СИ. Гельфацд
Ю.И. Манин
МЕТОДЫ
ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ
АЛГЕБРЫ
том
I
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
КОГОМОЛОГИЙ
И ПРОИЗВОДНЫЕ
КАТЕГОРИИ
MUCK IIЛ «НАУКА»
ГЧ МИ1Л1Г РЕДАКЦИЯ
' I > 11 1111UI M Л ТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I II М !1

ББК 22.14
Г32
УДК 512.66
Гельфанд С. И., Мании Ю. И. Методы гомологической
алгебры: В 2-х т. Т. 1. Введение в теорию когомологий и производ-
производные категории.— М.: Наука. Гл. род. фим.-мат, лит., 1088.— 416 с—
ISBN 5-02-014414-2 (Т. 1).
Гомологическая алгебра — но толп.ко самостоятельный раздел
алгебры, но и общий язык дли многих геометрических дисциплин,
где существенны глобалышо свойстнп изучаемых объектов.
В книге впервые в мировой монографической литературе из-
изложен современный подход к гомологической алгебре: теория про-
производных и триангулированных категорий.
Для математиков, впервые знакомящихся с предметом, а так-
также для специалистов в алгебре, топологии, теории дифференци-
дифференциальных уравнений, желающих углубить свои знания.
Ил. 3. Библиогр. 152 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Д. П. Фукс;
член-корреспондент АН СССР И. Р. Шафаревич
1702030000—181
Г 053@2)-88 13"88
ISBN 5-02-014414-2(T.I)
ISBN 5-02-013723-5
~)Издитсл1.ство «Наука».
'Глиннин редакция
фиаиио-математкчесной
литературы, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Литературные указания W
Г л а в а I. Симплициальные множества 15
§ 1. Триангулированные пространства 15
§ 2. Симплициальные множества 21
§ 3. Симплициальные топологические пространства и те-
теорема Эйленберга — Зяльбера 32
§ 4. Гомологии и когомологий 39
§ 5. Пучки 48
§ 6. Точная последовательность 59
§ 7. Комплексы 65
Глава II. Основные понятия теории категорий ... 76
§ 1. Язык категорий и функторов 76
§ 2. Категории и структуры. Эквивалентность категорий 88
§ 3. Структуры и категории. Представимые функторы 98
§ 4. Категорные конструкции геометрических объектов 115
§ 5. Аддитивные и абелевы категории 133
§ 6. Функторы и абелевость 148
Слава III. Производные категории л производные функ-
функторы 167
§ 1. Комплексы как обобщенные объекты 167
§ 2. Производные категории и локализация .... 173
§ 3. Треугольники как обобщенные точные тройки . . 183
§ 4. Производная категория как локализация гомотопи-
гомотопической 189
§ 5. Структура производной категории 194
§ 6. Производные функторы от аддитивных функторов 216
§ 7. Производный функтор композиции. Спектральная
последовательность 233
§ 8. Когомологий пучков 254
«• 3

Глава IV. Триангулированные категории 278
§ 1. Триангулированные категории 278
§ 2. Производные категории триангулированы . . . 2Ш
§ 3. Пример: триангулированная категория Л модулей 304
§ 4. Сердцевины 316
Глава V. Введение в гомотопическую алгебру .... 328
§ 1. Замкнутые модельные категории 328
§ 2. Гомотопическая характерилация слабых икнппалеи-
тностей 336
| 3. .DG-алгебры как замкнутая модельная категории . 373
§ 4. Минимальные алгебры 383
§ 5. Эквивалентность гомотопических категории . . 395
Список литературы 400
Алфавитный указатель 409
...utinam intelligere possim rationaci-
nationes pulclierrimas quae e pro-
positione concisa DE QUADRATUM
NIHILO EXAEQUARI flu tint.
...Хотел бы я б.ыть способным по-
попять изящнейшие следствия, выте-
вытекающие из тождества d2 = 0.
(Из приветственного адреса Анри
Картану при присуждении ему
почетной степени доктора в Окс-
Оксфордском университете в 1980 го-
году.)
ПРЕДИСЛОВИЕ
1. Гомологическая алгебра возникла как язык, предна-
предназначенный для описания топологических свойств геомет-
геометрических объектов. Возникновение нового языка всегда
является крупной вехой в развитии математики: плоская
и пространственная геометрия Евклида, аналитическая
геометрия Декарта, формализация ньютоновских флюент
it флюксий по Лейбницу и Лагранжу начинают тот ряд,
и которому можно отнести гомологическую алгебру. Как
исякий удачный язык, гомологическая алгебра быстро
реализовала тенденцию к саморазвитию. Как всякий
удачный математический язык, она быстро начала рас-
расширять свою семантику, то есть описывать вещи, к опи-
описанию которых первоначально не предназначалась. Вы-
Вычисление индекса эллиптических операторов, точные
оценки чисел решений сравнений по простому модулю,
теория гиперфункций, аномалии в квантовой теории по-
л я — вот лишь некоторые современные приложения го-
гомологических идей.
Историю гомологической алгебры можно условнр раз-
разбить на три периода.
Первый начался в сороковых годах классическими
работами Эйленберга — Маклейна, Д. К. Фаддеева,
I'. Бэра и завершился с появлением в 1956 году фунда-
фундаментальной монографии Картана — Эйленберга «Гомоло-
«Гомологическая алгебра», которая полностью сохраняет свое
шачение и до сих пор.
Опубликованная в 1957 году большая статья А. Гро-
кшдика «О некоторых вопросах гомологической алгебры»
(она около трех лет пролежала в редакции), была нача-
KIM нторого этапа, который весь прошел под доминиру-
5

ющим влиянием Гротендика и его школы алгебраической
геометрии.
Третий период, продолжающийся до сих пор, связан
со все расширяющимся использованием понятий произ-
производной и триангулированной категории. Оспоиная техни-
техника была изложена в диссертации ученика Л. Гротендика
Ж.-JI. Вердье в 1963 году, но за пределы алгебраической
геометрии она распространялась медленно. Лишь в по-
последние десять-пятнадцать лет положен ио изменилось.
Сначала в работах Сато и его школы но микролокальному
анализу, затем в теории ^-модулей и превратных (per-
(perverse) пучков с приложениями в теории представлений
триангулированные категории стали иснользоиаться как
самый адекватный инструмент.
Попытаемся охарактеризовать :>ти три периода, изви-
извинившись перед читателем аа субъоктипиость оценок и
пеполноту материала. Многие важные тенденции не уло-
уложились, конечно, в нашу жесткую схему.
В книге Картана — Эйленберга, по существу, содер-
содержались все конструкции гомологической алгебры, состав-
составляющие основу ее вычислительного аппарата: стандарт-
стандартные резольвенты и спектральные последовательности.
Что не менее важно, в ней было дано аксиоматическое
определение производных функторов от аддитивных
функторов на категории модулей над кольцом.
Именно эта идея определила лицо второго периода.
Логика внутреннего развития аналитической и алгебраи-
алгебраической геометрии привела к оформлению понятия пучка
и к осознанию того, что естественным аргументом для
теории когомологий является пара (пространство, пучок),
а не просто пространство (или пространство с группой
коэффициентов). Здесь нужно отметить основополагаю-
основополагающий вклад семинаров А. Картана и работы Ж.-П. Серра
«Алгебраические когерентные пучки». В цитированной
статье Гротендика 1957 года было подчеркнуто, что с го-
гомологической точки зрения пару (пространство, пучок
абелевых групп) следует рассматривать как аналог пары
(кольцо, модуль) и определять когомологий пучка как
производные функторы от глобальных сечений.
Разрыв с аксиоматической теорией (ко) гомологии по
Эйленбергу — Стинроду состоял в том, что переменным
аргументом теории когомологий стал считаться абелев
аргумент — пучок, тогда как раньше им был неабелев ар-
аргумент—пространство. Точнее говоря, теория (ко) гомо-
гомологии с фиксированными коэффициентами по Эйлепбер-
гу — Стинроду есть градуированный функтор из катего-
категории топологических пространств в абелевы группы, удов-
удовлетворяющий нескольким аксиомам, которые его одно-
однозначно определяют. Главные среди них — задание (ко) го-
гомологии точки и точная последовательность, связанная
с «аксиомой вырезания». Теория когомологий фиксиро-
фиксированного пространства по Гротендику есть градуирован-
градуированный функтор из категории пучков абелевых групп на
этом пространстве в абелевы группы, также удовлетворя-
удовлетворяющий нескольким аксиомам, которые его однозначно
определяют. Главные среди них — задание нульмерных
когомологий как глобальных сечений и точная последо-
последовательность, связанная с точной тройкой пучков.
Развитие этой идеи привело к очень глубокому обоб-
обобщению основных понятий алгебраической геометрии —
топологиям Гротендика и топосам. Суть его в том, что
коль скоро когомологические свойства пространства це-
целиком определяются категорией пучков на нем, то имен-
именно такие категории, а не сами топологические простран-
пространства, и должны быть первичным объектом топологии.
1 [осле надлежащей аксиоматизации свойств таких кате-
категорий мы и приходим к понятию топоса. Развитие этих
абстрактных идей было мотивировано очень конкретной
задачей — знаменитыми гипотезами А. Вейля о числе ре-
решений сравнений по простому модулю. В саму формули-
формулировку этих гипотез входило предположение о существо-
существовании некоторой теории когомологий алгебраических мно-
многообразий в характеристике р > 0, которая позволила бы
применять в, этой ситуации формулу Лефшеца о числе
неподвижных точек многообразия. Такой теорией и ока-
оказалась теория когомологий этального топоса, созданная
Л. Гротендиком и развитая его учениками.
Основным конечным продуктом гомологической ал-
алгебры этого периода являются вычисление и свойства
разнообразных производных функторов RPF, где F —
Функторы сечений, прямых образов, тензорных произве-
произведений и т. п. Эти производные функторы возникают как
когомологии комплексов вида F(I'), где /' — резольвент-
резольвентные комплексы, состоящие из инъективных, проективных,
плоских и других «приспособленных» к F объектов. Вы-
fiop резольвент в высшей степени неоднозначен, но RVF
от пего не зависят.
Постепенно кристаллизовалось понимание того, что
глодует систематически изучать все комплексы, а не

только резольвенты /' (и результаты применения к ним
функторов), по по модулю очень сложного отношения
эквивалентности, которое отождествляет некоторые комп-
комплексы с одинаковыми когомологиями.
По-видимому, мы не знаем окончательного определе-
определения этого отношения эквивалентности. Ияпестпо, однако,
рабочее и доказавшее свою полезность определение, сфор-
сформулированное в диссертации Вердье 19ВН года. Получаю-
Получающиеся при этом категории комплексов носит название
производных категорий, а аксиоматизация их свойств
приводит к понятию триангулированных категорий.
Как нам кажется, основной чертой третьего периода
гомологической алгебры является развитие особого «мыш-
«мышления комплексами», п противоположность «мышлению
объектами и их гомологическими инвариантами», харак-
характерного для первых двух периодов. Ярче всего, вероятно,
это проявилось в теории превратных пучков. Она пока-
показала, что когомологические свойства топологических мно-
многообразий в значительной степени переносятся на про-
пространства с особенностями, если и качестве коэффициен-
коэффициентов брать не пучки, а специальные комплексы пучков
(как объекты производной категории). К более ранним
конструкциям такого рода можно отнести коиормальные
комплексы Гротендика — Иллюзи и дуализирующие
комплексы Гротендика и Вердье.
2. Эта книга задумана как учебное введение в технику
производных категорий. Насколько нам известно, до сих
пор математику, желающему ознакомиться с ней, прихо-
приходится обращаться к двум первоисточникам, автореферату
Вердье и запискам семинара Хартсхорна, либо к устной
традиции — в тех математических центрах, где она не
прервалась.
Таким образом, центром книги являются главы III и
IV, и читатель, хотя бы немного знакомый с абелевыми
категориями и функторами, может начинать чтение пря-
прямо г ;мп\ i л к к.
Глина II пдресишпш чптителю, которому редко при-
чодиггн 1!М1<||| доли г китогпрпнмн, и мы стирались про-
прояснить пin \ in iiitiii.ni смысл стандартных китегорпых кон-
конструкций л описать of>pn;iui.i «катогорного мышления».
Основная же практическая цель ;>той глины — введение
в абелевы категории.
Наконец, главы I и V — это продукт тяжело давшейся
нам попытки отделить гомологическую алгебру от алге-
Г топологии, не сжигая мостов между ними.
Триангулированные пространства и симшгациальные
множества относятся, вероятно, к самым прямым спосо-
способам описывать топологию с помощью алгебры, и мы ре-
решили начать книгу с введения в симплициальные методы.
С другой стороны, алгебраическая топология немыслима
без теории гомотопий, и изложением основ гомотопиче-
гомотопической алгебры в главе V эта книга заканчивается.
В упражнениях и дополнениях приводятся (часто без
доказательств) некоторые результаты, расширяющие из-
изложенную в основном тексте точку зрения.
Мы работали над этой книгой с тревожным ощуще-
ощущением, что текущий период развития гомологической ал-
алгебры является переходным, что основные рабочие опре-
определения и конструкции теории триангулированных кате-
категорий, несмотря на их ширящееся использование, имеют
только предварительный характер. (В еще большей сте-
степени это относится к гомотопической алгебре.) Нет со-
сомнения, что близкие чувства владели основателями этой
теории и всеми, кто серьезно работал с ней. Отсутствие
монографических изложений — один из симптомов этого.
И все же этот период длится уже около двадцати лет;
работы, основные результаты которых нельзя даже сфор-
сформулировать на старом языке, множатся; потребность в
учебнике растет. Поэтому мы представляем книгу на суд
снисходительного читателя.
3. План книги формировался постепенно, в течение
нескольких лет, когда авторы вели семинары на мехмате
МГУ и общались с «кружком любителей гомологической
алгебры» — А. А. Бейлинсоном, М. М. Капрановым,
И. В. Шехтманом, чьи работы и объяснения к ним до-
доставили нам живые примеры мышления комплексами.
Ж.-П. Ссрр, И. Н. Бернштейн и М. М. Капранов оз-
ознакомились с рукописью и сделали ряд очень полезных
замечаний.
В. Е. Говоров любезно предоставил нам обширную
картотеку работ по гомологической алгебре.
Г. Н. Давыдова терпеливо и квалифицированно пере-
перепечатывала рукопись и вносила в нее наши многочис-
многочисленные исправления.
Мы глубоко признательны всем им, а также
15. А. Гинзбургу, Р. Макферсону, С. М. Хорошкину,
Г>. Л. Цыгану.
Наш долг классикам, основателям и отцам этой нау-
науки, чьими книгами, статьями и идеями мы пользовались
и вдохновлялись, должен быть ясен из содержания.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
1. Общее чтение. Начнем с литературы, имеющийся па рус-
русском языке. Переведены два учебника классической гомологиче-
гомологической алгебры: Картан — Эйленберг [11, Мнклейн |1| и большая
статья Гротепдика [1]. До сих пор сохраняет споо значение сбор-
1шк статей «Расслоенные пространства» ГРП]. ('имплициальные
методы обсуждаются в книге Габриэля — Цисмаиа [1|, пучки —
в книгах Годемапа [1] и Головина [1]. Алгебро-геометрические ас-
аспекты и приложения отражены в основополагающей статье Серра
[3], в книгах Хартсхорна [2] и Милна [1]. Теории топосов посвя-
посвящены монографии Голдблатта [1] и Джопстопа [1]. В трех книгах
изучаются гомологии алгебраических систем: Серр [8], Фукс [2|,
Гишарде [1]. Литература но алгебраической топологии довольно
обильна: Эйленберг — Стипрод [1], Хилтон — Уайли [11, Спеньер
[1], Дольд [1], Масси [2], Вордмаи — Фогт [i], Фукс [1], Дубро-
Дубровин— Новиков — Фоменко [1].
Из учебников и монографий общего характера отмстим книги
Хилтон — Стаммбах [1], Бурбаки [1], Мей [1], Бредоп [1], Ивер-
сен [1], Браун [1], Ботт—Ту [1], Гулликсеп — Левин [1|.
Огромный материал по современной гомологической алгебре со-
содержится в литературе, посвященной алгебраической геометрии.
Здесь нужно назвать в первую очередь публикации Гротепдика и
ого школы: Гротендик — Дьедопне [1] (особенно гланы 0 и III) и
[2], Гротендик и др. [SGA] (особенно 4, 'г^, 6), Артин [1], Харт-
схорн i[l], Бертло [1], Делинь [1], [2].
История гомологической алгебры не написана; мы можем ре-
рекомендовать заинтересованному читателю статью Грея [1], соот-
соответствующие разделы из книги Дьедонне [1] и проникновенные
автобиографические размышления А. Гротепдика ,[5].
2. Темы, не затронутые в этой книге, а) Некоммутативные ко-
гомологии. Задачи теории групп и топологии приводит к необходи-
необходимости рассматривать когомологии с некоммутативными коэффи-
коэффициентами. Систематическая теория их существует лишь для кого-
когомологии малых размерностей (^2 или ^3): для случая когомо-
когомологии групп см. очень педагогичное введение в книге Серра [7],
основанное на работах Дедекера [1]. Наиболее употребительны
1-когомологии, или торсоры. Промежуточные итоги подведены в
книге Жиро [1].
б) Производные от неаддитивных функторов. Исторически пер-
первые конструкции производных от таких функторов, как симметри-
симметрическая или внешняя степень модуля, были предложены Дольдом
10
и Пуппе [1]. Эта техника была развита Иллюзи [11 и применена
в алгебро-геометрических ситуациях. Симшшциальные методы иг-
играют в этих конструкциях ключевую роль. В работе Фейгина —
Цыгана [1] аддитивная iiT-теория интерпретирована как теория
производных функторов от факторкольца по коммутанту.
в) Непрерывные когомологии. Вопросы функционального ана-
анализа и бесконечномерной геометрии приводят к конкретным ко-
когомологическим конструкциям в категориях алгебраических струк-
структур с топологией: линейные топологические пространства, банахо-
банаховы алгебры, группы Ли и т. п. Однако важнейшие из таких кате-
категорий оказываются неабелевыми, и стандартный формализм про-
производных функторов не работает. Конкретные определения и вы-
вычисления проводятся обычно с выбранным классом комплексов.
См. по этому поводу монографии Хелемский [1], Гишарде i[l], Бо-
рель — Уоллах [1], статью Джонсон [1].
г) Произведения и двойственность. Обрывки этих сюжетов чи-
читатель найдет в разных местах книги, однако удовлетворительной
общей теории в рамках гомологической алгебры, видимо, не су-
существует. Относительно двойственности в алгебраической геомет-
геометрии см. [SGA2] и Хартсхорн [1], в топологии — Вердье [11, [21
и Иверсен [1]. Теорию .DG-алгебр, начала которой изложены в
главе V, можно рассматривать как попытку введения мультипли-
мультипликативной структуры с самого начала. По поводу более глубоких
проблем см. Бордмаи — Фогт [11, Шехтмап [11, Хинич—Шехт-
мап [1]. Классические теории когомологических операций (сте-
(степени Стинрода, операции Масси и др.) также относятся к
этой теме.
д) Гомологическая алгебра и К~теория. Литература по .К-тео-
рии очень велика: см. основопологающие статьи Квиллена [11,
[2], [4], обзор Суслина [1], а также сборники [КТ1], [КТ2], где
указаны дальнейшие ссылки.
е) Разное. Теоретико-числовые приложения когомологии Га-
луа основаны прежде всего на теории полей классов: см. класси-
классическое изложение в семинаре Артина — Тэйта [1] и последующие
работы Тэйта [1], Мазура [1] и др. Имеется большая литература
по гомологическим методам коммутативной алгебры: сборник
[ЛАТ], Серр [6], Андро [2], [3], Аврамов — Гальперин [11, Квил-
лен [3]. Другие приложения гомологической алгебры см. в сборни-
сборниках [AN], [ES], [SD].
3. К главе I.
§ 1—3. Дальнейшие результаты симплициалыюй алгебры, в
частности, в применении к гомотопической теории, можно найти
в книгах Габриэля — Цисмана [1] и Мея [1], см. также указания
к главе V. Ее приложения к производным функторам от неадди-
неаддитивных функторов содержатся в работах Дольда — Пуппе [1],
Иллюзи [1]. П, Делинь существенно использовал симпли-
циальные методы в теории смешанных структур Ходжа: см.
Делинь [1], Бейлинсон [2]. Упражнения 2, 3 к § 2 см, Дас-
кин [1], [2].
§ 4. Мы едва коснулись здесь алгебраической топологии: см.
Указания к общему чтению.
§ 5. Результаты по классической теории пучков изложены в
Сорр [3], [4], Годеман [1], Иверсоп ,[1], Головин [1], Бредоп [1].
По поводу теории пучков в общих топосах, а также в этальном,
кристальном и других топосах алгебраической геометрии см.:
[SGA4], Артин [1], Бертло [1], Милн [1].
Н

Важнейшие развитие теории пучков последнего десятилетия
связано с оформленном понятия превратного пучка и формализма
соответствующей теории когомологий, приспособленного к изу-
изучению сингулярных многообразий. Превратные пучки являются
объектами производной категории обычных пучков и потому пред-
представлены комплексами обычных пучков. См. Горгски Макфор-
сон [1], Бейлинсон — Бернштейн — Делипь [11, сборники [IH],
[ES].
§ 6. Точная последовательность — основное орудие гомологи-
гомологической алгебры. См. дальнейшее развитие и контексте производ-
производных и триангулированных категорий: §§ III.Л, 1V. 1.
§ 7. Имеется огромная литература, в которой ннпднтсн и изу-
изучаются прямыми средствами важные конкретные резольвенты и
комплексы: до Рама. Чеха, Конгуля, Хо.\1иил!>дп, бар резольвенты,
циклические комплексы, комплексы непрерывных коцепей и др.;
см., в частности, Придди [1], [2], Наруби |1|, \2\, [:!|, Копп [11,
Фукс [21. Хохшильд [1].
4. К главе II.
§ 1. См. Маклейн [2], Голдблптт [1|, «Рейс 111; по поводу
2-категорий см. Габрипль—Цпсмап [1].
§ 2. По поводу теории фундаментальной группы и алгебраиче-
алгебраической геометрии см. [SGA 2]; о двойственности Гельфанда см. Гель-
фанд — Шилов [1]; об эквивалентности Мориты см. Морита [11,
Фейс [11. Классический пример нетривиальной эквивалентности
категорий — описание когерентных пучков па проективных алге-
алгебраических многообразиях черен соответствующие им модули над
однородным координатным кольцом: см. Серр [,Т| и обобщение в
Гротепдик — Дьедопис i[1, EGA HI.
Дальнейшее развитие этой идеологии -- обнаружение замеча-
замечательных эквпвалентностей между производными категориями — см.
§ IV.3 и указания к нему.
§ 3. Имеются важные теоремы, дающие абстрактную характе-
ризацию представимых функторов. По поводу общекатегорпой тео-
теоремы Фрейда см. Маклейп [2]. В алгебраической и аналитической
геометрии с помощью понятия представимого функтора вводятся
многие важные объекты типа пространств модулей (базы
универсальных деформаций). В этом контексте характеристиза-
ция представимых функторов с помощью небольшого списка
проверяемых свойств приводит к фундаментальным теоре-
теоремам существования, см. Гротепдик [11, [2], [41, Артип [21,
Киутсоп [11.
Фундаментальное понятие сопряженного функтора было вве-
введено Каком [1]. Многие важные конструкции алгебры, топологии
и геометрии описываются в терминах сопряженных функторов; см.
примеры в Апдпе [11, Фейс [1], Маклейн [21.
§ 4. Подробности об окольцоваппых пространствах см. в кни-
книгах Гротендик — Дьедонне [1, гл. 0], [21. О нерве категории см.
Квиллен [4], Суслин [1].
§ 5—6. Это — классический материал; см. Картап — Эйленберг
[1], Гротендик [1], Маклейн [1]. По поводу его развития в кон-
контексте производных категорий см. § Ш.6 и IV. 1. Относительно
упр. 9, § 5 см. Серр [2].
5. К главе III.
§§ 1—4. Материал этих параграфов почерпнут из Хартсхорн
[1], Вердье [3]. Фундаментальная диаграмма в лемме 3.3 содер-
содержится в Бурбаки [1].
12
Видимо, основной педостаток определения производной кате-
категории состоит в плохом определении выделенных треугольников.
Проблема «истинных треугольников» обсуждается в неопублико-
неопубликованных записках Делиня. См. также обсуждение функтора det в
Кнудсен — Мамфорд [1] и [SGA 61 и описание операции Tot в уп-
упражнениях к § IV.2.
§ 5. Классическая теория Ext в терминах комплексов принад-
принадлежит Ионеде [1] (опа является развитием теории Ext1 по Бэру).
Много конкретных исследований посвящены гомологической раз-
размерности: Серр [5], в теории глубины в [SGA2], в теории групп
(Браун,[1] и статьи в [ААТ]).
По поводу теоремы 5.21 см. Хартсхорн [1]. Она является пред-
представителем класса теорем, устанавливающих, что конкретные про-
производные категории эквивалентны категориям комплексов по мо-
модулю гомотопической эквивалентности см. Бейлинсон [11- Берн-
Бернштейн— Гельфанд — Гельфанд [1], Капранов [1], [2] и общую
идеологию в Капранов [3].
§ 6. Основные ссылки — те же, что в § 1—4. По поводу
упр.* 1—5 см. статью Делиня в книге Гротендик и др. [SGA4,
XVII], упр. 6 — Руус [1], [2], упр. 7—10 — Спалтенстойн [1].
§ 7. Если точная последовательность — основное средство изуче-
изучения поведения когомологий при смене абелева аргумента, то спект-
спектральная последовательность играет ту же роль при смене неабеле-
ва аргумента. Исторически первой, по-видимому, была спектраль-
спектральная последовательность Лерэ; классическое изложение Серра [11
остается прекрасным источником. В книге Картана — Эйленберга
[1] изложено стандартное построение спектральной последователь-
последовательности по фильтрованному комплексу, а в статьях Масси [1] — по
точной парс (см. также Экман — Хилтон [1], [2]). Гротендик [1]
показал, что многие известные спектральные последовательности
выражают производные функторы композиции через производные
функторы сомножителей. Однако спектральные последовательности
гомотопической топологии имеют иное происхождение: см. Мак-
Клири [1]. В книге Фукса [1] дано увлекательное описание спект-
спектральной последовательности Адамса. См. также упражнения к
§ IV.2.
§ 8. Этот параграф, упражнения и дополнения к нему, а так-
также к § IV.4, образуют введение в теорию когомологий пучков, как
она видится в настоящее время. Основное отличие от состояния,
зафиксированного в книге Годемана [1] — появление функтора /!,
который можно построить только в производной категории. Его
конструкция ведет к двойственности Вердье, которую также нель-
нельзя сформулировать в рамках классической теории, и к общему
компактному формализму «шести операций» (упражнения и до-
дополнения к § IV.4). Литература: Вердье [1], [2], [4], сборник [Ш1,
Иверсен [1]; в контексте алгебраической геометрии — Хартсхорн
[1] для когерентных пучков, Гротендик и др. [SGA 4] для эталь-
ной топологии (главным образом — доклад XVII).
6. К главе IV.
§ 1—2. Нашими главными источниками были Вердье [3], Харт-
Хартсхорн [1] и Капранов [3]. Упражнения к § 2 составил Капранов.
§ 3. Изложенное здесь описание производной категории коге-
когерентных пучков на проективных пространствах восходит к рабо-
работам Бойлипсон [1] и Бернштейн — Гельфанд—Гельфанд [1]. Се-
Серия последовательных обобщений этой теории найдена Капрано-
Капрановым [1], [2], [3]. Исходная «S-Л-двойственность» допускает дале-
13

ко идущее некоммутативное обобщение, см. Придди [11, [2], и
Лефвалль [1].
§ 4. Мы изложили здесь начало работы Бейлипсоп — Берн-
штейн— Делинь [1]. Главное применение техники сердцевин —
построение основ теории превратных пучков — осталось за преде-
пределами этого тома.
7. К главе V.
Глава посвящена алгебраическим основам теории гомотетий,
которая находится в менее зрелом состоянии, чем гомологическая
алгебра.
§ 1—2. Здесь мы вводим осповпоо аксиомптиииропшшое поня-
понятие—замкнутые модельные категории Книллепя [I]. Аксиомы
Квиллопа образуют список осповных свойств топологических про-
пространств, используэмых в теории гомотопий. Поскольку мы вы-
выбрали симплициальные множества как оспонпой мостик между
топологией и алгеброй, мы приводим доказательство того, что
симплициальные множества образуют замкнутую модельную ка-
категорию. Мы надеемся, что эти вводные параграфы помогут за-
заинтересованному читателю изучить более, глубокие чисти книги
Квиллена [1] и последующую литературу: Книллеп [2|, [4], Бо-
усфилд — Гугенхсйм [1], Тапро [1|.
§ 3—4. Вторая часть главы вводит читателя в круг идей из-
известной работы Сулливана [1], в которой было показано, что ра-
рациональный гомотопический тип многообразия можно определить
в терминах его алгебры дифференциальных форм.
Мы показываем, что дифференциальные градуироваппые ал-
алгебры образуют замкнутую модельную категорию, вводим и изу-
изучаем минимальные модули в утой категории.
Материал упражнений к этим параграфам заимствован, в ос-
основном, из книги Танре [1].
§ 5. Здесь мы излагаем без доказательства основные результа-
результаты теории рационального гомотопического типа. Дальнейшие под-
подробности и литературные указания читатель найдет в статьях: Ле-
манн [1], Боусфилд — Гугенхейм [1], Делинь — Гриффите — Мор-
Морган— Сулливан [1], Морган [1], в лекциях Гальперина [1], Авра-
мова— Гальперина [1], в книге Танре [1].
ГЛАВА I
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Триангулированные пространства
1. Основные определения. На рис. 1 изображены три-
триангулированные пространства. Их основное свойство со-
состоит в том, что они склеены из симплексов: точек, от-
отрезков, треугольников, тетраэдров и их многомерных
Рис. 1
обобщений. Поэтому их можно описывать в комбинатор-
комбинаторных терминах: нужно указать, сколько симплексов каж-
каждой размерности взять и как их склеить. Дадим опре-
определения.
а) п-мерным симплексом называется топологическое
пространство
Дя =
i=0
Точка et, в которой х{ = 1, называется ?-й вершиной Д„;
вершины упорядочены. Более общо, каждому подмноже-
подмножеству 1<=[п], где [ге] = @, 1, ..., п), отвечает 1-я грань Д„:
Вместо / удобно задавать возрастающее отображение
15

/: [m] -»- [re] с образом /, где card/=/n+l. Очевидно,
имеется единственное линейное отображение А/. Ат -*¦ Д„,
сохраняющее порядок вершин, образ которого есть 1-я
грань.
б) Данными склейки называется следующий набор
структур X. /
Что склеивается: Д@) точек, Х(() отрезков, Х,2) тре-
треугольников, ..., Х(п) n-мерных симплексов, ... (Элемен-
(Элементы Х(п) — это индексы, нумерующие симплексы.)
Как склеивается: для каждой пары / с [n], card/ =
= m + l, задано отображение Х{п) -*¦ Х(т„ указывающее,
какой из т.-мерных симплексов отождествляется с 1-й
гранью соответствующего гс-мерного симплекса.
Точнее, пусть грань задается возрастающим отобра-
отображением /: [пг] -> [п] и пусть X(f): Х(п) -> Х(„,, — соответ-
соответствующее отображение склейки. Набор (А'(/)} должен
удовлетворять двум условиям:
Z(id)=id, X(g°f) = X(})°X(g)
(id—тождественное отображение). Это значит, что в
каждой размерности симплексы попарно не отождествля-
отождествляются и что «грань грани есть грань».
Что получается в результате склейки: топологическое
оо
пространство |Х| с множеством точек Ц (А„ X
п=о
где R — минимальное отношение эквивалентности, отож-
отождествляющее точки (s, ж) е Д„ X Х(п) и (t, 1/)еДтХ1(Ч
при условии, что
y = X(f){x), s = Af(t) (•)
для некоторого возрастающего отображения /: [пг] -> [п].
Будем обозначать эти соотношения стрелкой (t, у) i-+
y-+(s,x). Каноническая топология на |Х|—это слабей-
слабейшая топология, относительно которой отображение фаК-
ТортиЦИИ IK) // IU4ip<t|>MIIIIO.
11|нн|ммн'1 по 1\! имкето с данными пимч'шп, п.ч кото-
которых тих'iii'MM'ii, mi ii.iiiaiMiii цшши'цлирпвапиым про-
i i/чип там, и гимн iiiniti.tti i'uihmikh ггп триангуляцией.
2. 11 |i ii м о |> 1,1 n) n mi'pnhit) I'liMii.icHr со стандартной
триангуляцией. Идеи,:
X(i) = множество подмыожести мощности / | I и \п] -
= множество возрастающих отображений |/|—*-|ге];
*(|'l -"U1) переводит g: [)]-+[n] в g*j: [г]->[ге].
Иными словами, симплекс рассыпан на все свои грани и
заново склеен из них.
б) Стандартная триангуляция сферы Sn. Она получа-
получается из стандартной триангуляции Ап+1 удалением п + 1-
мерного симплекса.
Исходя из разобранных примеров, можно предполо-
предположить, что триангулированное пространство является не-
несвязным объединением внутренностей своих симплексов.
Точнее, положим
[внутренность Ап при re^l;
" |Д0 при п = 0.
Рассмотрим некоторые данные склейки (X(i), X(f)) и
соответствующее каноническое отображение триангу-
триангуляции:
т: ПЛ»ХХ(П)-ЧХ|.
п
Оно индуцирует отображение
т: ЦАпХ X(n)-v|X|.
П
о
3. Предложение, т есть теоретико-множественная
биекция.
Доказательство. Поставим в соответствие каж-
каждой точке (s, х)е AnXXln) индекс k(s, x) — минимальную
размерность грани в Д„, в которой лежит х. Ясно, что
индексы fi-эквивалентных точек вЦ Ап X Х^ совпадают,
так что k(s, x) индуцирует функцию к(р) на |Х|. При
о
этом k(s, x) = k, если seAAi и обратно, у каждой точки
р<^\Х\ с к(р) = к существует по крайней мере один
представитель в AhXXm. Поэтому т сюръективно.
Докажем, что т инъективно. Ясно, что две точки
(s,x), (s',x') в IjAnXX(n) могут склеиться в |Х| толь-
только в случае, если х и х лежат в одном и том же Х(к)
и любая цепочка эквивалентностей (*), соединяющая
(s, x) и (s', x'), содержит лишь iieXji.), lt>k. Лю-
Любую такую цепочку можно представить в виде
h h
(s, х) ^ (su хг) <ч (s2, х2) « . . . «-. (sr, х'),
¦П е ^(ij), Si e A;., lt> к. Построим по этой цепочке
- С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 17

другую цепочку, соединяющую (s, х) и (.•?', х') и имею-
имеющую меньшую длину. Напомним, что /{: [k]-+[li],
U'- М -*¦ Ui] — возрастающие отображения. И:» условий
о
s = Д/ (s^, sa = Ду (sx) и «еД,, следует, что а' лежит на
Д-грани в Д^, т. е. существует возрастающее отображе-
отображение /: [к] -»- [У, для которого /i = /2 ° /• При этом х =
= X(f)x2. Теперь нашу цепочку можно заменить па более
короткую цепочку
й h
(s, х) >-> (s3, х3) *ч (s4, xt) ~ . .. ~ (s', х'),
где g = /3 ° /: [/с] -»¦ [4]. Продолжая таким же образом, и
о
вспоминая, что (s', х')^ AhX XOl), получаем, что (s, x) =
= {s',x'). Ш
4. Скелет, к-скелетом триангуляции (X(i), Х(/)) на-
называются данные склейки (X(j), К, к; Х({)). (соответ-
(соответствующее триангулированное пространство sk* 1X1 также
называется /г-скелетом триангулированного пространства
о
|Х|. Из того, что т биекция, вытекают следующие свой-
свойства скелетов:
а) \Х\ = вкао\Х\ = U skft|X|.
б) Естественное отображение skk |Х|->¦ sk( |Х|, к s? I,
является замкнутым вложением.
в) skft+i |X| получается из sks |X| приклеиванием не-
некоторого множества (к + 1)-мерных открытых симплек-
симплексов по их границе.
5. Триангуляция произведения симплексов. Произве-
Произведение двух отрезков [0, 1] X [0, 1] есть не треугольник,
а квадрат; его естественная триангуляция — разбиение
на два треугольника диагональю; из двух геометрических
диагоналей одна выделена тем, что ее вершины есте-
естественно упорядочены: [00, 11].
Обобщая эту конструкцию, определим в этом пункте
каноническую триангуляцию Ар X Д7.
а) Один элемент Х(п> — это последовательность га + 1
различных пар целых чисел {(t0, /0), ..., (in, /„)}, где
0
г„ < р,
= ]п < q.
Удобно представлять себе последовательность узлов пло-
плоской квадратной решетки, из которых каждая следующая
лежит не левее и не ниже предыдущей.
18
б) Для каждого возрастающего отображения /: [ml
[га] определим:
I/) {(*0> /о). • • •. (in, jn)} = {D /о)i -¦-, (С i'm)},
ч — ij{hh h = j/(k)-
Проверка аксиом, к счастью, очевидна.
в) Определим отображение
е„: АпХХ(п) ->АДА,.
Оно ставит в соответствие х-иу симплексу триангуляции,
где
х = Ц0, /о),..., (in, in)),
симплекс Д„ в ДР X Д, с R5f«+2, натянутый на точки
(е%> eia)i 0<а<н, где е{ (соответственно е[)—г-я
вершина ДР (соответственно Д,). Более формально,
6„(-, х): Дп -»- Др X Д9 есть линейное отображение, пере-
переводящее Д» в Д„ с сохранением порядка вершин.
г) Пусть теперь IXI — триангулированное простран-
пространство, отвечающее данным склейки а), б).
Мы утверждаем, что имеется коммутативный тре-
треугольник
отождествляющий |Х| с ДРХД,.
В самом деле, из описания отображений Х(/) в п. б)
ясно, что ff-эквивалентные точки в ЦДП X Х(п) пере-
переходят в одну и ту же точку в Av X Дв. Поэтому отобра-
отображение ф существует.
Для доказательства того, что ф — изоморфизм, доста-
достаточно, ввиду предложения 3, проверить, что у каждой
точки а^ Ав X Д3 имеется ровно один прообраз 0-'(а)
и П Дп X Xw.
д) Пусть
t = 1, xi > 0),
19

Удобно ввести в ДР и Д, новые координаты следующим
образом:
Тогда
Вершины (ej и Uj] симплексов ДР и Д„ в этих коор-
координатах ?, г| записываются так:
j
Пусть x = {(i0, jo), .-., (Jp+e, ь+,)}
й
Х
)
симплекс
Пусть x {(i0, jo), .-., (Jp+e, ь+,)}(р+„
максимальной размерности, так что (?0, j0) = @, 0), ...
..., (ip+q, Ь+?) = (р, <7) и для каждой пары последователь-
последовательных вершин (ih, ],,), (h+u /»+i) либо i»+, = ik+l, jVn =
= }h, либо ift+i = ifc, Уа+1 = /а+1. Образ 0(Др+(,Хх) состоит
из тех (^, ..., !„), (r]d, ..., Г),), для которых выполнена
цепочка из р + q + 1 неравенств вида
0 < ? < < < 1
где |i, r)j расставляются по следующим правилам:
1) если i<j, то ?j стоит раньше ^ и Г|;— раньше iij.
2) если /мл = 7а, то на (А + 1)-м месте стоит |, если
?'a+i = ik, то па {/е + 1)-м месте стоит ц. Номер у ?. или
т) однозначно определяется пунктом 1).
Из :>того описания ясно, что 9(Дг+9ХХ(р+9))= ДРХ Дд,
т. с i|' поръоктивно.
n) Ilyi-Ti. г«((?, Ы, A1ь ••-, Лч)) еАрХДч.
N'ihuiu'M i<;tiiiirTiiniiiii>iit djiomciit h J| Am X Х(„), переходя-
переходящий и / при итиПрпжопмп П. Дли итого рассмотрим р +
I »/ I '.', чип»,1| II, 'v,,, ц,, I и |1м:1(|Гц,см ич ни группы рав-
равных между nifioii ЧИГ1М1. Иниумеруем полученные группы
числами от 0 до / I 1, О /¦ /; I r/ I 1, и порядке возра-
возрастания элемептон. Пусть iuit'Mcirn.i /г ii группы равны *(к,
так что 0 = ^0 <ifi <...- Ymi "!¦
Построим элемент ieA'(/h «>гш^ч.»киции точке г, так:
ж==((*о, 7"о) 1 •¦¦. {ь, /())» где /А - максимальный номер
числа |,-, лежащего в к-к группе, /\ — максимальный но-
мер числа г|,-, лежащего в к-к группе. Если в к-й группе
нет чисел |j, полагаем ih = it_! (и ц = 0 при /с = 0).
Аналогично, если в к-ъ группе нет чисел ?,-, полагаем
/* = У\-1 (и у'о = 0 при А = 0).
Пусть, далее, точка «еД, имеет координаты z* = fJ+1 —
— Y«» 0<i^Z. Поскольку все "fi различны, seA".
Для завершения доказательства осталось проверить,
что 6(s, х) = г. Мы оставляем это читателю.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нарисуйте триангуляцию листа Мёбиуса и вещественной
проективной плоскости.
§ 2. Симплициальные множества
1. Определение. Симплициалъным множеством
называется семейство множеств X. —(Хп), ге = 0, 1, ...,
и отображений X(f): Xn^~Xm, no одному для каждого
неубывающего отображения /: [пг] -*¦ [п], которые удов-
удовлетворяют условиям:
От данных склейки, введенных в 1.16), эта структура
отличается только тем, что в качестве / разрешается брать
и нестрого возрастающие отображения. Элементы Хп
называются п-симплексами X,. Часто мы будем вместо
X. писать просто X.
Для любого неубывающего отображения /: [иг] ->- [п]
определим отображение «/-й грани»:
Д/ = линейное отображение Дт-*-Д„, переводящее
вершину е4еДт в е№,еДЛ| i = 0, ..., пг.
В отличие от ситуации из 1.1а), А{ не обязано быть вло-
вложением: если / нестрого возрастает, то Д? уменьшает
размерность симплекса Дт, склеивая часть его вершин.
2. Определение. Геометрической реализацией \Х\
симплициалъного множества (Хп) называется топологи-
оо
ческое пространство с множеством точек Ц (Дп X Xn)/R,
где R — минимальное отношениег эквивалентности, отож-
отождествляющее точки (s, x)<^ АпХХп и (t, 1/)еДтХ1т при
условии, что
y = X(f)x, s = Aj(t)
для некоторого неубывающего отображения /: [тп] -*¦ [га],
21

Как и в § 1, будем записывать это так:
f
(t, у) *-* (s, х).
Каноническая топология на \Х\ — это слабейшая тополо-
топология, в которой отображение факторизации по R непре-
непрерывно. ¦
Приведем некоторые примеры симплициальных
множеств.
3. Нерв покрытия. Пусть У — топологическое прост-
пространство, U = (Ua)—его покрытие, где индекс а пробегает
некоторое множество А. Положим:
Хп = {(а0, ..., ос) | U% П ... П Uan Ф0}а Ап+\
Х(/)(«о, ..., «„)= (а/@), ..., «/(mj), где /: [пг]-> [п].
Это симплициальное множество отражает комбинаторную
структуру покрытия. Можно показать, что если покрытие
U локально конечно, а все непустые пересечения Uа П • • •
••• П Uanстягиваемы, то геометрическая реализация |Х|
гомотогшчески эквивалентна У, так что топология хорошо
кодируется комбинаторными данными. Аналогичную роль
играет следующая конструкция:
4. Сингулярные симплексы. Пусть У — топологическое
пространство. Сингулярным п-симплексом У называется
непрерывное отображение ср: Д„ -*¦ У. Положим
Х„ = множество сингулярных n-симплексов У;
][] AAA
Множества Хп в общем случае очень велики; если на
У имеется дополнительная структура, то разумно рас-
гматрипать лишь сингулярные симплексы, согласованные
г ;iTdii структурой, например, гладкие, если У — диффе-
(мчщмруомоп многообразие, или линейные, если У — по-
'|ц;|Д|1, Ц|и(A1и>ц, осли У—триангулированное простран-
(I im, пп|)пдо<'1°1111()о данными склейки (Х(п), X'(/)), то
п силу предложении I ,.Ч Y мнлмптгя об'!.оди11тшом от-
крытыч ctiMiMiniu'iiii ciiiinji I ритм у.'шцни (ин'лючая вер-
вершины). Сингулярный симплекс i|>: Л„ » К называется
согласованным с rpiinii^yjiuifun'i, осип <|>(Л„) совпадает
с одним из ее симилсксон, а отиПрпжомно ср: Л„-*-ф(А„)
линейно и сохраняет порядок перши п. Положим
Хп = множество сингулярных симплоксон Г, согласо-
согласованных с триангуляцией (Х(п), X' (/));
Эта конструкция позволяет по каждой триангуляции
построить канонически симплициальное множество с той
же геометрической реализацией.
5. Симплициальное множество А[р]. Положим
А[/?]„ = множество неубывающих отображений g: [n] -*¦ [р];
Д{р]{/) (?).= g ' f, где g: \[n] - [р], /: [т] - [п].
Его геометрической реализацией является р-мерный сим-
симплекс Ар. Советуем читателю проверить это, построив го-
гомеоморфизм Ар ->- I A [p] I.
Другое описание А[р] состоит в том, что это сим-
симплициальное множество сингулярных симплексов Ар,
согласованных со стандартной триангуляцией АР.
6. Симплициальное множество триангулированного
пространства. Пусть |Х| — триангулированное прост-
пространство, заданное данными склейки, состоящими из на-
набора множеств Х(„), п = 0, 1, ..., и отображений Х(/):
Х(п) -> Х(га) для каждого возрастающего отображения /:
[т] ->- [га]. Построим по этим данным склейки симпли-
симплициальное множество X ={Х„, X(f)} следующим обра-
образом. В качестве Хт возьмем множество всех пар (х, g),
где ieX(k| и g: [т\ -»- [к] — неубывающая сюръекция.
Далее, пусть (х, g) е Хт и /: \[п] -*¦ [т\ — неубывающее
отображение. Разложим g ° /: [п] -> [А] в композицию
g°f = fi°U, где /i: [l\-+{к\ — вложение, а /2:[ге]->
-»- [I] — сюръекция, и положим X(f) (x,g) — (X(fl)x,f2)<=
е Х„. Мы оставляем читателю проверку того, что
Я (id) = id и X{f *f)=X(f)*X(f).
Ниже в п. 14 будет показано, что геометрическая
реализация \Х\ симплициального множества X, постро-
построенного по данным склейки, гомеоморфна триангулиро-
триангулированному пространству |Х|.
Заметим еще, что не каждое симплициальное множе-
множество получается из данных склейки: триангулированных
пространств «меньше», чем геометрических реализаций
симплициальных мпожеств. Мы оставляем читателю про-
проверку следующего утверждения.
7. Предложение. Симплициальное множество X
получается из данных склейки X в том и только том
случае, если для любого невырожденного (см. п. 9) сим-
симплекса a;el, и любого возрастающего вложения /: [т] ->-
-*- [п] симплекс X (/) х е Хт невырожден. При этом X
определяется по X однозначно. ¦
23

8. Классифицирующее пространство группы. Пусть
G — некоторая группа. Положим
и для /: [т] -*¦ [п] положим
BG(f)(gu ...,*„) = (*»„ ..., hm),
где
я о
hi = П eh h = e, если /(t—1) = /(().
j/()
Следующая диаграмма иллюстрирует эту формулу для
отображения /: [3] -> [4] с /@)=0, /A) = /B)=2,
/C)=4:
h2 = е;
Геометрическая реализация \BG\ называется класси-
классифицирующим пространством группы G.
Структуру геометрической реализации можно пред-
представить себе яснее с помощью аналога предложения 1.3.
Его формулировка требует введения понятия невырож-
невырожденного симплекса.
9. Невырожденные симплексы. Пусть X — симпли-
циалыюе множество. Его /г-симилекс х е Хп называется
вырожденным, если и только если существует такое
гюр'мжтинпос иоубыиающоо отображение /: \п\ ->- [т],
m • и, и THKoii кломоит у^Х,„, что х — Х([)(у). Легко
ii|XiHopiiTi>, что если .г момырождеи и х = X(f) (у), то / —
иложонис 11оложим
Л"(„, = множество невырожденных п-симплексое
и рассмотрим очевидное отображение
о
10. Предложение, т
ная биекция.
Для доказательства нам
лемма.
11. Лемм а. Для любого х <= Хп существует единст-
IH4HIUSI пара (/, у), состоящая из невырожденного симп-
симпесть теоретико-множествен-
теоретико-множественпонадобится следующая
лекса у е Хт и сюръективного неубывающего отображе-
отображения /: [п] -> \гп\ для которой х = X(f)y.
Доказательство. Ясно, что по крайней мере од-
одна такая пара существует. Предположим, что условиям
леммы удовлетворяют две пары (/, у) и (/', у'),
/: [п] -> [т\, /': [п] -> [т'\. Пусть g: [m] -*¦ [п] — неко-
некоторое неубывающее сечение сюръективного отображения
/', так что / ° g: [m\->-{m\—тождественное отображе-
отображение. Ясно, что у =X{g)x, так что
Поскольку симплекс у невырожден, f ° g: [т\ -»¦ [иг'] —
вложение, так что т < т'. Аналогично, т' ^ т, т. е.
т = т. Поэтому /' ° g — неубывающее взаимно одно-
однозначное отображение множества [яг] в себя, т. е. f ° g =
= id. Следовательно, у = X(f ° g)y' = г/'. Кроме того,
f a g = id для любого сечения g1 отображения /, так что
/ = /'• ¦
12. Следствие. Пусть х е Xn, yeXm — невырож-
невырожденный симплекс и /: [м] -> [те] — неубывающая сюръ-
екция с х = X(f)y. Пусть также симплекс zeX, и не-
неубывающая сюръекция g: [п] -*¦ {I] таковы, что х =
= X(g)z. Тогда f разлагается в композицию / = h ° g для
некоторого h: [I] -> [m], причем z = X(h)y.
Доказательство. Пусть (hr, у')—пара, удовлет-
удовлетворяющая условиям леммы для z e Xi. Тогда h' ° g —
неубывающая сюръекция, у' — невырожденный симп-
симплекс и x = X(g)z = X(g)X{h')y' =X(h' °g)y'. По лем-
лемме 11 у' = у и h' ° g = j, так что можно взять h = h'. ¦
13. Доказательство предложения 10. а) т
сюръективно. В самом деле, пусть р<=|Х|. Пусть к —
наименьшая размерность, для которой существует
(s, x)<= AhXXk со свойством x(s, x)= р. Покажем, что
о
тогда х невырожден и se Afe. При к = 0 доказывать
нечего.
Если # вырожден и x — X(f)y для /: [к] -*~ [1\, К к,
то x(s, 2:) = t(A/(s), г/), что противоречит выбору к.
Аналогично, если s Ф Ak, то s лежит в одной из граней
Лк размерности I < к, что снова противоречит минималь-
минимальности к.
б) Для доказательства инъективности т мы должны
о
установить, что если две точки (s, г)бД,ХХA) и
(s', /)еД, ХХЙ склеиваются в |Х|, то они совпадают.
25

Согласно определению R, эти точки связаны цепоч-
цепочкой элементарных эквивалентностей из определения 2:
(S, х) = (s0, Xo) ~ (Su Xi) ~ . . . ~ (Sx, XN) = (s', Х') ,
где каждое звено цепочки, скажем (s,, ar,)~(si+l, #I+1),
принадлежит к одному из двух типов:
ft _ /Г
либо (su Xi) >— (si+1, жн г), либо"(.?!, X;) *-н (.yi+1, xi+1).
При этом можно считать, что любые соседние стрелки
направлены в противоположные стороны, заменив после-
последовательность однонаправленных соседних стрелок их
композицией. Заметим, что хи . .,, xN-i могут быть вы-
вырождены, a Si могут лежать на границе.
Мы докажем, что при 7V = 1 обязательно Д = id,
а при N3= 2 (s, х) и (s', x') можно соединить цепочкой
меньшей длины, откуда и будет следовать инъек-
тивность.
в) Приступим к проведению этого плана. Нам будет
о
полезно следующее замечание: если (.?, г)еДДХ№), то
ft — вложение, а /7 — сюръекция. В самом деле, для ft
имеем х = X (ft) хи и ввиду невырожденности х, ft дол-
должно быть вложением. Для /jj" имеем s = А _ (sx), и так
А)
как s лежит во внутренности Ак, А является сюръек-
о
цией, а потому и /J" —сюръекция.
Отсюда сразу следует, что при 7V = 1 единственная
стрелка является одновременно вложением и сюръекци-
oi'r, т. о. тождественным отображением.
г) Осношюй прием уменьшения длины цепочки при
/V > 2 основан па следующем утверждении. Пусть неко-
некоторым сегмент цепочки имеет вид
ft
(Si, 34)—
П+i
it
H+i
причем ft — вложение. Тогда существует (при некото-
некотором I) цепочка
8 h
(Si, Хг) -^ (t, у) .-»¦ (si + 2, Xi+2),
g h
Для доказательства обозначим через l<=[mi+z] полный
прообраз (относительно /Г+1) множества ft ([mt]) с [mi+1].
Пусть ^ + 1 — число элементов в / и Л: [1\ -»¦ LTOi+2J
вложение с образом /. Ясно, что существует единствен-
единственное отображение g: [I] ->- [та;], для которого h°g(k) =
= fT+i°h(k) для всех /с <=[/]. Поскольку образ fe сов-
совпадает с (/Г+i) (/t+([«!])). то образ Д, совпадает с
(A,_ j-1 (Д;+ (Ami)j- НоЛг+1 {ц+2) = Si+1 = ft(Si)'
этому существует t^Ai, для которого Ah{t) = si+Z- ПРИ
этом А;+ (Ав @) = Д,- i (А" О) = **+!. и поскольку А- -
вложение, Дв(*)= st. Полагая г/ = Х(А) {xw) = X(g) (xt),
получаем требуемую цепочку.
д) Пусть теперь N > 2. Если начало цепочки, соеди-
соединяющей (s, x) и (s', ж'), имеет вид
it
(s, х) = (s0, ж0) ь-*- (*1, жх),
то, согласно п. в), /J — вложение, и мы можем заменить
первые два отображения в цепочке, получая новую це-
цепочку соединяющую те же элементы (s, х) и {s , х ),
длины 2 при Дг = 2 и # - 1 при N > 3, начало которой
имеет вид
При этом, согласно замечанию в п. в), /0 —сюръ-
—сюръекция.
е) Если N = 2, так что (s2, ж2)е А/X X(i), то /i —
также сюръекция. Поскольку х0 и хг невырождены, из
леммы 11 вытекает, что /„" = ft, хо = Ж2> а значит и
So = S2.
ж) Пусть теперь N > 3. Разложим /i в композицию
f? = i°p неубывающей сюръекции р: \[m,i] -*¦ [I] и не-
неубывающего вложения i: [1\ ->- :[тг]. Поскольку s0 невы-
невырожден, a f^ — сюръекция, то, согласно следствию 12,
/<Г разлагается в композицию /7 = g°P для некоторого
27

g: (I] -> [к]. Заменяя
на
(s0, x0) —¦ (su xj н* (s2, x2),
h ft
g i
мы видим, что можно считать /i вложением.
Теперь, согласно п. г), можно заменить
на
Взяв композиции /оГоё" ъ ft °h в качестве новых /<J~
и Д (и производя соответствующую перенумерацию ос-
остальных /(), получим цепочку длины N — 2, соединяю-
соединяющую (s, ж) и (s', ж'). ¦
14. Следствие. Пусть \Х\—триангулированное
пространство с данными склейки (Х{п), X(f)) и X — со-
соответствующее ему сижплициалъное множество (см. п. 6).
Тогда \Х\ гомеоморфно \Х\.
Доказательство. Множество Хп «-симплексов в
X состоит из всех пар (ж, g), где х е Х(т) и g: [n] ->-
~*" W — неубывающая сюръекция. Зададим отображе-
оо оо
ние Ц>: Ц Ап X %п -*• II Дп X Х(п), переводящее (s, ж)е
е Д„ X 1„ в (A«(s), ж)еДтХХ(т) для х = [х, g),
К\ \п] > [т]. Ясно, что лкпипалептпые точки в ЦАп X -^п
ш'рочоднт при :>том п шенипплентпш) точки и IT Ап X
¦ А'(„,. ||и:п'ому «|> индуцирует тчфгрыппос отображе-
отображение* (|i: I.VI » I.VI. Аналогично строится if: IXl ->- l^l.
Согласно 1.3 и !i.lO, для докааителы'/пт h:i»mmiioii обрат-
ности ф и а|) достаточно проверить, что пены рожденными
и-симплексами в X являются пары (х, idn), x<^Xin) и
только они. Эту проверку мы оставляем читателю. ¦
15. Скелет и размерность. Пусть X — симплициаль-
множество. Определим симплициальное множество
.'М
sk,, X условиями:
(sknX)p =
= {хев Хр]3?<п, 3/: [р] -»-[?], Эуе Xq, x = X(f)y)
(skn X) (g)= ограничение X(g) на sknX.
Иными словами, /(-симплексы re-скелета Х являются те-
теми р-симплексами X, которые представляют собой вы-
вырождения (/-мерных, q < п, симплексов X. Мы оставляем
читателю проверку того, что X(g), g: lp] ->- [q], перево-
переводит (sknX)9B (sknZ)p.
Из определения и доказательства предложения 10
следует, что отображение
т: И Ат X X
{m)
I skn XI
является биекцией. Отсюда вытекает, что |sknZ| являет-
является замкнутым подпространством в 1-Х"!-
Симплициальное множество X называется п-мерным,
если X = skn X Ф skn-, X. Это означает, что все симп-
симплексы размерности >п вырождены, а re-мерные невы-
невырожденные симплексы существуют.
16. Отображения симплициальных множеств. Пусть
X, X' — два симплициальных множества. Симплициаль-
Симплициальное отображение F: X -> X' есть семейство отображений
Fn: Xn-*-Xn, п = 0, 1, 2, ..., со следующим свойством:
для любого неубывающего отображения /: [т.] ->- [п]
диаграмма
коммутативна.
Покажем, что F индуцирует непрерывное отображе-
отображение геометрических реализаций \F\: \X\ -> |Х'|. По-
Положим
F: П А„ X Хп
п X
F (s, х) = (s, Fn (x)).
Ясно, что F переводит эквивалентные пары точек в эк-
эквивалентные; переходя к фактору по отношению склей-
склейки, получаем 1^1. Предоставляем читателю убедиться,
что I Id I =id и \F °G\ = \F\ ° \G\.
Приведем примеры естественных отображений сим-
симплициальных множеств из пп. 3, 4 и 8.
29

17. Вписанные покрытия. Пусть У — топологическое
пространство, (Ujcc<^A), (Fplpe5)- два его покры-
покрытия. Вписыванием покрытия U в покрытие V называется
отображение $: А-+В такое, что Ua<=- V^{a). Пусть X —
перв покрытия U, X' — нерв покрытия V. J Гостроим по
¦ф симплициальное отображепие F: X ->- Лг', полагая в
обозначениях п. 3:
Fn(aa, ..., а„) = (гр(а„), ..., ф(ап)).
Очевидно, определение корректно, ибо если Ua П • ¦ •
• • ¦ П иЛпФ 0, то Уц%) П ... П Уцап) Ф 0.
18. Непрерывные отображения. Пусть У, У — два
топологических пространства, if: У -*¦ У — непрерывное
отображение, X, X' — множества сингулярных симплек-
симплексов У и У соответственно. Построим но \\> симллициалъ-
ное отображение F: X -*¦ X', полагая в обозначениях п. 4:
Проверка корректности очевидна.
19. Гомоморфизм групп. Пусть ф: G ->¦ 7/ — гомомор-
гомоморфизм групп. Определим отображение симплициальных
множеств F: i?G -*- 5Я, полагая в обозначениях п. 8
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Грани и вырождения. Рассмотрим следующие отображения:
«i-я грань»: 9^; [п — 1] ->¦ [п] — строго возрастающее вложение,
не принимающее апачепие ie [n];
<<(-е вырождение»: сф [п -\- 1] ->- [п] —неубывающая сторъек-
цин, диажды принимающая значение ie [в],
/(окапать следующие утверждения:
а) Любое строго возрастающее вложение можно представить
и «Иде композиции отображений граней. Любую неубывающую
сюрм'кцшо можно представить п виде композиции вырождений.
Любое псубышмощег отображение можно представить в виде ком-
композиции грнпгй и |11.1|)и;|,д|'1П1 i'i.
б) Между jpiiniiMH и пырождгминми нм(чот место соотно-
соотношения:
\+ion ' "I»11 ' < у;
ип— 1и
-г J п1 = ,
id
при г ^ ;';
[n_1] при i = / или i = / + 1;
в) Сформулировать точно и доказать утверждение о том, что
выписанные соотношения порождают все соотношения между гра-
гранями и вырождениями. (Указание: проверить сначала, что лю-
любое неубывающее отображение /: [т] ->¦ [п] однозначно записыва-
записывается в виде
где п ^ ц > ... > г, ^ 0, m > /i >...>/(> О, и = m — t + s.)
г) Доказать, что если /: \т\-+ [п] — строго возрастающее ото-
отображение, то оно записывается в виде / = 9ПХ ... дт ровно
(п — т)! различными способами.
2. Индуктивное построение скелета. Рассмотрим симплициаль-
симплициальное множество Д[ге]:
А[п]т = {/: [да] ->- [и] |/ не убывает, Im/ ф [п]}.
Это — симплициальная (п — 1)-мерная сфера: ее геометрическая
реализация — граница Ап. Имеется каноническое вложение Д[п] сг
а\[п]. Кроме того, для каждого симшшциального множества X
и невырожденного симплекса х е Хп имеется вложение х: А\п] ->
->sknX, ?(}) —Х{^)х, где /: \m\^>-{n\, f<=A\n]m. (Из этого оп-
определения ясно, что x(j) является m-симппексом Х. Сверх того,
он есть вырождение симплекса х размерности и.) Далее, симпли-
симплициальное подмножество Д[п]с:А[в] переходит при этом в
skn-1-X с sknX (проверьте). Пусть теперь Х(П) — множество не-
невырожденных n-мерных симплексов в X. Рассмотрим две комму-
коммутативные диаграммы симплициальных множеств и их отображений
11
11
А [я]
А [я]
I (
Д[//]<—^sk,
[ 1
•sk „X
11 Д [я]
^Г
(где У —некоторое симплициальное множество).
а) Докажите, что существует и единственно такое симплици-
симплициальное отображение stnX-^У, что вторая диаграмма получается
из первой заменой ее нижнего угла с помощью этого отображения.
б) Пусть еще Z а X — некоторое симшпщиальпос подмноже-
подмножество (т. е. Zn с Хп и Z(f) согласованы с X(f)). Рассмотрите ана-
аналогичные диаграммы
A s\inlXUZ
и докажите для них аналогичное утверждение.
(Эти факты понадобятся пам в § V.1).
31

3. Усеченные симплициальные множества и коскелет. Пусть
N ^ 0; iV-уссченным симплициальным множеством называется на-
набор таких же данных, (Х„, X(f)), как в определении 2.1, заданных
для всех п^^и для отображений /: [т] ->¦ [и] с т, п =g: N. TV-усе-
TV-усечение TrN X симнлициального множества X определяется очевид-
очевидным образом. Аналогично определяется Trw X для Д/-усоченного
X с М > N.
а) Пусть У(">— некоторое ^-усеченное симилициалыше мно-
множество. Определим (N + 1)-усеченное множество У<л+1> следую-
следующими данными:
Далее, положим
где d^ =
Интуитивно, У/уЙ состоит из (jV -)- 1)-сим11Л1>ксои, заполняющих
все возможные «симплициальпые дыры» в Yj^ >.
Доопределите отображения ^^^(oJv+i)* Покажите, что ото
можно сделать единственным способом.
б) Доказать, что У<к+'> является универсальным (N + ^-про-
^-продолжением УBУ> в следующем смысле. Пусть Z — любое (./V-f-1)-
усеченное множество и пусть F{N): TrnZ-+Y{N)— любое (усечен-
(усеченное) симплициальное отображение. Тогда оно однозначно продол-
продолжается до усеченного симплициального отображения Z -+ Y(N+1K
в) Пусть X<w>—^-усеченное симплициалыгоп множество. Его
коскелетом называется симплициальное множество X = cosk X(N\
определенное следующими условиями:
Тгм+1Х — универсальное (М + 1)-продолжение ТгмХ для всех
М ^ N.
Установить естественную биекцию между множеством усечен-
усеченных симплициальпых отображений TrwZ-> А'<"" и Z -»- X, где Z —
любое симшшциальноо множество. (На языке § И.З ото олначает,
что функтор coskN сопряжен справа к функтору Тг№.)
г) Пусть Х@> — 0-усеченное множество, состоящее из р + 1
элемента. Доказать, что cosk Х<°> изоморфен А[р] (см. п. 5).
§ 3. Симплициальные топологические пространства
и теорема Эйленберга — Знльбера
1. Три точки зрения на Ар X А,. В и. 1.5 мы отме-
отметили, что произведение двух геометрических симплексов
не является симплексом, и построили его каноническую
триангуляцию «диагональными» симплексами. Это при-
приводит к следующей точке зрения на ЛР X А,:
а) Ар X Д„ есть геометрическая реализация симнли-
симнлициального множества X, невырожденные п-симплексы
которого нумеруются «перетасовками» {(i0, j0), ...
..., (in, /„)}; 0<J.<...<*,<*, 0</,<...</„<?,
все пары (it, /() различны.
С другой стороны, теоретико-множественно имеем:
б) Ар X Ад = U (Ар X х).
в) Ар X Ag = U (УХ Ад).
Д
Последние два описания похожи на задание АР X А,
с помощью данных склейки. Отличий два: несуществен-
несущественное и существенное. Несущественное отличие состоит в
том, что Др (соответственно Дд) в правой части б) (соот-
(соответственно в)) следовало бы заменить стандартной три-
триангуляцией этих симплексов. Существенное отличие со-
состоит в том, что если не учитывать топологию на мно-
множествах индексов jeA, (соответственно уе Ар), то
соответствующая «геометрическая реализация АР X Д„»
рассыпается на континуум связных компонент. Поэтому
в случае, когда множество индексов само снабжено топо-
топологией, мы видоизменим определение геометрической ре-
реализации так, чтобы оно учитывало эту топологию.
2. Определение, а) Симплациалъным топологиче-
топологическим пространством называется семейство топологиче-
топологических пространств X —(Х„), п = 0, 1, 2, ..., и непрерыв-
непрерывных отображений X(f): Xn ->- Хт, по одному для каждо-
каждого неубывающего отображения /: [те] -*¦ [п], которые
удовлетворяют условиям:
б) Геометрической реализацией \Х\ симплициального
топологического пространства (Хп)„ называется тополо-
00
гическое пространство с множеством точек Ц (Ап X
П=о
о
X Xn)/R, где R — то же отношение эквивалентности,
что в п. 2.2. Топология на \Х\ — это слабейшая тополо-
топология, в которой отображение факторизации
непрерывно, где слева стоит несвязное объединение нря-
мых произведений топологических пространств. ¦
Это определение является разумной аксиоматизацией
точек зрения 16) и 1в).
С другой стороны, правильное обобщение комбина-
комбинаторных данных, задающих разбиение пространства на
3 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 33

бисимплексы, т. е. на произведения ДрХДв— это поня-
понятие бисимплициального множества.
3. Определение. Бисимплициалъным множеством
называется семейство множеств (Xmn), m, n = О, 1,2,...,
и отображений Х{/, g): Xpq ->- Xmn, по одному для каж-
каждой пары неубывающих отображений /: [т] -*¦ [р],
g: {п] ->- [д], которые удовлетворяют условиям:
X(id, id)-id; X(f°f',g°g') = X(f',g')oX(f,g). m
4. Пример. Пусть X, Y — два симплициальных
множества. Тогда положим
Это бисимплициальное множество назовем прямым про-
произведением X и Y.
5. Определение. Диагональю бисимнлициального
множества Х = (Хтп, Х(/, д)) называется симшшциаль-
ное множество DX:
6. Геометрические реализации бисимплициального
множества. Их можно определить тремя разными спосо-
способами, в соответствии с тремя точками зрения на
АР X А,.
а) Положим для бисимплициального множества X,
по определению,
\X\D = \DX\,
где справа стоит геометрическая реализация диагонали.
б) Построим сначала по X симплициалыюс тополо-
топологическое пространство X1—«геометрическую реализацию
X по первому индексу»:
xIn = \x.n\r:x1(g) = \x(id, g)\.
Подробнее, при фиксированном втором индексе п се-
мойотпо множеств и отображений
Х.п~- (Xmn, X(/, idfn]))
является симплициальным множеством, и п-я компонен-
компонента X. есть геометрическая реализация этого симплици-
ального множества.
Далее, для любого неубывающего отображения g:
[п] -»- [п'] набор отображений
], g): Xmn> ->• Xmni m]= 0, 1, ...,
представляет собой отображение симплициальных мно-
множеств Х.„/->-Х.п, для краткости обозначаемое X(id, g).
Его геометрическая реализация (см. п. 2.12)IX(id, g)\
является непрерывным отображением топологических
пространств. Кроме того, очевидно,
X(id, id) = id;
Итак, мы построили симшшциальное топологическое
пространство X1. и можем теперь рассмотреть его гео-
геометрическую реализацию. Положим:
\Х\1и=\Х1\.
в) Можно провести аналогичную конструкцию, начи-
начиная со второго индекса:
и, наконец,
\п1 = \хи\.
7. Теорема (Эйленберг—Зильбер). Три геометри-
геометрические реализации бисимплициалъного множества X ка-
канонически изоморфны:
8. План доказательства. Обозначим через
D[m, n\ симплициальное множество
D[m, n) = D(A[m]XA[n]).
Рассмотрим несвязное объединение симплексов вида
Z =
П
m,n,h
X D [m, n]h х Aft).
Введем на нем три отношения эквивалентности Д1, R11,
RD, которые порождены следующими отождествлениями:
R1: (хе= Хтп, (/, g) e D [m, n]h, seAa)~
(' Хт,п, (/', f)efl[mr, n]h, s<= AJ,
т,п,
если существует такое отображение h: [m] -*~ [т1], что
X(h, id[n]) {х') = х, h°f = f. (Напомним, что D[m, n]h
состоит из пар неубывающих отображений /: [к] -*¦ [т],
g: [A]-^{n].)
Аналогично определяется
Дп: {х е Хтп, (/, g)t=D [m, n]h, seAu)~
~ (х' е Хтя>1 (fx g') e D [m, n%, s e Aft),
.)¦ 35

если существует такое отображение h: [n] -> [«'], что
X(id[m], h) (xr) = х, h° g' = g.
Наконец, RD порождено эквивалентностями:
RD: (x <= Xmn, (/,
[т., n]k, s <= Л,,)
(
если существует такое неубывающее отображение к:
[к] -> {к'], что ¦
A() '
и
Мы установим, что факторизуя пространство Z по от-
пошенкям эквивалентности Rl, Ни и RD в разном поряд-
порядке, мы получим соответственно |Х|ГП, |Х|П1 и |X|D.
С другой стороны, мы можем факторизоиать Z по соот-
соотношению эквивалентности, порожденному R\ JV1 и RD,
и результат будет тем же.
9. Последовательные факторизации. Опишем послед-
последний этап рассуждения несколько подробнее и в общей
ситуации. Пусть сначала Z — некоторое множество, Rt,
R2 — два отношения эквивалентности на нем, R — отно-
отношение эквивалентности, порожденное Rt и R2. Проде-
Продемонстрируем совпадение трех способов факторизации.
а) На Z/Ri индуцируется отношение эквивалептности
RJRu которое порождено следующими отождествления-
отождествлениями: (х modi?! ~ у modR^modlii/Ri, если в /^-классах
х, у найдутся представители х', у', которые ^-эквива-
^-эквивалентны.
После этого мы можем построить фактормножество
{Z/Ri)J{R,fRl).
б) Аналогично определяется {Z/R1)/(RJR2).
в) Кроме того, имеется Z/R.
Мы утверждаем, что все эти фактормножества есте-
стнепно изоморфны и получаются так: два элемента
.г, у е Z попадают в один класс, если и только если су-
щсстиуот цепочка х = х„, хи х2, ..., хп = у такая, что
для кшкдого I имиом либо .г, ~ ,г(+) Tnod/i,, либо хг ~
~ Xi+i mod R2-
Аналогичное утверждение можно сформулировать и
доказать для любого конечного семепстна оквивалент-
ностей.
Наконец, если Z — топологическое пространство,
а факторы снабжаются слабейшей топологией, в которой
отображение факторизации непрерывно, то все три фак-
торпространства, определенные выше, гомеоморфны от-
36
носнтельно их естественного отождествления. В самом
деле, подмножество в любом из них открыто, если и
только если его полный прообраз в Z открыт.
Теперь мы можем описать промежуточные результа-
результаты факторизации пространства Z, введенного в п. 8.
10. Лемма. Пусть R — отношение эквивалентности,
порожденное R1 и R11. Тогда
(Z/R)/{RD/R)= \X\D.
Доказательство. Построим отображение Z->
-*• Ц (Xftft X AJ, при котором точка {х, (/, g), s) nepe-
h
ходит в (Х(/, g){x), s). Подробнее: если х^Хтп, /:
[к] -* [т\, g: [к\ ->- [п\, то X (/, g) переводит х в Xhh.
Прямая проверка показывает, что пары точек Z, эквива-
эквивалентные относительно R1 или R11, имеют одинаковый об-
образ. Поэтому описанное отображение факторизуется:
р: Z/R-v Ц (Xhh X Aft). С другой стороны, имеется вло-
к
жение
, s<=Ak)>-» (x, (id№], id[ft]), s).
Следующие факты проверяются непосредственно:
а) р о i есть тождественное отображение Ц(ХЙЙ X Aft).
h
Поэтому р сюръективно.
б) Любая точка (ieXm, (/, g), seAk) Л-эквива-
лентна точке (Х(/, g)(x)^Xhh, (id[fe], idw), s<^Ah):
нужно скомпоновать два элементарных отношения экви-
эквивалентности, определяющих R1 и R11 соответственно.
Отсюда формально следует, что р — биекция и гомео-
гомеоморфизм.
Для завершения доказательства осталось вычислить
отношение эквивалентности RDjR на Z/R.
Это удобно сделать, вычислив образы элементарных
/?°-эквивалентностей. Имеем для двух Д^-эквивалентных
точек
Р- (*ЛГ, g'),
f ° ^ = /, g'
, g')W,s),
Дл (s) = s'.
37

Поэтому
X(f,
= X(h, h)[X{f, g')
и мы получили на Ц (Xhh X ДЛ) именно то отношение
эквивалентности, которое задает геометрическую реали-
реализацию 1X1°. ¦
11. Лемма. Геометрическая реализация \D[m, n]\
симплициалъного множества D[m, n] канонически гомео-
морфна Am X А„.
Доказательство. Сопоставим fc-симплексу (/, g)e
eD[m, п\ набор {(i0, /o)v..., {h, /*)>, где U = f(l), /i =
= g(/), OsSJ^/c. Ясно, что симплекс (/, g) будет невы-
невырожденным тогда и только тогда, когда все пары {ih ji)
различны. Кроме того ясно, что если h: [kr] -+¦ [k]— вло-
вложение и (/, g) — невырожден, то D[m, n](h) (/, g) =
= (f°h, g°h) тоже невырожден. Поэтому, согласно след-
следствию 2.14, геометрическая реализация D[m, n] гомео-
морфна триангулированному пространству, описанному
в п. 1.5 а), б), т. е., согласно 1.5 г), \Щтп, п][ гомеоморф-
но Дт X А„4 ¦
12. Следствие. Имеем
7П,П
При этом RlJRD порождено элементарными эквивалентно-
стями {х е Xmn, s е Дт, < е А«) ~ (х' е Хт'П, s' e ДТО',
{еД„), если существует такое h: [m]-+[m'], чтоз =
— Ah{s), X(h, id[n]) (x)=x. Аналогично, Rn/RD порож-
порождается отождествлениями
, t'<=An>),
если существует такое h; [n]-+[n'], что г' = Дл(?),
X(id[m], Л)(ж) = ж'.
Доказательство. Пусть h: [m]-»-[mr] — некоторое
неубывающее отображение. Обозначим через Fh:
D[m, ri\-+D[m', n] следующее отображение симплициаль-
ных множеств:
Fb{Ug) = {h°f,g),
/: [к] - [ml g: [к] - [п\.
Следствие вытекает из того, что при отождествлении
\D[m, n]\ с Дт.ХДл геометрическая реализация отобра-
отображения Fh (см. 2.16) превращается в
Fh | = (Дл, id): Am X An
X
Обозначим для краткости пространство Z/flD через Z,
а отношения эквивалентности RI/RD и Rn/RD на нем
через Л1, Я11. Из явного описания Z, Л1, Л11, данного
в следствии 12, вытекает
13. Следствие. Имеем
аналогично
Теорема Эйленберга — Зильбера вытекает теперь из
леммы 10, следствия 13 и изоморфизма последовательных
факторизации (п. 9).
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Триангуляция призм. Перечислить все невырожденные симп-
симплексы симплициальных множеств D[i, 2], D[i, re], D[2, 2]
(см. п. 8).
2. Гомотопии симплициальных отображений. Пусть X, Y — два
симплициальных множества. Будем обозначать X X У диагональ
их бисимплициального произведения (см. пп. 4, 5).
а) Доказать, что симплициальные отображения X-+YXZ на-
находятся в естественной биекции с парами симплициальных отобра-
отображений X-+-Y, X -*¦ Z.
б) Определить симплициальные отображения ро, pi'. XX А[1]-»-
-+Х, «проекции в вершины 0 и 1».
Отображения /, g: X-+Y называются просто гомотопными, ес-
если существует отображение h: Д[1] "XX-*-Y такое, что либо / =
= h о р0, g = h о pi, либо / = h о рь g = h о рс. Отображения /,
g: X-+Y называются гомотопными, если существует такая после-
последовательность отображений /0 = /, /i, ..., /n+i = g, что /<, ft+\ про-
просто гомотопны для 0 ^ i ^ п.
в) Доказать, что отображения id: Д[га]->Д[в] и ргс А[п] -*¦
-^-Д[ге] («проекция симплекса на его s-ю вершину») гомотопны,
если и только если i = п.
h
г) Рассмотрим диаграмму симплициальных множеств X' ->-
h f h
->-Xz? Y-*¦ Y'. Доказать, что если /, g гомотопны, то kfh, kgh ro-
8
мотопны.
§ 4. Гомологии и когомологии
1. Цепи и коцепи. Граница геометрического симплек-
симплекса Ai есть разность его вершин A) —@). В таком виде
1
грапица появляется в формуле Лейбница J /' (ж) dx =
о
= /A) — /@). Аналогично, граница А„ есть альтерниро-
альтернированная сумма его граней.
39

Чтобы сделать эти определения точными, нужно вве-
ввести следующие понятия.
п-мерная цепь (или п-цепъ) симплициального множе-
множества X есть элемент свободной абелевой группы С„(Х),
порожденной всеми п-симплексами X. Иными словами,
га-мерная цепь есть формальная линейная комбинация
вида 2 а (х) х, гДе а(х)е z< а(х)Ф0 лишь для конечно-
х=хп
го числа симплексов х.
Пусть д1п: [п— 1] —*¦ [п] — единственное возрастающее
отображение, в образе которого не содержится i.
Граница га-цепи с^Сп{Х) есть (га—1)-цепь dnc, оп-
определяемая формулой
dJ 2 а(х)х)= 2 а{х)^{-
\х=хп ] ех о
A)
Таким образом, граничный оператор dn: Сп(Х)-+ Cn_i(X)
есть гомоморфизм групп. При п = 0 положим da = 0.
Есть очевидное обобщение этой конструкции: цепи
с коэффициентами в абелевой группе А. Элементами
группы таких цепей являются формальные линейные
комбинации 2 а(х)xi а(х)^А. Иными слонами:
х=Хп
Сп (X) = Сп (X, Z); Сп (X, А) = Сп (X) ® А.
Граничный оператор dn: СИ(Х, А)-+ Cn-i(X, А) опре-
определяется той же формулой A).
Коцепи с коэффициентами в А задаются двойствен-
двойственным определением:
Сп(Х, А) = функции на Х„ со значениями в А.
Па группах коцепей задается кограничный оператор
if: Сп(Х, Л)-+Сп+'(Х, Л),
B)
1 и
Формально цепи можно с.чипгп. частным случаем ко-
коцепей: имеется вложение 6\,(Л', Л)<=Г"(Х, А), ставящее
в соответствие цепи 2 а(х)х функцию а: Хп-*-А. Одна-
ко :>то вложение несовместилш с dn и dn (они действуют
и ирппшоположную сторону) и, что еще важнее, несов-
местимо с поведением Сп и Сп при отображениях симпли-
циальных множеств X ->¦ У, к чему мы обратимся ниже.
2. Лемма, a) dn-l°dn = O при п>1, б) dn+1 ° dn = 0
гарц п > 0.
Доказательство. Заметим прежде всего, что для
любых (Xy<is??i— 1 имеем
В самом деле, обе части равенства задают единственное
возрастающее отображение [п — 2] в [га], в образе которого
не содержатся числа i и /.
Для доказательства утверждения а) леммы достаточ-
достаточно, очевидно, проверить, что dn-i ° dn (x) = 0 для любого
х е Хп. Имеем
212
j=0 i=0
Li) x D) x =
Композиции дп ° д3п-1 при разных i, / — это всевозмож-
всевозможные возрастающие отображения [п — 2] в [га], причем ото-
отображение, в образе которого не содержатся числа i, /,
встречается ровно два раза: какй^оЗ^_1СО знаком (—l)iW
и какЗпо^_\ с противоположным знаком (—l)i+i~i. По-
Поэтому d,,-! ° dn (х) = 0.
Аналогично доказывается часть б) леммы. ¦
3. Комплексы. Сформулируем несколько общих алге-
алгебраических определений. Цепным комплексом называется
последовательность абелевых групп и отображений
С; ...^±1с„-^1 Cn_ dn'\
со свойством dn ° dn+l = 0 для всех п. Гомоморфизмы dn
называются граничными операторами, или дифферент
циалами.
Коцепным комплексом называется аналогичная после-
последовательность
со свойством dn ° d" = 0. Цепной комплекс можно рас-
рассматривать как коцепной, обратив нумерацию: Dn = С_„,
dn = d-n-i, поэтому мы часто будем ограничиваться ко-
цепными комплексами.
41

Следующее определение является центральным в го-
гомологической алгебре.
4. Определение, а) Группами гомологии цепного
комплекса С. называются группы:
б) Группами когомологий коцепного комплекса С
называются группы:
Значительную часть классической гомологической ал-
алгебры можно описать как набор приемов для вычисления
(ко) гомологии разнообразных комплексов. В этом пара-
параграфе мы дадим простейшие примеры. Будем писать для
симплициального множества X:
Нп (X, А) = Нп (С. (X, А)); Нп (X, А) = Нп (С (X, А)).
Элементы группы #„(Х, А) называются классами го-
гомологии, группы Нп{Х, Л)— классами когомологий (симп-
(симплициального множества X с коэффициентами в А).
Каждый класс гомологии (соответственно когомологий)
представлен и-цепью с (соответственно и-коцепью /)
с условием dnc = 0 (соответственно dn{ =¦ 0). Такие цепи
(коцепи) называются циклами (соответственно коцикла-
коциклами) . Цепь с в данном клас-
классе гомологии определена с
точностью до прибавления
элементов вида b = dc'', ко-
которые называются граница-
границами. Аналогично определя-
определяются коциклы и кограницы.
Та же терминология приме-
применяется К' общим комплек-
комплексам. Цепи, отличающиеся
па границу, называются го-
гомологичными.
Поясним гоометриче-
|'и« ',', скин сингл :>тих определе-
определений ни иломшггарных при-
примерах. Мы будим ра('('М1п|1И11Н'11, иокл триангулирован-
триангулированные пространства и цони, построонпми иа невырожден-
невырожденных симплексов (это оправдывается задачей 7.1 г)).
5. Геометрия цепей, а) Почему граница границы рав-
пп нулю? Посмотрите на рисунок тетраэдра Д3 (рис. 2).
На каждом ребре две примыкающие к нему грани
индуцируют противоположные ориентации. Поэтому они
входят в d2dsA. с противоположными знаками.
б) Откуда берутся нетривиальные циклы? Рассмот-
Рассмотрим триангулированное пространство 52 = sk2 A3. В груп-
группе 2-цепей S2 есть цикл: граница выброшенного трех-
трехмерного симплекса. Он заведомо не гомологичен нулю,
ибо С3E2) = 0. Ниже мы увидим, что его класс порож-
порождает группу Я2E2, Z).
В геометрии циклы — это то, что ограничивает дыры
(может быть, сложной формы).
в) Несколько иную информацию несут нульмерные
гомологии. Поскольку d0 = 0, все нульмерные цепи яв-
являются циклами. Покажем, что имеется естественный
изоморфизм:
Н (X Z) = /св°бодная абелева группа, порожденная"!
' [компонентами линейной связности | X \ )
Обозначим временно группу справа через П0(Х). Оп-
Определим отображение По (X) -*¦ Но {X, Z), поставив в соот-
соответствие любой компоненте класс коцепи, состоящий из
одной вершины в этой компоненте.
Читатель проверит, что это отображение корректно и
является изоморфизмом, опираясь на следующее описа-
описание нульмерных границ.
0-цепъ ^а(х)х является границей, если и только если
для любой компоненты линейной связности Lcz \X\
имеем:
2 а(х)х = 0.
хеь
г) Важную роль в геометрии играют перестройки то-
топологических пространств, уничтожающие или порож-
порождающие классы гомологии. Опишем универсальную кон-
конструкцию, уничтожающую все группы гомологии, кро-
кроме Но, которая становится равной Z.
Пусть X — триангулированное пространство. Конусом
СХ над X называется триангулированное пространство,
которое получается из X следующим образом.
{Вершины СХ} = {вершины X) U {*} (* — вершина
конуса);
{n-симплексы СХ} =
= {га-симплексы X} U {конусы над (п— 1)-симплексами
X с нулевой вершиной *} (при п&*1).
43

Более формально, положим (СХ)(С) = Хт U {*},
(СХ) (я, = X(n) U Х(п_ц X {*} при п -Sfi.
Далее, для любого строго возрастающего / отображения
(СХ) (/)(*) =
(CX)(f)(x, .) =
C)
где g: [m]-v[n —1],
(i) = f(i)-i при
(X (h) (x), *), где h: [m — 1] -v [n — 1],
f(i + l)_i При /@) = 0.
Мы утверждаем, что все дыры X заклеены в СХ — кону-
конусом над границей дыры,— и новых дыр не появилось.
Более формально, введем комплекс цепей триангули-
триангулированного пространства:
Сп {X) = свободная абелева группа, порожденная Х(п),
граничный оператор 3, определен формулой A), Нп (X) =
= И (С. (X)). Мы утверждаем, что
(О при п > О,
при п = 0.
В самом деле, ^„(CX)^Cn(X)® Cn_i(X), и из форму-
формулы C) видно, что граничный оператор относительно
этого разложения устроен так:
d
'Я й
= ^0 -й^Д^ при
о")
гомологична подходящей цепи вида I ], ибо
(,/с ' ''"И(,. ]• По итормх, любой цикл вида
яплистсн нул(чи.1м:
/0
Случай ге = 0 уже разобран, ибо, очевидно, СХ связен.
Позже мы, разумеется, определим конус любого симп-
'ищтии.ного множества, а также конус любого комплек-
са и докажем аналогичный результат об их (ко)го-
мологиях.
6. Геометрия коцепей. Мы должны с сожалением объ-
объявить, что коцепи не имеют геометрии. Их главная функ-
функция — отображение геометрии в алгебру. Мы постараемся
аргументировать эту точку зрения в главе III.
7. Системы коэффициентов. Цени и коцепи симпли-
циального множества можно строить, пользуясь в каче-
качестве коэффициентов несколько более сложным объектом,
чем просто абелева группа. Системы коэффициентов бы-
бывают двух типов — одни приспособлены к гомологиям,
другие — к когомологиям.
8. Определение, а) Гомологической системой
коэффициентов si- на симплициальном множестве X на-
называется семейство абелевых групп {„s^J, по одной для
каждого симплекса х е ХП1 и семейство гомоморфизмов
групп J^(/, х): Мх-+ MxU)x, по одному для каждой па-
пары, состоящей из х^Хп и /: [т] -*• [га], так, что выполня-
выполняются следующие условия:
^ (id, x) = id;
D)
Второе равенство означает коммутативность диаграммы
E)
'X(fg)-x
б) Когомологической системой коэффициентов 38 на
симплициальном множестве X называется семейство абе-
абелевых групп {.$*}, по одной для каждого симплекса х е
е Хп, и семейство гомоморфизмов групп
3B{f, х): &xu)*-*3x,
по одному для каждой пары х е Хп, /: [тп] -*• [п] так, что
выполняются следующие условия:
). ¦ F)
Второе равенство означает коммутативность диаграммы,
подобной E).
9. Замечания и примеры, а) Пусть s?x = A
для всех х, М- (/, х) — idA для всех /, х. Такая локальная
система коэффициентов называется постоянной. Она яв-
является и гомологической, и когомологической.
45

б) Пусть У — топологическое пространство, U =&Ua) —
его открытое покрытие, X — нерв покрытия [/-/опреде-
[/-/определенный в п. 2.3. Следующий набор данных образует ко-
когомологическую систему коэффициентов: /
^"(^...ол = группа непрерывных функций по/сложению
на пересечении Ua Г) • • • Л Uan', ;
&~ (/, (а0 .. . ап)) переводит функцию ф с областью
определения [7а,@) П ... Л Uaj(n) в
ее ограничение на U№ Л ¦ • • Г) Uan-
В проверке аксиом фигурируют только тривиальные свой-
свойства операции ограничения функции на подмножество.
Поэтому вместо всех непрерывных функций можно взять
часть, стабильную относительно сложения и ограничения,
например, гладкие функции для гладких многообразий,
голоморфные — для аналитических и т. п. Можно также
взять группу обратимых функций по умножению. Эта
идея развита в п. 5.7.
в) Пусть G — группа, не обязательно абелева, А —
левый G-модуль, т. е. аддитивная группа, на которую G
действует автоморфизмами. По ней строится следующая
когомологическая система коэффициентов $ на симпли-
циальном множестве BG, описанном в 2.8:
<МХ = А для всех х,
но)
= П
i
Для /: [т] -> [п], х = (glt ..., gn) e= (BG)n,
G)
Можно построить также гомологическую систему коэф-
коэффициентов М- на симплициальном множестве BG, полагая
s$-x = М- для всех х,
л/(/, т) (n)-=fr'a, h — такое же, как в G).
К). Гомологии и кшчшологии с системой коэффициен-
коэффициентом. Пусть М- — гомологический система коэффициентов
на симплициальном множестве X.
п-мерной цепью X с коэффициентами в М- называется
формальная линейная комбинация вида
2 а(х)х, где a(x
n-мерные цепи образуют абелеву группу по сложению,
которая обозначается Сп(Х, si-).
Граница n-мерной цепи с = 2 а (х)х е Сп (X, si) есть
(п— 1)-мерная цепь dnc^Cn-i{X, si-), определяемая
формулой
i=o
doc = 0.
Как и выше (п. 2), легко проверяется, что
есть цепной комплекс, т. е. dn-i ° dn — 0.
Группы гомологии комплекса С. (X, s&) называются
группами гомологии симплициального множества X с ко-
коэффициентами в ?й-\ они обозначаются Нп(Х, si).
Аналогично, пусть М — когомологическая система ко-
коэффициентов на X. Положим
Сп(Х, &)= {функции / на Хп с f{x)^3§x}.
cn
Кограничный оператор
задается так:
П+1
:*)= 2<-
i=0
Группы когомологий коцепного комплекса
Ln+1-
(9)
с-(х,
¦ Сп(Х,
Чх,^)-
называются группами когомологий X с коэффициентами
в 33 и обозначаются Нп (X, &).
11. Примеры, а) Гомологии и когомологий симп-
симплициального множества X с коэффициентами в постоян-
ной локальной системе коэффициентов si- = {Л, idA) (см.
9а)) совпадают соответственно с Н„(Х, А) и Н"(Х, А).
б) Пусть Y — топологическое пространство, X — нерв
открытого покрытия U = (Ua), 9"—когомологическая си-
система коэффициентов, построенная в п. 96). Группы ко-
когомологий Нп(Х, SF) называются группами когомологий
47

по Чеху относительно покрытия (Ua.) пучка непрерыв-
непрерывных функций на Y (или пучка гладких, голоморфных,
обратимых ... функций для соответствующих сдстем коэф-
коэффициентов) (см. также § 7.4). /
в) Пусть G — группа, А — левый (З-модуэть, rf и if —
гомологическая и когомологическая системы коэффициен-
коэффициентов на X = BG, построенные в п. 9в). Группы Нп(Х, М-)
и Нп(Х, Я) называются соответственно группами гомоло-
гомологии и когомологий G с коэффициентами в М-, $.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Гомологии триангулированных пространств. Вычислить гомо-
гомологии (с коэффициентами в постоянной системе коэффициентов)
симплициалышх множеств, отвечающих следующим триангулиро-
триангулированным пространствам:
а) и-мерный симплекс Д[и],
б) (п — 1)-мерная сфера S" (граница Д[га]),
в) двумерный тор,
г) вещественная проективпая плоскость.
Указание: в каждом случае нужно использовать какую-ни-
какую-нибудь (возможно более простую) трпагуляцию и рассматривать (см.
ниже упр. 7.1г)) только лилейные комбинации невырожденных
симплексов.
§ 5. Пучки
1. Примеры пучков, а) Голоморфные функции на ри-
мановой сфере. Римапова сфера — это топологическое
пространство CU{°°}; базу окрестностей бесконечности
образуют внешности окружностей в С. Кроме топологии,
в структуру римановой сферы входит задание семейства
комплекснозначных, определенных на открытых множе-
множествах, функций /: U -*¦ С. Такие функции называются го-
голоморфными и характеризуются следующим свойством:
у каждой точки z0 e U имеется окрестность z0 e 17 с U,
н которой / представлена сходящимся степенным рядом
2 II; (z — 2(|) , (li РЕ С ИЛИ 2 <HZ~l ДЛЯ Zo = оо. СоВОКуГТ-
, и i--()
пост], итих функций (точнее, пар, состоящих из функции
и ее области определения — не обязательно максималь-
максимальной!) называется пучком О голоморфных функций на
CU{°°}. Из-за того, что понятие голоморфности опреде-
определяется локально, следующие две задачи могут быть весь-
весьма нетривиальными.
Задача 1. Продолжается ли данная голоморфная
функция /: U-*¦ С на большую область F=>?/? (Пример:
¦W
голоморфное продолжение ^-функции Римана ? (z) =
00 \
= 2 п~г из области iz^C\Rez>l) на область С\Ш.
Для класса Других интересных рядов Дирихле с целыми
оо
коэффициентами 2 ann~z эта задача не решена до
сих пор.)
Задача 2. Как описать множество Г([/, О) всех
функций, голоморфных в области U?
Теорема Лиувилля — это утверждение о том, что
Г (С U {оо}, О) = {константы}.
Из теоремы о радиусе сходимости ряда Тейлора сле-
следует, что
Г (С, О) = {S aiZ
u
0, ai - о (г*)}.
Пафос теории пучков состоит в том, чтобы, не обра-
обращая внимания на специфику таких индивидуальных за-
задач, рассматривать пучок О как единый объект и срав-
сравнивать его с другими подобными.
б) Пучок решений линейного дифференциального
уравнения. Пусть ?fcCU {°°} — некоторая область, ui{z)^
^Г(?/, (У), i — 0, ..., п— 1. Обозначим через 9? множе-
множество пар (V, /), где V <= U подобласть, а / — голоморфная
функция в V, удовлетворяющая в V уравнению
П—1
Lf = dnf/dzn + 2 at (z) dff/dzl = 0.
Это множество называется пучком голоморфных решений
соответствующего дифференциального уравнения.
В случае, когда V — связная односвязная область, из
теоремы существования и единственности решения сле-
следует, что T(V, &)— множество решений, голоморфных
в V,— является га-мерным линейным пространством над
С. Для более сложных областей V ответ перестает быть
столь простым и требует введения понятия монодромии.
Пусть, например, Lf = d2f/dz2 + z~ldf/dz, U = C\{0). Реше-
Решения Lf = Q имеют вид ct log z + c2, где log z — «любая
ветвь» логарифма. Так как в кольце V: (Xr,<|z|<r2
однозначного голоморфного логарифма нет, имеем
Г(У, 9") = {константы}. Для оператора L второго порядка
с тремя простейшими особыми точками на римановой
4 С. И. Гельфаыд, Ю. И. Манин. т. 1 49

сфере вычисление Г (У, SP) составляет сущес/венную
часть теории гипергеометрических уравнений. /
Пучок 91 в очевидном смысле слова являет/я подпуч-
подпучком в С, а оператор L в столь же очевидном .смысле дей-
действует из О в О, и SP является ядром этого действия.
Нижеследующий формализм аксиоматизирует описанные
на примерах структуры. /
2. Определение, а) Предпучок множеств #~ на
топологическом пространстве Y состоит из следующих
данных:
множество 3T(U) (сечений предпучка 2Г), заданное
для каждого открытого подмножества U с У;
отображение ограничения ruv- &~(U)-+&"(V), задан-
заданное для каждой пары V cz U.
Эти данные должны быть подчинены следующим ус-
условиям:!
rvu = id, rvw ° rur — ruw для W с: V cz U.
б) Предпучок @~ называется пучком, если дополни-
дополнительно выполнено следующее условие:
для любого открытого покрытия U = U Ui и любого
набора сечений s4 e i?" (?74), подчиненного условиям
rUi,UinVj (si) = ruj.UinUjiSj), существует единственное сече-
сечение s<=g~(U) такое, что Si = Гц.иД5)-
в) Морфизмом j: &~ ^>- *§ предпучков на Y называ-
называется набор отображений f{U): #"(?/)-*- $?(U), по одному
для каждого открытого множества U, коммутирующих
с ограничениями:
Морфизм пучков — это морфизм соответствующих
предпучков.
Вместо &~{U) принято писать также Г (U, &~), как мы
это делали в п. 1.
По всякому предпучку $Г можно определить предпу-
предпучок &~\U—ограничение @~ на открытое множество U,
положив (&'\U)(V) = &~(UnV). Если &~ — пучок, то
8T\U также пучок.
3. Предпучки и пучки структур. Предпучок #" может
быть предпучком групп, колец, топологических про-
пространств и т. п.: по определению это означает, что каж-
каждое множество сечений @~(U) снабжено соответствующей
структурой, а каждое отображение ограничения является
морфизмом этих структур.
50 .
Аналогично включаются внешние законы композиции:
предпучок модулей Ж над предпучком колец О состоит
из набора О (U) -модулей ЖA1), причем закон умноже-
умножения коммутирует с ограничением в очевидном смысле
слова.
Стандартные алгебраические операции над структура-
структурами переносятся на предпучки этих структур, так же как
понятия морфизма, ядра и т. п.
Вот важный для дальнейшего пример. Пусть #", !? —
два предпучка абелевых групп на топологическом про-
пространстве Y. Морфизм /: ЗГ -*-$? состоит из гомоморфиз-
гомоморфизмов групп f(U): &~(U) ^* & (U), коммутирующих с огра-
ограничениями. Положим
Определив X{U) + X{V), <&(U)-*T{V) для V^U оче-
очевидным образом, мы превратим Ж и ^ в предпучки, ко-
которые будут называться соответственно ядром Кег/ и
коядром Coker/ морфизма /.
f e
Назовем последовательность предпучков 3^" ~^З ->Ж
точной в члене ^, если для каждого U последователь-
последовательность &~(U) ™%{и)8-^-Ж(U) точна в 9(U) (опреде-
(определение точной последовательности см. в § 6).
Просмотрим теперь заново конструкции этого пункта,
предполагая, что рассматриваемые предпучки являются
пучками.
Определения пучков, групп, колец и их морфизмов не
меняются.
Осторожность нужна лишь в тех местах, где мы стро-
строим новый предпучок из старых: если старые были пуч-
пучками, то новый может оказаться лишь предпучком. Вы-
Выделим типичную ситуацию.
4. П ре д л о Hie н ие. а) Ядро Ж морфизма пучков
абелевых групп f; @" -*-9 является пучком абелевых
групп.
б) Коядро *& морфизма пучков абелевых групп явля-
является предпучком, но может не быть пучком.
Доказательство, а) Пусть U=ViUu st e ЖA7()~
пабор согласованных на попарных пересечениях сечений
Ж. Поскольку X(Ui)<=@~(Ui), а ?Г — пучок, существует
единственное сечение $¦<= &~(U), для которого si = Гир{ (s).
Проверим, что 8^Ж{11). В самом деле, rUtUi ° /(s) =
= / (ru,Ui(s)) = 0. Так как 2? — пучок, имеется единствен-
4* 51

ное сечение *3 над U, ограничение которого /на все U(
равны нулю: это нуль. Значит, /(s) = 0 я s^/.7if(U).
б) Приведем пример. Пусть У = С\{0), ' OY — пучок
голоморфных функций на У (см. 1а)). Зададим /: 0у -*-
-»- (Ух, полагая / (ф) — ^, ф ^ C?r (Z7) — голоморфная функ-
функция на U с: У. Тогда легко проверить, что у каждой точ-
точки уеУ существует окрестность Vy с Сокег/G!/) = О
(точнее, это будет так для любого V<=Y, не охватываю-
охватывающего точки 0). С другой стороны, dimCoker/(Г)= 1:
уравнение -г — 'Ф для голоморфной функции -ф на У,
заданной рядом Лорана я|з = 2 aiz\ разрешимо в том
i=—с»
и только том случае, если а-, = 0. Следовательно, пред-
пучок Сокег / на Y не является пучком.
В § II.5 будет показано, что определение коядра мор-
физма пучков можно и нужно изменить, с тем, чтобы
коядро также всегда было пучком.
В § 7 этой главы будет введено понятие когомологий
Чеха с коэффициентами в предпучках и пучках; нуль-
нульмерные когомологий Чеха, в частности, измеряют степень
нарушения аксиомы 26) пучка.
Возвращаясь к общим определениям, введем следую-
следующие полезные понятия,
5. Ростки и слои. Пусть у ^ У, ^" — предпучок на Y.
Ростком sy сечения &~ в точке у называется класс экви-
эквивалентности пар (s, V), где V => у — открытые окрестно-
окрестности, «еГG, F), по отношению
(s, V) ~ {$', V)
V П V,
Слоем &~ в точке у называется множество &~v всех рост-
ростков в этой точке. (На языке индуктивных пределов
0~у = lira Г (V, 9") по системе окрестностей V э у.)
Для любой -окрестности V э у имеется очевидное ото-
отображение rv,у. &~{V)-+ STy.
Аналогично можно определить росток сечения ЗГ над
произвольным множеством ZaY как элемент множе-
множества Г (Z, Т)| = lim Г (V, 9") по всем открытым V=>Z.
Обычно вместо «росток сечения над Z» говорят просто
«сечение над Z».
52
Назовем пространством предпучка &" множество
Для каждого s^^(U) положим sv = rUty(s) и затем
Введем на F слабейшую топологию, в которой F(s) (для
открытых U) будут открытыми множествами.
Топологическое пространство F снабжено естествен-
ной проекцией г -*- У, которая является непрерывным
отображением (проверьте!). У каждой точки F имеется
открытая окрестность, которую п гомеоморфно отобра-
отображает в У. v
Заметим теперь, что по любому отображению тополо-
топологических пространств 1 ->- У можно определить пучок Г
на У локальных непрерывных сечений T(U)={a: U -»-
->- Z\j ° a — idu}. Это мотивирует следующую конструк-
конструкцию.
6. Определение-лемма, а) Пучком &~+, ассоци-
ассоциированным с предпучком &~, называется пучок непрерыв-
непрерывных сечений пространства ^ = Ц &"у Он связан с ST
^ {sy | у е
"+: &~ (U)
каноническим морфизмом 0"
е U) е &~+ (U).
б) Если 2Г — пучок, то этот канонический морфизм
является изоморфизмом.
Доказательство. Из определения топологии в F
вытекает, что для любого s^&~(U) отображение a: U -»-
->¦ F, a(y)= sy<^&~y непрерывно, так что* мы получаем
отображение &"(и)-+ &~+(U). Ясно, что оно согласовано
с ограничениями, так что мы действительно получили
морфизм предпучков i: &~ -»- 5Г+. Докажем б). Пусть
3~ — пучок. Нужно доказать, что i(U): &~(?/)->- &~+ (U) —
взаимно однозначное отображение. Пусть s, s'e^"(f/)
и i(U)(s) = i(U)(s'). Это значит, что rUv(s)= rv y(s')
для любого у, т. е. у каждой точки у ^ U существует
окрестность Vy<=U, для которой rv v (s) = rv v,,(s')-
Поскольку окрестности Vy покрывают U, а ^~ — пучок,
s = s'.
Пусть теперь e^&~+(U), т. е. задано непрерывное
отображение a: U ^-F с o(y)<=&~v. Пусть о (у) представ-
представлено сечением sv^&"(Vv), заданным на множестве Vy,
VU Вб
ye=Vv<=-U. Выберем у каждой точки
53

окрестность Gy, для которой я |с — гомеоморфизм^ Можно
считать, что Wy = n(Gy)<= Vy. Ясно, что для любого ге
е ТР„ имеем o-(z) = rYytWy(sy),
Это значит, что набор сечений {^vy,Wy(sy) ^&~(Wy)>
yeU} согласован на пересечениях WV[\WV,. Поэтому
существует сечение s^@~(U) с sy = ru,vy(s)- Ясно, что
7. Основные классы пучков. Пучки, естественно воз-
возникающие в задачах, можно грубо разделить на два боль-
больших класса: а) похожие на пучок функций (голоморф-
(голоморфных, как в примере 1а) или гладких, непрерывных, ал-
алгебраических) ; б) похожие на пучок констант (как пучок
решений из п. 16)).
Приведем некоторые примеры и определения, начиная
с класса б).
8. Определение. Пусть А — некоторое множество,
У — топологическое пространство.
а) Постоянный предпучок А со слоем Л на Г опре-
определяется условиями A(U) = A, ruv = id для всех V<=:U.
б) Постоянный пучок ?ф со слоем А определяется как
^г = А+. ¦
На этом примере хорошо видно, как на структуру
пучка влияет топология пространства. Легко описать про-
пространство предпучка А: это есть YXA, где топология на
А дискретна. Поэтому сечения ?4- = А+ над U суть ло-
локально постоянные функции на U со значениями в А.
В частности, если U связно, то s4-{U) — A.
Более интересен следующий класс пучков, содержа-
содержащий, в частности, пучки голоморфных решений диффе-
дифференциальных уравпений из п. 16).
9. Определение. Пучок @~ на У называется ло-
локально постоянным, если у любой точки У имеется от-
открытая окрестность, ограничение ST на которую изоморф-
изоморфно постоянному пучку.
Зпмотим, что опроделопия 8 и П естественно обобща-
обобщаются пл случай множеств Л сп структурой, если эта
структура иыдоржиппот продольные переходы, нужные
для ее перенесения с А па А+. Может, однако, оказать-
оказаться, что пучок, постоянный как пучок множеств, пере-
перестает быть постоянным как пучок структур. Простой при-
пример — пучок алгебр Ли, зависящих от параметров базы.
Классификация локально постоянных пучков над то-
топологическим пространством тесно связана со структурой
фупдаментальиой группы этого пространства: см. п. 2.9.
54
Следующее полезное обобщение класса локально по-
постоянных пучков — конструктивные пучки; укажем, что
они включают в рассмотрение некоторые «скачки» и
«особенности», например такого типа, как особенности
решений дифференциального уравнения в особых точках
его коэффициентов.
10. Пучки функций и продолжение сечений. Пучки
функций — это, прежде всего, клей для конструирования
глобальных геометрических объектов (гладких многооб-
многообразий, аналитических пространств, схем и т. п.) из ло-
локальных моделей. Эта точка зрения подробнее развита
ниже в § II.4, и мы советуем читателю просмотреть на-
начало этого параграфа перед тем, как двигаться дальше.
Здесь мы коснемся лишь одного класса свойств щршов
функций, которое измеряет их жесткость. Простейший
вопрос о жесткости пучка таков: пусть U<= V — два не-
непустых открытых множества; можно ли сечение пучка,
заданное на U, продолжить на V, и если да, то насколь-
насколько неоднозначно? Рассмотрим спектр возможных явлений.
а) Функция, заданная на U, может не продолжаться
уже на замыкание (или на часть границы) U, например,
-г; для ?/ = (—1, 1)ciR. Этот эффект одинаково отно-
1С — 1
сится к непрерывным, гладким и аналитическим функци-
функциям. Поэтому естественная задача о продолжении ставится
для сечений над замкнутым, а не открытым множест-
множеством. Согласно определению в п. 5, сечение пучка О над
Z есть класс сечений О над открытыми U' => Z.
б) Итак, пусть Z <= X — замкнутое подмножество. Ес-
Если X — нормальное пространство, О — пучок веществен-
вещественных непрерывных функций, то любое сечение О над Z
продолжается до сечения О над всем X; лаыми словами,
каноническое отображение Г(Х, ??)-*-Г (Z, О) сюръ-
ективно.
То же верно, если X — гладкое (С°°) многообразие,
а О — пучок бесконечно дифференцируемых функций.
Степень неоднозначности продолжения определяется
уже тем, что для любого замкнутого множества Z' с: X\Z
и любой непрерывной (соответственно гладкой) функции
на Z' продолжение можно выбрать так, чтобы оно совпа-
совпало с этой функцией. (В самом деле, отображение
Г (X, О) -*¦ Г {Z U Z\ О) также сюръективно.)
Если Е -*• X — расслоение на конечномерные вектор-
векторные пространства, те же свойства продолжения сечений
выполнены для пучка сечений этого расслоения.
55

в) Пусть теперь X — связное комплексно аналитиче-
аналитическое многообразие, Zcl — замкнутое множество, О —пу-
—пучок голоморфных функций. Тогда отображение Г (X, О) -»-
-*-T(Z, О) инъективно, так что функции, которые мож-
можно продолжить с Z, продолжаются однозначно. Это сле-
следует из того, что разность двух продолжений равна ну-
нулю в окрестности Z и потому на всем X.
Многие функции могут быть непродолжаемы, напри-
например, если Z — точка, а X компактно, то на X продолжа-
продолжаются только ростки постоянных функций.
По свойствам жесткости пучки голоморфных функций
(и сечений голоморфных расслоений) приближаются к
локально постоянным пучкам.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что если 0 -> &~ -*- S" -»- Ж -*• 0 — точная последо-
последовательность предпучков и &~, Ж — пучки, то & также является
пучком.
2. Вялые, мягкие, тонкие пучки, а) Пучок ST множеств на про-
пространстве X называется вялым, если для любого открытого мно-
множества UaX отображение ограничения Г{Х, &~)-+-T(U, &~) есть
отображение па все Г(?/, @~). Пусть /: Х->У— отображение то-
топологических пространств. Определим пучок fff всех (не обяза-
обязательно непрерывных) локальных сечений / равенством
T(U, <?f) = {a: V-*-X, а не обязательно непрерывно, /<>a = idu}.
Докажите, что если / сюръективно, то ^/ — вялый пучок. Выве-
Выведите отсюда, что любой пучок множеств У является подпучком
вялого пучка (используйте пучок Ч?я для л: F-*-X; см. п. 5).
б) Докажите, что если
О
A)
— точная последовательность пучков абелевых групп и пучок &~
вялый, то для любого открытого U последовательность групп 0 -*¦
-*-T(U, &~) -*-T(U, 8) -+T(U, Ж) ->-0 точна. Выведите отсюда, что
если в A) ЗГ и 'S — вялые пучки, то и Ж — вялый пучок.
в) Пусть X — паракомпактное топологическое пространство
(т. е. X отделимо и у каждого открытого покрытия существует ло-
локально конечное подпокрытие). Пучок У на X называется мяг-
мягким, если для любого замкнутого У а X отображение ограничения
Г(Х, 3Г)->Г(У, ?Г) (см. п. 5) является отображением на все
Г (У, 9~). Докажите, что любой вялый пучок па паракомпактном
топологическом пространстве является мягким. Для мягких пуч-
пучков справедливы аналоги утверждений из п. б): если в точной по-
последовательности A) &~ — мягкий пучок, то для любого замкну-
замкнутого У cz X последовательность
56
также точна, а если в A) &~ и iF—мягкие пучки, то Ж — также
мягкий пучок.
г) Разложение единицы. Пусть SF — пучок абелевых
групп на пространстве X, s — сечение @~ над X, (Ui)i<= i — откры-
открытое покрытие X. Разложением сечения s, подчиненным покрытию
A70, называется набор сечений s» пучка &~ над открытыми мно-
множествами Vi a Ut, который локально конечен (т. е. для каждого
хеХ лишь конечное число ростков (si)x отлично от 0), и sx =
= 2 (si)x Для всех х s X. Докажите, что если пространство X па-
ifEl
ракомпактно, а пучок 8~ мягкий, то для любого сечения s e
е Г(Х, ST) и любого покрытия (С/г) г е г существует разложение s,
подчиненное (Vi).
д) Докажите, что если пучок колец SF является мягким, то лю-
любой пучок ^-модулей также является мягким.
е) Пучок абелевых групп Э~ на паракомпактном простран-
пространстве называется тонким, если для любых двух непересекающихся
замкнутых подмножеств Y\, У2 в X существует автоморфизм ср:
9Г-^9Г пучка @~, индуцирующий нулевое отображение на некото-
некоторой окрестности множества Y\ и тождественное отображение на
некоторой окрестности множества Y2. Докажите, что любой тон-
тонкий пучок является мягким. Докажите, что пучок ростков непре-
непрерывных функций на X (с вещественными или комплексными зна-
значениями) является тонким (это, по существу, классическая тео-
теорема Урысона: для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств Y\, У2 существует непрерывная функция, равная 1 на
некоторой окрестности Y\ и 0 на некоторой окрестности Уг). До-
Докажите, что пучок ростков гладких функций на гладком много-
многообразии X является тонким.
ж) Пусть @~, $ —два првдпучка множеств на пространстве X.
Предпучок гомоморфизмов Ж = Жот(@~, &) определяется так:
ЖA1) Нот(@~\и, ^|tr), где Нот — множество морфизмов пучка
S\ б
() (\и, |tr), д рф у
&~\и в пучок S\u, с естественными отображениями ограничения
Ж(Щ -±Ж(У). Докажите, что если 9", # —пучки, то Ж — тоже
пучок. Если Э~, Ъ — пучки со структурой (например, пучки абе-
абелевых групп), то Жот(&~, 'S) будет обозначать пучок морфизмов,
сохраняющих эту структуру. Докажите следующую характериза-
цию тонких пучков: пучок абелевых групп ?Т является тонким
в том и только том случае, если пучок колец ЖотC~, 9") явля-
является вялым.
з) Докажите, что свойства вялости, мягкости и топкости яв-
являются локальными: пучок SF на X (соответственно, на параком-
паракомпактном X) является вялым (соответственно мягким, тонким), ес-
если у каждой точки х е X существует окрестность U, для которой
&~\v — вялый (соответственно мягкий, тонкий) пучок.
3. Аффинные схемы, а) Пусть А — коммутативное кольцо с 1,
Spec A — множество собственных простых идеалов А (напомним,
что идеал $ а А называется простым, если из условия аЪ е }> сле-
следует, что либо ие>, либо ie))). Для каждого /еЛ положим
D(f) = {}><=Spec4, f(?)}. Докажите, что D(fg) = D(f) (\D(g).
Введите топологию на Spec А, принимая множества D(f) за базу
открытых множеств.
Проверьте следующие свойства:
(i) D(f) = D(g) тогда и только тогда, когда gn = uf для неко-
некоторых п > 0, и е А.
57

тогда и только тогда, когда существу-
существу(ii) D (f) = U D (/
ют Ъ\ bk е А и п > 0, для которых /n = b\j\ + ... + bhfk-
(iii) Замыкание точки $ е Spec 4 состоит из всех р' с t' ^> V;
в частности, замкнутые точки отвечают максимальным идеалам.
б) Пусть Sc4 — мультипликативно замкнутое подмножество
(т. е. а, Ъ е S =*- аЬ е 5; стандартными примерами являются мно-
множества {/п, гс ^ 0} для fei i A\? для р е Spec 4). Локализацией
S~lA кольца А по 5 называется множество классов эквивалентно-
эквивалентности дробей a/s, aei, s e S по соотношению: «i/st ~ S2/S2, если и
только если существует }е>? с b(ai«2 — a2$i) =0. Докажите, что
естественные операции сложения и умножепия дробей превраща-
превращают S~lA в кольцо. Стандартными обозначениями для S~lA при
S = {/"} и S = А\$ являются, соответственно, Af и Ау.
в) Докажите, что А/ зависит лишь от ?>(/), а не от /.
г) Пусть V = D(g) czU = ?>(/), так что я" = и/ (см. о, (П).
Задавая ruv: Af+Ag формулой rVv(alfm) = (класс aumlgmn в 4g),
докажите, что rVv зависит лишь от U и V (а но от /, м, /?), ruv —
гомоморфизм колец, ruv — id и
ruvrvw = ruw для W = D(h) cz V =
= /)(/).
д) Докажите, что на Spec А существует единственный пучок
колец О, для которого T(D(f), О) = A;, rD(f)rng) — такие, как в г).
Указание. Сперва проверьте выполпснис аксиом пучка для
h
открытых множеств вида D(f): если D (/) = (J -О(/{), si(=A^. и
гс(/()С(/4^) {si) = rD(fj)D(fif}) (s})> To существует единственный
элемент s <= Aj с Тщ^щ^л (*) = si. После этого определите
Г([/, С) для произвольного U = \}D(ji) как множество классов
эквивалентности согласованных наборов is^A^.: ruif.\r>iff-\ (si)~
== rD(f-\D(f-f-\ (si)\ no естественному соотношению эквивалент-
эквивалентности, связывающему наборы {st} и {tj} для двух различных
покрытий U= UD(fi) = \}D(gs).
е) Докажите, что слой пучка О в точке у е Spec А есть 4 у
(в обозначениях п. б)).
ж) Пусть М — 4-модуль. Для мультипликативно замкнутого
нодмпожества S а А определим локализацию S~lM как множество
ijjiiiccoB эквивалентности дробей {rajs, me.M, S6i?} по соотноше-
соотношению m 1 /яi ~ mi/si, если и только если b(miS2—m^si) = 0 для не-
некоторого h (- S. Докажите, что S~lM — модуль над S-^A.
¦л) Докажите, что нл Spec Л существует единственный пучок
модулой М ннд пучком колец G, для которого T(D(f), М) = Mf
(локализации М но {/п, н^О)) и отображения ограничения г^г
для V = O(fe') с: С/ = Z>(/) определяются аналогично п. г). Найди-
Найдите слой Д/ в точке VsSpec/l. Пучки модулой вида М называют-
называются квазикогерентными.
и) Пусть Mh М2 — два квазикогерептных пучка на Spec А. До-
Докажите, что морфизмы пучков С-модулей Mi -*¦ М2 взаимно одно-
однозначно отвечают гомоморфизмам соответствующих Л-модулей
М, -+ М2.
58
§ 6. Точная последовательность
1. Гомологии как функции от двух аргументов. В § 4
мы определим группы #n(X, S4-) и Нп(Х, &), где X —
симплициальное множество, si- и М —системы коэффи-
коэффициентов. В некоторых случаях их можно вычислить не-
непосредственно. Но основной прием состоит в изучении
того, как эти группы ведут себя при смене X или при
смене ^.
Мы будем называть sfi, 38 — абелевым аргументом,
а X — неабелевым аргументом. В следующей главе мы по-
постараемся показать, что любая гомологическая теория
явно или неявно содержит такие два аргумента.
Здесь мы фиксируем X и исследуем зависимость го-
гомологии и когомологий от коэффициентов. Основной ре-
результат этого параграфа — теорема о точной последова-
последовательности.
2. Точные последовательности. Точной последователь-
последовательностью абелевых групп называется любой комплекс С,
у которого все группы когомологий нулевые (для цепных
комплексов определение то же). Это означает, что
Кег dn = Im dn~x для всех п.
Точной тройкой, или короткой точной последователь-
последовательностью абелевых групп называется точная последова-
последовательность вида
Все нули, кроме двух крайних, обычно по пишутся; кро-
кроме того, в этом параграфе мы не будем интересоваться
номерами мест, на которых стоят А, В, С.
Задать точную тройку
0->Л-^5-^С->0
A)
это то же, что задать абелеву группу В и се подгруппу
А. По элементарной теореме о гомоморфизмах, С восста-
восстанавливается тогда как факторгруппа В/А, потому что
Im i = Кег р.
3. Теорема. Пусть X — симплициальное множество.
Тогда по любой точной тройке абелевых групп A) кано-
канонически строится точная последовательность когомологий
B)
59

и анало&ичнйя последовательность гомологии
... - Ня(Х,А)^Нп(Х, В) - Нп(Х, С)-
-+На{Х,В)-+Нп(Х,С) + О. C)
4. Замечания, а) У этой теоремы есть почти оче-
очевидный частный случай. Если точная тройка A) расще-
пима, т. е. имеет вид
O-*A->B = At
i {a) = (a, 0), p (a, c) = c,
то последовательность B) распадается на расщепимые
точные тройки
= Нп(X, А) © Нп(X, С) -* Я" (X, С) -* 0.
Главное отличие общего случая от этого — возможность
того, что «связывающие гомоморфизмы»
Нп(Х,С)-+Нп+1(Х,А)
будут нетривиальны.
б) У теоремы 3 есть аналог для локальных систем
коэффициентов, который мы сформулируем ниже.
в) Доказательство теоремы содержит следующие эта-
этапы: конструкции всех стрелок в B) и проверку точно-
точности. И то и другое удобно делать в несколько более об-
общей ситуации, чем условия теоремы. Именно, мы пока-
покажем, что из точной тройки A) следует аналогичная
точная тройка комплексов цепей (и коцепей), после чего
установим аналог теоремы 1 для общих комплексов, не-
независимо от их происхождения.
5. Морфизмы комплексов. Пусть В', С — два комп-
комплекса. Морфизмом f: В'-*-С называется набор гомо-
м1Р|)(||и;1М(Н1 /": fi" * С", шфостипоночцых с диффсрен-
ЦПИЛММ11
г/"-/"-- /""-г/". D)
Построим по морфизму /': /I' ->С" набор гомомор-
гомоморфизмов когомологий
следующим образом. Пусть b <= Нп (В') представляется
им
коциклом Ъ е Кег dn а Вп. Тогда, ввиду D), f()
е Кег d" с Сп. Положим Я"(/) (Ь) = класс f(b) e Нп{С').
Снова из D) видно, что класс f"(b) в Нп (С) не зави-
зависит от выбора представителя Ъ по модулю Im dn~\
Ясно также, что если g': А'-у В' другой морфизм
комплексов, то
H*{f.g) = H"{f)°H«(g). E)
Пусть снова /"• В'-*-С—морфизм комплексов. По-
Положим
Кег/' = (Кег/П), Сокег/" = (Сокег /п).
Из D) следует, что Кег/' и Сокег/' являются комплек-
комплексами относительно отображений, индуцированных диф-
дифференциалами.
Последовательность комплексов и их морфизмов
называется точной тройкой, если все последовательности
0-+Anl-+Bn^Cn->-0 точны.
Пусть теперь /; В -»¦ С — гомоморфизм групп, X —
симплициальное множество. Тогда определены канониче-
канонические отображения
/„: С»(X, В)- Сп(Х, С), /": С"(X, В) - С"(X, С),
Они перестановочны с дифференциалами и потому об-
образуют морфизмы комплексов.
г р
6. Лемма. Пусть 0-+А-+В-+С-+0— точная по-
последовательность групп. Тогда последовательности групп
цепей и коцепей
0 -> С. (X, А) X С. (X, В) X С. {X, С) -* 0,
0-+С-{Х,А) Хс'(Х,В)Хс'(Х1 С)~>0
точны.
Доказательство. Элемент С„(Х, А) — это фор-
формальная линейная комбинация 2 а(х)х, а(х)^А. Та-
Такой элемент переходит при отображении in- С„(Х,А)
( 2 ) 2 (Ч ())
Сп(Х,В) в in
д
2
х) =
р
2
(Ча (х)) xi и, поскольку
61

i — вложение, in — тоже вложение. Аналогично доказы-
доказывается, что р„ — сюръекция. Далее, pnin /2 а (х)z) =
V* I
z(x)x<= Сп (X, А). Пусть
= 2 (Р ° 0(а(х))х = 0 для
X
теперь р = 2 &(*)*<= С„(Х, В) и р„(Р)=О. Тогда
X
р(Ь(х)),= 0 для любого ж, т. е. b(x)= i(a(x)), а(х)<^А,
и р" = in (а), а = 2е (х) х^ С„ (X, А). Аналогично доказы-
X
вается точность второй последовательности. ¦
С учетом леммы 6 теорема 3 является следствием бо-
более общей теоремы 8.
7. Конструкция связывающего гомоморфизма. Пусть
О-+А'^>-Вт-*'С\-*'О1 F)
точная последовательность комплексов. Определим для
каждого п гомоморфизм
б" = б" (Г, р-): Я" (С) -+ Нп+1 (А')
следующим образом. Пусть класс когомологий с е
е//и(С") представлен коциклом с^Сп. Поскольку р"
сюръективен, с=рп(Ь) для некоторого 5^5". Посколь-
Поскольку, далее, dc = O, имеем pn(d5) = Q, так что df> = in+1(a),
a^An+i. Элемент а является коциклом:
in+1 (da) = din+i (a) =d(dB) = 0,
так что da = 0, ибо Г+1 — вложение.
Другой выбор с и Ъ меняет а на кограницу:
с' = с + dc\ = р" E + dfii + i"ai),
где Ci^Cn~\ Pn~l(J>i) — Ci, fl,ei'; поэтому
Следопателыю, класс когомологий а не зависит от про-
iiiiunjin и промюкуточных копструкт(иях. Положим
6" (Г, /;•) (г) a mod In) ,/';•' ' i- У/"+1 (Л*).
8. Теорема. Д ситуации п. 7 следующая последо-
последовательность точна:
. я" (А')
(В')
Hn
бп(г.,р-)
¦Нп+1(А')
Доказательство, а) Точность в члене Нп(В').
Прежде всего, Нп (р-) о Нп (f) = Я"(р- о f) = 0, ибо р«.
с Г = 0. Далее, пусть Ъ^Нп{В') и #"(?•)(*>) = °- Най-
Найдем flEff"D'), для которого Ъ = Нп (i')(a). Пусть Ье
ей"- представитель Ь, db = 0. Тогда рп (В) = dc для
некоторого "се С. Поскольку р": S"-1 -*- С" —
сюръекция, с = рп'1 {bi) для некоторого ^ е В"-1. Ясно,
что рпE — dfil) = 0, так что ввиду точности F) Ъ —
-dn^iVl = in(a) для aei". При этом in+i(da) = din(a) =
= dn"B = 0. Поскольку in+i — вложение, dna = 0. .Ясно, что
в качестве а можно взять amodlmd^ e/7nD").
б) вп(Г,р-)^(р-) = О. Пусть с = Нп(р-)(Ь), Ъ^В\
с=рп(Ъ)^Сп — представители Ь и с соответственно, так
что йБ = 0. Тогда из определения 6n(f, p-) в п. 7 ясно,
что Ьп(Г,р-)(Ъ) = О.
в) Кегбп(Г, р-)с1тпЯп(р')- Пусть бп(Г,р-)с = О
и с ^Сп — коцикл, представляющий класс когомоло-
когомологий с. Будем следовать построению б"(Г, р*)в п. 7. Пусть
с=рп{Ъ) и d? = r+1(a), FeB", eei««, Поскольку
бп(i"> P*) (с) = 0, a = dai для а\ е Л". Положим 5i = 5 —
-Г (я,). Тогда d^ = 0 и рп(^1) = рп(^)-^я(«1) =
= с. Поэтому с = /Уп (р-) (bj, где Ьх = &х mod Im d% e
()
еЯE)-
г) #"+1(i*)° б" (Г, р-) = 0. Согласно п. 7 элемент
а = бп (Г, р") (с) е Я™ х (Л') представляется таким
коциклом aei°+1, что Г+1(а) = с#) для некоторого 5 s В".
Поэтому Hn+l(i)(a) = 0.
д) КегЯп+1A)с1тбп(Г, р-)- Пусть веЯ"+1(/)
и Я"+' (i) (a) = 0. Пусть а е= Л"+1 — коцикл, представ-
представляющий а. Тогда t"+1(a) = dS для некоторого
Ь^Вп. Положим с=/E)еС". Имеем dc=d(p"S) =
= pn+1(d5) = pn+1(in+1a) = O, так что с — коцикл. Пусть
с е Я11 (С")— соответствующий класс когомологий. Из
определения б" (Г, р") ясно, что a = 6n(f, р*) (с), ш
9. Обобщение на системы коэффициентов. Пусть те-
теперь 38, Ж — две когомологические системы коэффициен-
коэффициентов на симплициальвом множестве X. Морфизмом ф: 38 -*•
-*¦ Ж называется семейство гомоморфизмов
63

по одному для каждого симплекса х^Х, перестановоч-
перестановочных со структурными отображениями M(f, х) и Я'(/, х).
Последнее означает коммутативность диаграмм
Аналогично определяется морфизм гомологических
систем коэффициентов.
По морфизму ф: Ш ->- $' очевидным образом строятся
морфизмы групп коцепей ф": Сп(Х, М)-+Сп(Х, <%'):
Формула (9) § 4 показывает, что ф" — (фп) является
морфизмом комплексов. Аналогично строятся морфизмы
комплексов цепей с учетом формулы (8), § 4.
Последовательность систем коэффициентов
называется точной, если для всех х <
ватдалыюсти групп
, точны последо-
последоАналогичное определение применяется к гомологическим
системам коэффициентов.
В этой ситуации справедлив аналог леммы 6 (и его
гомологический вариант): последовательность комплексов
0 -* С (X, Я') ->. С (X, Я) -у- С (X, ЯГ) -> 0
точна.
Применяя к ней теорему 8, получаем аналог тео-
теоремы 3.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Функториалыюсть точной последовательности. Пусть зада-
задана диаграмма комплексов и их морфизмов
0
* v
А' -> В' -S- С -S- 0
0 ->. Л* Д- В' + С* -> 0
которая коммутативна (т. е. gi = if, hp = pg) и строки которой
64
являются точными тройками комплексов. Тогда гомоморфизмы
Hn(f), Hn(g), Hn(h) определяют коммутативную диаграмму
...+Нп (A') -v IIй (В-) -* Нп (С) -> Яп+1 (А') -> ...
| | ] 1
... -> нп(а-) ¦+ нп(в-) -> нп (с-) -> яп+1 (А-) -> ...
строки которой — точные последовательности, отвечающие стро-
строкам диаграммы G).
Относительно других свойств точных последовательностей см.
упр. II.5. 6—7.
§ 7. Комплексы
1. Происхождение комплексов. В этом параграфе мы
опишем несколько классов комплексов алгебраического
и геометрического происхождения. Их можно условно
разбить на две группы — комбинаторные и дифферен-
дифференциально-геометрические. Прототипом первых является
комплекс цепей симплициального множества, вторых —
комплекс де Рама. Мы также опишем некоторые алгеб-
алгебраические операции над комплексами.
2. Определение. Симплщиалъной абелевой груп-
группой называется симплициальное множество А =(Ап), и =
= 0, 1, ... (см. определение 2.1), для которого все Ап
снабжены структурой абелевой группы, а все отображе-
отображения A(f): An-*Am являются гомоморфизмами групп. ¦
В § 2 для любого симплициального множества X и
гомологической системы коэффициентов ^ на нем были
построены группы цепей Сп(Х, зФ). Определим для не-
неубывающего отображения /: [т] -*¦ [п] гомоморфизм
Cn(f): Cn(X
Cn(f)( S a(x)x)= 2 A(f,x)(a(x))X(f)(x).
Из формул D), E) § 4 следует, что С. (X, s?) =
= (Сп (X, s&)) превращается в симплициальную абелеву
группу.
По любой симплициальпой абелевой группе можно
построить комплекс, имитируя формулу (8) § 4.
3. Определение-лемма. Пусть А — симплици-
альная абелева группа. Определим гомоморфизм dn:
An-+An-t формулой:
dn(a)='%(-i)iA(din)(a).
«=о
Тогда dn_t ° dn = 0, так что (Ап, dn) есть цепной комплекс.
5 G. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 65

Доказательство — такое же, как леммы 4.2. ¦
Комплекс коцепей симплициального множества явля-
является частным случаем аналогичной конструкции, исполь-
использующей косимплициалъные абелевы группы. Косимпли-
циальная абелева группа определяется как семейство абе-
левых групп {Вп), п = 0, 1, ..., и гомоморфизмов B(j):
В -*¦ Вп, по одному для каждого неубывающего отображе-
отображения /: [т] -»¦ [п], с условиями Z? (id) = id и B(J°g) =
= B(f)°B(g).
Предоставляем читателю сформулировать и доказать
аналог определения-леммы 3.
4. Комплекс Чеха. Пусть Y — топологическое прост-
пространство, ?/ = (?/„)—некоторое его покрытие (не обяза-
обязательно открытое), У — пучок абелевых групп на Y.
Определим косимплициальную группу коцепей Чеха
C{U, &~) следующим набором данных.
Один элемент Cm(U, &") есть семейство сечений
ф = {fao...am^&~(Uao П • • • П Uam)}, ПО ОДПОМу ДЛЯ каж-
дого семейства т+ { индексов а0, ..., ат.
Неубывающему отображению g: [m] -*• [п] отвечает
отображение C(g): Cm~+Cn, которое переводит коцепь ср
в коцепь с компонентами
(С (g) ф)«0...схи = ^ (<ta
g@)...ag(m)
),
где ограничение берется с Uag@) П • ¦ • П Uagim) на ?/„о П ¦ • •
...nf/an.
В комплексе, ассоциированном с этой косимилициаль-
ной группой, дифференциал имеет вид:
m+l
Нимало комплекса Чоха выглядит так:
{Фв е Т (Ua)} ~ {(</<|>Ц,™, res (Фв1) - res (Фа0)},
(Ml
V (Ua0 fl UaJ\ -
res (фаЛ) - res (фа„а J + «З (фаЛ) ] •
Из этих формул видно, что комплекс Чеха может
быть дополнен до комплекса
о -> дг (X) _^ с° (и, Р) -> с1 (и,
где е(ф) = (гсЗ[/аф). Ife определения 5.2 ясно, что если
U — открытое покрытие, то этот комплекс точен в чле-
членах дг(Х) пС°(и, Г).
Вообще, группы когомологий IP(U, 5Г) комплекса
C'(U, @") называются чеховскими когомологиями по-
покрытия U; в частности, Я0(С/, @~)=Т(Х, &~) для откры-
открытого покрытия не зависит от U.
5. Комплекс сингулярных цепей. Пусть Y — тополо-
топологическое пространство, Хп — его множество сингулярных
гс-симплексов (см. п. 2.4), Сп(Х, А)—симплициальная
абелева группа цепей X с коэффициентами в абелевой
группе А. Построим по ней комплекс, как в п. 3. Его
гомологии Hn"g (У, -А) называются сингулярными гомо-
логиями Y с коэффициентами в А. Аналогично опреде-
определяются сингулярные когомологий.
6. Гомологии и когомологий группы. Пусть G — неко-
некоторая группа, А — левый G-модуль, В п. 4.9 в) мы по-
построили связанную с А когомологическую и гомологиче-
гомологическую системы коэффициентов на симплициальном мно-
множестве BG.
Гомологии и когомологий BG с этой системой коэф-
коэффициентов называются соответственно гомологиями и
когомологиями группы G с коэффициентами в А и обо-
обозначаются Hn{G, A), Hn(G, А) соответственно.
7. Комплекс де Рама. Пусть X — некоторые С°°-много-
С°°-многообразие, С{X) — кольцо С°°-функций на нем, Q'(X) —
С (X) -модуль дифференциальных i-форм, Q°(X) = C(X).
Внешний дифференциал d: Qh(X) -*- Qh+i(X) в локальных
координатах (х\ ..., хп) задается формулой
^2)
i = (iu ..., h), \i\ = k, dxl -лЛд ¦ • • A
Он однозначно определяется следующими свойствами:
а) d (со^Л со') = dak Д сог + (— 1)" со& Д da1, со" е= Qh,
б) d2 = 0,
в) d: C(X)^-Ql(X) сопоставляет каждой функции ее
дифференциал.
5*
67

Когомологии комплекса &' (X) называются когомо-
логиями де Рама многообразия X и обозначаются иногда
Нт{Х).
У этой конструкции есть ряд важных вариантов. По-
Поставим в соответствие открытому ^множеству U <=¦ X про-
пространство Qk(U) и очевидным образом определим для
Fc U ограничения Qh(U)-*- Qh(V). Получится пучок,
обозначаемый Qh. Внешний дифференциал коммутирует
с ограничениями и позволяет определить комплекс пуч-
пучков й .
Другой вариант получается, если вместо гладкого
многообразия X рассмотреть комплексно аналитическое,
а вместо всех (комплекснозначных) дифференциальных
форм — только голоморфные.
8. Гомологии и когомологии алгебр Ли. Применим
конструкцию п. 7 к связной группе Ли G вместо X. Она
действует правыми сдвигами на C(G) и на Qk(G), по-
последнее действие однозначно определяется условием его
перестановочности с d. Обозначим через Qinv(?) под-
подкомплекс ?2' (G), состоящий из G-инвариантных форм.
Он допускает чисто алгебраическую конструкцию в тер-
терминах алгебры Ли g группы G. В самом дело, реализуем
Й как пространство правоинвариантных векторных полей
на G. Тогда
f (fe )
где справа стоит пространство кососимметричных &-ли-
пейных форм на g. Внешний дифференциал от /с-формы,
рассматриваемый как полилинейная функция на вектор-
векторных полях, в общем случае имеет вид
2
3 1
Применяя эту формулу Картаиа к Qin\(G), мы получа-
получаем внешний дифференциал на комплексе С (g) =
= ^(A-fl, R):
dc (gv ¦¦¦, gh+1) =
2 (-*)i+I-lc([fy*ib«i> •¦-.«j -«i,.... гЛ+1).
(iH
Его когомологии обозначаются//' (9, R). Важно, что эта
конструкция совершенно не требует существования груп-
группы Ли G, ассоциированной с алгеброй Ли g. В частности,
она применима к бесконечномерным алгебрам Ли.
Более общо, пусть А — некоторый g-модуль. Положим
C*(g, A) = S>(A"^, А) и определим дифференциал по об-
общей формуле Картана:
h+1
Когомологии этого комплекса, естественно, обозначаются
Я* (в, Л).
9. Гомотопные отображения комплексов. Кроме точ-
точной последовательности, обсужденной в § 6, важным
техническим средством для вычисления гомологии явля-
является замена комплекса, сохраняющая гомологии. Более
общо, пусть /., g.: В. -+С. — морфизмы цепных комплек-
комплексов, //•(/), Н. (g) — соответствующие морфизмы гомо-
гомологии как в п. 6.5. Назовем /. и g. гомотопными, если
существуют гомоморфизмы групп к = (кп), кп: Вп -*¦ Сп+1
такие, что
/" — gn = kn_1d
A)
(не требуется, чтобы кп коммутировали с d). Аналогич-
Аналогично, морфизмы f,g'~ В'-*-С коцепных комплексов на-
называются гомотопными, если /" — g' = kd + dk для неко-
некоторых гомоморфизмов групп кп: Вп-+Сп~1.
10. Лемма. Если /., g. — гомотопные морфизмы цеп-
пых комплексов, то Нп (/) = Нп (g) для всех п.
Доказательство. Достаточно проверить, что если
/. — g. гомотопно 0, то Hn(j — g) — нулевое отображе-
отображение, т. е. f — g переводит любой цикл Ъп в границу.
В самом деле,
Аналогичное утверждение верно, конечно, и для гомотоп-
гомотопных морфизмов коцепных комплексов.
11. Теорема, а) Пусть ср, я|): X-*-Y—топологиче-
X-*-Y—топологически гомотопные непрерывные отобраокения топологиче-
топологических пространств. Тогда они индуцируют одинаковые
69

отображения групп сингулярных гомологии с любыми
коэффициентами.
б) Пусть ф, г|з: X-^ Y — гладко гомотопные отображе-
отображения С"-многообразий. Тогда они индуцируют одинаковые
отображения когомологий де Рама.
12. Следствие. Если X стягиваемо, т. е. отображе-
отображение id: X -»- X гомотопно отображению Х-*- {точка}, то
Hfns {X, А) = A, Hfns (X, А) = 0 при i> О. Аналогич-
Аналогичное утверждение верно для когомологий де Рама.
13. Доказательство теоремы. Оно состоит в
конструкции алгебраической гоыотопии между морфиз-
мами комплексов цепей С(ф), С{§).
Случай сингулярных гомологии. Обозначим через
Cn'ng (X, A), Cnms (У, А) группы сингулярных цепей
пространств X и У с коэффициентами в абелевой груп-
группе А. Пусть гомотопия между отображениями ф, ф: X-+¦
-»¦ Y задается непрерывным отображением F: XXI-+Y
(/ — отрезок [0, 1]) таким, что
F{x, 0) = ф(аО, F{x, 1) = Ч>(*>- B)
Обозначим через /., g.: СГе (X, А) -> C?ing (У, А) мор-
физмы комплексов, индуцированные ц> и i|) соответ-
соответственно.
Грубо говоря, алгебраическая гомотопия кп:
C"rg(X, Л)-*-С^+?(У, А)— это отображение, сопостав-
сопоставляющее каждому сингулярному гс-симплексу s: Ап->-Х
«призму над s», т. е. сингулярную (гг+1)-цепь в Y, яв-
являющуюся подходящей триангуляцией отображения
призмы А„ X / в Y, задаваемого формулой (Я,, t) ь*
*+F(s(k), t), J,?A,, t^I. При этом формула dk + kd —
— / — S означает, что граница призмы (член dk) состоит
из боковых граней (член М), верхнего g и нижнего /
оснований, взятых с подходящими знаками.
Перейдем к доказательству теоремы. Для этого мы
прежде всего построим для каждого р фиксированную
сингулярную (р + 1)-цепь бР (с целочисленными коэф-
коэффициентами) пространства Лг X /. Вводя в симплексе ДР
координаты {х„, ..., хр), xt>0, 2^= 1> зададим для
каждого I, 0 ^1 ^ р, сингулярный (р + 1)-симплекс
ЬрЛ:
70
ж0, . •., хр+1)
, 2
Заметим, что набор симплексов бР, ((Аз,+1)сг ДРХ / задает
триангуляцию АР X/, рассмотренную в п. 1.5.
Положим теперь
р+1
Для вычисления границы 8Р введем следующие р-цепи в
АРХ1:
е0: Ap->Aj, X /; Ян-»- (К; 0) (нижнее основание),
ех: Ар->-Ар X /; Ян-»- (Я,; 1) (верхнее основание),
6p-i = 2
i X id/) ° &P-i,i (триангуляция г-й
боковой грани), i = 0, . . ., р,
где А *: Др-^-^Др—вложение i-й грани (см. 2.1),
вр
6Р_М: Ap-»-Ap-iX/ определяется аналогично бр>г.
Мы оставляем читателю проверку следующей фор-
формулы:
dSp = - S (- 1){ б^! + ег - е0. C)
г=0
Эту проверку легко провести, вычислив коэффициенты
в левой и правой частях для каждого из сингулярных
р-симплексов, входящих в d$Pf ( для какого-нибудь I. Со-
Соответствующая картинка для р = 1 приведена ниже
Построим теперь кп: С%Пё(Х, А) —>¦ С„+i Eх, А), задавая
его на каждом n-симплексе в X и продолжая да-
далее по линейности. Пусть й: А„ ->- X — сингулярный симп-
симплекс в Z. Тогда kn(h)— это следующая сингулярная
(п+ 1)-цепь в У:
П+1
^n (h) =?j(-l)lFo(hX idj) - б„,,.
г
Равенство A) можно проверить отдельно для каждого
сипгулярного га-симплекса в X; в этом случае оно легко
следует из B) и C).
71

Случай когомологий де Рама. Пусть F: ХХ/->У—
гладкая гомотопия, F(x, 0) = ф(ж), F(x, i)-ty(x).
Нам нужно построить отображения kn: Й"(У)->-
->- Qn-i(X) такие, что для любой формы со ^ й"G) имеем
dkna + kn+lda = i|5* (со) - ср* (со).
Построение кп мы будем вести, используя локальные ко-
координаты х\ ..., хп на X. Читатель может проверить, что
все конструкции инвариантны относительно замены ко-
координат и, значит, определены глобально на X.
Пусть a^un{Y). Тогда F*(<a)^Qn(XXI). Запишем
F*((x>) в виде
F* (со) = сох + со2Д<Й,
где гс-форма coj и («—1)-форма со2 локально имеют вид
Положим
2 f
\J\=n-i
1
*) = jp
0
|JI=n-l
Проверим, что А;" удовлетворяют нужным условиям. За-
Заметим прежде всего, что ввиду равенств F(x, 0) = ц>(х),
F(x, l) = ty{x) имеем
* И при г =" °'
Вспоминая выражение для дифференциала в локальных
координатах, имеем
dknti> = (—
Г. D)
|J|=n-l i
Далее, F* (dco) = eiF* (со) = Aox + c/co2 Д Л ~ сох + щ /\ dt,
где
I=n-i t
E)
72
Вычисляя теперь kn+l du>, мы видим, что выражение, по-
полученное из второй суммы в E), отличается от D) лишь
знаком. Поэтому
(со) - Ф* (со). В
14. Доказательство следствия. Следствие вы-
вытекает из теоремы, поскольку
Hfng ({точка}, А)=А,
Hfng ({точка}, А) = 0 при i > О
(см. задачу 7.1д). ¦
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Вырожденные цепи. Пусть С — симплициальпая абелева
группа (см. п. 2) и С = (С„, dn) — комплекс из п. 3. Положим
гомотопически три-
i=0
а) Доказать, что dn(Dn) czDn+\.
б) Доказать, что комплекс D = (Z>n, d
вналгп. Поэтому имеют место изоморфизмы
Ht (С) ~Щ(С/5).
в) Пусть X— симшпщиалытое множество, si- — гомологическая
система коэффициентов. Проверить; что Сп(Х, -я?) с естественны-
естественными операциями (продолженными по линейности) образуют симп-
лициальную абелеву группу.
г) Пусть X — такое симплициальное множество, у которого
грани невырожденных симплексов невырождены (т. е. отвечающее
триангулированному пространству: см. п. 2.7). Тогда в Ct(X, ^)
имеется подкомплекс Nt(X, s&), состоящий из линейных комбина-
комбинаций невырождегшых симплексов. Доказать, что вложение Ni-*Ci
индуцирует изоморфизм
д) Размерность dim X симплициального множества X — это на-
наибольшее и, для которого в X существуют невырожденные ге-сим-
плексьг. Докажите, что для любой гомологической системы коэф-
коэффициентов si на X имеем Hi(X, si-) = 0 при i > dimZ.
2. Связь между гомотопиями отображений топологических про-
пространств, симплициальных множеств, комплексов. К настоящему
времени у пас ость три понятия гомотетии: гомотопия непрерыв-
73

ных отображений топологических пространств ф, -ф; Х->7; гомо-
топия отображений симплициальных множеств ф., '•p.: X.-+Y,
(см. задачу 3.1), гомотопия морфизмов комплексов (см. и. 7.9).
Докажите, что если <р, i|5: X-+Y гомотопны, то соответствующие
отображения симплициальных множеств sing(qj), sing(ip):
sing(^L)->-sing(lr) (см. 2.4) также гомотопны. Докажите, что если
отображения симплициальных множеств ф., i|>.: Хш ->Y% гомотоп-
пы, то морфизмы комалексов С(ф.), С(тр,): C.(Xt, ^4)->-С. (У,, А)
(для любой группы коэффициентов .А) гомотопны. Указа-
Указание. Повторить доказательство теоремы На.
3. Когомологии Хохшильда. Пусть к — коммутативное кольцо
с единицей, А — некоторая /с-алгебра, М — Л-бимодуль. Докажите,
что формулы
Сп (А, М) =М ® А®п (тензорное произведение над к),
d (т ® а± (g) ... ® on) = ma1 <g) а^ ® .. . (g) an -\-
п—1
i
задают цепной комплекс. Его гомологии называются гомологиями
Хохшильда алгебры А с коэффициентами в бимодуле М и обозна-
обозначаются Нп(А, М).
Аналогично, ко гомологиями Хохшильда Пп(А, М) алгебры А
с коэффициентами в М называются когомологии коцемшого комп-
комплекса С (А, М), где
Сп {А, М) = Homh (A®n, M),
df (av ..., ап+1) = axt {av ..., ап+1) +
+ (-1)"+1/К, ..-«„) °п + Г
Вычислите Яге(А, Л) и Я"D, Л*) (где 4* = Нопи(Л, к)).
4. Циклические гомологии алгебр. Положим в конструкциях
предыдущей задачи к zd Q, M = А. Зададим на членах комплекса
С.(А, А) циклическую перестановку, полагая
t(a0 ® . .. ® а») = (—1)"ап ® а0 ® . .. <Э ап-ь
Доканштс, что образ 1 —t ость подкомплекс С (А, А). (Точнее, до-
кажите, что d(i— t) = {1 —t)d', где d' (a^(g) ... <g> en) =
n—i
= ^ (— 1)г a (g) ... (g) aiai+i ® • ¦ ¦ ® яп.) Циклические гомологии
г=о
Я^ D) алгебры А определяются как гомологии комплекса
74
• = dmodlm(l —
Аналогично, циклические когомологии Н^ (Л) определяются как
когомологии подкомплекса С% (А) с: Сп (А, А*), состоящего из
t-инвариантных коцепей.
5. Комплекс Кошуля. Пусть А — кольцо (не обязательно комму-
коммутативное), М — ,4-модуль (скажем, левый), фЬ ... фР — семейство
попарно коммутирующих морфизмов М в себя (как .А-модуля).
Комплекс Кошуля
отвечающий (М, ф], ..., <рр), строится так:
Докажите (ипдукцией по р) следующие утверждения:
а) Пусть для каждого j, 1^/^^, ф,,- сюръективен как авто-
автоморфизм подмодуля Кег ф, fl ... A Кег ф^_х cz M. Тогда
Ю {JC) = 0 при ] ф 0 и №{Ж) = Кег ф, П • - ¦ П Кег фР.
б) Пусть для каждого ;, 1 < / ^ р, <р^ инъективен как авто-
автоморфизм фактормодуля Л//Aт ф1 + ... + 1т ф,--|). Тогда НЦЛ) =
= 0 при / ф р, Нр (Л) = М/Aт ф! + • • • + 1т фр).
При выполнении условий из а) или б) последовательность
(ерь ..., фр) называется регулярной. Часто встречающийся случай:
кольцо А коммутативно, автоморфизм ф^-, 1 г^; ^ р, задается ум-
умножением па элемент а, е А.

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КАТЕГОРИЙ
§ 1. Язык категорий и функторов
1. Определение. Категория ff состоит из следую-
следующих данных.
а) Класс ОЪ^, элементы которого называются объ-
объектами.
б) Набор множеств Hom(X, У) по одному для каж-
каждой упорядоченной пары объектов X, У е ОЬ Ф, элементы
которых называются морфизмами (из X в У) и обозна-
обозначаются ф: X ->- У.
в) Набор отображений
Hom(Z, У) X Нот (У, Z)-*Hom(X, Z)
по одному для каждой упорядоченной тройки объектов
X, У, Z. Паре ср: X -+¦ У, -ф: У -*¦ Z такое отображение
ставит в соответствие морфизм, обозначаемый т|э ° ф или
я|)ф: I-+Z и называемый композицией ф и ф.
Эти данные должны удовлетворять следующим ак-
аксиомам
A. По каждому морфизму ф однозначно определяют-
определяются такие X, У е Ob W, что ф е Нот (X, У). Иными сло-
словами, множества Нот(Х, У) попарно не пересекаются.
Б. Для каждого объекта Х^ОЪЧ? существует тож-
тождественный морфизм, обозначаемый \АХ: X -*- X и одно-
однозначно определяемый тем свойством, что id* ° ц> = ф,
1|з »id* = я|) всякий раз, когда эти композиции определены.
B. Композиция морфизмов ассоциативна:
для любых ф: X -> У, 1|э: У -> Z, %: Z -> С/. ¦
2. Об обозначениях. Вместо X е Ob ? мы будем так-
также писать Хе^, а вместо Нот(X, Y) — Нот^ (X, Y)
или "g? (X, У). Если ф «s Нот (X, У), морфизм ф может
76
называться стрелкой с началом X и концом У. Класс
| | Нот(Х, У) ипогда обозначается Мог Ч?.
В определении категории заложена операция только
над морфизмами, а не над объектами. Простейшее кон-
конкретное высказывание о категории состоит в утвержде-
утверждении, что некоторая композиция морфизмов равна неко-
некоторой другой композиции, скажем г1)ф = ф'г|)'. Вместо та-
такого тождества удобно говорить, что диаграмма
и—> z
коммутативна.
3. Категория множеств и множеств со структурой.
Значительную часть своего рабочего времени математик
проводит в категории SPet «всех» множеств и «всех»
отображений между ними. Композиция морфизмов — это
композиция отображений; тождественные морфизмы —
тождественные отображения. В стандартной аксиомати-
аксиоматике, скажем, Цермело — Френкеля, все множества образу-
образуют класс, но не множество, и ряд операций с ним запре-
запрещены. Поэтому такое наивное определение ff'et сделает
невозможным ряд категорных конструкций, о которых бу-
будет речь далее. Выход из этой ситуации — ввести «уни-
«универсум», большое множество множеств, стабильное отно-
относительно всех операций, какие могут понадобиться, после
чего рассматривать лишь категории, принадлежащие это-
этому универсуму. Впредь мы будем считать, что при же-
желании необходимые правила гигиены можно соблюсти.
Важный класс категорий составляют множества, снаб-
снабженные дополнительной структурой, с отображениями,
которые с этой структурой согласованы. Примеры:
Э~ор: категория топологических пространств и непре-
непрерывных отображений между ними;
SDiff: категория бесконечно дифференцируемых мно-
многообразий и гладких отображений между ними;
s&b: категория абелевых групп и их гомоморфизмов;
Л-mod: категория левых модулей над фиксированным
кольцом А и их гомоморфизмов;
$г: категория групп и их гомоморфизмов.
4. Примеры категорий из главы I.
а) Категория Д:
ОЬД = {[и]1п = 0, 1, 2, ...},
77

Д([те], [«]) = множество неубывающих отображений
{О, ..., т) в {0, ,,., га}.
б) Категория симплициальных множеств Aa97et:
Ob buffet = (симплициальные множества) (см. 1.2.1),
Нот (X., Y.) — {симплициальные отображения X. в У.}
(см. 1.2.16).
в) Категория симплициальных топологических прост-
пространств Ь?3~ор:
Ob А°?Гор = {симплициальные топологические
пространства) (см. 1.3.2),
Нот.(X., Y.) = {наборы непрерывных отображений
Ф = {ф„), фт.: Хп -*¦ У„, для которых
У(/)фэт = фтХ(/) для любого неубываю-
неубывающего /: [яг] ->- [п]}.
г) Категория симплициальных объектов Д0^, где
ЯЗ — абстрактная категория. Читателю предлагается опре-
определить ее самостоятельно, по аналогии с б) ив).
д) Категория комплексов абелевых групп Kom(!^fc):
Ob Кот (чЯ^Ь) = {коцепные комплексы С абелевых групп)
(см. 1.4.3),
Нот(/?', С') =¦ {морфизмы комплексов В"-> С] (см. 1.5.5).
5. Еще примеры категорий. В следующей группе при-
примеров объектами по-прежнему (как и в примерах из
п. 3) являются множества, снабженные некоторой струк-
структурой, однако морфизмы задаются по-другому.
а) Категория ?Гор h:
Ob STop h = Ob ?Гор = {топологические пространства),
Hom^r (Х,У) = (множество гомотопических классов непре-
непрерывных отображений X в У}.
Категория STop h — основная категория гомотопиче-
гомотопической топологии.
б) Категория отношений Я,е1:
Ob 0lel = OhSPet — {множества в данном универсуме),
Нот^ДХ, У) — {подмножества прямого произведения
XX У}.
Композиция фгХ-^Уич!?: У-»-Z определяется так:
t" ф - - {(.г, г)еХ X Z\ существует уеУ, для которого
< ) ( )}
78
Тождественный морфизм задается диагональю в прямом
произведении:
id {0 )|l)
в) Категория аддитивных отношений
ОЪ&е1зФЪ = ОЪзФЪ = {абелевы группы),
Нот(Х, У) = {множество подгрупп в XX У).
Композиция морфизмов и тождественный морфизм опре-
определяются, как и в б).
Третью группу примеров составляют некоторые клас-
классические виды структур, которые удобно рассматривать
как категории.
г) Категория частично упорядоченного множества.
Пусть / — частично упорядоченное множество. Зада-
Зададим категорию 'ff(I) так:
ОЬ «?(/) = /,
Нот (г, /) состоит из одного элемента, если ?</, пусто
в противном случае.
Композиция морфизмов и тождественный морфизм опре-
определяются единственно возможным способом.
Важным частным случаем *^(/) является описывае-
описываемая ниже
д) Категория ?Гор X. Пусть X — топологическое про-
пространство. Положим
ОЬ 3~ор X = {открытые подмножества X),
llom(U, V) = естественное вложение С/-»- V, если U<=V;
пусто, если U Ф F.
Введем теперь второе важнейшее понятие теории ка-
категорий.
6. Определение. Функтор F из категории *& со
значениями в категории 3) (обозначение F: ff ->- St>) со-
состоит из следующих данных:
а) Отображение ОЪЪ-+ОЪ@: X**F(X).
б) Отображение Mor^ -> MorS): (p*-*-F(y) такое,
что ф: Х-»- У переходит в F(<p): F(X)^-F(Y).
Эти данные должны быть подчинены следующему
условию:
= F(ф)FИ>) для всех ф, -ф
для которых фг|) определен. (В частности, F(idx) —
id)
79

7. Примеры функторов из главы I.
а) Геометрическая реализация:
1-1: M'9'et-^Top.
Значение этого функтора на объектах b^SPet определено
в 1.2.2, а иа морфизмах — в 1.2.16. Условие l/gl = I/I \g\
очевидно.
б) Сингулярное симплициалыюе множество:
Sing: Top + b?&et.
Значения этого функтора на объектах определено в 1.2.4:
(Sing Y) п = множество сингулярных гс-симплексов У,
(8щгУ)(/)(ф) = ф°Д,, где /: [т]-+[п], Д,: Дт-»-Д„.
Значение Sing на морфизме (непрерывном отображении)
a: Y -*- У определяется с помощью композиции: Sing (а)
переводит сингулярный симплекс ф: Д„ ->- Y в сингуляр-
сингулярный симплекс а»ф: Д„ -*¦ У. Остальные подробности
предоставляем читателю.
На этом примере удобно сравнить достоинства и не-
недостатки двух способов записи: тождеств между морфиз-
мами и коммутативных диаграмм.
в) п-я группа когомологий:
Я": ЖотЫ<Ъ-+Ы<Ъ.
Значения Яп на объектах ЖотЫ-Ь определены в 1.4.10,
а на морфизмах — в 1.5.5.
г) Классифицирующее пространство:
В: &r-*k°9>et.
Определение BG дано в 1.2.8. Остальные подробности
предоставляются читателю.
д) n-скелет. Отображение X.i-»-sknX., сопоставля-
сопоставляющее симплициальному множеству X его n-скелет, задает
функтор skn: №SPet -*¦ b?SPet. Описание действия skn па
морфизмах и проверка свойств оставляются читателю.
8. Замечания, а) Понятие функтора возникло как
формализация того, что в старину называли «естествен-
«естественными конструкциями», и примеры из п. 7 дают образцы
таких конструкций. В п. 9 мы дадим другие примеры
функторов. Совершенно особую роль играет функтор,
определенный для любой категории *& и объекта lef,
h'x: W->?>et:
h'x (Y) = Hom^ (X, Y),
^x (/) (<p) = / • Ф, где Ф е- Нот (X, Y), /: Y-+Y'.
Мы вернемся к нему ниже, в § 3.
но
б) Те функторы F: 9? -*¦ St), которые мы определили
в п. 6, иногда называют ко вариантными функторами и оп-
определяют контравариантный функтор G как пару ото-
отображений G: ОЬФ ->- ОЬЗ), Мог'?' -*¦ Моги) с условием,
что G переводит <р: X ->¦ F в б(ф): ф G)-»-<р (Z) и
б(<рт|з)= СA|з)С(ф). Сейчас общепринято относить это
«обращение стрелок» к исходной категории *&.
Формально, определим двойственную категорию ^°
следующим образом: Ob'S70 = Ob97 (но lef как объект
^° будем обозначать X"); Нош^с(Х°, У0) = Нот^ (У, X)
(морфизму ф: Y -*¦ X отвечает ф°: Х° -+¦ У0); наконец,
ФУ(Ф1)§ id (id)«
У(Ф1), x (x)
«Контравариантный» функтор *& -*¦ SD определяется
после этого как (ковариантный) функтор G: 'S70 -> 2D.
Пример: Нот^ как функтор от первого аргумента:
1гх: <
-> 9>et, hx (Y) = Honig, (У, X),
М/)(ф) = ф°/, где феНотG,Х), /: У - Y.
Мы вернемся к этому функтору в § 3.
Обозначение A°9°et, введенное в п. 4 б), напоминает
о том, что каждое симплициальное множество -X". можно
рассматривать как функтор X,: tSP^t
Х.([п\) = Хп, Х.(/)
в) Функтор Homg> естественно рассматривать как за-
зависящий одновременно от двух аргументов. Вместо того
чтобы формально вводить соответствующее определение,
сейчас принято пользоваться конструкцией прямого про-
произведения категорий.
Пусть, скажем, <& и (&' — две категории. Положим
0Ь(СХС")=0Ь«?Х0Ь9",
(Y, У'))= Homy(X, Y) X
Нетрудно проверить, что *& X (@" образует категорию.
Аналогично определяется произведение любого семейства
категорий Tl&i- Функтор от нескольких аргументов, по
i?I
определению, есть функтор на соответствующем произве-
произведении категорий. Нам уже встречались два примера:
81
6 с. И. Гельфапд, Ю. И. Мании, т, 1

бисимшшциальное множество X.. (определение в 1.3.3):
X..: Д°х №-
г) Теоретико-множественная композиция функторов
*& -*~ 3)-*~ ё> есть функтор 'S7-*- <B'. Тождественное ото-
отображение Idcg,: Ob *& ->- Ob W, Мог ^ -*¦ Мог W есть функ-
функтор. Это позволяет рассматривать любое множество ка-
категорий как категорию с функторами в качестве мор-
физмов.
9. Еще примеры функторов.
а) Предпучок множеств (абелевых групп, ,..) на то-
топологическом пространстве X есть функтор
TopX-^SPet
...)
(категория Тор X определена в п. 5).
б) Пусть /—частично упорядоченное множество,
<&(/)—соответствующая категория, определенная в п. 5.
Функтор G: 'e'(I)-^ s4b состоит из семейства абелевых
групп (G(i)\i<^I) и отображений gti: G(i)-+ G(j), по од-
одному для каждой пары i ^ /, таких, что если i < / ^ к,
то gik" git — gik, gn = idG(i). Такие семейства обычно воз-
возникают в качестве сырья для взятия проективных и
индуктивных пределов.
в) Функторы забвения. Большой класс тривиальных
примеров функторов получается так: нужно перестать
учитывать одну или несколько структур, имеющихся на
объекте исходной категории. Так получаются функторы
«множество элементов»:
Top, 3>iff,
а также функторы
-Top, Л-mod-^ s4b.
Последнее определение этого параграфа — морфизмы
функторов (их называли также «естественными преоб-
преобразованиями естественных конструкций).
10. Определение. Пусть F, G — два функтора из
'S7 в 3). Функториый морфизм F в G (запись /: F -*¦ G)
состоит из семейства морфизмов
82
по одному для каждого объекта X е Ob <ё>, которое удов-
удовлетворяет следующему условию:
для всякого морфизма <р: X ->- Y в категории *& диа-
диаграмма
С(Ф)
()(
I I
+ /(Y) I
коммутативна.
Композиция функторных морфизмов определяется
очевидным образом, так же как и тождественный функ-
торный морфизм. В результате функторы Ч? ->¦ 3) ста-
становятся объектами категории, которая обозначается
@~unct($, 2Ь) или как-нибудь еще.
10. Примеры из главы I. а) Если симплициальные
множества X., Y. ^ Д.0P'et рассматривать как функто-
функторы X, Y: А" -*¦ SPet (п. 2 6)), то любое симплициальное
отображение /: X.-+Y. определяет морфизм этих функ-
функторов, и наоборот.
б) Рассмотрим категорию S'xc (exact sequence of
complexes), объектами которой являются точные тройки
S комплексов абелевых групп
(см. 1.5.5), а морфизмами — коммутативные диаграммы
вида
4 4 Ч
A)
где /, g, h — морфизмы комплексов. Фиксируем целое
число п и рассмотрим два функтора:
Определенные в теореме 1.5.7 связывающие гомоморфиз-
гомоморфизмы 6n(S) (там они обозначались бта(Г, р')) составляют
морфизм функторов
бп: F-+G.
В самом деле, нужно проверить, что для каждого
морфизма (/, g, h): S -*¦ 3 в категории <5хс (см. A))
6* 83

диаграмма
коммутативна. Эта проверка, использующая явное по-
построение б"(S), составляет содержание упр. 1.6.1.
11. Несколько определений. В заключение мы введем
еще несколько понятий теории категорий, которые бу-
будут часто встречаться в книге.
Категория ^ называется подкатегорией категории .25,
если
а) ObWczObS);
б) Для каждых X, Y е= ОЪФ имеем
Нот^ (X, У) с Нот^ (X, Y);
в) Композиция морфизмов в *<Р совпадает с их ком-
композицией как морфизмов в S)\ для X е Ob <6, id* в ^
совпадает с id* в SD.
Подкатегория ЯР <= (?> называется полной, если для
любых I, Уе Ob *$ имеем
Homg, (X, Y) = Нош^(Х, Y).
Функтор F: Ч? ->• 3) называется строгим, если для
любых X, Y e Ob 93 отображение
является вложением, и полным, если оно является сторъ-
ективпым.
В частности, вложение полной подкатегории *& -*¦ 3)
является строгим и полным функтором. Обратно, можно
доказать, что всякий строгий и полный функтор полу-
получается таким образом (точное утверждение см. ниже,
упр. 2.1).
Объект а произвольной категории *& называется на-
начальным, если для любого X ^ Ob *& множество
Honx<g> (а, X) состоит из одного элемента. Аналогично,
со е Ob Я? называется конечным объектом, если для лю-
любого X^Ob'S' множество Нот^, (X, со) состоит из од-
одного элемента. Ясно, что как начальпый, так и конеч-
конечный объекты категории Ч? (если они существуют) опре-
определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
84
Пример. В категории 9"et начальным объектом яв-
является пустое множество, а конечным — одноточечное
множество.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Другое определение категории. Рассмотрим класс Мог со сле-
следующими структурами:
а) Отображения а, со: Мог-»-Мог,
б) Закон композиции Мог X Мог-»- Мог, (g, f) >-*¦ g° f, опреде-
определенный для таких пар, что со(/) = a(g-).
Пусть они удовлетворяют аксиомам
в) <и2 = to, a2 = а, а>а = а, ага = ю;
г) a(gcf) = a(/), co(g°/) = a(g);
д) ha{gof) = (hog)oj;
е) если / = а(/) = ш(/), то /eg = g и g°f = g, когда эти
произведения определены.
Показать, что это определение категории яквивалептпо обыч-
обычному в следующем смысле. Пусть W — обычная категория; положим
Мог = Мог <& и «(/: Х->У) =idz, со(/: Х-> У) = idy. Наобо-
Наоборот, проверить, что по Мог иосстанавливастся обычная категория.
2. Поликатегория. Пусть / — непустое множество; удобно пред-
представлять его себе как множество попарно ортогональных паправ-
лений в /-мерном пространстве, /-категорией называется класс Мог
со следующими структурами:
а) Отображения a,, coj: Мог^>- Мог для всех / е /.
б) Законы композиции °: Мог X Мог -> Мог, G о F опредолс-
i i
по, если (Bj(-P) = a}(G).
Эти данные должны удовлетворять следующим аксиомам:
в) Правила коммутации а, ш:
к:
при ;
при / =
— (OjCtj = a,-.
г) Связи между а, со и композицией:
при j Ф к: при j = к:
a (G о /г\ = а (G) о а (/?), а . (G » ^ = a, (F),
3 \ h J 3 h ' J \ j ) '
<о, (G о F) = со. (G) о со. (*¦), (о. (g°F)= @, (G).
д) Ассоциативность:
три морфизма в одном направлении:
ч (г п\ — (ч r\ F F G Н
к[ k J [ к ) к
четыре морфилма в двух направлениях:
85

е) Единицы: Если F = a,(F) = co,(F), то
, ,
i i
когда эти композиции определены. (Заметим, что для любого мор-
физма Н морфизм F = o.j{H) удовлетворяет условиям F = <Xj(F) =
= (?>j(F) и аналогично для F' = со^(Я); см. в).)
Элементы Мог, естественно, называются (поли)морфизмами.
Главная задача, относящаяся к этому определению — это лем-
лемма О многомерной ассоциативности: умножение любого количества
морфизмов в любом порядке приводит к одному и тому же
результату.
Более точно, пусть /ь ..., ]п е /—конечное подмножество,
U Ф ]ь при а ф Ъ. Пусть mr ^ 1, г = 1, ..., п — целые числа.
Пусть для любого набора целых чисел (х\, ..., хп), 1 ^ хт =sj mr,
задан F(x\, ..., хп) е Мог, причем
для г = 1, ..., п, 1 ^ Хг ^ гпт — 1. Назовем такое семейство мор-
морфизмов компонуемым. Доказать, что:
а) Можно определить ° F {х) по всем х, пользуясь лишь no-
nose
парными умножениями.
б) Результат не зависит от порядка применения попарных ум-
умножений.
Каждый способ вычисления ° F (?) есть нечто вроде «мпого-
х
мерной расстановки скобок в параллелепипеде т, X • • • X тт».
Сколькими способами можпо их расставить? (для п = 1 ответ на-
называется mi-м числом Каталана).
3. Категория категорий как {1, 2}-категория. Пусть 92 — кате-
категория, объекты которой суть такие категории Ф, что Ob.® — мно-
множества, а морфизмы — функторы между ними. Положим
Мог=
Y e Ob Щ
и далее:
a, (F, f) = (Id,m4anoF, /), wiiF, f) = (IdKO1,04F, /''(/)),
n2(F, j) = (F, idm4aiI0t), co2(F, /) = (F, 1с1«онец/),
(G, g = F(f))°(F,f) = (G*F, /),
l
(F, g)o(F, f) = {F, g°/).
2
Проверьте аксиомы упр. 2.
4. Упорядоченные множества как категории. Пусть Р, Р'—
два частично упорядоченных множества, Ч?', 42' — соответствующие
категории (см. п. 5г)).
а) Докажите, что функторы F: <S -> W отвечают неубывающим
отображениям /: P-vP' (т. е. р{ s^p2^-f(pi) </(P2)).
б) Докажите, что если Fh F2: '&-*¦'&' — два функтора,
то морфизм F\ -*¦ F2 и притом ровпо один, существует
в том и только том случае, если соответствующие отображения
/ь /2: Р-*-Р' удовлетворяют условию fi{p) ^ /2(р) для всех р <= Р.
В нескольких следующих упражнениях мы опишем ряд ка-
категорий, объектами которых служат конечные множества. Прежде
86
всего упомяпем категорию SF3>et всех конечных множеств и всех
отображений. Другим, более интересным примером является
симплицртальная категория Д (см. п. 4а)).
5. Категория 2. Объектами S служат множества [п] = {0,... га}
для всех н ^ 0. Для [т], ,[п] i= Ob2 положим
Horns ([m], [re]) = множество пар ср = </, а), где
/: [7»]-»-[га], а — полное упорядочение
каждого множества f~l(i), ie [иЦ.
Композиция: Пусть ф— </, о>
е Нот2([га], ,[^]). Положим г]> о
Homs( [т], [и]), aj) = <^, т> s
= <^ о /, р>, где
i <. j в смысле р, если /(?) =И= /(/) и f(i) < /(/), в смысле т, или
/(') = /(/)> г < / в смысле о.
Докажите, что 2 — категория (т. е. ассоциативность композиции и
существование единичного морфизма),
6. Циклическая категория Л. а) Зададим на множестве [п]
стандартный циклический порядок 0<l<2<;...<;rc<0
(удобно представлять себе [п] как подмножество окружности S1 =»
= {г е С, |z| = 1}, отождествляя ie [n] с корнем из единицы
e2xik/{n+iiy Категория Л определяется как подкатегория 2:
Ob Л = Ob 2,
НотЛ([лг], [«]) состоит из тех ф = </, с>, что циклический по-
порядок на [»г], индуцированный стандартным циклическим поряд-
порядком на [п] и упорядочением с, совпадает со стандартным поряд-
порядком на [т].
Докажите, что Л — категория. Докажите, что для существова-
существования при данном /: [т] ->• [и] хотя бы одной пары </, a> e
eHomA(![m], [п]) необходимо и достаточно, чтобы / было цикли-
циклически неубывающим: из условия i :^C / =^J Л; =^J t в \т] следует, что
/@ ^/0) =S/W ^/@ в [«]¦ При этом о однозначно определя-
определяется по / для непостоянного /, а если / постоянно, то а можно
выбрать п -j- 1 способами.
б) Другие определения Л. Проверьте, что Л можно опреде-
определить еще двумя способами:
(i) HomA([w], ["]) = множество гомотопических классов не-
непрерывных циклически неубывающих отображений F: S1 -*¦ S\ для
которых F([»i]) с: [п]. (Рассматриваются гомотопии лишь в клас-
классе таких отображений.)
(ii) Морфизмы в Л задаются образующими
т„: [п]
и соотношениями
li—l
при I < /,
при i < /,
= | id
[n_,]
при i = /, / +1,
87

(Связь с определением из б): [дгп пропускает значение t, аяп дваж-
дважды принимает значение i, xn(j) — / + 1, tn{n) = 0. Упорядочении
на прообразах следует дополнительно указать лишь для o<J: это
0< 1.)
в) Автодуалъностъ Л. Сопоставим морфизму ф = </, а>: [т] ->•
->¦ [п] в Л морфизм ф* = <^, т>: ,[ге] ->¦ [те] в Л, полагая
g(i) = а — минимальный элемент в /"'(/), где i — максимальный
в смысле стандартного циклического упорядочения в [п]
элемент из f([m]), меньший или равный i.
Порядок т нужно определить лишь в случае, когда и постоянно;
это происходит в точности, когда / постоянно, и х определяется
тем, что f([m]), есть т-наименыпий элемент в [п]. Докажите, что
отображения [п] ь* [и], q>i- ф*, определяют функтор из Л в двойст-
двойственную категорию Л°, задающий эквивалентность *: Л-»-Ло.
г) Докажите, что симшшциальная категория Д (см. 4а)) явля-
является подкатегорией Л.
д) Аналогично тому, как но симплициалыюй категории Д оп-
определяются симплициальные множества (функторы: A"-^9'et) и
вообще симплициальные объекты любой категории 'й3 (функторы
Д0-*-?7), можно определить циклические объекты как функторы
Л° -*¦ &. Циклические объекты лежат в основе определения цик-
циклических гомологии и когомологий (см. упр. 1.7.4).
§ 2. Категории и структуры.
Эквивалентность категорий
1. Изоморфизм. Многие математические задачи — это
задачи классификации: простых групп, особенностей и
т. п. Ближайшие два параграфа посвящены категорным
аспектам этих задач. Классификация — это обычно клас-
классификация с точностью до изоморфизма.
2. Определение, а) Морфизм <р: X-*¦ Y в кате-
категории 'F называется изоморфизмом, если существует та-
такой морфизм я|з: Y -*¦ X, что ifxp = id*, фгр = idr.
б) Объекты X, Y в категории %? называются изоморф-
изоморфными, если между ними существует хотя бы один изо-
изоморфизм. ¦
Читатель легко проверит, что отношение «быть изо-
изоморфным» является отношением эквивалентности в Ob1!?.
Морфизмы ф, -ф: X -> Y со свойствами, указанными в
определении, называются взаимно обратными. Каждый
88
изоморфизм однозначно определяет обратный к нему
изоморфизм.
Если применить это определение к категории функ-
функторов fFunct^, 3)) (см. п. 1.10), получится важное
понятие изоморфизма функторов. Именно, изоморфизм
между функторами F: <& -+3) и G: Ч? ^-ЗУ — это мор-
морфизм функторов *р: F -»¦ G, для которого есть обратный
морфизм -ф: G -*¦ F, ijxp = id*-, ф-vp = idG.
Читатель легко проверит, что в этом определении
существование обратного морфизма функторов -ф: G -*¦ F
можно заменить более естественным условием: для каж-
каждого ZeOb'g' морфизм ц,(Х): F{X)-+ G{X) является
изоморфизмом.
Приведем содержательный пример изоморфизма
функторов: «двойная дуализация».
3. Пример. Пусть к — поле, Tectk — категория ли-
линейных пространств над к с линейными отображениями
в качестве морфизмов, Yect{— ее полная подкатегория
конечномерных линейных пространств. Рассмотрим функ-
функтор сопряжения
который на объектах задается формулой
* (L) = Honyecf (L, к) = пространство линейных
функционалов на L
ф
и переводит морфизм L-+M в
* (ф): Нот (М, к) -* Нот (L, к)
ш ш
/ /оф
Вместо *(L), *(ф) мы будем, как принято, писать L*
и ф*. То обстоятельство, что * ость контравариантный
функтор, резюмируется единственно важной формулой
г|))
* =
ф*
Кроме того, * (Tect{) a {Tect{)\
Заметим теперь, что * можно рассматривать также
как функтор в противоположную сторону:
*:
(Очень аккуратный читатель отметит, что различие меж-
между этими двумя функторами следовало бы отразить в
89

обозначениях.) Композиция двух реализаций доставляет
функтор
¦**:Tecth-*~yectk.
Этот функтор изоморфен тождественному на подкатего-
подкатегории fectk. Точнее, определен морфизм функторов
который задается отображениями
L -+• L**: I*-*- (I как функционал на пространстве
функционалов).
Хорошо известно, что этот морфизм является изоморфиз-
изоморфизмом при ограничении на Уес1к. Однако он заведомо не
будет изоморфизмом на всем Уесгк. В самом деле, если
L — пространство со счетным бесконечным базисом, то
L* и, тем более L**, имеют континуальный базис.
4. Бесполезное понятие: изоморфизм категории. Если
применять определение 2 к «категории категорий» (см.
п. 1.7 г)), то получится следующее понятие. Изоморфизм
между Ф и 2D задается парой функторов F, G с FG =
= Id^), GF = Id<g,. Это понятие, возможно, вопреки ожи-
ожиданиям, мало полезно, потому что требование FG = Id^j
нереалистично. Обычно, применяя к объекту две есте-
естественные конструкции, мы приходим в лучшем случае
к объекту, который канонически изоморфен исходному,
а не совпадает с ним. Двойная дуализация доставляет
пример этому. Рабочее понятие зафиксировано в следу-
следующем определении.
5. Определение, а) Функтор F: 93 ->¦ 2Е> называ-
называется эквивалентностью категорий, если существует такой
функтор G: &)-*¦*&, что функтор GF изоморфен Idg^
a FG изоморфен Id^.
б) Категории W, 3) называются эквивалентными, ес-
если существует функтор, осуществляющий их эквивалент-
эквивалентность. ¦
Функтор G из а) иногда называется квазиобратным
к функтору F.
6. Пример. Пусть Tectl — категория n-мерных век-
векторных пространств над полем к; Т\ — категория с
одним объектом кп и линейными отображениями в ка-
качестве морфизмов. Имеется очевидный функтор вложе-
вложения Уь—ь-Уесгъ., который является эквивалентностью
категорий.
90
Этот пример типичен: а) эквивалентные категории
имеют «одинаковые» классы изоморфизма объектов и
«одинаковые» морфизмы между этими классами; б) по-
построение функторов, обратных к эквивалентности, часто
неоднозначно и требует аксиомы выбора: в данном при-
примере следует выбрать базисы во всех n-мерных про-
пространствах.
Формально при установлении того, что некоторый за-
заданный функтор является эквивалентностью категорий,
бывает удобно пользоваться следующим простым ре-
результатом.
7. Теорема. Функтор F: W -*- SD является эквива-
эквивалентностью категорий, если и только если
а) F — строгий и полный функтор,
б) каждый Y ^ Ob 2t> изоморфен объекту вида F(X)
для некоторого ХеОЬ?.
Доказательство. Необходимость. Пусть
F — эквивалентность категорий и G: 2) -*- Ч? — квазиоб-
квазиобратный функтор. Пусть
/(X): GF(X)-+X, XeOb'g',
g{Y): FG(Y)^Y, Y<=Ob2>
— изоморфизмы функторов /: GF—>-Id<g>, g: FG-+ Id^5.
Докажем выполнение условий а) и б). Прежде всего,
объект YeObiZ) изоморфен объекту F(X), где Х =
= G(Y)eOb'i?, откуда следует б). Далее, для каждого
ср: Нот^ (X, X') имеем коммутативную диаграмму
GF(X) ^Х
GFW Ф
\ g(X') {
GF (X') * X'
Поэтому ф восстанавливается по ^(ф) формулой
<i> = g(X')°GF((p)°(g(X))-1, A)
так что F — строгий функтор. Аналогично доказывается,
что G — строгий функтор. Для доказательства полноты
F рассмотрим произвольный морфизм ч|з е Hom^ (F (X),
F (X1)) и положим ф = g(X') с G (ф) о (g (X))-1eHomcg>(X, X').
Тогда (см. A)) ф = ^(Х')°С^(ф)о(^(Х))-1, и посколь-
поскольку g{x), g{X')— изоморфизмы, G(\|))= GF((f). Так как
G — строгий функтор, г|) = /('(ф), т. е. F — полный
функтор.
91

Достаточность. Пусть выполнены условия а) и
б). Для каждого Уе ОЪ 3!) зафиксируем XY е= ОЬ Ч? и изо-
изоморфизм g(Y): F{XT)-*Y. Построим функтор G: SD -*¦
-*• <ё!, квазиобратный F, полагая на объектах GY = XY
для У е Ob SD. Далее, зададим G на морфизмах, переводя
реН(Г, Г) в
g (Г)
g (Г)
(ГО (У), ГО (У)) =
(последнее равенство есть условие а)). Легко проверить,
что G — функтор, a g = {g(Y)}: FG-+ Ыф — изомор-
изоморфизм функторов. Далее, g(F(X)): FGF(X)-*- F(X) —
изоморфизм. Поэтому, ввиду a), g(F(X)) = F(f(X)) для
единственного изоморфизма j(X): GF(X)-*-X. Неслож-
Несложно проверить, что / = {/(Х)}: GF->ld<g— изоморфизм
функторов, так что G квазиобратен. ¦
Содержательную теорему об эквивалентности кате-
категорий часто можно представлять себе как вскрытие двух
дополнительных способов описания одного и того же
математического объекта. Попытаемся проиллюстриро-
проиллюстрировать это на примере нескольких классических небольших
теорий, содержание каждой из которых можно резюми-
резюмировать в виде теоремы эквивалентности.
8. Теория Галуа. Пусть А; — некоторое поле, для уп-
упрощения формулировок характеристики нуль. Обозначим
через G группу Галуа алгебраического замыкания к/к
с топологией Крулля. Значительную часть теории Галуа
можно резюмировать в следующем высказывании.
Двойственная категория конечномерных коммутатив-
коммутативных полупростых k-алгебр (k-A]g)° эквивалентна кате-
категории конечных топологических G-множеств G-SPet.
Приведем некоторые пояснения.
а) Конечномерная коммутативная fr-алгебра L полу-
полупроста, если она не содержит нильпотентов (кроме ну-
нуля) . Любая такая алгебра изоморфна прямой сумме ко-
конечных алгебраических расширений ф Кг поля к.
б) Топология Крулля па G определяется так: базис
окрестности единицы в ней составляют подгруппы Gr =
— {g e & | Vх е К, g (х) = х}, где jionH К пробегают ко-
конечные расширения к, лежащие в к.
в) Конечное топологическое G-множество — это ко-
конечное G-множество S с дискретной топологией, для
которого действие G X S ->¦ S непрерывно.
92
г) Функтор F: G-9>et -> (fc-Alg)°, осуществляющий
эквивалентность, строится следующим образом:
F(iS')=MapoE, к) = алгебра G-эквивариантных функций
на S со значениями в к: f{gs) =
) Для всех S^G, s^S.
На морфизмах ф: Т ->- S функтор действует естественно:
F(q>) переводит функцию / на S в функцию / ° <р на Т.
Алгебра F(S), очевидно, не содержит нильпотентов. Она
конечномерна над к, ибо пересечение стабилизаторов
Н = {g e G | Vs e S, gs = s} открыто в G и поэтому по-
поле кн имеет конечную степень над к, а все значения
оквивариантных функций на iS лежат в нем.
Довольно очевидно, что F переводит несвязные объ-
объединения в прямые суммы. Если S — неприводимое
G-множество (состоящее из одной орбиты), то ft-алгебра
F(S) изоморфна полю к", где Н = Н, — стабилизатор
любой точки s e S. Отсюда следует, что любой объект
k-Alg изоморфен объекту вида F(S). Мы опустим объ-
объяснения по поводу строгости и полноты функтора F,
которые требовали бы воспроизведения значительной ча-
части теории Галуа. В этих проверках удобно пользовать-
пользоваться (квази) обратным функтором
F': (fc-Alg)°->- G-9"et,
F'(L)=Bomk-Ale(L,k),
с действием g: к -*¦ к, определяемым как композиция
_ е -
Ь->к-+к. Значение F' на морфизмах также определя-
определяется с помощью композиции.
9. Теория фундаментальной группы Пуанкаре. Пусть
X — линейно связное хаусдорфово топологическое про-
пространство с отмеченной точкой х0 'G X. Назовем накры-
накрытием X морфизм р: Y -»¦ X, где Y хаусдорфово, удовлет-
удовлетворяющий двум условиям:
а) р — локальный гомеоморфизм: у каждой точки Y
есть окрестность, которую р гомеоморфно отображает на
свой образ.
б) р удовлетворяет условию подъема путей: для лю-
любого отображения g: [О, 1] -> X с g@) = x0 и любой точ-
точки у о ^ Y с р(уо) = хо существует отображение g: [0, 1]-*-
-»- Y с ^@)= у0 и р о g — g.
93

Морфизмом ф накрытия pt'. Yl -*¦ X в накрытие р2: Y2
-*¦ X назовем коммутативную диаграмму
Таким образом, мы определили категорию накрытий
v
С другой стороны, обозначим через nt(X, x0) группу
гомотопических классов замкнутых путей g: [О, 1] ->- X,
g(®) = 8 A)= х<>1 и пусть Ki-^et — категория левых
nl(X, Хо)-множеств. Теория фундаментальной группы
резюмируется в следующем утверждении.
Категория ^ovx эквивалентна категории ¦n.^-9'et.
Квазиобратные функторы, устанавливающие эквива-
эквивалентность, таковы:
(накрытие Y -> X) >-*- (слой р~1(х0) с
естественным действием ях (X, х0)),
(морфизм накрытий <р) >-*¦ (отображение
слоев р-1(х0)->р-1(х0), индуцирован-
индуцированное ф)
(ях-множество S) ^- X X S,
(морфизм %-множеств)
произведений)
(морфизм
Здесь X — универсальное накрытие: пространство гомо-
гомотопических классов путей с началом х0, X X S — рассло-
енное произведение, т. е. факторпространство прямого
произведения X X S (с дискретной топологией в S) по
соотношению эквивалентности (х, s)~(gx, gs), je
еп,(Х, ха).
10. Теория И. М. Гельфанда. Коммутативная банахо-
банахова алгебра — это коммутативная С-алгебра А с едини-
единицей, в которой введена норма И-II, относительно которой
А является банаховым пространством; предполагается, что
операция умножения в А непрерывна относительно этой
нормы. Инволюция в А — это антилинейный гомомор-
гомоморфизм *:А-+А, для которого (ж*)* = ж, 1Ы1 = 1Ь*Н,
94
Нжж*11 = Hxll2, a:ei Введем категорию Man:
Ob Man = {коммутативные банаховы кольца с инволю-
инволюцией},
Нот(Л, А') = {гомоморфизмы алгебр <$: А-+А', сохра-
сохраняющие норму и инволюцию).
С другой стороны, обозначим через Жат полную
подкатегорию категории &~ор, состоящую из компактных
хаусдорфовых топологических пространств. Одно из ос-
основных утверждений теории коммутативных нормирован-
нормированных колец можно сформулировать так:
Категории 38ап° и Жат эквивалентны.
F
Квазиобратные функторы Man0 +*. $$aus, устанавлива-
G
ющие эквивалентность, строятся так:
G(X) = кольцо непрерывных комплекснозначных функций
на X с нормой П/Н = max |/(ж) I и инволюцией
Для построения F нужно ввести пространство макси-
максимальных идеалов коммутативного нормированного коль-
кольца А. Идеал тп <= А называется максимальным, если он
не содержится ни в каком другом идеале А. Такой иде-
идеал m обязательно замкнут, и Aim = С. Пусть
Specm(^)—множество максимальных идеалов А^Мап,
инвариантных относительно инволюции. Каждый элемент
а е А определяет комплексную функцию /а на
Specm(^): ja{m) = a mod m. Введем в 8рест(Л) слабей-
слабейшую топологию, в которой все функции /„, а ^ А, непре-
непрерывны. В этой топологии Specm(^l) оказывается ком-
компактным хаусдорфовым пространством. Зададим функтор
F на объектах, полагая F(A)= Specm(^).
Квазиобратпость F и G — это один из основных фак-
фактов теории коммутативных нормированных колец. В ча-
частности, изоморфность функторов Id.^?am ~ GF означает,
что коммутативное нормированное кольцо с инволюцией
изоморфно и изометрично кольцу всех непрерывных
функций на пространстве своих максимальных идеалов.
11. Двойственность Понтрягина. Пусть Я& — катего-
категория, для которой
Ob Я2 = {коммутативные локально компактные
топологические группы),
Hom<jp {Ах, А2) = {непрерывные гомоморфизмы Ах в А2}.
95

Теорема двойственности Понтрягина может быть выра-
выражена следующим образом:
Категория Ч> эквивалентна двойственной категории <ё">.
Функтор F: W -> ff°, устанавливающий эквивалент-
эквивалентность, строится с помощью теории характеров.
Пусть S — мультипликативная группа комплексных
чисел с нормой 1. Характером А называется элемент
% е Homg> (A, S), т. е. непрерывный гомоморфизм А в
S. Операция поточечного произведения характеров пре-
превращает множество всех характеров в коммутативную
группу, которая будет обозначаться А; введем на А то-
топологию равномерной сходимости на компактных под-
подмножествах Е <= А. Каждый непрерывный гомоморфизм
ф: Л4->• Аг задает непрерывный гомоморфизм гр: Аг-+ Ас.
— двойственный функтор, т. е.
Таким образом, получаем функтор F: '&
Пусть F":
Более точная формулировка теоремы двойственности
звучит так:
Функторы F: Ч? ->- <S>Q, F°: Ч?й ->- ЧР квазиобратны друг
другу.
12. Заключительные замечания. Примеры пп. 8—11
демонстрируют несколько характерных паттернов кате-
горного мышления. Паттернам учатся только па приме-
примерах, но мы все же попытаемся сформулировать некото-
некоторые правила.
а) Хорошая классификационная теория должна клас-
классифицировать не только объекты, но и морфизмы меж-
между пими. С этой точки зрения полная теория полупро-
полупростых алгебр Ли должна была бы содержать не только
классификацию Картана в терминах систем корней, но
и теорию конечномерных представлений (теорию стар-
старшего веса Г. Вейля), а также ряд других вопросов тео-
теории алгебр Ли.
б) Связь между геометрией и алгеброй осуществля-
осуществляется с помощью системы функторов типа:
пространства •*->¦ кольца функций,
пространства -«-»¦ кольца когомологий,
расслоения. -*->¦ модули над кольцами функций.
Хорошие категорные свойства таких функторов (как эк-
эквивалентность) настолько важны, что ради их сохране-
сохранения часто следует менять старые структуры или вводить
новые. Так в математике появились аффинные схемы,
ядерные пространства, жесткие аналитические простран-
пространства, объекты производной категории.
в) Формальное обращение стрелок в определении
двойственной категории в конкретных случаях превра-
превращается либо в законы двойственности, когда получаю-
получающиеся категории эквивалентны или близки, либо в слож-
сложное отношение дополнительности типа геометрия!'алгеб-
геометрия!'алгебра, когда получающиеся категории так непохожи, как
кольца и" их спектры.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Полные подкатегории. Докажите, что всякий строгий пол-
полный функтор F: & -*¦ 3) задает эквивалентность 'ё с полной под-
подкатегорией в Я).
2. Факторкатегории. Пусть заданы категория Ч? и для каждой
пары объектов X, Y e Ob W соотношение эквивалентности ~ =
= ~.аг, у в Hom,g, (X, Y). Тогда существует категория 3) = Ч?! ~
и функтор Q: <8 -*¦ ZD такие, что (i) если / ~ /' в 9", то Qf = Qf
в Ф\ (и) если F: Ч? -*¦ ЯЬ' — такой функтор, что Ff = Ff для лю-
любых / ~ /', то существует единственный функтор G: 2Ь -*¦ 3D' та-
такой, что F — 9 о Q.
Набросок доказательства. Пусть сперва набор со-
соотношений эквивалентности ~х у удовлетворяет условию
/ ~ х. у/' =»- afb ~ и, vaf'b для любых а: У~> V, Ь: U-+X. Тогда
определим «7/~ = 3>, полагая ОЪЗ) = Ob &, Hom^ (X, Y) =
= Hom^, (X, Y)l ~ с естественной композицией, Q: 93 -*¦ S) — ес-
естественный функтор (тождественный на объектах). В общем
случае ~ х, у порождает наименьшее соотношение эквивалент-
эквивалентности &х, у, удовлетворяющее сформулированному условию,
и мы полагаем *gy ~ ='?'/». Заметим, что в любом случае
ОЬ0 = Ob??.
3. Эквивалентность Мориты. а) Объект X категории 9 назы-
называется образующим, если hx: Y <-* Hom^, (X, Y) является строгим
функтором из 'S в 9?е1 (т. е. h'x: H.om^,(Yv Y2)-> Horn (h'xYv
h'xYv) — вложение для любых Yu Y2 e Ob (S).
б) Теорема Мориты об эквивалентности категорий модулей
над кольцами утверждает, что для двух колец А, В следующие
условия равносильны:
(i) Категории A-mod и B-mod эквивалентны.
(ii) Категории mod-Л и niod-S эквивалентны.
(iii) Существует конечно порожденный проективный Л-модуль
Р, являющийся образующей mod-Л и изоморфизм колец В ~
~ EndA P.
7 С. И. Гельфанд, Ю. И. Мавин. т. 1
97

(iii) ->- (ii): эквивалентность mod-Л и mod-B задастся функто-
функтором hp\ Xt->- HommO(j_^ (P, X), а обратная эквивалентность—функ-
эквивалентность—функтором ftp*: Yi-*Hominod_B(JP*, У), где P* = Иот^ой_А(Р, А).
Кольца А и В, для которых выполпены условия (i) — (iii), на-
называются подобными. Пример: кольца матриц Мп(к) (к — фикси-
фиксированное поле) при разных п подобны.
в) Свойство Т кольца А называется инвариантным в смысле
Мориты, если оно одновременно выттолпопо или не выполнено для
любых двух подобных колец. Следующие свойства кольца инва-
инвариантны в смысле Мориты: простота; полупростота; конечность
числа элементов; каждый правый идеал проективен; каждый пра-
правый идеал ипъектявеп и т. д. Следующие свойства кольца не ии-
вариантпы в смысле Мориты: не иметь делителей 0; быть полем;
коммутативность; каждый проективный модуль свободен.
г) Центром Zrz, категории Ч? называется класс всех морфиз-
мов тождественного функтора 1A<?/- '(?—*¦'&. Ясно, что Znr, — коль-
кольцо. Докажите, что центр категории mod-,1 ипоморфеп центру А.
Тем самым два коммутативных кольца подобны, если и только
если они изоморфиы.
§ 3. Структуры и категории. Представимые функторы
1. Что делать? Мы должны научиться обращаться с
объектом категории так, как если бы он был множеством
со структурой. Нужно уметь правильно определять, что
такое прямое произведение или продел проективной си-
системы объектов, что такое объект-группа и т. п. В клас-
классических конструкциях мы пользуемся тем, что объекты
состоят из элементов (точек), с которыми можно по-раз-
по-разному манипулировать: объединять в пары или последо-
последовательности, выбирать элементы с данным свойством
и т. п.
В абстрактной категории *& можно работать двумя
способами: либо описать теоретико-множественную конст-
конструкцию на языке диаграмм и перенести результат в 9;
либо найти замену «точкам» и «элементам» в категорных
терминах.
Мы опишем сначала второй прием. Ключ к его по-
пониманию— простое замечание, что в 9*et любое мно-
множество X можно отождествить с множеством Hompvj (e, X),
где е — множество из одной точки. В абстрактной кате-
категории W аналога е может не существовать, но учет
Hom^ (Y, X) для всех У несет уже полную информа-
информацию об объекте X с точностью до изоморфизма. В этом
контексте морфизмы ср: Y -»¦ X мы будем называть также
Y-точками объекта X и писать X(Y) вместо
(У, X).
98
Точнее, введем категорию фупкторов (см. 1.10):
<& = Muriel (<&\ Pet)
и рассмотрим функтор hx: *&* -*¦ ^et, hx (Y°) =
= Honig. (Y, X) (cm. 1.7 б)) как объект W.
2. Определение. Функтор F^Ob? называется
представимым, если on изоморфен функтору вида hx для
некоторого X е Ob W. В этом случае говорят, что объект
X представляет функтор F. ш
Пусть ф: Xt -»- Х2 — некоторый морфизм в 9$. Ему
соответствует морфизм функторов йф: й^—>-^х2, который
любому объекту Y е= Ob W сопоставляет отображение
K(Y): hXi(Y)-+h
переводящее морфизм 9 е Иога^ (У, Хг) — hXi (Y) в
композицию ср° 9 е Ногп-^ (Y, Х2) = hx2(Y). Очевидно,
3. Теорема. В описанных обозначениях отображе-
отображение ф I-»- hy определяет изоморфизм множеств
Нот^ (X, Y) ^ Нот- (hx, hY).
Более того, это изоморфизм функторов W X W -*¦ ff'et
от аргументов X, Y. Поэтому функтор h: W ->• W, задавае-
задаваемый формулами h(X) — hx, ^(ф) = ^Ф, задает эквивалент-
эквивалентность категории W с полной подкатегорией Ф, состоящей
из представимых функторов.
Следствие. Если функтор из 'W представим, пред-
представляющий его объект X определен однозначно с точ-
точностью до канонического изоморфизма.
4. Доказательство теоремы. Построим отоб-
отображение
U Horn- (hx, hY)-+Homw (X, Y),
которое каждому морфизму функторов hx -* hY сопостав-
сопоставляет образ idx^hx(X) в kY (X) = Нот-р (X, Y) отно-
относительно отображения hx(X)-+ hx(Y), определенного
этим морфизмом функторов. Проверим, что отображения
ф >-»• hq и i являются взаимно обратными.
а) i(h^) = h4,(idx) — ф по определению hv.
б) Наоборот, пусть g: hx -+ hY — морфизм функторов.
Он задается набором отображений g(Z): hx (Z) ->• hY (Z)
для всех ZeOb?. По определению, i(g) = g(X) (id*),
7* gg

и мы должны проверить, что
hHs)(Z) = g(Z). A)
Отображение him{Z): hx(Z)^- hr(Z) ставит в соот-
соответствие морфизму ф: Z -*¦ X композицию i(g)°q>: Z-+-Y.
Поэтому нужно установить, что
g(Z)(cp)=J(g)°cp.
Воспользуемся коммутативностью диаграммы (см. 1.10)
hx (X) — hY (X)
[ g(Z) |
Переведем элемент idx^hx(X) двумя способами в
hY (Z). Верхний путь (через hY (X)) переводит его сна-
сначала в i(g), а затем в i{g)°<$. Нижний путь (через
hx(Z)) переводит его сначала в hx(ф) {Их) — Ф, а затем
в g(Z)cf>. Этим формула A) доказана.
Тем самым мы проверили, что образ функтора h
является полной подкатегорией в <&; отсюда сразу сле-
следует, что он эквивалентен Ф. Остальные утверждения
проверяются тривиально. ¦
5. Пример: прямое и расслоенное произведение. На-
Напомним, что в теории множеств XX Y есть множество
упорядоченных пар {(х, у)\х^Х, y^Y}. Введем опре-
определение прямого произведения двух объектов X, Ге
^OhW двумя способами и покажем их эквивалентность.
а) Прямое произведение X X У «есть» объект Z,
представляющий функтор U >->• прямое произведение
X(U)XY(U) (если этот функтор представим).
б) Прямое произведение XX Y «есть» объект Z, за-
РХ РУ
данный вместе с морфизмами проекции X -*- Z -> У,
такой, что для любой пары морфизмов X-+-Z' —>Y
существует единственный морфизм q: Z' -*¦ Z, для ко-
которого р'х — Рх ° ?> Py — Ру ° ^ (снова с оговоркой: если
(Z, рх, ру) с этими свойствами существует). Это второе
определение — результат предварительного описания тео-
теоретико-множественной конструкции на языке катего-
категории 9Pet,
Переход от а) к б). Пусть функтор U-*¦ X(U)X Y(U)
представлен объектом Z. Рассмотрим явный изоморфизм
100
этих функторов, т. е. набор изоморфизмов множеств
, (U, Z)^Homv W* X) X
Положим U = Z. В левом множестве будет отмеченный
элемент idz; пусть он переходит в (рх, py)<=X(U)X
Рх ру —¦
XY(U). Мы утверждаем, что диаграмма X-*r-Z—*',Y
обладает свойством, сформулированным в определении б).
Проверку оставляем читателю.
РХ PY
Переход от б) к а). По диаграмме X-*-Z—>-Y по-
построим морфизм функторов от U:
Hoiag, (U, Z)-*Homw (U, X) X Hom? (U, Y)
q _>
(Рх °Я'Ру° Я)
Свойство универсальности диаграммы означает, что для
каждого U соответствующее отображение является биек-
цией. Поэтому это — изоморфизм функторов.
Вое доказательства совпадения двух вариантов опре-
определений—«структурного» и «диаграммного» — построе-
построены по образцу этого рассуждения. Заметим, что если в
определении б) положить Z = X— Y,p'x — p'Y = id, мы
получим морфизм б: Х-^XXX, называемый диаго-
диагональным.
Легкое обобщение этой конструкции позволяет ввести
также категорный вариант расслоенного произведения.
Наломним, что если ф: X-+S, ф: Y->- S — два отображе-
отображения множеств, то расслоенным произведением X и Y над
S называется множество пар
X х Y = {(х, у) е X X У | Ф (*) = г|) (у)} dXF.
Это понятие обобщает сразу несколько теоретико-мно-
теоретико-множественных операций: 1) обычное прямое произведение
(S — точка); 2) пересечение подмножеств (ф, г|) — вло-
вложения) ; 3) прообраз подмножества при отображении
(г|) — вложение этого подмножества, ф — отображение).
Объект X X У в категории также можно ввести
s
двумя способами.
a') XXY представляет функтор U-+X(U) X Y(U).
S S(U)
б') X XY «есть» обычное прямое произведение в
s
новой категории 'S'b, объектами которой являются мор-
101

физмы ф: X -> S в 9', а морфизмами
коммутативные диаграммы
где % е Hom^> (X, У). Диаграмма б) в категории
представлена диаграммой в категории 9 вида
ру
XXY _Л У
S
X -1* 5
которая обладает очевидным свойством универсальности
и называется «декартовым квадратом».
6. Обращение стрелок. По всякой категорией конст-
конструкции можно определить двойственную ей: провести
исходную конструкцию в категории W и интерпретиро-
интерпретировать результат в категории 9', иными словами, обратить
все стрелки в определении. Так получается конструкция
«амальгамированной суммы», или копроизведения, или
кодекартова квадрата, отвечающего диаграмме X *—S—»¦
-Л У:
iY
X ii Y ^~Y
s
'it t*
x Л-i
Свойство универсальности этого квадрата состоит в том,
что по любой диаграмме А —* Z ^— У с условием у^ф =
= /уф однозначно строится морфизм X \±Y —> Z с jx =
= Я ° ix, ]y = Ч ° iy. Впредь мы будем часто опускать та-
такие объяснения.
7. Пример: тензорное произведение .4-алгебр. В кате-
категории коммутативных колец с единицей морфизм ф: А ->¦
-*¦ В можно рассматривать как задание на В структуры
102
Л-алгебры. Рассмотрим две Л-алгебры В, С я диаграмму
В 0 С
А
| 1
С ч— A
ф
1В(Ъ) = Ъ 0 1С
ic (с) = 1В ® с
Эта диаграмма является кодекартовым квадратом. По-
Поэтому в двойственной, категории, называемой категорией
аффинных схем, она превращается в декартов квадрат.
При всей ее простоте это — одна из самых фундаменталь-
фундаментальных конструкций алгебраической геометрии.
8. Пример: группы в категориях — структурное опре-
определение. Пусть W — некоторая категория, ХеОЬ9\
Определение. Групповая структура на объекте X
состоит в задании на каждом из множеств hx (У) =
= Нот^(У, X) структуры группы, причем оти струк-
структуры должны быть согласованы:
для всякого морфизма ф: Y^Y^ в ^ соответствую-
соответствующее отображение hx(q>): hx[Y2)-*- hx(Yi) должно быть
гомоморфизмом групп.
Объект X с групповой структурой на нем часто на-
называется группой в категории *&. Морфизм Xi ->- Х2 в ка-
категории W называется морфизмом соответствующих
групп, если все отображения hx1(Y)->-hxi(Y), Уе
е Ob <& — гомоморфизмы групп.
9. Группы в категориях: диаграммное определение.
Второе определение групповой структуры на объекте
X е Ob"?? оперирует только с X, а не со всеми объектами
категории.
Предположим, что в *& существуют:
а) конечный объект Е (см. 1.12),
б) произведения XXX, XXXXX (см. ниже 176)
и упр. 7).
Групповая структура на объекте X состоит в задании
трех морфизмов в Ч?:
тп: XXX-^Х (умножение),
i: Х-*Х (обращение),
е: Е ^-X (единица),
удовлетворяющих следующим условиям.
103

Аксиома ассоциативности: диаграмма
коммутативна.
Аксиома левого обращения: диаграмма
ххх
коммутативна (б — диагональный морфизм, см. п. 5).
Аксиома левой единицы: диаграмма
коммутативна.
Проверка эквивалентности двух определений группы
в категории — очень полезное упражнение.
10. Пример: аффинные групповые схемы. Пусть s&lg —
категория коммутативных Z-алгебр с единицей. Двойст-
Двойственная категория s6ff = (J&lgH называется в алгебраиче-
алгебраической геометрии категорией аффинных схем. Объект ка-
категории «s^//, отвечающий данной алгебре A^ObMg,
обозначается Spec Л. Выясним, как описываются груп-
групповые структуры на заданной аффинной схеме Spec A.
11. Определение. Структура биалгебры па алгеб-
алгебре А определяется заданием трех гомоморфизмов алгебр:
\i:A-*A®A (коумножение),
i:A-+A (кообращение),
е: А ->• Z (коединица)
(тензорное произведение над Z), которые подчинены
следующим условиям:
104
Аксиома коассоциативности: диаграмма
А ® А® А ч А ® А
А®А «Л_ А
коммутативна.
Аксиома левого кообращения: коммутативность диа-
диаграммы
А ® А ч А® А
\ U
A +-ZJ-A
(левая вертикальная стрелка — умножение: а® Ъ -*¦ аЪ\
левая нижняя стрелка — вложение единицы: а *-*¦ аЛ).
Аксиома левой коединицы; коммутативность диа-
диаграммы
А ® А+- А
(левая стрелка — умножение, верхняя стрелка -о«
•-> 1 ® а).
Биалгебра называется коммутативной, если ц — s <> p.,
где s: A®A-*А®А переставляет сомножители.
Используя описание декартовых квадратов в катего-
категории s&ff (см. п. 7), получаем, что групповые структуры
на аффинной схеме Spec Л находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии со структурами биалгебры на ал-
алгебре А.
12. Двойственность Картье. Заметим, что структура
коммутативной алгебры на аддитивной группе А может
быть описана гомоморфизмами аддитивных групп
с аксиомами ассоциативности и коммутативности для ц
и единицы для е. Поэтому структура коммутативной
биалгебры на А задается гомоморфизмами групп
а®а-^аЛа® а,
105

со списком аксиом, часть из которых содержится в п. И,
другая часть получается заменои_ направления стрелок
на обратные и превращением и., е в ц, е; кроме того,
нужно потребовать, чтобы ц: А -»- А ®Х был гомомор-
гомоморфизмом алгебр с умножением [л и \х ® ц соответственно.
Пусть теперь А — свободная абелева группа конечного
ранга. Положим А* = Homz (A, Z). Тогда структура A)
биалгебры на А определяет структуру биалгебры на А*,
если перейти от A) к двойственным диаграммам, отож-
отождествив (А ® А) * с А* ® А* и Z* с Z:
Л*
i»
Проверка аксиом биалгебры для ^4* тривиальна.
Групдовая схема X* = Spec.4* называется двойствен-
ной по Картье коммутативной групповой схеме X =
= Spec A.
13. Относительные групповые схемы. Все рассужде-
рассуждения пп. 10—12 можно вести в относительном варианте
алгебр А над фиксированным коммутативным кольцом К.
Следует лишь заменить Z на К, считать все отображения
гомоморфизмами ЛГ-модулей, а тензорное произведение —
тензорным произведением над К.
В оставшейся части этого параграфа мы приведем
два важных понятия теории категорий, которые удобно
вводить в терминах представимых функторов: понятие
предела и понятие сопряженного функтора.
14. Диагональный функтор. Зафиксируем некоторую
категорию f (часто называемую категорией индексов);
во многих случаях категория ff является конечной (име-
(имеет конечное число объектов и морфизмов). Напомним,
что через 8Tunct(!f, ff) обозначается категория функто-
функторов F: /-»& (см. 1.10).
Диагональный функтор А: 9?'-»- 9" unct (f', Ч?) опреде-
определяется следующим образом:
На объектах: АХ = {постоянный функтор f -»¦ <g7, при-
принимающий значение X), т. е. &.X(j) = X для /еОЬ^",
AX((p) = icU для морфизмов фв/.
На морфизмах: для if>: X -*¦ X' в W, Дг|з: ДХ-* АХ' за-
задается так: Дф(/) = ip: X = AX(j) -* X' = АХ' Ц), / е Ob f.
106
Ясно, что А% является морфизмом функторов и
A (if>°i|/) = Дф° Дф', так что А действительно является
функтором из Т в @~unct{f, <ё>).
15. Определение. Пусть F: f -+*& — некоторый
функтор. Проективным пределом функтора F в категории
W называется объект X е Ob W, представляющий функтор
Проективный предел F обозначается X = lim F; иногда
он называется обратным пределом или просто преде-
пределом. ¦
Согласно определению 2, Z = limF характеризуется
равенством
, X) =
(AY,
C)
Теорема 3 показывает, что если limF существует, то
он определен однозначно с точностью до единственного
изоморфизма.
16. Универсальное свойство предела. Лю-
Любой функтор F: f -*- *& задается набором объектов
F(j) = Xj^ Ob^ и набором морфизмов ^*(ф): Xj-*-Xyf
по одному для ф: / -*- f в f.
Пусть существует предел X = \ivaF; положим в C)
Y = X. Тождественному морфизму id*: Z-+X в ^ отве-
отвечает морфизм функторов /: АХ -»¦ F, который состоит из
семейства морфизмов /(/): X -*- Xj в W, по одному для
каждого / е Ob ^", удовлетворяющих условиям
FD>)f(j) = /(/') Для каждого ф: /-»-/' в /. D)
Далее, произвольный морфизм функторов g: AY-+F со-
состоит из семейства морфизмов g(j): У->-Х,- в W, /е
е Ob ff, удовлетворяющих аналогичным условиям
?(Л Для каждого ф: ]-*У. {Ъ)
Формула C) показывает, что определение Нш F можно
сформулировать в виде следующего свойства универсаль-
универсальности:
Объект X е Ob W является проективным пределом
функтора F: ff -^Я? в категории ^, если задано семей-
семейство морфизмов /(/): X-+X) = F(j) в 93, по одному для
каждого / е Ob ?, удовлетворяющих условиям D) и та-
107

кое, что для любого семейства g(j): Y-+Xh j<=0b7,
удовлетворяющего условиям E), существует единствен-
единственный морфизм г|з: F-+Xb? такой, что g(/) = /(/)ei|>.
17. Примеры, а) / = 0_ пустая категория (нет
объектов, нет морфизмов). Имеется ровно один функтор
F: 0-*-<& и Нот^гипс^0 ^ (AY,F) состоит из одного
элемента для любого У^ОЬ^7. Поэтому lim F = a> (если
предел существует) обладает тем свойством, что
Hora.g> (У, со) состоит ровно из одного элемента для
любого У ^ ОЬ <ё>, т. е. и является конечным объектом
категории Ч?.
б) f — {О, 1} — категория с двумя объектами 0, 1 и
двумя морфизмами id0: 0-*-0, idi: 1 -*¦ 1. Функтор F: 7 -*
-+9>? задается парой объектов Xo = .F@), X, = FA) в &.
Предел X = lim F есть объект *<Р вместе с парой морфиз-
морфизмов X -+¦ Хо, X-+Xi. Легко проверить, что X есть прямое
произведение X = Х0Х Xt в *& (см. п. 5).
Аналогично определяется прямое произведение любого
множества объектов в 92.
в) 7 = № -*-0*- 2)— категория с тремя объектами и
двумя нетождественными морфизмами 1 -»- 0, 2 -+ 0.
Функтор F: 7 -+• Я? — это диаграмма
х„
в <ё>. Легко проверить, что X = lim F — это расслоенное
произведение X = Хх X Х2 в W (см. п. 5).
г) Уравниватели, f — (О Z? 1) — категория с двумя
объектами и двумя нетождественными морфизмами 0 в 1.
Функтор F: f -*¦'& — это диаграмма
в ^. Предел X = lim F — это объект Х = ОЪ(&> и морфизм
0: X -»- Хо с условием ф ° 0 = ф' ° 0, обладающий следую-
следуюф ф
щим свойством универсальности:
Для любого ф: У-^Хо с ф°а|) =
единственный морфизм р: У-*-Х,ся|) =
108
существует
Другими словами, X = lim F, если
, У) ^
Морфизм 0: X -+¦ Хо называется уравнивателем мор-
морфизмов ф и ф'. Аналогично определяется уравниватель
любого семейства морфизмов.
Другие примеры пределов, а также построение пре-
пределов в конкретных категориях (S^et, $rp, !Гор, s&b)
приводятся в задачах к этому параграфу.
18. Двойственная теория: копределы. Пусть снова
7 — категория индексов, F — функтор из 7 в <5>. Индук-
Индуктивным пределом (прямым пределом, копределом) функ-
функтора F в категерии *& называется объект X = lim.F в Ч>,
представляющий (точнее, копредставляющий) функтор
Y - Hom^uncf(/ tV) (F, AY): Ъ-
(F, AY)
функториально по У.
Индуктивный предел может быть определен универ-
универсальным свойством, двойственным определению предела
в п. 16. Частными случаями копредела являются:
а) Начальный объект категории 1Р (для 7 ~ &, см.
п. 17а)).
б) Прямая сумма Хо и Х1 двух объектов категории
# (для 7 = 40, 1), см. п. 176)).
в) Амальгамированная прямая сумма (п. 6) Хг И Х^
хо
в <8 (для 7 = A -*- 0 +- 2), см. п. 17в)).
г) Коуравниватель двух морфизмов ф, ф': Хо -*- Xi в 92
ля/ = @1^1), см. п. 17 г)).
Во многих приложениях нужно знать, что в данной
категории 9* существуют пределы HmF для того или
другого класса функторов F: 7 -*¦ *&• Полезным сред-
средством для проверки свойств такого типа является сле-
следующая теорема.
19. Теорема. Предположим, что в категории 9? су-
существует конечный объект со, уравниватель любой пары
морфизмов и прямое произведение любой пары объектов.
Тогда в 9? существуют все конечные пределы (г. е. пре-
пределы lim^ для любого функтора F: 7 ^92 с конечной
категорией индексов).
Разумеется, аналогичный результат верен и для ко-
копределов.
109

вялый пучок и ЗГ— подпучок W3T. Если теперь ЗГ —
инъективный пучок ^-модулей, то 'SST — также пучок
5?^-модулей и ЗГ выделяется в ^ЗГ прямым слагаемым.
Из определения вялости получаем, что прямое слагаемое
вялого пучка является вялым.
б) Пусть
0GТ~ Ф G? Ф *?/> . А (\\
—>¦ сг i > ^у —-> иЮ *~ г \1 I II
точная последовательность пучков абелевых групп и &~
вял. Тогда последовательность
точна.
Поскольку функтор Г(Х, •) точен слева, нужно лишь
доказать, что Г (г|з): Г(Х, 2?)->-Г(Х, Ж) — эпиморфизм.
Пусть seTfl, Ж). Рассмотрим множество Е пар (U, t),
где U <=¦ X — открытое множество, t е Г(?/, &) — такое
сечение, что я|з(?) = ¦Не- Введем в Е частичное упорядо-
упорядочение: (DT/, t')<(U", t"), если U'czU" и t' = f\w
Пусть (U, t) — максимальный элемент Е. Докажем, что
U = X. В самом деле, если UФХ и x^X\U, то, ввиду
сюръективпости г|\ существует окрестность V точки х и
сечение ti<^T(V, %') с \f)(?i) = sly. Ввиду точности после-
последовательности A) на U П V имеем t\unv — ti\unv ~(f(r),
где геГ(УП V, ЗГ). Поскольку ЗГ вял, существует про-
продолжение г4 сечения г на все X. Полагая t2 = ?1 + ф(г!|у),
получаем, что ilo-nv- = ^Un^ Поэтому существует F^
¦еГ(С/иУ1^) с t\v = t, t\v = h, так что (С/, t)<
<(С/П У, F) и (С/, i) не максимален.
в) ?с^и в последовательности A) пучки ЗГ и $ вя-
вялые, то и Ж вял.
В самом деле, ввиду б) любое сечение $ пучка Ж на
открытом множестве U<=-X имеет вид s = -ф (?) ж t про-
продолжается на все X. Поэтому и s продолжается на все X.
г) Г переводит ограниченный слева ацикличный комп-
комплекс вялых пучков в ацикличный комплекс абелевых
групп.
Пусть 0 -v 5го _>. ЗГ1 -> ... — ацикличный комплекс
вялых пучков. Положим ЗС1 = Ker d1 == Imd'. Тогда по-
последовательности 0 -*¦ Ж1 -*¦ ЗГХ -»¦ Zi+l -*¦ 0 точны и ин-
индукция по i вместе с в) показывает, что все ЗС% — вялые
пучки (заметим, что i?° = 0 очевидно вял). Ввиду б)
последовательности
о -> г (х, z<) -»- г (х, ^~;) -* г (х, s:i+1) -»¦ о
256
точны, так что Г(Х, ^) = Кег(Г((Р)) = Im(r(d'-f)) и
утверждение доказано.
5. Доказательство теоремы 36). Зафиксируем
полное упорядочение на множестве индексов покрытия
(Ui) и для каждого набора индексов / = (г0 < ... < iP)
обозначим через ji вложение Ui П • • • П Ui в X, а через
3~i — пучок на X, задаваемый формулой ^"i = /'j./i^"-
Ввиду ацикличности покрытия (Ui) и точности функто-
функтора /. для открытого вложения ; имеем, прежде всего,
= nq(uic n ... n uip, v^)= о
при q>0. Далее, для каждого ъФ1 имеется естествен-
естественный морфизм пучков Sj, j\ SFi -*¦ @~i\ji. Определим пучко-
пучковый комплекс Чеха (<g7p(^~), dp), полагая
= 2 ail4l,
где а(,г = (-1)Н1, если / U ? = (to< .¦•. < 4< i< h+i <•••
... < ip). Заметим, что для любого открытого U <=zX
комплекс Г (U, W (ЗГ)) есть комплекс Чеха пучка
@~\и, отвечающий покрытию (U П U{) множества U (см.
1.7.4). Естественный морфизм ^"-><570(^") превращает
9' {&") в резольвенту ЗГ. В самом деле, это достаточно
доказать локально по х е X, так что можно считать, что
один из элементов покрытия, скажем Uh совпадает с X.
В этом случае 9Г1 = &~ги, при 1<?I n легко проверить,
что набор отображений ht,
h,: &~I^-&~I\i, ^i = (-l)ftid, если l = ik,
hj = 0, если IФ-1,
задает гомотопию, устанавливающую квазиизоморфяоеть
и
рассмотрим вялую ре-
реДля вычисления Нп(Х,
зольвенту
3~ -*¦ Жй -> Ж1 -*¦...
пучка 3". Поскольку все пучки <ё1р (Ж{) снова вялые,
а Ъ7'\ЖХ) — резольвента Ж1 для любого I, группы
Нп(Х, ЗГ) есть группы когомологий комплекса, ассоции-
ассоциированного с бикомплексом Г (X, с&' (,Ж')). Далее,
сё'р(Ж')— вялая резольвента <Slp(@~) при любом р, так
что к указанным группам когомологий сходится спект-
17 с. И. Гельфанд, Ю. И. Мавин, т. 1 257

морфизм, что замена FG(v) на F(u) оставляет диаграм-
диаграмму коммутативной, т. е.
v°ay ~ Oyt°F (и),
то, согласно (9) и A0),
G (v) = ас(у) (vooY) = аса-) (ас («)) = «•
Отсюда сразу вытекает, что G — функтор, т. е. что
G{viDV2)= G(v\)a G{v2), G(idr) = idc(r), а также един-
единственность G. ¦
24. Морфизмы сопряжения. Пусть F и G — пара со-
сопряженных функторов, так что у нас есть функториаль-
ные по X и У изоморфизмы множеств
a: Horrid (X, G (У)) ^ Нот^, (F(X), У).
(И)
Полагая, как мы уже делали в п. 22, Х = С?(У), полу-
получаем морфизм
С другой стороны, полагая Y = F(X), получаем морфизм
Tx = cs-1(«W>): X-+GF(X).
Коммутативпая диаграмма в п. 23, а также аналогичная
коммутативная диаграмма для т озпачают, что {а>} и
{тл} задают морфизмы функторов
> Idcrs, t: ld&-*-GF.
a:
A2)
Эти морфизмы функторов называются морфизмами со-
сопряжения, отвечающими паре сопряженных функторов
F, G. Легко проверить, что они удовлетворяют следую-
следующему условию:
Композиции морфизмов функторов
являются тождественными морфизмами функторов F и
G соответственно.
Оказывается, что существование морфизмов сопряже-
сопряжений эквивалентно сопряженности функторов F и G. Точ-
Точнее, если F: *&-+?>, G: 2) -*¦ Я? — два функтора и зада-
заданы изоморфизмы функторов A2), удовлетворяющие ус-
условиям A3), то F и G сопряжены: изоморфизм A0)
есть а(и)—cY ¦ F(u), а обратный изоморфизм есть
l) G{)
112
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
В нескольких следующих задачах мы приводим примеры пар
сопряженных функторов.
1. Функторы забвения. Найдите левые сопряженные к следую-
следующим функторам забвения: а) &г ->- SPet; б) @~ор -*¦ !?et; в) R
mod^-^b (Я — фиксированное кольцо); г) s4-b-»-9'et; д) fc-Alg
(ассоциативные алгебры над фиксированным полем k)->-Tecth
(векторные пространства над Л). (Ответ: тензорная алгебра прост-
пространства F); e) "ffommet (полные метрические пространства)-»¦
-+JLet (метрические пространства). (Ответ: пополнение метриче-
метрического пространства X); ж) A-Alg-*¦ S'ieh (алгебры Ли над к); фун-
функтор превращает й-алгебру А в алгебру Ли с операцией [а, Ь] =
= аЬ— Ьа. (Ответ: обертывающая алгебра).
2. Пусть R, S — два кольца, М = rMs — (R, 5)-бимодуль (сле-
(слева над R, справа над S). Докажите, что функтор Х*->-М ® X:
S
S-mod ->- Д-mod сопряжен слева функтору Y >-* Homs (M, Y).
3. Проверьте, что lim является сопряженным справа, a lim —
Сопряженным слева к диагональному функтору Д: <8-+¦
&~(f W)
4. Пусть F — функтор из категории 9"ё'at малых категорий
(таких, у которых ОЬ *8 — множество) в 9"е1, сопоставляющий &
множество Ob 'S'. Докажите, что у F есть левый сопряженный G;,
сопоставляющий множеству X дискретную категорию ^
[0,
и правый сопряженный Gr, co-
поставляющий X категорию 'ft % с ОЬ %х — X, Нот— (х,У) —од-
ffx
ноалементное множество для всех х, у е X. Докажите далее, что
у Gi в свою очередь есть левый сопряженный, сопоставляющий
малой категории '& множество ее связных компонент (т. е. мно-
множество классов эквивалентности ОЬ ^в по соотношению х ~ у если
и только если Нот^, (ж, у) непусто).
5. Скелет и коскелет. Пусть (Д°^ег)лг —категория iV-усечевных
симплициальных множеств (см. задачу 1.2.3), Тг№: А°^е<->-
->- (Д^е*)^ — функтор усечения. Докажите, что Тг* обладает ле-
левым сопряженным G: (A°$et) N ~>-&°&et, композиция G о TvN есть
фупктор Skw (см. 1,2.15 и П.1.7.д)) и соответствующий морфизм
сопряжения т есть естественное отображение .X->-SkjyrX Докажите
также, что коскелет Coskjv: (№g>et)n->-tSP9'et (см. задачу 1.2.3) яв-
является правым сопряженным к Тг№.
6. Докажите, что функтор .*: Уесгк-+(TeethH (см.
п. 2.3) сопряжен себе (точнее, функтору *°: TeethH-*-Teeth)
справа.
Задачи 7—11 иллюстрируют различные свойства пределов.
7. Ассоциативность произведения. Докажите, что если хотя бы
одно из произведений (X, X Х2) X Х3, X, X № X -Уз), X, X Х2 X Хг
существует, то два других также существуют, и все три естест-
естественно изоморфны.
8 С. И. Гсльфанд, Ю. И. Мавин, т. 1
113

8. Связь проективных и индуктивных пределов, а) Докажите,
что для любых категорий <&, Ю имеем
sru.net(я0, з)°) = [g-unctetf, &)]°.
б) Докажите, что для любого функтора F: f' -*¦& (который,
согласно а), можно рассматривать как функтор F°: f-^-'S'0) име-
имеем limF (в категории "&) = (limF0H.
9. Пределы по частично упорядоченному множеству. Впжпьга
частный (и исторически первый) случай пределов возникает в слу-
случае, когда категория индексов f — это категория 'S'(I) некоторо-
некоторого частично упорядоченного множества I (см. п. 1.5.г)).
а) Пусть <& — Pet — категория множеств. Функтор F: ?-*¦
-^-'Pet—ma набор множеств Ха, пе/, и отображений /ац: Ха-*-
-+1в,«< Р, таких что /«а = id, /щ/ар = fm-
Докажите, что limF в P'et строится следующим образом. На-
Назовем подмножество La I полным, если (я е Л, Р > а) ф Р е i,
т. е. вместе с каждым элементом в L входят и все большие. На-
Назовем нитью набор {ха е Ха, aei) для некоторого полного L,
такой что /аржа = ч Для а ^ Р. а> N^ Тогда lim F есть мно-
множество классов эквивалентности нитей по соотношению
{ха, а е Ь} ~ \х'о, Pei'], если и только если для каждых осе
eijel' существует ч, Т > аЛ > Р такое, что fayxa = f^x'^.
б) Докажите, что если /' с I — фильтрующее подмножество
(т. е. для каждого ае/ найдется § е/', Р^а), то lim F для
F: ffl(/)->¦ Pet совпадает с limF', где F' — ограничение F на
)()
в) Сформулируйте и докажите утверждения, аналогичные а),
б) для категорий $r, s?b, 3~ор.
В случае, когда частично упорядоченное множество I явля-
является направленным (для любых а, Ре/ существует ^е/, боль-
большее их обоих; классический пример: I = Z+ — положительные це-
целые числа); limF для F: Ч?(!)-*¦'&' раньше назывался пределом
прямого спектра, a limF для F: ЯПA) -*¦ ft" (см. задачу 8 6)) —
пределом обратного спектра.
10. Пределы циклических групп, а) Пусть F: ЯП (Z+) -*¦ s&b sa-
дается группами Ап = Z/pnZ и вложениями An-+Am, ih» рт~"пж,
т^ п. Докажите, что lim F — группа р-рациональных чисел в
Q/Z (дробей вида а/рп по модулю целых чисел).
б) Пусть F: Ф (Z+)->~ л4-Ь<> задается темп же группами Л„имор-
физмами факторизации Ат-^Ап, т~^п. Докажите, что ]imF==
= ЪР — группа целых />-адических чисел.
в) Пусть 7 — частично упорядоченное множество, задаваемое
отношением делимости в Z+: m^sn, если п делит т. Зададим F:
<g>(I)->-stb набором Ап = Ъ\пЪ, рпт: Ап-+Ат, x^*{mjn)x. Дока-
Докажите, что lim F = Q/Z.
г) Зададим F: #(/)->.s?b0 (/ как выше) набором Ап = Z/reZ,
qnm- Am->-An — отображение факторизации для п\т. Докажите,
что limF = TTZp (этаабелева группа называется пополнением Z).
114
11. Локализация как предел. Пусть М — модуль над коммута-
коммутативным кольцом A, /el Определим F: ^(Z+)->-.a?fr, полагая
F(n) = М для всех п, рпт: x-*-fm~nx для x^M = F(n), m^n.
Докажите, что limF = Mj (см. задачу 1.5.3.з)).
§ 4. Категорные конструкции геометрических объектов
1. Три геометрических категории. В этом пункте мы
напомним читателю определение трех классов многооб-
многообразий: топологических С, бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых (гладких) С°° и комплексно аналитических Ап.
Многообразие каждого класса — это пара (М, (Ум),
состоящая из топологического пространства М и пучка
(частично определенных) функций Ом на М. Способ вы-
выделения многообразий, принадлежащих к любому из
этих классов, таков:
а) Явно описывается некоторая часть класса — «ло-
«локальные модели».
б) Пара (М, Ом) принадлежит данному классу, если
она локально изоморфна некоторой модели, т. е.
у каждой точки х^М есть окрестность С/, для ко-
которой пространство (U, OM\U) изоморфно локальной
модели.
Модели С°: (область U <= R", непрерывные частичные
функции в U с вещественными значениями).
Модели С°°: (область U<=Rn, бесконечно дифферен-
дифференцируемые частичные функции в U с вещественными зна-
значениями) .
Модели Ап: (область U <= С, комплекснозначные
частичные функции, задающиеся сходящимся степенным
рядом в окрестности каждой точки своей области опре-
определения) .
Под частичпой функцией понимается пара (D(f), /),
где D (/) ez U — открытое подмножество, /: D(f)-+К(млж
С) — функция на нем. Пучок <УМ называется структур-
структурным пучком многообразия.
Обычно предполагается также, что М хаусдорфово и
имеет счетную базу.
2. Атласы. В прошлые десятилетия общепринятым
было немного другое определение многообразий: с по-
помощью атласов. Атлас на М определен открытым покры-
покрытием М = U Uг, на элементах которого заданы локаль-
локальные системы координат (zj0, ..., ZnY) (n может зави-
зависеть от связной компоненты М) такие, что:
8* 115

а) Отображение ф*: Ut ->- Rn (соответственно С") для
С0, С°° (соответственно An) ср4 (х) = (z^ (х), . .., 4*' (#))
является открытым вложением.
б) Для всех пар г, ; на непустых попарных пересече-
пересечениях Ui П Uj координаты z(i) являются непрерывными
(соответственно гладкими, комплексно аналитическими)
функциями от координат z0).
Это определение эквивалентно данному выше. По ат-
атласу строится пучок: f^0M(U), если на всех непустых
пересечениях U fl Ut функция / является непрерывной
(соответственно гладкой, аналитической) функцией от
локальных координат z(!). По пучку строится атлас: сле-
следует выбрать локальные модели, покрывающие М.
3. Морфпзмы. Чтобы превратить С, С°°, An в катего-
категории, следует еще определить морфизмы. Каждый мор-
физм Ф: (М, 0M)-+(N, 0N) однозначно определяется
непрерывным отображением qp: М -*¦ N. Однако учет
структурного пучка накладывает ограничения на допус-
допустимые ф. Именно, пусть f^0N{U). Определим функцию
ф" (/) на qr1 (?/)<= М, положив
Тогда Ф является морфизмом, если и только если ф'(/)^
^ Ом (ф1 (U)) для всех U, /. Читатель проверит, что
если М и N заданы атласами М — U V(, N = U U} и
(f(Vi)^ U}(i), то это условие означает, что локальные ко-
координаты на [/,(,-) выражаются через локальные коорди-
координаты на Vt в виде функций заданного класса. Советуем
убедиться также, что при таком определении морфизмов
классы С, С" и An превращаются в категории.
4. Структурные пучки, состоящие не из функций.
Категорный язык дает возможность ввести геометриче-
геометрические объекты неклассического типа — локально околь-
окольцованные пространства. Опишем два класса локальных
моделей, на которых удобно иллюстрировать особенности
этих объектов.
а) Суперобласти в Rm|n. Пусть m > 0, п > 0 — два
целых числа. Суперобластью в Rm|n называется пара
(U, (Уц), где U <= Rm — некоторая область, а
O\j (V) = кольцо формальных выражений вида
S и....ф. ¦ ¦ ¦ Eifc; U—гладкиефун-
116
1
кции на V, Jy—антикоммутирующие формаль-
формальные переменные.
Иными словами, 0V = Л^ (С fa © ... ф Со|я), где Л" -
внешняя, или грассманова, алгебра, а Ои — пучок глад-
гладких функций на U. В определение структурного пучка
включается 22-градуировка: deg 0V = 0, deg |j = 1.
б) Аффинные схемы. Пусть А — коммутативное коль-
кольцо. Напомним, что в упр. 1.5.3 мы определили топологи-
топологическое пространство X = Spec А как множество всех
простых идеалов в А.
Топология Зариского на Spec А вводится так: любое
замкнутое множество имеет вид V(I), где I <= А и
V (I) ={f\f ^ 1}. В частности, для любого элемента /еЛ
определено открытое множество D(f)= SpecA\V(f). Эти
открытые множества образуют базис топологии.
Кольцо частных Af можно определить как
A[T]/(fT— 1). Согласно задаче 1.5.3, на топологическом
пространстве X = Spec А существует единственный пу-
пучок 0х со следующими свойствами:
ограничение T{D(f),
отображением
T{D(fg), 0X) индуцировано
класс Tf^-* g- класс Tfg
(класс Tf в Af следует представлять себе как 1//, поэто-
поэтому класс Ttg — это i/fg).
В обоих предыдущих примерах сечения структурного
пучка функциями не являются. Это сразу же лишает
нас возможности прямо повторить определение морфиз-
ма из п. 3: непрерывное отображение пространств не
задает переноса сечений структурных пучков. В частно-
частности, мы не можем пока склеивать глобальных объектов
из локальных, поскольку мы лишились понятия изо-
изоморфизма.
Простейший выход из положения — задавать морфиз-
морфизмы пространств и пучков отдельно, с минимальными
условиями согласованности. Это приводит к категории
окольцованных пространств.
5. Определение, а) Окольцованным пространст-
пространством (М, 0м) называется пара, состоящая из топологиче-
топологического пространства М и пучка колец 0М на нем @М
обычно называется структурным пучком).
б) Морфизмом окольцованных пространств Ф:
(М, 0м)~* (N, 0К) называется пара (ф, 9), где ф: М-*¦
-*¦ N — непрерывное отображение, а 0 — набор гомомор-
117

физмов колец 9ц-: 0N(U)-*- CM(q>~l(U)) по одному для
каждого открытого множества U cz N такой, что для вся-
всякой пары U{ с иг имеем
Набор 8 =(9G) можно свести к более стандартным
объектам, превратив его в морфизм пучков, притом дву-
двумя способами. Опишем один из них. Положим для U <=
cz N, U, cz U2 с N:
): Ф. (Ом) (U2) ->» ф. (О
м
Нетрудно проверить, что <р. (Ом)— пучок колец на iV,
а 0 определяет морфизм пучков колец, обозначаемый
той же буквой, 9: 0п~+ ф. (Ом)-
Класс окольцованных пространств с таким определе-
определением морфизмов превращается в категорию. Советуем
читателю построить определение композиции морфизмов
и проверить аксиомы.
Существуют естественные конструкции окольцован-
окольцованных пространств, приводящие к пучкам, свойстна кото-
которых далеки от свойств пучка функций. Наиболее нажная
из них доставляет пространства (М, 3)м), где М — мно-
многообразие класса С°° или An, а 3)м — пучок линейных
дифференциальных операторов Р: (Ум -»- (Ум, т. е. отобра-
отображений, в локальных координатах (г,, ..., zn) имею-
имеющих вид
р —
С другой стороны, примеры окольцованных прост-
пространств из п. 4 настолько близки к пространствам с
функциями, что имеется аксиоматическое определение
класса окольцованных пространств, содержащего как
классические многообразия, так и суперобласти и аф-
аффинные схемы.
6. Определение, а) Локально окольцованным
пространством (М, (Ум) называется такое окольцованное
пространство, что (Ум — пучок коммутативных колец, и
для каждой точки х*= М слой Ом,х является локальным
кольцом.
б) Морфизмом локально окольцованных пространств
Ф: (М, Ом) ->¦ {N, On) называется такой морфизм соот-
118
ветствующих окольцованных пространств (ф, б), что для
любой пары точек я е М, у <= N с у = ф (х) соответству-
соответствующее отображение 9^*: 0niV ~" &м,х является локальным
морфизмом колец. ¦
7. Комментарии, а) Прежде всего напомним, что
кольцо А называется локальным, если оно содержит
единственный максимальный идеал гпА. В этом случае
пгА прост и А/тпА является полем. Гомоморфизм ло-
локальных колец /: А -*¦ В называется локальным, если
(
)
Далее, слой Ом,х является индуктивным пределом ко-
колец 0M{U), где U пробегает систему окрестностей точки
х, упорядоченную включением. Таким образом, элемент
Ом,х есть росток сечений Ом над точкой х: он представ-
представлен сечением над некоторой окрестностью, и два таких
представителя определяют один и тот же росток, если
они совпадают на окрестности х, содержащейся в обла-
областях определения обоих представителей.
б) Если М — многообразие класса С°, С°° или An, то
единственный максимальный идеал тпх в кольце ростков
0м,я состоит из ростков функций, равных нулю в точке
х (для доказательства достаточно заметить, что росток,
не обращающийся в нуль в х, обратим в 0М,Х). Поэтому
такие многообразия локально окольцованы. Далее, мор-
физмы многообразий, определенные в п. 3, сохраняют
значения функций в том смысле, что если ф = ф(ж), то
0(/) {x) = f(y) для любого ростка j^ON,y. Следовательно,
это — морфизмы локально окольцованных пространств.
Наоборот, рассмотрим некоторый морфизм (ф, 0):
(М, Ом) -+¦ (N, ОN), скажем, С°-многообразий в катего-
категории локально окольцованных пространств. Пучки Ом и
ON являются пучками R-алгебр. Покажем, что если 0 со-
сохраняет структуру R-алгебр, т. е. попросту тождественно
действует на постоянных функциях, то (ф, 8) является
классическим морфизмом, т. е. 0 восстанавливается по ф,
как в п. 3. В самом деле, функция 0(/) определяется
своими значениями; далее 9(/) (х)= f{y), если /(г/) = 0
(и как раньше, у = ср(х)); наконец, если f{y)=c, то
В(/—с) (#) = (/—с) (у) в силу локальности, и, так как
Q(c) = c, 0(/) (x) = f(y) в общем случае.
Заметим, что могут существовать нетривиальные мор-
морфизмы, не сохраняющие константы, даже между «точка-
«точками», т. е. многообразиями (х, С), где х — одноточечное
пространство. Такие морфизмы взаимно однозначно со-
соответствуют алгебраическим автоморфизмам поля С.
119

в) Аффинные схемы (X = Spec А, Ох) также явля-
являются локально окольцованными пространствами. Слой
Ох в точке х, отвечающей простому идеалу р <= А, есть
кольцо частных Аа, где S = A\$\ образ f в А8 — макси-
максимальный идеал. Любой гомоморфизм /: А -*¦ В индуци-
индуцирует морфизм локально окольцованных спектров (в об-
обратную сторону): ф(») = /-1 (V), Тр<=5. Все морфизмы
спектров получаются так.
г) Пусть теперь (М, (Ум) — общее локально окольцо-
окольцованное пространство. Любое сечение структурного пучка
f^OM(U) определяет функцию с переменной областью
значений:
f(x) = / mod тя е OMJmx = к (х) х е U.
Эти значения также сохраняются при морфизмах ло-
локально окольцованных пространств; точнее, по локально-
локальному морфизму 8Vi*: OKiV -*¦ (Уы,х определяется морфизм по-
полей 0„х: к(у)-*- к(х), и значение / в точке у этим мор-
фиэмом переводится в значение 0(/) в точке х. Однако
функция не обязательно определяется своими значения-
значениями. Нильпотенты в структурном пучке принимают лишь
нулевые значения.
д) Суперобласти в Rm[n при п Ф О не удовлетворяют
определению 6 по той причине, что грассмановы алгебры
не коммутативны. Однако нетрудно определить нужное
расширение понятия коммутативности — суперкоммута-
суперкоммутативность.
8. Суперкоммутативность. Пусть А = AQ + Ai — Z2-
градуированное кольцо. Это означает, что его аддитив-
аддитивная группа является прямой суммой подгрупп четных
(At) и нечетных (Ai) элементов и что если f<^At, ge
е А}, то fg ^ Ah, где k = i + j mod 2. Вместо / *= At
удобно писать^/" = i. Определим суперкоммутатор [/, g] =
= fg — (— tyt8sf для любой пары однородных элементов
/, g <= А и распространим его по биаддитивности.
Кольцо А называется суперкоммутативным, если
[Л ё\ ~ 0 для всех /, g. Иными словами, нечетные эле-
элементы антикоммутируют, а четные с четными и четные
с нечетными коммутируют. Будем считать, что 2 обра-
обратимо в А; тогда 0 = [/, /] = 2f, откуда f = 0 для любо-
любого нечетного /.
Морфизмом ^-градуированных, в частности, супер-
суперкоммутативных колец называется любой гомоморфизм,
сохраняющий Z2-CTeneHb. Определение локального коль-
120
ца и локального морфизма не меняется. Теперь мы в со-
состоянии дать определение суперпространств, полностью
параллельное определению 6 и на самом деле содержа-
содержащее его в качестве частного случая.
9. Определение, а) Локально окольцованным
суперпространством (М, (Ум) называется такое окольцо-
окольцованное пространство, что Ом — пучок суперкоммутатив-
суперкоммутативных колец (все отображения ограничения сохраняют
Z2-rpaflyHpoBKy) и все слои (Ум,х локальны.
б) Мирфизмом локально окольцованных суперпрост-
суперпространств называется такой морфизм соответствующих
окольцованных пространств, что все отображения 0„х
являются локальными морфизмами г2-градуированных
колец. ¦
Располагая определениями 6 и 9, мы можем ввести
еще несколько геометрических категорий, для которых
локальными моделями служат аффинные схемы, супер-
суперобласти в R'71 или аналитические суперобласти в С'"|п
(определить их предоставляется читателю).
10. Определение. Схемой называется локально
окольцованное пространство (М, Оы), у каждой точки
которого имеется такая открытая окрестность U, что
(U, <Jn\U) изоморфно аффинной схеме в категории ло-
локально окольцованных суперпространств. ¦
11. Определение. Дифференцируемым супермно-
супермногообразием называется локально окольцованное супер-
суперпространство (М, (Ум), у каждой точки которого имеется
такая открытая окрестность U, что (U, C?M\U) изоморф-
изоморфно некоторой суперобласти в Rm|n в категории суперпро-
суперпространств, локально окольцованных R-алгебрами. ¦
По поводу оговорки об R-алгебрах см. п. 76).
12. Как описывать топологию в категорных терминах.
До сих пор мы занимались расширением стандартных
категорий геометрических объектов.
Теперь мы примем другую точку зрения и опишем,
какие дополнительные данные следует задать на катего-
категории, чтобы она сама могла служить аналогом топологи-
топологического пространства.
Прежде всего напомним, что открытые множества
любого топологического пространства X являются объек-
объектами категории 0~орх с вложениями в качестве морфиз-
мов (см. 1.5д)). В этой категории есть конечный объ-
объект X: каждое открытое множество U обладает единст-
единственным морфизмом U ->¦ X. Комбинаторная структура
категории определяется пересечениями, которые с кате-
121
I

горной точки зрения суть расслоенные произведения над
X (см. 3.5):
Uг Л U2 = U х X U,.
х
Наконец, основное понятие покрытия определяется в
терминах суммы (точнее, амальгамированной суммы
над пустым открытым множеством, см. 3.6): а) для
любого семейства (Ui) категорная сумма Ц?7* в 3~орх
г
существует и совпадает с теоретико-множественным объ-
объединением у Ui', б) семейство вложений U{ -*¦ U, ie/,
является покрытием, если и только если канонический
морфизм JXUi-b-U является изоморфизмом.
Исторически первым категорным обобщением такого
категорного описания топологии было понятие топологии
Гротендика на схеме. Рассмотрим аффинную схему
Spec А, где А— кольцо без делителей нуля, например,
Fq[xt, ..., хп]. В топологии Зарисского такой схемы лю-
любые два непустые подмножества имеют непустое пересе-
пересечение. Поэтому нерв любого конечного открытого покры-
покрытия имеет комбинаторный тип симплекса. То же верно
для любых неприводимых алгебраических многообразий.
Таким образом, с помощью чисто топологических инва-
инвариантов они оказываются неразличимыми. Переход к ко-
гомологиям с коэффициентами в пучках улучшает поло-
положение дел, но недостаточно; например, все еще нельзя
получить хорошую формулу Лефшеца для числа непод-
неподвижных точек отображения.
Предложенный Гротендиком выход состоял в расши-
расширении понятия топологии: «открытыми множествами»
предлагается считать элементы более широких классов
отображений /: U -*¦ X, чем просто открытые вложения,
например, неразветвленные накрытия, плоские морфиз-
мы (в категории схем) и др. При таком обобщении от-
открытые множества становятся объектами некоторой ка-
категории. Пересечения и прообразы определяются с по-
помощью расслоенных произведений. Существенно, что
понятие покрытия не выводится из категорных структур,
а задается в качестве части определения. Удобным про-
промежуточным объектом служат решета.
13. Определение. Пусть ^ — некоторая категория,
U e Ob9, Ф = {ф,-: Ui ->- U\i e /} — некоторое множество
морфизмов в 9.
122
а) Ф называется решетом над U, если любая компо-
зиция V~+Ui-*-U, где ср е ф, принадлежит Ф.
б) Минимальное решето, содержащее все морфизмы
tyi1. Uj ->¦ U, /е/ называется решетом, порожденным
этим семейством морфизмов. ф
в) Пусть Ф — решето над U и V->U— некоторый
морфизм. Ограничением Ф^ решета Ф на V называется
такое семейство "ф*: Vt -*¦ V, что ср ° г]з4^ Ф для всех i. ¦
14. Определение. Топологией Гротендика на ка-
категории У называется семейство решет C(U), по одному
семейству для каждого объекта U ^ Ob 9*. Элементы этих
семейств называются покрывающими решетами. Они
должны удовлетворять следующим аксиомам.
а) Множество всех морфизмов <р: U' -*¦ U в 9> явля-
является покрывающим решетом над U.
б) Ограничение покрывающего решета является по-
покрывающим.
в) Понятие покрывающего решета является локаль-
локальным в следующем смысле. Пусть Ф — покрывающее ре-
решето над U. Любое другое решето W над U является
покрывающим, если его ограничение на все элементы Ф
является покрывающим. ¦
В категории Э~орх покрывающее решето над U — это,
грубо говоря, покрытие, которое вместе с каждым от-
открытым множеством содержит все его подмножества.
15. Пучки. Категория вместе с заданной на ней то-
топологией Гротендика называется сайтом.
Аксиоматика топологий Гротендика (в отличие от
топологий, скажем, на функциональных пространствах)
ориентирована не на предельные переходы, а на склеи-
склеивание глобальных объектов из локальных и связанные с
этим когомологические инварианты. Пучки являются
основным инструментом таких конструкций. Мы пока-
покажем сейчас, как определить пучки на сайте.
Предпучком множеств (абелевых групп, колец, ...) на
сайте называется (контравариантный) функтор F: 3™ -*-
-+9>et (соответственно F: 9** -*¦ ЛЪ, 9°^ Sling). Обыч-
Обычный язык теории пучков легко распространяется на
предпучки на сайтах: элементы s^F(U) называются
сечениями F над U; образ s в F(V) относительно ото-
отображения F(f)y где /: V-^U, называется ограничением
s на U. (Можно обозначать его s\V, если не забывать о
том, что один и тот же объект V может отображаться в
U несколькими морфизмами / и s\V зависит от /.)
123

Пусть F — некоторый предпучок, Ф — решето над U.
Набор сечений sv^F(V), заданных для каждого элемен-
элемента решета tp: V-*-U, называется согласованным, если
для любой пары V -*¦ V-> U имеем s<po$ = яф | V.
Предпучок F называется пучком, если для любого
объекта U сайта, любого покрывающего решета Ф над U
и любого согласованного набора сечений (sv) над Ф су-
существует единственное сечение s^F(U), ограничения
которого на элементы Ф суть 5„.
16. Пример. Пусть G — некоторая группа, бо-
боевит (^-множеств. Объект соответствующей категории
G-SFet — это множество с левым действием группы G,
морфизм — отображение множеств, перестановочное с
действием G. Решето Ф над U в 9Р0 называется покры-
покрывающим, если U= U q>(V).
ФеФ
Чтобы представить себе строение сайта 9*0, полезно
иметь в виду следующие факты: а) каждое (^-множество
S разлагается в несвязное объединение орбит — непри-
неприводимых G-множеств; б) каждая орбита изоморфна мно-
множеству смежных классов G/H, где // — стационарная
подгруппа некоторой ее точки; в) морфизмы G/Ht -+¦
-*¦ GJH2 взаимно однозначно соответствуют тем элемен-
элементам gH2 e G/IIZf для которых Ht с gH2g\
В частности, в Я^в имеется максимальный неприводи-
неприводимый объект: G, — G с левым действием G. Любой мор-
морфизм ф: Gi -*¦ Gi имеет вид ф=ф#: h^hg для подходя-
подходящего элемента g e G; при этом ф^ = ф^- Пусть 9"ha -
категория пучков множеств на 91'а и F e Ob ff'ha. Тогда
F(Gt) является G-множеством: действие G на s^F(G,)
определяется формулой gs = F((pg)s. По этому G-множе-
ству восстанавливается весь пучок F. Точнее, справедли-
справедливо следующее утверждение.
17. Предложение. Отображение F<-*• F(Gi) про-
продолжается до функтора
a:
являющегося эквивалентностью категорий.
Для доказательства нам потребуется лемма, описыва-
описывающая некоторые свойства пучков на сайте 9*0.
18. Лемма. Пусть F — пучок на Ус Тогда
a) F переводит несвязные объединения G-множеств в
несвязные объединения множеств.
124
б) Пусть Н — подгруппа G, U = G/H е 0Ь^в, q>: G, ¦*
U — естественная проекция. Тогда F((p): F(U)-*-
F(Gt) отождествляет F(U) с множеством элементов
t), инвариантных относительно Н:
F(q>)
; F (Gi) | F (фЛ) s = s для всех h e= H).
Доказательство. Несложное доказательство пер-
первого утверждения мы оставляем читателю. Докажем вто-
второе утверждение. Пусть Ф — решето над U, порожден-
порожденное ф: Gi ->¦ U, так что Ф состоит из всех морфизмов 1|з:
V -> U, разлагающихся в композицию ip = ф ° 6 для не-
некоторого 0: V -»• Gi. Ясно, что Ф — накрывающее реше-
решето. Легко проверить, что ф ° (^ = ф » 02 для 0i, 02: V -*-
-*¦ Gi в том и только том случае, если 6i = фй62 для неко-
некоторого h e Я. Поэтому любой согласованный набор се-
сечений {.9,1,}, ife Ф, задается сечением s=F(Gt), таким
что F((fk)s =s, так что $* = F(ty)s. Поскольку F — пу-
пучок, сечения s^F(U) взаимно однозначно соответству-
соответствуют согласованным наборам is^i, и мы получаем требуе-
требуемое утверждение. ¦
19. Доказательство предложения 17. Функ-
Функтор a: ^ha -*• &'G строится так:
a(F) = F(Gi) с естественным действием G,
как описано выше;
а(|) = l{Gt), I: Fi ->- F2 — морфизм функторов.
Построим функтор р: 9"G -*¦ S"hG, квазиобратный а, зада-
задавая для Х^&е функтор Р(Х): 9%^-9>et формулами
р (X) (У) = Нот^ (У, X) для Y s Ob 9>% = Ob 9>G,
Р (X) (/): <реРA) (УО - Ф./ е Р (X) (У2)
для /:У2-^У! (так что /eHom^^, Уа)\.
Легко проверить, что Р(Х)—пучок множеств (а не толь-
только предпучок) на сайте 9"а-
Далее, действие р на морфизмах в ^о задается так:
i|; e Hom^p (Xlt X2) переходит в морфизм пучков;
Р(г|>): Р(Хх)->-р(Х2), определяемый формулой
Р (Ф) (Ф) = ^"Ф Для Ф ^ Р (xi) (Ю. Y e Ob ^S.
125

Для проверки того, что а и р задают эквивалентность
категорий, мы построим изоморфизмы функторов
е: a»p-vJd^,G, б: Id^-^p-a.
При построении е нужно построить согласованные меж-
между собой изоморфизмы G-множеств е(У): <х°р(У)-»-У,
У е Ob 9>. Имеем а°|3 (У) = Нош^ (Сг, У) и е(У) зада-
задается формулой е(У)ф = ф(е)е У, где е — единица груп-
группы G. Проверка того, что е — изоморфизм функторов,
тривиальна.
Перейдем к построению б. Нам нужно для каждого
пучка множеств F па Э'а построить морфизм 6(F)' F->~
-*-f>°a(F) в ff'ha, т. е. построить морфизм б(/'') функто-
ра F: 9>%-+9>et в функтор $°a{F): &1-*-9>>а.
чит, что для каждого X
отображение множеств
нужно
Это зна-
знапостроить
Набор отображений 8(F, X) должен удовлетворять сле-
следующим условиям:
а) 6(^, X)— взаимно однозначное отображение для
любых F, X.
б) Если |: Fi -»¦ F2 — морфизм функторов, так что
Р°а(|)— тоже морфизм функторов, то диаграмма
коммутативна.
в) Если ф: Xt ->- Xz — морфизм G-множеств, то ди-
диаграмма
коммутативна.
Для построения 8(F, X) заметим, что
Пусть ieX и 0X: Gi -> X — единственный морфизм
G-множеств, для которого вх(е) = х. Тогда /^F*) отобра-
126
жает множество F(X) в множество F(Gi), и b(F, X) за-
задается формулой
для o
Для проверки того, что &(F, X)—изоморфизм, сле-
следует заметить, что любое G-множество Х является не-
несвязным объединением X = UG/Hif где Я4 — подгруппы
G. После этого следует с помощью утверждения а) лем-
леммы 18 свести проверку к случаю X = G/H и воспользо-
воспользоваться утверждением б) леммы 18. Детали этой провер-
проверки, так же как проверку свойств б), в) отображений
&(F, X), мы оставляем читателю. ¦
20. Замечания, а) Аналогично устанавливается,
что категория пучков абелевых групп на SPq эквивалент-
эквивалентна категории G-модулей. В приложениях полезны вари-
варианты этих конструкций, в которых группа G топологи-
топологическая, а ее действие на объекты сайта непрерывно.
Например, пусть G = Gal(fc/fc) с топологией Крулля;
к — поле, &G — категория конечных G-множеств с не-
непрерывным действием. Это — этальная топология Гро-
тендика одноточечной аффинной схемы Spec к. Пучки
абелевых групп на ней — то же, что непрерывные G-
модули.
б) Из доказательства следует, что любой пучок мно-
множеств на ^с есть представимый функтор.
В общем сайте жесткой связи между пучками мно-
жестн и представимыми функторами нет. Однако нали-
наличие такой связи весьма существенно. В частности, име-
имеется теорема, дающая абстрактную характеризацию сай-
сайтов, в которых пучки множеств совпадают с представи-
представимыми функторами. Грубо говоря, такие сайты суть са-
сами категории пучков множеств с некоторой канонической
топологией.
Теперь мы изложим последнюю геометрическую кон-
конструкцию этого параграфа. Она ставит в соответствие
каждой категории большое (как правило, бесконечномер-
бесконечномерное) топологическое пространство, гомотопические свой-
свойства которого лежат в основе, например, алгебраической
.К-теории. Это пространство является геометрической ре-
реализацией симплициалъного множества (см. § 1.2), на-
называемого нервом категории, и мы будем вести изложе-
изложение на языке симшгациальпых множеств. Конструкция
нерва имеет смысл лишь для малых категорий, т. е. та-
таких, у которых объекты образуют множество.
127

21. Определение, а) Нервом малой категории <&
называется симплициальное множество Щ?, для которого
NWn = множество диаграмм вида Хо —%¦ Хг >
• • • —*¦ Хп, Хг е ОЬ <&, ф{ ^ Мог (ё>. A)
Неубывающему отображению /: [m]->[w] ставится в со-
соответствие отображение NWn -*¦ Шт, которое переводит
диаграмму A) в
t|} tb tb __
x 0 ¦* 1 * • • • * ¦» mi
где Yi = XHt); tpf = id, если f(i)= f{i+ I); ty =
~ ф/(.+1)-1 °... ° ф/A) в остальных случаях.
б) Пусть F: <& -*- <&' — функтор между малыми кате-
категориями. Его нервом называется морфизм симплициаль-
симплициальных множеств (см. 1.2.16) Л^: N9? -> W, который пе-
переводит симплекс (Х{, ф;) в симплекс (F(Xt), F(q>{)). m
Пример. Пусть 2„ — категория с п + 1 объектами,
ObSn = {0, 1, ..., п), в которой H0m2ri(fc, l) состоит из
одного элемента при к ^ I и пусто при ft > 1. Тогда
N2n = Д[и] — симплициальное множество, описанное в
1.2.5 (проверьте). ¦
Нетрудно убедиться, что N — функтор из категории
малых категорий tfCat в категорию симплициальных
множеств Aa9:'et. Перечислим некоторые его свойства.
22. Свойства нерва, а) Категория Ч? восстанавлива-
восстанавливается по своему нерву однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма (не эквивалентности!). В самом деле, пусть Х =
= NW. Тогда ОЬ «? = Хо, Мог # = Z,.
Подробнее, в обозначениях 1.4.1, 1-симплекс геХ,
представляет морфизм из X (д\) х в X (<9°) х. Пусть, да-
далее, xt, x2 e Xi — два 1-симплекса, имеющих общую вер-
вершину X (д\) хх = Х (д\) х2. Тогда в X существует един-
единственный 2-симплекс хг ° xt s Х2, для которого X (д\) X
X (^2°xi) = х\-> X (д\) (х%°х^) = х% (ибо X — нерв неко-
некоторой категории; в произвольном симплициальпом мно-
множестве это не так). Композиция морфизмов, представ-
представленных #1 и хг, представлена симплексом
X(dl)(xtoXl).
Наконец, тождественный морфизм id»: х -> х, х s Хо,
лредставлен элементом X (s{J) xge Xu где s% — единст-
единственное отображение [1] -*• [0].
128
б) N(<e>X<e")=D(N<&XN<S") (см. определения
Н.1.7в) и 1.3.4, 1.3.5). Доказательство этого свойства
очевидно.
в) Функтор N является строгим и полным, т. е. ото-
отображение F >->¦ NF индуцирует биекцию:
Очевидно, как по морфизму /: TVS' -»¦ АТ<&" восстано-
восстановить такой функтор F: Ф-^-Ф', что f = NF: действие F
на объектах (соответственно морфизмах)— это действие
/ на 0-симплексах (соответственно 1-симплексах). То,
что F — функтор, следует из того, что / коммутирует с
отображениями граней, ввиду п. а ).
Заметим теперь, что Нот^,^ (9, *&') — функторы из
9$ ъ Я?' — снова есть категория, с естественными пре-
преобразованиями в качестве морфизмов (см. II.1.9, где мы
писали SFuncl вместо llom^Cai). Поэтому можно поста-
поставить вопрос о вычислении ее нерва в термипах Л^ и
N'S". Чтобы сформулировать ответ, полезно обсудить од-
одно общее понятие.
23. Объект «внутренние морфизмы». Морфизмы мно-
множества образуют множество; морфизмы абелевой группы
в другую абелеву группу образуют абелеву группу и
т. п. Если мы хотим аксиоматизировать ситуацию, при
которой для объектов категории Y, Z'^ObW имеется
объект «внутренних морфизмов» Hom(F, Z)^Ob<ff, то
естественный способ состоит в задании соответствующе-
соответствующего представляющего функтора. В большинстве примеров
он задается формулой типа:
(X, Нот (Y, ZJ) = Нот^ (X*Y, Z),
где * — некоторая операция произведения. Другими сло-
словами, Z I-* Нот (У, Z) является правым сопряжен-
сопряженным к X*-*X*Y. Читатель проверит, что такая фор-
формула справедлива в следующих категориях: 5?et (* —
прямое произведение множеств), s?b (« — тензорное
произведение над Z), Wat (« — произведение категорий,
П.1.7в). В следующей теореме мы установим существо-
существование объекта «внутренних морфизмов» в категории
/S^&et и его связь с соответствующим объектом в Фаг.
Для двух симплициальных множеств X, Y положим
X*Y = D(XXY) (см. 1.3.4, 1.3.5), так что (Х*УL =
= Х{ X У и (X * Y) (/) = (X (/), Y (J)) для /: [т] - [п].
9 С. И. Гельфавд, Ю. И. Манпн. т. 1 129

24. Теорема, а) В категории b?SPet для любых
двух объектов У, Z имеется объект Нот G, Z), пред-
представляющий функтор
^(Х*У, Z). B)
б) Для любых малых категорий Ч?, W существует
естественный изоморфизм симплициальных множеств
-N (Hom^ (#, «")) = Нот (N9,
Доказательство, а) Построим симшгациальное
множество Г = Нот (У, Z) явно. Напомним, что для лю-
любого п имеется стандартный симплекс А[га] ^ Ob A^ef,
в котором A[n]m = {?: [те]-»-[ге]} и A[n](f) (#) = g« / для
/: [ft] - [те].
Для каждого возрастающего h: [к] ->¦ [п] зададим ото-
отображение еАеНотдо^{ (AM, A[«]) формулой еЛ(§?) =
= h°g,g: [m] -* [к].
Теперь положим
Если /: [те] -> [га], t е Тп, то
где eft*idreHomAo (A[m]*Y, Л [га]*Y) — отображение,
тождественное на втором сомножителе.
Для доказательства формулы
построим два взаимно обратных отображения этих мно-
множеств друг в друга.
Пусть сперва ф = {ф„} ^ Ношдо^,^ (а, Г), так что
Фп: Хп->Нотдо^( (A [n]*Y,Z).
Зададим г|з = {i|)n} <= Нотдо^,?( (X*Y, Z), полагая
t|3n(a;B, г/„) = фг.(^п) (id[n], г/п),
где хп е Х„, id[n] ^ Л[га]„, уп е Уи.
Обратно, для я|з = {i|)m} s Нотдо^е( (Х*Г, Z) зададим
Ф = {ф„} е Нотдо^р( (X, Г), полагая
130
для хп е Х„, /: [т] -*- [га] е А[/г]т, j/me Ут. Здесь
(фп(хп))т — гая компонента отображения симплициаль-
симплициальных множеств ф„(ж„): Д[га] * У ->¦ Z.
Оставляем читателю несложную проверку того, что
построенные отображения ф •—»- ар и tf> >-»• ф задают изомор-
изоморфизм функторов hT: Хь^Нотдо (X, Г) и X*-*-
.- Ношдо (X*Y, Z) из {A'SPet)" в 9>et.
б) Вычислим Нот(Л^, NW). Имеем
Нот (NV, NV')n =
") (по определению Нот)
, NW) (см. пример в п. 20)
= Ыотдо (A [n]*N(S',
= Нотдо
о^; (Ж B„ X «?), NW) (ввиду 216))
п( BП X ^, «") (ввиду 21в)).
Далее ил определения 2П и произведения категорий
(П.1.7в)) ясно, что Hom,g>a(B„ X ^, ®") — это множе-
множество диаграмм
где все Ft — функторы 1? ->- W (т. е. объекты в
Honi(g?af С^, ^")), а фi — морфизмы функторов (т. е.
морфизмы в Hom^at(^7, "g")). Поэтому
Horn (NW,
Читатель легко проверит, что указанное отождествление
задает изоморфизм симплициальных множеств
N (Hom#a( («\ «")) и
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нервы категорий и гомотопии. а) Пусть ®", *g" — две кате-
категории, FB, Fr. W-+W — два функтора, <р: Fo -v F, — морфизм функ-
функторов. Докажите, что NF0, NF\: N'S -+¦ N'e" — гомотопные отображе-
отображения симплициальных множеств. (Явно постройте гомотопию, ис-
используя ф.)
б) Докажите, что сопряженные функторы F: <& -*-<&', G: 42'-+¦
-*¦ Я? задают гомотопически обратные отображения NF: NW -*¦ N'e"',
NG: N<&'-+m.
в) Докажите, что если в %? существует начальный или конеч-
конечный объект, то N'S' стягиваемо (т. с. тождественное отображение
гомотопно отображению в одну точку).
9*
131

2. Барицентрическое разбиение. Пусть задано симшгациальное
множество X. Определим категорию Шх, полагая
Ob 3$х = (невырожденные симплексы X (всех размерностей)},
и для х е Х„, х' е Хт
Ношд, (г, х') = (/: [ш] -»¦ [п], / строго возрастает и X (/) ж = ж'}.
Композиции и тождественные морфизмы определяются ес-
естественно.
Докажите, что невырожденный га-симплекс из N3$x — это на-
набор (х0, ..., Хп, U>, • •-, in-i), где X} — невырожденный /-симплекс
вХ, и x(dV)xni = x}.
N9$x естественно интерпретируется как барицентрическое раз-
разбиение симшшпиалыюго множества X (см. рис. 3).
2 пи и мл с ко Л'
2- симплекс 'N
Рис. 3
3. Морфизмы стандартных симплексов. Докпжитс, что
Нот(Л[т], Д[га]) = Нот(Л[н — 1], Л[т + 11).
Указание. Прежде всего, Д[т] — N2m, где 2т — категория
с т + 1 объектами 0, 1, ..., т, отвечающая упорядоченному мно-
множеству 0<1< ... < т. Поэтому Нот (Д[т], Л[я]) =
= N@~unctA,m, 2„). Используйте теперь упражнение 1.4.
4. Докажите, что для любых X, Y, Z e Ob t^S^et имеем
Hom(X* У, Z) = Hom(X, HornG, Z)).
5. Квадратичные алгебры, а) Категория квадратичных алгебр
Qsf-. Пусть к — поле. Квадратичной алгеброй называется ассоци-
оо
ативная Z-градуированная алгебра А = © А-х с условиями:
»=о
(i) Аа = к, dim Ai < оо;
(ii) А порождена Ао я Ai, a идеал соотношений между эле-
элементами А\ порожден подпространством R(A) с: А\ ® Л\. Будем за-
записывать это
А ¦*->• {Аи R(A) czAi ® Л,}.
Морфизм /: А-*-В в Q,s$- — это гомоморфизм /с-алгебр, сохраняю-
сохраняющий градуировку. Поэтому Hom^^ (А, В) находится во взаимно
однозначном соответствии с такими линейными отображениями
/: Ai^Bu что (f®f)(R(A))czR(B).
б) Двойственность. Для А е Ob QM- положим
132
где R(AI- — аннулятор R(A) в (^ ® AJ* = А* ® А*. Доканмте,
что эта операция продолжается до зквивалептности категорий
Qs4--+Qs&o. Докажите, что S{Vy = A{V*), A{V)! = S(V*) (S и
Л — симметричная и внешняя алгебры линейного пространства,
которые, очевидно, квадратичны).
в) Произведения. Для A, BeObQ^t положим
А оВ
А.В
U SI23)(R(A)
+ Л,
где 5B3) — оператор перестаповки второго и третьего мпожителей
в Ах ® Л, ®В, ® В,. Докажите, что D 0 ВI = Л! . Д!, (Л.В)' =
= Л! о В'- (изоморфизм бифункторов).
г) Внутренний Нот. Докажите, что имеется изоморфизм функ-
функторов (по Л, В, С)
Нот (Л . В, С) = Нот (Л, В'- о С),
при котором отображению /: А\ (&В\-*-С\ ставится в соответствие
отображение g: Ау-+В^® Сх со свойством /(а 0 ft) = <?(«), 6>
(свертка по 6).
Положим Нот (Л, С) — В' о С (ср. п. 23).
д) Единичный объект. Пусть К = к[е], е2 = 0. Покажите, что
К.А&А, Нот (Л1, К) с* А.
е) Комплекс Кошу ля К' (/). Полагая в г) Л = К, поставьте
в соответствие любому морфизму /: В-+¦ С комплекс К' (/) =
= (Я'°С, d^, где dj — правое умножение на образ eeIjB!«C
при морфизмс, отвечающем /. Вычислите явно К' (idg(y)) (ср.
упр. 1.7.5).
ж) Внутреннее умножение и коумножение. Постройте гомо-
гомоморфизмы внутреннего умножения
Нот (В, С) . Нот (С, D) -+Нот(Я, D),
В . Нот (В, С) -*¦ С.
Сформулируйте и докалште свойство ассоциативности.
Полагая horn (В, С)= Нот(Д!, С')'- = В' • С, постройте гомо-
гомоморфизмы внутреннего коумпожения
hom(S, D) +homE, С) °hom(C, D),
С-+йо hom (В, С).
Сформулируйте и докажите их ассоциативность.
§ 5. Аддитивные и абелевы категории
1. Абелсв аргумент теории гомологии. В п. 1.6.1 мы
упоминали, что всякая теория гомологии зависит от двух
аргументов — абелева и неабелева. Абелев аргумент, как
правило, является объектом абелевой категории (тогда
как неабелев аргумент — это сама категория). Понятие
133

абелевой категории аксиоматизирует основные свойства
следующих конкретных категорий:
а) абелевы группы,
6)t модули над кольцом,
в) системы коэффициентов (п. 1.4.8) и предпучки
абелевых групп (§ 1.5),
г) пучки абелевых групп (§ 1.5).
Мы последовательно сформулируем аксиомы А.1 —
АЛ абелевой категории ft (определив входящие в них
понятия), проверим их для категорий а)—г) и проком-
прокомментируем, каким образом они нарушаются для близких,
но не абелевых категорий, таких как топологические
абелевы группы и абелевы группы с фильтрацией.
2. А1. Каокдое множество Нот^, (X, У) снабжено
структурой абелевой группы (которую мы будем запи-
записывать аддитивно); композиция морфизмов биаддитивна
относительно этой структуры.
Иными словами, Hom<g> есть функтор ЯП* Х'ё' -*¦ Mb.
Отметим еще, что отсюда следует непустота всех
Hom%> (X,Y), ибо в любой абелевой группе есть нуле-
нулевой элемент.
Во всех примерах а)—г) очевидно, какая структура
на Honigj (X, У) имеется в виду.
3. Л2. Существует нулевой объект О^ОЪ*^ — такой,
что Ноп% @, 0) — нулевая группа. Отсюда следует, что
Нот(Х, 0) и Нот@, X) для всех X является нулевой
группой, а любые два нулевых объекта изоморфны. Мы
будем обозначать 0 также нулевые морфизмы.
В категориях а) — г) нулевые объекты очевидны.
4. A3. Для каждой пары объектов Xh Хг существует
объект Y и морфизмы plt 2) ?i, 2'
1 —> 1 3* Л2 A)
со следующими свойствами:
{ '
Р2 I :~" Pi- 2 ==1 ^"
Смысл этой аксиомы выясняет следующая простая
лемма:
5. Лемма. Следующие два квадрата являются со-
соответственно декартовым и кодекартовым (пп. 3.5 и 3.6),
134
т. е. Y является одновременно прямым произведением
и прямой суммой Xi и Хг:
t .
0
В частности, при данных Х„ Хг любые две диаграммы
вида A) канонически изоморфны.
Доказательство. Покажем, например, что по
Pi fVn
диаграмме Хг -<- У —*- Х2 можно построить единственный
морфизм ф: Y' -»- Y, для которого
Pi'=Pi°4>, Р2 = Р2°Ф- C)
Если <р с условиями C) существует, то умножив пер-
первое равенство на it, второе на it и сложив, получаем
с учетом B), что i}pi + i2Pz = ф- Наоборот, этот морфизм
Ф удовлетворяет C). Это завершает проверку декарто-
иости; вторую проверку оставляем читателю. ¦
В категориях а)—г) существование прямых сумм/
/произведений проверяется автоматически.
Теперь мы приступим к категорпому анализу наиме-
наименее тривиального свойства категорий а)—г)—существо-
а)—г)—существования в них точных последовательностей.
6. Ядро. Пусть категория ^ удовлетворяет аксиомам
А1 и А2 и пусть ф: X ->• У — некоторый морфизм. Рас-
Рассмотрим функтор Kercp: W0 - &b
(Кегф) (/)= ограничение hx(j) на (Кегф) (Z)
(см. пп. 3.1, 3.2).
Вложение (Ког ф) (Z)c X(Z) определяет морфизм
функторов k: Kcrq>-+hx. Предположим, что Кегф пред-
представлен объектом К. Этот объект определен вместе с
морфизмом к: К-^Х по теореме 3.3, и ф°& = 0. Диа-
k ф
грамма K-+X-*-Y обладает следующим универсаль-
w
ным свойством: для любого морфизма К' ->-Х с ф4' =
h
= 0 существует единственный морфизм К' ->- К, для ко-
которого к' = к ° k.
Морфизм к, или пара (К, к) называется ядром <р;
допуская вольность речи, мы будем также называть яд-
ядром объект К.
135

Докажем, что если ядро (К, к) морфизма ср суще-
существует, что оно определяется однозначно. Прежде нсего,
применяя универсальное свойство ядра к к: К-*Х, по-
получаем, что единственным морфизмом 8: К ->- К, для
которого к ° 6 = к, является морфизм 6 = iuK. Далее,
пусть &,: Ki -»- X и к2: К-*Х— два ядра морфизма ср.
Ввиду универсальности диаграмм K1-*-X-*-Y, К2~*-
ф
-+-X-+Y, существуют единственные морфизмы -ф±: Kt ->-
->¦ Кг, тр2: Кг ->- Kh для которых к2 ° "ф4 = &(, ft4 ° гр2 = к2.
Отсюда ki о 1р2 ° "ф* = &i, и сокращая, как указано выше,
слева на ки находим тр2 •^Pi=^k1. Аналогично, ^>i°ipa=idK2,
т. е. пары (Ки kt) и (/Г2, /с2) изоморфны.
В категориях а) — г) имеется теоретико-множествен-
теоретико-множественное понятие ядра: ф~4@) в группах и модулях; семей-
семейство гр^1 @) в системах коэффициентов (см. 1.5.8); се-
семейство сру1(О) в пучках, где морфизм пучков ср: 2Г -»¦
-> 'S представлен морфизмами ф^: &~(U)-> &(U) для
всех открытых подмножеств U.
7. Лемма, а) В категориях а) — г) теоретико-мно-
теоретико-множественное ядро морфизма ф: X -*¦ Y является объектом
К той же категории.
б) Каноническое вложение этого объекта К в X яв-
является категорным ядром в смысле п. 6. ¦
Для категории пучков это следует, по существу, из
1.5.4а).
8. Коядро. Напрашивающееся наивное определение
Сокег ф как объекта, представляющего функтор Z ^-*¦
*-* Coker (X (Z)-^Y(Z)), является неправильным. На-
Например, уже в категории абелевых групп он не изо-
изоморфен функтору, представленному теоретико-множе-
теоретико-множественным коядром. В самом деле, положим X = Y = Z,
Ф — умножение на целое число п > 1, Z = Z/reZ. Тогда
X(Z)=Y(Z)=0, так что Coker (X(Z)^ Y(Z)) = 0, в то
время как Hom(Z/«Z, Coker ф) =5^0 (здесь Coker ф =
= ZMZ — теоретико-множественное коядро ф). Рекомен-
Рекомендуем проверить, что функтор Z >-* Coker (л (Z) ->• Y (Z))
в нашем примере даже не представим.
Правильное определение Coker ф, если этот функтор
представим, требует двойпой дуализации:
Coker ф=(КегФ°)°,
где ° — символ перехода к двойственной категории (см.
136
п. 1.76)). Читатель проверит, что это определение равно-
равносильно каждому из следующих двух.
а) Коядро морфизма ф: X ->- Y есть морфизм с: Y -*¦
-»- К' такой, что для любого объекта Z e Ob ft последо-
последовательность групп
0 -> Нош^ {К', Z) -> Honig, (У, Z) -> Hom^ (X, Z)
точна. (Это и означает, что [К')° представляет Кегф0.)
с
б) Коядро морфизма ф: X -»- Y есть морфизм Y-+-K'
такой, что с°ф = 0 и для любого морфизма Y-+-K-L с
Ci ° ф = 0 существует единственный морфизм h: К' —>¦ К^
с ct = h " с. с
Так же как и ядро, коядро Y-+K', если оно суще-
существует, определяется однозначно с точностью до кано-
канонического изоморфизма.
В категориях а)—в) имеется теоретико-множествен-
теоретико-множественное определение коядра и справедлив аналог леммы 7.
Так, в категории s?b абелевых групп коядро гомомор-
гомоморфизма ср: G ->¦ Н — это пара (К1, с), где К' = H/q>(G),
с: Н -»- К'— отображение факторизации. Аналогично оп-
определяется коядро в категории модулей над фиксиро-
фиксированным кольцом. Коядро морфизма ф: X -*- Y в катего-
категории предпучков — это пара (К', с), где К' — предпучок
Kf(U)=Y(U)/(fu(X(U)), cv: Г(Г7)^Ж'(С/)-фактори-
зация. Аналогично определяется коядро в категории ло-
локальных систем на фиксированном симплициальном мно-
множестве.
Сложнее обстоит дело в категории ЗРМ-Ъ пучков абе-
абелевых групп. Дело в том, что даже если ф: X-*¦ Y —
морфизм пучков, {K'(U)= Cokerф[/} может оказаться пе
пучком, а лишь предпучком (см. 1.5.46)). Можно про-
проверить, что {K'(U)} является коядром в категории пред-
пучкоп.
Ниже, в пп. 12—16, мы построим коядра морфизмов
в категории пучков. Теперь же сформулируем послед-
последнюю аксиому.
9. А4. Для любого морфизма ф: X ->- Y существует
последовательность
со следующими свойствами:
а) / ° i = ф;
б) К есть ядро ср, К' есть коядро гр;
в) / есть коядро к и ядро с.
137

Такая последовательность называется каноническим раз-
разложением ф.
10. Определение. Категория, для которой выпол-
выполнены аксиомы А1 — A3, называется аддитивной; кате-
категория, для которой выполнены аксиомы А1 — А4, на-
называется абелевой. щ
Все категории а)—г) в п. 1 аддитивны. Более того,
все они абелевы. Существование канонического разло-
разложения морфизма ср: G -»- Н в категории $4-Ъ (т. е. изо-
изоморфизм 1тф^ G/Ker ф) обеспечено теоремой о гомо-
гомоморфизме абелевых групп; аналогично устанавливается
абелевость категории модулей над фиксированным коль-
кольцом. Для категорий из п. 1.в) каноническое разложе-
разложение строится почленно. Так, в категории fPMb предпуч-
ков абелевых групп каноническое разложение морфизма
ф: X->-У получается из канонических разложений мор-
физмов ф[7: X(U) + Y(U) в М:
кц гц зу си
которые, как легко проверить, совместимы с гомомор-
гомоморфизмами ограничения.
Ниже будет проверепа абелевость категории Я^зФЬ
пучков абелевых групп (предложение 15).
11. Комментарии к аксиоме А4. а) Если канониче-
каноническое разложение морфизма ф существует, то любое дру-
другое каноническое разложение изоморфно ему, и этот
изоморфизм определен однозначно.
б) Если постулировать только существование ядер и
коядер, то для любого морфизма ф можтто построить две
половины диаграммы D):
k i , J c .,
где /с = Ксгф, i = Coker к; с = Coker ф, j = Kerc, а так-
также морфизм I: /-»¦/', такой что (p=i«l°i. Можно про-
проверить, что Кег I = Coker I = 0 (т. е. I является моно-
мономорфизмом и эпиморфизмом). Дополнительное требова-
требование аксиомы А4 состоит в том, чтобы I был изоморфиз-
изоморфизмом (т. е. обладал обратным). Иногда (/', /) называется
образом <р, а (/, i)— кообразом.
в) Аксиома А4 автодуальна в следующем смысле
слова. Рассмотрим диаграмму D) в двойственной кате-
категории С:
сО -jO i^ /fO
Л ->¦ У —*-1 ->¦ А -> Л . {t)
138
Если D) есть каноническое разложение ф, то D)° есть
каноническое разложение <р°.
Аналогичными свойствами автодуальности обладают
и аксиомы А1 — A3. Таким образом, если считать, что
Нои% (X, Y) = Homg>o (У0, Х°) как абелева группа, то
категория, двойственная аддитивной, аддитивна; а кате-
категория, двойственная абелевой,— абелева.
г) В абелевой категории всякий морфизм ф, у кото-
которого Кег ф = 0 и Coker ф = 0, является изоморфизмом.
id
В самом деле, коядро морфизма 0-»-Х изоморфно Х-*-
id
—>-Х, а ядро морфизма Y ->- 0 изоморфно Y~*-Y. Ак-
Аксиома А4 поэтому показывает, что морфизмы i, / яв-
i }
ляются изоморфизмами: Х->/-^У.
д) Морфизмы ф, у которых Кег ф = 0, называются
мономорфизмами; морфизмы ф, у которых Coker ф = 0,
называются эпиморфизмами.
12. Пучки и предпучки. Пусть ffs&b (соответственно
!РМЪ)—аддитивные категории пучков абелевых групп
(соответственно предпучков абелевых групп) на тополо-
топологическом пространстве М. Каждый пучок является пред-
пучком с дополнительными свойствами; это определяет
функтор вложения i: ff'Mb -^3>s4-b. В доказательстве
абелевости категории Я'зФЪ основную роль играет кон-
конструкция левого сопряженного функтора, т. е. функтора
s: tPMb -»- ЗРзФЪ и изоморфизма бифункторов
(sX, Y) ^ Нот^^ь (X, iY). E)
После этого устанавливается, что коядро морфизма пуч-
пучков ф: X-v Y можно определить как s(R), где К — ко-
коядро ф в 3*зФЪ, и проверяется аксиома о каноническом
разложении А4.
13. Предложение. Функтор v. 9"МЪ -> ?Рз4-Ъ обла-
обладает левым сопряженным.
Доказательство. Мы построим функтор
s: SPM-Ъ ->¦ Я'МЬ и такой морфизм функторов е: 1&д>&ъ-*-
->i«s, что отображение E), ставящее в соответствие
еХ 1(ф)
морфизму <р: s (X) -»- Y композицию X —>-1 ° s (X) ->-1 (Y),
определяет изоморфизм E) бифункторов.
Пучок s(X) для преднучка X будет совпадать с пуч-
пучком X4", ассоциированным с X (см. 1.5.6). Мы дадим
здесь другую конструкцию s (X), более подходящую для
наших целей. Напомним, что если предпучок X не яв-
139

ляется пучком, то у него либо есть ненулевое сечение
eel(f), которое становится нулевым на элементах не-
некоторого покрытия U = UU{, либо есть набор согласован-
согласованных сечений (et)^ $ X(?/,¦), который не происходит из
()
Поэтому сечения пучка s(X)(U) и строятся как та-
такие наборы. Именно, положим
s(X)(U)= класс эквивалентности наборов ({Ui}, е\), где
г}, е^ ~ ([Uj], еД если существует покрытие [U"h],
вписанное в {Ui} и в {?/;), такое, что при
UlczUif
имеем еЛ
-= е-.
Обозначим соответствующий класс эквивалентности
[{UJ, et]. Определим отображение ограничения rUY'
s(X) (U)-+ s(X) (V) для V <= U на представителях, по-
полагая
rv,vl{Ui}, ег]-^[{и^У}, (?,|,/1ПУ].
Определим также сложение в s(X) (U) формулой:
[{Ui}, ег] + [{V,}, f}] = [{Ui П Vj), e, |r/jnVj + /,• \uiDVi].
Мы оставляем читателю проверку того, что эти опреде-
определения совместимы с отношением эквивалентности и оп-
определяют па s(X) структуру предпучка абелевых групп.
В действительности он является пучком.
В самом деле, пусть сечение [Ш4}7 et]^ s(X) (U) ста-
становится нулевым после ограничения на покрытие {V}).
Это значит, что для каждого / существует такое измель-
измельчение \Ukj\ покрытия \JUiC\Vj = Vj, что для всех i
г
и к с Ukj с: Uг П Vj имеем ei > — 0. Но это значит, что
[{Ui}, *] = [{?/«}, 0] = 0.
Теперь пусть U=l)Vj и gj e s(X) (Vj) таковы, что
rVj,VjriVi(gj) = rri.vjnvi(gi)- Пусть gj представлен
классом ({Ujh}, gift]. Равенство ограничений па V} fl Vt
означает, что на F,- Л У,- существует покрытие {Ujh}, впи-
сашюс и {UJhf\Vi) и (С/« Л Fj}, такое, что ограничения
gjh и gik, па каждый элемент С/"лчг, лежащий в пересече-
пересечении их областей определения, совпадают. Обозначим
140
через g,ju эти ограничения. Тогда класс
после ограничения на Vj совпадает с gj.
Доопределим отображение s на морфизмах предпуч-
ков <р: X -*¦ У, полагая
Мы завершили конструкцию функтора s. Морфизм функ-
функторов е: IdS!)j^b->-i °s состоит из морфизмов предпучков
{X){U)}, где:
= {lU}, e].
Заметим, что если X — пучок, то е определяет изомор-
изоморфизм X и i°s(X). Мы будем иногда отождествлять X
и i ° s (X) с помощью этого изоморфизма.
Докажем теперь, что отображение, ставящее в соот-
соответствие морфизму ф: s(X)-*Y морфизм 1(ф)°?*: X -»¦
-+¦ i(F), задает изоморфизм E).
а) Пусть 1(ф)-ех = 0, e = [{?/J, et] s s(X) (U). Поло-
Положим ? = фс(е)е= У(Е7). Ясно, что g|u{ = A(ф)в е.у))уДе{).
Поэтому g 1^ = 0 для любого i; поскольку Y — пучок,
g = 0. Следовательно, ф = 0.
б) Пусть if: Z-)-i(F)—некоторый морфизм пучков.
Построим ф: s(X)->-Y, для которого г|) == 1(ф)° гх- Пусть
U<=M, e = [Ш<}, eJes(X)([f). Положим ^== -ф|^(е,) е=
еУ(С/г). Поскольку ф — морфизм предпучков, из ус-
условия е* l^nUj = е3- lyjnUj следует, что g. (у.^у. = g_. |у.л^
для непустых J74 П Vj. Далее, Y — пучок, так что суще-
существует g^Y(U) cg\ui = gv Положим y>u(e) — g. Остав-
Оставляем читателю проверку того, что ф^(е) не зависит от
выбора представителя (ШЛ, е{) сечения е, что ф =
= (фр) — МОрфиЗМ ПУЧКОВ s(X)-*-Y И ЧТО 'ф==1(ф)<>
Пример. Если X — предпучок, описанный в
п. 1.5.46), то s(X)— пулевой пучок.
14. Пр е д л о же ние. Пусть ц>: X ->- Y — морфизм
пучков в Я'^Ь и пусть
KXixXl^iY^K' F)
каноническое разложение морфизма 1(ф) в абелевой ка-
категории ^si-Ъ. Тогда диаграмма
s{h) s(i) Hi) Ф)
G)
141
s{h)
Hi) Ф)
si-+Y = siY—+sK

является каноническим разложением морфизма ф в ка-
категории дРМЪ. В частности, категория 3Ps4-b абелева.
Доказательство. При отождествлениях X = siX,
Y = siY имеем cp = si(<p). Поэтому s(j)° s(i)= s(j ° i) =
= si(q>)= ф, так что разложение G) обладает свойством
а) канонического разложения морфизма <р (см. п. 9).
Два других свойства сводятся к аналогичным свойствам
разложения F) с помощью следующего результата, свя-
связывающего ядра и коядра в &Ps4-b и SPj&b. ш
15. Лемма. Пусть <р: X -»- У — морфизм предпучков
абелевых групп, (К, к) и (К', с)—ядро и коядро ф в
категории ?Ps4-b. Тогда (sK, s(k)) и {sK', s(c))~ ядро
и коядро морфизма $(ф): sX -»- sY в категории 9*s&b.
Доказательство. Утверждение о коядре сразу
следует из предложения 13. В самом дело, пусть Z е
^ ОЪ 9*МЬ. Тогда последовательность абелевых групп
(X, iZ)
точна, и ввиду E), последовательность
О-*~ Кот ^^(sK', Z)-+Hom.g,S?b(sY, Z)->- Нотg>^.b{sX, Z)
ей изоморфна, так что тоже точна. Поэтому (sK', s(c)) —
коядро s(<p) (см. п. 8а)).
Докажем теперь, что (sK, s(k)) — ядро ¦''(ф). Ясно,
что я(ф)° s(k) = s((f о k) = 0. Пусть, далее, Z^&si-b и
ф: Z -*¦ sX — такой морфизм, что 8(ф)°1|) = 0. Нужно до-
доказать, что существует единственный морфизм 8: Z ->¦ sK,
для которого i|) = s (k) ° Э.
Заметим прежде всего, что «ели 0 существует, то он
единствен. Для этого достаточно проверить, что для лю-
любого открытого UczM, s(k)Lr: sK(U)-+- sX(U) — вложе-
вложение. Пусть е = [ШЛ, e,]esK(U). Условие 5(^)^F) = 0
означает, что для некоторого покрытия {Vj}, вписанного
в W%), имеем ку. (ег \у.) = 0 для всех Vj^l7{. Поскольку
ку. — вложение, е\\у. — 0, так что е =[{f/i}, в{] = [{Vj},
ei\Yj] = 0.
Для построения 9 будем строить гомоморфизмы Qv
для всех U с М.
Пусть e^Z(U) и g = i\r(e). Поскольку s(q>)u(g) = 0,
существует такое покрытие {L\} множества U, что
4V - Уи (е) \щ = фу.' Уи{ {е \и{) = 0. (8)
Далее, для любого /, (K(Ui), киг) — ядро гомоморфизма
фуг: X (U$->~ Y (Ui). Поэтому для каждого i существует
142
единственный элемент
, для которого
Далее, для любого непустого пересечения Ut П Uj
имеем
Поскольку kuitwy К (Ui П Uj) ->- X (С/4 f| Uj) — вложение,
имеем
Следовательно, набор (Wi), ht) задает сечение he
<ssK(U). Положим 6[/(e) = /j.
Читателю предлагается проверить следующие утверж-
утверждения:
а) Элемент h^sK(U) пе зависит от выбора покрытия
{С/Д, удовлетворяющего (8).
б) Qu' Z(U)-*- sK(U) — гомоморфизм абеловых групп
и набор {Be/, U <= М} задает морфизм пучков 6: Z-*-sK.
в) $ = s(k)°Q. ш
Приведем теперь некоторые естественные примеры
аддитивных категорий, в которых пе выполнена аксио-
аксиома А4.
16. Фильтрованные абелевы группы. Назовем объек-
объектом категории slbST абелеву группу X с последователь-
последовательностью подгрупп ... cr F'Xci jF'+1Xc: ... а X. Положим
(X, У) | <р (FlX) c= FlY для всех Ц.
Обозначим через F4p ограничение ф: FiX-+FiY.
Ядро морфизма ф в МЬ&~ как группа совпадает с
ядром ф в s?b; фильтрация на нем есть Кег «^ь F\p (про-
(проверьте).
Коядро морфизма ф в s&b@~ как группа совпадает с
коядром фв rf/i; фильтрация на нем есть
F{ Сокег^^ф = F'Y/F'Y (] ц> (X)
(проверьте).
Следующая конструкция доставляет морфизмы с ну-
нулевыми ядром и коядром, не являющиеся изоморфизма-
изоморфизмами. Рассмотрим одну и ту же группу X с двумя фильт-
фильтрациями, F\X a F\X для всех i, и ее тождественный
143

морфизм. Если хотя бы для одного i имеем F\X Ф F\X,
то это — не изоморфизм. В силу п. 11г) отсюда следует
неабелевость категории s?b@~.
Для общего морфизма ф: X ->¦ Y в обозначениях
п. 116) имеем: / = Х/Кегф, 7' = ф(Х) как группы с
фильтрациями
F4 = FX/Kec F'y, FT = F' Y Л <p (X).
Канонический морфизм I->-Г индуцирован ср; отт явля-
является изоморфизмом в s4-b. Однако фильтрации (p(FiX) и
F'Y Пф(Х) могут не совпадать, как в предыдущем при-
примере, и тогда ф пе будет иметь канонического разло-
разложения.
17. Топологические абелевы группы. Объектами ка-
категории sibST являются абелевы группы с хаусдорфо-
вой топологией, морфизмами — непрерывные морфизмы
групп. В этой категории существуют ядра и ко-
коядра: Кег ф, где ц>: X -*- Y есть теоретико-групповое
ядро ф с индуцированной топологией, а Сокегф есть
УЛр(Х), где ц>(Х)—замыкание теоретико-множественно-
теоретико-множественного образа относительно топологии, ипдуцироваплой с Y.
Покажем, например, что если Y-+Z таков, что тр °
° ф = 0, то 1|з проводится через некоторый морфизм
Y/<p(X)-+ Z. Действительно, Кег/ф = г|Г1@) есть замкну-
замкнутая подгруппа У, содержащая ц>(Х), откуда и следует
требуемое.
В обозначениях п. 116) имеем / = Х/Кег<р, 7' = ф(Х),
с топологией, индуцированной с Y. Отображение /-*¦/'
не является изоморфизмом, если <f(X) не замкнут. Мо-
Может оказаться также, что Ц>{Х) замкнут, но У индуци-
индуцирует на нем более слабую топологию. Например, тожде-
тождественное отображение R с дискретной топологией в R
с обычной топологией имеет нулевое ядро и коядро, но
не является изоморфизмом.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
Цоль нескольких следующих задал: — продемонстрировать ме-
методы работы с объектами произвольной абелоной категории si-, как
если бы оки были просто абелсвыми группами. Оти методы оспо-
напы iia следующее понятии.
Элементом у объекта У (обозначение: у е F) абелевой кате-
категория si называется класс эквивалентности пар (X, h), i' e Ob rf,
144
h: X-*-Y, по соотпошепию аквивалонтностя
существует Z eOb.s# л эпиморфизмы 1 ,„.
u;Z->X;u': Z-+X', такие что hu=k'u'j- {J>
Ясно, что соотношение (9) симметрично и рефлексивно.
1. Докажите, что (9) трапзитивно.
Указание. Докажите сперва следующий результат, кото-
который вообще оказывается очень полезным.
2. Пусть
Z—> Y
l , Iе
X—> U
— декартов квадрат в s&, так что Z= XXY —расслоенное произ-
произведение X и Y над U. Тогда из эшшорфности / вытекает эниморф-
ность /'. Кроме того, /' индуцирует изоморфизм Ког g -> Кег g'.
Точпое, если (К', к') — ядро д', то (К', f'k') — ядро g.
3. Замечания. Отмстим аналогию понятия элемента объекта Y
абелевой категории и общего понятия F-точки (см. § 3.2). Отличив
этих двух понятий состоит во введении дополнительной фактори-
факторизации A). Необходимость такой факторизации можно усмотреть
из обсуждения свойств ядер и коядер в пп. 5.6—5.8. Точнее, по-
поскольку функтор Нот^ (•, Y) точен слева, но не точен справа (см.
§ II.6) отображение Ногн^ (X, Yy) ->- Иот^ (X, У2) является вло-
вложенном, если Yx-^-Yi — мономорфизм, по, вообще говоря, не яв-
является сюръективиым, если Y\ -*- F2 — эпиморфизм. Введение фак-
факторизации A) исправляет этот недостаток (см. задачу 5в)).
Основная неприятность, возникающая при попытке описывать
морфизмы в аболовой категории их действием на элементы, со-
состоит в трудностях, возникающих при попытке охарактеризовать
те отображения {множество элементов Fi} ->- {множество элемен-
элементов Y2], которые индуцируются некоторым морфизмом /: Yi ->¦ У2.
Поэтому обычно требуемые морфизмы строятся независимо, а эле-
элементы используются при проверке их свойств,
fi. Пусть /: Y\ ->- У2 — морфизм в М, у — элемент Уь (X, h) —
представитель у. Покажите, что f(y) = {класс (X, /ой)} задает
отображение {элементы Fj} —>- {элементы Уг} (которое будет
обозначаться той же буквой /).
Пусть также 0 — класс пары @, 0), и для je (X, h) пусть
—у — класс нары (X, —А).
5. Докажите следующие основные правила диаграммного по-
поиска:
а) /: Yi-*-Y2— мономорфизм, если и только если для у <=
s У условие f(y) = 0 влечет у = 0.
б) /: Yi -»- Уг — мономорфизм, если и только если для у, у' е
е Y условие f(y) — f(y') влечет у = у'.
в) g: Yi ->- У2 — эпиморфизм, если и только если для любого
у <=Y2 существует у' <= F, с f(y') = у.
г) /: У1 -ь ?2 — пулевой морфизм, если и только если }{у) =
= 0 для всех у е У].
10 С. И. Гельфанд, Ю. И. Мадии, т. 1 145

1 S
-*- Y-*¦ Y2 точна в члене F, гели и
=0 существует
д) Последовательность л ^ —г- ± -*¦ j 2
только если j/ = 0 и для любого у е Y с
и' е Y\ с fly') = у.
е) Пусть задан морфизм g: Yt -+ Y2 и такие элементы у, у' s
eyh что g(y) = g(y'). Тогда существует такой элемент z e ii,
что ^(г) = 0, и, кроме того, для любого морфизма /: Y\-*-Y с
/(г/) = 0 имеем /(z) = —/(»') и для любого морфизма / : Fi->-r
с f'{y') =0 имеем /'(z) = 1(у)- (Элемент z — это аналог разно-
6. Докажите следующую лемму о пяти гомоморфизмах. Пусть
задана коммутативпая диаграмма
X.
X.
X.
J'i I'» I
'.
в которой строки точны, /i — эпиморфизм, /5 — мономорфшш, /2,
/4 — изоморфизмы. Тогда /3 — также изоморфизм.
7. Лемма о змее. Пусть задана коммутативпая диаграмма
о
1
У,
'.1
л
о
¦ о
A0)
с точными строками.
а) Докажите, что последовательности
0 _» Кег /х Д Кег /2 -^- Кег /3,
Сокег /х -4- Соксг /2 -> Сокег /3
A1)
•0,
где аи а2 (соответственно Ьь Ь2) индуцируются морфизмами ?i,
g2 (соответственно feb fe2) точны.
б) Постройте естественный морфизм о: Ker/3->-Cokor/i, со-
соединяющий две точные последовательности в одну длинную точ-
точную последовательность.
У к а з а н и е. Мы покажем лишь, как строить б; все проверки
пповодятся с помощью задачи 5.
Дополним A0) до следующей коммутативной диаграммы с
точными строками:
v Z
0-
X.
xi
'4
х„
Кег /,
. о
2 ft.
2
146
в которой Z — декартово произведение Х2 и Кег/3 над Х3, Z' — ко-
дскартово произведение F2 и Сокег /, над Yu Согласно задаче 2,
s — эпиморфизм с ядром /': Z' -+¦ F3. Аналогично s' — мономорфизм
с коядром t'\ Z' -*- Ys. Рассмотрим морфизм е = lj2l': Z ->- Z'. Он
обладает свойствами nt = s'k'fi = 0 и t'e = f3ks = 0. Поскольку
верхняя и нижняя строки диаграммы A2) точны, существует
единственный морфизм <5: Кег /3-»- Сокег /ь для которого 8 = s'6s.
8. Теорема Жордана — Гельдера. Ненулевой объект X абеле-
вой категории ?Ф называется простым, если у пего нет собствен-
собственных ненулевых подобъектов. Рядом Жордана—Гельдера объекта
X называется конечная фильтрация подобъоктами 0 = Хо cz X\ cz
с ... с X, с I такая, что Xj/^Y,_i — простые объекты. Если X
обладает таким рядом, то говорят, что его длина конечна. Теоре-
Теорема Жордана — Гельдора утверждает, что любую фильтрацию
0 = Х'о а Х'о С ... cr Xm — X объекта конечной длины X, для
которой X'i/Xi_^ф 0, можно уплотнить до ряда Жордана — Гель-
Гельдера, и любые два ряда Жордана — Гельдера объекта X эквива-
эквивалентны (т. е. задают одинаковые с точностью до перестановки на-
наборы простых объектов X,/A\_i); в частности, все ряды Жорда-
Жордана — Гельдера имеют одну и ту же длину.
9. Факторкатсгории по Серру. Пусть б4- — абелева категория,
38 cz .9^ — полная подкатегория s&, удовлетворяющая следующим
условиям:
(i) Вместе с каждым объектом В категория Я содержит лю-
любой объект, изоморфный подобъекту пли факторобъекту В.
(ii) Вместо с каждыми объектами В', В" Я содержит любое
их расширение (т. е. средний член точной последовательности
0j5'ss'/0)
)
Для фиксированного ЛеОЬа^ обозначим через Sub^A мно-
множество мономорфизмов ф: В-+А таких, что Coker tpe Ob &, со
следующим упорядочением: (ф: В-^ А) ^ (ф': В''-*¦ А) если и
только если <р пропускается через ф', т. е. ф = ф'0 для некоторо-
некоторого (очевидно единственного) 0:В—>-В'.
Двойственное определение задает частичное упорядочение на
множество Qu^/1 эпиморфизмов 1|з: Л-*-С с кег-феОЬ^.
Для фиксированных А, А' е Ob si- отображение (ф: В -*¦ Л,
¦ф: А'-+С)>-~Пот^ [В, С) задает функтор FА<А, =?:<& /Sub^Ayx
X "& (Qu^-^') -+^Ъ С&{1)—категория, отвечающая частичпо
упорядоченному множеству /, см. 1.5 г)).
Определим факторкатегорию S&/3&, полагая
Нош
(A, A') = \i
Определите произведение морфизмов и тождественный мор-
морфизм в st-\9i.
Докажите, что sd-jSl — абелева категория и что естественный
функтор if>: sl-^-sf-l9S (тождественный на объектах) точен. Дока-
Докажите, что <f(A) =0 тогда и только тогда, когда Л еОЬ^.
Стандартными примерами подкатегорий Я являются ff"s^-b
(конечные абелевы группы) с: stb, Tectfh (конечномерные век-
ю* 147

торные пространства) a Teeth и т. д. Существование и хорошие
свойства факторкатегории по Серру si-138 позволяют использовать
рассуждения <шо модулю З&ъ (например, работать в категории
абелевых многообразий с точностью до изогешш),
§ 6. Функторы и абелевость
1. Определение. Пусть Я&, Я%' — аддитивные кате-
категории. Функтор F: '&-+'&" называется аддитивным, если
все отображения
F: Нот^ (X, У)-* Hom^/ (FX, FY), X,Y <= OW,
являются гомоморфизмами абелевых групп. ¦
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать
аддитивные функторы. Однако читатель не должен ду-
думать, что все интересные функторы аддитивны. Важные
неаддитивпые функторы — тензорные степени и их кано-
канонические прямые слагаемые на категории j4-mod над
коммутативным кольцом А:
Тп: A-mod -> A-mod, Тп (Е) - ?®п, Г (/) = /®п.
Если А является Q-алгеброй, то любой идомиотопт а из
групповой алгебры симметрической группы Sn позволяет
определить функтор
Sia) (Е) = Im (Tn (E) А Г (?)).
В частности, так получаются симметрическая степень
S"(E) /отвечающая а = -у- ?_,
и внешняя степень
I отвечающая а = — ^ (sgn s) s \.
Основные характеристики аддитивных функторов свя-
связаны с тем, насколько они сохраняют ядра и коядра.
Введем необходимые определения.
2. Определение, а) (Коцепным) комплексом в
аддитивной категории %? называется последовательность
объектов и морфизмов
со свойством dn ° dn~l = 0 для всех п.
б) Если категория Ч>? абелева, то (п+ i)-мерной груп-
группой когомологий комплекса X в ней называется объект
Ьп+\ A)
148
определяемый из коммутативной диаграммы
Coker d"
X1
X'
(Равенство в A) означает канонический изоморфизм.)
в) Комплекс X' в абелевой категории называется
ацикличным в члене Хп, если Нп(Х') = 0.
г) Комплекс X' в абелевой категории называется
точным (или точной последовательностью), если он ацик-
ацикличен «о всех членах. ¦
3. Совпадение двух определений Н (X). В этом
пункте мы прокомментируем определение Нп(Х') (опре-
(определение 26)) и, в частности, построим канонический изо-
изоморфизм в A). Приводимые ниже рассуждения — это
пример того, как приходится переносить на произвольные
абелевы категории стандартные конструкции с абелевы-
ми группами. (Другой способ см. упр. 5.1—5.7.)
Для удобства мы слегка изменим обозначения. Пусть
X-+Y-+-Z — последовательность объектов и морфиз-
морфизмов в абелевой категории Ч?, причем gf — 0. Положим
(К, /c)=Kerg, (К', V) = Coker/. Ввиду определения ядра
и коядра, существуют морфизмы а: X -»- К, b: K'-+Y,
делающие диаграмму
B)
коммутативной. Мы утверждаем, что существует канони-
канонический изоморфизм
Coker а ^ Ксг Ъ. C)
149

Доказательство проводится в несколько шагов. На
каждом шаге мы будем проводить необходимые построе-
построения, оставляя иногда читателю проверку требуемых
свойств.
а) Сперва — одно общее утверждение. Пусть ср: Х->-
-*¦ Y— мономорфизм (т. е. Кегф = 0) и гр: Y ->- К' — ко-
коядро ср. Тогда (X, ф) = Кег1р.
Доказательство следует из рассмотрения каноническо-
канонического разложения морфизма ср (см. 5.9). Справедливо, ко-
конечно, и двойственное утверждение: если гр: Y -*¦ Z—
эпиморфизм, то тр = Coker Ker тр.
б) Построим требуемый изоморфизм C) в случае,
когда в B) / — мономорфизм, a g — эпиморфизм. Поло-
Положим q> = k'k: K-+K' и докажем, что в рассматриваемом
случае (a, Х) = Кегф, (b, Z) = Coker ф. Заметим сперва,
что фа = k'ka = k'f — 0. Далее, пусть G: U'->¦ К — такой
морфизм, что фЭ = 0, т. е. k'kQ = 0. Согласно a), (f,X) =
= Ker k'. Поэтому существует единственный морфизм
тр: U-+К, для которого kQ = /яр = /мир. Поскольку к —
мономорфизм, 6 = агр, т. е. 0 пропускается через X. Легко
проверить однозначность разложения 0 = агр. Следова-
Следовательно, (а, Х) = Кегф. Аналогично, (b, Z) = Coker ф.
Теперь из канонического разложения морфизма ф вы-
вытекает требуемый изоморфизм C).
в) Чтобы свести общий случай к уже рассмотренно-
рассмотренному, заменим морфизмы / и g в B) на их канонические
разложения. Мы получим диаграмму
Ж
D)
в которой X' = Coker Ker / = Ker Coker f, Z = Ker Coker g =
= Coker Ker g. Ясно, что в этой диаграмме /' — мономор-
мономорфизм, g' — эпиморфизм. Несколько раз применяя утверж-
утверждение из а) и определение ядра и коядра, можно убе-
убедиться, что существуют морфизмы а', Ъ'', делающие диа-
диаграмму D) коммутативной, и при отом Coker a' =
= Coker а, Кет b' — Kev b. Тем самым общий случай сво-
сводится к рассмотренному в б) и наше утверждение до-
казано.
150
г) Заметим, что из а) вытекает также следующий
факт:
Любой трехчленный точный комплекс
канонически изоморфен комплексу
0 -» Ker g -»- Y -» Coker /
0.
4. Определение. Пусть ®", <ё" — абелевы катего-
категории, F: W -»- *ё" — аддитивный функтор. Он называется
точным, если для любой точной последовательности в *&
последовательность
0^F(X)
F (Y)™ F(Z)-+0
E)
точна. Функтор F называется точным слева, если после-
последовательность E) точна всюду, кроме, возможно, члена
F(Z). Наконец, функтор F называется точным справа,
если последовательность E) точна всюду, кроме, возмож-
возможно, члена F(X), ш
Исходный интерес к точности функтора объясняется
следующими соображениями. Нас может интересовать —
исторически так оно и было — задача вычисления значе-
значений F на конкретных объектах. Например, вычисление
размерностей пространства сечений пучка — классиче-
классическая «задача Римана — Роха». Если бы функтор «сече-
«сечения пучка» был точным, то эта задача резко упрости-
упростилась бы: а) для любой точной тройки 0 @
-"-#-^0 мы имели бы dimr(Sr) =
+ с1ппГ(?Г2), б) интересующие нас пучки, скажем, на
римановой поверхности, без труда представляются в виде
последовательных расширений несложно устроенных пуч-
пучков, для которых dim Г (ЗГ) известны. Но в действитель-
действительности Г точен только слева, и способ восполнения не-
неточности справа — одна из осповпых задач гомологиче-
гомологической алгебры.
В этом параграфе собраны основные факты о точно-
точности самых важных фупкторов.
5. П ре д л о ж е н,и е. В абелевой категории <& функ-
функторы
(Y, X) F)
151

(У фиксирован) и
Y)
(У фиксирован) точны слева.
Доказательство. Точность слева функтора F)
для фиксированного объекта У из Я2 означает, что для
любой точной последовательности
0->Х'4-хЛх"-^0 G)
в *& справедливы следующие утверждения:
а) Если ф: Y-+X' таков, что /°ф = 0, то ф = 0.
б) Для любого ф: Y-*¦ X условие ?°ф = 0 равносиль-
равносильно тому, что ф = / ° гр для некоторого гр: У -»- X'.
Ввиду Зг) последовательность G) можно заменить
па изоморфную ей точную последовательность
Теперь утверждение а) вытекает из того, что / — моно-
мономорфизм, так что /°<р = /°0 = 0, если и только если
Ф = 0. Далее, если Ф = /°г|), то g ° ф = g ° /° ip = 0. Обрат-
Обратно, если g о ф = 0, то ф пропускается через Ker g, т. о.
ф = /°1|Х
Аналогично доказывается точность слепа функтора
Х~Нога(Х, У). ¦
6. Предложение. Пусть Л mod (соответственно
mod-Л)— абелева категория левых (соответственно
правых) А-модулей, где А — фиксированное кольцо.
Функторы
(Y—фиксированный объект mod-Л) и
mod-A-+s$b: Y
Y&X
А
(X — фиксированный объект Л-mod) точны справа.
Доказательство. Нам нужно показать, что для
любой точной последовательности G) левых Л-модулей
и любого правого Л-модуля У последовательность
л
точна. Ясно, что g' — эпиморфизм: у ® х" = g'(у ® х),
где lei—произвольный элемент, для которого g(x) =
= х". Ясно также, что g'°f' — O. Поэтому нужно лишь
152
доказать, что Ker#'<=Im/'. Для этого достаточно по-
построить морфизм ф: У ® X" —*- (Y ® X)/lmf такой, что
А А
композиция ф о g' совпадает с естественным морфиз-
мом У®Х->(У®Х)/1т/\ Пусть у®х" <=Y®X" и х^Х
А А А
таков, что g(x) = х". Ясно, что образ элемента
у ® х в (У®Х)/1т/' не зависит от выбора х (ибо х
А
выбирается однозначно но модулю Im/ ввиду точности
G)). Легко проверить также, что отображение у®х">-у
>-»¦ у®xmodlm/' задает требуемый морфизм ф: Y®X" ->
А
Предложение 6 остается справедливым для пучков
Л-модулей над топологическим пространством или над
общим сайтом. Оно также остается справедливым, если
заменить Л на пучок колец над этим сайтом.
7. П р е д л о ж о и и е. Пусть X — топологическое про-
пространство, U с X — открытое множество, Я^^Ь — катего-
категория пучков абелевых групп на X. Функтор
точен слева.
Первое доказательство. Пусть tPs&b — катего-
категория предпучков аболевых групп на X, i: 9^s4-b -*¦ &s4-b —
функтор вложения (см. 5.12). Докажем сперва, что i
точен слева. Пусть
0-
¦ О
точная последовательность пучков. Можно считать, что
(?F', /) = Kerg- (ядро в 9>М-Ь). Далее, согласно 5.7,
Ker(ig: \F -+¦ \F" ) = (iF', if). Поэтому последователь-
последовательность
точна в
Далее, ядро и коядро в категории {Pstf-b определяются
отдельно на каждом открытом множестве (см. 5.6, 5.8).
Поэтому функтор
точен. Следовательно, точна последовательность
0 -* i$-'(U)^ i^"(?/)-> \&" (V).
Ясно, что для любого пучка &~ имеем \2Г(\J) = 3T(U).
153

Поэтому функтор &~ >-*¦ ST (U) точен слева па катего-
категории Э^зФЪ.
Второе доказательство. Определим постоян-
постоянный предпучок Ъи со слоем Z на U так:
Zu(V) = Z, если VfiU непусто,
Zu (V) = {0}, если Vf]U пусто;
rvv, = idz, если V'czV, V f]U непусто,
rvv, = 0, если V cz V, V [~| U пусто.
Легко проверить, что для любого предпучка @~ на X
имеем
Пусть, далее, sZu e Ob SPsi-Ъ — пучок па X, ассоциирован-
ассоциированный с Zu. Тогда для любого пучка @~ на X имеем (см.
5.12)
= (i<F) (U) =
и точность слева функтора ^" •-* ff~ (U) иытокаст из пер-
первого утверждения предложения 5. ¦
Отметим, что предложение 7 остается справедливым
для категории пучков абелевых групп над любым сай-
сайтом 9".
Функторы Нот и ® в предложениях 5 и 6 содержат
фиксированный объект; те объекты, для которых
эти функторы оказываются точными, а не только
полуточными, очень важны и имеют специальные
названия.
8, Определение, а) Объект У абелевой категории
называется проективным, если функтор X >-» Нот (Y, X)
точен.
б) Объект Y абелевой категории называется инъек-
тивным, если функтор X ¦-»• Нот (X, Y) точен.
в) Левый Л-модуль X (соответственно правый А-жо-
дуль Y) называется плоским, если функтор Y^>Y®X
А
(соответственно X^-Y®X\ точен.
I А )
Пункт в) этого определения относится также к пуч-
пучкам модулей на сайте.
Обсудим разные аспекты этого определения.
154
9. Инъективность, проективность и продолжение мор-
физмов.
Рассмотрим две диаграммы в абелевой категории S4-:
(диаграмма
проективности)
(диаграмма
инъективности)
Условимся читать их как сокращенные записи следую-
следующих свойств .объекта Y:
а) Для любого сюръективного морфизма Х-+Х" и
любого морфизма Y-+X" существует морфизм Y -»- X,
делающий диаграмму проективности коммутативной.
б) Для любого инъективного морфизма X' ->- X и лю-
любого морфизма X' -*¦ Y существует морфизм X -*- Y, де-
делающий диаграмму коммутативной.
(Основное мнемоническое правило: кванторы общно-
общности относятся к сплошным стрелкам, а существования —
к пунктирным. Ср. с диаграммой в определении 26)).
Мы утверждаем, что справедливость утверждений а)
(соответственно б)) равносильна проективности (соответ-
(соответственно инъективности) объекта Y. В самом деле, пусть,
скажем, для объекта Y справедливо утверждение а) и
аадана точная тройка
0-
-о.
Рассмотрим соответствующую последовательность
0 -> Нот (Y, X') fX Нот {Y, X) С Нот (Г, X") -у 0. (8)
Ввиду предложения 5, она точна во всех членах, кроме
Нот(У, X"), а утверждение а) означает, что g* — эпи-
эпиморфизм, т. е. последовательность (8) точна и Y про-
ективен.
Обратно, пусть Y проективен. Поскольку эпиморфизм
X -*¦ X" в диаграмме проективности можно дополнить до
точной тройки, из точности последовательности (8) в
члене Hom(F, X") следует утверждение а).
10. Проективные и свободные модули. Из формули-
формулировки предыдущего пункта легко следует описание про-
проективных объектов в категории модулей (левых или пра-
155

вых, все равно): модуль проективен, если и только если
он является прямым слагаемым свободного модуля.
Прежде всего, свободный модуль Y проективен. В са-
самом деле, пусть {yt} — свободные образующие Y. Пусть
дана диаграмма проективности. Для построения 1|) доста-
достаточно задать г|з(г/<) и мы положим 1|}(у4) = Ж(, где ^еХ —
любой элемент, для которого я(х,) = ф(г/,) (#,- существу-
существует, ибо я — эпиморфизм).
Далее, прямое слагаемое проективного модуля про-
ективно. В самом деле, пусть F=F,®F2, и задана диа-
диаграмма проективности для У4:
(9)
Положим ф = (ф1, 0):Y-*-X" и построим соответствую-
соответствующую диаграмму проективности. Поскольку Y проектшен,
существует дополняющий ее морфизм "»|) = (i|)i, ip2): У =
= Yt © Yz -* X. Тогда ясно, что 1р4: Г, ->¦ X дополняет
диаграмму (9).
Обратно, пусть Y проективеп. Продета ним Y как фак-
тормодуль свободного модуля Y, т. о. построим точную
, я
последовательность F-> У-v 0 со свободным Y (в каче-
качестве Y можно, например, взять свободный модуль, по-
порожденный всеми элементами у е Y с естественным я).
Рассмотрим диаграмму проективности
Поскольку Y проективен, ее можно дополнить морфиз-
мом я|). Ясно, что (i|), л) выделяют Y как прямое слагае-
слагаемое свободного модуля 7.
В категориях пучков модулей над окольцованными
пространствами проективных объектов обычно оказыва-
оказывается мало. В некоторых конструкциях их могут заменить
локально свободные пучки (пучки, становящиеся свобод-
свободными после ограничения на элементы подходящего по-
покрытия или решета).
156
11. Инъективность и делимость. Конечномерные ли-
линейные пространства над полем являются одновременно
проективными и инъективными объектами этой катего-
категории. Они проективны, потому что свободны, а инъектив-
ны, например, потому, что категория эквивалентна двой-
двойственной ей.
Категория модулей в общем случае весьма далека от
двойственной ей, и классы проективных и инъективпых
модулей оказываются очень непохожими. Если проектив-
проективность модуля связана, грубо говоря, с отсутствием соот-
соотношений между подходящей системой образующих, то
инъективность связана с возможностью неограниченного
деления на элементы кольца А. Типичное препятствие
к инъективности таково: элемент х <г X' делится на эле-
элемент а^А в большем модуле Х^Х' [ах = х' для подхо-
подходящего ieX), но не в X'. Тогда тождественный мор-
морфизм 9 = id: X' -+ X' не дополняется пунктирной стрел-
стрелкой в диаграмме ипъективиости, так что X' не ипъек-
тивен.
Инъективные модули над коммутативными кольцами
тесно связаны также с простыми идеалами кольца. Не
обсуждая здесь общего случая, приведем список мини-
минимальных ипъективных абелевых групп (т. е. Z-модулей):
а) Q (локализация Z по дополнению к простому идеа-
идеалу (О));
б) Q(P)/Z (р — простое число, Q(j,, — аддитивная груп-
группа рациональных чисел со знаменателями рн).
Проверим, что эти абелевы группы инъективны. Пусть
задана диаграмма
так что X' — подгруппа X, a Y — одна из групп Q или
Q(P)/Z. Рассмотрим множество пар (Хи ф,), где Xt —
подгруппа X, содержащая X', т. е. X' а Хх а X и ф4:
Х± -»- Y — морфизм, продолжающий ф, т. е. фг х> = ф-
Введем в множестве таких пар частичное упорядочение,
полагая (Хи цц)^(Хг, ф2), если X, э Хг и ф! продолжа-
продолжает ф2. Согласно лемме Цорпа, в этом множестве есть хотя
бы один максимальный элемент (Хи ф^, Покажем, что
157

он имеет вид (X, if), т. е. дает искомое продолжение ф
на X. В самом деле, пусть Xt^X и ieX\X,, Пусть
Х2 — подгруппа X, порожденная Xt и х. Продолжим мор-
физм <р4: Xi ->• У до ф2: Х2 ->- F. Достаточно задать ф2(ж).
Если nx&Xi для всех neZ, то ц>г(х) можно задать про-
произвольно (например, полагая ц>г(х) = О). В противном
случае все п, для которых пх е X,, кратпы минимально-
минимальному среди них числу щ, и ц>2(х)^ У должно удовлетворять
условию пйу2(х) = q>i(nox). Теперь достаточно проверить,
что в каждой из групп Q и Q_(P)/Z уравнение поа = Ъ
относительно а всегда разрешимо. В Q это очевидно,
в Q(i>)/Z нужно применить алгоритм Евклида.
Существенное наблюдение, связанное с этим приме-
примером: инъективные абелевы группы не являются конечно
порожденными группами. Это — общее япление: в сле-
следующей главе мы увидим, что существование достаточно-
достаточного количества инъективных объектов, скажем, в катего-
категориях пучков абелевых групп, обеспечивается с помощью
предельных переходов.
12. Плоскость и соотношения. Рассмотрим левый
^-модуль X и конечное семейство элементов хи ..., х„ е
el. Семейство (аи ..., a,,)ei" называется соотношени-
71
ем между хи ..., хп, если 2 агх^ -^ 0.
г=1
Более общо, семейство элементов (г/,, ..., j/n)e У, где
У — правый Л-модуль, называется соотношением между
п
#,-, если 2yi®zi = 0 в Y®X.
i=i a
Соотношения с коэффициентами в модуле можно по-
получать как следствия из соотношений с коэффициентами
в кольце. Точнее, пусть (а/, ..., а„ ) = Ап, j = 1, ..., m,
некоторое семейство соотношений между хи ..., хп; уа),
j — 1, ..., тп — некоторое семейство элементов У. Тогда
Уг = 2 y(i)a(p ) е Yn есть соотношение:
т п
= 2 J/(i)® 2
г = 0.
Теперь мы можем охарактеризовать плоские правые
Л-модули Y с помощью следующего свойства: для любо-
158
го левого Л-модуля X и любого конечного семейства эле-
элементов Xi, ..., 1„еХ все соотношения между xt с коэф-
коэффициентами в У являются следствиями из соотношений
между х{ с коэффициентами в А.
В самом деле, пусть У — плоский правый Л-модуль,
X — левый .4-модуль, хи ..., х„е1. Зададим отображе-
отображение ф: Ап -»- X формулойф («i, ..., ап) = 2 atxi- Ясно, что
ядро Л = Кегф<=у4™ состоит из всех соотношений между
xt, ..., хп. После тензорного умножения на плоский мо-
модуль У точная последовательность
перейдет л точную последовательность
0-yY®Rl-+Yn^Y®X. A0)
Пусть теперь (г/,, ..., уп) е У — соотношение между
х„ ..., ж„. Это значит, что ф'(j/i, • • •- Уп) = 2 J/i® ^i = °-
Ввиду точности A0), существуют такие jlj) e У, r^ e
е (a(,j) <#>) еД, j = 1, ..., т, что
то
Уъ • ¦ ¦, Уп) — 2j У
j = l
m
У
j=l
Zj
3=1
т. е. соотношение (уи ..., у„) с коэффициентами в У яв-
является следствием соотношений гш с коэффициента-
коэффициентами в Л.
Обратно, пусть У удовлетворяет сформулированному
выше условию и пусть
0-*.X'-^X-tx"-v0
— точная последовательность левых Л-модулей. Посколь-
Поскольку Z«- Y®X — точный справа функтор, достаточно про-
л
п
верить, что/':Х' ® Y-*~X ®Y—вложение. Пусть JJ
А А 1=1
/ п
'- такой элемент, что/' S
Л \г=1 /
= 0 в У <8> X. Это значит, что (yl5 .. ., г/п) — соотношение
А
в У между /(«!),...,/(««)¦ Оно является следствием
соотношений в А, т. е. существуют такие г/г'е Y, fl^e4
что
159

= 0. Но
n
i = l
/
/( 2
= 0, и поскольку
/ — мономорфизм, 2 в-i x'i = 0 для любого /=1, ...,т.
г
п
Значит, 2
i
г=1
п
= 2
i
т
2
= 0 в У®Х'.
i=l i=ij = i
13. Плоскость и проективность. Следующие свойства
плоских модулей почти очевидны:
а) Свободные модули являются плоскими.
б) Прямые слагаемые плоских модулей являются пло-
плоскими.
в) Индуктивные пределы семейств плоских модулой
являются плоскими. (В проверке этого используется тот
факт, что переход к индуктивному пределу коммутирует
с тензорным умножением и сохраняет точность. См. не-
некоторые подробности в следующем параграфе.)
Из а) и б) вытекает, что проективные модули плос-
плоские, а из в)—что индуктивные пределы проективных
модулей плоские.
Теорема, доказанная независимо В. Гоиороным и Ла-
заром, утверждает, что и обратно: любом плоский Л-мо-
дуль изоморфен индуктивному пределу свободных
модулей конечного типа по направленной системе ин-
индексов.
14. Ацикличные объекты сайта. Продолжая анализ
объектов, порождающих точные функторы, перейдем
к ситуации предложения 6. Пусть $4- — некоторая абеле-
ва категория пучков на сайте 9>. Назовем объект U ^
е Ob 9> ^-ацикличным, если функтор S& -> ?4-Ъ, F i-»-
I-»- F (U) точен.
Вот три важных примера ацикличных объектов. Сайт
9* во всех этих случаях является топологией на тополо-
топологическом пространстве X.
а) s? — категория постоянных пучков абелевых групп
на топологическом многообразии X, U с: X — открытое
подмножество, гомеоморфное шару.
б) s& — категория пучков модулей на схеме X, ло-
локально изоморфных коядрам морфизмов 6^-модулей
0х^*~0 х (такие пучки называются квазикогерентными;
по поводу схем см. п. 4.10 и задачу 1.5.3). Открытое в
топологии Зариского подмножество U <=Х является
^-ацикличным, если и только если (U, (Ух\и) изоморфно
аффинной схеме как окольцованное пространство (теоре-
(теорема Серра).
160
в) s4- — категория пучков модулей на аналитическом
многообразии X, локально (в обычной хаусдорфовой то-
топологии) изоморфных коядрам морфизмов О^-модулей
0х-*-0х (квазикогерентные аналитические пучки).
Класс ^-ацикличных открытых подмножеств UczX сов-
совпадает с классом так называемых штейновых многообра-
многообразий (теорема Картана).
Последние функторы, свойствами точности которых
мы займемся здесь,— прямые и обратные образы пучков.
15. Определение. Пусть /: М-*¦ N—непрерывное
отображение топологических пространств, &~ — пучок
множеств на М. Его прямым образом называется пучок
/. (^"), сечения которого над любым открытым множе-
множеством U <= X определяются формулой
а ограничение с U на V с JJ индуцировано ограничением
с t[(U) на f~HV).
То, что /. (@~) является предиучком, очевидно; аксио-
аксиома пучка проверяется непосредственно.
16. Свойства прямого образа, а) Конструкция /. сох-
сохраняет дополнительные структуры, которые могут быть
на пучке #": пучок групп переходит в пучок групп
и т. п. Если Ф = (/, 0) —морфизм окольцованных прост-
пространств (п. 4.5), а ЗГ — пучок См-модулей, то /. (^") име-
имеет естественную структуру пучка Cjv-модулей. В самом
деле, мы должпы определить умножение ON(U) на
/. (#") (U) = &" (f1 (U)). Но морфизм окольцовапных
пространств включает семейство гомоморфизмов колец
ц>и- Оn(U)-+ 0мЦ~1 (U)), согласованных с ограничения-
ограничениями, а ??""(/"'(?/)) является 0M{j~l{U) )-модулем. Поэтому
перенос структуры превращает /. (^~) (U) в 0N(U)-мо-
0N(U)-модуль. Это же рассуждение показывает, что (ф^) можно
интерпретировать как морфизм пучков колец 0п~>
}@)
}()
б) Пусть /: М-+{¦). Тогда /. (#~) - Г (М, Т) (гло-
(глобальные сечения).
Более общо, если /: М -*¦ N — локально тривиальное
расслоение, то f.{&~) есть «пучок сечений ff~ вдоль
слоев /».
Пусть i: M ->- N—замкнутое вложение. Пучок i. @F")
иногда называют «продолжение нулем пучка #"»: если
U cz N\M, то i. {@~) (U) —¦ одноточечное множество (если
ST—пучок множеств) или i. {&~){Ц) = {Щ (если Т—
пучок абелевых групп).
И СИ. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 161

То же словоупотребление по отношению к незамкну-
незамкнутому вложению безопасно, если помнить, что слой г, (^")
над точками границы i(M) может быть нетривиальным.
в) Любой морфизм пучков <р: ЗГ -> & на М индуциру-
индуцирует (очевидным образом) морфизм пучков /. (ср): f.(&~)—*-
-*-f. (S?) на N. Поэтому /. является функтором из ка-
категории пучков на М в категорию пучков на N. То же
верно для категорий пучков абелевых групп, модулей
над окольцованными пространствами и т. п.
Из свойств функториальности /. по / отметим два:
(fg). = f.g., id. = Id..
Перейдем теперь к обратным образам. Пусть снова
/: М ->- N — морфизм топологических пространств, &~ —
пучок множеств на N.
Основным свойством конструкции обратного образа
/' (ЗГ) оказывается тот факт, что функтор /' сопряжен
слева функтору/, (см. п. 3.23). Поэтому конструктивное
определение /' (@~) мы оформим как теорему существо-
существования. Такое изложение оправдано еще и тем, что при
переходе, скажем, к пучкам модулой над окольцованны-
окольцованными пространствами, конструкция /' {&") меняется, а свой-
свойство сопряженности остается.
17. Предложение-определение. Существует
функтор /': 9>9>ei^-^'3P9!>eiyi между категориями пучков
множеств на N и М и изоморфизм двух бифункторов
I). A1)
Нот (/¦ ОГ), 9) ~ Нот (^", /.
Доказательство. Построим функтор /': ^
-+VffetM явно. Пусть SF — пучок на N. Для каждого
открытого множества U <= М положим
/" (Т) (U) = (семейства [s'x}xsU, где s'x <= &~цх) и для любо-
любого з:ёР существуют: окрестность V точки
}(х) в N, окрестность W а Г1 (V) П U точки
х в М и сечение sef (F) такие, что sz =
= 5дг) для всех z е W}.
Отображения ограничения /' (SF) {U^-^-f C~) (U2) для
иъ cz Ui определяются естественным образом. Легко про-
проверить, что /' (^")— пучок множеств на М.
162
Далее, для морфизма пучков <р: ST^
делим /' (ф): /' (^"i)->/'(^)> полагая
Г
на N опре-
опрегде t/сгЛГ, s'x e (ff'Jx, zeU.
Таким образом, мы построили функтор /': %
-^-УсРеЬм. Проверим теперь свойство сопряженности A1).
Пусть сперва задан морфизм пучков яр: ^"-^/. ($).
Пусть s' — сечение /' (@~) над окрестностью U точки
жеМ, V — окрестность точки }{х) в N и se ^"G) та-
таково, что s'z = SftZ) для всех z e W с /-' (V) П U. Тогда
(F) () е /. {9) (V) = 9 (Г1 (V)) и морфизм а (
, отвечающий ф, задается формулой
Легко проверить, что а(^) определено корректно (в част-
частности, а(-ф) не зависит от выбора окрестностей V, W и
сечения s).
Обратно, пусть задан морфизм пучков ср: f{&~)->-&.
Пусть V открыто в N и se^(F). Определим сечение
1' е /• (^-) (Г1 (ТО), полагая s^ = */(sc), же Г1 СЮ- Тогда
* = ф(Г1(»0)(*')е»(Г1(Г)) = /.(^)(Т0, и мы по-
положим (}(ср) (V) (s) = s. Снова легко проверить, что
Р (ф) — морфизм пучков.
Мы оставляем читателю проверку того, что а к Р —
взаимно обратные отображения, устанавливающие изо-
изоморфизм A1). ¦
18. Свойства обратного образа, а) Пучок /" (&") мож-
можно определить двумя другими способами. Первое опре-
определение состоит в том, что /' (&~) — это пучок на М,
ассоциированный с предпучком
Поскольку множество f(U), вообще говоря, не открыто
в N, такое определение /' {в?) требует двух предельных
переходов: одного для задания 3F{f{U)) (см. 1.5.5) и
другого — для построения пучка, ассоциированного с
предпучком.
Второе определение дается в терминах пространства F
пучка 2Г (см. 1.5.5): сечения пучка /' (&~) над открытым
множеством U <= М — это непрерывные отображения
к: U-*F, для которых s{x)^0~Hx) с:F при всех x^U.
II* 163

Несложно проверить (используя любое определение),
что для любой точки х^М имеем /* (^")* = &ц%у
б) Конструкция /' (^~), приведенная ири доказатель-
доказательстве предложения 17, имеет смысл и в случае, если ST —
предпучок (а не пучок) множеств на N. При этом / {9~)
по-прежнему будет пучком, В частности, если f:M-+
-*¦ М — тождественное отображение, то /" (#") — пучок,
ассоциированный с предпучком #".
в) Конструкция /' сохраняет внутренние законы icom-
позиции: если 8Г — пучок абелевых групп, колец и т. п.,
то /' (&") принадлежит той же категории. Однако, если
Ф = (/, 6)—морфизм окольцованных пространств, а У —
пучок ^-модулей, то /' (#~), вообще говоря но имеет
естественной структуры пучка Ом-модулой.
Поучительно посмотреть, почему не проходит рассуж-
рассуждение, аналогичное п. 16а): согласно предложению 17,
морфизм Ф определяет также морфизм пучков колец
/'(Cjvf)->f?W) но на этот раз f (&~) есть пучок модулей
над началом, а не концом этой стрелки. Из алгебры из-
известно, что замена базы в таком случае осуществляется
е помощью тензорного произведения: естественно по-
положить
/• (ЗГ) =ОМ ®
или
(или /*(#") ®С?м, в зависимости от того, с левыми
правыми ??-модулями мы работаем). Можно проверить,
что
так что /*(#") является правильным определением обрат-
обратного образа в рассматриваемой категории.
г) Пусть /: М-*•{•}, ^" — множество (группа и т. п.),
рассматриваемая как пучок над точкой. Тогда / (&~) —
постоянный пучок со слоем &~.
Если i: M-+N вложение, то i (#") есть ограничение
пучка &~ на М.
д) Как и для прямых образов, имеем
= g'f, id" = Id.
Свойства точности функторов/.,/" и /* таковы:
164
19. Предложение, а) На категории пучков абе-
абелевых групп функтор /. точен слева, a f точен.
б) На категории пучков модулей над окольцованными
пространствами функтор /. точен слева, а /* точен
справа.
Мы приведем доказательство этого предложения, ис-
использующее общие свойства точности Сопряженных функ-
функторов.
20. Сопряженность и точность. Свойства точности со-
сопряженных пар функторов описываются следующим ут-
утверждением.
Пусть I7, 3) — две абелевы категории, F: *& -*¦ ??>,
G: 3)-*-<&' — дъа аддитивных функтора и задан изомор-
изоморфизм бифункторов W" X 2) ->- з&Ь:
Horrid (FX, Y) = Hom^ (X, GY), A2)
так что F сопряжен слева к G, a G сопряжен слева к F.
Тогда F точен справа, a G точен слева.
В самом деле, пусть
0-
о
— точная последовательность в 2). Тогда, ввиду A2) и
точности слева функтора Y >-» Hom^ (FX, У): 2)^>-s&b
(предложение 5), последовательность 0—>-Нот^ rx GY') ->
-> Нот^, (X, GY) -+ Нот^ (X, G f") точна для ' любого
Х^ОЪ'ё'. Поэтому G7' —объект в Ч?, представляющий
функтор
X ~ Кег (Homg, (X, GY)
(X, GY")),
т. е. GY' = Ker G(g) (см. п. 5.6). Значит, последова-
последовательность
0-+GY'-
точна и G точен слева. Аналогично доказывается, что F
точен справа.
21. Доказательство предложения 19.
Ввиду предложений 6 и ,17 и замечания 18в), утвержде-
утверждение из предыдущего пункта доказывает все свойства точ-
точности, кроме точности /'. Для доказательства точности f
проще всего заметить, что последовательность пучков
абелевых групп
165

на N точна тогда и Только тогда, когда для любой -точки
у е N точна последовательность слоев в у:
после чего воспользоваться равенством /' (&~)х =
M (см. 18а)). щ
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Пределы в абелевых категориях, а) Докажите, что в абе-
левой категории si- уравниватель /, g: X-^-Y совпадает с ядром
f — g. Аналогичное утверждение справедливо для коядер и коурав-
нивателей. Выведите отсюда, что в любой абелевой категории
существуют конечные пределы и копределы.
Существования бесконечных пределов (и копределов) — это
дополнительные условия на абелеву категорию s?. Следуя Гротен-
дику [1], сформулируем ряд стандартных аксиом.
АВЗ) Существует прямая сумма Ф Xi любого семейства
(^иЬ е i объектов из s?.
б) Пусть / — множество индексов. Определите категорию .si-1,
объектами которой служат наборы {Xi)i s j, Xj e Ob s&, докажите,
что она абелева, и что при выполнении АВЗ (X^t—^Xi есть
функтор si-1 -v si. Докажите, что этот функтор точен, если / ко-
конечно, и точен справа для любого /. Приведите пример, где он не
точен слева (т. е. прямая сумма мономорфизмов — не обязательно
мономорфизм). Поэтому имеет смысл аксиома
АВ4) Выполнена аксиома АВЗ и прямая сумма мономорфиз-
мономорфизмов есть мономорфизм.
в) Сформулируйте двойственные аксиомы АВЗ*, АВ4* (о пря-
прямых произведениях).
г) Покажите, что категория $ФЬ (и вообще, категория Д-mod
для фиксированного кольца R) удовлетворяет АВ4, АВ4*, а кате-
категория пучков аболевых групп на фиксированном топологическом
пространстве удовлетворяет АВ4 и АВЗ*, но не АВ4*.
2. Категории, эквивалентные категориям модулей, а) Объект
абелевой категории Р называется строго проективным (или про-
проективной образующей), если функтор h': Хи Иот^(Р, X) из si- в
s4b является точным (проективность Р), строгим (т. е. h'(X) =
= 0=>-1 = 0) и сохраняет суммы в si-. Для такого объекта Р по-
положим R = Нот^ (Р, Р). Каждая группа h' (X) = Нот^ (Р, X)
естественно является правым модулем над кольцом Я. Докажите,
что Ы осуществляет эквивалентность категорий si- и mod-i?.
б) Пусть категория s? нётерова (выполняется условие стаби-
стабилизации возрастающих цепочек подобъектов) и Р — такой проек-
проективный объект, что W — строгий функтор. Тогда кольцо R =
= Horn. ^ (Р, Р) нётерово справа и h' определяет эквивалентность
^Ф с категорией конечно порожденных Я-модулей.
в) Докажите, что условия б) выполнены в случае, когда в si-
имеется конечное число неизоморфных простых объектов Х\, ,..
..., Хп, для каждого i существует эпиморфизм Рг~>- Xi с проектив-
проективным Р{ И Р = ф Р(.
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКТОРЫ
§ 1. Комплексы как обобщенные объекты
1. Образующие и соотношения. Основы гомологиче-
гомологической алгебры заложил Д. Гильберт. Он рассматривал,
m
в частности, следующую задачу. Пусть ^j а-Х]х3 = 0; i —
= 1, ..., п; aij^k[tu ..., ?г] —система однородных линей-
линейных уравнений с коэффициентами в кольце многочленов
над полем. Все ее решения в многочленах являются ли-
линейными комбинациями конечного числа, однако, вообще
говоря, не существует базисной системы решений, неза-
независимых над k [tu ..., tr\. Линейные соотношения между
элементами базисной системы в свою очередь являются
следствиями конечного числа их, и опять может не су-
существовать свободной системы соотношений, через кото-
которую выражаются все остальные.
Гильберт называл линейные соотношения между ре-
решениями, между соотношениями и т. п. сизигиями. Этот
термин пришел из небесной механики, где целочисленные
соотношения между периодами обращения планет связа-
связаны с противостояниями и резонансными явлениями. Фун-
Фундаментальная теорема Гильберта состояла в том, что для
кольца к [ti, ..., tr] цепь сизигий обрывается через г + 1
шагов: это обобщение того факта, что пространство ре-
решений линейпой системы над полем (г = 0) имеет базис.
Говоря более современным языком, рассмотрим коль-
кольцо А (не обязательно коммутативное), левый А-модуль Е
и точную последовательность в категории левых А -мо-
-модулей
...-+F~n?Z. F~n+1 d-^l F~n+2 -> ... -*. F° \ E _> 0, A)
где Fl — свободные модули.
Комплекс F вместе с «пополняющим гомоморфиз-
гомоморфизмом» е: F-->E называется свободной (левой) резоль-
резольвентой модуля Е. Если выбрать свободные образующие
167

(/i. •••./&{) модулей F', то резольвенту A) можно опи-
описать па языке Гильберта:
e(/i), ...,ё(/Я0) — система образующих .4-модуля Е
(ибо г — сюръекция);
дГ1 (/Г1). • • •» d~l \fhlj) — система образующих .4-мо-
.4-модуля первых сизигий — соотношений между указанными
образующими (ибо <2~' отображает F"' на ядро е, которое
и состоит из соотношений);
d~2 (fi2), . ¦ •, d~* (fhl2)— система образующих А-
модуля вторых сизигий и т. д.
Мы вернемся к теореме Гильберта в § 5, а пока зай-
займемся резольвентами.
Замена Е на резольвенту F' является основным прие-
приемом гомологической алгебры. Выясним, насколько неод-
неоднозначно определяется такая резольвепта.
Начнем с некоторых общих определений. Пусть зФ —
абелева категория. Категория Kom(*s$) комплексов над
з4- определяется очевидным образом (ср. П.1.4д) для
случая si- = зФЬ).
2. Лемма-определепие. а) Пусть К', L'—
два комплекса над s&, /с = (&'), ki%. К*-*¦ Li-i— набор мор-
физмов между членами этих комплексов. Тогда следую-
следующие отображения образуют морфизм комплексов:
h = kd + dk: K'-tL',
m.re.
л "¦¦;..
...к
...V
Морфизм h: K'-+L' называется гомотопным нулю
(обозначение h ~ 0).
б) Гомотопные нулю морфизмы образуют идеал в
MorKom(j^) в следующем смысле: если пг, h2: K'->~L'
и hi ~ 0, h2 ~ 0, то hi + hz~ 0; аналогично, jhK ~ 0 и
hig ~ 0, если эти композиции существуют,
Морфизмы f,~g: К'—*-L' называются гомотопными,
если f — g = kd-\- dk ~ 0 [обозначение: f~g)', k называ-
называется соответствующей гомотопией.
168
в) Если f ~ g, то W (/) = Н' (g), где /Г —отображе-
—отображение, индуцированное на когомологиях комплексов.
Доказательство, а) Мы должны проверить, что
dh = hd. Это формально следует из того, что d2 = 0, так
что dh = dkd = hd.
б) Если ft, = (i&; + ktd, i = 1, 2, то hl + h1 = d(ki + &2) +
+ (At + k2)d. Аналогично, /At = d(fkl) + (fki)d, h2g =
=!d(k2g) + (k2.g)d, поскольку fug коммутируют с d.
в) Достаточно проверить, что если h: R'^*-L'x h~0t
то H'(h) — 0. Пусть kl: К' -*¦ Ll~l — соответствующая го-
мотопия, а е Н% (К'), а<= К' — коцикл, представляющий а.
Тогда H'(h)a<^ Нг{Ь) представляется коциклом h{a=*
= ki+1dlKa + йг?хк1а = djf1 (к*а) (ибо а — коцикл). По-
Поэтому Н1(к)а = 0.
Теперь мы можем сформулировать теорему об одно-
однозначности резольвенты. По сравнению с п. 1 мы обобщим
задачу в следующих отношениях: вместо .4-модулей рас-
рассмотрим любую абелеву категорию s&b; вместо свобод-
свободных резольвент рассмотрим проективные (т. е. F* — про-
проективные объекты категории s&, см. П.6.8а)); наконец,
сразу же выясним, как ведут себя резольвенты относи-
относительно морфизмов.
3. Теорема. Пусть X, Y^Ob~s?,P' —>¦ X, Q'-*-Y —
проективные резольвенты X, У, /: X -*¦ У — некоторый
морфизм. Тогда i ,
а) Существует морфизм резольвент R(f): P'-*-Q',\
продолжающий /, в том смысле, что диаграмма
ро-Хх
коммутативна.
б) Любые два продолжения R(f) и R'(/) гомотопны.
Доказательство. Построение R(/)°. Поскольку
8у
(?° ""*• У — эпиморфизм, мы получаем диаграмму проек-
проективности (см. п. 6.9)
/
f'
о
169

Поскольку Р° — проективен, существует морфизм R(f)°,
делающий ее коммутативной.
Индуктивное построение R(/)"': P~'-+Q \ i >0. Нам
потребуется следующее обобщение диаграммы проектив-
проективности. Пусть в диаграмме
B)
нижняя строка точна, объект Р проективен и [1 ° *f = 0.
Тогда существует морфизм 6: Р ^-А, делающий диа-
диаграмму коммутативной. Это обобщение есть переформу-
переформулировка свойства точности функтора X >-»• Нот (Р, X)
для проективного объекта Р (см. П.6.8).
Теперь мы можем построить R(f)~\ Предположим, что
все R[f)~': P~j -*¦ Q~\ 0^j<i, уже построены, причем
(Iq о R (/) = R (/) ° dp . C)
Рассмотрим диаграмму
D)
Г+1 а.^> о
i
i i 2
Ввиду C) с j = i - 1 имеем d^i+1 . R (/) i+1 o dPl =
= R (/P+2 ° dpt+1 ° dp1 == 0. Поскольку Q' —резольвента,
нижняя строка в D) точна, и мы получаем диаграмму
вида B), в которой Р~{ проективен. Поэтому существует
R(f)~l: Р~г ->- Q~\ и коммутативность диаграммы D) эк-
эквивалентна формуле C) с / = i.
Таким образом, утверждение а) теоремы доказано.
Построение гомотопии. Пусть теперь заданы два мор-
физма резольвент, R{f), R'(f): P'-*Q', продолжающие
/: X-*Y. Построим гомотопию {к~и. Р~* ->¦ <?"'"'} между
ними. Морфизмы к~* строятся индуктивно, аналогично
тому, как выше строились морфизмы R(f)~\ Мы опишем
здесь лишь общий шаг индукции, оставляя начало ин-
индукции читателю.
170
Итак, предположим, что для всех /, 0 < j < г, построе-
построены морфизмы ArJ: P~' -*¦ Q~^% такие, что
d^i-i о IT1 + k-'+L odp>^R (/p - R' (frj E)
(мы считаем в этой формуле, что &' = ()). Нам нужно
построить к~'. Нарисуем диаграмму ,
Р1
Q
-I -1
F)
гг— О'1'1
в которой а — R(j) г — R'(f) г — к J+I ° dPl. Используя
формулу E) для / = — i + 1 и тот факт, что R(j), R'{)) —
морфизмы комплексов, легко получить, что cZq1 »a =
= 0. Поскольку Q' — резольвента, мы снова получаем
диаграмму вида B). Поскольку Р1 — проективный мо-
модуль, существует к~': Р~' ->¦ Q'~l, делающий диаграмму
F) коммутативной, что эквивалентно равенству E) для
j = i. Ш
4. Замечания, а) Положим в теореме 3 X=Y,
f = id*. Тогда теорема утверждает, что между двумя про-
проективными резольвентами одного и того же объекта есть
морфизм, продолжающий тождественное отображение,
и класс этого морфизма по модулю гомотопии однозначно
определен. Это значит, что проективная резольвента «оп-
«определена однозначно с точностью до гомотопической эк-
эквивалентности».
б) Как показывает доказательство теоремы, она оста-
остается верной, если не предполагать, что объекты Q~l про-
Еу
ективны; достаточно точности комплекса Q —>У-»-0.
в) Обращая стрелки и заменяя проективные резоль-
резольвенты на инъективные, получаем дуальную версию тео-
теоремы 3, а также дуальную версию ее усиления, отме-
отмеченного в предыдущем абзаце.
5. Определение. Морфизм комплексов /: К'-*¦
-+L' в абелевой категории $4- называется квааиизомор-
физмом, если Нп(/): Нп(К')->Нп\L')—изоморфизм
для всех п.
В предыдущем изложении мы встречались со ело дую-
дующими квазиизоморфизмами:
171

а) Между двумя проективными (инъекти^ными) ре-
резольвентами одного и того же объекта существует ква-
квазиизоморфизм (теорема За) и лемма 2в)).
б) Любой объект X категории s4- можно рассматривать
как комплекс ...0-*0->Х-+0->... (X стоит на пуле-
пулевом месте). Этот комплекс ацикличен вне нуля, а его
нулевые когомологии совпадают с X; будем называть его
О-комплексом. Пополняющее отображение гх левой ре-
резольвенты Р —*¦ X определяет квазиизоморфизм комп-
комплексов
... ->Р -*Р° ->0 -*0
В этом смысле понятие резольвенты является частным
случаем квазиизоморфизма.
в) Морфизм нулевого комплекса 0"->•/?" (и К'-+0')
является квазиизоморфизмом, если и только если К'
ацикличен всюду.
6. Идея производной категории. Идеологию гомологи-
гомологической алгебры, как она представляется сегодня, можно
сформулировать в виде нескольких принципов.
а) Объект X абелевой категории следует отождеств-
отождествлять со всеми его резольвентами.
б) Основной мотив этого требования состоит в том,
что самые важные и стандартные функторы — Нот, тен-
тензорное произведение, Г — в действительности должны
быть переопределены. Их «наивные» определения (П.6)
следует применять лишь для специальных объектов,
ацикличных относительно этого функтора. Скажем, если
X — плоский модуль, а У — произвольный, то X ® Y есть
правильное определение тензорного произведения. Но в
общем случае правильной заменой X ® Y является комп-
комплекс Р' ® Y, где Р'-*-Х— плоская резольвента моду-
модуля X. Аналогично, правильной заменой группы (
сечений пучка &~ является комплекс Т(З'), где
—>-3?' — инъективная резольвента ST.
в) Принятие этой точки зрения требует, чтобы мы
с самого начала рассматривали не просто объекты абе-
абелевой категории и не только их резольвенты, а всевоз-
всевозможные комплексы. Это необходимо, в частности, потому,
что Р ® У и Т\3') в предыдущих примерах, как пра-
правило, будут иметь нетривиальные когомологии не только
172
в нулевом члене. (Читатель, знакомый с классической
гомологической алгеброй, вспомнит, что эти когомологии
называются производными функторами Tor<(X, Y) и
Н'(ЗГ) соответственно.) Следовательно, то отношение
между объектом и его резольвентой, которое позволяет
нам отождествить их, должно быть обобщено на комп-
комплексы. Таким правильным обобщением и является поня-
понятие квазиизоморфизма, данное в определении 5.
г) Отношение эквивалентности между комплексами,
порожденное квазиизоморфизмами, имеет сложную струк-
структуру, и за результатами факторизации по нему нелегко
уследить. Технические средства, позволяющие это сде-
сделать, и составляют основы теории производных катего-
категорий, которым посвящена большая часть этой главы.
д) Переопределение функторов ®, Г и т. п., упомяну-
упомянутое в п. б), достигает следующей цели: полуточные функ-
функторы становятся «точными». Само понятие точности в
производной категории, однако, не является очевидным;
ср. обсуждение в § 3. Ядро этого понятия в классической
гомологической алгебре — это точная последовательность
высших производных функторов, которая является инва-
инвариантом относительно смены резольвенты.
§ 2. Производные категории и локализация
1. Определение-теорема. Пусть зФ — абелева
категория, Kom(j^)—категория комплексов в зФ. Суще-
Существует категория D(s?) и функтор Q: Kom(s4-)-+D(s&)
со следующими свойствами:
а) Для любого квазиизоморфизма f морфиам Q(f) яв-
является изоморфизмом.
б) Если F: Kom(^-)-^ 3)'— другой функтор, перево-
переводящий квааиизоморфизмы в изоморфизмы, то он одно-
однозначно проводится через Q, т. е. существует единствен-
единственный функтор G: T)(s&)-+3)' такой, что F = G°Q.
Категория D(^) называется производной категорией
абелевой категории S&.
2. Простое доказательство существования: локализа-
локализация категорий. Пусть 98 — совершенно произвольная ка-
категория, S — любой класс морфизмов в $. Мы покажем,
что существует универсальный функтор, превращающий
элементы S в изоморфизмы. Точнее, мы построим кате-
категорию 3S[S~l] и функтор «локализации по S» Q: $-+¦
-^ ^[S] со свойством универсальности, аналогичным
сформулированному в п. 16).
173

С этой целью положим прежде всего ОЬ ЩБ'1] = ОЬ $,
Q тождествен на объектах. i
Морфизмы в ^[iS1"'] строятся в несколько шагов.
а) Введем переменные х„ по одной для каждого мор-
физма se5.
б) Построим ориентированный граф Г:
вершины Г = объекты 38;
ребра Г = {морфизмы 38) U {xa | s е S);
ребро X ->¦ Y ориентировано от X к Y; ребро х.
имеет те же вершины, что и ребро s, но противополож-
противоположную ориентацию.
в) Путем называется конечная последовательность
ребер в графе Г, в которой конец предыдущего ребра
совпадает с началом следующего.
г) Морфизмом в 3$[S~l] называется класс эквивалент-
эквивалентности путей в Г с общими началом и концом. Два пути
называются эквивалентными, если они соединены цепоч-
цепочкой следующих элементарных эквивалентностей:
две соседние стрелки из Мот$ в данном пути можно
заменить их композицией;
> X —> У можно
X
и
соседние стрелки X —*¦ Y
id id
заменить на А —>л и У —*¦ У соответственно. ¦
Наконец, композиция классов путей индуцирована
композицией путей, а функтор Q: & -*¦ &[S~l] переводит
морфизм X ->- Y в класс соответствующего пути. Очевид-
Очевидно, для любого элемента s^S морфизм Q(s) имеет об-
обратный: класс пути х3.
Если F: 9$ -»¦ J?' — другой функтор, превращающий
морфизмы из 5 в изоморфизмы, то функтор G: ^[б1]
-*¦ &' с условием F = G ° Q строится так:
G(X) = F(X), Х
С(класс x.) = F(s)-\ s&S.
Мы оставляем читателю проверку корректности этого оп-
определения и единственности G. ¦
3. Расщепимость и производные категории. Первое
представление о структуре производной категории дает
следующая конструкция. Назовем комплекс К' циклич-
цикличным, если все его дифференциалы нулевые (все цепи —
циклы). Цикличные комплексы образуют полную подка-
подкатегорию Kom0(«s^)c: Kom(«s/). Структура Kom0(^) оче-
174
00
видна: это категория Ц Ж [д],где s?[n] — «n-й экземп-
ляр» категории зФ. Пусть i — функтор вложения
' '), a h-—функтор когомологий:
I, h((Kn,dn)) = (Hn(K-),O).
h:
Морфизму /: K'-*-L' ставится в соответствие (Я(/)).
Поскольку h переводит квазиизоморфизмы в изоморфиз-
изоморфизмы, он проводится через функтор
k; D(s4.)-+Kom
Назовем абелеву категорию si> полупростой, если в ней
любая точная тройка расщепима, т. е. изоморфна тройке
вида 0 -> X 1 -->¦ X ф Y -> Y -*- 0. Например, категория
линейных пространств над полем или конечномерных ли-
линейных представлений конечной группы над полем нуле-
нулевой характеристики полупроста. Категория абелевых
групп, конечно, не полупроста: последовательность 0—*-
—:> Z -> Z -*- Z/2 —>¦ 0 нерасщепима.
4. Предложение. Если абелева категория S& по-
лупроста, то функтор k: D(s4)^-Kom0(s^) является эк-
эквивалентностью категорий. (Верно и обратное: см.
упр. IV.1.1.)
Доказательство. Пусть К'—произвольный комп-
комплекс. Построим прежде всего два морфизма комплексов
fK:(Kn, dn)-+(Hn(K-), 0), gK: («"(«"), 0)->(ЯЛ сГ),
которые индуцируют тождественные отображения на
когомологиях:
Положим для этого Вп = Im dn~\ Zn = Ker dn, Hn =
= Hn(К'). Имеем две точные тройки в s4-
0 -v Z" -> Кп -»- Bn+i ~+ 0
(второй морфизм индуцирован dn) и
0 -> В" -»- Zn -*¦ Нп -> 0.
Поскольку категория зФ полупроста,
Кп == Вп $ Я" $ Bn+i
и морфизм
dn: Вп Ф Нп Ф Bn+1 -^ Bn+l Ф Hn+i ® Вп+2
175

задается формулой /
dn(bn, А», &»+')_ = (&»+', 0,0).
Теперь /х и gK задаются формулами
а (ь\ н\ ьп+1)=h\ gi (hn) = {oth\ o).
Докажем теперь, что функтор А; задает эквивалент-
эквивалентность категорий.
Для этого зададим функтор I: Kom0(.s?)-»- D(j^) как
композицию вложения Кот0 («$?).-»¦ Кот(^) и локализа-
локализации Q: Kom(^)-»-D(^) и докажем, что функторы к
и I квазиобратны.
Ясно, во-первых, что композиция к ° I изоморфна тож-
тождественному функтору в Кото (.$?). С другой стороны,
функтор I' к: D(j#)-»- D(^) переводит комплекс
[К; d*)e=D(j*l в (//"(r),0)eDD Построенные
выше морфизмы комплексов /к> К' -*-l°k(K') и gK
I»k(K')-+K' задают, очевидно, взаимно обратные изо-
изоморфизмы в D(j^), так что if к) и {gK), К' eD(i), яв-
являются взаимно обратными изоморфизмами функторов
^О(Щ и I" к. ¦
5. Варианты. В приложениях полезно рассматривать
комплексы с разными условиями ограниченности, на-
например
Kom+ (j*): К1 = 0 для *
Кот
* = 0 для o
Komf (^) П Кот"
Такие комплексы образуют полные подкатегории в
Кот(*5$), и бывает необходимо рассматривать соответст-
соответствующие производные категории Df(«s?), D~(j^), Db(j#).
Например, левые проективные резольвенты лежат в
Кот" («я?), а правые инъективные — в Кот+(.я?).
Заметим теперь, что определение, скажем, D+(.$?)'
можно сформулировать в двух вариантах: мы можем ли-
либо локализовать Kom+(,S$) по квазиизоморфизмам, либо
рассмотреть в D(«s#) полную подкатегорию, состоящую
из ограниченных слева комплексов. Хотелось бы быть
уверенным в совпадении этих конструкций, однако для
доказательства этого нам пока не хватает техники.
Дело в том, что морфизмы в 3&IS-1], построенные в
п. 2, представляются формальными выражениями вида
1 ° h+u гДе Н <= Мог д&ь
A)
176
для эффективной работы с которыми нам недостает ал-
алгебраических тождеств типа «приведения к общему зна-
знаменателю». Например, в конкретных случаях трудно да-
даже решить вопрос, не эквивалентна ли категория ^[«S]
категории с одним объектом и одним морфизмом.
Необходимые тождества мы аксиоматизируем в сле-
следующем определепии.
6. Определение. Класс морфизмов »SczMor(^?)
называется локализующим, если выполнены следующие
условия:
а) Мультипликативная замкнутость: id* ^ S для всех
X е Ob М; если s, t ^ S, то 5 ° t e S, когда эта компози-
композиция определена.
б) Условия продолжения: для любых /eMorJ, se
^ S существуют g е Мог J?, t^ S, дополняющие угол до
коммутативного квадрата:
W--+Z
*i f Is
X—Y,
W
i
X
«¦— Z
, t'
<— Y
B)
в) Пусть /, g — два морфизма X ~> У; существование
морфизма seS с sj = sg равносильно существованию
t^S с ft = gt.
7. Замечания, а) Рассмотрим в левом квадрате
B) пути xsf от X к Z и gjj от X к Z. Мы утверждаем,
что они определяют один и тот же морфизм I-^Z в
?B[S~l]. В самом деле, коммутативность квадрата означа-
означает, что ft = sg в Мог 3$, откуда следует эквивалентность
путей xsftxt и x,sgxt и затем x,f и gxt.
Таким образом, в Jf[5~'] имеем, в несколько вольной
записи, 8~lf = gt~lt что позволяет перегнать в выражении
A) все «знаменатели» s^1 направо, если только S удов-
удовлетворяет условиям 6 а), б).
Аналогично, второй квадрат в B) позволяет перено-
переносить все знаменатели налево. Это чрезвычайно упрощает
исследование локализованной категории.
В лемме 8 ниже станет ясной роль условия в).
б) К сожалению, в категории Кот(^) квазиизомор-
квазиизоморфизмы, вообще говоря, не образуют локализующего клас-
класса. Это препятствие обходится так: сначала мы, пользу-
пользуясь леммой-определением 1.2, построим категорию К(М)
комплексов по модулю гомотопической эквивалентности,
а затем проверим, что в ней квазиизоморфизмы уже об-
образуют локализующий класс. Это будет сделано в § 4,
12 с. И. гельфацд, Ю. И. Машш, т. 1 177

после того как в § 3 будет развита удобная техника
доказательств. /
Докажем в заключение несколько полезных свойств
локализации по локализующему семейству. Следующая
лемма является диаграммным вариантом замечания 7а).
8. Лемма. Пусть S — локализующий класс морфиз-
мов в категории 38. Тогда &[S~l] допускает следующее
описание: Ob$[S~l] = ОЪ$, и далее
а) Морфизм X -*¦ Y в ЩБ'1] есть класс «домиков» —
диаграмм (s, f) в & вида
s-f=S,
C)'
причем два домика принадлежат одному классу, (s, /) ~
~(?, g), если и только если их можно достроить до
третьего домика (sr, gh), входящего в коммутативную
диаграмму
Тождественный морфизм id: X -*- X — класс домиков, со-
содержащий домик (idjr, id^).
б) Композиция морфизмов, представленных домиками
(s, /) и (t, g), представлена домиком (str, gf), который
получается из них достройкой с помощью первого квад-
квадрата B):
X
t'
X'
X
/ V
/ •*
\ ?/
У
V
z
st/
X
X"
ч
Z
Доказательство, а) Проверим, что отношение
(s, 1) ~ (*i S) t определяемое формулой D), является
отношением эквивалентности. Ясно, что оно рефлексивно
и симметрично. Для проверки транзитивности предполо-
178
жим, что (s, f)~(t, g), (t, g)~'(u, e), так что у пас
есть коммутативная диаграмма
А
F)
в которой морфизмы s, t, и, sr, tp лежат в S. Нам нуж-
нужно построить коммутативную диаграмму
G)
в которой sq e 5. Для этого достроим сперва диаграмму
Z'«-W
+ tp у
X*- Z"
согласно условию предложения 6 б), так что v ^ S, Да-
Далее, из коммутативности F) следует, что два морфизма
Д = hv и /2 = рк из W в X" обладают тем свойством,
что tfi = tfz. Поэтому, ввиду условия 4в, существует
w: Z'" ->- W, w s S такой, что fill? = f2w. Читатель легко
проверит, что полагая q = rvw. Z'" -*¦ X', j = ikw. Z'" -*¦
-*¦ X'", получим нужную диаграмму G).
б) Проверка того, что определение композиции мор-
физмов (диаграмма E)) корректно, т. е. не зависит от
выбора представителей классов эквивалентности доми-
домиков, оставляется читателю.
в) Обозначим временно через & категорию домиков,
т. е. положим ОЬ^ = ОЬ^, Мог $ = {классы эквива-
эквивалентности домиков} с композицией, задаваемой диаграм-
диаграммой E). Утверждение леммы 8 состоит в том, что М =
= Щ_Б~1\ Мы докажем его, проверив, что $ обладает
нужным свойством универсальности.
12* 179

г) Функтор F: 9t ->• Ш строится так:
F тождествен на объектах,
и!
Л.- 1
У
Ясно, что если s ^ S, то F(s) обратим в
i) ~i представляется домиком
: морфизм
д) Пусть, далее, Т: $-+?) — некоторый функтор,
для которого T(s)—изоморфизм в 3) для любого s е S.
Покажем, что Т однозначно проводится через F, т. е.
существует единственный функтор G: М -*¦ 2), для кото-
которого T^G°F.
Покажем прежде всего, что если G существует, то
он определяется однозначно. Применяя равенство 'т =
= G о F к объекту X, получаем, что
G(X)=T(X),
(8)
, Далее, пусть морфизм <р в <% представляется домиком
(s, /). Тогда в Мог^ имеем ф»(id, s) = (id, /), т. е. ф°
°F(s) = F(f). Применяя к этому равенству функтор G
и вспоминая, что Т = G ° F, имеем G(q>)« T(s)= T(f) и,
поскольку T(s) обратим,
С=(ф)=Г(/)<.(ГE))-1 для <р=(я, /у. (9)
Для доказательства существования G зададим функ-
функтор G: M-+2D формулами (8), (9). Легко проверить,
что G(qp) не зависит от выбора представителя (s, /)
морфизма ф и что G(id) = id, С(ф,^<р2) = G(q>i)°G(cpz),
т. е. G — действительно функтор из $ в 3).
Вспоминая определение F из п. г), получаем сразу,
что Т = G о F. ¦
9. Замечание. Назовем, диаграмму C) ^-левым
домиком. Имеется вариант леммы 6, в котором вместо
180
S-левых домиков используются S-правые домики:
Композиция морфизмов, представленных S-правыми до-
домиками, строится с помощью второго квадрата B).
В соответствии с этими двумя возможностями следо-
следовало бы ввести понятия лево- и право-локализующего
класса морфизмов, потребовав для них лишь половины
условий 6 6) и 6в). Мы оставляем это заинтересованно-
заинтересованному читателю.
10. Предложение. Пусть *& — некоторая катего-
категория, S — локализующая система морфизмов Ф, <%<=<& —
полная подкатегория. Пусть выполнены следующие ус-
условия: а) и либо б(), либо б2):
a) Sg$ = S П Мог <М — локализующая система в 3S.
6j) Для любого морфизма s: X'-*¦ X, где s^S, Xe
<=0bJ7, существует такой морфизм /: X" ~*-Х', что sf^
е5, X" еОЬ$.
б2) То же, что в 6i)', но с обращенными стрелками.
Тогда &[Sl%] — полная подкатегория в <&[S~l]. Точ-
Точ1
\
явля-
являнее, канонический функтор I: $ [S^l-t-
ется вполне строгим.
Доказательство. Согласно лемме 8, морфизмы
в ^[iS1-1] и в Я [^j1] описываются классами домиков
(для $ \S^%\ это вытекает из условия а))\ Полная
строгость функтора /: $ [S^1] -+Ч? [S~1] — это утверж-
утверждение, о том, что отображение
A0)
взаимно однозначно. Будем проверять это при выпол-
выполнении условия 6i).
Проверим, что отображение A0) инъективно. Нам
нужно доказать, что если два S&- домика (s, f) и (t, g)
из 9$ становятся эквивалентными в 1?, то они эквива-
181

лентны уже в $. Эквивалентность в
граммой
задается диа-
диаПрименим условие 6i) к морфизму sr: X'" -»- X, лежа-
лежащему в S, т. е. найдем XIV еОЬ^и!: Х1Х -> X'" такие,
что srl <= S. В силу полноты J?, бг2 & 5 Л Мог i? =
= 5^)ЫеМог^) т. е. XIV вместе с морфизмами srl
и ghl осуществляет ^-эквивалентность ^-домиков (s, /)
и (t,g).
Проверим, что отображение A0) сюръективно. Для
этого нужно доказать, что любой S-домик (s, /) с ниж-
нижними элементами X, Y из $ эквивалентен некоторому
S$- домику. Это делается снова с помощью условия б4):
вершина X' заменяется на X" е Ob 91,
так, чтобы sre= Sf] Мог3S = S $, /reMorJ. Ясно,
что (s, /) ~ (sr, /г).
Аналогично доказывается предложение при выполне-
выполнении условия б2) вместо 6i): нужно лишь, согласно за-
замечанию 9, использовать 5-правые домики вместо 5-ле-
вых. ¦
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Ограниченные комплексы. Используя предложение 210 и
предложения 4.2 и 4.4, докажите, что диаграмма
ШЛ)
состоит из вложений полных подкатегорий.
182
2. Локализующие подкатегории. Полная абелева подкатегория
31 абелевой категории $$¦ называется густой (thick), если расши-
расширение любых двух объектов из St лежит в Ш (примеры: подкате-
подкатегория, состоящая из одного объекта 0, конечные абелевы группы
в stb, конечно порожденные модули в Л-mod). Пусть Kom^g (sf) —
полная подкатегория Кот(^), состоящая из таких комплексов
К', что #п(/Г)с=ОЬ^ для всех п. Определим D^ {Щ как
Кот т (sf) [S*1], где S — квазиизоморфизмы. Определим анало-
гично D^6 (sf). Докажите, что D^ (Щ — полная подкатегория
в D (sf).
Постройте естественный функтор D (
венный на объектах). В общем случае этот функтор не является
ни строгим, ни полным. Докажите, однако, что если каждый объ-
объект из М является подобъектом J^-инъективпого объекта в 38, то
D (м) -*• иgg (¦**) ¦ эквивалентность категорий.
• D & (sf) (тождест-
(тождест§ 3. Треугольники как обобщенные точные тройки
1. Задача. В этом параграфе мы определим такие
диаграммы в производной категории — выделенные тре-
треугольники,— которые заменяют и обобщают точные трой-
тройки в абелевой категории. Определение таких диаграмм
не очевидно. Начать с того, что мы пока не знаем даже,
что категория D(s4-) аддитивна: чтобы складывать мор-
физмы, нужно сначала привести их к одному знамена-
знаменателю. Далее, хотя категория D(^) и окажется аддитив-
аддитивной, она почти никогда не абелева: см. предложение 2.4.
Поэтому в D(j$) нельзя имитировать обычное опреде-
определение точности.
Все же, несмотря на неабелевость D(«s?), выделен-
выделенные треугольники в ней задают замечательную структу-
структуру, которая отражает основные гомологические свойства
исходной абелевой категории.
2. Функтор сдвига, цилиндр и конус. Пусть s4- —
некоторая абелева категория. Все комплексы ниже суть
объекты Кош(^.)
Ниже мы часто будем записывать определения мор-
физмов и тождества между ними, применяя их к «эле-
«элементам», как если бы мы работали в категории моду-
модулей. Подробнее об этом см. упражнения к § II.6.
а) Фиксируем целое число п и для любого комплекса
K'=(K\rfK) положим (К[п]у = Кп+\ dKlnl=(-l)ndK.
Если /: K'~^L' — морфизм комплексов, то f[n]: К' [п] -+
-*-L'[n], по определению, совпадает с /' покомпонентно.
183

Отображение Тп: Кот (а)-*¦ Кот (j*)', Тп(К') =
— К' [п], Тп(})— f[n] является функтором сдвига, осуще-
осуществляющим автоэквивалептность категории Кот (л?). Оче-
Очевидно, что он также индуцирует автоэквивалентность
категорий Kom+(«s#), Kom~(^), Kom6{s4-) и соответ-
соответствующих производных категорий.
б) Пусть /: К' ->L" — морфизм комплексов. Кону-
Конусом С'(/) морфизма / называется комплекс
Удобно записывать элементы С (f) = К' [1] ф U
в виде столбцов высоты 2, а морфизмы обозначать мат-
матрицами:
dC(f) =
[1] d.
Легко проверить, что <^с(/)= О- В 1.4.5 г) мы определили
конус над триангулированным пространством с помощью
прозрачной геометрической конструкции и вычислили
комплекс цепей этого конуса. С точностью до замены
цепей на коцепи, на нынешнем языке это — конус тож-
тождественного отображения.
Если / — морфизм О-комплексов A.46), то С(/)'—<¦
комплекс ...->-0->-.K'0->Lo->0->.... В частности,
-1 О
II-1 (С (/)) = Кег /, Н° (С (/)) = Сокег /.
в) В тех же обозначениях цилиндром Су1(/) морфиз-
морфизма / называется комплекс
\ I1) = {dKk{-k{+\-dKki+\
Отметим, что если оба комплекса К', L' ограничены
слева, справа или с двух сторон, то С(/) и Су1(/) обла-
обладают тем же свойством ограниченности. Кроме того, если
К\ U e Kom(^), где М<= si- — некоторая аддитивная
подкатегория, то С(/), Cyl(/)^ Kom(^).
Основные свойства конуса и цилиндра собраны в сле-
следующей лемме.
3. Лемма. Для любого морфизма f:K'-*-L' мож-
можно построить коммутативную диаграмму в Кот(^) с
184
точными строками, функториальную по J,
О —> U
1
О
К'
о
A)
К'
со следующими свойствами:
а, $ —квазиизоморфизмы, причем $а = idL., а ар го-
гомотопен idcyi(/), так что L' и Су1(/) канонически изо-
изоморфны в производной категории,
Доказательство, а) Определение морфизмов
первой строки и проверка коммутирования с d:
11\^@,11)
ibI*,_!U @, dLll)
\dCU)
Точность первой строки очевидна.
б) Определение морфизмов второй строки и проверка
коммутирования с d:
, r)
(Л1, 0, 0)
dKkl\-^(dKkl, 0,0)
Точность второй строки очевидна.
185

в) Определение морфизмов a,
тирования с d:
проверка комму-
коммуКоммутативность квадратов ла = я, р/ = / очевидна.
г) Формула JJa = idi, очевидна. Зададим A*: Cyl (/)*
"*¦ Cyl (/)**"' формулой
h*(k{f ki+l, Z') = @, fc1, 0).
Проверим, что ap = idCyi(/) —(dh + hd). Имеем
Z') = @, 0,
, гг) = @, dKk(-V+\ 0).
Поскольку ар и р« индуцируют тождественные отобра-
отображения на когомологиях, аир являются квазиизомор-
квазиизоморфизмами. ¦
4. Определение, а) Треугольником в категориях
комплексов Кот, D, D+, . . . называется диаграмма вида
б) Морфизмом треугольников называется коммута-
коммутативная диаграмма
и v w
К'¦—>¦ L'¦—»¦ М'—> К' [1]
l
x j j
^i—Li-* Mi—»-«i[l].
Этот морфизм называется изоморфизмом, если /, g, /i —
изоморфизмы в соответствующей категории.
в) Выделенным треугольником называется любой
треугольник, квазиизоморфный следующей части неко-
186
торой диаграммы A):
Следующее предложение показывает, что точные трой-
тройки дополняются до выделенных треугольников.
5. Предложение. Любая точная тройка комплек-
комплексов в Кот(^) квазиизоморфна средней строке подхо-
подходящей диаграммы вида A).
/ g
Доказательство. Пусть 0 —>- К' ->- L' -> М* ->- О —
точная тройка. Построим диаграмму
Il_ V t- <2)
где Р взят из A), a *i(ki+1, V)= g{V).
Проверим, что "f — морфизм комплексов:
\ г)
Проверим, что правый квадрат в B) коммутативен:
Осталось проверить, что у — квазиизоморфизм. Посколь-
Поскольку g — эпиморфизм комплексов, ч — тоже эпиморфизм
комплексов и Ker f — это комплекс K[i] ® Ксг g = «[1] ©
®Im/ = «ll]®« с дифференциалом d(fe1+1, *:') =
= (—dKki+\ ki+i + dick'). Этот комплекс имеет нулевые
когомологии, поскольку его тождественное отображение
гомотопно нулевому: %d + d% = ЫК[1^к, где % = {%,'¦
К{+1®Кг-+ К'® К{-1), x'(fti+Ii k{) = (k\ 0). Поэтому из
точной последовательности когомологии, отвечающей точ-
точной последовательности комплексов
вытекает, что y — квазиизоморфизм.
187

Следующая теорема показывает, что когомологиче-
когомологические свойства выделенных треугольников в D(j^) (или
в D+(^), ...) полностью аналогичны свойствам точных
троек комплексов.
6. Теорема. Пусть
— выделенный треугольник в D(s4-). Тогда последова-
последовательность когомологий
...->#* (К') ^Н Н1 (U) ^Н Н1 (И') ^Н
-+Нг(К- [1]) = Hi+1 (К)~+¦ ¦ ¦
точна.
Доказательство. Утверждение достаточно дока-
доказать для квазиизоморфпого C) выдолеппого треуголь-
треугольника
построенного по диаграмме A). Согласпо лемме 3, по-
последовательность комплексов
К' -> Cyl (и) -+ С (и) -> 0
D)
точна. Пусть
(JT) ^Н Д« (Cyl (и))
— соответствующая D) точная последовательность ко-
когомологий. Для доказательства предложения нужно лишь
доказать, что связывающий морфизм б'(п, я) в E) сов-
совпадает с морфизмом Н*(м). Это можно сделать, напри-
например, прямым вычислением, используя разложение
и вспоминая явное построение б'(п, я) (см. теорему
II.7.12 или теорему 1.5.7). Детали мы оставляем чи-
читателю. ¦
188
§ 4. Производная категория как локализация
гомотопической
1. Определение. Пусть з
Гомотопическая категория К(^)
щим образом:
— абелева категория,
определяется следую-
следуюМог К(^)= МогКот(^) по модулю
гомотопической
эквивалентности
(см. лемму 1.2). Через К+(^)( К~{Л), К"№) обозна-
обозначаются полные подкатегории КДО), состоящие из комп-
комплексов с соответствующими условиями ограничен-
ограниченности. ¦
Лемма 1.2 показывает, что К{s&)— аддитивная кате-
категория и что на ней корректно определены функторы Н\
Поэтому на нее дословно переносится определение ква-
квазиизоморфизмов 1.5.
2. Предложение. Локализация К(^) по квази-
квазиизоморфизмам канонически изоморфна производной ка-
категории ~D(s4-). To же относится к K*(j^) и D*(j^),
где *=+,—, Ь.
Доказательство. Обозначим временно локализа-
локализацию K(s?) по квазиизоморфизмам через D(j$). По-
Поскольку сквозной функтор Кот(^) ->- K(.s#)->- T) (М) де-
делает квазиизоморфизмы обратимыми, он проводится че-
через фупктор G: D(j^)-*D(j^). По конструкции этот
функтор является биекцией на объектах. Из описания
морфизмов в локализованной категории как классов пу-
путей в п. 2.2 ясно, что на морфизмах функтор G опреде-
определяет сюръекцию, поскольку каждый морфизм в К (.5$)
поднимается до морфизма в Kom(,«s^).
Остается установить, что G инъективен на морфиз-
морфизмах. Из описания морфизмов в п. 2.2 нетрудно усмот-
усмотреть, что с этой целью достаточно доказать следующую
лемму.
3. Лемма. Пусть f,g\ K'~»L' гомотопны. Тогда
Q(f)-Q(g) вщ&).
Доказательство. Пусть / = g + dh + ha. Опреде-
Определим морфизм c(h): C(/)->C(g) формулой
Легко убедиться, что c(h) коммутирует с дифференциа-
дифференциалами.
189

Аналогично определим морфизм комплексов cyl(h):
Cyl(/)-Cyl(g):
cyl (A) (ft1, /ei+1, V) = {k\ k!*\ V + h{ki+l)).
Рассмотрим диаграмму, состоящую из первых строк
диаграммы A) § 3, для морфизмов / и g соответственно:
я 6U)
О —> U —> С(/) —* К' [1] —>• О
11 - icw II
О —> 2/ —> С (g) —> X" [1] —- О
Она коммутативна. Сравнение соответствующих точных
последовательностей когомологий с помощью леммы о
пяти гомоморфизмах
г(с(Л))
показывает, что с (А)— квазиизоморфизм.
Аналогичное рассуждение со вторыми строками диа-
диаграммы A) показывает, что cyl (h)— квазиизоморфизм.
Для завершения доказательства рассмотрим диа-
диаграмму
В Кот(*р?) у нее некоммутативен верхний треугольник;
квадрат и нижний треугольник коммутативны. Но в
D(s4-) она становится уже целиком коммутативной.
В самом деле, по лемме 3.3, Q(af) и <?(Р/) взаимно об-
ратны; из / = Р/°/ тогда следует, что (?(/) = Q($f)°
°Q(f) и затем <?(/)=<? {as) ° Q(f). Наконец, непосред-
непосредственная проверка показывает, что Pg° cyl (h)» а/= idb .
190
Поэтому <?(/) = <?(#)• Это завершает доказательство лем-
леммы и предложения 2. ¦
Роль предложения 2 объясняется следующим резуль-
результатом.
4. Теорема. В категориях K*(«s?), * =+, -, Ъ, &,
класс квазиизоморфизмов является локализующим.
Доказательство. Следует проверить выполнение
условий а)—в) определения 2. Мультипликативная
замкнутость очевидна.
Проверим первое условие продолжения. Мы должны
/ ^ g
вложить диаграмму/Г "~^ L' ч М' в коммутативный
квадрат (qis отмечает квазиизоморфизмы):
h
1 71-
Искомый квадрат входит в следующую диаграмму, ком-
коммутативную в
k ля
С(ng) [-i]-*M--+C(/)
I I II
С(ng)
К'
-+L- -+C(f)
A)
K[l]
Морфизм к есть b(ng) [—1] в обозначениях леммы 3.3.
Морфизм h мы построим явно. Элемент из C(ng) [—1]' =
= С(я?)*-1 есть тройка (ш\ к\ 11-'), где тпг^М\ ?^К\
I^'eL'. Положим h(m\ k\ Zi~1) = — k\ Проверим гомо-
гомотопическую коммутативность левого квадрата в A).
Имеем
gok-foh: (m\ к\ Г) - g (m*) - / (к1).
Этот морфизм совпадает с %dcW)[-^ + dL%, где % = {уС),
%': C(ng)[—1р = С(я^)'~1->¦ Z/4-1 задается формулой
(поскольку, как легко проверить, dC(JIg)[_1]G32f, /с', Г~*) =
(d4 ^/( dp'/(u')_g(m<))).
191

Остается установить, что к — квазиизоморфизм. Так
как / — квазиизоморфизм, комплекс C(f) ацикличен. Но
верхняя строка в A) является отмеченным треугольни-
треугольником. Значит, к — квазиизоморфизм.
Аналогично проверяется второе условие продолжения:
g < /
М' ¦*—К' ~~т? L' вкладывается в коммутативный квад-
квадрат с помощью диаграммы
-С (У).
Проверим в заключение условие в) определения 2.4.
Пусть /: K'-*-L' некоторый морфизм в K*(j^). Мы
установим, что из существования квазиизоморфизма
s: L'-^L' с s/ = 0 в K*(s&) следует существование ква-
квазиизоморфизма t с ft = 0 (в 2.4 рассматривается равенство
sf = sg, которое равносильно s (f — g) = 0).
Пусть {/г1: /?* -*- Ll~1} задает гомотопию sf и нулевого
морфизма. Построим следующую диаграмму:
C(s)l-l)
С (s) [-
V
' C(g)[-l].
Морфизм g1: К1 -*¦ C(s) [—i]{ = V ® L1' определим так:
^(/с*) = (/'(й;1), -tiW)). Легко видеть, что g = {g1} — мор-
морфизм комплексов. Коммутативность очевидна. Положим
* = 6(g)[-l]. Тогда tf=tg8{s)[-l] = 0, ибо ^ = 0. Нако-
Наконец, t—квазиизоморфизм, поскольку s — квазиизомор-
квазиизоморфизм и, следовательно, C(s)[— 1] ацикличен.
Аналогично проверяется, что из равенства ft = 0 сле-
следует существование s с sf = 0. ¦
5. Аддитивность D(^). Для сложения морфизмов в
покажем, что любые два морфизма ф, ф': X -*¦ Y в
можно «привести к общему знаменателю», т. е.
представить домиками
U
B)
192
с одинаковыми вершинами и одинаковыми левыми ска-
скатами.
В самом деле, пусть <р, ф' представлены какими-то
домиками
Z Z
X
Дополним угол
Y X
г | qis s'
qia
X
до коммутатинного квадрата в K(j^). Поскольку s, sr,
г — квазиизоморфизмы, г' — тоже квазиизоморфизм. По-
Поэтому ф и ф' можно представить домиками вида B) с
Y f'f'
,g f,gf
Теперь определим сумму
как морфизм,
ф ф' в
t g+g'
представленный домиком X <— U—>Y. Мы оставляем чи-
читателю проверку аксиом аддитивной категории (см. п. 6)
для (
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Морфизмы в D(^). Пусть s& — абелева категория, /: К' ->-
-+Ь морфизм в Кот (si-). Из определения морфизмов в D(s&) ясно,
что / = 0 в D (M-) тогда и только тогда, когда существует квази-
квазиизоморфизм s: L'->-M' такой, что sf гомотопно 0 (эквивалентно
существует квазиизоморфизм*: N'^>-K' такой, что ft гомо-
гомотопно 0).
Если / = 0 в ~D(j&), то, конечно, //"(/) =0 для всех п. Рас-
Рассматривая морфизм комплексов длины 2 (для J& = st-Ъ)
(Ь, с переводят образующую каждой группы в образующую, a, d
умножают образующую на 2), покажите, что обратное неверно. Та-
Таким образом, в цепочке импликаций / = 0 в Kom(j#) =*- / = 0 в
K(j^) =s-/=0 в D(s4) =ф- fln(f) =0 для всех п все импликации
являются строгими.
13 с. И. Гельфанд, 10. И. Мании, т. 1
193

§ 5. Структура производной категории
1. Комплексы-объекты. Назовем Н"-комплексом любой
комплекс К', для которого IV (К') — 0 при 1Ф0. При
этом все равно, в какой из категорий рассматривается
К', ибо Н1 превращает квазиизоморфизмы в изоморфиз-
изоморфизмы и потому определен не только на Kotn*(j^), но и на
K*(j?) и D*{j*).
#°~комплексы являются обобщением О-комплексов
из 1.56).
Мы покажем сейчас, что в производной категории
ч„. , они образуют подкатегорию, эквивалентную ?$-.
2. Предложение. Функтор Q: M^>~J)*{s4-) задает
эквивалентность категории s4- с полной подкатегорией
D*(j$), состоящей из [["-комплексов.
Доказательство. Ясно, что функтор М- -*- К* (s?),
ставящий в соответствие объекту А соответствующий 0-
комплекс, является вполне строгим, ибо гомотопии между
морфизмами О-комплексов могут быть лишь нулевыми.
Будем рассматривать s& как полную подкатегорию
К* (sf.).
Докажем, что каноническое отображение
a: HonW^(A\ Y)-*Hotdwi^(Q(X),Q{Y))
является изоморфизмом, если X и У суть 0-комплексы.
Стрелка в обратную сторону b индуцирована функтором
Я0: D*(s4-)-+ s&. Очевидно, что Ъ » а = id на 0-комплек-
сах. Доказательство того, что а ° Ъ = id, сводится к сле-
следующему. Рассмотрим морфизм f между 0-комплексами
в D* (.??), представленный левым домиком
s —квазиизоморфизм.
X-+Y. Морфизм (o«b)(f):
представлен левым домиком
X
Положим g = H°U)«»'(s)-i-
X->Y в категории D
194
Проверка того, что (а ° Ь) (/) = /, в силу леммы 2.6 сво-
сводится к конструкции коммутативной диаграммы
—квазиизоморфизм. A)
Определим V следующим образом: Vi = Zi для i<0,
V° = Kerd°z, V' = 0 для г>0; dv индуцирован dz. Ото-
Отображение г: V-*¦ Z — естественное вложение; отображе-
отображение h: V ->¦ X имеет вид
-0
I
H°(Z)
X ->0-
Необходимые проверки: г квазиизоморфизм (очевидно);
коммутативность диаграммы: основное место /° r= g°h
следует из g = H°(f)°Hu(s)-1.
Таким образом, мы установили, что функтор Q: бФ -*-
-»- D*(j^) вполне строгий. Ясно, что его образ содержит-
содержится в подкатегории На-комплексов. Остается проверить,
что любой #°-комплекс Z изоморфен в V*(s?) 0-комп-
лексу. Изоморфизм задается верхушкой диаграммы A):
H°(Z)
в которой г и h квазиизоморфизмы. ¦
Вместо О-комплексов и Я°-комплексов мы можем рас-
рассматривать также г-комплексы и ^-комплексы с произ-
произвольным i. Структура морфизмов между такими комп-
комплексами в D*(,5$) — это следующая по сложности инфор-
информация о производной категории.
Будем записывать г-комплекс с объектом 1е^ на
г-м месте как Х[— i]; вместо Х[0] в предыдущем пункте
мы писали просто X.
13*
195

3. Определение. Ext^(X, У) =
(X [0],
Y[i)). m
4. Замечания, а) Безразлично, какой индекс обо-
обозначается *, ибо i-комплексы ограничены, а все вложе-
вложения производных категорий друг в друга суть строгие
полные функторы. Впредь мы будем писать просто D(j^).
б) С помощью функтора Тк мы можем отождествить
Ext^ (X, У) также с НотО(<я?) (X [к], У [i + к]). Умно-
Умножение морфизмов в производной категории позволяет
определить композицию
xt1^ (X, У) =
X
^ (У, Z) =
(X, Z) =
(X\k],Y\i + к})
Х
(У [i + к], Z [I ¦+- / + к])
к])
Эта композиция на Ext-ax не зависит от выбора к в
нижней строчке.
в) Ext^ (X, Y) являются абслепымп группами, по-
поскольку категория D(^) аддитивна. Умножение биад-
дитивно. Более того, Ext^ определяет бифунктор ^ X
Рассматривая точную тройку в si
0-+Х'^Х-+Х" -+-0
(соответственно 0 -*• У -»¦ У -*- У" -*¦ 0)
как выделенный треугольник (см. 3.5), получаем из IV.1
точную последовательность
(X", У)
;(Х, У)-^Ех^(Х',У)
(соответственно
1^ (X, У) -> Ext^ (X, У")
, У
г) Следуя Ионеде, рассмотрим следующую конструк-
конструкцию элементов из Ext^ (X, У), i >» 0. Рассмотрим любой
196
ацикличный комплекс К' вида
/Г: ...-+0-*К~1 г+1
... B)
Он определяет левый домик
C)
Х\О]
YU]
где К1 = X' при / Ф 1, JP1 = 0,5° == dt, /~!' = idr. Обозначим
через у (К') морфизм в производно!! категории Х[0]-*-
-»- Y[i], отвечающий этому домику.
Пусть, наконец, у нас есть два конечных ацикличных
комплекса К', L', причем крайний левый член К',
т. е. У в B), совпадает с крайним правым членом L'.
Тогда мы можем образовать третий конечный ациклич-
ацикличный комплекс, «сцепив» L и К по их общему члену:
U
где / — композиция,
К
:Х_^0->..., D)
(ацикличность L' о К' легко проверяется).
5. Теорема, a) Ext1^ (X, У) = 0 при i < 0.
б) Ext0^ (X, У) = Нот^ (X, У).
в) Любой элемент Ext^ (X, У) имеет вид у (К')
для подходящего комплекса К' вида B) и для
^ (X, У), у (?,')<= Ext^ (У, Z) имеем
E)
Доказательство, а) Пусть морфизм X[0]->¦ У[—г],
i>0, Bfl(i) представлен домиком X [0] ч-Z' ->У [— г].
197

Мы построим новый комплекс Ь' и коммутативную ди-
диаграмму
Х[0]
в которой г и i — квазиизоморфизмы. Отсюда будет сле-
следовать, что в D(j^) исходный морфизм нулевой.
С этой целью положим:
К' при /<? — 1,
erd^ при / = i — 1,
О при f^i.
dL индуцировано dK; r — естественное вложение; f = s°.
Поскольку s квазиизоморфизм, Н"(К) = Х, W(K) = § при
7 Ф О и, значит, г и t суть квазиизоморфизмы. Коммута-
Коммутативность диаграммы очевидна.
б) Это доказано в предложении 2.
в) Пусть морфизм Х[0]-»- Y[i], ?>0 в D(st) представ-
* 8
лен домиком X [0] -<r-L-+Y [i]. Мы построим по нему
новый домик X [0] -*-K-+Y [г], имеющий такую же
структуру, как C), и определяющий тот же морфизм в
D(tf)
Построение удобно провести в четыре шага. На каж-
каждом шаге исходным является домик, полученный на шаг
раньше, который мы для простоты по-прежнему будем
обозначать (L',t,g), а результатом будет домик (?'*>
t', g') и коммутативная диаграмма
X [0]
V
8'
X[0]*—L^Y[i]
где г — некоторый квазиизоморфизм, представленный
бо морфизмом L' ~>-Ь'\ либо L''-*-L'.
Шаг 1 (усечение L' слева). Положим
0 при /<—{,
(L'Y = Cokeidl^1 при / = - i,
V при ;>— i + 1.
ли-
ли198
Дифференциалы в L'' и морфизмы t', g' очевидны;
г: L'-^L1'— естественная факторизация. Она является
квазиизоморфизмом, поскольку L' есть #°-комплекс,
a i > 0.
Шаг 2 (усечение L' справа). Напомним, что теперь
через L' обозначается L'' из шага 1. Положим
L3 при / < 0,
Ker d°L при / = 0,
0 при />0.
Дифференциалы в L" и морфизмы t', g' очевидны;
г' L"-*-L'— естественное вложение.
Ш а г 3 (двойной конус). Теперь положим
(L'f =
0=Lj при
Y ф V при
Lj при
j = -i, - i + 1,
/> — г + 1.
Дифференциалы:
dV+1 (У, I) = dZi+1 (I),
остальные дифференциалы — те же, что в L.
Морфизм г: L'-vL'' определяется так:
при j= — i,
При ;== — {+ 1,
при /> — i + 1.
Конструкция (t')°: {L')"-+X зависит от того, равно ли
—i + 1 нулю:
при i ?= 1: (t'H = t°,
при* = 1: {t')°(y,l)=f(l).
Морфизм (g')~u. Y Ф L~' -*¦ Y есть проекция. Для удоб-
удобства читателя перечислим необходимые проверки: а)
dy ° dL> = 0 (легко); б) dL° г = г ° dL> (легко); в) g »r = g
(легко); г) t' ° г = t (легко); д) V — квазиизоморфизм
(легко); наконец, е) г — квазиизоморфизм.
Доказательство последнего утверждения не совсем
очевидно, и мы покажем, как его провести. Достаточно
установить, что конус С (г) ацикличен; с этой целью мы
199

покажем, что его тождественное отображение гомотопно
нулю. «Нестабильная часть» гомотопии h ограничена че-
четырьмя местами, которые показаны на следующей ди-
диаграмме:
(y.U') /(у.»/) /CM') / Ш')
(у,о,г) /@,0,0 / (o,i)
Рекомендуем читателю выписать дифференциалы С (г)
и проверить, что dh-\-hd = idC(o.
Шаг 4 (превращение g~* в изоморфизм). К этому
моменту диаграмма (L' , t', g') из предыдущего шага
отличается от B) только тем, что g~*: (Ь')~*-*- Y не яв-
является изоморфизмом. Чтобы исправить это, отфактори-
зуем L'1 по двучленному ацикличному подкомплексу:
¦0-
L
-i
i
-¦(о,г)
Y ф L
~i+1
Вертикальные стрелки определяют вложение, поскольку
g~' — вложение. Обозначим через г: L''-*-K' —отображе-
—отображение факторизации. Оно является квазиизоморфизмом в
силу теоремы точной последовательности П.7.12.
Морфизм /-<:Я-'-»-Г индуцирован проекцией У®
$L-j->-Y. Наконец, s°: K?-+X очевиден при i?=i,
а при i=l индуцирован отображением (tr)°: Y ® L0 -*¦ X;
это определение корректно, поскольку (t )°°(— g~\ dL) = 0.
Итак, мы показали, что исходный морфизм Х[0] ->- Y[i]
имеет вид у (К'). Осталось проверить формулу E).
Пусть, как в п. 4г),
/Г:
L':
= У
200
— два ацикличных комплекса. Обозначим М'
(см. D)), так что
где М1 = К1 при -i+K
< — i. Пусть левые домики
— L'еК'
У 10.1
задают морфизмы z/(if): X[0]-+Y[i], y{L')\
y(L' 'К'): X[O]-+Z[i + j]. Морфизм
—>Z[i + j] задается домиком
Z\f+j]
Поэтому для доказательства равенства E) достаточно по-
построить коммутативную диаграмму
М
в которой s°q = s", f[i]°g — f". Морфизмы q, g строят-
строятся естественно:
gl —
при - i +
при — i —
6. Гомологическая размерность. Теорема 5 показы-
показывает, что сложность производной категории B(s4) можно
грубо измерить следующей характеристикой.
201

Гомологической размерностью dh (s&) называется мак-
максимальное число р, для которого существуют объекты
X, УеОЬ(^) с Ext%(X, У)=И=0, или «,, если такого
числа нет. ¦
Очевидно, dh(.p?)X). Нульмерные категории устроены
просто.
7. Предложение. Следующие утверждения экви-
эквивалентны:
а) dh(^) = O,
б) Ext^ (X, Y) = 0 для всех X, Y^Ob&,
в) Категория s& полупроста (см. п. 2.3).
Доказательство, а) => б) очевидно, б) =*- в)
устанавливается следующим рассуждением. Пусть
К': 0-+Y-+Z-+X-+0
— точная тройка. В силу теоремы 5 а), б) и п. 4 в),
имеем точную последовательность абелевых групп
О -> Нот (X, У) -> Нот (X, Z) -
-* Нот (X, X) - Ext1 (X, У) = 0.
Поэтому существует морфизм h: X->Z, образ которого
в Нот(Х, X) равен id*. Нетрудно убедиться, что К —
расщепленная точная тройка
("•у.0)
(n fc-1
где А: X ->¦ Im h — канонический изоморфизм, в) =*- б)
следует из теоремы 5 в) и того, что расщепимая точная
тройка определяет нулевой элемент Ext1, в) =>¦ а). Ин-
Индукцией по р > 2 покажем, что Extp (X, Y) = 0. С этой
целью представим любой элемент е е Extp (X, Y) в виде
произведения e'eExt^X, Z) и е" sExt" (X, У); так
как е" =0, отсюда будет следовать требуемое.
Пусть е — у{К'), где К' имеет вид B). Положим
е" = у(К"), е" = у(К-"), где:
К": ...
-Imd
-i
-0-
' 8. Одномерные категории, а) Категория $ФЪ одномер-
одномерна, б) Категория К{х]-то&, где К <— поле, одномерна.
202
Легко доказать, что размерность этих категорий >1:
в них есть нерасщепимые точные тройки
Для доказательства того, что размерность в точности рав-
равна 1, полезно сначала развить некоторую технику.
9. Гомологические размерности объекта. Положим
Ext"(X,
Ext"(Г, Х)ФО).
Буквы р, i — сокращения слов «проективный» и «инъек-
тивный» соответственно, что оправдывается следующей
леммой.
10. Лемма. Следующие три утверждения эквива-
эквивалентны:
ар) dhpX = 0.
бр) ExV{X, У) = 0 для всех У.
вр) X проективен.
Аналогично, эквивалентны утверждения:
a,) dhiX = 0.
б,) Ext1 (У, Х) = 0 для всех У.
Bi) X инъективен.
Доказательство. ар)=>бр) очевидно. бр)=^вр).
Из предложения 8 следует, что любая точная тройка с
третьим членом X расщепима. Для проверки проектив-
проективности нужно вывести отсюда существование пунктирной
стрелки в диаграмме проективности
X
¦и-
о
Построим расслоенное произведение Z X X. Проекция
и
ZxX-vX сюръективна по упр. II.5.2. Поэтому сутце-
и
ствует расщепление k: X->-ZxX. Его композиция с
и
проекцией Z X X—>-Z и есть h, вр)=^бр). Поскольку X
и
проективен, точная тройка с третьим членом X расще-
203

пима, так что Ext'(X, У) = 0. вр)=^ар). Доказательство
повторяет последнее рассуждение в доказательстве пред-
предложения 7.
Утверждения относительно инъективпой размерности
dhi проверяются аналогично. ¦
11. Предложение, а) Пусть комплекс
... -> 0 + X' -+ Р~к -* ... -* Р-1 -* Р° -* X -* 0 + ... F)
ацикличен, объекты Р~* проективны. Тогда
dhpX' = max(dhpX-ft-l, 0).
б) Пусть комплекс
... -+ 0-> X -* 1° -> Г -у .., -> /" -* X' -> 0 -> ...
ацикличен, объекты V инъективны. Тогда
dhiX' = max(dhiX-ft-l, 0).
Следствие, а) Если <? категории s& достаточно мно-
много проективных объектов (т. е. любой объект изоморфен
фактору проективного), то условие dhpX<& равносиль-
равносильно тому, что у X имеется проективная резольвента дли-
длины <к + 1.
б) Если в категории s& достаточно много инъектив-
ных объектов (т. е. любой объект изоморфен подобъекту
инъективного), то условие dhi X < к равносильно тому, что
у X имеется инъективная резольвента длины </с +1.
Доказательство предложения. С помощью
комплекса F) мы определим для любого объекта У и
числа d отображение
Extd(X\ F)^Extd+ft+1(X, Y) G)
и докажем, что оно является изоморфизмом при d^l и
сюръекцией при d = 0. Отсюда сразу следует, что если
dhpX'SM, то dhpX = dhpX' + fc + l, а если dhpX'=O,
то dhp X < к + 1. Это равносильно утверждению а).
Проведем индукцию по к. При к = 0 определим ото-
отображение G) как связывающий гомоморфизм в точной
последовательности Ext-ов, отвечающий точной трои-
лее F):
, F) = 0.
Наше утверждение следует теперь из леммы 10:
Extd{P°, У) = 0^1
204
Чтобы сделать индуктивный переход, разобьем F)
на две части:
0 -у х' -у Р~к -+ X" -> 0 (X" = Im d~k == Ker d~h+l) (8)
0-*-X"-*P-k+1-»-...-JP-1--jPo-'-X-»-0, (9)
и определим G) как композицию двух отображений:
Extd(X', Y)^Extd+1(X", y)^Extd+ft+1(X, У),
где б' — связывающий гомоморфизм точной тройки (8),
а б" предполагается построенным по индукции с по-
помощью комплекса (9). Ясно, что эта композиция обла-
обладает требуемыми свойствами.
Утверждение б) доказывается аналогично.
Вывод следствия из предложения очевиден. ¦
Замечание. Построенное нами отображение G)
совпадает (с точностью до зпака) с умножением на класс
Ионеды комплекса (С) в группе Extft+1(X, X').
12. Модули над кольцом главных идеалов. Пусть А —
коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля,
у которого любой идеал главный (например, Z или К\х\).
Пусть 9? — категория Л-модулей конечного типа. Следую-
Следующие три класса модулей совпадают в ней: а) свободные,
б) проективные, в) модули без кручения. Поэтому любой
объект имеет проективную резольвенту длины 2, так что
l. Если А не является полем, и aei\{0} — необ-
а
ратимый элемент, то класс последовательности 0-*-А-*~
-+А-+А/а-+0 определяет ненулевой элемент в
Ext' (А/а, А), так что dh W = 1.
Мы доказали утверждение, немного более слабое, чем
сформулированное в п. 8. От предположения конечности
типа можно избавиться.
13. Теорема Гильберта. В п. 1.1 мы сформулировали
теорему Гильберта о цепях сизигий для модулей над
кольцом многочленов /с[?и ..., tr]. В следующем пункте
мы докажем категорный вариант этой теоремы. В при-
применении к модулям над k[tu .. .,tr] он дает результат, не-
немногим более слабый, чем классическая теорема, посколь-
поскольку мы получим ограничение длин проективных, а не сво-
свободных резольвент.
В действительности, над кольцом многочленов с коэф-
коэффициентами в поле проективные модули конечного типа
свободны. Эта нетривиальная теорема была сформулиро-
205

вана в качестве гипотезы Серром и доказана независимо
Суслиным и Квилленом.
Пусть si — абелева категория. Обозначим через si[T]
следующую категорию:
ОЬ si [Г] = {пары (X, t), где X <= ОЬ si, %
(X, X)}.
Морфизм (X, t)-*(X', t') в si[T] — это морфизм f: X-*¦
-*¦ X' в .si с условием t' ° /= / ° t.
14. Теорема, а) Категория si [Т] абелева.
б) Предположим, что в категории si достаточно про-
проективных объектов и существуют бесконечные прямые
суммы. Тогда для любого объекта (X, t) е ОЬ $Ф[Т] имеем:
+ i.
в) В тех же условиях
Доказательство этой теоремы занимает пп. 16—19.
15. Вывод классической теоремы Гильберта. Положим
si, = k[ti, ..., tr]-mod. Определим функтор
доложив Fr(X, t) = X со старым действием k[tu ..., tr-H
и с умножением на tr, равным Т. Легко убедиться, что
этот функтор задает эквивалентность категорий. Поэтому,
если к — поле, то мы можем начать индукцию с г = О,
dh «s^o = 0, и получить из теоремы 14 dh s4-r = г.
Разумеется, можно считать, что к — произвольное (не
обязательно коммутативное) кольцо; в определении k[tiy...
..., tr] всегда подразумевается, что U коммутируют с к
и друг с другом.
16. Доказательство абелевости j^[T]. Нам нужно про-
проверить аксиомы А.1—А.4 из II.5. Аксиомы А.1 и А.2 оче-
очевидно выполнены, поскольку Нот^т] ((X, 1), (X', t')) —
подгруппа Ногп^ (X, X'). Далее, пусть (X, t), (Xr, t') —
два объекта s4-[T]. Определим их прямую сумму так:
(X, t)®(X', t') = (X®X', t®t'). Построение морфизмов
A) и проверка свойств B) из II.5.4 проводится автома-
автоматически.
Покажем теперь, что в s&[T] существуют ядра и кояд-
коядра. Мы будем обозначать одной и той же буквой морфиз-
мы (X, t)-+(X', t') в М[Т] и соответствующие морфизмы
206
Х-+Х' в М. Пусть {К, А;) —ядро / в &. Тогда jtk =
= t'kJ = Q, так что существует единственный морфизм
s: К -+- К с tk = ks (см. диаграмму)
• i
Х+Х
ХZ'
С
Поэтому (К, s)^Obst[T] и к: {К, s)->-(X, t) — морфизм
в ^[Т]. Мы оставляем читателю несложную проверку то-
того, что ((К, s), к)— ядро / в s?[T]. Аналогично строится
коядро ((С, и), с) морфизма / в s?[T\.
Докажем справедливость А.4: существование канони-
канонижеия морфизма /: (X ?)->-(Х' t') в зй-[Т].
Докажем справедливость А.4: сущ
ческого разложения морфизма /: (X, ?)->-(Х', t') в зй-[Т].
Пусть (/, u)=GokerKer/, (/', и') = Кег Сокег /,
i: (X, t)-+(I, и), /: (/', u')-»-(X', t') — соответствующие
морфизмы в s& [T]. Согласно II.5.116) существует един-
единственный морфнзм I: (I, и)->¦(/', и') с f = j°l°i. По-
Поскольку /='СокегКег/ и /' = Кег Сокег/ в s4-, категория
S& абелева, I: I -+¦ /'— изоморфизм в зФ. Поэтому
I: (/, и) -*-(/', и) — изоморфизм в s4-[T\ и справедливость
А4 в S&[T] установлена.
17. Проективные объекты в si-[T].Предположим те-
теперь, что в si существуют бесконечные прямые суммы
(выполнена аксиома АВЗ, см. упр. П.6.2). Для каждого
У е Ob si положим Y°° = Y ® Y ® ... и определим сдвиг
sY: Y" -»- У™.так: sy(j/,, уг, ...) = @, уи ...). Мы утверж-
утверждаем, что если Y проективен в si, то (У~, sy) проективен
в si[T].
В самом деле, пусть задана диаграмма проективности
в S4{T\.
[X.t)
¦о
В терминах категории si такая диаграмма задается мор-
физмами ф(: У-*-Х", i = l, 2, ..., и эпиморфизмом я,
такими, что ?"фг = <р<+1, t"n = nt. Для построения тре-
требуемого морфизма ф в s4\T] нужно построить морфизмы
-ф<: У_->- X, i = 1, 2, ..., в si такие, что я% = ср», ii|)i = i|3i+i.
Поскольку У проективен в si, а я — эпиморфизм,
существует г^: У->-X в si с яг|I = фь Далее, полагая
207

последовательно
= л?ф; = t"ntyi —
= ?г|);, имеем
p
Из доказанного утверждения следует, в частности, что
если в зФ достаточно проективных объектов, то п в s4\T]
достаточно проективных объектов. Кроме того, поскольку
функтор X >-»- (А', 0) реализует бФ как полную подкате-
подкатегорию в s?[T], для любого проективного (X, t) в s?[T]
объект X проективен в зФ.
18. Доказательство 146). Пусть (X, t) e
е ОЪзФ [T] и dhp^X = к. Построим ацикличный комплекс
0
, г)
\ t.h)
0,
в котором все (Р~\ t-f), 0 < i < А;, проективны в
Тогда комплекс
в ^ также ацикличен, а все Р~1 проективны в зФ соглас-
согласно последнему замечанию предыдущего пункта. Ввиду
п. 10а и 11а, У также проективен в s&. Поэтому (Y°°, sY)
проективен в зФ[Т] и для доказательства неравенства
dhp^i-] (X, t) ^ к + 1 достаточно построить точную после-
последовательность
0-+(Y°°,sY)-^(Yc°,sY)X(Y,r)-+0 A0)
в s4\T]. Зададим I матрицей морфизмов lfj: Y -*¦ Y в s?
i, j = 1, 2, ..,.? полагая Zj_, = —г, Ц_ j_t = idy, 1ц = 0 для
остальных i, j. Зададим далее q набором морфизмов
qf. Y-*-Y в А, 7 = 1, 2, ..., полагая qj=^ri. Ясно, что I и
q — морфизмы в s?\T\ (т. е. выполнены соответствующие
условия коммутирования). Несложную проверку точно-
точности последовательности A0) мы оставляем читателю.
19. Доказательство 14в). Нужное утверждение
вытекает, очевидно, из следующей формулы: для X,
((X, 0), (У, 0)) = Ext^ (X, Y) e Ext^1 (X, Y). (И)
Формулу A1) проще всего доказать, вычисляя группы
Ext с помощью проективных резольвент (упр. 1). Пусть
... -+P~n-^ p-n+1-^ . .. -+p-i-+ po_^ X-+0
— проективная резольвента X в зФ, т. е. точная после-
последовательность в зФ с проективными Р~\ Тогда
203
^ (X, Y) = Нп (Нот (Р', Y)) — когомологии комплекса
с дифференциалами, индуцированными йр .
Рассмотрим для каждого п ~> 0 точную последователь-
последовательность A0) в $?[Т], отвечающую (Р~п, 0):
-, 0)
Морфизм 1 = 1-п в ней задается формулой V
)( )
Г,)(,рГ,рГ
Построим комплекс
1-П+1
в ^[Г], полагая
, 0) -> 0 A2)
при п > 0,
и задавая ^q", eQ формулами
—та/ —я — п — п+1 —
Читатель легко проверит, что A2)— точная последова-
последовательность в з?[Т]. (Это можно сделать либо непосред-
непосредственно, либо используя свойства двойных комплексов,
см. 7.8.) Кроме того, из п. 17 вытекает, что A2)—про-
A2)—проективная резольвента (X, 0) в зФ[Т]. Чтобы использовать
ее для вычисления Ext^rj ((X, 0), (У 0)), заметим
прежде всего, что для любого Z e Ob s4- имеем естествен-
естественный изоморфизм
Hom^m ((Z~ Sz), (У, 0)) ^ Hom^ (Z, У), A3)
задающийся формулой
{/: (Z",sz)->(r,0)}~{<p: Z-+ У, <p (z) = /(z, 0, 0, ...)}.
14 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манпн, т. 1 209

Поэтому
(P~n, Y) 0
(P~n+\ Y).
Более тогб, из A3) вытекает, что этот изоморфизм согла-
согласован с дифференциалами. Следовательно, мы получаем
изоморфизм комплексов абелевых групп
?', (У, 0)) &: Hom^ {Р\ Y) ® Нот^ (Р', Y) [1],
откуда вытекает A1). ¦
20. Производная категория и инъективные резольвен-
резольвенты. Последняя тема этого параграфа — описание произ-
производной категории в терминах инъективных резольвент.
Пусть Sf — полная подкатегория абелевоп категории
S4-, состоящая из инъективных объектов. Рассмотрим ка-
категорию К+(^), состоящую из ограниченных слева комп-
комплексов инъективных объектов и морфизмов по модулю
гомотопической эквивалентности, и естественный функ-
функтор K.+ (&) + V+(sl).
21. Теорема, а) Описанный фу}1ктор определяет
эквивалентность К+(^) с полной подкатегорией D+(^).
6) Если инъективных объектов в si- достаточно много,
то он является эквивалентностью категорий.
22. План доказательства. Прежде всего мы
покажем, что к паре категорий К+(.7)с: K+(j^) и системе
квазиизоморфизмов S в K+(s&) применимо предложение
2.10. С этой целью нужно проверить следующие условия.
A. Квазиизоморфизмы в К+BГ) образуют локализую-
локализующую систему S&.
Б. Условие б2 предложения 2.10 выполнено.
После этого утверждение 2.10 будет означать в нашей
ситуации, что К+EГ)[5^1] является полной подкатего-
подкатегорией в K.+ (s&)[S-l] = D+(.s&). (Последнее равенство дока-
доказано в предложении 4.2.)
B. Sу состоит из изоморфизмов. Поэтому
Г. Если в s4- много инъективных объектов, то любой
объект из D+(j$) изоморфен объекту из К+(&).
23. Доказательство 22А. В теореме 4.4 доказа-
доказано, что квазиизоморфизмы образуют локализующую си-
систему в категории K+(s&). Доказательства состоят в до-
210
стройке нескольких диаграмм комплексов. Достройка эта
делается явно, и возникающие при этом новые комп-
комплексы являются конусами морфизмов, построенных ранее.
Так как прямые суммы инъективных объектов инъектив-
ны, при работе в категории К+(&) новые комплексы при-
принадлежат этой же категории. Поэтому аксиомы локали-
локализующей системы верны и для К+(У).
24. Доказательство 22 Б, В. Мы докажем сле-
следующее усиление условия б2) предложения 2.10.
(*) пусть s: 1 -*-К—квазиизоморфизм объекта К+(^)
с объектом K+(*s$). Тогда существует такой морфизм
комплексов t: К->-1, что t°s гомотопен idj.
С помощью леммы 3.3 построим в K+(,s?) выделенный
« б
треугольник / ->¦ К -*¦ С (s) -*¦ I [1]. Поскольку s — квази-
квазиизоморфизм, C(s) = C ацикличен. Отображение ациклич-
ацикличного комплекса в комплекс из инъективных объектов,
ограниченный слева, гомотопно нулю. Гомотопия Ъ стро-
строится индукцией слева направо; можно считать, что по-
построение начинается с С:
-О
О
С
к".
с:
Iх-
с-
Существование F — это условие продолжения для инъек-
инъективных объектов. Существование %' сводится к условию
продолжения следующим способом. Рассмотрим диа-
диаграмму
Y
Она отличается от диаграммы
Кег^с может быть ненулевым.
Поэтому вместо A4) можно рассмотреть диаграмму
О * Coker rfr°—^—:С2
продолжения тем,
Но (б1
A4)
что
= 0.
4*
211

которая дает требуемый морфизм й1. Общий шаг индук-
индукции имеет ту же структуру.
Теперь распишем построенный оператор гомотопии
покомпонентно:
Ъ С = /[1]©Я + /[1], П = {к, Г).
Имеем б —Ш + (Ш; с другой стороны, в силу леммы 3.3,
8=(idX[1], 0); отсюда
) = (к, t')dc-Ydw{k, t'), t': K-
id/[i] = kdni] 4- d4lik 4- t's, 0 = t'dg — dniit',
так что t' — морфизм комплексов, a t's гомотопеп. idm].
25. Доказательство 22Г. Мы докажем, что для
любого комплекса С <= D+ (Ж) существует комплекс
feK+(J) и квазиизоморфизм f: С-+Г. Можно счи-
считать, что С' = 0 при ?<0. Будем строить I\ d\ и f: С' -*¦
-»- /* индукцией по I.
Нулевой и первый шаги:
б'1 —I
Здесь мы последовательно строим: вложение i°: С->¦ Р,
Р s ,7, которое существует, ибо в зФ много инъективных
объектов, кодекартов квадрат с вершиной /° JJ[ С1, вло-
0—»»
0—»»
!*°
/ — ^"
с1
1
1 а
У
/°
женио с этой вершины в
= с4, f1 = с о а.
(t + l)-u шаг:
>г+1
Сокег с?/— ^Coker rf7;
Затем полагаем dj =
A5)

Здесь мы строим кодекартов квадрат с вершиной
Coker dj JJ Сг х и вложение этой вершины в
с1
Затем мы полагаем d\+1 = с °b ° p, f1 = с ° а.
212
Ясно, что таким образом получается комплекс /' е=
еК+(^) и морфизм комплексов t = (tl): С-*-/'. Ос-
Остается лишь доказать, что t — квазиизоморфизм, т. е. что
Нг(<): Нг (С) ->//*(/')—изоморфизмы для всех i 5= 0.
Мы будем использовать для этого язык элементов (см.
упр. П.5). Прежде всего, используя точную последова-
последовательность
0-
-Кег
{ (С) -* 0
и упр. П.5.4а)—в), читатель легко убедится, что элемен-
элементы Нг(С')— это классы пар (X, h), X<^Obst, h: X ->-
-*¦ С1 таких, что dc ° h = 0, по следующему соотношению
эквивалентности:
(X, h)~ (X1, h')-*=>- {существуют FeOb^, эпиморфизмы
м: F->Z, u': F-vX' и морфизм г;:
V-^-Cl~1, для которых /ш — h'u' =
Нам потребуется еще следующее свойство кодекартова
квадрата:
U-U X
с Z = X ТТ У. Пусть X® 7 — прямая сумма X и У и
и
л: X® F->-Z — естественный морфизм. Тогда последова-
последовательность
С/
U,8)
0
точна.
Приступим теперь к доказательству того, что t —
квазиизоморфизм. Мы будем использовать диаграмму
A5) для доказательства того, что Я((*) —эпиморфизм,
a Hi+l(t)—мономорфизм. Наши рассуждения легко пе-
перенести на случай i = 0, 1.
а) Н*(г)~ эпиморфизм. Будем использовать
упр. П.5.4в).
Пусть ж = (Х, h)— элемент Н{A), т. е. Х^ОЬ^,
ft: X-+V, d\ °h = 0. Это значит, что Ъ °р(х) = 0, т. е.
элемент (р[(х), 0)е Coker ^гфС1+1 переходит в 0 при
213

морфизме
л = (b, a): Coker d1^1 ®Ct+1 -
Ввиду точности последовательности
С*
Сокег
еC
i+1
Cokerd}-1 U.Ci+1—> 0 A6)
С
и упр. П.5.4д) имеем
(Р (*), 0) = (I - dh)x
для некоторого элемента х=(Х, Щ^С. Это значит, что
й?с°Л = 0и х задает элемент Н4(С), для которого х =
= #'@2.
б) Hi+i (t) — мономорфизм. Пусть h: X ->- Ct+l — пред-
представитель элемента x^Ni+i(C) и Hi+i(t)x = 0 в Hi+i(I).
Мы докажем, что х — 0 в Hi+1(C). Из формулы t<+1 =
= с°а, где с — вложение (см. A5)), вытекает, что суще-
существуют: V ^ОЪзФ, эпиморфизм и: V -*¦ X и морфизм
v: V->Coker dlfx, для которых a°h °и = Ъ °v. Поэтому
морфизм
(bv,—ahu): F->Coker 4 П С{ и
1
является нулевым, т. е.
(Ь, а) (у,-Ли) = О,
где (у, —йц)—морфизм F->-Coker Й2~афСг+1. Ввиду
точности последовательности A6) и упр. П.5.4е) суще-
существуют объект W ^ОЪзФ, эпиморфизм w: W -*¦ V и мор-
морфизм г: W -*¦ С\ для которых
Это, в частности, означает, что
huw =
Поскольку uw: W -*¦ X — эпиморфизм, элемент х — (Х, h)
равен 0 в Hi+l(C).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Ext и резольвенты, а) Проверьте, что из утверждения (•),
доказанного в п. 24, и из двойственного утверждения для комплек-
комплексов, составленных из проективных объектов, вытекает, что ествс1т
214
венный гомоморфизм
является изоморфизмом в каждом из следующих случаев:
i) УеОЬКош+(П
И) X' eOb Kom~ (^) Eя — класс проективных объектов в st).
Выведите отсюда, что группы Ext^ (X, Y) для A', Y e Ob si-
можно вычислять следующим образом. Пусть ...-*¦ Р * —*¦
^ р° _+ X -*-0 — проективная резольвента X (соответственно
4
О -*¦ Y-*¦ /°—*¦ I -*¦...— инъективная резольвента У). Тогда
Ext"(X, У) есть ге-я группа когомологий комплекса
0-vHom(/">, Y)->-Hom(P-\ У)^-Нот(Р-2, У)-»-...
(соответственно комплекса
0-»-Нот(Х, 7°) ^-Нот(Л:, 7')^-Нот(Х, Р) -+ ...)
с дифференциалами, ипдуцироваппыми dP (соотвотствоппо di).
2. Ext1 и расширения. Пусть X, У е ОЬ бФ. Обозначим через
Е[Х, Y) множество классов эквивалентности точных троек
Е: 0 -»- Y -+ Z -
по соотношению экивалентности: Е
ществует коммутативная диаграмма
Е' 0 —*- У —>- Z
¦ О
Е', если и только если су-
су(в которой а обязательно является изоморфизмом ввиду леммы о
пяти гомоморфизмах).
а) Покажите, что ~ — соотношение эквивалентности.
б) Для ф: У-*-У и ЕеЕ(Х, Y) определим <р? как класс
тройки
0Y'Z'X
где Z' = У JJ Z. Покажите корректность этого определения. Пока-
у
жиге, что так получается действие Hom(F, У) па Е(Х, Y). Опре-
Определите аналогично Ety для г|з: X' ->• X. Докажите соотношепия ас-
ассоциативности (ф,ф2)? = ф!(ф2?), ?(|) (Щ^^ (?)|
(?)
ф(|)
в) Пусть Е, Ег цЕ(Х, Y). Определим
Ф У) 1гак класс тройки
Пусть Ах: 1-+1ШХ, Vr: У ф Y-у Y— естественные диагональ-
диагональный и кодиагональный морфизмы. Докажите, что операция, сопо-
сопоставляющая Е, Е' класс Е + Ё' — Vy(?® E')/±x(=E{X, Y) (сло-
215

жение Бэра) превращает Е(Х, Y) в абелеву группу, нулевым эле-
элементом которой служит класс расщешшых троек
г) Покажите, что группа Е(Х, Y) изоморфна Ext'(X, F).
3. Ext2 и трехчленные фильтрации. Пусть Хс Fc Z— трех-
трехчленная фильтрация объекта Z. По ней строится точная последо-
последовательность
О
Z/K ->- 0,
где / — композиция вложения Y —>-Z и сюръекции Z -э- Z/X.
а) Покажите, что отвечающий этой последовательности эле-
элемент i^Ext2(Z/Y, X) есть произведение Ч = "№, где Yi e
<=Ext'A7X, X), f2 e Ext'(,Z/y, Y/X) отвечают точным тройкам
0-+X-+Y-+Y/X-+0,
О -»- Y/X -+Z/X-+ZJY^- 0.
б) Покажите, что f = 0 в Ext2(Z/Y, X).
в) Докажите обратное утверждение. Точнее, пусть А, В, С —
три объекта j#, fieExt1^, С), iy2eExt1D, 5) и 71Т2 = 0 в
Ext2(j4, С). Покажите, что существует объект Z с трехчленной
фильтрацией IcFcZ такой, что А = Z/Y С = X и Чь is отве-
отвечают точным тройкам из а).
4. Следующее упражнение обобщает упражнение 1а). а) Пусть
s4-—абелева категория, XeOb«s?. Обозначим через add X полпую
подкатегорию si, состоящую из конечных прямых сумм прямых
слагаемых X. Ясно, что addX — аддитивной подкатегория s&. Име-
Имеется естественный функтор ср*: Kb (add X) ->- ])''(.s#) (композиция
вложения Kb(addX) ->- K''(st) и локализации Q: K''(s4-) -*¦ D* (.«?)).
Докажите, что если Ext^ (X, X) = 0 для всех г >
> 0, то <рх — вполне строгий функтор. (Проверьте равенство
Нот i V.(K'> L') = Hom ъ (К', L') сперва в случае, ког-
да К', L' — 0-комплексы, а затем используйте 6.14а) или IV.1.3
и проведите двойную индукцию по числу ненулевых членов в
комплексах К' и L'.)
б) Докажите, что если у каждого объекта Y e Ob s4- есть ко-
конечная резольвента (т. е. комплекс, квазиизоморфный 0-комплек-
су Y) с членами из add X, то ф^ является эквивалентностью
категорий.
§ 6. Производные функторы от аддитивных функторов
1. Мотивировки. В п. 1.6 мы уже говорили, что важ-
важнейшие аддитивные функторы F на абелевых категориях,
как Нот, ®, Г, должны быть определены заново для
восстановления их точности. Подробнее, пусть F: si- -*•
-*• 3& — точный слева (соответственно справа) функтор
между абелевыми категориями. В этом параграфе мы
определим и исследуем его продолжения RF: D+(«s?)-"
-^D+(^) (соответственно LF: D~(,s/)->- D"(^)), которые
216
будут называться правым (соответственно левым) произ-
производным функтором от F.
Функторы RF, LF будут точны в следующем смысле
слова: они переводят выделенные треугольники в вы-
выделенные.
В частности, если определить классические производ-
производные функторы равенствами
R'F^H^RF), UF = H\LF),
то по точной тройке 0-*-^4->-i?->C->-0 объектов из $&
строится классическая точная последовательность кого-
мологий
... -у R'F{A) + R{F(B)^-IVF(C) -+ Ri+1F{A)^ ...
и аналогично для L.
Как же продолжить F на комплексы?
Первая приходящая в голову мысль состоит в том,
что продолжать F на комплексы следует, применяя F по-
почленно. При этом, во всяком случае, гомотопные морфиз-
мы переходят в гомотопные, так что мы получаем функ-
функтор K*{F): К*(^)->К*(^), * = 0, +, -, 6.
2. Предложение, Пусть F точен.
a) K*(F) переводит квазиизоморфизмы в квазиизо-
квазиизоморфизмы и поэтому индуцирует функтор D*(F):
б) D*(F) является точным функтором, т. е. переводит
выделенные треугольники в выделенные.
Доказательство, а) Установим сначала, что
K*(F) переводит ацикличные комплексы К' (т. е. ква-
квазиизоморфные нулю) в ацикличные. Пусть Вг — ker d%. =
= Im dx. Точная последовательность
-о
переходит в точную последовательность
Fie1) Г(р»)
0 -* F (В1) -^F(Kl)-^
0.
Так как d> = ei+i ° р\ то /(di) = ^(ei+1)°JF(/'i), причем
F(p') — эпиморфизм, а ^(е') — мономорфизм. Отсюда сле-
следует, что F(B{) изоморфен образу F(dl), a F(B'+1) изо-
изоморфен коядру F(dt+l), так 4toF(K') ацикличед.
Заметим теперь, что если /: К'-+-L' — морфизм
комплексов, то имеется канонический изоморфизм между
217

F(C(f)) и C{F{j)) (см. 3.2). В силу 3.6, / является
квазиизоморфизмом, если и только если C(f) ацикличен.
Тогда по доказанному F(C(f)) ацикличен и, значит,
F(f) — квазиизоморфизм.
б) Просмотр определений пп. 3.2, 3.3 показывает, что
F переводит также цилиндр морфизма / в цилиндр F(f)
и основную диаграмму леммы 3.3 в аналогичную диа-
диаграмму. Это утверждение не зависит от точности F, так
что любой аддитивный функтор переводит треугольники
в треугольники того же вида (см. п. 3.4). При дополни-
дополнительном условии точности K*(F) переводит треугольники,
квазиизоморфные таким, в треугольники, квазиизоморф-
квазиизоморфные таким же, т. е. сохраняет свойство выделенно-
сти. ¦
3. Приспособленные классы объектов. Идея конструк-
конструкции RF и LF в общем случае состоит в том, чтобы при-
применять F почленно, но не ко всем комплексам, а только
к хорошо подобранным представителям классов квази-
квазиизоморфных комплексов. Например, как мы увидим ни-
ниже, ЙГ правильно вычисляется таким способом на (ог-
(ограниченных слева) комплексах ннъективиых пучков,
a L(M ® •) — на (ограниченных справа) комплексах пло-
плоских модулей.
Мы аксиоматизируем общую ситуацию следующим
способом. Назовем класс объектов 31 <= s4- приспособлен-
приспособленным к точному (справа или слева) функтору F, если он
устойчив относительно конечных прямых сумм и выпол-
выполнены следующие два условия:
а) Если F точен слева: F переводит ацикличные комп-
комплексы из Кот+E?) в ацикличные.
Если F точен справа: F переводит ацикличные комп-
комплексы из Кот" C1) в ацикличные.
б) Если F точен слева: любой объект s& вкладывает-
вкладывается в некоторый объект из 31. Если F точен справа: любой
объект является фактором некоторого объекта из Я.
(Мы будем говорить в таких случаях, что 3L достаточно
гелик, или что имеется достаточно много объектов
класса 31.)
Заметим, что если F точен, то, как следует из первой
части доказательства предложения 2, любой класс 52,
удовлетворяющий условию б) (в частности, класс всех
объектов s&), приспособлен к F.
21S
4. Предложение. Пусть 31— приспособленный к
функтору F: зФ -*• & класс объектов, S& — класс квази-
квазиизоморфизмов в К* E?). (Здесь и далее К+ берется для
точных слева F, К~ — для точных справа F.) Тогда S <%
является локализующей системой и канонический функтор
является эквивалентностью категорий.
Доказательство. То, что S(% является локализу-
локализующей системой, доказывается тем же рассуждением, что
и в п. 5.23.
То, что функтор K±C2)f^1]->D±(^) является
вполне строгим, мы установим с помощью предложе-
предложения 2.8: для К~E2) проверяется условие 6t), а для
К+ C1) — условие бг).
Проверка этих условий проводится с помощью следу-
следующего утверждения, которое заодно доказывает, что
любой объект из D*^) квазиизоморфен объекту
из К*(Ж):
а_) для любого комплекса К' е К~ ($?) существует
квазиизоморфизм t: R'-^-K', где R "е К" C1);
а+) для любого комплекса К' е К+ (s?) существует
квазиизоморфизм U К' -+R', где R' е К+($?).
В самом деле, условие 2.8 б4) следует из а_): если
К —>-л —некоторый квазиизоморфизм, то, построив
квазиизоморфизм R'-*-K', мы получим, что t ° s e S^.
Аналогично, условие 2.8 б2) следует из а+).
Остается доказать, скажем, а+). Для этого нужно
лишь повторить доказательство утверждения 5.22Г, при-
приведенное в п. 5.25, заменяя всюду & на 31. В самом деле,
при доказательстве 5.22Г мы использовали лишь, что
любой объект из si- может быть вложен в объект из &,
но нигде не использовали ннъективность объектов
из 3,. ¦
5. Конструкция производного функтора. В условиях
предложения 4 определим производный функтор на объ-
объектах категории К* C1) \S~^\ почленно:
RF (К'I = F (Кг) для Г
LF (К'I = F (К1) для Х'
К+(«),
219

Так как почленное применение F переводит ациклич-
ацикличные объекты из К±C?) в ацикличные, то же рассужде-
рассуждение, что в предложении 2, показывает, что квазиизомор-
квазиизоморфизмы переходят в квазиизоморфизмы. Поэтому можно
сказать, что RF (соответственно LF) является функтором
из К±(<%)№] в D±(<8).
Остается выбрать эквивалентность категорий Ф:
> К^ E2) [-S1,^1], обратную слева к естественному
вложению, и доопределить RF, LF, положив
BF (К') = RF(O (К')), LF (К') = LF (Ф (К'))
в общем случае.
Эта конструкция содержит неоднозначности — в выбо-
выборе Ф, и, что более серьезно, в выборе 31. Довольно оче-
очевидно, в каком смысле она не зависит от Ф. Формули-
Формулировка и доказательство независимости от Ж требует фор-
формального определения производного функтора с помощью
универсального свойства.
6. Определение. Производным функтором для
аддитивного точного слева функтора F: s& ->- 3& называ-
называется пара, состоящая из точного функтора J)+(F):
Т)+{$Ф)-+ D+(^) и морфизма функторов bf: +
О (*
Эта пара должна обладать следующим универсальным
свойством. Для любого точного функтора G: D+ (s?)-+
ц морфизма функторов ?.' ^»K+(F)-^
существует единственный морфизм функторов
л\: D+ (F)-+ G, для которого следующая диаграмма ком-
коммутативна:
G ° Of
A)
220
Аналогично, производный функтор для точного спра-
справа функтора F: зФ-+& — это пара D~(F): D~(.s#)-»-
и морфизм функторов eF: D {F)-Q^~>-
(&"), обладающий универсальным свойством,
аналогичным A) (с морфизмом функторов ц: G -+-
-D(^)). ¦
Отметим, что если функтор F точен, то ввиду пред-
предложения 26) его производный функтор D*(F) совпадает
с почленным применением F к комплексам.
7. Единственность производного функтора. Пусть
(D*(F), eF) и (D*(F), eP) — два производных функтора
для F. В силу определения, существуют и однозначно
¦л ^,
определены морфизмы функторов D* (F) 7± D* (F)
с указанными свойствами коммутативности. Поэтому
г\ " г| и г) ° ц будут автоморфизмами D*(F), D*(/r) соот-
соответственно. Значит, они тождественны в силу единствен-
единственности. Тем самым ц и т| — взаимно обратные изоморфиз-
изоморфизмы функторов, которые к тому же определены од-
однозначно.
8. Теорема. Если функтор F допускает приспособ-
приспособленный к нему класс объектов Я, то D±(F) существуют
и определяются конструкцией н. 5 (т. е. D+ (F) = RF,
J)-(F)=LF).
Доказательство этой теоремы занимает пи. 8—11. Мы
будем рассматривать точный слева функтор F, доказывая
существование D+ (F). Повторим еще раз конструкцию
производного функтора, приведенную в п. 5, вводя необ-
необходимые дополнительные обозначения.
Пусть
— естественное вложение. Оно задает эквивалентность
категорий. Пусть
Ф: D
— некоторый квазиобратный W, так что заданы изомор-
изоморфизмы функторов
221

Почленное действие F на комплексах с элементами из Ш
однозначно задает, ввиду свойства а) класса 31, функ-
функтор F:
обладающий свойством
(Qm: К+E?)-> К+E2) [S^1] —функтор локализации).
Ясно, что F — точный функтор, т. е. переводит выделен-
выделенные треугольники в выделенные.
Зададим теперь D+ (F), полагая
Для доказательства теоремы 8 нам нужно проделать
следующее:
а) Доказать, что D+ (F) — точный функтор.
б) Построить морфизм функторов zF: Q$ ° K+ (F) -»-
—*- D+ (F)» Qst и доказать его единственность.
в) Проверить свойство универсальности из п. 6.
Докажем а). Ясно, что Ф коммутирует с функтором
сдвига Т. Поэтому достаточно проверить, что Ф перево-
переводит выделенные треугольники в D+ [s4-) в выделенные
треугольники в К+ {Ж) \S~gi\- Поскольку Ф — эквива-
эквивалентность категорий, нужное утверждение вытекает из
следующей леммы.
9. Лемма. Пусть Д = {x-^Y -** Z^* X[l]} —тре-
—треугольник {не обязательно выделенный) в К E?) [(S^1];
предположим, что А изоморфен в D(j^) некоторому стан-
дартному треугольнику А = \Х —> Y —* С(J) —> X [l
F—комплексы из Кот(^). Тогда Д изоморфен в D(s&)
некоторому выделенному треугольнику Д' с объектами из
Кот {Ж).
Доказательство. Пусть /: X-+Y задается до-
домиком
. B)
222
Рассмотрим стандартный треугольник
Д' = (?-^У->С(г) — S
in).-
Пусть (ф, г|), 6)—изоморфизм Д и Д, т. е. имеется ком-
коммутативная диаграмма в D(^)
f g h
X—»¦ Y-* Z —* X[l]
~ e! ^ ^H C)
—v C(/)—> X[l]
Эта диаграмма определяет морфизм г|) ® ф? [1]: С(г) =
УФ5[1]-^С(/) = -РФХ[1].
Рассмотрим теперь диаграмму в
А':
Y
¦С (г)
I-1
S
U
X
Y
Из представления морфизма / в виде B) и коммутатив-
коммутативности C) получаем, что эта диаграмма коммутативна.
Кроме того ясно, что 8~' »(г|) © щ [1]) — изоморфизм в
D(s&) (поскольку 8, ф, \|з и q — изоморфизмы). Поэтому
А изоморфен А'. ¦
10. Построение морфизма функторов eF. Пусть
X е Ob K+ (st) = Ob
УеФ«^ (^) е Ob
Применим к X s Ob ]
лучим изоморфизм в
Этот изоморфизм в ~
мов в К
=Ob K+
морфизм функторов р. По-
По) рд: !-+? »Ф(Х)= ?(У).
задается диаграммой морфиз-
X
s t
-+Z+-Y,
в которой s, te Qis. Более того, ввиду свойства а+) из
доказательства предложения 4 можно считать, что Zs
eObK+(i%). Применив к этой диаграмме K+(F), полу-
получаем диаграмму в К+ (Jf)
К+ (F) (X)
K+(F)A
K+ (F) (Z)
K+<f)(t)
K+ (/?) (У). E)
Ввиду свойства а) класса 91, K+(F)(s)—квазиизомор-
223

физм. Поэтому диаграмма E) задает морфизм в
bf (X): Q#K+ (F) (X) -> Q$K+ (F) (Y) = FQM (Y) =
Проверим, что Bf(X) не зависит от выбора диаграммы
D). Две такие диаграммы со средними объектами ZM Z2
можно дополнить до коммутативной диаграммы
и читатель сразу проверит, что морфизм
->(?^К+ (F) (Y), построенный по (su
вен морфизму, построенному но (s, t).
Проверим, что набор гР(Х), IeK+
* +
(F) (Х)-ь
и (st, t2), ра-
ра, задает мор-
морфизм функторов ef: Q&K* (F)-> D+ (F) Q^. Пусть ф:
Х1-^Х2- морфизм в К+(^), Y1 = OQJt(X1), Y2 =
— Ф^^(^а)- Поскольку р — морфизм функторов, полу-
получаем коммутативную диаграмму в D
Представляя каждый из трех морфизмов fb: , $x2, ЧгФ(ф)
в этой диаграмме домиком в К+ {$$-), можно, ввиду свой-
свойства а+) из п. 4, считать, что все вершины этих домиков
лежат в К+E2). Поскольку, кроме того, Yt и F2 лежат
в К+ (Я), применяя к полученным домикам К+ (F), мы
получим, ввиду свойства а) класса 31, домики в К+(^).
Эти домики задают морфизмы в D+ C8), и диаграмма
F) приводит к коммутативной диаграмме
показывающе!!, что г? — морфизм функторов.
224
Единственность ер следует из универсального свойства
функтора локализации Q^: K+ (.i$)-*-D+ (з?).
11. Проверка универсальности D+(F). Пусть задан
точный функтор G: D+(j^)->- D+(^) и морфизм функ-
функторов е: (?^ о К+ (F)-+G° Q^. Построим морфизм функ-
функторов ц: D+(F)-*-G, для которого диаграмма
G)
морфизмов функторов будет коммутативной.
Для построения г\ нам нужно задать для каждого
ZObK+(^)=ObD+(^) морфизм у](Х): B+(F)(X)-^
) в D+(#).
Имеющийся морфизм функторов 8 определяет для
каждого X<=OhK+(s&) морфизм е(Х): F(X) -> G(Z) в
D+ (^). Кроме того, морфизм функторов fk Idg+^-^Yo ф
(см. п. 8) определяет для каждого X изоморфизм $(Х):
X-+-W°<i>(X) в D+(«^). Поскольку s — морфизм функ-
функторов, диаграмма
F(X)
е<Х)
G(X)
(8)
коммутативна. В этой диаграмме F(W°<?>(X)) =
=¦ D+ (F) (X), а левая вертикальная стрелка есть
ef(X): Q^K+(F)(X)-^T)+(F)QM(X) (см. п. 8, 10). По-
Поскольку р (X) — изоморфизм в D+(s?), a G — функтор
из D+(^) в Ъ+{М), правая вертикальная стрелка в этой
диаграмме тоже является изоморфизмом. Положим теперь
4(X) = G(?>(X))-1°E(W°<S(X)); D+(F) (X) - G(X).
Из того, что р — морфизм функторов, легко вывести, что
набор морфизмов ц{Х) задает морфизм функторов г\:
D+(F)^>-G. Коммутативность диаграммы G) и един-
единственность ц (X) для каждого X вытекают из коммута-
коммутативности диаграммы (8) и того, что G($(X)) — изомор-
изоморфизм. ¦
15 С. И. Гельфанд, Ю. И. Лапин, т. 1 225

В приложениях существенно, что некоторые классы
объектов приспособлены ко всем функторам, точным
с фиксированной стороны.
12. Теорема. Если в s4- достаточно много инъек-
тивных (соответственно проективных) объектов, то их
класс приспособлен к любому точному слева (соответ-
(соответственно точному справа) функтору F.
Доказательство. Пусть, скажем, F точен слева,
& — класс инъективных объектов. По определению при-
приспособленности, достаточно проверить, что F переводит
ацикличные комплексы из Кот+(^) в ацикличные. Пусть
/'— такой комплекс. Нулевой морфизм 0: / —*-1 явля-
является квазиизоморфизмом. В силу п. 5.24, он гомотопен
idr. Поэтому нулевой морфизм F(I') гомотопен idF(r).
Следовательно, F(l') ацикличен. ¦
До сих пор мы выводили существование производного
функтора из наличия приспособленного класса. Частич-
Частичное обращение этого рассуждения таково.
Пусть, например, RF существует. Назовем объект X
F-ацикличным, если fl'F(X) = 0 при всех 1Ф0. В этпх
условиях справедлива
13. Теорема, а) Для существования приспособлен-
приспособленного к F класса объектов необходимо и достаточно, что-
чтобы класс Z F-ацикличных объектов был достаточно
большим, т. е. чтобы каждый объект был подобъектом
ацикличного (для лево-точного F) или факторобъектом
ацикличного (для право-точного F).
б) Если. 31 достаточно большой, то любой класс при-
приспособленных объектов лежит в 31, и любой достаточно
большой подкласс 31 приспособлен.
в) Если 31 достаточно большой, то все инъективные
(для лево-точных F) или проективные (для право-точных
F) объекты лежат в 31.
Доказательство. Пусть класс приспособленных
к F объектов 91 существует. По конструкции п. 5,
DF(X[0]) квазиизоморфен F(X)[0] для всех 1е*. По-
Поэтому Ж'^31, и 31 достаточно большой.
Наоборот, пусть 01 — любой достаточно большой под-
подкласс 31. Чтобы установить его допустимость, достаточно
проверить, что F переводит ацикличные комплексы из
Кот* C1) в ацикличные. Пусть, скажем, F точен слова.
Если ацикличный комплекс из F-ацикличных объектов
является тройкой . .. -> 0 ->- К° -> Ю -*- К2 -> 0 ->- .. ., то
точность 0-+F(K.*)-+F(K}) + F{Kl) + Q следует из
226
D'F(i?°)=0. В общем случае можно последовательно от-
отщеплять точные тройки. Полагая Xs = Im d\ X" = К\
имеем точные тройки
0 — К"
0
К1 - X1 -* 0,
г -*¦ X2 -* 0, ...
Далее,
ибо Х\
+i<^?. Поэтому тройки 0->
)-0 точны, так что F(K')
ацикличен.
Наконец, пусть SE достаточно большой и F по-преж-
по-прежнему точен слева. Вложим инъективный объект I в аци-
ацикличный X. Из диаграммы инъективности (II.6.9)
следует, что <р выделяет 1 прямым слагаемым в X. Так
как F аддитивен, D'FG) является прямым слагаемым в
Ю^(Х) 0 i*0
(Х) = 0при i=*0. ш
14. Классические производные функторы, а) Функтор
Н из производной (или гомотопической) категории "в абе-
леву называется когомологическим, если он переводит
любой выделенный треугольник X-^F-^Z-^X[1] в точ-
точную последовательность
... -» Я(ГХ) -> II(Г Y) ->¦ Н (TZ) -> H(Ti+1X) -> ...
Например, Я' = Н° — когомологический функтор (см. 3.5
и 1.6.8). Другой пример: # = Нот([/, •) (см. IV.1.3).
б) Пусть F — точный слева (соответственно справа)
функтор из одной абелевой категории в другую Тогда
#F = tf°(rD+(F)) = tf'(D+(F)) (соответственно ' UF =
— Нг(Т) (F))) называется классическим г-м производным
функтором от F. Нетрудно убедиться, что R{F = 0 при
г < 0, R"F = F (соответственно L*F = 0 при i > 0,
L°F = F).
Приведем некоторые примеры.
15. Ext1 как производные функторы. Пусть s& абе-
лева категория, в которой класс инъективных объектов
Достаточно велик. Фиксируем объект X и рассмотрим
функтор Нош(Х, •) со значениями в абелевых группах.
Он точен слева и потому имеет производный функтор
Iе;*
ай 227

ЛНот(Х, •). Покажем, что имеется изоморфизм функ-
функторов
Ext'(X, .)~Д*Нот(Х, ¦).
Чтобы вычислить ExV(X, Y), заменим У на инъективную
резольвенту Y-+¦ IY, и тогда (см. 5.56))
Ext* (X, Y) = HomD(^) (X, IY Щ).
Из инъективности IY следует, что (см. упр. 5.1а))
(X, /Y Щ) = Honig^) (X, /у [i]).
С другой стороны, по конструкции производного функ-
функтора:
R1 Нош (X, Y) = Н1 (Нот' (X, 1У)).
Теперь остается воспользоваться общей конструкцией.
Внутренний Нот в категории комплексов Кот(л?) опре-
определяется формулой
Иотп(А\ В') - П Нога (Л1, Bi+n)t
iez
df=dB°f — (— 1)"/• dA, Jez Нот" (А', В').
Тогда имеются канонические изоморфизмы:
Z1 (Horn' (A\ В')) =.HomKom(rf) (A\ В' [i]),
В1 (Нот" {А', В')) = морфизмы, гомотопные нулю,
откуда
Я* (Нот' (А\ В')) = HomK(rf) (Л\ Б' [г]).
Аналогично можно проверить, что если в S& доста-
достаточно много проективных объектов, то Ext*(-, Y) —
= /?*Нош(-, 7) как функторы от первого аргумента (по-
(поскольку они контравариантны, следует считать их опре-
определенными на s&°).
Чтобы учесть функториальные свойства Ext' и ffHom
одновременно по двум аргументам, следовало бы развить
формализм производных полифункторов.
16. Функторы Тог4. Пусть R — некоторые ассоциатив-
ассоциативное кольцо с единицей. На категории левых Д-модулей
определен функтор • ® N, где N — фиксированный
правый Д-модуль. Этот функтор точен справа. Приспо-
228
собленными к нему являются плоские Д-модули. С их
помощью можно построить в производной категории ле-
выи производный функтор, обычно обозначаемый • ® N.
Соответствующие классические производные функторы
обозначаются Тог«:
То if (M, N) = #
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
Лг
).
В пп. 1—5 мы излагаем другой вариант конструкции производ-
производных функторов. Он обеспечивает существование, скажем RF, в
более общих предположениях, но зато значения RF лежат априори
не в производной категории, а в некотором ее расширении.
1. Категории коиндексов. Назовем категорию Sf категорией ко-
индексов, если она мала, непуста и ее стрелки удовлетворяют сле-
следующим аксиомам:
а) Sf связна, т. е. любые два объекта можно соединить после-
доватолыгостыо стрелок (направления безразличны).
б) Любую пару морфизмов /'-«-?->-/ можно включить в ком-
комму татив им ii квадрат
i
I
i
i —> k .
и
в) Любую пару морфизмов i zX- / можно дополнить морфиз-
V
мои j —>- ft так, что w о и = w о и.
Категория f называется категорией индексов, если ?° — кате-
категория коипдоксов.
2. Индуктивные пределы. Пусть 3 — категория коиндексов,
F: &->¦'§', I !-> Xi — некоторый функтор. Он задает функтор F:
Sf -+W = STunct (ft0, Set) равенством
F (г) (F) = Нош^ (У, F{i)), FsOb^° = Ob^, ieOb^.
Определим обт>ект L категории Ч? как индуктивный предел L =
= HmF (см, Н.3.18), так что для любого 7 е ОЬ ?°
L(Y) = \im FT,
где FY: Э -+9>et, FY (i) = Hom^, (Y, F (i)). Существование L вы-
вытекает из существования для любого У индуктивного предела
lim FY в категории ffet, которое доказывается аналогично тео-
теореме И.3.19.
Такие функторы L (для всевозможных JaF) образуют пол-
полную подкатегорию Ind 'S в Ф, называемую категорией индуктивных
пределов в '&,
Определим категорию проективных пределов Pro <<P как
0H. Это — подкатегория ((^°) )°. В этой категории можно
229

брать пределы функторов вида ?-+¦<&, где f — категория ин-
индексов.
3. Индуктивные пределы и локализация. Пусть S — локализу-
локализующий класс морфизмов в категории 'в (см. Ш.2.6). Назовем его
насыщенным, если любой морфпзм, являющийся левым и правым
делителем некоторых морфизмов из S, принадлежит S.
S
Для любого объекта X е Ob ЯП категория 3 х морфизмов X -*¦
—*-Х', seS, является категорией коиндексов, а категория fx
S
морфизмов X' —>~ X — категорией индексов. Положим
Z+ = lim X', X- = lim X'.
Пусть S насыщен. Отображения X >-» Х± продолжаются до функ-
функторов <В -*- Ind %" и Ч? -»- Pro '&, которые превращают стрелки из
S в изоморфизмы. Поэтому они определяют канонические функто-
функторы W[S~l] -•-Ind®' и <&[S-l]~+VtoC&).
¦4. Слабые производные функторы. Пусть si-, 38 — две абелевых
категории, F — аддитивный функтор из S4- в 38. Тем же символом
F обозначим почленное продолжение F до функтора K*(s?)-y
-^-К*(^). Пусть S д* /'соответственно S &}—квазиизоморфизмы
в К*(.я?) (соответственно К*CS)). Назовем слабым правым произ-
производным функтором RWF: К*^)!^1 |=D*(^)-»-Ind К» {98) \s~gg~\ —
= Ind D*CI) функтор, который делает коммутативной диаграмму
К*
К*
x->f(x+)
>- Ind К* (<f)
H,,,F
Ind К* (Я)
где F(x+)=lim F {X').
Если RWF принимает значения в подкатегории Ind D* (^), со-
состоящей из представимых объектов, то он «совпадает» с RF.
Объект leK*(j#) называется F-ацикличным справа, если
канонический морфизм F {X) -»- RWF (X) является изоморфизмом.
Слабый левый производный функтор определяется аналогично
с помощью диаграммы
К*
К* (rf) [Sj]
)
>¦ Pro К*
у Pro К* (Д) [Sgi ].
230
5. Производные функторы. В ситуации предыдущего пункта
предположим, что любой объект из s4- является фактором (соот-
(соответственно иодобъектом) некоторого объекта, ^-ацикличного слева
(соответственно ^-ацикличного справа). Тогда функтор LWF на
D~ {s?) (соответственно функтор RWF на D+ (s?)) принимает зна-
значения в И-{98) (соответственно в D+(J?)) и потому «совпадает»
с LF (соответственно HF).
6. Точность пределов. Пусть si- — абелева категория, в которой
существуют счетные прямые произведения, ^(Z+J — категория,
отвечающая упорядоченному множеству натуральных чисел
(см. Н.1.5г)).
а) Докажите, что категория s&z = &~unct (<«? (Z+), si0)—
абелева.
б) Докажите, что функтор lim: $$¦
точен слева.
в) Назовем объект X = (Х\, pi}~) e sf удовлетворяющим
условию ML (Миттаг-Леффлера), если для каждого i существует
/ > I такое, что рц\ Zj-^X,- — эпиморфизм.
Докажите, что класс объектов X, удовлетворяющих условию
ML, приспособлен к функтору Пт (использовать описание lim из
упражнения 1Т.Л.9).
г) Докажите, что если 0 -*¦ X -*¦ S -*- Y -* 0 — точная последо-
последовательность в ^z и S удовлетворяет условию ML, то и У удов-
удовлетворяет условию ML. Выведите отсюда, что правые производные
функторы R' lim для lim равны 0 при 1^2.
Ниже мы изложим некоторыв результаты Н. Спалтенстейна
[1], позволяющие работать с неограниченными комплексами в
производной категории.
7. Проективные и инъективные резольвенты. Левой проектив-
проективной резольвентой комплекса А' е Ob Kom {si) называется квази-
квазиизоморфизм Р'-*¦ А', где все Р{ проективны в si. Аналогично
определяется правая инъективпая резольвента.
Теорема 4.4 (и ее аналог для проективных резольвент) ут-
утверждает, что каждый комплекс А' е Ob Kom (s4) (соответ-
(соответственно Ob Kom~ (^)) имеет единственную с точностью до гомо-
гомотопической эквивалентности правую инъективную (соответственно
левую проективную) резольвенту.
Если не предполагать ограниченности справа или слева, то
единственность может нарушаться: для ?Ф = (Z/4)-mod ком-
комплекс
Рш: ... ->¦ Z/4-*-Z/4-^-Z/4->•...
ацикличен и состоит из свободных Z/4-модулей. Поэтому он яв-
является левой проективной резольвентой нулевого комплекса О'.
Однако морфизм Р'-+-0' не является гомотопической эквива-
эквивалентностью: после тензорного умножения на Z/2 получаем ком-
комплекс
P*®Z/2: ...
о о
• Z/2 -»- Z/2 ->¦ Z/2 -
231

имеющий ненулевые когомологии и, значит, гомотопически не
эквивалентный О".
8. Назовем комплекс Р' К-проективным, если для любого
ацикличного комплекса А' комплекс абелевых группНопГ (Р', А')
ацикличен. Аналогично определяется if-инъективный комплекс /*
(с помощью Нот' (А', /"))• Докажите следующие свойства
К-проективных комплексов.
а) Пусть А' — 0-комплекс (т. е. А* =0 при i<^=0). Тог-
Тогда А' .ff-проективен в том и только в том случае, если А0 проек-
тивен в S4-.
б) Если две вершины выделенного треугольника в T)(s?) яв-
являются .^-проективными, то и третья также if-проективна.
в) Для Р' е Ob Кот {Щ следующие условия эквивалентны:
(i) P' Я-проективен.
(ii) Для любого А' е Ob Kom (s4) естественный гомоморфизм
является изоморфизмом.
(ш) Каждый квазиизоморфизм s: А' ->- Р' обладает правым
обратным, (: Р'-+А' в К {¦&).
г) Z-проективной резольвентой (левой) комплекса А' вазы*
кается квазшмоморфиз.ч Р' -*¦ А' с К-проективиым Р'. Дока-
Докажите, что й-цроектывлая резольвента гдиистнпшп (сечи она су-
существует) с точностью до гомотопической экиишик'нтиости. Если
А' е ОЬ Кот~ (Щ и в sf- достаточно проективных объектов, то
К-проективная резольвента — это левая проективная резольвен-
резольвента А'.
Аналогичные результаты справедливы для Х-инъективных
(правых) резольвент.
9. Ввиду свойства 8г) if-проективные и ЛГ-инъективные резоль-
резольвенты можно использовать для вычисления производных функто-
функторов на неограниченных комплексах. В частности, И Пот (А1, В)
можно вычислять с помощью ЛГ-проективной резольвенты А' или
К-инъективной резольвенты В'.
Относительно существования Х-резольвент в работе Спалтен-
стейна [1] доказаны следующие результаты.
а) Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, М- = Я-mod.
Тогда каждый комплекс А' е Ob Kom (s&) обладает Х-проектив-
ной и Z-инъективной резольвентой.
б) Пусть О — пучок колец на топологическом пространстве
Хи^ — категория пучков С-модулей. Тогда каждый комплекс А'
обладает Z-инъектнвной резольвентой.
10. Аналогично можно определить и доказать существование
Х-плоскпх резольвент (используемых для вычисления производных
функторов от тензорного произведения), Я-мягких резольвент
(используемых для вычисления Rfr, см. § 8) и т. д.
232
§ 7. Производный функтор композиции. Спектральная
последовательность
1. Теорема. Пусть зФ, 33, Ч? — три абелевых кате-
категории, F: зФ -* М и G: $ -»- 9s — аддитивные точные
слева функторы. Пусть <%^c:Obs? (соответственно
&@ аОЪЗ!) —класс объектов, приспособленный кF (со-
(соответственно к G). Пусть, сверх того, F E?^) с= &&. В та-
таком случае производные функторы RF, RG и R(G°F):
D+(*)->-D+(*) определены и естественный мор-
физм функторов R(G°F)-+RG°RF является изо-
изоморфизмом.
Доказательство. Из определения приспособлен-
приспособленности в п. 6.3 и условий теоремы ясно, что ^?^ приспо-
приспособлен не только к F, но и к G ° F. Поэтому RF, RG и
R(G°F) существуют и их можно вычислять с помощью
конструкции п. 6.5.
Поскольку RG и RF — точные функторы, композиция
RG о RF также точна, и морфизм функторов Е:
R(G ° F)-*- RG о RF определен по свойству универсально-
универсальности п. 6.6.
Если К' е ObKom+E?j^), то по конструкции мор-
морфизм Е (К'): R(G о F)(K')-+RGoRF(K~) является изо-
изоморфизмом. Поскольку любой объект D+ (M) изо-
изоморфен такому К', Е является изоморфизмом функто-
функторов. ¦
Аналогичный результат верен для функторов, точных
справа.
2. Пример. Пусть зФ, J?, 93 — категории пучков
абелевых групп на топологических пространствах U, V,
W соответственно, a F — /., G = g., где U-*-V—*W —
непрерывные отображения. В классической ситуации
W — точка, и тогда G и G°F суть функторы сечений на
V и U соответственно. Вместо R(G°F) и RG в класси-
классической теории рассматриваются Н*(С° F)CT) —Hl(U,eT)
ж RkG{Rjf.&-) = Hk(F, Rsf.&-). Связь между этими на-
наборами групп дается спектральной последовательностью
Лерэ, которая является довольно сложным алгебраиче-
алгебраическим образованием (см. об этом § 8, в частности тео-
теорему 8.3д)).
В нашей более общей ситуации также можно по-
построить спектральную последовательность, которая
233

кодирует, с некоторой потерей информации, данные об
изоморфизме функторов Е.
Более точно, рассмотрим значение Е на 0-комплек-
сах, т. е. на объектах X е ОЪзФ. Тогда Е доставляет изо-
изоморфизм в &: -
Еп (X): Rn (G о F) (X) =z RnG (RF (X)).
Идея спектральной последовательности состоит в том,
чтобы аппроксимировать комплекс RF(X) комплексами
с меньшим числом нетривиальных когомологий. В про-
простейшем случае, когда RF(X) имеет единственную не-
нетривиальную группу когомологий RkF(X), мы имеем
RF(X) са RhF{X) [—к] в производной категории (см.
предложение 5.2) и потому в силу точности RG получа-
получаем изоморфизм
Еп(Х): Rn(G°F)(X)~Rn-kG(RhF(X)).
В общем случае описание свойств Еп(Х) на уровне
объектов когомологий имеет следующий характер:
а) на Rn(G°F) (X) описывается фильтрация;
б) последовательные факторы этой фильтрации полу-
получаются из R"G(RqF(X)), p + q = n, последовательным
переходом к подфакторам, который делается серией
шагов.
Этот алгебраический механизм и называется спект-
спектральной последовательностью. Дадим его формальное
определение, состоящее из двух крупных частей: а) аб-
абстрактные спектральные последовательности; б) конст-
конструкция спектральных последовательностей, связанных с
композицией функторов.
3. Спектральная последовательность. Пусть s4> — абе-
лева категория. Спектральная последовательность в^ —
это некоторое семейство объектов st> вида Е = (Ef'q, En),
где г?1, р, §, 1?Z, и некоторое семейство морфизмов
между ними со свойствами, которые мы сейчас опишем.
Но прежде скажем несколько слов о том, как удобно
представлять себе запись всей этой информации.
Читатель может вообразить стопку листов в клеточ-
клеточку; клетки перенумерованы парами (р, q) e Z2. Объект
Er'q помещен в (р, д)-й. клетке на r-м листе. Объекты
Е" размещены на последнем, «трансфинитном» листе и
занимают всю диагональ р + q = п.
234
Теперь опишем морфизмы и условия на них.
а) На r-м листе заданы морфизмы dr'qi ??'9->
-*¦ Ef+r'9~t+1. При г = 1 они действуют из клетки в ее
правую соседнюю. При г = 2 они действуют вправо вниз
ходом коня.. При г За 3 получается обобщенный ход коня.
Условие: d\ = 0, точнее, <+r'3"r+1 о а™ =0 для всех р,.
Я, г.
Поэтому по (Er'q, df'q) можно построить группы ко-
когомологий г-го листа:
(Er) = ker #
Следующий набор данных входит в определение Е:
б) Изоморфизмы а?'9: Яр'3 (?,)-*???.
Часто удобно считать, что на (г + 1)-м листе стоят
просто когомологий г-го листа, и а?'9 тождественны.
Основное условие па изоморфизмы а?'5 состоит в су-
существовании предельных групп .Е»?. Простейшео
требование, обычно выполненное в приложениях,
таково:
в) Для каждой пары (р, q) существует такое г0, что
d?r'q = 0, аГгл+г^ = 0 при г^г0.
Тогда а?'9 отождествляет все Е%л при г> г0, и мы
обозначаем эту группу через E^q.
К этому моменту на трансфинитном листе (г = °°)
размещены объекты E^,q и объекты Еп вдоль диагонали
п = р + q. Последний набор данных устанавливает связь
между ними:
г) На каждом Еп задана убывающая регулярная
фильтрация ... =з FpEn => F*+lEn =>... (т. е. П FvEn =
- {0}, U FpEn=En) и изоморфизмы $p-q: ЕУ-+
р '
p
В этих условиях говорят, что последовательность
(Ег'9) сходится к (Еп) или что (Еп) является пределом
Еще раз подчеркнем, что компонентами одной спект-
спектральной последовательности Е считаются все объекты
(EP'q, En), все морфизмы(^>3, а™, рм)и фильтрации на Еп.
235

/
Морфизм спектральных последовательностей /: Е -*¦
-+Е' состоит из морфизмов fr'q\ ЕРА-+Е'ГРА, Г: Еп ->
-*¦ Л1, перестановочных со структзфными морфизмами
и совместимых с фильтрациями. /
Таким образом, спектральные последовательности в
категории сами образуют категорию. Очевидно, она ад-
аддитивна, но не абелева.
4. Замечания об условиях конечности, а) Работая с
комплексами, ограниченными с одной стороны, мы обыч-
обычно приходим к спектральным последовательностям, не-
ненулевые члены которых расположены в одном квадранте
(т. е. в области вида, скажем, р > р0, q&* g0).
Пусть Е%л отличны от нуля только в квадранте I
или III. Тогда условие Зв) выполнено автоматически,
потому что либо начало, либо конец стрелок d^'q
cjP-r.q+r-i при r>ro(p, q) выходит за пределы этих
квадрантов. Кроме того, фильтрации на Еп автоматиче-
автоматически конечны: FpEn = О при р < р- (п), FpEn = Еп при
Р >Р+(п).
б) Спектральные последовательности тем приятнее в
вычислительном отношении, чем большее количество
объектов Er'Q и морфизмов d?'9 ршжы нулю. Один спе-
специальный случай имеет название: Е вырождена в члене
Ет, если dp4 = 0 при г"^г для всех р, д. Тогда Е™ =
= Е?-*.
в) Обычные задачи, решаемые с помощью спектраль-
спектральной последовательности,— получение информации о Еп
по известным E\'q или Efyq.
Покажем, что инварианты типа эйлеровой характери-
характеристики можно вычислять точно, даже не зная ничего
о дифференциалах dp9.
Пусть С — абелева группа, %: ОЬ М- -> С — аддитив-
аддитивная функция, т. е. такое отображение, что х(Х) = x(Y) +
+ %(Х/Г) для любого объекта X и подобъекта Y, и
%(Х) — %(Х'), если X и X' изоморфны. Для конечного
комплекса К' положим %(К') = 2(— ^)\(К1). Тогда
(*'J(i)'(W)
Чтобы применить это соображение к Е, рассмотрим
комплексы (Е'г, d'r), где Е?= ® Е*Л, d" = ф, dvr'q.
р+9п р+9=я
Предположим, что и прямые суммы, и комплексы Ег
конечны для некоторого г0. Тогда то же верно для всех
236
г ^ г0 и
х (е;\ = 2(-
;)) = х
= х
Наконец,
X (Е*\ = 2 X (F»En/F>+1En) = 2 X
v v
откуда окончательно
5. Спектральная последовательность фильтрованного
комплекса.
Пусть К' — объект Kom(j^) с убывающей фильтра-
фильтрацией своими подкомплексами FPK'. Это значит, что в
Кп заданы подобъекты ...=>FpKn => Fp+iKn => ... и
dn(F*K")<=F1'Kn+i.
Укажем сразу дна полезных примера фильтрации.
Положим:
(Кп при тг< — р;
кегсГ при п — — р;
О при п^> — р.
Эта фильтрация называется канонической. Она убивает
группы когомолопш К' по очереди
10 при п <; — р,
Нп{К') при ге> —р.
Положим далее
а
Эта фильтрация называется «глупой»: она тоже убивает
группы когомологий К' по очереди, но при этом портит
граничную группу:
10 при п<р,
kerdp при п = р,
Нп(К') при п>р.
Построим теперь по фильтрованному комплексу
спектральную последовательность. Будем работать так,
как если бы мы находились в категории абелевых групп.
237

а) Конструкция Ep'q и dP 9. Положим /
ZP'q = дГ1 (Fp+rKp+q+1) Л FpKp+q. I A)
Эта группа «мажорирует сверху» циклы в fep+q, лежа-
лежащие в р-й фильтровочно11 подгруппе: дифференциал d
не обязательно переводит их в нуль, но углубляет филь-
фильтрационный номер на г.
В ZvT'q есть тривиальная часть, являющаяся суммой
двух подгрупп:
Положим
ЕРЛ = ZpTAl{Zvt\^x + dZPZt+1-q+r ¦2). B)
Мы утверждаем, что d индуцирует дифференциал
dpr'q: ЕРг*-
В самом деле, d заведомо переводит ZP'q в zP-+q'q~r~i~1 (по-
(поскольку d* = 0), a Zl±\'q~x + dZ*I[+1'q+r-a - в dZvr±\'q~l
(снова поскольку d2 = 0).
б) Конструкция tXr'q. Построим отображения
C)
-+В(Е™) D)
и покажем, что они являются изоморфизмами (справа
стоят циклы и границы dr).
Прежде всего, читатель легко проверит, что объекты
в левой части C)и D) определены, т. е. факторизуется
действительно группа по подгруппе. Так как в опреде-
определении Ef'q в B) фигурирует факторизация по той же
подгруппе и Z?+i + Zr-i''3' cz Zp'q, то стрелка в C) бу-
будет естественно определена, если мы покажем, что
Это ясно, ибо dZf+\^ Fp+r+1Kp+q+1 в силу A). Анало-
Аналогично усматривается корректность стрелки D),
238
Очевидно, C) и D) являются мономорфизмами, по-
поскольку дцж получаются из мономорфизмов факториза-
факторизацией по подгруппе.
Проверим, что C) сюръекция. Имеем:
Z (Epr'q) = Z\'q П d'
1
Далее,
zp-q n
1*-1) + zprt\q~x) =
= Z™ П d~l
ибо Z^+l'9-1 с Z^. Наконец,
Z?-5 П d (Zp±l+1<Q-r) =
= гЧя+гг+9+1) п <гг (z?i1r+1-<J-r) n
crr1(Fp+r+1A^)+5+1) П Fp
Сравнивая с (З), находим требуемое. Сюръективпость
D) следует прямо из определений. Таким образом, C)
и D) доставляют изоморфизмы
)vq
Осталось отождествить левую часть с
В самом деле:
Далее
Поэтому
z?^\ n
*$x n
n 7P+1.8—i
РЛ
Это завершает конструкцию изоморфизма а
в) Конструкция Е'а. Положим Е71 = Нп {к') и
Fp?n= образ Hn(FvK-)
при естественном отображении FVK' -+К'.
239

I
Осталось проверить, что при некоторых условиях су-
существования Е„ построенная спектральная последова-
последовательность сходится к Е". I
Примем, что на каждом К71 фильтрация Fvj конечна и
регулярна. Это означает, что существуют р+(п) и р-(п)
такие, что FP+ln)Kn = Kn, Fp~wKn = 0. 4ч>гда ясно,
что условие Зв) выполнено с
ro(p, q)^max(p+(p+q + l)—p-(p+q)+ 1,
)• E)
Следовательно, группы Е™ определены.
Более того, из B) видно, что
и, далее, из A) и E)
ZPA = Z (FpKp+q),
1 = Z (Fp+1Kp+q),
Окончательно, получаем изоморфизм
устанавливающий сходимость.
6. Пример. Здесь мы вычислим спектральные по-
последовательности, связанные с глупой и канонической
фильтрациями комплекса К' (см. начало п. 5).
а) Глупая фильтрация FPK'. Имеем:
(О при q < 0,
Z™ =
о
кр
ker dp+q при
kv+q
r<g-f
при
при q ф 0,
при q = 0, г = 1,
при g = 0, г>2 и q =
г=оо.
Дифференциал d?'9: ??-9-*,Б?+г'в-г+1 совпадает с dp:
^р -^ ^p+i ПрИ g = о, г = 1 и тривиален в остальных
случаях.
Еп =Нп{К')\ фильтрация на Еп тривиальна:
240
FpEn = (?П При Р ^ Щ
\ 0 при р >> п.
б) Кацоническая фильтрация. Имеем
\ м = |//р(,й:-) при д = -2р,
1 10 при q?^-2p,
d\tq = 0 при всех р, g.
Отсюда ^'9 = EpL'q И(|, = 0 для всех г > 1. Далее, Еп
= Нп(К')\ фильтрация на Еп тривиальна:
\
10
при
при
— р,
— р.
Отметим, что спектральная последовательность, свя-
связанная с канонической фильтрацией, является функто-
функтором из категории D(s?) в категорию спектральных по-
последовательностей: если /: К'—*¦ L'—квазиизоморфизм,
то соответствующее отображение спектральных последо-
последовательностей Е(f): Е(К')—*-Е(L') есть изоморфизм
(т. е. все отображения E?>q(K')-+E?-q(Lm), En{K')-+
~^-Еп(Ь') — изоморфизмы). В противоположность этому,
спектральная последовательность, связанная с глупой
фильтрацией, не функториальна в D(^).
Мы настоятельно рекомендуем читателю проделать
все пропущенные вычисления.
7. Теорема. Пусть в условиях теоремы 1 класс $.$(,
совпадает с классом инъективных объектов 3'^ катего-
категории М-, а класс ??$ достаточно велик. В таком случае
для любого объекта Х^ОЪзб существует спектральная
последовательность с
сходящаяся к Rn(G°F) (X). Она функториалъна по X.
План доказательства. Объекты RVF(X) явля-
являются когомологиями комплекса RF (X) = F(l'x), где
1'х — некоторая инъективная резольвента X. Чтобы вы-
вычислить R(G°F) (X) = RG°RF{X), мы должны по-
почленно применить G к комплексу из Kom+(<%^V квази-
квазиизоморфному F(l'x), но так как F Bf $) а <&$, можно
взять сам комплекс Р(ГХ)- Итак, Rn(G ° F) (X)— это
когомологии комплекса G » F(l'x).
16 с. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 241

С другой стороны, чтобы вычислить RPG(R'1F(X)),
мы должны применить почленно G к резольвентам объ-
объектов R*F(X), лежащим в KomE?j). j
Связь между этими объектами осуществляет двойной
комплекс — резольвента Картана — Эйленбёрга комп-
комплекса^' = F(l'x). Эта резольвента состоит из следую-
следующих данных.
а) Двойной комплекс (Lij) с граничными оператора-
операторами di du степени A, 0) и {0, 1) соответственно; Lf' = 0
при / < 0 или i =s; 0; U' инъективны (основные опреде-
определения, относящиеся к двойным комплексам, см. в следу-
следующем пункте).
б) Морфизм комплексов е: K'-*-L''°.
Чтобы сформулировать условия, накладываемые на
эти данные, заметим, что (VJ) порождает комплексы
0 —>• К* —>• L
it0
Li<0
F)
Потребуем следующее:
в) Все эти комплексы ацикличны.
г) Точные тройки
распадаются.
Тогда все объекты Bi, Zl: Hi инъективны и, стало
быть, комплексы F) являются инъективными резольвен-
резольвентами для К', В' (К'), Z' (К'), Н' (К') соответственно.
В частности, RvG(RqF(X)) можно вычислять как ко-
гомологии с номером р комплекса G(H\(L • )). С другой
стороны, К' = F (I'x) с точностью до квазиизомор-
квазиизоморфизма можно заменить на SL, диагональный комплекс L
(см. следующий пункт) и вычислять R (G°F)(X) =
= Hn{G(F(I'x)) как Hn{G{SL)). Кроме того, комплекс
L имеет фильтрацию L'">k, и член Ег, отвечающий этой
фильтрации, оказывается как раз равным RPG (RqF(X)) =
)
242
Удобно провести основные шаги этого доказательства
в немного, большей общности, в частности, не предпола-
предполагая, что комплекс К' в Кош+(^) имеет вид F(l'x).
8. Двойные комплексы. Двойной комплекс L =
= (Ll}, d\3, d{i), d\3: L%1-*-V '\ dl{: L1J-^L'iJ+1, опреде-
определяется соотношениями
d\ = 0, dn = 0, djdn + dTTd;r = 0. G)
Положим (SL) = ф L%3 (во всех встречающихся у
¦i+j—n
нас случаях Lli сосредоточен в квадранте и эти прямые
суммы конечны; в общем случае их существование нуж-
нужно постулировать). Условия G) означают, что оператор
d^d. + dn: (SL)n -+(SL)n+i
удовлетворяет равенству d2 = 0, так что ((SL)',d) есть
комплекс, называемый диагональным комплексом.
Морфизмы двойных комплексов определяются очевид-
очевидным образом. Гомотония между двумя морфизмами
/, g: L -*-М есть такой набор морфизмов h\J': Li; —>-
Li;->Lt>J~1, что
!j + dn) fa + /гп) + (^i + hu) (di + dn)
как морфизм биградуированных объектов. В компонен-
компонентах мы для каждого i, / получаем справа три морфизма:
(ij) - (ij), (ij) - (j + 1, / - 1), и (ij) - (i - 1, / + 1), из
которых первый должен быть равен giJ — f\ а два по-
последних — нулю. В частности, /ii + hn дает гомотопию
морфизмов Sf, Sg: SL -*¦ SM.
Пусть L — двойной комплекс. Положим
l-1J, h\{:
g - / = (
Н?
= H\ (L-'O = Z\ (U'i)/B\
Другими словами, Zl7 Вг, Нг — коциклы, кограницы
когомологии обычного комплекса L''*
лом dj3. Ясно, что дифференциал
физмы
и
с дифференциа-
дифференциаиндуцирует мор-
мор16*
243

которые задают комплексы в трех последних строчках в
F). Будем, в частности, обозначать когомолопуи послед-
последнего комплекса через 11ц\Н\' (L )). Аналогично опре-
определяются когомологии Н\ (H{i3 (L )).
Категория двойных комплексов (соответственно, двой-
двойных комплексов с точностью до гомотошти) обозначается
Кош** (соответственно К**).
9. Спектральные последовательности двойного комп-
комплекса. Пусть (V\ du du) — двойной комплекс, SL— со-
соответствующий простой комплекс. На нем имеются две
убывающие фильтрации:
Fp(SL)n = ф U\ Fqu(SL)n= ф Lij.
Конструкция п. 5 доставляет дне спектральных последо-
последовательности lEvT<1 и uEfg. Если (Li]) сосредоточен в пер-
первом квадранте, как это будет в наших приложениях, то
на каждом (SL)n обе фильтрации конечны и регулярны,
так что в силу 5в) обе последовательности сходятся к
общему пределу Hn(SL). С другой стороны, их члены Ег
вычисляются непосредственно:
10. Предложение. ЛЁ1Ч - П\{Н\?(L)), пЕр2q =
= НЪ.{НУ{Ь)).
Доказательство. Вычислим сначала Epq. Сог-
Согласно определению A)
= dT1 (Fp+i (SL)
p+q+1)
FP EL)P + 9 =
Lij\ П Ф
Чтобы применить B), нам нужны еще IZp+1'q~1 и
C-1). Имеем
iV+ЯЛ
г>Р + 1
i+j=P+q—1
244
Поэтому
1 + d
-i) = Im
ф L»
п, наконец,
Теперь мы утверждаем, что дифференциал спектраль-
спектральной последовательности
при указанном отождествлении совпадает с дифферен-
дифференциалом, который индуцирован dPiq (см. п. 8):
В самом доле, это видно прямо из определения, посколь-
поскольку на Ни дифференциал d — dL + dn индуцирует то же
отображение, что и di.
Окончательно, 1Е\Л = Н\ {И\г (L)).
Член E\'q вычисляется по симметрии. ¦
11. Предложение. Пусть К' — комплекс из
Кош+ (&) и класс 3 д$ достаточно велик. Тогда
а) К' имеет резольвенту Картана — Эйленберга.
б) Любой морфизм К'—>-К' в Kom(J?) продолжается
до морфизма любых резольвент Картана — Эйлеиберга
комплексов К', К', и это продолжение однозначно с точ-
точностью до гомотопии двойных комплексов.
в) Если два морфизма К'-*¦ К' гомотопны, то лю-
любые их продолжения на резольвенты гомотопны.
Иными словами, резольвента Картана — Эйленберга
определяет функтор К+ (Ш)->-К++ (^^)-
Доказательство. Прежде всего, одно общее ут-
утверждение. Пусть
0 -> X' -> X -> X" -v 0
(8)
Гх.. /V
точная последовательность объектов в 3, ,
1х*—инъективные резольвенты X', ХъХ" соответствен-
соответственно. Точной последовательностью г^зольвент называется
245

коммутативная диаграмма
0-»-
0^
0-»
0 0
Х'->]х,
X -^-1°х
К, К
i "V
0 0
0
->/х ¦
1
0
(9)
в которой столбцы и строки точны. Мы будем обозначать
такую точную последовательность резольвент
Несложную проверку следующих утверждений мы остав-
оставляем читателю.
A. Пусть заданы точная последовательность (8) и
инъективные резольвенты 1'хч^х" объектов X', X".
Тогда существует по крайней мере одна инъективная
резольвента 1'х объекта X, включающаяся в точную по-
последовательность резольвент (9).
B. Пусть
— коммутативная диаграмма с точными строками,
F'
I F
I F"
A0)
0->Iy,
¦ 0
соответствующие точные последовательности инъсктив-
ных резольвент. Тогда существуют морфизмы комплек-
комплексов F", F, F", продолжающие /', /, /" и делающие
диаграмму комплексов A0) коммутативной. Если G'',
G, G" —другая тройка морфизмов комплексов и hr,
h" — гомотошш между F' и G' и F" и G" соответствен-
соответственно, то существует такая гомотопия h между F и G, что
246
для любого п диаграмма
0
-1Г1
IX' —
\h»n
тп-1
- 1 y»
-о
-о
rn-]
" л у i —*- 1 у
коммутативна.
Приступим теперь к доказательству предложения 11.
Для каждого i выберем инъективные резольвенты 1'вик.\
п /дг(к.) объектов В1 (К') и Н\К'). Из точной после-
последовательности
0 -^ В* (К') -> Z1 (К ¦) -»- Н{ (К') -± 0
п вспомогательного утверждения А получаем существо-
ванне инъективной резольвенты I'zuK.\ объекта Zl(K')
п точной последовательности резольвент
0 "*" Гв4к-) -»" ГгКк-) ~* Т'нЧк-) "*" °-
Аналогично, из точной последовательности
получаем существование инъективной резольвенты I'Ki
объекта К* и точной последовательности резольвент
Положим теперь
— сквозное отображение 1}к{
^ii=(-
. ГДе diKv
-*-I3Ki — дифференциал в I'Ki.
Легко проверить, что L = {V\ d\3, du) — двойной
комплекс, являющийся резольвентой Картана — Эйлен-
берга комплекса К' относительно отображений
„г
К'
г.0
Тем самым утверждение а) доказано.
Для доказательства первой части б) достаточно рас-
рассмотреть морфизмы В1(К')-+В1(К'), Н{{К')-+Н{{К')>
247

индуцированные морфизмом Я' ~*-К', применить к ним
теорему 1.3 (точпее, замечание 1.4в)) о продолжении
морфизмов объектов до морфизмов инъективных резоль-
резольвент и затем применить несколько раз утверждение Б.
Для доказательства второй части утверждения б)
нужно построить гомотопию между двумя морфизмами
резольвент Картана — Эйленберга, продолжающими один
и тот же морфизм К'-^-К'. Построение отой гомотопии
аналогично построению морфизма резольвент Картана —
Эйленберга при доказательстве утверждения а), с ис-
использованием вспомогательного утверждения Б вместо
вспомогательного утверждения А.
Наконец, для доказательства утверждения в) рас-
рассмотрим два гомотопных морфизма комплексов /, g:
К _->К'. Пусть h — гомотопия, связывающая / и g, L"
и L —резольвенты Картана—Эйленберга комплексов
К' та К' соответственно. Над каждым морфизмом hp:
Кр -*¦ Кр~1 существует хотя бы одно отображение комп-
комплексов Hv>': Lp''-*-Lp~u'. Эти отображения определяют
гомоморфизм И: L ->-/, бистепени (—1, 0), коммути-
коммутирующий с пополняющими отображениями К' ->L''° и
¦&'->?''%! антикоммутирующий с дмффорепциалами du
в L" и L". Положим Q = F + dl -^fl + IIdUL. Тогда Q:
L —vL является морфизмом двойных комплексов, про-
продолжающим морфизм g: K'-*~K', и пара (Я, 0) задает
гомотопию F и Q. Тем самым утверждение в) сводится
к утверждению б). ¦
12. Лемма. Пусть заданы: комплекс (К'), бико.чп-
лекс (Z/J) аморфизм комплексов е: К'-*-Ь''°. Предпо-
. е . dII
ложим, что dn о г = 0 и все комплексы 0-+-К1 -> Ьг'° ->
. *п
—>- L ' —>• ... ацикличны. В таком случае индуцирован-
индуцированное отображение
е: K'-+SL
является квазиизоморфизмом комплексов.
Доказательство. Легко убедиться, что е — мор-
морфизм комплексов. Поскольку Н\1 (L) = 0 при q > 0 по
предположению, член E\q спектральной последователь-
последовательности двойного комплекса L сосредоточен в нулевой1
248
строке; более того, е индуцирует изоморфизм комплексов
К' и Hn(L) = IEl°. Поэтому е индуцирует изомор-
изоморфизм когомологий Нр (К) -*¦ 1El°, a 1E%q равны нулю
при q > 0. Следовательно, *EPJ — 0 при q > 0 и
Hv (SL) = Ер = JEV? = lEf. ¦
13. Следствие. Пусть ЯеКот+(^), класс 3'$ до-
достаточно велик, и L — резольвента Картана — Эйленбер-
Эйленберга для К. Пусть G: Я -*¦ ®" — точный слева аддитивный
функтор. Тогда RG{K)=G{SL) в D(^). (Учесть, что
класс 9$ приспособлен к G в силу теоремы 6.9.) ¦
14. Гиперкогомологии функтора относительно комп-
комплекса. В условиях следствия 13 когомологий комплекса
RG(K') или, что то же, G(SL) принято называть ги-
перкогомологиями функтора G относительно комплекса
К'. К этим гиперкогомологиям сходится спектральная
последовательность иЕР9, связанная с фильтрацией
FhG{SL) = G(Fqi(SL)) (учесть, что G переводит
прямые суммы в прямые суммы). Второй член этой
фильтрации равен, согласно предложению 10, E%q =
= #и (#?'¦ (G (L))). Вычислим его.
По определению резольвенты Картана — Эйленберга,
комплексы {L''3, dj) расщепляются в смысле п. 7г). От-
Отсюда следует, что
(точнее, некоторый канонический морфизм является изо-
изоморфизмом) . Но согласно последней точной последова-
последовательности в F), комплекс (П\'\ d^j) является инъ-
ективной резольвентой HQ(K'). Поэтому G (Hi ) =
= RG(Hq{K)) и
Я?! (ЯГ (G(L))) = RvG(Hq (К')). (И)
15. Окончание доказательства теоремы 7. Остается
положить К' = F (Гх) = RF{X), где Гх — инъективная
резольвента объекта X в условии теоремы 7. Тогда
НЧ(К') в (И) есть R"F(X) и спектральная последова-
последовательность Ep2q = R9G(RpF(X)) сходится к RnG(SL),
где L — резольвента Картана — Эйленберга для К'. Но
249

{){K') = RG°RF(X), что в силу теоремы 1
изоморфно R{G ° F) (X).
Функториальность спектральной последовательности
по X следует из функториальности 1'х по X (теорема
1.3 и замечание 1.4в)) и функториальности резольвенты
Картана—Эйленберга (предложение 11). ¦
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Спектральная последовательность Серра — Хохшильда.
а) Покажите, что когомологии группы G с коэффициентами в
G-модуле А являются правыми производными функторами RnF
функтора
F (А) = Н° (G, A) = AG2±
: = а для всех g e G}
на категории G-mod левых G-модулей. Выведите оююда, что
Нп{G, A)—Ext2[-G](Z, А), где Z[GJ—групповое кольцо груп-
группы G, Z — тривиальный ZfGJ-модуль (gn = n для
neZ).
б) Пусть Я—нормальный делитель G. Покажите, что для
каждого G-модуля А группа G действует на #"(//, А) (для ?eG
отображение a*—ga, a^A, задает автоморфизм (рц функтора
А>—-Ан), причем действие элементов из Л тривиально. Нышшш-
те это действие явно (на коциклах), используя определение
Л" (Я, А) из гл. I (см. 1.2.8, 1.4.9в), 1.7.2, I.7.G).
в) Используя формулу Аа — (Ан)а/и, постройте функториаль-
ную по А е Ob G-mod спектральную последовательность Серра—
Хохшильда с
ЩЧ = Нр (G/H, № (II, A)), El = Hn (G, А).
г) Сформулируйте и докажите аналогичные результаты для
гомологии Hn(G, A).
2. Спектральная последовательность для когомологии Чеха.
а) Напомним, что для каждого открытого покрытия Ш = (Ut)
пространства X и для каждого предпучка гГна! через С A1, @~)
обозначается комплекс коцепей Чеха предпучка S2" относительно
покрытия °U и через Н? (°U, ZF) — группы когомологии этого ком-
комплекса. Отображение Sr>-' С" Ш, &~) задает функтор С^ из ка-
категории д^зФЪх пучков абелевых групп на -Y в категорию
KomSs()(^6) комплексов абелевых групп, сосредоточенных в не-
неотрицательных степенях. Пусть П°: Kom5s0(j^6) —>- s?b — функтор
0-когомологии. Покажите, что для спектральной последовательно-
последовательности, отвечающей композиции Н°°С'щ, имеем
еря = -jjP (г
на
Задаваемый
250
б) Постройте функториальные по
гомоморфизмы
Покажите, что если все непустые пересечения Ui A • • • П Ui
^-ацикличны (т. е. Hq /Ut П ¦ •. П U{ , ^г)= 0 для всех g > 0),
то эти гомоморфизмы являются изоморфизмами.
в) Если покрытие Щ' вписано в °U, то имеется естественный
морфизм функторов Сщ -*¦ C'q^, и, значит, определены гомомор-
гомоморфизмы Hi CU, gr) ->#р(^.', д~). Обозначая через Ъ?>(Х, 9~) индук-
индуктивный предел Я? (X, &~) = lim Я? (Ш, &~) по всем открытым по-
покрытиям °U, постройте спектральную последовательность с ??9 =
= Нр (X, 5Й9 {&-)), Еп=Н{Х,&"). Покажите, что соответ-
соответствующий гомоморфизм an: Hn(X, Т)-+Нп(Х, 9~) является изо-
изоморфизмом для п = 0, 1 и мономорфизмом для п = 2; если про-
пространство X паракомпактно, то ссп является изоморфизмом для
всех п.
3. Точные пары и спектральные последовательности. Другой
(исторически более ранний) метод построения спектральных по-
последовательностей связан с так называемыми точными парами.
Мы будем работать в категории модулей над фиксированным
кольцом R, однако все определения и результаты легко обобщают-
обобщаются на произвольную абелеву категорию ?ф.
а) Точной парой называется набор (D, E, i, j, k) из двух
модулей и трех морфизмов
таких, что в каждой вершине показанного треугольника образ
входящего в нее морфизма равен ядру выходящего (т. е. последо-
последовательность D-X-D-^~E-+D-~>-D точна)-
В частности, (jkJ =
H(E,)k) = Ker/fc/Imj/c.
Производная пара
так что определена гомология
строится так: ТУ = Im ?, E' = H[E, jk), i', ]', V индуцируются
соответственно г, /, к:
г' — ограничение i на Im г с: D,
j'{i{x)) — класс /(ж) в Н(Е, jk), x<=D,
А'(класс у) =к(у), уе?, jk{y) =0.
251

Проверьте корректность определений. Докажите, что произ-
производная пара, точной пары точна*
Тем самым определена последовательность точных пар Рг =
= (Dr, Ет, гт, /г, кт): при г — 1 это исходная точная пара Pi ==
= (D, Е, г, /, к), при г > 1 пара Pr+i является производной для Рт.
б) Предположим теперь, что точная пара Р\ биградуирована,
т. е. модули D, Е биградуированы, D = ®Dp' q, E = ®Ei>-«, а мор-
физмы i, /, А имеют соответственно бистепени (—1, 1), @, 0),
A,0).
Покажите, что производные точные пары Рт также биградуи-
биградуированы, а морфизмы ir, /г, кт имеют бистепени (—1, 1),
(г-1,-г-Ы), A,0).
Отсюда морфизм dr = jTkr является дифференциалом моду-
модуля Ег, имеющим бистепеиь (г, —г+1), и модуль когомологий dT
изоморфен #г-ц (с сохранением биградуировки), так что (¦?>'> dr)
составляют часть спектральной последовательности.
Опишите предельный член Ех этой спектральной последова-
последовательности. Для этого полезно изобразить точную пару Л в виде
бесконечной диаграммы, состоящей из сцепленных точных после-
последовательностей
. J)P-l,q 4. Ep-l,q
i
а-л 5
Здесь каждая последовательность, состоящая из одного вертикаль-
вертикального шага г, двух горизонтальных шагов /, к, нового вертикально-
вертикального шага i и т. д., является точном. При таком описании Ep'q
есть подфактор Ер-ч, получающийся факторизацией k~i(Imir~1)
по j(kerir-i) (А~'— полный прообраз при морфизмо к).
в) Пусть FVK'—-убывающая фильтрация комплекса К'
как в п. 5. Используя точные последовательности когомолопш,
отвечающие точным тройкам комплексов
постройте биградуировэнную точную пару с Z)p>? = //Р+9 (FPK'),
Ep-q =Hp+q (FpK'/Fv+lK-) аморфизмами i, }, к бистепеней
A, —1), @, 0), A, 0) соответственно. Покажите, что спектральная
последовательность, отвечающая этой точной паре, совпадает со
спектральной последовательностью фильтрованного комплекса, по-
построенной в п. 5.
Другие примеры спектральных последовательностей, связанных
С точными парами, см. упр. IV.2.2.
4. Еще о спектральной последовательности фильтрованного
комплекса, а) Для каждого комплекса К' зададим фильтрацию
FVK', полагая
@ при п < р,
252
при п = р,
при п> р.
Она аналогична канонической фильтрации в том числе, что
п(К-) при п>р.
Вычислите спектральную последовательность, ассоциированную с
этой фильтрацией.
б) Проверьте, что для произвольной убывающей фильтрации
FPK' член E^q соответствующей спектральной последователь-
последовательности вычисляется по формуле
В двух следующих упражнениях исследуется производный
функтор от тензорного произведения модулей. Пусть А—кольцо,
4-mod и moi-A — категории левых и правых А-модулей соответ-
соответственно.
5. Плоские модули. Докажите, что класс плоских модулей
(см. П.6.8) приспособлен к функтору А/н-» Л/® АГ из moi-A
А
в sib. Для этого докажите предварительно, что если в точной
последовательности правых /1-модулсй
М2 и Ms плоские, то и Л/i плоский.
6. Определение М' ® N'. Пусть М' е Кот (тоа-Л), N'
е Кот~ (^1-mod). Мы хотим определить объект М' ® N'
задающий функтор
L
а) Докажите, что у М' есть ограниченная справа плоская
резольвента Р' (т.е. Р' s Kom~ (mod-4) квазипзоморфен М', все-
Р' плоские). Аналогично, у N' есть плоская резольвента Q' s
/l-mod).
б) Пусть a: JV" —»- JV"—квазиизоморфизм ограниченных спра-
справа комплексов левых А -модулей, М' — ограниченный справа
комплекс правых Л-мо дулей. Докажите, что fi = l®a: M'®JV'->-
-*-M'®N' — квазиизоморфизм. Для этого рассмотрите две спект-
спектральные последовательности Ет, Ег, ассоциированные с фильтра-
фильтрациями на комплексах Р'®N', P' ®N', индуцированными глу-
глупой фильтрацией на Р* (см. п. 5). Докажите, что [J ипдуцирует
морфизм спектральных последовательностей Ет-^-Ет. Докажите*
что, ввиду плоскости Р',
} lj ()
так что Рх: Е^ -»• Е1* — изоморфизм. Поэтому
) -+ El = Нп
также изоморфизм.
253

в) Определим М' ® N' для М\ N' как в а), полагая
M'®N' =f® N' = M-®Q- =P- ® ?Г в D-(j^6). Докажите,
что все три комплекса в этой формуле изоморфны в D~(s?b). До-
Докажите, что если М' = {м°} — 0-комплекс, то /If" ®- совпадает
с левым производным функтором для М" ® •. Аналогичное утверж-
дение верно для • ® N'.
§ 8. Когомологии пучков
1. Предложение. Пусть X—топологическое прост-
пространство, М — пучок колец с единицей на X. Тогда любой
пучок ^.-модулей вкладывается в инъективпый пучок
М-модулей.
Доказательство. Пусть ЗГ — пучок 5?-модулей
{скажем, левых). Для каждой точки геХ построим вло-
вложение 2ГХ с->-1 (х) 5?х-модулей, где 1(х) инъективен над
Мх. Определим далее пучок ^-модулей Cf формулой
xeu
(с естественными операциями ограничения). Имеется
очевидное вложение &"-*¦&. Ит»октнппость У будет до-
доказана, если мы покажем, что для любого пучка ^-мо-
^-модулей 'S имеется канонический изоморфизм
(9,9)= ТТ Нот^ (8*.1(х)).
Прежде всего, обозначая через Sfx слой 2f в точке х, име-
имеем канонический гомоморфизм 52ж-модулей vx: 2fx-*-I{x),
и семейство К'*} определяет гомоморфизм левой части
требуемого равенства в правую. Оставляем читателю не-
несложную проверку того, что этот гомоморфизм является
изоморфизмом. ¦
2. Прямые образы и когомологии. В силу теоремы 6.13
предложение 1 позволяет строить производный функтор
ДНот(^, -): D+(&-mod)-^D+(Mb), а также производ-
производные прямого образа в следующей ситуации. Пусть (/, ф):
(X, 3lx)~^-{Y, 0tY) — морфизм окольцованных пространств
(II.6.16), где ф: 52у->-/. {Лх) — морфизм пучков моду-
модулей. Тогда для любого ^"s^-mod пучок /. \ЗГ) снабжа-
снабжается естественной структурой ^?у-модуля с помощью ф,
и функтор /.: <%x-mod-v$!y-mod точен слева. Поэтому
мы можем построить
Rf.: D+E?z-mod)^D+(
254
В частности, когда Y точка, 5?у = Z, /. = Г, и мы
получаем производный функтор RT: D+^x-mod)-*-
-* D+ (sib), ДТ (^") = Нг(X, 9-).
3. Теорема, а) Пусть Ф: 5?.Y-mod ->¦ Уз&Ъ — функ-
функтор забвения структуры Six-модуля. Тогда функторы
ЯГ и RT о Ф естественно изоморфны. Иными словами,
все равно, вычислять ли Hl(X, SF), считая $Г $,х-модулем
или просто пучком абелевых групп.
б) Пусть X = U Ui — открытое покрытие, для которого-
Hq (Ui П • • • П Uip, &~) = 0 при всех q > 0, р > 1. Тогда
Я'(Х, &~) совпадает с i-мерными когомологиями комп-
комплекса Чеха этого покрытия (см. 1.7.4).
в) Н\ (X, <Г) = Ext^.^ {9LX, &-).
г) Пусть /: X -> Y—некоторый морфизм. Тогда
Rlf. (@~) естественно изоморфен пучку, ассоциирован-
ассоциирован1 (l &)
рф у
ному с предпучком U >— Н1 (f~l (U), &").
д) Пусть X Л-Y Л- Z — три пространства и два ото-
отображения, &~ — пучок 91х-модулей. К Rp+q (gf). {S~) схо-
сходится спектральная последовательность с Е\ =
= Rpg. (Rqf. (&~))\ она функториальна по &~.
4. Доказательство теоремы За). Очевидно,.
Г = Г ° Ф (как функторы 5?x-mod -*¦ s?b). Поэтому RT =
= /?(Г°Ф). Мы покажем сейчас, что можно применить
теорему 7.1 и получить естественный изоморфизм
R(t °Ф) = RT ° RO. Отсюда будет следовать требуемое,
поскольку Ф точен и, значит, RO совпадает с почленным
применением Ф.
Чтобы иметь возможность применить теорему 7.1»
нужно показать, что некоторый класс пучков 5?х-моду-
лей, приспособленный к Ф, после применения Ф пере-
переходит в класс пучков, приспособленный к Г. В качестве-
перкого класса выберем инъективные 52х-модули, в ка-
качестве второго — вялые пучки абелевых групп. Напом-
Напомним, что вялость ST, по определению, означает сюръек-
тивность всех отображений Г(Х, #")->-Г (!7, @~), где
U <= X открыто (см. упр. 1.5.2). Проверим все нужные
свойства.
а) Любой пучок @~ абелевых групп является подпуч-
подпучком вялого пучка. Если @~ — инъективный пучок 31х-мо-
дулей, то он вял.
Определим пучок W&" на X, полагая W@~ (U) = ]j S?~x
(см. доказательство предложения 1). Ясно, что ??#" —
255

вялый пучок и &~— подпучок 'ЗЗ'. Если теперь @~ —
инъективный пучок ^-модулей, то 'SST — также пучок
^.х-модулей и ЗГ выделяется в 'ЙЗГ прямым слагаемым.
Из определения вялости получаем, что прямое слагаемое
вялого пучка является вялым,
б) Пусть
0-+ЗГ Х$ ЛЖ-+О A)
точная последовательность пучков абелевых групп и ЗГ
вял. Тогда последовательность
(X,
Г(X,
B)
точна.
Поскольку функтор Г(Х, •) точен слева, нужно лишь
доказать, что Г (г|э): Г (X, 2?)->-Т(Х, Ж) — эпиморфизм.
Пусть seTfl, Ж). Рассмотрим множество Е пар (U, t),
где U<=-X — открытое множество, t^T(U, &) — такое
сечение, что a|)(?) = s|,7. Введем в Е частичное упорядо-
упорядочение: (?/', t')<(U", t"), если U'czU" и t' = f\w
Пусть (U, t) — максимальпый элемент Е. Докажем, что
U = X. В самом деле, если 11ФХ и x^X\U, то, ввиду
€юръективпости г|\ существует окрестность V точки х и
сечение ti<^T(V, %') с \f)(?i) = sly. Ввиду точности после-
последовательности A) на UП V имеем t\unv — ti\unv ~(p(r),
где геГ(УП V, ЗГ). Поскольку ЗГ вял, существует про-
продолжение г4 сечения г на все X. Полагая ?2 = ?i -hcp(rilv),
получаем, что t\U(]r = t2\unv:L Поэтому существует ге
^Г(С/иУ1^) с t\v = t, tW = h, так что (U, t)<
<-{U П V, t) и (U, t) не максимален.
в) Если в последовательности A) пучки &~ и 'S вя-
вялые, то и Ж вял.
В самом деле, ввиду б) любое сечение $ пучка Ж на
открытом множестве U<=-X имеет вид s = \fi(i) и t про-
продолжается на все X. Поэтому и s продолжается на все X.
г) Г переводит ограниченный слева ацикличный комп-
комплекс вялых пучков в ацикличный комплекс абелевых
групп.
Пусть 0-+?Г° ^-g-*- ... — ацикличный комплекс
вялых пучков. Положим ЗС1 = Ker dl == Imd'. Тогда по-
последовательности 0 -¦¦ Ж1 -*¦ ff* -*¦ Zi+i -»- 0 точны и ин-
индукция по i вместе с в) показывает, что все <SSl — вялые
пучки (заметим, что JZ° = 0 очевидно вял). Ввиду б)
последовательности
0-+Т(Х, &) -+ Г (X, Т1) -* Г (X, &i+i) -> О
256
точны, так что Г(Х, ^;) = Кег(Г (<?)) = 1ш(Г(й1-1)) и
утверждение доказано.
5. Доказательство теоремы 36). Зафиксируем
полное упорядочение на множестве индексов покрытия
(Ui) и для каждого набора индексов / = (г0 < ... < iP)
обозначим через // вложение Ui П • • • П Ui в X, а через
@~i — пучок на X, задаваемый формулой ^"i = /i./i^"-
Ввиду ацикличности покрытия (Ui) и точности функто-
функтора /. для открытого вложения ; имеем, прежде всего,
я9 (X, тц = л9 (uic п ... n uh, ^зг) = о
при q > 0. Далее, для каждого i Ф-1 имеется естествен-
естественный морфизм пучков е<, j\ STi ->- ЗГщи Определим пучко-
пучковый комплекс Чеха (<5>р(<?~), dp), полагая
= У а ?{
Ш=р+1
где а(>1 = (—l)ft+1, если / U i = (to< ... < ik< i< ih+l <...
. ..<ip). Заметим, что для любого открытого U<=zX
комплекс Г (U, W' (^")) есть комплекс Чеха пучка
@~\и, отвечающий покрытию (С/ПС/4) множества U (см.
1.7.4). Естественный морфизм ?Г-+ff" (!!Г) превращает
W {&") в резольвенту ЗГ. В самом деле, это достаточно
доказать локально по х е X, так что можно считать, что
один из элементов покрытия, скажем Uh совпадает с X.
В этом случае ЗГХ — @~Щ1 при I <? I и легко проверить,
что набор отображений ht,
h,: @~i-+@~i\h hI = (-l)hid, если I = ih,
hj = 0, если l Ф-1,
задает гомотопию, устанавливающую квазиизоморфяоеть
&¦ и &' {3~).
Для вычисления Нп(Х, 3F) рассмотрим вялую ре-
резольвенту
3~ -*¦ Жй -> Ж1 -» ...
пучка ST. Поскольку все пучки сё1р{Ж{) снова вялые,
а Я§'\ЖХ) — резольвента Ж1 для любого I, группы
Нп(Х, ЗГ) есть группы когомологий комплекса, ассоции-
ассоциированного с бикомплексом Г (X, ^' (,Ж')). Далее,
(ё>р(Ж')— вялая резольвента сё1р{&~) при любом р, так
что к указанным группам когомологий сходится спект-
17 с. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 257

ральная последовательность с Е%ч — Нр (HQ (X, ())
(она отвечает фильтрации I в обозначениях 7.12). Вви-
Ввиду сказанного в начале этого пункта, Hq(X, ^р(^")) = 0
при q > 0, так что эта спектральная последовательность
вырождается и Пп (X, ЗГ) = #™ (Г(Х, <&' (?"))). Ш
6. Доказательство теоремы Зв). В силу 6.15,
Ях, ЗГ) = & Нотй!оA (ЯХ,&-) = Л'Г
7. Доказательство теоремы Зг). Рассмотрим
инъективную резольвенту /" пучка &~. По определению,
Rqf. (ЗГ) = Hq (/. (/'))• Это — пучок, связанный с пред-
пучком U <-* Л9 (Г (/-1 (?/), /')) в силу определения /..
Но H9(T(rl{U),l)) = B*(r1(U),&'), ибо /' —инъ-
ективная резольвента.
8. Доказательство теоремы Зд). Ввиду п. а)
теоремы, утверждение можно доказывать в катего-
категории 9*sib пучков абелевых групп. Применим теорему 7.7
к наре функторов F = f.,G = g., взяв в качестве клас-
класса 3$ класс всех инъективных пучков аболевых групп
на Y. Возможность применения теоремы 7.7 в этой си-
ситуации обеспечивается тем, что /. переводит инъектив-
ные пучки на X в инъективные пучки на Y. В самом
деле, инъективные пучки @~ характеризуются тем, что
Hom(S", #~)-*-Нот(i?", @~) — эпиморфизм для каждого
мономорфизма '3" -*- *$'. Но согласно предложению П.6.17
Нот(^, f.!F) = Нот(/'^, ЗГ) и согласно предложению
II.6.19 / — точный функтор, т. е. переводит мономор-
мономорфизмы в мономорфизмы. Поэтому f.@~ инъективен
вм.е,сте с 9~. ¦
9. Тензорные произведения и плоские пучки. Пусть
Я = 5?х — пучок колец с единицей на топологическом
пространстве X. Для любого пучка левых ^-модулей JP
определен функтор
• ® Л: mod -Я. -> *3Ps4-b, &~ у* 3~ ® Jf.
г
Аналогично соответствующему утверждению для колец
(см. П.6.6), можно доказать, что этот функтор точен
¦ава.
Назовем пучок Ж плоским (над 52), если функтор
> /С точен. Читатель легко проверит, что пучок Jf яв-
справа
258
ляется плоским тогда и только тогда, когда для любой
точки ieX его слой Jfx является плоским модулем над
кольцом Ях. В частности, для любого открытого f/cX
плоским является пучок Ми, определяемый следующими
условиями:
(9tv)x = 9lx при x^U,
(&и)х = 0 при хФ17 (см. также П.6.7).
10. Пр е дл о же н ие. а) Любой пучок левых ^.-мо-
^.-модулей является факторпучком плоского пучка.
б) Класс плоских пучков приспособлен к функтору
Ж ® •: 5
тензорного умножения на пучок правых 01-модулей.
Доказательство. Мы докажем, что для любого
пучка левых ^-модулей 8Г существует набор открытых
множеств {Ui)i?, и эпиморфизм ф i?иj->-??"• Утвержде-
Утверждение а) вытекает отсюда, поскольку прямая сумма плоских
пучков есть плоский пучок.
Прежде всего,
(ф: 31-^9" переходит в фA)еГA, ^"), где 1 — сечение
31, равное 1 во всех точках X). Аналогично, для любого
открытого U<=X
Нот с
s-mod
Выберем теперь семейство пар (U(, а,^Т(ии ЗГ)), обла-
обладающих тем свойством, что для любой точки х е X слой
ЗГХ порождается над 3tx образами в &~х тех а{, что х е= U(.
Тогда ясно, что морфизм
задаваемый сечениями a,i^T(Uh ?F), является эпимор-
эпиморфизмом.
Отметим также, что отсюда вытекает существование
для каждого ЗГ е ^?-mod резольвенты вида
... — 3?-п -+...-+2">^&--+0,
члены которой имеют вид ф 3tvv
Часть б) предложения 10 вытекает из аналогичного
утверждения о модулях над кольцами (см. упр. 7.4), если
17*
259

использовать характеризадию плоских пучков модулей в
терминах их слоев, приведенное в п. 9. ¦
Разумеется, аналогичные результаты справедливы и
для пучков правых 32-модулей.
11. Обратные образы и тензорные произведения. В си-
силу предложения 10, мы можем построить производный
функтор
Ж ® •: D~ (-^mod) -^D
Его когомологии обозначаются Tor:
Можно также определить функтор
Л' ® ¦: ТГ (M-mod)-*-D-
для Ж' е ТГ ()
Аналогично определяются функторы
для
Л9'е D~ (<%-mod), а также бифунктор
• ® •: D" (mod-52) X D~ E?-mod) -vD~ (Pstb).
Так же как в упр. 7.6, можно доказать, что пучок
Тог4(,#, Л9) не зависит от того, определять ли его с по-
мощью Ж ® •, • ® Jf или • ® •. Если i52 — пучок комму-
коммутативных (или суперкоммутативных) колец, то левые
52-м.одули отождествляются с правыми ж Ж ® Ж имеет
L
структуру 52-модуля, так что Ж <Э • принимает значения
в D-E2-mod).
Пусть, далее, (/, ф): (X, 5?Z)->(F, My) — морфизм
пространств, окольцованных пучками (супер) коммутатив-
коммутативных колец. Тогда для любого пучка 32у-модулей ЗГ опре-
определен пучок ^й
Его производный функтор
260
определяет функторы высших обратных образов
Морфизм (/, ср) называется плоским, если Мх — пло-
плоский / (Яу) -модуль. Это свойство представляет собой
одно из самых слабых и одновременно самых полезных
аналогов понятия «локально тривиального расслоения».
Оно особенно употребительно в алгебраической и анали-
аналитической геометрии.
12. Высшие прямые образы с компактными носителя-
носителями. Ниже до конца этого параграфа мы будем работать
только с локально компактными топологическими прост-
пространствами и пучками абелевых групп на них. Кроме
того, позже мы наложим некоторые условия конечномер-
конечномерности, которым, в частности, удовлетворяют все тополо-
топологические многообразия. В отих условиях по каждому
морфизму пространств /: X ->- У будут построены функ-
функторы i?/, и /' на подходящих производных категориях.
13. Определение-лемма. Пусть /: X -*¦ Y — мор-
морфизм локально компактных пространств. Пусть &~ — пу-
пучок на X. Положим для любого открытого множества
U^Y:
/, (вГ) (U) = (.5ЕГ (Г1 (U), 9-), supp {s) Л U собствен}.
(Напомним, что морфизм называется собственным, если
прообраз любого компакта компактен.) Тогда
а) /, (ЗГ) есть подпучок в /. (&~ .
б) Отображение $~ •-*• /i {&") продолжается до функ-
функтора, точного слева.
Доказательство, а) Ясно, что /i(^~) является
подпредпучком пучка /. (^"). Очевидно также, что из
набора согласованных локальных сечений /, {&~) можно
склеить единственное сечение /. EГ). Нужно лишь про-
проверить, что оно также принадлежит /, {@~). Иными сло-
словами, нужно убедиться, что для семейства {UJ открытых
подмножеств У выполнено условие: если в4<=Г(С/,-, 8F),
Vi = supp Si-*- Uf— собственные отображения, то U V( -*¦
-+UUi — также собственное отображение. В самом деле,
пусть К cz [] Uг — компакт. Выберем конечное подпокры-
г
тие К cz \J Uj и впишем в него конечное компактное
261

покрытие К= \J Kh
Тогда
ком-
пактны и, стало быть, /"' (К) П ( LJ ^i] = Г1 (к) П (.U У*) =
U
ie.J
ft
компактно.
i
б) Функториальность /, следует из того, что при мор-
физме ф: @~ ->- *§ носитель сечения не может увеличить-
увеличиться. Наконец, левая точность /, следует из левой точности
/. и определений.
14. Сечения с компактным носителем. Важный част-
частный случай возникает, когда /: X->pt — отображение в
точку. В этом случае j,@~ — это абелева группа, состоя-
состоящая из таких сечений «еГ(Х, ^"), что supp s — компакт
в X. Эта группа называется группой сечений &~ с ком-
компактными носителями и обозначается ТС(Х, @").
Пучок /,#" для произвольного /: X -*• У по существу
восстанавливается по группам сечений в? с компактными
носителями над различными подмножествами X. Точнее,
имеется
15. Предложение. Слой пучка /,#" в точке y^Y
изоморфен Tc^f1(y), ЗГ\}_1{у)у
Доказательство. Построим прежде всего гомо-
гомоморфизм
Пусть sе-(/,#-)„, U — окрестность у и t&T{U, f^)
представитель s, т. е. t есть элемент Г(/~'(С/), ?Г) и ото-
отображение supp.f-^ U собственно. Ясно, что t \f-i(y) лежит
В ^(Г1 (У), ^ |,-%)) (Ибо SUpp (t \пЧу)) = SUPP t П Г' &))•
Легко проверить также, что полученный элемент
^1 ) зависит только от s. Мы положим
О0 1/1A/Г
Докажем инъективность ф. Пусть <p(s) = O. Тогда
]^_ =0, т. е. supp t П /-1 (у) = 0, откуда !/^/(suppi)-
Кроме того, /l,Upp« — собственное отображение локально
компактных пространств, так что /(suppf) замкнуто в Y.
Отсюда s = 0.
Докажем сюръективность ф. Выберем последователь-
последовательность Ui ~ Uг =>... открытых множеств в Y с OUi — iy).
Тогда r\f-1(Ut) = t1(y) и, поскольку X локально ком-
262
ГсГ/
Г1
пактно,
где Л4 = {группа сечений t^T(ti(Ui), &~) с suppi =
= ЛГП/-1(?/<) для некоторого компакта К<=Х} (проверь-
(проверьте!). С другой стороны,
где Вг = {группа сечений tеГ(/"'(Ut), &~), для которых
supp t -*- Vi — собственное отображение}. Ясно, что для
любого i, Ai — подгруппа В{. Отсюда следует, что <р сюръ-
октивно. ¦
16. Пучки, приспособленные к /,. Пучок 9" на X на-
называется мягким, если для любого замкнутого множе-
множества К<=Х отображение ограничения Т(Х, ffr)-^- T{K, ЗГ)
сюръективно (подробно о мягких пучках и их свойствах
см. упражнение 1.5.2 в)—д)).
Поскольку любой инъоктивпый пучок является вялым
(п. 4а)), а любой вялый пучок, очевидно, является мяг-
мягким, мягких пучков достаточно много.
17. Предложение. Класс мягких пучков приспо-
приспособлен к функтору /,.
Доказательство. Ввиду предыдущего замечания
и упражнения 1.5.2 в) достаточно доказать следующее
утверждение: Пусть
— точная последовательность мягких пучков. Тогда по-
последовательность 0 -*- f\3F -*¦ f$ -*- j06 -*- 0 точна. По-
Поскольку /, точен слева, достаточно проверить эпиморф-
ность последнего морфизма, т. е. эпиморфность отобра-
отображения (/]^)„ -*- {f\2№)v Для любой точки 1/еУ, Поскольку
ограничение точной последовательности мягких пучков
на /~' (у) снова является точной последовательностью
мягких пучков, предложение 15 показывает, что доста-
достаточно доказать следующий факт. Для точной последова-
последовательности мягких пучков C) отображение Те(Х, %)-*¦
-»¦ Гс (X, Ж) — эпиморфизм.
Итак, пусть serc(I, Ж) и К — компакт, содержа-
содержащий supp s. Покроем К конечным числом компактов
Ки ..., Кп таким образом, что в\кг поднимается до се-
сечения U е= Г (К{, <3). Положим Lt = Kt U ... U Кг и индук-
индукцией по i докажем, что существует сечение г<^Г(?,-, *&),
263

проектирующееся в s\lv Предположим, что п_! уже по-
построено. Положим v = Г1_х |r.i_1njci — ti |ii_1njfj- Имеем
ф(у) = О, так что v = (f(v') для некоторого и'^Г(^(_1П
t\ Ku ST). Продолжим v' до сечения v" пучка ЗГ над К{
(используем мягкость ?F) и положим t\ = ?4 -{- ф (у"). Тогда
*г и r-j-i имеют одно и то же ограничение на Lt-i П ЛГ{, так
что они склеиваются в искомое сечение г пучка % над
Li = ?i-i U _/?,-.
Таким образом, мы нашли сечение г^Т(К, ) с
•ф(г) = s. Пусть Ж —граница К. Тогда ¦§(г\м) = 0, т. е.
Ндг = ф(и) Для некоторого иеГA, ^"). Поскольку^" —
мягкий, и продолжается до и'<^Y(K, 3F). Тогда г' =
= г—ф(н/)|м, т. е. г' можно продолжить нулем вне К,
получая s' еГс(Х, $) с t|)(s')==s. ¦
Заметим, что при доказательстве мы использовали
лишь, что #~ — мягкий пучок.
18. Высшие прямые образы с компактными носителя-
носителями. Предыдущее предложение позволяет определить пра-
правый производный функтор от /(:
Д/,: D
Его когомологии называются высшими прямыми образа-
образами с компактными носителями и обозначаются Л'/,(^)е
е= 9>^bY Для & е 9>зФЪх.
В частности, для отображения в точку /: X ->- pt по-
получаем функтор
и его когомологии #с (-Х, У) (когомологии &~ с ком-
компактными носителями).
Перечислим ряд свойств Д/|.
а) Слой Д4/|(^") в точке у е У канонически изомор-
изоморфен i?c [f~1(y)i ^"If-](«)V ^T0 следует из предложения 15
и того, что ограничение на /~' (у) переводит мягкие пучки
в мягкие.
б) Для непрерывных отображений /: X -*¦ Y, g: Y -*¦ Z
имеем
Это вытекает из того, что U переводит мягкие пучки
в мягкие (см. упр. 1Ь)).
Используя результаты § 7, равенство D) можно за-
записать в виде спектральной последовательности, связы-
связывающей Д*/|. Д«я, и Rp+q{gf)t.
264
19. Размерность. Функтор Rfh вообще говоря, перево-
переводит ограниченные комплексы пучков на X в неограни-
неограниченные. Однако для широкого класса пространств свой-
свойство ограниченности сохраняется.
Назовем размерностью dimcX локально компактного
пространства X наименьшее п, для которого Щ(Х, ??~) = 0
при всех i > п для любого пучка &~ ^9"s&bx. Основ-
Основные свойства dimc X, доказательства которых мы здесь
опускаем (см. Иверсен [1]), таковы.
а) Пусть 0->-^"^270-^571-^...->^п->0 — точная
последовательность пучков абелевых групп на локально
компактном пространстве X с dimc X ^ га, причем 3?°,
З?1, ..., J?71-1 — мягкие пучки. Тогда 3?п — также мягкий
пучок.
б) dimcRn = n.
в) Пусть Y — открытое или замкнутое подмножество
X. Тогда dimcysSdimcX.
г) dimcX можно вычислять локально: если у каждой
точки ieX есть окрестность U с dimc U ^п, то
dimcZ< п.
Из б) — г) вытекает, в частности, что разумные топо-
топологические пространства (в частности, топологические
многообразия и геометрические реализации конечномер-
конечномерных симшшциальных множеств, см. § 1.2) имеют конеч-
конечную размерность dimcX
д) Пусть /: Х-*- У— отображение локально компакт-
компактных топологических пространств с dimcZ=^w. Тогда
R}],9" = 0 при i > п для любого &~ е g^si-bx.
е) В условиях п. д) Rf{ можно определить как функ-
функтор из Wi&s&bx) в W^Mbr) и из В-(У^ЬХ) в
20. Обратный образ с компактным носителем. Соглас-
Согласно общей идеологии (см. II.6.17) обратный образ /: с
компактным носителем для /: X -*- У нужно определять
как функтор на категории пучков на У, сопряженный
к /,. Оказывается, однако, что для общего отображения /
функтор /,: ^s&bx -*- 9"s4-br не имеет сопряженного, и для
определения f следует перейти к производной катего-
категории. Кроме того, X и У следует предполагать конечно-
конечномерными.
21. Теорема. Пусть f: X ->¦ У — непрерывное отобра-
отображение локально компактных конечномерных (в смысле
dimc) топологических пространств. Существует функтор
f:
265

и функториальный по SF' е (D+
+ изоморфизм в T>+(s?b)
/1»-). E)
Доказательство этой теоремы занимает почти всю остав-
оставшуюся часть этого параграфа (пп. 23—29).
22. Следствие. Функтор f сопряжен справа к Я/,.
Доказательство. Следует применить Н°:
D+ {s?b) -> st-Ъ к обеим частям предыдущего равенства.
23. Комментарии к теореме 21 и план доказательства.
Для пучка ^"на!и открытого множества U с: X обозна-
обозначим через &~и продолжение З2" нулем вне U (в терминах
функторов ;„/*, где /: U -*• X — вложение, имеем ^"и =
= /i/'&")• Если У<=[/ — два открытых множества, то
у нас есть естественный морфизм пучков ЗГГ -*¦ gTv, ин-
индуцирующий для каждого пучка ^ на У гомоморфизм
Нот (/,#-„, #)-•¦ Нот(/,?¦>, S). F)
Ясно, что
J7w.Hom(/,^"u, gr) G)
вместе с отображениями ограничения F) является пред-
пучком абелевых групп на X. Если бы этот предпучок
был пучком, то все было бы в порядке: обозначая пучок
U <-*¦ Нот (f\Lv, <3) (где Z — постоянный пучок на X)
через f&, мы бы имели
Нот (/,#", 3?) = Нот(#~, fgf)
(см. теорему 24), и уже /, обладал бы правым сопряжен-
сопряженным. Оказывается, однако, что предпучок G) является
пучком лишь в весьма специальных случаях; более точно,
U и* Нот (/, {ЗГи ® 2), 3)
является пучком, если S — мягкий плоский пучок на X
(предложение 25). Именно поэтому нужно перейти к
производной категории: нужно заменить постоянный пу-
пучок Z на его резольвенту
О
2"
из мягких плоских пучков (см. п. 27), после чего функ-
функтор f сравнительно легко строится в производной ка-
категории.
266
В качестве первого шага доказательства теоремы 21
мы опишем представимые функторы в категории пучков
ЯРзФЪх абелевых групп на топологическом пространстве X.
24. Теорема. Функтор F: Э'бФЪх -*¦ (зФЪ)° предста-
представим в том и только том случае, если он переводит ин-
индуктивные пределы в ЗРзФЬх в проективные пределы
в $?Ь.
Доказательство. Часть «только в том» теоремы
справедлива в общем случае: функтор X >-+ Hom^ (X, Y)
для произвольной абелевой категории зФ, Y ^ Ob S&,
переводит индуктивные пределы в М в проективные пре-
пределы в $&Ъ. Для доказательства части «в том» заметим,
что соответствие
вместе с отображениями ограничения F(Zu) ->~ F(Zv) для
V<=zU, индуцированными вложениями tyvu- ZYcz-^Zu,
задает предпучок $ абелевых групп на X: Г(U, &) =
= F(Zu). Докажем, что $ — пучок. Пусть (Ut) — семей-
семейство открытых множеств в X и С/ = U f/,. Имеется естест-
естественная точная последовательность пучков
е zv.m.
где а
о,
© <Puitu- Далее, F
переводит прямые суммы в прямые произведения и точен
справа, т. е. сохраняет точность этой последовательности,
так что мы получаем точную последовательность
или, другими словами,
П Uit 9),
а это и означает, что 'S — пучок.
Построим теперь функториальный по &~ изоморфизм
Hom(#~, 9)^-F{^). (8)
Для этого мы определим элемент e^F(S), который
должен соответствовать при гомоморфизме (8) тождест-
тождественному морфизму 9 ->- $, после чего переведем произ-
произвольный морфизм /: &~-+3 в F (/) е е F(&~). Ясно, что
эта конструкция дает гомоморфизм (8), функториальный
267

no if, и останется лишь доказать, что он является изо-
изоморфизмом.
Для построения е определим категорию /:
ОЬ/ = (пары Uc=X, au^F(Zu)},
Honij((?/, аи), (V, aY)) = {морфизмы пучков /: Zu -*¦ Zv
такие, что F(f)av = av}.
Пусть G: I -*¦ З'йФЪх — функтор, сопоставляющий паре
(U, аи) пучок Ъа (с естественным действием на морфиз-
морфизмы) . Поскольку Hom^^bx (Zu, $) = Г (U, %) = F (Zv ,
элемент av определяет морфизм пучков аи'. Zu -*- %'¦
Набор аи для всех (U, аи)^ОЫ задает морфизм функ-
функтора G в постоянный функтор Const^: I-^&s&bx,
принимающий значение 2?'. Поэтому определен морфизм
a: lim G-
и этот морфизм, как легко видеть, является изомор-
изоморфизмом.
Применяя к а функтор F, мы получим изоморфизм
F(a): F($)^F(limG)^limF°G.
Построим теперь e^F(S) следующим образом. Для
{U, й!7)е0Ь/ у нас есть элемент au^F°G(U, аи) —
= F(Zt,)nwM /: {U,av)-*{V,av) имеем (F °G) {f){aY) =
= аи. По универсальному свойству lim, набор (аи,
(U, аи)еОЪ1] определяет элемент е ^UmF° G = F($).
Покажем, что гомоморфизм НотEг", *3) -> F'(&~): f>-*
^ Р' (/) (е) является изоморфизмом для любого &~. По
построению е обладает следующим свойством: для лю-
любого U и любого /: Zu -*¦ *$ элемент F(f) (e)^F(Zu) от-
отвечает / при изоморфизме Hom(Z!j, S)^T(U, &)~
— F(Zu). Поэтому (8) является изоморфизмом, если
&~ = Zv для некоторого U с X. Далее, любой пучок 9"
па X является индуктивным пределом пучков вида Zv
(точнее, индуктивным пределом некоторого функтора,
принимающего значения Zv)\ это доказывается анало-
аналогично тому, как строился морфизм а с использованием
подходящей категории 1{@~). Поскольку F переводит
индуктивные пределы в проективные, (8) является изо-
изоморфизмом для любого 8Г. ш
268
Покажем теперь, что доказанную теорему
применять к интересующим нас функторам.
25. Предложение. Пусть 3? — мягкий плЬСпий
пучок на X, 9 — произвольный пучок на Y. Функтор
& ^ Нот (/, (SE ® #-), SO из 9ЖЪХ в (stb)°
переводит индуктивные пределы в SPs&bx в индуктивные
пределы в (s?b)° (т. е. в проективные пределы в S&b).
Доказательство. Мы докажем, что фудктор
ff: 9- - /, {2Е ® 9-)
коммутирует со взятием индуктивного предела. Предло-
Предложение 25 вытекает отсюда ввиду свойств функтора
Нот(-, ^) (см. начало доказательства теоремы 24).
Согласно теореме П.3.19 достаточно доказать, что /Г
переводит коядра в коядра (т. е. точен справа) и пря-
прямые суммы в прямые суммы. Утверждение про прямые
суммы вытекает ил того, что как тензорное произведе-
произведение, так и /| сохраняют прямые суммы.
Докажем, что ft точен справа. Мы утверждаем
даже, что /i точен. В самом деле, пучок &~ имеет ре-
резольвенту
... -^ аг1!!!! #°-*-#"-». о,
члены которой имеют вид ф Z^. (см. п. 10). Умножая
эту резольвенту на 3', получаем точную последователь-
последовательность (ибо 3? — плоский)
члены которой имеют вид 2? ® (®Z^) = фй'р., т. е.
являются мягкими цучками (ибо 2 — мягкий). Пусть
п 5s dimc X. Рассмотрим ацикличный комплекс
О -* Ker (I ® d~n) -*¦ 2? ® 8-* -»¦...
В нем все пучки SB ® &"-' являются мягкими, так .что,
согласно п. 19а), 3? ® &~ — тоже мягкий пучок.
Если теперь
О-^'-^#"-+#"" -^-0
269

— точная последовательность пучков на X, то (посколь-
(поскольку 3? — плоский пучок)
0->-3?®ff"^-3?®ff~->'2?® вГ" -v О
— точная последовательность мягких пучков, так что
последовательность
/f ff" -> /f
о
также точна.
26. Следствие. Для каждого
пучка 3? на X и каждого пучка 9
пучок fi-S?, 9) и функториальный по
мягкого плоского
на Y существует
изоморфизм
ff~
Нош (/, C?
9) г?. Нот
n/щ этой $? ~ инъективный пучок, то и f{3f, &) —
инъективный пучок.
Доказательство. Первое утверждение вытекает
из теоремы 24 и предложения 25. Для доказательства
второго утверждения заметим, что согласно доказатель-
доказательству предложения 25, функтор ff: 3~ — /, C? ® ff~) точен.
Ввиду инъективности Э', функтор ff~ <-+ Нот (f]ff~, &') =
= Нот (#", /! B", ^)) также точен, т. е. f{&, 9) ипъ-
ёктивен. ¦
Следующее предложение показывает, что у постоян-
постоянного пучка Ъх на X есть резольвента, составленная из
пучков интересующего нас вида.
27. Предложение. Любой плоский пучок вГ на
X имеет резо-львенту
О
О
(re = dimc(Z)), состоящую из мягких плоских пучков.
Доказательство. Построим резольвенту вГ, ана-
аналогичную резольвенте Годмана
полагая
е:
— естественное вложение,
276
и далее индуктивно
df: <g"'-1-> "g31 —композиция проекции
и естественного морфизма ^"'V
Поскольку произведение любого числа плоских Z-моду-
лей является плоским, ?° — плоский пучок. Далее, для
любого х^Х #% —прямое слагаемое (^0)х, так что
W/lm e — плоский пучок. Аналогично получаем, что ^"
и Kerd' — плоские пучки для любого i. Кроме того ясно,
что все $" — мягкие пучки.
Рассмотрим теперь резольвенту
О ->¦ ^" -^ 5 -»- З11 -+ ... -»- 5 -> О,
в которой 2" = ^; при i<n-l, 2?n =
Согласно сказанному выше, все 2", i =? п — 1, мягкие и
плоские пучки, а ^" — плоский пучок. Согласно п. 19а),
он также является мягким. ¦
28. Построение ?C'). Пусть теперь
О -*¦ Ъх -*¦ 2"> -+ ... -» 2 -*¦ О
— ограниченная резольвента постоянного пучка Zx на X,
состоящая из мягких плоских пучков, и $'—ограничен-
$'—ограниченный слева комплекс пучков на Y. Положим А1' =
= /1(S7~t, &}). Дифференциалы в 21' и ?" позволяют
построить отображения d{3: А13—>-Аг+1>3 и
1^
альпый по Г
изоморфизм комплексов абелевых групп
превращающие {Atj} в бикомплекс. Обозначим
через /! B'", 3') = 5Л" — диагональный комплекс* (см.
7.8), ассоциированный с этим бикомплексом. Ввиду лер-
вой части следствия 26 ясно, что существует функтори-
(9)
(здесь 5" ® @" — комплекс, ассоциированный с бикомп-
бикомплексом КЗ?1 ® ff}, /| применяется к комплексам почлен-
почленно, Нот' — комплекс абелевых групп, определенный в
п. 6.15).
Определим теперь / (9') следующим образом. Пусть
9' ->^'-квазиизомор|)и:зм 3' с комплексом, состоящим
271

из ингьективных пучков на У. Положим
Легко проверить, что /' {'S') не зависит от выбора ре-
резольвент S' шУ (с точностью до канонического изо-
изоморфизма в ^{Э^бФЪх)).
29. Завершение доказательства теоремы 21. Прежде
всего, поскольку 3?'—плоская резольвента постоянного
пучка и &' <8> @" состоит из мягких пучков, имеем
. Далее, поскольку^' и f B'',^') инъ-
ективны, а 3' изоморфен $ ' в D+ {Я'зФЪу), равенство
(EJ-есть следствие (9).
Для завершения доказательства теоремы следует за-
заметить, что функториальность отображения "&' >-*j'{9 ')
следует из единственности представляющего объекта. ¦.
30. Свойства /!. а) Прежде всего, конструкцию /' и
теорему 21 можно обобщить, заменив категории УзФЪ
на категории пучков /^-модулей, где R — фиксированное
нётерово кольцо, в частности, поло.
б) Из формулы D) (см. п. 18) вытекает, что для
непрерывных отображений /: X-*-Y, g:- У'-*¦ Z имеем
(
fYfg
в) Если /: X -»- Y — вложение открытого или замк-
замкнутого подмножества, то функтор, сопряженный справа
к /,, существует на уровне самой категории пучков (без
перехода к произвольной категории). А именпо, если
/: U->¦ Y — вложение открытого подмножества, то сопря-
сопряжением справа к /,: РМЪи -*-9}зФЪт будет /": ^M
Если /: X -*¦ Y — вложение замкнутого подмножества,
то: сопряженным справа k/i = /. : Э^МЪх-^д'^ФЬу будет
функдюр jx «сечений с носителем в X», определяемый
такг. пусть f/cl, V<=^ Y—открытые множества, причем
U=*VuX. Тогда
Г(U, f^)={sGr(F, ЗГ),
Мы оставляем читателю проверку того, что *[х&~ пучок,
а ташке сформулированных свойств сопряженности.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим ситуа-
ситуацию^ противоположную в), когда /: X -*- pt — отображе-
отображение $> точку.
272
31. Дуализирующий комплекс. Будем считать, что-
Y = pt — точка. Тогда пучки на У — это просто абслевы
группы, и мы будем обозначать через Z «= Ob T)+{9>s?bY) =
= ObD+(^&) 0-комплекс с нулевой компонентой Z.
Для любого топологического пространства X (конечно-
(конечномерного, локально компактного) положим D'x = /'(Z),.
где /: X -»- pt. Комплекс D'x e Ob D+ (ff's^bx) называется
дуализирующим комплексом па X. Теорема 21 превра-
превращается при этом в следующее утверждение (двойствен-
(двойственность Пуанкаре)
R Нош (ВТС (X, #"), Z) ~ R Нот
(Ю>
Комплекс D'x, вообще говоря, отражает топологические-
особенности пространства X. В частности, если X явля-
является стратифицированным пространством, страты кото-
которого — неособые топологические многообразия, то когомо-
логии D'x янлнютсл котгетруктшшьтми пучками относи-
относительно этой стратификации.
Особенно простой оказывается структура дуализирую-
дуализирующего комплекса, когда X неособо.
32. Следствие. Пусть X — п-мерное топологическое
многообразие с границей. Тогда D'x = <ох[п]> где а>х —
пучок, задаваемый равенством
Г (Г/, со*) = Нот.^ь (Н: (U, Z), Z)
для любого открытого UcJ,
Доказательство. Прежде всего для V s U ^ X
функтор «продолжение нулем» задает морфизм
#™(F, Z)-> ff?(U, Z), так что coz является предпуч-
ком на X. Проверка выполнения аксиом пучка для со*
может быть проведена либо с помощью теоремы 24 и
предложения 25, либо непосредственно: со* является
ядром морфизма пучков (??")* -+{9pn~i)*, где
0
(И)
— мягкая резольвента постоянного пучка, а 91* для мяг-
мягкого 91 обозначает пучок
U ~ Нот^ь (Гс (U, SP), Ъ).
Положив теперь в формуле A0) ?Г' — Zjj, получим
R Нот (i?rc (X, Zv), Z)=R Нот (Zv, Dx),
18 С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 273-

т. е. (поскольку Hom(Zu, <8°) = Г(?/, <?) для любого
пучка 8 на X)
R Horn (RTC (U, Z), Z) = Г (СГ, ^ *).
где ?(' — ограниченный слева комплекс инъективных
лучков, квазиизоморфный D'x-
Следовательно, пучок когомологий Н г (D'x) комп-
комплекса D'x — это пучок, ассоциированный с предпучком
U - Н~х (R Нот (RTC (U, Z), Z)). A2)
Нам нужно показать, что этот пучок равен сох при i = п
и нулю при остальных i. Обозначим группу в правой
части A2) через Nv%. Используя резольвенту A1) для
вычисления RTe и инъективную резольвенту 0->-Z-*-
-" Q -> Q/Z -+¦ 0 группы Z в категории М-Ъ для вычисле-
вычисления R Нот, легко проверить, что Nj}% входит в точную
тройку
О -> Ext1 (Hl+1 (U, Z), Z) -> TVЪг ->
Поскольку X — n-мерное топологическое многообразие,
у каждой точки имеется фундаментальная система
окрестностей, гомеоморфных R" или R+ X R". Нужное
утверждение вытекает теперь из равенств
(О при г =^ и,
:(кп, z) =
Z при i = п,
Hi (R+'X R", Z) = 0 при всех г,
Ext1(Z, Z) = 0. ¦
33. Замечания. Заменяя Z на произвольное нёте-
рово кольцо Д, можно получить аналоги доказанного
•следствия. В частности, если R = к — поле, а X — топо-
топологическое многообразие без края, то сох = Тх — пучок
./е-ориентаций X (например, постоянный пучок со слоем
к, если X ориентируемо или если char к = 2). Если X —
многообразие с краем дХ, то ах = ijT, где т — пучок к-
ориентации X — дХ, a i: Х—дХ^Х— вложение.
Беря когомологий обеих частей A0), можно выразить
двойственность Пуанкаре в более привычном виде (к —
поле) как существование для любого пучка к-иодулей
274
ST на X канонического изоморфизма
Homft (Hi (X, &), к) ^ ЕхЬп~4 (#
Обозначая через \: Н" (X, ах) ->- к фундаментальный.
класс, т. е. прообраз leHomfai, со*), при изоморфизме
A3) с i = n = dimX, У = 6)Х, мы можем записать A3)
как композицию канонического спаривания Ext"~J (#",
X Hi (X, Т) -+ Я" (X, ах) и f.
J
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Критерий мягкости пучка, а) Пусть У — замкнутое под-
подмножество локально компактного пространства X, U = X — У.
Докажите, что для любого пучка &~ абелевых групп па X имеется
точная последовательность
сп (Г/, Г) -
(Z, Г)
сп (У,
, Т)
где ап индуцировано отображением ао: VC{U, .T)^>-TC(X, 9~)
(продолжение нулем), а р„ — ограничением сечений %: ТС(Х,&~) -»-
-*-Гс(У, 9~), Для этого проверьте, что если #" —мягкий пучок,
то последовательность
0->Гс([/, Т) Д-ГС(Х, ЙГ)-*ГС(Г, 5е-)-». 0
точна, и используйте мягкие резольвенты для вычислении Я™.
б) Выведите и.ч а), что пучок У па X является мягким в том
и только гом случае, если Il\ [U, З7) = 0 для всех открытых
в) Докажите, что функтор /,: УМЬт-* 9>s4-bx для непрерыв-
непрерывного отображения /: X-+-Y переводит мягкие пучки в мягкие.
2. Теоремы Майера — Виеториса. Пусть X—топологическое
пространство, являющееся объединением двух замкнутых подмно-
подмножеств Xi, Х2 и &~—пучок абелевых групп на X. Точная последо-
последовательность Майера — Виеториса связывает когомологий ^" па
Хи А, А' и Xi П Х2.
а) Постройте длинную точную последовательность
Для этого, обозначая через й: Xi-^-X, ?2: Z2->X, г:
естественные вложения, постройте для любого *3
последовательность пучков
точную-
где а есть сумма двух морфизмов сопряжения (выражающих со-
сопряженность прямых и обратных образов), а р — разность ми|).
18* 27.V

физмов сопряжепия. Далее примените эту точную последователь-
последовательность к инъективной резольвенте #" и используйте изоморфизм
для любого замкнутого вложения /: У -»- X и любого «5$ е 5fs4-by.
б) Предполагая X локально компактным, докажите существо-
существование длинной точной последовательности, аналогичной (*), для
трупп Я". Для этого вместо (**) используйте изоморфизм
ЯТЬ / ~чр • л/а\ ^_**~, тт 71 {т^ •*№\
В следующей серии упражнений приводятся результаты связи
различных функторов в производных категориях пучков абелевых
групп на топологических пространствах. Ниже все пространства
предполагаются локально компактными, паракомпактными и имею-
имеющими конечную разморпость dimc, а их отображения — непрерыв-
непрерывными. Равенства объектов (производной) категории озпачают
функториальные изоморфизмы.
L
3. /* и ®. Для /: X -> Y, 9", #'s D~ (<?.s^&y) имеем
/ L \ L
f \@" ® $') = f'!F' ®f'$'. Для доказательства нужно заменить
?F' и ^"на их плоские резольвенты (квазиизоморфные комплек-
комплексы, состоящие из плоских пучков) и использовать равенство
/' (&~ <g> 'S) = f'&~ ® /'У Для &~, Зе.&бФЬгч вытекающее из
D+
4. RXom и
лмеем
. Для
', Ж)).
Для доказательства нужно проверить соответствующее утвержде-
утверждение для пучков абелевых групп на Д, после чего заменить 3'
на плоскую резольвенту, а Ж' — на инъективпую резольвенту.
5. Rf. и ЯЖот. Для reD"(^iy), +
имеем
Rf.R3eom{j-9~, $')
-Заменяя $' на инъективную резольвенту, получаем, что /.$'
(почленное применение) состоит из инъективных пучков, а
d@om(f'&~', $')— из мягких пучков. После этого нужный изо-
изоморфизм есть следствие изоморфизма в ^s^br-
), /.30,
вытекающего из сопряженности /' и /..
6. Формулы замены базы. Пусть
Х'гх
si q if
Y'-*Y
276
коммутативная диаграмма пространства и непрерывных отобра-
зкеппй. Тогда в D+ (уз^ЬуЛ имеем
Rg.p&- = qRfx&", &• «ее D+
Для доказательства первого утверждения следует проверить ра-
равенство q'f,&~ = gytf
g~
вычисляя ростки левой и
правой частей в точно у' е Y' с помощью предложения 15, после
чего нужно заменить ZF' па мягкую резольвенту. Для доказатель-
доказательства второго утверждения следует поменять местами X и Y',
применить первое утверждение и использовать сопряженность
/" И Rf., g' и Rg., Яд, и q', Пр\ и р'-.
7. Формула проекции. Для &" е D~Ep^6jc),
имеем
Для докалательства следует пропоритг» аналогичную формулу в
S?s4-bY, поело чего замепить .'?"" па мягкую розольветгту, a if —
па инъективную.
8. /! и ПХот. Для ^Г', <3Ш е= D+ (^>^Ьу) имеем
Для доказательства следует заменить^' на мягкую резольвенту,
^" —на инъективпую и использовать явную конструкцию /'
(см. п. 28).

ГЛАВА IV
ТРИАНГУЛИРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
§ 1. Триангулированные категории
1. Аксиомы. Пусть 3) — некоторая аддитивная ка-
категория. Структура триангулированной категории па 3)
определяется заданием следующих данных а), б), под-
подчиненных аксиомам TR.1 — TR4.
а) Аддитивный автоморфизм Т: 3) -> 3), называемый
функтором сдвига.
Будем писать, как в Ш.3.2, Х[п] вместо Тп(Х) и
f[n] вместо Tn(f) (для морфизма /: X-+Y). Мы можем
теперь буквально повторить части а) и б) определения
III.3.4, введя в 3) треугольники
и их морфизмы
Последняя часть определения III.3.4 вводится аксиома-
аксиоматически: среди треугольников в 3) должен быть задан
б) Класс выделенных треугольников.
Следующие аксиомы, как мы постепенно убедимся,
удовлетворительно описывают рабочие свойства конст-
конструкций III.3.4 в).
TR1. a) X-^Z->O->Z[1] выделен.
б) Если треугольник выделен, то любой изоморфный
ему выделен.
•и.
в) Любой морфизм Хч-У можно дополнить до вы-
деленного треугольника X-
278
и
TR2. Треугольник X ->У
[1] выделен, если и
V W, —U[l]
только если Y -*-Z ->- X [1] ^ Y [1] выделен.
TR3. Пусть даны два выделенных треугольника и два
морфизма между их началами, образующие коммутатив-
коммутативный квадрат. Эта диаграмма дополняется (не обязательно
однозначно) до морфизма треугольников:
X
Y
\g
V
! л
+
* X [1]
*| /[1]
о' У
Последняя аксиома относится к довольно большой
«диаграмме октаэдра». Один из способов ее изображать
состоит в задании двух «шапочек» октаэдра с общими
«полями»
(верхняя шапочка)
(нижняя шапочка)
В этих диаграммах X, Y и т. д.— объекты 3); стрелки
[1]
вида X'—*¦ Z' означают морфизм X' -*¦ Z' [1]; треуголь-
пики, отмеченные *, выделены, а треугольники, отме-
отмеченные Q,, коммутативны. Наконец, требуется, чтобы
два возможных морфизма У ->¦ У, через Z и Z', совпада-
совпадали, и два возможных морфизма У->-У[1], через X[i]
и X', совпадали.
Закончив описание диаграммы октаэдра, мы можем
сформулировать аксиому.
TR4. Любая диаграмма типа «верхняя шапочка» до-
дополняема до диаграммы октаэдра.
2. Замечания о формальной структуре аксиом, а) Из
аксиомы TR2 следует, что каждый выделенный треуголь-
треугольник канонически вкладывается в «спираль», где любой
279

виток из трех следующих подряд морфизмов выделен:
v
и
Соответственно, морфизм треугольников порождает две
спирали, сцепленные горизонтальными стрелками. Из
TR3 и TR2 следует, что если задать две соседние стрел-
стрелки, образующие коммутативный квадрат, то их можно
дополнить до морфизма спиралей.
б) Диаграмму «верхняя шапочка» можно рассматри-
рассматривать как морфизм отмеченных треугольников, у которого
средний морфизм тождественный. Вложив этот морфизм
в двойную спираль, как выше, и посмотрев на ее после-
последовательные витки, можно убедиться, что в них будут
встречаться диаграммы типа «нижняя шапочка», и TR4
можно сформулировать в эквивалентном виде (по моду-
модулю TR1—3):TR4': дополняемость до октаэдра нижних
шапочек.
в) В п. 4 будет доказано, что в аксиоме TR1 в) любые
и
два дополнения X —>- Y. до выделенного треугольника
изоморфны: морфизм h, существование которого посту-
постулировано в TR3 для / = icLr, g = idy, является изомор-
изоморфизмом.
Поэтому «верхнюю шапочку» можно с точностью до
изоморфизма восстановить по одной ее коммутативной
грани X -*¦ У -*¦ Z, достроив X -* Г и У -»- Z До отмечен-
отмеченных треугольников.
Покажем теперь, что из аксиом TR1 — TR3 можно
вывести следующее свойство выделенных треугольников
(ср. Ш.3.6).
3. Предложение. Пусть SD — триангулированная
и v w
категория, X->~y->Z->-X [1] — выделенный треуголь-
треугольник. Тогда для любого объекта U диаграммы
Нот (U, X [i]) ^1 Нот (U, У Щ)
1]>-
280
.-^Hom(X[t +
- Horn (Z[i], U)—
Нот(У[1],
Horn(X[j], V)-
являются точными последовательностями.
Доказательство. Будем заниматься первой по-
последовательностью; вторая разбирается аналогично. В си-
силу замечания 2а) достаточно доказать точность в члене
Нот (С/, У). Прежде всего проверим, что vu~0 (и зна-
значит, композиция любых последовательных стрелок в вы-
выделенном треугольнике нулевая). Это следует из TR3,
примененной к Х
нику:
X -*¦ О ->¦ X [1] и нашему треуголь-
id
о
X
h I
v V
у—*Z-
Единственный возможный морфизм h — нулевой, а из
коммутативности следует, что vu = 0.
Пусть теперь /: U-*¦ Y — такой морфизм, что у/ = 0.
Мы хотим доказать, что / = ug, где g: U -> X. Возьмем
g из морфизма выделенных треугольников
id
и—*
I 8
у и
X—>
У-
Этот морфизм достраивается с помощью
TR2 и TR3: сначала TR3 применяется к
применения
t/—*
1'.
0
J
Z
-id
U [I]
I ЯП
и затем по g[i\ восстанавливается g (ср. с замеча-
замечанием 2а). ¦
4. Следствие, а) Если в диаграмме TR3 fug
изоморфизмы, то и h изоморфизм.
б) В аксиоме TR1 в) дополняющий треугольник оп-
определен однозначно с точностью до изоморфизма.
281

Доказательство, а) Диаграмма TR3 индуцирует
коммутативную диаграмму
Нот (Z', X) -> Нот (Z', Y) -> Нот (Zr, Z) -+.
\f* | е* \h*
Нот (Z't X') -+ Нот (Z', Г')~*- Нот (Z', Z') -*-
Hom(Z'f X[l])->Hom(Z',
{/[И* | ЯП*
', X'[l])-*Hom(Z'f Y'
Ho
в которой строки — точные последовательности согласно
предложению 3. Поскольку / и g, а значит, также /[1]
и g [1] — изоморфизмы, /#,?#,/[1]# и g [1]* —изомор-
—изоморфизмы. По лемме о пяти гомоморфизмах- A1.7.8) /г* —
также изоморфизм. Это значит, что существует ф: Z' -*¦
-*¦ Z, для которого /мр = idz. Рассматривая аналогичную
диаграмму с Hom(Z, •), получаем существование а|з: Z-*¦
-> Z' с г|зА = idz. Отсюда ф = ф и h — изоморфизм.
б) Сразу следует из а). ¦
Выясним теперь, когда морфизм между вершипами
двух выделенных треугольников продолжается до мор-
морфизм а треугольников:
X
!/
X'
©
Г'— Z'
Имеем ум = 0, поэтому, если такое продолжение сущест-
существует, то v'gu = 0. Покажем, что этого достаточно.
5. Следствие. Если v'gu = 0, то g вкладывается в
морфизм треугольников. Если к тому же
Hom(X, Z'[—1]) = 0, то этот морфизм определен одно-
однозначно.
Доказательство. Напишем точную последова-
последовательность из предложения 3 для морфизмов X в нижний
треугольник:
, Z'[—1])-*-
{X, X') ->Нот (X, Y') -> Нот (X, Z') -> ...
/ 1-
gu
0
Ясно, что морфизм /, делающий коммутативным квадрат
ГЛ строится как прообраз gu и определяется с точностью
282
до образа Hom(X, Z'\— 1]). Любой выбор / позволяет
достроить морфизм треугольников по TR2 и, в част-
частности, найти морфизм h, делающий коммутативным квад-
квадрат ®. Аналогичное рассуждение с точной последо-
последовательностью морфизмов верхнего треугольника в Z' по-
показывает, что h единствен, если Hom(X[l], Z') = 0. ¦
6. Когомологические функторы. Функтор Я: 3) -»- s4-
из триангулированной категории D в абелеву категорию
s? называется когомологическим, если он аддитивен и
для любого выделенного треугольника
и v w
X-+Y—*Z—+X[l]
в 3) последовательность
Н(и) Н(г)
Я (X) —* H(Y)-^ H (Z)
точна в s& (ср. П1.6.14а)).
Из аксиомы TR2 вытекает, что если Н — когомологи-
когомологический функтор, то каждый выделенный треугольник в
3) приводит к длинной точной последовательности в
Осповпым примером когомологического функтора яв-
является функтор взятия 0-когомологий комплекса:
С"->Я* (С),рассматриваемый как функтор из К(^) или
D(^) в s4- (триангулированность К(^) и D(^) будет
доказана ниже, см. теорему 8 и следствие 2.8); его
когомологичность вытекает из определения выделенных
треугольников в K(j#) и D(^) и из длинной точной
последовательности когомологий.
Другим примером когомологического функтора явля-
является функтор X ь-* Hom^5 (U, s&) для каждого фикси-
фиксированного и^ОЪЗ) (см. предложение 3).
7. Конус морфизма. Согласно аксиомам, каждый мор-
морфизм и: X -*¦ Y в триангулированной категории опреде-
определяет с точностью до изоморфизма объект С (и)—третью
и
вершину выделенного треугольника X—>Y-+Z — С (и)'-*-
->Х[1]. Он называется конусом морфизма и (по-англий-
(по-английски — a cone, по-французски — ип cone: неопределенный
артикль подчеркивает неоднозначность выбора). Конус
задан вместе со стрелками Y -»¦ С (и) -»- Х[1].
283

Причина такого наименования объясняется следующим
замечанием. Ниже мы покажем, что для абелевой кате-
категории М- гомотопическая категория K(j$) с выделен-
выделенными треугольниками из III.3.4 триангулирована. В этом
определении выделенные треугольники представлены
диаграммами
ir-lcyi(/)+c(/)-l;r[i]. A)
f . " б
С другой стороны, диаграмма К' —*-L' —>С (/)->К' [1] изо-
изоморфна A) в категории K(j#): изоморфизм достав-
доставляется следующей диаграммой (обозначения взяты из
леммы III.3.3):
¦ и ¦
¦Су1(/)-
К'{1]
Читатель легко проверит, что в K(s?) она коммутативна
(хотя в Кот(^) не коммутативна). То, что а — изо-
изоморфизм в K(j$), проверено в лемме III.3.3.
Вернемся теперь к общим триангулированным кате-
категориям. Если бы мы пожелали сделать С функтором, то
мы могли бы: а) определить на объектах С: Ob(MorS))-»-
->0b.2) с помощью аксиомы выбора (здесь Мог SD — ка-
категория морфизмов категории 3)); б) определить на
морфизмах С: Мог (Мог .??>)->• Мог .25 с помощью TR3 и
аксиомы выбора; после чего мы бы столкнулись с тем,
что равенство С (и ° v) = С{и)° C(v) ниоткуда не следует.
Эта «нефункториальность конуса» является первым симп-
симптомом некоторого неблагополучия в аксиоматике триан-
триангулированных категорий. К сожалению, удовлетвори-
удовлетворительного изменения этой аксиоматики пока нет.
Можно поставить следующий вопрос. В разных ситуа-
ситуациях возникают категории ,$, снабженные конструкцией
«абстрактного конуса» С: Мот($)->-&. Нет ли полезной
общей аксиоматики таких отображений? Аксиомы долж-
должны затрагивать по меньшей стороне две структуры:
а) функториальные свойства С по отношению к морфиз-
мам в Мог(^); б) поведение С при композиции морфиз-
морфизмов (относительно морфизмов в категории Мог (М)).
8. Конус композиции и аксиома октаэдра. Пусть
X -> Y, Y->-Z — два морфизма в триангулированной ка-
категории SD. Достроим их до треугольников с третьими
284
вершинами С(и), C(v). Определен морфизм w. C(v)-*-
-*¦ С(и) [1] — композиция морфизмов С (у)-*- Y[i] (из вто-
второго треугольника) и У[1] -*- С (и) [1] (из первого тре-
треугольника). Часть содержания аксиомы октаэдра можно-
выразить следующей формулой:
w
С (v о и) = С (С (v) —* С (и) [1]) [- 1].
В самом деле, рассмотрим верхнюю шапочку октаэдра,
достроенную по коммутативному треугольнику
В обозначениях п. 1 имеем:
Z' = C(u), X' = C(v),
Y' = C(v°u) (правый треугольник нижней шапочки).
С другой стороны, из левого треугольника нижней ша-
шапочки следует, что Y' = С (w).
Оставшаяся часть содержания аксиомы октаэдра ка-
касается описания входящей в C(v°u) и выходящей из
C(v°u) стрелок.
Дополнительные сведения о смысле аксиомы октаэдра
см. ниже, в п. 2.10.
Заключительная часть этого параграфа посвящена до-
доказательству следующей теоремы.
9. Теорема. Пусть М- — абелева категория. Тогда
категория К(^) со стандартным функтором сдвига и вы-
выделенными треугольниками, описанными в п. III.3.4, яв-
является триангулированной категорией.
То же верно для категорий К*{бФ) и Кь(.р?).
Доказательство состоит в проверке аксиом.
10. Проверка аксиомы TR1. Утверждения б) и в)
следуют соответственно из определений и замечания о-
и
выделенности треугольников Х-*-У->С(и)->-Х [1] в
п. 6. Утверждение а) устанавливается рассмотрением
диаграммы
хХх-+ 0 ->Х[1]
II ,.11 1
285

Мы должны проверить, что она коммутативпа в ()
ж доставляет изоморфизм треугольников. Существенный
момент — проверка того, что нулевой морфизм комплекса
С (id) = X © X [1] гомотопен тождественному морфизму.
Вот явный вид гомотопии:
d°h, h =
11. Проверка аксиомы TR2. Пусть Д? — треугольник
и v w —и[1]
X-*-Y-*-Z-*-X[l], а Д2— треугольник У-*~Z—*-X [1] -»-
>-У[1]. Мы проверим, что если Д, выделен, то Д2
выделен. Обратное утверждение можно либо проверить
аналогично, либо вывести из прямого, применив его
дважды к Д2 (и дополнив надлежащим сдвигом).
Выделенность Д2 мы установим, построив явный изо-
изоморфизм с выделенным треугольником
Д3: Y-^zXc(v)Xy[1].
Поскольку Ai — выделенный треугольник, можно счи-
считать, что Z = С(и) — Х[\] © У, а у и w -— естественные
морфизмы. Тогда
C(v) = Y [1] е z = У [1] © х [1] © z,
и дифференциал dC(T) задается в этом разложении мат-
матрицей
О id-,
Определим морфизм комплексов 9: X[l]->-C(v) фор-
формулой
9'(а;*+1) = (-а<+1а:<+1, xi+l, 0)
для хг+1 е X [1]' = Х1+<. Покажем, что диаграмма
Y-^Z-^L
задает морфизм треугольников в K(j^). Единственным
неочевидным утверждением является гомотопность двух
отображений s и 9 ° w из Z = X[1]®7 в С(у)==У[1]Ф
®X[i\®Y. Используя явные формулы для s, w и 9,
286
легко убедиться, что искомая гомотопия h1: Z' -*¦ С (у)'"*
имеет вид
ti(*i+l, у') = (у\ о, 0).
Покажем теперь, что этот морфизм треугольников явля-
является изоморфизмом. Для этого нужно проверить, что
9: X[\]->-C(v) — изоморфизм б К(.5$). Определим
г|): С (у)-»- X[i] как проекцию на второе слагаемое. Тогда
of) о 0 = idxii], а 9 ° г|) задается формулой
t
Несложно проверить, что гомотопия между 9 ° г|) и idC(B)
задается так:
V: С (уI» С (у)*; (y1+1, *i+\ у*) ~ (»*, 0, 0). а
12. Проверка аксиомы TR3. В диаграмме TR3 (п. 1)
достаточно рассмотреть случай Z = C(u), Z'-C(u'), vr
г/, w, w' — стандартные морфизмы. Тогда h можно взять
в виде
Прежде чем приступать к проверке аксиомы окта-
октаэдра, докажем одно вспомогательное утверждение.
Назовем точную последовательность комплексов 0->-
и v
-»- X-^-Y-+Z -*-0 почленно расщепимой, если для каж-
каждого i существует морфизм u/: Z1 -*¦ Y' такой, что vlw% =
= idzi (не предполагается, что {и?)—морфизм комплек-
комплексов). Например, точная последовательность
0 _> 2Г-i Cyl (/)-^ С
0
из A) почленно расщепима и, значит, каждый выделен-
выделенный треугольник в К (.5$) изоморфен такому Х->-У->
-»- Z -*¦ X [1], что первая тройка является почленно рас-
расщепимой точной последовательностью.
Справедливо и обратное:
13. Лемма. Любая почленно расщепимая точная по-
последовательность в Кот(^) дополняется до выделенного
v w
и v w
треугольника X->-Y-+Z-+-X [1] в К ()
Доказательство. Фиксируем некоторое почлен-
почленное расщепление, т. е. будем считать, что У* = Хг © Z\
и — вложение, v — проекция,
287

Легко проверить, что условие d\ = 0 равносильно тому,
что /: Zx -*¦ Xi+1 образуют морфизм комплексов
Рассмотрим треугольник
и покажем, что он выделен. В самом деле, он изоморфен
выделенному треугольнику:
x@z-
ф
Х-^Х
Z
8 \
1
-+х\\\
z >с(и) = х [1] е x®z—> х\\]
где g = (/, 0, id)
Необходимые проверки: a) g — морфием комплексов.
Очевидно вытекает из формулы для dC(u):
б) Коммутативность квадратов Фи®. Очевидно.
в) Коммутативность квадрата ® по модулю гомото-
пий. Имеем:
s: (У, z{) ~ @, х\ 2;),
Гомотопия к между s и g ° v задается, как несложно про-
проверить, формулой
к\: i1 (\*)(\)
г) g — гомотопическая эквивалентность. Зададим
g': X[l]®X®Z-+Z как проекцию ла третье слагаемое.
Тогда g' ° g = idz, a g° g' — задается формулой
Гомотопия I между g ° g' и idC(u) такова:
Г: (xi+\ x\ i) - (х\ 0, 0)
<ор. п. 12).
14. Проверка аксиомы октаэдра TR4. Пусть дана
верхняя шапочка октаэдра (обозначения из п. 1). В си-
силу леммы 13 можно считать, что оба выделенных тре-
треугольника в ней почленно расщепимы в том смысле, что
Г = X* ® Z'\ % =Yl® X" = Хг® Zri ® X'\
288
соответствующие стрелки суть вложения и проекции,
а стрелки, отмеченные знаком [1], связаны с расщепле-
расщеплением по формулам B) и C).
Обозначим эти стрелки:
/: Z'
(g, h): X'
а) Построение нижней шапочки. Положим
o%r (z'\ хп) = (dW + h'ix'1), d^x'1).
Легко проверить, что это комплекс. Два диагональных
морфизма нижней шапочки: Z' -*¦ Y', Y' -*¦ X' — это соот-
соответственно вложение и проекция. Морфйзм Z-*-Y' есть
проекция
X®Z'®Xr-+Z'® X'.
Наконец, морфйзм У -»- ХЦ] есть
Нужно проверить, что треугольники ir выделены,
а ь — коммутативны. Коммутативность очевидна из яв-
явных определений. Выделенность устанавливается приме-
применением доказательства леммы 13 к почленно расщепи-
мым точным последовательностям
0 + Z' - Y' ->¦ X' -> 0,
б) Совпадение в K(j^) двух морфизмов Y-+Y' и
двух морфизмов У-*-У[1]. Прежде всего, оба морфизм:а
Y ->- У задаются формулой
Далее, композиция
задается формулой
(Л *М) - (У («'*) +«г1 (*'*), о),
а композиция
19 с. II. Гельфанд, 10. И. Манин, т. 1
289

— формулой
Легко проверить, что гомотопия к = {к1ш. Y'' -*¦ Yfl]1 =
= У} этих композиций задается формулой
Л1: (Л х'*) е= У'1 = 2'*фХ'4 ~ (О, ZM) е= Х*®?1 -= У\ .
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Триангулированные и абелевы категории. Напомним, что
абелева категория s4- называется полупростой, если любая корот-
короткая точная последовательность в s& расщепляется (см. II 1.2.3,
Ш.5.8).
Мы наметим доказательство следующего утверждения. Пусть
триангулированная категория % абелева. Тогда Ф полупроста и
любой выделенный треугольник в W изоморфен треугольнику вида
4уЛкег/[11вСокег/Л X [1]
Х
уЛкег/[11вСокег/Л
(с естественными g и h). Обратно, если s4-— полупростая абелева
категория и s4--^>- s4- — произвольный автоморфизм s&, то этот
автоморфизм вместе с описанными выше треугольниками задает
в s& структуру триангулированной категории.
Обратное утверждение доказывается непосредственной провер-
проверкой. Для доказательства прямого утверждения достаточно прове-
проверить следующее. Пусть Ч? — произвольная триангулированная ка-
категория, ¦/: X-*-Y — мономорфизм в %. Тогда / — вложение на
прямое слагаемое.
В самом деле, пусть Z [— 1] —*¦ X —» Y —> Z — выделенпый
треугольник., построенный по /. Тогда / • а.= О, откуда а = О
(/—мономорфизм), т. е. а[1] • idz = 0 и существует f: 2->-У
с р • "f = idz. Для доказательства того, что / Ф Ч: X Ф Z ->¦ Y —
изоморфизм, достаточно проверить, что конус /Ф 1 изоморфен П.
Это вытекает, например, из диаграммы октаздра, верхняя шапочка
которого содержит коммутативный треугольник
2. Примеры триангулированных категорий. Пусть 3D — адди-
аддитивная (по не обязательно абелева) категория. Проворьте, что,
повторяя определения из Ш.4.1, можно ввести категорию К(М)
комплексов над Я с точностью до гомотопической эквивалентно-
эквивалентности. Покажите, что категория К(&) триангулирована (при опре-
определении выделенных треугольников и функтора сдвига так же,
как в случае абелевой категории).
В частности, пусть Ж — семейство объектов некоторой абеле-
абелевой категории зФ, Л® — полная подкатегория si, состоящая из.
290
коночных прямых сумм объектов из М. Тогда категория Ж9 адди-
аддитивна и соответствующая триангулированная категория К(ЖФ)
обозначается Тг Ж.
Другие примеры триангулированных категорий см. в работе
Бейлинсон, Бернштейн, Делишь [1], § 1.1.
§ 2. Производные категории триангулированы
1. Локализующие классы морфизмов в триангулиро-
триангулированных категориях. Производная категория D* {s&) полу-
получается из K*(s?) локализацией по локализующему клас-
классу морфизмов (см. III.2.6). Вообще, мы покажем, что
в такой ситуации структуру триангулированной катего-
категории можно индуцировать на локализованной категории,
если класс морфизмов S удовлетворяет следующим свой-
свойствам совместимости с триангуляцией:
а) seS^ T(s)e=S.
б) Рассмотрим диаграмму TR3 (п. 1.1). Если в этой
диаграмме /, g*= S, то существует дополняющий морфизм
2. Теорема. Пусть 2D — триангулированная катего-
категория, S — локализующий класс морфизмов, совместимый
с триангуляцией. Введем на 2DS функтор сдвига Ts тавто-
тавтологически (Ob^5s = Ob^5, TS = T на объектах). Назовем
треугольник в S)s выделенным, если он изоморфен обра-
образу выделенного треугольника относительно функтора ло-
локализации 2Е> -*- <2)я.
Тогда ?DS с этими структурами будет триангулирован-
триангулированной категорией.
3. Доказательство. Напомним прежде всего, что мор-
морфизм /: Х-+ Y в 0s представлен диаграммой-домиком
в 3) вида
где s e S, а два домика представляют один морфизм, если
их «можно накрыть общей крышей» (см. III.2.8). До-
Доопределим Ts на морфизмах, полагая, что Ts(f) задается
домиком ТG)
T{Y)
11*
291

Здесь используется свойство la): T(s)^S, Читатель лег-
легко проверит корректность.
Дальше будем проверять по очереди аксиомы TR
для 3>в.
4. Проверка TR1. В проверке нуждается лишь свой-
свойство в). Пусть морфием ХДУ в 3)s представлен доми-
домиком X J~ Z Д, У, s ^ S. Дополним и' до выделенного
треугольника в 3):
А: гХуЛилгц].
Обозначим через А' следующий треугольник в 3)а'
А': ХЛУЛи^ХЦ].
Имеется очевидный морфизм треугольников: (s, idr,
idv): А -»¦ А' в 3)s, который является изоморфизмом, по-
поскольку s обратим в 3)s. Значит, X -*- У дополняется до
выделенного треугольника.
5. Проверка TR2. Эта аксиома очевидным образом
следует из определения и свойств Т.
6. Проверка TR3. Можно считать, что заданные вы-
выделенные треугольники в SDS представлены выделенны-
выделенными треугольниками в 3), а морфизмы /, g — некоторыми
домиками (s, f), (t, g). Тогда нам предстоит построить
вертикальные пунктирные стрелки г, Ъ в следующей
диаграмме (а горизонтальные пунктирные стрелки будут
вспомогательными морфизмами):
шаг I
шаг II
Шаг I. Мы утверждаем, что, заменив при необхо-
необходимости домик, представляющий морфизм X J+. X'', мы
сможем добиться того, что будет существовать морфизм
X" Д> У" в 3), делающий соответствующие два квадрата
коммутативными.
292
В самом деле, по свойству локализующего класса мы
можем дополнить до коммутативного квадрата в 3) диа-
диаграмму:
Y
Заменим X" па X, s на st, f на ft. Ясно, что X +— X" 1^.
—> X' представляет тот же морфизм X 1* X' в 3)s- Да-
Далее, морфизм X Д» X" делает коммутативным один из
двух квадратов («а заднем скате крыши): tu = ust.
Второй же квадрат пока заведомо коммутативен в 2)8,
но не обязательно в 3): из u'j = gu следует формально
u'fs~i = gt~iu = gu{st)~l, откуда в Мог^)в имеем u'ft =
= gu.
Чтобы добиться ого коммутативности в 3), нужно еще
раз заменить представителя /. Рассмотрим два морфизма
и ft, gu: X-+Y' в SD. Поскольку в 2)в они становятся
одинаковыми, по свойству локализующей системы суще-
существует их «левый уравнитель» из S: X -%¦ X. В качестве
нового X" возьмем X; остальное понятно.
III а г II. Дополним X" Д». У" до выделенного тре-
угольника л -^ У _> Z -ч> X [1]. По аксиоме TR3 в
2) достроим морфизм Ъ так, чтобы получился морфизм
треугольников. Аналогично построим г, но с дополни-
дополнительным условием r<^S, воспользовавшись свойством 16)
совместимости S с триангуляцией.
Обозначим через h морфизм Z -*¦ Z' в 3)s, представ-
представленный (г, Тг). Очевидно, что (/, g, h) определяет мор-
морфизм исходных треугольников в 3)в-
7. Проверка TR4. Пусть в категории 3)s задана верх-
верхняя шапочка, как в п. 1. Прежде чем достраивать ее до
октаэдра, установим следующий факт: любая верхняя
шапочка в 3)s изоморфна в 3)s верхней шапочке, при-
пришедшей из 3).
В самом деле, задать верхнюю шапочку в 3)s — это
то же, что задать два выделенных треугольника с общей
вершиной:
Д,: X-vy-vZ' + X[l],
Д2: X'[-i\+Y-+Z-+X'.
293

Следовательно, нам достаточно построить подъемы этих
треугольников Д,, Д2 в 3), сохраняющие общую верши-
вершину 7.
Мы заведомо можем построить такие подъемы, если
не заботиться об общей вершине:
x'[-ij->y2->z2^x;.
Объекты Fi и Т2 становятся изоморфными в 3)s. Поэтому
в 3) они связаны домиком Yt -Д Y —> Y2, s, t^S. Поль-
Пользуясь s, заменим первый треугольник на треугольник с
вершиной Т, изоморфный ему в 2DB:
"V--
1
Л',
¦Y-
®
-Z
И
©
©
Квадрат © (включая вершину X) достраивается по
свойству III.2.66) локализующего класса морфизмов, так
что X ->- Xi также лежит в S. Стрелки © и ® вместе
с объектом Z' достраиваются по аксиоме TRla) в 3).
Наконец, квадрат © достраиваем по аксиоме TR3 в S>,
дополненной условием 16), согласно которому морфизм
Z —*-Zt, можно выбрать лежащим в S.
Аналогично, пользуясь t, заменим второй выделенный
треугольник на треугольник с вершиной ?, изоморфный
исходному в 3>s.
Теперь объединим эти два треугольника в верхнюю
шапочку в 2) ж но аксиоме TR4 в 3) дополним ее до
октаэдра. Образ этого октаэдра в 3)Б, очевидно, останется
октаэдром. Это заканчивает проверку TR4 в 3)8. ш
8. Следствие. Производные категории T)*(s?) три-
триангулированы.
Доказательство. Чтобы применить теорему 2 к
ситуации Ф — К*(.??), S = {квазиизоморфизмы}, остается
проверить совместимость S с триангуляцией, поскольку
структура триангулированной категории на K*(s?) уста-
установлена теоремой 1.8.
Но свойство 1а) для S очевидно, а свойство 16) следу-
следует из леммы о пяти гомоморфизмах (упр. П.5.6), приме-
294
нежной к диаграмме из точных последовательностей кого-
мологий (Ш.3.6) для двух треугольников, фигурирую-
фигурирующих в TR3.
В D*(^) лемма 1.13 допускает следующее усиление:
9. Предложение. Любая точная тройка комплек-
комплексов в К* (s&) 0-»-ХЛУЛ2->0 дополняется до вы-
выделенного треугольника в D*(*s$) подходящим морфиз-
мом Z-+X[l] и любой выделенный треугольник в D*(j$)
изоморфен такому.
Доказательство. Все следует из основной диа-
диаграммы, построенной в лемме III.3.3: требуемый тре-
треугольник имеет вид
X Л Cyl (и)->С (и) Л X [1].
Предложение III.3.5 показывает, что исходная точная
тройка связана квазиизоморфизмами с этим треугольни-
треугольником. Аналогичное рассуждение, проведенное в п.1.12 для
К*(.я?), доказывает последнее утверждение.
10. Конус и аксиома октаэдра для морфизмов, пред-
представленных вложениями. Предложение 9 позволяет дать
следующую интерпретацию конуса и аксиомы октаэдра
в Т)*(а)
(
Если морфизм X-%¦ Y в D*(.9?) представлен вложе-
вложением комплексов, то конус представлен факторкомплек-
сом Y/u(X), а соответствующее отображение Y-»C{u)
есть факторизация.
Рассмотрим теперь диаграмму октаэдра, в которой
морфизмы Х->-7и F -*- Z (а значит, иХ^-Z) представ-
представлены вложениями комплексов. Мы утверждаем тогда, что
суть аксиомы октаэдра состоит в существовании есте-
естественного изоморфизма
Z/Y~(Z/X)/(Y/X).
В самом деле, X' — Z/Y, Z' = Y/X. Далее, из нижней ша-
шапочки, Y' = Z/X и морфизм Z' -*¦ Y' (представлен есте-
естественным вложением Y/X -»- Z/X. Наконец, третья верши-
вершина X' левого треугольника в нижней шапочке представ-
представлена фактором Y'JZ' = (Z/X)/(Y/X), а она же в верхней
шапочке есть Z/Y.
11. Расширения. Предложение 9 оправдывает следую-
следующую терминологию. Пусть ЗУ — триангулированная кате-
категория. Объект Y в ней называется расширением Z с по-
помощью X, если существует выделеппый треугольник
295

X -»- Y -*¦ Z ->- X[i]. Подкатегория Ю' в З) называется
устойчивой относительно расширений, если для любого
выделенного треугольника X -*- Y -> Z -*• X [1] из того, что
X, У^ОЪЗ)', следует, что Z е Ob й>'.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Системы Постникова и свертки, а) Пусть Ф — триаигулиро-
ванная категория, X =\Х —>¦ л —> ...->-л г — конечный ком-
комплекс над 2Ь (т. е. композиция двух последовательных d punna 0).
Правой системой Постникова, подчиненной X, назовем: любую
диаграмму вида
в которой все треугольники
Xv [n - v]
Xv [n - v
выделены, a jv <> U: Xv[n — v] -+• Xv+1 [n — v] совпадает с dv[n — v].
Левой системой Постникова, подчиненной X', назовем любую
диаграмму вида
X
я-1
в которой все треугольники
Zv [1]
выделены, а Д, о iv = dv.
Правой (соответственно левой) сверткой комплекса X' на-
назовем любой TeObiZ), для которого существует правая (соот-
(соответственно левая) система Постникова, подчиненная X", с
Т = Ya[n — 1] (соответственно Г = Zn[n]).
б) Докажите что класс правых сверток X* совпадает с клас-
классом левых сверток X'.
296
Схема доказательства. Случай п = 1 очевиден. Пусть
п = 2 и Г — правая свертка комплекса Х° —* X —> X2. Построим
по соответствующей правой системе Постникова нижнюю шапочку
октаэдра
71-21 У"\ 1
dl
./"ЛИ У1 HI *
и достроим по до верхней шапочки
^Х1
по которой строится левая система Постникова
Г[-2]
сверткой которой является Г [—2] [2] = Т.
При п > 2 используем индукцию. Разберем случай п = 3.
Пусть Г = У0 [2] — правая свертка комплекса
297

отвечающая системе Постникова
/ •
'
Х°\°,\ J°[3] '' Хх\'
Построим объект Z как третью вершину некоторого выделенного
треугольника
Используя аксиому октаэдра, аналогично слутаю и. = 2 построим
морфизмы г: У'[—1] ->-Z, 9: Z-*-X3[l] такие, что d2 = qu, /0[-l] =
= иг. Полагая /> == г[—1]('о[—2], рассмотрим комплекс
Легко видеть, что У°[1] есть его правая свертка. Используя ин-
индукцию, построим соответствующую левую систему Постникова
Проверьте, что диаграмма
(*)
является правой системой Постникова для комплекса Х°-*-Х1^-
->Х2, так что Р[2] —его правая свертка. Снова используя индук-
индукцию, постройте соответствующую левую систему Постникова для
этого комплекса и, соединяя ее с системой (#), постройте искомую
левую систему Постникова для исходного комплекса X', показы-
показывающую, что Т является левой сверткой X".
Обозначим класс всех сверток комплекса X' через TotX".
Он может быть пуст, а может содержать много пеигюморфных
объектов (при п ;зг 3).
в) Гиперсимплексы. Назовем выделенным (п -\- 1)-мерным
гиперсимплексом над триангулированной категорией Я) диаграм-
293
му G, состоящую из объектов X[i' ¦>'], 0 ^ i ^ / ^ п, и морфизмов
gUh: XI'.*] -^X^'Ji,
ft,*: ХК.л ->XU+1. « [1],
для всех троек i ^ j <. к таких, что все треугольники
'h] [1]
выделены в®, а все треугольники вида
в G коммута-
диаг-
диагтивны. При п = 1 G — выделенный треугольник, при п =
рамма октаэдра.
Вообще, (к, п)-гиперсимплексом называется многогранник
А(к, п), образованный центрами fc-мерных граней re-мерного сим-
симплекса А". Выделенный (n -f- 1)-мерный гиперсимплекс над St> —
ото диаграмма, объекты которой размещены в вершинах гиперсим-
гиперсимплекса ДA, п + 1), а морфизмы отвечают ребрам: объект Х['. Jl,
О =^ I ^ I =С «, стоит на середине ребра (i, j + 1) симплекса Д"+1.
Многогранник ЛA, п + 1) имеет два типа и-мерных граней: (п + 2)
n-мерных симплекса Л" и (и + 2) гиперсимплекса ДA, п) (най-
(найдите их), Соответствующие поддиаграммы в выделенном (гс + 2)-
мерном гиперсимплексо над SD — это соответственно коммутатив-
коммутативные симплексы и выделенные гс-мерные гиперсимплексы. (Это
разделение аналогичпо разделению граней выделенного октаэдра
на коммутативные и выделенные треугольники.) Экватором вы-
выделенного (и + 1)-мерного гиперсимплекса называется его под-
поддиаграмма
Она однозначно определяется как единственный ориентированный
цикл длины п + 1 в G, никакие два последовательных ребра ко-
которого не лежат в одной «-мерной грани. Композиция любых двух
последовательных морфизмов экватора равна 0.
Докажите, что свертки комплекса X —> X -*¦ ...->¦ X мо-
могут быть определены как такие объекты Т е Ob .25, что для неко-
некоторых а: Г^Х°, р: Хп[—п] -> Т цепочка
299

— экватор некоторого выделенного (п + 1)-мерного гиперсимплек-
гиперсимплекса над SD. Выведите отсюда, что имеется следующая циклическая
симметрия: если Т есть свертка Х0-»-^1-^ ... -+Хп, то Х° есть
свертка X1 -v X2 -> ... ^Х11 -»- Г [?г].
1
Г) Пусть Х- =
'-Д. ...->Х"/и У
; Tot X', Г е Tot У
(так что заданы мор-
два комплекса, S , ( ч аданы мор
физмы a: Xn~+S[n], (J: Г[ге] ->У°[ге]), и /: T-+S — проилнолг.иый
морфизм, включенный в выделенный треугольник
Докажите, что f/eTotZ', где Z' —комплекс Z' = (X0 >-X1-*¦
-> ... _>.хп Д.У°[и]-^-У1[п]-> ... ^Ym[n\) с ф= рв/[ге]оа.
Примеры сверток.
д) Пусть S5 = Db(.s?) —производная категория абслепой кате-
категории s4, F°K' с i^iT С ... с ^ПАГФ = AT" — комплекс над s4
с конечной возрастающей фильтрацией. Диаграмма
'F2K'
является правой системой Постникова над 55, подчиненной ком-
комплексу
'lF1^) [- 2]
(здесь б* — связывающие морфизмы в выделенных треугольниках,
отвечающих точным последовательностям комплексов0-*/11 ~].ЙТ'->-
-+FlK' -+FlK''/Fl~1K' ->0), свертка которой есть К' [га].
е) Пусть si-—аддитивная категория, iZ> = Kb(.s?)—гомотопи-
Kb(.s?)—гомотопическая категория конечных комплексов над si-. Скрученным комп-
комплексом называется биградуированный объект С ={Сг'}, Cli = 0 для
всех (г, ;), кроме конечного числа, снабженный семейством эндо-
эндоморфизмов dki C-+C бистепени (к, 1 — к), к == 0, 1, 2, ... таким,
BJ
В частности, d^ = 0, т. е. каждый Сг'' —комплекс над s?,
dQdi + did0 — O, т. е. dt: С- *-v С4+'¦•—морфизм комплексов,
— dj = d й -f~ ^od2, T- e. d^ гомотопно 0. Следовательно, имеем
комплекс над "
Покажите, что (C,d), где С" = ф Сг;', d--=y\dk, является
г+)=п
сверткой этого комплекса над К&(?)
300
2. Спектральные последовательности. Пусть 35 — триангули-
триангулированная категория, 11: Ф -*¦ s4- — когомологический функтор из St)
в абелеву категорию st, Нр{Х) = Н{Х[р]) для X е ОЬ Й5. Пусть
X" — конечный комплекс над ,25, TsTotX' —некоторая его
свертка. Тогда существует спектральная последовательность с
е™ = Hq (хр), лп' ^;/" (г).
Чтобы построить ее, рассмотрим правую систему Постникова,
подчиненную X', для которой Г = У°[гс — 1]. Применяя к различ-
различным членам этой системы Постникова подходящие степени функ-
функтора сдвига, получим диаграмму следующего вида (мы считаем,
что Х> = 0 при / > п):
Применяя к этой диаграмме функтор Я", получим биградуиро-
ваппую точпую пару
.К"
в которой Evlq = Hq(Xp),D\q^H^{Yv[n~i,\) и бистепени
i, U 6 равны соответственно A, 0), @, 0), A, —1).
Докажите, что спектральная последовательность, отвечающая
этой точной паре, сходится к Я"(Г) (ср. с упр. Ш.7.3 в)).
б) Пусть si- — абелева категория с достаточным числом инъек-
тивных объектов. Докажите следующее обобщение предложения
Ш.7.11. Пусть К' е= ObKom+ {&), {FPK'} — конечная фильт-
фильтрация К'. Тогда у всех FPK' существуют согласованные ре-
резольвенты Картана — Эйленберга. Точнее, у К' существует
резольвента Картана — Эйленберга L" ={L1*} с конечной фильт-
фильтрацией FpL" такой, что FPL"—резольвента Картана — Эйлен-
Эйленберга FVK' (при отображении. FPK' ->-Fpb"'0, индуцированном
Пусть, далее, Х',У— два конечных комплекса над S4-.
Тогда существуют две спектральные последовательности Эйлен-
Эйленберга—Мура, сходящиеся к Е^ = Нот ь (Х", У [п]) и
имеющие члены Е\ следующего вида:
i-i=P
301

Указание к построению. Рассмотрим более общую
ситуацию, когда нам заданы два конечных комплекса Х',У,
снабжеппых конечными фильтрациями FlX', FlY'. Построим
спектральную последовательность, сходящуюся к тому шс преде-
пределу jE*^, что и выше, и имеющую
• [p I- '/])•
Для этого нужно распространить резольвенту Картана - Ойлеп-
берга на комплексы, ввести в /' (X") фильтрацию, полагая
F1!' (X') = I' (f'X"), и рассмотреть естественную фильтра-
фильтрацию в Нот' (/' (X'), У"), индуцированную фильтрациями в
/' \Х') и Y'. Последовательности Эйленберга — Мура получают-
получаются, если в качестве FXX' и FlY' взять глупые или канониче-
канонические фильтрации (III.7.5). Член иЕг возникает из-за того, что в
градуировке, связанной с канонической фильтрацией (см. 111.7.0),
дифференциал бьет ходом коня.
в) В предположениях п. б) сразу получаем, что если
Ехр^(Х\ Y})= 0 для всех р > 0 и всех г,/, то Нот^^СХ", К')=
= Нот 6,^, (Х',У). Докажите, что это утверждение справедливо
для любой абелсвой категории s& (не используя резольвенту Кар-
тана — Эйленберга). Оно обобщает упр. Ш.5.1а.
3. Произведения Масси. а) Пусть 55 — триангулированная ка-
категория и X' —комплекс длимы 4 над 3):
-У u
d
¦ха
кг
J1]
Y
р
Пусть У — третья вершина какого-либо выделенного треугольника,
содержащего dK Поскольку d'd° = d2dl = 0, существуют морфиз-
мы р: У->-Х3, q: Х°->-У[—1], делающие крайние треугольники в
этой диаграмме коммутативными (см. предложение 1.3). Компо-
Композиция jd[—1] og: Х°->-Х3[—1] называется тройным произведением
Масси и обозначается <d2, dl, d°>. Неоднозначность выбора р и q
приводит к тому что <d2, d1, d0} определен с точностью до под-
груины
А =: Нот (Х\ Х3[— 1] )о
[—1] о Нот (Xй, Х2[-1]) с
с: Нот (Х°,
Покажите, что комплекс X' обладает хотя бы одной системой
Постникова (так что Tot X" непуст) тогда и только тогда, когда
образ <d\ d\ d°> в Нот (Х°, Х*[1])/А равен 0.
302
б) Пусть задан комплекс X' длины п -\-1:
Обозначим череп <d"-', ..., d°> подмножество Нот (Х°, Х"[2 — «]),
состоящее из таких 0. что существуют: Свертка Т комплекса
X1 -*¦... —^Х" и такие морфизмы j и р (см. диаграмму), что
крайние треугольники коммутативны и 6=/? [2 — п] о д (здесь а
и р происходят из системы Постникова, реализующей Т как
свертку). Докажите, что
б,) <d"-1, ..., d°> Ф 0 тогда и только тогда, когда 0 е <d"-1, ..,
..., d1>H0e<d"-2, ..., d°>.
б2) Комплекс X" обладает хотя бы одной системой Постнико-
Постникова тогда и только тогда, когда 0 е <dtl~I, ..., d°>.
в) Пусть SE> = K(,s?) для абелгвой категории ?#-. В этом слу-
случае произведения Масси можно определить по-другому. Для
V', V ' eOb Kom (.s/) •-- Ob К (st) будем обозначать через д
дифференциал в комплексе Нот' (U',V'), так, что д-коциклы
степени i — это морфизмы комплексов U'-*-V [i], 3-когра-
пицы — это морфизмы, гомотопные 0, и Hom^, rfA(?/",V [i]) =
= лЧнот(г/',у;)).
X3— комплекс длины 4 над
Н1 (
Пусть X —» Xх —*¦ X , „ ,.„.„.. > „ , ,,
т. е. 3d* = 0, dld° = ди, d2dl = dv для некоторых и е Нот-1 (Х°, X2),
v е Нот-'1 (X1, X3). Докажите, что 6 = d2 [—1] и — vd° e
еНот-'(Х°, X3) является d-коциклом, т. о. задает морфизм ком-
комплексов Х°->Х3[—1]. Проверьте, что его класс в Нотк,^Лл ,
X3 [—1])/А, где А — подгруппа, определенная в п. а), опреде-
определяется однозначно и совпадает с <d2, d1, d°>.
X1
2 С
X2 _
Х*}~комплекс дли-
дли(по модулю соот-
соотг) Пусть Х- ={х° ^
ны 5 в K(s4) и <d2, dl, d°> = 0, <d3, d2, d'> =
ветствующих подгрупп). Это означает, что существуют
кеНош-1 (Х°, X2), геНот-1 (X1, Xs), we Horn-1 (Х=, X4), ае
е- Нот-2 (Х°, X3), р е Нот-2 (X1, X4), т <= Нот-2 (X1, X3) такие, что
o!'d0 = 6u, d2d' = dv, d3d2 = 5м?, d2u — vd° = да + xd°, d3i; — wd1 =
= d$ — dh. Проверьте, что б = d3a— wu + $d° e Hom-2(X°, X*)
является S-коциклом, т. е. задает морфизм Х°->-Х4[—2] в Komrf.
Проверьте, что класс 6 в Нотк,^ч (X , X4 [— 2]) определяется
с точностью до прибавления элемента из
В = d3[—2] о Нот (Х°, Х3[—2]) +
+Нот (Х2[—1], Х4[-2]) Нот (Х°, Х2[-1]) + Нот (Х',Х*[-2]) о 6й.
Проверьте, что <d3, d2, d\ d°> = 6 + В.
д) Проделайте то же для любого п.
303

е) Произведения Шасси и касательное пространство. Пусть
X — аффинное алгебраическое многообразие над С; А = С[Х]~
алгебра функций, ieX- (возможно, особая) точка, СХ = АЩХ~
поле вычетов в х, рассматриваемое как Л-модуль. Дот:ажптр, что
Ext^ (Сх, Сх) отождествляется с ТХХ — касательным прост-
пространством Зариского к X в х, и при этом
п раз
{I <= Ext^ (Сх, Сху. <|, ..., |> = 0 для всех п)
отождествляется с ТСХХ = Spec (ф ЯЯх/$1гх+1) — касатолып.гм ко-
конусом к X в х.
§ 3. Пример: триангулированная категория А-модулей
1. Грассманова алгебра. Пусть к — поле характери-
характеристики ?=2, Е — линейное пространство над к размерности
п +1. Рассмотрим Z-градуированную внешнюю алгебру:
{=»
Обозначим через Ж {А) категорию левых унитарных
Z-градуироваиных Л-модулей, морфизмы в которой — го-
гомоморфизмы нулевой степени. Пусть J(b(A)—полная
подкатегория J((A), состоящая из конечно порожденных
Л-модулей (это условие равносильно конечномерности
над к).
2. Операции над Л-модулями, а) Пусть V — некото-
некоторый Л-модуль. Положим для roeZ
F(m)' = r-m, V(m)= © V(m)\
iaz
Сохраним умножение на Л тем же. Очевидно, операция
сдвига градуировки V *-*¦ V (тп) продолжается до функто-
функтора тождественым отображением на морфизмах / >-*•
<-> f(m) = f-
б) Для двух Л-модулей F, V положим
V <g> V = ф (V ® V'I, (F®F')!= 0 V1 ®V'j,
e(v® v') = ev®v' + (-l)aeg' v ® ev',
veV, v'eV, ее Е.
Таким образом, тензорное произведение мы всегда в этом
параграфе строим над к, а не над А.
в) На любом левом Л-модуле V имеется канониче-
каноническая структура правого Л-модуля Vr с умножением
304
Отображение V>-+Vr очевидным образом продолжается
до функтора, устанавливающего изоморфизм между кате-
категориями левых и правых (градуированных) модулей.
г) Положим F* = Homft(F, к) и снабдим V* умноже-
умножением на А по формуле (Аф) (р) = (-1)<1в«*а'«*ф(Л,р). Вме-
Вместе с градуировкой (F*)'=Homft{F~*, к) это определяет
на F* структуру Л-модуля.
3. Предложение. Для V е= Жъ (Л) следующие ус-
условия эквивалентны:
а) F свободен (т. е. V= фЛ(га;));
б) V проективен в i?b(A);
в) F инъективен в „#Ь(Л).
Доказательство. Ясно, что а)=*-б). Для доказа-
доказательства импликации 6)=*- а) заметим, что модуль А(тп)
неразложим (если А(тп)— V® V и, скажем, dimFm=lr
то V = А(пг) и F' = {0>), Пусть теперь V — проективный
Л-модуль. Можно считать, что F неразложим. Предста-
Представим V в виде прямого слагаемого свободного модуля
F = ф Л (m-j). По теореме Крулля — Шмидта множество
i
неразложимых слагаемых F определено однозначно, так
что V изоморфен одному из A(mt).
Для доказательства эквивалентности а) -**¦ в) зафикси-
зафиксируем ненулевой элемент со е An+i (E) л определим линей-
линейный функционал а на Л, полагая gc(<d)= 1, а(А) = 0 для
1еЛ'(?), )Фп+ 1. Для любого m определим спаривание
полагая
I-1 (m) X Л'• 1 (—п- m—
a(U')
(l(m), 1(—п — га— 1) — образующие в А(т), Л(—п~
— т — 1)). Проверим, что это спаривание невырождено,
т. е. что для любого О^А^Л существует 1'еД с АА =
= и. Для этого выберем такой базис е0, ..., е„ в Е, что
со = е0... е„, разложим А в сумму одночленов от е,- и вы-
берем один из ненулевых одночленов се0" ... еп , сФО,
v,- = 0 или 1, наименьшей степени, входящих в А. Тогда
в качестве У можно взять А'— ± с~1е0° ... еп™, где щ —
= 0, 1 дополнительны к vt, т. е. \и + v, = 1 для всех г.
Из невырожденности спаривания следует, что
Л(го)* = Л(-п-т-1). Поскольку *: ЛГ>(А)-+Лъ(А)
является, очевидно, контравариантным функтором, и *• =*
^ Id, он переставляет проективные и инъективные
20 G И. Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 305-

объекты в ЖЪ(А). Поэтому эквивалентность а) и в)" сле-
следует из эквивалентности а) иб),|
4. Категория Jt?(\)/ff~. Обозначим через &"<=-Мъ{\)
полную подкатегорию свободных градуированных Л-моду-
лей. Назовем морфизм /: V-*¦ V в ЖЬ(А) эквивалентным
нулю, если он разлагается в произведение V -*¦ F -*• У, где
F^Ob@~. Очевидно, эквивалентные нулю морфиимы об-
образуют двустороншш идеал / в Мог^ь(Л). Положим
Мог Жъ (А)/$- = (Мог Жъ (Л)) II.
Основной результат этого параграфа —следующая
теорема.
5. Теорема. На МЬ(А)/8Г имеется естественная
структура триангулированной категории.
В этой структуре, которая будет описана ниже, наи-
наиболее необычно выглядит функтор сдвига Т:
Т (У) = (Л (- п) ® V)/i (V) (-п), п + 1 = dim E, A)
h
где i(V) = An+1 (E) ® V (см. п. 7 ниже).
h
6. План доказательства теоремы. Любой Л-модуль V
•определяет семейство комплексов линейных пространств,
в котором дифференциалы пронумерованы элементами
Le(V): ..
Очевидно, Le(V) и Lce(V) для с^к, сФО, изоморфны,
так что семейство Le (У) для е Ф О, по существу, прону-
пронумеровано точками проективного пространства Р(#) лучей
з Е. Оформляя это замечание алгебро-геометрически, на-
назовем жестким комплексом комплекс квазикогерентных
пучков на Р(-Ё'), изоморфный
L: ...->- Р ® О'(/)-*- FJ+1 ® С?¦(; + l)-v ...,
дифференциалы в котором — морфизмы С'-модулей. На-
Назовем комплекс L конечным, если он ограничен и все У
конечномерны.
Построим по жесткому комплексзг L градуированный
Л-модуль У(L):
y(L) = ®r(Lj (-/)) =
j
306
Рассмотрим отображение
где мы канонически отождествили Г(СA)) и ?'*. Для
любого элемента ее Л1 и для neF(i)J положим
ev=(-l)j(id®se)a(v),
где se: ?"* -*• к — свертка с е. Из равенства d1+idJ = O сле-
следует, что е2у = 0, так что У(^) превращается в градуиро-
градуированный Л-модуль.
Нетрудно убедиться, что эта конструкция продолжа-
продолжается до функтора из категории жестких комплексов Ш§
в Ж (А). Этот функтор является эквивалентностью. Об-
Обратный функтор, по существу, уже описан: линейное по
е семейство отображений d'(e): V' -*• VJ+l — это то же
самое, что линейное отображение V' ->~ У+1 ® Е*, которое
однозначно определяет морфизм пучков V ® О -*¦ Vi+1 ®
®0A) на Р(^). Скручивая его с id^^j, получаем диф-
дифференциал d1: Vj ® С (/) -*- FJ+1 ® С (/ + 1).
Объекты ЖЬ{А) соответствуют при этом ограничен-
ограниченным комплексам с конечномерными компонентами.
Рассмотрим теперь композицию функторов
Ф:
где через 3)ъ мы обозначили производную категорию-
ограниченных комплексов квазикогерентных пучков на
Р(Е).
Теорема 5 будет вытекать из следующих фактов, ко-
которые мы докажем ниже.
а) Существенный образ функтора Ф (т. е. полная
подкатегория 3)ь, состоящая из всех объектов, изоморф-
изоморфных объектам вида Ф(У)) замкнут относительно функ-
функтора сдвига Т.
б) Имеется естественный изоморфизм
Нот^Ь(Л) (У, W) mod / ^ Нот^ь (Ф (У), Ф (W)).
в) Конструкции, проверяющие аксиомы TR1 в) и
TR4 (см. 1.1), будучи примененными к диаграммам из-
существенного образа Ф, не выводят за его пределы.
В самом деле, после этого мы сможем индуцировать
структуру триангулированной категории с 3)ь на суще-
существенный образ Ф и затем на эквивалентную ему кате-
категорию J?b(A)/3r.
20*
30?

(В действительности существенный образ Ф совпада-
совпадает с 3)ъ: см. упражнения и дополнения.)
7. Функтор Т. Определим T{V) для 7е1ь(Л) фор-
формулой A) и докажем, что комплекс Ф(Г(У)) изоморфен
в 3)ъ комплексу Г(Ф(У)).
Обозначим через W<^$,igb комплекс {W3 = P+1 ®
¦® <?(/), йту = — йу}. Обозначим через 0{1) комплекс с
нулями везде, кроме нулевого места, где стоит СA).
Очевидно, Г(Ф(У)) = W ® O'(l) (тензорное произведение
комплексов (^-модулей). Комплекс СA) квазиизоморфен
жесткому комплексу:
который отвечает Л-модулю Ф(А/Ап+1(Е) (—п)). Пусть
¦q: (У{!)-*¦ ОA) — этот .квазиизоморфизм (его выбор тре-
требует выбора базисного вектора в An+i(E)). Нетрудно убе-
убедиться, что id ® q: W ® ??A)->- ТУ ® О (\) также являет-
является квазиизоморфизмом. Но W®0(\) изоморфен
Ф(Г(У)), как показывает сравнение с A).
Для сравнения морфисшов в Жъ и 3)ъ нам понадобит-
понадобится несколько вспомогательных фактов:
8. Лемма. В обозначениях III.5.4 имеем для конеч-
конечномерных пространств V, ТУ:
Лот^ъ (У® О @ [а], ТУ ® С (/) Щ) =
= Horn (V, ТУ) <g> Extb~a (С (О, О (/)).
Extfe (О (О, О (/)) =
>~1(Е*) при ft = 0, />?,
-"-i+'-J (jg) ® An+1 (?) при й:=л, j-i<—n—1,
в остальных случаях.
Доказательство. Первое равенство вытекает из
аддитивности функтора Нот и определения Ext" (см.
замечание Ш.5.56)). Второе равенство есть результат
классических вычислений когомологий пучков О(i) на
проективных пространствах (см. Хартсхорн [2] или Око-
нек, Штейнер, Шпиндлер [1]).
9. Сюръективноеть Ф на морфизмах. Рассмотрим мор-
¦физм ф: Ф(У)->-ФAУ) жестких комплексов в производ-
производной категории и покажем, что он индуцирован обычным
морфизмом комплексов.
308
Будем обозначать V (соответственно ТУ) как Л-мо-
дуль, так и отвечающий ему комплекс; компоненты пер-
первого суть V (соответственно ТУ'), а второго—V'(i) —
= V' ® О (г) (соответственно W'(i))'.
Построим ф: У->-ТУ в Migb, индуцирующий ф в 3)ь
индукцией по длине комплекса V ® ТУ. Случай длипы
нуль (оба комплекса нулевые) тривиален. Пусть теперь
i — максимальный помер, для которого У* ® ТУ' Ф 0. Рас-
Рассмотрим выделенные треугольники
B)
где У = а^У, ТУ' = а<(ТУ. (Напомним, что (o<»C)J = 0»
при / < к и 0 при / ^ к.) Проверим, что в этой ситуации
применимо следствие 1.5. Для этого достаточно доказать,
что Ногп0ь(Уг(О [— '•], ТУ') = 0. Проведем индукцию
по длине ТУ. Пусть к — максимальный номер с ТУ^ Ф 0
(существенно, что k<i). Из треугольника Wh(k)[—k]->-
~->W ->ТУ", леммы 1.3 и леммы 8 находим вложение
Нот^ь (V1 @ [- i], W) -^ Нотда (У (i) [- i], ТУ"), а по-
следняя группа равна нулю по индуктивному предполо-
предположению.
Теперь из 1.5 вытекает, что существуют морфизмы
<в 3)ь) <р<: F'fOH]-»-WfOHl и У'-* ТУ, дополняю-
дополняющие ф до морфизма треугольников. Первый из них, по
лемме 8, является морфизмом комплексов, ибо индуциро-
индуцирован однозначно определенным морфизмом линейных про-
пространств V -*¦ ТУ*. Второй также индуцирован морфиз-
морфизмом жестких комплексов ф<г: У -»- ТУ по индуктивной
гипотезе. Покажем, что соединение (ф<г, ф') = ф образует
морфизм комплексов. С этой целью рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
У^1 (i - 1) [- i + 1] —* V ¦
W'l~l (i — 1) [— i + 1]
V* (i) [- i + 1]
ТУ'
Wl (i) [—i
Здесь правый квадрат есть продолжение B) на шаг
вправо, а левый — часть диаграммы B), построенной для
комплексов (У, ТУ', ф<г) вместо (У, ТУ, <р). В этой ди-
диаграмме композиция верхних (соответственно нижних)
309

горизонтальных стрелок есть dY х: V1 1 (i — 1) -*- V1 (i)
(соответственно dw1). Ее коммутативность и означает,
что (ф<г, ф') есть морфизм комплексов.
10. Ядро Ф на морфизмах. а) / лежит в ядре Ф, по-
потому что свободные Л-модули переходят в ацикличные
жесткие комплексы, которые изоморфны нулю в 3)ь.
б) Пусть ф = Ф(ф)= 0. Покажем, что отсюда вытекает
Ф = 0 при дополнительном условии на Л-модуль W:
(An+l(E)) W = 0. Назовем модули с таким свойством при-
приведенными.
Покажем, что если W приведен, то группа
Hom^t, (V% (i) [— i], W [— 1]) тривиально действует на
множестве продолжений <р* в морфизмах треугольников
B) (см. 1.5). В самом деле, фг определяется с точностью
до таких морфизмов V(i)[—i)-*¦ W*(i)[—i], которые про-
пропускаются через W'[—1]-*- W"(i)[—i]. Отщепляя, как вы-
выше, по одной компоненте справа от W'[— 1] и используя
многократно лемму 8, паходим, что Нот(Р(?)[—г],
W[—i\) является некоторым фактором группы Hom(F'r
pp-"-i ® Ап+1(Е)). Элемент этой группы переходит в
морфизм V1 -> W', который получается его композицией
с Л-умножением: W'"^' ® Л"+1 (?)->- W\ Таким образом,
для приведенного W <рг' определяется однозначно. В част-
частности, если ф = 0, то ф1 = 0.
Но если W приведен, то и W приведен. Поэтому
Ф = 0.
в) Любой Л-модуль W изоморфен прямой сумме сво-
свободного и приведенного модулей.
В самом деле, пусть L = An+i(E)W<= W и lu ...,Zr —
базис L из однородных элементов. Выберем однородные
элементы wy, ..., wr^W так, что U = (атг (где со— фик-
фиксированный ненулевой элемент An+i(E), см. п. 3). Из до-
доказательства невырожденности спаривания в п. 3 выте-
вытекает, что подмодуль F = A(wi, ..., wr)<=W, натянутый
на wu ..., wr, является свободным, /т=ФЛ(т,), т( =
= degu?i. По предложению 3 F инъективен, и, значит,
выделяется прямым слагаемым: W = F®W0. Ясно, что-
Wo приведен.
Заметим еще, что ввиду теоремы Крулля — Шмидта
F и Wo определяются однозначно с точностью до изо-
изоморфизма, хотя само разложение W — F ® W^ неодно-
неоднозначно.
310
г) Теперь мы можем окончить доказательство. Пусть
ф: V-+W = F® Wo, где F свободен, Wo приведен и
Ф(ф) = 0. В силу пункта б) композиция <р и проекции на
Wo равна нулю. Поэтому ф представляется в виде V'-»-
—*¦ г —». W, так что фе/.
11. Аксиома TRIb. Мы должны установить, что любой
морфизм в Jtb{A)IST продолжается до треугольника, Ра-
Работая вместо этого в существенном образе ffiig", мы мо-
можем построить треугольник с помощью конуса и затем
перевести его третью вершину в Ш%ь, как в п. 6.
Другой вариант доказательства будет полезен ниже.
Прежде всего, любой морфизм V -*¦ W в МЪ{АI5Г можно
представить в виде композиции вложения в Л" (А) и
изоморфизма mod^". В самом деле, вложим V в свобод-
свободный модуль V® А ® An+i(E*) (—п— 1) и добавим его к
W, а затем спроектируем на W.
Поэтому достаточно достроить до треугольников вло-
вложения в J?b(A). В этом случае морфизм жестких комп-
комплексов также представлен вложением, и третья вершина
треугольника представлена соответствующим факторкомп-
лексом, образом фактормодуля из JCb(A).
12. Аксиома TR4. Достаточно убедиться, что по верх-
верхней шапочке из жестких комплексов можно построить
нижнюю шапочку, также состоящую из жестких комп-
комплексов. По п. 11 можно считать, что морфизмы X ->- Y и
У -»- Z верхней шапочки являются вложениями. Но тог-
тогда по п. 2.10 достраиваемый объект Y' нижней шапочки
есть Z/X.
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. S -модули и Л-модули. Пусть, как и в п. 1, Л = Л (?)—внеш-
(?)—внешняя алгебра пространства Е, S = 5(?*) —симметрическая алгебра
двойственного пространства. Теорема Серра (см. Хартсхорн
{2, гл. II, § 5]) описывает когерентные пучки ла ?(Е) в терминах
^-модулей. Наша теорема 5 может быть получена из теоремы
Лерра и следующих ниже результатов о связи категорий 5-моду-
лей и А-модулей.
а) Определим J((A) как в п. 1 и обозначим через ^(А) кате-
категорию конечных комплексов
в которых Vj ^ObJf(A), df. Fj->-Fj+i — линейные отображения,
сохраняющие градуировку и антикоммутирующие с А (т. е.
<)jev = —edjv для v e Fj, ее JcA). Морфизмы в 'S'(A)—это
311

морфизмы комплексов (коммутирующие с Л). Пусть .25(Л) —
локализация 'S'(A) по квазиияоморфиамам.
С другой стороны, пусть J((S) —категория градуированных
¦^-модулей (считаем, что dega; = l для же .Е* с: S), %'(S) — ка-
категория конечных комплексов над J((S), ®{S) —соответствующая
производная категория (локализация по квазиизоморфизмам).
Определим также <#Ь(Л), cffb(S) как полные подкатегории.
®" (Л), Ф (S), состоящие из ограниченных комплексов конечно по-
порожденных модулей, и ®Ь(Л), 3}b(S)—как их локализации по
квазиизоморфизмам.
Докажите, что при естественном определении сдвига и выде-
выделенных треугольников &(А), 0(S) становятся триангулирован-
триангулированными категориями, а 3)ь (Л), ЗУ1 (S) — их полными подкатегориями.
б) Функтор F: ФЩ -»-«'(?). Пусть V = {V ^ 3j)<= Obf (A),
Vj = ф Vj — разложение на однородные компоненты. Положим
(Sm — однородная компонента степени m в S). Формула
s(s\ ® v) = ssi ® v превращает каждый Wk в объект J((S). Пусть
{ev)i {хр}—двойственные базисы в Е, Е*. Формула d (s g> v) =
= 2 xps ® epv "Ь s ® dv превращает набор {Wh} в объект W из
'S'(S). Проверьте, что F: V'
F: <В (А) -*¦ <8 (S) иР{^ь(А)) a()
в) Зададим функтор G: Ч? (S) -»- ^(А) следующим образом:
для W = (Wh, dfe) eObt E), Vf/4 =- © Wlh, положим
W продолжается до функтора
b(S)
V) = © Нот
> (I) =
V? (V) "!¦
Проворьте, что эти формулы определяют функтор G: Ч? (S) -
который сопряжен справа к F.
г) Докажите, что F продолжается до функтора FD: &{A) ->-
->S5i)(S), являющегося эквивалентностью категорий (a G опреде-
определяет квазиобратный к F). Для этого используйте свойства соот-
соответствующего комплекса Кошуля (см. упр. 1.7.5).
д) Алгебры S(E*), A(E) являются взаимно двойственными
квадратичными алгебрами (см. упр. П.4.5), и некоторые из сфор-
сформулированных выше утверждений справедливы в более общем
случае (см. ряд работ из сборника [ААТ]).
е) Пусть 3* — полная подкатегория в 3Db(S), состоящая из
комплексов, изоморфных (в 2Db(S)) ограниченным комплексам ко-
конечномерных модулей. Используя теорему Серра, проверьте, что
S)b(S)I&>=3>b (см. п. 6).
ж) Пусть 3 — полная подкатегория в 5?)Ъ{К), состоящая из
объектов, изоморфных (в 2>Ь(Л)) комплексам свободных А-моду-
А-модулей. Докажите, что S>b{h)\3 = ^(Л).
з) Проверьте, что функтор Fp устанавливает эквивалентность
3 и Я>, и, значит, эквивалентность МЪ(КI9~ с ограниченной про-
производной категорией когерентных алгебраических пучков на ?(Е).
2. Другие описания 2)ь. Два других описания производной ка-
каь ъ
тегории 2)ь = 2>ъ
312
получены А. А. Бейлинсоном [1].
а) Пусть п = dimЕ, ^г[0|п](А)'—полная подкатегория (,
состоящая из конечных прямых сумм свободных модулей A[t],
О ^g I *^ п, ®"[о, п](Л)—соответствующая полная подкатегория
), K[o,nj(A.)—соответствующая гомотопическая категория.
Аналогично, пусть S[i] — свободный градуированный S-модуль
с одной образующей степени i, JK\u, n] {S) — полная подкатегория
Jtb(S), состоящая из конечных прямых сумм S[i], Os^i^n,
^[о, я] (<S)—соответствующая полная подкатегория Wb(S) и
Км, n] (S) — соответствующая гомотопическая категория.
Теорема Бейлипсопа утверждает, что каждая из триангулиро-
триангулированных категорий /цо, n](S), Х[о, т>](Л) эквивалентна &. При
описании в терминах /С[о,п]E) комплекс в 25 (®'°'*р(Е)) заме-
заменяется на квазиизоморфиый комплекс, все члены которого — пря-
прямые суммы пучков вида ii'(i), 0 ^ i ^ п, а при описании в терми-
терминах Я[о,п]E) —прямые суммы пучков вида C@i 0 ^ i ^ га.
б) Обобщение приведенного в этом параграфе подхода позво-
позволяет описать в виде Тг ^€ для подходящих аддитивных категорий Ч?
производные категории когерентных пучков на других алгебраи-
алгебраических многообразиях: пространствах флагов, квадриках и их пол-
полных пересечениях и т. д. (см. Капранов [1] — [3]).
Следующая серия упражнений C—8) дает еще один способ
строить триангулированные категории, который можно рассматри-
рассматривать как обобщение теоремы 5 ;>того параграфа.
3. Точные категории, а) Пусть si- — абслова категория, 38 —
on полная аддитивная подкатегория. Предположим, что <Щ замкну-
замкнута относительно расширений; по определению это означает, что в
каждой точной тройке 0-*-X'-vX-»-X->-0 в s4- с X', X" е ОЬ 3S
объект X изоморфен объекту из Э$. Пара (J?, &), где &—класс
г р
троек X' -*-Х-*-Х" в М, становящихся точными тройками в гФ,
называется точной категорией. В частности, каждая абелева катего-
категория s& является точной (<S—класс всех точных троек в $Ф).
Точные категории (?%, &") можно ввести также с помощью
некоторой системы аксиом, не апеллирующих к объемлющей кате-
категории si- (см., например, Квиллен [4]). Существует канонический
способ реализовать 9& в виде полной подкатегории абелевой кате-
категории (а именно, категории аддитивных функторов: F: Я°-+зФЬ
таких, что для любой тройки (Х-*- Y-^Z) e В последователь-
последовательность 0->-F(,Z) -+F(Y) ->-F(X) абелевых групп точна).
Каждую аддитивную категорию Ш можно по крайней мере
одним способом превратить в точную (взяв в качестве В класс
всех расщопимых троек I-+X9 Y-+Y).
Используя памкнутость Я относительно расширений, проверь-
проверьте, что если X, Y, Z е ОЬ Я и
декартов квадрат в $1, то он является также декартовым квадра-
квадратом в S. Сформулируйте и проверьте аналогичное свойство коде-
картовых квадратов.
б) &>-инъективные и &-проективные объекты. Пусть {М, В) —
точная категория. Объект / е ОЬ $ будем называть <§Г-инъектив-
ным, если любая тройка G-> 7-> Z) е «У расщепляется. Класс
всех с?-инъективных объектов будем обозначать 9 <g, Аналогичпо
313

P e ОЬ 3& называется Ж-проективным, если любая тройка {Х-*- }'->¦
—>- Р) е & расщепляется. Класс <§Г-проективных объектов обозна-
обозначим ^„
о'
Проверьте следующее свойство инъективных объектов. Если в
диаграмме объектов из Я
(Х->У-*2)е^ и / е 2f <р, то существует морфизм g: Y-+1,
делающий ео коммутативной.
Сформулируйте и проверьте аналогичное свойство «У-проектив-
ных объектов.
4. Фробениусовы категории, а) Точная категория {ЗВ, 8) на-
называется фробениусовой. если 2f & = & «, и для каждого X <= ОЬ Я
о ф
в 8 существуют тройки F->/-+Jf,X-*/'-t-fc 7, 7' е ^ => (гру-
(грубо говоря, инъективные и проективные объекты совпадают п их
достаточно много: каждый объект ХеОЪ.# является подобъек-
том и факторобъектом таких объектов).
В п. б) — г) приведены примеры фробониусовых категорий.
б) Абелева категории Jfb(A) конечномерных градуированных
А-модулей является фробениусовой (предложение 3).
в) Абелева категория конечномерных модулей над групповой
алгеброй k[G] конечной группы G является фробеииусоной. По-
лее общо, категория конечномерных модулей над любой фробениу-
фробениусовой ^-алгеброй (см. Кэртис и Райнер [1]) является фробенпу-
совой.
г) Пусть ЗВ'— аддитивная категория с расщепляющимися идем-
потентами (т. е. любой морфизм а: Х-+-Х в 38' са!=а задается
проекцией на прямое слагаемое). Положим $1 — Коть C8') и оп-
определим & как класс всех таких троек X' -*-Y' -*¦ Z', что по-
последовательность Xi —*-Y'—>Zl расщепляется для каждого i. Тог-
Тогда^— фробениусова категория, в которой S-проективными (= SS-
инъективными) комплексами являются конечные прямые суммы
id
комплексов вида ...-»-0-*-Х->-Х->-0->-...с ХеОЬ ЗВ'.
5, Стабильная категория, а) Пусть 3$ — фробениусова катего-
категория. Для X, Y^0b3! обозначим через /(X, Y) множество мор-
физмов /: 1-> У в Л, пропускающихся через некоторый объект
из Sf g,.
Определим стабильную категорию З&ъ, полагая ОЬ ЗЙо = Ob 3Sr
Нот- (X, Y) = Нот т (X, Y)/I {X, Y). Проверьте, что компо-
зиция морфизмов в Я'о корректно определена и что &о — аддитив-
аддитивная категория.
6. Надстройка, а) Пусть Я — фробениусова категория. Про-
Проверьте, что в диаграмме
314
Y'
в которой строки — тройки из &, я I, Г е У g>, существуют мор-
физмы м: /->/', v: Y->Y', делающие ее коммутативной в <М.
Проверьте далее, что для двух разных продолжений (и, v), (й, д)
образы г; и у в Нот^я (Y, Y') совпадают. Отсюда вытекает, что
для любого продолжения (и, v) образ v в Нот^, (У, У) являет-
ся изоморфизмом. Проворьте, что существование канонического
продолжения v в Нот^я {Y, Y') позволяет определить функтор
надстройки Т: 38ц -^-Зво такой, что для каждого
имеется тройка (X -*• / —>- ТХ) её? с / ее Э g.
б) Используя совпадение °f » = ?"«., покажите, что Т являет-
является автооквивалентностью категории Я^. Для этого постройте ква-
квазиобратный к Г с помощью рассуждений, двойственных п. а).
в) Проверьте, что, заменив категорию 5fo на эквивалентную,
можно считать функтор Г автоморфизмом.
7. Выделенные треугольники. Пусть теперь X, У е ОЬ 38,
и: X -*- У — произвольный морфизм и (X ->- 7 ->- ТХ) е & с / е=
eJ.. Проверьте, что в диаграмме
X -X I —>¦ ТХ
Y—> С—+ТХ
в которой левый квадрат — кодекартов, существует единственный
морфизм, делающий ее коммутативной.
и v w
Треугольники X -*¦ Y -*¦ С -*¦ ТХ в 33, возникающие из та-
таких диаграмм, а также их образы в 38п, назовем стандартными.
Любой треугольник в ЗНо, изоморфный стандартному, назовем вы-
выделенным.
8. Триангулированность стабильной категории. Пусть 3S — фро-
фробениусова категория, i?0 — соответствующая стабильная категория.
Предположим, что функтор надстройки является автоморфизмом
Т: Яъ-^Мъ. Основной результат настоящей cepni1 упражнений со-
состоит в том, что категория Яо с Т в качестве функтора сдвига и с
выделенными треугольниками, определенными в предыдущем уп-
упражнении, триангулирована (это дает, конечно, другое доказатель-
доказательство теоремы 3.5).
В качестве примера рассуждений, используемых при доказа-
доказательстве этого результата, проверим например, аксиому TR 3.
Прежде всего ясно, что два фигурирующих в ней треугольника
можно предполагать стандартными. Пусть
г р i' V'
X—* I—* ТХ X'—> Г—> ТХ'
К1'
ТХ
У
ТХ'
— соответствующие коммутативные диаграммы. Нам заданы два
морфизма /: Х->Х', g: У-*У'в1 такие, что ft' == tgmoAI(X, У).
Из упр. 36 вытекает, что существует a: I-*-Y', для которого
315

ft'— tg = ia. Далее проверьте, что существует s: I-у Г, для кото-
которого диаграмма
X —->¦ I —-+ ТХ
X'
Г
ТХ'
коммутативна. Морфизмы gv': Y—*CU, и st' ~f- «i>': I-*¦ Си,
гаковы, что два составных морфизма X -*¦ Y -*- Cw, п X -*¦!-*¦ Си,
совпадают. Поскольку Си — кодекартово произведение, существует
h: Cu-+Cu,, для которого vh gv' и th t'\' П
легко проверить, что образ h в
выделенных треугольников
у и декартово произведение, существует
u,, для которого vh = gv' и th = st'-\-av'. После этого
оверь б h ^ дополняет /, g до морфизма
§ 4. Сердцевины
1. Постановка задачи. Важным открытием последних
лет в гомологической алгебре было обнаружение того об-
обстоятельства, что одна и та же триангулированная кате-
категория может быть производной от двух совершенно раз-
разных абелевых категорий,
В этом параграфе излагается в аксиоматической фор-
форме технический аппарат, предназначенный для вылавли-
вылавливания разных абелевых подкатегорий внутри общей три-
триангулированной категории — формализм ^-структур.
Аксиоматика ^-структур формализует следующую си-
ситуацию. Пусть М — абелева категория, ЗУ = D*(^) — ее
производная категория. Обозначим через 3)>п (соответ-
(соответственно 3)^п) полную подкатегорию в 3), состоящую из
комплексов К' с Нг(К') — 0 при i < n (соответственно
при i> n).
Тогда, согласно предложению III.5.2, полная подка-
подкатегория @)>а Л 3)<а и есть М, точнее, отождествляется с
s& посредством функтора зФ -»- {категория ^"-комплек-
^"-комплексов = 2)>а Л 2)^}.
Для доказательства абелевости пересечения 3)>0 Л .25<О
нужны лишь следующие абстрактные свойства.
2. Определение, t-сгруктурой на триангулирован-
триангулированной категории 3) называется пара строго полных подка-
подкатегорий (ЗО*'0, 3)>и), удовлетворяющая следующим усло-
условиям. Положим ®<n = S)<0[—л], и 2D>n = ?>>0[-п\. Тогда:
а) ^с^'и^з^1.
б) Если X еОЬ.23<0, У е ОЪЗ)>1, то Hom^ (X, Y) = 0.
в) Для каждого Ie ObiZ5 существует выделенный тре-
треугольник Л -ь X -> В -v А[1] с А^ОЪЗ)^, В2г
316
Сердцевиной f-структуры называется полная подкате-
подкатегория S4- = &>0 П 2Ь^\ Ш
3. Предложение. Если 3) = D* {S4-) — производная
категория, то описанная в п. 1 пара C3<A, 2)>") является
t-структурой с сердцевиной М.
Доказательство. В проверке нуждаются лишь
б) ив). Для доказательства б) повторим с небольшими
изменениями рассуждения из III.5.6. Пусть морфизм
<р: Х->УвБ*(^) (ХеОЬ2)<0, УеОЪ^Р1) представлен
домиком Х-*-К-ь-Y, где s — квазиизоморфизм. Прежде
всего, поскольку Y^0b3)>i, комплекс У/т<0У (см.
III. 7.5) квазиизоморфен Y. Поэтому можно считать, что
У* = 0 при i < 0, dy: Y°-+ У1 — вложение. Далее, посколь-
поскольку Х<=0Ь,2)*0, a s — квазиизоморфизм, то и К^ОЪЗ)*0,
так что естественный морфизм г: х<0К -*¦ К — квазштзо-
Sor for
морфизм. Следовательно, домик X -*- т^0А' -*• У также
представляет морфизм ф. Докажем, что /°г = 0. В самом
деле, для всех / =И= 0 либо У = 0, либо (т<0#)'=0. При
г = 0 имеем (Fv (/°r)° = {f°rydnx^K = 0 и (/«г)° = 0, посколь-
поскольку dy — вложение.
Наконец, в) следует из точной последовательности
комплексов
4. Теорема. Сердцевина s4- = 3)<0 П 3)>9 любой t-
структуры является абелевой категорией.
Доказательство, разбитое на серию шагов, занимает
пп. 5—9.
Начнем с конструкции срезающих функторов т, свя-
связанных с f-структурой.
5. Лемма, а) Существуют функторы т<п: 3) -*¦ 3)^"
(соответственно %>п: 3) -»- 3)>п), сопряженные справа
(соответственно слева) к функторам вложения.
б) Для любого X е ОЬЗ) существует выделенный тре-
треугольник вида
~:[i] A)
и любые два выделенных треугольника А -*¦ X -*¦ В -*- А[1\
с A s Ob jg?*0, В ^ Ob 3)>l канонически изоморфны.
Доказательство. Проверим существование т<0 и
х-^и остальные случаи разбираются аналогично.
317

Для каждого X выберем выделенный треугольник А -»-
-+Х-+В + АЦ] с А^ОЬЗ)^\ В^ОЪЗ)>1 и определим
на объектах х^Х = А, х>1Х = В. Пусть /: X-»-F—мор-
-физм, А' -*¦ Y->-В' -*- А'[1] — соответствующий объекту Y
треугольник. Покажем, что композиция A-*-X-*-Y од-
однозначно пропускается через А'. В самом дело, имеем
точную последовательность
Нот (А, 5'[1])->Нот(Л, А') -у Нот (А, 7)-*Нот(Л, В').
В силу 26) и 2а) две крайние группы равны нулю. По-
Поэтому по /: Х-*- Y однозначно восстанавливается мор-
физм т<0(/)." А -»А' и набор этих морфизмов, очевидно,
дополняет т<0 до функтора. Аналогично устанавливается
функториальность х>{ и вместе с тем однозначность тре-
треугольников А ->-X-»-Я->- А[\] (ср. следствие 1.5).
Сопряженность т<0 с вложением Я)**" -*¦ 2Е> устанав-
устанавливается посредством изоморфизма функторов
(А, Т<0У)
(A,
который построен выше; аналогично рассматривается
т ¦
1
6. Связи между срезающими функторами. В этом
пункте мы покажем, что функторы т обладают свойства-
свойствами, очевидными в случае 2) = В*(М).
а) т<пХ = 0 в том и только том случае, когда X ->-
-*¦ T>n+iZ есть изоморфизм.
Это достаточно проверить при п = О, а в этом случае
результат очевиден в силу леммы 56).
б) Если гп^п, то имеются естественные изоморфиз-
изоморфизмы Х^тХ -*¦ T^jmT^nX U Х^пХ ->- Х>пХ>тХ.
В самом деле, 3)^т <= ?><п, и потому для функторов,
сопряженных вложению этих подкатегорий, имеется ка-
канонический морфизм х<тХ -»- т<пХ, который после еще
одного применения т<т становится изоморфизмом. Ана-
Аналогично доказывается второе утверждение.
в) Если т^п, то существует естественный изомор-
!df \
физм T^mx^nX~^r^nx>mX\= T[miB]XJ.
Для доказательства заметим сначала, что все функто-
функторы х переводят каждую категорию ?DS"P1 3)>p в себя.
В самом деле, включения х^З)^ <= 3)^ и x^q2>>J> <= g)^p
следуют из п. б). Для проверки, скажем, включения
318
х>ч?О^р <= SD^P достаточно установить, что 0<р устойчи-
устойчива относительно расширений, поскольку объект x>qY,
FOb®*" включается в треугольник
Y - т>9У -
и, значит, является риенгарением двух объектов из
Но Z е ОЪ 3) принадлежит ^5<3>, если и только если
Нотп^) (Z, U) — 0 для всех U e Ob 3)>p+i (это следует
из а)). Точная последовательность, связанная с треуголь-
треугольником, показывает тогда, что это свойство выполняется
и для расширений.
Теперь мы можем построить искомый морфизм. Рас-
Рассмотрим диаграмму
Х-
Сплошные стрелки в ней входят в определение функто-
функторов т. Стрелка ® — результат применения х>т к @. Объ-
Объект х>тхЩпХ лежит в 3)^п по предыдущему рассужде-
рассуждению. Поэтому ® однозначно пропускается через
т^пх-^тХ — это и ость ®.
Остается установить, что © является изоморфизмом.
Полезно сравнить последующее рассуждение с объясне-
объяснением смысла аксиомы октаэдра в п. 2.9. Наша задача
здесь — почти та же: в категории D*(^) комплекс X
имеет фильтрацию т^т-Дст^„Хс1 и Мы хотим уста-
установить изоморфизм TztnX/x^m-iX с подобъектом
Формально, построим верхнюю шапочку октаэдра, ис-
исходя из правого коммутативного треугольника:

Достроим ее до нижней шапочки:
[1]
В силу леммы 66) правый треугольник в ней канониче-
канонически отождествляется с треугольником т^т-4Х -+- X -*¦
-»¦ т>тХ->(т^т_1Х)[1], откуда X' = %>тХ. Аналогично, ле-
левый треугольник должен канонически отождествляться
с треугольником, построенным по стрелке X' -+r^n+iX:
— X'—*¦ т^п+iX—*¦ (т^пт^,тХ) [1]
\i
1 X
[1]
Сравнение с диаграммой, посредством которой мы
Х
определили морфизм
¦он и является этим отождествлением.
7. Конструкция ядер и коядер в
Пусть теперь /: X -+¦ У — морфизм к
рез Z конус морфизма / и положим
показывает, что
= &<0 П 03*0.
Обозначим че-
чеОпределены композиции к: x^-iZ ->- Z -> Х[1] и с: Y -*¦
~^-Z^-x>uZ. Мы утверждаем, что (?[—1], М~1]) и (С, с)
суть ядро и коядро морфизма \/.
Проверим, скажем, утверждение для коядра; второе
проверяется аналогично. Прежде всего, С е Ob @)>a, ибо
C СОЪ^5<0 2
рр р
= t>0Z. Далее, СеОЪ^5<0, потому что
это следует из треугольника Y -*¦ Z -+• Х[1] -+• У[1], устой-
устойчивости .25*° относительно расширений и применения
функтора т. Поэтому С е Ob J^.
Пусть теперь Т ^ОЪМ— любой объект. Из треуголь-
треугольника K-+Z-+C-+K\\\ находим Нош (С, Г) = Нот(?, Т),
потому что K^OhSD*'1, К[{]^0Ъ2>^-2, так что
Нот(К, Т) = Кот(К[1], Т). Далее, из треугольника X-*¦
-*¦ Y -+- Z -*¦ Х[1] получаем
Нош (С, Т)
о = Нот (X [1], Т) -> Нот (Z,
320
, Г),
потому что X[l] e Ob 2)^~\ Но точность этой последова-
последовательности и означает, что (С, с) ^сть коядро /.
Приведенное построение ядра и коядра удобно пред-
представлять себе в виде следующей диаграммы типа «ниж-
«нижняя шапочка»:
B)
В частных случаях, когда / —моно- или эпиморфизм
в М, ситуация упрощается. Если, скажем, / — мономор-
мономорфизм, то К = 0, так что Z -*¦ С — изоморфизм, откуда Z s
е Ob j^ и С = Coker / включается в выделенный треу-
треугольник Х-*- V-*-С-*-X [I].
Аналогично, если / — эпиморфизм в s4-, то К{— 1] =
= кег/ включается в выделенный треугольник К[—1[^—i
8. Каноническое разложение морфизма в s4-. Теперь
мы должны установить, что для произвольного /: 1->7
коядро морфизма Af-1]: K[-l] -*¦ X совпадает с ядром
морфи.чма с: У -> С. Этот общий объект / входит в ок-
октаэдр, получающийся дополнением нижней шапочки B)
верхней шапочкой
Ясно, что в s4- морфизм с: Y' -*- С является эпимор-
эпиморфизмом (как коядро), а к: К-*¦ Х[1] — мономорфизмом
(как ядро /[1]). Поэтому замечание в конце предыдущего
пункта показывает, что / является коядром ядра / и
ядром коядра /.
9. Прямые суммы и произведения в s4-. Прямая сум-
сумма двух объектов в Ф существует и является их расши-
расширением. Поскольку SD>m и ЗУ^п устойчивы относительно
21 С. И, Гельфанд, Ю. И. Манин, т. 1 321

расширений (см. доказательство леммы 5bJ, прямые
суммы объектов sd- лежат в s&.
Таким образом, доказательство теоремы 4 оконче-
окончено. ¦
10. Функторы когомологий. Пусть Ф — триангулиро-
триангулированная категория, s4- = Ф<0 П ЗУ>й — сердцевина некото-
некоторой f-структуры в 2D. Положим
Ш): 3t> -+ St.
Если ?D = D*(M) с f-структурой из п. 1, то Я' —обыч-
—обычные когомологий комплексов.
И. Теорема, а) Я0 — когомологический функтор
(см. 1.6).
Пусть дополнительно П Ob 2)>п = П ОЬ 3><п = {0} (ну-
п п
левой объект в 2D). Тогда
б) Морфизм /: X-*-Y в Ф является изоморфизмом,
если и только если все Я1'(Я— изоморфизмы в зф.
в) Ob2D<n = {X^Ob3)\Hi{X) = Q для всех i>n}
{аналогично. ОЪФ>п = Aе ОЪЗ)\Н'{Х)=- 0 для всех i<
<п}).
12. Доказательство пункта а). Нам нужно доказать,
что для выделенного треугольника X-+¦ Y-*¦ Z-*¦ X [i] по-
последовательность Н°(X)-+• IP(Y)->- Я0(Z) точна в s?.
а) Если X, Y, 2^0ЪЗ)^\ то последовательность
E°{Z)-+0 C)
точна. Если U е= Ob 5)<0, F е Ob Ф>\ то Я0 (Z7) = т>0С/ и
Я°G) = т<(,Тг. Поскольку функторы т>0, т<0 сопряжены
вложениями ^5>0, iZ><0 в ^) (с соответствующих сторон),
то
Нот(Я°(Г7), 7/°(F)) = Hom(f/, Я0(г7)) = Нот(г7, У).
Теперь для любого W ^ ОЪ^ = ОЪФ>0 П ОЬ^»<0 имеем
Hom(Z[—1], VF) = O, так что последовательность
0-^Hom(Z, И7)-^ Нот (У, ТУ)-* Нот (X, FF)
точна. Поскольку H°(W)=W, эта последовательность
совпадает с
0 -+ Нош (Я0 (Z).W)-»- Нош (Я0 (Г), И7)-
Ввиду произвольности W отсюда следует точность C).
б) Если ZsOb25<0, то последовательность C) точ-
точка. Покажем прежде всего, что r^Y-*¦ t>iZ — изомор-
изоморфизм. В самом деле, для произвольного иО)^*
322
Hom(X[l], U) = Hom(X, U) = 0, так что ввиду точной
последовательности Нот'ов (предложение 1.3), Hom(ZT
?/)^-Нот(У, U) — изоморфизм. Нужное утверждение вы-
вытекает из того, что т>4 сопряжено вложению ?D>1 в S).
Дополним теперь нижнюю шапочку, изображенную справа
на диаграмме, до верхней шапочки, изображенной слева:
Поскольку t>iZ изоморфно т^У, верхний выделенный
треугольник слева изоморфен т<0У -> У -> t>iZ -*• (т<0У)[1],
т. е. V=x<0Y, Поэтому нижний выделенный треуголь-
треугольник имеет вид X -*¦ т<0У ->¦ t<0Z -*¦ X[l] и к нему применим
случай а). Осталось заметить, что Я°(У) = Я°(т^0У) и
аналогично для Z.
в) Двойственные рассуждения показывают, что если
30, то последовательность
точна.
г) Общий случай. Рассмотрим октаэдр
Применяя б) к выделенному треугольнику (т^0Х, У,
V), получим точную последовательность Я0 (X) -*¦ Н" (У) -*¦
->- H"(U) -*- 0. Применяя в) к выделенному треугольнику
(U, Z, (т&1Х)[1]), получим точную последовательность
0 -»- Я0 (?/)-*- Ha(Z). Из них вытекает точность последо-
последовательности H0(X)^H0{Y)-+ff°(Z).
13. Доказательство пункта б). Пусть сперва Х^ОЪФ
таков, что W (X) = 0 для всех i. Покажем, что X = 0. Если
Х^ОЪЙ)>\ то условие Я°(Х) = 0 означает, что т<0Х = 0,
так что из выделенного треугольника A) имеем Х =
21*
323

= т^Хе ОЪЗ)>1. Повторяя эти рассуждения, получаем,
что Ie n Oh?D>n = {0). Двойственные рассуждения по-
показывают, что если Х<^ОЪЗ)^0, то снова Х = 0. Общий
случай вытекает из того, что Н<(г>1Х) = Нг(т^0Х)= 0
для всех г, так что х>1Х = х<аХ = 0 и выделенный треу-
треугольник A) показывает, что Х = 0.
Пусть, далее, морфизм /: X -> Г включается в выде-
выделенный треугольник X->¦ F->-Z->-X [1] и все Hl{f):
W (X) ->- № (Y) — изоморфизмы. Поскольку Н° — когомоло-
когомологический функтор, точная последовательность, отвечаю-
отвечающая этому треугольнику, показывает, что H{(Z) = 0 для
всех г. Поэтому Z = 0 и / — изоморфизм. Обратное утверж-
утверждение очевидно.
14. Доказательство пункта в). Бели ff'(X)>=0 для
всех i >0, то Hi(t>lX) = 0 для всех i, так что т^Х^О
ввиду б) и Х = т<ДеОЪ^5<0 ввиду A). Обратно, если
ХеОЬ^<0, то Х = т550Х, так что T>tX = 0 и #*(Х)
= #'(t>iX)=0 для i>0. Аналогично, ХеОЬ
<=>Н1(Х)=0 для t < 0. Беря Х[и] вместо X, полу-
получаем в). ¦
15. Замечание. Наличие f-структуры в триангулиро-
триангулированной категории 3) не означает, вообще говоря, что 3)
является производной категорией D(^), где s4- — серд-
сердцевина этой ^-структуры. Более того, в общем случае не
удается даже связать ЗУ с категорией комплексов над
М-. Это связано с неоднозначностью построения конуса
C(f) морфизма /: для построения функтора Кот(.5$)->- 3)
нам нужно уметь, скажем, сопоставлять комплексу ... 0 ->-
-> 0-»-^4->-В->0-> . . . в S& элемент из 3). Естественным
кандидатом на роль этого объекта является третья вер-
вершина C — C(f) выделенного треугольника А^-В^-С->-
-*¦ А[1] (напомним, что ^ — полная подкатегория в 3)).
Однако такое сопоставление не является функториаль-
ным, поскольку С определяется с точностью до некано-
неканонического изоморфизма (см. обсуждение в 1.7). Это еще
раз показывает, что положение дел с производными ка-
категориями является не вполне удовлетворительным (см.
однако, упр. 2.1—2.3).
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
1. Связь категорий пучков на пространстве и его подпростран-
подпространствах. Следующие дополнения описывают аксиоматический подход
к такой ситуации: X — топологическое пространство, U сХ —
открытое подмножество, Y = X—U, i: Y^t-X, /: U->X — вложе-
324
яия, S&X-, j*t, J&u — категории пучков абелевых групп па X, Y, U,
SDx, SDy, ®u — соответствующие производные категории (скажем,
ограниченных комплексов).
Рассмотрим следующие 6 функторов:
/., /,:
У:
i.:
(см. § Ш.8, функтор V можно определить как правый производный
функтор от точного слепа функтора «сечения с носителем в У»,
см. 111,8.30). Докажите следующие свойства этих функторов.
а) Все они — точные функторы между соответствующими
триангулированными категориями.
б) Г и V сопряжены г, соответственно слева и справа.
в) /, и Л/, сопряжены /" соответственно слева и справа.
г) Выполнено равенство /'(.=0. По сопряжонпости отсюда
вытекаог, что Г/, = 0, i]Rj. = 0, и для g"" еОЬ59у, 5#'<= Ob 3>a
имеем
JL
= 0.
Д) Существуют (функториальные по ЗГ' е ОЬ Э)х) морфизмы
w. i.i'&" ^¦iij'&"[i], w': RjJ'ST- -+tj'-&-- [l],
для которых треугольники
Я/jT1
- [1]
выделены (здесь щ и', v, v' — морфизмы сопряжения, отвечающие
функторам из б) ив)). Ввиду г) и следствия 1.5, w и w' опреде-
определены однозпачпо.
е) Морфизмы сопряжения
являются изоморфизмами.
2. Склейка. Набор из трех триангулированных категорий 35Х,
S)y, SDu (уже не обязательно связанных с категориями пучков)
и шести точпых функторов между ними, удовлетворяющих усло-
условиям а) — е) выше, называется данными склейки. Один из при-
примеров данных склейки описан в предыдущем пункте. Можно про-
проверить также, что данные склейки получаются, если подходящим
образом определить соответствующие функторы в категориях
алгебраических когерентных пучков (X, У, U—алгебраические
многообразия или схемы) или в категориях пучков на этальных
топологиях.
325

3. Склейки и f-структуры. Предположим теперь, что нам за-
заданы данные склейки,, и на 25у и @)и заданы t-структуры (S5y°,
2>|?0) п B5у°, Я)цп)- Введем в Фх две полные подкатегории
Ob <Z
Основная теорема о склейке (-структур утверждает, что C)х°,
2Й^) — f-структура в 3)х (докажите это или посмотрите дока-
доказательство в работе Вейлинсон, Борнштейн, Делинь [1], § 1.4).
Склейка — это один из основных методов построения различ-
различных категорий перверсных пучков; с помощью склеек можно так-
также получать различные нестандартные ^-структуры (склеивая
сдвинутые стандартные i-структуры в Й)и и 3)у)-
4. Представления колчанов, а) Колчаном называется конеч-
конечный простой направленный граф Г= (Х(Г), Е(Т)) без ориенти-
ориентированных циклов (Х(Г)—множество вершин, Е(Г)—множество
ребер; граф называется простым, если для а, Ре Х(Г) существует
не более одного ребра, соединяющего а с Р). Представлением кол-
колчана называется набор конечномерных векторных пространств Va,
ВеХ(Г) и морфизмов <рар: Уа-^Уц, (оф)еЯ(Г).
Проверьте, что категория 5?ерг всех конечномерных пред-
представлений (с естественными морфинмпми) аболева.
б) Докажите, что любой простой объект V категории 32epv
устроен так: одно из пространств Va одномерно, а остальные нуль-
нульмерны. Тем самым простыв объекты Лерт взаимно однозначно
отвечают вершинам Г. Докажите, что для двух простых объектов
VW, F<(» (ajel(r)) пространство Ext^ (F(a), F(B) одно-
одномерно, если (<ф)е?(Г), и нульмерно, если (а$HЕ{Т). Сле-
Следовательно, граф Г восстанавливается по 5?ерг однозначно с точ-
точностью до изоморфизма.
в) Для заданного колчана Г обозначим через А (Г) алгебру
над А: с образующими еа, аеХ(Г), /ор, (сф)е?(Г) и соотноше-
соотношениями е\ = еа, еаер = 0 при аф f>, ер/ар = /арва = /ар.
Докажите, что категория Лерр эквивалентна категории конеч-
конечномерных левых 4(Г)-модулей.
г) Для каждой вершины а графа Г обозначим через ааТ граф
с тем же множеством вершин, что и Г, у которого изменены на-
направления всех ребер, входящих в (и выходящих из) а. Проверьте,
что если Г — колчан, то и оаГ — колчан.
д) Пусть Г —колчан, SD (Г) — ограниченная производная ка-
категория Лер? и аеХ(Г) — источник в Г, т. е. такая вершина,
что если Г — колчан, то и 0аГ — колчан.
функтор Л+: 0(Г)-><25@аГ). Пусть V ={...-» V1 -
->.,.}— объект % (Г), так что F* e Ob &ерт, V1 = (Vla,
Зададим R+V = W = {... ~» Wl^ Wi+1 -* ...} s Ob 2
W7* = (W*a, ^>ар) е ^«Paar. формулами W\ = 7§ при
326
р Ф а,
у фа; фи' WI -*¦ W^ — вложепие прямого слагаемого, если
(Pa) е Е(ОаТ) (так что (ap) e Е(Т)), Определите дифференциалы
dxw: Wl-+Wt+1 и проверьте, что л?— функтор из 2)(Т) в 2)(оаТ).
е) Аналогично, если a — сток в Г (т. е. в Е(Т) нет ребер
вида (оф)), постройте функтор R~: 2D (Г) -*-@) (оаГ).
ж) Ясно, что аа превращает а из источника в сток и обратно.
Докажите, что Ra о л+; 3) (Г) -*- 3) (Г) для источника ае!(Г)
и i?J о Л~: SD (Г) -¦ Ф (Г) для стока йёХ(Г) изоморфны тож-
тождественным функтор»м, так что R~ и R* задают эквивалентность
триангулированных категорий Й)(Г) и SD(pаГ) (ср. с б)).
5. Категории модулей. Утверждения ж) предыдущего упраж-
упражнения могут быть получены из более общих результатов о произ-
производных категориях категории модулей над конечномерными ал-«
гебрами.
а) Пусть ¦& = Л-mod для некоторой алгебры A, dim/l < оо.
Пусть Же Obrf обладает следующими свойствами:
(i) Ext*A (М, М) =0 при l > 0.
(ii) А имеет копочную просктивнута размерность n = d\ipA
(т. е. у каждого Л-модуля N есть проективная резольвента дли-
длины ^ п).
(ш) А (как объект $Ф) имеет конечную М-коразмерность. т. е.
существует точная последовательность 0—>- А —>-М0-*-... ->1/г ->¦ 0
сМ'е=ОЪ {&А&М) (см. упр. Ш.5.4).
Докажите, что функтор ц>м: Кь (addAf)->Db (s&) является эк-
эквивалентностью (используйте упр. Ш.5.46)).
б) Пусть кольцо А и модуль М удовлетворяют условиям
i) — (iii) из а). Положим В = EndAM, Ы = mod-5. Рассматривая
как правый Д-модуль, определим функтор F: $Ф -*¦ Ш формулой
F(X) =HomA {M,X).
Докажите, что F индуцирует эквивалентность триангулиро-
триангулированных категорий (с сохранением триангуляции) F:
Db(^)
(i)
М
()
В самом деле, F{M) — В, так что F индуцирует эквивалентность
add Ж с 9s m (классом проективных 5-модулей), и, значит, экви-
валентность F: Кь (add ЛГ) -*КЬ C> J). Далее, согласно а),
Kb(addM) эквивалентно ~№{$Ф). Наконец, из условия (ii) в а) лег-
легко получить, что В также имеет конечную проективную размер-
размерность, и согласно III.5.20 (точнее, соответствующему утверждению
для конечных комплексов), Кь {&gg) эквивалентно Иъ(9$).

ГЛАВА V
ВВЕДЕНИЕ В ГОМОТОПИЧЕСКУЮ АЛГЕБРУ
§ 1. Замкнутые модельные категории
1. Определение. Пусть Ч? — произвольная катего-
категория; L и R — два класса морфизмов в *&. Класс L назы-
называется дополнительным слева к R (a R — дополнитель-
дополнительным справа к L), если выполнено следующее условие:
для любого коммутативного квадрата с l^L, г <= .R
X /
В
X
Y
A)
существует диагональный морфизм х, делающий комму-
коммутативным оба треугольника. ¦
В работе Квиллена [1], где было введено это опреде-
определение, морфизмы из L (соответственно из R) называются
допускающими левый (соответственно правый) подъем
относительно морфизмов из R (соответственно из L).
2. Свойства дополнительных классов, а) Класс всех
изоморфизмов дополнителен как слева, так и справа к
любому другому классу.
б) Для любого класса L существует максимальный
класс, дополнительный справа к L; мы обозначаем его
p(L). Аналогично, для любого класса R существует мак-
максимальный класс k{R), дополнительный слева к R.
(В самом деле, скажем, p(L) есть объединение всех
классов, дополнительных справа к L.)
в) Операции к, р обладают следующим свойством:
= A« B)
В самом деле, операции р и к обращают включение:
скажем, если V a L, то p(L)<= p(L'). Далее, a) Xp(L)=>
=> L и б) pX(R)^=>R по определению. Применяя р к а),
328
получаем p%p(L)<= p(L). Подставляя i? = p(L) в б), на-
находим обратное включение. Аналогично устанавливается
второе равенство.
г) Классы р(Ь) и k(R) замкнуты относительно ком-
композиции морфизмов.
В самом дело, пусть, скажем, г', г" ep(L). Для до-
доказательства включения rV"ep(L) нужно последова-
последовательно строить морфизмы, показанные на следующей
диаграмме:
Здесь
r"a,
@
строится по квадрату ABYZ в силу
диаграммы A), ® строится по квадрату ABXY в силу
диаграммы A). Существование этого последнего морфиз-
ма показывает, что г'г" ep(L).
д) При переходе от категории W к двойственной ка-
категории ^° дополнительные классы остаются дополни-
дополнительными, но «правое» и «левое» меняются местами.
е) Если в диаграмме A) либо I является эпиморфиз-
эпиморфизмом, либо г является мономорфизмом, то х, если сущест-
существует, определяется однозначно.
ж) Классы k(R) и р(?) замкнуты относительно рет-
ретракций. Точнее, морфизм /: X ->- У называется ретрак-
ретракцией морфизма g: X' -> Y', если Jug можно включить
в коммутативную диаграмму
в которой и' « и = idx, v' ° v = idy. Мы утверждаем, что
если g^k(R), то и j^k(R). В самом деле, рассмотрим
квадрат -
X-
-U
329

с h e R ж дополним его дсе диаграммы
и'
Морфизм I существует, поскольку g^k(R); морфизм
к: Y -»- U есть к = lv. Аналогично проверяется, что g ^
ep(L)>/e(L)
()/p()
3. Дополнительность и произведения, а) Пусть задан
кодекартов квадрат ABCD в следующей диаграмме:
Тогда из g^k(R) следует, что /еЯ(Л). В самом деле,
пристроим к ABCD квадрат CDXY с h «s R. Морфизм ®
строится из условия g^K(R). Поело этого морфизм ®
определяется по универсальному свойству квадрата ABCD.
Аналогично (или с использованием 2д)) доказывает-
доказывается следующее свойство:
б) Если квадрат ABCD декартов, то из /ep(L) сле-
следует, что g-ep(L).
4. Замкнутые модельные категории. Категория Я& на-
называется замкнутой модельной категорией, если в ней
выделены три класса морфизмов: расслоения F, корас-
корасслоения G и слабые эквивалентности W, удовлетворяю-
удовлетворяющие следующим аксиомам.
ЗМО. *& замкнута относительно конечных индуктив-
индуктивных и проективных пределов.
ЗМ1. Любые два класса из F, G, W определяют тре-
третий по следующим правилам:
а) W = p(G) •k(F), где для двух классов морфизмов
S, и Т мы пишем S T = {st\se=S, t*=T}.
б) G = K(FUW).
в) F = p(G(]W).
ЗМ2. Mor^ = f -(GuW) = (Fu W)-G.
ЗМЗ. Все изоморфизмы принадлежат W. Если два из
трех морфизмов /, g, fg лежат в W, то и третий тоже ле-
лежит ъ W. ш
330
Если ^ замкнутая модельная категория, то па <§10
есть двойственная структура замкнутой модельной кате-
категории: расслоения суть F0, корасслоения — G", слабые
эквивалентности — W.
5. Замечания. Аксиомы ЗМО—ЗМЗ предложил Д. Квпл-
лен. Если *%? удовлетворяет этим аксиомам, то, пользуясь
конструкцией локализации по W (см. Ш.2.2), можно
определить гомотопическую категорию Но'ё' и универсаль*
ный функтор Я? -у ПоФ, превращающий все слабые экви-
эквивалентности в изоморфизмы.
Пусть Тор — категория топологических пространств и
непрерывных отображений. Положим F = {расслоения в
смысле Серра), W= {слабые гомотопические эквивалент-
эквивалентности} и опредилим G конструкцией из аксиомы ЗМ16.
Тогда STop окажется замкнутой модельной категорией,
а ИоЗ~ор — естественной категорией теории гомотопий
(см. Дополнения и упражнения к § 2).
Предположим теперь, что топологическое пространст-
пространство является геометрической реализацией IXi некоторого
симплициалыюго множества X. Как установить по X го-
гомотопические свойства |Х|? Эта задача была решена Ка-
ном. Следуя Квиллену, результат Кана можно сформу-
сформулировать как утверждение о том, что на A^et можно
ввести структуру замкнутой модельной категории так,
что HoZTop и Hot^d^et будут (с учетом небольших уточ-
уточнений) эквивалентны. Описание этой структуры на
A09'et — основная цель этого параграфа.
Вообще, весьма несходные модельные категории *<Р
могут приводить к эквивалентным или близким катего-
категориям HuW; выбор подходящей модельной категории для
определенной гомотопической задачи может сильно об-
облегчить вычисления. Замечательной по простоте алгеб-
алгебраических свойств модельной категорией является, на-
например, категория дифференциальных градуированных
алгебр (см. § 3).
6. Расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности
симплициальных множеств.
Назовем рогом V(n, k) следующее симплициальное
множество:
V(n, k)n= {/: [m]-+- [n]\f не убывает, lmf?=[n], \n]\{k}}.
Очевидно, V (к, п)с=Д[ге]; каноническое вложение
V (к, п) с; Д [п] мы также будем называть рогом. Мор-
физмы граней и вырождения индуцировапы соответствую-
соответствующими морфизмами А[ге] (см. 1.2.5). Геометрическая реа-
331

лизация W(к, п)\—это граница га-симплекса без к-ж
грани (к-я грань противолежит к-ж вершине).
Напомним еще, что симплициалъная сфера А[ге] есть
А[п]т = {/: [т] -*¦ \ri\\f не убывает, 1т/=И= [п]}.
Сферой мы будем также называть морфизм естественно-
естественного вложения А [п] сг А [п]. Пусть horns, spheres — классы
морфизмов рогов и сфер. Положим теперь:
F=p (horns), G = Хр (spheres), W = p (spheres) ¦ Яр (homes).
C).
7. Теорема. Категория Ac9"et с классами морфиз-
морфизмов C) является замкнутой модельной категорией.
Необходимые проверки занимают оставшуюся часть
§ 1 (аксиомы ЗМО—ЗМ2) и § 2 (аксиома ЗМЗ).
8. Аксиома ЗМО. Несложная проверка, использующая
П.3.21.
9. Аксиомы ЗМ1 а), б). Равенство W = p(G)-l(F)
следует из C) и B). Равенство G = K(FUW) аналогично
будет следовать из равенства p(G) = FПИ7, которое мы
сейчас проверим.
Имеем р(G) = рА-р(spheres) = p(spheres). Поэтому нуж-
нужно установить, что р (spheres) = F П W.
а) р(spheres)a W, поскольку %p(horns) содержит тож-
тождественные морфизмы (см. C)).
б) p(spheres)<=F = p(horns).
Для доказательства рассмотрим прежде всего комму-
коммутативную диаграмму
rim
А [п — 1J —> V (п, к)
| Du | D)
А [п — 1] —>¦ А [п].
Здесь две вертикальные стрелки очевидны (правая оп-
определяется тем, что V (п, к) ->¦ А [п] с^ А [п] есть рог).
Далее:
rimm: А[п — 1]™ -*- У (га, к)т
переводит /: [т] -+¦ [п — 1] в д% ° /. Наконец,
(Dn)m- A[n — 1)->А[гс]
задается той же формулой.
332
Геометрически эта диаграмма описывает симплици-
альную сферу как запечатывание рога V(n, к) крышкой
А[п — 1] по ободку А[п — 1]. Поэтому, как нетрудно про-
проверить формально, эта диаграмма является кодекарто-
вым квадратом.
Теперь рассмотрим морфизм f^p(spheres). Для до-
доказательства того, что / е p(horns), мы должны постро-
построить пунктирную стрелку ® в правом нижнем квадрате
следующей диаграммы:
©
С этой целью достроим сначала этот квадрат следующи-
следующими сплошными стрелками. Вылезший из плоскости квад-
квадрат (А[п — 1], А[п— 1], V(n, к), А[п])— это D). Стрелка
А[п — 1] -*• А[п] — это вложение симплициальных мно-
;кеств «к-я грань». Коммутативность очевидна.
Пунктирная диагональ ф: А[п—1]-*-А строится
благодаря тому, что / ^ р (spheres). Пунктирная стрелка
@ строится однозпачпо по морфизмам © и V(n, к)-*-А,
поскольку D)—кодекартов квадрат. Наконец ® строит-
строится снова как диагональ в квадрате (А[п], А[п], А, В),
поскольку / ^ р(spheres). Коммутативность двух тре-
треугольников в исходном квадрате проверяется автомати-
автоматически.
Геометрический смысл этого доказательства вполне
прозрачен. Именно, утверждение (/: А -> J9)e p (spheres)
означает, что если в базе В задан симплекс, а в Л под-
поднята его граница, то в А можно поднять и внутренность.
Утверждение f^p(horns) означает, что если в В задан
симплекс, а в А поднята часть его границы — рог, то в
А можно поднять и весь симплекс. Для конструкции
подъема мы сначала рассматриваем ободок рога как гра-
границу его крышки и поднимаем в А всю крышку. После
этого в А уже поднята вся граница симплекса, и мы
можем поднять весь симплекс.
в) F П W<= p(spheres).
333

f
Распишем определение C): f^F!)W означает, что
p(horns), а также что f-=gh, где g^ p(spheres) и
h^kp (horns). Мы докажем сейчас, что / является рет-
рактом g: в силу 2ж отсюда будет следовать требуемое.
Рассмотрим коммутативную диаграмму:
А
id
В-
в которой к существует, поскольку f^-p (horns), a
¦е Яр (horns). Диаграмма ретракции имеет вид
10. Аксиома ЗМ1 в). Мы докажем, что k(F)=* G П W;
применяя к обеим частям р, получим требуемое,
a) k(F)<=W.
В самом деле, k(F) = кр (horns) <=: a (spheres) • кр (horns) —
— W.
б) k(F)<=G.
В самом деле, мы уже доказали, что р (spheres) <=
<= р(horns); остается применить к этому к.
в) GuWak(F).
Распишем определение C): / <s G П W означает, что
/е^р(spheres), а также что / = gh, где g ^ p(spheres)
и h^kp(horns). Мы докажем, что / является ротрак-
том h: в силу 2ж отсюда будет следовать требуемое.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
h
-В
в которой к существует, ибо g ^ p (spheres),
е Яр (spheres). Диаграмма ретракции имеет вид:
А^А^А
lf h lh g \f
B^B-^B.
334
11. Аксиома ЗМ2 (первая часть). Мы хотим для лю-
любого морфизма /: А -* В построить разложение f — p-i,
где pesF = p(horns), i^GuW = X(F) = Xp(horns) (по-
(последнее доказано в п. 10). С этой целью построим р, i
явно п затем проверим принадлежность этих морфизмов
соответствующим классам.
Обозначим через 2fe(f) множество всех коммутатив-
коммутативных квадратов вида
V(n,k)-+A
(слева стоит рог). Определим симплициальное множе-
множество Ех1 (/) и морфизм г1 (/): А -*• Ех1 (/) с помощью
кодекартова квадрата
ТТ V Ы. к)-* А
Д [п] —
¦ Exi(/)
Заметим, что в этой диаграмме левая стрелка, как сум-
сумма рогов, принадлежит кр (horns). Значит, в силу п. За),
V (f) ^ kp (horns) для любого/.
Из универсальности следует существование канони-
канонического морфизма р'(/): Ех1 (/)->#. Положим теперь
Е^1 (/) Е* (/ (/))?»(/) i1 (к (/)) ? (/)/+1 (/)
Р (/(/))•
Наконец, положим Ех°°(/)= limExfc(/) относительно
ik (/), i = lim ik (f), p = lim pk (/). Нетрудно убедиться, что
все ih(f) являются вложениями (поскольку рога — вло-
вложения), так что Ех" (/) по сути есть объединение Exft(/).
Поскольку ph(j) согласованы по к, р существует, и, оче-
очевидно, сквозной морфизм А -*- Ех00 (/) ->¦ В совпадает с
ЧЧ)
Ехь+! (/) по сделанно-
сделанно/. Далее, морфизмы Exft (/)(/) д
му выше замечанию принадлежат кр (horns). Поэтому
для любой коммутативной диаграммы
335

где g^p (horns), мы можем индукцией по к построить
согласованную систему подъемов Ех*(/)->-Х Значит,
ie Xp(horns).
Остается проверить, что р е р (horns). Рассмотрим
квадрат
V (п, к) -> Ех°° (/)
1 1"
Д[гс] >В
Очевидно, образ V(n, к) попадает в ЕхЛ(/) для некото-
некоторого к. Но тогда, по построению Exi4"'(/), можно опре-
определить подъем А[п] -*¦ Exk+i (/). Это завершает проверку.
12. Аксиома ЗМ2 (вторая часть). Мы хотим для лю-
любого морфизма /: А -+• В построить разложение / = jq,
где / ef П W = p(spheres) (см. п. 9) и де<? =
= Яр (spheres).
Обозначим через Sph(/) множество всех коммутатив-
коммутативных квадратов вида
[В
После этого конструкции предыдущего пункта с заменой
Зё{1) на Sph(/) и дословно те же рассуждения дадут
требуемое.
§ 2. Гомотопическая характсризация слабых
эквивалентностей
1. Определение, Е е ОЪ A°Set называется множе-
множеством Кана, если ps^F, где рЕ\ Е -*¦ Д[0] — проекция в
точку. ¦
Таким образом, любой морфизм рога в множество
Кана продолжается до морфизма, заполняющего его
симплекса. Это свойство имитирует некоторую элемен-!
тарную ситуацию «продолжения гомотошга». В следую-
следующем пункте мы введем необходимые точные определе-
определения, а пока попытаемся представить себе объем понятия.
а) В обозначениях 1.11 напишем разложение Х-*-
-> Ех00 (рх) -+ Д [0] морфизма рх: X -+¦ Д[0]. Очевидно,
Ех°°(/)х) есть множество Кана. Таким образом, любое
симшпщиальное множество вкладывается в множество
Кана морфизмом из W.
336
б) Любая симплщиалъная группа является множе-
множеством Кана. В самом деле, пусть G = {Gn} — симплици-
альная группа. Согласно определению множества Кана
нам нужно доказать, что любой морфизм <р: V(n, к)-*- G
продолжается до морфизма i|>: Д[га] ->• G. Поскольку мор-
морфизм ф полностью определяется элементами ф(с*„)е
eGn_i, i Ф к, а морфизм гр — элементом il)(Id[n])e Gnt
нам нужно доказать следующее утверждение.
Пусть заданы элементы х0, ..., #*-i, xk+i, ..., жяе
е Gn-i такие, что
4-1^- -<->i, 0<i </<п, i, ]фк
(мы используем обозначения d\ = G\d\), s\ = G [g]))~
Нужно найти х е Gn, для которого
d\x = xi: 0<i<ra,
Сперва мы найдем u^Gn такое, что
dl,u = Xi при 0 <! i < к.
Если к — 0, то на и не налагается никаких условий И"
мы положим
и = еп (единица группы Gn).
При к > 0 положим
и рекуррептпо при 0 < г «? к — 1, определим ur e Gn, по-
полагая
Несложная индукция по г показывает, что
cZ^ur = Xi при 0 <; j <; г
(нужно использовать, что dnyr—i = еп—\ при 0 ^ i ^ г — 1)
Теперь положим it = ик-±.
Далее положим
vo = u
и при 0 < г ^ п — к
Zr^ = S™ ({dl-^Vr-^Xn-r^),
Снова, индукцией по г, несложно доказать, что
dlnvr = Xi при 0 ^ i < к и при i > n — г
22 С. И. Гельфанд, Ю, И, Манин, т. 1
337"

¦(нужно использовать, что dn^r-i = e-n-i при 0 ^ i < к и
при i> n — г+1).
Полагая теперь х = vn-h, имеем dlnx — хг при i Ф к,
что и требовалось. ¦
в) Симплекс Д[п] при п> 1 не является множеством
Кана, вопреки наивной интуиции.
Дело в том, что морфизмы симплициальных множеств
сохраняют внутренний порядок вершин. Поэтому мор-
¦физм нульмерного рога 7A, 0)-* А[1], переводящий «ко-
«конец одномерного симплекса» в «начало», не продолжает-
продолжается до морфизма всего симплекса.
Множество Кана Ех°°(рд[1]), являющееся гомотопиче-
•ским эквивалентом отрезка, можно воображать как бе-
бесконечномерную клетку, которая получается последова-
последовательным приклеиванием симплексов разных ориентации.
Вообще, множества Кана в симплициальной категории
играют роль, подобную роли функциональных про-
пространств гомотопической топологии.
2. Гомотопии симплициальных множеств, а) Пусть
X — симплициальное множество. Назовем вершины х,
у е Ха сильно связанными, если d\z = x, d]z = у для
подходящего zelj (мы снопа используем обозначения
-d\ = X (д})). Назовем вершины х, у е Хо связанными, если
существует цепочка х = х0, хи х2, ..., хр = у такая, что
либо (xt, x,+i), либо (xi+i, xi) сильно связаны для всех
O^tsg/) — 1. Заметим, что если Е — множество Кана,
то любые связанные вершины в Е сильно связаны. Для
проверки достаточно убедиться, что отношение сильной
связанности симметрично и транзитивно. Оба условия
проверяются с помощью конструкции подъема подходя-
подходящих рогов 7B, к).
Для любого X обозначим через яо(Х) множество
классов эквивалентности Хо по отношению связанности.
Конечно, это то же самое, что яо(|Х|).
б) Пусть X, Y — два симплициальных множества.
Положим
, 7)),
[X, У] =
где внутренний Нот в Aoff'et описап в 11.4.24.
в) Рассмотрим два морфизма /, g: X -> Y. Будучи
элементами Нот(Х, У)о, они определяют классы [/],
[g] е [X, Г]. Если эти классы совпадают, / и g называ-
называются гомотопными. Отображение р: X ->¦ У называется
338
гомотопической эквивалентностью, если существует такое-
отображение q: Y -*¦ X, что р ° q гомотопно idy, q°p го-
гомотопно id*.
г) Можно описать гомотопию отображений непосред-
непосредственно по образцу п. а). Морфизмы /, g: X-*¦ Y назы-
называются сильно гомотопными, если существует такой мор-
физм к: 1ХА[1]-»-У (гомотопия между / и g), что
Ло = д fti=ft гдо кг--=ко(мххг(д[)): Х = ХХД[0]-
-+IX Л[1] -^ У. Порожденное этим отношением отноше-
отношение эквивалентности есть гомотопия. Если Е — множе-
множество Кана, то гомотопные морфизмы /, g: Х^-Е сильно-
сильногомотопны.
Основная цель итого параграфа — доказательство сле-
следующей теоремы.
3. Теорема. Морфизм /: X -»- У в AVe* является
слабой эквивалентностью, если и только если для любо-
любого множества Кана Е индуцированное отображение
U, Е\. [У, Щ-+[Х, Е]
взаимно однозначно.
Аксиома ЗМЗ, очевидно, прямо следует из этой тео-
теоремы.
4. План доказательства теоремы. Импликация j e
е W =*¦ {[/, Е] — биекция} доказывается прямой конструк-
конструкцией необходимых гомотопии в пп. 5—7 ниже.
Для доказательства обратной импликации проведем
сначала небольшую редукцию. Мы хотим доказать, что
/ep(G)A(F), зная, что [/, Е] — биекции для всех мно-
множеств Кана Е. Пусть / = /?, /eJTl W = p(G), q^G (см.
п. 1.9 и 1.12). Тогда [/, E] = [q, ?]•[/, Е]. Кроме того,
[/, Е] — биекция, потому что / «= p(G) = F П W<= W (мы
используем прямую импликацию). Следовательно, [q,
Е] — биекция.
Таким образом, достаточно проверить следующий
факт: если q ^ G и [q, E] — биекция для всех множеств
Кана, то де М^1)- Это делается в два шага.
Введем класс морфизмов
Fk = (расслоения множеств Кана).
Мы докажем сначала, что q^X(FK) (пп. 8—15) и за-
затем—что G fU(FK)=G nX(F) (пп. 16—37). Для дока-
доказательства приходится развить техпику, представляющую
самостоятельный интерес.
22* 339

Начнем с наглядной характеризации корасслоений.
5. Лемма. Морфизм /: X ->- У лежит в G тогда и
только тогда, когда он является вложением (т. е.
/„: Хп -у Yn — вложение для любого п).
Доказательство, а) -*=. Пусть /— вложение.
Рассматривая X как подмножество У, положим для
и обозначим через k: У{г~1) -> У('> естественное вложе-
вложение. Ясно, что У=иУ@. Ввиду 7.2 г) достаточно дока-
доказать, что U e G для любого L
Любой элемент у е(УA)^ — (У'4-11), задает морфизм
/„: A[i]->-Y({), причем jy(A[i])<= У(<~°. Набор морфизмов
]у, y^(Y{i))i — (Y{i-l))h определяет морфизмы /; ДА[г]-*-
г
v
XI А Щ ->У(г-1)- Легко проверить, что эти мор-
морфизмы входят в кодекартов квадрат
Ш
у 1.
(т. е. У№ получается из У0'-" приклеиванием невырож-
невырожденных s-симплексов, не лежащих в X, по их границе).
Ясно, что в этом квадрате s «= spheres cr Яр (spheres) = G.
Ввиду 1.3, U e G.
6) =*-. Пусть /eg, Применив к / рассуждения из
п. 1.12, мы получим разложение / = /?, причем морфизм
q<^G, построенный в п. 1.12, является вложением. Рас-
Рассмотрим квадрат
Поскольку /eG, a /ef(llf = p(G), существует мор-
морфизм h: Y -+ Z, делающий верхний треугольник комму-
коммутативным. Поскольку q — вложение, / — также вложе-
вложение. ¦
Перейдем к доказательству импликации />е W
биекция}. Представим / в виде / = р-г, где p
{{/,
340
() Поскольку [/, E] = [i, E][p, E], достаточно про-
проверить, что [г, Е] и [р, Е] биекции.
6. Лемма. Если p^p(G), то [р, Е] —биекция.
Доказательство. Мы установим, что любое ото-
отображение р: X -+• У из p(G) является гомотопической
эквивалентностью. Отсюда следует, что [р, Z] есть биек-
биекция для любого Z.
Конструкция q: У->Х основана на рассмотрении
квадрата
в котором левый морфизм принадлежит G в силу лем-
леммы 5. Гомотопия, связывающая qp и idx, строится как
диагональ в квадрате
в котором снова левый морфизм принадлежит G в силу
леммы 5. ¦
7. Лемма. Если i^X(F), то [i, E] биекция.
Доказательство, a) [i, E] сюръективно, потому
что любой морфизм g: X-*-E можно представить в виде
композиции g = hi, где h находится из квадрата
Е
X
У
Правая сторона этого квадрата принадлежит F по опре-
определению множеств Кана.
б) Покажем теперь, что [i, E] инъективно. Пусть а,
[}: У -+¦ Е — такие морфизмы, что а ° i сильно гомотопен
$°i, и пусть к: XX А[1] -»- Е — соответствующая гомото-
лия. Мы хотим доказать, что а к Р гомотопны. С этой
341

целью мы построим ниже симплициальное множество Z
и морфизм g: Е -> Z, который принадлежит к (F) и та-
такой, что g ° а, гомотопен g ° р. Когда это будет сделано,
из пункта а) будет следовать сюръективность отображе-
отображения [g, E]: [Z, Е] -+¦ [Е, Е]. Прообраз idB при этом ото-
отображении доставит такой морфизм h: Z -*¦ Е, что h • g
гомотопен idE, а тогда h ° g ° а и h ° g ° $ гомотопны друг
ДРУГУ) а также аир соответственно.
Сначала построим множество U, входящее в кодекар-
тов квадрат
*ХД[1]
*xidj,
rxA[i]
X
XA[1]
I
По морфизмам (а, Р): YXA[1]^E и к: ХХАЦ]-+Е
и свойству универсальности строим морфизм у: U -*¦ Е.
Аналогично, по морфизмам idXs: 7XA[1]-+ 7ХД[1] и
г X id: XX Д[1] -* У X Д[1] строим морфизм б: U-+YX
X Д[1]. Теперь достроим (-у, б) до кодекартова квад-
квадрата:
Е
Д[1]
\"'
Z
Нетрудно проверить, что к' — гомотопия между g ° а,
g ° р и g ^ % (F). Первая часть теоремы 3, таким образом,
доказана. ¦
Следующая лемма доставляет большой класс морфиз-
мов из G П W.
8. Лемма. Пусть /: X-+¦ Y — вложение (т. е. f^G).
Тогда естественное вложение
g: (XXA[n])U(YXV(n, k))^YXA[n],
индуцированное вложениями / X idA[n] и idYX(V(n, k)-*-
->- А[и]), принадлежит G Л W — Xp(horns).
Доказательство этой леммы аналогично доказатель-
доказательству первой части леммы 5. А именно, представим УХ
X Д[и] в виде объединения возрастающей последователь-
последовательности множеств
У@ = (УA)ХА[/г])и(УХ7(п, к)),
где УA) определяются при доказательстве леммы 5. Лег-
Легко проверить, что естественное вложение Y(i—1)-*- Y(i)
342
включается в коде картов квадрат
П (А [г] X А [п]) U (А Щ х V (п,к)) -+Y(i- 1)
П
(Yli~1))<). Поэтому, согласно
у
(II берется по y^(Yw
*¦ у
п. 1.3, достаточно проверить, что при любых г, п, к вло-
вложение
(A[i]XAln])V(A[i]XV(n, к)) -»- Щ X А[п] A)
принадлежит G Л W = Хр(horns).
Для этого введем возрастающее семейство подмно-
подмножеств Do, ..., Dn в Д[?] X А{п], удовлетворяющее следу-
следующим условиям:
а) D, = (Ap]XA[n])U(i[j]XV(n, к)).
б) Вложение Д -»- ?>J+i включается в кодекартов
квадрат
B)
и) Dw = АН X Д[л].
Говоря несколько неточно, при переходе от Du к Dj+i
мы добавляем очередной (и + ?) -мерный невырожденный
симплекс в ДМ X Д[п], «рог» которого принадлежит Dj.
Строгое построение множеств Ds легко получить из опи-
описания триангуляции A[i] X А[п], приведенной в 1.1.5.
Поскольку квадрат B) кодекартов, вложение Д ->-
->- ДА1 лежит в Kp(horns), Поэтому и композиция этих
вложений, т. е. вложение A) лежит в Яр (horns), и
9. Морфизмы Ною'ов и произведений. Пусть /: А -*•
-*- В, g: X ->¦ У — морфизмы симплициальных множеств.
Естественные морфизмы симплициальных множеств
Нот (А X) -^ Нот (A, Y) <— Нот (В, Y)
определяют декартово произведение
Нот (f,g) = Horn (А, X) X Нот (В, Y)
Нот(Л,У)
Е МОрфиЗМ
J/g: Horn (В, Х)->Нот(/, g).
C)
343

Легко проверить, что на языке диаграмм Hom(/, gj
и f/g интерпретируются следующим образом: элемент
ze=Hom(/, g)n — это коммутативный квалрат
а элемент к (= Нот (В, Х)п = Нотд0^ (Я X А [п], X),
отображающийся в г,— это диагональ этого квадрата, де-
делающая диаграмму коммутативной.
Аналогичную конструкцию можно проделать с про-
произведениями. Естественные морфизмы
fxux „
определяют кодекартово произведение
Prod
df
и морфизм
АХХ
D)
; Prod(/,
Следующий результат, обобщающий теорему П.4.24а),
устанавливает связь между f/g и / ? g.
10. Предложение. Пусть /: А -»-В, g: X-+Y,
ft: U ->¦ V — три морфизма симплициалъных множеств.
Имеется естественный изоморфизм симплициалъных мно-
множеств г: Нош (/ ? ft, g) ^Hom (h, fig), функториалъный
по /> g, h, входящий в коммутативную диаграмму
Нот (В X V, X) —¦ Нот (V, Нот (В, X))
\ Uah)ig | hiuig) E)
Нот(/ПЛ, g) -^ Нот (h, f/g)
(б — изоморфизм, устанавливающий сопряженность фун-
функторов ВХ- и Нот(-, В) из теоремы II,4.24а)).
Доказательство. Мы ограничимся построением
е, оставляя все необходимые проверки читателю. Элемент
из Нот (/Oft, g)n — это коммутативный квадрат
(/)
lUQh)Xid&[n]
Y
344
Верхний морфизм этого квадрата, согласно универсаль-
универсальности ко декартова произведения D),—это пара мор-
физмов
AXVX Д:[га] -+X^BXUX A[n],
задающих один и тот же морфизм
А X U X Д{в] ->- X.
Коммутативность квадрата F) означает, что два со-
составных морфигша
А X V X Д[л] ->- Г
(через BXVXA[n] и через X) совпадают, и аналогич-
аналогично, два составных морфизма
BXUX АИ -ч- У
также совпадают.
С другой стороны, элемент из Horn (ft, f/g)n — это
коммутативный квадрат
?/¦ X А [п] -> Нот E, Z)
4*хмд[п] ]//« G)
F X А [п\ -> Нот(/, g)
Нижний морфизм этого квадрата, согласно универсаль-
универсальности декартова произведения C),— это пара морфизмов
Нот (В, Y) *- V X А[п] -+¦ Нот (A, Y),
задающих один и тот же морфизм
7ХДМ-»- Нот (A, Y).
Коммутативность квадрата G) означает, что два состав-
составных морфизма
С7ХД[га] + Нот(Я, У)
(через 7ХД[и] и через НотE, X)) совпадают, и, ана-
логично, два составных морфизма
UX А[га]-*-Нот D, X)
также совпадают.
Теперь ясно, что естественные изоморфизмы типа
^ Ношдо^е4 (V X А [п], Нот (А, X)
задают взаимно однозначное соответствие между множе-
множествами квадратов вида F) и вида G). Несложная про-
проверка того, что эти взаимно однозначные соответствия
коммутируют с симплициальными операциями в
Нош (/ПА, g) и Нот (h, f/g), а также проверка комму-
коммутативности E) оставляется читателю.
345

Мы будем использовать это предложение в основном
в ситуациях, когда /: А -*¦ В и h: U -*¦ V — вложения
(корасслоения), (h будет обычно вложением рога V(n,
к) или сферы Л[п] в А[п]). Легко проверить, что в этом
случае Prod(/, h) совпадает с (BXU)\)(AXV) (объ-
(объединение внутри В XV) и предложение 10 выглядит
следующим образом.
11. Следствие. Коммутативные квадраты
(8)
находятся во взаимно однозначном соответствии с ком-
коммутативными квадратами
-*¦ Нот(ДХ)
U
i /
f/v
№
и поднятия к в квадрате (8) находятся во взаимно од-
однозначном соответствии с поднятиями I в квадра-
квадратах (9). ¦
Следующее предложение описывает свойства морфиз-
ма fig: Horn (В, АГ)->-Нот (/, g), когда /—корасслоение,
a g — расслоение.
12. Предложение. Предположим, что (/: А -*¦ В)<=
eG, (g: Z-> 7)eF. Тогда f/g^F. Если при этом либо
f^W, либо geW, то f/g e=F,nW.
Доказательство. Нужно проверить, что f/gs
ер (horns), т. е. что в квадрате, образованном сплошными
стрелками
V(n,h)
V
f/sr
346
существует поднятие I. Согласно следствию 11, это экви-
эквивалентно существованию поднятия к в соответствующем
квадрате
{В * I ¦( И.Н)) U (А х Д [п}) 2ГЛ'
t ¦ ¦//
-V
Существование к пытекает из того, что g ^ F = p(horns),
a/d/je кр (horns) согласно лемме 8.
Перейдем к доказательству второго утверждения.
Поскольку F П W= p(G)= p(spheres), нужно построить
морфизм I в квадрате
А [га]
f/r
Д[я] -Hom(^)
т. е. морфпзм к в квадрате
(ВхА[/фи(АхД[п])-
¦X
Если g^FRW = p(G), то к существует, поскольку
/?i- вложение, т. е. / ? i e G (лемма 5). Если f ^ FU
П W, то применяя следствие 11 еще раз, получим, что
существование к эквивалентно существованию морфиз-
мапв квадрате:
А -Нот(д[ге],Х)
m.
г/8Г
В
Поскольку i — вложение, i<^ G, так что, согласно пер-
первой части предложения, i/ge F и m существует. ¦
347

13. Следствие, а) Если Е — множество Кана, то
Hom(Z, Е) — множество Кана для любого симплициаль-
ного множества X.
б) Если (i: А -> -В) е G, а Е — множество Кана
(&*: Нот (Л, E)->YLom{A, E))^ G. щ
то
Следующее утверждение понадобится нам в дальнейшем.
14. Лемма. Пусть g: X ->- Y — расслоение, у. Y'-*¦
-*¦ Y — произвольное вложение, q: Y -»- У — некоторая
'ретракция j (г. е. qj = idy). Пусть g'\ X' -+¦ У — мн<9г/-
цированное расслоение и /': X' ->- X—соответствующее
вложение. Тогда для любой гомотопии h: Д[1]Х7-+ Y,
связывающей idr с jq, существует такой морфизм г:
X ->- X' с rf = idx' и такая гомотопия к: А [1] X X ->¦ X,
связывающая idx с j'r, что диаграмма
гомото-
коммутативна (т. е. к накрывает h).
Аналогичное утверждение справедливо для
паи, связывающей jq с idy.
Доказательство. Легко проверить, что искомая
гомотопия к должна быть одномерным симплексом мно-
множества Hom(Z, X), который начинается в точке id* и
при отображении fig: Hom(Z, X)->-Hom(y", g) перехо-
переходит в одномерный симплекс ж^Нот(/', g)u задающий-
задающийся парой составных отображений
Рг2 у
а: А[1] хХ'-^Х'-+Х,
Ъ: А [1] X X
Поскольку У; X' -»- X — корасслоение (будучи вложе-
вложением), a g — расслоение, j'Jg — расслоение. Поэтому
существует нужный симплекс &еНот(Х, Х)(, ¦
15. Теорема о накрывающей гомотопии.
Пусть i: А -+ В — корасслоение, р: X -*- Y — расслоение.
Пусть также задана коммутативная диаграмма
^Х
348
и ее продолжение
A0)
(в том смысле, что К ° (idA X е (dj)): А = А X А [0] ->-
-*-А X А [1] -vX совпадает с к, и аналогично для Н).
Тогда существует морфизм 6: В X А [1] -*¦ X, продолжа-
продолжающий 6.
Доказательство. Оно вытекает из свойства про-
продолжимости (предложение 12) в квадрате
Д [0] = V A, 0) -»- Нога (В, X)
4 4
А [1] f Horn (г, р)
полученном из A0) применением следствия 11. ¦
16. Предложение. Пусть q^G и \q, E] биектив-
биективно для всех множеств Кана Е. Тогда q<^h(FK), где
FK — расслоения множеств Кана.
Доказательство. Докажем сперва, что
FK П W = FK П {гомотопические эквивалентности).
Имеем FK^WczF(]W = p(G). В доказательстве лем-
леммы 6 было установлено, что p(G) состоит из гомотопи-
гомотопических эквивалентностей. Поэтому левая часть содер-
содержится в правой.
Наоборот, пусть р: Е -*- Е' — расслоение множеств
Кана и пусть q: Е' ->- Е — гомотопически обратное ото-
отображение. Заменив q на гомотопное отображение qr
можно добиться того, что pq = idB-. В самом деле, по-
поскольку pq и idfv гомотопны, а Е' — множество Капа,
то существует коммутативный квадрат
ЕТ 9 > Е
349

"Морфизм % строится с учетом того, что р ^ F, a idE/ X
X B(dl)^k(F). Положим ^=I1=lo(idJ?/Xe(<5j)): E'->-
—>-Е. Ясно, что q гомотопно q и pq = id?/.
Рассмотрим теперь сильную гомотопию fc ? X Л[1] ->
-> i? между д/) и idE и покажем, что ее можно заменить
ла «послойную гомотопию» Ъ, т. е. такую, что следую-
следующий квадрат будет коммутативен:
Прежде чем излагать формальную конструкцию, пред-
представим себе ситуацию геометрически. Условие pq = id^/
означает, что q(E') есть сечение расслоения р. Гомотопия
h соединяет отрезком каждую точку тотального прост-
пространства Е с соответствующей точкой на сечении. Мы
хотим заменить h на такую гомотопию Ъ, чтобы соеди-
соединяющий отрезок целиком лежал в слое. Рассмотрим рог
в Е, состоящий из исходного отро.чка и его проекции на
¦сечение. Проекция этого рога па базу состоит из двух
одинаковых 1-симплексов и поэтому дополняется до вы-
вырожденного 2-симплекса в базе со склеенными тремя
вершинами. Третье ребро этого симплекса также вы-
вырождено. Поскольку р — расслоение, этот 2-симплекс
поднимается в Е, и его вырожденное ребро становится
отрезком в слое, соединяющим точку в Е с соответству-
соответствующей точкой сечения.
Формально, построим диаграмму
VB,O)-
-Hom(?,?J
AL2] ' ^ -Eom[E,E)
В пой а задается двумя элементами из Hom(?, E)i с об-
общим началом h, qph^. Нотдо^е( (Е X Д [1], Е). Далее, у
отвечает морфизму — композиции
?ХА[2]
ft р
Е X Д [1]-*¦ Е-^Е.
350
Наконец, р* индуцирован р. Коммутативность проверя-
проверяется непосредственно. Поскольку р% ^ F = р (horns), су-
существует подъем р.
Рассмотрим р как морфизм р: Е X А [2] -*- Е. Не-
Несложно проверить, что композиция h = f> ¦> (idj? X е [д 2)У-
Е X Д [1] ->- Е и есть то, что нам нужно.
Вспомним теперь, что наша цель — установить вклю-
включение р <s FK П W, или, поскольку р ^ FK, включение-
р е F П W = p(G). Рассмотрим с этой, целью произволь-
произвольный коммутативным квадрат
в котором jeG, и построим в пом морфизм I.
Рассмотрим коммутативный квадрат
L/
/
/
fl*All] g »?f
в котором F==%o(/XidA[1]), G = pr?/o(^x idA[l]). Ком-
Коммутативность следует из того, что Ъ ¦— послойная гомо-
гомотопия. Если мы ограничимся в нем подмножествами
А X е О?) (Д [О]) и В X е E?) (Д [0]), то при а = 1 полу-
получится исходный квадрат, а при а = 0 — квадрат
у
В
В нем положим Г = qg; коммутативность следует из то-
того, что pq = id^• По теореме 15 (о накрывающей гомото-
пии) X поднимается до L, а в качестве I можно взять
ограничение L. и
351

Нам осталось доказать следующее предложение, ко-
которому и посвящен остаток параграфа.
17. Предложение. G П k(FK)= G П X(F).
План доказательства. Очевидно, K(F)<=K(FK),
поэтому достаточно установить включение G(\K{FK)cz
<=k(F). Фиксируем раз навсегда морфизм /: А -*¦ В, ле-
лежащий в GCi'K(Fk). Мы хотим построить пунктирные
стрелки во всевозможных квадратах вида
В -Г
где g ^ F. Для некоторых g это сделать просто. Если
g <^ FK, to проблемы нет в силу определения /. Если g
индуцирован некоторым расслоением из FK, то задача
тоже легко решается. В самом деле, тогда есть ди-
диаграмма
А *~Х *" Е
^/
ъ которой h e FK, а квадрат XYEE' декартов. Стрелка
ф существует, ибо f^K(FK), а © — ввиду универсаль-
универсальности.
К сожалению, нельзя гарантировать, что любое рас-
расслоение индуцировано расслоением из FK. Мы введем
специальный класс расслоений — минимальные и пока-
покажем, что любое расслоение в некотором смысле слова
эквивалентно минимальному. С другой стороны, для
каждого множества Кана Z мы построим универсальное
расслоение р: Е -*¦ В со слоем Z, установим, что В
(а значит, и Е) есть множество Кана, и докажем, что
любое минимальное расслоение со слоем Z индуциро-
индуцировано р.
18. Определение. Пусть g: X -> У — расслоение,
i: X' ^ X — вложение некоторого симплициального под-
подмножества. Ограничение g': X' -+• Y морфизма g на X'
называется послойным сильным деформационным рет-
рактом g, если существуют морфизм s: X -+¦ X' с g's =
= g, si = idx' п гомотопия h: А [1] X X -+• X, связываю-
352
щая idjc и is над Y, т. е. такая, что gh = g ¦ pr2: A[1]X
XX-+Y.
19. П р е д л о ж о и и е. Сильный послойный деформа-
деформационный ретракт расслоения является расслоением.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Поскольку g: X -*¦ Y — расслоение, существует морфизм
I: Д [п] -*¦ X, для которого Ц = iq>, gl = i|). Полагая k =
= si и используя условия si = iAx', g's = g, gt = g', по-
получим kj = si) = sicp = ф, g'k = g'sl = gl = ty. щ
Отметим, что при доказательстве этого предложения
мы не использовали: существования h. В следующем
предложении существование h уже используется.
20. Предложение. Пусть g'\ X' -+• У — сильный
послойный деформационный ретракт g: X ->- У и /: А
-*- В — произвольное корасслоение. Тогда из fh{
следует, что f^K{g).
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Поскольку
/(g)
рате ABX'Y. Построим квадрат
A1)
существует диагональ © в квад-
квад7A,0) = Д[0]3-Ham (Д, X)
4 да \f'g
[l]H(/, g)
в котором / — естественное вложение, морфизм Ф
задается 0-симплексом В —> X' —> X из Нот (В, ХH —
= Нот^0^е( (В, X), морфизм W задается 1-симплексом
6 е Нош (/, p)i, который определяется следующим обра-
23 С. И. Гельфаид, 10. И. Манин, г. 1 353

зом: Нот (/, g)x = Нот (Л X А [1], X) X Нот (В X
HomUXAULY)
ХД[1], Y) и 6=F1, е2), где
в,: h ° (ф X idA[n): А X А [1] -* X,
Э2: i|) ° рг,: В X Д [1] ->- У.
(Легко видеть, что 0i и 92 индуцируют один и тот же
морфизм 4ХД[1]->У.) Из того, что h — гомотопия,
связывающая idx и i ¦ s, получаем, что построенный
квадрат коммутативен.
Ввиду предложение 12, fig — расслоение. Поэтому
существует в: Д [1]->-Нот(/?, X), делающий квадрат
коммутативным. Зададим морфизм Д [0] -*- Нот (В, X)
как композицию А [0] = V A, 1) -> А [1] -^ Нот (В, X).
Образ этого морфизма определяет 0-симплекс в
Нот (В, X), т. е. морфизм симплициальных множеств
©: 5->-Х. Оставляем читателю несложную проверку
нужных коммутативностеи в диаграмме A1). ¦
21. Связанные симплексы. Пусть g: X -*- У — произ-
произвольное расслоение. Обозначим через in: Д [п] -~ А \п]
вложение границы стандартного симплекса и рассмот-
рассмотрим расслоение (см. предложение 12)
ijg: Нош(Д [п], Х)~^ Hom(i,,, g).
Назовем два n-симплекса х„ х2 = X g-сеязанными, если
соответствующие морфизмы хг, хг е Нот (Д [га], Х)о =
= Нот 0(^е((А \п], X) лежат в одной связной компоненте
некоторого слоя расслоения ijg.
Поскольку ijg — расслоение, любой его слой являет-
является множеством Кана. Поэтому два элемента из некото-
некоторого слоя ijg будут g-связанными в том и только том
случае, если они суть вершины 1-спмплекса, целиком
лежащего в этом слое. Отсюда вытекает, что определе-
определение ^-связанности имеет следующую диаграммную ин-
интерпретацию:
хи х2 е Х„ ^--связаны в том и только том случае,
если существует диаграмма
A2)
354
в которой е = 0 или 1, {е} = е {д{) (Д [0]) cr A [1J, / —
естественное вложение. А,/ = А2/ = a, ghx = ghz = b,
h1({i — e}X6n) = xl, /!2((l-e}X8,) = i2; напомним, что
через 6яеД [п\п обозначается единственный невырож-
невырожденный га-симплекс в Д \п\.
Читатель легко проверит, что два вырожденных сим-
симплекса g-связаны тогда и только тогда, когда они сов-
совпадают.
22. Определение. Расслоение g: X -*- Y называ-
называется минимальным, если любые два g-связанных симп-
симплекса совпадают. ¦
Грубо говоря, минимальность расслоения g означает,
что в X нет лишних послойных гомотопий: любые гомо-
гомотопные элементы совпадают. В частности, читатель лег-
легко проверит, что если расслоение g: X -*¦ Y минималь-
минимально, то в каждой связной компоненте любого слоя g име-
имеется ровно один 0-симплекс. Из определения индуциро-
индуцированного расслоения вытекает также
23. Лемма. Пусть g: X -+• Y — минимальное рас-
расслоение и ср: У -*- Y — произвольный морфизм. Тогда
индуцированное расслоение g': XxY'=X'-*-Y' также
Y
минимально. ¦
24. Предложение. Для любого расслоения g:
X ->- У существует такое симплициалъное подмножество
X' с= X, что g': X' ->- У является минимальным расслое-
расслоением и послойным деформационным ретрактом g.
Доказательство, а) Ясно, что g-связность яв-
является отношением эквивалентности. Отметим в каждом
классе эквивалентности ^-связанных симплексов в X по
одному представителю, подчинив этот выбор единствен-
единственному условию: если в данном классе есть вырожденный
симплекс (согласно замечанию перед определением 22,
такой симплекс единствен), мы отмечаем именно его.
Таким образом, все вырожденные симплексы будут от-
отмечены. Обозначим через X' какое-нибудь симплициаль-
ное подмножество X, состоящее целиком из отмеченных
симплексов и максимальное среди подмножеств с этим
свойством. Покажем, что X' удовлетворяет всем нуж-
нужным условиям.
б) Убедимся сперва, что если х е Хп — отмеченный
симплекс и dlnx <= X' для всех i, 0 ^ i ^ п, то х гг X'.
В самом деле, предположим обратное. Присоединим к
X' симплекс х и все его вырождения, т. е. симплексы
вида Х(а)х для эпиморфизмов о: \т] -+¦ [п]. Ясно, что
23*
355

полученное подмножество Х"с=Х инвариантно относи-
относительно всех операторов Х(/), т. е. является симплици-
альным подмножеством X. С другой стороны, легко ви-
видеть, что каждый симплекс feX" либо вырожден, ли-
либо равен х, либо лежит в X'. В каждом из этих случаев
х отмечен. Мы получили противоречие с максималь-
максимальностью X'.
в) Пусть теперь Jf — множество пар (Z, k), состоя-
состоящих из симплициального подмножества Z а X, содержа-
содержащего X', и гомотопии Д[1]Х2-+1, имеющей вид h =
= ffi, где 1: Z ->• X — вложение, а Ъ — некоторая ретра-
гирующая деформация A[l]XZ->-Z над У (т. е. % —
гомотопия idz и lq над У, где i: X' -+• Z — вложение,
a q: Z -»- X' — левый обратный кг, qi = idA^)-
Множество Jf очевидно непусто (оно содержит пару
(X', ix'^x ° pr2)) и частично упорядочено (относитель-
(относительно ограничения h на подмножество). Пусть (Z, h) —
некоторый максимальный относительно этого упорядоче-
упорядочения элемент JC. Мы покажем ниже, что Z = X. Если это
будет доказано, то X' будет сильным послойным дефор-
деформационным ретрактом X, т. е. согласно предложению
19, g'\ X' -»- X будет расслоением, причем, согласно вы-
выбору X',— минимальным.
Итак, пусть в максимальной паре (Z, h) имеем
Z Ф X, и пусть х ^ Хп — некоторый симплекс минималь-
минимальной размерности, не принадлежащий Z. Пусть Z' —
наименьшее симплициальное подмножество X, содержа-
содержащее Z и х. Мы продолжим fe: A[1]XZ->X до h':
Д [1] X Z' ->- X с помощью следующей ниже конструкции.
Во-первых, ясно, что dnx e Z для всех i. Пусть
/: А[п] -+• Z — соответствующий морфизм. Определим
ср: Д [1] X А [п] Ц {0} X А Щ -+Х как морфизм, сов-
<о)хд[п]
падающий на первой компоненте с fe °(idi[i] X/), а на
второй — с морфизмом х: А [п] ={0)Х А [п] ->- X, зада-
задаваемым симплексом х. Такой морфизм ф задает комму-
коммутативный квадрат (см. следствие 11)
Д[0]
Нош(Д[л1,Х)
r/
A3)
358
где in: А [п] -* Д [п] — естественное вложение. Посколь-
Поскольку in — корасслоение, a g — расслоение, ijg — тоже
расслоение (предложение 12). Поэтому у квадрата A3)
существует поднятие г: А [1] ->¦ Нот(Д [п], X). Более
того, снова, поскольку ijg — расслоение, г можно вы-
выбрать так, чтобы 7"({l})eHom(A[n], XH = Hom о^ег(Др], X)
отвечало отмеченному симплексу i' e Х„, (Это следует
из того, что в каждой связной компоненте каждого слоя
ijg есть отмеченная точка. Читатель легко проведет со-
соответствующие рассуждения, используя поднятия рогов
VB, i)-A[2].)
Таким образом, мы построили отмеченный и-симп-
лекс х', граница которого лежит в h({l}, Z), т. е. в X'.
Согласно п. б) доказательства, х'^Х'. Продолжим ц:
Z ->- X' до д': Z' ->- X', полагая q'(х) = х'. Наконец, ис-
используя г: А [1] ->- Нот(Д [п], X), продолжим гомото-
пию Ъ: A [1J X Z ~* Z до гомотопии W: Д [1] X Z' -> Z',
связывающоИ \dZ' и i'q': Z' ->- Z'. Ясно, что пара
(Z', h' = j'W), где ;": Z' ->- X — вложение, больше
(в смысле упорядочения в JT), чем пара (Z, h),
что противоречит максимальности (Z, /г). Поэтому
Z = X. ¦
В качестве следующего шага мы докажем, что мини-
мальное расслоение над симплексом А [и] тривиально.
Для этого будет использоваться следующее важное свой-
свойство минимальных расслоений.
25. Лемм а. Пусть g: X ->- У — минимальное рас-
расслоение и и: X ->- X — морфизм, удовлетворяющий усло-
условию gu = g и гомотопный над Y тождественному
морфивму idx. Тогда и — изоморфизм в категории
°
Доказательство. Рассмотрим отображение g*\
Hom(X, X)—>-Hom (X, Y), индуцированное композици-
композицией с g: X ->- У. Условие gu = g означает, что и и idA- —
нульмерные симплексы из одного и того же слоя g*. a
существование гомотопии между и и idx над У означает,
что они лежат в одной связной компоненте этого слоя.
Поскольку ?„.— расслоение (ввиду следствия 136), су-
существует сильная гомотопия, связывающая и и idx- в
этой связной компоненте, т. е. существует морфизм /?:
А [1] X X ->- У, связывающий и и idj:, для которого
gh = g ¦ рг2. Нам нужно доказать, что ип — взаимно од-
однозначное отображение при любом п. Полагая X_f = 0,
мы видим, что это верно при п = —1. Далее будем ис-
использовать индукцию по п.
357

а) Пусть при всех г «? п инъсктивпость ит доказана.
Пусть х, х е= Хп — симплексы, для которых ип (х) =
= ип(х'), и х, х': А \п\ -*¦ X — соответствующие мор-
физмы. Тогда g ¦ х = g ¦ х' и, по предположению ин-
индукции, х I ¦ = х' I • . Следовательно, имеется коммута-
Д[п] Д[п]
тивная диаграмма
в которой левая стрелка — естественное вложение, две
диагонали суть отображения ht = h °(idAtn] X х) и /i2—
= h o(idA[n] X x'), и верхняя стрелка — (общее) ограни-
ограничение этих отображений на (Д [1] X А \п\) U (ШХ Д [п]).
Легко проверить, что эта диаграмма показывает, что
симплексы hi({0}X б„) = х и h2({0)X 6П) = х' являются
^-связанными (см. диаграмму A2)). Поскольку g ми-
минимально, х = х''.
б) Пусть для каждого г < п доказана также сюръек-
тивность ип. Пусть iel, — произвольный /г-симплекс.
Согласно предположению индукции, для любого i, 0 ^
< i < п, существует xi ^ Хп~г с ип-\ (яи = dlnx, причем,
согласно а), хг определены однозначно. Поэтому набор
[xi\ задает морфизм <р: А \п\ -*¦ X.
Ясно, 4TOg°<p = g ° (x\-r ,)• Поэтому составной мор-
морфизм
'Д[п]
А [1] X А [п]
А [1] X X Д- X
совпадает на {1>Х А [п] с
{1} X А [п] = А [п]
X.
Следовательно, h = (idA[1] X <р) их задают некоторый
358
морфизм г|э, для которого квадрат
коммутативен. 11осколъку g e F, а / е G П 1У = 1 (F)
(см. лемму 8), существует х?: А [1] X А [п] -+ X, делаю-
делающий диаграмму коммутативной. Определим сингуляр-
сингулярный симплекс z: А [п] -> X как ограничение ^? на
{0} X Д[«] = А[и] и пусть ге1„ — соответствующий тг-сим-
плекс. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
(д[1'|*д[л])и({о}*дГл1)-
и, по свойству минимальности, 4я и h °(idA[i] X 2) сов-
совпадают на {1}Х Д [п]. Это, очевидно, означает, что х =
= un(z), т. о. ип глоръективно. ¦
26. Следствие. Минимальные расслоения g: X -+¦
-*- У и g: X' -*¦ У, имеющие одинаковый гомотопический
тип над У, изоморфны над У.
Доказательство. Условие следствия означает,
что существуют морфизмы и: X -* X' и v: X' ->¦ X над
У такие, что uv и vu гомотопны над У тождественным
морфизмам id;c и idx соответственно. Ввиду леммы 25.
uv и vu — изоморфизмы над У. ¦
27. Предложение. Любое минимальное расслое-
расслоение над А [п] изоморфно над Д [п] прямому про-
произведению.
Доказательство, а) Докажем прежде всего,
что расслоения, индуцированные с минимального рас-
расслоения g: X ->¦ У гомотопными морфизмами ср, т|з: У ->-
-»- У, будут изоморфны. Точнее, пусть gv: Хф -*- У, g$:
Х$ -*¦ У определяются из декартовых квадратов
ф —* -Л- -Л.ф —^ Л
У —^ У У —* У
359

Без ограничения общности можно считать, что ср и i|)
связаны некоторой простой гомотопией %: Хх -»¦ Л [1J X
X Г'. Рассмотрим расслоение g%: Хх -»- Д[1] X Г', инду-
индуцированное X) и образуем коммутативную диаграмму
А ф
A %
А .ф
У
Д [1]
в которой г0 = е (<?J) X idyr — индуцировано вложением
начальной точки в А [1], ij = е (<9°) х idy индуцировано
вложением конечной точки в А [1]; а вложения /0 и jt
определяются по U и г{. Пусть, далее, h0 — гомотопия,
связывающая е(д{°ао): А[1]->Д[1] с idA[i] (вытягива-
(вытягивание из начала отрезка), a hx — гомотопия, связывающая
idA[1] с е \д\ о ап0) (стягивание на конец отрезка). Соглас-
Согласно лемме 14, существует отображение г0: Хг ->- Хч с
го/о=^л-ф и гомотопия к0: А [1] ХХх->-Хх, связывающая
idx^., входящая в коммутативную диаграмму
ft,,
Л[1]Х
/Л С
<Г)Лд[1]ХГ
Аналогично, существует отображение 7у. Х% ->¦ Х$ с
rih = idj^H гомотопия /с4: Д [1] Х1Х-+ Хх, связываю-
связывающая idxx с /i?*!, входящая в коммутативную диаграмму
А [1] Xlx \ Хг
Отсюда, очевидно, следует, что морфизмы rjo: Хф^- Х$
и ro/i: ХФ ->- Xv являются взаимно обратными по модулю
гомотопий (т. е. их композиции гомотопны соответствую-
соответствующим тождественным морфизмам). Поскольку gv и g$ яв-
являются, согласно лемме 23, минимальными расслоениями,
из следствия 26 вытекает, что gv и g$ изоморфны над У.
б) Пусть теперь X ->• Д [«] — минимальное расслоение
над А [га], <р: А [гс] -*¦ А [га] — тождественный морфизм,
xf>: А [га] -> А [п] —• морфизм, индуцированный отображени-
отображением [п] ->- [п], переводящим все множество [га] в элемент
Ое[ге]. Ясно, что расслоение #Ф совпадает с ^, а расслое-
360
ние g* — прямым произведением А [га] X Z -*¦ Z, где Z —
слой расслоения g над вершиной, соответствующей вло-
вложению [0] -*¦ [га], 0 >-*¦ 0, симплекса А [га]. С другой сторо-
стороны, морфизмы ф и т|з гомотопны: гомотопия h: A[l] X
X А [п] -»¦ А [п] определяется отображением г;: [1]Х[и]->-
-»- [и], задаваемым формулами
v@, i) = 0, v(i, i) = i.
Отсюда, согласно части а), расслоение g: X-+A[ri\ изо-
изоморфно на А [/г] прямому произведению A[ra]XZ ->- Z. ш
Расслоения, удовлетворяющие заключению предложе-
предложения 27, па.чыиаются (по аналогии с топологией) локаль-
локально тривиальными.
28. Определение. Расслоение g: X->- Y называет-
называется локально тривиальным, если для любого симплекса
Уе Yn расслоение gy: Xy -*¦ А [и], индуцированное из g
соответствующим морфилмом у: Д[п]-> Г, изоморфно над
А [га] прямому произведению. ¦
Другими словами, расслоение локально тривиально,
если для любого у ^ Yn существует коммутативная диа-
диаграмма
A[ra]XZ aW > Ху
sv
Д[к|
X
V
Y
A4)
в которой правый киадрат декартов, и а.(у)—изоморфизм.
Набор <а(у)}, у ^ У„, п = (Т, 1, 2, ..., называется йг-
ласом данного локально тривиального расслоения.
В дальнейшем мы будем все время считать, что база
Y расслоения g связна. Тогда ясно, что слои Z над всеми
симплексами у изоморфны. Обозначим через A (Z) =
= {An(Z)} симплициальную группу автоморфизмов сим-
плициалыюго множества Z (см. п. 34 и упр. 1),
Атл�