COMPTE RENDU
DES SÉANCES
DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES.
SÉANCE DU LUNDI 6 JUILLET 1840.
PRÉSIDENCE DE M. PONCELET,
MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS
DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L’ACADÉMIE.
analyse mathématique. — Sur ^intégration des équations différentielles
ou aux différences partielles; par M. Augustin Cauchy.
« En suivant la méthode que j’ai publiée en 1835, et que j’ai rappelée
dans le Mémoire présenté lundi dernier à ('Académie, on ramène l’inté*
gration d'un système d’équations différentielles d’un ordre quelconque à
l'intégration d’une seule équation linéaire du premier ordre aux différences
partielles. Par conséquent cette méthode a l’avantage de rendre utiles, pour
l’intégration des systèmes d'équations différentielles, les théorèmes relatifs è
l'intégration des équations linéaires. Or, .parmi ces théorèmes il en existe
un qui mérite surtout d’être remarqué. Ce théorème, appliqué à une équa-
tion aux différences partielles qui ne renferme que des termes propor-
tionnels à la variable principale et à ses dérivées du premier ordre, sert à
passer immédiatement de l’intégrale générale d’une semblable équation à
l’intégrale d’une équation qui renfermerait de plus un terme représenté
par Une fonction des variables indépendantes. J’ai fait voir que la seconde
G R. i&|o,	N«l.)	I
( 96i )
poids appliqué à l’une de ces deux paraboles se trouve alors augmenté,
mais cette augmentation peut être compensée par l’application d’un poids
pareil à l’origine de l’autre parabole. D’ailleurs les divers poids ainsi appli-
qués aux origines de diverses paraboles peuvent être évidemment rem-
placés par un poids unique dont le.point d’application serait situé à l’unité
de distance de l’axe de suspension.
» On ne saurait disconvenir que le moyen proposé par M. Léon La-
laune n’ait sur celui qu’indiquait M. Bérard l’avantage de remédier plus
efficacement à l’inconvénient que nous avons signalé. A moins d’étre cons-
truite sur une grande échelle, la balance algébrique, telle qu'elle a été
donnée par son auteur, fournira toujours difficilement les valeurs des ra-
cines positives qni ne seront pas comprises dans des limites fort resserrées
dans le voisinage de la fraction Ajoutons que la nouvelle' machine est
construite de manière à remplir avec uue assez grande exactitude les fonc-
tions qui lui sont assignées, et que les détails de construction imaginés par
M. Léon Lalanne sont en rapport avec le but que cet ingénieur s’était pro-
posé. Observons encore qu’il suffirait de remplacer les paraboles des
divers ordres par d’autres courbes algébriques ou transcendantes pour
rendre la nouvelle machine propre à fournir les racines d’une équation
dont le premier membre serait non plus une fonction entière de l’inconnue,
mais la somme de plusieurs termes proportionnels à diverses fonctions
données.
. » En résumé, vos Commissaires pensent que la machine présentée à
l’Académie par M. Léon Lalanne offre d’utiles perfectionnements à la ba-
lance algébrique, et que pour ce motif de nouveaux encouragements sont
dus par l’Académie & l’ingénieux auteur de plusieurs autres appareils
qu’elle a déjà honorés de son approbation. »
Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.
MÉMOIRES LUS.
phtskjtjb. — Recherches experimentales sur le mouvement des liquides
dans les tubes de très petits diamètres; par M. le docteur Poiseuilli.
(Extrait par l'auteur.)
(Commissaires, MM. Arago, Savart, Savary, Pioliert)
« M.. de Prony, en s’appuyant sur des expériences de Bossut, Couplet
et Dubuat, faites sur des tuyaux de conduite dont les diamètres varient
( 96a )
de 17 à 490 millimètres, et les longueurs de 9 à 3380 mètres, a établi
une formule d’écoulement qui satisfait aux besoins de l'hydrodynamique.
Si les hydrauliciens peuvent négliger l’examen du mouvement des liquides
dans des tubes de diamètres beaucoup plus petits, il n’en est pas de même
des physiologistes, qui doivent considérer Je passage des liquides à travers
des tubes d’environ 0,01 de millimètre de diamètre. Cependant qnelques
auteurs, Dubuat, Gerstner et M. Girard, se sont occupés du mouvement
des fluides dans des tubes d’un calibre bien moindre que celui des tuyaux
auxquels se rapportela formule de M. de Prony ; mais ces tubes sur lesquels
ils ont agi offrent encore leurs plus petits diamètres supérieurs à 1 mil-
limètre. El était donc nécessaire d’étudier l’écoulement des liquides, dans
des tubes dont la capacité approchât de celle des vaisseaux capillaires de
l’économie, en cherchant à découvrir les phénomènes qui leur appartien-
nent exclusivement : tel est le but que nous nous sommes proposé d’at-
teindre , dans les Mémoires que nous avons l’honneur de soumettre au ju-
gement de l’Académie.
» A la vérité M. Navier, en partant d’hypothèses faites <2 priori, sur
les actions réciproques des molécules fluides en mouvement, est parvenu,
à l’aide de l’analyse, à une équation du mouvement des liquides dans des
tuyaux de diamètre'extrêmemeut petit  mais cette formule, qui coïncide
d’ailleurs avec celle que M. Girard avait déjà considérée, quoique ses pro-
pres expériences ne vinssent pas la confirmer, devait, pour être légitime,
s’accorder avec les résultats obtenus expérimentalement.
» Nous avons été conduit à examiner, pour éclaircir la question qui
nous occupe, l’influence que pouvait avoir sur la quantité de liquide qui
traverse ces tubes de petits diamètres, i° la pression; i° la longueur du
tube; 3° son diamètre; 4° la température.
fnfiaence de la pression sur la quantité de liquide qui traverse les tubes de très petits
diamètres.
s Nous avons emprunté la pression, non à la charge du liquide qui
s’écoule, mais à un manomètre à air libre, soit à eau, soit à mercure; nous
nous sommes assuré d’ailleurs directement qu’il était indifférent, dans l’é-
coulement extrêmement lent que nous avions à étudier, de faire usage de
l’une ou l’autre pression. Cette circonstance nous a permis alors d’obtenir
la pression à volonté, et pour ainsi dire instantanément, à l’aide d’nne
pompe foulante. Nous avons opéré depuis une pression de quelques milli-
mètres de mercure jusqu’à huit atmosphères.
( 963 )
k 1-es tubes sont en verre, leur diamètre extérieur est de 4 à 5 milli-
mètres, leur diamètre intérieur varie de o,oi3 de millimètre à o,65 de mil-
limètre, et leur longueur de a millimètres à 8oo millimètres environ.
» Le liquide qui nous a servi est de l’eau distillée.
» La quantité de liquide écoulé ou produit étant, terme moyen, de
i centimètre cube en quelques heures, on n’a pu recueillir le liquide dans
une éprouvette graduée; on conçoit en' effet que pour un écoulement aussi
lent, ce mode de jauger les produits aurait introduit de grandes erreurs
dans la détermination du temps; d’ailleurs il était absolument nécessaire
d’agir à une température qui fut toujours la même, et en opérant comme
nous venons de le dire; le tnbe étant placé au sein de l’atmosphère, l’écou-
lement aurait eu lieu à la température ambiante, et non à une température
constante.
> La quantité de liquide écoulé est déterminée par la capacité d’une
ampoule de verre dè forme ordinairement sphérique ; son volume varie
avec le diamètredu tube sur lequel on expérimente. En des points de celte
ampoule diamétralement opposés, on a fait souder deux tubes supplémen-
taires d’environ de millimètre de diamètre; sur chacun de ces tubes, dont
l’un est supérieur à l’ampoule, l’autre inférieur, on a placé, à l’aidè d’une
lime, et à égale distance de l’ampoule, deux lignes ou indices perpendicu-
laires à leur axe ; au tube Supplémentaire inférieur est soudé le tube de
petit diamètre qui doit servir à l’expérience.
» Après avoir chargé l’ampoule et le tube d’eau distillée, le temps que
met le liquidp à s’écouler, depuis l'indice supérieur jusqu’à l’indice infé-
rieur, est déterminé par un chronomètre, et il représente la durée de
l’expérience.	.
» Un microscope chercheur, par la coïncidence d’un fil horizontal placé
près l’oculaire avec les indices, indique le moment où commence l’expé-
rience et celui où elle se termine:
» Le volnme de l’air, qui presse sur le liquide en mouvement, change
donc depuis le commencement de l’expérience jusqu'à la fin, de toute la
capacité de l’ampoule; pour obvier à là variation dépression provenant
de ce changement, on s’est servi d’un réservoir d’air d’une très grande
capacité : c’est un cylindre en cuivre de forte épaisseur et du volume de
Cio litres environ.
» L’usage de l’ampoule offre, entre autres avantages, celui de pouvoir
agir à une température constante et détermiuée à priori : il a suffi, en
(9«4)
effet, de faire plonger l’ampoule et le tube dans un vase de verre con-
tenant de l’eau distillée, maintenue constamment à la même hauteur pen-
dant toute la durée de l’expérience, aiusi que l’indique un thermomètre
dont la boule est placée au niveau du tube sur lequel on expérimente.
Par cette disposition, le mouvement du liquide a lieu dans un tube éta-
blissant la communication entre deux vases. Tel est, en quelques mots,
l’appareil que nous avons adopté; sans parler ici de quelques recherches
qu’il a nécessitées pour obtenir d’une manière exacte la pression, nous al-
lons rapporter succinctement les expériences qui font fobjet de ce premier
Mémoire.
» La température constante à laquelle on a généralement opéré, est
io" centigrades; les pressions du manomètre soit à mercure, soit à eau
distillée, ont toutes été ramenées à cette température, en partant de la tem-
pérature ambiante et variable du laboratoire.
» Tube A, longueur ioo“’,5; diamètres à ses extrémités :
I d=o,i3oo Extrémité opposée, | d = o,i4<>5
Extrémité libre... J	j <	,	{ n 11
j D — o,i4<o. voisine de (ampoule, j D = 0,1400.
b Aux pressions exprimées en mercure, de 385®“,870; 73g™,itq;
773“®,44^> l’ampoule s’est vidée en des temps respectivement égaux à
35o5”,75; >83o",75; ,i75o”.
» En comparant les temps aux pressions correspondantes, on voit faci-
lement qu’ils sont en raison inverse des pressions.
 On enlève de ce tube une portion de a5 millimètres environ ; le tube,.
réduit à 75"“,8, donne les résultats suivants ;
» Aux pressions en mercure, dé 97““,764; i47'""f832; ig3““,63a ;
387““,675; 738“m,7i5: 774°“°,676, Fampoule s’est vidée en des temps
respectivement égaux à io36i"; 6851"; 5a33"; 261:1 ",5 ; 1372",5; i3o8°;
on voit, comme précédemment, que les temps sont en raison inverse des
pressions.
» Le tubede 5i“”,i de longueur offre toujours la même relation entre
les temps et les pressions.
•Mais, réduit aux longueurs de a5'”",55; t5““,75;g““,55; 6™,75, cette
relation n’a plus lieu; les temps pour des pressions de plus en plus con-
sidérables, sont plus grands que ceux que' donnerait la relation dont il est
question.
ha
d — 0,1l5;
D o,ii45.
( 965 )
» On prend le tube B, de plus petits diamètres que le précédent.
Son
* °’jI „Z’ Extrémité opposée...
V = o, il35.	rr
 Pour les longueurs ioo"m,o5; 75mn,,o5 ; 49““ >375, les temps sont en rai-
son inverse des pressions; le tube réduit à 33™, 5-fi, cette relation qui, pour
le tube précédent, n’a plus lieu pour cette longueur, persiste pour ce
tube B de plus petit diamètre; mais elle cesse d’exister pour les longueurs
g™, 3““,g; comme pour le tube A, les temps correspondants à des pres-
sions de plus en plus considérables, sont proportionnellement plus
grands.
» Le tube C a des diamètres moindres que le tube B.
Extrémité libre circulaire.. D =9.0,084. Extrémité opposée.. I
r	I DX5Q,Otv.
«.La loi précédente existe pour les longueurs, ioo®“,3a5; 74™>9$ ;
49™.7 ’ a4™4> eE aussi pour io"™,i5 ; lorsque pour cette longueur le
tube précédent B et à plus forte raison le tube A ne l’offraient plus.
» Des remarques analogues s’appliquent au tube D, de plus petit calibre
que C, dont les diamètres sont :
ft °* t Extrémité oppose..  !
0=0,0470.	1 0=0,0445.
» Quant au tube suivant E, dont les diamètres sont
Extrémité libre..
HD
à = o,os86,
D = 0,0496,
Extrémité opposée.., |	0
'	I D — 0,03000,
et par conséquent d’un diamètre seulement trois fois plus grand que celui
des vaisseaux capillaires des mammifères, la loi des pressions a lieu pour
toutes les longueurs, même pour celle de a millimètres.
» Il était important de voir si cette loi. existerait encore pour des tubes
de diamètres beaucoup plus considérables que ceux qui viennent d’étre
cités : nous en avons pris un de de diamètre, c’est-à-dire d’un ca-
c. a., 1840, SMWïra.cr. xi, «“Si.*	139
( 066 >
libre 5oo fois plus fort que le précédent. Pour la longueur de 800 milli-
mètres , on a eu le temps en raison inverse des pressions : il en a été de
même pour les longueurs de 4oo et 383 millimètres ; mais la loi a cessé
d’exister pour aoo millimètres, et pour des longueurs inférieures, lors-
qu'au contraire elle a lieu, ainsi que nous venons de le voir, pour des
longueurs beaucoup moindres, dans des tubes de diamètres plus petits;
v La pression, dans les expériences dont nous venons de parler, ne sur-
passe pas une atmosphère; nous avons voulu nous assurer si la loi se sou-
tenait pour des pressions beaucoup plus grandes; nous avons vu, èn effet,
pour des tubes dont les diamètres varient de 0,013 millimètre à o,i3i6
millimètre, que cette loi a lieu jusqu’à 6136 millimètres en mercure, c’est-
à-dire pour une pression supérieure à huit atmosphères. Nous n’avons pas
été plus loin; la rupture d’un appareil, qui fit explosion à dix atmosphères,
nous empêcha de faire usage d’une pression plus considérable.
Il résulte des expériences donc nous venons de faire le résumé, expé-
riences qui, au nombre de près de trois cents, ont été exécutées sur des
tubes de longueurs très diverses, et d’un calibre qui a varié de 1 à a5oo,
que, pour l’écoulement d’une même quantité de liquides, les temps sont
en raison inverse des pressions.
» Cette relation, qui parait d'ailleurs indépendante de la température,
puisqu’elle n’a éprouvé aucune modification eu opérant à 8*, 11* et 19’ c.,
nous permet d’établir facilement le lien qui unit tes produits aux pressions,
pendant le même temps.
» Eu effet, soit a la quantité de liquide écoulé à la pression P et dans le
temps t; à la pression mP cette même quantité de liquide a s’écoulera en
un temps j--; alors à la pression mP dans le temps t, il s’écoulera ma: les
produits sont donc entre eux comme les pressions. Si nous représentons
par Q les produits correspondants, aux pressions P, il viendra alors, pour
l’équation du mouvement des liquides dans les tubes que nous considé-
rons, relativement à la pression, Q=£P, k étant un coefficient constant
pour un même tube; nous verrons bientôt que ce coefficient est une cer-
taine fonction de la longueur du tube, de son diamètre, et de la température
à laquelle on opère.
» Cette relation entre les produits et les pressions ne tient pas à cer-
taines limites de la vitesse, puisque tel tube qui réduit à une certaine lon-
gueur ne la présente plus, offre une vitesse comprise entre celles de deux
t 9*>7 )	'
tubes pour lesquels la loi existe. Mais il résulte de ce qui précède que
pour un certain diamètre, les tubes doivent avoir une longueur supérieure
à une limite déterminée, sans quoi la loi n’existe pas; et cette limite,
comme nous venons de le voir, diminue d’autant plus, que le diamètre du
tube est lui-même plus petit : aussi la loi des pressions existe-t-elle encore
pour la longueur de a millimètres, lorsque le diamètre du tube est de o,o3
de millimètre. De là nous sommes conduit à penser que la relation des pro-
duits en raison directe des pressions existerait encore pour un tube de
o,ot de millimètre, lorsqu’il serait réduit à la longueur de o,5 ou o,3 de
millimètre: ces dimensions sont celles des vaisseaux capillaires des mam-
mifères, dans la trame ou réseau qu’ils forment entre les artères et les
veines.
» Dans une prochaine lecture, nous aurons l’honneur d’exposer à l’Aca-
démie les lois relatives aux longueurs des tubes, à leurs diamètres et à la
température. »
MÉMOIRES PRÉSENTÉS.
mécanique céleste, — Sur la détermination des inégalités séculaires des
planètes, étendue aux termes qui, dans les équations différentielles,
sont du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinai-
sons; parti. Es Verbie».
(Commissaires, MM. Arago, Savary, Liouville. )
I. .	.
« On n’a conservé jusqu’ici, dans le calcul des inégalités séculaires des
éléments des planètes, que les termes dépendants des premières puissances
des excentricités et des inclinaisons. Les termes suivants seraient dn troi-
sième ordre par rapport à ces éléments, et l’on a cru pouvoir les négliger,
soit dans les formules destinées à représenter la marche des éléments des
orbites pendant un petit nombre d’années, soit dans les intégrales générales
qui doivent représenter l’état du système planétaire pendant une suite
immense de siècles.
» Dans le premier cas, pour justifier cette simplification apportée à la
construction des tables des planètes, on s’est borné à remarquer que pen-
isg..
( >o4' )
physique.—Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans
les tubes de très petits diamètres s par M. Je docteur Poiseuille (Suite.)
' .	'  (Extrait par l’auteur.)
 (Commissaires, MM. Arago, Savart, Savary, Piobert.)
H. Influence de la longueur sur la quantité de liquide qui traverse les tubes de très
petits diamètres.
« Polir déterminer l’influence que peut avoir la longueur du tube, nous
avons cherché les temps que met à s’écouler une même quantité de liquide,
sous la même pression, et à la même température, en donnant au tube
différentes longueurs.
a Mais cette marche exige que les tubes de verre soient parfaitement
cylindriques; il n’en est point ainsi, tous sont coniques : cependant
en faisant un choix sur plusieurs centaines de tnbes, nous en avons
trouvé un certain nombre qui, s’ils ne sont pas rigoureusement cylin-
driques, peuvent être considérés comme tels, par suite des petites diffé-
rences de o“”,ooi à o"",boa qu’offrent leurs diamètres aux deux extré-
mités, pour une étendue de too”1" à iSo"”1. On a eu le soin de noter ces
petites différences dans les diamètres des extrémités de chaque tube, et
d’en tenir compte dans lesrésultats qu’on a obtenus.
» Les diamètres ont été mesurés par deux moyens: dans l’un, on s’est
servi de la caméra lùcida adaptée au microscope horizontal d’Amicî, après
avoir toutefois déterminé le pouvoir .amplifiant des lentilles, à l’aide d’un
micromètre ; dans l’autre moyen on a fait passer uti grand nombre de fois
' une certaine quantité de mercure à travers le tube dont pn voulait avoir
le diamètre, on a mesuré chaque fois la longueur de la colonne de mer-
cnrecorrespondante, on a recueilli toutes ces petites quantités de mer-
cure , on en a déterminé le poids à l’aide d’une balance de Fortin, et par
suite le.volume; en divisant ce volume par la somme de toutes les co-
lonnes de mercure, du a obtenu, pour la température à laquelle on a
opéré, la surface d’une coupe du tube perpendiculaire.à son axe, et
conséquemment le diamètre du tube, ou son diamètre moyen s’il est ova-
laire. L’un et l’autre mode ont conduit aux mêmes résultats; mais le se-
cond exigeant un temps très considérable: nous avons préféré le premier,
qui a d’ailleurs l’avantage de donner les petites différences' qui peuvent
exister entre les diamètres du tube, lorsqu’il est ovalaire, comme il arrive
le plus souvent. >	, • .
( IOZ»2 )
» Les longueurs des tubes ont été déterminées à l’aide d’un compas à
verges de M. Gambey; à ce compas est adapté un vemier qui donne des
vingtièmes, et, au besoin, des quarantièmes de millimètre.
» D’après ce que nous savons de la loi des pressions, il était indifférent
de prendre telle ou telle charge dans l’écoulement ; nous avons adopté.la
pression de 775““ de mercure ; quant à la température, nous avons agi
à 10’cent.	J
» Rapportons maintenant les résultats que nous avons obtenus.
» La longueur du tube est de toonu“3a5, ses diamètres sont :
Extrémité libre circulaire.. D = 0,0845. Extrémité opposée.. ( D —0’086 "
On sépare successivement de ce tube diverses portions, ou a les longueurs
joo™“,3a5; 74“")9^ > 49”“>7î 24””,4’	6“,oa5.	_
» Remarquons que- le tube primitif étant, à son extrémité libre, d’un
calibre sensiblement plus petit qu'à l’extrémité opposée, tout tube de
moindre longueur est alors d’un diamètre sensiblement plus grand que
celui qui le précède.
» Les temps que met à s’écouler le. liquide de l’ampoule, pour les lon-
gueurs précédentes, sont respectivement, 3090",8; i56o"; 10118",4; 497*' >
3o3w,t4; i3t'f,a.
» Supposons pour un instant que les temps soient en raison directe
des longueurs des tubes, et cherchons, d’après cette hypothèse, le temps
d’une expérience, en la comparant à celle qui la précède immédiatement,
on aura pour le temps de la a’ expérience,	j56a"	au	lieu	de	156o';
Pour celui de	la	3*,	io34"	au	lieu	de	1038",4;
Pour celui de	la	4*.	504"'ait	lieu	de	497''i
Pour celui de	la	5*,	206”	au	lieu	de	2o3",i4-
Les temps obtenus expérimentalement sont, comme on le voit, tous plus
petits que les temps calculés, mais de quelques secondes seulement; aussi
sommes-nous déjà conduit à penser que l’hypothèse des temps en raison
directe des longueurs, est tout-à-fait fondée; car s’il en est ainsi, les
temps obtenus par l’expérience doivent être tous sensiblement moindres '
que ceux qui résultent de notre hypothèse, puisque tout tube de moindre
longueur étant d’un calibre sensiblement plus grand que celui du tubè
qui le précède, et auquel on le compare, le temps correspondant à l’é-
( io/<3 )
coule ment d'une même quantité de liquide doit être nécessairement sen-
siblement plus petit.	-	
» Mais si le tube, au lieu d’avoir, comme le précédent, son extrémité
libre d’un plus petit diamètre que celui de l’extrémité voisine de l’ampoule,
offre une disposition contraire; si l’on a
“4P	UB
d = O,o46o, Extrémité voisine i 4 = o,o4x5,
D,= 0,0470,	de l’ampoule. j D = o,r>445,
Exiremtlé libre...
et qu’on procède à l’égard de ce tube, cotûme nous venons de le faire
précédemment; alors les temps obtenus expérimentalement sont, au con-
traire, tous plus'grands de quelques secondes que ceux donnés par le
calcul en vertu de notre hypothèse; c’est ce qni devait nécessairement ar-
river, puisque tout tube de moindre longueur est ici d’un calibre sensi-
blement plus petit que celui qui le précède.
» De là nous croyons pouvoir conclure qu’effeçtivement, les temps sont
en raiso.n directe des longueurs.
u Le premier tube réduit à 6“,oa5, et qui pour cette longueur ne pré-
sente plus la loi des pressions, n’offre plus la relation que nous venons
de constater pour 100",3a5; 74“Î>9Ô; 49““,7; a4““,4 et io“,i5; mais
de même que nous l’avons vn relativement à la loi des pressions, le temps,
lorsque le tube a 6“,oa5, est proportionnellement plus grand que celui
que donnerait la relation des temps en raison directe des longueurs; ainsi
la sixième expérience comparée à la cinquième, donnerait , d’après cette
relation, 130",5, lorsqu’on obtient par l'expérience i3i”,3.
» Des résultats tout-à-fait analogues sont fournis par des tubes dont les
diamètres sont o““,i4i6; o”“,t>34-
» Un tube de diamètres pins petits,
„	......	( 4 = 0,0286,	_	.	.	| 4=0,02033,
Extrémité libre,.. } _	_ Extrémité opposée.. I _	 ,
| 0=0,0196,	rr 1 D = o,o3ooo,
donne pour les longueurs a3“",i; 8““,5 ; a"”, t, tes temps respectivement
égaux à aeo3M,4; 784'',9 ; 178'',!; en cherchant, comme précédemment, le
temps d’une expérience comparée à la précédente, on trouve, 787'',18 au
lieu de 734*,9; et 181",3 an lieu de 178”, 1.
» Enfin, un tube dout 1e diamètre est o"“,oi3g4, et par conséquent peu
différent de celui des vaisseaux capillaires des mammifères, donne pour
( io44 )
les longueurs i8“,5o et i*",a5 les temps respectivement égaux à 104°"
et 84*,5 ; le temps de la seconde expérience comparée à la première se-
rait, d’après la loi des longueurs, 83"4> au lieu de 84'',5.
» De ce qui précède, nous concluons que les temps de l’écoulement
d’une même quantité de liquide, à la même pression et à la même tem-
pérature , pour les tubes de très petits diamètres que nous considérons,
sont en raison directe des longueurs, qu’ils présentent. ,
» Le tube de o°",65 de diamètre, que nous avons cité dans le para-
graphe précédent, vient aussi confirmer cette loi, pour les longueurs de
800 millimètres et 400 millimètres.
» Soit a la quantité de liquide écoulé par nu tube dont la longueur est L,
et pendant le temps t, si la longueur du tube devient^, le temps qu’exi-
gera la, même quantité de liquide a pour s’écouler serai d’après la loi
précédente, ^5 alors la quantité de liquide écoulé avec le tube pen-
dant le temps i, sera ma : les produits sont donc en raison inverse des lon-
gueurs des tubes.
» Nous pouvons maintenant faire entrer la longueur L du tube dans la
A* • .	, .	P
formule précédente Q» AP, nous poserons kzs-g, etil viendra Q = A'j ,
le coefficient A' n’étant plus qu’une certaine fonction du diamètre du tube
et de la température, comme nous le verrons bientôt
d La loi des longueurs existant en même temps que celle des pressions,
nous pouvons dire que la relation qui vient d’être établie a lieu aussi pour
des tubes de o““,oi de diamètre, et dont les longueurs seraient deo““,3
à o”"3. De lé nous pouvons conclure, toutes choses égales d’ailleurs,
que tel système capillaire de l’économie, dont les vaisseaux offriraient une
étendue en longueur a, 3, 4 fois moindre que celle des vaisseaux capil-
laires de tel autre système,donnerait passage à uue quantité de liquide a ,
3, 4 fois plus grande que celle qui traverserait ce dernier système.
III,	influence du diamètre fur la quantité de liquide qui traverse les tubes de très
ptli'ld diamètre*,
» Dans le but de satisfaire à cette question, nous avons déterminé les
quantités de liquide écoulé dans des tubes de diamètres différents , sous la
même pression, à la même température, et dans Je même temps, les
tubes ayant même longueur.
( «45 )
» S’il est rare de trouver des tubes cylindriques, il ne ]’est pas moins d’en
rencontrer de circulaires; aussi, dansJe choix que nous ayons fait parmi
un très grand nombre de tubes, nous nous sommés arrêté à ceux qui pou-
vant être considérés comme cylindriques, approchaient le plus d’être cir-
culaires^ on a donc trouvé leur ouverture légèrement ovalaire; mais, en la
considéra ut comme elliptique, et cela sans erreur sensible, on a pu obtenir
le diamètre moyen des tubes.'
» Sans entrer ici dans le détail dés calculs qu’on a dû faire, et qu’il est
facile de concevoir d’après ce qu’il vient d’être dît ; nous allons rapporter les
résultats que nous ont donnés les expériences faites sur sept tubes de même
longueur et dont les diamètres varient de o""1,©) 3 à o"n',65a.
» La pression est 775““’ de mercure; la température 10’ centigrades et
le temps 5oou : on a le tableau suivant:
unit.	bumItm» bu FtLicnOKs M miUitÈTnB,	mqotutb smnrt» su kiujiiIîei*
	IUL	KD- V-
M	o,oi3gJ	1,4648
E	o,osg38	a8,8s6o
D	0,04373	 4>,5oO3
C	0,08549	2067,3913 .
B	0,1134°	6898,3933
A	O;l4>6o	i5533,846i
F	•	0,66217	6996870,0463
 Les diamètres des tubes étant entre eus,en nombres ronds, comme i,
a, 3,6, 8, i o et 5o, il a été facile de voir qne les produits étaient en raison
directe des quatrièmes puissances des diamètres.
« En effet, en cherchant, d’après cette relation, le produit du tube M,
comparé au tubeE, il vient i465o au lieu de t4&j8 que donne
l’expérience.
» En procédant de la même manière sur les tubes E, D, le produit de E
est a8’“‘‘c‘,8o8 an lieu de a8’™*e‘,8a6 obtenus par l’expériencé.
C. a.,,840, !"'• JamHlre. (T. XI,	l4°
f io46 )
» Le produit du tube D comparé à C	est	14 i «63	au lieu de	t4t,5oo,
n I^e produit.de	C comparé à	B	est	io66^3	au lieu de	11067,39,
» Le produit de	B comparé à	A	est	638g,34	aulieude	6898,39,
9 Le produit de	A cômparé à	F	est	15547,10	aulieude	1553a,84.
d Si nous cherchons le produit d’un tube en le comparant à un autre
dont le calibre soit beaucoup plus grand, par exemple, M à D, on a pour
Je produit de M;	au lieu de 1™•',4648.
» Le diamètre du tiibe F est environ 5o fois plus grand que celui de M,
et par conséquent offre un calibre a5oo fois plus considérable; le produit
du tube M comparé à F, est 146448 au lieu de 1"” " 4648.
9 Le produit de C comparé à F, est ao65““"*',ga au lieu de 2067	3g.
» Toute autre combinaison de deux tubes donnant des résultats aussi
satisfaisants, nous sommes en droit de conclure que les produits, toutes
choses égales d’ailleurs, sont entre eux comme les quatrièmes puissances
des diamètres.
9 En joignant ce résultat à ceux obtenus précédemment, il viendra pour
l’équation du mouvement des liquides dans nos petits tubes, D'représen-
PlM
tant le diamètre, Q = A* -j-, A* étant un coefficient constant pour la
même température et la même intensité de la pesanteur.
9 Nous avons,déterminé la valeur de A" pour chacun de ces tubes, en
mettaut à la place de Q, P, D, L les nombres qui leur correspondent, et en
supposant le temps de l’écoulement égal à 1"; on a obtenu :
Pour le tube M....... i"	=	34g5,5o,
Pour le tube E....... ft’	ss	3496100 <
Pour le tube D....... t'	=	a4g4,4*,
Pour le tube C.......ir	=	*497,77,
Pour le tube B.......	-= *4g6,ao,
Pour le tube À....... i'.	=	1491,67,
Pour le tube F ...... k“	=	*4g5,oo.
Ces valeurs de A", comme on le voit, difïereut très peu les unes des autres,
pn*
la moyenne étant 2495,1241 l’équation ci-dessus devient Q=2496,334 —
à la température de 10° c. Si la pression, au lieu d’être déterminée, comme
nous venons de le faire, par une charge de mercure , l’était par une charge
d’eau distillée, la formule deviendrait, toujours à io° c., Q = 188,783	-
( >04? )
P D*
» L’expression de la vitesse, tirée de l’équation Q=À*-^—, est
~v — i—, —jreprésentant le rapport de la circonférence au dia-
mètre). Ainsi la vitesse, dans les tubes de très petits diamètres, est pro-
portionnelle à la pression, en raison inverse de leurs longueurs, et pro-
portionnelle au carré de leurs diamètres.
. formule de M. Navier, déduite par l’analyse, d'hypothèses faîtes à
P.D
priori sur l’état des molécules fluides en mouvement, est V
(H étant un coefficient constant); elle diffère de la précédente en ce
qu’elle contient la première puissance du diamètre du tube, au lieu de la
seconde.
» Les dimensions des tubes capillaires de l’économie animale, étant
telles que les lois du mouvement des liquides que nous venons d’établir,
s’y appliquent parfaitement ; il résulte qu’en considérant les systèmes ca- .
pillaires dfe deux organes, si les vaisseaux capillaires de l’un sont, par
exemple, d’un diamètre a fois plus grand, que celui des capillaires de
l’autre, if passera dans le premier, toutes choses égales d’ailleurs, 16 fois
plus de liquide que dans le second.
P D<
D II serait important d’examiner si l’équation Q=À"—existerait en-
core pour des tubes de diamètres plus grands que ceux que nous avons
considérés. Les expériences de Dubuat, de Gerstner et de M. Girard, fai tes
sur des tubes de diamètres compris entre i- et 4 millimètres, ne s’appli-
quent point à notre formule; mais les résultats que nous a offerts le tube
de om“,65 de diamètre, d’un calibre beaucoup plus considérable qtïe celui
de nos autres tubes, coïncidant avec ceux de ces derniers, lorsque toutefois
sa longueur est suffisamment grande, nous font présumer que les tubes
employés par ces auteurs ne présentaient pas une longueur assez étendue,
eu égard à leurs diamètres, pour que les phénomènes de mouvement qui
pxj)4
s’y rapportent pussent s’accorder avec la formule Q =	-g-- Nous
nous sommes-alors proposé d’agir sur des tubes de plus grand calibre, eu
leur donnant une étendue de plus en plus considérable; mais notre appa-
reil qui, pour le tube de o”m,65 de diamètre, présente déjà quelque diffi-
culté, ne peut se prêter à ces sortes de tubes; il nous aurait fallu en cons-
truire un autre tout-à-fait différent de celui que nous avons employé,
et qui aurait exigé des dispositions qu'il était impossible de rencontrer dans
140..
( io48 )
notre laboratoire; mais, avec l’aide de M. Savart, qui a bien voulu mettre
à notre disposition une partie de sort observatoire hydraulique du Collège
de France, nous espérons pouvoir, étendre ces recherches à des tubes de
dimensions beaucoup plus considérables, et déterminer quelles sont les
limites de grandeur pour lesquelles les lois du mouvement des liquides
que donnent les tubes de très petits diamètres cessant d'exister.
i 11 nous resterait maintenant à exprimer la valeu  de A''qui, pour 10® c.,
est égale à 183,78, en Fonction de In température nous avons agi depuis
o" jusqu’à 45° c. et de 5 en 5 degrés ; nous avon vu pour nos tubes de
petits diamètres, que la quantité de liquide éc uléà 45° était environ
trois fois plus grande qu’à o°. Mais, dans la crainte d’baser plus long-temps
des moments del’Académie, nous remettrons ce te valeur de k" à une
prochaine lecture. »
micrographie. — Études des masses spongillai es ; par M. Lmjbswt-
(Extrait par l’auteur. )
(Commission précédemment nommée, à laquelle sont adjoints
MM. de Mirbel et Dutrochet )
« A l’aide des observations faites sur les corps reproducteurs, sur les
embryons et sur les individus à l’état parfait de Spongilles, jointes aux
observations de soudure entre des fragments de ce corps organisé, on peut
soupçonner le caractère zoologique des masses spot igiliairès.
s Pour arriver à la démonstration du caractère de ces masses, il faut
mettre à profit ces notions préliminaires et procéder à deux ordres d’ob-
servations comparatives.
 Le premier ordre de ces observations comprend l'expérimentation de
la soudure qu’on peut obtenir dans des vases à eau stagnante en opérant
sur les diverses sortes d’embryons, sur des fragments et sur des individus
spongillaires à l’état parfait.
» Les résultats de ces premières observations comparatives ne doivent
être considérés que comme des données préparatoires, nécessaires pour
procéder au deuxième ordre d'observations comparatives. Celles-ci doivent
être faites en même temps, t’ dans les vases à eau stagnante; a° dans un
bassin à eau courante, et 3° dans les divers habitats naturels des Spon-
gilles.
» Il résulte de toutes ces observations, répétées un grand nombre de
fois î