/
Text
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ИНТЕГРАЛЫ
УЛЬЯНОВСК
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ульяновский государственный технический университет
ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания к типовому расчету
для студентов всех специальностей
Составители: Ю.А.Решетников, В.В. Селиванов
Ульяновск 2000
УДК 517.3 (076)
ББК 22.1 я 7
И73
Рецензент канд. техн, наук, доцент УлГТУ В.Н. Клячкин
Одобрено редакционно-издательским советом УлГТУ
Интегралы: Методические указания к типовому расчету /Сост/.
И73 Ю.А.Решетников, В.В.Селиванов. - Ульяновск: УлГТУ, 2000. -35 с.
Составлены в соответствии с программами курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей Ульяновского государственного технического университета.
Изложена методика выполнения типового расчета по теме: “Неопределенный и определенный интегралы” и даны образцы решения задач с предварительным теоретическим обоснованием.
Работа подготовлена на кафедре “Высшая математика”.
УДК 517.3 (076)
ББК 22.1 я 7
© Ульяновский государственный технический университет, 2000
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ........................... 4
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ. 4
1.1 Указания к задачам 1-4.............................. 7
1.2 Указания к задачам 5-7..............................11
1.3. Указания к задачам 8-10.............................15
1.4. Указания к задаче И.................................18
1.5. Указания к задаче 12................................20
1.6. Указания к задаче 13................................22
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА..............23
2.1. Указания к задаче 14..........................23
2.2. Указания к задаче 15..........................24
2.3. Указания к задаче 16..........................26
2.4. Указания к задачам 17-19......................28
2.5. Указания к задачам 20,21......................30
2.6. Указания к задаче 22..........................32
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................. 35
4
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Одной из форм обучения студентов является самостоятельное выполнение ими типовых расчетов по курсу высшей математики. Предлагаемые методические указания являются руководством для выполнения типового расчета по теме “Неопределенный и определенный интегралы” из специального сборника заданий [1].
К выполнению расчета следует приступать лишь после изучения по учебнику или конспекту лекций теоретического материала, соответствующего этой теме, и решения достаточного количества типовых задач.
При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса математики. Решение задач следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке. Решения должны доводиться до ответа, требуемого условием задач.
Ниже в помощь студенту даны методические указания к задачам указанного типового расчета и образцы решения характерных задач. Если при выполнении расчета студент все же обнаружит непонимание того или иного вопроса, то следует обратиться к учебникам [2-5] или конспекту лекций.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть в интервале (я;£) задана функция /(х). Если F'(x) где
хе(а;й), то функция F(x) называется первообразной функции /(х) в
интервале (я; 6). Любые две первообразные F(x} и Ф(х) данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную С, т.е. Ф(х)=^(х) +С.
Совокупность всех первообразных функции f (х) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом j f (x)dx.
Таким образом, по определению
J/(x)<ix = F(x) + С, хе(«;6), где F(x) - одна из возможных первообразных функции /(х) в интервале (я; 6).
Приведем основные свойства неопределенных интегралов:
1) \f'(x)dx = р/(х) = /(х)+С;
2) J/(x)^) = c7(F(x) + С) = /(х)^;
(1-1)
(1-2)
5
3) f(/(x)±g(x))<& = j/(x)<&± \g(x)dx\ (1.3)
4) ^Af(x)dx = A ^f(x)dx, A = const. (1-4)
Задача восстановления функций по ее производной, или, что то же самое, нахождение неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Поэтому правильность результата интегрирования проверяется дифференцированием найденной первообразной.
На основании определения неопределенного интеграла, правил интегрирования и таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу основных неопределенных интегралов (табл.1). Отметим, что в приведенной таблице буква U может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию.
Пусть функция f (х) определена и ограничена на отрезке [а; Ь\. Разобьем произвольным образом этот отрезок точками а = х0 < Xj <...< хп = Ь на п частичных отрезков длиной Лхг- = х,- - xi-x, Выберем в каждом из них произвольную
точку %, xt. Тогда сумма вида
п
!=1
называется интегральной суммой функции f (х) на отрезке [а; Ь\.
Если существует конечный предел J последовательности интегральных сумм Sn при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Лхг стремится к нулю, и при этом предел J не зависит ни от способа разбиения отрезка [а;Ь] на частичные отрезки [хг_,; х; ], ни от выбора точек <^г- на этих отрезках, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (х) в пределах от а до b и обозначается ь
символом J f (x)dx. а
Таким образом, по определению
z> п
\f\x)dx = Пт £/(^г.)Лх;..
а тахДх, ->0 г=]
Функция f (х) называется подынтегральной функцией, [а;Ь] - отрезком интегрирования, а и b - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
6
Таблица 1
Таблица основных неопределенных интегралов
г иа+Х 1. \uadu = — + С J а +1 2- 1 — = In w + C и
3. \audu = ^— + С J Ina 4. f eudu = eu +C
5. sin и du = - cosw + С 6. cosudu - sin и + C
г du 1 и 7 — nretcr -l-С 8. J du 1 , u + a + C
' • J 9 9 Clg a + и a a 9 9 — in a - и 2a u- a
9 f dU -In и + 7a2 + a2 + C 10. c du . и + C
4u2±a2 4a2 -и2 a
,, f du „ 11. J 2 = tgu + C cos и 12. Г sx I 2 = ctgu + C sin и
, „ r du . и 13. Г = ln/g— J sinw 2 + C 14. r du , (U 7t\ 1 = ln/g - + - cosw <2 4> + c
15. shu du = chu • + c 16. chu du = shu + C •
г du , 17. 1——- = -cthu 1 sh2u + c 18. r du , ——- = thu + C i сп и
Если F(x) какая-нибудь первообразная функция f (%) на [а;Ь], то справедливо равенство
ь
\f(x\k = F(b)-F(a) = F(x)\ba, (1.5)
а
которое называется формулой Ньютона-Лейбница. Ее целесообразно использовать для вычисления определенных интегралов в тех случаях, когда известна или может быть найдена первообразная F(x) и вычисление ее значений при х = а и х = Ъ не вызывает затруднений.
Перечислим основные свойства определенного интеграла, которые будут использованы в дальнейшем, предполагая, что функции f (х) и g(x) интегрируемы на соответствующих отрезках: ь ь ь
1) J(/(*) ± #(*)>& = \f(x)dx + \g(x)dx-, . (1.6)
а
а
а
7
b b
2) \Af(x}dx - A\f(x)dx, A=const;
a a
b a
3) J/(x)c&c = - J/(x)<ix;
a b
b c b
4) f/(x)<ir - f/(x}dx + \f (x)dx.
a a c
(1-7)
(1-8)
(1-9)
1.1. Указания к задачам 1-4
Задача нахождения приведенных в задании неопределенных и определенных интегралов решается путем сведения их к одному из табличных интегралов (табл.1). Этого можно достичь путем тождественных преобразований подынтегральной функции f (х} или подведением части ее множителей под знак дифференциала, или методом интегрирования по частям, или комбинируя эти методы.
Метод подведения под знак дифференциала в неопределенном интеграле заключается в применении следующей цепочки тождеств:
\f[U(x)U'(x)dx =\f\U(x)VU(x)= \f(U)dU
(1-10)
U=U(x)
Пусть интеграл \f(U)d.U является табличным или был найден раньше. Тогда, чтобы проинтегрировать произведение /[C7(x)J7'(x), где /[С/(х)] - сложная функция с промежуточной переменной U(x), a U'(x) - производная функции t/(x), следует в полученном выражении для интеграла j f (U^dU заменить U на U(х).
Пример 1.1. Найти Ja/x2 + 6 • 2xdx.
Решение. Заметим, что (х2 + 6)' = 2х. Поэтому
jVx2 + 6 • 2xdx - jVx2 + 6 • (x2 + 6)'dx,
и можно подвести под знак дифференциала выражение (х2 + 6). Тогда, используя интеграл 1 из табл. 1., получим
|л/х2 +6-(х2 + 6)'dx = f(x2 +6)1/2с7(х2 + 6) = |(х2 +6)3/2 +С.
Ответ: |(х2 +6)3/2 + С.
Пример 1.2. Вычислить
Л Q
’с arcctgSx .
-------^dx.
I l + 25x2
8
Решение. Заметим, что (arcc(g5x)'= - 5/(1 + 25х2), и, следовательно, в подынтегральном выражении для 6/'(х) не хватает множителя -5. Поэтому, умножая и деля его одновременно на -5, получаем
Q2arcctg5x 1 0,2 10,2
Г--------dx = — \arcctg5x(arcctg5x)'dx = — \arcctg5x d(arcctgSx) =
о l + 25x2 5 о 5 0
°’2
= -Q,\(arcctg21 - arcctg2O) = —0,1(тг2 116 - л2 14) = Этт2/160.
о
= -Q,larcctg2 5x
Ответ: Ъл2/160.
Как и в предыдущем примере был использован интеграл 1 из табл. 1.
„ + ~ тт ~ гsinxcosxcfr
Пример 1.3. Наити J — —.
V3 - sin2 x
Решение. Заметим, что (3 - sin2 х)' = -2 sin x cos x и, следовательно, в подынтегральном выражении для производной U'(x) не хватает множителя -2. Поэтому, умножая и деля его одновременно на -2, получаем
г sin х cos хсЛ; 1 f(3 - sin2 x)'dx -2 x-V2JZn • 2 ч
I -—====- = — I ..........__ = -0,51 (3 - sin X) ' d(3 - sin x) =
-\/3-sin2x -V3-sin2x
= -0,5 2(3 - sin2 x)1/2 + C - -л/з - sin2 x + C.
Ответ: —\J3 — sin2 x + C.
Пример 1.4. Вычислить J - f—-----------.
-i x + 2x + 3
Решение. Заметим, что (x2 + lx + 3)' = 2(x + 1), поэтому представим x как (x + 1) -1 ис учетом этого разобьем исходный интеграл на два следующих интеграла
j _ Г (х + г d*
_]Х + 2х + 3 -i-Т + 2х + 3
Найдем отдельно каждый из полученных интегралов. В первом интеграле для производной С/'(х) = (х2 + 2х + 3)' не хватает множителя 2. Поэтому, умножая и деля одновременно подынтегральное выражение на 2 и учитывая интеграл 2 из табл.1., получаем
г (х + \)dx 1 \d(x2 + 2х + 3) ... 2 _ _
ГЦ----------= - Г-Ц------------ = 0,5 InX2 + 2х + 3
_i х + 2х + 3 2 _] х + 2х + 3
= 1пл/3.
9
Для нахождения второго интеграла выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. х2 + 2х + 3 - х2 + 2х + 1 + 2 = (х + I)2 +2. Тогда, подводя под знак дифференциала (х + 1) и применяя интеграл 7 из табл.1., получим
V dx г d(x +1) 1 х +1 1 1 г-
--------= ------------= — arctg = — arctgd2.
_,x2+2x + 3 _i(x + 1)2+2 V2 V2 -i V2
Окончательно имеем
J = In43 - (arctg42) IV2.
Ответ: lnV3 - (arctg\[2) / V2.
Разобранные примеры следует рассматривать как указания к решению задач 3-4. Однако метод подведения под знак дифференциала будет использован и при решении других задач типового расчета.
Замечание. Метод подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменной или метода подстановки, который состоит в применении формулы
\f(x}dx = \f[gtf\g\t)dt
(1-11)
9
'=g-1(*)
то есть вычисление интеграла jf (x)dx сводится к вычислению интеграла Jи последующей подстановке новой переменной интегрирования. Формула (1.11) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При этом предполагается, что интеграл Jf[g(ty\g'(t)dt “ближе к
табличному”, чем исходный интеграл. В простых случаях можно не вводить явно обозначение новой переменной интегрирования t, что и делается в методе подведения под знак дифференциала.
Метод интегрирования по частям принадлежит к числу основных методов интегрирования и заключается в применении формулы
$U(x)dV(x) = t/(x) • К(х) - |К(х) dU(x) (1.12)
для нахождения неопределенных интегралов и формулы
b ь b
Jt7(x)dK(x) = t/(x) • К(х) -\V(x)dU(x) (1.13)
а а а
для вычисления определенных интегралов. Формулы (1.12)-(1.13) справедливы для любых непрерывно дифференцируемых функций U(x) и И(х). Применение этих формул предполагает, что интегралы, стоящие в правой части, “ближе к табличным” чем исходные интегралы.
При практическом использовании формул (1.12)-(1.13) надо прежде всего установить, какая функция в подынтегральном выражении принимается равной С/(х) и что отнести к dV(x). Затем по установленному выражению U(x) надо
10
дифференцированием найти dU(x), а по известному dV(x) определить интегрированием функцию V(x). Следует помнить, что в состав dV(х) должен обязательно входить дифференциал независимой переменной х.
Отметим, что формулы (1.12), (1.13) можно применять неоднократно.
В качестве указаний к задачам 1-2 рассмотрим следующие примеры.
Пример. 1.5. Найти |хе10%<7г.
Решение. Применим формулу (1.12), полагая U(х) - х, dV(х) - elOxdx. Тогда £7(х) = х, dU = dx dV (х) - eQxdx 7(х)= je10xdx =0,1е10х
Юл
= 0,1 • х е10л - 0,1 Jе10л dx = 0,1е10л (х - 0,1) + С.
Ответ: 0,1е10х(х - 0,1) + С.
Замечание. При нахождении этого интеграла нецелесообразно брать t/(x) = e10*, dV{x)~xdx (что формально можно делать), так как в этом случае получили бы dU(x) - Юе10*<7г, Г(х) = х2 /2. Тогда по формуле (1.12)
fxe10xdx - (х2 / 2)е10% - 5 |х2е10%<Тг.
Совершенно очевидно, что интеграл, стоящий в правой части, сложнее исходного. Поэтому выбор U(х) и dV(х) не может быть произвольным.
Пример 1.6. Найти jarcsin(l + 2x)dx.
Решение. Применим формулу (1.12), полагая t/(x) = arcsin(l + 2х), <7К(х) - dx. Тогда
jarcsin(l + 2x)dx =
2dx
U (х) - arcsin(l + 2х), du - ..........--
/1 /1 , o„\2
dV - dx, Г(х) = х • /1 \ г (2* + 1) - 1 ,
= х arcsm(l + 2х) - J —.dx =
. Z1 о ч 1 г<7(1 - (1 + 2х)2) = х arcsm(l + 2х) + — J
d(\ - (1 + 2х)2 ) = -4(1 + 2x)dx _
<7(1 + 2х) = 2dx
1 г <7(1+ 2х)
2 4, /1 , <72
arcsin(l + 2х) + 0,5д/1 - (1 + 2х)2 + 0,5arcsin(l + 2х) + С.
Ответ: (x + 0,5) arcsin(l + 2x) + 0,5д/1 - (1 + 2x)2
11
Пример 1.7. Найти JVx In2 xdx.
Решение. Применим формулу (1.12), полагая U(x) = (lnx)2, dV = <[xdx.
Интегрирование по частям здесь придется применять уже дважды.
2 2 l/(x) = ln х, dU = — Inxdbc □
х1/3 In2 xdx - X = —X4/3 In2 x -
dV=xx/3dx, V(x) = -x^ 4
4
- — f x ^3 In xdx = C/(x) = Inx, dU = — X =Лх4/31п2х-
2 J dV - x^3dx, /(x) = |x4/3 4
- — [ — х^3 Inх - — fx= — X4/3 In2 х - — X4/3 In X + — X4/3 + С. 2 <4 4 J ) 4 8 32
3 ч/-( Ответ: — xvx In
4 I
3 9)
x----In x н— + C.
2 87
1.2. Указания к задачам 5-7
Рассмотрим особенности интегрирования рациональных дробей.
Рациональной дробью называется функция вида Рт (х) / Qn (х), где Рт (х) и Qn (х) - многочлены степеней т и п соответственно. Если т > п, то дробь называется неправильной и следует путем деления числителя Рт (х) на знаменатель Qn (х) выделить в этой дроби целую часть. После этого дробь можно представить в виде:
Р„(х) / Q„(x) = М„(х) + Rr(x) / Q„(x), (1.14)
где Мт_п (х) и Rr (х) - многочлены степеней т - п и г соответственно; причем г < п, т.е. дробь Rr (х) / Qn (х) уже является правильной.
Пример 1.8. Представить неправильную дробь суммы целой части и правильной дроби.
х4 - Зх2 + 5х + 4 х2 - 8х + 5
в виде
Решение. Делим “уголком” числитель на знаменатель.
13
Дроби следующих четырех типов:
п А . A Mx + N Mx + N
х-а (х-а) х + рх + q (х + рх + q)
(1-17) р2 - 4q < 0, к = 2,3,4,...
называют простейшими или элементарными, а формула (1.16) называется разложением правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Таким образом, интегрирование дроби Rr (х) / Qn (х) сводится к интегрированию суммы простейших дробей четырех типов. При этом неизвестные коэффициенты Л^,..., А^в разложении (1.16) можно найти методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем.
Выражение (1.16) является тождеством. Поэтому, если привести все дроби, стоящие в правой части, к общему знаменателю (?„(х), то в числителе получим многочлен, тождественно равный многочлену Rr (х). Приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему п линейных относительно неизвестных буквенных коэффициентов уравнений. Эта система
совместна и имеет единственное решение в силу существования и единственности разложения (1.16). Ее решение может быть найдено любым из известных методов [2-5]. Иногда эти же коэффициенты проще получить, полагая в многочленах слева и справах последовательно равным корням многочлена (?„(х) (смотри пример 1.9).
После того, как найдены коэффициенты в разложении (1.16), выполняется последовательное интегрирование полученных простейших дробей. Дроби первого и второго типов интегрируются по формулам:
J———dx - А 1п|х - а\ + С, J-——-dx = —(х - а')]~к + С. (1.18)
х-а (х-ау 1-к
Интегралы от дробей третьего и четвертого типов с помощью подстановки t=x+p/2
(1-19)
приводятся к интегралу следующего вида:
г Mt + L , , , r tdt т с dt
[---------dt = M Г---------+ L I----------,
V+m2/ V+m2/ J(r2+m2/
где L=N-Mp/2, m2=q-p2/4, k=l,2,... .
Далее интеграл Г сводится к табличному интегралу подстановкой
(Г + т)
2 2 Т С Ш 7 О
z=t+т , а интеграл Jk = J—-------——к =2,3,... вычисляется с помощью
(Г + т2у
рекуррентной формулы
14
Г ! 2k-3 2т2 (k - 1)(?2 + m2 )л-1 2т2 (к - 1)
Л = J , 7 = - arctg - + С. (1.20)
t +т т т
Пример 1.9. Найти
2х2 - 5х + 4 , ------------dx. (х - 1)(х - 2)2
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. В соответствии с формулой (1.16) разложение исходной дроби на простейшие имеет вид
2х2 - 5х + 4 А В С ------------ =-------1------1------. (х-1)(х-2)2 х —1 х-2 (х-2)2
При этом учитываем, что - 1 и а2 - 2 - действительные корни многочлена Qn(x)=(x-l)(x-2)2 кратностей kj=l и к2=2 соответственно. Умножая обе части последнего равенства на (х-1)(х-2)2, получаем
2х2-5х+4=А (х-2)2+В(х- 1) (х-2)+С(х-1) (1.21)
или
2х2-5х+4=(А +В)х2+(С-4А-ЗВ)х+(4А +2В-С).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, записываем систему для нахождения коэффициентов Л, В и С:
х2 2 = А + В, х1 - 5 = С - 4А-ЗВ, х° 4 = 4А + 2В-С,
решение которой: А=1, В=1, С=2.
Окончательно имеем
г 2х2 - 5х + 4 , с dx с dx f dx
J(x-l)(x-2)2 x-1 x-2 J(x-2)2
2 2
- ln|x -1| + ln|x - 2|-— + C = ln|(x - l)(x - 2)|-h C.
x 2 x 2
2
Ответ: ln|(x - l)(x - 2)|--- + C.
TT 1 1Л TT - f5x5 - 3x4 +x2 - 5x + 3
Пример 1.10. Наити J-------------------dx.
1 X
Решение. Подынтегральная функция - неправильная рациональная дробь.
Поэтому представим ее в виде суммы целой части и правильной дроби (см. пример 1.8 ):
15
5х5 - Зх4 + х2 - 5х + 3 _ „ х2
--------------------= -5х + 3 +-----.
1-х4 1-х4
Тогда
,5х5 - Зх4 + х2 - 5х + 3 , , х2 dx 5 , x2dx
-----------—-----ах = (~5х + 3)dx + ------ = — х +3х+ --------.
1 - y4 1 - г4 2 *] — Y4
1. Л .1 Ж 1 X
Рассмотрим отдельно последний интеграл. Подынтегральная функция уже является правильной рациональной дробью. Заметим, что знаменатель 1-х4 = (1 + х2) • (1 - х) • (1 + х). Поэтому данная дробь может быть представлена в виде
х2 А В Mx + N х — 1-1-----~—• 1-х--------------------1-х 1 + х 1 + х
После умножения обеих частей этого равенства на (1-х4) получим
х2 = Л(1 + х)(1 + х2) + 5(1-х)(1 + х2) + (Мх + У)(1-х2). (1.22)
Для определения неизвестных коэффициентов А, В, М, N применим сначала способ задания частных значений х. При х=7 получаем из (1.22) 1=4А\ соответственно при х=-7 имеем 1=4В. Откуда следует, что А=В=1/4. Теперь сравним коэффициенты в многочленах при х3 в левой и правой частях равенства (1.22). В левую часть этого равенства х3 не входит. Это означает, что коэффициент при х3 равен 0, а в правой части он равен А-В-М. Тогда получаем
0=А-В-М, 0=1/4-1/4-М, М=0.
Остается определить N. Дадим х значение 0. В левой части (1.22) получим 0, а в правой A+B+N, и тогда
0= A+B+N, 0=l/4+l/4+N,N=-0,5.
Заметим, что использование метода неопределенных коэффициентов в этом примере привело бы к необходимости решения системы из четырех линейных уравнений. Окончательно имеем
г5х5-Зх4+х2-5х + 3 , _ 5 2 1 г dx \ г dx 1 <• dx
----------—-------dx = Зх--х + — I---4—---------------- =
J 1-х4 2 4ч-х4ч + х2ч + х2
= Зх - 0,25х2 - 0,251п|1 - х| + 0,25 ln|l + х| - 0,5arctgx + С.
Ответ: Зх - 0,25х2 - 0,251п|1 - х| + 0,25ln|l + х| - 0,5arctgx + С.
1.3. Указания к задачам 8-10
Рассмотрим особенности интегрирования функций 7?(sinx,cosx). Запись 7?(sinx, cosx) означает рациональную функцию синуса и косинуса, т.е. над синусом, косинусом и некоторыми константами производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Интегралы вида
16
j7?(sinx,cosx)<7x (1-23)
приводятся к интегралу от рациональной функции нового аргумента z (или рационализируются) подстановкой
(g(x/2) = z, (1.24)
которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. При этой подстановке х = larctgz, dx = Idz/(1 + z2) ,
sinx - 2dz/(l + z2), cosx = (1 - z2 )/(l + z2) (1-25)
и
p?(sinx,cosx)<7x = Ja((2z/(1 + z2),(l - z2)/(l + z2)j(2<7z/(l + z2)), (1-26)
где подынтегральная функция в правой части рационально зависит от z.
Название универсальной, подстановка (1.24) получила потому, что она во всех случаях дает возможность проинтегрировать функцию R(sinх, cosх). Однако в ряде случаев ее использование может привести к значительному усложнению процедуры интегрирования по сравнению с другими неуниверсальными подстановками. Укажем три таких подстановки, которые могут быть использованы при выполнении типового расчета.
1.Если 7?(sinx,cosx) меняет знак при замене sinx на -sinx, т.е. если R(sinx,cosх)- нечетная функция от sinx, то для рационализации используется подстановка
cosx—z. (1-27)
2. Если 7?(sinx,cosx) меняет знак при замене cosx на -cosx, т.е. если 7?(sinx,cosx)- нечетная функция от cosx, то для рационализации используется подстановка
sinx=z. (1.28)
3. Если 7?(sinx,cosx) не изменяется при одновременной замене sinx на -sinx и cosx на -cosx, то для рационализации используется подстановка
tgx=z. (1-29)
тт 1 и и - f (5+ 6sinx)6&
Пример 1,11. Наити I —------------.
sinx(4 + 3cosx)
Решение. Применяем универсальную тригонометрическую подстановку: tg х / 2 - z. Используя формулы (1.25), имеем
(5 + 6sinx)6&c sinx(4 + 3cosx)
5z2 + 12z + 5 7
----------z---dz.
z(J + z2}
17
Разложим дробь, стоящую под интегралом, на простейшие:
5z2 + 12z + 5_ A ±Bz+C z(7 + z2) z 7 + z2
7 7 5 30
отсюда 5z2+12z +5=4(7+ z2) + (5z + C)z; A = -, B = — , C=12.
Поэтому
2
f 5z + 12z + 5 , 5 f dz 30 c zdz , . dz 5 , , , 15 , z 7
J----------—dz = -[— + — J—--------+ 12 f—-----= - Inz + — ln(z2 + 7) +
J z(7 + z2) 7 J z 7 z2 + 7 z2 +7 7 " 7
2 — + 7 j + —= arctg —= tg — + C.
2 ) V7 <77 2J
Ответ: — 1пЩ —
7 2
15, ( 2 х
ч---In tgz —\-7
7 I 2 .
711 tg2 xdx
Пример 1.12, Вычислить J ------------.
о 3 + 2cos2x
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию: 7 2 ?
tg X _ tg X _ tg X
3 + 2 cos 2x 3 + 2 cos2 x-2 sin2 x 5-4 sin2 x
Числитель и знаменатель последней дроби не изменяются при замене sinx, cosx соответственно на -sinx, -cosx. Поэтому используем подстановку (1.29) и учтем, что x=arctgz,
dx - dz/\\ + z2), sin2 x = z2 \\ + z1), cos2 z = 1/(1 + z2).
Поэтому
Ч3 tg2xdx о 3 + 2cos2x
Рассмотрим теперь особенности нахождения интегралов вида
j sin2" xdx, jcos2" xdx (1.30)
и
j sin2/w x cos2rt xdx,
(1-31)
18
где т и п - целые положительные числа.
Из тригонометрии известно, что
sin2 х = 0,5 • (1 - cos 2х),
cos2 х = 0,5 • (1 + cos 2х),
2 sinx • cosx = sin 2x.
Применение этих формул позволяет снизить степени в подынтегральных функциях рассматриваемых интегралов и свести их к табличным.
Пример 1.13» Найти j cos4 xdx.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
cos4 х = (cos2 х) - (0,5(1 + cos2x)}2 = 0,25^1 + 2cos2x + cos2 2х) =
= 0,25(1 + 2cos2х + 0,5(1 + cos4x)) - 0,25(1,5 + 2 cos2x + 0,5 cos 4x).
Поэтому
(cos4 xdx =0,25 J(l,5 + 2cos2x + 0,5cos4x)g6c = 0,25(l,5x + sin2x + 0,125sin4x) + C.
Ответ: 0,25(l,5x + sin2x + 0,125 sin4x)+ C.
Пример 1.14. Найти jsin4 x cos2 xdx.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию так:
sin4 х cos2 х = sin2 х cos2 x sin2 x = (sinx cosx)2 sin2 x =
= 0,25 sin2 2x 0,5(1 - cos2x) = 0,25 • 0,5(1 - cos4x) • 0,5(1 - cos2x) =
= 0,0625(1 - cos4x - cos2x + cos4xcos2x) =
= 0,0625(1 - cos4x - cos2x + 0,5(cos2x + cos6x)) =
= 0,0625(1 - cos4x - 0,5 cos 2x + 0,5 cos 6x).
Поэтому
f sin4 x cos2 xdx = 0,0625| x - — sin 4x - — sin 2x + — sin 6x | + C.
J I 4 4 12 )
Ответ: — | x - — sin 4x - — sin 2x + — sin 6x | + C. 16< 4 4 12 )
1.4. Указания к задаче 11
Если для интеграла j f (x)dx, где подынтегральная функция f (х) не является рациональной, можно указать такую подстановку, которая приводит к виду jR(f)dt, где R(f)~ рациональная функция, то последний интеграл, а значит и интеграл
19
jf (x)dx, выражается в элементарных функциях. Применение такой подстановки ь
для вычисления неопределенного интеграла j f (x)dx (или определенного j f (x)dx), a
как уже отмечалось выше, называется методом рационализации. В частности,
интегралы вида
(1-32)
где R(x,y,z,...) - рациональная функция своих аргументов, п\, т2, п2 ... - целые числа, вычисляются с помощью подстановки x=t\ где s - наименьший общий
знаменатель дробей общего вида
mi/ щ, т2/ п2 , .... Аналогично вычисляются интегралы более
ь /А х,
а
сх + сГ \рх + qj
т2
' сх + п2 \рх + q)
dx.
(1-33)
Подынтегральное выражение в (1.33) рационализируется, если сделать подстановку (ex + d) / (рх + q')-ts.
Пример 1.15. Вычислить определенный интеграл
64 (1 + ifx^dx
1 (ifx +
Решение. Имеем интеграл вида (1.32). Показатели степеней - рациональные дроби 1/4, 1/6, 5/6, их наименьший общий знаменатель равен 12. Применим подстановку x = Z12. Тогда dx -\2tudt, t = х3[х, = Тб4 = 72 .
Следовательно,
61 (1 + №)а ^(1 + Г)12<"<й 4(1 + ?)<й r’C +
+ I (f3+«2)/10 i <(’ + ') i t ‘
Ju Л (t2
= 12 f t -1 + -\dt = 12--1 + Int
Д t) 12
= 12 1-72 + In л/2 - - 4-1 ] =
= б(з - 2л/2 + In 2).
Ответ: 6^3- 2^2 + 1п2).
20
Пример.1.16. Вычислить определенный интеграл
j А
о (х + 8)7б4-х2
Решение. Представим данный интеграл в виде
8 J(8-x)/(8+x) j 8 _______ J
J _ f в_____________аХ _ f 7(8-х)/(8+х) _______ОХ____________
' (х + 8)7(8 - х)(8 + х) oJ (х + 8)2 7(8 - х)/(8 + х) ’
Подынтегральная функция /(х) =r(x, 7(8-х)/(8 + х) j, т.е. данный интеграл -интеграл вида (1.33), где с= -1, р=1, q=d=8. Сделаем подстановку t2=(8-x)/(8+x), откуда х - 8 • (1 - t2) / (1 + t2), dx = —3'2.tdt I (1 + t2 )2. Далее находим новые пределы интегрирования tx = 7(8- 0)/(8 + 0) = 1, t2 - 7(8 - 8)/(8 + 8) = 0 и
вычисляем интеграл
Ответ: (е - 1) / 8.
Интегралы вида
1.5. Указания к задаче 12
(1-34)
(1-35)
(1-36)
где /?(...)
- рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью
тригонометрических или гиперболических подстановок. Для вычисления интеграла (1.34) применяют подстановку x = m-sin/L или x=m-cosz, а также x = m-tht.-Интеграл (1.35) вычисляют с помощью одной из подстановок: x = m-tgt,
х-т - ctgt, х = т- sht. Для вычисления интеграла (1.36) применяют подстановки х = т / sin?, х = т / cos?, х = т / cht .
21
С помощью указанных подстановок интегралы (1.34) - (1.36) приводятся к
интегралам вида jA(sin/, cos f)dt, \R(sht,cht)dt, которые допускают применение О ?!
метода рационализации, поэтому соответствующие первообразные могут быть выражены через элементарные функции.
3/2 x2 dx
Пример. 1.17. Вычислить определенный интеграл Г ........ ...
о |9 -х2 W9 -х2
1 , L
— ----\\dt =
^cos21 '
Решение. Так как данный интеграл имеет вид (1.34), то применяя подстановку х = 3 sin t, получаем dx = 3 cos tdt, t{ =0,t2 = л / 6. Следовательно,
37 x2dx _ Ч5 6(3 svot}2?)costdt _ sin2 tdt
о (9-x2W9-x2 0 9cos21 -3cosZ 0 cos2? 0
^/6 _ V3 _ £ _ 2V3 -
о 3 6 6
<3
Пример 1.18. Вычислить определенный интеграл j----=..
1 х27х2 +
Решение. Применим тригонометрическую подстановку dx = dt / cos2 t, tx = arctgl = , t2 = arctg43 = тг/Ъ. Далее,
подынтегральное выражение dx dt
x — tgt, тогда преобразуем
dt
cos tdt
л/3
sin t
х2л/х2 + 1 cos2 t-tg2t^tg2t + l COS2 t-tg2t(cos0 1 sin2 t Таким образом, dx _ cos tdt _ d(sin t) _ 1
J 0 I ~ J .? — J -2 ~
1 x2dx2 + 1 zr/4 Sin t Л-/4 Sin t Ответ: (зТ2-2д/з)/3.
2 2 Зл/2 - 273
— + —=7 = ------------
/3 72 з
5^/2 д/д-2 _ 25
Пример 1.19, Вычислить определенный интеграл j -------
5 X4
Решение. Полагая х = 5cht, найдем неопределенный интеграл
22
2 -25 x4
.5\cn t !) 1 {Sh2tdt 1 r 2 th3t
-------- 5shtdt = — [--— = — \th td(tht) =- 625ch4t------------------------------------------------25 3 ch2t 25 3 75
/7 \ 3/2
1 Г ch2t -1 751 ch2t >
. < 2 ОЛ3/2
l x - 25
751 x2 >
Согласно формуле (1.5) будем иметь
2 5V2
х - 25
f л/х2 -25
J 4 5 x
75 k
_ J____1 _ V2
5 " 75 2-У2 300'
1.6. Указания к задаче 13
Выражение хт (а + bxn )р dx, где а и b - отличные от нуля вещественные числа, а т,п,р - рациональные числа (п?Ю), называется биномиальным дифференциалом. Доказано, что интеграл
fxm(a + bxn}p dx (1-37)
выражается в элементарных функциях тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел р, (т + 1) / п, ((m + 1) / п) + р - целое.
Еслир - целое положительное число, то выражение (а + Ьхп~)р развертывается по формуле бинома Ньютона, и подынтегральная функция после раскрытия скобок будет суммой функций вида Схк, которые легко интегрируются. В том случае, когда р - целое отрицательное число, подынтегральное выражение рационализируется с помощью подстановки х=/,где s - наименьший общий знаменатель дробей т и п.
Если (т+1)/п - целое число, то интеграл (1.37) приводится к интегралу от рациональной функции подстановкой t - yja + bxn , где s - знаменатель дробир.
Если ((т+1)/п)+р - целое число, то для рационализации подынтегрального выражения следует применить подстановку t = yjax~n + b , где s - знаменатель дроби р.
у1 + tfxdx
6/ 5 х ух
Пример 1.20. Найти
/ \ уз
Решение. Представим данный интеграл в виде jx-1 (1 + х1/4 I dx. Сравнивая с интегралом (1.37), замечаем, что т- -11/3, п=1/4, р=1/3. Так как ((т+1)/п)+р=
23
= -10/3+1/3=-3 - целое, то полагаем t = ух 1/4 + 1, откуда t3-l=x '1/4. Далее, находим х=(р-1)-4, dx = -4(t3 - If5 3 • t2 dt,
х-|,/6(1 + х1/4)1/3 =х~,|/6 -х1/12(х^4 +1)'/3 =х-7/4(х-|/4 +1)1/3 =(Г3 -I)7-t,
следовательно,
fx-"/6(l + x1/4)1/3^ =-12f(f -l)7-t{t3 -l)’5 • t2dt = -12J(? -l)2-t3dt =
+ C, ? = (хч/4+1)1/3.
Ответ: — (40/7 -14?° -35/4) + C, t = (x~l/4 + 1?/3.
35' ' \ J
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Указания к задаче 14
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у = ffx\ У = /г(х) и двумя прямыми х = а, х = Ь, вычисляется
по формуле ь
S=\(.f2(x)-f1(x))dx. (2.1)
а
Пример 2.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = хд/1 - х2, у = 0, х=0,х=1.
Решение. В данном случае tz = O, b = 1, ffx)=<f /2 (х)= xdl -х2 , причем
/2 (х) > (х) на отрезке [0,1]. Применяя формулу (2.1), получим
S = Jxy/l - х2dx = о
1-х2 = t2, tx - Ixdx = 2tdt,
Ответ: 1/3.
Заметим, что иногда вычисления упрощаются, если поменять ролями оси Ох и Оу; тогда аргументом является у, а формула (2.1) принимает вид d
s = f (g2 О) - S\ {yf)dy, (2.2)
С
где х = ^(у), x=g2(y), (g2(y)> g](y)), у = с, y = d - уравнения линий, ограничивающих фигуру.
24
О
Пример 2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1,
х - у - 1 = 0.
Решение. Первая линия представляет собой параболу с осью симметрии Ох и вершиной А(-1/2, 0), а вторая - прямую, имеющую с параболой две общие точки В(0,-1) и С(4,3) (рис.2.1). Форма фигуры не позволяет непосредственно, т.е. не разбивая ее на части, применить формулу (2.1). Однако, если рассматривать фигуру относительно оси Оу, то можно применить формулу (2.2). Здесь gj (у) = (у2 - 1) / 2, g2 (у) = У + 1, поэтому согласно формуле (2.2) будем иметь
3<
5= J у+1-
-1<
3 9 5
_ —р _
-! 2 6
16
3 '
Ответ: 16/3.
Рис. 2.1. К примеру 2.2
Рис. 2.2. К примеру 2.3
2.2. Указания к задаче 15
Площадь фигуры, ограниченной кривой, имеющей параметрические уравнения х - x(t), у = y(t), прямыми х = а,х = b и осью Ох, вычисляется по формуле
S = \y(t}-x'(t}dt, (2.3)
где пределы интегрирования находятся из уравнений х(^) = a, x(t2 ) = b (y(t) > 0 на отрезке ,t2 ]).
Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями: х = 4 cos3 t, .у = 2 sin3 Z, х = ^2, (x>V2).
25
Решение. Исключая параметр t, линию L:
о
х - 4 cos t
< можно представить
у = 2 sin3 t
уравнением (х / 4)2/3 + (у / 2)2/3 = 1, из которого следует, что линия L симметрична относительно осей координат, кроме того, |х| < 4, |у| < 2 (рис. 2.2 ). По условию
х > -Л, поэтому фигура, площадь которой нужно найти, расположена в правой полуплоскости и ограничена линией L и прямой х = 42. Найдем пределы интегрирования: х(^) = 42 <=>cos3= l/242=yt} = л/4; х(?2) = 4 <=> cos3t2 = 1 => t2 = 0.
Учитывая симметрию фигуры относительно оси Ох, по формуле (2.3) находим 0 я74 я74
S = 2 J2sin3 t • 12cos3t(- sin t)dt = 48 pin4 Zcos2 tdt = 12 pin2 /sin2 2tdt = я74 0 0
= 6 pl - cos2/) sin22tdt = 6 pin2 2tdt - 6 pos2/ • sin22tdt = 3 pl - cos4z)dz -о oo о
4't ™ J. sin4/ Sin32p7r/4 4n P Зтг-4
- 3 sin 2ra(sm 2t) = 3 t-----------------=3------------=---------.
0J I 4 3 ) о <4 32 4
Ответ: (Зя- - 4) / 4.
Пример 2.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями: х = 5(t - sinf), у = 5(1 - cost),у = 5, (0 < х < 10,у > 5).
Рис. 2.4. К примеру 2.5
Решение. Фигура ограничена горизонтальной прямой у=5 и циклоидой L: x=5(t-sint), y=5(l-cost). Изменению х от 0 до Юте (при этом t меняется от 0 до 2л) соответствует одна арка циклоиды (рис.2.3 ). Для концевых точек дуги АВ значения параметра t найдем из уравнения y(t)=5(l-cost)=5. Имеем cost=0, откуда
26
b
tx- 7i / 2, t2 = Зтг / 2. В соответствии с формулой (2.3) записываем: S = - 5)dx.
а
Переходя к переменной t, будем иметь h Зл72 3zr/2
S= \(y(t)-5)x'(t)dt=- j [5(1 - cost) - 5]5(1 - cos f)dt = -25 j cos/^l - cost)dt = t\ я72 я72
37rr/2f 1 + coslt 1 sin2^
= 25---------------cos t \ dt = 25 — ч------sin t
2 J <2 4
37r/2 _ 71 , _ 25(тг + 4)
— Z/ JI I I
л72 V 2 7 2
n 25(tt + 4)
Ответ: ----------
2
2.3. Указания к задаче 16
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции г = г(ср) и двумя лучами (р = а, <р = Р, где г и (р - полярные координаты, вычисляется по формуле
Р „
S=(l/2)fr2(p)^. а
(2-4)
Пример 2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
г = 7з + 2cos<p.
Решение. Заметим, прежде всего, что линия, ограничивающая фигуру, симметрична относительно полярной оси, так как г(-<р) = г(<р). Далее, учитывая 2тг - периодичность функции г(^), достаточно рассмотреть ее на отрезке [0, тг]. Поскольку полярный радиус г = 7з + 2 cos^>0, то 0 < (р < 5л/6. Нетрудно видеть, что на этом отрезке функция г(^) монотонно убывает от r(0) - V3 + 2 до г(5тг / 6) = 0 (рис. 2.4). По формуле (2.4) с учетом симметрии фигуры находим ее
площадь
S - J (л/З + 2cos<p) d(p = J (З +4a/3cos^ + 4cos2 (p\d(p = o' ' о
5я-/6 , . , . 5я-/6
= j ^3 + 4V3 cos(p + 2 + 2cosl(py^ =- (5<р + 4V3 sin (р + sin2<pj
Ответ:
25тг + 973
6
25тг + 9V3
6
Т1
В более общем случае, когда фигура ограничена графиками функций г = т\ (<р), г = г2 (<р) (г2 (^) - Г1 (^)) и лучами (р = а,<р = ft, формула для вычисления ее площади имеет вид
S = (l/2)f(r22(1p)-r2(<PW (2.5)
а
Пример 2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: r = 2sin2<p, г=1 (г>1).
Решение. Замечая, что функция г = г((р) = 2 sin 2(р имеет период Т=л, рассмотрим ее на отрезке [0,л]. На отрезке [0,л/4] функция возрастает от 0 до 2, на [л/4,л/2] убывает от 2 до 0. При тс/2<ср<тс функция не определена, так как полярный радиус г не может быть отрицательным. В полярной системе координат кривая уравнения r = 2sm2(p ($<(р<л/2) имеет форму лепестка (рис.2.5). В силу периодичности г(^), при изменении (р от 0 до 2л получим два таких лепестка. Уравнение г=1 определяет окружность радиуса 1, центр которой совпадает с полюсом. Таким образом, фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей (на рис. 2.5 они заштрихованы). Найдем площадь Si той ее части,которая расположена в 1 квадранте. Пределы изменения полярного угла получим, решая совместно уравнения кривых: r=l, r(^) = 2sin2^. Имеем: 2sin2^ = l, 2(рк = (-1)* — + лк, (рк = (-1/ — + лк / 2. Отрезку [0,л/2] принадлежат значения 6 12
(рQ- л/\2,(рх - -л/\2 + л/2 = 5тг/12. Применяя формулу (2.5), получим 1 <р\ S - — J (4 sin2 2(р - \}d(p 1 ( sin4<») 57г/12 1 = \(р 2V 2 J,/12 2 л л/з 2тг Искомая площадь S = 2Sy = —1 = — 3 2 2л + Зл/З Ответ: . 1 <р\ = — f [2(1 - cos4<p) - \\d(p - 2<Ро л л/3 —1 . <3 2 ) + зУз 6
6
28
Рис. 2.5. К примеру 2.6
2.4. Указания к задачам 17-19
Длина I дуги гладкой плоской кривой вычисляется по следующим формулам:
1) если кривая задана уравнением у = f(x), то
/= р1 + 0'')2А, (2.6)
а
где а и Ъ - абсциссы концов дуги, а < Ъ;
2) если кривая задана параметрическими уравнениями
X = x(f), у = y(f) (tx<t <t2),xo
‘2 __________
1= +(y')2df, (2.7)
tl
3) если г - r(yp) (а <(р< (3) - полярное уравнение кривой, то Р __________________________________________
1= +(г')га<р. (2.8)
Пример 2.7. Вычислить длину дуги кривой, заданной (1 / 2)(arccosх - хл/1 - х2 j, 0 < х < 1.
уравнением
Решение. Найдем производную у' - -
2 X
1
2
Применяя формулу (2.6), получим
О
я74
х - у2 sin?, dx =
sin 2t\
О
Ответ: (тт + 2) / 4.
о
я74
2 cos tdt = j (1 + cos 2t)dt = I t +
о V 2
Л, = 0 _ t2- 71 / 4 _7t 1 _ 7Г + 2
о "Z+2- 4
2 - X
29
Пример 2.8. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: х - 2(3 cos t - cos 3t), у - 2(3 sin t - sin 3t), 0<t< я /2.
Решение. Из уравнений кривой находим х' - 6(- sin t + sin 3t), у' = 6(cos/ - cos3/). Согласно формуле (2.7) имеем
I = j\/36(sin 3/ - sin/)2 + 36(cos/ - cos3/)2<7? - 6 J^/2 - 2(sin3/ • sin/ + cos3/ • cost)dt = 0 0
= 6 JV2 - 2cos2/cZ/ = 6 jV4sin2 tdt = 12 J sin/cZ/ = -12cos/ =12. 0 0 0 0
Ответ: 12.
Пример 2.9. Вычислить длину дуги кривой, заданной полярным уравнением г = 3(р, 0< (р < 5 /12.
Решение. По формуле (2.8) искомая длина дуги кривой равна 5/12 _______________________ 5/12 ______
I = |д/9^2 + 9 d(p = 3 J-J1 + (р2 dtp. о о
Для вычисления интеграла применим подстановку (р - sht, тогда dtp - chtdt, д/1 + (р2 - 71 + sh2t = cht. Пределы изменения переменной t найдем из уравнений shtx = 0;sht2 - 5 /12. Из первого уравнения следует, что /, =0. Второе уравнение, пользуясь определением гиперболического синуса, запишем в виде (е‘2 - е~‘2 ^2=5/12 или е2‘2 - 5е‘2 /6 -1 = 0. Отсюда, решая квадратное уравнение относительно е‘2 , получим
е'2=1 + ^1=Ш1.
12 V144 12
Так как е2 >0, то е2 =3/2, следовательно /2 = 1п(3 /2) .
Таким образом,
, Л ,2 , 3% 3( sh2t\t2 3/ 7 7 /2 3/ 7 7
I =3 \ch tdt = — I (1 + ch2t)dt = — / н-= — (/ + shtcht] = — (/2 + sht2cht
' 2 ' 2 V 2 7 0 2v 0 2v
Учитывая, что /2 = ln(3 / 2) , sht2 =5/12, cht2 - yjl + sh2t2 =13/12,
3< 3 5 13
окончательно получим: / = - In - +------
21 2 12 12.
Ответ: I = - In — + -— 21 2 144,
30
2.5. Указания к задачам 20, 21
Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является функцией,непрерывной на отрезке [а,Ь], то объем вычисляется по формуле ь
V = (2.9)
а
Выражение для функции 5(х) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции у = /(*)> осью Ох и прямыми х=а, х= Ь, вращается вокруг оси Ох, то объем соответствующего тела вращения будет определяться формулой ь
V, = x\f2(x)dx. (2.10)
а
По аналогичной формуле
d
Vy = ^\g2Wy (2.11)
С
вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции x=g(y) осью Оу и прямыми у=с, y=d.
Пример 2.10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 / 4 = 1, z = у I д/2, z = 0 (у > 0).
Решение. Данное тело - цилиндрический клин, в основании которого полуэллипс, а наклонная плоскость проходит через малую ось эллипса (рис.2.6). Сечение клина плоскостью y=const представляет собой прямоугольник, площадь которого S=2hx. Поскольку А = у / л/2, х = д/1 -у2 /4 = ^4 - у2 / л/2, то 5 = 5(у) = у-^4 - у2 / л/2. Заменяя в формуле (2.9) х на у, находим искомый объем
тела
V = р(}.)Л = ]y^-y2dy = —1(4~/)3'2 2 = ±/2.
о d2i V2 3 о 3
Ответ:
3
Пример 2.11. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2 /25+у2 / 9-z2 /16=1 , z = 0,z = 2.
Решение. Тело ограничено однополостным гиперболоидом х2 125+ у2 / 9 - z2 /16 = 1 и горизонтальными плоскостями z = 0,z = 2 (рис.2.7).
31
Рис. 2.6. К примеру 2.10
Рис. 2.7. К примеру 2.11
Для вычисления его объема применим формулу (2.9), заменив в ней х на z. Сечениями гиперболоида плоскостями z=const являются эллипсы, уравнения которых имеют вид
—~—+—4—=ь <2л2)
25(1 + z /16) 9(1 + z2/16)
Отсюда ясно, что полуоси эллиптического сечения (2.12) равны а = (5 / 4)716 + z1 и b - (3 / 4)716 + z1 . Известно, что площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, вычисляется по формуле 8 = лаЬ,
следовательно, 5 = S(z) = (15л- /16)(16 + z2). Теперь по формуле (2.9) находим
2 1С 2 1С ( 3 X
ИХ 7 1 jTC Г , - 2\7 I 1 /" %
z)dz =------ (16 + z )dz =------ 16z H----
о 16 о 16 3 )
2 _ 65;г
о
г. 65л
Ответ: ---
2
Решение. Из системы уравнений
Пример 2.12. Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и оси Оу фигуры, ограниченной линиями у=х2, у=2-х (х>0).
f у = Х2
Л найдем точку пересечения (1,1) у - 2- х
данных линий (рис.2.8). Искомый объем Vx есть разность двух объемов: объема V], полученного вращением прямолинейной трапеции, ограниченной прямой у=2-х, и объема V2, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой у=х2. Применяя формулу (2.10), получаем
1 1 (2 —х)3
Vx = VX -V2- л 1(2 -x)2dx - л$х4Лх = -л-----
О о з
1 х5
—л— о 5 о
1 л 8 л л _ 32л-
3 3 5 - 15
о
32
Рис. 2.8. К примеру 2.12
Рис. 2.9. К примеру 2.12
Аналогично, пользуясь формулой (2.11), найдем объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Оу (рис.2.9). Объем тела вращения Vy= V) +V2, где V) - объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой х = у[у, 0 < у < 1; V2 - объем тела, полученного вращением трапеции, ограниченной прямой х = 2- у, 1 < у < 2
Таким образом, имеем 1 2
Vy = 71 \ydy + 71 J(2 - y^dy = о 1
Ответ: у = V = — х 15 у 6
77 (2 -у)3 2 _ 71 71 -Ъ 71
3 1 ~ 2 3 ” 6
2.6. Указания к задаче 22
Для решения задачи 22 (варианты 1-10) нужно воспользоваться законом Паскаля, согласно которому сила Р, с которой жидкость плотностью р давит на площадку S при глубине погружения х, равна P = pgxS, где g- ускорение свободного падения.
Пример 2.13. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции ABCD (рис.2.10). Плотность воды р=1000 кг/м3, ускорение свободного падения g положить 10 м/с2; а=4,4 м, Ь=6,8 м; h=3,0 м.
Решение. Вводя систему координат, как показано на рис. 2.10, рассмотрим элементарную площадку, находящуюся на глубине х, 0 < х < h, имеющую высоту dx. Найдем длину с основания площадки. Для этого запишем уравнение прямой, проходящей через точки В(0;3,4) и С(3;2,2). Имеем
х/3=(у-3,4)/(2,2-3,4), отсюда с=2у=6,8-0,8х и, следовательно, площадь dS=?dx=(6,8-0,8х) dx. Давление на площадку согласно закону Паскаля, равно
dP = pgxdS = pgx(6$ - 0,8x)dx.
33
h
О
Интегрируя, найдем силу давления воды на плотину
Р = ^dP = pg jx(6,8 - 0,8х)<Я - yCg(3,4x2 - 0,8х3 / 3)
= pgh2 (3,4 - 0,87г / 3) = 1 000 10 • 9(3,4 - 0,8) = 234-104 (Я).
Ответ: 23 4-104 Н.
При решении вариантов 11-31 задачи 22 для вычисления работы переменной силы F(x), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а,Ь], следует применять формулу ь
А = jF(x)tZr .
а
Пример 2.14. Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту Н=700 км. Масса спутника ш=8 т, радиус Земли R=6380 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
Решение. Обозначим через F силу притяжения спутника Землей. Согласно закону всемирного тяготения
(2-13)
F = KmM/r\
где К - гравитационная постоянная, М - масса Земли, г- расстояние от спутника до центра Земли. При r=R, то есть на поверхности Земли, имеем F=mg, поэтому mg=(KmM)/R2. Отсюда находим KM=gR2 и, следовательно, F=F(r)=(mgR2)/r2 . Таким образом, искомая работа?согласно (2.13)5равна
R+H R+H
А = \Р(гДк = mgR 2 ^r~2dr - -mgR 2 г R R
Подставив числовые данные, будем иметь
л 8 -103 -10 - 6380 -103 • 700 • 103 с 1п10
А =--------------------;-----« 5 • 10 Д ж •
R+H
= mgR2(1 IR -1 /(7? +Я)) = mgRH I(R +Я).
R
2-1
(6380 + 700)-IO3
Ответ: 5 • 1010 Дж.
34
Пример 2.15. Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h=l м. Длина Н и радиус R цилиндра равны соответственно 1,4 м и 0,2 м (рис.2.11).
Решение. Пусть поршень находится на расстоянии х, 0 < х < h, от правого края цилиндра. Сила, с которой сжатый газ давит на поршень, равна F=pS, где S = nR2 -площадь поршня, р = р(х) - давление газа. Найдем зависимость р= р(х), пользуясь уравнением состояния газа pV=C=const. Если х=0, то, согласно условию задачи, р = 103,3 кПа, следовательно, С = 103,3 • n:R2H.
Рис. 2.11. К примеру 2.15.
Для 0 < х < h имеем
С _ 103,3-л-Л2Я _ 103,3-Я
V тгЯ2(Я-х) Я-х
а тогда
F = pS = 103,3-kR2HДН -х).
Применяя формулу (2.13), находим h h
А = j>(x)o?x =103,3- nR2H • J(Я -хДДх = о о
= -103,3 -7iR2H 1п(Я -x)h = 103,3 -nR2H In—— о Я - h
Подставляя численные значения параметров, получаем
А = 103,3 103 3,14 0,04 1,4 In 3,5 *22700 Дж
Ответ: 22700 Дж.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты. - М.: Высшая школа, 1983. - 174 с.
2. Кудрявцев Л.Д Курс математического анализа. - М.: Высшая школа, 1988. Т.1. -712с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. - М.: Наука, 1985. Т.1.-432 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988. - 432 с.
5. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1969.-736 с.
Учебное издание ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к типовому расчету для студентов всех специальностей
Составители: РЕШЕТНИКОВ Юрий Андреевич
СЕЛИВАНОВ Владимир Владимирович Корректор Ю. Кретова
Подписано в печать 14.04.00 . Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. п. л. 2,09.
Уч. - изд. л. 2,00. Тираж 200 экз. Заказ 8
Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.
Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.