадратичную
форму з з
к=11=1
Собственные значения оператора, порожденного данной квадра-
квадратичной формой, находим как корни характеристического уравнения
аи - Л а12 а13
&22 — Л
= 0,
a3i а32 а33 - Л
а координаты собственных векторов хк (к = 1, 2, 3) находим из систем
' (аи - \к)хг + ai2x2 + а13х3 = 0,
а32х2 + (а33 - А^)ж3 = 0,
48
которые, как показано в [2, § 25], всегда имеют решения (три попарно
ортогональных вектора ж1, ж2, ж3).
313. Привести к каноническому виду уравнение поверхности и
указать ее название:
а) х2 + у2 + z2 + 2х + Ау - 4 = 0;
б) ж2 + 2у2 + z2 + 2ж + 42/ - 1 = 0;
в) ж2 + 2?/2 - z2 + 2ж + 42/ - 1 = 0;
г) ж2 + 2^/2 + 2х + 42/ - 2z + 3 = 0;
д) х2 - 4у2 - z2 + 8у - 2z - 9 = 0;
е) х2 + 2у2 - 2х - Ау - 1 = 0.
314. Привести к каноническому виду уравнение поверхностей и
указать соответствующие преобразования координат:
а) 11ж2 + 5^2 + 2^з + 16x1^2 + 4^1Жз — 20^2^3 +
+ 2ж1 + 2ж2 + 2ж3 + 1 = 0;
б) 3^2 + 3^3 + 4ж1Ж2 + 4ж1Ж3 - 2ж2ж3 + 4#i + 1 = 0.
315. Найти кривую пересечения плоскости ж = 2 с эллипсоидом
2 2 2
5-+ IL+ ?_ = !.
16 12 4
316. Записать каноническое уравнение однополостного гипербо-
гиперболоида, проходящего через точки A, 0, 0), @,4, 0), A,1,1).
317. Найти уравнения проекций на координатные плоскости се-
сечения эллиптического параболоида
9 9
у + z = х
плоскостью
х + 2у - z = 0.
318. Какая линия определяется уравнениями
' х2 у2
— 4- — — 17
4 + 3 '
<Х2 -2^ + 2 = 0?
319. Найти уравнение касательной плоскости к однополостному
гиперболоиду
т2 у2 z2
% У_ \ — \
а2 Ь2 с2
в точке @, 0, с).
49
320. Составить уравнение поверхности, образованной вращением
эллипса
вокруг оси х.
Решение. Возьмем произвольную точку Р = (ж, у, 0) на указан-
указанном эллипсе. При вращении эллипса вокруг оси х точка Р опишет
окружность радиусом у. Пусть М = (x,y,z) — любая точка на этой
окружности (а следовательно, и на искомой поверхности). Ясно, что
(рис. 18) СР = \у\ = СМ = \Jy2 +z2, х = х.
Так как точка Р лежит на эллипсе, то
х2 у2
а2 Ъ2
Подставляя в это уравнение вместо ржих
значения, получаем
М
х
о?
Ъ2
= 1.
Рис. 18 Это и есть искомое уравнение поверхности.
Замечание 1. Кривую f(x,y) =0 мы вращали около оси ж,
тогда в уравнении кривой координата у заменяется на л/у2 + z2,
в результате получается уравнение поверхности вращения около
оси х:
Очевидно также, что уравнение
= 0
есть уравнение поверхности вращения вокруг оси у.
321. Составить уравнение поверхности, образованной вращением
кривой:
(х2 = 2z,
Ь = 0;
вокруг оси z.
322. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
ж-3
-6
-1
-2
50
323. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат,
образующие которого касаются сферы
(х + 2J + (у - IJ + (z - ЗJ = 9.
Решение. Данная сфера радиусом 3, ее центр имеет коорди-
координаты С = (—2,1,3). Таким образом, плос-
плоскость хОу касается шара в точке Р =
= (-2,1,0) (рис. 19). Луч ОР является
образующей. Направляющая конуса лежит
на сфере и в плоскости, проходящей через
точку Р перпендикулярно прямой ОС.
Уравнение прямой ОС:
X _У _ Z
^2 ~ 7 ~ 3"'
Уравнение плоскости, проходящей че-
через точку Р, перпендикулярно ОС:
-2{х + 2) + (у - 1) + 3z = 0.
Поэтому направляющую конуса можно задать в виде системы
У
Рис. 19
Пусть теперь (x,y,z) — произвольная точка на направляющей
и (X, У, Z) — произвольная точка образующей (а следовательно, и
точка конуса). Уравнение образующей можно записать как уравнение
прямой, проходящей через точки @,0,0) и (x,y,z):
X _Y _ Z
х у z'
Исключая ж, у, z из системы и последних трех уравнений, полу-
получим уравнение конуса. Зафиксируем z = с и выразим ж, у через X,
Y, Z:
сХ cY
Подставляя эти значения в систему и исключая параметр с, по-
получим после элементарных преобразований уравнение конуса
X2 + 4У2 - 4Z2 + 4ХУ + 12XZ - 6YZ = 0.
324. Составить уравнение конуса в вершиной S = E,0,0), обра-
образующие которого касаются сферы ж2 + у2 + z2 = 9.
Глава 4
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(см. [1, гл. 8])
§ 1. Основные понятия
325. Найти и изобразить области существования функций:
а) и =
б)и=\/1"У+4;
д) и = In (ж + у);
326. Найти и изобразить области существования функций трех
переменных:
в) и = In (-х2 - у2 + 2z); г) м = ,/i + ?! + g _ f!;
V а2 о2 с2
д) и = arcsin ж + arcsin у + arcsin z.
327. Найти частные значения функций
Дх,у) = х2 + !
в точках A,0), A,1), B,1).
328. Найти /(ж,у), если /(ж + 2^/, ж — 2?/) = ху.
52
329. Линией уровня функций и = f(x,y) называется множество
точек области ее определения, в которых она принимает заданное по-
постоянное значение: f(x,y) = с. Последнее равенство, таким образом,
является уравнением линии уровня.
Геометрически это означает, что мы произвели сечение поверх-
поверхности определяемой функции (ее графика) плоскостью и = с и по-
полученную в сечении линию спроектировали на плоскость хОу. Эта
проекция сечения и есть линия уровня.
Найти линии уровня функций:
2 2
а2 Ъ2 х2
330. Найти расстояние р между точками A,0,1) и B,1,0) про-
пространства Rs.
331. Найти предел последовательности точек
332. Пусть множество Е = {\х\ < 1, \у\ ^ 1}. Какие точки этого
жества являются внутренними?
333. Будут ли связными множества:
а) Е = {\х\ + \у\ < 1}; б) Е
= | J - ^ - ^ l};
§ 2. Предел функции. Непрерывность
(см. [1, § 8.2, 8.3])
Число А называется пределом функции / в точке х , если она
определена на некоторой окрестности точки ж0, за исключением,
быть может, ее самой, и если
lim f(xk) = Л,
какова бы ни была стремящаяся к х последовательность точек х из
указанной окрестности, отличных от х°.
Однако бывают случаи, когда функция / определена не на всей
окрестности, а только на некотором ее подмножестве Е. В этом случае
возникает понятие предела функции в точке х° по множеству Е.
53
Число А называется пределом функции f в точке х° Е Е (Е —
замыкание Е, см. [1, § 8.11]) по множеству Е, если
lim f(xk) = A,
какова бы ни была последовательность точек х Е Е, сходящаяся
к ж0. Это определение эквивалентно следующему: число А называ-
называется пределом функции / в точке х° Е Е по множеству Е, если \/е > О
3 6 = 5(е, х°) > 0 такое, что
\f(x)-A\<e
Пример 1. Функция
0
/(ж) = f{xux2) = \х\ +х\
определена на всей плоскости i?2, за исключением начала коорди-
координат. Очевидно, что в любой окрестности начала координат функция /
удовлетворяет неравенству
1/0*01= \/х1 + х\ sin -jl-
^ \/х1 + xl = \х\ = \х -О\ < е (ж/ 0)
при условии, что \х\ < S = е. Таким образом, обычный предел функ-
функции / в точке 0 = @,0) существует и равен нулю:
lim f(x) = 0.
sin ¦
Пример 2. Функция
определена на множестве ??, представляющем собой плоскость R2 без
координатных осей. Обычного предела в точке 0 = @,0) функция / не
имеет, но предел / в этой точке по множеству Е существует и равен
нулю:
ции:
Задача. Рассмотреть вопрос о существовании предела у функ-
a) f(x,y) = v2 У в точке @,0);
X ~~г У
1 —
вточке
54
в) f(x,y,z) = ехр^ 4_Г4~^4+ в точке @,0,0).
х -\- у -\- z
334. Найти пределы функции:
a) lim (ж/0); б) lim
4^
Ж2 + V2
335. При каком значении с функция
9 А 9
с,
?
будет непрерывной на всей плоскости ж, у?
336. Выяснить:
а) будет ли непрерывной в точке @, 0) функция
0, х = у = 0;
б) будет ли она непрерывной на луче в направлении любого век-
вектора ш ф 0, выходящего из начала координат.
337. Доказать, что множество точек (ж, 2/), удовлетворяющих не-
неравенству 1 — х2 — у2 > с, открыто.
§ 3. Частные производные. Дифференциалы
(см. [1, § 8.4, 8.5, 8.8])
Найти частные производные функций и их полные дифферен-
дифференциалы:
338. и = х3 +у2 - 2ху. 339. и = х2у3.
341. а) и = arctg —; б) и = ху -\—;
х у
в) и = ху; г) sh (x + у);
д) и = сп(ж22/ + sh?/).
55
342. Вычислить определитель
А =
дх
дг
ду
дг
дх
др
ду_
дер
если:
= rsmip;
б) х = г2 + </?, у = г + tp2.
343. Найти частные производные от сложных функций по пере-
переменным t и т:
а) и = д/ж + 2/, где ж = et+T, ^/ = In t;
б) u = од, где ж = cos (? + т), ^/ = sin (t — т).
344. Найти и построить градиент функций в точке Р= A,1):
а) и = ж22/; б) и = 2ж2 - Зу2.
345. Найти в точке Р = A,1) производные функций и по направ-
направлению вектора п = (л/З/2,1/2):
а) и = In л/ж2 +2/2; б) и = 2ж2 - З^/2.
346. Найти производную от функции и = 2ж2 — Зу2 в точке
Р = A,1) в направлении градиента.
347. Найти углы, которые составляет градиент функции в точ-
точке Р= A,1) с осями координат:
г)и = х^ + 2/; б) и = х + 2/^.
§ 4. Частные производные и дифференциалы
высших порядков
(см. [1, § 8.4, 8.5, 8.9])
348. Найти частные производные и дифференциалы второго по-
порядка от функций:
а) и = \п(х2 +2/);
349. Показать, что функции:
г)и = aictg(y/x);
удовлетворяют уравнению (Лапласа)
д2и д2и
б)
б)
и =
и =
0.
\/2ху 4-
— In д/(;
х — а)
i2 +
{у
-6J
56
350. Показать, что функция
и = ф{х — at) + ф(х + at),
где ip, ф имеют производные до второго порядка, удовлетворяет
уравнению
д2и _ 2dhi
dt2 ~a дх2'
351. Найти производные и дифференциалы второго порядка от
сложных функций (ж, у — независимые переменные):
а) м = /(?,г7), ? = ах, г] = by;
б) и = f(^,rj), ? = х + у, г] = х-у.
Предполагается, что /(^, 77) имеет производные до второго поряд-
порядка включительно по всем переменным.
§ 5. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности
(см. [1, § 8.7])
352. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нор-
нормали к поверхностям в указанных точках:
а) к параболоиду вращения и = х2 + у2 в точке A, 2, 5);
б) к поверхности и = у2 в точке B, —1,1).
§ 6. Формула Тейлора
(см. [1, § 8.10])
353. Найти приращение, получаемое функцией:
а) и = х2 — у2 + ху при переходе от значений х = 1, у = 2 к зна-
значениям х\ = 1 + /г, yi = 2 + к.
б) и = х у при переходе от ж = 1, у = 1 к значениям х\ — 1 + /г,
57
354. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки @, 0)
до членов третьего порядка включительно функцию
f{x,y) = e^sin у.
355. Разложить функцию f(x,y) = ехр(х + у) по формуле Тей-
Тейлора в окрестности точки A,-1) до членов третьего порядка включи-
включительно.
356. Найти значение параметра в в формуле Лагранжа для
функций двух переменных (см. [1, § 8.10])
/(*) -/(*")= (If) >!-*?) +
а) /(ж) = х\+ х\ относительно точек х° = @, 0), х = A,1);
б) /(ж) = х\ + х\ относительно тех же точек.
§ 7. Экстремумы
(см. [1, § 8.13])
Исследовать на экстремум функции:
357. z = (х - 2J + 2у2. 358. z = (х - 2J - 2у2.
359. я = ж4 +4;п/- 2^/2.
360. z = х4 + 2/4 - 2ж2 + 4:ху - 2у2.
361. и = х2 + у2 + z2 - ху + х - 2z.
362. Выяснить, имеют ли функции наибольшее значение; если
имеют, то найти его:
Г 1, O^ar^l, 0^2/^1,
а) ^= <
[2B-?/), O^ar^l, 0<?/^2;
58
§ 8. Неявные функции. Условный экстремум
(см. [1, § 8.15-8.17])
363. Найти производные у'х, у" от неявной функции у(х), задан-
заданной уравнением
о? Ъ2
чал тт « &z &z
364. Найти -— и —-, если
ох ду
х cos у + у cos z + z cos х = 1.
365. F(x,y,z) = 0. Доказать, что
дж ду _ -t ду dz дх _ 1
дг/ ^ж ' ^^ ^ж ду
366. Функции u, v переменных ж, 2/ заданы неявно системой урав-
уравнений
( х - ip(u,v) = 0,
,у) = 0.
тт „ ди ди dv dv
Наити te> W ox" W
пгч* тт » dz dz
367. Наити ——, —, если x = ucosv, у = usmv, z = cv.
ox oy
368. Написать уравнение касательной плоскости к поверхностям:
а) х2 + 2у2 + 3z2 = 21 в точке (л/3, 0, 6);
х2 у2 z2
б) к эллипсоиду — + |j + — = 1вего точке (ж0, уо, z0).
369. К поверхности х2 + 2у2 + Sz2 = 21 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости х + Ay + 6z = 0.
370. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к по-
поверхности 3xyz — z3 = а3 в ее точке @, а, —а).
371. Найти прямоугольник наибольшей площади, имеющий за-
заданный периметр /.
372. Найти оси эллипса
Ъх2 + 8ху + by2 = 9.
373. Из всех треугольников данного периметра 21 найти тот, ко-
который имеет наибольшую площадь.
Глава 5
РЯДЫ
(см. [1, гл. 9])
§ 1. Числовые ряды
(см. [1, § 9.1-9.7])
374. Пользуясь определением, выяснить сходимость рядов и най-
найти их суммы:
) + + + + +
Т^ + ^ + ^74 + -" + п(п
2Т5 + 3^6 + ''' + (п + 1)(
в)
375. Доказать расходимость гармонического ряда
сю
71=1
пользуясь интегральным признаком и критерием Коши.
376. Используя интегральный признак сходимости ряда, выяс-
оо
нить, при каких а > 0 сходится ряд ^2 п~а.
71=1
Доказать, что
N
к=1
60
TV
Решение. Так как функция f{x) = ж~а (а > 0) монотонно убы-
убывает к нулю на @, оо) при х —> оо, то ряд ^2к~а и несобственный
оо
интеграл х~а dx одновременно сходятся или расходятся.
1
Как известно, этот несобственный интеграл сходится при а > 1
и расходится при 0 < а ^ 1, следовательно, и ряд ^к~а сходится при
а > 1 и расходится при 0 < а ^ 1.
Оценим теперь порядок роста S^ @ < а ^ 1). Пусть а = 1. Тогда
TV fe+i TV
1 к=1 к к=1
N+l N fc+i TV
1 к^\ к к^\ к—2
Отсюда
Неравенство |5^| ^ 2 In (N + 1) и доказывает свойство A).
Используя равенство @ < а < 1)
1 - а 1 - а ~ J xa ~ ^ J xa '
1 к=1 к
аналогичным образом получим B). Отметим, что постоянные, входя-
входящие в символ O(N1~a), зависят от а.
Оценим теперь остаточный член R^ (a > 1):
™ СЮ fe + 1 СЮ
dx \-^ Г dx ^ \~^ 1
+
Г dx_ ^p J_ a
J ха ^ l^ k<* Nl
сю
V^ 1
k=N+l
т.е. имеет место C).
61
Отметим, что на самом деле мы доказали больше:
1 ^ т?а ^ а 1
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения и
необходимый признак:
СЮ I СЮ
379. а) У J-j5—; б) V -J—
п=1 v jfe=l
k=l k=l
сю
k=l
С помощью признаков Даламбера или Коши исследовать сходи-
сходимость рядов:
сю
381. V ^1.
п2
71=1
сю / ч к сю о 1
383. ^ I / ч ) • 384. ^2 (——
Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального приз-
признака:
сю
ПОЛ
388.
а) и7
62
^—< п In п - In In n
n=2
сю
^ к\пе к
Исследовать сходимость
1/п
1 1 Т2 _|_ 1 '
0
сю
^^ П2
71=1
рядов с общим
1/п
6) ип- J -
0
1
+ 2*
членом:
sin3 ж с?ж
1 _|_ ТА '
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
389Л4+Ь---+1ёй-+---
О О ?11 1
71=1
СЮ
391. Показать, что ряд 2_^ак^к сходится абсолютно, если ря-
сю сю А;=1
ды /~^а|, V^ б| сходятся.
k=l к=1
§ 2. Функциональные ряды
(см. [1, § 9.8, 9.9])
392. Найти область сходимости рядов:
сю сю
п=1 п—\
к=1 п=1
393. Исследовать последовательности на равномерную сходимость:
а) /п(ж) = , 0 < ж < оо; б) /п(ж) = жп, 0 ^ ж ^ -;
394. Убедиться, что данные ряды равномерно сходятся на всей оси х:
fe=0 jfe=l n=l L V У J
395. Применяя почленное дифференцирование и интегрирование,
найти сумму рядов:
х2 хп
а)*+у + ... + - + ...;
б) 1 + 2ж + ... + (п + 1)хп + ...;
в) 1 - Зх2 + 5ж4 - ... + (-l)n~1Bn - I)x2n~2 + ...
63
§ 3. Степенные ряды
(см. [1, § 9.11, 9.12])
396. Определить радиус и интервал сходимости рядов и исследо-
исследовать сходимость в граничных точках интервала сходимости:
сю п сю сю
а) Е Ь; б) Е(пж)п; в)
га=1 га=1 п=2
397. Написать два первых, отличных от нуля члена разложения
в ряд по степеням х функций:
a) tgx; б) thx; B)exp(cosx).
398. Выразить в виде рядов интегралы:
X X
\ f / ,2\ 1, ^\ farctg tat
а) у exp (-t2) dt; б) J 1 .
о о
399. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
0,2
е х —.
J х3
0,1
400. Разложить функцию ех по степеням (х ± 2).
Глава б
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(см. [3, гл. 1])
§ 1. Общие понятия
(см. [3, § 1.1, 1.2])
401. Составить дифференциальные уравнения семейства кривых:
&)у2 = 2Сх; б)у = С1х + С2; в)у = Сех;
г) х2 + у2 = С2; д)у = С1Х2х + С2е-Х.
402. Построить изоклины дифференциальных уравнений и нари-
нарисовать эскизы интегральных кривых:
а) у' = х; б) у' = 1 + у2] в) у' = -х.
§ 2. Уравнения первого порядка
(см. [3, § 1.3])
Решить уравнения с разделяющимися переменными:
403. xydx + (x + l)dy = 0. 404. vV + 1 dx - xy dy = 0.
65
406. у' - ху2 = 2ху. 407. у' = Зу2/3, уB) = 0.
408. y'ctgx + y = 2, 2/@) = 1.
409. Найти кривые, у которых точка пересечения любой каса-
касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки
касания (рис. 20).
410. В баке находится 100 л раствора, содер-
содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается
вода E л в минуту), которая перемешивается с
имеющейся жидкостью. Смесь вытекает с той же
скоростью. Сколько соли в баке останется через
один час?
рис 20 411. Тело охлаждается за 10 минут от 100°
до 60°. Температура окружающей среды поддер-
поддерживается 20°. Когда тело остынет до 25°?
Решить уравнения, приводящиеся к виду
(при а = 1 — однородное уравнение).
412. (х + 2у) dx — xdy = 0. Указание. Замена у = tx.
413. (у2 - 2ху) dx + х2 dy = 0. 414. у2 + х2у' = хуу'.
415. х4 dy = у2 dx. 416. х4 dy = (
417. xdy = (х2 cos2 -^ + 2у\ dx.
= (у2 + ^
dx.
418. Найти кривую, касательная к которой отстоит от начала
координат на величину, равную модулю абсциссы точки касания.
Уравнение вида
у' + а(х)у + Ь(х)у2 = с(х)
называется уравнением Риккати, оно в общем случае не решается
в квадратурах. Некоторые из них являются уравнениями типа A).
Решить уравнения Риккати:
419. х2у' + ху + х2у2 = 4.
420. а) Зу1 = -у2 - -4;
N
г=1
66
Решить линейные уравнения:
421. у1 + 2у = 4ж. 422. ху1 - 2у = 2х4.
423. жB/' -у)= ех. 424. ху' + у = еж, 2/A) = 1.
425. ^/ = х{у' - ж cos ж). 426. (sin2 у + xctgy)yf = 1.
Решить уравнения Бернулли:
427. у' = 2/4cos? + 2/tg?. 428. 2/ = - + -.
х у
429. ху1 - 2х2у^ = 4у. 430. ^ + | = ~^2-
§ 3. Метрические пространства.
Сжимающие операторы.
Теорема существования решения
(см. [3, § 1.4-1.7])
431. Будет ли n-мерное пространство Rn метрическим прост-
пространством, если расстояние между точками х = (#i,... ,хп) и у =
= B/i,... ,уп) определить равенствами:
{1 rp -^L лш
О, х = у?
432. Выяснить, будет ли множество всех непрерывных функций,
заданных на [а, 6], метрическим пространством, если
/ Ь \ 1/2
р(/,0)= U[f(x)-g(x)]2dx\ .
433. Пусть
[О, 1/п^ж^1.
При каких а последовательность fn{x) сходится к нулю в смысле
метрики задачи 432?
67
434. Будет ли полным метрическое пространство М = [2,3) с
метрикой р(х,у) = \х — у\?
435. Будет ли оператор (функция) F(x) = x сжимающим:
а) на полном метрическом пространстве М = [—1/3,1/3];
б) на полном метрическом пространстве М = [—1,1]?
В случаях а) и б) метрика р(х,у) = \х — у\.
436. Построить итерационную последовательность для опера-
оператора F(x) = ж2, если хо = 1/2.
437. а) Найти неподвижные точки оператора F{x) = 1/A + х) на
[1/2,1]. Будет ли оператор F(x) сжимающим на [1/2,1]?
б) Пусть оператор F(x) (x = (xi,x2)) действует в двумерном мет-
метрическом пространстве R2 по закону
F(x) = (хи-х2)
(зеркальное отображение относительно оси х2 = 0). Какие точки яв-
являются неподвижными для этого оператора?
в) Пусть F(x) = (^1,^2), х G R2- Какие точки плоскости R2 яв-
являются неподвижными точками оператора F?
438. На основании теоремы существования решения дифферен-
дифференциального уравнения исследовать, в каком промежутке [хо — ?, хо + S]
гарантируется существование решения уравнения
У' = f(x,y),
если:
а) хо = 1, уо = уA) = 2, f(x,y) = 2xy2 на множестве
б) х0 = 1, уо = 2/@) = 1, f(x,y) = Ъху1 на множестве
439. Для уравнения
найти приближенно 2/A), используя метод Эйлера. За шаг вычисления
принять h = 0,1.
440. Методом Эйлера для уравнения у' = х-\-у найти приближен-
приближенно 2/B), если 2/A) = 1. За шаг вычисления принять h = 0,1.
68
§ 4. Уравнения, не разрешенные
относительно производной. Особые решения
(см. [3, § 1.8-1.10])
441. Найти все решения уравнений; выделить особые решения,
если они есть; дать чертеж:
а) у12 -у2 = 0; б) у12 - 4у3 = 0;
в) у2'{у12 + 1) = 1; т)у12 =4у3{1-у);
д) ху'2 - 2уу' + х = 0; е) у(ху' - уJ = у - 2ху'.
442. Решить уравнения методом введения параметра:
а) х = у'3 + у'- б)у = у'2 + 2у'3; в) х = y'y/l + y'2
443. Уравнение вида
у =
где </?, ф — некоторые функции, называется уравнением Лагранжа.
В частности, если (p(yf) = у', то уравнение называется уравнением
Клеро. Эти уравнения также решаются введением параметра:
2/'=р, dy=pdx; у = xtp(p) + ф(р);
dy = </?(р) cb + x(f'(p) dp + ^Чр) Ф?
или, учитывая, что dy = pdx, получим
[р - (f(p)] dx = [x(pf(p) + ф'(р)} dp.
Последнее уравнение является линейным относительно х. Решать его
мы умеем (если р ф. (р(р)):
где /, д — известные функции. Система
= х<р(р) +ф(р)
дает параметрическое задание решения.
Если же р = <р(р) (в этом случае мы имеем уравнение Клеро), то
откуда:
1) dp = 0, р — С и ^/ = xip(C)+ip(C) = хС + ф(С) — общее реше-
решение уравнения Лагранжа (Клеро). Это семейство прямых. Формально
общее решение получается заменой в уравнении у' на произвольную
постоянную С;
2) xip'(p) + ф(р) =0. Тогда из системы
69
исключением параметра р получим у = х(ж). Если эта функция
является решением уравнения Лагранжа и нарушена единственность
решения, то она является особым решением уравнения Лагранжа
(Клеро).
444. Решить уравнение Клеро
у = ху' - -у12.
445. Решить уравнение
§ 5. Понижение порядка дифференциального
уравнения
(см. [3, § 1.14])
446. Решить уравнения:
а) у" = cos ж; б) у'" = х.
Решить уравнения:
447. х2у" = у12. 448. у'" = 2(у" - 1) ctgx.
449. у'" = у. 450. у" = 2уу'.
451. ху" = 2уу' - у'. 452. уу" + у'2 = 1.
453. 2уу" = у12 + у2. 454. уу" = у'3.
455. уу" = у12 + 2/У. 456. хуу" - ху12 - уу1 = 0.
457. х2уу" = (у- ху1J.
§ 6. Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами
(см. [3, § 1.16])
Решить уравнения:
458. у" - 2у' - Зу = 0. 459. у"' - by" + 6yf = 0.
460. 2/D) - у = 0. 461. у"' - Ъу" + 8у' -4у =
70
462. а) уD) + 2у" + у = 0; б) у" + Зу' - 4у = 0.
463. Доказать, что определитель Вронского
2/1 (*) ••• Vn(t)
y[(t) ¦¦¦ y'n(t)
системы решений yi(i),...,yn(t) уравнения
y{n)(t) +Pi(t)y(n-1)(t) + ¦ ¦ -+Pn(t)y(t) = 0
с непрерывными на (a, b) коэффициентами pi(i),.. .,pn(t) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися пере-
переменными, поэтому, интегрируя это уравнение в пределах от xq до ж,
получаем х
ln\W(t)\X =-fPl(t)dt,
t = Xn J
W(x) = W(x0)exp I jPl(t)dt\ .
Последняя формула носит название формулы О стар оград ского-
Лиувилля; из нее между прочим следует, что если W(xo) ф 0, то опре-
определитель Вронского не равен нулю во всех точках (a, b). В этом случае,
как мы знаем, решения у\ (?),..., yn(t) линейно независимы на (a, b).
Указание. См. задачу 86, б). Использовать тот факт, что
'Ч*) ~ ¦ ¦ --Pn(t)yk(t)
464. Решить неоднородные уравнения
где:
а)/(Ж) = 2е3ж; б) f(x) = 4ех;
465. Найти частное решение уравнений
где
а)/(ж) = ех; б) f(x) = sin ж;
в) f(x) = sin ж + cos ж; г) /(ж) = вш2ж.
466. Решить уравнение у" + 2у' — Зу = sin ж.
71
467. Написать форму частного решения неоднородных урав-
уравгде:
a)
в)
д)
fix)
fix)
fix)
= ex;
= sin ж;
= x2 + x +
l/'"-5j
1;
/' + 6«/ =
6)
r)
e)
fix),
f(x) =
fix) =
fix) =
xe2x;
x4e3x;
xex sin ж.
§ 7. Уравнения Эйлера. Уравнения
с переменными коэффициентами
(см. [3, § 1.15, 1.16])
468. Выяснить, какие системы функций являются линейно неза-
независимыми на [0,1]:
а) 1, sin2 ж, cos 2ж; б) 4 — ж, 2ж + 3, бж + 8;
в) ж + 2, (ж + 2J; г) ж2, ж3, ж4.
469. Решить уравнения Эйлера:
а) х2у" - 4ху' + 6у = 0; б) х2у" - Зху' + Зу = 0;
в) х2у" — 3xyf + 4у = 0; г) ж2^/" — 2у' = 0.
470. Решить уравнение (частный случай уравнения Бесселя при
v = 1/4, см. [3, § 1.24])
ж22/" + ху' + (ж2 ) у = 0.
Решение. Введем замену у = a(x)z и подберем функцию а(х)
так, чтобы исчез член с первой производной z'. Имеем
у' = a'z + az', у" = a" z + 2а'z' + az";
x2az" + z'[2a'x2 + ax] + z \a"x2 + a'x + ax2 -^1=0;
2a + - = 0, a = -=, a =
Ж л/Ж
жа + жа + жа = =.
4 д/ж
Окончательно получаем
^2 2
^ ^ + * Z = 0, ^ + Z = 0.
72
Последнее уравнение с постоянными коэффициентами, его общее ре-
решение
z — С\ cos х + С2 sin х.
Общее решение исходного уравнения
у = —— (С\ cos х + С2 sin x).
л/ж
471. Решить уравнение
у" - 2ху' + х2у = 0.
Указание. См. задачу 470: а(х) = ехр (ж2/2).
472. Решить уравнение
х2у" + ху' -у = /(ж),
где: a) f(x) = ж2; б) f(x) = ж10.
§ 8. Метод вариации постоянных
(см. [3, § 1.17])
473. Решить уравнения:
б) y"+4y
г)у" + 2у' + у=-
X
§ 9. Системы дифференциальных уравнений
(см. [3, § 1.19-1.22])
474. Решить систему путем сведения ее к одному дифференци-
дифференциальному уравнению:
а) {** б)
dz о I dz
— +y - z = x ; \ — = -y
, dx \ dx
73
( dx _ ^
dy „
-x+-?-z = O,
dt
_ _ >dz_
x у + dt - u,
475. Решить однородные системы, не переходя к одному диффе-
дифференциальному уравнению:
I tJU
б) .
г) ^ j/(t) = z(t),
z{t)=x{t).
476. Решить неоднородные системы:
(х = х-у + 1, (х = х-у +
а) л б) \
[y = y4x + t; |^ x42/
§ 10. Регыение уравнений
с помощью степенных рядов
(см. [3, § 1.24])
477. у" + у1 - ху2 = 0, ?/@) = 2, у'@) = 1.
478. г/" + яг/= 0, 2/(°) = 15 2/'@) = 0.
Решение. Будем искать решение 2/(х) в виде степенного ряда
у(х) = а0 + ai# + а2ж2 + ...
Находя у', 2//;, #2/ и подставляя их в уравнение, мы получим ряд
соотношений, связывающих коэффициенты а\ (ао = 1, сц = 0) из ко-
которых и находим значения этих коэффициентов.
Однако можно рассуждать и следующим образом. Степенной ряд
является в то же время рядом Тейлора функции у(х), поэтому мы
можем записать
у(х) = „(О) + у'@)х + «Ш х2 + !Ш х2 + ...
Значения 2/@) = 1, ?/@) = 0 известны по условию. Значение дру-
других производных от решения у(х) в точке х = 0 мы можем най-
74
ти, используя дифференциальное уравнение. Из уравнения 478 имеем
у"@) = —0 х ?/@) = 0. Дифференцируя уравнение, получаем
у'" + у + ху' = 0,
откуда
1/"'@) = -у@) = -1.
Аналогично,
у<4> + 2t/ + ху" = 0, t/4) @) = -21/40) = 0,
5,E) + Зу" + arj,'" = 0, уEН0) = -3|/"@) = 0,
2/<6) + V + ху4 = О, ^(О) = -4у'"@) = 4,
<"> + (п - 2)у<"-3) + zt/") = 0, у(п)@) = -(п - 2)у<"-3)@),
Подставляя значение у"@), получаем
/ч -, ж3 1 • 4 6 1 • 4 • 7 g
»<ЯГ> = 1-ЗГ + -6ГЯ! "-й-* +-
Полученный ряд сходится на всей оси равномерно и абсолютно.
479. у" + 2/еж = 0, 2/@) = 2, ^@) = 1.
480. у' = у + хеу, у@) = 0. Найти первые три члена ряда.
§11. Устойчивость по Ляпунову
(см. [3, § 1.25, 1.26])
481. Исследовать на устойчивость с помощью функции Ляпунова
нулевое решение системы:
~ -у, ч (х = 2у3 -ж5,
3 б) < 3 5
у ; [у = -х - у + у ]
-у,
в)
{.У =
Замечание. Если существует функция v{x,y) такая, что в
достаточно малой окрестности начала координат существует об-
область, где v > 0, причем v = 0 на части границы области (г? > 0)
dv dv дх , dv ду л г л
и—- = ——-— + ——- > Ub области ^ > 0, то точка покоя неустойчива
dt дх dt ду dt
(теорема Четаева).
75
482. Исследовать на устойчивость нулевое решение у систем с
симметрической матрицей:
(х = -2х + у, (х = х-2у,
а) < б) <
[у = х -у; [у = -2х + 4у;
(х = х + 3у,
в) <
\у = 3х + 8у.
483. Исследовать на устойчивость системы:
(х = 3ж, (х = х + 3у,
а) < б) <
L2/ =2ж + ?/; [у = ~6ж - %;
у — 2х — у\
(х = х + у,
д) i .
[у = у-
Глава 7
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(см. [3, гл. 2])
§ 1. Интегралы, зависящие от параметра
(см. [3, § 2.4])
484. Найти область определения функции
(т.е. значений ж, где интеграл существует).
Исследовать ее на непрерывность и дифференцируемость.
485. Исходя из равенства
ъ
Г dx _ 1 Ь
I ~~2~~!—2 ~~ ~~ ^rctg —,
J х2 + а2 а а
о
вычислить интеграл
dx
I (х2
о ¦ :+в2>2
а2J'
486. Вычислить производную F'{x), если:
х2
a) F(x) = je~xy2 dy;
f
0
77
в) F(x) = f(y + x,y — x)dy, где f(u,v) непрерывна вместе со
о
своей частной производной f'u.
487. Найти интеграл от функции F(x) на [0,1], если:
1 1
a) F(x) = J(y - 2х) dy; б) F(x) = J(x + у) dy.
§ 2. Кратные интегралы
(см. [3, § 2.1-2])
Вычислить двойные интегралы:
488. //-—-^-, где D = {3 ^ х
D
489. /У(ж + 2y)dxdy, где ?> = {?/2 - 4 ^ ж ^ 5, -3 ^ у ^ 3}.
490. ffг2 sin2 (fdrdp, где D = JO ^ r ^ 3cosy?, ~ ^ y? ^ ^|.
Вычертить области интегрирования и изменить порядок интег-
интегрирования в следующих двойных интегралах:
2 2-у 3 2ж
491. / = fdy Г /(ж, у) dx. 492. / = fdx Г /(ж, у) dy.
-6 (у2_4)/4 0 ж/3
2 ж 1 х2
493. / = JdxJ /(ж, 2/) dj/. 494. / = jdxjf{x, у) dy.
1 l/x 0 ж4
495./= dy / f(x,y)dx.
0 у2/BС2)
Переменить порядок интегрирования и найти двойной интеграл:
1 ж 2 2-ж
496. / = fdx f(x + у2) dy + /^ж Г (х + у2) dy.
0 0 10
78
1 X
497. / = fdx fxy2 dy.
Вычислить тройные интегралы:
а Ъ с 1 х у
498. fdx (dy Г(х + у + z)dz. 499. fdxfdyfxyzdz.
0 0 0 0 0 0
4
500. fdz ffxyz dx dy, D = {x2 + y2 ^ 4, ж > 0, у > 0}.
0 D
501. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
JJjf(x,y,z)dxdydz,
v
где:
а) V — общая часть параболоида 2az ^ х2 + у2 и шара ж2 + ?/2 +
+ z2 ^ За2 (а > 0);
б) V — общая часть шаров х2 + у2 + z2 ^ R2, х2 +у2 + z2 ^ 2ifc.
§ 3. Замена переменных в кратном интеграле
(см. [3, § 2.6-2.10])
502. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин-
интеграл
/ / л/а2 - х2 - у2 dx dy,
s
где S = {х2 + у2 ^ а2, у > 0}.
503. Вычислить тройной интеграл
х2 у2 z2
где V — эллипсоид — + ^— + — ^ 1.
а2 о2 с2
504. Вычислить двойной интеграл
а л/а2-х2
dx / \Jx2 + у2 dy.
о о
79
505. Вычислить двойной интеграл
S
2
2
где 5 — эллипс — + ^- < 1.
а2 Ъ2
506. Переходя к сферическим координатам, вычислить
/ / / \/х2 +у2 + z2 dx dy dz,
v
где V — шар радиусом R с центром в начале координат.
507. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить интег-
интеграл
I = dx / dy гл/х2 + у2 dz.
0 0 0
508. Вычислить двойной интеграл
J
S
где S — круг радиусом R с центром в начале координат.
§ 4. Применение кратных интегралов
(см. [3, § 2.11, 2.12])
509. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
у2 = Юх + 25, у2 = -6х + 9,
и сделать рисунок.
510. Нарисовать тело, объем которого выражается двойным ин-
интегралом
о о
и вычислить его объем V.
fdx Г A-х-у) dy,
2,9 2
511. Найти объем V тела, ограниченного цилиндром х +z —a
и плоскостями 2/ = 0, z = 0, у = х и находящегося в первом октанте.
Сделать рисунок.
80
512. Вычислить объем V части цилиндра х2 + у2 = 2аж, содержа-
содержащийся между параболоидом х2 + у2 = 2az и плоскостью z = 0. Сделать
рисунок.
513. Найти площадь части плоскости
a b с
находящейся в пером октанте (х > 0, у > 0, z > 0).
514. Найти площадь части поверхности шара х2 + у2 + z2 = а2,
вырезанной эллиптическим цилиндром
515. Найти центр масс верхней половины эллипса
О О
, И ^ -I
заполненного массой с плотностью р = 1.
516. Найти объем:
а) тела, образованного вращением половины эллипса D (см. зада-
задачу 515) около оси х;
2 2 2
б) эллипсоида ^ + ^— + ^- ^ 1.
а2 о2 с2
517. В полушаре
О = {х2 + ?/2 + z2 ^ а2, г ^ 0}
плотность распределения масс пропорциональна расстоянию точ-
точки от центра шара: p(x,y,z) = сл/х2 + у2 + z2.
Найти центр масс этого тела.
518. Найти центр масс однородной фигуры
(рис. 21)
S = {0 ^ у ^ 4 - ж2, -2
2}.
519. Найти объем тела, полученного враще-
вращением криволинейной трапеции S (см. задачу 518)
около оси х.
520. Найти момент инерции однородного цилиндра, высота кото-
которого h и радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром
основания цилиндра.
81
Решение. Пусть ось z направлена по оси
цилиндра, основание цилиндра находится на плос-
плоскости z = 0 и центр основания совпадает с на-
началом координат. Момент инерции будем искать
относительно оси у (т.е. относительно плоскостей
х = 0, z = 0) (рис. 22):
1<Я= J(x2+z2)dxdydz,
G
Рис. 22 где G — рассматриваемый цилиндр. Вычисляя
интеграл, получаем
) = fdx f dyf(x2 + z2) dz =
= (x = asinf) = 4a2h f cos2 t ( a2 sin2 t +— ) dt =
I V 3 J
= 4a2 h
Г тг/2
«7-
dt+
7 2 ^
з У
dt } =
12
(За2+4/г2).
§ 5. Несобственные интегралы
(см. [3, § 2.13])
521. Вычислить интегралы:
dxdy
оо оо
dxdy
оо оо
в) ху ехр (—х2 — у2) dx dy.
Вычислить с помощью дифференцирования по параметру интег-
интегралы:
522.
= F(y)
82
523.
dx = F(y)
524. Используя равенство
вычислить
л dx (/3 > -1, а> -1).
J In ж
о
525. Исследовать сходимость несобственного интеграла
// In \/x2 + у2 dxdy,
s
где S — круг х2 + у2 ^ 1.
526. Исследовать на равномерную сходимость интегралы:
оо
a)F{y)= f^^dx (-oo<2/<oo);
б)
dx @ ^ У
Глава 8
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
(см. [3, гл. 3])
§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
(см. [3, § 3.2])
Вычислить криволинейные интегралы:
ds
527.
х -у'
-1 О
Рис. 23
, где Г — отрезок прямой, соединяющей точки А —
= @,-2) и В = D,0).
528. xyds, где Г — контур треуголь-
г
> ника с вершинами Л = (—1,0), В = A,0),
1 х С = @,1).
Решение. Уравнение прямой А В у = 0;
прямой ВС х + у = 1; прямой АС у — х = 1 (рис. 23);
ху ds = 0;
АВ
ху ds = ху ds = /жA — x)y2dx = —-;
ВС СБ О
О ,-
I ху ds = I ху ds = / жA + x)y2dx = ——;
СА АС -1
84
АВ
ВС
СА
529. xyds, где Г — контур прямоугольника с вершинами А =
= @,0), В = D,0), С = D,2), D = @,2).
530. xyds, где Г — часть эллипса, находящаяся в первом ква-
г
2 2
дранте: ^- + ^- = 1, ж ^ 0, 2/^0.
531. yds, где Г — часть параболы 2/ = 2у/ж, находящаяся в
г
верхней полуплоскости 0 ^ х ^ 1.
532. (х — у) ds, где Г — окружность х2 + у2 = 2ах.
г
533. Найти массу т части эллипса х = acos?, у = 6sin?, располо-
расположенной в первой четверти, если плотность в каждой его точке равна
ординате этой точки.
534. Найти площадь S боковой поверхности параболического ци-
о
линдра у = - ж2, ограниченной плоскостями z =
о
Решение. С геометрической точки
зрения криволинейный интеграл
Jf(x,y)ds,
где f(x,y)^0, можно интерпретировать
как площадь цилиндрической поверхности
с образующей, параллельной оси z, основа- У
нием — контуром интегрирования Г и вы-
Рис. 24
сотами, равными значению функции f(x,y). Поэтому искомая пло-
площадь (рис. 24)
S = х ds,
где Г — часть параболы у = -х
8
4
S = JxJl + (| ж) dx = ^
). Вычисляя, получаем
¦ 9х2) =
= J-0L6 + 9X2K/2
lUo
85
535. Найти площадь боковой поверхности кругового цилиндра,
находящейся под первым витком винтовой линии x = acos?, у —
= asint, z — Ы @ ^ t ^ 2тг) и выше плоскости z = 0.
536. Найти координаты центра масс однородной полуарки цик-
циклоиды
х = a(t — sint), у = a(l - cost) @ ^ t ^ тг).
537. Найти момент инерции относительно оси z (относительно
плоскостей х = 0, 2/ = 0) первого витка Г винтовой линии
x = acost, y = asmt, z — bt @ ^ t ^ 2тг).
§ 2. Интеграл от вектора вдоль кривой
(см. [3, § 3.3])
538. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
2/1 /• 2 2
^+ *->? где Г — верхняя половина эллипса х = a cost,
у = frsint, пробегаемая по часовой стрелке
Рис- 25 (рис. 25).
Решение. При движении точки по кривой Г в указанном на-
направлении параметр t изменяется от тг до 0. Поэтому
о
Г (у2 dx + х2 dy) = Г [b2 sin2 t (-asint) + a2 cos2 t • b cost] dt =
Г 7Г
7Г
= ab [b sin3 t — a cos3 t] dt =
о
7Г 7Г
- fb(l- cos2 t) dcos t - /a(l - sin2 t) dsin t
, о о
539. Вычислить xdy, где Г — контур треугольника, образован-
г
ного осями координат и прямой х + у = 2, проходимый в положитель-
положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).
86
540. Вычислить / (у2 dx + х2 dy), где:
г
а) Г — дуга параболы у = 4 — ж2, находящаяся в верхней полу-
полуплоскости и проходимая по часовой стрелке; у
б) Г — ломаная линия, соединяющая точ-
ки(-2,0), @,4), B,0);
в) Г — отрезок [-2, 2] оси х.
541. Вычислить (х dy + у dx), где:
(Ы)
Of X
г
а) Г — дуга параболы у = л/х; Рис. 26
б) Г — отрезок прямой;
в) Г — дуга параболы у = ж2, соединяющие точки @, 0) и A,1) в
направлении, указанном стрелками (рис. 26).
§ 3. Потенциал. Ротор вектора
(см. [3, § 3.4])
542. Найти градиент функции
и = х2 + 2у2 + З^2 + ху - 6z.
543. В каких точках пространства градиент поля
и = х3 + у3 + z3 - 3xyz:
а) перпендикулярен оси z;
б) равен нулю?
544. Найти ротор вектора а = {х,у^}, т.е. радиус-вектора, точ-
точки (x,y,z).
545. Найти ротор вектора а — {z + у, ж, ?/}.
546. Выяснить, имеют ли потенциал во всем пространстве R^
векторы:
а) а = ж2г + y2j + z2fc;
б) а = 2/2:г + xzj + хук;
в) а = zi + xzj + :n/fe.
547. Найти потенциальную функцию для вектора а = {ж2, ^/2, z2}
в пространстве R%.
Решение. Ротор вектора а равен нулю в R%. Кроме того, про-
пространство Rs представляет собой односвязную область. Поэтому
87
./¦.;/. :;
Рис. 27
вектор а имеет потенциал, который находим
по формуле
U(x,y,z) =
где за кривую Г можно принять ломаную
(рис. 27), соединяющую точки
@,0,0), (ж, 0,0), (x,y,0), (x,y,z).
Интеграл второго рода в данном случае не зависит от пути интегри-
интегрирования. Вычисляя, находим
§ 4. Дифференциальные уравнения первого
порядка в полных дифференциалах
(см. [3, § 3.5])
548. Какие из уравнений являются уравнениями в полных диф-
дифференциалах:
а) Bх + 3y)dx + (Зх - Ay) dy = 0;
в) B - у) dx + х dy = 0?
б) — - ^ = 0;
Решить уравнения:
549. Bх + Зх2у) dx + (ж3 - Зу2) dy = 0.
550. 2ху dx + (х2 - у2) dy = 0.
551. е~у dx - Bу + хе~у) dy = 0.
553. yz dx + xzdy + ху dz = 0.
554. (х + z)dy + (у + z) dx + (х + у) dz = 0.
555. 2ху dx + (х2 + z2) dy + 2yz dz = 0.
§ 5. Формула Грина
(см. [3, § 3.7])
Преобразовать криволинейные интегралы по замкнутым (поло-
(положительно ориентированным) контурам Г в двойные по областям О,
ограниченным этими контурами:
556. у(A - х2)у dx + хA + у2) dy).
г
557. /\(еху + 2xcosy)dx + (еху - х2 sin у) dy).
г
558. Вычислить / ((ху + х + у) dx + (ху + х — у) dy), где Г —
х2 у2
ЭЛЛИПС — + f- = 1.
а2 Ь2
559. Вычислить разность между интегралами
h = f((x + уJ dx-(x- у2) dy),
h = J((x + yJdx-(x-y2)dy),
r2
где Fi — дуга параболы у = x2, а Г2 — отрезок прямой, соеди-
соединяющие точки @,0), A,1).
560. Вычислить интеграл
f(-x2ydx + xy2 dy),
г
где Г — окружность х2 + у2 = R2, ориентированная положительно.
561. Найти площадь фигуры О, огра- Уп
ничейной астроидой (рис. 28)
х — a cos3 t, у — a sin3 t.
562. Показать, что работа силы а =
= {2ху,х } при перемещении точки мас-
массой т зависит только от начального и ко-
конечного ее положений и не зависит от формы
пути. Вычислить величину работы А при
перемещении из точки A,1) в точку B,5). Рис. 28
89
§ 6. Интеграл по поверхности первого рода
(см. [3, § 2.11, 3.8])
563. Если поверхность задана параметрически:
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),
или в векторной форме:
г (и, v) = х(и, v) г + у(и, v) j + z(u, v) &,
где (u,v) G О, функции ж, у, z имеют непрерывные частные произ-
производные на замыкании О, то площадь S этой поверхности выражается
двойным интегралом:
S = JJVEG-F2dudv =
где
rv\2 - (ru,rvJdudv,
IJ
и
( , _ дх_ дх_ ду_ ду dz_ dz_
В самом деле, как мы знаем (см. [3, § 2.11]),
$ = // \ги х rv\ dudv,
но
Г и X Vv =
поэтому
г j к
дх_ ду_ д^
ди ди ди
дх ду dz
dv dv dv
\ru x rv =
D(z,x)
D[u,v)\ [D(u,v)\ [D(u,v)
Раскрывая якобианы под знаком корня, возводя их в квадрат и
проводя необходимые алгебраические преобразования, получим иско-
искомую формулу.
Данная формула для вычисления площади удобна в ряде слу-
случаев, особенно когда векторы ги и rv ортогональны ((ru,rv) = 0).
В этом случае
S= \ru\ • \rv\dudv.
90
Найдем площадь поверхности
х = и cosy, у = sini>, z — 4v @ ^ и ^ 3, 0 ^ г> ^ тг).
В данном случае
ги — (cosi>, sini>, 0), rv = (—usinv, ucosv, 4);
(ru,rv) = 0, \ru\2 = 1, |rv| = 16 + u2.
Поэтому
J тг 3 3
5= ffl- л/16 + u2 (iu dv = /dv /л/16 + u2du = тг / л/16 + и2 du =
= тг [|
564. Вычислить / (х2 + у2) ds, где S — сфера х2 + у2 + z2 = а2.
s
565. Найти массу части сферы х2 + у2 + z2 = а2, находящейся в
первом октанте (х ^ 0, у ^ 0, z ^ 0), если плотность распределения
масс на сфере равна v^2 + У2-
566. Вычислить zdS, где 5 — часть поверхности геликоида
(О^и^а, 0 О ^ 2тг).
z = v
§ 7. Поток вектора через ориентированную
поверхность (поверхностный интеграл
второго рода)
(см. [3, § 3.12])
Поток вектора а = (P,Q,R) через ориентированную поверхность 5*
f(a,dS*)= f(a,n)dS= Г(Рcos (n,x) + Q cos (п,у) + Rcos (n,z)) dS
s* s s
равен поверхностному интегралу первого рода от скалярного произ-
произведения (а,п), где п — единичная нормаль, определяющая ориента-
ориентацию 5*.
Если поверхность задана уравнением
г (и, у) = х(и, у) г + у(и, у) j + z(u, у) к ((и, г?) G О),
то
dS = \ги х rv dudy, n = =Ь
Ги X 7%
|i\i X rv\
91
поэтому
/ (a, dS*) = ± / (а, ги х rv) du dv.
S* Q
Отсюда видно, что разным сторонам поверхности S отвечают
поверхностные интегралы второго рода вектора а, отличающиеся
знаком.
Если поверхность S задана неявным уравнением F(x,y,z) = 0, то
направляющие косинусы нормали определяются по формулам
/ A dF /n / A dF /n / A dF /n
cos (п, х) = — / D, cos (п, у) = —/ D, cos (n, z) = ^- / D,
Ох I (Уу I oz I
где
D = ±|grad F\ =
Знак перед радикалом должен быть согласован со стороной по-
поверхности S.
Поверхностный интеграл второго рода обозначают еще символом
f(a,dS*)= [(Pdydz + Qdxdz + Rdxdy).
s* s*
Эта запись удобна для случая явного задания поверхности. Если
поверхность S одновременно определяется уравнениями
х = fi(y,z), (y,z) е Оь
у = /2(ж,г), (x,z) G О2,
z =
то
f(Pdydz + Qdxdz + Rdxdy) = ±ffp(f1((y,z),y,z)dyd.
z±
, /2(ж, я), я) Gb d* ± JjR(x, у, /3(ж, 2/))
где знак берется в зависимости от ориентации поверхности (например,
перед первым интегралом ставится знак + или — в зависимости от
того, образует нормаль к S острый или тупой угол с осью х).
567. Вычислить I zdxdy, где 5* — внешняя сторона эллипсоида
S* 2 2 2
а2 Ъ2 с2
Решение. Способ 1. Поверхность S задана явным уравнением
92
Косинус острого угла внешней нормали с осью z для верхней полови-
половины эллипсоида определяется по формуле
cos
(n,z) = 1/л/1 + zl + ,
(а для нижней надо взять знак минус). Поэтому берем знак + в соот-
соответствующей формуле для верхней половины S^ эллипсоида:
/'
z dx dy =
s
Аналогично для нижней половины эллипсоида
«2 „.2
jzdxdy = -jj - су/1 - ^ - V- dxdy = cjj\J\ - ^ - У dxdy.
S* Q Q
Таким образом,
2 2
z dx dy = 2c 11 \/1 - ^ - ^ dx dy,
^ \ x у . л\ ^
где \l = {^- + 77 ^1л Вычисляя последний интеграл, получаем
[а2 о2 J
f z dx dy = -тгabc.
о
S*
Способ 2. Перейдем к параметрическому заданию эллипсоида:
= acosu cosv,
2/ = о cos и smi>, A = < U ^ v ^ 2тг, — — ^ и ^ — ^ .
<z = csinu,
Здесь % %
ги = {-asmw cosv, —bsmu smv, ccosu},
rv = {—acosu sini>, — bcosu cosi>, 0}.
В правой системе координат внешняя нормаль к эллипсоиду опре-
определяется равенством
Г и X Гь
п = —-
| rv\
Для примера возьмем точку х = а, 2/ = 0?^ = Она эллипсоиде.
Эта точка соответствует параметрам и = v = 0. В г*
этой точке г ||)
г„ = {0,0,с}, г„ = {0,6,0} "t '
(рис. 29). Векторное произведение ru x rv совместно
с векторами ги и rv должно образовывать правую { ^
тройку (быть ориентированным так же, как система Рис. 29
93
координат), т.е. вектор ru x rv должен быть направлен в сторону
отрицательной оси х (см. рис. 29).
Итак,
I zdxdy = - (а. ги х rv)dudv = - z ^, , dudv =
J JJ JJ D(u,v)
-Ih
A
dx
~дп
дх
~dv~
ду
ди
ду
dv
dudv =
= abcff
sin2 и cos и dudv =
7Г/2
I
7Г/2
= 2-каЪс I sin2 и cos udu = 4тга6с / sin2 u d sin и = - 7гаЬс.
-тг/2
568. Вычислить
/
/(ж2
dx dz + z2 с?ж dy),
.тис.
s
где 5* — внешняя сторона полусферы x2+y2+z2 =
= а2 (z ^ 0).
569. Вычислить
/ (^/2; б?2/ 6?z + xz dx dz + ху dx dy),
где 5* — внешняя сторона тэтраэдра, ограниченного плоскостя-
плоскостями ж = 0, у = 0, z = 0, х + у + z = а (рис. 30).
§ 8. Формула Гаусса-Остроградского
(см. [3, § 3.13])
570. Найти дивергенцию вектора а = (x3,y3,z3).
571. Найти дивергенцию вектора а = /(г)-, где г = |г|, г = хг +
+ yj + zk, f — дифференцируемая функция.
572. Пусть и = х2 + у2 + z2. Найти div (gradu).
573. Вычислить rota, если:
а) a = г;
б) a = f(r)c, где с = cii + C2J + С3& — постоянный вектор, г =
94
574. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского
Ш div adG = Г (а, п) dS,
G S
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, яв-
являющейся границей тела G, преобразовать поверхностные интегралы
второго рода:
а) / (ху dx dy + yz dy dz + xz dx dz);
s
б) / (x2 dy dz + y2 dx dz + x2 dx dy);
s
s
ж cos a + ycosfl + ZCOS7
ч f (du du o du
ч / т^- cos a + t— cos p + t— cos 7
J \ox dy dz
С помощью формулы Гаусса-Остроградского вычислить поверх-
поверхностные интегралы:
575. (х dy dz + у dx dz + z dx dy), где S — внешняя сторона пи-
s
иды, ограниченной плоскостями ж = 0, у = 0, z = 0, ж + 2/ + 2 = 1.
576. z dx dy, где S — внешняя сторона эллипсоида
/ 9 9 9
^! m! ?!
с2
577. z4dxdy, где 5 — внешняя сторона эллипсоида из зада-
s
чи 576.
§ 9. Формула Стокса
(см. [3, § 3.15])
Формулу Стокса, устанавливающую связь между циркуляцией
вектора а = (P,Q,R) по контуру Г и потоком вектора rota через
ориентированную поверхность S* (с краем Г), можно записать в сле-
следующем развернутом виде:
95
г
Рис. 31
Рис. 32
f(adl) = f(Pdx + Qdy + Rdz) =
=/
dS = f(n,Tota)dS,
cos a cos /3 cos 7
d_ d_ d_
дх ду dz
P Q R
где cos a, cos/3, cos7 — направляющие косинусы нормали п к по-
поверхности S. Контур Г ориентирован соответственно ориентации 5*
(рис. 31).
578. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл
(циркуляцию)
(ydx + zdy + xdz),
г
где Г — окружность х2 + у2 + z2 = б2, х + у + z = 0, пробегаемая про-
против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси х.
Решение. Данный обход контура Г соответствует ориентации
куска плоскости x + y + z = 0, лежащей внутри сферы х2 -\-у2 -\-z2 = б2,
нормалью, направленной вправо вверх (рис. 32):
cos a = cos/3 = cos7 = 1/л/З
(F(x, y,z) = x + y + z = 0, F^=F^=F^ = l, \ gradF\ = л/3).
Для вектора а в данном случае Р = у, Q = z, R = х, поэтому
/ (ydx + zdy + х dz) = — (cos a + cos /3 + cos 7) dS = —^= / d5,
Г 5 ^ S
где S — круг радиуса 6, лежащий в плоскости x + y + z = 0. По-
Поверхностный интеграл первого рода от единичной функции, очевидно,
равен площади поверхности, поэтому
/ (у dx + zdy + xdz) = — тгЬ2 = —
I v3
96
579. Вычислить по формуле Стокса и
непосредственно циркуляцию
J((y -
z)dx + (z- х) dy + (x- у) dz),
где Г — эллипс х2 + у2 = 1, х + z = 1
(рис. 33), пробегаемый против часовой
стрелки, если смотреть со стороны положи-
положительной оси z.
580. Вычислить по формуле Стокса ин-
интеграл
J((y
z)dx
z) dy + (x + y) dz),
Рис. 33
где Г — окружность х2 + у2 + z2 = b2, x + у + z = 0 (см. задачу 578).
Глава 9
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(см. [3], гл. 4])
§ 1. Тригонометрические ряды
(см. [3, § 4.1, 4.2])
581. Построить графики частичных сумм Si (ж), 52(ж) ряда
^-^ cos kx
k=l
582. Показать, что функция
к=1
непрерывна и имеет непрерывную производную на (—оо, оо).
583. Выяснить, в каких точках периода сходится ряд
V^ cos kx ( лч
У j (a > 0).
к=1
584. Сколько раз можно дифференцировать ряд
^-^ sin&a; ?
к=1
585. Найти область сходимости ряда
Esin kx
к\ '
к=1
98
§ 2. Ряд Фурье
(см. [3, § 4.3, 4.4, 4.6])
586. Разложить в ряд Фурье периода 2тг функцию /(ж), если:
а) /(ж) = ж на (-тг,тг); б) /(ж) = ^—-— на @,2тг);
в) /(ж) = |ж| на (—7г,тг);
Гж, -тг < ж ^ 0,
г) /(ж) =
0, -тг < ж ^ О,
, 0 < ж < тг;
е) /(ж) = s'max, -тг < ж < тг;
ж) /(ж) = спаж, —тг < ж < тг.
587. Исследовать сходимость ряда Фурье для периодической
функции
0, -тг<ж^О,
у
(см. задачу 586,г)).
Решение. Данная функция на [0, 2тг] ограничена, кусочно не-
непрерывна и кусочно монотонна. В точке раз-
разрыва ж = тг она неопределена (рис. 34), т.е.
она не удовлетворяет условию Дирихле. Одна-
Однако значение коэффициентов Фурье не зависит
от того, какие значения функция /(ж) прини-
принимает в отдельной точке. Поэтому доопределим
функцию /(ж) в точке ж = тг, полагая
г( ч _ /(ТГ + 0) + /(ТГ - 0) _ О + ТГ _ ТГ
^W ~ 2 ~ 2 ~ 2'
Тогда ряд Фурье этой функции (см. задачу 586, г))
2ж х
Рис. 34
cos Bк
\k+i
сходится во всех точках ж G [0, 2тг] к доопределенной функции, в част-
частности, сходится к тг/2 в точке ж = тг, т.е.
тг _ тг 2
2 ~ 4 п
откуда
99
588. Разложить в ряд Фурье по синусам и по косинусам функции:
a) /(ж) = ж, 0 < ж < тг; б) /(ж) = —-—, 0 < х < тг.
589. Разложить в ряд Фурье функцию /(ж) периода 2/, заданную
на (—1,1) формулой f(x) = \х\.
§ 3. Ортогональные системы функций
(см. [3, § 4.5, 4.8, 4.9])
590. Найти скалярное произведение функций:
а) f(x) = ж, ip(x) = sin ж, 0 ^ х ^ тг;
б) /(ж) = sin ж, ip(x) = sin ж, 0 ^ ж ^ тг/2.
591. Найти норму
/ \ 1/2
= U\f(x)\2dx
функций /(ж) (а ^ ж ^ Ь):
а) /(ж) = ж2, 0 ^ ж ^ 1; б) /(ж) = совж, 0 ^ ж ^ тг;
в) /(ж) = еж, О ^ ж ^ 1; г) /(ж) = 1-ж, О ^ ж ^ 1.
592. Пусть дана последовательность функций (рис. 35)
{а _ 1+а П < т < 1 /г7
I v I v JU • \J >^> «X/ *«^ Л- I IV*
О, 1/п < х ^ 1.
При каком а ^ 0 эта последовательность сходится
к нулю в смысле среднего квадратического?
593. Исследовать на равномерную и сред-
неквадратическую сходимость последовательность
Гвттгп^ж, 0 ^ ж ^ п~а,
Jn(x) - | Q^
594. Доказать, что многочлены Лежандра
ортогональны между собой на (—1,1), т.е.
1
Jpm(x)Pn(x)dx = 0 (тфп),
100
и удовлетворяют условию
2п +
Решение. Отметим, что из определения многочлена Лежанд-
тэ ( \ л.л. п (n+l)BnlJn
pa Рп{х) следует, что коэффициент при х равен
Отсюда
сГРп(ж) _ (n+l)(n + 2)...2n
znn!
Далее, очевидно, что если к < п, то
2n
где А(х) — некоторый многочлен. Поэтому при к < п
= 0.
х=±1
Пусть для определенности т > п. Интегрируя по частям п раз,
имеем
1 1 т
/р (гЛр (гЛ Пг — о / р (ф\ (^ — л\ Пг —
J dxm
-1 -1
1 1 ,w_i
d;
'ГП—1
' dxn
-1
где
...2n [
" J
^ Jdx™~n
l-l)mdx--
2 -i \m
2
= 0,
-l
С - l Сл - cP^(x) -
г) ] 1 1 П \ /
Совершенно аналогично получаем
Pn(x)Pn(x)dx = ^ ! O2n
-«•)"*.
101
Вычислим интеграл
1
Т — [(Л — т2)п Нт (л — О 1 ^
О
Очевидно, /о = 1, h = 2/3. Интегрируя по частям, получим следую-
следующую рекуррентную формулу:
_ 2п
71 ~ 2п + 1 п~1'
Отсюда
2.4-6...2п 2n-n! 22n(n!J
71 3-5-7...Bn + l) 3-5...Bn + l) Bn)!Bn + l)'
Таким образом,
2/ _ (n+l)...Bn-lJn _ 22n(n!J _ 2
Jar) da; -2 ^^j - Bn)!Bn + l) ~ 2^ГП
§ 4. Интеграл Фурье
(см. [3, § 4.12, 4.14])
595. Найти косинус-преобразование Фурье функции
'1, 0 < х < а,
), х > а.
596. Найти функцию, определенную на @,оо), косинус-преоб-
косинус-преобразование которой равно
12 sin as
тг s
597. Найти косинус-преобразование функции
. . Г cos ж, 0 < х < а,
/(Ж) = 1О, я>о.
598. Найти синус-преобразование функции
f(x) = e~sxlx.
599. Вычислить интегралы:
оо ф оо
а) Г s^X8dx (a > 0,0 0); б) е~4х f sin3xcos2xdx;
J x(a2 + xl) J
оо
в) е~3х cos3xcos4:xdx.
Глава 10
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(см. [3, гл. 5])
600. Пусть функция f@) периода 2тг задана на (—тг, тг) равенст-
равенством /(#) = \в\. Построить гармоническую в единичном круге функ-
функцию, порожденную этими граничными значениями, и выяснить, с ка-
какой скоростью в смысле среднего квадратического функция и(р,6)
стремится к своим граничным значениям /(#) при р —у 1 — 0.
601. Найти решение уравнения теплопроводности
ди д2и ,п п,
т=д^ @ < * < я-, * > 0)
при начальном условии
и(х, 0) = f(x) = ^^ @ ^ х ^ тг),
и граничном условии
u@,t) =u(ir,t) = 0.
Оценить интеграл
(ж \1/2
Л= lj\u(x,t)-f(x)\2dx)
при t —У +0, т.е. выяснить характер средней квадратической сходи-
сходимости решения u(x,i) к f(x) при t —у +0.
602. Найти решение уравнения колебания струны
2и
103
при начальных условиях
/ r»\ J* / \ (J LLyJL. \J I /» / ч
u(x, 0) = f{x), у = /(ж)
и при краевых условиях
603. Решить уравнение колебания бесконечной струны
д2и _ д2и
при начальных условиях
и(х,0) = urt(x,0) = (—00 < х < оо).
604. Пусть и(х,у) — гармоническая в верхней полуплоскости
функция, принимающая значения f(x) при у = 0. Доказать, что ес-
если \/х f(x) удовлетворяет условию
\f(x + t) - f(x)\ ^ L\t)a @ < а < 1),
то
\и(х,у) - f(x)\ ^ суа (у > 0),
где с — некоторая постоянная, не зависящая от х и у.
605. Найти стационарное распределение температуры и(х,у) в
верхней полуплоскости и изотерму (линию уровня) и = 1/2, если на
оси ж поддерживается температура
1, \х\ ^ /,
[О, |ж|>г.
Указание. Функция и(х,у) является гармонической в верхней
полуплоскости.
606. Найти распределение температуры в бесконечном стержне,
если начальное распределение температур было
f(x) = ехр(-ж2)
(в уравнении теплопроводности считать а = 1).
607. Доказать, что многочлены Лежандра у = Рп(х) (см. зада-
задачу 594) удовлетворяют дифференциальному уравнению
¦{i
Глава 11
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
(см. [3, гл. 6; 1, гл. 5])
§ 1. Общие понятия
(см. [1, § 5.3])
608. Найти модули комплексных чисел:
a) z — 4 + Зг; б) z — cos a — г sin a;
в) z = -2 + 2л/Зг.
609. Записать в тригонометрической форме следующие комплекс-
комплексные числа:
a) z = -1 - гл/3; б) z = -у/2 + г л/2.
610. Представить в показательной форме комплексные числа:
a) z = —2; б) z = г;
в) z = — 1 — гл/3; г) z = sin a — ъ cos а ( — < а < тт J.
611. Вычислить (-1 + гл/3N0.
Решение. Представим число z — — 1 + гл/3 в показательной
форме
Отсюда
(-1 + гл/ЗN0 = 260 ехр D0тгг) = 260.
105
612. Вычислить:
а) (л/З-ЗгN; б
613. Найти все значения корней:
614. Пусть Rew = ж, Im w = у2 (w ф 0). Найти гп, 1/w.
615. Доказать равенства:
a) z + z — 2Re z; б) z — z = 2ilm z; в) \z\ = \
616. Какие кривые заданы уравнениями:
а) |z — zo\ = г, г > 0;
б) \z + с| + \z — с\ = 2а, а > с — действительные числа;
в) Re A/w) = 1/2, Im A/w) = 1/4, w = x + 2yi;
r) Im z2 = 2; д) Im D) = 1?
617. Найти образы точек z$ при указанных отображениях:
a) w = z2, zo = г; б) гу = z/z, z0 = 2 + Зг.
618. В какую кривую отображается окружность \z\ = у/2 с по-
помощью функции w = z2?
Решение. Имеем Re w = х2 — у2, Imw = 2xy. Исключая х
и у из системы
= ж2 - у2
v = 2^2/,
I
получаем
u2+v2 = (х2+у2J=4,
т.е. это окружность радиуса 2 с центром в начале координат в плос-
плоскости uOv (в плоскости w). Отметим, что окружность \w\ = 2 описы-
описывается дважды, когда точка z пробегает полную окружность \z\ = у/2,
так как
Arg w = 2 Arg z + 2/^тг.
Данную задачу можно решить и другим методом. Уравнение ок-
окружности \z\ = л/2 можно записать в виде
где 0 ^ ip < 2тг. Поэтому
^ = ^2 = (л/2е^J = 2е^.
106
Отсюда следует, что окружность \z\ = у/2 при отображении w =
= z2 переходит в окружность \w\ = 2, причем окружность \w\ =2
описывается дважды, когда точка z пробегает окружность \z\ = ypi
один раз в положительном направлении (против часовой стрелки).
619. Установить, на какие линии плоскости w отображаются с
помощью функции w = 1/z следующие кривые в плоскости z:
а) |г| = 1/2; б) argz = тг/4; в) Re z = 0.
§ 2. Предел функции. Производная
(см. [3, § 6.1, 6.2])
620. Найти предел функции w = z в точке z = г.
621. Выяснить, существует ли предел функции w = z/z в точ-
точке О = @,0).
622. Будет ли непрерывной на плоскости z функция w = Re z?
623. Выяснить, какие из функций имеют производную:
a) w = z ; б) w = Re z\
в) w = z; г) w = z • z.
624. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при ото-
отображении w = s'mz в точке z$ = 0.
625. В каких точках отображение w = f(z) является конформ-
конформным:
a) w = z3; б) w = cosz; в) гу = zezl
§ 3. Условия Коши-Римана.
Гармонические функции
(см. [3, § 6.3, 6.4])
626. Выяснить, какие функции являются аналитическими:
a) w = zez] б) w = zz2;
в) u? = sin3z; r) w = ch2z.
107
627. Восстановить аналитическую функцию f(z) = и + iv по
известной ее действительной части и(х,у):
а) и = х2 - у2 + 2ж; б) и = х2 - у2 + ж?/;
в) и = rip cos </? + г In r sin ip (z = гег(/?).
628. Найти все гармонические функции вида и = </?(ж2 + У2)-
Решение. Имеем
откуда
Аи = 4(ж2 + у2) (f"(x2 + г/2) + V(x2 + ?/2).
Таким образом, чтобы функция и была гармонической (Аи = 0), долж-
должно выполняться равенство
(х2 + у2) ip"(x2 + 2/2) + </>V + 2/2) = 0.
Полагая х2 -\- у2 — ?, получаем
4>'(t) ~ t' dt ~ t'
^(t) = C/t, <p(t) = Clnt + d.
Итак, гармонические функции имеют вид
и = С\п(х2 +у2) + Си
где С и С\ — произвольные константы.
629. Найти все гармонические функции вида и = ip(y/x).
§ 4. Простейшие конформные отображения
(см. [3, § 6.2, 6.15])
630. Найти конформное отображение, переводящее верхнюю по-
полуплоскость на себя.
631. Отобразить единичный круг \z\ ^ 1 на верхнюю полуплос-
полуплоскость так, чтобы точки z\ = — г, z^ = 1, ?3 = * перешли соответст-
соответственно в точки w\ = — 1, u?2 = 0, и?з = 1.
Решение. Данное отображение осуществляет дробно-линейная
функция
——n : i п = ~—1~ : '•—7' или ^ = , , -
w — 0 1 — 0 z — г г —1 1 + ^
108
Обратная функция
z =
: — W
W + %
отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг так, что Wk
переходят в^ (fc = l,2,3).
632. Отобразить конформно угол 0 < ip < тг/4 на верхнюю полу-
полуплоскость (рис. 36).
Iff
01
(z)
a;
Рис. 36
633. Отобразить конформно полосу 0 ^ у < тг:
а) на верхнюю полуплоскость; б) на всю плоскость.
634. Отобразить вертикальную полосу 0 ^ х ^ тг/4 на единичный
круг \w\ ^ 1 (рис. 37).
Рис. 37
Решение. Переведем вертикальную полосу в горизонтальную.
Для этого сделаем поворот на тг/2, который осуществляется функцией
z = zexp^i-J =iz.
В плоскости z* = х* + г^/* мы получаем горизонтальную полосу 0 ^
^ у* ^ тг/4. Расширим эту полосу в четыре раза:
z1 — 4z* = Aiz.
В плоскости z' мы получили горизонтальную полосу 0 ^ у' ^ тг. Эту
полосу отображаем на верхнюю полуплоскость с помощью показатель-
показательной функции
z" = ez' =e4iz.
109
Теперь эту полуплоскость отображаем на единичный круг \w\ ^ 1,
например, с помощью функции из задачи 631:
г — z" г — exp (Aiz)
w = = —¦ -.
z" + г г + exp (Aiz)
635. Найти целую линейную функцию, отображающую треуголь-
треугольник с вершинами в точках 0, 1, г в плоскости z на треугольник соот-
соответственно с вершинами 1 + г, 0, 2 в плоскости w.
636. Найти конформное отображение круга \х\ < 5 на круг
\w\ < 1 так, чтобы точки 5, 4 + Зг, —5 перешли в точки 1, г, —1.
§ 5. Интегрирование функций комплексного
переменного
(см. [3, § 6.6])
637. Вычислить интеграл / A + г — 2z) dz по линиям, соединяю-
соединяюсь
щим точки z\ = О, Z2 = 1 + г:
а) по прямой;
б) по параболе у = х2;
в) по ломаной 2^1 ^з^2, где ^з = 1 (рис. 38).
тгг
638. Вычислить zchzdz.
о
639. Вычислить / zchzdz.
о
Если функция /(г) аналитическая в односвязной области D, то
функция z
также является аналитической в D, причем
F'(z) = f(z).
В самом деле,
„,, ч r F(z + h)-F(z) v "lZ[
F (z) = lim —^ f ^^ = lim - /
v J h^o h h^o h J
110
z+h
z+h
= lim i / [f(z)
= f(z) + lim ±
h—y() П
где ?7(?) —> 0 при (-}^в силу непрерывности / в точке z. При малых h
< е, поэтому для таких h
Здесь мы считаем, что интегрирование производится по прямой,
соединяющей точки z и z + h. Это можно делать, так как f(z) ана-
литична, и, следовательно, интеграл не зависит от пути интегри-
интегрирования.
Итак, мы доказали, что F'(z) = f(z). Функцию F(z) называют
первообразной для f(z).
Так же, как в случае действительного переменного, можно уста-
установить, что две произвольные первообразные для функции f(z) отли-
отличаются на постоянное слагаемое.
Отсюда вытекает, что если Ф(^) — первообразная для f(z), то
ff(O d? =
— формула Ньютона-Лейбница.
640. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интег-
интегралы:
a)
2+i
б) z sin zdz.
о
§ 6. Формула Коши
(см. [3, § 6.7, 6.8])
Как нам известно, если f{z) аналитическая в области D, огра-
ограниченной кусочно гладким контуром С, то имеет место интегральная
формула Коши
п л-t т-> т /"ехр (z ) dz
641. Вычислить интеграл 1 = / —?^—^—, если:
111
а) С: |2 - 2| = 1; б) С: \z\ = 1; в) С: \z - 6| = 1 (рис.39).
Рис. 39
Рис. 40
642. Вычислить интегралы:
а) I
|z-l|=3/2
, г ехр (^)
j J ф +
643. Вычислить интеграл / = /
Решение. Функция /(*) =
\2 *
является аналитической на
круге |* — 1| ^ 1 (рис. 40). Поэтому, используя формулу
Z0
- 2m J (z- zo)^
B)
при n = 1, где С — окружность \z — 1| = 1, получаем
f sin
— / 7 Г
У 0 +
sinTrz dz
-IJ
COS 7TZ — 2 Sin 7TZ
тг2г
644. Вычислить интеграл / вдоль окружности \z\ = 2
~ J (? + lK(?-l)'
1«1=2
Указание. Построить контуры С\ и С2, включающие в себя
собственно точки z = —1 и z = 1 и лежащие внутри окружности
1*1 = 2. Тогда
а затем применить формулы A) и B).
112
C2
§ 7. Ряды в комплексной области
(см. [3, § 6.9, 6.10])
Найти радиусы R сходимости рядов:
645.
649.
°° zk
Vf Dkz2k+1
^-^ ' k\
СЮ
^2(-l)kZk.
k=0
СЮ
646.
648.
650.
СЮ
^^ ^ Bfc)!
oo
n=0
651.
Разложить в ряд Тейлора в окрестности z = 0 следующие функ-
функции:
1 Л^« 1
(! + ,)(, -2)"
654. Разложить по степеням (^ — 3) функцию
Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:
1 1 1 _ 1 1
5 + 2* ~ 5 + 2(^-3 + 3) ~ 11 + 2(^-3) ~ ТТ ' 1 + _2_(^_з)"
Заменяя в разложении
l + z
2
на — (z — 3), получаем
Последний ряд сходится при
2 11
13|<1 | 3| >
или
11
— 3| > —.
1*3|<1, или |^ 3| >
Таким образом, радиус его сходимости R = 11/2.
655. Разложить по степеням (z — 3) функцию f(z) = 1/C — 2z).
113
656. Определить область сходимости рядов:
а) > vv«-r.v<.y ; б)
п=1 п=1
657. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию
в областях:
а) 0 < \z\ < 1; б) 1 < |я| < 2; в) \z\ > 2.
658. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 < \z — 1| < 2 функцию
Разложить в ряд Лорана в окрестности z = 0 следующие функ-
функции:
659. ^. 660. z3exp(l/z).
§ 8. Изолированные особые точки. Вычеты
(см. [3, § 6.11-6.13])
661. Определить характер особой точки z = 0 для функций:
a) f(z) = ^; б) f(z) = ±; в) f(z) = ехр 1.
Z Z Z
662. Найти все особые точки и определить их характер у сле-
следующих функций:
а) -—; б) cos-; в) zs'm-: г) thz.
sin 2 z z
663. Найти вычет функции в точке z = оо.
z — а
Решение. Имеем
А А А^Га\к
А. _ A sr^ (a\k _ А Аа
z) z ^—* \zJ z z2
z — a z A — a/z)
v ' ; к=0
следовательно,
Выч -^— = -А.
z=oo z — а
664. Найти вычеты функции
i
f{z) = z* (z - ,/4)
в ее особых точках.
114
Решение. Легко видеть, что конечными особыми точками функ-
функции являются точки z — 0, z — тг/4.
Найдем пределы функции f(z) в этих точках:
,. ?( ч ,. sin z ,. 1 4
lim /B) = lim —— lim -—— = ,
z^o y z^0 zt z^0 z - (тг/4) тг
lim f(z) = oo.
Таким образом, z = 0 — устранимая особая точка и
Выч/(*)=0.
Далее, z = тг/4 — полюс и
16 . тг2
-d х/ \ т ?( \ ( тЛ т sin^2 16 .
Выч f(z) = lim /(z) z = lim —r— = — sin
Точка z = оо также является особой, она существенно особая. Для
нахождения вычета f(z) в этой точке надо разложить функцию в ряд
Лорана по степеням z:
ОО ОО oCoi,_li\
Перемножая ряды и группируя члены с одинаковыми степенями z,
получаем
т.е.
тг2 \42 463! 4105! '") тг2 Sm 16"
Этот же результат мы получим, если воспользуемся основной
теоремой о вычетах, согласно которой вычет функции f(z) относи-
относительно z = оо равен сумме вычетов относительно конечных особых
точек, взятой со знаком минус (см. [3, § 6.13, теорема 1]).
Укажем еще один способ нахождения вычета функции f(z) в точ-
.1.2
ке z = оо. Функцию — sinz можно считать аналитической на плос-
плоскости z, если считать, что она равна 1 при z = 0. Поэтому она раз-
)
р
(-5)-
лагается в степенной ряд по степеням (z — — ), сходящийся на всей
плоскости z:
sin^2 sinGr/4J
о~ — ~(—77Т9 г
z2 Ы/V
115
Но тогда
71^ 7^^
где степенной ряд справа сходится для всех z. Ведь ф(г) — аналити-
аналитическая функция на плоскости z, и она разлагается в сходящийся на
этой плоскости степенной ряд. Теперь, учитывая задачу 663, получим
= Выч -^щг • j-^ = - Gг/4J .
665. Найти вычеты функций в их особых точках:
a) f(z) = z2 sin A/z2); б) f(z) = z2 exp A/z);
^^={z:P(J2y r) /(,) = (,-2) exp
§ 9. Вычисление интегралов с помощью вычетов
(см. [3, § 6.14])
Основной теореме о вычетах можно придать еще такой вид:
интеграл от функции f(z) по контуру Г, проходимому против ча-
часовой стрелки, равен сумме вычетов относительно всех особых то-
точек zi,..., zn, находящихся внутри Г, умноженной на 2тгг:
:)• A)
к=1
666. Вычислить интеграл
ех-1 ,
— dz.
g 2
Решение. В области \z\ < 2 функция f{z) = — анали-
тична всюду, кроме точек z — 0, z — — 1. Найдем вычеты /(z) в этих
точках, z = 0 — устранимая особая точка, поэтому Выч/(г) = 0. В
точке z = — 1 функция /B;) имеет простой полюс, поэтому
Выч f(z) = lim (z + l)f(z) = lim - = 1 - e
?= —1 z—У — 1 z—У — 1 2^
Согласно A) получаем
Г e* ~X dz = 2тггA - е).
116
667. Вычислить интегралы:
"/<
zdz
2 2
' где Г:Т + 1 =
в)
, где Т:х2+у2 =
И =5
668. Вычислить интеграл
Решение. Введем функцию
комплексного пе-
()
ременного z. Она удовлетворяет условию теоремы 1 из [3, § 6.14]
при m = 4 и имеет в верхней полуплоскости полюс второго порядка в
точке z — аг\
А А
Выч f Ы = lim —(z - aiJ f(z) = lim —-
z=ai J v ; z^ai dzK J J v ; z^ai dz (z
1
—.
4аг
Тогда
669. Вычислить интегралы:
dx
670. Вычислить интегралы:
x (a>0); 6)
cos ж
671. Вычислить интеграл
оо
Т — f S^n Х г! ( С\\
О
Указание. Рассмотреть функцию
f(z) = ~Г~2 2\ и КОНТУР Ге,я (рис. 41).
При малом ? и большом R функция f(z)
II .''•
117
имеет один полюс внутри контура Г?ц. Отметим, что f(z) имеет
особенность в точке z = 0 на действительной оси. Затем перейти к
пределу /* ,, ч ,
ё,г/я
672. Вычислить интеграл:
оо
/= / ехр (—аж2) cosbxdx (а > 0, b > 0).
— оо
Решение. Как нам известно,
оо
/ ехр (—ж2) а*ж = \рк,
— оо
ПОЭТОМУ оо
/ ехр (—ах2) dx = */—.
J V а
— оо
Введем в рассмотрение функцию
f(z) = exp(-az2)
и контур Г в виде прямоугольника со сто-
сторонами 2R и Ь/Bа) (рис. 42). Внутри кон-
контура Г функция ехр(—az2) аналитичес-
аналитическая, поэтому
В х Г exp(-az2)dz = 0,
г
т.е.
/ ехр (—аж2) а'ж + / г ехр [—a(R + iyJ] dy+
Рис. 42
Ь/Bа)
r Г / h \2Л °
у ехр ~a[x + i7^\) dx+ J iexp[-a(-R + iyJ]dy =
0.
Ь/Bа)
Второй и четвертый интегралы стремятся к нулю при R —у оо за счет
множителя ехр (—aR2). Поэтому в пределе при R —У оо получаем
оо —оо / 2 \
/ ехр (—аж2) dx + ехр (—аж2) ехр (—ibx) ехр ( — ) с?ж = 0.
J J \ 4а у
-оо оо ч ^
Отсюда, выделяя действительную часть во втором слагаемом, имеем
/ »2 \ °° °°
ехр ( — ) / ехр (-аж2) cos bxdx = / ехр (-аж2) а'ж = J-,
у 4B I J J V О-
ИЛИ
f ( 2\ 7.Л I/ТГ О \
I ехр (—аж ) cos охах = - w — ехр I — — I .
Глава 12
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(см. [3, гл. 7])
§ 1. Изображения простейших функций
(см. [3, § 7.1, 7.2])
673. Пользуясь определением, найти изображение Лапласа
функций:
a) f(t) =e2t; б) f(t) = si
674. Может ли функция (pip) = 1/sinp быть изображением не-
некоторого оригинала?
675. Используя свойство линейности изображения и свойство по-
подобия, найти изображения функций:
a) f(t) =t + 2; б) f(t) = 2sm3t + e~2t (t ^ 0).
676. Является ли функция
I ехт) (/" ) ~t ^ 0
оригиналом:
677. Найти изображение функции f(t) = cos mt cos nt.
678. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала
L[f;p]=pL[f;p]-f(O),
найти изображения следующих функций:
a) f{t) = cos2 3?; б) fit) = cos4 t.
119
679. Найти изображение функций, пользуясь теоремой о диффе-
дифференцировании изображения (Ff(p) = —tf(t)):
a) f(t) = t2 cos t] 6) f(t)=t sh St.
680. Используя теорему об интегрировании оригинала
t
Jf(r)dT =
о
найти изображения следующих функций:
t t
a) f(t) = /Vsh3rdr; б) f(t) = /т2 cost dr.
о о
681. Используя теорему об интегрировании изображения
р
найти изображения функций:
ч е* — 1 ^ч sin2 ^ ч sht
a) -J-; б) -^; в) —.
682. Пользуясь теоремой смещения изображения, найти изобра-
изображения функций:
a) e3tsin?; б) elt2 cost.
683. Пользуясь теоремой запаздывания оригинала
f(t-to)=e-pt°F(p),
найти изображения функций:
a) sin (t — b) ao(t — Ь);
5)ef-3ao(t-3), где а0 = Г' ^J °'
684. Найти изображения следующих функций:
= |smt|.
685. Найти изображение сверток:
t t
а) |е^г sinr dr; б) j{t - тJ chr dr.
о о
120
§ 2. Отыскание оригинала по изображению
(см. [3, § 7.2])
686. Найти оригинал /(?), если F(p) = 1 - cos A/p).
687. Найти оригинал для функции
Пр) = -г-
688. Найти оригинал для функций:
689. Найти оригинал для функции F(p) =
Решение. Разложим функцию F(p) в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки:
-1/2 / ! 3
р \ pz I р \ р2 2\р4 '
На основании теоремы 11 (см. [3, § 7.2])
к=о v у
где Jo(i) — функция Бесселя нулевого порядка (см. [3, § 1.25, 5.9]).
690. Найти оригинал для рациональных функций F(p), используя
равенство ш
t^ip=Pk
где pi,.. .,Рт — полюсы функции F(p):
§ 3. Приложения операционного исчисления
(см. [3, § 7.3])
691. Решить дифференциальные уравнения при заданных на-
начальных условиях:
а) х' + х = е~*, х@) = 1;
б) х" + х = 2cos?, ж@) = 0, ж'@) = -1;
в) х" + 2х' + Ъх = 3, х@) = 1, ж'@) = 0.
692. С помощью формулы Дюамеля решить уравнения:
&)х" = ^±_, х@)=х'@) = 0;
б) у" +у = sin ж, i/@) = 2/'@) = 0;
в) у'" + у' = 10е2ж, i/@) = !/'@) = i/"@) = 0.
693. Решить систему
Л =-1.
Решение. Пусть Х(р) = #(?)? l^(p) = 2/(^). Составим оператор-
операторные уравнения:
(РХ(р) - х@) + Y{p) = 0,
\x(p)+PY(p)-y@) = 0,
ИЛИ
(РХ(р) + Y(p) = 1,
Решая эту систему относительно Х(р) и Y(p), имеем
Отсюда
x(t) = e\ y(t) = -eK
694. Решить системы:
(х + х' = у + е*.
а) ' а; 0 =1/0 =1;
L2/ + 2/ =ж + е ,
„ ^ ;' ж@) = х'@) = 0, i/@) = 0, у'@) = -1,
"Г*-"' <0) = 1, А0) = 0;
Z — Z,
695. Вычислить интегралы:
оо оо
sin xt cos /;
\ т( \ f cosxt ,, ^ч т( ч Г sin xt cos /; ,,
а) 7(ж) = у ^гр^ dt; б^ 7^^ = У —t—
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Глава 1
696. Доказать неравенство
х\ - (\хг\ + ...+ \хп
697. Доказать неравенство Бернулли
A + Xi) . . . A + Хп) ^ 1 + Xi + . . . + Хп,
где Xj > — 1 (j = 1,..., п) и все числа х\,..., хп одного знака.
698. Пусть 0 ^ Xj ^ тг (j = 1,..., п). Доказать, что
п
| sin (xi + ... + хп) | ^ sin х\ + ... + sin хп = V^ sin Xj.
3 = 1
699. Доказать равенство
I3 + 23 + ... + п3 = A + 2 + ... + пJ.
700. Решить неравенство ||ж + а| = \х — а\\ < 1, где а — любое
положительное действительное число.
701. Пусть Q — множество всех рациональных чисел, а / —
множество всех иррациональных чисел. Найти Q U /, Q П /, Q\/.
Доказать равенства:
702. lim п2~п = 0. 703. lim nqn = 0 (\q\ < 1).
п—>-оо п—>-схэ
123
Найти пределы:
704. lim A, + ^ + ...
п—>-оо
705. a) lim I J_ + J_ + ... +
y ю |1 2 23
+ + ... +
2 2-3 n(n
706. Пользуясь теоремой существования предела монотонной по-
последовательности, доказать сходимость последовательности
Указание. Воспользоваться неравенством
1пA + ж)^ж (ж>0).
707. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последо-
последовательности _ 1 1/Лч
и расходимость последовательности
708. Последовательность {жп} называется последовательностью
с ограниченным изменением, если ЗМ > 0 такое, что
\Х2 ~ Xi | + \хз ~ Х2 | + • • • + \хп ~ Жп_11 ^ М
при любом натуральном п ^ 2.
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением
обязательно сходится. п
Решение. Обозначим уп = ^^ \xj — Xj-i \. Если последователь-
ность {жп} с ограниченным изменением, то последовательность {уп}
будет ограничена сверху числом Мине убывает. Поэтому последова-
последовательность {уп} сходится.
По критерию Коши Уг > 0 \уп — ут\ < е при п,т > по(е). Далее,
j=m+l
j=m+l
Отсюда снова по критерию Коши заключаем, что {хп} сходится.
Отметим, что если последовательность {хп} сходится, то она не
обязательно является последовательностью с ограниченным измене-
изменением
Хп = ^~^Oj H0
3=2 3 =
709. Выяснить, существует ли предел последовательности I —— >,
если \\т.хп = а.
710. Что можно сказать о пределе последовательности {хпуп}, ес-
ли хп —У О, а уп — произвольная последовательность? Привести при-
примеры.
711. Если {хпуп} — бесконечно малая последовательность, то
следует ли отсюда, что одна из последовательностей {хп} или {уп}
бесконечно малая? Рассмотреть пример хп = 1 + (—1)п, уп = 1 —(—1)п.
712. Если хп —У а, то ?п = —{х\ + .. . + хп) —У а. Обратное утверж-
утверждение неверно. Рассмотреть пример хп = (—1)п.
713. Привести пример последовательности:
а) имеющей в качестве своих частичных пределов данные чис-
числа а и Ъ]
б) не имеющей конечных частичных пределов;
в) имеющей единственный конечный частичный предел, но не яв-
являющейся сходящейся;
г) имеющей в качестве своего частичного предела любое дейст-
действительное число.
714. Доказать, что:
а) lim (хп + Уп) ^ Нт хп + Нт уп;
б) Ит (хп + уп) ^ Ит хп + Ит уп.
Привести примеры, когда в этих соотношениях стоят знаки стро-
строгих неравенств.
Найти область Е задания функции у = f(x) и образ Е\ — f(E)
множества Е при помощи функции /:
715. у = х2/{2 + х2). 716. у = л/4ж2 -ж4.
717. у = л/cosх2. 718. у = arcsin B — х).
719. 2/ = lg(l-2cosa;). 720. у = (-1)ж.
Найти образ Е\ = f(E) множества Е при помощи функции /,
если:
721. у = х2, Я =[-3,2]. 722.у = 2\х\, Е = (-1,3].
723. у = 2\х\, Е = {1<\х\^ 3}.
724. у = л/х-х2, Е = @,1).
125
725. Найти /A), /B), f(x + 1), если:
а) f№ = YT^'i б) f№ = x~x2', в) f(x) = sin\-
726. Найти /(ж), если:
а) j (х ~\~ л.) — х xjX ~\~ Zi, о)
Построить графики функций:
727. у — х + - (гипербола).
х
728. у = (кривая Аньези).
1 + х1
729. у = х2 -\— (трезубец Ньютона).
730. у = х + \. 731. ?/ =
732. ^/= sinax, а = 2,3,1/2,1/3 @ ^ х ^ 2тг).
733. ?/ = sin ж2.
734. у = arcsinx (|ж| ^ 1, \у\ ^ тг/2).
735. у = arccosx (|ж| ^ 1, 0 ^ \у\ ^ тг).
736. у = arctgx (-оо < х < оо, \у\ < тг/2).
737. ^/ = arcsin -. 738. 2/ = arctg -.
х х
Исследовать на равномерную непрерывность на заданных мно-
множествах следующие функции:
739. fU
о — X
740. f(x ^
) ^ C<x<3).
о — X
741. f(x) = ^1 @ < х < тг).
X
742. f(x) = х sin ж @ ^ ж < оо).
743. /(ж) = х @ ^ ж < оо).
Найти производные функций:
744. у = —^ —. 745. ^/ = cos3x - 3sinx.
126
747. у = arctg —.
748. у = log^ e.
750. у = arctg(thx).
749. у = In (cha;)
2ch2x'
752.у =
X X
1 2x Зх2
О 2
6ж
751.у =
753.у =
х-1
1 2
-3 ж 3
-2 -3 ж + 1
х3
2ж Зж2
ж
4ж3
6ж 12ж2
754. Найти /'(а), если /(ж) = (х — а)(р(х), где </?(ж) непрерывна
при х — а.
Решение. Так как по условию <р(х) только непрерывна в точ-
точке х = а, то формально дифференцировать функцию f(x) как произ-
произведение нельзя. Будем исходить из определения производной:
(а) = hm
= hm
— 0
= hm
X — а ж-^а Ж — а
755. При каких натуральных п функция
\0, ж = 0:
а) непрерывна при х = 0;
б) дифференцируема при ж = 0;
в) имеет непрерывную производную при ж = 0?
756. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между
функциями?
757. При каких коэффициентах а, 6, с парабола у — ах +Ъх + с
касается оси Ох?
758. При каком значении а парабола у = ах касается кри-
кривой у = In ж?
Найти производную ^ от функций, заданных параметрически:
759. ж = асоз?, y = bsint. 760. ж = асп?, y = bsht.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:
,_„_, ,. сЬж — cos ж ,_„» ,. cos (sin ж) — cos ж
761. hm 5 • 762- nm л •
2 4
127
763. hm . 764. hm
х->1 \ID.X Ж — 1/ жчО\ Ж /
Замечание. Если Hm \nz(x) = fc, то Hm z(x) =
ж>а хУа
765.
х—>а
1/ж2
Найти производные и дифференциалы указанного порядка:
766. у = жу 1 + ж2, найти 2/". 767. у = tgx, найти 2/ш.
768. ^/ = In/(ж), найти у". Здесь /(ж) > 0 — дважды дифферен-
дифференцируемая функция.
769. у = , найти у(8\ 770. у = -, найти у'".
1-х 1 — xz
771. у = ех совж, найти ^/^4^. 772. у = ж5, найти с?5^/.
773. у = сИж • cos ж, найти с?6^/.
774. ^/ = [и(ж)]2, найти d3y, считая функцию и(х) достаточное
число раз дифференцируемой.
775. у = 1пи(ж), найти d3y.
776. у = /(ж), где ж = </?(?). Найти d2y.
ш-ш-ш- ах + Ъ „ /'„^
777. v = , найти ?у1 •
сх + d
778. ?/ = — -, найти ^/(п).
жA — х)
Замечание. Представить функцию в виде у — —Ь
х 1-х
779. /(ж) = (ж — а)п(/?(ж), найти /^п^(а), где </?(ж) имеет непрерыв-
непрерывную производную (п — 1)-го порядка в окрестности точки а.
780. Доказать, что многочлены Лежандра
удовлетворяют уравнению
A - х2)Р^(х) - 2хР'п(х) + п(п + 1)Рп(х) = 0.
Указание. Если и(х) = (ж2 — 1)п, то имеет место равенство
(ж - 1)— = 2пжи.
с?ж
Продифференцировать п + 1 раз данное равенство.
128
781. Доказать, что многочлены Чебышева
Тп(х) = п_1 cos (narccosx) (n = l,2,...)
Z
удовлетворяют уравнению
(л — т2\Т"(т\ — тТ' (т) -\- п2Т (т) — П
782. Проверить, что функции
/(ж) = arctg и д(х) = arctgx
имеют одинаковые производные на множестве Е = { — оо<ж<оо,
ж/ 1}. Установить связь между этими функциями.
783. Доказать тождество
3arccos? - arccosCx - 4ж3) = тг (|ж| ^ 1/2).
Разложить в ряд Тейлора функции:
784. у = shx. 785. 2/ = спж.
786. При каких х справедливо, с точностью до 0,001, приближен-
приближенное равенство х2
cos х = 1 ?
Z
787. Используя разложения по формуле Тейлора, найти пределы:
ч -,. sh(tg#) — х ^ч ,. sin (sin ж) — х\/1 — х2
a) lim —v ь Зу ; б) lim ^ }—ъ— .
Определить участки строгой монотонности следующих функций:
з
790. у = а2х - Ъ2— {а > 0, Ь > 0).
о
791. у — хеах +&ж+с5 а, Ь, с — произвольные действительные
числа.
Найти участки выпуклости и точки перегиба для функций:
792. у = а2х-Ъ2— (а > 0, Ъ > 0). 793. у = хеЪх (Ь ^ 0).
Исследовать на экстремум функции:
794. у = а2х + -J- (а > 0, 6 > 0). 795. 2/ = ^-^ (Ъ > 0).
796. у = (х- аJ(х -ЪK @ < а < 6).
Построить графики функций:
797. ?/ = |—^- 798. у = (х- а)е1/х (а > 0).
129
Глава 2
Найти интегралы:
799. f-^-.
J ax + b
dx
800
¦I:
dx
801. f —
J a2a
803. f / dx .
J yb2 — a2x2
+ Ъ2'
dx
802.
'ax + b
dx
805. f . dx
J Va2x2 + b2
807. fX4 + 1 dx.
806. Г(е-Х +e~2x)dx.
Гх2 -1
808. /^—^^ж.
J ж4 + 1
Решение.
T f ax2 + b , [ a + bjx2 ,
~ J a?x± + b2 J a?x2 + Ь2/х2 ~
_ Г d (ax — b/x) _
~ J а2х2+Ъ2/х2 ~
Если числа а и b одного знака, то
т 1 + и л
1 = . arctg ¦
л/2о5 л/2о5
Если числа а и Ъ разных знаков, то
/ = Г ^ = [ ^ =
J и2 - 2\аЪ\ J и2- (^/2\аЬ\J
arctg
Ь_ _
х
ах2 — b
du
1
2Л/2|о6|
810. / хл/ах -\-bdx
811. / sin2 xdx.
813. / cos4 xdx.
и — Хл/2\аЬ\
xy/2\ab\
1
2у/2\аЪ\
аж2 —
ф 0).
812. fcos2xdx.
814. fch4xdx.
130
815.
(ad — be ^ 0, а, с — положительные чис-
/(ax-b)(cx-d)
ла, 6, d — произвольные действительные числа).
Решение. Применим подстановку ах — Ъ = /и2, где / = (be —
— ad)/с. Отсюда
=—\-— и2dx 2udu сх d = /A + и2
X — У — U
а а
^ сх — d = -/A + и2).
а
Поэтому
/
dx
= 2/
у/{ах -У b)(cx — d) a
udu
2 . j, Г du 2 . j, Г du
= - sign г / — —, = —= sign / / ,
a 6 J ^ф^/ТТ^ V^ J л/Г^Й
2 . j, A , 2 . j, A , ax — b
= —== sign / Arsn и = —== sign / Arsn \ / —-—.
л/ас л/ас у /
В качестве первообразной для функции
функцию In \и -У у 1 + и2\.
816. fx2shxdx.
818. [(ъхсътхJ dx.
820. f dx.
можно также взять
$21 T / ov^cin rr*
О ± 1 • I dl bolll X —— .
J X1
819. Je^dx.
821.
822
J (sin2 ж ¦
2 cos2 жJ
V1 + ж - х2
(замена tgx = t).
Вычислить определенные интегралы:
тг/2
824. I sir
823
-4dx.
тг/4
825. / cos a da.
-тг/4
-тг/2
ж
826. /
тг/2
Найти предел суммы с помощью определенного интеграла:
827. lim
(
n-^ooVn
п + 2
131
Решение. Указанную сумму представим в виде
п п
п п
^-^п + к ^-^ п 1+к/п
к1 к1 '
- rk/r
k=l k=l '
Отсюда видно, что данная сумма является интегральной суммой для
функции у = на [0,1] при дроблении [0,1] на равные части и при
X "т" X
t k
выборе точек fk = —.
п
Функция на [0,1] является непрерывной, а следовательно,
она интегрируема по Риману. Но тогда любая интегральная сумма
функции стремится к определенному интегралу от этой функции,
1 + X
т.е. к 1 1
'р^=1пA + ж) =1п2.
о
Таким образом, п ±
lim 2^
n^°° k=i
828. lim (X + Л
j 4 ^
П2 П2 П2
п
829. lim У —^—. 830. lim
^^ 2 + к2
. 830. lim Vr.
П2 + к2 rwoo *-^ Пр+1
к=1 к=1
п
831. lim — y^(f(a-\—(b — a) J, где ф(х) — непрерывная (или
п-^оо П *-^ \ П )
просто интегрируемая) функция на [а, Ь].
Вычислить несобственные интегралы:
го ОО
dx
832
i i
1
ОО ^w
834. [^ (а > 1, а > 0). 835. Ге~х
j х j
cosaxdx.
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
132
Г л а
в <
3
Вычислить определители:
838.
840.
841.
842.
а'
а
1
1
1
1
1
X
2
+
1
1
1
+
X
У
1
b
b2
1
1 +
1
а
У
а
1
X
с2
с
1
1
+
1
1
У
+
У
1
1
1 +
b
У
b
1
1
1 + с
1
X
У
X
+ У
1
1
1
14-
843. Доказать равенство
1 + Х3У2
844. Найти х из уравнения
х2 3 2
ж -1 1
О 1 а
Решить системы уравнений:
846
839.
ах
ау
az
а2-
а2-
О
а -
\-х2
ьу2
fz2
1
1
1
х3у3
= 0.
= 0.
= 0.
х — Ау +
847. { 2х + 32/ -
ЗЗж - 77?/ -
ж + 22/ + Sz = 5,
848. ( 2х - у - z = 1,
ж + 32/ + 4:Z = 6.
2* = 1,
г = 13,
= 88.
133
849.
Найти
ранг
матрицы
/0
А = 7
1 ^
\d
—а
0
с
е
-Ъ
—с
0
0
-d
—е
0
0
850. Вычислить произведения матриц А В и В А:
/1 2 3\ /112
Л = 0 1 0, Б= 2 1 1
\ 1 3 1/ \1 3 1
851. Найти матрицу, обратную к матрице
/4 12 7
А= 1 11
\4 7 6
852. Решить матричное уравнение
X =
где
Х =
Глава 4
Определить области существования функций:
853. и = 1/у/х2+у2-1. 854. u = ^/sin (ж2 + у2).
855. и = 1п(ж + ?/2).
856. u = l/A/4 + e + 4-L
/ а2 Ъ2 с2
Найти линии уровня функций:
857. z = х2 + 2/2. 858. z = 1/(х2 + 2?/2).
859. z = y-2x2.
860. Найти расстояние между точками плоскости A,7) и D, 3).
134
861. Найти предел последовательности точек
862. Пусть
[1 + х + у, 2/^0.
Выяснить, по каким множествам существуют пределы в точках (жо, 0),
где ж о — любое действительное число.
863. По каким направлениям </? существует конечный предел
( х \
lim ехр — , если х = pcostp. у = psinip?
р^+о \х2 + у2 J
864. По какому множеству Е существует предел lim —^
S1
865. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости R2
функцию z = л/х\ + х\.
Найти частные производные первого и второго порядков от сле-
следующих функций:
866. и = х3 +у3 -Зх2у2. 867. и = 2
0^0 тт ^и ^и
868. Проверить равенство ——^— = ——^—, если:
дхду дудх
а) и = х2 — 2ху — Зу2; б) и = arccos ух/у.
869. Существует ли /^@,0), если
/(ж, 2/) = < х2 + у2
{ 0, х = у = 0?
870. Функция f(x,y,z) называется однородной степени (или
измерения) т, если V ? > 0 f(tx,ty,tz) = tmf(x,y,z).
Доказать, что дифференцируемая функция /, удовлетворяющая
уравнению xf'+yf'+zf'z=mf,
обязательно является однородной функцией степени т.
Найти дифференциалы первого и второго порядков от функций:
871. и = ху + у2. 872. и = ху + yz + жг.
873. Доказать, что если и = л/х2 + у2 + z2, то d2u ^ 0.
135
Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указан-
указанных точках к следующим поверхностям:
874. х2 + у2 + z2 = 169 в точке Мо = C,4,12).
875. ах2 + by2 + cz2 = 1 в точке Mq = (жоэЗЛь^о) (т.е. ах\ +
876. Данное положительное число р разложить на три положи-
положительных сомножителя так, чтобы сумма их обратных величин была
наименьшей.
877. Разложить данное положительное число р на три положи-
положительных сомножителя (р = xyz) так, чтобы сумма х2 + у2 + z2 была
наименьшей.
878. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема 1/,
имеющий наименьшую площадь поверхности.
879. Пусть дан параболоид вращения
z = 4 — х2 — у2.
Вписать в параболоид (в первом октанте) прямоугольный парал-
параллелепипед наибольшего объема, если:
а) нижнее его основание находится на плоскости хОу с вершиной
в начале координат;
б) грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям;
в) верхнее основание имеет одну вершину на поверхности данного
параллелепипеда.
880. Пусть дан эллиптический параболоид
Вписать в этот параболоид (в первом октанте) прямоугольный па-
параллелепипед наибольшего объема. Расположение параллелепипеда
такое же, как в задаче 879.
881. Найти прямоугольник данного периметра 2р, который вра-
вращением вокруг своего основания образует тело наибольшего объема.
882. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осями
координат и кривой
у = Ъ2 -а2х2 @ ^ х ^ Ъ/а).
Найти криволинейную трапецию указанного вида с Ъ2 + Ъ/а = р
(р — заданное число), которая при вращении около оси Ох образует
тело наибольшего объема.
136
883. Функцию х2 на [1,3] приближенно заменить линейной функ-
функцией ах + Ъ так, чтобы абсолютное отклонение
А = max \х2 — ах — Ь\
было наименьшим.
Решение. Найдем наибольшее значение функции f{x) = х2 —
—ах — Ъ на [1, 3]. Имеем
= 1-а-Ь, /C) = 9-За-Ь;
при х = \ B^а^б); / (|) = -^ - Ъ.
Ясно, что А = max {|/A)|, |/C)|, |/(а/2)|}. Так как нам необхо-
необходимо минимизировать величину А в зависимости от а и 6, то подберем
числа а и Ъ так, чтобы /A) = /C), т.е.
l-a-b = 9-3a-b, а = 4.
Теперь
Д = max{|3 + b|, |4 + Ь|}.
Отсюда видно, что минимальное значение А будет тогда, когда |3 +
+ Ъ\ = |4 + Ъ\, т.е. при Ъ = -3, 5 (Amin = 1/2).
Итак, линейная функция у = 4ж — 3,5 приближает функцию у =
= х на [1,3] наилучшим образом среди всех линейных функций ви-
вида у = ах + Ъ.
884. Решить задачу, подобную задаче 883, для функции х3 на [1,4].
Глава 5
885. Доказать, что переменная
п
Хп = 2_^ Т — ш п
к=1
имеет предел.
Решение. Вначале докажем неравенство
ж + 1пA-ж) ^ 0 @ ^ х < 1).
В самом деле, функция <р(х) = х + In A — х) имеет производ-
производную (f'(x) = ^0 @ ^ х < 1). Поэтому функция (f(x) убывает, и
1 — х
так как ip(Q) = 0, то ip(x) ^0 @ ^ х < 1).
На основании доказанного неравенства последовательность {хп}
не возрастающая:
^ ^(^) 0 (п = 1,2,...).
137
Далее (см. задачу 376), последовательность {хп} ограничена сни-
снизу нулем:
хп = \^ - — In n ^ In (n + 1) — In п = In > 0 Vn.
k=i
Поэтому на основании теоремы о существовании предела монотонной
ограниченной последовательности заключаем, что
[п 1
У^ In п \ = С,
k=i J
ИЛИ п
У^ - = С + Inn + ап,
где ап -)> 0.
Предел С называют постоянной Эйлера (G = 0,577 216...).
Найти суммы рядов:
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих
рядов:
ycosa
2n-l
П=1 П=1
890. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость гармо-
гармонического ряда
Решение. При всяком п ^ 1
У -
^ к
к=п+1
>+ +
2п ^ 2п 2п 2п
Поэтому на основании критерия Коши заключаем, что гармоничес-
гармонический ряд расходится.
сю
891. Доказать, что ряд у^ к~а 1п~^ к:
к=2
а) сходится при а > 1 и любом /3;
б) сходится при а = 1 и /3 > 1;
в) расходится при а < 1 и любом /3;
г) расходится при а = 1 и /3^1.
138
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную схо-
сходимость рядов на указанных множествах:
892. V . 1 . (-оо<ж<оо).
*-^ X2 + П2
1
сю
- Е тт^
Л. х
Указание.
П4Х2 П2A+П4Ж2) ^
л/1 + п4х2
п2A+п4х2) ^ n
894' Е Тт5^ (|Ж| < ^' /3 > 2(« + 1). « ^ °)
1
Указание. /
(
g>0, ^
Указание. пах9{1 + п13х")'1 = (прхр)9/рna{l + npxp)~1n~'3'l/p.
СЮ
896. ^ж2е~пж @^ж< оо).
1
Решение. Для того чтобы воспользоваться признаком Вей-
Вейерштрасса, мы должны найти точную верхнюю границу функ-
функции у(х) = х2е~пх ^ 0 на [0, оо). Ясно, что у@) = 0, lim у(х) = 0.
ж-^сю
Найдем стационарные точки функции у(х). Имеем у'(х) = Bх —
-пх2)е-пх=0 при х = 0, х = -; у(^
п \
Поэтому
sup y(x) = — е
п
е~2
п
сю
Ряд 4 у. —2 е сходится, поэтому ряд \^ х е пх сходится равно-
1 1
мерно.
сю
897. Varctg , 2 (|яг| < оо).
^-^ п3 +х2 ч ' у
1
Разложить в ряд Тейлора по степеням х следующие функции:
898. ехр (-ж2). 899. ехр (ж2).
900. a) cos2x; б) cos ж2; в) -^—.
1-х
139
Глава б
Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых:
901. а) у = еж2; б) у = сжп, п натуральное.
902. у = хп + еж.
903. х2 + ш/2 = 2сж, где а — произвольное фиксированное число.
Найти частное решение дифференциальных уравнений при на-
начальном условии уB) = 4:
904. ху' -у = 0. 905. ху' + у = 0.
906. жУ + у = 0. 907. 2?/ж2 ф = A + ж2) da;.
Решить уравнения Бернулли:
2
908. 2/' = — - - при 2/(-1) = 1. 909. у' -\-ху = ху3.
ж ж
910. Определить кривую 2/ = /(ж), проходящую через точку Л =
= (а, а), если расстояние от начала координат до касательной к кри-
кривой в точке (ж, /(ж)) равно модулю абсциссы этой точки.
Пользуясь методом Ньютона (методом касательных), определить
с указанной точностью корни следующих уравнений:
911. /(ж) = ж2 + Л - Юж = 0 с точностью до 0,001.
912. /(ж) = ж + еж = 0 с точностью до 0, 00001.
Решить уравнения:
913. 2/D) - Зу" - 42/ = 0. 914. 2/'" - Зу" + 42/ = 0.
915. Найти интегральную кривую уравнения у" — у = 0, касаю-
касающуюся в точке @,1) прямой у = 2ж + 1.
Решить неоднородные уравнения:
916. у" -у = ех. 917. 2/'" - Зу" + 4у = 2е~х.
918. 2/" + Ьу' + 6у = е~3х + е~2х.
Решить методом вариации постоянных следующие уравнения:
919. у" + 4у= —L-. 920. у" + у = tga:.
140
Решить системы уравнений:
Г х + у = О,
921. . У '
[ж — ^/ — бх — у = О.
922
= о,
Г х" - 4х' + 4х - у = О,
923. \ „ , / '
{у + Ау + Ау — а х = О,
= x(t), y = y(t), a>0.
Решение. Будем решать систему путем сведения ее к одному
дифференциальному уравнению относительно одной из функций, ска-
скажем x(t). Дифференцируя первое уравнение системы два раза и под-
подставляя значения у, у", у'" во второе уравнение, получаем х^ — 8х" +
+ A6-а2)ж = 0.
Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид
г4 — 8г2 + 16 — а2 = 0. Решая это уравнение, находим т\^ — ±л/4 + а,
гз,4 = ±л/4 — а.
Если 0 < а < 4, то все корни характеристического уравнения
действительны и различны, поэтому общее решение —
x(t) = Cle-tV^^ + сзе*^4^ + c3e-tV^^ + с4е*^^.
Если а = 4, то ri?2 = ±л/8, г3 = г4 = 0 и
ж(^) = cie~^ + с2е^^ + с3 + c4t.
При а > 4 корни гз,4 = ±л/4 — а комплексные, гз = гл/^ — 4,
Г4 = —г\/а — 4. В этом случае
ж(?) = c1eV^T^t + сзе^41^^ + с3 cos t л/а - 4 + с4 sin t л/а - 4.
Функцию ?/(?) находим из первого уравнения системы:
y(t) =x" -4х' + 4х.
Глава 7
924. Исследовать на непрерывность функцию
(x)dx
где f(x) непрерывна и положительна на [0,1].
141
925. Доказать, что
X
lim l-f[f{t + h)- /(«)] dt = f(x) - f(a),
a
если f(x) непрерывна на [А, В], где А < a < x < В.
926. Применяя дифференцирование по параметру, вычислить
интеграл
5 tgX
Решение. Функция f(x,y), стоящая под знаком интеграла, не-
непрерывна на множестве D = {0 ^ х ^ тг/2, —а ^ у ^ а} при всяком
конечном а > 0. Частная производная
г = I
¦>У 1 + уЧв2х
непрерывна в D. Поэтому законно дифференцирование под знаком
интеграла:
тг/2
+ ул tg X
Вычислим последний интеграл. Полагая и = tgx, имеем
ОО ОО г
,, ч _ г du 1 г
[У> ~1 A + г/2И2)A + и2) ~ y2-lJ [l
F'(y)= I ,. „ Г„ . „, = -^гЦг / 1^-^^-^-^Ы« =
О и
2 °° т
_ У Г du 7Г
о
Пусть у > 0; тогда, полагая и = г?/з/, имеем
dv
2^ / Г^2 =
у2и2 у J 1 + v2 у
Г du _ 1 г
/ i~;—2~Т ~ ~ 7
J I +y2u2 у J 1
Если ^/ < 0, то
Г du _ 1 Г du _ ir
У 1+?/2п2 ~ ^ У 1+v2 ~ ~2^'
Итак,
Учитывая, что F@) = 0, после интегрирования получаем
F(y) = | sign^/In A + |з/|).
142
оо
927. Пусть Г(х) = Itx~1e~t dt — гамма-функция, В(х,у) =
1 О
= /Vе A - tY'1 dt — бета-функция.
о
Доказать, что г/ ч = В(х,у).
1 [х -\- у)
Доказательство. Имеем
оо оо
Г(х)Т(у) = Iy^-V"^-*-7 dtdr.
О О
Сделаем замену переменных
t = иA — г?), т — и - v.
Якобиан данного преобразования —; J { = и > 0. Далее, t + т = и
@<u<oo), v = —?— (O^v^l).
Поэтому
оо 1
Г(х)Г(у) = Г Ги*-1^ - v)x-1uy-1vy-1e-uududv =
0 ° оо 1
= tux+v~xe-u dujv^1 (I - v)*-1 dv =
= Y[x + 2/)В(г/, х) = Г(ж + 2/)В(ж, у),
так как легко проверить, что В(х,у) =
928. Доказать, что
Доказательство. Для гамма-функции мы установили соот-
соотношение (см. [3, § 2.15])
Г(ж + 1) =хГ(х).
Применяя это равенство, получаем
Далее,
Г (I) = Jr^e-* dt=(t = и2) =
J J
О О
Подставляя это значение, получаем требуемое равенство.
143
Вычислить интегралы:
929. ху2 dxdy, если область D ограничена параболой у2 = 4х
D
и прямой х = 1.
930. \xy\dxdy, где D — круг радиусом 4 с центром в начале
D
координат.
931. xyz dx dy dz, где D — область, ограниченная поверхнос-
D
тями х = 0, у = 0, z = О, ж2 + 2/2 + z2 = а2.
2 2 2
932. ///а/1 т~тт~ —dxdydz, где D — внутренность
JJJ V а о2 с2
D
х2 у2 z2
эллипсоида — + ^т Н—т = 1.
а2 о2 с2
933. Найти площадь, ограниченную кривыми
у2 = р2 + 2рх, у2 = р2 — 2рх (р > 0).
934. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z = x2+y2, y = x2, у = 1, 2 = 0.
935. Найти координаты хо,уо центра масс однородной пластины,
ограниченной кривыми х = ш/, у — х = 2а (а > 0).
Глава 8
Вычислить криволинейные интегралы:
936. /(ж2 + у2) ds, где с — кривая х = a(cost + ts'mt), y
с
= a(sin? — tcost) @ ^ t ^ 2тг).
937. xyds, где с — дуга гиперболы ж = асп?, 2/ =
((К * ^ го)"
938. (х2 + a2y2)ds, где с — окружность ж = cos?, у = si
@ ^* ^ 2тг).
144
939. Найти длину дуги пространственной кривой Г
/3 2 3
х = at, у = \ I — abt , z = bt [а > 0, 6 > 0)
/ /3 \
от точки @,0,0) до точки А— \а,\\ - ah, Ъ\.
Решение. Из определения криволинейного интеграла (см. [3,
§ 3.2]) видно, что в случае, если подынтегральная функция равна 1,
криволинейный интеграл равен длине дуги кривой, вдоль которой вы-
вычисляется этот криволинейный интеграл. Поэтому
1 1
|Г| = Г ds= Г л/а2 + 6abt2 + 9b2t4 dt = Г (а + 3bt2) dt = а + Ъ.
го о
940. Найти длину кривой х = e~f cost, у = e~f sint, z — e~l
@ <t < oo).
941. Вычислить криволинейный интеграл
f(xdy -ydx),
г
где:
а) Г — отрезок прямой, соединяющей точки О — @, 0) и А — B,4);
б) Г — дуга параболы у = ж2, соединяющая точки О и А.
Вычислить криволинейные интегралы, предварительно убедив-
убедившись, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал:
B,4) @,2)
942. Г (xdy + ydx). 943. / УЛх~
(-1,2) B,1)
944. / f(x + y)(dx + dy), где f(t) —дифференцируемая функция.
@,0)
(а,тг/4)
945. / ex(cosydx — sin у dy).
@,0)
946. Вывести формулы:
a) grad (ci/ + C2g) = c\ grad/ + C2 grad^, где c\, C2 — постоян-
ные;
б) grad (^ =
145
в) grad ?/>[/] = ф'(/) grad /, где ip(t) — дифференцируемая функ-
функция одного переменного.
947. Найти grad U(x,y,z), если:
a) U = г; б) U = /(г);
где г = ух2 + у2 + z2, / — дифференцируемая функция.
948. Найти величину и направление градиента поля
U(x,y) = ах2 + Ъу2 -dxy (а > О, Ъ > О, d > 0)
в точке Л = B,1).
Определить, в каких точках grad U равен нулю и в каких точках
он перпендикулярен оси Оу.
949. Вывести формулы:
а) div (ciai + С2«2) = ci divai + С2 diva2, где ci, С2 — пос-
постоянные;
б) div (/ • с) = grad/ • с, где с — постоянный вектор.
950
.Вычислить divf-j, где г = \Jх2 + у2 + z2, r = (x,y,z).
951. Вывести формулы:
а) rot (cidi + C2CL2) — с\ rot cl\ + С2 rot a2, где с\, C2 — постоянные;
б) rot (f/c) = gradf/ x с, где с — постоянный вектор.
952. Вычислить rot г и rot гс, где г = (x,y,z),r = \Jх2 + у2 + z2,
с— (ci, C2, сз) — постоянный вектор.
953. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал С/, и
найти U, если потенциал существует:
а) а = Eж22/ - 4ж^/)г + (Зх2 - 2y)j;
б) а = (у + z, х + z, х + у).
954. Какие из уравнений являются уравнениями в полных диф-
дифференциалах:
а) Bх2 +y)dx + (Зх + 4у) dy = 0;
б) (ах2 + by2) dx + Bcyx + г/2) ф = 0?
Решить уравнения:
955. (х + у) dx + (х + 3?/) ф = 0.
956. (ж2 + ^/2 + 4ж) б?ж + 2ж^/ ф = 0.
957. B/ + z) dx + (ж + 2г) ^ + (ж + 22/) ^ = 0.
146
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:
958. / [(сх + у) dx — (х + dy) dy], где Г — эллипс х = a cost, у =
г
= bsint, с, d — произвольные числа.
959. / [(х + су) dx — (у + dx) dy], где Г — эллипс (см. задачу 958),
г
с, d — произвольные числа.
960. Найти интеграл / [у2 dx + A + 2ху) dy], если точки А и В
АпгВ
лежат на оси Ох, а D — область, ограниченная путем интегрирова-
интегрирования АтВ и отрезком АВ.
/х\ п
961. Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой С: f - ) +
~*~ \h) =l(a>0> b > 0, п>0)и осями координат.
Решение. Легко видеть, что х = acos2//n у?, 2/= 6sin2//n </?
(О < у? < тг/2) есть параметрические уравнения кривой С. Поэтому
S = - J (xdy-ydx),
г
где Г — контур, состоящий из кривой С и отрезков осей координат.
Далее,
с
тг/2
о
\ J(Ody -y-0) +
ь
а
1 Г 1 Г
^ I (х -О-Odx) = - I (xdy -ydx) =
о с
тг/
Iff 2ab 2/r>-M • 2/п — 1 2а6 . о/эт-м 2/п — л \ i
= - / cos2/n+i у? • siir/n о? Н sm2/n+i у? • cos2/n i у? ) б?о? =
2 J \ п п /
о
тг/2
= — / [cos у? • sin </?J 7 ay?.
0 ,
Сделаем замену переменного: sin у? = z, dtp = Тогда
= Об Ь/„-1A _ ^,1/n-l ^ = {z2 = t) =
п J
0
(см. задачи 927, 928).
Заметим, что при п = 2 мы получаем четвертую часть площади
эллипса (nab/4).
147
Глава 9
Разложить в ряды Фурье следующие функции:
(ах, -тг < ж ^ О,
962. г (ж) = < 7 где а, 6 — постоянные.
v У \bx, 0 ^ ж < тг,
963. /(ж) = ж sin ж в интервале (—тг, тг).
964. Периодическую функцию f(x) = | sinx|. Найти сумму ряда
+ + +
965. Периодическую функцию /(ж) = | cosx|.
966. Найти скалярное произведение функций
f(x) = 8т2ж, <р(х) = cos ж @ ^ ж ^ тг).
967. Найти норму функции /(ж) = 1 — ж2 @ ^ ж ^ 2).
Исследовать на равномерную и среднеквадратическую сходимости
последовательности функций:
968. /п(ж) = хп - х2п @ ^ ж ^ 1).
969. /п(ж) = ^—^ @ ^ ж ^ 1).
Решение. Легко видеть, что последовательность fn (ж) сходится
к функции ,
Сходимость будет неравномерная, так как
sup fn — —^ 0 при п —у оо.
Покажем, что данная последовательность сходится к функции ф(х)
в смысле среднеквадратического. Так как значение интеграла не за-
зависит от значения функции в одной точке, то достаточно показать,
что fn(x) сходится к нулю в смысле среднеквадратического:
оо.
970. Найти функцию </?(ж), если:
a) J
о
148
оо оо
) J<p(y) cos Ж2/ ф = 1 + ^2; б) у у?(?/) cos ж?/ ф = ехр (-ж2).
Глава 10
971. Решить методом Фурье уравнение поперечных колебаний
балки ^4 д2
при условиях
/п *\ п *\ n du@,t) du(l,t) п
Ц0,*) = u(l,t) = 0, —Ш = -Ш = 0,
которые выражают тот факт, что оба конца балки закреплены:
u(x,0) = f(x), ^Sl=F(x). A)
Решение. Будем искать решение в виде
u(x,t) = T(t)-X(x).
Подставляя эту функцию в уравнение, получаем
Таким образом, для функций Х(х) и T(t) мы получили обыкно-
обыкновенные дифференциальные уравнения.
Для уравнения
Х^ - 14Х = 0 B)
характеристическое уравнение имеет вид
г4 = Л4.
Решая это уравнение, получаем четыре различных корня:
г\ — -Л, г2 = Л, г3 = —гА, г4 = гА.
Поэтому общее решение уравнения B) запишется в виде
Х(х) = а\ ch Хх + а2 sh Хх + Ь\ cos Аж + b2 sin Аж.
Исходя из условий задачи функция Х(х) должна удовлетворять
условиям
Используя C) для х = 0, получим
bi = —ai, b2 = -а2.
Итак,
X (х) = ai (ch Аж — cos Хх) + a2 (sh Хх — sin Аж).
Далее, используя C) при х = /, получим
{ai (ch XI - cos A/) + a2 (sh A/ - sin XI) =0,
D)
Aai (sh XI + sin A/) + Aa2 (ch XI — cos XI) = 0.
Таким образом, для определения коэффициентов ai, a2 мы полу-
получили линейную однородную систему. Чтобы система D) имела нетри-
149
виальное решение, необходимо, чтобы определитель системы равнялся
нулю:
ch XI — cos XI sh XI — sin XI
или
A(sh XI + sin XI) A(ch XI - cos XI)
= 0,
chA/-cosA/ = l. E)
Уравнение E) имеет счетное число положительных решений
Ai, A2, ... , Ап, ...
Теперь для определения коэффициентов ai, 0,2 достаточно рассмот-
рассмотреть одно из уравнений системы D). Считая а\ произвольным, нахо-
находим а,2 (при А = Ап). Тогда значению Ап будет соответствовать функ-
функция
Хп(х) = (shAn/ — sin An/)(ch Xnx — cosAnx) —
— (ch Xnl — cos Xnl) (sh Xnx — sin Xnx). F)
Итак, числа An являются собственными значениями, а Хп(х) —
собственными функциями (соответствующими Ап) краевой задачи B),
C). Функции Xi(x),...,Хп(х),... образуют ортогональную систему
на @,/). В самом деле,
Умножая первое уравнение на Хк, а второе — на Хп и вычитая из
первого уравнения второе, имеем
Х^Хк - Х^Хп + (Х4п - Х4к) ХкХп = 0,
или
j- [хкх^ _ Xnxi3)] - ± [х'кх'; - х'пх'к'] + {\4п - At) хкхп = о.
Интегрируя это уравнение на [0,/], в силу условий C) получим
fxk (x)Xn(x) dx = 0 (кфп).
о
Вычислим еще интеграл от квадрата функции Хп(х):
i i
jX2n{x) dx = \-4Jxn(x)X^(x) dx =
О О
= A \xn(x)X"'(x)^-Jx'n(x)X^(x) dx\ = -\-4Jx'nX: dx =
^ 0 J 0
= -A \x'n(x)X"(x)\lo-J[X':(x)}2 dx\ = \-4J[X':(x)}2 dx.
^ 0 J 0
150
Далее,
Вычислим интеграл:
fxX^(x)X'7l'(x)dx =
I I
= -Jx'nX™ dx - \ljxX'nXn dx =
= J[X'n]2 dx - X4nJxXnXfn dx.
тт 0 0
Далее,
jxXnX'ndx = x[Xn]2^-Jxn[Xn + xX'n] dx =
о о
I I
= -J[Xnfdx-fxXnX'ndx,
откуда
Теперь
= l\-\x:il)f-2,j[Xn(x)fdx.
Отсюда
151
Продолжим решение исходной задачи. При данном А = Ап реше-
решение уравнения
T"(t) = -\AnT(i)
запишется в виде
Tn(t) = cn cos X2nt + dn sin X2nt (n = 1, 2,...).
Общее решение исходной задачи можно теперь записать так:
сю
и(х, t) = ^ (cn cos X2nt + dn sin /
n=l
Коэффициенты сп и dn находим из условий A):
i i
Jf(x)Xn(x) dx 4X4nJf(x)Xn(x) dx
j[Xn(x)]2dx
о
I I
JF(x)Xn (x) dx 4X2n [F(x)Xn (x) dx
dn = -—-
7
lJ[Xn{x)Ydx
о
XlJ
о
Естественно, мы предполагали, что функции f{x) и F(x) удов-
удовлетворяют условиям теоремы Стеклова ([3, § 5.10]).
Отметим, что
972. Решить задачу 971 при условии, что
f(x)=2X2(x)+3X3(x),
F(x)=0 (Q^x^l).
973. Найти решение уравнения теплопроводности
ди д2и , п,
при начальном условии
и(х, 0) = f(x) = ах (—тг < х < тг)
и граничном условии
u(±n,t) = 0.
152
Глава 11
974. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел:
a) z = B + Зг)C - 2г); б) z = (а + Ы)(с + di);
л ( , l-\3 \ 2 + Зг
в) z = (а + ЫУ; r) z = j-^t.
975. Построить множество точек z, удовлетворяющих нера-
неравенствам:
a) \z\ < 3; б) \z-i\ < 1;
в) \z\ < 3, тг/2 < argz < тг; г) \z\ = 3;
д) 2 ^ \z-i\ ^ 3.
976. Найти главное значение логарифма:
a) In (-2); бIпA + г); в) 1п(ж + 2/г).
977. Найти суммы:
а) sin х + sin 2x + ... + sin пж;
б) 1/2 + cos х + cos 2x + ... + cos пж;
в) cos х + cos Зж + ... + cosBn - 1)ж;
г) sin ж + sin Зж + ... + sinBn — 1)ж.
978. Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) — аналитическая функция.
Проверить, что имеет место равенство
979. Найти сумму ряда
Решение. Данный ряд сходится равномерно на всей комплекс-
комплексной плоскости. Этот ряд можно почленно дифференцировать сколько
угодно раз, и все получающиеся ряды снова будут равномерно сходя-
сходящимися.
Имеем
153
Таким образом, функция S(z) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
и начальным условиям 5@) = 1, S"@) = S"@) = S'"@) = 0. Решая
это уравнение, получим
S(z) = - [chz + cosz].
980. Найти сумму ряда
+ +
981. Найти сумму рядов
ю
@ < х < 2тг).
сю сю
V^4 smnx \~^ cosnx
Решение. Согласно формуле Эйлера
егпх = cos пх + г sin nx,
поэтому достаточно исследовать ряд
сю
\ ^ J- inx
^—' П
п=1
Так как
1
— = tn dt,
п J
о
то
сю сю 1 JV 1
V- I einx = V- Лп-1
^ п ^^У _..__.
п=1 п=1 0 1 О
1 TV I N
= lim fytn-1einxdt= lim [ У (teix)n - =
0 1 1
N^oo J 1 - ?егж t
J N^ocJ
0 1 0 1
= lim lim / : at = lim / — = / — =
S^o n^oo J 1 - telx d^o J I- telx J I- telx
0 0 0
1
= — ln(l - telx) = -In [1 - cos x - г sin ж] =
о
— sin ж
= — In 11 — cos x — i sin x\ — i arctg
1 ' 1 - cos x
154
= --ln4sm - -zarctg^tg^— J =
(О <ж < 2тг).
Выделяя действительную и мнимую части в ряде V^ — егпх, по-
ЛуЧИМ оо оо
\~^ COS ПЖ 1 , , . 2 х \~^ sin пж 7Г — Ж
> = — In 4 sin -, > = .
^ п 2 2' ^ п 2
1 1
Замечание. Можно сразу выделить действительную и мнимую
части из интеграла
ill 1
егжс?? Г dt Г cosx — t
Г е dt Г dt Г cosx — t ,, . . Г dt
\ — = / —: = / at + г sm х \ .
Jl-telx Je~lx-t J 1 -2t cos x + t2 J 1 - 2t cos x -\-12
0 0 0 0
После вычисления интегралов получим прежний результат.
982. Найти суммы рядов
п=2 п=2
Указание.
-— = = - [— —1 = - f(tn-2 - tn) dt.
-1 (n+l)(n-l) 2Ln-l n+lJ 2 У v J
о
1
n ()()
сю
Необходимо исследовать ряд ^^ — егпх
2
983. Найти суммы рядов
(n + a)(n + /3)
n=l n=l
(a>-l, /3>-l, a^/3)
Указание.
[1 i
-L *¦ \ *¦ f [j.n+a — 1 j.n-\-j3 — l~\ j-l
—T ——о — "Б^— I \p —tH\at.
* о
984. Используя теорию вычетов, показать, что
on OO
жйж тг т Г xdx тг
г Г xdx тг r f xdx тг
о о
тг/2 тг/2
= / In sin ж с?ж = — — In 2, /4 = /in cos ж c&r = — — In 2.
155
Решение. Рассмотрим интеграл от функции f(z) = — по
контуру Г, составленному из: отрезка [О, R] оси Ох; отрезка z = R + iy,
О ^ У ^ ъ\ отрезка z — ж + тгг, 0 ^ х ^ R; отрезка z = iy, 0 ^ у ^ тг.
Будем считать, что контур Г мы обходим против часовой стрел-
стрелки. Функция f(z) будет аналитической внутри Г, и поэтому
или
R тг О О
xdx f(R + iy)idy Г (х + тгг) dx f iyidy _
fjrdx_ f(R + iy)idy Г (х +
J ex_1^J еП+гу_1 ^J _(е*
О О Я
о о
Так как
(eR cos 2/ — IJ + e2R sin2 у e2R — 2eR cos у + 1
eR(eR — 2 cos у) + 1
то
L + iy)idy
К ->• оо.
о
Переходя в A) к пределу при i? —>¦ оо и разделяя действительную
и мнимую части, получаем
_ j у sin у dy
J 2A -cosу)'
и и О
Отсюда
h + h = тг2/4,
7Г ОО ОО
Г г/ sin г/ dy _ Г dx _ Г dz _ , ^
J 2A - cos 2/) ~ ^J ех + 1 ~ ^J z(z + 1) ~ Ж z + 1
О 0 1
сю
= тг1п 2.
Очевидно, что
on on
v dv 1
откуда
Из равенства 1\ + /2 = тг2/4 находим, что Д = тг2/б и /2 = тг2/12.
Далее,
156
= 2
у In sin у
n/2
0
0
71 / А 71 / А
/ In sin ^/ dy\ = —2 / Ins'my dy.
Итак, мы получили, что
тг/2
/3 = / In sin у dy = - - In 2.
о
Замена переменной х = — — t в /4 показывает, что /4 = h-
985. Доказать, что
7 х3 , _ тг4 °f х3 dx _ 7 4
J с — 1 lo J е + 1 izU
Глава 12
986. Найти изображение Лапласа функции f(t)=ta (а > — 1).
оо
Решение. ip(p) = L[f;p] = e~ptta dt. Полагаяpt = ^/, получаем
о
оо
Уу" dy = ^
О
где Г(?) — гамма-функция.
В частности, если а = п натуральное, то Г(п + 1) = п! и </?(р) =
987. Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирова-
дифференцирования изображения, найти изображение функции f(t) = tchat • cos bt.
Пользуясь теоремой интегрирования изображения, найти изобра-
изображения функций:
988. f(x) = е~аХ^кх.
Решение.
Sin KX = —z ¦ ттг 1 & Sin /СЖ = - ¦ гт; : ттг •>
е ах sin kx ^ f kdq _ q + a
тг р + а А;
2_arctg__=arctg_T
157
989. f(x) = cosax~cosbx.
X
Найти частные решения дифференциальных уравнений, удов-
удовлетворяющих начальным условиям:
990. у' + ау = Ъ, у@) = 0.
991. у'+ ay = f(x), 2/@) = А
Решение. Введем функцию z(x) = у(х) — А. Эта функция удов-
удовлетворяет уравнению
z1 + a(z + A) = /(ж)
и начальному условию z@) = 0.
Данное уравнение будем решать с помощью формулы Дюамеля.
Решаем сначала уравнение
Z[ +CLZ! = 1, *i@) =0.
Пусть z\ (p) — изображение решения z\ (x). Тогда
Далее,
z(p)=pz1(p)\F(p)-±A\,
где F(p) — изображение функции f(x).
По формуле Дюамеля
= [f(x) - aA]Zl@) + j[f{r) - aA]z[(x - т) dr =
0
x
= f[f(r) - aA]e~a^-T) dr.
о
Отсюда х
z(x) = //(т)е-а(ж-г) dr - Ae~ax(eax - 1),
о
y(x) = Ae~ax + fe-aTf(x - r) dr.
о
992. y" + 2y' + 2y = 0, y@) = A, y'@) = B.
Указание. Вспомогательное уравнение имеет вид
(р2 + 2р + 2)у(р) = (А + В)р2 + 2А,
158
993. Найти общее решение уравнения
у'" - Зу1 + 2у = Dж2 + 4ж - 10)е~ж.
Решение. Составим операторное уравнение:
Р3У(Р) ~ Р2У(О) - ру'@) - у"@) - 3ру(р) + 3^/@) + 2у(р) =
8,4 10
Отсюда
2 - 16р - Юр2
Так как у нас начальные условия отсутствуют, то 2/@), ?/@),
2/"@) — произвольные числа. Разлагая правую часть последнего ра-
равенства на простейшие дроби, получим
р-1 [р-ч р + * (p+lr (p+i.)z р+1
Согласно таблице изображений находим
у(х) = cie~x + с2хе~х + с3е~2х + (ж2 + х - 1)е~х.
994. Найти общее решение уравнения 2/ + 2/" = cos ж.
995. Показать, что сумма ряда
сю
S = У (±1)>(п)
равна
где f(x) .=
Решение.
n=m о
оо сю оо
/" v^ - С (±1)пге~пгх
= / /(ж) ^^ (=Ы)пе пх dx — I /(ж) -—-——— dx.
О п=т о
Найти сумму рядов:
сю
996. 5 = V^
^ п(п+ 1)
Решение. Будем использовать задачу 995. В данном случае
т = 1, ip(n) = —т г = . Следовательно, f(x) = l — e~x.
п(п + 1) п п + 1
159
На основании формулы из задачи 995 получаем
= 1.
О
1 1
сю сю
\п+1
1 1
Решить системы уравнений:
999. \У, Z 3Z~ У] х у@) = *@) = 0.
^2 — у -\- z -\- е ,
1000. (< - 2у ~4z = С08Ж' 1,@) = z@) = 0.
[z —у + 2z = smx, yy J v y
f!/' = ^-t,
1001. lz' = t - 2y, y(O) = 1, z@) = i@) = 0.
(t' = 2y-z,
1002. <^ У, +?z ~nU'
ПРИЛОЖЕНИЕ II *)
Глава 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Последовательности
юоз. Хп =
1004. хп =
1006. хп =
k=i
к
1007. Найти supxn, inf жп для последовательностей, указанных
в задачах 1005, 1006.
1008. а) Для каждого е (е = 1, е = -, е = —, г = у
ука-
указать такое 7V, что
- 1
< е для любого п ^ N.
б) Доказать, пользуясь только определением предела последова-
последовательности, что
= 1.
*) Автор приложения II — А. Ф. Кутасов.
161
Исследовать на сходимость последовательность:
1010. хп = п(~1}
1009. хп = -—sin—-.
у/п 2
1011. хп —
+ 2 ЪП
cos —-
п 4
Найти пределы:
1013. lim ^/а, а > 0.
п—>-оо
1015. lim ?/n.
1012. жп = <Д
1Гк1 А r In п
1014. lim .
п—^сю П
*)*"¦
Найти пределы:
1016. 1017. lim
т { /9,-1 А^ 7А п^оо
lim у ^ + 1 - уп2 — 1 1.
п—^сю V /
Доказать, что последовательность имеет предел, и найти его:
1018. жх = 13, xn+i =
1 01 Q Ti>0 г 11— - т -I- —- I <7>0
lUli/« «/у ]_ х^ U, «/y^_L[[ I «//77. *^ 15 ^
2 V ж„/
1020. хх = Х-, хп+1 = 1-4.
1021. Верны ли утверждения:
а) каждая бесконечно большая последовательность неограни-
чена;
б) каждая неограниченная последовательность является беско-
бесконечно большой.
Выяснить, является ли последовательность фундаментальной:
1О22.Ж„ = ^±1. 102Ъ.Хп=ПС°*™-1
Зп + 2
2п
1025. *„ =
к=1
А;=1
Найти lim xn, Итжп, supxn, infxn:
l + (l + (-l)nJn
1026. ,„ =
-* гло^ П + 2 . 7ГП ^
1027. жп = sin —-, п > 1.
п — 1 3
1028. Построить последовательность, множество частичных
пределов которой:
а) состоит из трех чисел;
б) счетно.
162
§ 2. Функция. Предел функции. Непрерывность
Найти область задания функции:
1029. у = lg(l -2 cos ж). 1030. у = arccos B sin ж).
Найти множество значений функции:
1031. у = \/ ' . 1032. у = arccos ¦
1033. Найти функции:
а) /Ы; б) #(/); в) /(/); г) д(д);
О, ж^О, 10, ж ^ О,
если / = < д = < 9
|^ж, ж > 0, [-ж2, ж > 0.
Найти обратную функцию для функции у = /(ж):
1034. у = 72ж
1 - ж + л/1 - 2х - Зж2
lUOu» у — о , Ju t: [¦", <-*J•
Выяснить, является ли функция периодической; найти ее наи-
наименьший период (если он существует):
1036. у(х) = tg J + tg ^. 1037. 2/(ж) = si
1038. 2/(ж) = s
, ч II, если ж — рациональное число,
1039. у(х) = {'
I U, если ж — иррациональное число.
Найти пределы:
-тлп г ж101-101Ж + 100 Л€ХЛЛ v у/Е^х-
1040. lim — . 1041. lim
22\1
. 1041. lim .
х2-2х-\-1 х^ъ 3 - л/4 + х
1042. lim (л/4ж4 + 13ж2 - 7 - 2ж2У
х—^сю V /
1П/1О r COSC^2) — 1 лс\лл т /^ ^
1043. lim v fi/ J ч—. 1044. lim
ж^0 SinbB^) ж^тг/2 V
1045. lim 1пСО85ж. 1046. Н
1047. lim (\Jx2 + 8ж + 3 - л/х2 + 4ж +
ж—У — сю V
163
1048. Найти /Оо - 0) и /(ж0 + 0), если:
а) /(ж) = sign cos ж, жо = —;
2хп — 3
1049. При каких а и /3 функция
f(x) = у 4ж2 +х — 1 — ах — C
является бесконечно малой при х —> +оо?
1050. Найти lim /(ж) и lim f(x), если:
ж-И) ж-^0
a)/(z)=sin±; б) f(x) = e™^'*^.
Исследовать на непрерывность функцию f(x) и определить ха-
характер точек разрыва:
Ю51. f(x) = iz^i?. Ю52. f(x) = 4^г-
1053- Я*) = ! + 21Л-1) -
Л/ ч I ж, если х — рациональное число,
1054. /(ж) = <^
10, если ж — иррациональное число.
j ж, если ж — иррациональное число,
1055. fix) = \ . .
у l/q, если х = р/д, pGZ,gGN,
где p/q — несократимая дробь.
1056. Функция /(ж) непрерывна на [а;+оо), существует конеч-
конечный lim /(ж). Доказать, что /(ж) ограничена на [а; +оо).
х—>-+схэ
1057. Доказать, что функция
Jsin(l/x), если ж т^ О,
''^ ~ | -1, если ж = 0,
на любом отрезке [0; а] принимает все промежуточные значения
между /@) и /(а), но не является непрерывной на [0;а].
1058. Функция /(ж) непрерывна и периодична с периодом Т. До-
Доказать, что существует точка жо такая, что
164
§ 3. Производная
Указать область существования производной функции у = у(х) и
вычислить ее:
Ю59. у = агСШ8Ж. 1060. у = хх.
arcsm х
In х
1061. Найти dy в точке xq\ у = arctg :
х
а) хо = -; б) хо = е.
е
1062. Вычислить производную функции у(х), если:
а) у = хх ; б) у = х2*; ъ) У = 2Ж*.
1063. Исследовать на дифференцируемость функцию 2/(ж), если:
ч . , \ х2, если ж — рациональное число,
а) у = х\х\] б) <^
10, если ж — иррациональное число.
1064. Найти производную обратной функции х(у), если:
х2
а) 2/(ж) = -, ж < 0; б) у(х) = сЬж, ж > 0.
± "т" Ж
Указать область ее существования.
1065. Найти у'х, если
х = acost, у = bs'mt, 0 < t < п.
1066. Найти у'х, если функция у(х) задана неявно уравнением:
а) J-fl = 1' У>°-> 6)^+^ = 2.
1067. Найти в точке A; 2) дифференциал функции у(х), заданной
неявно уравнением у3 — у = бж2.
1068. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у4 — 4ж4 — бху = О
в точке A;2).
§ 4. Производные и дифференциалы
высших порядков
1069. Найти производную второго порядка для функции
arcsin х
у = ,
V1 — х2
в точке ж = 0.
165
1070. Найти второй дифференциал функции
у = ху/(х- 5J
в точке ж = —3.
d и
1071. Найти в точке @;4) производную —-|, если
2t -t2 t2
rp —— n 1 ——
t-1 ' y ~ t-1'
1072. Найти —-, еслиж = к^-, y = \ntgt.
1073. Найти в точке @; 1) дифференциал d2y, если
2 In (у — ж) + sin xy = 0.
Найти у(п':
1074. у = ^-^ ^- \07Ъ.у = Ы(х-1Jх.
х2 — 4ж — 12
1076. у = ж . 1077. ?/ = (ж2 + ж) cos2 ж.
1078. ?/ = е2ж sin2 ж.
1079. Найти 2/2OUtH, если у = 2(ж - ctgx) sin2 ж.
1080. Определить, какого порядка производными обладает в точ-
точке ж = О функция
, ч (shx —ж, если ж < О,
I ж — sm ж, если ж ^ 0,
и вычислить в этой точке все существующие производные.
1081. Найти кривизну кривой:
а)ж2/3+у2/3=а2/3;
б) ж = t — sin t, у = 1 — cos ?, z = 4 sin -.
§ 5. Теоремы о среднем
1082. Записать формулу Лагранжа для функции:
а) /(ж) = у/Зх3 + Зж на отрезке [0; 1];
*w/ ч JC-^2)A если (К ж ^1, гп о1
б) /И = S . / ^ -, на отрезке 0; 2 ,
I 1/ж, если ж > 1,
и найти соответствующее значение ?.
166
1083. Доказать, что если функция f(x) дифференцируема п раз
на отрезке [а; Ь] и обращается на нем в нуль в п + 1 точках, то сущест-
существует ? Е (а; Ъ) такое, что /'п'(?) = 0.
1084. Доказать, что если функция дифференцируема на интерва-
интервале, а ее производная принимает значения разных знаков, то на этом
интервале существует точка, в которой производная функции обра-
обращается в нуль.
Указание. Используйте теорему Ферма.
1085. Пусть f(x) — дифференцируемая на [0; 1] функция, /@) =
= /A). Доказать, что существует точка ? Е @,1) такая, что
ПО + § ПО = /(о)-
Указание. Примените теорему Ролля.
1086. Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [0;1],
/@) = 0, \f(x)\ <С i \f(x)\ для всех х е [0; 1]. Доказать, что f(x) = 0,
х е [0;1].
Указание. Воспользуйтесь теоремой Лагранжа.
1087. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и диффе-
дифференцируема на интервале (а; 6), где а > 0. Доказать, что существует
точка ? е (а; Ь) такая, что -^-^—-^-^ = /(?)- ef (f).
f (ж) 1
Указание. Запишите теорему Коши для функций ^-LJ. и _.
ж ж
§ 6. Формула Тейлора
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х =
до о((х — хо)п) функцию:
1090. у =
/1 — ж
1091. ?/ = (х2 + 4ж + 2)е~2ж, ж0 = -2.
1092. у = In Bж2 + 7ж + 5), ж0 = -3.
167
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х =
до о((х — ХоJп) функцию:
1093. у = —^?==, хо = 2.
у/х2 — 4ж + 8
1094. у = arctgx, жо = 0.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки хо до
о((х — жоJп+1) функцию:
1095. у = sin2 х cos2 ж, ж0 = 0.
1096. у = Bх2 +4х- 1)еж2+2ж, ж0 = -1.
1097. С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в фор-
форме Лагранжа с точностью до 10~ вычислить arctg 0,8.
§ 7. Раскрытие неопределенностей
Применяя правило Лопиталя или формулу Тейлора, найти пре-
пределы:
Ю98. lim f ~l . 1099. lim ^.
ж->-1 2ж3 — X — 1 ж^+оо у/Х
т10 _ 1ПТ _|_ Q та
1100. lim Х . I V- 4
1Ю2. lim i^, a > 0, /3 > 0.
ж-^+оо ХР
ПОЗ. lim f—^ т^-в) ' ^
1104. lim -arctgx . 1105. lim ^
ж-^+оо \7Г / ж-^0 Xs
1106. lim (x-x2\n(l + -)
ж-^оо V \ X J
11Af_ ,. 3 cos x + arcsin x — 3
H07. hm
lino г
1108. lim
In (l-ж2)
е2ж-сЬ2ж-2ж
:
tg2x — 2 sin ж
1109. lim S''-<M*-
In A + x arctg x) — sin x
168
1110. lim
1111. lim
ex - 1 -x2/2/
l/(lncos 5ж)
x
§ 8. Исследование функций и построение
их графиков. Построение кривых
Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1112. у = -. iii3.j/=-^L
х х + 50
Найти максимумы и минимумы функции:
ж3 + 2ж2 In2 ж
1115^
1116. у = жж. 1117. ?/ = ^/х2\2-х\.
1118. Найти экстремумы, наименьшее т и наибольшее М значе-
значения функции
3l+1l
1119. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
х3
У 12 +ж2'
Исследовать функции и построить их графики:
1121. у =
' (ж-2J' ""-г/ A-со8жJ'
1122. у = \/ж2 + ж3. 1123. ?/ = ^/|ж(ж + 2)|.
Построить кривые:
1124. х= (^~3J, 2/ = * И" —-
1125. ж = 2* + In |t - 1|, 2/ = t + In |t - 1|.
1126. Найти наибольшую кривизну кривой
169
§ 9. Неопределенный интеграл
2 3
1127. Для функции у = -, х Е (—оо;0), найти первообраз-
первообразам х2
ную, график которой проходит через точку (—1; 1).
Найти интегралы:
1128.
ИЗО.
xdx
¦ dx.
1132. / , Х 6* dx.
1134
(х + 2J
х4 - 2х + 5
Г х* - 2х +
' У ж4 - 2ж3 + !
dx.
5ж2
изв. [ , dx
J л6Лж-7OГж-5M
1138
1140.
с?ж
-§/жс?ж
1129. f dx
J xWx2 - 1
1131. feaxsmbxdx, a2 + b
ii33. f з f мл.
J x3 - x2 - x + 1
1135.
1137
dx
л/1 + 2ж - ж2
1139. / 2^Ж . .
J sin ж cos4 ж
4 — sin ж
1141. Найти все первообразные функции / = е'ж'.
§ 10. Определенный интеграл
Вычислить интегралы:
In 2
1142. [ л/еж - 1 da;.
1144
а
/I гу <Т
dx.
1143.
о
1
1145. [
о
1146. Вычислить
±1
г! т I
1 +
170
Доказать неравенства:
200 _5х 400
_5х
1147. О < /- ^ < 0,01. 1148. О < f^^dx<0,02.
J ж+ 20 У л/ж
О 100
1149. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды
х = a(t — sin?), у = аA — cos?), t G [0; 2тг],
и отрезком [0; 2тга] оси абсцисс.
1150. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
г2 = 2а2 cos2(/?.
1151. Найти длину дуги кардиоиды
г = аA - cosy?).
1152. Найти длину кривой
Зж-спЗ^/ = 0, ?/ G [О;тг].
1153. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной кривыми
у = sin2 ж, y = xsmx, жЕ[О;тг].
1154. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
фигуры
arcsinx2 ^ ?/ ^ тг/2, х е [—1; 1].
1155. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой
у = л/Т=Ъс, ar G [-1; 1/2],
вокруг оси Ох.
§11. Несобственные интегралы
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходи-
расходимость:
4 0,5
_. 1157. /-^-.
Ж + л/Ж J Ж In Ж
о о
тг -2
1158. ftgxdx. 1159. / 7 .
У У жл/ж2 - 1
0 — оо
171
1160. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Де-
Декарта 3,3 о
F х6 + у6 = Заху.
1161. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, получен-
1
ной вращением кривой у = вокруг ее асимптоты.
X "т" X
Исследовать на сходимость интегралы:
_ах 1W3 mxag
у/х + arctg х J vsin x
+ ОО
1164. / (ж + 3)^,
-1,5
1165. Доказать неравенства
+ ОО
0,25<
1
Найти все значения параметра а, при которых сходится интеграл:
+ ОО +ОО
/In т Г -I m т
с/ж. 1167. / x arctga dx.
Xa J 1 + X
1 0
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы:
+ ОО 1
11ло f 1пж , 11лп (sins I ,
1168. / ——cosxdx. 1169. / cos —— dx.
л/т та л3/т
«/ Д/ Jb J Jj Д/ Jb
1 1
+ ОО
1170. Может ли сходиться интеграл / f(x)dx, если f(x) не-
о
прерывная и неограниченная на любом промежутке [а;+оо), а > О,
функция?
§ 12. Числовые ряды
Исследовать на сходимость ряд:
сю
1172.
, п + I / ^^ п"
га=1 п=1
1173.
172
1174. У^ (coscos cosch - ) .
n=l
П1П2A+П)
сю
^-^ sinn
1177.
1178.
sinn
n=l
n=l
Найти все значения а, при которых ряд сходится:
а) абсолютно; б) условно:
(zlL.
1180.
("I)"
§ 13. Функциональные последовательности
и ряды
1181. Найти предельную функцию f(x) последовательности
fn(x) = (х - 1) arctgxn, ж > 0.
Найти предельную функцию f(x) последовательности и исследо-
исследовать ее на сходимость и равномерную сходимость на заданных мно-
множествах:
1182. fn(x) = 1+W^%4: а) [0; 1]; б) [1; +оо).
. /„(*) =
nx + yj x sin x
nlnn ,
n2 + In2 x '
1185.
п2ж,
1186. fn(x) = {n2B/n-,
о,
если ж G [0; 1/n],
если x e A/n; 2/n),
если ж G [2/n; 1].
173
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд на за-
заданных множествах:
сю
iio^T V^ Sin ПЖ Sin Ж
1187. >
\/п + х
п=1
сю
X
1188. V - arctg ^^: а) @; 1); б) A; +оо).
п ~ п
га=1
сю
1 . 1
2
1189. V -^^r sin -: а) @; 1); б) A; +оо).
*-^ п + х1 п
га=1
n=l
1191. Исследовать на непрерывность функцию
1192. Является ли функция
п=1
непрерывно дифференцируемой?
сю
1193. Можно ли ряд 2_^ arctg — почленно дифференцировать
на R? n=1
1194. Вычислить интеграл
2тг / СЮ 2 \
I \
J \ ^ п2 + п
О \п=1
§ 14. Степенные ряды
Найти радиус сходимости R и интервал сходимости. Исследовать
ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала схо-
сходимости:
1195. ± ?±ЫГГ{Х + 1Г. 1196.
n=l n=l
174
Найти радиус сходимости R ряда:
1197. V ^±1 zn. 1198. V ?-(z - lfn
*-^ 4П+2 *-^ п2
п=1 п=1
1199.
п2 + Зп + 2 '
71=1
Разложить в ряд по степеням х функцию f(x) и найти радиус
сходимости полученного ряда:
1200. /(ж) = -f—^—. 1201. /(ж) = cos2 ж.
1202. /(ж) = ж In (ж2 + л/9 + ж4).
1203. /"(ж) :
1204. Найти сумму ряда ^. •
п=1
1205. Вычислить с точностью до 10 интеграл
1
|5^dr.
о
§ 15. Функции многих переменных
1206. В n-мерном евклидовом пространстве дан куб с ребром а.
Найти: а) длину диагонали куба; б) число вершин куба.
1207. Является ли открытым в Мп, п > 1, множество всех точек
круга
Т2 -\- Т2 <Г 1 Г • — П }-1 i Г7?
О/-^ ~О/2 \ J-5 ^^ ^5 ^ <J,t:,...,/6.
1208. Является ли множество, на котором определена функция
z = arccos Bу + 2ух2 — 1):
а) замкнутым; б) открытым в М%; в) областью;
г) связным?
1209. Найти линии уровня функции
z =
(х +1J + г/
2-
1210. Найти: 1) lim lim z\ 2) lim lim z\ 3) lim z\ если:
жИ)г/И) г/И)жИ) жИ)
ж-И)
х
1 11 у
a) z = ж + у sin -; б) z = ж sin —\- у sin -; в) z = — tg.
х у х х х -\- у
1211. Вычислить:
a) limtl + xI/^2^; б) lim xysin—.
О у^оо
1212. Найти точки разрыва, указать точки устранимого разрыва
функции
JX 'yy 1п|1-ж2-4у2Г
1213. Пусть функция / непрерывна и принимает как положитель-
положительные, так и отрицательные значения на открытом множестве ^Cin.
Является ли множество точек х Е Е, в которых f(x) ф 0:
а) открытым в Жп множеством;
б) областью?
1214. Исследовать функцию на дифференцируемость в точке @; 0),
если:
a) z = \/ху; б) z = cos -
1215. Найти все значения а, при которых функция
0, х2+у2 = 0,
дифференцируема в точке @;0).
1216. Найти дифференциал указанного порядка в заданной точ-
точке для функции z(x,y), если:
а) z = -ex\ @;l), n = 2;
у
б) z = ж cos 2/ + 2/sin ж, @;0), п = 3;
в) z = cos ж ch^/, (тг; 0), п = 6.
1217. Найти cb и б?2^, если - = In—hi.
z у
1218. Найти степень однородности т (см. задачу 870) для
функций:
а) и = —— -, х\ > 0; б) и = уж2 + х\
п-\
в) и =^
к=1
176
§ 16. Формула Тейлора. Экстремумы функций
многих переменных
1219. Разложить функцию и = x\J\ + у по формуле Маклорена
до о(р2), р = \/х2 + у2] записать остаточный член 2-го порядка в фор-
форме Лагранжа.
1 + х
1220. Разложить функцию и = arctg по формуле Маклоре-
Маклорена до о(р2), р = \Jx2 + у2.
1221. Разложить по формуле Тейлора в точке @; 2) до о(р4),
р = л^х2 + (у — 2J, функцию и = sin x In у.
Исследовать на экстремум функцию:
1222. и = х2у2 - 2х2у + 12ху. 1223. и = Зх2 - 2х^/у + у - 8х.
1224. и = хул/12-4х2 -у2. 1225. и = A + еу) cosx - уеу.
1226. и = х + ^ + — + -.
4
1227. Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую
функцию и = и(х,у), заданную неявно:
х2 + \у2 + 9и2 - 6х + 8?/ - Зби = 0, и > 2.
Исследовать функции на условный экстремум при заданных
уравнениях связи:
1228.и = 1п(ху), х3 +ху + у3 = 0.
1229. и = х - у + 2я, ж2 + 2/2 + 2z2 = 16.
1230. и = (ж - IJ + (у - 2J + (z - ЗJ, ж2 + у2 + z2 = 21, Зх +
+ 22/ + z = 0.
1231. Методом множителей Лагранжа найти экстремумы функ-
функции и = 1 — 4ж — 8у при уравнении связи х2 — 8у2 = 8.
1232. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
и = хуF — х — у)
на множестве
ж + у ^ 12, ж ^ 0, 2/^0.
177
Глава 2
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 17. Кратные интегралы
1233. Выразить двумя способами двойной интеграл
JJf(xJy)dxdy
D
через повторные интегралы, если D — трапеция с вершинами в точ-
ках@;0), A;0), A;2), @;1).
1234. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Jdx I f(x,y)dy.
1235. Вычислить интеграл
ffy2dxdy,
где D — область, ограниченная осью абсцисс и одной аркой циклоиды
х = t — sin t, у = 1 — cos t.
д(и v)
1236. Найти якобиан „'{, если
д(х,у)
и = ch х cos у, v = sh x sin x.
1237. Найти якобиан y^'^J если
I/ = xyz, v = ху — xyz, w = у — ху.
Вычислить интегралы:
1238. // sin \Jх2 + у2 dx dy, где D — область, ограниченная ок-
окружностями 2 2,2
х + у = тг , х +у = 4тг .
1239. (х -\- у) dxdy, где D — область, ограниченная линиями
у = 2х, х + ^/ = 4, х + у = 12.
178
1240. Найти площадь области, ограниченной кривыми
у2=4(х + 1), у2=4A-х).
1241. Найти площадь области, заданной неравенствами
1242. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 = 1, х + у = 1, z — х2 + у2 — 4ху — 2ж,
z = ж2 + у2 - бху - 2х.
1243. Найти площадь части сферы
расположенной вне цилиндров
х2 + гх + у2 = 0, ж2 - гж + у2 = 0.
1244. Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра-
ограниченной кривой г = a sin 2(/2, расположенной в первом квадранте, и
осями координат.
1245. Определить момент инерции однородного тела, ограничен-
ограниченного поверхностями
— + UL = lz - + У- = -
a2 b2 с ' а Ъ с'
относительно плоскости z = 0.
1246. Перейти в интеграле
1 2-у ух2
fdy Г dx Г f(x,y,z)dz
О 1 -ух
к следующему порядку интегрирования: вначале по у, потом по z и
затем по х.
Вычислить интегралы:
1247. /// —, область D ограничена плоскостями
JJJ (l + x + y + zf y
D
х + у + z = 1, ж = 0, 2/= 0, z = 0.
1248. /// л/х2 + у2 + z2 dxdy dz, область D ограничена сферой
1249. / / / (ж2 -\-у2) dx dy dz, область D ограничена поверхностями
x2+y2 = 2z, z = 2.
179
1250. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z — ж + ?/, z — ху, х + у = 1, х = 0, у = 0.
1251. Найти массу тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 — z2 = a2, z = 0, z = а, а > 0,
если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате z и в
плоскости z = а равна 7о-
1252. Найти объем:
а) четырехмерной пирамиды х\ -\—- Н—- + —-^ ^ 1, ж^ ^ 0,
^ О ~г
г = 1,2,3,4;
б) четырехмерного шара х\ + х\ + х\ + х\ ^ 1.
§ 18. Криволинейные интегралы
1253. Вычислить интеграл / л/х2 + у2 ds; Г — окружность х2 +
г
+ у2 = аж.
1254. Вычислить криволинейные интегралы:
а) х2 ds; б) х3 ds;
г г
Г — окружность х2 + 2/2 + z2 = 1, ж + ^/ + z = 0.
1255. Найти массу, распределенную с плотностью р =
ривой ж2 + 2/2 + z2 = а2, у — z.
1256. Вычислить интеграл
/ у2 dx +
v + ж
г
Г — кривая ж2 + у2 + z2 = а2, ж2 + у2 = аж, z ^ 0, пробегаемая
против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части
(ж > а) оси Ох.
1257. Вычислить интеграл
J(Зх2у + у) dx + (х3 + х) dy,
г
Г — простая кривая, идущая от точки ЛA; —2) к точке ВB; 3).
180
1258. Вычислить интеграл
/xdy — ydx
х2+у2 '
Г — простая замкнутая кривая, не проходящая через точку @;0).
1259. Определить силу, с которой масса М, равномерно распре-
распределенная по полуокружности х2 + у2 = В2, 2/^0, притягивает мате-
материальную точку @; 0) массы т.
§ 19. Поверхностные интегралы.
Формулы Гаусса и Стокса
Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
1260. // — ——, Q — граница тетраэдра
JJ A + х + уJ
x + y + z^l, ж^О, О 0, О 0.
1261. // ; Q — часть цилиндрической поверхности
JJ \JX2 +у2 + Z2
у = sinu, z = v, uG[0;2tt], г?Е[0;1].
1262. z2 ds, Q — полная поверхность конуса
Q л/х2 + у2 ^ z ^ 2.
1263. Определить массу, распределенную по части эллиптичес-
эллиптического параболоида 2 , 2 _ 9 ^ л
X \~ у — ZiZ, Z ^ -L,
с плотностью р =
Вычислить поверхностные интегралы второго рода:
1264. х2 dydz, s+ — внешняя сторона сферы
1265. / / (ж5 + z) dy dz, s~ — часть внутренней стороны сферы
х2 +у2 +z2 =
181
1266. zdxdy + (Ьх + у) dy dz, если:
а) s — внешняя сторона полной поверхности конуса х2 + у2 ^ z2,
О ^ z ^ 4;
2 2
б) s — внутренняя сторона эллипсоида — + У— + z2 = 1;
в) s — внешняя сторона границы области 1 < х2 + у2 + z2 < 4.
1267. Вычислить интеграл
у zdxdy +
s+ — часть внешней стороны цилиндрической поверхности х2 + у2 =
= R2, выделяемая условиями
1268. Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный ин-
интеграл
/ (у2 - z2) dx + (z2 — х2) dy + (х2 — у2) dz,
г
если:
а) Г — кривая пересечения поверхности куба
О^ж^а, 0 ^ у ^ а, 0 ^ z ^ а
с плоскостью ж + ^/ + z = За/2, ориентированная положительно отно-
относительно вектора A; 0; 0);
б) Г — кривая пересечения параболоида х2 + у2 + z = 3 с плос-
плоскостью х + у + z = 2, ориентированная отрицательно относительно
вектора A; 0; 0).
§ 20. Скалярные и векторные поля
1269. Найти divgrad/(r), г = \/х2 + у2 + z2.
1270. Найти поток вектора r(x,y,z) через:
а) боковую поверхность конуса х2 + у2 ^ z2, z G [0; h\;
б) основание этого конуса.
1271. Найти циркуляцию поля — уг + xj + с&, с = const, вдоль
окружности:
а) х2 + г/2 = 1, г = 0; б) (ж - 2J + у2 = 1, г = 0.
182
1272. Найти потенциал поля
yzBx + у + z)i + xz(x + 2у + z)j + ж?/(ж
1273. Найти работу поля
вдоль пути от точки A; 1; 3) к точке B; 4; 5), расположенного в первом
октанте.
1274. Найти:
a) rot с /(г); б) rot [с,/(г)г]; в) div [г, [с,г]];
с — постоянный вектор.
Глава 3
РЯДЫ ФУРЬЕ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 21. Тригонометрические ряды Фурье
Разложить в ряд Фурье по тригонометрической системе, ортого-
ортогональной на заданном промежутке, функции:
1275. у = signx, х G (—тг;тг).
B'
1276. у =(
15, если х е [0,7г|.
1277. у = cos2 ж, х G [—тг, тг].
1278. у = ж2, же [-7г,тг].
1279. Найти сумму ряда Лейбница
(-1)"
2п + 1'
используя разложение задачи 1275.
1280. Разложить в ряд Фурье по системе {s'mnx, n G N} функцию
у = ж(тг - ж), ж G [0; тг].
183
1281. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом Т = 10
функцию
|10-ж, если х е E; 15),
У = л
I 0, если х = 0.
1282. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме функцию
у = еж, же (-тг;тг).
Найти значение суммы s(x) ряда при х = тг.
1283. Используя разложение задачи 1278, почленным интегриро-
интегрированием получить разложение в ряд Фурье функции
у = ж3, же [—тг;тг].
1284. Как следует продолжить заданную на интервале @;тг/2)
интегрируемую функцию f(x) на интервал (—тг; тг), чтобы ее разло-
разложение в ряд Фурье имело вид
сю
/(ж) = у &2п—\ cos B/i — 1)ж, х Е (~тг; тг) ?
71=1
1285. Разложить в ряд Фурье функцию
у = In
sin —
1286. Найти сумму ряда
71=1
1287. Показать, что:
а) система функций {sin ж, 8т2ж, втЗж, ... } не является полной
в пространстве функций, непрерывных на [—тг; тг] и удовлетворяющих
условию /(—тг) = /(тг), с нормой
||/||= sup |/(Ж)|;
ж?[ — тг;тг]
б) система функций {sinж, втЗж, втбж, ...} является полной в
пространстве функций, непрерывных на [0, тг/2] и удовлетворяющих
условию /@) = 0, с нормой
||/||= sup |/(Ж)|.
же[0;тг/2]
1288. Разложив функцию у — ж2 в ряд Фурье на (—тг; тг), вычис-
оо
лить У^ — с помощью равенства Парсеваля.
^—' п4
71=1
1289. Просуммировать методом средних арифметических ряд
1 + 1-2 + 1 + 1-2 + ...
184
§ 22. Интегралы, зависящие от параметра
1290. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
7Г
Jn(x) = — / cos (тир — х sin ф) d(p
о
удовлетворяет уравнению Бесселя
х2у" + ху' + (х2 — п2)у = 0.
Вычислить интегралы:
тг/2
1291. / ln(a2 sin2 х + (З2 cos2 x) dx, а > 0, C > 0.
о
1 /3
1292. Р~Ж da;, а > 0, /3 > 0.
У In ж
о
1293. Доказать, что интеграл
+ ОО
Ге~ахdx
о
сходится неравномерно на интервале @, +оо) и сходится равномерно
на промежутке [е; +оо), е > 0.
Исследовать на заданном множестве на равномерную сходимость
интегралы:
1294. Jl-^=dx, ae [0;2].
о
+ ОО
1295. Г smax dx: a)ae[0;l]; 6)aG[l;+oo).
о
+ оо
1296. Г е~ах2 dx, ae@;+oo).
о
Вычислить интегралы:
+ оо ф +оо
1297. [e-^S^^dx, /3>0. 1298.
J
, / [
J X J X
о о
+oo
1299. [C-^dx. 1300.
У 1 + ж2
о
185
+ж2
о
+ ОО
1301. / e cos2axdx.
о
1302. f e aX ~e X dx, a>0, Р>0.
J х
о
1303. Вычислить с помощью функций Г(р) и B(p;q) интегралы:
+оо 1 г
dx ^ч Г з /1 — х dx
о о
1304. Выразить через функцию B(p;q) интеграл
тг/2
/ sinmxcosn xdx, m> —1, п > —1.
§ 23. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Представить функцию f(x) интегралом Фурье:
1305. /(ж) = <!ij ^^ ж < а'
10, если ж| > а.
1305. /(ж) = signx(x — 1) — sign (ж — 2).
1307. f(X) = К
v ; | 0, если ж < 0.
1308. Продолжив функцию
^ и, х .
нечетным образом на интервал (—оо;0), представить ее интегралом
Фурье.
Найти преобразование Фурье функций:
1309. f(x) =е~а|ж|, а>0.
1310. f(x) = D1"J?)' еСЛИ Ж|<а'
[ 0, если х\ > а, а > 0.
186
Найти преобразование Фурье обобщенных функций:
1313. A, ф). 1314. F(х - а), ф).
1315. f *(*-«) +К*+ а\ Л 1316. (*', ф).
1317. (ж, у?). 1318. (ж2, у?).
Глава 4
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 24. Комплексные числа.
Элементарные функции
1319. Представить комплексное число:
¦л ~- (l + 2Q2-(l-03. „_2 + 5| 2-5»
; C + 2г)з - B + гJ ' j 2 - 5г 2 + 5г
в алгебраической форме.
1320. Найти модуль и аргументы числа
1321. Записать число z в тригонометрической форме:
v 5z(cosl00°+zsinl00°) -Ч1 , Ютг . . Ютг
а) ^ = —г тт; ——ттг^—-; б) 1 + cos -— г sin ——.
у (cos 40° -zsin40°Or J 9 9
1322. Записать в алгебраической и в тригонометрической форме
1323. Какое множество точек комплексной плоскости задается
условием:
z
1
a)
в) |z-2|2 + |z + 2|2 = 346?
187
z-A
z-S
"I,
z-12
z-8i
1324. Решить систему уравнений
5
3'
1325. Найти наибольшее значение площади треугольника с вер-
вершинами в точках z\ = 1, Z2 = 2, z% = z, если z удовлетворяет урав-
уравнению
|*-1| = 2|*-2|.
Решить уравнение:
1326. z2 + 7 + 24г = 0. 1327. z4 - A + 2г)^2 + 2% = 0.
1328. z4 + 1 + гл/3 = 0. 1329. z4-4z3 + 7^2-16z+12 = 0.
1330. |2 + 5iz - z2\ + z2 + 3 = 0.
1331. Представить многочлен
P(z) = z7 + z6 + 64z + 64
в виде произведения:
а) линейных множителей;
б) линейных и квадратичных множителей с действительными ко-
коэффициентами.
1332. Определить кратность корня z = 2 многочлена
zb - bzA + 7z3 - 2z2 + 4^-8.
1333. Найти сумму коэффициентов многочлена
Dz2-2z-lI3.
1334. Найти образ кривой Г при заданном отображении:
а) Г: hnz = l, w = ^—^; б) Г: |^ + 1| = 1, w = -;
в) Г: Im z = 1, w = z2; г) Г: \z\ = 2, w; = -
1335. Найти образ области D при заданном отображении:
a) D: Re г > 0, w = ^i;
2^ 1
1336. Решить уравнения:
a) sh z = 0; 6) sinz = -.
188
§ 25. Условия Коши-Римана.
Гармонические функции
1337. Исследовать на дифференцируемость функцию:
a) w = zRez; б) w = \z\2.
1338. Выполняются ли для функции
w(z) = у/\ху\, z = x + iy,
в точке z = 0:
а) условия Коши-Римана;
б) дифференцируема ли функция в этой точке?
1339. Восстановить аналитическую функцию f{z), если:
а) Ref(z) = х3 + 6х2у - Зху2 - 2у3, /@) = 0;
б) Im f(z) = у cos у ch x + х sin у sh ж, /@) = 0;
в) arg/O) =xy, z = x + iy, /@) = 1.
1340. Найти все гармонические функции и(х,у) вида:
§ 26. Ряды Лорана. Особые точки
однозначных функций
Разложить в ряд Лорана в окрестности точки z$ функцию f(z)
(указать область сходимости полученного ряда):
1341. f(z) = -, если: a) z0 = 0; б) z0 = оо; в) z0 = 2.
1342. f(z) = z2e1/z, если: a) z0 = 0; 6) z0 = oo.
1343. Выяснить, разлагается ли функция f(z) в ряд Лорана в
окрестности точки zo, если:
a) f(z) = cos -, z0 = 0, ?о = оо;
z
б) /(г) = ctg*, 2;0 = оо; в) f(z) = -=, z0 = 0.
189
1344. Найти главную часть ряда Лорана для функции f(z) в
окрестности точки zo, если:
Указание. Главной частью ряда Лорана в окрестности точ-
точки zo называется совокупность тех членов этого ряда, которые стре-
стремятся к бесконечности при z —> zq.
1345. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию
1346. Разложить функцию
J v~y " z2 + 2 z2- 2z
в ряд Лорана по степеням z, сходящийся в точке х = 3/2. Указать
границы кольца сходимости.
Найти и исследовать все особые точки функции f(z):
1347. f(z) = -^. 1348. /(*) = ze1/-.
1349. f(z) = ^A^e.zy 135°- /(*) = ctS^ - I-
1 cos — ^/i
1351. f(z) =sin—Up. 1352. /0) = e1/(^~1) 2_^.
cos- cos -z
z z
§ 27. Вычеты и теорема Коши
Найти вычет функции f(z) относительно точки z§\
а) 2;0 = 0; б) 2;0 = Зг; в) z0 = —Зг; r) z0 = oo; д) z0 = 1.
1354. f(z) = sin : a) zo = —1; 6) zo = oo.
2 + 1
1355. /B) = ctg10 2: a) zo = 2тг; б) z0 = 00.
looo. /(z) = —^ e /v y, 2^0 — 00.
^2 — 1
190
Применяя теорию вычетов, вычислить интегралы:
1357. / -^—sin^— dz. 1358. / —^e2z^z+i) dz.
J 1 + iz z + i J z -2i
И=2
\z-i\=3
1359
J 1 + si
\z\ = l
+ sin A/2
¦dz. 1360.
dz
\z\=3
1361.
\z\=2
1363.
ж2 - 2ж + 26
1362
• /
\z-i\=:
zdz
Bz — тг) cosz'
1364.
2О!
ж2 + 4ж + 20
1365
' sin ж dx
f 5ж2 +4'
2тг
1366. I
о
E + 4 cos ж)
-. Указание. Положить егх = z.
§ 28. Конформные отображения
1367. Найти конформное отображение w = f(z) полосы {0 <
< Imz < тг} на круг \w\ < 2 такое, что
1368. Найти конформное отображение w = /(z) полосы |Re z\ <
< — на область \w\ < 1, переводящее точку z = 0 в точку и? = 0, а
точку z = в точку z = е 7 .
Z
1369. Найти дробно-линейное отображение области:
a) \z - 3| > 9, |г - 8| < 16; б) \z - 5| > 4, Re z > 0;
на некоторое кольцо вида 1 < |u?| < R.
191
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 29. Уравнения 1-го порядка
1370. Составить дифференциальное уравнение семейства кри-
кривых:
а) синусоид у = sin (х + С);
б) окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х.
1371. Составить дифференциальное уравнение траекторий, пе-
пересекающих параболы у = х2 — Сх под прямым углом.
1372. Найти все решения уравнения:
а) у' = ху2 + 2ху; б) y'y/l - х2 = 1 + у2;
в) у' = cos(y -х).
1373. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному
условию (решить задачу Коши):
а) ху' + у = у2, 2/A) = 0,5; б) (х + 2у)у' = 1, у@) = -1.
1374. Найти решение уравнения
х2у' - cos 2?/ = 1,
удовлетворяющее условию у(х) —> 9тг/4 при х —> +оо.
1375. Найти ортогональные траектории семейства парабол у = Сх .
1376. Скорость распада радия пропорциональна его количеству.
В течение года из каждого грамма распадается 0,44 мг. Через сколько
лет распадется половина имеющегося количества радия?
Решить уравнение:
1377. (х2 + 2ху - у2) dx + {у2 + 2ху - х2) dy = 0.
1378. (х + у - 2) dx + (х - у + 4) dy = 0.
1379. у' = у2 - 2/х2. 1380. х(у' - у) = ех.
1381. (х -\-y2)dy = ydx. 1382. у' = у4 cos ж + ytgx.
1383. (ху + х2у3)у' = 1. 1384. ж dx = (х2 -2^
1385. Найти интегральную кривую уравнения
ху' + У = у2\пх,
проходящую через точку A; 1).
192
1386. Решить уравнение Риккати у' = — у2 + 1 + х2.
Указание. Подобрать частное решение уравнения и свести его
к уравнению Бернулли.
Решить уравнения:
1387. (Зх2 + бху2) dx + Fх2у + 4у3) dy = 0.
1388. 2х cos2 у dx + Bу - х2 sin 2у) dy = 0.
1389. (х2 + у2 + у) dx - х dy = 0.
Найти общее и особые решения уравнения:
1390. у' - \пу' = у - х. 1391. у'2 + Аху' = Ъх2 + 9$/.
1392. у12 - 2уу' + 4е2ж =0. 1393. (?/ + хJ + ?//3C^ + 5J = 0.
1394. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с
осями координат треугольник с площадью 2а2.
1395. Найти кривую, отрезок касательной к которой, заключен-
заключенный между осями координат, имеет постоянную длину а.
§ 30. Уравнения, допускающие понижение
порядка
Решить уравнение:
1396. х3у" + х2у' = 1. 1397. у" + у12 = 2е~у.
1398. уу" + у'2 = х. 1399. у = 4(у' - 1).
1400. хуу" = ху12 + уу1. 1401. х4у" = (у - xy'f.
Решить задачу Коши:
1402. у" = У- + 4, 1/B) = 0, у'B) = 4.
х у
1403. 2уу"-3у'2=4у2, 2/@) = 1, у'@) = 0.
1404. W + zB1nz- 1)у'2= уу', i/(l) = 1, i/'(l) = -2.
1405. (l-sina;J/2/" + (cosa;)yy' = у'2, у@) = 2, у'@) = 1.
1406. j/(j/" + у') = у'2(ху2 - 1), у@) = 1, j/'@) = 1.
193
§ 31. Линейные уравнения и системы уравнений
с постоянными коэффициентами
Решить уравнение:
1407. у" - Зу' + 2у = 0. 1408. у" + 2у' + 2у = 0.
1409. у'" - Зу" + Зу' - у = 0. 1410. у1У + 2у" + у = 0.
1411. 2/v + 8у'" + 162/' = 0. 1412. уу - у = 0.
Решить неоднородное уравнение:
1413. у" - 2у' -Зу = е4ж. 1414. у" + 3?/ + 2у = Fж - 1)еж.
1415. у" + ?/ = х sin ж. 1416. 2/"' + V = ch2 ж.
1417. у" + у' -2у = 2хе~2х + 5 sin x.
1418. 2/IV + 22/" + у = 9sin2x + x2.
1419. а) Составить линейное однородное уравнение наименьше-
наименьшего порядка Ly = 0 с постоянными действительными коэффициентами
и коэффициентом при старшей производной, равным единице, имею-
имеющее решения sin ж и е~х.
б) Решить уравнение Ly = х + 2е~ж.
Решить уравнение:
1420. у" + 2у' + у + \е~х = 0.
яг
_ — х
1421. 2/" + 2у' + 2у- -.— = 0.
sin ж
1422. х3(у" -у) =х2 -2.
Решить задачу Коши:
1423. у" - у = х, |/@) = 1, 2/@) = -1-
1424. у" + 4j/' + Ау = Зеж, у@) = j,'@) = 0.
1425. у" +4у = sin 2ж, у@) = у'@) = 0.
1426. yw - у = 8ех, у@) = -1, у'@) = 0, у"@) = 1, j/"'@) = 0.
1427. Решить краевую задачу
у" + А2/ = 0, ?/@) = 2/(тг) = 0.
194
Решить систему уравнений:
1 ж = ж — 2/,
I х = 2у — Зж,
[у = у-2х.
[ х = х + 2у,
1428.
1430.
1432.
х = 2х — у — z,
1434. ^у = 12х-Ау- 12z,
z = — 4ж + ?/ + bz.
x = —Зж + у — 2z,
1436. ^ = 4ж + 2/,
х = -9х
1438. ^ = ж +
z = -
1429.
1431.
1433.
| ж = ж
Й' = 3?/-2ж.
[ж =
[у = х + 2у.
\x = y + tg2t-l,
[у = -ж + tgt.
X — <оХ Лу ~\ ZiZ^
1435. { у = 2х + z.
z = -2x-\-2y-2z.
r x = 2х — у — z,
1437. {у = 2x-y-2z,
z = —х + у + 2z.
ж = 2ж + 2/-3^ + 2
1439. {y = 3x-2y-3z-\
z — х + у — 2z.
1440. Решить задачу Коши
y = z-y, х@) = 2/@) = О,
i = ж - z,
Решить операционным методом задачу Коши:
1441. ж + 4ж = 2сов2*, ж@) = 0, ж@) = 4.
1442. ж + ж = 10e2t, ж@) = ж'@) = ж"@) = 0.
{х = 2х - у + z,
y = x + z, х@) = у@) = 1,
z = -Зж + 2/- 2z,
= 0.
195
§ 32. Линейные уравнения с переменными
коэффициентами
Решить уравнение Эйлера:
1444. х3у'" + ху' - у = 0.
1445. Bж + 3)У" + 3Bж + S)y' -6y = 0.
1446. х2у" -6у = 12 In ж.
Исследовать на линейную зависимость систему функций, вычис-
вычислить вронскиан:
1447.
1448.
1449.
У\ =еж,
У\ = я",
У\ =ж2,
2/2 = е ж, 2/з
2/2 = arcsinx,
^/2 = х X .
= егх.
2/з = агссовж
1450. Составить линейное однородное дифференциальное урав-
уравнение наименьшего порядка, решениями которого являются функции
у\ = sin ж, ?/2 = cos ж, уз = е2х.
Найти общее решение уравнения:
1451. Bх + 1)у" + Ахуг -4у = 0.
1452. ж2(Inж - I)?/" - ху1 + 2/ = 0.
1453. A - ж2)/ - 2ху' + 2?/ = 0.
1454. (ж2 + х)у" + Dж + 2)у' + 2у = б(ж + 1), ж > 0.
1455. ху" - 2(ж + 1)у' + (ж + 2J/ = Зжеж, ж > 0.
1456. ж22//; - ж(ж + 2)у' + (ж + 2J/ = ж3 cos ж.
1457. A + х2)у" + ху'-у = -^—2.
1458. (ж1пжJ//; -2/' = 1п2ж.
§ 33. Элементы теории устойчивости
Исследовать на устойчивость решение уравнения с заданным на-
начальным условием:
1459. ж-?ж = -t, ж@) = 1.
1460. ж - ах = 0, а е М, ж@) = 1.
196
Исследовать на устойчивость решение системы с заданными на-
начальными условиями:
1461. < Х ~ Х + У' ж@) = 2/@) = 0.
[у = х - у,
1462. Iх " ~2х ~ Зу' ж@) = 2/@) = 0.
{х = ах — 2/,
y = ay-z, а е М, ж@) = 2/@) = г@) = 0.
i = az — ж,
Определить характер точки покоя системы:
1464. |ж = 3ж + 2^' 1465.
1466. (*?? (
^ 23 ^ = ж — 2/.
Исследовать на устойчивость точку покоя @; 0) системы:
j
[у = —2х + sin2/ + еух .
1470. <р = 2ж
\2/ = 2 - еж - Зу - cos 2/.
Найти точки покоя системы и определить их характер:
/ 1/1Т9 /ж = arcsin(x2 -2x-y),
\2/ = sh (ж + 2/ - 1). \2/ = In A - ж + ж2/3) .
Найти точки покоя и определить их характер:
1473. х + х = In A - Зх + ж2 - ж).
1474. ж + ж + 1 = \/l + ж + ж2 - ж.
Построив функцию Ляпунова, исследовать на устойчивость точку
покоя @; 0) системы:
__1_3 ( • _ _|_22_5/д
з 1476. < . з 3/9
ОТВЕТЫ
Глава 1
8. а = О, A) = 1/9. 9. а + Ъ = О, B5) = 25/99.
10. А + В = [2,6), АВ = C,5], А\Я = [2,3].
11. а) -3,1 < ж < -2,9; б) ж ^ -7, ж ^ 13; в) ж < -3/2; г) 0 <
< х < 1/2; д) х ^ -3/2, ж ^ 1/4.
12. а > —а, если а > 0; —а > а, если а < 0.
13. а) 6 ^ 0; б) Ъ ^ 0; в) 6 < 0; г) Ъ > 0.
14. а) 1; б) 1; в) л/2/2. 16. 0. 17. 0.
18. 1/2 (см. задачу 1). 19. 1/3 (см. задачу 2).
22. Не будет. Она просто неограничена.
27. 9/8; 1/6. 28. 2; -30.
29. 0, 1, 1, 1; -1/6, 4/3, 1/3, 1. 30. -1, 0, 1.
32. Указание. Воспользоваться неравенством — <
34. Е =
35. Е-
36. 1,
42. 0, 25
43. /(ж)
(—оо,оо),
ГЗ-л/17
[ 2
ж2 + 4ж -Ь
ж2 + 4ж -Ь
; 2, оо.
J sin ж,
зн
¦3
5'
ж >
= @,1].
h л/17]
2 ]'
х ^ тг/2
тг/2
2
1 +
-К
1
ж2' 1
(рис.
л/171
2 J
+ х2
-ж2
43);
0, 0 ^ Ж ^ 7Г,
(f(x) = ^ sin ж, тг < ж ^ Зтг/2, (рис. 44).
-1, ж > Зтг/2
198
44. а) 1; б) 2/3; в) 1/2; г) 3; д) 4/3; е) 0; ж) -1/16; з) 1/144;
и) 1/л/2а; к) 0.
45. а) 3; б) 2; в) 4.
46. оо.
47. а) е4; б) е3; в) 1.
48. а) 4; б) a6 In а.
49. Непрерывна всюда (рис. 45).
50. Если А = 2, то /(ж) непрерывна всюду. Если Л ф 2, то ж = 1 —
устранимая точка разрыва (рис. 46).
51. ж = — 1, ж = 3 — точки разрыва первого рода (рис. 47).
52. ж = — 1 — устранимая точка разрыва (рис. 48).
53. ж = — 1 — точка разрыва второго рода.
2/с + 1
54. ж = тг (& = 0, =Ы,...) — точка разрыва первого рода (рис. 49).
Рис. 43
Рис. 44
IP
2i
I
Рис. 46
iff
0
3 л
- 1
Рис. 47
tr l
9 I
f 0
* - 1
! 2 •
i i ft
2
Рис. 48
Рис. 49
199
55. х = 1 — точка разрыва первого рода (рис. 50).
56. х = 0 — точка разрыва первого рода, если а ф 1 (рис. 51).
Рис. 50
Рис. 51
57. d^e/S. 58. S^e/12. 59. (b - dy)/(cy - а). 60. Зж. 61. ж.
62. // = Зж2-2, /'@) = -2, /42) = 10.
63.
/Ч0) = 0, А1) = | + ^.
64.
A-ж2J
65. а) 1 -
|х| ф 1).
в)
1 - х + 4х2
Ф 1); г)
ж2 2жл/ж
2ж2
1 + 2л/х + 4л/хл/х~+
8\/жд/ж + л/ж л/ж + луж + л/ж
(ж > 0);
а2
(а2_ж2K/2
(ж>0); ж)з^ + ^(ж>°);
к)
(cos ж + ж sin жJ '
л) -2tg* cos- —г-;
ч а аа-1 а-1 жа i ч ~2 sign Ж . /г_ч
; н) а ж +аж а 1па; о) ^2 (ж / 0);
u)jm, (o<N<i).
cos4 ж
s4 ж V~ ^ 2
67. —2жехр(—ж2).
68. а) 2жсо8ж2; б) 8т2ж; в) 21ж6 cos ж7 sin2 ж7; г) — cos ж sin (sin ж);
д) —2ж8тж2; е) —4ж38т2ж4.
200
69. а)
а2 - ж2
(о>0); б)
V У у
а2+ж
; в)
а2 + ж2
; г) sign cos ж,
2k + 1 1 з
ж ф —-—тг, к целое; д) - (а > 0); е) (Зж2 + 1)ех +х.
^ V& — ж2
70. @ < ж — 2&тг < тг, к целое).
sin ж
71. a) -J^+arctga; б) - In2 ж2 (ж ф 0); в)— -Ц-—
1+ж2 ж ж In ж In (In:
ж4-1
); д)
2A
> -1);
ч 1 /. ЛТ . тг . \ ч In3 ж , ^
е) I ж — 2ктг\ < —, к целое ); ж) г— (ж > 0);
cos ж V 2 / ж2
2ж
?; и)
2A+ж)
(ж ^ 0);
1
1+~ж2
12ж5
o5 H) —i :— x T —^—^ ^ целое ;
П+Ж12J' sin4 ж + cos4 ж V ^ 2 /'
: + cos4 ж
1
72. //(ж)=
73. f{x) =
2A+ж2)'
-2 < ж < 1,
1 ^ ж ^ 2, (рис. 52).
2 < ж < 4
1, ж<0,
, ж ^ 0
1+ж
(ж > е);
- 2
74 У' = 1 ~ Х ~ Х"
у жA-ж2) '
75. 2thrc.
76. а) 2жсЬ(ж2 + 1); б) 18ж5 ch2 ж6 сЬж6.
78. а) 2^ж/сЬ2ж; б) 2ж/сЬ2ж2.
f(x)
Рис. 53
201
1 ч л/ж + \/Г+ ж2
• в)
} жсЬ2A + 1пж)' } л/Г
г) etna (ж > 0); д) -вЫпж (ж > 0); е) —1— еШж;
ж ch ж
ж) (sl^)ch;c[sl^lnsl^ + спжс^ж]; з) т—; и) —^— (ж / 0).
ch ж sh ж
80. df(x) = Bж + 1)Аж; df(l) = ЗАж; А/A) = ЗАж + (АжJ; при
Аж = 0,1 dfA) = 0,3, А/A) = 0,31.
81. ежA +ж)с?ж. 82.
83. — xshxdx. 84. (|ж| < 1).
.2 _ жC + 2ж2)
-* ; б)
ж2K/2 ¦
87. UOxdx*.
88. еж [1пЖ + --^ + ^1 da;3.
| X X2 X6 \
90. у7 = -ctgt, y" = --±
з
93. а) у + Иж - 18 = 0, llj/ - ж + 46 = 0; б) не имеют.
94. у? = arctg 2\/2. 95. у? = тг/4. 96. тг/6.
98.a)c=-L; 5H=^
в)с=^ УА,Б,С.
\/3
100. а) Функция возрастает на (—оо, 1/2) и убывает на A/2;—оо);
б) функция возрастает на (—оо, 1) и убывает на A, оо).
103. а/Ъ. 104. 2. 105. 1. 106. 4. 107. 1/4. 108. 1.
109. а) е-1/6; б) е1/3; в) ?; г) 3; д) -1; е) 2; ж) 1; з) 0;
о 3 3
и) е; к) 1; л) 1; м) е; н) аа(-1 + In о); о) -; п) — - -;
n m n
Р)ш5 СJ5 Т)^5 УJ'
т3 2
111. tgж = ж + — + — ж5 = о(ж6).
202
2
112. /(ж) = 1 + 2ж + ж2 — - ж3 + о(ж3). Указание. Использовать
о
разложение по формуле Тейлора для функции ех.
2 4
113. lncosz = - — — + о(ж5).
х3
114. sin (sin ж) = х — + о(ж4).
о
115. -1/12. 116. 0. 117. -1/6. 118. -1/2.
119. а) 2,718281; б) 0,017453;
в) 2,236. Указание. Представить число \/5 в виде \/5 = 2^/1 + 1/4
и воспользоваться формулой Тейлора для функции A + х)т при х = 1/4,
ш = 1/2;
г) In 2 = 0,69315, 1пЗ = 1,09861.
120. а) При х = -1/2 максимум, у(-1/2) = 9,4;
б) при х = 0 минимум, |/@) = 0;
в) при х = 0 минимум, |/@) = 0; при х = ±1 максимум, ?/(=Ы) = 1;
г) при х = — 1 максимум, ?/(—1) = —2; при ж = 1 минимум, уA) = 2;
ч ЗТГ /ЗтЛ л/2 3W4 77Г
д) при ж = —— максимум, у I —— 1 = —- е 7 ; при х = —— минимум,
4 у 4 у 2 4
4 У 2 е '
е) при х = 0 максимум, ^/@) = 1/4;
ж) при х = 1/2 максимум, уA/2) = 1/4; при х = —1/2 минимум,
»(-1/2) = -1/4;
з) при ж = 1 максимум, ^/A) = 0; при ж = 3 минимум, уC) = —4;
и) при ж = кп (к = 0,=Ы,...) максимум, у(ктг) = (—l)fe H—; при
ж = ± Ь 2&7Г (к = 0, =Ы,...) минимум, у ( ± \- 2ктг ) = — —;
3 V 3 У 4
к) при ж = —\-2kn (к = 0, =Ы,...) максимум, у ( \- 2ктг) = —¦—; при
о \о ' 4
ж = Ь 2ктг (к = 0, =Ы,...) минимум, у ( — — + 2&7г) = —.
о V о / 4
121. а) 32; б) 10,1; 2.
122. d = 7\/2/8. Указание. Исследовать на экстремум функцию ?/ =
= -^|ж2-ж + 2|.
123. а) 2; 0; б) A + \/2)/2 > 1; 0.
124. а) ж = 1 — точка перегиба: график направлен выпуклостью вниз
на (—оо,1); на A,оо) график выпуклый кверху;
203
б) ж = ±1/л/2 — точка перегиба: на
(—1/л/2,1/л/2) график выпуклый кверху, на ин-
интервалах |ж| > 1/л/2 график направлен выпук-
выпуклостью вниз (рис. 54).
->¦-'- ¦¦¦ -
Рис. 54 Рис. 55
125. а) Наклонная асимптота у = ж; вертикальная — ж = 0 (рис. 55);
б) горизонтальная асимптота у = 1, вертикальная — ж = 0 при ж —>¦ +0
(рис. 56);
в) горизонтальная асимптота у = 0 (см. рис. 54);
г) наклонная асимптота у = ж при ж —»¦ оо; горизонтальная асимптота
2/ = 0 при ж —»> —оо (рис. 57).
0} :7: ОТ
Рис. 56 Рис. 57
126. а) ж = —1/3 — точка минимума, у(—1/3) = — л/Ш; ж = —1, ж =
= 1/2 — точка перегиба; у = — 1 — горизонтальная асимптота при ж —»¦ — оо,
а у = 1 — при ж —»¦ +оо (рис. 58);
б) ж = 0 — точка минимума; ж = — 1 — вертикальная асимптота; у =
= 0 — горизонтальная асимптота при ж —»¦ — оо; график выпуклый вверх на
(—оо, —1) и вниз на (—1, оо) (рис. 59).
127. а) См. рис. 60, Pi (t > 1), Г2 (-Kt< 1), Г3 ( t < -1);
б) см. рис. 61, Pi (t > 0), Г2 (t < 0).
128. а) Стороны прямоугольника ал/2 и Ьл/2; б) ж = а/6;
в) РВ = 12 км; г) а = d/л/З, h = dy/2/у/Ъ.
129. Прямоугольник есть квадрат со стороной 2.
\av =Ь ub\ si
130.
Указание. Расстояние между кораблями
\/и2 + v2 — 2uv cos 0
(см. рис. 7) в произвольный момент времени ?, согласно теореме косинусов,
равно
r\t) = (a + ut) + (fi + vt) - 2(a + ut)(b + vt)cos9.
204
Рис. 58
t = 1
Рис. 59
У
0
1
\
V.
г"
Рис. 60 Рис. 61
Момент времени, когда корабли были на расстоянии а и Ъ от места
встречи, считаем равным нулю. Далее исследуем функцию r2(t) на экстре-
экстремум.
/ 2г\3/2 (а4 -а2т2 +Ь2т2K/2
181. а) р (l + ^) ; б)(й aXJbbX) ; в)
, rj = ЗоA -cost).
132. f = aO-
Глава 2
Для краткости записи в ответах пропускается постоянная С
133. *|? х3 - 125х4 + ЗОж5 - у ж6 + 1 х7. 134. ж - | х3 + 1 ж5.
135. х — aictgx. 136. х — cos x + sin x. 137. х + In
138. -ж + tga. 139. ж-thz. 140. ж-ctha;.
1-ж
205
141. arcsin ж + In |ж + лЛ+ж2|. 142. -j- Bж - ЗI00.
1 /3~ 11 3
143. а) — arctg W - ж; б) ж - Зж2 + — ж3 - - ж4;
л/6 V 2 3 2
а2 а3 4 24 4
в)а1п|х|- — -—; г) -х^-— х "Ух^ +-хУх*;
3 1 2
д) -ж + 31п|ж| + - - 2^2 ; е) -л/ж (ж+ 6);
ж) - In A + ж4); з) -ж + - In
1 +ж
1-ж
; и) ж + 2 In
ж-1
ж + 1
н) —-= arcsin I жу - ); о) —— In (л/Зж + л/2 + Зж2);
п) ^1
л/3
-2|; р) ~
о
144. -л/1-ж2. 145. 1пB + еж). 146. tgж-ctgж.
147. - Г(ж + 1K/2 -(ж-1K/21. 148. -ln|cosa|.
149. 2 arctg л/i. 150. -8 + 30ж B - 5жK/2.
«375
151.
. Указание. Разделить числитель и знаменатель
2AпЗ-1п2)
на 2Ж3Ж и положить ^ = C/2)ж.
152. а) ^л/ж^^2 + 1п|ж + л/ж^^2|; б) \ A + ж3L/3; в) о,1^;
ч 1
8л/2
In
ж4-л/2
; д) arctg еж; е) ж - In (l + л/е2ж
) -In3 ж; з) In | sinx|; и) In th (^ j ; KJarctge;c;
л) -(arctgжJ; м) |--8п2ж; н) —|--8п2ж; о)—2cth2ж;
3; р) А
С)ж-1пA + еж).
153. ж arctg ж- ^1пA + ж2). 154. -(ж + 1)е"
155. жсЬж — shx. 156. —ж cos ж + sin ж.
157. л/1 — х2 + ж arcsin ж. 158. ж sin ж + cos ж.
159. -л/ж + A + ж) arctg л/х.
206
160. a) -sin2a; -
I* 4
в) -1
¦cos2z; 6) -- +
¦ arctg ж;
г) 1
-2; д)
з) ж2спж — 2ж8пж + 2спж; и) In
161. а) 1п|ж-2| +1п|ж
Q т 4- Б Q
— COS Ж lntg?.
49(ж-2) 14(ж-2J'
162. a) arctg (ж - 1); б) ; в) In |ж2 - 2ж + 2|.
163. а) -1п|ж + 1| - -1п|ж2 + 1| + -arctgж;
Z 4 Z
1 Г 5Bж + 1
б) — 21п|ж + 2| -In (ж2 + 1) + 14 arctg ж + -Ц —
5U ж ~г 1
164. а)
1
2A-ж) 4
1-х
; б) i
(ж + 2L
3)
ж9 ж8 Зж7 5ж6 11ж5 21ж4 43ж3
У"У + —"^ + ^ 4" + —
1
+ 171ж + -In
г) 4 In ¦
6 ж2 — ж +
, 1 (ж-1J
Д) т: In -7Г-. ~
1 2ж-1
+ -= arctg —;
2ж-
ж-1
(ж + 2I024
ж-1
ж + 1
1
- -arctgж;
1-ж2'
. 1 ж2+жл/2 + 1 1 жл/2
ж) —— In — 1 — arctg ¦
4л/2 ж2 -жл/2 + 1 2л/2
165. 2д/ж - 21п(
166. а) ^—=
' Л I 4/7Г
б) fin-
2л/7
arctg
2 4 ж^_ жл/ж2 - 1 1.
A + \/х)г 1 + \/х 2 2 2
207
1
д) - [х + 2л/х — у/хA + х) — \п(л/х + л/1 + х]. Указание. Умно-
жить числитель и знаменатель на выражение
п \х -Ъ
+ х — 1 —
е)
b — а \ х — а
167. 1п|1 + 2ж
168.
/ж2 - 2ж + 2 + - In |ж - 1 + л/ж2 - 2х
1ЛП ч Зж
169. а) —
, I. , ,
; 6)-ln|tgrc|.
170. a) sin х- ^^; б) - In |tg (ж + |) .
171. -In 2tg - - 1 .
2 & 2
1wn ч1 , /а \ ^ч^ж ч хж ч ^/'7Г ж^
172. а) — аг^^^ж^; б) tg-; в) ~ctg-; г) ~tg(^- --J;
д) l
2ж тг
174. а) Так как — < sin ж < х [0, —], то
7Г 2
тг/2
тг/2
тг/2
/ — с?ж < / sin xdx < х dx\
0 0 О
1 1
б) так как ех > 1 + х [0,1], то Гех dx ^ f A + х) dx.
о о
175. а)тг/6; 6I/2; в) 1; г) In у/2; д) |; е) 1; ж) 1; з)-^+1п4.
176. n/Bab) (см. задачу 172). 177. тг (см. задачу 156).
178. \ In ^ (см. задачу 154). 179. /'A) - /A) + /@).
Z Z
181. a) sin ж2; б) -л/1 + а2; в) 0.
183.2. 184.4,5. 185. 26/г/З. 186. тгаб. 187. Зтга2/2. 188. (е2 + 1)/4.
189. 6а. 190. 8а.
191. Принимая 0 за параметр, имеем
х = р cos 9 = f(9) cos 0, у = р sin 9 = f(9) sin 0,
192. Зтга/2. См. задачу 191; одна половина кривой описывается при
изменении у? в пределах от 0 до Зтг/2.
208
193. 8а. Верхняя половина кардиоиды описывается при изменении
от 0 до тг.
194. а) - тгг2/г; б) — [г? + т\ + rir2]; в) —; г) тгра2.
^^) ; в) ^ [103/2 - 1]; г)^™2.
196. а) По методу прямоугольника искомый интеграл
1 + к ( ч
k=0 ^
Подставляя значения ?&, получаем
Д, 1
7^2^——- ^0,6927.
к=8
Остаток
По методу трапеций
I « А {/Ы + 2/(хх) + ... + 2/A7) + /Ы} и 0, 6941
16
с такой же погрешностью, как и для метода прямоугольников. По методу
Симпсона
с остатком квадратурной формулы
Таким образом, метод Симпсона дает для значения интеграла первые
три знака точные. Точное значение интеграла
1
I = Г-^— = In 2 = 0,693147 ...
J 1+ж
о
б) По методу прямоугольников 7^0,8358, а по методу трапеций
7^0,8352 с остатком R±2 ^ 0,004. По методу Симпсона остаток Rq ^
^ ооо^—тг ^ 10~5. Поэтому, вычисляя значение 7 по формуле Симпсона,
2880 • б4
получаем четыре точных знака: 7^0, 83565.
197. La (ж) = ~\ (х - 3)х2.
198. а) -; б) , 0 < а < 1; оо, а ^ 1; в) -; г) оо.
199. Все интегралы сходятся.
200. а) 1; б) -^-gf, в) ±(е" + 1).
201. а) Сходится при р > 0, а ф 0; при а = 0 сходится при р > 1;
б) сходится, если р или q больше нуля;
в) сходится при т > — 1, п — га > 1.
209
Глава 3
202.2. 203.-2. 204.1. 205.1. 206. cos (a + /3).
207. 4ab. 208. 1. 209. 4. 210. 0.
211. а) нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная.
212. А\\ = be — ж2, А±2 = ж2 — еж, А±з = ж2 — 6ж, А21 = х2 — еж,
А22=ас — ж2, Л2з = ж2 — аж, Asi=x2 — bx, А32=х2—ах, А3з = аЬ — х2,
А = апАп + CL12A12 + агзАхз = 2ж3 — ж2(а + b + с) + абс.
213. а) 0; б) -4.
214. а) 72; б) (с - о)(Ь - а)(с - Ь).
215. A = Ai-A2 = строки на столбцы:
7 10
строки на строки:
столбцы на строки:
столбцы на столбцы:
11
9
7
11
9
7
12
8
7
12
8
14
13
10
14
13
10
14
11
10
14
11
10
9
9
10
9
10
11
9
10
11
9
216. а) С =
19 6
9 7
б) С =
= 35;
= 35;
= 35;
= 35.
1 -18
-21
B 1 V
2 3 2
217. Ранг А = 2, А* =
\l 1 1,
218. Ж1 = -7, ж2 = 5.
219. xi =3/2, ж2 = -1/2.
220. ж = 3/2, у = -1/2.
221. Система решений не имеет.
222. ж = -84, у = -93/2, z = 31/2.
210
223. Система имеет бесконечное множество решений:
В =
/2
1
1
V5
7
3
5
18
/0
1
0
i0
3
5
-9
1
3
0
0
4
1
-2
-7
5
0
0
8
5
5\
3
1
г
1
0
12/ \о
5 -1\
-2 3
0 0
0
о/
1
3
2
3
'о
1
-7
5
-14
-21
1 -7
3 5
5
-2
10
15
5
-2
3
-2
-1
3
0 1-7 5-1
0 26 -17 6
Отсюда
х = 6 - 26z + 17t,
— любые вещественные числа.
t, у =-I + 7z -Ы.
где 2, '
224. Ранг Л = 3; ранг Б = 3.
225. а) 5/л/2; б) ж = л/2, j/ = 1, z = -1; в) 1/л/2.
226. 3; л/6; л/11; 2. 227. а) 5/21; б) 1/л/2; в) 1/л/2.
228. Не может, потому что в данном случае cos2 a + cos2 /3 + cos2 7
^ cos2 a + cos2 /3 = 5/4 > 1, чего быть не может.
229. х = у = z = л/3.
230. |а - Ь| = 22. Указание. \а±Ь\ =
231. \а + Ь\ = 20. 232. ш = тг/4.
2 + |6|2 ± 2(а,
2 4
284.*=-, » = * = Г
Ab\J ' — - 5'
235. A,-2). Указание. Данная задача эквивалентна делению отрез-
отрезка АВ на две равные части.
236. х = 1/2, у = -5/4.
237. Пусть точки деления Mi = B1,22), М2 = B1,22) (рис. 62).
Определим числа /х и Л (см. [2, § 7]) для точки Mi: //* у,.
_ |MiA| _ 1 _ |Mi^| _ 2
^ ~ |АБ| ~ 3' ~ \AB\ ~ 3'
Поэтому
z1 = l-\ + 4li = - + - = 2,
Mi =
у
Аналогично 2i = 3, ^2 = 1/3 (/л = 2/3, Л = 1/3), >
= (зд/з). Рис62
238. М± и М2 не лежат на данной прямой, М<2 лежит на этой прямой.
211
2 13
239. у = х-\ . Точка М2 = B,3) лежит на прямой, поэтому
о о
2
2/ —3 = (ж —2). Если за точку, лежащую на прямой, взять другую
,, /п 13\ 13 2
точку, например, Mq = @, —J, то уравнение примет вид у = х.
240. а) -х - 2у + 4 = 0; б) -2х + ?/ + 3 = 0.
241. 2ж - Зу = 0, Зж + 2у = 0.
242.а) Z2?-^E- 4 = б) J* ^ _ 1 =
/29 /29 \/29 л/2 л/2 у/2
B)_JL + ^_ 3 =
л/5 л/5 л/5
—
л/68
l i
л/2
244. (ж - 1) - 2(|/ - 2) + 3(z + 3) = 0.
245. -4ж - у + 2z + 3 = 0.
246. а) А(х - 1) + 5(|/ - 1) - 2(А + 2B)(z - 1) = 0, где Л, Б — произ-
произвольные числа, одновременно не равные нулю;
б) 2(х - 1) + 4(у - 1) + (z - 1) = 0.
247. а), б), в) определяют параллельность плоскости. В случае в) мы
даже имеем совпавшие плоскости. В случае г) плоскости не параллельны.
248.a)fx-fy-f,-l = 0; б) § , - | „ + |, - ? = 0.
249. a) d = - [2 • 1 - 3 • 2 + 6 • 1 - 7] = -;
6)d=i 12-1 + Ь 2-2.1-l| = i.
250. cos^ = 59/63.
251. х2 +у2 + z2 = 144/29. Указание. Радиус шара есть расстояние
от начала координат до данной плоскости (d = 12/л/29).
253. -7(ж - 2) + (г/ + 1) + b(z - 1) = 0. Указание. Из условий орто-
ортогональности плоскостей найти отношения А/С', В /С, где А, 5, С — коэф-
коэффициенты искомой плоскости.
254. а) а = тг/3, /3 = тг/4, 7 = тг/35 б) а = тг/6, /3 = тг/3, 7 = 0-
255. а) 5/3; б) 3/14. Указание. Взять точку на одной из плоскостей
и найти ее расстояние до другой.
256. B,-1,0); D/3,0,-1/3); @,2,-1).
257. a) AxD2 = АчВ^\ б) Ах = Dx = 0, А2 = D2 = 0.
258. ^-—^ = ^^ = ^-^1. 259. х = 1 + 2*, j/ = -l
Z —о О
212
Указание. В случае а) разрешаем систему относительно х и у, а в
случае б) относительно z ж у.
Ой1 1 • 1 ~ 1 • 1 + л/2л/2 1 тг
261. cos^ = — = -, (р = -.
262. / = 3. Указание. Перейти к параметрическому заданию пря-
прямых. Предполагая, что прямые пересекаются в некоторой точке, получаем
систему (о и -
I Zto — III = О,
1 3?o-4?i = -1,
D*0 -2*i =6,
из которой и находим значения /, *о, *i.
о^ ^ /jy _i_ ^ ^ П
263. = = . Указание. Вектор B,-4,1) коллинеа-
рен вектору а = (а1,а2,аз)? лежащему на прямой.
264. а) Векторы а ж Ъ ориентированы противоположно системе коор-
координат; б) векторы а и b ориентированы так же, как система координат
1 2
( определитель из координат векторов
7
= 1 >0
)¦
265. \а х Ъ\ = 21. 266. Да (а х Ъ = 0.
267. Векторы а и 6 должны быть коллинеарны.
271. а) Компланарны; б) нет.
273. а) Линейно зависимы (см. задачу 224, матрица 5); б) линейно
независимы, ранг матрицы из координат векторов равен трем.
275. А = 15.
D3
49 11 | ; произведение 5Л не имеет смысла.
37 9
О а >
213
279. а) А'1 =
б) А'1 =
1 -1 V
-38 41 -34
27 -29 24 >
в) А'1 =
281. X =
cos a
— sin a cos а ,
3 -2
5 -4
= А*
282. а) А =
б) А'1 =
1
2
1
2
1
2
1
~2
1
2
1
2
IN
2
1
~2
1
2/
283. а) Оператор А линейный. Его матрица имеет вид
/О 1
Л= 2 0 1
\з -1
Указание. В столбцах А стоят координаты образов базисных векто-
векторов. Например, для е1 = A,0,0), Ае = @,2,3);
б) оператор А не является линейным:
А(х + у) = (xi + 2/i, ж2 + 2/2 + 1, жз + 2/з + 1) / Ах + Ат/ =
= (xi + 2/i, ж2 + 2/2 + 2, хз + 2/з + 2).
-6 11
285. БА = ^ I -12 13
3 ' 6 -5
.Указание. В старом базисе Аг1 = г1 +
+ 2г3 + Зг2 + г4, поэтому первый столбец новой матрицы будет состоять из
элементов 1, 2, 3, 1. Затем так же преобразуем Аг3, Аг2, Аг4;
284.
286.
ВА'1 =
/1
а)
со to
/2
1
0
3
-1
1
-11
-7
-1
2 1\
5 1
0 2
2 3/
6
4
0
б)
/-2 0 1 0\
1 -4 -8 -7
1 4 6
V 1 3 4 7/
димому виду приводит нас к решению системы
Аг1 = г1 +3г2 + 2г3
. Указание. Преобразование Аг1 к необхо-
г4 = ai1
+г
+г2 +г
+г2 +г3 + г4)
Затем аналогично преобразуем А(г1 +г2), А(г1 +г2 +г3), А(г1 +г2 +г3 + г4)
214
»'• A -1"
Указание. Имеем а1 = i1 + 2г2, а2 = -i1 + г2, Ъ1 = i1 - 2г2, Ъ2 =
= Зг1 — г2, где (г1, г2) — исходный базис пространства. Выражение а1 и а2
через б1, Ъ2:
1 7 1 4 2 2 2 х 1 2
а~~5 + 5 ' ~ ~5 ~ 5
Далее находим АЬ1, АЬ2\ выраженные через б1, Ь2.
Эту же задачу можно решать в матричной форме. Пусть а = (а1, а2),
Ъ = (б1, б2), Т — матрица перехода от базиса Ъ к базису а, причем в столб-
столбцах Т стоят координаты векторов а1, а2 в базисе б1, а2. Тогда в матричной
форме можно записать
а = ЬТ, A)
где в данном случае
т=(~\
5 5>
Теперь пусть линейное преобразование (р в базисе а задается матрицей
Лив базисе Ъ матрицей В:
ip(a) = аА, <р(Ъ) = ЪВ, B)
где в столбцах матриц А и В стоят координаты образов базисных векторов
в соответствующей базисе, ip(a) = (^(а1), (<^(а2)), (ip(b) = (^(б1), (tp(b2)).
Очевидно, что
Поэтому из B) и A) имеем
Ч>(Ъ)Т = ЪВТ, ip(a) = ЪТА,
откуда в силу C) имеем ЪВТ = ЬТ А.
Таким образом, ВТ = ТА,
В = ТАТ~1. D)
Найдем теперь матрицу В по формуле D). Легко подсчитать, что
¦| V\ - I ^ ^\ - /-5-НГ
о
-1
71
15
32
15
3
13
VT
98 >
15
41
~15>
3
19
3
\
•
288. В = ТАТ~г =
289. а) Векторы ортогональны; б), в) не ортогональны.
215
290. Векторы е1, е2, е3 образуют ортогональный базис в Дз, так как
ранг матрицы из координат векторов равен трем (т.е. е1, е2, е3 линейно
Ills
независимы) и векторы попарно ортогональны; ж = —- е — — е .
14 14
_/1 1 1 1\ _ /1 1 1 1
291. s- ^-,-,--,-j, t- ^-,--,--,--
292. а) Базис ориентирован противоположно основному базису;
б) базис ориентирован так же, как г1, г2, г3 (А = 1).
293. х\ = х\ x2j X2 = — х\ Л x2j т.е. переход от (х'1ух2) к
(ж1,Ж2) осуществляется с помощью строк матрицы Л*.
294. Переход от координат (х±, х2) к координатам (ж'ь x'2) в новом бази-
базисе производится с помощью строк матрицы (А*)~1, а переход от координат
(x'ljX^) к (ж1,Ж2) совершается с помощью строк матрицы А*. Имеем
поэтому
I = х[ + 2ж'2, j х[ = -хх + 2ж2,
Х2=Х1— Х2.
295. а) Не является; б) не является; в) является; г) не является; д) не
является; е) не является, если прямая не проходит через начало координат;
ж) является; з) является.
296. Вся плоскость; векторы, лежащие на любой прямой, проходящей
через начало координат; начало координат.
297. Совокупность векторов, лежащих на прямой х2 = xi/k (к ф 0);
х\ = 0 при к = 0.
298. а) Размерность равна 3 (ранг матрицы из координат векторов
равен 3). Базис образуют, например, векторы а1, а2, а4;
б) размерность равна 2. Базис образуют любые два вектора системы.
299. Подпространство L' состоит из векторов v = (ж1,Ж2,жз, Ж4), для
которых (v^a1) = (v,a2) = 0, т.е. координаты векторов v удовлетворяют
условию Х4 = хг, 2хг + х2 + жз = 0. Вектор а = B/1,2/2,2/3,2/4) ортогонален
ко всем векторам vGl', поэтому его координаты удовлетворяют условию
B/1 + 2/4 - 2г/3)ж1 + B/2 - уз)х2 =0 V жь ж2.
Отсюда 2/2=2/з, 2/1 + 2/4 — 22/3 = 0. Для чисел а и /3 получаем систему
a + 2/3 = 2/1, /5 = 2/2, /3 = 2/3, — ск = 2/4- Эта система разрешима при ука-
указанных 2/1, 2/2, 2/з, 2/4, а именно a = -2/4, /5 = 2/2=2/3 (равенство a + 2/3 = 2/1
автоматически выполняется).
/ ч /-36 -37 -15>
301. . 302. А*(/)= 30 30 14
V / \ 26 27 9>
216
303. a) Ai = 2. Указание. Исследовать на экстремум квадратичную
форму и = х2 + у2 + 2ху на единичной окружности х2 + у2 = 1;
б) Ai = 3.
304. а) Форма неопределенная по знаку, так как А2 = —3 < 0;
б) форма неопределенная по знаку (А2 = — 1 < 0);
в) форма строго положительная (Ai = 2 > О, А2 = 1 > 0, Аз = 2 > 0).
305
. a) Ai = - Iац + а22 + л/4а^2 + (аи ~ «22
1 Г I 1
А2 = - оц+ а22 - у 4af2 + (ац - а22J = -V5,
форма гиперболического типа;
б) Ai =
Л Л 27-л/725 Л А
> 0, А2 = > 0, форма эллиптического
А
типа;
2 ' * 2
в) Ai = 4 > О, А2 = 0, форма параболического типа.
306. а) Характеристическое уравнение имеет вид
-А 2 2
2 3-А -1 =0.
2 -1 3-А
Корни уравнения Ai = А2 = 4, Аз = —2. Каноничекий вид формы:
б) 8?i + 8?| + 5?з — канонический вид формы.
307. а) Характеристическое уравнение
6-А -2 2
О
-2 5-А
2 О
7-А
= F - А)E - А)G - А) - 4E - А) - 4G - А) = О,
F - А)E - А)G - А) - 8F - А) = О,
имеет корни Ai =9, А2 = 6, Аз = 3. Собственный вектор ж1 находим из сис-
системы
' -Ъх\ -2x2 +2ж3 = О,
—2х\ —4ж2 = О,
-2ж3 = 0.
Отсюда хз = xi, —2ж2 = х\. Вектор у1 = (х\, —х\/2, х\) является решением
системы. Нормируя этот вектор, получаем
xi = jL=A
\уЦ \3' З'З,
217
Аналогично получаем
2 2\ з_/2 2 1
" \з'з' з
Канонический вид формы: 9?i + 6?f + 3?|. Ортогональное преобразование:
б) | | | | | !
1 2 , 2,
*3=з*1 + з6 + з*3-
308. а) Л С — В2 = 9 > 0 — кривая эллиптического типа; 3(ж — IJ +
+ 3(у - 2J = 12; ^ = ж - 1, г] = у - 2] 3?2 + Зт/2 = 12 — окружность
радиусом 2;
б) АС — В2 = 6 > 0 — кривая эллиптического типа; 3?2 + 2rf =6 —
эллипс с полуосями а = у/2, Ъ = л/3;
в) Л С — В2 = — 2 < 0 — корни гиперболического типа: ?2 — 2rf =2 —
гипербола с полуосями а = у/2, 6=1;
г) АС — В2 = 9 > 0 — кривая эллиптического типа; 3?2 + Зг]2 =0 —
точка @, 0);
д) АС — В2 = — 2 < 0 — кривая гиперболического типа; ?2 — 2rf =0 —
пара пересекающихся прямых ? — у/2г] = 0, ? + л/2^ = 0;
е) АС — В2 = 0 — кривая параболического типа; 4? — Зг]2 =0 — пара-
парабола с осью симметрии ?;
ж) АС — 52 = 6 > 0 — кривая эллиптического типа; 3?2 + 2т/2 = — 1 —
мнимый эллипс.
309. а) АС — В2 = —16 > 0 — кривая гиперболического типа; Ai = 8,
А2 = -2;
л/2
.3 = 1
— уравнение кривой в системе (?,?7)- Это уравнение можно записать так:
- -^ (| - Ч) - -j= (i + т,) - 13 = 0
Параллельный перенос
приводит уравнение к виду
218
и2 - V- = 1.
Это гипербола (рис. 63) с действительной осью и. Общее преобразова-
преобразование координат имеет вид
1 ( 4 А 1 ( 2 А
х = —— [ и — v -\ — , у = —— [и + v ¦= ;
V2 \ V2J' У V2\ V2J
Рис. 63
Рис. 64
б) АС — В2 = 576 > 0 — кривая эллиптического типа: Ai = 32, А2 = 18,
В <0;
±-±Л
V2' V2J'
V2' V2J'
о 64 64
18r} + — (f - г}) + — (^ + ту) - 224 = О,
л/2 л/2
+ л/2J + 18т/2 = 288,
—- + -— = 1 — эллипс с полуосями а = 3, 6 = 4 (рис. 64);
9 16
—
—
в) АС — В2 = 0 — кривая параболического типа; Ai = 25, Л2 = 0, В < 0;
3 4
4 3
- 4Ч),
219
20
ПО
3); и = ? - 2,
v = т/ + 3; и2 = 2v — парабола с осью
симметрии v (рис. 65); х = — (Зп —4г? + 18),
о
у = -- Du + 3v - 1).
о
310. АС —В2 = 0 — кривая параболи-
параболического типа; решая совместно уравнение
прямой и кривой, получим уравнение
ж2B-/сJ + 6ж + 1 = 0.
Дискриминант этого уравнения имеет вид
Рис.65 9-B-feJ = (l + fc)E-fc) (кф2).
а) Поэтому при к = — 1, А; = 5 прямая
имеет по одной общей точке с кривой. При к = 2 также будет одна общая
точка у прямой у = 2ж и нашей кривой;
б) -1 < /с < 5, к /2;
в) А; < -1, А; > 5.
311. jfe = -3, к = -1/3.
312. ж2 + 2ху + ?/2 - ж - Зу = 0 (парабола, АС - В2 = 0).
313. а) (ж + IJ + (у + 2J + z2 = 9; ж + 1 = f, j/ + 2 = т?, г = С;
?2 + ?72 + С2 = 9 — поверхность шара радиусом 3;
?2 г\2 С2
б) —Н Ь — = 1 — эллипсоид с полуосями а = 2, 6 = л/2, с = 2;
i2 n2 с2
в) ~т + ~^ ~г = "^ — однополостный гиперболоид с полуосями а = 2,
6 = у/2, с = 2;
г) ?2 + 2т/2 = 2? — эллиптический параболоид (р = 1, g = 1/2);
д) — т/2 — = 1 — двуполостный гиперболоид с полуосями а = 2,
4 4
6= 1, с = 2;
С2 v2
е) 1 = 1 — эллиптический цилиндр (уравнение не содержит пе-
4 4
ременной С).
314. а) Характеристическое уравнение имеет вид
11-Л 8 2
5-Л -10
-10 2-Л
= -Xs + 18Л2 + 18Л - 1458 =
= Л2A8 - Л) + 81(Л - 18) = (Л2 - 81)A8 - Л) = 0.
220
Его корни Ai = 18, А2 =9, A3 = —9. Найдем собственный вектор из системы
{A1 — Ai)#i + 8Ж2 + 2жз = О,
8хг + E — Ai)#2 — Южз = О,
2ж1 - 10ж2 +B-Ах)жз =0,
{—7ж1 + 8ж2 + 2жз = 0,
8ж1 — 13ж2 — Южз = 0,
2хг - 10ж2 - 16ж3 = 0.
Ранг матрицы из коэффициентов системы равен двум (все три собствен-
собственных числа различны). Поэтому решаем систему двух уравнений (в данном
случае любых двух)
-7х± + 8ж2 = —2жз, _ _
8ж1 — 13ж2 = Южз, г з, 2 з-
Вектор v = (—2жз, —2жз,жз) — решение системы; нормируя его, получаем
собственный вектор
ж1 = B/3,2/3,-1/3).
Аналогично находим
х2 = B/3, -1/3, 2/3), х3 = (-1/3, 2/3, 2/3).
Линейное ортогональное преобразование
991 919 199
/- /- /- /- /- /- /- /- /-
приводит квадратичную форму к виду
Уравнение поверхности относительно ?i, ^2, Сз принимает вид
2 9 9
. „. _|_ nt Olfi —I— 9/- —I— 9/- —I— 9/- —I— 1 П
Канонический вид поверхности (и\ = ^1 + 1/18, u<2 = ?2 + 1/9, П3 =
= Ь - 1/9)
-18n2 - 9^2 + 9uj = 17/18
— двуполостный гиперболоид.
б) Характеристическое уравнение — А(А — 4)(А — 2) — 8D — А) = 0, или
D —АJ(А+ 2) = 0 (разлагаем определитель по элементам первого столбца).
Собственные значения Ai = A2 =4, A3 = —2; собственные векторы
Ж1 _ (А_ о 2Л х* - (-Л 5_ j_\
2_ J_ J_
~7б' Те' ТбУ
Ортогональное преобразование:
221
Каноническое уравнение поверхности
-2и\ -2ul+ul = l
— двуполостный гиперболоид вращения.
2 2
315. Эллипс 1 = 1 с полуосями а = 3, Ъ = л/3 в плоскости
х = 2. Его вершины имеют координаты в пространстве B,3,0), B,-3,0),
B,0,V3), B,0,-V3).
317. а) < ^ _ q^ Zt> — уравнение проекции на плоскость
Это уравнение окружности.
б)<^ ~~ xz ~"~ ~~ Ж Z q' — уравнение проекции на плоскость ;
Это уравнение эллипса {АС — В2 = 4 > 0).
в)<^ У ~ У — ? — уравнение проекции на плоскость Оху.
Это также уравнение эллипса.
/ 3\2 / 1\
318. Парабола: 1у I =3 lz+ -).
V 2 у \ 4/
319. z = с. Указание. Рассматриваем уравнение поверхности как
неявное: 222
а2 с2 Ь2
Тогда уравнение касательной плоскости в точке (жо,2/о,?о) имеет вид
dzHZ
321. а) х2 + у2 = 2z — параболоид вращения, или эллиптический па-
параболоид;
2,2 2
X ~~т~ U Z
б) 1—- = 1 — эллипсоид вращения.
а2 с2
322. а) C,4,-2), F,-2,2). Указание. Перейти к параметрическим
уравнениям прямой.
б) Прямая и поверхность не имеют общих точек.
324. 9Х2-16У2-16^2-90Х + 225 = 0. Указание. В силу симметрии
ясно, что направляющая есть окружность, получающаяся в сечении сферы
плоскостью х = а. Значение а найти как абсциссу точки касания прямой,
проходящей через точку S и касающейся большого круга х2 + у2 = 9 в
плоскости xOz.
222
Глава 4
325. а) х2 + 4у2 ^ 1 — внутренность эллипса с полуосями а = 1,
6=1/2, включая его границу (рис. 66);
2 2
б) ^ 1 — область между ветвями гиперболы с полуосями а = 3,
6 = 2, включая сами ветви гиперболы (рис. 67);
в) у2 ^ 4ж — внешность параболы, включая саму параболу (рис. 68);
г) вся плоскость, кроме начала координат @,0);
114
Рис. 66
Рис. 67
Рис. 68
Рис. 69
Рис. 70
Рис. 71
д) х + у > 0 — полуплоскость выше прямой
у = —х (рис. 69);
е) \у/х\ ^ 1, ж / 0. Часть плоскости, примыка-
примыкающая к оси х между прямыми у = ±ж, не включая
начало координат (рис. 70).
2 2 2
X V Z
326. а) ^7 + ттН—7^1 — часть пространства
а2 о2 с2
внутри эллипсоида с полуосями а, 6, с, включая саму
поверхность эллипсоида (рис. 71);
2 2 2
б) ^7 + тт 7 ^ 1 — часть пространства, нахо- Рис- ^2
а2 о2 с2
дящаяся внутри однополостного гиперболоида, включая его поверхность
(рис. 72);
223
1,
>—I
ут
i
Рис. 74
Рис. 75
в) х2 + у2 < 2z — часть пространства, находящаяся внутри парабо-
параболоида вращения (рис. 73);
2 2 2
ч % х V
г) — — — ^ 1 — часть пространства, находящаяся вне двупо-
с2 а2 о2
лостного гиперболоида, включая его поверхность (рис. 74);
1,
1,
1 — внутренность куба с центром в начале ко-
координат с ребром, равным 2, включая его грани. Этот куб ограничен плос-
плоскостями х = ±1, у = ±1, z = ±1 (рис. 75).
plus2mm
327. /A,0) = 1; /A,1) =2; /B,1) = 9/2.
328. f(x,y) = (ж2 — у2)/8. Указание. Ввести новые переменные и =
= х + 2^/, v = х — 2у.
х2 у2
329. а) ~2~ + Т2~ = -'-~с — эллипсы (с < 1); при с = 1 — начало коор-
Z О
динат; при с > 1 — мнимые эллипсы, что означает, что плоскость и = с не
пересекает графика функции;
б) у = сх2 — параболы с осью симметрии Оу. При с > 0 параболы
находятся в верхней полуплоскости, а при с < 0 — в нижней. При с = 0
получаем ось ж.
330. /? = л/A-2J + @-1J + A-0J = л/3.
1
1
¦-»0, к ->• оо.
331. Точка М° = @,1); р(Мк,М°) =
332. Все точки множества Ei = {\х\ < 1, \у\ < 1} С Е внутренние.
333. а) Будет; Е — внутренность квадрата, ограниченного прямыми
б) не будет; Е — внутренность двуполостного гиперболоида. Поэто-
Поэтому нельзя соединить две точки, находящиеся в верхней и нижней частях
гиперболоида, непрерывной кривой, принадлежащей к Е\
в) не будет.
224
334. а) 2; б) не существует; рассмотреть пути подхода к точке @,0)
ж = у- х ф 0, у = 0.
335. с = 0. Предел функции д/l — ж2 — 4?/2, когда точка (ж, г/) стремит-
стремится к границе эллипса х2 + 4?/2 = 1, равен нулю. 336. а) Нет;
б) предел функции в направлении вектора ш =
равен
2UJIUJ2
} 2
поэтому функция будет непрерывной в @,0) только в направлении векто-
векторов w = A,0)hw = @,1), т.е. в направлении осей координат. Таким обра-
образом, эта функция непрерывна в @, 0) по переменным жиув отдельности и
не является непрерывной по совокупности переменных.
337. Указание. Функция и = 1 — х2 — у2 непрерывна на всей плос-
плоскости.
338. и'х = Зж2 - 2у, и'у = 2у - 2ж, du = (Зж2 - 2у) dx + 2(у - х) dy.
, du = 2xy3dx + 3x2
du =
341. а) их =
X2 _|_ y2 (x+ ^yx2 _|_ y2 \
du ydy
I*2 + У2 sjx2'^2 (x + ^/x2~Ty2^
j , x -ydx + xdy
х2 + у2
X2 +
ж2 + у2
ч / 1 / Ж , / 1\ , / 1
б) их = у + -, п = ж -, du = [у + - ) dx + ж 1 г
2/ У 2/2 \ У) \ У2
в)их=уху~1, Uy=xy\nXj du = yxy~xdx + ху \nxdy;
г) их = ch (ж + у), и'у = ch (ж + у), du = (с?ж + cfa/) ch (ж + г/);
2 • 2жг/, п'у = (ж2 +chy)sh(x2y + sh
Д) Ux = SU (X"y
= [2xydx-\- (ж2 + chy) dy]sh(x2y + shy).
342. a) A = r; 6) A = 4rcp - 1.
343 a) — = — — + — — =
' } dt dx dt dy dt
• t
1
-.et+T =
du =
6) — = — у sin (t + т) + ж cos (? — t) = — sin (t — r) sin(^ + т) + cos (
du
+ t) cos (t — t) = cos 2t, — = —y sin (? + r) — x cos (t — r) = — cos 2т.
225
344. a) gradn = {2,1} (рис. 76); б) gradn = {4, -6} (рис. 77).
. а) — = (gradn,n) = —
б) |^ =
О
gr
1 3 ¦'"
Рис. 76
Рис. 77
346. a) gradn = {4, —6}. Единичный вектор этого направления
По
= !— —1 -^=4— -6- — = — = 2л/13
I л/13' л/13 /' дп0 л/13 л/13 л/13
Можно сразу записать, что —— = |gradn| = 2\/l3 — это максимальная
ОПо
производная по направлению.
347. а) Пусть а и [3 — углы, которые составляет градиент функции с
осями х ж у соответственно,
U'X(P) у/3 и'у{Р) 1 7Г 7Г
cos а = 1 —тт^т = — ? cos Р = 1 ^—тт^т = ~ j СК = ~Р = ~;
|d(P)| 2' н м
2'
3'
б) а = тг/3, /3 = тг/6.
-1
-2х
6)
у {х2+уJ (ж2 +
d2u = [2(у — x2)dx2 — Axdxdy — dy2]/(x2 + уJ]
-у2 „.и _ ху „и _
BЖ2/ + 2/2K/2' жу Bху
d и = — (г/ dx — х dy)
у2K/2'
2 д2П _ ^2/ Л
2ab%vdxdy
д2и _ d2f
- 2
226
9^
^2
352. а) «-5 = 2A-1L-4A,-2), ±-Л = У-Л = У-1.
6)«1 2(х2) + 2(„1), ^ ^.
353. а) По формуле Тейлора Аи = иA + /г, 2 + к) - иA,2) = dn +
+ — с?2п = 4/г — ЗА; + /г2 — к2 + А;/г (производные порядка выше второго равны
нулю);
б) Аи = 2h + к + h2 + 2M; + /г2/с.
354. 2/ + ж2/+-(Зж22/-2/3).
Замечание. Можно воспользоваться одномерными формулами Тей-
Тейлора для функций
х2 ж3 у3
е- = 1+ж+ — + — + ..., siny=|f + ...
о.. [(ж-1) + (у+1)] [(Ж - IJ + 2(Ж - 1)(у + 1) + (у + IJ]
355. 1 + + +
[(х - IK + 3(х - 1J(у + 1) + 3(х - 1)(у + IJ + (у + IK] _
3!
1 1! ' 2! ' 3! '
356. а) 9 = 1/2; б) 302 + 29 = 2, 9 = (у/7 - 1)/3.
357. B,0) — стационарная точка; z = 2, z'y'2 = 4, z"y = 0;
ац = z^yZjijjj а<22 = z 2{*jV)i а\<2 = z^^UJ, &п&22 — &12 = о > U,
ац = 2 > 0, значит, в точке B,0) функция имеет минимум, zmin = 0.
358. Стационарная точка B,0); аца22 — а22 = —8, экстремума нет.
359. Стационарная точка @,0); ац = 0, а22 = —4, ai2 = 4,
аца22 — tt22 = —16 < 0, экстремума нет.
360. Стационарные точки @,0), (±л/2,±л/2); z = 12ж2 - 4, z'y'2 =
= 12у2 - 4, z'iy = 4; ^2(±л/2,Тл/2) = 20, ^2(±л/2, Тл/2) = 20, aiia22-
—a22 = 396 > 0. В точках (л/2, —л/2), (—л/2, л/2) локальный минимум. В
точке @,0) ац = —4, а22 = —4, ai2 = 4, аца22 — а22 = 0. Вопрос об
экстремуме открыт. Исследуя приращение функции на прямых у = 0 и
у = ж, убеждаемся, что экстремума в точке @,0) нет.
361. umin = -4/3 при х = -2/3, 2/ = -1/3, г = 1.
362. а) Функция не имеет наибольшего значения; supz = 2. Функция
разрывна;
б) имеет. Область задания |ж| ^ 1, \у\ ^ 1 замкнута и функция г непре-
непрерывна на этой области, поэтому она имеет наибольшее значение; @, ±1) —
стационарная точка; г@, ±1) = ±1/2; на границе квадрата в точках х = ±1,
у = л/3 — 1 функция достигает наибольшего значения, равного A + л/3)/4.
227
363.
Ь2х
а2у'
364
4fifi
D(ip,
P(u,
d2y
d2x
dz
dx
du
dx
du
dy
ф)
v)
у2
b4
«V
z sin x — cos у
cos x — у sin z
dф 1 Р(ср,ф)
dv j P(u,v) '
dip 1 D(ip,il
dv j Р(щь
Фи Фу
dz
dy
dv
dx
•, K =
z sin у -
cos ж —
дф 1
du 1
dv dip
dy du
Ц> Fv
a2 y
- cosz
ysvuz
D(u,v)
/D(<p,
1 D(u,
=
1
Ф)
v)
2y dy _ F'x
-, ----
где
m dz с . dz с лг dz dv „
367. 7Г— = sin г?, — = — cost?. Указание, тг— = c-^—. Произ-
ox и оу и ox ox
dv
водную -jr— находим из первых двух уравнении, рассматривая n, v как не-
неявные функции от ж и у.
369. x + 4y + 6z = ±21.
370. ж + ^ + а
371. Квадрат (S = ху, 2х -\-2у = /, функция Лагранжа L = ху + \{2х +
+ 2?/-/).
372. Способ 1. Привести уравнение эллипса к каноническому виду.
г]2
Собственные значения Ai = 9, А2 = 1; 9?2 + rj2 = 9, ?2 + -^- = 1. Значит,
полуоси эллипса а = 1, Ъ = 3; 2а = 2, 26 = 6.
Способ 2. Данный эллипс расположен симметрично относительно на-
начала координат, поэтому квадрат расстояния от начала координат до точки
эллипса (ж, 2/), равный х2 + у2:, достигает наибольшего (наименьшего) зна-
значения, когда точка (ж, г/) попадает на большую (малую) ось эллипса. Поэ-
Поэтому необходимо исследовать функцию и = х2 + у2 на условный экстремум
при связи
Ъх2 + 8ху + 5^/2 = 9.
373. Равносторонний треугольник.
Указание. S = \/1{1 — х)A — у)A — z), х + у + z = 2/, ж, ?/, 2 — сто-
стороны треугольника. Если в S подставить значение I — z = х + у — /, то
полученную функцию исследуем на обычный экстремум. Можно также ис-
исследовать задачу, составляя функцию Лагранжа:
L(S, A) = S + Х(х + у + г - 2/).
228
Глава 5
1 1 1
374. a) S = 1. Указание.
п(п +1) п п + 1'
13 _ 1 1/11
6)S=W Указание- (n + lI(n + 4)=K»
iV + 2 JV + 3
1 [1 2
в) S =—. Указание. —. —— -\
375. Указание. При доказательстве расходимости гармонического
ряда по признаку Коши рассмотреть
п + 1 п + 2
377. Расходится Г П+1 -^ i /
378. Расходится, ^
/п2 + 2п ^ л/п2 + 2п2 пл/3'
379. а) Сходится, у ^^у ^ ^7^; б) сходится' ргр
380. а) Расходится; б) ив) сходятся. Указание. Применить теорему
из [1, § 9.4].
381. Сходится. 382. Сходится. 383. Сходится. 384. Сходится.
385. Расходится.
386. Сходится при е > 1; расходится при 0 < е ^ 1.
387. Сходится.
1/п
2 г 1
388. а) Сходится, ип ^ , ; б) сходится, ип ^ / ж3с?ж = -—j.
on6'1 J 4n4
о
389. Сходится условно.
390. Сходится абсолютно.
391. Указание. \akbk\ ^ ?±±Ь..
392. а) х > 1; б) ж > 0; в) -оо < ж < оо; г) -1 < ж < 0, 0 < х < 1.
393. а) Сходится равномерно к нулю;
б) сходится равномерно к нулю;
в) сходится равномерно к нулю;
г) сходится неравномерно к нулю I max fn(x) = 1/4 -/> 0 ).
229
395. а) Данный ряд сходится при — 1 ^ ж < 1. Продифференцирован-
оо
ный ряд ^2 хп~1 сходится равномерно на множестве [-S, S] при любом S < 1.
1
Поэтому почленное дифференцирование законно на указанном множестве.
оо хп х 2
Пусть S(x) = ^2 —1 тогДа S'(х) = ^2хп~ = . Интегрируя, получаем
1 хп о 1-х
1—t
о
о
б) данный ряд равномерно сходится для всех |ж| ^ 6 < 1, что можно
проверить по признаку Даламбера. Поэтому его можно почленно интегри-
интегрировать:
х
f
s(t)dt = [t + t2 + ... + t
0
n+1
Дифференцируя последнее равенство по ж, получаем
396. a) R = 1, (—1,1), при ж = ±1 ряд сходится;
б) Д = 0, ж = 0;
в) R = 1/3, (—1/3,1/3), при ж = ±1/3 ряд расходится.
3 3 / 2
397. а) ж +?- + ...; б) а; - у + ...; в) е f 1 - у + ... J .
оо т2п+1
398- а) S-^^Ti)^ (-«x«<~)'
Т3 Т5 2п+1
Указание. Разложить в ряд Тейлора по степеням ж функцию arctgж.
399. 32,831.
[оо (гр 4- 9^1
1+ Е т (И <оо). Указание. еж = е^2еж±2.
Глава б
401. а) у-2ху' = 0- б) у" = 0; в) у' = у- г) ж + уу' = 0;
д) у" - у' - 2у = 0.
402. а) Изоклинами являются прямые х = к (прямые, параллельные
оси у) (рис. 78). Точное решение уравнения у = ж2/2 + С;
б) 1 + у = /с — изоклины, /с ^ 1. Это прямые, параллельные оси ж
(рис. 79);
в) изоклины ж = —А; (рис. 80).
230
у к
\
- 1
Рис. 78 Рис. 79
403. y = C(x + l)e~x, x = -l.
404. In |ж| = С + л/у2 + 1.
405. l-e"s = Се*.
406. у = -2/A + Сехр(-ж2)).
407. |/ = (ж-2K.
408. у = 2 -cosх.
409. 2/ = Сж3, 3?/ = жг/ — дифферен-
дифференциальное уравнение семейства кривых. с>
410. 0,5 кг. Указание. Составим дифференциальное уравнение на-
нашей задачи. Пусть y(t) — количество соли в баке в момент времени t. Вы-
Выясним, как изменится содержание соли за время At (от момента t до t + At).
Так как по условию задачи в минуту поступает 5 л воды без соли, то за
время At поступит 5At л воды, содержащей в себе 5At • 0 = 0 кг соли. В
y(t)
одном литре раствора содержится —^ кг соли, значит, в вытекающей сме-
смеси соли будет приблизительно (с точностью до бесконечно малой высшего
порядка чем At)
Итак, в растворе, втекающем за время At, содержится 0 кг соли, а в выте-
вытекающем 0,05 Aty(t) кг. Приращение количества соли за это время
y(t + At) - y(t) «0 - 0,05 Aty(t).
Деля на At и переходя к пределу при At —»¦ 0, получим дифференциальное
уравнение
!/'(*) = -0,05 !/(*)•
Общее решение этого уравнения имеет вид у = Сехр (—0,05?). По усло-
условиям задачи у@) = 10 кг, значит, С = 10. Через t = 1 ч = 60 мин. получаем
(при выводе уравнения мы считали изменение времени в минутах)
?/F0) = 10ехр(-3) и 1/2 кг.
411. ^о =40 мин. Указание. Если 9(t) — температура тела в момент
времени ?, то дифференциальное уравнение задачи запишется так:
-20].
231
Общее решение этого уравнения 9(t) = 20 + Сехр (-Ы). Значение постоян-
постоянной С и коэффициента пропорциональности к находим из условий
(9@) = 100, 0A0) = 60, С = 80, к = 0,1 In 2. Далее, 0(t0) = 25, т.е. 25 = 20 +
+ 80ехр(-0,Н01п2).
412. ж2 + С(у + х) = 0; х = 0. 413. у = 0; х(у - х) = Су.
414. у = Сехр (у/х). 415. Общее решение: х3(у + С) = С?/.
416. ж = Сехр(—р_ ).
\3x2-2yJ f ( у 2у\
417. Уравнение приводится к виду у' = х ( cos — Н j J, т.е. а = 2,
V ж ж /
/(?) = cos t -\-2t. Решение проводится путем замены у = tx . Можно также
воспользоваться готовой формулой, полученной в [3, § 1.3, G)]:
х = Сехр
dt
fit) ~ 27
= Сехр
dt
cos2t
418. Указание. Составим дифференциальное уравнение задачи
(рис. 81). Пусть М = (ж,у) — точка каса-
касания; MN — касательная; ON A. MN\ по усло-
условию ON = OP = |ж|. Если
Y-y = y'(X-x)
— уравнение касательной, то
-У + У'х\
Рис. 81
ON =
— расстояние точки @, 0) до прямой MN. Таким образом,
\ху' ~у\
откуда
(ж2 -y2)dx-\-2xydy = 0.
Это однородное уравнение. Его общее решение Сх = у2 + ж2.
419. Уравнение приводится к виду
У = ^з D -ху- у2х2) = —f(Xy),
т.е. а = — 1, fit) = 4 — t — у2. Общее решение у = —Ь
ж
420. а) Уравнение приводится к виду
Сж5 — ж' ж
т.е. а = —1, f(t) = —-B + ?2). Уравнение можно решать заменой ху = t или
о
по формуле G) из [3, § 1.3]:
ж =
ху-1
ху-2
232
(положим С3 С = 1),
2Сж1/3 -J_ _ 1 Сх1/3 _1 _
x(Ux*-/*-l) х ж(Сж1/з_1) х Сж2/3+ж V С
б) замена ух~а = t.
421. 2/ = Се~2х + 2ж - 1. 422. j/ = Сж2 + ж4.
423. у = ех(\п \х\ + С). 424. у = — + ^—^.
ж ж
425. 2/ = х(С -\-sinx).
426. |/ = sin у (С — cosy). Уравнение линейное относительно функции
ж = х(у):
dx . 2
— = sin 2/ + ?ctg2/.
427.^ = 0, ?/3 = -l/[Зcos3ж(C + tgж)]. 428. у2 = Сх2 - 2ж.
429. у = 0, 2/ = ж41п2(|Сж|). 430. j/= 0, j/ = 1/(ж2 + Сх).
431. а) Будет. Все аксиомы расстояния легко проверяются;
б) будет. Первая и вторая аксиомы очевидны. Проверим неравенство
треугольника: р(х,у) ^ p(x,z) + p(z,y).
Если ж = 2/ = Zj то 0 ^ 0 + 0; если ж = у, z ф ж, то 0 ^ 1 + 1 = 2; если
ж ^ yJ х = 2, то 1 ^ 0 + 1 = 1; если ж т^ У-, х ф z, ?/ ф z, то 1 ^ 1 + 1 = 2.
432. Будет. Первая аксиома: если /(ж) = д(ж), то p(f,g) = 0. Обратно,
пусть p(f,g) = 0. Тогда
Так как [/(ж) — р(ж)]2 — неотрицательная непрерывная функция на [а, Ь], то
[/(ж)— #(ж)]2 = 0, т.е. /(ж) = р(ж) (см. [1, § 6.2, теорема 8]). Вторая аксиома:
p(f,g) = p(g,f) — очевидна. Третья аксиома: имеем
ъ
f 2
а
т.е. квадратный трехчлен относительно Л
ъ ъ ъ
I f{x) dx + 2Л [ f(x) g(x) dx + Л2 fg2(x) dx ^ 0.
а а а
Последнее возможно, если дискриминант уравнения неположителен:
(ъ \2 ъ ъ
Jf(x) g(x) dx - jf{x) dxjg2(x) dx <: 0,
ь
Jf(x)g(x)dx
a \a / \a /
233
откуда
(неравенство Буняковского для интегралов, см. также [3, § 4.8]). Далее,
применяя неравенство Буняковского, имеем
ъ ъ ъ
J[f(x) + g{x)f dx < j\f{x) + g(x)\\f(x)\ dx + j\f{x) + g(x)\\g(x)dx\ <
f о \
J[f(x) + g(x)]2dx
f о \ ¦ /о ^
ff{x)dx\ +ljg2(x)dx
ь
у у у
\j[f(x)+g(x)fdx\ ^ \jf(x)dx\ +\jg\x)dx\
{неравенство Минковского для интегралов). Теперь по неравенству Мин-
ковского получаем
P(f,9)= lj[f(x)-g(x)]2dx
\ ( Ъ \
- <f(x)]2dx + J[V{X) - g(x)]2dx I = p(f, у) + p(9, g)
для любой непрерывной на [а, Ь] функции <р(х).
/1/» у/2
433. а <-. Указание. р(/„,0) = [n2adx\ =na~1/2.
\о /
434. Нет. Фундаментальная последовательность {3 — 1/п} сходится к
числу 3, которое не принадлежит М.
435. а) Будет. p(F(x),F(y)) = \F(x) - F(y)\ = \х2 - у2\ = \х - у\ ¦ \х +
2 2
+ у\ ^ \х - у\(\х\ + \у\) ^-\х-у\ =ар(х,у), где а = - < 1;
б) не будет. Если х = 1, у = 0, то \F(x) - F(y)\ = 1 = 1\х - у\ (а = 1).
436. жо = 1/2, xi =F(x0) = 1/22, х2 = 1/24, ..., жп = 1/22п, ...
437. а) х = 2/A + л/5). Будет, так как
max |-Р'(ж)| = max — = - < 1:
/2^^1 ' ' 1/2<<1 A +ЖJ 9
б) ось Х2 = 0;
в) Прямые Х2 = О, Ж2 = 1.
438. а) ? < 1/36. Указание. Согласно теореме существования ре-
где
234
N = sup
D
ду
М = тах|/(ж,2/)|.
D
В данном случае М = 36, N = 24. Решение данной задачи имеет вид
у = 2/C — 2ж2). Таким образом, при х —»¦ д/3/2 решение г/(ж) —»¦ оо. Значит,
фактически решение существует в интервале @, д/3/2), который больше
интервала A - Я, 1 + Я) (Я < 1/36).
Отметим, что во всем интервале @, 2) = A — а, 1 + а) решение данной
задачи (с указанными начальными условиями) не существует;
к\ я ^ >/2 R 6 11
б) о < а = . В данном случае а = — = — = —.
4 М N 8а
Таким образом, решение существует в предельно возможном проме-
промежутке [—?,?] (S < а), т.е. теорема существования дает неулучшаемый ре-
результат в смысле размера промежутка, где существует решение для данной
правой части /(ж,г/).
439. 2/A) и 1,248.
Указание. При приближенном решении уравнений всегда рекомен-
рекомендуется определять интервал (—хо — S,xo + S), где существует решение у(х).
Число 6 находится из теоремы существования. Если точка, в которой нас
интересует значение решения, входит в указанный интервал, то можно при-
применять метод Эйлера. Данный пример носит иллюстративный характер для
метода Эйлера. Уравнение можно решить. Его решение, удовлетворяющее
начальному условию, имеет вид у = ехр(ж2/4), т.е. решение существует
на всей действительной оси, и поэтому метод Эйлера можно применять без
всяких ограничений. По методу Эйлера
9
2/A) ttyo + h^2f(xk,yk),
к=0
где хо = 0, xi = 0,1,..., х9 = 0, 9, хю = 1; у0 = 1; уг = у0 + hf(xo,yo), ...
...,2/9=2/8 + hf(x8jy8)j 2/ю = 2/9 + hf(xg,yg). Таким образом, г/A) и у10.
Все эти вычисления можно свести в таблицу:
к хк Ук hf(xk,yk)
О
0,005
0,010
0,015
0,021
0,026
0,032
0,039
0,046
0,054
Истинное значение решения г/A) = ехр A/4) и 1,284, т.е. приближен-
приближенное значение решения мы получили с точным первым десятичным знаком.
235
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
1
1,005
1,015
1,030
1,051
1,077
1,109
1,148
1,194
1,248
440. у B) и 4,781 (точное значение у B) = 3(е - 1)).
Указание. Решение уравнения сущест-
существует на всей оси. Общее решение уравнения
у = Сех -х-1.
441. а) у = Сехр(±ж) (рис. 82). Особых
решений нет;
б) у(х + СJ = 1; у = 0 (рис. 83). Особых
решений нет.
Рис. 82
О] ;Г
Рис. 85
в) {х-\-СJ-\-у2 = 1; 2/ = =Ы — особые решения (рис. 84). Интегральных
кривых у = ±1 в каждой их точке касается еще одна интегральная кривая
(окружность);
г) у[1 + (х — СJ] = 1; у = 0; у = 1 — особое решение (рис. 85). Отме-
Отметим, что у = 0 не является особым решением. Другие интегральные кривые
не касаются этой интегральной кривой;
д) х2 + С2 = 2Су — параболы;
у = ±ж — особые решения (рис. 86).
-1
Рис. 86
Рис. 87
е) (Сх + 1J = 1— у2 — эллипсы; у = ±1 — особые решения (рис. 87).
236
Указание. Особые решения можно искать различными способами.
Например, в случае д), разрешив уравнение относительно у, получаем од-
oj —|— - /<ji2 гр2
нородное уравнение у' = (х ф 0). Если частная производная
х
по у от правой части последнего уравнения обращается в бесконечность
вдоль гладкой кривой, то эта кривая может быть особым решением. В дан-
данном случае
= оо
при у = ±ж. Проверкой убеждаемся, что у = ±ж — решения нашего уравне-
уравнения. Легко установить, что этих прямых касается в каждой точке еще одна
интегральная кривая семейства х2 + С2 = 2Су. Значит, у = ±ж — особые
решения.
Эти же решения можно находить из системы
+ С*-2Су = 0,
С-у = 0, У~±Х-
Дальнейшее исследование проводится, как и выше.
442. а) Данное уравнение не содержит явно переменной у. Вводим па-
параметр — = р, х = р3 + р, dy = p dx = pCp2 + 1) dp;
{х = р3 + р,
— параметрические задание решения;
б) данное уравнение не содержит явно переменной х. Вводим пара-
dy о * , dy , ч ,
метр -f- = р, у = pz + 2р , dx = — = B + 6р) ф;
аж р
ж = 2р + Зр3 + С,
2/ = ?>2 + 2р3
— параметрическое задание решения; у = 0 — также решение уравнения;
в) данное уравнение также не содержит у. Параметр р можно ввести по фор-
формуле —— = р. Тогда х = рд/1 + p2j dy = pdx = р [д/l +р2 Н 1 ф,
dx у yj\ + р2у
3^/ = Bр2 — 1)д/1 +р2 + С Здесь также можно ввести параметр по формуле
dy
dx
х = shp у 1 + sh2 p = - sh 2p, dy = shp • dx = shp • ch2pdp =
о
= -ch3p-chp + C;
о
237
х = - sh 2р,
У= -sh3p-
X = рл/1 +р2,
— параметрическое задание решения.
444. у = хС — -С2 — общее решение; особое решение находим из
системы
^С2 = 0,
Проверкой убеждаемся, что у = х является решением уравнения Клеро,
следовательно, это особое решение (рис. 88).
''У
- Яг »1
\ С 0
^2 х
Рис.
Рис. 89
Из рис. 88 видно, что парабола у = х2 является огибающей для се-
семейства прямых у = хС — — С2.
445. у = Сх + л/1 + С2 — общее решение. При х = 0 у = \/1 + С2 ^ 1.
Особое решение х2 + у2 = 1. Учитывая, что прямые у = Сх + \/1 + С2
пересекают ось у в точках с ординатой ^ 1, особым решением является
верхняя половина окружности (рис. 89). Это огибающая семейства прямых.
б) у = ?L + с1Х2 + С2х + С3.
446. а) у = — cos х + С\х + С2;
447. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию у. Пониже-
Понижение порядка достигается введением новой функции z(x) = у'. Имеем z (x) =
= у"] х2z = z2. Таким образом, мы получили уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными. Легко видеть, что z(ж) = 0 является реше-
решением уравнения, тогда у1(х) = 0, у(х) = С — решение исходного уравнения.
Пусть z ф 0; тогда, разделяя переменные, получаем
dz
dx
х2
1 _ 1
- — h
2 x
dx _ 1
-3— — h
dy x
238
Если С\ = 0, то z — ж, у' = ж, у = — +С.
448. 2j/ = (l + 2Gi)x2 + Cicos2x + G2^ + G3. Указание, г(ж) = 2/"(ж).
449. 2/ = -(ж + Ci) In |С2(ж + Ci)| + ж + С3; 2/ = da + С2.
450. Данное уравнение можно решить заменой у'(х) = z(x). Однако
легко видеть, что 2уу' = {у2)', поэтому уравнение можно записать в виде
(у1I = О/2)',
dy
откуда у' = у2 + р, х = /
Г
Рассматривая случаи ?> = О, ?> < О, ?> > О, получаем
1
ж = -- + С2; 2Схж + С2 = In
Ci
y = CitgCi(x-C2) (P=-C2).
451. j/ln|Cia;| = 1; j/ = Ci tg (Ci In |С2ж|);
Указание. Уравнение сводится к виду {ху')' = {у2)'.
452. ?/2 = (Ci +жJ + С2. Указание, уу" + у12 = (уу)'.
453. Данное уравнение не содержит явно аргумента ж. Понижение по-
порядка достигается введением новой функции г(г/) = у'(х). Отсюда
у (ж) = zy(y)-yx = zy-z.
Уравнение принимает вид
о dz 2.2
2j/ — ^ = z +y .
dy
Это однородное уравнение. Решая его, получаем (у ф 0)
Далее,
dx ^/у2 +
± ж + С2 = In у + —^ + д/С
Функция ?/(ж) = 0 также является решением.
454. уЪ. \у\ + ж + Ci?/ + С2 = 0; у = С. Указание.
455. ж = -^ In
G2; у = С. Указание. После введения
новой функции zB/) = 2/ж относительно z(y) получим линейное уравнение.
456. Данное уравнение содержит ж и у. Однако оно является однород-
однородным относительно у, у'', г/" второй степени. Понижение порядка достигается
введением новой функции z(x) по формуле у' = yz (у ф 0). В этом случае
2/" = ^(^2 + z') и уравнение принимает вид ж^; = ^. Решая это уравнение,
239
получаем z = С\х. Заменяя z на у'/у, получаем дифференциальное уравне-
уравнение первого порядка у' = С\ху. Интегрируя, получаем у = С2 ехр (С\х2/2).
Это решение включает в себя и решение у = 0.
457. у = С2жехр(—С\/х). Указание. y'=yz(x).
458. 2/ = Cie~x + С2е3ж. 459. j/ = d + С2е2ж + С3е3х.
460. Характеристическое уравнение имеет вид к4 — 1 = 0. Его кор-
корни можно найти, извлекая корень четвертой степени из единицы. Однако
можно левую часть разложить на множители: (к2 — 1)(к2 + 1) = 0, отку-
откуда к\ = — 1, &2 = 1, fa = —г, &4 = г. Поэтому общее решение исходного
уравнения будет
у = С].е~ж + С2еж + Сз cos х + С4 sin ж.
461. Корни характеристического уравнения &i = I, fe = fe = 2;
462. а) Характеристическое уравнение &4 + 2к2 + 1 = 0 легко приво-
приводится к виду (к2 + IJ = 0. Таким образом, оно имеет корни кг = к^ = г,
&з = &4 = —*• Общее решение можно записать так:
у = etx(d + С2х) + е-гж(С3 + С4х).
Если воспользоваться формулами Эйлера, то
у = (Саж + С 2) cos ж + (Сзж + С a) sin ж;
б) у = Сгех + С2е~4х.
464. Общее решение однородного уравнения уже нам известно (см. за-
задачу 461). Остается найти частное решение неоднородного уравнения.
а) Правая часть /(ж) = 2е3ж имеет специальный вид (см. [3, § 1.16]), где
ко = 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное
решение Q
у = Ае3х,
где
А = -?— = 1, R3(k) = к3- Ък2 + 8к - 4.
Яз(о)
Значит, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
у = Сгех + е2ж(С2 + С3ж) + е3ж;
б) ко = 1 является простым корнем характеристического уравнения,
поэтому частное решение нужно искать в форме у = Ахех. Находя про-
производные от у и подставляя их в уравнение, найдем, что А = 4. Вообще,
можно доказать, что а
если /(ж) = аехр(&ож) ж ко — простой корень характеристического урав-
уравнения. Общее решение неоднородного уравнения запишется
у = Сгех + е2ж(С2 + С3ж) + 4жеж;
240
в) ко = 2 — корень кратности 2 характеристического уравнения. Поэ-
Поэтому частное решение ищем в виде у = Ах2е2х. Находя необходимые про-
производные от у и подставляя их в исходное уравнение, найдем А = 3/2.
Вообще, можно доказать, что если /(ж) = аек°х ж ко — корень кратности 2
характеристического уравнения, то
А = ~~fT7—v
В данном случае R's (к) = 6к — 10, а = 3. Итак,
у = Сгех + е2х(С2 + С3ж) + 5 ж2е2ж.
А
465. См. задачу 462.
а) 2/ = ^еж;
б) перейти к функциям е гж согласно формулам Эйлера; ко = ±г —
корни кратности 2 характеристического уравнения; ?/ = х sin ж;
8
х2
в) у = -— (cossc + sina;);
о
1
г' у ~ g sm
^ЛЛ ^> т ^ sr cos ж sin ж
466. 2/ = dex + С2е-Зж - — —.
467. а) у = Аех; б) у = (Ах2 + Вх)е2х; в) у = A cos x + Б sin ж;
г) г/ = (Лхж + Л2ж2 + Л3ж3 + Л4ж4 + Л5ж5)е3ж;
д) у = Aix+A2x2+Asx3. Здесь правая часть Р(ж)е/г°ж, А;о = 0, является
корнем характеристического уравнения;
е) у = ех[(А\ + А2х) sin ж + (Лз + А±х) cos ж].
468. а) Линейно зависимы: а - 1 + /3sin2 /г + 7СО8 2ж = 0 при а = —1,
/3 = 2,7 = 1;
б) линейно зависимы;
в) линейно независимы, так как их определитель Вронского не равен
нулю;
г) линейно независимы (И^[ж2,ж3,ж4] = 2ж6 / 0, ж / 0).
469. а) у = Саж2 + С2х3. Указание. Частные решения ищем в виде
у = хк. Функции ж2 и ж3 являются частными линейно независимыми ре-
решениями уравнения, поэтому их линейная комбинация дает общее решение
уравнения;
в) ищем решения в виде у = хк, характеристическое уравнение к2 —
— 4& + 4 = (к — 2J =0 имеет двукратный корень к\ = к2 = 2; у = ж2 —
частное решение уравнения. Второе решение ищем в форме у = Лж21пж.
Легко убедиться, что при любых А это есть решение уравнения Эйлера.
Итак, общее решение у = (С± + С2 1пж)ж2;
241
г) уравнение переходит в уравнение Эйлера после умножения на ж ле-
левой и правой частей уравнения; у = С\ + С2Ж3 + Gз In ж.
471. у = ex2/2(Ci cos ж + С2 sin ж).
472. а) „ = <** + § + ?; б) „ = ClX + f + f?.
473. Правые части уравнений не имеют специального вида
еах (Рт (ж) cos /Зх + Qm (ж) sin /Зж).
Поэтому частное решение неоднородного уравнения надо искать методом
вариации произвольных постоянных;
а) общее решение однородного уравнения имеет вид
у = С\ cos ж + С2 sin ж.
Считая Ci(x), С2(х) функциями от ж, найдем их так, чтобы функция у(х) =
= d (ж)cos ж + G2 (ж) sin ж была частным решением неоднородного уравне-
уравнения. Для этого надо решить систему (см. [3, § 1.17])
f С[ (ж) cos ж + С2 (ж) sin ж = О,
—С'л (ж) sin ж + Со (ж) cos ж = .
sin ж
Определитель этой системы есть определитель Вронского И^[со8ж,8тж] =
= 1/0. Решая систему, находим
C[(x) = -1, C'2(x)=ctgx.
Интегрируя, получаем
п ( \ п ( \ f х j fdsinx ...
С/Цж) = —ж, G2(ж) = / ^жйж = / —: = In | sina;|.
J J sin ж
Значит,
у = —ж cos ж + sin ж In I sina;|,
и общее решение неоднородного уравнения запишется
у = С\ cos ж + С2 sin ж — ж cos ж + sin ж In | sin ж |.
Теперь находим постоянные С\ и G2 по начальным условиям:
^(тг/2) = С2 = 1, 2/'(V2) = -Ci + тг/2 = 0, d = тг/2.
Итак, решением задачи Коши будет
7Г . .
у = — cos ж + sin ж — ж cos ж + sin ж In sin ж |;
Z
б) |/ = Gi cos 2ж + G2 sin 2ж — ж cos 2ж sin 2ж + sin 2ж In | cos ж|;
z
в) у = С1+С2 cos ж + Gз sin ж + In tg ( — + — J — ж cos ж + sin ж In | cos ж|;
г) у = (С1 + С2ж)е"ж + (-ж + ж1п|ж|)е"ж = (а + Ьх)е~х + хе~х In |ж|.
242
Указание. Дифференцируя первое уравнение, получаем
у + 2у + 4i = 4.
A)
Из первого уравнения находим функцию z = х у у. Производную z
находим из второго уравнения:
2 2 1 . 3
z = z-y + x =x + x --?у--у>
Подставляя это значение z в A), получаем линейное неоднородное диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом от-
относительно функции у(х):
у + у - 6у = 4A - х - ж2);
б) данную систему можно решать так же, как и систему а). Однако
можно применить теорию § 1.22 из [3]. Приведем систему к виду
Это однородная система, поэтому она сводится к одному и тому же урав-
уравнению относительно любой из функций у или z. Составим определитель
системы:
D{\) =
0 + Л -1
1 0 + Л
dx
Искомое уравнение относительно функции у имеет вид D — ) у = 0 или
\dxj
,2
—— + у = 0. Общее решение этого уравнения —
dx2
у = С\ cos х + С2 sin x.
Функцию z находим из первого уравнения:
z = —— = — С\ sin ж + С2 cos х.
dx
Так как функция z удовлетворяет такому же дифференциальному уравне-
уравнению, как и функция у, то сразу можно было написать, что
z = a cos х -\-Ъ sin ж
и затем подобрать числа а и 6 так, чтобы функции у и z удовлетворяли
нашей системе (т.е. мы подставляем функции у и z в систему и выражаем
постоянные а и 6 через Ci и С2 или наоборот);
Л -1 -1
в)?>(А)= -1 Л -1 =(Л-2)(Л-
-1 -1 Л
Дифференциальное уравнение относительно функции x{t) имеет вид
d Л ( d . Л2 ,л г>
ж(?) = 0,
243
а его характеристическим уравнением будет
(k-2)(k + lf = 0, fci=fo = -l, fe = 2.
Общее решение дифференциального уравнения —
x(t) = (d + С2*)е"* + C3e2t.
Функции y(t) и z{t) выражаются подобным образом:
y(t) = (а + fa)e~* + de\ z(t) = (a + /%)е~* + те2*.
Подставляя эти функции в систему, найдем, что 6 = /3 = С2 = 0, d = 7 =
= Сз, а + а = — Ci, где а можно считать произвольным, тогда а = — Ci —a.
Итак,
x(t) = Cie"* + C2e2t, * 2t l 2<
г) данная система неоднородная, поэтому для каждой функции у и z
будет свое уравнение:
где
dx
ах
Msj I —— 1 — алгебраическое дополнение элемента 6SJ определителя
V ах )
D(X) =
Л -1
1 Л
МП(Л) = Л, М21(Л) = 1, М12(Л) = -1, М22(Л) = Л.
Таким образом,
Фг(х) = — -1 + 1 • х = х.
dx
Окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение относи-
относительно функции у(х): у + у = х (функция z удовлетворяет уравнению z +
+ 2 = 0). Решая эти уравнения, получаем
у = С\ cos ж + Сз sin ж + ж, г = С2 cos х — С\ sin ж.
475. а) Решение. Способ 1. Составим характеристическое урав-
уравнение
2-А 1
3 4-Л
Его корни Ai = 1, Л2 = 5. Найдем собственные векторы а.1 = fa^ , a2 J и
а2 = fa^ , «2 J, соответствующие собственным числам Ai = 1 и А2 = 5:
A) тт A) -1
где а2 — произвольное число. Для простоты записи положим а2 = —1,
244
тогда а\ = 1. Итак, а1 = A,-1). Аналогично из уравнения
B - 5)а{2) + с42) = О
находим а.2 = A,3). Решения системы запишутся следующим образом:
Общее решение —
Y(t) = dY1^) + C2Y2(t) = {Cie + C2e5t - Cie + 3C2e5*}.
В развернутом виде
yi(t) = Cie* + C2e6*, ift(t) = -Cie* + 3C2e6t.
Способ 2. После того как мы нашли корни характеристического урав-
уравнения Ai = 1, Л2 = 5, можно сразу написать общее решение:
I/i (t) = Cie* + C2e5t, ift(t) = -Cie* + 3C2e6t.
Подставляя эти функции в нашу систему, мы найдем а и 6, выраженные
через Ci и С<2. Здесь мы минуем процесс нахождения собственных векто-
векторов а1 и а2;
б) x(t) = Cie-* + C2e3t, s/(*) = 2Cie-* - 2С2е3<;
в) у = е~ж(С1 cos ж + Сч sin ж),
z = \ е-х[(С2 - 2Ci) cosx - (Ci + 2С2) sin ж];
о
г) ,D(A) = -A3 + 1 = O; Ai = l, Л2 = -^A + гл/3), Л3 = i(l -г л/3) —
корни характеристического уравнения;
2 cos (^ t) + C3 sin
е 7 ( coslHsm(
cos
^ t, -t/2 (-C3V3-C2 /\/ЗЛ , С2\/3-С3 . /V3
^ = Cie + е 7 ( cos l—t\+ sml—t
476. Решение однородной системы нам уже известно (см. задачу 475, б)):
х = Cie"* + С2е3*, у = 20^ - 2C2e3t.
а) Считая Ci(t), C2(t) функциями от t, подберем их так, чтобы функции
х = Ci(t)e"* + C2(t)e3\ у = 2C1{t)e~t - 2C2(t)e3t
были решениями неоднородной системы (метод Лагранжа вариации по-
постоянных). Дифференцируя эти функции и подставляя в систему, получаем
2C'2(t)eM = t,
e\ C'2{t)=l—±e
-3t
4 ' —v/ 4
245
Интегрируя, получаем
Ci(t) = \ A + t)e\ C2{t) = ^ (-5 + 3t)e-3t;
- ! _¦_* - 7xf
Ж=9 + 3' tf=9 + 3-
Общее решение неоднородной системы имеет вид
х = Cie-* + C2e3t + 1 + L У = 2С1е-* - 2С2е3< + \ + *-¦
У о У о
б) Ci(t) = -^ Dе2< + е4<), C2(t) = -\(t + e~2t);
х = Cie~f + C2e3t + — e3\ у = 2Cie~f - 2C2e3t + e + - A + U)e3t.
16 8
ж2 5 1
477. у = 2 + x 1— x3 -\— x4 ... Указание. Решение ищем в ви-
виде ряда
у = ао + а\х + а2х + ...,
где в силу начальных условий ао = 2, ai = 1.
479 ?у = 2 + ж-ж2-- — +
' у 2 12
х3 х3 х4
480.y=Y+-+-+...
481. а) Функцию Ляпунова можно взять в виде v = х + у ;
dt ~ дх dt+ ду dt ~ v ^
Точка покоя устойчива;
б) функция Ляпунова в виде квадратичной положительно определенной
формы не подходит для данного примера. Будем искать ее в виде
v = ха + у13
с четными показателями а и [3. Найдем полную производную от v (вдоль
решения ж, у):
Чтобы эта функция была ^ Ов окрестности начала координат, нужно, что-
чтобы отсутствовали члены вида ха~1у3 wyf3~1x. Таким образом, должно быть
а = 2, C = 4. В этом случае
j- = -2х6 - 4у6 + V = -2[ж6 + 2/A - у2)] ^ О
в достаточной малой окрестности начала координат. Кроме того, v = х2 +
+ у ^ 0 в окрестности начала и v = 0 только при х = ?/ = 0. Поэтому по
теореме Ляпунова решение x(t) = y(t) = 0 устойчиво;
246
в) для функции v = х2 + у2
-^ = 2х(х3 -у) + 2у(х + у3) = 2х4 + 2у4 > О
вне начала координат. Значит, нулевое решение неустойчиво по теореме
Четаева.
(—2 l\
482. а) А = ( . _i )' aiia22 — «12 = 1 > 0, система эллиптическая;
«11 < 0, а22 < 0; точка покоя — устойчивый узел;
б) А =
1 -2
-2 4
— а 12 = 0, система параболическая; Ai =
= ац+ а22 = 5 > 0; точка покоя неустойчива;
в) А = ( о о 1; ацп22 — а>12 = —1 < 0, система гиперболическая; точ-
ка покоя неустойчива.
483. а) Характеристическое уравнение
=C-Л)A-Л) = 0
имеет положительные корни Ai = 1, Л2 = 3, поэтому точка покоя есть не-
неустойчивый узел;
б) характеристическое уравнение
1-А 3 2
г Л =А2+4А + 13 = 0
—6 —5 — А
имеет корни Ai = —2 — Зг, А2 = —2 + Зг. Действительная часть этих корней
отрицательна, поэтому нулевое решение — устойчивый фокус;
в) характеристическое уравнение
1-А 0
2 -1 -А
имеет корни Ai = — I, A2 = 1 разных знаков, значит, точка покоя — седло;
г) характеристическое уравнение
-2-А -5
2 2-А
имеет комплексные корни Ai = гл/б, А2 = гл/б с действительной частью р =
= 0, поэтому точка покоя — центр;
д) характеристическое уравнение
1-А 1 о
о 1-л=A-А)=0
имеет кратный положительный корень Ai = A2 = 1, значит, точка покоя —
неустойчивый узел.
247
= У - 1 = 0
= X2 + 6 = 0
Глава 7
484. — оо < ж < оо; F(x) непрерывна и дифференцируема,
F' (х) = — (sin27n? — sinTrx).
ж
485. -г- + —- arctg —. Указание. Продифференцировать
2az (az + bz) 2а6 а
равенство по параметру а.
х2
486. a) F'(x) = 2жехр(-ж5) -ехр(-ж2) - Гу2 ехр(-ху2) dy;
X
в) F' = -/(ж,-ж) + 2 fu(u,v)dy, где и = у + х, v = у - х.
о
Указание. В начале в интеграле сделать замену z = у — х.
487. а) -1/10; б) 1/12.
488. In B5/24). 489.50,4. 490.12/5.
0 л/Жх+4 8 2-х
491. I=Jdx J f(x,y)dy + Jdx J /(ж,y)dy (рис. 90).
-1 -V4x+4 0 -^4ж+4
1 Зу 6 3
492. / = y<fy у /(ж, 2/) с?ж + /"dy / /(ж, 2/) с?ж (рис. 91).
О у/2 1 у/2
12 2 2
493.7= /" dy [ f(x,y)dx+ Г dy ff(x,y)dx (рис.92).
1/2 1/у 1 У
1 &У
494. 7 = fdy I f(x,y)dx (рис. 93).
о Vv
1 с^2^ УЗ су/3-х2
495. 1 = Jdx J /(ж, 2/) ^ + у с?ж у /(ж, у) dy (рис. 94).
0 0 10
1 2-у
496. 1 = Jdy J (x + y2)dx=-.
О у
1 УУ
497. 1 = Jdyjxy2dx=-^.
О у
498. ^а6с(а + 6 + с). 499. -!-. 500. 16.
248
Рис. 90
!/ = *
Рис. 92
0Г 1 х
Рис. 93
501
. а) / dx I dy I f(x,y,z)dz-
-ал/2 _y/2a2-x2 *2+У2
6) dx dy / f(x,y,z)dz.
502. ^тга3.
о
4
503.1 = — тгаЬс. Указание. В силу четности подынтегральной функ-
о
ции по всем переменным данный интеграл в восемь раз больше интеграла
по части эллипсоида, находящейся в первом октанте. Вводим замену
х = ar cos ? cos r, ?/ = 6z cos t sin т, г = cr sin ?
@ < r ^ 1, 0 ^ * ^ тг/2, 0 ^ г ^ тг/2).
Якобиан данного преобразования
= abcr cost.
тг/2 тг/2
поэтому / = 8abc r4dr dr costdt.
0 0 0
504. тга3/6.
249
505. 2irab/3. Указание. Учесть четность подынтегральной функции
и ввести обобщенные полярные координаты
х = ar cos ?, у = brsint @ < г ^ 1, 0 < г ^ тг/2).
Якобиан Jf , = abr.
506. тгЯ4.
507. 8а2/9. Указание. Область интегрирования есть половина ци-
цилиндра высоты а, в основании которого лежит
полукруг (ж — IJ + у2 ^ 1 (у > 0). Уравне-
Уравнение полуокружности (ж — IJ + у2 = 1 (у > 0)
в полярных координатах имеет вид р = 2 cos у?
(О ^ у> ^ тг/2) (рис. 95). Поэтому
./¦ тг/2 2cosv? a
Рис.95 1= fd<p I p2dpjzdz.
0 0 0
508. 4:7rR /15. Указание. Перейти к полярным координатам.
509. ^л/15. (рис. 96). 510. V = 1/6 (рис. 97).
о
511. V = а3/3 (рис. 98).
512. У = Зтга3/4. Замечание. Для вычисления соответствующего
интеграла удобно ввести полярные координаты (рис. 99). Уравнением по-
полуокружности (ж — аJ + у2 = а2 (г/ > 0) в полярных координатах будет
р = 2аcos(р @ < (р ^ тг/2).
513. |5| =
^J dxdy =
= - л/а2Ь2 + а2с2 + 62с2, где D — треугольник
у^ (а -ж)-}.
514. \S\ = 8а2 arcsin (b/a). Указание. В силу симметрии искомая
площадь равна восьми площадям, вырезанным на поверхности шара и на-
находящимся в первом октанте:
dy
\S\=8a[[ , dxdV =
JJ v«2 - ^2 - у2
где D — часть эллипса,
- ^2 - у2
8a / arcsin — dx = 8a arcsin —,
J a a
250
„,+2у
5\
~ 2 \
/т
¦ 1
V
/
\/lS
\//
0 i
/
/1 3
Ч
L
3
2
-9
Рис. 97
Л*
Рис. 99
515. Пусть (xCjyc) — центр масс. В силу симметрии ясно, что хс = 0.
Площадь D половины эллипса, равная тгаб/2, численно равна массе фигуры,
поэтому
46
516. a) -nab2. Указание. Воспользоваться первой теоремой Гюль-
о
дина и задачей 515;
б) -тгаЬс. Указание. V= dxdydz = 2c \1 - — —dxdy,
(V) S
х2 у2
где S — эллипс — + тт ^ 1; далее см. задачу 505.
а2 о2
2
517. хс = ус = 0, zc = — а. Указание. См. задачу 506. Вводя
5
сферические координаты
х = г cos ф cos <?, у = г cos ф sin у?, z = r sin -
(О^г^а, 0<</>< тг/2, 0 < у? < 2тг),
251
получаем
2тгтг/2 а тг/2
zc = —т/ / /г cosфslп.фdфdipdr =—а I smфdsmф.
па* J J J о J
0 0 0 О
518. хс = О, ус = 8/5. Указание. Площадь фигуры |#| = 32/3;
2 4-х
2
3 ff 3 f f
c-32jJydxdy-32jdX J
D -2 0
512
519. —— тг. Указание. См. задачу 518 и первую теорему Гюльдина.
15
521. а) тг/4; б) оо; в) 1/4.
522. F(y) = ln(l +у). Указание. Интеграл F(y) сходится для лю-
любых у > — 1;
- r.-*(v+»dx =
V + 1
равномерно сходится при любых у ^ уо > — 1, поэтому дифференцирование
под знаком интеграла по параметру у законно в указанном промежутке.
Учитывая, что F@) = 0, получаем F(y) = In (у + 1).
523. F(i/) = д/тг^ (г/ > 0). Указание. Как нам известно,
оо
/ exp(-?2)cfa = - тг,
о
оо оо
F'(y) = J ехр {-ух2) dx = -j=J exp (-*2) dt=
0 ^0
Последний интеграл равномерно сходится при у ^ уо > 0.
f 1
524. Интегрируя ху dx = по параметру у в пределах от /3
J y + i
до а, получаем
Д
о L/з
Значит,
"ха - х13 1 , а + 1
Г
J
In ж P + V
о
Отметим, что в области 0 < ж < 1, — 1 < /3 < г/ < а исходный интеграл схо-
сходится равномерно.
252
525. Сходится.
Указание. Рассмотреть круг с выброшенной из него ^-окрестностью
начала координат U?@) и перейти к полярным координатам:
2тг 1 1
/ / In д/ж2 + у2 dx dy = / / г In г dr dtp = 2тг / г In r dr =
S\Ue(O) 0 е г
526. а) Сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса,
dx
\cosxy\ ^ 1,
°°_ 7Г
о ~2'
б) сходится равномерно. Замена х^/у = п показывает, что
оо оо
/ у^ехр (-ух2) dx = ехр (-и2) du,
о о
т.е. она не зависит от параметра у. При у = 0 интеграл равен нулю.
Итак, интеграл F(y) есть разрывная функция при 0 ^ у < оо. Значит, ин-
интеграл сходится неравномерно. Его сходимость будет равномерной, если
О < уо ^ у < оо.
Глава 8
527. л/51п2; уравнение ЛБ: г/= - (ж — 4).
529. 24.
530.
ab(a2 -\- аЪ -\- Ъ2)
3(о + 6) '
Указание. Уравнение дуги эллипса ?/ = -л/а2 — х2 @ ^ ж ^ а).
а
Принимая ж за параметр, получаем
xyds= х - л/а2 — х2\ 1 + [ . ) dx =
У У а У \° л/а2 - ж2 /
Г О V ^ v /
= — хл/а4 + (Ъ2 -a2)x2dx.
CL J
531.
253
532. Перейдем к полярным координатам х = pcos (р, у = psin ср. Урав-
Уравнение окружности х2 + у2 = 2аж или (ж — аJ + у2 = а2 в полярных коорди-
координатах имеет вид р = 2аcosy? (—тг/2 ^ (р ^ тг/2). Дифференциал дуги этой
окружности будет
ds = \Zf'((pJ + f((pJ d(p = у 4a2 sin2 y> + 4a2 cos2 (pd(p = 2a d(p.
Поэтому
тг/2 тг/2
(x — y)ds= / Ba cos y? — 2a cos <?sin<^JaaV = 4a / cos (pd(p = 2a тг.
Г -тг/2 -тг/2
533. m= -^r +
535. 2тг
Указание. Длина дуги полу арки циклоиды
|Г| = J^WTTWdt = 4a;
537. 2тга2л/а2+62.
Указание. /^оу=о = /(ж" + 2/2)>М*J + 2/'(*J + ^
/
г
539. 2. Указание. Воспользоваться свойством интеграла
, г = г1+г2.
Г Г1 Г2
540. а) 512/15; б) 64/3; в) 0.
541. а) 1; б) 1; в) 1.
542. gradtt = {2х + у, 4у + ж, 6z — 6}.
543. a) z2 = ху\ б) х = у = z.
544. rot а = {0, 0, 0}. 545. rot а = {1,1, 0}.
546. а) Имеет, так как rota = 0 и пространство R3 — односвяз-
ная область;
б) имеет, rot a = 0;
б) не имеет, rot а = {0,1, —у, z) ф 0 в R3.
548. а) Является; б) является;
в) не является (rot{2 — у,х} ф 0 или tj—B — у) ф -^—х).
254
л
549. х2 + х3у -у3 = С. 550. Зх2у -у3 = С. 551. хе~у -у2 = С.
х3 5
2/2 2/
Указание. Потенциальную функцию U(x,y) для вектора а =
Г Зж2 + |/2 2ж3 Ч- 5^/1
= < , > находим как интеграл вто- ,.,¦.
[У2 У3 )
рого рода от вектора а. За путь интегрирования бе-
берем любую кривую, не пересекающую ось х. Например,
можно взять ломаную (рис. 100), соединяющую точки *"""
A,1), (ж, 1), (ж,у) (х > 0, у > 0). Если точка (ж,у) ле- (]. j i *
жит в нижней полуплоскости, то за начальную точку
берем любую точку ниже оси ж, например точку @, —1). ис'
553. Tot{yZjXZjXy} = 0; U(x,y,z) = xyz. Общее решение xyz = С.
Любую из переменных можно рассматривать как функцию от двух других
независимых переменных.
554. ху + xz + yz = С. 555. у(х2 + z2) = С.
556. ГГ(х2 +y2)dxdy. 557. Г Г еху(у - х) dxdy.
558. 0. 559. -1/3.
560. ttR4 /2. Указание. Применить форму Грина и перейти к поляр-
полярным координатам.
1 С
561. mQ = - / (—|/ а'ж + ж dy) =
г
2тг
1 Г 3
= - / (а sin3 ? • За cos2 ? sin t + а cos3 ? • За sin2 ? cos t) dt = — ira2.
2 J 8
о
562. rota = 0. Значит, на плоскости вектор а имеет потенциальную
функцию. Работа вектора а есть криволинейный интеграл второго рода,
который не зависит от пути интегрирования, следовательно, и работа не
зависит от формы пути перемещения:
А= (ads)= Bxydx + x2 dy),
г г
где Г — любая кривая, соединяющая точки A,1) и B, 5). Вычисляя интеграл
по конкретной кривой, мы получаем величину работы. Здесь лучше най-
найти потенциальную функцию, решая уравнение в полных дифференциалах:
2ху dx-\-x2 dy = 0, которое является уравнением с разделяющимися перемен-
переменными. Решая, получаем U(x,y) = х2у. Теперь работа А = С/B, 5) —С/A,1) =
= 20 - 1 = 19.
564. -
о
255
565
. т = / у/х2 + у2 dS = / / л/х2 + у2 д/1 + z2 + z2 dx dy, где
часть круга х2+у2 ^ а2, находящаяся в первой четверти, z = у/'а2 — х2 — у2,
1
566. тг2 [ал/1 + а2 + In (а + л/1 + &2)] • Указание. Элемент площади
геликоида dS = |ru| • |rv| dudv = л/1 + ^2 dudv.
568. тга4/2. Указание. Каждое слагаемое сводить к двойному ин-
интегралу по соответствующей проекции на координатные плоскости.
569. 0. Указание. Вычисление провести для каждой из четырех
граней отдельно. Например, на нижней грани S* (ориентированный треу-
треугольник) внешняя нормаль п(А) = — fc, z = 0. Поэтому
/ (yz dy dz + xz dx dz + xy dx dy) = I xy dx dy = — I xy dx dy = —,
SI S* Ax
где
Ai = {О^ж^а, 0^y^a-x}.
Аналогично для других граней, лежащих в координатных плоскостях.
Для грани SI, лежащей в плоскости х + у + z = а, косинус угла внешней
нормали с осью z определяется равенством
поэтому
cos (n, 2?) = 1 /у 1 + z2+ z2 ,
/ (|/^ dy dz -\- x dx dz + ж^/ с?ж с?|/) =
e*
4
= yzdy dz + xzdxdz + xy dx dy = - a .
Окончательно,
5* 5* 5*
570. diva = 3(ж2 + ^/2 +
572. div(gradn) = 6.
573. a) rota = 0;
571. diva = -/(r) + /;(r).
б) rot (f(r) • с) =
<9ж
/(r)c2 /(г)сз
/'@
схг.
574. а) 0. Вектор a = {yz, zx, xy}, поэтому diva = 0;
256
б) 2 / / / (ж + у + z) dxdydz] здесь а = {ж2,?/2, z2}]
G
в) 2/// f^ ; здесь а = {*Л-}, г = V*3+У»+ «3;
У-/У л/ж2 + у2 + *2 Lr г rJ
G
) Audxdydz] здесь а = gradn, div (grad n) = An, где Аи =
Г/
" G
- ж) dy + (x-y)dz) = J -—= dS,
1 1-х 1-х-у
575.-; diva = 3; f f (zdx dy dz = 3 Idx Г dy Г dz.
G 0 0 0
576. О (см. задачу 567).
579. —4тг. Указание, a = {у — z, z — ж, ж — у}, п = {1/л/2, 0, 1/л/2};
4
Г S
где ? — эллипс, лежащий в плоскости ж + z = 1. Из рис. 33 видно, что его
большая полуось равна л/2, а малая полуось равна 1. Площадь этого эллипса
равна тгу2- При непосредственном вычислении следует записать уравнение
эллипса в параметрическом виде, принимая за параметр z @ ^ z ^ 2):
ж = 1 — z, у = ±y/2z — z2. Далее, интеграл по Г разбиваем на две части для
у > 0 и у < 0. Отметим, что в первом случае 2 изменяется от 0 до 2, а во
втором случае — от 2 до 0.
580. 0.
Глава 9
583. V ж, если а > 1; 0 < ж < 2тг, если 0 < а ^ 1.
Указание. При 0 < а ^ 1 применить признак Дирихле (ак =
/Зк(х) = coskx).
584. Сколько угодно. 585. — оо < ж < оо.
i sin nx
586. аJЕИ)п+=; б)
тг 4 Р2, cos Bk + 1)ж
Bj 2" ~ к ^ BА; + 1J '
тг 2 оо cos BA; + 1)ж ~
4 тг ^0 B*+ 1J +fct^ j * '
_? 2 ~ cos Bw + 1)ж ~ +1sinnx
4+7гп^0 Bn + lJ +n^0( l} n '
257
е) если а целое, то sinax] если а не целое, то
п = 1
acosnx~
ж - shan L- + ? (-1Г 2-L 2 •
тг [2a n=i a2 +n2 J
588. а) 2 ? (-1)
71 + 1
S1I1ПХ
2 - n2 5
cosB/c
Указание. При разложении в ряд по синусам мы продолжаем функ-
функцию /(ж) на (—тг,О) нечетным образом и затем периодически на всю
числовую ось (рис. 101). Далее см. задачу 586, а). При разложении в ряд
Рис. 101
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 104
по косинусам мы продолжаем функцию /(ж) на (—тг,О) четным образом
(рис. 102). Затем см. задачу 586, в). Отметим, что продолженная периоди-
периодически функция в данном случае непрерывна на всей оси. Ряд Фурье сходится
равномерно на всей оси;
б)
sm2nx
590. а) тг; б) тг/4.
591. а) II/H = 1/л/5; б)
г) 11/11 = 1/л/З.
тг п=0 Bп +
/2п+1
J cos I —тгж
в)
- 1)/2;
258
592. О ^ а < 1/2.
593. При любом а > 0 сходится к нулю неравномерно ( max fn(x) =
= 11. При любом о. > 0 сходится к нулю в смысле среднего квадратического.
г— оо г— а г— ф
595. F(s) = J- ff(t) cos ts dt = J- f cos ts dt = J- Sm aS
7Г J \ 7Г J \ ТГ S
О О
О < х < а,
х > а.
Указание. Воспользоваться повторным интегралом Фурье
оо оо
/(ж) = — I cos xs ds / f(t) cos ts dtj
о о
верным для функции /(ж), кусочно непрерывной и абсолютно интегрируе-
интегрируемой на @, оо) (см. задачу 595).
597. F(s) =
= [
/2 Г sinrx /2 г
598. Q(s,r) = W — / е~8Ж с?ж = W — arctg -.
\ п J х утг s
о
Указание. Дифференцируя по параметру г, получаем ([3, § 4.14, 4)])
dQ [2 7 -sx , /У s
"^~ = А/~ /е cosrxdx = \ -.
дг V тг J V тг s2 + г2
о
Отсюда г—
A=W-arctg- + C, Q(s,0) = 0, С = 0.
V 7Г S
599. а) -^2 A - e"as) (см. задачу 598 ([3, § 4.14, 6)]);
б) 63/697; в) 51/290.
Глава 10
/ \ \1/2
600. Л= ( \и(р,в) -f(e)\2de) ^-^=(l-p)->0 при р-^ 1-0.
\У / л/2
— 7Г
Указание. Ряд Фурье функции /@) имеет вид (см. задачу 586, в))
тг _ 4 у> cos Bfe + 1H
" 2" ~ ^^ BА; + 1J
Гармоническую функцию (в единичном круге), порожденную функ-
функцией /@), можно записать в виде ([3, § 5.3])
2 тг А.'' B*
259
Отсюда на основании равенства Парсеваля получаем
л =
у к
Рис. 105
B/С
1/2
1/2
(см. задачу 587).
Замечание. Гармоническая функция
u(pj9) стремится к f(9) вдоль каждого радиу-
радиуса (рис. 105) при р —»¦ 1 — 0, также в обычном
смысле, но скорость сходимости будет немного
хуже, чем A — р).
В самом деле, при фиксированном р A/2 <
< р < 1) подберем натуральное число N так,
чтобы 1/(JV + 1) < 1 - р ^ 1/JV, тогда (см.
задачу 376)
" р)
\-р
_
ivTT
0, р-И-0,
где постоянные с в различных неравенствах, вообще говоря, различны.
601. Разложим функцию /(ж) в ряд по синусам (см. задачу 588, б))
,, . ^-^ sin2nx
J\x) - Z^ 2n
Решение поставленной задачи имеет вид (см. [3, § 5.5, A1)])
оо ..
и(х, t) = У^ — ехр (—4n t) sin 2nx.
i2n
Используя равенство Парсеваля, имеем
1/2
260
Зафиксируем t @ < t < 1) ж подберем натуральное число N так, чтобы
1/(JV + IJ ^ t < 1/N2. Тогда
N
1/2
\п=1 N+1
Применяя теорему Лагранжа и используя оценки задачи 376, получаем
N \ Х/2 / JV
/ 4 °° TcosBn + l)t
602. u{x,t [ ;j
1/2
Eo(r [ B;+1J
(cm. [3, § 5.5, (8), A1)]).
603. Используя формулу Даламбера, имеем
оо I 1х
и(х у)-- 1 Vf(t)dt ~ l f ^ ~ l f
. u(x,y)-^ J {x_tJ + y2- nJ {x_tJ + y2~ n J
I 1
= — arctg h arctg —
7Г L У У
1 7 7 , 72 2
J^ / rp I _L_ rp jr I rp
Если и = -, то arctg V arctg = —, т.е. — = 1 — полу-
2 у у 2 у2
окружность (у > 0) радиусом / с центром в начале координат.
606. и(хЛ) = 1
Глава 11
608. a) \z\ =5; б) г = 1; в) |г| = 4.
609. а) ^ = 2 [cos Г-^ +tsin(-^j; б) 2 [cos ^+zsin ^j.
610. a) 2ei7r; б) 1 • ei7r/2; в) 2e-2?ri/3; r) 1 • ехр (а - -) г.
612. а) 1728; б) 1.
613. а) ^2ехрГ7Г + 8А:7ГЛ (А; = 0,1,2,3); б) ±1, ±г.
V 16 у
. о 1 ш х — iy2
614. w = x-iy2, - = — = у
w ww х2 + г/4
261
616. а) Окружность радиусом г с центром в точке zo]
2 2
б) эллипс —- + -—- = 1 Ъ2 = а2 — с2.
а2 Ъ2
Указание. \z — с\ — расстояние от точки (с, 0) до z = (ж, г/). По опре-
определению эллипс это геометрическое место точек, сумма расстояний которых
от двух данных есть величина постоянная;
в) Re ( — ) = — —— = -, Im ( — ) = — —— = -. Это эллип-
\w J х2 + Ay2 2 \w J x2 + Ay2 4
2
сы: (х - IJ + 4j/2 = 1, ?L + („ + 1J = i;
r) xy = 1 — гипербола;
д) у = x2 — парабола.
617. а) -1; б) -E + 12г)/13.
619. а) Окружность |ги| = 2 или и2 + v2 = 4. При г = рег(р w = — с~г(р,
и, следовательно, окружность |ги| = 2 проходится по часовой стрелке, ес-
если z пробегает окружность \z\ = 1/2 против часовой стрелки;
б) луч, идущий по биссектрисе четвертой четверти из оо в 0;
в) ось Ov за исключением точки О = @,0). Если точка z движется
по оси у от — оо до +оо, то точка w движется сначала от 0 до +оо, затем
от —оо до 0.
620. \imz~ = -г.
ж-^г 2 2
X — У
621. Не существует, так как Hew = — не имеет предела при
х2 + у2
х —»¦ 0, у —»¦ 0.
622. Будет.
623. a) w' = 2z;
б) производная не существует ни в одной плоскости z\
в) не имеет;
г) имеет производную, равную нулю только в точке 0.
624. /'(*) = cos*, |/'(*)U=o = |cosO| = 1,
|arg//(*)|,=0 = |argcos0| =0.
625. a) ? = 0; w =3z2;
б) в точках Zj не являющихся нулями функции sin z, т.е. z ф (А;тт,О)
(А; = 0,=Ы,±2,...);
626. а) Является; б) не является; в) является; г) является.
627. a) f(z) = z2 + 2z + Сг, где ImC = 0;
б) f(z) = z2B-i)/2 + Ci, где ImC = 0;
в) f(z) = u + iv = (С — z\nz)ij где v = r^siny? — r In cos <^ + C, Im G =
629. n = Carctg- +Ci.
262
w — wi W3 — wi z — zi Z3 — zi
630. : = : , где zi, ^2, ?3 и wi, u>2, W3 —
W — W 2 W3 — W2 Z — Z2 Z3 — Z2
любые тройки действительных чисел, идущих в возрастающем порядке.
632. w = z4. 633. a) w = ex; б) w = е2х. 635. w = A + г)A - z).
636. w=^^.
10 — z
637. Подынтегральную функцию можно записать в виде 1 + % — 2z =
= (l-2rc)+t(l + 2y):
aJ(t-l); б) -2+^ г; в) -2.
638. 2.
639. 1 + ch тг - тгA + г) sh тт.
Указание. Функция w = z ch ^ аналитична на всей плоскости, поэто-
поэтому можно интегрировать по любому пути, соединяющему точки 0 и тгA + г).
Воспользоваться формулами chzz = cos z, sh iz = г sin z.
640. а) 7 + Ш; 6) -i/e.
641. a) / = 0, так как подынтегральная функция аналитична в круге
642. а) 2тгг; б) 2ттг(-е).
Указание. / ...= / ...+ / ..., где Ci и Сг — контуры, описанные
С d С2
вокруг особых точек z = — 1 и 2; = 0, целиком лежащие внутри контура С
и не пересекающиеся между собой.
644. -^. 645. оо. 646. 0. 647. оо. 648. оо. 649. 1. 650. 1.
2е
651. 1.
652. Е(-1Г("+1)*П (И<1).
о
Указание. Продифференцировать разложение
ако \~~^ Г/ 1\^~г1 о —п—11 п (
ь&з. — 2^ Lv—J-J ~ * \z \
л о
Указание. Сначала разложить функцию на простейшие дроби.
1 О О^
656. а) |^| >2; б) |г + 1| > 1/4.
lOO/^xn ОО ОО
657. a)-i(f)
1 °° п -п-1
263
658-
n = -2 z
Указание. Можно воспользоваться формулой для коэффициентов ря-
ряда Лорана
1 Г п, ч dz
7
где 7 — любая окружность с центром в точке zq = 1, лежащая в кольце
О < |z — 1| < 2. Функция f(z) = l/(z2 — IJ аналитична в этом кольце.
Можно также использовать метод разложения f(z) на простейшие
дроби:
2
2 -IJ
При разложении функций и у — по степеням (z — 1) можно ис-
пользовать прием задачи 654.
661. а) Устранимая особая точка; б) полюс четвертого порядка;
в) существенно особая точка.
662. a) z = 0 — устранимая особая точка, z = оо — существенно осо-
особая точка;
б) z = 0 — существенно особая точка; z = оо — устранимая особая
точка;
в) z = 0 — существенно особая точка; z = оо — устранимая особая
точка;
г) zn = ( п + - j тгг — простые полюсы (п = О, =Ы, ±2,...).
Указание. Числа zn являются нулями функции w = chz. Функцию
th z в окрестности zn можно представить в виде
thz _ chQz-;zn)
(«-*»)^——
Z — Zn
z = oo — существенно особая точка, так как предел th z при z —>¦ оо не
sh%
существует: при z = x thsc —»¦ 1, г —»¦ оо; при z = iy thz =
? «in ?/
= г tg у и при |/ —>- оо предел не существует.
cos 2/
264
665. а) Выч/О) = 0, Выч/О) = 0;
z=O z = oo
1 Выч/(,) = 1;
г) Выч/(^) = -, Выч/(^) = — —. Здесь мы воспользовались основной
2=2 2 Z=OG 2
теоремой о вычетах. Разложение функции (z — 2) ехр ( 1 по степе-
\z — 2у
ням z — довольно громоздкая задача.
3 7Г2
667. а) тгг; б) ттг; в) —; г) тгг.
2 у2
7Г 7Г 2тГ
669. а) -=; б)
у 2
-=; б) ; в) —;
у 2 ао{а + о) 3
тгBп)!
тг =
J 2-4-6...2П 22-(n!J'
670. а) тге-а/2; б) 0.
Указание. Рассмотреть функцию f(z) =
т2ТТг
Глава 12
674. Нет, так как у>(р) периодическая.
675. а) 1 + -; б) 2 • ^— +
р+2
676. Не является, так как порядок роста функции ехр(?2) выше лю-
любой показательной функции ехр (sot) (при любом постоянном so) при t —»¦ оо.
р(р2 + т2 + п2)
677.
(р2 + т2 + п2J — 4т2п2 '
Указание. f(t) = cos4*, /@) = 1, F(p) =
) = —4 cos3 * sin ? = —2 cos2 ? sin 2? =
= — A + cos 2t) sin 2t = — sin 2? — - sin 4^;
265
- *> (р>эу- б) ty + °у> (см- 3™"у в79)'
682. a) sin ? .= — , е3< sin t =
683. а) Для функции /(?) = sint • ao(t) имеем fit) = — , поэтому по
p2 + 1
теореме запаздывания sin (? — b)ao(t — b) = ~p6
^ -;
1 — e~p 1 1 + e9
oo (
Указание. L[| sin?|;p] = ^ /
о L
/ e~ptsintdt- I e~pt%mtdt\ =
0 L 2/гтг B/г + 1)тг
_ V^ 1 Г
¦: fli- " ~ '
p3 P2-1 P2(p2-1)'
687. f{t) = -1 + i el + i cos^ - i sin^.
Указание. Разложить рациональную функцию F(p) на простейшие
дроби и воспользоваться таблицей изображений.
688. a) f{t) = i (в"* - е*); б) f(t) = t - sint.
690. a) e~2t sint] 6) — + 2e"* sin^.
266
691. a) x(t) = (t + l)e"*; 6) x(t) = (t - 1) sin*;
3 2 1
в) x(t) = - + - e~l cos 2* + - e~* sin 2t.
5 5 5
692. a) x(t) = tanctgt In A +t2).
Указание. Рассматриваем сначала задачу х" = 1, ж@) = х@) = 0.
Ее решение #i(?) = ?2/2. По формуле Дюамеля
О
е2ж
б) у = (sin ж — ж cos ж)/2; в) ?/ = е2ж + 4 cos ж — 2 sin x — 5.
694. а) ж(г) = е*, *
3 3 3
б) ж(^) = - A - t) - - cos 2t + - sin 2t,
4 4 8
3 11
2/(^) = — A — t) + — cos 2^ sin 2t — cos ^, z(t) = cos ^;
в) y(x) = \e2x + \ e~2x ~ e\ z{x) = | в2ж - ^ вж - | вж.
695. a) — е-аж.
2а
oo / oo \
Указание. L[/(a;),p] = / I e~px cosxtdx I
Й V )
t
= 7 V dt p J\ 1 ^1
Jp2+t2a2+t2 a2_p2j[p2+t2 ft2 + ^2 J
az -pz lp ~ p a " a
,2 _ „2 I " arCt§ " - ~ arCt§ Г
2a2-p2 ap 2a a + p'
Отсюда /(ж) = — exp (—ax).
oo / oo \
6) L[I(x)-p\ = f Г e~px sin xtdx) —dt =
J \ J J t
о \o /
t COS ? , Г COS tdt 7Г
Согласно таблице изображений /(ж) = — cfq(ж — 1), ж ф 1. Если ж = 1,
оо оо
1 /"sin2* ,. 1 /*siniA
то
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Глава 1
700. Если 0 < а < 1/2, то решением неравенства являются любые
действительные числа х. Если а ^ 1/2, то решением неравенства являются
числа х е (-1/2,1/2).
701. Q U / = R — множество всех действительных чисел:
Qfl/ = 0; Q\I = Q.
702. Указание, п ^ 2п/2 при п ^ 4. Поэтому п2~п ^ 2~п/2 < е
при п > 2 log2 -.
704. 1/4.
705. а) 1; б) 1 Указание. 1 - -^ = (* ~ !)(* + г)
гъ
707. Указание. — ^ ^т < —7 ТТ (а ^ 2)-
па п2 пуп — 1)
709. Если а ф 0, то lim —— = — = 1. Если а = 0, то предел после-
п—юо жп а
Гжп+1 1
довательности < > может не существовать, если же он существует, то
I хп )
он принадлежит [—1,1]. Рассмотреть примеры:
x _„»
хп — q
п 5 п , п
п п п
710. Предел может существовать, а может и не существовать:
Хп = 1/п, уп = (~1)П, Хп = 1/п, уп = (~1)ПП.
713. а) |о + 1, Ь + 1, o+i,
268
6) {-I2, 2, -22, 3, -З2, ... , -п\ п + 1, ...};
, 2, 1,3, \,...,п, ±, ...
г) множество всех рациональных чисел, мы знаем, счетно. Далее, лю-
любое действительное число с является пределом последовательности рацио-
рациональных чисел (с = lim с^). Таким образом, искомая последовательность
п—)-оо
состоит из всех рациональных чисел {^п}-
714. а) Обозначим М\ = Птжп, М^ = lim?/n, М = lim (хп -\-уп)- Пусть
подпоследовательность {хПк + уПк } сходится и такова, что подпоследова-
подпоследовательности {хПк } и {уПк } также сходятся и
М = \im(xnk +уПк)-
Тогда
М = lim хПк + lim уПк ^ Mi + M2.
Теперь рассмотрим случай, когда подпоследовательности {хПк} и
{lMfc } расходящиеся. Выберем сходящуюся подпоследовательность из {хПк }
и обозначим ее через {хПк.}- Тогда, так как у нас последовательность
{%пк. +Упк. } сходится (к числу М), то подпоследовательность {уПк. } также
будет сходящейся. Поэтому
М = lim (хПк + уПк) = lim \хПк. + Упк. ) = lini?n^ + \imynk. ^ Мг + М2.
В качестве примера можно рассмотреть подпоследовательности хп =
= (-l)n, yn = (-l)n+1. В этом случае Мх = М2 = 1, М = 0.
б) Доказательство проводится так же, как и в случае а).
715. Е = (-оо,оо), #i = @,l).
716. Я =[-2, 2]; ?i = [0,2].
717. Е= < \х\ ^ J-- J--+2kir^ \x\ ^ J- + 2kir,k = l,2,...
718. Я =[1,3], Я1 = [-7г/2,тг/2].
719. Е= \- + 2кп<х<— + 2Ьг, А; = О, ±1, ±2,... 1, Ег = (-oo,lg3].
[33 J
720. Е = {p/Bq + 1), р, q — целые числа}, Ег = {±1}.
721. Ег = [0,9]. 722. Ег = [0, 6]. 723. Ег = A,6]. 724. Ег = @,1/2].
725. а) /A) = 0, /B) = -|, /(* + !) = ^5
— П f^9"\ — —9 ff/r .и Л - _^ _ гЛ.
U? «/ Ч^1/ ^5 «/ \Л ~Г Х/ ^ ^5
-? j ч~ ¦ -/ — ж + 1
726. а) /(ж) = ж2 - 5ж + 6; б) /(ж) = ^ .
739. Равномерно непрерывна.
740. Не является равномерно непрерывной.
269
741. Равномерно непрерывна.
742. Не является равномерно непрерывной.
743. Равномерно непрерывна.
744. у' = Х" ^~^ * \Р ~ (Я + 1)» ~ (р + Я ~ 1)^2], хф-\.
745. у' = — 3(cos# + sin3#).
746. „' = ^(si^-cosz) {х ф 2к^ к целое)_
2 sin2 -
748. у' = \— (ж > 0, ж ф 0).
ж In ж
749. у = th3 ж. 750. у' = 1/ ch 2ж. 751. у' = Зж2 + 15.
752. у' = 6ж2. 753. у' = 12ж5.
755. а) п > 0; б) п > 1; в) п > 2.
756. Вообще нельзя (sin ж < cos ж при 0 ^ ж < —, но (sin жO > (cos ж)').
757. Ъ2 - 4,ас = 0. 758. а = -L
2е
759. у'х = --ctgt @ < 1*1 < тг).
а
Ъ
760. 2/i = -cth* (|*| > 0).
а
761. 1. 762. 1/6. 763. 1/2. 764. е/6. 765. е/3.
cos4 ж
769.
770. v//; = 24ж
771.
773.
774.
775.
„D)
d32/
A-ж2L
= —46^ cosx. 772.
= 8 sin x ¦
= 2[3du-
и3
shxdx6.
d 11 -\- U d \
-dud
uz
d5y
u +
1
и
= 12(Ыж5
d3u.
776. d2y = f"(x) dx2 + f'(x) d2x.
270
777.
(ex + d)n+1
(ad-fc/O).
782. Если функции имеют одинаковые производные, то они отличают-
отличаются друг от друга на постоянную величину:
Уж /(ж) — д(х) = с.
Значение постоянной с можно найти, придавая ж значения, для которых
функции /(ж) и д(х) известны.
Например, пусть ж < 1. Полагая ж = 0, получим
/@) - р@) = с, arctg I -arctg 0 = с, | - 0 = с, с=|.
Итак, для ж < 1
, 1 + Ж 7Г
arctg arctg ж = —.
1 — ж 4
Для установления связи между функциями /(ж) и р(ж) при ж > 1 пе-
перейдем в равенстве /(ж) — д(х) = с к пределу при ж —»¦ +оо:
/ -1 \ / \ 7Г 7Г ЗтГ
arctg(-l) - arctg(+oo) = с, -- - - = с, с = - —.
Итак, для ж > 1
^-arctg* = -^.
— ж 4
786. |ж| < 0,39. Указание. Необходимо оценить остаточный член
формулы Тейлора для функции у = cos ж при п = 4.
787. а) 1/2; б) 19/90.
788. При |ж| < 1 функция возрастает; при |ж| > 1 функция убывает.
789. При |ж| < 1/Ъ функция возрастает; при |ж| > 1/Ъ функция убывает.
790. При |ж| < а/Ъ функция возрастает; при |ж| > а/Ъ функция убывает.
791. Если а > 0 и Ъ2 ^ 8а, то функция всюду возрастает. Если а = 0,
то при ж > —1/Ъ функция возрастает, а при ж < —1/Ъ — убывает. Если
а > 0 и Ъ2 > 8а, то при
4а
< ж <
4а
функция убывает, а при
-Ъ -
ж <
4а
и
ж >
4а
возрастает. Если а < 0, то Ъ > i
4а
и в этом случае при
-Ъ - л/Ь2 - 8а
< ж <
4а
271
функция возрастает, а при
-Ь + л/Р"^
х < „
4а
убывает.
792. х = 0 — точка перегиба; на (—оо,0) кривая направлена выпук-
выпуклостью вниз, а на @, оо) — вверх.
2 / 2\
793. х = — — — точка перегиба; на — оо, — — кривая направлена
b V о 1
выпуклостью вверх, а на [ —-,оо J — вниз.
794. При х = —- — минимум, у [ —- ) = ——; при х = — максимум,
аи \ао) о аи
аЪ) Ъ
795. При х = максимум, у [ — ) = —; при х = — минимум,
о \о J 2о о
Ъ) 2Ъ'
п<л* тт За+ 26
796. При ж = а, ж = минимум, у(а) = О,
о
108 , ,ч5
797. у(±2) = 0; при х = 0 — максимум, j/@) = 4; ж = dzl/л/З —
точки перегиба, г/(±1/л/3) = И/4; г/ = — 1 — горизонтальная асимптота;
на (—оо,0) функция возрастает, а на @, оо) — убывает; на (—1/л/3,1/л/З)
график выпуклый кверху, а на (—оо, — 1/л/З), A/л/З, оо) — выпуклый книзу.
798. Если 0 < а < 1/4, то х = точка перегиба, у
1 — а
; при xi = максимум, а при Х2 =
1 —2а 2 2
а
минимум; на (—оо, 0) функция возрастает и выпукла кверху; на ( О,
1 — 2а
кривая выпукла кверху, а на ( , оо 1 — выпукла книзу; на
\1 — 2а J
функция возрастает, на (ж1,Ж2) — убывает, на (ж2,оо) — возрастает; пря-
прямая у = х +1 — а является наклонной асимптотой, если а ^ 1/4, то функция
возрастает на (—оо,0) и @, оо); х = — точка перегиба; на @, оо),
п а \ ( а ^
О, 1 кривая выпукла кверху, а на I , оо 1 — выпукла книзу,
х Ла I \ х Ла I
ж = 0, у = х + 1 — а — асимптоты; у@ + 0) = —оо, у@ — 0) = 0.
272
Глава 2
799. - In lax + Ь|. 800. - л/ах + b.
а а
1
1
801. — arctg-ж. 802. In
ab
2ab
ax — I
ax + b
803. - arcsin ^ ж. 804. i In |ож + \/аЧ2 -b2\.
a b a ' '
805. i Arsh %x. 806. -е~ж - - e~2x.
a b 2
ж2-1
807. — arctg
л/2 5 Жл/2
Указание. Разделить числитель и знаменатель на х2 и сделать за-
замену
и = х ,
х
1 \ / 1
х -\—- ) ах = ж
X2 I \ X
808. -U In——X^L l. (см. задачу 807).
810.
2л/2
(аж + 2Ь). Указание, ж = — (ах -\-Ь) .
15а2 а а
3 1 1
813. - ж + - sin 2х + — sin 4ж.
О 4 О А
3 1 1
814. - х + - sh 2ж Н sh 4ж.
8 4 32
816. х2 ch ж - 2ж sh х + 2 ch x.
_ arcsm ж
817. ж In
818. ж (arcsin жJ + 2<\Л — х2 arcsin ж — 2ж.
819
. е^ [Зж2/3 -6^ж
820.
11
2-ж
3A-жJ Х
1 -2ж
821. - A - 2ж) \/1 + ж - ж2 arcsin —^—.
822. --
tgж
3 tgж
S72r*
823.^. 824.0. 825. j + -. 826. -l+sina;. 828.-.
3 4 2 h 2
829. -. 830. (р
4 1 + р VjP
832. -. 833. j. 834.
1
835.
836. Сходится при 2/3 +а > 1. 837. Сходится при а > -2, /3 > 1 +а.
273
Глава 3
838. (а - c)(ab + be - ab2e - 1). 839. a(z - x)(z - у)(у - ж).
840. аЬ. 841. abed + bed + acd + abd + abc. 842. 2 (ж3 + у3).
О о
844. ж = 0, ж = — , а ф — 1; если а = —1, тож = 0 — единственный
1 + а
корень уравнения.
845. ж = а, 2/ = 1, z = -1. 846. ж = 1, j/ = -1, z = -1, * = 1.
2 5
847. ж = 5 z. у = 1 -\ z. z любое.
11 11
848. x = l,y = -l,z = 2.
849. Ранг А = 4, если be — cd ф 0; ранг Л = 2, если be — cd = 0.
9
f i f
850.
42 9
852. X = - 7-3
,-35 1 -18)
Глава 4
853. ж2 + у2 > 1. 854. 2ктг ^ х2 + у2 ^ Bк + 1)тг, к целое.
855. ?/2 > —х (часть плоскости, находящаяся вне параболы у2 = —х).
2 2 2
856. ^7 + tv~I—т > 1 (внешность трехосного эллипсоида).
а2 о2 с2
857. ж2 + ?/2 = с — окружности радиусом л/с (с > 0) при с = 0 —
начало координат; при с < 0 — мнимые окружности, что означает, что
плоскость z = с не пересекает графика функции (ее поверхности).
858. ж2 + 2у2 = 1/с — эллипсы (с > 0) с полуосями a = д/1/с,
859. 2/ = с+ 2ж2 — параболы (V с) с осью симметрии Ог/ и вершинами
в точках |/ = @, с). Ветви параболы направлены вверх.
860. р = -л/D-1J + C-7J = 5. 861. lim Мк = М° = A, е).
862. Если жо = 0, то в точке @, 0) существует обычный предел (по всей
плоскости, из которой выброшена точка @,0)) функции, равный единице:
|/(ж,?/)-1| = |1 -1| =0 <е, для у>0 и Vs>0;
\f(x,y)-l\ = |1+ж + 2/-1| = \х + у\
V (ж, 2/), 2/^0, при
274
Если хо ф О, то предел функции f(x,y) не существует при рассмотре-
рассмотрении всех точек из окрестности точки (ж<э,0). Однако очевидно, что /(ж,?/)
имеет предел по множеству Е = {(ж,?/), у > 0} в каждой точке (ж<э,0),
х0 ф 0, и этот предел равен 1.
Если рассматривать множество Е\ = {(ж, у), у ^ 0}, то функция f(x,y)
имеет предел по Е\ в точках (ж<э,0), равный 1 + ж<э. Более того, /(ж,?/)
непрерывна в точках (жо,0) по множеству Е\.
863. тг/2 ^ ip ^ Зтг/2.
864. Е = R2\{{x = 0} + {у = 0}}, т.е. множество Е есть плоскость,
из которой выброшены оси координат. Соответствующий предел равен еди-
единице.
865. Будет равномерно непрерывной,
^ \xi — г/i | + |ж2 — 2/21 :
866. и'х = Зж2 — 6ж?/2, г^ = З?/2 — 6х2у;
u'xi = 6ж — б?/2, гг^г = 6у — 6ж2, г4'у = — 12ху = г^.
867. и'х = sin (ж + у2) + ж cos (ж + у2), и'у = 2жг/со8 (ж + у2),
u'xi = 2 cos (ж + у2) — х sin (ж + г/2),
г^2 = 2ж cos (ж + у2) — Аху2 sin (ж + у2),
и'ху = гА^ж = 2у cos (ж + у2) — 2ху sin (ж + у2).
869. Не существует.
870. Рассмотреть функцию F(t) = f(tx,ty,tz) и показать, что она по-
постоянна.
871. du = ydx + (x-\-2y)dyJ d2u = 2dx dy-\-2dy2.
872. du = (y + 2) с?ж + (ж + 2) cfa/ + (ж + у) dz,
d и = 2 (с?ж cfa/) + dxdz + dy dz).
873. Л = / 2 i 2 i 2ч3/2 [B/^-ж^J + (^с?2/-2/^J + (^с?ж-ж^J].
[x -\- у -\- z ) I
x — 3
874. Зж + 4y + 122 = 169 — уравнение касательной плоскости; —-— =
о
у - 4 2-12
= —-— = —— уравнение нормали.
4 X А
875. ажжо + byyo + czzo = 1 — касательная плоскость; =
ахо
у — уо z — zo
= ——^- = нормаль.
оуо czq
876. Все сомножители равны между собой.
877. х = л/2р, y = z=f/^. 878. Куб.
275
Рис. 106
Л'ГЛ
\j\J
Рис. 107
// :.::::.¦ t) ¦ (! .Г
Рис. 108
879. V = xyz = 2, z = 2, x = y = 1 (рис. 106).
/з"
/з
880. V = xyz = 9, х = ^-,у = л/6, ^ = 3.
881. Ж = |, у = |р, F = ^ V (рис. 107).
882. б2 = |р, а2 = ^, у = ^ - ^Ж2 (рис. 108).
884. а = 21, Ь=-10-7л/7, Amin = 7\/7 - 10.
Глава 5
2
3'
887. 3.
Указание. -5П =
2п-1 2п-3
_ 1
5П - -
2п-1
1/3 1 \ /5 3\
- + ( — - — 1 + ( — - — 1 +
J
2п -
отсюда
888. Указание, —г- <
2
г <
п2 п(п — 1)
889. Указание. П + 1 < - (п > 5).
2п — 1 3
891. Применить интегральный признак.
898. 1-х2 + ?L-?L + ... (|х| < оо).
899. 1 + х2 + ^-^ + ... (|х|<оо).
2n - 1 _ l-21~n 2n-l
п>2).
276
22ж 24ж
900. а) 1 - — + — - ... (|ж| < оо);
1 °° BтJп 1
б) 1 + - Х)(-!)п > ,ч (И < оо)- Указание, cos2 х = -[l+cos2a];
2 п=1 Bп\) 2
оо
в) Е (М<1).
п = 10
Глава б
901. а) г/ж = 2г/; б) ху' = ш/.
902. ху' =у+(п- 1) жп. 903. ш/2 - х2 = 2ахуу'.
904. 2/ = 2х. 905. ж?/ = 8. 906. у = 4е1/ж/2.
о 2Ж2 - 2 - 29Ж onc 2х
2х' Т
910. у2 + (х — аJ = а2— окружность радиусом а с центром в точ-
точке (а, 0). Указание. Необходимо сначала составить дифференциальное
уравнение, решением которого является искомая кривая у = /(ж).
Как нам известно, уравнение касательной к кривой в точке (ж,/(ж))
имеет вид
Y-f(x) = f'(x)(X-x).
Приводя это уравнение к нормальному виду, получим, что расстояние от
начала координат до этой касательной будет
\f(x)-f"(x)x\
d =
л/Г+I/W
Согласно условию задачи это расстояние должно равняться \х . Поэ-
Поэтому получаем
у — ху' = ± х д/l
— искомое дифференциальное уравнение. Возводя в квадрат обе части урав-
уравнения, будем иметь 2 2
2ху dy = (у — х ) dx.
Кроме того, по условию задачи кривая у = /(ж) проходит через точ-
точку А(а,а), т.е. у (а) = а.
Решая однородное дифференциальное уравнение 2xydy = (у2 — х2) dx
при начальном условии у (а) = а, мы и получим ответ, который приведен
выше.
911. xi = 0,472, ж2 = 9,999.
Итерационная последовательность метода Ньютона определяется
равенством
жп+1 =хп- ,,, Пч (п = 1, 2,...).
/ \хп)
Оценка погрешности — на основании неравенств (9), A0) из учебника [3,
§ 1-5].
277
912. х = -0,56715.
Замечание. Единственный корень функции находится на [—1,0];
Г(х) х /(») х * + еХ ¦
р2ж _|_ /ур35 1
F (ж) = —, max F (ж) = -.
913. у = С1в2ж + С2в~2х + сз cos ж + С4 sin х.
1 3
914. у = ае~х + (с2ж + сз) е2х. 915. j/ = -- е~ж + - ех.
Указание. Из условий задачи ясно, что у@) = 1, ?/@) = 2. Это
начальные условия.
916. у = ае~х + с2ех + ^ еж.
/ 2 \
917. у = (ci Ч- Qx)e~x + (С2Ж + сз) е2ж.
918. у = (а + ж)еж + (с2 - ж)еж.
919. у = 1с± j cos 2ж + ( С2 + - In sin 2ж j sin 2ж.
(X 7Г \
— + —
921. x = cie* + c2e~3t, у = --^ = cie* - 3c2e~3t.
at
922. x = A - 2*) et, j/ = A + 2t) e~2t.
Глава 7
924. F(i/) имеет разрыв при у = 0.
ж
925. Функция F(x) = / /(?) с?^ является непрерывной и дифференци-
а
руемой (F'(x) = /(ж)).
Далее,
1 ? 1 \Т 1 1
j;] [f(t+h)-f(t)]dt=- j f(t)dt-F(x)\ = -[F(x+h)-F(a+h)-f(x)].
a \a+h \
Так как F(a) = 0, то последнее отношение представляет собой неопределен-
неопределенность вида ( — 1. Применяя правило Лопиталя, получаем
Г / (* + h ~
а
278
'= hm [/(ж + h) - f(a + /г)] = /(ж) - /(а).
/гH
lim hm [
/г—>0 1 /г—)-0
929.1/21. 930.128. 931. — a6.
932. —abc (см. задачу 503). 933. -p2.
4 о
934. V =
1 УУ
jdy J
о -Vv
a 8
935. жо = -, yo = -a.
2 5
Глава 8
936. 2тг2а3A + 2тг2). 937. % [(ch2?0K/2 - 1]. 938. тгA + а2).
о
940. л/3. 941. а) 0; б) 8/3. 942. 10. 943. 1/2.
a+b —
944. [ f(t)dt. 945. — ea - 1.
947. a) gradt/ = —; б) gradt/ = /'(г) — , где г = (ж, г/, г).
948. gradC7(A) = Do-d, 26-2d) = Dа-^)г + 2F-^) j; |gradC7(A)| =
точках прямой у = —-.
26
= Л/Dа-с?J +4F-rfJ; grad t/ в точке @, 0), если d2 / 4а6; grad t/ = 0 на
прямой у = W — ж, если с?2 = 4а6. Градиент U перпендикулярен оси Оу в
V ъ
dx
iy =
950. 2/r.
Т* X С
952. rot г = 0; rot re = .
г
953. а) Не имеет, rot а / 0; С/ = ж г/ + ж^ + yz + с.
954. а) Не является; б) является при Ъ = с.
955. ж2 + 2ж?/ + З^/2 = с.
ж3
956. Ь 2ж2 + ху2 = с.
о
957. ху -\- xz -\- 2yz = с.
958. -2тта6 V с, d.
959. 7г(с?-с)а6.
960. 0. Указание. Г [у2 dx + A Ч- 2жу) dy] = 0.
АВ
279
Глава 9
962. f (a - b) - % ~ b)
4 7Г
7Г q
oo (_2
1
963. 1 cos ж + 2 V
2 n = 2 П - 1
964. sin ж = У^ — . Полагая x = О, получаем О =
7Г 7Г i 4&2 — 1 7Г
4 °° 1 1 °° 1
о 4 о© /1\*!+1
965. I cos ж| = - + - V ^—-^ cos 2/сж.
7г 7Г i 4A;2 — 1
966. 4/3. 967. д/46/15.
968. Сходится в смысле среднеквадратического к нулю и сходится не-
неравномерно к нулю (см. задачу 393, г)).
1 т2
970. а) ip(x) = е~х (х ^ 0); б) ip(x) = - ехр (—-) (|ж| < оо).
7Г 4
Глава 10
972. u(x,t) = 2cos\ltX2(x) -\-3cosXJtX3(x).
973. u(x,t) = 2a 2(—l)n+ exp (—n t) (см. задачу 962).
l n
Глава 11
974. а) Re z = 12, Im z = 5;
б) Re 2 = ас — bd, Im z = be + ad]
в) Re z = a3 - 3a6, Im г = 3a26 - 63;
r) Re ^ = 8/5, Imz = -1/5.
975. а) Открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат;
б) открытый круг на плоскости хОу с центром в точке @,1) и радиу-
радиусом 1;
в) открытая четвертая часть круга радиусом 3 с центром в точке @, 0),
находящаяся во второй четверти;
г) окружность радиусом 3 с центром в начале координат;
д) замкнутое кольцо, находящееся между концентрическими окружнос-
окружностями радиусами 2 и 3 с центром в точке @,1).
280
976. a) In 2 + тгг; б) In л/2 + j г;
в) In л/ж2 + |/2 + г arg 2 = In л/ж2 + |/2 + «arctg — B = ж + гу).
х
. пх . п + 1
sin — sin ——- ж
977. а) * ^ ;
sin-
б) Tf, . Указание. У} = :— . Выделить деист-
7 . JL /-^ рхг—1
2 SHI- k = l е
вительную и мнимые части, использовать формулу Эйлера ехг = cos ж +
+ г sin ж;
v sin 2пж
В^ 2 sin ж '
sin2 пх п ¦ еBп+1)ж* _ exi
г) —: . Указание. V еBк-г)хг = тт—, =
SHI Ж /"! е2хг-1
sin пж(со8 пх + г sin пх)
980. 5(^) = - \ez +
3 [
982.
1{Х)
Ч2 Л/3 1
'/ cos—^ .
1 COS Ж 7Г-Ж. . /1 o•Ж^
= - Н — sin ж, 5i (ж) = sin ж - - log 2 sin - .
z 4 z у4 z у
_ 1 j(t-cosx)(ta -t
/3 — aj 1 — 2t cos ж + i
0
sin ж } (ta-t/3)dt
in ж Г (
-aj 1-
о
Отметим, что при целых неотрицательных а, /3 данные интегралы
могут быть вычислены в элементарных функциях, как интегралы от ра-
рациональной функции.
Глава 12
987 f (/ + а2) [р4 + 2р262 + 2а262 + а4 + б4 - 2р2о2]
1/'PJ [р4 + (а2+62J+2р2F2-а2)]2
б2 [р4 + 4pV + 2р262 + 2а262 + а4 + б4]
[р4 + (а2+62J + 2р2F2-а2)]2 '
в частности, если а = /3, то
?[/;p]=pV-2a4)/[p4 + 4a2]2.
281
990. y(x) = - (l-e~ax).
992. y(x) = e~x[Acosx + (A + B)smx].
994. y(x)cix2 + C2X + сз + c±e~x + -(cos ж — sin ж).
997. S = тг2/6, 5i = тг2/12 (см. задачу 984).
998. S = тг4/90, 5i = -^-тг4 (см. задачу 985).
999. 2/(Ж) = \е2х + \е~2х - е\ z(x) = \е2х - ±е~
1000. у = 4ж + 2 — 2 cos ж — 3 sin ж, 2 = 2 sin ж — 2ж.
1001. у = —I— cos жл/5,
5 5
2 2 2 . /-
2 = cos жу о ^ sin жу 5,
5 5 V5
2 2 2
? = — — — cos жл/5 Н—р sin жл/5.
5 5 у5
1002. 2/ = - cos ж sh ж + sin ж ch ж,
2 = — sin ж ch ж — cos ж sh ж.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
1003. Ограничена. 1004. Неограничена.
1005. Ограничена. 1006. Ограничена.
1007. 1; i 1008. ]V = 1, JV = 2, JV = 50, iV = 5000.
1009. Сходится. 1010. Расходится.
1011. Расходится. 1012. Сходится.
1013. 1. 1014. 0. 1015. 1. 1016. 0. 1017. е.
1018. 4. 1019. у/а. 1020. ХЁл1.
1021. а) Да; б) нет. 1022. Да. 1023. Нет. 1024. Да.
1025. Нет. 1026. 2; 0; 2; 0. 1027. —; - —; 2л/3; -л/3.
1028. а) 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,...; б) 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,...
1029. ( - + 2тгп; — + 2тгп ) , п <Е Z.
\3 3 J
1030. [тгп - тг/6; тг + тг/6], n e Z.
1031. [л/б;+оо). 1032. {О;тг}. 1033. а) 0; б) д; в)/; г) 0.
1034ТТ7Т^' * е [-1, а].
1035. Tr + arctglnz, ж G [etg2;etg3].
1036. 105тг. 1037. тг. 1038. Непериодическая.
1039. Каждое рациональное число является периодом, наименьший пе-
период не существует.
1 Q О 25
1040. 5050. 1041. 3. 1042. —. 1043. . 1044. 2. 1045. —.
1046. е1/е. 1047. -2. 1048. а) 1; -1; б) 3; 2.
1049. а = 2; /3 = i 1050. а) 1; -1; б) е; -.
1051. ж = 0, устранимый разрыв.
283
1052. х = 0 — точка разрыва II рода; х = 1 — точка разрыва I рода.
1053. х = 1 — точка разрыва I рода.
1054. х ф 0 — точка разрыва II рода.
1055. Непрерывна в каждой иррациональной точке, разрывна в каждой
рациональной, точки разрыва II рода.
1059. - 1 г-5-, \х\ < 1, я / 0.
2у1 — ж2 arcsm x
1060. жжA+1пж), ж > 0.
1061. а) 22в cfa; б) 0.
1062. а) ж1+ж A + 21пж); б) ехх2Х ( —Ь 1пж J;
в) (ln2J2V(l+lnz).
1063. а) Дифференцируема всюду;
б) дифференцируема только в точке х = 0.
х3 1
1064. а) х'(у) = —?, 0 < 2/ < 1; б) ж'Ы = j/ > 1.
1065. ctgt.
У 2 Г)
1066. а) -2-, |ж| > а; б) 1 - -^=, 0 < х < 4.
1067. — dx.
1068. 14ж - 132/ + 12 = 0, 13ж + Uy - 41 = 0.
1069. 0. 1070. -\dx2. 1071. i 1072. -sin2^cos^. 1073. -i<
1074. izlpA C(ж _ 6)-n-x + (ж + 2)-n-1).
1075. (-l)n2(n - 2)\(x - n)(x - l)"n, n > 1.
Ю76. 5" B>n~3)!!Bn
1077. 2n ^
п > 2.
1078. 2п~1е2х (l - 2n/2 cos (fx + ™)
1079. тг219.
1080. |/п@) = 0, п = 1,2,4, j///;@) = 1; при п>4 не существует.
1081. а)
3 ' y
1082. a) f = -^=; 6) f = i, f =
284
п ок
1088. ТА-1)к-п
k=0
1089. \ + jj (з - 2^1) (x - 3)fc + o((x - 3)").
[+ ? B&-1)!!^ |
k=i 2 к.
1091. -2е4 + 4е4(ж + 2) + ^
(fc-2)!
1092. In2 - E 2 +,2 (ж + 3)fc + o((x + 3)").
fc=i fe
n-l /T9\
1093. EQ C\ (^) + o((x -
n-l
1094. E(-l)
k=0
Ю95. E^^
fc=i
n Oh
Ю96. ? i*
1097. 0,765. 1098. 1. 1099. 0. 1100. -. 1101. 0. 1102. 0.
1103. ^Hi?. iio4. е/7Г. 1105. -. 1106. -.
z о z
1107. -. 1108. -. 1109. --. 1100. -^=. 1111. e/15.
6 9 6 д/е
1112. (—oo; 0), @; 1) — интервал убывания; A; +oo) — интервал воз-
возрастания.
1113. (—oo; —50), (—50; 25) — интервал возрастания; B5; +оо) — ин-
интервал убывания.
32 1
1114. ?/@) = 0, 2/D) = минимумы; г/(—1) = максимум.
3 4
1115. ?/A) = 0 — минимум, у(е2) = — — максимум.
1116. у ( - ) = е~1/е — минимум.
W
1117. у ( — 1 = - v^4 — максимум, 2/@) = 2/B) = 0 —минимумы.
1118. 2/@) = —27е — минимум, г/(—1) = —64 —максимум, т = —125е,
М = е5.
1119. (—оо; — 6), @; 6) — интервалы выпуклости вниз; (—6;0),
F; +оо) — интервалы выпуклости вверх; точки перегиба: 0; —6; 6.
285
B7\
4; — J — минимум, В{1\ 0) —
перегиб (рис. 109).
1121. Асимптоты: ж = 2тгп (п G Z); А( —; — ^ ^) — минимум,
; 0) — перегиб, С ( —; = ) — максимум.
Функция периодическая с периодом 2тг (рис. 110).
1122. Асимптота ?/ = ж Н—; А(—1;0) — перегиб с вертикальной ка-
о
сательной, ??( ; ) — максимум, 0@,0) — угловой минимум, каса-
тельная вертикальна (рис. 111).
1123. Асимптоты: у = —ж — 1 (х —»¦ — оо), у = ж + 1 (ж —»¦ +оо);
Л(—2; 0) — угловой минимум, касательная вертикальна, В(—1; 1) — мак-
максимум, О@; 0) — угловой минимум, касательная вертикальна (рис. 112).
1124. Асимптоты: ?/ = ж + 4; х = ; у = -; Л( ; —2) — мак-
симум; В{—4; 2) — точка возврата, угловой коэффициент касательной — 1;
СдО; — J — касательная вертикальна (рис. 113).
1125. Асимптота у = х — 1; О@;0) — максимум; Afl — 1п2;
— — In 2 J — касательная вертикальна (рис. 114).
1126. - л/135. 1127. 2 In |ж| + - + 4.
1128. ^^П - 2-±П + С. 1129.
11 10
1130. i
3
KJ -Л. Л. W \J Л-Л- W | V_/ • -М- -М- Ч^ -Н- V
3 5 а
ж-2
1132. + С. 1133. i In
1
ж — 1 2(ж — 1)
1134. ж Ь In (ж2 - 2ж + 5) - 2 arctg ^ h С.
ж
-in or ! 1 ж2 + л/2ж + 1 л/2 жл/2
1135. —— In — h —— arctg + С.
4\/2 ж2 - \/2ж + 1 4 ь 1 - ж2
1136. -
4
ж — 7
1137. -2Ж + 1Х + 19л/1 + 2ж - ж2 + 4arcsin ^-^ + С.
6 л/2
1138. J и7/2 - Щ- и5/2 + 6и3/2 - 6и1/2 + С, где и=1+
7 о
286
Рис. 109
Рис. 110
В
- 2 ^' 1\
Рис. 111
Рис. 112
9 -
2/
А
Рис. 113
Рис. 114
287
1 1 2 4 tg — — 1
1139. - tg3 ж + 2 tg ж + С. 1140. -== arctg & 2— + С
3 tgz V15 V15
2
1142. 2 - -. 1143. 200л/2. 1144. —. 1145. -.
2 4 4
1146. 2жл/1+ ж4. 1149. Зтга2. 1150. 2а2. 1151. 8а.
1152. ^sh37r. 1153. тг247Г ~15. 1154. тг. 1155. ^.
1156. 21пЗ. 1157. -^—. 1158. Расходится.
1п2
1159.-^. 1160.^. 1161.^.
6 2 2
1162. Сходится. 1163. Сходится. 1164. Расходится.
1166. а > 1. 1167. а <Е E0; 100).
1168. Сходится условно, абсолютно расходится.
1169. Абсолютно сходится при а < 2, условно при 2 ^ а < 7/3.
+ ОО
1170. Может, например / xcosx4dx.
о
1171. Расходится. 1172. Сходится. 1173. Сходится.
1174. Сходится при а > 1/2. 1175. Сходится.
1176. Сходится. 1177. Расходится. 1178. Расходится.
1179. а) а > 1; б) 0 < а ^ 1.
1180. а) а > 2; б) 1 < а ^ 2.
(О, если х < 1,
1181. /(ж) = <{ тг
1—(ж —1), если ж ^ 1.
1182. /(ж) = 0; а) неравномерно, б) равномерно.
sin ж
1183. /(ж) = , равномерно.
ж
1184. /(ж) = 0, неравномерно.
7Г
1185. /(ж) = ; а) равномерно, б) неравномерно.
1186. /(ж) = 0, неравномерно.
1187. Равномерно.
1188. а) Равномерно, б) неравномерно.
1189. а) Равномерно, б) неравномерно.
1190. а) Равномерно, б) неравномерно.
288
1191. Непрерывна. 1192. Да. 1193. Да. 1194. тг.
1195. R= -, в концах интервала сходимости ( ; 1 — рас-
О \ О О у
ходится.
1196. R = 1; @; 2); при ж = 0 сходится абсолютно при а > 1 и условно
при 0 < а ^ 1; при ж = 2 сходится абсолютно при а > 1 и расходится при
а ^ 1.
1197. Я = 4. 1198. Я=-!=. 1199. Я = —^-.
л/2 4л/2
оо о2п-1
1201. 1+Е(-1)«
n=l Z^nj!
1203. arctg2+ Е \
п=0 *П -\- L
1204. - In A - ж2). 1205. О, 946. 1206. а) -^/по; б) 2П.
1207. Только в пространстве Мг.
1208. а) Да; б) нет; в) нет; г) да.
1209. Окружность радиуса — с центром в точке ( — ;0),
|1 — 6| \1 — С J
если С > О, С ф\\ ось |/, если G = 1; точка A;0), если G = 0; 0,
если G < 0.
1210. 1) а) 0; б) не существует; в) 0;
2) а) не существует; б) не существует; в) 1;
3) а) 0; б) 0; в) не существует.
1211. а) е; б) тг.
1212. Все точки эллипсов ж2 + 4у2 = 1, ж2 + 4у2 = 2 и точка @;0);
в точках эллипса ж + 4г/ =1 разрыв устранимый.
1213. а) Да; б) нет.
1214. а) Не дифференцируема; б) дифференцируема, dz(O,O) = 0.
1215. а е A;4).
1216. a) -2dxdy- 6)-3dxdy2- в) dx6 - 15dx4dy2 + 15^ж2 dy4 - dy6
1217 dz=
y(x + z) ' |/2(ж + ^K
1218. a) m = 0; 6) m = 1; в) m = 2.
1219. n = ж + \ xy + o(y92); r2 = ~ xy2B + %)A + Oyf/2, 0 < ^ < 1.
2 16
289
2 b 8 12 24
+ o(p4).
1222. Максимум n(l;3) = 9.
1223. Минимум nB;4) = -8.
1224. Два минимума tt(± 1, =F 2) = —4; два максимума tt(± 1; ± 2) = 4;
2 2
нестрогий экстремум и = 0 в точках эллипса ——\- — = 1, минимум при
ху > 0, максимум при ж?/ < 0.
1225. Максимумы иBтгк] 0) = 2, A; G Z.
1226. Минимум и ( -; 1; 1 ) =4; максимум п ( — -; —1; —1 ) = —4.
13
1227. Максимум пC; -1) = —.
о
1228. Максимум и (--]--) = -2In2.
\ 2 2)
\Т1Ъ. Минимум и(-2; 2; -2) = -8; максимум иB; -2; 2) = 8.
1230. Минимум и(-2- 1; 4) = 11; максимум пB; -1; -4) = 59.
1231. Максимум и(А; —1) = —7; минимум и(—4; 1) = 9.
1232. 8; -216.
1 ж+1 11 2 1
1233. jdx f fdy= fdy Гf dx + fdy f fdx.
0 0 0 0 1 y-1
\
l-\/l-y2 2 \ 2 2
J f(x,y)dx+ I f(x,y)dx\dy + fdyff(x,y)dx.
OK 1
1235. — тт. 1236. -(ch2x-cos22/). 1237. xy2. 1238. -бтг2.
Q-j Г Л -| Г} -|
1239. ^-^. 1240. —. 1241. 26. 1242. -. 1243. 8r2.
15 3 6
1244. x = у = ^-^. 1245. 7- irabc3.
105 7Г 2
2 / x2B-x) 2-х 0 2-ж \
1246. /"drc I f dz f fdV+ f dz Г fdy\.
1 \ 0 Z/X2 x(x-2) -z/x )
1248. —. Указание. Перейти к сферическим координатам.
1249. . Указание. Перейти к цилиндрическим координатам.
о
290
1250. ^- 1251. ^
1252. а) 1; б) у.
1253. 2а2.
1254. а) ^тг, б) 0.
о
1255. 4а2. 1256. --а3. 1257. 34.
4
1258. 2тг, если точка @; 0) лежит внутри кривой; 0, если точка @; 0)
лежит вне кривой.
2
1262. 8тгB + л/2). 1263. ^A + 6л/3)ро- 1264. 0. 1265. -^Я7.
15 7
1266. а) 128тг; б) -48тг; в) 56тг.
1267. (^ - |) Я4. 1268. а) -| а3; б) 2тг.
1269. /"(г) + -/'(г). 1270. а) 0; б) тг/г3.
1271. а) 2тг; б) 2тг. 1272. xyz(x+ y + z) + С. 1273.1/3.
1274. а) ^-^ [г, с]; б) 2/(г)с + ^^ (с(г, г) - г (с, г)); в) -2(г, с).
4 - вшBп-1)Ж 127б 7 6 ~ 8шBп-1)Ж
7Г 2П - 1 ' 2 7Г
127б
7Г п = х 2П - 1 ' 2 7Г п = х 2П -
1277. i + iCos2z. 1278. ^ + 4 ? (_1)»^2^. 1279.^.
2 2 3 n=i n2 4
1281. logizir sin
lg^,. 1281. lgizi sin =
7Г n = x BW - lK 7Г n = x П 5
1283. 2 ? ^-bL ( 4 - 7Г2 ) sinnx.
O
1284. f(-x) = f(x), f(n-x) = -f(x). 1285. -In2-
П = 1 П
1287. ^—^. 1288. —. 1289. 0. 1291. тг1п ^±^. 1292. In ^±-1.
1294. Сходится равномерно.
1295. а) Сходится неравномерно, б) сходится равномерно.
1296. Сходится неравномерно.
1297. arctg^. 1298. -signa. 1299. -е"|а|.
291
1300. -signae~|a|. 1301. - e'^. 1302. -In-.
z z z z
1303. а) -^=; б) JL 1304. -
Зл/3 3^108
P, ч 2 /" sin as
1305. /(ж) = - / cos xsc^s.
7Г J S
1306. /(ж) = -
3^3' У 3^108- "" -2~V 2 ' 2
+ OO
2 /" sin as
/
7Г
0
+ oo
-* о^гт г/ \ 1 Z4 sin (ж5 + y?) 1
1307. fix) = - ; ^J ds, (p = arctg -.
7Г J л/1 + S2 S
о
, ч 2 +r2s-3sin^f
. /(ж) = - / ^-sin xsds.
TV J S2
1308
7Г
0
1300. J-^г. 13Ю.
1312. -iJ-s3e~lsl. 1313. л/2^^.
1314. . cosag. 1315. . sinag.
/2^ /2^
1316. ^is. 1317. \/2тг iS'. 1318. -
)< 6)i
Зтг 9тг
1320. |^| = -2cos —, arg^ = —- + 2тгп, n
5 1(J
1321. a) -(cos 230°+ г sin 230°); 6) -2cos^ fcos^
7Г 9 \ 9
1322. -21996 -гг1995^ 21996 (
1323. а) Замкнутый круг радиуса 2 с центром в точке 8г;
б) отрезок [—2; 2] действительной оси;
в) окружность радиуса 13 с центром в точке 2 = 0.
1324. 6 + 8г, 6 + 17г. 1325. i кв. ед.
1326. 1 + г, -1 - г. 1327. 1; -1; 1 + г; -1 - г.
1328. ^2 fcos^+zsin^V ^2 ( cos -^ + г sin -^ ),
Vo 3 / \ Ь Ь )
( 4тт . . 4тЛ 4/-/ 11тг . . 11тг\
V 2 cos -— + i sin — , у 2 cos h г sin .
V3 3/ V6 6/
292
1329. 1; 3; 2г; -2г.
1330.^3 ,,
-I QQ1 TD ( ~\ / ~ _|_ 1 \ / ~ Г*\ п \ ( /у
J.OO J- • J. \Z) — I Z "Т~ X J I л/ ^/ О v ) \ л/ '
)(z + 2г) = (z + 1)(^2 - 2л/3^ + 4)(^2 + 2л/3* + 4)(^2 + 4).
1332. 3. 1333. 1.
1334. а) Окружность \w — 1 — г| = 1; б) прямая Яего = —-;
v2 и2 v2 1
в) парабола и = 1, го = г? + гг>; г) эллипс 1 = —, w = u + iv.
1335. а) Н < 1;
б) область, заключенная между двумя ветвями гиперболы и2 ¦
1336. a) z = кш\ k<EZ- б) z = - + 2ктг ± г1пЗ, A; G Z.
1337. а), б) Дифференцируема только в точке 2 = 0.
1338. а) Да; б) нет.
1339. а) / = A - 2г)?3; б) / = zchz; в) е*2/2.
1340. a) Ci(x2 + i/2) + С2; б) Ci arctg - + С2.
ж
v2 = -.
1341.
б)
2;
1
1342. а), б) f(z) = -+z +
1343. а) Да; б), в) нет.
1344. а) - - -^; б) z2.
1
/г=0
1347. z = =Ь г — полюсы 1-го порядка; 2 = оо — существенно особая
точка.
1348. z = оо — полюс 1-го порядка; z = 0 — существенно особая точка.
1349. z = 0 — полюс 2-го порядка; 2& = 2&тгг (& = =Ь 1, ± 2, ± 3,...) —
полюсы 1-го порядка; z = оо — точка накопления полюсов, неизолированная
особая точка.
1350. Zk = ктг (к = ± 1, ± 2, ± 3,...) — полюсы 1-го порядка; z = 0 —
устранимая особая точка; z = оо — неизолированная особая точка, точка
накопления полюсов.
293
1351. Zk = 777: тт—, к целое, — существенно особые точки; z = 0 —
Bк + 1)тг
неизолированная особая точка, точка накопления существенно особых то-
точек; z = 0 — устранимая особая точка.
1352. z = 1 — существенно особая точка;
Zk = 2к -\- 1, к ф 0 — полюсы 1-го порядка, если Zk ф B/ + IJ;
zi = B/ + IJ, I ф 0 — устранимые особые точки;
z = оо — неизолированная особая точка, точка накопления особых
точек.
„„,,„ ч 1 _ч г cos 3 —sin 3 ч — zcos3 — sin3 ч sin 3 — 3 ч Л
1353. а) -; б) — ; в) — ; г) — ; д) 0.
1354. а) - cos 1; б) cos 1.
1355. а) 0; б) не существует.
1356. -е. 1357. 2тгг. 1358. 2тте2г. 1359. 2ттг.
1360. гтт ( -4 1V
Vsh2l )
1361. 7тгг. 1362. -гтт.
1363. 7re(sinl- cosl). 1364. - e2(cos6 + 2sin6).
c\c\
1365. -De2 - e). 1366. — тг.
3 81
1367. w = 2 e—^:. 1368. w = e~ni/4 6. ~l.
ег + г elz + 1
1369. a) w = eia—^-, QGl; б) гу = 2eia^|, qGI.
1370. a) y2 + 2//2 = 1; 6) (y - 2xJ(y'2 + 1) = By/2 + IJ.
1371. B/ + ж2)^ + ж = 0.
1372. a) (Ce~x2 - l)y = 2, j/= 0; 6) arctg у - arcsin ж = С, ж ±1;
в) ctg ^Ц^ =Ж + С, j/ = ж + 2ттп, n G Z.
1373. а) 2/A + ж) = 1; б) ж + 2j/ + 2 = 0.
х — 2
1374. у = arctg Ь 2тг.
ж
1375. ж2 + 2^/2 = С.
1376. Через 1575 лет.
1378. ж2 + 2xy -y2 -4x + 8y = C.
1379. 1-xy = Cx3B + ж^/), xy + 2 = 0.
1380. 2/ = ежAп|ж| + С).
1381. x = y2 + Cy, у = 0.
1
2/
1382. — = С cos3 ж - 3 sin ж cos2 ж, j/ = 0.
У3
1383. ж = B - у2 + Се~у2/2у\
294
1384. ж2 = Се2у + 2у. 1385. - = In ж + 1.
У
1386. у = х + е
1387. х3 + Зж V + у4 = С. 1388. х2 cos2 y + y2 = C.
1389. ж + arctg - = С.
У
1390. 2/ = еж~с + С, 2/ = ж + 1 особое.
1391. j/ = |(ж - СJ - -С2, 2/ = -х2 особое.
1392. 2/ = Се2х + —, 2/ = ±2еж особые.
О
/ж + С\5/3
1393. у = С-3[ -^—- , 2/ = -ж + 2 особые.
1394. ж?/ = ±а2. 1395. х2/3 + у2/3 = а2/3. 1396. j/= ^
ж
1397. еу + Ci = (ж + С2J. 1398. у2 = - ж3 + da + С2.
о
1399. 2/ = ж + ^(ж + С1K + С2, |/ = ж + С. 1400. ?/ = Ci
о
1401. resin f^ -Ci) =C2. 1402. у= -ж2л/2ж- —.
\х / 5 5
1403. ^
1404. у = 1 - 2 In ж. 1405. j/ = A + cos ж)е1§ *.
1406. у = л/1 + 1п(ж + 1J. 1407. 2/ = С1вж + С2е2ж.
1408. 2/ = е"ж(С1СО8ж + С28тж). 1409. у = ex(Ci + С2ж + С3ж).
1410. j/ = (Ci + С2ж) cos ж + (С3 + С4ж) sin ж.
1411. j/ = Ci + (С2 + С3ж)со8ж + (Сa + C5x)smx.
1412. 2/ = dex + ecos 2?гж/5 (с2 cos sin ^ + С3 sin sin ^)
. 2тгж _. . . 2тгж\
+ е ^ cog gin j_ ^ gin gin $
V
1413. С1е-ж+С2е3ж + ^е4ж.
5
1414. у = de-x + С2е-2ж + (ж - 1)еж.
1415. у = Ci sin ж + С2 cos ж + -(sin ж — ж cos ж).
ж 1
1416. у = С\ + С2 cos 2ж + Сз sin 2ж + - + — sh 2ж.
8 32
295
1417. у = Clex + С2е-2* -(?+**) е~2х _ 3sin* " cos*
3 9 ) 2
1418. у = (Ci + С2ж) cos ж + (Сз + С a) sin ж + sin 2ж - ж2 - 4.
1419. а) j/'" + у" + j/; + у = О,
б) 2/ = С1СО8ж + С28тж + С3е~ж +ж- 1 + же~ж.
1420. j/ = (Ci + С2ж + In |ж|)~ж.
1421. |/ = (Ci cos ж + С2 sin ж + (sin ж) In | зтж| — жсо8ж)е~ж.
1422. у = Ciex + С2е"ж - -. 1423. у = сЬж - ж.
ж
-.^«^ Зо т -.-.«^ 8т2ж ЖСО8 2Ж
1424. у=-х2е-х. 1426. у=— .
1426. у = С08ж + 2 8тж + е~ж - Зеж +2жеж.
1427. у = О, Л любое; y = sinnx, если Л = n2, n целое.
1428. ж = Cie"* + C2e3t, у = 2Схе~1 - 2C2e3t.
1429. ж = (Cicos^ + C2sin^)e2t, y = ((Ci + C2) cost + (C2-Ci) sint)e2t.
1430. ж = (Ci + 2С2?)е-*, у = (Ci + C2 + 2С2^)е-*.
1431. ж = Cie* + 2С2е4< + 3e5t, j/ = -Cie* + C2e4< + e5t.
1432. ж = Cie~* + 2C2e2< - cos t + 3 sin?,
2/ = -Cie~* + C2e2< + 2cos^-sin^.
1433. ж = Ci cos t + C2 sin t + tg t, у = -Ci sin t + C2 cos t + 2.
Bcos^ \ / 2sin? \
2 sin t + cos ПеЧСз sint-2cost ef.
sint — cost J \—sint — costJ
fo\ /-Л / -t \
1436. | у I = Ci I 2 e* + C2 2 е"ЧС3 2t|l e"*.
,z \1 \ 2 \2t + l
1437. \y \ = Ci 0 e-2< + C2 i e* + Сз
1438. U = Ci 0 e-2< + C2 1 e* + Сз -1 e2t + -3 .
296
1439.
1440.
+ С2 0 е"* + С3 1 \е1 +
e2t
1441. x = 2sin2? + -sin2t. 1442. x = e2t + Acost - 2sint - 5.
e"* 2/ = 2 e"* z = 2e~l
1443. ж = 2 - e"
= 2 - e
z = 2e
1444. 2/ = x(Ci + C2 In |ж| + C3 In2 |ж|).
+ С2ж -21пж+ -.
о
1446. у =
д
1447. Линейно независимы, W(x) = 2е6ж.
1448. Линейно зависимы, W(x) = 0.
1449. Линейно независимы, W(sc) = 0.
1450. у'" - 2у" + у' - 2у = 0. 1451. j/ = (
1452. у =
1454. у =
1455. 2/ =
1456. у =
1457. ?/ =
+ С2 In ж. 1453. у = Cix + С2 ( -ж In
-
Ж
- 1
X + 1
+ С2жеж - - x(smx + cos ж).
2 + Сгл/1 +x2 -2-хarctgж.
1458. y = Ci + С2жAпж - 1) + жAп2 ж - 2 In ж + 2).
1459. Неустойчиво.
1460. Асимптотически устойчиво, если а < 0; устойчиво, но не асимп-
асимптотически устойчиво, если а = 0; неустойчиво, если а > 0.
1461. Неустойчиво. 1462. Асимптотически устойчиво.
1463. Асимптотически устойчиво, если а < —0,5; устойчиво, если
а = —0, 5; неустойчиво, если а > —0, 5.
1464. Неустойчивый узел. 1465. Устойчивый фокус.
1466. Центр. 1467. Седло. 1468. Неустойчива. 1469. Устойчива.
1470. Асимптотически устойчива.
1471. A;0) — неустойчивый фокус.
1472. @; 0) — седло; C; 3) — неустойчивый узел.
1473. @; 0) — устойчивый фокус; C; 0) — седло.
1474. @;0) — седло; (—1;0) — устойчивый узел.
1475. Неустойчива, v = ж2 + у2. 1476. Устойчива, v = 2ж2 + у2.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 3
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 3
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 4
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 5
§ 1. Действительные числа. Множества 5
§ 2. Предел последовательности 6
§ 3. Функция. Предел функции 8
§ 4. Производная 10
Глава 2. ИНТЕГРАЛЫ 19
§ 1. Неопределенный интеграл 19
§ 2. Определенный интеграл 23
§ 3. Приложения определенного интеграла 24
§ 4. Несобственные интегралы 26
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕС-
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 28
§ 1. Определители и матрицы 28
§ 2. Системы линейных уравнений 30
§ 3. Векторы 30
§ 4. Деление отрезка в данном отношении 31
§ 5. Прямая линия 32
§ 6. Плоскость 32
§ 7. Прямая в пространстве 33
§ 8. Ориентация системы векторов. Векторное и смешанное произве-
произведение векторов 34
§ 9. Зависимые и независимые системы векторов 39
§ 10. Линейные операторы. Базис 39
§11. Линейные подпространства 43
§ 12. Самосопряженные операторы. Квадратичные формы 45
§ 13. Кривые второго порядка 45
§ 14. Поверхности второго порядка 48
298
Глава 4. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 52
§ 1. Основные понятия 52
§ 2. Предел функции. Непрерывность 53
§ 3. Частные производные. Дифференциалы 55
§ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков 56
§ 5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 57
§ 6. Формула Тейлора 57
§ 7. Экстремумы 58
§ 8. Неявные функции. Условный экстремум 59
Глава 5. РЯДЫ 60
§ 1. Числовые ряды 60
§ 2. Функциональные ряды 63
§ 3. Степенные ряды 64
Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 65
§ 1. Общие понятия 65
§ 2. Уравнения первого порядка 65
§ 3. Метрические пространства. Сжимающие операторы. Теорема
существования решения 67
§ 4. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые
решения 69
§ 5. Понижение порядка дифференциального уравнения 70
§ 6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 70
§ 7. Уравнение Эйлера. Уравнения с переменными коэффициентами 72
§ 8. Метод вариации постоянных 73
§ 9. Системы дифференциальных уравнений 73
§ 10. Решение уравнений с помощью степенных рядов 74
§11. Устойчивость по Ляпунову 75
Глава 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 77
§ 1. Интегралы, зависящие от параметра 77
§ 2. Кратные интегралы 78
§ 3. Замена переменных в кратном интеграле 79
§ 4. Применение кратных интегралов 80
§ 5. Несобственные интегралы 82
Глава 8. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 84
§ 1. Криволинейные интегралы первого рода 84
§ 2. Интеграл от вектора вдоль кривой 86
§ 3. Потенциал. Ротор вектора 87
§ 4. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных диф-
дифференциалах 88
§ 5. Формула Грина 89
299
§ 6. Интеграл по поверхности первого рода 90
§ 7. Поток вектора через ориентированную поверхность (поверхност-
(поверхностный интеграл второго рода) 91
§ 8. Формула Гаусса-Остроградского 94
§ 9. Формула Стокса 95
Глава 9. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 98
§ 1. Тригонометрические ряды 98
§ 2. Ряд Фурье 99
§ 3. Ортогональные системы функций 100
§ 4. Интеграл Фурье 102
Глава 10. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 103
Глава 11. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 105
§ 1. Общие понятия 105
§ 2. Предел функции. Производная 107
§ 3. Условия Коши-Римана. Гармонические функции 107
§ 4. Простейшие конформные отображения 108
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного 110
§ 6. Формула Коши 111
§ 7. Ряды в комплексной области 113
§ 8. Изолированные особые точки. Вычеты 114
§ 9. Вычисление интегралов с помощью вычетов 116
Глава 12. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 119
§ 1. Изображения простейших функций 119
§ 2. Отыскание оригинала по изображению 121
§ 3. Приложения операционного исчисления 121
ПРИЛОЖЕНИЕ I 123
ПРИЛОЖЕНИЕ II 161
ОТВЕТЫ 198