делить. Равенство
/ <)(y)dy = I f(x)dx
доставляет общий интеграл этого уравнения.
Пример. Решить уравнение dy 4- sin х sin ydx = 0.
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перемен-
ные разделяются переносом второго слагаемого из левой части урав-
нения в правую и делением на sin у. При делении теряются решения
sin у = 0 или у = ктт, к £ Z. которые нужно запомнить. Из равенства
[ dy г .	.
/ —--= — / sinxax
J sin у J
находим общий интеграл преобразованного уравнения
In | tg || = cost 4- с или tg = ±егего“1.
Константа С = ±ес принимает все ненулевые значения Разрешая ей
быть нулевой, мы включаем в формулу потерянные выше решения у =
2кя. к £ Z. Таким образом, общий интеграл нашего уравнения имеет
вид tg | = CeCOSJ:.
Ответ: tg “ = Ce“SI. у = (2к + 1)тг. к £ Z.
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка
это уравнение, которое простейшими преобразованиями приводится к
виду
у' = f(y/*),
где f - некоторая функция. Однородным, например, является уравне-
ние вида M(x.y)dx -Ь N(x,y)dy = 0, если JIA 1V - однородные функ-
ции одной и той же степени р G R (то есть при всех t £ R верно
M(tx.ty) = tpM(x, у), N(tx, ty) — tvN(x,y)). Однородное уравнение вве-
дением новой переменной и такой, что у = их. приводится к уравнению
с разделяющимися переменными.
Пример. Решить задачу Коши (т 4- y)dy — (т - y)dx — 0, 1/(1) = 1.
Решение. Введем новую переменную и такую, что у — их. Под-
становка у = их и dy = udx 4- xdu в уравнение приводит его к видх
.г(1 4- u){udx 4- xdu) — х(1 — u)dx = 0. После сокращения на х. не при-
водящего к потере решений исходного уравнения, и приведения подоб
ных слагаемых получаем уравнение с разделяющимися переменными
6
,г(1 + u)du 4- (и2 + 2u — l)dx = 0. Решая это уравнение, получаем его
общий интеграл x2(w2 + 2u — 1) — с. который в исходных переменных
х. у принимает вид у2 + 2ху — х2 = с. Подставляя начальные условия,
находим с = 2. Следовательно, у = —х + (2 4- 2а:2)1'2 - искомое решение
задачи.„
Ответ: у = -х + (2 + 2х2)1/2.
Замечание. Уравнение вида у1 =	где /- некоторая
функция. при <tib‘2 — a^i 0 приводится к однородному уравнению пе-
реносом начала координат в точку пересечения прямых
щх + Ь\у + <i = 0 и а?х + Ъ->у + С2 = 0.
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка - это
уравнение вида
У 4- р(х)у = q(x),
где p.q - некоторые функции. Это уравнение называется однородным
при q = 0 и неоднородным в противном случае
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти
или методом вариации произвольных постоянных или методом под-
становки.
При использовании метода вариации произвольных постоянных
сперва ищется >бщее решение однородного уравнения у' + р(х)у = О
в виде
у = CF(x), где F(j) = е~Р^ и Р(х) — любая первообразная р(а:).
Затем общее решение неоднородного уравнения ищется в виде
у = C{x}F(x) (константа С "варьируется’).
Подстановка искомого решения в исходное уравнение приводит к урав-
нению C'F(ar) = g(a:) на искомую функцию С. Интегрированием эта
функция находится, и ее подстановка в общее решение однородного урав-
нения доставляет общее решение исходного неоднородного уравнения.
Метод подстановки будет разобран ниже.
Пример. Скорость изменения температуры тела прямо пропорпи
ональна разности температур тела и окружающей среды с коэффици-
ентом пропорциональности 2. Найти зависимость температуры тела от
времени, если температура г окружающей среды изменяется по закону
r(i) — sint.
Решение. Температура тела Т удовлетворяет уравш-ник* /
—2(Т —sint) или Т + 2Т = 2 sint. Общее решение однородного ур.ннь пня
Т 4- 2Т = 0 имеет вид Т = Се~2‘. Варьируя константу С и полсыи in
в исходное неоднородное уравнение Т = C(t)e~u, получим ypauiieiiiii
Се~и --= Isint. Из последнего уравнения находим
C(t) = 2 У eusintdt = 2e2t(2 sin t — cost)/5 4- Co,
где Co - новая константа. Подставляя C(t) в общее решение однородного
уравнения, находим нужную зависимость
Т = 2(2 sin t — cos t)/5 4- Сое2*.
Константа Со вычисляется через температуру тела То = Т(0) по фор-
муле Со = 5 То + 2.
Ответ: Т = 0.8sint — 0.4cost 4- (5Tq + 2)e2t.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка типа Бернулли
это уравнение вида
У + Р(*)У = q(x)ya,
где p.q - некоторые функции и степень а отлична от 0 и 1 (в этих двух
случаях уравнение становится линейным). Введением новой переменной
z = у1-'* (подстановкой Бернулли) такое уравнение приводится к ли-
нейному уравнению, решать которое мы уже научились выше. Общее
решение уравнения типа Бернулли может быть найдено также и мето-
дом подстановки, уже упоминавшимся выше. Суть метода подстановки
состоит в следующем. Вводятся сразу две новые переменные u, v такие,
что у — uv. Подстановка в уравнение у = uv и у' = u'v + uv' и груп-
пировка второго и третьего слагаемых в левой части получающегося
уравнения приводят к уравнению
и и 4- it[t/ 4- p(x)w] = g(r)(ui>)n.
Ввод сразу двух новых переменных позволяет потребовать от одной из
них нужных нам качеств. Ненулевую функцию v - vq(x} выберем так.
чтобы она зануляла квадратную скобку в левой части уравнения, тогда
подстановка в уравнение v = со(.г) приводит к уравнению
u'r0(;r) = (y(j-)(izuo(x))°.
8
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися перемен-
ными. Интегрирование его и возврат к первоначальным переменным
подстановкой и = y/v0{x) доставляют общий интеграл исходного урав-
нения.
Пример. Решить задачу Коши: т/ 4- 2ху = ху~, у(0) = 1.
Решение. Сперва найдем общий интеграл уравнения. Для этого вос-
пользуемся методом подстановки. Подстановка в уравнение у = uv, у1 =
u'v 4- uv' и группировка второго и третьего слагаемых приводят урав-
нение к виду u'v 4- u[v' 4- 2aro] = i(itv)2. Решая уравнения v' 4- 2a:v = 0.
находим, что для зануления квадратной скобки подходит vo(x) = е~х
Подстановка v = е~х' в предыдущее уравнение приводит к уравнению
и'е~*2 = хи2е~'2х2 или и' = хи2е~х'. Разделяя переменные и интегри-
руя. находим общий интеграл последнего уравнения 1/и = е~х /2 4-с
или 2 = ие~х 4- 2си (при этом теряется решение и = 0 этого уравне-
ния; оно дает решение у = 0 исходного уравнения, не удовлетворяющее
начальным условиям). Подставляя и = уе*', получаем общий интеграл
исходного уравнения 2 = у + Суе1', где С = 2с. Подстановкой начальных
условий находим С = 1.
Ответ: у 4- уех = 2.
Дифференциальным уравнением 1-го порядка в полных
дифференциалах в области пространства переменных х, у называется
уравнение вида М(х, y)dx 4- N(x, y)dy = 0, если его левая часть явля-
ется дифференциалом некоторой функции Ф в этой области, то есть
б/Ф(х,у) = М(х,y)dx + N(x,y)dy или	~ При дифференци-
руемых функциях М, N необходимым условием этого является выпол-
нение равенства	в этой области. Для односвязной области это
условие является также и достаточным. Для уравнения в полных диф-
ференциалах равенство Ф(х, у) = С, где С - произвольная константа,
доставляет общий интеграл этого уравнения. Функция Ф определена с
точностью до константы и может быть найдена следующим образом: в
любой выбранной точке А односвязной области ее значение полагается
равным любому заданному числу (например, нулю), а значение в любой
другой точке В этой области полагается равным значению криволи-
нейного интеграла по координатам (=второго рода) от дифференциала
М(х, y)dx + N(x, y)dy по любой кусочно гладкой кривой 7, соединяющей
эти точки.
Пример Решить задачу Коши (2а; — y^/x^dx — Зу2(1 4- In x)dy =
0. .</(!) = 1.
9
Решение. Проверим, является ли уравнение уравнением в пол-
ных дифференциалах. Для изучаемого уравнения А-/(а',</) = 2х —
у3/х. N{x, у) = —Зу2(1 + Ina:). Функции М, N определены внутри пер-
вого и четвертого квадрантов. Имеем -уу = —Зу2/!,	= —Зу1/?.
Следовательно, в области определения уравнения ~ Таким обра-
зом, уравнение является уравнением в полных дифференциалах Точка
(•<-'О,.!/о) — (1,1) лежит в первом квадранте. Функцию Ф в нем найдем,
положив Ф(то, ,уо) = 0 и проинтегрировав левую часть изучаемого урав-
нения по пути, соединяющем эту точку с. точкой (а;, у), и идущем сперва
вертикально, а затем горизонтально. Получим
У	г
ф(*. у) = /-Т lnx0))dy + /(2а: - y3/x}dx = -у3 т х~ - /in г.
Уо	Го
Таким образом. — у3 -Та:2 — у3 Ina: = С - общий интеграл уравнения. Из
начальных условий находим С = 0. Следовательно, частный интеграл
—у3 Т х2 — у3 In х — 0 доставляет нужное решение задачи Коши.
Ответ, —у3 + х2 — у3 In а: = 0.
1.2. Системы линейных уравнений первого порядка
Систему п линейных уравнений первого порядка
i'l = а1,1(^)-с1 + Oi,2(i)-E2 + •  Т «1 n(t)xn Т /1(f)
х-2 = a2,i(t)xi Т a2.2(t)x2 Т   • Т a2,n(t)xn Т
1
хп = anJ(t)xi Т an.2(t)x2 + ... Т a„.n(t)xn Т fn(t)
можно записать в матричном виде
-V = A(t)X + F(t),
вводя обозначения
.¥ =	f ii ) .Г	. .4 =	' «1.1(0 «2.1(f)	«1.2(f) «2.2(f)	«l.n(f) ' «2.n(f)	. F(t) =	f fi(t) /2(f)
	< Хп ,		< «n.l(f)	«n.2(f) 	 «>.,..(f) )		< /n(t) )
10
Эта система называется однородной, если F(t) = 0 и неоднородной в
противном случае. Ее фазовое пространство и расширенное фазовое про-
странства - это пространства переменных ц, хг» • • •, и ^2» • • , £n> t
соответственно. Определение решения системы дается аналогично, ана-
логично ставится и задача Коши. Для существования и единственности
решения этой задачи на промежутке достаточна непрерывность матрич-
ной функции .4 и вектор-функции F как функций времени на этом про-
межутке.
Теорема. Решения однородной системы п линейных уравнений
первого порядка образуют п-мерное линейное пространство.
Базис этого пространства называется фундаментальной системой
решений. Таким образом, если X\(t), X-2{t),..., Xn(t) - базис простран-
ства решений линейной однородной системы (= фундаментальная си-
стема решений), то ее общее решение имеет вид
X(t) = cpVi(t) + c2-Y2(0 + .  - + cnXn(t) или X(t) = Ф(£)С,
где матрица Ф(£) = ( JYi(i) X2(t)... Xn(t) ), постоянный вектор С =
( ci с2... сп )* (* ~ транспонирование). Матрица Ф(£) удовлетворяет
уравнению Ф = А(£)Ф что легко проверить. Вронскианом, или опреде-
лителем Вронского набора вектор- функций Xi(t),X-i{t),... ,Xn(t), на-
зывается определитель матрицы (-Yi(t) Xz(t).. .Xn(t)).
Теорема Лиувилля. Вронскиан W набора решений системы
уравнений X = A(^).Y удовлетворяет уравнению W = TrA(t)W, и,
в частности.
W(f) = W’(to) ехр( I TrA(r)dr) (формула Лиувилля-Остроградского).
Jto
Из формулы Лиувилля-Остроградского следует, что вронскиан на-
бора решений либо не обращается в нуль, либо равен нулю тожде-
ственно. Эти два случая в точности означают линейную зависимость
и независимость набора решений соответственно. Вронскиан фундамен-
тальной системы решений не обращается в нуль. В этом случае матрица
Ф(£) обратима. Верно и обратное, что столбцы матричного решения Ф(4)
уравнения Ф = .4(f) Ф образуют фундаментальную систему решений од-
нородной системы, если определитель этого решения отличен от нуля
хотя бы в одной точке ( то есть матрица обратима хотя бы в одной
точке).
И
Теорема. Общее решение линейной неоднородной системы есть
сумма (любого) ее частного решения и общего решения соответству-
ющей однородной системы.
Как и в случае линейного однородного уравнения первого порядка,
общее решение неоднородной системы может быть найдено методом ва-
риации произвольных постоянных в виде X(t) = Ф(<)С(£). Подстановка
в неоднородную систему X = Ф(()С и X = Ф(£)С + Ф(£)С приводит
к системе
Ф(«)С 4- Ф(*)С = Л(*)Ф(г)С 4- F(t) или С = Ф~1
Последнюю систему будем называть системой метода вариации произ-
вольных постоянных (следует отметить, что в случае одного линейного
уравнения первого порядка эта система совпадает в точности с уравне-
нием метода вариации произвольных постоянных, изученным нами вы-
ше). Из последнего уравнения интегрированием находится вектор C(t).
Его подстановка в общее решение однородной системы дает общее ре-
шение неоднородной системы. В указанной процедуре есть одно неясное
место - как найти фундаментальную систему решений?
Теорема. При постоянной матрице .4 столбцы экспоненты etA
образуют фундаментальную систему решений системы X — ,4Х.
Иными словами, при постоянной матрице .4 в качестве матрицы
Ф(4) можно взять etA ( используется также и обозначение exp(tA)).
Напомним, что экспонента квадратной матрицы (оператора) В опре-
деляется по обычной формуле как сумма ряда
ев = Е 4- В 4- В2/21 4- В3/3! 4-. -. 4- Вп/п\ + ....
где Е — единичная матрица (тождественный оператор). По признаку
мажорантного сравнения этот ряд сходится для любой матрицы В, так
как 0 < ||Bn/n!|| < ||В||п/п!, а ряд Е'^_о ||В||п/п! сходится. Экспонента
матрицы (оператора) обладает следующими свойствами
(С1)
(С2)
(СЗ)
(С4)
(С5)
е° = Е, где 0 - нулевая матрица,
еА+в = еАев, если АВ = В А,
(с5)"1 = в"0,
А~'евА = еЛ~'ВА,
( .4 0 \	( еА 0 \
еХф = 1 0 ев ) 
12
Используя второе из этих свойств, легко вычислить экспоненту жорда-
новой клетки
/А	1	...	О	0	\
О	Л	...	О	О
О	0	...	А	1
k	0	0	...	О	А	,
являющейся суммой двух коммутирующих матриц
О 0 \
О О
О 1
О 0 ,
Следовательно, в силу свойства (С2)
А 1	... О 0 \
О А О	О
Учитывая теперь еще свойства (С4) и (С5) экспоненты, можно
°
О
1
О J
предло-
жить следующий путь вычисления экспоненты произвольной матрицы.
Сперва выбором нового базиса привести матрицу к жордановой нор-
мальной форме, вычислить экспоненту матрицы в этом базисе, а затем
вернуться к исходному базису. Однако такой путь даже в случае матриц
размера 2x2 трудоемок, поэтому были придуманы и другие способы
вычисления экспоненты матрицы, позволяющие упростить вычисления
в некоторых случаях. Одним пз таких способов является метод Сильве-
стра. доставляющий для вычисления экспоненты матрицы размера 2x2
следующие формулы.
13
При различных собственных числах Ai,A2 матрицы .4
eA = eA1Q, +eA2Q2 ( => etA = e^Qr + ea’Q2 ),
где
.4 — X2E _ -4 —AjE1
Ai - A2 " Qi ~ A2 - A! '
а при одинаковых собственных числах Aj = А2 = А этой матрицы
= еЛ(-4 + (1 - Х)Е) ( => elA = etx(E + t(A - ХЕ)) ).
Пример. Найти фундаментальную систему решений системы урав-
нений
х — —1гг + 7у
у = —6х + 9?у.
Решение. В силу теоремы, приведенной выше, столбцы депонен-
ты матрицы tA. где .4 - матрица нашей системы, доставляют нужную
фундаментальную систему решений. Матрица .4 = I ' | имеет раз-
у —6 9 )
личные собственные числа Ai = 2, А2 = 3. Следовательно, по формуле
метода Сильвестра
tA _ е2‘ / —4 - 3	7 \	е3< / —4 — 2	<	\
е ~ 2 - 3 \ -6	9 - 3 ) + 3-2 \ -6	9 - 2 j “
/ 7е2( — 6е3( —7е2< + 7е3( \
у 6е2( — 6е3( —6е2< + 7е3< у .
Таким образом, решения
I х \ _ / 7е2' — 6e3f \ / х \ _ / —7е2' 4- 7e3f \
\ у / t \ 6е2< — 6е3< J у у } 2	—6e2t + 7е3< )
образуют фундаментальную систему решений исходной системы.
-7е^1 + 7e3t \ з
-6е2< + 7eil J J '
7e2f - 6е3‘
6е2< - 6е3<
Ответ:
Замечания. Следует заметить, что столбцы экспоненты е‘А могут
доставлять фундаментальную систему решений не в самом простом
ее виде. В частности, в разобранном примере подходящие линейные
14
комбинации найденных решений приводят к фундаментальной систе-
( / 7е* \ ( е3‘ \ 1
ме решений < I 2t I > I з< I (• При попарно различных собственных
числах матрицы А фундаментальную систему решений можно взять
в виде {e'Alri,егАги>,...,где АЬА2, ...,АП - собственные числа
этой матрицы, а t>2....vn ~ соответствующие им собственные век-
торы. При этом комплексному собственному числу с ненулевой мнимой
частью будет соответствовать комплекснозначное решение, и, тем са-
мым, фундаментальная система решений не будет вещественной. Во из-
бежание этого комплесные собственные числа нужно разбить на пары
комплексно сопряженных и вместо соответствующей им пары решений
в фундаментальной системе решений взять вещественную и мнимую
часть одного из этих решений.
Пример. Решить задачу Коши
-4гг + 7(/ + £
—6х + 9у + 1
х(0) = О
</(0) = 1.
Решение задачи осуществим в три этапа. Сперва найдем общее ре-
шение соответствующей однородной системы, затем методом вариации
произвольных постоянных найдем общее решение самой системы, и, на-
конец. используя начальные данные, выделим из этого общего решения
искомое решение.
Собственные числа А[ = 2. А2 = 3 матрицы системы были най-
дены при решении предыдущего примера. Они различны, поэтому для
построения фундаментальной системы решений (согласно сделанному
только что замечанию) достаточно найти соответствующие им соб-
ственные векторы. Эти векторы c'i = (уц. 1'12).	— (^21, ^гз) удовле-
творяют соответственно системам
/ —4 - 2
\ ~6
( -4-3	7
-6	9-3
и21
'-’22
°
0 )
и
из которых находим = (7,6),с2 = (1-1). Следовательно, фундамен-
тальная система решений и общее решение соответствующей однород-
ной системы имеют вид соответственно
и
ie
6e2t
х

У
15
Теперь воспользуемся методом вариации произвольных постоян-
ных. Общее решение неоднородной системы будем искать в виде
/ 7e2t
\6е2‘
с3'
е31
Cl(t)
c2(t)
На неизвестные функции oj (£), с2(£) получаем следующую систему мето-
да вариации произвольных постоянных:
ci \ _ / 7е2< е3( \ 1 / £ \
с2 / \ 6е2‘ е3' у \ 1 /
f Ci = е 2lt — е 2(,
ИЛИ < .	„it „it
1 с2 = -бе 3<£ 4- 7е 3/
Интегрируя уравнения последней системы, находим
Ci(£) = —te~2t/2 + e”2f/4 + с10, с2(£) = 2£е“3‘ - бе^'/З 4- с20,
где сю, c2q - константы интегрирования. Подставляя найденные функции
ci(£),c2(£) в вид общего решения, получаем
7е2/ e3t
6е2/ е3‘
—te 2t/2 + e 2</4Тсю\
2£е-3' - бе-2</3 4- с20 )
Используя начальные данные, получаем искомое решение.
Ответ: f И = Р Ъ _1 4.1 _ |e2t) 4- f И (2£ - | 4- ^е3').
1.3. Линейные уравнения тг-го порядка
Уравнение = F(x. у, у',..., называется линейным, если F -
линейная функция переменной у и ее производных. В этом случае урав-
нение можно записать в виде
j/(n) 4- ai(x)7/(n-1) 4-... 4- an^i(x)y' 4- ап(х)у = f(x),
где a1(x),a2(z),... ,ап(х), f(x) -некоторые функции. Уравнение называ-
ется однородным. если f(x) = 0, и неоднородным в противном случае.
Вводом новых переменных -i — (/, ;2 — y'....,zn = у^п~ линейное
уравнение сводится к системе п линейных уравнений 'первого поряд-
ка z' = Л(т)з 4- F(x), где г = (24, z2,..., zn)* (* - транспонирование )
16
II
	( 0	1	0	° 'I		( 0
	0	0	1	0		0
.4(.г) =					,Г(х) =	
	0	0	0	1		0
	k -ап(х)	- an_i(x)	-ап_2(х)	-ai(r) )		
Это позволяет ряд утверждений для линейных систем автоматически
перенести на случай линейных уравнений.
Теорема. Решения линейного однородного уравнения порядка п
образуют п-мерное линейное пространство.
Базис этого пространства называется фундаментальной системой
решений. Таким образом, если 1/| (т), у2(х),..., уп(х) ~ базис простран-
ства решений линейного однородного уравнения (= фундаментальная
система решений), то общее решение уравнения имеет вид
y(jc) = С1У1(х) + С2у2(я) + .. . + спу„(х),
где ci, с-2,.... с,, - произвольные постоянные. Определителем Вронского
или вронскианом набора н — 1 раз дифференцируемых функций
yi(x). </г( г), •  !1п(х) называется определитель матрицы
Ф(х) =
' !/1М
Уп(х)
Уп(х)
У2(х)
(П—1)/	\
\ '/1 (я)
<Л(Х)
Теорема Лиувилля. Вронскиан W набора решений уравнения
у(п) 4-	4- ... + an_i(jc)y' + ап(х)у = 0 удовлетворяет урав-
нению IV' = —ai(z)nz, и, в частности.
гХ
Wr(x) = TV(xo)exp(— / a i(r)dr) (формула Лиувилля-Остроградского).
Из формулы Лиувилля-Остроградского следует, что вронскиан на-
бора решений либо не обращается в нуль, либо равен нулю тождествен
но. Эти два случая в точности означают линейную зависимость н нс
зависимость набора решений соответственно. В частности, для фунда
ментальной системы решений вронскиан не обращается в ну зь
17
Теорема. Общее решение л.инейного неоднородного уравнения
есть сумма (любого) его частного решения и общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения.
При известной фундаментальной системе решений
{yi(*),yz(x).Уп(-г)}
линейного однородного уравнения общее решение соответствующего не-
однородного уравнения может быть найдено методом вариации произ-
вольных постоянных в виде
у(х) = С!(.г)?/1(т) + С1(х)у-2(х) 4-	+ Сп(.г).(/п(т).
Этот метод также переносится на случай линейных неоднородных урав-
нений из теории линейных систем и приводит к следующей систе-
ме метода вариации произвольных постоянных на искомые функции
С1,С2,...	сп.						
	(«и		f yi(x)	У?(х)	Уп(х)	-1	f 0
			у'М		у'тМ		
							0
	Lu		k У\‘~1ЧХ)	У-2 W 	 yU4U)		1 f(x) /
Эти функции находятся из нее с точностью до констант интегрирования.
Подстановка их в общее решение однородного уравнения дает общее ре-
шение неоднородного уравнения. Таким образом, как и в случае линей-
ной системы, для полноты процедуры построения общего решения ли-
нейного неоднородного уравнения нужно научиться находить фундамен-
тальную систему решений соответствующего однородного уравнения
Линейное уравнение называется уравнением с постоянными коэффи-
циентами. если функции «i(x), а2(х),..., ап(ж) являются константами.
Характеристическим уравнением линейного уравнения с постоянными
коэффициентами
.У1'1’+	° + •+	+ ппУ = /(•»)
называется уравнение
А 1 + (цАп ' + ...+ a„-iX 4- а„ = 0.
18
Теорема. Пусть характеристическое уравнение линейного урав-
нения с постоянными коэффициентами имеет г различных корней
А], А-2,   • > Аг кратностей ki, к%,... ,кг соответственно, hi 4- к^ 4- . - - 4-
кТ = п, тогда фундаментальную систему решений соответствующе-
го однородного уравнения можно взять в виде {eAlX, хеА'г,..., x*1-1eAl1,
еАгХ, хеА2Х,..., arij-1eA,x...., e*rX. хеХгХ,..., rtr~*eAl1}.
Замечание. Теорема справедлива как в случае комплексных, так и
вещественных коэффициентов уравнения. Решения в фундаментальной
системе решений, соответствующие корню характеристического урав-
нения с ненулевой мнимой частью, не являются вещественнозначными
функциями. В этом случае для получения вещественной фундаменталь-
ной системы решений используют тот факт, что характеристическое
уравнение с вещественными коэффициентами вместе с каждым ком-
плексным корнем А = а + i/З кратности к имеет и комплексно сопря-
женный корень А той же кратности. Для пары таких корней в фунда-
ментальную систему решений естественно включать не 2к комплексно-
значных решений, указанных в теореме, a 2fc решений, доставляемых
с точностью до знака вещественными и мнимыми частями указанных
решений:
{e“x cos З-Ci e“x sin [Зх, xeaz cos /Зх, xeaz sin px,...,
xk-leaz cos^x xk-leaz sin/3a;J.
Пример. Найти обшее решение уравнения у" + Зу' + 2у = sin х.
Решение. Сперва найдем общее решение однородного уравнения
у" +3у' + 2у = 0. Его характеристическое уравнение А2 4- ЗА 4- 2 = 0 имеет
корни Ai = —2, Аг = -1. Следовательно, решения yi(x) = е~2х,уз(х) =
e~z образуют фундаментальную систему решений однородного уравне-
ния. Методом вариации произвольных постоянных общее решение не-
однородного уравнения найдем в виде у(х) = Ci(x)e~2x 4- ci{x)e~x. На
искомые функции Ci, сг получаем следующую систему метода вариации
произвольных постоянных
Откуда находим
С[ = — / ег* sin.rd.r = —Im f P2+l>zdx = e2z( —2 sin a: 4- cosx)/5 4- сщ,
c-> = f exsinxdx = Im f e(1+l)xc/x = ex(sin2: — cosx)/2 4- C20,
где cl0, cjo - константы интегрирования. Подставляя найденные функции
19
Ср с-> в общее решение однородного уравнения, получаем общее решение
неоднородного уравнения
у(х) ~ (—2sinz + cosx)/5 + (sin х — cosz)/2 4- с10е-2х 4- с-гов-'.
Ответ: г/(-с) = *-ln J~gc<?s* + сюе-21 4- с20е~х.
Замечание. Для линейного неоднородного уравнения со специаль-
ной правой частью - кваэимногочленом - частное решение может быть
найдено путем подбора . Квазимногочленом степени т с показателем X
называется функция вида P(x)eXl. где Р(х) - многочлен от х степени т.
при вещественном А и функция вида enI(P(x) cos (fix) 4- Q(x) sin (3r)),
где P(x).Q(x) - многочлены от x. тах{степеньР, степень^} = m, при
комплексном А = а ± hi.
Теорема. Для линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами и квазимногочленом в правой части частное реше-
ние этого уравнения можно найти в виде у(х) = xkf(x), где к - крат-
ность показателя квазимногочлена как корня характеристического
уравнения, a f(x) — квазимногочлен с неопределенными коэффициен-
тами той же степени и с тем же показателем.
Степень к равна 0, если показатель не является корнем характери-
стического уравнения. Неопределенные коэффициенты находятся путем
подстановки частного решения в уравнение, приравниванием выраже-
ний при одинаковых функциях в левой и правой частях получающегося
уравнения и решения соответствующей системы линейных уравнений.
После этого общее решение неоднородного уравнения в соответствии с
теоремой, сформулированоой выше, выписывается в виде суммы най-
денного частного решения и общего решения однородного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения у" 4- Зу' = sin х 4- х.
Решение. Сперва найдем общее решение однородного уравнения у" +
Зу1 = 0. Его характерстическое уравнение А2 4- ЗА = 0 имеет корни At =
—3 и Д2 = 0 одинаковой кратности 1. Следовательно, функции e-3r, 1
образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения,
и. таким образом, его общее решение имеет вид ,уо(х) = cte-3* 4- с2.
Частное решение неоднородного уравнения найдем путем подбора.
Правая часть изучаемого уравнения является суммой квазимногочлена
/1(.г) = sinx степени 0 с показателем I и квазимногочлена fi(x) = г
степени 1 с показателем 0. Учитывая, что уравнение линейное, частное
решение неоднородного уравнения можно найти в виде суммы частных
20
решений ,i/i (х) = .4 cos х 4-В sin х и уг(х) = x(Cx + D), соответствующих
этим двум квазимногочленам. Подставляя у = t/i(x) + y-i(x) в уравнение,
получим
—1 cos х — В sin х 4- 2С + 3(—.4 sin х 4- В cos х 4- 2Сх 4- £>) = sin х + х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой
частях последнего уравнения, приходим к системе уравнений
-.4 4- ЗВ = О
-ЗА - В = 1
2С 4- 3£> = О
6С = 1.
из которой находим
.4 = -3/10. В = -1/10. С =1/6, £> = -1/9.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у(х) — —(3cosx +
sinx)/10 4- х(х/6 — 1/9).
Общее решение неоднородного уравнения есть сумма этого частного
решения и общего решения однородного уравнения.
Ответ: у = —(3cosx + sinx)/10 + х(х/6 — 1/9) 4-Cie~3® 4- с2.
1.4. Качественная эквивалентность особых точек
Рассмотрим векторное поле и, определенное в некоторой области п-
мерного арифметического пространства В".х = (х|,х2, -. ,,хп). Точ-
ка xq называется особой, или стационарной точкой этого поля, если
в этой точке поле обращается в ноль. Дифференцируемое векторное
поле и вблизи его особой точки Xq по формуле Тейлора может быть
представлено в виде и(х) = .4(х - х0) +о(|х - х0|), где .4 = ^(х0) - ма-
трица линеаризации поля в этой точке. Особая точка поля называется
гиперболической, если в этой точке его матрица линеаризации не имеет
собственных чисел с нулевой вещественной частью.
Векторное поле с, вблизи точки Xi топологически эквивалентно
векторному полю с2 вблизи точки х2. если существуют окрестности этих
точек и непрерывное взаимно однозначное отображение одной in этих
окрестностей в другую, переводящее фазовые кривые этих полон одни в
21
другие с сохранением движения по ним. Сохранение движения означает,
что при этом отображении движение с одним полем скоростей переходит
в движение с другим полем скоростей. От введенной эквивалентности
топологическая орбитальная эквивалентность отличается тем, что в
ней отображение сохраняет лишь направление движения по траектори-
ям, но не сохраняет, вообще говоря, самого движения. Топологическая
эквивалентность влечет за собой топологическую орбитальную эквива-
лентность. Обратное неверно. Так что первая из этих эквивалентное тей
более сильная, чем вторая.
Теорема (о линеаризации). Дифференцируемое векторное поле
вблизи своей гиперболической, особой точки топологически (орбиталь
но) .эквивалентно своей линеаризации.
Пример. Векторные поля на плоскости t.'i(x,y) - (.г, -у) и и2(х, у) =
(х + ху, — 2у + х2) топологически (орбитально) эквивалентны вблизи на-
чала координат.
Тип гиперболической особой точки дифференцируемого век горного
поля определяется по типу линеаризации поля в ней. На плоскости ги-
перболические особые точки подразделяются на три типа седла. узлы и
фокусы, для которых собственные числа матрицы линеаризации поля в
особой точке вещественные разных знаков, вещественные одного знака
и невещественные соответственно. При этом узлы и фокусы могут быть
устойчивыми и неустойчивыми . что определяется соответственно от-
рицательностью и положительностью собственных чисел в случае узла
и вещественной части собственных чисел в случае фокуса. В последнем
примере оба поля имеют в начале координат особую точку типа седло
Пример. Найти особые точки векторного поля v = (In (у2 — 2у — 1) —
In 7.2х — у2) и определить их тип
Решение. Сначала найдем особые точки. Для этого достаточно ре-
шить систему уравнений
( In (у2 - 2у - 1) — In 7 = О,
( 2.г — у2 = 0.
Первое уравнение эквивалентно v равнению у2 — 2 у -1 = 7. Откуда на-
ходим у = 1 ± 3 или J/1 = —2, уг = 4. Отсюда и из второго уравнения
системы получаем соответственно Х[ = 2, J’-j — 8. Таким образом, наше
векторное поле имеет две особые точки (2,—2), (8,4). Теперь для опре-
деления их типа найдем матрицы линеаризации поля в этих точках и их
собственные числа. Найдем матрицу А первых производных изучаемого
поля
2у—2 \
у2-2у-1 I
~2у /
, откуда А|(2 _2) =
О —6/7
2	4
аГ -I06/7
а1(8,4) - I 2 -8
Решая характеристические уравнения
А2 - 4А 4-12/7 = 0 и А2 4- 8А - 12/7 = О
последних двух матриц соответственно, находим их собственные числа
2 ± ^16/7 и —4± ^124/7 соответственно. Найденные собственные числа
вещественны и оба положительны в первом случае и разных знаков во
втором. Следовательно, первая особая точка - неустойчивый узел, вторая
- седло.
Ответ: (2.-2) - неустойчивый узел, (8,4) - седло.
1.5. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение.
1.01.
1.02.
1.03.
1.04.
1.05.
1.06.
1.07.
1.08
1.09.
1.10.
1.11.
1.12.
»' = (/ + Usin2 2у .
х/х2 4- 10т + 17
(4-т)^ (Зт - 2	„ 9 - у2
	т2 — 6т + 18 tgy
4т2 — 8т + 5 (3 — 2т)cos2y	
У2т2 + 4т + 3		 (2т + 5)Уу2 + 2у + 2	
Зт2 — 6т + 7 (2 - 5т)е2'	
—/вГ2 2 — 8ту'	-т2 = (Зт - 1) tg2
(у + 2)у' = /у2 - 8у + 9 cos2 х.
, = (За:-4) ctg2y
у/4т2 + 4т — 1
Vт2 - бту' = (т + 3) (у - у2).
,, _ (т + 3)(у2 + 4у 4-20)
\/3 + 2т — т2
(2т2 - 4т + 11)у' = (т + 2) ctg 2у.
23
1.13.	, _ (2х - 5) tg 2г/ /2х2 - x 4- 3
1.14.	(2y + l)y' = (y~ - у + 2)\/.r2 + 4 .
1.15.	(9+вд=<14а£. v x2 — 2x
1.16.	(2x2 - x 4- 4)y' = (x 4- 3)\/2y - y-
1.17. 1.18.	, _ \/y'2 4- //cos2 x "	у — 2 (1 - 2 г/) (/' = v'y2 4- 4.1/ 4- 12 sin3 x.
1.19.	, = (6 - 5x)(a/2 4- 2y) v/3x2 4- 2x 4- 4
1.20.	(3г/ — 5)у1 = (1 — х)у/г/’2 4- 1 sin3x.
1.21.	(г/2 4-1)//' = -^-+ x — 4.x* И- o
1.22.	2</y' = x/x2 4- 2x 4- 2(y~ 4- у 4- 3).
1.23.	, (x 4- 2) ctg2 у \/2x — x2
1.24.	(x 4- l)y' — (x2 4- 2x 4- 3) \/l 4- 2y - y2
1.25.	y2y' = (.3*-2)^ . v/2x2 — 8x 4- 7
1.26.	x/x2 - 3x 4- 2(/' — (x 4- 1 )(2j/2 - у 4- 1).
1.27.	i _ (2x — 1) cos 4 g УЗх2 4- 6x 4- 4
1.28.	(3x2 — 8x 4- 6)//' = (1 — 2x) ctg2 y.
1.29.	, _ (3x — 7) sin 4г/ У ~ 2x2 4- 8x 4- 9
1.30.	(У + 3)г/' = \/12 — 4г/ - g2 sin5 2x.
1.31.	, = (2-x)tg3f/ v 2x2 — 8x 4-17
1.32.	(2x_ 4- 2x 4* 3)г/ = (x — 3) \/y2 4- 4г/ 4* < 
1.33.	» = (2x - 5)(y2 4- г/ - 2) /2х2 - 4x 4- 3
1.34.	, _ (x - 2) sin 2i/ V x2 4- 8x 4- 6
1.35.	/1 о \ '	(x4-2)p!w 11
1.36.	, = (5x4-4)(//,4-2) Ух2 4- 6x 4- 5
1.37.	(' _ (2x 4- 1) sin2 2x У V-.r'2 - 6x - 8
24
1.38.	х/х2 - х + 1у' = (.г + 2) tgz 2у.
1.39.	, = (2х - 9)(у2 + 2у + 10) х/2х2 — х + 7
1.40.	, _ (4х + 1) cos2 5у х/о + Ах — х'2
1.41.	/ - (6 ~ ~х)(2у - у2) . х/х2 — 4т + 20
1.42.	(1 — 2у)у' = \/у2 + 4у + 10cosJ 2т.
1.43.	/о ,	1	(5j: + 3)еу (3„ + 2)у = J + 12Д 19 •
1.44. 1.45.	х/х2 + Зту' — (2т — 1)(у2 + Зу). (у + 3)г/' =	h+V  .< cos у v х£	4- 2
1.46.	(7у + 2)у' = {х2 - 2х + 10)^ + 2у.
1.47.	, _ (2т - 7)ctg23y У 3? - 6х + 19
1.48.	(Зт2 + 12т + 13)у' = Х\/у2 + Зу + 6 .
1.49.	(Зу + 8)у'=<27^.^ v х1 — х + 2
1.50. 1.51.	(х2 + 6х + 12)у' = (Зт — 1) tg2 2у. cos2yy' =	7~~Т~— (у - 1)\/х2 + 2х + 3 .
1.52.	/1 + 2х — х2у' = (4т + 3)^3 — 4у2.
Задача 2. Решить дифференциальное уравнение.
2.01. (4т + 5у — 10)<7т + (х + 2у — i)dy — 0.
2.02. (2т + Зу — 3)у' = 2х + у — 5.
2.03. у' — (2х — Зу — 4)/(4х — 5у — 6).
2.04. у1 = (Зге + 5у - 23)/(т - у + 3).
2.05. (Зх + y)dx + 2(2х + у — 2)dy — 0.
2.06. (х + 5у — 8)dx = 3(х + у — 4)dy.
2.07. (х — у — 4)dy + (5х + Зу — 20)с/т = 0.
2.08	. у'(3х — у — 13) — Зх + 7у — 29.
2.09. у'= (2х-у-2)/(4х-у-10).
2.10.	(х + 2у + 5)dy = 2(х — у — 4)<4г.
2.11.	(.г + у — 3)dx 4- (4х — бу — 2)dy = 0.
2.12.	(2х — у + 1)у' — 5х — 4у + 7.
2.13.	у' - (2х + 7у + 6)/(4л: 4- 2у + 12).
25
2.14.	(Зх 4- 5 у + 9)dx + (4х 4- бу 4- 10)<Zy = 0.
2.15.	у' - (Зх 4- 8y - 13)/(x- - 4y + 9).
2.16.	(x + 4y — 16)dy = (2x + 3y - 17) dr.
2.17.	(2x — 3y- 4)y' = x 4- 6.y 4-13.
2.18.	(2x — 3y — 13)rfx — (5x — 6.7 — 28)dy — 0.
2.19.	y' = (x + 4y - 21)/(3x + 2y - 13).
2.20.	(x + 5.7 — 13)dx + 2(x + 3y — 9)dy = 0.
2.21.	(x + 3y + 10) + 2(x + 2y + 7)y' = 0.
2.22.	Зу' = (x + 4y + 18)/(x + 2y + 8).
2.23.	y'(2x 4- 7 — 8) = 7x — 4y — 28 .
2.24.	(3x + 4y — 2b)dy + (3x 4- 5y — 26)rZx = 0.
2.25.	у' = (x - 3.7 - 10)/(x 4- 5y 4- 24).
2.26.	2(x + у - 3)dy + (4x + 7y - 3)dx = 0.
2.27.	(x - 5.7 + 21)// = 3(x 4- 3y - 11).
2.28.	(5x 4- 6.7 — 22)dx 4- (3x 4- 4y — 14)dy — 0.
2.29.	3y' = (x + 5.7 4- 2)/(x + .7 - 2).
2.30.	(x 4- Gy 4- 16)<Zx + (2x + 7у + 17)dy = 0.
2.31.	у1 = (4x + y - ll)/(5x + 3y — 12).
2.32.	(3y — 2x — 8)dy 4- (2x — 5y 4- 16)dx = 0.
2.33.	2(x 4- 2y — 10)rfx = (x 4- by — 2b)dy.
2.34.	(3x + 2y 4- 1 )dy = 2(3z 4- у 4- 2)dx.
2.35.	y'(x 4- by 4- 22) = 3(x 4- у + 2).
2.36.	(x + by - ll)d.r + (x + 8.7 - 14)<Zy = 0.
2.37.	y1 = (x + Зу - l)/(7x - Зу - 31).
2.38.	y1 = (x - 6y - 10)/(2r - 7y - 10).
2.39.	(7x - 2y 4- 21)dy = 2(2x - .7 + 6)dx
2.40.	2y' = 3(x - у 4- 4)/(2x - у 4- 3).
2.41.	(x + 87 + 22) — (2x — by — 19)y' = 0.
2.42.	(8x + 7y + 3)y' = 3x + 4y — 3.
2.43.	y‘ = (2x - 4y)/(x + 7y - 9).
2.44.	(2.x + by)dx + (4.r + 9y + 2)dy = 0.
2.45.	(x — 6y + 2)dx = (x + 8y — 12)dy.
2.46.	у' = 2(x + у + 4)/(3x + у + 6).
2.47.	(5x + 3y — 25)y' = 3(x — у + 3).
2.48.	(3x + 7y - 2)dy + 2(x + 3y - 2)dx = 0.
2.49.	7' = (3x + 47 - 25)/(x + 6.7 — 27).
26
2.50.	(.г 4-	4-ll)dy = (7у - 2х 4- 23)dx.
2.51.	(х 4~ 2у 4~ 8) 4~ (5.г 4~ Зу 4~ 19)у7 = 0
2.52.	у1 (Зх 4~ 2 у 4~ 11) — / х* 4~ 8 у — 29.
Задача 3. Решить задачу Коши.
3.01.	ху' — 2у 4- х3е 1 — 0,	y(i) = o.
3.02.	ху' + У- Зх3.	у(-1) = 1-
3.03.	у' — yctg2x = cos2x.	у(тг/4) = 2.
3.04.	2у' + у = (х 4- 3) >/х.	у(0) = 2.
3.05.	у‘ + у tg j: + ctg2 х = 0.	у(тг/4) = 2.
3.06.	у' -ху = хе1'.	у(0) = 3.
3.07.	(х2 4- 1)у' — 2ху = 1 — х2.	у(0) = 2.
3.08.	2(х4-1)у'-у = l/(v<jr).	у(4) = 4.
3.09.	у' + 5ху = (5х — 2)c-2z.	у(0) = 0.
3.10.	у' sin Зх 4- Зу cos Зх — 3 cos 6х.	у(тг/6) = 2.
3.11.	у' cos2 2х 4- 2у tg 2х = 2sec2.r.	У(О) = 1.
3.12.	ху' — у = х2ех,	У(2) - 1.
3.13.	(х5 + 1)у' - 2х2у = 2х(1 - х),	у(0) = 3.
3.14.	2х2у‘ 4- Зху = 2у/х.	у(1) = -1-
3.15.	у1 cos х 4- у sin х = 1,	У(О) = 2.
3.16.	у' sin 2х — 2 у = 2 sin2 х.	у(7г/3) = 0.
3.17.	ху' — Зу — х4.	У(1) = -2.
3.18.	ху' 4- у = (1 — 2x)e-2z,	у(1/2) = е.
3.19.	2у/ху' — у = 3(1 — у/х),	у(0) = 2.
3.20.	х2(2у' + 1) = (4х + 2)у,	у(1) = 1.
3.21.	(х + 3)у' — 2у = 9 — Зх,	у(-1) = 1-
3.22.	у' + 2ху = е~х\	у(0) = -2.
•3.23.	у' 4- у tg х = cosx.	7/(0) = 4.
3.24.	2ху' — Зу 4- 2у/х 4-6 = 0,	у(4) = -4.
3.25.	(х + 2)у'+ (х 4-3)у = 1.	У(0) = 1.
3.26.	у' sin 2х — 2у cos 2х 4- 2 cos2 х = 0.	</(тг/4) = 1.
3.27.	ху' — (х 4- 1)у — 2х2 — х3,	//(1) = 2с.
3.29.	х2у' 4- 2ху = 2.	.'/(2) = 3.
3.30.	3(х 4- 2)у' — ху = 6 — х2.	у(6) = 0.
3.31.	х?/ — 2у = .г3 cos х.	у(тг/2) = 0
3.32.	у' + ху = х2е~х.
3.33.	ху' = 2ху ctg 2.r 4- sin 2.r,
3.34.	ху' — Зу — 3 — х2,
3.35.	ху' + у — cos х.
3.36.	ху' — у — Зх2 sec2 3-t,
3.37.	у' sin 2х — 2у cos 2х 4- 2 cos2 х = 0.
3.38.	(х 4- 1)2(?/ — 2xi/) = yfx.
3.39.	2v<r[(l - 2х)у' + t/] = 1 + 2^7.
3.40.	2^/xy' — у — 2x(3 — y/7).
3.41.	х2у' + 2у = (х2- х4-2)е1/1.
3.42.	у' sin х — у cos х — tg2 т — 1,
3.43.	2ху' — у — 2yjccos2x,
3.44.	\/2х 4- 1{у' — у) = ех,
3.45.	у' 4- Зх2у = Зх4 4- 2х,
3.46.	</ cos* х — 2у = 4 tg х,
3.47.	(.г2 4- 1)у' — х(у — 3) = 2.
3.48.	ху' — (х + 1)у — З.г:! — х2 — х4.
3.49.	у/х2 + 1(х?/ — у) = х2,
3.50.	(2х 4- 4)//' — у = 2^/(х 4- 2)3cosx.
3.51.	х3у' sin х 4- 1: + sin 2х = х3у cos х,
3.52.	у' sin 2х 4- 2у = 2 sin х,
//(2) - 0.
г/(эт/4) = о.
у(1) = 1-
.!/(7г/2) = 0.
у(тг/3) = 7Г.
,!/(7г/4) = 1.
7(0) = -1.
.7(1) =0.
7(1) = 1-
.7(1) — Зе.
7^/4) = 2^2.
у(7г/12) = 0.
.</(0) = -1.
.7(0) = 2.
.7(0) = 1.
.7(0) = 4.
.7(1) = Зе.
7(3) = 0.
7(0) = -2.
7(7г/2) = 3.
г/(7г/3) = 4/v^.
Задача 4. Найти общее решение уравнения Бернулли.
4.01	. у' sin х + 2у2 sin З.г — 2у cos х.
4.02	. sin 2х 4- у) = 2 tg.г.
4.03	. 3(т + 1)у' + 2у 4- 2ху4 = 0.
4.04	. у' - 2ху = (4 - 2х) ^уе2х.
4Д1^ (Зт//' -41/)уу 4-2 = 0 .
4.06	. 3//"//' sin .г cos2 х 4- 73 cos .г = 3 sin х.
4.07	. 2(х?/ 4- 7) = х2у2ех.
4.08	. у cos 2х — 2у' sin 2х — у3 cos Зх.
4.09	. \/х-2 4- 1у(2ху' — у) 4- 1 = 0.
4.10.	у' 4- 4.1/ ctg х = 4 у/у sin 2х.
4.11.	(1 - х)1/' + 4у = 4уу/у(3х2 - 1)<=‘Ч
4.12.	(х — 2)[(2х — 4)уу' 4- х.'/2] = 1 — х.
28
4.13.	ху' + (х + 3)?/ = 2х4//2.
4.14.	3(х + 2)у2У 4- ху3 4- хе~£ = О
4.15.	у = 6(х + 1)у' 4- 2у4\/х 4- 1.
4.16.	J.?/4-I/ +(2х 4- 3)у/?7 = О.
4.17.	v/xy(3x?/ 4- 2у) = 1.
4.18	sinx(2yy' — cos2x) 4- у2 cosх — xcosx.
4.19.	4х?/ + (14-2/Е)</3 = у.
4.20.	(х — 1 )у = ху1 4- i/2[(2x — 1) sin .г 4- cosx].
4.21.	fxy2y' — ху3 = (6 — х2)е£.
4.22.	\/y(3y' sin 2х 4- 2у sin 4х) = 4 sin 2х. '
4.23.	у - xij = у(Ду/ху - у^).
4.24.	у' sin.r 4- у cos х 4- у2 sin2 х — 0.
4.25-	2хуу' 4- Зу2 = 6(1 — x)e~ix.
4.26.	ху' 4- 4/у = 2у/у(х 4- 2)ех^1
4.27.	у' sin х 4- у cos х = у3 sin 2х.
4.28	6у2у' cos 2.x 4- 4?/3 sin 2х = 4х 4- sin 4г.
4.29.	2(х 4- 1)уу' — ху2 = Зх2 — 7х — 3.
4.30.	3^'sinx 4- 4?/4 cos Зх cos 2х = 4т/cosx.
4.31.	\/х[3(х + 1)1/' 4- г/] = у/(х 4- 1)/у .
4.32	(х 4- 1 )(х2у2 sin х — у') = 2{у 4- xj/2cosx).
4.33.	2хуу' — у2 — (х~ 4- х) sin х — cosx .
4.34.	х In х.{2уу/у>'~£ In х — у') = 2у .
4	35. х'2у'+ (х + 1)у = у/у/х .
4.36.	(х -!)?/' = 2(х 4- 3)у - 8x2v/j/(x2 4- 3).
4.37.	Зу' 4- 2ху = 2х3.!/2.
4.38.	у ctg2х = Зу' 4- 2?/4(cosх 4- ^2^) •
4.39.	&ху' 4- у + х/^1'3(1п х 4- 4) = 0.
4.40.	12(х 4-1)1/' + 2у = \/х 4-1?/3 •
4.41.	У(х2 4- 4)г/(3ху' — 2у) 4-8 = 0.
4.42.	(х2 4-1)?/ + 2(х 4-1)1/ = 2у/у/(х2 4-1)
4.43.	2ху2у' In х 4- </4 — 2 In2 х.
4.44.	ху' 4- 4,1/ = ~2уу/у(х sin х 4- (2х3 — х2) cos х).
4.45.	(х 4- 2}у' 4- 4,i/2(x — 1)р< — х) = ху.
4.46.	4(.г - 2)уу' 4- у~ + 2/[х/х(х - 2)] = 0.
4.47.	Зху2у' 4- у3 In х = 1 — 1/(hi2 х).
4.48.	2у' sin 2х 4- 4?/2 cos 2х — ех (4 — sin 4х).
29
4.49.	(.г - l)t/' 4- 2.1/ = (5;r + II)//2.
4.50.	у/у(5уу' 4- 4//2 tg а;) = 4.r tg а- 4- 2 sin2 а:.
4.51.	2хуу' - (а- 4- 2)у2 - ‘2с<
4.52.	3i/2(.r3 + V)y' — х2у3 = аг у/хл 4- 1.
Задача 5. Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий
условию |/(л‘о) — Уо 
r	(?/J — 1) cost , . 3i/2 — 8sin.r , n 5-01- cos(2z) -Tdx 1 '^sina:	~ °’	|/(л/4) = 1.
5.02. 2£3^y + ^-+ydx +	= o.	P(l) =«
5.03.	+ ysin2y-2d = 0 X-J/‘	Xlf 5.04. 3-г3У^’2	~ y)1Z~ + '2dy = o.	.У(1) = Jr- .!/(l) = 1-
J:~y	xy	
- n- z(l 4- 6tg y) + 2 ,	z-(.c4-4) ,	„ -3	tgy 	dx + cos2^-1^ = °’ 5.06. ^2±+H^dLdx + W^2+J^. + 2//^ = o. 5,07. 1-3.tV cost sin2zdj. + 4zy3 coS:i x- 4-_ld = Q 2x у	2xy 5.08. 8-EV^ + i)1/3 + 3dz 4- WV + ?/)1/3 + 6d = o. За;2?/*	Зхул	1/(1) = 7t/4.
	1/(1) = 2.
	|/(-я/2) = 1
	1/(1) = -l.
3.09.	+ ?<X	J!.3, = 0,	</(^/1) = 4r VO
5.11.
5.13.
5.14.
5.16.
5.10. t ЧГ + >/Лз. _ .2/ d = 0
X 4- x"y~	X" + xy
+ 9^'/2sin.!/sin2y + 4 , = 0
За; у	12xy*
5хлу(х — t/2)1^4 — 8^ _ 5x2y2(x
4 a:3 у
z(3x - 16ctg?/) ,	.r3 + 3 c
2 ctg у	' cos 1
 ./	- 2'd^f^^dy = 0,
cy'-y	cy -y
_x-y‘ sin2» + 3^ + xy‘COfrx-4di) = 0
3.r"i/	xi/J
18z67/(.r:i - y2)1/r> - 15ffj _
.*> r 11
Z z
lx у
t^dy = 0,
dy = 0.
у(2) = -к/&.
1/(1) =1-
1/(1) = тг/4.
у(я/2) = 2.
5.r3y2
dy = O. //(2) = 3.
30
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
о.2о.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
у2 4-7 cos 2х +5 .	?/(1 - бу ctg х), _ _ cos 2х + 1 dx 1	ctg г rfy-0. 2-r4 ~^y-2^dx + 2^+jLdy = 0. x 4- x' у	x 4- x~y 2.rVcw2jtf + 10(f E + 15 - (x y4 + x2y4)sin2yrf|/ = x2y2(x — y2)1^3 — 1 , 2xy4(x — y2)1^3 4- 2 ,	„ —	dx		V	— dy = 0, X У	-Е'У x-3(14- 2smy) , x(x - 6) cos у , _ sin у	rtx 1 cos2y-l ay-U. 2-е4 + 2х_У ~ 2y3da. + 2y2 - 2/2y -x- = Q X — X у	X — X~y 3xAy* sin x sin 2x — 24^ । 2x J//3 sin3 x — 4^ _ q ^y2.^ + }fll/.2--.2dx + 2x'y4(x3' + y2)1/2 - 2d = 0 x у	x y‘ y(y2 4-cos2x) ,	3y2 4-1 4-2xtgx , _ „ cos2x — 1	2tgx _ dy-V, 2x3 - 2x:i In у+ y3[/x _ gLhQt/3^ = 0 .r* t	-Ey	* (x4y + x2y) sin2 у + 1	(x4y2 4- 3x~2y2) sin 2у + 3 , _ n X у	ixif 7 yJ)1Z1 - ldx _ 3xy6(x2 - y*)1/4 4- 3 j = 0 Х‘У	'	ХУ 3x~ 4- cos' у j , x cos y(2x' 4- 3 — cos 2y) Л	„ sin у	x	cos2y—1	У —u- y^^dx + 3^lll+.1»..-E)..+.-r2 dy = 0, (x,3y6 — 4x,3y3) sin 2x — 16	(x’2.'/13 — x2//3) sin2 x — 4 ,	
4x3 ,r3y2(.r + y3)l? x°y2 2y cos2 (x/2) - sin‘ 3x’ - 2y3xf - , x6 4- x3y2 4x6y cos3 у 4- x°y 4xJy(x4 - y3) fJ'/ x + 1 4-3 tg у Eg У	x'2y3 5-2,	3x'y5(x 4- у3)1/д - 2 ,	_ 	dx 4		dy = 0. - sin2 у cos x sin 2y — 2 cos2 (x/2) , _ n ;x	sinx	У ~ 2‘ ^Ldx + ^У + Зху + Зу4^ = x’ 4- x'y'	J 12 dx + 6-_6x^cosySm2yd?/ = ,	E-y
(/(тг/4) - 2.
у(1)=2.
у(1) =тг/3.
У(1) = 1-
У(1) = 7г/6.
У(2) = 1.
,!/(тг/4) = 6.
у(2) - 1.
у(7г/4) = 2.
у(1) = е-
у(3) - тг/4
у(3) -1.
7/(1) = тг/2
у(1) = 2.
У(^) = 2.
»/(1) = -2-
y(f) = 2.
//(1) = Л
у(2) = 2*.
у(-2) - 1.
'/(1) »
31
- OQ 4.гу3 - 2.г3 , , З.г* - З.г2у3 - Зуь ,, п •э.38.	-~irdx 4	;—“—dy - 0, - 'J	,	г У. ~ И	У(2) - I-
5.39. «-V-^^os-.r^. + i-^sinz+4cosx(/v = g х (cos2т 4-1)	т cost	y(f) = i-
5.40.	+ 4 _ 0.	.!/(l) = -2-
J- У	ху	
_ .. cost (cos2 у 4-1), _ sin 2 у 4- 8 sin х , _ g й’4 ‘ cos2jj —1	~	2 sin .г	’	z/(f) = 0.
5.42. ^+?^~^dx 4- K^dy = 0,	-y(2) = ^.
т - X у	х — X у	
5.43. rjAosy-3sinydj + 72xsm^-2^yd = g,	4/(3) = 4-
у sin у	бу (1 — cos 2т/)	
. 44 зАК-гуЧ^-^ _	= 0.	4/(3) = 1.
.г у	х у	
5.45. _cosx+si^xsin^dT + cosy(ct^ x+l}dy = Q, sm у sm' х	с os zy — i	.-/(5) - J-
5.46. 2х'3 7	7 ^dx 4- 3x:y2 t.2j'y + 2/dy = 0,	4/(1) = 2-
x 4-X'у	x 4-.ry	
5-47-	+	= 0.	2/(^) = 2-
5.48. дг°?А^э ~ y2)1Z> + l(lx _ 2xy°(x> - ?f)1/5 - 4^ = g	y(2) = Л
x‘y	;	xy	
- m y('7 + 2)sinz- , , y3 4- y* — cos x , n = *>- 'eos2?+ Г Лс 1 ’ /CO5i ^ = °-	y(0) = 1-
5.50.	+.3ту + 3yirfx 3z3^ -x-y3d = z5 4- xTy3	.? 4- x Y ”	3/(1) = i-
-	2.r(3y cos у + 14.r~ sin у) _ т"(6у2 — 7x2) — 7x4cos2?/ , у sin у	tf{cos'2y — 1)	nd) = «?
5.r9y(a:5 — y3)1Z3 4-4 ,	3x4y4(.r5 - у3)1'3 - 1 л n o.o2. 	—		ax	* v.. . 44> 	dy — o.	p(-l) = 2
Задача 6. Найти экспоненту матрицы.
6.01.	1 1 8 1 I 2 1 J	6.02. |	' —2 । 1	16 -2 )	6.03. |		• 6.04. |	( 3	2 . -2 -2
6.05.	( 4 -3 \ ( 3 -2 )	. 6.06. |	r 2 k 1	-4 \ -3)	6.07. |		• 6.08. 1	>4	5 -1 -2
6.09.	( 8 1 \ 1-5 2 J	|. 6.10. |	f 3 \ J	-i \ -3 J	6.11. |	<5 2 \ i -2 1 )	• 6.12. |	(2 2 \ 1-2 6
32
Задача 7. Найти общее решение линейной неоднородной системы.
7.01.	1	=	2а + 2 у + е‘ sint, 8т — у — е-’*.	7.02.	1 X	=	~x 4- у — e‘l cos3t,
	[ У				1 у	=	—9a: 4- 7у — 2.
7.03.	1 X	=	За: — у 4- е-',	7.04. J	1 %		xx 4- Юу — e4i sin 3t,
	[ У	=	5.г — у 4- 2eJ sin t.		[ У	=	—x 4- 3y 4- 2t.
7.05.	1	=	2х + у — 3 sin t	7.06.		z=	x 4- 2y 4- 3e2‘ cos 3t,
	[ у	=	—5а: 4- &у — е4* cos 2t.		i У	—	—xx 4- 3y 4- 2.
7.07.	1 Ё	=	—lx — 10у 4- 3t,	7.08. j	i	—	x — 5y 4- cos t,
	[ У	=	х — 2у 4- 2е-1( sin 3t.		l У	=	x - 3y 4- 2c-1 sin t,
7.09.	1 $	=	2.r 4- 10у — e3i cos 3t,	7.10.	1 i	=	6a: 4- у — еы cos 3t,
	[ у	—	-x 4- 4y 4- 2.		[ #	—	—9a: 4- 6y — 2e(.
7.11.	[ х		-3.r — 2y 4- x~l,	7.12. j	i	=	5a- 4- 9y — e>l sin 3/,
	[ У	=	5x — у 4- 2e~2t sin 3t.		l У	=	—x 4- 5 y 4- 1.
7.13. j	[ X	—	4a- 4- у 4- 3e4i cos t,	7.14.	1	=	—6a 4- 5 y — 3/,
1	1 •'/		—x 4- 4y — 2 sin t.		L у	=	— .r — ’ y 4- • *' । os t
33
7.15. |	x — —3x — 2i/ — e 41 sin3t, у = 5x — 5t/ 4- 2.	7.16. |	.i* У	—‘	—х + у 4- 2с-1 sin 3tt —9х — у 4- Зе'
“ 1" )	x — x + 2// 4- p m .	7 IQ J	X	=.	—2х + у + е~' sin t,
1.1i . <	у — 8x 4~ у — 2 cos t 4" 1.		У	—	16х - 2у - Зе2'.
7.19. |	x = / x 4- Зу/ — e4',	7 90 /	X	=	Зх — 2 у — е' sin 2tf
	у = —x + Зу + 2c1 cos t.		У	=	2х — 2у + Зе-!.
7 91 J	x = 4x 4- 3?/ + 2e',	7.22. <	X	=	2х у 4~ te',
	у = —Зх — 2y — eat cos2t.		У	=	—4х — Зу — 1 4- t.
7.23. j	x = 6x + 2y — e2t — 3,	7.24. 1	X	=	4х 4- 5,у/ 4- 2е~',
	у = —2x + у + Зе-' sin 2t.		. У		—х — 2у 4- е3' cosi.
7.25. j	x = Sx 4- у — t sin t, у = —5x 4- 2y 4- e3'.	7.26. 1	«с- Н-	—	Зх — у 4- 2е-2' — 1, 5х — Зу — 4 cos 5t.
7 97 J	x = 5x 4- 2y — 3e'il,	7 90 J	X		2х 4- 2у — (t 4- 1) sin tt
t .Z 1. \	у — —2x 4- у 4- 4t cos 2t.			=	-2х4-6У4-е4'.
7.29. ]	' i = 2x 4- 3,1/ 4- 4c-1,	7 40 J	±		2х 4- 5?/ 4- Зе-3',
	[ у — — Зх — Ay 4- 2tsin3t.		1 у	=	—х — Ау 4- 2(t -1) cost.
7.31.	[ x = x 4- 8y 4- sin t — 1,	7.32.	\ X	=	—2х 4- 16у/ — 2е2',
	[ у — 2x 4- у 4- 2e°'.		[ у		—2х 4- у 4- е' cost.
~ J	[ x = 7x — у — 2e-' sin t,	7 J	[ 1	=	За- 4- 2у 4- 4е2',
i .do. s	у — Зх 4- Зу 4- e4'.	/ .04 s	[ У	=	—2х — 2у — el cos 2t.
7 34 <	f x = 4x — 3y — 2e! sin 2t,	7 36 J	1	=	2х — Ay 4- 2t — 3,
1 .U J. 5	( У = Зх - 2y + e‘.	1 .uU \	1 У	=	-х - Ay 4- 2(t -1) cost.
7 47 t	( x = 6x — 2y — pl cos 2t,	7 3,4 <	1	=	4x — у 4- e3' sin t ?
	у = 2x 4- у 4- 2e2t 4- 1.	l -OO- 5	1 У	=	5x — 2y — 2e~l.
7.39. •	1 x = 8x — 5t/ 4- 2e3',	7.40. <	1		3x 4- 5y 4- 2 cos 3t г
	1 у = x 4- 2y 4- 3t cos t.		1 у	=	—x — Зу — e2t 4- 1 
7.41. •	( x = 7x — 9y 4-1,	7.42. 	J X	=	З.г 4- Зу — Зе1 cos t,
	[ у = x 4- 7.y — ea sin3t.		1 у	=	-x — у 4- 2e-'.
7.43.	J x — 5x — у — t,	7.44. •		=	2x — Зу 4- e4' sin 2t}
	1 у = Юх 4- 3.1/ + e4' cos3t.		1 у	=	x 4- 6y/ — 2 cos t.
7.45.	f x = x — 5.1/ — 1,	7.46.		=	—4x 4- у 4- e-3' cos 3t t
	| ij = 2x 4- 3// 4- e2t sin 3t.		1 у	=	— lOx — 2y — t .
7 17	f x = x + у + e~l cos t,	7.48.		=	2x - у - 3,
	| у — —5x — 3y 4- 2 sin t,		1 у	=	Юх 4- Ay 4- e3' sin 3t.
7.49.	j J- = 6x - Dy 4- 3<	7.50.	)	=	—3x 4- 5.1/ 4- e72! cos 3t^
	| у = x 4- бу/ — e6t sin 3t.		1 у	=:	—2x — у 4- 2e“'
34
.г
5х - '/ + 2,
9х + 5у — е5* cos 3i.
У
—З.г - 2у + Зе*,
5х — у + e~!t cos3i
Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения
8.01.	Зу'" +	2у" -	Ту' 4- 2у — {’2х2 + х 4- 1)е 21	4- е£ cos (2х).
8.02.	2у'"	4-	Зу" -	8у' 4- Зу = (Зх2 4*4 2)е-3х	+ ех sin (2х).
8.03.	4у'"	+	9у" -	Юу' - Зу = {Зх2 -х + 1)е-3х + е£ sin (х/4).
8.04.	Зу'" —	14у" + Ту' 4- 2у — (4х2 4- х - 1)е2х	4- е£ sin (х/2).
8 05.	Зу'"	- 4у"	- Зу'	+ 2у =	(2х2	-	х 4- 1)е2х 4- е~£ sin (2х).
8 06.	2у'"	- Зу"	- 4у'	4- Зу =	(Зх2	-	х - 1)е3' 4- е~£ cos (х/2).
8.07.	4у'" 4-15//" 4- 8у' - Зу — (х2 4- 2х 4- 2)е-3г 4- е-1 cos (х/4).
8.08.	Зу'"	— бу"	— 9у'	4- 2у -	(4х2	4-	2х - 1)е2г 4- е~£ cos (2х).
8.09.	Зу'"	4- 8у"	4- Зу'	— 2у —	(Зх1	—	х — 2)е~'1х 4- е~£ cos (4х).
8.10.	2у'"	4- Ту"	4- 2у*	- Зу =	(4х2	-	х 4- 2)е~3х 4- е~£ sin (х/2).
8 11.	4у"' 4-17?/" 4-16у' 4- Зу = (Зх2 4- х - 2) 4- е~'2х 4- e~z cos (Зх).
8.12.	Зу'"	- 4у"	- Пу' -	2у	=	(2х2 - 2х 4-	1)е2х 4-	e~z sin (х/3).
8 13.	Зу'"	— Юу" 4- 9у' —	2у	—	(4х2 — 2х —	1)е2х 4-	ех sin (Зх).
8.14.	2у'"	- 9у"	4- Юу' -	Зу	=	(Зх1 4- 2х 4-	1)е3х 4-	ех cos (х/3).
8.15.	4у"'	4- Ту"	— 14у' 4-	Зу	=	(х2 — 4х 4- 1)е-3х 4-	е£ sin (4х).
8.16.	Зу'"	— 16у" 4- 13у' — 2у = (Зх2 4- 2х 4- 1)е2х	4- е£ cos (Зх).
8.17.	2у'"	4- Зу" — Зу' — 2у - (4х2 4- х 4- 2)е~1х 4-	er sin (х/3).
8 18. Зу'" 4- Юу" — 9у' — 4у = (5х2 4- х 4- 1)е-4'г 4- ех cos (х/4).
8.19.	4у'"	- Пу" 4- Зу' 4- 2у = (х2 4- 5х 4-1) 4- е2х	4- е£ cos (х/5).
8.20.	Зу"'	4- 9у" - 17у' 4- Зу = (2х2 4- Зх 4- 1)е"3г	4- ех cos (х/2).
8.21.	2у"' - у" — 5у' — 2у = (4х2 — х - 3)е2х 4- e-i cos (Зх).
8 22	Зу'" -	8у" - 15у' - 4у = (5х2 - х -	1)е4х 4- sin (2х).
8 23	4у'" -	Зу" - Ту1 4-	2у = (Зх2 4- 2х -	1)е2х 4- e~z sin (х/5).
8 24. Зу'" 4- Пу" - 13у' - Зу = (х2 4- Зх - I)?’3* 4- ех sin (х/2)
8.25.	2у"' 4~	/ у" 4~ / у' 4~	2у = (4х* 4~ Зх 4~	1)е2,с 4~ е £ cos (х/3).
8.26.	Зу'" 4-	16у" 4- 17у'	4- 4у = (2х2 4- Зх	- 1)е~4х 4- cos (х/2).
8.27.	4у'" -	Зу" - 9//' -	2у = (5х2 + 2х 4-	1)е2х 4- е~£ cos (х/5).
8.28	Зу'" 4-	19у" 4- Пу'	- Зу = (Зх2 - 2х	- 1)е-3х 4- е~£ cos (х/4)
8 29	2у'" — Зу" + у + 2у — (х2 4- 6х - 1)е2х 4- р1 sin (х/3).
8 30.	Зу'" - 17?/' 4- 9у' + Зу = (4х2 - Зх 4- 1)е5х 4- р£ cos (Зх/2).
8.31.	4у'" — 13у" 4- Пу' - '2у = (Зх1 - Зх - 1)е2х 4- f£ sm (2х)
35
8.32.	2.1/"' 4- 5у" - 11?/ + 4?/ - (З.г2 - 4х - 5)е “4х + е* cos (Зх).
S.33.	Зу'" 4-	13?/" - 11?/' - 5у	= (2х2 - 4х - 5)е“’х + exsin(3x/2).
8.34.	2у"‘	-	7 у" - 5?/ + 4у =	(4х2 - х - 3)е’х 4- е-х sin (Зх).
8.35.	3?/'"	—	11?/" — 19//' — Зу	— (Зх2 -- 2х — 3)е5х + е х sin (Зх/2).
8.36.	2у"’	+	9у" 4- Зу' - 4у =	(Зх2 + 4х - 1 )е~4х 4- е~* cos (Зх).
8.37.	3?/" 4-19?/" 4- 21у' 4- 5?/ = (х2 - 5х - 6)е~5х 4- е~' cos (Зх/2).
8.38.	2у'" - Ну" 4-13?/' - 4у = (4х2 4- х - 2)е4х 4- ехsin (Зх).
8.39.	Зу'"	- 8у" 4-	Зу' 4- 2у =	(5х2 4- Зх - 2)е2х 4- е1 sin (2х/3).
8.40	2у'"	4- 7у" —	14?/' 4- 5?/ = (Зх2 4- 2х - 3)<?~5х 4- cos (х/3).
8.41.	Зу'"	- 2у" —	7?/ - 2у =	(2х2 4- 5х - 1)е2х 4- е~х sin (2х/3).
8.42.	2?/"	- 9у" —	бу' 4- 5у —	(х2 4- эх - 7)е5х 4- е-х sin (х/3).
8.43.	Зу'"	4- 4у" —	Зу' - 3?/ =	(4х2 - 2х 4- 1)е-2х 4- ех cos (х/4).
8.44.	2?/"	4-	11?/" 4-	4у'	- 5?/ = (5х2 - 2х - 3)е_,х	4- е~х cos (Зх).
8.45.	3?/"	4-	10у" 4-	9у'	4- 2у — (Зх2 - 4х 4- 1)е-2х	4- е~х sin (4х).
8.46.	2?/"' - 13?/" 4-16?/ - 5?/ = (2х2 - Зх 4- 2)е5х 4- ех sin (Зх).
8.47.	Зу"' -	14у" 4-	7у'	4- 4у = (х2 — 7х 4- 5)<?4х 4-	ех sin (х/2).
8.48.	2у'"	-	7у" 4- 2у' 4- 3?/ — (4х2 - 5х - 2)е3х 4-	ех cos (х/3).
8.49.	5у'"	+ 21?/" 4- 19у' 4- Зу = (Зх2 4- 4х 4- Ю)е~3х 4- е-' sin (х/2)
8.50.	2у'"	— Зу" —	8у' - Зу = (5х2 4- 4х 4- 1)е3х + е~х cos (2х/3).
8.51.	2у'"	4- 5у" —	4у' — Зу — (х2 - 7х - 5)е_)х 4- excos(4x).
8.52.	2у'"	4- 9у" 4-	Юу' 4- Зу = (4х2 4- 7х 4- l)c~3j: 4- е-х sin (х/4).
Задача 9. Найти общее решение уравнения.
9.01.
9 02.
9.03.
9.04.
9.05.
9.06.
9.07.
9.08.
9.09.
9.10.
9.11.
9 12.
у" — 2у' 4- 17у = е~х 4- ех8ш4х.
у" 4- 4у' 4- 8у = sin.r — cos2x.
у" — 14у' 4- 53?/ = х 4- е,х sin2x.
у" — 2у' 4- 2?/ = ex(sin х — cosx) 4- х4.
у" 4- 8у' 4- 17у = cos 2х 4- 2е~4х sin х.
у" — 4у' 4- 20?/ = е2х cos 4х — Зх2.
у" — 2?/ 4- 5у = 2-х 4- ''х cos 2х.
у" 4- бу' 4- 10?/ = e~3x(.sin х 4- 1).
у" - 8?/ 4- 20?/ = 2 - Зс4х cos 2х.
у" — 4у' 4- 13?/ = е2х cos3x — 2х.
у" 4- 2у' 4- Ю?/ = e_x(sinx 4- cos3x).
у" — 10?/ 4- 34 у = ех 4- ет,х cos3x.
36
9.13.	у" + 4у' + 5y - - sin 2x + c-2x cos x.
9.14.	у" — Gy1 4- 13.7 = c2jt(x + sin2x).
9.15.	,y" 4- 2y' + 17у — ez + e~x cos4x.
9.16.	y" — 4y' + 8y = sin a: — e2x sin 2.r.
9.17.	y" 4- 14y' + 53?/ = x + e~'z cos 2x.
9.18.	y" + 2,?/ + 2y = c~I(sin x — cosx) — x.
9.19.	y" — 8y‘ 4- 17y = sin 2x + 2e4z cos x.
9.20.	y" 4- 4?/ 4- 20y = e~2x sin 4x — 3x2.
9.21.	y" 4- 2y' 4- 5y = 2x 4- e-x sin 2x .
9.22.	y" 4- 12y' 4- 40y = x sin 2a- 4- e-6a: cos 2x.
9.23.	y" 4- 8y' 4- 20y — 2 - Зс 4г sin 2x.
9.24.	y" — 12y 4- 45y = (5x 4- 2)ez 4- e6j:siii3x.
9.25.	y" — 2y' 4-Юу = ez(cosx 4- sin 3x).
9.26.	y" — 16y' 4- 89y — (x — l)e~* 4- e8z sin 5x.
9.27.	y" — 4y' 4- 5.7 — cos2 x 4- с2* sin x.
9.28.	y" 4- 12y' 4- 52.7 — e~6r cos 4x — 2x3 4- 5.
9.29.	y" — 67' 4- 25y — e3l(l + cos4x).
9.30.	y" 4-10?/' 4- 29?/ = e-’1 sin 2x 4- (x2 4- 4)eI.
9.31.	y" — 10y' 4- 29y = esx sin 2x 4- x2.
9.32.	y" 4- 6.7' 4- Ю7 = xe~x 4- e-3j: cosx.
9.33.	y" — Gy' 4- 10y = e3®(cosx 4-1).
9.34.	.7" — 14?/' 4- 50?/ = e'x(—4x 4- 2 sin x).
9.35.	y" 4- 16y' 4- 73y = x 4- 5 4- cos3x.
9.36.	y" — 10?/ 4- 26y — e5l(sin x. 4- x2).
9.37.	y" 4-18?/ 4- 85y — xex 4- c-9x sin 2x.
9.38.	y" 4- 12y' 4- 37y — e-6l(cosx 4- x 4- 2).
9.39.	y" 4- 14y' 4- 53.1/ = x2 4- 2e~'x sin 2x.
9.40.	y" 4- 10y' 4- 34y = e“ai(cos3x — x 4-1).
9.41.	y" — 18y' 4- 97y = xe~x 4- eOx sin4x.
9.42.	y" 4- 16y' 4- 65y = e-8l(sinx 4- 2x - 1).
9.43.	,y" 4- 4y' 4- 13y = e~2x sin 3x — 2x.
9.44.	y" 4- 14y' 4- 74y = e~'x cos 5x 4- x3 — 1.
9.45.	y" — 10?/ 4- 41y = caj:(cos4x — 2x).
9.46.	?/' 4-18?/' 4- 82y = c~9x(sin x 4- 4x — 3).
9.47.	y" 4- 10y' 4- 34y = ex 4- e~ ,x sin 3x.
9.48.	y" 4- 8y' 4- 65y = е~**(со8 7x 4- Зх - 1).
37
9.49.
9.50.
9.51.
9.52.
у" + Gy' + 13// = е—ix(.r 4- cos2.r)-
y" — 14y' 4- 58y = elj:(siii3.r 4- 2.r - 3).
y" 4- ly = ex cos x + sin’ x 
y" — 8y' 4- 41// — e4r(cos 5х — 5./: 4- 4).
произвольных постоянных найти
10.02. уп 4- 2 у1 +• 5у = е~х tg 2х.
10.04. у" - 8^ 4-	= e4z ctg
Зх
10.06. у" + бу'+ 9у --^-ру
10.08. у" 4- 2у' 4- 2у =	
S1I19X
10.10. у" - 4у' 4- 8у =	-
cos" 2 х
10.12. у" + Зу' + 2у = -^1—•
<= 4-1
10.14. У' + Зг/' + Юу-^-
10.16. у" — 2у' 4- 5у = ех ctg 2т.
10.18. у" 4- 8у' 4- 17у = е~4х tg х.
10.20. у" - бу'+ 9у =
10.22. у"-2у' + 2у = -<--
10.24. у" + 4у' 4- 8у = 4^- 
sin 2.г
10.26. y"-3y'4-2y = p_Jy у
Ю.28.у"-2у' + 17у=^-
10.30. у" 4- 2у' = <=-иsill (е~'2х).
Ю.32.у" + 4у' + 20у = ;£^-
10.34. у" 4- Зу = tg (х/12х).
10.36. у" 4- 14у' 4- 53у = e-7j:tg 2.
10.38. у" 4- л-2?/ = ctg (2л-.г),
Задача 10. Методом вариации
общее решение уравнения.
10.01	. / W +13» =
10.03	. у" -iy' + 5</ =	
10.05	. у" 4- я2у — tg (2тгх) .
10.07	. у" 4- 2у' 4- Юу = е~х tg З.г.
10.09	. у" - 4у' 4- 13у = е2х ctg З.г.
10.11.	у"+4у' + 4у =
х
10.13.	у" 4- бу' 4- Юу = 4-7- •
10.15.	у" -бу' + 13у = ^7-
10.17.	у"4-4у' + 5у= gli.
10.19.	у" 4- 2у = ctg (\/S.t).
10.21.	у" — 2у' 4- Юу — ех ctg Зт.
10.23.	у" 4-4у' 4- 13у = е~2х tg Зх.
10.25.	у" - 4у' 4- 4у =	•
10.27.	у" - бу' 4- Юу =	•
COS" -Г
10.29.	у" 4- Юу' 4- 25у = е-5гч/.г2 4- 1.
10.31.	у" — Юу' 4- 34у = erjxtg Зх.
10.33.	4у" - 4у' + у =	•
V х 4- -Г 4- 1
10.35. у" + 8/ + 20у = .<7 •
sin7}2x
10.37. 1/' - 6// + 25у =	•
COS" 4 X
38
Ю.зэ.У'-бУ + З^^^^.
10.41.	у" - 4//' + 20т/ = p2jetg 4х.
10.43.	у" + 6// + 34// = <=-3j:tg 5х.
,4z
10.45.	у" -8//'+ 20// =	•
10.47.	4/У" + 4.//' + у = \12^+ х •
10.49.	у" + 12у' + 36// - pqrf
10.51.	,/" + 2//' + 10// = £7-
10.40.	//" - 8у' + 16// = е4ху/1 + Г
10.42.	у" — Зу' — е6* cos (f>3r).
10.44.	у" + 5// = <tg (v/2Ux).
10.46.	у" -14.//'+ 53//= 55^7-
10.48.	у" + 6//' 4- 25?/ = e~ixctg 4а;
10.50.//' + 10//+ 34//=^-
10.52. у" + 7 у = tg (\/28х).
Задача 11. Найти особые точки векторного поля п определить их
тип.
11.01	. V = (2у — Зх + 1.x2 - .г -у - 2).
11.02	. v - (х2 + 2х — //, —х2 + .г — у + 1).
11.03	. г = (25 - г2 - у2, х2 - 2у - 1).
11.04	. v = (-.г + у - 1,ху - 2).
11.05	. и — (25 — х2 - у'2, х2 - 12х + у2 + 11),
11.06	. и = (169 — х2 —//2. 5х — 12//).
11.07	. v = (х2 + //2 + 2у — 1,у2 — Зх2 — 1).
11.08	. г = (—а*2 + 2хт/ - у2 - 1,2х + у — 4).
11.09	. v = (х2 — 2хт/ + у2 — 4. —х2 - у2 + 2у),
11.10.	— (у — 2х2,х2 — 2ху + у2 — 1).
11.11.	и = (2ху — 1. х2 + 2ху + у2 — 2х — 2у — 9/16).
11.12.	I-	=	(х2 +	5х -	Зу + 1, —х2 + х - у	+	1).
11.13.	v	=	(25 -	х2 —	у2 — 2у + 8. х2 — 2//	—	1).
11.14.	с = (169 - х2 - у2,х2 - 48а: + у2 + 407).
11.15.	v	-	(х2 —	2у +	// — 1, Зх2 — у2 + 1).
11.16.	v	=	(х2 —	4х +	у — 1.3х — 2у — 1).
11.17.	v = (ху — 2. -х + у + 1).
11.18.	v = (25 — х2 — у2. Зх — 4//).
11.19.	! = (—г2 + 2ху — у2 + 1. —2а- — у — I).
11.20.	г - (-х2 + 2х// - у2 + 4. х2 + у2 + 2//).
11.21.	v — (2х2 + 2// — х + 2. х2 — 2ху + у2 — 1).
11.22.	v — (2х// — х — у + 5/4. —х2 — 2ху — у2 + 2х + 2i/ + 9/16).
11.23.	г = (а-2 + 2.Г — //. —а'2 + 4а- — 3// + 2).
39
11.24.	г = (25 — х2 — у2. х2 — 'Зу 4- 3).
11.25.	с = (169 — х2 - у2, х'2 + у2 — 48у 4- 407).
11.26.	г = (а-2 4- у2 4- 2.г — 1, х2 — Зу2 — 1).
11.27.	и — (—Зх 4- 2у 4-1. х2 4- 2х — Зу — 3).
11.28.	v = (—х + у — 2,ху — 3).
11.29.	v — (169 — х2 4- 5х — у2 4-12у, —5а' — 12у).
11.30.	v = (—х2 4- 2ху — у2 4- 4, — х2 4- 2х - у2).
11.31.	v = (2а:2 4- у 4- 1. .г2 — 2ху 4- у2 4- х - у — 2).
11.32.	v — (2ху — 1. а2 4- 2ху 4- у2 4- 2.г 4- 2у - 9/16).
11.33.	v — (х~ 4а: 4- •Зу — 2, —х~ 4- х — у 4- 1).
11.34.	v = (25 - х2 — у'2 - у 4- 4, а2 - 4у 4- 7).
11.35.	г — (25 - а2 - у2. х2 4- у2 - 12у 4-11).
11.36.	и = (а-2 4- у2 - 2.г - 1, —.г2 4- Зу 4-1).
11.37.	v — (х2 4- х — у 4- 2, —х — у + 5).
11.38.	и = (ху — х 4- у — 5. х — у 4- 2).
11.39.	v = (25 - а-2 4- За- - у2 4- 4у, -Зх - 4у).
11.40.	v = (.г2 — 2ху 4- у2 — 4. —х2 — 2х — у),
11.41.	v = (2х2 - 2у 4- х 4- 1, -х2 4- 2ху - у2 4- 1).
11.42.	v = (2 а: у - х - у - 13/4, -х2 - 2ху - у2 - 2х - 2у + 9/16),
11.43.	v = (х2 - 4а- 4- Зу - 2,-а2 4- 7 а - Зу 4- 3).
11.44.	с = (25 — а2 — у2 4- Зу - 12. а*2 — 2у - 1).
11.45.	v - (169 - .г2 - у2 - у - 12, а-2 4- у2 4- 48?/ 4- 407).
11.46.	v = (-а2 - у2 4- За- - 1.x2 - Зу2 4- х - 3).
11.47.	с — (а-2 - 2а: - 4у 4- 17. —х - у 4- 5).
11.48.	и - (ху - х 4- у - 7. а- - у 4-3).
11.49.	и = (Д69 — а'2 — 5.г — у2 4- 12у, 12у — 5а’).
11.50.	v = (-.г2 4- 2ху — у2 4- 16. х2 4- у2 4- 4у).
11.51.	и = (Зу — 2х2 - 2х - 2. а-2 - 2ху 4- у2 - 1).
11.52.	?> = (!- 2ху -Зх- Зу 4- 27/4, х2 4- 2ху 4- у2 - 2а- - 2у - 9/16).
40
2. Зависимость решений от параметров и
начальных условий
В приложениях и векторное поле дифференциального уравнения и на-
чальные данные часто зависят от дополнительных параметров. Напри-
мер. в процессе радиоактивного распада, разобранном в предыдущей
главе, векторное поле —кт зависит от дополнительного параметра k.
Динамика же состояния процесса - изменение массы нераспавшегося
вещества m(t) — тое~к‘ - зависит как от этого параметра так и от мас-
сы тд нераспавшегося вещества в нулевой момент времени. Нетрудно
видеть, что эта зависимость является дифференцируемой (в этом при-
мере даже аналитической). Оказывается, что этот факт справедлив и в
общем случае.
2.1.	Дифференцируемая зависимость от параметра
Рассмотрим задачу Коши
А - Л(М1.....х„.р), J-'i(to) =	« = 1---п, (2)
в которой и векторное поле и начальные условия зависят от параметра
К
Теорема о дифференцируемости. При т > 1 решение зада-
чи Коши (2) Ст-дифференцируемо зависит от t0. t и параметра
у. если функции fi и а, Ст-дифференцируемо зависят от переменных
t • Jj j, . . • , X л, pL •
Обозначим через и — (щ, «•>,   •, ип) производную решения х =
p(t,pi) задачи Коши (2) по параметру у при некотором фиксированном
значении параметра уо'.
dVi	,
iii — ——	г — 1,.... п.
где р =	Эта производная зависит от времени, что не-
трудно видеть.
Теорема. Производная и является решением системы шнеиных
уравнений
df, Д dfi
щ - -у + Е 5— >ч-	1 =1...."•	(;И
Оу J=t O.Kj
41
удовлетворяющим начальным условиям
. , dai ,
u,(t0) = -7-(Ро), l = l,...,n.
ар
(4)
Отметим, что значения производных и в системе уравнений
С/ [Л О X j
(3) следует брать при р = ро и х — <p(t, ро). Следует также сказать, что
приведенные формулы не зависят от размерности пространства пара-
метра: при переходе от одномерного параметра р к многомерному век-
торные величины и, заменяются на матрицы соответствующего
размера.
Роль параметра могут играть начальные данные - значения реше-
ния в начальный момент времени, т.е. р — x(t$). В этом случае век-
торное поле уравнения не зависит от параметра, что влечет за собой
зануление первого слагаемого в правой части системы уравнений (3).
В векторной форме система принимает вид й — ^ц, где как
так ни- матрицы размера п X п. а начальные условия u(0) = Е, где Е
- единичная матрица.
В частности, когда параметром является fc-ая координата начально-
го условия р = Tt(to) (= при некотором фиксированном значении
индекса к € {1,2,..., п}, а остальные координаты начального условия и
функции /1,.... fn от него не зависят, то задача Коши (3)-(4) принимает
следующий вид:
" dfi
щ = 52 Д—иР г = 1,. ..,п, при щ(<о) — 1, Ui(to) = 0 при i / к. (5)
7=1 OXj
Разберем несколько примеров.
г2
Пример 1. Дано уравнение х —	+ p(xt + .г3), х(1) = 1 + 2р. Найти
дх
ТУр
м=о
Решение. При р
Положив и =
1Л=0
2
— О имеем х — р-, ,т(1) = 1. Отсюда х - t.
согласно (3),(4) получаем:
2и
и = —
t
ц(1) = 2.
12
Решив это уравнение, получаем
= т + *3 + т
Пример 2. Найти
Ответ:
Р=0
т(0) = Т0
3/(0) = 2
Решение. Решив данную систему с начальными данными т(0) —
0, t/(0) = 2, получим: х = 0, у = 2е£. Положим и — $xq\ ’
, если
хо=0
х = sin х
1	2 и
У = У + ху
v
. В соответствии с (5):
го=0
й = и, i> = v + 4ue2i, u(0) = 1, v(0) = 0
Отсюда и = е1, v = 2е3£ — 2е£.
Ответ: 2е31 — 2е'.

2.2.	Метод малого параметра
В силу теоремы о дифференцируемости решение задачи Коши (2) пред-
ставляется по формуле Тейлора в следующем виде:
<#(*, д) =	+ (д - Po)«l,i(t) + . -. + (д -	о(Iр - ДоГ), (6)
где остаточный член (в форме Пеано) о(|д — д0|т) является функцией от
. Отбрасывая остаточный член, мы получаем
приближенное решение задачи (2). Для отыскания этого приближенно-
го решения, т.е. нахождения функций Uj.,(f), применяют метод малого
параметра, состоящий в следующем. Векторное поле и начальные усло-
вия из (2) также разлагают по степеням (д —до), эти разложения вместе
с разложениями (6) функций х, = <р,(/,д) подставляют в (2) и прирав-
нивают коэффициенты при одинаковых степенях д — до- В результате
получается задача Коши для системы дифференциальных уравнений
на эти функции, решив которую, мы найдем коэффициенты разложения
Наконец отметим, что заменой параметра д д — д0 всегда мож-
но добиться того, что до = 0, после чего получается разложение решения
по степеням "малого параметра”.
43
Пример 3. Найти четыре первых члена разложения решения по сте-
пеням малого параметра д:
х = pt -f-sinx, .r(l) = л — р2.	(7)
Решение. Положим x(t) = u0(t) 4- pvi(t) + p2v-2(t) + p3vs(t) +.... Для
нахождения vg надо решить следующую задачу:
ид = sin д0, «о(1) = л,
которая получается, если подставить р = 0 в (7). Итак, vg{t) = тг. Разло-
жим sin х по степеням х — тг: sin х — — (х — тг) 4-	— тг)3 +... . Подставив
это разложение в (7), получим:
pV\ + р21>2 + р3йз + ...= pt- (pvi + p2V2 + •-.) + ^(pvl + Д2С2 + •  -)3 +  - - -
О
Следовательно:
щ = t — i>j.	W1(1) = О
n2 = -Д2,	д2(1) = -1
i'3 = -Уз +	1’з(1) = О-
Отсюда uj = t - 1, т’2 = — е <И, «з = |^3 — t2 4- ^t. — | 4- e1-t. Найденные
функции доставляют нужное решение.
Ответ: x(t. р) = тг 4- p(t - 1) — р2е1-* 4- р3 Qt3 - t2 4-	- | + е1-() 4-
О(Р4)-
2.3.	Приближение периодических решений
Метод малого параметра оказывается полезным и при приближенном
отыскании периодических решений. Предположим, что в уравнении
х 4- а2х = f(t) 4- pF(t, х,х, р)	(8)
где функции f и F периодичны по переменной t с периодом Т > 0 и
достаточное число раз дифференцируемы, д-малый параметр, и а > 0 -
некоторое число. Не ограничивая общности, можно считать, что период
Т = 2т (ибо этого всегда можно добиться подходящим растяжением
переменной t). Пусть при р = 0 соответствующее уравнение
х 4- а2х = f(t),	(9)
44
называемое порождаюгцим для уравнения (8). имеет единственное пери*
одическое решение с периодом 2тг. Естественно ожидать, что при неко-
торых дополнительных условиях на правую часть исходного уравнения
последнее уравнение при достаточно малых значениях параметра р бу-
дет иметь периодическое решение того же периода, В зависимости от
величины числа в, фигурирующего в левой части уравнений (8),(9), су-
щественно разными здесь оказываются два случая: (I) нерезонансный
случай, когда число а отлично от целого числа, и (II) резонанасный
случай, когда это число равно целому числу (то есть когда период вы-
нуждающей силы - период правой части - отличен или совпадает с
периодом собственных колебаний изучаемой системы соответственно).
Второй случай здесь рассматриваться не будет (о нем можно прочесть
в учебнике Л.Э.Эльсгольца [10]}. В нерезонансном случае можно дока-
зать (при некоторых ограничениях на функции f и F г) существование
и единственность периодического с периодом Т решения уравнения (8),
стремящегося при д —> 0 к периодическому решению (периода Т) по-
рождающего уравнения (9). Оказывается, периодическое решение воз-
мущенного уравнения (т.е. уравнения при ненулевом значении параме-
тра) можно найти приближенно, используя метод малого параметра.
При этом решение также ищется в виде ряда по степеням параметра
x(t, ц) - x0(t) + T!(t)p + ... + xn(t)pn + ...,	(10)
по той же схеме, но вместо начальных условий, использованных в пре-
дыдущем пункте, на искомые функции {x,(Z)} накладываются условия
периодичности:
xk(t) = xk(t + T), ik(t) = ik{t+ Т), А: = 0.1,2......... (11)
Пример 4- Найти первые 3 члена разложения периодического реше-
ния уравнения
х + 2х = 2sinf + fix1 2, Т = 2тг	(12)
по степеням малого параметра д.
Решение. Очевидно, здесь мы имеем нерезонансный случай. Ишем
решение x(t,p) в виде (10) с учетом (11). Функция T0(t) удовлетворяет
1 Именно: функция /(<) непрерывна, a	непрерывна по переменной ( и липли Iпчип
по переменным х.х и р.
45
порождающему уравнению:
хо + 2xq = 2 sin t	(13)
Частное решение этого уравнения следует искать в виде x4(t) = Asint-h
Bcost. где А. В - неопределенные коэффициенты. Подставляя его в
уравнение, находим А = 2, В = 0 и решение хч(0 = 2sint. Это
- единственное периодическое с периодом 2л решение уравнения (13).
Для доказательства единственности найдем общее решение уравнения
(13):	Г-	г
x(t) = ci cos v2t + C2sin v2t + 2sin t
Проверим периодичность: x(t) = x(t+27r), i(t) = x(t+2ir). Это — систе-
ма двух линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
Ci и C2- Решив ее, получим с; = 0, сг = 0. Итак, xo(t) = 2sint. Подста-
вив (10) в (12) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ц,
получим уравнения:
Т1 + 2X1 — и хг + 2x2 = 2xqXi
и т.д..причем последующие уравнения не накладывают ограничений на
Х1 и х2.
После преобразования правой части первое из приведенных уравне-
ний принимает вид х; + 2xi = 2(1 — cos2t). Аналогично находится его
единственное периодическое с периодом 2я решение xi = 1 + cos 2t.
Теперь для х2 получаем уравнение х2 4- 2x2 = 4sinf(l + cos 20, ко-
торое после преобразования правой части принимает вид х2 + 2х2 —
2sint + 2sin3f. Его единственное периодическое решение есть x2(t) —
2sinf — Bsin3t.
Ответ: x(i, р) = 2sint + р(1 + cos 20 + р2 (2sint — |sin3t) + O(p3)
2.4.	Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Найти производную
решения уравнения по параметру или
по начальному условию.
1.01. х = 2х2 + р(< + х2),
1.02. х — 2^ + pi(l + х2),
х(0) = 2 + р,
х(1) = 1 + 2р.
дх
дх
46
1.03. 1.04. 1.05. 1.06. 1.07.	х = x2 + p(x + 2tx2),		x(0) x(0) x(0) x(0) x(l)	— 3 + д, — 3 + д, - 1 -M, = 1 - M, = 1,	c>x <5/2 dx Bp. dx dx Bp, dx Bp		? p=0 =? p=o 	9 p=0 —? p=o =? p=o
	X — X — X = X =	t + /z(x3 + 1) , 2x — /2(3t2 + x3), —x2 + p(tx + X3), -f + p(xt - X2),				
1.08.	X =	—2x 4- t2x2,	x(0)	— Z(h	dx Bxi	=? Izo—4
1.09.	X —	sint 4- p(x2 + 1),	x(0)	= — 1 + /Л,	dx Bp	= ? P=0
1.10.	X =	—3x 4~ 2p,(t 4- 2x3),	x(0)	= 2 + 3/2,	dx Bp		о p=0
1.11.	X —	X2 — p(tx2 4- 1),	x(0)	— 2 4“	dx Bp	=? p=0
1.12. 1.13.	X = X =	F+T	+ tx-), x 4- x2 sin t,	x(l) x(0)	= 1, = Xfl,	dx ВЦ dx Bxi	=? =? Izo=:2
1.14.	X =	t2 — /i(2x2 — 1),	x(0)	= 2 — /2,	dx ВЦ	=? д=0
1.15.	X =	—x + /2(t3 — 2x2),	x(0)	= —1 + 2/2,	dx ВЦ	=? p=0
1.16.	X —	3x2 — p(2tx + 1),	x(0)	— 1 - 2/2,	dx ВЦ	=? tt—0
1.17.	X	X2 + p(t + X2),	x(0)	= 2/i 4-1,	dx ВЦ	p=0
1.18.	X =	3x — p(2t3 — x2),	•r(O)	= 2-/2,	dx ВЦ	= > P=o
1.19.	X —	cos2t 4- p(l — x3),	x(0)	= 14-/2,	dx ВЦ	=9 K~ о
1.20.	X =	2x + /z(—t2 + 3x2),	x(0)	= 3 4-/2.	dx ВЦ	— 9 p=0
1.21.	X —	—x2 + /z(x + tx2).	x(0)	= 2-/2,	dx ВЦ	=? p=0
1.22.	X =	m M CM + 4 X + 4 1	x(2)	= 1,	dr ВЦ	
1.23.	X =	—x + t3X2.	x(0)	= -to-	dr	9 Э7о1хпя» "	
47
1.24.	x — —3i	/х(1	x(0) = -14-/2,
1.25.	х = 2x + x2 cos t.	x(0) — x0,
1.26.	x = x 4- 2tx2,	x(0) = x0,
1.27.	x = у 4- pt cos 3t,	x(l) = 1,
1.28.	x = xt 4- 2л:3 sint,	x(0) - x0,
	x ~ -t2 4-	4- x2),	x(0) = 3 4- 2/t,
1.30.	x = 3<r 4~	— *^3),	x(0) = 14-5/2,
1.31.	x = За?2 4- p(t 4- x),	x(0) = 3 4- 2/z.
1.32.	i = f 4-2/z(l + 2x2),	x(l) = 1-/2,
1.33.	i — t 4“	4~	x(0) = 1 - 3/2,
1.34.	X - 2>x - p(2t 4- 3x2g),	x(0) = 2-/z,
1.35.	x = —2x2 4- /a(tx — x2),	x(0) = 14- 4/z,
1.36.	x =	4~ p(xt 4- 2x‘),	41) = 1,
1.37.	x — cost 4- /2(2 4- 3a:2),	x(0) = 2 4-/2,
1.38.	x = -2x 4- p(t 4- 2a:2),	x(0) = 5 4- 2/2.
1.39.	Ж + х~^	x(2) = 1,
1.40.	X = —X + t2!2,	x(0) = x0,
1.41.	x = 3t2 4- /2(2 4- x~).	x(0) =4 4- 3/2.
1.42.	x = —5x 4- p{t2 4- x2),	x(0) = —1 4-3/2,
1.43.	x = x’2 — /z(tx 4- 2),	x(0) = 2 4-/2,
1.44.	x = 2x 4- x2 cos t.	x(0) = x0,
dx	-^7
Вц	i=0
dx	—?
Bxo	
dx	—?
Bxo	
dx	_?
Вц	
dx	_?
Bxo	1 Xq=0
dx		•?
Вц	M=o
dx	_?
Вц	
dx	_?
Вц	p=o
dx	
Вц	p=0
dx	_?
Вц	H=o
dx	—?
Вц	p=0
dx	—?
Вц	p=0
dx	_?
Вц	p=o
Bx	_?
Bp,	p=0
dx	_?
Bp	p=o
dx	p=o
Bp	
dx Bx	э1®о=0
dx	—9
Bp	p=0
dx	—?
Bp.	
dx	— 9
Bp	p=0
Вх I
Эхо|г0=0
48
1.45. х = 4х 4- /i(3t3 4- х2),	х(0) = 14- 2/1,	дх др	л	
1.46. х = sin 2# 4- /1(1 + х3),	х(0) = 1-/1,	дх др	д=0	—9
1.47. х = 2х 4- /i(—t 4- х2),	х(0) =2 4- 3/1.	дх ЭД	/<=0	— 9
1.48. х — 2tX-^ + /А*® + ж3)’	х(1) = 2,	дх dp	р=0	=?
1.49. х =-2£ 4-р(1 4-2х2),	х(0) = -14-4/1,	дх др	11=0	=?
1.50. х = ^ + p(tx 4- х2),	х(1) = 1 — 2/1,	дх др	ц=0	=?
1.51. х = 2х2 - /i(t-3x2),	х(0) = 1 — 3/1,	дх др	/=о	=?
1.52. х = cos3t — 2/i(l — х),	х(0) = 14- 5/1,	дх . др	м=0	
Задача 2. Найти производную решения системы по параметру или по
начальному условию.
2.01. 	х=—х+у. у-2х+р(у+3х),	x(0)=14-3/i. .7/(0)=-14-/1,	dx dp	
2.02. 	х=3у—3,	x(0)=/i.	dx		9
	y=4t^+^px~.	Lj/(O)=i,	dp	P=0
2.03. •	x=xy+t~,	c(1)=5>	dx c’Fc	=? l/o=-3
2.04. •	х=2х+у, у=3х+р(2у-х),	[r(0)=l-3/i. . 3/(O)=14-/i-	dy dp	д=0
2.05. •	х=2у, y=2t+7px2,	1 a. lU Ac H	dx dp	=? p=o
2.06.	x=xy+t-. , у=-^,	x(l)=—3.	dx	= 7 l/o=4
2.07. 	х—Зх—у, у=-2х+р{у+2х),	z(0)=24-/i, ly(0)=l-2/i,	dx dp	=? д=0
2.08. 	х—4у+1. y—3t~+9px2.	x(0)=—p. ,(/(0)=-14-/1,	dx dp	= ? д=0
2.09.	i=—xy+t\	x(l)=7. k.y(l)=»/0-	dx ^y<	1 1|Л|
49
2.10. { 2.11. |	х—4х—у,	Г y=3.r+;z(3//-x),	1 i=—2т/+2,	Г y=5t+4yx~,	[	х(0)=2—у, i/(0)=l+2/i. х(0)=-1+р, </(0)=1+м.	оу , дх Зр	— ? л=0 —? J=O
2.12. 	x=—xy+t~, у=-&	।		дх ду0	Уо=3
2.13.	х=3х+у,	1	х(0)=1+2д,	дх	
	j/=4x4-p(j/+5x),	1	у(0)=-2+у,	Ъу	и=0
2.14.	.г-=4у+3,	1	х(0)=р,	дх	
	у=7х2 — 2дх2,	1	2/(0)=1-р.	ду	м=0 ‘
2.15. 	х—ху—t ,		дх	
		Л/(1)=3/€Ь	ду0	1 Л=-2
2.16. 	х=4х+5у,	j £=х+м(3?/-2х).	х(0)=3— л(0)=-1+2/1.	ду оу	=? р=0
2.17. ‘	х=-3у,	(	'х(0)=1+д,	дх	_7
	(/=4t34-7/xx2,	у(0)=-у,	ду	м=0
2.18. 	х=ху—г’,	х(1)Ц,	дх	
	<	,2/(1)=г/о,	ЪУС	I/O=4
2.19. 	х=5х—2у,	х(0)—-2+у.	дх	_9
	у=2х+у(у+3х),	у(0)=-1+у.	ду,	ц=0
2.20.	х—5у—4,	х(0)=—у,	дх	
	uy=2t+3px2.	s/(Q)=i,	ду	р=0
2.21.	x=—xy—t~,	[ х(1)=|,	дх	
	..2	[у(1)=г/о,		Уо=-3
2.22.	х—бх—у,	[ х(0)=3+д.	ду		7
	у=5х+у(2у—х),	[у(0)=2+у.	ду	р=о
2.23.	[ х=—2у+2,	[ х(0)=—1— у,	дх	_?
	tji=3i34-5pix2.	1 ^(0)=1—/х,	ду	р=0
2.24.	ео ' 1°^ н 1 1 II II •»» ч	(х(1)=4 1 у(1)=3/0»	дх ду	° У0=4
2.25.	J х=х+3у,	[ х(0)=—3+у,	дх	
	I у=2х+у (Зу+х),	lj/(0)=-2-p.	ду	р=0
2.26.	Г i=3?/+5,	Г х(0)=р.	дх	
	(у=—2t2 +9дх2,	b(o)=-i.	ду	р=0
2.27.	Г х=2у—3,	Г х(0)=р.	дх	_?
	[y=3t2-|-4/xx2,	Ы0)=2.	ду	д=о
2.28. •	x=2xy+t2.
	 и2
	
2.29. , •	i=5x+2y, у=3х+у(2у-3х),
2.30. <	х—Зу+х, .y=t+8yx2,
2.31. 	i=xy+t\ [У^-У2/3.
2.32. -	х=2у-1, .y—5t2+3yx~,
2.33. 	х=3х—у, у=-2х+,у(у-2х)
2.34.	+ 4 1 II II •»> •н
2.35. 	i=3//+3, у=2^+бух2,
2.36. 	х=4х—у, у—3х+у(3у+х),
2.37.	x=—xy+t?, у=у-/^.
2.38.	х=2у-1, y=3t+6yx2,
2.39.	i=3x+y, ^у=4х+у(у-5х),
2.40.	Yeo ч Л 11 Н
2.41.	х=5у—5, ,у——2t3+7yx2.
2.42.	х=4х+5у, <у=х+у(3у+2х),
2.43.	x=xy—t, <у=-у2/^
2.44.	х-4у—3. k^=4t24-3/xx2.
2.45.	х=5х—2у. <у=2х+у(у-3х),
/ 41)=|,	дх	— 7
U(l)=yo,	^Уо	уо=—2
/х(0)=1+д,	ду	
U(0)=2-p,	cfy	М=0
Г х(1)=у,	дх	
\у(1)=3+2у.	ду	^=0
Г х(1)——5/2,	дх	
1 i/(l)=yo,	Эуо	Уо=3
Г х(0)=—у,	дх	
1</(0)=-1,	ду,	р=о
Г х(0)=2+у.	ду	=7
Ь(О)=1-2М,	ду	д=0
Г х(1)=5/3,	дх	=?
1 i/(l)=i/0,	дус	f/о--5
Г х(0).=-1+^,	дх	
1 i/(0)=- 1+м,	ду	Р=0
Г х(0)= 2—у,	дх	
1г/(0)=1+2д.	ду	р=0
Гх(1)=—1/5,	дх	_7
1 </(i)=i/o,	Эус	Уо=~^
Г х(0)=р.	дх	
	ду	д=0
Г х(0)=1+2д.	ду	
Ь(0)=-2+М.	ду	
fx(l)=l/2,	дх	—7
1 f/(l)=yo,	ду^	уо=-3
Г х(0)=1—у,	дх	_9
U(0)=1+m,	ду	р=0
Г х(0)=3—у.	дх	_9
1.2/(0)=- 14-2/х,	ду	/2 = 0
(х(1)=1/3.	дх	—7
1 у(Д)=уо,	^У(	Уо=2
( х(0)^-у,	дх	__7
\г/(0)=14-/х-	ду	/2=0
f х(0)=-2+у.	ду	
U(0)=-l+/i,	ду	/2=0
51
50
2.46. 	Q .?=—ху—t, У=У2/^, х—2у—2,	Г.г(1)=-1/4, 2/(i)=J/o, х(0)=-Ц-д,	дх &Уо дх	=? 2/0=-4 	?
2.4/. <	y=-lt+9px2.	. у(0)=1-р,	др	р=о
2.48. 	х—бх—у.	.г-(0)=3+/д	дх	_?
	у=5х+р(2у+х),	,2/(0)=2+/i.	др	р=о
2.49. •	x^—xy—t^, . у=-у2/^	И1)=1/6, у(1)=2/о.	дх ^Уо	Уо=3
2.50. 	i=3f/4-l.	х(0)=д,	дх	
	y=5t2+7/zz2,	.2/(0)=р,	др	(1=0
2.51. 	i=.r+3//, ,у=2.г-+д(3у-х).	т(0)=—3+д, .3/(0)=—2—/х.	ду др	(1=0
2.52.	i=—2.ry+t3, т/=2/2/4.	\г(1)=1/2, у(\}=УО-.	дх с¥с	i/o=~4
Задача 3. Найти 3 первых
члена разложения решения уравнения по
степеням малого параметра а.
3.01.	/	2 у =а-у\			г/(-1) = а2 + 2а - 1.
3.02.	у'	=	'	-	2 — пах ,	г/(4) — -а + 4,
3.03.	у'	—	a + у!пу,	г/(1) = 1 + а2.
3.04.	у1	=	г/ 4- <2(1 + 2у),	У(О) = а2-
3.05.	у'	—	-у + а(е~2х + 2у),	2/(0) = а2 - а .
3.06.	у'	—	у + ае~ху2.	//(0) =2 +а2.
3.07.	у1	—	-а - у2,	?/(1) = 2а2 + 2а + 1.
3.08.	у'	=	9-2 у-^х^	у(1) — а+ 2.
3.09.	у1	—	ае2х + у In у.	2/(1) = 2а + 1.
3.10.	у1	=	у + а(е~2х +2у),	2/(0) = а2 - а .
3.11.	у'	=	-у + а(е-31 + 2у),	2,(0) =а2-^-
3.12.	у'	=	У + ау\	2/(0) = а - 1.
3.13.	у'	=	-2	2 ах - у\	2/(—1) = 2а —1.
3.14.	у1	=	+ 5а.г-3,	2/(4) = а2 + 4-
3.15.	у'	=	аех + у hi у,	2/(1) = -а2 + 1.
3.16.	у'	=	у + а(ех + 2у).	2/(0) = -а2 + $ •
3.17.		=	-у + а(ех + '2у).	2/(0) = а2 + § 
3.18.	у1	=	у + ае~2ху2,	2/(0) = 1 - а .
52
3.19.	у' — ах"4 — у2,
3.20.	у' = + оа.г-2,
3.21.	у' =	ах + у In у,
3.22.	у1 =	у + а(е~3х + 2у),
3.23.	у' =	-у + «(1 + 2у),
3.24.	у' —	У + аехуг,
3.25.	у' —	—4а + ^г,
3.26.	у' =	§ + 20ах2,
3.27.	у' —	у ~ Зах2,
3.28.	у' =	у — 2а(1 4- Зу),
3.29.	з	у1 =	-у 4- 2а(е-х 4-у).
3.30.	у' =	у + 3ае~2ху2.
3.31.	у'=	4а 4-у2/2,
3.32.	у1 =	8/у 4-20ах3/2.
3.33.	у' =	— 4ае2х -1- yln(—у/2),
3.34.	у' =	у 4-4а(у — е-21),
3.35.	у'=-у + 4а(у - е-31),
3.36. у' = у - ау2,
3.37.	у' = —4ах-2 + у2/2,
3.38.	у' = 8/у - 20а .г-3,
3.39.	у' — —4аех 4- у!п(—у/2),
3.40. у1 = у + 4а(у-ех),
3.41.	у' = -у 4- 4а(у - ех),
3.42.	у’ = у- ае~2ху2,
3.43. у' = — 4ах~4 + у2/2,
3.44. у' = 3/у — 20ах3^2,
3.45. у'= —4а.г- + у1п(—у/2).
3.46.	у' = у + 4а(у - е~3*),
3.47. у' = -у + 4а(у- 1),
3.48. у' — У — аеху\
3.49.	у' = -у + аеху2,
3.50.	у' = -у + ау2,
3.51.	у1 = -у + ае2ху2,
3.52.	у' = -у + ае3ху2,
у(1) —а2 + 1.
у(1) = -а2 + 2.
у(-1) = 2а2 + 1.
у(0) = а2 - | 
у(0) = а2-
у (0) = 2а + 2.
у( —1) - —8а2 — 8а 4- 2
у(4) = 4а - 8.
у(1) = -а 4- 2 
у(0) = а 4- а2.
у(0) =а2 -2а.
у1$) = 4 + а2.
у(1) = —16а2 — 4а — 2
у(1) = -4а - 4.
у(0) =-8а-2.
у(0) = —8а2 4- 4а.
у(0) = —8а2 4- 2а.
у(0) =-4а2 4-2.
у( —1) = -8а 4-2.
у(4) = —16а2 — 8-
у(0) = 8а2 — 2.
у(0) - 8а2 — 2а.
у(0) = —8а2 4- 2а.
у(0) =4а2-2.
у(!) = -8а2-2.
у(1) = 16а2 - 4-
у(-1) = -16а2- 2.
у(0) — 8а2 — 2а.
у(0) = -8а2.
у(0) = -8а - 4.
у(0) = а2 4-1-
у(0) = -а 4-1.
у(0) =а4-1-
у(0) = 2а2 4- 2.
53
Задача 4. Найти 3 первых члена разложения периодического решения
уравнения по степеням малого параметра д (в качестве периода взять
наименьший положительный период правой части уравнения).
4.01.
4.03.
4.05.
4.07.
4.09.
4.11.
4.13.
4.15.
4.17.
4.19.
4.21.
4.23.
4.25.
4.27.
4.29.
4.31.
4.33.
4.35.
4.37.
4.39.
4.41.
4.43.
4.45.
4.47.
4.49.
4.51.
х 4- 6х = 4 sin t 4- 2дх2.	4.02.	x + 2x =	—2 cos3t — дх2-
х 4- Зх = —3 sin 14- дх2.	4.04.	x + 7x =	5 cos 2t — Здх2,
x 4- 5х — — 2 sin 4t 4- 2дх2.	4.06.	x 4- 3x --	3 cost 4- 4дх2.
х 4- 8х = 6 sin 5t 4- дх2.	4.08.	x + 5x =	—4sint 4- дх2.
х 4- Зх = 2 cos 3t — дх2.	4.10.	x 4- 2x =	7 sin2t 4- 2дх2.
х 4- Юх = 4cos2t — 2дх2.	4.12.	x 4- 7x =	—3 cos 8t 4- Здх2.
x 4- Зх = 6 cos 9t 4- 5дх2.	4.14.	x 4- 6x —	—5sin3t — 2дх2.
x 4- 5x = 2 sin 5t 4- 4дх2.	4.16.	x 4- 8x =	4 cos 2t — Здх2.
x 4- 7x = 7 sin 2t — 2дх2.	4.18.	x 4- 2x =	—2 cos3t 4- 2дх2.
x 4- 5x — 2 sin 3t 4- Здх2-	4 20.	x 4- lOx =	= 4cos3t — 2дх2
x 4- 8x = —5 cos t — /лх2.	4.22.	x 4- 5x =	2 sin 6t 4- Здх2.
x 4- 3x = cos 5t 4- дх2.	4.24.	x 4- 2x =	— sin9t 4- 5дх2.
x 4- 6x = 8 cos 3t 4- 4дх2.	4.26.	x 4- 5x =	6sin4i — 2дх2.
x 4- 2x = 2 cos(t/2) 4- дх2.	4.28.	x 4- 3x —	—2 cos 7t 4- дх2.
x 4- 7x = —3cos 2t 4- 2дх2	4.30.	x 4- 5x =	sin(t/2) 4- 2дх2.
x 4- 6x = 2 sin t 4- Здх2.	4.32.	x 4- 2x =	cos 2t — дх2.
x 4- Зх = 3 sin 2t 4- дх2.	4.34.	x 4- 7x =	4 cos 2t — 2дх2.
x 4- 5x = 2 sin 4t 4- дх2.	4.36.	x 4- 3x =	2 cos 14- 5дх2-
x 4- 8x = 5 cos it — fix'2.	4.38.	x 4- 5x =	4cost 4- Здх2-
x 4- 3x = —4 sin 2t 4- Здх2.	4.40.	x 4- 2x =	7 sin 3t — 2дх2.
x 4- 2x = 5 cos 7t 4- дх2.	4.42	x 4- 7x —	2 cos 8t — Здх2.
x 4- Зх = 2 cos-5t — дх2.	4.44.	x 4- 6x =	5cos2t — 4дх2.
x 4- 5x = 2 cos 6t — дх2.	4.46.	x 4- 8x =	3 cos3t — 2дх2.
x 4- 7x = 8 sin4t — Здх*.	4.48.	x 4- 2x =	—8cost 4- 5дх2
x 4- 5x = 3 sin 2t 4- 8дх2.	4.50.	x 4- 6x =	4 sin 3t 4- 9дх2
x 4- Зх = 7 sin t — 2дх2.	4.52.	x 4- 7x =	cos6t 4- 5дх2.
54
3.	Элементы теории устойчивости
Напомним, что обыкновенным дифференциальным уравнением порядка
п. разрешенным относительно старшей производной, называется урав-
нение вида
x(n) - f(t,x,i,---,x‘',-1>),	(14)
где х -искомая функция (характеризующая изменение параметра некото-
рого процесса), at- время. Для достаточно хорошей правой части этого
уравнения (например, для дифференцируемой по совокупности аргумен-
тов функции /) справедлива теорема существования и единственности
решения задачи Коши. В этом случае значения переменной х во време-
на, достаточно близкие к моменту времени to, однозначно определяются
его значением и значениями его первых п — 1 производных в этот момент
времени (=начальными условиями). Например, для уравнения колеба-
ний физического маятника х = —и2 sin х, где х - угловое отклонение от
нижнего положения равновесия, = д/г, г - длина жесткого подвеса
маятника, такими условиями являются величина углового отклонения
х0 = x(to) и скорость ее изменения tq = i(to) в начальный момент вре-
мени tg.
В случае с физическим маятником начальные условия однознач-
но определяют и все последующие изменения его углового отклонения,
т.е. решение x(t) уравнения колебании, удовлетворяющее указанным на-
чальным условиям, однозначно продолжается на весь промежуток t > to.
Такое продолжение иногда возможно и для решения более общего урав-
нения (14). Если при этом достаточно малые изменения начальных усло-
вий приводят к решениям, мало отличающимся на этом промежутке от
исходного решения, то продолженное решение называется устойчивым,
а если нет, то неустойчивым. Например, для физического маятника его
нижнее положение равновесия устойчиво, а верхнее нет. Дадим точные
определения ключевых понятий теории устойчивости.
3.1.	Определение устойчивости и асимптотической
устойчивости
Всякое уравнение вида (14) введением новых переменных
(Д = х. у2 = х.   . у„ = х(п-1)
55
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка
J/ = v(t,y)	(15)
в п-мерном пространстве переменной у = (у\, у%, • , уп)* с векторным
полем v(t,y) = (у2,уз,- •  ,уп,	где верхний индекс * означает
транспонирование.
Решение y(t) уравнения (15), определенное при t > to, называется
устойчивым по Ляпунову или просто устойчивым, если для любого по-
ложительного числа е > 0 найдется такое число 5 > 0 (вообще говоря,
зависящее от е), что всякое решение y(t) этого уравнения с начальным
условием y(to) , Is/C^o) — y(to)| < продолжается на промежуток t > t0
и удовлетворяет на этом промежутке неравенству \y(t) — y(t)| < е. Если
к тому же \y(t) — i/(t)| —> 0 при t -> +оо. то решение y(i) называется
асимптотически устойчивым по Ляпунову, или просто асимптоти-
чески устойчивым. Решение, не являющееся устойчивым, называется
неустойчивым (по Ляпунову).
Ниже мы ознакомимся с целым рядом приемов исследования ре-
шений обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивость.
В некоторых случаях такое исследование удается провести, пользуясь
лишь определением понятия устойчивости.
Пример 1. Исследовать на устойчивость решение задачи Коши
(2t-3)x = x. х(2) = 1.	(16)
Решение. Данное уравнение представляет собой уравнение с разде-
ляющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, найдем
его общее решение.
dx dx dt г dx г dt , , ,	_
(2f-3)dt Т = 2^3’ /т = /2Г=з’ 1п1-г’1 = 1/21п|2;-з| + с
или, окончательно, x(t) = C^\2t — 3|.
В частности, при t — 2 имеем ,т(2) = С. Следовательно, решением
задачи (16) является функция Xo(t) = \/2f — 3, t > 3/2. Модуль отклоне-
ния решений уравнения с близкими начальными данными
|x(t) - x0(t)l = \Cj2t^3 -	= |С - 1|у/2Г^З
56
стремится к бесконечности при t —> +оо и С 1. Следователь^0’
решение задачи (2) неустойчиво.
Ответ: Неустойчиво.
Вводом новой переменной z, z = у — y(t), где y(t) - изучаемое на
устойчивость решение, уравнение (15) приводится к виду z = v(t, ’ +
j/(t)) - v(t,y(t)), а исследование на устойчивость сводится к исследова-
нию на устойчивость нулевого решения последнего уравнения. Однак°
получить в явном виде общее решение дифференциального уравнения
или хотя бы решение, исследуемое на устойчивость, удается далеко не
всегда. Это побудило исследователей к разработке методов, позволяю-
щих определить устойчивость или неустойчивость данного частного ре-
шения, не находя (общего) решения уравнения. С такими подходами >1Ы
и познакомимся ниже.
3.2	. Теорема Ляпунова об устойчивости по первоМУ
приближению
Одним из методов, позволяющих исследовать на устойчивость без яв-
ного отыскания общего решения, является теорема Ляпунова об устой-
чивости по первому приближению. Для простоты сформулируем ее в
частном случае, когда правая часть системы (15) не зависит от време-
ни:
х = v(x).	(17)
и и(0) = 0, то есть x{t) = 0 является решением системы (17).
Теорема (об устойчивости по первому приближению)•
Пусть векторное поле и дважды непрерывно дифференцируемо в
окрестности нуля, тогда нулевое решение системы (17) асимпт0'
отчески устойчиво, если все собственные значения матрицы линеа~
ризации этого поля в нуле имеют отрицательные вещественные
сти. и неустойчиво, если хотя бы одно из них имеет положителънУю
вещественную часть.
Пример 2. С помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по перн0'
му приближению исследовать на устойчивость нулевое решение х(£) в
()..y(t) = 0 системы
| х = In (4у + е~3х)
( у = 2у - 1 + 1 - 6т.
57
Решение. Матрица Якоби отображения х и(х) имеет вид
( — Зе~3х	4	\
4jH-f_3T	4j/+e-jx	I
-2	9
(1-6jc)2M	Z	)
(—3 4 \
2 2 I есть матрица линеари-
зации нашего векторного поля в нуле. Характеристическое уравнение
этой матрицы А2 + А + 2 = 0 имеет комплексно сопряженные корни
А12 = —1/2 ± i-s/f/2 с отрицательной вещественной частью —1/2. Сле-
довательно, в силу теоремы об устойчивости по первому приближению
нулевое решение устойчиво.
Ответ: устойчиво.
Замечание. Матрица линеаризации векторного поля на плоскости
в его особой точке имеет собственные числа с отрицательной веществен-
ной частью, если и только если след матрицы линеаризации отрицате-
лен. а определитель положителен. Этот факт - прямое следствие тео-
ремы Виета. Действительно, характеристическое уравнение матрицы
размера 2x2 имеет вид А2 — tr ДА + det .4 = 0. По теореме Виета сум-
ма его корней равна tr .4. а произведение - det Д. Следовательно, если у
этих корней отрицательная вещественная часть, то след отрицателен,
а определитель положителен, и наоборот. Этот факт очёнь полезен при
изучении на устойчивость особых точек векторных полей, зависящих от
параметров.
Пример 3. Найти множество значений параметра а. при которых
нулевое решение системы
( х = х + tg 2у — хлу
| у = еау — 2 sin х + у — \/1 4- х'2.
заведомо асимптотически устойчиво.
Решение. Линеаризация системы в нуле имеет вид
( х — х + 2у
I У = ау~ 2( г 4- у).
АГ	-	J ( 1	2	\	1
Матрица линеаризованной системы .4=1	?	% I имеет след а — 1
и определитель а + 2. Следовательно, по теореме об устойчивости по
58
первому приближению нулевое решение устойчиво при а —1 < 0 и а +2 >
О или — 2 < а < 1 и неустойчиво при а < — 2 и а > 2.
Ответ: —2 < а < 1.
Пример 4- Найти положения равновесия системы
х
У
289 - х2 - у2
х1 — 14а: + у2 — 177
п исследовать их на устойчивость.
Решение. Положения равновесия системы есть нули ее векторного
поля. Следовательно, они являются решениями системы уравнений
289 - х2 - у2 = О
х2 — 14т + у2 — 177 — 0.
Решая эту систему уравнений, находим два положения равновесия х\ =
8. yi = 15 и т2 = 8, у2 = —15. В этих положениях равновесия матрица
линеаризации изучаемой системы уравнений
—2х —2у
2х — 14 2у
принимает значения
-16
2
-30
30
-16
2
30
-30
соответственно. Первая из последних двух матриц имеет положитель-
ный след, поэтому хотя бы одно из ее собственных чисел положительно
или оба они имеют положительную вещественную часть. Следователь-
но, первое положение равновесия неустойчиво. У второй из этих матриц
след (= -46) отрицателен, а определитель (—420) положителен. Следо-
вательно, собственные числа второй матрицы имеют отрицательную
вещественную часть, и, таким образом, второе поло/кение равновесия
устойчиво.
Ответ: Положения равновесия: (8.15) - неустойчивое. (8. —15) -
устойчивое.
3.3.	Функция Ляпунова и функция Четаева
Теорема об устойчивости по первому приближению применима не все
• да. Например, она не работает в случае вырожденной матрицы шипи
ризашш системы в особой точке. Для таких ситуаций были p«i ipaooi.uii.i
ipvi ti<* методы изучения устойчивости решений.
59
Вблизи нуля функция V называется знаке определенной, если она
не меняет знак в достаточно малой окрестности нуля (знакоположи-
тельной и знако отрицательной, если, соответственно. V > 0 и V < О
вблизи нуля) и положительно определенной, если V(0) = 0 и V(t) > О
при достаточно малых х 0. Аналогично определяется отрицательная
определенность.
Теорема Ляпунова (основная). Пусть векторное поле уравне-
ния (17) непрерывно дифференцируемо и имеет положение рановесия в
нуле (т.е. v(0) = 0/ Это положение равновесия устойчиво, если вбли-
зи нуля существует положительно определенная непрерывно диффе-
ренцируемая функция V, производная которой вдоль векторного поля
и знакоотрицательна, и асимптотически устойчиво, если эта произ-
водная отрицательно определена.
Замечание. Для асимптотической устойчивости положения равно-
весия требование отрицательной определенности можно ослабить. До-
статочно в дополнение к знакоотрицательности производной потребо-
вать, чтобы вблизи нуля нулевой уровень производной функции V вдоль
поля и (т.е. уровень = 0, где = |^(x)ul(x) + ^(x)v2(x) 4-... +
^-(x)v„(x)) не содержал дуг фазовых кривых поля и. Функции V. удо-
влетворяющие условиям сформулированной теоремы, обычно называют
функциями Ляпунова.
К сожалению, универсального алгоритма построения функции Ля-
пунова не существует. Обычно ее ищут в некотором специальном виде
(например, в виде положительно определенной квадратичной формы) с
последующим подбором коэффициентов.
Если для устойчивости положения равновесия уравнения (17) необ-
ходимо, чтобы все решения, начинающиеся в достаточно малой окрест-
ности этого положения равновесия, и все последующее время оставались
вблизи него, то для его неустойчивости достаточно, чтобы существовало
решение со сколь угодно близкими к положению равновесия начальны-
ми условиями, уходящее при своем продолжении на конечное расстояние
от положения равновесия. Это наблюдение позволило Н.Г.Четаеву обоб-
щить результаты Ляпунова по неустойчивости особых точек.
Теорема Четаева. Пусть векторное поле уравнения(17) непре-
рывно дифференцируемо и имеет положение равновесия в нуле (т.е.
у(0) — 0/ Это положение равновесия неустойчиво, если вблизи нуля
существуют непрерывно дифференцируемая функция и примыкающая
60
к началу координат область такие, что сама функция положительно,
в этой области и равна нулю на ее границе, а ее производная вдоль
векторного поля положительна в этой области.
Пример 5. С помощью функции Ляпунова или функции Четаева ис-
следовать на устойчивость нулевое решение системы
£ = vi(x,y)
у = v2(x,y),
заданной векторным полем : а) и — (2х3у, у4 — 4х2у), б) v = (2у3 — г5, — х—
У3 + у3).
Решение, а). Данное векторное поле касается оси ординат, при этом
на положительной полуоси движение происходит от начала координат,
что нетрудно видеть. Это наблюдение говорит о неустойчивости ну-
левого решения. Покажем это с помощью теоремы Четаева. Возьмем
V(x,y) = у4 — х2, которая положительна в содержащей положитель-
ную полуось ординат области у > |х|и равна нулю на границе этой
области. Ее производная вдоль поля системы = — 4хх3у + 4?/3(г/4 —
4.т2у) = —4х4у + 4у7 — 16т2у4 в этой области оценивается снизу функци-
ей —4у9 4-4у' — 16у8. так как х2 < yi в этой области. Последняя функция
положительна при малых у > 0. Следовательно, выбранная нами функ-
ция V удовлетворяет условиям теоремы Четаева. В силу этой теоремы
нулевое решение системы неустойчиво.
б)	. После отбрасывания слагаемых —х5 в первой компоненте поля и
—у3 + у3 во второй функция V(x, у) = х2 + у4 станет общим интегралом
измененного поля. Эта функция положительно определена, а ее произ-
водная вдоль первоначального поля = 2х(2у3 — х3) + 4у3(у5 — х — у3) =
—2.т6 + 4у8 — 4у6 = — 2х6 — 4у6(1 — у2) отрицательно определена вблизи ну-
ля. Следовательно, в силу основной теоремы Ляпунова нулевое решение
системы устойчиво.
Ответ: а) неустойчиво, б) устойчиво.
3.4.	Критерии устойчивости линейных систем и
уравнений с постоянными коэффициентами
> линейных уравнений пли систем либо все решения являю гея устой
чппыми (асимптотически устойчивыми), либо все решения ncvrioH'iii
•1.1 поэтому обычно говорят об (асимптотической) устопчшкм з и шбо
61
неустойчивости линейных уравнений (систем) в целом. Исследование
же на устойчивость в целом уравнения (системы) сводится при этом
к исследованию на устойчивость нулевого решения соответствующего
однородного уравнения (однородной системы).
Линейная однородная система с постоянными коэффициентами со-
впадает со своей линеаризацией в нуле. Отсюда и из теоремы об устой-
чивости по первому приближению получаем, что линейная система с
постоянными коэффициентами асимптотически устойчива, если все
собственные числа ее матрицы имеют отрицательные вещественные
части и неустойчива, если хотя бы одно из этих чисел имеет по-
ложительную вещественную часть. Это утверждение справедливо и
для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому был
разработан ряд критериев, позволяющих по коэффициентами характе-
ристического уравнения определять, все ли его корни имеют отрица-
тельные вещественные части или нет. К их числу относится критерий
Раусса-Г урвица.
Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами:
p(z) = а0 + a\z + ... + an-i*n“l + GnZn, До > 0, ап 0	(18)
По этим коэффициентам составим матрицу М размера п х п:
' Д1	до	О	О	...О'*
ДЗ	Д2	G1	Go ... О
. . . • . - 1
\ G2n—1 °2п—2 G2n-3 а2п—4  • • Gn /
где полагаем д* = 0 при к > п.
Критерий Раусса-Гурвица. Для того, чтобы все корни мно-
гочлена (18) имели отрицательные вещественные части необходимо
и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гурвица АГ были
положительными:
Д1 = Д1 > 0, Дг =
Д1 До
Дз а2
Аз =
Д1 до О
Дз Д2 Д1
Д5 Д4 Дз
? 6 S-
о
о
ч
Замечание. При больших п применение критерия Раусса-Гурвица
становится затруднительным, поскольку требует вычисления опреде-
лителей высоких порядков. Объем вычислении снижает применение
62
условий Льенара-Шипара: для того, чтобы все корни многочлена (18)
имели отрицательные вещественные части необходимо и достаточно,
чтобы (1) все коэффициенты этого многочлена были положительны
и (2) чтобы были положительны главные миноры матрицы Гурвица
An_2bfc = 0,1,2,....
При больших п также удобнее применять геометрические крите-
рии, позволяющие судить о расположении корней многочлена (18) на
комплексной плоскости
Критерий Эрмита-Михайлова. Все корни многочлена (18) име-
ют отрицательные вещественные части, если и только если выпол-
нены следующие условия: cto<2i > 0 и все корни многочленов
Р(£) = °о - «2^ + «4С2 + • • • и QW) = «1 - азЧ + a5rj2 4-..
положительны, попарно различны и чередуются начиная с корня
а именно 0 <	< r/i < £2 < П2 <  
Пример 6. С помощью критерия Раусса-Гурвица или Эрмита-
Михайлова исследовать на устойчивость линейное дифференциальное
уравнение
т/5' _|_ ^(4) _|_ -jy ' _|_	4- 4у = 0.	(19)
Решение. Приведем два способа решения задачи. Сначала решим ее.
воспользовавшись критерием Раусса-Гурвица. Составим матрицу Гур-
вица
	' 10	4	0	0	° Ч
	7	5	10	4	0
л/ =	1	1		5	10
	0	0	1	1	7
	10	0	0	0	1J
Вычисляя ее главные миноры, получаем следующие их значения:
Ai = 10,
10 4
7 5
= 22,
10 4 0
7 5 10
1 1 7
= 94,
10 4 О О
7 5 10 4
117 5
0 0 11
= 148,А5 = 148.
Все эти миноры положительны, поэтому в силу критерия Рауса-Гурвица
все корни характеристичекого уравнения имеют отрицательную веще-
ственную часть. Следовательно, уравнение (19) асимптотически устой-
чиво.
63
Теперь решим задачу с помощью критерия Эрмита-Михайлова.
Выпишем характеристический многочлен уравнения (19) и многочле-
ны Р, Q из критерия Эрмита-Михайлова:
А5 + А4 + 7А3 + 5А2 4- 10А + 4, Р(£) = 4 - 5£ + f2. Q(tj) = 10 - 7т? + п2
Условие <2o<2i > 0 критерия, очевидно, выполнено. Многочлены Р, Q вто-
рой степени и их корни легко находятся:
G = 1^2 = 4. 91 = 2. 92 = 5.
Эти корни положительны, попарно различны и чередуются. Следова-
тельно, по критерию Эрмита-Михайлова все корни характеристиче-
ского уравнения имеют отрицательные вещественные части, а, значит,
уравнение (19) асимптотически устойчиво.
Ответ: асимптотически устойчиво.
Пример 7. При каких значениях параметра а линейное уравнение
4у(4)	2у" + Ту" + ау + Зу = 0 асимптотически устойчиво?
Решение. Воспользуемся критерием Раусса-Гурвипа. Составим для
данного уравнения матрицу Гурвица
' а
--1
Вычислим ее главные миноры:
3 0 0 х
7 а 3
4 2 7
0 0 4,
Д1 = а, Лг -
7а — 6, Лз =
а 3 0
2 7а
0 4 2
= 14а — 12 - 4а2. Д4 = 4Дз-
Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все
они были положительны:
а > 0,7а — 6 > 0, —2(2а2 — 7а + 6) > 0, -8(2а2 - 7а + 6) > 0
Таким образом, приходим к системе неравенств:
а > 0
7а > 6
2а2 — 7а + 6 < 0.
64
Отсюда
а > 6/7
(а —2)(2а —3) < 0
а > 6/7
3/2 < а <2.
Итак, 3/2 < а < 2. Следовательно, уравнение асимптотически устойчи-
во при а Е (3/2; 2).
Ответ: 3/2 < а < 2.
3.5.	Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Используя определение устойчивости по Ляпунову, изучить
устойчивость решения задачи Коши.
1.01. 4(t-l)x' = x,	x(2) = 1.
1.02. x' = -2x + 2t + 5,	x(0) = 0.3.
1.03. 2tx' = (1 — х2)х ,	х(1) = -1/л/2.
1.04. 2tx' = х + 4xtctg2t.	х(тг/4) = 1.
1.05. 2(t 2)x' = x — 6x(t 4- 2) tg (3£ 4- 7r/3),	x(0) = -1.
1.06. 2tx' = 4tx ctg 2t — x,	х(тг/4) = 1.
1.07. 2(t 4- l)x' = — 4x(t 4-1) tg 2t — x,	x(0) = 1.
1.08. 2x' — — x 4- 6xctg (3t 4- тг/б).	x(0) = 1.
1.09. 2x'= —x — 4xtg (2t 4-тг/6),	x(0) = 1.
1.10. 2а/= Зх 4-4xctg (2t 4-7г/3),	x(0) = 1.
1.11. 2x' = x/2 — 6xtg3t,	x(0) = 1.
1.13. 2{2t - l)x' = —2xt 4-5x,	x(0) = 1.
1.13. 2(2t — l)x' = 6xt — 7x.	x(0) = 1.
1.14. 4(t4-2)x' = x.	x(-l) = -l.
1.15. x' = 3x — 3t 4- 7,	x(0) = -1.
1.16. 8tx — x(4 — x),	x(l) = -\/2
1.17. 2tx' = x 4- 6xt ctg3C	x(tt/6) = —1.
1.18. 2(t 4- l)x' = x — 4x(t 4-1) tg 2t.	x(0) = 1.
1.19. 2(t 4- l)x' = 6x(t 4- 1) ctg3t — x.	х(тг/6) — -1.
1.20. 2[t 4- 2)x' — —6(t 4- 2)x tg (3t 4- гг/4) — x.	x(0) = -1.
1.21. 2x'= —3x 4-4xctg(2t 4-7t/3).	x(0) = -1.
1.22. 2а/ = —Зх — xtg (t/2).	x(0) = -1.
1.23. 2x' = 5x 4- 6.x ctg (3t 4- тг/6),	x(0) = -1.
1.24 2x'= x/3 — 4xtg (2t 4-тг/З).	x(0) = -1
65
125. 2(t4-l)x' = -3xt-x.	x(0) = -1.
1.26. 2(3t 4-1)х'= 15xt 4-х.	x(0) = -l.
1.27. 2(3t - l)x' = x.	x(3) = У2.
1.28. x' = —3x 4- Gt — 1,	x(0) = 1.
1.29. 18tx' = x(9 — x),	x(2) = ч/б
1.30. 2(t 4- l)x' = x 4- 4x(t 4-1) ctg (2t 4- тг/4),	x(0) = 1.
1.31. 2tx'= x — 6xt tg (3t 4-tf/6),	x(0) = 1.
1.32. 2(t 4- 2)x' = 4x(t 4- 2) ctg (2t 4- тг/4) - x,	x(0) = 1.
1 33	2(t 4- 3)x' = —4x(t 4- 3)x ctg (2t 4- тг/6) — x.	x(0) = 1.
1.34 2x'= —x 4-4xctg (2t 4-тг/4),	x(0) = 1.
1.35. 2x'= —5x — 6x tg (3t 4-тг/З),	x(0) = 1.
1.36. 2x'= 7x 4-4xctg (2t 4-тг/4),	x(0) = 1.
1.37. 2x'= x/5 — 6x tg (3t 4-тг/4),	x(0) = 1.
1.38. 2(3t 4-l)x'= — 15xt 4-x,	x(0) = 1.
1.39. 2(4t - l)x' = 28xt - 15x.	x(0) = 1.
1.40. 2(3t 4- l)x' = x.	x(l) = -2
1.41. x'= 5x 4-15t — 13.	x(0) = 3.
1.42. 50tx' = x(25 — x),	x(4) = 2\/5.
1.43. 2(t - 2)x' = x 4- 6x(t - 2) ctg (3t 4- тг/6),	x(0) = -1.
1.44	2(t 4- 3)x' — x - 4x(t 4- 3) tg (2t 4- тг/4),	x(0) = -1.
1.45. 2(t 4- 4)x' = 6x(t 4- 4) ctg (3t 4- тг/6) - x.	x(0) = -1.
1.46 2(t 4- l)x' = -6x(t 4- 1) tg (3t 4- t/3) - x,	x(0) = -1
1.47. 2x' = —5x 4- 6x ctg (3t 4- тг/2).	x(0) = -1.
1.48. 2x' = — 7x — 2x tg (t/3 4- тг/4)/3,	x(0) = -1.
1.49 2x'= 9x 4-Gx ctg (2t 4-тг/4).	x(0) = -1.
1.50. 2x' = x/7 — 4x tg (2t 4- тг/6),	x(0) = -1.
1.51	2(2t 4- l)x' = — 14xt - 3x.	x(0) = -1.
1.52. 2(5t 4- l)x' = 45xt — x,	x(0) = -1.
Задача 2. Используя метод изоклин, нарисуйте вблизи начала ко-
ординат траектории системы и по их поведению выясните устойчивость
нулевого решения.
2.01. х = х — у, у
2.03. х = 5х 4- 2у,
2.05. х = —4х + </,
2.07 х — Зх — 7у/,
= х + 2у.	2.02.
у = 2х — 2у.	2.04
у — Зх 4- //.	2.06
у = Зх - 6//.	2.08
х = 4х — 2у, у = Зх — у.
х = 2х + 3</. у = х — 2у.
х = 2х — Зу, у = 4х — Зу,
х = 2х 4- у, у = -.г + Зу.
66
2.09.	х =	x — 4y, у — j — Зу.	2.10.
2.11.	x =	Зх — у. у — x + у.	2.12.
2.13.	х =	7х — 4у, у = 5х — Зу.	2.14.
2.15.	х =	— х — у, у = х — 3у.	2.16.
2.17.	х —	—Зх — Зу. у — х — у,	2.18.
2. 19.	х =	—7х + Зу, у — —5х 4- 2у. 2. 20.
2. 21.	х =	-Зх + 3у, у = 4х - 2у.	2. 22.
2. 23.	х =	2х — Зу, у = 2х + 4у.	2. 24.
2. 25.	х =	х — 4у. у — 2х — 7у.	2. 26.
2. 27.	х =	2х — у, у — х 4- у.	2. 28.
2. 29.	х =	—2х +	2у, у	= 2х + бу.	2.	30.
2. 31.	х =	х + у.	у = Зх — 4у.	2.	32.
2. 33.	х =	—6х —	7у, у	= Зх 4- Зу,	2.	34.
2. 35.	х -	—Зх —	4у, у	= х 4- у.	2.	36.
2. 37.	х =	х — у,	у = х	4- Зу.	2.	38.
2.39. х — — Зх - 4у, у = бх + 7у. 2.40.
2. 41.	х =	—Зх — у.	у = х —	у.	2.	42.
2. 43.	х =	—х — Зу,	у = х —	Зу.	2.	44.
2. 45.	х —	2х 4- Зу.	у = —5х	— 7у.	2.	46.
2. 47.	х =	—2х + Зу, у = 4х	— Зу.	2.	48.
2. 49.	х =	4х — Зу,	у = 2х 4-	2у,	2.	50.
2. 51. х = —7х — -ly, у = 2х 4- у. 2. 52.
х = 2х - у. у = х + 2у.
х — б.с — Зу, у = 2х — у.
х = —6х — бу. у — Зх 4- 2у.
х — 2х — 13.1/, у = х — бу.
х — х — Зу. у — Зх — бу.
х = 2х — бу, у = 5х — 7у.
х = Зх 4- 2у, у = х — Зу.
х = 4х — 2у. у = х + 2у.
х = 2х — бу. у = бх — 8у.
х = -х-2у, y = 3x+-iy.
х = — 2х 4- Зу, у = х + 2у.
х = — 5х — Зу. ij = 4х 4- 2у.
х = 4х 4- у- у = —х 4- 2у.
х = 2х 4- у. у = -х 4- 2у.
X = -X - Зу, у = 2х + 5у.
х = 2х — Зу. у = Зх — бу.
х = —6х — 13(/, у = х 4- 2у.
х = —6х — Зу. у = 5х 4- у.
х = —7х — Зу. у = Зх 4- 2у.
х = —Зх 4- 2у, у — х 4- Зу.
х = 2х — 2у, у = х 4- 4у.
х = —8х — Зу. у = 6х 4- 2у^
Задача 3. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
дифференциальных уравнений.
3.1.	х = (1 - 2Х)1/2 - е~«, i/ = 2x4-ln(l-3j/).
3.2.	х = eix — cos бу, у = ех-’,у — sin 2х — 1.
3.3.	х = (1 4- 2х)*/2 — е~2у. у = tg (2х — у) — у,
3.4.	х = In (1 - Зх — у) 4- arctg Зу, у = е~2х — (1 — бу)1/3
3.5.	х = sin (х 4-у) — In (1 4-4у), у = e5z - cos у — 7у.
3.6.	х = 1 - ех+!1 4- 2 arcsinу, у = х 4- In (1 4- 2х - у).
3.7.	х = (1 - 6х)1/2 - cos(2x - у), у = 2е3х - (х2 - 4у 4-4)‘/2.
3.8.	.г - 31п(1 4- у) - 2tg2x, ij = t>x~y - (1 4- Зу)1/3
3 9.	i-=	In	(1	- х) - tg (х2 4-2у),	у = ex~iy - cos(.r 4- 2у).
3.10.	х	=	(1	4-2у)*/2 - e3x-s, у =	In (1 — 2х - у2) - arctg (г 4- iy)
1 11	г	=	In	(1	4- х) - sin (х 4- Зу).	у = с3х~2« - fl - 2,: 4 ly)1/J
67
3.12.	х — 2 cosx - x - 2e'2x~y, у = уcosx - In (1 4-2x).
3.13.	x = (1 — 4x)1/2 — e_jy, у = 2 tg (x - y) 4- xe~x
3.14.	x - sin (x2 4- y) 4- hi (1 - 4x), у = e2x~y - (1 4- 8x)1/2
3-15. x - (1 — 2y){/2 - 3x — cosy, у — 3 arcsin Зх + tg (2x2 4- y).
3.16.	x	=	In (1 + x 4- y) + arctg (x - у2), у = (1 - 10y)1/2	- e11*
3.17.	x	=	tg (2x - у) - 6x - у2, у = 2cos (3x 4- 2y) - (x2	- 24x 4-	8)1/.3
3.18.	i = arcsin (4x + y) — In (1 + 2x), у = cosx — e2l+3y.
3.19.	x	=	(1 4-4y)1/2 - Зх - 1, у = sin (x - 2y) - 2tgy,
3.20.	x	=	In (1 — 2x) 4-arctg (Зх — 4y), у = 2ej:~3y - (y2 - 8y 4- 4)1/2
3.21.	x — 2ey 4- arcsin 3x - 2, у = sin (x - 5y) 4- 5 In (1 - 2x).
3.22.	x = (1 - 6i/)1/3 - 4x - cos 2iy, у = arctg (2x 4- 3y) 4- In (1 4- 3x),
3.23.	x = arcsin (x 4- y) - 3tgx. у = (1 4- 4x - 2y)1/2 - ey.
3.24.	x = ev~4x 4- 2y - cos (3x 4- у), у = In (1 - 3x) 4- sin 2//.
3.25.	x — 2In (1 4~ 3x) — sin (8x — у), у = 3(1 - 2y)1/2 4- 5x - 3.
3.26.	x = sin (x 4- y2) - arctg (Зх - у), у = ex~2y - (1 + 4x)1/2
3.27.	x = tg (3x + y) - arcsin (2x 4- Зу), у = cos3x - (1 - 10x)1/2 - 7y.
3.28.	x = In (1 4- 3x 4- y) 4- sin (x 4- Зу), у = 2e~x~y — 3y - 2.
3.29.	x = 2ex+3y - 2 cos x, у = In (1 - x 4- y) - arctg (2x 4- 5y).
3.30.	x = xev~x - 3tg(x 4- у), у = (1 4- Зх 4- бу)1/3 - ey.
3.31.	x	=	ex~2y - (1 - 8y)1/2, у = sin (2x - 3y) - In (x2 - 4x 4-1).
3.32.	x	=	arctg (y - 4x) 4- In (1 4- x), у = (1 - 4x - 2y)J/2 - Зх	- 1.
3.33.	x	=	2ey~2x — 7y — 2. у = x cos (x 4- y) 4- arcsin (x 4- 3y).
3.34.	x	=	2x - In (1 4- 7x - 2y), у = (1 - 6x - 2y)1/2 - ex+2y,
3.35.	x	= (1 4- 9x - Зу)1/3 - e6y,	у = 2sin (x 4- y) - In (1 4- 7y).
3.36.	x	= sin (x 4- 3y) 4- tg (2y -	Зх), у	= (1 - 2x - 2y)V2 4- x - 1.
3.37.	x	— arcsin (4x 4- y2) - In (1	4- 7y),	у = 2(cos (x - y) - e(2l+3y))i
3.38.	x	— arctg (x — 2y) 4- tg (2x	— у2),	у = (1 4- 12x — Эу)1^3 — cosy,
3.39.	x = In (1 - 2x) — sin (3.x2 4- ay), у = e2x+J' - у - 1.
3.40.	x - 2exV2y - (x2 4- Sy 4- 4)1/2, у = In (1 - 2x) - arctg (x 4- 4y).
3.41.	x = tg (x2 4- 3y) - In (1 4- 4x), у = (1 4- 2y)l/2 - cos3x.
3.42.	x = arctg (x 4- 3y) - sin (2x 4- Зу), у = e3*~4v 4- 3x - 1.
3.43.	x = 3xe2a;_y - arcsin (x 4- у), у = (1 4- 9x - 9y)1/3 4- (5x - l)e'.
3.44.	x = In (1 4- 3y) 4- arctg (x 4- 2y), у = <?2j;+y - (1 4- 2x 4- 8y),/2
3.45.	x = cx+3y - (6x 4-1) cosy, у = sin(x 4-y) 4-In (1 - 4x),
3.46.	x - arcsin (2x 4- y) 4- 2 tg (x - 2x), у = 2(1 4- 9x - Зу)1/3 - 4y - 3.
3.47.	x = 2ex+iy — (x2 4- 8y 4- 4)1/2, у = In (1 — 3x) — arctg (2x 4- 7y).
68
3.48.	х	= sin (x2 — 2y) — xeiy, у = e4x-y — Зх — 1.
3.49.	x	= In (1 - Зх) + tg (x2 - y), y = (l + Юх)1'2 4-	(2y - 1) cos3x.
3.50.	x	= ex-4y - cos (x + </) - у, у = arcsin (2x - 6y)	4- In (1 4- 3x	4- y).
3.51.	x	= In (1 - 3x 4- 2y) 4- sin (2x2 4- Зу), у = (1 4- x2 - 2y)*/2 -	e-3x
3.52.	x = tg (x 4- 3y) - 3xey, ij = (1 4- 2x - 6y)1/2 — cos 2x — y.
Задача 4. Используя теорему Ляпунова об устойчивости по перво-
му приближению, найдите область значений параметров а. Ь. для кото-
рых нулевое решение асимптотически устойчиво.
4.01	.	х	— In (1 — х — у) — sin (2у), у = (1 4- ох)1/2	— бу	— 1.
4.02	.	х	= sin (дх) — ye-*’, у = tg (2х 4- х2) 4- у.
4.03	.	х	= х2 4-х 4-sin (у2 4-«у), у = tg (bx) — 2у.
4.04	.	х	= х 4-In (1 4-2у — у2), у = дх 4-sin (by),
4.05	.	х	=-х 4-tg (у2 4-fiy), у = In (1 4- 2х) - ay.
4.06	.	х	= ах — 2In (1 4- у), у = sin(bx) 4- у.
4.07	.	х	= 2е_* - (1 4-4у)1/2 - 1, ?/= tg (пх) - 3(у 4-у4).
4.08	.	х	= tg (fix) 4- (1 - 4у)1/2 - 1, у = 1п(1 4-2х 4-у),
4.09	.	х	= е2х — е-'1*', у = Ьх — 3 sin (у 4- ху).
4.10.	х	= sin (х2 4-2х 4-2у), у = rg (дх 4- у2) 4- by.
4.11.	х	= sin (ay — 2х), у = Зх — а(у 4- Зу3).
4.12.	х	= еах — у — у4 — cos (х), у = у 4-tg (Ьх).
4.13.	х	= tg (х2 - 6х 4- ау). ?/= (1 4-2х)“* - In (1	4-х	4-у).
4.14.	х	= х 4- sin (у2 4- 2у). у = сау — t-x.
4.15.	х	= sin (by - 2x 4- ху3), у = у3 4- у 4- tg (ay),
4.16.	x	= bx 4-tg (fiy), у = (1 4-2y 4-4x)1/2 — cos (xy).
4.17.	x = tg(2y-fix). у = x2 4-ux — (1 4-2y)1/2 4-е"Г
4.18.	x	= sin (x 4- by), у = му — hi (1 4-2x).
4.19.	x	— —3x 4- fitg (у), у = e~2y — (1 4- 4x)1/2,
4.20.	x = x 4-ln(l 4-2y 4-3y2 4-у4), у = eay - 2ez 4- cos (x),
4.21.	x	= (1 4-2by)1/2 — 3x — exv, у = In (1 4- ax) 4-	2y.
4.22.	x	= sin (bx 4- ay), у = In (5y2 4- 2y 4- 2x 4-1).
4.23.	x	= 3y — a(x 4- Зх2 — 2x4), у = tg (дх — 2y).
4.24.	x = sin (by) 4-In (1 4-x). у = tg (ay - x 4- 2x3).
4.25.	x	= (1 4- 2дх)1?<2 — e-2y, у = 2x 4- In (1 4- ay),
4.26.	x	= 8(1 — x — 2y)1!2 4- 4y — 8е-ху, ij — In (1 4-	fix) — у cos (y).
4.27.	x = In (1 4-дх) - 2y 4-у2, у = 1 - (1 — Gx — 4y)1/2
69
4.28.	х	-	x 4- tg {ay — у'2), у — sin (ba: — 4y 4- xy2).
4.29.	.i-	=	3 tg (л- + xy 4- y), ij = a sin (,r) 4- sin {by}.
4.30.	x	=	In (1 — x 4- ay), у = Зх — In (1 4- ay).
4.31.	x	=	In {ax - 3y 4- 1), у = btg (x) 4- tg {y).
4.32.	i	=	sin {x2 — 3a?) - Зу, у = (1 4- sin (2ax))1/2 — e4sI
4.33.	x =	x3 4- ax - 4 tg (у), у =	sin {xy 4- 2a: 4- 2y).
4.34.	x =	ex - e~ay, у = bx - sin	(5y 4- sin (a:2 4- y2)).
4.35.	a: = 2a: - e~4y 4- 1, у = ax 4- tg {xy 4- by).
4.36.	j =	ay — sin (2z), у = (1 —	2ay 4- 8a:)1/2 — cos {xy).
4.37.	x =	(1 4- 2ax)*/2 — e2y, у —	In {bx 4- 2y 4- 1).
4.38.	a: ~ -x 4- In (1 4- ay 4- y2), ?/= e4z - (1 4-16a: 4-8y)1/2
4.39.	a:	—	tg (2a:) 4- 3y 4- xy4. у = x2 — 2x 4- In (1 4-	ay).
4.40.	a:	=	sin (by) — In (1 4-4a:), у - у 4- tg {ay),
4.41.	x	=	tg(bz) 4- asin(y),	у	—	In (1	4- 3a: 4- xy 4- 3y).
4.42.	x	=	(1 4- 6y - 2м)1''3 - cos (a:2),	ij — -y 4- tg {ax).
4.43.	r	=	sin {by 4- x), у — In {ay - 3a: 4- 1).
4.44.	±	=	(1 4-sin (2ay))4/2 - о41, у = sin {у2 - Зу)	-	3a: 4- xy4.
4.45.	a:	=	2x 4- In (1 4- 2y), у = у2 4- ay 4- exy~4x.
4.46.	.r	=	eby — ex'+5z. у = tg (y 4- ax 4- xa).
4.47.	x	=	sin {ay) 4- xy 4- bx, у — In (1 4- 2y) 4- 4a:.
4.48.	x	—	In (1 - ax 4- 4y) 4- xy, у = sin {ax 4- y3) - 2y.
4.49.	a:	=	e2x - e~by. у = {1 + 2ay)1?2 - e2x~z\
4.50.	a:	=	sin (a:2 4- ax) + 2y, у = e2x+ay — 1.
4.51.	a:	=	2ax 4- arctg {3by),	у	=	In (1	4- у 4- 2z) — sin {xy).
4.52.	x	—	arcsin (2y — Зах),	у	=	x3 4-	Зах — (1 4- 2y)*/’2 4- cosa:.
Задача 5. Исследовать на устойчивость положение равновесия (0.0)
векторного поля и на плоскости путем построения фукнппи Ляпунова
или функции Четаева.
5.01	. v = (2у 4- ху4, —х 4- х2 sin (у)).
5.02	. V = {-2у 4- a:lg(l 4- у2),х 4- ху4).
5.03	. и = (-За: 4- у3, у2ах 4- ху2).
5.04	. и = (—4а: 4- ху3. -у3 4- х2у2).
5.05	. и = (-.г2 cos (у) 4- у3, -2у 4- ху2).
5.06	. и = (a: cos {х) — х 4- у4. — 5у 4- ху2).
5.07	. v = (у - sin (а:3), -.г3 - у3).
70
5.08	. v = (у - л-4, -х tg2 (у)).
5.09	. v = (-у3 - х3, х - log3 (1 4- у3)).
5.10.	и — (у — sh (у), х + у3),
5.11.	и = (—у + ху4. 2х 4- 4х2 tg (у)).
5.12.	и = (у + xsin (у2)), — 2х — 2ху4).
5.13.	и = (-Зх - у3/2, уге~2х - 2ху2).
5.14.	и = (8х — 2ху3, —у3 + 4х2у2).
5.15.	v = (2.г2 cos (у) — у3/2, —2у — 2ху2).
5.16.	и = (—.г ch (2х) 4- х — у4, —5у — 2ху2),
5.17.	v = (—у/2 — 4.s7i( г3),8х3 — у3).
5.18.	v = (—у/2 + 8х4,2.г sin2 (у)).
5.19.	и = (у3/2 - 4х3, —2х - tg (у5)).
5.20.	v = (—у3 4-In (1 4-2у3), х 4-у ).
5.21.	v = (—4у 4-8ту4,х/2 4-х2 sin (у)).
5.22.	и = (4у 4- Зх tg2 (у), —х/2 — 8ху4).
5.23.	и = (—2х2со.ч(у) — 7у3, —2у — 2ху2).
5.24.	и = (х ch (Зх) — х 4- 2у4, —Зу 4- 2ху2).
5.25.	и = (-у3 - х\х - y2lg(l 4-у3)).
5.26.	и = (—2у 4-sin (2у), —х/2 4-7у5)..
5.27.	v — (2х — ух4, —у — у2 sin (х)).
5.28.	и = (—2х — у lg (1 4-х2). у 4-ух4).
5.29.	v = (Зу 4- х3, — х2ех 4- ух2).
5.30.	v — (4у — ух3, х3 — у2х2).
5.31.	и = (—у2 cos (х) 4- у3,2х 4- ух2).
5.32.	и = (—у cos (у) 4- у 4- х4,5х 4- ух2).
5.33.	v = (х 4- sin (у3), —у3 4- х3).
5.34.	v = (x-y4,-ytg2(x)).
5.35.	v = (—х3 4- у3, у 4- Iog3 (14-х5)).
5.36.	v = (х — sh (х), у — хя).
5.37.	v — (—х — ух4,2у — 4у2 tg (х).
5.38.	о = (х — ysin(x2), —2у — 2ух*).
5.39.	г = (Зу — х3/2, — x2e~lz — 2ух2),
5.40.	и = (—8у -V 2ух3. х3 — 4у2х2).
5.41.	v = (2у2 cos (х) — х3/2, 2х 4- 2ух2).
5.42.	и — (—у ch (2у) 4- у — х4.5х — 2ух2).
5.43.	v = (—х/2 4- 4sh (у3),8у3 4- х3).
71
5.44.	V =	(-х/2 4- 8y4,2ysin2 (.г)).
5.45.	V =	(х3/2 4- 4у3, -2у 4- tg (х-‘))_
5.46.	V —	(-Х3 4- in (1 4- 2х3), у — х5).
5.47.	и =	(—4х — 9yz4,y/2 — y2sin(x)).
5.48.	V =	(4х - Зу tg2 (х), -у/2 - 7у.т4).
5.49.	V =	(—2у2 cos (х) — 7х3,2х — 2ух2)-
5.50.	V =	(—у ch (Зу) — у 4- 2х4, Зх 4- 2ух‘г).
5.51.	V =	(-x34-y°,y4-x2lg(l 4-х3)).
5.52.	V =	(—2х 4- sin (2х), —у/2 4- 7х°).
Задача 6. Исследовать на устойчивость решения уравнения с
постоянными коэффициентами, используя критерии Рауса-Гурвица,
Эрмита-Михайлова или условия Льенара - Шппара.
6.01.	у<5) 4- Зг/4> + 4у'" +	бу"	4-	Зу'	4- 2у	=	0.
6.02.	2у™ + yW + 2у'" +	Зу"	4-	7у'	4- 2у	=	0.
6.03.	у<5> 4- 2у^ + оу'" -I-	бу"	+	4у'	4- Зу	=	0.
6.04.	Зу(5) + 5у^ 4- у'" 4-	8у"	+	2>/	4- 4у	=	0.
6.05.	у>5> + Зу(4) + 5у'" +	5у"	4-	Зу'	4- 2у	=	0.
6.06.	4у<5) 4- 2уМ 4- Зу"' + 4у" 4- 4у' 4- у = 0.
6.07.	Зу(5) 4- у(“> 4- 7у'" + Зу" + 5у' 4- 2у = 0.
6.08.	2у& + 4у(4> 4- 4у"' 4- 5у" 4- Зу' 4- 2у = 0
6.09.	4у<51 4- 5у^ 4- 8у'" + 7у" 4- Зу' 4- у = 0.
6.10.	2у<5> 4- Зу<4> 4- Зу'" 4- 5у" 4- 4.</ 4- у = 0.
6.11.	у<э> 4- 3?/ *) 4- 4у'" 4- 7у" 4- Зу' 4- 2у = 0.
6.12.	Зу<5>	4- 2у(4)	4-	7у'"	4-	бу"	+ Зу' 4- у = 0.
6.13.	2у^>	4- 5у<4)	4-	бу"'	4-	7у"	4- Зу' 4- 2у = 0
6.14.	Зу(5)	4- 5у<4)	4-	4у'"	4-	8у"	4- 5у' 4- 2у = 0
6.15.	2у&	4- Зу(4)	4-	7у"'	4-	бу"	4- 4у' 4- 2у = О
6.16.	5у(5^	4- Зу(4)	4-	2у'"	4-	5у"	4- 2у' 4- у = 0.
6.17.	у^ 4- 5у^ 4- 8у'" 4- 5у" 4- Зу7 4- у = 0.
6.18.	у(5)	4- 2у<4>	4-	4у'"	4- 5у"	4- 2у'	4-	2у	=	0.
6.19.	у15'	4- Зу(4)	4-	4у'"	4- 8у"	4- 5у'	4-	Зу	=	0.
6.20.	2у(5> 4- 2у<4) 4- 5у'" 4- 3?/' 4- Зу' 4- у = 0.
6.21.	4- 4у(4)	4-	9?/"	4- 7у"	4- 4</	4-	2у	—	0.
6.22.	у<5)	4- 2у(4)	4-	4у'"	+ 7у"	4- 5у'	4-	2у	=	0.
72
6.23.	2y<5) 4- Зу(4)	4- Sy'" + 7y" + 4y' + у = 0.
6.24.	Зу^ 4- 2г/14’	4- бу'" 4- 7y" 4- 4y‘ 4- у = 0.
6.25.	у™	4-	2y<4> +	7y‘"	+ Sy"	4-	5?/	4-	3y	=	0.
6.26.	y™	4-	3y(4) 4-	7y"'	4- Sy"	4-	Sy'	4-	4y	=	0.
6.27.	y(5)	4-	Зг/4> 4-	Sy'"	4- Sy"	4-	4y'	4-	3y	=	0.
6.28.	2</<5) 4- yw 4-	2y"'	4- Sy"	4-	7y'	4-	4y	=	0.
6.29.	2y<6> 4- 4t/4>	4- Sy'" 4- 7y" 4- Sy' 4- 2y = 0
6.30.	2jA5) 4- 4yw	4- Sy'" 4- 9y" + 5y' + y = 0
6.31.	3y(5) 4- 5i/<4)	4- 7y'" 4- Sy" 4- 4y' 4- 2y = 0
6.32.	3y<5) 4- 5y(4>	4- Sy'" 4- 7y" 4- 2y' 4- у = 0.
6.33.	3j/5> 4- y^ 4- 4y'" 4- Sy" 4- 7y' 4- у = 0.
6.34.	y& 4- 3y(4) 4- 7y"'	4-	9y"	4-	5//	4-	2y	=	0-
6.35.	2y(5) 4- y(4) 4- 4y"'	4-	Sy"	4-	Sy'	4-	Sy	=	0-
6.36.	2y(5)	4- 3y(4)	4-	7y'"	4- Sy" 4- 5// 4- 2y = 0
6.37.	3j/5)	4- 5y<4>	+	4y'"	4- Sy" 4- Sy' 4- 2y = 0
6.38.	y<5) 4- 2y(4) 4- 4y'"	4-	Sy"	4-	Sy'	4-	Sy	=	0
6.39.	y<5> 4- 4y‘4’ 4- Sy'"	4-	7y"	4-	4y'	4-	Sy	=	0
6.40.	2y<5>	4- 5y<4)	4-	Sy'"	4- 7y" 4- 5y' 4- 3y = 0
6.41.	2y(5)	4- 3y(4)	4-	Sy'"	4- 7y" 4- 4y' 4- у = 0
6.42.	2y<5>	4- Зт/4>	4-	Sy'"	4- 4y" 4- Sy' 4- у = 0
6.43.	2y<5’	4- 4yw	4-	7y"'	4- 9y" 4- 4i/ 4- у = 0
6.44.	4- 2y<4) 4- 4y'" 4- Sy" 4- Sy' 4(1 »()
6.45.	2y(5) + 3t/(4> 4- 7y'" 4- 4y" 4- Sy 4- у - 0
6.46.	2,i/5) 4- y(4) 4- Sy"' 4- 7y" 4- 4t/' 4- Sy a 0
6.47.	y(5) 4- 4j/4) 4- 7y'" 4- Sy" 4- 3// 4- 2y a 0
6.48	3y<5)	4-	4y^	4-	Sy"	4- 9y"	4- 4y' 4- 2y = 0
6.49.	2jA5)	4-	3j/4>	4-	Sy'"	4- 7y"	4- Sy' 4- 2y = 0
6.50.	3j/<5)	4-	4yw	4-	Sy'"	4- Sy"	4- 2y' 4- у = 0
6.51.	y^ 4- 5y<4’ 4- Sy1" 4- 7y" 4- 4y' 4- 2y = 0
6.52.	2y<5> 4- 3y<4) 4- 7y"' 4- 8//" 4- Sy' 4- Sy = 0
Задача 7. В задачах Jf. 1-^50 исследовать, при каких значениях
параметров а и b нулевое решение асимптотически устойчиво (восполь-
зоваться известными условиями отрицательности вещественных частей
всех корней многочлена).
7.01. у'" 4- ау" + у' + ау = 0.
7.02. у<4> + у'" 4- ау" 4- Sy' 4- Sy = О
73
7.03	. 2у(4) + 2у'" + ay" + у' + by = 0
7.05. y^ 4- у'" + 2y" + у1 + ay = 0.
7.07	. y(4) 4- y'" 4- 6?/' 4- ay' 4- 5?/ = 0.
7.09	. y™ 4- ay"' 4- 2y" 4- by' 4- 2y = 0,
'’ ll- 2y'" + ay" + y' + by = 0.
7.13.	y<4> + y'" 4- 2y" 4- ay1 + by = 0.
7.15.	ayW 4- y'" 4- by" 4- 2y' 4- 2y = 0.
7.17.	y(4) 4-	+ 4y" 4- ay' 4- 3y = 0.
7.19.	5y(4) 4- ay'" 4- 6y" 4- ?/' 4- у = 0.
7.21.	ayW 4- by'" 4- y" + 2y' 4- у = 0.
7.23.	y<4> 4- 2y'" + 3y" + ay' 4- ay = 0
7.25.	ау^ 4. by'" 4- 2y" + у'+ у = 0.
7.27.	y(4) 4- y'" 4- 8y" 4- ay' 4- 7y = 0.
7.29.	y(4) 4- ay'" 4- y" 4- 2y' 4- by = 0.
7.31.	3y"' 4- y" 4- by' 4- ay = 0.
7.33.	y<4> 4- 2y'" 4- ay" 4- ay' 4- у = 0.
7.35.	3y(4) 4- ay"' 4- 4y" 4- by' 4- у = 0.
7.37.	y(4) 4- y'" 4- ay" 4- 2y' 4- 4y = 0.
7.39.	7y‘4> 4- ay"' 4- 8y" + у' + у = 0.
7.41.	ay'" 4- y" + y' + by = 0.
7.43.	3y<4> 4- by'" 4- ay" 4- y' 4- у - 0.
7.45.	y(4) 4- ay'" 4- ay" 4- 2y' 4- у = 0.
7.47.	y(4) 4- y"' 4- 2y" 4- ay' + ay = 0,
7.49. y™ 4- 2y'" 4- ay" 4- y' 4- у = 0.
7.51.	yw 4- 2y'" 4- y" 4- ay' 4- у = 0.
7.04. 3y(,) 4- ay'" 4- 4y" 4- у' + у = 0,
7.06. у"' + ay" 4- by' 4- ay = 0.
7.08	. «У(4) 4- ?/" 4- 2y" 4-y' 4-ay = 0.
7.10.	ayW 4- ay"' 4- 3y" 4- 2y' + у = 0.
7.12.	У(4) + ay'" 4- by" 4- y' 4- у = 0,
7.14.	Зу(4) 4- Зу'" 4- ay" 4- у' 4- у = 0.
7.16.	У^ 4- ay'" 4- by" 4- ay' 4- у = 0,
7.18.	ay<^ 4- у'" 4- 2y" 4- у' 4- у = 0.
7.20.	ау(4) + 2у'" 4- у" 4- 2у' 4- у = 0.
7.22.	2у<4> 4- by " 4- 2у" 4- ау' 4- у = 0.
“.24. У(4) 4- у'" 4- by" 4- ау' 4- у = 0,
7.26. у'" + ау" 4- у' 4- ау = 0.
7.28.	2?/4) 4- у'" 4- 4у" 4- у' 4- оу = 0.
7.30.	у^ 4- у'" + ау" 4- by' 4- Зу = 0.
7.32.	2у(4> 4- ау'" 4- у" 4- 2у' 4- У = 0.
7.34.	«У(4) + ау'" 4- 2у" 4- у' 4- у = 0.
7.36.	5у"' 4- у" 4- ay' -f- у = 0.
7.38.	2у<4) 4- 2у"' 4- З.у" 4- у' + ау = 0.
7.40.	ау(4) 4- 4у"' 4- у" 4- у' 4- 2у = 0.
7.42.	я.У(4) + 2у'" 4- у" 4- 5?/ 4- у = 0.
7.44.	У(4) 4- 2у'" 4- у" 4- ау' 4- 2у = 0.
7.46.	2у'" 4- ау"	4-	by'	4- by = 0,
7.48.	У(4) + ау'"	4-	4у"	4-	by’ 4- Зу = 0.
7.50.	ау{4) + у'"	4-	Зу"	4-	2у' 4- 2у = 0.
7.52.	У(4) 4- ау'"	4-	Зу"	4-	2,у7 4- 2у = 0.
Библиографический список
1.	Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1984. 271 с.
2.	Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферен-
циальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексно-
го переменного. М.: Наука, 1989. 464 с.
3.	Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференци-
альных уравнений. М.:Изд-во МГУ, 1984. 295 с.
4.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление,
Т.2. М.: Наука. 1978. 575 с.
5.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука. 1970. 331 с.
6.	Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы
математического анализа (под ред А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича).
М.: Наука, 1981. 367 с.
7.	Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т.2. М.:Изд-во физ. -
мат. лит-ры, 1958. 628 с.
8.	Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физмат-
гиз. 1959. 468 с.
9.	Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнени-
ям. М.: Наука, 1973. 127 с.
10.	Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. М.: Наука. 1969. 424 с.
। а
Оглавление
Предисловие	3
1.	Введение в теорию обыкновенных дифференциальных
уравнений	4
1.1.	Интегрируемые типы дифференциальных уравнений пер-
вого порядка........................................ 5
1.2.	Системы линейных уравнений первого	порядка	.	10
1.3.	Линейные уравнения n-го порядка ......... .	16
1.4.	Качественная эквивалентность	особых	точек.	....	21
1.5.	Задачи для самостоятельного решения ..........  23
2.	Зависимость решений от параметров и начальных усло-
вий	41
2.1.	Дифференцируемая зависимость от параметра .	.	41
2.2.	Метод малого параметра ...........	   43
2.3-	Приближение периодических решений ..............44
2.4.	Задачи для самостоятельного решения........... .46
3.	Элементы теории устойчивости	55
3.1.	Определение устойчивости и асимптотической устойчиво-
сти ............................................. .	55
3.2.	Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближе-
нию ............................................... 57
3.3-	Функция Ляпунова и функция Четаева..............59
3.4.	Критерии устойчивости линейных систем и уравнений с
постоянными коэффициентами	61
3.5.	Задачи для самостоятельного решения .	 65
Библиографический список	75
16