С. П. НОВИКОВ И. А. ТАЙМАНОВ
СОВРЕМЕННЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ
И ПОЛЯ
Москва
Издательство МЦНМО
2005

УДК 271.21 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.15 {издательский проект № 03-01 -14134).
Н73
Новиков СП., Тайманов И.А.
Н73 Современные геометрические структуры и поля. — М.: МЦНМО,
2005. — 584 с: ил.
ISBN 5-94057-102-6
Излагаются основные сведения о геометрии евклидова пространства и простран-
пространства Минковского, включая их преобразования, теорию кривых и поверхностей, осно-
основы тензорного анализа и римановой геометрии, сведения из вариационного исчисле-
исчисления, пограничные с геометрией, элементы наглядной топологии многообразий. Изло-
Изложение ведется в свете современных представлений о геометрии реального мира.
Для студентов физико-математических специальностей университетов.
ББК 22.15
© Новиков СП., Тайманов И.А., 2005
ISBN 5-94057-102-6 © МЦНМО, 2005.

Оглавление
Предисловие 10
Г л а в а 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия 13
§1.1. Координаты. Пространство-время 13
1. Декартовы координаты A3). 2. Замена координат A4).
§ 1.2. Геометрия Евклида и линейная алгебра 17
1. Векторные пространства и скалярные произведения A7). 2. Длина
кривой B1).
§ 1.3. Аффинные преобразования 22
1. Матричный формализм. Ориентация B2). 2. Аффинная груп-
группа B4). 3. Движения евклидовых пространств B9).
§ 1.4. Кривые в евклидовом пространстве 33
1. Натуральный параметр и кривизна кривой C3). 2. Кривые на
плоскости C5). 3. Кривизна и кручение кривых в R3 C7).
Упражнения к главе 1 40
Гл а в а 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства 43
§2.1. Геометрические структуры в линейных пространствах 43
1. Псевдоевклидовы и симплектические пространства D3). 2. Сим-
Симплектические преобразования D6).
§ 2.2. Пространство Минковского 50
1. Пространство событий специальной теории относительности E0).
2. Группа Пуанкаре E3). 3. Преобразования Лоренца E4).
Упражнения к главе 2 56
Гл а в а 3. Геометрия двумерных многообразий 58
§ 3.1. Поверхности в трехмерном пространстве 58
1. Регулярные поверхности E8). 2. Локальные координаты F1).
3. Касательное пространство F2). 4. Поверхности как двумерные
многообразия F3).
§3.2. Риманова метрика на поверхности 65
1. Длины кривых на поверхности F5). 2. Площадь поверхности F8).

Оглавление
§3.3. Кривизна поверхности 69
1. О понятии кривизны поверхности F9). 2. Кривизна линий на по-
поверхности G0). 3. Собственные значения пары скалярных произве-
произведений G2). 4. Главные кривизны и гауссова кривизна G4).
§ 3.4. Основные уравнения теории поверхностей 76
1. Деривационные уравнения как условие «нулевой кривизны». Ка-
Калибровочные поля G6). 2. Уравнения Кодацци и sin-Гордон G9).
3. Теорема Гаусса (81).
Упражнения к главе 3 82
Гл а в а 4. Комплексный анализ в теории поверхностей 85
§4.1. Комплексные пространства и аналитические функции 85
1. Комплексные векторные пространства (85). 2. Эрмитовы скаляр-
скалярные произведения (86). 3. Унитарные и дробно-линейные преобра-
преобразования (88). 4. Голоморфные функции и уравнения Коши—Рима-
на (89). 5. Комплексно-аналитические замены координат (91).
§4.2. Геометрия сферы 93
1. Метрика сферы (93). 2. Группа движений сферы (95).
§ 4.3. Геометрия псевдосферы 99
1. Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовых про-
пространствах (99). 2. Метрика и группа движений псевдосферы A01).
3. Модели гиперболической геометрии A02). 4. Теорема Гильберта
о непогружаемости псевдосферы в R3 A04).
§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра 105
1. Существование конформного параметра A05). 2. Основные урав-
уравнения в терминах конформного параметра A08). 3. Дифференциал
Хопфа и его приложения A09). 4. Поверхности постоянной гауссо-
гауссовой кривизны. Уравнение Лиувилля A11). 5. Поверхности постоян-
постоянной средней кривизны. Уравнение sh-Гордон A12).
§4.5. Минимальные поверхности 114
1. Формулы Вейерштрасса—Эннепера для минимальных поверхно-
поверхностей A14). 2. Примеры минимальных поверхностей A17).
Упражнения к главе 4 118
Глава 5. Гладкие многообразия 120
§5.1. Гладкие многообразия 120
1. Топологические и метрические пространства A20). 2. О понятии
гладкого многообразия A24). 3. Гладкие отображения и касательные
пространства A27). 4. Многомерные поверхности в Мя. Многообра-
Многообразия с краем A30). 5. Разбиение единицы. Многообразия как много-
многомерные поверхности в евклидовых пространствах A34). 6. Дискрет-
Дискретные действия и фактормногообразия A36). 7. Комплексные много-
многообразия A38).

Оглавление
§5.2. Группы преобразований как многообразия 148
1. Группы движений как многомерные поверхности A48). 2. Ком-
Комплексные поверхности и подгруппы в GL(az, С) A54). 3. Группы аф-
аффинных преобразований и группа Гейзенберга A55). 4. Экспонен-
Экспоненциальное отображение A56).
§5.3. Кватернионы и группы движений 160
1. Алгебра кватернионов A60). 2. Группы SOC) и SOD) A62).
3. Кватернионно-линейные преобразования A64).
Упражнения к главе 5 165
Глава 6. Группы движений 166
§6.1. Группы и алгебры Ли 166
1. Группы Ли A66). 2. Алгебры Ли A68). 3. Основные матрич-
матричные группы и алгебры Ли A75). 4. Инвариантные метрики на груп-
группах Ли A80). 5. Однородные пространства A84). 6. Комплексные
группы Ли A91). 7. О классификации алгебр Ли A92). 8. Двумер-
Двумерные и трехмерные алгебры Ли A95). 9. Пуассоновы структуры A98).
10. Градуированные алгебры и супералгебры Ли B02).
§ 6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 206
1. Кристаллографические группы в евклидовых пространствах B06).
2. Квазикристаллографические группы B16).
Упражнения к главе 6 225
Гл а в а 7. Тензорная алгебра 227
§ 7.1. Тензоры ранга 1 и 2 227
1. Касательное пространство и тензоры ранга 1 B27). 2. Тензоры
ранга 2 B30). 3. Преобразования тензоров ранга не выше 2 B32).
§ 7.2. Тензоры произвольного ранга 232
1. Преобразование компонент B32). 2. Алгебраические операции
над тензорами B34). 3. Дифференциальная форма записи тензо-
тензоров B37). 4. Инвариантные тензоры B38). 5. Пример из механики:
тензоры деформации и напряжения B39).
§7.3. Внешние формы 241
1. Симметризация и альтернирование B41). 2. Кососимметрические
тензоры типа @, k) B43). 3. Внешняя алгебра. Симметрическая ал-
алгебра B45).
§ 7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 247
1. Поднятие и опускание индексов B47). 2. Собственные значения
скалярных произведений B48). 3. Оператор двойственности Хо-
Ходжа B50). 4. Фермионы и бозоны. Пространства симметрических
и кососимметрических тензоров как фоковские пространства B51).

Оглавление
§ 7.5. Поливекторы и интеграл от антикоммутирующих переменных. . . 258
1. Антикоммутирующие переменные и супералгебры B58). 2. Инте-
Интеграл от антикоммутирующих переменных B60).
Упражнения к главе 7 262
Гл а в а 8. Тензорные поля в анализе 264
§8.1. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 264
1. Электромагнитное поле B64). 2. Приведение кососимметриче-
ских тензоров к каноническому виду B66). 3. Симметрические тен-
тензоры B68).
§ 8.2. Поведение тензоров при отображениях 270
1. Действие отображений на тензорах с верхними индексами B70).
2. Ограничение тензоров с нижними индексами B71). 3. Гауссово
отображение B73).
§ 8.3. Векторные поля 275
1. Интегральные кривые B75). 2. Алгебры Ли векторных по-
полей B77). 3. Линейные векторные поля B79). 4. Экспонен-
Экспонента от векторного поля B81). 5. Инвариантные поля на груп-
группах Ли B82). 6. Производная Ли B83). 7. Центральные расширения
алгебр Ли B87).
Упражнения к главе 8 289
Глава 9. Анализ дифференциальных форм 291
§ 9.1. Дифференциальные формы 291
1. Кососимметрические тензоры и их дифференцирование B91).
2. Внешний дифференциал B93). 3. Уравнения Максвелла B96).
§ 9.2. Интегрирование дифференциальных форм 298
1. Определение интеграла B98). 2. Интеграл от формы по много-
многообразию C02). 3. Интегралы от дифференциальных форм в R3 C04).
4. Теорема Стокса C05). 5. Доказательство теоремы Стокса для ку-
куба C10). 6. Интегрирование по суперпространству C11).
§9.3. Когомологии 313
1. Когомологии де Рама C13). 2. Гомотопическая инвариант-
инвариантность когомологии C15). 3. Примеры вычисления групп когомоло-
когомологии C17).
Упражнения к главе 9 323
Глава 10. Связность и кривизна 325
§10.1. Ковариантное дифференцирование 325
1. Ковариантное дифференцирование векторных полей C25). 2. Ко-
Ковариантное дифференцирование тензоров C31). 3. Калибровочные
поля C32). 4. Связности Картана C35). 5. Параллельный пере-
перенос C36). 6. Связности, согласованные с метрикой C38).

Оглавление
§ 10.2. Тензор кривизны 341
1. Определение тензора кривизны C41). 2. Симметрии тензора кри-
кривизны C44). 3. Тензоры Римана многообразий малой размерности,
тензор Риччи, скалярная и секционная кривизны C46). 4. Тензор
конформной кривизны C49). 5. Тетрадный формализм C51). 6. Кри-
Кривизна инвариантных метрик на группах Ли C52).
§ 10.3. Геодезические линии 354
1. Геодезический поток C54). 2. Геодезические линии как кратчай-
кратчайшие C57). 3. Формула Гаусса—Бонне C60).
Упражнения к главе 10 362
Глава 11. Конформная и комплексная геометрии 366
§11.1. Конформная геометрия 366
1. Конформные преобразования C66). 2. Теорема Лиувилля о кон-
конформных отображениях C69). 3. Алгебра Ли конформной груп-
группы C71).
§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 372
1. Комплексные дифференциальные формы C72). 2. Кэлеровы ме-
метрики C75). 3. Топология кэлеровых многообразий C79). 4. Почти
комплексные структуры C82). 5. Абелевы торы C84).
Упражнения к главе 11 388
Гл а в а 12. Теория Морса и гамильтонов формализм 390
§ 12.1. Элементы теории Морса 390
1. Критические точки гладких функций C90). 2. Лемма Морса и те-
теоремы трансверсальности C93). 3. Степень отображения D02).
4. Градиентные системы и перестройки Морса D04). 5. Топология
двумерных многообразий D12).
§ 12.2. Одномерные задачи: принцип наименьшего действия 416
1. Примеры функционалов (геометрия и механика). Вариационная
производная D16). 2. Уравнения движения (примеры) D20).
§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения 422
1. Законы сохранения энергии и импульса D22). 2. Поля симме-
симметрии D24). 3. Законы сохранения в релятивистской механике D25).
4. Законы сохранения в классической механике D28). 5. Системы
релятивистских частиц и рассеяние D32).
§ 12.4. Вариационный принцип Гамильтона 433
1. Теорема Гамильтона D33). 2. Лагранжианы и замены координат,
зависящие от времени D35). 3. Вариационные принципы типа Фер-
Ферма D38).
Упражнения к главе 12 440

Оглавление
Г л а в а 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия 442
§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 442
1. g-градиентные системы и симплектические многообразия D42).
2. Примеры фазовых пространств D45). 3. Расширенное фазовое
пространство D51). 4. Пуассоновы многообразия. Алгебры Пуассо-
Пуассона D52). 5. Редукция алгебр Пуассона D56). 6. Основные примеры
алгебр Пуассона D58). 7. Канонические преобразования D63).
§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 466
1. Уравнение Гамильтона—Якоби и пучки траекторий D66). 2. За-
Запись канонических преобразований D70). 3. Конические лагранже-
лагранжевы поверхности D72). 4. Переменные «действие-угол» D75).
§13.3. Условие локальной минимальности 479
1. Формула второй вариации и оператор Якоби D79). 2. Сопряжен-
Сопряженные точки D84).
Упражнения к главе 13 486
Глава 14. Многомерные вариационные задачи 488
§ 14.1. Вариационное исчисление 488
1. Введение. Вариационные производные D88). 2. Тензор энер-
энергии-импульса и законы сохранения D91).
§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 498
1. Минимальные поверхности D98). 2. Уравнения электромагнит-
электромагнитного поля E00). 3. Уравнения Эйнштейна. Функционал Гильбер-
Гильберта E04). 4. Гармонические формы и разложение Ходжа E08).
5. Функционал Дирихле и гармонические отображения E13).
6. Массивные скалярные и векторные поля E17).
Упражнения к главе 14 520
Г л а в а 15. Геометрические поля в физике 522
§15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 522
1. Принципы специальной теории относительности E22). 2. Грави-
Гравитационное поле как метрика E25). 3. Функционал действия грави-
гравитационного поля E28). 4. Метрики Шварцшильда и Керра E31).
5. Взаимодействие материи с гравитационным полем E33). 6. О по-
понятии массы в общей теории относительности E36).
§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака 539
1. Автоморфизмы матричных алгебр E39). 2. Спинорное предста-
представление группы SOC) E40). 3. Спинорное представление группы
0A, 3) E42). 4. Уравнение Дирака E45). 5. Алгебры Клиффор-
Клиффорда E48).
§ 15.3. Поля Янга—Миллса 549
1. Калибровочно инвариантные лагранжианы E49). 2. Ковариантное
дифференцирование спиноров E53). 3. Кривизна связности E55).

Оглавление
4. Уравнения Янга—Миллса E57). 5. Характеристические клас-
классы E59). 6. Инстантоны E62).
Упражнения к главе 15 566
Литература 570
Предметный указатель 573

Предисловие
Еще в конце 1960-х гг. одним из авторов этой книги была начата подготов-
подготовка к написанию серии учебных пособий, позволяющих современному молодому
математику выучить геометрию и топологию. Целый ряд задач учебно-трениро-
учебно-тренировочной ориентации уже накопился к тому времени в процессе работы учебных
семинаров. Эти задачи (преимущественно топологические) вошли в учебники
и учебные пособия ([1—3]) или были изданы в отдельном сборнике [4]. Упо-
Упомянутая программа значительно расширилась в процессе изучения учебников по
теоретической физике (особенно уникального цикла Ландау—Лифшица, где зна-
значительная часть книг, например [5], [6], пересекаются с геометрией в ее совре-
современном понимании), а также в результате взаимодействия с механиками мехмата
МГУ — особенно Л. И. Седовым и В. П. Мясниковым, — крайне заинтересован-
заинтересованными в постановке преподавания современной геометрии для нужд, в первую оче-
очередь, механики сплошных сред. Любопытно, что процесс создания современных
курсов геометрии начался не на отделении математики, а на отделении механики
мехмата МГУ в 1971 г., где эти знания были попросту необходимы для дела. Ма-
Математики согласились на это позже. В процессе чтения этих курсов были созданы
следующие ротапринтные пособия:
С.П.Новиков. Риманова геометрия и тензорный анализ. Части I, II. Рота-
принтное издание МГУ, 1972/73.
В дальнейшем эти курсы были развиты; было создано продолжение, включа-
включающее и элементы топологии:
С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Часть III. Ротапринтное издание МГУ, 1974.
После этого С. П. Новиковым была написана программа курса основ совре-
современной геометрии и топологии. Она была реализована в серии книг [1—3], со-
совместных с Б.А.Дубровиным и А.Т.Фоменко. Топологическая часть была позд-
позднее пополнена энциклопедической книгой [7], содержащей изложение основных
идей классической топологии, сложившихся к концу 1960-х — началу 1970-х гг.
Более поздние издания [8] содержат также изложение ряда новых топологических
достижений, но целый ряд глубоких новых разделов (таких, например, как совре-
современная симплектическая и контактная топология, а также новый этап топологии
4-мерных многообразий) остались не охвачены. Мы рекомендуем энциклопеди-
энциклопедическую книгу [9]. Следует со всей определенностью сказать, что даже сейчас нет
удобоваримого учебного курса, покрывающего основные достижения классиче-
классической топологии 1950—70-х гг., не говоря уже о более позднем периоде. Часть II
книги [1] и книга [2] недостаточны; другие книги порой неоправданно абстрактны,
как правило, посвящены отдельным узким темам и не дают систематического из-

Предисловие 11
ложения достижений этого периода, важнейшего в истории топологии. Отдельные
хорошо написанные книги [10—13] посвящены специальным разделам. Книга [14]
хорошо дополняет книги [1, 2], но одной этой книги явно недостаточно.
Тем не менее, из числа созданных нами, часть II книги [1] — это относительно
удачное пособие, содержащее целый спектр нужных основ дифференциальной
топологии в ее взаимодействии с физикой. Здесь можно было бы модернизи-
модернизировать, существенно технически улучшить изложение, но в целом она выполняет
свою задачу, вместе с продолжающими ее книгами [2] и [7] для более изысканного
читателя.
Что же касается части I книги [ 1 ], т. е. основ римановой геометрии, то про-
прошедшие 20 лет показали, что необходима значительная переработка в изложе-
изложении основ, пополнение более современными идеями. Оказались полезны курсы,
читавшиеся вторым автором (И. А. Таймановым) в Новосибирском университе-
университете ([15]). Мы провели совместную работу по написанию нового курса, используя
все упомянутые материалы.
По нашему убеждению, сейчас наступает период, когда широкое сообщество
математиков — геометров, аналитиков и многих других — возьмется, наконец, за
серьезное изучение того математического багажа, который создала теоретическая
физика XX в. Уже 25 лет назад было ясно, что такой момент должен наступить;
но в тот период широкое математическое сообщество еще не осознало необхо-
необходимость этого; соответствующие начинания в некоторых наших книгах типа [1]
долго оставались недостаточно потребленными в сообществе математиков. Сей-
Сейчас, по нашему мнению, положение меняется. Осознание необходимости изучить
математический аппарат физики среди математиков возросло. К тому же, по-
положение дел в самой теоретической физике таково, что весьма возможно, что
сохранить созданные ею в XX в. глубокие математические методы для будуще-
будущего человечества сможет только сообщество математиков: потеря замечательного
соединения трезвой рациональности при изучении реального мира с выдающимся
творением новой высокой математики настораживает.
Так или иначе, мы писали эту книгу для широкого сообщества математи-
математиков и физиков-теоретиков. Как и в прошлом (см. предисловия к книгам [1, 2]),
мы следуем принципам максимальной понятности и минимальной абстрактности
языка изложения. Ясное понимание деловой сути предмета должно достигать-
достигаться до того, как началась формализация: когда формализуешь что-то, надо его
уже понимать. Обосновывать еще не понятую теорию нелепо; формальный язык
разделяет, а не объединяет математику, затрудняет понимание.
Мы надеемся, что наши идеи найдут понимание в сообществе.
Авторы
Литература к предисловию
[1] Дубровин Б*А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геоме-
геометрия: Методы и приложения. Часть I. Геометрия поверхностей, групп пре-
преобразований и полей. Часть И. Геометрия и топология многообразий. 2-е
изд. М.: Наука, 1986.

12 Предисловие
[2] Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геоме-
геометрия: Методы теории гомологии. М.: Наука, 1984.
[3] Новиков СП., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии
и топологии. М.: Наука, 1987.
[4] Новиков СП., Мищенко А.С, Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т.
Задачи по геометрии: Дифференциальная геометрия и топология. М.: Изд-во
МГУ, 1978.
[5] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 3-е изд. М.: Наука, 1973.
[6] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 6-е изд. М.: Наука, 1973.
[7] Новиков СП. Топология // Топология-1. М: ВИНИТИ, 1986. (Со-
(Современные проблемы математики: Фундаментальные направления, т. 12).
С. 5—252.
[8] Novikov S.P. Topology. I. Encyclopaedia of Math. Sciences. Berlin et al.:
Springer, 1996.
[9] Динамические системы-4 / Под ред. В.И.Арнольда и С.П.Новикова. М.:
ВИНИТИ, 1985. (Современные проблемы математики: Фундаментальные
направления, т. 4.)
[10] Мил нор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
[11] Милнор Дж. Теорема об Л-кобордизме. М.: Мир, 1969.
[12] Атья М. Лекции по /(-теории. М.: Мир, 1967.
[13] McDuff D., S a la mon D. Introduction to symplectic topology. Oxford:
Clarendon Press, 1995.
[14] Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии.
М: Наука, 1989.
[15] Тайма но в И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. Москва—
Ижевск: ИКИ, 2002.

Глава 1
Декартовы пространства
и евклидова геометрия
§ 1.1. Координаты. Пространство-время
1. Декартовы координаты. Геометрия описывает события в пространстве,
состоящем из точек Р, Q, ... В этом пространстве можно ввести декартовы
координаты, если сопоставить каждой точке пространства упорядоченный на-
набор действительных чисел (лс1, ..., хп), называемых координатами точки, так,
чтобы были выполнены следующие условия:
1) каждому набору действительных чисел (х\ ..., хп) отвечает точка про-
пространства, для которой эти числа являются ее координатами;
2) соответствие между точками пространства и наборами координат взаимно
однозначно: точки с координатами (х\ ..., хп) и (#',..., уп) совпадают тогда
и только тогда, когда х1 = у1 при / = 1, ..., п.
Пространство, в котором введены декартовы координаты (х\ ..., хп)у на-
называется п-мерным декартовым пространством и обозначается через МЛ.
Число п называется размерностью простран-
пространства или числом измерений.
Физическое пространство имеет размерность
п = 3, а время — размерность п = 1. Согласно со-
современным физическим представлениям, нельзя
разделить пространство и время, и необходи-
необходимо сразу рассматривать четырехмерный про-
пространственно-временной континуум (про-
(пространство-время), точками в котором являются
мгновенные события. Это пространство четырех-
четырехмерно, и координатами в нем являются набо-
наборы (/, х\ х2, х3), где / — «момент времени», ког-
когда произошло событие, а х\ х2, хг — координаты
«места события». Классическая геометрия разво-
разворачивается в трехмерном пространстве, которое является поверхностью уровня
/ = const, а процесс жизни каждого объекта, который можно считать одноточеч-
одноточечным («точечной частицей») в любой момент времени, отождествляется с мировой
линией точечной частицы x*(t), ос= 1, 2, 3.
x(t0) x(tx)
Рис. 1.1. Мировая линия
частицы

14
Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Мы будем часто называть точками декартова пространства R" сами наборы
2. Замена координат. Если на л-мерном декартовом пространстве задана
числовая функция /(х), то она представляется как функция от п вещественных
переменных: f(x) = f(x\ ..., хп) при х = (jc1, ..., хп).
В дальнейшем мы также будем рассматривать функции, заданные не на всем
пространстве R", а только на его части — на области пространства.
Областью (без границы) или открытым множеством в пространстве Rrt
называется такая совокупность U точек в R", что если точка х лежит в (У, то все
достаточно близкие к ней точки тоже лежат в U. Точнее, U — область в R", если
для каждой точки х0 = (х10, ..., *g), лежащей в (/, существует такое е > О, что
все точки х = (х\ ..., хп), удовлетворяющие неравенствам
/=
пу
лежат в U. Любая область, содержащая точку jc, называется окрестностью
этой точки.
Рис. 1.2. Примеры областей на плоскости (треугольник, ограниченный прямыми,
внутренность параболы, ограниченная область с гладкой границей)
Множество точек V с R" называется замкнутым, если его дополнение U =
= Rn \ V, состоящее из всех точек, не лежащих в V, открыто.
Функция /, определенная на всем пространстве Rn или на области в Rny на-
называется непрерывной, если она непрерывна как функция от п вещественных
переменных, декартовых координат. Аналогично определяются непрерывно диф-
дифференцируемые (гладкие) функции.
Пример. Пусть /|, ..., fm: Rn —> R — непрерывные вещественнозначные
функции на пространстве R". Тогда совокупность U точек х, выделенных нера-
неравенствами
/,(*)< 0, ..., /„(*)< О,
является областью в R\
Докажем этот факт. Пусть Хо = (xl0> ..., jcg) лежит в U. Так как функции
/i, ..., fm непрерывны, найдутся такие положительные числа ei, ..., еда, что для
каждого / неравенства \х1 - х^\ < еу, i = 1, ..., /г, ..влекут неравенство fj(x\ ...
..., хп) < 0. Пусть е = mine;. Заметим, что множество U содержит все точки,
для которых |jc' — Xq\ < е, / = 1, ..., п. Следовательно, U является областью.

§1.1. Координаты. Пространство-время 15
Область U называется ограниченной, если найдется такое R > О, что все ее
точки удовлетворяют неравенству
Пусть U и V — области в Rrt и задано отображение F: U -* V, которое поко-
покоординатно определяется гладкими функциями
У1 = у'(х1 хя), /= 1 л
(мы обозначаем координаты в области U через х', / = 1, ..., /г, а координаты
в области V — через у'1, j = 1, ..., /г). Матрица
называется матрицей Якоби отображения F в точке х0 = (xlQy ..., jtjj) и обозна-
обозначается через (^). Определитель (или детерминант) этой матрицы называется
якобианом отображения F и обозначается через У:
'-«B)-
Точка х0 = (х10У..., Xq) называется неособой точкой для отображения /\ если
якобиан в этой точке не равен нулю.
Следующая теорема об обратной функции является одним из вариантов тео-
теоремы о неявной функции и известна из курса математического анализа.
Теорема 1.1. Бели в точке х0 = (х1Оу ..., х$) якобиан отображения F не
равен нулю, то в достаточно малой окрестности точки F(x0) = (ylQy ...
..., Уо), где у10 = у'(х1ОУ ..., jtg), координаты (х\ ..., хп) однозначно выра-
выражаются через (/',..., уп:
при этом матрица Якоби (-J-) обратного преобразования F~l будет об-
обратной к матрице
\дх)'
дх1 ду} ^,. Г1 при i = k,
dyi dxk k 10 при i ф k.
Здесь и в дальнейшем, если не оговорено противное, мы подразумеваем сум-
суммирование по повторяющимся сверху и снизу индексам (в данном случае по /').
Из этой теоремы следует, что в окрестности неособой точки функции у\ ...
..., уп задают новые координаты, которые связаны с координатами х\ ..., хп
взаимно однозначными гладкими преобразованиями
у1 = у\хх,..., хп), х1' = xl(yl, ..., у11), 1 </,/'< я.
Вообще, если существует такое отображение между областями U и V в Шпу
то мы говорим, что задана замена координат.

16
Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Простейшим примером замены координат является линейная замена
У! = а)х', 1= 1, ..., л.
Для нее матрица Якоби постоянна и равна (aj), а обратное отображение имеет
вид
х' = Ь)у*у /= 1 л,
}
На плоскости и в трехмерном пространстве определены и такие координаты,
полезные в приложениях, что функции перехода у1 = yl{x\ ...,*") нелинейны
по х}.
1. Полярные координаты г, <р на плоскости с декартовыми координатами
Х\Х2\
хх = rcoscp, х2 = rsincp,
где г > 0. Пары (г, <р) и (г, ср + 2кк) при целом k изображают одну и ту же точку,
и поэтому, чтобы сделать ср однозначной координатой, потребуем выполнения
Zi
Рис. 1.3. Полярная
система координат
Рис. 1.4. Цилиндрическая
система координат
Рис. 1.5. Сферическая
система координат
неравенства 0 < ср < 2к. Матрица Якоби отображения (г, ср) —»(х\ х2) равна
fdxl dxl\
дг dcp I _ /coscp — rsincp\
д?_ a^jysincp rcoscfI
дг дер /
и ее определитель (якобиан) равен
Якобиан равен нулю лишь при г = 0. Поэтому в области г > 0, 0 < ср < 2к, т. е.
в плоскости R2, из которой удален луч х1 ^ 0, х2 = 0, координаты г и ср опреде-
определены однозначно и не имеют особых точек.

§ 1.2. Геометрия Евклида и линейная алгебра 17
2. Цилиндрические координаты г, ср, z в R3:
где xl, х2, jc3 —декартовы координаты в М3. Якобиан замены координат (г, <р, z) —>
—> (х1, *2, jc3) равен нулю лишь при г = О, и поэтому в области г > 0 это отобра-
отображение не имеет особых точек. Как и выше, эта система координат определена
однозначно, если 0 < ср < 2к.
3. Сферические координаты г, 0, ср в R3:
хх = rcoscpsinG, х2 = rsincpsinG, xz = rcosG,
где г ^ 0, 0 < 0 < к, 0 ^ ф ^ 2к. Якобиан имеет вид J = г2 sin 0 и не обраща-
обращается в нуль в области г > 0, 0 ^ 0, л. В области г>0, О<0<к, 0<<р<2л
сферическая система координат определена однозначно и отображение перехода
(г, 0, ф) -» (jc1, jc2, л:3) не имеет особых точек.
§ 1.2. Геометрия Евклида и линейная алгебра
1. Векторные пространства и скалярные произведения. С декартовым
пространством Жп естественно связано л-мерное векторное пространство.
А именно, точке Р = (jc1, ..., хп) соответствует «радиус-вектор» ее коор-
координат— набор (х\ ...,хп) как вектор 5 в n-мерном векторном пространстве.
Мы будем обозначать точки и их радиус-векторы одними и теми же символами:
х=(х\ ...,хя).
Векторы можно складывать и умножать на вещественные числа: если $ =
Векторы e-i = @, ..., 1, ..., 0) (единица на /-м месте), где / = 1, ..., я, задают
базис векторного пространства.
Пусть подмножество L в Rn выделяется системой линейных уравнений
ajx' + ft'^O, /= 1, ..., n-k
(суммирование по повторяющимся индексам подразумевается), или
а\х] + а\х2 + ... + а\хп + Ьх = 0,
nrkxl + an2~kx2 + ... + an~kxn + б""* = 0,
и ранг ((п - k) х л) -матрицы (aj) максимален и равен n-k<n. Тогда векторы
*i — *2> где Xi и лг2—точки из L, образуют ^-мерное векторное пространство.
Поэтому L называется ^-мерной плоскостью в Мл, а при й = (п — 1) — гипер-
гиперплоскостью.
Чтобы определить длины прямолинейных отрезков в Мя, надо на я-мерном
векторном пространстве ввести симметричное положительное евклидово ска-

18 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
лярное произведение, т. е. такую вещественную функцию (?, У)) от пары векто-
векторов, что
а) (Х,?, 4- Х2?2, т)> = Х|Eь г)> + Х2(?2, г)), E, Х,т), + Х2гJ> = Х,(?, г),) + Х2(?, тJ>
при Xj, X2 6 R (билинейность);
б) E> л) = (Л* ?) (симметричность);
в) (?, 5) > 0, если $ 7^ 0 (положительность).
Декартово пространство с евклидовым скалярным произведением называется
евклидовым.
Квадрат длины вектора ? равен |?|2 = (?, ?), а i/гол ср между векторами !; и г)
задается формулой
«> &)
Корректность этого определения, а именно неравенство
-1 <coscp^ 1,
вытекает из известного неравенства
которое справедливо, так как
(Е 5) (Е п?) - (Е ьч»J=s E««4f - W > о.
ч
Если х и у — точки в Ел, то расстоянием р(х, у) между точками х и у
называется длина вектора х - у:
опРеДеленное расстояние удовлетворяет
следующим требованиям:
О р(*. У) = р(У, *);
г 2) р(х, z) < р(х, у) + р(#, г) (неравенство
Р(ж»z) треугольника)',
3) р(х, f/) ^ 0 для всех х, (/ и р(х, у) = 0
Рис. 1.6. Треугольник в точности при л: = у.
В основе этих определений длины и угла ле-
лежит теорема Пифагора. Действительно, из линейности скалярного произведения
по обоим аргументам следует, что
где ? = ?4-, Л = rfej. Матрица (gy), где gy = (eh е})> называется матрицей Грама
скалярного произведения. Если эта матрица единична:
(е- е) = I1 ПрИ / = /'
1 }0 в противном случае,

§ 1.2. Геометрия Евклида и линейная алгебра 19
то координаты в Шп называются евклидовыми, а базис еь ..., е„ — ортонорми-
рованным. В случае, когда координаты евклидовы, треугольник OPQ, образо-
образованный прямолинейными отрезками, соединяющими точки О = @, ..., 0), Р =
= (а, 0, ..., 0) и Q = @, 6, 0, ..., 0), прямоугольный. Длины его катетов ОР
и OQ равны \а\ и \Ь\. По теореме Пифагора длина стороны PQ равна у/а2 4- б2,
т. е. длине разности радиус-векторов точек Р и Q. Более общим образом, из би-
билинейности и симметричности скалярного произведения следует, что
и если 5 и г) — радиус-векторы точек Р и Q, то это тождество переходит в теорему
косинусов для треугольника OPQ.
Теорема 1.2. В каждом конечномерном векторном пространстве V
с симметричным положительным скалярным произведением существует
ортонормированный базис.
Доказательство. Выберем ненулевой вектор ?| и положим е\ = ?i/|?i |.
Обозначим через Vx одномерное подпространство, порожденное 5i, а через Vf- —
его ортогональное дополнение. Размерность пространства Vf- на единицу мень-
меньше размерности пространства 1/, оно выделяется как гиперплоскость линейным
уравнением
<t),*i> = 0.
Теперь повторим эту операцию с V^~: выберем ?2 € V\~> где ?2 # 0, положим
^2 = ^/|^2| И Т. Д.
Так как размерность пространства V конечна, за конечное число шагов мы
построим ортонормированный базис еи ..., еп. Теорема доказана.
Следствие 1.1. В каждом евклидовом пространстве существуют ев-
евклидовы координаты.
В силу этого следствия для каждого заданного п можно говорить лишь
об одном евклидовом пространстве размерности п: после выбора евклидовых
координат пространства одной и той же размерности становятся неотличи-
неотличимыми.
В дальнейшем, говоря о евклидовом пространстве, мы подразумеваем, что
координаты в нем являются евклидовыми.
Если в пространстве V уже задан какой-то базис ё\ч ..., ёпу то указанное
в доказательстве теоремы построение ортонормированного базиса можно прове-
провести канонически (эта процедура называется ортогОнализацией Грама—Шмид-
Грама—Шмидта). А именно, положим в\ = ё\/\ё\\. В подпространстве, порожденном вектора-
векторами ех и е2, дополним ех до ортогонального базиса вектором
(этот вектор ортогонален е\ по построению) и затем нормируем ?, положив е2 =
= ?/|!;|. Применяя последовательно этот прием, для каждого k построим такую
ортонормированную систему векторов ?(,...,?*, что порожденное ими линей-
линейное подпространство (их линейная оболочка) совпадает с линейной оболочкой

20 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
векторов ё|, ..., ёк. После этого положим
(е/, ek+l)eh
В итоге мы построим такой ортонормированный базис е1у ..., еп, что для ка-
каждого k линейная оболочка векторов е|, ..., е* совпадает с линейной оболочкой
векторов ё|, ..., ёк.
Эта каноническая процедура применяется для построения базисов в следую-
следующих пространствах многочленов.
Пусть р — кусочно непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [а, Ь]
и р положительна на каком-то интервале внутри этого отрезка. Возьмем про-
пространство, образованное многочленами ср, ф, ... степени не выше я, со скалярным
произведением
>Ф)р= / <?(хЩх)р(х)с1х.
J а
Функция р называется весовой. Многочлены ср и ф называются ортогональны-
ортогональными, если (ср, ф)р = 0.
Выбрав в качестве базиса семейство ё\ = х'""*1, / = 1, ..., п 4- 1, мы построим
ортонормированный базис в\, ..., еп+\ так, что для каждого / степень многочле-
многочлена в\ равна / — 1. Укажем наиболее известные примеры таких систем ортогональ-
ортогональных многочленов.
Пример 1. Пусть [а, Ь\ = [-1, 1 ] и р(х) = 1. В этом случае ек+\ (х) = Р*М,
k > 0. Многочлены
называются многочленами Лежандра:
= x, Р2(х) = 1 (Зл;2 - 1), .... ^W = ^^(^-l)*, •••
При ме р 2. Пусть опять [а, Ь] = [— 1, 1], но за весовую функцию примем
р(х) = 1/\/1 -х2. Тогда
t(x)y k^l.
Многочлены Tk(x) = cos(ftarccosjc) называются многочленами Чебышёва.
Если весовая функция р(х) определена на всей прямой и убывает настолько
быстро, что для любой пары многочленов интеграл
= Г
J —
сходится, то эта формула задает скалярное произведение на пространстве мно-
многочленов на прямой.

§1.2. Геометрия Евклида и линейная алгебра 21
Пример. Пусть р(х) = е~*2/2. Тогда
(мы полагаем k\ = 1 при k = 0), и многочлены Hk(x), однозначно определяемые
рекуррентными соотношениями
Но(х) = 1, Hk+i (х) = хНк(х) - ^ #*(*),
называются многочленами Эрмигпа.
2. Длина кривой. Перейдем теперь от линейных объектов к более сложным.
Гладкой параметризованной кривой в Шп называется линия в Мя, заданная
гладкими функциями от одномерного параметра t:
г(/) = (*¦('), •.., *"(*)).
Для простоты мы ограничимся случаями, когда параметр / принимает значения
на каком-то отрезке [а, Ь] или на всей прямой.
Касательным вектором или вектором скорости кривой в момент / назы-
называется вектор
Кривая называется регулярной, если v(t) ф 0 для любого значения /.
Длиной кривой, заметаемой при изменении значения параметра от а до 6,
называется число
= f \v(f)\dt,
J a
т. е. интеграл от длины вектора скорости.
Мы не будем вдаваться в вопросы обоснования, а примем это определение
длины за аксиому.
Если кривая является кусочно гладкой, т. е. разбивается на конечное число
последовательно пройденных гладких кривых, то ее длина определяется как сум-
сумма длин этих кривых.
Примеры. 1. Отрезок. Пусть, для простоты, а = 0, b = 1, Р = @, ...
= f\v(t)\dt=
Jo
/ f\()\ Г
J Jo
2. Окружность. Зададим окружность радиуса R уравнениями xl(t) =
= R cos t, x2(t) = R sin /, где tG [0, 2тс]. Тогда v = (-R sin /, R cos /) и длина окруж-
окружности равна
/•2* л2к
/= / \v\dt= VR2 sin2 / + R2 cos21 dt = 2tzR.
Jo Jo

22 Плава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
3. График функции. Пусть кривая на плоскости задана как график
функции х2 = /(jc1), параметризованный переменной / = х1. Тогда и = A, /') и
y/(v,v)dt= / y/l+f*dxl.
Ja
Хотя формула для длины кривой содержит параметр, значение длины не за-
зависит от параметризации.
Лемма 1.1. Пусть заданы параметр т е [а\ Ь'\ и такая гладкая функция
*(т), что ^ > О и т(а') = а, т{Ь') = Ь. Тогда длины кривых r(t) = (я1 (/),..., xn(t))
и г(т) = (хх(((т)), ..., xn(t(-z))) совпадают.
Доказательство.
«и-
Лемма доказана.
рЬ1
и
к-.
d" \ tb>
dr\ dt . _ Г
0 l/dr d
dr dt\
§ КЗ. Аффинные преобразования
1. Матричный формализм. Ориентация. Аффинное преобразование Шп —
это обратимое отображение Rn в себя, которое в декартовых координатах зада-
задается формулой
A1)
где (п х /г)-матрица А = (aj) и вектор Ь = (Ь1) не зависят от х\ ..., хп. В даль-
дальнейшем такие формулы мы будем кратко записывать как
х —> Ах + 6 или (/ = Лх + 6.
Мы уже использовали в § 1.1 следующее правило, которое, если не оговорено
противное, мы будем использовать всюду в дальнейшем:
если в какой-то формуле имеются повторяющиеся верхние и нижние
индексы, то по таким индексам подразумевается суммирование по всем
их возможным значениям.
Например, в формуле A.1) повторяется индекс /, и мы подразумеваем сум-
суммирование по всем значениям / = 1, ..., п.

§ 1.3. Аффинные преобразования 23
Каждое аффинное преобразование порождает линейное преобразование век-
векторов декартова пространства. Оно задается матрицей Л:
Ъ^АЪ или V = At
Геометрически это преобразование устроено просто. Пусть аффинное преобра-
преобразование переводит точки хх и х2 в точки х\ и х'2. Разность ?' = х\ - х'2 зависит
лишь от разности $ = Х\ — х2\ мы имеем ?' = Л?.
Любые два базиса ей •••> еп и ё\, ..., ёп декартова пространства связаны
взаимно обратными матрицами перехода
е^а\ёь ё} = а)е1у а\а^ = Ц. A.2)
Базисы называются одинаково ориентированными, если det A > 0. Очевидно,
что все базисы разбиваются на два класса так, что
1) два базиса одинаково ориентированы тогда и только тогда, когда они при-
принадлежат одному классу;
2) если базисы принадлежат разным классам и Л — матрица перехода, то
Чтобы задать ориентацию пространства R", надо выбрать один из этих двух
классов как класс положительно ориентированных базисов. Базисы из дру-
другого класса при этом называются отрицательно ориентированными.
Аффинное преобразование х —> Ах + Ь ориентированного декартова про-
пространства называется собственным, если преобразование A: (elf ..., еп) —>
—> (Ав\, ..., Аеп) переводит положительно ориентированные базисы этого про-
пространства в положительно ориентированные базисы. Очевидно, что преобразо-
преобразование собственно тогда и только тогда, когда det Л > 0.
Пусть в Rn заданы две системы декартовых координат (х1, ..., хп) и (х\ ...
..., хп). Предположим, для простоты, что они имеют общее начало координат.
Тогда координаты связаны соотношениями
Подставляя A.2) в это соотношение, получаем
х1е{ = x^alej) = х'а'ф = х'ё-,
и, следовательно,
xj = а\х1.
Аналогично показывается, что
x! = ufi. A.3)
В координатах (jc1, ..., хп) аффинное преобразование
х -> Вх = у
задается другой матрицей, которую легко найти. Радиус-вектор точки Вх разла-
разлагается по базису еи -.., еп как Вх = blkxkeb Следовательно, по базису ё\у ..., ёп
он разлагается как

24 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
и, подставляя A.3), получаем
y = (bikakmxma')eh
Так как матрицы А = (afj) и А = (й{) взаимно обратны,
Ут = а\Ъ\акт, В = АВА-1.
Окончательная формула для преобразования х -»Вх в новых координатах при-
принимает вид
х->Вх, В = АВА~].
Обычно мы будем подразумевать, что система координат задана. В этом слу-
случае мы будем отождествлять преобразования с матрицами, которые их задают.
Эти матрицы всегда квадратны и невырожденны.
Произвольные матрицы задают линейные отображения пространств, которые
могут иметь и разные размерности.
Отображение А: V —> W векторных пространств называется линейным, если
1) Л(?| 4- ?г) = AZ\ + А&2 для каждой пары векторов ?ь ?2 € У\
2) Л(Х?) = ХЛ? для любых I е V и X G R.
Если ?|, ..., еп — базис в V и ё\у ..., ёт — базис в W, то линейное отобра-
отображение однозначно задается такой матрицей а), что
АК = а>$ёь где 5 = 5'*/-
В случае, когда V =W и отображение А обратимо, мы получаем линейное пре-
преобразование.
2. Аффинная группа. Напомним, что группа — это совокупность элемен-
элементов G, для которой заданы две операции: умножение, сопоставляющее каждой
упорядоченной паре элементов g, h их произведение gh € G, и обращение, со-
сопоставляющее каждому элементу g его обратный g~l E G. При этом выделен
единичный элемент 1 G G (единица группы) и для всех элементов Д g, hGG вы-
выполняются следующие условия:
1) f(gh) = (fg)h (ассоциативность);
2)gg->=g-*g=U
3)*-l = l-g = ff.
Композицией отображений <р: X —> У и ф: K-»Zno определению называется
такое отображение
фф:Х->г,
что
ф<р(х) = ф(срМ)
для любого хеХ. Операция композиции ассоциативна:
х(фф) = (хф)ф.
Для аффинных преобразований ф: х —> Ах + с и ф: * —> Вх + d их композиция
равна
фф: x-+BAx+(Bc + d),

§ 1.3. Аффинные преобразования 25
или, подробнее,
Очевидно, что композиция аффинных преобразований обратима и верна формула
(фср)-' =ф-'ф-'.
Следовательно, композиция аффинных преобразований является аффинным пре-
преобразованием.
Теорема 1.3. Аффинные преобразования с операциями композиции и об-
обращения образуют группу, в которой единицей является тождественное
преобразование.
Группа аффинных преобразований называется аффинной группой и обозна-
обозначается через А (л).
Доказательство теоремы. Так как аффинное преобразование g:
х—> Ах + b обратимо, Ах + bф Ay + b при хфу и, следовательно, А(х — у) ф0.
Значит, матрица А обратима, и преобразование
g~l: х—> A~lx — A~lb
будет также аффинным. Теорема доказана.
Аффинные преобразования вида
+ b
называются сдвигами (или трансляциями). Каждому сдвигу х —> х + а отвечает
вектор а. Произведение сдвигов на а и b является сдвигом на а + 6, а обраще-
обращение сдвига на а — сдвигом на (-а). Отсюда мы заключаем, что сдвиги образу-
образуют группу, изоморфную группе векторов пространства по сложению. Эта группа
коммутативна, т. е. значение произведения не зависит от порядка сомножите-
сомножителей: gh = hg.
Другим примером аффинных преобразований являются линейные, т. е. зада-
задаваемые в декартовых координатах в виде
х—> Ах.
Композиция преобразований х —> Ах и х —> Вх также является линейным пре-
преобразованием
х -¦ В Ах.
Преобразование, обратное к преобразованию х -» Ах = у, имеет вид у -»
->А~1у = х.
Линейные преобразования Ея образуют (полную) линейную группу, совпа-
совпадающую с группой невырожденных (п х п)-матриц, которая обозначается через
GL(n). При п > 1 эта группа некоммутативна.

26 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Специальный класс линейных преобразований образуют растяжения (или
гомотетии), задаваемые матрицами Л, кратными единичной:
х -> Хх = у.
Легко заметить, что трансляции сохраняют расстояния между точками, а по-
потому являются еще и примерами движений.
Движение пространства Rn — это гладкое отображение ср: Rn -+ R\ сохра-
сохраняющее расстояния между точками:
\*-у\ = р(*> у) = р(фМ> <?Ш = 1<рМ - ф(#I
для любой пары точек х и у.
Теорема 1.4. Любое движение евклидова пространства является аф-
аффинным преобразованием.
Доказательство. Легко доказать, что любое движение ср переводит
прямые в прямые. Мы приведем это геометрическое рассуждение, хотя оно нам
и не понадобится при доказательстве.
Пусть jc, уу z — три последовательно лежащие точки на прямой. Построим
треугольник с вершинами ср(х), <р(у)> ср(г). Согласно неравенству треугольника
р(ф(*). <РО0) + Р(ф@). ф(*)) > р(ф(*). ф(г)). A.4)
Равенство достигается лишь в случае, когда угол при вершине <р(у) равен к, т. е.
все три вершины лежат на одной прямой (см. рис. 1.7).
Действительно, так как
р(*. У) + Р(У. ^) = р(*. 2)
и ср—движение, A.4) тоже превращается в равенство. Точка у внутри отрезка xz
выбрана произвольной. Значит, весь отрезок переходит под действием ср в отре-
отрезок, и, следовательно, прямые — в прямые.
, v Пусть ср(О) = &, где 0 = @, ..., 0). Компози-
Ыи) ция пРе°бразования ф и сдвига х —> х — Ь явля-
w ется движением
ф:*-><р(*)-&,
причем ф@) = 0. Докажем, что движение ф ли-
Рис. 1.7. Предельный случай нейно.
в неравенстве A.4) Прежде всего, заметим, что если движение а
переводит точку 0 в себя, то
(х. У) = Ш, aQ0>
для любых векторов х и у. Действительно, условие сохранения расстояния между
точками х и у записывается как
(х-уух-у} = (а(х) - а(у)Мх) -
и при у = 0 из равенства а@) = 0 мы получаем
(х, х) = (<х(*), а(х)).

§ 1.3. Аффинные преобразования 27
В общем случае мы имеем
(х-у,х-у) = (х9 х) - 2(ху у) + {у, у) =
= <а(х), а(х)) - 2<а(х),
откуда следует, что (*, #) = (<х(х), а(
Пусть хи ..., хп — точки с радиус-векторами ех = A, 0, ..., 0), ..., еп =
= @, ..., 0, 1). Через et обозначим радиус-вектор точки ф(л:,). Так как ф—дви-
ф—движение и ф@) = 0, мы имеем
{ей et) = {eh ei) = I,
{eh ej) = {eh ef) = 0 при 1ф\.
Следовательно, векторы ё\,..., ёп образуют ортонормированный базис.
Обозначим через А матрицу, задающую линейное преобразование, которое
переводит et в eh Так как это преобразование переводит один ортонормированный
базис в другой, оно задает движение х: х -¦ Ах. Композиция хф, очевидно, тоже
является движением, и
хф@) = 0, ХФ(*/) = е-
Разложим векторы х и хФ(^) по базису еь ..., еп:
Так как
мы имеем
для любого вектора х. Значит, движение хф тождественно и, следовательно, пре-
преобразование ф линейно:
ф: х-+ А~хх.
Отсюда следует, что и преобразование ср линейно:
Теорема доказана.
Легко заметить, что движения пространства Шп образуют группу, которая обо-
обозначается через Е(я).
Напомним, что подгруппой F группы G называется совокупность элементов
из G, замкнутая относительно операций умножения и обращения. В этом случае
она сама является группой относительно этих операций. Группы сдвигов, линей-
линейных преобразований и движений являются подгруппами аффинной группы А(п)
и обозначаются через Rn, GL(/z) и Е(п) соответственно.
Отображение ср группы G в группу Н
ср: G —Я

28 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
называется гомоморфизмом групп, если оно сохраняет операции: y(ab) =
= ф(а)срF) и (р(а~1) = (ф(а)). Очевидно, оно должно переводить единицу в еди-
единицу: фA0) = ф(а)ср(а-1) = \н.
Элементы из G, которые при гомоморфизме ф переходят в 1/у, образуют под-
подгруппу Кегф, называемую ядром гомоморфизма.
Если для подгруппы F с G существует такой гомоморфизм (р: С-^Яв не-
некоторую группу Я, что Кегф = F, то подгруппа F называется нормальной (или
нормальным делителем). Если при этом гомоморфизм ф отображает группу G
на всю группу Я, то Я называется факторгруппой группы G по подгруппе F:
Я = G/F. Очевидно, что любой нормальной подгруппе F отвечает факторгруппа
/
Если для гомоморфизма ф: G —> Я существует такой гомоморфизм ф: Я —>
—> G, что отображения ср^'ср: G->C и фф'1: Н —> Н тождественны, то гомо-
гомоморфизм ф называется изоморфизмом, а про группы G и Я говорят, что они
изоморфны.
Простейшей нормальной подгруппой группы GL(n) является специальная
линейная группа SL(az), образованная (п х я)-матрицами с определителем, рав-
равным 1. Подгруппа SL(n) является ядром гомоморфизма, сопоставляющего ма-
матрице из GL(n) ее определитель:
det: GL(rt)->R*,
где М* — группа ненулевых вещественных чисел по умножению. Группы GL(ri) и
также обозначаются через GL(n, Ш) и SL(n, R) соответственно.
Теорема 1.5. Отображение, сопоставляющее каждому аффинному пре-
преобразованию
х-^Ах + Ь
линейное преобразование
х->Аху
является гомоморфизмом аффинной группы G = А(п) на группу линейных
преобразований Н = GL(n). Ядро этого гомоморфизма совпадает с груп-
группой сдвигов пространства R\
Доказательство. Композиция преобразований х ^> А\Х + Ь\ их—>
—> А2х + &2 равна преобразованию х -+ А%А\Х + (А2Ь\ + Ь2) и, следовательно,
отображается в линейное преобразование х—^А2А\Х. Обращение преобразова-
преобразования х —> Ах 4- ft есть преобразование
Оно отображается в линейное преобразование
Следовательно, это отображение аффинной группы в группу линейных преобра-
преобразований является гомоморфизмом групп. Очевидно, что ядро этого гомоморфизма
состоит в точности из сдвигов. Теорема доказана.

§ 1.3. Аффинные преобразования 29
Следствие 1.2. Группа сдвигов пространства Шп является нормальным
делителем аффинной группы А(п). Тем самым, она является нормальным
делителем группы движений Е(п).
3. Движения евклидовых пространств. Согласно теореме 1.4 каждое дви-
движение пространства Шп является аффинным преобразованием. Ограничим го-
гомоморфизм из теоремы 1.5 на группу движений. Образ группы движений при
этом — это группа ортогональных преобразований.
Условия ортогональности выписываются алгебраически. Выберем евклидовы
координаты. Тогда преобразование л: —> Ах + b является движением простран-
пространства R", если и только если
(At,
для всех векторов ?. Действительно, расстояние между точками Х\ и х2 равно
длине вектора ? = Х\ — х2, а расстояние между образами точек Х\ и х2 равно
длине вектора Л$. Поэтому расстояние между Х\ и х2 сохраняется при аффин-
аффинном преобразовании тогда и только тогда, когда |Л?| = |?|. Это эквивалет^
тому, что
Распишем это равенство в матричном виде как
1ТАТА1 = 1Х
где ? — вектор, записанный в виде столбца, и Т означает транспонирование
(в частности, (aT)j = а\). Так как оно выполняется для всех ?, мы получаем
АТА = 1 A.5)
где 1 —единичная (п х м)-матрица.
Квадратная матрица Л, удовлетворяющая уравнению A.5), называется орто-
ортогональной. Ортогональные (п х п) -матрицы образуют ортогональную груп-
группу О(п). Так как dety4T = detЛ, из равенства A.5) следует, что detЛ = ±1 при
A G О(п). Матрицы из О(п) с определителем, равным 1, образуют подгруппу
ортогональных преобразований, сохраняющих ориентацию. Эта подгруппа обо-
обозначается через SO(/z).
Мы доказали следующее утверждение.
Лемма 1.2. Аффинное преобразование, записанное в евклидовых коор-
координатах как
х-* Ах + Ь,
является движением, если и только если матрица А ортогональна.
Предположим, что задано семейство ортогональных матриц В(/), гладко за-
зависящих от параметра /.
Теорема 1.6. Справедливо соотношение
где A(f) —кососимметрическая матрица, зависящая от t.

30 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Доказательство. Пусть В@) = Во. Разложим матрицу B(t) в ряд Тей-
Тейлора в точке / = 0:
Подставив это разложение в формулу A.5), получим
И R
следовательно, Ат + А = 0, т. е. матрица А = -т? В кососимметрична. Теорема
доказана.
Рассмотрим движения двух- и трехмерных евклидовых пространств подроб-
подробнее. Будем считать координаты евклидовыми.
Пусть п = 2.
Условие ортогональности матрицы А = ( , ] принимает вид
Решения этой системы распадаются на два класса:
(coscp sincp\ /I 0\ / coscp sincp\
-sincp соэфу И \^0 -1у у^-втф coscpy'
Первый класс состоит из вращений (на угол (р) вокруг начала координат.
Лемма 1.3. Линейное преобразование х--* Ах при
( C0S<P ^
0 -\) y^-sincp coscpy
является отражением относительно прямой и в подходящих евклидовых
координатах имеет вид
ш
Доказательство. При coscp = 1 это преобразование есть отражение
относительно прямой х2 = 0, при coscp = -1 —отражение относительно пря-
прямой хх = 0.
Пусть coscp ф±\. Уравнение det(v4 — X • 1) = 0 имеет корни X = ±1, и легко
построить базис из взаимно ортогональных собственных векторов:
ё\ = (sin ср, 1 — coscp), ё2 = (sincp, —(I + coscp)),
Аё\ =в|, А ёч = —ёг.
Значит, А есть отражение относительно прямой {te{: / е R}. Лемма доказана.
Поэтому если ортогональное преобразование плоскости собственное, т.е.
det А = 1, то оно является вращением, а если несобственное, то отражением от-
относительно прямой.

§ 1.3. Аффинные преобразования 31
Классификация движений плоскости дается следующей теоремой.
Теорема 1.7. 1. Любое собственное движение плоскости есть либо вра-
вращение вокруг неподвижной точки, либо сдвиг,
2. Любое несобственное движение плоскости R2 есть скользящее от-
отражение, т е. композиция отражения относительно некоторой прямой
и сдвига вдоль этой прямой.
Доказательство. Пусть detА = 1. Если матрица А равна единичной:
А = 1, то движение есть сдвиг. В противном случае, когда
A=( C0S(P ""'П, coscp#l,
уравнение
Ax + b = x
разрешимо, так как матрица A — А) обратима, и решение х0 имеет вид х0 =
= A — А)~ХЬ. Сдвинув начало координат в точку Хо, получим, что в новых ко-
координатах движение задается как х^> Ах и, следовательно, является вращением
вокруг точки х0.
Пусть det Л = — 1. Используя лемму 1.3, представим движение как
Перенеся начало координат в точку @, -^-), в новых координатах хх = х\ х2 =
Ь2
Ь
= х2 — -^ приведем движение к виду
откуда следует, что оно является скользящим отражением. Теорема доказана.
Пусть п = 3.
Лемма 1.4. Каждое линейное преобразование пространства Е3 имеет
ненулевой собственный вектор, т. е. такой вектор !;, что
Доказательство. Собственный вектор ? является решением уравнения
(А - X • 1)? = 0. Это уравнение имеет ненулевые решения в точности тогда, ко-
когда det(/l - X • 1) = 0. Так как степень многочлена р(Х) = det(A - X • 1) нечетна,
он имеет вещественный корень Хо. Теперь мы возьмем в качестве $ ненулевое
решение уравнения
(Л-Хо-1M = 0.
Лемма доказана.
Пусть $ — собственный вектор ортогонального преобразования х —> Ах, тогда
X = ±1, так как длина вектора 2; сохраняется:

32 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Если (?, г)) = 0, то (Л?, Лу)> = (?, г)> = 0, но (Л?, Аг\) = ±(?, Лг)), и поэтому
(?, Лу)) = 0. Следовательно, преобразование Л переводит плоскость (?, г)) = 0,
ортогональную вектору !;, в себя.
Выберем новый ортонормированный базис так, что е\ = ?/|?|, а векторы е2 и е3
ортогональны ?. В соответствующих евклидовых координатах преобразование
примет вид
0 А')х%
где преобразование плоскости х' —> А'х1 тоже ортогонально.
Из классификации ортогональных преобразований плоскости следует, что
А1 есть либо вращение вокруг начала координат, либо отражение относитель-
относительно прямой.
Отсюда получаем два утверждения.
1. Если det Л = 1, то матрица Л приводится к виду
f\ 0 0 \
0 coscp sincp I или
-sincp coscp/
В первом случае это вращение на угол ср вокруг оси х\ а во втором — на угол к
вокруг оси х2.
2. Если det Л = —1, то матрица Л приводится к виду
-I 0 0 \
0 coscp sincp I или
0 -sincp coscp/
В первом случае это зеркальное вращение, т. е. композиция вращения (на угол ср)
вокруг оси (в данном случае оси х1) и отражения относительно плоскости, орто-
ортогональной этой оси. Второй случай также является зеркальным вращением — во-
вокруг оси х3 на угол ср = 0.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Лемма 1.5. 1. Если ортогональное преобразование х-*Ах простран-
пространства R3 собственное (det Л =1), то оно является вращением вокруг неко-
некоторой оси на некоторый угол.
2. Если ортогональное преобразование пространства R3 несобствен-
несобственное (det Л = — 1), то оно является зеркальным вращением.
Перейдем теперь к общим движениям пространства М3. Из предыдущей лем-
леммы следует, что собственное движение приводится к виду
Из классификации движений в плоскости следует, что если coscp = 1, то дви-
движение является сдвигом; если же coscp ^ 1, то в плоскости х1 = 0 существует

§1.4. Кривые в евклидовом пространстве 33
неподвижная точка отображения
coscp sincp
-sincp coscp
incp\/*2\ /V\
oscpj \x*J + \bPJ '
Сдвинув в нее начало координат, приведем движение пространства R3 к виду
'10 0
0 СОБф БШф
^0 -БШф СОЭф
Такие движения называются винтовыми и включают, как частные случаи, сдвиги
(при ф = 0) и вращения вокруг оси (при b = 0).
Применим аналогичные рассуждения к несобственному движению, которое
в общем случае приводится к виду
<-1 0 0
0 СОБф SlUCf
0 -БШф СОБф
При соэф= 1 оно будет скользящим отражением — композицией отражения
относительно плоскости х] =Ьх/2 и сдвига в направлении, параллельном этой
плоскости. При со8ф^ 1 (сдвигая, если надо, начало координат) приведем это
движение к виду
Сдвигая еще раз начало координат в точку (Ь'/2, 0, 0), получим, что любое не-
несобственное движение пространства R3 приводится к виду
-1
0 ~
т. е. является зеркальным вращением.
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 1.8. Собственное движение пространства R3 является винто-
винтовым движением, а несобственное—зеркальным вращением или скользящим
отражением.
§ 1.4. Кривые в евклидовом пространстве
1. Натуральный параметр и кривизна кривой. Гладкие параметризованные
кривые в R* уже были определены как гладкие отображения отрезков или пря-
прямой в R". В дальнейшем мы будем отождествлять параметризованные кривые,
получающиеся прохождением одной и той же линии с разными скоростями.
2-1168

34 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Пусть Г|(/) и г2(т) — гладкие параметризованные кривые и существует такая
функция т(/), что Г|(/) = г2(т(/)) для всех /. Предполагается, что di/dt > 0 и x(f)
при изменении / принимает все возможные значения т. В этом случае мы будем
говорить об г,(/) и г2(т) как об одной и той же кривой с различными параметра-
параметрами t и т.
Параметр / на кривой гA) называется натуральным, если длина участка
кривой, отвечающего изменению / от /' до /", равна /" - /' для любой пары /' и /":
w"
Г
dl I
Из этой формулы следует, что
Лемма 1.6. На каждой регулярной кривой существует натуральный
параметр.
Доказательство. Пусть r(f) — такая параметризация кривой, что
dr/dt ф О всюду. Параметр / = l(t) является натуральным тогда и только тогда,
когда
\dl\ \dt\ dl~\dt\/ dt~
Поэтому определим / = /(/) как решение дифференциального уравнения
dl_\dr\
dt \dtV
Так как правая часть этого уравнения — гладкая функция, решение существует
и единственно с точностью до прибавления постоянной, dl/dt > 0 и \dr/dl\ = 1.
Лемма доказана.
Важное свойство натурального параметра описывается следующей леммой.
Лемма 1.7. Вектор ускорения d2r/dl2 натурально параметризованной
кривой всюду ортогонален вектору скорости v = dr/dl:
dl2 dV
Доказательство состоит в простой выкладке:
±/d? rfr
dl\dr dl
так как
= 1, и, следовательно,
d/dr dr\ 9/d2r ^/г\_п
Лемма доказана.

§ 1.4. Кривые в евклидовом пространстве
35
Длина вектора ускорения (по отношению к натуральному параметру на кри-
кривой) называется кривизной кривой:
dl2V
а величина, обратная ей, — радиусом кривизны:
1
Рассмотрим подробнее кривые в R2 и R3.
2. Кривые на плоскости. Выберем ориентацию плоскости R2 и каждой точ-
точке натурально параметризованной кривой гA) сопоставим ортонормированный
базис (у, п) по следующему правилу:
1) v = dr/dl\
2) базис (у, п) положительно ориентирован.
Этот базис векторов в R2 называется базисом (репером) Френе. Вектор п на-
называется нормалью к кривой.
Из леммы 1.7 следует, что
d2r L
где \k\ есть кривизна, определенная ранее. Тем самым, кривизна k плоской кри-
кривой приобрела знак.
Пример. Пусть (#(/) = /?cos(///?), y(l) = Rs\n(l/R)) — натурально пара-
параметризованная окружность радиуса /?. Тогда
d2r
/
и, следовательно, кривизна окружности всюду посто-
постоянна и равна 1//?, где R — радиус окружности.
Для прямой вектор скорости постоянен, и поэтому рис j 3 Базис Френе
кривизна прямой всюду равна нулю. на плоскости
Деформация реперов Френе описывается уравне-
уравнениями Френе.
Теорема 1.9. Для гладкой регулярной плоской кривой гA) выполняются
уравнения Френе
d
Доказательство. Так как скалярные произведения векторов v и п по-
постоянны: (и, v) = (п, п) = 1, (у, п) = 0, справедливы соотношения
?(

36 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Но векторы v и п образуют ортонормированный базис. Поэтому из первых двух
равенств следует, что
dv dn o
а из третьего вытекает, что
(а/г, п) + (у, ра) = а + р = 0.
По определению а = ky и, значит, р = —&. Теорема доказана.
Имеет место взаимно однозначное соответствие между гладкими функциями
кривизны и кривыми, взятыми с точностью до собственных движений.
Теорема 1.10. I. Для каждой достаточно гладкой функции k: [0, /] —> R
существует гладкая натурально параметризованная кривая г: [0, /] —» R2,
кривизна которой равна k(l). Эта кривая находится из уравнений Френе.
2. Если кривизны натурально параметризованных плоских кривых Г\ (/)
и г2A) совпадают, то существует собственное движение ср: R2 -»R2, сов-
совмещающее эти кривые: г2A) = ср(Г|(/)).
Доказательство.
1. Выберем ортонормированный положительно ориентированный базис в\, е2
и рассмотрим решение уравнений Френе с начальными условиями v@) = в\%
п@) = е2. Такое решение существует и единственно, так как уравнения Фре-
Френе— это обыкновенное дифференциальное уравнение в R4 = R2 ф R2.
Скалярные произведения векторов v(l) и п{1) при этом удовлетворяют другой
системе уравнений
d(vtv) Л,у v din, п) OL/ ч d(v, п) ,. ч ,, ч
-^-^ = 2k(v, n), dl = "~2^^' n)> dl = ^ ^ ~ ^ ^'
Решение этой системы с начальными данными {vy v) = (л, п) = 1, (v, n) = 0 един-
единственно. Легко заметить, что это решение постоянно, и поэтому при любом /
векторы v(l) и пA) составляют ортонормированный базис в R2.
Определим кривую по формуле
/•(/)= / v(t)dt.
Jo
По построению \v(l)\ = 1, и, следовательно, параметр / натуральный, v — вектор
скорости и (у, п) — репер Френе.
Так как dv/dl = kn, мы видим, что k(l) —кривизна плоской кривой гA).
2. Пусть (у,-, я,) — репер Френе кривой rh /=1,2. Для определенности можно
считать, что 0 ^ / < L Определим ср как композицию сдвига на а = г2@) - Г\@)
и линейного преобразования Л, переводящего (tfi@), nt@)) в (v2@)> n2@)):
<р(х) = А(х) + а.
Репер Френе кривой ср(Г|) имеет вид (Avlf Anx). Он удовлетворяет уравнению
±(Avx\_( 0 k\ (Avx\
dl\An{)~ \-k OJ \Апг)9

§ 1.4. Кривые в евклидовом пространстве 37
как и репер (i/2, п2), и при / = О эти два репера совпадают. Так как решение
уравнений Френе с заданными начальными условиями единственно, всюду вы-
выполняются равенства Av\ = v2i Ari\ = п2.
Из выбора сдвига вытекает, что
[
Jo
Теорема доказана.
Для плоских кривых уравнения Френе просто интегрируются. Пусть ос(/) =
= J k(t) dt. Тогда для кривой
г(/) = (j cos сс(О dty / sin a@ dt\
кривизна задается функцией k. Для кривых в R3 уравнения Френе не интегриру-
интегрируются явно.
3. Кривизна и кручение кривых в R3. Если евклидово пространство R3 ори-
ориентировано, то на пространстве векторов задана дополнительная операция—век-
операция—векторное произведение. В евклидовых координатах оно имеет вид
(е\ е2 ez\
V I2 lz , т. е. [ех, е2] = еЪу [еъ еъ] = ех, \еъ, ех ] = е2у
I,- г,2 W
где ортонормированный базис (е\у е2, е3) положительно ориентирован, 5 = 5^,
г) = т/е, и определитель вычисляется по формальным алгебраическим пра-
правилам:
К. 1] =
Это произведение линейно по обоим сомножителям:
Ы2, г)] = XiRi, г]] + Х2[?2, л!»
+ Х2уJ] = XiR, г),] + X2R, тJ]
при X|, X2 G R и антикоммутативно:
Также легко проверить, что Рис 1.9. Векторное
произведение
>(?>2
Эти уравнения определяют R, г)] с точностью до знака. Действительно, если век-
векторы 5 и т) пропорциональны друг другу, то из антикоммутативности следует, что
R, т)] = 0. В противном случае |R, r\]\ Ф 0, вектор R, г)] ортогонален $ и у) и нам
задана его длина. Знак выбирается теперь так, что (?, г), R, г)]) — положительно
ориентированный базис R3.

38 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
В дополнение к указанному выше векторное произведение удовлетворяет дру-
другому важному тождеству, называемому тождеством Якоби:
для всех ?, г), х- Чтобы его доказать, достаточно, используя линейность и анти-
антикоммутативность, свести все к случаю 2; = еь г) = е2, X = е*- Но он очевиден, так
как
[в|,в2] = вз, [вг, ^з] = ^1» [?з>?|]=?2*
В дальнейшем, если не оговорено противное, мы всегда будем считать про-
пространство R" ориентированным так, что базис (в|,..., еп) положительно ориен-
ориентирован.
Векторное пространство, снабженное билинейной антикоммутативной опера-
операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Векторное
произведение в R3 дает первый пример алгебры Ли.
Чтобы построить репер Френе для кривой в R3, недостаточно регулярности
кривой. Надо требовать, чтобы кривая гA) была бирегулярной, т. е. чтобы ее
вектор ускорения всюду был отличен от
\Ь I нуля.
Тогда репер Френе (v, n, b) задается как
Вектор п называется главной нормалью
к кривой, а вектор b — бинормалью.
По определению
Рис. 1.10. Базис Френе для -тт = kn и k > 0.
кривой в R3
Репер Френе ортонормирован и положи-
положительно ориентирован. Величина k называется кривизной кривой в R3. Она может
принимать нулевые значения и поэтому определена не только для бирегулярных
кривых. Ее физический смысл прост: если рассматривать кривую как траекторию
точечной частицы и за время взять натуральный параметр, то кривизна равна мо-
модулю вектора ускорения. Обратная величина R = т называется радиусом кри-
кривизны кривой. Деформация реперов Френе описывается уравнениями Френе
для кривой в R3.
Теорема 1.11. Репер Френе бирегулярной кривой в R3 удовлетворяет
уравнениям Френе для пространственной кривой
A.6)
Доказательство. Опять, как и при доказательстве теоремы 1.9, заме-
заметим, что (у(/), л(/), &(/)) — ортонормированный базис при каждом /. В частности,

§ 1.4. Кривые в евклидовом пространстве
39
сохраняются длины векторов, и поэтому производная каждого из этих векторов
ортогональна ему:
О а,2
= | 021 0 а23 J I n
а32 0 ) \Ь>
Осталось заметить, что
-^- = а,2 + 021 = 0,
Л
= а23 + а32 = 0,
v, Ь) л
Ш- = а,3 + а3, = 0.
По определению кривизны мы имеем а!2 = k и aj3 = 0. Полагая х = а23, мы при-
приходим к уравнениям A.6). Теорема доказана.
В действительности мы переизложили доказательство теоремы 1.6 при /2 = 3.
А именно, пусть ВA) — однопараметрическое семейство ортогональных матриц,
задающих такое преобразование, что B(l)ex = v(l), B(l)e2 = я(/), В(/)е3 = &(/), где
(в|, е2, е3)— фиксированный ортонормированный положительно ориентирован-
ориентированный базис. По теореме 1.6 мы получаем
где матрица А кососимметрична и по ее построению
= А
Величина х, входящая в уравнения Френе, называ-
называется кручением кривой.
Имеет место следующий аналог теоремы 1.10.
Рис. 1.11. Спираль
с базисом Френе
Теорема 1.12. 1. Пусть k и х — пара гладких функций на отрезке [О, L],
причем k>0 всюду. Тогда существует гладкая натурально параметри-
параметризованная кривая г: [О, L] —> R3, у которой кривизна равна k(l) и кручение
равно х(/). Она находится из уравнений Френе.
2. Если кривизны и кручения натурально параметризованных кривых
Г\A) и г2(/) в R3 совпадают, то существует такое собственное движение
ср: R3 —> R3, что оно переводит одну из кривых в другую: ф(Г|(/)) = г2(/).
Так как доказательство теоремы 1.12 совершенно аналогично доказательству
теоремы 1.10, мы его опустим.
Если мы рассмотрим кривую, полностью лежащую в плоскости R2 С R3, то
бинормаль к этой кривой будет совпадать с нормалью к плоскости и, значит,
будет постоянна. Из уравнений Френе следует, что в этом случае х = 0.
Обратное тоже верно. Если кручение х кривой гA) равно нулю, то согласно
теореме 1.12 по функции k можно построить плоскую кривую г(/), для которой
k будет кривизной. Так как для кривых г{1) и f (/) кривизны и кручения совпадают,
они совмещаются собственным движением R3. Следовательно, гA) лежит в плос-
плоскости.

40 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
Уравнения & = &(/), х = х(/), где k и х— кривизна и кручение, взятые как
функции от натурального параметра /, называются натуральными уравнения-
уравнениями кривой и согласно предыдущей теореме определяют кривую однозначно с точ-
точностью до движений пространства.
Упражнения к главе 1
1. Докажите, что матрица Якоби композиции двух гладких отображений fog
является произведением матриц Якоби fug.
2. Докажите, что ранг матрицы Якоби не зависит от выбора локальных коор-
координат.
3. Выпишите операторы Лапласа на плоскости:
дх* + ду2
и в трехмерном пространстве:
дх2 + ду2 + дг2
в полярных, сферических и цилиндрических координатах.
4. Найдите функции г= г(ср), которые задают прямые в полярных координа-
координатах.
5. Покажите, что длина гладкой кривой равна пределу длин ломаных, кото-
которые состоят из отрезков, соединяющих последовательно конечное число точек на
кривой, при стремлении максимальной длины отрезков к нулю.
6. Докажите следующую формулу для кривизны плоской кривой r(t) (пара-
(параметр / произвольный):
7. Пусть луч ОА вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со.
Составьте уравнение траектории точки Р, которая
а) равномерно движется по лучу (спираль Архимеда);
б) движется по лучу от точки О со скоростью, пропорциональной расстоя-
расстоянию \ОР\ (логарифмическая спираль).
Вычислите кривизны полученных кривых.
8. Докажите, что длины отрезков касательных к кривой х2^ 4- у2^ъ = а2/3, за-
заключенных между осями евклидовых координат, равны а.
9. Докажите, что отрезок касательной к кривой
/а1 — хг
заключенный между осью Оу и точкой касания, равен а.
10. Пусть круг радиуса а катится по прямой без скольжения. Составьте урав-
уравнение траектории точки, жестко связанной с кругом и находящейся на расстоя-
расстоянии d от его центра. Вычислите кривизны полученных кривых.

Упражнения к главе 1 41
11. Пусть окружность радиуса г катится без скольжения по окружности ради-
радиуса /?, оставаясь вне ее. Составьте уравнение траектории точки катящейся окруж-
окружности и вычислите ее кривизну.
х2 и2
12. Найдите кривизну эллипса -^ + ^ = 1 в вершинах.
а Ь
13. Найдите кривизну кривой, заданной уравнением F(x, у) = 0.
14. Найдите кривизну кривой, удовлетворяющей дифференциальному уравне-
уравнению Р(х, у) dx + Q(xy у) dy = 0.
15. Пусть кривая расположена на сфере и пересекает все меридианы под за-
заданным углом (локсодрома). Составьте ее уравнение, вычислите кривизну и кру-
кручение.
16. Докажите, что если все нормальные плоскости к кривой в R3 содержат
фиксированный вектор ?, то кривая лежит на плоскости.
17. Докажите, что если все нормальные плоскости к кривой проходят через
фиксированную точку Р, то кривая лежит на сфере с центром в этой точке.
18. Докажите, что кривая постоянной нулевой кривизны k(l) = 0 является
прямой линией.
19. Докажите, что кривая с постоянным кручением х(/) = 0 лежит на плоско-
плоскости, и найдите эту плоскость.
20. Смешанное произведение трех векторов в R3 определяется форму-
формулой (и, vy w) = ([и, v]y w)y т.е. как скалярное произведение векторов [и, v] и w.
Докажите, что кривая r(f) плоская тогда и только тогда, когда смешанное про-
произведение векторов г, г и Т равно нулю:
(г, г, 7) = 0.
21. Докажите, что кручение кривой r(t) в R3 равно
22. Обозначим через S площадь между плоской кривой и ее секущей на рас-
расстоянии Л от касательной (и параллельной касательной). Выразите
S2
lim -j
через кривизну кривой.
23. Докажите, что для гладкой замкнутой кривой г = r(f) в R3 выполняется
равенство
24. Решите уравнение г1 = [со, г], со = const.
25. Докажите, что кривая лежит на сфере радиуса г в точности тогда, когда
выполняется соотношение
(здесь производная берется по отношению к натуральному параметру).

42 Глава 1. Декартовы пространства и евклидова геометрия
26. Докажите, что если кривая лежит на сфере и ее кривизна постоянна, то
это — окружность.
27. Сопоставим гладкой кривой г — гA) кривую я(/), образованную концами
вектора нормали. Пусть /* — натуральный параметр на этой кривой. Докажите,
что
f

Глава 2
Симплектические и псевдоевклидовы
пространства
§2.1. Геометрические структуры в линейных пространствах
1. Псевдоевклидовы и симплектические пространства. Различные при-
приложения требуют использования не только евклидова скалярного произведения.
Скалярным произведением на конечномерном векторном пространстве V
называется функция (?, г\) от пары векторов ?, у) ? I/, удовлетворяющая следую-
следующему условию билинейности:
(Ы\ +Х2?2, г)) = Х,E,, Г)) + Х2(?2, г)>>
(г), Х,?, + Х2?2) =Х,(г), ?,) + Х2(г), ?2>
для всех Хь Х2 G R и $|, $2, г) G V. Это произведение называется невырожден-
невырожденным, если для каждого вектора <?фО существует такой вектор т), что (?, у)) ^ 0.
Если в|, ..., еп — базис в V, то из билинейности следует, что
ц
где $ = ?'?/, г) = у/^у. Поэтому произведение задается матрицей Грама G = (&у), где
Лемма 2.1. Скалярное произведение невырожденно тогда и только то-
тогда, когда det G ф 0.
Доказательство. Скалярное произведение вырожденно, если суще-
существует такой ненулевой вектор ?, что (?, r\) = ^'r/g/y = 0 для всех г). В этом случае
gift = 0 для любого /. Этот набор равенств переписывается как матричное урав-
уравнение, которое имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det 6 = 0.
Лемма доказана.
Среди невырожденных произведений особый интерес представляют псевдо-
псевдоевклидовы и симплектические:
а) невырожденное произведение называется псевдоевклидовым, если оно
симметрично:
E. Л> = (Л» 5> Для всех 5, Л € К,
но не положительно определено;

44
Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
б) невырожденное произведение называется симплектическим, если оно ко-
сосимметрично:
E, г)) = -(г), ?) для всех Z,r)€V.
Симметричные скалярные произведения также называются квадратичными
формами. В линейной алгебре и теории чисел под квадратичными формами так-
также понимают функции вида q(x) = (лг, х)> где (?, г\) —симметричное скалярное
произведение.
Симметричные и кососимметричные скалярные произведения приводятся
в специальных базисах к каноническому виду.
Теорема 2.1. 1. Если (•, •) — симметричное скалярное произведение на V,
то существует такой базис ей ...,еп в V, что
B.1)
1 яри/ = /, 1 <*
(eh ej)= { -1 при i = j%p+
О в остальных случаях.
2. Если (•, •) — кососимметричное скалярное произведение на V, то су-
существует такой базис еХу ..., еп в V, что
B.2)
1 (в/, ej) = О в остальных случаях.
Замечание. В базисе B.2) матрица Грама принимает вид
/01 0\
-1 0
О 1
-1 О
0
0
Для симплектического случая введем новый базис ёи • • •, ё2р, где dim V = 2р, по
формулам
<?,=ё|, е2 = ёр+и .... <?2/-1=ё,, ещ = ёр+1, /=1,...,р. B.3)
Этот базис называется симплектическим, и в нем матрица Грама приобретает
вид
где 1 — это единичная р х р-матрица.
Доказательство теоремы. 1. Если
1? V, то
г)) = E,
5, г))
= 0 для всех векторов
= 0,

§2.1. Геометрические структуры в линейных пространствах 45
что вместе с условием (?,!;) = (г), г)) = 0 влечет равенство (?, т)) = 0. Значит,
форма (?, г)) тождественно нулевая, р = q = 0, и базис в\, ..., еа можно выбрать
любым.
Если (?, ?) ^ 0 для какого-то вектора ?, то положим ?i = ?/\/|(?, ?)| и обо-
обозначим через V\ одномерное подпространство, порожденное в\, а через К,х —его
ортогональное дополнение. Так как 1/,х выделяется нетривиальным уравнением
(?,*) = 0 при *? К;1,
мы получаем, что Vх— гиперплоскость в V. Ограничим (•, •) на К,х и повторим
те же самые рассуждения. За конечное число шагов мы построим искомый базис
?i, ег, ..., ел (с точностью до перестановки векторов). Первый пункт доказан.
2. Если (?, т)) = 0 для любой пары векторов ?, yj, то форма (•, •) тождественно
нулевая и базис еь ..., еп можно выбрать любым.
В противном случае возьмем такие ? и у), что E, г)) ^ 0. Положим
Обозначим через К| подпространство, порожденное ех и е2, а через Vf — его
ортогональное дополнение. Пара линейно независимых уравнений
<5, х) = (г), л:) = 0
выделяет Vх, и поэтому подпространство Vх имеет коразмерность два в I/, т.е.
dim V - dim Kx = 2.
Ограничим (•, •) на Vх и повторим эти же рассуждения. За конечное число
шагов мы построим систему векторов в\9 ..., е2р и ортогональное дополнение
к ним — подпространство Ц>, на котором форма тождественно нулевая.
Дополним систему в\% ..., е2р до базиса в К произвольным базисом в Vo.
В итоге мы получим искомый базис. Теорема доказана.
Если форма симметрична, то набор чисел (р, qy n — (p + q)) инвариантен — он
зависит только от формы, а не от выбора базиса е{, ..., еп, в котором матрица
Грама диагональна. Сумма р + q называется рангом квадратичной формы, а раз-
разность р — q — ее сигнатурой.
В случае, когда р + q = п и р > 0, q > 0, мы получаем псевдоевклидово ска-
скалярное произведение. Декартово пространство с таким произведением называ-
называется псевдоевклидовым и обозначается Rp<7. Координаты, в которых скалярное
произведение имеет вид B.1), называются псевдоевклидовыми.
Декартово пространство с симплектическим произведением называется сим-
плектическим, а координаты, в которых скалярное произведение имеет вид B.4),
называются симплектическими.
Из теоремы 2.1 получаем такое следствие.
Следствие 2.1. Размерность симплектического пространства четна.
В дальнейшем, говоря о псевдоевклидовых или симплектических простран-
пространствах, мы будем подразумевать, что в них выбраны псевдоевклидовы или, соот-
соответственно, симплектические координаты.

46 Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
Лемма 2.2. Линейное отображение А: V —> V сохраняет невырожден-
невырожденное скалярное произведение с матрицей Грама G тогда и только тогда,
когда выполняется соотношение
ATGA = G.
Доказательство. Распишем равенство (?, г\) = (Л?, Аг\) в координатах:
Оно выполняется при всех 2; и т) в точности тогда, когда
т. е. при G = ATGA. Лемма доказана.
Так как для невырожденного скалярного произведения det G ф О, из равенства
det Лт = det Л получаем такой результат.
Следствие 2.2. Если линейное отображение А сохраняет невырожден-
невырожденное скалярное произведение, то оно обратимо и det А = ± 1.
Действительно, det G = det AT det G det A = det2 Л det G, что влечет равенство
deft4 = l.
Теорема 2.2. Линейные преобразования А: V-+V, сохраняющие невы-
невырожденное скалярное произведение, образуют группу.
Доказательство. Композиция таких преобразований, очевидно, сохра-
сохраняет скалярное произведение. Пусть преобразование А сохраняет скалярное про-
произведение. Оно, как мы только что показали, обратимо. Умножим обе части ра-
равенства ATGA = G на Л справа и на (А~1)Т слева и получим
G = (A-l)TGA-1.
Значит, преобразование Л тоже сохраняет скалярное произведение. Теорема
доказана.
Группа линейных преобразований пространства Шм, сохраняющих псевдо-
псевдоевклидово произведение, обозначается через О(/?, q). Задавая псевдоевклидовы
координаты, мы получаем, что эта группа является группой матриц, сохраняющих
произведение
Подгруппа в О(р, q), образованная матрицами с определителем, равным 1, обо-
обозначается через SO(p, q).
Мы рассмотрим эти группы и псевдоевклидовы пространства подробнее
в следующем параграфе.
2. Симплектические преобразования. Группа линейных преобразований
пространства R2/I, сохраняющих симплектическое произведение, обозначается
через Sp(n, R) и называется симплектинеской группой. Это — группа матриц,
сохраняющих произведение в базисе B.3):

§2.1. Геометрические структуры в линейных пространствах 47
Примеры. 1. Пусть п = 1. Матрица А = ( . J лежит в Sp( I, R) тогда
олько тогда когда ^ '
У(-1 о) (с d) = (-l о)'
и только тогда, когда
Левая часть этого уравнения равна
[О ad- bc\
\-(ad-be) О ) *
Поэтому Sp(l, IR) состоит в точности из B х 2)-матриц с определителем, равным
единице:
Sp(l,R) = SLB).
2. Рассмотрим симплектический базис ё\> ..., ё2п (т. е. базис с матрицей Гра-
ма 7). Тогда любое линейное преобразование В я-мерного пространства с бази-
базисом ё|, ..., ёп порождает следующее симплектическое преобразование 2/г-мер-
ного пространства:
Лемма 2.3. Пусть V — 2п-мерное симплектическое пространство, А €
G Sp(n, К) а ^! — его вещественное собственное значение. Тогда характе-
характеристический многочлен р(Х) = det(>4 — X • 1) преобразования А имеет вид
где р'(Х) — это характеристический многочлен некоторой матрицы А' е
€Sp(n-l,R).
Доказательство. Из доказательства теоремы 2.1 ясно, что при по-
построении базиса, удовлетворяющего свойству B.2), вектор в\ может быть взят
любым. Построим, как описано в доказательстве теоремы 2.1, такой базис, что
Ае\ = [ie\. Легко видеть, что
Ae e
так как (Ае\, Ае2) = 1 = (еь е2). Поэтому преобразование А задается матрицей
где А1 задает симплектическое преобразование. Отсюда следует, что р(Х) =
= detD - X • 1) = (X - у) (х - -) det(y4; - X • 1). Лемма доказана.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение.
Лемма 2.4. Если А е Sp(n, R), то det A = 1.

48
Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
Доказательство. Определитель матрицы А равен произведению всех
корней характеристического многочлена р(к) = det (Л — X • 1). Из предыдущей
леммы следует, что
det(>4 - X • 1) = (X - у,) (X - 1) ... (X - (i*) (X - ^
где многочлен р(к) либо тождественно равен единице, либо не имеет веществен-
вещественных корней. В первом случае det Л = [л^Г1. • -Н^ИГ1 = 1- Во втором корни веще-
вещественного многочлена р(Х) имеют вид vb vj, ..., v/, 4} и
detH)=p@)= (ПИ/И/
Так как det Л = ±1, отсюда заключаем, что det A = 1. Лемма доказана.
Зная, что det A = 1, мы покажем, что характеристический многочлен симплек-
симплектической матрицы удовлетворяет более сильному требованию.
Лемма 2.5. Если А е Sp(n, R), то характеристический многочлен р(\) =
= det(A - X • 1) возвратен:
Доказательство. Обозначим через У е Sp(«, R) матрицу Грама:
/01 0\
-1 0
/ —
0 1
\0 -10/
Заметим, что /2 = -1 и det/= 1. Условие симплектичности имеет вид
ATJA=J.
Отсюда следует, что
р(Х) = det(/l - X • 1) = det/ detD - X • 1) = det(/4 - X/) =
= det(X4 - ХЛТ/Л) = det(l - ХЛТ) det/Л =
= det(l - ХЛТ) = Х2я det(X-' • 1 - A)T = \2n detCX • 1 - A).
Но так как A — Bn x 2л)-матрица, мы заключаем, что det(X~* • 1 - А) =
X-|-l) и
Лемма доказана.
Из этих лемм вытекает важное свойство спектра симплектической матрицы,
т. е. совокупности корней ее характеристического полинома.

§2.1. Геометрические структуры в линейных пространствах
49
Хз
Следствие 2.3. Спектр матрицы
А е Sp(n, Ш) симметричен относи-
относительно вещественной оси и окруж-
окружности |Х| = 1. Он разбивается на
1) четверки X, X, X, X, где
\\\ф\ и\т\фО\
2) пары X, X, лежащие на ве-
вещественной оси (Х = Х);
3) пары X, X, лежащие на
окружности |Х| = 1 (для них X = X).
Особенностью геометрии симплек-
тического пространства является не-
неравноправность плоскостей. Например,
в Ж4 плоскость х2 = х4 = 0 никаким
симплектическим преобразованием не-
нельзя перевести в плоскость х3 = х4 = 0.
Действительно, для любых двух векторов 2; и т) плоскости х3 = х4 = 0 мы имеем
E, г)) = 0, а для векторов ? = A, 0, 0, 0) и г) = @, 0, 1,0) плоскости jc2 = л:4 = 0
мы получаем (?, г)) = 1.
Подпространство V в 2я-мерном симплектическом пространстве называется
лагранжевым, если его размерность равна п и
Хз
Рис. 2.1. Корни характеристического
многочлена симплектической матрицы
для любых двух векторов $, у) G К.
Все координатные лагранжевы подпространства имеют вид
jc*1 = ... = jc*- = 0,
B.6)
где Ц, eik) = 0.
Два подпространства L\ и L2 в RN называются трансверсальными, если
их векторы порождают все пространство векторов WN. Если dim L\ + dim L2 =
= yV = dimR/v, то трансверсальность означает, что L\ и L2 пересекаются по
нулю.
Каждому координатному лагранжеву подпространству L вида B.6) отвеча-
отвечает трансверсальное координатное лагранжево подпространство L'. Оно задается
уравнениями
jt'« = ... = xin = 0,
где // ф ik для всех /, k = 1, ..., п.
Лемма 2.6. Пусть L — лагранжево подпространство в R2/1. Тогда суще-
существует координатное лагранжево подпространство L, которое транс-
версально L.
Доказательство. Выберем новый симплектический базис с помощью
преобразования B.5) так, чтобы первые k векторов ё\, ..., ek порождали все
пересечение L с подпространством (xn+l = 0, ..., х2п = 0).

50 Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
Определим пространство L, трансверсальное к L: оно порождается векторами
Очевидно, что это пространство лагранжево. Рассмотрим вектор 7) € L П L. Так
как (г), L) = (г), L) = 0, мы имеем
(т),ёу) = О, /=1 я.
п
Поэтому у) = ^2rfej. Следовательно, 7) = 0. Лемма доказана.
Из предыдущей леммы следует, что каждая лагранжева плоскость представи-
ма как график отображения координатного лагранжева подпространства. А имен-
именно, верно следующее утверждение.
Теорема 2.3. Для любой пары трансверсальных лагранжевых подпро-
подпространств (L, L) можно построить симплектический базис вида B.3) так,
что
ё\,..., еп ? L, еп+\,..., е%п Е L
и матрица Грама имеет вид
(eh en+j) = 8<7, /, / = 1,..., п
(остальные элементы равны нулю).
Доказательство очевидно.
§ 2.2. Пространство Минковского
1. Пространство событий специальной теории относительности. Наи-
Наиболее важным примером псевдоевклидовых пространств являются простран-
пространства RM. В псевдоевклидовых координатах х°, x\ ..., хп скалярное произведе-
произведение принимает вид
Оно задает метрику Минковского.
При п = 3 мы получаем пространство Минковского—четырехмерное про-
пространство-время специальной теории относительности. В этом случае х° = ct, где
с — скорость света в пустоте и / — время, а хх, х2, jc3 — координаты в трехмер-
трехмерном физическом пространстве. Точками пространства R13 являются мгновенные
события, и если jc, у € R1*3, то величина
у/(х-У**-У)
называется пространственно-временным интервалом между точками, т.е.
событиями х и у.
Квадрат длины вектора может быть и положительным, и отрицательным, и ну-
нулевым. Вектор $ называется световым, если (?, ?) = 0. При (?, ?) > 0 вектор $
называется времениподобным, а при E, ?) < 0 — пространственноподоб-
ным.

§ 2.2. Пространство Минковского
51
Эта терминология имеет физическое основание. Согласно принципам специ-
специальной теории относительности,
1) материальные частицы не могут двигаться в пространстве со скоростью,
большей скорости света. При этом скорость массивной частицы всегда меньше
скорости света, а скорость безмассовой частицы
равна скорости света;
2) скорость света постоянна во всех инерци-
альных системах отсчета и равна
с «2,998-1010 см/с.
Кривые г(т) в R1-3, у которых длина векторов
скорости равна нулю, т. е.
(гх, 0 = 0, где ^т = ^,
являются мировыми линиями безмассовых ча-
частиц, например фотонов. Поэтому световые лучи
распространяются вдоль таких линий.
Если вектор скорости гт = (лг°, х\, х2х, х*)
кривой г(т) всюду времениподобен, то кри-
кривая г(т) является мировой линией массивной частицы. Рассмотрим мировую ли-
линию г(т) массивной частицы. Длина такой линии в метрике Минковского опре-
определяется как
Рис. 2.2. Векторы: световые,
времени- и пространственно-
подобные, световой конус
а=1
Величина 1/с называется собственным временем, прожитым частицей. Для по-
покоящейся частицы (л^ = х\ = х\ = 0) она равна промежутку мирового времени
между событиями г (а) и г(й), т. е. х°(Ь) - л:0 (а).
Пример. Рассмотрим процесс жизни покоящейся частицы, описываемый
мировой линией
а^х°^Ьу х" = 0у а= 1,2,3.
Она прожила время х°(Ь) — х°(а). Пусть другая частица прожила вдоль дру-
другой мировой линии с теми же началом и концом: (л:°(т), *а(т)), где т = t = x°/ct
а < х° < 6. Но при этом предположим, что вторая частица движется в этот пе-
период: л^(т) Ф 0, а = 1, 2, 3. Она проживает другое время
Vlc =
Очевидно, мы имеем
Vic <b-a = l/c.
Мы заключаем, что время сокращается при движении.

52 Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
Физическое требование постоянства скорости света состоит в требовании,
что переход от одной инерциальной системы отсчета к другой задается движени-
движением пространства Минковского — преобразованием ср: R1|3->R1*3, сохраняющим
любой пространственно-временной интервал. Это означает, что
(фМ -
для любой пары точек х и у из R1*3.
Теорема 2.4. Любое движение пространства Rltrt является аффинным
преобразованием.
Доказательство незначительно отличается от аналогичной теоремы 1.4
для евклидова пространства. Пусть ср—движение пространства Ru и ср(О) = Ь.
Так как сдвиг х —> х — b — движение, определим ф как композицию ср и этого
сдвига ф: л: —^ <f(x) — b. Она является движением, и ф@) = 0.
Сохранение пространственно-временных интервалов означает, что
<<!>(*) - ФДО. ФМ - ф(</)> = (х-у,х-у) B.7)
для всех х, у 6 R1". При // = 0 мы получаем
<ф(дс), ф(*)) = <*, х>. B.8)
Расписывая соотношение B.7) как
<ф(х), ф(дс)> - 2<ф(ж), ф<0) + <ф(у), ф(^)> = {х, х) - 2(х, у) + (у, у),
с учетом равенства B.8) выводим, что
<Ф(*). ФЫ> = (х, У)
для всех х, y€Rl/l.
Пусть еОу ..., еп — ортонормированный базис векторов в Rl/I, отвечающий
псевдоевклидовым координатам, и Хо, ..., хп — точки, для которых эти векто-
векторы являются радиус-векторами. Обозначим через ё% радиус-вектор точки ф(д?/).
Базис ёо, ..., ёп ортонормирован. Возьмем линейное преобразование х* х —* Ах,
переводящее et в eiy i = 0,..., п. Оно, очевидно, является движением.
Следовательно, композиция хф является движением, сохраняет неподвижным
начало координат и хф(*/) = */ A^H i = 0, 1, ..., /i. Любой вектор х раскладыва-
раскладывается по базису как
х = (
Для любой точки jc G R1'" мы имеем
(*» ^> = (хФМ» ^>» «= 0, ..., л.
Значит, хФМ =а:» т-е- эт0 преобразование тождественно, ф = А —линейное
преобразование и
ср(лг) = l
Теорема доказана.

§ 2.2. Пространство Минковского
53
Определение движения и доказательство теоремы без изменений переносятся
на случай произвольных пространств Шм. Для евклидовых пространств анало-
аналогичный результат был получен в теореме 1.4.
Следствие 2.4. Любое движение пространства R1" однозначно пред-
представило в псевдоевклидовых координатах в виде
х—*Ах + Ь,
где
/1
-1
0\
-1
-1
0\
-1
B.9)
2. Группа Пуанкаре. Группа движений пространства R1'3 называется груп-
группой Пуанкаре.
Рассмотрим подробнее ее подгруппу, образованную всеми движениями под-
подпространства RIfI.
Пусть
"С 2)-
Уравнение B.9) принимает вид
(а с\ /1 0>
\Ь d)\0 -1
и переписывается в виде системы
Решения этой системы распадаются на четыре семейства:
/сЬф зЬф\ /-сЬф -эЬф\
B.10)
i)-{0 -]
где ф — произвольный вещественный параметр. Первые два из них состоят из
унимодулярных преобразований (deiA = 1), а вторые два — из таких преобразо-
преобразований, что det А = — 1. Отсюда получаем такой результат.
Теорема 2.5. Группа 0A, п) состоит из четырех компонент.
Если А € 0A, п)у то (АеОу е0) ф 0. Действительно, в противном случае век-
вектор Ае0 является линейной комбинацией векторов в|,..., ел, откуда следует, что
(Лео, Ае0) < 0. Но это противоречит тому, что (AeOi Аео) = (е0, е0) = 1.
Пусть Z2 — группа, образованная числами ±1 с операцией умножения.
Определим отображение
ср: 0A, п)-*Ъ2 xZ2

54 Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
формулой
(р(Л) = (det Л, sgn(AeOi eo))t
где
{1 при X > О,
О при X = О,
-1 приХ<0.
Лемма 2.7. Отображение ср является гомоморфизмом группы 0A, п)
на группу Z2 x Z2.
Здесь умножение в Z2 x Z2 покомпонентно: (а, Ь) • (а', Ь') = (аа', bb').
Доказательство. Преобразования из 0A, п) сохраняют световой
конус
который ограничивает область, образованную векторами (?, ?) > 0. Эта область
состоит из двух компонент — внутренностей конуса. При sgn(AeOi е0) = 1 эти
компоненты переходят сами в себя, а при sgn(AeOi е0) = -1 —переставляются.
Отсюда следует, что ср — гомоморфизм.
Теперь укажем значения ср для семейств из B.10): A, 1), A, -1), (-1, 1),
(—1, —1). Следовательно, при п = 1 образ гомоморфизма ср совпадает с Z2 x Z2.
При п > 1 любое преобразование из 0A, 1) можно продолжить тривиальным
образом (Ае2 = е2,..., Аеп = еп) до преобразования из 0A, /г). Значит, ср явля-
является гомоморфизмом на всю группу Z2 x Z2 при любом п. Лемма доказана.
Если sgn(y4e0, е0) = 1, то преобразование А называется ортохронным, т.е.
не меняющим направление времени. В псевдоевклидовой геометрии преобразо-
преобразование А называется собственным, если ср(Л) = A, 1), т.е. если оно сохраняет
ориентацию пространства R1*3 и направление времени.
3. Преобразования Лоренца. Преобразования из 0A, 3) впервые возни-
возникли в специальной теории относительности как преобразования Лоренца, Они
задают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Рассмотрим их
подробнее.
В этом параграфе мы воспользуемся более привычными в физике обозначе-
обозначениями jc, у, z для пространственных координат.
Обозначим через с/, jc, t/, z координаты в системе отсчета К и через ct\ x\
у\ z1 — координаты в системе отсчета /С'.
Пусть начало системы отсчета К' движется вдоль оси х с постоянной ско-
скоростью v и в момент времени / = 0 совпадало с началом системы отсчета К.
Формулы перехода имеют вид
а
с
0
0
Ь
d
0
0
0
0
1
0
Q\
0
0
Ч
(се
х!
У'
\2'

§2.2. Пространство Минковского
55
и задаются матрицей из группы 0A, 3), так как это преобразование должно
сохранять пространственно-временные интервалы в R1'3. Естественно, что это
преобразование должно непрерывно зави-
зависеть от v и при v = О переходить в то-
тождественное преобразование. Поэтому оно
должно лежать в компоненте единицы \z /С
группы 0A, 3) и иметь вид
К
a
\с
/сНф shc|
При х' = у1 = z1 = 0 мы имеем начало си-
системы отсчета К\ для которой x/t = v,
и мы получим
v/c
Рис. 2.3. Различные системы
отсчета, движущиеся относительно
друг друга
Формулы для преобразования Лоренца принимают вид
/ =
ut' + x1
= , У = У\ z = z\
B.11)
При у/с —^ 0 они переходят в преобразования Галилея
которые дают хорошее приближение преобразований Лоренца при скорости у,
много меньшей, чем с: v < с.
Укажем некоторые физические эффекты, вытекающие из преобразований Ло-
Лоренца.
1. Сокращение длины. Пусть в системе отсчета К покоится стержень
длины /, параллельный оси х. Координаты его концов равны х0 и лс0 + /. Разность
координат его концов в системе отсчета К' равна
V = l\j\ - v2/c2.
Следовательно, в движущейся системе отсчета длина стержня сокраща-
сокращается,
2. Сложение скоростей. Пусть г(т) — мировая линия массовой ча-
частицы. Тогда в каждой точке этой мировой линии касательный вектор времени-
подобен. Нормируем его так, чтобы его длина была равной единице. Такой вектор

56 Глава 2. Симплектические и псевдоевклидовы пространства
называется 4-вектором скорости. Он равен
и=( . ' , у ° V B.12)
(dxx dx2 dxz\ K
где а = 1"л7» "w7» ~7r) —обычный трехмерный вектор скорости.
При переходе от одной инерциальной системы координат в другую 4-вектор
скорости, как всякий вектор в К|>3, преобразуется по формулам Лоренца. По-
Посмотрим, к каким следствиям это приводит.
Пусть система координат К! движется относительно системы координат К
с постоянной скоростью w вдоль оси jc. Обозначим трехмерные скорости массив-
массивной частицы через v = (vx, vyy v2) в системе координат К и через v' = (v'x1 v'yt v'2)
в системе координат К\ а 4-векторы скорости обозначим соответственно через и
и и'.
Преобразование Лоренца B.11) для 4-векторов и = (и0, и}, и2, и3) принимает
вид
1 (V°*VY ul=
Подставляя сюда значения компонент 4-векторов из формулы B.12), мы вы-
выводим следующие формулы, известные как релятивистский закон сложения
скоростей:
v = _,. . - .. _ v'yVl-«>2/c2
1 + ^
Если сама частица движется вдоль оси х> то эти формулы принимают особенно
простой вид:
_
-г
а все остальные компоненты трехмерных векторов v и v' равны нулю.
Если мы подставим v'x = с, то для любого значения w получим vx = с, что
является математическим выражением постоянства скорости света во всех инер-
циальных системах координат. Этот факт впервые был установлен эксперимен-
экспериментально Майкельсоном и Морли.
Еще один известный физический эффект—сокращение собственного времени
у движущейся частицы — мы уже приводили в п. 1.
Упражнения к главе 2
1. Докажите, что тип псевдоевклидова скалярного произведения не зависит
от выбора базиса.
2. Пусть gij = — g/i — невырожденная кососимметрическая матрица, задаю-
задающая симплектическое произведение в R2/I. Докажите, что размерность линейного

Упражнения к главе 2 57
подпространства в R2rt с нулевым ограничением этого симплектического произ-
произведения не превосходит п.
3. Определим «векторное произведение» в пространстве R1*2 формулой
I х г) = K'if - 5V, 5У -1\\ Vrf - 50!,1),
где I = (?, 5«, р), г) = (г)°, тI, гJ), (еОэ во> = 1 и <*,, в,) = (в2, в2> = -1. Докажи-
Докажите, что
е0хв| = -в2, е0хе2 = еи е{хе2 = еоУ
выполняется тождество Якоби
и это векторное произведение инвариантно относительно SOA, 2).
4. Пусть г = гA) — времениподобная кривая в R1'2 с натуральным параме-
параметром I (т. е. г2 = (г0J - (г1J - (г2J = 1), причем г0 > 0. Положим v = ryv = knt
b = nxv. Докажите «формулы Френе»:
v — kn, п = kv + хб, 6 = -хп.
5. Решите в R1-2 уравнение
г = и> х г, со = const.

Глава 3
Геометрия двумерных многообразий
§3.1. Поверхности в трехмерном пространстве
1. Регулярные поверхности. Из существования натурального параметра на
кривой следует, что каждый участок кривой можно отобразить в прямую с со-
сохранением расстояний между точками. Двумерные поверхности в трехмерном ев-
евклидовом пространстве уже обладают внутренней геометрией. В общем случае
никакая окрестность точки поверхности не может быть отображена на область
в евклидовой плоскости с сохранением расстояний.
Прежде чем рассматривать геометрию поверхностей, обсудим способы их за-
задания. Следуя традициям, будем обозначать координаты в R3 через л\ уу г.
Наиболее привычно поверхность задается как график функции
г = Пх9у).
Однако если мы рассмотрим единичную сферу
то она задается как график функции /(*, у) не всюду, а около точек, где z ф 0.
Если мы возьмем точку сферы с координатой z = 0, то одна из оставшихся коор-
координат, допустим, *, не равна нулю в этой точке, и в окрестности, где х ф 0, сфера
представляется в виде графика
-У2 -*2.
Знак в правой части совпадает со знаком координаты х. Аналогично, общее опре-
определение поверхности в R3 имеет следующий вид.
Множество точек S с М3 образует регулярную поверхность, если в окрест-
окрестности каждой своей точки оно представляется как график гладкой функции z =
= /(#, у) в подходящих декартовых координатах х, у, z. При этом функции / для
различных точек S могут быть разными.
Задание поверхности в виде графика является частным случаем двух других
ее форм описания:
а) как множества нулей гладкой функции;
б) параметрически, т. е. как образа отображения г: U —> R3 области U С М2.
Действительно, если в окрестности точки (лг0, уо, z0) € S поверхность 5 явля-
является графиком функции z = f(xy у), то в той же окрестности она задается и как

§3.1. Поверхности в трехмерном пространстве 59
множество нулей функции
F(x,y,z)=z-f(x,y),
и как образ отображения окрестности точки (х0, уо) G Ш2:
(*, у) -> г(х, у) = (х, у, /(*, у)).
Все эти способы задания эквивалентны. Прежде чем доказать это, напомним
формулировку теоремы о неявной функции.
Теорема ЗА. Пусть F: U -»Шп — гладкое отображение области U с Шп+к
с координатами (х\ ..., xn+k) в Rn:
F=(Fu...,Fn), Fr.U^R, /=1 я.
Пусть F(x0) = 0, где х0 = (х10, ..., x%+k) eU, и в точке х0 матрица
J
\dxk+j
обратима. Тогда существуют такие окрестность V точки х0 и окрест-
окрестность W точки (х10,..., *о) е R*, что
1) в окрестности W определены гладкие функции
/,,...,/„: Г-R;
2) еслих=(х\ ...,xn+k) e V, то (х\ ...9x?)eW\
3) ^(л:) = 0 тогда и только тогда, когда
**+'=/,(*',...,**), ..., **+" =/„(x1,...,**).
Условие на точку х0 состоит в том, что она неособа. А именно, точка х € U С Шп
называется неособой или регулярной точкой гладкого отображения F: U —> Rm:
если в этой точке ранг матрицы первых производных (-^т) равен т. В противном
случае точка х называется особой или критической для отображения F.
Например, пусть /: U —>R — гладкая функция. Тогда точка х неособа, если
градиент функции / в этой точке не равен нулю: grad / ф 0.
Лемма 3.1. Множество точек ScM3 образует регулярную поверх-
поверхность тогда и только тогда, когда для каждой точки xeS существует
такая окрестность U с R3 этой точки, что в этой окрестности множе-
множество S задается как множество нулей гладкой функции F: U —> R, и все
точки из S неособые.
Доказательство. Как мы уже отмечали, если в окрестности U по-
поверхность задается как график функции z = f(x, у), то за F достаточно принять
функцию

60 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Предположим теперь, что в окрестности точки (*0, уо, Zo) задана функция
F: U —> R, множество нулей которой {F = 0} состоит из неособых точек. Без
ограничения общности можно считать, что
dF(xOi */о, г0) , Q
Тогда по теореме о неявной функции существуют функция /, определенная в ок-
окрестности точки (jco, уо), и такая область U' с ?/, что F(xy у, z) = 0 при (я, у, z) ?
G U' тогда и только тогда, когда z = /(*, у). Значит, множество нулей {F= 0}
в окрестности каждой точки из S задается как график функции. Лемма доказана.
Лемма 3.2. Множество точек S с R3 образует регулярную поверх-
поверхность тогда и только тогда, когда в достаточно малой окрестности
(/сК3 каждой своей точки множество S задается как образ гладкого
отображения
г: (и, v) -> (х(и, v), y(u, v)y z(u, v))
из области V с R2 в U и в каждой точке из V векторы ru = dr/du и rv =
= dr/dv линейно независимы.
Доказательство. График функции является частным случаем параме-
параметрического задания. Поэтому достаточно доказать, что если задано отображение
г: V—>R3 вида
(м, v) -> (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
и все точки (и, v) € V неособы, то его образ в окрестно-
окрестности каждой своей точки задается как график функции.
Пусть (#о, Vo) G V. Векторы ги и rv линейно независи-
независимы всюду. Без ограничения общности можно считать, что
матрица ( " v ) обратима в точке (w0, ^o)- По теоре-
\Уи Уу/
р q | ме об обратной функции в некоторой окрестности точки
Поверхность как (х(и*> и<>)> У^ v^ определено обратное отображение
график функции ^ у) _ ^ у^ v^ y))
Поэтому в достаточно малой окрестности точки r(w<), v0) поверхность задается
как график функции
z = z(u(x, у), v(xt у)) = z(x, у).
Лемма доказана.
Мы пока не вводили никакого скалярного произведения в R3, но легко за-
заметить, что в определении поверхности координаты х> у, z могут быть взяты
евклидовыми, если пространство R3 наделено евклидовым скалярным произве-
произведением.
Областью на регулярной поверхности S называется пересечение поверхно-
поверхности S с областью из R3. Соответственно окрестностью точки на поверхности
называется любая область, содержащая эту точку.

§3.1. Поверхности в трехмерном пространстве 61
2. Локальные координаты. Параметрическое задание особенно удобно тем,
что оно вводит локальные координаты. А именно, если отображение г: V —> R3
задает регулярную поверхность, то координаты и н v становятся координатами
в области r(V) на поверхности: каждому набору (и, v) e V взаимно однознач-
однозначно отвечает точка поверхности. Отображение г: V —> S называется локальной
картой, покрывающей область r(V).
Функция на поверхности
/:S->R
называется непрерывной или гладкой, если в окрестности каждой точки она
задается как непрерывная или гладкая функция локальных координат.
Чтобы проверить корректность этого определения, нужно доказать его не-
независимость от выбора координат. А именно, пусть области r(V) и r(V) пере-
пересекаются. В пересечении мы имеем две разные системы локальных координат:
(и, v) и (и, v). По теореме об обратной функции существуют гладкие взаимно
однозначные отображения
(w, v) -> (й(и, и), 0(и, у)), (й, v) -* (и(п, v), v(uy t>)),
определенные на r~x(r(V) П f(V)) и r~~l(r(V) П r(V)). Поэтому если, скажем,
то
dl_dldu ,dl<h d[_dldu df_dv
дп ~~ ди дй dv дпу dv "" ди dv dv dv'
Так как якобиан
не равен нулю и тоже является гладкой функцией, понятие гладкости, а тем более
непрерывности, не зависит от выбора координат. При этом имеет смысл говорить
только о гладкости функций, меньшей, чем гладкость замен локальных коорди-
координат, иначе это понятие станет неинвариантным. Обычно мы говорим о бесконечно
гладких поверхностях (класс С°°), так что этот вопрос не возникает. Однако ана-
аналитические функции можно определить лишь при дополнительных ограничениях
на замены координат.
Отображение поверхностей F: S\ —> S2 называется гладким, если всюду в ло-
локальных координатах оно задается гладкими функциями:
(х, у) -> (и(х, у), v(x, у)),
где (jc, у)—локальные координаты на S\ и (и, v)—локальные координаты на
S2. Это определение корректно по тем же причинам, что и определение гладкой
функции на поверхности. Аналогично определяется непрерывное отображение
поверхностей.

62 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Заметим, что мы пока говорим лишь о регулярных поверхностях. Однако ино-
иногда удобно говорить о более общих поверхностях, задаваемых локально или гло-
глобально уравнением F(x, у, z) = 0. В этом случае точки, в которых grad F = 0,
называются особыми точками поверхности.
Примеры. 1. Рассмотрим сферу, или, в более общей ситуации, эллипсоид
Это регулярная поверхность, не допускающая глобального задания ни параме-
параметрически, ни как график функции.
2. Однополости ый гиперболоид
х2 у2 z2 _ ,
7 + 7~7
Он не допускает глобального задания как график функции, но может быть задан
параметрически:
где z и угол ср (в полярной системе координат на плоскости ху) задают коорди-
координаты на всем гиперболоиде.
3. Конус
\2 2
Эта поверхность имеет одну особую точку @, 0, 0), а вне ее любая из половинок
конуса (z > 0 или z < 0) задается как график функции
4. Поверхности вращения. Пусть r(t) — регулярная кривая в по-
полуплоскости у ^ 0, z = 0. При вращении ее вокруг оси х мы получаем поверх-
ность вращения. Например, если эта кривая — график функции у = yJR2 - х2,
-R < х < /?, то мы получим сферу х2 + у2 + z2 = R2. Вообще, поверхность вра-
вращения графика функции у = f(x) задается параметрически:
r(uy v) = (и, f(u) cos vt f(u) sin v).
Торы вращения получаются при вращении окружностей вида (х — аJ Л-{у — ЬJ =
= /?2, где Ь > R.
3. Касательное пространство. Рассмотрим гладкую кривую, лежащую на
поверхности. Если поверхность задана параметрически, то кривая представляет-
представляется как композиция отображений
Вектор скорости равен
dr(u(t),v(t))_

§3.1. Поверхности в трехмерном пространстве 63
Более того, любой вектор вида ? = Vru(uOi v0) + Z2rv(u0t v0) является вектором
скорости некоторой кривой на поверхности. Например, можно взять кривую, име-
имеющую в локальных координатах вид
u = Uo + Vt, v = vo + Z2t.
Эти векторы образуют двумерное векторное пространство, называемое каса-
касательным пространством в точке г(щ v). Векторы ги и г0 задают базис этого
пространства.
Примеры. 1. Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, z) = 0.
Тогда для кривой у(/) = (*(/), y(t), z(t)) на поверхности выполняется уравнение
/(у(/)) = F(x(t), y(t), z(t)) = 0, и поэтому df/dt = 0. Следовательно, касательное
пространство в точке (xOi yOi z0) образовано такими векторами (ху у, ?), что
2. Пусть поверхность задана как график функции z = /(^, у). Тогда векторы
A, 0, fx) и @, 1, fy) задают базисы в касательных пространствах.
Рис. 3.2. Базис в касательном пространстве
4. Поверхности как двумерные многообразия. Подытожим возникающую
картину. Регулярная поверхность S в R3 покрывается конечным или счетным
числом областей Ua:
s={Jua,
а
при этом
1) в каждой области i/a можно ввести локальные координаты х[, х\\
2) локальные координаты (х1аУ xl) принимают значения в какой-то области
Уа С К2, и каждой точке из области Va соответствует в точности одна точка из
области Ua на поверхности;
3) в пересечении областей Ua П U$ локальные координаты (х1^ xl) и (х^ х%)
связаны взаимно обратными гладкими отображениями — заменами координат:
р)' 4 = 4^'^)» *'./'= 1.2,
с ненулевыми якобианами:

64 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Совокупность областей Ua называется атла-
атласом поверхности, а сами области (/« называются
картами.
Мы можем теперь перенести на случай регу-
регулярных поверхностей многие определения из ана-
анализа:
а) областью на поверхности S называется
такое множество точек t/cS, что координаты
Рис. 3.3. Перекрывающиеся (j^ х^) точек из пересечения множества U с лю-
каРты бой картой (Уа заполняют область в R2;
б) любая область U> содержащая точку х € S,
называется окрестностью точки х\
в) функция /: S -+R называется гладкой, если в каждой карте ?/а она зада-
задается как гладкая функция локальных координат х\, х\\
г) отображение г: (а, Ь) —> S задает непрерывную кривую, если для каждой
точки г(/0), лежащей в какой-то карте [/«, точки из интервала \t — /о| < б тоже
отображаются в карту Ua при каком-то положительном значении е и в локальных
координатах х\, х\ это отображение задается непрерывными функциями
г: (to-г, to + e)-+(xl(t),xl(t)).
Если при этом все функции jcJ(O» x\(t) — гладкие функции от /, то кривая r(t)
называется гладкой.
Заметим, что регулярные поверхности в R3 обладают дополнительным свой-
свойством «хаусдорфовости»:
4) для любой пары различных точек х, у на поверхности существуют их ок-
окрестности U и V, которые не пересекаются:
= 0, xeU, yeV.
Любая совокупность точек, для которой задан атлас, удовлетворяющий усло-
условиям 1—4, называется двумерным гладким многообразием.
Касательным вектором % в точке х двумерного многообразия называется
вектор скорости гладкой кривой r(t) в точке х:
- _ dr(t0) rU\__Y
с, = dt , r(to) = х.
В разных локальных координатах он записывается по-разному. Если точка х
лежит в пересечении двух карт Ua и (/р и в координатах х1а, х\ мы имеем
то по теореме о дифференцировании сложной функции в координатах хх$у х\ этот
же касательный вектор записывается как
- _ fdxl(xl(t)t xl(t)) d4(xl(t),xl(t))\_(dxl:J дх\ а
4 - V It • It ) - w/" dji «Y
Поэтому касательный вектор в точке х может быть определен как объект ? =
= E1, ?2), записи которого ?а и ?р в различных локальных координатах связаны

§3.2. Риманова метрика на поверхности 65
соотношением
Все касательные векторы в точке х двумерного многообразия S образуют вектор-
векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке х
и обозначается через TXS.
Эти определения достаточно общие, и можно показать, что не любое дву-
двумерное гладкое многообразие реализуется как регулярная поверхность в R3. Под
реализацией мы понимаем существование гладкого вложения, т. е. такого глад-
гладкого отображения
F:S^R3,
что в каждой точке F оно имеет максимальный ранг:
различные точки поверхности отображаются в различные точки евклидова про-
пространства:
F(x)^F(y), если хфуу
и при этом если последовательность точек F{x) сходится к точке F(Xoo)y то по-
последовательность Xi сходится к точке Хоо.
Уточним, что мы говорим, что последовательность точек yt сходится к точ-
точке (/оо» если все точки yt лежат в какой-то координатной окрестности точки у^,
начиная с какого-то номера / = /о, и в этой окрестности они сходятся к у^ в обыч-
обычном смысле (как на плоскости).
Если такое вложение существует, то говорят, что его образ является глад-
гладким подмногообразием евклидова пространства R3 или регулярной поверх-
поверхностью в R3.
§ 3.2. Риманова метрика на поверхности
1. Длины кривых на поверхности. Пусть х> у, z— евклидовы координа-
координаты в R3.
Длиной кривой (u(t)t v(t)) на поверхности r(u, v) естественно считать ее дли-
длину в R3. В этом случае говорится, что метрика на поверхности индуцирована
метрикой объемлющего пространства R3.
Вектор скорости есть
(х, у, z) = гий + rvi)y
где
х = хий
и длина кривой равна
/= f y/x*
3-1168

66 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Подставляя в подынтегральное выражение формулы для i, у и ?, получаем
х2 + у2 + z2 = Ей2 + 2Fuv + Gi>2t
где
Чтобы использовать тензорную запись, координаты и и v будем обозначать также
через jc1 и х2. Тогда
fE
(
где
г дг
Нами доказана следующая лемма.
Лемма 3.3. Длина кривой (*'(/), *2@) на поверхности равна
Выражение
dl2 = ft/ rfx1 rfjc> = Edu2 + 2Fdu dv + G dv2
называется первой квадратичной формой или римановой метрикой на по-
поверхности. Здесь ?, F и G — функции от координат «ии.
В каждой точке поверхности эта форма задает на касательном пространстве
евклидово скалярное произведение:
С помощью него по обычной формуле определяется и угол <р между касательными
векторами 5 и yj:
Примеры. 1. Пусть поверхность задана как график функции z = f(xy у).
Тогда
гх = A,0,/,), гу = @,1,/,),
?= <г„ г,) = 1 +? F= (rXf rf> =/x/ff G = <г„ г,) = 1 +fi.
2. Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, z) = 0 и Fz ^ 0 в окрестности
точки (jco, t/o, Zo). Примем х и у за локальные координаты: и = х, v = у. Условие
F = 0 влечет тождество

§3.2. Риманова метрика на поверхности 67
для касательных векторов (х, у, z) к поверхности. Из него следует, что
Отсюда выводим, что
x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + ±(fy2 + 2FxFyxy + F2yy2) =
В итоге получаем следующие формулы для метрики:
Предположим, что в какой-то области поверхности определены две разные
системы координат (х\ х2) и (х\ х2)у связанные формулами перехода. Один и тот
же касательный вектор раскладывается по разным базисам:
г - г/ дг _ г/ дг
Так как его длина не зависит от выбора базиса, мы имеем
Равенство длин переписывается в виде gy dxl dxl = gM dxk dxl. Подставляя в пра-
dxk
вую часть выражения вида dxk = —т dx\ получаем
Равенство форм означает равенство всех коэффициентов, и мы тем самым дока-
доказали следующий факт.
Лемма 3,4. Коэффициенты первой квадратичной формы
записанной по отношению к разным системам координат, связаны соот-
соотношением
п - дх*дх1
8* = *»!?*?•
Гладкое отображение одной поверхности в другую называется изометрией,
если оно сохраняет длины всех кривых. Запишем его в локальных координатах.
Пусть
Условие изометричности эквивалентно тому, что
gii(y(x)) dyl dyl = gij(y(x)) —k TT dxk dxl = gki dxk dxl, C.1)
где gki dxk dxl и gy dy% dy1 — первые квадратичные формы поверхностей.
з*

68 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Действительно, пусть r(t) = (jc1 (/), x2(t)) — кривая и r(t) — ее образ,
Их длины совпадают, если
При изометрии это равенство выполняется для любой кривой r(tf), что равно-
равносильно соотношениям C.1).
2. Площадь поверхности. Площадью области U на поверхности г= r(u, v)
называется величина
Здесь область U задана параметрически координатами и и у, а
g = det(ft,) = gnfy - g\2 = EF - G2.
Это определение, как и определение длины кривой, принимается за аксиому. Но
мы изложим некоторые обосновывающие его аргументы.
Пусть ё\у e<i — базис в R2 и Цц = (в/, еу). Найдем площадь параллелограмма
со сторонами ё\ и ё2. Построим такой ортонормированный базис ви ^2. что
Площадь параллелограмма равна \ас\. Легко проверить, что
Пусть область U лежит на поверхности
г = Пх,у)
и проектируется на область V на плоскости ху. Площадь параллелограмма, на-
натянутого на касательные векторы гх и гу в точке (jc, у), равна y/g(x, у). Здесь
Касательная плоскость к поверхности в точ-
igrad/7 ке г(х0, Уо) — это такая плоскость в R3, что она
проходит через точку г(хо> уо) и все ее векторы
являются касательными. Она задается уравнением
z = Zo + fx(x - *о) + fy(y - Уо)у
где Zo = /(*о, ^о) и частные производные функции /
Рис. 3.4. Градиент функции берутся в точке (jc0, y0). Раскладывая функцию /
и касательная плоскость в ряд Тейлора, получаем уравнение поверхности
z = z0 + Ц* - *о) + fy(y - уо) + О(р2),
где р = у/(х - ХоJ + {у - #оJ. Значит, касательная плоскость с точностью О(р2)
приближает поверхность при р —> 0.

§3.3. Кривизна поверхности 69
Площадь области V на плоскости определяется как
dxdyy
т. е. как двойной интеграл от функции f(xy у) = 1 по области V. Для произволь-
произвольной функции /(*, у) двойной интеграл по V определяется как предел (если он
существует) суммы
взятый по разбиениям подобластей V С V на прямоугольники. Здесь (л:а, уа) —
середина прямоугольника из разбиения и в пределе области V исчерпывают V,
а стороны прямоугольников стремятся к нулю: Длса, Д(/а —>0. Параллелограм-
Параллелограммы в касательных плоскостях в точках (*а, */а) со сторонами гхАха и гуАуа
приближают поверхность с точностью до (Д*аJ 4- (АуаJ, и их площади рав-
равны y/g(xa, уа). Поэтому интеграл
jj
y/gdxdy
iv
естественно считать площадью области U на поверхности.
Примеры. 1. Если поверхность задана как график функции z = f(xy у)
и область U проектируется на область V на плоскости (х> у), то
оШ) =
2. Пусть поверхность задана уравнением ^(л:, j/,z) = 0,f2^0B области (/,
которая проектируется на область V на плоскости (jc, у). Тогда
3. Если поверхность задана в параметрической форме г= r(u, v) и V—такая
область на плоскости (и, v), что r(V) = Uy то
Здесь [rtt, ry] — векторное произведение в R3, которое так и определено, что мо-
модуль |[?, у)]| равен площади параллелограмма, натянутого на векторы ? и 7).
§ 3.3. Кривизна поверхности
1. О понятии кривизны поверхности. Идея кривизны поверхности особен-
особенно просто видна в случае, когда поверхность задана как график функции и точка,
в которой вычисляется кривизна, является критической точкой этой функции.
Выберем такие евклидовы координаты в R3, что точка х = у = z = 0 лежит на
поверхности, в окрестности этой точки поверхность задана как график функции
z = /(jc, у) и ось z ортогональна поверхности в этой точке. Последнее условие

70
Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
означает, что точка х = у = 0 является критической точкой функции /: fx = fy = 0
при х = у = 0.
В точке х = # = 0 первая квадратичная форма равна dx2 + d*/2 (gfy = &,/),
а вторая квадратичная форма есть квадратичная часть разложения функции /
в ряд Тейлора:
bvdxfdxf = fxxdx2 + 2fxydxdy + /,,dt/2
при * = xx = 0, # = х2 = 0. Кривизна определяется посредством этой формы:
гауссовой кривизной поверхности в точке х = у = z = 0 называется определи-
определитель этой формы:
А = fxxjyy /.ад»
а средней кривизной — ее след, деленный попо-
пополам:
Это определение дает наглядное представление
о геометрическом смысле положительной или от-
отрицательной гауссовой кривизны:
1) если К> 0, то функция /(*, у) имеет в точке
х = у = 0 либо минимум (при // < 0), либо макси-
максимум (при Н > 0), и в окрестности этой точки вся поверхность лежит по одну
сторону от касательной плоскости, т. е. является выпуклой или, как говорят, вы-
выглядит как «шапочка» (рис. 3.6);
2) если К < 0, то точка х = у = 0 является седловой: в любой сколь угодно
малой окрестности этой точки поверхность лежит по обе стороны от касательной
плоскости и выглядит как седло (рис. 3.7).
Рис. 3.5. Специальные
локальные координаты
Рис. 3.6. Шапочка вниз (k\, k<i < 0)
и шапочка вверх F|, &2 > 0)
Рис. 3.7. Седло (К < 0)
Для прояснения связи кривизны поверхности с кривизной кривых на поверх-
поверхности мы обратимся к классическому подходу Эйлера.
2. Кривизна линий на поверхности. Рассмотрим поверхность, заданную па-
параметрически: г= r(a, v). Зададим к ней нормаль т в каждой точке по формуле

§3.3. Кривизна поверхности 71_
Из определения следует, что вектор п ортогонален векторам ги и rVi \n\ = 1 и базис
(>*«, ?v> n) положительно ориентирован.
Вторую квадратичную форму определим как выражение
где
L = (/•„„, /г), М = (rUVi я), N = (rvvt п).
Полагая х1 = и, г2 = и, будем также записывать ее в виде
bqdxfdxt, где L = bM, Л/ = 6|2, N = b22-
Лемма 3.5. Если г = г(и(/), у(/)) — гладкая кривая на поверхности, то
проекция ускорения на нормаль равна
(г, п) = Lu2 + 2Muv + Nv\
те. равна значению второй квадратичной формы на векторе скорости.
Доказательство. Вектор ускорения равен
г = гиий2 + 2ruvuv + rvvv2 + гий + rvv.
Умножая г скалярно на п, мы получаем
(/\ п) = (г„«, /2>й2 + 2(rttt,, лг>йй + (rWf az)zJ,
поскольку по определению (г„, п) = (г^, п) = 0. Лемма доказана.
Выберем на кривой г натуральный параметр / = /(/). Тогда по определению
\dr_
\dt
dt
Кривизна k кривой в R3 определяется из уравнения
где пг — вектор главной нормали к кривой г. Из леммы 3.5 следует, что
($' n)dl2 = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv* = budxfdxf,
т.е.
/d2r \ , (du\2 , OA. du dv , K,(dv\2
\ dl I V w/ / dl dl
Ho
d!2 = \r\2dt2,
и мы заключаем, что
„ \-/d2r „\ _ Lu2 + 2Мпу + Ni>2 _ Ь/ьх'х*

72
Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
где
Xх = и, х2 = v.
Произведение (пп п) равно косинусу угла между пг и п:
(/zr, n) = cos 8.
Тем самым нами доказана следующая теорема.
Теорема 3.2. Если кривая лежит на поверхности в R3, то произведение
кривизны кривой на косинус угла между нормалью к поверхности и главной
нормалью к кривой равно отноше-
in нию значений второй и первой ква-
квадратичных форм на векторе скоро-
скорости кривой.
Пусть r(w0» щ) — точка на поверх-
поверхности; проведем через нее плоскость,
у которой пространство векторов поро-
порождено нормалью п и касательным век-
вектором ? = Vru + ?2fV В пересечении по-
поверхности и этой плоскости получается
кривая в R3, которая называется нор-
нормальным сечением. Для нее cos б = ± 1, и знак зависит от того, по какую сторону
от касательной плоскости в точке r(w0, v0) лежит кривая. Величина
Рис. 3.8. Нормаль к кривой и нормаль
к поверхности
/г/
называется кривизной нормального сечения в точке r(uOi v0) и по модулю совпа-
совпадает с кривизной этого сечения как кривой в R3 (напомним, что по определению
кривизна кривой в R3 неотрицательна).
3. Собственные значения пары скалярных произведений. Рассмотрим об-
общую ситуацию, когда нам заданы два скалярных произведения G = (gij) и В = F/7)
на векторном пространстве и при этом произведение G невырожденно (детерми-
(детерминант этой матрицы отличен от нуля). Мы говорим, что скалярное произведение G
определяет геометрию пространства — евклидову, псевдоевклидову, симплекти-
ческую и т.д. Для наших узких целей—теории поверхностей в евклидовом про-
пространстве— нужен лишь случай, когда оба скалярных произведения симметричны
> 0 при ?^0. Однако другие случаи также весьма важны в приложениях.
Лемма 3.6. При переходе к новому базису (ёь ..., ёп) матрица Грама
скалярного произведения Q = ((е„ е,)) преобразуется по формуле
где Aet = ё, при I = 1,..., п.

§3.3. Кривизна поверхности 73
Доказательство. Разложим произвольный вектор по двум базисам:
и, так как ej = aje,-, получим
В матричном виде скалярное произведение выглядит так:
(Л (*\
(I, г)) = (V, • •. Д")<? ; =(!',..., I")(ai)g(aj) : = 1TATQA%
\rf) \ff)
где Л = (aj) и векторы записаны как (п х 1)-матрицы (столбцы).
Значит,
Q = ATQA.
Лемма доказана.
Пусть gi — матрица, обратная к g^, т. е. g*kgkj = Ц- Осуществим «поднятие
индекса» и построим оператор, заданный матрицей ftj = g bkr Его собственные
значения называются спектром пары скалярных произведений, заданных матри-
матрицами G = (gtj) и В = (Ьц). Иначе говоря, мы приходим к такому определению:
корни уравнения
det(B-XG) = 0
называются собственными значениями пары скалярных произведений.
Лемма 3.7, Собственные значения пары скалярных произведений не за-
зависят от выбора базиса в векторном пространстве.
Доказательство. Если задан другой базис, то матрицы Грама в нем
имеют вид АТВА = В и ATGA = G, и тогда
det(S - XG) = det(ATBA - \ATGA) =
= det AT det(B - XG) det A = detM det(B - XG).
Так как det Л ф 0, корни многочленов det(B — XG) и det(B — XG) совпадают. Лем-
Лемма доказана.
Лемма 3.8. Пусть G и В — квадратичные формы, т е. соответству-
соответствующие матрицы симметричны, и форма G положительно определена. То-
Тогда существует базис в векторном пространстве, в котором матрица
G = (gij) единичная, а матрица В = (Ьц) диагональная.
Доказательство. Рассмотрим G как скалярное произведение: E, г)) =
= gifirf. Тогда для него существует ортонормированный базис. В нем G задается
единичной матрицей, а В — симметричной матрицей. Из курса алгебры извест-
известно, что любая квадратичная форма вращением приводится к форме, заданной
диагональной матрицей. Лемма доказана.

74 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Для двумерного пространства мы явно построим этот базис. Пусть В =
= ( , 1. Собственные векторы $ь ?2 удовлетворяют уравнениям S&f = Х/5ь
и Х|, Х2 — корни уравнения
det(B-X.l) = 0.
Легко показать, что эти корни вещественны и равны
. а + с ± у/(а - сJ + 4Ь2
^1.2 = 2 '
Если Х| = Х2, то а = с, b = 0 и матрица В уже кратна единичной. Если Х| ф Х2, то
и, так как форма симметрична, мы имеем
Из равенства (Х| — Хг)E|. 5г) = 0 следует, что Ei, ?2) = 0. Значит, векторы ?| и ?2
ортогональны, и в базисе в\ = ?i/|?i|, е2 = $2/|5г| форма G задается единичной
матрицей, а В—диагональной.
Очевидно, что в базисе, указанном в лемме 3.8, выполняется равенство
А, (Г
в=\ ...
где Хь...,Х„ — собственные значения пары форм. Направления векторов
?i, ..., еп называются главными направлениями.
Выше в двумерном случае мы уже доказали следующее утверждение.
Лемма 3.9. Если собственные значения пары квадратичных форм раз-
различны, то соответствующие главные направления ортогональны (отно-
(относительно формы G).
Доказательство. Пусть Х| ф Х2. Тогда
следовательно, (?i, ?2) = 0. Лемма доказана.
4. Главные кривизны и гауссова кривизна. Вернемся к нашей геометриче-
геометрической ситуации, где G и В — первая и вторая квадратичные формы поверхности
в точке г(н<ь Vq). Тогда из доказанных выше алгебраических лемм получаем сле-
следующую теорему.
Теорема 3.3. Для каждой точки поверхности существуют такие ко-
координаты хх и х2 в ее окрестности, что в этой точке первая и вторая
квадратичные формы принимают вид
Ьц d)t dx1 = kx (dx1J

§3.3. Кривизна поверхности 75
На самом деле мы построили такие координаты еще до начала изложения те-
теории в п. 1, задав поверхность в виде графика функции z = f(x, у), где fx = fy = O
в изучаемой точке х = х1, у = х2.
Заметим, что привести даже только первую квадратичную форму к такому
виду в целой окрестности в общем случае нельзя.
Собственные значения k\ и k2 называются главными кривизнами поверх-
поверхности в данной точке. Их произведение
называется гауссовой кривизной поверхности, а их полусумма
„ k\ + k2
2
— средней кривизной поверхности.
Рассмотрим уравнение det(S — XG) = 0, корни которого есть k\ и k2:
det(fl - XG) = X2 det G - \(gub22 + g22bn - gl2b2l - g2lbl2) + det В = 0.
Применяя теорему Виета, получаем следующее утверждение.
Теорема 3.4. Гауссова кривизна равна отношению определителей пер-
первой и второй квадратичных форм:
А2
„ __ det В __ b\\b22 -b]2
"" detG "" ^^ g2'
а средняя кривизна равна
2
Если ^ = 5'г,* — касательный вектор в точке, то кривизна соответствующего
нормального сечения равна
Обозначим через а угол между ^ и направлением вектора дг/дх]. Тогда
cos2a - К ) s:n2 _ ^ )
(?1J + E2J' E1J + E2J*
В итоге мы доказали следующую формулу Эйлера.
Теорема 3.5. Кривизна нормального сечения, порожденного касатель-
касательным вектором !;, равна
k — k\ cos2 a + i2 sin2 а,
где k\,k2 — главные кривизны, а а — угол между 2; и главным направлением,
заданным вектором —г.
дх1
Положим для определенности k\ < k2. Тогда k\ и k2 — минимум и максимум
кривизн нормальных сечений.

76 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Пример. Пусть поверхность задана как график функции z = f(x, у). Тогда
г, = A,0,/,), rf = @, l,/f), [rXf г,] =(-/*, -/„ 1),
fxx = @, 0, /«), гху = @, 0,
Так как
мы получаем такой результат.
Следствие З.Ь Если поверхность задана в виде графика функции г =
= /(*» У)'t ^о ее гауссова кривизна равна
V fxxfyy ~~ fxy
Мы уже приводили эти формулы в п. 1 для случая fx = fy = 0.
§ 3.4. Основные уравнения теории поверхностей
1. Деривационные уравнения как условие «нулевой кривизны». Кали-
Калибровочные поля. Для каждой точки поверхности г = г(х\ х2) векторы
дг дг
образуют базис трехмерного векторного пространства. Разложим по нему част-
д2г
ные производные r]k = . k:
Гц = Г],Г| + Г?,Г2
f\2 = /21 =
г22 =
Эти уравнения кратко записываются в виде
/у* = Т)кгг + bjkn.
Так как векторы Г\ и г2 ортогональны л, мы получаем
Ьц = (nh я>,
и, следовательно, это коэффициенты второй квадратичной формы.

§3.4. Основные уравнения теории поверхностей 77
Величины
называются символами Кристоффеля.
По построению вектора я мы имеем
(я, я) = 1, (я, г,) = (п, г2)=0,
и, следовательно,
?<«,«>=о, ?<«,о> = о
для всех /, /=1,2. Как и при выводе уравнений Френе, мы получаем из первого
равенства, что
<*••>¦*
и поэтому дп/дх1 является линейной комбинацией векторов Г\ и г2:
Чтобы найти коэффициенты а{, воспользуемся другими равенствами:
?<я. 0> = ($. О) + <«.'«> = 0,
которые переписываются в виде
а* (гь о) + Ьч = affty + й/; = 0. C.3)
Матрица Грама (#/,) обратима, так как скалярное произведение невырожденно.
Обратная матрица к матрице Грама обозначается через
Умножив левую часть равенства C.3) на (g^) и просуммировав по /, получим
откуда находим коэффициенты (а{):
Системы уравнений
где
Г', Г?,
612 , Л2= Г^ 12
-&2*g*2 0
= Г|2 Г?2

78 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
называются деривационными уравнениями. По своему геометрическому смыс-
смыслу они должны быть совместны:
что эквивалентно выполнению уравнений
Так как Г|, r2, n образуют базис, мы получаем
^-0 = И„Л2], C.4)
где [Л|, А2]— коммутатор матриц А\ и А2: [А\, А2] = А\А2 - А2А\.
Уравнения C.4) мы назовем уравнениями нулевой кривизны; в теории по-
поверхностей они называются уравнениями Кодацци. Вместе с тем уместно отме-
отметить, что мы встречаемся в данном случае со следующей весьма общей ситуацией.
Пусть задано семейство квадратных матриц At(x\ ..., xk)t /= 1, ...,&, на-
называемое калибровочным полем. Нужно найти семейство матриц ф(х!, ..., xk),
удовлетворяющее набору уравнений
Цг-4Ф. <•=! *¦
В данном случае k = 2, и матрица ф есть матрица перехода от единого орто-
нормированного базиса в R3 к базису гь г2, /г, который зависит от точки поверх-
поверхности.
Из коммутативности смешанных производных следует, что задача нахождения
семейства матриц ф разрешима, если и только если выполнено уравнение нулевой
кривизны.
При замене ф(х) —> Q(x)ty(x) = ср(х) новая матрица удовлетворяет системе
где новая компонента калибровочного поля А{ связана со старой калибровочным
преобразованием вида
Д. = -Q-'|?+ <?-%<?(*).
Семейство матриц
dA dA
параметризованное индексами /,/= 1, ..., Л, называется кривизной калибро-
калибровочного поля. При калибровочных преобразованиях кривизна, как следует из
простого вычисления, преобразуется по правилу

§3.4. Основные уравнения теории поверхностей 79
Можно заметить, что компоненты кривизны, рассматриваемые как операторы,
представляются в виде коммутаторов ковариантных производных
[VlfVy] = % V, = * - Л,.
Позднее мы вернемся к калибровочным полям. Они имеют фундаментальное
значение в современной математике и физике.
Как показывает следующая лемма, коэффициенты матриц А\ и А2 определя-
определяются только первой и второй квадратичными формами.
Лемма 3.10. Справедливы равенства
Доказательство. Из определения символов Кристоффеля следует, что
Отсюда выводим, что
Wdgu dgji dgij\
2fe + ^7-^7J=r^
Чтобы завершить доказательство, достаточно умножить обе части этого равен-
равенства на gkl и просуммировать по /. Лемма доказана.
2. Уравнения Кодацци и sin-Гордон. Уравнения Кодацци являются необ-
необходимыми и достаточными условиями того, что форма (bij) является второй ква-
квадратичной формой поверхности с метрикой (g/y). Если они выполнены в окрест-
окрестности U точки (Xq, jCq), to можно показать, что разрешимы деривационные урав-
уравнения с такими начальными условиями в точке (х10, х\), что
(П, П) = ёч(хо> 4)» (П> п) = 0, (/г, п) = 1.
Последние два условия относятся к начальным данным, но из вида уравнений
следует, что они будут выполняться всюду. После этого поверхность локально
строится по формуле
г(х\ х2) = r(xl 4) + /V. dyx
где интеграл берется вдоль любого пути из точки (xlOi xl) в точку (jc1, x2) в доста-
достаточно малой окрестности V точки (х10, х%) (в действительности здесь достаточно
потребовать, чтобы окрестность V была односвязной; мы подробно обсуждаем
это в п. 1 §4.5 на примере минимальных поверхностей). При этом так же, как
и при доказательстве теоремы 1.10, показывается, что (g/y) и (Ьц) определяют
поверхность с точностью до движений R3.
Следующее утверждение доказывается прямыми вычислениями.

80 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Лемма 3.11. Уравнения Кодацци имеют вид
bi-blkblj, C.5)
C.6)
Уравнения C.5) называются уравнениями Гаусса.
Левые и правые части уравнений C.5) и C.6) меняют знаки при перемене/ и k
местами. В действительности мы получаем три независимых уравнения. Одно из
них получается следующим образом. Умножим обе части уравнения C.5) на gml
и просуммируем по /, получив эквивалентную систему уравнений, параметризу-
параметризуемых индексами /, у, /г, т. Можно показать, что при перестановке индексов /
и т местами левые и правые части этих уравнений меняют знаки. Значит, в дей-
действительности есть только одно уравнение, получаемое, например, при / = у = 1,
k = т — 2. Два других уравнения получаются при подстановке в уравнение C.6)
значений i = у = 1, k = 2.
Пример. Поверхности постоянной отрицательной
кривизны /С = — 1.
Из курса аналитической геометрии известно, что квадратичная форма Q от
двух переменных, для которой det Q < 0, распадается в произведение линейных
форм. Поэтому вторая квадратичная форма поверхности отрицательной кривизны
(К < 0) имеет вид
Ьц dxl dxs = (A dxK + В dx2)(C dxx + D dx2)y
причем в малой окрестности заданной точки линейные формы можно взять глад-
гладкими. Направление касательного вектора ? = B;1, ?2) называется асимптотиче-
асимптотическим (в точке), если biffV = 0. В данной ситуации
эти направления находятся из уравнений
За них можно взять направления векторов
(В, -Л) и (Д -С). Так как
AJB-A\ . , (А
det I n _r)=det(r
Рис. 3.9. Асимптотические \и и/ \и
направления в ОКрестности ТОчки можно выбрать такие коорди-
координаты и и у, что векторы (В, —Л) и (D, —С) будут
касательными к кривым и = const и v = const. В этих координатах
Пусть
K_LN-M2 _ -b2 _ 1
А" EG-F2 " EG-F2~

§3.4. Основные уравнения теории поверхностей 81
Тогда Ь2 = EG — F2 и из уравнений C.6) следует, что
dEL_dG___()
dv~ ди~~ '
где ?, F и G — коэффициенты первой квадратичной формы. Выберем новые ко-
координаты, полагая
х
= Г yfEdu, y= Гу/Gdv.
В этих координатах
gu dx1 dx1 = dx2 + 2 cos udxdy + dy2y bi} dxl dx1 = 2 sin со dx dyf C.7)
где со—угол между асимптотическими направлениями. Уравнения C.5) для такой
метрики сводятся к уравнению
(х>ху + sin (о = О,
которое называется уравнением sm-Лэрдон. В переменных ? = х + уу т = х- у
оно принимает вид
Уравнение sin-Гордон относится к числу точно интегрируемых нелинейных
уравнений, называемых солигпонными или KdV-подобными уравнениями (т.е.
подобными уравнению Кортевега—де Фриза (KdV)). По любому его ненулевому
решению со(х, у) ф 0 строятся первая и вторая квадратичные формы C.7), а по
ним — поверхность постоянной кривизны К = — 1. Несуществование у уравне-
уравнения sin-Гордон всюду геометрических @ < о < тг) решений послужило основой
теоремы Гильберта об отсутствии глобально регулярных погружений плоскости
Лобачевского в М3 (см. п. 4 §4.3). Еще в XIX в. Бианки и Ли обнаружили у это-
этого уравнения подстановки, позволяющие строить новые решения исходя из за-
заданных. Позднее они получили название «преобразований Бэклунда». Наличие
таких преобразований является характерным признаком знаменитых интегриру-
интегрируемых систем (уравнение Кортевега—де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдин-
гера (NLS), уравнения sin-Гордон (SG), Кадомцева—Петвиашвили (КР) и др.)
и позволяет строить их простейшие решения. Общие быстроубывающие (солито-
ноподобные) решения строятся методами обратной задачи рассеяния, перио-
периодические по х решения строятся методами анализа на римановых поверхностях
(конечнозонное интегрирование).
3. Теорема Гаусса. В уравнениях C.5) положим / = / = 1, k = 2, умножим
обе части на g2/ и просуммируем по /. В правой части получится определитель
второй квадратичной формы, а в левой — выражение от g/y и символов Кри-
стоффеля, которые также выражаются через метрику. Подставив это выражение
в формулу для гауссовой кривизны, получим теорему Гаусса, которая утвержда-
утверждает, что гауссова кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой
квадратичной формы и их производные.

82 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
Впрочем, это можно доказать прямым вычислением. Из деривационных урав-
уравнений следует, что
(ги, г22) - (г,2, г,2> = bnb22 - b\2 + Г?,Г22?*/ - T\2T\2gkh
Но
<г„, r22) - (г12, г|2) - ^-^
что вытекает из соотношения
ijb=ife?={г""п>)+(г'ъ Г/*}+(Гь Г/ы)+(Гш> Г;)-
Осталось сравнить выражения для (Гц, r22) — (Г|2, г!2), чтобы завершить дока-
доказательство следующего факта.
Теорема 3.6. Выполняется равенство
и, следовательно, гауссова кривизна полностью определяется метрикой.
Из теоремы 3.6 следует, что гауссовы кривизны изометричных поверхностей
совпадают. В частности, верно следующее утверждение.
Следствие 3.2. Пусть область U на поверхности изометрично ото-
отображается на область плоскости. Тогда в каждой точке из U гауссова
кривизна равна нулю.
Доказательство. Примем евклидовы координаты х и у на плоскости за
координаты на поверхности. Так как отображение изометрично, метрика поверх-
поверхности имеет тот же вид dx2 + dy2, что и евклидова метрика плоскости. Поэтому
гауссова кривизна поверхности, как и гауссова кривизна плоскости, равна нулю.
Упражнения к главе 3
1. Пусть задана поверхность вращения:
г(и, ф) = (и, f(u) coscp, f(u) sincp).
Найдите первую и вторую квадратичную формы и докажите, что меридианы
{ф = const} и параллели {и = const} ортогональны друг другу. Отдельно рас-
рассмотрите случаи тора вращения и эллипсоида вращения.
2. Составьте параметрическое уравнение цилиндрической поверхности, об-
образованной всеми прямыми, параллельными вектору $ и проходящими через на-
направляющую кривую r=r(f).
3. Составьте параметрическое уравнение конической поверхности, обра-
образованной всеми прямыми, проходящими через направляющую кривую г = r{t)
и заданную точку Р, лежащую вне этой кривой.

Упражнения к главе 3 83
4. Поверхность, составленная из касательных к кривой, называется развер-
развертывающейся. Составьте параметрическое уравнение такой поверхности, отве-
отвечающей кривой r= r(t).
5. Вычислите первую и вторую квадратичные формы поверхности вращения
кривой у = a ch - вокруг оси Ох (катеноида) и найдите ее главные кривизны.
6. Поверхность называется линейчатой, если она параметрически задается
уравнением г = r(u> v) = p(u) + va(u). Составьте уравнения линейчатой поверх-
поверхности, образующие которой параллельны плоскости y = zn пересекают параболы
у2 = 2рх, z = 0 и z2 = -2рху у = 0.
7. Докажите, что у треугольника на стандартной двумерной сфере, составлен-
составленного из дуг больших окружностей, сумма углов больше гс, и выразите сумму углов
через площадь треугольника.
8. Вычислите первую и вторую квадратичные формы геликоида
r(uy v) = (ucosvy « sin и, av).
Докажите, что эта поверхность минимальна (т.е. # = 0), и найдите ее главные
кривизны.
9. Докажите, что поверхность вращения
г(м, ср) = (f(u)y */coscp, wsincp),
где
f(u) = ±(aln a + Vf ~^2 - Va2-w2), а > 0,
имеет постоянную гауссову кривизну К = -1 (эта поверхность называется по-
поверхностью Бельтрами).
10. Опишите поверхности, у которых все нормали пересекаются в одной точке.
11. Найдите гауссову и среднюю кривизны графика функции
12. Докажите, что поверхность, у которой гауссова и средняя кривизна всюду
равны нулю, является плоскостью.
13. Докажите, что средняя кривизна графика функции z = f(x, у) равна
14. Докажите, что если первая квадратичная форма поверхности равна
dl2 = A2du2 + B2dv2, A = A(u,v), B = B(u,v),
то гауссова кривизна имеет вид
15. Докажите, что две поверхности с одинаковой постоянной гауссовой кри-
кривизной локально изометричны.

84 Глава 3. Геометрия двумерных многообразий
16. Докажите, что цилиндрические и конические поверхности локально изо-
метричны плоскости.
17. Докажите, что в подходящих координатах метрика на поверхности вра-
вращения имеет вид dl2 — du2 + G(u) dv2. Укажите эти координаты для сферы, тора,
катеноида и поверхности Бельтрами.
18. Для поверхности 5, образованной касательными прямыми к кривой у, вы-
выразите гауссову и среднюю кривизны этой поверхности через кривизну и кручение
кривой у-
19. Найдите асимптотические линии на следующих поверхностях:
•»-(;¦!)'
б)г = ху.
20. Докажите, что в точке поверхности существуют ортогональные асимпто-
асимптотические направления тогда и только тогда, когда средняя кривизна в этой точке
равна нулю.
21. Докажите, что двумерная псевдориманова метрика типа A, 1) с ана-
аналитическими коэффициентами заменой координат приводится к виду dl2 =
22

Глава 4
Комплексный анализ
в теории поверхностей
§4.Ь Комплексные пространства и аналитические функции
1. Комплексные векторные пространства. Векторное пространство раз-
размерности п над полем комплексных чисел С образовано всеми векторами вида
где zk — комплексные координаты, ех, ..., еп — базис пространства, а / — мнимая
единица (/2 = — 1). Как и в вещественном случае, эти векторы можно складывать:
5i = z\eky $2 = z\ek -> ?, + ?2 = (z? 4- z\)ek
и умножать, но уже и на комплексные числа:
\1 = {\zk)eky X е С.
Это пространство можно также рассматривать как 2дг-мерное векторное про-
пространство над полем вещественных чисел с базисом в\, ..., еп, ieu ..., ien:
Данная операция называется овеществлением.
Линейные преобразования комплексного векторного пространства — это ото-
отображения, задающиеся матрицами А = (а*), а* Е С, det А ф 0, по формуле
Это определение копирует определение для вещественных векторных про-
пространств, как и определение линейного отображения одного пространства в дру-
другое.
Из определения следует, что линейные преобразования я-мерного простран-
пространства образуют группу GL(/z, С). Это группа комплексных (п х л)-матриц с оп-
определителем, не равным нулю. Матрицы из GL(n, С) с определителем, равным
единице, образуют группу SL(/z, С).
Векторы ^ = zkek являются радиус-векторами точек из декартова простран-
пространства Ся. При овеществлении линейные преобразования пространства Ся пере-
переходят в линейные преобразования пространства R2". Мы получаем гомоморфизм
групп
г: GL(n, С) -* GLBaz, R),

86 Плава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
называемый отображением овеществления. Здесь мы, чтобы различать веще-
вещественный и комплексный случаи, обозначаем через GL(&, R) группу GL(&) ли-
линейных преобразований пространства R* (эта группа была введена в § 1.3).
Разложим матрицу Л € GL(rt, С) на вещественную и мнимую части:
Л = AR + /Л,,
где Л/?, Л/ — вещественные матрицы размера п х /г. При овеществлении матри-
матрица Л переходит в
Например, группа GLA, С) образована ненулевыми комплексными числами
с операцией умножения. Пусть z = х + iy — координата вСиХ = а + /й€
€GLA,C). Тогда
D-
Образ отображения г: GL(n, С) —> GLB/z, R) выделяется следующим усло-
условием. Умножение на / при овеществлении имеет вид
i(ek) = iek, i(iek) = -ek.
Поэтому оно задается матрицей
где 1 —единичная матрица из GL(/2, R). Так как умножение на / коммутирует
с любым преобразованием Л G GL(n, С):
мы получаем
Поэтому матрицы г(А) коммутируют с r(i). Простым вычислением проверяется,
что матрицы, коммутирующие с г(/), имеют блочный вид f r R 1, т. е. в точ-
точности совпадают с образом отображения г.
2. Эрмитовы скалярные произведения. Выберем такое скалярное произ-
произведение, что координаты х\ ..., хпу у\ ..., уп будут евклидовыми. Длина кривой
zk(t) = xk(t) + iyk(t)y k = 1, ..., /г, заданной в комплексных координатах, равна
Таким образом, при определении длины вектора в комплексных координатах воз-
возникает комплекснозначное скалярное произведение в Сп:
Ь D.1)

§4.1. Комплексные пространства 87
Оно обладает следующими свойствами:
Любое скалярное произведение со свойствами 1—3 называется эрмитовым.
Если дополнительно выполняется свойство 4, то произведение называется поло-
положительно определенным.
Совершенно аналогично евклидовой ситуации доказывается, что для любо-
любого положительно определенного эрмитова скалярного произведения существует
базис, в котором оно имеет вид D.1).
Выпишем эрмитово произведение D.1) в терминах вещественных коорди-
координат *', у\ где Q = х' + *у, а = 1, 2, у = 1, ..., я:
- iyk2) = Y№4 + У\У\) +
Нами доказана следующая лемма.
Лемма 4.1. Положительно определенное эрмитово скалярное произве-
произведение в Сп имеет вид
где (•, -)R — вещественное симметричное (евклидово) произведение в М2л,
а со(-, •) — симплектическое произведение в Ш2п. В частности, эрмитов
и вещественный квадраты векторов совпадают:
Замечание. Аналогичная лемма верна для всех эрмитовых скалярных
произведений, в том числе и для не положительно определенных.
Заметим, что
а с другой стороны,
(?,, l2) = (flJi ,52>r + i«(«i Д2).
Сравнивая эти два выражения, получаем
Ei,52>r = «(«!, &). D.2)
Значит, эрмитово скалярное произведение полностью определяется своей мнимой
частью, симплектической формой о, или вещественной частью — симметричным
скалярным произведением.

88 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
3. Унитарные и дробно-линейные преобразования. Линейное преобразо-
преобразование А € GL(n, С) называется унитарным, если оно сохраняет положительно
определенное эрмитово скалярное произведение D.1):
для всех векторов ?ь ?2.
Выберем координаты, в которых эрмитово произведение имеет вид D.1). Тогда
условие унитарности записывается как
или, в матричной форме,
ЛТЛ=1. D.3)
Матрицы, удовлетворяющие соотношению D.3), образуют унитарную группу,
обозначаемую через \J(n). Из равенства D.3) следует, что
) = det A det A = |det A\2 = 1.
Подгруппа, состоящая из унитарных матриц с определителем, равным 1, обозна-
обозначается через SU(n).
Группа U(l) с GLA, С) состоит из таких чисел X, что |Х| = 1. Это значит, что
X = ёщ = cos(p + /sincp для подходящего угла ср и преобразование
ysincp
является вращением. Отсюда видно, что группа U(l) изоморфна SOB): отобра-
отображение овеществления переводит ё** е U(l) во вращение на угол ср.
Эрмитово скалярное произведение полностью определяется своей веществен-
вещественной частью по формуле D.2). Поэтому преобразование А G GL(/z, С) унитарно
тогда и только тогда, когда преобразование г(А) ортогонально:
г(Щп)) = ОBп) П r(GL(/i, С)).
Пространства С^ определяются по аналогии с псевдоевклидовыми: для них
квадрат длины вектора $ с координатами (?',..., ?л) равен
= WI2
112 -... -
где п — рл-q. Линейные преобразования, сохраняющие эту форму, образуют
группу U(p, q). Подгруппа U(p, q), состоящая из всех матриц с определителем,
равным 1, обозначается через SU(p, q).
Укажем еще несколько конкретных примеров групп преобразований. Матрица
CS)
лежит в UB), если и только если

§4.1. Комплексные пространства 89
Подгруппа SUB) выделяется дополнительным условием ad - be = 1 и поэтому
состоит из матриц вида
Группа SUA, 1) в свою очередь образована матрицами
Определим отображение SUA, 1) —* SLB, R) по формуле
aR + bt a,-\-bR
fa b\
\b a)
где a = aR + iah b = bR + ibh Оно является изоморфизмом групп: SUA, 1) ~
~ SLB, R).
Для группы SLB, С) существует гомоморфизм на группу L дробно-линейных
преобразований расширенной комплексной плоскости С = С U оо, т. е. комплекс-
комплексной плоскости, пополненной бесконечно удаленной точкой. А именно, сопоставим
матрице ( , 1, ad - be = 1, дробно-линейное преобразование
cz + d
Композиция дробно-линейных преобразований имеет вид
„ _ а'г' + У _ (аа!
Z c'z' + d! ~~ (c'a
c'z' + d! ~~ (c'a + d'c)z + (c'b + d'd) *
Поэтому построенное отображение
SLB, C)^L
является гомоморфизмом. Легко заметить, что его образом является вся группа L,
а ядро состоит из матриц 1 и —1. Тем самым, нами доказана следующая теорема.
Теорема 4.1. Группа L, состоящая из всех Дробно-линейных преобразо-
преобразований расширенной комплексной плоскости С = С U оо, изоморфна группе
SLB,C)/±1:
L-SLB,C)/±1.
4. Голоморфные функции и уравнения Коши—Римана. Переход к ком-
комплексным координатам приводит к введению частных производных
dzk 2\dxk dykJy
которые удовлетворяют естественным требованиям

90 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Очевидно, что
JL-JL + JL А.-(А <L\
dxk~ dzk + dzk* dyk~l\dzk дгЧ'
Из этих формул вытекает, что дифференциал комплекснозначной функции
/(z, z) = f(x\ ..., х\ у\ ..., уп) имеет вид
где
dzk = dxk + i dyk, dzk = dxk - i dy\
Операторы —-г и —т являются линейными комбинациями с постоянными
dzk dzk д д
коэффициентами операторов —г и —г, и поэтому для них выполняется формула
ах ду
Лейбница:
Функция f(x\ ..., хп, у1 у ..., уп) называется комплексно-аналитической
или голоморфной, если
^ = 0, Л=1,...,л.
Простейший пример комплексно-аналитической функции — это многочлен P(z).
Многочлен P(z, z) от двух переменных записывается как многочлен только
от z тогда и только тогда, когда
Действительно, пусть Р(г, г) = aozm + ... + am-Xz + ату где а0,..., ат — по-
постоянные. Так как
|[г"Ч = 0, |[Г] =
мы получаем, что dP/dz = 0. Обратно, любой ненулевой многочлен Р(г, z) пред-
представляется в виде
z, z) = аогт + ... + ат_,г + ат,
где а0, ..., ат — многочлены от z и старший коэффициент а0 не равен тожде-
тождественно нулю. Если т ф 0, то
и из того, что а0 ^ 0, следует, что -р ^ 0.
Этот факт верен и для сходящихся степенных рядов.

§4.1. Комплексные пространства 91
При п = 1 условие аналитичности имеет вид
dz 2\дх ду;
Разлагая / на вещественную и мнимую части: f(xt у) = и(х, у) + iv(x, у), мы пе-
перепишем эти условия в виде уравнений Коши—Римана:
ди _ dv ди _ dv
дх ~ ду' ду~ дх'
Из этих уравнений следует, что
Д и = Av = О,
где
— оператор Лапласа. Функции ф, удовлетворяющие уравнению Лапласа Дф =
= 0, называются гармоническими.
Как мы показали, вещественная и мнимая части комплексно-аналитической
функции являются гармоническими функциями.
5. Комплексно-аналитические замены координат. Множество U точек
из Ся называется областью в С1, если оно является областью в овеществлен-
овеществленном пространстве R2n. Предположим, что в области U заданы две комплексные
системы координат:
zl = хх + iyx, ..., zn = xn + iyn,
wx —их + lvx, ..., wn = ип + ш\
Это значит, что заданы такие гладкие функции
wk = wk(xx, ..., х\ ух, ..., уп), k = 1, ..., я, D.4)
что отображение (*, у) —> (и, v) обратимо и обратное отображение тоже гладкое.
Замена координат D.4) называется комплексно-аналитической (голоморф-
(голоморфной), если
Комплексная матрица Якоби для такой замены координат вводится по формуле
п' ~ дг"
и ее определитель называется комплексным якобианом:
Ус = det(af).
Замена D.4) определяет одновременно замену координат в овеществленном про-
пространстве:
и* = и*(*'. •••.*". </'-•••. Л.
у* = 0*(х',..., Xя, у1, ..., у"), k=l,...,n.

92 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Обозначим через /R ее якобиан:
JR = det a; ;.
Лемма 4.2. Для комплексно-аналитической замены координат выпол-
выполняется равенство
/r = |/с|2.
Доказательство. Так как
a a 0
матрица Якоби перехода от координат zl, ..., 2я, z], ..., zn к координатам до1, ...
..., доя, w',..., до" является блочной и равна
4° А/
Ее определитель равен
Отображение перехода от координат х\ ..., хп, у\ ..., уп к координатам г1, ...
..., 2я, г1, ..., г" или от координат и\ ..., ип, v\ ..., vn к ш1, ..., wn, wl, ..., wn
является линейным и задается матрицей
—i • 1
где 1„ — единичная (п х л)-матрица.
Рассматривая композицию замен (ху у) -¦ B, 2) —> (ш, ш) -¦ (w, v), получаем
/R = di
Лемма доказана.
Из доказательства леммы 4.2 и из теоремы об обратной функции вытекает
следующее утверждение.
Лемма 4.3. Если якобиан комплексно-аналитической замены
не равен нулю, то локально (в окрестности каждой точки) эта замена
обратима:
причем функции zk(w) комплексно-аналитичны.
Доказательство. Функции zk(wy w) существуют согласно теореме об
обратной функции. Матрица Якоби замены (до, w) —> (z, z) имеет вид
/л- _о\
\о л--;-
Следовательно, dzj/dwk = 0 при /, k = 1, ..., п. Лемма доказана.

§4.2. Геометрия сферы 93
Пусть U — область на поверхности с координатами х и у. Тогда z = хЛ-iy
задает комплексную координату (или комплексный параметр) на поверхности.
Этот параметр называется конформным, если первая квадратичная форма имеет
вид
g(x, y)(dx2 + dy2) = g(z, z) dzdz. D.5)
Координаты x и у в этом случае называются тоже конформными или изотер-
изотермическими.
Лемма 4.4. Конформный вид метрики D.5) инвариантен в точности
относительно комплексно-аналитических замен координат и их компо-
композиций с комплексным сопряжением.
Доказательство. Пусть z = z(w) и dz/dw = 0. Тогда
*-(?)<*. *-(?)«
2
dwdw.
\aw
При dz/dw = 0 доказательство аналогично.
Следовательно, указанные в лемме преобразования сохраняют конформный
вид метрики.
Пусть z = z(wy ш), dz/dw ф О и dz/dw ф О в какой-то области (Л Тогда
— dny Н—— ^ш) (-— dw ч—=: rft(y 1 =
dw dw ) \ <?ш ^ш /
^ш Эш <?ш/ dw dw
где w = и + iv и коэффициент при dw2 не равен нулю в области U. Лемма дока-
доказана.
§ 4.2. Геометрия сферы
1. Метрика сферы. Сфера S2 с R3 радиуса R с центром в начале координат
задается уравнением
х2 + #2 + г2 = /?2. D.6)
В сферических координатах г, в и ср это уравнение выглядит проще:
Поэтому параметры 8 и ср задают координаты на сфере без двух точек — «север-
«северного и южного полюсов». В этих точках 0 = 0 и 9 = к соответственно.
В сферических координатах евклидова метрика в R3 имеет вид
dy2 + dz2 = dt* + r*(dQ2 + sin2 6 dp2).

94 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
На поверхности уровня г = R дифференциал dr равен нулю, и метрика сферы
радиуса R имеет вид
где 0 < <р < 2к, 0 < 0 < л.
Расстояние между точками Р и Q на поверхности определяется как нижний
предел
Q) = inf/(r)
= Г/^/02 + sin20cp2d/^ f R\f&dt> Г
J a Ja JO
длин кривых г на поверхности, соединяющих точки Р и Q.
Пусть Р+ — «северный полюс» (т. е. 0 = 0) и Q = @О, сро). Рассмотрим кривую
г: [a, b] -> S2, соединяющую эти точки: г(а) = Я+ и r(b) = <?. Тогда мы имеем
/(г)
Большими кругами на сфере S2 называются пересечения сферы с плоскостями,
проходящими через начало координат. Легко заметить, что минимум длин кривых,
соединяющих Р+ и Q, достигается на наименьшем участке большого круга: так
как /(г) = /?0О лишь при ф = 0, длина любых других кри-
кривых больше /?0О.
Нами доказана следующая лемма.
Лемма 4.5. Расстояние р(Я+, Q) от «северного по-
полюса» Р+ = @, 0, R) до тонки Q = @О, сро) равно /?0О
и достигается в точности на наименьших участ-
участках больших кругов.
Обозначим через Bt круг радиуса е с центром в Р+ на
. . _ сфере, т. е. совокупность таких точек <?, что р(Я+, Q) < е.
Рис 41. Большие г» V г
В сферических координатах он выделяется неравенством
круги — геодезиче- -г г г г
ские на сфере 0 < —,
а его граница — «окружность радиуса е» — задается уравнением
•-*•
Длина этой окружности равна
/»2
= /
а площадь круга Вс —
Г
ое= f d(f Г
Длина /е достигает своего максимума на экваторе 0 = к/2 и равна 2л/?, т. е. длине
большого круга. При е = tzR круг Ве совпадает со всей сферой, и мы выводим,
что площадь сферы равна 4к/?2.

§4.2. Геометрия сферы 95
При е -» 0 мы имеем следующие разложения:
U = 2ке - ^ е3 + О(е5), ос = ке2 - -^ е4 + О(е6). D.7)
Заметим, что нормальные сечения сферы — это большие круги, их кривизны по-
постоянны и равны /?-'. Следовательно, гауссова и средняя кривизны сферы равны
Разложения D.7) переписываются при этом в виде
U = 2*е - ? Tie3 + О(е5), ае = ке2 - ^ ке4 + О(е6). D.8)
Старшие члены этих разложений — это длина окружности и площадь круга ра-
радиуса е на евклидовой плоскости. Отклонения от евклидова случая оцениваются
через кривизну:
Д/6--|ке3, Да6~-?-*е4
при е —>0.
2. Группа движений сферы. Рассмотрим движения сферы S2, т. е. такие ото-
отображения ф: S2 —> 52, что они сохраняют длины кривых:
для любой кривой г. Из определения расстояния следует, что движения сохра-
сохраняют расстояние между точками:
для любых точек Я, Q E S2.
Ортогональное преобразование х —»Лл:, где Л € 0C), переводит сферу D.6)
в себя и сохраняет евклидову метрику в R3. Поэтому каждое ортогональное пре-
преобразование является движением сферы.
Для любой пары точек Р и Q на сфере существует такое ортогональное пре-
преобразование Л, что Л(Q) = Р. В частности, любая точка переводится в «северный
полюс» Р+ = @, 0, /?). Поэтому, грубо говоря, в окрестности любой точки сфера
устроена одинаково. Ортогональные преобразования переводят большие круги
в большие круги. Нами доказана следующая лемма.
Лемма 4.6. Асимптотики D.8) длин окружностей и площадей кругов
радиуса е выполняются в окрестности любой тонки сферы.
Расстояние между любыми двумя точками Р, Q € S2 равно длине наи-
наименьшего участка большого круга, на котором эти точки лежат. Если
р(Я, Q) < к/?, то через точки Р и Q проходит в точности один большой
круг.
Прежде чем полностью описать группу движений сферы, докажем следующее
утверждение, вытекающее из леммы 4.5.

96 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Лемма 4.7. Если движение сферы D.6) оставляет на месте точку Р+ =
= @, 0, /?), то оно является или вращением вокруг оси zy или композицией
такого вращения и отражения относительно плоскости xz: (х, у, z) -»
-> (*, -tf, z).
Доказательство. Так как движение сохраняет расстояния между точ-
точками, согласно лемме 4.5 оно переводит окружности 0 = const в себя. Его дей-
действие на них задается формулой
где е@) = ±1. Но движение переводит кратчайшие линии ф = const в кратчайшие
линии, проходящие через Р+. Поэтому е@) и фо(8) не зависят от 0 и движение
имеет вид
ф —> ±ф 4- ф0.
Лемма доказана.
Теорема 4.2. Движения сферы D.6) — это в точности ортогональные
преобразования пространства R3.
Доказательство. Пусть ф: S2 —> S2 — движение и ф(Я+) = Р. Возь-
Возьмем ортогональное преобразование х» переводящее Р в Р+. Тогда хФ — Дви-
Движение, оставляющее на месте точку Р+. По лемме 4.7 это движение является
ортогональным преобразованием. Следовательно, ф = х~ЧхФ)—ортогональное
преобразование. Теорема доказана.
Следствие АЛ. Движения сферы S2 образуют группу, изоморфную 0C).
Пусть Р+ = @, 0, /?) и Р_ = (О, О, -/?) — «северный и южный полюсы» сфе-
сферы S2. Построим стереографические проекции из этих точек на плоскость ху.
Пусть Q e S2 \ P+ — точка сферы, отличная от Р+. Проведем через Q
и Р+ прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью ху че-
через тц.(ф). Отображение
называется стереографической проекцией из Я+. В полярных координатах
(г, ф) на плоскости ху оно записывается в виде
Это отображение обратимо, поэтому (х, у) можно принять за координаты на
сфере S2 без «северного полюса» Р+. Метрика сферы dl2 = R2(dQ2 + sin20fifcp2)
в этих координатах задается формулой
Определим на S2 \ P+ комплексный параметр

§4.2, Геометрия сферы 97
По отношению к нему метрика сферы принимает вид
Мы видим, что параметр 2+ является конформным.
Аналогично определяется стереографическая проекция гс_ из «южного полю-
полюса» Р_. Она задается формулой
(e.q>)-(*tgf,<p).
На S2 \ Р_ вводится параметр
где (х, у) =к_(ф). Он тоже является конформным:
Если Q eS2\ {P+, P_}, т.е. Q — точка сферы, отличная от Р+ и Р_, то ее ко-
координаты z+ и г_ связаны соотношением
= —
Значит, замена координат z+ —> z_ является комплексно-аналитической. Нами
доказана следующая теорема.
Теорема 4.3. Сфера D.6) покрывается областями U+ и (/_, где U± =
= S2 \ P±, S2 = (/+ U ?/_. В этих областях заданы конформные параметры
z+ и 2_, которые в пересечении областей (/+ П ?/_ связаны формулой
Z+Z- = 1.
Метрика сферы в U± имеет вид
4/?2
Естественно формально сопоставить точкам Р+ и Р_ значения параметра
z+ = сю и г_ = оо. Поэтому в комплексной геометрии сферу S2 отождествля-
отождествляет с расширенной комплексной плоскостью С.
На С действуют дробно-линейные преобразования
az + Ь
z>ш
cz + d
Так как
ддо __ ad — be
А* ""
выполняется равенство
ad — bc= \.
\cz
4-1168

Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Мы получаем, что дробно-линейные преобразования сохраняют конформный вид
евклидовой метрики.
Пусть z равно z+ или г_. Тогда каждое дробно-линейное преобразование
задает отображение сферы S2 в себя. Найдем среди них такие преобразования,
которые являются движениями сферы. Это те преобразования, для которых
dwdw dzdz
(l+wwJ (\+zzJ'
Запишем левую часть в виде
1 dzdz dzdz _
\2' \cz + d\4
\cz + d\2
dzdz
+ \c\2)zz + (ab + cd)z + (ab + cd)z + (|fc|2 + \d\2)J'
Поэтому дробно-линейное преобразование является движением, если
\а\2 + \с\2 = 1, \b\2 + \d\2 = 1, ab + cd = 0, ad-bc= 1.
Эти равенства выполняются в точности тогда, когда матрица ( ,1 лежит
sSUB,.T.e.(» »).(_• J).W + W-I.
Мы получаем гомоморфизм
SUB)-OC)f
ядро которого равно ±1. Действительно, так как все движения сферы S2 ис-
исчерпываются ортогональными преобразованиями пространства R3 (теорема 4.2),
тождественное преобразование из 0C) оставляет все точки сферы на месте и по-
поэтому в него переходит только тождественное дробно-линейное преобразование
г~*2, т.е. ±l€SUB).
Движение сферы S2 называется собственным, если оно задается собственным
ортогональным преобразованием х —> Ах. При а = 1, b = 0 мы имеем тождествен-
тождественное преобразование z —> г, которое собственно. Так как det А непрерывно зависит
от а и b и может принимать лишь два значения 1 и -1, дробно-линейные пре-
преобразования могут задавать лишь собственные движения. Мы заключаем, что
дробно-линейные движения образуют подгруппу группы всех собственных дви-
движений сферы. Следующая теорема показывает, что эти группы совпадают.
Теорема 4.4. Группа SUB)/±1, образованная дробно-линейными движе-
движениями сферы D.6), изоморфна группе SOC), образованной собственными
ортогональными преобразованиями пространства R3.
Доказательство. Различные элементы из SUB)/ ± 1, как легко пока-
показать, задают различные дробно-линейные движения. Поэтому достаточно дока-
доказать, что любое движение из S0C) задается дробно-линейным преобразованием.

§4.3. Геометрия псевдосферы
99
Проекция 7i+ переводит точку Я_ в точку z = 0. Дробно-линейные движения
сферы С задаются формулой
az + b , |2 , |* .2 __ 1
—bz + a'
При b = 0 мы получаем все вращения сферы, оставляющие неподвижной точ-
точку Р_.
Пусть ф б SOC), ty(P-.) = Р и к+(Р) = го. Дробно-линейные движения пе-
переводят точку г = 0 6 С в любую точку из С. Возьмем такое дробно-линейное
движение х, что хBо) = 0. Движение хф собственное и оставляет точку Р_ на
месте. Согласно лемме 4.7 отображение хф является вращением, оставляющим
точку Р_ неподвижной. Поэтому движения хф и, следовательно, ф задаются дроб-
дробно-линейными преобразованиями. Теорема доказана.
§ 4.3. Геометрия псевдосферы
1. Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовых прост-
пространствах. Пусть R1*2 — псевдоевклидово пространство с координатами (/, х, у)
и метрикой
dl2 = dt2 - dx2 - dif. D.9)
В области t2 — х2 — у2 > 0 введем псевдосферические координаты (р, х» ф)-
где —оо <р<оо, 0<х<оо и 0<ср^2т1:. В этих координатах метрика имеет
вид
Псевдосфера радиуса R задается уравнением
(см. рис. 4.2). Она является двуполостным гиперболоидом, и его половины задают-
задаются в псевдосферических координатах уравнениями
р = R и р = -/?.
Мы ограничимся рассмотрением верхней полови-
половины, где р = R.
Псевдосфера является примером простран-
ственноподобной поверхности в R1'2: все ка-
касательные векторы к ней пространственноподоб-
ны. Поэтому, чтобы сделать индуцированную ме-
метрику положительно определенной, надо обратить
ее знак: первая квадратичная форма на такой по-
поверхности по определению есть -dl2. Рис. 4.2. Псевдосфера

100 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Гауссова кривизна пространственноподобных поверхностей в Rl>2 может быть
определена двумя способами.
Во-первых, построим единичный времениподобный вектор нормали п к по-
поверхности и зададим вторую квадратичную форму равенством
где г — /•(*', хг) — поверхность, заданная параметрически. Положим теперь
Например, для поверхностей, заданных как график функции / = /(*, у), имеем
fydxfdxf = -rf/2 = (I -fx)dx2 -2fJ,dxdy + (l -fy)dy\
где хх = jc, x2 = у. Вектор нормали равен
и гауссова кривизна согласно определению равна
(l-Гх-ПГ
Во-вторых, можно вычислить гауссову кривизну по метрике, используя фор-
формулы из леммы 3.10 и теоремы 3.6.
Используя аналоги уравнений Кодацци для пространственноподобных по-
поверхностей в R1'2, можно показать, что оба способа приводят к одинаковым от-
ответам.
Заметим, что для поверхностей в R3 была почти такая же формула C.2), но
с другими знаками:
jr _ fxxfyy ~ fxy
Верхняя половина псевдосферы задается уравнением
Подставляя эту функцию в формулу D.11), получаем
Таким образом, мы показали, что псевдосфера имеет постоянную отрицательную
кривизну.

§4,3. Геометрия псевдосферы 1Ш_
2. Метрика и группа движений псевдосферы. На псевдосфере р = R мы
имеем dp = 0 и индуцированная метрика равна
Эта метрика называется метрикой Лобачевского или гиперболической ме-
метрикой. При R = 1 псевдосфера с такой метрикой называется плоскостью Ло-
Лобачевского или гиперболической плоскостью.
Псевдоортогональные преобразования из 0A, 2) переводят псевдосферу
в псевдосферу и, более того, задают ее движения. Любая точка псевдосферы
переводится в любую другую точку псевдосферы такими преобразованиями. По-
Поэтому при вычислении длин окружностей и площадей кругов радиуса г с центром
в точке Р достаточно взять за Р «северный полюс» Я+ = (У?, О, 0).
Доказательства следующих утверждений аналогичны доказательствам соот-
соответствующих лемм 4.5, 4.7 и теоремы 4.2.
Лемма 4.8. Расстояние от точки Р+ = (/?, О, 0) до точки Q верхней
половины псевдосферы равно /?х<ь где (х<ь фо) — координаты точки Q. Оно
достигается в точности на участке «прямой» ср = const, соединяющей
точку Р+ с точкой Q.
Лемма 4.9. Если движение псевдосферы D.10) оставляет на месте точ-
точку Р+ = (/?, О, 0), то оно является или вращением вокруг оси у, или ком-
композицией такого вращения и отражения относительно плоскости ху:
(/, *, у) -> (-/, х, у).
Теорема 4.5. Движения псевдосферы D.10) — это в точности псевдоор-
псевдоортогональные преобразования Rlf2, m е. линейные преобразования, сохра-
сохраняющие метрику D.9).
Длина окружности радиуса е равна
Г2п г г
/6= / Rsh-d(p = 2izRsh—,
Jo К Я
а площадь круга радиуса е равна
/»2я n/R / е \
Jo Jo \ К /
При е -> 0 мы имеем следующие разложения:
U = 2ке + -^ е3 + О(е5), ое = ке2 4- -^ е4 + О(е6). D.12)
Разложения D.12) переписываются в виде
U = 2те - ! кб3 + О(е5), ае = не2 - ^ ке4 + О(е6),
совпадающем с их аналогами для сферы D.6). Как и в том случае, старшие члены
этих разложений совпадают с длиной окружности и площадью круга радиуса г

102
Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
на евклидовой плоскости, а отклонения от плос-
плоского случая оцениваются через гауссову кри-
кривизну:
при е —> 0. Так как в плоском случае К = 0, мы
заключаем, что эти формулы верны при всех зна-
значениях кривизны.
3. Модели гиперболической геометрии.
Построим стереографическую проекцию к верх-
верхней половины псевдосферы из «южного полюса»
Р. = (-/?, 0, 0) на плоскость ху. Пусть Q—точ-
Q—точка на псевдосфере. Соединим ее отрезком пря-
прямой с точкой Р_. Точку пересечения этого отрез-
отрезка с плоскостью ху обозначим через n(Q) (см. рис. 4.3). В полярных координатах
на плоскости эта проекция имеет вид
/?sh}
va>y/ 'Vl+chx'
Это отображение обратимо, его образ является внутренностью круга х2 + у2 < /?2,
и поэтому (jc, у) можно рассматривать как координаты на псевдосфере.
В них метрика сферы R2(dy? + sh2x*&p2) имеет вид
Л/2 4/?4
Рис. 4.3. Стереографическая
проекция на псевдосфере
?*)'
Определив на псевдосфере конформный параметр
dy2).
R
представим метрику псевдосферы в виде
-dl2 =
4/?2
rdzdS,
(i-N2J
где \z\ < 1. Это представление метрики Лобачевского на псевдосфере при /?= 1
называется моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Отобразим круг {|2| < 1} взаимно однозначно на полуплоскость {(*, у) \у>0}:
X~z w = x + iy.
1+г'
Координаты (х, у) на полуплоскости опять можно принять за координаты на
псевдосфере. В терминах этих координат метрика Лобачевского принимает вид
rtdx2
Полуплоскость {(*, у) | у > 0} с такой метрикой при R = 1 дает другую модель
плоскости Лобачевского.

§4.3. Геометрия псевдосферы 103
Верхняя половина псевдосферы с метрикой Лобачевского при R = 1 называ-
называется моделью плоскости Лобачевского на псевдосфере.
Дробно-линейное преобразование
A -bc=l, D.13)
=, adbc=l,
задает движение плоскости Лобачевского (в модели Пуанкаре), если
dwdw dzdz
,* . *,
и оно переводит круг \z\ < 1 в круг \w\ < 1. Распишем уравнение D.14) подробнее:
dwdw dzdz
A-И2J ~ (|cz + d|24az + /fJ ~
dzdz
((|с|2 - \a\2)zz + (cd - ab)z + (cd - ab)z + (\d\2 -
и поэтому условие D.14) выполняется при
\а\2 - |с|2 = \df - |6|2 = ±1, ab-cd = 0.
Условие \w\ < 1 влечет равенства
|a|2-|c|2=l, |d|2-|6|2=l.
Значит, матрица ( ,) € SLB, С), задающая дробно-линейное преобразо-
преобразование, являющееся движением плоскости Лобачевского, принадлежит группе
SUA, 1).
Собственные преобразования (ортохронные и сохраняющие ориентацию) из
0A, 2) образуют группу, которая изоморфна SUA, 1)/±1.
Если дробно-линейное преобразование D.13) переводит верхнюю полуплос-
полуплоскость у > 0 в себя, то a, ft, с и d — вещественные числа. При этом такое пре-
преобразование является движением полуплоскости с гиперболической метрикой,
сохраняющим ориентацию полуплоскости. Мы опустим аналогичные предыдущим
вычисления, подтверждающие это утверждение и то, что такие преобразования
задают все собственные движения. Они образуют группу SLB, R)/±l.
В итоге мы вывели такое следствие.
Следствие 4.2. Группы SUA, 1)/±1, SLB)/±1 и подгруппа группы
0A, 2), образованная собственными преобразованиями, изоморфны.
Подробный вывод этого следствия почти дословно повторяет доказательство
теоремы 4.4 с заменой в рассуждениях леммы 4.7 на ее аналог—лемму 4.9.
Каждая из этих групп задает все собственные движения плоскости Лобачев-
Лобачевского в одной из трех моделей (Пуанкаре, на полуплоскости, на псевдосфере).
Полные группы движений получаются присоединением обращающего ориента-
ориентацию движения и всех его композиций с собственными движениями. В модели на
полуплоскости это движение — отображение z -¦ -г, а в модели Пуанкаре —
сопряжение z —> z.

104 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
4. Теорема Гильберта о непогружаемости псевдосферы в R3. В п. 2 §3.4
мы показали, что уравнения Кодацци для поверхности постоянной отрицательной
кривизны сводятся к уравнению sin-Гордон
<АХу + sin 6> = 0,
где ху у— асимптотические координаты на поверхности, в которых первая и вто-
вторая квадратичные формы равны
= dx2 + 2cosudxdy + dy2, bVldxt dxl = 2 sin о dx dy, D.15)
где x{ = xt x2 = у и о — угол между асимптотическими направлениями. Поэтому
если мы имеем решение со уравнения sin-Гордон, которое удовлетворяет геоме-
геометрическому условию
и определено в какой-то области, то по этому решению можно построить погру-
погружение области U С R2 в R3, для которого первая и вторая квадратичная формы
примут вид D.15).
Как показал Гильберт, на всей плоскости такое решение найти нельзя. Отсюда
вытекает следующая теорема.
Теорема 4.6. Плоскость Лобачевского нельзя погрузить в R3.
Эта теорема утверждает, что не существует метрического погружения, при ко-
котором индуцированная метрика на двумерной плоскости есть в точности метрика
Лобачевского.
Доказательство. Мы дадим набросок доказательства, приняв без до-
доказательства тот факт, что если бы такое погружение существовало, то асимпто-
асимптотические координаты можно было бы ввести глобально. Это следует из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предположим, что такое погружение существует. Найдем его форму площади:
y/gdx dy = sin о) dx dy.
Рассмотрим «параллелограммы» Па,ь определенные условиями -а < х < а
и — b ^ у < Ь (см. рис. 4.4). Площадь такого «параллелограмма» есть
-ГГТ
гиг
7 7-5 /
Рис. 4.4. «Параллелограмм» на плоскости Лобачевского

§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра 105
га tb
\ I slm* dxdy, а этот интеграл согласно уравнению sin-Гордон равен
J —a J —6
/ / s\n(udxdy = - / <А>ху dx dy = ai + a2 + a3 + a4 - 2к,
J-a J-b J-a J-b
где a,- — внутренние углы «параллелограмма» Па,&. Мы имеем 0 < а, < к,
/= 1,..., 4, откуда следует, что площади «параллелограммов» Иа,ь ограничены
сверху величиной 2тс. Но при а, Ь —> со эти «параллелограммы» асимптотически
покрывают всю плоскость, а мы знаем, что площадь псевдосферы бесконечна.
Мы пришли к противоречию, которое завершает доказательство теоремы.
§ 4.4. Теория поверхностей в терминах конформного
параметра
1. Существование конформного параметра. Рассмотрим гладкую поверх-
поверхность в R3, заданную параметрически: г—г(и, и). Пусть
dl2 = Edu2 + 2Fdu dv + G dv2
— ее первая квадратичная форма.
Теорема 4.7. В окрестности любой тонки гладкой поверхности можно
ввести конформные координаты х и у, те. такие координаты, что
Доказательство. Прежде всего выведем уравнения, которым удовле-
удовлетворяют функции перехода к новым координатам
(и, v) -»(x(u, v)y y(u, v)).
Лемма 4.10. Если х, у — конформные координаты, то
(л \ал
*
_ 1 / Fdx ^n_dx\
y/EG — F2 V dv du/
Системы D.16) и D.17) эквивалентны.
Доказательство леммы. Равенство
g(dx2 + dy2) = Edu2 + 2Fdu dv + G dv2
можно преобразовать к виду

106 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Следовательно, оно эквивалентно системе уравнений
дх\2 + fdi\2 _ 1Е
ди dv ди dv g '
которая записывается в виде двух систем линейных уравнений
где Л — матрица Якоби замены координат: А = ( и ^а). Мы всего лишь пере-
\xv yvj
писали формулы перехода от одной матрицы Грама к другой
r(g 0\A_(E A
\0 g)A-\F О)-
А1
Возьмем квадратные корни из определителей левых и правых частей последнего
равенства и получим
Подставляя это выражение для g в уравнения D.18) и формально разрешая эти
системы, получим системы D.16) и D.17). Лемма доказана.
С каждой метрикой glk dx1 dxk связан оператор Лапласа—Бельтрами, дей-
действующий на функции ср (на поверхности) по формуле
Решения уравнения Бельтрами
называются гармоническими функциями (на поверхности). Для евклидовой ме-
метрики g,k = bjk оператор Лапласа—Бельтрами переходит в оператор Лапласа
и, если не оговорено противное, в дальнейшем именно этот оператор будет по-
пониматься под А.
Лемма 4.11. Если гладкие функции х(и, v) и у (и, v) удовлетворяют урав-
уравнениям D.16) и D.17), то они гармоничны:
Ах = Ау = 0.

§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра \ffl_
Доказательство. Подставим соотношения D.16) в очевидное урав-
уравнение
д2х д2х
dudv dvdu
И получим
= 0
Положив E = gw, F = g\2 и G = g22» перепишем это уравнение в виде Ay = 0.
Аналогично доказывается, что Ах = 0. Лемма доказана.
Прямой подстановкой показывается, что если функции х(и, v) и у(и, v) удо-
удовлетворяют уравнениям D.16) и D.17), то якобиан отображения (и, v) —* (х, у)
равен
2?г D|9)
где К= (dx/dv, -дх/ди) и скалярное произведение задается метрикой поверх-
поверхности. Действительно,
дх ду дх ду _
ди dv dv ди ~"
dv ди)
Для доказательства теоремы 4.7 необходимо следующее утверждение.
Лемма 4.12. В окрестности любой точки (и0, v0) поверхности суще-
существуют
1) такая гармоническая функция х(и> у), что в этой окрестности
2) функция у(и, v)y удовлетворяющая уравнениям D.17).
Мы примем эту лемму без доказательства. Заметим лишь, что в случае, когда
отображение r(u, v) аналитично, решения х(и, v) и у(и, v) могут быть построены
в виде сходящихся рядов.
Возьмем гармоническую функцию х(и, и), удовлетворяющую условию D.20)
в окрестности точки, и построим по ней решение у (и, v) уравнений D.17). Из
формул D.19) и D.20) следует, что якобиан отображения (и, v) -»(*, у) нигде
не равен нулю. Поэтому по теореме об обратной функции в малой окрестности
точки (#0, ^о) функции х и у задают локальные координаты. Из формул D.16)
и D.17) следует, что эти координаты конформны. Теорема доказана.

108
Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
2. Основные уравнения в терминах конформного параметра. Пусть х1
= х, х2 = у — конформные координаты:
Тогда, подставляя значения gjk в формулу
4й
дх1Г
найдем символы Кристоффеля:
р! _ р2 __ р2 __ т»1 1
1 11 — L 12 ~ L 21 — -*1 22 — 2
— Г1 — Г1 — —Г2 — —
22
D.21)
Согласно теореме 3.6 получаем формулу для гауссовой кривизны
1 / д2 д2 \ .
Эту формулу можно получить и по-другому, как следствие уравнений Кодацци,
записанных в терминах конформного параметра
z = х + 1у.
Обозначим через гг и г2 производные г по г и г. Распространим на комплексные
векторы 5 = ?'?,• и г) = г)*е*, где ?', rj* е С, /, k = 1, 2, 3, скалярное произведе-
произведение в R3:
Лемма 4.13. Параметр z = x + iy на поверхности г = г(ху у) является
конформным тогда и только тогда, когда
Доказательство. Левую часть можно записать в виде
и она равна нулю в точности при Е = G, У7 = 0. Лемма доказана.
Используя формулы D.21), перепишем деривационные уравнения в виде
<ГгУ
(ГгУ
ЦГ:Г\1
D.22)
где
О А
О О В
?? _fd о
О В\
0 j-
_М _25 о
А = {Гя, И), fl = {Гг1, П.),
п — вектор нормали к поверхности.

§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра 109
Выпишем вторую квадратичную форму
в терминах величин А и В. Так как
Г,2 =
мы имеем
(Ьп bn\_(L М\_BВ + А + А l(A-A) \
\b2i bv) ~\М NJ~\ i(A -A) 2B - (А + А)) '
Отсюда немедленно следуют формулы для средней и гауссовой кривизн:
Я=М У(=4(Д2-|Л|2). D.23)
Уравнения Кодацци есть условие совместности деривационных уравнений D.22);
они имеют вид
Прямыми вычислениями проверяется, что они сводятся к двум уравнениям:
-
Подставляя в них формулы D.23) для кривизн, мы приводим уравнения Кодацци
к виду
2^ ^ f^ D.24)
g dzdz s dz 2 dz
Второе из них распадается на два вещественных уравнения для вещественной
и мнимой частей выражений. Так получаются три вещественных уравнения Ко-
Кодацци (см. п. 2 §3.4).
3. Дифференциал Хопфа и его приложения. Выражение A dz2, где А =
= (гв, я)» называется дифференциалом Хопфа поверхности. При комплекс-
комплексно-аналитической замене координат z —* w (при переходе к другому конформному
параметру) оно преобразуется по правилу
т.е.

110 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Дифференциалы Adz2 — Adw2, удовлетворяющие равенству D.25), называ-
называются квадратичными дифференциалами.
Аналитические свойства дифференциала Хопфа отражают многие геометри-
геометрические свойства поверхности.
Теорема 4.8. 1. Квадратичный дифференциал Хопфа Adz2 обращается
в точке в нуль (А = 0) тогда и только тогда, когда в этой точке главные
кривизны совпадают: k\=k2.
2. Дифференциал Хопфа A dz2 голоморфен (т е. dA/dz = 0) в области
тогда и только тогда, когда в этой области средняя кривизна постоян-
постоянна: Я = const.
Доказательство. Совпадение главных кривизн означает равенство
нулю дискриминанта уравнения
f-XE M-\F\
)
Но дискриминант в нашей ситуации равен нулю в точности при
(А + АJ - (А - АJ = 4(Re АJ + Ц1тАJ = 0,
что эквивалентно равенству А = 0.
Равенство dH/dz = 0 переписывается в виде
dz~~2\dx l дуГ
и, так как Я — вещественная функция, равенство dH/dz = 0 эквивалентно то-
тому, что grad Я = 0. Теперь утверждение теоремы следует из уравнений Кодац-
ци D.24). Теорема доказана.
Точка поверхности, в которой главные кривизны совпадают, называется ом-
омбилической.
Из этой теоремы выводится следующее утверждение, известное как теорема
Дарбу.
Теорема 4.9. Если все точки некоторой области на поверхности омби-
омбилические, то эта область лежит либо на плоскости в R3, либо на сфере
Доказательство. Из условия А = 0 следует, что Н = const. Так как
Н = const, интегрированием по z деривационного уравнения пг = -Нгг получаем
п = -Нг + г0.
Если Н = 0, то вектор нормали п постоянен и поверхность совпадает с областью
плоскости, ортогональной вектору п. Если Н ф 0, то сдвинем поверхность на
го/Я: r-*r = r- rjH. Получим
(Яг, Нг) = (л, п) = 1
и (г, г) = 1/Я2. Значит, сдвинутая поверхность лежит на сфере радиуса 1/Я.
Теорема доказана.
Укажем некоторые приложения уравнений Кодацци в комплексной форме.

§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра Ш^
4. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Уравнение Лиувилля.
Пусть g(z, z) dzdz — метрика на поверхности и g = еф. Гауссова кривизна равна
? <4-26>
Если она постоянна, то функция <р удовлетворяет уравнению Лиувилля
Дер = -2Ке\
Это уравнение, как и уравнение sin-Гордон, тоже встречается в теории солитонов;
оно интегрируемо, но более простыми методами. Общее решение было найдено
Лиувиллем, и, например, при К = — 1 оно имеет вид
где А (<о), В(<о) — произвольные комплексно-аналитические функции, az = x + iy.
Отсюда можно получить общие решения при других
Теорема 4.10. Если гауссова кривизна поверхности постоянна, то по-
поверхность локально изометрична:
1) сфере при /С>0;
2) плоскости при К = 0;
3) псевдосфере при /С < 0.
Доказательство. Из равенства D.26) следует, что
и~ dz\ 2J~dz\ dzdz)~ \dz?dz dzdzdz)~ дг\дг? 2\dz
Таким образом, функция
голоморфна.
Выберем на поверхности такой конформный параметр до, что
Для этого заметим, что при замене координат z = f(w) метрика преобразуется по
формулам
dw
Функция ф(ш) равна
— ф(ш, ш) = ф(г, z) + In -j- + In -т=.
где /' = -J-. Выражение

112 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
называется производной Шварца. Можно показать, что уравнение
D.27)
на функцию / локально разрешимо. Действительно, функция ф(г) голоморфна и в
окрестности каждой точки представляется в виде сходящегося ряда по степеням
переменной г. Подставив этот ряд в уравнение D.27), можно найти локальное
решение в виде сходящегося ряда по степеням до.
Используем решение этого уравнения для замены координат. Получим
dw2 ~ 2*
Так как е~*/2 — вещественная функция, мы имеем
dw2
Отсюда следует, что
ё~7*12 = aww + bw + bw + с,
где а, с — вещественные постоянные, а Ь — комплексная постоянная. Метрика
поверхности принимает вид
и ее кривизна равна
Дробно-линейными преобразованиями форма D.28) приводится к одному из сле-
следующих видов:
4R2dzdz
dzdz при /С = 0,
4R2dzdz пл „ 1 п
ohW при /Cs=-j?<0-
Это — метрики сферы, плоскости и псевдосферы. Теорема доказана.
5. Поверхности постоянной средней кривизны. Уравнение sh-Гордон.
Несложно показать, что голоморфный дифференциал на сфере тождественно ра-
равен нулю. Поэтому из теоремы 4.9 следует, что если погруженная в R3 сфера
имеет постоянную среднюю кривизну Я, то она (в подходящих евклидовых коор-
координатах) задается уравнением
Погружение тора задается двоякопериодическим отображением плоскости в К3:
r:R2->R3,

§4.4. Теория поверхностей в терминах конформного параметра 113
где X ? Л и Л — решетка в R2, т. е. совокупность векторов вида рё\ + qe2> где
векторы ё\9 ё2 линейно независимы и /?, q е Z.
Теорема униформизации, являющаяся важным и глубоким фактом из комп-
комплексного анализа, в частности, утверждает, что конформный параметр на погру-
погруженном торе можно выбрать глобально. Это означает, что тор представляется
погружением
г: C->R3,
периодическим относительно решетки Л (возможно, отличной от А):
г(г + Х) = г(г), ХеЛ,
и при этом первая квадратичная форма всюду имеет вид
Решетка Л определяется при этом однозначно с точностью до аффинных пре-
преобразований комплексной плоскости z -> <хг + C и задает конформный класс
метрики на торе. Поэтому выберем на торе глобальный конформный параметр г.
Дифференциал Хопфа на торе имеет вид A dz2 = /(z, z) dz2, где функция /
двоякопериодична относительно сдвигов на X Е Л. Если Я = const, то / — голо-
голоморфная функция. Но двоякопериодические голоморфные функции постоянны,
поэтому А = const. Если А = 0, то все точки омбилические и по теореме 4.9 по-
погруженный тор должен лежать либо на плоскости, либо на сфере, что, очевидно,
невозможно. Положим ср = In g и перепишем первое из уравнений Кодацци в виде
ддср + 2е-*(В2 - \А\2) = 0. D.29)
Гомотетия г-*\г изменяет среднюю кривизну по формуле #—» ЯХ; используя
ее, мы приведем Я к виду Я = 1/2. Аналогично, заменив конформный параметр z
на [iz, где (i = const, мы приведем А к виду А = 1/4. Подставляя теперь выра-
выражения для ЛиВ = Яеф/2 в формулу D.29), мы получаем уравнение
Дер + sh ер = 0.
Это уравнение, так же как и уравнение sin-Гордон, относится к классу интегри-
интегрируемых (солитонных) уравнений. При этом следует учесть следующие два обсто-
обстоятельства.
1. В отличие от уравнения sin-Гордон, это уравнение является эллиптиче-
эллиптическим. Как следствие этого, оказывается, что каждое его двоякопериодическое ре-
решение без особенностей определяется римановой поверхностью конечного рода.
В гиперболическом случае, стандартном для теории солитонов, это не так; вер-
верно лишь, что подобные решения, называемые «конечнозонными», в ряде случаев
всюду плотны; появляются различные классы римановых поверхностей беско-
бесконечного рода, изученные лишь в отдельных случаях.
2. По любому двоякопериодическому гладкому решению этого уравнения
строится такое погружение комплексной плоскости С в R3, что средняя кривиз-
кривизна постоянна: Я= ^, и базисы (гх, гуу п) периодичны относительно решетки А.
Однако сама поверхность может и не свернуться в тор, а остаться погруженной

114 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
плоскостью или свернуться в цилиндр. Выделение среди таких поверхностей то-
торов постоянной средней кривизны, которые, как оказалось, существуют, является
отдельной задачей, которая решается в терминах анализа на римановых поверх-
поверхностях (см. [6, 53]).
§ 4.5. Минимальные поверхности
1. Формулы Вейерштрасса—Эннепера для минимальных поверхностей.
Красивым применением конформного параметра является общий метод постро-
построения минимальных поверхностей по паре комплексно-аналитических функций.
Мы изложим ее в этом параграфе.
Из деривационных уравнений D.22) следует, что
D.30)
где п — вектор нормали и gdzdz — метрика на поверхности r(z, z).
Поверхность называется минимальной, если ее средняя кривизна всюду рав-
равна нулю: Н = 0. Из формулы D.30) следует, что для минимальной поверхности
выполняется равенство
''-.-о.
dzdz
т. е. координатные функции x)(z, г), / = 1, 2, 3, гармоничны по отношению к кон-
конформным координатам:
где z = х + и/. Это свойство можно принять за определение минимальной по-
поверхности.
Мы видим, что функции
^ / - 1 2 Ч
являются комплексно-аналитическими. Так как параметр z конформный, из лем-
леммы 4.13 следует, что
Так как поверхность регулярна и ее метрика равна
I dzdz,
вектор-функция (dxl/dzy dx2/dz, dxz/dz) не имеет нулей.

§4.5. Минимальные поверхности Ш)
Оказывается, по любой вектор-функции ф = (cpi, cp2, срз), удовлетворяющей
этим условиям, можно локально построить минимальную поверхность. Более то-
того, это верно вообще для любой такой вектор-функции, определенной в одно-
односвязной области из С.
Область (У С С называется односвязной, если любое непрерывное отобра-
отображение f:Sl-*U единичной окружности {|г| = 1} С С в область U продолжается
до непрерывного отображения всего единичного круга {|г| < 1} в ?/. Простей-
Простейшими примерами односвязных областей являются круги {\z\ < /?}. Из теоремы
Стокса, которая будет доказана в гл. 9, следует, что для комплексно-аналитиче-
комплексно-аналитической функции f(z) в односвязной области U значения интегралов вида J f(z) dz
и J f(z) dz определяются только начальной и конечной точками путей, по которым
они были взяты. В теореме, которую мы сейчас приведем, это будет необходимо
для корректности определения минимальной поверхности.
Теорема 4.11. Пусть U — односвязная область на комплексной плоско-
плоскости С. Предположим, что на ней определена вектор-функция
<р: ?/->С3,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) ф — комплексно-аналитическая функция (те. каждая ее компонен-
компонента cpi, ф2 и ф3 комплексно-аналитична);
2) ф не имеет нулей в U;
? ! !
Тогда существует такая регулярная минимальная поверхность r(zy z),
что
?"^"UZ' dz' dz
и z — конформный параметр на этой поверхности.
Доказательство. Из теории аналитических функций известно, что если
функция / комплексно-аналитична, то значение интеграла
(f(w) dw + f(w) dw)
не зависит от выбора пути в односвязной области U из точки z0 в точку z. Поэтому
корректно определены функции
x'(zy z)= f (фу(ш) dw + фДш) dw). D.31)
Эти функции задают отображение
г: ?/ —R3, r=(jt',Jt2, jc3),
и очевидно, что
дг (дхх дх2 дхг
{

116 Плава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
Вектор-функция <р не имеет нулей, и поэтому (г2, rs) Ф О всюду. Но
(г„ гш) = | «г„ гх) + (г„ г,»
и
<Pl + Ф2 + фз = (Гг, Гг) = - ((г„ Гх) - (Г„ Г,)) - 5 <Г„ Г,) = 0.
Отсюда следует, что функции гх и гу всюду линейно независимы и параметр z
конформный.
Осталось заметить, что гг2 = 0. Из соотношения D.30) следует, что средняя
кривизна всюду равна нулю, т. е. поверхность минимальна. Теорема доказана.
Общее решение уравнения
з =
представляется в виде
ф <Х?
D-32)
причем любому ненулевому решению отвечают две такие пары — (xi, X2)
и (-хь -Хг)- Поэтому если имеется две комплексно-аналитические функции xi
и Х2, не обращающиеся одновременно в нуль в односвязной области (У, то по этим
формулам можно построить вектор-функцию ср. Эта функция будет удовлетво-
удовлетворять всем условиям теоремы 4.11, и по ней строится минимальная поверхность.
Метрика на этой поверхности будет равна
2(г„ гш) dz dz = (|х, |2 + Ы2J dz dz. D.33)
Обычно формулы, задающие плоскость по паре комплексно-аналитических
функций, пишутся в терминах функций / и g, удовлетворяющих соотношениям
/ = Х?. «7 = Х|. D-34)
Подставляя равенства D.32) и D.34) в D.31), получаем следующие формулы
Вейерштрасса—Эннепера:
x2(z, z) = -| J((I + g)fdw - (l+g2)fdw), D.35)
*3(z, 2) = Jifgdw + Jgdw).
Интеграл берется по любому пути в области U из точки z0 в точку z. Конечно,
в правые части можно добавить любые постоянные, задающие r(z0). Из постро-
построения ясно, что локально эти формулы задают любую минимальную поверхность.

§ 4.5. Минимальные поверхности
117
2. Примеры минимальных поверхностей.
Пример 1. Плоскость. В этом случае / = 1, g = 0 (илиxi = 1, Х2 =: 0)-
Мы получаем плоскость ху в трехмерном евклидовом пространстве.
Вообще говоря, поверхность, заданная локально как график функции z =
= /(jc, у), минимальна, если
^ = 0
(это следует из теоремы 3.4). Поэтому уравнение
= 0 D.36)
называется уравнением минимальных поверхностей в R3.
Оказывается, плоскость является единственной регулярной минимальной по-
поверхностью, которая задается как график функции, определенной на всей плос-
плоскости ху. Это следует из того, что только линейные функции f{xy у) = ах + by + с
являются гладкими решениями уравнения D.36), определенными на всей плос-
плоскости. Это — классическая теорема Бернштейна.
Пример 2. Катеноид. Если выписать условие минимальности для по-
поверхностей вращения, то полученное уравнение будет разрешимо и общее реше-
решение примет вид
где постоянная а не равна нулю. Эти поверхности получаются вращением графи-
графика функции ер вокруг оси х и называются катеноидами. В представлении Вейер-
штрасса—Эннепера они задаются функциями / = а/2, g= \/z (или xi = y/a/y/2,
X2 = y/a/(\/2z))y где zeC\ {0}. Областью определения функции z является плос-
плоскость с выколотой точкой, но входящие в формулы Вей-
ерштрасса—Эннепера интегралы не зависят от выбора
пути интегрирования. Явные формулы имеют вид
хх =
х2 = achus\nv,
где z = eu+iv.
Пример 3. Геликоид. Эта поверхность обра-
образуется при равномерном вращении прямой /, пересека-
пересекающей ось вращения, и одновременном равномерном пе-
переносе этой прямой параллельно оси вращения.
Геликоиды задаются функциями / = /a/2, g = \/z
(или xi = y/ai/y/2, X2 = y/ai/(y/2z)), где а — ненулевая
постоянная. Здесь z e С \ {0} и интегралы, входящие
в уравнение D.35), уже зависят от пути интегрирования.
Чтобы добиться однозначности, исключим из С веще-
вещественную отрицательную полуось R_, заданную форму-
формулами х ^ 0, у = 0. При этом мы получим один виток ге-
геликоида, отвечающий одному обороту / вокруг оси вра-
вращения. Весь геликоид получается аналитическим про-
Рис. 4.5. Катеноид
Рис. 4.6. Геликоид

118 Глава 4. Комплексный анализ в теории поверхностей
должением: надо склеить верхний берег одного экземпляра С \ R_ с нижним
берегом другого экземпляра и т. д. Явные формулы для геликоида имеют вид
хх = a shu sin и, х2 = а sh v cos и, хг = аи,
где z = e~i{u+iv) = ev~iu. Отсюда следует, что геликоид задается уравнением
Заметим, что данные функции xi и хг> по которым строятся катеноид и гели-
геликоид (при одном и том же значении параметра а), различаются множителем \//.
Вообще, если минимальные поверхности гиг таковы, что
dz" dz'
где а — вещественная постоянная, то они называются ассоциированными.
Из формулы D.33) следует, что ассоциированные поверхности локально изоме-
тричны. Для катеноида и геликоида а = к/2 и локальная изометрия дается ото-
отображением (w, v) —* (v, и). Однако глобально они выглядят различно: катеноид
является вложенным цилиндром, а геликоид—вложенной плоскостью. Послед-
Последнее следует из того, что геликоид может быть задан и другой парой функций:
/ = te~*, g = z, определенных уже на всей комплексной плоскости.
Рис. 4.7. Поверхность Эннепера
Пример 4. Поверхность Эннепера. Несмотря на свое простое
задание: / = 1, g = z (или xi = 1» Х2== z)» эта поверхность имеет самопересечения,
т. е. является погруженной.
Упражнения к главе 4
1. Докажите, что минимальные поверхности вращения — это в точности плос-
плоскость и катеноиды.
2. Пусть первая квадратичная форма имеет вид dl2 = du2 + G(u) dv2. Найдите
гауссову кривизну такой поверхности и постройте явно конформный параметр
на ней.

Упражнения к главе 4 119
3. Докажите, что при стереографической проекции двумерной сферы на плос-
плоскость каждое плоское сечение сферы (т. е. окружность, полученная как пересе-
пересечение сферы с плоскостью) переходит либо в окружность, либо в прямую.
4. Найдите риманову метрику на однополостном гиперболоиде, индуцирован-
индуцированную его вложением в IR1'2 как псевдосферы вещественного радиуса.
5. Докажите, что формулы Вейерштрасса—Эннепера D.35) задают любую
поверхность (не только минимальную) и при этом функции xi, X2 должны удо-
удовлетворять уравнению
U
где xi = л//ф|, Х2 = л//ф2» метрика имеет вид
и вещественный потенциал U выражается через метрику и среднюю кривизну Н
по формуле
При Н = 0 это представление переходит в формулы Вейерштрасса—Эннепера
для минимальных поверхностей.

Глава 5
Гладкие многообразия
§5.1. Гладкие многообразия
1. Топологические и метрические пространства. Для полноты изложения
мы приведем основные определения и факты из теории топологических и метри-
метрических пространств.
Говорят, что на множестве X задана топология, если в нем выделено семей-
семейство подмножеств, которые называются открытыми, и при этом выполняются
следующие требования:
1) объединение любого числа открытых множеств открыто;
2) пересечение конечного числа открытых множеств открыто;
3) множество X и его пустое подмножество, т. е. подмножество, не содержа-
содержащее ни одной точки X, открыты.
Множество X с заданной на нем топологией называется топологическим
пространством. Любое открытое множество, содержащее точку х € X, назы-
называется окрестностью этой точки.
Множество V с X называется замкнутым, если дополнение к нему — мно-
множество U = X \ V — открыто. Из свойств открытых множеств следует, что
1) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;
2) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто;
3) пространство X и его пустое подмножество замкнуты.
Для каждого подмножества Y топологического пространства X определена
естественная топология, которая называется индуцированной: множество V с Y
называется открытым, если оно является пересечением множества Y с открытым
множеством U из X: V = U ПК (см. рис. 5.1). Множе-
Множество Y с такой топологией называется подпростран-
подпространством топологического пространства X.
Также для каждого подмножества Y С X определено
его замыкание Y. Оно состоит из таких точек х Е Ху что
все окрестности точ^и х пересекаются с множеством Y.
Очевидно, что У С К и множество Y замкнутое.
Рис. 5.1. Индуциро- Отображение /: X-+Y топологических пространств
ванная топология называется непрерывным, если прообраз f~l(U) ка-
каждого открытого множества U С У является открытым
множеством в X. Для отображений евклидовых пространств Rrt -»Rm это опре-
определение совпадает с классическим.

§ 5.1. Гладкие многообразия 121
Если отображение топологических пространств /: X —> Y непрерывно, вза-
взаимно однозначно и обратное к нему отображение /~!: Y —> X тоже непрерывно,
то отображение / называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y назы-
называются гомеоморфными или топологически эквивалентными. С топологи-
топологической точки зрения такие пространства неразличимы и обладают одинаковыми
свойствами, если на них не введены какие-то дополнительные структуры, кроме
топологии.
Множество X является метрическим пространством, если на нем опреде-
определено расстояние между точками (элементами из X), или, как говорят, метрика.
Это значит, что определена неотрицательная функция
p:XxX-+R, р^О,
которая каждой паре точек jc, у € X сопоставляет расстояние р(лг, у) между
ними, и при этом выполнены следующие условия:
\)р(х,у)=р(у,х)\
2) выполняется неравенство треугольника
р(х, z) ^ р(х, у) + р(у, z) для всех х, y,z? X\
3) р(лг, у) = 0, если и только если х = у.
Открытым шаром В(х, г) радиуса е с центром в точке х е X называет-
называется совокупность всех точек из X, которые находятся от точки х на расстоянии,
меньшем чем е: В(х, г) = {уе X: р(х, у) < е}.
Подмножество U С X метрического пространства считается открытым, если
вместе с каждой точкой Xq E X оно содержит достаточно малый открытый шар
с центром в точке х0 (радиус шара зависит от точки Хо). Так определенные от-
открытые множества задают топологию на метрическом пространстве X.
Когда говорят, что топологическое пространство является метрическим, это
означает, что топология задается какой-то метрикой.
Пример. Евклидовы пространства R" являются метрическими с рассто-
рассто, заданным формулой р(*, у) = хп2(х1 - у1J, где х = (х\ ..., хп) и у =
V/=i
= (у\ • •., Уп) —точки из Шп.
Метрика рх на X индуцирует на каждом подмножестве Y с X метрику
?v(Xy у) = рх(х, у), ху у € У, и делает его метрическим пространством. Тополо-
Топология, заданная метрикой рк, индуцирована топологией пространства X.
Отображение /: X —¦ Y метрических пространств называется изометрией,
если оно сохраняет расстояния между точками, т. е. рх(х, у) = py(f(x), f{y))> и су-
существует обратное отображение /~': Y —> X. В этом случае говорят, что про-
пространства X и Y изометричны или метрически эквивалентны. Очевидно, что
такие пространства гомеоморфны.
Следующие определения фактически повторяют определения из курса мате-
математического анализа:
1) последовательность точек {хп} в метрическом пространстве фундамен-
фундаментальна, если для любого положительного числа е > 0 существует такое нату-
натуральное число N = N(e), что р(хт, хп) < г при т, п> N(z)\
янием

122 Глава 5. Гладкие многообразия
2) точка JCoo называется пределом последовательности {хп}: lim xn = xOOJ если
lim p(Xoo, хп) = 0.
я—»оо
Если каждая фундаментальная последовательность в метрическом простран-
пространстве X сходится к точке из X, то такое пространство называется полным.
Отображение метрических пространств /: X —> Y называется непрерывным
в точке хеХ, если из того, что lim хп = х, следует, что lim f(xn) = f(x). Ото-
/I—>ОО Я—ЮО
бражение / метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда оно
непрерывно в каждой точке.
Топологическое пространство X называется компактным (является компак-
компактом), если из любого его покрытия {(/«} открытыми множествами: X = \JUU9
N а
можно выделить конечное подпокрытие: X = \J 1)щ.
Подмножество Y с X топологического пространства называется компакт-
компактным, если оно компактно как топологическое пространство с индуцированной
топологией.
Следующая лемма позволяет установить компактность многих пространств.
Лемма 5.1. Пусть X — компактное топологическое пространство.
Тогда
1) если /: X—> Y — непрерывное отображение на все пространство У,
то пространство Y компактно;
2) если ZcX — замкнутое подмножество в X, то оно компактно как
топологическое пространство с индуцированной топологией.
Доказательство. 1. Пусть {(/«} — покрытие Y открытыми множества-
множествами. Так как отображение / непрерывно, множества /"~1(Ц*) открыты и они обра-
образуют покрытие пространства X. Из компактности пространства X следует, что
из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие f~x{Uj), j = 1, ..., k.
Теперь осталось заметить, что множества Uh j = 1..., ?, покрывают образ ото-
отображения / — пространство f(X) = Y. Следовательно, из любого открытого по-
покрытия Y можно выделить конечное подпокрытие. Значит, образ компакта при
непрерывном отображении тоже компактен.
2. Пусть {(/«} — покрытие пространства Z множествами, которые открыты
в индуцированной топологии. Это означает, что они имеют вид (/« = Z П Va,
где Va — открытое множество в X. Дополнение к Z — открытое множество X \ Z,
которое вместе с множествами { V*} образует открытое покрытие пространства X.
Выделим из него конечное подпокрытие X \ Z, Кь ..., Vk и заметим, что множе-
множества U\ = Z П V\9 ..., (/* = Z П V* образуют конечное покрытие пространства Z.
Значит, из любого открытого покрытия пространства Z можно выделить конечное
подпокрытие. Лемма доказана.
Следствие 5.1. Пусть X — компактное топологическое пространство
и /: X —>R — непрерывная функция. Тогда для любого значения сеЖ мно-
множество уровня f"l(c) = {х € X: f(x) = с] компактно.
Из курса математического анализа известно, что подпространство X с R"
компактно тогда и только тогда, когда множество X замкнуто и ограничено в R".

§5.1. Гладкие многообразия 123
Другой факт, известный из курса анализа, верен для всех компактных про-
пространств.
Теорема 5.1. Каждая непрерывная функция на компакте достигает
минимума и максимума.
Непрерывное отображение /: X —> Y называется соб-
собственным, если для каж-дого компакта К С Y его полный
прообраз f~l(K) тоже компактен.
Если для любых двух различных точек хи у топологи-
топологического пространства X существуют их окрестности U и V,
которые не пересекаются друг с другом: р с 2 Н
UnV=0, xeU, yeV, ресекающиеся
окрестности
то пространство называется хаусдорфовым (см. рис. 5.2).
Теорема 5.2. Каждое метрическое пространство хаусдорфово.
Действительно, если р(х, у) = г > О, то открытые шары В(х, г/3) и В(у, г/3)
с центрами в этих точках не пересекаются.
Существование метрики является самым эффективным способом доказать,
что топологическое пространство хаусдорфово. Мы будем в дальнейшем рас-
рассматривать только такие пространства и обычно не будем оговаривать это от-
отдельно.
Пространство X называется связным, если оно не представляется в виде объ-
объединения двух непустых непересекающихся подмножеств, которые открыты и за-
замкнуты одновременно.
Пространство X называется линейно связным, если любые две его точки
Х\, Х2 ЕX можно соединить непрерывной линией, т.е. существует такое непре-
непрерывное отображение /: [0, 1] —* X отрезка [0, 1], что /@) = Х\ и /A) = лг2.
Связное пространство X называется односвязным, если любое непрерывное
отображение /: S1 —> X единичной окружности {|г| = 1} С С в X продолжается
до непрерывного отображения единичного круга {\z\ < 1} в X.
Определение односвязности по-другому можно изложить с помощью понятия
гомотопии.
Непрерывные отображения /0: X —> Y и /|: X —> Y называются гомотоп-
гомотопными, если существует такое непрерывное отображение F: X х [0, 1] —> Y, что
при / = 0 оно совпадает с /0, а при t = 1 оно совпадает с /j: fo(x) = F(x, 0),
fx(x) = F(x, 1). Такое отображение называется гомотопией между отображени-
отображениями /о И /|.
Аналогично, пути г0: [0, 1] —> X и Г\: [0, 1] —> X из точки х0 в точку Х\ назы-
называются гомотопными, если существует такая гомотопия между этими путями
F: [0, 1] х [0, 1]->Х (т.е. F(t, 0) = ro(t) и F(t, 1) = г,(/)), что при каждом фик-
фиксированном s е[0, 1] отображение F(-, s):[0, 1] -> X задает путь из х0 = ^@, s)
BXx=F(lts).
Легко заметить, что если разбить окружность S1 = {|г| = 1} на верхнюю
и нижнюю дуги, которые задают пути из /A) в f(eiK), то гомотопия между эти-

124
Плава 5. Гладкие многообразия
ми путями задает продолжение отображения /: 51 —> X на весь круг {\z\ ^ 1}.
Поэтому имеет место следующая лемма.
Лемма 5.2. Пространство X односвязно, если и только если для любых
двух его точек х0 и Х\ все пути из точки Хо в точку Х\ гомотопны друг
другу.
2. О понятии гладкого многообразия. Топологические пространства, кото-
которые в окрестности каждой точки устроены как евклидовы, называются много-
многообразиями. Дадим строгое определение.
Пусть М — какое-то множество точек. Мы говорим, что на нем задан гладкий
атлас, если в М выделено конечное или счетное семейство подмножеств {(/«}
со следующими свойствами:
1) эти множества образуют покрытие простран-
пространства М, т. е. пространство М лежит в их объединении:
Mc\JUa;
а
2) точки из каждого множества Ua находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии (/« «-> Va с точками из
области 1/в с R". Поэтому в (/а можно ввести ло-
лоне. . . карта кальные координаты (х\, ..., JtJJ), сопоставляя точке
х G Ua координаты соответствующей точки из 14;
3) в пересечении Ua П (/р локальные координаты (х1а, ..., хпа) и (*?, ..., jcg)
связаны взаимно обратными гладкими заменами координат:
4 =
с ненулевыми якобианами:
E.1)
E.2)
Множества i/a, входящие в гладкий атлас, называются картами. Атлас зада-
задает топологию: множество U С М счи-
считается открытым, если координаты
точек из его пересечения U П ?/«
с любой картой Ua из атласа запол-
заполняют открытое множество в Rn.
В частности, все карты являют-
являются открытыми множествами. Из это-
Рис. 5.4. Перекрывающиеся карты го определения следует также, что
координатные соответствия Ua <-+ Ка
являются непрерывными отображениями и, следовательно, гомеоморфизмами.
Если топология на М задана гладким атласом и выполняется одно из следу-
следующих двух условий:
1) М — метрическое пространство;
2) пространство М хаусдорфово,
то говорят, что М — гладкое многообразие.

§5.1. Гладкие многообразия 125
Число п называется размерностью многообразия М: dim М = п.
Можно показать, что эти два условия в определении гладкого многообразия
эквивалентны. Заметим, что мы сначала задаем атлас и уже с его помощью задаем
топологию.
Для гладких многообразий понятия связности и линейной связности эквива-
эквивалентны.
Как показывает следующий пример, условие, что пространство хаусдорфово,
существенно.
Пример. Прямая с двойной точкой. Возьмем два экземпляра
прямой М+ и R. с координатами х+ и л:_. Склеим их по дополнениям к точкам
х+ = 0 и Х- = 0, отождествив для каждого у Е R, у Ф О, точки с координатами
х+ = у и х_ = у. Полученное после склейки множество X покрывается двумя
картами U+ и (/_ с координатами х+ и #_. Карта U+ покрывает все множе-
множество Ху за исключением точки, которая до склейки лежала на прямой R_ и имела
координату х_ = 0. Аналогично устроена карта (Л. с заменой ± <-» =р во всех
определениях. Мы видим, что любые две окрестности точек х+ = 0 и jc_ = 0 пе-
пересекаются. Поэтому пространство X не хаусдорфово.
Укажем теперь простейшие примеры гладких многообразий.
Примеры.
1. Евклидовы пространства R" и области в них. Когда
мы говорим о евклидовом пространстве или об области этого пространства как
о гладком многообразии, мы подразуме-
подразумеваем, что оно покрыто одной-единствен-
ной картой, в которой заданы евклидовы
координаты.
2. Сферы S". Рассмотрим еди-
ничную сферу Sn в Мя+|, состоящую из
всех точек, отстоящих от начала коорди-
координат на единичное расстояние. Выделим Рис- 5-5- Стереографические проекции
на ней две противоположные точки: «се-
«северный полюс» Р+ = @, ..., 0, 1) и «южный полюс» Р- = @, ..., 0, -1). На
сфере Sn \Р+ с выколотой точкой определена стереографическая проекция тг+,
которая каждую точку х отображает в точку плоскости xn+l = 0, полученную как
пересечение этой плоскости с прямой, проходящей через точки Р+ и х:
Аналогично определяется стереографическая проекция тс_ сферы с выколотым
«южным полюсом»:
_l_(xf...f^).
Мы получаем атлас, состоящий из двух карт: ?/+ = 5я \ Р+ с координатами (у+)
и LL = Sn \P- с координатами (#_). В пересечении этих карт координаты свя-
связаны гладкими формулами перехода: они пропорциональны для любой точки х

126 Глава 5. Гладкие многообразия
и связаны соотношением
Гладкое многообразие S" с таким атласом называется л-мерной сферой.
3. Проективные пространства RP1. Обозначим через RPn со-
совокупность всех прямых, проходящих через начало координат в Ея+|. Каждая
прямая пересекает единичную сферу в двух точках, которые переставляются от-
отражением а: х —> —х. Построим атлас на RP". Для этого возьмем атлас {?/+, 6L}
на сфере Sn и выделим из его карт более мелкие так, чтобы они не пересекались
со своими образами при отражении а. Например, это можно сделать так:
U±,i,+ = U±D{xi> 0}, U±J,- = U± П {xl < 0}, / = 1, ..., n + 1.
Сохраним в этих картах те же самые координаты у±. Мы получаем карты на
RP": каждая область U параметризует прямые, пересекающие единичную сферу
в точке из U. Эти карты покрывают все пространство RP", и на их пересечени-
пересечениях существуют гладкие замены координат. Мы получаем гладкий атлас на мно-
многообразии RP1, которое называется /г-мерным вещественным проективным
пространством.
4. Произведения многообразий. Торы. Пусть у нас есть два
многообразия — Мп с атласом {(/«} и Nk с атласом {Vjj}. Рассмотрим их пря-
прямое произведение Мп х /V*, образованное всеми парами точек (х, у)> где х € Мп
и у G Nk. Введем на этом множестве атлас, состоящий из всевозможных про-
произведений карт {ил х Vjj} с локальными координатами (лс^, ..., xJJ, t/p, ..., у$).
Мы получим гладкое многообразие Мп х Nk размерности (п 4- k) — произведе-
произведение многообразий Мп и Nk. Эту процедуру можно повторять последовательно.
Так, например, получаются я-мерные торы Тп = S1 х ... х S1, произведения
п экземпляров окружности S1.
5. Связные суммы многообразий. Пусть М\ и М2 — гладкие
многообразия одной и той же размерности п. Выберем в каждом из них по точке
Х\ € М i и х2 е М2 и по координатной окрестности этих точек. Можно считать, что
Х\ = 0 и х2 = 0 и шары |jcyj ^ 2г лежат в этих окрестностях, / = 1, 2. Из каждого
многообразия удалим по открытому шару \х\ < г и склеим границы полученных
многообразий по граничным сферам |jci| = г и |jc2| = г, отождествив точки с оди-
одинаковыми координатами Х\ и х2. Граничные сферы имеют окрестности, замыкания
которых диффеоморфны цилиндрам, скажем, 5я" х [-1, 0] и Srt"*' x [0, 1]. При
склейке эти замкнутые окрестности склеиваются в цилиндр S" х[-1,1 ], на кото-
который продолжаются гладкие координаты из исходных окрестностей (см. рис. 5.6).
Afi
Рис. 5.6. Связная сумма многообразий

§5.1. Гладкие многообразия [27
Мы получаем новое гладкое многообразие, которое обозначается
и называется связной суммой многообразий М\ и Af2.
6. Касательные расслоения. Пусть Мп — гладкое многообразие.
Тогда совокупность пар (х, v), где х G Мп и v — касательный вектор в точке х,
образует гладкое многообразие ТМп размерности 2п. Действительно, каждой кар-
карте Ua с координатами х1а, ..., х^ на многообразии Мп отвечает карта 0а с коор-
координатами xl> ..., х?, 5J, ..., ??, где $ = х — касательный вектор в точке х к неко-
некоторой кривой (так задаются все касательные векторы). Функции перехода между
картами имеют вид
Многообразие ТМп называется касательным расслоением к Мп.
3. Гладкие отображения и касательные пространства. Введение гладкого
атласа позволяет определить понятие гладкой функции на многообразии.
Функция /: Мп —»R на многообразии является гладкой, если в окрестности
каждой точки гладкого многообразия Мп она является гладкой функцией локаль-
локальных координат: / = f(x[, ..., л?). Так как существуют гладкие обратимые замены
координат E.1), функция, гладкая по отношению к одним координатам, является
гладкой по отношению к другим. Более того, из теоремы о дифференцировании
сложной функции следует, что
Поэтому это определение корректно.
Очевидно, что непрерывные функции на многообразиях тоже выделяются
условием, что если записать их в локальных координатах, то мы получим не-
непрерывные функции от этих координат.
Если у нас имеются два гладких многообразия Мп и /V*, то отображение
F: Мп —> Nk называется гладким, если оно записывается в локальных коорди-
координатах на Мп и Nk как гладкое отображение области из Rn в область из R*:
Два гладких многообразия Мп и Nk называются диффеоморфными или глад-
гладко эквивалентными, если существуют взаимно обратные гладкие отображения
/: Мп —* Nk и /-1: Nk —»Мп (при этом, очевидно, п = k). Такие отображения на-
называются диффеоморфизмами. Мы не будем различать диффеоморфные мно-
многообразия.
Пусть на одном и том же топологическом пространстве Мп заданы два раз-
разных гладких атласа. Говорят, что эти атласы эквивалентны или задают одну
и ту же гладкую структуру, если одни и те же функции являются гладкими
по отношению к обоим атласам. Это означает, что тождественные отображения
Ml —> Мп2 и М\ -> М!\ являются гладкими. Здесь нижний индекс указывает номер

128 Глава 5. Гладкие многообразия
атласа, который задает гладкую структуру на пространстве Мп. Многообразия
с эквивалентными атласами диффеоморфны как гладкие многообразия.
Пусть r(t) — гладкая кривая на многообразии Мп. В локальных координатах
х1а она задается гладкими функциями:
Предположим, что она проходит через точку х € Мп в момент времени / = 0.
Ее вектор скорости $ = г@) в этой точке называется касательным вектором
к многообразию Мп в точке х, В координатах х^ он задается как набор из п чисел
вида
k dx*@)\
d )'
dt '•'•• dt )'
В другой системе координат х^ тот же самый вектор задается другим набором
dt f""f Л
Эти записи связаны формулой преобразования
? E-4)
которая, как и формула E.3), следует из теоремы о дифференцировании слож-
сложной функции. Согласно условиям E.2) преобразование $ —> % обратимо. Поэтому
следующее определение корректно: два касательных вектора $ и г) в точке х со-
совпадают, если в какой-то системе координат они задаются одними и теми же
наборами чисел.
Все касательные векторы в точке х образуют векторное пространство отно-
относительно обычных покомпонентных операций сложения
и умножения на постоянную
Это пространство называется касательным пространством к многообразию
в точке х и обозначается через ТхМп. Очевидно, что его размерность равна раз-
размерности многообразия.
Чтобы задать на касательном пространстве скалярное произведение
надо выбрать символы g?- (которые зависят от координат) так, чтобы значение
скалярного произведения было инвариантна относительно замен координат:

§5.1. Гладкие многообразия 129
Чтобы это требование выполнялось, необходимо, чтобы символы gri преобразо-
преобразовывались при заменах координат согласно правилу
Если в каждой точке многообразия Мп задано положительно определенное
скалярное произведение, то говорят, что на многообразии задана риманова ме-
метрика gij. Такое многообразие называется римановым.
С помощью римановой метрики каждой гладкой кривой г(/), а < / ^ &, сопо-
сопоставляется ее длина:
= fV?J)dt= f\r\dt.
Пусть риманово многообразие Мп связно. Риманова метрика определяет на
нем обычную метрику — расстояние между точками:
?(х*У)= . jnf „ Кг),
г: \а,Ь\-*Мп,
r(a)=x, r(b)=y
где нижний предел берется по всем гладким кривым с началом в точке х и концом
в точке у. Пространство Мп с такой функцией расстояния р является метрическим
пространством.
Каждое гладкое отображение многообразий F: Мп —> Nk определяет линей-
линейное отображение касательных пространств — дифференциал /v А именно, если
r(t) — гладкая кривая в Мп и r(t) —ее касательный вектор в точке г(/), то он
отображается в касательный вектор s(t) в точке s(t), где 5@ = F(r(t)) — гладкая
кривая в координатах Nk.
В локальных координатах (х1, ..., хп) на Мп и (#',..., yk) на Nk мы имеем
r(f) = (xl (/),..., xn(t)l r={x\t),...
и, полагая
получаем
Поэтому дифференциал Z7*, сопоставляющий вектору г вектор 5, имеет вид
и, следовательно, задается матрицей Якоби
дх')
Пусть/7: Mn-+Nk — гладкое отображение многообразий. Если в каждой точке
хеМп дифференциал F* является вложением касательного пространства ТхМп в
пространство TFiX)Nk, то отображение называется погружением или иммерсией.
5- 1168

130 Глава 5. Гладкие многообразия
Если погружение F: Мп -* Nk
а) отображает различные точки из Мп в различные точки из Nk (F(x) Ф F(y)
при хфу) и
б) является собственным отображением (т. е. прообраз каждого компакта то-
тоже компактен),
то отображение F называется вложением, а его образ F(MP) называется под-
подмногообразием многообразия Nq.
Пример. Пусть P = S' x...xS' — л-мерный тор. На каждом сомно-
сомножителе задана угловая координата срь определенная по модулю 2к. Рассмотрим
отображение F: Ш—> Тп вида F(t) = (ot|/,..., ant). Оно является погружением
и переводит различные точки в различные: F(x) ф F(y) при х ф у. Предположим,
что числа ос/, i = 1, ..., /г, линейно независимы над полем рациональных чисел Q
(например, при п = 2 это означает, что отношение aj/аг иррационально). Тогда
«обмотка» тора F(R) всюду плотна на торе, т. е. замыкание образа отображения F
совпадает со всем тором: F(R) = Тп. Это отображение не является собственным,
хотя обладает всеми другими свойствами вложения.
Если многообразие Мп компактно, то любая последовательность точек {xi}
из Мп имеет предельную точку. Это означает, что она содержит подпоследо-
подпоследовательность {*/*}, которая сходится в какой-нибудь карте к точке *«> € Мп. При
этом точка *оо называется предельной. Отсюда следует, что если Мп — компакт-
компактное многообразие, то любое его вложение будет собственным.
В касательных пространствах можно ввести ориентацию. Если это можно
сделать согласованно, то говорят, что на многообразии задана ориентация. Сфор-
Сформулируем это строго: говорят, что на многообразии Мп задана ориентация (мно-
(многообразие ориентировано), если на нем задан такой атлас, что все якобианы
функций перехода положительны:
При этом базис касательных векторов, записываемый в этих координатах как
е\ = A, 0, ..., 0), ..., еп = @, ..., 0, 1), считается положительно ориентирован-
ориентированным в каждой точке.
Если на многообразии может быть задана ориентация, то оно называется
ориентируемым.
4. Многомерные поверхности в Шп. Многообразия с краем. Примерами
гладких многообразий являются регулярные многомерные поверхности в евкли-
евклидовых пространствах.
Множество Мк с Шп является k-мерной поверхностью (или ^-мерным под-
подмногообразием) в R", если для каждой точки х € Мк существует такая окрест-
окрестность U этой точки, что в этой окрестности Мк задается как множество нулей
гладкого отображения F: U —»Мл~* (набора из п - k функций):
Поверхность называется неособой или регулярной, если все ее точки неособы,
т. е. в каждой из них ранг матрицы (уу) Равен (п ~~ *)•

§5.1. Гладкие многообразия 131
Пусть х е Mk. Можно без ограничения общности предположить, что в окрест-
окрестности этой точки минор
не равен нулю. По теореме о неявной функции около точки х определены такие
гладкие функции /ь ..., /„_*, что
тогда и только тогда, когда
E.5)
*" = /„_*(*',...,**).
Поэтому в малой окрестности точки х поверхность Мк задается как график глад-
гладкого отображения
(*',...,**)-(/, /„_*).
Введем в окрестности точки х новые переменные
Определитель матрицы (-—j) всюду равен единице, и поэтому по теореме об
обратной функции z\ ..., zn являются координатами в окрестности точки х в МЛ.
Тогда в этой окрестности ^-мерная поверхность Мк задается уравнениями
При этом zl,...yzk являются локальными координатами на поверхности
(в окрестности данной точки).
Пусть r(t) = (л:!(/), ..., xn(f)) — гладкая кривая на поверхности Mk. Из со-
соотношений E.5) следует, что ее вектор скорости r(t) в точке поверхности имеет
вид
где
р, = (\ 0 0 ,,...,
дх1' ' дх1
= (\ о 0 &- У^
^1,и, ...,и, ,
Векторы в|, ..., ek линейно независимы и образуют базис векторов ^-мерной
плоскости, касающейся поверхности в данной точке. Эта плоскость называется
касательной. В базисе еь ..., ek вектор скорости имеет координаты (х\ ..., xk).

132 Глава 5. Гладкие многообразия
Если
—уравнения, задающие поверхность, то координаты ^ = (?', ..., ?я) касательных
векторов в точке xEMk удовлетворяют уравнениям
' = о, ;=i,...,«-*. E.6)
Легко заметить, что любой вектор, удовлетворяющий этим уравнениям, является
касательным к поверхности в точке х.
Следующее утверждение очевидно.
Лемма 5.3. Точка х является неособой точкой поверхности F\(x) = ...
... = Fn-k(x) = 0 тогда и только тогда, когда уравнение E.6) на касатель-
касательные векторы ? = (?',..., ?л) выделяет k-мерное векторное подпростран-
подпространство. Если точка х особая, то эти уравнения выделяют подпространство
размерности, большей чем k.
Действительно, размерность пространства решений линейной системы E.6)
равна n — rk( V, J, и ранг матрицы (—j^j максимален (rk = п — k) в нео-
неособых точках и только в них.
Тем самым нами доказана такая теорема.
Теорема 5.3. На каждой регулярной гладкой k-мерной поверхности Mk
в Rn можно так задать гладкий атлас, что все координатные функции
х{,..., хп будут гладкими функциями на поверхности.
Эта гладкая структура на поверхности каноническая: все атласы, для кото-
которых координатные функции гладкие, приводят к диффеоморфным многообразиям.
Действительно, пусть М\ и М\ — одна и та же регулярная поверхность, но с раз-
различными атласами. Если для обоих атласов координатные функции гладкие, то
тождественные отображения М\ —> М\ и М\ -»М\ являются диффеоморфизмами.
В дальнейшем мы будем всегда считать, что на регулярной поверхности задана
эта гладкая структура.
Примеры. 1. Единичные сферы Sn являются регулярными гиперповерх-
гиперповерхностями в Мя+| и задаются уравнениями
2. Рассмотрим в пространстве R10 = С5 регулярные поверхности, заданные
уравнениями
при k = 1, ..., 28. Здесь гх, ..., z5 — комплексные линейные координаты в С5.
Первое уравнение комплексное и состоит из двух вещественных уравнений
(на вещественную и мнимую часть многочлена). Можно показать, что все эти
регулярные поверхности попарно недиффеоморфны, но все они гомеоморфны

§5.1. Гладкие многообразия 133
семимерной сфере S7. Более того, любое гладкое многообразие, гомеоморф-
ное S7, диффеоморфно одной из этих поверхностей. Доказательства этих утвер-
утверждений (принадлежащих Милнору) требуют глубоких методов классической то-
топологии.
В связи с примером 2 укажем еще один удивительный факт. Если многообра-
многообразие Мп гомеоморфно евклидову пространству R" при п ф 4, то оно диффеоморфно
ему. Это тоже результат классической топологии. С помощью методов вариаци-
вариационного исчисления на многообразиях, открытых в теоретической физике, — так
называемого инстантонного феномена (Полякова—Белавина—Шварца—Тюпки-
на) —было доказано, что при п = 4 это неверно (Дональдсон): существует бес-
бесконечно много попарно недиффеоморфных многообразий, гомеоморфных R4.
Теорема 5.4. Пусть k-мерная регулярная поверхность Мк с Шп всюду
задана уравнениями
Тогда она ориентируема.
Доказательство. В каждой точке х ? Мк векторы
линейно независимы и ортогональны касательной плоскости к Мк. Зададим в ка-
касательных плоскостях к Мк ориентацию следующим образом: базис еХу ..., ek
считается положительно ориентированным, если векторы в\9 ..., ek, gradF|, ...
..., grad Fn-k образуют положительно ориентированный базис в евклидовом про-
пространстве R\ Теорема доказана.
Следствие 5.2. Сферы Sn ориентируемы при всех я ^ 1.
Аналогично поверхностям в Жп можно определять поверхности в произволь-
произвольных гладких многообразиях. Например, пусть /: Мп -»R — гладкая функция
и на множестве ее нулей градиент (—~, ..., -j—) нигде не равен нулю. Так как
V дх ох /
градиенты функции, выписанные в различных координа-
координатах, связаны формулой E.3), выполнение этого условия
не зависит от выбора координат. Обозначим множество
нулей функции / через Qn~l. В окрестности каждой точ-
точки из ф" многообразие Мп устроено как евклидово про-
странство, и поэтому мы можем выбрать на Qn~l гладкий
атлас так, что все координатные функции х1, ..., хп будут
гладкими функциями на Qn~l. р ~-
Замкнутая область W" С М\ определенная нера- Многообразие
венством f(x) ^ 0, называется гладким многообразием с краем
с краем (границей) Qn~l = dWn.
В окрестностях граничных точек х оно устроено как
полупространство xk ^ 0 с точкой х, лежащей на гиперплоскости xk = 0.
Если многообразие Мп компактно и без края, то оно называется замкнутым.

134 Плава 5. Гладкие многообразия
5. Разбиение единицы. Многообразия как многомерные поверхности
в евклидовых пространствах. Для ряда целей удобно пользоваться специаль-
специальным атласом карт. А именно, мы говорим, что на компактном многообразии Мп
задан атлас «с толстой границей» из карт ?/а, а = 1, ...,&, если
1) в каждой карте локальные координаты х?а, i = 1, ..., /г, пробегают единич-
единичный шар Е«J < 1;
2) шары половинного радиуса W^ с ?/а, выделенные условием J2(KJ < l/2t
тоже образуют покрытие многообразия Мп, т. е. карты ?/а, а = 1, ..., Л, покры-
покрывают многообразие Мп «с запасом».
Очевидно, что такой атлас карт «с толстой границей» можно выбрать для
любого компактного многообразия.
Мы скажем, что на многообразии Мп задано разбиение единицы, если зада-
заданы такие семейство гладких функций сра и покрытие многообразия координатными
областями иа> что
1) каждая функция (ра сосредоточена в координатной области {/«, т. е. сра(лс) = 0
при х е Мп \ Ua\
2) 0 ^ фа ^ 1 для всех а;
3) в каждой точке х лишь конечное число функций cpa не равно нулю, и при
этом
Для компактных многообразий разбиение единицы задается конечным числом
областей (/« и отвечающих им функций сра.
Теорема 5.5. Пусть Мп — компактное гладкое многообразие. Тогда на
нем существует разбиение единицы.
Доказательство. Возьмем какую-то гладкую функцию ф(г), опреде-
определенную на полуоси г^Ои обладающую следующими свойствами:
1)ф(г) = 1 при г <1/2;
2) ф(г)=О при г^1\
3) 0<ф< 1 при 1/2 < г< 1.
Выберем на Мп атлас карт «с толстой границей». Для каждой карты (/«,
ос = 1 ,...,&, определим функцию
фвD,...,<) = ф(г) при r=V(*iJ + ... + (A:2J.
Функции
а=1
и координатные области {/« задают разбиение единицы.
Теорема доказана.
С помощью атласа карт «с толстой границей» очень просто строится и вло-
вложение любого компактного многообразия в евклидово пространство достаточно
большой размерности.

§5.1. Гладкие многообразия 135
Теорема 5.6. Пусть Мп — компактное гладкое многообразие без края.
Тогда существует его вложение
в евклидово пространство достаточно большой размерности.
Доказательство. Выберем, как и при доказательстве предыдущей те-
теоремы, атлас карт «с толстой границей» ?/а, а = 1, ..., k, и построим по не-
нему такую систему функций фа, что <pa(x) = 0 вне (Уа, (ра(*) = 1 при г < 1/2
и 0<сра(л:) < 1 при 1/2 < г< 1, где г= |*а|.
Определим гладкие отображения
fa:Mn->Rn+\ a= 1 Л,
по правилу
fa(x) = ((?а(х)х1Л, ..., ф«(*)-С уа{х)) при xeUa
и /«(*) = 0 при х е Мп \ [/«.
Каждое такое отображение задает вложение шара Wa (см. определение атла-
атласа «с толстой границей») в Rn+X, и поэтому в точках из этой области его ранг
максимален и равен п + 1. Следовательно, прямое произведение этих отображе-
отображений
= (/¦(*), ...,/*(х))
есть погружение Мп в ИЛ(я+|). В действительности оно является вложением. В са-
самом деле:
а) если точки Х\ и х2 лежат в одной и той же области Wai то их образы при
отображении /а различны, так как они имеют разные координаты в этой области;
б) если точка Х\ лежит в области №«, а точка х2 в этой области не лежит, то
(п + 1)-я координата отображения /а равна единице для Х\ и меньше чем единица
для х2.
Теорема доказана.
Идеология трансверсальности, развитая Уитни, позволяет проекциями на ли-
линейные подпространства в RN получать вложения в евклидовы пространства
меньшей размерности. Уитни показал, что
для вложения п-мерного многообразия в RN почти все проекции RN ->
—* RN~l сохраняют свойство быть вложением при N > 2п + 1 и погруже-
погружением при N > 2п.
Это наглядно видно для кривых в R3. Отсюда получаем следующую теорему.
Теорема 5.7. Каждое компактное гладкое п-мерное многообразие Мп
погружается в R2n и вкладывается (реализуется как п-мерная поверх-
поверхность) eR2n+l.
В действительности теорема верна и для некомпактных многообразий: для до-
доказательства существенно, что топология на пространстве Мп задается гладким
атласом из не более чем счетного числа карт и пространство Мп хаусдорфово.

136 Глава 5. Гладкие многообразия
При вложении пространство Мп наследует метрику из RN и становится метри-
метрическим пространством. Отсюда следует, что два определения гладкого много-
многообразия— с помощью атласа (см. п. 2) и как многомерной поверхности в R"
(см. п. 4) — эквивалентны.
6. Дискретные действия и фактормногообразия. Укажем еще один метод
построения многообразий.
Пусть X — множество и G — группа. Говорят, что задано (левое) действие
группы G на множестве X, если каждому элементу g E G сопоставлено взаимно
однозначное и обратимое отображение <x(g): X —> X и при этом для всех элемен-
элементов g, heG выполнены соотношения
3) отображение a(l) тождественно (здесь 1 —единица группы G).
Мы говорим, что действие правое, если вместо соотношения 1 выполнено
соотношение
Действие называется свободным, если все отображения a(g): X —»Л', кроме
тождественного отображения <хA), не имеют неподвижных элементов.
Для простоты мы будем обозначать a(g) через g, а oi(g)(x) через gx.
Пусть х € X. Тогда орбитой элемента х называется совокупность всех эле-
элементов вида gx, где g?G.
Пример. Пусть G — группа и Я — ее подгруппа. Тогда Н действует на G
левыми и правыми сдвигами:
g->hg — левое действие, g-+gh — правое действие, g e G, Л € Я.
Эти действия свободны. Множества орбит есть множества левых и правых смеж-
смежных классов по подгруппе Н.
Пусть X — топологическое пространство и группа G действует на нем гомео-
гомеоморфизмами g: X—>Х. Если при этом действие удовлетворяет следующим двум
условиям:
1) для каждой пары точек х и у с разными орбитами существуют такие их окрест-
окрестности U и V, что орбиты этих окрестностей не пересекаются;
2) для каждой точки х существует такая ее окрестность U, что области U и gU
имеют непустое пересечение только при gx = х,
то такое действие называется дискретным.
Для хаусдорфовых пространств условие дискретности вытекает из следую-
следующего требования: у каждой пары различных точек х и у существуют такие их
окрестности U и V, что области gU и V имеют непустое пересечение толь-
только для конечного числа элементов g e G. Часто оно и формулируется в таком
виде.
Теорема 5.8, Пусть группа G свободно и дискретно действует на
п-мерном многообразии Мп диффеоморфизмами g: Mn -* Ма. Тогда на мно-
множестве орбит Mn/G можно ввести такой гладкий атлас, что
1) Mn/G — гладкое п-мерное многообразие',

§5.1. Гладкие многообразия 137
2) проекция
к:Мп->Мп/О,
сопоставляющая каждой точке из Мп ее орбиту, является гладким ото-
отображением.
Доказательство. Пусть х ? Мп и U — такая окрестность точки х, что
области gU попарно не пересекаются при geG. Можно считать, что в области U
заданы координаты х\ ..., хп. Каждой точке из этой области отвечает в точности
одна орбита действия группы G. Скажем, что U—карта на Mn/G с координатами
х1, ..., хп. Она задается как проекция области из Мп. Такие карты покрывают
все множество Mn/G.
Пусть орбита Gx лежит в пересечении двух таких карт: GxeUanUp. Если эти
карты получаются из окрестностей точки gx, то замена координат на их пересече-
пересечении дается теми же функциями, что и на многообразии Мп. Пусть область Ua есть
проекция окрестности точки gax, а область U$ — проекция окрестности точки g$x.
Тогда формулы замены координат даются диффеоморфизмом g^g~l: Ua —> (Ур,
записанным в локальных координатах: х^ = g$g~l(xl, ..., JtJJ), / = 1, ..., п. Та-
Таким образом, мы получаем гладкий атлас на пространстве Mn/G. Из условия 1
дискретности действия следует, что пространство Mn/G хаусдорфово. Теорема
доказана.
Пример 1. На сферах Sn действует группа Z2, переставляющая противо-
противоположные точки: х —» -лс. Факторпространства — это вещественные проективные
пространства
RPn = Sn/
Теорема 5.9. Если фактормногообразие Mn/G ориентируемо, то мно-
многообразие Мп тоже ориентируемо и при действии группы G ориентация
на Мп сохраняется.
Доказательство. Пусть на многообразии Mn/G выбрана ориента-
ориентация. Будем считать базис еь ..., еп в касательном пространстве ТхМп в точке
хеМп положительно ориентированным, если базис к*(в|), ...,к*(ея) положи-
положительно ориентирован. Очевидно, мы тем самым задаем ориентацию на Мп, кото-
которая сохраняется под действием группы G. Теорема доказана.
Следствие 5.3. Проективное пространство ШРп ориентируемо, если его
размерность нечетна, и неориентируемо, если его размерность четна.
Доказательство. Пусть Sn — единичная сфера в Rrt+I. Легко прове-
проверить, что отражение х -» -х сохраняет ориентацию тогда и только тогда, ко-
когда размерность сферы нечетна. Это отражение порождает действие группы Z2
и ШРп = Sn/Z2. Следовательно, при четном п многообразие ШРп неориентируе-
мо. При нечетном п будем считать базис в касательном пространстве в точке
из ШРп положительно ориентированным, если при отображении тс* в него про-
проектируется положительно ориентированный базис. Так как в этом случае от-
отражение х-+ -х сохраняет ориентацию, это определение корректно. Следствие
доказано.

138 Глава 5. Гладкие многообразия
П р и м е р 2. На каждом евклидовом пространстве Ш.п действует группа
сдвигов Z":
(х1,... ,**)-> (*'+*',..., *" + **), (kl,...,k*)eza.
Факторпространство Тп = Жп/Ъп является n-мерным тором.
7. Комплексные многообразия. Пусть на гладком четномерном многообра-
многообразии М2п гладкая структура задана атласом карт {(/«} с координатами (х^ ...
• • •, <С У1«> • • •. У«) и Функциями перехода
Ха = Х(Х1 * У *) # = #(* ^ *
на всевозможных пересечениях карт (/в П ?/р. Пусть эти функции перехода, за-
записанные в виде
для всех пересечений вида (/« П t/p являются комплексно-аналитическими (голо-
(голоморфными) функциями от комплексных координат 2р, ..., 2$:
^ = 0, у, Л=1 л,
G2р
с ненулевыми якобианами
В этом случае мы говорим, что данный атлас задает на многообразии комплекс-
комплексную (или, как еще говорят, комплексно-аналитическую) структуру, а са-
само многообразие М2п называется комплексным. Локально оно устроено как
пространство С\ и поэтому говорят, что его комплексная размерность dimc
равна п:
dimc M2n = п.
Задание комплексно-аналитической структуры означает, что мы можем опре-
определить понятие комплексно-аналитической (голоморфной) функции на много-
многообразии и более общо — понятие голоморфного отображения. А именно, глад-
гладкое отображение /: М2п —> N2k комплексных многообразий называется голоморф-
голоморфным, если в локальных комплексных координатах оно задается голоморфными
функциями
В частном случае отображения /: М2п —^С1 мы получаем отсюда определение
голоморфной функции на комплексном многообразии М2п.
Отображение /: M—>N комплексных многообразий называется биголоморф-
ным, если оно голоморфно, является диффеоморфизмом и обратное отображение
/~!: N —> М тоже является голоморфным отображением. Если такое отображе-
отображение между многообразиями М и N существует, то говорят, что эти многообразия
биголоморфно эквивалентны или комплексно диффеоморфны.
Из определения комплексного многообразия следует, что оно должно иметь
четную размерность. Выполнение этого условия, однако, недостаточно для того,

§5.1. Гладкие многообразия 139
чтобы на многообразии существовала комплексная структура. Это вытекает из
следующей теоремы.
Теорема 5.10. Комплексные многообразия ориентируемы.
Доказательство. Пусть а? = л? + и/?, / = 1, ..., я, — комплексные ко-
координаты на многообразии М2п. В каждой области ?/а эти локальные координаты
(х[у ..., х?, yl, ..., ^J|) задают ориентацию. Покажем, что на пересечениях карт
Ua П i/р эти ориентации совпадают. Действительно, согласно лемме 4.2 якобианы
вещественных и комплексных замен координат связаны следующей формулой:
dyL dyL
K dx$ dy\
где Ус = detf—| J. Теорема доказана.
Из этой теоремы и следствия 5.3 получаем такой результат.
Следствие 5.4. При любом п на четномерном вещественном проектив-
проективном пространстве ЖР2п нельзя ввести комплексную структуру.
Отметим, что ориентируемость не является достаточным условием для нали-
наличия комплексной структуры на четномерном многообразии. В то же время запас
примеров комплексных многообразий достаточно велик.
Примеры.
1. Двумерная сфера S2. Согласно теореме 4.3 двумерная единичная
сфера (лс1J + (х2J + (х3J = 1 в R3 покрывается областями ?/+ и (/_, которые
при проекциях из северного полюса @, 0, 1) и южного полюса @, 0,-1) диф-
феоморфно отображаются на плоскость хъ = 0. При этих отождествлениях ком-
комплексным параметрам z = xl ± ix2 на плоскости хг = 0 отвечают комплексные
координаты г± в U±. На пересечении областей U+ П (/_ эти координаты связа-
связаны комплексно-аналитическим отображением
Поэтому атлас {(U±, z±)} задает на двумерной сфере S2 комплексную структу-
структуру. Мы получили сферу Римана — комплексную плоскость С с параметром 2,
пополненную бесконечно удаленной точкой z = oo, в окрестности которой за-
задан локальный параметр до= -. Заметим, что на четномерных сферах S4 и S2n
при 2п ^ 8 не существует комплексных структур, а вопрос о том, существует ли
комплексная структура на шестимерной сфере S6, остается открытым.
2. Комплексные проективные пространства СРп. Одно-
Одномерное комплексное линейное подпространство L С Ся+| задается формулами
где (до1, ..., шя+|) — комплексные линейные координаты в Сл+1, / — параметр,
принимающий значения в С, и z = (zb ..., zn+\) — «направляющий вектор»,

140 Глава 5. Гладкие многообразия
который определен с точностью до умножения на ненулевую постоянную. Од-
Одномерные подпространства L С Ся+| образуют многообразие — я-мерное ком-
комплексное проективное пространство СРп. Определим это многообразие, за-
задав на нем атлас следующим образом. Пусть вектор z= (zi, ..., zn+\) задает
подпространство Ьг\\гкф 0. Так как этот вектор определяется подпространством
с точностью до умножения на ненулевую постоянную, нормируем его условием
zk = 1. Все подпространства, для которых это можно сделать, образуют множе-
множество ?/*, в котором можно ввести локальные комплексные координаты
Uk = Z|, . . ., Uk = 2*_|, Uk = Zfc+|, ... , Uk = Zn+\.
Мы примем эти множества (/*, k = 1, ..., п + 1, за карты с локальными коорди-
координатами u!k. Легко заметить, что на пересечениях карт Uk П ?// замены координат
задаются комплексно-аналитическими функциями. Например, при п = 1 мы по-
получаем комплексную проективную прямую СР1 и и\ = —. Тем самым, доказан
следующий факт. 2
Лемма 5.4. Комплексная проективная прямая СР1 и сфера Римана S2
биголоморфно эквивалентны.
По аналогии с вещественным случаем пространство СР2 называется ком-
комплексной проективной плоскостью. Координаты (zi, ..., zA+i) называются
однородными координатами на проективном пространстве, и то, что пропор-
пропорциональные векторы задают одну и ту же точку проективного пространства, от-
отражено в форме их записи:
Однородные координаты аналогично вводятся и на вещественных проективных
пространствах.
3. Многомерные комплексные поверхности (подмно-
(подмногообразия) в С1. Пусть задана система голоморфных (комплексно-ана-
(комплексно-аналитических) функций /j, ..., fn_k от п комплексных переменных г1, ..., zn. Пусть
на множестве точек М, заданном уравнениями
ранг матрицы j^ всюду максимален и равен п - k. Тогда из комплексного ва-
варианта теоремы о неявной функции (см. лемму 4.3) следует, что М — ^-мерное
комплексное многообразие, которое в окрестности каждой своей точки задается
как график голоморфного отображения. Например, если без ограничения общ-
общности мы предположим, что в какой-то точке
o при 1^Кя-?,
то в окрестности этой точки многомерная поверхность М задается в виде

§5.1. Гладкие многообразия 141
В комплексном случае нет аналога теоремы Уитни: многомерные комплексные
поверхности в комплексных линейных пространствах не дают все примеры ком-
комплексных многообразий. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 5.П. Пусть /: М —> С — голоморфная функция на связном ком-
компактном комплексном многообразии М. Тогда / = const.
Доказательство этой теоремы проведем в несколько этапов. Прежде
всего докажем следующий принцип максимума.
Лемма 5.5. Пусть /:(/—> С — голоморфная функция, заданная в связ-
связной области из С". Тогда если ее модуль \f\ принимает свое максималь-
максимальное значение во внутренней точке области U, то функция f постоянна.
В частности, если область U ограничена, то функция |/| всегда принима-
принимает максимальное значение на границе области U.
Доказательство леммы. Пусть z0 — точка локального максимума
функции |/|, лежащая внутри области U. Если мы ограничим функцию |/| на лю-
любую комплексную прямую, проходящую через точку Zo, то для такой функции
точка z0 тоже будет точкой локального максимума и поэтому лемму достаточно
доказать для случая /2=1, что мы и сделаем. Без ограничения общности положим
z0 = 0. Нормируем функцию / так, чтобы ее значение в нуле было неотрицатель-
неотрицательным и вещественным:
/@)^0, /@)€R.
Интегральная формула Коши, являющаяся одним из следствий теоремы Стокса
(см. гл. 9), утверждает, что
4(z)dz
z '
где у — контур, охватывающий начало координат. Возьмем в качестве у окруж-
окружность z = гёщ постоянного достаточно малого радиуса г. Мы имеем
/@) = -L fKre^djre^) = J_ Г2п f{retire* dy = J_
Из этой формулы следует, что
С
и, так как согласно условию локального максимума /@) = |/@)| ^ |/(ге/ф)| ^
^ Re/(re/<p), это равенство возможно только при /@) = /(ле/ф) = Ref(rei4>). Это
верно при всех достаточно малых значениях г. Следовательно, в окрестности ло-
локального максимума z = 0 голоморфная функция f(z) постоянна, а значит, она
постоянна и в любой связной области, содержащей этот локальный максимум.
Лемма доказана.
Пусть /: М —»С — голоморфная функция на связном компактном многообра-
многообразии. Так как многообразие компактно, функция |/| достигает максимума в не-
некоторой точке 20 € Af. Многообразие М локально устроено как Сл, и поэтому

142 Глава 5. Гладкие многообразия
в координатной окрестности точки г0 функция / равна какой-то постоянной С.
Очевидно, что множество УУ, определенное уравнением / = С, замкнуто. Каждая
его точка есть точка максимума функции |/| и поэтому содержится в N вместе со
своей окрестностью. Следовательно, множество N открыто и непусто. Осталось
заметить, что непустое открытое и замкнутое подмножество N связного топологи-
топологического пространства М совпадает со всем пространством М. Теорема доказана.
Следствие 5.5. Многомерные комплексные поверхности в Сп неком-
некомпактны.
Доказательство этого следствия просто: каждая координата г7, / = 1, ..., /г,
на пространстве Сл является голоморфной функцией на связной поверхности, и
если бы поверхность была компактной, то согласно предыдущей теореме коор-
координата zl должна была бы быть постоянной.
4. Римановы поверхности. Рассмотрим одномерное комплексное
подмногообразие в С2, заданное уравнением
/(z, w) = 0.
Мы полагаем, что во всех точках поверхности комплексный градиент не равен
нулю:
Поэтому в окрестности каждой точки соотношение /(z, w) = 0 можно разрешить.
Например, если -j- ф 0 в данной точке, то мы получаем представление поверх-
поверхности как графика функции w = w(z). Продолжив аналитически это соотношение
на всю комплексную плоскость С, мы получим представление подмногообразия
как графика функции, которая может быть многозначной. Приведем примеры.
а) Если /(z, w) = z - ewy мы получим график многозначной функции — лога-
логарифма:
w = Ln z — In \z\ -f / argz + 2к/&, k = 1, ...,
определенной при z Ф 0. В достаточно малой окрестности каждой точки поверх-
поверхности проекция (z, w) —> z на г-плоскость будет диффеоморфизмом этой окрест-
окрестности на ее образ.
б) Если /(г, w) = w2 - F(z), где функция F и ее производная Fz no z не
обращаются в нуль в одной и той же точке, мы имеем гиперэллиптическую
поверхность, заданную формулой
w= \/F(z).
Проекция (г, w) -»г будет диффеоморфизмом в окрестности каждой такой точки,
что w ф 0.
Поверхность в С2, заданная соотношением /(г, w) = 0, где / — комплекс-
комплексно-аналитическая функция, называется римановой поверхностью. Она пред-
представляется как график многозначной комплексно-аналитической функции
w = w(z).

§5.1. Гладкие многообразия 143
Точками ветвления такой римановой поверхности называются точки, в которых
якобиан проекции (г, w) —> z равен нулю. Это эквивалентно тому, что
В ряде случаев риманова поверхность может быть превращена в компакт-
компактное комплексное многообразие добавлением конечного числа точек. Рассмотрим
гиперэллиптическую риманову поверхность
w= \/{z-Z\)...{z-zn),
разветвленную в конечном числе точек z\, ..., zn.
Предположим, для начала, что число этих точек четно: п = 2g + 2, g ^ 0.
В этом случае удалим из z-плоскости попарно непересекающиеся «отрезки» у7-,
/= 1, ..., g + 1, — кривые, соединяющие пары точек ветвления с соседними но-
номерами: Z\ и г2, 2з и г4, ..., z2g+\ и Z2g+2- Пусть Г — 2-плоскость с удаленными
«отрезками» уу, у = 1, ..., g + 1. На «плоскости» Г функция
двузначна, и ее график распадается на два экземпляра Г+ и Г_ поверхности,
комплексно диффеоморфной Г. Эти поверхности называются ветвями много-
многозначной функции w = w(z).
Заметим, что Г может быть пополнена бесконечно удаленной точкой до сферы
Римана 52 = СР1 с удаленными отрезками уу, Уf = 1, • • •, g + 1. Обозначим это
комплексное многообразие тоже через Г. График функции w тоже пополняется
до двух экземпляров Г, и при этом в окрестности «бесконечно удаленной» точки
г = оо мы будем тоже иметь две различные ветви функции w с асимптотиками
на Г±. Проекция Г+ U Г_ —> Г вида (г, w) —> г графика функции w на г-плос-
кость будет голоморфным отображением. При этом мы пополнили голоморфную
функцию со значениями в С до голоморфного отображения в сферу Римана СЯ1.
Если какая-то кривая у пересекает «отрезок» уу- в точке, то ее образ ш(у)
в точке пересечения разрежется на два куска, которые около этой точки будут
лежать на разных ветвях функции w(z). К удаленному из Г «отрезку» можно
подойти с разных сторон, одну из которых мы назовем левой, а другую правой.
Риман построил новую поверхность, отождествив для каждого / = 1, ..., g + 1
левую сторону кривой уу- на Г+ с правой стороной этой кривой на Г_ и правую
сторону кривой у, на Г+ — с левой стороной этой кривой на Г_. Полученная по-
поверхность— риманова поверхность функции w(z) — является комплексной, и на
ней голоморфное отображение w в СР1 будет однозначно.
Топологически эта поверхность устроена следующим образом. Напомним, что
Г± гомеоморфны сфере S2, из которой удалены g + 1 отрезков. Такие многообра-
многообразия гомеоморфны сфере 52, из которой удалены g + 1 замкнутых кругов. При
отождествлении различных сторон отрезков у7- на различных сферах мы с точ-
точки зрения топологии проводим следующую операцию: берем на каждой из сфер

144 Плава 5. Гладкие многообразия
границу удаленного круга и приклеиваем по этим двум окружностям цилиндр
S1 х [0, 1]. Мы оставляем в качестве упражнения показать, что
риманова поверхность функции до = y/(z — Z\). ¦. (z — 22^+2) гомеоморф-
на связной сумме g торов — сфере с g ручками.
Рис. 5.8. Сфера с тремя ручками
Указанную конструкцию нельзя полностью повторить для функции
W=y/(z-Zl)...(z-Z2g+\)
с нечетным числом конечных точек ветвления. В этом случае один из «отрез-
«отрезков» Yg+j должен соединять 22g+i с бесконечно удаленной точкой. На сфере Ри-
мана разницы между конечными точками и точкой оо нет, и поэтому определение
такого аналога отрезка корректно. После этого мы, отождествляя левые и правые
стороны граничных отрезков различных ветвей, строим риманову поверхность, на
которой функция w(z) однозначна. Аналогично предыдущему случаю доказыва-
доказывается, что
риманова поверхность функции до = y/(z - zx)... B - z2g+i) гомеоморф-
на связной сумме g торов — сфере с g ручками.
Построение компактной римановой поверхности проходит для любой поверх-
поверхности вида /(г, до) = 0, где функция / является многочленом. При этом добавля-
добавляемые точки отвечают различным асимптотикам многозначной функции до = w(z)
на бесконечности. Каждая компактная риманова поверхность Е диффеоморф-
на связной сумме конечного числа торов. Число этих торов называется родом
римановой поверхности Е.
Римановы поверхности, построенные по многочленам /(г, до), можно погру-
погрузить в СР2 следующим образом. Подставим
в многочлен /B, до) и умножим его на z$, где D — степень многочлена /B, до).
Мы получим уравнение вида
P(zi, 22, 23) = О,
записанное в однородных координатах (z\ : 22:23) в СР2. Бесконечно удаленные
точки отвечают решениям этого уравнения, для которых 23 = 0. Они могут скле-
склеиваться друг с другом, а «конечная» часть римановой поверхности /B, до) = 0,
определенная условием 23 Ф 0, будет вложена в-СР2.
Например, уравнение
ДО2 = 23-1,

§ 5.1. Гладкие многообразия 145
которому в однородных координатах отвечает уравнение
задает поверхность рода один. Проекция СЯ1 —> СЯ1 имеет, как мы показа-
показали раньше, три (конечные) точки ветвления на г-плоскости — корни уравнения
г3 — 1 = 0. Точка z3 = 0 двойная, в ней две компактифицированные ветви функции
Vz3 - 1 пересекаются при погружении в СЯ2.
5. Алгебраические многообразия. Мы говорим, что М — ком-
комплексное подмногообразие комплексного многообразия Л/, если оно вкладыва-
вкладывается в N как гладкое подмногообразие:
и при этом вложение задается голоморфными (комплексно-аналитическими)
функциями. Как и все гладкие подмногообразия, локально они выделяются урав-
уравнениями
но при этом функции /|, ..., fk являются голоморфными функциями от комплекс-
комплексных координат в N.
Комплексные подмногообразия комплексных проективных пространств назы-
называются алгебраическими многообразиями.
Согласно теореме Чжоу, если М — комплексное подмногообразие простран-
пространства СРп и dimc М = ft, то М задается как множество нулей семейства однород-
однородных многочленов от однородных координат (z\ :...:zn+\) в СРп:
Именно поэтому такие многообразия называются алгебраическими. Напомним,
что функция a{zu .... zn+\) называется однородной, если для любой постоян-
постоянной X мы имеем
/(Xzi, ..., \zn+[) = XDf(zly ..., zfl+i),
где постоянная D есть степень однородности. Множества нулей однородных
функций инвариантны относительно гомотетий z —> Хг.
В отличие от комплексных подмногообразий в С", алгебраические многообра-
многообразия компактны.
Теорема 5.12. Алгебраические многообразия компактны.
Доказательство. Прежде всего докажем, что комплексные проектив-
проективные пространства СРп компактны. Уравнение
|г,|2 + ... +|гя+1|2=1 E.7)
задает Bп + 1)-мерную единичную сферу в Ся+1 = R2/l+2. Непрерывное отобра-
отображение
/: S2n+l -> СЯ", /(г,, ..., гя+|) = Bi :...: 2я+1) € СР1,
сопоставляет каждой точке сферы точку из СЯЛ. Однородные координаты любой
точки из СЯЯ можно умножить на постоянную так, чтобы добиться выполне-
выполнения равенства E.7). Таким образом, f(S2n+l) =СЯ\ и из леммы 5.1 следует, что

146 Глава 5. Гладкие многообразия
пространство СРп тоже компактно как образ компакта при непрерывном отобра-
отображении.
Алгебраические многообразия являются замкнутыми подпространствами
в СРЛ и, согласно лемме 5.1, тоже компактны. Теорема доказана.
Квадрики в СР2 и СР3. Рассмотрим уравнение
которое задает сферу Римана, вложенную в СР2. Для доказательства этого по-
положим z = ~, w = I—. При 23 Ф О уравнение переписывается в виде
Точки A :1:0) и A : -1 :0), для которых г3 = 0, пополняют эту поверхность в С2
до сферы Римана в СЯ2.
Рассмотрим теперь уравнение
z + 2 + z = 0, E.8)
выделяющее комплексную гиперповерхность в СР3. Введем новые однородные
координаты:
z\ = 2, + te2, z2 = г, - fe2, 4 = ''(*з + te«). 24 = '(*з -
в которых уравнение E.8) примет вид
E.9)
Возьмем два экземпляра сферы Римана СР1 с однородными координатами (г\ : г2)
и (S| : s2) и зададим отображение СР1 х СР1 -¦ СР3 формулой
[(г\: г2), E,: s2)] -> (г', : 4 : гз: 2i) = (r,s,: г252: r{s2: r2s,).
Мы оставляем в качестве простого упражнения проверку того, что это отображе-
отображение является вложением и его образ есть гиперповерхность, определенная урав-
уравнением E.9). Мы доказали следующее утверждение.
Теорема 5.13. Уравнение
задает при п = 3 сферу Римана СР1 с СР2, а при п = 4 — прямое произве-
произведение двух сфер — СР1 х СР1 с СР3.
6. Комплексные торы являются факторпространствами простран-
пространства Ся по действию дискретной подгруппы Л ^ 1?п группы С1 по сложению.
Факторпространство Cn/Z2n диффеоморфно 2л-мерному вещественному тору Рп,
и в малой окрестности каждой точки линейные координаты в СЛ задают комплекс-
комплексные координаты на торе. Поэтому факторпространство является комплексным
многообразием, которое называется п-мернъмкомплексным тором.

§5.1. Гладкие многообразия И7
Теорема 5.14. Каждый одномерный комплексный тор комплексно диф-
феоморфен тору вида Ех = С/{т + пх: т, п Е Z}, где 1тт > 0, и при этом
торы Ех и ?т/ комплексно диффеоморфны тогда и только тогда, когда
параметры х их1 связаны дробно-линейным преобразованием:
, _ ах + Ь
cx + d"
где a, b,c,deZ и ad - be = det (a . j = 1.
Доказательство. Пусть Т = С/Л — одномерный комплексный тор
и е\, е2 — базис решетки Л. Заменяя, если это необходимо, ?2 на — е2, приведем
базис к такому виду, что Im — > 0, и положим х = е2/е\. Возьмем вектор в\ в ка-
качестве базисного для комплексного линейного пространства С с координатой г.
Мы видим, что в этих координатах тор имеет вид Т = С/{т + пх: т, п ? Z}.
Линейное преобразование вещественного пространства R2 = С, заданное ма-
матрицей
€ SLB,
переводит подгруппу Л в себя. Отсюда следует, что подгруппы, порожденные
векторами A, т) и (сх + d, ах + Ь), совпадают. А следовательно, торы ?т и Ех>
совпадают, если параметры тит' связаны соответствующим дробно-линейным
преобразованием. Обратное утверждение мы оставим без доказательства.
Следствие 5.6. Существуют компактные комплексные многообразия,
которые диффеоморфны, но не комплексно диффеоморфны.
Если комплексный тор является алгебраическим многообразием, то он назы-
называется абелевым.
Известная теорема Римана утверждает, что
комплексный тор С1/Л является абелевым, если и только если в подхо-
подходящих линейных координатах в Сп он приводится к виду
BN:M,NeCn},
где А — диагональная матрица с целыми положительными элементами,
а матрица В симметрична и ее мнимая часть положительно определена:
Bjk = Bkj, lmBjkr)jr)k>0 при T)GR\ 7)^0.
Следствие 5.7. 1. Все торы комплексной размерности 1 абелевы.
2. При п > 2 почти все п-мерные комплексные торы неабелевы.
Это утверждение означает следующее. При заданном базисе ei,...,?2w
в R2" = Ся подгруппа Л, изоморфная Ъ2п, задается координатами векторов
т)ь ..., гJя, порождающих подгруппу Л. Эти координаты 7)*, где т)/ = r\feki ле-
лежат в области из R4. «Почти все» точки этой области (т.е. точки, образующие
множество, пересечение которого с любым шаром в R4 имеет нулевую меру)
отвечают неабелевым торам.

148 Глава 5. Гладкие многообразия
Если Д — единичная матрица, то говорят, что абелев тор главно поляризо-
поляризован. В этом случае определена знаменитая тэта-функция Римана
в(ги .. •, zn) =
/W€Z«
как целая функция от п комплексных переменных 2,, ..., zn.
§ 5.2. Группы преобразований как многообразия
1. Группы движений как многомерные поверхности. Обозначим че-
через М(л, R) пространство всех (п х л)-матриц (или, как еще говорят, матриц
п-го порядка) с вещественными элементами. Это линейное пространство раз-
размерности я2, и матричные элементы aj являются декартовыми координатами
вМ(«Д)=Г2.
Если матрицы А — (aj), В = Fj) лежат в М(л, R), то их произведение С = (cj),
где
4 = 4$. EЛ0)
тоже принадлежит М(я, R). Поэтому закон умножения E.10) определяет гладкое
отображение прямого произведения М(л, R) х М(я, R) в М(/г, R):
М(я, R) х M(/z, R) -> M(n, R),
где (Л, В)^АВ.
Радиус-векторы точек из М(я, R) естественно задаются как матрицы п-го
порядка. На образованном ими векторном пространстве определим евклидово
скалярное произведение
>#, (;), в = (*>;.).
Ясно, что матричные элементы задают евклидовы координаты в R. Скалярное
произведение определяет норму матриц по формуле
Очевидно, что
И + В|<И| + |Я|. E.11)
Кроме того, эта норма удовлетворяет неравенству
ИВ|<И||В|, E.12)
которое в координатах расписывается в виде

§5.2. Группы преобразований как многообразия 149
и вытекает из неравенства (см. п. 1 §2.1)
Лемма 5.6. Если \Х\ < 1, то матрица А = 1 + X обратима.
Доказательство. Построим ряд
В = 1 - X + X2 - Xz + ... + (-1 )пХп + ... E.13)
Из неравенств E.11) и E.12) следует, что для любых k, l выполняется неравен-
неравенство
\Хк -**+»+...+ (-\y-]Xk+1-11 ^ |Х|*A + |Х| + ... + \Х\1'1) ^
Отсюда следует, что последовательность частичных сумм ряда E.13) является
фундаментальной при \Х\ < 1, и, таким образом, этот ряд сходится. Умножая А
на 5, получим
23
Поэтому В = А~К Лемма доказана.
Из этой леммы следует, что группа GL(n, E) содержит вместе с единичной
матрицей некоторую ее окрестность в M(n, R). Это верно для любой матрицы из
GL(az, R). Действительно, пусть А € GL(az, E). Тогда матрицы вида ЛA + X), где
\Х\ < 1, образуют окрестность А в М(я, Е) и все они обратимы:
Поэтому вся эта окрестность лежит в GL(n, E) и элементы матрицы X задают
локальные координаты в окрестности матрицы A G GL(n, E). Итак, мы доказали,
что группа GL(n, E) является областью в М(л, Е).
Касательным пространством в единице к группе GL(/z, E) является простран-
пространство всех матриц порядка п. Размерность этой группы равна п2.
Следующая лемма показывает, что если G — подгруппа в GL(/z, E), выде-
выделенная системой уравнений F = 0, то ее регулярность как поверхности в Е
достаточно проверить только в окрестности единицы.
Лемма 5.7. Пусть подгруппа G с GL(/i, E) выделяется в окрестности U
единицы как множество нулей гладкого отображения (т е. общим набо-
набором нулей k функций Fu ..., Fk = 0):
причем все точки из G неособы. Тогда G является (п2 — k)-мерной регу-
регулярной поверхностью в M(n, E).
Доказательство. Пусть А € G. Возьмем окрестность AU матрицы Л,
образованную элементами вида АХ, где X е U. На AU определим гладкое ото-
отображение FA:
FA(AX) = F(X).

150 Глава 5. Гладкие многообразия
Уравнение FA = 0 выделяет в окрестности А элементы подгруппы G, и все точ-
точки из G неособы. Так как матрица A G G взята произвольной, G — регулярная
поверхность размерности (п2 - k). Лемма доказана.
Подгруппа SL(az, R) выделяется в GL(az, R) уравнением
deM = l. E.14)
Теорема 5.15. SL(n, R) — (п2 - \)-мерная неособая поверхность в R.
Касательное пространство к SL(n, R) в единице—это пространство всех
матриц с нулевым следом 1хХ = 0.
Доказательство. Пусть A (t) — гладкая кривая в SL(n, R), проходящая
через единицу: Л@) = 1. Разложим A(t) в ряд Тейлора:
A(t)=l+Xt + O(t2)
и подставим это разложение в E.14):
Следовательно, касательные векторы к SL(n, R) в единице являются бесследо-
бесследовыми матрицами:
Из леммы 5.3 следует, что единица группы и близкие к ней точки из SL(n, R)
неособые. Согласно лемме 5.7 вся группа SL(n, R) является неособой поверх-
поверхностью. Теорема доказана.
Группа ортогональных матриц О(п) выделяется в R уравнением
ЛТЛ = 1, E.15)
которое расписывается как
*ei=&". u=i п.
При перестановке / и / мы получаем то же самое уравнение. Поэтому остается
п2 — п(п + 1)/2 = п(п — 1)/2 уравнений, отвечающих парам / = / и / < /.
Теорема 5.16. Группа О(п) — неособая поверхность размерности -Цг—-.
Касательное пространство к О(п) в единице образовано всеми кососим-
метрическими матрицами.
Доказательство. Пусть А (/) — кривая в О(п) и Л@) = 1. Разложение
в ряд Тейлора есть
Подставив его в уравнение E.15), получаем
A +XTt + O(t2))(l +Xt + O(t2)) = 1 + {ХТ +X)t + O(t2) = 1.

§5.2. Группы преобразований как многообразия 151
Следовательно, уравнения E.6) для поверхности О(п) задают Z -мерное
пространство, образованное всеми кососимметрическими матрицами:
хт = -х, *} = -*{, x=(xf,).
Теперь теорема вытекает из лемм 5.3 и 5.7. Теорема доказана.
Это рассуждение обобщается на группу линейных преобразований, сохраня-
сохраняющих любые невырожденные скалярные произведения в R". А именно, если G —
матрица Грама этого произведения, то преобразование А € GL(/z, R) сохраняет
его, если и только если
ATGA = G,
откуда следует, что
A + XTt + O(/2))GA + Xt + O(t2)) = G + (XTG + GX)t + O(t2) = G.
Мы получаем уравнение на касательные векторы в виде
XTG + GX = 0. E.16)
Если произведение симметрично (например, псевдоевклидово), то GT = G
и соотношение E.16) означает, что матрица GX кососимметрична. Для невы-
невырожденного произведения (det G ф 0) это условие задает п(п - 1)/2-мерное под-
подпространство. Отсюда получаем такой результат.
Теорема 5.17. Группы О(р, q) являются неособыми поверхностями в Ш
размерности «Г , где п = р + q. Касательные пространства к ним
в единице образованы всеми матрицами, удовлетворяющими уравнению
(GX) + GX = 0,
где G — диагональная матрица порядка п вида
G = diag(l, ..., 1,-1, ..., -1).
Р Я
Если произведение кососимметрично (например, симплектическое), то GT =
= -G и равенство E.16) означает, что матрица GX симметрична.
Напомним, что симплектические преобразования пространства R2n образуют
группу Sp(n, R). Эта группа состоит из матриц ( ^ ^ 1, где Л, В, С и D —
(п х п) -матрицы, удовлетворяющие уравнению ^ '
(АТ Ст\ /0 1\(А В\ _ / 0 А
^вт оV v-i оДс d;~^-i о;-
В частности, как мы ранее показали, Sp(l, R) = SLB, R).
Аналогично предыдущему можно доказать следующее утверждение.
Теорема 5.18. Группа Sp(fl, R) — это Bп2 4- п)-мерная неособая поверх-
поверхность в R4/|2.

152 Глава 5- Гладкие многообразия
Подгруппы SO(/x) и SO(p, q) групп О(п) и О(р, q) тоже являются неособыми
поверхностями той же размерности, что и объемлющие группы.
Группы О(п) и О(р, q) не являются связными. Это следует из того, что гладкая
функция det может принимать значения ±1 и матрицы с определителями разных
знаков нельзя соединить кривой в группе.
Подмногообразие Nk с Mk называется связной компонентой многообра-
многообразия Af*, если оно связно м многообразие Mk представляется в виде объединения
Mk = Nk U Lk двух непересекающихся подмногообразий, которые одновременно
замкнуты и открыты как подмножества в Af*.
Прежде чем доказать, что SO(n) — связная компонента группы О(п), дока-
докажем следующее утверждение.
Лемма 5.8. Пусть А е SO(az). Тогда п-мерное евклидово векторное про-
пространство Шп распадается в прямую сумму Шп = Vo ф V\ ф... ф Vm таких
подпространств Vh у ^ 0 , что
1) подпространства V} попарно ортогональны;
2) преобразование А действует на Ц> тождественно;
3) подпространства V-, двумерны при у > 1, и А действует на каждом
из них как вращение на угол еру.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по п. Для п = 1 утвер-
утверждение тривиально: А = 1. Предположим, что оно доказано для k < п. Пусть
А € SO(n). Выпишем характеристическое уравнение
det(/l-X- l) = 0.
Если [i — комплексный корень этого уравнения, то существует такой комп-
комплексный вектор г)=?i + й;2, где ?i, ?2 €Rrt, что Ar\ = ^rj. Очевидно, что А(?| - /$2) =
= p(?i - й;2) и векторы ?ь ?2 порождают двумерное инвариантное подпростран-
подпространство W = R • ?i + R • ?2. Так как оператор Л сохраняет длины векторов, мы по-
получаем, что \\х\ = 1, [х = coscp - /sincp и
_ / соэф $1пф\
~~ у-sincp coscpy
Отсюда выводится, что |?|| = |^2| и (?i, ^2) = 0. Поэтому можно считать, что
Теперь разложим векторное пространство Rn в прямую сумму подпростран-
подпространства W и его ортогонального дополнения W1-. Это разложение инвариантно от-
относительно действия оператора A: AW'= ИР и Л\^х = №х. Осталось применить
предположение индукции к ограничению оператора А на WL.
Если все корни уравнения det(v4 — X • 1) = 0 вещественны, то они равны ±1,
и, так как det А = 1, четное число из них равно -1. Если все корни равны едини-
единице, то положим Rrt = Vq. В противном случае возьмем два таких ортогональных
вектора ?| и ?2, что Л& = -&, i = 1, 2. На порожденном ими подпространстве W
преобразование А действует как вращение на угол тс. Разложение R" = W + W1-
инвариантно, и для W1- лемма верна согласно индуктивному предположению.
Лемма доказана.

§5.2. Группы преобразований как многообразия
153
Выведем из этой леммы связность пространства
Теорема 5,19. SO(ai)— связная компонента группы О(л).
Доказательство. Для того чтобы показать, что пространство SO(n)
связно, достаточно любое преобразование А е SO (я) продеформировать внутри
SO(ri) в единицу группы. Как мы показали, в подходящем ортонормированном
базисе любой элемент А € О(п) представляется блочно-диагональной матрицей
/1
0\
E.17)
где матрицы А-, задают повороты на углы фу. Меняя непрерывно ф/, каждую ма-
матрицу Л/ продеформируем в единичную. Теорема доказана.
Как мы показали, SOC) является связной трехмерной поверхностью в R9 =
= МC, R). Система локальных координат на SOC)—углы Эйлера — хорошо
известна из аналитической геометрии. Вращение, переводящее систему коорди-
координат (х, у, z) в систему координат
(х\ у\ z'), представляется в виде ком-
композиции следующих трех вращений.
1. Вращение на угол ср вокруг оси г.
Ось х переходит в линию узлов.
2. Вращение на угол 0 вокруг линии
узлов. Ось z переходит в ось z1.
3. Вращение на угол ф вокруг оси z'.
Линия узлов переходит в ось х.
Из классификации движений про-
пространства М3, данной в п. 3 § 1.3, сле-
следует, что каждое преобразование из
SOC) представляется как вращение
Линия/узлов
Рис. 5.9. Углы Эйлера
вокруг оси. Построим по каждому та-
такому вращению точку из шара \х\ ^ тс.
Радиус-вектор этой точки задаст ось
вращения, |jc| — угол вращения. Зная х, будем считать, что вращение проис-
происходит против часовой стрелки на угол <р, где |ср| = \х\. Эта параметризация почти
однозначна: различные точки шара задают одно и то же вращение, только когда
это точки х и —л:, причем \х\ = тс (вращения на углы тс и —тс совпадают). Поэто-
Поэтому SOC) получается из шара \х\ ^ тс попарным склеиванием противоположных
точек границы в одну точку. Таким образом, мы показали, что SOC) «RP3 (эти
многообразия диффеоморфны).
Группы SO(/7, q) при ненулевых значениях р и q не являются связными по-
поверхностями в Щр + #, R). Например, при р = 1 они содержат ортохронные
и неортохронные преобразования, которые не могут быть соединены кривыми
в группе SOA, q).

154 Глава 5. Гладкие многообразия
2. Комплексные поверхности и подгруппы в GL(nf С). Перейдем те-
теперь к комплексному случаю. Обозначим через М(я, С) пространство всех
(п х я)-матриц с элементами из С. Группа GL(az, С) обратимых матриц — это
область в М(я, С) = С, определяемая условием det А ф 0.
Поверхность М в Ся называется комплексной, если в окрестности каждой
своей точки она выделяется уравнениями
Fl(zl,...,*t) = ... = Fa-k(z\...,*) = 0, E.18)
где функции F\, ...» Fn-k комплексно-аналитические. Точка поверхности назы-
называется неособой, если ранг матрицы (—\) в этой точке максимален и равен
\ dz /
п — k. Число k называется при этом комплексной размерностью поверхности М:
dime M = k. По теореме о неявной функции для комплексно-аналитических функ-
функций, если в точке х е М, скажем, минор
\ dz1 //=• n-k, i=k+\ п
не равен нулю, то локально поверхность задается как график отображения
2*+' =/,(*¦,... ,2*), ..., 2в=/я^B1,...,2*),
где /|, ..., /Л_Л — комплексно-аналитические функции.
Мы можем перейти к овеществленному пространству Ш2п. В нем уравне-
уравнения E.18) задают B&)-мерную поверхность М: dimM = 2dimcM. При этом точ-
точка х € М неособа тогда и только только тогда, когда она неособа как точка
комплексной поверхности. Единственной отличительной чертой этой поверхно-
поверхности M2k С К2/| является то, что на ней можно вводить комплексные координаты
и, следовательно, определять комплексно-аналитические функции.
Примером комплексной поверхности в Сп является группа SL(/2, С), образо-
образованная всеми матрицами с определителем единица. Она выделяется уравнением
det/l = 1,
и определитель является многочленом, а следовательно, и комплексно-аналити-
комплексно-аналитической функцией от матричных элементов. Это уравнение состоит из двух ве-
вещественных уравнений: Re det A = 1 и Imdet A = 0. Группа SL(n, С) имеет ком-
комплексную размерность п2 - 1, и касательное пространство к ней в единице обра-
образовано бесследовыми матрицами. Доказательства этих фактов такие же, как и для
(n, R).
Группа U(m) выделяется в М(л, С) уравнениями
< = b*> или ЛТД=1, Л = (а)), E.19)
левые части которых — комплекснозначные, но не комплексно-аналитические
функции. Поэтому \J(n) не является комплексной поверхностью. Каждое из урав-
уравнений fjk(A) = Wk задает два вещественных уравнения:

§5.2. Группы преобразований как многообразия 155
Так как fjk = fkj и Im/y/ = 0, мы имеем п2 = п + 2п^п~ различных уравнений.
Пусть A(t) —такая кривая в U(n), что Л@) = 1. Рассмотрим ее разложение в ряд
Тейлора в нуле:
Из соотношений E.19) получаем
АТА = A +XTt + O(t2))(l +Xt + O(t2)) = 1 + (Хт + X)t + O(t2) = 1.
Следовательно, уравнения E.6) для группы \J(n) задают пространство всех
косоэрмитовых матриц:
Размерность этого пространства равна п2 = п + 2 -Цг—-. Теперь из лемм 5.3
и 5.7 получаем следующий результат.
Теорема 5.20. Группа U(/z) — это п2-мерная неособая поверхность
в М(/г, С) = С*2. Касательное пространство /с U(/i) б единице состоит из
всех косоэрмитовых матриц.
Аналогично доказывается, что SU(n) является (п2 - 1)-мерной неособой
поверхностью и ее касательное пространство совпадает с пространством всех
косоэрмитовых бесследовых матриц.
Пример. Группа SUB) образована матрицами
D S). №¦№-¦•
Пусть a = x + iyy Ь — иЛ- iv. Уравнение \а\2 + \Ь\2 = 1 задает сферу радиуса 1
в R4 с координатами х, (/, и, v. Напомним, что SOC) = SUB)/±1 (теорема 4.4).
3. Группы аффинных преобразований и группа Гейзенберга. Подгруп-
Подгруппы Ли группы GL(/2, R) могут быть очень просто устроены как многообразия.
Укажем важный пример — группу Гейзенберга, образованную всеми матрица-
матрицами вида
'I х
0 1 у | , x,yyzeR,
К0 0 1,
с обычной операцией умножения. Она диффеоморфна евклидову пространству R3,
но групповая операция некоммутативна:
(х, у, г) • (х\ у1, г1) = (х + х\у + у\ z + z' + xy1).
Другой пример матричной группы, которая не является группой движений,
предоставляет группа аффинных преобразований А(п). Зададим в декартовом
пространстве Rn координаты х1, ..., хп. Аффинные преобразования — это пре-
преобразования вида
(Л, Ь): х-*Ах + fe, Ae GL(az), beW1. E.20)

156 Глава 5. Гладкие многообразия
Рассмотрим декартово пространство Ея+1 на единицу большей размерности с ко-
координатами х\ ..., xn+l и вложим в него Rn как гиперплоскость хп+] = 1:
(х1,...,*")-^*1,...,*-, 1).
Каждому аффинному преобразованию (Л, Ь) сопоставим линейное преобразова-
преобразование С, заданное (п + 1) х (п + 1)-матрицей:
(A,b)^C=(i JV E.21)
Ограничив это преобразование на гиперплоскость Мя = {xn+l = 1}, получим аф-
аффинное преобразование E.20). Прямым вычислением проверяется, что постро-
построенное отображение А(п) —> GL(n + 1) является гомоморфизмом групп. Нами до-
доказана следующая теорема.
Теорема 5,21. Отображение E.21) задает гомоморфное вложение груп-
группы аффинных преобразований А(п) в группу GL(n +1).
Если матрица Л в формуле E.20) ортогональна, то аффинное отображение
сохраняет расстояние между точками, определенное формулой
где* = (а:1, ..., лгя), у = (у\ ..., уп) е Мя. Подгруппа Е(я), образованная аффин-
аффинными преобразованиями E.20) с ортогональными матрицами Л, является группой
движений евклидова пространства.
С учетом теоремы 5.16 получаем такой результат.
Следствие 5,8. Аффинная группа А(п) является (п2 + п)-мерной регу-
регулярной поверхностью в Щп + 1, R) = R(/l+lJ. Группа движений Е(п) евкли-
евклидова пространства Rn является ( <Г + п)-мерной регулярной поверх-
поверхностью в Шп^\ Ч l J
4. Экспоненциальное отображение. По касательным пространствам к
группе GL(n, С) и ее подгруппам можно (по крайней мере локально) восста-
восстановить группы и ввести на них удобные локальные координаты. Это делается
с помощью экспоненциального отображения:
ехр: Г-> GL(n, С), ехр(О) = 1,
где Т = Щп, С) — касательное пространство к GL(/i, С) в единице. Это отобра-
отображение определяется формальным рядом
1 + ? + ^ + ... E.22)
и также обозначается через е* = ехрХ.
Лемма 5.9. 1. Ряд E.22) сходится для всех X € М(я, С).
2. Если матрицы X и Y коммутируют, т.е. XY = YX, то
ехр(Х + Y) = ехр X ехр Y = ехр Y ехр X. E.23)

§5.2. Группы преобразований как многообразия 157
3. Для каждой матрицы X е М(п, С) выполняются равенства
ехр*-ехр(-Х)=1, E.24)
E.25)
4. Для всех X ? М(п, С) и А Е GL(az, С) выполнено соотношение
екр(АХА~1) = А(ехрХ)А~1. E.26)
5. Имеет место равенство
detex = eTrX E.27)
Доказательство. Так как
|А j? X I Щ
U! (A+l)! "'**"t" (? + /)!П Jfe! "*"'' * "
сходимость ряда E.22) следует из сходимости ряда для е1*1. Если XY = УХ, то
\/=0
оо
т=0
Так как матрицы X и —X коммутируют, из соотношений E.23) следует равен-
равенство E.24). Формулы E.25) и E.26) очевидны. Чтобы доказать формулу E.27),
приведем матрицу X к жордановой форме X:
Х = АХА~1.
Очевидно, что ТгХ = ТгХ и из равенства E.26) следует, что
Матрица X верхнетреугольна, и по диагонали стоят коэффициенты Хь ..., Х„. Мы
имеем
detе* = eh ...еХп = eXl+"+X/I = еТг*,
откуда следует формула E.27). Лемма доказана.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5.22. 1. Если X е М(л, Ш) (или X е Щп, С)) и ТгХ = 0, то ехрХ €
€ SL(n, Е) (t/ли соответственно X е SL(ny С)).
2. ?а/ш X G M(n, R) — кососимметрическая матрица, т е. ХТ = -X, то
ехрХеО(п).
3. Если X б М(я, С) — косоэрмитова матрица, те. ХТ = —Ху то ехрХ €
€Щя).

158 Глава 5. Гладкие многообразия
Доказательство. 1. Пусть ТгX = 0 и A(t) = exp(Xt). Так как матри-
матрицы t\X и UX коммутируют для всех t\, t2? M, мы имеем
Полагая /(/) = det A(t), получаем
Отсюда следует, что
№ = ,im = т. lim
dt д/—о A/ /w д/->о
где постоянная С равна
С= ,i
д/-*о А/ д/-»о А/
А/
Мы получаем, что -jr = 0 всюду и /@) = 1. Следовательно, det A(t) = 1.
2. Так как матрица X кососимметрична, т. е. ХТ = -X, матрицы X и Хт ком-
коммутируют друг с другом. Поэтому
АТА = ехрХт ехрХ = ехр(Хт + X) = 1, Л Е О(я).
3. Матрица X косоэрмитова, т. е. Хт = —X. Следовательно,
АТА = ехрХтехрХ = ехр(Хт +Х) = 1, Л € Щп).
Теорема доказана.
Лемма 5.10. Если А = 1 + Y € GL(/2, С) и \Y\ < I, mo
А = ехрА^,
у2 уЗ ул
Доказательство. Ряд для In А сходится, если сходится ряд
который является рядом Тейлора для ln(l - z) при z= \Y\. Ряд Тейлора для
1пA — z) сходится, как известно, при \z\ < 1. Поэтому при \Y\ < 1 ряд для X = In A
сходится. Подставляя его в ехрЯ, получаем А = ехрХ Лемма доказана.
Следствие 5.9. В окрестности единицы в GL(n, R) отображение ехр
взаимно однозначно и матричные элементы х\ = aj - Ц задают локальные
координаты.

§5.2. Группы преобразований как многообразия 159
Гладкая кривая r(t)y где / € М, в группе GL(/z, С) (или ее подгруппе) называ-
называется однопараметрической подгруппой группы GL(n, С), если
для всех /ь t2 € R. Очевидно, что г@) = 1 е GL(az, С).
Лемма 5.11. Если r(t) — однопараметрическая подгруппа группы
GL(n, С), то r(t) = ext для какой-то матрицы X е Щп, С).
Доказательство. Мы имеем
= Ут
dt At->o At
где
v ; \д/*о А/ У w
X= hm
hm /.
д/—о A/
Ho
dt
Следовательно, функции r(t) и е** удовлетворяют одному и тому же обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению
df-fX
в R2/|2 = С = M(az, С) и имеют одни и те же начальные данные:
Из теоремы о существовании и единственности решения обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения следует, что
r(t) = ext
при всех t € М. Лемма доказана.
Лемма 5.12. Пусть F: G -+ Н — гладкий гомоморфизм групп, являющих-
являющихся неособыми поверхностями в Щп, К),
F(x-1) = [F(x)]-\ F(xy) = f Wf Ы, xf у е G.
Тогда F переводит однопараметрические подгруппы в однопараметриче-
ские подгруппы:
где Y = F+X и F* — дифференциал отображения F в единице.
Доказательство. Очевидно, что r(t) = F(ext) — однопараметрическая
подгруппа. Значит, r(t) = eYt. При / = 0 касательный вектор кривой r(t) равен
Лемма доказана.
Для некоторых (но не для всех) подгрупп в GL(/z, R) образ экспоненциального
отображения покрывает всю группу. Мы выведем этот факт для групп SO (я) из
леммы 5.8.

160 Глава 5. Гладкие многообразия
Лемма 5.13. Любой элемент группы SO(/z) представляется в виде ехрХ,
где X — кососимметрическая матрица.
Доказательство. Пусть А е SO(az). Согласно лемме 5.8 выберем такой
ортонормированный базис в V, в котором преобразование А: V -+ V задается
матрицей А вида E.17). Мы имеем
А = ВАВ~\ BeSO(n).
Легко посчитать,
Следовательно,
А = ех
что
expLf
/0
р* = ехр
0
i i)] = <
0 ...
ер,/ ...
^ —sincp
°\
0 ¦
sincp\
COSCfJ
где / =
. '¦(-!
0 ... (fkJj
Матрица X кососимметрична. Покажем, что матрица X = В"]ХВ тоже кососим-
метрична. Действительно, так как Вт = В, мы имеем
(В~'ХВ)Т = ВТХТ(В-1)Т = В~{ХТВ = -fl-1 JfB.
Осталось заметить, что
А = В~1(ехрХ)В = ехрE-^В) = ехрХ
Лемма доказана.
§ 5.3. Кватернионы и группы движений
1. Алгебра кватернионов. Пусть Н — четырехмерное вещественное вектор-
векторное пространство, образованное векторами
где a, by Су deR — координаты векторов. Зададим на нем ассоциативное били-
билинейное умножение по следующим правилам:
1) (kqi)([xq2) = (X^i)<7i<72, X, Ц € R, qu ?2 € Н;
2) (<7|<72)9з = <7|(<72<7з) (ассоциативность);
3) базисные векторы перемножаются согласно формулам
it —— — it — b io ^— __c>/ -^ / A?/ ¦—» —ib —¦» i
Пространство Н с таким умножением называется алгеброй кватернионов. Его
можно реализовать в МB, С), положив
a-id —bi —

§5.3. Кватернионы и группы движений 161
Легко проверить, что
A{q{q2) = A(q{)A(q2)y A(q{ + q2) = A(qx) + A{q2).
Входящие в это представление матрицы
называются матрицами Паули. Они удовлетворяют соотношениям
ао=1, а? = а2 = аз=1,
<J|CJ2 = —О2О\ = ^О"з, СГ2СУ3 =: —0*3^2 = ?С7|, ^3^1 ^
Определим на алгебре кватернионов сопряжение
q = a + bi + cj + dk->q = a-bi-cj- dk
и порожденную им норму
\q\2 = qq = a2 + b2 + c2 + d2.
Так как
мы имеем
9i + Q2 = 9i + #
Также заметим, что
Поэтому
kiik2|. E.28)
Так как эта норма порождена скалярным произведением
(<7ь 9г) = #i#2 + &i&2 + CiC2 4- d\d2y
для нее выполняются обычные свойства
к|+<72|<Ы + к2|, M = WM при XER, |flf|^0 при ^7^0.
Поэтому Н является нормированной алгеброй (строгие определения абстракт-
абстрактных и нормированных алгебр см. ниже в п. 10 §6.1). В Н определено также
и деление: каждому ненулевому элементу q e Ш однозначно сопоставляется его
обратный
¦"'"и" «¦'-«¦'¦-'•
Конечномерное векторное пространство с таким билинейным умножением, что
из равенства ху = 0 следует, что по крайней мере один из сомножителей равен
нулю, называется алгеброй с делением. Из этого условия (отсутствия делителей
6-1168

162 Глава 5. Гладкие многообразия
нуля) следует, что для любого а ф О отображения х -» ах и х —* ха являются
обратимыми линейными преобразованиями. Вещественные алгебры с делением
существуют только в размерностях 1, 2, 4 и 8 (это сложная топологическая те-
теорема).
Пусть в алгебре с делением существует единица, умножение на которую—то-
которую—тождественное преобразование, и умножение ассоциативно. Можно доказать, что
над полем вещественных чисел Е существуют только три такие алгебры: само
поле вещественных чисел R, поле комплексных чисел С и алгебра кватернио-
кватернионов Н.
2. Группы SOC) и SOD). Положим х = а -/d, y = -c-ib. Тогда
Из равенства E.28) следует, что кватернионы, для которых \q\ = 1, образуют
группу по умножению, которая обозначается И|. Легко заметить, что эта группа
изоморфна SUB).
Обозначим через Но пространство мнимых кватернионов:
q = -q, q = xi + yj + zk.
Метрика в Но задается по формуле
Следовательно, Но отождествляется с пространством векторов трехмерного ев-
евклидова пространства.
Лемма 5.14. Если \q\ = 1, то преобразование
<xq:x-> qxq, х € Ио = R3, q € Н, = SUB),
является вращением евклидова пространства R3, причем кватернионы ±q
определяют одно и то же вращение.
Доказательство. Мы имеем х = — х и, следовательно,
OLg(x) = qxq = qxq = -qxq.
Поэтому qxq e Ho. Отображение о^ линейно, и 0^@) = 0. Мы также имеем
и поэтому а^ является движением и задается матрицей о^ € 0C).
Функция f(q) = deta^ непрерывно зависит от q и может принимать лишь два
значения: ±1. Но /A) = 1 и SUB) « 53 — связная поверхность. Значит, deta^ = 1
и a^ G SOC) для q еШ\. Лемма доказана.
Группа SUB) х SUB) образована всеми парами (gi, g2), где gu ft € SUB),
с операцией умножения
(gi, ft) • (Ль h2) = {g\hu
Она, очевидно, изоморфна Н| xi|.

§5.3. Кватернионы и группы движений 163
Пространство Н с нормой \q\ естественно отождествляется с пространством
радиус-векторов точек из евклидова пространства Ш4.
Лемма 5.15. Если \р\ = \q\ = 1, то преобразование
aPtq: х -> pxq, х е Н = R4, /?, q е Н, = SUB),
является вращением евклидова пространства М4.
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 5.14.
Таким образом, мы построили гладкие отображения
q e SUB) -> а, е SOC), E.29)
(р, ?) € SUB) х SUB) -> olm e SOD), E.30)
которые являются одновременно гомоморфизмами групп.
Простыми вычислениями показывается, что в единицах групп эти отображе-
отображения имеют максимальный ранг и, следовательно, задают изоморфизмы касатель-
касательных пространств в единицах.
Поэтому любой вектор У, касательный к SOC) или SOD) в единице, имеет
вид FmX, где F — отображение вида E.29) или E.30) и X — касательный вектор
к SUB) или SUB) х SUB) в единице. Образом однопараметрической группы ext
будет группа eYt'. Так как вся группа SO (л) покрывается экспоненциальным ото-
отображением, образы отображений E.29) и E.30) покрывают полностью группы
SOC) и SOD).
Легко заметить, что
1) dp = 1 тогда и только тогда, когда р = ±1 Е Hi = SUB);
2) ам = 1 тогда и только тогда, когда р = q = ±1 ?Ш\ xHi = SUB) x SUB).
Тем самым, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 5.23. 1. Отображение E.29) является гладким гомоморфизмом
группы SUB) на SOC) с ядром ±1. Следовательно,
SOC)-SUB)/±1.
2. Отображение E.30) — это гладкий гомоморфизм группы SUB) x
х SUB) на SOD) с ядром ±1 = (±1, ±1). Следовательно,
SOD) - (SUB) x SUB))/±1,
SOD)/±1 - SOC) xSOC).
Группа SUB) диффеоморфна (как гладкое многообразие) трехмерной сфере.
Так как проективные пространства ШРп являются фактормногообразиями сфер
по Z2-дeйcтвиям, мы получаем такой результат.
Следствие 5.10. Группа SOC) диффеоморфна трехмерному веществен-
вещественному проективному пространству:
SOC)«RP3.

164 Глава 5. Гладкие многообразия
3. Кватернионно-линейные преобразования. С кватернионами связаны
и группы Sp(n) (не путать с симплектическими группами Sp(fl, R), определен-
определенными в п. 2 §2.1).
Пусть Нл — л-мерное кватернионное пространство с базисом еи ..., еп и ко-
координатами (*7i, ..., qn), принимающими значения в И. Так как кватернион
q = а + Ы + с] + dk
представляется в виде
j j где х = а + Ы, y = c + di,
W можно рассматривать как пространство С2п с базисом еи ..., еп> je{, ..., jen
и комплексными координатами х\ ..., хпу у\ ..., уп.
Кватернионно-линейным преобразованием называется обратимое преобразо-
преобразование Л: Нл -»Н", задаваемое матрицей Л = (Xf) по формуле
(так как координаты qk и матричные элементы Xf принадлежат Ш и умножение
в Н некоммутативно, порядок сомножителей существен). Это преобразование
линейно в следующем смысле:
при
Заметим, что, как правило,
При этом матрица Л = / • 1 реализует умножение координат точки ? на / справа.
Отождествляя Шп с С2/|, получим комплексную форму преобразования Л:
хк —> хкак - ylbk, ук -» xlbk + ylak, \к = ак + bkj. E.31)
Кватернионно-линейные преобразования образуют группу GL(n, H), и форму-
формулы E.31) задают гомоморфизм комплексификации
с: GL(a*, H) -^ GLBn, С). E.32)
При этом
ГА ~/
-(
Образ этого гомоморфизма выделяется в GLBn, С), как и в случае гомоморфиз-
гомоморфизма овеществления г, условием коммутации с умножением (справа) на мнимую
единицу у:
Лс(у) = с(/)Л, сЦ) = TJ "JV Л G c(Sp(n)) с GLB/z, С).
На кватернионнозначных векторах из W определим эрмитово произведение

§5.3. Кватернионы и группы движений 165
Группа Sp(n) образована всеми кватернионно-линейными преобразования, со-
сохраняющими эту форму:
ь А$2>и = Eь $2>н при Л е Sp(n).
В комплексных координатах хк, ук, где %к = хк + ykj, k = 1, ..., п, форма (•, -)н
записывается в виде
Следовательно, преобразование Л лежит в Sp(n), если оно сохраняет одно-
п
временно эрмитову форму (?|, ^2}с = Y^(X\X2 + Ук\Укъ) и симплектическую форму
п *=1
)- Отсюда мы заключаем, что
c(Sp(n)) с
Легко заметить, что отображение E.32) устанавливает изоморфизм
Sp(l) = SUB).
Упражнения к главе 5
1. Докажите, что на сфере нет атласа, состоящего из одной карты.
2. Постройте гладкое взаимно однозначное отображение двух гладких много-
многообразий, которое не является диффеоморфизмом.
3. Докажите, что множество всех прямых на плоскости образует гладкое мно-
многообразие, которое гомеоморфно листу Мёбиуса.
4. Постройте вложения
а) тора Tn = Sl x...xS' вГ+|;
б) произведения сфер Sk и Sn в М*+л+|.
5. Докажите, что пара пересекающихся прямых на плоскости не является
многообразием.
6. Докажите, что любое гладкое многообразие имеет атлас, у которого каждая
карта гомеоморфна евклидову пространству.
7. Если разрезать лист Мёбиуса по его срединной линии, то будет ли полу-
полученное многообразие ориентируемым? связным? Что произойдет, если повторить
эту процедуру несколько раз?
8. Постройте на двумерном торе Т2 атлас из четырех карт.

Глава 6
Группы движений
§6.1. Группы и алгебры Ли
1. Группы Ли. Гладкие многообразия G, одновременно являющиеся группа-
группами, для которых групповые операции умножения
G х G -> G: (g, ft) -+ gh
и обращения
G->G:g->g-1
являются гладкими отображениями, называются группами Ли.
Гомоморфизмом групп Ли G и Н называется гладкое отображение <р: G —> Н,
которое является одновременно гомоморфизмом групп. Говорят, что группы Ли
изоморфны, если существует гомоморфизм этих групп, который одновременно
является диффеоморфизмом.
Простыми примерами групп Ли являются векторные пространства R" с обыч-
обычной операцией сложения
{хх, ..., хп) - (у1, ..., уп) = (х1 + у1, ..., хп + у11).
Если Л — подгруппа в R", изоморфная Z", то факторпространство — я-мерный
тор Тп = Жп/Ъп — является компактной группой Ли относительно той же опера-
операции. Группы R" и Тп коммутативны.
Если группа Ли Н вкладывается в группу Ли G и это вложение гладких много-
многообразий является одновременно гомоморфизмом групп, то говорят, что Н — под-
группа Ли группы Ли G.
Подгруппы Ли групп GL(/2, R) называются матричными группами Ли. Та-
Таковы, например, группы GL(n, R), SL(n, R) и группы движений О(п) и U(n).
Не каждая группа Ли является матричной, как показывает следующий
пример.
Рассмотрим группу, образованную преобразованиями прямой вида
F.1)
где / G R, z € С, причем \z\ < 1, и In — непрерывная ветвь логарифма, для ко-
которой In 1 = 0. Эта группа обозначается через SLB, R) и является трехмерной
группой Ли с координатами t, Re г, Imz.

§6.1. Группы и алгебры Ли
167
Теорема 6.1. Группа SLB, R) не вкладывается ни в какую группу
GL(n, R) и поэтому не является матричной группой Ли.
Доказательство. Предположим, что группа SLB, R) является матрич-
матричной группой Ли и вкладывается в GL(n, R) с GL(az, С). Уравнение z — 0 выде-
выделяет однопараметрическую подгруппу, изоморфную R, с параметром /. Согласно
лемме 5.11 каждая такая группа имеет вид ext, где X Е М(п, С). Напомним, что
центром группы G называется подгруппа Н С G, образованная элементами, ко-
которые коммутируют со всеми элементами из G. Легко проверить, что центр Z
группы SLB, R) образован такими элементами, что z = О и t Е Z. Следователь-
Следовательно, он должен вкладываться в эту однопараметрическую подгруппу е*'.
Выберем в С такой базис, что матрица X имеет жорданову форму. Мы объ-
объединим все жордановы клетки с одинаковыми собственными значениями в блоки
\у ..., at равны либо 0, либо 1,
Xk, где для каждого
/х,
х,=
0
0
0
1о
а,
к
0
0
0
0 .
а2 .
X,- .
0 .
0 .
блока 1
иы имеем
.. 0\
.. 0
.. 0
.. а,
.. X.
eXit =
1 а,/ i
О 1
a2t
(/-1)!
а2... а//1
7-1
О О
О О
о
а//
1
Выберем такой элемент А Е SLB, R) с GL(az, С), что он не коммутирует хотя
бы с одним элементом из группы ext. Так как при / = 1 матрицы е? и А комму-
коммутируют, т. е. ехА = Аех, подпространства, отвечающие блокам Xh инвариантны
относительно А. Действительно, каждый вектор $ из такого подпространства вы-
выделяется условием, что (ех — еХ/)ш? = 0 для какого-то т, но из коммутирования ех
и А следует, что (ех — еХ/)тЛ^ = 0.
Поэтому матрицы еР и А приводятся к одинаковому блочному виду:
W 0\ /Л, 0
¦•• ¦ АЛ ¦¦•
0 ех*1) \0 AkJ
Условие их коммутации записывается в виде
и из явного вида этих матриц следует, что это — система полиномиальных урав-
уравнений на /. Система нетривиальна, так как согласно выбору матрицы А хотя бы
при одном значении t матрицы А и е*' не коммутируют. Поэтому система должна

168 Глава 6. Группы движений
иметь конечное число решений. Но это противоречит тому, что все целые зна-
значения / являются решениями. Противоречие доказывает, что группа SLB, R) не
вкладывается ни в какую группу GL(/z, R) и поэтому не является матричной.
Теорема доказана.
Рассмотрим центр Z группы SLB, R). Он действует на группе Ли SLB, R)
правыми сдвигами g —* ghy и это действие дискретно. Рассмотрим фактормного-
образие SLB, R)/Z.
Чтобы описать это фактормногообразие, перепишем действие F.1) в следу-
следующем виде:
— zw
Мы получаем гомоморфизм группы SLB, R) на группу всех дробно-линейных
преобразований круга \w\ < 1. В п. 3 §4.3 мы показали, что эта группа изоморф-
изоморфна SLB, R)/±l. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа Z, отвечающая
таким преобразованиям, что z = 0, / Е Z, и изоморфная Z; гомоморфизм является
гладким отображением. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 6.2. Фактормногообразия SLB, R)/Z и SLB, R)/±l диффе-
оморфны, и этот диффеоморфизм задается гладким гомоморфизмом
SLB, R) —> SLB, R)/±l. Ядро^этого гомоморфизма есть подгруппа Z,
являющаяся центром группы SLB, R) и изоморфная группе Z.
2. Алгебры Ли. Пусть G — группа Ли и х\ ..., хп—локальные координа-
координаты в окрестности единицы 1 группы G, причем 1 = @, ..., 0). Для краткости
обозначим касательное пространство в единице через 1/= T\G.
В координатах (х1) умножение записывается с помощью гладких функций ср',
/= 1, ..., п:
х-у = (<?1(хуу), ...,сря(х, (/)),
где *=(*', ...,х?),у = (у\ ..., уп) и
ф'(*> у) = х? + у1 + b\kxlyk + (члены порядка ^ 3).
Пусть ^ и г) — касательные векторы в единице группы и ? = (?\ ..., 5я),
у) = (т)\ ..., У|я) — их координаты в системе координат (*')• Определим комму-
коммутатор [?, г)] € V этих векторов следующей формулой:
K,tf = (&J*-4W- F.2)
Лемма 6.1. Коммутатор
является линейным отображением по обоим аргументам, обладает свой-
свойством кососимметричности, т. е.
и удовлетворяет тождеству Якоби
.i)]]=o. F.3)

§6.1. Группы и алгебры Ли 169
Доказательство. В доказательстве нуждается только тождество Яко-
Якоби, так как остальное очевидно из определения коммутатора. Умножение в группе
ассоциативно:
(ху)г = x{yz).
Разложим обе части этого равенства в ряды Тейлора в окрестности точки х = у =
= 2=1. Коэффициенты при x}ykzl у этих разложений равны:
рл ит la ит
bmtbjk = 0//A/'
С учетом этого равенства тождество Якоби теперь проверяется прямой подста-
подстановкой выражения F.2) в F.3). Лемма доказана.
Разберем простой пример. Пусть G = GL(n, R). Каждая матрица из GL(n, Ш)
представляется в виде 1 + Л, где коэффициенты матрицы Л можно принять за
локальные координаты в окрестности единицы. Формула Тейлора для умножения
сводится к многочлену второго порядка:
A+ Л)A+В)=1+Л + В + ЛВ.
Поэтому коммутатор в касательном пространстве в единице к группе GL(az, E)
имеет очень простой вид:
[А,В] = АВ-ВА, F.4)
где Л, В — матрицы порядка п. В этом случае тождество Якоби проверяется
очень просто.
Лемма 6.2. Операция коммутирования на пространстве Щп, Ш)> обра-
образованном всеми матрицами порядка я, удовлетворяет тождеству Якоби
[Л, [В, С]] + [В, [С, А]] + [С, [Л, В]] = 0. F.5)
Доказательство. Распишем слагаемые левой части равенства F.5):
[Л, [В, С]] = А[В9 С] - [В, С]А = ABC - АСВ - ВСА + СВА,
[С, [Л, В]] = CAB - СВА - ABC + ВАС,
[В, [С, Л]] = ВСА - ВАС - CAB + АСВ.
Складывая эти выражения, мы получаем нуль. Лемма доказана.
Мы приходим к следующему важному понятию.
Векторное пространство 1/, на котором задана операция
VxV-+V, E,T))->R,7)], F.6)
называется алгеброй Ли, если эта операция билинейна (т. е. линейна по каждой
переменной), кососимметрична, т.е.
R,t)]=-[ij,5].
и удовлетворяет тождеству Якоби
К. h. СП + [п. К. 5]] + К. К, лП = о. F.7)
Операция F.6) называется коммутатором в алгебре Ли.

170 Глава 6. Группы движений
Следствие 6.1. Касательное пространство в единице группы Ли явля-
является алгеброй Ли относительно операции F.2).
В частности, матричная алгебра M(n, E) является алгеброй Ли (над
полем вещественных чисел Ж) относительно операции коммутирования
матриц.
Касательное пространство в единице группы Ли G с операцией F.2) называ-
называется алгеброй Ли группы Ли.
Для алгебры Ли V определено отображение, сопоставляющее каждому ее
элементу линейный оператор на алгебре V. А именно, пусть ZeV. Определим
линейное отображение
ad?: V-+V
следующей формулой:
ad5(ij) = R,T|l.
Линейный оператор А: V -» V на алгебре Ли называется дифференцированием
алгебры 1/, если он удовлетворяет тождеству Лейбница
Тождество Якоби F.7) эквивалентно следующему утверждению: для каждого
элемента $ ? V отображение ad <i является дифференцированием алгебры Ли V.
Если ей ..-, еп — базис в конечномерной алгебре Ли, то умножение в нем
задается структурными константами cff.
(здесь, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся верхним
и нижним индексам). Условие кососимметричности коммутатора означает, что
структурные константы с~ кососимметричны по нижним индексам:
с*. = -с* для всех I, /, k. F.8)
Тождество Якоби F.7) переписывается как система квадратичных уравнений на
структурные константы. Действительно, достаточно проверить выполнимость то-
тождества Якоби для базисных векторов. В этом случае уравнение
[eh [eh ek)\ + [eh [eky et]] + [ekj [eh ef]] = 0
переписывается в виде системы уравнений
С4* + ^4 + ^4 = 0 F.9)
при т— 1, ..., dim V.
Простейшее решение уравнений F.8) и F.9) тривиально: с*. = 0. Оно отвечает
тривиальности коммутатора: [?, т)] = 0 для всех !;, т) € V. Алгебра Ли с таким
коммутатором называется коммутативной.
В п. 3 §1.4 мы уже отмечали, что трехмерное евклидово пространство R3
является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения. Эта ал-
алгебра некоммутативна. Умножение в ней задается формулами
[ех, е2] = в3, [е2, ^з] = ех, [е3, ех ] = е2.

§6.1. Группы и алгебры Ли
Важными примерами алгебр Ли являются касательные пространства в еди-
единицах групп движений с обычной операцией коммутирования матриц. Мы уже
рассмотрели их в п. 1 §5.2 и дадим подробную сводку таких алгебр в п. 3. Они
являются примерами подалгебр Ли алгебры Щп, Е). Это означает следующее.
Пусть V С V — линейное подпространство алгебры Ли V, которое замкнуто
относительно операции коммутирования (коммутатора):
[V, V']cV.
Тогда пространство V само является алгеброй Ли относительно этой операции,
и при этом говорят, что V — подалгебра Ли алгебры Ли V.
Существует обратная связь, ведущая от алгебр Ли к группам Ли.
Мы говорим, что задана /2-мерная локальная группа Ли, если для некоторой
окрестности U точки 0 = @, ..., 0) ? Rn заданы такие гладкие отображения
<р: UxU-+Rn, ф: U-*Rn,
что выполняются соотношения
3) ф(ф(х, у), z) = ф(х, ф(#, г)),
в том случае, когда входящие в них члены определены (в соотношении 2, если
ф(л:) ? (/, а в соотношении 3, если ф(л\ у) и ф((/, z) лежат в (У). Из соотношения 1
и непрерывности отображений ф и ф следует, что существует такая окрестность
нуля W с U, что при х, у, z ? W выполняются включения у(х, у), ср(у, z) ? U
и ф(л:) ? U. В этом случае все члены, входящие в соотношения 1—3, определены.
Мы видим, что операции ху = ф(х, у) и х~х = ф(л:) удовлетворяют тем же
требованиям, что умножение и обращение в группе с единицей 1 = @, ..., 0).
Гомоморфизмом локальных групп Ли U и V называется такое отображение
ф: [/-+ V, что у(ху) = (f(x)(p(y). Локальные группы изоморфны, если для неко-
некоторых окрестностей U и V их единиц существует взаимно однозначный гомомор-
гомоморфизм ф: U -> V локальных групп: ф(?/) = V и ф(л:) = ср(у) в V тогда и только
тогда, когда х = у в U.
Имеет место следующая теорема, доказанная Ли.
Теорема 6.3. По каждой конечномерной алгебре Ли V над полем веще-
вещественных чисел можно построить (однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма) локальную группу Ли, для которой эта алгебра будет касатель-
касательной алгеброй в единице с коммутатором F.2).
Для каждой группы Ли G любая достаточно малая окрестность U единицы
является локальной группой Ли. Группы Ли G и Н называются локально изо-
изоморфными, если существуют такие окрестности U и V единиц этих групп, что
эти локальные группы Ли изоморфны.
Следствие 6.2. Алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда
изоморфны отвечающие им локальные группы Ли.
Для каждой алгебры Ли может существовать целое семейство попарно неизо-
неизоморфных групп Ли, для которых она является касательной алгеброй. Теорема 6.2

172 Глава 6. Группы движений
указывает такой пример: группы SLB, Ш) и SLB, Щ. Поэтому алгебры Ли клас-
классифицируют группы Ли с точностью до локального изоморфизма.
В действительности верен следующий факт.
Для каждой алгебры Ли g существует в точности одна односвяз-
ная {как топологическое пространство) группа Ли G, для которой алге-
алгебра Ли g является касательной алгеброй. Все другие локально изоморфные
ей группы Ли имеют вид G/Г, где Г — дискретная нормальная подгруппа
группы G.
Подгруппа F= {x(t)} группы Ли называется однопараметрической, если
она параметризуется точками вещественной прямой и для всех s, t eR выпол-
выполняется равенство
x(s)x(t)=x(s + t).
В частности, х@) = 1 € G. Заметим, что мы не требуем выполнения условия
x(t) ф x(s) при / ф s.
Теорема 6.4. Однопараметрические подгруппы x(t) в группе Лип — это
в точности решения обыкновенного дифференциального уравнения
с постоянным вектором ZeT{G и начальным условием х@) = 1.
Здесь и ниже произведение элемента группы х на вектор $ обозначает дей-
действие на касательный вектор ? дифференциала умножения на элемент х слева:
Доказательство. Прежде всего заметим, что в окрестности каждой
точки х G G группа Ли устроена как евклидово пространство. Поэтому для дока-
доказательства существования и единственности решения такого уравнения в груп-
группе Ли достаточно сослаться на аналогичный факт для обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений х = v(x) в евклидовых пространствах.
Если x(t) —однопараметрическая подгруппа в G, то
e=0
e=0
= x(t)x(O)
и, следовательно, однопараметрическая подгруппа удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению
*-'* = ?, 5 = *@)€Г,О,
на группе Ли.
Если V — касательное пространство к группе G в единице, то каждому век-
вектору $ е V отвечает кривая x(t) — решение обыкновенного дифференциального
уравнения
*-'* = ?
с начальным условием jc(O) = 1 в группе Ли G. Зафиксируем какое-то значение
s^Oh рассмотрим кривую y(t) = x(s)x(t). Она удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
х

§6.1. Группы и алгебры Ли 173
с начальным условием у@) = x(s). Заметим, что этому же уравнению с тем же
начальным условием удовлетворяет кривая z(t) = x(s + t). Следовательно, эти
кривые совпадают, и мы имеем x(s + t) = x(s)x(t). Так как значение 5 может
быть выбрано произвольным, это соотношение выполняется для всех значений s
и /. Мы заключаем, что x(t) является однопараметрической подгруппой. Теорема
доказана.
Пример. Для матричной группы GL(/z, R) однопараметрические подгруппы
имеют вид elt = ехр(?/). Поэтому для произвольных групп Ли они также запи-
записываются в такой форме, а отображение
сопоставляющее элементу алгебры Ли ^ е T\G элемент группы elt при /= 1,
называется экспоненциальным отображением.
С помощью экспоненциального отображения в окрестности единицы вводятся
два разных типа локальных координат. Пусть еь ..., еп — базис алгебры Ли. То-
Тогда каждая точка g из достаточно малой окрестности единицы однозначно пред-
представляется как образ экспоненциального отображения:
Это следует из того, что, как легко проверить, в нуле якобиан экспоненциального
отображения равен единичной матрице. Мы примем (я1, ..., хп) за координаты
точки g. Это — координаты первого рода.
В то же время каждая точка из малой окрестности единицы представляется
также в виде
g = exp(t]el)...exp(tnen).
Набор чисел (t\, ..., tn) задает координаты точки g. Они называются коорди-
координатами второго рода.
С помощью экспоненциального отображения дадим новое определение ком-
коммутатора в группе Ли. Пусть $, r\ Е TXG = g. Разложим произведение elte^e~ltе~^
в ряд Тейлора по / в точке t = 0.
Лемма 6.3. В локальных координатах в окрестности единицы 1 =
= @,..., 0) группы Ли выполняется равенство
еРё«е-*е-* = [Ъ, г)]/2 -ь О(/3).
Доказательство. Для краткости ограничимся случаем, когда груп-
группа G матричная. Общий случай расписывается аналогично. Для ^ = X Е М(/г, М),
у) = Y Е М(я, Ш) мы имеем
exteYte-xie-Yt = ^ + xt + | хН2 + 0^ ^ + Yt + i Y2t2 + О(/3)) х
х ^i -xt+^№ + О(*3)) (l - Yt+ | Y2t2 +
Лемма доказана.

174 Плава 6. Группы движений
Следствие 6.3. Пусть F: G —> Н — гладкий гомоморфизм матричных
групп. Тогда дифференциал Fm этого отображения в единице группы явля-
является гомоморфизмом алгебр Ли:
Доказательство. Гомоморфизм F групп Ли переводит однопараметри-
однопараметрические подгруппы ext в однопараметрические подгруппы ?*'', где X' = Fm(X). Для
матричных групп мы это доказали в лемме 5.12. Из этого следует, что
F(exteYte-xte~Yt) = ех> l eY> l е~х> * e~Y'l = 1 + [*', Y']t2 +
где exteYte-Xte~Yt = 1 4- [A', Y]t2 + О(/3). Отсюда заключаем, что
Следствие доказано.
На языке экспоненциального отображения записывается явная формула для
построения локальной группы Ли по алгебре Ли. Это — формула Кэмпбел-
ла—Хаусдорфа; мы дадим ее без доказательства.
Теорема 6.5. Пусть V — алгебра Ли. Зададим отображение V х V —> V
формулой
(х, у) -»z =
где
ad(jc)" adQfl* ...a6(x)p»'-*(y)a4(x)<''«->(x)ad(x)p'»(y)
m p\\q\\...pm-\\qm-\\pm\
(суммирование производится по т^ 1, рх + ... + /?ш = Р> q\ + ... + qm-\ =
*— (jc)
m p\\q\\...pm-\\qm-.\\
(суммирование производится no m^ 1, p\ +... 4-pm_i = p - 1, ?] +... + qm-\ =
= <7, /7/ + 9/ > 1, г^в / = 1, ..., m). Отображение
ex^^ez
задает умножение в локальной группе Ли, и ряды для z сходятся в до-
достаточно малой окрестности нуля.
Если существует такое число N, что
KbK2.[.-..[^.Ui]...111 = 0
для любых элементов ?,, ..., ?yv+i алгебры Ли К, то говорят, что V — нильпо-
тентная алгебра Ли ступени N. В этом случае ряд для z является полино-
полиномом степени N, и мы получаем полиномиальное правило умножения z = P(x, у)

§6.1. Группы и алгебры Ли 175
в группе Ли. Например, такова группа Гейзенберга: это—двуступенно нильпо-
тентная группа Ли с правилом умножения
(*, у, г) • (*', yf, z') = (х + х'уу + у\ z + z' + xi/).
Заметим, что, в отличие от групп Ли, все алгебры Ли матричные. Имеет место
следующая теорема Адо.
Теорема 6.6. Если V — конечномерная алгебра Ли над полем веществен-
вещественных или комплексных чисел, то существует ее линейное вложение
ср: V -> М(л, R) или М(/г, С)
в алгебру квадратных матриц над тем же полем, которое является го-
гомоморфизмом алгебр Ли:
3. Основные матричные группы и алгебры Ли. Приведем здесь сводку
основных примеров матричных групп Ли (подгрупп Ли групп GL(n, R)) и их
алгебр Ли.
Касательные пространства в единице (касательные алгебры) мы будем обо-
обозначать маленькими готическими буквами.
1. Специальная линейная группа SL(/z, R) (или SL(az, С)) состоит из всех ве-
вещественных (комплексных) матриц порядка п с определителем 1. Касательное
пространство $l(n, R) (или ${(п, С)) в единице есть пространство матриц с нуле-
нулевым следом (теорема 5.15).
2. Группа вращений SO(n, R) (или SO(az, С)) образована всеми веществен-
вещественными (комплексными) ортогональными матрицами с определителем 1:
АТА = 1, det А = 1, А е SO(n, R), SO(n, С).
Согласно теореме 5.16 касательная алгебра so (я, R) (so(n, С)) является алгеброй
кососимметрических вещественных (комплексных) матриц порядка п:
Хт = -X, X?so(n, R), $о(п, С). F.10)
3. Псевдоортогональные группы SO(p, q). Если G = (gij) — псевдоевклидо-
псевдоевклидова метрика в пространстве R^, р + q = п, то группа SO(p, q) состоит из всех
вещественных матриц А с определителем 1, сохраняющих форму G = (gij):
ATGA = G, deM =1, A e SO(/?, q).
Касательная алгебра so(p, q) — алгебра таких матриц X = (jcj), что
XTG = Q F.11)
(теорема 5.17). Это равенство означает, что матрица GX кососимметрична. По-
Поэтому отображение
X->GX
задает изоморфизм линейных пространств $о(р, q) и $о(р + q). Этот изоморфизм
не сохраняет коммутатор и поэтому не является изоморфизмом алгебр Ли.

176 Глава 6. Группы движений
4. Симплектическая группа Sp(«, Ш) состоит из матриц порядка 2л, сохраня-
сохраняющих невырожденное кососимметрическое скалярное произведение на R2". По
теореме 2.1 в подходящем базисе такое скалярное произведение задается матри-
матрицей
/01 0\
-1 0
0 =
О 1
-1 О/
и поэтому мы имеем
ATGA = G, Ae Sp(/i, R).
Алгебра 5р(я, R) состоит из всех матриц X порядка 2л, удовлетворяющих усло-
условию
XTG + GX = 0.
Так как GT = —G, это означает, что матрица GX симметрична.
Группа Sp(n, С) определяется как группа линейных преобразований С2я, со-
сохраняющих симплектическую форму, заданную матрицей G.
5. Унитарная группа U(n) состоит из матриц порядка я, удовлетворяющих
условию унитарности:
ЛТД=1, АеЩп).
Ее касательная алгебра п(п) образована косоэрмитовыми матрицами:
ХТ = -ХУ Хеп(п) F.12)
(теорема 5.20).
6. Специальная унитарная группа SU(az) — это группа унитарных матриц
с определителем 1. Ее касательная алгебра $и(п) является пересечением алгебр
$[(пу С) и и(я), и поэтому $и(п) состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым
следом:
Хт = -Ху ТгХ = 0, Xesu(n).
7. Псевдоунитарная группа U(p, q) образована линейными преобразованиями
пространства Ср+<7, сохраняющими псевдоэрмитово скалярное произведение
F.13)
Если матрица G = (g/7) задает форму F.13), то матрица А ? U(/?, q) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
ЛТОЛ = С AeU(p,q).
Алгебра u(/?, q) образована такими матрицами X, что
* TG = 0. F.14)

§6.1. Группы и алгебры Ли 177
Аналогично вещественному случаю отображениеX-+GX задает изоморфизм ли-
линейного пространства и(ру q) на пространство косоэрмитовых матриц.
8. Группа SU(p, q)—это подгруппа группы U(p, q)y составленная из матриц
с определителем 1, а алгебра $и(ру q) является подалгеброй алгебры и(ру q)y
образованной матрицами с нулевым следом: ТгХ = 0.
9. Группа кватернионно-линейных преобразований Sp(/z), сохраняющих эр-
эрмитово произведение на Ня, вкладывается в GLBn, С) как пересечение
Sp(/i) = Sp(n, С) П UB/i)
(см. п. 3§5.3).
10. Аффинная группа А (я), состоящая из всех аффинных преобразований
x->Ax + by AeGL(n)y ЬеШ\
л-мерного декартова пространства, и ее подгруппа Е(п) — группа движений
n-мерного евклидова пространства, выделенная в А(п) условием А ? О(п) С
С GL(n).
Покажем, что касательные алгебры указанных выше матричных групп явля-
являются подалгебрами Ли алгебр Ли М(л, R) или М(л, С).
Теорема 6.7. Линейные пространства $i(ny Ш)у sl(ny С), $о(пу R), so(ny С),
5о(р, q), sp(n, E), sp(n, С), u(/z), su(n), u(p, q), su(p, q), sp(n), a(n) и t(n) явля-
являются алгебрами Ли относительно коммутирования матриц F.4).
Доказательство. Так как TrXY = TrYX, мы получаем Tr[X, Y] = 0,
и поэтому пространства $i(ny Ш) и ${(пу С) замкнуты относительно коммутиро-
коммутирования и являются алгебрами Ли.
Покажем, что если матрицы X и У удовлетворяют условию F.14) для ка-
какой-то вещественной симметричной матрицы G, то и коммутатор этих матриц
удовлетворяет этому условию. Для вещественных матриц условие F.14) прини-
принимает вид F.11). При G = 1 мы получаем условие F.10) для вещественных матриц
и условие F.12) —для комплексных.
Пусть матрицы X, Y удовлетворяют условию F.11):
Тогда
[Ху Y)TG = YTXTG - XTYTG = -YTGX + XTGY = GYX - GXY = -G[Xy Y).
Теорема доказана.
Мы приходим к следующему важному понятию. Пусть G — одна из матричных
групп преобразований вида 1—10. Касательное пространство в единице груп-
группы G, снабженное операцией коммутирования матриц, называется алгеброй Ли
группы G и обозначается через д.
Пример 1. Алгебра Ли soC, R) группы вращений трехмерного простран-
пространства состоит из кососимметрических матриц третьего порядка. Введем базис

178 Глава 6. Группы движений
в\у е2, #з в пространстве таких матриц, полагая
/О 0 0\ / О О 1\
*1=[0 0 -1), е2 = О О О, е3= 1 0 0. F.15)
\0 1 0/ \-1 0 О/
Коммутатор задается формулами
[еи e2] = ez, [е2у ez] = eu [е3, ех\-е2.
Следствие 6.4. Алгебра Ли soC, R) изоморфна алгебре векторов в трех-
трехмерном евклидовом пространстве с операцией векторного произведения.
Пример 2. Алгебра Ли suB). Выберем в этой алгебре базис S|, s2, 53
следующего вида:
/i 0\ /О А /0 /\
= (о -J- 52=(-i oj^ **={i oj-
FЛ6)
Коммутационные соотношения имеют вид
[5,, S2] = 2S3, E2, S3] = 2S|f [53, 5,
Теорема 6.8. Существует изоморфизм алгебр Ли
Доказательство. Этот изоморфизм имеет достаточно простой вид в ба-
базисах F.15) и F.16) для алгебр soC, R) и suB):
st->2eh /=1,2,3.
Он задается как изоморфизм касательных пространств в единице, индуцирован-
индуцированный гладким изоморфизмом матричных групп
SUB)/±1->SOC),
заданным формулой E.29). Теорема доказана.
Аналогично из существования изоморфизма групп (SUB) x SUB))/±1 —>
—> SOD), заданного формулой E.30), и теоремы 6.8 следует такое утверждение.
Теорема 6.9. Существует изоморфизм алгебр Ли
50C, R) х soC, R) -=*«оD, R).
Пример 3. Алгебра Ли slB, R). В базисе Уо, Y\> Y2 вида
коммутаторы принимают вид
[Yo, Yt] =-2Y2, [Y0,Y2) = 2Yl, [YuY2] = 2Y0. F.18)
Теорема 6.10. Существует изоморфизм алгебр Ли
я1B, !*)¦=¦ «оA, 2).

§6.1. Группы и алгебры Ли 179
Доказательство. Зададим на линейном пространстве 5lB, R) квадра-
квадратичную форму
(У, Y) = det Y. F.19)
Она псевдоевклидова сигнатуры A, 2), так как
для Y = #оУо + (/, Г,
Каждому преобразованию А в SLB, M) сопоставим линейное преобразование
Y->AYA~l
пространства sfB, R). Оно сохраняет квадратичную форму F.19), так как det Y =
= det AYA~\ и поэтому задает гладкий гомоморфизм матричных групп
F: SLB,R)->SOA,2),
аналогичный гомоморфизмам E.29) и E.30). Отображение F индуцирует линей-
линейное отображение касательных пространств в единице:
По определению этого отображения каждой матрице из slB, R) оно сопоставляет
линейный оператор на slBy R), который действует по следующей формуле:
Тем самым мы показали, что
Так как
, F(e»)(Y)) = (К, У),
дифференцируя обе части этого равенства по / при / = 0, получаем
) = -(Y,ad(X)(Y)),
т.е. операторы adX кососимметричны относительно метрики F.19).
Из коммутационных соотношений F.18) следует, что не существует такой не-
ненулевой матрицы X, что ad X = 0. Поэтому отображение Fm имеет нулевое ядро
и, так как размерности групп SLB, R) и SOA, 2) совпадают, является изомор-
изоморфизмом алгебр Ли. Теорема доказана.
Пример 4. Алгебра Ли аффинной группы к(п) состоит из матриц порядка
(я+ 1) вида
(* 1У Xegl(n), КеЕ\
Коммутатор имеет вид
[№, К,), (Х2, Y2))=(XlX2-X2Xl, XXY2-X2Y>) = р,, Х2], (XtY2 - X2Yt)).

180
Плава 6. Группы движений
Здесь [Х\, Х2] — обычный коммутатор матриц порядка п, а под XY понимается
вектор, полученный действием матрицы X на вектор У.
Алгебра Ли г(п) группы движений Е(п) является подалгеброй в а(/г), выде-
выделенной условием X G $о(п).
Например, алгебра Ли группы ЕC) движений трехмерного евклидова про-
пространства порождена матрицами в\, е2, е$ вида F.15) и векторами f\ = A, 0, 0)т,
/2 = (О, 1, 0)т, /3 = (О, О, 1)Т. Коммутационные соотношения имеют вид
[eh е}) = ецкек, [eh fr] = zijkfky [fh /,] = 0, /, / = 1, 2, 3,
где
tijk =
1, если перестановка
-1, если перестановка
О в противном случае
четна,
нечетна,
F.20)
и мы подразумеваем суммирование по k.
Пример 5. Алгебра Ли д группы Гейзенберга, образованной матрицами
вида
f\ х
О
О
с обычной операцией умножения. Эта алгебра Ли порождена матрицами
/О 1 0\ /0 0 0\ /0 0 Г
е, = 000, е2 = [ 0 0 1 ) , в3 = [ 0 0 0
\0 0 0/ \0 0 0/ \0 0 0>
с коммутационными соотношениями
Из этих соотношений следует, что [?, [tj, Q] = 0 для любой тройки 5, г), С € д.
Это означает, что алгебра Ли группы Гейзенберга — нильпотентная алгебра Ли
ступени 2.
4. Инвариантные метрики на группах Ли. Пусть G — группа Ли, или, для
простоты, одна из матричных групп преобразований, указанных выше. Для лю-
любого элемента g e G умножение на него слева и справа задает гладкие обратимые
отображения G —* G (соответствующий сдвиг на g~l является обратным):
h^gK h-+ hgy
которые называются соответственно левым и правым сдвигами на элемент ge G.
Очевидно, что левые сдвиги коммутируют с правыми.
Сдвиги, будучи гладкими обратимыми отображениями, индуцируют изомор-
изоморфизмы касательных пространств
ThG ^ TghGy ThG -+ ThgG.

§6.1. Группы и алгебры Ли
Для матричных групп эти изоморфизмы имеют очень простой вид: если X б
G М(я, Е) и А € G, мы имеем
Х^>АХ (левый сдвиг), Х-+ХА (правый сдвиг).
Для простоты будем использовать такое обозначение сдвигов во всех группах.
Композиция сдвига на g слева и на g~l справа задает автоморфизм касатель-
касательной алгебры Ли g = T\G:
Напомним, что конечномерным представлением произвольной группы G на-
называется гомоморфизм р этой группы в линейную группу GL(n, Е):
р: G-»GL(/z, E).
При этом представление называется точным, если этот гомоморфизм являет-
является инъективным: p(g) ф р(Л) для любой пары различных элементов g, h e G.
Представление называется неприводимым, если оно не имеет нетривиальных
инвариантных подпространств. Это означает, что если КсЕя—линейное под-
подпространство и p(G) V с V, то либо V = 0, либо V = Е\
Мы видим, что отображение
Ad: G -» GL(/2, Е), п = dimg,
является представлением группы Ли G. Оно называется присоединенным пред-
представлением группы G.
Теорема 6.11. Дифференциал отображения Ad: G —> GL(n, E) в единице
группы Ли есть отображение
ad:g^0K",E), ad(X)(A) =[X, A],
где Ху A G g и оператор ad (Л) действует линейно на пространстве Ert,
которое изоморфно как линейное пространство алгебре Ли д.
Доказательство. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора умноже-
умножения в группе Ли и для простоты изложим доказательство для матричных групп.
Это достаточно сделать для GL(/V, Е). Мы имеем Ad 1 = 1 и
Ad etx(A) = etxAe~tx = A + tX + O(t2))AA - tX + O(t2)) =
= A + (XA - AX)t + 0{t2) = A + [X, A]t + O(t2).
Теорема доказана.
Пусть (•, -H — скалярное произведение на алгебре Ли g = TXG группы G. Оно
порождает метрики на всей группе G, определяемые по формулам
{Ъ, У\к = (g-Ч, g~'i)>o, & т)>« = &Г\ т)Г'>о F-21)
при 5, г) G TeG.
Метрика (•, -)L инвариантна относительно левых сдвигов (левоинвариант-
ная метрика):

182 Глава 6. Группы движений
Действительно, мы имеем
для всех 5, г) € 7^0. Аналогично доказывается, что (?, г))я— правоинвариант-
ная метрика: (?, г))* = ($g, r\g)R.
Теорема 6.12. Любая инвариантная метрика на группе Ли G задается
скалярным произведением на алгебре Ли д по формулам F.21).
Доказательство. Пусть, для определенности, (•, •) — левоинвариант-
ная метрика. Рассмотрим ее ограничение на касательное пространство в единице:
Из левоинвариантности следует, что
<«& «*)) = E» т))о,
т.е. эта метрика удовлетворяет соотношению F.21). Теорема доказана.
Метрика на группе G называется двусторонне инвариантной, если она инва-
инвариантна относительно и левых, и правых сдвигов.
Теорема 6.13. Пусть двусторонне инвариантная метрика на группе Ли
задается в единице группы скалярным произведением (У, Z). Тогда опе-
операторы adX кососимметричны относительно этого скалярного произве-
произведения:
(adX(Y), Z) = -(У, adX(Z)). F.22)
Доказательство. Очевидно, что двусторонне инвариантные метрики
при всех значениях / удовлетворяют уравнению
(A6etx(Y), Ade'*(Z)) = (y, Z).
Разложим левую часть этого равенства в ряд по /:
(Ad^(K), Adetx(Z)) = (У, Z) + ((асЩУ), Z) + (У, adX(Z)))t + O(t2).
Сравнивая эти два равенства, мы видим, что
(асЩУ), Z) + <y,ad*(Z))=0.
Теорема доказана.
Мы приходим к следующему важному определению. Симметричное скалярное
произведение (евклидово или псевдоевклидово) на алгебре Ли g называется ме-
метрикой Киллинга, если операторы ad X кососимметричны по отношению к этому
произведению при всех X Е д, т. е. для любых векторов X, У, Z €д выполнено ра-
равенство F.22).
Если скалярное произведение (X, У)о на алгебре Ли 0 группы G является
метрикой Киллинга, то левоинвариантная метрика на группе G, построенная по
формуле F.21), называется метрикой Киллинга на группе G.

§6.1. Группы и алгебры Ли 183
Примеры. 1. Обычное скалярное произведение
на R3 является метрикой Киллинга, если мы рассмотрим пространство R3 как
алгебру Ли с операцией векторного произведения (эта алгебра Ли изоморф-
изоморфна suB)).
2. Скалярное произведение (К, Y) = det У на алгебре slB, R) является псев-
псевдоевклидовой метрикой Киллинга.
Эти две метрики являются примерами общей конструкции, которая дается
следующей теоремой.
Теорема 6.14. Пусть д — алгебра Ли. Тогда скалярное произведение
(X, Y) = - Tr(adX • ad У), X, Y e 0, F.23)
является метрикой Киллинга на алгебре д.
Доказательство. Заметим, что значение следа не зависит от выбора
базиса в алгебре Ли: этот факт из линейной алгебры верен для операторов на
произвольном векторном пространстве V. Также известно, что
Тг(ЛВ) = Тг(ВЛ)
для произвольных операторов А, В: V —*V. Отсюда следует, что скалярное про-
произведение F.23) симметрично и его определение не зависит от выбора базиса в д.
Тождество Якоби переписывается в виде
ad[X, Y] = adXadY-adYadX.
Учитывая это, получим
- (adX(Y), Z) = Tr(ad[X, Y]adZ) = Tr(adXad YadZ - ad Vad^adZ) =
= Tr(ad Y ad Z ad X - ad Y ad X ad Z) = Tr(ad Y ad[Z, X]) =
= - Tr(ad Yad[*, Z]) = (У, adX(Z)).
Теорема доказана.
Теорема 6.13 также дает красивые примеры метрик Киллинга.
Лемма 6.4. 1. Метрика, индуцированная при вложении SO(n, R) С
С М(я, R) = R, двусторонне инвариантна.
2. Метрика, индуцированная при вложении U(az) с М(п, С) = М2я , дву-
двусторонне инвариантна.
Доказательство. Евклидова метрика в пространстве Шп , образован-
образованном матрицами порядка п> имеет вид
(X, Y) = Тг(ХУт).
Пусть Ху Y € so(az, R) и А € SO(ny R). Так как метрика на SO(n, R) индуциро-
индуцирована вложением, мы имеем
(АХ, AY) = Tr(AX{AY)T) = Tr(AXYTAT).

184 Глава 6. Группы движений
Значение следа не зависит от перестановки сомножителей и АТА = 1, поэтому
Tr(AXYTAT) = Tr{ATAXYT) = Tr(XYT) = {X, У).
Следовательно, индуцированная метрика левоинвариантна. Мы также имеем
(ХА, YA) = Tr(XA(YA)T) = Tr(XAATY) = 7r(XY) = (X, У).
Мы показали, что индуцированная метрика на SO(/z, R) также является право-
инвариантной.
Для метрики на U(/z) доказательство аналогично. Заметим только, что евкли-
евклидова метрика на М(я, С) есть
(X, r) = ReTr(*FT)
и, следовательно, индуцированная метрика на алгебре Ли имеет вид
(X, Y) = ReTr(ATT) = - ReTrAT.
Лемма доказана.
Следствие 6.5, Метрики на группах SO(n, R) и U(n), индуцированные
их вложениями в M(n, R) и М(л, С), являются метриками Киллинга.
5. Однородные пространства. Укажем важный класс пространств, связан-
связанных с группами Ли.
Теорема 6.15. Пусть G— группа Ли и Н — ее замкнутая подгруппа Ли.
Тогда на пространстве G/H левых смежных классов по подгруппе Н можно
ввести такую структуру гладкого многообразия размерности
= dimG-dim/y,
что проекция
будет гладким отображением.
Доказательство. Замкнутая подгруппа Н действует на G сдвигами
Если это действие дискретно, то dim Н = 0 и говорят, что Н — дискретная под-
подгруппа. В этом случае мы уже построили искомую гладкую структуру на фак-
торпространстве G/H в теореме 5.8.
Предположим, что dim// ^ 1. Разложим алгебру Ли g группы G в прямую
сумму
где \) — алгебра Ли группы Н и I—линейное дополнение к I) в д. Выберем в д та-
такой базисе,, ..., ет, ет+и ..., ей,чтое,, ..., ет—базис в«и еш+ь ..., ^ — ба-
базис в I). В окрестности U единицы группы G по этому базису построим координаты
второго рода
g = <?'"'... е'«*«~ (*,,...,/„).
Далее, выберем такую окрестность V с U единицы 1 е G, что V • V с U.

§6.1. Группы и алгебры Ли 185
Если точки g, = (г,, ..., гм% О, ..., 0) и g2 = (s,, ..., sWf 0, ..., 0) лежат в I/,
то левые смежные классы g\H и g2# совпадают тогда и только тогда, когда
Г/ = 5/, / = 1, ..., т. Действительно, если g\ = g2h, где h € Я, то Л = gf'gi € (/
и мы имеем
где А = е?хе$*+х . ..е'"-"»6*. Но согласно определению координат второго рода это
возможно только при /, = ... = tn_m = 0, г,- = 5/, / = 1, ..., т.
Поэтому мы можем построить по V область V в G/tf, считая, что точка
у G G/H принадлежит V, если она является орбитой точки х Е М с координатами
(х\у ..., хт, 0, ..., 0). При этом набор чисел (jcb ..., jcm) примем за координаты
точки (/ € G/Я. Так мы строим гладкие окрестности смежного класса Н ? G/H
(орбиты единицы 1 G G относительно действия группы Я).
Пусть g# € G/// и V — окрестность элемента Н в G/H. Тогда будем считать,
что все смежные классы вида gV образуют окрестность gHy и в качестве гладких
координат в этой окрестности возьмем координаты, пришедшие из V:
Как и при доказательстве теоремы 5.8, теперь доказывается, что функции пере-
перехода, связывающие различные системы координат на пересечениях координатных
областей, будут гладкими. Очевидно, что по отношению к этой гладкой структуре
и проекция G —> G/H будет гладкой. Теорема доказана.
Существует и иное определение таких пространств G/H.
Мы говорим, что Мп —однородное пространство, если на нем задано глад-
гладкое (левое или правое) действие группы Ли G и это действие является транзи-
транзитивным: для каждой пары точек х и у из Мп существует элемент g группы G,
который переводит х в у.
Сама группа G действует на себе левыми сдвигами, и такое пространство
называется левым главным однородным пространством группы G. Аналогично
определяется правое главное однородное пространство.
Для простоты мы будем подразумевать, что группа действует слева. Для пра-
правых действий все доказательства аналогичны.
Для каждой точки х е Мп определена ее группа изотропии Нх (или ста-
стационарная группа)у которая состоит из всех элементов, оставляющих точку х
на месте.
Лемма 6.5. Все стационарные группы точек однородного простран-
пространства попарно изоморфны.
Доказательство. Пусть ху у ? Мп и g(x) = у. Тогда Ну = gHxg~l. Лем-
Лемма доказана.
Следствие 6.6. Существует взаимно однозначное соответствие меж-
между точками однородного пространства Мп и левыми смежными классами
G/H, где Н — группа изотропии.
Мы видим, что однородное пространство Мп и пространство левых смежных
классов G/W, построенное в теореме 6.15, диффеоморфны.

186 Глава 6. Группы движений
Скалярное произведение (например, риманова метрика или симплектическое
произведение) на однородном пространстве Мп = G/H называется инвариант-
инвариантным, если оно сохраняется под действием группы G:
для всех ?, г) € 7^МЯ, g ? G. В зависимости от действия говорят, что скалярное
произведение левоинвариантно или правоинвариантно.
Примеры однородных пространств.
Пример 1. Сфера Sn задается в евклидовом пространстве Rrt+I уравне-
уравнением
(х'J + ... + (*й+1J=1,
которому удовлетворяют векторы единичной длины. Линейные действия групп
О(п + 1) и SO(n + 1) на R""* порождают транзитивные действия этих групп на
сфере Sn: х —> Ах, где х € Sn и Л € О(п + 1) или SO(n +1). Группа изотропии
точки A, 0, ..., 0) состоит из всех блочных матриц вида
A2).
А еО(п+ 1} или SO(n + 1).
Поэтому мы заключаем, что
Sn = О(п + l)/O(n) = SO(n + 1)/S0(az).
Если сфера имеет нечетную размерность 2/г + 1, то ее можно задать как множе-
множества векторов единичной длины в пространстве Сл+1:
На ней также линейно действуют группы \J(n + 1) и SU(n 4- 1). Эти дейст-
действия транзитивные. Аналогично вещественному случаю группы изотропии точки
A, 0,..., 0) состоят из блочных матриц и изоморфны Щп) и SU(n). Поэтому
S2*+l = Щп + 1)/U(n) = SU(/z + l)/SU(n).
Пример 2. Вещественное проективное пространство ШРп состоит из
всех прямых в R"+l, проходящих через начало координат. На нем, как и на сфере,
линейно и транзитивно действует группа О(п + 1): элемент А € О(п + 1) перево-
переводит прямую с направляющим вектором ? в прямую с направляющим вектором Л?.
Группа изотропии прямой с направлением A, 0, ..., 0) образована матрицами
вида
(*о л)' Ае0{п)*
и мы заключаем, что
RP" = О(п + 1)/(ОA) х О(/г)).
Пример 3. Комплексное проективное пространство СРп параметри-
параметризует подпространства в Ся+| комплексной размерности один. Такие подпростран-
подпространства задаются своим направляющим вектором t и состоят из всех векторов ви-
вида Х?, где X € С. Можно считать, что направляющий вектор $ нормирован так,

§6.1. Группы и алгебры Ли 187
что |?| = 1. На пространстве единичных направляющих векторов линейно и тран-
зитивно действует группа U(n +1). Группа изотропии комплексной прямой с на-
направляющим вектором ? = A, 0, .... 0) образована всеми матрицами вида
Мы видим, что
/ хЩп)).
Когда мы нормируем направляющие векторы, считая их единичными, мы фак-
фактически рассматриваем единичную сферу в Ся+|. Единичные векторы ?| и ?2
задают одну и ту же точку из СЯ", если и только если они пропорциональны:
Si = ехр(/ср)?2. Мы видим, что группа U(l) = {ехр(/ср)} действует на сфере S2n+l
умножениями: 2; —* ехр(/ф)?. Это действие не транзитивно, и его пространство
орбит — гладкое многообразие СРп:
= S2rt+l/U(l).
Так как СР1 = S2 и U(l) = S1, мы имеем замечательную проекцию
трехмерной сферы на двумерную сферу со слоем (прообразом точки) окружность.
Это отображение называется расслоением Хопфа.
Пример 4. Многообразие Штифеля Vn%k образовано всеми ортонорми-
рованными наборами х = (/|, ..., Д) из k векторов в Шп. Каждый такой набор
задает ортонормированный базис в каком-то /^-мерном подпространстве. Группа
О(п) линейно действует на Vntk:
(fu ...,/*)-»(i4/i, ..., ЛД), AeO(n)y
и легко заметить, что это действие транзитивно. Пусть ей • • •» еп — фиксирован-
фиксированный ортонормированный базис в R". Рассмотрим точку х = (е\% ..., ek) ? Vntk.
Очевидно, что ее группа изотропии состоит из всех матриц вида
(\ о\
0 - 1, А е О(п -к), 1 — единица группы O(k).
Поэтому
Vnk = О(п)/О(п - k), dim VnJk = nk * К
Разложим для каждой точки х = (f\, ..., Д) G Vntk векторы // по заданному базису
Мы получаем отображение
V.Jt-+irk:(fu...9fk)^(xlu...$Xnu...,xlk,...,xHk). F.24)

188 Глава 6. Группы движений
При этом образы точек из Vntk удовлетворяют уравнениям ортонормированности
(/,., /у) = bih которые в координатах расписываются как
п
xmixmj = 5/у, /, j = 1, ..., ky i ^ /. F.25)
Лемма 6.6. Многообразие Штифеля — неособая поверхность в R"*, вы-
выделенная уравнениями F.25).
Доказательство. Очевидно, что каждая точка поверхности F.25) отве-
отвечает точке многообразия Штифеля при отображении F.24). Так как многообра-
многообразие Штифеля однородно, достаточно проверить регулярность этой поверхности
в точке хц = 5/у. Система F.25) состоит из -Ц;—- уравнений, и касательное
пространство к поверхности в точке xVj = 5<7 состоит из векторов ?/у = xih удовле-
удовлетворяющих соотношению
п
XmiXmj
/=0
ч I
/
Это условие выделяет в касательном пространстве к Rnk подпространство
, k(k+\) n
размерности пк —г—-. Следовательно, поверхность, заданная уравнения-
уравнениями F.25), регулярна. Лемма доказана.
Примерами многообразий Штифеля являются многие уже известные нам мно-
многообразия:
Км = О(я), К,л_, = SO(rt), VnA = S"-\
Если k < п> то на многообразии Штифеля транзитивно действует и группа SO(rc),
и мы имеем
VnM = SO(n)/SO(n-k).
Пример 5. Многообразие Грассмана (или, как еще говорят, грассма-
ниан) Gn,k параметризует все /г-мерные линейные подпространства в Мл. На
нем транзитивно действует группа О(п), и стационарная группа подпространства
д.л-а+1 _. _ хп = о состоит из всех матриц вида
(А 0\
\0 В)'
AeO(k), BeO(n-k).
\" "/
Поэтому
Ga.k = O(n)/(O(k) x O(n - k)), dim Gn,k = nk- k\
Зададим на пространстве Штифеля VaJl действие группы O(k), изменяющее ре-
реперы (/,, ...,/*) е VaJt по правилу
(/. /*) -> (Af , Afk) = (a% .... a!jn),
где А = (aj) — ортогональная матрица: А Е O(k). Это действие сохраняет под-
подпространство, порожденное векторами /|,...,Д. Пространством орбит этого

§6.1. Группы и алгебры Ли 189
действия будет многообразие Грассмана Grtib и мы получаем проекцию
У о(*)} q
Каждому ^-мерному подпространству в R" однозначно отвечает его ортогональ-
ортогональное дополнение, и это соответствие задает диффеоморфизм
При k = 1 мы, очевидно, имеем
Если мы будем рассматривать ориентированные ^-мерные подпространства
в Ея, то получим многообразие Грассмана ориентированных подпространств, ко-
которое обозначается через <5Я,*. Мы имеем
GnM = SO(n)/(SO(k) х SO(n - k)).
Существует отображение «забывания ориентации»
Gn,k -> Gnjt,
при котором каждая точка из Gnik имеет ровно два прообраза. При п = 1, k = 2
мы имеем отображение, склеивающее противоположные точки двумерной сферы:
G3>2 = S2 -> G3,2 = S2/Z2 = RP2.
Общее описание пространств Gn$ дается следующей теоремой.
Теорема 6.16. Многообразие Grtt2 комплексно диффеоморфно квадрике,
определенной в СРп~1 уравнением
A + ... + z\ = o.
Доказательство. Выберем в каждом двумерном подпространстве
положительно ориентированный ортонормированный базис r\\ = 5Za*^*» тJ =
k
= Л^квк, где eli...ien — ортонормированный базис в Шп. Положим г, =
k
= а\ + ib\% ..., zn = an + ibn. Условие ортонормированности базиса т)|, тJ запи-
записывается как
Z2 + . . . + Z\ = |Г), |2 - |ГJ|2 + 1GI. П2> = 0.
Каждому ненулевому решению {z\ :...: zn) этого уравнения отвечает ориенти-
ориентированная плоскость в Ел, порожденная векторами г)|,гJ, и каждой плоскости
отвечает решение этого уравнения, заданное с точностью до умножения на нену-
ненулевую постоянную X Е С. Теорема доказана.
Пример 6. Комплексное многообразие Штифеля V%k состоит из всех
ортонормированных систем из k векторов в пространстве С1 с эрмитовым про-
произведением. Аналогично вещественному случаю доказывается, что
^ = Щп)/Щп - k)y dim 1/йс, = 2nk - k2,

190 Глава 6. Группы движений
и при k < n мы имеем
l& = SU(/i)/SU<n-*).
Простейшие примеры таких многообразий — это
Пример 7. Комплексное многообразие Грассмана G%k образовано все-
всеми А-мерными линейными подпространствами в С1. Опять же аналогично веще-
вещественному случаю легко показать, что
С?.* = <?,_* = Щп)/(Щк) х Щп - k)), dim GcaJt = 2(я - k)k,
и по определению комплексного проективного пространства
Пример 8. Многообразия Штифеля и Грассмана также определяются
и для случая векторных пространств Ня, где Н — алгебра кватернионов. При
этом
С = Sp(n)/Sp(n - /г), VI = Sp(/z), О"д = Sp(n)/(Sp(ft) x Sp(n - Л)).
Многообразие GJJ, называется кватернионным проективным простран-
пространством ШР"~К
Пример 9. Пусть в векторном пространстве Сп = R2n задано эрмитово по-
положительно определенное произведение (и, v). Выберем ортонормированный ба-
базис ?|, ...,?„ и обозначим соответствующие ему координаты через zk = xk + /^/Л,
jc*, #* G R, Л = 1, ..., п. Скалярное произведение двух векторов имеет вид
B, г!) = ?>V* + у"у") -1 ?>У* - У*/),
т.е. его вещественная часть задает евклидово скалярное произведение на М2я,
а мнимая часть — симплектическое произведение на R2/l.
Напомним, что я-мерное подпространство в Ш2п называется лагранжевым
(или лагранжевой плоскостью), если ограничение на него симплектического про-
произведения равно нулю. Выберем в лагранжевой (относительно произведения
Im(-, •)) плоскости такие векторы е\, ..., ёп, что Re(ey', e'k) = 5/Л. Так как плос-
плоскость лагранжева, отсюда следует, что (e'r e'k) = blk и линейное преобразование
А: ek -¦ e'k> k = 1, ..., л, является унитарным: А е U(n). Следовательно, любая
лагранжева плоскость в С1 получается из плоскости у1 = ... = уп = 0 унитарным
преобразованием. Это преобразование, очевидно, определено с точностью до ор-
ортогональных преобразований плоскости у1 = ... = уп = 0. Мы заключаем, что
лагранжевы плоскости в Сл однозначно параметризуются точками однородного
пространства
= и(я)/О(я),
которое называется лагранжевым многообразием Грассмана или лагранже-
лагранжевым грассманианом.

§6.1. Группы и алгебры Ли
6. Комплексные группы Ли. Группа Ли G называется комплексной груп-
группой Ли, если она является комплексным многообразием и групповые опера-
операции— умножение и обращение:
задаются комплексно-аналитическими функциями.
Некоторые примеры комплексных групп Ли мы привели в п. 3.
1. Группа GL(n, С), которая является областью в С = М(/г, С), выделенной
условием det>4 ^0.
2. Группа SL(m, С) — комплексное подмногообразие в Сп, определенное урав-
уравнением det А = 1.
3. Группа О(я, С) определяется в М(л, С) = С уравнением
АТА = 1.
Она образована комплексными матрицами, которые сохраняют в Ся скалярное
произведение
Заменой базиса
?i,..., е* -»?i, ...9e*, ek+u ..., еп —> iek+u ..., ien
в С1 это скалярное произведение приводится к виду
Поэтому группа O(k, n — k, С), состоящая из комплексных матриц, сохраняю-
сохраняющих это скалярное произведение, изоморфна О(л, С) при любом k — 0,..., п.
4. Группа Sp(«, С) состоит из комплексных матриц порядка 2л, сохраняющих
симплектическую форму в С2", заданную матрицей
/01 \
-1 0
0 =
О 1
-1 О/
Повторяя рассуждения из п. 3, можно доказать следующий факт.
Лемма 6.7. Каждая комплексная группа Ли G = GL(n, С), SL(/z, С),
О(и, С) или Sp(n, С) содержит в качестве подгруппы вещественную груп-
группу Ли Н = GL(>z, R), SL(/z, R), О(л, R) или Sp(n, R), состоящую из веще-
вещественных матриц, удовлетворяющих тем же самым определяющим со-
соотношениям.
Вещественная касательная алгебра f) к подгруппе Н порождает над
полем комплексных чисел касательную алгебру g к группе G.
В ситуации этой леммы говорят, что комплексная алгебра Ли g является ком-
плексификацией алгебры Ли f): она порождается базисными векторами с теми же

192 Плава 6. Группы движений
самыми коммутационными соотношениями, но только над полем комплексных
чисел. Это обозначается как g = f)c = f) 0 С.
Комплексные группы Ли, как правило, некомпактны. Имеет место следующая
теорема.
Теорема 6.17. Каждая компактная связная комплексная группа Ли ком-
коммутативна и комплексно диффеоморфна комплексному тору.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм Ad группы Ли G в группу
GLBn, R), где dimcG = п и GLBn, R) рассматривается как матричная группа
автоморфизмов касательной алгебры Ли д. Он задается формулой
(см. п. 4).
Матричные коэффициенты Adg являются голоморфными функциями на ком-
компактной связной комплексной группе Ли, и поэтому они постоянны (согласно
теореме 5.11). Так как группа G связна и Ad 1 = 1, мы получаем, что AdG = 1.
Отсюда мы заключаем, что Ad(g)? = ?. Пусть g = е**. В пределе при / —> 0 равен-
равенство Ad(g)? = ? переходит в равенство [т), ?] = 0. Следовательно, алгебра Ли g
коммутативна, и сама группа диффеоморфна факторгруппе группы R2" по опе-
операции сложения. Мы заключаем, что группа G комплексно диффеоморфна ком-
комплексному тору С/А. Теорема доказана.
7. О классификации алгебр Ли. Изложим без доказательства некоторые
важные сведения о классификации алгебр Ли. Мы будем считать, что алгебры Ли
определены либо над R, либо над С.
Форма Киллинга
(X, У) = -Тг(а<1(Х)а<1(У))
играет важную роль в классификации алгебр Ли.
Алгебра Ли д называется нильпотентной ступени N, если
для любых ?,, ..., ?yv+i € g, или, что эквивалентно,
для всех €i,..., (я € д. Имеет место следующая теорема Энгеля.
Теорема 6.18. Алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда
ее форма Киллинга тождественно равна нулю.
Подалгебра § алгебры Ли g называется идеалом, если [д, \)\ С f). Простейший
пример идеала — коммутант — подалгебра, обозначаемая через [д, д]у линейно
порожденная всевозможными элементами вида [?, г)], где ?, г) € д.
Алгебра Ли д называется разрешимой, если ряд &$ = [&~хц, Dl-lg) обры-
обрывается:
0 = DNg = [D"-'g, DN~xg\ С DN~lg С ... С Dlg = [g, g] C g.

§6.1. Группы и алгебры Ли 193
Легко заметить, что каждая нильпотентная алгебра Ли разрешима. Обратное
неверно, как показывает следующий пример.
Пример. Рассмотрим трехмерную группу Ли, образованную всеми матри-
матрицами вида
(ег 0 х\
О е~2 у , х, у, z e R,
,0 0 \)
с обычной операцией умножения матриц. В данных координатах умножение при-
принимает вид
(х, у, z). (х\ у'у z') = (ezxf + х, е-гу' + y,z + z').
Алгебра Ли этой группы порождена матрицами
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям
[еи е2] = 0, [ег, е{] = еи [ег, е2]=-е2.
Легко проверить, что эта алгебра Ли разрешима, но не нильпотентна (например,
|>з, [е3, •••К е,]...]] = в,).
Критерий разрешимости алгебры Ли на языке формы Киллинга дает такая
теорема.
Теорема 6.19. Алгебра Ли д разрешима тогда и только тогда, когда
(X, Y) = 0 для всех Хе& Y e [g, д].
Эта теорема выводится из следующей теоремы.
Теорема 6.20 (Ли). Алгебра Ли g над полем комплексных чисел С раз-
решима тогда и только тогда, когда в ней существует такой базис, что
все операторы гйХ\ g —> g задаются в этом базисе верхнетреугольными
матрицами.
Группа Ли называется нильпотентной или разрешимой, если ее алгебра Ли
нильпотентна или разрешима соответственно.
Пусть Н—дискретная подгруппа в группе G и многообразие G/H компактно.
Такое многообразие называется нильмногообразием (нильманифолдом), если
группа G нильпотентная, и солвмногообразием (солвманифолдом), если груп-
группа G разрешимая.
Мы видим, что формы Киллинга на разрешимых и, в частности, на нильпо-
тентных алгебрах Ли вырожденны.
Если форма Киллинга на алгебре Ли g невырожденна, то говорят, что алге-
алгебра g полупроста. Это эквивалентно тому, что алгебра g не содержит ненулевых
коммутативных идеалов (критерий Картана).
7- 1168

194 Глава 6. Группы движений
Алгебра Ли g называется простой, если она не содержит нетривиальных иде-
идеалов, отличных от нуля и д. Если же полупростая алгебра Ли содержит идеал t,
то она распадается в прямую сумму
где 6х —ортогональное дополнение к t относительно невырожденной формы Кил-
линга (оно тоже является идеалом). Поэтому любая полупростая алгебра Ли
является прямой суммой простых алгебр Ли:
fl = flie...eg*, [в/, в/] = 0 при 1ф1
и классификация полупростых алгебр Ли сводится к классификации простых
алгебр Ли.
Оказывается, классификация простых алгебр Ли упрощается, если мы будем
рассматривать алгебры над полем комплексных чисел С.
Напомним, что комплексификацией g 0 С вещественной алгебры Ли g назы-
называется алгебра Ли над С, заданная тем же самым базисом в\% ..., еп и теми же
самыми коммутационными соотношениями [eh е}] = c^eky что и алгебра д. Ком-
плексификации двух неизоморфных вещественных алгебр Ли могут быть изо-
изоморфны как алгебры над С, что показывает следующий пример.
Пример. Рассмотрим $1B) ®C = soC) 0С. Пусть еи е2, еъ — базис F.15)
в алгебре soC) и Уо, Уь У2— базис F.17) в алгебре s(B, R). Мы имеем комму-
коммутационные соотношения
[ей e2] = ez, [е2у ez] = e{, [еЪу е,] = е2,
[Уо, У|]=-2У2э [Уо, У2] = 2У,, [У,, У2] = 2У0.
Изоморфизм комплексных алгебр slB) 0 С и soC) 0 С задается отображением
2*о->еь ^У|->^2, -^Y2^ez.
Этот изоморфизм носит весьма частный характер: ранее мы доказали, что slB) =
= *оA, 2), а алгебра $о(ру q) 0C при любых р, q является алгеброй Ли груп-
группы матриц из М(я, С), где п = р + qy сохраняющих скалярное произведение
(м, v) = uxvx + ... 4- unvn в Ся. Если мы будем ограничивать это скалярное про-
произведение на различные л-мерные вещественные подпространства в Ж2п = С\ то
мы будем получать различные евклидовы и псевдоевклидовы произведения в Шп.
Алгебры Ли групп движений, отвечающих этим произведениям, различны и равны
$о(ру q)y но их комплексификации изоморфны.
Говорят, что g — вещественная форма алгебры Ли дс над полем С, если
g 0 С = дс. Мы видим, что алгебры $o(ky n- k) при k = 0, ..., п — вещественные
формы одной и той же комплексной алгебры.
Имеет место следующая теорема Киллинга—Картана, дающая полную клас-
классификацию простых комплексных алгебр Ли.
Теорема 6.21. Пусть g — простая алгебра Ли над полем комплексных
чисел.

§6.1. Группы и алгебры Ли 195
Если она коммутативна, то g = С.
Если алгебра g некоммутативна, то она принадлежит следующему
списку попарно неизоморфных алгебр:
1) Ап = $и(п+ 1) <8>С при О 1;
2) Вп = 5оBя + 1) 0 С при п ^ 2;
3) Ся = $р(п) ®Спри п^З;
4) Dn = soBn) ®Cnpu n>\\
5) особые простые алгебры Ли Е6, ?7, ESi F4 и G2.
Размерности особых алгебр равны: dim ?6 = 78, dim E7 = 133, dim ?8 = 248,
dim F4 = 52 и dim G2 = 14.
Нижний индекс в этих обозначениях имеет особый смысл: он равен размер-
размерности максимальной коммутативной подалгебры алгебры д.
Группа Ли называется простой, если ее алгебра Ли проста. Аналогично груп-
группа Ли называется полупростой, если ее алгебра Ли полупроста.
Вещественная алгебра Ли называется компактной, если она является ка-
касательной алгеброй Ли компактной группы Ли. Оказывается,
1) для полупростых алгебр Ли компактность эквивалентна положительной
определенности формы Киллинга;
2) каждая простая комплексная алгебра Ли имеет в точности одну веществен-
вещественную форму, которая компактна;
3) каждая компактная группа Ли локально изоморфна прямому произведению
простых компактных групп Ли и какого-то тора Тп.
8. Двумерные и трехмерные алгебры Ли. В малых размерностях известна
полная классификация алгебр Ли с точностью до изоморфизма. Мы изложим эту
классификацию для двумерных и трехмерных вещественных алгебр Ли.
1. Пусть g — двумерная алгебра Ли с базисом е\, е2. Умножение в ней зада-
задается одним соотношением
так как [ех, ех] = [е2, е2] = 0 и [е2у ех]= —[е,, е2] по определению алгебры Ли.
Если а = b = 0, то алгебра Ли коммутативна.
Пусть умножение в алгебре g нетривиально. Без ограничения общности по-
положим а^Ои выберем новый базис в виде
/1 / Ь
е\ = --е2, е'2 = ех + -е2.
Коммутационное соотношение примет вид
К 4] = 4 F.26)
Лемма 6.8. Вещественная двумерная алгебра Ли с коммутационным
соотношением F.26) изоморфна алгебре Ли группы аффинных преобразо-
преобразований прямой R.
Доказательство. Группа А( 1) аффинных преобразований прямой со-
состоит из преобразований вида х —> Хл: + р.

196 Глава 6. Группы движений
Возьмем вложение
*-(*, 1)
прямой R в R2. Группа АA) реализуется матрицами (~ *7 ]. Действительно, мы
имеем ^ '
Касательная алгебра к этой группе порождена матрицами
которые удовлетворяют соотношению
[Yl,Y2]=YlY2-Y2Yl = Y2.
Лемма доказана.
Из этой леммы получаем следующий результат.
Теорема 6.22. Если алгебра Ли g двумерна, то в ней существует такой
базис ?|, е2, что выполняется одно из двух соотношений
1)[е,,е2] = 0, 2)[еие2] = е2.
В первом случае алгебра g коммутативна, а во втором — изоморфна ал-
алгебре Ли группы аффинных преобразований прямой.
2. Пусть задана трехмерная алгебра Ли g с базисом в\% e<i, e% и коммутацион-
коммутационными соотношениями [eit ej] — c^ek, где cjj = —cj. Тождество Якоби эквивалентно
системе уравнений F.9) на структурные константы cj:
Cil Cjk + Cjl Cki + CklCij ~ "•
Так как набор величин с?, /, /, k = 1, 2, 3, кососимметричен по нижним индексам
/, /: с* = — су*, его легко представить в виде
где символ tijk определен формулой F.20) (равен ±1 в зависимости от того, четна
/I 2 3\ ч
или нечетна перестановка I . . , I, и нулю в оставшихся случаях).
Выделим симметричную и кососимметричную части матрицы t'k:
Пространство трехмерных кососимметрических матриц X = (х1к) трехмерно и со-
содержит трехмерное подпространство матриц вида
х'к = е*(8*а, - bfa,), a = (alt а», а,).

§6.1. Группы и алгебры Ли
197
Поэтому любая матрица, и в том числе матрица dlk, представима в таком ви-
виде. В итоге мы доказали, что структурные константы с^ трехмерной алгебры Ли
представляются в виде
4 = ефЬш + zindlk = zi}lblk +8,4- - 8* ау,
где матрица Ь1к симметрична и а = (aiy a2, а3) —трехмерный вектор.
Предположим теперь, что в алгебре Ли g заданы два базиса еь ..., еп и вь ...
..., ёп, связанные формулами перехода
Тогда соответствующие им структурные константы ск} и cpq связаны соотношени-
соотношениями
с* = акДЩсгрг F.27)
Это выводится простыми вычислениями:
[еь е,] = Щ[ёр, ея] = ЬЩс'тёг = {ЬЩс'рдак)ек = с*^.
Пусть теперь с*. — структурные константы трехмерной алгебры Ли д. Из пре-
предыдущих лемм следует, что заменами базиса их можно привести к виду
+ Уъ- bktah
т. е. матрица blk будет диагональной: blk = b{l)blk.
Из тождества Якоби (системы F.9)) вытекает, что
Так как матрица blk диагональна, без ограничения общности можно считать, что
а = (а, 0, 0). Коммутационные соотношения принимают вид
[ех, е2] - ае2 + Ь{3)е3у [е2, еъ] = &{1)е,, [е3, ех ] = Ьте2 - аеъ,
при этом
abil) = 0.
Нормируя векторы eiy e2i еъ, мы получаем следующую классификацию трех-
трехмерных алгебр Ли с точностью до изоморфизма, известную как классификация
Бианки:
Тип
I
II
Vila
VIo
IX
VIII
а
0
0
0
0
0
0
0
I
1
1
1
1
0
0
1
-1
1
1
0
0
0
0
1
-1
Тип
V
IV
VIIa, a > 0
III
VIa, 0 < \a\ < 1
a
1
1
a
1
a
&<¦>
0
0
0
0
0
bB)
0
0
1
1
1
b&
0
1
1
1
-1
Алгебры типов I и III разложимы в прямые суммы: алгебра типа I коммута-
коммутативна, а алгебра типа III изоморфна прямой сумме аA) ФМ.
Другие алгебры неразложимы, и, в частности, алгебра Ли группы Гейзенберга
имеет тип II, еB) —тип VII0, «1B, R) = so(l, 2) —тип VIII, soC, M) —тип IX.

198 Глава 6. Группы движений
9. Пуассоновы структуры. Существуют важные примеры бесконечномер-
бесконечномерных алгебр Ли. Одни из них задаются пуассоновыми структурами на простран-
пространствах гладких функций, и мы их сейчас обсудим, другие—алгебры Ли векторных
полей — будут рассмотрены в следующей главе.
Векторное пространство L называется пуассоновой алгеброй (или алгеброй
Пуассона), если оно является алгеброй Ли, т.е.
К. л] = -fo. 5]. К. fo. CD + to. К, 5]] + [С, К. л!! = О,
и на нем дополнительно определена операция умножения
которая коммутативна, ассоциативна, линейна по обеим аргументам и удовлетво-
удовлетворяет тождеству Лейбница
Наиболее важный пример — это скобки Пуассона на пространствах гладких
функций.
Пусть М — я-мерное многообразие или область в Rn. Обозначим через
С°°(М) пространство всех гладких функций на М. Говорят, что на М задана
пуассонова структура, если на пространстве С°°(М) задана такая билинейная
операция
/.*->{/.*}. F-28)
что по отношению к этой операции пространство С°°(УИ) является алгеброй
Ли, т.е.
{А §} = -{*, /}, {/. {g, h}} + {g, {h, /}} + {Л, {/, g}} = 0,
и по отношению к обычному умножению функций алгебра Ли С°°(М) является
пуассоновой алгеброй, т. е. выполняется тождество Лейбница
Ш, h) = f{g, h} + g{f, Л}, /, *, Л € С°°(М).
При этом операция F.28) называется скобкой Пуассона.
Гладкое многообразие с заданной на нем пуассоновой структурой называется
пуассоновым многообразием.
Пусть функция / является произведением степеней координатных перемен-
переменных: f(x\ ..., хп) = (л:1N' ...(хп)пп. Тогда ее можно представить в виде / =
= (xl)aih(x2, ..., хп). Из тождества Лейбница следует, что
{/, g) = A{(*')". g} + (*')"'{/*. g} = /M*')"-'{*'. g) + ^rih, g) =
= -?{xl,g} + (xl)°'{h,g}.
Повторяя эти рассуждения с переменными лс2, ..., хп, мы получаем

§6.1. Группы и алгебры Ли 199
По линейности это соотношение распространяется на все полиномы и, более ши-
широко, на все вещественно-аналитические функции /. Нами доказана следующая
лемма.
Лемма 6.9. Если f, g— вещественно-аналитические функции по пере-
переменным х\ ..., хп в области М с Шп и в этой области задана скобка Пуас-
Пуассона, то значение этой скобки на /, g задается формулой
{/. g} = ?7 % *iyW. где {х>, xf} = НЦх) = -h*(x). F.29)
В дальнейшем мы просто потребуем, чтобы скобка Пуассона имела вид F.29).
Естественно, что величины № должны удовлетворять некоторым условиям.
Лемма 6.10. Пусть на пространстве гладких функций на М задана
кососимметричная билинейная операция, имеющая в локальных коорди-
координатах х\ ..., хп вид F.29).
Эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница и в произвольных
локальных координатах у\ ..., уп имеет вид
it g\-JL4gL luk ul\
1Л gi " dyk ду1 {У ' У '*
Доказательство. Тождество Лейбница доказывается просто:
Если задана замена координат у1 = yl{xx, ..., хп), i = 1, ..., п, то мы имеем
дх1 дх1 ' dyk дх1 ду1 дх'
дук ду1 \ дх? дх1 ) дук ду
Лемма доказана.
Условие, что билинейная операция F.29) удовлетворяет тождеству Якоби,
задает дополнительные ограничения на функции hi}(x). Простой критерий того,
что это тождество выполняется, дает следующая лемма.
Лемма 6.11. Для операции {/, g), определенной формулой F.29), выпол-
выполняется тождество
и поэтому тождество Якоби выполняется тогда и только тогда, когда
оно выполняется для линейных функций:
{х1, {У, **}} + {*'', {xk, х1}} + {xk, {xl, x1}} = 0. F.30)

200 Глава 6. Группы движений
В терминах hij(x) = {х*, xf} соотношение F.30) записывается в виде
^Л« + ^+^ = 0. F.31)
Доказательство. Мы имеем
(/. fe Ч> = § (V, te. А» = § {*-. |5 0 <*
Сложим это равенство с аналогичными формулами для {g, {Л, /}} и {Л, {/,
и выпишем левую часть тождества Якоби для функций Д g, Л в виде
{*{*./}} +{л. {/.
где Q = Qf + Qg + Qh — слагаемое, содержащее вторые производные функций
Д gt h. Выпишем для примера член Q/, содержащий вторые производные Д Они
приходят из слагаемых {Л, {Д g}} и {g, {Л, /}}, и мы имеем
О,- (*!L J?L 2M. + ES.EL
41 \дх> дх'дх' дх* + дх> дх>
_(dhLdg__dh_dg\
~ V^' д** дхк дх>)
В формуле подразумевается, естественно, суммирование по повторяющимся
верхним и нижним индексам, и, так как при перестановках индексов вида / <¦+ Л,
j <-» / знаки слагаемых обращаются, их сумма равна нулю: Qf = 0. Аналогично
Qg = Qh = 0.
Осталось заметить что
{х\ {*>, xk}} + {х\ {*
Лемма доказана.
Укажем некоторые важные примеры.
Теорема 6.23. Если матрица hiJ постоянна в области М с Rm, то фор-
мула F.29) определяет скобку Пуассона.
Доказательство. Для постоянной матрицы Н] уравнения F.31) оче-
очевидным образом выполняются. Теорема доказана.
Особый интерес представляет случай, когда ранг постоянной матрицы hi}
равен размерности пространства. Тогда согласно теореме 2.1 в подходящих ко-

§6.1. Группы и алгебры Ли 201
ординатах q\ ..., q", pu ..., рп, где т = 2и, скобка Пуассона принимает вид
В этом случае говорят, что скобка Пуассона задана симплектической струк-
структурой. Именно в таком виде скобка Пуассона впервые возникла в аналитической
механике.
Скобка Ли—Пуассона на пространстве гладких функций на Шп имеет
вид F.29), где коэффициенты матрицы ft'7 = {л:1', х1} линейно зависят от коор-
координат:
где
{*', х1} =
Теорема 6.24. Формула F.32) задает скобку Пуассона тогда и только
тогда, когда величины с\ являются структурными константами алге-
алгебры Ли, т е. существует такая алгебра Ли $ с базисом е\ ..., еп, что
Доказательство. Мы имеем
{х!, {xl. х*}} + {х>, {А х1}} + {**
и из уравнения F.9) следует, что условие равенства этого выражения нулю в точ-
точности эквивалентно тому, что с\ — структурные константы некоторой алгебры Ли.
Теорема доказана.
Укажем также, что если матрица ft'7 невырожденна, то уравнения F.31) пе-
переписываются как линейные в терминах обратной матрицы. А именно, введем
матрицу hkh однозначно определяемую уравнениями
Л*Л* = й i,/=l я.
Так как матрица ft/y кососимметрическая, матрица hM тоже кососимметрическая,
т. е. hM = -ft/*, и мы имеем
ft<%. = -ft% = 5j, /э/= 1 я.
Теорема 6.25. Невырожденная в области U с Кя кососимметрическая
матрица hij задает скобку Пуассона в этой области тогда и только то-
тогда, когда обратная ей матрица hM удовлетворяет «уравнениям Макс-
Максвелла»
Ь + Ж + 7? = °- *'..-¦ "'
Доказательство. Прежде всего заметим, что
d(hikhk>) _ . dhk' dhik .kj_n

202 Глава 6, Группы движений
Согласно лемме 6.11 матрица № определяет скобку Пуассона тогда и только
тогда, когда
(напомним, что мы подразумеваем суммирование по повторяющимся верхним
и нижним индексам — в данном случае по / = 1, ..., п). Умножим эти уравнения
на hpihrjhsk и просуммируем по повторяющимся индексам /, /, k:
Л„АЛ* (f? Л" + f-T Л" + f-T Л") = 0. F.33)
Рассмотрим для примера одно из слагаемых
hpAjhsk-jj-ti1 = b'phrjhsk-^r = hrjhsk-^p.
п , dh'k dhrj ,ik
Принимая во внимание то, что Лгу-гт" = "Тр  , перепишем это слагаемое
в виде дх дх
и dhrj .jk .• dhrj dhrs
Повторяя те же рассуждения с другими слагаемыми, мы преобразуем уравне-
уравнения F.33) к виду
dhrs dhSp dhpr ~
дх? "*" дхг "*" dxs ""
Теорема доказана.
10. Градуированные алгебры и супералгебры Ли. Общее определение ал-
алгебры состоит в следующем: алгеброй называется векторное пространство L над
заданным полем F с заданной на нем операцией умножения
L х L —»L: (а, Ь) —> ab>
которая билинейна по обоим сомножителям:
(*,а, + x2a2)b = Xifab) + х2(а2Ь),
a(x\b\ +x2b2) = X\{ab\) +x2(ab2)
для всех аи й2, b\, b2eL и л:ь х2 G Z7.
Алгебра коммутативна, если всегда выполняется соотношение
ab = fca,
и ассоциативна, если
для всех троек а, 6, с € L.
Алгебра Ли с операцией коммутирования [?, 7)] дает важный пример неассо-
неассоциативной и некоммутативной алгебры.

§6.1. Группы и алгебры Ли 203
Алгебра L называется градуированной, если задано такое ее разложение
в семейство подпространств
параметризованное элементами коммутативной полугруппы G, что
La • Lp с La+p.
Элементы, лежащие в каком-то одном из подпространств LUi называются одно-
однородными.
Особо важны случаи, когда G — группа целых чисел Z, полугруппа неотрица-
неотрицательных целых чисел Z+ = {0, 1, 2, ...} или группа Z2. Впрочем, ?+-градуиро-
ванные алгебры являются частным случаем Z-градуированных алгебр, у которых
U = 0 при / < 0.
Пример 1. Каждой конечномерной алгебре Ли g можно сопоставить гра-
градуированную алгебру Ли g[t, t~l] лорановских полиномов по переменной t с ко-
коэффициентами из д:
**?, b€fl, / = 0,1,2,..., 0<d
Коммутатор задается почленным коммутированием коэффициентов:
. F.34)
(
Коэффициент при каждой степени переменной / является суммой конечного чи-
числа коммутаторов вида [?/, г)у] и поэтому корректно определен. Такие алгебры
называются аффинными алгебрами Ли.
Они могут быть расширены до алгебры лорановских рядов g((t)) с коэффи-
коэффициентами из q:
i= Е ы-
В этом случае формула F.34) опять корректно задает коммутатор в алгебре Ли
д((/)), так как коэффициенты при степенях переменной / в правой части формулы
опять определяются как суммы конечного числа коммутаторов.
Эта алгебра содержит подалгебру #[[/]], состоящую из формальных рядов по
неотрицательным степеням переменной / с коэффициентами из 0.
Пример 2. Алгебра L над нормированным полем F (например, над R
или С) называется нормированной, если существует такая неотрицательная
функция
что выполняются следующие условия:
1) ||Хт)|| = |Х|||т)|| для всех т) G L и X е F\
2) Ihi + гJ|| < llri.ll + ||уJ|| для всех г),, тJ € L;
3) ||т)|| = 0 тогда и только тогда, когда Г) = 0;

204 Глава 6. Группы движений
Если алгебра Ли g нормирована, то алгебра g((t)) может быть расширена до
алгебры токов §, состоящей из рядов
с быстро убывающими нормами коэффициентов ||&|| при |/| —> оо. В этом случае
суммы J2 ||[$/, r)j]\\ сходятся для всех таких рядов 2; и rj, и поэтому форму-
ла F.34) корректно определяет коммутаторы элементов алгебры токов.
Для одномерной коммутативной алгебры Ли д = С алгебра токов совпадает
с алгеброй L2(S!), образованной 2тс-периодическими комплекснозначными функ-
циями f(x) с суммируемым квадратом: / \f(x)\2dx < оо. Изоморфизм устана-
устанавливается отображением / —> е2™*, переводящим ряд из 0 в ряд Фурье соответ-
соответствующей функции из L2(S').
Алгебры из примеров 1 и 2 являются Z-градуированными по степеням пере-
переменной t.
Пример 3. Алгебра Ли д и ее подалгебра t образуют симметрическую
пару @, t), если существует такая Z2-rpaAynpoBKa алгебры д, что g0 = t
д = до Ф 01» 00 = t» [g«, 0р] С д(а+р) mod 2.
Это условие впервые появилось в теории симметрических пространств. Оно озна-
означает, что линейная инволюция
,а( 5 при ?е д0,
есть автоморфизм (изоморфизм на саму себя) алгебры Ли д.
В 1940-х гг. в алгебраической топологии появилось обобщение алгебр Ли,
взятое позднее на вооружение квантовой теорией поля, — супералгебры Ли. По
определению супералгеброй Ли g называется Z2-гpaдyиpoвaннaя алгебра
g = go Ф 0i
с операцией суперкоммутирования, удовлетворяющей следующим градуирован-
градуированным аналогам условия антисимметричности и тождества Якоби:
.CD при $€0а, ъедр.
Подпространство 0о супералгебры замкнуто относительно операции суперкомму-
суперкоммутатора, т. е. [0о, 0о] С 0о, и, как легко заметить, является обычной алгеброй Ли
относительно этой операции.
Пример. Пусть L—Z2-градуированная алгебра с умножением E, г)) —> 5 • г).
Потребуем также, чтобы она была ассоциативной. Тогда определим на L супер-
суперкоммутатор [ , ]: L х L —> L. По определению он линеен по обоим сомножите-
сомножителям, и поэтому его достаточно определить для однородных элементов. Для них
положим
при 5€L«, T)€Z*. F.35)

§6.1. Группы и алгебры Ли 205
Несложно проверить, что алгебра L с операцией суперкоммутирования является
супералгеброй Ли.
Важный класс градуированных алгебр составляют градуированно-комму-
тативные (или косокоммутативные, или суперкоммутативные) алгебры.
Это Z-градуированные алгебры L, для которых умножение удовлетворяет тожде-
тождеству
5-T)=(-l)*V5 при ?€L«, r)GLp, a,p<EZ.
На каждой Z-градуированной алгебре задана естественная Ж2-традуировка:
L = Ц е 1и ?о = 0 Lak, U =
Элементы из Lo называются четными, а из L| — нечетными. Суперкоммута-
Суперкоммутатор F.35) на алгебре L будет тривиальным: [?, rj] = 0 для всех ?, 7) Е L. Как
обычно, супералгебры Ли с тривиальным коммутатором называются коммута-
коммутативными.
Пример. Пусть V—векторное пространство с базисом еь ..., еп. Рассмо-
Рассмотрим векторное пространство A Vy состоящее из всевозможных линейных комби-
комбинаций выражений вида
Положим
eh A... A eik = sgn(a)eo(l) A ... А еа(к) F.36)
и
ft, А ... А е1к = 0, если // = im при / ф т. F.37)
Никаких других соотношений нет. Определим на А V билинейную операцию умно-
умножения, задав ее на образующих по правилу
(ft, A ... A ft,) A (ft, A ... A ft,) = eh A ... A ft, A ft, A ... A eir F.38)
Из соотношений F.36) и F.37) следует, что пространство А V конечномерно и его
базис образуют элементы
На алгебре Л V задана естественная градуировка
eh A... Aft, €Л*К
Из соотношений F.36) и F.38) немедленно следует, что алгебра Л V является
градуированно-коммутативной. Это достаточно проверить для образующих: так
как
sgn
мы получаем
ft, Л ... Л ft, Л ft, Л ... Л ft, = (- l)*'ft, Л ... Л ft, A ft, A ... Л ft,.
Градуированно-коммутативная алгебра Л К называется внешней алгеброй или
алгеброй Грассмана пространства V.
f i ... k k+i ... * + Л«, n«
VA + i ... л + / i ... k )-{ l) •

206 Глава 6. Группы движений
Если пространство V является алгеброй Ли, то на его внешней алгебре есте-
естественно определяется структура супералгебры Ли, в которой умножение задается
скобкой Схоутена (см. п. 3 §7.3).
§ 6.2. Кристаллографические группы и их обобщения
1. Кристаллографические группы в евклидовых пространствах. Физиче-
Физическое представление о бесконечно протяженном твердом теле, существовавшее
до появления квантовой механики, состояло в том, что твердое тело образо-
образовано атомами, которые занимают жесткое положение в пространстве, не могут
находиться сколь угодно близко друг к другу и в то же время заполняют все
пространство.
Математически это означает, что атомы считаются точечными частицами, ко-
которые образуют решетку в пространстве.
Введем определение этого понятия: совокупность Г точек в пространстве на-
называется решеткой, если существуют такие положительные постоянные R> r>
> 0, что расстояние между любыми двумя точками из Г не меньше г и любой шар
радиуса R содержит хотя бы одну точку из Г.
Напомним, что если G — подгруппа группы движений пространства, то для
каждой точки х орбитой Gx этой точки называется совокупность точек про-
пространства, полученных из точки х преобразованиями из G.
Кристаллом называется правильная решетка в пространстве. А именно,
требуется, чтобы решетка была инвариантна относительно действия какой-то
группы G, состоящей из движений пространства, и вся решетка являлась объ-
объединением конечного числа орбит этого действия:
Г =
Такая группа G называется кристаллографической группой.
Мы будем говорить об этом определении как о классическом.
Пример. Рассмотрим в R" подгруппу
Г = {ftioti + ... + knoLn: kx, ..., kn e Z},
где <xi, ..., an образуют базис в Rn. Эта подгруппа образует решетку, изоморф-
изоморфную Zrt, и поэтому называется абелевой решеткой в М\ На ней действует транс-
трансляциями группа Г: х -* х + g, где g е Г. Поэтому группа Ъп = Г является кри-
кристаллографической группой при любом /г = 1, 2, ...
Данные нами определения достаточно общие и годятся, например, в случае,
когда пространство является пространством Лобачевского. Мы рассмотрим слу-
случай, когда объемлющее пространство является евклидовым пространством Шп.
Именно этот случай (и пока только он) возникает в физике реального мира при
описании кристаллов.
Кристаллографические группы в евклидовых пространствах могут быть опре-
определены следующим образом.

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 207
Подгруппа G группы движений /2-мерного евклидова пространства называет-
называется n-мерной кристаллографической группой, если ее пересечение с группой
трансляций Rn с Е(л) является абелевой решеткой T~Zn в Rn.
Это определение более удобно, так как его модификация приводит к есте-
естественному определению квазикристаллографической группы.
Подгруппа G группы движений пространства Rn называется я-мерной ква-
квазикристаллографической группой в смысле Новикова—Веселова, если ее пе-
пересечение с группой трансляций пространства Rn является конечно порожденной
подгруппой 71, порождающей Шп как векторное пространство. В случае, когда
группа Т имеет минимально возможный ранг, равный я, мы получаем кристалло-
кристаллографическую группу.
Покажем, что оба определения кристаллографических групп в евклидовых
пространствах эквивалентны.
Прежде всего докажем общую лемму о подгруппах группы Е(п) движений
евклидова пространства R". Напомним, что каждое движение g e Е(п) задается
в евклидовых координатах в виде
g=(Ayb):x->Ax + b, AeO(n)y beRn.
Лемма 6.12. Пусть G — подгруппа группы Е(п).
1. Отображение
р:0-О(л), g=(Aib)-+p(g)=A,
является гомоморфизмом групп. Его ядро является нормальной подгруп-
подгруппой Т с G, состоящей из всех трансляций, входящих в G.
2. Если А е p(G) uceTymo Асе Т.
Доказательство. Утверждение 1 очевидно. Докажем утверждение 2.
Если A G p(G), то существует преобразование g: х —> Ах + 6, принадлежащее
группе G. Обратное к нему преобразование g~l: x—>A~lx — A~~lb тоже принад-
принадлежит группе G. Рассмотрим композицию gig~\ где т: х —> х + с — трансляция
на вектор с. Это преобразование есть
х -> А(А"хх - А~ХЬ + с) + b = х + Ас.
Оно является трансляцией на вектор Ас и принадлежит группе Т. Лемма дока-
доказана.
Следствие 6.7. Пусть G — подгруппа группы Е(п) и ее пересечение Т
с группой трансляций является абелевой решеткой. Тогда факторгруппа
G/T конечна.
Доказательство. Пусть aj, ..., ося — образующие решетки Т. Они ле-
лежат в шаре D конечного радиуса с центром 0 € Rn, который содержит только
конечное число точек из Т. Каждое преобразование A G p(G) С О(п) однознач-
однозначно определяется образами j4(cxi), ..., Л(ап), которые тоже принадлежат DOT.
Поэтому если группа G/T = p(G) бесконечна, то множество DOT должно со-
состоять из бесконечного числа точек. Это противоречит тому, что Т — решетка.
Мы заключаем, что группа G/T конечна. Следствие доказано.

208 Глава 6. Группы движений
Если G — кристаллографическая группа, отвечающая кристаллу Г, то образ
гомоморфизма р называется группой симметрии кристалла или точечной
группой кристалла и обозначается через S(r). Две точечные группы л-мерных
кристаллов эквивалентны, если они сопряжены в О(я), т.е. существует такое
преобразование g е О(я), что gS\g~l = S2. Ядро гомоморфизма р называется
группой трансляций кристалла и обозначается Т(Т). Для простоты мы будем
отождествлять элементы этой группы с векторами трансляций.
В случае евклидовых пространств имеет место следующая теорема.
Теорема 6.26. Пусть G — кристаллографическая группа (согласно клас-
классическому определению). Тогда ее подгруппа трансляций Т является абе-
левой решеткой в Шп и имеет конечный индекс в группе G.
Доказательство. Мы ограничимся случаем п = 2.
Согласно следующей лемме нам достаточно доказать теорему для случая, ко-
когда вся группа G состоит из собственных движений.
Лемма 6.13. Если G — кристаллографическая группа в R", то ее нор-
нормальная подгруппа Go, образованная собственными (сохраняющими ори-
ориентацию) движениями, тоже кристаллографическая.
Доказательство леммы. Если G состоит только из собственных
движений, то лемма, очевидно, верна. Пусть g' — какое-то несобственное дви-
движение из G. Тогда любое несобственное движение g?G имеет вид g = hg\ где
h € Go. Группа Go сохраняет решетку Г, которая представляется в виде
г=
Поэтому группа Go тоже является кристаллографической. Лемма доказана.
Напомним, что любое собственное движение плоскости есть либо трансляция
х —> х + а, либо вращение вокруг какой-то точки (теорема 1.7).
Кристаллографическая группа не может содержать поворотов на сколь угод-
угодно малые углы. Действительно, пусть поворот с центром в точке х0 на угол <р
содержится в G. Существует точка кристалла х\ кото-
рая лежит от точки х0 на расстоянии р ^ /?. При поворо-
повороте она перейдет в точку х", которая лежит на расстоянии
2psin(cp/2) от точки х'. По условию расстояние между раз-
различными точками решетки не меньше г, что влечет неравен-
Хо х' ство sin(f) ^ <7Б для Угла поворота ф (см. рис. 6.1).
Предположим, что группа G не содержит трансляций.
Рис. 6.1. Угол Тогда эта группа изоморфна точечной группе S(t), которая
поворота не может содержать сколь угодно малых поворотов, а по-
поэтому конечна. Но так как решетка Г бесконечна, группа G
также бесконечна, и мы приходим к противоречию. Следовательно, группа G со-
содержит хотя бы одну трансляцию х —> х 4- Pi.

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 209
Если группа G не содержит поворотов на углы, не кратные к, то необходимо,
чтобы группа G содержала трансляцию на вектор C2, линейно независимый с Cj.
Иначе орбита каждой точки кристалла лежала бы на прямой с направляющим
вектором pj и кристалл не являлся бы объединением конечного числа орбит.
Пусть теперь группа G содержит поворот А на угол ср, не кратный тс, с центром
в точке х0. Вектор р2 = ЛC| не пропорционален C| и согласно лемме 6.12 лежит
в ЦТ).
Таким образом, мы доказали, что группа трансляций Т(Г) содержит трансля-
трансляции на линейно независимые векторы Pi и р2.
Покажем, что существуют два линейно независимых вектора otj и а2, всевоз-
всевозможные целочисленные линейные комбинации которых образуют решетку транс-
трансляций:
: kiyk2eZ}. F.39)
Сначала выберем в Т(Т) ненулевой вектор ot| минимальной длины. Так как
7\Г) вкладывается в решетку, такой вектор существует. Проведем прямую ? =
= /ot|, t € М, в направлении вектора oti и выберем вектор трансляции <х2, не про-
пропорциональный <Х|, но такой, что точка а2 Е R2 находится от этой прямой на наи-
наименьшем расстоянии. Такой вектор тоже существует. Чтобы доказать это, введем
в R2 базис ех =cxi, е2, где вектор е2 ортогонален вектору е,. Любой вектор ре-
решетки представляется в виде ххв\ + х2е2. Мы ищем вектор из 7\Г) с наименьшим
значением |jc2| > 0. Любой вектор из Т(Г) сдвигом на вектор вида &ab где k ? Z,
можно привести к виду 0 < Х\ ^ 1 с сохранением значения х2. Поэтому мы ищем
вектор трансляций с минимальным положительным значением |jc2| в ограниченной
области пространства, где лежит конечное число точек решетки. Следовательно,
такой вектор а2 существует.
Докажем, что векторы ot| и а2 порождают решетку трансляций. Пусть т е Т(Т).
Так как векторы он и а2 образуют базис в R2, мы имеем т = X\ct\ 4- jc2a2. Возь-
Возьмем дробные части {х\} и {х2} чисел Х\ и х2: 0 ^ {а:,} < 1, / = 1,2. Вектор
т' = {jC|}ai + {^2}a2 также принадлежит Т(Г). Если {х2} > 0, то вектор т; не ле-
лежит на прямой /ot|, но расположен по отношению к ней ближе, чем вектор а2, что
противоречит выбору вектора а2. Следовательно, {х2} = 0. Теперь если {х\} > 0,
то вектор {x\}ol\ принадлежит 7\Г), но имеет меньшую длину, чем вектор а\.
Это противоречит выбору вектора ot|. Следовательно, xiy x2e Z. Тем самым, мы
доказали равенство F.39).
Осталось доказать, что точечная группа кристалла S(T) = G/T(T) конечна.
Это вытекает из следствия 6.7.
Теорема 6.26 доказана для двумерных кристаллов.
Из этой теоремы следует, что в случае евклидовых пространств оба данных
определения кристаллографических групп совпадают.
Хотя сам кристалл состоит из точек, полезно сопоставить ему разбиение про-
пространства на одинаковые параллелепипеды. А именно, если oil, ..., а„ — обра-
образующие группы трансляций кристалла в R\ то параллелепипед, натянутый на
эти векторы, называется примитивной ячейкой кристалла (рис. 6.2). Каждая
такая ячейка содержит конечное число точек кристалла. Выберем начало коор-

210
Плава 6. Группы движений
динат в вершине какой-то ячейки и обозначим через $ь ..., ?* радиус-векто-
радиус-векторы точек решетки, лежащих внутри примитивной ячейки, т. е. удовлетворяющих
неравенствам
li = апщ + ... + аыап, 0 < ац < 1, / = 1, ..., k, j = 1, ..., п.
Очевидно, что решетка трансляций и векторы ?ь ..., !;* полностью задают ре-
решетку.
Рис. 6.2. Примитивная ячейка
Рис. 6.3. Ячейка Вигнера—Зейтца
В простейшем случае k = 1 и ?| = 0, т. е. все точки кристалла лежат в точках
решетки трансляций k\v.\ + ... + kn0Ln. Такие кристаллы называются решетками
Браве.
С аффинной точки зрения все решетки Браве в Шп эквивалентны друг другу:
любая пара решеток совмещается аффинным преобразованием. Наличие у них
различных групп симметрии связано с арифметическими свойствами порождаю-
порождающих их векторов.
В физике используется и другое разбиение пространства на ячейки, которые
могут быть различными. А именно, каждой точке решетки (атому) сопоставляется
множество точек, которые расположены к этому атому ближе, чем к любому
другому (см. рис. 6.3). Такие ячейки называются ячейками Вигнера—Зейтца
(в теории чисел они называются областями Дирихле).
Перейдем к классификации кристаллографических групп в двумерном про-
пространстве. Прежде всего докажем общую теорему.
Теорема 6.27. Точенные группы кристаллов в Шп являются в точности
группами (ортогональных) симметрии абелевых решеток Т в R\
Доказательство. Согласно лемме 6.12, если А е S(T) и с € Г(Г), то
Ас е Т(Т). Следовательно, каждый элемент точечной группы кристалла задает
симметрию решетки трансляций ^(Г). Если же S; С О(п) — группа симметрии
какой-то я-мерной решетки V в группе трансляций Ея, то группа G, порожденная
сдвигами на векторы из V и элементами из S', является кристаллографической.
В качестве кристалла можно взять решетку 71', точечной группой кристалла будет
группа S'. Теорема доказана.
Точечные группы /г-мерных кристаллов называются кристаллографически-
ми классами. Считается, что группы, сопряженные в О(п) (т.е. эквивалентные),
определяют один и тот же кристаллографический класс. По теореме 6.26 они

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 211
являются конечными подгруппами в О(я), но не все такие подгруппы реализу-
реализуются как точечные группы решеток.
Полная классификация двумерных кристаллографических классов дается
следующей теоремой.
Теорема 6.28. Если S с 0B) — точечная группа кристалла в R2, то она
принадлежит следующему списку:
1) циклическая группа Ck = Zb где k = 1, 2, 3, 4, 6, порожденная пово-
2к
ротами на угол -г-\
к
2) группа диэдра Dky где k = 1, 2, 3, 4, 6, порожденная поворотами из Ck
и отражением относительно прямой.
В случае 1 кристаллографическая группа G содержит только соб-
собственные движения, а в случае 2 — и несобственные.
Напомним, что группой диэдра Dk называется группа движений плоско-
плоскости, переводящих сам в себя правильный 6-угольник, — группа симметрии этого
/г-угольника. Группа Dk с 0B) порождена поворотом на угол -?- вокруг цен-
центра симметрии ^-угольника и отражением относительно прямой, которое явля-
является симметрией /г-угольника. Поэтому группа Dk содержит в качестве нормаль-
нормальной подгруппы индекса два циклическую группу С*, порожденную поворотом на
угол -у. Подгруппа Ck является ядром гомоморфизма det: Dk —> {±1}.
Доказательство теоремы 6.28. Предположим, что группа G со-
состоит только из собственных преобразований. По теореме 6.26 точечная группа
5(Г) кристалла конечна и является подгруппой группы S0B) вращений плос-
плоскости. Группа S0B) изоморфна группе комплексных чисел, равных по модулю
единице: S0B) ~ {е/ф}. При этом вращению на угол ср отвечает умножение на е/ф.
Эта группа коммутативна, ее конечные подгруппы цикличны и порождены пово-
2ti
ротами на угол —, k = 1, 2, ...
Выберем в группе трансляций Т(Г) такой базис а.\ и <*2, что вектор <Х| имеет
наименьшую длину среди ненулевых векторов из 7\Г).
Пусть gk — поворот на угол —, образующая группы Ck = Z*. Если k > 6, то
легко проверить, что |ос( — g*(ai)| < |oct|, что противоречит выбору <Х|. Следова-
Следовательно, если S(T) = Cky то 1 < k ^ 6.
Поворот на угол к всегда является симметрией группы трансляций Т(Г). Если
группа С5 = Z5 является точечной группой решетки, то вместе с поворотом на
угол к она порождает группу С!0 поворотов на углы ^-, задающих симметрии
о
решетки Т(Т). Но это противоречит тому, что только при k < 6 группа Ck мо-
может вкладываться в точечную группу кристалла. Следовательно, группа С5 не
реализуется как точечная группа двумерного кристалла.
Мы оставляем в качестве упражнения показать, что оставшиеся группы С*,
где k = 1, 2, 3, 4, 6, реализуются как точечные группы кристаллов в Е2.
Осталось рассмотреть случай, когда группа G содержит несобственные дви-
движения. В этом случае точечная группа S содержит подгруппу So индекса 2, состо-

212 Глава 6. Группы движений
яшую из собственных симметрии, которая, согласно доказанному выше, есть С*,
где k равно 1, 2, 3, 4 или 6. Любое несобственное ортогональное преобразование
плоскости есть отражение а относительно некоторой прямой (это доказывается
элементарно, а также вытекает из теоремы 1.7). Легко заметить, что а и эле-
элементы из So = Ck порождают группу диэдра Dk. Мы также оставляем в качестве
упражнения доказательство того, что любая группа диэдра Dk при k = 1, 2, 3, 4, 6
реализуется как точечная группа кристалла в R2.
Теорема доказана.
Эта теорема не говорит о том, как группы диэдра реализуются в виде групп
автоморфизмов (линейных обратимых отображений) решеток трансляций. Авто-
Автоморфизмы абелевой решетки Т сШп взаимно однозначно задаются матрицами
из группы GL(/z, Z), т.е. обратимыми (п х я)-матрицами с целыми коэффици-
коэффициентами. Действительно, если в решетке Т задан базис ot|, ..., а„, который под
действием автоморфизма /: Т —*Т переводится в /(а,-) = а|ау-, / = 1, ..., л, то ма-
матрица (а{) лежит в GL(n, Z) и однозначно задает автоморфизм /. Каждый элемент
geS точечной группы S задает автоморфизм Т —> Т, и мы получаем гомоморфное
вложение
Говорят, что две точечные группы (группы симметрии) решетки эквивалентны,
если они сопряжены как подгруппы в GL(n, Z). Оказывается, для групп D\,
D2 и D3 существуют по два неэквивалентных вложения. Поэтому имеет место
следующее утверждение.
Теорема 6.29. Имеются 13 попарно неэквивалентных точечных групп
двумерных решеток, из них 5 состоят только из собственных преобра-
преобразований, а 8 содержат несобственные.
Чтобы получить теперь классификацию кристаллографических групп в R2,
надо найти всевозможные такие группы G, что G содержит нормальную подгруп-
подгруппу Т = Z2 и факторгруппа S = G/T является двумерным кристаллографическим
классом. Каждая такая группа естественно вкладывается в группу ЕB) движе-
движений плоскости: любой элемент из G представляется в виде g = t • 5, где t € Т
useS С 0B), и ему отвечает движение t - s из ЕB). Заметим, что преобразования
из S сами по себе могут не лежать в G, а возникать только в комбинациях g=t • s
с нетривиальными трансляциями / ф 0.
Две кристаллографические группы G\ и G2 называются эквивалентными,
если существует такое собственное аффинное преобразование Л: R2 —>М2, что
hGlh~l = G2.
Для двумерных кристаллографических групп эквивалентность совпадает с су-
существованием обычного алгебраического изоморфизма G\ —> G2.
Мы не будем доказывать следующую теорему, а лишь приведем ее для пол-
полноты изложения.
Теорема 6.30. Существуют 17 попарно неэквивалентных двумерных
кристаллографических групп, из них 5 содержат только собственные пре-
преобразования, а 12 содержат несобственные.

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения
213
Мы заключаем, что существуют три уровня классификации плоских кристал-
кристаллов, которые мы выпишем в порядке возрастания точности:
1) по классам эквивалентности (сопряженности в О(п)) точечных групп —
кристаллографическим классам: 10 типов;
2) по классам сопряженности в GLB, Z) точечных групп: 13 типов;
3) по классам эквивалентности (сопряженности в Е(л)) кристаллографиче-
кристаллографических групп: 17 типов.
Двумерные кристаллографические группы эквивалентны тогда и только тогда,
когда они изоморфны как группы. Для трехмерных групп это неверно.
В размерностях 2 и 3 классификация всех кристаллографических групп неза-
независимо получена Фёдоровым и Шенфлисом, и поэтому двумерные и трехмерные
кристаллографические группы также называются федоровскими группами.
Перейдем теперь к классификации трехмерных кристаллографических групп.
Напомним, что каждое собственное ортогональное преобразование А про-
пространства К3 является вращением вокруг некоторой оси (лемма 1.5).
Все циклические группы Ck = Ък реализуются как группы вращений на углы
/й, / = 1, ..., ky вокруг оси в R3.
Действие группы диэдра Dk в координатной плоскости х3 = 0 продолжается
до собственного действия в R3: циклическая подгруппа Ck действует вращениями
вокруг оси Олг3, а отражение относительно прямой х2 = 0 в плоскости хъ = 0
продолжается до поворота пространства Е3 на угол к вокруг этой прямой.
Заметим, что группа D\ действует как группа С2.
Кроме групп Ck и Dk мы должны ввести группы собственных симметрии пра-
правильных многогранников. А именно, многогранник называется правильным, если
для каждой пары наборов (Рь Q\) и (Р2, ФО, где Р,— вершина многогранника
и Qi — ребро, один из концов которого совпадает с Pi9 существует собствен-
Рис. 6.4. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр
ное вращение, являющееся симметрией многогранника и переводящее (Р\, Qi)
в (Р2» Фг)- Таких многогранников пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и ико-
икосаэдр (см. рис. 6.4). Их собственные группы симметрии мы обозначим через Т

214 Плава 6. Группы движений
(для тетраэдра), О (для куба и октаэдра; эти группы совпадают) и Y (для доде-
додекаэдра и и икосаэдра; их группы собственных симметрии тоже совпадают).
Группа тетраэдра Т изоморфна группе Л4, образованной четными перестанов-
перестановками четырех элементов. Группа октаэдра О изоморфна симметрической груп-
группе 54, образованной всеми перестановками четырех элементов, и поэтому со-
содержит группу Т как нормальную подгруппу индекса 2 — ядро гомоморфизма
sgn: S4 —> {±1}. Группа икосаэдра У изоморфна группе Л5, состоящей из четных
перестановок пяти элементов. Следовательно, их порядки равны
|Л = | = 12, |О| = 4! = 24, М = | = 60.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 6.31. Конечная группа G, состоящая из собственных вращений
пространства R3, изоморфна группе из следующего списка:
1) циклические группы С*, где k = 1, 2, ...;
2) группы диэдра Dk, где k = 2, 3, ...;
3) группы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра: Т, О и Y.
Доказательство. Мы ограничимся наброском доказательства, изло-
изложив основные идеи. Пусть G— конечная подгруппа в SOC), и пусть N =\G\ —
порядок группы G (число элементов в группе).
Каждое собственное вращение пространства является вращением вокруг не-
некоторой оси (лемма 1.5). Пусть S2 — сфера единичного радиуса в R3 с центром
в нуле. Она переводится сама в себя преобразованиями из G.
Назовем точку р е. S2 полюсом, если существует нетривиальное вращение
А € G, оставляющее точку р на месте. Полюс р имеет кратность vpy если в груп-
группе G существуют в точности vp различных преобразований с полюсом в р. Это
означает, что существует циклическая подгруппа Н = ZVp с G, состоящая из вра-
вращений на углы 2tc&/vp, где k = 1, ..., vp, вокруг оси, проходящей через точки 0 и р.
Группа G распадается в объединение левых смежных классов gH по подгруп-
подгруппе Я:
где giH — совокупность элементов из G, представимых в виде gthy he H. При
этом пересечение двух классов giH П g,H пусто при I ф /. Поэтому N = k\H\ — kvp.
Следовательно, порядок каждого полюса является делителем порядка N груп-
группы G. Положим kp = N/vp. Это число равно числу точек в орбите Gp точки р.
Каждая точка gp из орбиты сама является полюсом преобразования gAg~l e G.
Легко заметить, что этот полюс имеет ту же кратность, что и полюс р: точка gp
остается на месте при преобразованиях из группы gAg~l.
Подсчитаем число пар (А, /?), где Л — нетривиальное вращение из G и р — по-
полюс вращения А. Так как каждое вращение имеет два полюса, число таких пар
равно 2(N — 1). С другой стороны, каждый полюс дает в эту сумму вклад, равный
(vp — 1). Мы получаем
5>(v,-l), F.40)

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 215
где сумма справа берется не по всем полюсам, а по различным орбитам полюсов.
Так как /V = kpvp для каждого полюса р> то, поделив обе части равенства F.40)
на /V, мы приходим к соотношению
Дальнейшее доказательство теоремы состоит в анализе этого соотношения. Если
N > 1, то все решения этого соотношения исчерпываются следующим списком:
1) vj = v2 = N и N любое (две орбиты);
2) V| = v2 = 2, v3 = я, /V = 2л и п любое (три орбиты);
3) v, = 2, v2 = 3, v3 = 3, N = 12 (три орбиты);
4) V| = 2, v2 = 3, v3 = 4, N = 24 (три орбиты);
5).V| = 2, v2 = 3, v3 = 5, N = 60 (три орбиты).
Все эти случаи реализуются и соответствуют следующим группам: 1) цикли-
циклические группы CN\ 2) группы диэдра Dn\ 3) группа тетраэдра Т\ 4) группа окта-
октаэдра О; 5) группа икосаэдра Y.
Мы оставим в стороне громоздкие рассуждения, приводящие к такому выводу,
и закончим на этом изложение доказательства теоремы.
Отражение в трехмерном пространстве задается матрицей — 1, оно меняет
ориентацию и коммутирует с любым вращением. Поэтому группа 0C) распада-
распадается в прямое произведение:
OC) = SOC) х{±1}.
Любая группа G собственных вращений может быть расширена до группы
G х {±1} добавлением элементов —g, где g e G. еуществует другой метод по-
построения подгрупп 0C) по подгруппам из S0C): пусть группа G С S0C) со-
содержит подгруппу Go индекса два. Обозначим через GGo группу, состоящую из
элементов g, где gе Go, и -g\ где g' eG\ Go.
Классификация трехмерных кристаллографических классов дается следую-
следующей теоремой.
Теорема 6.32. 1. Если точечная группа трехмерного кристалла состо-
состоит только из собственных вращений, то она принадлежит следующему
списку:
циклические группы С*, где k = 1, 2, 3, 4, 6;
группы диэдра D*, где k = 2, 3, 4, 6;
группы тетраэдра и октаэдра: Т и О.
2. Если точечная группа трехмерного кристалла содержит несоб-
несобственные движения, то она входит в следующий список:
С*х{±1}, где 6 =1,2, 3, 4, 6;
D*x{±l}, где k = 2, 3, 4, 6;
C2Cly С4С2, С6Сз, D4D2j DeD3y D2C2y D3C3y D4C4> D6CQ;
ОГ, Гх{±1}, Ох{±1}.
Все группы из этих списков реализуются как трехмерные кристалло-
кристаллографические классы.

216 Глава 6. Группы движений
Следовательно, имеются 32 различных трехмерных кристаллографических
класса. О том, насколько сложна более тонкая классификация трехмерных кри-
кристаллов, говорит следующая теорема.
Теорема 6.33. Существуют 72 попарно неэквивалентных точечных
групп трехмерных решеток и 230 различных трехмерных кристаллогра-
кристаллографических групп, из которых 65 состоят только из собственных движений,
а 165 содержат несобственные движения.
Можно ослабить понятие эквивалентности и считать две кристаллографиче-
кристаллографические группы эквивалентными, если они сопряжены любым аффинным (не обяза-
обязательно собственным) преобразованием. В этой терминологии будет 219 различ-
различных трехмерных кристаллографических групп. В размерности два это различие
в определениях не играет роли и кристаллографические группы эквивалентны,
если они просто изоморфны.
2. Квазикристаллографические группы. В настоящее время в науке и тех-
технологии известно очень много различных веществ, природных или создаваемых
искусственно для технических целей. Некоторые из них достаточно похожи на
твердое тело, т.е. хорошо подходят под определение решетки (см. выше), кото-
которая, однако, не является правильной. Это означает, что свойства таких веществ
не обладают периодичностью с группой Ъп (свободной абелевой), порождающей
абелеву решетку в евклидовом пространстве W (в реальной современной физике
возможны случаи п = 1, 2, 3).
В то же самое время, согласно существующим представлениям, в некоторых
из таких веществ, открытых в 80-х гг. XX в., по-видимому, имеется незатухаю-
незатухающая дальняя корреляция между положениями атомов и симметрия, невозможная
среди кристаллов. Свойства наиболее важных таких веществ аналогичны кри-
кристаллическим твердым телам; они описываются так называемыми «квазиперио-
«квазипериодическими функциями» в пространстве Ея.
Функция f(xl, ..., хп) называется квазипериодической, отвечающей дуаль-
дуальной квазирешетке, порожденной векторами о>|, ..., о>я+* еМя*, если она разла-
разлагается в тригонометрический ряд
где
х = (х\ ..., х"),
(б),-, X) = ^Г(О/<7**, Оу = (б>/л, ..., (О/я), / = 1, .. . , П + k,
q=\
Решетка, состоящая из точек уа е М\ называется квазипериодической, если
функция

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 217
является квазипериодической для любой гладкой функции <р(х) с компактным
носителем в Шп.
Квазипериодическая функция представляется всегда как ограничение функ-
функции от N переменных, N=n+k, периодической относительно какой-то правильной
решетки вМ^с периодами Тр б Шы, р = 1, ..., Ny на некоторое иррациональное
я-мерное направление f(x\ ..., хп) = Ф(ух, ..., yN), где
Квазипериодические решетки, полезные нам, строятся так: пусть заданы пра-
правильная кристаллографическая решетка точек в RNy подпространство Шп с R",
вектор аеК"и выпуклое тело Y конечного размера в RN. Рассмотрим трубчатую
область
Спроектируем все точки решетки, попавшие внутрь тела Sa, на подпростран-
подпространство Шп вдоль какого-либо направления Ех, где
Обычно рассматривается решетка из всех целочисленных векторов Шы в каком-то
базисе (в|, ..., eN), а в качестве Шп берется иррациональное подпространство.
Так получается набор точек в Ея, образующих квазирешетку. В обзоре [58] ука-
указывается, что В. И. Арнольд аккуратно проверял такие вещи, как эквивалентность
этого определения первому. Мы не будем это здесь доказывать.
Наиболее интересные и простые квазипериодические решетки точек строят-
строятся, однако, через так называемые замощения пространства Шп конечным числом
многогранников К\, • ¦., /(ь правильно примыкающих друг к другу (т. е. по целой
грани какой-то размерности) и покрывающих все пространство Rn так, что вну-
внутренности их не пересекаются друг с другом. Знаменитое замощение Пенроуза
плоскости R2 задается двумя ромбами Л^ь /B с острыми углами соответствен-
соответственно 72° и 36° и сторонами одинаковой длины. Его описание мы дадим ниже. Как
заметил де-Брюин в 1981 г., это замощение квазипериодично, т.е. набор вершин
уа G Ш2 дает квазипериодическую решетку. Из этой пары ромбов можно постро-
построить целое семейство замощений типа Пенроуза по определенным локальным
правилам (см. ниже), которые приводят к тому, что с их помощью получаются
только квазипериодические замощения.
Если принять во внимание открытие в 80-х гг. XX в. веществ, которые, по
всей вероятности, являются квазикристаллами в этом смысле, идея локальных
правил, навязывающих квазипериодичность, в какой-то мере рассматривается
как объяснение этой формы дальнего порядка в расположении атомов. Ряд фи-
физиков (Л. Левитов, А. Катц и др.) глубоко разработали этот вопрос, подхваченный
и геометрами (см. статью [58]).
Мы приведем здесь лишь простейший пример, порожденный уже упомяну-
упомянутыми двумя ромбами Пенроуза. Введем «крашеные ромбы» согласно рис. 6.5,
а) и б).

218
Глава 6. Группы движений
б)/С2
Рис. 6.5. Крашеные ромбы
Потребуем, чтобы вершины разбиения имели вид один из шести возможных
видов, указанных на рис. 6.6:
(все углы = 72°)
(один угол в 144°)
B угла - 144°)
(все углы - 72°) B угла - 36°)
Рис. 6.6. Локальные правила
B угла = 36°)
Разбиения будут складываться из крашеных ромбов (см. выше) и из них же,
повернутых на любой угол, кратный 72° = 2тс/5. Всего из 4 крашеных ромбов по-
получится 20 фигур. Мы будем разрешать только параллельные сдвиги этих 20 кра-
крашеных ромбов. Приведем без доказательства следующий важный факт.
Теорема 6.34. Всякое замощение плоскости крашеными ромбами, удо-
удовлетворяющее указанным локальным правилам (которые даны в виде вы-
выбора шести допустимых вершин), является квазипериодическим.
При склейке мы требуем, чтобы отождествлялись одинаково окрашенные сто-
стороны. Еще раз подчеркнем, что ромбы (К\), (/(г) с окраской на приведенном вы-
выше рисунке указаны вместе с расположением в R2 с точностью до параллельного
сдвига и вращения на угол, кратный 72°.

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 219
Определенная неоднозначность, возможность иногда сделать выбор, приводит
к тому, что имеется континуум различных замощений. Все они квазипериодичны.
Этот произвол склейки, однако, является столь слабым, что он ограничивает
нас только квазипериодическими замощениями. Это и есть отражение дальнего
порядка в расположении атомов.
Мы обратимся к теоретико-групповой, симметричной стороне квазикристал-
квазикристаллографических замощений. Уже рассмотренный пример показывает, что кроме
группы трансляций в структуре всех этих замощений заложена циклическая груп-
группа вращений плоскости порядка 5, которая не встречается в кристаллографиче-
кристаллографических группах плоскости. Построим эти замощения по схеме де-Брюина. Рассмо-
Рассмотрим евклидово пространством5 с ортонормированным базисом (еь e2, е3, ^4, вь)
и действием группы порядка 5 по формуле T(ej) = е/+ь где у = 1, 2, 3, 4, 5 и чи-
число j рассматривается как вычет по модулю 5. Все пространство R5 распадается
в прямую сумму ортогональных пространств
где пространство R1 порождено вектором
е = е{ + ... + еъ\
пространство Щ порождено такими векторами е±, что
п=\
пространство R* порождено такими векторами а±, что
5 5
Е/47Ш\ V^ . /4тм\
СОЧ_~ГЯ' а- = 2>п(—)е„.
Е/2тш\
С0Ч5,
п=\ п=\
/2=1
Легко видеть, что над полем комплексных чисел векторы е+ ±ie_ и a+±ia,- —
это собственные векторы оператора Т: R5 —¦ R5 с собственными значениями
ехр(±2л//5) и ехр(±4тс//5) соответственно. Поэтому преобразование Т действу-
действует в плоскостях Rf и R| как вращение на угол 72° и 144° соответственно. Эти
пространства ортогональны друг другу. Возьмем единичный пятимерный куб /5,
порожденный векторами [еь е2, ег, е4у е5] в пространстве R5. Обозначим через Sa
тело в R5, заметенное всеми сдвигами этого куба на векторы у е R? + а:
Пусть вектор а регулярен, т. е. граница тела Sa не содержит целочисленных
векторов (векторов кубической решетки в пространстве R5).
Проекции двумерных граней куба /5 на плоскость R2{ дают искомые ромбы
Пенроуза. Совокупность проекций на плоскость R^ (вдоль R| Ф R) всех дву-
двумерных граней куба /5, лежащих внутри тела Sa, и дает замощения Пенро-
Пенроуза—де-Брюина, зависящие от вектора а. Квазипериодичность всей этой кон-
конструкции очевидна.

220 Глава 6. Группы движений
Таков общий «метод проекций» для построения замощений: мы берем евкли-
евклидово пространство R^ с ортонормированным базисом (вь . •., eN) и кубической
решеткой, натянутой на эти векторы. Пусть задано подпространство R" С RN
и вектор а е RN~nf где подпространство RN"n ортогонально R\ Определяем те-
тело Sa как объединение
где у — все векторы из Шп. Проекции я-мерных граней куба 1N в подпростран-
подпространство Rn дают те же элементы, из которых строится замощение.
Если вектор а, как и выше, регулярен, то совокупность всех /2-мерных граней
целочисленных кубов INf лежащих в теле Sa, после проекции на Rrt дает искомое
замощение, квазипериодическое по конструкции.
В примерах такого типа естественно связывать с этой конструкцией подгруп-
подгруппы многомерной (кубической) кристаллографической группы в пространстве RN,
так или иначе связанные с подпространством Rn С R", хотя эти группы и не
переводят точки решетки друг в друга.
Мы следуем уже данному в предыдущем параграфе определению квазикри-
квазикристаллографических групп исходя из геометрии исходного «физического» евкли-
евклидова пространства: это — произвольная подгруппа группы изометрий (движений)
евклидова пространства Rn
G с E(R"),
для которой ее пересечение с группой трансляций G DRn = ZN есть конечнопоро-
жденная абелева группа, порождающая все подпространство R" над R. Тем са-
самым, N ^ п. Для УУ=п мы доказали в предыдущем параграфе, что это дает эквива-
эквивалентное определение обычных кристаллографических групп. Для N> n мы прихо-
приходим к новому типу групп, описывающих симметрию квазикристаллов. Эта группа
симметрии не видна тривиальным образом через расположение атомов в R"; она
представляет собой расширение G группы частотных
векторов о,, / = 1, ..., N,
N =
с R"*, m} e Z,
как подгруппа группы дуальных трансляций со, € Rn*
в пространстве волновых векторов. При этом требуется,
6L \ чтобы выполнялось равенство G П Rn* = ZN, т. е. коли-
количество трансляций при расширении не увеличилось,
р 6 7 Простейший пример — это уже обсуждавшаяся
группа, где п = 2 и базисные частоты имеют вид, как
на рис. 6.7, причем 6)y+i = ^
5
Мы имеем ^Ч" = 0. Поэтому векторы еоу порождают подгруппу Z4 с R2*.
/=1
Группа G имеет две образующие Г, а>0, где Тъ = 1, ГозуГ = (о/+|, а бH, coi, a>2, о>3
коммутируют. Факторгруппа G/(G П R") по подгруппе трансляций является под-

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 221
группой ортогональной группы
G/(GnR")cOw(R).
В приведенном примере (см. выше) эта группа изоморфна группе Z/5Z, т. е. ци-
циклической группе пятого порядка. Более общий класс примеров, получающих-
получающихся из описанной выше конструкции кристаллографических групп в многомер-
многомерных евклидовых пространствах RN, сохраняющих иррациональное направление
R" с RN, всегда ведет к таким квазикристаллографическим группам G, что фак-
факторгруппа
G/(GnRn*)c0n(R)
конечна. Мы заметим, однако, что определение Новикова—Веселова (см. выше)
не влечет этого свойства в обязательном порядке: уже для п = 2 появляются не-
несложные примеры, где эта факторгруппа бесконечна, т. е. появляются вращения
на иррациональные углы. Классификационная теория таких групп развивается
в [58]. Мы приведем здесь простейшие сведения о них. Рассмотрим случай /2 = 2.
Теорема 6.35. Угол ф может быть вращением в двумерной квазикри-
квазикристаллографической группе тогда и только тогда, когда число z0 = е/ф
является целым алгебраическим числом, те. найдется такой полином
N
P(z) =zN + J2ajZN~>, aN=l,aj = aN4, a, ? Z, / = 1, ..., /z, что P(z0) = 0.
/=»
Доказательство. Достаточность. Определим группу G с обра-
образующими / = 1 € С = R2 и z0 = ещ € U\. Рассмотрим такой неприводимый поли-
полином с целыми коэффициентами, что P(z0) = 0. Пусть
Р(г) = zN + axzN~x + ... + aN, a}? Z.
Тем, самым все степени ztf, M ^ N, выражаются через базис coi = 1, со2 = z0, • • •
..., <o/v = zN~x. Мы знаем, что P{z~o) = P(Zq1) = 0.
В то же время
1
Отсюда заключаем, что ak = aN-k и
го = -(^о + ayv-iZo + ... + 02*0 + а,).
Поэтому элемент zi = Zq1 тоже выражается через тот же базис с целыми коэф-
коэффициентами. Отсюда заключаем, что группа G квазикристаллографическая.
Необходимость. Пусть ср — вращение в кристаллографической груп-
группе G. Рассмотрим подгруппу, порожденную элементами z0 = е/ф и трансляцией
/ € С. Векторы zj/, k € Z, дают трансляции из нашей подгруппы. Из существо-
существования конечного Z-базиса в G мы заключаем, что найдется такое число УИ, что
векторы zkt для \k\ < М порождают абелеву группу, натянутую на все векторы
{z?ty q e Z}. Тем самым, число z0 — это корень полинома P(z0, sjj) = 0 с це-
целыми коэффициентами, где старший коэффициент равен единице. Домножая на
подходящую степень переменной z, получаем полином P(zo) = Zq + ^2 cLjZq4 = 0.
Теорема доказана.

222 Глава 6. Группы движений
Теорема 6.36. Не существует нетривиальных двумерных квазикристал-
квазикристаллографических групп с подгруппой трансляций !?.
Доказательство. Используем предыдущую теорему. Пусть z0 = eif* —
вращение в такой группе и полином P(z0) = 0 имеет степень 3:
zl + mzl + nz0 + р = 0, m, л, реZ.
Так как р = 1, мы имеем
Поэтому полином P(z)/(z — 1) имеет целые коэффициенты. Значит, zQ является
алгебраическим целым числом степени 2, и при этом |zo| = 1. Отсюда следует, что
zj= 1 или Zq= 1. Это — случай обычных кристаллографических групп. Теорема
доказана.
Изучим теперь важный случай, когда группа G имеет абелеву (трансляцион-
(трансляционную) часть, изоморфную Z4. Предположим, что
z0 + Tq = 2coscp = -(m + nVd)/2y m, n,de Z,
причем (m2 — n2d)/4 e Z. Полином P(z) имеет вид
m2-nd
-ndy2 _
Здесь возможны два случая:
а) \т - ny/d\/2 < 2, \т + nv^|/2 < 2;
б) |т - «\/5|/2 > 2, |т + ял/5|/2 < 2.
Теорема 6.37. Случай а) имеет место, если и только если число z0 = ёщ —
корень из единицы.
Следствие 6.8. В случае б) число z0 = ещ не может быть корнем из
единицы. Мы приходим к иррациональным углам вращения.
Доказательство теоремы. Если z0 — это корень из единицы, то не-
неприводимый полином с целыми коэффициентами для него таков, что все осталь-
остальные корни — тоже корни из единицы. Поэтому для другого корня до0 = е1* мы
тоже имеем
К + Щ = \(т - n\/d)/2\ = |2coscp| < 2.
Если \w0 + Щ\ > 2, то w0 заведомо не корень из единицы; z0 = ещ тоже не есть
корень из единицы.
Пример. Для четных чисел (т, п) условие (т2 — n2d)/A E Z выполнено.
Пусть — т = п = 2, d = 2. Мы видим, что
|-2 + 2л/2| < 4, |-2 - 2л/2| > 4.

§6.2. Кристаллографические группы и их обобщения 223
Таким образом, здесь вращение иррационально. Из указанных условий легко
вытекает бесконечная серия подобных случаев. Классификационные результа-
результаты и весьма интересные примеры для п = 2 могут быть найдены в [58].
Например, для случая, когда az = 2hGhR2 = Z4, уже обсуждавшегося выше,
несложно доказать и следующее общее утверждение.
Элемент z0 = ё* — это вращение в квазикристаллографической группе, если
и только если найдутся такие целые числа (m, k) Е Z, т2 ^ 4й, что
(для какого-то знака \/т2 — 4k). При этом мы имеем
Если w0— другой корень полинома, то
Ы)О + Щ
Мы приходим к выводу, что из условия
следует, что г0 — это корень из единицы, zl0 = 1. При этом, как легко видеть, мы
имеем только такие возможности:
/ = 5,8, 10, 12, оо
(кроме «кристаллографических» / = 4, 6 и «тривиальных» / = 1, 2, 3).
Во всех случаях, когда имеются противоположные неравенства
мы имеем \zo\ = 1, но zlQ ф 1 ни для какого / ф 1.
Оказывается, все эти случаи
/ = 5,8, 10, 12, оо
совместимы и с локальными правилами (см. [58]). Таким образом, возникнове-
возникновение квазикристаллов с вращательной симметрией бесконечного порядка является
неизбежным и в физическом аспекте.
Мы приведем здесь конструкцию, показывающую геометрическую (а не тео-
теоретико-числовую) природу этого явления. Рассмотрим пространство R4 с бази-
базисом (ей ^2, ?з, е*) и целочисленной решеткой ?/П/е/, тг € Z. Предположим, что
в этом пространстве задана метрика Минковского сигнатуры A,3) и некоторое
иррациональное пространственноподобное направление R2 с R4 со знако-
определенной метрикой, для которого существует нетривиальное преобразование
из группы 0A, 3) П SLD, Z), сохраняющее метрику Минковского, решетку Z4

224 Глава 6. Группы движений
и это направление:
Т: R4 -» R4, T(Z4) с Z4, T(R2) с R2.
Тогда немедленно возникает квазикристаллографическая группа GT: R2 -» R2,
определяемая так: зададим «ортогональное» пространство R-1:
Все базисные векторы е} определяют трансляции R2 —> R2, так что
ву(т)) = Р±(ц + ву), /=1,2,3,4,
и Р±: R4 —> R2 — это проектор вдоль R-1. Мы имеем также вращение:
Вместе они задают квазикристаллографическую группу GT С E(R2) на плоскости
(Евклида), где \GT/(GTr\R2)\ = оо. Таким образом, по схеме, изложенной выше,
мы получаем и соответствующие квазирешетки. Очевидно, эта конструкция обоб-
обобщается на все размерности. Мы приходим к выводу, что
описание симметрии реальных квазикристаллов в обычных евклидовых
пространствах размерности п ^ 2 с необходимостью требует привле-
привлечения гиперболической геометрии и соответствующих методов теории
чисел.
Пример. Здесь /2 = 2. Пусть, как и выше,
Рассмотрим 4 вектора (еь е2, ?з, е4) ^R1» целочисленную решетку Z4 и подпро-
подпространство R2 С R4, порожденное векторами
Целочисленный оператор Т: Z4 —»Z4 мы зададим в базисе (еь в2, в3, е4) форму-
формулой
@00 -1 \
m
-2-
m /
Преобразование Г действует как вращение на угол ср Bcoscp = А+) в плоско-
плоскости R2. Оно действует как гиперболическое вращение в плоскости Ш± с собствен-
собственными значениями До|, w2, которые вместе с (г0, го, W\, w2) дают корни полинома
= г4 - т*3 + B
Тем самым, естественно вводится метрика Минковского, где Т е 0A, 3).

Упражнения к главе 6 225
Упражнения к главе 6
1. Докажите, что группа О(р, q) диффеоморфна многообразию О(р) х O(q) х
2. Докажите, что проективные пространства ШРп, СРп и ШРп компактны.
3. Постройте на n-мерном вещественном проективном пространстве RPn ат-
атлас из п + 1 карты.
4. Докажите, что многообразия Штифеля и Грассмана Vntk и Gn%k компактны.
5. Покажите, что кватернионное проективное пространство ШРп параметри-
параметризует классы ненулевых векторов в Ня+| с точностью до умножения слева на
ненулевые кватернионы.
6. Постройте диффеоморфизмы СР1 « S2 и HP1 « S4.
7. Постройте отображения
аналогичные отображениям S2n+] —> СЯЯ, и найдите прообразы точек при этих
отображениях.
8. Докажите, что тэта-функция удовлетворяет условиям периодичности
6B + еа) = 0B), 9B + Be») =
где ?|, ..., еп — базис в Ся, z = Y^ г*еь и условию четности
9. Докажите связность групп GL(n, С), SL(n, С), U(n) и Sp(/z).
10. Докажите, что группа GL(n, E) состоит из двух связных компонент.
11. Пусть G — связная группа Ли. Докажите, что
а) группа G порождается сколь угодно малой окрестностью единицы;
б) связная компонента единицы есть нормальная подгруппа в G.
12. Докажите, что любая группа Ли ориентируема.
13. Найдите все однопараметрические подгруппы в SLB, R) и доказать, что
образ экспоненциального отображения не покрывает всей группы.
14. Докажите следующие изоморфизмы алгебр Ли:
«1A,1)^*1B,11), *оA,3)**1B,С).
15. Докажите, что алгебра Ли *оA, 2) изоморфна алгебре векторов в Rl>2
относительно «векторного произведения».
16. Докажите, что метрика Киллинга на компактной матричной группе Ли
имеет вид
17. Для метрики Киллинга g/; на алгебре Ли докажите, что тензор
Сщ = gklC\}
антисимметричен по всем трем индексам (здесь с*. — структурные константы:
[eh ?/] = 4e*)-
8-1168

226 Плава 6. Группы движений
18. Докажите, что для группы SO(p, q) метрика Киллинга получается как
ограничение псевдоевклидовой метрики (X, Y) = Tr(GXGYT)y где G — матрица ме-
метрики типа (р, q).
19. Докажите, что углы Эйлера — это координаты второго рода на группе Ли
SOC).
20. Пусть т = (гп\, ..., тк) — разбиение числа я, т. е.
ftl\ + П%2 + .. . + ttlk = /2.
Набор линейных подпространств
0 = ко С к, С...С^ = МЯ
называется т-флагом, если
dim к,- — dim7t/_i = itit.
Задайте на множестве всех m-флагов F(n, m) структуру однородного простран-
пространства (пространства флагов) группы О(п) и найдите группу изотропии этого
однородного пространства.

Глава 7
Тензорная алгебра
§7.1. Тензоры ранга 1 и 2
1. Касательное пространство и тензоры ранга 1. Если х\ ...,хп—ло-
...,хп—локальные координаты в области U на многообразии, то касательный вектор ?
задается набором из 2п чисел: координат точки (х\ ..., хп), к которой этот
вектор прикреплен, и координат вектора (?',..., ?я) в пространстве векторов,
прикрепленных к этой точке. Касательное простран-
пространство в точке х обозначается через ТХМ.
Любой такой касательный вектор можно реали-
реализовать как вектор скорости кривой на многообразии.
А именно, рассмотрим кривую, запись которой в ло-
локальных координатах имеет вид
x(t) = хо + ?/, рис 7.1. Касательный
вектор
где (х{0, ..., jcg) — координаты точки, к которой век-
вектор ? прикреплен (или, как еще говорят, в которой вектор ? касается многообра-
многообразия). Тогда
dt l/=o
Вектор скорости имеет физический смысл и поэтому, как объект, не зависит от
выбора системы координат. Однако в разных системах координат запись вектора
различна. Действительно, введем новые координаты
и зададим кривую x(t) в терминах новых координат:
По теореме о дифференцировании сложной функции вектор скорости при / = О
равен
| (_1 Щ\
dt Lo~W dt ""' dxf dt Л/=о'
Здесь частные производные —т взяты в точке х = х@) и по повторяющему-
дх'
ся верхнему и нижнему индексу / подразумевается суммирование. Окончательно
8*

228 Глава 7. Тензорная алгебра
заключаем, что в координатах (г) касательный вектор к кривой x(t) записывается
в виде
Р = — Р
Мы уже встречались с таким эффектом в более простой ситуации. Пусть Rn —
декартово пространство, в котором выбраны два различных базиса векторов
?i,..., ея и ё|,..., ёя, связанные по формуле
е, = affii.
Тогда один и тот же вектор ? записывается по-разному в этих базисах:
При этом t*ei - V(Oyei) = (V - afflei = 0, что влечет формулу, которая связывает
две различные записи:
При этом из-за линейности замены координат элементы матрицы aj = —} по-
постоянны (не зависят от точки х). х
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 7.1. Векторы скорости ? = х и\ — z движущейся точки в раз-
различных системах координат {х\ ..., хп) и (z1,..., z") связаны соотноше-
соотношением
В дальнейшем мы всюду будем подразумевать суммирование по повторяю-
повторяющемуся верхнему и нижнему индексу, если не оговорено противное.
В задачах механики и физики состояние какой-то системы описывается точ-
точкой «-мерного пространства, задающего возможные конфигурации системы. Та-
Такое пространство называется конфигурационным. Если точка x(t) движется
(система изменяется во времени), то ее состояния описываются набором из 2/г ве-
величин — координат (х\ ..., хп) и компонент вектора скорости — = (i1, ..., хп).
Эти наборы (x(t), x(t)) задаются точками 2я-мерного фазового пространства.
В приложениях бывает полезно использовать различные координаты. Напри-
Например, мы уже знакомы с цилиндрическими и сферическими координатами в R3,
которые связаны с аффинными координатами нелинейными преобразованиями
вида
z^zV,...,*"), i=l,...,л.
Более того, если конфигурационное пространство имеет сложную геометрию (на-
(например, является двумерной сферой), то на всем пространстве нельзя ввести еди-
единую систему координат и поэтому приходится покрывать его картами, в каждой из
которых введены координаты и на пересечениях которых заданы формулы пере-
перехода от одних координат к другим. При этом векторы скорости z и х в различных
координатах связаны формулой G.1).

§7.1. Тензоры ранга 1 и 2 229
Величины, которые не меняются при заменах координат, называются ска-
скалярами. Их примерами являются числовые функции /(я1, ..., хп). Теорема 7.1
показывает, что для описания физически интересных систем понятия числовой
функции недостаточно. Необходимо введение новых величин, которые называ-
называются тензорами.
Если запись величины (?', ..., ?Л) меняется при замене координат по фор-
формуле G.1), то эта величина называется вектором. Вектор является простейшим
примером тензора. Приведем другие естественные примеры тензоров.
Выражение
Wf "" дхп
задает градиент функции.
Теорема 7.2. Значение градиента функции зависит от выбора коор-
координат При замене координат величины
C-lCb-.-.W-^,,..., дхп) и t-tti, ...,W-^2|.-... д2п)
связаны соотношением
Ь = %1, G.2)
Доказательство. По теореме о дифференцировании сложной функции
f(x) = f(z(x)) имеем
dl^dldx^
dzl дх' dzr
Теорема доказана.
Заметим, что формулы G.1) и G.2) различны и поэтому градиент функции
не является вектором. Он является примером другого вида тензоров; величина
Eь - - • t 5n), которая при переходе к другой системе координат преобразуется по
формуле G.2), называется ковектором.
Напомним, что матрицей Якоби / отображения (замены координат) (х) —> (г)
называется матрица
Транспонированная к ней матрица JT имеет вид /т = Fj), где а) = &•. Форму-
Формулы G.1) и G.2) принимают вид
I = Д (вектор скорости), ? = У7! (градиент).
Замены координат обратимы, и поэтому мы можем переписать формулу для гра-
градиентов в виде
i = (jTr%
Мы приходим к важному выводу: векторы и ковекторы преобразуются оди-
одинаково, если У= (JT)~l. Это условие означает, что JJT = 1, т. е. матрица Якоби
задает ортогональное преобразование. Поэтому в случае ортонормированных ко-
координат в евклидовом пространстве мы иногда говорим о градиенте как о векторе

230 Глава 7. Тензорная алгебра
и не различаем верхние и нижние индексы: векторы и ковекторы преобразуются
одинаково при переходе к другим ортонормированным координатам.
Лемма 7.1. Пусть (z) -»(х) — замена координат, обратная к замене
(х) -> (г). Тогда
дх? dz! j./ A «V
Доказательство. Применим теорему о дифференцировании сложной
функции к тождественному отображению лс = x(z(x)). Левая и правая части со-
дх'
отношения G.3) равны —у. Лемма доказана.
Из этой леммы вытекает следующая важная теорема.
Теорема 7.3. Ковекторы являются линейными функциями на векторах:
если г) = (г)ь ..., г)„) — ковектор в точке ху то на пространстве V векто-
векторов в этой точке он задает линейную функцию г\: V —> К по формуле
Доказательство. Линейность этой функции очевидна. Остается дока-
доказать, что ее значение не зависит от выбора координат. При переходе к новым ко-
координатам z = z(x) согласно формулам G.1) и G.2) имеем %* = —j %} и fj/ = -rj г)^,
откуда следует, что
Теорема доказана.
Если ковектор r\ = grad / является градиентом функции Д то задаваемая им
линейная функция
хорошо известна в математическом анализе и называется производной функции /
в направлении вектора ?.
При записи скаляров индексы не используются, и поэтому говорят, что ска-
скаляры являются тензорами ранга 0. При записях векторов и ковекторов исполь-
используется один индекс (верхний или нижний), и эти тензоры имеют ранг 1. Говорят,
что вектор имеет тип A,0) (один верхний индекс), а ковектор — тип @, 1) (один
нижний индекс).
2. Тензоры ранга 2. Пример тензора ранга 2 дает риманова метрика gij(x).
Теорема 7.4. При заменах координат z = z(x) риманова метрика
gii dxf dxj = gM dzk dz1 преобразуется по формуле
~ дх? дх1 /7ylv
ёы = ё1Ч?15- G-4)

§7.1. Тензоры ранга 1 и 2 23Л
Доказательство. Риманова метрика каждой паре векторов ? и г), ка-
касательных в точке ху сопоставляет их скалярное произведение
Так как длина кривой x(t), a^t О, равна / J{x, x) dt и не зависит от выбора
J а
координат, и значение скалярного произведения (?, г\) не зависит от выбора коор-
координат. При замене координат мы имеем ?' = ~^г %к и rf = —, ff. Отсюда следует,
что . дг дг
ri / № rkdx' ~t ( дх1 д
Так как векторы 5 и т) произвольны, из последнего равенства вытекает форму-
формула G.4). Теорема доказана.
Ковекторы образуют линейное пространство относительно обычного покоор-
покоординатного сложения:
Для ковекторов можно также определить скалярное произведение по формуле
E. *)> = ?%*)/•
Пример кососимметрического скалярного произведения дает пуассонова
структура. В этом случае g' = {У, х'}> где {•, •} — скобка Пуассона в области.
Согласно определению этой скобки
gi = fr zi} = ЦЦ {**, х1} = ЦЦ^.
Мы получаем формулу преобразования символов g*y, задающих пуассонову
структуру:
я* = &i ^ ^ G.5)
* * дх1 дх' V ;
(заметим, что эта формула отличается от формулы преобразования римановой
метрики).
Линейные операторы, действующие на векторах, задаются матрицей из эле-
элементов с одним нижним и одним верхним индексом:
5' = a^rfy ); = Аг\.
При заменах координат t! = —г ?\ ff = —7 r\l равенство %' = afjff имеет вид
дх дх
"' "i=a'f— ')
дхт
Умножая обе части на —г и суммируя по /, с учетом леммы 7.1 получаем
дг

232 Глава 7. Тензорная алгебра
Отсюда получаем следующий результат.
Теорема 7.5. При заменах координат элементы матрицы А = (aj) ли-
линейного оператора преобразуются по правилу
й- = Г г Щ. G.6)
Формулы G.4)—G.6) задают правила преобразования всех тензоров ранга 2,
хотя были выведены нами не в общих ситуациях (например, тензоры, задающие
риманову метрику, всегда симметричны: gVl = gJh а тензоры, задающие пуассоно-
вы структуры, всегда кососимметричны: g*7 = — g1*).
3. Преобразования тензоров ранга не выше 2. Приведем сводку полу-
полученных правил преобразования Т —> f тензоров ранга не выше 2 при заменах
координат
(jc1, ..., хп) —>(z\ ..., 2я), z' = z/(jci, ..., хп)у /= 1, ..., п.
1. Тензоры ранга 0 (скаляры) не изменяются:
2. Тензоры ранга 1:
2а) векторы — тип A,0) (например, векторы скорости):
26) ковекторы — тип @, 1) (например, градиенты функций):
3. Тензоры ранга 2:
За) тензоры типа @, 2) (например, римановы метрики):
f dxk дх1 т
36) тензоры типа B, 0) (например, пуассоновы структуры):
~ dxk дх1 f
Зв) линейные операторы на векторах (тип A, 1)):
ft д* дх1 Tk
§ 7.2. Тензоры произвольного ранга
1. Преобразование компонент. Указанные выше правила преобразования
тензоров малого ранга при заменах координат приводят нас к общему определе-
определению тензора.

§7.2. Тензоры произвольного ранга 233
Тензором (тензорным полем) называется объект, задаваемый в каждой си-
системе координат (х\ ..., хп) набором чисел 7^";?, которые при замене координат
(jc) -> (z): х? = xl(z\ ..., z«), 7i = 4(х\ ..., х*),\ /"= 1 яэ г(х(г)) = г, пре-
преобразуются по следующему правилу:
fit...!,
где fjj;;;)? — числовая запись тензора в координатах (z) и 7^'У/,*' — числовая за-
запись тензора в координатах (х). Про тензор Тер верхними и q нижними индек-
индексами говорят, что он имеет тип (р, q) и ранг р + q.
Напомним, что в формуле G.7) верхние и нижние индексы меняются от 1
до пу где п — размерность пространства, и по повторяющимся верхним и нижним
индексам подразумевается суммирование.
Из формулы G.7) выводится формула для обратного преобразования. Для
. /77Ч дхг* дхг" (te" dzl'
этого умножим левые и правые части формулы G.7) на —jj- ... —j- -r-jj-... -т-3-
и просуммируем по повторяющимся индексам /f, ..., ipj /1, ..., jq. С учетом лем-
леммы 7.1, утверждающей, что —j —j = S^, получим
ft{...ip
7
дхг* дхГр dzlx dzlq dztl dztp dxlx dxlq ^...kp ___
dx"' dz><"' dz!< '••"
Окончательно получаем следующую формулу обращения преобразования G.7):
Эта формула задает преобразования тензоров при обратном преобразовании
координат (z) —> (х) и получается из G.7) перестановкой (х) <-> (г). Проведенное
вычисление можно считать проверкой независимости формул перехода от выбора
координат (х) и (г).
Теорема 7.6. В любой точке п-мерноео пространства тензоры типа
(р, q) образуют линейное пространство относительно операций сложе-
сложения
умножения на скаляры
Размерность этого пространства равна np+q.
Доказательство. То обстоятельство, что тензоры образуют линейное
пространство, следует из формулы G.7). Согласно этой формуле выражения
Т 4- S и \Т тоже преобразуются как тензоры.

234 Глава 7. Тензорная алгебра
Пусть V = Rn — пространство векторов в данной точке и в\, ..., еп — его ба-
базис. Ковекторы образуют двойственное векторное пространство V*, в котором
двойственный базис е], ..., е" задается формулами
**(*/) = &}. /,/= 1, .... п.
Действительно, ковекторы являются линейными функциями на векторах (тео-
(теорема 7.3), и значение любой линейной функции ? на векторе r\ = yfei равно
'). Разложение функции ? по двойственному базису имеет вид
Обозначим через
eh 0... 0 eip 0 & 0... 0 е\ G.8)
где 1 ^ /|, ..., /р, /|, ..., jq < /г, тензор S типа (р, #), У которого все компонен-
компоненты равны нулю, кроме компоненты Sj|"[)J = 1. Такие тензоры образуют базис
в пространстве тензоров типа (р, q) в данной точке: любой тензор Т однозначно
представляется в виде линейной комбинации
Т = fj\\\Afqeh 0... 0 eip 0 е!х 0... 0 А
Операции сложения и умножения на скаляр покоординатны в этой записи.
Порядок индексов /ь ..., ip и /|, ..., jq в формуле G.8) является существен-
существенным: при их перестановке мы получаем другой базисный тензор. Поэтому этот
базис содержит пр+ч элементов.
Теорема доказана.
Отметим, что операция сложения определена только для тензоров, «прикреп-
«прикрепленных» к одной и той же точке.
2. Алгебраические операции над тензорами. Определим основные алге-
алгебраические операции над тензорами.
Для того чтобы ввести операцию перестановки индексов, напомним определе-
определение группы перестановок Sn (она также называется симметрической группой).
Возьмем натуральные числа от 1 до п и переставим их некоторым образом.
Такая перестановка задается взаимно однозначным отображением а: X —> X мно-
множества X = {1,..., я}, состоящего из чисел 1,..., /г, на себя:
/ 1 ... п \
°-\о{1) ... о(п))'
Симметрическая группа Sn состоит из всех таких перестановок с операцией ком-
композиции. Единицей группы является тождественная перестановка: o(k) = k, k =
= 1,..., п.
Каждая перестановка а является композицией транспозиций, переставляю-
переставляющих только два элемента:
(\ ... k ... / ... п\
\\ ... / ... k ... п)'

§ 7.2. Тензоры произвольного ранга 235
Перестановка а называется четной, sgn(cr) = 1, если она представима в виде
композиции четного числа транспозиций. В противном случае перестановка на-
называется нечетной, sgn(a) = — 1.
Пусть Аа: Rn —>ЕЯ —линейное отображение, определенное формулой Аа(е^) =
= ?о(/ь / = 1, ..., п. В базисе в\, ..., еп оно задается одноименной матрицей Ла,
и det Ao = sgn(a). Из такого представления следует, что
1) группа перестановок является подгруппой группы О(п) С GL(az); отобра-
отображение
о->Аа G.9)
задает вложение Sn в О(я);
2) отображение
sgn:S,,->{±l}
является гомоморфизмом, и его ядро является группой четных перестановок
Ап С Sn;
3) группа четных перестановок вкладывается в SO(n) при отображении G.9).
Определим теперь для каждой перестановки а вида o(k) = iky k = 1, ..., /г,
символ
{1, если перестановка а четна,
-1, если перестановка а нечетна.
Для п = 3 мы уже определили этот символ в формуле F.20).
Перейдем теперь непосредственно к определению алгебраических операций
над тензорами.
1. Перестановка индексов.
Пусть Т =TijlZ%—тензор типа (/?, q)uoeSq — перестановка чисел A, ...,?)•
Определим тензор а(Т) формулой
Этот тензор получен из Г в результате перестановки нижних индексов, заданной
перестановкой а. Аналогично определяется перестановка верхних индексов. Из
формулы G.7) легко выводится, что операция перестановки верхнего и нижнего
индексов не инвариантна относительно замены координат.
2. Свертка (след).
По любой паре, состоящей из верхнего и нижнего индексов, можно провести
свертку тензора. Результат этой операции называется следом. Он определя-
определяется следующим образом.
Пусть 7^';^—тензор типа (р, q) и (/*,//) — пара индексов. Тензор 5 типа
(р - 1, q - 1) определяется формулой
/|'"/<7-1 i\---h-\4h"iq-\
и называется следом тензора Т. Напомним, что здесь подразумевается суммиро-
суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу /.

236 Глава 7. Тензорная алгебра
В простейшем случае, когда Т — тензор, задающий линейный оператор, мы
уже встречались с этой операцией, которая сопоставляет матрице 7] ее след
3. Тензорное умножение (произведение).
Пусть Т и S—тензоры типов (р, q) и (&, /). Тензорным произведением тен-
тензоров Т и 5 называется тензор R = Т <g> S типа (р + k, q + /), задаваемый фор-
формулой
1**Лр
Теорема 7.7. 1. В результате операций перестановки индексов, взятия
следа и тензорного умножения получаются снова тензоры.
2. Операция перестановки индексов линейна:
а(Т + S) = о(Г) + а(Г), а(ХГ) = Ха(Г).
3. Тензорное умножение линейно и ассоциативно, но некоммутативно:
(Ti + Т2) ® S = Г, ® S + Т2 ® S, (ХГ) ® S =
Доказательство. Утверждения 2 и 3 немедленно следуют из опреде-
определений. В подробном доказательстве нуждается только утверждение 1.
Через Т и S мы будем обозначать записи тензоров в координатах (*), а через
Т и S — записи тех же тензоров в координатах (г).
а) Так как каждая перестановка есть произведение транспозиций, достаточно
доказать, что в результате перестановки только одной пары индексов мы получим
тензор. Пусть
Л ... г ... , ... q\
\\ ... 5 ... г ... q)
Тогда тензор S = o(T) имеет вид
При переходе к системе координат (г1,..., 2я) получим
Так как по индексам 1Г и /s производится суммирование, при их перестановке
1Г «-> /s значение правой части формулы G.10) не изменится, а сама она примет
вид
dxh "' дх'5 ' " dxJr '''
^^...kpdx^ дх1? dzl* dz1' dzis dz1'
~~ 'i-Л ^\ •" dzh axh • •' ?к''г Ф'' аУ1 ''' dxf*'
Значит, а(Т) = S — тензор типа (р, q).

§ 7.2. Тензоры произвольного ранга 237
б) Пусть тензор S получен из Т сверткой по индексам ir и js:
dz^
dxh "'
dzkr *'' dzkp dxh ''' dxis *'' dxlq
Здесь выражения вида а означают, что выражение а в записи пропущено. Мы
дх1 dzls i
также использовали равенство —г -—г = К • Таким образом, мы доказали, что
dzkr дх1 '
свертка тензора Т по индексам /, и /в — тоже тензор.
в) Очевидно, что тензорное произведение тензоров — тензор.
Теорема доказана.
Выше мы ввели базис G.8) вида ei{ 0... 0 eip 0 eh 0 ... 0 е'* в пространстве
тензоров типа (р, q) в заданной точке. Все такие базисные тензоры получаются
как тензорные произведения векторов и ковекторов. Поэтому говорят, что про-
пространство тензоров (в точке х) типа (/?, q) является тензорным произведением
линейных пространств и имеет вид
Vм =
где V — пространство векторов (в точке х) и V* —двойственное ему простран-
пространство ковекторов. Такая запись означает, что пространство линейно порождено
тензорными произведениями базисных тензоров сомножителей. Напомним, что
dim Vм = np+q, где п = dim V.
Перестановки верхних или нижних индексов у базисных тензоров линейно
продолжаются на все пространство тензоров. Это задает гомоморфизмы групп
перестановок в GL(np+q):
Sp -> GL(np+«), Sg -> GL(n'+«).
3. Дифференциальная форма записи тензоров. Преобразование G.7) тен-
тензорного поля при замене координат можно рассматривать как замену базиса
в пространстве тензоров. Заметим, что по этому правилу изменяются два других
выражения, известных в математическом анализе: операторы частного дифферен-
дифференцирования по одной из переменных х\ ..., хп и дифференциалы dx\ ..., dxn.
Действительно, согласно теореме о производной сложной функции для любой
гладкой функции / мы имеем
df _ дх1 df
dzk" dzk дхп

238 Плава 7. Тензорная алгебра
и поэтому
д _ дх1 д
dzk dzk д^
Мы заключаем, что оператор частной производной по *'* ведет себя при заменах
координат как базисный вектор et в касательном пространстве. Поэтому можно
отождествить их и записывать векторные поля в виде
- Pi JL
Дифференциалы dxf преобразуются по правилу
т. е. как базисный ковектор ё. Поэтому ковекторные поля разлагаются по базису
е1 = dx\ ..., еп = dx" следующим образом:
г\(х) = r\i(x) dxl.
Простейшим примером ковектора является grad/—градиент функции /. Мы
знаем, что ковекторы являются линейными функциями на векторных простран-
пространствах, действующими по правилу
Пусть г) = grad / и $ — векторное поле. Тогда
grad /(9 = !??
в каждой точке х есть производная функции / в этой точке в направлении век-
вектора Ъ{х).
Другим примером дифференциальной записи тензоров является запись рима-
новой метрики в виде Цц dxl dxf. Это — не что иное, как разложение метрического
тензора типа @, 2) по базису ё ® ё = dxl 0 dxf.
4. Инвариантные тензоры. Замена координат порождает по формуле G.7)
преобразование записи тензора в новых координатах. Говорят, что тензор являет-
является инвариантным, если он записывается одинаково во всех системах координат.
Это означает, что
для любой замены координат (х) —> (г).
Пусть в векторном пространстве V задано скалярное произведение (?, т))
и G — матричная группа, образованная линейными преобразованиями, сохраняю-
сохраняющими это скалярное произведение. Например, это может быть О(п) или О(р, q).
В этом случае можно ослабить требование инвариантности: тензор называется
инвариантным относительно преобразований из G, если его компоненты не ме-
меняются при заменах координат, матрицы Якоби которых лежат в G. В этой тер-
терминологии тензор называется инвариантным, если он инвариантен относительно
преобразований из группы G = GL(n).

§ 7.2. Тензоры произвольного ранга 239
Если тензор инвариантен относительно ортогональных преобразований про-
пространства К, то он называется изотропным.
Теорема 7.8. 1. Не существует ненулевых изотропных тензоров ран-
ранга 1.
2. Среди тензоров типа (О, 2) только тензоры вида Х5/у- являются изо-
изотропными.
3. Не существует ненулевых изотропных тензоров ранга 3.
4. Изотропные тензоры типа (О, 4) образуют трехпараметрическое
семейство
Доказательство. Утверждение 1 очевидно, так как состоит в том, что
не существует векторов и ковекторов, которые не изменяются при вращениях.
Докажем утверждение 2. Пусть тензор Тц изотропен. При преобразовании
? = -*'", г1 = х), ьфи изменяется компонента Ttj\ fi} = -Tih Следовательно, изо-
изотропный тензор должен иметь вид $^ХД/. При замене 2* = х1, z1 = х?% zk = xk, где
k ф /, /', мы имеем fu = Tjh fn = Тн. Следовательно, все постоянные X/ совпадают,
и мы получаем, что изотропный тензор должен иметь вид TVi = XS/,.
—г] ортого-
ортогональна тогда и только тогда, когда Л = Лт, а это условие записывается в виде
. dxk дх*
Следовательно, тензор 8/, изотропен. Утверждение 2 доказано.
Доказательства утверждений 3 и 4 аналогичны доказательствам утвержде-
утверждений 1 и 2, только являются более громоздкими. Теорема доказана.
Лемма 7.2. Если тензор Т инвариантен, то его тип имеет вид (р, р) и,
в частности, тензор имеет четный ранг.
Доказательство. При растяжении z = \х тензор Т типа (р, q) пре-
преобразуется в V~qT. Поэтому если он инвариантен, то р = q. Лемма доказана.
Инвариантные тензоры малой размерности описываются следующим анало-
аналогом теоремы 7.8.
Теорема 7.9. 1. Инвариантные тензоры ранга 2 имеют вид Tj = X8j.
2. Инвариантные тензоры ранга 4 образуют двупараметрическое се-
семейство
5. Пример из механики: тензоры деформации и напряжения. Пусть нам
дана область евклидова пространства, заполненная какой-то сплошной средой:
твердым телом или жидкостью. Рассмотрим ситуацию, когда под воздействием
внешних сил происходит деформация сплошной среды, которая первоначально
находилась в состоянии равновесия. Математически эта деформация описы-
описывается вектором смещения и1 = хп — х1, который задает смещение точки

240
Глава 7. Тензорная алгебра
Рис. 7.2. Деформация сплошной среды
с начальными координатами (х\ х2, л^) в точку в координатами (л:'1, л:'2, а:'3). Ко-
Координаты хп являются функциями от координат х'. Следовательно, вектор смеще-
смещения также является функцией от начальных координат точки: и1 = ul(x\ х2у х3)>
/=1,2,3.
Деформация нетривиальна, если расстояния между точками изменяются, что
приводит к возникновению сил, стремящихся вернуть среду в первоначальное
состояние равновесия. Так как в новых координатах хп расстояние между точками
продеформированного тела тоже измеряется с помощью евклидовой метрики
ds'2 = (dx'{J + (dx12J
мы имеем
ds12 = (dx1 + du{J + (dx2 + du2J + (dx3 + du3J =
Это выражение записано в евклидовых координатах, и мы, как это принято в фи-
физике и механике (и будет обосновано нами позднее), не будем различать нижних
и верхних индексов. При этом формула для ds12 переписывается в виде
ds* = (dx'J + (dx2J + (dx3J + @ + |J) d* dxk + ^^k dx>dxk
(здесь по повторяющимся верхним и нижним индексам /, k, I подразумевается
суммирование). Тензор
_ 1 / дщ дик дщ ди1
называется тензором деформации.
В линейном приближении, которое отвечает малым деформациям, этот тензор
принимает вид
и - Х (dUi J_ dUk\
Если среда не находится в состоянии равновесия, то в ней возникают силы,
которые стремятся привести ее в это состояние. Из физических соображений вы-
вытекает, что эти силы действуют на заданный объем через его граничную поверх-

§ 7.3. Внешние формы 241
ность, и сила давления, которая действует на малую площадку dS, ортогональную
вектору я, имеет вид Р(п) dSy где Р = (Pik) —линейный оператор:
(напомним, что мы все величины пишем с нижними индексами, так как фик-
фиксирована одна евклидова система координат). Тензор Pik называется тензором
напряжения.
В случае, если среда удовлетворяет закону Паскаля, согласно которому да-
давление в среде по всем направлениям одинаково и зависит только от точки, тензор
напряжения диагоналей:
Я;* = /?&/*,
где р—давление в точке среды.
Согласно закону Гука при малой деформации сплошной среды напряжение
линейно зависит от деформации. Это выражается в следующей формуле для тен-
тензора напряжения:
Pik =
Тензор Т имеет 81 компоненту, но для изотропных сред его запись во всех орто-
нормированных координатах должна быть одной и той же. Гипотеза изотропности
выполняется в жидкостях, но не всегда в случае твердого тела. В предположе-
предположении изотропности мы можем применить теорему 7.8 для описания тензора Т. Мы
получим
где Trw = J2uu- Так как щк = икь то, объединяя первые два слагаемых, мы по-
лучаем следующую форму закона Гука:
Pik = 2[iUik + Xbik Tr w.
Величины ХиA, которые входят в закон Гука, называются коэффициентами
Ламе.
Мы можем сделать следующий вывод: в изотропной среде линейная связь
между двумя симметрическими тензорами ранга два задается тензором ранга 4,
который в каждой точке определяется двумя постоянными (в случае закона
Гука — коэффициентами Ламе).
§ 7.3. Внешние формы
1. Симметризация и альтернирование. С операцией перестановки индек-
индексов связаны операции симметризации и альтернирования.
Пусть V* 0 V* — пространство тензоров типа @, 2). Эти тензоры являются
билинейными функциями на V:
Щ, У)) = 7V?r/.

242 Глава 7. Тензорная алгебра
На пространстве таких тензоров действует группа перестановок S2, состоящая
из двух элементов: тождественная перестановка сохраняет все тензоры, а пере-
(\ 2\
становка а = ( ^ .1 переводит тензор Тч в тензор аG1)<7 = 7},. Пространство
V* ® V* распадается при этом в прямую сумму
V* 0 V* = Wsym е W'\
так что каждая перестановка a eS2 действует на этих подпространствах умно-
умножением на следующие постоянные:
о\ rsym = 1, а\ Гаи = sgn a.
Действительно, каждый тензор представляется в виде
тп = ±(Тц + т,) + ±(т„-т,),
тензор
получается из Тц в результате симметризации, а тензор
— в результате альтернирования. Осталось заметить, что тензор Рут симме-
симметричен: сохраняется при перестановках индексов (т.е. Рут € №sym), а тензор Р11
задается кососимметрической матрицей: 7^ = — 7JH, Р11 € fl^alt.
Пусть е\ ..., ея — базис в К*, тогда базис в V* ® К* составляют всевоз-
всевозможные произведения е' 0 е7, /, / = 1, ..., п. Применяя к этому базису операции
симметризации и альтернирования, получаем, что базис в пространстве симме-
симметрических тензоров типа @, 2) имеет вид
ё <8)е'Ч е? ® ё\ /</•
а базис в пространстве кососимметрических тензоров имеет вид
е1 Л ё = е1 %ё — ё Ъ ё> i < j.
Действительно, разложение симметрического тензора ТГ1 дается формулой
а кососимметрический тензор 7^у раскладывается следующим образом:
В дифференциальной форме эти базисы записываются так:

§7.3. Внешние формы 243
2. Кососимметрические тензоры типа @, к). На случай произвольных
тензоров типа @, к) определение кососимметричности обобщается следующим
образом: тензор 7*/,...^ называется кососимметрическим, если для любой пере-
перестановки а Е S* выполняется равенство
Это означает, что тензор меняет знак при нечетных перестановках и сохраняет-
сохраняется при четных перестановках. Из такой интерпретации определения немедленно
следует, что оно не зависит от выбора координат.
Теорема 7.10. 1. Если ранг кососимметрического тензора Tilt,jk больше
размерности векторного пространства V, те. k> dim V, то тензор Т
тождественно равен нулю.
2. Если п — размерность пространства, то существует только один
(с точностью до пропорциональности) кососимметрический тензор ти-
типа @, п).
Доказательство. Если у компоненты кососимметрического тензора
7/,.-'* хотя бы два индекса совпадают: ip = iqt p ф qy то эта компонента равна
нулю. Чтобы доказать это, возьмем транспозицию а, переставляющую числа р
и q. Мы знаем, что sgn(a) = -1, следовательно, Th...ip_iq.,Jn = -Т1х..Лщ.яЛр..Лл = 0.
Если ранг тензора Т больше размерности пространства, то всегда хотя бы два
индекса совпадают, и поэтому этот тензор равен нулю. Если ранг тензора Т равен
размерности пространства, то все индексы различны только у его компонент вида
Т„{\)..Мп). Однако
Т\...п =
и поэтому тензор полностью определяется значением компоненты 7У..Я. Теорема
доказана.
Введем в /г-мерном пространстве тензор ?/,.../„ по формуле
(\ ... п\
Он кососимметричен и задает базис в пространстве кососимметрических тензоров
максимального ранга: любой такой тензор Т имеет вид
В случае п = 3 мы уже вводили этот тензор.
Теорема 7.11. Пусть Т — кососимметрический тензор ранга п в п-мер-
ном пространстве с координатами х\ ..., хп, и пусть задана замена ко-
координат z1 = 2*(х\ ..., хп), i = 1, ..., п. Тогда в новой системе координат
тензор Т записывается как f, где
и J= Г-гт) —матрица Якоби замены координат.

244 Глава 7. Тензорная алгебра
Доказательство. По формуле преобразования тензоров G.7) мы имеем
..^ ...-m) = TL..n del/.
Теорема доказана.
Базис в пространстве кососимметрических тензоров типа @, k) задается эле-
элементами
ёх Л... Л ёк = dxil Л ... Л dx?ky /,<...< ik$
где
d& Л ... Л dxik = 53 sgn(a
Очевидно, что каждое выражение rfjc'1 Л... Л rfjc'* кососимметрично относительно
перестановок индексов:
rfjco(/j) Л ... Л dxo{ik) = sgn(a) djc1' Л ... Л dxl*
и кососимметрические тензоры раскладываются по этому базису следующим об-
образом:
Выражения
I, <...<!>
называются также внешними формами или дифференциальными формами.
При этом ранг кососимметрического тензора называется степенью дифферен-
дифференциальной формы: dego) = /?.
Существуют также выражения, которые ведут себя как кососимметрические
тензоры только при заменах координат с положительным якобианом: det7 > 0.
Укажем важный пример.
Пусть в пространстве задана риманова метрика gi} dxl dx*. Рассмотрим выра-
выражение
y/gdxx Л.-.
где g = det(gij). Оно называется элементом объема, заданным метрикой
gqdxfdxf.
Теорема 7.12. Элемент объема yfgdxx Л... Л dxn меняется как тензор
при таких заменах координат, для которых det/ = detГ—-jJ > 0, пи е. при
заменах координат с положительным якобианом. х
Доказательство. При переходе к новым координатам (z) метрика при-
принимает вид gij dt dzl, где

§ 7.3. Внешние формы 245
На языке матриц это означает, что матрица G = (gki) имеет вид
где А =У""! = (—т) и Ат —транспонированная матрица к А. Отсюда следует,
что det G = det G (det ЛJ, что влечет равенство
Теорема доказана.
3. Внешняя алгебра. Симметрическая алгебра. Легко заметить, что тен-
тензорное произведение кососимметрических тензоров не является кососимметриче-
ским. Для кососимметрических тензоров существует другая операция умножения,
приводящая к кососимметрическому тензору.
Пусть /?/,...!> и Sy,...^ — кососимметрические тензоры. Им отвечают дифферен-
дифференциальные формы
Rix...i,dx** A...Adx1^ 0J=
Определим их внешнее произведение как форму
со, Л (о2 = J2 ^-ьр+я dxkx Л • • • л
где тензор Т равен
Выше мы уже фактически определили внешнее произведение базисных форм dx\
когда задавали формы вида dxh Л ... Л dxik.
Теорема 7.13. Внешнее произведение дифференциальных форм ассоци-
ассоциативно:
((Ol Л С02) Л 6>з = 0>i Л (б>2 Л 6>з),
билинейно по обоим аргументам и косокоммутативно:
G.12)
где р = degG>i, q = degaJ.
Доказательство. Билинейность и ассоциативность очевидным образом
следуют из формулы G.11). Для того чтобы доказать косокоммутативность G.12),
достаточно заметить, что знак перестановки
( I ... q q+l ... p + q\
Vp+1 ... p + q 1 ... P )
равен (— \)рч. Теорема доказана.

246 Глава 7. Тензорная алгебра
Следствие 7.1. 1. Кососимметрические тензоры в области (/сКя или
на регулярной поверхности М образуют градуированно-коммутативную
алгебру относительно операции внешнего произведения.
2. Пусть V — касательное пространство в точке. Тогда внешнее про-
произведение задает в пространстве форм в этой точке структуру внешней
алгебры (или алгебры Грассмана, или полной внешней степени простран-
пространства V*).
Так как каждое векторное пространство L можно представить как простран-
пространство ковекторов в точке, на нем формально вводится внешнее произведение. Ал-
Алгебра, порожденная векторами из пространства L (например, L = V*) относи-
относительно внешнего произведения, обозначается через KL. Она градуирована сте-
степенями форм:
k=0
где /\kL — подпространство, состоящее из всех форм степени k.
Пусть L — алгебра Ли. Введем на ее внешней степени KL билинейную опе-
операцию { , } по следующему правилу:
1) если у, до € L, то {и, до} = [v, до] (эта операция совпадает с коммутатором
в алгебре Ли);
2) если aeUve A*L, до€ AmL, то
{а Л и, до} = а Л {vy до} + (-l)kv А {а, до},
{у, до Л a} = {у, до}Ла + (-1)т{и, а} Л до.
Этими условиями операция определяется однозначно и на однородных век-
векторах из A*L задается следующей формулой:
{v\ А ... Л vk, ДО| Л... Л дот} =
] V\... Л Vi А ... Л vk А До| Л ... Л щ А ... Л дот,
где крышечка, как обычно, означает, что знак в записи пропущен.
Мы видим, что
{у, w}eAk+m-lL при veAkL, we/\mL
Разложим алгебру KL в прямую сумму Ц ф Ц% где Ц есть линейная оболоч-
оболочка векторов из A2 L, а Lx —линейная оболочка векторов из A2/fL, k = 0, 1, ...
Положим dega = а при и Е La. Мы оставляем в качестве упражнения доказатель-
доказательство того, что полученная операция задает на KL структуру супералгебры Ли:
{U, V} € ?(a+p) mod 2»
(-1ГЧК, К и>}} + (-l)pfl>, {», и}} + (-l)«{w9 {и, v}} = 0,
где degw = a, degu = p, degie; = y.

§7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 247
Для поливекторных полей (кососимметрических тензоров с верхними индек-
индексами, см. п. 1 §7.5) эта операция называется скобкой Схоутена; для векторных
полей она переходит в обычный коммутатор.
§ 7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением
1. Поднятие и опускание индексов. Пусть g^ — тензор типа @, 2), задаю-
задающий невырожденное скалярное произведение векторов:
Если тензор g^ симметричен, то он задает риманову или псевдориманову метрику.
Если же он кососимметричен, то он задает симплектическое произведение. Из
невырожденности произведения следует, что определитель матрицы (gij) не равен
нулю: det(gij) ф 0. Следовательно, существует обратный тензор g*' типа B, 0),
определяемый из условия
В»& = №>* = %.
Он задает скалярное произведение ковекторов:
При наличии скалярного произведения gi} можно определить операцию опус-
опускания индексов. Она сопоставляет каждому тензору 7^";? типа (р, q) тензор
^i/W? типа (Р — 1»^7 + 1) по следующему правилу:
Лемма 7.3. Результат операции G.13) снова будет тензором.
Доказательство. Эту операцию можно представить как композицию
двух операций, которые, как мы выше показали, переводят тензоры в тензоры.
А именно, сначала рассмотрим тензорное произведение S = g<8)T:
а потом свернем этот тензор по верхнему индексу / и нижнему индексу /'. В итоге
мы получим тензор Т. Лемма доказана.
Переход от тензора 7^\"? к тензору 7^'*;^ называется опусканием индек-
индекса /| с помощью скалярного произведения g^. Обычно рассматривают случай,
когда g^ — метрика, но в рамках гамильтонова формализма полезно использо-
использовать эту операцию в случае кососимметрических скалярных произведений.
Пример. Если ?' — вектор, то после опускания индекса получается ковек-
тор
Следовательно, опускание индекса задает линейное отображение векторного про-
пространства в пространство ковекторов. Оно сопоставляет вектору ? такой ковек-
тор ?, что для каждого вектора г) скалярное произведение (?, т\) равно значению

248 Глава 7. Тензорная алгебра
функционала Z на векторе rj:
Аналогично обратный тензор g1 задает операцию поднятия индекса по пра-
правилу
fiih—ip _ „i\kT*\-ip
Лемма 7.4. Если мы сначала опустим индекс, а потом поднимем, то
получим исходный тензор: Т = Т.
Доказательство. Утверждение следует из формулы
Лемма доказана.
На пространстве ковекторов матрица g1 задает скалярное произведение. Как
показывает следующая лемма, опускание индекса у векторов сохраняет скаляр-
скалярные произведения.
Лемма 7.5. Пусть ? = (?'*) и r\ = (rf) — векторы, Z = (?,) = (gifi) и у) =
= (fy) = (g/yr/) — ковекторы, полученные из<?иг\ опусканием индекса. Тогда
их скалярные произведения, заданные тензорами gi} и g1, удовлетворяют
соотношению
и, в частности, совпадают для симметричного скалярного произведения.
Доказательство. Распишем скалярное произведение ковекторов:
Лемма доказана.
Рассмотрим случай, когда gl7 — метрика в евклидовом пространстве. В ев-
евклидовых координатах она имеет вид gVl = 8/y. Поэтому при опускании (поднятии)
индексов компоненты любого тензора (по отношению к евклидовым координатам)
не меняются:
Следовательно, в евклидовых координатах нет различия между верхними и ниж-
нижними индексами. Поэтому обычно пишут все тензоры с нижними индексами. Эта
запись инвариантна относительно преобразований, сохраняющих евклидову ме-
метрику (ортогональных преобразований). Например, при таких преобразованиях
градиент ведет себя как вектор.
2. Собственные значения скалярных произведений. Пусть скалярное
произведение в векторном пространстве задано тензором ТГ1 и имеется также
метрика, заданная тензором gir Собственными значениями скалярного произ-
произведения Тц в метрике gi} называются решения уравнения

§7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 249
Такое определение собственных значений инвариантно относительно выбора ко-
координат.
Пример. Пусть Ьц — вторая квадратичная форма поверхности, a g-ц — пер-
первая квадратичная форма поверхности. Тогда главные кривизны i| и ^ — это
собственные значения второй квадратичной формы в метрике gfy.
При отсутствии метрики бессмысленно говорить о симметричности или косо-
кососимметричности линейных операторов (тензоров типа A, 1)). Если же метрика g/,
задана, то линейный оператор Tj в пространстве с этой метрикой называется сим-
симметрическим (или кососимметрическим), если билинейная форма
симметрична G^ = 7}() или кососимметрична, G}/ = — Ttj).
Из определения квадратичной формы TVl следует такое утверждение.
Лемма 7.6. Линейный оператор Г = (Tj) в пространстве с метрикой gy
(возможно, псевдоевклидовой) симметричен или кососимметричен, если
и только если для всех векторов ? иг\ выполняются тождества
G7;, г)) = (?, Тг\) (симметричность)
или
G^, г)) = -(?, 7V)) (кососимметричность).
Пусть выполняются равенства
т.е. ?— собственный вектор оператора Tj с собственным значением X. Тогда вер-
верны соотношения
TuZk = guTkk = -kgu?k, 1=1,..., л,
т. е. мы имеем
Gi* - Xft*M* = 0, /=1,...,я.
След
и определитель det Tj линейного оператора Tj = gkTk! инвариантны относительно
преобразований координат, сохраняющих метрику, но в общем случае зависят от
метрики.
Пример. Для регулярной поверхности в Е3 гауссова кривизна К и средняя
кривизна Н определяются по формулам
где gij и by — первая и вторая квадратичная формы поверхности. Из них следует,
что
К = (det(g//))-1 det(ft,,) = det(g%) =

250 Глава 7. Тензорная алгебра
Мы заключаем, что К и 2Я — определитель и след оператора Ь) — метрические
инварианты второй квадратичной формы.
3. Оператор двойственности Ходжа. В л-мерном пространстве с метрикой
определен оператор двойственности Ходжа, который кососимметрическому тен-
тензору Т типа @, k) сопоставляет кососимметрический тензор *Т типа @, п — к)
по формуле
где
Так как y/\g\%...in —тензор относительно замен координат с положительным яко-
якобианом (см. п. 2 §7.3), *7* также является тензором относительно таких замен
координат. Очевидно, что тензор *Т кососимметричен.
Заметим, что оператор двойственности линеен:
*(S + T) = *S + *T, *(/Г) = /*7\
где / — функция на многообразии.
Пример. Пусть gq — риманова (положительно определенная) метрика, ко-
которая в точке Хо имеет евклидов вид: gfy = &*/,, и базис касательных векторов
(—J-, ..., -^—дг) положительно ориентирован. Тогда в этой точке
*(f(x) dxx Л ... Л dxk) = f(x) dxk+] Л ... Л dx\
В частности, для трехмерного евклидова пространства с координатами х, у и z
мы имеем
*dx = dy Л dz, *dy = -dx Л dz, *dz = dxA dyy
и по линейности
*6> = Pdy Adz+QdzAdx + RdxAdy
для произвольной 1-формы (о = P dx + Q dy + Rdz. Также заметим, что
*(*g>) = со
и если / — скаляр (функция), то *f = fdxAdyAdz — форма ранга 3.
Верна следующая формула, доказательство которой мы оставляем в качестве
задачи:
G.14)

§7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 251
4. Фермионы и бозоны. Пространства симметрических и кососимме-
трических тензоров как фоковские пространства. Рассмотрим пространство
с метрикой gij = const, которую мы в этом пункте будем считать евклидовой, т. е.
симметричной и положительной. Для удобства мы считаем, что метрика задана
в ортонормированном базисе ei, ..., е„ € Шп, где g^ = (eiy ej) = &,/•
Согласно представлениям физики XX в., квантовым частицам сопоставляются
операторы. При этом частицы делятся на два типа: фермионы и бозоны. Мы
опишем здесь весьма простую алгебру, скрытую за этими понятиями, которая
чрезвычайно полезна в ряде случаев и в самой геометрии.
Введем ассоциативную алгебру, порожденную элементами
аь ..., ak, b\, ..., 6/,
at at, bt,...,bf
и соотношениями
ща-, + afii = 0, afaf + afaf = О,
f + afui = gn = bih
где [а, Ь] = ab — ba.
Наиболее фундаментальное представление (Дирака), где эта алгебра реали-
реализована как алгебра операторов, строится следующим образом. Введем так назы-
называемый вакуумный (или порождающий) вектор |0) = гH и потребуем выполнения
соотношений
Й/Т)о = 0, /=1,...,&, /=1,...,/.
Операторы а,- и Ь/ мы назовем операторами уничтожения частиц—фермио-
нов для а/ и бозонов для br Далее, мы считаем, что никаких соотношений больше
нет: все соотношения должны следовать из коммутационных соотношений в ал-
алгебре и свойств вакуумного вектора т)о = |0). Попросту говоря, это означает, что
все базисные векторы могут быть получены из вакуума г)о = |0) последователь-
последовательным применением операторов рождения фермионов af и бозонов bf\
Мы назовем пространство, порожденное действием алгебры операторов а,-,
а/", bn b+ на вектор yjo, фоковским пространством Fkj.
Введем скалярное произведение на фоковском пространстве исходя из сле-
следующих требований:
i)M = i;
2) векторы
(atF ...(at)"(bt) ...№)т'Ъ
(см. выше) образуют ортогональный базис в фоковском пространстве для всех
таких наборов (а, т), что ау- = 0, 1, т} = 0, 1, 2, 3, ...;
3) операторы уничтожения 67, at сопряжены к bfy af.

252 Глава 7. Тензорная алгебра
Эти требования полностью определяют скалярное произведение. Будем по-
последовательно строить фоковское пространство исходя из соотношений а,|0) =
= bj\O) = 0. Используя коммутационные соотношения, мы получаем следующее
утверждение.
Лемма 7.7. Любой вектор, полученный из вакуума гH применением опе-
операторов ah af, bh bf, может быть сведен к линейной комбинации таких
векторов, что символы at и Ь, в них не встречаются.
Доказательство леммы. Любой оператор а,- коммутирует со все-
всеми bh bf для всех/, а также антикоммутирует со всеми aq (т. е. axaq = -aqa{) и со
всеми af при р ф i (т. е. ataf = -afai). Для р = / мы имеем apaf = 1 - afap.
Кроме того, мы имеем а? = (afJ = 0 из тех же соотношений. Рассмотрим любой
вектор вида г) = (.. .)at(.. .)|0), где в скобках стоят слова из букв aqy af, bh bf.
Применяя коммутационные соотношения (см. выше), мы переставляем at напра-
направо, «ближе к началу» |0). Производя эту операцию нужное число раз, мы либо
придем к началу и воспользуемся соотношением (.. .)Д/|0) = 0, либо а{ встретится
с элементом af. В этом случае воспользуемся соотношением ataf = —afai + 1.
Это соотношение выразит наш элемент как линейную комбинацию из двух слов,
в каждом из которых величина аг либо стала ближе к началу (левое), либо ис-
исчезла (правое). Таким образом, мы приходим к линейной комбинации слов, не
содержащих at. Точно так же доказывается, что мы придем к линейной комби-
комбинации слов, не содержащих символов Ь}. Лемма доказана.
Далее, все слова приводятся к виду, где буквы записаны в естественном по-
порядке:
(аГГ...№Гк(ЬГГ.-АЬГГ\О).
Очевидно, а, = 0, 1, так как (afJ = 0. Числа т;- могут быть любыми, т} ^ 0. Эта
совокупность векторов уже линейно независима.
Определим теперь скалярное произведение в фоковском пространстве Fkj.
Лемма 7.8. Предположим, что в фоковском пространстве мы име-
имеем такое скалярное произведение, что (гH, тH> = 1, и пары операторов
(а4, af), (bi, bf) формально сопряжены. Тогда построенный базис ортого-
ортогонален, причем
(г), r)) = m,!-...-m/!,
где г) = аГ • • • • • а?кЬ+щ ..... bfm\0.
Доказательство. Начнем процесс построения фоковского простран-
пространства. Для действия af имеем
(afr\0, т)о> = (т)о, а^о) = 0,
(atrjo, afr\0) = (tj0, а^г\0) = (гH, тH> - (тH, а,+а,т)о) = fob т|о) = 1.
Для действия операторов bf мы аналогично имеем
(ft^rjo, гH) = (т)о, 6/Г)о) = 0,
(bfr\0, bfr\0) = (rjo, bibfr\o) = (yjo, rH> + (rjo, bfbiX^) = (r)o, r\0) = 1,

§ 7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 253
= 2,
Продолжая по индукции вычислять скалярное произведение, мы придем к фор-
формулам, приведенным выше. Отсюда следует наша лемма.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 7.14. Фоковское пространство Fkj корректно определено как
прямая сумма конечномерных евклидовых пространств с базисом векто-
векторов вида т) = а+щ... a+a*&+m'... bfm%y где a, = 0, 1, т} = 0, 1, 2, ... — любые
числа.
Этот базис ортогонален, и скалярный квадрат любого базисного вектора ука-
указанного вида равен т\\.. .mt\. Операторы уничтожения а,- сопряжены к а/\ опе-
операторы bt сопряжены к bf, а{г\о = 6уг)о = 0 для всех /, /'. Введем следующую гра-
градуировку на векторах т) указанного вида:
Лемма 7.9. Совокупность векторов с заданной парой чисел (а, т) по-
порождает евклидово векторное пространство, изоморфное тензорному
произведению
AaRk^SmRl = F^jm\
где ЛаК* — внешняя степень пространства R* (совокупность всех косо-
симметрических тензоров ранга а в Шк)у a SmRl — симметрическая сте-
степень пространства Ш1 (т е. совокупность всех симметрических тензоров
ранга т на R1). При этом
гдеа = 0, 1, ...,?, m = 0, 1,2,...
Доказательство леммы очевидно следует из коммутационных соотно-
соотношений.
Напомним, что все символы af антикоммутируют друг с другом, а все сим-
символы bf коммутируют.
Пример. Пусть г)о = се~**/2, х G М, где константа с выбрана так, что
оо
= J
dx=l.
Тогда с2 = JL.
Далее, положим —V2b{ = d/dx + х, VUbf = rf/rfjc - х. Тогда

254 Глава 7. Тензорная алгебра
Базис пространства FOt] составляют векторы
где Рп(х) — полиномы Эрмита. Это известная реализация простейшего бозонного
фоковского пространства в анализе.
Фермионное фоковское пространство естественно реализуется в геометрии
как пространство внешних форм в данной точке многообразия.
Приведем простейшие примеры важных операторов, действующих в фоков-
ских пространствах фермионов и бозонов:
1) операторы числа частиц данного сорта /:
nf = afcii (фермионы)
или
nf = bfbj (бозоны);
2) полный оператор числа частиц h = J^/if + Yanf*
i i
Имеет место следующая простая лемма.
Лемма 7.10. Собственные числа операторов nf и nf, действующих на
фоковских пространствах, являются неотрицательными целыми числами,
равными 0 или 1 для операторов nf. По определению эти числа равны числу
фермионов (соответственно бозонов) в данном состоянии.
Собственные векторы — это в точности итерации операторов ро-
рождения, примененные к вакуумному вектору |0) = тH.
Все операторы nf и nf коммутируют друг с другом. Их сумма й =
= ? flf + ? nf имеет те же собственные векторы и называется «опера-
i I
тором числа частиц».
Доказательство этой леммы почти очевидно. Например, применяя
оператор nf = afat к любому вектору вида у) = bfx ...bfkafx ...а+|0), мы имеем
а+агу\ = nfr\ = 0,
если aiq ф at для всех iq, поскольку оператор а* коммутирует со всеми оператора-
операторами bf, антикоммутирует со всеми операторами af при iq ф i и при этом а,|0) = 0
по определению. Далее, если один из номеров совпадает с I (т.е. iq = /), то мы
имеем а&? = -atat + 1. Поэтому в данном случае nfr\ = afa^ = r\. Для ферми-
фермионов лемма доказана.
Аналогичную ситуацию мы встречаем для бозонов, когда / = jq. Вектор г\ имеет
вид F+)т'(. ..)|0), где ту-^ 0 и оставшаяся часть в скобках не содержит bf.
Применяя оператор nf = bfbj к вектору г) = (fe/")m/(- • -)|0>, мы получаем
(b+bj)(b+r(.. .)|0> = тДЬ+ГЧ.. .)|0) = туг),
так как bj\O) = 0 и Ь, коммутирует со всеми операторами Ь% при k ф].
Лемма доказана.

§7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 255
Таким образом, фоковское пространство является градуированным вектор-
векторным пространством, где соответствующее подпространство градуировки п — это
в точности собственное подпространство оператора числа частиц ft с собствен-
собственным значением л, где п = 0, 1 э 2,
Простейший класс важных операторов, действующих в фоковском простран-
пространстве, — квадратичные формы, т. е. операторы, которые выражаются квадратично
через операторы рождения и уничтожения а+, а,, 6+, Ь-г Таким оператором явля-
является, например, оператор числа частиц Л, введенный выше.
Мы назовем вещественной фермионной или бозонной квадратичной
формой самосопряженный оператор, являющийся квадратичной формой от опе-
операторов рождения и уничтожения фермионов (фермионная форма) или бозонов
(бозонная форма) с вещественными коэффициентами.
По определению такой оператор имеет вид (все коэффициенты вещест-
вещественны)
А = ^(uijafaf + 2vija?aj + т^а-) + С
ч
(фермионы), где и1} = —щи vVl = vn и wi} = -и1}, так как А+ = А (оператор А
самосопряжен);
В = J>,A+6+ + 2v4btbi + wijbibj) + С
и
(бозоны), где Ыц = Щи иц = Vyt и тц = иц, так как В+ = В.
Исходя из нужд квантовой теории и геометрии оказывается необходимым при-
приводить фермионные и бозонные квадратичные формы к диагональному виду пре-
преобразованиями Боголюбова:
а, = у; u)
at = Qua? + Рца], bf = Q^ + РЦЬ\
(здесь подразумевается суммирование по у). Мы потребуем здесь, чтобы все ко-
коэффициенты преобразования Боголюбова были вещественны, а также чтобы но-
новые операторы aj+, a\ удовлетворяли прежним соотношениям коммутирования
операторов рождения и уничтожения, причем операторы aj+ и а\ были сопряже-
сопряжены друг другу:
\а*% a'k]+ = о/ь [а;+, а'+]+ = [aj, а;]+ = 0, где [a, b]+ = ab + Ьа.
Для бозонов соотношения коммутирования записываются с помощью равенства
[а, &]_ = ab- Ьа вместо [•, •]+, все остальное пишется так же.
Следующая лемма очевидна.
Лемма 7.11. Фермионные и бозонные вещественные квадратичные фор-
формы могут быть записаны в «стандартной» вещественной форме:
А = Ru(a+ + ад(а+ - а,) + С - Тг#,
В = SPffl + b,)(bf + bj) 4- Тц(Ь+ - 6/)(fcf - йу) + С - TrS + ТгГ,

256 Глава 7. Тензорная алгебра
где
Rtj = Щ\ + Vij (фермионы),
S'7 + Тц = щь S" - Тц = У/у (бозоны).
В случае бозонов эта форма имеет естественный смысл в операторной реа-
реализации фоковского пространства: как и выше, мы положим
Тогда операторы bf + bt и 6+ - 6,- — это в точности операторы вида
bf + Ь,, =
GJC
Таким образом, Su(bf + &/)(&/" + 6у) = К — это кинетическая (дифференциаль-
(дифференциальная) часть оператора Шрёдингера В, в то время как Ti}(bf - bi)(bf - bj) — это
квадратичный потенциал вида
Мы получили стандартный квантовый осциллятор В. Диагонализация это-
этого оператора производится одним линейным преобразованием в ^-пространстве,
которое задает сопряженные преобразования в пространствах (-т-\ и (х). Мы
должны диагонализировать пару квадратичных форм, одна из которых — это фор-
форма на пространстве R", а вторая — форма на двойственном пространстве. Как мы
знаем, диагонализация линейным преобразованием всегда возможна, если одна
из этих форм положительна. Если обе формы положительны, это тем более воз-
возможно. В результате приведения мы можем считать, что
Как эта задача выглядит в терминах преобразований Боголюбова?
Лемма 7.12. При вещественном преобразовании Боголюбова
коэффициенты S1'1 и Тц стандартной вещественной формы преобразуют-
ся так, что в новых переменных fe-+, bf они имеют вид
S = DS'DT, Т = /Г1 Гф~1)т,
где

§7.4. Тензоры в пространстве со скалярным произведением 257
Доказательство этой леммы получается непосредственной проверкой из ка-
канонических соотношений:
*/". bt\=[bh bk]=[*;+, b'+\ = щ% b'k\ = о,
Эта лемма показывает, что язык преобразований Боголюбова эквивалентен
в данном случае обычному приведению линейным преобразованием.
Обратимся теперь к фермионам. В данном случае классический аналог отсут-
отсутствует и диагонализация вещественных форм была дана в 1986 г. (С. П. Новиков)
с целью построения аналогов неравенств Морса для критических точек вектор-
векторных полей.
Лемма 7.13. При вещественных преобразованиях Боголюбова коэффи-
коэффициенты стандартной вещественной записи фермионной формы преобра-
преобразуются по правилу
R = O+R'O-, А = Ri}{at + at)(af + ау),
где R = (/?/у), /?' = (/?;,), причем
Rii = un + vlh O± = P±Q
и преобразования О± ортогональны: О± е О(п).
Напротив, любая пара ортогональных матриц О± € О(п) по этим
правилам задает вещественное преобразование Боголюбова фермионной
формы.
Доказательство этой леммы также получается прямой элементарной подста-
подстановкой.
Вывод. Вещественная фермионная квадратичная форма А всегда может
быть диагонализирована вещественным преобразованием Боголюбова (даже та-
таким, что О± е SO(n)). При этом матрица R диагонализируется парой ортого-
ортогональных преобразований О±:
Единственными инвариантами являются собственные числа X? матрицы RRT
(«5-числа»). Собственные числа фермионной формы
на полном фоковском пространстве фермионов, изоморфном полной внешней
степени
/=0
имеют вид (±Xi ± Х2 ± ... ± Хп).
9-1168

258 Глава 7. Тензорная алгебра
§ 7.5. Поливекторы и интеграл от антикоммутирующих
переменных
1. Антикоммутирующие переменные и супералгебры. Пусть fef, ...
..., b+ — операторы рождения бозонов и Ь\, ..., Ьп — сопряженные им операто-
операторы уничтожения, введенные в п. 4 § 7.4. Рассмотрим их реализацию операторами,
действующими на многочленах в я-мерном евклидовом пространстве с коорди-
координатами х\ ..., хп (эта реализация отлична от той, которая была дана в п. 4 §7.4):
/ > **(/<*)) = ^г* Л k = 1, ..., п.
При этом функция / = 1 будет вакуумным вектором.
Реализовать аналогичным образом операторы рождения для фермионов мы
не можем, так как они антикоммутируют: а-^ = -Я/а,. Для их реализации мы
должны использовать антикоммутирующие переменные. Они вводятся следую-
следующим образом.
Суперпространством называется любое 22-градуированное векторное про-
пространство
v=voev,.
Элементы из Vo называются четными, а из V\ — нечетными. Это записывается
с помощью функции четности, определенной на элементах из Vo и V\:
«w-f
0 при а е Vo,
1 при а € V].
Если на суперпространстве задано ассоциативное умножение, которое на четных
и нечетных элементах удовлетворяет условию
то суперпространство называется супералгеброй. Это, в частности, означает,
что на нечетных элементах умножение антикоммутативно.
Примеры. 1. Алгебра Грассмана Л*КЛ = ЛоФЛ| в Шп. Она со-
состоит из всех внешних форм — кососимметрических тензоров типа @, к) — с опе-
операцией внешнего произведения
а, р -> а Л р.
Пространство Ло состоит из всех тензоров четного ранга, а пространство Л| —из
тензоров нечетного ранга.
2. Алгебра поливекторов в Шп. Поливектором называется косо-
симметрический тензор с верхними индексами. Теория поливекторов аналогична
теории внешних форм:
1) внешнее произведение поливекторов задается следующим образом: если
/?*'-лр и Six'"iq — поливекторы типов (р, 0) и (q, 0), то
p\q\

§ 7.5. Поливекторы и интеграл от антикоммутирующих переменных 259
2) если в\, ..., еп — базис векторов в точке, то поливекторы
eh A...Aeik, i\ < ...</*,
задают базис поливекторов типа (?, 0) в точке и их свертки с базисными формами
имеют вид
^'Л...A^)=SJ;...Sj*, G.15)
где/, <...</* и el = dxl\
3) в каждой точке поливекторы образуют внешнюю алгебру Л* V, порожден-
порожденную символами в\ = —г, ..., еп = -т-^-, т.е. базисными векторами касательного
дх ох
пространства V в этой точке;
4) выполняется следующий аналог теоремы 7.11.
Теорема 7.15. Для замен координат в п-мерном векторном простран-
пространстве верна формула
T\...n=j-\f\...n^ ущ
где Т = Р-п—j- Л ... Л -г-;; = Р"п—р Л ... Л -rr-fi — поливектор типа (пу 0)
и J = det(ду1/дх1) —якобиан замены координат.
Примером поливектора типа B, 0) является тензор пуассоновой структуры
hlkTiЛ А-
дх1 дх
Мы видим, что относительно внешнего произведения алгебра Грассмана внеш-
внешних форм в точке порождена базисными ковекторами dx\ ..., dxn, а алгебра
поливекторов — базисными векторами —р, ..., -г-^. Очевидно, что алгебра по-
дх их
ливекторов образует супералгебру относительно внешнего произведения.
Пусть V = Ц) Ф V{ —супералгебра. Рассмотрим линейное прострайство |
образованное всеми формальными суммами вида
/=1 *s|
где в\% ..., ?р+? — набор базисных векторов в Кр|<7. Векторы ?|, ..., ер мы будем
считать четными базисными векторами, а векторы ер+!, ..., ep+q — нечетными.
Условие
Xj е VOy j = 1, ..., р; "ik е V\, k = 1, ..., q
выделяет в Vp\q подпространство Af, в котором есть два вида координат: коорди-
координаты jci, ..., хр коммутируют относительно умножения, а координаты 5i» • • •. ^
антикоммутируют:
Пример. Пространство Шр^. Возьмем в качестве супералгебры V
алгебру Грассмана над полем R с q образующими. Тогда пространство Мер чет-
четными и q нечетными координатами обозначается через Rp|<7. Гладкие функции
9*

260 Глава 7. Тензорная алгебра
на нем — это по определению функции вида
/(*. 5) = $3 ?i•••<* (*i» • • •. *р)Ь| Л ... Л &*•
где //,...;, (*ь ..., jcp) — вещественные гладкие функции от переменных Х\% ..., хр.
В базисе (в\, ..., ер+^) линейные преобразования пространства 1/р1<? задаются
матрицами вида
(? ») ,7,7,
»).
Мы будем рассматривать только линейные преобразования, удовлетворяющие
условию
Т(М) С М9
т. е. такие, которые порождают линейные преобразования пространства М. Это
означает, что коэффициенты (р х р)-матрицы Aw(qx ^-матрицы D четны, а ко-
коэффициенты матриц В и С нечетны.
Обратимые матрицы такого вида образуют группу GL(p\q, V). Приведем важ-
важный пример подгруппы такой группы.
Пример. Группа OSp(m|2n). Рассмотрим на пространстве Km|2n невы-
невырожденное билинейное произведение
которое является смешанным: евклидовым по коммутирующим координатам
и симплектическим — по антикоммутирующим. Группа всех преобразований
из GL(m|2rt, V), сохраняющих это скалярное произведение, обозначается через
OSp(m|2rt, V) и называется ортогонально-симплектической группой.
В случае, когда V—алгебра Грассмана с 2п образующими, группы GL(p\q, V)
и 0Sp(/?|<7, V) обозначаются через GL(p|^) и OSp(m|2fl) соответственно.
След преобразования Т (суперслед) определяется по формуле
и принимает значения в подалгебре Vo. В физике он также обозначается символом
2. Интеграл от антикоммутирующих переменных. Пусть $ , 5„ — ан-
тикоммутирующие переменные и /(?ь ..., ?л) — многочлен во внешней алгебре
с образующими 5i, ...,?«.
Следуя современной литературе по квантовой теории поля, определим значе-
значение «интеграла от антикоммутирующих переменных»
(.
J
по следующим правилам:
1) интеграл берется по всему пространству и поэтому является функционалом
на многочленах /(?ь •.. • 5«) во внешней алгебре;

§7.5. Поливекторы и интеграл от антикоммутирующих переменных 261
2)
3) кратный интеграл понимается как повторный: например,
R0I2 УУкОЦ / V/R0|
4) при линейных заменах переменных в ^-пространстве величина di\ Л ...
... Л *Я;Я преобразуется по правилу
еЦх Л ... Л dln = У1 d?\A...
Из формул G.15) и G.16) следует, что так определенное интегрирование есть
свертка тензоров в формализме Картана внешних алгебр для форм и поливек-
поливекторов. Действительно, сделаем сопоставление d\s —> еп ?, —¦ е', после которого
величина dl\ Л ... Л d?n сведется к базисному поливектору—тензору типа (я, 0),
старший член коэффициента /(?|, ..., ?я) — к тензору типа @, /г), а «интеграл»
будет их обычной сверткой.
Пример. Гауссов интеграл от антикоммутирующих
переменных. Пусть f(l\ ,...,?„) = ехр(-а% Л 1/\, где ап = -а17. Тогда
G.18)
Можно рассмотреть более общие, нелинейные замены координат в ^-про-
^-пространстве, потребовав, чтобы они были Z2-rpajayHpoBaHHbiMH. Это означает, что
они должны переводить нечетные элементы в нечетные. Частные производные
функции /(?|, ..., ?я) от нечетных переменных ?|, ..., ?я со значениями во внеш-
внешней алгебре, порожденной ими, определяются по формуле
где
При Z2-rpaAynpoBaHHbix заменах (?ь ..., $Л) —> (^, ..., ?я) частные производ-
производные -г~ являются четными элементами внешней алгебры; они коммутируют друг
с другом при умножении, и, следовательно, якобиан det (-г~) корректно опре-
делен.
Пример. Рассмотрим нелинейную замену координат:

262 Глава 7. Тензорная алгебра
Матрица Якоби этой замены имеет вид
откуда
Формула замены переменных верна и для нелинейных замен координат:
G.19)
Вывод формул G.18) и G.19) мы оставляем в качестве упражнения.
Упражнения к главе 7
1. Найдите формулу для евклидовой метрики на плоскости в терминах поляр-
полярных координат.
2. Выпишите метрический тензор bR3b цилиндрических и сферических ко-
координатах.
3. Докажите, что если обратимая матрица g,7 задает тензор типа @, 2), то
обратная матрица (g*7)» где g*fgik = 8^, определяет тензор типа B, 0).
4. Какой тип имеет тензор, задающий линейный оператор из пространства
тензоров типа (?, 5) в пространство тензоров типа (р, q)?
5. Запишите градиент функции — векторное поле, полученное композицией
взятия частных производных и поднятия индекса, — в полярных, цилиндрических
и сферических координатах.
6. Пусть <d = а\ dx*. Докажите, что
о1'1 л... л «'* = /;;;;;)> dxh л...
где /)[;;;}* — минор матрицы (aj), стоящий на пересечении строк с номерами ib ...
..., ik и столбцов с номерами /|, ..., /*. При k = п мы имеем
со1 Л ... Л соя = det(aj) dxx Л ... Л dx\
7. Докажите формулу
где Тг(а\) = а\ — след матрицы.
8. Выразите векторное произведение в R3 через алгебраические операции над
тензорами и оператор *.
9. Дайте классификацию тензоров ранга не выше 4 относительно вращений
в R2 (в М3), сохраняющих единичный квадрат (соответственно куб в R3).

Упражнения к главе 7 263
10. Докажите, что в евклидовом пространстве R" не существует тензоров не-
нечетного ранга, инвариантных относительно вращений.
11. Докажите формулу G.14):
*2 = (— п*(я-*)
для квадрата оператора двойственности Ходжа.
12. Докажите, что линейное преобразование суперпространства Vp^q, заданное
матрицей G.17), обратимо тогда и только тогда, когда матрицы А и D обратимы.
13. Докажите формулу G.18) для значения гауссова интеграла от антиком-
мутирующих переменных.
14. Докажите формулу G.19) для замены переменных в интеграле от анти-
коммутирующих переменных.

Глава 8
Тензорные поля в анализе
§8.1. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве
1. Электромагнитное поле. Электромагнитное поле Fik задается элек-
электрическим и магнитным полями Е и Н по следующей формуле:
0 Et E2 ?3
F—(F \— I ~^1 ® ~^3 
- W ~ I _?2 я3 О -Я,
L— Ез —Яг Я| О
(8.1)
Величины Б и Н преобразуются как векторы относительно вращений трехмер-
трехмерного евклидова пространства Е3 (и поэтому мы позволяем себе писать их коэф-
коэффициенты с нижними индексами). При преобразованиях Лоренца
х =
7
V
где jc° = ct, x° = ct, электрическое и магнитное поля преобразуются по следую-
следующим формулам:
Еч + — Нз
, ?3 =
'I-
t;2
— /?г
Я2 =
Я3 =
Отсюда следует, что электромагнитное поле Fjk образует кососимметрический
тензор ранга 2 в четырехмерном пространстве Минковского R13. На языке диф-

§8.1. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 265
ференциальных форм это утверждение записывается следующим образом:
J<k = Ejdx0 A dxf - Я, dx2 A dxz - H2dx* A dxx - Hzdxl Adx2. (8.2)
Инвариантами поля Fjk называются коэффициенты характеристического
многочлена
Подставив в это выражение формулу (8.1) и метрику Минковского g)*, получим
Р(\) = -X4 + (Е2 - Н2)Х2 + (Е, НJ.
В каждой точке кососимметрические тензоры ранга 2 образуют шестимерное
линейное пространство, на котором действует оператор *.
Лемма 8.1. Оператор * действует на поле (8.2) по формуле
*F = -Я, dx° A dx1 - ?, djc2 Л dxz - ?2 rfjc3 Л dx1 - ?3 dx1 Л dx2, (8.3)
т.е. *(Е, Н) = (-Н, Е).
Доказательство. Согласно определению оператор * действует по фор-
формуле
где Flm = g^^Fpq и gJk — метрика Минковского. Поэтому
F» = -FOk = -?ь ЯЛ = /> при /, Л = 1, 2§ 3.
Подставляя это выражение для FJk в формулу для действия *, получаем доказа-
доказательство леммы.
Следствие 8.1. Квадрат оператора * равен — 1, т е. *2 = — 1.
Имея на линейном пространстве оператор, квадрат которого равен — 1, мы
можем ввести на этом пространстве комплексные координаты. Действительно,
отождествим этот оператор с умножением на мнимую единицу I = v^-T и по-
положим
ft*/7.
Очевидно, что определение корректно: i2F = **? = -F.
В пространстве С3, образованном всеми кососимметрическими тензорами
ранга 2, поле F записывается в виде
Действительно, *F = —Н + /Е = iF. Поэтому мы будем рассматривать поля Е
и Н как вещественную и мнимую части поля F.

266 Глава 8. Тензорные поля в анализе
Оператор * инвариантен относительно действия группы SOA, 3), сохраняю-
сохраняющей метрику Минковского. Более того, преобразования из SOA, 3) сохраняют
характеристический многочлен поля. Это выражается в том, что они сохраняют
квадратичную форму
<F, F) = -*(F Л *F + IF Л F) = -i (/>/*'' + iejklmFjkFlml
которая в координатах zk = Ek + iHk, k = 1, 2, 3, имеет вид
Отсюда мы заключаем, что преобразования из SOA, 3) задают линейные пре-
преобразования пространства С3, сохраняющие скалярные квадраты комплексных
векторов.
Группа всех комплексно-линейных преобразований пространства С, сохра-
п
няющих комплекснозначное скалярное произведение (г, ш) = ]? zkwk> обозна-
чается через О(/г, С). Не следует путать ее с группой U(n), состоящей из пре-
п
образований, сохраняющих эрмитово произведение (г, w) = ^ zkwk.
Тем самым, мы получили гомоморфизм
SOA, 3)->OC, С), (8.4)
который реализуется действием преобразований Лоренца на комплексном про-
пространстве полей Fjk. Инвариантами преобразований Лоренца являются ве-
вещественная и. мнимая часть скалярного квадрата поля: Re(F, F) = Е2 — Н2
и lm(F9 F) = (Е, Н>.
Обе группы SOA, 3) и 0C, С) имеют вещественную размерность 6. Можно
доказать, что отображение (8.4) является изоморфизмом групп Ли: SOA, 3) с^
-0C, С).
2. Приведение кососимметрических тензоров к каноническому виду.
В п. 1 §2.1 мы показали, что любая кососимметрическая форма в линейном
пространстве приводится к каноническому виду. Если мы потребуем, чтобы пре-
преобразование было лоренцевым, то это, конечно, не так. В этом случае существует
несколько «канонических» видов. Они описываются следующей теоремой.
Теорема 8.1. 1. Пусть (F, F) = Е2 - Н2 + 2/(Е, Н) ф 0. В этом случае
преобразованием Лоренца поле Fjk приводится к виду
О ? О 0\
Е О О О
о о о -я ' (8-5)
ООН 0)
где Е2 - Я2 = Е2 - Н2 и ЕЙ = (Е, Н).

F =
0
-E
0
0
E
0
E
0
0
-E
0
0
(8.6)
§8.1. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 267
При этом возможны два случая:
а) если (Е, Н) ф О, то ЕН ф 0;
б) если (Е, Н) = 0 и Е2 - Н2 ф 0, то Еф 0, Н = 0 «ры Е2 - Н2 > 0 и ? = 0,
// ^ 0 при Е2 - Н2 < 0.
2. /7г/сть (F, F) = 0, т. е. Е2 - Н2 = (Е, Н) = 0. Тогда поле Fjk преобразо-
преобразованием Лоренца приводится к виду
0\
0
0
о/
Доказательство. 1. Пусть (F, F) ф 0. Вектор F = Е + /Н предста-
представим в виде F = сп, где с = y/(F\~F) и (п, п) = 1. Лоренцевым преобразованием
из 0C, С) = SOA, 3) переведем вектор п в базисный вектор ех, направленный
вдоль оси хх. Векторы Е и Н преобразуются к виду
где Е'Н' = (Е, Н). Поле F примет вид (8.5). Если (Е, Н) ф 0, то векторы Е' и Н;
параллельны и не равны оба нулю. Если (Е, Н) = 0, то либо Е1 = 0, либо И' = 0
в зависимости от знака второго инварианта Е2 — Н2 = Е'2 — Н'2.
2. Если Е2 — Н2 = (Е, Н) = 0, то вещественным вращением из 0C, Ш) С
С 0C, С) переведем вектор Е в вектор, параллельный оси хх. Вектор Н перейдет
в вектор, лежащий в плоскости х] = 0, и вращением этой плоскости его можно
перевести в вектор, параллельный оси хъ.
Теорема доказана.
Физический смысл этой теоремы следующий: переходом к новой инерциаль-
ной системе координат в пространстве Минковского электрическое и магнитное
поля Е и Н можно в любой заданной точке привести к одному из канонических
видов (8.5) и (8.6).
Пусть Fjk — кососимметрический тензор (тензор электромагнитного поля)
в пространстве Минковского R1'3. По тензору Fjk построим симметрический тен-
тензор 7}ь полагая
Tik = ? (-^FjiF^ + \ FlmFlmgjk).
Он называется тензором энергии-импульса электромагнитного поля.
Его компоненты имеют вид
Гоо=, 7V. = [E
Т+=h {~?а?р" Яа//р + i S<*(E2+н2)}-
где а, р = 1, 2, 3. Они имеют отдельный физический смысл: значение Гдо = W
называется плотностью энергии электромагнитного поля, вектор Sa = — сТ^
называется вектором Пойнтинга (здесь с — скорость света в пустоте), а тензор
Тф где а, C= 1, 2, 3, — максвелловским тензором напряжений.

268 Плава 8. Тензорные поля в анализе
Применим к тензору Tjk теорему 8.1.
В случае (8.5), когда Е = (?, 0, 0) и Н = (Я, 0, 0), мы имеем
±
т. е. тензор 7}* диагоналей.
В случае (8.6), когда Е = (?, 0, 0), Н = @, 0, Я) и Е= Я, тензор Tjk не при-
приводится к диагональному виду, а равен
(W 0 -W 0\
0 0 0 0 w_?_!t
-W 0 W 0 ' 4*~4тГ
0 0 0 0/
Заметим, что согласно определению след тензора энергии-импульса всегда
равен нулю:
Т = &% = 0.
3. Симметрические тензоры. В евклидовом пространстве любая симме-
симметричная матрица приводится к диагональному виду ортогональными преобразо-
преобразованиями. Выше мы уже столкнулись с ситуацией, когда тензор энергии-импульса
электромагнитного поля не диагонализируется с помощью преобразований Ло-
Лоренца.
Разберем вопрос о каноническом виде симметрического тензора типа @, 2)
в псевдоевклидовом пространстве на примере двумерного пространства R1*1 с ме-
метрикой g/*=L Л.
Собственными значениями (симметрического) тензора Tik в простран-
пространстве с метрикой gjk называются решения характеристического уравнения
Подняв индексы, мы увидим, что они являются собственными значениями опе-
оператора Vk = gflTik. Действительно,
detGl - XSi) = dette^r» - \gtk)] = detgji det(Tlk - X&*).
Собственные векторы, отвечающие собственному значению X, есть решения урав-
уравнения
которое после опускания индекса принимает вид
Теорема 8.2. 1. Если собственные значения Хо и \\ тензора Tjk веще-
вещественны и различны, то преобразованием Лоренца тензор приводится

§8.1. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 269
к диагональному виду
Хо 0\ (87)
2. Если собственные значения совпадают (Хо = Х| = X) и, следователь-
следовательно, они вещественны, то преобразованием Лоренца тензор приводится
к виду
где величина \i в общем случае не может быть сделана нулевой и не явля-
является инвариантом тензора.
3. Если собственные значения не вещественны, то они комплексно со-
сопряжены (Xo.i = a ± /р) и тензор приводится к виду
(8.8)
Доказательство. 1. Пусть Tek = X*e*, где k = 0, 1. Тогда векторы е0
и в\ ортогональны. Действительно,
, ех) = (Те0, ех) = TjM = (е0, Тех) = Х,(е0, в,),
и, так как Хо # Х|, мы имеем (е0, ?|) = 0. Выберем оси координат в направлении
векторов е0 и в\. Тогда матрица Tlk примет вид (8.7).
2. Если собственному значению X отвечают два линейно независимых соб-
собственных вектора, то Vk = X5^ и матрица Tjk приводится к диагональному виду.
Поэтому предположим, что собственное подпространство L порождено векто-
вектором ?. Ортогональное дополнение L1- инвариантно относительно оператора Т:
(L, 71х) = (TL, L^) = X(L, Lx) = 0. Поэтому если Lx ф L, то в Lx существует
другой собственный вектор. Следовательно, L = Lx, и это означает, что вектор ?
изотропен: {?, ^) = 0. Значит, ^ = (а, ±а). Можно принять нормировку а = 1 и,
применив при необходимости зеркальное отражение, привести вектор ? к виду
5 = A, 1). Условие (Tjk - \gjkKk = 0 запишется в виде
Too + ?oi = X, 7*ю + 7*11 = —X,
что с учетом симметричности тензора Tjk влечет равенства
7Ьо = X -h jjt, Гп = -Х + ц, 7*oi = 7*ю = -li.
3. Возьмем комплексные векторы ?0,i = и ± /у, которые являются собствен-
собственными векторами с собственными значениями Хо,|. Как собственные векторы с раз-
разными собственными значениями, они ортогональны: (и + ш, и — lv) = 0 (см. до-
доказательство утверждения 1). Нормируем их условиями
{и + iv, и + iv) = {и - ш, и - iv) = 2.

270 Глава 8. Тензорные поля в анализе
Отсюда выводим, что
(и, v) = 0, (и, и) = -(о, v)y (и, и) - (у, v) = 2.
Следовательно, векторы w и у образуют ортонормированный базис:
<1М|) = -<1М;)=1, (и, w) = 0.
В этом базисе матрица 7}* имеет вид (8.8).
Теорема доказана.
§ 8.2. Поведение тензоров при отображениях
1. Действие отображений на тензорах с верхними индексами. Пусть
F: Мп -> Nk — гладкое отображение.
Если 5— вектор, касательный в точке х € Мпу то он является вектором ско-
скорости некоторой кривой y(t) в точке х: у@) ^= 5, у@) = *.
Рассмотрим образ этой гладкой кривой при отображении F. Вектор скорости
кривой F(y(t)) при / = 0 касается многообразия Nk в точке F(x). Мы получаем
отображение касательных пространств
которое согласно теореме о дифференцировании сложной функции записывается
в локальных координатах в виде
с«_ду(х)д* _dy{
^ " dJ dt " dx
где jc1, ..., хп —локальные координаты на многообразии Мп> а у1, ..., ук — на
многообразии Nk. Из записи в локальных координатах видно, что это отображе-
отображение линейно и задается матрицей Якоби отображения F. Мы уже упоминали его
раньше: оно называется дифференциалом отображения F в точке х.
Рис. 8.1. Дифференциал гладкого отображения
В классическом анализе мы имеем гладкую функцию на пространстве /: Шп —>
—»R, и ее дифференциал есть линейное отображение на вещественную прямую
Д,: R" —> R, которое и является отображением касательных пространств, задан-
заданным градиентом (матрицей Якоби для отображения в R).

§8.2. Поведение тензоров при отображениях 271
Тензорные произведения базисных векторов е^ 0 ... 0 ен образуют базис
в пространстве тензоров типа (&, 0); на эти базисные тензоры дифференциал
продолжается естественным образом:
Fm(eh 0 ... 0 eh) = (Fmeh) 0 ... 0 (F*eh).
Мы заключаем, что имеет место такое утверждение.
Теорема 8.3. Гладкое отображение F: Мп -+ Nk порождает линейное
отображение тензоров типа (/, 0) в точке хеМп в тензоры такого же
типа в точке F(x). Это отображение задается матрицей Якоби в точке х
по следующей формуле:
(F.T)l*~HF(x)) = f? • ¦ • $;Th'x), F(x) = (yl(x), ..., yk(x)), (8.9)
и для векторных полей (тензоров типа A,0)) совпадает с дифферен-
дифференциалом.
Если многообразия Мп и Nk имеют одну и ту же размерность и в точке х Е Мп
матрица Якоби обратима, то по теореме об обратной функции отображение F
в окрестности этой точки является локальным диффеоморфизмом, отображе-
отображение F+ обратимо и, следовательно, при любом / ^ 1 для тензоров типа (/, 0)
определено обратное отображение F~l.
2. Ограничение тензоров с нижними индексами. Рассмотрим теперь, как
гладкое отображение F: Мп —> Nk действует на тензорах типа @, /), т. е. тензорах
с нижними индексами.
Пусть хх, ..., хп —локальные координаты в окрестности точки х е Мп и у1, ...
..., yk — локальные координаты в окрестности точки F(x) eNk. Любой тензор
типа @, /) в точке F(x) разлагается в сумму вида
Ограничим этот тензор на образ отображения F и, полагая у1 = yl(x), i = 1, ..., k>
получим тензор в точке х:
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 8.4. Гладкое отображение F: Мп -> Nk порождает линейное
отображение тензоров типа @, /) в точке F(x) e Nk в тензоры такого
же типа в точке х. Это отображение задается формулой
, F(x) = (yl{x),...,if(x)). (8.10)

272 Плава 8. Тензорные поля в анализе
Операция F* называется ограничением тензора (на образ отображения F).
Примеры. 1. Ковекторы. Прежде всего отметим, что гладкое ото-
отображение F: Мп —> N* действует на тензоры с нижними и верхними индексами
в разных направлениях. Например, для векторов и ковекторов мы имеем соот-
соответственно
F.: ТХМ* - TF{X)N\ Г: T*F(x)Nk _> ГХМ\
Из формул (8.9) и (8.10) следует, что эти отображения задаются сопряженными
матрицами и сохраняют действие ковекторов на векторы.
Следствие 8.2. Пусть ? — вектор в точке хе Мп иг\ — ковектор в точке
F(x) e Nk. Тогда выполняется равенство
2. Риманова метрика. Пусть в пространстве Nk с локальными коор-
координатами у\ ...,#* задана риманова метрика gri и F: Мп —> Nk есть вложение
л-мерной поверхности с локальными координатами х\ ..., хп:
у' = у'(х\...ухп), 1=1,...,*.
С помощью операции ограничения мы получаем метрику ^ на вложенной по-
поверхности Мп:
Эта метрика называется индуцированной метрикой (она индуцирована вло-
вложением F). В случае, когда М2 — регулярная поверхность в Nk = R3, она также
называется первой квадратичной формой поверхности (см. п. 1 §3.2).
3. Кососимметрические тензоры. Рассмотрим ограничение
я-формы на подмногообразие размерности п.
Теорема 8.5. Пусть Мп — п-мерное подмногообразие у1 = у*(х1, ..., хп)>
/= 1 Л, eW* a
— п-форма на Nk. Ограничение п-формы со на п-мерное подмногообра-
подмногообразие Мп имеет вид
/| <...<//! \/,<...</„
где Jil"Jn —минор п-го порядка матрицы (rrj\ образованный столбцами
с номерами /|,..., in. x
Доказательство. Так как

§8.2. Поведение тензоров при отображениях 273
и тензор Т кососимметричен, мы имеем
f|-f- ^jc1 * * * дх?~ ^ '4...b[2^s&W dxi -•- дх* )
/,<...</„ \oeSn J /,<...</„
Теорема доказана.
3. Гауссово отображение. Разберем в качестве примера действие гауссова
отображения на формы.
Пусть Nk — подмногообразие в евклидовом пространстве R\ В каждой точке
х € Nk возьмем касательное пространство, которое реализуется ^-мерной плос-
плоскостью в Шп. Этой плоскости отвечает точка многообразия Грассмана Gn,k- Опре-
Определим отображение
фгЛЛ-С,*, <\>(x) = TxNkeGn,k.
Это отображение называется гауссовым. Если подмногообразие Nk ориентиро-
ориентировано, то каждой точке можно сопоставить ориентированное касательное про-
пространство и получить отображение
Рассмотрим подробнее случай гиперповерхностей Мп~1 СМ". Локально ги-
гиперповерхность задается как множество нулей гладкой функции:
где хх, ..., хп — евклидовы координаты.
На гиперповерхности определена «форма кривизны»
где К — кривизна, которая для п = 2 есть кривизна кривой на плоскости, а для
п = 3 — гауссова кривизна. Определение в общем случае мы не приводим.
Многообразие Грассмана Gn,n-\ диффеоморфно (п — 1)-мерной сфере Sn~l
в Шп (см. п. 5 §6.1). Действительно, каждой ориентированной (п — 1)-мерной
плоскости гауссово отображение однозначно сопоставляет такой единичный век-
вектор нормали к плоскости, что он вместе с положительно ориентированным ба-
базисом ?i, ..., ?я_1 плоскости составляет положительно ориентированный базис
(?,,..., Ъп-\,п) вГ.
На сфере Sn~x, заданной уравнением ^(xkJ = 1, определен элемент объема
Пя_ь инвариантный относительно вращения, который для п = 2, 3 имеет следу-
следующий вид:
п\ = d(f при /2 = 2,
П2 = sin G dB d(f при п = 3.
Теорема 8.6. Гауссово отображение гиперповерхности
<\>:Mn~l->Sn-x
действует на форму объема по формуле
где do = y/gdyl A... Л dyn~l — элемент (п - \)-мерного объема в локальных
координатах у1, ..., уп~1 на гиперповерхности Мп~1.

274
Глава 8. Тензорные поля в анализе
При п = 2, 3 выполняется равенство
Ky/gdyx Л dy2 = ф*(П2), п2 = sin 6 <i9 dcp, при п = 3.
Рис. 8.2. Гауссово отображение гиперповерхности
Доказательство для п = 3. Выберем в R3 такие евклидовы координаты
с началом в точке Р € Л42, что ось z ортогональна к поверхности в точке Р,
а оси х и у касательны к поверхности. Тогда около точки Р поверхность задается
уравнением z = f(x, у), где df\P = 0.
На сфере S2 выберем такие же координаты по отношению к точке ф(Р) = Q:
ось z ортогональна к сфере, а оси х и у касаются ее в точке Q.
В этих координатах в точке Р имеем
" f
yx lyy
В окрестности точки Q сфера задается уравнением
и в точке Q форма объема равна
fl2 = dx Л Л/.
Координаты нормального вектора в точке поверхности, лежащей около точки Р,
имеют вид
—
и /> -1 у
и п = @, 0, — 1) в точке А Поэтому в окрестности точки Я гауссово отображе-
отображение ф имеет вид
(ж, 0->(*,#: я= /1+^ + /Д. ^ = 7г^Т?-
Значит,
где У — якобиан отображения ф в точке Р.

§8.3. Векторные поля 275
Так как /, = /^ = 0в точке Р, в этой точке \g\ = 1 и / = fxxfyy - fxyfyx = /(.
Окончательно получаем, что в точке Р в выбранной системе координат верна
формула
Так как обе части этого равенства — тензоры, они совпадают во всех системах
координат. Для п = 3 теорема доказана. Для остальных случаев доказательство
аналогично.
§ 8.3. Векторные поля
1. Интегральные кривые. Напомним, что обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнением называется уравнение вида
x = v(x), (8.11)
заданное в области (/с!л векторным полем v(x). В координатах оно записыва-
записывается в виде
х1 = vl(x), /= 1, ..., п.
Более точно, эта формула задает автономное (т. е. с не зависящей от времени
правой частью) обыкновенное дифференциальное уравнение. Но каждое неавто-
неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение
приводится к автономному виду в расширенном пространстве U х I с координа-
координатами у = (jc, /):
Решения x(t) = (xl(f), ..., xn(t)) уравнения (8.11) называются интеграль-
интегральными кривыми.
Из теоремы о существовании и единственности решения обыкновенного диф-
дифференциального уравнения следует, что
если v(x) — гладкое векторное поле, то для каждой тонки хое U су-
существуют такая окрестность V этой точки и такая положительная
постоянная г (зависящая от Хо), что реше-
решение уравнения (8.11) с начальными данными
x@)=x'eV
существует и единственно при всех х' е V
и / € [-е, е]. Это решение гладко зависит от
начального условия х'.
Из этой теоремы следует, что локально опре-
определено отображение сдвига вдоль интегральных
кривых Рис. 8.3. Интегральные
ф/: U —> (/, кривые

276 Глава 8. Тензорные поля в анализе
сопоставляющее точке х ее сдвиг за время / вдоль интегральной кривой»
Для этого рассмотрим решение cp(s) обыкновенного дифференциального урав-
уравнения
с начальным условием ф@) = х и положим
Пусть v — гладкое векторное поле, которое в каждой координатной окрестно-
окрестности гладкого многообразия Мп задает уравнение вида (8.11). Тогда мы получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение на гладком многообразии Мп. Те-
Теорема о существовании и единственности решения имеет локальный характер
и поэтому выполняется и в этом случае. Существование глобального решения
вытекает из следующей леммы.
Лемма 8.2. Если v — гладкое векторное поле на компактном гладком
многообразии Мп, то для любой точки х0 е Мп решение уравнения (8.11)
с начальным условием х@) = xQ существует и единственно при всех t € Ш
и гладко зависит от начального условия Хо.
Доказательство. Для каждой точки х € Мп выберем такую окрест-
окрестность Vxy что решение уравнения (8.11) с начальными условиями из Vx существует
и единственно при / € [-ех, ex]. Из открытого покрытия {Vx} можно выбрать ко-
конечное подпокрытие {V/ = VXi}, так как многообразие Мп компактно. Положим
е = mine*,. Мы видим, что для любой точки х однозначно определен сдвиг <ри при
и е [—е, с]. Сдвиг ф/ представляется как итерация
ф/ =фе О...ОфеОфв, t = № + S, 0^S<6,
и поэтому однозначно определен и является гладким отображением ф/: Мп -¦ Мп.
Лемма доказана.
Это доказательство переносится фактически без изменений на случай, когда
v — гладкое векторное поле на многообразии Мп и замыкание его носителя (мно-
(множества точек, в которых оно не равно нулю) компактно. Для Мп = R" это озна-
означает, что векторное поле равно нулю вне ограниченной области.
С каждым векторным полем связана однопараметрическая локальная груп-
группа диффеоморфизмов ф,. Это означает, что при малых t (возможно, зависящих
от областей пространства) определены диффеоморфизмы ф/, которые удовлетво-
удовлетворяют аксиомам теории групп
ф5+/ = Ф*оф/, (ф/Г1 =Ф-ь
в случае, когда обе части этих равенств определены (локально). Диффеомор-
Диффеоморфизмы ф/ — это сдвиги за время / вдоль интегральных кривых векторного
поля.

§8.3. Векторные поля 277
Разлагая решение обыкновенного дифференциального уравнения в ряд Тей-
Тейлора, получаем
ф'Дл:) = х1 + tvl(x) -f о(/), jc = (х\ ..., хп).
Поэтому матрица Якоби отображения ф, равна
Очевидно, существует и обратное соответствие: каждой локальной однопара-
метрической группе диффеоморфизмов ф/ отвечает векторное поле v, касательное
к ее траекториям:
v(x) = *§&.
Это поле называется полем скоростей.
Пример. Рассмотрим в плоскости с координатами (х, у) линейное вектор-
векторное поле
Группа ф/ состоит из вращений плоскости вокруг центра координат по часовой
стрелке на угол t:
__ (cost -sinЛ
^ ~~ \^sin/ cosy '
Если векторное поле задано на компактном многообразии, то из леммы 8.2
вытекает глобальное соответствие:
каждому гладкому векторному полю на компактном многообразии Мп
отвечает однопараметрическая группа диффеоморфизмов ф/, / G М, опре-
определяющая гладкое действие группы R.
В случае, когда векторному полю на многообразии Мп отвечает группа диф-
диффеоморфизмов, изоморфная R, говорят, что на многообразии задан гладкий по-
поток:
и ф0—тождественное отображение.
2. Алгебры Ли векторных полей. Пусть ф, — однопараметрическая группа
диффеоморфизмов многообразия Мпу порожденная векторным полем ?.
Ограничим гладкую функцию /: Мп —> R на интегральную кривую поля ?,
проходящую через точку х0 в момент времени t = 0. Мы получим функцию от
переменной t на интегральной кривой и можем рассмотреть ее производную по
параметру / при / = 0. В итоге мы получим производную функции f в точке х0
по направлению поля ?:
/=о
dt
/=о
При этом каждому векторному полю ставится в соответствие дифференциальный
оператор первого порядка

278 Глава 8. Тензорные поля в анализе
Легко проверить, что этот оператор задает дифференцирование алгебры гладких
функций, т. е. он линеен и удовлетворяет тождеству Лейбница:
Теорема 8.7. Пусть ? и г\ — гладкие векторные поля. Тогда коммутатор
операторов д^ и дп — дифференциальный оператор первого порядка
tail = [<?$, <?„] = д^дп
где векторное поле [?, г\] имеет вид
м=^!Нё- (8ЛЗ)
Доказательство получается прямым вычислением:
i;LL + pw-L -rj-L- yjpJ^L
dxf djf+^ дх'дх' Ч dx> dxf ^ дх'дх'
Теорема доказана.
Векторное поле [?, г\] вида (8.13) называется коммутатором векторных
полей $ и г).
Так как операторы вида ^, очевидно, удовлетворяют тождеству Якоби
относительно обычной операции коммутирования [д$, <?л]= д^дп — d^fy, из преды-
предыдущей теоремы получаем такой результат.
Следствие 8.3. Гладкие векторные поля удовлетворяют тождеству
Якоби
и поэтому образуют алгебру Ли относительно коммутатора.
Алгебра Ли гладких векторных полей, очевидно, бесконечномерна и содержит
много подалгебр, имеющих геометрическое происхождение. Имеет место следу-
следующая теорема.
Теорема 8.8. Если Nk — подмногообразие многообразия Мп, то гладкие
векторные поля, касательные к Nky образуют подалгебру Ли в алгебре Ли
гладких векторных полей на Мп.
Доказательство. Так как утверждение локально, его достаточно дока-
доказать для области, в которой подмногообразие выделяется уравнениями х1 = ...
... = xn~k = 0 в подходящих локальных координатах. Условие того, что поле ?

§8.3. Векторные поля 279
является касательным, состоит в том, что ?' = ... = ?Л~* = 0. Пусть ? и г) — век-
векторные поля, касательные к Nk. Это, в частности, означает, что
-^ = -Jj = 0, /= 1, ..., n-k, j = n-k+ 1, ..., n,
в точках Nk, так как хп~к+х, ..., хп являются локальными координатами в Nk.
Следовательно, в точках Nk при / = 1, ..., п — k мы имеем
и правая часть равна нулю, так как ?' = rf = 0 при / = 1, ..., п — k на под-
подмногообразии /V*. Мы заключаем, что [5, г)]1 = ... = [?, r\f~k = 0 на подмного-
подмногообразии Nk. Это означает, что коммутатор касательных векторных полей тоже
касателен к подмногообразию. Теорема доказана.
Следствие 8.4. Если ненулевые векторные поля ?|, ...,?„ в области из Шп
касаются координатных линий хх, ..., хп, то их коммутаторы имеют вид
[&, 5/] = Я/Д/ + btjih /, / = 1, ..., п
{здесь нет суммирования по повторяющимся нижним индексам).
Доказательство. Всякая пара векторных полей ?/ и ?/ в каждой точке
(х?, ..., Xq) является касательной к подмногообразию вида xk = х^кф /, у. По-
Поэтому их коммутатор тоже должен касаться этого подмногообразия. Следствие
доказано.
3. Линейные векторные поля. Пусть задана {п х я)-матрица А = (aj). Она
определяет векторное поле ТА в Мя по формуле
или, в координатах,
х1 = -а)х!.
Такое поле ТА называется линейным векторным полем, так как оно линейно
зависит от координат х\ ..., хп.
Теорема 8.9. Коммутатор линейных векторных полей ТА и Тв равен
Следовательно, линейные векторные поля образуют конечномерную под-
подалгебру Ли в алгебре Ли гладких векторных полей на Rn. Эта алгебра
изоморфна алгебре &1{п), образованной всеми {п х п)-матрицами.
Доказательство проводится прямым вычислением:
[Та, Тв! - {-
= ajkxkb) - Vkxka) = -(a# - b)a[)xk =
Теорема доказана.

280 Глава 8. Тензорные поля в анализе
Интегральные кривые линейных векторных полей находятся достаточно про-
просто, как показывает следующая теорема.
Теорема 8.10. Интегральная кривая линейного векторного поля ТАу
проходящая в момент времени t = 0 через точку xOi имеет вид
x(t) = e~iAx0.
Доказательство. Напомним, что экспонента от матрицы А определя-
определяется как сходящийся ряд
Дифференцируя ряд для е~1А почленно по /, получаем ряд, который сходится
к — Ae~iA. Отсюда следует, что
(ехо) =
и поэтому вектор-функция F(t) = еАх0 удовлетворяет дифференциальному
уравнению х = —Ах и F@) = лг0. Решение этого уравнения с заданным начальным
условием, как известно, единственно. Теорема доказана.
Мы видим, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов ср/, порожден-
порожденная линейным векторным полем 7^, действует на Rn линейно и совпадает с од-
нопараметрической подгруппой группы GL(/z), порожденной касательной матри-
матрицей -Л е gl(n).
Из теоремы 8.9 получаем такой результат.
Следствие 8.5. Каждая матричная алгебра Ли gc gl(n) при соответ-
соответствии
А-+ТА, A eg,
порождает подалгебру Ли алгебры гладких векторных полей.
Пусть G С QL(n) — матричная группа Ли, g — ее алгебра Ли, е\, ..., ek — ба-
базис в g и Ге|,..., Теп —соответствующие линейные векторные поля в Шп. Тогда
операторы дифференцирования в направлении этих полей называются генера-
генераторами (матричной) группы G. Например, если мы возьмем группу SOC), то
в ее алгебре Ли имеется базис
/0 0 0\ / 0 0 1\ /0 -1
*i= 0 0 -1 1 , *2= 0 0 0 , ег= 1 0 0
\0 1 0/ \-1 0 0/ \0 0 0;
с коммутационными соотношениями [е1у е}] = г^е^ Ему отвечают линейные век-
векторные поля
Lx = @, г, -у), Ly = (-2, 0, х), Lz = (у, -х, 0),
которые порождают вращения вокруг осей ху у и z соответственно. Генераторы
группы вращений SOC) обозначаются так же:
* д о ш д д ж дд
ду * dz y dz дх * дх ду

§8.3. Векторные поля 281
4. Экспонента от векторного поля. Генераторы матричной группы поро-
порождают ее регулярное представление с помощью экспоненциального отображения.
Объясним, что это означает.
Пусть задано действие группы G на пространстве X. Рассмотрим линейное
пространство функций С(Х) на этом пространстве. Действие группы G поро-
порождает регулярное представление группы G на линейном пространстве С(Х) по
формуле
^ хеХ.
Пусть G—однопараметрическая группа диффеоморфизмов ф/: Мя -»Шп. Если
она порождена постоянным векторным полем !;, то
ф//М = /(* + «)¦
Если эта группа порождена линейным векторным полем ТА, то
Ф,/(х) = /(*-"*).
Как и в случае матричных групп, действующих на конечномерных линейных про-
пространствах, представим ср/ как экспоненту от «касательного вектора» в единице
к группе всех диффеоморфизмов. Эта группа бесконечномерна, и «касательными
векторами» являются векторные поля на многообразии. Мы приходим к фор-
формальному определению экспоненты векторного поля $ на Rn как оператора,
заданного рядом
ехр(^) = 1 + /* + ^(^J + ... = ? ?(<%)".
Его действие на гладких функциях тоже задается формальным рядом
ехр(/*)/(ж) = f(x) + tckf(x) + ?(dtff(x) + ¦¦¦
Пример. Пусть $ = -j постоянное векторное поле на прямой R. Оно
порождает группу сдвигов
= /W
а его экспонента равна
Ряд Тейлора не всегда сходится, и поэтому экспонента, заданная формальным
рядом, не всегда задает действие однопараметрической группы диффеоморфиз-
диффеоморфизмов. В случае, когда функции и векторные поля задаются сходящимися рядами
Тейлора, экспоненциальное отображение становится корректным, как показывает
следующая теорема.
Теорема 8.11. Если векторное поле ?(*) вещественно-аналитинно, т. е,
все его компоненты ?' задаются вещественно-аналитическими функци-

282 Глава 8. Тензорные поля в анализе
ями от координат х\ ..., хп, то действие экспоненты ехр(/^) на веще-
вещественно-аналитических функциях f(x) совпадает с действием (регуляр-
(регулярным представлением) ср/ при малых t:
Доказательство. Если <Цх0) = 0, то в этой точке ехр(^) = 1 и срДхо) =
= JCo. Рассмотрим точку jc0, в которой ^(х0) ф 0. Тогда в малой окрестности этой
точки векторное поле линеаризуется в новых координатах у = у(х):
При этом если поле ? вещественно-аналитично, то и замена координат может
быть выбрана вещественно-аналитической. В новых координатах
и равенство exp(td$)f(x) = ср/ о f(x) выполняется при малых / (т. е. в области,
в которой заданы координаты (у) и ряд Тейлора функции / сходится к ней).
Теорема доказана.
Мы заключаем, что если нам заданы генераторы матричной группы, то с по-
помощью экспоненциального отображения мы можем восстановить (регулярное)
действие группы на вещественно-аналитических функциях:
ехр(/*.,)/(д:)=/(ехр(-М)х).
Это верно и для бесконечномерных групп диффеоморфизмов, которые в прило-
приложениях часто задаются как раз посредством их генераторов.
5. Инвариантные поля на группах Ли. Пусть G — матричная группа Ли,
реализованная (п х п)-матрицами. Рассмотрим вложение G с GL(az) этой группы
в линейное пространство gi(n) =R, образованное всеми матрицами порядка п.
По каждой матрице X € gl(n) строится линейное векторное поле Rx, которое
в точке А Е Ея принимает значение
Rx(A)=XA.
Из теоремы 8.9 следует, что
[Rx,Ry]=-R{x,yv (8.14)
Согласно теореме 8.10 интегральные кривые этого поля имеют вид
A(t) = exp(tX)A0, A@)=A0.
Поле Rx правоинвариантно. Это означает, что относительно действия группы G
умножениями справа на пространстве gi(n) = Rn* векторное поле Rx инвариантно:
Rx(A)B = Rx(AB), AeR«\ BeG.
Аналогично показывается, что векторное поле
LX(A)=AX

§ 8.3. Векторные поля 283
левоинвариантно, т.е. BLX(A) = LX(BA). Его интегральные кривые имеют вид
Aoexp(tX), и выполняется соотношение
[Lx, LY] = Цх.г\. (8.15)
Пусть матрица X принадлежит алгебре Ли группы Ли G, X е д. Тогда, как
мы показали в п. 4 §5.2 (лемма 5.11), любая матрица etx принадлежит группе G.
Касательным вектором к кривой etxA в точке t = 0 является вектор Rx = ХА,
а к кривой Aetx в точке t = 0 — вектор Lx = АХ. Поэтому если А Е G, то векторы
/?х(Л) и LX(A) касаются подмногообразия G в точке А. Мы доказали следующий
факт.
Теорема 8.12. Пусть X е д. 7Ьгда векторные поля Lx и Rx касаются
подмногообразия G, т. е. задают векторные поля на подмногообразии.
Отсюда следует, что эти векторные поля получаются сдвигами на группах Ли,
которые мы ввели в п. 4 §6.1:
lA.X = Lx, rA.X = RXy ЛеО, Xeg.
Так как сдвиги являются изоморфизмами касательных пространств, очевидно
следующее утверждение.
Следствие 8.6. Если Х\, ..., Хп — базис в 9, то наборы LXl (Л), ..., LXn (A)
и RXl(A), ..., RXn(A) образуют базисы в касательном пространстве TaG
к подмногообразию G в точке А. В частности, левоинвариантные (или
правоинвариантные) векторные поля в каждой точке группы G образу-
образуют все касательное пространство к группе в этой точке.
Из формул (8.14) и (8.15) вытекает такое утверждение.
Теорема 8.13. Левоинвариантные векторные поля на группе G с опе-
операцией коммутирования образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли &
этой группы.
Правоинвариантные векторные поля на группе G с операцией «комму-
«коммутирования»
Rx, Ry -> -[Rx, Ry]
также образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли д.
6. Производная Ли. Пусть $ — гладкое векторное поле на многообразии Мп
и ф/ — однопараметрическая локальная группа диффеоморфизмов, образованная
сдвигами вдоль интегральных кривых поля 5.
Для каждой точки х Е Мп определен дифференциал отображения
который задает линейное отображение касательных векторов по формуле

284 Глава 8. Тензорные поля в анализе
Так как ср,—диффеоморфизм, этот дифференциал является изоморфизмом каса-
касательных пространств в точках х и ф/(лг). Сопряженное к нему линейное отобра-
отображение также является изоморфизмом, но уже кокасательных пространств:
Мы определили это отображение в более общей ситуации в п. 2 § 8.2.
Определим отображение «сдвига» тензоров вдоль интегральных кривых из
точки (ft(x) в точку х следующим образом. Если Т — тензор нулевого ранга,
т. е. функция, то естественно считать, что
tft(T(x)) =
Если у нас есть тензор
типа (ky l) в точке ф/(х)« то его сдвигом (за время /) вдоль интегральной кривой
называется тензор того же типа
в точке х. По линейности это отображение продолжается на все тензоры. Со-
Согласно этому определению сдвиг перестановочен с операцией свертки тензора.
В итоге мы получаем гладкое семейство тензоров cptT в точке х.
Производная Ли тензорного поля 7]^;;;)* вдоль векторного поля 5 определя-
определяется формулой
/ т*1—*к __ & /m 7V1"*1*
Она измеряет скорость изменения тензора Т при деформации пространства,
заданной отображениями <р/. В приложениях (например, в механике сплошной
среды) тензорное поле еще явно зависит от времени: Т= T(ty x)\ в этом случае
выражение
dT __дТ
-dt-Jt+L*T
называется полной производной тензора Т вдоль поля скоростей !;.
Из определения производной Ли вытекает
Лемма 8.3. 1. Производная Ли не меняет тип тензора: если Т — тензор
типа (k, /), то ЦТ — тоже тензор типа (&, /).
2. Производная Ли перестановочна со сверткой тензоров.
3. Для производной Ли выполняется формула Лейбница:
ЦA* <g> S) = (UR) 0 S + R 0 (L^S).
4. Если o)| и 6J — дифференциальные формы, то
L5((i)| Л G>2) = Щ(й\) Л 0J + С0| Л (L5CO2).
Доказательство. Утверждения 1—3 немедленно следуют из опреде-
определения. Утверждение 4 вытекает из формулы Лейбница, так как внешнее произ-
произведение есть по определению альтернированная сумма тензорных произведений.
Лемма доказана.

§8.3. Векторные поля 285
При малых значениях t точки х и срДх) лежат в одной и той же области с ко-
координатами х\ ..., хп. Поэтому мы будем записывать тензоры, прикрепленные
к разным точкам, в одних и тех же координатах.
Согласно формуле (8.12) отображение cpJ'J = cp_/* имеет вид
Следовательно, отображение ковекторов имеет вид
Теперь легко получить формулу для сдвига произвольного тензора:
Jl—js • 'у mj2...js ^XJX "Г • • • "Г УУ,.../,_|Я1 0XJS
Здесь значение тензора в правой части берется в точке ф/(лг). Дифференцируя
это равенство по / при / = 0, получаем формулу для производной Ли тензорного
поля Т:
Примеры. 1. Функции (тензоры ранга 0). Для них производ-
производная Ли совпадает с производной в направлении векторного поля:
Функция / постоянна вдоль потока ср, тогда и только тогда, когда L^f = 0. Если это
равенство выполняется, то функция / называется интегралом поля 5 или инте-
интегралом уравнения х = ?(*). Если уравнение к = ^(х) имеет первый интеграл /, то
его порядок может быть понижен на единицу в следующем смысле. Интегральные
кривые лежат на поверхностях уровня f(x\ ..., хп) = const, а поле ?, очевидно,
касается этих поверхностей. Размерности поверхностей уровня равны (п - 1),
и, ограничивая на них уравнение х = ?(лг), мы получаем уравнение с меньшим
числом переменных х*.
2. Векторы. Из равенства (8.16) следует, что
т. е. L5T) совпадает с коммутатором векторных полей $ и г).

286 Глава 8. Тензорные поля в анализе
3. К о в е к т о р ы. Из формулы (8.16) следует, что
Следствие 8.7. Для функций дифференциал коммутирует с производ-
производной Лfu:
5(/) ^/)
Доказательство. Пусть п = -Д- — градиент функции /. Тогда
ах
Следствие доказано.
4. Тензоры типа @, k) и, в частности, дифференциаль-
дифференциальные формы. Для них производная Ли записывается в виде
Например, для билинейных форм мы имеем
(bti« = ?fp + gU; + дЛёш = щ, (8.17)
Для метрик gVj тензор L^g называется тензором малой деформации. Он опи-
описывает изменение метрики при деформации пространства, заданной потоком ф/.
Для евклидовой метрики g^ = Ъц (в этом случае верхний и нижний индексы не-
неразличимы) этот тензор принимает стандартный в теории упругости вид
5. Элемент объема. Рассмотрим элемент объема >/^[е/,.../я, где g =
= detg/ь который ведет себя как тензор только при заменах координат с поло-
положительным якобианом. Формула (8.16) определяет его производную Ли, которая
равна
Заметим, что в скобках стоит след тензора деформации Тг(м/у) = $щ-п заданного
формулой (8.17). В итоге мы получаем
Для евклидовой метрики правая часть упрощается:

§8.3. Векторные поля 287
7. Центральные расширения алгебр Ли. Для приложений в физике важ-
важны не только алгебры Ли векторных полей, но и их центральные расширения.
Наиболее известным из них является алгебра Вирасоро.
Говорят, что алгебра Ли L+ является центральным расширением алгебры L,
если она получается из L добавлением пространства V, порожденного элементами
/i, ..., 1Л, с коммутационными соотношениями
К. Л1+ = К, *)] + /¦ К. т))*, + ... + /„(?, т))*я, [Z+, /,]+ = 0, /= 1 л,
где $, г) € L, [•, •]— коммутатор в алгебре L и [•, •]+ — коммутатор в алгебре L+.
Мы видим, что все подпространство V состоит из центральных элементов (ком-
(коммутирующих со всеми другими).
Очевидно, что каждое (конечномерное) центральное расширение получа-
получается в результате последовательности одномерных центральных расширений
(с dim V — 1), которые задаются функцией
где
К.т)^ = К,11] + /E,т1)/
и F — поле коэффициентов алгебры Ли. Эта функция должна быть билинейной
и кососимметрической, чтобы выполнялось соотношение антикоммутативности
[?, У)]+ = — [г], ?]+. Легко проверить, что для выполнения тождества Якоби необ-
необходимо и достаточно выполнение соотношения
/(К, Л1 х) + /([г], т], I) + /([т, ?1 г,) = 0, 5,1), х € L. (8.18)
Этому соотношению удовлетворяет, например, функция вида
/E.T)) = *(R.i)D. (8.19)
где g—любая линейная функция на алгебре L.
Билинейная кососимметрическая функция /(?, г)), удовлетворяющая усло-
условию (8.18), называется (двумерным) коциклом на алгебре Ли. Коциклы
вида (8.19) называются кограницами.
Очевидно, что коциклы образуют группу Z(L) относительно сложения, а все
кограницы — подгруппу B(L) с Z(L).
Каждая кограница задает тривиальное центральное расширение алгебры Ли.
Действительно, если центральное расширение L+ задано кограницей g, то суще-
существует изоморфизм
Аналогично доказывается, что если два коцикла f\ и /2 различаются на кограницу
g = /i — /2, то они задают изоморфные центральные расширения, и одномерное
центральное расширение изоморфно тривиальному, если и только если задаю-
задающий его коцикл является кограницей. Сформулируем вывод в виде следующей
теоремы.
Теорема 8.14. Одномерные центральные расширения алгебры Ли L на-
находятся (с точностью до изоморфизма) во взаимно однозначном соот-

288 Глава 8. Тензорные поля в анализе
ветствии с коммутативной группой H2(L), которая является фактор-
факторгруппой группы коциклов по подгруппе, образованной кограницами:
H2(L) = Z(L)/B(L).
Группа H2(L) называется группой (двумерных) когомологий алгебры Ли L.
Гладкие векторные поля на окружности имеют вид
Функция ?(х) разлагается в ряд Фурье по функциям s\nnxy cosnx, n = 0, 1, ...,
и поэтому векторные поля
3-, cosnx-r-, sinn*—, /1=1,2,...,
dx dx dx
образуют формальный базис в алгебре Ли V(Sl) гладких векторных полей на
окружности.
Чтобы просто записать коммутационные соотношения, удобно рассмотреть
комплексификацию V(Sl) ® С алгебры КE'), которая формально порождена ба-
базисными элементами
вп = е1ПХТх> neZ>
с коммутационными соотношениями
[ет, еп] = i(n - т)ет+п, m,neZ.
Алгебра Ли V(Sl) порождается над полем вещественных чисел полями еп + е_„
и i(en -е_я). п>®-
Лемма 8.4. Билинейная кососимметрическая функция
(8.20)
/о
является коциклом на алгебре Ли V(S]) и ее комплексификации V(Sl) ® С.
Здесь штрих обозначает производную по х.
Доказательство леммы. На базисных элементах из {еп} функция
/(?, у)) принимает следующие значения:
/(*,,, ем) = -2шп%,-т.
Мы имеем
=
./о
tl em) + f([etj em\ ek) + f([em, ek\ et) =
= 2к8*+/+т,0((/ - k)(k + /K + (m - /)(/ + mf + (ft - m)(ft + mf) = 0.
Следовательно, формула (8.20) задает коцикл на алгебре V(Sl) 0 С. Так как
на подалгебре V(Sl) ее значения вещественны, она задает коцикл и на алгебре
V(S'). Лемма доказана.
Коцикл (8.20) называется коциклом Гельфанда—Фукса. Следующую тео-
теорему, доказанную Гельфандом и Фуксом, мы приводим без доказательства.

Упражнения к главе 8 289
Теорема 8.15, Группа когомологий H2(V(S1)) одномерна, H2(V(S1)) = R,
и ее образующая задается коциклом (8.20).
Одномерное центральное расширение Vc алгебры Ли векторных полей на
окружности вида
называется алгеброй Вирасоро. Постоянная с называется центральным заря-
зарядом расширения Vc.
Упражнения к главе 8
1. Вычислите действие оператора * на кососимметрических тензорах в четы-
четырехмерном пространстве Минковского.
2. Докажите, что действие (8.4) группы Лоренца на пространстве кососим-
кососимметрических тензоров ранга 2 в пространстве Минковского задает изоморфизм
групп Ли SOA,3) = 0C, С).
3. Покажите, что электромагнитное поле в пространстве Минковского опреде-
определяется парой, состоящей из вектора и кососимметрического (относительно замен
пространственных координат, не затрагивающих время) тензора в R3.
4. Докажите следующую формулу:
А о>2) = /^((Oj) Л
5. Докажите, что для диффеоморфизмов F: U —> V отображения /% переводят
коммутаторы векторных полей в коммутаторы:
6. Докажите, что однопараметрические группы коммутируют тогда и только
тогда, когда порождающие их векторные поля ^ и г) коммутируют:
K,tj] = O.
7. Докажите, что если линейно независимые векторные поля Х\, ..., Хп в об-
области из Rn коммутируют, т. е. [Xh Xj] = 0, то в этой области существуют такие
координаты х\ ..., хп, что каждое поле X1 всюду касается /-й координатной оси:
4ДхО = 8{.
8. Вычислите оператор ехр (ах + Ь) -г- .
9. Выпишите генераторы группы аффинных преобразований Rn и группы дви-
движений пространства Ru.
10. Докажите, что векторные поля Lx, LY, Lz в М3 — генераторы группы
SOC, E) — касаются любой сферы с центром в начале координат, и вычислите
вид соответствующих дифференциальных операторов первого порядка на еди-
единичной сфере в сферических координатах.
10-1168

290 Глава 8. Тензорные поля в анализе
11. Докажите, что левоинвариантные векторные поля Lx на группе Ли ком-
коммутируют с правоинвариантными векторными полями RY:
12. Пусть Lz и Ln — производные Ли вдоль векторных полей $ и у). Докажите
формулу
13. Векторное поле $ на римановом многообразии с метрикой gik называется
полем Киллинга, если производная Ли метрики вдоль этого поля равна нулю:
kgu> = 0.
Докажите, что
а) если на многообразии действует однопараметрическая группа изометрии фь
то касательное к ней поле ?(х) = ф/(^)|/==0 является полем Киллинга;
б) линейная комбинация двух полей Киллинга с постоянными коэффициента-
коэффициентами есть поле Киллинга;
в) коммутатор двух полей Киллинга является полем Киллинга.

Глава 9
Анализ дифференциальных форм
§9.1. Дифференциальные формы
1. Кососимметрические тензоры и их дифференцирование. Физические
законы, по крайней мере большинство из них, записываются в виде дифферен-
дифференциальных соотношений между физическими величинами, которые являются тен-
тензорными полями. Это связано с тем, что эти физические законы не зависят от
выбора системы координат и поэтому носят тензорный характер. Входящие в них
дифференциальные операции тоже не должны зависеть от выбора системы ко-
координат, поэтому результатом такой операции, примененной к тензору, должен
быть тензор.
Например, производная — тензорного поля Т(х\ ..., хп, а) по дополнитель-
дополнительна
ному параметру а является тензором того же самого типа, что и Т. Это вытекает
из того, что операция дифференцирования производится отдельно в каждой точке
и не связана с геометрией пространства. В классической механике роль параме-
параметра а играет время: а = /.
Взятие градиента гладкой функции
переводит функцию (скаляр) / в ковектор grad /, который при заменах координат
z = z(x) меняется по правилу
dzl ~~ дх! dzr
Эта операция тоже не связана с метрикой (геометрией) пространства.
В физике XIX в. возникли две другие операции на векторных полях в трех-
трехмерном пространстве с евклидовыми координатами х\ х2у хъ (в евклидовом про-
пространстве мы не будем различать верхние и нижние индексы). Каждому вектор-
векторному полю Т=(Т\, T2i Тг) сопоставляются ротор
\дх2 дхгУ дхъ дх1' дх1 дх2)
и дивергенция
10*

292 Глава 9, Анализ дифференциальных форм
При переходах к другим евклидовым системам координат ротор преобразуется
как векторное поле, а дивергенция ведет себя как скаляр. Так как в евклидовом
пространстве мы не различаем векторы и ковекторы, можно считать, что эти
операции определены и на ковекторах. Заметим, что выполняются тождества
rot grad / = 0, div rot T = 0.
На общие кососимметрические тензоры типа @, k) эти операции обобщаются
следующим образом.
Пусть 7},.../а —кососимметрический тензор типа @, k) в /г-мерном простран-
пространстве с координатами х\ ..., хпу jm = 1, ..., п.
Градиентом dTh,^klk^ тензора Т называется кососимметрический тензор
типа @, k + 1) с компонентами
(как всегда, здесь значок над/т означает, что индекс jm пропущен).
Прежде всего поясним, почему эта операция является обобщением данных
примеров:
1) если Т — скаляр (функция), то (dT)i = —т, и мы видим, что dT = grad T\
2) каждому ковекторному полю Т в R3 отвечает тензорное поле dT типа @, 2).
В трехмерном евклидовом пространстве ротор поля Т имеет вид
где * — оператор двойственности Ходжа;
3) для тензора S типа @, 2) в трехмерном пространстве
и мы заключаем, что в евклидовом пространстве Е3 дивергенция поля Т равна
div7' = *~ld(*T).
Проверим корректность определения градиента тензора.
Теорема 9.1, Градиент dT кососимметрического тензора типа @, k)
является кососимметрическим тензором типа @, k+ 1).
Доказательство. Для k = 0 эта теорема была доказана в п. 1 §7.1.
Чтобы избежать громоздких выкладок, мы ограничимся случаем k = 1, из разбора
которого ясно, как проводить выкладки в общем случае.
Пусть задана замена
х* = У(г' 2я), /=1 я.
Пусть Tix,.jk — компоненты тензора в координатах (jc) и fix_jk — компоненты в ко-
координатах (z). По определению
7 = 71 (9Л)

§9.1. Дифференциальные формы 293
Рассмотрим градиенты тензора в различных системах координат:
ЕГ-1*^-*", (9.2)
Г1^1- (9-3)
Для доказательства теоремы необходимо подставить формулы (9.2) и (9.3)
в формулу для преобразования тензора (9.1) и убедиться, что градиент (с1Т)ф
выражается через dT{i) по тензорному закону.
Пусть k = 1 и Ti — ковектор. Тогда
- дх1 дх!'
Мы имеем
dTk dTt д (тдх1\ д (тдх'
dzl dzk + l dzldzk dzk dzl l dzkdzl - \ d* dzl) dzk V dxl dzk ) dzl ""
При k = 1 теорема доказана.
2. Внешний дифференциал. В п. 3 §7.2 было показано, как каждому ко-
сосимметрическому тензору Ttl..jk типа @, к) сопоставляется дифференциальная
форма
со = ^2 Т1х„Лк dxi] Л ... Л dxik.
Внешний дифференциал формы со — это форма Ло степени k + 1, определенная
формулой
Z! ^r (9.4)
«0.
Теорема 9.2. Если о> = X) ^i.../* dxh A ... Л d^'*, mo
Если со = / — скаляр, то dco = -~т йл:' —дифференциал функции /.
Жо = 2 (dT)h..Ml dx» Л...

294 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Доказательство. Согласно определению dT имеем
(dT)it..,k+idx»A...Adx^ =
J2 ^l)m+l h"J?Ml dxhA...A
Так как dx'* Л... Л dx!*+* = (-l)w+l dxim Adx'* Л...Л dx^ Л ... Л dxik+\ то, по-
положив в т-ы слагаемом /o = /m, h =уь .... /* =/*+i» MbI преобразуем правую
часть к виду (9.4). Теорема доказана.
Тождества rot grad / = 0 и div rot T = 0 обобщаются следующим образом.
Теорема 9.3. Квадрат внешнего дифференциала формы тождественно
равен нулю:
2 = 0.
Доказательство. Для дифференциальной формы
о) = ]Г Тц..Лк dxil Л ... Л rfjc1*
мы имеем
^ IFa? " Л dA;P Л djc/l Л e *e
p,q, /,<...«*
Выражение ^'"'р симметрично по индексам q, /?, а выражение dxq Л dxp ко-
сосимметрично: djcp Л dx9 = —rfjc^ Л dxp. Отсюда следует, что их свертка равна
нулю. Теорема доказана.
Следующая теорема показывает, как внешний дифференциал действует на
внешнее произведение дифференциальных форм.
Теорема 9.4. Если 6>i и <о2 — дифференциальные формы степеней р и q
соответственно, то
Л 6J) = d<*)| Л <о2 4- (— 1)Р6
Доказательство. Пусть
о>1 = fdxil Л ... Л dxip, (o2 = gdxh Л... Л dx'4.
Мы имеем
со, Л бJ = fed*''1 Л ... Л d*''" Л dxh Л ...

§9.1. Дифференциальные формы 295
d((o, Л бJ) = Д-gdx* Л dxi{ Л ... Л dxf* + /-^ ^х* Л rfx'1 Л ... Л
дх дх
= f-^ ^ A dxl> Л ... Л Лс'Л Л (gdxh Л ... Л
хал: /
+ (-lYifdx1* Л ... Л dx?>) Л (-% d** Л dxh Л ... Л
так как
d** Л djc'1 Л ... Л rf^" Л dxh Л ... Л dx^ =
= (-\)рdxh Л ... Л rfjc*" Л dxk Л rfjc7'1 Л... Л dx}".
Общее утверждение следует из линейности d. Теорема доказана.
Укажем еще одно выражение для дифференциала формы, полезное для при-
приложений.
Теорема 9.5. Пусть со — дифференциальная форма степени k и Хи ...
..., Xk+\ —гладкие векторные поля. Справедлива формула
. (9.5)
К1
Здесь под выражением вида dXi^{X\y ..., Xiy ..., A^+i) понимается производ-
производная гладкой функции (*)(Х\У ..., Xh ..., Xk+i) в направлении поля Xh
Доказательство. Пусть Ttdxl = со, тогда
и значение формы Ло на векторных полях X и Y равно
S @ - §)¦
(S - S)^'1" - *">=*"(@ - §
где в правой части подразумевается суммирование по повторяющимся индексам i
и /. Формула (9.5) принимает вид
, Y) =
(^ - У*|?) = М($ - g). (9.7)
Мы видим, что правые части формул (9.6) и (9.7) совпадают. Теорема доказана
при Л= 1. Общий случай оставляется читателю.

296 Плава 9. Анализ дифференциальных форм
В присутствии метрики на формах можно определить еще одну операцию,
которая не повышает на единицу степень формы (как внешний дифференциал),
а понижает степень формы на единицу. Это—дивергенция 5 кососимметрическо-
го тензора. Ее действие на формах степени k на л-мерном многообразии задается
формулой
Из теоремы 9.3 следует, что
Ъ2 = (*-1d*)(*-'d*) = *-'d2* = 0.
Пример. Еще раз выведем формулы для ротора и дивергенции в R3 с ев-
евклидовыми координатами х\ х2у jc3. Пусть со = Ti dx1 + T2dx2 + T$dxz. Тогда
— форма степени 2 и
После отождествления векторов и ковекторов мы получим
Вычислим теперь форму 8<о = —*~'rf*<o. Это форма нулевой степени:
to = T, dxx + T2dx2 + Tsdx3 -%
-U Г, dx2 Лdx3 + hdx3 Adxl + T3dxl Лdx2 -^
Следовательно,
В неевклидовых координатах дивергенция определяется другой формулой (см.
формулу A0.31) ниже).
3. Уравнения Максвелла. В качестве примера физических законов, включа-
включающих дифференциальные соотношения типа ротора и дивергенции, укажем урав-
уравнения Максвелла для электромагнитного поля.
Рассмотрим четырехмерное пространство Минковского (пространство-вре-
(пространство-время) с координатами х° = с/, х\ jc2, jc3, где с — скорость света, и псевдоевклидовой
метрикой
dl2 = (dx0J - (dx]J - (dx2J - (dx3J.
Электромагнитное поле является кососимметрическим тензором Fi} 2-го ранга,
где /, у = 0, 1, 2, 3 (см. п. 1 §8.1). Он определяется электрическим и магнитным

§9.1. Дифференциальные формы 297
полями Е и Н по формуле
-?, Я, О -Н, Г
Тензор электромагнитного поля Fq удовлетворяет уравнениям Максвелла,
которые распадаются на две пары уравнений.
Первая пара уравнений имеет вид
В терминах полей Е = (Foi, fl», /чв) и Н = (Z^, ^з, F2\) уравнение (9.8)
с (/, /, k) = A, 2, 3) примет вид
^ ^ § 0. (9.9)
Остальные уравнения из (9.8) означают, что
rotE = -i^. (9.10)
Мы видим, что система (9.8), или, что то же самое,
эквивалентна системе из скалярного уравнения (9.9) и векторного уравне-
уравнения (9.10).
В отличие от первой пары уравнений, вторая пара уравнений Максвелла свя-
связана с наличием псевдоевклидовой метрики и имеет вид
bF=*d*F==^j{4h (9.11)
где /D) — четырехмерный (ко)вектор тока: /D) = (рс, -р<Л -рг;2, -р^3) =
= (р> ~J)» Р — плотность электрического заряда в трехмерном пространстве
и v = (и1, у2, v3) —обычная скорость зарядов в трехмерном пространстве.
С помощью формулы (8.3) для оператора * в псевдоевклидовых координатах
уравнение (9.11) переписывается в виде пары уравнений: скалярного уравнения
divE = 4яр
и векторного уравнения
,тт 1 (?Е 4л.
rotH г- = —j.
с dt с

298 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
§ 9.2. Интегрирование дифференциальных форм
I. Определение интеграла. В классическом анализе для каждой непрерыв-
непрерывной функции f(x\ ..., хп) в ограниченной области U евклидова пространства ЕЛ
определен интеграл
j... f f(x)dxl...dxn= f... Гf(x)dxl A...Adxn.
Если задана замена переменных
с положительным якобианом:
то верна формула замены переменных
J...Jf(y(x))dylA...Adyn = f... J f(x)JdxlA...Adxn. (9.12)
Знак Л означает, что dxl A dxj = -dx) A dx\ и поэтому при замене переменных
у = у(х) мы имеем dy1 = -^7 dx', dy1 A dy1 = — dy1 A dyl и, как окончательное
ах1
следствие этих формул,
где /[]} — минор матрицы Якоби -^т. При k = п мы получаем
dy]A...Adyn=JdxlA...A dx\
где У — якобиан (определитель матрицы Якоби).
Напомним, что выражение Tdx1 A ... Л dxn задает кососимметрический тен-
тензор типа @, я), так как при заменах координат оно преобразуется по правилу
Tdx1 А ... Л dxn = Tdet(^j) dy1 A... Л dyn = 7Г1 dy1 A... Л
Другой интеграл, который рассматривается в классическом анализе, — это
интеграл от функции по поверхности в пространстве. Пусть г: U —>R3 — регу-
регулярное вложение поверхности с координатами х\ х2у принимающими значение
в области U с М2, и f(xl, х2) — функция на поверхности. Тогда интеграл от этой
функции по поверхности определяется как кратный интеграл вида
Adx2, (9.13)
где g = det(gij) и gijdxidx' — первая квадратичная форма на поверхности.

§9.2. Интегрирование дифференциальных форм 299
Заметим, что если на /2-мерном многообразии задана риманова метрика
gy dx1 dx), то при заменах переменных у = у(х) метрический тензор преобразуется
по формуле
йч dy' dy> = ёч^% dx> dx1 = gkl dx* dx1
И МЫ ВИДИМ, ЧТО
g = det(gw) = det(&) det(|?) det(^) = gJ2.
Следовательно, при заменах координат с положительным якобианом величина
y/g ведет себя как тензор типа @, п).
Из формул (9.12) и (9.13) мы делаем следующие выводы.
1. Пусть U—ограниченная область в я-мерном пространстве и Т—скалярная
функция точки в (/, которая ведет себя как кососимметрический тензор типа @, п)
при заменах координат с положительным якобианом. Тогда определен интеграл
/¦•¦//¦
2. В координатной записи кососимметрический тензор Т типа @, п) имеет вид
T=TL,,adx{ A...Adxn
и при замене координат у = у(х) (с положительным якобианом) мы имеем
Л.. I TUm.a(y(x)) dy] A...Adyn= f... f Tx,,.n{x)Jdxx Л ... Л dxn.
3. Для того чтобы проинтегрировать функцию f(x) по области пространства,
необходимо выделить в этой области кососимметрический тензор Т типа @, п)
(если величина Т\,щМ всюду положительна, то этот тензор называется элементом
объема или мерой) и под интегралом от функции f(x) по области U по опреде-
определению понимается интеграл от тензора f(x)T:
...„(*) dx1 A...Adxn.
4. Если в области U задана риманова метрика gin то в качестве меры можно
взять тензор
A...Adx\
который в евклидовых координатах имеет вид dx1 Л ... Л dxn.
Мы пришли к определению интеграла первого рода, для вычисления которо-
которого необходимо иметь выделенный элемент объема. В этом случае функцию надо
умножить на этот элемент и затем проинтегрировать. Если рассматривать толь-
только замены переменных с положительным якобианом, то этот интеграл сводится
к интегралам от тензоров.
Интеграл первого рода от функции f(x) по «-мерной области U с римановой
метрикой gij dx1 dx* — это кратный интеграл вида
f... f f(xl, ..., xn)y/gdx1 Л ... Лdxn.

300 Плава 9. Анализ дифференциальных форм
Интеграл второго рода существует всегда, не зависит от выбора метрики
и является интегралом от кососимметрического тензора. Каждому кососимме-
трическому тензору типа @, k) однозначно отвечает дифференциальная форма
степени k. Само же понятие «дифференциальная форма» связано с тем, что фор-
форму степени k можно проинтегрировать по любой й-мерной поверхности.
Пусть Т — кососимметрический тензор типа @, k) в /z-мерной области U,
? T^dx'* A...Adxik
— дифференциальная форма, которая отвечает этому тензору, и Мк — регулярная
^-мерная поверхность в U (т.е. подмногообразие) с координатами z\ ..., 2*.
Тогда определен интеграл от кососимметрического тензора типа @, к) по
^-мерной поверхности в области U (интеграл второго рода):
J J =
где правая часть — обычный кратный интеграл от ограничения тензора Т на по-
поверхность (см. п. 2 §8.2):
При k = п мы получаем определение интеграла от тензора Т по области U.
Лемма 9.1. Значение интеграла второго рода от тензора Т по k-мер-
ной поверхности в области U не изменяется при переходе к другим коор-
координатам на поверхности (если якобиан матрицы перехода положителен)
и не зависит от выбора координат в области U.
Доказательство. Если и1, ..., uk — новые координаты на поверхности,
то ограничение тензора Т на поверхность тоже является тензором типа @, k):
t\_k dux A... Л duk = T\_kJdxx A...Adxk = T\_k dxl A ... Л dx\
где J = det( -Д) > 0, и мы имеем
\дх* J
f T= [ T[_kdxl A...Adxk= f f'L..kdul ...Aduk.
Jm Jm Jm
При замене координат в области U ограничение тензора Т на поверхность не
изменяется. Действительно, если у = у(х) —такая замена, то

§9.2. Интегрирование дифференциальных форм 301
и мы имеем
- Е *м
/I <...</¦*
Лемма доказана.
Пример. Пусть задана гладкая кривая x(t) = (х1 (/), ..., xn(t)), где / € [а, Ь],
и в пространстве задано ковекторное поле Т = 7} dx1'. Интеграл (первого рода) от
поля Т по кривой х@ равен
L
x(t) Ja ai
Если мы хотим найти интеграл по кривой от какой-то скалярной функции /(/),
определенной на кривой (например, от кривизны), то мы должны ввести эле-
элемент длины (объема) на кривой в виде \х\ dt = y/gudt = dl, где / — натуральный
параметр, и вычислить интеграл (второго рода)
f
Ja
f(t)\x\dt=
где L—длина кривой.
Замечание о наиболее общем интеграле. Естественно за-
задать такой вопрос: какие интегралы не зависят от координат, как и интегрирова-
интегрирование дифференциальных форм?
На этот вопрос несложно ответить. Пусть задана произвольная функция
F(xyP), где х — точка, а Р — произвольная ^-мерная касательная плоскость
в этой точке и в этой плоскости выбрана ориентированная й-мера, т.е. эле-
элемент k-й внешней степени этой плоскости. При умножении этой меры на число
Р —> \Р мы требуем, чтобы F —»X/7 или F —> |Х|/\ Такую величину можно инте-
интегрировать по любой ориентированной й-мерной поверхности, как и дифференци-
дифференциальную ft-форму. Попросту говоря, ограничение этой величины на поверхность
является тем же стандартным объектом интегрирования, как и ранее. Простей-
Простейшим примером является элемент длины любой кривой, порожденный римановой
метрикой gij(x) (здесь Р — это касательный вектор и F — его длина). Точно так
же риманова метрика порождает /е-площадь любой ^-мерной поверхности. Все
подобные объекты можно инвариантно интегрировать.
Дифференциальные формы выделены тем, что для них, кроме интегра-
интеграла, есть еще дифференциал, который совместно с интегралом обладает
замечательными топологическими свойствами, выраженными в формулах
типа Стокса.

302 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Именно это обстоятельство выделяет кососимметрические тензоры. Чрезвы-
Чрезвычайно любопытна ситуация, возникающая при обобщении теории интегрирования
на супермногообразия.
2. Интеграл от формы по многообразию. При определении интегралов
первого и второго рода в п. 1 мы использовали координаты в области, по которой
берется интеграл. При этом мы отмечали, что значение интеграла не зависит от
выбора этих координат (лемма 9.1). Более того, интеграл аддитивен:
1) если U\ и U2—две непересекающиеся области, в которых определена фор-
форма Г, то
Г Т= [ Т+ [ Т;
2) если Т\ и Т2 — кососимметрические тензоры типа @, &), ограниченные на
поверхность Af, то
Т2.
м
Мы используем эти свойства для определения интеграла от формы по много-
многообразию, на котором нельзя ввести глобальные координаты. Простейшим приме-
примером такого многообразия является сфера, которую можно представить как объ-
объединение двух кусков с глобальными координатами.
В классическом анализе значение кратного интеграла не зависит от порядка
интегрирования:
В то же время при перестановке координат х <-+ у кососимметрический тензор
fdx Ady перейдет в -fdy Л dx, так как якобиан этой замены отрицателен. По-
Поэтому при локальном определении интеграла от формы как кратного интеграла
мы фактически выбираем ориентацию на многообразии: считаем, что
JJf(x, у) dx Л dy = JdxJdyf(xy у)
в случае, когда реперы (—, — J положительно ориентированы в области U
(см. п. 3 §5.1).
Так как лемма 9.1 утверждает сохранение значения интеграла только при за-
заменах координат, сохраняющих ориентацию, для определения интеграла на мно-
многообразии надо потребовать, чтобы многообразие Мп было ориентированным.
Пусть Мп — ориентированное гладкое многообразие размерности п, на ко-
котором заданы дифференциальная форма со степени п и разбиение единицы
(см. п. 5 §5.1). Напомним, что под разбиением единицы понимается покрытие
многообразия Мп координатными областями Ua и набор гладких функций сра со
следующими свойствами:
1) каждая функция сра тождественно равна нулю вне области (Уа и принимает
значения на отрезке [0, 1]: 0 < cpa(jt) < 1;

§9.2. Интегрирование дифференциальных форм 303
2) в каждой точке х € Мп лишь конечное число функций сра не равно нулю и
Для простоты мы ограничимся случаем, когда разбиение единицы состоит из
конечного числа областей Ua. Такое разбиение всегда существует на компактном
многообразии.
Интегралом (второго рода) от формы Т = Т\„л dxl Л ... Л dxn по многообра-
многообразию Мп называется следующая величина:
где слагаемые вида / (раТ есть интегралы (второго рода) по координатным обла-
облака
стям иа от форм сра7\ определенные как кратные интегралы. Это означает, что
где базисы касательных векторов (-г-у, • • •» уя) положительно ориентированы
в области U*. дх« *
Чтобы доказать, что это определение не зависит от выбора разбиения едини-
единицы, приведем простое рассуждение. Пусть точка х лежит вместе со своей окрест-
окрестностью U в пересечении областей U\, ..., (Л. Так как значение интеграла по
координатной области не зависит от выбора координат, очевидно равенство
Поэтому мы имеем
т+ (т.
мп\и Ju
Значение второго слагаемого не зависит от выбора разбиения единицы и, следо-
следовательно, значение интеграла второго рода, взятое по окрестности любой точки,
не зависит от выбора разбиения единицы. Отсюда ясно, что интеграл по всему
многообразию тоже корректно определен.
Интеграл (первого рода) от функции /(х), заданной на ориентированном
многообразии Мп с римановой метрикой glh по определению равен
= / fVgdxlA...Adx\
где интеграл от величины fda определен с помощью разбиения единицы как
интеграл от кососимметрического тензора.
Отметим еще одну возможность определить интеграл по многообразию без
использования разбиения единицы. На некоторых многообразиях можно ввести

304 Плава 9. Анализ дифференциальных форм
глобальные координаты, имеющие особенности на множестве меньшей размерно-
размерности. Например, таковы сферические координаты на сферах (для двумерной сферы
они определены в п. 2 § 1.1) или полярные координаты на плоскости. Интегралы
от форм максимальной степени по множествам особых точек равны нулю; этими
координатами часто пользуются в теории интегрирования.
3. Интегралы от дифференциальных форм в R3. Рассмотрим интегралы
от форм по подмногообразиям евклидова пространства R3 с евклидовыми коор-
координатами х\ х2, х?.
1. Интеграл от тензора нулевого ранга — скаляра f(x) — по нульмерному под-
подмногообразию (точке Р) есть просто значение функции f(x) в точке Р: интеграл =
2. Интеграл от тензора ранга 1 — ковекторного поля Tt dxl — по кривой Г,
заданной формулами x(t) = (xl(t), x2(t), *3(/)), где а < / < ft, есть
[т^х! = f Ux(t))xf dt.
Jr Ja
Если кривая замкнута, т.е. х(а) =x(b), то значение этого интеграла
Т.йх1
Jr
/г
называют циркуляцией поля Т вдоль кривой Г. В евклидовых координатах век-
векторы и ковекторы не различаются, и обычно говорят о циркуляции векторного
поля Т=(Ти Г2, 7з).
3. В общем случае интеграл от тензорного поля (Тц) = ? TVidxl Л dx} по дву-
/</
мерной поверхности Г, заданной уравнениями х1 = xl(z\ г2), / = 1, ..., л, в R"
есть
-1E
В каждой точке поверхности касательные векторы
образуют базис в касательном пространстве к этой точке. В трехмерном евкли-
евклидовом пространстве векторное произведение этих векторов
ортогонально поверхности (здесь еи е2, ег — ортонормированный базис в R3).
Длина вектора [^, rj] равна y/gy где g = det(gl7) — определитель первой квадра-
V
V
е2
г?
rf

§9.2. Интегрирование дифференциальных форм 305
тичной формы поверхности (см. п. 1 §3.2):
з
Кососимметрическому тензору Т ранга 2 отвечает ковекторное поле *Г, которое
мы обозначим символом f и которое в евклидовых координатах можно рассма-
рассматривать как векторное поле
f=(fI,f2,f3) = (r23, -Г,з, ТХ2).
Подставляя выражения для Т и [?, т)] в равенство (9.14), получаем
/ V T^dxf Л dxf = /<7\ R, г)]> dzl Л dz2 = /<f, n)^^1 Л d*2, (9.15)
Jr i<} Jr Jr
где n — единичный вектор нормали к поверхности: п= ШЧг = ^=М.
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 9.6. В трехмерном евклидовом пространстве R3 интеграл от
формы Т степени 2 по поверхности совпадает с интегралом первого рода
от функции (f, n), где п — нормаль к поверхности и Т = *7\
В пространствах размерности, большей 3, интегралы от форм степени 2 не
сводятся к операциям только над векторными полями. Это связано с тем, что
оператор * не переводит 2-формы в ковекторные поля.
Если поверхность Г является замкнутой (ограничивает некоторую область),
то интеграл
называется потоком поля Т через поверхность Г.
4. Теорема Стокса. В классическом анализе известна связь между инте-
интегралами по областям и их границам (формулы Грина, Гаусса—Остроградского
и Стокса). Все они являются частными случаями теоремы Стокса.
Наиболее простая связь между интегралами по области и границе устана-
устанавливается формулой Ньютона—Лейбница: если f(x) — гладкая функция на
кривой М, заданной уравнением х = *(/), где а < / < 6, то
df=/м Ъ *dt=пт)"Пх{а))-
Здесь пару концевых точек Р = х(а) и (? = х(Ь) можно трактовать как грани-
границу одномерного многообразия М с ориентацией, заданной направлением кри-
кривой,— значение параметра / меняется от а до Ь. Чисто формально запишем гра-
границу М как

306
Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Тогда формула Ньютона—Лейбница примет вид
dM
где / — нульмерная форма (скалярная функция).
Рассмотрим общий случай.
Пусть Мп — ориентированное гладкое многообразие с гладкой границей дМп
(возможно, пустой). На границе зададим ориентацию по следующему правилу:
в точке х ? дМп базис в\% ..., ert_i касательных векторов к границе положительно
ориентирован, если положительно ориентирован базис v, еь ..., еп~\ касатель-
касательных векторов к Мп, где вектор -v в точке х направлен внутрь многообразия Мп
(вектор v называется внешней нормалью).
В качестве примера такого многообразия можно взять область U в Rn с глад-
гладкой границей Г.
Теорема 9.7 (Стоке). Пусть на ориентированном компактном гладком
многообразии Мп размерности п с гладкой или кусочно гладкой границей
дМп задана форма Т степени (п- 1), тогда
[
= [ dT.
(9.16)
В частности, если многообразие Мп замкнуто (не имеет границы), то
интеграл от любой формы вида dT no этому многообразию равен нулю.
Говорят, что граница кусочно гладкая, если она
состоит из конечного числа гладких кусков, кото-
которые примыкают друг к другу по множествам мень-
меньшей размерности. Например, кусочно гладкую гра-
границу имеет декартов куб
Рис. 9.1. Ориентация
границы области
в Rn. Интеграл по кусочно гладкой границе по опре-
определению есть сумма интегралов по гладким кускам.
Разберем отдельно частные случаи общей фор-
формулы Стокса (9.16), известные из курса анализа.
Примеры. 1. Формула Грина. Рассмотрим замкнутый контур Г,
ограничивающий область U на плоскости с координатами jc, у (рис. 9.1). То-
Тогда для гладкого ковекторного поля Т = Т\ dx + Т2 dy имеет место формула Гри-
Грина— частный случай формулы (9.16) для М2 = U:
-ffldxAdy. (9.17)
При этом контур Г при взятии интеграла обходится против часовой стрелки.

§ 9.2. Интегрирование дифференциальных форм
307
2. Формула Кош и. Применим формулу Грина к комплекснозначной
гладкой функции f(z) = f{xy у) = и(ху у) + iv(x, у), где z = х + iy. Мы имеем
ф f(z) dz— Ф{и + iv)(dx + idy) = (b(udx-vdy) + i (b(vdx + иdy) =
Следовательно, если внутри области U функция f{z) является комплексно-ана-
комплексно-аналитической, или, что то же самое, удовлетворяет условиям Коши—Римана
(см. п. 4 §4.1)
ди _ dv dv __ ди
Ту~~Тху ~ду~~~дх*
то ф f(z) dz = 0 и форма /(г) <?г замкнута в области U.
Если комплексно-аналитическую в области U функцию f(z) умножить на
(z — а)~\ где точка а лежит внутри области U, то интеграл от этого выражения по
контуру Г равен
2m Jrz-a Z '(a''
Это — формула вычетов или формула Коши. Что-
Чтобы доказать ее, выкинем из области U шар В ра-
радиуса г с центром в точке а. Этот шар ограничен
контуром Г". Из формулы (9.16) следует, что
Г ft \ Г ft \ Г ft \
Р -^L dz- ф -^- dz = / d(-??L ) - 0. Рис. 9.2. Контуры Г и Г'
Г г-a JT,z-a JUXB \z-aj
Знак минус при интеграле по контуру Г' означает,
что ориентация этого граничного контура согласована с ориентацией области U.
Разложим функцию f(z) в ряд Тейлора в точке z = a:
Для окружности Г' = {а + ееи} прямым вычислением получаем, что
[ 0, если п ф — 1,
если п = — 1.
/(z-a)«?fe=(°\
/г/ [2ти,
Подставляя теперь в интеграл i dz ряд Тейлора для /(z), получаем
^-rfz = 2iw7(a).
/г *- •* Jt1 *
Тем самым мы доказали формулу Коши.

308 Глава 9, Анализ дифференциальных форм
Для лорановских рядов f(z) = JZ Ck(z — a)k в области U (при /г0 ^ 0
мы имеем ряд Тейлора для комплексно-аналитической функции) формула Коши
позволяет вычислить все коэффициенты разложения:
/г
3. Формула Гаусса — Остроградского. Пусть U—область в М3
с евклидовыми координатами х\ лс2, xz и Г — ее кусочно гладкая граница. Для
тензорного поля Г= 5Z Tydx? Л dx1 из формулы (9.16) следует, что
Перепишем эту формулу в терминах векторного поля Т= (Г2з> —7*13, ^12). Из ра-
равенства (9.15) следует, что
Е тчdxf Л dxi = //<Г> n)v^^' Л dz2 = ^(Г, n
где z\z2 — координаты на поверхности и do = *JgdzK Л flte2 — элемент площади
на ней. Заметим, что
дТ]г дТ2з дГ
Подставим эти выражения в (9.18) и получим формулу Гаусса—Остроград-
Гаусса—Остроградского;
/7 [[[ (9.19)
(Г, n)da= [[[(d\vT)dx[Adx2Adx*.
4. Формула Стоке а. Пусть U—область на поверхности х1 = xl(zl, z2),
/ = 1, 2, 3, в R3 и Г — граница этой области. Для ковекторного поля Tidx1 имеем
Из равенства (9.15) теперь следует формула Стокса
I Ta dx* = [f (rot Г, п) уД dz] Л dz2. (9.20)
Отметим, что в выражениях вида / (Г, n)dzl Adz2 выбор знака (ориентация
границы) определяется направлением нормали п.
Укажем теперь важные приложения общей формулы Стокса (9.16) в физике.
Напомним, что уравнения Максвелла электромагнитного поля распада-
распадаются на две пары уравнений на векторы напряженности Е = (Еи Е2, ?з)

§ 9.2. Интегрирование дифференциальных форм 309
и Н = (#|, //2, #з) электрического и магнитного полей в трехмерном евклидо-
евклидовом пространстве (см. п. 3 §9.1).
Первая пара уравнений имеет вид
4rr = 0> (9.21)
ах
i~p = 0, (9.22)
где с — скорость света в пустоте.
Из уравнения (9.21) и формулы Гаусса—Остроградского (9.19) получаем
/ТУ divHdx1 Л dx2 Л dxz = ff (H, n) da = 0,
откуда следует, что
поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю.
Из уравнения (9.22) и формулы Стокса (9.20) следует, что
т.е.
производная по времени от потока магнитного поля через поверх-
поверхность с точностью до множителя — равна циркуляции электрического
поля по границе поверхности.
Вторая пара уравнений Максвелла в трехмерной форме записывается в виде
, (9.23)
где р — плотность заряда и j — вектор тока.
Из (9.23) и формулы Гаусса—Остроградского (9.19) следует, что
/77* 4кр dx1 Л dx2 Л dxz = ff (E, n) da.
Это означает, что
поток электрического поля через границу области равен с точностью
до 4к полному заряду в этой области.
Из формулы Стокса (9.20) и из (9.24) мы выводим, что
С физической точки зрения это равенство означает, что
циркуляция магнитного поля по границе поверхности равна сумме пол-
полного тока через эту поверхность и производной по времени от потока
электрического поля через эту поверхность.

310
Глава 9. Анализ дифференциальных форм
5. Доказательство теоремы Стокса для куба. Мы ограничимся доказа-
доказательством теоремы Стокса для куба. Оно полностью демонстрирует идею дока-
доказательства (сведение к формуле Ньютона—Лейбница). Доказательство общего
случая фактически получается из доказательства в случае куба по аддитивности.
Сингулярным k-мерным кубом а
в пространстве R" называется гладкое
отображение а: /* —> R", где /* —декар-
—декартов куб размерности k:
/* = {(х" jc*): 0<jc-< 1}.
Рис. 9.3. Сингулярный куб Уравнения xf = 0 и xf = 1 определяют
две (k — 1)-мерные грани /~ и If соот-
соответственно.
Согласно принятому в п. 4 соглашению об ориентации границы грань lj бе-
берется со знаком (-1)', а грань If —со знаком (~1)и+1) (т. е. ориентация задается
внешней нормалью).
Пусть ф есть (k — 1)-форма в R" и dф— ее внешний дифференциал.
Теорема 9.8. Для сингулярного k-мерного куба в R" выполняется равен-
равенство
/ •¦/ ¦
Ja{dlk) Jo(lk)
Доказательство. Пусть со = а*(ф). Так как операции а* и d переста-
перестановочны, do = o*(d<p). Согласно определению
/ р /ф / ф= / а*(Ф),
Jo{lk) Jlk Jo(dlk) Jdl*
и поэтому необходимо доказать, что
/ 6)= / do.
Форма (о разлагается в сумму
со = ]Г Тг(х\ ..., xk) dx{ A ... Л dx1 Л... Л dx\
где Тг(х\ ..., xk) — гладкие функции. По определению внешнего дифференциала
мы имеем
где dkx = dxx Л... Л dxk.

§9.2. Интегрирование дифференциальных форм 311
Прямым вычислением получаем
17
- 7Нх\ ..., л:*) U/=o) dxx Л ... Л dxl Л ... Л dxk = / со.
Теорема доказана.
6. Интегрирование по суперпространству. В современной физике рассма-
рассматриваются преобразования, которые перемешивают бозоны и фермионы (супер-
(суперсимметрия). Для работы с ними необходимо дифференциальное и интегральное
исчисление на пространстве Мт|л.
В пространстве Rm|/I существуют естественные координаты: х\ ..., хт, ко-
которые принимают вещественные значения, и антикоммутирующие координа-
координаты 5|, ..., ?„, которые порождают внешнюю алгебру ЛМЯ. Умножение элемен-
элементов Rm|/I удовлетворяет коммутационным соотношениям
xW = x!x!9 x% = Z}x\ 5? = О, 5& = -5,Ь ПРИ ^А
Гладкие функции на Мт|я имеют вид многочленов по антикоммутирующим пе-
переменным:
/(x,5)=/ow + 2 E /<....л •••&*.
А=1 /|<...</Л
где коэффициенты /0 и fix...ik — гладкие функции от х\ ..., хп.
Функции и переменные называются четными, если они коммутируют при умно-
умножении с любыми другими функциями (в этом случае flxwik = 0 при нечетных k).
В противном случае они называются нечетными.
Производные функции / определяются по правилам
-\p -- tlyX) c^|, . . . , цу, . . . , sn/»
где
/(*. 5) = g(*, 5i,..., C» • • •. W + S/ л A(jc, 5)
(знак Л означает, что разложение функции g в многочлен от антикоммутирующих
переменных не содержит ?у).
Рассмотрим нелинейные замены координат

312 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Каждая функция хп представляется сама как многочлен от антикоммутирующих
переменных:
где многоточием обозначена нильпотентная часть, т.е. те слагаемые, которые
в какой-то степени равны нулю. Чтобы для каждой гладкой функции f(x\ ..., хп)
определить результат подстановки
разложим формально функцию / в ряд Тейлора в точке (х'о1, ..., х'™) и рассмо-
рассмотрим нильпотентную часть (х1 - х'о) в качестве приращения Д*. Так как при-
приращение нильпотентно, ряд Тейлора будет многочленом от антикоммутирующих
переменных. Например,
Изложенных правил вполне достаточно для развития дифференциального ис-
исчисления на пространстве Кт|/|. Перейдем к интегрированию.
Определение интеграла по антикоммутирующим переменным, изложенное
в п. 2 § 7.5, обобщается на интеграл по всему пространству Km|rt по формуле
/ /(х, ?) dxl Л ... Л dxm Л dlx Л ... Л dln = / fx..M(x) dxl Л ... Л dxm.
Пусть теперь х' = х'(х, ^), 5' = ?'(*» К) — замена переменных. Ее матрица
Якоби равна
fdx'
'= fдх, д\ \ = (А в)
Так как переменные х1 четные, а переменные ?' нечетные, из правил дифференци-
дифференцирования следует, что матрицы А и D состоят из четных элементов, а матрицы В
и С — из нечетных.
Мы уже предлагали в качестве задачи (см. гл. 7) доказать, что такая матрица
обратима тогда и только тогда, когда матрицы А и D обратимы. Следовательно,
матрица А имеет обратную матрицу Л~\ и deM detЛ~' = 1. Отсюда ясно, что
определитель матрицы А имеет ненулевую численную часть, т. е.
det Л = а0 + О(К2), det А-1 = <%х +
Мы положим по определению
sgndet/4 = sgna0.
Формальному вычислению определителя матрицы А препятствует наличие не-
нечетных компонент у матричных элементов (при умножении необходимо следить

§9.3. Когомологии 313
за порядком переменных). Естественный аналог определителя для матриц, со-
содержащих антикоммутирующие переменные, определяется только в случае, когда
матрица D обратима, следующей формулой:
detD
Он называется березинианом. Так как все компоненты матриц Л и BD~lC четны
(коммутируют при умножении с любыми переменными), при формальном вычи-
вычислении определителя никаких трудностей не возникает.
Теперь определение интеграла по отношению к любым координатам сводится
к интегралу по х\ ..., хп, ?|, ..., ?„ следующим образом:
/ , ?) rfV A dnV = sgn det(%) f f(x'(x, 5), ?(*. I)) BerJdmx A d%
Rm\n V OX J JRmln
§ 9.3, Когомологии
1. Когомологии де Рама. Пусть Мп — гладкое многообразие размерности п.
Обозначим через Ср(Мп) линейное пространство, образованное всеми гладкими
р-формами на Мп. Внешнее дифференцирование задает гомоморфизмы
d:Cp(M*)-*G+l(Ma),
которые образуют последовательность
С°(ЛГ) Д С'(ЛГ) ±..Л Ср(Мп) Д Ср+х(Мп) Д... Л Сп(Мп),
обладающую следующим важным свойством:
d2 = 0. (9.25)
Линейное отображение d: C-+C произвольного линейного пространства С в себя
(в нашем случае С = ф СР(М)) называется дифференциалом, если оно удовле-
удовлетворяет условию (9.25). Пара (С, d) в этом случае называется комплексом.
В каждом пространстве Ср(Мп) есть два выделенных подпространства:
1) подпространство Zp(Mn), образованное всеми замкнутыми ^-формами (они
называются коциклами);
2) подпространство Вр(Ма)9 образованное точными р-формами, т.е. внешни-
внешними производными (р — 1)-форм (они называются кограницами).
Согласно определению мы имеем
Zp(Mn) = Kerdn Ср(Мп), Вр(Мп) = Imdn Cp(Mn).
Из формулы (9.25) следует, что
т. е. все кограницы являются коциклами. Факторпространство
H*(Mn;R) = Kerd/\md
называется пространством когомологии де Рама.

314 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Это частный случай общей конструкции: если нам задано линейное простран-
пространство С, на котором действует дифференциал d: С -> С, то факторпространство
# = Kerd/lmd называется пространством когомолоеий комплекса (С, d).
Когомологии де Рама градуированы, т. е. распадаются в прямую сумму р-мер-
ных когомологии Нр(Мп\ R):
Н*(Мп\ R) = 0 Нр(Мп\ R), Нр(Мп\ R) = Zp(Mn)/Bp(Mn).
Из определения вытекает следующее утверждение.
Следствие 9.1. Если Мп — п-мерное многообразие, то Нр(Мп\ R) = О при
р>п.
Лемма 9.2. Пространство нульмерных когомологии Н°(Мп; R) порожде-
порождено связными компонентами многообразия Мп.
Доказательство. Нульмерные гладкие формы — это гладкие функции
на Мп. По определению В°(Мп) = 0. Нульмерная форма / замкнута, если ее гра-
градиент всюду равен нулю, т. е. функция / постоянна на каждой связной компоненте
многообразия Мп. Поэтому класс нульмерных когомологии [/] однозначно опре-
определяется значениями функции / на связных компонентах многообразия. Лемма
доказана.
Следствие 9.2. Пусть X = pt — точка. Тогда Н°(Х; R)=lw HP(X\ R) = 0
при р>0.
Элементами пространства когомологии являются классы эквивалентности [со]
замкнутых форм со по кограницам:
[coi] = [со2] тогда и только тогда, когда coj - со2 = dcp.
Если замкнутые формы со и со' реализуют один и тот же класс когомологии, то
говорят, что эти формы когомологичны друг другу.
Пространство когомологии, очевидно, является абелевой группой с законом
сложения
] = [СО, +6J],
причем р-мерные когомологии образуют подгруппу Нр(Мп, Е).
Как показывает следующая лемма, на этой группе когомологии существует
и операция умножения.
Лемма 9.3. Операция умножения гладких форм порождает умножение
когомологии
= [СО| ЛСО2],
которое ассоциативно и обладает следующими свойствами:
при аеНру Ье
Доказательство. Достаточно доказать корректность определения, по-
после чего алгебраические свойства вытекают из свойств умножения гладких форм.

§9.3. Когомологий 315
Покажем, что класс эквивалентности [<O|]U[g>2] не зависит от выбора замкнутых
форм о)| и <о2. Пусть о>1 е Ср(Мп), тогда
Л (<д>2 + d(f2) = <*>! Л (дJ + С0| Л Йф2 + rfcpi Л 6>2 + d(f\ Л Йф2 =
= б)|ЛбJ + d((—l)pu>\ Лф2 4- ф| Л@2 + ф! Ad(f2) =@|ЛбJ + йф.
Отсюда следует, что
[(<0| 4- rfcpi) Л (со2 4- d(f2)] = [wi Л со2].
Лемма доказана.
Следствие 9.3. Когомологий Н*(МЯ; Ж) с заданными операциями сложе-
сложения и умножения образуют кольцо (вещественных когомологий).
2. Гомотопическая инвариантность когомологий. Если/: Mn—>Nk — глад-
гладкое отображение, то оно порождает отображение гладких форм
/*: Cp(Nk) -> С"(Ма)9 р>0.
Так как df* = /*d, отображение /* переводит замкнутые формы в замкнутые,
а точные формы — в точные. Следовательно, оно порождает линейное отображе-
отображение колец когомологий по формуле
Г: H*(Nk- Ж) - Н*(Мп; R), /•[<¦>] = \Г<*1
Более того, так как /*(о>| Л со2) = f*(<*>\) Л /*(<о2), это отображение является го-
гомоморфизмом колец когомологий:
Г(а U 6) = /*а U f fc, а, Ь ? H*(Nk\ Ж).
Говорят, что /* — гомоморфизм, индуцированный отображением /.
Напомним, что два гладких отображения /0: Мп -> Nk и ft: Mn -¦ Л^Л на-
называются (гладко) гомотопными, если существует такое гладкое отображение
F: Мп х [0, 1] —* Л^*, что оно совпадает с отображениями /0 и /j на границах ци-
цилиндра Мп х[0, 1]:
F(x,*) = /,(jc), ft = 0, 1.
Это отображение F называется гомотопией между отображениями /0 и f\.
Теорема 9.9. Если гладкие отображения f0: Мп -+ Nk и f{: Мп ^> Nk го-
гомотопны, то индуцированные ими гомоморфизмы колец когомологий
ft: H*(Nk\ Ш) -> Н*(Мп\ Ш) и ft: H*(Nk\ Ж) -> Я*(А/Я; R)
совпадают:
Прежде всего докажем одну техническую лемму.
Каждая р-форма п на цилиндре Мп х [0, 1 ] разлагается в сумму
П = 6)n_i Adt + о>п,

316 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
где
^2 ah•••'>-. (*•')dxil Л • • •л d*ip-
/,<...</„_,
/i <•••</>
и jc1, ..., хп—локальные координаты на многообразии Мп. Определим опера-
оператор Д который р-форме п сопоставляет (р - 1)-форму DU на Мп:
DU = / ay., Л = ^ f / fl<i~V-i(*• О d^ djc/l Л • • •
Лемма 9.4. Верно тождество
dDU - DdU = (-l)'+'(ft|/=l - П|/я0).
Доказательство получается прямым вычислением:
dail"Jrl dt) dx* Л dxf* Л..
= 0(<Ц) -f D(rf6)p_, Л dt) =
>_, у
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 9.9. Пусть F: Mn х [0, 1 ] — гомотопия
между отображениями /ои/|,и о> — гладкая р-форма на Nk. Положим п =
Из леммы 9.4 следует, что
ПИ " /оИ = (-1
Но dP(a>) = F*(d(x>) = 0, и мы заключаем, что
[/ГИ] - [/оИ] = (-^"ИО/^И)] = О,
что влечет равенство /J = /* гомоморфизмов колец когомологий. Теорема 9.9 до-
доказана.

§9.3. Когомологии 317
Многообразия Мп и N* называются гомотопически эквивалентными, если
существуют такие (гладкие) отображения /: Мп —> Nk и g: Nk —> А/я, что отобра-
отображения fg: Nk ^> Nk и g/: ЛГ —> УИЯ гомотопны тождественным.
Пример. Евклидово пространство Мя, я-мерный диск {|х| < 1} и точка pt
гомотопически эквивалентны. Действительно, положим f(x) = pt и g(pt) = 0, где
/: Мп —> pt и Л1Я есть либо К", либо диск {|х| < 1}. Отображение fg тожде-
тождественно, а отображение gf гомотопно тождественному посредством гомотопии
F(x,f) = (l-t)x.
Из определения когомологии де Рама очевидно, что диффеоморфизм / поро-
порождает изоморфизм когомологии. Из теоремы 9.9 вытекает более сильное свой-
свойство— гомотопическая инвариантность когомологии де Рама.
Теорема 9.10. Если многообразия гомотопически эквивалентны, то их
группы когомологии изоморфны.
Доказательство. Пусть отображения /: Мп —> Nk и g: Nk —>Мп уста-
устанавливают гомотопическую эквивалентность. Тогда согласно теореме 9.9 ото-
отображения f*g*: H*(Mk; R) -> H*(Mk\ R) и g*f*: H*(Nn\ R) -> Я*(УУЯ; R) являют-
являются изоморфизмами. Мы заключаем отсюда, что отображения /* и g* взаимно
обратны и устанавливают изоморфизм групп Н*(Мп\ Ш) и H*(Nk\ M). Теорема
доказана.
Следствие 9.4 (лемма Пуанкаре). Группы когомологии п-мерного диска,
п-мерного евклидова пространства Rn и точки совпадают. В частности,
любая замкнутая р-форма на диске или евклидовом пространстве точна
при р>0.
3. Примеры вычисления групп когомологии. Под (геометрическим) ци-
циклом на многообразии Мп мы будем понимать пару (Nk, /), состоящую из замк-
замкнутого многообразия Nk и гладкого отображения /: Nk —> Мп. Если на многообра-
многообразии Nk задана ориентация, мы будем называть такой цикл ориентированным.
Говорят, что цикл (Nk, f) является граничным или границей, если суще-
существует такое гладкое отображение F: Р* —> Мп многообразия Pk+X с краем
УУ* = dPk+l, что отображение F совпадает на крае с отображением /:
В дальнейшем мы будем, если не оговорено противное, подразумевать все
циклы ориентированными.
Каждая замкнутая 6-форма со на многообразии Мп задает функцию на мно-
множестве всех ^-мерных циклов z=(Nk, f) по формуле
Имеет место следующая теорема.
Теорема 9.11. 1. Значение функции (со, z) зависит только от класса
когомологии формы со:
([со], z) = (со + d(f, z) = (со, z).

318 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
В частности, если форма со точна, то
(co,z> = 0
для всех k-мерных циклов.
2. Если цикл является граничным, то значение на нем функции co(z)
равно нулю для любой замкнутой формы со:
(N,2) = 0, если z=d(Pk+],F).
В частности, если цикл z! = (Nk, f) гомотопен циклу z, m e. отображения f
и /' гладко гомотопны, то
для любой замкнутой формы со.
Доказательство этих утверждений получается с помощью формулы
Стокса.
Мы имеем
/ р = / fco /
Гф=
Первое утверждение доказано.
Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что
Если два цикла гомотопны посредством отображения F: Nk х [О, I] -+ Мп
и F(x, 0) = f(x), F(x, 1) = /'(*), то цикл (d(Nk x [0, 1]), F\d{NkxM) является гра-
границей и
/ Ро=/ Г<* - / Го> = ([со], 2') - ([со], *) = 0. '
J<?(A/*x[o,iD «//v* ^yv*
Теорема доказана.
Следствие 9.5. Если Мп — замкнутое ориентированное многообразие
размерности п, то
Нп(Мп; Е)#0.
Доказательство. На компактном многообразии можно построить ри-
манову метрику git и построить с ее помощью я-мерную форму объема со =
= y/gdx] Л ... Л dxn. Эта форма замкнута, так как имеет максимальную степень.
В то же время интеграл от нее по я-мерному циклу, заданному самим многообра-
многообразием Мп (с тождественным отображением }\Мп^> Мп), не равен нулю:
L
y/gdxl A...Adxn>0.
Значит, [со]# 0 в Нп(Мп; R). Следствие доказано.

§9.3. Когомологии 319
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 9.12. Если интеграл от замкнутой k-формы со по любому
k-мерному циклу равен нулю, то эта форма точна, т е. [со] = 0.
Следствие 9.6. Группы р-мерных когомологии п-мерной сферы Sn равны
нулю при 1 < р ^ п — 1:
//'(S"; R) = 0, р=1, .... я-1.
Доказательство. При р < п — 1 образ р-мерного цикла z не покрывает
всей я-мерной сферы и поэтому лежит в дополнении к какой-то точке. Эта сфера
с выколотой точкой диффеоморфна евклидову пространству R", и поэтому любая
замкнутая форма со, ограниченная на сферу с выколотой точкой, точна при р ^ 1
(см. лемму 9.4). Следовательно интеграл от любой замкнутой р-формы со по
любому р-мерному циклу равен нулю при 1 < р < п — 1. Следствие доказано.
Вычислить группы когомологии сферы (а также когомологии однородных про-
пространств) другим способом позволяет метод усреднения, который мы сейчас объ-
объясним.
Пусть на многообразии Мп действует связная компактная группа Ли G:
Tg:Mn->M\ Tgh = TJh.
Если е — единица группы G, то отображение Те тождественно. Так как группа G
связна, любой элемент g € G можно путем g(t) соединить с единицей группы:
g@) = e> g(l) =g. Отображение Tg{i) задает гомотопию между отображением Tg
и тождественным отображением Те.
Пусть со — замкнутая форма на Мп и Г*со — ее образ под действием отобра-
отображения Tg. Так как отображение Tg гомотопно тождественному, из теоремы 9.9
следует, что
со = Г*со - dtyg,
где ф^ — гладкая форма на Мп.
Напомним, что форма со называется инвариантной, если Г*со = со для всех
G
Пусть d[x — инвариантная форма объема на группе G, нормированная усло-
условием J d\i = 1.
Теорема 9.13. Пусть со — замкнутая форма. Тогда формула усреднения
2= /
Jg
задает инвариантную форму, которая замкнута и когомологична фор-
форме и.
Доказательство. Форма со инвариантна по построению, как интеграл
от всевозможных сдвигов формы со.

320 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Мы имеем
S= / (б> + dtyg)d[i = со / dyt + dl / <\>gd[ij =<o + df / tyg
Следовательно, формы со и S когомологичны. Теорема доказана.
Следствие 9.7. Кольцо когомологий п-мерного тора порождено одно-
одномерными классами ть ...,т„, удовлетворяющими только соотношениям
т/Ту = —тут/ яры /, / = 1,..., п. Следовательно,
п\
<Ит#'(Г;Н) =
/>!(/*-/?)!'
Доказательство. Представим тор как прямое произведение п окруж-
окружностей с координатами фь ..., фл, определенными по модулю 2к. Тор действует
сам на себе сдвигами
Очевидно, что инвариантные формы — это в точности формы с постоянными ко-
коэффициентами и, следовательно, любая инвариантная форма замкнута.
Базис в пространстве инвариантных 6-форм задается формами вида <%, Л ...
... Л d(fikJ где /| < ... < /*. Зададим Л-мерный цикл г,,...,*, где j\ < ... < /*, урав-
уравнениями ф/ = 0 при 1ф\\, • • •» /*• Мы имеем
(/i,..., ik) = (/i, ..., Д),
в противном случае.
Следовательно, все формы rfcp/, Л... Л d<pik попарно некогомологичны и реали-
реализуют нетривиальные классы когомологий. Осталось заметить, что пространство
когомологий как кольцо порождено классами Т| = [rfcpi], ..., т„ = [d(pn]. След-
Следствие доказано.
При п = 1 мы получаем когомологий окружности
и заключаем, что периодическая 1-форма о> = /(ф)йф на окружности задает не-
нетривиальный класс когомологий тогда и только тогда, когда J * /(ф) rfcp ф 0.
В п. 5 §6.1 мы показали, что n-мерная сфера является однородным простран-
пространством вида
Каждая замкнутая форма когомологична инвариантной, и существует единствен-
единственная с точностью до умножения на постоянную инвариантная /г-мерная форма на
сфере 5Л (она однозначно задается своим значением С dxl A ... Л dxn в любой
точке). Следовательно, Hn(Sn\ R) =R.
Лемма 9.5. В пространстве Rn не существует ненулевых кососим-
метрических тензоров ранга р < /г, инвариантных относительно груп-
группы SO(rt).

§9.3. Когомологии 321
Доказательство. Пусть Т — тензор ранга &, который инвариантен от-
относительно группы SO(n). Выберем из ортогональных координат х\ ..., хп пару
координат, которые обозначим через х и у. Тензор Т имеет вид
Т = dx A a + dy A b + dx A dy А с,
где в записи форм а, Ь и с в ортогональных координатах не входят выражения dx
и dy. Рассмотрим поворот
fx\ /coscp — sincp\ fx\
\У) ~* Vsin(P C0S(P/ W '
Его действие на формах имеет вид
dx—> coscp dx — sin <pdy, dy ^ s\n(pdx + coscpdy, a-* a, b-*b, c—>c,
и, следовательно,
T —> dx A (cos (fa + sin cpb) -f dy A (— sin cpa + cos срб) + dx Ady Ac.
Отсюда мы видим, что тензор Т инвариантен при поворотах на любой угол ср,
если и только если а = b = 0, т. е. Т= dx Ady Ac. Так как пара ортогональных
координат х и у была выбрана произвольной, инвариантный тензор Т имеет вид
f(x)dxl A...Adxny т.е. имеет максимальный ранг п и пропорционален форме
объема. Лемма доказана.
Следствие 9.8. На сфере Sn = SO (я + l)/SO(n) нет инвариантных форм
рангов р== 1, ..., п - 1.
Доказательство. Каждая инвариантная форма задается своим значе-
значением в одной точке сферы, и она должна быть инвариантна относительно дей-
действия стационарной подгруппы SO(az). Но мы знаем, что на Шп нет инвариантных
кососимметрических тензоров ранга р=1,...,я— 1. Следствие доказано.
Следствие 9.9. Когомологии п-мерной сферы Sn равны
-I
О в остальных случаях.
Приведем для справки некоторые полезные факты.
Утверждение о том, что если интеграл от любой замкнутой р-формы по р-мер-
ному циклу (УУР, f) равен нулю, то этот цикл является граничным, неверно. На-
Например, если Np — замкнутое многообразие, которое не является краем никакого
другого (а такие многообразия существуют), и /: Np —> Мп — его отображение
в точку, то интеграл от любой формы по этому циклу равен нулю, а он не явля-
является граничным.
Факторпространство всех ориентированных /7-циклов по граничным циклам
называется группой ориентированных бордизмов Щ°(Мп) и нетривиально
уже для точек. Если рассматривать и отображения неориентированных много-
многообразий Np, то факторгруппа таких циклов по граничным называется группой
бордизмов п°{Мп).
11-1168

322 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
Введем пространство Ср(Мп), порожденное всеми ориентированными р-цик-
лами над полем R. Для каждого элемента z такого пространства можно опреде-
определить интеграл от замкнутой р-формы о по нему. А именно, пусть z = XtZ| + ...
... + \kzk, где X/ € R и Zi = (yVf, Д) — обычные циклы, / = 1, ..., k. Тогда
Пусть Вр(Мп) с Ср(Мп) — подпространство, образованное циклами, интегралы
по которым от всех замкнутых р-форм равны нулю. Факторпространство
Нр(Мп; R) = Ср(Мп)/Вр(Мп)
называется группой вещественных р-мерных гомологии многообразия Мп. Так
как все интегралы по граничным циклам равны нулю, мы получаем гомоморфизм
usp°(Mn)®R->Hp(Mn\R).
Если цикл лежит в ядре этого гомоморфизма, то говорят, что этот цикл гомоло-
гомологичен нулю.
Образ рассматриваемого гомоморфизма совпадает со всей группой гомологии.
Это — глубокий результат алгебраической топологии.
Пространство гомологии двойственно группе когомологий Нр(Мп\ R), и для
каждого ненулевого элемента [о] е Нр(Мп; R) линейный функционал
<М.М> = <*>. *), M€//,(AT;R),
невырожден. Более того, каждое гладкое отображение
g: Mn -» V*
индуцирует гомоморфизмы (при всех р) групп когомологий и гомологии:
*•://'( V*; R) - Н>{М»; R), «•[<*] = [g'o)],
g.: Нр(Мп; Ж) -ч //,(V»; К), г.[(^, Л] = [(N, gf)l
и эти гомоморфизмы по построению сопряжены:
Для компактных многообразий все группы когомологий конечномерны, и их
размерности называются числами Бетти:
Ь„(Ма) = dim #'(ЛГ; R) = dim Hp{Mn; R).
Альтернированная сумма чисел Бетти
Х(ЛГ) = Ь0(М") -bt(Ma) + Ь2(Мп) -... + (-1)*М/
называется эйлеровой характеристикой многообразия М".

Упражнения к главе 9 323
Упражнения к главе 9
1. Докажите, что отображение Р\ индуцированное гладким отображением /%
коммутирует с внешним дифференциалом:
Используя это, докажите, что внешний дифференциал коммутирует с производ-
производной Ли:
= d(Lxa).
2. Каждому векторному полю X сопоставим следующий линейный оператор
i(X) на формах:
Докажите, что
a) i(X) — антидифференцирование:
(/(Х)б>|) Лсо2 + (— 1)*о>1 Л/(Л)б>2,
i(X)d + di(X) = Ljr,
где о)| —форма степени &;
б) имеет место формула
где L*— производная Ли вдоль поля X.
3. Пусть X — векторное поле в R4. Поток поля X через гиперповерхность есть
интеграл от формы со = X1 dSit где
dSi = g y/\g\zjMidxl Adxk Adxl.
Докажите, что если гиперповерхность Г ограничивает область (/, то
/
du=r
4. Пусть плотность зарядов р равна нулю и вектор-потенциал электромагнит-
электромагнитного поля Л/ имеет вид Д(л: — с/), / = 0, 1, 2, 3 (электромагнитная волна, рас-
распространяющаяся вдоль оси х). Докажите, что все собственные значения элек-
электромагнитного поля тождественно равны нулю.
5. Докажите, что березиниан и суперслед удовлетворяют соотношению
ВегA + еА) = 1 + е str А + О(е2).
6. Найдите значение гауссова интеграла по суперпространству:
лг'У + 2ЬцХ% + Cife&j) dmx A dnt
jR^
Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, величины а,ц
и Сц — четные, а Ьц — нечетные и выполняются условия аГ1 = а}1, bij = —bjh Сц = —Сц.
и*

324 Глава 9. Анализ дифференциальных форм
7. Докажите, что когомологии пространства СРп имеют вид
R) = /
10 в остальных случаях
и кольцо когомологии мультипликативно порождается классом когомологии
кэлеровой формы [со], удовлетворяющим единственному соотношению [со]л+1 = 0.
8. Докажите, что когомологии прямого произведения многообразий М и N
равны
НР(М х N; R) = ]Г Hk(M; R) О Hl(N\ E).

Глава 10
Связность и кривизна
§ 10.1. Ковариантное дифференцирование
1. Ковариантное дифференцирование векторных полей. Для построения
дифференциального исчисления тензоров необходимо ввести такое определение
градиента тензора, чтобы его результат всегда был тензором. Обычное определе-
определение градиента для этого не годится, так как в общем случае градиент преобразу-
преобразуется как тензор только при аффинных преобразованиях координат. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 10.1. Пусть Т}\\\']р — тензорное поле типа (/?, q) в простран-
пространстве с координатами х\ ..., хп, и пусть переход к новым координатам
z\ ..., zn задается аффинным преобразованием
zl = a)x} + b\ /,/=1, ...,/2,
где a'j = const. Тогда при этой замене координат градиент
Ct = %^ (юл)
преобразуется как тензор типа (р, q -f 1).
Доказательство. Для краткости мы ограничимся случаем векторного
поля, так как в общем случае доказательство аналогично. Из равенства
дх'
t _ дТ* _ дх1 д (Tidz!\ _ дх' dz1 т,-, дх1 ^ дЧ
*-~д?~~д?Ш' ~dx~l)-~d?Jx~i'l+~d?' Ш?'
следует, что
Преобразование аффинно тогда и только тогда, когда в каждой точке справедливо
соотношение
^ 0, ij,l=l,...,n. A0.3)
Из этого равенства следует, что для аффинных замен координат выполняется
равенство
f, дх1 dz1 j

326 Плава 10. Связность и кривизна
Аналогично доказывается, что градиент любого тензорного поля преобразуется
как тензор, если равенство A0.3) выполняется всюду. Теорема доказана.
Для любой заданной неаффинной замены координат всегда можно найти такое
векторное поле Г, что второе слагаемое в формуле A0.2) не равно нулю. Отсюда
следует, что градиент поля Т тензором не является.
Мы приходим к выводу, что операция взятия градиента должна быть обобщена
так, чтобы учитывать геометрию пространства, и в случае евклидовой геометрии
эта операция должна совпадать с обычным градиентом A0.1). Результатом этой
операции должен быть тензор.
Разберем два примера, которые приводят к правильной формуле для такого
обобщения.
Примеры. 1. Евклидова связность. Предположим, что операция
обобщенного градиента V определена на векторных полях, и что V переводит
векторные поля в тензоры типа A, 1):
%- A04)
Предположим также, что в какой-то системе координат (х\ ..., хп) эта операция
записывается как обычный градиент:
Пусть нам задана другая система координат (z1,..., zn). Как выглядит опера-
операция V в этой системе координат?
дТр
Так как TFg = -т-^, формула A0.4) переписывается в виде
Учитывая то, что Г = Tp-^-jy преобразуем это равенство к виду
ft _ дТ^_д?_ _dV__ tpJL($ЁЛ — дТ1
:/ dz1 дхр dz1 dzi\dxpj dz!
Подставив Тр = f*rp- в это соотношение, получим
dxpdxqdzr
fi _дГ__ fkdxp (?V dxq
:/" dz! dzkdxpdxq dz'*
Вводя обозначение
• _ dxpdxq
мы окончательно получаем, что

§10.1. Ковариантное дифференцирование 327
Мы пришли к следующему выводу.
Теорема 10.2. Пусть «обобщенный градиент» векторного поля (V) пре-
преобразуется как тензор при любых заменах координат и в координа-
координатах (х) вычисляется по обычной формуле
:'~ дх!'
Тогда в любой другой системе координат (z) этот градиент вычисляется
следующим образом:
где коэффициенты T'lsj определяются формулой A0.5).
2. Ковариантное дифференцирование на поверхности.
Пусть г(х\ х2) — поверхность, погруженная в трехмерное евклидово простран-
пространство R3 с базисом ех, е2, еъ. Обозначим через Г\ = дг/дх1 и г2 = дг/дх2 базисные
векторы в касательных пространствах к поверхности и через п — поле единичных
векторов нормали к поверхности.
Напомним деривационные уравнения
Пусть нам дано векторное поле Т = Т1гх на поверхности. В какой-то точке про-
продифференцируем его в направлении вектора v = vhf,
двТ=1/^п + v'P^j = v>2?r, + v>r{Tk,rk + bvn).
С точки зрения «наблюдателя», живущего на самой поверхности, вектор п не
заметен, так как не является касательным. Строя внутреннюю геометрию по-
поверхности, о нем надо забыть, как о несуществующем для такого «наблюдателя».
Поэтому определим «обобщенную производную» V поля Т в направлении v как
проекцию dvT на касательное пространство к поверхности:
В частности,
Vr/r, = r*/v A0.7)
Мы приходим к следующему определению обобщенного градиента векторного
поля на поверхности:
Эта величина является тензором, так как ее определение инвариантно и не зави-
зависит от координат. Действительно, можно разложить поле Т по базису векторов
bR3:

328 Глава 10. Связность и кривизна
дТ
где г — функции от х\ х2, i— 1, 2, 3. Тогда dvT = —jv'ei и этот вектор, как
дх'
и его проекция на касательное пространство, не зависит от выбора координат на
поверхности. Поэтому Ц — тензорное поле типа A, 1) на поверхности.
Если поверхность является евклидовой плоскостью в R3 с линейными ко-
координатами хх и х2у то все величины Г^ равны нулю и обобщенный градиент
совпадает с обычным.
Теорема 10.3. «Обобщенная производная» \7УГ векторного поля Т на
поверхности в М3, определенная как проекция dvT на касательное про-
пространство к поверхности по формуле A0.8), линейна по v и Т:
и Ц— тензор типа A, 1).
Формулы A0.6) и A0.8) одинаковы. Поэтому мы возьмем их в качестве опре-
определения «обобщенного градиента» в общем случае. Найдем условия, которым
должны удовлетворять символы ГуА, чтобы градиент Ц был тензором.
Теорема 10.4. Пусть «обобщенный градиент» векторного поля Ц явля-
является тензором и в системах координат (х) и (z) задается по правилам
р — —- 4- Г' Tk и fp — 4- rp fq
';/ "~ jxj ^ Lь'г и ' ;<? ~ dzq sq '
Тогда символы Ylkj и tpsq связаны соотношением
• fр дх1 dz« dzs дх1 №
Доказательство. Так как V н Ц — тензоры, справедливы равенства
р _ (W_dz?_fp ~р_Тк<№_ fs _ fk dz1
:'~ дг? дх! *' дх*' дхк'
и мы имеем
р _ <M_d?fp _ <М_<№_(дТЦ,гр fs\ _ <>*_<№_( 1_(тьд?\ рр ткд?\ _
¦1~ дг? дх> «~ dzp dx>\dz« +Ls*' )~ дг^дхЛд^У дх") sq дхЧ~
_ д±д^(дт^_д^_ Tkj_(<?\,r>> тк^.
~ dz" дх1 \дг* дхк dzf\dxk) SQ dxk
- (д^_д?\дТ^_^ , (дх1 (дт? дхт\ д2г" рр дх' dz4 dz5\ p,
\dz" дхк) dz4 дх1 + \дг?\дх> dz4 ) дхкдхт sq dz" дх1 дх") '
Так как -т-р—j = b'k и -J7TT = ^Г> последняя формула преобразуется к виду
р _дГ_д^_ (дх1 <?У р„ дх1 dz4 dz3\?k
J dz4 дх' Wz* дхкдх! ^dzP дх1 дх") "
Сравнивая это выражение с формулой

§10.1. Ковариантное дифференцирование 329
и учитывая то, что векторное поле Т взято произвольным, мы приходим к выво-
выводу, что символы Г]у и Г^ должны быть связаны соотношением A0.9). Теорема
доказана.
Теперь мы готовы к определению обобщенного градиента векторных полей.
Мы говорим, что задана операция ковариантного дифференцирования
(взятия градиента), если в любой системе координат х1, ..., хп задан набор функ-
функций Г^.(х), который при замене координат z = z(x) преобразуется по формуле
Ковариантной производной векторного поля (V) называется следующий тен-
тензор типа A, 1):
AT1
Vyf = 7^=^ + 1^*. A0.11)
Величины Г^. называются символами Кристоффеля.
Ковариантный градиент мы обозначаем через Ц в отличие от евклидова гра-
f
Операцию ковариантного дифференцирования также называют линейной
связностью на касательных векторных полях. Такая линейная связность назы-
называется евклидовой, если существуют координаты х{, ..., хп, в которых Г? = 0,
или, что эквивалентно,
:/ дхг
Такие координаты называются евклидовыми.
В общем случае выберем базис координатных векторных полей в\, ..., еп
и рассмотрим их ковариантные производные. Из соотношения A0.11) следует
формула, которая объясняет смысл символов Кристоффеля:
Для ковариантного дифференцирования на поверхностях в R3 эта формула пе-
переходит в соотношение A0.7).
Прежде чем определить ковариантное дифференцирование произвольного
тензорного поля, мы отметим некоторые свойства символов Кристоффеля. Не-
Непосредственно из формулы A0.10) видно, что из-за наличия второго слагае-
слагаемого —г s q символы Кристоффеля не образуют тензора. Однако при аф-
аффинных преобразованиях координат это слагаемое равно нулю. Это слагаемое
также исчезает в формулах преобразования для разности символов Кристоффе-
Кристоффеля двух различных связностей и для альтернированного символа Кристоффеля
(из-за симметричности слагаемого относительно q и s). Нами доказана следую-
следующая лемма.

330 Плава 10. Связность и кривизна
Лемма 10.1. 1. Символы Кристоффеля Г^. преобразуются как тен-
тензор только при линейных или аффинных преобразованиях координат z* =
= 2?(xl, ..., хп). В этом случае k . = 0 для всех i, k, j.
2. Вариация (разность) символов Кристоффеля двух различных связ-
ностей
является тензором типа A,2).
3. Альтернированное выражение
7^ = 1%-1^ = 1^, A0.12)
образует тензор, который называется тензором кручения.
Связность Pkj называется симметричной, если ее тензор кручения Pkj = Т'т
тождественно равен нулю: Рл/ = Г}л.
Например, для евклидовой связности Г^. = 0 в евклидовых координатах.
В этих координатах Т-ь = 0, и, так как величины Tjk образуют тензор, они равны
нулю в любых координатах. Следовательно, евклидова связность симметрична.
Симметричные связности обладают следующим свойством.
Лемма 10.2. Если связность симметрична, то в окрестности любой
точки Хо е Мп можно ввести такие координаты (г1,..., zn), что в этой
точке все символы Кристоффеля в новых координатах обратятся в нуль:
Доказательство. Напомним правило преобразования символов Кри-
Кристоффеля Г^. —> fpsq при переходе от координат (л;) к координатам (г):
Г/ рр _р/ д?_<№_дх*_ dz?_
Нам надо найти такую замену координат, для которой Гpsq(xo) = 0, т. е. в точке
Хо ? Мп должны быть выполнены соотношения
• д* дх* dxk dz» д2х> _ Q по ,3.
Можно считать, что координаты точки jc0 равны нулю в обеих системах. Опре-
Определим функции 21, ..., zn в окрестности нуля формулами
По теореме о неявной функции в окрестности нуля это отображение обратимо, так
как в нуле якобиан задается единичной матрицей. Очевидно, что при такой замене
выполняется соотношение A0.13) и, значит, координаты (г1, ..., z") являются
искомыми. Лемма доказана.

§10.1. Ковариантное дифференцирование 331
2. Ковариантное дифференцирование тензоров. Распространим ковари-
ковариантное дифференцирование на тензоры произвольного вида с помощью следую-
следующих правил:
1) операция ковариантного дифференцирования линейна:
для всех тензорных полей Т и S;
2) ковариантная производная скалярного поля (функции) совпадает с обыч-
обычным градиентом:
V,/= /;i = |?; A0.14)
3) ковариантная производная свертки тензоров T^S^f по индексу m вычис-
вычисляется по формуле Лейбница:
4) ковариантная производная векторного поля задается формулой A0.11).
Эти правила однозначно задают ковариантное дифференцирование для всех
тензоров. Действительно, выведем сначала формулу для ковариантной производ-
производной ковекторного поля.
Пусть Ti — ковекторное поле. Для любого векторного поля S свертка TiS1
является скаляром, и поэтому из формулы A0.14) следует, что
Но из формулы Лейбница (см. A0.15)) мы выводим, что
уде) = Тц$ + щ = r(:/s<- + r;(|| + r<,.s*).
Сопоставив эти два выражения для VyGVS'), мы получим
Так как вектор S может быть выбран любым, выражение в скобках тождественно
равно нулю. Мы доказали следующий факт.
Теорема 10.5. Ковариантная производная ковекторного поля вычисля-
вычисляется по формуле
Теперь мы можем вывести общую формулу индуктивно. Предположим, что
она выведена для тензоров ранга не выше d и Т — тензор ранга (т + 1, п) или
(т, п Л- 1), где т + п = d. Без ограничения общности предположим, что тип тен-
тензора равен (т, п + 1). Мы уже знаем формулу для VjiT^S') и формулу для V/S'.
Используя формулу Лейбница A0.15) также, как и при выводе формулы A0.16),
получаем формулу для VyT.
Мы опустим громоздкие выкладки, а приведем лишь окончательный ответ.

332 Глава 10. Связность и кривизна
Теорема 10.6. Ковариантная производная тензора 7^ типа (т, п), где
@ = /ь •. •, Jin, (k) = ?,,..., &я,
дТ«)
В частности, ковариантные производные тензоров второго ранга равны
Укажем два следствия из формулы для ковариантной производной A0.17).
Мы оставляем их подробные доказательства в качестве упражнения.
Следствие 10.1. Для ковариантного дифференцирования выполняется
правило Лейбница
определяющее производную тензорного произведения по производным со-
сомножителей.
Предположим теперь, что тензорное поле Т^ определено только на какой-то
кривой x(t) и v = х — вектор скорости кривой. Можно определить ковариант-
ную производную вдоль кривой:
X/ Т— — - T{i) Г* uj - - T{i) Vk гУ 4-
Следствие 10.2. Ковариантная производная VVT поля Т вдоль кривой
корректно определена, и ее значение зависит только от значений Т на
этой кривой.
3. Калибровочные поля. Пусть G С GL(m, E) — матричная группа, дей-
действующая на R*.
Пусть D есть я-мерная область с координатами х\ ..., хп. Вектор-функция
в области — это просто функция
со значениями в ^-мерном векторном пространстве. Мы не требуем выполнения
равенства п = k.
Определим ковариантную производную функции ф по уже привычной формуле
Уаф = ^ + Лаф, A0.19)

§10.1. Ковариантное дифференцирование 333
где Аа — (kxk)-матрица, зависящая отточки xeD, <х= 1, ..., п. Для независимо-
независимости определения от выбора координат в D мы потребуем, чтобы матричнозначные
функции Аа образовывали тензор, и чтобы в координатах у = (yl(x)y ..., уп(х))
ковариантное дифференцирование записывалось в виде
Однако поле А может изменяться не только при заменах координат в обла-
области D, но и при заменах базиса в пространстве М\ зависящих от х (и это главное
в описываемой конструкции). Мы говорим, что задано калибровочное поле Ла
из группы G, если матрицы Аа лежат в алгебре Ли д группы С и ковариантное
дифференцирование коммутирует с (гладкими по х) преобразованиями замены
базиса, принадлежащими группе G:
Цх)-+д(хЩх), A0.20)
т. е. для любой гладкой функции g: D —» G выполняется тождество
Преобразование A0.20) называется калибровочным преобразованием
поля ф. В физической литературе калибровочные поля иногда называют ком-
компенсирующими полями. В геометрии описанная конструкция является общим
определением линейной связности в расслоении.
Теорема 10.7. Ковариантное дифференцирование A0.19) коммутирует
с преобразованиями A0.20) тогда и только тогда, когда при этих пре-
преобразованиях коэффициенты Аа изменяются по формуле
A0.21)
A'a(x)=g(x)Aa(x)g-l(x) - Ц^-д-Чх).
Доказательство. Мы имеем
и
Приравнивая эти два выражения, получим формулу A0.21). Теорема доказана.
Связность Ла называется тривиальной, если существует такая функция
g0: D->G, что
В этом случае калибровочным преобразованием go(x), одинаковым для всех по-
полей ф(х), ковариантное дифференцирование приводится к виду
Рассмотрим простейшие примеры калибровочных полей.

334 Глава 10. Связность и кривизна
Пример 1. Линейная связность на касательных век-
векторных полях. В этом случае G = GL(n, R), где п — размерность обла-
области D. Координаты х\ ..., хп задают в каждой точке области D базис —г» • • •
дх]
..., -г-ц в пространстве касательных векторов. Поэтому касательные векторные
поля можно рассматривать как вектор-функции ? = (?*, ..., ?й) со значениями
в R". Калибровочные преобразования индуцируются локальными заменами ко-
координат х-+ у(х):
где
Алгебра Ли группы GL(/z, R) образована всеми матрицами /2-го порядка. По-
Поэтому коэффициенты связности Aj(x) сами являются (п х п)-матрицами. Обо-
Обозначим их матричные элементы через (Aft = Г§. Ковариантная производная век-
вектор-функции (т. е. касательного векторного поля) 5 имеет вид
Замена координат порождает по формуле A0.21) преобразование коэффициентов
связности Тп\
Учитывая то, что А-, есть ковектор, т. е. Лм = ^-jt^/» мы получим
fv _ ду" дх* k дх1 ду* д2х1
* dxk ^ j/V дх* dfd
dxk ^ j/V дх*
Мы еще раз вывели формулу A0.10) для преобразования символов Кристоффеля
при заменах координат.
Пример 2. Электромагнитное поле. ПустьG = UA) = SOB) —
одномерная коммутативная группа и G действует на R2 = С поворотами: е"*(?) =
= е*»5. где $ € С и ef9 G U(l), (p 6 R. Алгебра Ли д состоит из чисто мнимых
чисел, и поэтому связность имеет вид
Va = 1? + ieA*%
где величины Ла вещественны (они образуют потенциал электромагнитного по-
поля) а е — физическая величина (заряд). Именно так вектор-потенциал электро-
электромагнитного поля входит в уравнения квантовой механики согласно наблюдению
Г. Вейля — аналогично ковариантным производным в геометрии. Калибровочное
преобразование ф —> в|ф(дс)ф порождает следующее преобразование связности:

§10.1. Ковариантное дифференцирование 335
Широкой популярностью калибровочные поля обязаны их значением в физике
элементарных частиц.
Пусть вектор-функция ф описывает какое-то физическое поле с внутренними
степенями свободы (их число совпадает с числом компонент вектор-функции).
Предположим, что физические состояния описываются такими полями не взаим-
взаимно однозначно, а с точностью до калибровочного преобразования: вектор-функ-
вектор-функции ф(*) и g(x)ty(x) описывают одно и то же физическое состояние. Тогда для
того, чтобы строить математическую теорию таких полей, надо вводить диф-
дифференцирование так, чтобы эта инвариантность сохранялась. Возникающие при
этом связности Аа сами описывают поля, взаимодействующие с «полями мате-
материи» ф (см. п. 4 § 15.3) и являющиеся естественным обобщением электромагнит-
электромагнитного поля. Их называют полями Янга—Миллса, и они описывают некоторые из
фундаментальных частиц.
4. Связности Картана. Напомним, что группа всех аффинных преобразова-
преобразований декартова пространства R* обозначается через А(&, R). Аффинное преобра-
преобразование R* однозначно задается в виде 2; —> Л? + 6, где А е GL(&, R), b G R\
и каждое такое преобразование аффинно. Эта группа тоже является матричной,
она вкладывается в GL(& -f I, R):
С = (Л *)->(« ?V (Ю.22)
Выделим в R*+I гиперплоскость ?*+| = 1 и сопоставим каждому вектору ? е Шк
точку на этой гиперплоскости по следующему правилу: ^ = (!;',..., ?*) —> (?, 1) =
= (?',..., 5М). Тогда
Ш
Пусть D — область в1"с координатами х{, ..., хп. Пусть набор функций
Ла(х) со значениями в алгебре Ли группы А(&, R) задает в области D ковари-
ковариантное дифференцирование вектор-функций ф со значениями в R*:
Потребуем, чтобы функции Аа образовывали ковектор относительно замен коор-
координат в D (т.е. чтобы выражение АлAх? задавало бы матричнозначную 1-форму
на D) и чтобы ковариантное дифференцирование было инвариантно относительно
калибровочных преобразований
со значениями в группе G С А(&, R). Это означает, что
g(x) (Ф.ф(х)) = Ъа(ё(хЩх)), *(*) € G С A(k, R).
Такой набор функций Аа(х) называется аффинной связностью.

336 Глава 10. Связность и кривизна
Сделаем важное замечание: так как умножение вектора на число или сумма
двух векторов не инвариантны относительно аффинных преобразований, ковари-
антное дифференцирование Va не является линейным по ф.
Существует простая конструкция, введенная Картаном, которая сопоставля-
сопоставляет каждой линейной связности Аа аффинную связность на том же пространстве
вектор-функций. Для ее построения используется вложение A0.22). Определим
аффинную связность как ограничение линейной связности на (k + 1)-компонент-
1)-компонентных вектор-функциях на вектор-функции вида (ф, 1):
Ъ(Ф. ) (^Лаф + фа, l),
где фа(л:) G Шк. Положим векторы сра равными
Мы получаем аффинную связность
= (Уаф)" + 5?, A0.23)
где Va—заданная линейная связность. Аффинная связность A0.23) называется
связностью Картана.
Калибровочные преобразования ф(л:) -»g(x)ty(x) + b(x), где# € GL(&, R), b e
G R*, не сохраняют равенство <p? = 8g: связность преобразуется по правилам
ла -^-' - ?г'. 9. -ет. - ?
5. Параллельный перенос. Понятие параллельности в евклидовой геоме-
геометрии основано на пятом постулате Евклида:
пусть задана прямая на евклидовой плоскости; тогда через каждую
точку Р проходит единственная прямая, параллельная данной.
При этом параллельная прямая либо совпадает с исходной прямой (когда
точка Р принадлежит ей), либо с ней не пересекается. В евклидовых координатах
это выражается в том, что касательные векторы к этим прямым можно выбрать
так, что они совпадут как векторы двумерного пространства: векторы (с началами
в разных точках) называются при этом параллельными. Такой подход позволяет
обобщить понятие параллельности на многомерные евклидовы пространства.
В общем случае мы не можем ввести глобальные координаты на всем про-
пространстве (например, на сфере) и свести параллельность к арифметическому со-
совпадению координат векторов. Для определения параллельности воспользуемся
другим свойством параллельных векторов в евклидовых пространствах.
Пусть у нас есть точки Р и Q на плоскости и x(t) — гладкая кривая с началом
в л:@) = Р и концом в x(l) = Q. Рассмотрим уравнение на касательные векторы
к точкам кривой x(t):
с начальным условием v@) = t>0- Это — обыкновенное уравнение первого по-
порядка, и его решение единственно. В евклидовых координатах уравнение A0.24)

§10.1. Ковариантное дифференцирование 337
принимает простой вид
dt
и поэтому векторы v(t), касательные к кривой в точках x(t), будут параллель-
параллельны у0. В частности, вектор v(l) в точке Q параллелен вектору v0 в точке Р.
В криволинейных координатах уравнение A0.24) переписывается как
и, так как ковариантное дифференцирование переводит тензоры в тензоры, оно
дает те же самые решения, что и уравнение A0.24).
Этот подход и лежит в основе определения параллельного переноса в про-
произвольных пространствах со связностью V. А именно, мы будем рассматривать
связности и на многообразиях, отличных от областей в евклидовом пространстве.
Для этого покроем каждое многообразие атласом из карт и в каждой карте введем
связность, как в области евклидова пространства. Необходимо только потребо-
потребовать, чтобы на пересечениях карт связности были согласованы. Это означает,
что символы ГуЛ, взятые по отношению к различным координатам (х) и (z) свя-
связаны соотношениями A0.10). Тогда ковариантные производные тензоров будут
корректно определены на всем многообразии.
Тензорное поле Т называется параллельным вдоль кривой x(t), a^t^b,
если оно удовлетворяет уравнению
Vi74 = jc/V/T = 0. A0.25)
Тензор Т(Ь) в точке х(Ь) называется параллельным переносом тензора Т(а) из
точки х(а) вдоль кривой x(t).
В частности, для векторных полей уравнение A0.25) принимает простой вид
Уравнение A0.25) линейно по Г и имеет первый порядок. Из теоремы о суще-
существовании и единственности решений дифференциальных уравнений мы получаем
следующий факт.
Теорема 10.8. Пусть x(t), a^t О, — гладкая кривая в пространстве
со связностью V. Тогда вдоль x(t) определен параллельный перенос тензо-
тензора Т, его результат однозначно определяется начальным значением Т(а)
и линейно зависит от него.
В евклидовой геометрии результат параллельного переноса тензора из точки Р
в точку Q не зависит от кривой, соединяющей эти точки. Это свойство выделяет
эту геометрию, так как в общем случае параллельный перенос зависит от кривой.
Пример. Пусть S2 — единичная сфера в евклидовом пространстве с ко-
координатами х\ jc2, jc3. Определим на ней ковариантное дифференцирование по
формуле A0.8) (как на погруженной поверхности). Выберем на сфере точки
Р= @, 0, 1), Q = A, 0, 0) и Z = @, 1, 0). Соединим эти точки дугами больших

338
Глава 10. Связность и кривизна
кругов:
*,(*) = (О, sin |, cos |), x2(t) = (sin |, cos f, О),
*з(/) = (sin |, 0, cos |), O^KI.
3) *з@) = Я, jc3A) = Q. Выберем в точке Р касательный
вектор v0 = @, 1, 0). Перенесем его вдоль X\{t) в точ-
Рис. 10.1. Параллель- ку Z, получив вектор до, а затем перенесем вектор до
ный перенос на сфере вдоль x2(t), получив вектор V\ в точке Q. Также опре-
определим вектор v2 в точке Q как результат переноса век-
вектора v вдоль Xz(t). Все переносы мы подразумеваем параллельными. Результаты
их таковы:
vx = до = @,0, -1), 1>2 = @, 1,0),
и мы видим, что V\ ф v2 (см. рис. 10.1).
Разница параллельных переносов вдоль различных кривых связана с кривиз-
кривизной пространства, которую мы рассмотрим в § 10.2.
6, Связности, согласованные с метрикой. Понятия связности и римано-
вой метрики никак не связаны. В то же время мы фактически используем два
различных определения евклидовых координат:
1) координаты, в которых метрика имеет вид gtj = Ьц\
2) координаты, в которых связность тривиальна: Vjk = 0.
В действительности это различные понятия, но каждой метрике можно ка-
каноническим образом сопоставить связность так, что евклидовой метрике gVl = bi}
будет отвечать евклидова связность Г)Л = 0. Объясним, как это сделать.
Прежде всего заметим, что для евклидовых координат оператор параллель-
параллельного переноса является изометрией. Это означает следующее.
Пусть x(t)y а ^ / < 6, — кривая в пространстве. Для любого значения t за-
задан линейный оператор L/, сопоставляющий касательному вектору в точке х{а)
результат его параллельного переноса в точку x(t) вдоль данной кривой. В ев-
евклидовом пространстве этот оператор сохраняет скалярное произведение:
(?, r)) = (L/$, L/T)). A0.26)
В общем случае, если для каждой кривой параллельный перенос векторов
является изометрией, т.е. выполняется соотношение A0.26), говорят, что связ-
связность согласована с метрикой.
Найдем аналитические условия, выделяющие такие связности. Пусть ?(/),
r\(t) — пара параллельных векторных полей вдоль кривой x(t). Предположим,
что связность согласована с метрикой:
= о.
Распишем это соотношение в терминах ковариантных производных:
(
= о.

§10.1. Ковариантное дифференцирование 339
Так как поля ? и г) параллельны, мы заключаем, что в каждой точке выполняется
равенство
0. A0.27)
Заметим, что любой вектор х является вектором скорости какой-то кривой и лю-
любой вектор ? или г) может быть продолжен до параллельного векторного поля
вдоль этой кривой. Поэтому из формулы A0.27) следует, что
V^ = 0, /,/, Л=1, ...,я. A0.28)
Мы приходим к эквивалентному определению: связность Г? называется со-
согласованной с метрикой gih если ковариантная производная метрического тен-
тензора тождественно равна нулю, т.е. выполняются равенства A0.28).
Мы не требуем, чтобы метрика была римановой, — это определение исполь-
используется и для псевдоримановых, и для вырожденных метрик.
Лемма 10.3. Пусть связность V согласована с метрикой gy.
1. Если %(t) и r\(t) — векторные поля вдоль кривой *(/), то
2. Опускание любого тензорного индекса коммутирует с ковариант-
ным дифференцированием.
Доказательство. 1.Из формулы Лейбница для ковариантного диффе-
дифференцирования следует, что
jt ) = (УД, г))
2. Аналогично мы имеем
Лемма доказана.
Евклидова связность A0.5) и связность на погруженной поверхности A0.7),
которые служили нам исходными примерами, обладают еще одним свойством,
которое не является общим для всех связностей: они симметричны. А именно,
связность Yljk называется симметричной, если
или, что аналогично, тензор кручения равен нулю: V}k = Tljk — Г^ = 0.
Имеет место важная теорема.
Теорема 10.9. Пусть метрика gtJ невырожденна (те. g = det(gij) Ф 0).
Тогда существует и притом единственная симметричная связность, со-
согласованная с этой метрикой g/y. Эта связность в любой системе коор-
координат (х\ ..., хп) задается формулами Кристоффеля

340 Глава 10. Связность и кривизна
Доказательство. Так как связность согласована с метрикой, имеем
Vk8ii=I? ~ r'ikg" ~ r''*g"=°- A0-30)
Разрешим эту систему уравнений относительно Г?.. После опускания верхнего
индекса
уравнения A0.30) примут вид
Так как связность симметрична, Где = Г,*, для всех /, /, k. Циклическими пере-
перестановками индексов /, /, k получим уравнения
г мг -dgi' г +г -dgki г л- г - dgik
Пусть A), B), C)—левые части этих формул. Тогда из симметричности связно-
связности следует, что B) + C) — A) = 21\,у. Следовательно,
г _ Чдёк} , dgik dgu\
Поднимем теперь индекс k и получим формулу A0.29). Теорема доказана.
Следствие 10.3. Если в каких-то координатах все первые производные
от gq в данной точке равны нулю, то и символы Кристоффеля симметрич-
симметричной связности Г?у, согласованной с метрикой, равны нулю в этой точке.
Ковариантная дивергенция векторного поля v определяется как
Следствие 10.4. Если связность симметрична и согласована с невыро-
невырожденной метрикой, то ковариантная дивергенция векторного поля рав-
равна
где g = det(gij).
Чтобы получить формулу A0.31), подставим в равенство V,y' = —г -f Tlkivk
дх
величину
1« ~ 2 * \ дх1 + Ас* дх1) 2g dxk 2g дх* dxk m
Мы получим

§ 10.2. Тензор кривизны 341
В евклидовом пространстве дивергенция имеет следующий смысл. Пусть за-
задано малое смещение точек пространства
X1 -> X1 + xtt.
Тогда при смещении элемент объема области преобразуется по формуле
dxx Л ... Л dxn -»A + vljt + o(t)) dxx Л ... Л dx\
В пространстве с римановой метрикой элемент объема равен у/gdx1 Л ... Л dxn,
и при смещении он примет вид
т. е. добавка к объему с точностью до величин порядка o(t) равна, как и в ев-
евклидовом случае,
d\vv(y/gdxl A...Adxn)t.
Мы заключаем, что дивергенция имеет обычную форму divt/ = v1^ только когда
элемент объема в данных координатах совпадает с евклидовым, т. е. g = 1.
§ 10.2. Тензор кривизны
1. Определение тензора кривизны. В п. 5 § 10.1 мы уже привели пример,
в котором параллельный перенос вектора на единичной сфере зависит от пути,
а не от конечных точек. В частности, результат параллельного переноса вектора
вдоль замкнутого пути может не совпадать с начальным вектором.
В евклидовой геометрии это не так: параллельный перенос задается уравне-
уравнением
^ = 0
Л '
и его результат зависит только от конечных точек. Это связано с тем, что в ев-
евклидовой геометрии ковариантные производные коммутируют:
ox'
В случае общей связности это не так. Напомним, что параллельный перенос
векторного поля ? вдоль пути x(t) определяется уравнением
Мы имеем

342 Глава 10. Связность и кривизна
Отсюда следует, что коммутатор ковариантных производных в направлениях
базисных векторных полей равен
(V*V, - VyV*)?' =
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 10.10. В произвольных координатах х\ ..., хп коммутатор ко-
вариантных дифференцирований равен
(V,V, - V,V*)? = Я^' + ТфГЛ, A0.32)
п/ _ "Г/у <?Г/А • tv тт Г* Гт
tkJ ~ Л? " "^?" ш* ц "" my //ft
7/* = Г/А "" Г*Л/.
Как мы покажем ниже, величины R\jk задают тензор, который называется
тензором кривизны или тензором Римана. Ранее, в п. 1 § 10.1, мы уже по-
показали, что Tjk—тензор, который называется тензором кручения (лемма 10.1).
Напомним, что связность называется симметричной, если ее тензор кручения
равен нулю:
rik = rjk-v'ki = o.
Так как
где ?|, ...,?Л — базисные векторные поля, симметричность связности эквива-
эквивалентна тому, что
Vye* = Vke} при /, k = 1,..., п.
Мы получаем следующий результат.
Следствие 10.5. Если связность симметрична, то
(v*vy-vyv*)? = /?y;'.
Напомним, что согласно лемме 10.2 для симметричной связности в окрестно-
окрестности любой точки можно ввести такие координаты, в которых все символы Кри-
стоффеля в данной точке равны нулю. В этом случае тензор Римана в этой точке
тоже выглядит просто:
Докажем, что R\jk—тензор. Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 10.4. Для произвольных векторных полей ?, т), С выполняются
равенства
(V«T) - V45 - [I, т]])' = ЦкуЦк = -7#у, A0.34)
V«V,C + %,,?)'¦ = Л^УС. A0.35)

§ 10.2. Тензор кривизны 343
где [?, г]] — коммутатор векторных полей и в левых частях указаны i-e
компоненты указанных в скобках полей. В частности, значения левых ча-
частей этих формул в точке определяются только значениями векторных
полей !;, г) и С в этой точке.
Для базисных векторных полей $ = е} и Г) = ek их коммутатор равен нулю
и формула A0.35) совпадает с формулой A0.32).
Доказательство. Для краткости введем обозначения
ЧЪ, г)) = V§7) - V45 - R, г)], Щ, т|К = V,V? - V$V,C + VMC
Эти выражения линейны по полям ?, т] и (. Поэтому для того, чтобы свести
доказательство тождеств A0.34) и A0.35) к их проверке для базисных векторных
полей, надо доказать, что выражения 7E, г)) и /?(?, г))? ведут себя линейно не
только при умножении полей на постоянные, но и при умножении их на гладкие
функции.
Пусть / — гладкая функция. Через d^f будем обозначать производную функ-
функции / вдоль векторного поля ?.
Мы имеем
V,5 - [5, г)]] - (<*,/)? + D,05 = /ГE, г)).
Аналогично доказывается, что Г(?, /г)) = /Т(?, г)).
Для /?(?, у))С прямыми вычислениями получаем, что
и, так как /?(?, т))С = -/?(т), 5)С, мы имеем /?E, /V)) = //?($, rj).
Покажем, что /?(^, г))(/?) = //?($, Г))С. Это тоже делается прямыми вычисле-
вычислениями:
Осталось доказать равенства A0.34) и A0.35) для базисных векторных полей
= еь г) = et и С = ^. По определению символов Кристоффеля мы имеем
Отсюда следует соотношение
которое эквивалентно равенству

344 Глава 10. Связность и кривизна
Выпишем теперь выражение
= S + Г" Г"* " 1$ " ГГ* ^ = ***' = R(€
Лемма доказана.
Следствие 10.6. Для того чтобы связность в целой области п-мерного
многообразия приводилась к виду
T)k = 0 при /,/', k= 1, ..., л,
необходимо, чтобы в этой области тензор Римана был равен нулю:
Кщ = 0 пРи /, /\ А = 1, ..., я.
Следствие 10.7 (тождество Бианки). ?сли связность симметрична, то
выполняется равенство
V//?U + v;/?u + v./?;n/7 = о (ю.36)
для всех /, /, k, I = 1, ..., п.
Доказательство. В окрестности произвольной точки х0 G Мп введем
координаты, в которых все символы Кристоффеля в этой точке равны нулю (лем-
(лемма 10.2). В этих координатах
и ковариантное дифференцирование в данной точке совпадает с обычным. Теперь
распишем левую часть равенства A0.36):
V^^ dxkdxjJ \dx'dxk dxldxkJ
Следствие доказано.
Тождество Бианки для произвольных связностей будет рассмотрено в п. 3 § 15.3.
2. Симметрии тензора кривизны. Уже из самого определения тензора кри-
кривизны следует, что он кососимметричен по последним двум индексам. В случае,
когда связность симметрична или согласована с метрикой, тензор кривизны обла-
обладает дополнительными симметриями, которые мы перечислим в следующей тео-
теореме.
Но прежде чем сделать это, определим при наличии на многообразии метри-
метрики gij тензор Rujk, полученный из тензора кривизны опусканием индекса:
Rmlkj = emiRikj*
Очевидно, мы имеем
(/?(*, Y)Z, W) = RmlkjWmZlYkXi.
Теорема 10.11. Пусть R\kj — тензор кривизны аффинной связности на
многообразии. Тогда
1) имеет место равенство
Я}м = -/^, или R(X,Y)Z = -R(Y,X)Z; A0.37)

§ 10.2. Тензор кривизны
345
2) если связность симметрична, то
A0.38)
или
R(Xy Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0\
3) если связность согласована с метрикой gih то
Ruik = -Rink, или (/?(*, Y)Z, W) = -да, Y) W; Z);
A0.39)
4) если связность симметрична и согласована с метрикой gij (не обяза-
обязательно положительно определенной), то
A0.40)
Riijk = R^i, или ДО, Y)Z, W)) = (R(Z, W)X, У).
Доказательство. Утверждение 1 очевидно.
Чтобы доказать утверждение 2, достаточно показать, что
[Vy,
[V,, Vt]ej + [V/,
= 0.
Так как связность симметрична, V/ву = V/^ для любой пары базисных векторных
полей et и е} и левая часть формулы расписывается как
(VyV*e/ - VikV/e,-) + (V*V/e, - V/Vy^) + (V/VyeA - VyVAe/) = 0.
Утверждение З эквивалентно тому, что
да, Y)Z, Z> = 0
для любых векторных полей X, Y и Z. Так как /?jw — тензор, для доказательства
этого факта достаточно ограничиться случаем, когда поля X к Y базисные. Мы
имеем
(R(eh ek)Z, Z) = ([Vb Vy]Z, Z) = -([Vy, V,]Z, Z).
Так как связность согласована с метрикой, то, дифференцируя функцию (Z, Z),
получаем
(Z, Z> =
, Z> + (V,Z, VyZ>,
(z, z> = (v4v7z, z> + (vyz,
Вычтем второе равенство из первого и получим, что
([Vy,V,]Z, Z} = 0,
что и требовалось доказать.
Докажем утверждение 4. В терминах тензора Rijki соотношение A0.37) имеет
вид
Rijkl = —Rijlk,
а соотношение A0.38) переписывается как
Riljk + Rijkl + Riklj = Л/|/А/1 = 0,

346 Глава 10. Связность и кривизна
где знак [jkl] означает, что мы берем сумму по всем циклическим перестановкам
этих индексов. С учетом соотношений A0.37), A0.38) и A0.39) получим
— Rjkli) = 0,
откуда следует утверждение 4. Теорема доказана.
3. Тензоры Римана многообразий малой размерности, тензор Риччи,
скалярная и секционная кривизны. Пусть связность симметрична и согла-
согласована с метрикой. Напомним, что метрика не обязана быть положительно оп-
определенной.
Из теоремы 10.11 следует, что тензор Римана Rijki кососимметричен по первой
и второй парам индексов:
Rijkl = —Rjikl = —Rijlkj
симметричен относительно перестановок этих пар индексов:
Rijkl = Rklij
и удовлетворяет соотношению
= 0.
Так как соотношений достаточно много, в малых размерностях тензор Римана
полностью определяется параметрами, входящими в тензор Риччи /?*/, который
является сверткой тензора кривизны:
В координатах формула для тензора Риччи имеет вид
о _ дГ]ц dTki ri rm ri гт
Rkl ~ 17 ~ 17 + г*/Г/т " г*тГ"-
Из соотношений A0.37)—A0.40) следует, что тензор Риччи симметричен:
Rik = Rki-
Он также может быть определен как след линейного отображения Фху.
ФхА1) = R(X, УM, RikX1 Yk =
След тензора Риччи
называется скалярной кривизной.
Когда мы говорим о кривизне Риччи или скалярной кривизне многообразия
с метрикой, мы подразумеваем, что на многообразии выбрана единственная сим-
симметричная связность, согласованная с метрикой.
Рассмотрим вопрос о том, сколько независимых компонент имеет тензор Ри-
Римана в случае многообразий малой размерности.

§ 10.2. Тензор кривизны 347
1. Двумерный случай: dim A4 = 2.
Из симметрии тензора Римана следует, что весь тензор определяется одной
компонентой /?i2i2 = — #2112- Все другие компоненты либо равны нулю, либо по-
получаются из этой компоненты перестановками. Легко посчитать, что
Rkl = Rgkh R= 2/?>2>22. A0.41)
g\\g22~g\2
В двумерном случае связь скалярной кривизны с гауссовой кривизной устана-
устанавливается следующей теоремой.
Теорема 10.12. Пусть М2— двумерная поверхность в М3 (с индуциро-
индуцированной метрикой). Тогда ее скалярная кривизна R совпадает с удвоенной
гауссовой кривизной:
R = 2K.
Доказательство. Возьмем какую-то точку Р Е М2 и представим в ок-
окрестности этой точки поверхность как график функции z = f(x, y)y считая, что
ось z направлена по нормали к поверхности в точке Р. Метрика на поверхности
равна
ёи = 1 + fl ?12 = /*/„• ?22 = 1 + /J,
и, так как ось z ортогональна поверхности в точке Р, grad/(P) = 0. Мы видим,
что в точке Р все производные вида -Щ равны нулю, и, следовательно, символы
аи
Кристоффеля в этой точке тоже равны нулю: rj = 0. Значит, в точке Р имеем
(см. формулу A0.33))
Klki~ dxk дх!'
р - 1 ( д28» I *&* d2&k дЪ \
Кт "" 2 I du'duk + ди'ди1 ди'ди1 ди'ди* )'
где и1 = ху и2 = у. Подставляя значения для метрики g^ в эту формулу, получаем
#1212 = fxxfyy — fxy = ^С-
В данной системе координат det(gij) = g = 1 и поэтому
R
Так как скалярная кривизна R и гауссова кривизна К — скаляры, равенство
R = 2/(, выведенное в одной системе координат, верно всегда и не зависит от
выбора координат. Теорема доказана.
Выражение A0.41) может быть переписано в виде
^ {е\у е\)(е2, е2) — \в|, е2)
где ей #2 — базис в касательном пространстве. Мы видим, что значение этого
выражения есть гауссова кривизна, и поэтому оно не зависит от выбора базиса
#1» #2-

348 Глава 10. Связность и кривизна
Вообще из симметрии тензора кривизны следует, что если мы в какой-то
точке /г-мерного риманова многообразия рассмотрим двумерную плоскость а,
порожденную касательными векторами X и Y в касательном пространстве, то
выражение
/р/у v\Y V\
Д W " <Х,*){У\У)-<*,УJ
зависит только от плоскости а и не зависит от выбора векторов 5 и г\. Оно на-
называется секционной кривизной риманова многообразия вдоль плоскости (дву-
(двумерного направления) а.
Как мы видим, в двумерном случае секционная кривизна совпадает с гауссо-
гауссовой кривизной.
Для метрики вида
d** + G(x9y)d!f
секционная кривизна равна
С помощью этой формулы легко построить метрики постоянной секционной кри-
кривизны:
1) метрика нулевой кривизны — евклидова плоскость:
/С = 0;
2) метрика положительной кривизны К — сфера радиуса -7=:
VA
3) метрика отрицательной кривизны К — псевдосфера:
Примеры координат, в которых метрики на сфере и псевдосфере принима-
принимают такой вид, мы приводили в гл. 4. Это — сферические и псевдосферические
координаты.
2. Трехмерный случай: dimM = 3.
В я-мерном пространстве можно рассмотреть все кососимметрические тен-
тензоры типа B, 0). Они образуют линейное пространство V размерности ^—-—-,
порожденное тензорами вида
еА = et Л eh А = [//], 1 < i < j < п.
Из симметрии тензора кривизны следует, что он задает квадратичную форму на
пространстве таких тензоров в касательном пространстве в каждой точке по пра-
правилу
(d Л eh ek Л et) = RijM = RABy A = [//], В = [kl\
которое в силу билинейности приводит к общей формуле

§ 10.2. Тензор кривизны 349
Говорят, что пространство имеет положительный оператор кривизны, если
в каждой его точке квадратичная форма R\a\b\ положительно определена на про-
пространстве кососимметрических тензоров типа B, 0).
При п = 3 пространство V, состоящее из кососимметрических тензоров ва-
валентности B, 0), трехмерно и квадратичная форма на таком пространстве зада-
задается шестью параметрами. Тензор Риччи также имеет шесть независимых ком-
компонент, как квадратичная форма на трехмерном векторном пространстве. Оказы-
Оказывается, в трехмерном случае тензор Риччи полностью определяет тензор Римана
по формуле
Rijki = Rikgji + Rjigik - Rugjk - Rjkgu + 2 (gugjk - gikgji). A0.42)
4. Тензор конформной кривизны. В размерности 4 тензор Риччи име-
имеет 10 независимых компонент, пространство кососимметрических тензоров
типа B, 0) шестимерно, а квадратичная форма на таком пространстве определя-
определяется 21 параметром. В этом случае, как и в случае высших размерностей, тензор
Риччи не определяет тензор Римана.
Имеет место следующее обобщение формулы A0.42):
igilgjk " gikgjl) + Wijkh A °*43)
где п — размерность пространства. След тензора Wijki равен нулю:
Поэтому его можно рассматривать как кососимметрическую часть тензора Рима-
Римана, т. е. ту часть, которая не дает вклада в тензор Риччи. Этот тензор называется
тензором Вейля или тензором конформной кривизны.
Объясним последнее название.
Положительно определенная (риманова) метрика gVl dxl dx) называется кон-
конформно плоской, если в окрестности каждой точки заменой координат она при-
приводится к виду
gn = e%h
или, что то же самое, если умножением на положительную функцию е~и метрика
приводится к плоскому виду, т. е. становится евклидовой в каких-то координатах.
В п. 1 §4.4 мы показали, что в двумерном случае каждая метрика является
конформно плоской. В случае больших размерностей это не так.
Тензором Схоутена называется тензор
На пространстве квадратичных форм можно определить симметричное умно-
умножение со значением в тензорах типа @, 4) по формуле
lik giij

350 Глава 10. Связность и кривизна
В терминах этого умножения формула для тензора Вейля выглядит очень просто:
w _ R L_ (# о о)..ы + 2/? ( Q у _ R _ _ о у
Тензор
называется тензором Вейля—Схоутена.
В размерности 3 тензор Вейля всегда обращается в нуль, что следует из фор-
формулы A0.42). Легко посчитать, что для конформно плоской метрики тензор Вейля
всегда равен нулю. Поэтому он может рассматриваться как препятствие к при-
приведению метрики к конформно евклидову виду gy = ettby в области пространства
(в одной точке это, очевидно, можно сделать всегда). Имеет место следующая
теорема, которую мы сформулируем без доказательства.
Теорема 10.13. 1. Трехмерное риманово многообразие Мъ является кон-
конформно плоским тогда и только тогда, когда его тензор Вейля—Схо-
Вейля—Схоутена равен нулю:
(V,S)y* = (VyS)/b /, /, k = 1, 2, 3.
2. Риманово многообразие Мп размерности п^4 является конформно
плоским тогда и только тогда, когда его тензор Вейля равен нулю:
VP"bi== 0 I i k I== 1 п
Мы приходим к заключению, что, начиная с размерности 4, тензор Римана не
восстанавливается по тензору Риччи.
Однако именно в размерности 4 в случае индефинитной метрики &7 сигнатуры
(Н ) тензор Риччи играет важную роль в физике.
Основным положением общей теории относительности Эйнштейна является
то, что гравитационное поле — это метрика gy сигнатуры (Н ) (в каждой
точке заменой координат она приводится к метрике Минковского с2 dt2 - dx2 -
- dy2 - dz2). Поля материи (т. е. все другие поля, кроме гравитационного) входят
в уравнения Эйнштейна
Q 'Г*
через тензор энергии-импульса —j-TM, где G — гравитационная постоянная we—
с
скорость света (в пустоте). Если поля материи отсутствует, то уравнения Эйн-
Эйнштейна принимают вид
В этом случае вычислим след тензора в левой части этой формулы:

§ 10.2. Тензор кривизны 351
откуда вытекает, что в отсутствие полей материи уравнения Эйнштейна эквива-
эквивалентны обращению в нуль тензора Риччи:
Многообразия с нулевым тензором Риччи и соответствующие метрики (любой
сигнатуры) называются риччи-плоскими. Поэтому риччи-плоские многообразия
с индефинитными метриками сигнатуры (Н ) в точности отвечают реше-
решениям уравнений Эйнштейна в пустоте.
Сейчас в дифференциальной геометрии многообразие, для которого тензор
Риччи пропорционален метрике:
Rki = ^gkh X = const,
называется многообразием Эйнштейна независимо от того, какую сигнату-
сигнатуру имеет метрика. Метрики, пропорциональные их тензорам Риччи, называются
метриками Эйнштейна.
5. Тетрадный формализм. Существует другой формализм для работы с кри-
кривизной пространства, развитый физиками для изучения уравнений Эйнштейна. От
размерности физического четырехмерного пространства происходит и его назва-
название— тетрадный, хотя мы изложим его в случае общей размерности.
Пусть в я-мерном пространстве Мп задана метрика g/7- фиксированной сиг-
сигнатуры. Зададим какую-то постоянную метрику hVi той же сигнатуры. В каждой
точке Мп метрику можно привести к виду hin выбрав в касательном пространстве
к точке базисные векторы в|, ..., еп:
(eh е,) = А/у.
Более того, локально можно выбрать эти базисные векторы гладко зависящими
от точки. Мы получаем набор гладких векторных полей eiy ..., еп, удовлетворя-
удовлетворяющих соотношению (eh ej) = hir Например, в общей теории относительности для
вычислений удобно выбирать тетраду —четверку векторных полей е0, • • •» #з>
удовлетворяющую соотношениям
(ео, е0) = (е,, ?|) = 0, (еОу е{)=1, {е2у е2) = (е3, е3> = -1,
остальные скалярные произведения между базисными векторами равны нулю.
Векторы е0 и е\ —световые, а е2, ?3 — пространственноподобные.
Заметим, что если пространство не является плоским, то эти векторные поля
не коммутируют. Действительно, иначе можно было бы найти локальные коор-
координаты, для которых эти векторные поля были базисными, и привести метрику
к постоянному виду в целой области пространства.
Рассмотрим попарные коммутаторы [eh е}] полей и разложим их по тому же
базису:
Определим символы Кристоффеля обычной формулой:
Vefr = Yktjek.

352 Глава 10. Связность и кривизна
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 10.5. Если связность симметрична, то
4 = Г* -Г*. A0.44)
Доказательство. Условие симметричности выражается в равенстве
нулю тензора кручения: Г(?, г)) = 0 для любых векторных полей (лемма 10.4).
В частности, мы имеем
T(eh e}) = Veie} - V.,*, - [eiy ej\ = (Г* - Г* - fyek = 0.
Лемма доказана.
С помощью этой леммы очень просто найти символы Кристоффеля симме-
симметричной связности, согласованной с метрикой.
Теорема 10.14. Если связность симметрична и согласована с метрикой,
то
еде cijk = huCjk.
Доказательство. Так как связность согласована с метрикой, мы имеем
0 = V9k(eh е,) = (Vekeh e,) + (eh V,ke,) = T\khl} + T)khn.
Введя обозначение Titjk = hitYljk и выписав последнее соотношение для цикличе-
циклических перестановок /, /, k> получаем систему из трех уравнений
Г|.*у + ГУ,у = Fkji + Tjtki = Гуд 4- Гць = 0.
Решив эту систему с учетом соотношений A0.44), получим формулы для коэф-
коэффициентов связности. Теорема доказана.
С помощью полученных формул для символов Кристоффеля тензор кривизны,
а с ним и уравнения Эйнштейна можно записать в терминах функций с* и их
первых производных, что бывает удобно для вычислений.
6. Кривизна инвариантных метрик на группах Ли. Рассмотрим левоин-
вариантные метрики на группах Ли, которые изначально задаются с помощью
«тетрад».
Пусть G — группа Ли и g — ее алгебра Ли, отождествленная с касательным
пространством к группе G в единице. Выберем какой-то базис *|, ..., ел в алге-
алгебре g и определим скалярное произведение этих векторов:
Это скалярное произведение однозначно задает метрику на всей группе G по сле-
следующему правилу. Каждому элементу g € G отвечает диффеоморфизм — левый
сдвиг

§ 10.2. Тензор кривизны 353
гладко зависящий от g, который индуцирует изоморфизм касательных про-
пространств T\G —> TgG. Обозначим через Lx левоинвариантное векторное поле на
группе G, полученное сдвигами вектора Xeg=T\G.
Векторные поля Lei, ..., Len задают базисы в касательных пространствах
в точках g€zG (см. п. 5 §8.3). Формула
(Len Lej) = gih /,/= 1, ..., л, geG,
однозначно задает метрику на группе. Эта метрика левоинвариантна, т. е. удо-
удовлетворяет соотношению
(X, Y) = (Lx, LY)
для всех X, Y e TgGy g&G. Очевидно, что все левоинвариантные метрики зада-
задаются таким образом.
Из теоремы 10.14 следует, что кривизна таких метрик определяется скаляр-
скалярным произведением Цц и коммутационными соотношениями в алгебре Ли д груп-
группы G:
[Len Le.]=: L{ehej] = c1jLek.
Рассмотрим простейший случай, когда на алгебре Ли задана метрика Кил-
линга, т.е. метрика, для которой все операторы ad Л' кососимметричны:
где*, У, Z€fl.
Теорема 10.15. Связность
= 2 Цх,у\ = g
симметрична и согласована с метрикой Киллинга на группе G.
Доказательство. Выпишем тензор кручения этой связности:
T(LX% LY) = VLxLY - VLyLx - [LXi Ly) = i L[X,Y] - ~ L[YtX] - Цхл = О.
Условие согласованности достаточно проверить только для левоинвариантных
векторных полей, которые задают базис в касательном пространстве к любой
точке:
VLx(LYy Lz) = (VLxLY9 Lz) + {LYy VLxLz).
Из равенства (LY, Lx) = const следует, что
Так как все операторы adX: Y ~*[X, Y] кососимметричны относительно метрики
Киллинга, мы имеем
(V^Ly, Lz) + (LYy VlxLz) == к (Щх,г\* Lz) H- (Ly,
= 2
Теорема доказана.
12-1168

354 Глава 10. Связность и кривизна
Следствие 10.8. Кривизна симметричной связности, согласованной с ме-
метрикой Киллинга, равна
R(LX, LY)LZ = i Lp.n.z|, (R(LXy LY)LZy Lw) = i p, K]> [Z, W]).
Доказательство. Мы имеем
R(LX, LY)LZ = VLyVLxLz - VLxVLyLz +
I [LK, [Z*. Z-zD ~ j [Lx, [LY, Lz\] + \ \[LX, LY\ Lz]
и с учетом тождества Якоби получаем
Для метрики Киллинга оператор ad Z кососимметричен, и, следовательно,
(R(LX% LY)LZi Lw) = i (P, П Z\ W = \ P, П № Щ.
Следствие доказано.
§ 10.3. Геодезические линии
1. Геодезический поток. Аналоги прямых в пространствах со связностью
называются геодезическими, и их определение опять основано на аналогии с ев-
евклидовой геометрией.
Кривая x(t) называется геодезической, если ее вектор скорости параллелен
вдоль кривой:
0. A0.45)
Исходя из определения ковариантной производной вдоль кривой (см. A0.18))
распишем уравнение A0.45) в координатах:
(Vii)' = $ + Т\кх*хк = 0, i=l /2.
Полученное уравнение
называется уравнением геодезических.
Если Г'Л/ = 0, то решениями этого уравнения являются обычные прямые, как
и должно быть в евклидовой геометрии.
Для произвольной связности уравнение A0.46) — это система дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка. В окрестности точки (jCq, ..., jcg) существует
единственное решение этого уравнения с начальными условиями
*/|/=0 = *\ ^ =*>, /=1 П,
°У dt /=o

§ 10.3. Геодезические линии 355
для любых x'q и x'q (по теореме существования и единственности решений). По-
Поэтому справедлива следующая лемма.
Лемма 10.6. В некоторой окрестности любой точки х и для любого
вектора v в этой точке существует единственная геодезическая связ-
связности (rjft), начинающаяся в точке ху с начальным вектором скорости v.
Замечание. Из уравнения A0.46) видно, что геодезические данной связ-
связности зависят только от «симметричной части» связности Г^ = Цк + Г^.
Если связность симметрична и согласована с метрикой (римановой или псев-
доримановой), то про поток A0.46) на касательном расслоении говорят как про
геодезический поток данной метрики.
Лемма 10.7. Величина
Е = (*, х) = ЦцХх)
сохраняется вдоль геодезического потока метрики gir
Доказательство получается прямыми вычислениями:
У] = 0,
так как согласно определению геодезического потока У** = 0 и то, что связность
согласована с метрикой, означает, что Vkgij = 0. Лемма доказана.
Геодезический поток имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения
на касательном расслоении ТМп к многообразию:
if = 5', if = -rjk{x)v}v\ i = 1, ..., п.
Заметим также, что верна простая лемма.
Лемма 10.8. Если x(t) — траектория геодезического потока и С — не-
ненулевая постоянная, то кривая y(t) = x(Ct) — тоже траектория геодези-
геодезического потока.
Доказательство. Действительно,
Лемма доказана.
В дальнейшем мы ограничимся геодезическими потоками римановых метрик.
Для геодезического потока метрики gi} касательное расслоение расслаивается
на подмногообразия вида {?= const}, которые инвариантны относительно пото-
потока. Из леммы 10.8 следует, что ограничения геодезического потока на различные
уровни {?= С|} и {?"= Сг} траекторно эквивалентны, т.е. имеют одинаковые
траектории, если рассмотреть их как кривые. Действительно, имеет место вза-
взаимно однозначное соответствие
(){}y()(){E=C2}y где X=^g.
12*

356 Глава 10. Связность и кривизна
При Е = 0 все траектории одноточечны (для псевдоримановой метрики это не
так). Поэтому под геодезическим потоком римановой метрики обычно понимают
ограничение геодезического потока на гиперповерхность уровня {? = \х\2 = 1}.
Гиперповерхность LMn = {|i| = 1}, образованная единичными касательны-
касательными векторами к Мп, называется многообразием единичных элементов на Мп.
Если многообразие Мп компактно, то многообразие LMn тоже компактно. В этом
случае, как показывает следующая теорема, мы можем утверждать больше, чем
локальное существование решения.
Теорема 10.16. Пусть х = v(x) — обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение с гладкой правой частью v(x) на компактном многообразии без
края Мп.
Тогда для любой точки х0 е Мп существует решение этого уравнения
x(t) с начальным условием х@) = лг0, определенное при всех временах t € R
и гладко зависящее от начального условия.
Доказательство. Согласно локальной теореме о существовании и
единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения для ка-
каждой точки jto существуют такая окрестность U = U(x0) этой точки и такая
постоянная Т = T(U) > 0, что для каждой точки х1 е U при / е [0, Т] решение
x(t) уравнения с начальными данными х@) = х1 существует и единственно. Такие
области U(xo) образуют открытое покрытие многообразия Мп, и, так как много-
многообразие компактно, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие Uh
i = 1, ..., N. Положим Т = min T(Ui).
Докажем, что решение уравнения существует и единственно при любом вре-
времени / € R и любом начальном условии jc(O) = jc0. Обозначим через ф,: Мп —> М
сдвиг вдоль решения уравнения. Эти отображения определены при t € [0, Т].
Возьмем произвольное значение t — kT + t\ V € [0, Т) и k € Z, и положим
п
Очевидно, что кривая x(t) определена при всех / ^ 0, задает решение уравнения
и при этом это решение единственно. Так как отображение ср/ гладко зависит от
начальных данных, значение x(t) при каждом заданном времени / тоже гладко
зависит от начальных данных. Применяя те же рассуждения к обратному потоку
х = -v(x), выводим аналогичные заключения для времен / < 0. Теорема дока-
доказана.
Применяя эту теорему к геодезическому потоку, ограниченному на многообра-
многообразие линейных элементов на компактном многообразии, получаем следующий ре-
результат.
Следствие 10.9. На замкнутом римановом многообразии каждая геоде-
геодезическая x(t) неограниченно продолжается (определена при всех временах
/€R).
Римановы многообразия, на которых все геодезические неограниченно про-
продолжаются, называются полными или геодезически полными. Такие многообра-
многообразия обладают важным свойством, которые мы приведем без доказательства.

§ 10.3. Геодезические линии 357
Теорема 10.17. На полном римановом многообразии любые две точки
можно соединить геодезической.
С помощью геодезических на римановом многообразии Мп можно строить
специальные системы координат, удобные при вычислениях и приложениях.
Пусть х е Мп и v — касательный вектор в этой точке. Выпустим из точки
х = х@) геодезическую x(t) с начальным вектором скорости х@) = v. Если точка
хA) определена, то обозначим ее через expx(v). Отображение
ехр: ТхМа-*Мя
называется экспоненциальным отображением. Мы указали в качестве области
определения все касательное пространство, что верно для полных многообразий.
В общем случае из локального существования геодезических следует, что это
отображение определено по крайней мере для векторов малой длины \v\ < г.
Лемма 10.9. Существует такой шар В = {\v\ < r\} в касательном про-
пространстве к точке хеМп, что отображение
отображает этот шар диффеоморфно на окрестность точки хеМп.
Доказательство. Так как Vе = 8), якобиан обратим и по теореме
об обратной функции отображение ехр^. обратимо на образе достаточно малого
шара В = {\v\ < г)}. Лемма доказана.
В окрестности (/, на которую шар В отображается диффеоморфно, можно
ввести новые координаты, положив
Р=(у|,...,Л. если Р = ехрх(у).
Такие координаты называются геодезическими. В физике они еще называются
инерциальными, так как обладают важным свойством, которое сформулировано
в следующей лемме.
Лемма 10.10. Пусть х\ ..., хп — геодезические координаты в окрест-
окрестности точки Ру построенные по отображению ехрр. Тогда в точке Р вы-
выполняются равенства
Г}* = 0, /,/, Ы я.
Доказательство. В геодезических координатах геодезические с нача-
началом в точке Р и начальным вектором скорости имеют вид x(t) = vt. Подставляя
эту формулу в уравнение геодезических, получаем Tljkvjvk = 0. Так как в точке Р
направление вектора v может быть выбрано любым, все символы Кристоффеля
должны быть равны нулю. Лемма доказана.
2. Геодезические линии как кратчайшие. Координаты х\ ..., хп называ-
называются полугеодезическими, если в них метрический тензор имеет вид
A0.47)

358 Глава 10. Связность и кривизна
Примерами полугеодезических координат являются сферические и псевдо-
псевдосферические координаты (см. §4.2 и §4.3).
Имеет место следующая лемма.
Лемма 10.11. В полу геодезических координатах х\ ..., хп любая «пря-
«прямая» вида (х\ ..., Xя) = const является геодезической с натуральным па-
параметром t = xn.
Доказательство. Согласно формулам для символов Кристоффеля мы
имеем
г; — i *Ji to dgjn _ dgnn\ _ n г„ _ 1 dgif
1"-2*\Гдх* дхЧ~ ' "~ 2 dxn'
«Прямые» (jc1, ..., xn~x) = const, xn = / очевидным образом удовлетворяют урав-
уравнениям геодезических:
rjkxjxk
Лемма доказана.
Для доказательства существования полугеодезических координат нам пона-
понадобится следующая лемма.
Лемма 10.12. Пусть хеМп и SXtT — сферы вида {\v\ = т} в касательном
пространстве к точке х. Тогда геодезические expx(tv) ортогональны под-
подмногообразиям expx(SxJ (при малых т, когда определено экспоненциальное
отображение).
Доказательство. Пусть v(s) — гладкая кривая на сфере SX|T. Доста-
Достаточно показать, что для поверхности F(s, t) = expx(tv(s)) касательные векторные
поля Ft = dF/dt и Fs = dF/ds всюду ортогональны.
Сначала докажем, что
Так как связность согласована с метрикой, мы имеем
Здесь мы использовали то, что при фиксированных значениях 5 кривые F(s, t) —
геодезические и DFt/dt = 0. Для погруженных поверхностей выполняется следу-
следующее тождество, которое легко проверить (например, разложением обеих частей
по базису):
TtFs = TsFt'
В результате мы получаем

§ 10.3. Геодезические линии 359
так как \v\2 = т = const. Но Fs = 0 при / = 0. Следовательно, (Fs, Ft) = 0 при
/ = 0, а значит, и при всех значениях t. Лемма доказана.
Следствие 10.10. Для любой геодезической x(t) и любой тонки Р на ней
в окрестности этой точки существуют такие полугеодезические коор-
координаты х\ ..., хп, что в них геодезическая x(t) задается уравнениями
Доказательство. Выберем точку Q на геодезической x(t), настоль-
настолько близкую к точке Я, что отображение ехр^ определено в шаре {\v\ < 2г\}
и expQw = Я, где \w\ = у). Возьмем в качестве х\ ..., хп~1 такие координаты
на сфере {\v\ = т)} в TqM11, что координаты точки w равны хх = ... = хп~\ а в ка-
качестве хп выберем натуральный параметр на геодезических, выходящих из точ-
точки Q. Из леммы 10.12 следует, что эти координаты удовлетворяют свойству 10.47,
т. е. являются полугеодезическими. Другим требуемым свойствам эти координаты
удовлетворяют по построению. Следствие доказано.
С помощью полугеодезических координат просто доказывается, что геодези-
геодезические являются локально кратчайшими линиями.
Теорема 10.18. Пусть x(t) — геодезическая и Р — точка на ней. Тогда
для достаточно близких к Р точек отрезок геодезической имеет наи-
наименьшую длину среди всех кривых, соединяющих эти точки.
Если кривая x(t), соединяющая точки Р и Q, имеет наименьшую дли-
длину среди кривых, соединяющих эти точки, то эта кривая — геодези-
геодезическая.
Доказательство. Выберем в окрестности точки Р полугеодезические
координаты, которые даются следствием 10.10. Пусть они определены в обла-
области U. Обозначим через 8 расстояние от точки Р до границы области U. Пусть
точка Q лежит на геодезической x(t) на расстоянии р < 8 и у — кривая, соединя-
соединяющая точки Р и Q. Если она в какой-то момент выходит за пределы области U,
то ее длина больше, чем 8 > р. Предположим, что кривая лежит в области U.
Тогда ее длина L удовлетворяет следующим неравенствам:
= fj ? gux>xf
Jy V i«дел-1
причем равенство достигается только при х1 = ... = хп~1 = 0, т.е. для отрезка
геодезической x(t).
Покажем, что второе утверждение следует из первого. Любые две достаточно
близкие точки на кратчайшей кривой соединяются геодезической, которая долж-
должна совпадать с участком кратчайшей. Так как это верно в окрестности любой
точки на кривой, вся кратчайшая кривая является геодезической. Теорема дока-
доказана.
Глобально геодезические не являются кратчайшими. Например, как мы пока-
показали в §4.2, геодезические на единичной сфере в R3 — большие круги. Две точки,
которые не противоположны другу другу, разбивают большой круг на два отрезка
геодезических, один из которых является кратчайшим, а другой нет.

360 Глава 10. Связность и кривизна
3. Формула Гаусса—Бонне. Пусть М2— ориентированное двумерное рима-
ново многообразие и r(t) — кривая на этом многообразии. Предположим, что
кривая регулярна: г ф 0 всюду. Понятие кривизны плоской кривой обобщается
на случай кривых в М2 следующим образом.
Введем на кривой натуральный параметр, который опять же обозначим че-
через /: \г\ = 1, и выберем на кривой реперы Френе — ортонормированные поло-
положительно ориентированные реперы (г, п) в касательных пространствах к каждой
точке кривой. Геодезической кривизной называется величина
К = <V/f, п).
В случае, когда М2 — евклидова плоскость, геодезическая кривизна совпадает
с кривизной плоской кривой. Так как \г\ = 1, то, как и в плоском случае, дока-
доказывается, что V/r ± г. Отсюда следует, что кривая имеет всюду нулевую геоде-
геодезическую кривизну тогда и только тогда, когда она является геодезической.
Теорема 10,19 (формула Гаусса—Бонне). Пусть V с М2 — замкнутая
область, гомеоморфная кругу, и ее граница dV состоит из последователь-
но пройденных регулярных кривых г,,..., гп (начало кривой г/+| совпадает
с концом кривой rt(f), и мы положим гя+, = Г|). Пусть а,- — угол между кри-
кривыми Г/ и Г/+| в общей концевой точке, направленный внутрь области V,
i = 1, ..., п. Имеет место следующая формула:
[ gdt = 2n- VV* - а() - / К do, A0.48)
av ТГ^ Jv
где интеграл по граничному контуру берется в направлении против ча-
часовой стрелки, da = y/gwgn - g22du] Л du2—ориентированная форма пло-
площади на поверхности и t — натуральный параметр на кривой dV.
Доказательство. Предположим, что вся область V лежит в окрестно-
окрестности, в которой введены полугеодезические координаты (х, у): ds2 = dx2 + Gdy2.
Мы оставляем в качестве упражнения получить прямыми вычислениями следу-
следующие формулы:
г1 Лг7 г2 —г2 — — П г2 — — G
122 — 2 х> 12 ~ 2I"" 2G 22 ~~ 2G уу
а все остальные символы Кристоффеля равны нулю. Здесь мы полагаем их = х,
и2 = у. Отсюда получаем формулу для секционной (гауссовой) кривизны
Пусть в\, #2 — базисы в касательных пространствах, отвечающие координатам
х, у. Вектор нормали к кривой имеет вид
п = ^= (-Gyex + хе2).
Подставим эти выражения в формулу для геодезической кривизны и получим
kg = VU(-xy + ху+ъ Gxf + i Gxx2y + ± Gyxy2).

§ 10.3. Геодезические линии
361
Напомним, что |г|2 = х2 -f Gy2 = 1, откуда мы выводим, что
±C,i>i + ±0,*?),
1 а,? + ± ел).
Мы видим, что выражение для kgdt записывается следующим образом:
kgdt =
Согласно формуле Грина (9.17) (частному случаю общей формулы Стокса) ин-
интеграл по границе от (y/G)xydt равен
JjVG)xydt =
Подставляя сюда выражение A0.49) для гауссовой кривизны, получаем равен-
равенство
/ (VG)jdt = - [кdo.
JdV Jv
Угол arctgf—r^J равен (с точностью до я)
углу ср между г и ех. Если dV — гладкая кривая, то
J d(f = 2л. В общем случае мы имеем
L
= 2л -
Рис. 10.2. Геодезический
многоугольник
Окончательно мы получаем
[ kgdt= [ (d(f + (VG) ydt) =2тг~ YV* - a,) - / Kdo.
Jav Jav TTf Jv
Для большой области V формула доказывается следующим образом. Разо-
Разобьем большую область на маленькие области Vh в которых можно ввести по-
полугеодезические координаты, и просуммируем формулы A0.48) для J kgdt no
этим областям. Граничные контуры этих областей, которые будут лежать вну-
внутри V, попадут в сумму два раза с разными знаками, и поэтому J kgdt =
= Z)/ kgdt. Суммируя правые части формул A0.48) для Viy получим правую
часть формулы A0.48) для области V. Теорема доказана.
Геодезическим треугольником на поверхности М2 называется область, ко-
которая гомеоморфна внутренности треугольника и ограничена тремя отрезками

362
Глава 10. Связность и кривизна
+ СС2 + аз > л
Рис. 10.3. Геодезический
треугольник на сфере
геодезических. Сумма углов а,- между этими от-
отрезками в общих концевых точках называется,
как и в евклидовой геометрии, суммой углов
треугольника. Для геодезического треугольни-
треугольника kg = 0 на границе, и из формулы A0.48) по-
получаем такой результат.
Следствие 10.11. Сумма углов ot|, аг и аз
геодезического треугольника Д на поверх-
поверхности равна
+а2
= а3 = к+ /
Ja
К da.
Если кривизна поверхности положительна, то сумма углов больше чем к,
а если она отрицательна, то сумма углов треугольника меньше чем л.
Упражнения к главе 10
1. Докажите, что при бесконечно малом параллельном переносе вектора ?' на
Ьхк он преобразуется по следующей формуле:
2. Выпишите тензор деформации в терминах ковариантных производных.
3. Докажите, что траектории движения точечного электрического заряда в по-
поле магнитного полюса
г = а^-^, а = const,
являются геодезическими кругового конуса.
4. Двумерная метрика называется лиувиллевой, если в каких-то координа-
координатах она имеет вид dl2 = (f(u) + g(v))(du2 + dv2). Докажите, что линии уровня
функции
dv
/g(v) + a
являются геодезическими такой метрики.
5. Докажите, что меридианы поверхности вращения (линии ср = const) явля-
являются геодезическими линиями, а параллель поверхности вращения будет геоде-
геодезической, в точности когда касательная к меридиану в ее точках параллельна оси
вращения.
6. Показать, что геодезические линии метрики dl2 = v(du2 + dv2) — это пара-
параболы на плоскости (и, v).
7. Докажите, что для метрики, заданной в полярных координатах формулой
dl2 = A dr2 + г2 dtf, прямые, проходящие через центр, — геодезические.
8. Докажите, что для связного многообразия
а) движение (изометрия), которое сохраняет точку и тождественно действует
на касательном пространстве в этой точке, — тождественное отображение;
б) изометрии многообразия образуют группу Ли.

Упражнения к главе 10 363
9. Докажите, что изометрии метрики Киллинга на SO(n; R), оставляющие
единицу неподвижной, — это в точности внутренние автоморфизмы X-+ АХА~\
где X, А € SOC, R).
10. Докажите, что поле ? = (?') является полем Киллинга тогда и только тогда,
когда
при всех /, k, где 5, = giklk.
11. Пусть r(t) — геодезическая и ? — поле Киллинга. Докажите, что скалярное
произведение (г, ?) постоянно вдоль геодезической.
12. Найдите все поля Киллинга на единичной сфере в Шп, п ^ 3.
13. Для симметричной связности Pjki согласованной с метрикой gijy докажите
справедливость следующих тождеств:
14. Докажите, что в «-мерном пространстве с метрикой (g/y) верна формула
JdV
где
/\B\%dxl> A ... Л
15. Докажите, что для трехмерных многообразий верна формула
1 + Rjigik - Rugjk - Rjkgu + 7)(gugjk - i
16. Пусть вектор ?е получен в результате параллельного переноса вектора
^ = (?*) вдоль границы квадрата со стороной е, натянутого на координатные
оси х1у х), в направлении против часовой стрелки. Докажите, что
17. Выведите из тождества Бианки следующее тождество для дивергенции
тензора Риччи:
18. Пусть секционная кривизна К в каждой точке пространства одинакова
вдоль всех двумерных направлений. Докажите, что в этом случае тензор кривизны
имеет вид
и с помощью тождества Бианки выведите отсюда, что пространство имеет по-
постоянную секционную кривизну.
19. Докажите, что тензор Вейля Wijk инвариантен относительно конформных
преобразований метрики gik(x) -

364 Глава 10. Связность и кривизна
20. Пусть Х\, ..., Хп — векторные поля, которые в каждой точке /2-мерного
многообразия образуют базис в касательном пространстве. Введем двойственный
базис 1-форм о>|, ..., 6>Я, заданный условием соДЯу) = 5/у. Докажите, что
? где [Xh Л}] = 4
(здесь, как и в следующей задаче, подразумевается суммирование по повторяю-
повторяющимся индексам).
21. В условиях предыдущей задачи зададим в области аффинную связность
со значениями на базисных полях:
Определим 1 -формы б>/7 как
СО/у =
Эти формы однозначно определяют связность V. Пусть Ту, и R\jk — тензоры кру-
кручения и кривизны этой связности. Используя формулу (9.5), покажите, что вы-
выполнены структурные уравнения Картана
Ло,- = -со/у Л Оу - ^ Tjk°>j Л <оь do>ij = -со/* Л со*у + g
Если кривизна равна нулю, то последнее уравнение переходит в уравнение May-
рера—Картана
22. Пусть задана геодезическая система координат я1, ..., х" с центром в точ-
точке Р. Докажите, что в точке Р выполняются равенства
0 = 0, /,/,ft=l,...,/».
23. Возьмем в пространстве R2 с координатами jc, у полуплоскость, опреде-
определенную неравенством у > 0, и зададим на ней метрику по формуле
Мы получим плоскость Лобачевского.
а) Докажите, что секционная кривизна плоскости Лобачевского всюду равна
/С = -1.
б) Докажите, что геодезические этой метрики в евклидовых координатах х, у
выглядят как лучи, ортогональные прямой у = 0, и полуокружности с центром на
прямой у = 0.
в) Докажите, что плоскость Лобачевского геодезически полна и каждая па-
пара различных точек соединяется единственным отрезком геодезической, который
является кратчайшей линией между этими точками.
г) Назовем «прямой» геодезическую, которая неограничена в обе стороны
(т.е. взятую при всех значениях /). Докажите, что если точка х не лежит на

Упражнения к главе 10 365
Рис. 10.4. Геодезические на плоскости Лобачевского
«прямой» у, то через точку х проходит бесконечное число различных «прямых»,
не пересекающих у (аксиома Лобачевского).
д) Докажите, что действие группы SLB, R)/{±1} на плоскости Лобачевского,
заданное формулой
(: 2)
сохраняет длины всех кривых (является изометричным).
е) Докажите, что для геодезического треугольника ABC с плоскости Лоба-
Лобачевского, у которого длины сторон ВС, АС и А В равны а, Ь и с соответственно,
а углы в вершинах Л, В и С равны а, C и у, верны следующие равенства:
, cos a 4-cos В cosy ,, cos 6-f cos y cos а , cos y + cos а cos 6
спа = . л . r L, сп0 =—H rJ , chc= — r-^—-.
sin p sin у sin у sin a sin a sin p
ж) Докажите, что выполняется «теорема синусов» для плоскости Лобачев-
Лобачевского:
sha sh^? she
sina "" sinp ~~ siny ~~ sinasinpsiny'
где P = cos2a + cos2p + cos2у 4-2cosacospcosy - 1.
з) Найдите длину окружности на плоскости Лобачевского как функцию от ее
радиуса.
24. В полупространстве {хп > 0} в Жп определим метрику формулой
(n-мерное пространство Лобачевского или гиперболическое простран-
пространство). Докажите, что секционная кривизна этой метрики в каждой точке и по
любому двумерному направлению равна К = — 1.
25. Докажите, что геодезические метрики Киллинга на группе Ли, проходящие
через единицу группы, — это в точности однопараметрические подгруппы exp(Jft).
26. Докажите, что если ковариантные производные дифференциальной фор-
формы б> на римановом многообразии всюду равны нулю: V^co = 0, то эта форма
замкнута: do = 0.

Глава 11
Конформная и комплексная геометрии
§11.1. Конформная геометрия
1. Конформные преобразования. Пусть две метрики gi} и g'^ определены
в одной и той же области U или, более общим образом, на одном и том же
многообразии М. Говорят, что эти метрики конформно эквивалентны, если
углы между векторами в обеих метриках совпадают. Это выражается просто как
пропорциональность метрик:
gij(x) = \(x)gfiJ(x), Цх) > 0.
Здесь \(х) — скалярная функция от точки на многообразии, и метрики пропор-
пропорциональны с тем же самым коэффициентом Х(х) в любой другой системе коор-
координат.
Отображение f:M—>N многообразия М с координатами х\ ..., хп и метри-
метрикой gij dxl dxl в многообразие N с координатами у{, ..., уп и метрикой g'i} dyl dyj
называется конформным, если для любой пары векторов ?, г), касательных к М
в одной и той же точке, угол между этими векторами равен углу между их обра-
образами df(Q и df(r)) под действием дифференциала. На тензорном языке это, оче-
очевидно, записывается как
gtij(y(x)) dyl dy1 = g*tj(y(x)) —*j —t dxk dxl = \(x)gki(x) dxk dxl,
т.е.
для какой-то положительной скалярной функции Х(лг) на М.
Пример. Стереографическая проекция. Пусть Sn — единичная сфера,
заданная уравнением
в Мл+|. Построим стереографическую проекцию сферы на пространство Мл, за-
заданное уравнением xn+l = 0. Для этого возьмем северный полюс сферы
Р+ = @, ..., 0, 1) и соединим любую точку сферы х € S", отличную от Р+, пря-
прямой 1Х с полюсом Р+. За к(х) примем пересечение плоскости xn+l = 0 с прямой 1Х.
Таким образом, мы построили отображение

§11.1. Конформная геометрия 367
которое отображает сферу с выколотой точкой Р+ на все пространство Шп. Это
отображение, как легко проверить, конформно. При п = 2 мы уже использовали
его в п. 2 §4.2 для построения комплексных координат на двумерной сфере.
Какие еще конформные отображения нам известны?
При п = 1 любое отображение, очевидно, конформно.
При п = 2 каждая комплексно-аналитическая функция /: U —* С задает кон-
конформное отображение малой окрестности V неособой точки г0 Е (/, fz(z0) ф О, на
область f(V).
При п ^ 3 мы можем указать следующие конформные отображения евклидова
пространства:
1) сдвиги: х—>х + а, где а ЕЖп\
2) повороты: х —> Ах, где А Е SO(n);
3) дилатации (растяжения): х—>\х, где X — ненулевая постоянная;
4) инверсии (с центром в точке х0 Е Кй):
Заметим, что инверсия переводит точку Хо (центр инверсии) в «бесконечно
удаленную» точку. Правильно это следует понимать так. Любое из отображе-
отображений 1)—4) продолжается до конформного отображения сферы Sn в себя по пра-
правилу
где / — одно из конформных отображений вида 1—4.
Поэтому под конформным преобразованием пространства М^понимается кон-
конформное отображение расширенного евклидова пространства Rn = Sn в себя.
При п = 2 мы привели две модели плоскости Лобачевского L2 (см. п. 2 §4.2):
1) модель Пуанкаре — круг \z\ < 1 на комплексной плоскости с метрикой
4dzdz
2) верхнюю полуплоскость у > О с метрикой ————.
Аналогом верхней полуплоскости с гиперболической метрикой для п ^ 3 явля-
является полупространство хп > О с метрикой
хп > О,
а аналогом модели Пуанкаре — шар |*| < 1 в Шп с метрикой 4—' ' 2 2. Эти мо-
v ~~ W )
дели л-мерного пространства Лобачевского (или гиперболического простран-
пространства) Ln связаны изометрией, продолжающейся на границу, на которой это ото-
отображение конформно. Секционные кривизны этих метрик равны — 1 по любому
двумерному направлению.
В § 4.3 мы использовали еще одно представление плоскости Лобачевского как
п
псевдосферы (х0J - ]С(*02 = 1 с индуцированной метрикой из Ru (n = 2). Ана-
логичное представление (в виде полости гиперболоида в М|я) имеет место для

368 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
любого гиперболического пространства /Д и с помощью этого представления
доказывается, что группа изометрий пространства L", сохраняющих ориентацию,
есть связная компонента группы SOA, я), содержащая единицу. При этом дей-
действие группы SOA, n) на гиперболоиде есть ограничение линейного действия
группы на Ru.
Доказательства всех этих фактов несложно обобщаются на любое п со случая
п = 2, разобранного в §4.3.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 11.1. Сдвиги, дилатации, вращения и инверсии пространства Rn
как граничной п-мерной плоскости (п + I)-мерного полупространства
Ln+l с гиперболической метрикой продолжаются до изометрий простран-
пространства Ln+l.
Доказательство. Мы просто укажем эти изометрий явно. Пусть х =
= (#'» У)* где х1 = (х\ ..., хп) и метрика в пространстве /Л1 имеет вид
У>0.
Выпишем явные формулы:
1) сдвиг: (*', у) -> (х' + ау у);
2) поворот: (*', у) -> (Ах\ у)\
3) дилатация: х —>Хх;
4) инверсия (с центром в точке *0): * —> Хо + * ~ *°2.
Лемма доказана. '* " *0'
Каждая геодезическая метрики Лобачевского (с отмеченным направлением на
кривой) асимптотически стремится к какой-то точке границы. Пусть ф — изоме-
трия пространства Лобачевского L"+I. Если геодезическая у стремится к точке
PeSn = Е", а геодезическая ф(у) — к точке Q € S", мы положим
ф(Р) = Q.
Тем самым, мы каждой изометрий пространства Ln+l сопоставили отображе-
отображение ф: Sn -»S\ Все конформные преобразования сферы S\ указанные в лем-
лемме 11.1, получаются таким образом.
Приведем грубый подсчет параметров: размерность группы SOA, n + 1) рав-
равна 1 + ... + (п + 1) = (п + \){п + 2)/2. Число параметров, задающих группу, по-
порожденную конформными преобразованиями вида 1)—4), равно п + п(п — 1)/2 +
+ 1 + п = (п 4- l)(n -f 2)/2, где первое и последнее слагаемые отвечают сдвигам
(я-мерный вектор сдвига) и инверсиям (п координат центра инверсии) соответ-
соответственно. Мы сравнили размерности соответствующих алгебр Ли, и теперь легко
показать, что в действительности эти группы совпадают.
Теорема 11.1. Каждая изометрия (п + \)-мерного пространства Ло-
Лобачевского Lrt+I индуцирует конформное преобразование «граничной»
п-мерной сферы Sn = Rrt, которое является композицией сдвигов, враще-
вращений, дилатаций и инверсий. Это соответствие взаимно однозначно.

§ 11.1. Конформная геометрия 369
2. Теорема Лиувилля о конформных отображениях. Оказывается, при
п ^ 3 все конформные преобразования сферы Sn порождаются изометриями про-
пространства Ln+l по схеме, описанной выше. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 11.2 (Лиувилль). Пусть /:[/-* V — гладкое конформное ото-
отображение областей U и V евклидова пространства Мя, где п^Ъ. Тогда
f получается композицией движения, растяжения и инверсии.
Следствие 11.1. Группа конформных преобразований сферы Sn при л > 3
совпадает с группой изометрией пространства Лобачевского Lrt+I.
Аналогичными методами можно доказать, что группа конформных преобразо-
преобразований псевдоевклидова пространстваШм есть О(р + I, q+ I), p + q^3. В част-
частности, для пространства Минковского R1*3 мы имеем 0B, 4) в качестве группы
конформных преобразований.
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма.
Лемма 11.2. Пусть метрика \(x)((dx1J + ... + (dxnJ), заданная в обла-
области U с R", где п ^ 3, евклидова в каких-то координатах. Тогда либо X =
= const, либо
Х=4 где р = ^{ах1 + ft,J, афЪ. A1.1)
Р /=|
Доказательство. Так как метрика евклидова, ее тензор Римана R\ik
всюду равен нулю:
lki ~~ Их* "" дх1 mh l} "" m/ lk ""
где символы Кристоффеля вычисляются по формуле
/у^ Ujc1 ^ dxf)'
Подставив в эти формулы метрику
gij = АО/у = ~2 О/у,
Р
получим
Г« — Рдг' р/ _ pi _ Рлг/ р/ __ 9xi rk __ л
где /, /, /^ — попарно различные индексы, принимающие значения от 1 до п. Здесь
и ниже нижний индекс вида х) обозначает дифференцирование по переменной х).
Для компонент тензора Римана мы имеем
'*' dx'\pJ V р / V р / р
где индексы /, /, k различны и не подразумевается суммирование по повторяю-
повторяющемуся индексу k (именно при получении этого равенства важно, что п ^ 3). Мы
доказали, что
= 0, 1 < / < i ^ п.

370 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Аналогично для /?|/7 получаем
^ (
= 0,
где / ф у. Отсюда следуют равенства
p(p*<v + Рхы) = faJ + • - • + (рх»)\ К / < / < п.
Так как правая часть последнего равенства не зависит от /, /, мы имеем
Из этих равенств, которые выполняются в целой области из Rrt, следует, что
функция р имеет вид
р(*!,..., хп) = а(х'J + ... + а(*яJ + Ьххх + ... + 6„*я + ft0,
где
4ар = 2ррх,,, = Bа*1 + ft,J + ... + Bахп + йЛJ.
Если а = 0, то р = bo = const. Если а ф 0, то величина р2 = X имеет вид A1.1).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 11.2. Пусть f:U—>V — конформное
отображение областей из Мя, п ^ 3, с координатами х\ ..., хп и у\ ..., уп соот-
соответственно. Так как в малой окрестности любой точки ysf(V) это отображение
обратимо (по теореме об обратной функции), в ней можно принять х\ ...ухп
за координаты точки у = у(х\ ..., хп). Евклидова метрика (dy{J + ... + (dynJ
в этих координатах примет вид
(это и означает, что отображение конформно). Так как эта метрика евклидова,
к ней применима предыдущая лемма, из которой следует, что имеет место один
из двух случаев:
1) X = c2 = const;
2) X = р-2 и Р(х) = ?(ах? + bt)\ афО.
Такие конформные факторы Цх) возникают соответственно при
1) растяжении у(х) = (ел:1, ..., схп)\
2) композиции инверсии с центром в точке ( , ..., J и растяжения
с коэффициентом а.
Обозначим эти конформные отображения через g: Rn —>ЕЯ, а через W обо-
обозначим область W = g(U).
Мы видим, что отображение fg~l = h: W —>V является движением и, следо-
следовательно, / = hg есть композиция движения h и отображения g, которое является
композицией инверсии и растяжения или просто растяжением. Теорема доказана.

§11.1. Конформная геометрия 371
3. Алгебра Ли конформной группы. В п. 4 §8.3 мы реализовали алге-
алгебры Ли с помощью векторных полей, или, что то же самое, дифференциальных
операторов первого порядка. Укажем такие реализации для алгебр Ли конформ-
конформных групп.
Введем следующие поля, записанные как дифференциальные операторы пер-
первого порядка:
Щ = gikXk -^ - gJkxk —t (псевдовращение),
Pi = — (трансляция),
D = xl—i (дилатация),
Ki = 2gikxkx' ^д - gjkx}xk -^j (инверсия),
где/, /= 1, ..., п.
Если метрика евклидова: gr, = §,/, то преобразование ехр(Ш/у) задает вра-
вращение в плоскости (х\ х1). Для псевдоевклидовой метрики gl} = ХД7, X/ = ±1,
преобразование ехр(Ш/7) задает либо вращение (если X/ = Ху), либо элементар-
элементарное преобразование Лоренца (если X/ = —Ху) в плоскости (х\ х'). Преобразования
expf t—т J являются трансляциями вдоль оси х1, а преобразование exp(txl—j j —
дилатация D(x) = tx. Поля Kt нелинейны, но можно доказать, что группа exp(tKi)
задает дилатации с центрами на оси х1.
Любое конформное преобразование, близкое к тождественному на Шм, пред-
представляется в виде ехр(/Л), где
Векторные поля flv, Ph D, /С/, /, / = 1, ..., az, образуют алгебру Ли L с ком-
коммутационными соотношениями
[uih пш] = gikSlji - gjkftu 4- guukj - gjitikh
[a7, pk]=gikPj - gfkPi, [a7, Ki]=guKj - gpKi,
[Pl9 D] = Ph [Kh D] = -/C,.
Прямой проверкой можно доказать следующую теорему.
Теорема 11.3. Если gab = ЬаЬ (метрика евклидова), то имеет место изо-
изоморфизм
L = o(n+1, 1)
между алгеброй Ли L и алгеброй Ли группы О(п + 1, 1). Он устанавлива-
устанавливается соотношениями
n//-+fiMv> ц = /= 1, ..., я, v = /= 1, ..., я,
р v о' О'

372 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
где векторные поля fi^v есть генераторы псевдовращений в плоскости
(хи, jrv) в пространстве Rrt+Ifl.
Хотя для п = 2 имеется много локальных конформных преобразований, сре-
среди них имеется подгруппа дробно-линейных преобразований сферы S2 —> S2
вида
az + b
cz + d*
Она важна для изучения движений плоскости Лобачевского L2 (см. §4.3).
Эта группа изоморфна SLB, C)/±l и порождается (после перехода к стерео-
стереографической проекции) вращениями, трансляциями, дилатациями и инверсиями
на R2. Изоморфизм A1.2) задает изоморфизм алгебры Ли slB, С), состоящей из
всех бесследовых комплексных B х 2)-матриц, с алгеброй Ли группы Лоренца
SOC, 1), реализованной как группа псевдовращений (вида ехр(/Л)). Он называ-
называется полуспинорным представлением группы Лоренца SOC, 1) в виде комплекс-
комплексных 2 х 2-матриц (см. § 15.2).
§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях
1. Комплексные дифференциальные формы. Если на многообразии суще-
существуют комплексные координаты (примеры комплексных многообразий мы при-
приводили в п. 7 §5.1), то естественно рассматривать на таких пространствах ком-
плекснозначные дифференциальные формы и изучать их методами комплексного
анализа.
Пусть U—2п-мерная область с комплексными координатами z\ ..., zn. Рас-
Рассмотрим вещественные координаты х\ ..., хпу у\ ..., упу которые связаны с ком-
комплексными координатами соотношениями zk = xk + и/\ k = 1, ..., п.
В касательном пространстве Тх к каждой точке х е U имеется естественный
базис касательных векторов:
J_ _д д_ J_
дхх д** <?</'"*" W
Над полем комплексных чисел эти векторы порождают комплексифицированное
касательное пространство Т?, в котором существует другой естественный базис
над полем С:
dzk - 2 W dykh д? -2\дхь+1дукГ *- U ••- П'
Каждому из этих базисов отвечает двойственный базис в пространстве комплекс-
нозначных 1-форм:
и соответственно
dzk = dxk + idy\ dzk = dxk -idy\ ft =

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 373
Заметим, что умножение комплекснозначных форм на мнимую единицу / =
= >/^Т отвечает линейному отображению на пространстве вещественных форм:
dzk = dxk + i dyk -> I dzk = i dxk - dyk: J(dxk) = -dy\ J(dyk) = dxk
и для этого отображения выполнено равенство
У2 = -1.
Так как в произвольных координатах преобразование J в каждой точке задается
матрицей / = (/?), оно задает и автоморфизм касательных пространств
(ДГ = /5Т, /2 = -1. (Н.З)
Говорят, что оператор J (поле тензоров типа A, 1)) задает комплексную структуру
на многообразии.
Любая комплекснозначная р-форма со представляется как линейная комби-
комбинация форм вида
dz** Л...Лdzir Adzh А ... Лdzis, г + 5 = р,
т. е. имеет место разложение
со= Yl Ti^irh~Tsd^ Л.-.ЛЛг'' Adzh A...AdzJ\ A1.4)
где компоненты тензора 7/,.../r/[...^ кососимметричны по индексам /|, ..., ir и ин-
индексам /|, ..., js в отдельности.
Здесь и в дальнейшем при записи координат тензоров мы надчеркиваем ин-
индексы, которые относятся к координатам вида zk.
Мы видим, что каждая р-форма <о имеет естественное разложение в сум-
сумму форм (ог,5 — линейных комбинаций произведений г форм вида dz1 и s форм
вида dzk:
<«> = сор.о + *>p-i.i + ... + o>itp-\ 4- <о0,р. (П-5)
Говорят, что 6>r,s — форма типа (г, 5).
Так как при голоморфных заменах координат У = до^г), Ш = w'{z) фор-
формы dzk переходят в линейные комбинации форм вида dvtf, а формы dzk — в ли-
линейные комбинации форм вида dwl, разложение A1.5) не зависит от выбора
комплексных координат на многообразии. Отсюда вытекает, что это разложение
порождает разложение оператора внешнего дифференцирования.
Лемма 11.3. Оператор внешнего дифференцирования d раскладывает-
раскладывается в сумму
d = d!+d".
Если и — форма типа (г, 5), то d'u — форма типа (г + 1, s), a d"u> — форма
типа (г, s+ 1). Это разложение инвариантно относительно комплекс-
комплексно-аналитических замен координат.

374 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Доказательство. Если форма б> имеет вид A1.4), то положим
dTix'At'Ts dzk Л rfz" Л... Л dzir Л dzh Л... Л rfz'%
E h'"h dzl Л rfz'1 Л ... Л d^ Л tit* Л ...
Мы видим, что Ло = d'o> + d"G>; тем самым получено разложение формы dco
в сумму (г + 1, $)-формы d'to и (г, 5 -f 1)-формы fifco. Из однозначности тако-
такого разложения вытекает инвариантность разложения d = d' + d" относительно
комплексно-аналитических замен координат. Лемма доказана.
Так как
d2 = (d! + d"f = d'2 + d + (d'd" + d"d!) = 0
и для (г, 5)-формы о формы d/2o), d//2o) и (d'd" + d"d')(u имеют типы (г + 2, s),
(г, 5 + 2) и (г + 1, 5 + 1) соответственно, то все эти слагаемые разложения d2o>
равны нулю, и мы получаем следующий результат.
Следствие 11.2. Операторы d1 и d" удовлетворяют соотношениям
(d1J = (d"f = 0, d"d! = -d'd".
Мы видим, что на пространстве С(М) гладких форм на комплексном много-
многообразии М можно ввести еще два дифференциала
d':Cp-> Cp+\ d": Ср -> Cp+l
и определить для пары (С, d) группы когомологии, как это мы делали в п. 1 §9.3.
Мы ограничимся дифференциалом d". Формы типа (г, 0), которые замкнуты
по отношению к этому дифференциалу, т. е. удовлетворяют соотношению
d"<o = 0,
называются голоморфными формами.
В случае г = 0 голоморфные @, 0)-формы — это в точности комплексно-ана-
комплексно-аналитические функции на многообразии Af. В общем случае это (г, 0)-формы
у которых все коэффициенты 7},...1г задаются комплексно-аналитическими функ-
функциями.
Когомологии
называются когомологиями Дольбо.
Эти когомологии имеют вторую градуировку, связанную с наличием комплекс-
комплексной структуры:
r+s=p

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 375
где
r,s =
и Cr*(M) — пространство (г, з)-форм на многообразии М.
В отличие от когомологий де Рама, когомологии Дольбо могут быть очень
большими уже для простых многообразий. Например, мы видим, что для С груп-
группа Щ(Сп) есть пространство всех голоморфных функций на Ся.
2. Кэлеровы метрики. В комплексифицированном касательном простран-
пространстве в точке каждый вектор $ раскладывается по базису d/dzk, д/dz1, k, I =
= 1, ..., п:
При этом вещественные касательные векторы выделяются условием
откуда мы видим, что любой вещественный касательный вектор однозначно за-
задается своими комплексными координатами ?', ..., ?я.
Эрмитова метрика в области U С М с комплексными координатами zl, ..., zn
задается функциями g^, которые определяют эрмитово скалярное произведение
вещественных касательных векторов по правилу
Условие эрмитовости
&4> = fo.5> (П.6)
влечет следующее условие на функции gfi.
В дальнейшем мы будем рассматривать только положительно определенные ска-
скалярные произведения. Это означает, что
<?,5>=г,|5/5|>0 при 5^0.
Чтобы эрмитово произведение было инвариантно относительно комплексно-ана-
комплексно-аналитических замен координат, надо потребовать, чтобы функции g^ образовывали
тензор и преобразовывались при заменах zl = z!(z\ ..., zn) по правилу
Разложим эрмитово произведение на вещественную и мнимую части:
^,r)) = Re(^r)> + /Im($,r1>.
Из условия эрмитовости A1.6) следует, что выполняется соотношение
(г), 1) = Re(r), I) + / Im<7), 5) = Re<5, tj> - / ImE, т|> = E, tj>.

376 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Отсюда мы делаем два заключения:
1) вещественная часть эрмитова произведения задает риманову метрику
(!;, г)) = Re(?, т)) на касательном пространстве;
2) мнимая часть эрмитова произведения является кососимметрической 2-фор-
мой Im{$, г)) = -Q(?, Г)) на касательных векторах.
Легко проверить, что форма п имеет вид
± A1.7)
Всегда существуют координаты, в которых в заданной точке эрмитова метрика
приводится к диагональному виду: g^ = bjk. В этом случае риманова метрика есть
ds2 = J2 W = Е((^J + (dykJ) A1.8)
и форма п равна
п
п^ Y'A d2k=
где zfc = xk + iyk, k = 1, ..., n.
Из соотношения A1.7) следует, что мнимая часть эрмитова произведения за-
задает 2-форму на всем многообразии. Из формул A1.8) и A1.9) следует, что
в данных координатах выполняется соотношение
E,r)) = ftB;,/r)), A1.10)
где У — оператор комплексной структуры A1.3). Так как это соотношение носит
тензорный характер, оно выполняется в любых координатах.
Эрмитова метрика g^ на комплексном многообразии М называется кэлеро-
вой, если форма п вида A1.7) замкнута:
Говоря о кривизне кэлеровой метрики, мы будем подразумевать кривизну римано-
вой метрики Re(?, г)). Естественно, что комплексное многообразие М с кэлеровой
метрикой называется кэлеровым, а соответствующая форма п — кэлеровой.
Пример 1. Пусть М2 — двумерное риманово многообразие. Тогда на нем
можно ввести введены конформный параметр z = x + iy,B котором метрика при-
примет вид gdzdz (см. п. 1 §4.4). Ей отвечает 2-форма П = -zgdz A dz, которая
замкнута, как всякая 2-форма на двумерном многообразии. Следовательно, лю-
любая риманова метрика на поверхности определяет кэлерову метрику. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 11.4. Пусть gdzdz — конформно евклидова метрика на дву-
двумерной поверхности. Тогда определена A, 1)-форма о> вида
<* = -id'd"\ng

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 377
и для нее выполняется равенство
со = /Ш, A1.11)
где К — гауссова кривизна поверхности (или секционная кривизна двумер-
двумерного многообразия) и п = -r gdz Л dz— кэлерова форма.
Доказательство. Заметим, что величина Ing не является @, 0)-фор-
0)-формой, а при замене конформного параметра вида z = f(z) изменяется по правилу
lnF + InF,
где F = df/dz—комплексный якобиан замены параметра. Эта замена голоморф-
на, т. е. -т= = 0. Отсюда следует, что d"F = d'F = 0, и, учитывая соотношение
d"d' = --d'd", мы получаем
d'd" (In ? 4- In F + in F) = d'd" in g + d'd" in F - d"d'F = d'd" In g.
Следовательно, форма со корректно определена как A, 1)-форма.
Теперь для доказательства осталось заметить, что в конформно евклидовых
координатах гауссова кривизна вычисляется по формуле
к=1 2 d2\ng
g dzdz
(см. п. 2 §4.4) и
d'd" Ing ^J^lngdz Л dS.
Теорема доказана.
Пример 2. Пусть М = Ся/Л — комплексный тор, который получается как
факторпространство С" под действием группы сдвигов Л с 2/2 образующими.
Метрика на торе выбирается плоской:
где z\ ..., г" —линейные координаты, определенные по модулю решетки Л с Ся.
Как показывает следующая теорема, локально кэлеровы метрики с точностью
до малых второго порядка выглядят как плоская кэлерова метрика.
Теорема 11.5. Пусть М — многообразие комплексной размерности п
с эрмитовой метрикой (?, У)>, V — симметричная связность, согласован-
согласованная с римановой метрикой (?, У)) = Re(?, yj), и J — оператор комплексной
структуры A1.3).
Многообразие М кэлерово тогда и только тогда, когда выполняется
хотя бы одно из трех условий:
1) в окрестности каждой точки РеМ можно ввести такие комплекс-
комплексные координаты г\ ..., гя, что в точке Р эрмитова метрика примет вид
?•* = &/*+ [2], A1.12)

378 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
где [2] — члены второго порядка малости при разложении метрики в ряд
Тейлора;
2) V$ft = 0;
3) V5/ = 0.
Замечание. Свойство 2 означает, что параллельный перенос не только
ортогонален (сохраняет риманову метрику), но и унитарен (сохраняет эрмитову
структуру: и метрику, и форму ft).
Доказательство теоремы 11.5. 1. Если метрика приводится к ви-
виду A1.12) в окрестности точки Р, то отсюда немедленно следует, что в точке Р
дифференциал формы ft = ^g^dz1 Лdzk равен нулю: dCt(P) = 0.
Предположим теперь, что метрика кэлерова, и разложим ее в окрестности
точки Р в ряд Тейлора:
где zj(P) = 0, у = 1, ..., п. Из условия эрмитовости вытекают соотношения
akji = ajjfb akji = Д/&-
Условие dft = 0 влечет выполнение равенств
ajki = aik}> ajki = a,ik-
Мы оставляем в качестве упражнения проверить прямым вычислением, что за-
замена координат вида
приводит эрмитову метрику в точке Р к виду A1.12).
2. Докажем теперь, что условия 1 и 2 эквивалентны. Пусть эрмитова метрика
имеет вид A1.12). Тогда в точке Р все символы Кристоффеля Г^ римановой
метрики E, г)) = RegfiVrf1 равны нулю. Теперь из формулы A1.12) следует, что
V$ft = ^ft = 0,
где дъ — обычная производная в направлении вектора $. Так как точка Р и вектор
5 € ТРМ были выбраны произвольными, мы заключаем, что V$ft = 0 всюду.
Предположим теперь, что выполнено условие 2. Возьмем геодезические ко-
координаты х\ ..., хя, у\ ..., уп с центром в точке Р. Так как опять все символы
Кристоффеля Pkl в точке Р равны нулю, в ней выполнены соотношения
Но по условию мы имеем V^ft = 0, откуда следует, что
dU(P) = 0.
Так как точка Р выбрана произвольной, du = 0, а это, как мы показали выше,
эквивалентно условию 1.

§11.2. Комплексные структуры на многообразиях 379
3. Из формулы (?, г)) = ft(?, Jr\) (см. A1.10)) немедленно следует эквивалент-
эквивалентность условий 2 и 3. Действительно, если hki — риманова метрика, то П/7 = Л///?.
Осталось применить правило Лейбница для ковариантного дифференцирования
и вспомнить, что связность согласована с метрикой: V^/ty = 0. Теорема доказана.
Из того, что выполнение условия 1 из теоремы 11.5 эквивалентно кэлеровости,
вытекает следующее утверждение.
Следствие 11.3. Тождество на кэлеровом многообразии, включающее
только метрику и ее первые производные, верно тогда и только тогда,
когда оно верно для плоской метрики g^ = bjk на Сп.
3. Топология кэлеровых многообразий. Прежде всего сформулируем тео-
теорему, которая позволяет строить новые примеры кэлеровых многообразий из уже
известных.
Теорема 11.6. 1. Если М\ и М2— кэлеровы многообразия с кэлеровыми
метриками g\ и g2, то многообразие М = М \ х М2 с метрикой g = g\ + g2
кэлерово.
2. Пусть М — кэлерово многообразие с метрикой g и ср: N —> М — ком-
комплексно-аналитическое вложение многообразия N в М. Тогда многообра-
многообразие N с индуцированной метрикой тоже будет кэлеровым.
Доказательство. Утверждение 1 очевидно. Чтобы доказать утвержде-
утверждение 2, заметим, что если п — кэлерова форма на М, то мнимая часть индуци-
индуцированной метрики на W — это форма cp*fi. Так как дифференциал коммутирует
с операцией ограничения тензора ср*, мы получаем
Следовательно, индуцированная метрика на подмногообразии N тоже будет кэле-
ровой. Теорема доказана.
Приведем теперь важные примеры кэлеровых многообразий.
Рассмотрим комплексное проективное пространство СРП с однородными
координатами (г1 :...:гя+|). Представим его как факторпространство сфе-
сферы S2n+l с С"+|, заданной уравнением ^|2Л|2= 1, по действию группы S1:
(г1, ..., 2"+l) -> (Лг1, ..., Лгл+|), ср е R. Проекция к: S2rt+I -> СР" имеет мак-
максимальный ранг, равный размерности пространства СРП. Поэтому если л*б> = 0
для какой-то формы со на СРЛ, то со = 0.
Рассмотрим на сфере метрику
которая инвариантна относительно действия S1 и поэтому порождает метрику на
факторпространстве CPn = S2n+l/S\ которая называется метрикой Фубини—
Штуди.

380 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Пусть П — мнимая часть этой метрики на СРп. На сфере S2n+l мы имеем
Очевидно, что эта форма замкнута на сфере S2n+l (она даже точна: J2 dzk A dzk =
= d(^2zkdzkj). Следовательно, я?(л*12) = л*(я!П) = 0, и мы заключаем, чтойП = 0.
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 11.7. Комплексные проективные пространства СРп с метри-
метриками Фубини—Штуди являются кэлеровыми.
В дальнейшем мы будем считать, что кэлерова форма, отвечающая метрике
Фубини—Штуди, нормирована так, что ее интеграл по подмногообразию СР1 =
= {(zj: ?2:0:...: 0)} равен единице.
В п. 7 §5.1 мы определили алгебраические многообразия как комплексно-ана-
комплексно-аналитические подмногообразия в СРЯ, п ^ 1. Из теорем 11.6 и 11.7 получаем сле-
следующий результат.
Следствие 11.4. Алгебраические многообразия (с метриками, индуци-
индуцированными вложением в СР") являются кэлеровыми.
Пусть М — компактное кэлерово многообразие. Как всякое комплексное мно-
многообразие, оно ориентировано. В каждой точке кэлерова форма п в подходящих
п
вещественных координатах имеет вид п = ^2 dxk A dyk, и, следовательно,
u = (dx Adyl)A...A(dxnAdyn).
Мы видим, что форма -j пп есть форма объема на многообразии, и поэтому
!¦
пя>о.
[
Значит, форма п не точна и реализует нетривиальный класс когомологий:
иначе бы по теореме Стокса мы имели / пп = / а = 0, где da = пп. Нами
доказана следующая теорема.
Теорема 11.8. Кэлерова форма п на компактном кэлеровом многообра-
многообразии комплексной размерности п не когомологична нулю вместе со своими
первыми п степенями:
[fl]V0, Ы я.
В частности, числа Бетти b2p = dim//2p(Af; R) четной степени положи-
положительны.

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 381
Следствие 11.5. Комплексно-аналитические подмногообразия кэлеро-
вых многообразий не гомологичны нулю.
Доказательство. Пусть ср: N —> М — вложение и п — кэлерова форма
на М. Обозначим через k комплексную размерность подмногообразия N. Мы
знаем, что >
Но если цикл (N, ф) гомологичен нулю, то интегралы от всех замкнутых форм по
нему равны нулю (см. теорему 9.11). Следствие доказано.
Следствие 11.6. Существуют компактные комплексные многообразия,
которые не имеют кэлеровой структуры. Это, например, S1 x S3.
Доказательство. Рассмотрим пространство С2 с выколотой точ-
точкой (нулем): С2 \ {0}, и зададим на нем комплексно-аналитическое действие
группы Z, порожденное отображением (zu z2) —> Bzu 2z2). Факторпростран-
ство М4 — комплексное многообразие, которое диффеоморфно прямому про-
произведению сфер S1 х 53. Так как эти сферы являются группами Ли 51 = U(l)
и S3 = SUB), любой класс когомологий однородного пространства S1 x S3 ре-
реализуется инвариантной формой, которая выражается через инвариантные фор-
формы на сомножителях. Поэтому любой класс когомологий М4 представляет-
представляется в виде суммы произведений классов когомологий сфер S1 и S3. Так как
Я'E3) = H2(SZ) = W2(S!) = H2(S3) = 0, мы имеем W2(S! x 53) = 0, и поэтому
на многообразии S1 x 53 нет кэлеровой формы. Следствие доказано.
С помощью теории Ходжа для компактных кэлеровых многообразий можно
доказать другие сильные утверждения, которые мы приведем для справки без
доказательства:
1) dimcHPS(M) < со, р = 1, ..., 2л, dimcM = я;
2) группы когомологий Дольбо совпадают с факторпространствами замкнутых
форм по точным, т. е. с когомологиями де Рама для комплекснозначных форм:
Н$(М) = Нр{М\ С) = НР{М\ R) ® С
(последнее равенство означает, что группа НР(М\ С) порождена над полем С
образующими группы когомологий де Рама НР(М\ Ж) над полем R), и поэтому
имеет место следующее разложение чисел Бетти Ьр = д\тНр(М\ Щ:
A1.13)
3) комплексное сопряжение форм со —»с5 порождает изоморфизмы групп ко-
когомологий
что влечет равенство hr,s = hsy,
4) числа Бетти b2k+i нечетной степени всегда четны (это следует из разложе-
разложения A1.13) и равенства hr%s = Л5,г).

382 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
4. Почти комплексные структуры. Пусть М — гладкое многообразие, у ко-
которого в касательном пространстве в каждой точке задан изоморфизм
У: ТХМ->ТХМ,
удовлетворяющий соотношению У2 = — 1. Мы также предполагаем, что тензорное
поле У = (а*) гладкое.
В этом случае говорят, что на многообразии задана почти комплексная
структура, а само многообразие называется почти комплексным.
Лемма 11.4. Почти комплексные многообразия четномерны.
Доказательство. Пусть У: W —¦ W —такое линейное преобразование
конечномерного векторного пространства, что У2 = -1. Мы имеем det/2 = (-1)р,
а с другой стороны, det/2 = (det/J ^ 0. Значит, det/2 = 1 и р = 2л. Лемма дока-
доказана.
В качестве примера почти комплексных многообразий можно привести ком-
комплексные многообразия. На них комплекснозначные формы типа A, 0) в каждой
точке порождены над полем вещественных чисел R формами
а базис форм типа @, 1) имеет вид
Почти комплексная структура называется интегрируемой, если на много-
многообразии можно ввести комплексные координаты, для которых она является ком-
комплексной структурой.
Теорема 11.9. Почти комплексная структура У интегрируема тогда
и только тогда, когда тензор
где У = (а^), всюду равен нулю:
Доказательство. Мы докажем только необходимость выполнения со-
соотношений A1.14), так как обратное утверждение доказывается сложными ана-
аналитическими рассуждениями.
Если структура У интегрируема, то формы ос*, &= 1, ..., 2п, есть линейные
комбинации форм dzl, idz1, j = 1, ..., я, и, следовательно, их дифференциалы
d<xk имеют вид
Заметим, что для любого вектора г) выполняются соотношения
ос*(т) - /Ут)) = 0, 6= 1, ...,2/г.

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 383
Поэтому если структура интегрируема, то для любой пары векторов ^ и г) должны
выполняться равенства
dak(l - /Д, г) - i/Tj) = ^Гсо7 Л а'E - /Д, г) - Mr)) = 0, к = 1, ..., 2/2.
Распишем их подробнее:
Km
dak(l - Щ, г) - U-ц) = i Е(^ ~ Ц) (Sp ~ /аЖ ~ te7W = °-
/
Мы оставим в качестве упражнения простое вычисление, показывающее, что эти
равенства эквивалентны тому, что Т1Ы = 0 при всех значениях /, к, I. Необходи-
Необходимость выполнения условия Т = 0 для интегрируемости почти комплексной струк-
структуры доказана.
Тензор N, заданный формулой A1.14), называется тензором Нейенхейса.
Пример. Приведем пример неинтегрируемой почти комплексной структу-
структуры на шестимерной сфере S6. Прежде всего введем алгебру октав {алгебру
Кэли) О. Она строится по алгебре кватернионов следующим образом.
Положим О = Н2 и определим умножение по формуле
X • у = (*,, Х2) • {уи У2) = {*\У\ ~ j/2*2. *2<7Г + У2*\).
Зададим на алгебре О сопряжение по правилу (х\, х2) = (х\, — х2).
Заметим, что по этому правилу мы можем, начиная с R, последовательно
ввести алгебры С = М2и1 = С2.
Алгебра октав является алгеброй с делением: каждому ненулевому элементу
однозначно сопоставляется его обратный (мы не будем это проверять). Умно-
Умножение в этой алгебре неассоциативно: тождество a(bc) = (ab)c выполняется не
всегда. Однако оно выполняется в подалгебре, порожденной любыми двумя эле-
элементами.
Определим на алгебре октав О = R8 евклидово произведение по формуле
Мнимые октавы (т. е. удовлетворяющие соотношению х = — х) образуют семи-
семимерное подпространство, в котором мы зададим единичную сферу S6. Мы видим,
что в О эта сфера выделена уравнениями
*=-*, (*, л:) = -л:2=1, x€O = R8. A1.15)
Построим теперь почти комплексную структуру на этой сфере. Каждый каса-
касательный вектор к ней представляется мнимой октавой 5 — вектором из R7.
Лемма 11.5. Формула
/(Q=5x, leTxS\ A1.16)
задает почти комплексную структуру на шестимерной сфере A1.15).

384 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Доказательство. Так как 7? = %х = -?* и условие касания есть (?, х) =
= 0, то 7? е ImО = R7. Мы имеем
G$, х) = Re(JK)x = - Ке(Щх = - Re?x)x = - КеЦх2) = Re? = 0.
Следовательно, J(TXSQ) с 7^S6, и, так как 72? = (?х)х = <i(x2) = —5, мы заключа-
заключаем, что 7 — почти комплексная структура на S6. Лемма доказана.
Можно проверить, что тензор Нейенхейса этой структуры не равен нулю и,
следовательно, она неинтегрируема (см. задачи ниже).
Топологическими методами можно доказать, что среди четномерных сфер
только сферы S2 и 56 имеют почти комплексные структуры. Двумерная сфера
является комплексным многообразием: S2 = СР1. Вопрос о том, существует ли
комплексная структура на S6, до сих пор открыт.
Также методами топологии удалось доказать, что только в размерностях 1, 2,
4 и 8 существуют (вещественные) алгебры с делением. Эти возможности реали-
реализуются алгебрами R, С, i и О соответственно. Отсюда следует, что только для
сфер размерностей п = 1, 3, 7 касательное расслоение TSn гомеоморфно прямому
произведению Sn x R".
Отметим, что многообразие Мп называется параллелизуемым, если его каса-
касательное расслоение тривиально, т. е. гомеоморфно прямому произведению: ТМп =
= Мп х Rn.
5. Абелевы торы. В п. 7 §5.1 мы определили абелевы торы как комплексные
торы Сл/Г, которые можно комплексно-аналитически вложить в комплексное
проективное пространство CPN достаточно большой размерности. При каждом
таком вложении метрика Фубини—Штуди индуцирует кэлерову метрику на торе.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 11.в. Пусть /: М —> СРп — комплексно-аналитическое вложение
и п = f*u0 — кэлерова форма на Му индуцированная формой Фубини—
Штуди на СРП при вложении. Тогда интегралы от п по всем двумерным
циклам в М являются целыми числами.
Доказательство. Пусть (zx :...: zn+\) — однородные координаты в СРп
(они определены с точностью до умножения на ненулевые постоянные X G С).
Подпространство СР1 выделяется в СРп уравнением zn+\ = 0, и дополнение
к нему диффеоморфно Ся, поскольку его точки однозначно параметризуются на-
наборами (z\:... :zn: 1).
Если g: N2 -^CP1, n > 1, — гладкое отображение, то его можно гомотопи-
чески продеформировать в отображение g': N2 -^СР". Действительно, по те-
теореме Сарда (см. § 12.1) образ многообразия № не покрывает всего дополнения
?рп ^ ?рп-\ = ся, и мы можем выбрать точку Р, не лежащую в образе g(N2),
и вдоль лучей, проходящих через Р, продеформировать С1 \ Р на «бесконеч-
«бесконечность», в СРп~1.
Повторяя последовательно эту процедуру, мы видим, что любой двумерный
цикл (/V2, g) в СРп деформируется в цикл (Л/2, gf)i образ которого лежит в СР1 =
= {{z\ : z2: 0:...: 0)}. Так как интеграл от формы Фубини—Штуди по СР1 равен

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 385
единице, для любого двумерного цикла (№, И) в М продеформируем компози-
композицию fh в отображение g: N2 —> СР1 и получим
/ А*П = ([П], (УУ2, К)) = ([По], (N2, fh)) = [ h*f*ti0 = degg / п0 = degg,
где degg—степень отображения g (см. § 12.1). Лемма доказана.
Мы приходим к важному определению: компактное кэлерово многообразие
называется ходжевым, если интеграл от кэлеровой формы по любому двумер-
двумерному циклу является целым числом.
Из леммы следует, что все алгебраические многообразия ходжевы. Обратное
тоже верно: это — сложная теорема Кодаиры.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 11.10 (критерий Римана). Комплексный тор М2п = С"/Г абелев
(т. е. алгебраичен или ходжев) тогда и только тогда, когда в подходящем
базисе решетка периодов Г приводится к виду
Г = ДМ, + ВЛ/2, N]y N2e Z\
где матрица Д диагональна с положительными целыми коэффициентами:
0>
а матрица В симметрична и имеет положительно определенную мнимую
часть:
B}k = Bkh ImS>0.
Доказательство. Прежде всего предположим, что тор ходжев, и до-
докажем, что он имеет указанный вид.
Пусть П = -hjk dz1 Л dzk — кэлерова форма. Можно считать, что коэффи-
коэффициенты постоянны (если нет, то после усреднения мы этого достигнем, а класс
когомологий кэлеровой формы при этом не изменится (см. теорему 9.13)).
Форма п с постоянными коэффициентами задает кососимметрическую форму
на решетке:
Ее значение на паре векторов у, до, очевидно, равно значению интеграла от фор-
формы п по тору, натянутому на векторы v и w (этот порядок векторов задает ори-
ориентацию на двумерном торе). Так как пп — это форма объема на торе, форма п
на решетке Г невырожденна.
Докажем техническую лемму.
Лемма 11.7. Любая невырожденная кососимметрическая форма Q на
решетке Г «Z2" с целыми значениями в подходящем базисе задается ма-
матрицей
,-Д 0Г
13- 1168

386 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
где матрица Д = diag(8b • ¦, К) диагональна с положительными целыми
коэффициентами по диагонали: Ък > О, k = 1,..., п.
Доказательство. Выберем векторы ех, еп+\ решетки Ъ2п так, что зна-
значение Q(e\t en+\) = 5, минимально среди всех положительных значений Q(u, v).
Заметим, что для каждого вектора v величины Q(eu v) и Q(en+\, v) делятся
на 51. Действительно, предположим противное, т. е. допустим, что Q(e{, v) = X > О
(это достигается при необходимости заменой v—> -и), Ъ\ > 1 и наибольший об-
общий делитель чисел X и 5( равен единице. Значит, согласно алгоритму Евклида
существуют такие целые числа г и s, что
1 = г&, + s\ = Q(eu ren+\ + sv) < 8Ь
что противоречит выбору 8j.
Каждый вектор veF однозначно представляется в виде
где v' принадлежит ортогональному дополнению Г' к векторам ех и еп+\.
Мы получили ортогональное разложение
Ограничив теперь форму Q на Г' и повторив этот процесс несколько раз, мы
построим искомый базис. Лемма доказана.
Применим эту лемму к нашей ситуации, построив базис е\у..., е<щ ДЛЯ ре-
решетки Г, в котором форма Q примет указанный в лемме вид.
Рассмотрим теперь ортогонализацию Грама—Шмидта системы векторов
в\%..., еп по отношению к метрике (у, w) = Re(u, w)> где (у, w) — кэлерова ме-
метрика:
Re(t/|, e\)
?"=е V=e ^ УV=e
Поскольку U(vh vk) = - 1т(уу, vk) = 0 для всех /, k = 1, ..., п и Re{vh vk) = 5/*,
мы видим, что
(Vh Vk) = 5;*,
и, следовательно, построенные векторы v\9 ...tva задают базис в Ся над полем С.
Переобозначим векторы уь ..., уя через в\,..., еп и заметим, что преобра-
преобразование Грама—Шмидта сохраняет вид формы Q.
Векторы в\/Ьи • • •» я* А*» ^я+ь • • • ¦ ^2я задают вещественный базис в R2n = Сп
с координатами jci, ..., х2я, в которых форма п принимает вид
k=l
а решетка периодов Г записывается в виде

§11.2. Комплексные структуры на многообразиях 387
Что мы можем сказать про матрицу В?
Она входит в формулу замены координат
'•и ..т.
) \X2nJ
Рассмотрим теперь цепочку равенств
U = 53 ^ hi* dzi Л dzk =
/,*=! п
= Y1 Ъ hik [dxi + J2BildXn+l) Л [dXk + Yl Bkmdxm J = Y^dxk A dxn+k
(все суммирования проводятся по значениям 1, ..., п).
Распишем последовательно левую и правую части последнего равенства.
1. Мы имеем
^ ^2 hjk d*j A dxk = 0,
Л*
откуда следует, что hjk — hkj = hjk — hk\ = 0. Следовательно, матрица hjk симме-
симметрична и вещественна:
hjk = hkh hjk = hjk.
2. Выполняется соотношение
- Bjt) dxk Л dxn+l = 53 d^ Л </*й+,.
Отсюда следует, что матрицы Н и Im В взаимно обратны:
Y2 hkj 1т В}1 = ЬШ.
I
3. Имеет место равенство
/ v hjkBjiBkm = Tim = ?m/ = 0«
У.*
Подставив в него тождество Bkm = Bkm — 2/ Im ВЛш, получим
кВАВкт - 2/
I*
у^у/Вы - 2/ 53 B/7 E3 AyA Im Bkm) =
j ^ k J
= 2^ hjkBjiBkm — 2/ 2^ Bjtbjm = 2^ hjkBjiBkm — 2/
13*

388 Глава 11. Конформная и комплексная геометрии
Так как последнее выражение симметрично по /, т, мы заключаем, что матри-
матрица Вы симметрична. Ее мнимая часть обратна матрице Луь которая вещественна
и задает положительно определенное скалярное произведение, а следовательно,
и матрица Im В задает такое произведение. Мы заключаем, что
Bjk = Bkh /,ft=l я, Imfi>0.
Мы доказали, что ходжевы торы имеют вид, указанный в теореме.
Для доказательства обратного достаточно по матрице В построить метрику
(Ир) = (ImB) и, обратив предыдущие вычисления, убедиться, что кэлерова ме-
метрика hjkdz' A dzk задает ходжеву форму. Теорема доказана.
Как следствие легко доказать, что при п ^ 2 уже почти все комплексные торы
неабелевы (свойство быть абелевым тором разрушается при малом шевелении
решетки периодов).
Заметим, что лемма 11.7 утверждает большее (что очень просто вывести из
предложенного доказательства): для каждого k = 1, ..., п - 1 коэффициент 8*+|
делится (без остатка) на 8*. Более того, из построения очевидно, что величины
8i, . ..,8Я являются инвариантами (кэлеровой формы). Они называются дели-
делителями поляризации.
Если 8| = ... = 8П = 1, то абелев тор называется главно поляризованным.
Его вложение в CPN осуществляется с помощью тэта-фунщииу построенной
по нему (см. п. 7 §5.1).
Упражнения к главе 11
1. Докажите, что все конформные преобразования связного риманова много-
многообразия образуют группу Ли.
2. Постройте на произведении нечетномерных сфер S2k+] x S2/+l, 6, / ^ О,
комплексную структуру.
3. Пусть М — кэлерово многообразие комплексной размерности я, J = (Jrs) —
оператор комплексной структуры (У2 = -1), п — кэлерова форма и Rjk — тензор
Риччи кэлеровой метрики. Определим функцию / по формуле
n" = /.LJ2__L±dzl A...dznAdzlA...Adzn.
Докажите, что тензор pjk = JjRik задает замкнутую A, 1)-форму, которая равна
При п = 1 мы получаем формулу A1.11).
4. Пусть М — почти комплексное многообразие и Af — тензор Нейенхей-
са A1.14). Докажите, что для векторных полей ?, г\ на многообразии векторное
поле /VE, т)) = N^rf выражается через различные коммутаторы по следующей
формуле:
?, г)) = /([Д, г)] + [?, /г)]) + К, г)] - [Д, /г)]
(эта операция называется скобкой Нейенхейса).

§ 11.2. Комплексные структуры на многообразиях 389
5. Докажите, что тензор Нейенхейса почти комплексной структуры A1.16) на
шестимерной сфере не равен нулю.
6. Докажите, что все группы Ли параллелизуемы.
7. Докажите, что все одномерные комплексные торы абелевы, а при п > 2
почти все я-мерные комплексные торы неабелевы. Постройте явный пример не-
абелева двумерного тора.

Глава 12
Теория Морса и гамильтонов формализм
§12.1. Элементы теории Морса
1. Критические точки гладких функций. Вариационная задача состоит в
нахождении точек, в которых некоторая заданная функция /: X -+ R на простран-
пространстве X принимает экстремальные — максимальные или минимальные — значения.
В простейшем случае, когда /: Мп -*R — гладкая функция на гладком мно-
многообразии Мп, эта задача расширяется до нахождения критических точек функ-
функции /. Напомним, что критической точкой гладкой функции / называется точка
Хо € Мпу в которой градиент этой функции равен нулю:
- О
Так как градиент функции является ковектором, он равен нулю одновременно по
отношению ко всем системам координат, и поэтому определение критической точ-
точки не зависит от выбора координат. Значение с = /(х0) функции / в критической
точке называется критическим значением функции /.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 12.1. Пусть /: Afrt—>R — гладкая функция на гладком много-
образии Мп. Тогда точки, в которых она принимает максимальные и ми-
нимальные значения, являются критическими точками функции /.
Доказательство. Пусть х0 — точка, в которой функция / принимает
максимальное значение. Разложим функцию / в ряд Тейлора в окрестности этой
точки:
где г = - Г$2(х1 - 4J- Пусть grad / = («4, ..., -т4) Ф 0 в точке х0. Тогда мож-
Wy—i \ах ох /
но так подобрать точку х = (х\ ..., хп)у достаточно близкую к точке хОу что
f(x) > f(xo). Действительно, если, например, —^ ф 0 в точке jc0, то можно по-
GJC
ложить х = Хо 4- (е, 0, ..., 0), где г положительно и достаточно мало. Это про-
противоречит тому, что в точке х0 функция / принимает максимальное значение.
Следовательно, точка максимума является критической точкой функции.
Доказательство для точек минимума аналогично. Лемма доказана.

§ 12.1. Элементы теории Морса 391
Приведем другие примеры критических точек.
Примеры. 1. Седло. Пусть f(x, у) = х2 - у2 — гладкая, функция на
плоскости с координатами х и у. Единственная критическая точка — это точка
х = у = 0. Линии уровня, отвечающие некритическим значениям, — это гипербо-
гиперболы х2 — у2 = const ф 0, а критический уровень состоит из двух прямых х = ±уу
пересекающихся в критической точке. График этой функции в окрестности кри-
критической точки выглядит как седло (см. рис. 12.1).
Рис. 12.1. Седло Рис. 12.2. Обезьянье седло
2. Рассмотрим на плоскости функцию f(x, у) = Re(x + iy)k. При k = 2 это
функция из предыдущего примера. Единственной критической точкой является
точка х = у = 0, и критический уровень состоит из k прямых, пересекающихся
в критической точке. Эти прямые разбивают плоскость на 2k секторов. Секто-
Секторы, в которых функция / принимает положительные и отрицательные значения,
чередуются друг с другом при обходе плоскости вокруг точки х = у = 0, и линии
уровня, отвечающие некритическим значениям, распадаются на k кривых, лежа-
лежащих по одной в каждом секторе с данным знаком функции /. При k = 3 график
этой функции имеет вид «обезьяньего седла» (с тремя направлениями спуска для
двух ног и хвоста, см. рис. 12.2).
3. Пусть /(*, у) = х2 — гладкая функция на плоскости с координатами ху у.
Критические точки не изолированы и образуют подмногообразие в!3 — прямую
х = 0. Если мы умножим эту функцию на у2, то множество критических точек
полученной функции не образует подмногообразие, а состоит из двух пересека-
пересекающихся прямых х = 0 и у = 0.
4. Критические точки ограничений функций на подмно-
подмногообразия. Примеры 1—3 можно рассматривать и как примеры критиче-
критических точек функции высоты h(x, у, z) = г, ограниченной на подмногообразия
в R3, заданные как графики функции г = /(х, у). В общем случае критические
точки ограничений гладких функций на многообразия описываются следующей
леммой.
Лемма 12.2. Пусть Мп — гладкое подмногообразие в области U из Шп+ку
выделенное уравнениями F\(x\ ..., xn+k) = ... = Fk(x\ ..., xn+k) = 0. Пусть
f: U —>R — гладкая функция, определенная в области U, и g: Мп —»R —
ограничение функции f на подмногообразие из Мп. Точка х0 е Мп являет-
является критической точкой функции g тогда и только тогда, когда в этой
точке grad / линейно выражается через grad F\, ..., grad Fk.

392 Плава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Доказательство. Эта лемма следует из теоремы Лагранжа об услов-
условном экстремуме, известной из курса математического анализа. Она утверждает,
что точка Хо является критической точкой функции Д ограниченной на Ма, если
и только если существуют такие постоянные X?, ..., XJ (множители Лагран-
Лагранжа), что для функции
F(x\ ..., хя+*, X , X*) = f(x\ ..., xn+k) + ^Х/Дх1,..., xn+k)
точка (xj, ..., xj+*f X?, ..., \°k) является критической точкой. Действительно,
в этом случае точка Хо лежит в подмногообразии Мп, так как
и grad / линейно выражается через grad F\,..., grad Fk:
A
_ df A. dF,
при / = 1, ..., п + k. Лемма доказана.
В качестве примера использования теоремы Лагранжа докажем следующий
факт.
Теорема 12.1. Каждая симметричная матрица А в W имеет собствен-
собственный вектор с собственным значением
X = тт(Лх, х).
Доказательство. Рассмотрим гладкую функцию
/(х) = (Лх, х)
и ограничим ее на единичную сферу Sn~l = {|х| = 1}. Каждая гладкая функция на
компактном многообразии имеет точку минимума St Е R". Так как точка 5t — кри-
критическая, существует такая постоянная X, что в этой точке выполняются соотно-
соотношения
dxi ' ' х=х
для всех i = 1, ..., п. Из симметричности матрицы А следует, что
(Ах, x) = J2 А*х*х*> А* = А» ^И = 2
и мы получаем
п
^2,Aikxk - Хх, = 0, i = 1,..., /г,
*=i
т.е.
ASt = Xi, X = (Ах, х) = min Л (х, х).
W=i
Теорема доказана.

§12.1. Элементы теории Морса 393
Следствие 12.1. Каждая симметричная матрица в Шп диагонализиру-
ется в каком-то ортогональном базисе.
Доказательство. Докажем это утверждение индукцией по размерности
пространства. Для п = 1 оно следует из предыдущей теоремы. Предположим, что
следствие доказано для п < k.
Пусть е\ — собственный вектор симметричной матрицы А в R*. Тогда про-
пространство ef с R* векторов, ортогональное к вектору е\, инвариантно относи-
относительно преобразования А. Действительно, если х € ef, то
(Ах, ех) = (х, Аех) = \(х, е,) = 0.
Мы получили ортогональное разложение, инвариантное относительно преобра-
преобразования А:
и, так как Axmef = k — 1, согласно индуктивному предположению ограничение
линейного преобразования А на ef диагонализируется в каком-то ортогональном
базисе е2, • • •» ?*• Базис е\, ..., ek в R* является искомым. Следствие доказано.
Из процесса диагонализации симметричной матрицы мы видим, что имеет ме-
место следующая теорема.
Теорема 12.2 (принцип Рэлея). Пусть Х| ^ Х2 < ... — собственные зна-
значения квадратичной формы А. Тогда k-e собственное значение квадра-
квадратичной формы равно
•ч • (Ах, х)
Xk = rnin max —L
6LkL^0
—,—~rL9
(X, x)
где минимум берется по всем k-мерным векторным подпространствам L
вШп.
2. Лемма Морса и теоремы трансверсальности. Как видно из примеров,
критические точки могут иметь самый разнообразный вид, но только для неко-
некоторых из них геометрический вид графика функции в окрестности критической
точки устойчив к малым шевелениям. Например, если мы добавим к функции
из примера 1 достаточно малую функцию g так, что точка х = у = 0 будет кри-
критической точкой для функции / + g, то график этой новой функции все равно
будет выглядеть как седло, а если к функции f(x, у) = х2 добавить функцию гу2,
то в окрестности критической точки х = у = 0 при сколь угодно малом отри-
отрицательном значении е график новой функции будет выглядеть как седло, а при
положительных г точка х = у = 0 будет точкой минимума.
Мы приходим к важному определению.
Критическая точка х0 функции /: Мп —>R называется невырожденной (по
Морсу), если в этой точке матрица, состоящая из вторых частных производных,
невырожденна:
Эта матрица называется гессианом.

394 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Гессиан функции в критической точке симметричен и поэтому диагонализу-
ется. Число отрицательных собственных значений у диагонализованной матрицы
называется индексом функции / в критической точке.
Докажем, что понятие невырожденности критической точки и ее индекс не
зависят от выбора локальных координат (jc1, ..., хп). Это немедленно вытекает
из следующей леммы.
Лемма 12.3. В критических точках гладкой функции (и только в них)
гессиан задает квадратичную форму на касательном пространстве
в этой точке.
Доказательство. Пусть в окрестности точки х0 заданы две локальные
системы координат (х\ ..., хп) и (у\ ..., у11). По теореме о дифференцировании
сложной функции
e2f = JL(iL\ = JLfJL *i?\ = d*f <*?<>1 + А1 <?У
dxfdxf dx'KdxU дхЛду* дхЧ dykdyl дх} дх1 dyk дх1дхг
Из этой формулы видно, что гессиан преобразуется как тензор, задающий ква-
квадратичную форму, только если второй член в последнем выражении равен нулю.
Для произвольных локальных замен координат он всегда обращается в нуль
только в критических точках функции /. Лемма доказана.
Из этой леммы ясно использование термина «индекс»: в линейной алгебре
индексом квадратичной формы (?, rj) на векторном пространстве V называ-
называется максимальная из размерностей подпространств V\ на которых квадратич-
квадратичная форма отрицательно определена: (?, t) < 0 при $ € V1 \ {0}. Эта величина,
очевидно, совпадает с числом отрицательных собственных значений у диагона-
диагонализованной матрицы квадратичной формы.
Имеет место следующее важное утверждение.
Теорема 12.3 (Морс). Пусть х0 — невырожденная критическая точка
функции /. Тогда в некоторой окрестности точки х0 существуют такие
локальные координаты (jc1, ..., *"), что х0 = @,..., 0) и
f(x) = /(*) - (х1J - ... - {xkf + (х*+|J + ... + (хпJ
(заметим, что индекс этой критической точки равен k).
При доказательстве этой теоремы мы будем использовать знаки суммирова-
суммирования, свойственные курсу математического анализа.
Прежде всего докажем следующую лемму.
Лемма 12.4. Пусть f — гладкая функция в выпуклой окрестности V
точки 0 е Кя и /@) = 0. Тогда в этой окрестности функция f представля-
представляется в виде
i=\
где gi,..., gn — гладкие функции и g/@) = -j- @), / = 1,..., п.

§ 12.1. Элементы теории Морса 395
Доказательство получается простым вычислением:
и мы полагаем
Ul Jo iss
Доказательство теоремы 12.3. Для простоты будем считать, что
f(xo)=0 (это достигается вычитанием из функции f(x) постоянной f(x0)) и точка хо
есть начало системы координат (у\ ..., уп). Согласно лемме 12.4 в некоторой
окрестности точки х0 мы имеем
Так как х0 — критическая точка функции /, выполняется равенство
а(О) = ^(О) = о,
и, применяя к функциям g\, ..., gn лемму 12.4, мы получим
где
Заменив, в случае необходимости, гладкие функции Л/у на - (Л/у- + Л/7), мы
можем считать их симметричными по /, /.
Построим искомые координаты индуктивно. Предположим, что в окрестно-
окрестности U точки х0 уже заданы координаты z\ ..., 2я, в которых
где матрицы (й/Дг1, ..., 2я)) симметричны. Линейной заменой последних л — / + 1
координат добьемся того, что й//@) ф 0. Положим
В окрестности U' CU точки х0, где гладкая функция g не обращается в нуль,
введем функции и1у..., ип по формулам
«¦<•¦ т^

396 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
По теореме о неявной функции в достаточно малой окрестности U" точки х0 эти
функции задают локальные координаты, в которых
Применяя последовательно эту процедуру, мы получаем искомые координаты.
Теорема 12.3 доказана.
Следствие 12.2. Невырожденная критическая точка гладкой функции
является изолированной, те. в достаточно малой ее окрестности нет
других критических точек этой функции.
Пример 1. Пусть Мп~] —гиперповерхность в Шп и/7: Мп~х —>R—коорди-
—>R—координатная функция хп, которая называется функцией высоты (над гиперплоскостью
хп = 0). На Мп~1 определено гауссово отображение (или отображение Гаусса),
сопоставляющее каждой точке поверхности касательную плоскость к ней:
GiAf-'-G,.,.
Напомним, что многообразие Грассмана Gn%\ диффеоморфно проективному про-
пространству RP1 и этот диффеоморфизм сопоставляет каждой гиперплоскости
единичный вектор нормали к ней (взятый с точностью до направления).
Теорема 12.4. 1. Точка р0 еМп~] является критической точкой функ-
функции высоты f(p) = xn тогда и только тогда, когда ось хп направлена по
нормали к поверхности в точке ро.
2. Критическая точка функции высоты невырожденна тогда и только
тогда, когда она является регулярной точкой отображения Гаусса.
Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 12.2. Чтобы
доказать второе утверждение, представим гиперповерхность в окрестности кри-
критической точки ро как график функции
В этой окрестности х\ ..., хп"] можно взять в качестве локальных координат
на гиперповерхности. Так как вектор нормали направлен вдоль оси хпу точка ро
является критической точкой функции /: grad /(/?0) = 0. Малая окрестность точ-
ки @, ..., 0, 1) Е О„,| отождествляется с окрестностью вектора @, ..., 0, 1) на
единичной сфере Sn~l, которая около этой точки задается как график функции
/ = >/!-(У1J-•••-ОГ-1J.
Мы примем у1, ..., уп~х в качестве локальных координат на
Отображение Гаусса в этих координатах имеет вид
(х1 -"-'*

§12.1. Элементы теории Морса 397
Так как grad/(/?o) = 0, матрица Якоби / отображения Гаусса в этой точке с точ-
точностью до знака совпадает с гессианом функции высоты f(p) = хп:
дх*дх!
Теорема доказана.
Вспоминая интерпретацию гауссовой кривизны, данную в п. 1 §3.3, мы по-
получаем следующий результат.
Следствие 12.3. Пусть М2— гладкая поверхность в R3. Критические
точки отображения Гаусса М2 —> G3,i = МЯ2 — это в точности те точки,
в которых гауссова кривизна равна нулю.
Пример 2. Пусть Mk — гладкое подмногообразие в R". Рассмотрим все-
всевозможные гладкие функции Lp: Mk —> R вида
Прежде чем рассмотреть критические точки этих функций, введем некоторые не-
необходимые понятия.
Нормальным расслоением N(Mk) к подмногообразию Mk называется гладкое
многообразие, образованное парами (х, ?), где х — точка на Mk и I — вектор
из R", ортогональный к Мk в этой точке. Это — л-мерное гладкое многообразие,
на котором определено гладкое отображение
F:N(Mk)-+R\ Р(хЛ)=х + Ъ A2.1)
Точка q € Rn называется фокальной точкой, если q = х Л- ?, где (jc, <i) — кри-
критическая точка отображения F.
Теорема 12.5. 1. Точка Хо 6 Mk является критической точкой функ-
функции Lp тогда и только тогда, когда вектор!; = р - х0 ортогонален к под-
подмногообразию Mk в точке х0.
2. Критическая точка х0 функции Lp является вырожденной тогда
и только тогда, когда точка р = х0 + ?0 является фокальной точкой, ото-
отображение F вида A2.1) имеет особенность в точке (х0, ?0) и индекс точ-
точки Хо равен степени вырождения матрицы Якоби отображения F в точке
(хоЛо)еЫ.
Напомним, что степенью вырождения симметрической матрицы называется
кратность нуля ее характеристического многочлена.
Доказательство является модернизацией доказательства теоремы из
предыдущего примера.
1. Пусть (и1, ..., uk) —локальные координаты на Mk. Простым дифференци-
дифференцированием получаем
±

398 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Векторы —т, где / = 1, ..., А, образуют базис в касательном пространстве к Мк
ди
в точке х(и). Поэтому точка х(и) является критической точкой функции Lp тогда
и только тогда, когда вектор 5 = х - Р ортогонален всем этим векторам, а значит,
ортогонален к подмногообразию Мк в точке х(и).
2. Пусть (*о, ?о) — критическая точка отображения Lp. Продифференциру-
Продифференцируем Lp еще раз и получим следующее выражение для гессиана:
dLp -2(( д*х ?\ + /— дх\\
ди1ди} \ \ ди'ди*' °/ \ ди1' ди1 П'
Найдем теперь матрицу Якоби отображения F в точке (л:0, $о)- Введем ор-
тонормированные координаты в Rn так, что в окрестности критической точки х0
подмногообразие Мк представляется как график отображения
точка Xq имеет координаты @, ..., 0), базисные векторы в\9 ..., ек касатель-
ны к Мк в точке х0, а векторы е*+,, ..., еп — ортогональны кМ*в этой точке.
Это, в частности, означает, что точка хх = ... = хк = 0 является критической для
функций (р,, ...,срл_*.
Так как поверхность задается уравнениями
G*-k(xl, ..., хп) = хп - (fn-k(x\ ..., хк) = 0,
векторы grad d, ..., grad Gn-k ортогональны подмногообразию в каждой его точ-
точке. Поэтому в качестве локальных координат на многообразии N можно взять
и1 = х\ ..., ик = хку Z1, ..., /""*, где (jc, г)) € УУ, ^ — точка подмногообразия с ко-
координатами (х\ ..., хк) и у) = il grad Gi — вектор, ортогональный к Мк в точке я.
Мы имеем
и матрица Якоби этого отображения равна
В точке (*о, $о) мы имеем
?$i — п /
ди! " ' \
и матрица Якоби принимает вид
?$i — п /— —\ — л fJ^SL. I
ди! " ' \ de1' аи' / (/> ди'дв' ~ \
) 1
* ч \ *
Из этой формулы немедленно следует утверждение 2. Теорема доказана.

§ 12.1. Элементы теории Морса 399
Гладкая функция /: Мп -> R, у которой все критические точки невырожденны,
называется функцией Морса. Оказывается, на каждом гладком многообразии
существует функция Морса, и, более того, функции Морса плотны среди всех
гладких функций.
В случае компактного многообразия Мп плотность функций Морса означает,
что для заданного конечного покрытия ?/а многообразия Мп и заданной функции /
при любом сколь угодно малом е > 0 и любом натуральном N существует функ-
функция Морса g: Mn -*1R, приближающая функцию / и ее производные порядка не
более N с точностью е:
_/Z___^_|<e
для всех наборов индексов (/ь ..., ik) с k ^ N и всех карт Ua.
Доказательство этой теоремы опирается на важный технический факт, ко-
который имеет многочисленные применения, — теорему Сарда. Прежде чем ее
сформулировать, напомним определение критической точки отображения много-
многообразий F: Мп —> Nk, данное ранее в главе 3.
Точка х Е Мп называется критической точкой гладкого отображения
F: Мп —> Nk, если образ дифференциала
не покрывает все касательное пространство к Nk в точке F(x). В частности, если
размерность многообразия Мп меньше, чем размерность многообразия Nk, то все
точки такого отображения критические. Образ F(x) критической точки называ-
называется критическим значением отображения F.
Теорема 12.6 (Сард). Множество критических значений (бесконечно)
гладкого отображения F: Мп —> Nk имеет меру нуль в Nk.
Следствие 12.4. На каждом гладком подмногообразии Mk cR" суще-
существует функция Морса.
Доказательство. Согласно теореме 12.5 если точка р ? R" не является
фокальной точкой для подмногообразия Мк, то функция
Lp(x) = \x-p\2
не имеет невырожденных критических точек и поэтому является функцией Морса
на Мк. Но фокальные точки — это в точности критические значения отображения
N(Mk) —>ЕЯ, заданного формулой A2.1). По теореме 12.6 такие точки образуют
множество нулевой меры вЕ",и поэтому для почти всех точек р Е Шп функция Lp
является функцией Морса. Следствие доказано.
Заметим, что согласно теореме 5.6 каждое компактное замкнутое многообра-
многообразие вкладывается в евклидово пространство достаточно большой размерности,
и поэтому на нем существуют функции Морса. Плотность функций Морса мы
доказывать не будем.

400 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Следствие 12.5. Пусть F: Мп —> Nk — гладкое отображение. Тогда для
почти всех точек из Nk (m. e. лежащих в дополнении к множеству нулевой
меры) их прообраз F~l(y) является гладким подмногообразием в Мп.
Доказательство. Пусть точка уо = (у10, ..., yl) ? Nk не является кри-
критическим значением отображения F. Тогда прообраз точки у0 в окрестности ка-
каждой своей точки выделяется уравнениями
Так как ранг отображения F в точках из F~l(yo) равен k, по теореме о неявной
функции эти уравнения задают в окрестности каждой точки из F~l(y0) гладкое
многообразие размерности п - k. Следствие доказано.
Это следствие, в частности, утверждает, что, сколь угодно мало пошевелив
любую точку у € Nky мы можем получить точку общего положения у\ прообраз
которой F~l(y') является гладким подмногообразием в Мп.
Аналоги этих результатов имеют место и для другого случая, обобщающего их.
Пусть Р1 с Nk — подмногообразие в Nk. Гладкое отображение F: Мп —» Nk
называется трансверсально регулярным (или t-регулярным) вдоль подмного-
подмногообразия Р', если для любой точки jc, которая отображается в Р', выполняется
равенство
k l
т. е. касательное пространство к точке F(x) e P1 порождается касательными век-
векторами к Nk и образами касательных векторов к Мп при отображении Fm. В слу-
случае, когда Р1 — нульмерное подмногообразие (точка), это означает, что она не
является критическим значением отображения F.
Аналогично следствию 12.5 доказывается следующее утверждение.
Лемма 12.5. Пусть F: Мп -> Nk — гладкое отображение, трансверсаль-
трансверсально регулярное вдоль подмногообразия Р1. Тогда прообраз F~x(Pl) подмного-
подмногообразия Р1 является гладким подмногообразием в Мп размерности n-k + l.
С помощью теоремы Сарда доказывается и такое утверждение.
Лемма 12.6. Отображения F: Мп —* Nk, трансверсально регулярные
вдоль подмногообразия Я', плотны среди гладких отображений из Мп в Nk.
Мы не будем уточнять здесь понятие плотности. Оно естественно обобщает
понятие плотности гладких функций и означает, что каждое отображение зада-
задается в координатах гладкими функциями, которые сколь угодно близко вместе
с любым конечным числом производных приближаются функциями, задающими
трансверсально регулярные отображения.
Мы знаем, что на каждом гладком многообразии есть метрика р, задающая
его топологию. В частности, лемма 12.6 утверждает, что для любого гладкого ото-
отображения F: Мп —> Nk и для любого г > 0 существует такое гладкое отображение
G: Mn^N\ что
p(F(x), G(x)) < г для всех хеМп A2.2)
и отображение G трансверсально регулярно вдоль Р1.

§12.1. Элементы теории Морса 401
Оказывается, достаточно близкие отображения являются гомотопными, как
показывает следующая лемма.
Лемма 12.7. Пусть Nk — замкнутое многообразие. Тогда существует
такая постоянная ео > 0, что если любые два отображения F, G: Мп —»Nk
удовлетворяют неравенству A2.2) при е < е0, то они гомотопны.
Доказательство. Выберем на Nk какую-то риманову метрику. Так
как многообразие /V* компактно, существует такая постоянная е0» что любые
две точки ху у, отстоящие друг от друга на расстояние, меньшее е0, соединены
единственной кратчайшей геодезической yx,y{f), где ух,уФ) ==: х> YxAd(x* У)) = У
и d(xy у)—длина этой геодезической. Это семейство кратчайших геодезических
также гладко зависит от х и у (см. главу 10). Построим гомотопию между ото-
отображениями F и G по следующей формуле:
H(t, х) = yfiWO. где d = d(F(x), G(x)).
Отображение Я: [0, 1] х Mk ->Nk гладкое, Я@, *) = F(x) и //A, x) = G(x). Лем-
Лемма доказана.
Отображение G, гомотопное отображению F и близкое к нему, часто называ-
называется малым шевелением отображения F.
Наиболее часто лемма 12.6 применяется в ситуации, когда отображение
F: Mn -+Nk — вложение. При этом мы можем считать, что Мп — подмногообра-
подмногообразие в W*.
Говорят, что подмногообразия Мп, Р1 с /V* пересекаются трансверсально,
если вложение одного из них, например F: Мп —> Nk, трансверсально регулярно
вдоль другого многообразия Р1. Так как достаточно малое шевеление вложения
есть, очевидно, тоже вложение, лемма 12.6 утверждает, что сколь угодно малым
шевелением вложения F можно привести все к ситуации, когда подмногообра-
подмногообразия Мп и Р1 пересекаются трансверсально.
Если dim Nk = dim Mn + dim P', то трансверсальное пресечение происходит по
точкам yeNk,B которых касательные пространства к Nk распадаются в прямые
суммы касательных пространств к подмногообразиям:
TyNk = тумп е т9Р.
Трансверсальные пересечения (см. рис. 12.3, а) устойчивы относительно ма-
малых шевелений, в отличие от нетрансверсальных. Например, касание распадается
при малом шевелении, как показано на рис. 12.3, б. Поэтому приведение ото-
б)
М
Рис. 12.3

402
Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
бражений к трансверсально регулярному виду называется приведением в общее
положение.
3. Степень отображения. Изложим кратко понятие степени отображения,
для строгого обоснования которого требуются факты, приведенные выше в п. 2.
Пусть /: М —> N— гладкое отображение ориентированных замкнутых мно-
многообразий одной и той же размерности. Пусть у0 — регулярное значение этого
отображения. Тогда степень отображения f определяется формулой
A2.3)
т.е. как сумма знаков якобиана /(/), взятая по всем точкам из прообраза точ-
точки у0. Число таких точек конечно, поскольку они образуют «нульмерное» под-
подмногообразие компактного многообразия М.
Лемма 12.8. 1. Значение степени отображения не зависит от выбора
регулярного значения у о.
2. Если отображения f:M->Nug:M-+N гладко гомотопны, то их
степени отображений совпадают.
Доказательство. 1. Пусть у0 и у\ — два различных регулярных зна-
значения отображения /. Как и в случае леммы 12.6, с помощью теоремы Сарда
(теорема 12.6) доказывается, что точ-
точки у0 и у\ можно соединить путем у,
вдоль которого отображение / транс-
трансверсально регулярно (такой путь может
быть получен из любого пути у', со-
соединяющего эти точки, малым шевеле-
шевелением). Прообраз Г = /~|(у) этого пу-
пути — это гладкое одномерное подмного-
подмногообразие в Af, край которого состоит из
множеств f~l(yo) и f~l(jj\). Если точ-
У\ Y Уо
Рис. 12.4
ки Ро и Рх из !~1(Уо) (или /~'(*/i)) огра-
ограничивают одну и ту же связную компо-
компоненту Г' с Г, то, продолжая вдоль пути
Г' функцию det/, мы заметим, что знаки
det/ в этих граничных точках различны
(на рис. 12.4 это точки jc2 и дгз). Если
точки Ро € !~1(Уо) и Р\ € f~l(y\) ограничивают одну и ту же компоненту из Г, то
в этих точках det У имеет один и тот же знак (на рис. 12.4 это точки х0 и Х\).
Отсюда следует, что
f-Чуо) 1~Ну\)
2. Для доказательства гомотопической инвариантности степени достаточно
повторить эти рассуждения в несколько иной ситуации. Возьмем гладкую гомо-
топию F: М х [0, 1] -»Ny где ^(jc, 0) = f(x) и F(xy 1) = g(x), и выберем точку

§ 12.1. Элементы теории Морса 403
Уо G N, которая является регулярным значением для отображения F. Прообраз
этой точки — одномерное подмногообразие Г в цилиндре М х [0, 1 ], граница ко-
которого состоит из подмножеств f~l(yo) при / = 0 и g~l(yo) при t = 1. Как и при
доказательстве утверждения 1, мы видим, что если точки Ро и Р\ ограничивают
компоненту из Г и лежат на одном конце цилиндра, то они входят в выраже-
выражение для степени отображения / или g с разными знаками, а если они лежат на
разных концах цилиндра, — с одним знаком (см. рис. 12.5). Отсюда следует, что
Лемма доказана.
С
Yo
¦*¦ - +
Рис. 12.5
Пример. Основная теорема алгебры. Пусть S2 — двумерная
сфера, которая задана как комплексная плоскость с параметром z, пополнен-
пополненная «бесконечно удаленной» точкой (см. п. 1 §4.2). Многочлены P(z) = zn +
-f a\Zn~l -f ... 4- aw_|Z -f an задают гладкие отображения S2 —> S2, переводя «бес-
«бесконечно удаленную» точку в «бесконечно удаленную». Действительно, в окрест-
окрестности этой точки локальным параметром является w = z~\ и в терминах этого
параметра это отображение записывается как
, 1 wn
W =
P(z) 1 н- a\w + ... + an-\wn-x + anwn
и, очевидно, является гладким в окрестности точки w = 0.
Лемма 12.9. Степень отображения S2 —» S2, заданного многочленом
P(z) = zn + a\Z?~x + ... + an-\Z + any равна п, т е. степени многочлена.
Доказательство. Пусть P(z) = zn. Тогда точка z = 1 регулярна и имеет
п прообразов. Так как отображение комплексно-аналитично, ориентация сохра-
сохраняется, и, следовательно, в каждой точке из Я-1A) (в каждом корне /2-й степени
из единицы) якобиан отображения положителен. Значит, degzn = п.
Осталось теперь заметить, что существует гомотопия F(zy t) = zn + t(a\Zn~l +
+ ... + an-\Z + an) между отображениями zn и P(z). Лемма доказана.
Следствие 12.6 (теорема Гаусса). Каждый многочлен P(z) = zn + axzn~x +
+ ... + an_\Z + an имеет корень в комплексной плоскости.
Доказательство проведем от противного. Пусть многочлен не имеет
корней. Тогда точка w = 0 не лежит в образе отображения S2 —> 52, заданного

404 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
этим многочленом, и, следовательно, регулярна. Применив к ней формулу A2.3),
получаем, что degP = 0. Мы пришли к противоречию, которое доказывает след-
следствие.
Заметим, что все известные доказательства этой теоремы основаны на этом
топологическом соображении. Чисто алгебраического доказательства «основной
теоремы алгебры» до сих пор не существует.
В приложениях полезна следующая теорема.
Теорема 12.7. Для гладкого отображения /: М -> N многообразий одной
и той же размерности верна формула
Доказательство. Множество С критических значений отображения /
имеет нулевую меру в /V, а на его прообразе якобиан вырожден. Следовательно,
Пусть уо — регулярное значение отображения / и U — такая его окрестность,
что ее прообраз распадается в объединение областей Uh j = 1, ..., m, на кото-
которых отображение / действует как диффеоморфизм на U: f'l(U) = U\ U ... U Uk
(существование такой окрестности следует из теоремы об обратной функции). По
теореме о замене переменной под знаком интеграла мы имеем
/ и
(у(х)) det (^4) dxl A ... Л dxn = sgn det(-^4) / со((/) dyl Л... Л dy\
Следовательно,
Так как множество регулярных значений отображения / исчерпывается объеди-
объединениями таких областей (У, из аддитивности интеграла вытекает утверждение те-
теоремы.
Теорема доказана.
Замечание. Степень определяется и для отображений неориентируемых
многообразий. В этом случае степень — это сумма точек прообраза регулярного
значения, взятая по модулю два. Она принимает значения в Z2 = {0, 1}, коррект-
корректно определена и гомотопически инвариантна (доказательства, данные выше, для
нее даже упрощаются).
4. Градиентные системы и перестройки Морса. Для евклидовых про-
пространств нет особого различия между векторами и ковекторами, так как подъем
индексов осуществляется с помощью постоянной евклидовой метрики gi} = Ъц.
В этом случае под градиентом часто понимается вектор, в направлении которого
рост функции максимален. Действительно, пусть ? — касательный вектор в точке

§12.1. Элементы теории Морса 405
х е Мя. Производная функции / в направлении вектора ? вычисляется по формуле
где grad/—градиентное векторное поле:
Для векторов единичной длины (т.е. |?| = 1) максимум производной по напра-
направлению д$ достигается на векторе, сонаправленном градиенту:
- jrad?
*~|grad/|-
Соответственно, в обратном направлении функция / убывает наиболее быстро.
Для многообразий с римановой метрикой gti тоже вводится понятие гради-
градиентного векторного поля grad / для функции / по формуле
(grad Я'= в"|?.
Легко проверить, что производная функции / в направлении ? вычисляется по
формуле
3;/=(grad/, ?),
где скалярное произведение задано римановой метрикой gir
Пусть на многообразии Мп задано скалярное произведение ковекторов (не
обязательно положительно определенное и невырожденное)
Градиентной системой называется уравнение
Если скалярное произведение задано гладким тензором hij (а в дальнейшем мы
всегда будем это предполагать) и многообразие Мп компактно, то по теоре-
теореме 10.16 для каждой точки х € Мп существует и притом единственная траектория
x(t) этой системы с начальным условием х@) = х0. Это решение определено для
всех положительных времен / € R. Компактность многообразия необходима для
того, чтобы гарантировать, что ни одна траектория не уйдет «на бесконечность»
за конечное время.
Простейший пример градиентной системы для заданной функции / задан ри-
римановой метрикой gy и имеет вид
Как показывает следующая лемма, такие градиентные системы используются
для нахождения критических точек функции /.

406 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Лемма 12.10. Пусть /: Мп -+R — гладкая функция на замкнутом (ком-
(компактном и без края) многообразии Мп, хоеМп и grad/(*0) ф 0. Тогда пре-
предельной точкой траектории x(t) с начальной точкой х0 = х@) будет кри-
критическая точка функции /.
Доказательство. Так как
®Ш = -#ЯШШШ = -\ grad/W))!2 < 0,
at ах ах'
вдоль траектории значение функции / равномерно убывает. Из компактности мно-
множества {/ < f(x0)} следует, что предельная точка *<» существует и /(*оо) < /МО)
при всех t. Если grad f(Xoo) ф 0, то траектория могла бы быть продолжена за эту
точку, что противоречило бы ее выбору. Следовательно, grad/^oo) = 0. Лемма
доказана.
Если на гладком многообразии Мп задана гладкая функция /: Мп —* R, то
условимся обозначать через Ма множество точек из Мл, в которых значение
функции / не превосходит а:
хеМасМп, если f(x) ^ а.
В случае, когда Ма непусто и а — регулярное значение функции /, Ма — гладкое
подмногообразие с краем f~l(a).
Если функция не имеет критических точек со значениями, принадлежащими
отрезку [а, Ь], то прообраз /~Ч[а> Ь]) этого отрезка устроен достаточно просто.
Лемма 12.11. Пусть f: Мп —>М — гладкая функция на замкнутом мно-
многообразии Мп. Предположим, что множество f~]([a, b]) не содержит кри-
критических точек функции f. Тогда существует диффеоморфизм
и при этом слоями этого прямого произведения при фиксированных t e
G [а, Ь] будут поверхности уровня:
f(x,t) = t, xef-l(b), t€[a,b\.
В частности, все поверхности уровня /~!(*i) и /"Ч^), где /|э t2 ? [а, Ь\ по-
попарно диффеоморфны.
Доказательство. Введем ковекторное поле $ = gradf/\grad/|2 на
f~x[ay b] и построим по нему градиентную систему
Определим на f~l(b) отображения
где (р(л:, /) — траектория этой градиентной системы с начальными данными
ф(л:, 0) = х. Так как
dt

§ 12.1. Элементы теории Морса 407
отображение cp(jt, /) корректно определено при Q^t ^b — аи ср(л:, t) €f~l(b — t).
Более того, сдвиг по траекториям в обратном направлении показывает, что любая
точка y€f~l(b-t) представима в виде ср(х, f) для
какой-то одной точки xef~l(b). Отсюда мы за- \ \
ключаем, что отображение , \ \
/ (Ь)\
x=-grad/
Г\Ь) х [a, b] -> /-¦ ([а, b]): (x, t) -> <p(x, b - *)
задает искомый диффеоморфизм. При а ^с < b i j
каждая поверхность уровня f~l(c) получается из J J
f~l(b) сдвигом вдоль траекторий градиентной си-
системы A2.4) за время (Ь — с) (см. рис. 12.6). Л ем- р 12 6
ма доказана.
Теорема 12.8. Если на замкнутом многообразии Мп существует глад-
гладкая функция /: Мп —> R лишь с двумя критическими точками, то это мно-
многообразие гомеоморфно сфере Sn.
Доказательство. Мы докажем это следствие при дополнительном
предположении, что обе критические точки невырожденны (в общем случае
утверждение тоже верно, но его доказательство сложнее). На компактном мно-
многообразии непрерывная функция достигает максимума и минимума, и точки мак-
максимума и минимума являются критическими точками. Так как критических точек
две, это в точности точка максимума х+ и точка минимума х_. Согласно тео-
теореме 12.3 в малых окрестностях этих точек существуют координаты yl±t ..., уп±,
в которых функция / представима в виде
и координаты критических точек равны у±(х±) = @, ..., 0). Значит, при доста-
достаточно малом е подмногообразия Mfix_)+e и {/ ^ /(*+) - е} гомеоморфны /г-мер-
ным дискам и попарно не пересекаются. Их границы гомеоморфны (п — 1)-мер-
1)-мерной сфере Sn~l. Соединяющее их множество /~!([/(jc_) + е, /(*+) — е]) не со-
содержит критических точек и диффеоморфно прямому произведению Sn~l x [0, 1].
Отсюда видно, что многообразие Мп гомеоморфно сфере S\ которая получа-
получается как результат склейки двух л-мерных дисков по гомеоморфизму границы.
Следствие доказано.
Заметим, что эта лемма не утверждает, что многообразие Мп диффеоморфно
стандартной я-мерной сфере. В действительности это не так—например, как до-
доказал Милнор, на некоторых 7-мерных гладких многообразиях существуют глад-
гладкие функции лишь с двумя (и притом невырожденными) критическими точками;
эти многообразия гомеоморфны, но не диффеоморфны сфере S7.
Если поверхность уровня f~l(c) содержит критическую точку функции /, то
близкие к ней поверхности уровня f~x(c — г) и f~l(c 4- е), как правило, недиффео-
морфны. Если критические точки функции / невырожденны, то отличие топологии
этих поверхностей можно описать явно.
Прежде чем это сделать, введем два важных определения.

408
Плава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Пусть Мп— замкнутое многообразие, в которое вложена ^-мерная сфера Sk.
Предположим, что у этой сферы есть замкнутая трубчатая окрестность W,
диффеоморфная прямому произведению сферы на (п - k)-мерные диски: W =
= Sk х Dn~k. Граница этой окрестности диффеоморфна прямому произведению
сфер Sk х Sn~k~l. В свою очередь, это прямое произведение также является
границей другого многообразия с краем— Wx = Dk+l х 5я"*". Удалим из Мп
внутренность многообразия W и приклеим по появившейся границе многообра-
многообразие W\. Мы получим новое замкнутое многообразие Мя. Это преобразование
Мп -+ Мпх называется перестройкой Морса или сферической перестройкой
по ^-мерной сфере.
Примеры. 1. Пусть М2 = S2—двумерная сфера, в которую вложена нуль-
нульмерная сфера S° — пара точек. Обозначим через W трубчатую окрестность этой
сферы и применим перестройку Морса: удалим из сферы пару дисков, составляю-
составляющих Wy и приклеим по полученной границе цилиндр W\ = D1 x S1 (см. рис. 12.7).
Рис. 12.7
В результате мы получим двумерный тор Т2. Повторяя последовательно это пре-
преобразование, мы после п шагов получим сферу с п ручками. Мы доказали сле-
следующую лемму.
Лемма 12.12. Сфера с п ручками получается из двумерной сферы в ре-
результате п перестроек Морса по нульмерным сферам, В частности, при
п= 1 мы получаем двумерный тор Т2.
2. Пусть М2 = Т2 — двумерный тор, в который вложена одномерная сфе-
сфера S1 —такая замкнутая кривая, что если разрезать по ней тор, то мы получим
цилиндр Z = S1 х [0, 1]. Удалим трубчатую окрестность этой кривой и вклеим
вместо нее трубчатую окрестность S° x D2 нульмерной сферы. В итоге получим
двумерную сферу — цилиндр Z, края которого заклеены дисками (см. рис. 12.8).
Рис. 12.8

§12.1. Элементы теории Морса 409
Нами доказана следующая лемма.
Лемма 12.13. Двумерная сфера S2 получается из тора Т2 перестройкой
Морса по одномерной сфере.
Пусть Р14*1 —многообразие с краем Мп, в который вложена (k — 1)-мерная
сфера S* вместе с трубчатой окрестностью U^ = S*" x Dn~k+i. Приклеив по
этой трубчатой окрестности ручку Dk х Dn~k+\ мы получим новое многообра-
многообразие Р*1+1 с краем. Преобразование Pn+l —> Р"+| называется приклейкой ручки
индекса k. При этом граница dF1^ = М" получается из границы исходного мно-
многообразия в результате перестройки Морса по (k — 1)-мерной сфере.
Пример. Пусть Р3 — трехмерный диск. Приклеим к нему ручку индекса
один и получим полноторие D2 x S1.
Теорема 12.9. Пусть /: Мп -+R — гладкая функция на замкнутом мно-
многообразии Мп и множество f~l([c — е, с + г]) содержит лишь одну крити-
критическую точку Хо функции /, причем f(xo) = с, эта критическая точка не-
вырожденна и имеет индекс k. Тогда
1) многообразие (с краем) Мс+€ получается из многообразия Мс_е при-
приклейкой ручки индекса k\
2) поверхность уровня /"'(с + е) получается из поверхности уровня
/~*(с — е) перестройкой Морса по (k — \)-мерной сфере.
Доказательство. Согласно теореме 12.3 существует такая окрест-
окрестность U точки х0 с координатами х\ ..., хп, что х0 = @, ..., 0) и в этой окрест-
окрестности
f(x) = c-(jc1J-...- (xkJ + (xk+lJ + ... + (xnJ.
Выберем на Мп риманову метрику gi; так, чтобы в U она была евклидовой:
gij = 8/у, и выберем такую постоянную 8 > 0, что 5 < е и все точки, для которых
\х\ = у/(х1J + ... + (хпJ ^S, лежат в U. Так как риманова метрика в U выбрана
евклидовой, в этой области градиентное векторное поле функции / равно
I = (-2х\ ..., -2**, 2**+|, ..., хп) = (-2Х, 2У).
Заметим, что согласно лемме 12.11 имеют место диффеоморфизмы
Г1 (с ±г)*Г1(с± 5/2), Мс±е« Мс±ъ/2.
Рассмотрим сферы Г± С (/, определенные уравнениями
Y = (xk+\ ..., хп) = 0, И2 = | при х € Г_,
*=(*'.....**) = 0, И2 = | при хеГ+.
Очевидно, dimГ_ = ^~ 1, (ШпГ+ = п - ft - 1 и Г± cf~l(c±b/2).
Траектории градиентной системы i = grad/ (см. рис. 12.9), начинающиеся
в точках из Г_, заполняют /е-мерный диск D_ = {Y = 0, |*|2 ^ 8/2} с выколо-
выколотой точкой х = 0 и стремятся к критической точке х0 при / —> со, а траекто-
траектории, которые заканчиваются в точках из Г+, заполняют (п — &)-мерный Диск
D+ = {X = 0, |jc|2 ^ 8/2} с выколотой точкой х = 0 и стремятся к х0 при / —> —оо.

410 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
М 5
с- 5
Рис. 12.9 Рис. 12.10
Дополнение к дискам D+ и D_ в f~l([c - 8/2, с + 8/2]) заполнено траектори-
траекториями градиентной системы
|grad/|2
Пусть 1/ — достаточно малая трубчатая окрестность сферы Г_ в поверхно-
поверхности уровня /"'(с-5/2). Тогда сдвиг вдоль траекторий системы A2.5) уста-
устанавливает диффеоморфизм дополнения к V в поверхности уровня с дополне-
дополнением к некоторой трубчатой окрестности V сферы Г+ в поверхности уровня
/"'(c + S/2). Следовательно, поверхность уровня /~1 (с -Ь S/2) получается из по-
поверхности f~x(c- 8/2) удалением трубчатой окрестности (k - 1)-мерной сферы
и вклейкой вместо нее трубчатой окрестности (п - k - 1)-мерной сферы, т.е.
с помощью перестройки Морса по (k - 1)-мерной сфере. Утверждение 2) дока-
доказано.
Пусть Н — множество точек, заданное уравнениями
Оно гомеоморфно я-мерному диску и примыкает к подмногообразию Мс_ь/2 по
трубчатой окрестности (k — 1)-одномерной сферы Г_ (см. рис. 12.10).
Множество
ограничено поверхностью dS, которая имеет углы в точках примыкания Н к Мс_ь/2
и поэтому не является гладкой. Как легко проверить простым вычислением, гра-
градиентное векторное поле функции / нигде не касается поверхности dS. На мно-
множестве
корректно определена градиентная система A2.5). Сопоставим каждой точке у €
€ dS время Т(у) <8, за которое она сдвигается по траекториям системы A2.5)
в поверхность f~l(c + 8/2). Построим теперь гомеоморфизм
где ср(г, /) — решение системы A2.5) с начальными данными <p(z, 0) = z. Сдви-
Сдвиги y-^(f(y, ~x П устанавливают аналог леммы 12.11: замыкание множества

§ 12.1. Элементы теории Морса 411
Мс+5/2 \ 5 гомеоморфно прямому произведению dS x [0, 8]. Отсюда следует осла-
ослабленное утверждение 1): многообразие с краем Мс+ь/2 гомеоморфно многообра-
многообразию Мс_ь/2 с приклеенной ручкой Н индекса k.
Для того чтобы доказать диффеоморфизм в утверждении 1), сгладим угловые
точки на границе dS и получим гладкую поверхность dS'. При этом функция
Т(у) станет гладкой. Так как это несложно сделать, мы опустим подробные вы-
выкладки.
Теорема доказана.
Из доказательства этой теоремы ясно, что все перестройки поверхностей
уровня и подмногообразий Ма происходят локально (в сколь угодно малых
окрестностях невырожденных критических точек). Так как такие точки изоли-
изолированы, на компактном многообразии функция Морса может иметь лишь конеч-
конечное число критических точек и утверждение теоремы очевидным образом рас-
распространяется на случай, когда критический уровень f~l(c) содержит несколько
критических точек. Справедливо следующее утверждение. )
Следствие 12.7. Пусть /: Мп —> R — гладкая функция на замкнутом
многообразии Мп и множество [с — е, с + г] содержит лишь одно критиче-
критическое значение с. Пусть все критические точки Х\,..., Х/, лежащие на этом
критическом уровне, невырожденны и имеют индексы k\,..., kt. Тогда
1) многообразие Мс+С получается из многообразия Mc-t приклейкой ру-
ручек индексов k\, ..., kt\
2) поверхность уровня f~l(c + e) получается из поверхности уровня
f~l(c-e) перестройками Морса по (k\ - 1)-, ...,(&/- 1)-мерным сферам,
и при этом области, по которым происходят эти перестройки, не пере-
пересекаются.
Заметим также, что формально мы описали перестройки Морса и приклейки
ручек без указания на то, как на построенном пространстве вводится гладкая
структура. Теорема 12.9 показывает это на примерах, когда перестройка связа-
связана с прохождением критического уровня функции Морса (впрочем, так можно
описать любую перестройку Морса). Хотя утверждение 2 теоремы 12.9 следу-
следует из утверждения 1, мы дали отдельное его доказательство, демонстрирующее
связь этих перестроек с поведением динамических систем в окрестности седловой
особой точки.
Существует обобщение понятия функции Морса, для которого перестройки
поверхностей уровня и подмногообразий Ма могут быть описаны с помощью тех
же идей. А именно, функция /: Мп —> R называется функцией Морса—Ботта
(или просто функцией Морса), если выполняются два условия:
1) критические точки функции образуют гладкие замкнутые подмногообразия
ъМп\
2) критические подмногообразия невырожденны.
Условие 2) означает, что для каждого связного критического подмногообра-
подмногообразия N1 существует такое целое число k ^ 0, что для любой точки х е N1 и для
любого вложенного диска D, трансверсально пересекающего подмногообразие /V'
в точке х, ограничение функции / на диск D имеет в точке х невырожденную

412 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
критическую точку индекса k (это число k называется индексом критического
подмногообразия).
Если все критические подмногообразия нульмерны, т. е. являются точками, то
мы получаем определение функции Морса.
Пример. Рассмотрим группу Ли Мг = SOC), образованную всеми трех-
трехмерными ортогональными матрицами, и возьмем на ней функцию
Эта функция имеет два критических уровня: /= — 1 и /= 1, диффеоморфных
окружности S1 = SOB):
Других критических значений функция / не имеет, при малых положительных
значениях е подмногообразия MX-t и Л/_|+е диффеоморфны полноториям S1 x D2,
и согласно лемме 12.11 многообразие SOC) гомеоморфно двум полноториям,
склеенным по их границам.
Аналогичные функции Морса—Ботта можно задать по матричным предста-
представлениям для других классических компактных групп Ли. Эти примеры принад-
принадлежат Понтрягину, который впервые использовал теорию Морса для изучения
топологии конкретных гладких многообразий.
5. Топология двумерных многообразий. В качестве примера применения
теории Морса в топологии дадим описание всех замкнутых двумерных много-
многообразий с точностью до гомеоморфизма.
Приклейка ручки к двумерному многообразию с краем состоит в следующем:
1) если мы приклеиваем ручку индекса два, то это означает, что мы при-
приклеиваем к многообразию М2 двумерный диск по компоненте границы—дырке,
гомеоморфной окружности (грубо говоря, мы заклеиваем эту дырку);
2) если мы приклеиваем ручку индекса один, то это с точностью до гомео-
гомеоморфизма означает, что мы берем квадрат [0, 1] х [0, 1] и приклеиваем его по
двум противоположным сторонам 0 х [0, 1] и 1 х [0, 1] к различным участкам
границы дМ2.
Уже в двумерному диску приклеить ручку индекса один можно двумя возмож-
возможными способами. Диск гомеоморфен квадрату D, выделенному на евклидовой
плоскости неравенствами 0 < х, у ^ 1. Приклейка ручки индекса один состоит
в приклейке еще одного такого квадрата. С точностью до гомеоморфизма есть
два возможных способа:
1) мы склеиваем квадраты D и D', отождествив точки на участках их границ
по правилу
@,*/)~@,*/% <1.У)~A,0%
и в результате получаем цилиндр 51 х [0, 1];
2) мы склеиваем квадраты D и D' по правилу

§ 12.1. Элементы теории Морса 413
Рис. 12.11. Цилиндр и лист Мёбиуса
Полученное двумерное многообразие с краем называется листом Мёбиуса. Оно
также получается, если мы отождествим противоположные стороны квадрата по
правилу
(О, у) ~ A,1-0). A2.6)
Очевидно, что цилиндр и лист Мёбиуса не гомеоморфны, так как граница
цилиндра состоит из двух окружностей, а граница листа Мёбиуса — из одной.
Существует и другое важное отличие, которое дается следующей леммой.
Лемма 12.14. Лист Мёбиуса неориентируем.
Доказательство. Предположим, что он ориентируем. Без ограниче-
ограничения общности можно считать, что базис ех = A, 0) и е2 = @, 1) в касательном
пространстве в точке л: = 0, г/= 1/2 положительно ориентирован. Непрерывно
меняя точку (лс, у)у мы будем получать положительно ориентированные базисы
в точках квадрата. В частности, этот базис должен быть положительно ориенти-
ориентированным и в точке х = 1, у = 1/2. Но в результате склейки A2.6) точек @, 1/2)
и A, 1/2) базис (ей е2) в точке @, 1/2) отождествляется с базисом (е,, -е2)
в точке A, 1/2). Мы получаем, что в касательном пространстве в точке @, 1/2)
оба базиса (е\, е2) и (в\, —е2) должны быть положительно ориентированными,
но они имеют разную ориентацию. Лемма доказана.
Легко заметить, что цилиндр ориентируем.
Вообще, имеет место следующее простое наблюдение.
Если двумерное многообразие неориентрируемо, то существует глад-
гладкий вложенный путь в многообразии, вдоль которого ориентация обра-
обращается, и окрестность этого пути гомеоморфна листу Мёбиуса.
В п. 6 §5.1 мы показали, что двумерное проективное пространство ШР2 гомео-
гомеоморфно факторпространству единичной сферы S2 С R3 по отражению х —> -х.
Так как верхняя полусфера х3 > 0 отождествляется при этом с нижней полу-
полусферой, RP2 гомеоморфно пространству, полученному из замкнутой полусферы
{\х\ = 1, хъ < 0} склейкой граничных точек по правилу х ~ —х.
Лемма 12.15. Проективная плоскость RP2 получается из листа Мёби-
Мёбиуса приклейкой ручки индекса 2.
Доказательство. Возьмем на границе полусферы два интервала 1\ и /2,
заданные в полярных координатах неравенствами —тс/4 < <р < л/4 и Згс/4 < ср <
< 5л/4. При отождествлении граничных точек по правилу х —> — х эти интервалы
склеятся в один и можно взять такие их окрестности U\ и U2 в нижней полусфере,
что они склеятся в открытый двумерный диск D. Дополнение к D гомеоморфно
замкнутой нижней полусфере, у которой на границе противоположные точки двух

414 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
центрально симметричных отрезков склеены. Но это и есть лист Мёбиуса. Сле-
Следовательно, приклеив к его границе диск D (ручку индекса два), мы получим
вещественную проективную плоскость. Лемма доказана.
На языке функций Морса проективная плоскость допускает следующее кра-
красивое описание.
Теорема 12.10. Пусть М2— замкнутое двумерное многообразие, на ко-
котором существует функция Морса с тремя критическими точками. Тогда
это многообразие гомеоморфно RP2.
Доказательство. Пусть F: Мп —> Ш—такая функция и х+ и Х- —точки
максимума и минимума этой функции. Они имеют индексы 2 и 0 соответственно.
Третья критическая точка х0 должна иметь индекс один. Докажем это от против-
противного.
Пусть индекс точки х0 равен нулю. Тогда это — точка локального минимума
и по лемме 12.11 при достаточно малом положительном значении 8 многообра-
многообразие МцХо)+е есть пара дисков, в каждом из которых лежит по одной критической
точке индекса 0, а подмногообразие {/ ^ /(*+) — е} гомеоморфно диску. Так как
других критических точек нет, согласно лемме 12.11 их границы f~{(f(xo) + е)
и f~l(f(x+) — г) должны быть диффеоморфны, но они состоят из разного коли-
количества окружностей, и мы приходим к противоречию. С заменой функции / на -/
это рассуждение доказывает, что индекс точки х0 не равен двум.
Следовательно, х0 — критическая точка индекса один и /(*_) < f{x0) < f(x+).
Из теоремы 12.9 следует, что М2 получается из двумерного диска Mf{x_)+e
в результате последовательной приклейки ручек индексов 1 и 2. Так как много-
многообразие М2 не имеет границы, в результате приклейки к диску ручки индекса 1 мы
должны получить многообразие N2 со связным краем, который потом заклеится
диском (ручкой индекса 2). Выше мы рассмотрели обе возможных приклейки ру-
ручек индекса 1 к двумерному диску, и мы видим, что N2 должно быть гомеоморфно
не цилиндру, а листу Мёбиуса. Осталось сослаться на лемму 12.15, чтобы пока-
показать, что М2 гомеоморфно RP2. Теорема доказана.
Заметим, что, в отличие от теоремы 12.8, в этой теореме существенно, что все
критические точки невырожденны: на двумерном торе Т2 существует неморсов-
ская гладкая функция с тремя критическими точками.
Напомним, что связная сумма g экземпляров двумерных торов называется
сферой с g ручками. Если мы удалим из такой сферы внутренности k попарно
непересекающихся вложенных дисков, то мы получим сферу с g ручками и k
дырками. Диск есть сфера с одной дыркой.
Следующая лемма теперь наглядно очевидна.
Лемма 12.16. Пусть М — ориентируемое двумерное многообразие, со-
состоящее из объединения конечного числа сфер с дырками и ручками: М =
= \JMit и пусть М' — ориентируемое двумерное многообразие, полученное
из М приклейкой ручки индекса один. Тогда
1) число связных компонент многообразия М' не превосходит числа
связных компонент многообразия М\

§ 12.1. Элементы теории Морса 415
2) если число связных компонент при приклейке уменьшилось, то М'
получается из М склейкой сферы S\ с g\ ручками и k\ дырками и сферы 52
с g2 ручками и k2 дырками в сферу S с g{ + g2 ручками и k\ + k2 - 1 дыр-
дырками;
3) если число связных компонент при приклейке сохранилось и ручка
приклеена к одной компоненте границы УИ, то М' получается из М пре-
преобразованием сферы с g ручками и k дырками в сферу с g ручками и k + 1
дырками;
4) если число связных компонент при приклейке сохранилось и ручка
приклеена к разным компонентам границы М, то М' получается из М
преобразованием сферы с g ручками и k дырками в сферу с g+ 1 ручками
и k - 1 дырками.
Следствие 12.8. При приклейке ручки индекса один или два к объеди-
объединению сфер с ручками и дырками мы опять получаем объединение сфер
с ручками и дырками.
Заметим, что преобразования 3 и 4 не приводят к вложениям листов Мёбиуса,
откуда и возникают данные значения чисел ручек и дырок.
Полная классификация ориентируемых замкнутых двумерных многообразий
дается теперь следующей теоремой.
Теорема 12.11. Каждое ориентируемое связное замкнутое двумерное
многообразие гомеоморфно сфере с ручками.
Доказательство. Пусть М2 — такое многообразие. Возьмем на нем
функцию Морса / и рассмотрим перестройки множеств Ма при изменении а от
минимума функции / к ее максимуму.
Так как невырожденные критические точки изолированы, а многообразие М2
компактно, функция / имеет лишь конечное число критических точек.
Если с_ — минимум функции / и отрезок [с_, с_ + е] не содержит других кри-
критических значений, то подмногообразие Мс_+€ диффеоморфно объединению ко-
конечного числа дисков, отвечающих критическим точкам, для которых / = с_. При
прохождении через другие критические уровни к Ма либо добавляются двумер-
двумерные диски, отвечающие локальным минимумам функции /, либо приклеиваются
ручки индексов один и два. Согласно следствию 12.8 мы каждый раз опять бу-
будем получать объединение сфер с ручками и дырками. Так как многообразие М2
связно и без края, мы заключаем, что оно гомеоморфно сфере с ручками. Теорема
доказана.
Для того чтобы завершить эту классификацию, надо доказать, что сферы
с различным числом ручек негомеоморфны. Это можно показать следующим
образом. Пусть М2 — сфера с g ручками и у — контур на ней, который не име-
имеет пересечений и не ограничивает область на поверхности. Тогда, разрезав по-
поверхность по этому контуру и заклеив границу парой дисков, мы получим сферу
с (g— О ручкой. От любой сферы с g ручками мы можем перейти такими опе-
операциями к сфере с k ручками, где k < g, а обратно — нет. Следовательно, эти
поверхности негомеоморфны.

416 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Известно также, что в двумерном случае гомеоморфные гладкие многообразия
всегда диффеоморфны.
Классификация неориентируемых замкнутых двумерных многообразий выво-
выводится чуть сложнее, чем для ориентируемых, хотя и аналогичным образом. Мы
сформулируем лишь основной результат.
Теорема 12.12. Каждое неориентируемое связное замкнутое двумерное
многообразие гомеоморфно связной сумме конечного числа проективных
плоскостей:
Связные суммы различного числа проективных плоскостей негомео-
морфны.
§ 12.2. Одномерные задачи: принцип наименьшего действия
1. Примеры функционалов (геометрия и механика). Вариационная про-
производная. Еще в XVII в., до формулировки законов механики, возникла идея, что
распространение звуковых и световых сигналов в средах с переменными пара-
параметрами происходит таким образом, что сигнал доходит до своей цели за мини-
минимально возможное время. Этот фундаментальный принцип, объясняющий закон
преломления на границе раздела, выдвинутый Ферма, не был принят Ньютоном.
Тем не менее, именно этот подход оказался в конечном счете правильным.
После идей Мопертюи и Эйлера, Лагранж окончательно сформулировал вариа-
вариационный «принцип наименьшего действия» при выводе законов механики Нью-
Ньютона. Этот подход называется «лагранжевым формализмом». Он содержит в себе
целый ряд важных ограничений на те силы, которые в принципе могут действо-
действовать на физические системы, если их описание достаточно полно. Этот подход
в своем дальнейшем развитии привел к возникновению новых видов геометрии
(симплектической и пуассоновой). Современные представления о законах приро-
природы немыслимы без этой геометрии: законы квантовой теории, например, уточня-
уточняющие классическую механику, в принципе не могут (пока) быть сформулированы
вне ее рамок.
Рассмотрим такой пример: согласно нашим представлениям, геодезические —
это траектории свободного движения частицы по поверхности при наличии связи,
предписывающей частице оставаться на поверхности. Мы определили в §10.3
геодезические линии xl =x'(t) уравнением
VjcX = 0,
(dxx dxn \
—, ..., -— J —вектор скорости кривой. Это уравнение расписывается
в виде
j? + I^i/i* = 0, i= 1, ...э л.
Для симметричной связности Г|л, согласованной с римановой метрикой Ццу гео-
геодезические локально являются кратчайшими линиями: их длина минимальна сре-
среди длин всех кривых, соединяющих достаточно близкие точки (см. п. 2 § 10.3).

§12.2. Одномерные задачи: принцип наименьшего действия 417
Следовательно, геодезические являются решением вариационной задачи. Рас-
Рассмотрим этот вопрос с общей точки зрения.
Пусть Цх, I, t) — функция точки х = (jc1 , ..., хп) и касательного вектора
? = E1, ..., ?л) в этой точке. Для фиксированной пары точек Р и Q рассмотрим
всевозможные гладкие кривые у* х = x(t)> a ^ t < b, соединяющие эти точки:
х(а) = Р, x(b) = Q. Величина
5М= /
L(x(t),x(t),t)dt
задает функционал на пространстве всех таких кривых. Он называется дей-
действием.
Здесь и всюду ниже точка сверху обозначает дифференцирование про време-
времени t.
На какой кривой у значение действия S[y] минимально?
Рассмотрим примеры таких задач.
Примеры. 1. Пусть метрика евклидова и
— это разность кинетической энергии ^ \х\2 и потенциальной энергии U(x)
(функция U(x) называется потенциалом). Параметризованные кривые, на кото-
которых действие S минимально, — это траектории движения ньютоновской частицы
г dU . „ .
в потенциальном поле /> = —-77» гДе параметр / на кривой — физическое время.
ох
2. Пусть gij(x) dxl dx1 — риманова метрика. Функция
обобщает кинетическую энергию движение частицы в произвольном римановом
многообразии. Значение действия зависит от выбора параметра на кривой.
3. Для римановой метрики g^x) dx1 dxj вычислим
— длину касательного вектора ?. Тогда действие S[y] = J Ldt есть длина кри-
кривой у и его значение не зависит от выбора параметра на кривой.
4. Световая частица (фотон) движется в точке среды х Е R" со скоростью
с(х). Положим
где t — реальное время. Экстремальные кривые для функционала 5 описываются
принципом Ферма, который утверждает, что
свет идет по траектории наименьшего времени.
В то же время функционал S = / Ldt геометрически эквивалентен длине в но-
новой римановой метрике dlF = dl/c(x), которая в общем случае имеет ненулевую
кривизну. С точки зрения геометрии, этот пример — частный случай примера 3.
14-1168

418 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Имеет место следующая теорема.
Теорема 12.13. Если на кривой у: х? = xl(t) значение действия S[y] =
= / Цху х, t)dt является критическим (например, достигает минимума
среди всех гладких кривых, идущих из точки Р в точку Q), то вдоль этой
кривой выполнены уравнения Эйлера—Лагранжа
d
где
dL _ дЦх, g, /) I d (dL\_( d2L ..j d2L i d2L\
dx1 " dV k-if Л Vdi1/ ~ \дЪ1д% dVdx* + ^Л/
(производные функции L берутся пб отношению к независимым перемен-
переменным х, ? и t, а потом подставляются их значения вдоль кривой у).
Доказательство. Пусть rf = rf(t), a^t ^b, — любая гладкая функ-
функция такая, что rf(a) = 0 и rf(b) = 0. Нам будет достаточно ограничиться сильно
локальными вариациями у), т. е. бесконечно дифференцируемыми и тождественно
равными нулю вне малой окрестности изучаемого момента времени t0.
Рассмотрим кривые у + srj вида xl(t) + er)''(/), которые также идут из Р и Q.
Они близки к кривой у при малых е. Ограничим на это семейство функционал
действия S и найдем его производную при е = 0 (в «точке» у):
hm
- S[y] d
По определению кривая у является критической точкой функционала S[y]
(например, минимумом), если для любой гладкой сильно локальной вектор-функ-
вектор-функции г)(/) выполняется равенство
lim SlY + erjbiM = d I sQ
e-o e de u 'Jle=o
Мы имеем
? [ ?{§ r{(t) + ^@} Л = 0, A2.8)
где интеграл вычислен вдоль кривой у: х? = xl(f), V = *'@- Интегрируя по частям,
получаем
b b d (d
так как rf(a) =rf(b) = 0. Подставим это выражение в формулу A2.8) и полу-
получим, что если кривая у является критической точкой функционала, то для любой
сильно локальной вектор-функции rf(t) выполняется равенство

§ 12.2. Одномерные задачи: принцип наименьшего действия 419
Отсюда следует, что
xi/i\ dL d dL rx . ,
Действительно, если ф'(/) ф О для каких-либо значений / и / = /о, где a<to<b,
то возьмем такую сильно локальную функцию rf(t), что интеграл A2.9) не ра-
равен нулю (например, rf(t) = ф'/(/), где /(/) — неотрицательная функция, равная
нулю вне малой окрестности точки t0 и такая, что /(/0) > 0). Это противоречит
условию A2.9).
Теорема доказана.
Введем теперь основные термины.
1. Подынтегральная функция
называется функцией Лагранжа или лагранжианом. Эта функция — скаляр,
который не меняется при заменах координат.
2. Уравнениями Эйлера—Лагранжа называются уравнения A2.7) из тео-
теоремы 12.13:
d(dL\ dL .
3. Траектории, удовлетворяющие уравнениям Эйлера—Лагранжа, называют-
называются экстремалями функционала S.
4. Величина
? = ?(*, i,/) = ?(*, 5, 0 = 5'|^-/- = *||-? A2.10)
называется энергией (она является скаляром).
5. Импульсом называется ковектор в ^-пространстве, определенный форму-
формулой
dL _ dL
p
6. Ковектор
называется силой. Уравнения Эйлера—Лагранжа в терминах импульса и силы
принимают вид
Pi = //•
7. Выражение
SS _ dL d dL
bx'(t) dxl dt dxl
называется вариационной производной функционала S[y]. Если функционал —
это функция на бесконечномерном многообразии, то вариационная производ-
производная— это функциональный аналог обычной частной производной вдоль «напра-
«направления» xl(t) (значения / и t фиксированы) в пространстве гладких кривых.
14*

420 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Сделаем два замечания.
1. Для заданной системы лагранжиан определен неоднозначно, с точностью
до добавления полной производной. При этом вместе с лагранжианом меняются
энергия и импульс:
2. Если лагранжиан Цх, х) — однородная функция от скоростей ? = х с пер-
первой степенью однородности, т. е. Цх, Щ = \Цх, ?), X > 0 (например, длина век-
вектора), то энергия ? тождественно равна нулю и параметр на экстремали может
быть взят любым.
2. Уравнения движения (примеры). Рассмотрим уравнения Эйлера—Ла-
гранжа (уравнения движения) для примеров функционалов, данных в п. 1 § 12.1.
1. Для лагранжиана
уравнения Эйлера—Лагранжа — это ньютоновские уравнения движения точеч-
точечного тела массы пг в потенциальном поле U(x):
Энергия системы есть сумма кинетической и потенциальной энергий:
2. Для лагранжиана Цх, х) = ^ gyxW уравнения движения имеют вид
где pk = gklxl. A2.11)
** ил
Распишем это подробнее:
Так как gmkgkj = &jf\ мы имеем
2 дхкГХ"^
По индексам I и j происходит суммирование, и поэтому верно тождество
Г дх?ХХ~2хх* \дх* + дхЧ'
После подстановки его в предыдущее уравнение мы получаем
xm + FfixW = 0,
где Г?! = о?*т(~^т + -гт ь) —симметричная связность, согласованная
' 2 ° V дх1 дх1 дх /
с метрикой gtj.

§ 12.2. Одномерные задачи: принцип наименьшего действия 421
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 12.14. Уравнение Эйлера—Лагранжа для лагранжиана
совпадает с уравнением геодезических метрики gijdx' dx).
3. Рассмотрим функционал длины кривой с лагранжианом L(x, х) = y/gijX'x' =
= \х\. Значение длины кривой S[y]= / Ldt не зависит от выбора параметра на
Jy
кривой. Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид
-('
и если взять на кривой натуральный параметр, для которого л/gijFB = const, то
они примут вид
dtKgkl ' 2 dxk
Это—уравнение геодезических A2.11), полученное для кривых, отнесенных к на-
натуральному параметру.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 12.15. Уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала длины
кривой (т е. L(x,!;) = y/gnW) совпадают с уравнением геодезических, если
на кривой выбирается натуральный параметр.
Следствие 12.9. Гладкая кривая, которая является кратчайшей кривой,
соединяющей точки Р и Q, удовлетворяет уравнению геодезических по
отношению к натуральному параметру.
Укажем на два обобщения рассмотренных функционалов.
Финслеровой метрикой называется функция Цх, ?), которая в каждой точ-
точке х задает норму в касательном пространстве в этой точке. Это означает, что
функция L(x, <?) однородна первого порядка как функция от касательного векто-
вектора 5:
Цх.Х$) = ХЦх,5) при Х>0, A2.12)
неотрицательна: L(x, 5) ^ 0, равна нулю, только если ? = 0, и удовлетворяет ак-
аксиоме треугольника:
Длина кривой у в финслеровой метрике равна
S = /F(Y)= [L(x,x)dt>0.
Геометрически можно себе представлять, что в касательном пространстве век-
векторов {?} в точке х Е Шп задана выпуклая фигура Кх* содержащая точку О = ?.

422 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Значение функции Цх, 5) на векторе ? равно 1, если ? лежит на границе фигу-
фигуры Кх: условие однородности A2.12) определяет лагранжиан однозначно.
Такие метрики индуцируются, например, на поверхности вложением в бана-
банахово пространство любого числа измерений, так же как евклидова метрика по-
порождает риманову метрику на поверхности в R*.
Условию однородности A2.12) удовлетворяет и лагранжиан
Цх, х) =
для которого в общем случае не выполнено условие положительности (оно всегда
нарушается при достаточно больших у) и аксиома треугольника.
Для него натурально параметризованные траектории удовлетворяют урав-
уравнению
хт + rjjW + fiiFutX* = 0,
где
Это — уравнения движения заряженной частицы с кинетической энергией \х\2/2
в магнитном поле F = ? fi* <№ Л ^** (подробнее см. п. 3 § 12.3).
Согласно уравнениям Максвелла магнитное поле задается замкнутой фор-
формой F (dF = 0). Возможна ситуация, когда на топологически нетривиальных мно-
многообразиях (например, U = R3 \ {0}) эта форма не точна и ее вектор-потенциал
Ак dxk определен лишь локально:
ly ** Л dxi =
Эту ситуацию мы будем называть ситуацией монополя Дирака и обсудим ниже.
§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения
1. Законы сохранения энергии и импульса. Из уравнений Эйлера—Ла-
гранжа следует, что если лагранжиан L(x, x) не зависит явно от времени /, то
выполняется закон сохранения энергии: полная производная энергии Е вдоль
экстремали равна нулю, т. е.
I* it _ , it J. *±BL\ -ks-.ik ?*(? it _ it^ n
dt - dt V dji L)~* dx1 + dtKdSt) dxl dx> \dt дх1 дх>)~
Если же лагранжиан L(x, x, t) не зависит явно от координаты х\ то сохра-
сохраняется соответствующий импульс (закон сохранения импульса):
dpi __ dL __ n
В этом случае координата х? называется циклической.

§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения
423
Например, для геодезических лагранжиан L = ^\х\2 не зависит явно от вре-
времени, совпадает с энергией Е и сохраняется вдоль траекторий. Следовательно,
все геодезические натурально параметризованы.
Знание законов сохранения позволяет упрощать уравнения движения, а ино-
иногда и полностью проинтегрировать их.
Пример. Геодезический поток на поверхности враще-
вращения. Пусть поверхность вращения в трехмерном пространстве в цилиндрических
координатах г, ср, z задана уравнением
r=r(z).
Выберем г и ф за локальные координаты на поверхности. Так как евклидова
метрика в цилиндрических координатах имеет вид
первая квадратичная форма поверхности вращения равна
dl2 = gzz dz2 + r*(z) d(f2, gzz = 1 + /*.
Лагранжиан для уравнения геодезических равен
1 о 1
причем энергия Е равна L, а импульс, отвечающий циклической координате ср,
равен
Обе величины ? и рф сохраняются
вдоль траекторий.
Обозначим через а угол между век-
вектором скорости геодезической v и каса-
касательным вектором еф. Тогда
cosa=
Рис. 12.12. Интеграл Клеро
(интеграл Клеро) сохраняется
Отсюда следует, что величина г cos a =
вдоль траекторий.
Теорема 12.16. Угловая компонента импульса, те. величина г cos а, со-
сохраняется вдоль геодезической на поверхности вращения в R3.
Зная две независимые сохраняющиеся величины Е и рф, мы полностью инте-
интегрируем уравнения геодезических на поверхности вращения:
grr
d<l_p±
dt r2
(здесь локально grr — функция от г).

424 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
2. Поля симметрии. Рассмотрим закон сохранения импульса с более общей
точки зрения.
Мы говорим, что в пространстве Rn задана локальная однопараметриче-
однопараметрическая группа преобразований ST, -оо < т < оо, если для любой точки простран-
пространства найдется число т0 > 0 и окрестность U этой точки в Rrt, где преобразова-
преобразование ST определено и гладко при |т| < т0:
При этом So = 1 есть тождественное преобразование и выполнены локальные
групповые свойства
•^,+Т2 = 5Т| О SX2, S-T = S^
всюду, где все эти отображения определены.
Локальная однопараметрическая группа порождается сдвигами вдоль траек-
траекторий векторного поля на время т:
т=0
Согласно теореме существования и единственности решения обыкновенного диф-
дифференциального уравнения каждое гладкое векторное поле определяет группу
сдвигов вдоль интегральных кривых поля ST (см. п. 1 §8.3). При этом в ма-
малой окрестности любой точки х € R", где вектор X отличен от нуля, векторное
поле линеаризуется: существуют специальные локальные координаты у\ ..., уп,
в которых X = A, 0,..., 0), и, следовательно, преобразование ST есть сдвиг по
первой координате:
Локальная однопараметрическая группа преобразований ST сохраняет ла-
лагранжиан L(xy ?, 0» если лагранжиан сохраняется при сдвиге вдоль траекторий
группы:
где Sx* —отображение касательных пространств (см. п. 1 §8.2). В специаль-
специальных координатах, где группа есть сдвиг по первой координате, эта координата
циклическая, т. е. лагранжиан от нее не зависит.
Это условие эквивалентно тому, что производная Ли функции Цх>!;, /) вдоль
поля X* равна нулю:
dL
(поле X есть поле симметрии).
Имеет место следующая теорема.
dL

§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения 425
Теорема 12.17. Для однопараметрической группы преобразований ST,
сохраняющей лагранжиан L, компонента импульса вдоль поля X =
S(x) сохраняется:
т=0
d_(XidL\ _d_
= JS.W
В специальных координатах это — первая компонента импульса.
Доказательство. Пусть в точке х € Шп поле X не равно нулю. Выбе-
Выберем около точки х специальные координаты (у\ ..., уп), в которых преобразо-
преобразования ST есть сдвиг по первой координате на т. В силу уравнений Эйлера—Ла-
гранжа мы имеем
d(dL\_dL(y,y)_Q
dt\dyl)~~ ду{
dyl) ду
и по построению специальных координат —г —X1 —j. Теорема доказана.
ду ох:
3. Законы сохранения в релятивистской механике. Движение реляти-
релятивистской свободной частицы ненулевой массы т > 0 в пространстве Мин-
ковского с координатами (х°, х\ х2, хъ)у х° = с/, определяется одним из двух
функционалов (действий), которые рассматриваются только на времениподоб-
ных кривых:
5, = !? f(x, х) dz, (x, x) = (л:0J - ^(i«J;
S2 = -mcl = -me / y/(x, x) dx = -me j dl.
Согласно релятивистскому принципу наименьшего действия мировые линии
свободных массивных частиц—это экстремали функционалов S\ или S2.
Аналогично случаю римановой метрики (см. § 12.2) доказывается, что экс-
экстремали этих двух функционалов совпадают и являются времениподобными кри-
кривыми. Для сопоставления с классической механикой, которая получается как
релятивистский предел при v/c —¦ 0, удобнее использовать действие S2.
Так как значение функционала S2 не зависит от выбора параметра на кривой,
параметр можно брать произвольным. Обычно за него принимают т = t = х°/с.
При такой параметризации
S2 = -mcl = -тс2 f JI - (^
где v — трехмерная скорость и 1/с — собственное время частицы. Заметим, что
лагранжиан

426 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
записан в трехмерной форме. Согласно общим правилам (см. п. 1 § 12.2) энергия
и импульс для такого лагранжиана имеют вид
mva
При v/c -» 0 мы имеем
т. е. в первом приближении мы получаем для импульса классическое выражение
а для энергии — классическое выражение с точностью до постоянной тс2:
Также имеет место тождество
f2 - с2р2 = т2с\ Е = су/р2 + т2с2.
При ? > 0 точки (?, ср) пробегают трехмерное пространство Лобачевского
(массовую поверхность) в пространстве 4-импульсов (Минковского) R1'3 с ко-
координатами (?, ср\, сръ, cpz).
Для частиц нулевой массы т = 0 массовая поверхность вырождается в конус,
положительная часть которого имеет вид ? = с\р\. Это соотношение определяет
закон движения фотонов с помощью уравнений Гамильтона.
В рамках этого формализма время является выделенной координатой. Спе-
Специальная теория относительности пока выглядит просто как обычная механика
с несколько измененной кинетической энергией.
Такими представлениями удобно пользоваться, если рассматривается движе-
движение частицы во внешнем поле, когда сама частица не оказывает обратного вли-
влияния на поле (им можно пренебречь).
Если задано внешнее электромагнитное поле Z7^, v, (i = 0, 1, 2, 3, то для ча-
частицы с массой т > О и зарядом е лагранжиан имеет вид
Ц dt = -тс2 J1 - Q2 dt + | Aa(x(t)) dx« - еА0 dt
Здесь dx*/dt = иа, а = 1, 2, 3, с — скорость света в пустоте, Аа — вектор-потен-
вектор-потенциал электромагнитного поля
с* C//iv v/ijj л » »

§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения 427
Напомним, что величина F^ = Ea называется электрическим полем, а величина
/^р — магнитным полем, ос, р= 1, 2, 3 (см. п. 3 §9.1).
Имеет место следующий фундаментальный принцип включения электро-
электромагнитного поля.
Как в классической механике, так и в специальной или общей теории отно-
относительности включение электромагнитного поля производится таким образом.
Пусть известен лагранжиан L(x, х) частицы с зарядом е в отсутствие поля.
Тогда действие частицы в присутствии поля имеет вид
= f L{x,x)dt+-c I
Aadx\
где интеграл берется вдоль траектории. Здесь Аа dx* — это 1 -форма D-ковектор),
называемая вектор-потенциалом электромагнитного поля, так что
d(Aa dxa) = 2^ /> dx? Л dx\
F =f^i_f?Ai v = o 1 2 3
x° = ct.
Вектор-потенциал определен неоднозначно, с точностью до прибавления гради-
градиента
не меняющего уравнения экстремалей.
Часто выбирают «калибровку» (т.е. фиксируют вектор-потенциал) с помо-
помощью требования
Тогда мы имеем
п дАа дАа /
ф = ~дФ "" Л? (магнитное
= Еа = —J (электрическое поле).
Вернемся теперь к функционалу
с тс f/dx dx
5 /
чтобы прояснить четырехмерный геометрический смысл релятивистской меха-
механики. Для свободной массивной частицы (т > 0) экстремаль натурально па-
параметризована (в силу закона сохранения формальной «энергии»). Определим
4-вектор импульса pt = (/?0, Р«), а = 1, 2, 3, как
Po=jj, / = 0,1,2,3, rae*"- = ^.

428 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Мы получаем
Ро = ^о = тех*0, ра = ^ = -тех", а = 1, 2, 3.
После подъема индекса в метрике Минковского мы получим вектор
р1 = тсхпу / = 0, 1,2,3.
Так как параметр на экстремалях функционала S\ натуральный, мы имеем
" л - dl'
p° = mcx«> = -^L= = E,
dxa I mcv*
I, W2 . D2
l~7 V 7
Поэтому 4-вектор энергии-импульса (или 4-вектор импульса) р' связан
с трехмерными энергией и импульсом соотношениями
Мы видим, что при лоренцевых преобразованиях вектор энергии-импульса
(?, ср) преобразуется как 4-вектор и 4-векторы импульса массивных частиц ле-
лежат на массовой поверхности, имеющей геометрию Лобачевского:
а=1
Например, при переходе в равномерно движущуюся со скоростью v вдоль оси х1
систему координат мы имеем
где
P
4. Законы сохранения в классической механике. Рассмотрим систему из
п классических частиц в R3 с парным взаимодействием. Она описывается ла-
лагранжианом в R3" вида

§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения 429
где Xi — координаты частиц, т,- — их массы и U = - JZ V(xi* xj) — потенциал
взаимодействия. w
Потребуем, чтобы система была трансляционно инвариантной, т.е. лагран-
лагранжиан не менялся при сдвигах на векторы 5 е Ш3:
Это, например, выполняется, если потенциал парного взаимодействия зависит
только от разности аргументов:
Теорема 12.18. Для трансляционно инвариантной системы частиц
с парным взаимодействием полный импульс сохраняется:
^ f = 0.
Доказательство. В М3я действуют три группы симметрии S" (а= 1, 2, 3):
SJ: л?->х? + т, x?^xfj при
где а, р= 1, 2, 3. Согласно теореме 12.17 им отвечают три сохраняющихся ве-
величины Р|, Р2, ^з» компоненты полного импульса. Теорема доказана.
Пример. Система из двух частиц. Пусть п = 2 и
Перейдем к равномерно движущейся системе координат, в которой Р = 0. Тогда
мы получим
к\ + т2х2 = 0.
Начало отсчета возьмем в центре масс: тогда мы имеем
тхх\ +m2X2 = 0, V(x\ -*2) = ^(^i + ^
Положим т* = т>Ш2 и U(x\) = К( A + — )*i )• Тогда уравнения Ньютона
т\ + т2 \\ т2/ /
/щх, = j-flj , а = 1, z, о,
сведутся к уравнениям
Следовательно, верна такая теорема.
Теорема 12.19. Задача о движении двух частиц с трансляционно ин-
инвариантным потенциалом взаимодействия в системе центра масс экви-
эквивалентна задаче о движении одной частицы с приведенной массой т* =
ttl\ttl2
tti\ + гп2
в поле с потенциалом U(x\) = V(x\ - х2), где тххх Л- т2х2 = 0.

430 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Рассмотрим теперь системы, инвариантные относительно группы вращений
SOC).
Если лагранжиан частицы в R3 инвариантен относительно всех вращений, то
он называется сферически симметричным.
Однопараметрическим подгруппам вращений вокруг осей х, у и z отвечают
их генераторы Lx, Lyi L2:
Lx = @, -z, у), Ly = (z, 0, -x), Lz = (-*/, x, 0)
(см. п. 3 §8.3). Они порождают законы сохранения для сферически симметрич-
симметричных лагранжианов:
Мх = L*xpa, My = Ujjpu, Мг = L^Pa»
dM-dM-dM-()
которые расписываются как
Мх = ург ~ Zpy, My = Zpx ~ Хргу Мг = Хру - (//7Х. A2.13)
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 12.20. При движении частицы в R3 со сферически симметрич-
симметричным лагранжианом сохраняется вектор
гдех = (л:, у, z) up — импульс частицы, который называется моментом им-
импульса.
В пространстве Rrt момент импульса имеет вид
(внешнее произведение), и поэтому в действительности момент импульса — это
не вектор, а кососимметрический 2-тензор.
Пример. Полное решение задачи о двух частицах. Пусть
Так как потенциал зависит от расстояния между частицами г = \х\ - х2\, эта
система инвариантна уже относительно всей группы движений пространства R3.
Используя теорему 12.19 (инвариантность относительно сдвигов), перейдем к за-
задаче об одной частице с массой т в поле U(r). Для такой частицы выполняются
закон сохранения момента импульса М = [х, р] и закон сохранения энергии
так как лагранжиан не зависит от времени.
Лемма 12.17. Движение частицы происходит в плоскости, натянутой
на векторы х и р.

§ 12.3. Группы симметрии и законы сохранения 431
Доказательство. Так как момент М сохраняется и х = р/т, направле-
направление вектора [х, х] = М/т неизменно. Оно ортогонально плоскости (х, р). Лемма
доказана.
Перейдем к цилиндрическим координатам (г, г, ср), выбрав ось z в направле-
направлении вектора М. Получим
= Щ- - U(r) = т(?±??) - U(r),
= М = /п/^ф = -jr = const, ф = —2,
Gф /72г
где
Задача о движении частицы сводится к одномерной задаче (по г) с потенци-
потенциалом ?/Эфф(г), которая явно решается формулами
-ч-
Ф - фо = У
dr
Mdt
9 •
Исключая /, можно получить уравнение орбиты ср = ср(г) или г = г(ср).
В двух важных известных случаях U = а/г (ньютоновский потенциал поля
тяготения) и U = аг2 целая область пространства (*, i) заполнена замкнутыми
орбитами:
область Е < 0 при (/ = - и а < О,
область ? ^ 0 при U = аг2 и а > 0.
При этом область ? < 0 для U = а/г есть область кеплеровских эллипсов. За-
Замкнутость орбиты требует выполнения нетривиального равенства
г(ср), A2.14)
где п — некоторое целое число.
Для аналитических сферически симметричных потенциалов U(r) ф а/г, аг2
равенство A2.14) не может выполняться на целой области фазового простран-
пространства и, вообще говоря, замкнутые орбиты заполняют множество меры нуль. Таким
образом, ньютоновский потенциал U(r) = - содержит в себе глубокую скрытую
симметрию, исчезающую при любых малых возмущениях. Этот факт имеет фун-
фундаментальное значение.

432 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
5. Системы релятивистских частиц и рассеяние. Пусть L(xt x), где х =
= (х°, х\ х2, л:3),—лагранжиан в пространстве Минковского М1>3, инвариантный
относительно группы 0A, 3). Линейные векторные поля, которые определяют
однопараметрические подгруппы, имеют вид
где gki — метрика Минковского и Аы—любая постоянная кососимметрическая
матрица (см. п. 3 §8.3). Каждому такому векторному полю X соответствует закон
сохранения Х-компоненты 4-импульса
PiX1 = PiXkAki = const,
где pi = —г?. Так как матрица Аш кососимметрична, мы имеем
дх
piXkAki = ^ (PiXk - Pk*i)Aki = ^ MikAki = const.
Поскольку матрица Au может быть выбрана произвольной, весь тензор
Mik = xtpk - xkpu
который называется 4-тензором момента, состоит из сохраняющихся величин.
Для соответствующего тензора Mik с верхними индексами пространственные
компоненты AfaP, a, p = 1, 2, 3, равны
и, следовательно, совпадают с компонентами трехмерного вектора момента
Компоненты М°\ Af02, Af03 образуют трехмерный вектор
ctp-?x=(M°\ M°\ М°% A2.15)
Рассмотрим теперь систему из п релятивистских частиц Х\у ..., хп с лагран-
лагранжианом L(jcb ..., х„, к\у ..., хп), инвариантным относительно группы Пуанка-
Пуанкаре — группы движений пространства Минковского R1*3. При этом потребуем,
чтобы движение действовало на все частицы х{. Имеются следующие законы
сохранения
^ ~, ^Р/) = const (закон сохранения полного 4-вектора импульса),
Af" = const (закон сохранения полного тензора момента),
где Mf — тензор момента /-й частицы. Из формулы A2.15) теперь следует, что
const.

§12.4. Вариационный принцип Гамильтона 433
Поэтому точка
A2.16)
являющаяся релятивистским аналогом центра масс, движется с постоянной ско-
скоростью
В пределе, когда скорости частиц малы по сравнению с с, мы имеем Et
и формула A2.16) переходит в классическую формулу для центра масс
Заметим, что релятивистский центр масс не инвариантен относительно выбора
системы отсчета.
В реальной физике элементарных частиц и высоких энергий чисто класси-
классическое рассмотрение без квантовой теории возможно, лишь когда частицы уже
далеко разошлись друг от друга. Мы считаем, что при / —> —оо было т входящих
частиц и при / —* +оо стало п вышедших частиц-продуктов. Тем не менее, счи-
считается бесспорным выполнение полных законов сохранения, отвечающих группе
Пуанкаре, каким бы ни было взаимодействие по дороге, если все частицы учтены
при / —> ±оо.
Например, укажем, что невозможен процесс, где было бы ровно две массив-
массивных частицы nti > О при / —> —оо, а стала лишь одна с массой т = О при / —» +оо.
Мы оставляем в качестве задачи доказательство того, что это противоречит ука-
указанным выше законам сохранения.
Рассмотрим упругий процесс с двумя массивными частицами, т. е. такой про-
процесс, где массы не изменились и новых частиц не появилось. Физические пред-
предположения о процессе делаются в системе центра масс: полный 4-импульс равен
нулю. Поэтому для 3-импульсов при / —» ±оо мы имеем р{± = —/?±\ а также
|Р±1 = |Р±1» причем все они лежат в одной плоскости. Тем самым, вектор р+ по-
получается из р® плоским вращением на угол ср. Лабораторные измерения делают-
делаются в другой системе отсчета, где одна (тяжелая) частица неподвижна D-импульс
Р= (Мс2, 0, 0, 0)), а легкая частица налетает с 4-импульсом р = (е, Рь Р2, Рз),
?2 — c2^L,p1 = rn2cA. Сделав преобразование Лоренца сначала из лабораторной
системы отсчета при / —> —оо, а затем обратно при / —> +оо, когда процесс окон-
окончен, можно найти результат упругого рассеяния как функцию угла ср. Мы оста-
оставляем это тоже в качестве задачи.
§ 12.4. Вариационный принцип Гамильтона
1. Теорема Гамильтона. Говорят, что лагранжиан Цх, х) невырожденный,
если

434 Плава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Из теоремы об обратной функции следует, что для невырожденного лагранжиана
в заданной точке х отображение
3L
г дх
касательных векторов в ковекторы локально является обратимым. Лагранжиан
называется сильно невырожденным, если это отображение обратимо глобально:
существуют гладкие функции х1 = v'(x, p) для всех х, к.
Например, лагранжиан L = gijk'k', где gri— риманова метрика, сильно невы-
невырожден, и скорости связаны с импульсами линейными преобразованиями
Pi =
Предположим, что лагранжиан сильно невырожден. Введем основные опре-
определения.
Энергия E = xaLia — L, выраженная через х и р = Lk, называется функцией
Гамильтона или гамильтонианом.
Преобразование
называется преобразованием Лежандра.
Пространство Шп возможных состояний х € Шп системы называется конфи-
конфигурационным пространством, а пространство R2/I с координатами (х> р) на-
называется фазовым пространством.
Вариационная задача была задана для путей в касательном расслоении ТМп =
= Шл к конфигурационному пространству. При преобразовании Лежандра урав-
уравнения Эйлера—Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона.
Теорема 12.21 (Гамильтон). Пусть Цх> х) — невырожденный лагранжи-
лагранжиан, Н(х, р) — гамильтониан, р = —Й! и х = v(x, р) — локальное обраще-
ох
ние отображения х —> р. Уравнения Эйлера—Лагранжа
k-±(k
дх dt\dx
локально эквивалентны уравнениям Гамильтона, в которых хир считаются
независимыми переменными:
в любой области фазового пространства (х, р), где преобразование Ле-
Лежандра взаимно однозначно.
Доказательство. Пусть v = x и
Н(х, p)=pv- L(x, v(x, p)).

§12.4. Вариационный принцип Гамильтона 435
Так как р = —, из уравнений Эйлера—Лагранжа вытекают равенства
,
дН д , #ч , dv dL dv
dp dp vr^ ' r dp dv dp
дН д , м dv , dL .dL dv
которые и составляют уравнения Гамильтона A2.17). Теорема доказана.
Перепишем действие S = f Ldt в терминах фазового пространства:
S = j Ldt= j(px - Н(х, р)) dt
и рассмотрим его для всех кривых в фазовом пространстве, не предполагая, что
х = v(x, р). С этим действием связана вариационная задача на кривые (*(/), p(t))
в R2rt, для которой верна следующая фундаментальная (с точки зрения современ-
современной симплектической геометрии) теорема.
Теорема 12.22 (вариационный принцип Гамильтона). Уравнения экстре-
экстремалей для функционала
5= f(px-H(x,p))dt A2.18)
в 2п-мерном фазовом пространстве с координатами (х, р) совпадают
с уравнениями Гамильтона и не содержат новых решений. Этот функ-
функционал никогда не имеет нетривиальных минимумов.
Доказательство. Пусть (z1, ..., z2n) — это координаты (л:1, ..., хп,
Pi, ..., рп) в R2/I и L(z, г) = рх — Н(х, р). Уравнения Эйлера—Лагранжа для
этого лагранжиана имеют вид
Pl~dt\dx?)~ дх!~
dt \ dpi) dpi dpi'
Теорема доказана.
2. Лагранжианы и замены координат, зависящие от времени. Рассмо-
Рассмотрим наиболее общие лагранжианы L(x, xt /), которые явно зависят от вре-
времени.
Если мы рассмотрим замену координат х = х(х\ /), которая явно зависит от
времени, то действие S = J Ldt не изменится. Поэтому лагранжиан L может
измениться только на полную производную:
Цх, i, /) -> L(x(x\ /), i, t) + ^^.

436 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Если замена явно не зависит от времени: х = х(х')у то
* = j?*>. Цх',х', t) = L(x(x'), j^x', t),
, _ dl _ dL дх1 _ дх1
т. е. скорость—это вектор, импульс — ковектор, а лагранжиан — скаляр. Энергия
при этом не изменится:
Перейдем теперь к заменам, содержащим время:
Зафиксировав момент времени /0, мы предположим, что замена «мгновенная».
Это означает, что в данный момент времени / = /0 мы имеем х' = х: в начальный
момент времени / = t0 системы координат х и х1 совпадают.
Имеет место общая формула
г - ^ х + dt - ^ х 4- а (х , t)y
которая для мгновенной замены при t = t0 переходит в формулу
Перейдем к движущейся системе координат х'\
L -> U = L, L(x, v, t) = L(x\ v' + a, t);
v —>v' — v — a(x\ t)\
р —> р' — ру так как -j- = -г-у;
? —> ?' = р'у' — L; = рДу1 — #*) —• L = ? — pid(x\ /).
Мы видим, что при / = /о импульс не меняется, а гамильтонианы сдвигаются:
//(*, р) -* Я(У, рО - р\а\х\ t) = //'(jc', p;, /), а = |j| _ .
Так как х' = х и р; = р при / = /0» мы получаем
dp dp дх дх
Тем самым нами доказана следующая теорема.
Теорема 12.23. При переходе в движущуюся систему координат х\ ко-
которая в начальный момент времени t = t0 совпадает с х = х(х\ t)> коорди-
координата и импульс не меняются (при t = t0), а гамильтониан (энергия) изме-
изменяется на величину -(р, а), где
dt /=/0'

§12.4. Вариационный принцип Гамильтона 437
Приведем примеры применения этой теоремы.
Примеры. 1. Поступательное движение системы коор-
координат. В этом случае а = a(t) не зависит от точки пространства х'. Пусть
Тогда
р = то, р' = p = rnv = m(v' + a) = то' + та,
Н' = Н-(р\а).
Уравнения Ньютона принимают вид
mv = / = гаг)' + та, то1 = / - rad = /'.
Сила / приобретает инерционную добавку -та.
2. Вращение системы координат в R3. Пусть а = [п, х'], где
п — угловая скорость (постоянный вектор). Мы имеем
Н' = Н-(р'1а) = Н-(р\[п,х']),
р' = р, х1 = х при / = t0.
tTLX.
Для лагранжиана L = — U(x) в момент времени t = t0 получаем
р = р' = тх = т(х! + [П, л:']) = тх' + та,
и из уравнений Гамильтона для Н' следует, что
р' = тх' + т[п, х'\ = -у^ 4- [(гал/ + та), п]
(здесь мы учитываем, что П = 0). С учетом равенства а = [п, х'] перепишем по-
последнее уравнение в виде
тх' = / + 2ra[A:7, П] + т[[п, х'], п],
АН
где /= -у- («старая» сила в системе координат х). Если значение 1*'! невелико
или просто ограничено, то последнее слагаемое имеет порядок |П|2 при П -+ 0.
Сила 2т[х', п] называется силой Кориолиса. Окончательно получаем
mx' = f + 2m[x',
*2
3. Пусть опять L = ^~— {/(л:). Тогда переход в движущуюся систему коор-
координат имеет вид
Н -> Н - р/а1', р/ = /ш/' = /?,- = m(vfi + а'),
где

438 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
Следовательно, в движущейся системе координат связь импульса и скорости ме-
меняется:
mvf = р' - та,
и потенциал получает добавку —|-.
4. Включение электромагнитного поля. Пусть Цху х) — ла-
лагранжиан. Определим новый лагранжиан формулой
L = L + -А-х'",
с
где Д- — вектор-потенциал электромагнитного поля, е — заряд, и действие при-
принимает вид
Операцию добавления к лагранжиану слагаемого - А$ называют «включением
с
поля», как уже говорилось в п. 3 § 12.3.
Если Н(х, р) = pv - L и Н(х, p)=pv - L, где р = -г-, то
Таким образом, включение поля равносильно сдвигу импульса в гамильтониане
и этим похоже на переход к движущейся системе координат.
Важно отметить, что в рамках гамильтонова формализма эта операция приме-
применима и к частицам нулевой массы (хотя мы не знаем таких заряженных частиц):
3. Вариационные принципы типа Ферма. Из вариационного принципа Га-
Гамильтона (теорема 12.22) можно получить следующий результат.
Теорема 12.24. Пусть гамильтониан Н(х, р) не зависит от времени. За-
Зафиксируем уровень энергии // = ? = const и определим для кривых (x(t), p(t)),
лежащих на этом уровне энергии, укороченное действие
So = f pxdt= f pdx. A2.19)
Тогда траектории гамильтоновой системы с энергией Е — это в точно-
точности экстремали функционала So на пространстве всех кривых (x(t), p(t))
с заданной энергией H(x(t), p(f)) = E.
Доказательство. Согласно теореме 12.22 на поверхности Н(х, р) = Е
исходный функционал S = /(pdx — Hdt) достигает экстремума на всех исходных
экстремалях (решениях гамильтоновой системы). Теперь же мы рассматриваем
экстремальную задачу в более узком, чем прежде, классе кривых, таких, что
Н(х, р) = ?. Так как
S= f(pdx-Edf)= Updx-
d(Et)),

§12.4. Вариационный принцип Гамильтона 439
в координатах z\ ..., z2n~l на поверхности #(лс, р) = Е (размерности 2п — 1)
лагранжианы рх = Цг, z) и L(z, ?) — -г- (Et) эквивалентны. Следовательно, все
экстремали исходного функционала в (х, р) -пространстве являются и экстрема-
экстремалями нового (укороченного) действия So = f p dx на поверхности Н = Е. Теорема
доказана.
С использованием укороченного действия доказывается следующая теорема.
Теорема 12.25 (принцип Мопертюи—Ферма—Якоби). Если (x(t), p(t)) —
решение еамильтоновой системы с гамильтонианом Н = р2/2т + U(x) = Е
при фиксированной энергии ?, то кривая x(t) является геодезической но-
новой метрики
gv = 2m(E-U(x))bih
но параметр t на кривой не является натуральным по отношению к этой
метрике.
Доказательство. Пусть
Вдоль экстремалей выполняется уравнение
~~ dp ~~ m'
Рассмотрим еще меньший класс кривых на поверхности Я = ?, потребовав, чтобы
на них выполнялось соотношение х = р//л, и сузим на него укороченное действие
50 = J p dx. Тогда из равенства Н = Е вытекает, что
и, так как х = р/т, мы имеем
Отсюда получаем
So= f pdx= f(pfx)dt= f\p\\x\dt= f\p\\dx\= f y/2m(E - U(x)) \dx\.
Теорема доказана.
Заметим, что эта теорема верна и в более общем случае, когда
В этом случае экстремали будут задавать геодезические метрики 2т(Е - U(x))gi}
(доказательство аналогично).
Рассмотрим теперь натуральный гамильтониан с включенным электромагнит-
электромагнитным полем
(p-S.A(x)f

440 Глава 12. Теория Морса и гамильтонов формализм
где А(х) = (Л|, А2, Лз) — вектор-потенциал магнитного поля
Следуя буквально рассуждению, данному выше, мы приходим к такому расши-
расширению предыдущей теоремы: траектории движения частицы в магнитном поле В<$
на уровне энергии Е задают экстремали функционала
SE = I у/2т(Е - Щх)) J$>*«J + \ j A.(x) dx\
Интеграл здесь берется, как и всегда, вдоль траектории.
Следует обратить внимание на то, что прямой физический смысл имеет лишь
тензор магнитного поля В^. Вектор-потенциал Аа dx*, вообще говоря, определен
лишь локально условием d~xB = Л, но и при этом неоднозначно. Мы обсудим
инвариантное содержание подобных вариационных принципов позднее.
Рассмотрим теперь гамильтониан
Н = с(х).\р\9
который описывает траектории света в изотропной среде с переменной скоростью
света с(х). Ограничим укороченное действие So = f pdx на множество таких
кривых, что //(*, р) = Е и
. дН t ч р
др '\р\
(очевидно, \х\ = с(х)).
Так как \р\ = Н/с(х) = Е/с(х) и (р, dx) = |p| • \dx\% мы имеем
Интеграл / ~-|, очевидно, равен времени движения света вдоль пути у- Тем
самым доказана следующая теорема.
Теорема 12.26 (принцип Ферма). Сеет движется вдоль такой кривой,
на которой время движения имеет экстремум среди всех гладких кривых,
соединяющих заданные точки. Для изотропной среды эти кривые явля-
являются геодезическими метрики
Упражнения к главе 12
1. Докажите, что у отображений /: SO(n) —> 5я и g: \J(n) —> S2n~\ кото-
которые сопоставляют матрице ее первый столбец, все точки регулярны. Найдите
прообразы точек при этих отображениях.

§12,4, Вариационный принцип Гамильтона 441
2. Докажите, что отображения f:Sn—*Sn и g: Sn —> Sn гомотопны тогда
и только тогда, когда их степени совпадают: deg/ = degg.
3. Докажите, что если приклеить лист Мёбиуса к двумерному диску по то-
тождественному диффеоморфизму их границ, то мы получим проективную плос-
плоскость RP2.
4. Докажите, что связная сумма тора и проективной плоскости изоморфна
связной сумме трех проективных плоскостей:
T2#RP2 = RP2#RP2#RP2.
5. Рассмотрим квадрат 0 < х, у ^ 1 на плоскости и отождествим граничные
отрезки по правилу
(О, у) ~ A,1-г/), (х,0)~(х, 1).
Полученная поверхность называется бутылкой Клейна. Докажите, что она го-
меоморфна связной сумме двух проективных плоскостей RP2#RP2.
6. Докажите, что если L содержит высшие производные:
L = L{t,x,x,xt ...,*<*>),
то уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала 5[у] = / Ldt имеет вид
*SdL±dL.?dL. , / Ukdk dL n
Ъх "" дх dt дх^ dt2 дх^'%^К } dtk dx{k) ""
7. Докажите, что траектории движения материальной точки в центральном
силовом поле U = U(r) в R3 являются плоскими кривыми.

Глава 13
Пуассоновы и лагранжевы многообразия
§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия
1. ^-градиентные системы и симплектические многообразия. Имея в ви-
виду широкий класс многообразий, мы начнем с локальной теории. В любой области
пространства Rm с координатами (у1,..., ут) наиболее важные геометрические
структуры можно задать с помощью скалярного произведения векторов или ко-
векторов gij или g17, не предполагая пока никакой симметрии. В невырожденном
случае считается, что
т. е. эти матрицы взаимно обратны. Для начала предположим, что это выполнено.
Градиент V/ функции f(y\ ..., ут) в этой структуре определяется формулой
^ A3.1)
как вектор. При этом тензор g17 не предполагается симметричным. Векторному
полю V/ соответствует градиентная динамическая система, т. е. система уравне-
уравнений (см. п. 1 §8.3)
A3.2)
Система вида A3.2) называется g-градиентной, а функция /—ее генерато-
генератором. Генераторы гамильтоновых систем называются в общем случае тоже га-
гамильтонианами. Имеет место простая лемма.
Лемма 13.1. Для любой функции h(y) ее производная Vf(h) в силу g-гра-
диентной системы A3.2) имеет вид
Здесь и ниже через Vf(h) мы обозначаем производную функции h в напра-
направлении поля Vg вида A3.1).
Доказательство. По определению
ду
Лемма доказана.
дугУ "" dyi(Vn - dffg дуг

§13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 443
Особенно нас будут интересовать невырожденные кососимметрические «ме-
«метрики» gij = —g/7, задаваемые 2-формой
для которых определена обратная матрица g'7, gi}gik = §f, g*7 = -g/7 и detgl7 =
= g^ 0. Очевидно, размерность пространства в этом случае четна (см. п. 1 §2.1):
/,/= 1, ...,2я.
Причина такого интереса весьма фундаментальна: генератор любой такой си-
системы является законом сохранения, поскольку
в силу условия кососимметричности g'7 = — gil (закон сохранения энергии).
Лемма 13.2. Имеет место формула
^ рЛ,,,ЛП = y/gdy* Л ... Лdy2n. A3.3)
В частности, y/g — многочлен от g,7 (он называется пфаффианом).
Доказательство. Равенство A3.3) достаточно доказать в каждой точке
отдельно. Поэтому без ограничения общности можно считать, что gtj = const.
Выберем новые координаты
gij = | | ^ 1
в которых gij = | | ^ 1 (здесь 1 —единичная (п х я)-матрица). В этом случае
п А ... Л п = п\ dzl Л ... Л dz2n.
В данной системе координат лемма доказана, так как y/g= I. Ввиду инвариант-
инвариантности формулы A3.3) лемма доказана в любой системе координат.
Таким образом, условие невырожденности g ф 0 равносильно условию
Пя#0.
Говорят, что на многообразии задана симплектическая структура, если
на нем задана такая невырожденная 2-форма (невырожденное кососимметриче-
ское скалярное произведение g/, касательных векторов в каждой точке х), что
для любой точки х существует ее окрестность U с локальными координатами
(у1 у • • •, УПу Уп+\ • • •, У2п), в которых скалярное произведение имеет вид
/0
/0 -1\ , / 0 1

444 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
или форма имеет «канонический» вид:
>/ dyl Ady* = U
где ра = yn+0Ly х* = у", а = 1, ..., п.
Форма п называется симплектинеской структурой или симплектической
формой на многообразии.
Очевидно, из определения вытекает такое утверждение.
Лемма 13.3. Если на многообразии М2п задана симплектическая струк-
структура П, то форма п замкнута: du = 0.
Имеет место обратная теорема.
Теорема 13.1 (Дарбу). Любую замкнутую невырожденную 2-форму
можно привести локально к каноническому виду A3.4), так что любая за-
замкнутая невырожденная 2-форма задает симплектическую структуру.
Доказательство этой теоремы мы пока отложим.
Симплектическое многообразие, т.е. пространство с кососимметрической
метрикой gij, допускающее около любой точки такие локальные координаты
(*, р), что
8ц =
называется также фазовым пространством.
Координаты (jc, р), в которых форма П = Yleijdy1 A dy1 имеет вид A3.4),
называются каноническими. i<j
g-градиентные системы на симплектических многообразиях называются га-
мильтоновыми системами.
Гамильтоновы системы имеют вид
^ = (V//)', i=l 2л,
или, в канонических координатах,
x P ll"
Из леммы 13.1 вытекает следующая лемма.
Лемма 13.4. Производная любой функции /(*, р, t) в силу гамильтоно-
вости системы A3.5) равна
где в канонических координатах

§13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 445
В частности, если / = Н = Н(х, р, t), то
так как (V#, VH) = -(V//, V//) = 0.
Говорят, что функция /(*, р) на фазовом пространстве (она не зависит явно от
времени) является первым интегралом или просто интегралом (движения)
гамильтоновой системы, если она сохраняется вдоль траекторий системы:
/ = 0.
В силу гамильтоновости это эквивалентно тождеству
/=(vav//) = o.
Если гамильтониан системы Н не зависит явно от времени, то, как показывает
предыдущая лемма, он является интегралом этой системы.
Важность класса гамильтоновых систем определяется доказанной в п. 1 § 12.4
теоремой об эквивалентности уравнений Эйлера—Лагранжа (для сильно невы-
невырожденных лагранжианов) и уравнений Гамильтона в фазовом пространстве.
2. Примеры фазовых пространств. Наиболее распространенным примером
фазового пространства в современной механике и физике является простран-
пространство Т*М всех ковекторов на некотором я-мерном многообразии М. Его точками
у G Т*М являются пары
У = (хЛ),
где х Е М и ? — ковектор в точке х. Полная размерность равна 2л. Ло-
Локальные координаты (у\...,у2п) около точки у € Т*М задаются как набор
(х\ ..., хп, ?ь ..., ?„), где х1 —локальные координаты в многообразии М около
точки х € М и ($|, ..., ?я) — координаты ковектора $ в этой системе.
Эти локальные координаты (ху <?) на Т*М являются каноническими: 2-форма
а=1
определена инвариантно (не зависит от локальных координат х\ ..., хп). Она
задает стандартную симплектическую структуру на Т*М. Многообра-
Многообразие М — это «конфигурационное пространство».
Примеры. 1. Для задачи m взаимодействующих точек х{ в R3, / = 1, ..., т,
мы имеем М = М3ш и Т*М = R6m с координатами
(х\, Х{, Х{9 ..., ХХтУ Хт, Хт, /?л, Pi2, /7|3, • .-, Рт\у Рт2, РтЗ>)
и стандартной 2-формой п = ^2 dp* Л dx?.
2. Для движения твердого тела вокруг закрепленной точки
M = SOC), ГМ = SOC) х R3,
поскольку положение твердого тела однозначно фиксируется каким-либо жестко
связанным с телом ортонормированным репером.

446 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
3. Для движения твердого тела в пространстве мы имеем
М = SOC) х R3, ГМ = SOC) х R3 х R6.
Позднее мы еще обсудим естественные лагранжианы, описывающие движение
твердого тела. В случае свободного движения тела в пространстве легко пока-
показать, что центр масс тела движется с постоянной скоростью. В системе координат,
движущейся вместе с телом (т.е. если центр масс неподвижен), этот случай сво-
сводится к предыдущему, где точка закрепления совпадает с центром масс (движение
Эйлера). Рассмотрим этот случай «свободного волчка». Движение описывается
кривой на группе SOC):
g(t) e SOC).
На алгебре Ли кососимметрических матриц задается тензор инерции — поло-
положительная квадратичная форма (,)/, определяемая распределением масс в теле.
Лагранжиан имеет вид
Щ, В) = Ш, A(t))h
где A(t) —это «угловая скорость»:
рассматриваемая как кососимметрическая матрица (элемент алгебры Ли груп-
группы SOC)).
Мы видим, что этот лагранжиан обладает симметрией
L(gog> gog) = L{gy g)
(левоинвариантность). В самом деле,
Поэтому (Л, A)i не меняется.
Мы приходим к следующему выводу.
Лемма 13.5, Всякий левоинвариантный лагранжиан L(gog, gog) = L(g, g)
на группе G = SOC) определяется одной числовой функцией е(Л) на алге-
алгебре Ли, где А = g~xg—кососимметрическая матрица.
По существу, именно это мы и доказали выше для L = (Л, Л)/.
Приведем пример важной нестандартной симплектической структуры
на Т*М, построенной по магнитному полю на многообразии М.
Рассмотрим заряженную частицу с зарядом е в R3, с лагранжианом L0(x, л:)
и гамильтонианом Н0(х, р) в отсутствие магнитного поля. После включения ста-
стационарного магнитного поля, заданного 2-формой
rf^, a, p= 1,2,3,
мы можем локально ввести вектор-потенциал (не зависящий от времени)

§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 447
и записать лагранжиан и действие в виде
с
S= [Ц(х,х) + -с [Aa(x)dx«.
Однако эта формула локальна. Как понимать все это глобально? К этому вопросу
мы еще вернемся, но один из ответов на него таков.
Теорема 13.2. Введем новую симплектическую форму
на пространстве Т*Шг. Тогда старый гамильтониан Н0(х, р) в новой сим-
плектинеской структуре задает уравнение движения заряженной ча-
частицы в магнитном поле.
Замечание. Как говорят в учебниках физики, включение магнитного поля
не меняет энергию. В такой геометрической форме, как здесь, этот принцип,
по-видимому, впервые сформулирован одним из авторов этой книги.
Доказательство теоремы состоит в следующей элементарной провер-
проверке.
В отсутствие поля мы имеем
dt \дх«) ~ дх«'
После включения поля получаем
dt\dx«) " df + cldx*^ d# \~
Обратная матрица gj к новой симплектической форме ft имеет вид
О 1
где /, / = 1, 2, ..., 6, а, р = 1, 2, 3. Возьмем старый гамильтониан Н0(ху р) и вы-
вычислим его g-градиент: мы имеем по-прежнему
Для второй части получаем
. _ дН0 ,е о
Вместе с первой частью уравнений это дает нам правильное уравнение движения
в магнитном поле. Теорема доказана.

448 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
С этой точки зрения введение векторного потенциала (локально)
 = d(Aa(x) dx*) = J2 «Рdx* A d^
представляет собой просто введение новых канонических координат.
Лемма 13.6. Пусть
Р* = Р* + ~С Ах,
где d(Aa dx*) = В. Тогда форма п совпадает со стандартной формой
uo = Y^dP«Adx*-
Доказательство. По определению мы имеем
Y, dpa Adx*=j2 (dp« + \dA^л dx*=J2 dp«л dx"+ -dA«л dx* •
В то же время справедливо равенство
d(Aa rfjca) = ]Г S«p dx* Л dx?.
a<P
Лемма доказана.
Если класс когомологий [И] = -[?] отличен от нуля, глобальное приведение
к каноническому виду невозможно. Локально же выражения вида d~l(u) опре-
определены, если форма п замкнута. Это следует из леммы Пуанкаре (см. п. 2 §9.3).
Выражения вида d~l(il) возникают при формулировке следующего глобаль-
глобального вариационного принципа Гамильтона на произвольном симплектиче-
ском многообразии (фазовом пространстве), т.е. на многообразии М с симплек-
тической формой П, локально приводимой к виду п = J2 dp* A dx* в специальных
локальных канонических координатах у = (х, р) около любой точки (у) е М.
Лемма 13.7. Выберем локально такую l-форму со, что Ло = п. Тогда
выражение (интеграл вдоль кривой)
S = /(со - Hdt) = 1(<Гх(п) - Hdt)
имеет экстремум на любой кривой, где выполнены уравнения Гамильтона
(т е. кривая является траекторией гамильтоновой системы) с гамильто-
гамильтонианом Н и симплектинеской формой п. В частности, это имеет смысл по
отношению ко всем сильно локальным вариациям кривой, сосредоточен-
сосредоточенным в малой окрестности изучаемой точки, где определена Х-форма <о.
Доказательство. Уравнения Эйлера—Лагранжа не меняются, если
сделать градиентную замену о —»6) + dcp, т. е. добавить полную производную. По-
Поэтому можно без ограничения общности предполагать, что локально 1 -форма со
выбрана в виде ^ A* dx? = со. При таком выборе 1-формы наша лемма уже была
a
доказана ранее как вариационный принцип Гамильтона (теорема 12.22). Отсюда
следует доказательство в общем случае.

§13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 449
Позже мы еще вернемся к вопросу о том, что означает инвариантное выра-
выражение
S= f(d-l(U)-Hdt)
на любом симплектическом многообразии. Полезно обратить внимание на то, что,
как показывает разобранный выше пример, выражения вида d~l(u) встречаются
в реальной физике.
Введем теперь понятие замкнутой I-формы на произвольном топологи-
топологическом пространстве X. Пусть задано произвольное покрытие пространства X
открытыми областями
Набор непрерывных функций ср^: Vq -»R мы назовем первообразной от замкну-
замкнутой 1-формы на X, точной в каждой области Vqt если на пересечениях Vq П Vs
разности (fq - cps являются локально постоянными функциями (константами на
любой компоненте связности).
Приведем примеры.
1. Пусть задано многообразие N = X и замкнутая 1-форма о) на нем. Зададим
столь мелкое покрытие
что на каждой области Vq мы имеем
xeVq.
Например, если области Vq — это дискообразные выпуклые области в Мя, то мы
просто выберем по точке xq?Vqn положим
где путь целиком лежит в области Vq. Для разностей в пересечении Vq П Vs мы
получим
d[%(x)-(?s(x)] = 0.
Поэтому эти разности локально постоянны.
2. Рассмотрим теперь пространство X, точками которого являются все гладкие
отображения окружности S1 с координатой / (mod 2л) в изучаемое многообра-
многообразие М с замкнутой 2-формой П, du = 0. Это — пространство петель L(M) = X.
Лемма 13.8. Для любой гладкой кривой у' Е L(M) = X найдется такая
открытая область Vy* в пространстве кривых Ху что выражение
f
I d
л
корректно определяется как функционал на области Vr/ пространства
кривых X,
15-1168

450 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Доказательство. Согласно теоремам трансверсальности образ окруж-
окружности S1 при бесконечно дифференцируемом отображении у': S1 —> М заметает
одномерное множество y(S') С М. Примем без доказательства следующий факт:
любое одномерное компактное замкнутое множество в гладком многообразии М
имеет такую достаточно малую открытую окрестность i/Y/ э y(Sl)y что ограниче-
ограничение на нее 2-формы п точно:
п = doY/ (в области (/Y/).
Совершенно очевидно, что это так для полигонального отображения окружности
в область евклидова пространства. Обозначим через Кг/ с X открытую область
в пространстве Х = L(M), состоящую из всех гладких отображений у: S1 —> ?/Y/.
Для всех кривых у € VY/ мы полагаем по определению
SY/(y)
= Фс
Лемма доказана, хотя и не совсем строго.
Области VY/ покрывают пространство Ху так как здесь кривая у' может быть
взята любой. Всего их континуум.
Теорема 13.3. Выражение f d~l(il) корректно определяет замкнутую
\-форму на пространстве X = ЦМ) гладких замкнутых кривых в много-
многообразии М.
Доказательство. Воспользовавшись леммой, мы строим континуаль-
континуальное покрытие
я
где q = у' € X = ЦМ), т. е. у нас для каждой кривой у' строится окружающая ее
область с нужным свойством.
Пусть имеется пересечение у ? Vq П VSi где q = уь 5 = уг—две кривые. Тогда
существуют две такие формы o>Yl = g>i и g>Y2 = о>2, что А*>| = dd>2 = ft.
Рассмотрим разность cpi — cp2'
ф| - ф2 = / СО, - / ОJ = / (б>, - <02).
Л' Л' Л'
Так как форма <о, — <ог замкнута, весь интеграл вдоль замкнутого пути
> (со, - со2)
не меняется при малой деформации этого пути. Следовательно, функционал
(функция) ф, — ф2 на пересечении областей Vri П Vy2 в пространстве кривых
является локально постоянным. Теорема доказана.
Замечание. Таким образом, выражение Jd~l(u) корректно определя-
определяет первообразную от замкнутой формы на пространстве кривых. Наивно мож-
можно сказать так: вариация функционала 8S, как мы знаем, корректно определена.

§13.1. Симплектические и пуасеоновы многообразия
451
Это—замкнутая форма. Она задает уравнения Эйлера—Лагранжа и Гамильтона,
но сам функционал, вообще говоря, не определен глобально. С топологическими
последствиями этого феномена мы еще встретимся.
3. Расширенное фазовое пространство. Пусть гамильтонова система на
фазовом пространстве М с локальными координатами х\ р,, /, / = 1, 2, ..., я,
задается гамильтонианом Н = Н(х, р, /), явно зависящим от времени /. Из урав-
уравнений Гамильтона
х =
получаем как следствие уравнения
дх
дН
Полезно ввести так называемое расширенное фазовое пространство с ло-
локальными координатами (х, /?, ?, /), где хп+1 = ?, рп+] = t, и кососимметрической
метрикой
/0-1 0\
1 0
0 -1
1 О
О
1
-1
О
которой соответствует форма
i=i
Рассмотрим гамильтониан Н(х, р, у, Е) = Н(х, /?, t) - Е и соответствующую
гамильтонову систему, которая имеет вид
. дН . дН ; дН р дН
~~ др' дх' дЕ' ~~ dt'
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 13.4. В расширенном фазовом пространстве (х> р> /, Е) с ме-
метрикой gij (или формой й) уравнения Гамильтона с гамильтонианом Й =
= Н(х, р, t) - Е на поверхности Н = 0 совпадают с исходными уравнения-
уравнениями Гамильтона в пространстве (*, /?), к которым добавлены соотношения
t=l,E=dH/dt.
Закон сохранения энергии теперь тоже объясняется с помощью симметрии.
Если исходный гамильтониан Н не зависит явно от времени, то время / = xn+l
является циклической координатой и соответствующий импульс р„+| = Е сохра-
сохраняется.
15*

452 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
4. Пуассоновы многообразия. Алгебры Пуассона. Построение гамиль-
тоновых систем требует только кососимметрического скалярного произведения
gi = -g'1' с верхними индексами. Если на многообразии М задано кососимме-
трическое тензорное поле g1 = — gy/, то g-градиентная система вида
называется гамильтоновой, а функция Н называется гамильтонианом. При
этом скалярное произведение ковекторов (g*7) может быть и вырожденным: мы
не предполагаем больше, что det(g'O Ф 0. Возможно, что de^g*') = 0.
Пара (Af, g1'), состоящая из многообразия Af и кососимметрического тензор-
тензорного поля (g17 = — gy/), называется пуассоновым многообразием или пуассо-
новой структурой на многообразии М, если для любой пары вещественных
гладких функций Д Л на Af задана их скобка Пуассона (g-скалярное произве-
произведение их градиентов)
ihgi gW ду1 ду*У
где (у\ ..., ут)—локальные координаты, и при этом для любой тройки веще-
вещественных гладких функций Д g, Л на Af выполнено тождество Якоби
о = {{Л яг}. А} + {{А. /}, вг} + {te. Л}, А}-
Скобки Пуассона обладают двумя важными свойствами:
{Д g} = -{g, /} (кососимметричность),
{/g, h) = /{g, h) + g{/, h) (тождество Лейбница).
Введем общее понятие алгебры Пуассона над произвольным полем.
Линейное пространство С над произвольным полем называется алгеброй
Пуассона, если в нем заданы дополнительно две операции:
а) операция умножения элементов ab, aeC> be С, превращающая С в ком-
коммутативную ассоциативную алгебру над этим полем с единицей 1 € С;
б) билинейная операция «скобок Пуассона» {а, Ь}у которая кососиммет-
рична:
{а, 6} = -{*.*}.
связана с предыдущей операцией умножения тождеством Лейбница
{aft, с} = а{6, с} + Ь{а, с}
и удовлетворяет тождеству Якоби для любой тройки элементов:
cyclic
(здесь сумма берется по всем циклическим перестановкам элементов a, b и с).
Рассмотрим сначала предпуассоновы алгебры С, для которых выполнены
все свойства, кроме последнего — тождества Якоби.

§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 453
Мы также будем считать, что алгебра С порождена над полем К набором
элементов х\ х2, ... е С: любой элемент х е С выражается как многочлен от
элементов х\ х2, ...
Лемма 13.9. Для любого многочлена от п переменных Ф(аь ..., ая),
а} G С, и любого элемента b eC верно общее тождество Лейбница
Доказательство этого факта для любых многочленов Ф(а\, ..., ап)
аналогично обычному выводу этого же тождества для частных производных
{ah b} <-> —j
с использованием свойства
дх1
в элементарном анализе. Операторы {а,, Ь} обладают теми же свойствами, что
и операторы —т. Лемма доказана.
дх1
Теперь критерий пуассоновости алгебры С дается следующей леммой.
Лемма 13.10. Если тождество Якоби выполнено для любой тройки по-
порождающих элементов:
?{{*',*'},**} = о,
cyclic
то оно верно для любой тройки элементов /, gy h G С, являющихся много-
многочленами от переменных х\ лс2, ...
Доказательство. Из леммы 13.9 следует, что
cyclic .
(см. доказательство леммы 6.11 в п. 9 §6.1). Лемма доказана.
Перейдем к алгебрам функций, где операция скобок Пуассона задается глад-
гладким тензорным полем (g1) на многообразии Мп. Как и для обычных диффе-
дифференцирований, имеет место гладкий аналог лемм 13.9 и 13.10. Мы примем без
доказательства, что лемма 13.9 верна для любых гладких функций от координат:
Мы уже вводили пуассоновы многообразия в п. 9 § 6.1, когда обсуждали при-
примеры бесконечномерных алгебр Ли, без всякой их связи с гамильтоновым фор-
формализмом. Поэтому мы иногда будем напоминать некоторые факты, ссылаясь на
предыдущие доказательства.

454 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Вместо леммы 13.10 имеет место следующая теорема (мы дали ее доказатель-
доказательство в п. 9 §6.1: см. лемму 6.11).
Теорема 13.5. Тензорное поле (g1) корректно задает пуассонову струк-
структуру на многообразии М, если и только если выполнено следующее тож-
тождество:
cyclic *
Следствие 13.1. Пусть тензор Пуассона gl — это постоянная матрица
в координатах (у). Тогда тождество Якоби выполнено для скобок Пуас-
Пуассона
для любых двух функций /, g e C°°(M, R).
Пример. Пусть симплектическая структура задана в канонических коор-
координатах (*", ра), а = 1, ..., я, п = ]Г dpa A dx*, формулой
Скобка Пуассона приобретает вид
Она удовлетворяет тождеству Якоби.
Теорема 13.6. Невырожденное кососимметрическое скалярное произ-
произведение g*7, detdj*') Ф 0, корректно определяет пуассонову структуру на
многообразии М2пу /,/= 1, ..., 2/t, если и только если соответствующая
невырожденная форма u = J2eu dyl A dy1 замкнута,
К/
Доказательство. В п. 9 §6.1 мы доказали, что невырожденное ко-
кососимметрическое скалярное произведение gj определяет пуассонову структуру
тогда и только тогда, когда выполнены соотношения
-1 п
дур дуг + dys ~~U' Р
где поднятие и опускание производятся с помощью кососимметрической метрики:
Очевидно, что эти соотношения эквивалентны уравнению
<Ш = 0
для 2-формы П = 53 &/ dy1 A dy1. Теорема доказана.

§ 13.1. Симплектические и пуасеоновы многообразия 455
Напомним важную операцию коммутатора векторных полей на многообра-
многообразии М (см. п. 2 §8.3).
Векторному полю г) соответствует оператор первого порядка, действующий на
функции (производная по направлению):
в локальных координатах (у\ ..., ут). Коммутатор двух операторов тоже явля-
является оператором первого порядка:
Векторное поле [т), ?] называется коммутатором полей г\ и !; на М. Поле [г), );]
имеет вид
Имеет место следующая теорема.
Теорема 13.7. Скобки Пуассона обладают следующим свойством:
где [, ] — коммутатор векторных полей и (V/*)' = ф -jl — гамильтоново
векторное поле, отвечающее гамильтониану h.
Доказательство. Согласно определению гамильтонова векторного по-
поля и скобок Пуассона мы имеем
V/(g) = {g, /} = -{/. §)¦
Тем самым,
Из тождества Якоби для этой тройки следует, что
Используя кососимметричность, получаем
V{/, g}(h) = Vg({/i, /}) - V/({A, g}
Теорема доказана.
Введем важное понятие. Центром Ъс алгебры Пуассона С называется со-
совокупность таких элементов z E С, что
Центр Ъс называется еще аннигилятором алгебры Пуассона, а его элементы
zeZc называются функциями Казимира (или просто казимирами).
Пусть мы имеем в фазовом пространстве гамильтонову систему с гамиль-
гамильтонианом Я. Тогда производная любой функции / = /(*, р) вдоль этой системы
имеет вид
/={/,//}. A3.6)

456 Плава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
В частности,
*' = {*<, Я}, р, = {р„//}.
Следовательно, функция f(xy р) является интегралом гамильтоновой системы (ин-
(интегралом движения), если она коммутирует с гамильтонианом Я:
Совокупность интегралов гамильтоновой системы образует алгебру Ли, замкну-
замкнутую также относительно перемножения функций. Тем самым, верна следующая
лемма.
Лемма 13.11. Интегралы движения гамильтоновой системы образуют
алгебру Пуассона.
Алгебру интегралов движения еще обозначают через Z(H) — централиза-
централизатор элемента Я. Из тождества Якоби следует, что централизатор Z{H) сам
является алгеброй Пуассона: скобка Пуассона интегралов движения есть тоже
интеграл движения. Казимиры являются интегралами для любой гамильтоновой
системы (с любым гамильтонианом).
Пример. Пусть L(x, х) — сферически симметричный лагранжиан. Как мы
показали в п. 4 § 12.3, трем однопараметрическим подгруппам в SOC) соответ-
соответствуют три интеграла момента Мх, Му, Мг, где
Mx = L'^t М -U ^ky Mz-U ^hy
х дх*' у у dx*' г г дх?'
Lx, Lyt Lz—соответствующие линейные векторные поля. Коммутаторы этих полей
имеют вид (см. п. 3 § 8.3)
Из теоремы 13.7 вытекает, что скобка Пуассона компонент момента вычисляется
по формулам
{Мху Му} = А*„ {Муу Мг} = Мху {Мг, Мх} = Му.
Следовательно, функции Мху Му и Mz на фазовом пространстве сферически сим-
симметричной системы образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона, изо-
изоморфную алгебре Ли soC). Многочлены от этих функций образуют нетривиаль-
нетривиальную алгебру Пуассона,
5. Редукция алгебр Пуассона. Пусть гамильтониан Н на пуассоновом мно-
гообразии М не зависит явно от времени: — = 0. Тогда энергия сохраняется,
и все траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом Н лежат на поверх-
поверхностях уровня Н — Е.
Пусть /—интеграл этой системы, {/, Н} = 0. Но тогда и {Я, /} = 0, т. е. функ-
функция Н постоянна вдоль траекторий g-градиентной системы V/. Следовательно,
векторное поле V/ касается поверхности уровня Я = Е. Так как векторные поля,
касающиеся данной поверхности, образуют подалгебру алгебры Ли всех век-

§ 13.1. Симплектические и пуаесоновы многообразия 457
торных полей (см. п. 2 §8.3), имеет смысл говорить об алгебре Ли интегралов
гамильтоновой системы на данном уровне энергии Н = Е.
Пример. В задаче Кеплера гамильтониан Н(х, р) в R6 имеет вид
"ьл-й + щ- а<0-
В силу сферической симметричности здесь имеется три интеграла момента:
М = (М ,, М2у Af3) = [х, p] = const.
Более того, в этой задаче имеется еще три интеграла
W = (Wu W2i Wz) = [?, Af] + щ = const,
которые образуют так называемый вектор Лапласа—Рунге—Ленца. Вычи-
Вычислим скобки Пуассона {Af,, Wj} и {Wh Wf\ этих первых интегралов. Сначала
убедимся, что
{Рь М,} = zijkMky {Mh Mj}
С учетом этих соотношений и правила Лейбница получим прямыми вычислениями
следующие соотношения:
С помощью более длительных вычислений показывается, что
и мы видим, что структура алгебры Пуассона на пространстве первых интегралов,
порожденном функциями Mh Wjy /, /' = 1, 2, 3, зависит от значения энергии Е.
Рассмотрим эту ситуацию более внимательно с точки зрения алгебр Пуассона.
Даже если исходная пуассонова структура на многообразии М была невыро-
невырожденной, централизатор ZH элемента Н заведомо имеет нетривиальный казимир,
как алгебра Пуассона:
по определению. Определим теперь редукцию алгебр Пуассона.
В алгебре ZH функция И ? ZH ведет себя аналогично константе. Если мы
просто положим Н = ?, то возникнет факторалгебра Пуассона Z?, где Е — это
число:
RE:ZH^ZEy ZHCC°°(M,R).
Мы будем называть гомоморфизм RE гомоморфизмом редукции исходной си-
системы с гамильтонианом Н на произвольном пуассоновом многообразии М. Те-
Теперь предположим следующее:
а) пуассонова структура на /г-мерном многообразии М невырожденна,
det(g//) ф 0, т. е. (М, g) является симплектическим многообразием, п = 2/;

458 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
б) система является топологически интегрируемой около точки у ? Му
точнее, около проходящей через нее траектории системы с гамильтонианом Я.
Более точно это означает, что найдутся такие С°°-функции z\9 ..., zrt_2» что
l){z,,//} = 0;
2) уравнения z-, = 0, / = 1, ..., п — 2, Н = ? задают траекторию исходной
системы с гамильтонианом Я, причем невырожденным образом.
Система называется факторизуемой глобально на уровне Н = Я, если усло-
условие б) выполнено всюду на этом уровне, т.е. она топологически интегрируема
около любой точки у е МЕ.
Мы назовем кольцом функций факторпространства (т. е. редуцированно-
редуцированного фазового пространства) алгебру Пуассона ZE = C°°(MRcd; R) гладких функций
на факторпространстве MRcd.
Локальные координаты около точки факторпространства
строятся так: это — функции z\% •. •» Z/1-2, указанные в п. б), задающие траекто-
траекторию, проходящую через точку у е МЕ С М. Их образы (г,) в факторкольце 1Е
и называются локальными координатами точки у е MRed.
6. Основные примеры алгебр Пуассона. Приведем наиболее фундамен-
фундаментальные примеры алгебр Пуассона.
1. Пуассонова структура, порожденная стандартной 2-формой
на кокасательном многообразии Т*М со скобкой Пуассона, указанной выше. Для
локальных канонических координат у = (*", ра) мы имеем
{л-,**} = {/>«,/%} = о, {ха,рр} = 5;.
При заданном гамильтониане Н(х, р) = Н(у) уравнения движения принимают
классическую гамильтонову форму
АН
Р« = {р«, И} = -^
в силу свойств скобок Пуассона. Для любой гладкой функции / мы имеем урав-
уравнение Лиувилля для производной по направлению гамильтонова поля от функ-
функции /:
/— If m _ df *№ df дН
l-\hnt- дх* дра дрл дх«>
Лемма 13.12. Любое векторное поле %(х) на конфигурационном про-
пространстве N поднимается до гамильтоновой системы на T*N с гамиль-
гамильтонианом Н = <?*(х)ра и стандартной симплектической структурой.

§13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 459
Доказательство тривиально следует из уравнений Гамильтона
Лемма доказана.
2. Рассмотрим теперь нестандартную симплектическую (пуассонову) струк-
структуру на T*N = M, заданную магнитным полем В = (В<ф(х)) с помощью 2-формы
где е — заряд частицы и с — скорость света в пустоте.
Для этих скобок Пуассона мы получаем
Уравнения движения частицы с гамильтонианом Н(х, р) имеют вид
и совпадают с теми уравнениями для частицы, в которые дополнительно включено
магнитное поле, не зависящее от времени. Это уже указывалось выше.
Прежде чем перейти к следующему примеру, докажем обобщенную теорему
Дарбу, частный случай которой для невырожденных скобок уже формулировался
ранее без доказательства.
Теорема 13.8. Для каждой пуассоновой структуры g1 на многообра-
многообразии М, имеющей постоянный ранг в окрестности точки у0 е М, существу-
ют такие локальные координаты х\ р\, ..., хп, р„, zx,..., zm в окрестно-
окрестности этой точки, что
{х\ х/} = к Pj} = о, к *'} = &;, {zq, /} = о
для всех гладких функций f на М.
Доказательство. В качестве первого шага мы построим пару таких
функций х\ pi, определенных около точки у0, что {рь х1} = 1. Тензор Пуассо-
Пуассона g' не равен нулю около точки у0, и поэтому существует функция х\ порожда-
порождающая гамильтоново векторное поле, которое не равно нулю в точке у0. В качестве
функции pi мы возьмем временную координату для этой гамильтоновой систе-
системы со знаком минус. По определению мы имеем {pi, х1} = — 1, так как функция
(—pi) является временем, а функция хх —гамильтонианом:
На втором шаге мы рассмотрим локальное действие группы R2, порожденное
гамильтонианами хх и рь Векторные поля V*1 и Vpi коммутируют друг с другом,
так как коммутатор этих полей порожден скобкой Пуассона функций {рь х1},

460 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
которая равна единице, и, следовательно, коммутатор равен нулю. По теоре-
теореме существования для пары коммутирующих обыкновенных дифференциальных
уравнений мы выбираем локальные координаты х\ ри до1, ..., дот~2, m = dim Л/.
Здесь величины до7 по своему определению являются интегралами действия R2.
Следовательно, мы имеем
{до>, Xх) = {до>, /?,} = 0, / = 1, ..., /п - 2.
На третьем шаге мы повторим эту процедуру для координат до, и будем де-
делать это до тех пор, пока оставшаяся часть скобок Пуассона {до'', до'} не будет
равна нулю в точке уо. Для скобок локально постоянного ранга теорема дока-
доказана.
Из этой теоремы немедленно получается следующий результат.
Следствие 13.2. Для скобок Пуассона локально постоянного ранга мно-
множество функций Казимира локально корректно определено: их уровни
порождают симплектическое слоение, для которого ограничения скобок
Пуассона на слои невырожденны.
Доказательство этого утверждения немедленно следует из теоремы, если взять
локальные координаты z} в качестве множества локальных функций Казимира.
3. Рассмотрим в качестве конфигурационного пространства /V какую-то груп-
группу Ли G = N. Например, выше мы отмечали, что G = SOC) — конфигурационное
пространство для движения твердого тела вокруг закрепленной точки. Касатель-
Касательное многообразие (g, g) € 77V представляется в виде прямого произведения
для N = G, dim G = п. Этот изоморфизм устанавливается левым сдвигом из точки
1 G G в любую точку go e G:
Lg0:G->G, Lgo(g)=gog,
где дифференциал dLg0 устанавливает изоморфизм касательного пространства
в точке g = go с алгеброй Ли, реализованной как касательное пространство в точ-
точке 1. В частности, для кривой g(t) e G вектор g~l(t)g(t) лежит в алгебре Ли
(реализованной как касательное пространство в точке g0 = 1). Любой лагран-
лагранжиан L(g, g) на группе G удобно записать в переменных (g, g~lg) = (g, A)y где
A — элемент алгебры Лид.
Пусть лагранжиан записан в этих переменных как L(g, g~lg) = L(g, А), Тогда
лагранжиан называется левоинвариантным, если L = L(A).
Пусть ви • • •» ?п — базис алгебры Ли д; тем самым любой ее элемент имеет
вид хаеа. В окрестности единицы 1 € G экспоненциальное отображение задает
координаты
g = ехр(х«еа) <->g=(x\...yxnI
где для матричных групп ехр(Л) = X) Ап/п\ и А — касательная матрица (это ко-
ординаты первого рода, см. п. 2 §6.1).

§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 461
Выражение g~lg—это собирательный символ всех левоинвариантных полей
на группе G: действительно,
где go = const. Поэтому имеем
(gog)~\gogY =g~lg
Мы считаем, что элементы еа е д разнесены до левоинвариантных полей на
группе G (мы сохраним за ними то же обозначение) и Ма — гамильтонианы
в T*G = G х R\ отвечающие этим полям (см. лемму 13.12). По определению
величин УИа их попарные скобки Пуассона выражаются через них линейно:
Для переменных Xе1 мы, очевидно, имеем
Если рассмотреть
как левоинвариантные поля на группе G, то в канонических координатах (ху р)
на T*G около точки g= 1, где g = exp(jcaea), по определению имеем
Скобки Пуассона имеют вид
{ма, х?} =
По определению полей еа выполнено условие нормировки
в точке g = 1.
Учитывая тип координат;^, где g = ехр(л^га), мы видим, что матричные функ-
функции <\>1(х) определяются группой G и тензор Пуассона есть gh.
Для левоинвариантных лагранжевых (гамильтоновых) систем мы имеем для
гамильтониана
Тем самым возникает замкнутое уравнение
*#. ад-38?-фи.

462 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Величина дН/дМ$ называется угловой скоростью QP = дН/дМ$:
Для компактных групп Ли имеется единственная (с точностью до пропорци-
пропорциональности) метрика Киллинга. Это — риманова (т. е. положительно определен-
определенная) метрика, инвариантная относительно левых и правых сдвигов. Используя
поднятие и опускание индексов в этой метрике, мы запишем уравнение Гамиль-
Гамильтона в следующем виде:
М« = р
Для компактных групп Ли в алгебре Ли g можно выбрать такой базис, что
метрика Киллинга будет равна 5ар. В этом случае можно показать, что тензор
CYpa кососимметричен при любой перестановке индексов (а, р, у) (например, для
SOC) —это тензор С^ = ?/,*, доказательство общего случая сводится к этому
посредством вложения компактной группы в SO(n)). В данном частном случае
правая часть уравнения Гамильтона приобретает вид коммутатора в алгебре Ли:
Это — обобщение уравнений Эйлера свободного твердого тела.
Для группы G = SO(rt) гамильтониан имеет вид
где /, j = 1, 2, ..., я, / < /, qf > 0. Группа G = ЕC) движений пространства R3
возникает для уравнений Кирхгофа движения твердого тела в жидкости.
Главным выводом рассмотрения является появление важного примера алгебр
Пуассона.
Пусть многообразие М = g* = Rn — линейное пространство, двойственное
к алгебре Ли g = Мя, и на пространстве линейных функций на нем (на алге-
алгебре Ли д) задан базис М|, ..., Мп со скобкой Пуассона вида
(здесь С«р — структурные константы алгебры д). Эта скобка продолжаются до
скобки Пуассона на пространстве всех гладких функций на М = д*. Она на-
называется скобкой Ли—Пуассона, а ее ограничение на симплектические листы
называется формой Кириллова.
Эта скобка имеет казимиры. Рассмотрим универсальную обертывающую
алгебру U(g) алгебры Ли д. Это — алгебра со сложением и ассоциативным умно-
умножением, порожденная элементами 1, М |, ..., Мп и с соотношениями
Казимирами этой алгебры называются такие многочлены К от образующих
Ми ..., Afrt, что
[/С, Ма] = 0, а= 1 я.

§13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 463
Хотя алгебра и некоммутативна, мы можем записать любой элемент К Е U(g)
в виде линейной комбинации одночленов вида М™1... Л4^\ где i\ < /2 < ... < /*.
Назовем величину т = Ш\ + ... + тк степенью такого упорядоченного одночле-
одночлена. Для элемента К мы имеем
К = Кт + • • • + /Со,
где степень элемента /С/ равна у.
Лемма 13.13. Если [/С, Ма] = 0 (Эля всех а=1,...,яв алгебре t/(g), mo
в алгебре Пуассона выполняются равенства
{/Cm, Ма} = 0, а=1, ...,я.
Доказательство. Скобка Пуассона любого однородного многочлена
степени <7 с элементами УИ« является многочленом степени q:
в силу определения линейной скобки
и тождества Лейбница.
Коммутатор любого упорядоченного однородного многочлена с Ма имеет вид
где остаток Kq~\ имеет меньшую степень. Поэтому из условия [/С, Ма] = 0 выте-
вытекает, что {/Cm, МЛ = 0. Лемма доказана.
Вывод. Совокупность казимиров скобок Ли—Пуассона для любой алге-
алгебры Ли д есть кольцо, порожденное однородными многочленами. Если в оберты-
обертывающей алгебре U(g) выбран базис казимиров относительно коммутатора, состо-
состоящий из однородных многочленов, то имеется взаимно однозначное соответствие
между казимирами обертывающей алгебры (/(д) и казимирами пуассоновой алге-
алгебры гладких функций на д. Возможность выбора однородного базиса казимиров
в i/(g) мы не будем здесь доказывать.
7. Канонические преобразования. Рассмотрим произвольное симплекти-
ческое многообразие. Гамильтоновы системы мы для удобства будем записывать
в канонических координатах.
Теорема 13.9. Если функция Гамильтона Н(х, р) не зависит явно от
п
времени, то форма п = ]Г) dxl A dpt сохраняется в силу гамильтоновой си-
стемы:
П = 0.

464 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Доказательство. Воспользуемся следующими фактами (см. п. 6 § 8.3):
~(П, Л п2) = 4:п\ Л П2 + П| Л ~П2, A3.7)
Tt(dPi) = -dfe) --j^dxf-j^ dp,,
Ш) = d(f) = -pL dxi + *» dp
Поэтому
так как внешнее произведение кососимметрично. Теорема доказана.
Следствие 13.3 (теорема Лиувилля). Гамильтонова система сохраняет
фазовый объем любой области в (х, р)-пространстве.
Доказательство. Согласно лемме 13.2 элемент объема 2/г-мерного
симплектического многообразия — это пп = п А ... Аи. Так как П = 0, из фор-
формулы A3.7) следует, что (п А ... А п)' = 0. Следствие доказано.
Преобразование Ф: R2n ->R2/I фазового пространства (х, p) (или, более об-
общим образом, симплектического многообразия) в себя называется канониче-
каноническим, если оно сохраняет кососимметрическое скалярное произведение (т. е. если
форма п переходит в себя).
Другими словами, канонические преобразования — это «движения» кососим-
метрической «метрики». В силу теоремы 13.9 сдвиг вдоль траекторий гамиль-
тоновой системы с гамильтонианом Н(х, р) дает однопараметрическую группу
канонических преобразований. При этом можно считать, что гамильтониан опре-
определен лишь локально, т. е. корректно глобально определена на многообразии М
лишь замкнутая 1 -форма dH. Верно и обратное.
Теорема 13.10. Пусть дана локальная однопараметрическая группа ка-
канонических преобразований Ф/(х, р) = (*(/), p(t)), и пусть X = -tj-\ —co-
—coat l/=0
ответствующее векторное поле.
Тогда существует локально однозначная гладкая функция Гамильтона
Н(х, р) (те. замкнутая I-форма dH), no отношению к которой вектор-
векторное поле X гамильтоново, т. е. имеет вид
Доказательство. Пусть X = (Л1', В,), / = 1, ..., я, в координатах (*, р).
Рассмотрим сдвиг на малое время At. Имеем
У -> У + Al(x, p)At + О(Д/2) = х\
Pl -> Pi + Bi(x, p)At + О(Д/2) = ph

§ 13.1. Симплектические и пуассоновы многообразия 465
Кососимметрическая метрика сохраняется:
]Г dpi A dxl =
i i
Следовательно, мы имеем
dpi A dx* = {dpi + (dBi)At) A (dxf + (A4') ДО =
= dpi A djc1' + Д/[4^ rfp/ Л dx'" + ^f dx*
L a pi dxJ
f
i dxJ
+ |~ dPl Л rf^ + |^ dPi A dpj + О(Д/2).
Отсюда
Эти равенства эквивалентны замкнутости формы
со = A1 dpi - Bi dx\ da = 0.
Локально каждая замкнутая форма точна:
Теорема доказана.
Если гамильтониан Н(х, р, 0 явно зависит от времени, то он задает однопара-
метрическое семейство канонических преобразований ф/ — сдвигов за времена /
вдоль траекторий, однако это семейство не образует группы: ф/1+/2 ф ф/, о ф/2.
При п = 1 канонические преобразования — это в точности те, которые сохра-
сохраняют площадь — форму п = dx A dp.
При п > 1 преобразований, сохраняющих объем, больше, чем канонических
преобразований.
Это видно уже для линейных преобразований. В канонических координатах
(л:1, ..., хп, /?1, ..., рп) линейные преобразования, сохраняющие объем, образу-
образуют группу SLBn), а линейные канонические преобразования — это в точности
симплектические преобразования, образующие группу Sp(n, R).
Заметим, что алгебра Ли группы Бр(я, R) изоморфна алгебре Ли квадратич-
квадратичных потенциалов относительно скобки Пуассона. Действительно, пусть гамиль-
гамильтониан Н(х, р) — квадратичная форма:
И = \
= $ {* Р) (вт с) (*) .

466 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
где йц = а/7, Сц = с}1. Например, такой вид имеет потенциал гармонического ос-
осциллятора
Н(х,р) = р
где со — частота. Для квадратичного гамильтониана уравнения Гамильтона при-
принимают вид
у = Ку, К=( f «V A3.8)
где у = (х, р). Алгебра Ли группы Sp(n, К) образована матрицами вида A3.8),
и алгебра Ли таких матриц изоморфна алгебре Ли квадратичных потенциалов
относительно скобки Пуассона.
§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения
1. Уравнение Гамильтона—Якоби и пучки траекторий. Пусть М — фа-
фазовое пространство с каноническими координатами /?,, х\ i = 1, ..., я, т. е. сим-
плектическое многообразие с замкнутой формой п = Yl^Pi л ^*'-
Подмногообразие Г с М размерности п называется лагранжевым или /2-мер-
/2-мерной лагранжевой поверхностью, если ограничение на него симплектической
формы П равно нулю:
П|г = 0.
Это эквивалентно тому, что в каждой точке х G Г касательная я-плоскость к Г
будет лагранжевой в касательном пространстве к М (см п. 2 §2.1).
Пример. Любое лагранжево подпространство в R2n с симплектическим
произведением, заданным формой ^dpi A dxl (см. п. 2 §2.1), лагранжево. Тако-
Таковы, например, /г-плоскости '
хх = ... = хп = 0 или рх = ... = /?п=0.
Дадим другие (эквивалентные) определения для лагранжевых поверхностей
(подмногообразий) в фазовом и расширенном фазовом пространстве:
подмногообразие Гя фазового пространства с каноническими координатами
(ху р) называется лагранжевым, если в малой окрестности U каждой точки из Гя
укороченное действие A2.19)
So= pdx
J-f
не зависит от пути у с U в Гп, а есть функция конечных точек;
подмногообразие Р+| расширенного фазового пространства с канонически-
каноническими координатами (х, ру ?, /) называется лагранжевым, если локально около
каждой точки из Гл+1 действие A2.18)
So = l{pdx-Edt)
есть функция конечных точек.

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 467
Эквивалентность определений очевидным образом следует из формулы Сток-
са: действия локально являются функциями конечных точек, если подынтеграль-
подынтегральные выражения есть замкнутые формы на Г, а это означает, что
Тп
=0 или (Y^dPi*dx*-dEAdt)\ =0.
V / / 1гя+1
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 13.14. 1. Подмногообразие Гя в фазовом пространстве; задан-
заданное как график отображения pt = ft(x), i = 1, ..., л, является лагранже-
вым тогда и только тогда, когда локально (около каждой тонки) оно
имеет вид
Р/ = ^Г, So = So{x\...,xn). A3.9)
2. Подмногообразие Гя+1 в расширенном фазовом пространстве, задан-
заданное как график отображения pt = /,(х, t), i = 1,..., /2, Е = E(xt t), является
лагранжевым тогда и только тогда, когда локально оно задается фор-
формулами
§ f
Доказательство. Если подмногообразие Гп лагранжево, то в качестве
функции 5о можно взять укороченное действие, рассматривая х1, ..., хп как ко-
координаты на Гл. Обратно, если подмногообразие Гл имеет вид A3.9), то
j2p)\ я
Для подмногообразий Гл+| в расширенном фазовом пространстве доказатель-
доказательство аналогично. Лемма доказана.
Из того, что Е = Н(х, р, t), следует, что для лагранжевых поверхностей в рас-
расширенном фазовом пространстве функция действия удовлетворяет уравнению
§+"(*¦ ?•<)=»¦
которое называется уравнением Гамильтона—Якоби.
Лемма 13.15. При канонических преобразованиях лагранжевы подмно-
подмногообразия переходят в лагранжевы многообразия.
Доказательство. Если F: М -» М — каноническое преобразование
и Г С М — лагранжево подмногообразие, то
г)) = п& г)) = 0.
Лемма доказана.
Перейдем теперь к наиболее важному примеру лагранжевых поверхностей.

468 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Пусть Г—лагранжева поверхность в фазовом пространстве R2/l. Рассмотрим
гамильтонову систему с гамильтонианом Н(ху р, f) и через Г обозначим пучок
траекторий — подмногообразие расширенного фазового пространства R2/1+2,
образованное всеми траекториями, пересекающими Г. Можно считать, что они
пересекают Г при / = 0. Сечениями поверхности Г при временах / = const будут
сдвиги Г/ изначальной поверхности Г за время / вдоль траекторий потока.
Лемма 13.16. Подмногообразие Г лагранжево.
Доказательство. Достаточно показать, что ограничение на это под-
подмногообразие формы YliPid*1 — Edt замкнуто. Так как ?— пучок траекторий,
?=#(*, р, /) Haf.
Рассмотрим симплектическую форму й = ]П dpt A dxl — dE A dt в расши-
ренном фазовом пространстве. При / = /0 касательное пространство к точке
(х, р, ?, to) e ? порождено векторами вида
(наборы векторов (?, г)) не произвольны) и вектором
дН
W
(АН
х\ ...,л:п, ри ...,рл, -^-,
касательным к траектории. Очевидно, что для любых двух векторов у, v1 первого
типа мы имеем tl(v, v') = 0, поскольку подмногообразие Г лагранжево в фазовом
пространстве. В силу уравнений Гамильтона Cl(v, w) = 0 для любого касатель-
касательного вектора v (это проверяется прямой подстановкой). Следовательно, А|р = 0
в точках из Г.
Симплектическая форма й сохраняется гамильтоновым потоком. Доказатель-
Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 13.9, только надо рас-
рассмотреть расширенное фазовое пространство с формой й и гамильтонианом
Й(х9 р, /, Е) = Н(х, р, /) - Е.
Поскольку форма й сохраняется потоком и ее ограничение на ? равно нулю
при t = 0, оно равно нулю всюду. Лемма доказана.
Приведем в качестве примера такого лагранжева подмногообразия пучок тра-
траекторий с началом на поверхности Г = (аг0, р) (точка конфигурационного про-
пространства х0 фиксирована, а импульсы р любые). При / = 0 поверхность Г не
задается как график отображения р = —, но уже при любом малом t > 0 ее
сдвиг за время t будет иметь такой вид. Мы рассмотрим такие пучки в п. 3.
Укажем важное следствие изложенных выше результатов.
Пусть нам дано уравнение Гамильтона—Якоби
и мы хотим найти решение этого уравнения с начальным условием
S(jc\..., Xя, 0) = /(*',...,*").

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 469
Построим пучок траекторий с началом при t = 0 на лагранжевои поверхности
в R2", заданной как график вида
Пусть при малых временах / поверхности Г, диффеоморфно проектируются на
х-плоскость Жп. Тогда каждой точке х из Шп можно сопоставить ее прообраз
Р(х, t) и положить
pP(x,t)
S(x,t)=f(x) + / (Pid
Функция S(x, f) будем давать искомое решение уравнения Гамильтона—Якоби.
Пусть гамильтониан Н = Н(х, р) не зависит явно от времени. Тогда верна
следующая теорема.
(АН АН \
-г-, - — J = (х, р) касается поверхно-
поверхности # = ?0 = const и имеет нулевое (кососимметрическое) скалярное про-
произведение со всеми векторами, касательными к ней.
2. Во всех точках п-мерной лагранжевои поверхности Г, лежащей
на уровне энергии Н(х, р) = ?0, вектор V# является касательным век-
вектором', в частности, если траектория гамильтоновой системы с га-
гамильтонианом Н касается поверхности Г, то она полностью лежит
на ней.
Доказательство. 1. Вектор $ касается поверхности Н=Е0 тогда и толь-
АН
ко тогда, когда выполнено равенство 5'—т = 0, у = (х, р). Мы имеем
<5, vw) = ?a,(v//)' = 5 W* ^ = ? ^ = о.
2. Симплектическое произведение невырожденно, и если какой-то вектор име-
имеет нулевое симплектическое произведение со всеми векторами из лагранжевои
плоскости, то он лежит на этой плоскости. Так как (V#, $/) = 0 для всех базис-
базисных векторов 5ь ..., 5я в касательной плоскости в любой точке Г, то вектор VW
сам касается Г. Интегральные кривые поля V#, касающиеся Г хотя бы в одной
точке, полностью лежат на Г. Теорема дока-
доказана.
Следствие 13.4. Пусть Sn~x —поверх-
—поверхность размерности (/2—1) на уровне
Н(х, р) = ?о и ограничение на нее фор-
формы п равно нулю. Проведем через все
точки этой поверхности траектории га-
гамильтоновой системы в (х, р)-простран-
стве. Предположим, что получающая-
получающаяся поверхность будет п-мерной. Тогда Рис. 13.1. Пучок траекторий на
эта п-мерная поверхность Гп лагранжева поверхности уровня

470 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
и лежит на уровне энергии Ео. Если (локально) поверхность Гп задается
уравнением
А = /,<*) = §.
то функция So(x) удовлетворяет укороченному уравнению Гамильтона—
Якоби
а функция S(xy t) = J pdx- Hdt имеет вид
S(x, t) = S0(x) - Eot, § + H(x% ^) = 0.
Заметим, что 1-форма a = pidx1 - Edty ограниченная на поверхность уровня
энергии Н(ху р) = Е в расширенном фазовом пространстве К2я+2, не замкнута,
а всюду удовлетворяет соотношению
а Л (da)n ф 0.
Многообразия размерности {2п+ 1), на которых задана 1-форма а, удовлетво-
удовлетворяющая такому соотношению, называются контактными, при этом форма a
называется контактной формой или контактной структурой.
Для контактных структур, которые локально всегда получаются как ограни-
ограничения формы pdx — Edt на поверхность уровня энергии, верен аналог теоремы
Дарбу, который с ее помощью и доказывается: любая контактная структура ло-
локально в подходящих координатах (я1, ..., хп, рь ..., рп, t) приводится к виду
2. Запись канонических преобразований. Переход к другим каноническим
координатам (т.е. канонические преобразования) играет важнейшую роль во
многих аналитических исследованиях, посвященных теории гамильтоновых си-
систем, а также во многих практических расчетах — особенно в небесной механи-
механике. При этом приходится осуществлять конечные канонические преобразования,
а не только однопараметрические семейства, задаваемые гамильтонианами Н.
Мы приведем здесь удобную форму их представления в канонических координа-
координатах (х, р), предполагая, что преобразование не слишком далеко от тождествен-
тождественного.
Пусть задано отображение симплектических многообразий
локально записанное в виде
у' = у'(у), </' = (</"-••-.Л у = {у\...,у2т).
Рассмотрим прямое произведение
МхМ'

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 471
с локальными координатами (у, у') и 2-формой п - (V = П,
Теорема 13.12. Отображение Ф является симплектическим, т е. Ф*О' =
= П, ес/ш и только если ограничение формы п на график этого отобра-
отображения
равно нулю. При т = п это означает, что МФ—лагранжево подмного-
подмногообразие в М х ЛГ.
Доказательство. Здесь можно считать, что т ^ п, поскольку если
т > л, то форма Ф*П' будет вырожденной.
Пусть отображение симплектическое. Условие симплектичности — это просто
условие, что скалярное произведение векторов сохраняется. Если ?i, ?2 — каса-
касательные векторы к многообразию М в точке у и ?', = <а!Ф(?|), ?? = ^$(?2) — соот-
соответствующие им векторы в точке Ф(у) = у\ то выполнено равенство
Любой касательный вектор к графику УИФ с М х УМ' имеет вид (?, ?')» где $' =
= <^Ф(?) в точке (у, Ф(у)) е МФ.
Для пары векторов по определению формы П = п — ?У мы имеем
где 5J = ^ФE/)« Теорема доказана.
Рассмотрим важный случай т = п в канонических координатах. Пусть задано
каноническое преобразование Ф:
п = dp Л йл:, П' = dp' Л djc' и Ф*П' = п. Пусть МФ — график преобразования Ф.
Согласно теореме это — лагранжево подмногообразие в М х М' D МФ.
Предположим, что М = М' и преобразование Ф близко к тождественному.
В этом случае график МФ близок к диагонали (у, у). Лагранжево подмногообра-
подмногообразие Мф проектируется (локально) на лагранжевы подпространства переменных
(jc, р') или (/7, jc'), причем .ft — dp Adx- dp1 A dx'.
Случай 1: (jc, pf). Из лагранжевости многообразия МФ вытекает, что оно ло-
локально задается в виде графика: найдется такая функция S\(x, /?')> что Мф имеет
вид
Случай 2: (р, х') (это — «двойственный выбор»). Найдется такая функция
5г(р, *')» что МФ имеет вид
драУ Ра" дх'«'

472 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
При этом в силу свойств преобразования Лежандра
уже использованного при выводе уравнений Гамильтона из уравнений Эйлера
Лагранжа, мы имеем
Напомним, что для формы dr\AdZ, мы начинали с функции Si(r)) и подмно-
подмногообразия
dS)
То же самое подмногообразие может быть (локально) записано в виде
где г)? — 5|(у)) = S2(K) и уравнение ? = S\(r\) (локально) разрешимо. В нашем
случае П = dp Л dx - dp1 Л dx', ? = (ху р') и г) = (/?, *')•
В ряде случаев удобно выбирать и другие лагранжевы проекции, например,
когда отображение Ф не близко к тождественному.
3. Конические лагранжевы поверхности. Рассмотрим отдельно гамильто-
гамильтонианы //(*, р), которые являются однородными функциями первого порядка от
импульсов:
), Х>0.
Таков, например, гамильтониан для лучей света в изотропной среде:
Н(х9р) = с(х)\р\.
Для такого гамильтониана достаточно знать его траектории только на одном не-
ненулевом уровне энергии Н = Ео (например, Ео = 1). Остальные траектории полу-
получаются из них подобием р —> \р> Н —> \Н.
Пример. Геодезические. Для геодезических метрики gij(x) гамиль-
тониан равен Н = e'PiPn но они получаются также из гамильтониана #' = \/77 =
= y/ei!PiPr Соответствующие уравнения Гамильтона на каждом уровне энергии
Н = const пропорциональны с постоянным множителем.
Теорема 13.13. Пусть (локальная) однопараметрическая группа пре-
преобразований Ф/ отвечает такому гамильтониану Н(х, /?), что Н(х, \р) =
= \Н(х, р) при X > 0. Тогда все преобразования Ф/ сохраняют форму
pdx — pidx1.
Доказательство. Рассмотрим преобразования Ф/ при малых /. Без
ограничения общности можно считать, что / = 0, и мы имеем

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 473
Все эти равенства верны с точностью до O(t2), так как
Форма pdx преобразуется в
(Af-f\ / Af-f\ АН
— J = dfp,- -r—J - -r— dp,, мы имеем
p\ dx" = p, dx* + t [-dH + d(p, |^)] + O(/2).
Так как H(x, Хр) = XH(x, p), справедливо равенство
дН _ дЩх, Хр) _ Н( ,
и мы окончательно получаем
Отсюда следует, что производная Ли -г (р dx) равна нулю: pdx не меняется с те-
течением времени. Теорема доказана.
Поверхность Г в фазовом пространстве называется конической лагранже-
вой поверхностью, если ограничение формы р dx на поверхность Г тождествен-
тождественно равно нулю.
Из теоремы 13.13 получаем следующий результат.
Следствие 13.5. Гамильтоновы системы, у которых Н(ху Хр) =\Н(х, р)
при X > 0, сохраняют класс конических лаеранжевых поверхностей.
Пример. Лагранжева поверхность Г*о (х = х0, импульсы любые) — кониче-
коническая, так как на ней pdx = 0. Наоборот, поверхность ГРо (р = р§ф 0, координаты
любые) не является конической (pdx ф 0).
Для любого гамильтониана, однородного первой степени по импульсам, с по-
поверхностью ТХо связывается важный пучок траекторий, выходящих из точки х0.
Обозначим через SJ~! поверхность размерности (п — 1), полученную как пере-
пересечение ТХо с поверхностью уровня энергии Н = Ео. Рассмотрим все траектории
с началом в точках из S^. В любой момент / > 0 получим поверхность S;o"'(O-
Проекция Snx~l(t) в дс-пространство называется фронтом волны в момент вре-
времени /.
Это — поверхность размерности п — 1 в лг-пространстве, зависящая от вре-
времени /. Очевидно, при / = 0 проекция поверхности S"~! @) в х-пространство есть
одна точка х0.

474
Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Рис. 13.2. Фронт волны и принцип
Гюйгенса
Для поверхностей фронта волны имеет
место принцип Гюйгенса:
для того, чтобы получить поверх-
поверхность фронта при t\ > to > 0 из по-
поверхности фронта в момент t0, на-
надо рассмотреть все поверхности фрон-
фронта волны, отвечающие времени U - to,
с центрами в точках из поверхности
фронта в момент времени to и взять
их огибающую. В результате получит-
получится фронт волны в момент t\.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 13.17. Проекция п-мерной конической лагранжевой поверхно-
поверхности Гя в х-пространство имеет размерность не больше п - 1.
Доказательство. Поскольку лг-компоненты V касательных векторов
на Г связаны линейным соотношением р? = 0, размерность касательного про-
пространства к проекции не превосходит п — 1. Лемма доказана.
Мы видим, что коническую лагранжеву поверхность Гя нельзя даже локально
задать в виде графика pt = /,(лг) и связать с ней функцию S(x).
Рассмотрим пересечение поверхности Гя с поверхностью уровня Н(х, р) = ?0,
которое мы обозначим через 5я". Согласно следствию 13.4 мы можем выпустить
пучок траекторий из 5я и получить лагранжеву поверхность tn = |J Sn~l (t)
—oo</<oo
на поверхности уровня Н(х, р) = ?0, целиком состоящую из траекторий. Поверх-
ность tn уже может иметь (локально) вид/?/ = —тт~^ Функция So(x) (укорочен-
дх
ное действие) удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби
(напомним, что гамильтониан не зависит от времени).
Так как поверхность Гя коническая, форма pdx равна нулю на 5я. Следо-
Следовательно, эта форма равна нулю также на каждой поверхности Sn~l(t) (в силу
теоремы 13.13). Поэтому функция
So(P)= I pdx,
задающая лагранжеву поверхность Гя, постоянна на поверхности Sn~x(f) с лю-
любым /. Кроме того, Гя лежит на уровне энергии Н = ?0. Следовательно, ?0 =
= Нух, -j^l» и поверхности уровня So(x) = const точно совпадают с проекциями
поверхностей Sn~l(t) в лс-пространство. Нами доказана следующая теорема.
Теорема 13.14. Поверхности фронта волны — это в точности поверх-
поверхности уровня Sq(x) = const укороченного действия So.

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 475
4. Переменные «действие-угол». В примерах интегрируемых задач, кото-
которые мы привели выше (геодезические на поверхностях вращения, задача двух ча-
частиц в поле с трансляционно инвариантным потенциалом), решение задачи было
получено с помощью дополнительных (кроме гамильтониана) интегралов движе-
движения. Ограничивая систему на их инвариантные поверхности уровня, мы понижали
число переменных и, тем самым, сложность системы.
Достаточно общая процедура интегрирования гамильтоновых систем дается
методом интегрирования по Лиувиллю, который мы изложим.
Пусть М2п — симплектическое многообразие размерности 2л и Н — гладкая
функция на М\ которая задает гамильтонову систему. Согласно формуле A3.6)
каждая гладкая функция / на многообразии М2п меняется вдоль траекторий си-
системы согласно уравнению Лиувилля:
где скобка Пуассона построена по симплектической структуре.
Говорят, что гамильтонова система с гамильтонианом Н на Мп вполне инте-
интегрируема или интегрируема по Лиувиллю, если кроме гамильтониана И == Н\
существует еще (п — 1) интегралов движения (первых интегралов) Я2, ..., Нп,
которые удовлетворяют следующим условиям:
1) эти интегралы почти всюду функционально независимы, т.е. якобиан ото-
отображения
F: М2п -> R\ F(y) = (//,(</), ..., Ня(у))
имеет максимальный ранг п вне множества точек нулевой меры (отображение F
называется отображением момента);
2) первые интегралы Н\, ..., Нп находятся в инволюции, т.е. попарно ком-
коммутируют относительно скобок Пуассона:
Из условия 1 и симплектичности структуры следует, что почти всюду векторы
V#i, ..., VHn линейно независимы. Напомним теперь, что согласно теореме 13.7
выполняются равенства
V{//,, Н,} = -[VW,, V//,], /, / = 1, ..., п.
Из условия 2 теперь следует, что если мы рассмотрим п гамильтоновых систем
с гамильтонианами Н\, ..., Нпу то сдвиги вдоль траекторий этих систем попарно
коммутируют, поскольку
[V//,, V//y] = 0, /,/=1,...,л.
Образ отображения момента имеет положительную меру, так как почти всюду
оно имеет максимальный ранг. Согласно теореме Сарда множество критических
значений отображения момента имеет меру нуль. Поэтому для почти всех значе-
значений с = (С|, ..., сп) отображения момента прообраз F~](c) есть гладкое подмно-
подмногообразие в М2п.

476 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Рассмотрим теперь ситуацию, когда эти подмногообразия компактны. Напри-
Например, это имеет место для гамильтоновых систем с гамильтонианом
на Т*N, если потенциал ограничен и многообразие N компактно. В этом случае
уже любая поверхность уровня Н = const компактна.
Лемма 13.18. Пусть Хп — связное компактное подмногообразие в Мп,
которое лежит на общей поверхности уровня Н\ = Ci,..., Ял = сп первых
интегралов Н\> ..., Нпу и эти первые интегралы функционально независи-
независимы во всех точках из Хп. Тогда Хп есть п-мерный тор.
Доказательство. Так как Хп (локально) выделяется в 2я-мерном мно-
многообразии п уравнениями Н\ = с\, ..., Нп = спу причем эти уравнения независи-
независимы, по теореме о неявной функции Хп имеет размерность п.
На Хп действует группа МЛ, порожденная сдвигами вдоль траекторий гамиль-
гамильтоновых потоков, с гамильтонианами Я|, ..., Нп. Орбита любой точки имеет раз-
размерность п и является подмногообразием в Хп, так как в любой точке из Xя
векторы Vffi, ..., VHn линейно независимы. Следовательно, орбита этой точки
совпадает с Хп.
Все сдвиги из R", переводящие точку х G Хп в себя, образуют подгруппу
Г С R\ которая, очевидно, должна являться решеткой, и Хп есть факторпро-
странство Хп = Ея/Г. Так как многообразие Хп компактно, эта решетка имеет
максимальный ранг (изоморфна Z") и мы имеем
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь окрестность такого тора Хп, например прообраз U како-
какого-то открытого множества VcR" при отображении момента: U — F~l(U).
Теорема 13.15. Пусть область U в М2п заполнена п-мерными инвари-
инвариантными торами Х(с) вида Н\ =С\У ..., Hn — cnt с = (с\, ..., сп)у и в точках
из U первые интегралы Ни ..., Нп функционально независимы.
Тогда для любого тора Х(с') существует окрестность U, заполненная
торами со значениями F = cy близкими к с\ в которой можно ввести такие
координаты Л, ..., /л, <pi,..., <рл, что
1) h = Ik{cu ...,с„), *= 1, ...,л;
2) координаты фь ..., срл определены по модулю 2л и при каждом фик-
фиксированном наборе I = (/|, ..., 1п) точки у = (Л, ..., /„, cpi,..., сря) заполня-
заполняют п-мерный тор Х(с), I = /(с) (т. е. переменные фь k = 1, ..., я, являются
циклическими координатами на торах Х{с))\
3) в этих координатах симплектическая форма имеет вид
A3.10)

§ 13.2. Лагранжевы подмногообразия и их применения 477
4) в этих координатах уравнения Гамильтона для гамильтониана Н =
= Н\A\, ..., /„) имеют вид
/, = 0, ф* = <о,(/,,...,/*), А=1,..., л. A3.11)
Переменные /*, <р/, &, I = 1, ..., я, удовлетворяющие условиям этой теоремы,
называются переменными «действие-у гол». Уравнения A3.11) вытекают из
равенства A3.10) и того, что гамильтониан зависит только от переменных дей-
действия /|, ..., /л и не зависит от угловых переменных ерь ..., <р„. Мы видим, что
в этих переменных на инвариантных торах движение линейно.
Построение переменных «действие-угол» означает интегрирование задачи,
поскольку уравнения A3.11) явно интегрируются: для начальных условий / = /',
ср = ср; при / = 0 решение имеет вид
ш = /;, <р/(/) = ср; + *>/(/;,..., /;>/, к i = 1,..., п.
Заметим, что из равенства A3.10) следует лагранжевость инвариантных торов
Х(с).
Доказательство теоремы 13.15. Возьмем какую-то я-мерную по-
поверхность У, которая пересекает каждый тор Х(с)у близкий к Х(с')у по единствен-
единственной точке х(с). Можно считать, что эти торы заполняют область U = F~l(V), где
V = F(Y) сКя — шаровая область значений отображения момента.
Каждая точка у ? Х(с) получается из точки х(с) комбинацией сдвигов за вре-
времена U вдоль гамильтоновых потоков с гамильтонианами Hk (порядок несуще-
несуществен, поскольку эти потоки коммутируют). Примем набор (t\9 ..., tk) за коор-
координаты точки у.
Мы получаем координаты (/ь ...,/„, Яь ..., #„), которые удовлетворяют со-
соотношениям
{/;,//,} = &//, {Я/,Я/} = 0, /./= 1 я
(первое из равенств есть следствие того, что /, — времена вдоль траекторий по-
потоков). При этом симплектическая форма имеет вид
л dHr
Выберем на каждом торе базис ех, ..., еп в решетке периодов Г. Это можно сде-
сделать непрерывно, сузив при необходимости область U. В каждом торе произведем
теперь такую линейную замену координат
что базисные векторы решетки примут простой вид
e, = @f ..., 0, 2я, 0, .... 0), /=1, .... я
Bк на |-м месте, а остальные нули). Это и будут угловые координаты (с точно-
точностью до сдвига). При изменении только /-й координаты от 0 до 2к точка на торе
заметет замкнутый контур at.

478 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Так как замена / —*ср зависит от значений Н\> ..., Нп, в новых координатах
симплектическая структура примет вид
ii = Y, аш(Н9 ср) dHk AdHi + Y, ЬШ(Н) dHk A d<ph A3.12)
Отсюда следует, что все инвариантные торы //| = С\% ..., Нп = сп лагранжевы, и,
считая, что окрестность U гомотопически стягивается на тор (просто область V
стягивается при этом в точку с'), мы получаем из гомотопической инвариантности
когомологий де Рама (см. п. 2 §9.3), что [п] = 0 в H2(U\ R), поскольку [П] = О
в Н*(Х(с')\ R). Поэтому форма п точна в области U и мы можем корректно
выбрать форму а = дМП во всей области U.
Определим переменные действия формулой
. /=i я. A3.13)
где базисные контуры а} берутся на торе Х(Ни ..., Нп)- Функции /|, ..., 1п не
зависят от ф|, ..., <р„. Это вытекает из следующего рассуждения.
Если мы возьмем любой другой контур а'г который вместе с ау- ограничивает
какую-то поверхность Т на торе, то по теореме Стокса получим
/а- / а= [doi= /П =
Joj Jaj JT JT
так как ограничение формы п на тор равно нулю. Отсюда следует, что интегралы
от а по всем контурам, гомотопным ah совпадают. В действительности значение
интеграла зависит только от класса гомологии, реализованного контуром а,.
Из формулы A3.12) следует, что
t
и только первый член влияет на результат интегрирования по циклам а}\
dll = '?fbudHk A3.14)
к
(интегральные формулы определяют координаты 1к с точностью до постоянных).
Отсюда следует, что
~тгг — Ьы(Н\, ..., Яя),
и, поскольку форма п невырожденна, матрица Ьм обратима. Следовательно, по
теореме об обратной функции локально существует замена координат
не затрагивающая других координат cpb ..., сря.
В новых переменных форма п имеет вид
*<G' ф) dIk A d!i

§ 13.3. Условие локальной минимальности 479
Применив к ней предыдущие рассуждения, из A3.13) получим аналог форму-
формулы A3.14):
Так как переменные /|, ..., /я независимы, мы получаем Ь'м = Ьы, и форма
принимает почти канонический вид
П = ^2 аш dlb Л dIi + Х^ rf/* л
ft,/ /г
Форма П замкнута, а это значит, что коэффициенты а!ы не зависят от пере-
переменных ср/ и форма C = ]Са*/ rfAfc л ^// замкнута. Локально мы имеем
Осталось сдвинуть угловые переменные:
чтобы привести форму п к каноническому виду
Теорема 13.15 доказана.
§ 13.3. Условие локальной минимальности
1. Формула второй вариации и оператор Якоби. Выполнение уравнений
Эйлера—Лагранжа
для функционала
S[y]= [цх,х)Ш
является лишь необходимым условием того, чтобы вдоль некоторой кривой у
функционал S[y] имел минимум, например, среди всех кривых, начинающихся
в точке Р и кончающихся в точке Q.
Для функций многих переменных f(x\ ..., хп) достаточным условием того,
что в данной критической точке имеется локальный минимум, является положи-
положительная определенность гессиана, т. е. квадратичной формы d2f, в той же точке Р.
Поэтому для нахождения локального минимума для S[y], где кривая у удовлетво-
удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа, надо вычислить вторую вариацию 52SY(r),!;)
функционала S:

480 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
где у), % — векторные поля, заданные на кривой у(/) и обращающиеся в нуль
в точках у(а) = Ри y(b) = Q,
Лемма 13.19. Если кривая у: {х1 = xl(t)} удовлетворяет уравнениям Эй-
лера—Лагранжа, то имеет место формула второй вариации
lt } =
Х=О,ц=О
где
f dt.
«l ~ dt\dW l + dxfdxfl ) dxfdxf l " dxfdxf l'
dxfdxfl ) dxfdxf l " dxfdxf
Доказательство. Используя формулу первой вариации (см. §12.2),
получаем
- д ["(dL -.±dL\w
~дх1\дх1 dtdx*Г
\х=о
Лемма доказана.
Оператором Якоби называется линейный оператор / вида A3.15), действу-
действующий на векторные поля ?(/), заданные вдоль кривой у-
Оператор Якоби / определен как векторный линейный дифференциальный
оператор, действующий на вектор-функции одной переменной t по формуле
+ в№
если вдоль кривой выбраны локальные координаты. Этот оператор задает ска-
скалярное произведение
на том или ином пространстве вектор-функций ($'(/)). (^@)- Для определения
скалярного произведения нужно выбрать граничные условия. Наиболее популяр-
популярные граничные условия таковы.
1. Условие Дирихле. Здесь предполагается, что вектор-функции V(f), rf(t)
обращаются в нуль в двух крайних точках / = /0 и / = t\. Эти значения соответ-
соответствуют двум точкам на экстремали у
Мы исследуем нашу вариационную задачу среди кривых, начинающихся в точке Р
и кончающихся в точке Q.
2. Периодическая задана. Здесь коэффициенты оператора / периодичны
с каким-то периодом Т по переменной t € R. Однако мы исследуем оператор 1

§13.3. Условие локальной минимальности 481
не только на периодических вектор-функциях. Эти вопросы связаны с изучением
окрестности периодических экстремалей у. Мы их детально обсуждать здесь не
будем.
3. Общие разделенные граничные условия: векторные поля ?(*), r\(t) при
/ = /ои при / = /| должны удовлетворять условиям
где м0, vOy U\j V\ —это (п х /г)-матрицы, кривая у лежит в я-мерном многообра-
многообразии N, /, / = 1, ..., п.
Мы называем лагранжиан L невырожденным, если в любой точке х € N мы
имеем
Напомним, что сильно невырожденными мы называли такие лагранжианы, что
преобразование Лежандра р = — глобально обратимо:
(х, i) <-> (*, р).
Разделенные граничные условия задаются таким образом: удобно рассматри-
рассматривать экстремальные кривые в пространстве
MxI=T*NxI9
где / = [/<), t\] — избранный отрезок времени, N — конфигурационное простран-
пространство задачи с лагранжианом L(x, i, /) и T*(N) — соответствующее фазовое про-
пространство. Мы считаем лагранжиан сильно невырожденным, так что уравнения
Эйлера—Лагранжа эквивалентны гамильтоновым. Зададим два /г-мерных ла-
гранжевых подмногообразия
U С T*(N) х /о,
L|C7-(A0xf,.
Требуется, чтобы экстремаль начиналась в Ц и кончалась в Ц:
В качестве простейших примеров укажем следующие.
1. Задача Дирихле, где оба многообразия Lo, Lx —это импульсные р-про-
странства в точках Р = у(/0) и Q = y(/j). Это — задача с закрепленными концами.
2. Задача Неймана, где многообразия Lo, L\ заданы как (п - 1)-мер-
ные поверхности в конфигурационном лг-пространстве Л^ и проходящие экс-
экстремальные кривые должны быть нормальны к ним. Локально в координатах
(х\ ..., Xя, pi,..., рп) около точки Р = у(/0) поверхность Lo можно представить
в виде
Lo = K = 0,pl = ... = pw_,=0}.
Такие локальные координаты можно выбрать в /V и T*(N) для задачи Неймана.
Аналогично для L\.
'/2 16-1168

482 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
Таким образом, разделенные граничные условия — это обобщение задач Ди-
Дирихле и Неймана.
Для невырожденных лагранжианов уравнение Якоб и
Д = 0 или ЛД' = 0, *=1,...,я,
имеет невырожденный старший член и эквивалентно линейному гамильтонову
уравнению в переменных
с квадратичным по (х, р) гамильтонианом, зависящим от /,
Я (*, р, /) = ± А11 рф! + Bjp/У +
где Л'М(') К
Остальные коэффициенты легко получаются из формул
Лагранжиан называется регулярным, если квадратичная форма
положительна при г\ ф 0. Из теории дифференциальных уравнений известно сле-
следующее. Если при всех t G R выполнено условие положительности, то для любого
t € R найдется такое положительное число е > 0, что квадратичная форма Якоби
отрицательна ((/г), г)) < 0) на пространстве таких ненулевых вектор-функций г)@,
что
Отсюда следует такой вывод.
Пусть многообразие N компактно и
—j—J rfri/ > 0 При 7) ф 0.
Для любой экстремальной кривой у(/) (решения уравнений Эйлера—Ла-
гранжа) и любой пары ее достаточно близких друг к другу точек Р = у (/о),
Q = у(*|), |*о - /|| < е, экстремаль является изолированным локальным ми-
минимумом среди всех гладких кривых, соединяющих точки Р и Q.
Обратимся к теории геодезических.

§13.3. Условие локальной минимальности 483
В качестве примера отметим, что для лагранжиана L = y/gii(x)xfxl (т. е. для
функционала длины S = /) соответствующая матрица такова, что
Это означает, что соответствующая форма Якобй не является строго положи-
положительной. Это и естественно: наш функционал не меняется при репараметризации,
что приводит к нулевым модам квадратичной формы Якоби.
Для геодезических удобно брать действие
Имеет место следующая теорема.
Теорема 13.16. Билинейная форма
Лф lx=o*=o YV"""
tb 1
для действия S = / ¦zgiixtx' dt, любой геодезической у: л:' = *'"(/) и гладких
J a Z
векторных полей Щ), r\(t) вдоль геодезической, равных нулю в ее конечных
точках, имеет вид
или
52S($,r)) = - [ (JZ,r\)dt, A3.16)
J
где
Щы — тензор кривизны, t — натуральный параметр вдоль геодезической у.
Доказательство. Для лагранжиана L = -gijifxf формула первой ва-
вариации имеет вид (см. § 12.2)
Поэтому
д\д[1
Sly + XS + p)]
Х=О,у=О
dt
х=о
Второе слагаемое в подынтегральном выражении равно нулю на кривой у в силу
уравнения геодезических: V^i: = 0. Преобразуем первое слагаемое. Имеем
у216*

484 Глава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
в силу симметричности связности. Окончательно получаем
откуда и вытекает наша теорема.
Пример. Рассмотрим двумерный случай. Введем около геодезической у(/)
специальную систему координат (х, у), jc = x', y = х2 (полугеодезические коор-
координаты, см. п. 2 § 10.3), в которой
а) линия (*, 0) есть сама геодезическая у и х — натуральный параметр;
б) координата у ортогональна к геодезической, причем #/,(*, 0) = 8/7.
В этом случае билинейная форма 82SY(?, r\) для пары полей ?(t)> r\(t), нор-
нормальных к у(/), имеет вид
где К — гауссова кривизна. Заметим, что 82SY(?, r\) =0, если хотя бы одно из
полей пропорционально касательному векторному полю x(t) с постоянным мно-
множителем. Однако эта вариация не удовлетворяет граничным условиям, так как
она не обращается в нуль на концах.
Несложно показать, что для кусочно гладких векторных полей ?(/) билиней-
билинейная форма 52SY(?, г)) равна
- /V л) аи
где суммирование ведется по всем точкам Я, разрыва величины V,!; и Д^(V&) —
скачок ковариантной производной в точке разрыва Р.
Доказательство этой формулы получается из доказательства теоремы 13.16
с учетом точек разрыва при интегрировании по частям.
2. Сопряженные точки. Выясним, когда билинейная форма 52SY(?, r\) не-
вырожденна. Будем для простоты рассматривать только геодезические, хотя это
и не играет особой роли.
Векторное поле $ вдоль экстремали у, идущей из Р в Q, называется якобие-
вым, если оно является решением уравнения Якоби /? = 0 и обращается в нуль
в концах Р w Q.
Для S = f(x, x) dt мы имеем
Д! = V?? + «%, = 0, / = 1,..., п.
Точки Р и Q называются сопряженными вдоль экстремали — геодезиче-
геодезической у, идущей из Р в Q, если существует ненулевое якобиево поле $ вдоль
кривой у.
Лемма 13.20. Билинейная форма 525Y(?, r\) невырожденна на простран-
пространстве гладких полей, обращающихся в нуль на концах, тогда и только то-
тогда, когда концевые точки Р и Q экстремали у не сопряжены вдоль у.

§ 13.3. Условие локальной минимальности
485
Доказательство. По существу, здесь просто сказано, что любая би-
билинейная форма задается оператором Якоби и его «нули» (векторы из ядра опе-
оператора), если они имеются, приводят к вырождению билинейной формы. Так что
эта лемма представляет собой тавтологию из элементарной линейной алгебры.
Эта лемма верна и на пространстве кусочно гладких векторных полей.
Теорема 13.17. Если для положительной римановой метрики геодези-
геодезическая у, идущая из точки Р в точку Q, содержит внутри себя пару со-
сопряженных точек Р\ Q', то эта геодезическая у не минимальна.
Доказательство. Можно считать, что
точки Р и Q не сопряжены вдоль у (в против-
противном случае можно добиться этого отступом внутрь
кривой и переходом к полученной геодезической
у' Су). Мы используем форму, распространен-
распространенную на все кусочно гладкие кривые: она тоже не-
вырожденна. Тогда билинейная форма 82SY($, r\)
невырожденна. Поэтому для минимальной геоде-
геодезической квадратичная форма 82SY($,!;) должна
быть неотрицательной: 82SY(?, 5) ^ 0. Покажем,
что при наличии сопряженных точек это требо-
требование не выполняется.
Пусть ?' — поле Якоби, отвечающее точкам Р', Q'. Построим сначала кусочно
гладкое поле ^ между Р и Q, равное !;' между Р' и Qf и нулю вне отрезка P'Q'
(см. рис. 13.3). Тогда мы имеем
Рис. 13.3. Сопряженные
точки и поле ?
Однако форма 52SY невырожденна. Поэтому она обладает и отрицательными ква-
квадратами. Теорема доказана.
Теорема 13.18. На достаточно малом интервале длин геодезиче-
геодезические римановой метрики дают глобальный минимум функционала дей-
действия S[y] среди всех гладких кривых, соединяющих те же точки. По-
Поэтому каждая достаточно короткая геодезическая локально реализует
кратчайшее расстояние между точками.
Доказательство. Условие локальной минимальности геодезической
у(/) состоит в том, что квадратичная форма 52SY(?, $) положительна для всех
векторных полей !;, обращающихся в нуль на концах. В силу формулы A3.16)
мы получаем
(R(x, l)x, l)]dt =
if l)]dt
(интегрирование по частям с учетом равенств 5(а) = $F) = 0). Для достаточно
малого интервала длин Д/ имеет место оценка
I/
(R(x,l)x,l)dt
<с(Д/)
Ja
, УД) Л,
16-1168

486 Плава 13. Пуассоновы и лагранжевы многообразия
где с(А1) — некоторая константа, зависящая от метрики gtj и длины Д/, причем
с(Д/) стремится к нулю при Д/ -» 0. Поскольку
f<
из этого вытекает наше утверждение.
Упражнения к главе 13
1. Пусть X—векторное поле на конфигурационном пространстве. Рассмотрим
функцию Fx = piX1 на фазовом пространстве. Докажите, что
а) {Fx, Fy) = -F{X.Y]\
б) если функция / = f(x) не зависит от импульсов /?, то {/, Fx} = dxf.
2. Докажите, что в задаче Кеплера алгебра Ли интегралов Wh М} при фик-
фиксированной энергии Е изоморфна:
a) soD) при Е < 0;
6M0A,3) при?>0;
в) алгебре Ли группы движений пространства R3 при Я = 0.
3. Пусть п = gik dyl Л dyk — симплектическая форма и X = (Xk) — векторное
поле. Докажите, что форма i(X)(o>) = gikXkdyl замкнута тогда и только тогда,
когда производная Ли формы п вдоль поля X равна нулю: Lxu = 0.
4. Пусть (о — симплектическая форма на многообразии Мп. Докажите, что
на Мп существует такая почти комплексная структура У, что выражение б>(«, Jv) =
= {и, v) задает риманову метрику на многообразии.
5. Пусть Мх, Му, Мг — интегралы момента A2.13). Докажите, что
а) функция М2 = М2Х + М2у + М\ является казимиром алгебры Пуассона, по-
порожденной интегралами момента:
{М\ Мх} = {М2, Му} = {М2, Мг} = 0;
б) вместе с функциями рХУ ру, рг они образуют алгебру Ли относительно ско-
скобок Пуассона, изоморфную алгебре Ли группы движений пространства R3.
6. Докажите, что
а) формулы
{*, у} = ху, {*, z} = xzy {xt и} = 2yzy
{у, z} = 0, {(/, и} = уи, {г, и} = zu
задают в пространстве R4 с координатами х, у, г, и пуассонову структуру;
б) функция /(*, (/, г, и) = хи - yz является казимиром этих скобок Пуассо-
Пуассона, квадратичных по координатам, и при ограничении пуассоновой структуры на
поверхность хи - yz = 1 мы получаем инвариантную скобку Пуассона на груп-
группе Ли

§13.3. Условие локальной минимальности 487
7. Пусть в фазовом пространстве с каноническими координатами х\ ..., хп,
/?i, ..., рп введены новые координаты Х\ ..., Хп, Ри ..., Рп так, что
_ dS(xt X) р _ dS(xy X)
i = 1, ..., я, где S(jc, X) — некоторая гладкая функция переменных х, X с невы-
невырожденным гессианом. Докажите, что новые координаты канонические. Функ-
Функция S(xy X) называется производящей функцией канонического преобразова-
преобразования (л:, р) -* (X, Р).
8. Докажите, что на многообразии отрицательной секционной кривизны гео-
геодезические не содержат сопряженных точек.
9. а) Докажите, что для многообразия положительной секционной кривизны
К ^ const > 0 существует такая постоянная 71, что любая геодезическая, дли-
длина которой не меньшей чем 7\ содержит пару точек, сопряженных вдоль этой
геодезической.
б) Докажите утверждение из предыдущего пункта при условии, что кривизна
Риччи неотрицательна: RikW ^ CgikW, для значения Т= (п- 1)к/С, где п —
размерность многообразия.
16*

Глава 14
Многомерные вариационные задачи
§ 14.1. Вариационное исчисление
1. Введение. Вариационные производные. Нашей целью является под-
подход к изложению основ геометрии полей, развитый физиками-теоретиками
XX в. — периода наивысшего расцвета этой науки. Именно этот подход, по наше-
нашему мнению, наиболее близок к духу геометрии и наиболее приспособлен к даль-
дальнейшему изучению многих естественнонаучных и геометрических применений те-
теории поля, без этого подхода нельзя понять квантование полей. Мы понимаем
под термином «анализ» приблизительно то, что в английском языке называется
«calculus» («исчисление»), т.е. совокупность удобных способов формально ра-
работать с аналитическими величинами, эффективно записывать и выводить фор-
формулы, наиболее просто их читать и понимать исходя из аналогии с элементар-
элементарным классическим исчислением конечномерных величин. Абсолютно строгий аб-
абстрактный язык современной теории функций и функционального анализа будет
играть незначительную роль в нашем изложении, так как наша цель состоит
не в обосновании, а в том, чтобы наиболее просто объяснить, что это такое,
как это аналогично конечномерному анализу. Мы никогда не имеем дела с аб-
абстрактными бесконечномерными многообразиями. Все наши пространства — это
те или иные пространства функций в достаточно общем с современной точки
зрения смысле: это могут быть пространства отображений одного многообразия
(области определения) в другое многообразие—область значений, или простран-
пространства сечений какого-то расслоения с базой X, играющей роль области определе-
определения. Примером такой ситуации могут служить, например, касательные векторные
поля на многообразии X, которые являются сечениями касательного расслое-
расслоения ТХ. Так или иначе, локально мы всегда имеем дело с вектор-функциями
и(х) = (yl(x), ..., Ут{х)), где (х\ ..., хп) — локальные координаты в области
определения и (у1, ..., ут) —локальные координаты в области значений.
В конечномерной геометрии, в тензорном анализе и алгебре важную роль
играют индексы (/), пробегающие какое-то конечное множество значений. С ис-
использованием этих индексов строится тензорное исчисление с его системой
правил.
В бесконечномерном анализе—теории поля — роль индексов играет обычная
пара (/, х), где / пробегает конечное множество, х — область определения, х Е X,
а вместо сумм пишутся интегралы. Развивая локальную теорию поля, мы можем
первоначально считать, что изучаются просто вектор-функции, которые опреде-

§14.1. Вариационное исчисление 489
лены в одной области евклидова пространства U С Шт и принимают значения
в другой области евклидова пространства КсМ":
у'{х\ ...,xm), /'= 1, ..., л.
Так можно считать при выводе локальных тождеств, соотношений, уравне-
уравнений и т.д. При этом мы считаем, что все эти функции бесконечно дифференци-
дифференцируемые, т.е. принадлежат классу С°°.
При изучении вариаций полей мы первоначально будем считать их «сильно
локальными», т. е. принадлежащими классу С°° и обращающимися в нуль тожде-
тождественно вне достаточно малой окрестности изучаемой точки.
Лишь позднее, при явном исследовании влияния граничных условий, мы
должны будем следить за более широким классом вариаций.
В наши цели не будут входить проблемы строгого обоснования. Они все-
всегда требуют пополнения пространств гладких функций различными способами.
Имеется обширная теория, посвященная этим вопросам, но мы не предполагаем
излагать ее в этой книге.
Учет влияния глобальных топологических явлений мы обсудим в отдельных
случаях, но позднее.
Итак, для нас теория поля — это бесконечномерный аналог анализа, включая
тензорный анализ, где решающую роль в первоначальном изложении предмета
играет «исчисление вариаций», в котором величины Ьг((х) заменяют конечномер-
конечномерные дифференциалы координат: dxl —> brf(x).
Локальным функционалом называется величина, которая в локальных ко-
координатах записывается в виде
S{f} =(/•••/) L<*' /W. //(*). • • •. //,.../,„W)dnx, dnx = dx*A...Adx\
где /=(/',..., /*) —локальная запись отображения X -> У, ff^.j.{x) — это част-
частные производные порядка q величин /= (/', ...,/*) по переменным (jc1, ..., хп),
взятые в одной и той же точке х € X. т. е. /,- = —Ц и т. д.
дх1
Интеграл берется по многообразию Ху возможно с краем дХ. В классическом
случае X = Шп или X = D С Шп — это область с гладкой границей.
Мы уже рассматривали такие функционалы при п = 1. Например, для ку-
кусочно гладких путей y(f) = (yl(t), ..., yk(t)) в области Шп с метрикой dl2 =
определены функционалы длины l(y) = J у/ЦцдЧР dt и действия
tfy1 dt (здесь 0 < / = хх < 1). Критическими точками этих функцио-
функционалов являются геодезические линии метрики gijdy* dy1.
В этой главе мы рассмотрим многомерные функционалы: п > 1.
Мы ограничимся функционалами, лагранжианы которых зависят только от
первых производных отображения / и не зависят от старших производных. Уже
эти функционалы дают большой набор физически важных примеров.
Пример. Площадь поверхности. Пусть D € R2 — область на
плоскости с координатами х и у, /(*, у) = (ul(x, у), и2(х, у), иг(х, у)) —двумер-
S(y) = /

490 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
ная поверхность в R3 и dl2 = E dx2 + 2F dx dy + G dy2 — индуцированная метрика
на поверхности. Функционал площади двумерной поверхности имеет вид
/[/] = JjDy/EG^Pdxdy = JJDy/(f*, №.. fy) ~ </*. fyYdxdy.
Пусть / — функционал общего вида, пространство F — область определения
этого функционала и / € F—точка из F. Рассмотрим такое гладкое отображение т)
из D в R*, что оно финитно, т. е. равно нулю вне открытого множества, замыкание
которого целиком содержится в D. В частности, мы полагаем rj = 0 на границе
3D области D. Функция г\ называется возмущением функции /, если / + ег) € F
для достаточно малых значений параметра е. Рассмотрим производную функции
ф(е) = /[/ + еу)] в точке е = 0:
Ее естественно назвать «производной функционала / в точке / по направлению г)».
Вектор
W
определяемый равенством A4.1), называется вариационной производной
функционала /[/].
Функция /о € F называется стационарной (или экстремальной, критиче-
критической) функцией для функционала /, если
т.е. выражение A4.1) обращается в нуль для любого возмущения г) функции /.
Естественно, что при этом можно ограничиться возмущениями с достаточно ма-
малыми носителями.
Теорема 14.1. Функция fo? F является стационарной точкой функ-
функционала /[/] тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе
уравнений
Уравнения A4.2) называются уравнениями Эйлера—Лагранжа для функ-
функционала /.
Доказательство теоремы состоит в аналитическом вычислении вари-
вариационной производной и приравнивании ее нулю. Мы покажем, что левые части
равенства A4.2) задают компоненты вектора Г7.
Рассмотрим вариацию функционала /:
bl[f] =

§14.1. Вариационное исчисление 491
Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора:
а=1
Интегрируя по частям, получим
В первом слагаемом интегрирование по переменной х1 можно отделить от инте-
интегрирования по всем остальным переменным х\ ..., Х\ ..., хп. Получаем
xi д xn[Jp
где Р и Q лежат на границе области D и зависят от х\ ..., х\ ..., хпу a dn~xx =
= dx1 Л ... Л rfjc' Л ... Л dxn. Во внутреннем интеграле у переменные х\ ...
..., х1, ..., jc71 можно рассматривать как параметры и интегрированием по х1 по-
получить
так как rf(Q) = r)a(P) = 0 согласно выбору г). В итоге мы имеем
Так как / о(е) й"д: = о(е), мы получаем
Теорема доказана.
Выражение A4.3) называется вариационной производной функционала /.
Заметим, что определение стационарной точки функционала является об-
общим и более громоздкие вычисления, аналогичные тем, которые были проведены
выше, приводят к уравнениям Эйлера—Лагранжа для функционалов, лагранжи-
лагранжианы которых зависят и от старших производных.
2. Тензор энергии-импульса и законы сохранения. Если мы рассматрива-
рассматриваем какую-то физическую систему, то ее законы сохранения порождаются симме-
триями этой системы. Например, если лагранжиан L одномерной вариационной

492 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
задачи не зависит явно от времени, то сохраняется энергия системы. Если же
такой лагранжиан не зависит от какой-то пространственной переменной х1, то
сохраняется соответствующий импульс:
dt dt\d
Это соответствие между симметриями и законами сохранения объясняется
следующей теоремой.
Теорема 14.2 (Нётер). Пусть задано преобразование координат х1 и по-
полевых переменных /*
х—>х(х,т), f* —» f*(x, f\ т), A4.4)
гладко зависящее от конечного числа параметров Т|, ,.,,т4. Предполо-
Предположим, что вариация действия j Ldnx относительно этого преобразова-
преобразования равна нулю для любой области D. Тогда существует s законов сохра-
сохранения (динамических инвариантов), т.е. существует s функционалов от
полевых переменных, сохраняющихся во времени и находящихся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с деформациями по параметрам т{, ..., тв.
Доказательство этой теоремы состоит в явном построении этих инвариан-
инвариантов по деформациям A4.4). Каждому параметру тц отвечает вектор тока У*,
дивергенция которого равна нулю:
0=0. „4.5)
Рассмотрим случай, когда поля /* определены в пространстве Минковского R1'3
с координатами х° = ct, xl, x2, jc3. Тогда из равенства A4.5) следует, что величина
сохраняется во времени. Здесь dSk = g гщ dxl Л dx) Л dxl.
Мы изложим эту схему на важном примере, когда лагранжиан не зависит от
пространственных переменных х1, 0 < / < 3. Функционал имеет вид
Непрерывные симметрии образуют группу Пуанкаре:
x^Ax + b, A € 0A,3),
сохраняющую метрику Минковского
ds2 = ft» dx1 dx" = (dx0J - (dx1J - (dx2J - (dx3J.
Экстремальные функции /, которые описывают «движение системы», являются
решениями системы уравнений Эйлера—Лагранжа
3L тг д ( dL
1

§14.1. Вариационное исчисление 493
Функционал / инвариантен относительно переходов к другим инерциальным си-
системам отсчета: х —> х' = Ах + Ь. При этом если f* — скаляр, то он переходит
в f*{x') = f*(x), а если функции /* образуют вектор /*, то преобразования симме-
симметрии имеют вид
х! ~> *' = а)х' + V, f(x) -> /<(*') = а'Дх), А = (а)) е О( 1, 3).
В общем случае тензорные поля преобразуются по закону преобразования тен-
тензоров.
«Законы движения», заданные уравнениями Эйлера—Лагранжа для функци-
функционала /, одни и те же во всех точках «пространства». На этом факте основан
вывод законов сохранения, к которому мы перейдем.
Выведем законы сохранения, отвечающие сдвигам (трансляциям)
х -> х1 = х + 5, Г(х) -> /a(jt') = /a(jt), dV = d4x.
Пусть нам дано какое-то решение уравнений Эйлера—Лагранжа f*(x) в R1'3.
Для произвольной области U С R1'3 рассмотрим вариации действия, порожденные
сдвигами
x-^x'^x + sl, SeR1'3, seR.
Они имеют вид
Ы= f ЦПх1), ?,(*'))d4*' - /ЦГ(х), fax))d*xs0,
= f ЦПх1), ?,(*'))d4*' - /ЦГ(х),
Ju+sz Ju
где U + s% — область D, сдвинутая на 5$. Распишем равенство Ы = 0, оценивая
эту вариацию для заданного решения уравнений Эйлера—Лагранжа:
- A46)
Здесь первое слагаемое обусловлено изменением области U и под —i по~
нимается производная лагранжиана, оцениваемого на заданном решении: L =
= ?(/*(*), &(*)).
Второе слагаемое отвечает за изменение формы функций /*. Действительно,
мы имеем 5-параметрическое семейство функций f*(x) = ^(s, jc + s?) = f*(x),
и под ?'&//* понимается производная по первому параметру 5 при 5 = 0. В част-
частности, для базисного вектора $ = et, где 5У = Ц, мы имеем
ds
s=0
Подставляя равенства
в уравнение A4.6), получим

494 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Теперь последовательно подставим уравнения Эйлера—Лагранжа A4.2) и ра-
венство —j(/^) = I k = -r-l(f$) B подынтефальное выражение:
Так как область U и вектор ? произвольны, мы заключаем, что для любого ре-
решения уравнений Эйлера—Лагранжа выполняется равенство
dL _
которое мы перепишем в виде
Тензор
Т! = Г*-щ-ЬЧ1* A4.8)
называется тензором энергии-импульса системы с лагранжианом L(/, fxk). Он
также пишется и в следующих видах:
Соотношение A4.7) означает, что дивергенция тензора Т* всюду равна нулю:
0 = 0. A4.9)
Заметим, что данный вывод верен для любого трансляционно-инвариантного
лагранжиана L в Rrt.
В частном случае, когда n=l9xl = tnf* = #"—локальные координаты в ка-
каком-то многообразии Af*, мы получаем одномерную вариационную задачу. Для
нее тензор-энергии импульса состоит из одной компоненты
Т— т1 — /У* О- — / — F
1 -'t-y ду« L-L>
которая является энергией системы. Соотношение A4.9) есть просто закон со-
сохранения энергии (см. п. 1 § 12.3):

§14.1. Вариационное исчисление 495
Введем 3-формы
б>/ = ]Г(-1)*-'7? dx° Л ... Л dx^A ...Adx* = TJ*dSk.
k
Так как
соотношения A4.9) согласно теореме Стокса эквивалентны тому, что для любой
области D с кусочно гладкой границей выполняются равенства
/ = 0, ...,3. A4.10)
Получить соотношения A4.9) можно было и проще, достаточно расписать для
заданного решения (/*) производные лагранжиана L по х1%.
dL dL дГ dL d(f"xk) _
dx1 dr dx1 dfr dx1
и, как мы делали выше, подставить уравнения Эйлера—Лагранжа и равенство
Т7(/?*) = * A k = тт№) в левУю часть, чтобы получить A4.9). Мы предпочли
о х дл dx dx
изложить вывод этих формул в рамках более общей схемы, которая применима
и для вывода законов сохранения, отвечающих вращениям пространства.
Покажем, почему соотношения A4.9) уже сами по себе иногда называются
«законами сохранения».
Введем вектор Р= (Ро, Ри ^2, Pz) (с нижними индексами) вида
/ = 0,1,2,3,
где с — скорость света в пустоте. Он называется 4-вектором импульса (с ниж-
нижними индексами) системы с лагранжианом L.
По аналогии с формулой для энергии A2.10) под плотностью энергии пони-
понимается компонента
где точка обозначает производную по х° = ct. Это, в частности, означает, что
энергия локализуется и полная энергия системы равна
зо dxx A dx2 A dxz.
Напомним, что для релятивистской частицы ее энергия тоже равна сР0, где Р —
4-вектор импульса частицы (§ 12.3).
Естественно, мы всюду предполагаем, что поля / достаточно быстро убывают,
все рассматриваемые интегралы сходятся и 4-вектор импульса системы коррект-
корректно определен.

496 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Теорема 14.3. Из тождества
следует, что А-вектор импульса Р сохраняется во времени {не зависит
omx° = ct).
Доказательство. Рассмотрим цилиндр С в пространстве Минковского,
основания D\ и D2 которого заданы уравнениями х° = х^ и/ = х\, а радиус R
достаточно велик. Обозначим через П боковую поверхность цилиндра.
Из равенств A4.10) следует, что J Г* dSk = 0 при каждом /. Поэтому
Jd2 «/01 Jn;
При стремлении радиуса цилиндра R к бесконечности интеграл по боковой по-
поверхности П стремится к нулю, и мы получаем
ВД) = / T*dSk= [ 7? dSk = Р,D).
Теорема доказана.
Каждый тензор ф^, кососимметрический по индексам k и /, задает преобра-
преобразование тензора Tf по формуле
7? -^ Т> + ^, где ф*' = -^¦ A4.11)
Новый тензор также удовлетворяет уравнению —j = 0, поскольку —j&-j = 0.
Предположим, что тензор ф^ достаточно быстро убывает на бесконечности вме-
вместе с своими производными.
Лемма 14.1. А-вектор импульса системы не меняется при преобразова-
преобразовании A4.11).
Доказательство. Нам надо доказать, что / -%• dSk = 0. Так как
./*0=const дх
тензор ф^ кососимметричен по &, /, мы имеем
где т)/ — 2-форма на поверхности х° = const. По теореме Стокса интеграл от dr\i
по поверхности х° = const равен интегралу от г)/ по «удаленной на бесконеч-
бесконечность» двумерной сфере, «охватывающей» поверхность х° = 0. Так как форма г)/
достаточно быстро убывает на бесконечности, этот интеграл равен нулю. Лемма
доказана.
Сам по себе тензор энергии-импульса не представляет физического интере-
интереса: важны лишь определяемые с его помощью инварианты типа Ph Поэтому он
определяется с точностью до преобразований, сохраняющих эти инварианты.

§14.1. Вариационное исчисление 497
Тензор Рк в общем случае не симметричен, но его можно сделать таким с по-
помощью преобразования A4.11). Полученный тензор мы будем тоже называть
тензором энергии-импульса, так как он удовлетворяет уравнению A4.9) и при-
приводит к тому же самому 4-вектору импульса, что и тензор A4.8). В физически
важных примерах можно добиться того, чтобы симметризованный тензор Рк тоже
быстро убывал на бесконечности.
Вращения пространства приводят к динамическому инварианту, который на-
называется моментом импульса. Он получается по общей схеме интегрированием
по поверхностям х° = const тензора Slik, который удовлетворяет «закону сохра-
сохранения» —т = 0.
дхг
Пусть тензор Рк симметричен. Тогда момент импульса выглядит просто: это
тензор
Мш = f{xl dPk - xk dP) = - / (xlTkl - xkta) dSi
J C JjcO=const
(для удобства мы определяем этот тензор с верхними индексами, поднятыми с по-
помощью метрики Минковского). Эта формула обобщает формулу для момента
импульса системы частиц в классической механике (см. § 12.3)
где суммирование выполняется по всем частицам системы.
Симметризация тензора Рк неоднозначна и определена с точностью до при-
прибавления следующего слагаемого:
^ где ф/« = ф«/ = ^
Как и раньше, мы потребуем, чтобы тензор <рш достаточно быстро убывал вме-
вместе со своими производными. Тогда по аналогии с доказательством леммы 14.1
показывается, что прибавление —x-j- не меняет значения момента импульса.
Теорема 14.4. Тензор Mik момента импульса сохраняется во времени.
Доказательство. Мы имеем
Mik(x°) = - [ (xlTkt - xkPl) dS,.
C Jjc°=consl
Аналогично доказательству теоремы 14.3 достаточно показать, что
ох
Вычисляя производные, получим
Л (xlTkl - xkPl) = Tki - Tk = О
дх
dTkl
в силу симметричности тензора Рк и уравнения —j = 0, которое вытекает из со-
соотношений A4.9) и того, что коэффициенты метрики gi} постоянны. Теорема до-
доказана.

498 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Мы рассмотрели здесь определение тензора энергии-импульса в случае, когда
метрика gif имеет постоянные коэффициенты. В общем случае искривленного
пространства тензор энергии-импульса определяется по-другому и при этом уже
по определению будет симметричным. Мы изложим это в § 15.1.
§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач
1. Минимальные поверхности. В §4.5 мы рассмотрели минимальные по-
поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, определив их как поверхно-
поверхности нулевой средней кривизны. В то же время само их название указывает на их
отношение к вариационным задачам. Здесь мы покажем, что они являются кри-
критическими точками функционала площади, который мы уже привели в качестве
примера в п. 1 § 14.1.
На ориентированной поверхности Е в R3, заданной локально регулярным ото-
отображением
г: (/->R3
области U с координатами х\ х2 в трехмерное евклидово пространство, опреде-
определена форма площади
-g2l2dxl Adx2,
где в каждом касательном пространстве репер гь г2, отвечающий координатам
х\ х2у положительно ориентирован и
gtj dxf dx1 = E(dx1J + 2Fdxl dx2 + G(dx2J
— первая квадратичная форма поверхности.
Однопараметрическое семейство поверхностей Ее называется гладкой дефор-
деформацией поверхности S, если
2) поверхности Ее задаются отображениями /*, которые гладко зависят от
параметра деформации е.
Замкнутая область V с S называется носителем деформации, если часть по-
поверхности, лежащая вне К, не деформируется.
Рис. 14.1. Носитель деформации

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 499
Если носитель деформации V компактен, то площадь 5(е) деформируемой
части Vt конечна и является гладкой функцией от параметра е. Поверхность
называется минимальной, если она является критической точкой функционала
площади по отношению ко всем деформациям с компактными носителями:
4-S(t)\ =0.
В частности, если поверхность, которая затягивает какой-то контур в М3, име-
имеет среди всех поверхностей, ограниченных этим контуром, наименьшую площадь,
то эта поверхность минимальна. Но в общем случае минимальная поверхность
не реализует минимум функционала площади. Это аналогично случаю геодезиче-
геодезических— «одномерных минимальных поверхностей».
Теорема 14.5. Регулярная поверхность S, заданная отображением
г: (/—>Е3, является минимальной, если и только если ее средняя кривизна
всюду равна нулю:
Я = 0.
Доказательство. Пусть V — замкнутая подобласть в U, Г — граница
области V и а* : U —* R3 — деформация поверхности, сосредоточенная в обла-
области V. Ее можно разложить в ряд по е и при этом пренебречь сдвиговыми де-
деформациями вдоль поверхности (они сохраняют площадь). Мы получим
г*(х\ х2) = г(х\ х2) + есрп + О(е2),
где функция ср равна нулю вне V и п — единичная нормаль к поверхности. Пло-
Площадь продеформированной части поверхности r*(V) равна
S(e) = / л/A> IK'S. 4) - A.1)A> r%)dxl Л dx2.
Jv
Так как
г\ — гкЛ- есрпЛ + е<р*п + О(е2)
и (Г|, п) = (г2, п) = 0, мы получаем
W. ф = fa, П) + «р((гь пу) + (гу, п,)) + О(е2)
(здесь нижние индексы i означают, что по переменной *' берется дифференциро-
дифференцирование). Из деривационных уравнений (см. п. 1 §3.4) следует, что (г,, ny) = -bih
где Ъц dx1 dx1 — вторая квадратичная форма поверхности. Отсюда мы выводим,
что
\ - 289^^ b22gu "" *l2f' " b^ + О(е«) do =
g\\g22-g\2
= S(O)-e /
JV
V g\\g22-g\2
Сумма корней k\ и k2 уравнения Я(Х) = detF/y- - Xg/,) = 0 равна, как легко про-
проверить,
Ь А. Ь = ^4^22 4- b22g\\ - b\2g2l
g\\g22-g2\2

500 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
и по теореме 3.4 это в точности удвоенная средняя кривизна поверхности: 2Н =
Окончательно мы получаем следующую формулу для вариации функционала
площади:
4-S{e) =-2[H<pdo. A4.12)
dt e=0 Jv
Поверхность является критической точкой функционала площади, т. е. вариация
площади равна нулю для любой деформации с компактным носителем V, если для
любой гладкой функции ср с компактным носителем правая часть формулы A4.12)
равна нулю. Это выполняется тогда и только тогда, когда Н = 0 в каждой точке
поверхности.
Теорема доказана.
2. Уравнения электромагнитного поля. В п. 3 §9.1 мы изложили без выво-
вывода уравнения Максвелла. Здесь мы дадим их вывод из вариационных принципов.
Действие системы, состоящей из электромагнитного поля и заряженных ча-
частиц в этом поле, имеет вид
Слагаемое Sm определяется движущимися заряженными частицами, которые
мы считаем точечными, и имеет тот же вид, что и действие для системы частиц
в отсутствие поля:
где сумма берется по всем частицам, т — масса частицы, dl — длина дуги в ме-
метрике Минковского в R1*3 и интеграл берется вдоль мировой линии частицы между
двумя фиксированными событиями. В трехмерной форме это слагаемое имеет вид
где v — трехмерная скорость частицы, а интеграл берется вдоль ее траектории
между начальными и конечными моментами времени (см. § 12.3).
Слагаемое Smf обусловлено взаимодействием между частицами и полем и име-
имеет вид
где сумма берется по всем частицам, е — заряд частицы и интеграл берется вдоль
мировой линии частицы. Здесь Аг—4-потенциал поля, который характеризует его
свойства. Выражение Axdxl задает 1-форму в пространстве Минковского R1*3,
и ее коэффициенты зависят от времени и пространственных координат. Свойства
частицы с точки зрения ее взаимодействия с электромагнитным полем определя-
определяются только ее зарядом е.
Слагаемое S/ зависит только от свойств самого поля и является действием
поля в отсутствие зарядов.

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 501
Чтобы получить уравнения, которые описывают эту систему, надо выписать
уравнения Эйлера—Лагранжа для полного функционала S, варьируя и траекто-
траектории частиц (при фиксированных граничных условиях), и поле. Так как при ва-
вариации траекторий слагаемое S/ не меняется, то для того чтобы найти уравнения
движения заряженных частиц в данном электромагнитном поле, надо выписать
уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала
Пространственные компоненты (Л1, Л2, Л3) 4-вектора Л образуют вектор-
векторный потенциал поля А, а временная компонента Л° = ср называется скалярным
потенциалом поля. Здесь индексы поднимаются при помощи метрики Минков-
ского: Л = (ф, —А).
Внешняя производная формы Л/ dxl называется тензором электромагнит-
электромагнитного поля Fik:
(О Ех
—Ех О
—Еу Нг
-Ег -Ну
где х° = cty хх = jc, х2 = i/, jc3 = г. Вектор
1
называется напряженностью электрического поля, а о векторе
H = rotA
говорят как о напряженности магнитного поля. Электромагнитное поле,
у которого Е ф О, Н = 0, называется электрическим полем; если же Е = О,
Н ф О, то поле называется магнитным. Очевидное уравнение
d(Fik dx1 A dxk) = d2(Ai dxl) = О
переписывается как первая пара уравнений Максвелла:
с dt' A4.13)
divH = 0.
Действие S/ принимается равным
1
/
где Н2 = (Н, Н), В = (Е, Е) — скалярные квадраты трехмерных векторов и ин-
интеграл берется по всем пространственным координатам и по всему трехмерному
пространству, а по переменной х° = ct — между двумя фиксированными момен-
моментами времени. Так как Ffk = FikFik = 2(H2 - f2), действие S/ принимает вид

502 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Полное действие S для электромагнитного поля с находящимися в нем зарядами
имеет вид
Для получения уравнений электромагнитного поля надо выписать уравнения Эй-
Эйлера—Лагранжа для функционала S, варьируя только потенциалы поля.
Представим функционал S/ + Sfm как интеграл по всему пространству. Для
этого введем плотность заряда р. Тогда pdV — это заряд, находящийся в трех-
трехмерном объеме dVy и р зависит от времени и х\ х2, xz. Если -тт —4-вектор
скорости точечного заряда, то 4-вектором тока называется вектор у = (ср, j), где
f = р -—-, j = (у1, у2, у3) = pv и v — скорость заряда в данной точке. Вектор j
называется трехмерным вектором тока. Действие принимает вид
Перейдем к нахождению уравнений поля. Поскольку траектории зарядов не
варьируются, мы получаем, что bSm = 0 и в слагаемом Sm[ не должен варьиро-
варьироваться ток /. Имеем
Так как Fik = -Fki = тт г» получаем
дх дх*
Второй интеграл преобразуем путем интегрирования по частям:
где, как мы уже отмечали, область D выделяется неравенствами t\ ^ / < ^. На
бесконечности поля быстро убывают, а при t = t{, t2 вариации потенциала равны
нулю: bAi = 0. Поэтому второе слагаемое равно нулю и мы имеем

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 503
Так как вариации 5Д- внутри области произвольны, мы получаем
dFik _ 471 ;/
дхк "" с1'
Запишем эти уравнения в трехмерной форме. При / = 1 уравнение имеет вид
1 dF10 { dFu ( dF12 ( 3Fl* = 471.!
С <?/ <?ЛС (?1/ (?2 С
Переписывая его в терминах векторов Е и Н, получаем —j1 + -^- Н -~ =
= jx. Преобразуя аналогично уравнения для / = 2, 3, запишем эти три урав-
уравнения в следующем виде:
4f
4f+yj- <14Л4>
При / = 0 мы имеем
д(Ех) д(Еу) д(Ег) _ 4к
т.е.
A4.15)
Уравнения A4.14) и A4.15) образуют вторую пару уравнений Максвелла.
Заметим, что уравнения Максвелла A4.13), A4.14) и A4.15) имеют нетриви-
нетривиальные решения и при отсутствии зарядов (р = 0, j = 0). Такие решения описы-
описывают электромагнитные волны.
Найдем тензор энергии-импульса электромагнитного поля при условии от-
отсутствия заряда. Лагранжиан действия S/ равен
1 fdAi dAk\2
~ \6\k дх1)'
Полевыми переменными являются компоненты потенциала Д. Следовательно, по
определению тензора энергии-импульса получаем
Tk dAi dL
Так как тензор Fkl кососимметричен, имеем
дхк дх1) 4кс дхк'
Мы заключаем, что , ^л ч = — -—Fkl и, следовательно,
л ( uAi \ 47СС
ггуЬ 1 С/1/ f"»fc/ , 1 ъ/г г* r^Int
Поднимем индекс / при помощи метрики Минковского g'* и получим

504 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Этот тензор не симметричен, но мы можем его симметризовать, вычтя из него
сумму вида jFkl. Эта сумма представима в виде —j (фш)-
dFkl
так как —J = 0 в СИЛУ уравнений Максвелла, описывающих поле в отсутствие
зарядов (/' = 0). Как показано в лемме 14.1, величина —j (фш) может быть до-
добавлена к тензору энергии-импульса без изменения вектора импульса системы.
Так как —j - —j = Fl7, окончательно получаем симметрический тензор энер-
дх ах
гии-импульса в виде
Г* = JL (_/*'/* + i gkFlmFlm). A4.16)
3. Уравнения Эйнштейна. Функционал Гильберта. Рассмотрим четырех-
четырехмерное многообразие Af4, на котором задана псевдориманова метрика gik сигна-
сигнатуры (Н ). В каждой точке х0 € М4 с помощью замены координат метрика
приводится к метрике Минковского
1
0
0
0
-1
Q
0
0
_1
0
0
0
Поэтому g = det gik < 0 и \g\ = -g.
Пусть d[i = yf^gtfx — форма объема на Л1Я, Г^ — симметричная связность,
согласованная с метрикой, и RliM—тензор кривизны Римана, построенный по
этой связности. Напомним, что тензор Риччи Rik = Rqiqk = g!mRumk имеет вид
и скалярная кривизна R равна
Согласно принципам общей теории относительности гравитационным полем
в пространстве-времени Af4 является метрика g/;. Уравнения Эйнштейна для
гравитационного поля (в пустом пространстве) получаются как уравнения Эй-
Эйлера—Лагранжа при варьировании действия этого поля. Функционал действия
был введен Гильбертом и (с точностью до умножения на физическую постоянную)
имеет вид
В случае, когда М4 является четырехмерным пространством с координатами
jt°, ..., х3, интеграл берется по области D, ограниченной двумя пространствен-

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 505
ноподобными гиперповерхностями. Эти гиперповерхности являются аналогами
поверхностей уровня времени / = t\, t2 в пространстве Минковского.
Мы найдем уравнения Эйлера—Лагранжа для наиболее общего функционала
se =
JM
где М — я-мерное многообразие с метрикой gij. При вариации этого действия
варьированию подвергаются компоненты метрики g^.
Теорема 14.6. Имеет место тождество
которое влечет соотношение
Доказательство. Мы имеем
J J
Найдем 5(\/IsT)- Пусть А** — алгебраическое дополнение элемента gik в матри-
матрице (gim). Разложим определитель этой матрицы по «&-му столбцу»: g = J2ik
i
Ясно, что bg = (bgik)Д/л, где суммирование уже ведется по i и ky так как диф-
дифференциал bgik каждой компоненты gik нужно умножить (при приведении по-
подобных членов) на коэффициент при этой компоненте в выражении для gy т. е.
на А1*. Так как g1* = —, выполняется равенство А'* = gg*h, откуда мы получаем
bg=gg** bgik. Заметим, что gkgik = Ь\ = п = dim M, и поэтому (bg*k)gut + ^(Sg/*) =
= 0, что влечет равенство bg = -gg;* 5g**. Предположим для определенности, что
\g\ = —g. Мы имеем
2
Аналогичные вычисления при \g\ — g приводят к общей формуле
Отсюда получим
= j(Rtk - iR
Найдем теперь bRik. Напомним, что согласно лемме 10.1 вариации bT'ljk обра-
образуют тензор, а символы Кристоффеля Г^ тензора не образуют.

506 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Для подсчета bRik фиксируем произвольную точку и введем в окрестности
этой точки геодезическую систему координат (см. п. 1 § 10.3). Это означает, что
в этой точке Г? = 0, так как -r-j (?к) = 0 в выбранной точке. Имеем
- *"?(8Г»> -
Так как 8Г|Л — тензор, величины W1 также образуют тензор, а потому его дивер-
dWl
генция —у в нашей специальной системе координат не изменится при переходе
к любой другой криволинейной системе координат. При этом следует использо-
использовать инвариантное определение div Т = V/P, так как величина ~Г1(Т1) не является
тензором относительно произвольных замен. Напомним (см. §10.3) явную фор-
формулу для div T в произвольной системе координат относительно симметричной
связности, согласованной с метрикой:
Получаем gkbRik = —7= —7 (\/igjW)- Тем самым мы преобразовали интеграл
у/\8\ дх
J f?kbRiky/\g\dnx к виду J —I (\f\8\Wl) dnx. По формуле Стокса этот интеграл
равен интегралу по границе области 3D от \g\Wl. Так как на 3D вариация поля
равна нулю, этот интеграл также равен нулю. Окончательно получаем
bSg = J(R* - i /&*)#* visk*-
Теорема 14.6 доказана.
В общей теории относительности действие состоит из двух слагаемых: S =
= Sg + Sm, где Sm —действие материи. Уравнения Эйлера—Лагранжа для него
принимают вид
R*-5*g» = -jjjjH' A4-17)
С точностью до умножения на физическую постоянную правая часть равна тен-
тензору энергии-импульса системы Tik. Например, для электромагнитного поля мы
действительно получаем симметрический тензор энергии-импульса. Мы обсудим
это более детально в § 15.1.
Заметим, что уравнения A4.17) нелинейны и сумма двух решений не обязана
быть решением.

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач
507
При dim М = п ф 2 уравнения
/?/*-§&* = 0
(в теории относительности это — уравнения гравитационного поля в пустом про-
пространстве, т. е. при Tik = 0) принимают вид
(метрика является риччи-плоской). Действительно, мы имеем
* - gRgik) = Я - ? Л = 0.
A4.18)
Из того, что Rik = 0, не следует, что пустое пространство-время является плос-
плоским: равенства нулю тензора Риччи для этого недостаточно. Пространство плос-
плоское, если весь тензор кривизны Римана /?}Л/ равен нулю. В трехмерном простран-
пространстве тензор Римана выражается через тензор Риччи (см. п. 3 § 10.2) и из условия
Rut = 0 следует, что все пространство является плоским.
В двумерном случае мы всегда имеем Rik = - Rgiky и поэтому интеграл Sg
не меняется при вариациях метрики, а скалярная кривизна R равна удвоенной
гауссовой кривизне /(. Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 14.7. Величина S[g] = / Ky/gdx] Л dx2, где К — гауссова кривиз-
кривизна, не меняется при локальном изменении метрики g/y, /, /=1,2.
Если поверхность, погруженная в Е3, замкнута, то локальность изменения
метрики несущественна и мы получаем следующий результат.
Следствие 14.1 (теорема Гаусса—Бонне). Интеграл от гауссовой кри-
кривизны по замкнутой ориентированной поверхности в трехмерном евкли-
евклидовом пространстве не меняется при гладкой
деформации поверхности:
I
K\fgdxx Л dx2 = const.
Можно показать, что значение этого интеграла
равно
Ky/gdxx Л dx2 = 2кB - 2g),
Рис. 14.2
где х = 2 — 2g — эйлерова характеристика поверх-
поверхности, которая является сферой с g ручками.
Действительно, рассмотрим отображение Гаусса для поверхности, изображен-
изображенной на рис. 14.2. Мы видим, что степень этого отображения равна A — g). Пло-
Площадь поверхности единичной сферы равна 4л, и согласно теореме 12.7 интеграл
от гауссовой кривизны равен с точностью до 4к степени отображения Гаусса.

508 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Окончательно для сферы с g ручками мы имеем
Умножение метрики gy на положительную постоянную у.2: gy —> y.2gy приводит
к следующим преобразованиям:
Это означает, что при п ф 2 функционал Sg однороден. Если его значение не равно
нулю, то оно может быть уменьшено простым изменением масштаба: gy —> [*2gy-
Поэтому при я ^ 3 не имеет смысла говорить о критических точках функциона-
функционала Sgy а разумно ставить задачу об условных экстремумах и искать критические
точки функционала Sg для метрик фиксированного (например, единичного) объ-
объема. По правилу Лагранжа надо искать критические точки функционала
Варьируя его по компонентам метрики, получаем уравнения
R* - \ Rgik = Ag,*, Л = const.
Метрики (римановы или псевдоримановы), удовлетворяющие этим уравнениям,
называются метриками Эйнштейна. Аналогично соотношению A4.18) дока-
доказывается, что при п^З у метрик Эйнштейна скалярная кривизна постоянна.
При п = 3 тензор Римана восстанавливается по тензору Риччи и риманова ме-
метрика является метрикой Эйнштейна тогда и только тогда, когда ее секционная
кривизна постоянна.
4. Гармонические формы и разложение Ходжа. Пусть Мп — ориентиро-
ориентированное гладкое многообразие с римановой метрикой и
Л=0
— алгебра гладких дифференциальных форм на Мп, градуированная степенями
deg = k форм.
Зададим на пространстве С*(Мп) билинейное скалярное произведение по сле-
следующим правилам:
1) если степени форм g>i и о>2 различны, то (о>|, со2) = 0;
2) если формы о)| и б>2 имеют одну и ту же степень, то
(<0|,A>2)= / 6)i Л *6J. A4.19)
Для сходимости интеграла надо потребовать, чтобы многообразие было ком-
компактным или формы были финитными (равными нулю вне компактного подмно-
подмножества).

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 509
Мы предположим, что Мп — компактное многообразие без края.
Любую метрику можно в каждой заданной точке Р привести к евклидову виду
заменой координат:
ds2 = bijdxidxi.
Если координаты (х\ ..., хп) задают положительную ориентацию, то
*о = *(/(*) dxl А ... Л dxk) = f(x) dxk+l Л ... Л dxn,
uA*G> = \f\2y/gdxl A...dxn
в этой точке (в этих координатах g= 1 в точке Р). Следовательно, данное ска-
скалярное произведение положительно определено:
(со, со) 5* 0
(причем равенство достигается только при со = 0) и симметрично:
(б),, С02) = (с02, 0)|).
Имеет место очевидная лемма.
Лемма 14.2. Внешний дифференциал d и оператор дивергенции Ь со-
сопряжены относительно скалярного произведения A4.19):
d*=b.
Напомним, что действие 8 на формах степени k определяется как
Доказательство. Пусть coi и со2 —дифференциальные формы степеней
(k - 1) и k соответственно. Тогда прямыми вычислениями получаем
, о>2) = / Л*>| Л *g>2 = / d(o)i Л *б>2) 4- (—1)* / о
Так как интеграл от внешнего дифференциала формы по Мп равен нулю по тео-
теореме Стокса и на пространстве й-форм выполнено тождество
мы имеем
(-1)* /^0)^^*6J= А о, A*((
Лемма доказана.
Функционал Ходжа определяется как
Так как^2 = 0 и (rf*J = 82 = 0 (см. п. 2 §9.1), мы имеем (do>, d*o>) = (d2o>,, g>2) = 0
и функционал Ходжа переписывается в виде
Критические точки функционала Ходжа называются гармоническими формами.

510 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Теорема 14.8. Форма со является гармонической тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет уравнению
Лео = (dd* + d*d)(* = 0. A4.20)
Доказательство. Найдем вариационную производную функционала
Ходжа. Так как оператор А = d + d* самосопряжен, для любой вариации
о)-хо + /амы имеем
(А(и> + /а), Л (со + /а) = |Ло>|2 + 2t(Au>t Л а) + O(t2) =
= |Л<о|2 + 2/(ЛМа>, а) + O(t2) = |Ло>|2 + 2/(Л2а>, а)
и, следовательно, вариационная производная равна
В то же время (d + d*J = dd* + d*d. Теорема доказана.
Оператор
A = dd* + d*d = db + bd
называется оператором Лапласа. Он переводит ?-формы в ?-формы и действу-
действует на коэффициенты этих форм как дифференциальный оператор второго поряд-
порядка. На функциях этот оператор совпадает с оператором Лапласа—Бельтрами.
Очевидно, что оператор Лапласа самосопряжен:
как и оператор D =
Гармонические формы являются решениями уравнения второго порядка
A4.20). В то же время Ходж показал, что в действительности они могут быть
найдены как решения системы из двух уравнений первого порядка.
Теорема 14.9. Форма <а является гармонической тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет уравнениям
Ао = 0, rf*G) = So> = 0. A4.21)
Доказательство. То, что из соотношений A4.21) следует равенст-
равенство A4.20) —очевидно. Предположим теперь, что (dd* + d*d)(*> = 0. Тогда
{(dd* + d*rf)co, <¦>) = <d*6>, d*6)> + <do>, dco) = |<f <o|2 + |d<o|2 = 0,
что влечет выполнимость равенств A4.21). Теорема доказана.
Введем следующие подпространства в С*(Мп):
1) Bd = B*d(Mn) — пространство всех точных форм, т.е. форм вида da;
2) Вь = В*(Мп) — пространство, состоящее из всех форм вида &Р;
3) % = *К*(Мп) — пространство гармонических форм.
«Лемма 14.3. 1. Пространства Bdj Въ и *К попарно ортогональны.
2. Если форма о> ортогональна пространствам Bd и В&, то о> — гармо-
гармоническая форма.

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 511
Доказательство получается прямой проверкой. Мы имеем
(da, d*C) = {d2a, р) = О,
поскольку d2 = 0. Следовательно, подпространства Bd и Вь ортогональны.
Пусть do = df*<o = 0 (т. е. форма о — гармоническая). Тогда
<of At) = <*•*>, а> = 0,
> 0 1 * '
Следовательно, пространство 0i ортогонально Bd и В8- Утверждение 1 доказано.
Обратно, если равенства A4.22) верны для всех форм а и р, то do = d*co = 0.
Утверждение 2 и, тем самым, лемма доказаны.
С помощью теории эллиптических уравнений с частными производными уста-
устанавливается следующий факт, который мы изложим без доказательства.
Теорема 14.10 (разложение Ходжа). Каждая гладкая форма о на за-
замкнутом многообразии однозначно представляется как сумма гладких
форм вида
со = da + rf*p + ф,
где ср— гармоническая форма.
Заметим, что замкнутые формы — это в точности формы вида da + ср (член
d*P в разложении Ходжа равен нулю). Действительно, d2a = dcp = 0, и если
rfd*p = 0, то
Поэтому пространство замкнутых форм есть Z = Bd + !К и группа когомологий
де Рама Я* = Z/Bd (см. п. 1 § 9.3) естественно изоморфна пространству гармо-
гармонических форм. Мы получаем следующий результат.
Следствие 14.2. Каждый класс когомологий [о] е Н*(Мп; R) замкнутого
многообразия Мп однозначно представляется гармонической формой со.
Заметим, что линейный изоморфизм % = Я* не продолжается до изоморфизма
колец, так как внешнее произведение пары гармонических форм может не быть
гармонической формой.
Пример. Плоские торы. Пусть Мп = Тп = Мл/Л — тор с евклидовой
метрикой bijdx'dx' (здесь (jc1, ..., хп)—линейные координаты на торе, опре-
определенные с точностью до векторов из решетки Л). Тогда оператор Д в этих
координатах совпадает с точностью до знака с обычным оператором Лапласа,
действующим на коэффициентах форм. Для краткости мы продемонстрируем это
только в двумерном случае.
Пусть п = 2 и со = a dx + b dy. На 1 -формы оператор S в любой размерности
действует как 5 = -*d*. Нижние индексы х и у будут обозначать дифференци-

512 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
рование по этим переменным. Мы имеем
adx + bdy -^-» -bdx + a dy -^ (by + ax) dx Л dy -^
-^ -(я, + &у) -^ dd*6> = -(ах* + ft*f) ^ ~ (аХ|Г + &w) dy,
adx + bdy -1+ (—ау -f 6^) d* Л dy -^ (fc^ — ау) ~^->
Окончательно получаем
Д(а dx + b dy) = -(ахх + ауу) dx - (bx
Осталось заметить, что из принципа максимума для гармонических функций сле-
следует, что ограниченные на всем пространстве R2 двоякопериодические функции а
и b постоянны. Мы получили следующий результат.
Следствие 14.3. Гармонические формы на торе — это в точности фор-
формы с постоянными (по евклидовым координатам) коэффициентами.
Кольцо форм с постоянными коэффициентами на торе изоморфно кольцу его
когомологий де Рама. Впрочем, мы уже доказывали это, когда излагали метод
усреднения для вычисления когомологий однородных пространств (см. п. 3 §9.3).
Пусть Тп = Rn/Zn — плоский тор с кубической решеткой периодов. В евкли-
евклидовых координатах мы не различаем векторные и ковекторные поля и поэто-
поэтому можем говорить о разложении Ходжа векторных полей. Оно выглядит очень
просто.
Пусть v = ]? a*e2ll/{*tJf) — разложение Фурье векторного поля и. Каждый век-
торный коэффициент ak при k ф 0 разложим в сумму ak = a'k + a?, где векторы
а' и k пропорциональны, а векторы ajf и k ортогональны: (a?, k) = 0. Положим
*€Z"\{0}
Мы имеем разложение
v = v0 + v1 + v'\
v1 = da, v" = 8p, dv0 = 8u0 = 0,
где поле v0 имеет постоянные коэффициенты (гармонично), поле v' градиент-
но: v1 = da, и поле v" бездивергентно: bv" = 0 (это значит, что v" = Щ). Это
разложение впервые возникло в теории упругости и называется разложением
Гельмгольца.
Рассмотрим теперь ограниченную область U в трехмерном евклидовом про-
пространстве. Очевидно, можно считать, что эта область лежит в плоском торе, и все
формы из этой области продолжаются до гладких форм. Для нее справедливо
следующее утверждение.
Каждое векторное поле v в области U разлагается в сумму градиент-
градиентного и бездивергентного векторного полей.

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 513
Это разложение неоднозначно: каждое из слагаемых определено с точностью
до прибавления поля с постоянными коэффициентами.
5. Функционал Дирихле и гармонические отображения. Пусть Мп \\Nq —
римановы многообразия с метриками g4 и ЛаC соответственно. Определим функ-
функционал Дирихле на пространстве гладких отображений из Мп в Nq следующей
формулой:
S(f) = \j/h* % % VSdx' Л ... Л dx", A4.23)
где /: Мп —» Nq — гладкое отображение.
Мы скажем, что отображение /: Мп —> Nq гармоническое, если оно является
критической точкой функционала S вида A4.23).
Теорема 14.11. Отображение /: Мп —> Nq является гармоническим, если
и только если оно удовлетворяет уравнению
$^=° A4-24)
для всех у = 1, •.., Qy где Д — оператор Лапласа—Бельтрами на Мп:
и Гф, а, C, у = 1, ..-,<?> — символы Кристоффеля единственной симметри-
симметрической связности на Nqy согласованной с метрикой АаР.
Доказательство. Рассмотрим /-параметрическое возмущение // ото-
отображения / = /о и предположим, что это возмущение имеет компактный носи-
носитель, не пересекающийся с границей многообразия Мп. Положим v = -Щ .
Мы имеем
dt Lo " 2 ;,,„ [g «y V дх> дх>
и, интегрируя по частям, получим
dS\ft) I = i / |_9tia/? , -?—[ rfi[o^— \ 4-
dt !/=о
Так как
мы окончательно получаем
dS№)
dt
-I = - / hrXv\4f)y/gdxl л... л Же",
1/=0 7д|й

514 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
где т(/) — вектор напряжения вида
Очевидно, что отображение / гармонично тогда и только тогда, когда т(/) = 0.
Теорема доказана.
Пример. Геодезические. Пусть М1 — прямая или отрезок прямой.
Любая метрика заменой переменной приводится к виду dt2(gu = 1). Тогда урав-
уравнение A4.24) для отображения /(/) = (у1 (/), . ¦., yq(t)) принимает вид уравнения
геодезических в №:
Следовательно, геодезические — это в точности одномерные гармонические ото-
отображения.
Заметим, что гармоничность многомерного отображения зависит от выбора
метрик на обоих многообразиях Мп и №. В двумерном случае функционал Ди-
Дирихле S обладает следующим свойством конформной инвариантности.
Лемма 14.4. Значение функционала Дирихле S(f) для отображения дву-
двумерного многообразия /: М2 —> № не изменится при замене метрики Цц на
многообразии М2 на конформно инвариантную метрику gf/M = Мх)ёи(х)-
Лемма вытекает из того, что метрика gy входит в подынтегральное выражение
для функционала Дирихле посредством выражения ffly/g, которое конформно
инвариантно.
Следствие 14.4. Если отображение /: М2 -> № двумерного многообра-
многообразия М2 с метрикой gy гармонично, то оно гармонично для любой кон-
конформно эквивалентной метрики Xgy.
Функционал Дирихле является естественным обобщением функционала объ-
объема. Действительно, пусть метрика gy индуцирована метрикой h<$ при погружении
многообразия Мп в №. Векторы /,- = (~т Ь ** = К • •.» я» в каждой точке из Мп
задают базис касательных векторов и
*•**? Л^^^'^-^-
этом подынтегральное выражение для функционала Дирихле равно
Отсюда получаем следующее утверждение.
Лемма 14.5. Если метрика gy на Мп индуцирована метрикой ЛаР на №
при погружении f:Mn^ №, то функционал Дирихле пропорционален объ-
объему многообразия Мп:
xl A.-.Adx".

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 515
Критические точки функционала объема — это минимальные подмногооб-
подмногообразия (в двумерном случае при Nq = 1R3 мы уже рассматривали их, когда гово-
говорили о минимальных поверхностях, см. п. 1.
Прежде чем вывести уравнение для минимальных подмногообразий, введем
некоторые необходимые понятия.
Для каждого подмногообразия Мп с Nq с индуцированной метрикой обозна-
обозначим через х\ ..., хп локальные координаты на Мп и через хп+\ ..., xq — нор-
нормальные к Мп координаты в Nq.
Поскольку в этих координатах hi} = gi} при /, / = 1, ..., я, то символы Кри-
стоффеля Т!ы и f !kl в Мп и № соответственно совпадают при 1 ^ /, k, I < п:
Г1/ = Гул/ при
Это вытекает из формулы
/ _ j_ jm (
*'~~2g V
k )
дх1 дхк дхт)
для символов Кристоффеля.
Вторая квадратичная форма подмногообразия В E, г\) —это билинейная
форма на векторах ?, г), касательных к подмногообразию Мп в какой-то точке Р,
и ее значение — вектор, нормальный к Мп в той же точке Р.
Чтобы определить ее, продолжим ^ и у) до векторных полей в окрестности
точки Р, возьмем ковариантную производную поля V4? по отношению к связ-
связности на Nq и через В(?, г\) обозначим ортогональную проекцию вектора V,,!; на
подпространство, ортогональное кМп в касательном пространстве к Nq в точке Р:
V,5 = B(Z, т)) + и, ve ТМ\ ВE, г)) ± 77ИЯ.
Оказывается, значение вектора В(^, tq) зависит только от значений векторов $
и т) в точке Р.
Эта форма при п = 2 и УУ7 = R3 переходит во вторую квадратичную форму
поверхности. Так как в общем случае
ik = Ud? + l^'d? ар~ }к~д?' U = ,...,/1,
то в координатах, выбранных выше, очевидно выполняются следующие аналоги
деривационных уравнений:
вЬ = ГЬ-ГЬ = О при y^az, BL = ГI/ при у>п.
Теорема 14.12. Подмногообразие Мп с № минимально тогда и только
тогда, когда след второй квадратичной формы всюду равен нулю:
Доказательство. Для оператора Лапласа—Бельтрами справедлива
следующая формула (она доказывается прямыми вычислениями):
*~g dx'dxk g ljk дхг

516 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
Подставив ее в A4.24), получим, что гармоническое уравнение принимает вид
g
В таких координатах (х\ ..., Xя) на Nq, что х\ ..., хп — координаты на подмно-
подмногообразии Мп и координаты хп+\ ..., Xя являются нормальными кАРв точках
из этого подмногообразия, уравнение гармоничности имеет вид
что доказывает теорему.
Для произвольных подмногообразий Мп с № вектор

называется вектором средней кривизны. Теорема 14.12 утверждает, что мини-
минимальные подмногообразия — это в точности подмногообразия с нулевой средней
кривизной:
Для двумерных поверхностей это было доказано в п. 1.
Простые примеры минимальных подмногообразий дают вполне геодези-
геодезические подмногообразия, выделенные условием В($, г\) = 0. Это, например,
/г-мерные плоскости вЕ"и экваториальные сферы Sk в единичных сферах S".
Эти сферы получаются как пересечения Sn с Шп+] с (k + 1)-мерными плоско-
плоскостями, проходящими через 0 G Кя+!.
Рассмотрим теперь другой нетривиальный пример: гармонические отображе-
отображения единичной сферы 52 в себя. Если из сферы выкинуть точку, то на дополнении
можно выбрать такой комплексный конформный параметр z = и + iv> что метри-
метрика примет вид
dl2 _ 4dzdz _ 4(du2 + dv2)
A + |z|2J A +w2 + v2J'
Сама сфера при этом представляется как комплексная плоскость С, пополненная
бесконечно удаленной точкой (см. п. 1 §4.2), и является комплексным многообра-
многообразием, которое комплексно-аналитически диффеоморфно комплексной проектив-
проективной прямой СР1.
Форма объема равна
_, 4duAdv
Так как в двумерном случае функционал Дирихле для отображений /: M2^>Nq
конформно инвариантен, метрику на М2 \ {оо} = С можно выбрать евклидовой:
dl2 = dwdw и, полагая w = х + iy, записать функционал Дирихле для отобра-
отображения z = f(w) из S2 в S2 в виде
f- dx Л dy.

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 517
Согласно теореме 12.7 степень отображения / равна
Эта величина — целое число, которое не изменяется при гомотопиях, и в том
числе при малых шевелениях отображения /.
Рассмотрим теперь выражение
Это выражение всегда неотрицательно, и если оно равно нулю для какого-то ото-
отображения /, то на этом отображении функционал Дирихле S достигает минимума
среди отображений степени deg/.
Для любой степени d ^ О равенство
S(/)-4Kdeg/ = 0
выполняется в точности для отображений, удовлетворяющих условиям Коши—
Римана
Их = Vy, Uy = -Vx%
т. е. для голоморфных отображений /: S2 —> 52 (df/dz — O).
Тем самым нами доказана следующая теорема.
Теорема 14.13. Гармонические отображения степени d^O единичной
сферы S2 с R3 в себя — это в точности голоморфные отображения сте-
степени d. Для них функционал Дирихле равен
S =
6. Массивные скалярные и векторные поля. Приводимый ниже набор при-
примеров является стандартным материалом из учебников по теории поля в курсе
теоретической физике.
В физике функционал действия для массивного комплексного скалярного по-
поля <р(х) в пространстве R1'3 с метрикой Минковского
<х=1
(х° = ct) отличается от функционала Дирихле дополнительным (массивным) чле-
членом. А именно, функционал действия для такого поля равен
S = const.|[ft2(fj, ^)-m*c*y(x)9(x)]d<x = J\d*x, A4.25)
где черта обозначает комплексное сопряжение, h—постоянная Планка (она име-
имеет размерность действия) не — скорость света.
Величина т ^ 0 называется массой частицы, которая описывается полем ср.
Переменные ср и ф, входящие в лагранжиан поля

518 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
формально считаются независимыми переменными. Уравнения Эйлера—Лаг-
ранжа
!?¦* 1=»
для этого действия принимают вид уравнения Клейна—Гордона
(ft2D + mV)cp = 0, A4.26)
где
u = -—Y-L-
(дх0J *-* (дхаJ
Ct=l
— оператор Даламбера.
Для простоты положим все универсальные постоянные равными единице:
ft= 1 и с= 1. Тензор энергии-импульса имеет вид
1 "~ ' ~ГёГ W ^ + дхс дх«)
(см. п. 2 § 14.1), а плотность энергии равна
Так как действие A4.25) инвариантно относительно группы преобразований
ф —> е/аф, ф —> в"/аф, а = const,
эта группа порождает сохраняющийся ток
Величина
<? =
называется зарядом поля ф.
Включение внешнего электромагнитного поля производится по правилу р —>
е * .*. д
—> р + -А, где р = т-г- — оператор импульса:
дха 1 дх°^ ch аУ h
Здесь Аа(х) — вектор-потенциал электромагнитного поля, е—заряд, с и h—уни-
h—универсальные постоянные. С учетом равенств h = 1 и с = 1 мы имеем
i^^i^ + eAAx),
и полный лагранжиан поля принимает вид
Л(ф, ф, А) = @ + /Маф, ^ - ieAa(^ - т2с2фф - -^ FabFaby A4.28)
с _ дАь дАа

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 519
Мы оставляем в качестве задачи проверку того, что действие A4.28) инвари-
инвариантно относительно следующих калибровочных преобразований:
Так как для действительного скалярного поля ф = <р, мы имеем
и вектор тока A4.27) равен нулю:
Поэтому говорят, что это поле нейтрально. При этом включение электромагнит-
электромагнитного поля невозможно, так как решения уравнений Эйлера—Лагранжа не будут
вещественными.
Для поля const • е?(к*\ которое является решением свободного уравнения
A4.26), выполняется соотношение
В физике считается, что такое решение изображает свободную частицу массы т
с импульсом р = hk, пропорциональным вектору k. Импульс такой частицы лежит
на массовой поверхности:
(р, р) = т2с\
Рассмотрим теперь массивные векторные поля. Пусть, как и выше, фунда-
фундаментальные постоянные равны единице: /1=1 и с = 1.
Лагранжиан комплексного векторного поля ф = (ф0, фь ф2, фз) с массой тфО
в пространстве R1*3 имеет вид
причем наложены следующие дополнительные условия (калибровка) на поле:
«, * = 0. (.4.291
Уравнения Эйлера—Лагранжа — = — = 0 для действия S = / Л d4x опять при-
принимают вид
Тензор энергии-импульса есть
дх? дл!* дхс)
и группа симметрии
ф -* eia<p, ф -> е"/аф, а = const,

520 Глава 14. Многомерные вариационные задачи
порождает сохраняющийся ток
Можно показать, что если калибровка A4.29) для векторного поля не выпол-
выполняется, то энергия j T°°d?x не будет в общем случае положительной величиной.
Включение электромагнитного поля снова производится по правилу
- д • д . е л
1 дха~*1 дха + chAa'
Полный лагранжиан с учетом электромагнитного поля инвариантен относительно
преобразований
(ft = с = 1). В случае вещественного векторного поля ср нулевой массы т = 0 мы
получаем лагранжиан электромагнитного поля
Л = const- F+F*, Fab =*&-&.,
который инвариантен относительно калибровочных преобразований
Решения уравнения A4.30) типа плоской волны const • ei{k>x\ как и в случае
скалярных полей, обладают свойством
<*. *) = ^
и их импульс лежит на массовой поверхности (р, р) = т2с2.
Упражнения к главе 14
1. Пусть Р1 — тензор энергии-импульса. Докажите, что
/> = i fp°dxl Adx2Adx*
(вектор с составляющими (Р°/с, Р°/су Р°/с) называется плотностью импуль-
импульса системы, а величина V** — плотностью энергии),
4; l
dt Jv
v Jdv
(здесь Г* daa = Px dx2 Л rfx3 + Г02 dx3 Л dxx + 1™dxl Л dx2) и
dt Jv c Jav
(тензор Г*, а, р= 1, 2, 3, называется тензором напряжений (тензором плот-
плотности потока импульса)).

§ 14.2. Примеры многомерных вариационных задач 521
2. Докажите, что если геодезическая линия на многообразии № касается
вполне геодезического подмногообразия Мп с Nq в какой-то точке, то она пол-
полностью лежит в Мп (это свойство эквивалентно вполне геодезичности подмного-
подмногообразия Мп).
3. Докажите, что если подмногообразие Мп С Nq образует множество непо-
неподвижных точек изометрической инволюции F: Мп —> Мп, F2 = 1, то оно вполне
геодезическое.
4. Докажите, что пересечения сферы (х1J + ... + (хпJ = 1 с плоскостями лю-
любой размерности, проходящими через начало координат, — вполне геодезические
подмногообразия сферы.
5. Докажите, что тор Клиффорда, определенный уравнениями
= i,
в евклидовом пространстве R4, является минимальным подмногообразием еди-
единичной сферы S3 с R4.
6. Докажите, что отображение Гаусса G: М2 —> S2 двумерной поверхности
М2 С М3 с индуцированной метрикой (первой квадратичной формой) в единичную
сферу является гармоническим тогда и только тогда, когда поверхность М2 имеет
постоянную среднюю кривизну: Н = const.
7. Докажите, что комплексные подмногообразия в кэлеровых многообразиях
минимальны.
8. Докажите, что экстремали функционала S{F) = / F A*F = J FikFik d4x при
условии d(Fik dxl Л dxk) = 0 удовлетворяют уравнениям Максвелла в пустоте.
Здесь Fik — кососимметрический тензор в пространстве Минковского R1'3.
9. Рассмотрим функционал
5[Г] =
где
и метрика gik фиксирована. Докажите, что экстремали Г = (Г?) этого функци-
функционала удовлетворяют формулам Кристоффеля, выражающим символы Г? через
компоненты метрического тензора.
17- 1168

Глава 15
Геометрические поля в физике
§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна
1. Принципы специальной теории относительности. Сформулируем ос-
основные понятия и принципы специальной теории относительности (СТО), кото-
которые уже частично излагались в §2.2, 12.3 и 14.2.
Согласно специальной теории относительности, созданной в работах физи-
физиков Эйнштейна и Лоренца и геометров Минковского и Пуанкаре, пространством
событий является четырехмерное пространство Минковского R1*3 с коорди-
координатами х° = с/, х\ х2, х3 и метрикой
з
dl2 = gi} dxl dxj = (dx0J - ^(dxaJ,
a=l
где t — время и с — скорость света в пустоте. Напомним, что эта метрика назы-
называется метрикой Минковского.
Каждому точечному событию отвечает точка пространства R1'3. Переход
к другой инерциальной системе отсчета х° = cf, x\ Jc2, х3 задается элементом из
группы Пуанкаре (группы движений пространства R1*3). Эта группа десятимер-
десятимерна и порождена сдвигами и «вращениями» из 0A, 3).
Вектор ? называется времениподобным, световым или пространственноподоб-
ным, если (?, ?) > 0, (?, ?) = 0 или (?, ?) < 0 соответственно. Линия у( назы-
называется времениподобной, световой или пространственноподобной в зависимости
от того, к какому типу принадлежат касательные векторы и = -j- к этой линии.
Каждой точечной частице сопоставляется ее мировая линия у(т) в R1'3, опи-
описывающая состояния этой частицы. Если частица массивна, то ее мировая линия
времениподобна. Безмассовые частицы (например, фотоны) распространяются
вдоль световых линий.
При описании движения свободной частицы массы т > 0 используется один
из следующих двух функционалов:
S,=
52 = / Ц d\ = -тс \ у/(и, и) dx,
Л(т) Л(т)
dr
где и = -г1 — вектор скорости.

§15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 523
Функционал S2 пропорционален функционалу длины в R1'3 и, следовательно,
не зависит от параметризации кривой у(т). Поэтому параметризуем у с помощью
мирового времени т = / и перепишем S2 в следующем виде:
52 = -тс2 / \/1 - ~ dt,
J У с2
где и = (с, v\ v2, t;3), v = (-7Г, -тг, -гг) —вектор трехмерной скорости и v2 =
= 1l,(v*J-
Энергия частицы равна
тс2
а трехмерный импульс р = (р,, р2, /?3) имеет вид
dL2 mva
При и = 0 мы получаем знаменитую формулу для энергии покоящейся массы:
Е = тс2. A5.1)
В нерелятивистском пределе, когда \v\ <^ с, лагранжиан L2 переходит с точ-
точностью до постоянного слагаемого в обычную кинетическую энергию:
/ 2 17 v2 о mv2 r\(vA\ 2 mv2
L2 = -mc2d\ --$ = -тс2 + — + °{"^) ^ -mc + "Y"»
а энергия и импульс принимают вид
2
Е » тс2 + ^у-, ра
Тем самым, в нерелятивистском пределе они переходят в классические выраже-
выражения (к энергии добавится постоянный член тс2).
Мы заключаем, что свободная частица распространяется по геодезическим
метрики Минковского и уравнения движения в нерелятивистском пределе пере-
переходят в уравнения классической механики.
В четырехмерном формализме, где нет выделенного мирового времени /, удоб-
удобнее использовать функционал S\. В этом виде все понятия обобщаются на слу-
случай общей метрики gik сигнатуры (н ) в общей теории относительности.
Из уравнений Эйлера—Лагранжа для функционала S\ следует, что величина
и1 —г — L\ = ^ (а, и) постоянна вдоль экстремалей, и поэтому параметр т на
них является натуральным: dx = const • dl. Экстремаль функционала S\, взятая
17*

524 Глава 15. Геометрические поля в физике
по отношению к любому другому натуральному параметру, опять является экс-
экстремалью, и мы положим dx = —, т. е.
\?j = (u,u) = c\ «< = ?.
Параметр т на кривой (мировой линии частицы) называется собственным вре-
временем частицы, если он удовлетворяет этому соотношению: с = j-. Вектор ско-
скорости ы, взятый по отношению к этому параметру, называется (инвариантным)
4-вектором скорости:
и =
Четырехмерный импульс (ковектор, с нижними индексами) равен
Е
dL\ (Е
а 4-вектор импульса получается из него поднятием индекса с помощью метрики
Минковского:
Этот вектор удовлетворяет уравнению
&/РУ = (Р0J - J>"J = % - Р2 = mh\ A5.2)
ct=l °
которое задает в пространстве импульсов р с метрикой Минковского gi} мас-
массовую поверхность — трехмерное пространство Лобачевского (оно имеет посто-
постоянную отрицательную кривизну). Мы разбирали аналогичное задание плоскости
Лобачевского в § 4.3.
Энергия как функция от импульсов и координат является функцией Гамиль-
Гамильтона. Из уравнения A5.2) получим
Н =
и в нерелятивистском пределе |р| < тс мы опять имеем с точностью до посто-
постоянного слагаемого классическое выражение для гамильтониана:
Включение электромагнитного поля с потенциалом Ai(x) dx' состоит во вве-
введении дополнительных членов в лагранжианы:

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 525
где е — заряд частицы. Это равносильно сдвигу 4-вектора импульса (см. § 12.4)
р1 -+ Р1 + -АЧх), А1 = gkAky / = О, 1,2, 3.
с
Энергия частицы в электромагнитном поле равна
и, как функция от координат и трехмерного импульса, энергия есть
Н(х, р) = cJ^2(j)a - ^ А») + ^2^2 + еА>(*).
V «=!
Действие самого поля выражается через тензор напряженности Fik = —f ?
следующим образом:
Очевидно, что
= d(Ftt dx! Л dx*) = (gf + ^ + ^) ^ Л (Ы A dx* = 0
(первая пара уравнений Максвелла). Варьируя S(F) + Si или S(/7) + S2 (взятые
с учетом добавления к лагранжианам членов, определяемых полем А) по компо-
компонентам потенциала Д-, мы получаем как уравнения Эйлера—Лагранжа вторую
пару уравнений Максвелла:
Ас* ~ с h
где/ — вектор тока, равный нулю в пустом пространстве (см. § 14.1).
Уравнения движения многочастичных систем являются уравнениями Эйле-
Эйлера—Лагранжа для функционалов S(F) + Х^5(,А) или S(F) + J^S^» гДе сумми-
k k
рование берется по частицам системы, a S\k) — определенный выше функционал
действия для k-и частицы, /=1,2.
2. Гравитационное поле как метрика. Основная гипотеза общей теории от-
относительности Эйнштейна (ОТО) состоит в том, что гравитационное поле — это
метрика gik сигнатуры (Н ) в четырехмерном пространстве-времени МА
с координатами (jc°, x\ лс2, лс3). Эта метрика не обязательно плоская, а может
иметь ненулевую кривизну. Элемент длины dl в этом пространстве задается фор-
формулой
Движение свободных (точечных) частиц положительной массы т > 0 происходит
по времениподобным геодезическим этой метрики. Так как у нас нет выделенного

526 Глава 15. Геометрические поля в физике
времени, удобнее рассматривать геодезические как экстремали функционала
:, и) dx = j fgik ^ ^ dx. A5.3)
Значение интеграла берется вдоль мировой линии частицы. Безмассовые частицы
распространяются по световым геодезическим метрики gik.
Так как вдоль экстремалей функционала S\ формально вычисленная «энер-
«энергия» Т7#' — L = (и, и) постоянна, параметр т является натуральным (пропор-
(пропорционален dl). Выбирая его равным dx = —, мы получаем величину, которая, как
и в СТО, называется собственным временем частицы.
Включение электромагнитного поля с вектор-потенциалом Ai(x) производит-
производится так же как и в СТО, т. е. к функционалу действия добавляется слагаемое,
обусловленное взаимодействием заряженной частицы (с зарядом ё) и поля:
/Г Г
(и, u)dx-> ~ / (w, u)dx+- / А{и1 dx.
*• J c J
В определении действия электромагнитного поля метрика Минковского заменя-
заменяется на метрику gik\
^""Тб^
где g = det(gik) и
J FikFiky/=gd4x= -Л-J FikFt^t'yFgtfx, A5.4)
Уравнения Максвелла примут вид
d(Fik dx1 Л dxk) = 0 (первая пара),
4* • 05-5)
V*/7' = /' (вторая пара),
с
где / — вектор тока, равный нулю в отсутствие зарядов.
Мы видим, что все функционалы и уравнения, которые мы упомянули, выгля-
выглядят так же, как и в СТО, с заменой плоской метрики Минковского на метрику gik.
Но теперь мы не можем ограничиться функционалом действия, описывающим
лишь частицы, электромагнитное поле и их взаимодействие. При описании си-
системы мы должны учитывать действие самого гравитационного поля.
С физической точки зрения представляются естественными следующие усло-
условия на функционал действия гравитационного поля.
1) Уравнение Эйлера—Лагранжа должно выглядеть одинаково во всех систе-
системах отсчета (системах координат). Математически это означает, что уравнение
должно носить тензорный характер.
2) Уравнение Эйлера—Лагранжа должно содержать производные от полевых
переменных, коэффициентов метрики gik> не более второго порядка.
3) Функция Лагранжа L должна зависеть лишь от коэффициентов gik и их
первых производных.

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 527
4) Для «слабых» гравитационных полей уравнения движения медленной ча-
частицы должны переходить в уравнения Ньютона.
Условия 2) и 3) обусловлены аналогией с тем, как входят варьируемые пе-
переменные в лагранжианы и уравнения Эйлера—Лагранжа для уже известных
функционалов (например, для функционала энергии для кривых или действия
электромагнитного поля). Объясним, что означает четвертое условие.
Пусть х° = ct (как и в СТО) и т = - — собственное время вдоль геодезиче-
геодезической. Под «слабым» гравитационным полем будем понимать метрику gik, разло-
разложенную в ряд по малому параметру с:
причем старший член разложения gfj? — это метрика Минковского. Мы будем
называть частицу «медленной», если ее трехмерная скорость много меньше ско-
скорости света: \v\ <С с, где v = (-тг ), а = 1, 2, 3. Это будет выражаться в том, что
М /1 \
в последующих формальных разложениях мы будем считать — = О( - ).
С \ С /
Согласно определению
dT:=zdl- /l - dxfdx*
откуда следует, что
Производные -^? при а= 1, 2, 3 имеют порядок малости О(с~2), так как про-
пространственные координаты подразумеваются конечными. Мы имеем х° = ct, и по-
поэтому производные -Щ- имеют порядок О(с~г)у а вторые производные метрики
ах
по х° — порядок О(с~4).
Напомним теперь, что уравнение геодезических (экстремалей функциона-
функционала A5.3)) имеет вид
V . <h! dx*. ~
г °
и символы Кристоффеля равны
В силу A5.6) с точностью до величин порядка О(с~2) уравнение геодезических
можно записать в виде
х« + TJkxjxk = О,
где точкой обозначено дифференцирование по / и а = 1, 2, 3. Второе слагаемое
имеет наибольший порядок при / = k = 0:

528 Глава 15. Геометрические поля в физике
Мы также выводим из общей формулы для символов Кристоффеля, что
00 2s дх« '
Уравнение геодезических принимает вид
Напомним уравнение Ньютона, описывающее движение материальной точки
в гравитационном поле:
где <р — потенциал гравитационного поля, который вне масс, создающих поле,
удовлетворяет уравнению Лапласа
Сопоставляя уравнение Ньютона с уравнением A5.8), мы доказываем следу-
следующее утверждение.
Лемма 15.1, Для того чтобы уравнения движения медленной частицы
в слабом гравитационном поле с точностью до величин порядка 0(с~')
совпадали с уравнениями Ньютона, необходимо, чтобы в разложении
коэффициент ср удовлетворял уравнению Лапласа Дер = 0, пи е. был потен-
потенциалом слабого гравитационного поля,
3. Функционал действия гравитационного поля. Пусть gik — гравитаци-
гравитационное поле в четырехмерном пространстве М4. Построим по нему тензор Риччи
дх1 dxk
km
и скалярную кривизну R = ?**/?,*. В ОТО действие гравитационного поля берется
в виде
съ [ п г-п*.. A59)
где G = 6,67 • 10~8 см3/г • с2 — гравитационная постоянная.
Как показано в п. 3 § 14.2, уравнения Эйлера—Лагранжа для этого функци-
функционала — это уравнения Эйнштейна (в пустоте)
/fo-i^tt = Of A5.10)
что эквивалентно Rtk = 0. Эти уравнения имеют тензорный вид и, следовательно,
выглядят одинаково в любой системе координат. Также заметим, что выраже-
выражения для символов Кристоффеля содержат лишь коэффициенты gik и их первые

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 529
производные, а потому уравнения A5.10) содержат лишь коэффициенты gik и их
первые и вторые производные.
Покажем, что функционал A5.9) удовлетворяет и двум другим физическим
условиям, сформулированным в п. 2.
Лемма 15.2. Имеет место тождество
где
L = ^(rX*-r|,rrj. A5.11)
Доказательство. Мы имеем
Первые две суммы преобразуем к виду
) - Г|, ±
Выделяя первые производные, получим
где
^ ^ L ^ (>/=5в'*)+вй(Г|4Г1:-1«Гы). A5.12)
Распишем первые два слагаемых как
Укажем два прямых следствия формулы A5.7):
L
дхк~ y/\i\ dx* ~2gdxk'
df? _ г' гт™* Г* о""
TJ ~ ""-1 mis ~ L mis •
Подставляя их в формулу для / и приводя подобные члены, получаем
Подставляя это выражение, в свою очередь, в A5.12), получим L = ^(Г^Г^ —
— Г11кГ^т). Лемма доказана.

530 Глава 15. Геометрические поля в физике
Функционал действия принимает вид
JRV4d4x = IL^gd'x + J ? (V=gwl) dAx.
По теореме Стокса интеграл от дивергенции w сводится к интегралу по гипер-
гиперповерхности, охватывающей четырехмерную область интегрирования. Если ве-
величина w быстро убывает на бесконечности (это имеет место, например, если
метрика gik достаточно быстро стремится к метрике Минковского), то вариа-
вариация второго слагаемого всегда равна нулю, так как мы не варьируем метрику
на «конечной части» границы области. Поэтому при этих условиях уравнения
Эйнштейна получаются как уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала
где лагранжиан L зависит лишь от коэффициентов gik и их первых производных.
Из-за того что символы Кристоффеля не образуют тензора, величина L не
является скаляром и меняет свое значение при переходе к другим координатам.
Инвариантной величиной является скаляр /?, который и входит в выражение для
действия гравитационного поля.
Рассмотрим теперь слабое гравитационное поле gik, удовлетворяющее урав-
уравнению Эйнштейна Rik = 0. Мы рассмотрим лишь уравнение /?оо = 0, которое по-
подробно выписывается в виде
р __ рр 0/ F/ pm рШр/ __ л
Так как gik - gf^ = О(с"), где gfj — метрика Минковского, и х° = ct> мы полу-
получаем, что
д dgik - l
и, как следствие, Г11к = О(с~2). Отсюда заключаем, что
3
Разлагая goo в ряд по степеням с, имеем
Подставим это разложение в уравнение /?оо = 0 и получим
откуда следует, что ф удовлетворяет уравнению Лапласа Дер = 0.
Следовательно, функционал j Ry/^cPx удовлетворяет всем условиям, ко-
которые мы сформулировали в п. 2.

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 531
Этим же условиям удовлетворяет и функционал
где Л — космологическая постоянная. Уравнения Эйлера—Лагранжа для него
имеют вид
Если считать, что координаты имеют ту же физическую размерность, что
и длина (измеряются в сантиметрах), то коэффициенты метрического тензора gik
безразмерны, а скаляры R и Л имеют физическую размерность l/см2. Известные
к настоящему времени физические эксперименты дают оценку Л « 102см.
4. Метрики Шварцшильда и Керра. Уравнение Пуассона описывает в нью-
ньютоновской механике потенциал ф гравитационного поля, создаваемого массами,
распределенными в трехмерном пространстве с плотностью р:
Дер = 4кОр.
Вне создающих поле масс уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа
Дф = 0. Простейшее сферически симметричное решение
Ф = -G^, г = VWV+ (х2J
описывает гравитационное поле, создаваемое точечным телом массы М, сосре-
сосредоточенным в начале координат.
Естественно искать аналог этого решения в ОТО в виде сферически симме-
симметричной метрики dl2 = Adt2 -Вdr2 - C(dQ2 + sin20Жр2), где (г, в, <р) — сфери-
сферические координаты в R3. Подходящей заменой г такая метрика приводится к виду
dl2 = e*c2 dt2 -e'dt2- r*(de2 + sin2 9 dtf).
В координатах х° = ct> xl = r, x2 = 0, хг = ф найдем по формулам A5.7) символы
Кристоффеля этой метрики:
Г!, = », Г?о=^, r23 = -sin0cos0, Г?, = !**Л
Г° — - Г1 — - Г1 — -r<;i
Г1 -
где точка означает дифференцирование по ct, а штрих—дифференцирование по г.
Уравнения Эйнштейна Rik = 0 примут вид
Х = 0,
* Л7"
A5.13)

532 Глава 15. Геометрические поля в физике
Сложим два последних уравнения и получим X + v = /(/). Замена времени на
t = ф(/), где ф = ef/2, приводит к преобразованию коэффициента метрики goo со-
согласно формуле
e>cdt2 = e\ty)~2dP = ё
При этом остальные коэффициенты метрики останутся без изменений. Поэтому
без ограничения общности можно считать, что X + v = 0. Отсюда следует, что
сферически симметричное поле в пустоте всегда оказывается стационарным (не
зависящим от времени).
Уравнения A5.13) сведутся к уравнениям
Общее решение этого уравнения первого порядка зависит от одной постоянной rg
и дается формулой
Соответствующая метрика имеет вид
dl2 = (l - r^c2dt2 - -^7 - rV62 + sin2edcp2). A5.14)
^7
r
Из вывода этой формулы следует, что мы получили общий вид сферически симме-
симметричной метрики, удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна в пустоте. Положим
2GM
—
и представим эту метрику как слабое гравитационное поле:
dl2 - dl2 - — dietJ - 2GM
ai -ai0 ^ a(ct) А20
где dll — квадрат элемента длины в метрике Минковского. Учитывая связь сла-
слабого гравитационного поля с ньютоновским потенциалом (см. лемму 15.1), мы
заключаем, что для физически интересных случаев М > 0 и метрика
dl2 = (l -
1 c2r
которая называется метрикой Шварцшильда, описывает гравитационное поле,
создаваемое сферически симметричным распределением масс. Масса тела, со-
создающего поле, равна М. Величина ге называется гравитационным радиусом
Шварцшильда (для массы Земли rg = 0,44 см, для массы Солнца rg = 3 км).
Для тела настолько плотного, что его размер меньше или порядка радиуса
Шварцшильда rgy в формуле для гравитационного поля этого тела A5.14) воз-
возникает особенность при г -» rg. Эта особенность исчезает при переходе к новым
координатам, в которых метрика уже зависит от времени. Мы не будем обсуждать
это здесь, а ограничимся замечанием, что в области г > rg формула A5.14) кор-
корректна.

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 533
Явные формулы для метрики Шварцшильда позволяют нам продемонстри-
продемонстрировать важный физический эффект, предсказываемый ОТО, — отклонение света
гравитационным полем. Напомним, что свет распространяется по световым гео-
геодезическим, заданным уравнениями
di2 Jk Л А * 'Iy ~ ' ' f ' gik dx dx ~U*
Общий вид решения этих уравнений есть
где (г, ф) — полярные координаты в плоскости, в которой лежит геодезическая.
При rg -> 0 это решение переходит в прямую rcos(cp - ср0) = р, отстоящую от
центра (г = 0) на расстояние р и уходящую на бесконечность под углами <р0 ± тс/2.
Пусть /(т) = (г(т), 0(т)) —световая геодезическая и р ф 0. Асимптотически
при т —> ±оо она ведет себя как прямая rcos(cp — <р±) = р. Геодезическая искри-
искривлена и вогнута в сторону центра («будет притянута центром»). Точная формула
для модуля разности |<р+ - ср_ | достаточно сложна, но, считая rg/p малым па-
параметром и разлагая в ряд по нему, получим, что |<р+ — ср_| отличается от к на
величину
Метрика Шварцшильда задает сферически симметричное решение уравне-
уравнений Эйнштейна в пустоте, которое асимптотически (при г -> оо) ведет себя как
метрика Минковского, т.е. является асимптотически плоским. С точки зрения
современной физики это решение описывает стационарную черную дыру.
Решение Шварцшильда включается в однопараметрическое семейство ак-
аксиально симметричных асимптотически плоских решений уравнений Эйнштейна
в пустоте. Они называются метриками Керра и описывают равномерно враща-
вращающиеся (вокруг оси Oz) черные дыры. Явная формула для таких метрик такова:
dl2 = c2dt2 - % (asin29dcp + cdtJ - ^ dr2 - (r2 4- a2)sin26dcp2 - p2rf62,
где Д = r2 — rgr + a2, p2 = r2 4- a2 cos2 0. Величина a пропорциональна моменту
вращения, и при a = 0 метрика Керра переходит в метрику Шварцшильда.
В отличие от формулы для метрики Шварцшильда, эта формула может быть
корректной при всех положительных значениях г. Это имеет место при больших
моментах вращения, когда г2 — 2rgr + a2 > 0, т. е. при а2 > -j.
5. Взаимодействие материи с гравитационным полем. Взаимодействие
гравитационного поля и всех других полей и частиц описывается уравнениями
Эйлера—Лагранжа для полного функционала действия S = Sg + 5m:

534 Глава 15. Геометрические поля в физике
Здесь
есть функционал действия для гравитационного поля и5ш — функционал дей-
действия для других полей и частиц (функционал действия материи). Например, для
электромагнитного поля
В общей теории относительности полагается, что взаимодействие гравитацион-
гравитационного поля и материи осуществляется через тензор энергии-импульса материи Tik,
который пропорционален правой части уравнения A5.15):
Rut - \ Rgik = \iTiky [i = const, A5.16)
где [i — универсальная константа.
Полная система уравнений Эйлера—Лагранжа имеет вид
So л 5«S bSm r\
где фа — полевые переменные, описывающие материю. Например, для электро-
электромагнитного поля это коэффициенты вектор-потенциала Д-, / = О, 1,2, 3.
Найдем значение постоянной [х в формуле A5.16). Для этого рассмотрим
пылевидное облако в слабом гравитационном поле. Предполагая, что давление
и скорость вещества в облаке равны нулю, мы найдем его тензор энергии-им-
энергии-импульса в виде
(рс2 О О
О О
О
где р — плотность массы. Ранее мы отмечали, что Too играет роль плотности
энергии (п. 2 § 14.1). Поэтому формула Too = рс2 есть прямое следствие реляти-
релятивистской формулы A5.1) для энергии покоящейся массы: ? = тс2.
Мы знаем, что goo = 1 + 2ср/с2 + 0A/с3), где ср — гравитационный потенциал,
удовлетворяющий уравнению Пуассона
Дф = 4rcGp
(см. п. 3). Взяв следы левой и правой частей уравнения A5.16), мы получим
/? = /?{ = -\хТ= -[iTi. Учитывая это, перепишем A5.16) в виде
В частности,

§ 15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 535
Для слабого гравитационного поля
и Т = рс2A + О(с~2)). Поэтому мы получим
Так как при с —» оо это уравнение должно переходить в уравнение Пуассона, мы
заключаем, что универсальная постоянная равна
,,-8itG
Из этой формулы и уравнений A5.15) и A5.16) следует формула для тензора
энергии-импульса материи в ОТО. Действительно, так как
«* /--(р 1 о \ 1 г-т _ bSm
мы имеем
т 2с
Такое определение тензора энергии-импульса сразу приводит к симметричному
тензору 7V*.
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля, определенный таким обра-
образом, совпадает с тем, который мы получили раньше в п. 2 § 14.2:
Тензор энергии-импульса изотропной сплошной среды {гидродинамический
тензор энергии-импульса) имеет вид
Tik = (р + е)щик - pgik,
где в каждой точке р и е—давление и плотность энергии среды в «сопутствую-
«сопутствующей» системе координат, в которой эта точка покоится (т. е. 4-вектор скорости и
имеет вид и0 = 1, иа = 0, а = 1, 2, 3). В «сопутствующей» системе координат этот
тензор принимает в данной точке вид
Р р L A5.17)
Уравнения Эйнштейна замыкаются уравнениями состояния, связывающими р и е:
а) для пылевидного вещества р = 0, е = рс2;
б) «ультрарелятивистское» уравнение состояния есть р = е/3 или Т = 7J = 0.
Из уравнений A5.16) и тождества Бианки следует тождество
0, A5.18)

536 Глава 15. Геометрические поля в физике
которое в криволинейной системе координат заменяет законы сохранения
Однако тождество A5.18) не отвечает никаким законам сохранения, так как
в общем случае оно не является условием равенства нулю внешней производ-
производной 3-формы и для него аналог теоремы 14.3 не имеет места.
6. О понятии массы в общей теории относительности. Определение тен-
зора энергии-импульса материи в виде Tik = —~ неприменимо для системы,
включающей и материю, и гравитационное поле. Это следует из того, что само
уравнение движения имеет вид —^ = 0, т. е. так определенный тензор энер-
гии-импульса тождественно равен нулю.
Можно формально использовать для вычисления тензора энергии-импульса
гравитационного поля в пустоте процедуру, изложенную в п. 2 §14.1 и приме-
применимую к лагранжианам, зависящим от полевых переменных и их первых про-
производных. Для этого надо заменить лагранжиан Ry/—g на Ly/^, где L имеет
вид A5.11). Но и в этом случае из уравнений Эйнштейна следует, что тензор Tik
равен тождественно нулю.
Эта трудность носит принципиальный характер и многочисленные исследо-
исследования привели к следующим выводам:
1) для гравитационного поля, взаимодействующего с материей, такие при-
привычные понятия, как энергия и импульс, определяются в случае, когда метри-
метрика стремится на бесконечности к плоской метрике Минковского (пространство
асимптотически плоское);
2) однозначно определенной плотности энергии не существует даже для асим-
асимптотически плоских пространств: энергия не локализуема.
Опишем здесь эту процедуру.
Пусть М4 — четырехмерное пространство-время с координатами х°у х], г2, х3
и метрикой gik сигнатуры (Н ). Предположим, что поверхности а:0 = const
пространственноподобны и gw > О (координата х° отвечает времени). Мы так-
также предположим, что на бесконечности метрика gift асимптотически плоская,
а именно
гДе gfk — метрика Минковского и
х 2
Предположим, что метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, которые
переписываются как

§15.1. Элементы теории относительности Эйнштейна 537
Определим величину
ъ — — U
которая кососимметрична по индексам &, /.
Зафиксируем точку пространства и выберем в ее окрестности геодезические
координаты. В этой точке первые производные от gik равны нулю, и поэтому
тензор Риччи запишется в виде
nik _ 1
K - 2
glp d2gmn _ 32gin _ d2gmp \
дхп + dxfdjf дхтдх? дх1дхп)'
дхтдхп + dxfdjf дхтдх? дх1дхп
а тензор энергии-импульса материи примет вид
~ дх' '
8 дх'
Так как г)'*' = —т)'7*, в данных координатах в этой точке выполняется равенство
A5.19)
имеющее вид законов сохранения.
В общем случае разность
не равна нулю. Она называется псевдотензором энергии-импульса и изменя-
изменяется как тензор только при аффинных заменах координат. Можно найти явную
формулу для t'* как однородного полинома от g** и символов Кристоффеля Г)л,
но мы не будем ее приводить.
Из определения t1'* следует тождество
_?_(
Определим 4-вектор импульса по формуле
(-g)(Tik + ttt) dSk, A5.20)
где dSk = (— 1)* dx° Л ... dxk... Л dx3. При отсутствии гравитационного поля этот
вектор переходит в 4-вектор импульса материи, определенный в п. 2 § 14.1. Так
как подынтегральное выражение является полным дифференциалом
согласно теореме Стокса интеграл A5.20) сводится к граничным интегралам по
сферам SR радиуса R:
^ / A5.21)
Для 4-вектора импульса Р имеет место следующий аналог теоремы 14.3.

538 Глава 15. Геометрические поля в физике
Теорема 15.1. Из тождества A5.19) следует, что вектор импульса Р
сохраняется во времени: Р(хЧ) = Р(х%).
При определении 4-вектора импульса мы использовали выделенные коорди-
координаты, в которых метрика gik является асимптотически плоской. Если рассматри-
рассматривать преобразования координат х -»х, то требование, чтобы и в новой системе
координат метрика gik была асимптотически плоской, не ограничивает преобра-
преобразование х —> х в конечной области, но при больших г должны выполняться сле-
следующие условия:
т. е. асимптотически преобразование координат должно вести себя как преобра-
преобразование х —>Ах + 6, А € 0A, 3), из группы Пуанкаре. Следующее утверждение
теперь очевидно.
Лемма 15.3. Если преобразование координат jc —> Jc асимптотически
стремится к преобразованию х —> Ах + b из группы Пуанкаре, а именно
удовлетворяет условиям A5.22), то Ь-вектор импульса преобразуется под
его действием как вектор: Р —¦> АР.
Заметим, что можно определить и момент импульса Mih, ведущий себя как
тензор по отношению к преобразованиям координат, удовлетворяющим услови-
условиям A5.22).
Наложим теперь на тензор энергии-импульса материи Tik следующее условие.
Для любого времениподобного вектора и в любой точке пространства
вектор Т$и1 не пространственноподобен и Tik\iluk ^ 0.
Например, для тензора энергии-импульса пылевидного облака A5.17) в про-
пространстве Минковского это условие означает, что плотность материи г неотри-
неотрицательна в каждой точке.
Следующая теорема называется теоремой о положительности массы.
Теорема 15.2. Пусть асимптотически плоская метрика gik и тензор
энергии-импульса Tik удовлетворяют уравнениям Эйнштейна и тензор Tik
удовлетворяет указанному выше условию. Тогда выполняется неравен-
неравенство
Если при этом Р° = 0 для гиперповерхности х° = const, то на этой гипер-
гиперповерхности индуцированная метрика —g^ является евклидовой.
Напомним, что энергия покоя релятивистской частицы в пространстве Мин-
I 3
ковского равна тс2 = с а /(Я0J - 53 (Я"J. Поэтому теорема о положительности
V a=I
массы показывает, что энергия системы, состоящей из взаимодействующих гра-
гравитационного поля и материи, корректно определена в физически интересных

§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака 539
случаях («масса» т положительна). Из равенства A5.21) следует, что для не-
нетривиальных гравитационных полей метрика gik не может стремиться к метрике
Минковского очень быстро: если выполняется соотношение
то ограничения метрики —gik на поверхности х° = const евклидовы.
§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака
1. Автоморфизмы матричных алгебр. Пусть, как обычно, М(/г, С) — алге-
алгебра, образованная всеми комплексными (п х п)-матрицами. Отображение
А:М(я, С)-*М(/г, С)
называется автоморфизмом, если оно является изоморфизмом алгебры на себя,
т. е. сохраняет все операции:
h(AB) = h(A)h(B), h{A + В) = h(A) + h(B), h(KA) = ЩА)
для всех Л, В Е М(п, С), X 6 С, и обратимо. Например, любая обратимая матрица
X € М(я, С) задает внутренний автоморфизм
Оказывается, у матричных алгебр М(я, С) других автоморфизмов нет.
Теорема 15.3. Все автоморфизмы матричных алгебр М(/г, С) внутрен-
внутренние.
Доказательство. Матрица Р е М(я, С) называется проектором, если
Р2 = Р. Проекторы Р, Q называются ортогональными, если PQ = QP = 0.
Пусть в|, ..., е„ — базис в Ся. Определим ортогональные проекторы Р\, ...
..., Рп через их действие на произвольный вектор:
(в правой части здесь не подразумевается суммирование по /). Мы имеем
f# = Ph рлр, = о при 1ф1 Р, + ... + Ря=1. A5.23)
Пусть A: М(я, С) —> М(я, С) — автоморфизм. Положим А(Р,) = Р-. Так как
ЛA) = 1, соотношения A5.23) переходят в соотношения
Следовательно, Р\ — попарно ортогональные проекторы. Поскольку Р\ 4- ...
... 4- Р'п = 1, все эти проекторы одномерны.
Введем матрицы tVl e М(я, С) посредством следующей формулы:
, / ч * |е/ при у = k,
4 l J 10 при у 7^ /s.

540 Глава 15. Геометрические поля в физике
Очевидно, выполняются соотношения
Pi = /,/, tijtt
{tu при у = &,
0 при / ф k.
При автоморфизме h эти матрицы переходят в VVj = h(Uj).
Построим теперь базис ^,...,^вС следующим образом: возьмем ненуле-
ненулевой (образующий) вектор е\ в Р\(Сп) и положим е\ = t'n{e\).
Пусть теперь X — преобразование пространства С, определенное своим дей-
действием на базис:
Докажем, что для любой матрицы А € М(я, С) выполнено равенство
h(A)=XAX-]. A5.24)
Каждая матрица А однозначно раскладывается в сумму
А=
|./=1 я
где uij — матричные коэффициенты. Поэтому достаточно доказать равенство
A5.24) для матриц tir Но
Xt4X-x(e>k) = Xtv(ek) = ^(ft5y*) = 5У^;.
Очевидно, что
Тем самым, мы доказали, что для любых /, / = 1,..., п верно равенство
Отсюда по линейности следует, что h(A) =XAX~{ для всех матриц А. Теорема
доказана.
2. Спинорное представление группы SOC). Спинорное представление
группы SOC) использует специальное представление алгебры МB, С) с помо-
помощью матриц Паули аь а2, а3:
ax = ai= , Л), Оу = о2=1; п К (Уг-ог- п .1. A5.25)
Имеет место очевидная лемма.
Лемма 15.4.1. Матрицы Паули ait a2, a3 вместе с единичной матрицей 1
образуют аддитивный базис в алгебре МB, С).
2. Матрицы Паули связаны соотношениями
[I Q; /1С О А\
\Oky оЛ ^ ct^cj/ -f~ су/О'л = 2o&/. A5.27)

§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака 541
Напомним (см. п. 2 §7.2), что
{1, если перестановка (&, /, га) четная,
— 1, если перестановка (&, /, га) нечетная,
О, если пара индексов из &, /, га совпадает.
Соотношения A5.26) означают, что матрицы ~ау- реализуют представление
алгебры Ли группы SOC) (или SUB)) в МB, С).
Пусть A: R3 —»R3 — ортогональное преобразование из SOC):
(y1\ -_> (yIi\ уп — nWi / — 1 9 Я
^л ; »¦ Vя /» л — и1л » * — А» ^i °'
Оно порождает линейное преобразование МB, С) по формуле
= 1. A5.28)
Теорема 15.4. Матрицы а,', /= 1,2,3, удовлетворяют соотношени-
соотношениям A5.26) и A5.27).
Тем самым отображение A5.28) задает автоморфизм
А„:МB,С)->МB,С)
алгебры матриц МB, С).
Доказательство. Мы имеем
К, а{} = а?а«К, af} = apka]2bpq = 2 ? а^а? = 2(ат)>? = 28«
в силу ортогональности матрицы А (АТА = 1).
Проверим теперь второе соотношение:
[а;, а',] = aj|a?[a,. °,1 = <""№>') = 2<е>, = 2feJS<C
Для доказательства последнего равенства мы используем то, что ортогональные
преобразования из SOC) сохраняют и векторное произведение. Поэтому для
произвольных векторов ?, г) мы имеем
Из соотношений A5.26) и A5.27) следует, что все произведения a/a, линейно
выражаются через матрицы Паули и единичную матрицу. Следовательно, каждое
линейное отображение из МB, С) в себя, сохраняющее эти соотношения, задает
автоморфизм алгебры матриц. Теорема доказана.
Следствие 15.1. Согласно теореме 15.3 существует такое преобразо-
преобразование g = g(A): С2 —> С2, что hA(X) = gXg~] для любой матрицы X.
Спинорным представлением группы SOC) в группу GLB, С) называется
сопоставление
A-*g(A).
Это представление многозначно: матрица g(A) определена с точностью до нену-
ненулевого множителя X € С.

542 Глава 15. Геометрические поля в физике
Если потребовать, чтобы выполнялось условие g(A) € SLB, С), то мы полу-
получим двузначное представление: его значения отличаются друг от друга умножени-
умножением на — 1. Фактически мы уже описали это представление в п. 2 §5.3: группа еди-
единичных кватернионов G = SUB) действует на мнимых кватернионах по формуле
х -+ qxq%
которая реализует точное представление группы SOC) = SUB)/{±1} и g(A) €
е SUB), A e SOC).
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 15.5. При двузначном спинорном представлении g: SOC) —>
—> SLB, С) вращение на угол 0 вокруг оси с направляющим вектором
п = (пХ1 пу, пг), п\ + п2у + п22 = 1, переходит в преобразование
Доказательство леммы мы оставляем в качестве задачи.
3. Спинорное представление группы 0A,3). Пусть gab = diag(l, -I,
— 1, —1) — метрика Минковского. Выберем в алгебре МD, С) элементы у0, Y1»
У2, Y3» удовлетворяющие соотношениям
l. A5.29)
Для этого достаточно взять блочные D х 4)-матрицы, составленные из матриц
Паули A5.25):
Л 0\ . / 0 аЛ .
A5.30)
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 15.6. Матрицы 1, yfl, yV (a < b), yayV (^ < b < с) и у5 = у°у»у2у3
линейно независимы.
Тем самым алгебра над полем С с образующими у0, у1, у2, у3 и соотно-
соотношениями A5.29) изоморфна матричной алгебре МD, С).
Доказательство. Как вытекает из соотношений A5.29), любое про-
произведение элементов уа сводится к линейной комбинации элементов, указанных
в условии леммы. Число этих элементов равно размерности dim = 16 алгебры
МD, С). Прямыми вычислениями можно показать, что все эти элементы линей-
линейно независимы. Лемма доказана.
Рассмотрим пространство Минковского R1-3 с координатами (jc°, x\ x2, jc3)
и матрицу Л € 0A, 3), Л = (XJJ). Определим матрицы
Так как Л сохраняет метрику Минковского, из соотношений A5.29) следует, что
матрицы у/в тоже им удовлетворяют:

§15.2. Спиноры и уравнение Дирака 543
Поэтому отображение
1->1, Ya^Y/a
образующих алгебры МD, С) задает, согласно лемме 15.6, автоморфизм
ЛЛ:МD,С)-+МD,С).
Из теоремы 15.3 следует, что этот автоморфизм является внутренним:
hA(X)=gXg-\ g = g(A).
Сопоставление
называется спинорным представлением группы 0A, 3) в группу GLD, С). Оно
многозначно и определено с точностью до умножения на ненулевое комплексное
число X.
Если потребовать, чтобы выполнялось условие g(A) E SLD, С), то предста-
представление становится четырехзначным и оно определено с точностью до умножения
на ±1 и ±i — корни 4-й степени из единицы.
Здесь надо различать спинорное представление группы 0A, 3), которая име-
имеет четыре компоненты связности (см. п. 2 §2.2), и спинорные представления ее
подгрупп: группы SOA, 3) из преобразований, сохраняющих ориентацию, и груп-
группы SO+A, 3) С SOA, 3), преобразования из которой сохраняют и направление
времени, и ориентацию.
Группа SO+A, 3) — это связная компонента группы 0A, 3), содержащая еди-
единицу группы. При спинорном представлении
она перейдет в две связных компоненты, одна из которых содержит единицу
группы SLD, С), и отображение в нее двузначно и определено с точностью до
умножения на — 1. Продолжение спинорного представления на другие связные
компоненты группы 0A, 3) делается в разных задачах по-разному, исходя из
физических соображений.
Пространство С4, на котором действует спинорное представление, называет-
называется пространством D-компонентных) спиноров. Мы их обозначаем как 4-компо-
нентные вектор-столбцы.
Укажем, как спинорное представление действует на некоторых важных под-
подгруппах из 0A, 3).
Лемма 15.7. 1. Вращение из S0C) с 0A, 3) на угол^ вокруг единичного
вектора п = (пи Яг, Яз) в Жг при спинорном представлении переходит в
, п) = ехр{-/|
2. Гиперболическое вращение на мнимый угол /8 в плоскости (х°, п)>
где п — трехмерный единичный вектор (элементарного преобразования

544 Глава 15. Геометрические поля в физике
Лоренца), при спинорном представлении имеет вид
6
{6
3. Представление пространственного отражения Р(х°, х) = (л:0, -л:),
где х е R3, имеет вид
g(P) = t)py°, где г)/> = ±i или Т)Р = ±1.
4. Оператор отражения времени Т(х°у х) = (-х°, х) представляется
в виде
где Ы = 1.
Мы оставляем доказательство этой леммы в качестве упражнения.
В утверждениях 3 и 4 мы указали образ представления с точностью до много-
многозначности, принятой в физической литературе. Еще раз отметим, что спинорное
представление в группу SLD, С) определено с точностью до умножения на корни
четвертой степени из единицы, т.е. ±1 и ±L
Из утверждения 1 леммы следует, что при естественном разложении про-
пространства С4 в сумму С2 ф С2
ограничение спинорного представления группы 0A, 3) на подгруппу S0C) рас-
распадается в сумму двух изоморфных неприводимых спинорных представлений,
описанных в п. 2.
В пространстве спиноров ф = (^ ) можно перейти к новому базису
Из утверждений 1—3 леммы следует, что «полуспиноры» г) и ^ преобразуются
независимо при преобразованиях из собственной группы Лоренца SOA, 3) с
С 0A, 3) и переходят друг в друга при пространственном отражении:
g(P): !,->$, 5-4.
Р(х\ х) = (*°, -х).
Действия группы SOA, 3) на полуспиноры т) и 5 называются полуспинорны-
ми представлениями группы SOA, 3). Они обозначаются через g+ для pg.
для t. По отдельности полуспинорные представления не продолжаются на всю
группу Лоренца 0A, 3).
Другое описание полуспинорного представления будет дано в п. 2 § 15.3.
В физике полуспиноры также называются спинорами Вейля.

§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака 545
Заметим, что матрица у0 (матрица пространственного отражения) в базисе
ф = ( 5 J имеет вид
(она перемешивает полуспинорные представления).
Спинорное представление группы 0C, 1) не унитарно, но формула
<ф,ф}=Ф+Т°ф, A5.31)
где ф+ = (ф0, фь фг, фз) — вектор-строка, комплексно сопряженная к столбцу ф,
задает индефинитное скалярное произведение, которое инвариантно относительно
спинорного представления.
Спинор
ф = ф+у° = ((j^, CJ^, -<j^, -ф^)
называется дираковски сопряженным с ф.
В терминах полуспиноров (в базисе ф = (9 1) скалярное произведение
(ф, ф) = фф имеет вид
Другие величины вида фХф, где X € М(я, С), преобразуются как тензоры:
1) оуаф— вектор;
2)cj
3)с
4I
— тензор ранга 2;
— тензор 3-го ранга;
— тензор 4-го ранга (псевдоскаляр).
Одно из полуспинорных представлений группы SOA, 3) изоморфно стандарт-
стандартному представлению группы SLB, С), а другое — сопряженному представлению
(см. п. 2 §15.3). Отсюда вытекает, что полуспинорные представления группы
SOA, 3) не имеют ненулевых инвариантных скалярных произведений.
Изоморфизм между алгебрами Ли группы SLB, С) и группы Лоренца есть
частный случай изоморфизма A1.2) при п = 2, где алгебра Ли конформных
(дробно-линейных) преобразовании сферы S2 реализуется как алгебра Ли группы
SOA, 3).
Замечание. Если мы выберем образующие у0 = У0, Уа = ~/уа в МD, С),
мы получим соотношения
{уа, у*} = 28а*- 1.
С их помощью по аналогичной схеме строится спинорное представление груп-
группы S0D).
4. Уравнение Дирака. Алгебра у-матриц с соотношениями A5.29) была
введена Дираком для разложения оператора Клейна—Гордона

546 Глава 15. Геометрические поля в физике
(здесь gab — метрика Минковского и мы для простоты считаем с= 1) в произве-
произведение операторов 1-го порядка:
-(а + т2) = (iy° ъ? + т) (V ?ь + (-я))- A5.32)
Несложные вычисления показывают, что разложение A5.32) эквивалентно
соотношениям
Поэтому если в качестве коэффициентов взять у-матрицы вида A5.30), то такое
разложение возможно.
Уравнением Дирака называется уравнение
0 A5.33)
на спинорное поле ф. Здесь мы положили с = 1, где с—скорость света в пустоте.
Иначе масса входит в уравнение посредством члена —тс2ф.
Если поле ф удовлетворяет уравнению Дирака, то поле
(здесь коэффициенты строки ф+ комплексно сопряжены коэффициентам столб-
столбца ф) удовлетворяет уравнению
/||уа + тф = 0. A5.34)
Это несложно доказать прямыми вычислениями.
Уравнение Дирака есть уравнение Эйлера—Лагранжа для действия
где ф и ф считаются независимыми. Тензор энергии-импульса и ток имеют вид
а = 0,1.2,3.
Величина J° = фу°Ф = Ф+(т°JФ = Ф+Ф называется плотностью заряда. Следо-
Следовательно, сам заряд имеет вид
'fd3x.
<?= /ф+фй3х= f
Очевидно, заряд неотрицателен: Q ^ 0. В то же время плотность энергии Г00 не
является положительно определенной, что приводит к ряду трудностей, которые
мы здесь обсуждать не будем.
Для решений уравнения Дирака типа
ф = const

§ 15.2. Спиноры и уравнение Дирака 547
волновой вектор лежит на массовой поверхности
F, к) = т2
(здесь ft = 1 и с = 1). Если импульс лежит на верхней части массовой поверхности
(ko > 0), то такое решение отождествляют с частицей. Условие k0 > 0 вытекает
из требования положительности энергии частицы.
В базисе полуспиноров (г), ?) уравнение Дирака A5.33) имеет вид
а=1
3
При нулевой массе т = 0 уравнение Дирака распадается на два независимых
уравнения — уравнения Вейля, описывающие частицы, законы движения кото-
которых не инвариантны относительно пространственных отражений (так как полу-
спинорное представление группы SOA, 3) не продолжается на пространствен-
пространственное отражение) и которые имеют нулевую массу. Заметим, что, как мы отмечали
выше, полуспинорное представление не обладает нетривиальным инвариантным
скалярным произведением, которое в лагранжиане могло бы дать члены типа
массы.
Включение внешнего электромагнитного поля производится согласно общему
правилу
Ра^Ра + еАа
(здесь опять ft = с = 1). Поэтому в лагранжиане надо сделать следующую замену:
дха дха ieAaW>
где е — заряд. Уравнение Дирака A5.33) и сопряженное уравнение A5.34) во
внешнем поле принимают вид
- A5.35)
Рассмотрим матрицу С = — у2?0 = /y2Y0- Она обладает следующими свойства-
свойствами:
= -(Г)\ СТ = С = -С A5.36)
(здесь Т обозначает обыкновенное транспонирование). Определим с ее помощью
оператор зарядового сопряжения
ф -> фс = Сфт, ф -> f = фтС-'.
Из формулы A5.36) и уравнения Дирака получаем следующую теорему.

548 Плава 15. Геометрические поля в физике
Теорема 15.5. Если поля ф и ф удовлетворяют уравнениям Дирака A5.35)
с зарядом е в поле Аа(х), то поля фс и фс удовлетворяют уравнениям A5.35)
в том же поле Аа(х), но с зарядом противоположного знака: е —> —е.
Мы видим, что преобразование зарядового сопряжения меняет знак заряда
у частицы, описываемой полем ф. Отсюда следует, что спинорное представле-
представление и уравнение Дирака описывают сразу два сорта частиц: частицы с зарядом е
и частицы с зарядом —е. Одно и то же решение ф(х) уравнений Дирака A5.35)
определяет волновую функцию электрона ф(лг) и волновую функцию позитро-
позитрона фс(*).
Лемма 15.8. Оператор зарядового сопряжения
1) коммутирует с группой SOA, 3);
2) коммутирует с пространственным отражением g(P) = г\Ру°у если
у]р = ±i, и антикоммутирует, если г\р = ±1;
3) коммутирует с временным отражением g(T), если г\Т = ±1.
Операторы пространственного и временного сопряжения были определены
нами в лемме 15.7. Мы оставляем доказательство леммы 15.8 в качестве упраж-
упражнения.
5. Алгебры Клиффорда. Конструкции спинорных представлений групп
SOC) и 0A, 3) являются частными случаями более общей конструкции, ко-
которую мы кратко изложим в случае вещественных алгебр Клиффорда.
Пусть (и, v) — невырожденное скалярное произведение типа (р, q) на RM.
Рассмотрим алгебру, порожденную скалярами из R и векторами из RM, с обыч-
обычными сложением и умножением на скаляр X Е R и формальным ассоциативным
умножением векторов
Мы потребуем, чтобы выполнялись тождества
(и' + u")v = u'v + u"v, (ku)v = \(uv), X G R,
и их аналоги для второго сомножителя v. Наложим также дополнительное ус-
условие
uv + vu = -2(м, v) e R, и, v e RM.
Полученная алгебра называется алгеброй Клиффорда квадратичной формы типа
(/7, q) и обозначается C\p%q.
Если е\х..., еп — базис в RPf<7, п = р -Ь q, то алгебра Клиффорда линейно
порождается всевозможными произведениями
и как линейное пространство изоморфна внешней алгебре A*Rrt. Изоморфизм
дается отображением

§15.3. Поля Янга—Миллса 549
Действительно, любой моном можно привести к такому виду, используя правило
коммутации: uv = — vu — 2(а, v). Естественно считать, что степень такого монома
равна deg = k.
Если учитывать умножение, то алгебры Клиффорда устроены более свое-
своеобразно, чем внешние алгебры. Например, мы имеем
С1,,0 = С, Clo,, =ReR, С12,о = Н, С10.2 = С1М = МB, R).
Автоморфизм векторного пространства a: v —> — v порождает автоморфизм
алгебры Клиффорда, которая распадается в сумму двух подпространств, обра-
образованных линейными комбинациями элементов четной и нечетной степеней соот-
соответственно:
С1 = С10 + С1\ а|с,о = 1, a|ai = -l.
Рассмотрим мультипликативную группу, образованную всеми обратимыми
элементами g алгебры Клиффорда (это значит, что существует такой элемент g,
что gg~l =g~lg=i 1), и выделим в ней подгруппу, порожденную (относительно
умножения) векторами v единичной длины: (у, v) = 1. Эта подгруппа обознача-
обозначается Pin(p, q), а ее пересечение с элементами четной степени есть группа
Spin(p, q) = Pin(p, q) П С1°.
Эти группы действуют на векторном пространстве RM по формуле
и это действие сохраняет форму (w, v). Следовательно, имеют место представ-
представления
Pin(p, q) -+ O(p, q), Spin(p, q) -* SO(p, q).
Более того, ядра этих гомоморфизмов состоят из элементов ±1; обращая эти
гомоморфизмы, мы получаем двузначные представления
, q) -> Pin(p, q)y SO(p, q) -+ Spin(p, q),
которые и называются спинорными.
§ 15,3, Поля Янга—Миллса
1. Калибровочно инвариантные лагранжианы. Пусть нам задан лагран-
лагранжиан
где ф — вектор-функция, определенная в области D с координатами л:1, ..., хп.
Предположим, что этот лагранжиан инвариантен относительно действия матрич-
матричной группы Ли G на векторах:

550 Глава 15. Геометрические поля в физике
В качестве простейшего примера мы можем взять массивное скалярное поле
описанное в п. 6 § 14.2 (мы положили h = с = 1), с группой G = {е/ф} = U(l),
действующей по формулам
ф _»е<'ффэ ф _> е~/фф, ф = const € К,
Как построить лагранжиан, который был бы инвариантен относительно ло-
локальных преобразований вида
при которых группа G действует в каждой точке независимо (принцип локаль-
локальности)?
Оказывается, это можно сделать, если заменить обычную производную на
ковариантную:
где Аа — калибровочное поле с группой G и согласно его определению
Напомним понятие калибровочного поля (связности), которое мы ввели
в п. 3 §10.1.
Пусть D — область в Rn и G — матричная группа Ли, которая действует на
6-мерных векторах:
5->«& geGcGL(k), ZeRk.
Ковариантное дифференцирование функций ф: D -+ Rk определяется по формуле
где АЛ(х) —функция на D со значениями в множестве (k x &)-матриц, лежащих
в алгебре Ли группы G, и а = 1, ..., п. При этом выполняются два условия.
1. При замене координат у = у(х) в области D ковариантная производная
ведет себя как ковектор:
что эквивалентно следующему условию:
A -&Z-A
ц ~ dp

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 551
2. Если мы будем менять базисы в R* с помощью преобразований из группы G,
причем сделаем эту замену зависящей от точки х: g = g(x), то
Для выполнения этого соотношения достаточно, чтобы при калибровочных пре-
преобразованиях
Ф -> г(*)Ф
поле Аа тоже менялось по правилу
АЛх) -* g(x)Aa(x)g(x)-1 -d-f?g-\x) A5.37)
(см. теорему 10.7).
Для группы U(l) = {ё>} калибровочное поле есть Аа = /Ва, где Ва — веще-
вещественное ковекторное поле, и для него преобразование A5.37) имеет вид
Имеет место общая теорема.
Теорема 15.6. При преобразованиях вида
A5-38)
Ц^-\х) A5.39)
ковариантная производная
Уаф=|? + Лаф A5.40)
преобразуется по закону
V.<|>->g(*)Ve<|>. A5.41)
лагранжиан Lyty, -j^j инвариантен относительно преобразований
Ф -* ^Ф» ё = const € G:
G, A5.42)
mo лагранжиан 1(ф, j^L, Ла) = 1(ф, Уаф) инвариантен относительно пре-
преобразований A5.38) а A5.39).
Доказательство. Из формул A5.38), A5.39) и A5.40) следует, что
Ковариантная производная вектор-функции ф образует ковектор:
|?, у = у(х).

552 Глава 15. Геометрические поля в физике
Поэтому из равенств A5.41) и A5.42) вытекает инвариантность нового лагран-
лагранжиана:
Цф, Уаф, Аа) = L(g^ gVe<|>, К), Л! = gA?-x - |? г'-
Теорема доказана.
Калибровочное поле Аа в физике называют также компенсирующим полем.
В геометрии оно известно как связность в расслоении. Калибровочные преобра-
преобразования A5.39) образуют группу, которая тоже называется калибровочной.
Пример. Следующая лемма, которая доказывается прямыми вычисления-
вычислениями, дает важный пример связности.
Лемма 15.9. Каждая связность АЛ со значениями в алгебре д задает
и ковариантное дифференцирование векторных полей со значениями в q
по правилу
VaB=jl + [Aa,Bl A5.43)
где [Ла, В] = АаВ — ВАа — коммутатор в алгебре Ли. При калибровочных
преобразованиях вида
A.(x)-*g(x)Au(x)g-l(x) ^
ковариантная производная VaB преобразуется по правилу
Пока мы говорили о ковариантном дифференцировании вектор-функций,
определенных в области D € R\ При переходе от области к гладкому многообра-
многообразию Мп понятие вектор-функции должно быть расширено следующим образом.
Многообразие ? называется (гладким) векторным расслоением над много-
многообразием М, если его точками являются пары (х, ?) из точки х € Мп и вектора 5,
прикрепленного к этой точке, и на ? задано отображение проекции
которое точке (лс, ?) сопоставляет «первую координату» — точку х е Мп. При
этом требуется выполнение следующих условий.
1. Многообразие М покрыто такими областями i/a, что над каждой из этих
областей отображение к устроено как проекция прямого произведения на первый
сомножитель, т. е. в области 7i"'(^a) вводятся координаты х1а, ..., jcJJ, !Ц, ..., ??,
в которых тс имеет вид
к(*, К) = х,
при этом величины х1а, ..., х? задают координаты в области Ua С М.
2. На пересечениях двух таких областей Ua П (Ур заданы замены координат
вида
х* = ха (лгр), ?а = /ар (дс)$р,
где функции /ар(л:) принимают значение в матричной группе Ли G.

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 553
При этом принята следующая терминология: многообразие Е называется про-
пространством расслоения, многообразие М — базой расслоения, а векторное
пространство F = R*, которому принадлежат векторы ?, — слоем расслоения.
Группа G называется структурной группой расслоения. Сечением расслое-
расслоения называется функция ф, которая каждой точке из М сопоставляет какой-то
вектор ?, прикрепленный к этой точке:
Если слои расслоения — комплексные векторные пространства С* и груп-
группа G действует на них линейными преобразованиями из GL(&, С), то расслоение
называется комплексным.
Если мы хотим дифференцировать сечения расслоения и получать в резуль-
результате другие сечения, сделав процедуру независимой от выбора координат, то мы
и должны ввести связность — набор 1-форм со значениями в алгебре Ли g груп-
группы G — и положить
В каждой области Ua эта формула задаст ковариантные производные сечения ф.
При калибровочных преобразованиях % -¦ g<$(х)% эти ковариантные производные
будут согласованы.
Примеры. 1. Прямое произведение М xRk называется тривиальным рас-
расслоением.
2. Многообразие 77ИЛ, составленное из всех пар вида (х, ?), где х€Мп и $ —
касательный вектор в точке х, называется касательным расслоением.
2. Ковариантное дифференцирование спиноров. Пусть М4— многообра-
многообразие с метрикой gab типа A,3). Связность, согласованная с этой метрикой, поро-
порождает ковариантное дифференцирование спиноров.
Преобразование
приводит к полуспинорам т) и 5» и спинорное представление группы SOA, 3)
распадается в прямую сумму сопряженных полуспинорных представлений:
*)-«*). 5-«5. g€SLB,C), A5.44)
на пространстве С2, которое называется пространством двухкомпонентных
спиноров (или полуспиноров) (см. п. 3 § 15.2).
Чтобы описать это представление SOA, 3) -» SLB, С), представим про-
пространство Минковского как пространство эрмитовых B х 2)-матриц
где а0 — единичная матрица, а О|, 02, аз — матрицы Паули. Скалярное произве-
произведение задается определителем:
18- 1168

554 Глава 15. Геометрические поля в физике
Преобразования
T geSLB,C),
сохраняют метрику Минковского и, следовательно, задают представление
SLB,C)->SOA,3),
которое переводит матрицы ±А в один элемент из SLB, С). Обратное двузначное
отображение
SOA,3)->SLB, С)
и будет представлением группы SOA, 3) на пространстве полуспиноров.
Чтобы задать ковариантное дифференцирование спиноров, достаточно опре-
определить ковариантное дифференцирование полуспиноров.
Ковариантная производная полуспинорного поля определена как
|? ). A5.45)
где Аа принадлежит алгебре Ли группы SLB, С). Сопряженные спиноры диф-
дифференцируются по правилу
¦«5=|рг +ЯД. A5.46)
Нам надо определить связность A^dx*.
В искривленном пространстве М4 мы должны в каждой точке выбрать на-
набор матриц ув так, чтобы он удовлетворял условиям уауь + уьуа = glab • 1, где
gfab — метрика Минковского. Аналогично должны выбираться и матрицы а*. Их
вид зависит от точки пространства, но они должны удовлетворять тем же са-
самым соотношениям коммутации: метрика на пространстве эрмитовых B х 2)-ма-
2)-матриц в каждой точке пространства имеет вид (аау оь) = g!ab. Так как пространство
эрмитовых матриц в каждой точке естественно отождествляется с касательным
пространством в точке, векторы оа должны в каждой точке образовывать тетраду:
{1 при а = Ь = О,
-1 при а = Ь= 1, 2, 3,
О при а ф Ь.
Так как мы отождествляем касательные векторы и эрмитовы матрицы, возьмем
на многообразии Мп обычную симметричную связность V, согласованную с ме-
метрикой, и определим ковариантное дифференцирование эрмитовых матриц как
ковариантное дифференцирование касательных векторов
Компоненты ГсаЬ связности в терминах тетрад мы вычислили в п. 5 § 10.2.
Каждое локальное преобразование из SOA, 3) порождает посредством спи-
норного представления локальное преобразование спиноров. Поэтому связность
на касательном расслоении ТМп, совместная с метрикой, порождает связность на

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 555
спинорных полях: матрицы из алгебры оA, 3), задающие связность на ТМ4, го-
гомоморфно отображаются в в матрицы из $1D), задающие связность на спинорных
полях. В терминах полуспиноров это соответствие выглядит просто.
Лемма 15.10. В терминах полуспиноров (см. формулы A5.45) и A5.46))
ковариантная производная спинорных полей имеет вид
где суммирование по индексу Ь производится с учетом знака: слагаемое,
отвечающее 6 = 0, берется с плюсом, остальные — с минусом.
Мы предлагаем доказать эту лемму в качестве задачи.
Включение электромагнитного поля производится по обычной схеме.
3. Кривизна связности. Коммутатор ковариантных производных по различ-
различным направлениям имеет вид
Следовательно, коммутатор операторов VM, Vv есть оператор умножения на ма-
матрицу FMV вида
Ъ = $-$ + №» АЛ О5-47)
Теорема 15.7. При калибровочных преобразованиях
матрицы F^ вида A5.47) преобразуются следующим образом:
Матрицы F^ образуют антисимметричный тензор 2-го ранга со значе-
значениями в алгебре Ли д, пи е. при заменах координат у = у(х) они преобра-
преобразуются по закону
Доказательство состоит в прямой подстановке.
Форма
со значениями в алгебре Ли $ называется формой кривизны связности
18*

556 Глава 15. Геометрические поля в физике
Говорят, что связность Ли — тривиальная, если существует такая функция
go(x) со значениями в группе G, что
В этом случае после калибровочного преобразования, заданного функцией
go(x)~l> ковариантное дифференцирование примет вид
Кривизна этой связности равна нулю, и, так как величины F^ образуют тензор,
мы получаем доказательство следующей теоремы.
Теорема 15.8. Форма кривизны тривиальной связности равна нулю.
Обратное утверждение тоже верно: если F^ = 0, то связность (локально)
тривиальна.
С помощью связности A5.43) определим ковариантный дифференциал фор-
формы ft:
DU = 2 (VXFMV 4- Vv/^ + VM/\X) d? A dx* Л dx\
Имеет место тождество Бианки
Dfi = 0. A5.48)
Пример. Пусть символы Кристоффеля Г|Л задают ковариантное диффе-
дифференцирование касательных векторных полей на я-мерном многообразии:
Тогда форма кривизны имеет вид
где Rlkij — тензор кривизны Римана (см. п. 1 § 10.2).
Если симметричная связность согласована с метрикой, то зададим связность
в терминах «тетрад» векторов еь ..., епу образующих ортонормированные ба-
базисы в касательных пространствах: (eh ej) = bir Ковариантные производные для
такой связности были вычислены в п. 5 § 10.2. Связность имеет вид
и символы Кристоффеля Tkji кососимметричны по индексам ky j (т. е. матрицы At
принадлежат алгебре Ли группы SO(n)). Форма кривизны
тоже принимает значения в этой алгебре Ли.

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 557
Для случая метрики на двумерной поверхности форма кривизны есть
=(-U о)'
где К — гауссова кривизна поверхности.
4. Уравнения Янга—Миллса. Требование инвариантности лагранжиана от-
относительно локальных преобразований ф —> g(x)<\> определяет лагранжиан взаи-
взаимодействия поля ф с калибровочным полем Ла, как это было показано в п. 1. Но
это требование не определяет лагранжиан самого калибровочного поля.
Лагранжиан L = ЦЛМ, dAjdx") калибровочного поля должен обладать сле-
следующими свойствами: он должен быть скаляром и не меняться при калибровоч-
калибровочных преобразованиях.
Простейший лагранжиан, удовлетворяющий этим условиям, имеет вид
(/Vv, ^xx>, A5.49)
где
gvv = gnv(x) — метрика на многообразии и (, ) — форма Киллинга на группе Ли G.
Очевидно, он скалярен, и, так как при калибровочных преобразованиях форма
кривизны преобразуется по правилу
и метрика Киллинга двусторонне инвариантна, мы имеем
Предположим, что метрика g^ евклидова или псевдоевклидова: gMV =
= ±1. Тогда функционал действия примет вид
{F^F^)dnx A5.50)
(здесь по дважды повторяющимся индексам [i, v производится суммирование
с учетом знаков ev, 6Ц = ±1).
Теорема 15.9. Пусть форма Киллинга на группе Ли невырожденна. То-
Тогда уравнения Эйлера—Лагранжа для экстремалей функционала A5.50)
имеют вид
VMFMV = 0, A5.51)
где
(по \х происходит суммирование).

558 Глава 15. Геометрические поля в физике
Доказательство. Для малой локальной вариации 8ЛМ мы имеем
Интегрированием по частям докажем следующее равенство:
Из инвариантности формы Киллинга следует, что
(/>, PA,, 4V]> = -<[/>, Лу], Ми>.
Подставляя эти два равенства в выражения для 5S, получим
<Гх.
После переобозначения индексов мы приходим к равенству
+ [Л,, FMV], Mv) d'jc =
Для экстремалей 8S равняется нулю для произвольной вариации bAv. Если форма
Киллинга невырожденна, то это означает, что VMFMV = 0. Теорема доказана.
Уравнения A5.51) называются уравнениями Янга—Миллса.
Их решения для группы G = SUB) называются полями Янга—Миллса, хотя
этот термин часто употребляется в случае общей группы С.
Примеры. 1. Для группы G = U(l) связность есть электромагнитное поле
и лагранжиан имеет вид
/ --If2 1(дА* дАА2
ь~ 4 и* ~ 4 \дх? дху)'
Уравнения A5.51) в этом случае есть уравнения Максвелла
(см. п. 6 § 14.2).
2. Уравнения Янга—Миллса можно формально выписать и для группы с вы-
вырожденной формой Киллинга. При этом они, конечно, не выводятся из вариаци-
вариационных принципов. Например, для связности со значениями в аффинной группе
(связности Картана, см. п. 4 § 10.1) уравнения Янга—Миллса совпадают с урав-
уравнениями Эйнштейна:
Rat ~\Rgab = 0.
Если пространство четырехмерно, то действие вида

§15.3. Поля Янга—Миллса 559
инвариантно относительно конформных преобразований. Действительно, диффе-
дифференциал любого конформного преобразования R4 или R1*3 сводится к дилатации
и вращению (см. § 11.1). Так как F^ — тензор, для дилатации х —> X* мы имеем
/V -> X-2/v, d4x-*\4d4x.
Очевидно, что
(/\iv> /Vv> d4x -+ (/>, />) d4*.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 15.10. Действие A5.50) и уравнения Максвелла—Янга—Милл-
са A5.51) в пространстве Минковского конформно инвариантны, те,
имеют группу симметрии 0B, 4).
5. Характеристические классы. С помощью формы кривизны можно стро-
строить важные калибровочно инвариантные формы со скалярными значениями.
Пусть Аа dx* — связность в векторном расслоении и fi = ? F^ dx? A dxw —
ее форма кривизны. M<v
Рассмотрим форму
сг=Тгп = ^2Tr/Vvdx^ A dx\
Так как при калибровочных преобразованиях
эта форма калибровочно инвариантна. Более того, она замкнута:
dcx =
так как локально она является точной формой: ТгП = ^ТгЛ. Это показывает
следующее простое вычисление:
так как след коммутатора матриц равен нулю.
Выпишем теперь тождество Бианки A5.48)
^mv vxh ,\x) dx" = 0
для связности A5.43):
Оно, очевидно, переписывается в форме уравнения Маурера—Картана
DU = du + [Ay ft] = 0,
где А = Ал dx* — связность (заданная локально).

560 Глава 15. Геометрические поля в физике
Определим теперь 2?-формы вида
ck = Trft* = Tr(fi Л ... Л П).
Лемма 15.11. Формы ck замкнуты.
Доказательство. Мы имеем
dck = dTrUk = J2TW Л du Л П*-1) = - ]ГТг(П'-' Л [А, П] Л П*"').
Как и выше, из равенства Тф4, П] = 0 следует, что следы всех слагаемых рав-
равны нулю (мы опустим здесь эти несложные выкладки). Следовательно, dtk = 0.
Лемма доказана.
Эти замкнутые формы обладают важным свойством: их интегралы по много-
многообразиям не меняются при варьировании связности.
Теорема 15.11. Функционалы
Sk[A,)= I c2k= f Trft*
JM2k JM2k
имеют тождественно нулевую вариационную производную:
Доказательство. Ради краткости мы ограничимся доказательством при
При локальной вариации связности Лм —> Ли + МИ форма ТгП переходит
в форму Trft -f Тг5П. Заметим, что разность двух связностей ЬА —это уже ковек-
тор, 1-форма со значениями в алгебре Ли. Отсюда мы заключаем, что форма ЬА
корректно определена и ее внешний дифференциал равен Тг8П = dlvbA.
В силу локальности вариации мы можем применить теорему Стокса и полу-
получить равенство
hS= [ ТгШ=
Теорема доказана.
Замкнутая калибровочно инвариантная форма со, для которой функционал
S = [ со имеет тождественно нулевую вариационную производную,
5/ о
называется (дифференциально-геометрическим) характеристическим классом.
Для группы G = SO(n) алгебра Ли состоит из кососимметрических матриц
А = -Лт. Отсюда следует, что

§15.3. Поля Янга—Миллса561
и след этой формы равен нулю:
Поэтому для группы G = SO(az) нетривиальны только классы
Pk = C2k-
Для группы SOBn) имеется еще один характеристический класс Хя- Чтобы вве-
ввести его, напомним, что пфаффианом кососимметрической Bл х 2п)-матрицы
А = (а*/), ам = —am, называется выражение
Pf(y4) = i61""'**'* Л flW4 л • • • л ahn-^
где е*1-'*—знак перестановки (. '" . ) (в классической ситуации, когда
\h • • • hnj
коэффициенты матрицы А —скаляры, подразумевается обычное умножение). Ха-
Характеристический класс Хя определяется как
X» = Pf(fi),
где uij — форма кривизны:
Для групп SO(n) классы pk являются многочленами от характеристических
классов Понтрягина pk, которые имеют степень 4k и однозначно представля-
представляются как многочлены от классов /?,-.
Класс Хп называется характеристическим классом Эйлера. Точнее, классом
Эйлера называется класс х« = ХдХя» ^я = const интеграл от которого по много-
многообразию равен его эйлеровой характеристике. Классы Понтрягина тоже целочи-
целочисленные: их интеграл по любому циклу является целым числом.
Многочлены от характеристических классов тоже являются характеристиче-
характеристическими классами.
Общий характеристический класс для группы SOBn) является многочленом
от Х«» Рь • • •» Рл-ь а Для группы SOBn и- 1) — многочленом от р]у ..., рп.
Для групп G = U(n) мы получаем характеристические классы Черна ck, ко-
которые взаимно однозначно выражаются как многочлены через классы ck. Эти
классы тоже целочисленны и, например,
Алгебра Ли группы SU(n) состоит из бесследовых матриц, и поэтому для G
= SU(ri) С U(/z) первый класс Черна всегда равен нулю:
Пример. При п = 1 класс Эйлера xi имеет вид
X, = П12 = Ky/gdxx A dx2.

562 Глава 15. Геометрические поля в физике
Функционал вида
/
/R2
имеет тождественно нулевую вариационную производную по метрике (теоре-
(теорема 14.7).
Приведем без доказательства формулы для классов Понтрягина, Черна и Эй-
Эйлера:
Выражения вида det(l + А), где А —2-форма со значением в алгебре матриц, вы-
вычисляются по формальным правилам линейной алгебры. При этом заметим, что
коэффициенты матриц коммутируют (как 2-формы). В результате мы получаем
разложение такого определителя в сумму форм, которые и реализуют целочи-
целочисленные классы Понтрягина рк и Черна ck.
Эти матричные многочлены инвариантны — не зависят от калибровочных пре-
преобразований, которые переводят форму кривизны И в gug~[. Действительно,
det(l +\gug~*) = det[g(l +XO)g"l] = det(l +ХП).
Для классов Черна форма п имеет коэффициенты в алгебре и(л), состоящей
из матриц, удовлетворяющих условию Ат = —Л. Их следы чисто мнимы и по-
после деления п на 2ш мы получаем форму с вещественнозначными матричными
коэффициентами по диагонали.
Если структурная группа комплексного расслоения 5 равна SU(n), то ТгЛ = О
для любой матрицы из su(n) и мы имеем
Мы оставляем в качестве упражнения доказать, что классы Pk и ct выража-
выражаются как многочлены от классов рк и ct соответственно.
6. Инстантоны. В ряде важных случаев задача о нахождении глобальных ми-
минимумов функционала S[A] — инсшантонов — может быть решена с помощью
следующего приема.
Пусть функционал S[A] представляется в виде
S[A} = J
где U(А) ^ 0 и о) — характеристический класс (интеграл от со не меняется при
вариациях поля А). Если существует такое поле Л, что L'(A) = 0, то оно доста-
доставляет глобальный минимум функционала S среди полей с заданным значением
интеграла j <o.

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 563
В ряде важных случаев, один из которых мы обсудим ниже, условие U = О
сводится к уравнению меньшего порядка, чем уравнение Эйлера—Лагранжа для
функционала S. В то же время задача U = О может не иметь решения (в этом
случае трюк не работает).
Фактически мы уже применяли этот трюк при описании гармонических ото-
отображений S2 в 52 (см. п. 5 § 14.2). При этом величина J о> была степенью ото-
отображения.
Приведем другой простой пример, когда этот трюк не работает.
Пусть М2 — замкнутая ориентированная поверхность. Для каждого ее глад-
гладкого погружения в R3 определим значение функционала
W =
где Н = ' 2 — средняя кривизна поверхности и d\x = yfgdx1 A dx2 — форма
площади в индуцированной метрике. В физике такой функционал возникает для
поверхностей в многомерных пространствах и имеет вид
где Н — вектор средней кривизны.
Представим функционал W в виде
W =
Так как K — k\k2— гауссова кривизна, мы заключаем, что Kd\± — характеристи-
характеристический класс:
г
k\k2d\x = const
и постоянная зависит только от топологии М2 (согласно теореме Гаусса—Бон-
Гаусса—Бонне она равна 2кх(М2), где х(М2) — эйлерова характеристика многообразия Af2).
Функционал
называется конформной площадью или функционалом Уил/шора. Этот функ-
функционал инвариантен относительно конформных преобразований объемлющего
пространства, и поэтому его экстремали всегда вырожденны.
Если М2 — сфера, то легко найти глобальный минимум функционала W как
решение уравнения W = 0: это круглые сферы, у которых все точки омбиличе-
омбилические, т. е. k\ = k2. Если М2—тор, то это соображение не работает: как мы знаем,
замкнутая поверхность, у которой все точки омбилические, гомеоморфна сфере
(см. п. 3§4.4).
Более интересные примеры задач, к которым инстантонный трюк неприменим,
известны в математической физике. Мы рассмотрим ситуацию, когда он работает.

564 Глава 15. Геометрические поля в физике
Пусть М4 — четырехмерная сфера, которую мы рассмотрим как простран-
пространство R4, с координатами х°, х\ г2, я3, пополненное бесконечно удаленной точ-
точкой. При этом мы должны наложить условие, что в этих координатах Fab —» О
при \х\ —> оо, поскольку связность продолжается на сферу. Это означает, что
связность стремится к тривиальной:
Aa~—JLg-1 при |х|->оо.
Отображение g(x) имеет различные пределы goo(v) вдоль лучей v\x\, где v — век-
вектор на единичной сфере. Поэтому мы имеем отображение
Рассмотрим калибровочные поля Аа с группой G = SUB). На четырехмер-
четырехмерном многообразии функционал для полей Янга—Миллса конформно инвариан-
инвариантен, и поэтому для записи действия с лагранжианом A5.49) можно использовать
евклидовы координаты на R4 (gab = ЪаЬ):
= - / Tr(FabFab)d4x,
где по а, Ь = 1, ..., 4 производится суммирование и П = J2 Р°ь dxa A dxb — фор-
а<Ь
ма кривизны связности. Заметим, что ТгЯ2 < 0 для ненулевых матриц из ал-
алгебры Ли группы SUB). Поэтому этот функционал положительно определен.
Сопоставим каждой 2-форме п двойственную форму
*п = ^ tabcdFab dx0 A dx*',
где по всем индексам подразумевается суммирование. Можно ее записать и в
виде
J^(*F)ab dxa Adxb = ^2 Fcd*{dxc A dxd),
a<b c<d
где справа стоит обычный оператор двойственности Ходжа на четырехмерном
римановом многообразии.
Напомним, что форма Тг(П Л п) есть характеристический класс, интеграл от
которого имеет вид
= / lvFabFcdzabcddAx = 2 [ TrFab(*F)abd*xy
и он не меняется при вариациях метрики. Можно показать, что в действительно-
действительности значение этого функционала равно

-\: f 7r(*F)ab(*F)abd4x + [ TrFab(*F)ab d4x =
Z J\R4 JR*
§15.3. Поля Янга—Миллса 565
Рассмотрим теперь функционал Т вида
ПП = А I ЩГаь - (*F)ab)(Fab - (*F)ab) dAx =
= ~ / KFabFab f
= S[F]+
Справедливы следующие утверждения.
1. Уравнения ЬТ= О и 8S = 0 имеют одни и те же решения.
2. Функционал Т неотрицательно определен и обращается в нуль только на
автодуальных связностях, т. е. связностях, удовлетворяющих уравнению ду-
дуальности, открытому Поляковым и Белавиным:
Решения этого уравнения доставляют глобальные минимумы функционала S сре-
среди связностей с заданным значением степени отображения deggoo.
При deggoo = 0 мы имеем тривиальную связность: Fab = 0.
При deggoo = 1 существует «сферически симметричное» решение уравне-
уравнения дуальности («инстантон» Белавина—Полякова—Шварца—Тюпкина), кото-
которое дается следующими формулами. Введем величину г)ацу по формулам
r\abc = Ьаьс, если 1 ^ а, 6, с < 3,
Она кососимметрична по индексам (i, v = 0, 1, 2, 3 и а = 1, 2, 3. Матрицы из
SUB) будем раскладывать по базису еХу е2, еъ с коммутационными соотноше-
соотношениями
[еа> eb] = zabcec, X = Хаеа.
Тогда для любой постоянной X и любой точки Хо Е М4 следующие формулы задают
инстантон «с центром в точке х0»:
ла=
11
При каждом N = deggoo > 1 мы имеем /V-инстантонные решения вида
N
где
" X?
а° = ( О 1 ) ¦G| J °2' аз — матРииы Паули, Ху — произвольные постоянные, а дсу —
произвольные точки в М4, / = 1, ..., N.

566 Глава 15. Геометрические поля в физике
Уравнения дуальности — это уравнения первого порядка, в отличие от урав-
уравнений Янга—Миллса, которые включают вторые производные связности. Вывод
уравнений дуальности для инстантонных решений дословно проходит для любого
четырехмерного риманова многообразия. Тем, что М4 — сфера, мы воспользова-
воспользовались только для красивой интерпретации интеграла D[F] как степени отображе-
отображения и построения явных примеров инстантонов.
Замечание. Ряд вариационных задач, начиная с классического уравне-
уравнения Лапласа на плоскости, обладает замечательным «инстантонным феноменом»:
глобальные минимумы удовлетворяют уравнениям вдвое меньшего порядка. Так
было в теории Ходжа (см. выше), так обстоит дело для полей Янга—Миллса
на М4. Существует ряд других важных примеров.
Упражнения к главе 15
1. Покажите, что уравнения Максвелла в четырехмерном пространстве-вре-
пространстве-времени с метрикой gij имеют вид A5.5):
где у — ток, 8 = *d*.
2. Докажите, что операторы вида
Rab ~
являются вариационными производными только при X = 1/2.
3. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля A4.16)
имеет вид
1т 1 85
2 *~
где действие S задается формулой A5.4):
5 = -^ J FabFcdffcffdJ=gd4x, g = det(^).
4. Выведите закон сохранения тока
непосредственно из уравнений Эйлера—Лагранжа для массивного (скалярного
или векторного) поля
5. Покажите, что при отсутствии калибровки
??i?n
векторного поля энергия / 70 <Рх может принимать отрицательные значения.

§15.3. Поля Янга—Миллса 567
6. Докажите, что образ двузначного спинорного представления g: SOC) —>
—> SLB, С) лежит в SUB) и композиция этого представления с проекцией
SUB) —> SUB)/{±1} задает изоморфизм
SOC) = SUB)/{±1}.
4
7. Рассмотрим пространство RM с метрикой (dx0J — ^{dxkJ и гиперболоид
k=\
в этом пространстве, заданный уравнением
(х0J - (х1J - (х2J - (jc3J - (jc4J = -а2, а ф 0.
Докажите, что
а) этот гиперболоид диффеоморфен прямому произведению R x S3 и индуци-
индуцированная метрика приводится к виду
dt2 - a2 ch2 (^) {dx2 + sin2 x(d02 + sin2
где х» 9, ф — угловые координаты на единичной трехмерной сфере;
б) метрика на гиперболоиде удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в пусто-
пустоте с ненулевым космологическим членом Л ф 0 (это пространство называется
пространством, де Ситтера);
в) в подходящих координатах на половине многообразия де Ситтера (напри-
(например, в области х° + х1 > 0) метрика приводится к статическому виду
1 - -V- )dt2 - 1 - -V dt2 - r*(dQ2 + sin20dcp2), /?«, = const.
8. Пусть A^ — пространство постоянной секционной кривизны /С = 0, ±1. Его
метрика имеет вид
{dx2 + sin2xdu2 при /( = 1 (для S3),
dX2 + X2 du2 при /С = 0 (для R3),
dx2 + ch2xdu2 при /С = — 1 (для L3),
где du2 = d02 + sin28rf92 — метрика на единичной двумерной сфере. Пусть ме-
метрика на пространстве RxM^ имеет вид
c2di2-a2{f)dl2K.
Решения уравнений Эйнштейна в таком классе метрик называются космологи-
космологическими моделями Фридмана.
а) Найдите в классе таких метрик решения уравнения Эйнштейна с гидро-
гидродинамическим тензором энергии-импульса Tab = diag(e, p, /?, р) и докажите, что,
в частности, выполнено тождество
8тсОе _ „2 , К
Зг сг
где величина
~~ са
называется постоянной Хаббла.

568
Глава 15. Геометрические поля в физике
б) Докажите, что для пылевидной материи, когда р = О, для решений, указан-
указанных в п. а), выполняется тождество
еа3 = const
и при а —> О имеет место асимптотическое поведение
(здесь a(t) -> 0 при / —> О и у. — плотность массы).
в) Используя равенство еа3 = М = const, найдите решения уравнений Эйн-
Эйнштейна в квадратурах:
da ., з _ хл ^ _ 8rcGAf
, га - , - зс3 '
В частности, покажите, что при К = — 1 или 0 величина а неограниченно возра-
возрастает, а при К = 1 она стремится к нулю за конечное время.
9. Докажите, что скалярное произведение (ф, ф) = ф+у°ф (см. п. 3 §15.2)
инвариантно относительно спинорного представления группы 0A, 3).
10. Докажите, что при спинорном представлении группы SOA, 3) величина
фуаф преобразуется как вектор, фуау*ф как тензор ранга 2, фуау*усф как тензор
3-го ранга и фу5ф = фу°у'у2у3ф как тензор 4-го ранга.
11. Докажите, что полуспинорные представления группы SOA, 3) не имеют
нетривиальных инвариантных скалярных произведений.
12. Докажите следующие соотношения между алгебрами Клиффорда:
С1„,о ® С1о,2 = С1о,«+2» С1ол 0 С12,0 = CIrt+2,0, ClPt<7 ® Cljj =
13. Докажите следующие изоморфизмы алгебр Клиффорда:
п
С1„,„
п
си
п
С1о.„
п
С1о,я
1
С
5
МD,
МB,
С)
2
И
6
М(8,
1
5
Н)фМB,
К)
И)
М(8,
2
МB,
6
МD,
3
нем
7
Е)ФМ(8,
Е)
И)
3
МB,
7
М(8,
К)
С)
С)
4
МB,
8
МA6,
4
МB,
8
МA6,
Н)
R)
Н)
R)
14. Докажите следующие соотношения периодичности для алгебр Клиффорда:
Cl/t+8,0 = С1ц,0 ® С18>0, С10,я+8 = С1о,я 0 С10,8.
15. Докажите, что бесконечно малые калибровочные преобразования име-
имеют вид
и(х)
о(В).

§ 15.3. Поля Янга—Миллса 569
16. Выведите уравнение Дирака в присутствии метрики.
17. Пусть ? = (?°, ?'), у) = (т)°, гI) —такой базис в пространстве спиноров С2,
что ^гI — Vvf = 1. Покажите, что с этим базисом канонически связан репер
в пространстве Минковского (тетрада), в котором метрика принимает вид
(О 1 О
10 0 0
0 0 10
0 0 0 1,
18. Докажите, что если форма кривизны связности есть тождественный нуль,
то связность (локально) тривиальна.
19. Докажите тождество Бианки A5.48).
20. Докажите, что форма кривизны связности Картана (см. п. 4 §10.2) со
значениями в алгебре Ли аффинной группы имеет вид
где /?x<MV — тензор кривизны связности, 7?v— тензор кручения.
21. Выведите уравнения экстремалей гт = 0 для лагранжиана
где метрика gMV(*) произвольна и фиксирована (внешнее поле).

Литература
[1]Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная
геометрия: Методы и приложения. Ч. I. Геометрия поверхностей, групп пре-
преобразований и полей. Ч. II. Геометрия и топология многообразий. 2-е изд.
М.: Наука, 1986.
[2] Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Часть III. Методы теории гомологии. М.: Наука, 1984.
[3] Н о в и к о в СП., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной гео-
геометрии и топологии. М.: Наука, 1987.
[4] Новиков СП., Мищенко А. С, Соловьев Ю. П., Фомен-
Фоменко А. Т. Задачи по геометрии: Дифференциальная геометрия и топология.
Москва: Изд-во МГУ, 1978.
[5] N о v i k о v S. P. Topology. I. Encyclopaedia of Math. Sciences. Berlin et al.:
Springer, 1996.
[6] Динамические системы-4. Под ред. В.И.Арнольда и С П. Новикова. М.:
ВИНИТИ, 1985. (Современные проблемы математики: Фундаментальные
направления, т. 4).
[7] А л екс а н д ро в А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.
М.—Л.: Гостехиздат, 1948.
[8] Е ф и м о в Н. В. Высшая геометрия. 5-е изд. М.: Наука, 1971.
[9] По горел о в А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.:
Наука, 1969.
[10]Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. 6-е изд. М.: Наука,
1974.
[11] Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории го-
мотопий. 3-е изд. М.: Наука, 1985.
[12] Понтрягин Л. С Непрерывные группы. 4-е изд. М.: Наука, 1984.
[13] Р а ш е в с к и й П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 3-е изд. М.:
Наука, 1967.
[14]Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: Наука,
1971.
[15] Тайма нов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. Москва—
Ижевск: ИКИ, 2002.
[16] Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.:
Наука, 1989.

Литература 571
[17] Атья М. Лекции по /С-теории. М.: Мир, 1967.
[18] Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической тополо-
топологии. М: Наука, 1989.
[19] Ги л ь б е р т Д., К о н - Ф о с с е н С. Э. Наглядная геометрия. 3-е изд.
М.: Наука, 1981.
[20] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия
в целом. М.: Мир, 1971.
[21]3ейферт Т., Трельфалль В. Топология. Москва—Ижевск: РХД,
2001.
[22] Зейферт Т., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.
М.: ИЛ, 1947.
[23] Л е ф ш е ц С. Алгебраическая топология. М.: ИЛ, 1949.
[24] Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
[25] Милнор Дж. Теорема об Л-кобордизме. М.: Мир, 1969.
[26] Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир,
1971.
[27] Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960.
[28] С е р р Ж. - П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.
[29] Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ,
1960.
[30] Стинрод Н. Топология косых произведений. М.: ИЛ, 1953.
[31]Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства. М.: Мир, 1964.
[32] Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. М.: ИЛ, 1961.
[33] McDuff D., Salamon D. Introduction to symplectic topology. Oxford:
Clarendon Press, 1995.
[34] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3-е изд.
М.: Наука, 1984.
[35] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. М;! Наука, 1978.
[36] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. 3-е изд.
М.: Наука, 1989.
[37] Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1954.
[38] Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.
[39] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика. 3-е изд. М.: Наука, 1973.
[40] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е
изд. М.: Наука, 1974.
[41] Абрикосов А. А. Основы теории металлов. М.: Наука, 1987.

572 Литература
[42] Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.
3-е изд. М.: Наука, 1969.
[43] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей. 4-е изд. М.: Наука, 1984.
[44] Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических
систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.
[45] Б ь ё р к е н Д ж. Д., Д р е л л С. Д. Релятивистская квантовая теория. М.:
Наука, 1978.
[46] Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной.
М.: Наука, 1975.
[47] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля. 6-е изд. М.: Наука, 1973.
[48] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред. 2-е изд. М.:
Гостехиздат, 1954.
[49] Мизнер Ч., Торн К., У ил ер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977.
[50] Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. М.: ИЛ, 1956.
[51] Седов Л. И. Механика сплошной среды. 4-е изд. М.: Наука, 1983, 1984.
[52] Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию кали-
калибровочных полей. 2-е изд. М.: Наука, 1988.
[53] Теория солитонов / Под ред. С. П. Новикова. М.: Наука, 1979.
[54] Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.
[55] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по фи-
физике. М.: Мир, 1965—1978.
[56] Polyakov A. M. Gauge fields and strings. Chun Harwood Academic Pub-
Publishers, 1987.
[57] Дубровин Б. А., Новиков СП. Гидродинамика слабо деформиро-
деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова
теория // Успехи матем. наук. 1989. Т. 44, №6. С. 29—98.
[58] Л е Ты Куок Тханг, Пиунихин С. А., Садов В. А. Геометрия
квазикристаллов // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48, № 1. С. 41 —102.
[59] Новиков СП. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории
Морса // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, №5. С. 3—49.
[60] Новиков СП., Мальцев А. Я. Топологические явления в нормаль-
нормальных металлах // Успехи физич. наук. 1998. Т. 168, №3. С 249—258.
[61] Фаддеев Л. Д. Проблема энергии в теории относительности Эйнштей-
Эйнштейна // Успехи физич. наук. 1982. Т. 136, №3. С. 435—457.
[62] Taimanov LA. Modified Novikov—Veselov equation and differential ge-
geometry of surfaces // Transl. of the Amer. Math. Soc, Sen 2. 1997. V. 179.
P. 133—151.

Предметный указатель
Автоморфизм алгебры 539
внутренний 539
Алгебра 202
— ассоциативная 202
— Вирасоро 289
— внешняя 205, 246
— градуированная 203
— градуированно-коммутативная 205
— Грассмана 205, 246
— касательная 175
— Клиффорда 548
— коммутативная 202
— косокоммутативная 205
— Ли 38, 169
аффинная 203
группы Ли 170
коммутативная 170
компактная 195
матричной группы 177
нильпотентная 174, 192
полупростая 193
простая 194
разрешимая 192
, универсальная обертывающая ал-
алгебра 462
— нормированная 161, 203
— Пуассона 198, 452
, редукция 457
— с делением 161
— суперкоммутативная 205
— токов 204
Аннигилятор 455
Атлас 124
— поверхности 64
—, эквивалентность 127
База векторного расслоения 553
Базис 17
— ориентированный 23
— ортонормированный 19
Базис симплектический 44
Березиниан 313
Бинормаль 38
Бордизм 321
Бутылка Клейна 441
Вектор 229
— вакуумный 251
— времениподобный 50
— касательный 21, 64, 128
— Пойнтинга 267
— пространственноподобный 50
— световой 50
— скорости 21
— средней кривизны 516
— тока 492
4-Вектор энергии-импульса 428
4-вектор импульса 428, 495
— скорости 56, 524
Векторное произведение 37
Ветвь функции 143
Вложение 65, 130
Волна электромагнитная 503
Вращение зеркальное 32
Время собственное 524
Гамильтониан 434, 442, 452
Геликоид 117
Геодезическая 354
Гессиан 393
Гомеоморфизм 121
Гомологии 322
Гомоморфизм 28
Гомотетия 26
Гомотопия 123, 315
Градиент 292
— функции 229
Грассманиан 188
— лагранжев 190
Группа 24

574
Предметный указатель
Группа Е(п) 27
— GL(/z, С) 85
— SL(/i, С) 85
— SO(rt) 29
— SU(az) 88
— SU(p, (/) 88
— U(p, ?) 88
— аффинная А(я) 25
— Гейзенберга 155
— диэдра 211
— изоморфизм 28
— изотропии 185
— калибровочная 552
— квазикристаллографическая 207
— коммутативная 25
— кристаллографическая 206, 207
— Ли 166
, гомоморфизм 166
комплексная 191
локальная 171
матричная 166
, генератор 280
нильпотентная 193
полупростая 195
простая 195
разрешимая 193
— линейная GL(n) 25
— локальная 276
— однопараметрическая 159
— ортогональная О(п) 29
— ортогонально-симплектическая 260
— Пуанкаре 53, 522
— симметрическая 234
— симплектическая 46
— специальная линейная SL(n) 28
— стационарная 185
— структурная векторного расслоения
553
— унитарная U(n) 88
Движение 26
— винтовое 33
Действие 417
— группы 136
дискретное 136
свободное 136
транзитивное 185
Делитель нормальный 28
Детерминант 15
Дивергенция 291, 292, 340
Дилатация 367
Диффеоморфизм 127
Дифференциал 129, 270, 313
— квадратичный ПО
— Хопфа 109
Дифференцирование алгебры 170
— ковариантное 329
Длина 18
— кривой 21
Замощение 217
Замыкание 120
Значение критическое 390, 399
— собственное 73
скалярного произведения 248
тензора 268
Идеал 192
Изометрия 67, 121
Изоморфизм 28
— локальный 171
Иммерсия 129
Импульс 419
Инвариант поля 265
Инверсия 367
Индекс квадратичной формы 394
Инстантон 562
Интеграл второго рода 300
— движения 445
— первого рода 299
— первый 445
— поля 285
Интервал пространственно-временной 50
Казимир 455
Карта 64, 124
— локальная 61
Катеноид 117
Квазикристалл 217
Кватернион 160
Класс кристаллографический 210
— метрики конформный ИЗ
— Понтрягина 561
— характеристический 560
— Черна 561
— Эйлера 561
Ковектор 229
Когомологии 314
— алгебры Ли 288

Предметный указатель
575
Когомологии де Рама 313
— Дольбо 374
Кограница 313
Коммутант 192
Коммутатор 169
— векторных полей 278
Компакт 122
Композиция отображений 24
Компонента связная 152
Константы структурные 170
Конус световой 54
Координата циклическая 422
Координаты геодезические 357
— декартовы 13
— евклидовы 19
— изотермические 93
— канонические 444
— конформные 93
— локальные 61, 63, 124, 131
— однородные 140
— первого рода 173
— полугеодезические 357
— полярные 16
— сферические 17
— точки 13
— цилиндрические 17
Коцикл 313
— на алгебре Ли 287
Край многообразия 133
Кривая бирегулярная 38
— гладкая 64
— интегральная 275
— непрерывная 64
— параметризованная 21
— регулярная 21
Кривизна гауссова 70, 75
— геодезическая 360
— главная 75
— калибровочного поля 78
— кривой 35, 38
— связности 555
— секционная 348
— скалярная 346, 504
— средняя 70, 75
Кристалл 206
—, группа симметрии 208
трансляций 208
—, примитивная ячейка 209
—, точечная группа 208
Кручение 39
Лагранжиан 419
— невырожденный 433
— сильно невырожденный 434
— сферически симметричный 430
Линия мировая 13
Лист Мёбиуса 413
Масса частицы 517
Матрица Грама 18
— ортогональная 29
— спектр 48
— Якоби 15
Матрицы Паули 161, 540
Мера 299
Метрика 121
— гиперболическая 101
— инвариантная 186
— индуцированная 65, 272
— Керра 533
— Киллинга 182
— конформно плоская 349
— кэлерова 376
— левоинвариантная 181, 353
— лиувиллева 362
— Лобачевского 101
— Мин ко вс ко го 50, 522
— правоинвариантная 182
— риманова 66, 129
— риччи-плоская 351, 507
— Фубини—Штуди 379
— Шварцшильда 532
— Эйнштейна 351, 508
Многообразие алгебраическое 145
— гладкое 124
двумерное 64
— Грассмана 188
комплексное 190
лагранжево 190
— замкнутое 133
— комплексное 138
— контактное 470
— кэлерово 376
— ориентированное 130
— ориентируемое 130
— параллелизуемое 384
— почти комплексное 382
— пуассоново 198, 452
— риманово 129

576
Предметный указатель
Многообразнее краем 133
— ходжево 385
— Штифеля 187
комплексное 189
— Эйнштейна 351
Многочлены Лежандра 20
— ортогональные 20
— Чебышёва 20
— Эрмита 21
Множество замкнутое 14, 120
— открытое 14, 120
Модель Фридмана космологическая 567
Модель (плоскости Лобачевского) на
полуплоскости 102
— на псевдосфере 103
— Пуанкаре 102
Момент импульса 430, 497
Монополь Дирака 422
Направление асимптотическое 80
— главное 74
Напряженность магнитного поля 501
— электрического поля 501
Неравенство треугольника 18, 121
Нильмногообразие 193
Нормаль главная 38
— к кривой 35
Область 14
— Дирихле 210
— на поверхности 64
— ограниченная 15
Овеществление 85
Ограничение тензора 272
Односвязность 115, 123
Окрестность 14,64, 120
Октава 383
Оператор Даламбера 518
— кососимметрический 249
— Лапласа 91, 510
— Лапласа—Бельтрами 106
— симметрический 249
— Якоби 480
Опускание индекса 247
Орбита 136, 206
Ориентация 130
— базиса 23
— пространства 23
Ортогонализация Грама—Шмидта 19
Осциллятор гармонический 466
Осциллятор квантовый 256
Отображение биголоморфное 138
— гармоническое 513
— гауссово 273, 396
— гладкое 61, 127
— голоморфное 138
— конформное 366
— линейное 24
— момента 475
— непрерывное 120
в точке 122
— собственное 123
— экспоненциальное 173, 357
Отражение скользящее 33
Пара симметрическая 204
Параметр комплексный 93
— конформный 93
— натуральный 34
Переменные «действие-угол» 477
Перенос параллельный 337
Пересечение трансверсальное 401
Перестройка Морса 408
— сферическая 408
Плоскость гиперболическая 101
— касательная 68, 131
— Лобачевского 101, 102, 364
— проективная комплексная 140
Плотность заряда 546
— импульса 520
— энергии 267, 520
Поверхность вращения 62
— гиперэллиптическая 142
— комплексная 154
— лагранжева 466
коническая 473
— линейчатая 83
— минимальная 114, 499
ассоциированная 118
— многомерная 130
— неособая 130
—, площадь 68
— пространственноподобная 99
— развертывающаяся 83
— регулярная 58, 130
— риманова 142
Погружение 129
Подалгебра Ли 171
Подгруппа 27

Предметный указатель
577
Подгруппа дискретная 184
— Ли 166
— нормальная 28
— однопараметрическая 172
Подмногообразие 65, 130
— вполне геодезическое 516
— комплексное 145
— лагранжево 466
— минимальное 515
Поднятие индекса 248
Подпространства трансверсальные 49
Подпространство лагранжево 49
Покрытие 124
Поле векторное левоинвариантное 283
линейное 279
правоинвариантное 282
— калибровочное 78, 333, 550
— Киллинга 290
— компенсирующее 333, 552
— магнитное 264, 501
— скоростей 277
— тензорное 233
параллельное 337
— электрическое 264, 501
— электромагнитное 264
— якобиево 484
— Янга—Миллса 335, 558
Поливектор 258
Полуспинор 553
Последовательность фундаментальная 121
Постоянная космологическая 531
— Хаббла 567
Потенциал электромагнитного поля век-
векторный 501
скалярный 501
Поток 277
— поля 305
Представление группы 181
неприводимое 181
точное 181
— полуспинорное 544
— присоединенное 181
— регулярное 281
— спинорное группы 0A, 3) 543
группы SOC) 541
Преобразование аффинное 22
— Боголюбова 255
— Галилея 55
— дробно-линейное 89
Преобразование калибровочное 78, 333,
551
— каноническое 464
, производящая функция 487
— Лежандра 434
— линейное 24, 25
— Лоренца 54, 55
— ортогональное 29
— ортохронное 54
— собственное 23, 54
— унитарное 88
Принцип Гюйгенса 474
— максимума 141
Проектор 539
— ортогональный 539
Проекция стереографическая 96, 366
Произведение внешнее 245
— многообразий 126
— скалярное 43
евклидово 18
кососимметрическое 44
невырожденное 43
псевдоевклидово 43
симметричное 43
симплектическое 44
эрмитово 87
— тензорное 236, 237
Производная вариационная 419, 490,
491
— ковариантная 329
— Ли 284
— полная 284
— Шварца 112
Пространство векторного расслоения
553
— векторное 17
двойственное 234
— гиперболическое 365, 367
— де Ситтера 567
— декартово 13
— евклидово 18
— касательное 63, 65, 128
— конфигурационное 228, 434
— Лобачевского 365, 367
— метрическое 121
полное 122
— Минковского 50, 522
— однородное 185
— ориентация 23

578
Предметный указатель
Пространство проективное веществен-
вещественное 126
кватернионное 190
комплексное 140
— псевдоевклидово 45
— симплектическое 45
— спиноров 543
— топологическое 120
компактное 122
линейно связное 123
односвязное 123
подпространство 120
связное 123
— фазовое 228, 434, 444
расширенное 451
— флагов 226
— хаусдорфово 123
Пространство-время 13
Прямая проективная комплексная 140
Псевдотензор энергии-импульса 537
Пфаффиан 443, 561
Радиус кривизны 35, 38
— Шварцшильда 532
Разбиение единицы 134
Разложение Гельмгольца 512
— Ходжа 511
Размерность 13, 125
— комплексная 138
Ранг тензора 233
Расслоение векторное 552
комплексное 553
— касательное 127, 553
— нормальное 397
— Хопфа 187
Расстояние 18, 94, 121
Растяжение 26
Расширение центральное 287
Репер Френе 35
Решетка абелева 206
— Браве 210
— в пространстве 206
— квазипериодическая 216
Род поверхности 144
Ротор 291, 292
Ручка 409
Свертка тензора 235
Связность 552
— автодуальная 565
Связность аффинная 335
— евклидова 329
— Картана 336
— линейная 329, 333
— симметричная 330, 339
— согласованная с метрикой 338, 339
— тривиальная 333, 556
Сдвиг 25
— на группе 180
Сечение расслоения векторного 553
Сигнатура 45
Сила 419
— Кориолиса 437
Символы Кристоффеля 77, 329
Система g-градиентная 442
, генератор 442
— гамильтонова 444, 452
интегрируемая 475
— градиентная 405
Скаляр 229
Скобка Ли—Пуассона 201, 462
— Нейенхейса 388
— Пуассона 198, 452
— Схоутена 247
След тензора 235
Слоение симплектическое 460
Слой векторного расслоения 553
Смешанное произведение 41
Солвмногообразие 193
Спинор 543
— Вейля 544
— двухкомпонентный 553
— сопряжение 545
Степень внешней формы 244
— внешняя 246
— отображения 402
Структура гладкая 127
— комплексная 138
— контактная 470
— почти комплексная 382
— пуассонова 198
— симплектическая 201, 443
Сумма связная 127
Супералгебра 258
— Ли 204, 246
Суперпространство 258
Суперслед 260
Сфера 126
— с ручками 144, 414

Предметный указатель
579
Тензор 229, 233
— Вейля 349
— Вейля—Схоутена 350
— деформации 240
— изотропный 239
— инерции 446
— конформной кривизны 349
— кососимметрический 243
— кривизны 342
— кручения 330
— малой деформации 286
— напряжений Максвелла 267
— напряжения 241
— Нейенхейса 383
— Римана 342
— Риччи 346, 504
— энергии-импульса 494
электромагнитного поля 267
4-тензор момента 432
Теорема Бернштейна 117
— Гаусса—Бонне 507
— Кодаиры 385
— Стокса 306
Тетрада 351
Тип тензора 233
Тождество Бианки 344, 556
— Лейбница 170, 198
— Якоби 38, 168, 169
Топология 120
— индуцированная 120
Тор 126
— абелев 147
главно поляризованный 148
— вращения 62
— комплексный 146
Точка ветвления 143
— критическая 59, 390, 399
, индекс 394
невырожденная 393
функционала 418
— неособая 15, 59
— омбилическая 110
— особая 59, 62
— предельная 130
— регулярная 59
— сопряженная 484
— фокальная 397
Трансверсальность 400
Трансляция 25
Тэта-функция 148
Угол 18
Уравнение sin-Гордон 81
— Бельтрами 106
— Гамильтона—Якоби 467
— геодезических 354
— Дирака 546
— дуальности 565
— Клейна—Гордона 518
— Лиувилля 111, 458
— Маурера—Картана 364, 559
— минимальных поверхностей 117
Уравнения Вейля 547
— Гамильтона 434
— Гаусса 80
— деривационные 78
— Картана структурные 364
— Кодацци 78, 109
— Коши—Римана 91
— кривой натуральные 40
— Максвелла 297, 501, 558
— нулевой кривизны 78
— солитон ные 81
— Френе 35, 38
— Эйлера—Лагранжа 419, 490
— Эйнштейна 528
— Янга—Миллса 558
Условия Дирихле граничные 481
— Неймана граничные 481
Факторгруппа 28
Федоровская группа 213
Финслерова метрика 421
Флаг 226
Фоковское пространство 251
Форма внешняя 244
— гармоническая 509
— голоморфная 374
— дифференциальная 244
— квадратичная 44
бозонная 255
поверхности вторая 71
первая 66
подмногообразия вторая 515
, ранг 45
фермионная 255
— Кириллова 462
— контактная 470
— кэлерова 376

580
Предметный указатель
Форма симплектическая 444
Формула второй вариации 480
— Гаусса—Остроградского 308
— Грина 306
— Коши 307
— Кэмпбелла—Хаусдорфа 174
— Ньютона—Лейбница 305
— Стокса 308
— Эйлера 75
Формулы Вейерштрасса—Эннепера 116
Фронт волны 473
Функционал 417
— Дирихле 513
— локальный 489
Функция весовая 20
— гармоническая 91, 106
— гладкая 61, 64, 127
— голоморфная 90
— квазипериодическая 216
— комплексно-аналитическая 90
— критическая 490
—- Морса 399
— Морса—Ботта 411
Функция непрерывная 61
— однородная 145
— стационарная 490
— экстремальная 490
Центр алгебры 455
Централизатор 456
Цикл 317
— граничный 317
Циркуляция поля 304
Числа Бетти 322
Шар 121
Эквивалентность гомотопическая 317
Экспонента векторного поля 281
Экстремаль функционала 419
Элемент объема 244
Энергия 419
— кинетическая 417
— потенциальная 417
Ядро гомоморфизма 28
Якобиан 15
Ячейка Вигнера—Зейтца 210

Сергей Петрович Новиков
Искандер Асанович Тайманов
СОВРЕМЕННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И ПОЛЯ
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 16.06.2005 г.
Формат 70 х 100 Vl6- Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Печ. л. 36,5. Тираж 2000 экз. Заказ № 1168.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типофафия „Наука"».
119099, Москва, Шубинский пер., 6.