ЛУЧШИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ УЧЕБНИКИ
МАТЕМАТИКА
Б. П. ДЕМИДОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание второе, исправленное
«2®
Санкт-Петербург • Москва • Краснодар 2005
ББК 22.314
Д 30
Демидович Б. П.
Д 30 Математические основы квантовой механики: Учебное пособие. 2-е изд., испр. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 200 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 5-8114-0624-Х
Б. П. Демидович (1906-1977) — известный математик, автор знаменитого задачника по математическому анализу. Настоящая книга — второе, исправленное, издание его курса лекций «Математические основы квантовой механики». Первое издание вышло в 1963 г. и давно стало библиографической редкостью.
В книгу включены сведения из квантовой механики и функционального анализа. Основное внимание обращено на математический аппарат, используемый квантовой механикой. Подробно рассмотрены полиномы Лежандра, оператор Лапласа, шаровые и сферические функции, полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра, уравнение Шредингера. Приводится разбор характерных примеров и содержатся упражнения для самостоятельного решения^
Учебное пособие рассчитано на студентов технических вузов.
ББК 22.314
Обложка
С. ШАПИРО, А. ЛАПШИН
Охраняется Законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2005
© Б. П. Демидович, наследники, 2005 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2005
От Издательства
Книга представляет собой учебное пособие по курсу лекций, читанному Б. П. Демидовичем на протяжении ряда лет в Военной Артиллерийской инженерной академии имени Ф. Э. Дзержинского (ныне Военная Академия ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого).
Книга состоит из пяти глав. В Главе I подробно исследуются полиномы Лежандра, выводятся представления оператора Лапласа в цилиндрических и сферических координатах, даются основные свойства шаровых и сферических функций. В Главе II детально изучаются полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра. Глава III посвящена изложению основ функционального анализа — в ней особое внимание уделяется спектральным свойствам операторов в гильбертовом пространстве, а в заключение вводится понятие обобщенной функции. Сведения из классической аналитической механики и квантовой механики содержатся в Главе IV. Наконец, в Главе V анализируется уравнение Шредингера, в частности, рассматриваются случаи, для которых имеется строгое решение этого уравнения.
В книге приводится разбор характерных примеров и содержатся упражнения для самостоятельного решения. При ее редакторском просмотре В. Б. Демидовичем исправлены замеченные опечатки и обновлены выходные данные для переизданной цитированной литературы.
Книга предназначена для студентов втузов. Написанная простым и ясным языком, она представляется полезной также лицам, занимающимся математикой самостоятельно.
3
Глава I
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
$ 1. ФОРМУЛА РОДРИГА
Полиномы Лежандра обычно определяются формулой Родрига [8]
(п=0, 1,2,...).
Очевидно, для любого целого неотрицательного п функция Ря(х) есть полином степени п.
При л»0, учитывая, что 0!®1 и /(0) (л) =/( л) получаем
Р0(х)= 1.
Далее, полагая л=>1; п=2 и л=3 в формуле (1), находим:
ах
₽><х|“4 ^<x,-2x’ + 1,= Tl!”T; о аХ1	A	Z
Р3(л)= — • — (Xе — З^ + Зл»- 1)=4-**— 3	48 rfxs'	’	2	2
(рис. 1). Выражения для дальнейших полиномов Лежандра см. в работе [18].
Полиномы Лежандра находят применение в геофизике, квантовой механике, теории приближения функций и других областях.
Из формулы (1) вытекает, что Ря(ж) есть функция четная при л четном и нечетная при л нечетном.
4
Определим значения Ря(±1). Для этого формулу (I) перепишем в следующем виде:
Ря(л)=Ая-^|(х~1)я(х-|-1)"])	(2)
Применяя формулу Лейбница
<-0 будем иметь
п
P.W-4.V	(3)
dx'	dxn~‘
i-0
Полагая х==1 в формуле (3) и принимая во внимание, что
— (л — IIя 1	=0 при 0<<<я,
,Лг	]ж=1
получаем
Ря(1)=Ая[-^-(л-1)я1 |(л + 1У|х-1-4-я!-2"“1-[dx”	J«-i	2я n!
Учитывая четность полиномов Ря(л), имеем Ря(—1)=(—1р Рп(1)=(—1)".
5
Найдем также Р„(0). Если п — число нечетное, то, очевидно,
Ря(0)=0.
Пусть /|=в2т — число четное. Используя бином Ньютона, на основании формулы (1) получаем
Р2(В(х)=----!---------- V (- 1)^-' С‘ хМ =
22я* (2т)! dxim | ~	2
2m
... (2/ - 2т +
Откуда
₽<.«»=-^(-1Г -й)-,(2"»>=
«/_ Пт. >-3-5.,.(2т-1) 7	2-4-6... (2т)
Можно доказать [6], что если п>0, то |Ря(х)| <1 при - 1<х<1.
§ 2. НУЛИ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Нулем, функции называется число, обращающее эту функцию в нуль, т. е. если t — нуль функции /(х), то J(S)=O.
Теорема. Все нули полинома Лежандра Р„(х) положительной степени (л>0) действительны и расположены на интервале (—1, 1).
Доказательство. Для доказательства теоремы используем теорему Ролля, согласно которой между двумя нулями дифференцируемой функции находится по меньшей мере один нуль ее производной.
Пусть
u=(xJ- If (п>0) и, следовательно,
Ря (ж) = *„«<«»,	(4)
где
Функция и, очевидно, имеет два нуля а= — 1 и 6=1 кратности п. На основании теоремы Ролля производная и' имеет один нуль внутри отрезка [—1, 1] и, кроме того, а и Ь являются нулями и' кратности /1—1; таким образом, 6
и' имеет на отрезке |—1, 1] три нуля. Производя аналогичные рассуждения, убеждаемся, что л-я производная о<в> имеет внутри отрезка [—1, 1J, по меньшей мере, п нулей. Отсюда в силу формулы (4) этим же свойством обладает и полином Ря(х). Так как степень полинома Рп(х) равна л, то число действительных нулей его не может превышать л и, значит, все нули этого полинома лежат внутри отрезка. [-1, IL
§ 3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Как известно [5 и 13], две действительные функции ?(х) и ф(х) называются ортогональными на отрезке [а, 6], если выполнено равенство
*
(<?, = J?(x)'>(x)dx=O.
а
Если функции <р(х) и ф(х) комплексные, то для ортогональности их на отрезке а < х < b должно быть выполнено ь
условие (<р, ф) == | <р(х)ф* (at)dx==O, где ф* (х) — функция, а
сопряженная с ф(х).
Теорема. Полиномы Лежандра Рп(х) и Рт(х) различных степеней (Лтй/n) ортогональны на отрезке {—1, 1].
Доказательство. Рассмотрим интеграл
1
Inm == f Ра (х) Рщ (х) Лх Я»
-1 1
= *я С — (xs - I)" —(х’ -1)" dx,	(5)
J Ox"	dxm
-1
где kn = ~— и Aa.es-J—. 2я л!	2"«!
Пусть для определенности т > л. Интегрируя по частям правую часть формулы (5), будем иметь
7
Так как х = — 1 и х = 1 являются нулями кратности т функции (х* — 1р*, то очевидно,
JH-1	1
(х’-1)«	=0;
dr"”1	-1
поэтому 1
1„т = - Лж f (X8 -	- 1)" dX.
J dr"+1	rfx”-1
-1
Повторяя операцию интегрирования по частям т раз и учитывая, что
“-----(х1- 1р = 0,
dc"+m
в силу того что порядок дифференцирования выше степени многочлена, получим
1
Jnm =(- 1)» k„km	(X«- Ip(x«- 1)"dx = 0, (6)
J dr"+m
— 1
t. e. i [ Ря (x)P„ (x)dx=o при n m.
$ 4. НОРМИРОВКА ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Полагая т=п в формуле (6), будем иметь
1
Inn = (- Ip *2„ f (X2 - 1)" (х8 - 1 р dx, J dx2n
— 1 где
Очевидно,
Лп
4-(х»~ If» = (хП dr2"	Л2"
Поэтому
/яя=(-1р—2-----(2л)! f(x8-lpdx.	(7)
г2" (л!я J.
8
Применяя многократное интегрирование по частям, по* лучаем
J(x8 — l/’dxas f(x — l)»(x-f-l)»dx~ — 1 —1
— 1
-O' ~ n.	f (*- D— и+ 1Г1 *-
=« (- 1)" —— f (x + 1 )2л dx=
'	(n+l)(„ + 2)...2nJv
(n!)8	22"-’-1
1>W -24+-r	W
Таким образом, в силу формулы (7) находим «1.^---------------------------------------2.
21" <nip	<2»)1 2" + 1	2" + ।
Следовательно,
(л—О, 1,2,...).	(9)
v*	271 -f- 1
Под кормой действительной функции /(х) на отрезке (а, 6] понимается число [13]
11/11 = ]/ jf»)dx . а
Поэтому можно написать
ЦР.(х)|| = 1/-1~.	(10)
Разделив полином Лежандра Ря(х) на его норму (10), получим нормированные полиномы Лежандра
Р„(х) = |/Л?^Ря(х) (№0,1,2,...),	(Н)
где \ ~	~	10 при пфт
(р„(х)Ря(хМх=1 и	(12)
-I	( 1 при поят
9
Введя символ Кронекера » I 0, если п =# т ”пт — {
I 1, если п = т формулу (12) можно записать короче
1 ~
J Рп (х) Рт (X) dx — 3ПЯ1.	(12')
—1
§ 5. РЯДЫ ФУРЬЕ-ЛЕЖАНДРА
Пусть функция /(х), непрерывная на отрезке [—1, 1J, разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье — Лежандра
сор,(х) + CjP, (х) + • • • + сп Р„ (х) + • • •.	(131
Умножая на Ря(х) обе части равенства (13) и интегрируя почленно по х в пределах отх=—1 до х«1, будем иметь
1	I
f /(х) Рп (х) dx = ct f Ро (х) Рп (х) dx +
-t	-i
1	1
4-Cj f P, (x)P„(x)dx + ... + cn C P2(x)rfx4-....
—1	—1
Учитывая условия ортогональности (6) и формулу (9), получим
1	о
f f(x)Pn(x)dx--=cn —— •
•Следовательно, для коэффициентов Фурье—Лежандра ряда (13) получаем значения
2 л-4-1
Сл = —
[f(x)P„(x)dx
(14)
(n = 0, 1, 2,...).
§ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛЕЖАНДРА
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка (\-х*)у" -2ху'-Ку=0,	(15)
где к — числовой параметр, называется дифференциальным уравнением Лежандра. ю
Записав уравнение (15) в виде у"---------------~у'+ ——у—о,	(15'>
1—^2	'
обнаруживаем, что х, = —1 и х2—1 являются особыми точками уравнения (15). Обычно уравнение (15) рассматривают на интервале (— 1, 1) (основной интервал).
Докажем, что при определенном выборе параметра К полином Лежандра удовлетворяет уравнению Лежандра (15).
Пусть и=(х8-1)"	(16)
и, следовательно, Pn(x)=knu^\	(17)
где 2"п! Дифференцируя формулу (16), будем иметь
u' = n(Xs— iy*-> 2x=-^«; отсюда (1 — x8)u'+ 2nxu = 0.	(18)
Дифференцируя формулу (18) (п + 1) раз по х, на основании правила Лейбница находим (1 — х8)«('1+2) + (п 4-1)«<л+1> (- 2х) 4* 4- +	и(л)(— 2) + [хи<"+1) 4- (п + 1) и(я)] = О,
или (1 - х8) «<’+2> - 2хи<»+» + п (л + Г) =0.	(19)
Так как полином Лежандра Ря(х) лишь числовым множителем kn отличается от то из формулы (19) получаем (1 - х8) Р; (х) - 2хР; (х) + п (п 4 1) Р„ (х) = 0.	(20)
Сравнивая равенство (20) с уравнением (15), заключаем, что полином Лежандра Рп (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Лежандра (15) при выборе параметра Х. = л(л + 1)	(» = 0, 1,2,...).
Для квантовой механики представляет интерес следующая краевая задача: найти нетривиальное решение у=у(х)
11
[у(х)^О] дифференциального уравнения (15)* ограниченное на основном интервале (—1, 1), т. е. такое, что
|у(х)Кс при —1<х<1, где с — некоторая постоянная.
Теорема. Дифференциальное уравнение Лежандра (15) имеет нетривиальное решение у=у(х), ограниченное в основном интервале (—1, 1), тогда и только тогда, когда параметр есть число вида
Х = п(п4-1)	(n=0, 1, ...),	(21)
причем это ограниченное решение есть полином Лежандра Ря(х) с точностью до коэффициента пропорциональности, т. е.
у=сР„(х), где с — произвольная постоянная, отличная от нуля.
Доказательство 1°. Будем искать решение уравнения (15) в форме степенного ряда
ас у=Е с^т.
т=о
Отсюда
00 у'я= S tncmXm~x
И
у" =s т(т— l)cmxm~2 = S И + 2)(т4- 1)ст+2хт. m=o	т=0
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение (15), получим
£(m + 2)(m -J- 1) cn+i хт — '£т(т — 1) стх* — о	о
— S 2тстхт + £ Ьстхт = О, о	о
или
2 {(m + 2)(/n +1) ст^2 4- [к — т(т + 1)] сп} хп s 0. о
Отсюда
(т + 2) (m + 1)ст+2 4- (к — т (т 4-1)] ст =0
12
следовательно,
.	_ m(m+ 1) — X „
Ст+2-(т+I) (т +2) Я
(m=0, 1, 2, ...).
(22)
Давая в формуле (22) значения т=0, 2, 4, последовательно выводим:
о —к
2!
_ 2-3-X _	Х(2-3 —X)
3-4	'----4!	**
и т. д. Отсюда для дифференциального уравнения (15) находим частное решение
У.-с.[|-^-»8^ >|г-34,~>) «- + ...]	(23)
Аналогично, полагая /п = 1, 3, 5,... в формуле (22), последовательно получаем
, _ 3-4-Х	(1-2 —X) (3-4—X)
°	4-5	’	5!	”
Отсюда для дифференциального уравнения (15) находим второе частное решение Г . 1-2 —X , . (1-2 — X) (3-4 — X) 5 ,	1
У» = q IX ----£—х8 + i-----у------X» + ... I. (24)
Заметим, что решения yt и у3 определяются начальными условиями:
У1(0)-е»; у;(0)=0	(25)
и у2(0)=0; у;(0) = сь	(25')
причем определитель Вронского
У1(0) У»(0)	с,
_V1(O) Х(0)	0 с,
Поэтому, если с0 + 0 и ¥* 0, то функции (23) и (24) образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (15).
13
2. Возможны два случая: а) параметр к есть число вида л(л-|-1), где п— целое неотрицательное число;
б) к ¥= л(л-|-1), где л=0, 1, 2.
Пусть сначала
к— и (л 4-1).	(26)
Тогда из формулы (22) получаем
С»+3	• • • — 0.
Следовательно, дифференциальное уравнение (15) допускает решение К=К(х) в форме полинома, т. е. имеет решение, ограниченное на интервале (—1, 1), причем
К ==у, (х), если п четное и
У=>,(х), если л нечетное.
Нетрудно убедиться, что решение Y есть полином Лежандра Ря(х), умноженный на некоторую постоянную с. Действительно, при выполнении условия (26) полином Ря(х), как было установлено выше, является решением дифференциального уравнения (15). Если п — число четное, то Ря(х)—. полином четной степени, причем
Рп (0) =# 0; Р'а (0)=0.
Решения
” Г=У'М
на основании формулы (25) имеют одинаковые начальные условия. В силу свойства единственности решений дифференциальных уравнений такие решения совпадают между собой, т. е.
У(х) = сР„(х), где с— с°— с р„(0)-
Аналогично, если п — нечетное число, то
У(х) = сР„(х), где
Са= ———. Р» (°)
Если к Ф п (п + 1), то можно доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения (15) не ограничено на интервале (—1, 1) [8|.
14
i 7. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Функция
Р«(х)= (1 - л8)Т^ [Р»(Л)|	(27)
(т=0, 1, 2,п; л=0, 1, 2,...), где Рп (х) — полином Лежандра степени п, носит название присоединенной функции Лежандра степени п порядка т [9], [12]. Для полинома Лежандра Ря(х) степени п имеется п -f-1 присоединенных функций, причем А*(х) = Ря(х). .Например, используя выражения функции Лежандра из § 1: Р.(х)«1;
ЛМ=Х;
/>,М=-р-Ъ.
получаем:
Р$(Х)=1; Р?(х)»Х; P‘(X)-/1-X>;
P’(X)S=^-X’--L; pi(x)a=axyTT^;
Pj(x)=3(l — X8); ро(х)=Ах*_2.х.
Р‘(х) = у(5х8-1)/1-х8; Р|(х)—15х(1 — X8);
/»(х)« 15(1 - х8)* и т. д.
$ 8. ПРИСОЕДИНЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛЕЖАНДРА
Дифференциальное уравнение
1(1 - х8) у']' + (к -	У = 0,	(28)
где к — числовой параметр и т — целое число, называемое присоединенным дифференциальным уравнением Лежандра. При /л=0 получается дифференциальное уравнение Лежандра (§ 6).
15
Докажем, что при надлежащем выборе параметра X присоединенные функции Лежандра Р*(х) удовлетворяют уравнению (28).
Как известно (§ 6), полином Лежандра г = Р„(х) является решением дифференциального уравнения Лежандра
(1-x8)z"-2xz' + n(«+nzs=0.	(29)
Дифференцируя т раз уравнение (29) по х, на основании правила Лейбница будем иметь
(1 — x8)z<«+2> + т(—2х)£**14-	(—2) z№ -
— 2 [xz<e,+1) -j- mzm] 4- л (л 4-1) z<">=0 или
(1-х»)х<*+2>-2(м+ 1)xz<"*+n4-
4-[л(л 4-1) —/лИ 4-l)j2°")e0.	(30)
Умножая обе части равенства (30) на (1 — х2)", получаем £ [(1 - x’r+i z<'b+,) ] -f-
4- [л(л4-1) —1)](1 — x8)"z<">=0.
Отсюда, учитывая, что dm	~ Т
2(m> =	[ра в Х8) 2 рт (х)
(31)
будем иметь 4 *
4- [п (п 4- 1) - т (т 4-1)] (1 - х8)2 Р.” (х) =0.
Так как
(32)
Х8)я,+ 1 dx L
(1-х8) "р“(х)
= -£ {и - *2)2 +‘ R=T <Х)1' + /ПХ (1 - X8)2 Р” (X)} = =(1 - x8)^+I (Р- (х))" — (л»4-2)х(1 -x8F (РГ(х)Г 4*
4- тх(1 - х8)т(Р”(х)]/ 4- [m (1 - х’р"-
16
-	m*x2 (1 — х») ’ 1 ]	(x)=(1 — x8)" +’ \P£ (x)]" -
-	2x (I - x8p [P* (x)] • 4- (1 - x^m - Р» (x),
m
to из формулы (32) после сокращения на (1—л8)2, полу-: чаем
(1 - л8) |Р”(л)|" - 2л (Р«(л)Г +
+ [n(n+D-	Р7(х)=0.	(33>
Сравнивая равенство (33) с присоединенным дифференциальным уравнением Лежандра (28), убеждаемся, что Р“(л) удовлетворяет этому уравнению, если
л==п(п+1).	(34)
Можно доказать, что присоединенные полиномы Лежандра Р£(х) с точностью до коэффициентов пропорциональности являются единственными ограниченными решениями на интервале (—1, 1) присоединенного дифференциального уравнения Лежандра (28) [8], причем параметр X-определяется по формуле (34).
§ 9.	ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Теорема. Присоединенные функции Лежандра у=Р*(х) и z = P£(x) различных степеней (£#=«) и одинаковых порядков т ортогональны на отрезке [—1, 1].
Доказательство. Так как функции у и z удовлетворяют обобщенному уравнению Лежандра, то имеем:
[(1 - Xs) И' + [«(* + О - У = 0	(35)
И
[(1_хЗ)27 + Ь(*+1)--^ЦЪ=о. (Зб>
Умножая на z уравнение (35) и на у уравнение (36), после вычитания получим
z[(l -x^y'J'-yKl—x^z']'-]-+ |n(n + i)-M* + i)b*=o, ИЛИ
[(1 - X2) (у'г - Уг')1' + (п - k) (п + k + 1) yz = 0.	(37 >
17
Отсюда, интегрируя равенство (37) по х в пределах от Л; = — 1 до ха==1, находим (1 — х»)(у'г—yz')|*-1 4-1х=—1 1 + (П — k) (я 4- k -Г 1) j_yz dx= 0. — 1
Следовательно, имеем 1 1 (х) Р” (х) dx = 0,	(38)
если n=£k.
$ 10. НОРМИРОВКА ПРИСОЕДИНЕННЫХ ♦УНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
Положим
/яи= J[P-(x)Pdx =
J	dx*
dxF
(39)
Интегрируя по частям правую ходим
/ял=[(1 -х2Г
часть формулы (39),
на-
dmPn{x)
rf*""1 Рл(х) 11 j-l
1
C dm~l Pa(x)
J dx'"-1 -1 1
_ f	. _JL f(i _ Л2) dnp“W
J dxm~1 I
*mPn<*) ]dX = dxm I
(40)
В силу формулы (31) из § 8, где
*m)«= £>»(*),
заменяя т на т — 1, будем иметь d [ц______________________х2)** d Ря —
rfx [	dx” J
= - In (n + 1) - (m - 1) m] (1 - x’)—» —
dx"-1
18
Поэтому из формулы (40) получаем
1
/Ж(| в (л 4- ж) (л - ж 4-1) С (1 - х2)—* [	’<** -
J	| Лхт J
— 1 ==(л + т)(п — ж 4-(41) Производя аналогичные преобразования т раз, приходим к формуле
/яж=(л4-ж)(л —ж4-1)(л4-/п— 1)(л — ж+ 2)...
,>+1)Л-1!±г«	=	(42)
л! (и —т)!	(л—т)!
где |§ 4, формула (9)], л	2
/я0= f [P„(x)Pdx=-l- . J	лП -j- 1
—1
Поэтому из формулы (42) получаем
/..=	(43)
«| L	4	4Л 4-1 (Л — Л!)!
(л=0, 1, 2, /и = 0, I, 2, ..., п).
Из формулы (43) на основании § 9 вытекает, что, полагая
РГ(х)=|/2-^-^^- F?(x),	(44)
получаем нормированную систему присоединенных функций Лежандра, удовлетворяющих условию
f P*(xYPt(x)dx='>nk,
—1 где оя* — символ Кронекера.
$ 11. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Пусть и = и(х, у, г)—функция класса т. е. и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно (в соответствующей области). Выражение
.	д»и . д*и , д»и	,,р.
Au =V2U=:------------ (45)
fa»~ dy»~dtt
19
называется оператором Лапласа (короче — лапласианом) функции и, а уравнение
Да —0	(46)
— уравнением Лапласа. Функции класса С<2>, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Оператор Лапласа играет важную роль в физических приложениях.
Получим выражение оператора Лапласа Да в цилиндрических координатах (г, f, г), где
ференцирования сложной функции, используя формулы (48) и (47), получаем
ди	ди	дг  ди	ду 
дх	dr	дх ду	дх
_У_ ди х , ди	& ди	ди sin у
— • —1	— Н----------------=-----COS ф — — ------— :
дг ух2 + уг ду 1Ч/_У_\2	&	d<f г
\ х /
ди	ди	дг	ди	ду
ду	дг	ду	ду	ду
1
ди  у . ди х _____________________ ди  ди cosy
дг +у» ду 1 + /_y_V дг S* * d<f r
\ X /
Отсюда, применяя формулы Эйлера cos ? ± i sin <р = e&t.
где
1=)/ _ 1 ,
20
будем иметь
и
dx dy \ dr r
~f\ du . du	f du i
Du=—-----[---------------
dx dy	\ dr r
ди \
/ du \ ’
Очевидно, -т;,,	д ( ди	. .ди \	. д { ди	.. ди \__с
'	dx \dx dy J dy \ dx dy /	c
поэтому
u_ *fL-= ££>и==е-‘,А	/ JfL + -L. JBL
d& ' dy*	dr L	\ dr r dy
i	d Г	m / dtt	. i	du \]	d*u	i
-----| — -1---------------------1 =-----------
r	dy L \ dr r	dy / J	dr®	r®	dy
i d®tz	1 / du	. i	du \	/	/ d*u	, x
’	r dydr	r \ dr r	dy )	r	\ drdy
d*u I 1 du dr9 r dr
г
В
о
ч>
ди
dfi '
\____
г д<р& /
(49) t* d<p ' '
Таким образом, для оператора Лапласа в цилиндрических координатах получаем выражение:
* <Ри . 1 ди , Ли =-------------------J-
дг* г dr
n'lx^p)
Рис. 3.
рических координатах (р, 6, х = р sin 6 cos ?; у = р sin 6 sin?; Z = р COS О
+ 4--ТТ+Й- (5°) г» asp* oz*
Найдем теперь выражение для оператора Лапласа в сфе-?), где
(51)
(рис. 3).
Положим
r=psin6.	(52)
Переход от декартовых координат х, у. z к сферическим р, 0, ® можно осуществить с помощью двух последовательных преобразований:
x = rcos ®;
у = г sin®
ZasZ
(53)
21
Z a=p COS 6; | rsspsinO. J
(54)
Величины r, <p, z являются цилиндрическими координатами точки М(х, у, г); поэтому на основании формулы (50) имеем
++ (55) дг* г дг г» df» ' дг»	' '
В силу формул (54) р и 0 можно рассматривать как полярные координаты на плоскости (z, г). Отсюда по аналогии с формулой (55) получаем
+±._*L_l._L.*L	/55)
д& дг* др» р др р» да ’	' '
Подставляя выражение (56) в формулу (55), находим
Л д*и . 1 ди . 1 d»zz 1 ди f dp2 p др р» да	p sin 0 dr
। l	(57)
p2 sin» 6 d?2
Остается выразить производную через сферические координаты (р, в, <р).
Из формул (54) получаем:
6 = Arctg ~ .
Отсюда ди ____ ди др , ди дй ______ ди г , ди г ____________________
дг ~~д? дг + ”дГ’ дг ~ др у^+ гГ + дв Ж
ди . А . ди cos О
= — sin 0 + —----------.
др	от р
Подставляя это выражение в формулу (57), будем иметь
а «	.	1 ди I 1 dtu .
=---------------------------Р
др» р др г р» да 1
1	1 ди . ди ctgfl ।1 diu _
р др дО р> p»sin»O де»
22
&и	2 ди । I 
др	р др p*sinf
(д*и . л . д«	л\ .
— sin 04“ — cos 0 +
№	ого	/
.	1	д^и
р sin3 9	дер3
Произведя несложные преобразования, получаем окончательное выражение оператора Лапласа в сферических координатах .	1 д / 8 ди \ ,	1
Дц=— • — / р2 — J 4*------
р2 др \ др / р2 sin О (	1 д*и
р3 sin3 0 д<р2
(58)
$ 12. ПОНЯТИЕ О ШАРОВЫХ ФУНКЦИЯХ
Полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа дНи , 02и . 0*и Л Д« =-----------------------1--= 0,
дх* 0У8	02»
называются гармоническими. Однородные гармонические полиномы носят название шаровых функций.
Определим число линейно независимых шаровых функций
Р„(х, у, z)= 2 ee₽Tx° у₽ z*	(59)
’+?+Т”л данной степени п.
Теорема. Существует 2плинейно независимых шаровых функций данной степени п.
Доказательство. Располагая полином Рп (х, у, г) по убывающим степеням переменной г, будем иметь
Рп (х, У, г) — с<Кп2п 4-(с 1,0,л- 1Х 4- А), 1.Л-1У) z”-1 4--h
4- (<?лоох" 4- 4.-м.оХ*-,У 4-F Соло У").
Отсюда общее число коэффициентов однородного полинома Рп(х, у, г) степени п равно
# = 14- 2 4----н« 4-1) =	.
Если полином Рп (х, у, х) гармонический, то
ДР„(х, у, z)^0.	(60)
Очевидно, АРя(х, у, г) есть однородный полином степени л—2 и, следовательно, содержит
23
коэффициентов. Таким образом, тождество (60) эквивалентно системе линейных соотношений между коэффициентами Если эти соотношения линейно независимы, то гармонический полином Рп (х, у, z) будет содержать
N - Nt = 1',^’Ж+2). _^Уп 1	2	2
свободных коэффициентов. Если же указанные выше соотношения линейно зависимы, то число свободных коэффициентов полинома Ря(х, у, г) будет больше 2/1 + 1. Во всяком случае гармонический полином Ря(х, у, z) имеет не меньше 2n-f-l независимых коэффициентов
Покажем, что при наличии соотношений (60) коэффициенты линейно выражаются через коэффициенты вида с«ро (» + Р=л)и (а + р = л — 1), число которых в точности равно л-|-1-|-/г==2«-+-1. Действительно, в силу однородности полинома Рп(х,у, z) при (а4-р + у=л) имеем
------2!---==в!р!1|<:врт.
дхл ду^ дг1 отсюда
с«ат= —!-----------—.	(61)
«•' ?•' т! Ас* а/
Используя соотношение
д»Р_ &Р„ ——4--------- 4----- = 0,
Эх» д* дг*
из формулы (61) при т > 2 получаем
1_________дя~2	I *Рп \
а!₽!Т!	дхл ду* дг<~2 \ йг* )
=i.	д"-2	/ *Рп ,	=
“!₽!т! д^ду^дг'-2 \	дУ2 /
(а+1)(а + 2)	. (Р+ШР + 2)	1
--;----77---с«+2. ₽. 1-2 т-----Л-----с«. ?+2. Т-2 •
(т—От	(т- Вт	J
Повторяя этот прием, мы в конце концов все коэффициенты сврт, где •( > 2, выразим через коэффициенты указанного выше вида с.ро и c«pi, число которых 2/t-f-l, что и требовалось доказать.
Так как по доказанному выше число линейно независимых коэффициентов не может быть меньше 2n~|-1, то число их в точности равно 2л-{-1.
24
Итак, гармонический полином Рп (х, у, z) степени п может быть записан в виде
Pa(x,y,z)= 2	У, z) +
+ Г с^Р^(х,у,21	(62)
*+Р“Л—'1
где коэффициенты св₽о и <r«₽i могут принимать любые допустимые значения; а Р^ (х, у, z) и (ж, у, z) — конкретные гармонические полиномы степени л, не содержащие произвольных коэффициентов.
Заметим, что полином Ря (ж, у, z) (59) не имеет подобных членов; поэтому каждый из полиномов (ж, у, z) (7=0,1) содержит член вида ЬзГ'уГя', которого нет в других полиномах Р^(х,у,г) (7=0,1). Отсюда ясно, что полиномы Р<£>(х, у, z) (7=0,1) линейно независимы и, следовательно, существует точно 2л 4-1 линейно независимых шаровых функций степени л.
Пример. Построить шаровые функции Pt(x, у, z), Р,(х,У. z) и Р2(х, у, z).
Очевидно,
Ро (х> У. z) = а = const и
Pi (х. У, z)=ax+ by + cz, где а, b, с — произвольные постоянные. За основные гармонические полиномы первой степени можно принять: ах=ж; «, = у; us=z.
Пусть
Р2 (*• У, z)=аж2 4- Ьу2 4- сгг + dxy 4- exz 4- fyz.
Имеем
—- АР2(*, У, z)«ssа4-6 4- с=0; отсюда
с= — а — b
и, следовательно,
Рг(х,у, г)ква (х2 — ж2) 4- Ь (у2—г2) 4- dxy 4-exz 4- fyz.
За основные гармонические полиномы второй степени можно принять:
и1 = ж2 —z2; u, = y*-z!; и? = ху; u4=xz; as = yz.
,	25
$ 13. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть
Чя— 2 С«₽тХ’у?2Т	(63)
«+Р+у=Л
есть шаровая функция степени п, не .равная нулю тождественно.
Вводя сферические координаты р, 6, у по формулам:
Л=р sin 0 cos ср;
у =р sin 9 sin?;
zs=pcosO, будем иметь
йвв8р»ГЛ(0>?),	(64)
где
У„(6, ®)= 2 sin*+fl 0 cos' fl sin? ? cos* ©. «+3+Т-П
Функция Уа (в, ®) называется сферической функцией п-го порядка и представляет собой значения шаровой функции степени п на сфере радиуса единица с центром в начале координат. Заметим, что функция У„(в, ?) периодическая по переменным 0 и ? с периодом 2к.
Выведем дифференциальное уравнение для сферических функций К, (9, ?). Шаровая функция ип гармоническая и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа £$11, формула (58)]
— •—(р«	----!----(Sin 9^2) + —!--------—n = 0.
р2 др \ др/	р* sin О dO \ dO / р2sin*б дер2
Так как на основании формулы (64)
Т-Р T-’)= ТГ Р Т- <Р" Г">] = т-(«Ря+1 Гп)=п(п+ 1)р" Гд, др \ др / др [ др	J др
то получаем
-гг,^-(81пв5-)-’--4г-?т+л(и+1)г''=0- (65) sin 0 <?6 \. Л / sin* в дф
Для построения основной системы линейно независимых сферических функций порядка п применим метод разделения переменных. Положим
Гя = Ф„(<Р)0„(0).
Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (65), будем иметь
"Л- • 4 (s,n ° ТГ) + "ГГГ * -ГТ + Л (п +1 >ф"в» = °’ sin 0 40 \	40 / sin2 0 dy*
26
Отсюда, разделяя переменные • и ?, на основании обычного рассуждения [13], получим
—f-	sin#^T + "<n + О®.
_	_ sin9 ________±1____________== u. (66>
♦«
sin* •
где и ~ некоторая постоянная величина. Таким образом, уравнение (66) распадается на два дифференциальных уравнения:
^2-4-РФ„ = 0	(67)
®т
и
^T-i(sin 8^г) + Гл<« + !)- -Лг] в"=°- <W> sin • Д8 \ Л /	|_	sin* • J
Так как Y„ представляет собой полином, целый относительно sin0, cos6, sin? и cos?, то функции Фя и 0Я должны быть ограниченными ч периодическими с периодом 2«.
Из теории линейных дифференциальных уравнений вытекает, что уравнение (67) имеет ограниченные нетривиальные решения лишь в том случае, когда н>0; причем линейно независимые решения уравнения (67) можно записать в виде
Фя = ^±<^?,	(69>
где с — произвольная постоянная, отличная от нуля и (=У-1.
Функция Фя должна быть периодической с периодом 2тс, поэтому справедливо тождество
g±« /|Г(?+2я)= отсюда
£±3iti VV = ] _
Из последнего равенства следует, что Ур является некоторым целым числом т, т. е.
(70)
Таким образом, интересующие нас решения Фя могут быть записаны в виде
=	(71)
где /л=0, +1, ±2, ... и спт — произвольные постоянные.
27
Подставляя выражение (70) в уравнение (68), находим тг4(,|п*^)+[л<л+1)---------в'*==0 (72>
sin# Л \ 4в /	[	sin8в J
Положим cos® = £; sin 949 = — dt.
Тогда, учитывая, что
уравнение (72) приводим к виду
+[„(„+')- -”У е,-о. at [	at J [	I — Л J
Мы получили присоединенное уравнение Лежандра (§8), причем функция 0Я представляет собой ограниченное на интервале — 1</<1 нетривиальное решение этого уравнения. Следовательно (см. § 8), с точностью до коэффициента пропорциональности имеем
e„m(e)«p;«i(0=P!,m'(cose)	(73)
(/Л = о, ±1, ..., ± П; л = 0, 1, 2, ..,),
где /*"1(0 — присоединенные функции Лежандра (§ 7).
Из формул (71) и (73) получаем полную систему линейно независимых сферических функций данного порядка п
Кяж(9, T)=cna^Pi"i(cos0)	(74)
(/n«=0, ± 1, +2, ..., ± я), где спт — произвольные постоянные. Как и следовало ожидать, число их равно 2n-|-1.
Используя формулу Эйлера
e{mt=cos ту 4- i sin m<f, можно также получить действительную систему сферических функций. Отсюда находим также выражения для полной совокупности линейно независимых шаровых функций степени п
ипт = с птрп eim*Puleos Ь)	(75)
(/п=0, ±1, ..., ±л).
28
| 14. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ
Докажем, что несовпадающие между собой сферические функции Ул*(й, <р) ортогональны на единичной сфере S(p=l), т. е.
(76)-
при | п' — п Ц-1 т' — т | #= 0, где знак * обозначает комплексно сопряженную функцию.
Действительно, на основании формулы (74) имеем Г»» (0, ?) - сяте1^Р^ (cos в)
и
Отсюда, учитывая, что элемент поверхности сферы dS = sin9d<pd9,
получаем
4jm;n'm'==JJ ^Sim(8> J'Si'm' (6, <f)dS^ss
S
= СптС*п.т, j	d<p • J P™ (cos 9)Pft4(cos8) sin 6 d6 =
о	0
2«	1
= J d<t f PJ^ (ОPJ"'1 (0 dt.	(77)
6	-i
Если m' =/= /п, то, очевидно, 2к (	= Г-------- — Q
J	i(m— m')
о	о
и, следовательно, ==O.
Если m' — m9 но л'¥=л, то в силу ортогональности присоединенных полиномов Лежандра (§ 9) имеем
1
f рм (0P{«i(0di = O -л и, значит, 1пт\п’т = 0.
Таким образом, формула (76) доказана.
29
Пусть теперь m' = /n и п' — п.
На основании формулы (77), учитывая, что (§ 10)
f [Р'я’| (/)]’ dt = —-,	(78)
1 " J 2n +1 (n — I m I)! находим
f — I,.	12	4« (Л + И1)!
lnm;nm-\Cnn\ -2я+1« (n_|m|), •
Выберем коэффициенты c„m так, чтобы 7лл>; am 1.
Тогда из формулы (78) будем иметь
У 4« (п + I т I)!
Отсюда получим простейшую нормированную систему сферических функций
Ynm(9, <р) = 1/^•	(COSв) (79)
Г 4х (п + I т I)!
(/п = 0, ±1, .... ± п; nssQ, 1, 2, ...), удовлетворяющую условиям ортонормировки-.
§ J Гат(й, ?) КЯ Я|- (6, <р) Sin о de =3„„-dmm-.	(80)
о о
Пример. Определить нормированные сферические функции нулевого, первого и второго порядков.
Как известно (§ 7),
Ро(О=1; Р*(0=<; Р}(0=К1	;
Р°2(0 = у (З^2—J); P*(/)«3t/l-^ ;
Р*(0=3(1-Р).
Отсюда на основании формулы (79) получаем: ?оо(М)= |/4-;
Пв(е,т) = ?1.±1(0, ?)=1/	У 4г 	а 1/ —COS в; у 4к — sin 0; 8ж
30
?)= IЛ 7~~(3 COS2 6 — 1); у lox
e±f’sin#cos®;
?2.±I(6, ?)=1/£e*2/*sin«e. I, o2x
$ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
Пусть непрерывная функция /(в, <р), заданная на единичной сфере
5{р=1, 0<0<к, 0<f <2к), разложена в равномерно сходящийся ряд
J anmY^,<f},	(81)
где Кяж(в, ?) — нормированные сферические функции.
Умножая обе части равенства (81) на У^.от.(в, f)sin6df dft и интегрируя почленно по сфере S, в силу условия ортогональности (80) будем иметь
f J Г(9, ?)	(•♦ ?) ап6
о о
Отсюда, заменяя п' на п и т! на т, для коэффициентов разложения (81) получим следующие выражения:
апя1 f d<f |/(в, f)	(в, (р) sin 6 <№.
о о
Упражнения к первой главе
1.	Доказать рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра
(л-Н)Ян-i (л)~(2л + 1)лР„(х) + nP„-i (х)«0 («8=1, 2,...).
Отсюда, зная Р9(х} и Pt(^, найти Р2(х), Р»(х), Р4(х) и Р»(х).
2.	Доказать соотношение
Рп^- Р'„_^=(2п+ 1)РЯ(Х).
31

3.	Найти корни уравнений
Р„(х)вО и Рл(х)=0 при п <4.
4.	Доказать, что
Рл(0)=0, если п четное, и	’	J
Р* (0)  nPn-i (0), если я нечетное.
5.	Доказать, что при |г|<1 справедливо разложение
' L-.	1	_ = = V’ Pn (COS в)Г"
V 1 —2rcos« + ^
71=0
{производящая функция полиномов Лежандра).
6.	Функцию f (х)=х* разложить по полиномам Лежандра.
7.	Функцию f (х)=|х| разложить в ряд Фурье—Лежандра.
8.	Доказать, что если функция f(x) разлагается на отрезке [—1, 1] в равномерно сходящийся ряд Фурье-Лежандра с коэффициентами с„, то
—1	я—0	?
9.	Построить нормированные присоединенные функции I Лежандра Pf{x) (т~0, 1, 2, 3,4) и Р*(х) (/п=0,1,2,3,4,5).
10.	Найти гармонические функции вида я=/(р); «=/(9)	$
H«=f(<p), где р, ®, f—сферические координаты. Записать . эти функции в декартовых координатах х, у, z.	)
11.	Найти нормированные сферические функции Упт(6. <р) порядка л=3.
12.	Функцию	?) sb sin f cos* в разложить по нормиро-
ванным сферическим функциям.
Глава II
ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА И ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА
§ 1. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА
Полиномы Чебышева—Эрмита определяются формулой
ах
(л=0, 1, 2,...).
Из формулы (1) последовательно получаем:
ff0(x)sss 1е*,£~*’== 1;
ах
Н2 (х)=е*’	(е~ж') = 4xs - 2
ах*
и т. д. (рис. 4).
Выведем рекуррентную формулу для полиномов Ня (ж). Имеем
(е~ж*) ss (— 1)л+,е*’	(— «•*’’) =
<х»	/
= (- 1)л+>е”-^-(-2хе-П.
ах"
Применив формулу Лейбница, получим
Ня<л (*) = (- 1)" е"*’ [2х	(«-*’)+ 2л (е-*) .
L dx	d^x
33
Отсюда, используя формулу (1), находим формулу пони-жвния
Яя+1(х)»2хЯ„ (х) - 2пЯ„_1 (х).	(2)
Например,
Н,(х)=2хН,(х)-4Я1 (х)=2л (4х8 - 2) — 4-2х=8х’ - 12х и т. д.
Заметим, что из формулы (1) имеем
-f- (е~**) = (— 1 )л е—Я, (х).	(3)
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА
Определение. Две действительные функции <р(х) и ф(х) называются ортогональными с весом (нагрузкой) />(л), где р(х)>0 на данном промежутке (а, &), если
jp(x)<p(x)<l»(x)dx = O.	(4)
Если положить
Р(х)»(х)\ -Их) = Ур(х)ф(х),
то равенство (4) принимает следующий вид: j?Wj(x)rfx=0.'	(5)
а
Таким образом, при наличии соотношения /4) функции
V(x) и ф (х) ортогональны в обычном смысле на промежутке (®, ь\
Теорема. Полиномы Чебышева—Эрмита Нт(х) и Нп(х) различных степеней ортогональны с весом />(х)=е~** на интервале (—«,+«), т. е.
4-00
J e-*Wm(x)H„(x)dx=0	(6)
—со при т п.
Доказательство. Пусть для определенности т > п. Имеем
(7)
тп
34
Полагая
U — Hn (x); dv = — (<?“**) dx
и интегрируя по частям правую часть формулы (7), получим Г	jm—1	1 +00
1тя = (- 1)« Н„ (х)	(е-*2)	-
~-(e~x')dx .
(8)
P Я - Г ±Н„(х)-^-1 -оо
Как известно, при х-+±оо показательная функция е~** растет быстрее любого полинома Q(x), т. е. lim —^ = х-*±со е*
= lim Q(x)e_*’ = O. Поэтому, учитывая формулу (3), имеем
/А(х)—— (е-*’) dx"-1
—00
(- 1)",-1//„(х)ЯЯ|1
+“=о.
Следовательно, формула (8) принимает следующий вид:
Таким образом, после m-кратного интегрирования по частям, получим + оо р лт /«»=(-l)m+’	(9)
J dx”
—00
Отсюда, учитывая, что
dm
----Яп(л)=0 при т>п, будем иметь Imn=Q.
dx”
§ 3. НОРМИРОВКА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА —ЭРМИТА
Полагая т=л в формуле (9) предыдущего параграфа, используя известный интеграл Эйлера—Пуассона
+об	__
J e^dx = у к
35
dn
и учитывая, что—- Ня(х) есть постоянная, получим dxn
+®	+00
—СО	—00
=^я„(х)/7.	(Ю)
Но очевидно,
Н„(х)= (- 1)”	1)"**’ к-*’(- 2х)" + • • • ] =
ах
=(2хУ+- ••, где точками обозначены члены полинома более низких степеней. Поэтому
Ги.И-2-£(Г)-2-»|
Подставив этот результат в формулу (10), будем иметь ре-’5 tf’(x) dx=2я п! /V.	(11)
—00
Отсюда, если положить
Н„(х)в----х,	(12)
(2я л! V ж ) 2 получим нормированные полиномы Эрмита, удовлетворяющие условию
jV'a Hm (х) Н, (х) dx=ЪЛл, —00
где 8ЖЯ —символ Кронекера.
Наконец, полагая X*
hn (х)=е ~Н„(х)=,	(13)
(2я л! VGT) 2
будем иметь ортогональную и нормированную систему функций на интервале (—<», +<») (функции Чебышева — Эрмита)
+®
| Лт(х)Л„ (x)dx=3mn.
—СО
36
$ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭРМИТА
Дифференциальное уравнение второго порядка у"— 2ху' 4-Ху=О,	(14)
где X. — числовой параметр называется уравнением Эрмита.
Покажем, что полиномы Чебышева — Эрмита Н„ (х) удовлетворяют дифференциальному уравнению Эрмита (14).
Пусть тогда и' =	2х)=« — 2х«,
т. е. «' + 2ха «8 0.
Дифференцируя это равенство п 4-1 раз, на основании формулы Лейбница будем иметь
4-2 (л 4- 1)а<»)=в0.	(15)
Из определения полиномов Чебышева — Эрмита (§ 1) следует, что
Яя(х)=(-1)"е«га(">; отсюда и<»>»(- 1)»е-*аНя(х).
Подставляя это выражение в формулу (15) и сокращая все члены ее на постоянный множитель (— 1)", получим [e-*W„(x)J"4- 2х (е-«’Яя(л)]'4-(2л4-2)е-*’Яя(х)=0.
Выполняя дифференцирование, находим e-’W;(х) 4- 2е-«’(- 2х)Н'п (х) е~* (4х> - 2)Яя(х) 4-4- 2х[е-**^(х)+е-*’(-2х)Ня(х)] +(2л4-2)е-«‘Яя(х)а«0 или после сокращения обеих частей последнего равенства на е~** и выполнения элементарных преобразований окончательно будем иметь
Н’я(х) - 2хН'п(х) 4- 2пН„ (х)=0.	(16)
Отсюда вытекает, что полином Чебышева — Эрмита Нп (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита (14), если параметр X имеет значение
Х«в2л (л = 0, 1, 2, ...).
(17)
37
$ 5. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА - ЭРМИТА
Рассмотрим дифференциальное уравнение Эрмита у"-2ху' + *у = 0.	(18)
Для квантовой механики представляют интерес те нетривиальные решения у=у(х)^О уравнения (18), которые имеют полиномиальный порядок роста при |х|-»<», т. е. такие, что при некотором натуральном числе N справедливо предельное соотношение lim =0.
(19)
Оказывается, что уравнение Эрмита допускает решения, удовлетворяющие условию (19) лишь при строго определенных значениях параметра л {собственные значения задачи); а именно, значения К определяются формулой (17), причем соответствующая функция (собственная функция задачи) является полиномом Чебышева — Эрмита с точностью до множителя пропорциональности.
Теорема. Дифференциальное уравнение Эрмита (18) имеет нетривиальные решения у—у(х), удовлетворяющие условию (19) тогда и только тогда, когда выполнено условие
Х==2п (л=0, 1, 2, ...),	(20)
причем
у = сН„(х), где с (с #= 0) — постоянный множитель.
Доказательство. Будем искать нужное решение уравнения Эрмита (18) в форме степенного ряда
у = ^скх*.	(21)
А=0
Дифференцируя формулу (21) почленно, находим
и
у" =£*(£- 1)с, х*~2 = £(А + 2)(k + 1)сА+2х‘. л-о	*-0
Подставляя выражения для у, у1 и у" в левую часть дифференциального уравнения (18), получим
J (k + 2)(А + 1) c»+Jx‘ - £ 2kck х* + £	х* 0
О	0	0
38
или
2 [(А + 2Х* + 1)с*+2 - (2k - к ) ck 1 ж* = 0. о
Отсюда для определения коэффициентов ск ряда (21) получаем бесконечную систему уравнений
(А + 2ХЛ 4- 1)с*+2 - (2k - Х)г* =0
(Л = 0, 1, 2,...), т. е.
„ЛТД,, (*=0,1.2,...).	(22)
(« 4- l)(fe 4- 2)
Пусть с0=1. Из рекуррентной формулы (22) последовательно получаем:
Следовательно, дифференциальное уравнение (18) имеет частное решение вида
у,(х) = 1 - ± х* - х< _ ...,	(23)
являющееся четной функцией.
Аналогично полагая с,==1, из формулы (22) будем иметь:
2-Х
Сз----£Г;
_ 6-Х	_ (2 —А)(6 —X) .
cs- —С,-----------------
5!
(24)
Отсюда для дифференциального уравнения (18) получаем второе частное решение
, .	. 2 — X . , (2 - Х)(6 — X) . ,
yt (х)=х+—— х8 + -*-----А----L. х* _|_...
□!	О!
представляющее собой нечетную функцию.
Применяя признак сходимости Даламбера. нетрудно убедиться, что ряды (23) и (24) сходятся на всей числовой оси — » < л < оо. Докажем, что решения уг (х) и yt (х) линейно независимы. Действительно, рассмотрим детерминант Вронского
ИГ(х)=
*л(х)
У'1(х) yt(x)
39
При х = 0 на основании формул (23) и (24) имеем
17(0) =
МО) МО)	I о
м°) мо)	о 1
= 1 =А0.
Следовательно, в силу известной теоремы из теории дифференциальных уравнений, решения ух(х) и у»(х) линейно независимы. Поэтому общее решение дифференциального уравнения (18), включающее все решения этого уравнения,, имеет вид
У =	(*) + Ву* («),	<25)
где А и В — произвольные постоянные.
Рассмотрим отдельно два случая.
Случай 1. Пусть
Х = 2п,	(26).
где л —целое неотрицательное число. Тогда, если Х = 4л» (тпе=0, 1, 2,...), то ряд (23) обрывается; если же Х = ==4т + 2 (т=в0, 1, 2,...), то обрывается ряд (24). Таким образом, в этом случае дифференциальное уравнение Эрмита имеет полиномиальное решение Y*=Y(x). Что касается второго линейно независимого решения ZtasZ(x), выражаемого соответственно необрывающимся рядом (23) или (24), то оно при |х|->оо растет быстрее любой степени xN, т. е.
lim |х|-оо
Z(x)
Действительно, из рекуррентного соотношения (22) следует, что для любого X при достаточно большом значении k (k > N) коэффициенты г* необрывающегося ряда (23) или (24) сохраняют один и тот же знак. Поэтому
|Z(x)-Q„(x)|>|cAMI*r+2-	(27)
где Qn(x) — полином, представляющий собой первые члены до степени xN включительно, ряда (23) или соответственно ряда (24). Из неравенства (27) получаем
IZ (х)|=| [Z (х) - Qy (ж)| + Qn (ж)| > 1Z (х) - <?Л- (х)| -
-1 Qy «I > I cwi | X r« -1 Qyом=IX	{I ^1 -	
Так как, очевидно,
lim |X|->QD
|х|ЛЧ2
40
то из последнего неравенства имеем
|ZU)|>4-|C1V+1||X|«’	(28)
при | х| > X, где cN+i=^0, и N — натуральное число, которое можно считать любым достаточно большим.
Таким образом, решение Z (х) при | х | -> оо растет быстрее любой степени (х^ и, следовательно, соотношение (19) не может быть выполнено ни при каком натуральном N.
На основании формулы (25) заключаем, что всякое решение дифференциального уравнения (18), имеющее полиномиальный рост при |х|->оо, пропорционально полиному Y(x).
Выше (§ 5) мы видели, что при наличии соотношения (26) полином Чебышева — Эрмита Нп{х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (18). Так как сейчас показано, что решение Y=Y(x) в форме полинома единственно с точностью до коэффициента пропорциональности, то
У = сН„ (х),
где с — произвольная постоянная, отличная от нуля.
Случай 2. Пусть
к 2/1,
где д=0, 1, 2,... Тогда оба решения ^(х) и у8(х) выражаются бесконечными рядами с ненулевыми коэффициентами сц, сохраняющими постоянный знак, начиная с некоторого места. Совершенно аналогично тому, как это было сделано в случае 1, доказывается, что оба решения уЛ*} и у,(х) при |хI-► оорастут быстрее любой степени |х| , где N — произвольное натуральное число.
Рассмотрим теперь произвольное нетривиальное решение у=ау(х), выражаемое формулой (25) (|Д| 4- |В| ¥=0). Так как yt(x) не меняет знака при замене х на — х, а у3(х) меняет свой знак на обратный при замене х на — х, то один из степенных рядов у(х) или у(— х) относительно переменной х, начиная с некоторого места, будет обладать коэффициентами неизменного знака, причем по меньшей мере или четные или нечетные коэффициенты этого ряда отличны от нуля. Отсюда следует, что любое нетривиальное решение у(х) дифференциального уравнения Эрмита в случае 2 или при х -> + оо, или при х — оо растет быстрее произвольной степени Ix^, и значит в этом случае нет решений, кроме тривиального, удовлетворяющих условию (19)-
Итак, полиномы Чебышева — Эрмита являются единст-й венными с точностью до коэффициента пропорциональности
41
нетривиальными решениями дифференциального уравнения Эрмита (18), имеющими полиномиальный рост при |х|-»-<», т. е. удовлетворяющими условию (19).
§ 6. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА
Рассмотрим функции Чебышева — Эрмита, определяемые формулой (13) § 4:
А„(х)=Аве 2 Я„(х),	(29)
где
А„ =------1----г (л = 0, 1, 2, ...).
(2Л л! VT) 2
Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции Ап (х). Из формулы (29) имеем
Нп(х)=±ег h„(x).	(30)
Как известно (§ 5), полиномы Чебышева — Эрмита Нп(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению Эрмита
Н"п (х) — 2хН'п (х) + 2пНп (х)—0.
На оснований формулы (30) после сокращения на числовой множитель k~l получим
' х‘ 1» Г	1'	х»
е 2 Ая (х) — 2х е2 hn (х) + 2пе 2 Ал (х) =» 0.
Выполняя дифференцирование и сокращая обе части по-
лученного равенства на общий множитель е 2 , будем иметь А; (х)+2хАл (х) + (х» + 1) Ая (х) - 2х [А; (х)+хАл (х)] + 4-2лАя(х)=0 или
А;(х)+(2л4-1-х«)Ал(х) = 0.	(31)
Таким образом, функции Чебышева — Эрмита Ал(х) удовлетворяют модифицированному дифференциальному уравнению Эрмита
Г + (Р-^)У = 0.	(32)
если
^ = 2/1+1 (и=0, 1, 2, ...).	(33)
42
Функции Эрмита hn (х) ограничены на интервале (— оо, 4- оо) и обладают единичной нормой (§ 4)
Г +ао т—
||А„(х)|1«= f Л2(х)*х 2 = 1.	(34>
«/
ОО
Можно доказать, что функции j = cA„(x), где с — нену: левая произвольная постоянная, являются единственными нетривиальными решениями модифицированного дифференциального уравнения Эрмита (32), обладающими конечной: нормой:
+ 00
J j’<(X< + г», —00
причем параметр р имеет значения вида (33).
«7. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА
Полиномы Чебышева—Лагерра могут быть определены формулой
(35) ах
(n=0, 1, 2,...).
Отсюда последовательно полу-
чаем:
£0(х)=1;
£, (х) = е* -j- (хе-*) = 1 — х; иХ
Z,2(x) = e*-^(x8e-*)=
од2
As(x)«e*-g(x8e-*)= =6 - 18х4*9х’ —Xs и т. д. (рис. 5).
Вообще, применяя формулу Лейбница, из формулы (35) будем иметь
Ln (х)=(- 1)яхя +	(- 1)"-1лхя-‘4-
——— (-- 1)я“’п(п — ljx«-2+ • • • +—п!
2!	п\
43
или
L„(x)=(- !)•[*• -	х-1 +	• • + (- 1)" л|].
(36)
Отсюда, в частности, получаем
^'л(9)===Л!
Можно доказать, что все корни полинома £я(хХл>1) действительны и расположены на интервале (0, + 00).
$ 8. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА —ЛАГЕРРА
Теорема. Полиномы Чебышева — Лагерра £я(х) и Ln(x) различных степеней (т =£п) ортогональны с весом р(х)=е~х на основном промежутке 0<х<-}-со, т. е.
|e-41B(x)LB(x)dx=0	(37)
при т$п.
Доказательство. Пусть со	со
= f e~xLm(x)Ln (x)dx** f £«(х)-^(х»e‘*)dx, (38) J	J	<*ХГ
о	0
причем для определенности положим п > т.
Интегрируя по частям правую часть формулы (38) и учитывая, что
——(х"е~ж) =0 прил>1, Л*-1 о
будем иметь
0D со f* х	Xя”*1
Imn=Lm (х)	(х»^-«) - 4- £m(x)-4—(x«e-«)dx=
dx*”1	« J	dxn~l
0
e “ f i Ln (x) (x" e~x} dx-J ax	dx»-!
0
Повторяя в формуле (38) операцию интегрирования по частям последовательно л раз, находим
/-.» = (-1)" f ~Lm{x)xne-dx. J «X
(39)
44
Но согласно предположению л>т, поэтому ^£.(х)=0, ах
так как порядок производной п выше степени полинома Следовательно, из формулы (39) получаем
Л™ = f е-*£я,(х)£я(х)Лс=0
при л > т.
Теорема доказана.
Замечание. Из условия ортогональности (37) полиномов Чебышева—Лагерра следует, что
J e~xxmLn (x)dx=0	(40)
при mssO, 1, 2,..., п— 1 (m<n).
Действительно, разделив степень хт на полином £л(х), получаем
х- = A J.* (х)+Q„_i (х),
где Ао — постоянная и Q«-i (х) — полином степени т — 1. Деля полученный остаток Qm_i(x) на £«-i(x) и повторяя этот процесс дальше, в итоге будем иметь
хя = Ao£m(x)-|~ A\Lm—1 (х) ... + Ащ£о(х),
где А],. . ., Ат — постоянные величины. Отсюда
e-*x*L'(x)dx*B f Lm-k (x)Ln(x)dx= o	i k~o
J] Ak f е-*хя,£ж_*£я (x) dx»0, *=0	0
если только /п<я.
§ 9.	НОРМИРОВКА ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА
Полагая т — п в формуле (39) предыдущего параграфа» будем иметь
4» =(- 1)" f (х)х- е~» dx. J ах*
На основании формулы (36) из § 8 получаем
1)"х» + ...)=(-!)"«!
45
Поэтому
/яявл! хяе~* dx=nir (п + 1), б
где Г(л-Ь 1)—известный эйлеров интеграл,
Г (л + 1)= J хя e~*dx=п! о
Таким образом,
/яя = J е~х [£„ (x)]’dx=(«!)’	(41)
о
(neO, 1, 2,...), где, как всегда, Ofsssl.
Из формулы (41) получаем, что функции Чебышева —Ла-герра
ln(x)=-^e~2L„(x)	Г42>
Л:
(й=0, 1, 2,...) образуют нормированную ортогональную систему на интервале (О, + «>), т. е.
ОО
где ”• символ Кронекера.
§ 10.	ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА—ЛАГЕРРА
Полином Ln (х), определяемый формулой L:(x)=^-I£n(x)j,	(43)
где £я(х) — полином Чебышева—Лагерра и т = 0,1, .... л, называется присоединенным полиномом Чебышева—Лагерра порядка т.
Так как (см. §8)
Ln (х)=(-1)” Iх" -	х»-2+... + (-1 )»л!I,
ТО
£?(х)=(-1)« Г —2Ц- хя~” - L L (п — и)!	1 , «Чи—I)2	<л—2)! 2!	(п — т —2)!	** .	В-	^п—т—1 ± 1!	(п~ т — 1)! ' ,хл-т-2_|_	] 	(
46
Например, для полинома
£,(х)= х2 — 4х 4-2 получаем:
£°2(х)==л,-4х + 2;
£^(х) = 2х-4;
Ll(x) = 2.
§ 11.	ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ , ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА—ЛАГЕРРА
Теорема. Присоединенные полиномы Чебышева Лагерра £« (х) и £”(х) одного и того же порядка т и различных степеней (k^n) ортогональны с весом	на ос-
новном интервале (0, 4- со), т. е.
J xme~xL” (х) Ln (х) dx == 0	(45)
при k Ф п.
Доказательство. Пусть т>0 и
Z*„ = J e-*xm£”(x)£„ (x)dx= j e~*xmLk (х)^ Ln(x)dx, о	о
(46)
причем для определенности предположим, чтоЛ<л. Интегрируя по частям т раз правую часть формулы (46) и учитывая, что внеинтегральные члены
[е-*х»£Т(х)]( f=0 dx5	1
(s=0, 1, т— 1), будем иметь
Дл = (- 1)« [-£1 [e-*x'»LT (х)] £„(x)dx.	(47)
J ах о
На основании формулы Лейбница выражение
представляет собой произведение показательной функции на некоторый полином степени Л, т. е.
[e-«x“L?(x)] f
47
где 4,(paO,k}— постоянные коэффициенты. В силу замечания из § 9 имеем
QD
Je-xx/,Ln(x)dx^Q при р <п. о
Так как согласно допущению р<Л<л, то из формулы (47) выводим
00 k
/*„==(—l)mf е’х 2 X^£„(x)dx = О p-о
* ®
= (-»)“ 2 Лр! e~*xPLn (х) dx = О, р-0 о
что и требовалось доказать.
$ 12. НОРМИРОВКА ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА—ЛАГЕРРА
Полагая к = п в формуле (47) предыдущего параграфа, будем иметь
пт
С
[£? (x)]2dx = (—l)m I — [«-«х"!" (х)] L„(x)dx — 5 dx
ОО
= (- ly^e-'Q'ML'Wdx,	(48)
где О, (х) — полином степени п. Путем последовательного деления полином Qn(x) можно разложить по полиномам Чебышева—Лагерра, т. е. представить этот полином в виде Q.00 «= B0L„(x) + BlL„-i(x) + ... +Вя£0(х),
где В9, Bi,..., Вя — постоянные коэффициенты. Отсюда, используя ортогональность полиномов Чебышева — Лагерра (§ 9) и величины их нормы [формула (41)], на основании формулы (48) получаем
4»=(-l)“e0Je-*[£„(x)]’dx = (- 1)-В,(л1)».	(49)
Коэффициент Во можно найти, если разделить старший коэффициент полинома Q,(x) на старший коэффициент полинома Д,(х).
Так как (§11)
£я(х) = (- 1рх" + ...
48
и
то в силу формулы Лейбница имеем
<4(Х)888**S \е'‘хтL”	= (“’)"(~ В*- "! м х» +....
ах	{п — т)\
Отсюда
В#=(-1)"+" -Л:	: (- 1)«=(— 1)<»--— .
(п — да)!	(л — да)!
Подставляя это выражение в формулу (49), окончательно получим
X
4. = (	|£? (х)]Мх«	(50)
J	(л — да)!
о
(/п==0, 1,..., п).
Из формулы (50) следует, что присоединенные функции Чебышева — Лагерра
(51)
У (Л!Г
(m = 0, 1,..., п; п = 0, 1,2, ...) образуют ортогональную и нормированную систему функций в интервале (0, -г оо).
$ 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАГЕРРА
Дифференциальное уравнение
ху" + (1 — х)у' + Ху = 0,	(52)
где К — числовой параметр, называется уравнением Лагер-fa. УРавнение ^2) обладает регулярной особой точкой *=0 Покажем, что полиномы Чебышева — Лагерра
y = L„(x) = e»-£j(x»e-*)
удовлетворяют дифференциальному уравнению (52).
Пусть и == хяе~х	(53)
и, следовательно,
4Х	£я(Х)=е* «.<»>.	(54)
49
Дифференцируя равенство (53), находим
и'—пхп~1 е~х~хпе~х — ^——•	и.
Отсюда
хи' -J- (х — п) и =0.
Продифференцируй последнее уравнение («4-1) раз, на основании формулы Лейбница будем иметь
хв<в+’> (д 4- 1) и*л+п 4*(х — д)в<п+1)4"(л4’ 1)«Ю»0 или
хи*+*> + (1 4- х) М<»+1) -J- (Л 4.1) о(») ==о.	(55)
Так как в силу формулы (54)
u^=e~xLn(x), то получаем
x(e-*£„(x)J" + (l + х)[е-'£я(х)|' + (л+ 1)г*4(х)-0 или, выполняя дифференцирование в этом уравнении и сокращая обе части полученного уравнения на е~ж, будем иметь
х \L'„ (х) - 2Ln (x) 4- L„(х)] + (1 4.х) [i; (x)— La(x)] 4-4-(«-H)M*)=o
или
xLn (x) + (1 - x)Ln (x)4- nL„(x)—0.	(56)
Таким образом, функция y = Ln(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению Лагерра при значении параметра
k=n	(л=0, 1, 2,...).	(57)
Если продифференцировать т раз дифференциальное уравнение Лагерра (52), то будем иметь
ху(т+2)	ту(т+1) 4- (1 — x)j^m+1> —	4- ky<’B)ss 0
или
Xy(m+2) 4-(/n 4. J _ x) 4 (k — m} y№ = 0.
Отсюда, полагая
l/W =z, получим присоединенное дифференциальное уравнение Лагерра
xz"4-(m + 1 — x)xz4- (* — m)z=0,	(58)
где т—неотрицательное целое число и К — произвольный параметр.
50
Так как полиномы Чебышева — Лагерра £„(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению Лагерра (52), то присоединенные полиномы Чебышева — Лагерра
будут при k ав я и т < п удовлетворять присоединенному дифференциальному уравнению Лагерра (58), т. е.
х [Ln (х)] ’ 4- (т 4-1 - х) [I? (л)]' + (n - т) L* (х)=0. (59)
Выведем еще дифференциальное уравнение для присоединенных функций Чебышева — Лагерра [формула (51)]
/Т(х) = Л„е"^£?(х),	(60)
где
’ V (я!)3
Из формулы (60) имеем
£“(х)а=±Лх"^(х).
Подставляя эту функцию в дифференциальное уравнение (59), после сокращения на отличный от нуля числовой множитель k^1 получим
х [ егх~ Ч” (х) ] 4- (т + 1 — х) [ е?х~ Ч” (х)] +
4-(п-т)^“х~ЧТ(х)=0.	(61)
Имеем
х"?#(х)] =/х~ [С (х)]' 4-। / 1 х т х т \ х~ * е*х~*~ J (х) и
[ е2~х~ П?(х)] = fх~ * [% (х)]' + 2	/ х~
- ix~ *) [/Г (X) ] ’ + [1 Лх" ~ /Х~ ”~1 + /	L *	2
+ у (у +1)/х‘*!-2]с(х).
51
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение (61) и сокращая обе части полученного равенства на т & х3, находим
х {U"(х)]’ + (1 - у) (С (< + [у - £ +	^>}+
-Н« + 1 -*) {[ In (X)] + (у - g) (х) j 4- (я - m) С(х)=о ИЛИ
X [ £(х)Г + [ £(*)] + (-—^ + « - 7- ) 1* («)“0. (62)
Таким образом, присоединенные функции Чебышева—Лагерра
«=/„m(x) = V~ VlT(x), где
удовлетворяют модифицированному дифференциальному уравнению Лагерра
(™У 4-	+ X - у - у ) *=0,	(63)
где Х=л,	(64)
причем я — целое число, большее или равное т (и=0, 1, 2,...).
S 14. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА—ЛАГЕРРА
Рассмотрим присоединенное уравнение Лагерра ду' + (т+1-X)jf4-(k_m)==O,	(65)
где /п — целое неотрицательное число и X — числовой параметр. Присоединенные полиномы Чебышева — Лагерра £*(х) с точностью до коэффициента пропорциональности могут быть определены как нетривиальные решения у уравнения (65), конечные при х=0 и имеющие степенной рост при х -> со, т. е. функции
у(х)« с£Г(х) (с¥=0)
52
являются единственными решениями дифференциального уравнения (65), удовлетворяющими следующим краевым условиям:
у(0)¥=оо; lim ^=0,	(66)
*->+00 хЛ
где N — некоторое натуральное число, причем Х=п > т
(собственные значения задачи).
Дадим наметку доказательства этого утверждения [8]. Так как дифференциальное уравнение (65) имеет регулярную особую точку х—0, то согласно теории Фукса [11] это дифференциальное уравнение допускает решение в форме обобщенного степенного ряда 00
У =	(67)
*-0 где в — некоторое постоянное число, не обязательно целое и с0 ¥= 0. Отсюда
00 у=®2с*х*+’-*-0
Дифференцируя почленно ряд (68), будем иметь
00	СО
9)Ск х*+о-’ «= 2 (* + « + D<*+»**+’ А-О	А—1
И оо
*= 2 (* + я) (*•+•’+ 1)Сл+1Х*+в-‘. *—1
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение (65) и выделяя отдельно члены, соответствующие индексу Л = —1, получим
|(в-1)я + (л» + 1)<?оХ-‘ +2 (* + «)(*+«+ lk*+iX*+’ + О
-t-2(m+u(*+°+i)c*+ix*+'- 2(*+*)с»л*+’+
•	о
+ £(*• — /л)с*х*+в=0 в
53
или
оо
в (в 4- т) спхя-1 + ^ ((А + а-{-1)(Л + о + m-f- 1)с*+» + о
+ (к - т - k - a) ck ] *»+’=0.	(69)
Отсюда, приравнивая нулю коэффициент при ж*-1 и учитывая, что са Ф 0, находим определяющее уравнение
в (а + т) = 0.
Следовательно, «==«1.2, где
а,г=0;	а,= — т.	(70)
Если л»>0, то решение t/=ys(x), соответствующее показателю а = аа = — т, как видно из формулы (67), обращается в бесконечность порядка т при х=0. В силу первого из условий (66) функция уа(х) не является решением нашей краевой задачи.
Если т = 0, то тогда
з, = о, = 0.
В этом случае первое решение у а® ух (х) дифференциального уравнения (65) представляет собой степенной ряд (67), а второе линейно независимое решение имеет более сложный вид [11]
СС
№(x)=lnx2'vfc К*0)-
*-0
Отсюда
1/,(0)=оо.
Таким образом, остается рассмотреть лишь случай
а = 0.
Приравнивая нулю все коэффициенты ряда (69) при з=0, находим бесконечную систему соотношений
(k + 1)(А4-/я+1)^+1 + (К-л1-Л)с* = 0	(71)
(Л=0, 1, 2,...).
Отсюда для коэффициентов степенного ряда (67) получаем рекуррентную формулу
т -J- Л —к
(Л + l)(fe + m + 1/* (Л = 0, 1, 2, ...), где коэффициент с9 является произвольным. 54
(72)
Из формулы (72) последовательно выводим
т — X С* —	 Сл\
1 (« 4- 1) в
с — w 4-1 —X с _ (да —X) (да 4-1—X) с ’	2(л» + 2)	*	2! (да 4-1) (да 4-2) ”
Отсюда
и — с fl 4- Ж“Х . Х , (m-A)(m+1-Х) х» 1	.
У“С’[1 + ^Т Т+ (да+1)(да4-2)	F+-J- (73)
Применяя известный признак сходимости Да Ламбера, получим
=|x|hmp±l = |x|lim1-».+ *-?-СН*	**оо| С» ‘	'	*— |(* + 1)(Л+да+1)
Следовательно, ряд (73) сходится и притом абсолютно на всей оси — оо< х < -)-«> и представляет собой решение дифференциального уравнения (65).
Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть
Х=п>/га,	(74>
где п — целое неотрицательное число. Тогда из формулы (72), очевидно, получаем
Сд-ж+1 = Сл—m+'2e ••• =0
у = С0 1 +
и значит решение у представляет собой полином да — л х . (да — л) (да — л 4- 1) х* ,	,
да 4-1 1! (да + 1) (да 4-2)	’ 2! ' ’
। (да —л)(да —л4-!)...(— 1)	х"—” ~|
(да 4- 1) (да + 2) ... л (л — да)! J
степени (п — т).
Так как при условии (74) присоединенный полином Чебышева — Лагерра (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (65) и у есть единственное решение этого уравнения в форме полинома, то
у = cL?(x),	(75)
55
где с — отличная от нуля произвольная постоянная. Очевидно, полином у является решением нашей краевой задачи.
Случай 2. Пусть
(п=/п, т+\, л»4~2, ...).	(76)-
Тогда ряд (73) — необрываюшийся, причем все коэффициенты Сц его отличны от нуля.
Для фиксированного К выберем натуральное число р такое, что
РЖ.	(77)
Тогда при	все коэффициенты ряда (73)
с __ t (ж —X)(m + 1 - X)..,(m+ х—i —X) ._
* kt’ (да + I) (да + 2)... (да 4- к)	'
будут сохранять постоянный знак. Производя оценку по модулю, имеем
+ > -М-И 4-P-MIX
у (” 4-л 4-1 — Х)...(да 4- х — > — X) ф
Л (да + 1) (да.+2).. .(да+ Л) ’ kt "
<” +1)(да 4-2)...(да 4-Х — /> — 1)	J__
V’ (да 4- l)(m 4-2).. .(да + X)	kt
=»----------------------- (79)
(да-ЬХ — ;>)...(да 4-X) kt
(k—P + 2, р + 3, ...), где
(>(Х)=|с0||(/п —Х)(т-}-1 — Х)...(/к-(-р — Х)| ,4=0.
Из формулы (73), учитывая постоянство знаков коэффициентов с» при k > р 4-1, а также оценку (79), для 0<х<4~со находим
(х>|>ях)У	/	(8о>
jfad (m. 4- я — р).. .(m -г Л) Л!
Л=р+2
где Qp+i (х) — полином степени р +1.
Без нарушения общности рассуждения можно предполагать, что
р>т.
Тогда, учитывая что р —т+1>0, при Л>р-{-1 имеем ____________________________1___________
(т + Л —р)...(/п + k) k\
я----------------------!-------------------->
[(X + 1) - (р - да 4-1)]. • •[(* + Р 4- 1)-ф-да +1)] М
>____________I________1
(Х4- 1)...(Х + р4- 1)Х!	(Щ-Я4-1)! ’
56
Следовательно,
_ ММ	VI x**p+1	мм	VI x*
xP+'	Zi (k + p +1)!	rP+1	4!
».p4-2	*-2p+3
Отсюда на основании известного разложения
получаем
I i/-QP+i(x)| >-^-[^-Я2р+1(х)],	(81)
Х*+Х
2J+2 k
где /?2p+2(x) = ^-^-
*-0
— полином степени 2р+ 2. Из формулы (81) находим
\уIs! [0-<?р+1 (x)J + Qp+i(*)|>|у- Q/.+1W! -- I QP+l(x) I >	(е* - Л^+2 (X)] -1 (Ь+1 (X) I =
MMRjp+iW^t е*
(82)
Так как
MM^W + ^IQp+iWl ех
при х -* 4- со, то из формулы (82) вытекает, что прих>л*>°;	С83)
причем £(Х.)>0.
Поэтому во втором случае решение у допускает по меньшей мере показательный рост и значит при х -* 4- <ю, растет быстрее любой степени xN. Таким образом, краевая задача (65) — (66), в случае 2, не имеет решения.
57
Итак, доказано, что полиномы
y=cL”(x)
являются единственными решениями краевой задачи (65) — (66).
§ 15. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЯ ЧЕБЫШЕВА—ЛАГЕРРА
Рассмотрим модифицированное дифференциальное уравнение Лагерра [формула (63)]
(**')' + -н ~ -f - £)г = °-	(84)
где т — целое нетривиальное число и X — параметр.
Теорема. Дифференциальное уравнение (84) имеет нетривиальное решение z — z(x), ограниченное при х = Ои обладающее конечной нормой
, . 1 \2 ||z|| = Jz«dx < + « ' о / г
тогда и только тогда, когда
X = л > /п	(85)
(собственные значения задачи), где п — целое число; причем
2 = cZ“(x) = ce"»"xQ?(x)	(с¥=0).	(86)
Доказательство. Дифференциальное уравнение (84) получается из дифференциального уравнения Лагерра (65) (§ 15) при помощи замены
г(х)-е~$х?у(х).	(87)
Из условия конечности z(0) вытекает, что решение у(х) должно быть целой функцией, т. е. представлять собой степенной ряд с бесконечным радиусом сходимости (§ 14).
Если выполнено условие (85), то, как было доказано в § 14,
y(x)=cL?(x),
и следовательно, справедлива формула (86). При этом очевидно, что [|z(x)|| конечна.
58
Если же условие (85) не выполнено, то в силу формулы (83) (§ 14) имеет место неравенство
\y(x)\>k-^ при х>х0>0, где Лир — некоторые положительные постоянные. Отсюда на основании формулы (87) получаем
| z (х)| > ke*x~ Р при х > х0 и значит z(x) не обладает конечной нормой. Теорема доказана.
Упражнения к второй главе
1.	Найти полиномы Чебышева — Эрмита Н5(х) и Я,(х)„ Ответ. Я4(х) = 1бх* — 48х*4-12;
Нъ (х) = 32х5 - 160х34- 120х.
2.	Проверить на первых членах разложения, что
(производящая функция полиномов Чебышева — Эрмита).
3.	Доказать, что
Я;(х)=2лЯя_,(х).
4.	Вычислить нормированные функции Чебышева—Эрмита hn (х) для л=0, 1, 2, 3, 4.
5.	Найти полиномы Чебышева — Лагерра £я(х) (л=4, 5).. Ответ.	£4(х) = 24 - 96х + 72х« —16х3 + х4;
Ц (х) =120- бООх 4- 600х8 - 200х3 + 25х* - х6.
6.	Проверить на первых членах разложения, что
]_/	п\
п—0
(производящая функция полиномов Чебышева — Лагерра)..
7.	Вывести рекуррентную формулу
U (х) =(2п +1 - х) £„ (х) - л*£я-1 (х).
59
8.	Вычислить присоединенные полиномы Чебышева — Лагерра (л=3, 4; m=sO, 1,п).
9.	Найти нормированные функции Чебышева — Лагерра Z«(x) (л=0, 1, 2, 3; m=0, 1........п).
10.	Доказать формулу
f е-*[£-(к)12dxs= Jfci+JHS'L.
J	I ’ ' '•	(n —m)!
Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА § 1. ЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть R представляет собой множество функций
х„	(1>
определенных в некоторой общей области 2 действительного эвклидова пространства Е" и принимающих, вообще говоря, комплексные значения
f(xlt... . хв)=<?(хи ..., х.)4-<ф(хх,..., х„),	(2>
где
Z=/-l и ?(Х1,..., Хп )—Ref(xl,... , х„); ф(х»................xn)—Imf[xx,... , хя)
— действительные функции.
Определение 1. Совокупность R функций f называется линейным функциональным пространством [3 и 7], если выполнены следующие условия:
1) если /ей и а —любое комплексное число, то а/е/?;
2) если /е/? и geR, то(/4-^)бЯ, где операции умножения функции на число и сложения функций понимаются в обычном смысле.
Каждая функция называется точкой (вектором) или элементом пространства R.
Из условий 1 и 2 вытекает, что если /е/? и geR, то («f+?g)e*.	(3)
где а и В — произвольные комплексные числа. Например. (f-g)sR (а=1; ₽=-1).	•
Пример 1. Совокупность R всех полиномов
Р(х)=аохя 4-а1хя~1 4----|-ап (— оо < х< + со),
61
где at, а,,..., ая — произвольные комплексные числа, есть линейное функциональное пространство.
Действительно, произведение любого числа на полином и сумма двух полиномов есть также полиномы.
Для простоты предполагалось, что элементы f функционального пространства R есть функции декартовых координат ль ... ,хп в пространстве Ея. Очевидно, определение 1 может быть дословно перенесено и на тот случай, когда /есть функции криволинейных координат qt,..., qt в Д’ (*<«), где
=	.....хя) (j=l.....А)
и — известные функции.
В дальнейшем под / будут пониматься функции любых переменных.
Определение 2. Линейное функциональное пространство R называется нормированным [3 и 7], если каждому элементу /е Я ставится в соответствие неотрицательное число (функционал) 11/Ц — норма этого ^элемента, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам):
1)	11/1=0 тогда и только тогда, когда /^0;
2)	|| а/|| = | а 11| f ||, где а — произвольное число;.
3)	если /еЯ и geR, то
И/+ДЙ < 11/11 + П£ II -
Под нулевой функцией f=Q здесь для простоты понимается функция, тождественно равная нулю в 2. Однако в некоторых случаях удобно расширить понятие нулевой функции. Например, при интегрировании можно не различать функцию, тождественно равную нулю, и функцию, отличающую от нуля лишь в конечном числе точек, и считать их нулевыми.
В дальнейшем в тексте будет указываться, в каком смысле понимается нулевая функция; при этом две функции, разность которых есть нулевая функция, должны считаться одинаковыми (совпадающими).
В нормированном линейном пространстве R можно определить расстояние р между его элементами / и g, полагая
₽(/, £)= И/-ЙГ11-.	(4)
Из условий (1)— (3) вытекают следующие свойства расстояния:
1° plf, g)>Q, причем plf,g)=G тогда и только тогда, когда f—g (свойство дефинитности);
2° р(/, g) = p(g, f) (свойство симметрии)-,
3° P(f, g)<p(/, А) + р(А, g)(nepaeeHcmeo треугольника).
62
Функциональное пространство, в котором введено расстояние р со свойствами 1П —3°, называется метрическим.
В нормированном линейном пространстве вводится схо-  димость по норме
fn-f, если
НА-/II -о.
Пример 2. Пусть С [а, 6] —множество функций t(x), непрерывных на отрезке а с х < Ь.
Очевидно, С [а, Ь] есть линейное функциональное пространство в смысле определения 1.
Под нормой функции (=/(л)еС[а, Ь] будем понимать число
Ufll =тах|/(х)|,	(5)
т. е. (| f | есть наибольшее значение функции / на отрезке [а, 6].
Легко убедиться, что все условия (1 — 3) выполнены. Таким образом, С [а, Ь] с нормой (5) является линейным нормированным функциональным пространством.
Определение 3. Функции /х, f2, из R, определенные в области 2, называются линейно зависимыми, если существуют постоянные «1, а8 ,... , ат, не все равные (т	\
J] I«/1 ¥= 0), такие, что /-1	/
т 2а///в	<6)
/-t
где 0 — понимается в смысле нулевой функции пространства R. В противном случае функции /1, /£,... ,fm называются линейно независимыми.
Заметим, что если функции Д,... , fm— линейно независимы, то ни одна из них не является нулевой. Действительно, если Л=0 (issl,... , т), то, очевидно, справедливо тождество
- +,!/*+ ...	0
и, следовательно, функции ... ,fm линейно зависимы, вопреки предположению.
Для линейного пространства R возможны два случая: 1) в пространстве R имеется самое большее г линейно независимых функций; тогда пространство R называется конечно-мерным (r-мерным), а максимальное число г линей-
63
но независимых его элементов называется размерностью этого пространства:
г=dim R;
2) для каждого натурального числа N найдется в R система линейно независимых функций ft,... ,fN’, в таком случае пространство R называется бесконечно-мерным и условно полагается
dim/? = 4-°о.
В квантовой механике, как правило, приходится рассматривать бесконечно-мерные линейные функциональные пространства.
Определение 4. Система функций ... , конечно-мерного пространства R называется базисом этого пространства, если каждый элемент /е/? можно представить в виде линейной комбинации
Н- ’ ' "4“ Ctn^fmi	(7)
где q,..., ст — некоторые числа (координаты функции f в данном базисе), причем представление (7) единственно.
Теорема. В линейном пространстве R размерности г любая совокупность линейно независимых элементов ..., число которых равно размерности пространства, образует базис этого пространства.
Доказательство. Пусть
МЯ
Так как в пространстве R размерности г может содержаться самое большее г линейно независимых элементов, то элементы f, <р,,... , число которых равно г4-1, линейно зависимы. Следовательно,
“о/ + «Л + • • • + аЯг	(8)
где
г
2|а/|*0.	(9)
’ /=о
Постоянная % отлична от нуля. Действительно, если ао=О, то в силу формул (8) и (9) имеем
а1?1 4- • • • +	= 0,	(8')
где
Г
Отсюда следует, что элементы ..., линейно зависимы, что противоречит условию теоремы. Таким образом, а0 =^0. 64
Из формулы (8) вытекает, что ----------------------------------НЖ-.	ПО) где
Представление (10) единственно, так как если
--------------------------------(Ю7) то, вычитая из формулы (10) формулу (10'), получим
0=(ci- <)*+••• + (с, - с'г)
Отсюда, учитывая линейную независимость функций ?i,... > имеем
с1 = с;, ...,сг=<.
Теорема доказана,
Пример 3. Пусть R— совокупность всех функций у= в=у(х), где а<х<£, являющихся решениями однородного линейного дифференциального уравнения
l*)^""0 +-----hA (*)У=0,	(11)
причем коэффициенты р/(х) (/el,..., л) непрерывны в интервале (а, Ь). Тогда совокупность У1(х),..., у„(л) линейно независимых решений уравнения (11) (так называемая фундаментальная система решений) образует базис пространства решений, т. е. каждое решение у=у(х) может быть единственным способом представлено в виде
п y = '£iciyi(x),
где с/ — некоторые постоянные.
Если нормированное линейное функциональное пространство бесконечно-мерно, то под базисом этого пространства понимается счетная система1 функций ®ъ <?2, •••» такая, что любая функция feR единственным способом может быть записана в виде
Z-S-’/T/.	(12)
_______ /-1
1 Система функций называется счетной, если элементы ее можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел 1, 2, 3, , т. е. функции этой системы допускают запись в виде последовательности
«з» — Существуют нечетные бесконечные системы функций; такова, например, совокупность всех непрерывных функций f(x) на отрезке к, *].
65
где с7 (/ = 1, 2,...) — постоянные величины, и ряд (12) схо-
дится по норме, т. е.
lim
М/
= 0.
(13)
§ 2.	СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ
Если с=а + 1Ь (а и b действительны) есть комплексное число или функция, то
с* = а — ib
будет обозначать сопряженную величину. Легко доказываются следующие свойства сопряженных величин:
1)	с**=с;
2)	(G+^)*=< + ^;
3)	(q^)* = <4
Кроме того, имеем
с-]-<?*=» 2 Re-г; с — c*«2ilmc;
|г*| = |с|; сс* = \с\г.
Рассмотрим линейное функциональное пространство Я={/}, комплексно-значных функций.
Определение 1. Говорят, что в пространстве R определено скалярное произведение, если каждой упорядоченной паре функции f, geR поставлено в соответствие число (/, g), вообще говоря, комплексное, называемое их скалярным произведением и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1° при перестановке сомножителей скалярное произведение переходит в сопряженное
(ff, /)=(/, £>* (свойство эрмитовой симметрии)-,
2° числовой множитель, стоящий на первом месте скалярного произведения, можно выносить за знак скалярного произведения
(af, £)=«(/, g)\
3е	(fi+^g)=(/i,g) + (/s, £)
(свойство дистрибутивности);
4° скалярное произведение функции на саму себя неотрицательно и равно нулю тогда и только тогда, когда функция нулевая:
(f, f)>0 при/¥=0; (/, П=0 лишь при /=0 (свойство дефинитности).
66
Заметим, что если (f, g) действительно, то из условия 1° имеем просто (g, =	g).
Следствие 1. Числовой множитель, стоящий на втором месте скалярного произведения, можно выносить за знак этого произведения, заменяя его сопряженным. В самом деле, на основании аксиом 1° и 2°, учитывая, что сопряженная величина произведения равна произведению сопряженных величин сомножителей, имеем
(t «£) = (“£, /)* = [<*(£, Л|* = “*(>• /)* = «*(/ g\
Следствие 2. Свойство дистрибутивности выполнено также для функции, стоящей на втором месте в скалярном произведении.
Действительно, используя аксиомы 1° и 3° и учитывая, что сопряженная величина суммы равна сумме сопряженных величин слагаемых, имеем
(t + £г)=(£1+ £з. /)* = [(£!. /Ж£г, /)]* = =(£,, /)* + &», П* = (/, *) + (/, g2).
Более общий результат следующий:
\ f	к I	/,к
(а/, 0* — произвольные числа).
В пространстве R со скалярным произведением можно ввести норму, полагая
и лI =/(Г7Г.	(и)
где У f || играет роль длины вектора.
Очевидно, в силу условия 4°,
|(/|| = 0 лишь при /=0.
Кроме того, для произвольного числа а в силу условия 2° имеем
II II	af) = /aa*(f,/) = |a| ||/||.
Чтобы доказать третье свойство нормы (§ 1), предварительно докажем, что для скалярного произведения (f, g) имеет место неравенство Коши — Буняковского
Kt £)1< И/IIИ1-	(15)
67
Действительно, запишем число (/, g) в показательной форме
(/, g) = re*,	(16)
где г?=|(/, £)| —модуль числа (f, g), a ? = arg(f, g) — его аргумент. В силу эрмитовой симметрии скалярного произведения получаем
(g. fi=re~*	(17)
Так как скалярное произведение одинаковых сомножителей неотрицательно, то при любом действительном X имеем
(Xf+ <?'*£, kf 4-е^) = Х»(/,/) + Хе-'?(/, g) + X^T(g, f) +
+ (g, g)=>8(/, /) + 2rk-Hg,g)>0.	(18)
Таким образом, квадратный трехчлен относительно X допускает лишь неотрицательные значения. Это возможно тогда и только тогда, когда корни этого трехчлена или комплексные, или равные между собой, т. е. дискриминант его должен быть неположительным:
r8-||fll8llg|l8<O.
Отсюда
r = l(f, g)|< 11/1111^11.
что и требовалось доказать.
Теперь легко установить третье свойство нормы. В самом деле, учитывая, что
(/. g)+(g, /) = 2Re(/, g)<2|(/,g)|
и используя неравенство Коши — Буняковского (15), находим
it/+gii8=а+g- /+g) = ь л+(/, g)+u, /)+(g. g)=
==|l/ll8+2Re(f, g) + ||g||8< IIfII8 + 21(/, g)| + ||g||8 <
< П/1Г + 2ll/IIUII + ll g||8=(||/II + l|g||)’.
Отсюда получаем нужное неравенство
Н/ + г11 < К/ll + llgll-	(19)
Таким образом, выражение (14) удовлетворяет всем аксиомам нормы и, следовательно, функции feR при наличии соотношения (14) образуют нормированное линейное функциональное пространство. Обычным приемом определяется расстояние между функциями f и g в этом пространстве
P(f, g)=ll/-g||.	(20)
68
Используя аналогию между абстрактным скалярным произведением (/, g) и скалярным произведением в эвклидовом трехмерном пространстве, полагают
</.£)=Ш Ilg||cos9, где в — угол между векторами f и g.
Отсюда, если векторы f и g ненулевые, то
cos9 —.	(21)
II/ИМ	'
Что касается нулевого вектора /=0, то можно считать, что он образует произвольный угол с любым другим вектором. Из формулы Коши — Буняковского следует, что если (/, £) действительно, то угол 0 между векторами / и g также действителен.
Отметим важное определение: две функции f и g называются ортогональными, если соответствующие векторы взаимно перпендикулярны, т. е.
(Ag)«=0.	(22)
Заметим, что из формулы (22) следует (g, f)=(f,	=
§ 3. ПОНЯТИЕ О ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТА
Пусть
/=^(<7., - М	(23)
— комплексно-значные функции криволинейных координат Я\....Яь , определенные в некоторой области 2. Предпола-
гается, что криволинейные координаты Я1, •••, Я* (цилиндрические, сферические и т. п.) выражаются через декартовы х,,..., хп (k < п) действительного евклидова пространства £* с помощью некоторых, непрерывно дифференцируемых соотношений
X/ =х/(Я1, • • • . Я*У (7=1.п),	(24)
причем 2 представляет собой соответствующий образ всего пространства Ё" или некоторой его части (фазовое пространство криволинейных координат). В частном случае Я\>  , Яп могут являться обычными декартовыми координатами пространства Ея .
Для краткости будем пользоваться сокращенным обозначением
7 = t<7.. - <7*).
69
где q можно рассматривать как ^-мерный вектор в й. Тогда функция / коротко записывается так:
f=f(qY	(23')
Введем скалярное произведение функций f=f(q) и g—g(q}, полагая
(/,£) = f • • J/(<7) £*(<?)<&,	(25)
Q
где g* (?) —сопряженная по отношению к g(q) функция и dQ— элементарный объем фазового пространства.
Если qx,... , qk—декартовы координаты, то имеем
dQ=dql ... dqk.
Если же <?,, ... , qn (k = n) — криволинейные координаты, связанные с декартовыми координатами х15..., хп соотношениями (24), то
где
- dqt ... dq„ ,
	дЧл	дЯП
0 (*<	*п ) 	 D(0i	чп) ~~	дхп	дхп
	dqx	дЧп
(функциональный определитель) переменных по переменным qx,..., qn. В случае k<n выра-dQ более сложно.
— якобиан
Хх, ..., хя жение для
Относительно функций f(q) и g(q) будем предполагать, что они непрерывны во всем пространстве 2, за исключением, быть может, конечного числа особых точек, где эти функции могут обращаться в бесконечность не слишком высокого порядка, так, чтобы интеграл (25) оставался сходящимся.
Из формулы (25) получаем, что норма функции f(q) может быть выражена формулой
j
||H=(f • • • J \fWdQ\9, (26) l е	>
где

70
Докажем, что для функций f = f(q) и g=g(q), обладающих конечной нормой, выражение (25) удовлетворяет всем аксиомам 1° —4° скалярного произведения (§ 2), если не различать функций, имеющих различные значения лишь на конечном множестве точек в 2. Например, с этой точки зрения функции
/(<?) = О и /1(<7) = Р’9¥=® | 1, q = 0 должны считаться одинаковыми.
Прежде всего заметим, что если
И/й<+°°и || g 0 <+оо,	(27)
то на основании элементарного неравенства l/ri-+
имеем
J... J I /£*1	< у К ••• f i f |’«® + f -J I £|’ dQ I < + ».
s	I а **	а	)
Поэтому для f и g с конечной нормой интеграл (25) абсолютно сходится и произведение (/, g) имеет конечное значение.
Далее последовательно находим:
1) при выполнении условия (27), учитывая, что
имеем
2)	если а — любое комплексное число, то
g)= J • Jа/g* dQ = а j... J/g* dQ = a(f, g); q	a
3)	при || ft Ц <4- co и || /2 fl <4-» получаем
(А +Л, £)= J	(А +А)Г *2-j -$fa*dQ 4-
а	а
+ J ... j fig* dQ^tfn g) 4- (Л, g); . 2
4)	наконец,
(A
2
71
причем, если (/, /) = 0, то f(q)=O во всех точках непрерывности, т. е. всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек q. Если такую функцию считать нулевой, то аксиома 4° для скалярного произведения будет также удовлетворена.
Теорема. Совокупность всех абсолютно интегрируемых в Й функций1 f(q) с конечной нормой (26), т. е. таких, что
j - J|f(7)^2< +	(28)
с
образует нормированное линейное пространство Н, если отождествить функции, различающиеся лишь в 2 на конечном множестве точек.
Доказательство. 1°. Докажем сначала, что пространство Н линейно. Действительно, если а — произвольное число и
/ен, т. е.
то имеем
j ...j | af|* rffia=|e|«f ...Jl7Pd2<4-oo. 2	a
Следовательно, »f£H.
Пусть теперь и g(~H.
Имеем
= |/|г4-2Ке/г* + 1гР<1Л« + 2|/||^Ц-|гР.	(29)
Очевидно,
2|ЛИ<1Л’ + И8.	(30)
Поэтому из неравенства (29) получаем
Таким образом,
J--- fl/ + ^l^<2|j-- j|/|Mfi + Й	I Q
Q	'
и, значит, (/ + g)€,H.
1 Иначе говоря, функций с интегрируемым квадратом модуля.
72
2°. Докажем, что функционал (26) удовлетворяет всем аксиомам нормы.
Если f(q) — 0, то очевидно
11/(5)11=’ 0;
обратно из равенства
||/(5)||*’=f • • •f|g(5)l‘««0	(31)
б
вытекает, что f(?) = 0 за исключением, быть может, конечного числа точек в 2. В частности, если функция /($ непрерывна, то f(q) = O. Таким образом, согласно нашей договоренности можно считать, что /(<?) = 0.
Пусть а — число. Тогда, очевидно, имеем
о	a
Наконец, если /дЯ и 5бЯ, то
B/+5ll= {J- • • J (/ + g)(f* +
= I в/*’ + j - • • f №* + sn + Il5l!8 H <
<{Ша + 2|а,5)|+кГР.	(32)
На основании неравенства Коши—Буняковского [§ 2, формула (15)] имеем
поэтому из неравенства (32) выводим
1/ + 51<И+И11.	(33)
Пространство Н с нормой (26) представляет собой так называемое комплексное пространство Гильберта [7 и 15]. Под нулевой, функцией здесь понимается всякая функция, норма которой равна нулю.
§ 4. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИИ
Рассмотрим бесконечно-мерное (§ 1) гильбертово комплексное пространство Н.
Определение. Система функций в Н
fi(?). <Рв(?).	?«(<?).	(34)
73
называется ортогональной, если элементы этой системы попарно ортогональны между собой, т. е.
(я) dQ = О
Q при тфп.
Ортогональная система функций (34) называется нормированной (короче ортонормированной), если для каждой функции выполнено условие
Таким образом, для ортонормированной системы функций выполнено соотношение
(?т » фп ) =°тл»
где 8/пл символ Кронекера.
Теорема 1. Всякую ортогональную систему функций {?»} (34), не содержащую функций с нулевой нормой, т. е. такую, что
можно нормировать путем умножения каждой функции на некоторый числовой множитель.
Доказательство. Положим
(«=1>2,...).
Тогда, очевидно, имеем (Фт, Фл) = /
;----— (?wi,	) — ®тл-
ИМ
Следовательно, система функций {<|»п} ортонормирована.
Теорема 2. В пространстве Н существуют счетные системы
МФ, ?2(<7). •••, ?»(ф, ••• попарно ортогональных' между собой функций с положительной нормой, т. е. такие, что
(?m, ?п)= J-• • j?m(?)<pn(<7)d2 = 0
i
при т =£ п и
74
Доказательство. Так как пространство Н бесконечно-мерное, то в этом пространстве найдется последовательность функций
&М giifh, .... gnWh элементы которой линейно независимы в любой конечной совокупности (§ 1).
Построим последовательность ортогональных функций (л=1, 2, с помощью следующих соотношений:
Ъ gr.	?i j’], ;
(£«. filfv	<Р-’ = ТЕПГ;
ъ=Яз — (g». fj ?i - (g.. ?«) %;	=-pv ;
I ВII
Докажем прежде всего, что все функции ?2,..., *(„, ... ненулевые (с положительной нормой) и, следовательно, конструкция (35) возможна.
Действительно, пусть
fr —£г — J (gr. ®s) f* =0,	(36>
S = 1
где 0 понимается в смысле нулевой функции пространства Н. Так как в силу (35) в окончательном итоге каждая функция ф» представляет собой линейную комбинацию функций g„ gi. gi-ь то из равенства (36) получаем
г—1
gr + %CSgs = 0’
S=1
где cs — некоторые постоянные, что противоречит линейной независимости функций g,, g2, .... gr. Следовательно, все функции iI( fj, ..., in, ... ненулевые и значит
||?я||>0 (я = 1, 2, ...).
Докажем теперь, что система (?я} ортогональна. Для доказательства применим метод математической индукции.
Для первого шага, используя формулы (35), имеем
(f«, fi)=hillhill(T2, ъ) =h2Phil(g»—(g2. ft)fi. gi)= =h»llhtlll(g2. gJ —(gr ti) (fi> gi)] =
L	!£il	J
75
Пусть теперь
(9г, ?* ) = (?*. ?г)=0 при r<s<n.
Полагая m<n и учитывая, что (?от, ?m)el, имеем
)?J ,	| =
Я—1
(gn, 9т ) - 2 (gn , ?* )(9s , 9т) S-1
ы
[(g« . ?•) - (gn , ?«)(?>», ?m)l =0.
Таким образом, система (35) ортогональная. Заметим, эта система нормированная
И?«11=(%«, ?«)2"== 1
(п=1, 2, ...);
следовательно,
(?т, 9п ) == rjmn > где — символ Кронекера.
Процесс ортогонализации (35) аналогичен переходу от косоугольной системы координат к
прямоугольной. Производя над
системой (34) линейные преобразования, сохраняющие углы между векторами и ?я («поворот системы коорди-
нат*), получим новые ортогональные системы в пространстве Н.
Замечание. Процесс ортогонализации функций, очевидно, применим также к любой конечной системе линейно независимых функций.
Пример 1. Пусть мы имеем три линейно независимые функции git gt и git которые будем рассматривать как векторы трехмерного пространства.
Ортогонализируем эти функции, пользуясь схемой (35). Имеем
It ~gv
т’ Hill ‘
Очевидно, ?! есть орт (единичный вектор) вектора gi (рис. 6).
Скалярное произведение (g8, ?i) представляет собой проекцию вектора gt на вектор Разлагая вектор g, на тан
76
генциальный компонент g‘2f направленный по ft, и нормальный компонент g", перпендикулярный (ортогональный) к fi, будем иметь
где
?1)ъ; g2s=gi-gis=g»-~(gt, ft)ft;
причем gf&O ввиду линейной независимости векторов gt и g2. Отсюда, полагая
7i = g2;	««= ——— ,
11 *г •’	«7211 ’
получим, что ft есть единичный вектор (орт), ортогональный к ft.
Аналогично разлагая вектор gt на тангенциальный компонент g*3, расположенный в плоскости ортов ft и ft, и нормальный компонент g", перпендикулярный к этой плоскости, получим
Лв4+*з‘ где gs^Wi + Wf
Отсюда, умножая gs последовательно на ft и ft и учитывая ортонормированность этих векторов, будем иметь
(?». ft)sMft. <h) + c2(ft, ft) + (g?, ft)«<\ и
(£», ft) = Cl (ft, ft) + Ct (ft, ft) + (g», ft) = Ct.
Следовательно,
£з=(£з. ft) ft + (ft. ft) ft И
gg = gt - g3s g» - (ft. ft)ft - &3, ft) ft;
причем gj 0, так как в противном случае векторы g3, g, и g, являлись бы линейно зависимыми.
Полагая
получим единичный вектор ft, ортогональный к ft и ft.
Таким образом, построенные векторы ft, ft и ft образуют нормированную ортогональную систему векторов в нашем пространстве.
77
Пример 2. Пусть Н — семейство функций f(x)eC [0,1], т. е. непрерывных на отрезке 0<х<1. Ортогонализовать систему функций
£i = i; £8=*; £»=**•
Пользуясь процессом ортогонализации (35), последовательно находим:
ii = £i = l;
_1 / 1	\ 2
= =
'о	/
®i=———= 1;
Иц»
Ta = £2-(gj,	= fx.ldx>l=x~4- :
о
-У '
?1= —— h»ll
1 2
7з = £з-(£з, ?1)Т,-(£з, ?2)<р» = х*~ 1 р*-1 dx-О
!х - 1) dx
1 .
6 ’
г 1
2dx
1 ф
180 ’
6
о '	'
ИТзЯ Г \
Таким образом, функции
?1 = 1;	?, = /5(6х’-бх+ 1)
образуют ортогональную и нормированную систему функций на отрезке [0,1].
Теорема 3. Пусть
?з, <?,. ..., ?я, ...
78
ортогональная система функций с положительной нормой. Тогда каждая конечная совокупность этих функций линейно независима, т. е. состоит из линейно независимых функций.
Доказательство. Действительно, пусть функции f„i, фш, .... флг линейно зависимы и, следовательно,
’ • + «г ?лг = 0,
где, например, а,^0. Умножая это равенство справа на ?яь получим
фп1)+ «1(?П2, <₽nl) + •••+«, (fnr, ?nl)==0.
Отсюда, учитывая ортогональность функций и ®п при т 4= п, будем иметь
®1 (?П1, ?nl)=0.
Так как
(?«., <P«l)s||?nl |Р>0, то ®i = 0, что противоречит предположению.
Теорема доказана.
§ 5. РЯДЫ ФУРЬЕ
Рассмотрим ортонормированную систему функций {фл (?)} 4» = 1. 2, ...) в пространстве Н, т. е.
(фж, ф»)=у-(37) Q
Определение 1. Если f(q)eH, то числа
(я=1,2,...)	(38)
называются коэффициентами Фурье функции f(q) относительно системы (фя (<?)}, а формальный ряд
(39) nil
называется соответствующим рядом Фурье функции f{q\ Если функция f(q) разлагается в ряд вида (39) равномерно в 2, т. е.
Н<7) = £стМ7),	(40)
Ш = 1
79
то, умножая обе части равенства (40) на |*(?) и интегрируя почленно в области й, учитывая условие (37), будем иметь
J• ♦ f f(4)Wdq — 2 Ст(фж. фя)=с»; О	т-1
отсюда получаем
ся = ал») (Л=1, 2, ...).
Таким образом, в этом случае коэффициенты Фурье са представляют собой коэффициенты разложения функции f(q) по ортогональной системе функции {фя (я)}- Однако в общем случае коэффициенты Фурье, определяемые формулой (38), имеют смысл и тогда, когда ряд (39) не является сходящимся, или сумма его не равна производящей функции f(q).
Определение 2. Говорят, что ортонормированная система {фп (?)} полная в /7(7 и 10], если для любой функции f(q)sH выполнено равенство
fW = %cMq),	(41)
rt —1
где сходимость ряда (41) понимается как сходимость в среднем, т. е.
ЛГ	N
мт и/(q) - 2 м. (Я)II*	f • • ♦ f IЛЯ) - 2 Мл (Я) I2	«0.
^**QD	л-1	Q	Я=1
(42)
Иными словами, система {фя(?)} полная, если она образует базис простра нства И (§ 1). В этом случае коэффициенты Фурье сп можно рассматривать как координаты вектора f(q) относительно единичных векторов (ортов) (?) (»= 1, 2, ...).
Доказана полнота следующих систем [8]: нормированная тригонометрическая система Ц=- е'"*(п = 0, ±1, ±2, ...)
V 2х полна на отрезке — я < к < к; нормированные полиномы Ле-	|
жандра Ря(х) (п=0, 1, 2, ...) (гл. I, § I) образуют	?
полную ортогональную систему на отрезке —lCx<i; нормированные функции Чебышева — Эрмита hn (х) = «е 2 Нп(х) (n=0, 1, 2, ...) (гл. II, § 3) образуют полную 80
ортогональную систему на интервале — »<х< + оо; ортогональная система нормированных функций Чебыше-
ва—Лагерра /”(х)==Л.< 2 е 2 •£.£* (х) (ш=0, 1, 2, п; л=0, 1, 2,...) полна на промежутке 0 < х < 4- ос (гл. II, § 12); нормированные сферические функции (гл. I, § 14)
S“(«, <?)(лг = О, ±1, .... ±л; л = 0, 1, 2,...)
представляют собой полную ортогональную систему на единичной сфере {р = 1; 0 < <р < 2»: 0 •< 0 < к} и др.
Каждую из таких систем можно рассматривать как базис соответствующего гильбертова пространства.
Рассмотрим величину (квадратичное уклонение функции f(q) от ее полинома Фурье)
л'	{	N
*№=#/(?)-£ Мп Ws(	f(4)~
л-1	\
N	\
ст | m = l	J
где сп — коэффициенты Фурье (36) функции f(q). Используя свойства скалярного произведения и ортонормированность системы {<|»я (<?)}, находим
N
А* — (f(q), f(q)) - £ сп (ф„ (q), f (q)) -Л — 1
- 2	S	)m(q)}=
Л1 — 1	Л = 1 /П= 1
*	N
=lfW-2£	+	2>l">o-
/1 = 1	n = l	Л —1
(43) Отсюда
Л9 1
Переходя к пределу при7у->оо в последнем неравенстве, получим неравенство Бесселя
л— 1
81
В частности отсюда получаем, что св-»-0 при л-* оо.
Если система {/«(0) полная, то из условия (42) на основании формулы (43) имеем
ИтД„ = Шп [||/(?)|Р-V|c|’ l-IMP-SW-O. jV-*OC Л^-QO I	-Лв
L	л=1	л=1
(44)
Обратно, если для любой функции f(q)eH имеет место равенство (44), то система {фв(^)) полная.
Таким образом, ортонормированная система {<|»я(^)} является полной в Н тогда и только тогда, когда для любой функции f(q)eH выполнено условие полноты.
Я —1
Отметим важное свойство полной ортонормированной системы функций.
Теорема. Если система ортонормированных функций {фи} полная, то не существует ненулевой функции, ортогональной ко всем функциям нашей системы.
Доказательство. Пусть ф — ненулевая функция, такая, что
(ф, fr)-0 (л = 1, 2, ...).	(45)
Так как система (фя} полная, то функцию ф можно разложить в ряд Фурье
CD <р=2с"Тп-Я = 1
В силу соотношений (45) все коэффициенты Фурье сп равны нулю, так как
*« = (ф, ф»)=0 (л=1, 2, ...).
Отсюда на основании условия полноты будем иметь
hP=2i,.i*-o
я-1 «, следовательно,
ф=0, что противоречит нашему предположению.
Теорема доказана.
82
§ в. АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
л
Определение 1. Под оператором А в функциональном пространстве X со значениями в функциональном пространстве Y понимается правило (инструкция), с помощью которого каждому элементу xgX (или ее части) ставится в соответствие элемент Ax—y^Y. Связь между функциямих и у коротко записывается в виде формулы
А у=Ах, А
где оператор А рассматривается как символический множитель. Наглядно можно представлять себе, что А
функция у есть результат воздействия оператора А на функ-
А
цию х, т. е. у получается в результате преобразования А, выполненного над х [1, 7 и 19].
Пример 1. Пусть С(1) — совокупность функций /(х) не-прерывно дифференцируемых на интервале — оо <х<4- оо, а С — совокупность непрерывных функций на (—оо, + »).
Операция дифференцирования каждой функции /(x)gC(l) по определенным правилам ставит в соответствие функцию f (х) gC. Например, 1 -* 0; хг — 2х, ех -> е* и т. д.
Это соответствие есть оператор, в нашем смысле слова. Можно записать
лх)=£/(х), d
где — = D называется оператором дифференцирования, dx
Определим основные действия над операторами (алгебру операторов), предполагая, что соответствующие операции имеют смысл.
А А
1.	Оператор А = 1, оставляющий любую функцию f неизменной, называется единичным, т. е.
А
А
Под оператором аА, где а — любое комплексное число, понимается оператор, определяемый соглашением
(®A)f = a(A/).
Например, если
A/(x)=x2f(x),
83
то
2Л/(х)г=2х»/(х) и т. п.
л л
3.	Под суммой операторов А и В понимается такой ЛЛл
оператор С = А + В, который каждой функции / ставит в А л
соответствие сумму функций Af и Bf, т. е.
Л Л АЛ (A + B}f=Af+Bf.
Например, если
Л/(х)=х/(х) и Bf (x)=f (х), то
(Л 4- В)/(х)=х/(х) 4- f (х).
Из формулы (44) следует, что
Л Л Л Л
А -{-В =В + А. л л
4.	Аналогично определяется разность операторов А и В:
ААЛ А (А - В)=л/ - Bf.
Очевидно, АЛЛ	Л
А-В = А+(-\)В.
Л А
5.	Под произведением операторов А и В в указанном Л ЛА
порядке понимается оператор С=АВ, определяемый формулой: Л Л Л Л (AB)f=A(Bf).
Аналогично ЛА АЛ (BA)f=B(Af).
В общем случае Л Л Л Л АВ* ВА,
Л Л
т.	е. операторы Ли В не перестановочны (может
Л' Л
даже случиться, что один из операторов АВ имеет смысл, Л Л
а другой ВА смысла не имеет). Если выполнено равенство
84
л л
то операторы А и В называются перестановочными или коммутативными.
Пример 2. Пусть
Af(q) — qf(q) и Bf(q)—f'(q).
Тогда
ABf(q) = Af'(q)=q f' (q) И
BAf(q)» Bqf (q) = qf' (q) +f(q).
Следовательно,
AB + BA, если f(q)=£O, Л A
т. e. операторы А и В не коммутативны.
Отметим, что очевидно
Л Л	Л
\А — А.
Под произведением трех операторов А, В и С понимается оператор
Л ЛЛ л л л
ABCf=A(B(Cf)).
Л Л Л
Произведение трех операторов А, В и С обладает свойством ассоциативности
л л л л л л л л л
4ВС = Д(ВС)=С4В)С .
6. На основании правила умножения операторов естественно последовательно определяются степени данного оператора А:
Д’=Л (Д’);
Пользуясь операциями умножения на число, сложением, умножением и возведением в натуральную степень операторов, можно строить полиномы операторов. Например, если
85
А=— есть оператор дифференцирования, то однозначно dx
определяется такой оператор:
Л Л
Аг — 2А +-х и т. п. Л
7. Оператор А~1 называется обратным для данного опе-Л
ратора А, если выполнено условие
Л Л Л Л Л
ДД-1=Д-‘А = 1.	(46)
Обратный оператор имеется не всегда.
Пример 3. Пусть С<1! {0, + оо) — совокупность всех функций у = у(х), непрерывно дифференцируемых в промежутке [0, + оо) и таких, что _у(0)=0. Тогда для оператора дифференцирования D-—определенного в С<1), об-dx ратным является
D~ly =
Действительно, имеем:
ОО-*у = -^-|уе)Л«у(х);
D~lDy = J у' ОИ W-У (0)=У W. О
Л
Для существования обратного оператора А~1 для данного оператора А, действующего из пространства X={f} в пространство F={g}, достаточно, чтобы операторное уравнение
Af-g	(47)
для каждого g£Y имело единственное решение f= ^A-lgeX.
Действительно, из уравнения (47) имеем
AU'1 g) = Af = g. Далее пусть
Af==A6r
86
и Л а А~’ (А/)=/ъ
т. е. л л Afi — Af = h. л
Следовательно, уравнение Ах = h допускает два решения:-х=/ и xx=fv
На основании предположенного свойства единственности эти решения совпадают, т. е.
а-’Са/)^^. л Таким образом, обратный оператор А-1 существует и
действует из У в X.
Пользуясь свойством ассоциативности операторного ум-л л ножения, легко доказать, что если операторы А и В име-
ЛЛ ЛА
ют обратные операторы, то операторы АВ и ВА также имеют обратные операторы, причем
/ЛЛ\-1 л л
’АВ
= В-‘ А-1
и
Для данного оператора А, имеющего можно определить целые отрицательные
Л-’=(А-’)	(л>0).
для любых действительных
обратный А-1, степени
В этом
целых чисел k и
I будет справедливо правило умножения степеней АЛ Л А*Аг=А»+!,
А А
где А0 = 1.
А
Определение 2. Оператор А называется линейным, если он определен в линейном функциональном простран*
Л
стве ₽={f(v)} и имеет значения Af(q), принадлежащие также линейному функциональному пространству (Я или другому Ri), причем выполнены условия (аксиомы):
л	Л
Г A (a/) =«Af (а — любое комплексное число); Л	АЛ
2° A(/ + g) = A/+Ag.
87
В частности, А0=0.
А
Например, оператор дифференцирования А — — (при-ах
мер 1) линейный.
Из условий 1° и 2° получаем
А(«/ +	т A (W=^Af+?Ag
(а, р — произвольные числа), т. е. линейный оператор от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации от операторов этих функций.
л
Оператор А, для которого условия 1° и 2° не соблюдаются, называется нелинейным.
л
Например, пусть А есть операция возведения функции f в квадрат, т. е.
А Af=P.
Так как
A[f+g)—(f + g)'=f> + g'- + 2fg ^Af + Ag, A
если только fg * 0, то оператор А нелинейный.
§ 7. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ
А
Пусть 4 — линейный оператор, определенный в комплексном гильбертовом пространстве Я== {/} и имеющий значения в этом же пространстве, т. е. если feH, то
д/ея.	(48)
Для любой пары функций fug пространства Я определено скалярное произведение
(АЛ g)	Af dQ.
Q
Если выполнено соотношение
(А/, g) = (/,A*g),	(49)
A	А
то оператор А называется сопряженным с оператором А [7, 10 и 19].
А
Определение. Линейный оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным, т. е.
А А
А == А*.	(50)
88
Из формулы (49) получаем
U, g) = (/,4g),	(51)
т. с.
I • ♦ J gW dQ = f... f/Ц<)* dQ.	(51')
a	q
Таким образом, в скалярном произведении (51) эрмитов' оператор А можно переставлять с первого места на второе.
Пример 1. Пусть С(1)(—«>, +«>) — пространство непрерывно дифференцируемых на оси функций у=у(х), обращающихся в нуль на бесконечности, т. е. таких, что
у(± оо)= lim у (л) =0.	(52)
Х->±00
Тогда оператор
А=~,-	(53)
i dx
является эрмитовым в пространстве С(1).
Действительно, для любых функций fgC’’ и g£C^ имеем / Л \ +соЛ	i+ao
И/, g) = j g*Afdx = ± J g*-^-fdx.
— (JD	—OL
Применяя интегрирование по частям и используя условие (52), находим
Таким образом, оператор А (53) эрмитов. Этот результат имеет важное значение для квантовой механики. Заметим, что если в выражении (53) отсутствовал бы мнимый множитель 4, то соответствующий оператор не был бы эрмитовым.
Пример 2. Пусть О2) (£’) — пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций и=и(х, у, z) в эвклидовом пространстве Е* == {— оо < х < -|- оо, — ОО < у < + со, — oo<z< + оо); причем функции и регулярны на бесконечности, т. е. обращаются на бесконечности в нуль вместе со всеми своими частными производными первого порядка, которые имеют кратность нуля не ниже двух.
89
Докажем, что оператор Лапласа
дх» ду» дг»
эрмитов в пространстве С<2).
Для любых функций /бС(2> и £бС<2) имеем
(V*A g)= [ff g* (й + ft + ?i)dxdydz JJJ \д& dy* dz*/
— 00
И
(/. V*s) = fftf (%- + % + ^dxdyd,. JJJ \ dy* dz* J
— 00
Отсюда
+	+	(54)
Пусть Sp — гладкая простая поверхность диаметра р, ограничивающая объем Ир, который при р -+ оо заполняет все пространство Es; coset, cosp, cos7 — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности Sp.
Тогда
-®	Ир
Применяя известную формулу Остроградского [9] и учитывая регулярность функций f и g*- на бесконечности, получаем
(V2/, g)~(f, V’g)=lim ff [(£* ~ — /^p)cosa +
• -* 00 J J L \ ”X OX /
S4
+ (e*	/7^)008? + ^*	jcos 7 IdSp = 0.
\ ду ду /	\ dz dz / J
Следовательно,
(vV. g)—(f, V*g)-
Таким образом, оператор Лапласа v2 — эрмитов.
Укажем некоторые свойства эрмитова оператора.
1.	Единичный оператор 1, очевидно, эрмитов.
90
2.	Произведение kA эрмитова оператора А на действительную постоянную k есть также эрмитов оператор.
В самом деле, имеем
(М, g) = * ( Af, g) = k (/, Ag) = (f, kAg), так как k*=k. Л Л	Л	Л
3.	Сумма А + В двух эрмитовых операторов А и В есть также эрмитов оператор.
Действительно, используя линейность операторов А и В , получаем
(Ц+в)/, g)=Uf+ ^g)=U/,g) + (B/, g) = =(f, Ag)4-(/, Bg) = (/, Ag + Bg)= (f,(A + s)g), Л A т. e. A + В — эрмитов оператор.
Так как Л Л Л	А
А — В = Л+(-1)В, л а	л л
то разность А — В двух эрмитовых операторов А и В есть также эрмитов оператор. АЛ	Л Л
4.	Произведение АВ двух эрмитовых операторов А и В есть эрмитов оператор тогда и только тогда, когда опера-л л
торы А и В перестановочны (коммутируют), т. е. Л А АЛ АВ » ВА.	(55)
Л л
Действительно, если операторы А и В эрмитовы, то имеем
АЛ
Отсюда получаем, что для эрмитовости оператора АВ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие (55).
Как следствие, вытекает, что целые положительные степени А А А Л. Л» / Л. \ Аг = АА-, А* — А\Аг ), ... л.
эрмитова оператора А есть также эрмитовы операторы.
5.	Если эрмитов оператор А обратим, то обратный опе-л
ратор Д-1 есть также эрмитов.
91
Действительно, если А эрмитов оператор, то имеем (а-‘Г, я) = (а-‘/, аа~хg) = (ал-1f, л-'г) = = (/. A-1 g) .
Следовательно, оператор А-1 эрмитов.
$ 8. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть Н — комплексное гильбертово пространство и л
А — линейный оператор, определенный в Н.
Определение. Все те числа К комплексной плоскости, при которых операторное уравнение
A?s=Xy	(56)
имеет ненулевые решения yg/f (|| <р || ¥= 0), называются соб-
А ственными значениями оператора А, а соответствующие функции <р называются собственными функциями этого оператора, отвечающими параметру X.
Л
Совокупность всех собственных значений оператора Д л обычно называется его спектром. Спектр оператора А может быть как дискретным, т. е. состоящим из отдельных точек комплексной плоскости, так и сплошным, охватывающим целые области этой плоскости. Возможны также случаи смешанного спектра: частично дискретного, частично сплошного.
Если Ф есть нормированная (Цф|| = I) собственная функ-л
ция оператора А, соответствующая собственному значению X, то из формулы (56) имеем
(Дф. ф)вМФ, Ф); отсюда
Хв(д|, ф).	(57)
Если есть собственная функция линейного операто-л
ра А, соответствующая собственному значению X, и число с ф 0, то су есть также собственная функция оператора А , соответствующая тому же значению X. Действительно, в си-А
лу линейности оператора А имеем Л	Л
А (с®) = сАу=X (с<р).
92
Пусть Ях = (<р} — совокупность всех собственных функций линейного оператора А, отвечающих одному и тому же собственному значению X.
Лемма. Множество функций Rx с присоединенной нулевой функцией f=0 образует линейное функциональное пространство/?=Ях 4-0.
Действительно, если <?qR и с — любое число, то или или с<р€^л. т. е. cy^R.
Далее, если <fi€R и то, учитывая, что
А
ло=хо,
для любой линейной комбинации
?=<ri<Pi4-fi,Pt имеем Л	А	А
= С'АЧт, 4- М?» =	4- c?X<fj == х<р.	(58 >
Следовательно, ?€«•
Таким образом, функциональное пространство R = R>. 4*0 линейное (§ 1).
Число линейно независимых собственных функций, соответствующих данному собственному значению X фазмер-ность пространства R=R?4-0) называется степенью вырождения этого собственного значения. Если размерность пространства R конечна и равна /п, то в /?х существуют ровно т линейно независимых собственных функций <р(, ?»> •••, Т«; причем всякая собственная функция ?eRx есть нетривиальная линейная комбинация этих функций, т. е.
? = <?1?14-С1?2'I--
где
|с,| 4- |с8 j 4-1- |с«|| =# 0.
Пример. Найти собственные значения и собственные функции оператора
А 1 н
(59)
определенного в пространстве С<п(—оо, 4-оо) непрерывно дифференцируемых функций у=у(4 ограниченных на оси — оо < х < 4~ оо.
Для определения собственных функций <ji(x)eC<‘> в силу формулы (56) имеем дифференциальное уравнение
4-а-Ч	<6О>
93
Отсюда получаем собственные функции
Ф(х)=сеи (с=£0).
Из условия ограниченности на интервале (— оо, -}-оо) решений ф(х) вытекает, что к —любое действительное число. Следовательно, оператор (59) имеет сплошной спектр
— оо < А. -f- оо.
Отметим основные свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов.
Теорема 1. Все собственные значения эрмитова оператора действительны.
Доказательство. Пусть А — некоторое собственное л
значение эрмитова оператора А и <р — соответствующая собственная функция, т. е.
Дф==Хф,	(61)
где ® #= 0. На основании определения эрмитова оператора имеем
(ду, <р) = (ф, д?).
Отсюда, используя равенство (61), находим
(Ху, ф)=(ф, Х<р) или
Х(ф, <р) = к*(ф, ф).
Так как (ф, ф) ¥= 0, то из последнего равенства получаем
Х = Х*, т. е. X — действительное число.
Теорема 2. Собственные функции эрмитова операто-
ра А, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.
Доказательство. Пусть
ДфавХф и Дф = рф,	(62)
где	X ¥= р и ф=#0, ф #= 0.
Имеем
( Дф, ф) = (ф, Дф) или
(Хф, ф)=(ф, рф).
94
Так как X и ц —действительные числа, то из последнего равенства получаем
*(?, ф)=р(<?, ф) и, следовательно,
(к —|*)(<р, ф) = 0.
Учитывая, что X —р¥=0, окончательно имеем
(?, iO = J • • • J ?Ф*	“ о,
Q
т. е. функции <р и <|» ортогональны (§ 2).
Замечание. В случае вырождения собственного значения X эрмитова оператора А нельзя гарантировать, что любые соответствующие собственные функции его ортогональны.
Однако, если собственному значению X отвечает конечное или счетное множество линейно независимых собственных функций
Л то процессом ортогонализации (§ 4) для оператора А можно построить соответствующую ортогональную систему собственных функций
Фп I2...
где
(ф«, Ф„) = 0 прилгу Я.
§ 9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КОНЕЧНО-МЕРНОМ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А
Предположим, что линейный оператор А действует из конечно-мерного гильбертова пространства Нт размерности т в это же пространство- В Нт любая совокупность т линейно независимых функций .... из Нт образует базис пространства Нт. Для простоты будем предполагать, что этот базис ортонормированный (см. § 4). Чтобы л
задать оператор А в пространстве Нт, достаточно указать, л
во что переходят при преобразовании А базисные функции л
т. е. достаточно определить функции А?ь ...
.... Афя,. Так как, по предположению, л
A<DieHm (1=1, .... т),
95
то
л л<р<» Xa,*f*	с®)
(<*1, .... /и), л где Oi*(£ = l, ..., т) — координаты функции Ац в данном базисе. Умножая скалярно обе части равенства (63) на т) и используя свойства скалярного произведения, будем иметь
(л*, ?/)=£«»(?*. ?/). *-1
Отсюда, учитывая, что
(?*, получим
а(/ = (д<р/, ?/) .	(64)
В общем случае, если базис ЧР>, не является ор-тонормированным, то ау представляет собой /-ю координату функции Ayi в представлении (63).
Матрица
4 = («//)	(65)
А называется матрицей оператора А в базисе (в представлении) <Pi, ..., Vm. Эта матрица полностью определяет оператор А, так как если f — произвольная функция из Нт с координатами q, ..., ст, то т f= ъ
и л	/\	т	т т
Af = Vci A<fi «=	2	== S<P/ S* Лц •
я	I«1	/-1	/=1	1-1
А
Таким образом, Af есть функция с координатами
(/»=!, ..., ш).	(66)
i=i
Обратно, каждой матрице А соответствует вполне определенный линейный оператор А в пространстве с базисом fi, fi.... f«-
96
Легко проверить, что алгебре операторов (§ 6) соответствует такая же алгебра матриц.
Определим собственные векторы m
<67> /-1
(Ж	\	А
I
7 , | с, | Ф ОI оператора А. Функция ф находится как не-нулевое решение операторного уравнения
А
Дф = лф, где л — некоторое число {собственное значение оператора а). Отсюда на основании формул (66) и (67) получаем т т	tn
/-1 i-1	/-I
или m	/ m	\
S ?/1 S A aif —	I e 0-	(68>
/-1	M-l	/
Так как функции <р> линейно независимы, то из формулы (68) находим
т
^a.fCi -kc/==0 (/==1, .... да)
ИЛИ т
(/=1, .... да).	(69)
Таким образом, координаты cf(t=sl, ..., да) собственного вектора ф представляют собой ненулевые решения однородной системы (69). Из алгебры известно, что линейная однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Отсюда
Л для определения собственных значений оператора А получаем уравнение |5)
		det (а{/	-К8//) = 0		
или в раскрытом		виде			
	ап — /.		• • •	&1п		
	а21	«2» - X	• . .	Л2л	= 0.	(70)
	йП1	&п2	• • •	Япя —		
97
Уравнение (70) называется характеристическим, или вековым уравнением матрицы А. Каждый корень К/ (/!,п) векового уравнения является собственным значением оператора А; ему соответствует одна или несколько линейно независимых собственных функций ф, координаты которых определяются из однородной системы (69) при К «К/. Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Всякий линейный оператор в конечно-мерном гильбертовом пространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
Следующая теорема характеризует простые корни векового уравнения.
Теорема 2. Собственные функции ...,	опе-
л
ратора А, соответствующие простым корням кх, ..., л* векового уравнения его матрицы А, линейно независимы между собой.
Доказательство. Пусть функции ..., линейно зависимы, причем
ci?i 4"	+	=	(71)
где q #= 0.
Л
Применяя к тождеству (71) преобразование А, находим АЛ	Л
ctA<ti + c2A<f2 +-h ck Аун=0
л
или, так как Ау/ = 1,у/ (/=1, .... /и), то
Н----1- с* *•*?*"= 0.	(72)
Из равенств (71) и (72) можно исключить . А именно, почленно вычитая из равенства (72) равенство (71), умноженное на Ъ*, будем иметь
(к. — к*)<рх + сг(к, — kft )f2(k*-i — к* )?*—1 =0*
Аналогичным путем можно исключить ®*_i , ..., <р2. В результате получим
С\ (кх — к* )(kj k*_i) ...(kj — kg) =0.
Последнее равенство противоречиво, так как ни один из его сомножителей не равен нулю.
Следствие. Если все корни векового уравнения матрицы А простые, то собственные функции соответствующего
Л
оператора А образуют базис конечно-мерного функционального пространства Н„ (собственный базис оператора а) .
98
Если среди корней векового уравнения Ху имеются кратные, то собственные функции соответствующего оператора л
А могут не образовывать базиса, пространства Н. В алгебре доказывается, что при Х=Ху система (69) имеет линейно независимые решения, число которых не превышает кратно-ности этого корня. В частности, если корень К/ простой, то. система допускает лишь одно линейно независимое решение и, таким образом, простому корню векового уравнения (70) соответствует с точностью до коэффициента пропорциональ-
А
ности одна собственная функция оператора А.
Пример 1. Пусть — совокупность действительных квадратных трехчленов
/=^в + ClX + CtX»
на отрезке 0 < х < 1 и D=~—оператор дифференцирова-dx
ния. Требуется определить собственные значения оператора D.
В качестве базиса здесь принята система функций:
£2 = **.
Так как
Df—cx 4- ‘2с&,
то для определения собственного значения К имеем уравнение
с, 4- 2cjX s X (с0 4- схх 4- с,х1).
Отсюда
— XcjX* 4- (2с, — Хсх) х 4- (сх — Хс,) к 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при х2, х и Xе, имеем
систему:	— Хс, = 0; 2с,-Хсх = 0;	(73) ся — Хс0 = 0. •
Отсюда получаем вековое уравнение
	— К	0	0	
	2	— К	0	=0.
	0	1	— к	
Следовательно,				
		к3®	= 0,	
т. е. единственное собственное значение оператора D есть
99
Полагая к=0 в системе (73), получаем систему для определения координат ct, си ct собственной функции 4»:
0=0;
<л = 0;
<\ = 0.
Отсюда г2=0; с1»0; се=с^0. Таким образом, собственный вектор оператора D есть
ф = <? (tfsjfcO).
Действительно, имеем очевидный результат Оф=0=0<|>.
Пусть оператор А эрмитов, т. е. для любых функций feHm и g^Hm имеем
(л/, g)=(/, Л#).
На основании формулы (64) получаем
ац = (л?/,	) = (ф/, Л <р/) — (л?,, ф>)
т. е.
а/. = а^.	(74)
Матрица Л»(а</), элементы которой удовлетворяют условию (74), называется эрмитовой. Если элементы ма-л
трицы Л действительны, то имеем просто
® /< — O,ij, т. е. матрица с действительными элементами эрмитова тогда и только тогда, когда она симметрическая.
На основании соотношения (74) получаем следующий л
результат: эрмитовому оператору Л в любом ортонормированием базисе соответствует эрмитова матрица1 Л=(а</) и обратно, каждой эрмитовой матрице Л отвечает некоторый А
эрмитов оператор Л.
Л
Так как все собственные значения эрмитова оператора Л действительны (§ 8, теорема 1), то для эрмитовой матрицы А — (ац) ее вековое уравнение
det (а17 — Х80)=0	(75)
имеет лишь действительные корни.
В общем случае число линейных независимых векторов матрицы А может быть меньше размерности т простран
1 Можно доказать, что в любом представлении (не обязательно ортогональном) матрица эрмитова оператора эрмитова.
100
ства Нт. Если же матрица А эрмитова, то число линейно независимых ее собственных векторов в точности равно размерности пространства [5].
Теорема 3. Каждому корню векового уравнения эрмитовой матрицы А соответствует столько линейно независимых собственных функций отвечающего ей оператора Л,, какова кратность этого корня.
Доказательство. ПустьХь Xj,..., X»(Л<от) — попарно различные корни векового уравнения (75), которые все действительны, и аь а»,..., а* — их соответствующие кратности, причем
®i 4“ +• • • 4- = от.
В от-мерном пространстве Нт согласно теореме 1 имеет-л
ся хотя бы одна собственная функция <|»i оператора А; пусть она соответствует собственному значению X, (этого всегда можно добиться путем надлежащей нумерации корней векового уравнения). Рассмотрим множество Hm-i = {/} всех функций f, ортогональных к функции т. е. таких, что (6 Ф1)=0.
Множество Hm-i образует (от — 1)-мерное гильбертово пространство. Действительно, если	и с — произвольное
число, то имеем
4»1)=0.
т. е. cj ьНт-\. Аналогично, если	и gGHm-i, то
получаем
(f + g, W-tf. ♦») + (£, ф,) ==0-f-0 = 0,
т. е. (f 4- g)GHm-i. Кроме того, Hm-t инвариантно относи-л	Л
тельно преобразования А, т. е. если	то AfeHm-i-
В самом деле
(ДА +.)«(/,	Ф1)==0,
л
т. е. AfeHm-i.
Таким образом, пространство Hm~i обладает свойствами пространства Нт, и следовательно, в нем снова найдется собственная функция оператора А, которую можно выбрать ортогональной к |i. Собственная функция <|>2 соответствует некоторому собственному значению, принадлежащему спектру X], Х,„... К*. Повторяя это рассуждение, в конце концов получим для оператора А систему попарно ортогональных собственных функций
Ф1, Фж.
101
где число линейно независимых функций для собственного значения X, равно 0/ (/ = 1,2.k}, причем
₽i +?г +----|-0*=m.
Так как 0/<ву (/= 1, 2,..., Л), то отсюда получаем 0у=ву (/= 1, 2,..., Л), что и требовалось доказать.
Следствие 1. Для эрмитова оператора степень вырождения собственного значения совпадает с кратностью его в вековом уравнении.
л
Следствие 2. Для эрмитового оператора А в пространстве Иа существует ортогональный базис, состоящий из л собственных функций оператора А.
Заметим, что матрица Л = (а,/) эрмитова оператора А в его собственном ортонормированном базисе ..., фя> диаго-нальна.
Действительно, имеем а,у=(Лф/, ф/)==(Х,- Ф,- , Ф/) = ^ 8</ и, следовательно, /X, О ...	О \
я_| О ...	О \
\0 о ... хж/
где каждое собственное значение Ху (/ = 1,.... т) повторяется столько раз, какова его кратность.
§ 10. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Рассмотрим линейный оператор Л в бесконечно-мерном пространстве Я® = 77 с ортонормированным базисом Ф»,...» ?», •••
По аналогии с конечно-мерным случаем (§ 9) полагаем
...).	(76)
k-i
Умножая равенство (76) справа на «Р/ и пользуясь условием ортонормированности
(?< . Ф/) = 8/у.
102
будем иметь д	00	00
(л?/, )= 2	> т/ )я₽2 а<*8*/=а/л
*-i	*_1
А
Следовательно, координаты функции A<f{ в базисе ?ь <Р,,... равны
> ?/) (i,/»1, 2,...).
Бесконечная матрица
. dim . . . \
. . . .......................|,	(77)
fyni &т2	• • • dmm • • • /
Л
называемая матрицей оператора А, полностью определяет
А
этот оператор и является представлением оператора А в данном базисе <рл, ... Л
Если оператор Л эрмитов, то имеем
Лд = (Л«Р/, ®z) = (f/, A<t() * (Аъ . ?/) .
т. е.
аД — ai j-
Таким образом, матрица эрмитова оператора эрмитова. Пусть 00
(ИФ1К0)
Я=1
— собственная функция оператора А, отвечающая собственному значению X., т. е.
л Дф = Хф.
Так как
д	во Л	QD	00	00 СО
/п—1	m—1 л=1	л—1	m—1
то имеем во со	со
л=4	m—1	л— 1
103
или
□о / оо	\
( X а'""С" — ^и)=0-
Отсюда ввиду единственности разложения нулевой функ~ ции по функциям базиса ?t, ф»,... для определения коорди* нат ся (л=е1, 2,...) получаем бесконечную систему уравнений
ОО
^2	) =а ®
т—1
(«=» 1, 2, ...)
ИЛИ
со
X (^1яя ~ Х2ЖЯ) Ст == О
m=1(n = l, 2,...).	(78)’
Как известно, конечная однородная линейная система
имеет ненулевые решения лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Формально перенося этот результат на бесконечную систему (78), для определения X получаем вековое уравнение, левая часть которого представляет собой определитель бесконечного порядка:
(Хц X <Zjt ...
agl a2»-X ... «=0.	(79)
Такой определитель нужно рассматривать как предел при
/В -»• оо	определит Am(X)=	еля au k (hi	а12	• • • Л22	•	&1т &2т
(m=l,	2,...) коне	&ml	От2	• • • чного порядка т, т. е.		йтн
A(X)=lim Ат(Х). т*оо
Если Хг=Х0—корень уравнения (79), для которого одно-’ родная система (78) имеет ненулевое решение то Xq
А
есть собственное значение оператора А, а |0 является соот-, ветствующей собственной функцией этого оператора.
А
Если оператор А эрмитов, то все корни векового уравне-: ния (79) действительны, а линейно независимые собственные функции можно считать попарно ортогональными.
104
Для квантовой механики представляют интерес эрмитовы операторы А, допускающие счетное множество собственных значений Ц, кг,кя,для которых соответствующая орто-нормированная система собственных функций	•••
полная. Среди значений кя могут быть вырожденные, причем каждое из них повторяется столько раз, какова его кратность (степень вырождения).
Принимая систему собственных функций <h, ф»> за базис пространства Н, находим
aD= (М- Л/)в <М/ > Ф/) = х< •
А
Отсюда матрица оператора А имеет вид
/ к, 0 • • • \
А=( 0 к2 . . . )•	(80)
Таким образом, в собственном представлении эрмитов оператор А изображается диагональной матрицей (80), где элементы на главной диагонали есть собственные значения этого оператора.
§ 11. СВОЙСТВА КОММУТИРУЮЩИХ ЭРМИТОВЫХ ОПЕРАТОРОВ
л
Пусть эрмитов оператор А имеет дискретный спектр
к,, к2,..., кя,...,	(81)
где все собственные значения обладают конечной степенью вырождения, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность. Тогда в силу теоремы 2 из § 4 и замечания к ней можно построить ортонор-мированную систему функций
Ш	(82)
где
(?m. ?«) = S»i«-
Мы будем предполагать, что система собственных функций (82) является полной (§ 5).
Рассмотрим другой эрмитов оператор В с дискретным спектром
Рь Ра,...» Ря,...	(83)
105
Теорема 1. Если эрмитовы операторы А и В коммутируют между собой
Л Л АЛ
АВ=ВА,	(84)
то существует полная ортогональная система собственных л
функций оператора А, все элементы которой являются собственными функциями оператора В, т. е. существует полная система общих собственных функций операторов А и В.
Доказательство [15]. 1° Пусть X. — произвольное соб-л
ственное значение оператора А и —любая, отвечающая ему собственная функция, т. е.
л
А<? = Х<р.
Л
Действуя на это равенство оператором В и учитывая условие коммутативности (84), будем иметь
В (А)=А (в?) = X (вф).	(85)
Л	Л
Отсюда следует, что или В#=0, или Вф есть собственная л
функция оператора А. л	Л
Итак, если оператор В коммутирует с оператором А и
ф — собственная функция оператора А, соответствующая Л
собственному значению X, то В<? 0 есть также собственная Л
функция оператора А, отвечающая тому же собственному значению X.
2° Перейдем теперь к построению общей системы собст-л л
венных функций для операторов А и В.
Пусть сначала Х£ — простое (невырожденное) собственное значение оператора А и ф/ — соответствующая собственная функция.
Л	Л
Рассмотрим функцию Вф,- . Если Вф/—О, то ф,-, очевидно,
Л Л
является общей собственной функцией операторов А и В, так как при надлежащей нумерации спектра {р/I имеем
л
Ah = к< ?<
106
и &ti хер.,. , Л	л
где =0. Если же В<р,- =# 0, то В?/ есть собственная функ-Л
ция оператора А, отвечающая собственному значению Xz . Л
Так как значение простое, то функции <ft и В?, линейно зависимы, т. е.
Вер,.	(86)
где k — некоторый числовой множитель. Из формулы (86) л
вытекает, что <р(- есть собственная функция оператора В, соответствующая некоторому его собственному значению ftasp,1 (при надлежащей нумерации). Таким образом, каж-л
дая собственная функция оператора А, соответствующая простому собственному значению X, , является также собст-Л
венной функцией ф, оператора В, т. е.
Ф/ =Ъ • 3° Пусть теперь Х{=Х есть кратное собственное значе-Л
ние оператора А со степенью вырождения m(wi>l)
X/ = Х, + 1=- • • = Х;+я_ J	X
И ?,• — ?<0; ?/+1 = т*2’, .. •, f i+m-I=^m) — отвечающие этому собственному значению его линейно независимые собственные функции, которые можно выбрать ортонормированными. На основании доказательства 1° функции
...,Вф<'п)	(87)
л
или нулевые, или собственные функции оператора А, отвечающие значению X. л
Совокупность всех собственных функций оператора А, соответствующих одному и тому же собственному значению X, вместе с присоединенной нулевой функцией /=0 образует линейное пространство размерности т (§ 8), где функ
1 Так как спектр {ру} представляет собой совокупность всех собст-л
венных значений оператора В, то число k должно быть точкой этого спектра.
107
ции <p(ft) (ft=l,...,m) представляют собой его ортонорми-рованный базис (§ 1). Поэтому ityft (7=1, т) являются линейными комбинациями функции (ft —1,т), т. е.
Л * 2	(88)
(7=1....т),
где — некоторые постоянные.
Из формулы (88), учитывая ортонормированность функций <pw (ft=l,..., т) будем иметь а%=(в<^, ?<*>).
л
Так как оператор В эрмитов, то отсюда получаем =	’	(89)
Рассмотрим ненулевую функцию вида
(90)
л очевидно, являющуюся собственной функцией оператора А, принадлежащей собственному значению X. Подберем, если это возможно, коэффициенты Ьц так, чтобы функция ф вместе с тем являлась собственной функцией. оператора В, принадлежащая некоторому собственному значению р, т. е.
Вф=рф.	(91
Л
В силу линейности оператора В, учитывая соотношения (88), имеем як	tn	tn
Bty =	bk ByW S= 2^2
*-l	*=1	{si
Отсюда, изменяя порядок суммирования, получаем Ш	Я1
=	(92)
Z-1	*-1
Подставляя выражение (92) и (90) в формулу (91), находим
Я1 т	т
z-t
108
или
Так как функции у<1) (/= 1,...» т) линейно независимы, то из последнего равенства вытекает, что все коэффициенты' при должны быть равны нулю. т. е.
2да-л)-о
(/=1..т).
Таким образом, для определения коэффициентов Ьк (Л = 1.т) имеем однородную систему линейных уравнений
У} (aw — Р8«) bk—Q.	(93)
*-1
Система (93) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель
Л (р)» det (а<« - И8«)=0.	. (94)
Корни уравнения (94), очевидно, являются элементами спектра {р/} оператора В и при соответствующей нумерации точек этого спектра могут быть записаны в виде
Р/ , Р<+1. Pz+m-l, где каждый из корней повторяется столько раз, какова его кратность. Корни р/ как собственные значения эрмитова л
оператора В действительны. Для всякого корня р/(/«=*.-•• • • • > z-4-m — 1) система (93) имеет ненулевые решения Ь^, причем
т
Ф/ = V	(95)
k~l по построению являются общими собственными функциями л Л операторов А и В.
Так как матрица А = (а<$) в силу соотношения (89) эрмитова и уравнение (94) есть вековое уравнение этой матрицы, то среди функций ф/ имеется ровно т линей
109
но независимых (§ 9, теорема 3), которые можно считать попарно ортогональными и нормированными (§ 4).
В результате доказательств 2° и 3° построена полная ортонормированная система функций ф„ (/г = 1,...) со следующими свойствами:
Лфяв=хлф„;
Яфя==няфя.
(96)
где значения пронумерованы соответствующим образом..
Л Л
Следствие. Если эрмитовы операторы А и В коммутируют для всех собственных функций одного из них, принадлежащих к одному и тому же собственному значению, то эти операторы имеют общие собственные функции. Этот результат вытекает непосредственно из доказательства теоремы.
Замечание. Совокупность значений ря, удовлетворяющих Л
равенствам (96), образует весь спектр оператора В, причем каждому собственному значению ря соответствует столько линейно независимых функций фя. какова степень вырождения значения ря.
Л
Действительно, пусть р — элемент спектра оператора В, отличный от ря (л=1, 2,...). Тогда собственная функция ф оператора В, отвечающая собственному значению ф, будет ортогональна ко всем функциям фя (§ 8, теорема 2), т. е.
(ф. фп)=О (п = 1. 2, ...).
Отсюда ввиду полноты системы функций (фя} получаем (§5) ф 3S О, что противоречит определению собственной функции.
Аналогичный результат получается, если предположить, что число линейно независимых собственных функций фя, соответствующих одному и тому же собственному значению ря
Л оператора В, меньше степени вырождения этого значения.
Теорема 2. Если существует полная система
Фь Фг, Ф.....
л общих собственных функций двух линейных операторов А Л
и В, то эти операторы коммутируют между собой.
ПО
Доказательство. Действительно, пусть
Дфя = >.яфя и Вфя = ряфя	(97)
(л =1, 2,...). Каждую функцию f е Н можно разложить в ряд Фурье
QO
Я—1 ЛЛ лл Отсюда, действуя оператором АВ — ВА на функцию Л в силу (97) будем иметь /ЛЛ ЛЛ\ AAV	ЛЛ AV
\АВ — BA)f= АВ 2л ся <bn — BAf=zA 2i^^n — п	п
В 2 ^Я фя == 2 ^Я Ря ^Я фя ^Я *'Я Ря £я = 0. я	я	я
Следовательно, ЛЛ ЛЛ АВ = ВА.
§ 12. ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Рассмотрим последовательность функций п при |л| < —
Пя(*) =
О при 1*1 >
(л — 1, 2, 3, ...). Очевидно
У Пя(х)4л=1.
(98)
8(x)=lim П„(х).
8(х) = (° ПРИЖ*°
(99)
Положим
Тогда получим
I оо при х=и
Формально будем предполагать, что интегральное соотношение (98) сохраняется и в пределе, т. е.
+00
J 8(x)dx=l.	(100)
111
Функция, определяемая формулами (99) и (100), носит название функции, Дирака или ^-функции.
Строго говоря, 8(х) не является функцией с точки зрения классического анализа; это так называемая обобщенная функция.
Пример. Пусть случайная величина К принимает значение а с вероятностью Р— 1 и любое значение х ¥= а — с вероятностью Р»0. Плотность вероятности р(х) этого распределения, очевидно, можно выразить формулой р(х) = 8(х-а);
причем
+ 06 j p(x)dx=l.
—QD
Отметим одно полезное свойство 8-функции: если /(х)сС(— ® , 4-оо), то
+00
f f(x)8(x-x0)<fx«f(x.).	(101)
—00
Действительно, учитывая, что
— *о) =
= lim (f (х) -/(х,)] П„ (х - х0) = О, П*»®
имеем +®	4-ао
f f(x)8(x-x0)</x=s J [f(x)-f(xe)J8(x — Xe)dx4-— 00	—00
4-00
+ j 8(х — xt)dx=04-/(xe) l=f(xe). —®
В квантовой механике важную роль играет оператор умножения
4/(х) = х/(х), где /(х)—непрерывная функция, абсолютно интегрируемая при — <х< + °°.
Так как х — действительное число, то этот оператор эрмитов. В самом деле, для любых функций f (х) и g (х) из нашего пространства получаем
\Af(x), g(x))= J x/(x)g*(x)dr =
= J f(x)\xg (x)J*dx = (f(x), Л^(х)).
—QD
112
Для определения нормированных собственных функций Ф(х) оператора А нужно решить уравнение
Лф(х)==1ф (х) или хМх)«М>00.	(102)
где +® У |ф(х)|24х=1.	(103>
—00 Из уравнения (102) выводим (х-к)ф(х)=0.	(104)
Очевидно, число 1 действительное, так как в противном, случае мы бы имели <|> (х) == 0.
Пусть К — какое-нибудь действительное число. Из уравнения (104) и условия (103) имеем:
ф(х) = О при х=#Х и ф(х) = во при х=к. Следовательно, в качестве собственных функций оператора Л А можно принять семейство функций фх(х) = 8(х-к).
Л
Таким образом, оператор. А имеет сплошной спектр — 00 < к<-|-оо .
Заметим, что для собственных функций (х) выполняется обобщенное условие ортонормировки
+00
У М*)	(Ю5)
—00 где
8	( О при А #= [1
и ( 1 при k = tx
Упраженения к третьей главе
1.	Пусть С — совокупность функций f(x), непрерывных на отрезке (с, и
ь ||/||=У [f(x)|dx. а
Показать, что С есть нормированное линейное пространство.
113
2.	Ортогонализировать систему функций: £1 = 1;	£»=**;	£з=^
на отрезке |0, 1].
3.	Построить ряд Фурье функции
относительно полиномов Лежандра Рп(х) (п = О, 1, 2, где — 1 < х < 1.
4.	Пусть
Д = -^---2ху-4-х2.
dx* dx
АЛАА	А
Найти Д1, Дх, Дх2, Ав*. Чему равен Д’?
5.	Пусть
где уъС [1, 4-оо) и у(1)=0. Найти Д’, А*, Д-*.
6. Найти
7. Найти собственные значения и собственные функции оператора
A-*-, dx?
определенного в пространстве ограниченных функций:
jf(x)eC<2>(— 00, +со); Iу(х)|<4-00.
8.	Пусть /=/(х, у)еС(£8). Найти собственные значения оператора проектирования
Pf(x, y)=f(x, 0).
9.	При каких условиях дифференциальный оператор
H+<+’w'
где />(х), <?(х)е	[a, является эрмитовым в классе функ-
ций у(х)вС*[а, 6]?
10.	Приближенно найти первые два собственных значения оператора Лагранжа
в пространстве четных ограниченных функций у(х)е еС(2)(— 1,1), приняв за базис функции
fR = cosnnx (л=0, 1, 2,...).
Глава IV
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. НЬЮТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В декартовом пространстве OX^XjX, рассмотрим конечную систему материальных точек (частиц) ягз/(*з/-2. Х3/-1, Хз/) (/=1, ... , N) с постоянными массами тц.
Пусть
*	3‘	\dt ’ dt I
И
hi-^—hi-г it. X, x); it, x, x); hi—fait, x, x)
(1)
— проекции внешних сил, действующих на частицу т3} в момент времени t. Тогда, полагая для удобства записи
Л13у_2= /Л3у_1 = Шз/,
на основании закона Ньютона дифференциальные уравнения движения нашей системы могут быть записаны следующим образом:
*’ *) <2)
(у==1....зло.
Если для начального момента времени заданы координаты Xf (/0) == Х/о и скорости Xj (tt)s=xfi (J = 1,..., 3N) точек системы, а функции // достаточно гладкие (например, непрерывны по совокупности переменных t, х, х и имеют непрерывные производные по ху. и ху.), то дифференциаль-
115
ные уравнения (2) дают возможность однозначно определить состояние системы
х/0; Xj(t} ..... ЗЛО
для последующих моментов времени t > t%.
Обычно бывает, что на положения и скорости точек системы накладываются известные ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями [4]. Такие системы называются несвободными в отличие от свободных систем, когда связи отсутствуют. Мы ограничимся случаем голономных (недифференциальных) связей вида
gz(/, х) = ° (/-1,(3)
Если положение системы характеризовать точкой х«= =(xv..., хЗЛ1) эвклидова пространства ЕЗЛ (фазовое пространство системы), то наличие связей (3) эквивалентно тому, что движущаяся точка х в момент времени t должна находиться на некоторой поверхности или линии пространства Е3^. Если связи (3) не зависят от времени t (стационарные связи), то эта поверхность (линия) постоянна (не перемещается в пространстве).
Величина
k=3N — n
называется числом степеней свободы данной системы. На основании уравнений связи (3) п координат, например последние лЗЛ_п+1, ..., хЗЛ„ можно выразить через 3N — п координат хи ..., x3N_n, которые будут независимыми. Таким образом, число независимых координат системы совпадает с числом ее степеней свободы.
Пример 1. Пусть при движении пары точек «i(xi,xs, х3) и /я2(х4. xi> хе) расстояние между ними остается неизменным и равно I. Тогда уравнение связи есть
(х3 — х,)3 4- (х, - xtf 4- (х, - xt)3 = Р.
Здесь число степеней свободы к = 6— 1=5.
Во многих задачах применение декартовых прямоугольных координат является неудобным. Например, в задаче двух тел о движении одной планеты под действием центрального светила дифференциальные уравнения движения упрощаются, если вместо прямоугольных координат ввести полярные, выбранные в соответствующей плоскости. При наличии связи выгодно вводить криволинейные координаты так, чтобы требование связи сводилось к постоянству одной из этих криволинейных координат. Поэтому в общем слу-116
чае систему с к степенями свободы определяют с помощью к независимых обобщенных (криволинейных) координат
Чх... Як-
Декартовы прямоугольные координаты xf [j=\,..., 3N) точек системы выражаются известными соотношениями:
?*)	(4)
(J'=l.... 3JV).
§ 2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Пусть декартовы координаты лу. системы материальных точек (/=1, ... , ЗУ) в момент времени t получают бесконечно малые виртуальные перемещения (возможные перемещения при «замороженных связях“) [4]. Тогда на основании принципа Даламбера будем иметь
/. — т, 8х. = 0 ЛшАу/ > dt* I 1
или 3W	3N
8 A = S h 4 - S mi	Sx/ ’	<5>
y-i	/=1
где fy — внешние (активные) силы, действующие на нашу систему. Если ввести независимые обобщенные координаты qx, ... , qk, то в силу формул (4) получим
5-1
Отсюда для элементарной работы 8Д внешних сил находим следующее выражение:
3^	32V	k
ад = £/zЗх/e S A S ** = / = 1	>1 5=1
k 3N	. k
5=1	/=1	5=1
117
где
3N
(s=l.... k)	(8)
&Ч 3 /-1
носят название обобщенных сил, соответствующих обобщенным координатам qs. Понятно, что размерность величин Qs может не совпадать с размерностью обычной силы.
Аналогично из формулы (5) на основании соотношений
(6) получаем
зл	3tf	*
ЗА в Vm Sx. = V т, У] —^-8^ = 1 dfi ’	1 dt» ^dq, s
где
k	37V	k
S«*S^
s-t
ЗА' ~ VI <&х, дх Q,= Ут.——. — 1 dfi dq
<Px,
(7х)
(9)
Пусть
dxi Л dtli x, =—и ?#=—-' dt J dt
Так как на основании правила дифференцирования сложной функции имеем
то
dxj dxj
" дч^ '
(10)
Кроме того, меняя порядок дифференцирования, получаем
& \ dqs J	df Д Л ) dqs '
(10
118
Отсюда, применяя соотношения (9), (10) и (11), выводим
(12)
Введя кинетическую энергию системы
окончательно находим
л I d4s I
(s=l....*)•
(13)
(14)
Из формул (7) и (7') в силу независимости приращений bqs имеем
Qs -1- Q« (s — 1,...,£)•
Отсюда на основании формулы (14) получаем дифференциальные уравнения Лагранжа (второго рода)
(s=i.....Л),
(15)
где ГявТО, q, q)-, qss(qit..., qk)', q = (qx. dk).
Уравнения Лагранжа (15) представляют собой систему k обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями
?* = <?*(*)
— обобщенными координатами системы.
Величины qs=iqs(t) (s= 1,, Л) называются обобщенными скоростями точек системы.
Если qs являются прямоугольными декартовыми координатами, то, очевидно, уравнения Лагранжа совпадают с дифференциальными уравнениями Ньютона [§ 1, формула (2)].
119
Важный случай представляет система сил // (/ = 1,..., ЗЛО, имеющая потенциал (потенциальную энергию) V— = У(хь ...» хзл), где
=	(/= 1,..., ЗЛО.	(16)
Выражая декартовы координаты х, (J= 1, ... , ЗЛО системы через обобщенные координаты qs (s=l,... , k), получим общее выражение для потенциальной энергии
V=V(t, qu...,qk).	(17>
В случае существования потенциала V для обобщенных сил Q, (8) на основании правила дифференцирования сложной функции будем иметь следующие выражения:
w	зл
о = V f -^7=~V— 4?1 Z^dxi' dq- dq>
(s = l.Л).
Следовательно, уравнения Лагранжа (15) принимают вид а ( дТ\	aT — dV
Л )	dqs dqs
или
1/)=0 <18>
dt \ a4s / "к
(s=l,..., *)•
Введем функцию Лагранжа
L — T—V.	(19)
Учитывая, что V (17) не зависит от обобщенных скоростей будем иметь dL _ дТ dqs dqs
Отсюда на основании формулы (18) получаем уравнения Лагранжа в потенциальном случае
= 0	(««1.(20)
\ dq9 J
где A = L(f, g, q) — функция Лагранжа системы. 120
Пример. Две частицы с массами irt-^ и связаны жест-ким невесомым стержнем длины I и движутся в вертикальной плоскости Оху под действием силы тяжести. Составить уравнения Лагранжа для этой системы [171.
В вертикальной плоскости Оху за ось Ох возьмем горизонтальную прямую, а за ось Оу — вертикальную (рис. 7). Пусть декартовы координаты частиц будут /ni(xb yj) и 4*2) • За обобщенные координаты системы примем ли у— координаты центра тяжести системы и <р —угол между вертикалью и прямой, соединяющей центр тяжести с первой частицей (рис. 7). Так как центр тяжести системы двух материальных точек находится на прямой, соединяющей эти точки, и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорциональном их массам^ то имеем
РйС-7-	№ = ^-^/cos?, (21z)
м где М = т1 + /п2 — масса системы.
Кинетическая энергия системы в декартовых координатах есть
г=Л(^ + й) + а(«>+й).
Отсюда на основании формул (21) и (21') после несложных преобразований получаем кинетическую энергию в обобщенных координатах
Т^(х2+у2)+-^,	(22)
л	**
где 7 м. ^1^2 м Так как единственные внешние силы, действующие на нашу систему, есть силы тяготения, то они обладают потенциалом
V  mtgyi -Ь m2gyy = Mgy.	(23)
121
Следовательно, функция Лагранжа нашей системы имеет вид
£ = Т- И= (х2 + У2) + у ?2- Mgy. (24)
На основании формулы (20) получаем дифференциальные уравнения движения в форме Лагранжа:
dt
7-^=0
dt
ИЛИ
—— = 0-л»
— g;
dt* 6
*1 = 0.
dt*
(25)
Из уравнений (25) следует, что движение центра тяжести системы совершается с постоянным ускорением, численно равным g, причем угловая скорость системы постоянна.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Пусть £=£(/,?,?)	(26)
есть функция Лагранжа системы [§ 2, формула (19)]. Величины ps=~ («=1......................k)	(27)
dg, называются обобщенными импульсами, соответствующими обобщенным координатам Введем функцию Гамильтона (гамильтониан системы)
НУ, Я,р) = ^р^-^	(28)
$=•1
где L выражена как функция переменных t, q и р. С помощью величин pt уравнения Лагранжа можно записать в следующем виде (§ 2, формула (20)]:
(29) Л dqs
122
Рассмотрим полный дифференциал функции Лагранжа
d£ = —Л4-dt
й 1 *' Ль
Отсюда на основании формул (27) и (29) получаем к
Л + (ptdqt + pAJ- (30) t=i
Далее, беря полный дифференциал от функции Гамильтона (28), находим
k	k
^Н=УЛ(q,dps + Psdq,) -dL=^(qsdps + psdq) — 5=1	5=1
k
~ltdt~^i +pJti = - lidt + 5=1
k
+ 2 p‘dq’+q*dp^-	<3i>
5=1
С другой стороны, в силу известной формулы математического анализа имеем
<(Н=^Л+y(-^-d?, + -^-</p,).	(32)
w	\ dqs	dps J
5=1
В силу единственности формы дифференциала уравнения (31) и (32) должны быть тождественными. Отсюда, приравнивая друг другу коэффициенты при dps и dqt, в выражениях (31) и (32) получим каноническую систему дифференциальных уравнений Гамильтона [4 и 17]:
dt dpt *
_ дН
dt dqt
(33)
(«el,..., ft), где qt и pf называются сопряженными переменными. Кроме того, сравнение коэффициентов при dt в выражениях (31) и (32) дает
— = —	(34)
dt dt '	'
123
Пусть система консервативна: т.е.1) связи стационарны (не зависят от времени t} и 2) потенциальная функция lz= V(q) также не зависит от времени t. Тогда
и следовательно, кинетическая энергия Т представляет собой квадратическую форму от обобщенных скоростей qs, т. е.
5,Г==1 где коэффициенты atr(q) есть функции только обобщенных координат qt, qn, причем для удобства записи положено asr(q) = a„(q).
Так как
L = T- V
и V
не зависит от qt, то имеем
р,в-^=^ = 2 tit tis
k
^a„{q)qr
Отсюда, используя теорему Эйлера .об однородных функциях, получаем
= 27
и, следовательно, на основании формулы (28) имеем
2 м -L в 2Г - г+ v-5 = 1
Таким образом, для консервативной системы функция Гамильтона Н представляет собой полную энергию системы (сумму кинетической и потенциальной энергий). В общем случае по аналогии функцию Н называют „обобщенной полной энергией*.
Заметим, что если система консервативна, то из формулы (34) получаем
*"=0 dt
т. е.
H=zH(q. р).
124
В этом случае на основании уравнений (33) имеем
.^==V/— ^L — ^L —\ = о dt	dt dps dt) ^J\dqt dps dps dqs)
s-1	i-J
Отсюда
H{q, p) = h = const	(36).
{интеграл энергии).
Таким образом, при движении консервативной системы, ее полная энергия Н остается постоянной.
Пример. Найти функцию Гамильтона для свободной частицы т{х, у, г) с массой т, движущейся в потенциальном поле.
Кинетическая энергия частицы

ее потенциальная энергия есть
У= V(x, у, z).
Поэтому для функции Лагранжа получаем выражение
А = Г- (л2 + у2 + z2) - V{x, у, г).
Отсюда находим соответствующие импульсы:
dL
Рх — —= dx
dL Ру — — = ду dL Рг —	.
dz
mz.
Таким образом, кинетическая энергия в канонических переменных имеет вид
(37) zm
Так как система консервативная, то ее функция Гамильтона есть полная энергия h=t+v=4-(^+p;+^)+k(z, у. г).
На основании уравнений Гамильтона (33) состояние системы с k степенями свободы в классической механике описывается 2k каноническими переменными </ь •••. 7* — обоб-
125
пленными координатами и pt,Pk — соответствующими сопряженными обобщенными импульсами. Таким образом, состояние системы может быть изображено точкой (qt, ...,qk, Pi,..., pk) фазового пространства системы R измерения 2k. При этом каждая механическая величина, связанная с данной системой (скорость точки, момент действующей силы, энергия системы и т. д.), будучи некоторой однозначной функцией	qk, р,,.... />*) канонических переменных
qt. ps, в любом состоянии системы получает строго определенное значение.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Основы квантовой механики могут быть сформулированы в виде некоторых постулатов (допущений), которые подобно аксиомам геометрии не доказываются. Экспериментальная проверка выводов теории позволяет судить об области применимости квантовой механики, этот вопрос здесь не рассматривается. В дальнейшем исследуются лишь механические системы с конечным числом степеней свободы в нерелятивистской трактовке.
Рассмотрим систему частиц с k степенями свободы. Согласно классической механике эта система в любой данный момент времени t может быть описана значениями ее канонических обобщенных координат qt, ...,qk и сопряженных им импульсов Pi, ..., Pk.
Действительное пространство S = («7i.qk) всех возмож-
ных значений обобщенных координат называется конфигурационным пространством данной системы.
Приведем постулаты, характеризующие состояние этой механической системы в квантовой механике (16 и 17].
Постулат I. Любое состояние механической системы полностью описывается некоторой комплексно-зиачной волновой функцией ЧГ(<71, qk , 0» где — <ю •< / < + и (?i, , 4k) G 2. называемой функцией состояния системы.
Для механической системы в каждый момечт времени t известен закон распределения ее координат q = (q\,.... qk), причем для данного момента времени t квадрат модуля нормированной волновой функции
|	/)Р = ЧГ*(<7. t)4(q,t)
представляет собой плотность вероятности этого распределения. Иными словами, если dQ есть бесконечно малый объем конфигурационного пространства 2, то вероятность того, что в момент времени t система имеет совокупность
/
126
координат q={qtt.... ?*), принадлежащих этому объему, выражается формулой
Р(96^й)=| Ф(9, t)\*dQ.
Отсюда следует, что вероятность того, что значения переменных ..., qt, в момент времени t принадлежат некоторой области «СЙ, есть
P^ea»)=J- -j I ЧГ(4Г, Ol’dfi.	(38)
ц>
Для одной частицы формула (38) дает вероятность обнаружения этой частицы в момент времени t в области ».
Так как конфигурационное пространство 2 представляет собой совокупность всех возможных значений комплексов координат <7 = (^ь..., /?* ), то вероятность того, что qвыесть событие достоверное и, следовательно,
Р(9ба)=	|	=	(39)
Q *
Отсюда, учитывая, что реальная величина не может иметь бесконечно больших значений, получаем
W(oo, 0= Um ЧГ($, 0=0,
II q II - •> если этот предел существует.
Волновые функции ЧГ (q, t), соответствующие в данный момент времени t всевозможным системам и всевозможным состояниям этих систем, образуют функциональное прост-
ранство Н— {IF (q, /)} квантовой механики.
Постулируется, что Н есть комплексное пространство Гильберта.(гл. 111, § 3), где скалярное произведение функций ЧГ|(?< 0» V*(q, определяется формулой
(V., ¥,) = ]’...J	/)Т2(<7, t)dQ. (40)
Q С
Из формулы (38) вытекает, что норма каждой волновой - функции 4F(q, t) кснечна и равна единице. Следовательно, ни для какого момента времени t волновая функция ЧГ (q, t) не может быть тождественно равной нулю во всем пространстве.
Кроме того, предполагается, что волновые функции ЧГ ~ = ЧГ(</, /) удовлетворяют дополнительным требованиям стандартности [2] и (16):
127
1) функции W при любом t£(—00, +<») конечны во всем пространстве & за исключением, быть может, конечного числа особых точек, где функции ¥ обращаются в бесконечность не слишком высокого порядка (в окрестности этих точек интеграл от квадрата модуля волновой функции должен сходиться);
2) вне особых точек функции ЧГ однозначны и непрерывны; следовательно, в случае отсутствия конечных и бесконечно удаленных особых точек функции ЧГ ограничены во всем пространстве 2.
Замечание. Для некоторых задач квантовой механики приходится вводить ненормированные волновые функции ИГ (<7, £), квадрат модуля которых представляет собой некоторую известную функцию от плотности вероятности закона распределения координат системы. Для таких функций условие нормировки (38) может быть не выполнено. Кроме того, требования стандартности иногда являются чересчур узкими. Соответствующие обобщения теории в нашем курсе мы рассматривать не будем.
Отметим одно важное обстоятельство. Физический смысл имеет не сама волновая функция ЧГ (q, (), а ее модуль | Т (q, t) | . Поэтому волновые функции
ЧТ (q, t) и ^i(q, t) = 4!(q, t)e^, отличающиеся лишь фазовым множителем el* — (q, t)— действительно) и, следовательно, имеющие равные модули
I*?!(<7, 01 = 1Я?. 01, описывают одно и то же состояние системы.
Постулат II. Каждой динамической переменной а (координате частицы, скорости ее, действующей силе и т. п., а также их функциям, имеющим механическое значение) ставится в соответствие некоторый линейный эрмитов оператор А (гл. Ill, § 7)
(дЧГ„
определенный на множестве волновых функций ЧТ, причем тождественным соотношениям между динамическими переменными соответствуют аналогичные тождественные соотношения между их операторами.
Правила для построения основных операторов квантовой механики (словарь квантовой механики) следующие [16 и
128
1.	Если а есть одна из координат </,(«== 1,..., Л) или время t, то соответствующий оператор А есть оператор умножения As = qs или At = t, т. е.
AsW—qs4 и
А t 'Г = №.
Оператор умножения, как известно, эрмитов (гл. III, § 12).
Как обобщение данного положения получаем, что если динамическая переменная а есть функция лишь координат qss(quq„) и времени t (например, а есть потенциальная л
энергия системы), то ее оператор А есть оператор умножения:
л 4T==af.
(41)
2.	Если а есть один из импульсов pt, то соответствующий оператор А имеет виц
2iw dqs
где Л — постоянная Планка и qs — сопряженная с ps координата.
л
Оператор А эрмитов (гл. Ill, § 7, пример 1).
3.	Если a=f(t, q, р) есть целая рациональная функция времени t, координат q и сопряженных им импульсов р, то ее оператор есть операторная функция
Л л / h л \
’ 2ni dq' ’
где действия обычной алгебры заменены соответствующими действиями операторной алгебры (гл. III, § 6). В случае неоднозначности порядка сомножителей избирается тот поря-л
Док их, при котором оператор А эрмитов.
Пример. 1. Для кинетической энергии Т частицы массы Л
т построить ее эрмитов оператор Т.
Положение частицы в пространстве будем определять ее декартовыми координатами х. у, г. Тогда кинетическая энергия частицы [§ 3, формула (37)]
7’ = -7- (р* +	+ Рх),	(42)
129
где
р,=тл; p9—tny\ p,=mz	(43)
— импульсы частицы. Оператор для квадрата импульса р* имеет вид
и2 — 0 0 — А	д / Л	д\	Л2
Рх Р*Р* Ini дх \2« дх)	4«2 ' дх» ’
аналогично
Отсюда на основании
д» л2 л« д> • ~— И Pz — 	• — ,
4x2 дх*
формулы (42) получаем
~ 8х«т	dyi + dz2 )
или
т *8 s
Г =--------у8,
8,Лп
где у — оператор набла, определяемый формулой
д . г д . 1 д
V=lT + +kT-дх ду дх
(44)
Как известно, оператор Лапласа Д=у! эрмитов (гл. Ш,
§ 7, пример 2), поэтому Т есть также эрмитов оператор.
Так как оператор Лапласа V1 инвариантен относительно л
выбора координат, то оператор Т имеет тоже самое выражение (44) в любой криволинейной системе координат qx, q9, qs. Например, для сферической системы координат г, О, f будем иметь (гл. I, § 11)
т--------r_L.A/r2_L) + _J_.Aisine
I г» dr \ dr) r«sinO ЭО \	30/ 1
+ —1—Л]. г1 sin* 0 df31
Пример 2. Найти операторы Мх , М9, Мг для проекций М», М9, Ме момента количества движения (момента импульса) М частицы т(х, у, г) относительно начала координат.
Из механики известно, что момент количества движения частицы относительно начала координат есть
5f="r Хр,
130
где г — радиус-вектор частицы и р—ее импульс (рис. 8). Так как
7=Tx+7y-r*z
и
7=ТРх+7ру +~kp,, то по известной формуле векторной алгебры имеем
Отсюда
Мя—ург — zpy-, My=zpx — хрг-, Мг^хр,~ур,.
На основании правила 3 по-
лучаем операторы проекций момента количества движе-
ния частицы
АЛ	Л	/	
	у —	— z — ];
		ду)
A	h i	< д	д \
Му =	 I	z —	— х— ।;
У 2жР	v дх	
(46)
Предлагаем читателю проверить, что эти операторы эрмитовы.
В приложениях важное значение имеет квадрат модуля момента количества движения
Мг=М*х+М2У + М*г ;
его оператор есть
А м Л п h п Ал
Мг =М+ М2у+м1«
Л» Г/ д д \* . / д д \» . I д д \«1
Пусть
H = H(q, р, t)
131
— функция Гамильтона системы (§ 3), где
7 = (<?!, .... 4k} и р = (А, .... Р*)-
Если система консервативная, то Н представляет собой полную энергию системы (§ 3). Для динамической переменной Н можно построить ее оператор
(47)
носящий название оператора Гамильтона (оператор энергии).
Постулат 111. Функция состояния системы ¥(^, t) удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему время:
(48>
Для случая одной свободной частицы массы т, движущейся в потенциальном поле с потенция лом V (х, у, z), ее оператор Гамильтона есть (см. пример 1)
АЛЛ	м
Н=т+	(49)
8л’ш
Отсюда уравнение Шредингера, содержащее время, для частицы будет иметь вид
('--T~V8+ l/Wss- —• —
\	8к>л»	/	2ж< dt
или
4.И(х vz)¥s=A.^L
8ж*ш \ дх» ду’  дзЛ )	' 'Л’ '	2*i dt
где
W = W (л, у, г, t).
Прежде чем формулировать очередной постулат, введем общепринятую терминологию.
Пусть а — динамическая переменная и А — ее эрмитов оператор.
Назовем собственным состоянием переменной а ее состояние, соответствующее волновой функции ЧГ, являющейся
Л
собственной функцией оператора А, т. е. такой, что
ДТ=вТ,	(50)
где а — некоторая вещественная постоянная (собственное
значение оператора Д).
132
Постулат IV. Динамическая переменная а имеет строго определенное постоянное значение а» лишь в своем собственном состоянии, причем это значение совпадает с соб-Л ственным значением а оператора А, соответствующим волновой функции Т данного состояния, т. е.
aw = «.	(51) -
Во всех прочих состояниях динамическая переменная не имеет определенных значений.
Таким образом, все возможные достоверные значения динамической переменной а принадлежат спектру ее эрми-л
това оператора А. В силу действительности собственных значений эрмитова оператора (гл. III, § 8. теорема 1) все значения динамической переменной вещественны.
л
Если спектр оператора А дискретен и состоит из чисел
..............................ап......	(52) то соответствующая динамическая переменная а может принимать лишь счетное множество значений (52); в этом случае, как говорят, происходит квантование величины а.
Каждое собственное значение а-п при этом реализуется в стольких собственных состояниях
уО) qrW qr<’)
какова степень вырождения данного значения.
Положение вещей здесь резко отличается от классической механики, где на возможные значения динамических переменных не накладывается, вообще говоря, никаких ограничений.
§ 5. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
Пусть полная энергия консервативной системы (собствен-Л
ное значение ее оператора Гамильтона Н) равна Е. Тогда состояние этой системы характеризуется волновой функцией t), удовлетворяющей уравнению:
н(ч, -Г’	Н^(?. *)•	(53)
\ 2кг dq /
133
С другой стороны, на основании постулата Ш (§ 4) волновая функция ЧГ(?, О должна удовлетворять уравнению Шредингера, содержащему время:
r/Т’ ° =
\ дд /
h d4(qt t)
2х/ dt
(54)
Из уравнений (53) и (54) получаем
= £Ф(?, 0; 2«» dt	'* h
отсюда '(?,/)»№< * ’	(55)
где ф(^) = Т(9, 0).
Состояние, определяемое волновой функцией (55), называется стационарным (подробнее см. работы [2 и 16]).
Волновая функция стационарного состояния распадается на два множителя, из которых первый <]»(</) (амплитуда) зависит только от координат, а второй (фазовый множитель) с модулем, равным единице, зависит только от времени t. Подставляя выражение (55) в уравнение (53) и учи-
Л
тывая линейность оператора Н, получим уравнение Шредингера, не содержащее время для системы с энергетическим уровнем Е (уравнение Шредингера для стационарного состояния)
')♦<»)-«♦(»). (56>
Отсюда видно, что ф(<?) есть собственная функция гамильтониана Н.
В частности, для частицы массы т в потенциальном поле с потенциалом И(х, у, г), учитывая, что (§ 4)
получим уравнение Шредингера для стационарного состояния в следующем виде:
\ ox»/n	J
134
или
S + + V(x’ y' Z)1 =0’ (57}
dx* ay* dz* Л®
где E — полная энергия частицы.
Из формулы (55) вытекает
Поэтому (см. § 4), если система обладает определенной полной энергией Е, то плотность вероятности распределения координат этой системы не зависит от времени t и равна | ф (д) |’, т. е. для любого момента времени t имеем
Р(0еа>)=[...]‘|ф(0|1</2	(58)
ц>
и, в частности,
Р(7б2) = у.-.| |ф(^)|’</2=1. Q
Таким образом, функции <|>(^) = Ф(<7, 0) являются волновыми функциями для стационарного состояния системы.
§ 6. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
Пусть а — исследуемая динамическая переменная;
а», «а,	«я, ...	(59)
— ее возможные значения и
Фъ Фа, .... Фп. ...	(60)
— соответствующая система собственных волновых функций (волновых функций собственных состояний), причем каждое собственное значение ап повторяется столько раз, какова его степень вырождения. Будем предполагать, что система волновых функций (60)—полная. Так как пространство волновых функций линейное, то любая волновая функция	0, описывающая состояние системы (по-
ведение одной или нескольких частиц), может быть представлена в виде суперпозиции основных волновых функций Фп (л= 1, 2, ...), т. е.
Ф=£С„ФВ,	(61)
п =1
где Cn — Cn(t) (л=1, 2, ...) —коэффициенты Фурье функции Ф относительно системы {Фв} (амплитуды собственных состояний Фв для состояния Ф). Так как Фв — нор
135
мированные функции эрмитова оператора, то их можно считать ортонормированными (гл. III, § 8, теорема 2 и замечание к ней), т. е.
(ЧГт, T,) = U	(62)
где 8mn — символ Кронекера. Отсюда для коэффициентов Фурье (гл. III, § 5) получаем следующие выражения:
С„=(Ф. Тп) (««1, 2, ...).	(63)
Из формулы (61) выводим
\Я1=1	п = 1	/
= 2 cmc*n(wn, ф„)« 2 т,	т, п=1
=2c-c;=2ic*i’-	(64>
Л=1	/1 = 1
Следовательно, волновая функция Т будет нормированной тогда и только тогда, когда выполнено условие
2lC"la=1-	(65)
п =1
В дальнейшем мы будем предполагать, что все волновые функции нормированы, если явно не оговорено противное.
Постулат V. Вероятность Р того, что в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией ЧГ, динамическая переменная а имеет значение ая равна квадрату модуля соответствующего коэффициента Фурье (иначе, квадрату модуля амплитуды собственного состояния ЧГЯ), т. е.
Р(ач-=а„)!=|С„‘* (/1=1,2,...).	(66)
В частности, если волновая функция Т=Ч'Л соответствует собственному состоянию динамической переменной а, то в силу формулы (63) имеем
С, = (^я, Ф„)=1 и, следовательно,
₽(^в = ая)=1, т. е. динамическая переменная в собственном состоянии с вероятностью, равной единице, принимает соответствующее собственное значение (§ 4. постулат IV).
136
Пусть система консервативна и имеет энергетический уровень Е. Тогда (см. § 5) волновые функции можно представить в виде (стационарные состояния):
Ei
4n(q,f)=^(q)e п («==1,2,...) И
— — Et 4(q,t)=^(q)e *
Напишем ряд Фурье
Л = 1 где
<?•—(Ш М?)) (Л=1. 2, ...).
С другой стороны, ряд Фурье (61) после сокращения на общий множитель ехр (— — Etl принимает вид
ш)-2с-*ю*
причем на основании формулы (63) имеем ( ~тг& _тг£<^
Ся-ДШ)г ‘ ,^n(q)e * М(Ф(0Ля(^)-ся (67) (л»1, 2. ...).
Отсюда
2lf«l’s I.	(68)
п =1
и в силу постулата V для любого момента времени t получаем
Р(ач- = ап)=|ся|2.	(69)
Имеем важный вывод: в стационарном, состоянии системы распределение вероятностей значений любой динамической переменной не зависит от времени.
Таким образом, в несобственном состоянии V* динамическая переменная а не имеет определенного значения; здесь имеет смысл говорить о наивероятностном значении ак переменной, т. е. таком, что
|с»|*=тах.
137
$ 7. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение. Под средним значением av динамической переменной а в состоянии (?, 01 понимается математическое ожидание ее значений в этом состоянии, т. е.
av = M.O.«,	(70)
где а — все возможные значения переменной а.
Если собственные значения переменной а имеют дискретный спектр
«1, а2, —. ®п,
то на основании постулата V (§ 6) имеем Р(а«гввя) = |Ся|*, где С„ — коэффициент Фурье функции Т относительно системы нормированных волновых функций ЧГп(/г= 1, 2, ...) для собственных состояний динамической переменной а. Отсюда на основании определения математического ожидания получаем
^=2«пР(аф = ап)=2«п|Ся|*,	(71)
п=1	Я «1
причем
иг = 2 Са Уп, где (Фя)=$„„. п
Л
С другой стороны, если А — эрмитов оператор динамической переменной о, то
ДТя = ая’Гя (/1=1,2,...)
последовательно,
(аф, <г)=(ау сл,
\ Я1=1	я«1	/
=( 2а«СЛ’ 2	2 2
\Я1=1	Я =1	/	/Я=1л=1
= 2 2в-с»с^-’»в2вя1Ся|’- (72)
/П«1л=1	Я=1
Сравнивая выражения (71) и (72), будем иметь
= T) = J...jT*ATd2,	(73)
1 Т. е. в состоянии, характеризуемом волновой функцией ЧС
138
где предполагается
I
Выражение (73) дает среднее значение динамической переменной а в нормированном состоянии Т, в общем случае.
Пусть	есть собственное состояние динамической
переменной а. Тогда, очевидно,
Ст=0 при т^п и С„=1
и, значит,
—— 1 в» в ®я , п
т. е. в собственном состоянии среднее значение динамической переменной совпадает с соответствующим собственным значением ее оператора.
Практически среднее значение динамической переменной а приближенно можно получить, производя большое количество измерений этой величины, в данном состоянии Ф, и осредняя результаты полученных измерений.
Пример. Найти среднее значение квадрата импульса рх частицы в состоянии ЧГ(Ж<У<,). a h д
Так как оператор импульса рх равен Ажа —	,
9	»•> й* д*
то оператор квадрата импульса р2 есть 4“-=------------.
Следовательно, по формуле (73) получаем

Аналогично, для стационарного состояния, характеризуемого волновой функцией 0)=Ф W), для любого мо-— г г л
мента временив имеем: а^ = ]••• J о J
Для приложений важное значение имеет среднее квадратичное отклонение
(Да<), = (а — аж)*
(74)
139
динамической переменной а от ее среднего значения Лт . Ему соответствует оператор
/ Л\2 Гл _ Л\2
(ДА) = \А—IJ
На основании формулы (73) имеем
= Т*(лдУт^2.
Л	---
Так как оператор А эрмитов и а* — число, то операто-Л А ______Л
ры АД = А — и
( Л\2 АЛ (дЛ)=АД-АД
также эрмитовы (гл. Ш, § 7). Поэтому
[(дд)2ф, чг( = (дат. ддчг)=з|ддт1Г.
Следовательно,
(Аа^Р—Г-ЛаЛтГ^>0. (75) &
Таким образом, среднее квадратичное отклонение динамической переменной в любом состоянии ЧГ неотрицательно.
Посмотрим, в каком случае среднее квадратичное отклонение равно нулю:
(Аас)*=0.
Из формулы (75), учитывая, что подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, имеем |л^¥|==0
или
ЛАТ=(д —avl)w==O*.
Отсюда получаем,
(76)
Таким образом, среднее квадратичное отклонение динамической переменной равно нулю лишь для соответствующих собственных состояний этой переменной.
* Точнее говоря, ЛАТ является нулевой функцией пространства Н (гл. Ш, § 3).
140
$ 8. ОБЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДВУХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теорема. Если две динамические переменные а и b имеют общее собственное состояние Т, то их эрмитовы л л операторы А и В коммутируют для этого состояния, т. е.
лл лл
АВЧ^ВАЯ.	{П}
л л
Обратно, если операторы А и В коммутируют для всех собственных функций ооного из них, соответствующих одному и тому же собственному значению, то эти операторы имеют общие собственные функции и, следовательно, их динамические переменные а и Ь обладают общим собственным состоянием.
Доказательство. 1°. Пусть ЧТ есть общая собствен-л л ная функция операторов А и В, т. е.
ДТ=аЧГ и BTssp’F, где а и ₽ — соответствующие собственные значения.
Отсюда
Л [ Л \ I л \
В(ДЧГ)«оа(ВТ)«ва₽’Г и
д(вцг) = р(д4г)==раф.
Следовательно,
ЛЛ ЛЛ
ABW = BAW.
2°. Пусть ЧГв —любая собственная функция оператора Д, соответствующая собственному значению а, т. е.
Д¥в««Тв,	(78)
Л Л
и пусть операторы Д и В коммутируют для всех функций Тв..
Из формулы (78) получаем
Л Л	Л
BAWe=*aBWo
или
А (вТв) = а (в*.).	(79)
141
л
Если а —простое собственное значение оператора А, то из формулы (79) выводим
We = ₽Wa,
где Р — некоторый числовой множитель, и таким образом, л
V=Ta есть общая собственная функция операторов А л
и В.
Если же а — вырожденное собственное значение, то на основании свойства коммутирующих эрмитовых операторов (гл. III, § 11, теорема 1 и следствие) существует общая л л
собственная функция операторов А и В в виде линейной комбинации
Г
у-»
где Cj — постоянные; Ч*м, ..., WW — линейно независимые л
собственные функции оператора А, соответствующие данному собственному значению а и г —степень вырождения этого собственного значения.
Теорема доказана.
Используя принцип IV (§ 4), получаем важный результат [2 и 16]: dee механические величины, могут быть точно измерены в состоянии Ф лишь тогда, когда их операторы коммутируют для этого состояния.
§ 9. ПРАВИЛО ГЕЙЗЕНБЕРГА
Рассмотрим каноническую координату q и сопряженный с ней импульс р. Согласно постулату II (§ 4) отвечающие им операторы есть
л	Л д
а = а и р = —•— . 4	4 г 2к| dq
Отсюда
pqW =
h д
2ni dq

dv_\ dq )
И
dP^=—q —
2ni dq
142
Следовательно,
/АЛЛАХ	L
\РЯ-ЯР)^^г-У.	(80)
Это соотношение впервые получено Гейзенбергом.
Так как волновая функция ЧГ #= 0, то из формулы (80) следует, что
ЛА АЛ
РЯ + ЯР.
л	к
т. е. операторы импульса р и сопряженной координаты q не коммутируют между собой. В силу теоремы из § 8 получаем, что координата q и сопряженный ей импульс р не могут быть точно измеримы ни в каком состоянии Т.
§ 10. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Дадим более точную характеристику распределения значений координат частицы и соответствующих им импульсов для одного и того же состояния системы [2 и 16].
Для простоты рассмотрим свободную частицу, положение которой описывается одной декартовой координатой х. Пусть рх — соответствующий импульс частицы.
Точности измерений координаты х и импульса рх в данном состоянии Ф мы будем характеризовать квадратами отклонений (дисперсиями)
(Ах)2 = (х — х)2
и соответственно
(ЬР*?=(Р*-РУ.
где х и рх — средние значения координаты х и импульса pt в состоянии ЧТ.
Из формулы (73) (§ 7) вытекает, что для любых динамических переменных а и b в любом состоянии ЧГ справедливо равенство
а + Ь == а Ь.
Поэтому
(Дх)2 =» (х2 — 2хх + х2)= х2 — 2хх + (х)2=х2 — (х)*	(81)
и соответственно
(Др,)2 «р, - (р7>2.
(82)
143
Выбирая подходящую систему координат Ох, всегда можно добиться того, чтобы
х=0 и Дх==0-	(83)
Действительно, помещая начало координат системы ОХ в точке х, будем иметь
Х=0.
Далее, предполагая, что система координат движется с постоянной скоростью х=—, где т — масса частицы, оче-т видно, получим
^Ла=0,
причем квадратичные отклонения (Дх)г и (Ад,)2 останутся неизменными.
Таким образом, без нарушения общности рассуждения можно считать, что для х и рх выполнены соотношения (83) (центрированные переменные) и, следовательно,
(Ах)» = ?	(81')
и
(Д^ = ^.	(82')
Так кай для х и рх соответствующие операторы есть
то в силу формулы (73) имеем
(Дх)» = ? = pF* (х, П х»Ф (х, 0 dx	(84)
OD
И
i??-?.—(85)
-QO
Рассмотрим вспомогательный интеграл
+Q0
/ (X) == J | ХхФ (X, t) 4- dVj~~ |2 dx > О,
—00
где К — действительная переменная.
144
Введя обозначения
А = J* х*ЧГ* (х, t) ЧГ (х, t) dx-+®
В = f х 4- [V* (X, О ЧГ (х, 01 dx-
J дх —оо
С- (°
J дх дх
будем иметь
/ (X) = J [кхФ (х, 0 + ^“]	(*• 0 + —] dx
—00
= к» J*х’Ф* (X, 0 Т(х, 0 dx +
^*^00
+ к J х [чг* (х, О + ф (х, 0 dx +
—00 +00
_|_ С Ж* (X, Л .	4х « Дк» -ь Вк + с > 0.	(86)
J дх дх
—оо
На основании формулы (84) получаем
Д =(Лх)’,
Далее, интегрируя по частям и учитывая, что волновая функция V (х, f) нормирована и обращается в нуль на бесконечности, находим
b=xw*(x, t} Ф(х,
- J°V* (х,ОЧГ(х, t)dx=-l. —СО
Аналогично интегрируя по частям, в силу формулы (85) будем иметь
С=Ф* (х, 0 ^У-feQ. I*"** _ дх	|х——ш
145
Из алгебры известно, что квадратный трехчлен сохраняет положительный знак, когда корни его комплексные или равные между собой, т. е. дискриминант этого трехчлена должен быть неположительным. Отсюда имеем
В' - 4ЛС= 1 - 4(Д*)« —(Дрх)2 < О Л*
и, следовательно,
(87)
Это и есть соотношение неопределенности, или неравенство Гейзенберга. Оно дает связь между „квадратичными неопределенностями* (дисперсиями) координаты х и соответствующего импульса рх для любого момента времени t.
Из неравенства (87) следует, что ни в одном состоянии Ф (х, J) невозможно точно измерить координату к и сопряженный ей импульс рх (см. § 9). Более того, если в некотором состоянии квадратичная или стандартная ошибка /(Д^ координаты к мала, то квадратичная ошибка
х)’ соответствующего импульса рх будет велика, и наоборот.
Если состояние частицы характеризуется тремя декартовыми координатами х, у, z и соответствующими им импульсами рх, р,, рх, то выполнены три аналогичных соотношения неопределенностей (87) для каждой из координат х, у и z.
$ 11. ПРОИЗВОДНАЯ ОПЕРАТОРА ПО ВРЕМЕНИ
Пусть a — а (I) — динамическая переменная, изменяю-Л л
щаяся со временем t, и A=A(t)—ее эрмитов оператор.
Так как в несобственном состоянии ¥®Т(0, t) переменная а неопределенна, т. е. лишена фиксированных значений, то не имеет смысла говорить о производной ~ в обычном смысле.
Рассмотрим среднее значение (§ 7) переменной а, выражающееся формулой:
а я» (дт, т) = J. • • j ФМУ dQ.	(88)
а
146
Оператор B — d—, удовлетворяющий для любой волновой dt
функции Ф условию
=	(89)
dt \ dt }
л
называется производной оператора А по времени t [2].
Л
Иными словами, производная по времени оператора А, соответствующего динамической переменной а, есть оператор, для которого среднее значение изображаемой им динамической переменной совпадает с производной среднего значения переменной а.
Вводя условное обозначение /л \ д’
из формулы (89) получим
dt dt '
Таким образом, производная по времени среднего значения динамической переменной равна среднему значению производной по времени от соответствующего оператора.
Дифференцируя по времени t равенство (88), получим
— = lim +д<)~Д(0 dt	М
= (— Т, И + (л — , «•) +(дт, зт),	(9°)
J X dt	dtj
Л дА	_	.
где — — оператор, ставящий в соответствие функции V функцию
Т, (,, о=lim At-О	Af
Так как волновая функция ЧГ удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему время (§ 4)
_ Лцг dt h
147
а л / h д \
где Я= Я	—оператор гамильтона системы,
то из формулы (90) будем иметь
—= w ik) - — (ahw, ф) 4-— (дф, нцг).
dt \dt ' л	1 л v
Отсюда в силу эрмитовости операторов А и Н находим 4±== (^1Т, т) + — [(//Д - АН) ЧГ, чг] dt \dt f h l'	/ ♦ j
или
(91)
где
— так называемая квантовая скобка Пуассона [2]. Сравнивая формулы (89) и (91), заключаем, что
(92)
причем
Если оператор А явно не зависит от времени t, то имеем более простые формулы:
dA ГЛ Л1
d-i- = [H,A\	(93)
и
л]чг, чг)=[я, д].
§ 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим частицу массы т, состояние которой определяется декартовыми координатами х, у, г и отвечающими им импульсами рх, Ру , Pz . Обозначим соответствующие операторы через X, У, Z и Рх, Р,, Рг. Так как эти опера-148
торы явно не зависят от времени (§ 4), то на основании формулы (93) (§ 11) имеем
и i*	А "1	Г А	1	I* А Л	"*
м/b I л Л I rfb I Л л 1	-/р Л Л 1
Я. А ;	(95)
at	at	' at
где //ж= М. Az, А, А, А.) — оператор Гамильтона
частицы и
|Д	и т. д
— соответствующие скобки Пуассона. Для частицы в по тенциальном поле У(х, у, г) [§ 4, формула (49)] имеем
H^sa —
hi Мт
V’+ И.
Так как и Рх= (см. § 4), то, принимая во 2«/ ох
внимание, что у2 (wo)=v уаи 4- 2 уи уи + и v’v,
получим
v’+ И “
= — -^-(2уху + ху’ — *?«)»-£— • J-.
4кт	2ttm дх
Отсюда
т
и, следовательно, уравнения (94) принимают вид
А dX
dt
(94')
т. е. производная по времени оператора каждой координаты. частицы равна оператору соответствующего импульса, деленному на массу частицы.
149
Аналогично учитывая, что	находим
[ApI=W______
я Л L \ Мт / дх
/J дх \ дх дх
дх
л 2./ дх \
где f* — проекция на ось Ох действующей силы /.
Так как операторы компонент силы f определяются со* отношениями:
л
л t dV t dV t dV
где Г*= —	; fttss — ——соответствующие
проекции действующей силы, то уравнения (95) эквивалентны следующим: Л	. л	л
dPx	₽	<₽«	₽
—яГ,! —Д-вР • dt *' dt
лр л
(95')
т. е. производная по времени оператора каждого импульса частицы равна оператору соответствующей проекции действующей силы.
Соотношения (94') и (95z) вполне аналогичны соответствующим уравнениям классической механики и носят название квантовых уравнений движения [2,14 и 16].
§ 13. ТЕОРЕМА Э РЕН ФЕСТА Л
В § И мы видели, что если А есть оператор динамической переменной a==a(f), то _ ~Л / Л \
— = —= —Ф, ф	(96)
dt dt \dt ’ /	' '
Отсюда на основании квантовых уравнений движения (94') и (95') (§ 12) получаем: Лг	1	—
dt	т	Рх
dt~	т	ру
dz	1	—
dt	т	Р*
(97)
150
? dt Jv'
аЪ—т dt '*
(98)
Таким образом, имеем теорему Эренфеста: средние значения координат и импульсов частицы в любом состоянии подчиняются законам классической механики относительно усредненной силы.
Исключая из уравнений (97) и (98) усредненные импульсы Рх, Ру» Л, получим квантовые уравнения Ньютона:
dp Jy ’
d»z
dfi
или в раскрытом виде
4-ос
т Ш ЧГ*Х/ v dXidXa dXi=
4* -^-Vdxidxtdxt ox t
(j—l, 2, 3).
где
x1=x; x, = y; XS = Z.
§ 14. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ДВИЖЕНИЯ
По аналогии с классической механикой говорят, что динамическая переменная (механическая величина)
a = a(q, р, t),
где <7 = (<71, ..., qk) и p = (pt, ... ,pk) — совокупность координат и импульсов системы, называется интегралом дви-жения, если соответствующий оператор
Л Л /
h_ 2ni
±,t\ dq ]
151
сохраняет неизменное независящее от времени t значение для всех волновых функций V<(^) = V(^, f), т. е.
Л ^-s0. dt
Рассмотрим случай, когда оператор А явно не зависит л
от времени t. Тогда для интеграла движения А на основании формулы (93) (.§ 11) имеем
dA f Л Л1
=	А]=0,	(99)
ai
где
ГЛ Л1	ЛЛ\
[н, а\ = — [на — ан).
h
Следовательно, л л л л НЛ«=АН .
Таким образом, динамическая переменная является интегралом движения тогда и только тогда, когда ее оператор коммутирует с гамильтонианом (оператором Гамильтона) системы.
Пусть а есть среднее значение динамической переменной а в данном состоянии V. Тогда на основании формулы (99) (см. § И) получаем
_ “л ( л \ ^=—sal—Т ЧГ1 = О dt	dt	\dt f I
т. e.
a = const.
.Таким образом, динамическая переменная, являющаяся интегралом движения, сохраняет постоянное среднее значение для смены состояний
(q)='Г (t, </)(- эо < f < + ос).
Пример 1. Пусть динамическая переменная есть импульс рх свободной частицы массы т, не находящейся под действием сил и движущейся вдоль оси Ох.
Оператор импульса, как известно, есть (§ 4)
*4 ;
дх
152
причем оператор Гамильтона, в этом случае, имеет вид
№ д»
8«*т ’ дх* ’
Так как, очевидно.
Л Л Л Л
НРХ^Р„Н
то импульс ра является интегралом движения. Следовательно, для свободной частицы среднее значение импульса движения остается постоянным
д,= const
(закон сохранения импулзса).
Пример 2. Пусть система консервативна и динамическая переменная есть Е — полная энергия системы.
Так как оператором полной энергии является гамильтониан Н, который, очевидно, коммутирует сам с собой, то Е есть интеграл движения.
Таким образом, в консервативной системе среднее значение полной энергии остается постоянным
Е=const
(закон сохранения энергии).
Пусть Ф является собственным состоянием для динамической переменной а, т. е.
где XsbX(Q— некоторая скалярная функция времени t.
Дифференцируя это равенство по t и учитывая, что согласно предположению оператор А не зависит от времени, будем иметь
А	+	(100)
dt dt dt
Из уравнения Шредингера [§ 4, формула (48)] получаем
dt h
Поэтому из формулы (100) выводим
dt	h
153
л
Если а есть интеграл движения, то оператор А коммутирует с гамильтонианом Н и, следовательно,
л л л / л л\
АН-\Н=Н\А-\\ 1=0.
Таким образом,
— Ф=0 л
и, значит,
— =»0; Х = const.
Итак, имеем теорему: собственное значение оператора, соответствующего интегралу движения, не зависит от времени.
Упражнение к четвертой главе
1.	Для свободной частицы массы т, движущейся в пространстве Охуг под действием силы с потенциалом V для случая цилиндрических координат р, <р, z:
x=pcos?; y=psin<p; z=z,
найти:
а)	обобщенные импульсы;
б)	функцию Гамильтона;
в)	гамильтоновы уравнения движения.
Ответ.	pf=mp; р^=>трЧ-, рг*=тх-,
('<’+ Ji'i + * ) +	’ *'•
2.	То же самое (см. п. 1) найти для случая сферических координат г, <р, •, где
x=rcos<p sin 6; year sin ср sin#; z «= r cos 8.
Отлет.
p, = mr; p. =» mr* sin* Of; p% = mr’O;
——
r«sin»r *
154
3.	Написать уравнение Шредингера для свободной частицы массы т в потенциальном поле V для случаев цилиндрических и сферических координат.
>Л Л Л
4.	Доказать эрмитовость операторов Мх, Му, Мг проекций моментов количества движений Мх, Му, Мг частицы.
АЛЛА
5.	Выразить операторы Мх, Му, Mt, Мг в сферических координатах.
Указание.
А 1 ( Л	Л Л -А \
ЦИ, + 1Му)\Мх- 1Му) +
1/Л л \( л л \ л
+ у (/И, - 1Му)[Мх + iMy) + М*.
Ответ.
л
Мх = —-
h / д i	л д \
Г~. ( sin <? — -j-COSfCtg О — 1;
2iu \ дб	ду }
м=—.— *	2*1
А-=*л.
4гс2
где
(sin в —^4 \ /
Л — р_.±
[sin 6 дЬ
1 sin*0
да 1 д?а]
— оператор Лежандра.
6.	Доказать соотношения:
АЛ АЛ	h А
M*MV - MVMX=- — М,\ у у * *
АЛ ЛА	Л Л
МуМ, -МгМу=-± Мх,
А А ЛА	h А '
мг мх—мхмг = - — м v.
х	2«i у
л
7.	Доказать, что оператор ЛР коммутирует с оператора-АЛЛ
МИ Мх , Му И Мг .
8.	В каком случае для двух стационарных состояний
- —Ext	-
’®‘г = Ф1(7)е * и	*
155
их суперпозиция
«г=с,Ф1-|-с1Ф,1
есть также стационарное состояние? Чему равна плотность вероятности |ЧГ|* в общем случае?
9.	Написать средние значения операторов моментов количества-движения.
Л
10.	Доказать, что операторы кинетической энергии Т и л
потенциальной энергии V не коммутируют между собой.
Глава V
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
f 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе рассмотрим некоторые простые механические системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера.
Для простоты ограничимся изучением движения частицы массы in, находящейся в потенциальном поле с потенциальной энергией (потенциалом) V(x, у, z), не зависящем от времени t. Если Е — полная энергия частицы, то волновая функция ф8в|(х, у, z) соответствующего стационарного состояния удовлетворяет уравнению Шредингера (гл. IV, § 5)
где Е является параметром.
Заметим, что так как Е — собственное значение оператора Гамильтона системы, явно не содержащего времени t, то параметр Е не зависит от t (гл. IV, § 14).
§2. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
Простейшей механической системой является частица массы т, движущаяся в направлении оси Ох и не находящаяся под воздействием каких-либо сил.
Так как гамильтониан системы есть
Л 1 Л
(Я
157
где рх ~ импульс частицы, соответствующий ее координате х, то уравнение Шредингера для этой частицы имеет вид (§ П
где Е— полная энергия частицы; причем волновая функция ф=ф(л) должна удовлетворять условиям конечности при
4“ QO .
Из уравнения (3) получаем
♦=с,(£)е* У'~‘‘ +с,(£) е" * Уг" ,	(«
где Ci(£) и с2(£)—произвольные постоянные. Из условия ограниченности на бесконечности следует, что
таким образом, свободная частица имеет непрерывный неотрицательный спектр значений энергии
0<£<4-«.
Заметим, что так как при ф #= 0 из формулы (4) имеем
—00
то волновые функции ф(ж) здесь не могут быть нормированы обычным способом.
f 3. ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ
Рассмотрим прямолинейно движущуюся частицу массы т, ограниченную в своем движении отрезком оси Ох:
Q<x<l.
Наглядно можно представить, что эта частица находится в потенциальном поле с потенциалом
!/(*)=( «• (5) I со при х=»0 и л=/
В этом случае частица не сможет преодолеть бесконечный потенциальный барьер и окажется запертой в потенциальном ящике* (рис. 9).
Уравнение Шредингера имеет вид
И(х)1ф=0,	(6)
L	J
158
где Ё—как всегда, полная энергия частицы. Отсюда при О < х < I получаем
Ф"(х)+^£ф=»О.	(7)
Л*
При х=0 и х = / должны быть выполнены краевые условия:
Ф(0)=0; |(/)=0.	(8)
Действительно, если бы, например, ф (0) + 0, то из формулы (6), учитывая (5), находим
Ф"(0) = 1/(0)-8^]ф(0) = оо, что невозможно в силу выполнения условий стандартности для волновой функции (гл. IV, § 4). Аналогичное рассужде-ние годится для ф(/).
11	Полагая
(9)
Й2	'
получаем У'(л) + ^(х)=0.
_______________ Отсюда
0	I	ф(х)=Л sin \х 4- BcosXx, (10)
Так как волновая функция ф(х) непрерывна, то на основании краевых условий (8) будем иметь
Итф(х)==ф(0) = В=0	(11)
х->0
И
lim (х) = ф(£) = A sin X/=0. х-*1
Поэтому
A sin X/ в 0.
Постоянная А 0, так как в противном случае мы бы имели ф (х) в 0, что невозможно в силу физического смысла волновой функции ф(х) (гл. IV § 3). Следовательно,
sinX/==0.
Отсюда XZ = «п
159
^я
КП
I
(12)
где п — целое число. Очевидно, можно ограничиться лишь натуральными значениями п. Действительно при получается тривиальное решение |(х)ж0, а при п<0 соответствующая функция фя(х) отличается только знаком от функции ф|Л|(х). Итак, 1R принимает значения, определяемые формулой (12), где л=1, 2, ...
. Из формулы (9) получаем спектр анергии
(* = Ь2,.).	(13)
Имеем замечательный результат: энергия Е частицы, может принимать лишь дискретный ряд значений, т. е. энергия квантуется (рис. 10). Из формулы (10), учитывая соотношения (11) и (12), получаем выражения для волновых функций	►.
фв(Х)=эЛ„81П^р	°
(л=1, 2, ...).	(14)
Рис. 10.
Для определения постоянных Ая используем условие нормировки
о
Отсюда имеем
i
Л’ | sins — X /	2
А2
I	2пкл X
----Sin ----I 2л« I /
Следовательно, можно принять
я--------Я 1.
о 2
Таким образом, нормированные волновые функции есть

(п=1, 2, ...).
160
Как известно (гл. IV §4), квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности р«(х) для положения частицы на отрезке [0, /]. Имеем
P„(x)=^-sin«2p (я=1, 2, ...).
Рис. И и 12 дают распределение вероятностей координат • частицы для случаев п—\ и л® 2. Таким образом, для частицы с энергией Et наивероятнейшим положением будет л0=—, а для частицы с энергией Е2 х«==~ и x, = -— .
2	4	4
Найдем среднее значение к координаты х частицы с энергией Еп. Согласно общей формуле (гл. IV, § 7) имеем
_ t	i
х = J лф* (х) ф (л) dx = — J х sin’ dx = 6	i t I
г i	т	i
*	** I* f _ Л.2лях . I	I If	2лкх .
= -[-2*1 хс01~гdx] -т - т}xcos ~г “*
Интегрируя по частям, получим
bcos?=i^ = -i[xsln?5^|'- fsln^dxl =
f I	imz [ I !o	I
/ I V 2mtx |l / I \8.	_	_
= ——) cos----- = -—I (cos2nit— l)«=0.
\ 2лж / l 0 \2mt /
Таким образом, имеем
161
Найдем еще среднее значение рх импульса частицы. Имеем
i
*= J £ It W1	V It’WS=0.
0	Znl ил	Z
Аналогично для среднего значения квадрата импульса р* имеем следующее выражение:
i
dx-4х3 g ах*
Отсюда на основании формулы (15) для частицы с полной энергией £»(«= I, 2, ...) получаем
ах*	у I ft I
и, следовательно,
Я- — ' *..**/„.-tafe.-*, ’ I 4k« ft J I	4ft
Используя формулу (13), окончательно находим
р2х = 2/п£я(п=1, 2, ...).
Так как рх = тх, то из последней формулы получаем
§ 4. ЧАСТИЦА В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ
Пусть частица массы т имеет потенциальную энергию V=V(x, у, z\ равную нулю внутри прямоугольного параллелепипеда:
П{0<х<а, 0<y<b, 0<z<<	(16)
и обращающуюся в бесконечность на его границе. Тогда, если в начальный момент £=0 координаты частицы удовлетворяли неравенствам (16), то эти неравенства сохранятся для всех последующих моментов времени ОО, т. е. частица постоянно будет находиться внутри параллелепипеда П (,потенциальный ящик*) (рис. 13).
162
где ния ния вида
Уравнение Шредингера для частицы имеет вид (см. § 1). ду*	п*
Е — полная энергия частицы. Применяя метод разделе-। переменных (метод Фурье [13]), построим для уравне-I (17) полную систему линейно независимых его решений
(18)
Ф=Х(Л) r(y)Z(z). Можно положить И= V, + V, + V,, । V,(0)=Vx(a)s [ Vy(O)=Vy(bU Уг(0)==1Мс)»
Подставляя выражения (18) и (19) в уравнение (17) и разделив на произведение X (х) Y (у) Z (г), получим
*'(х) У* (у)  Z"(z) Х(х) Y(y) Z(x)
+^-(£ - V* - Vy - V, й 0. Л*
Отсюда Х"(х> . У" (у)  Х(х) У(у)
+ 8-^-(£- И,- Vy) = s”T7T + ?ir^- (2l) Z (x) tfi
В тождестве (21) правая часть его зависит только от переменной z и поэтому не меняется при изменении переменных х и у. Следовательно, левая часть этого тождества также не зависит от х и у и является постоянной. Обозна-8л8/п чая эту постоянную через —— Е*, будем иметь
Л2
(19)
a
1^ = 0 при 0<у <Ь Vz =0 при 0<z<r
Рис. 13.
л*(х)	У* (у) . Sirtn
*(*)	Г (У) “Г л«
и
и и
оо;
оо ; оо .
(20)
(22)
Z" (х)  2Г(х) "г" Л»
и
163
Далее, разделяя переменные в уравнении (22), получим
X” (*) I 8«*т .р р I/ 1	— У*(у) । 8«*1в
7w+“S"(£~Fr+ —V,. (23)
Повторяя рассуждение, аналогичное приведенному выше, убеждаемся, что обе части тождества (23) равны некоторой постоянной Еу. Таким образом, компоненты X (х), У (у) и Z(z) волновой функции <|* удовлетворяют уравнениям:
Ха(х) + ^-(Ех - И,)Х(х)=О;
Пу) +- V,) Г(у)«0; Ля
Z” (2) 4-	(Е, -V,)Z (2)« О,
где положено
Е s® Ех 4" Еу 4- Ег.
На основании соотношений (20) функции Х(х), К (у), Z(z) должны удовлетворять краевым условиям (ср. § 3):
Х(0)=Х(а)=0;
У(0)=У(4)=0;
2(0)=ZW = 0,
так как в противном случае Х"(х)*=ао при х=0 и х=»а и т. п., что невозможно.
Отсюда по аналогии с одномерным случаем (§ 3) получаем:
X (х) = A sin л;
.	в.«
К (у) = В Sin—у;
V
(24)
причем
Z(z)s&Csin ^^-z, с
р	•
*	8ma2 ’
р	А8лУ •
р - А’Л«
1 Ьтс*
164
где А, В, С —постоянные и пх, пу, пг — натуральные числа.
Нормируя функции так, чтобы а	Ь	с
|Х(х)|«Лс=1; f|K(y)|«dy=l; J|Z(z)|«dz=xl, о	о
будем иметь окончательно:
/ 9 л, Л
Z(2) = l/ -—sin—z,
следовательно,
xsin
Ж	Л.
— у sin--------г
Полная энергия частицы может принимать лишь следу-
ющие значения:
£—-J-4“ Eg —
да /4  Ъ \
8m \ да да ' & /
где пу, пг — \, 2, ... носят названия квантовых чисел. Эти результаты находят применение в теории идеальных газов.
§5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Рассмотрим частицу массы т с потенциальной энергией И=—.	(25)
где k — положительная постоянная (рис. 14).
На частицу здесь действует упругая сила
Xsss — ~ — — kx,	(26)
ОХ
вызывающая колебания частицы около притягивающего центра („одномерный гармонический осциллятор*).
Из формулы (25) следует, что
Иоо при |х|-*ос, т. е. в некотором смысле частицу можно рассматривать как находящуюся в „потенциальном ящике* (ср. §3) и, 165
следовательно, энергия ее, по-видимому, должна квантоваться. Ниже будет показано, что это действительно так. Заметим, что в реальных системах потенциал V обычно стремится к постоянной при |х|-*оо, причем сила, действующая на частицу, стремится к нулю. Поэтому гармонический осциллятор является лишь идеализацией реальных процессов, пригодной лишь для малых колебаний.
Дадим сначала трактовку гармонического осциллятора с точки зрения классической механики. На основании закона Ньютона дифференциальное уравнение движения частицы есть mx-]-kx= 0.
'Отсюда	__
x=acos|Z	(27)
где а, /в — некоторые постоянные-Следовательно, частица совершает „ гармонические колебания с часто- п'а ~ той (числом колебаний в секунду)
Из формулы (27) находим кинетическую энергию частицы
7 =
Так как потенциальная энергия частицы есть
TZ k	ka*
V = —- =	cos
2	2
то для
полной энергии получаем выражение E=T-\-V=~ ,
энергия не изменяется с течением времени t и до-
причем
пустимы все положительные значения Е.
Выясним теперь поведение гармонического осциллятора в квантовой механике [2, 9, 12, 14, 16 и 17). Функция Гамильтона для этой системы есть н 1
где р — импульс частицы, соответствующий координате х. 166
Отсюда оператор Гамильтона системы имеет вид
8к>/я Л® 2
Следовательно, волновая функция '} = ^(х) гармонического осциллятора в стационарном состоянии, характеризуемом полной энергией Е, удовлетворяет уравнению
и™ -W !
ft*) .	/„______fe
dx» ' Л»	2
или
л»)ф=О.	(29)
Это уравнение можно также непосредственно получить из § 1 (формула (1)J.
По свойству волновых функций Ф требуется найти нетри-виальные решения дифференциального уравнения (29), обладающие конечной нормой, т. е. такие, что
+ со
J Н(ж)РЛк< + оо.	(30)
— со
Положим 8к3/я£	4х2/и£
---= а; -----sss 3я;
Л®	Л8	г
тогда уравнение (29) примет вид
^4-(а-р«л*Н=0.	(31)
Введем новое безразмерное переменное
тогда
. dt в
и, следовательно,
Полагая
— = —1/*^=—=kr	(32)
₽ fi у *	*ц»	' '
будем иметь дифференциальное уравнение
(33)
167
где X является параметром. При больших |£| дифференциальное уравнение (33) приближенно допускает ограниченное решение
_ е Ф = е 2 ;
поэтому естественно положить р
Ф«=е“2/,	(34)
где /—новая неизвестная функция. Производя в уравнении (33) замену переменной, будем иметь
_р /	_е\	Е*
+ 2	+ (Р-1)е'г/
и, следовательно, +	(35)
Условие (30) при этом примет вид
f 4Гр|/ЮМ< + «>.	(36)
— ас
Уравнение (35) представляет собой дифференциальное уравнение Чебышева—Эрмита (гл. 11, § 4). Как было показано выше, единственными нетривиальными решениями уравнения (35), удовлетворяющими условию (36), являются с точностью до коэффициента пропорциональности полиномы Чебышева — Эрмита. Поэтому, получаем
fB(t)=cB/f„(«),	(37)
причем
X — 1 «а 2л, отсюда
X® 2л 4-1	(38)
(я = 0, 1, 2, ...). Из формулы (32) находим, что энергия гармонического осциллятора может иметь лишь дискретную совокупность значений
Ея = /п0(л-|-А|	(39)
(л==0, 1, 2, ...). На рис. 14 изображены соответствующие квантовые уровни Ея. Число п при этом называется квантовым числом. Заметим, что минимальное значение энергии 168
осциллятора, соответствующее квантовому числу п = 0 — так называемая нулевая энергия, есть
£0=^>0.	(40)
Существование положительной нулевой энергии для гармонического осциллятора непосредственно вытекает из принципа неопределенностей (гл. IV, -§ 8, 9). Действительно, если бы осциллятор имел энергию, равную нулю, то он находился бы в положении равновесия х»0 и имел импульс/>=0, что невозможно.
Из формул (34) и (37) получаем выражения для волновых функций гармонического осциллятора
if„^cne » Нл(0; так как
то
фя(х) = сп е~ ~ Н„ (j/Jх).	(41)
где
r h r	h
Для определения постоянных сп используем условие нормировки
J ||л(х)|Мх=1.
—00
Отсюда, учитывая норму полиномов Чебышева — Эрмита (гл. П, § 3), будем иметь ’ 4-00	+(Л л	k
j	J e —00	—00 Следовательно, можно принять -=1/ Р л г	2ял!я2	v ' (ra=O, 1, 2, ...).
169
Таким образом, нормированные волновые функции гар ионического оператора определяются формулой
М*) =
2я л!л 1
(42)
(и = 0, 1. 2. где
Я„(0=(-1)^ *-(е ) Л"
— полиномы Чебышева — Эрмита.
Точка, в которой волновая функция фя(х) обращается в нуль, называется ее узлом. На основании свойств полиномов Чебышева—Эрмита получаем, что число узлов волновой функции <|>л(х) равно ее номеру, т. е. квантовое число п совпадает с числом узлов соответствующей волновой функции.
Согласно основному свойству волновой функции величина
2"n! V *
(ля0, 1, 2, ...) представляет собой плотность вероятности для распределения координаты х гармонического осциллятора. Так как
А/о(6)=1;
Н10) = 2(;
//,($) «4?-2;
то отсюда, в частности, получаем:
е
Р1(х)=2|/Г^х*е	;
р’(х)=Т1Л О	1С
Решив задачу на экстремум функции рп(х)(п=О, 1), находим наивероятнейшие положения частицы: xos=0 для л=0 И *!== — —~ \ XjSs-tL- для л=1.
170
| 6. ATOM ВОДОРОДА
Простейшую атомную систему представляет собой атом водорода, состоящий из протона (ядра) с зарядом +е и массой М и электрона с зарядом — е и массой1 и. Так как масса ядра весьма велика по сравнению с массой электрона (примерно в 1800 раз больше), то ядро будем считать неподвижным2.
Выберем прямоугольную декартову систему координат Oxyz, начало которой совпадает с центром ядра. Положение электрона Р(х, у, z) в пространстве удобно определять сферическими координатами г, 0, <р (рис. 15), где
xssrcos?sin 9; у = Г Sin <Р Sin 9; Zasrcos#,
(43)
причем	•
На основании закона Кулона потенциальная энергия электрона дается формулой
е»
г

(44)
Отсюда уравнение Шредингера (см. § 1) для атома водорода имеет вид
7*ф +	+ —)ф=0,	(45)
Л* \ Г /
где Е — полная энергия системы; причем волновые функции фе=ф(г, 9, f), как обычно, должны быть однозначными и непрерывными, обладающими конечной нормой:
(46)
Воспользовавшись выражением оператора Лапласа в сферических координатах (гл. I, § 11)
т^=Л.Л^а\+_1_.Л/йп8й) + _!—й, г* dr \ dr) Г г2 si а б dl \	<?• / r2 sin2 0
1 Здесь изменяется обычное обозначение массы, так как буква т получит специфическое значение.
2 При учете собственного движения ядра под р следует понимать приведенную массу Mini (М + /и), где т — масса электрона и М — масса ядра.
171
уравнение (45) можно написать в следующем виде:
r2 dr \ dr j'r* sine de \ do/1
---L_	_L\ ф = о,	(47)
'r’sini0	\ r/T	' r
где я=8^£; 0 = **^.	(48)
Л»	Л*
§ 7. СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
Для решения линейного дифференциального уравнения (47) применим метод разделения переменных, а именно, для уравнения (47) построим полную систему решений вида
^ = /?(Г)У(6, ,);	(49)
все остальные решения этого уравнения будут представлять собой линейные комбинации конечного или счетного числа о сновных частных решений (49).
Подставляя выражение (49) в дифференциальное уравне-н не (47) и разделяя в нем переменные, получим
1	_д/ . fldy\ 1 »Y
sin 0 ‘ <W \ S>n дб / sin» 9 ду*
У
(50)
Согласно обычному рассуждению, каждая из частей равенства (50) равняется некоторой постоянной. Обозначая эту постоянную через — X, вместо уравнения (50) будем иметь систему двух уравнений:
'J + _!-.*r.+ xr=O;
sin 0 dO I dO / sin* 6
r* dr \, dr /	\ r r* /
Пусть
(51)
Y (9. ?)«=0(9)Ф(<р).
(52)
172
Подставляя это выражение во второе из уравнений (51) и разделяя переменные 6 и <р, получим
---Г'	I sin О —— ) + кв sin« М \ Л /	Ф" ч
в	ф *’
sin2 9
где Хг — некоторая постоянная. Отсюда получаем уравнения:
Ф" + к,Ф=0;
1	<* / • Л
-----------1 sin О
sin 0 4/9 \
(53)
Из первого уравнения (53) находим
Ф(<р) = ае+г1//^"т
где а — произвольная постоянная.
Так так ? — угловая координата с периодом 2чс и Ф(у) — — однозначная функция, то Ф(?) должна иметь период, рав-_ 2я ный ----, где т — целое число.
m
Отсюда получаем 2к	2к
±Уй	п
и, следовательно, k1 = m8(zn=O, ±h ±2, ...).	(54)
Таким образом, имеем
Фт(?) = атей"’?
(т = 0, ±1, +2, ...), где ат—постоянная. Случай /п=0 соответствует постоянной, которую можно считать периодической функцией произвольного периода. Нормируем функции Фщ(?), полагая
Je	2®
f I Фт (f)|> = I ат I» f d? = 2п I От |«= 1.
|о"1—
Отсюда
173
Следовательно, в качестве нормированных собственных функций Фя(?) можно взять
Jin?
Фт(?)= -7-	(55)
У 2я (m=0, ±1, ±2,
Подставляя значение (54) во второе уравнение (53), будем иметь
1 d / . Л 4в \ . Д т* \ л „ —;—— ls*n®— ) + и---------- )0 = О.
sin 6 d8 \ М J \	sin* 6 /
Отсюда, полагая cos9 = i; —sin6d6«=d/, получим присоединенное уравнение Лежандра (гл. I, § 8) —	rl+ (К “ г2^)es°-
<и L	л j \	1 — а /
Как известно (гл. I, § 8), дифференциальное уравнение (56) имеет нетривиальные ограниченные решения только тогда, когда параметры Хит принимают целочисленные значения, причем
Х=х/(/+1); |т|</,	(57)
где I — целое неотрицательное число.
При выполнении условия (57) имеем
0/я (9)=bf„Plml (0 = blmP\^ (cos 9),	(58)
где .	1^1	|т|
^”'(0=^(1-О’i— (/-!>'
— присоединенные функции Лежандра степени I порядка j т |.
Для определения постоянных bim используем условие нормировки
j 1(9) Iх Sin 9 <Л = I b tm I8 j | P\m' (cos 9) I1 Sin6 dO= 0	0
= IW f [РГ(0]’Л=1.	(59)
174
Так как (см. гл. 1, § 10)
( И’"1 (01 ’ dt (<-+|,я-|>!. Л— ,
J 1 ' J (/— | т |)! 2/+1
то на основании формулы (59) можно принять
6,т = ]/«+!.	(60>
На основании формулы (58) получаем следующие выражения для нормированных собственных функций-.
- 1/	р1’"1 (cos(61)
у z V -Ь I т I) ’
• (Z=0, 1, 2, m = o, ±1,	±1).
Таким образом, в силу (52) и (55) нормированные сферические волновые функции имеют вид
Y<m(e, <?)=М)Ф.(?) =
== \/	• Л* (со»•)(62)
У 4it (/ + |т|)!	1 '	'	' '
(/«»0, 1, 2,	т=0, ±1, ±2, .... ±Z).
Число I называется орбитальным квантовым числом, а число т — магнитным квантовым числом.
§ 8.	РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА
Займемся теперь определением радиальных волновых функций R = R(r), удовлетворяющих второму уравнению системы (51), где вместо параметра К нужно подставить значение (57). Имеем
±. 2. Л.« \ + Г. + ± _	1R = о
г* dr \ вг / 1 [ г г* J или
«+2.« + Га + А_'<£±Р1я_0.	(63)
dir* г dr t r г» J
В дальнейшем нужно отдельно рассматривать два случая: 1) Е<0 и 2) £’>0. Мы ограничимся исследованием физически более интересного случая отрицательной энергии с, т. е.’ будем предполагать, что
а = ^<().	(64)
175
Так как
£»? + V=T---, г
где кинетическая энергия Т не может быть бесконечно большой, то случай £<0 соответствует орбитам электрона, отвечающим малым г.
Заметим, что при £<0 получаются, как доказано ниже, квантованные уровни энергии, тогда как при Е>0 энергия имеет сплошной спектр [2].
Положим
г= Ар, где k — некоторая положительная постоянная и р — новая независимая переменная. Производя замену переменной в уравнении (63). будем иметь
_L. ™ + 2. 2* + Гл + X _	R=о
>2 rfp2 £2р rfp [ ftp fe»p2 J
ИЛИ
dp»
2.." + и-+е._щ+»1д=0 p dp L p p* J
(65)
Выберем множитель k так, чтобы было выполнено равенство
аА’=- —.	(66)
4
Отсюда
a=1/Tl:=_
F - *» 4к V— 2р£
Введя обозначение -----------------/ ----- у	(67)
Л» 4х V — 2р£ Л V - 2р£
получим для дифференциального уравнения (65) стандартную форму
£+jL.£+r_x+i_-ai±‘i.is_o, (ев) dp» р dp [	4 р	Р* J
где на основании формулы (67) параметр п связан с энергией £ соотношением
(69)
176
причем
п п№
р в 8**t*es '
(70>
При р -> со уравнение (68) асимптотически заменяется уравнением
допускающим ограниченное на промежутке 0< р< 4- <ю решение
__р_ Я==е 2 .
В общем случае положим
R = e"2 и,
где и — новая неизвестная функция. Из формулы (71) получаем
dp	\ dp 2 J
и
”4 (&и L 1 Л " " 88 € ’ I —   —- “Г — U 1 . dpi	df ' 4 J
Подставляя выражения для R и ее производных в урав-________________________________________р_
нение (68), после сокращения на множитель е 2 находим
Л +±в + А(*_±в) + dpi dp 4 р \dp 2	}
+ Г_± + _!1_±(1±_1).1а=о
L 4 Р Р® J или +	(72)
dp* \ р / dp L Р	р2 J
Для дальнейшего упрощения дифференциального уравнения (72) сделаем постановку
a = Pzv.	(73)
Тогда du , dv , . .. _ ~-^Р1 -г + *Р v df	df
dpi r dp« 1
,»-i ™ +/(/- l)p»-2V dp
И
177
и, следовательно, уравнение (72) после сокращения на принимает вид
. 2/ do	Л	f I
rfp» р dp р» \ Р / \ dp Р /
+ r«zzl_2E±J).l<,sso I р	f>* J
или
₽^+(2Z + 2-p)£ + («-Z-l)tr=O.	(74)
ар*	ар
Уравнение (74) представляет собой присоединенное дифференциальное уравнение Лагерра (гл. И, § 14).
Выясним, каким требованиям должно удовлетворять решение уравнения (74). Из формул (71) и (73) имеем
Я=рЧ~1>,	(75)
где г ₽=т-Так как волновая функция ф(г, G, Т) = Я(г)0(О)Ф(,)	(76)
должна обладать конечной нормой, то на основании формулы (46), учитывая нормировку функций 0 (ср) и Ф (у) будем иметь +00 jr8/?’(r)dr< + « .
Отсюда получаем, что v—v(p} должно быть нетривиальным решением уравнения (74), удовлетворяющим условию: иметь
J р2/+2 e~f v* (р) dp < + оо.	(77)
Уравнение (74) можно записать в стандартной форме
Р~ 4- ((2/ + 1).+ 1 - Р|	+ [п + / - (2Z+ 1)] v = 0. (78)
ар1	ар
Если п — натуральное число, причем п + 1 >2Z+1, т. е. n>Z+l, то уравнение (78) допускает единственное степенное решение вида
v=CnJ £"#(₽),	(79)
178
где Cni — произвольная постоянная и £?+/ (р) — присоединенный полином Чебышева—Лагерра, определяемый формулой (гл. И, § 11):
....	Г
dp,/+1 L *р"+'
Функция v, очевидно, удовлетворяет условию (77). Во всех остальных случаях нетривиальные решения о уравнения (78) имеют доказательный рост при р->4-оо(см. гл. II, § 151 и не удовлетворяют условию (77).
Итак, на основании формул (75) и (79) получаем, что для атома водорода радиальными волновыми функциями являются
Rm(Р) = W	(р).	(80)
где натуральное число п носит название главного квантового числа, причем число Z принимает значения:
/=0, 1, 2,..., л—1.
а
__ г _
Р k пН> Г'
(81)
Константы cntr как обычно, могут быть определены из условия нормировки:
J гг | Rm (r)|2 dr= 1
(см. § 9).
Из формулы (69) находим допустимые отрицательные значения энергии
(82>
(л=1, 2,...). Эти числа совпадают со значениями, полученными Бором на основе его старой теории.
Заметим, что радиус первой боровской орбиты [16]
дерев' Поэтому
и, следовательно, Rm (г)« cJ	е~^ 1”$ (—).	(83)
\па }	\па /
179
Объединяя формулы (55), (61) и (83), согласно формуле (76) для случая. £<0 получим полный набор волновых функций атома водорода
ф«ьп(г, «, ?) = c„zme‘'n'?Pj'B|(cos9)x —	/ 2г\
X Не"(84)
(/1=81, 2,...; / = о, 1, 2,..., л — 1;
т = 0. ±1, ±2... ±	I).
Квантовому числу I отвечает 2/4-1 собственных функций, отличающихся магнитным числом т. Поэтому собственному значению Еп, характеризуемому главным квантовым числом п, с допустимыми значениями Z=0, 1,..., л—1 соответствует
1 + 3+...+(2л-1) = лг собственных функций. Таким образом, .каждому квантовому уровню Еа атома водорода принадлежит п’ различных состояний, т. е. здесь имеет место случай «’-кратного выражения.
Замечание. Волновая теория атома водорода дословно переносится на случай движения единственного электрона в кулоновском поле ядра (задача двух тел). С такой задачей приходится встречаться при изучении ионизированных атомов гелия Не+, лития Li++ и тому подобных, получивших название водородоподобных атомов. Единственное различие заключается в том, что заряд ядра равен -f-Ze и, следовательно, потенциальная энергия электрона выражается формулой
V= — —, г ’
где Z — номер ядра в системе Менделеева. Пользуясь этим обстоятельством, нетрудно внести поправки в формулы для волновых функций [2] и [16]. Для случая атома водорода, как известно, Zs=l.
§ 9. НОРМИРОВКА РАДИАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЯ АТОМА ВОДОРОДА
Нормированные волновые функции атома водорода
(г, 0, ?)=Ф„ (?) в/я (0) Rm (г) подчинены условию
J J f |	I* 88 J I Фя (?) I’d? f (	(0) I’ Sin 0 d0 X
Q	0	0
X Jr’(/?»z(r)|’dr=l.	(85)
180
Так как было положено (см. § 7, 8)
fl Ф» 1
И
j | вы. (в) |2 sin О dO = 1,
то из формулы (85) вытекает, что нормированные радиальные волновые функции Rn/(r) должны удовлетворять условию
f г*|₽пг(г)1г^Гяв1-	(86)
о
Отсюда на основании формулы (80) получаем
IJr’p^e-f (£.*+?<р)]2drss 1.	(87)
где
Переходя к переменной р в интеграле (87), будем иметь
। г»'’|(т)8 f e’Pp2i+2	dp=1 
Следовательно, 2	-2
|<*|«(—«+>)2,	(88)
\ яа/ где /я+<, «+i=f е-₽Р«« [ОД(Р>]2	(89)
о Из формулы (88) видно, что для того чтобы довести выкладки до конца, необходимо найти значение интеграла [17]
/мвр-*х^‘[£«(л)]*Лс,	(90)
о
где р и q — натуральные числа и р > q. Так как dp
Lpi^sse31 —(хр £-•*)==
=(— 1)" l*p - р*хр~х 4- ^---^x*-2 + ... + (— l)pp!
181
то
dr
—_/  |U	[»f-« P 0*	jgn—a—1 _L_
'	(/>-<7)! I	1!
I P(?-DU> —g)(P-?-0 xp-q~2 I 1
"Г	2,	-Г---]-
Следовательно.
« J e~*x«+1 L«(x)L<(x)dx « 0
= (— ly*  f e~-t[x₽+l — ^-^lSLxpj_
+ P(P-i)(P-yH/>-^-i) xP_I ]£?(Х)Л	(91)
Рассмотрим интеграл
*?	d4
K, = f e-gxs LUxjdx—^ e~xxs — |Lp(x) ] dx, (92) oJ **
где s — целое неотрицательное число. Интегрируя по частям q раз и учитывая предельное соотношение
lim е~хР(х)=О, ' *-•+«)
где Р(х)— произвольный полином, будем иметь
Ks = (- 1)» f— (е-*х*) L, (х) dx.
№
Применяя формулу Лейбница, находим & — (e~xxs )=(-!)’ е— Q, (х), dx’
Me Q,(x)=xs — sC*xJ-1-|-s(s — 1)С?Г-2 + . • •
Путем последовательного деления полином Qf(x) можно представить в виде линейной комбинации полиномов Чебышева — Лагерра
РДх)«2^-г(х).
г-0
где ««*=(— 1р.
182
Следовательно, используя аддитивность операции интегрирования, получаем
f(93) r-0 О
Как известно (гл. II, § 12 —13), полиномы Чебышева-Лагерра удовлетворяют условиям ортонормировки
f e~xLt(x) L^dx^ip^,	(94)
о
где — символ Кронекера. Поэтому имеем:
/С,=0 при s<p;	(95)
К,=(— ^(р!)1 при s=p.	(96)
Для s»p 4-1 из формулы (93) в силу соотношения (94) получим
/Cp+teatp+l^!)*, где
Qi>+i(*)=eo.p+i^p+i(x)4" а»./>+1^(х)4* ••• •
Так как
Qp+i (*)« ж'+* — (Р + О Я# + ... и
£#(х)=(— 1р» [ х₽—р’х*»-1 +	 л"-2 +... 1,
L	2	J
£,+1(х)=(- !)₽+» [х’+» - (р + 1)’х'4-	х₽-14-...] г
то, производя соответствующие деления, будем иметь
«o,p+i=(-lF+1 и
ai,p+ie(p+ 1)(р+ !—$)(— 1)'.
Следовательно,
К,+1 =(-1Ир 4- 1)(р - q + 1)(р!)«.	(97)
На основании формул (92), (95), (96) и (97) из формулы (91) выводим
/„=(- 1И | (- 1F(Р + 1)(р - Я + 1)(РО» -
-Р(Р-?)(/>!)(- lF]«-^-(2p-^+ 1),	(98)
(р —7)! если р<л.
183
Таким образом, дед и"	. да>
О Отсюда на основании формулы (88) находим амплитуды нормированных радиальных волновых функций атома водорода
_з	_1
С l = f—V ( («-<-!)! 12
Bl1 \па ) (2л [(л + /)!]3| •
Следовательно, нормированные радиальные функции атома водорода с точностью до числового фазового множителя имеют вид (см. формулу 83)
/ 2 V (л — /— 1)! / 2гу \ па ) 2п [(л + /)!]8 ^лл /
е па L2‘+}
Ст)-'1001
Объединяя формулы (55), (61) и (100), получим общее выражение для волновых функций атома водорода
(г 0 T)r=i/ 2Z+1 tf-l«l)t (д-Л-О! " ’ ’ V п** ' (/+|т|)! ' ((л + /)!)8
Г аг
(л=1, 2,; / = 0, 1..... л	- 1; | т | < /).
§ 10. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ АТОМА ВОДОРОДА
В § 8 было показано что для атома водорода основные волновые функции
•, ?)=Ф.(?)0„(9)^(г)	(101)
характеризуются тремя квантовыми числами: п — главным квантовым числом; / — орбитальным квантовым числом и т — магнитным квантовым числом. Из определения волновой функции вытекает, что справедливо уравнение
(102)
где Н — оператор Гамильтона системы.
184
Можно доказать [2], что волновые функции |ftJm одновременно удовлетворяют уравнениям
И
e Z”"* Фя/m» «к
где Мг — оператор квадрата момента импульса электрона;
Мг — оператор проекции момента этого импульса на произвольно выбранную ось Ог.
Следовательно, в состоянии, определяемом тройкой квантовых чисел (л, /, т), три динамические переменные: энергия электрона, квадрат момента импульса его и проекция момента импульса на ось Ог, одновременно измеримы и имеют определенные значения:
Е=_W1. нр—Лщ, + 1); мг = ^-т.
Таким образом, главное квантовое число п определяет энергию электрона (энергетический уровень); орбитальное квантовое число I — полный момент количества движения его и магнитное квантовое число т — проекцию момента количества движения на некоторую координатную ось Ог.
В атомной физике принято обозначать состояния атома водорода, соответствующие главному числу л = 1, 2, 3,... ,— — цифрами 1, 2, 3,..., а состояния, отвечающие орбитальному числу /=0, 1,2, 3. ...4, 5,— буквами s, р, d, f, g, h.... Так, например, при п=1 и /=0 имеем состояние
1s, а при л=1 и Z=1 получаем состояние 1р и т. д.
Согласно смыслу волновой функции электрону можно приписать пространственное распределение с плотностью .электронного облака* (плотность вероятности) в любой точке пространства, равной значению квадрата модуля волновой функции для этой точки.
Так как координаты г, 0, независимы, то в силу теоремы умножения вероятностей угловое распределение электронной плотности для состояния (п, I, т) дается формулой
г|ж(е, ?)=|к^(8, ?)|««.।Ф.(Т)|«।е<ж(в)р.
Как известно.
185
поэтому
|Фт(ф)| = -у= .
V 2х
Следовательно, плотность вероятности Wlm не зависит от угла <р и равна
(ЮЭ>
где |см. формулу (61 )J
1/ ^•77TF^-p,7,(cose)- (104>
Из формулы (103) следует, что вероятность нахождения электрона, где-то в телесном угле d<o » sin 6 dtp d6 около луча (0, у) есть
IF/m(0)da».	(104)
Так как FIm(9) не зависит от f, то формула (103) дает распределение угловой координаты 6 для любого меридиана у = const.
Учитывая, что
Pq(cos6)=1;
P?(cosO)=cos 8;
Р} (cos в)» sin 6;
для угловой плотности вероятностей ^т(®) получаем следующие выражения: для s-состояния (/=0, т=0)
Fw (б)=— s= const;
4л
.для ^-состояний (/»(; ш=0, ±1) —
F10(8)=-l cos» 6;
Ft. +i («)= — sin* 8 8«
и т. д. Графики плотности вероятностей Fto(8) для /=0,1, в полярных координатах (w, 8) изображены на рис. 16 и 17 {а, б).
Изучим, теперь распределение электрона по дальности г в состоянии (га, Z, т) независимо от направления (6, <р). Вероятность нахождения электрона на расстоянии между г 186
и г + dr, при условии, что его угловые координаты имеют значения между в и в + dh и соответственно между ф и tp—j—dtp, равна
I	I1 dQ=| yte(6, <?) I» I Rnl(r) I2 r« sin 0 dT dO dr. (105>
Интегрируя выражение (105) по переменным в и ф в пределах от 8=0 до 0 = к и от <р=0 до ф=2«, в силу нормировки функции К|Я|(®, ф) получаем, что вероятность обнаружения электрона на расстоянии между г и r-\-dr независимо от угловых координат 6 и ф есть
VJ„(r)dr=r>|/?el(r)|’dr.	(106)
Функция
где [см. формулу (100)]
/? /г) —. । / 4... £L~ £~.1 >.! . Yg па р«+1 /_)
' V п№ [(я + /)!]* \лв)	п+!\па/
(Ю7>
(108)
представляет собой плотность вероятности распределения дальности г электрона от ядра в состоянии (n, Z, т).
Для ls-состояния («= 1, 1=0) имеем
(109>
отсюда
(рис. 18).
187
Найдем максимальное значение плотности вероятности W\0(r) для состояния 1s. Дифференцируя функцию (108), получим
(_2r	_2г\	- —
2ге а-—г'е а в±г(а-г)е а	/а*
Так как IF'o(a)=O, причем >0 при г<а и ^(гХО ПРИ то плотность вероятности 1Г10(г) имеет наибольшее значение при г=а. Таким образом, для атома водорода в состоянии 1s наивероятнейшее расстояние его электрона от ядра совпадает с радиусом а первой орбиты Бора.
Для сравнения вычислим среднее значение г электрона от ядра в состоянии 1s. Согласно общему определению (гл. IV, § 7) имеем
г = г | ф1,о.о |2 dQ = J	0(r)dr.
Отсюда на основании формулы (109) получим
•х> 2г
г=— С r3e adr.
<з J О Полагая
2г	а
— = р И Г =----Р,
а	2 г
находим
гтЙ'"'-’*- f ПЧ—J-3I—1-< О
188
Таким образом, для атома водорода среднее расстояние электрона от ядра в состоянии 1s равно полутора радиусам первой воровской орбиты.
Аналогично может быть изучено распределение электрона по дальности для атома водорода в других состояниях его.
$ 11. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Точное решение задачи о нахождении квантовых уравнений системы возможно в немногих случаях. Даже для простейшей атомной системы — атома водорода, состоящего из ядра и одного электрона (задача двух тел), вычисление собственных значений энергии и соответствующих волновых функций связано с большими математическими трудностями (§ 6—9). Для следующего по сложности атома гелия, состоящего из ядра и двух электронов (задача трех тел), эта задача не поддается точному решению. Поэтому большое значение приобретают приближенные методы нахождения собственных значений и собственных функций гамильтониана системы.
Один из таких приближенных методов состоит в следующем: предполагается, что точный оператор энергии Н системы мало отличается от оператора Гамильтона //’’некоторой, более простой системы.
Можно проложить
Л Л Л
Н=Н°	(НО)
л
где W — известный оператор ив — малый числовой пара-Л
метр. Малая поправка е!Г обычно называется энергией возмущения (короче возмущением). Поэтому сам метод получил название теории возмущения. Ограничимся рассмотре-
Л
нием случая дискретного спектра оператора Н. Пусть для Л	Л
оператора Н°, совпадающего с Н при е=0, известна совокупность всех его собственных значений ££(/&= 1, 2, ...) и полная система соответствующих собственных функций Ф® 2,3, ...), причем для простоты будем считать, что все собственные значения Е°п простые, т. е. каждому собственному значению £°п принадлежит лишь одна собственная функция ф®, с точностью до коэффициента пропорциональности. Собственные значения Еяи собственные
189
функции ф„ (л = 1,2,...), где Еп-+ЕРп и I» -> при е ->0. определяются из точного уравнения
Нфяв£яф„.	(111)
Разложим величины Ея и фя. являющиеся функциями параметра е, в степенные ряды:
£„==£W + s£<n+8«£W + ...;	(Ц2)
ф^фЮ + еф^ + е^(ИЗ)
где коэффициенты Е^\ ф<«> (те = 0, 1, 2,...) не зависят от е, причем	и ф<*>в= ф<®>. Подставляя выражения (112)
и (113) в уравнение (111) и учитывая формулу (ПО), будем иметь
+ s(f)	s Е^е* ф^")ет.
т=0	*=0 ж =0
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра е в левой и правой частях последнего тождества, получим бесконечную систему уравнений:
(«•-£<») tf=£V>- V<ff;
(«• - й») ф'!>= й”+?+й'Ч" - Й,”,
(IU)
из которой можно последовательно определить и фо») (те = 0,1, 2, ...).
Первое уравнение системы (114) будет удовлетворено, если положить
£<°>=s£0- ф(О)=фО
Для решения второго уравнения предположим, что собственные функции ф° (л=1, 2, ...) образуют полную орто-нормированную систему. Тогда можно положить
(115)
т *1
190
где Сщ (т = 1, 2,...) — коэффициенты Фурье, подлежащие определению. Функция У<|40> также разлагается в ряд
ГГь°=	(П6)
т — 1 где а Подставляя выражение (115) и (116) во второе уравнение системы (114), получим
(А° - 2	Фт = ^Ф» ~ 2
Я1==1	т=1
или, используя первое уравнение системы (114),
2 d? (£1 - й) й=£int: - - S °17) m = 1	т ==1
Приравнивая коэффициенты при ф® (т = 1, 2, 3,...) в левой и правой частях равенства (117), будем иметь
О =	} — Wnm при т = п
и
CUf?. -£•.)—Приш«». Следовательно, £<1>=И'Я» и
Недостающий коэффициент С^> можно определить из условия ортонормировки функции фя. Имеем
W. + ȣ m- t
И
W + - f csr«+--
191
Отсюда, учитывая ортогональность собственных функций <|>° и <Ь° при т Ф k и их нормированность, получаем
J те<*2+
Q	2
+» ф те^+с; J те ^ +
+ • = 1 + 2«₽еф + ---
(П8)
Так как последнее выражение должно быть равно единице при любом е, то, следовательно,
Яеф—О.
Отсюда, считая коэффициент действительным (этого можно добиться путем умножения разложения (115) на подходящий множитель)
ф«0.
Таким образом, первое приближение задачи с точностью до членов порядка « дается формулами:
Еп^Е?п + е (Тля + • • •;
(в«1, 2, ...),
где штрих над суммой £ обозначает, что пропускается значение /и = п.
Аналогично, используя третье уравнение системы (114), можно построить второе приближение задачи с точностью до членов порядка Н и т. д.
При наличии вырождения метод возмущения усложняется. Теория возмущений разработана также для случая непрерывного спектра.
Упражнения к пятой главе
1.	Изучить движение частицы с энергией Е при наличии потенциального барьера
у___[ 0 при х<0
1 U при х>0
где U >Е. 192
2.	Найти средние значения х* и р* для гармонического осциллятора с собственной энергией Еп при л®0, 1, 2.
3.	Определить квантовые уровни энергии и волновые функции для трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
У-= У*+ *-*.
где кц k2, kt — положительные числа.
4.	Построить нормированные сферические волновые функции атома водорода для «-состояния (/=0), p-состояний (/=1) и d-состояний (<=2).
5.	Найти распределение угловой координаты 9 для d-электронов (1—2) атома водорода.
6.	Построить радиальные волновые функции атома водорода для 2s, 2р, 3s, Зр, Sd-состояний.
7.	Найти средние значения г* и г-* для атома водорода в состоянии 1 s.
8.	Найти средние значения г и г1 для атома водорода в состояниях 2s и 2р.
Чему равны наивероятнейшие значения г и г1 в этих состояниях?	_ _ _
9.	Найти средние значения импульсов pr, pt, р^ и их квадратов р*, р», р’ в состоянии 1s.
10.	Найти собственные функции и собственные значения оператора проекции момента количества движения на ось Ог
11.	Найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента количества движения
М* ® — А, 4«»
где
A®-(-l-.2.fsin6^+—•-) (sine dt { dt ) sin»»
(оператор Лежандра).
12.	Определить собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для свободного жесткого ротатора, состоящего из двух атомов с массами тг и т2, находящихся на неизменном расстоянии R.
193
Литература
1.	Бауэр Э. Введение в теорию групп и ее приложения к квантовой физике. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
2.	Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. СПб.: Лань, 2004.
3.	Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.
4.	Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2002.
5.	Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Добросвет МЦНМОД998.
6.	Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Издательство иностранной литературы, 1948.
7.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
8.	Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
9.	Левин В. И, Методы математической физики. М.: Учпедгиз, 1956.
10.	Люстерник Л, А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
11.	Смирнов В. И, Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 3.
12.	Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.
13.	Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980.
14.	Фок В. А. Начала квантовой механики. М.“Ижевск: РХД, 2003.
15.	Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики. М.~Л.: Гостехиздат, 1951.
16.	Шпольский Э. В, Атомная физика. М.: Наука, 1984.
17.	Эйринг Г., Уолтер Дж., Кимбалл Дж. Квантовая химия. М.: ИЛ, 1948.
18.	Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М.: Физматгиз, 1959.
19.	Нейман Дж. Математические основы квантовой механики.
М.: Наука, 1964.
194
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства........................................3
Глава L Полиномы Лежандра
§ I.	Формула Родрига.................................  4
§ 2.	Нули полиномов Лежандра...........................6
§ 3.	Ортогональность полиномов Лежандра................7
§ 4.	Нормировка полиномов Лежандра.....................8
§ 5.	Ряды Фурье - Лежандра............................10
§ 6.	Дифференциальное уравнение Лежандра..............10
§ 7.	Присоединенные функции Лежандра..................15
§ 8.	Присоединенное дифференциальное уравнение Лежандра.15
§ 9.	Ортогональность присоединенных функций Лежандра..17
§10.	Нормировка присоединенных функций Лежандра...... 18
§11.	Оператор Лапласа в цилиндрических и сферических координатах..........................................19
§12.	Понятие о шаровых функциях.......................23
§13.	Сферические функции..............................26
§14.	Ортогональность и нормировка сферических функций.29
§15.	Разложение по сферическим функциям...............31
Упражнения к первой главе.............................31
Глава IL Полиномы Чебышева - Эрмита и Чебышева - Лагерра
§ 1.	Полиномы Чебышева - Эрмита.......................33
§ 2.	Ортогональность полиномов Чебышева - Эрмита......34
§ 3.	Нормировка полиномов Чебышева - Эрмита...........35
§ 4.	Дифференциальное уравнение Эрмита................37
§ 5.	Краевая задача для полиномов Чебышева - Эрмита.....38
§ 6.	Краевая задача для функции Чебышева ~ Эрмита.......42
§ 7.	Полиномы Чебышева - Лагерра......................43
§ 8.	Ортогональность полиномов Чебышева ~ Лагерра.....44
195
§ 9.	Нормировка полиномов Чебышева - Лагерра..........45
§10.	Присоединенные полиномы Чебышева - Лагерра......46
§11.	Ортогональность присоединенных полиномов Чебышева -Лагерра................................................47
§12.	Нормировка присоединенных полиномов Чебышева -Лагерра................................................48
§13.	Дифференциальное уравнение Лагерра..............49
§14.	Краевая задача для присоединенных полиномов Чебышева -Лагерра................................................52
§15.	Краевая задача для присоединенных функций Чебышева -Лагерра................................................58
Упражнения к второй главе.............................59
Глава III. Элементы функционального анализа
§ 1.	Линейное функциональное пространство.............61
§ 2.	Скалярное произведение функций...................66
§ 3.	Понятие о пространстве Гильберта.................69
§ 4.	Процесс ортогонализации функций..................73
§ 5.	Ряды Фурье_______________________________________79
§ 6.	Алгебра операторов...............................83
§ 7.	Эрмитовы операторы...............................88
§ 8.	Собственные значения линейных операторов.........92
§ 9.	Линейные операторы в конечно-мерном гильбертовом пространстве..........................................95
§10.	Матричное представление линейного оператора....102
§11.	Свойства коммутирующих эрмитовых операторов....105
§12.	Функция Дирака.................................111
Упражнения к третьей главе...........................113
Глава IV. Некоторые сведения из квантовой механики
§ 1.	Ньютоновы уравнения движения в классической механике.... 115
§ 2.	Уравнения Лагранжа...............................117
§ 3.	Уравнения Гамильтона.............................122
§ 4.	Основные постулаты квантовой механики...........126
§ 5.	Волновые функции стационарного состояния системы.133
§ 6.	Принцип суперпозиции............................135
§ 7.	Среднее значение динамической переменной........138
§ 8.	Общие собственные состояния двух динамических переменных... 141
§ 9.	Правило Гейзенберга.............................142
§10.	Соотношение неопределенностей..................143
§11.	Производная оператора по времени...............146
§ 12.	Уравнения движения в квантовой механике........148
196
§ 13.	Теорема Эренфеста..............................150
§ 14.	Понятие об интегралах движения.................151
Упражнения к четвертой главе.........................154
Глава V. Уравнение Шредингера
§ 1.	Общие замечания................................157-
§ 2.	Свободная частица...............................157
§ 3.	Частица в потенциальном ящике...................158
§ 4.	Частица в пространственном потенциальном ящике..162
§ 5.	Гармонический осциллятор........................165
§ 6.	Атом водорода...................................171
§ 7.	Сферические волновые функции атома водорода.....172
§ 8.	Радиальные волновые функции атома водорода......175
§ 9.	Нормировка радиальных волновых функций атома водорода... 180
§ 10.	Некоторые свойства волновых функций атома водорода.184
§ 11.	Понятие о теории возмущений....................189
Упражнения к пятой главе.............................192
Литература...........................................194
Борис Павлович ДЕМИДОВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Учебное пособие Издание второе, исправленное
Генеральный директор А Л. Кноп Директор издательства О. В. Смирнова Художественный редактор С. Л. Шапиро
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.001665.03.02 от 18.03.2002 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ» lan@lpbl. spb.ru www.lanpbl.spb.ru 192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5.
Издательство: тел./факс: (812)567-29-35, 567-05-97, 567-92-72; pbl@lpbl. spb. ru print@lpbl.spb. ru
Подписано в печать 26.04.05.
Бумага офсетная. Гарнитура Литературная. Формат 60x90 Vie* Печать офсетная. Усл. п. л. 12,50. Тираж 1500 экз.
Заказ № 2855
Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
Издательство Ж «ЛАНЬ» лань®
КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ЛАНЬ» МОЖНО ПРИОБРЕСТИ
В ОПТОВЫХ КНИГОТОРГОВЫХ ОРГАНИЗАЦИЯХ
ООО «ЛАНЬ-ТРЕЙД»
192029, Санкт-Петербург, ул. Крупской, 13, тел./факс: (812)567-54-93, тел.: (812)567-85-78, (812)567-14-45, 567-85-82, 567-85-91; trade@lanpbl.spb.ru www.lanpbl.spb.ru/price.htm
ООО «ЛАНЬ-ПРЕСС»
109263, Москва, 7-я ул. Текстильщиков, 6/19, тел.: (095)178-65-85, 178-57-04; lanpress@ultimanet.ru
ООО «ЛАНЬ-ЮГ» 350072, Краснодар, ул. Жлобы, 1 /1, тел.: (861)274-10-35;
Iankrd98@mail.ru
Издательство М «ЛАНЬ» Ьш
ПРЕДЛАГАЕТ
УЧЕБНУЮ ЛИТЕРАТУРУ ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ
МАТЕМАТИКА ФИЗИКА
Приглашаем к сотрудничеству авторов и издательства
Рукописи не рецензируются и не возвращаются
НАШИ АДРЕСА И ТЕЛЕФОНЫ Издательский отдел РФ, 192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5.
(812) 567-29-35, 567-05-97, 567-92-72
ЭЛЕКТРОННЫЕ АДРЕСА www.lanpbl.spb.ru; E-mail: lan@lpbl.spb.ru, pbl@lpbl.spb.ru (издательский отдел); print@lpbl.spb.ru (производственный отдел)
Борис Павлович ДЕМИДОВИЧ (1906-1977). доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (1965-1977), выдающийся специалист в области математического анализа, дифференциальных уравнений и их приложений, заслуженный деятель науки РСФСР. Преподавал также в ряде ведущих вузов Москвы (МВТУ им. Н. Э. Баумана, Военно-инженерной академии им. Ф. Э. Дзержинского и др.).
Высокий профессионализм и богатый педагогический опыт Б. П. Демидовича нашли отражение в многочисленных работах и публикациях. Знаменитый «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» неоднократно переиздавался общим тиражом свыше миллиона экземпляров, был переведен на многие иностранные языки, продолжает оставаться востребованным и в настоящее время. Неизменной популярностью пользуются также фундаментальные работы Б. П. Демидовича «Краткий курс высшей математики», «Основы вычислительной математики», «Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения», «Сборник задач по математике для втузов».
9 785811 406241