/
Text
АНТОНЕВИЧДВ.РАДЫНО
ла-
ук-
све-
Как
ша-
и
гео-
932
Ба-
Балтия
рте-
Ьли-
Ке и
'НК-
гов,
ура
:тей
^НКЦИОНАЛЬНЫЙ
1АЛИЗ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
РАВНЕНИЯ
пущено Министерством высшего и сред-
о специального образования СССР в каче-
е учебного пособия для студентов универ-
етоа, обучающихся по специальности «Ма-
шгики» f"K"
это
те-
тесте-
;ие-
t>TO-
•кен
1ЫЙ
:И И
tao-
рвы
ных
Гнк-
|ло-
Гве-
ии-
вУиниврснтвтсков» 'ЩШ ед"
до-
пик гмвгитз
А72
ИМ .117.9@75.8)
Рекомендовано Советом механико-математического факультета
Белгосуниверситета имени В. И. Леиииа
Рецензенты:
кафедра высшей математики Московского физико-технического иь-
ститута (зап. кафедрой профессор Л. Д. Кудрявцев),
кандидат физико-математических наук, доцент В. М. Говоров
С
Ч:
>.
о
1702050000—051
А- 24—84
М317—84
Издательство «Университетское», 1984Л
IT А1Т0ЮВ
Функциональный анализ изучает множества, снабженные согла-
согласованными между собой алгебраическими и топологическими струк-
структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых све-
сведения об этих структурах' применяются к конкретным задачам. Как
самостоятельная математическая дисциплина функциональный ана-
анализ оформился и начали XX века в результате переосмысления и
обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры и гео-
геометрии. Датой рождения функционального анализа считается 1932
юл, когда вышла в свет основополагающая монография Стефана Ба-
нчха «Теория линейных операций». За последующие десятилетия
функциональный анализ глубоко проник почти во все области мате-
м.чтики. Основой для широких приложений функционального анали-
ы инлнется то, что большинство задач, возникающих в математике и
мпп'мптической фн.чике, касается не отдельных объектов типа функ-
функций, мер или урнпиений, а, скорее, обширных классов таких объектов,
причем Нй 1ТП.Ч клисспх обычно существует естественная структура
tU'Hrnpiiniti 1||1A(|1Ш1гтпп II (Ч'тсгтпепияя топология. Среди областей
HpitMfhiiiitM фу|11<ц||1>|||1лым>г<1 ;iiiii.iit i.i можно указпть теорию функ-
функций, теорию дифференциальных и интегральных уравнений, теорию
методы вычислений, квантовую механику, математиче-
«Кономику и ряд других разделов математики, физики и есте-
(ГИОЧНйНИИ,
Иигтотцео пособие написано для студентов математических спе-
UliBflhilncTcIt университетов. При его создании ставилась цель ото-
б|1йг!» мят*рилл, который может быть достаточно подробно изложен
чн премк, отведенное учебным планом на курс «Функциональный
hiiimiHN И интегральные уравнения», и отражает как основные идеи и
ми го ДМ функцпонплыюго .-шплиза, так и их многообразные прило-
iht'HHM к П'|||ши штч'|111.'|11||о<1\ уравнений. В пособии изложены основы
riMipiMi Mi-ры и HHTiMp.'ui.'i Лебега, метрических и нормированных
нрсн'.трпнотп п онерпторон в них, основные принципы линейного фуцк-
ционильного анализа, основы теории обобщенных функций и тополо-
топологических нркторпых пространств. Значительное место в пособии отве-
Д1ЧЮ Приложениям общих методов функционального анализа к ип-
тстряльпмм урлнприиям. Эти приложения не выделены в отдельную
ivialiy, в рпсиределепм по книге и носят'характер иллюстраций и след-
следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодо-
тиорность методов функционального анализа.
3
В приложении к пособию изложены основные факты из общей
топологии, которые нужны для более глубокого понимания ряда во-
вопросов и используются в основном в главе IX.
В основу пособия положен курс лекций, который в течение ряда
лет читается авторами на механико-математическом факультете Бе-
Белорусского государственного университета имени В. И. Ленина.
В пособии принята сплошная нумерация параграфов, ссылки
внутри параграфа даются без указания его номера. Знаком ? обо-
обозначается окончание доказательства.
Авторы считают своим долгом выразить искреннюю благодар-
благодарность профессорам Л. Д. Кудрявцеву, Б. И. Голубову и доценту
В. М. Говорову, чьи критические замечания и полезные советы спо-
способствовали существенному улучшению содержания пособия. Мы так-
также признательны ассистенту кафедры функционального анализа Бел-
госуниверситета М. X. Мазель за помощь в работе над рукописью.
Гптшш I
НОРИЯ МЕРЫ
11. Предварительные сведения
Понятие множества яьляется первоначальным. Мно-
жестно X считается заданным, если известны его эле-
элементы, т. е. для любого элемента а выполнено а?Х или
Нйпомпим основные определения и операции над
множествами.
Нсли А и В — множества, то множество А называется
подмножеством множества В (обозначается Лс:В), если
Киждый элемент множества А является элементом мно-
множества В.
Множество всех подмножеств множества X обозна-
чпется 3я(X). Множество, состоящее из одной точки х,
обозначается {х}. Множество, не содержащее элементов,
называется пустым и обозначается 0. Для любого мно-
множества X выполнено 0аХ.
Вели на множестве X задано некоторое соотношение
Р(х) между элементами этого множества, то подмноже-
подмножество, состоящее из тех элементов х&Х, для которых со-
соотношение Р(х) истинно, будем записывать следующим
образом: {х\х^Х, Р(х)}.
11усть А я В — множества; пересечением этих множеств
иииывается множество А[\В — {х\х?А, х?В}. Если
(А„)гг-\ — последовательность множеств, то их пересечени-
пересечениям называется множество
00
Г\Ап = {х\х?Ап, п= 1, 2, ...}.
Аналогично, (тли (At)iEj — семейство множеств, занумеро-
Ийпиых wicMiMiTiiMii некоторого множества /, то
Объединением множеств А и В называется множество
Л 1)В- {х\х?А или х?В}. Если (At)tei — семейство мно-
множеств, то обгединением называется множество
что
1
Знаком ц будем обозначать в дальнейшем объединений
непересекающихся множеств. Таким образом, Л = Ах ц А,
означает, что А — Л3 \J А2 и Ах{\Аг — 0; ц Аь — А оз-
e
начает, что A = \JAt и Ai(]Aj= 0 для любых t,
/
Разностью множеств А я В называется множество
= {х\х?А, х^В). Если Л с: В, то А\В = 0, т. е.
разность не очень точно отражает взаимное расположе-
расположение множеств. Более точно его учитывает симметрическая
разность:
ААВ = (А\В) U (Я\Л) г., (Л U В)\(А Л В).
Для наиболее часто встречающихся множеств будем
использовать обычные обозначения: N — множество на-
натуральных чисел; Z —множество целых чисел; Q —мно-
—множество рациональных чисел; R — множество действи-
действительных чисел; С — множество комплексных чисел; R+—
множество положительных действительных чисел; Rn —
действительное n-мерное пространство; С"—комплекс-
С"—комплексное n-мерное пространство; ЗР(Х) — множество всех под-
подмножеств множества X. "^ — —
Декартовым произведением множеств X и У называ-
называется множество
XxY = {(x, y)\x?X, y?Y}.
Если (Xj), t?/,—семейство множеств, занумерованных
элементами некоторого множества /, то их произведением
называется множество И Xf, состоящее из функций на /
таких, что ()
Утверждение, что произведение П %г не является
iei
пустым, принимается в теории множеств в качестве аксио-
аксиомы.
Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых
множеств Хи гб/, существует функция f на множестве /
такая, что f(i)?Xi для любого iG/.
В теории множеств доказывается, что это утвержде-
утверждение не может быть получено из других, более очевидных
свойств.
Определение 1. Отношением между множества-
множествами X и У называется любое подмножество R из декарто-
декартова произведения А'ХУ. Если Х=У, то отношение R на-
называется отношением на множестве X.
Примеры отношений на множестве R:
I. x<y.
У, и sin x.
a x
Определение 2. Отношение R на множестве
Нйшнпется рефлексивным, если (х, х)б/? для VxvX;
ШшметричньшГесШ~Ш~ХХ y)?R следует (у, x)?R; тран-
шпнаным, если из (х, y)?R и (у, z)?R следует (х, z)QR.
Отношение R называют антисимметричным, если из
(X, уI<Я и (у, x)?R следует х=у.
Выделяют следующие виды отношений.
1, Отношение эквивалентности.
Отношение RczXxX называется отношением эквива-
эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, сим-
симметрично и трнпзнтивно. Обычно условие (х, y)?R в
СЛучис отношения эквивалентности записывается в виде
М~у или х~у.
Пели на множестве X задано отношение эквивалент-
эквивалентности, то множество X разбивается на непересекающиеся
КЛШ'сы эквивалентных между собой элементов. Класс,
(*0Д(М)ЖП1ЦИй элемент х, обозначаем [х].
Прим о р. В качестве X возьмем множество > целых
ЧИССЛ '?,. Ннсдом отношение эквивалентности: х~у, если
ЗЛ, к(<'/. Множество Z распадается на три класса:
|0|-(... . (i. и. о, .ч, г,, ...};
||J^{. ... - Г,, 2, 1, 4, 7, ...};
|2|~{. . ¦ . -7, -4, —1, 2, 5, ..
. Отношение порядка.
Отношение /? на множестве X называется отношением
порядка, если оно транзитивно, рефлексивно и антисим-
антисимметрично. Обычно условие (х, y)dR в случае отношения
порндки записывают в виде х<^у и читают «х предшест-
йУйт у» или «у следует за х».
Нриустои множество X с заданным на нем отношени-
отношением порядки ни.чыпаотеи упорядоченным множеством.
Пример 1. В качестве X возьмем множество дей-
стйитольных чисел R. Отношение R: (х, y)QR<=>x<y
ofl-ntiniu'T следующими свойствами:
X *Ч /А У -"С 2 =*"х ^ 2 (транзитивность);
Х^,Х (рефлексивность);
= у (антисимметричность).
I
Таким образом, транзитивность, рефлексивность и
антисимметричность — стандартные свойства числовых
неравенств и отношение х*су есть отношение порядка.
Пример 2. Пусть X — произвольное множество.
На множестве &*(Х) зададим отношение R : (A, B)uR^^
¦*з~АаВ. Очевидным образом проверяются следующие
соотношения:
ЛсВ, ВсС=^ЛсС;
ЛсЛ;
Л с: В, BczA=>A---B.
Значит, отношение AczB задает на множестве
ЗР(Х) отношение порядка и говорят, что множество
&*(Х) упорядочено по включению.
Пусть (X, <^) — упорядоченное множество. Подмно-
Подмножество AczX называется линейно упорядоченным, если
для любых двух элементов х\ и х2 из А выполнено либо
xi"Kx2, либо x2^xt.
Подмножество А называется ограниченным сверху,
если существует элемент Хо&Х такой, что для любого
хвА выполнено х<^х0. Такой элемент х0 называется ма-
мажорантой множества А.
Элемент тв.Х называется максимальным, если из
того, что т^х, следует, что х—т.
Лемма Цорна. Если в упорядоченном множестве
(X, <Q всякое линейно упорядоченное подмножество ог-
ограничено сверху, то в X существует хотя бы один макси-
максимальный элемент.
Эта лемма доказывается на основании аксиомы вы-
выбора.
3. Функции или отображения.
Пусть X и Y — множества. Будем говорить, что на
множестве X задана функция (отображение) f со значе-
значениями в множестве Y, если каждому элементу хбХ по-
поставлен в соответствие один и только один элемент
fWY.
Графиком Gf отображения f : X-+Y называется мно-
множество пар Gf— {(x, f(x)) | х?Х).
График функции Gf есть отношение между множест-
множествами X и У, и, следовательно, функцию можно рассмат-
рассматривать как частный случай отношения.
Упражнение 1. Сформулировать необходимые и
достаточные условия на отношение R, при выполнении
которых оно является графиком некоторой функции.
Отображение f: X-+Y называется инъективным, если
из того, что f(xi)=f(x2), следует Х\=х2.
8
Отображение f: Х->У называется сюръективным,
гели для любого i/б У существует хбХ такой, что
Отображение /: X-+Y называется биективным, если
оно инъективно и сюръективно.
Если заданы два отображения f:X-+Y, g;Y-*-Z, то
их композицией называется отображение g°\:X-*-Z та-
такое, что (g°f)(x)=g(f(x)).
Отображение / : X-+Y инъективно (сюръективно) тог-
тогда и только тогда, когда существует отображение
в : Y-+X(h : Y-+X) такое, что g <= f=Ix(f ° /i = /y). Здесь
ix, /у — тождественное отображение в X и У. Отобра-
Отображения g и h называют соответственно левым обратным и
правым обратным для f. Если f биективно, то g = h и его
называют обратным отображением для f и обознача-
обозначают /-'.
Упражнение 2. Доказать, что композиция биек-
биективных отображений является биективным отображени-
отображением. Отображение, обратное для биективного отображе-
отображения, также биективно.
Определение 3. Два множества X и У называ-
называются равномощными, если существует биективное отоб-
ч
У и р а ж и с и и с 3. Доказать, что отношение равно-
мощиости на множестве $Р(Х) является отношением эк-
иивалентности.
Определение 4. Множество X называется счет-
счетным, если оно равномощно множеству N натуральТшгх
*ППгел.
Проверка счетности конкретных множеств основана
обычно на том, что объединение счетного множества
счетных множеств является счетным множеством и про-
произведение конечного числа счетных множеств счетно.
Наметим, что произведение счетного множества счетных
мпожестн несчетно 1i произведение счетного множества
конечных множеств, каждое из которых содержит хотя
бы дне различные точки, также несчетно.
Примеры.
I. Множества N, Z, Q счетны.
12, Множество многочленов с рациональными коэффи-
коэффициентам н счетно.
'). Множества [о, b], R, С несчетны и равномощны
между cofioii. Их мощность называется мощностью кон-
континуума.
Пусть X — непустое множество. Топологией на мно-
множестве X называется множество т подмножеств
множества X (хаЗ*(Х)), удовлетворяющее следующим
условиям (аксиомам топологии):
1) объединение любого множества элементов из т
принадлежит т : С/абт=Ф-и^«бт;
а
2) пересечение любых двух множеств из т принадле-
принадлежит т;
3) Хбт, 0бт.
Элементы из т называют открытыми множествами в
топологии т, а их дополнения — замкнутыми множест-
множествами. Топологическим пространством называется мно-
множество X с заданной на нем топологией, т. е. пара
.(*,т).
Открытой окрестностью точки х в топологическом
пространстве (X, т) называется любое открытое множе-
множество, содержащее точку х. Окрестностью точки х назы-
называется любое множество, содержащее открытую окрест-
окрестность этой точки.
Множество В (х) окрестностей точки х называется
базой окрестностей точки х, если в каждой окрестности
точки х содержится некоторая окрестность из В(х).
В естественной топологии на вещественной прямой мно-
множество U является открытым, если каждая . точка входит
в U вместе с некоторым содержащим ее интервалом. Каж-
Каждое открытое множество на прямой может быть -представ-
со
лено в виде U — ц ]ah, bh\ — конечного или счетного
объединения непересекающихся интервалов, включая полу-
полупрямые ]--оо, а[, ]а, +оо [.
§ 2. Кольца и полукольца множеств
Классы множеств, для которых в дальнейшем будет
определена мера, оказываются обычно замкнутыми от-
относительно теоретико-множественных операций.
Определение 1. Пусть X — непустое множество.
Непустое семейство КаР(X) подмножеств множества X
называется (кольцом^ если оно замкнуто относительно
операций пересе"Чё"ния и симметрической разности, т. е.
из выполнения условий А&К, ВпК следует, что А[\В?К,
ЛАБб/С.
Упражнения.т Проверить справедливость следующих
формул:
1) А
10
2) AUB = (Af\B)i\(AL\B);
3) (X\A) Д (Х\В) = ААВ;
4) А О (ВАС) = (A f] В) А (А О С).
И.ч (|ормул 1), 2) получаем следующее
Предложение 1. Если К—кольцо множеслв, то
для любых А, В?К выполнено А\В?К, A\JB?K-
Определение 2. Кольцо К подмножеств множества
,V называется алгеброй, если X ? К-
Таким образом., если К—алгебра, то для любого А?К
следует, что Х\А?К, т. е. алгебра замкнута относительно
операции перехода к дополнениям.
Определение 3. Кольцо К называется а-кольиом.
если объединение счетного числа множеств из К принад-
оо
лежит К, т. е. если At?K, то (J Ah?K.
k—l
Кольцо К называется б^кодбуол^. если пересечение
счетного числа множеств из X принадлежит /С, т. е. если
/1,6/С, то П Л,?К.
Примеры.
1. К=&*(Х) есть кольцо и алгебра.
2. К= {0, X) — также кольцо и алгебра.
3. X=R, К состоит из всех конечных множеств и пу-
пустого множества; К— кольцо, но не алгебра.
4. X = R, К состоит из всех ограниченных множеств
и пустого множества; К — кольцо, но не алгебра.
5. X=R, К состоит из всех конечных и счетных под-
подмножеств в R; К— кольцо, но не алгебра.
(>. Топология на R, т. е. совокупность открытых мно-
множеств на R, не является кольцом (разность двух откры-
открытых множеств может не быть открытым множеством).
7. 8Р(Х) является а-кольцом и б-кольцом.
8. Кольцо из примера 3 не является а-кольцом, но
ИНЛйРТся fi-кольцом.
О, Кольцо из примера 4 не является ст-кольцом, но
иплйртгй А-кольцом.
10. Кольцо из примера 5 является и ст-кольцом, и
А
ф 1. Для любого набора подмножеств ()
§\ гиурт кольцо K(S) — наименьшее из всех колец,
пцих S. Кольцо K(S) называется кольцом, по-.
'UM.S, " "¦"¦¦
'1 й и III1, Наименьшее здесь понимается в том смысле, что
ill* Кольцо, содержащее 5, содержит также и K(S).
11
I
Доказательство. ПустьV =-- {К|SczK) — множест-
множество всех колец, содержащих 5. Так как всегда $> (X) ? V,
то "V Ф0. Положим K(S) ---¦ П К. Проверим, что K(S)—
кольцо. Если A ?K(S) и B?K(S), то Л 6/С, В?К для
любого К'бУ]1 ^ак как ^ — кольцо, то А[)В?К и
6/С для всех К6 ^ и, значит, ЛПЯ?/СE) и
По построению K(S)czK для любых iC?T\ T- e-
действительно наименьшее кольцо, содержащее S. ":
Упражнение 5. Показать (аналогичным обра-
образом), что для любого семейства Sc:iP(X) существует
наименьшее ст-кольцо (б-кольцо), содержащее S. То же
самое показать для алгебр.
Явное построение кольца K(S) по семейству S может
оказаться довольно сложной задачей. Поэтому выделяют
наборы подмножеств S, для которых, кольца K(S) стро-
строятся наиболее просто.
Определение 4. Непустая система подмножеств
Scf(X) называется Полукольцом^ если для любых А,
B?S выполнено: 1) А Г\В ?&; 2) если АаВ, то сущест-
существует конечный набор At?S, i = 1, ... , п, множеств, при-
п
надлежащих S, такой, что B\A—f?Ai. - \*c<.imwь'1
Примеры.
1. Совокупность промежутков вида [а, Ь[ на прямой
R образует полукольцо, но не кольцо.
2. X = R2. Совокупность прямоугольников вида
[аи Ьу[у, [а2, Ь2 { образует полукольцо множеств (рис. 1).
3. Совокупность параллелепипедов вида [alt bt [ X [а2,
Ь2[х ... Х.\[ап, Ьп{ в пространстве R™ образует полуколь-
полукольцо.
п
Лемма. Пусть S — полукольцо. Если В = ц Bh
Bh?S, A?S, то А\В1= д Ait где At?S.
Доказательство проводим индукцией по п. При
п — 1 утверждение совпадает с аксиомой 2) полукольца,
т. е. при п = 1 соотношение справедливо. Пусть утверж-
(—1 т
дение верно при п = 1—1, тогда А\ц Bt ~ ц Л;. Отсю-
Отсюда {А\дВ1)\В1 = ц(А,\В1)= U^uAjk, где Ajk?S. ,j
12
I рорема 2. Пусть S — полукольцо, тогда минимальное
ю K(S), содержащее S, состоит из множеств, являю-
и непересекающимися конечными объединениями мно-
-. h:i S, т. е. К(S) = K0(S), где K0(S) = {A\A =
-||4 Ак 6 5}.
Доказательство, По определению K0(S) имеем
^(,S')c/C(S). Для доказательства равенства K(S) = /Со E)
Мн'пточно показать, что /C0(S) само является кольцом.
iS). Тогда, соглас-
где /4ife?S. Отсюда
= Ц At?K0(S), B= ц
tit» лемме, получаем Лг\5= tj
ь1
у ц ( Л,ц е /Со (S). Далее
S
Гц
ЛиВ = (Л\В)цВ =
Поскольку А
Так как Л П В = (А [) В)\(АЩ, то и
IJIJ ^<7 U S; € ^Со (S). Поскольку ЛЛ5 = {А\В) (J E\Л),
/lAfi?/C0(S). Т .._...._.
w/cS)
Примеры.
1, Пусть 5 — полукольцо, порожденное нолуинтерва-
'ШМ11 (а, Ь[ на R. Тогда кольцо K(S) состоит из мно-
mwTH, яиляющихся конечными объединениями непересе-
непересекающихся полуинтервалов.
8. Пусть Л' - ¦- полукольцо, порожденное полуинтерва-
полуинтервалами вили |tt. Pi- Принадлежащими полуинтервалу
\A, Ь\, Кольцо K(S) состоит из множеств, являющихся
конечными объединениями непересекающихся интерва-
доП им S, причем K(S) — алгебра.
Минимальная ст-алгебра, порожденная данным набо-
набором S подмножеств, не допускает такого простого опи-
РИНИН, Например, возьмем в качестве 5 топологию на R,
Т. Р. совокупность открытых
множеств. В а-алгебру, по-
рошдщную топологией, вхо-
входит аммкнутые множества,
МНОЖРСТИН ТИНИ Of, — счст-
ии« пересечения открытых
мможестп, множества типа
f/йн счетные объединения
Мнижиств типа Се и т. д.
Порожденная топологией ст-
иамыпается боре-
rhntt, и ее элементы —
множествами.
Ж
Рис. 1. Разность двух пря-
прямоугольников вида [а, 6[Х
Х[с, d[ представляется в ви-
виде объединения четырех пря-
прямоугольников такого же
вида
13
Аналогичная ст-алгебра подмножеств строится в т
бом топологическом пространстве.
Определение 5. Пусть (X, т) — топологической
пространство. Борелевской алгеброй на X называется
о-алгебра, порожденная топологией т. Элементы боре-
борелевской алгебры называются борелевскими множест-
множествами.
Начнем построение теории интеграла Лебега с опре-
определения меры.
§ 3. Общее понятие меры
Введение интеграла Лебега было вызвано рядом
конкретных задач, в которых класс функций, интегри-
интегрируемых по Риману, оказался слишком узким либо опре-
определение интеграла Римана не имеет смысла. Приведем
примеры таких задач.
В курсе математического анализа формула Ньюто-
Ньютона — Лейбница — основная формула дифференциально-
дифференциального и интегрального исчисления
f'{x)dx = f{b)-f{a)
доказывается для функций, у которых производные
непрерывны. Существуют непрерывные функции, у ко-
которых производные разрывны и не интегрируемы по Ри-
маиу. Поэтому задача описания наиболее широкого
класса функций, для которых справедлива формула
Ньютона—Лейбница, приводит к необходимости опреде-
определить интеграл для более широкого класса функций.
оо
Пусть / (х) = ^J ah cos kx, т. е. / — сумма сходящегося
тригонометрического ряда. Если V 1а*1< + °°> т0 РЯД
сходится равномерно, / — непрерывная функция и
j 2я
ah = f / (х) cos kxdx.
п b'
Если ряд из коэффициентов расходится, то функция f
может оказаться не интегрируемой по Риману и для того,
чтобы формула для коэффициентов имела смысл, нужно
определить интеграл для более широкого класса функ-
функций.
14
Пусть / : X^-R — функция, определенная на множе-
||Hi л, Интеграл Римана от функции f определен только
множеств X, являющихся подмножествами в Rn.
ftupini вероятностей, математической физике и неко-
некоих других разделах математики возникает необходи-
II) интегрировать функции, заданные на множествах
ip сложной природы, в частности на множествах в
¦кшечномерных пространствах. Решение этой задачи
use приводит к необходимости пересмотра понятия
мм играла.
Ноли f{x)^0 — непрерывная функция на отрезке [а, Ь],
f(x)dx равен, как известно, площади фигуры, заклю-
•ММИЮЙ между графиком функции и осью ох. Для ряда
функций, например для функции Дирихле
п / \ _ П > х рационально,
(О, х иррационально,
фигура, лежащая под графиком функции, не имеет пло-
ЩйДИ, т. е. ее площадь не определена. Поэтому задача
определения понятия интеграла для более широкого
Мйсса функций тесно связана с задачей определения для
ftitJiee широкого -класса множеств числовой характери-
характеристики их массивности, обобщающей понятие площади.
Тнкую числовую характеристику будем называть мерой
множества. (Точное определение меры будет дано ниже.)
Аналогично возникает задача расширения класса мно-
Жвстн, для которых определены числовые характери-
характеристики, обобщающие понятие длины и объема.
Пусть X — множество, Scr^fX) — некоторое полу-
ИйлйЦО его подмножеств. Напомним, что элементами S
ийлиются подмножества из X. Запись A&S означает, что
А нети под множество X, входящее в семейство S. Запись
Ясй шничает, что В — некоторый набор подмножеств
Ив X) иходящих в семейство S.
О II р с Д v л е » и е ^ Булем говорить, что на полу-
• 'Пи\1$ S аиданаГиера ц, Ъсли любому элементу Лб^'
|'ТйИЛ(М1о в соответствие вещественное число ц(А) та-
¦М цбриаом, что выполнены следующие аксиомы:
и
И «ели А ¦ и An, Л, Ah?S, то ц(Л) = У |*(Лц) (ад-
nHiHH-fh)j
i ц(А) .*Q (положительность).
15
Таким образом, мера есть числовая функция множе-
множества, т. е. отображение ц : S-»-R.
Замечание 1. Мера не является отображением из X в R.
Определение 2. Мера p,:S->R называется счетно-
аддитивной (о-аддитивной), если выполнено следующее
условие: если Л = ц Д» А> Ak(zS> т0
Замечание 2. Мера обычно определяется на полукольце, ибо
в произвольном наборе S множеств может оказаться, что ни одно
множество из S нельзя представить в виде объединения непересека-
непересекающихся множеств из S (например, S — множество отрезков на R).
Тогда аксиома 1) определения меры выполнена для любой функции
множества и это определение не выделяет функций множества, обла-
обладающих какими-либо дополнительными свойствами.
Примеры.
1. Рассмотрим полукольцо множеств S, состоящее из
полуинтервалом на прямой R (см. пример 1 § 2, с. 12).
Естественная мера полуинтервала — его длина
jx([a, b[) = b—а — удовлетворяет аксиомам 1), 2) опре-
определения 1, т. е. является мерой в смысле определения 1.
2. Пусть полукольцо S состоит из конечных подмно-
подмножеств некоторого множества X. Положим (х(Л)= Vl.T. е.
\и(А) — количество точек в множестве A$S. Аксиомы 1) и
2) выполняются очевидным обрагюм.
3. Пусть 5 — полукольцо, состоящее из полуоткрытых
прямоугольников на плоскости R2 со сторонами, парал-
параллельными осям координат (см. пример 2, с. 12). Тогда
площадь [i(A) прямоугольника А удовлетворяет аксио-
аксиомам 1) и 2) определения 1, т. е. является мерой.
4. Пусть S — полукольцо, состоящее из прямоуголь-
прямоугольных полуоткрытых параллелепипедов в пространстве R3
со сторонами, параллельными осям координат (см. при-
пример 3, с. 12). Тогда объем параллелепипеда также удов-
удовлетворяет аксиомам 1) и 2), т. е. является мерой.
5. Пусть S — полукольцо из примера 4 и пусть в про-
пространстве R3 распределено вещество. Тогда для каждого
параллелепипеда /1GS положим число \к(А) равным мас-
массе вещества, находящегося в параллелепипеде А. Свой-
Свойство аддитивности 1) выполняется и выражает закон
сохранения количества вещества. Аксиома 2) выпол-
выполняется.
16
с. l! 11, $ ¦¦- полукольцо из примера 4 и пусть в про-
|ШСщк!делены электрические заряды. Тогда
шн»1Ч) AQS положим ц(А) равным количеству
I'H'tTiia в параллелепипеде А. Аксиома 1 опреде-
I иыиолниется и выражает закон сохранения ко-
nil электричества. Однако заряд может быть отри-
"льиым, и тогда аксиома 2 не выполняется.
/. Пусть S — полукольцо из примера 1. Возьмем про-
щрпдьную функцию /:R->R и положим fi([a, b\) —
— if(b)-~F(a). (Заметим, что если взять F(t) — t, то по-
получим пример 1, т. е. длину промежутка.) Аксиома 1 оп-
|»рДШШНИЯ 1 выполняется. Действительно, если [а, Ь\ —
я
ан I, <ih [, где а0 = а, ап = Ь, то
• I
А=1 к= 1
= F(an)-F(a0) = ]x([a, Ь\).
Для выполнения аксиомы 2 необходимо и достаточно, что-
'^ бы F (Ь) — F {а) ^ 0, если Ь^а, т. е. чтобы функция F
, ч Пыла монотонно возрастающей. Таким образом, любая мо-
- мотонно возрастающая функция порождает некоторую
1 ру на полукольце S. "
Замечание 3. Берне и обратное утверждение. По заданной
мерс на полукольце S построим монотонно возрастающую функцию
f([0, t[), t>0;
-^ 0, ^0;
\m {[t, 0 I), t < 0.
-V/
JL
Тогда функция F порождает меру т, так как т([а, 6[)=ш([0, b[)—
—w([0, a[)=F(b)—Р(а). Соответствие между мерами и функциями,
их порождающими, не взаимно однозначное. Если рассмотреть толь-
только такие монотонно возрастающие функции, для которых F@)=0, то
соответствие между мерами и функциями становится взаимно одно-
однозначным.
В дальнейшем нас будут интересовать в основном
только счетно-аддитивные меры. Прежде чем переходить
к вопросу о существовании таких мер, отметим, что в
произвольном полукольце справедливо
Предложение 1. Пусть. S — полукольцо множеств
и ц — мера на S. Тогда если А ?S, B?S и Ас: В, то
Л)<ц(В).
Доказательсх&а—Согласно определению полуколь-
полукольца (определение 4 §.2)^. сул^^увдт элементы Ах, А2, ...,
в, ,1лк 420 17
... , An?S такие, что В\А = цЛь. Тогда В=Лц(ц
й=1
й=1
Теорема 1. Длина является о-аддитивной мерой на по-
полукольце S, состоящем из полуинтервалов вида la, b[.
Доказательство. Нужно доказать, что если А =
= [a, b[, Ah = [ah, bh [ и А = ц Л. то ц(Л)= >? у, (Ah),
т. е.
bft-aft). A)
Так как ц Ль с [а, Ь [ для любого п, то в силу
л
предложения 1 V ц (Ль) <. 6 — а. Следовательно, ряд,
00
стоящий в правой части A), сходится и ^М-Ил)^^—а-
h=\
Докажем обратное неравенство: V ц (Ak)^b—а. Возь-
мем произвольное число е > 0 и по каждому из полуин-
полуинтервалов [ak, bh[ построим содержащий его открытый ^ин-
^интервал Bft = ]ah — e/2ft|1, bh ["Вместо полуинтервала [a, b[
возьмем содержащийся в нем отрезок В]= \а, b .
оо оо
Тогда В с Ас [} Aha [) Bh, т. е. отрезок В покрыт
системой открытых интервалов Bh. Согласно лемме Бореля
о покрытии, из этого покрытия можно выделить конечное
л
подпокрытие, т. е. существует такое п, что Be U Вк.
«
Тогда [1(Я)<]? n(Bh), т. е.
18
Далее получаем
^ЩЩ^ЩКЙЩ^^™
Ввиду произвольности 8 имеем Ь — а<1^\ Фи— яЛ). Тем
самым теорема доказана. G
Примеры (аддитивной, но не ст-аддитивной
мер ы).
1. На полукольце S, состоящем из полуинтервалов на
R, зададим меру т с помощью функции F (t) ~ sign t
оо Г 1 1 Г
(см. пример 7). Тогда [—1, 0[ = ц . ,
но l=m(l-l, 0|)^У т(\
Сюйство a-аддитивности не выполняется.
2. Пусть X = Q П [0, 1 [ — рациональный полуинтервал,
S —полукольцо множеств Л = ОП1й. И. Л<=Х. Опреде-
Определим ц(Л) = Ь — а. Нетрудно видеть, что fi — мера. Если
бы ц была о-аддитивной, то мы имели бы ц({гй}) — 0 для
любой точки г;, б Я (см. § 5). Но, с другой стороны, X =
— II irh} и J* (-X) = 1 • В силу о-аддитивности мы имели
бы 1 = |.i (X) = ^ ц. ({rft}) — 0. Таким образом, ц, не яв-
ляется о-аддитивной мерой.
Определение 3. Мера ц. на кольце /С называется
непрерывной, если для любых множеств A, Ah?K таких,
' оо
что ЛйсЛ6Н1 Л= U Aft, справедливо равенство ц(А)=
= lirnn(Aft). •"••.• i s^^x \ С
Теорема 2. Мера (х на кольце А1 является а-аддитивной
тогда и только тогда, когда она непрерывна.
Доказательство. Пусть мера ц ст-аддитивна и
Оо
Л = U Aft ? /Г, где Aft ^ К такие, что Aft cr Ak+1. Тогда
/4 Л, и (Л\Лх) ц (Л3\Л2) и .. . и
|i (Л) -
19
Обратно, пусть мера р, непрерывна и пусть Л— ц Bk,
п
Вк6К- Положим Лп =- ц fi;i. Тогда Ап?К, AnczAn+l,
оо
А ¦= (J Ап и в силу сюйства непрерывности
/Z оо
р,(Л) = Птц.(Л„) —¦ Пт V \x{Bk) — У ^(В&). П
Замечание 4. С помощью перехода к дополнениям легко
проверить, что свойство непрерывности меры ц эквивалентно следую-
следующему: для любых множеств A, Ak?K таких, что AhZD Л^+1 и Л =
оо
= |"| Аи, справедливо равенство ц (Л) - lim (.1 (Ль).
ft—I ft->-oo
Определение 4. Пусть m — мера, заданная на по-
полукольце S. Мера fi, заданная на полукольце К, называет-
называется продолжением меры т, если 1) S с /С, 2) ц.(Л) = т(Л)
для1117ГК)оых A(z$.
Основная наша задача заключается в том, чтобы
научиться строить продолжение меры. Продолжение меры
с полукольца S на кольцо K(S) строится в следующей те-
теореме.
Теорема 3. Пусть т — мера на полукольце S cz 3й (X)
и К (S) — минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на
K(S) существует, и притом единственная, мера jx, являю-
являющаяся продолжением меры т. Если cr-аддитивна мера т,
то ст-аддитивна и мера ц.
Доказательство. Единственность. По теореме 2
§ 2 любое множество A?K(S) представляется в виде Л =
п(А)
= tj А» гДе An?S. Если на K(S) есть продолжение ц
меры т, то р.(Л) = V\i(Ak) = \ш(Ль), т. е. мера т
однозначно определяет меру ц.
Для доказательства существования проверим, что фор-
()
мула р,(Л)=- У т(Ль), где Лй^5, Л= ц Лй, действи-
S "='
тельно задает продолжение меры т.
р
Покажем сначала, что если Л = it Bi, B?S, to
/=i
п р
У m (Лй) = У m (БД т. е. ц (Л) не зависит от способа
А=1 /=1
20
разбиения. Пусть Chj = Ak{\Br Так как S — полукольцо,
то Chj ? S. Тогда
Ак = и Ск}, В; = иСм, т (Ah) = ^ m(ChJ),
= 2 2m(C^-
й-1 ft=l ft=-l /.-=1
Положительность меры [i очевидна. Проверим ее адди-
п
тивность. Пусть А —-• и Аь, где Ak?K(S). Тогда . h =
-= и"'Ям, где Bhi?S и ц(ЛЙ)= У m(Btli). Отсюда бу-
г=1 Г"*,
дом иметь А = ц II s« и ^ (Л) =
Пусть Л € /С (S), 5neK(S) и Л = ц Вп. Тогда Л =
п(Л) ' п(Вп)
-¦- II ^i- A)?S, и 5„ ¦= ц Bnl, Bn?S. Положим Cnij=
/i i-i
оо
*-. Ajf\Bni?S. Отсюда Aj = AjftA = и Ucmi и Bni =
ях ЛП5п1 =]jCnij. В силу ст-аддитивности меры т. имеем
/
т(АА = ^ %т(Спи), m(Bnl) = ^m(Cnli). Отсюда по-
я=1 г /
лучаем
= ^ 2 2m-(C"")' ^(Bn) =
/ л=1 г
2
Сподопательно, J (*EП)= 2 2
Теорема 4. Пусть К с: 3> (X) — кольцо множеств,
|i ._- (I иддитииная мера на К. и Л, Лй?/С, k — 1, 2, ....
Г or Да:
21
1) если ц Аь<=А, то
ft1
2) если U Ak :э Л, то У
Доказательство. 1. Если В а А, В, Л?/С> то
ц (Л) = ц (В) -f H (Л\В) ^ ц, (В). Поэтому из включения
п "
ц Ак сг Л следует что У |х (Ль) < |х (Л). Значит, ряд
с» с»
У ц (Ль) сходится и V (I (Ah) <; (х (Л). Отметим, что при
fc==i ft=i
доказательстве 1) использована только аддитивность меры
п— 1
2. Введем множества Вп — (Л П Лп)\ U Лй ^ /С- Тогда
Вп сг Лп и Л = ц В„. Отсюда
я=1
Доказанная теорема позволяет выделить класс мно-
множеств, меру которых естественно считать равной нулю,
т. е. построить некоторое продолжение исходной меры.
Определение 5. Пусть K^&fX) — кольцо под-
подмножеств множества X и пусть ц—а-аддитивная мера на
этом кольце. Множество AczX (необязательно принад-
принадлежащее кольцу К) называется множеством меры нцль,
если для любого е>0 существует Тсонечнын или счетный
набор АквК такой, что ЛсиЛ^ и SuMft)<e.
k h
В силу теоремы 4 множество Л6/С является множест-
множеством меры нуль тогда и только тогда, когда |д,(Л) = 0.
Примеры.
1. Пусть мера ц задана как длина на полукольце, со-
состоящем из полуинтервалов на прямой R. Тогда любое
одноточечное множество на R имеет меру нуль.
2. Пусть ц — та же мера, что в примере 1. Тогда мно-
множество Q рациональных чисел имеет меру нуль.
3. Счетное объединение множеств меры нуль имеет ме-
меру нуль. Действительно, пусть Ak — множества меры нуль
оо
и Л = U Ak. Для числа е>0 выберем множества Akt?K
22
1йК, ЧТО Ah<=\JAhi и V Iх(Aki) < -7F- Тогда Acz\JAkt
и V|i(i4M)<e.
JH
§ 4. Лебеговское продолжение меры
Пусть Кс&(Х) — алгебра множеств и на К задана
н-пддитивная мера т. Элементы из К будем называть
элементарными множествами. Наша задача — опреде-
определить мору для множеств, не входящих в К, т. е. построить'
продолжение меры т. В 1902 году Л. Лебегом была
Предложена следующая конструкция продолжения
меры.
Определение 1. Пусть т—а-аддитивная мера
ИН алгебре Kcz^(X). Внешней мерой множества АаХ
называется число "~~———
li* (A) = inf Ут(Лу). A)
Здесь нижняя грань вычисляется по всевозможным
конечным или счетным покрытиям множества А элемен-
элементарными множествами Л,-.
Внешняя мера определена для всех множеств АаХ.
что они ииляется продолжением меры m как
функция миожепна. Депешигелыю, если AbK, Aa{}Aj,
где AjSK, то по теореме 4 § 3 имеем т(А)<Ът(А,) и,
иначит, т(А)^.ц*(А). причем точная нижняя грань до-
достигается на покрытии, состоящем из одного множе-
множества А. Таким образом, определение внешней меры осно-
основано на том, что правая часть формулы A) совпадает с
исходной мерой на К-
Внешняя мера, вообще говоря, не является мерой,
так к.мк ома может не обладать свойством аддитивности.
Следующим шагом построения лебеговского продолже-
продолжения меры нилипся сужение класса множеств, на кото-
которых рассматривается внешняя мера.
Определение 2. Множество АаХ называется
измеримым по Лебегу относительно меры т, если для
Тюлняется равенство
[х* (А) + fi* (Х\А) = т (X).
На совокупности L(K, m), состоящей из измеримых по
Лебегу множеств, определим меру Лебега ц (как суже-
сужение ииешией мсры)У\1(А) = ц*(А) "*""
23
Таким образом, мы определили некоторое семейство
множеств L(K, m), измеримых по Лебегу, и на этом се-
семействе числовую функцию ц — меру Лебега.
Для множества AczX определяем внутреннюю меру
МЛ) = m (X) - ц* (Х\Л).
Это понятие позволяет придать определению 2 более про-
простой вид.
Определение 2'. Множество А называется изме-
измеримым по Лебегу, если для него внешняя мера совпада-
совпадает с внутренней, т. е. \х,*(А) — ц*(А).
Заметим, что понятие измеримого но Лебегу множе-
множества зависит от исходной меры т.
Проверим, действительно ли мера Лебега является
а-аддитивным продолжением меры пг. Сделаем это по-
поэтапно, изучая свойства внешней меры, измеримых мно-
множеств и меры Лебега.
Теорема 1. Если Acz \j Ah (объединение счетное или
h
конечное), то |л* (Л) <[ V ц* (Л,,).
k
Доказательство. Если Ak — элементарные мно-
множества (ЛА ? К), то неравенство справедливо по определе-
определению внешней меры. Пусть теперь Ah — произвольные мно-
множества. Тогда и* (Ak) — inf Ут(Вм). Возьмем е>0
у
и выберем такое покрытие множества А,{ элементарными
множествами Bhi, что
m №* <) < V* (Ли) -Ь 2-"е.
Так как У} Ак<^\} Вн, получаем А'а\} Вы, где Bhi —
k k,i k,i
элементарные множества. Тогда
2
h, i
oo *
Ввиду произвольности e>0 получаем ц*(Л)^2(д.*(Л,,). ~\
Следствие 1. Для любого Л cr X справедливо не-
неравенство [л* (Л) < (х* (Л).
Доказательство. Из включения Хс:Лц(Х\Л)
имеем |х* (X) = m (Х)< [х* (Л)+ц* (Х\Л). Отсюда [х^(Л) =
= т(Х) — [х*(Х\Л)<и,*(Л). П
24
Следствие 2. Для любых А и В из X справедливо
неравенство | |х* (А) — |х* (В) | < ц* (ААВ).
Доказательство. Справедливо включение AczB[)
[j(AAB). Согласно теореме 1, ц* (Л)<|х*(fi) + jx* (ЛДВ),
т. е. ц* (А) — |х* (В) < |х* (ЛДб). Поменяв А к В местами,
получаем ц* (В) — \х* (Л)< [х* (ААВ). ;j
Следствие 3. Для любых множеств Л, В и С из X
справедливо неравенство
ц* (ААВ) < ц* (ЛАС) + [х* (САЛ). B)
I
Доказательство. Из включения
\j(CAB), применяя теорему 1, получаем требуемое нера-
ненство. ?
Замечание. Если число (>(Л, В)=ц*(ЛДВ) считать расстоя-
расстоянием между множеством А и множеством В, то неравенство B) име-
имеет вид неравенства треугольника для метрических пространств.
Примером измеримого множества является множе-
множество меры нуль. Действительно, согласно определению
4 § 3, множество А называется множеством меры нуль,
если для любого е>0 существует такое его покрытие
элементарными множествами Aa\jAk, что 2/п(Ль)<е.
Если сопоставить это определение с определением внеш-
¦ ней меры, то получаем, что оно эквивалентно утвержде-
|1иию ц*(Л)—0. Согласно следствию 1, \\»(A)^-\i*(A)=0.
-Значит, [л* (Л) = [i*(A) =0, т. е. множество Л меры нуль
¦ измеримо и ц(А) = 0.
Теорема 2 (критерий измеримости множества). Сле-
Следующие свойства эквивалентны: 1) множество Л изме-
измеримо по Лебегу; 2) для любого е>0 существует элемен-
элементарное множество В такое, что ц*(ЛАВ)<е.
Доказательство. Достаточность- Пусть А а X
и выполнено свойство 2). Покажем, что ^*(Л)+Н'*(ХЛ^) =
~ т(Х). Так как множество В элементарное, то (х* (В) -\-
+ I*.* (Х\В) = т(Х). По следствию 2 теоремы 1 имеем
два неравенства:
ц* (В) — е < ц* (Л) < ц* (В) + г,
ц* (Х\В) — г<[X* (Х\Л)< [X* (Х\В) + е.
Складывая их почленно, получаем
т (X) — 2е < \и* (Л) + ц* (Х\А) < т (X) + 2е.
Ввиду произвольности е будем иметь (х* (Л) + |х*(Х\Л)=:
»= т (X).
25
Необходимость. Пусть А — измеримое множество, т. е.
C)
По определению внешней меры для любого е>0 су-
существует покрытие множества А элементарными множест-
множествами Bk такое, что
|i* (А) < 2 т (в«) <>* W + 4- <4>
к О
Последнее неравенство, в частности, означает, что число-
оо
вой ряд V т (Bfi) сходится. Выберем такой номер N, что
00
2 т (Bh) < . Покажем, что для множества В —
h=N+\ ^
N
= U Bh выполнено ' свойство 2). Поскольку ЛДВ =
= (Л\В)и(В\Л), то оценим меры множеств А\В и В\А.
со оо
Так как Acz \j Bh, то А\В cz \j Bh, следовательно,
k— I N+1
(Bh)<±-. E)
Оценка для ц* (В\А) получается несколько сложнее* и
использует измеримость А. Для множества Х\А выберем
систему элементарных множеств (Сг) такую, что Х\А с
С
Возьмем в предыдущем включении пересечение левой и
правой частей с множестЕом В. Получим
i)= U (В ПС,)
i
и по теореме 1
(
V* (В\А) < 2 т (В П С,) = 2 « (С|) - 2
2 2 2 m
« г <"
Заметим, что (U ВА [} (U (Сг\В)) = X и, следовательно,
2 i
V m (Bf) + 2 т (С |ЧВ) ^ т
i (
26
(^гласно D), F), имеем
2<m (В,) + 2т(Сг) <и* (А) + (х* (Х\Л) + |2е/3 =
= т(Х)]+2е/3. (8)
Нычитая из неравенства (8) неравенство G), получаем
= 2е/3, т. е. [X* (В\Л) < 2е/3 и
|()<
Следствие 4. Множество А измеримо, если для лю-
Оого е>0 существует измеримое множество В такое, что
И* (ААВ) < е.
Доказательство. Для множества В найдем эле-
элементарное множество 5Х такое, что ц* (В^В) < е. Тогда
и силу неравенства треугольника B) ц,*(ЛДВ1)^[а*(ЛДВ)+
• |- ц* (BABJ ^ 2е и, согласно теореме 2, А — измеримое
множество.
Теорема 3. Измеримые множества образуют алгебру
множеств.
Доказательство. Пусть Av Ла — измеримые мно-
множества. Нужно доказать, что множества At \] A2, AL f) А2-
X\AV Л1АЛ2 измеримы. Возьмем е>0 и выберем элемен-
элементарные множества В1 и В2 так, что |д.(ЛгД5г)<е) i =
*= 1, 2. Пусть Л = Ах LJ Л2 и В = Вх LJ В3- Так как (Лх [J
U А2) А (Й! U В2) с: (Л^ВО U (Л2ДВ2), то [х* (ЛДВ) <
^ ^(А^В,) + (д,* (Л2АВ2)^28, т. е., согласно теореме 2,
множество Л измеримо. Заметим, что определение измери-
измеримости симметрично относительно Л и Х\Л, т. е. по опре-
определению если Л измеримо, то и Х\А измеримо. Поэтому
множества
П А;= Х\[(Х\Лх) U (Х\Л2)], At\A2 = Лх П (Х\Л2),
измеримы. _^
Покажем теперь, что мера Лебега обладает свойством
ндди гибкости. "—— ' —
п
Теорема 4. Если A~\iAi, At измеримы, то ц (Л) =
Доказательство достаточно провести для п = 2.
Согласно теореме 1, выполняется неравенство (х(Л) =
п п
2 V-* (At) — ^,Р(Аг). Покажем, что для изме-
t 1
27
римых множеств справедливо обратное неравенство. Выбе-
Выберем для е > 0 элементарные множества Вг и В2 так, что
\i* (AtABt)<е, i= 1, 2. Если Л^-ДцЛ,,, В =* Вг{) В2,
то, как уже отмечалось в теореме 3, ЛАВ с (j^ABi) U
U (Л2Д?2) и> значит, (х* (ЛДБ) <с 2е. Таким образом, имеем
[i(i4)>|i(fl) —n(i4AB)>|i(fl) —2е. Но A(Д) = ц(В1) +
+ [х (В,) — |i (Вг П В2). Так как 5, П В2 с (djAB,) U (Л2Д?2),
то ц (В! П В2) < 2е и поэтому ц. (В) > |л (Bj) + ix (B2) — 4е>
^ ц (Лг) + (х (Л2) — бе. В силу произвольности е > 0 полу-
получаем |х(Л)^ [д. (Л j) + |а(Л2), откуда следует утверждение
теоремы. Г'
Следствие 5. Мера Лебега является о-аддитивной.
оо
Доказательство. Пусть Л = цАк, где А и Ah —
измеримые множества. Согласно теореме 1, имеем }х(Л)^
оо
^ V [I (Ak). Поскольку мера Лебега аддитивна, примени-
i
ма теорема 4 § 3 и получаем обратное неравенство
^ V ц (Ah). Следовательно,
1
Теорема 5. Объединение счетного числа измеримых
множеств измеримо.
Доказательство. Пусть А —- U Аь где At изме-
римы. Представим А в виде объединения непересекающих-
ся множеств A = \\A'h, где А\ = Аи Л2 = А,\А2, Ah —
k-l п
— Ah\ U At. Так как тт Л,с=Л, то, согласно теореме
fl со
4, имеем ^ у,(Л,')< (х* (Л). Значит, ряд V |х (Л^.) сходит-
ся (ряд из положительных членов, частные суммы ограни-
ограничены сверху). Возьмем е>0 и найдем номер iV такой, что
" N
У, И- (^ft) < 8- Тогда множество С =-¦- ц А\ измеримо.
Так как ЛАС = О Л' и* (ЛАС)< е, то в силу следст-
ft=--w+i
вия 4 теоремы 2 множество Л измеримо. Z\
28
чр mm
Следствие 6. Счетное пересечение измеримых мно-
множеств измеримо.
Доказательство. Пусть Л-— 0А(, где Дг измери-
оо
мы. Тогда А = Х\ [) (X\At) и, согласно теореме 5, А
измеримо. [Ц
Таким образом, объединяя утверждения доказанных
теорем, получаем основную теорему теории меры Ле-
Лебега.
Теорема 6. Если исходная мера т о-аддитивна, то
множество L(K, tn) измеримых по Лебегу множеств об-
образует а-алгебру множеств, а мера Лебега является
а-аддитивным продолжением меры т на L(K, tn).
О п р'С д ел-ejH ие 3. Мера (д, на кольце Ка&(Х) на-
называете яСйРлиоьр если из \х,(А) = 0 следует, что любое
подмножество ВаА принадлежит К и ц(В)=0.
Так как для множества меры нуль любое подмноже-
подмножество является также множеством меры нуль, то получа-
получаем, что лебеговское продолжение является полной ме-
мерой.
Мы построили лебеговское продолжение меры ц при
условии, что все пространство X принадлежит исходному
кольцу К, т. е. \i(X)< + oo. Уже в случае кольца, по-
порожденною ii(uiyiniTopn;i,'i;iMn ня R, и длины в качестве
меры (пример 1, с. Hi) что условие ие выполнено.
Определение. 4. , Мера и. заданная на кольце К с
с: ff° (X), вазывается(сГконечн()и?1если существует разбие-
ние Х- ц Xk, где Xh?K и
Примеры.
1. Длина как мера на кольце, порожденном полуин-
полуинтервалами в R, является а-конечной мерой, так как
2. Мери, определенная на конечных подмножествах
из R как число элементов этого подмножества, не явля-
является а-копечной, так как R несчетно и его нельзя пред-
представить как счетное объединение конечных множеств.
Если мера m является а-конечной, то для каждого из
множеств Хк строится лебеговское продолжение меры т.
Определение 5. Множество АаХ называется «з-|
меримым, если для любого k множество А[\Хъ. измеримо!
в Xh.
Обозначив Ah — A{]X)t, получаем, что множество А
29
измеримо тогда и только тогда, когда А = и Ak, где Ah—
измеримое множество в Xk.
00
Для измеримого множества А = ц Ak, Ak?Xn, есте-
ственно определяется мера Лебега
Если ряд сходится, то А называется множеством конеч-
конечной меры; если ряд расходится, то множество А назы-
называется множеством бесконечной меры (записывается
(Л) )
) )
Нетрудно показать, что продолженная мера ц и класс
измеримых множеств не зависят от способа представле-
представления множества X в виде объединения множеств конечной
меры.
§ 5. Мера Лебега на прямой
Описанный в § 4 способ продолжения меры был впер-
впервые предложен Лебегом для продолжения длины как
функции множества с интервалов (промежутков) на бо-
более широкий класс множеств. Рассмотрим этот наиболее
важный пример подробнее.
Пусть S — полукольцо, состоящее из полуинтервалов
>[а, р[, лежащих па полуинтервале /=[0, 1[ (пример 2
§ 2, с. 13), и пусть мера т' есть т' ([а, р[) = р—а — дли-
длина полуинтервала. Пусть К — алгебра подмножеств, по-
порожденная полукольцом S (пример 2 § 2), и через т
обозначим меру, полученную продолжением меры т' на
алгебру К. Согласно теореме 2 § 2, алгебра К состоит из
множеств, являющихся конечными объединениями непе-
непересекающихся полуинтервалов:
п(А)
и [«*, Pit. [«!. Ре [с [0, 1[};
п(А)
т(А) = 'V (Рг — af) — сумма длин полуинтервалов.
Повторим для данного случая конструкцию продолже-
продолжения меры по Лебегу.
Для произвольного множества А а I определим внеш-
внешнюю меру ц* (А) = inf V (Рг — at), где точная нижняя
2
30
i рань берется по всем таким наборам полуинтервалов
\щ, р|[, что Acz y[«i, Pj[.
Множество Л с I = [0, 1 [ называется измеримым по
Лебегу, если ц* (А) -|- ц* (/\Л) = 1.
В силу теорем 1 и 3 § 3 мера т является о-аддитив-
НОЙ и, применяя теорему 6 § 4, получаем, что измеримые
НО Лебегу множества образуют а-алгебру.
Мерой Лебега измеримого множества называется его
внешняя мера. Таким образом, мерой Лебега ц на отрез-
кс называется лебеговское продолжение длины.
Примеры измеримых по Лебегу мно-
множеств.
1. Полуинтервалы [а, 6 [.
°о г j г
2. Точки {а} = П а> °Н > |а(«) = 0 (теорема 2
I 3).
3. Отрезки [а, 0] = [a, РШ{Р}, ц([а, р]) = Р —а.
4. Интервалы ]a, P[=[a, p[\{a}, ц(]а, р[)=р—a.
П. Открытые множества (являются конечными или
счетными объединениями открытых интервалов).
С). Замкнутые множества А (дополнения открытых)
HJ-l—\i(I\A).
Счггныс пороссчоппя открытых множеств (мно-
ЖРпии тина (if,).
Н, Вороленские множества — множества, полученные
на открытых и замкнутых множеств с помощью счетного
числи операций объединения и пересечения.
9. Множества меры нуль:
л) одноточечное множество (пример 2);
б) счотиое множество: если А = {о^, а2) ... , а„, ...},
во
ТО Ц(И) - ^^{а„}. В частности, множестю рациональ-
«- i
МММ ЧММ измеримо и имеет меру нуль.
\[).KtiNTOf»nu) множество. На первый взгляд может по-
Кй.1П'Г|»си, что илист мпожостн моры нуль сводится только
и счетным миожостипм. Приведем пример несчетного
множества меры нуль.
Ио.чьмем отрезок [0,1] и построим подмножество
[О, 1] следующим образом.
Рвидолим отрезок [0, 1] на три равные части и выбросим
оредннй интервал G1 = ]l/3, 2/3[. Получим множество Fv
Каждый из оставшихся отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1]
ММнжестиа Ft делим на три равные части и из каждого
31
выбрасываем средний интервал, т. е. выбрасываем множе
ство G2-= ]2/3 + 1/9, 2/3 + 2/9[ U ]1/9, 2/9[. Получаек
множество F2 = F^Gx.
Для построения множества Fn каждый из 2"~1 отрез
ков, составляющих множество Fn—\, делим на 3 равны'
части и средний интервал, имеющий длину 2Гп, выбрасы
ваем. Выброшенное множество обозначим через Gn, и тогд;
fn = /=¦„_! \Gn.
Множество К -- j-|Fn Называется канторовым. Это и ест]
1
искомое множество. Отметим сразу, что КФ0. Например
концы выброшенных интервалов 1/3, 2/3, 1/9, ... не могу
оказаться внутри оставшихся отрезков и не будут выбрс
шены ни на каком шаге. Как счетное пересечение измери
мых множеств множество К измеримо. Это замкнутое мне
жество, ибо множества Fh замкнуты. Чтобы найти мер;
множества К, подсчитаем сначала меру его дополнени
G —¦ [О, 1]\К. Дополнение к К есть G = TjGft и \i (G) =
24^- = L Значит- ию = 1 -i*(G) =с
1 1 3
Покажем сейчас, что К — несчетное множество (мощност
континуума). Каждое число х?[0, 1] можно представить
виде троичной дроби
х = а1/3+а2/32 + ... +akf3h+ •¦•,
где числа аи могут принимать значения 0, 1 и 2. С пс
мощью такого представления легко описать те числа, кс
торые попадают в канторово множество. Числа .
1/3<л;<2/3, выброшенные на первом шаге построена
канторова множества, характеризуются тем, что в и
троичном разложении d = l. Заметим, что число 1/1
принадлежащее К, в разложении которого а\ =
a2=... = aft = 0, можно записать в виде троичной дроб
другим способом: 1/3 = 0/3 + 2/32 + 2/33+... без использе
вания цифры 1. Аналогично на втором шаге были выбр(
шены тс числа, у которых аг=1. Левые концы выбр(
шейных интервалов 1/9, 2/3+1/9 в разложении соде[
жат единицу, но могут быть записаны без с
использования: 1/9 = 0/3+0/32+2/33 + 2/344-...; 2/3-
+ 1/9 = 2/3 + 0/32+2/33 + 2/34+ ... . Таким образом, числ:
принадлежащие К, характеризуются тем, что они мог}
быть записаны в виде троичной дроби так, чтобы в m
следовательности аь аг, ... число 1 не встречалось. Таки
32
образом, каждой точке лгб/С ставится в соответствие по
следоватсльность из цифр 0 и 2. Но множество таки
последовательностей находится во взаимно однозначном
соответствии с множеством последовательностей из ну-
нулей и единиц. А всякую последовательность из нулей и
единиц можно рассматривать как запись некоторого
действительного числа хв.[0, 1] в виде двоичной дроби.
Таким образом, получаем отображение множества К на
[О, 1]. Отсюда вытекает, что К имеет мощность конти-
континуума.
Канторово множество обладает целым рядом других
особых свойств. Например, это множество а) замкнуто;
б) не имеет изолированных точек; в) не имеет внутрен-
пнхдочек.
*П. Открытое, всюду плотное множество в некотором
смьГбле близко ко всему отрезку [0, 1]. Однако его мера
Может сильно отличаться от меры отрезка. Приведем со-
соответствующий пример. Пусть аи а2, ... , ап,...— зануме-
|мнанная последовательность рациональных чисел на отрез-
ко |0, 1]. Зададим число е>0 и положим Л — [ U \aL —
W-iJ
—-ГПТ» а« + -тт+г ) П [0, 1]. Тогда Л —открытое, всю-
оо
,,, .. r. v., ^ j^—j- — е. Интересно от-
м«»тить, что множество В = [О, \]\А нигде не плотно на
|0, 1|, но |i(B)>l —е.
Покажем, что любое измеримое множество получа-
получается из борелевского и некоторого множества меры нуль,
и имгкно справедливо следующее утверждение.
Теорема I. Для любого измеримого множества А су-
iuci'tbvct борелевское множество В такое, что АаВ и
/МH
:ЛР
Доки» и т е л I. с т в о. Возьмем последовательность еп-*-
• I) и для каждого п построим множество В„, являющееся
1Ч01НЫМ или конечным об1>еди|гением элементарных мно-
Ж1Ч-Г» и такое, что АаВп и \i (Л) s^l \i (Вп) < ц (Л) + е„.
Тйкш1 множество существует по определению внешней меры.
ТйК как множества Вп борелевские, то множество В =
-• г» Нп также является борелевским. По построению АаВ
И |4(Д\Л)--^ц(Вп\Л)^ е„->-0 и, значит, р,(В\Л)=0. \j
i Лик 4№
Пример неизмеримого множества. По
кажем, что, несмотря на большое разнообразие измери
мых множеств, существуют множества, не являющиес*
измеримыми.
На полуинтервале [0, 1 [ зададим отношение эквива-
эквивалентности: х~у, если х—у — рациональное число. Полу-
Полуинтервал [0, 1 [ разбивается на непересекающиеся клас-
классы эквивалентных между собой точек. Выберем из каж-
каждого класса по одной точке и составим из них множестве
Же [0, 1[. Покажем, что множество М неизмеримо.
Предположим противное, т. е. что множество М измери-
измеримо. Пусть гь — занумерованное в последовательность
множество рациональных точек полуинтервала [—1, 1[.
Пусть М-(-/"л = {х-\-гь.\х?М}. Тогда
[О, 1[с= {j(M+rft)c:[-l, 2[,
причем множества М + ги попарно не пересекаются. В силу
сг-аддитивноети меры Лебега получаем
1
Заметим, что \л(М + г,,) = \л(М). Поэтому если ц(М) = О,
то получаем противоречие в левой части неравенства 1 ^
со
<[ ^ ц (М + rh) = 0. Если ц (М) > 0, то получаем проти-
1
оо
воречие в правой части неравенства + °° ~- 2
Значит, множество М не является измеримым по Ле-
Лебегу.
Замечание 1. При построении множества М из каждого
класса мы выбрали но одной точке и из них составили множество
М. Утверждение о том, что такой выбор можно произвести, вытекает
из аксиомы выбора.
Замечание 2. При определении меры сначала было введено
свойство аддитивности, затем более сильное свойство сг-аддитивности.
Можно выделить класс мер, обладающих еще более сильным свойст-
свойством: для любого (необязательно счетного) объединения Л= jj Aa
а
справедливо равенство ц (А)=?.\>-(Аа )¦ Покажем, что мера Лебега
а
на прямой таким свойством не обладает. Например, для множества
Л=[0, 1[ имеем Л= Ц М и ^jx(/l)=O, » то время как ц(/1) = 1.
34
т
Перейдем к рассмотрению измеримых множеств на
iu-ей прямой. Множество AcR измеримо, если для любо-
к) полуинтервала [k, k+l[ множество ЛП[&> &+1[ изме-
измеримо по Лебегу на [k, k-\-l[.
Примеры. , .
00 Г 1
1. Множество А = if | k, k-\ —измеримое мно-
а" !. 2ft I
1
жество конечной меры ц. (A) = j^ —?- = 1 • Заметим, что
А—1 ¦ь
что множество неограниченное, т. е. множество конечной
меры может быть неограниченным на прямой.
°° Г 1 Г
2. Множество В = U \k, k-\ —измеримое мно-
h-i L к L
жество бесконечной меры.
Пусть S — полукольцо, образованное прямоугольниками
и RE, и мера па S задана как площадь прямоугольника.
Лебеговское продолжение этой меры называется мерой Ле-
<*ята |х2 на плоскости.
Аналогично определяется мера Лебега в пространстве
R". На полукольце, образованном параллелепипедами П —
{x?Rn :ак^.хк<: Ь,„ k=\, ... , п}, задается мера
ц (II) -* (ft, — fl|) ¦ . • (Ь„ — а„). Лебеговское продолжение
1ТОЙ меры плчыпсКчч-я мероИ Лебега п R". Мера Лебега j.in
n R" (и частности, в R) обладает следующим свойством
шпшриактиости: если Аг — множество, полученное из Л
глиптом или поворотом пространства R", то ^„(А^ — |хп(Л).
| 6. Мера Лебега—Стилтьеса
На полукольце из полуинтервалов кроме длины су-
иич'тнует целый ряд других мер (см. пример 7 § 3). Так
кпк лебеговское продолжение возможно только для
(МДЛИТ1ПИ1ЫХ мер, выясним, какие из этих мер о-адди-
ТНИНЫ. Напомним, что любая мера т на полукольце 5
пнрождпт некоторой монотонно возрастающей функ-
функцией F(l) по формуле т([а, b[) = F(b)—F(a).
Определение 1. Числовая функция F(t) называется
непрерывней r.j\p.na в точке t0, если для любого е>0 суще-
I'liiyer о >0 такое, что из t0 — б ^ t ^/0 следует иеравен-
ctbcj \F(iy—F(to)\<.?, или, что эквивалентно, для любой
тк-лодовательности tn-+-t0, tni^t0, F (/„)-<- F(t0).
Теорема 1. Для того, чтобы мера т была а-аддитивной,
необходимо и достаточно, чтобы порождающая функция
/¦'(/) была непрерывна слева в каждой точке.
•* 35
Доказательство. Необходимость. Пусть т — сг-ад-
дитивная мера. Возьмем последовательность Ъп->Ъ, bn<z.b.
Пусть Ак -— [0, bh\. Тогда Аг с: Л2 с • • • с: Ап с • • • и [О,
Ь[ -: U Л,;. По теореме 2 § 3 F(fc) =-- т([0, b[) = limm([0,
&„[) =- lim F (bn). Таким образом, F(b) = lim /"Ч^п) для лю-
бой монотонно возрастающей последовательности • Ьп ->- Ь.
Отсюда следует непрерывность функции F слева.
Достаточность. Пусть А = \а, b[, Alt = [ah, bk[, A =
— П Аь. Так как, согласно теореме 4 § 3,
^.F(b) — F (а), то достаточно i доказать обратное неравен-
неравенство.
Возьмем* е[>[0 и по каждому из полуинтервалов [ah,
bh[ построим" содержащий его открытый интервал Bh = ]а[,
bh\, где аи выбрано так, чтобы F (ah) — /r(aft)<;e/2ft+1. Это
можно сделать в силу непрерывности слева функции Гв
точке ah. Вместо полуинтервала [а, Ь\ возьмем содержащий-
содержащийся в нем отрезок В — [а, //] такой, что F(b) — F(b')-<e/2.
оо оо
Тогда В a Ad \J Ah a \j Bh, т. е. отрезок В покрыт
системой открытых интервалов Bh. Согласно лемме Бореля,
из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие,
л
т. е. существует такое п, что Be U Bh. Тогда
). т. е.
2
2
Далее получаем
Г ¦ оо
F(b)-F (a) < F ф') - F (a) + -|- < 2 [F (Ь») - /=К)] + е
^ h=\
36
Ввиду произвольности в>0 имеем F(b)—F(а)?
-F(ah)]. С
Для а-аддитивных мер, заданных на полукольце S,
построим лебеговское продолжение. Для каждой меры т
класс измеримых множеств будет, вообще говоря, свой.
Заметим, что все множества, получающиеся из полуин-
полуинтервалов с помощью счетных объединений и пересече-
пересечении, т. е. борелевские множества, являются измеримыми
но любой из рассматриваемых мер. В частности, изме-
измеримыми являются все множества, приведенные в § 5
(случай F(t) = t).
В общем случае класс множеств меры нуль тоже за-
мисит от рассматриваемой меры. Пусть, например, функ-
функция F имеет разрыв в точке t0 и непрерывна слева. Так
как {*о} =ГШо, to-i— [, получаем, что
h k
+ 4
1
т. е. точка может иметь ненулевую меру. В случае неп-
непрерывной функции F одноточечные множества имеют нуле-
ную меру, по класс множеств меры нуль может не совпа-
Дйть с классом множестн меры пуль по д:ере Лебега.
Определение 2. Пусть ц и v — две меры, задан-
заданные на одной и той же а-алгебре подмножеств множе-
множества X. Будем говорить, что мера v абсолютно непре-
рывна относительно меры_ц, если из "того, что А — мно-
*Ж1Ч'тио ц'ШЦры"iijiль, Тледует, что А есть множество
v-мсры нуль, т. е. если ц(А) = О, то v(Vl) = O.
Выясним, когда функция F(t) порождает меру, абсо-
абсолютно непрерывную относительно меры Лебега.
Определение 3. Функцию F(t);\O, lj-^R будем
Иянынптъ (jfictwomnn yenпгрывнпй если для любого е >> О
1'ущестиуст ^ '¦¦¦ 0 такое, что если 1аь |5;[ с: [О, 1], / =
• 1, ... , //- Koimnruii нябор i re пересекающихся интер-
милои и X. ф( — а,)<сб, то выполняется неравенство
V|/(pj)
Лемма. Пусть ц и v — две о-аддитивные меры, задан-
ИЫг на одной и той же а-алгебре множеств. Мера v абсо-
Л1<)'гно непрерывна относительно меры р, тогда и тадько
. огда, когда для любого е > 0 существует б > 0 такое,
И то если ц (Л) < б, то v (Л) < е.
37
Доказательство. Достаточность. Пусть \и(А) = 0.
Зададим произвольное е > 0 и выберем соответствующее
ему 6>0. Поскольку |л,(Л)<6, по предположению леммы
vD)<e. Отсюда v(A) = 0 ввиду произвольности е>0.
Необходимость. Предположим, что утверждение леммы
не выполняется. Тогда существует е > 0 такое, что для
числа 6ft = 2~h существует измеримое множество Л,,, для
которого выполнено !а(Л„)<2~й и x(Ah)~^ e. Для мно-
жеств Un= U Ак имеем |i (Un) < 2 V- (Ai<) < 2 ^Г =" "^Г
Пусть [/— q ?/„. Из включений
Un±i в силу непрерывности мер ц и v получаем
= lim ц ((/„) -= 0, v((/) = limv(C/n)>e, т. е. мера v
не является абсолютно непрерывной относительно меры ,и,
что противоречит условию.
Теорема 2. Пусть на а-алгебре борелевских множеств
на [0, 1 [ задана мера v, порожденная функцией F (t). Мера
v абсолютно непрерывна относительно меры Лебега jj- тогда
и только тогда, когда функция F(t) абсолютно непрерывна.
Доказательство. Необходимость. Пусть мера v
абсолютно непрерывна относительно меры ц. Для любого
е>0, согласно лемме, существует число 6>0 такое, что
если jj, (Л) < б, то v (Л) < е. Возьмем множество А =
п я
I I I
— F(a,i))= v(A)<i е, т. е. функция F абсолютно непрерыв-
непрерывна.
Достаточность. Пусть функция F абсолютно непрерыв-
непрерывна и \i(A) — Q. Возьмем произвольное число е>0 и по
нему выберем 6>0 из определения абсолютной непрерыв-
непрерывности функции F. По определению множества меры нуль
существует счетная система полуинтервалов [а;-, bj[ такая,
что Леи [«;, bj\ и 2 (C; — «;•)< 6/2. Тогда Л с В =
— U 1»!—2~(/"r2N, fij[. Множество В открытое it, следозатель-
но, может быть представлено как объединение непересека-
ос
ющихся интервалов В - ц ]а,„ Ь,,[. Тогда
1
У.(Ьъ -ah)<a<В)<2 (В, - а.) + 22Г{Н 2N< 6.
38
Из выбора б получаем, что ^ F (Ь^) — F (о;,) < е, откуда
7/g
3/4
5/8
следует, что v (A) < v (В) = У^ F (bk) — F (а,,) < е. В силу
1
произвольности е>0 получаем v(A) — 0. ',/>
Очевидно, что абсолютно непрерывная функция равно-
равномерно непрерывна (достаточно взять один интервал). При-
иедем пример непрерыв-
непрерывной на отрезке и, следо-
следовательно, равномерно не-
непрерывной функции, не
•шляющейся абсолютно
Непрерывной.
Пример (к а н т о-
рова лестница).
Функцию q>@ на от-
резке / =- [О, 1] опреде-
лим следующим образом.
I 1сыюжим, что на каждом
интервале, дополнитель-
дополнительном к канторову множест-
ну, она постоянна ф@=
^(dtt-- 1)/2 , если It'n,
ГДР /„ ¦ - к-i'i CjK'lia ИН-
Т0П11Ш1, выброшенный
при построении канторо-
НМ множества на п-и
ишго (рис. 2).
1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 IX
Рис. 2. Каиторова лестница. Функция
Ф постоянна на интервалах, смежных
к канторову множеству, непрерывна
и возрастает от 0 до 1 па отрезке
[0,1]
'Гиким образом, ф(^) уже определена на 1\К и на этом
непрерывна и монотонна. Множество 1\К открыто
И ИЛМ'ПШ w /, Пусть to?K. Тогда lim ф@= Нт ф(^),
11 /Ч/(, ибо ии концах каждою интервала с центром в
точке /0 и Длины 1/3" разность значений функций
рпнни 1/2". Поэтому, mvmrrni <р(/,,) lim ф@= lim
/-(„-¦О /->/„-1-0
\
будом иметь непрерывную функцию ф (^) на отрезке / =
**',|(), 1]. Покажем, что построенная функция не является
абсолютно непрерысной. Действительно, если v — мера
JlvCera. — Стилтьеса, порожденная построенной функцией ф,
то v(K)— I, v(|0, 1]\Л') = 0, в то время как для меры
Лебега ц(К) — 0, ц([0, 1]\/С)= 1. Поэтому мера v це яв-
39
ляется абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.»
и в силу теоремы 2 функция q> не является абсолютно не-
непрерывной.
Определение 4. Меры цх и р,2, заданные на одной
и той же алгебре множеств из X, называются взаимно син-
сингулярными, если существует такое множество Л с X, что
МЛ) = 0 и МХ\Л) = 0.
Как показано выше, мера v, заданная с помощью не-
непрерывной функции Кантора ср(/), является сингулярной
относительно меры Лебега.
Глава II
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 7. Измеримые функции
Пусть X — множество, Z — некоторая cr-алгебра под-
подмножеств множества X и на 2 задана с-аддитивная пол-
полная мера \а.
О и р е_д е л счг и е 1. Функция f : X-+R называется
{измеримойХ если для любого числа ctR множество
Хс= \x\f(x)<c} измеримо.
Примеры.
1. На R1 с мерой Лебега любая непрерывная функция
измерима. Действительно, множество Ас= {x\j(x)<c}
для непрерывной функции открыто (прообраз открыто-
открытого) и, значит, измеримо.
2. Функция Дирихле
10, х иррационально,
\l, х рационально,
измерима. Действительно, Ло = R, если с>1; Лс =--R\Q,
если 0<'с<Л, и Лс = 0, если с^О. Пример показывает,
что разрывные функции могут быть измеримыми.
3. Пусть %4 — характеристическая функция множества
А т. е. %л(х) = I, если х?А, и ууд(А')=^0. earn xfA.
Функция %\ измерима, если измеримо множество Л, и не
измерима, если не измеримо множество Л.
Заметим, что если функция / измерима, то множество
является измеримым, так как {x\f(х) ^ с} =
. 1
40
Одним из свойств класса измеримых функций явля-\
ется его замкнутость относительно предельного перехо-
перехода. Мы будем рассматривать три тина сходимости.
1. Равномерная сходимость. Последовательность
функций In сходится к f равномерно на множестве X,
ими для любого е>0 существует номер пе такой, что при
н>пЕ выполнено \fn(x)—f(x)f<e Для любых х?Х.
2. Точечная сходимость. Последовательность функ-
функций fn сходится к функции { точечно, если для любого
xbXfn(x)-+f(x).
3. Сходимость почти всюду. Последовательность функ-
функций fn (заданных на пространстве с мерой) сходится к
функции / почти всюду, если fn(x)-*-}(x) для всех х&Х,
п.в.
;ia исключением множества моры нуль. Обозначаем fn-*-f-
Очевидно, что из равномерной сходимости следует
точечная сходимость, а из точечной — сходимость почти
всюду. Покажем на примере, что обратное утверждение
неверно.
Последовательность fn(l) = tn на отрезке [0, 1] схо-
сходится к функции /G) = 0 почти всюду (за исключением
точки ?=1), но не сходится точечно. Эта же последова-
последовательность точечно сходится к функции
I
\,t-l,
но не сходится равномерно.
Теорема 1. Если последовательность измеримых
функций /п сходится точечно к функции [, то f изме-
измерима.
Доказательство. Нужно доказать, что множе-
I'Titn Л,.- {х : f(x)<c} измеримо. Докажем равенство
Д.- UU п {*!/«(*)<с-1/*>. A)
Pin >m щи A) покалииает, что Ас можно получить из изме-
piiMi.ix минм'Гсги Amh {x\fm(x)<:'c—l/k} с помощью
счеIпых шчичечсипй и оГп^никмши. Значит, Ае измеримо.
Пусть х?Лс, т. с. /(*)<с. Тогда \\mfm(x) = f{x)<c
m-*oo
II, мначит, для номеров k таких, что l/k<zc — f{x), т. е.
/(.v)<c—\/k, существует номер п такой, что для любых
IU >п выполняется fm{x)<zс — .l/k. Это значит, что су-
существуют числа k и п такие, что х ? Amh для любого m >
> п, т. е. х € U U f| Amk. Обратное рассуждение также
h n m>n
верно: последнее включение означает, что существует число
k такое, что для достаточно больших т выполняется
fm{x)<c— \Jk. Тогда /(х) .-.= lim/и(х)< с. О.
т-+оо
Следствие 1. ;Если последовательность измеримых
функций fn{x) сходится почти всюду к функции f(x), то
f (х) измерима.
Доказательство. Пусть fn-*-f точечно на мно-
множестве ХосХ и \х(Х\Х0) = 0. Тогда {x\f(x)<. с) ==
= l{x\f(x)<c} П Хо] U [{x\f(x)<c} П (Х\Ха)\. Первое из
этих множеств измеримо по теореме 1, а второе есть под-
подмножество множества меры нуль и, значит, тоже измери-
измеримо, j
Следствие 2. Если последовательность измери-
измеримых функций /„ сходится равномерно к /, то f изме-
измерима.
Следствие 3. Существует разрывная на [О, Г]
функция, которая не является пределом почти всюду схо-
сходящейся последовательности непрерывных функций.
В качестве такой функции можно взять любую неиз-
неизмеримую функцию.
Пример.
Пусть функция / (х) непрерывна и почти всюду на [О,
1] имеет производную g(x). Функция g(x) может быть
„„ , ч ,. / (х) —fix— 1 In)
разрывной. Но почти всюду g(x) — lim -i-?—— —- и,
П-*оо \\П
согласно следствию 1, g(x) — измеримая функция.
Определение 2. Функции fug, совпадающие
почти всюду, будем называть эквивалентными (обозначим
f~g), если n.{x\f(x)=?g(x)} = 0. Если функция f измери-
измерима, то и любая эквивалентная ей функция g тоже изме-
измерима, так как симметрическая разность множеств
\{x\f(x)<c} и {x]g(x)<c} есть множество меры нуль и,
следовательно, они одновременно измеримы.
Замечание. Если функции fug эквивалентны и последова-
последовательность fn почти всюду сходится к f, то эта последовательность
почти всюду сходится к функции g. Отсюда следует, в частности, что
у сходящейся почти всюду последовательности имеется несколько
пределов.
Определение 3. Функция f : X->R называется
простой, если она измерима и принимает конечное или
счетпое~"множество значений.
Теорема 2. Функция / является простой тогда и только
тогда, когда Х= и Аь, где множества Ah измеримы и f(x)
h
принимает постоянное значение yh на множестве Ah.
42
mm
Доказательство. Пусть / — простая функция,
l|/ft} — множество ее значений и пусть Ak — {x\f (х) = yh}.
Тогда
Ah = {x\f {x) < yk}\{x\f (x) < yh),
пначит, Ah измеримо и получаем представление X =
ил
к
Обратно, пусть имеем представление X = Ц Ah. Тогда
Лс= {x\f(x)<c} = U Ак. О
Ук<с
Пример. Функция Дирихле — простая.
Теорема 3. Для любой измеримой функции / сущест-
существует равномерно сходящаяся к ней последовательность
простых функций.
Доказательство. Укажем явно эту последователь-
последовательность. Положим fn(x) —- т/п, если т/п^/(х)<(т+ 1)/п,
т = 0, ± 1, ±2, ... . Множество Атп, на котором функ-
функция /„ принимает постоянное значение т/п, измеримо. По
построению !/„ (х) — /(*)|^ 1/п->0, т. е. последователь-
последовательность /п сходится к / равномерно.
Теорема 4. Множество простых функций замкнуто от-
поситслмю ялгобраических операций, т. е. если / и g —
простые функции, то f + g, f — g, f-g, fig, где g=?Q
почти всюду, — также простые функции.
Доказательство. Пусть|Х^= Ц Ah и f{x) — yh для
х?А,„ атакжеХ = ивг ^g{x)\^zt для х^Вг. Тогда
X" II Ил П &i) и для х?Ак П Вг имеем l(f-tg\(x) =
I
« /У/, V «I. (/ - 8) (*) - ^ - г„ [(/g) (*) = yhzt;_[(f/g) (x) =
^ </ц/«/ ДЛЯ х?А}1. L!
С,лсдI'типе. Множество всех измеримых функций зам-
замкнуто относительно алгебраических операций.
Докажи т е л I. стн о. Пусть /, g—измеримые функции.
В силу теоремы 3 шлберсм последовательности fn и gn
п|юстых функций, которые сходятся равномерно к / и*?
соответственно. Тогда /„->¦/, gn-+g точечно. Отсюда сле-
следует, что fn±gn-+f±g, fngn-+fg, fjgn^f/g, Vn->
-*-Xf (к—число) точечно и поэтому в силу теоремы 1
/ ± g, fg, fig, Xf измеримы. Г
Как мы уже отмечали выше, из точечной сходимости
(сходимости почти всюду) не следует сходимость равно-
43
мерная. Следующая теорема показывает, что для изме-
измеримых функций сходимость почти всюду в некотором
смысле близка к равномерной.
Теорема 5 (Егоров). Пусть X — множество конечной
меры и последовательность измеримых функций fn схо-
сходится почти всюду на X к функции f. Тогда для любого
6>0 существует измеримое множество X(,czX такое, что
1) на Хъ последовательность /„ сходится к f равномерно;
2) ц(Х\Хй)<б.
Доказательство. Пусть fn(x)-+-f(x) точечно на
подмножестве Хо cz X. Для любой точки *€Х0 и любого
натурального т существует номер п такой, что неравенст-
неравенство |/ft (л:) — f(x)\<zl/m выполняется для всех k>n. Если
обозначить X™ = {я|/У!(х) — /,(*)|]<;1/т для »">л}, то пре-
00
дыдущее утверждение означает, что Хо — U X™. Так как
XT cr XT cz ... сг Х™с ... и множества X™ измеримы в
силу измеримости /( и /, то по теореме 2 § 3 lim
f
= М-(Х0) и, значит, ц(Хо\Х'п)-^-О, п->оо. Возьмем номер
п(т) таким, чтобы ц(Х0\Х^т))< б/2т. Тогда для мно-
множества Хв - П ХГ(ш) ' имеем X0\Xe = U (Х\Х^т)),
ti (Х„\ХЙ) < 2 fi (ХО\Х?{ОТ)) < 2 -^г = б.
По условию и. (Х\Х0) = 0 и, значит, ц (Х\Х6) ^
<Iu.(X\X0) -f |bi(X0\Xe)<: 6. Покажем, что на построен-
построенном множестве Хл последовательность /п сходится равно-
равномерно к /. По е>0 выберем номер т так, чтобы 1/т<8.
Тогда для k>n{m) получаем Х6с: Х^т), т. е. для х?Хь
выполняется неравенство \fh(x)—f(x)\<. l/m< e.
Замечание. Если множество X есть множество бесконечной
меры, то утверждение теоремы Егорова не выполняется.
§ 8. Интеграл Лебега. Определение и основные свойства
Пусть X — пространство с конечной а-аддитивной
полной мерой |л. Если А — измеримое множество и
44
- его характеристическая функция, то интеграл Лебега
хирактеристической функции определяем равенством
Это определение согласуется с тем, что если А есть
элементарное множество на прямой, например полуин-
полуинтервал [а, Ь[, то интеграл Римана характеристической
функции совпадает с длиной полуинтервала, т. е. его
мерой.
Дальше интеграл будем определять таким образом,
чтобы сохранялись основные свойства интеграла Рима-
па: 1) линейность:
X XX
2) непрерывность: если fn сходится к f равномерно, то
\ fndx -> \ fdx.
* х
Для выполнения свойства линейности полагаем, что если
т. е. / — простая функция, принимающая
i
конечное число значений, то
п
| }(х)с1ц ¦-¦ 2jyk\i(Ah). A)
X 1
Отметим, что из A) немедленно вытекает неравенство
Действительно,
I ( / (х) ri|i | = |2г/йц (Ah)\ < sup \yk\ 2ц (Ак) = sup \у„\\1 (X).
Лемма I. Пусть последователыюгть /„ простых функ-
функций, принимающих конечное число значений, равномерно
сходится к /. Тогда 1) существует lim J fn{x)d\i; 2) пре-
п-»оо X
дел не зависит от выбора последовательности /„.
Доказательство. Проверим, что числовая последо-
пательность 1п — J fnd\i является последовательностью Ко-
45
ши. Действительно, в силу неравенства B)
<sup|/n(*) — fm(x)\n(X)-+0, т, я-»-оо.
х
Значит, последовательность /„ сходится. Если gn — дру-
другая аналогичная последовательность, равномерно сходя-
сходящаяся к/, то
n — gn) d\*. < sup |/n (x) — gn (x)\ ]i(X)-*-O, rt -> oo,
т. е. предел не зависит от выбора последовательности fn.
Если измеримая функция f ограничена, то построен-
построенная в теореме 3 § 7 последовательность fn простых функ-
функций, равномерно сходящаяся к /, состоит из функций,
принимающих конечное число значений. В лемме дока-
доказано, что существует предел интегралов от функций fn и
этот предел не зависит от выбора последовательности fn.
Поэтому корректно следующее
Определение 1. Интегралом Лебега ограничен-
ной измеримой функции / на множестве Л с конечной
мерой (а называется число
def
где fn — последовательность простых функций, прини-
принимающих конечное число значений, равномерно сходя-
сходящаяся к f.
Существование интеграла Лебега для любой ограни-
ограниченной измеримой функции следует из предыдущих рас-
рассуждений.
Так как предел не зависит от выбора последователь-
последовательности, можно зафиксировать последовательность про-
простых функций fn, построенную в теореме 3 § 7, fn(x) = k/n,
если k/n^.f(x)<.(k-i-\)/n, и равномерно сходящую-
сходящуюся к f.
Функция fn принимает конечное число значений
Ук=>к/п, где l&j^Cn-suplfOOl, на множествах /bin =
= {x\k/n<f(x)<(k+l)/п). Используя определение ин-
интеграла от функции fn, получаем эквивалентное опреде-
определение интеграла Лебега от ограниченной измеримой
функции.
46
Определение 2. Интегральной суммой Лебега
Sa для функции f будем называть сумму вида
ft п
Интегралом Лебега называется предел- интегральных сумм
I
I
def
/'(x)dp = HmSn.
Так как Sn — j fn (x) dp для построенных выше про-
простых функций /п, это определение эквивалентно опреде-
определению 1, причем существование предела уже доказано.
Формула для интегральных сумм Лебега позволяет
описать отличие в определении интеграла Римаиа и ин- J
тстрала Лебега. В обоих определениях (в случае
{(х)>0) в основе лежит интуитивное представление об
интеграле как площади (мере) фигуры, лежащей между
графиком функции f(x) и осью ох. Для подсчета площа-
площади (меры) эта фигура разбивается на более простые
части, для которых выписывается приближенное значе-
значение площади (меры). При составлении интегральных
сумм Римана отрезок [а, Ь] разбивается на части точ-
точками X\<.Xt<L...<LXn, n каждой части выбирается точка
lh и составляется сумма
п-!
При этой конструкции в качестве приближенного зна-
значения площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью ох, графиком функции { и вертикальными отрезка-
отрезками, проходящими через точки xk и Xk+i, берется число
1Ч?/() (xi,+i—хи). Такое приближение оправдано лишь в
случае, когда значения функции на всем отрезке
\хи, Xh+\] бли.чки к значению f(bi), что выполнено, если
функция / непрерывна. При составлении интегральных
сумм Лебега выделяются множества Ahn и на Акп функ-
функция заменяется на k/'n. Погрешность при этом /не пре-
превосходит 1/п для любой функции и, следовательно, такое
приближение точнее. Таким образом, различие в двух
определениях заключается в том, что при составлении
интегральных сумм Римана разбиение производится по
признаку близости точек на оси ох, а при составлении
47
интегральных сумм Лебега — но признаку близости зна-
значений функции. Одно из преимуществ второго определе-
определения нам уже известно — любая измеримая ограничен-
ограниченная функция интегрируема но Лебегу.
Суммирование по Риману и Лебегу аналогично под-
подсчету монет разного достоинства двумя способами. Риман
«считает монеты» в том порядке, в котором они ему попа-
попадаются A+2+3+10+5 + 20+2+3 + 3 + ...). Лебег же сна-
сначала «подсчитывает» количество монет достоинством в
1 коп., затем в 2, 3 и т. д., а затем определяет сумму.
Интеграл от произвольной измеримой функции опре-
определяется аналогично, но неограниченная функция может
оказаться неинтегрируемой.
Определение 3. Простая функция f, принимающая
значения ук на множествах Аь, k— 1, 2, ... , называется
00
интегрируемой, если ряд 2jyh\i{Ah) сходится абсолютно.
к -I
Если функция / интегрируема, то сумма этого ряда назы-
называется интегралом Лебега функции /, т. е.
f/(*)dn=--2^D0. C)
х ¦ k
Требование абсолютной сходимости ряда C) возни-
возникает из следующих соображений. Так как нет естествен-
естественной нумерации множеств Лй, то при изменении нумера-
нумерации происходит .перестановка членов ряда D) и, если нет
абсолютной сходимости, сумма ряда может измениться.
Так как интеграл не должен зависеть от нумерации мно-
множеств Ак, то в определении требуется, чтобы ряд D)
сходился абсолютно.
Заметим, что неравенство B) и основанная на нем
лемма справедливы для любых простых функций. Поэто-
Поэтому корректно следующее определение, аналогичное опре-
определению 1.
Определение 4. Измеримая функция f называ-
называется интегрируемой (суммируемой), если существует рав-
равномерно сходящаяся к / последовательность /„ простых
интегрируемых функций. Интегралом Лебега функции f
но множеству X с мерой \i называется предел интегралов
Лебега от функций fn:
= lim j fnix) dp.
def
я-»оо X
48
Множество всех функций, интегрируемых на множестве X
по мере ц, обозначается <^'1(Х, (л).
Рассмотрим некоторые (основные) свойства интеграла
Лебега.
1. f 1 • ф = \х, (А) = J Хл (*) Ф »° определению; здесь Л
измеримое.
2. Если f и g— интегрируемые функции, то функция
f -\- g интегрируема и справедливо равенство
Проверим сначала свойство 2 для простых функций.
Пусть / (х) — yh при х G Ah, X ¦=-- ц «4ft; g (x) = zt при л;€Вг,
X = ц 54. Тогда /(х) + g'W = Ун + 2г при ,х^ Ah (] Bt я
X = ц (Лft П 5|)- Отсюда получаем
hi i h
22 k^ i г
h
22
i h
Пусть теперь / Kg — произвольные интегрируемые функции
и пусть fn к gn — равномерно сходящиеся к f и g соот-
нстственно последовательности простых интегрируемых
функций. Последовательность /„ -|- gn равномерно сходится
к / + g> значит, f + g интегрируема. Переходя к пределу
и равенстве
J fndp + Jgn4* ---¦ J (fn + gn) Ф.
XXX
получаем свойство 2.
3. Пусть / — интегрируемая функция, X ? R. Тогда
Ч (х) — интегрируемая функция и справедливо равенство
Д простых функций это утверждение и равенство оче-
ЙМДММ. Для произвольных интегрируемых функций оно
)№1'йиивливается переходом к пределу.
и*. 4*1 49
«ft
4. Если функция ограничена и измерима, то она ин-
интегрируема (следствие леммы 1).
5. Если / — интегрируемая функция и f (x) ^ с, то
Пусть /п (*) = kjn, если k/n < /(х)< (k + l)/n. Тогда
последовательность простых функций /п равномерно схо-
сходится к / и fn(x)^.f(x)^.c. В неравенстве для простых
функций
переходим к пределу при я-voo и получаем требуемое
неравенство.
Отметим частные случаи свойства 5.
5а. Если / интегрируема и f(x)~^0, то j f{x) d\i ^ 0.
х
Для доказательства применяем свойство 5 к неравенству
-/(*)< 0.
56. Если ft и f2 — интегрируемые функции и fi(x)^.
< f2 (*)> то
Утверждение следует из неравенства f2 (х) — /х (л:) '^ 0
и свойства 5.
6. Если |/ (х)\ <С ф (х), где функция ф интегрируема,
а / измерима, то f интегрируема.
Проверим сначала свойство 6 для простых функций.
Пусть / и ф — простые функции. Пусть имеется разбиение
X— цАк такое, что f(x) — yk, <p(x) = zht если x?Ak.
При этом выполняется неравенство |«/ft| ^ zh. Тогда, сос-
составляя ряды, получаем
\ f (х) d\i =
Ряд для функции f мажорируется абсолютно сходящим-
сходящимся рядом и, значит, сам абсолютно сходится. Теперь
свойство 6 устанавливается предельным переходом.
Отмстим частные случаи свойства 6.
6а. Если /i (х) ^ / (х) <; /2 (х), где fy и /2— интегрируемые
функции и / — измеримая функция, то / интегрируема.
Утверждение получается из неравенства |/(л:)|^ |/i(
+ Ы :
50
66. Если f — интегрируемая функция, a g — ограничен-
ограниченная (|g(#)|<Jc) измеримая функция, то fg интегрируема,
j j
g) р
причем | j / (х) g (x) d\i\ < с j |/ (x)\ dp.
Л Л
Действительно, из очевидного неравенства —c\f(x)\<c
<f(x)g(x)<c\f(x)\ по свойству 6а получаем, что про-
произведение fg интегрируемо, и по неравенству 56 — тре-
требуемое неравенство.
В частности, если f — интегрируемая на X функция,
то f интегрируема на любом измеримом подмножестве
AczX, так как
Если А и В — измеримые множества и А П В — 0, то
Хд "г %в"~- %avb- Поэтому, используя свойства 2 и 6,
получаем, что
f{x) dp - j
Это свойство, как и свойство 2, называется аддитивностью
интеграла Лебега.
7. Если /(X) — интегрируемая функция, то |f(#)|
также интегрируема.
Для простых функции это свойство выполняется по
определению (требование абсолютной сходимости ряда),
для произвольных интегрируемых функций проверяется с
помощью предельного перехода, причем справедливо не-
неравенство
8. Если ц (А) = 0, то j / {х) йц = 0 для любой функ-
А
ции f (на множестве меры нуль любая функция измерима).
Для простых функций это свойство очевидно, а для
произвольных получается предельным переходом.
Из этого свойства вытекает следующее утверждение.
8а. Если почти всюду на X f(x) = 0, то ff(x)d\i = O.
Я
Действительно, пусть А — множество меры нуль, вне ко-
которого f(x) — 0, тогда
51
\ f(x)d\i--- j/(je)dji-b j 0-dn= 0.
X A X \ 4
В частности, если f(x)=g(x) почти всюду, то) /(#)' dp =
J
X
Последнее свойство позволяет усилить некоторые пре-
предыдущие свойства. В условиях можно потребовать выпол-
выполнения неравенств почти всюду и при этом выводы сохра-
сохранятся. Так, утверждение 66 справедливо, если неравен-
неравенство \g (x)\ ^ с выполняется почти всюду. Возникает новый
класс функций — измеримых ограниченных почти всюду.
Этот класс обозначается ^^(Х, \х).
. Если J |/ {х)\ d\i — О, то / (х) = 0 почти всюду.
X
Докажем предварительно одно вспомогательное неравен-
неравенство, которое будет использоваться и в дальнейшем.
Лемма 2. Пусть / — интегрируемая функция, f()^
с > 0, и пусть Ас — {х\ f (x) 5? с}. Тогда справедливо не-
неравенство Чебышёва
ИЛС)<— f f(x)dli.
с 1
Доказательство. Из свойств 2 и 5 получаем це-
цепочку неравенств:
J
Ac
Ac
Разделив неравенстю на с, получаем неравенство Чебы-
Чебышёва. rj
Доказательство свойства 9. Обозначим Ас =
= {х\ \f (х)\ > с}. Тогда Ао = {х\ \f(x)\ >0} = U Ах,п.
я=1
Нужно показать, что ц (Ло) = 0. По неравенству Чебышёва
получаем
Значит, ц (Ло)<
л=1
52
§ 9. Предельный переход под знаком интеграла
Уже в определении интеграла Лебега заложена воз-
возможность перехода к пределу под знаком интеграла в
случае равномерно сходящейся последовательности
функций. Если последовательность интегрируемых функ-
функций fn равномерно сходится к функции f, то f — интегри-
интегрируемая функция и
f{x)dii = lim ) fn(x)dn.
x "-°° x
Действительно, так как последовательность /„ сходится
к / равномерно, то для любого е > 0 существует п0 такое,
что при п^п0 \fn(x) — f(x)\^.e. Отсюда вытекает нера-
ненство |/(х)| г^в --!- fn,{x), и из свойства 6 получаем ин-
тегрируемогть функции f(x). Предельное равенство полу-
получается из неравенства
I If n (*) - / (*)! dp < sup \fn (x) - f {x)\ v (X)..
X
Если последовательность fn точечно (или почти всю-
всюду) сходится к функции f, то переходить к пределу под
* знаком интеграла нельзя. Действительно, пусть, напри-
например,
f , ч [2л, 1/2п <х< 1/«,
I 0 для остальных.
Тогда /„ (л:) -> 0 точечно, но \ fn (x) d\i = 1.
**-^=5=S=r- [0,1]
vx При точечной сходимости может также оказаться, что
(предельная функция не интегрируема. Например, если
М*) = ! ^11п' то fn{x)-+ — точечно на ] 0,1 [,
[ 0, дс^ \jn, х
но предельная функция 1/х не интегрируема. Или пусть
ОС
X ~ И Ан и / (х) ~- 2 Уь%а ¦ При любых yh по^ледова-
гельность fn (х) == 2 Уь%А интегрируемых функций точечно
сходится к f(x). Но f(x) интегрируема лишь при допол-
дополнительном условии, что ряд 2 \Ук\ И1 {Ah) сходится. При
h
иыполнении этого условия (по определению)
f f(x)dn = lim f M
«-00 х
f
х «-00 х
53
I
Если ряд 2 УьН' (\) сходится условно, то Г существует
h
j
; но^предельная функция не интегрируема.
Теорема 1 (абсолютная непрерывность интеграла Ле-
Лебега). Пусть / — интегрируемая функция. Тогда для любо-
любого в > 0 существует б > О такое, что если (л (А) < б, то
Л
Доказательство. Пусть сначала / — простая функ-
функция, f(x) = yh, если х? Ah и X = jj А,,. Тогда
к
J / (х) ёц =
причем ряд сходится абсолютно. Выберем номер Л^ так, что
ос
. Пусть S= [J ^ и с= max \yh\ =
= тах|/(л:)|. Возьмем б<е/2с. Пусть (д,(Л)<8, тогда
х\в
Пусть теперь / — произвольная интегрируемая функция.
Выберем простую интегрируемую функцию g так, чтобы
\f (x) — g{x)\^e,/2n(X). Для простой функции g (по до-
доказанному) можем выбрать б > 0 так, чтобы выполнялось
неравенство | J g (х) йц\ < е/2, если только (л (А) < б. Тогда
А
\[ f (X) d|l | < j |fif (X)| d^+ j I/ W - jf (X)| dp <
Л Л л
< (e/2ji (X)) }г (Л) + в/2 < e.D
Следствие (о-аддитивность интеграла Лебега).
Пусть / — интегрируемая функция и А= Ц Ak, где Лй—
измеримые множества. Тогда
=2 I
Л
причем ряд сходится абсолютно.
54
1
Доказательство. Для функции/ пов>0 выберем Щ
6>0 так, что если ц(/4)<6\ то jj f{x)d\i <e. Выберем
А
номер N таким, чтобы V ц (Ak) < б. Тогда для n
выполняется равенство
N
II
h=\
Применяя доказанное утверждение к интегрируемой
функции |f(X) |, получаем сходимость мажорирующего
ряда и, следовательно, абсолютную сходимость рассмат-
рассматриваемого ряда. ?
Верно и обратное утверждение.
сю
Теорема 2. Если А = Ц Ah, f интегрируема на Ак и
ряд
h Ah
сходится, то функция / интегрируема на А и
Доказательство. Сначала предположим, что/
простая функция. Пусть X — Ц Бг и f(x) — yt, если
Положив Л/,,- — Лй П 5г. имеем
Из сходимости ряда A) вытекает, что сходятся ряды
22 i^i мл«) = 2
22 i^i мл«) = 2
ft г
им м*'n
('ходимость последнего ряда означает, что существует
интеграл
J 2 A).
55
В общем случае приближаем функцию / простой функцией
g так, что
\f(x)~g(x)\<e. B)
Тогда
Ak
Ak
Так как ряд 2 Р(Ак) = Iх И) сходится, то из сходимости
ряда A) вытекает сходимость ряда
\
4
\
4
т. е. по только что доказанному интегрируемость на А
простой функции g. Но тогда в силу B) исходная функ-
функция / тоже интегрируема на А. Теорема доказана.
Теорема 3 (Лебег). Пусть последовательность изме-
измеримых функций fn почти всюду сходится к функции f и
пусть существует такая интегрируемая функция <р, что
\fn(x)\s^q>(x) почти всюду. Тогда предельная функция
f интегрируема и
/(Jc)d(i-: Urn
Доказательство. По свойству 6 § 8 из неравен-
неравенства \fn(x) | ^ф(дс) следует, что fn интегрируемы, а из
-тсЭремы 1 § 7, что f измерима. Так как выполнено нера-
неравенство \f(x)\^(p(x), то f — интегрируемая функция.
Нужно показать, что для любого е>0 существует номер
«е такой, что для п>пг выполнено
По свойству абсолютной непрерывности выберем б > 0 так,
чтобы выполнялось неравенство \ ф (х) ёц < е/3, если
л
р (А) < 6. Тогда выполняются также неравенства
J 1/п (х)\йц<. в/3 и j |/ (х)\ й\14<:]в13. Воспользуемся теоре-
А А
мой Егорова: по 6 >0 найдем множество Х6аХ такое,
что [к(Х \Хб)< б и на Xft последовательность fn сходится
равномерно. Выберем номер пе так, чтобы для
выполнялось
sup
56
Тогда для п>пг имеем
/ (х) dp - J /п (
Теорема 4 (Б. Леви). Пусть fy(л;)</2(л:)< ... —мо-
—монотонно возрастающая последовательность интегрируемых
функций и пусть существует постоянная С такая, что
/„ (х) d\i^.C для п - - 1, 2, .... Тогда почти всюду
существует конечный предел /(х) = lim \fn(x), 'функция /
интегрируема и
М- = lim \ f-n
Доказательство. Заметим, что последовательность
»р„ (х) -- /п (л;) — /, (х) удозлетюряет всем условиям теоремы
и состоит из неотрицательных функций. Поэтому доказа-
доказательство георемы достаточно провести для случая /n(x)^0.
Зафиксируем точку х. Числовая последовательность
/i (x) s^ }3 (х) <; . . . возрастает и, значит, имеет конечный
или бесконечный предел. Покажем, что для почти всех х
предел /п(х) при п -*¦ оо конечен. Введем множество
Щ={х\х?Х, lim /„(*)]- + «>}¦
Докажем, что (x(Q) = 0. Возьмем произвольное число г>0.
Если х??1, то существует номер п(х) такой, что /п(х)>г.
Если ввести множества i1n = {x\fn(x)>r}, то предыдущая
фраза означает, что Qc U Qn.
Так как /п>0, то применимо неравенство Чебышёва
и [i(Qn)^.C/r. Поскольку последовательность fn монотон-
монотонно возрастает, то Qx с Q2 с: . . . и, значит,
lim n(Qn)<C/r.
Нциду то;о, что г произвольно, ^i(Q) —0.
Сведем доказательство того, что функция / интегриру-
интегрируема и возможен предельный переход под знаком интеграла,
57
I
к теореме Лебега. Построим функцию <р (х) = k, если x?Ak,
где Ак = {х| Л — 1 </(*)<*}. Тогда fn (х) </(*)< <р (х)
и нужно только доказать, что ф интегрируема, т. е. ряд
kn (Ah) сходится. Для этого достаточно показать, что
частные суммы ряда
т
2^ k\\ (Ak) = J ф (х) Aц
ограничены в совокупности. На множестве Вт= Ц
ем /„ (х) ^ т, поэтому на Вт применима теорема Лебега и
- lim
Но ф (дс) ^ / (x) + 1 и получаем
J Ф(х)фг< J (
Следствие 1. Пусть фп (х) — последовательность
неотрицательных интегрируемых функций и пусть числовой
ряд У, \ фп (х) d\i сходится. Тогда ' почти всюду сходится
1 X
ряд 2 *n w и
21
IX
Доказательство получается применением теоремы
п
Б. Леви к последовательности частных сумм 2 Фь (*)•
Теорема 2 §9 является простым следствием теоремы
Б. Леви.
ОО
Следствие 2. Пусть X = Ц Лк и пусть / — изме-
римая функция такая, что интегралы j |/ (x)\ djj, существу-
Ah
58
ют и ряд ? \ \f Ml dp сходится. Тогда / интегрируема и
h A
h Ah
J C)
X n Ak
Шх)и х t ft»
Доказательство. Пусть фй (л:) =
I 0, x$Ak,
тогда |/(х)| = ^ фй(х). В силу следствия 1 функция |/|
h
интегрируема, а значит, интегрируема функция / и выпол-
выполняется равенство C).
Теорема 5 (Фату). Если последовательность неотрица-
неотрицательных интегрируемых функций /„ сходится почти всюду
к / и существует постоянная К такая, что j fr)(x)d\i ^.K
X
(интегралы J fn(x)d\i ограничены в совокупности^ постоян-
х
iron К) , то функция / интегрируема и \ f(x)d[i^.K-
'х
Доказательство. По последовательности fn по-
построим новую последовательность ф„ (л;) = inf fh (x).
Функция фп (х) измерима, так как Ас = {х | ф„ (х) < С} =
= ^{x\fu(x)<-C} и> значит, Ас измеримо для любого С
как объединение счетного числа измеримых множеств.
Последовательность ф„ (х) монотонно возрастает,
Ф«М-*-/(*) и Ф„(*К/пD Применяя теорему Б. Леви,
получаем утверждение теоремы Фату, s ¦
Замечание 1. Если последовательность fn удовлетворяет
условиям теоремы Фату, то нельзя утверждать, что j f (x) djx =
х
¦ = lim \ fn (x) djx. Пусть, например,
Bп, l/2/i ^ х < 1/л,
/„ (х) = I '
(О для остальных.
Тогда точечно fn (x) - 0, fn (x) d\i = 1, но
[о", 1 ]
f (x) d\i ф lim \ /n(x)djx=l.
[0",1] л">°° [0,1]
В теоремах о предельном переходе из сходимости по-
почти нсюду последовательности функций fn к / при допол-
59
нительных условиях следует, что последовательность
сходится в среднем, т. е. f\fn(x)—f(x) |й(ц,->0прия->-оо.
Покажем, что обратное утверждение не всегда верно.
Пример. Пусть последовательность fn(x) функций
на отрезке [0, 1] построена следующим образом: зада-
зададим функции
1, (k—l)/m^.x<:k/m; k—\, . . . , trr
О для остальных x
и занумеруем их -следующим образом:
I /i = Фи, fi = Ф21, ft = Таг. /4 = Ф»1> /5 = Фза. /в=Фзз,
U = ф41. • • • •
Тогда ни в одной точке последовательность /п (х) не имеет
предела, но \ \fn(x) \dx-+-0, т. е. последовательность fn
о
сходится в среднем к нулю.
Замечание 2. Следствие 2 теоремы 4 показывает, что в
случае о-конечной меры естественно следующее определение интег-
интеграла Лебега.
Определение 1. Пусть X — множество с 'о-конеч-
оо
ной мерой \i, X = Ц X,,, где \i(X,<)<. -т °°- Измеримая
1
функция / называется интегрируемой на X, если сходится
сю
ряд V Г |/ (х)\ d\i. Интегралом Лебега интегрируемой
1 Xk
функции / называется число
Легко проверить, что определенный таким образом
интеграл не зависит от способа разбиения X на множест-
множества конечной меры и что для функций, интегрируемых на
множестве X с о-конечной мерой, справедливы теоремы
3—5 о предельном переходе.
Теорема 6. Пусть f(x)^0 — измеримая функция на
множестве X с о-аддитивпой мерой j.i. Пусть М — мно-
множество простых функций g, каждая из которых прини-
принимает конечное число значений и удовлетворяет неравен-
60
lf(x)^f(x). Функция f интегрируема тогда и толь-
только тогда, когда существует постоянная С такая, что
fa(x)duJ^.C для любой функции gGAf, при этом
•
\ / (х) d\x =- sup | g (x) d(i. D)
X M X
Доказательство. Обозначим Co = sup \g(x)d\i.
м Jx
Построим последовательность gn простых функций, прини-
Микнцих конечное число значений
— , если Л/я</(*)< (Л + 1)/"' * = 0, 1,... , п2,
If» (*) -= "
О, если / {х) > п.
Последовательность gn монотонно возрастает и почти
всюду сходится к /. Если / — интегрируемая функция, то
ПО теореме Лебега \ gn (x) d\i-*- \ f (x) ф, и, значит, Со !>
х х
> ) / (х) d\i. Так как неравенство | g (jc) d\i ^ j / (х) d\a
ic xx
очевидно (свойство 5 интеграла Лебега), получаем D).
I'ltviH существует С из условия теоремы, то к последова-
Hviuhocth gn применима теорема Б. Леви, функция /
интегрируема и но доказанному выполнено D). п
| 10. Сравнение интеграла Лебега
с интегралом Римана
В § 8 были отмечены различия в определениях инте-
||>цла Римана и интеграла Лебега, приводящие к раз-
различию классов функций, интегрируемых по Риману и по
Лебегу. Рассмотрим подробнее взаимоотношения между '
чтим и классами.
Теорема 1 (Лебег). Если для функции /, заданной
Мй отрезке [о, Ь], существует собственный интеграл Римана
j f(x)dx, то она интегрируема по Лебегу и ее интеграл
Лебега | f (x) d[i равен интегралу Римана.
Доказательство. Построим верхнюю и нижнюю
1!уммы Дарбу для интеграла Римана. Отрезок [о, Ь\ разби-
1Ш 2" частей точками xh — а-\ (Ь— a), O^.k^.211.
61
Пусть
Mnhr= sup /(*), mnft = inf f(x). A)
xk.^x<xk xk_l^x<xh
Тогда верхняя сумма Дарбу Sn и нижняя сумма Дарбу
Sn определяются равенствами
^ л* о — а о v, Ь — а
Построим функции /„ (x) -- Mnh, если xfl , ^ x <Cxk;
fn(x) = mnh, если xh_i$^x<Cxh- Это простые функции и
[a,6] [a, ft] »
С ростом n отрезок, по которому вычисляется inf в A), |
уменьшается и, следовательно, inf увеличивается. Поэтому "
последовательность /п (х) монотонно возрастает, т. е.
/Л*) ^/л+iW- Аналогично последовательность /„ (х)
монотонно убывает, т. е. "]„ (х) >/„.ц (х). Так к;ж
/nW^fW и 7„ (х)^/(л:), то существуют 1
m/n (*) =--= fjx) < f (*). lim 7n W -7 W > f (*).
Так как |/n(x)|<sup|/(x)|, |LWI<sup |/[(x)|, то по
теореме Лебега о предельном переходе / (х) и f(x) —
интегрируемые по Лебегу <|>упкции и
f T(x)'d\i - lim [ Г„(х)ф- lim Sn,
[a,ft] "-*°° [a.6] "-*00
= lim S_n.
Функция / интегрируема по Риману тогда и только .
— b \
тогда, когда lim Sn ¦-= lim Sn — f / (x) dx — L I
Поэтому
lim j [/„ (x) — fn (x)] d\i — ) \f (x) — f (x)] d\i = 0
и, значит, / (x) = / (x) почти всюду. Ho f(x)^f {x) s^ / (x)
62
J
A
И / (x) = / (x) почти всюду, / (л:) интегрируема по Лебегу и
f{x)dv-l. ,.
]
Замечание 1. Среди функций, для которых существует.
штоЛственный интеграл Римапа, есть функции, иеинтегрируемые по ]\
Jlpfii'iy. Это функции, для которых несобственный интеграл
ь ь
| / (х) dx существует, a I \f(x)\dx расходится. В качестве примера;
г» а ' |
можно взять / (х) --¦ —sin— на [0, 1].
Теорема 2. Ограниченная функция / интегрируема
II» Рпману на отрезке \а, Ь\ тогда и только тогда, когда
пив почти всюду непрерывна, т. е. множество точек разрыва
имеет меру нуль.
Доказательство. Пусть / интегрируема по Риману.
Как показано в доказательстве теоремы 1, f (х) — f (x)
почти всюду. Запишем подробнее, что значит f(xo) = f{xo).
Ц()№мсм е > 0. Существует номеру п (е) такой, что
\(и (*¦>) — fn (хо)\ <С е. Пусть х0 принадлежит некоторому
инг«рвалу ]а, |3[, полученному при разбиении отрезка [а,Ь]
И» 2" частей. Тогда
sup f(x)— inf / (х) < е
It, .чначнт, |/ {х) — f (л:0)|< е для х?\а, E[, т. е. функция /
Непрерывна в точке х0. Таким образом, доказана непрерыв-
HiH'iii функции / во всех точках, кроме тех точек, где
/(л)'/=/(•*), и точек виДа x — k/2", т. е. всюду, кроме
Множества меры нуль.
11|Х)водя рассуждения в обратном порядке, получаем,
ЧП» если / непрерывна почти всюду, то f (x) = f (x) почти
Тогда lim ~Sn = \Td\i= f/d|i =-HmSn
n->oc J •) n-»oo
Л Л
ИйНтярню интегрируемости функция / интегрируема по
i'HMWiy. D
Замечание 2. Следует отличать дна условия: а) функция поч-
|И игюду непрерывна; б) функиия почти всюду совпадает с непрерывной.
I им, функция /1ирпхле почти всюду совпадает с непрерывной фуик-
Illitift f(x)t'"O, no она разрывна во всех точках и не интегрируема по
Пример.
Ни отречко [0, 1] построим канторово множество ме-
\/2. Дли этот из отрезка [0, 1] сначала выбросим
63
интервал длины 1/2-1/3, расположенный в середине от-
отрезка. Затем нз каждого оставшегося отрезка выбрасы-
выбрасываем интервал длины 1/2-1/9, расположенный в середи-
середине, и т. д. Сумма длин выброшенных интервалов равна
1/2A/3 + 2/9 + ...) = 1/2. Оставшееся множество К\ есть
канторово множество меры 1/2. На каждом из вы-
выброшенных интервалов ]а, р[ определим функцию / фор-
формулой
и положим f(x) = Q ira канторовом множестве. Функция ,
ограничена, измерима и, значит, интегрируема по Лебе
гу. Но во всех точках канторова множества К\ функци;
f разрывна. Действительно, если ховК\, то в любо*
окрестности точки х0 есть точка хи являющаяся середи
ной смежного интервала. Тогда-f(x0)—O, f(xi) = \ i
функция / разрывна. Так как ix(Ki) = 1/2, по теореме .'
/ не интегрируема по Риману.
Функция Дирихле не интегрируема по Риману, н
может быть так изменена на множестве меры пуль, чт
станет интегрируемой по Риману. Неинтегрируемост
построенной выше функции f имеет более сильный хг
рактер в следующем смысле: как бы ни изменяли фут
цию / на множестве меры нуль, измененная функци
остается не интегрируемой но Риману.
В дальнейшем меру Лебега на прямой и в R" буде
ь
обозначать их и интеграл Лебега — \ f (x) dx, что естес
а
векно в силу теоремы 1.
§11. Заряды
Нам уже встречались аддитивные и а-аддитивш
функции множеств, которые не обладают свойством п
ложительности. Это, например, электрический зар:
(пример 6 § 3) или интеграл Лебега интегрируемой фуп
ции: Q>(A)=ff(x)dn (см. следствие теоремы 1 § 9).
Определение 1. Пусть X — произвольное mi
жество, S — (т-колытп его, попмттпжргтя Отображе*
Ф: S ->¦ R называется^заря^олГ^ли знакопеременной меро
64
если оно а-аддитивно, т. е. из разложения Л= U Ak,
Ai€ S, следует, что Ф (Л) =
Замечание. Из определения 1 следует, что последний ряд
сходится абсолютно, так как его сумма не зависит от способа нуме-
нумерации множеств Ah-
Примеры.
1. Пусть X — пространство с мерой \i, S—о-кольцо
измеримых подмножеств из X, f — функция, интегриру-
интегрируемая на X. Тогда функция множества, заданная для
/16S формулой
Ф(Л) ¦— j f(x)d\i, A)
япляется зарядом.
2. Пусть на X заданы две меры ц,х и ц2. Их разность
Ф(Л) —(хх(Л) — И<2(Л) является зарядом.
Пусть Ф (Л) —заряд, заданный формулой A). Обозна-
Обозначим Х+-{х€Х|/(х)>0}, Х- = {х€Х|/(*)<0}. Полу-
Получаем представление
Ф (Л) = Ф (Л П Х+) + Ф (Л П X"). B)
Так как на множестве Х+ функция / положительна, то
Ф(Л П X!¦)>() и, значит, ц,(Л) -Ф(Л П Х+) — мера.
Аналогично ц2 (Л) = —Ф(Л П Х~) является мерой. Полу-
Получаем представление заряда Ф (Л) = \1г (Л) — ц2 (Л) в виде
разности двух мер. И так как цг (Х~) = (х2 (Х+) = 0, то
меры (д.х и ц2 взаимно сингулярны.
Покажем, что аналогичное разложение существует
для любого заряда.
Определение 2. Измеримое множество A cz X
называется положительным (отрицательным) относительно
наряда Ф, если для любого измеримого подмножества
ВсЛ, Ф(?)>0 (Ф(?)<0).
В предыдущем примере множество Х+ положительное,
а X" — отрицательное.
Теорема 1. Пусть Ф — заряд, заданный на а-кольце S
Подмножеств из X. Тогда существует такое положительное
подмножество Х+ сг X и отрицательное подмножество
А'-сХ, что Х = Х+ЦХ-.
Лемма. Если заряд Ф задан на а-кольце S подмножеств
ii:i X, то sup |Ф(В)|< +оо для любого A?S.
ВС.А
¦ :»ак. 420 65
Доказательство. Обозначим Ф(Л) — sup |Ф(В)
ВС.А
Предположим, что для некоторого множества Л ? S имее!
Ф(Л)-- + оо. Покажем, что существует последователь
ность ЛэЛ,эЛ2Г) . . . такая, что |Ф(Л„)|>/?. Выбере.»
Вг cz А так, что |Ф(Вг)\ >|Ф(А)\ -|- I. Тогда для А\В
имеем 1Ф {А \ Вх)| ¦--. |ф (Л) — Ф (В,)| Г:-: |Ф (Bt)| - |Ф (А)|>1
Положим
Bj , если Ф(В,)« + оо,
Л\В,, если Ф(/?,)<+ оо.
Тогда Ф(Л,) -]- оо. Далее построение ведем по ин
дукции. В множестве Лп_г выбираем подмножество В
так, что \Ф(Вп)\>\Ф(Ап_1)\-\-п, и полагаем
А \ вп . если Ф (В„) - + оо,
Un-i\5n. если Ф (В„)< + оо.
Тогда в силу а-аддитивности заряда существует конеч-
оо
ный предел <D (fl Л„) = lim Ф (Л„). Но, с другой
П~-\ П-^оо
стороны, |с1)(Л„)|-> сю. Полученное противоречие доказы-
доказывает лемму. [ ]
Доказательство теоремы 1. Покажем сначала,
что если Ф (Л) < 0, то в А существует отрицательное
множество Ао. Если само Л отрицательно, то утверждение
очевидно. Если же А не отрицательно, то в Л существуют
множества с положительным зарядом. Выбираем среди них
такое Bv что Ф (Вх) >ЯФ (Л) — 1/2, где S<1> (Л) - sup Ф(С).
Сс.л
Положим Аг — А \ Вг. Далее, по индукции строим мно-
множество В„ с Лп_, такое, что Ф(В„)^ХФ(Л„_1) — 1/2",
и полагаем Ап — А^_х \ Вп. Так как Ф(Вп)>0, то
оо
Ф (Лп) < Ф (Л^) < Ф (Л) < 0. Пусть Ло -.т- U Ап. Тогда
Ф(Л0)--=: lim Ф(Л„)<0. Покажем, что Ао— отрицатель-
Ное. Предположим, что существует подмножество ВсЛ0
такое, что Ф (В) > 0. Выберем номер п так, чтобы
1/2" <Ф (В). Тогда
Ф (В U В„) - Ф (В) + Ф (Вп)
(В с Л„, В„ 9t Лп, В U Я„ с
что противоречит определению 5Ф(Лгг_1).
66
Перейдем к построению множеств Х+ и Х~. Пусть
1> -МФ(Л), где нижняя грань вычисляется по всем
отрицательным подмножествам из X. Пусть Ап— последо-
иательность отрицательных подмножеств такая, что
ПтФ (Л„) = Ь, и пусть Х~ — U Ап. Множество Х~ от-
рицательно и Ф (X") — Ь.
Покажем, что множество Х+ — X \ X" положительно.
Пели в Х+ существует Л такое, что Ф (Л) < 0', то по до-
доказанному существует отрицательное множество Ло с: Л и
Ф(Л0)<0. Тогда Х~ U ЛО — отрицательное множество,
причем Ф(Х" Ц Ло) -- Ф (X") -|- Ф (Ло) < Ъ, что противоре-
противоречит определению числа Ь. Значит, Х+ — положительное
множество. ;j
Следствие 1. Для любого заряда Ф существуют
нчаимно сингулярные меры \х,х и \i2 такие, что Ф (Л) —
ja, (Л) — ц2 (Л).
Доказательство. Положив ц, (Л) --- Ф (Х+ f| Л) и
|12(Л) = —Ф(Х~ П Л), получим требуемое разложение.
Рассмотрим подробнее заряды на а-алгебре, порож-
порожденной полуинтервалами на отрезке [О, 1]. Каждому за-
заряду v (как и мере) па этой а-алгебре поставим в соот-
соответствие функцию F(t)=v([O, t\), F@)=0. Опишем
класс функций на [О, 1], которые соответствуют заря-
зарядам.
Определение 3. Функция g : [a, b|-^-R называется
функцией ограниченной вариации, если существует число с
Тнкое, что для любого разбиения а — to<. tr<i ¦¦¦ < ln<. b
справедливо неравенство
'2 \8(fk)-g{th..i)|<c. C)
Наименьшая из постоянных с, при которых справедливо
ие.равепепю C), называется вариацией функции g на
полуинтервале [а, Ь[ и обозначается Vg.
а
По- определению
ь
о- 1
где верхняя грань берется по множеству разбиений [а, Ь[,
«• 67
Примеры.
1. Монотонная функция g является функцией ограничен-
ь
ной вариации и Vg—g(b — 0) — g(a)- Если функция g
а
Ь
непрерывна слева, то Vg — g(b) — g(a).
а
2. Если g{t) = gt(t) — giA), где gy g2 —монотонно
возрастающие функции, то g является функцией ограгачен-
ной вариации.
Справедливо и обратное утверждение, Действительно,
пусть g (t) — функция ограниченной вариации. Тогда
функция gr (I) ¦-- Vg монотонно возрастает. Так как
о i
и t
Vg > \g (t3) — g (*,)|, то функция g2 (t) = Vg — g @ тоже
*i 0
возрастает, ибо если ^ < t2, то
g2 (W =Vg-g (t*) =- Vg - g (^i) +Vg+g (U) - g (/,) >
>8g(i) g,(i)
о
Отсюда получаем разложение g (() — gi (t) — g2 (t)¦ Заме-
Заметим, что если функция g непрерывна слева, то -построенные
функции gt и g2 непрерывны слева.
3. Функция
х cos — , х > 0,
fix)--
X
0 ,*=¦=(),
непрерывна на отрезке [0, 1]. Если выбрать точки разбие-
разбиения xh — \/кл, то
)i > 2
и, значит, / не является функцией ограниченной вариа-
вариации.
Теорема 2. Функция g:[0, 1]->R соответствует неко-
некоторому заряду v по формуле g(t) = v([Q, l[) тогда и
только тогда, когда 1) g—функция ограниченной ва-
вариации; 2) g@)=0; 3) g непрерывна слева.
Доказательство. Пусть функция g построена по
некоторому заряду v. Тогда по теореме 1 v= (Xi — ц2> где
1*1» М'я — меры. Мерам ц^ и \i2 соответствуют функции gx
68
и g2 монотонные, непрерывные слева и такие, что
К. @) = g2 @) - 0 (теорема 1 §6). Тогда g (t) - gl (t)-gt(i)
удовлетворяет требуемым условиям. Обратно, если g —
функция ограниченной вариации, то g(l) = gi(t) — g2@>
где gt и gz — монотонные непрерывные слева функции.
Причем их можно выбрать так, чтобы gj @) = g2 @) = 0.
Поэтому им соответствуют меры \it и [х2 и, следовательно,
функции g соответствует заряд v = (J.j — ц2. ?
§ 12. Теорема Радона—Никодима
Пусть 2 — о-алгебра подмножеств множества X и
ц, — мера на 2. Если рассмотреть другие меры или за--
ряды, заданные на той же а-алгебре, то некоторые из
них могут быть представлены в виде
I
I
v(A) = f/(*)d|i, A)
А
где /—интегрируемая функция. Существуют меры, ко-
которые не могут быть представлены в таком виде. Напри-
Например, если 2 — множество измеримых по Лебегу мно-
множеств на [0, 1] и ц, — мера Лебега, то мера
v(A)= {
1, если 0?А,
0, если 0(А,
не может быть записана в виде A). Действительно, в силу
абсолютной непрерывности интеграла (§ 9), '^если (л (А) — 0,
то v (A) = f fd\i = 0. Взяв А = {0}, получим противоречие.
К
Оказывается, что именно свойство абсолютной непре-
непрерывности характеризует заряды, представимые в ви-
виде A).
Определение 1. Заряд v называется абсолютно
относительно меры \i, если из |д,(Л) = и сле-
следует v(A)~V.
Заряд v, заданный формулой A), является абсолют-
абсолютно непрерывным,
Лемма. Пусть ненулевая мера v абсолютно непре-
рыпиа относительно меры j.t. Тогда существует ц-измери-
м»»е множество В и б>0 такие, что ц(В)>0 и
уАаВ. B)
Доказательство. НераЕенстЕО B) означает, что мно-
ЖС1ТЕО В положителыо относительно заряда <i> = v — 8\t.
69
Рассмотрим последовательность зарядов Фп — v ц.
п
Пусть X JU Х~^ -- X — разложение X на положительное и
отрицательное множества для заряда Ф„. Для подмножест-
подмножества Л с Х^ справедливо неравенство
., / Д\ ,, I Д\ (Г>\
V \/~11 ——— |д, ¦ /-у | V /
п
оо
Если Ло = р| Х7, то C) справедливо с любым п, т. е.
v(^0) - 0. Поэтому у(Х\Л„) >0. Ввиду абсолютной непре-
непрерывности v относительно (д. имеем ц(Х\Л0);>0. Так как
Х\Л0 — U Xt, то существует п0 такое, что ¦¦'v'"'1
Полагая В — Хп'о и 6= 1/л0, получаем утверждение леммы, и
Теорема 1 (Радон—Никодим). Если заряд v абсо-
абсолютно непрерывен относительно меры \i, то существует
^-интегрируемая функция / такая, что v(A)=ffd\i для
любого Л?2.
Доказательство. Согласно следствию 1 теоре-
теоремы 1 § 11, заряд может быть представлен в виде разно-
разности двух мер \i] и [д2. причем если заряд v абсолютно не-
непрерывен относительно меры |х, то и меры ц,, и ц,2 также
абсолютно непрерывны относительно ц. Поэтому доказа-
доказательство проведем для мер. Обозначим через И следую-
следующее множество функций:
Н = {h ^0 \h ? bfci (X, \л), \ hd\\. ^ v (Л) yAcX}.
A
Пусть М = sup f /id,u. Возьмем последовательность /гп^ Я
hftl •)
л
такую, что f hnd\i^>~M. Построим новую последователь-
х
ность /„ ¦—max{A], ..., hn}. Тогда /„ (л:) </n+i {x). По-
Положим Лл = {х ? А | fn (х) = /ift (х), Z',, (х) =^= Л; (х), t =-- 1, ...
... ,k—l). Тогда Л = п Аь и
= v
2v
70
Значит, /,,?Я и по теореме Б. Леви (см. §9) /„ сходится
к интегрируемой функции / и j" fd\a — lim f fnd\i — M.
Кроме того, f /df.i<v(/l). Следовательно, / ? Я. Это озна-
чает, что Ф (А) — v (А) — \ fd\i — мера. Нам нужно Дока-
Докали
зать, что Ф(Л)==0 для любого А<^Х. Для этого доста-
достаточно показать, что Ф(Х)— 0. .Предположим противное,
т. е. Ф (X) > 0. Тогда по лемме найдутся множество В с
а X и число б > 0 такие, что Ф (А) > бц (А) для любого
Ас В и ц(В)>0. Возьмем функцию /го(х) — 6%«(x).
Тогда
т. е. f [h0 -f- /] d\i s=C v (А). Следовательно,
А
f 1''о I /J d\i-- ?ц (B) + M >¦ УИ, ччо противоречит опреде-
определению числа М. Таким образом, Ф(Х) — 0. О
Пример. Пусть Ф — заряд на [0, 1], заданный с
помощью функции g(t). Заряд Ф абсолютно непрерывен
относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда
функция g(t) абсолютно непрерывна (см. § 6). По тео-
роме Радона—Никодима существует такая интегрируе-
интегрируемая функция /, что Ф(А)= Jfd\i. В частности, если А =
ш[и, Ь[с:\О, 1],то
ь
ц A>) ц (о) - ( fdx. D)
а
Если функция g непрерывно дифференцируема, то /—
it производная и формула D) является формулой Нью-
ion.'i Лейбница. Если функцию f назвать обобщенной^
шччгшодндй абсолютно непрерывной функции g, то D)"
ТфГ}|,ставляет собой обобщение формулы Ньютона—
Лейбница. Можно доказать, что абсолютно непрерывная
71
функция g имеет почти всюду обычную производную и
эта производная почти всюду совпадает с f.
Заметим, что если функция g не является абсолютно
непрерывной, то не существует интегрируемой функции
f, при которой формула D) имеет место для любых а и
Ь. Действительно, правая часть равенства определяет за-
заряд, абсолютно непрерывный относительно меры Лебе-
Лебега, а левая — заряд, не являющийся абсолютно непре-
непрерывным. В частности, даже если функция g непрерывна
и почти всюду имеет производную g', no но является аб*
солютно непрерывной, то формула Ньютона-- .Лейбница
не выполняется. Примером может служить функция Кан-
Кантора (рA). Эта функция непрерывна и y'(t) = O почти
всюду (на дополнении к канторову множеству). Но 1==
Если мера v абсолютно непрерывна относительно меры ц,
то функцию / такую, что v(A) -¦- f fd[i, называют (по ана-
А
логин с предыдущим примером) производной Радона—Ни-
кодима меры v по мере \к и она обозначается db/d\i.
Теорема 2. Пусть мера v абсолютно непрерывна отно-
dv
сительно меры ц и р {х) = производная Радона—Ни-
ф
кодима. Если функция / интегрируема по мере v, то функ-
функция / (х) р (х) интегрируема по мере ц и
f f(*)dv= [ f(x)v(x)dii. E)
X X
Доказательство. Если { — характеристическая
функция множества А, то равенство E) имеет вид
v(A) = Jp(x)d\n и выполняется по определению производ-
А
ной Радона—Никодима. Следовательно, равенство E)
выполняется для линейных комбинаций характеристиче-
характеристических функций, т. е. для простых функций, принимающих
конечное число значений. Для произвольных функций f
равенство E) получим предельным переходом. Прежде
всего заметим, что доказательство достаточно провести
для неотрицательной функции, так как любая функция
представляется в виде разности двух неотрицательных.
Пусть fn(x) — монотонно возрастающая последователь-
последовательность простых функций, принимающих конечное число
значений, почти всюду сходящаяся к f(x). Такая после-
последовательность построена, например, в теореме б § 9.
72*
Последовательность fn(x)p(x), монотонно возрастая,
почти всюду сходится к f(x)p(x) и, так как последова-
последовательность интегралов Jfn(x)dv сходится к Jf(x)dv, к
последовательности fn(x)p(x) применима теорема Б. Ле-
Лепи, откуда получаем утверждение теоремы. ?
Доказанная теорема позволяет получить формулу за-
замены переменной в интеграле Лебега. Пусть на отрезке
1*1, х2] задана интегрируемая по мере Лебега ц функция
/ и пусть задана непрерывная монотонно возрастающая
функция ф, биективно отображающая отрезок [t\, /2] на
|*1, х2]. Зададим на [tu t2] меру v, порожденную функ-
функцией ф, т. е. v([a, b[)=qi(b)—ц>(а). Так как мера v
полуинтервала [а, Ь[ совпадает с мерой Лебега [д, его
образа,-получаем,что
J j
Если функция ф абсолютно непрерывна, то мера v
лбсолютно непрерывна относительно меры Лебега и,
применяя теорему 2, получаем формулу замены пере-
переменной
= J /(Ф(О)Ф'(ОФ-
Если функция ф не является абсолютно непрерыв-
непрерывной, то формула F) не верна, что легко проверить, рас-
рассмотрев характеристические функции измеримых мно-
множеств. Таким образом, абсолютно непрерывные функции
Ф образуют максимальный класс функций, для которых
справедлива формула F) замены переменных.
§ 13. Произведение мер. Теорема Фубини
Ниш (X, |гх) и (Y, Цу) — два пространства с мерами,
то можно естественно задать меру на произведении XxY.
Вначале рлиберомен в простейшей ситуации. Пусть на
прямой R задана мера Лебега \iv а на плоскости R2 =
R X R — мера Лебега цг. Посмотрим, как связаны между
и>бой эти меры. Прямоугольник D = {(xt, x2):a^x1<lb,
1 ¦ \xa<id} является произведением множеств А и В, т. е.
1> АхВ, где А =¦- [а, Ь[, В = [с, d[. Меры: щф)— пло-
площадь прямоугольника D и \ii{A), ^{В) — длины сторон
прямоугольника D — связаны между собой формулой
73
Положим аналогичную формулу в основу определения про-
произведения мер.
Пусть Sx и Sy — кольца множеств из X и Y, на кото-
которых определены меры \ix и \iy соответственно. В произве-
произведении Z ---- X х У выделим систему подмножеств
Sz = {AxB\A?Sx, B?Sy},
которые являются аналогами прямоугольников на плоскости.
Предложение 1. Система подмножеств Sz является
полукольцом.
Доказательство. Пусть D, —• AiXBv D2 -А2хВ2.
Тогда Dt П D2 = (Л, П А2) х {Вг П В») ? Sz ¦ Если Dx => D2, то
;) UA2] x [(i
X [(Bi\?2) II B2] Ц (A2 X [(B,\B8) II B2] ^ |(Л,\Л2) x
x (Bi\B2)] LI [(А^Л^хВ^ II [Л2х (ВЛВ2)] LI (Л2хВ2)-
Тогда
D^Dz = [{A1\At) X (B|\B.2)| U l{Ai\A2)xB2] Ц [А2х
Х(ВЛВ2I- I
На полукольце Sz зададим меру ц:
\xz(AxB) = цх(А) \ху(В). п\
Теорема 1. Если цх и \iy—а-аддитивные меры, то
\iz — а-аддитивная мера.
Доказательство. Множеству D — АхВ поставим
в соответствие функцию fD (x) — %А (х) цу(В). Тогда \iz(D) =
п
= fDdpx ¦ Если D = ц Dh, D, Dh?Sz, то fD(x) =
ц
п
2 )- Тогда
х л=.| х
= 2 ^
т. е. (xz является аддитивной функцией множеств.
Пусть Dx — {y\(x, y)?D} — сечение множества D —
= AxB?Sz. Тогда /о(х) -- ^(D.,). Если D = ц D;i> Dfce
74
? Sz, то Dx — П Dhx. В силу а-аддитивности меры \iY
будем иметь
ID \X) — \ly {Ux) —
2
А—1 h—\
К ряду B) применима теорема Лебега (здесь использована i
а-аддитивность меры \ix) и, значит,
Н (D) = \ !d (x) фх - 2 i /z)* W d^ = 2 ^ (D*)-
Тем самым теорема доказана. П
Определение 1. Лебеговское продолжение меры (iz
определенной на Sz формулой B), называетс^произведением
4$ер^ цх и (iy и обозначается \ix <8>jAy, а пространство X х К
с мерой |лх<8)^к — произведением пространств (X, \ix) и
Если есть три меры ци ц2, [Х3> то можно определить
произведение (Ц1<8)Ц2)<8>Из и произведение Ц!® (Ц2®^з)-
Легко проверяется, что эти меры совпадают и, значит, од-
ноаначпо определено произведение Hj®n2<8>ti3-
Лемма. Для любого измеримого множества С сущест-
пует множество D такое, что С cz D, [д, (С) — [д. (D) и
D - ^ Dn, Dx => D, =>..., Dn -: U Dnh,
Dnlc=Dn2c= ..., Dn»e/C(S).
Доказательство. По определению измеримого мно-
ЖСгтня для любого п существует множество Ап, являюще-
являющееся счотным объединением множеств из К (S) такое, ,гчто
СаА„ и
|1(Л„): .ц (С)-;-!//». C)
Положим Д, -- р| Лй, D — j-j Dn. Тогда С cz D,
= |i(D)HDn = U^i, где Bnj?K{S). Положив Dnh =
s= U Б,и-, получаем требуемую систему множеств. ?
75
Теорема 2. Пусть X и К — пространства с конечным \
полными мерами \хх и \iY, \i -= [ix<g)uY и С с: ХхК—ц-
измеримое множество. Тогда
1) для почти всех х?Х множество Сх ¦¦¦- {y?Y \(х, у) ?
?С}, [^-измеримо в Y и почти всюду па X определена
функция /с (лг) = ц,у, (Ся);
2) " '
Доказательство. Утверждения 1) и 2) для мно-
множеств С из кольца К (S) фактически доказаны в теореме 1.
Если С--- LJ С„, C1c:C2cz ..., Cn?K(S), то последо-
последовательность /с (я) монотонно возрастает, и так как Сх =
— U Скх> то fc{x) — lim /с (х) и I /с (х) фх^(л(С). По
теореме Б. Леви
Аналогично проверяется справедливость утверждений 1)
и 2) для множеств вида *DJ= j-j Dn, где Dj'rj D2 r> ...
... =d D,, Z3 ... и для множеств Dn утверждения 1) и 2)
уже имеют место. Таким образом, справедливость теоремы
установлена для множеств чипа D из леммы.
Теперь пусть С — измеримое множество такое, что (\ix ®
<8) \iy) (С) —fi. Тогда по лемме найдется множество D id С
такое, что (fix<g)fiK) (С) = (nx®(-iy) (D) =10 и для D спра-
справедлива теорема. Так как fD (x) — fc (x) почти всюду и Сха
cz Dx, то в силу полноты меры цк цу (Сх) — 0 почти всюду.
Таким образом, теорема доказана для произвольных мно-
множеств С нулевой меры ц — \хх®\ху .
Поэтому если С — произвольное . измеримое множество,
то, выбирая D zd С, как в лемме, будем иметь, что fc (x) =
= fD (x) почти всюду. Так как для множества D теорема
справедлива, то получаем
ц (С) - fx (D) = f fD (x) dpx = j fc(x) d|*x- U
X X
76
Следствие. Пусть /(х)^ 0 —измеримая на X функ
ция, цх — мера на X, ц — мера Лебега па прямой R и
CczXxR — множество, лежащее под графиком функции /
иида С -= {(х, t) 10 < t < / (*)}. Тогда
X '
Теорема 3 (Фубини). Г. Пусть f(x, у) — интегрируемая
функция на произведении пространств (X, цх) и (Y, цу),
где меры цх и fxK полны и а-аддитивны. Тогда
1) функция f(x, у) как функция у при почти всех х ин-
интегрируема по мере \iy и ее интеграл является интегрируе-
интегрируемой функцией по мере цх ;
2) функция f(x, у) как функция х при почти всех у ин-
интегрируема по мере \ix и ее интеграл является интегрируе-
интегрируемой функцией по мере \ху ;
3) справедливо равенство
\ fix, у) сицу<8)ц„) = \ l fix,
J .1 \.'
XXY X Y
= f (J
II. Если / измерима и /(х, г/I>0, то из существования
одного из повторных интегралов следует, что f интегрируема.
Доказательство. Так как любую функцию / можно
представить в виде разности двух неотрицательных функ-
функций, то доказательство теоремы достаточно провести для
неотрицательной функции /.
В произведении (X, \ix)x(Y, nr)'x[(R, Hi), где ц1 —
мера Лебега, рассмотрим множество С, лежащее под гра-
графиком функции f(x, у),
С~{{х, у, z)eXXFxR!O<z<f(x, у)).
Согласно гледствию теоремы 2,
(|ix®|iy®|ii)(C) \ f(x, y)d(px<8>\LY). ¦ /6)
XXY
11редставим теперь произведение X х Y х R в виде X х (Y х
XR) и применим теорему 2. Тогда
0) = [ (^у®^) (Сх) d\ix , /^ч
х
где Сх = {(у, z)| (х, у, z)?C} = {(у, z)| 0<z</(х, j/)}.
I 77
При фиксированном х множества С,,, лежит под графи-
графиком функции ц>(у) = f(x, у). По следствию теоремы 2
(IV® 1*0 (Сх) -- J f(x, у) d\xY . (8)
Из F)—(8) получаем
j /(*, У) d(|ix®i*y) = [ ( f /(*, /у) d|*y) фх . (9)
XXY X Y
Поскольку X и Y входят в условия теоремы равноправ-
равноправно, то получаем тот же результат, поменяв местами X и Y.
Тем самым утверждения 1)—3) доказаны.
Для доказательства 11 рассмотрим неубывающую после-
последовательность fn (x, y) — min{f(x, у), п} измеримых огра-
ограниченных, и, если меры цх и цк конечны, интегрируемых
функций. Так как /„ (х, «/)-»-/ (х, у) точечно и
XXY
то по теореме Б. Леви функция / интегрируема. В случае
о-конечных мер интеграл по любому множеству конеч-
конечной меры ограничен повторным интегралом и, следова-
следовательно, функция / интегрируема. ?
Замечание. Для знахолсрсмсиных функции и.ч существования
повторных интегралов не следует существовании диошюго интеграла.
Примеры.
1. Пусть X = Y = [— 1, 1] и / (х, у) = хг//(х2 + г/2J,
1 1
/@, 0) = 0. Тогда j f{x, y)dx= f f(x, y)dy^O. По-
—i —i
этому
(" fn(x, y)d{v,x®\iY) ¦-- Г ( f fn{x
¦ -¦ x у
- ¦-- J ( j / (x, y) d[iY} dy,x = M,
j ) | ( J )
—i —l —i —l
Но интеграл Лебега на X x К не существует, так как
11 I 2Я
Isincpcoscp] ,
Г Г if/ м j j -^ Г j Г Isincpc
\ \f{x, y)\dxdy^ dr | ¦! ^
—V -l oo-
78
2. Пусть X = Y*=[O, 1], f{x, у) - (x2 - </2)/(x2 + г/2J,
/(О, 0)-0. Тогда
Г х2 — v2 . С д I У Ь
I 2— ф — — — dy =
J (x2 + г/2J У J ду \ У2 + х2 /
о о
J ( ) J / 1 +
о
, \ , С ' dx ... л
dy) dx г.- \ . , о - arctgx|' -- ——
(х2+г/2J ") J 1+х
об о
J U (хг + У2J ) J 1 + У2 4
0 0 О
Этот пример показывает, что из существования повтор-
повторных интегралов не следует, что они равны. Разумеется,
в этом примере функция / не интегрируема.
Глава III
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 14. Метрические пространства.
Огюеделения и примеры
Одним из важнейших понятий математического ана-
анализа является понятие предельного перехода; оно лежит
и основе таких фундаментальных для анализа операций,
как операция дифференцирования и интегрирования.
Поннтмс предельного перехода основано на возможно-
возможности шшсрнть расстояние между точками в соответствую-
соответствующих миожсстилх. Если но множестве указаны взаимные
«расстояния» между его .элементами, то это позволяет
пвести и изучить свойства предельного перехода в чис-
чистом виде, т. е. независимо от природы элементов, участ-
нующих в этом построении. Поэтому метрические прост-
пространства представляют собой одну из важнейших мате-
математических структур.
Определение 1. Метрикой на множестве X на-
называется отображение р : Xy(X-*-R, принимающее пеот-
79
рицательные значения и удовлетворяющее следующим
трем аксиомам (аксиомам метрики):
1) Р (х, У) =--- 0 -*==*• х-г-у;
2) 9 (х, У) --- Р (У, х);
3) р(х, г/)<р(х, г) + р(г, у) ух, у, z?X (неравенство
треугольника).
Значение р(х, у) метрики р па паре элементов (х, у)
называется расстоянием между точками хну.
Определение 2. Метрическим пространством
называется пара (X, р), где X — множество, р — метри-
метрика на нем.
Если метрика на множестве X зафиксирована, то
метрическое пространство (X, р) будем обозначать про-
просто X. Отображение f : X-*Y будем иногда обозначать
f: (X, px)-*-(Y, py)> подчеркивая тем самым, что множе-
множества рассматриваются как метрические пространства.
Поскольку само множество X будем называть прост-
пространством, то его подмножества — множествами в прост-
пространстве X.
На каждом множестве А в метрическом пространстве
(X, рх) естественным образом определяется метрика рА(х,
y)-~Px(Xt УУ' х> У?А- Множество А с определенной выше
метрикой называется подпространством метрического про-
пространства (X, рх).
Примеры метрических пространств (ти-
(типичные для функционального анализа).
1. Пространство С [0, 1] состоит из числовых функ-
функций, заданных и непрерывных па отрезке [0, 1]. Если х
и у — непрерывные функции, то положим
Р(Х, У)::: \ПйХ \Х (I) — У (t)\.
Проверим выполнение аксиом метрики. Прежде всего
отметим, что расстояние задано для любых функций из
С [0, 1].
Если р (х, у) = max \х (/) — у (t)\ = 0, то х (t) = у {t),
OC/gl
т. е. аксиома 1) выполнена. Выполнение аксиомы 2 оче-
очевидно. Далее имеем
р(х, у)= max |* @-0 (OK max {\x {t) - z <t)\ +
гаах И0--*@1+ max |z@-0@1 =
= p(x, z) + p(z, y),
т. с. выполнено неравенство треугольника.
80
Таким образом, получаем метрическое пространство,
точками которого являются непрерывные функции. Эта
метрика была впервые введена великим русским мате-
математиком П. Л. Чебышёвым, и она обычно называется
чебышевской.
2. Пространство /j. Элементами пространства являются
бесконечные числовые последовательности (действительные
оо
или комплексные) х — (xt, хъ .. .) такие, что
< + 00.
Метрику зададим формулой
I
где у — последовательность у — (yt, у2, ..., уп, ...). Вы-
Выполнение аксиом 1), 2) метрики очевидно. Проверим нера-
неравенство треугольника. Для любого k имеем \xh — Уь.\^
*С \xh — zh\ + \zk — Ук\- Суммируя по k, получаем р (х, у) ^
г' р(х, z) + р(г, у).
3. Пространство /<*,. Элементами пространства являются
Гкч'конечные ограниченные числовые последовательности х—
¦ (х,, хг, ...). т- е. такие, что sup \хь\ < + °°• Метрику
h
определим фо|)мулой [\у{х, //) sup \х,, — yh\. Проверка вы-
k
полнимости аксиом метрики аналогична проверке в при-
примере 1.
4. Пространства lp, jo>1. Элементами пространства яв-
являются бесконечные числовые последовательности х = (хх, ...
.,., xn, ...) такие, что ряд "S? \xk\p сходится, т. е.
хн\р<+ оо. Метрика задается формулой
во
('чс^ D^ 1 /d
() \Х% If j [у \Хи ¦— //ь I
i Невидно, что аксиомы 1), 2) выполняются; выполнение
||<сиомы 3) есть довольно тонкий аналитический факт,
ижазательство которого будет дано в § 20.
5. Пространство s. Элементами пространства явля-
штся все бесконечные числовые последовательности.
Метрика задается формулой
¦ «*М. 420 81
Проверим выполнение аксиом метрики. Пусть р (х, у) — О,
тогда \х,{— Уи\/(\ +\xh — yi,\)—0 для любого k и, значит,
х — у. Равенство р (х, у) = р (г/, х) очевидно. Для доказа-
доказательства неравенства треугольника сначала докажем нера-
неравенство
Если а > О, Ь > 0, то
1 + |а + Ь| 1 + а + /> 1 Н- а +
1+a 1+b
Пусть |я| ^ \b\ и знаки a и Ъ противоположны. Тогда \а +
-f-fr|<;|«|. Так как функция ер(х) = х/( 1 + х) монотонно
возрастает на ]—1, + оо[ (ц>'(х) — 1/A + лгJ>0), полу-
получаем
1*1
т. е. требуемое неравенство. Представляя xh — yh в виде
(#л — z,t)-г (zh— «/,,), имеем
,
l+|zfc — г/Л|
Суммируя по k, получаем неравенство треугольника в про-
пространстве s.
6. Пространство CL[0, 1]. Элементами пространства
являются непрерывные функции на отрезке [0, 1|. Метрику
зададим формулой
pL(x, у)--. ( \x(l)-y(l)\dt.
о
Проверка аксиом метрики аналогична проверке в примере 2
с заменой суммы ряда интегралом.
82
7. Пространство Rra. Существует много естественных
с разных точек зрения способов введения метрики в
пространстве R". Отметим одну серию таких способов.
Для любого р^ 1 зададим метрику:
где х --^ (xv ..., хп), у = {уи ..., Уп)-
Выполнение аксиом 1), 2) метрики очевидно, неравенство
треугольника будет доказано в § 20. Наиболее часто исполь-
зуется евклидова метрика р2 (х, у) — 1/ V ч \xk — yh\2
и метрики
Pi (•*> У) = У 1^* — ^ft'' Р°° (*' ^ = max \Xh — ^''''
В случае R = R1 все эти метрики сводятся к р (х, у) —
\х — у\.
Пространство R" с евклидовой метрикой является
одной из основных моделей при построении теории мет-
метрических пространств. В частности, неравенство тре-
треугольника есть обычное геометрическое неравенство тре-
треугольника: длина стороны треугольника не превосходит
суммы длин двух других сторон.
При рассмотрении понятий математического анализа
'легко заметить, что такие понятия, как предел, непрерыв-
непрерывность, равномерная непрерывность, последовательность
Коши, можно сформулировать так, что они исполь-
используют лишь расстояние между точками в Rra и, следова-
следовательно, имеют смысл в произвольных метрических про-
Гфнпетнах. Приведем соответствующие определения.
Определение 3. Последовательность (х„) точек мет-
ркмрскои) п|мхтрлпства (X, р) называется ехддящейся, если
гущвстиуот щкой элемент а?Х, что р(х„Та)->0 при п->
•->оо, т. е. для любого р. >() существует такое п(е), что
для n^rt(c) p(jf,i, ci)<e. Точка а называется пределом
последовательности (хп). В этом случае записываем а --
lim xn или хп-+а.
Предложение. В метрическом пространстве
сходящаяся последовательность имеет только один
продел.
Доказательство. Если хп^-а и хп^-Ь, то по не-
|ишенству треугольника будем иметь р (а, Ь) ^ р (а, хп) +
«¦ 83
+ р(х„, b)-*-0, т. е. р(а, Ь) -- 0, и в силу аксиомы 1)
метрики а —- Ь.
Определение 4. Отображение f: (X, px)-+(Y, pY)
называется непрерывным в точке х0 ? X, если для любого
е > 0 существует б > 0 такое, что из неравенства рх (х, .vo)<
<б следует pY{f(x), /(xo))<e- Отображение / называется
непрерывным на X (на множестве А с: X), если оно непре-
непрерывно в каждой точке ха?Х (хп?Л).
Определение 5. Отображение f:(X, (>Л.)->-(У, pY)
называется равномерно_.Я?П?ерывным, если для любого г >0
существует "> 0 такое, что из'неравенства рх (xv л:2)<8
следует неравенство pY (f (хг), f (лг2)) < е для любых х1г х2 ?Х.
Определение 6. Последовательность (хп)?Х назы-
называется последовательностью Коши (фундаментальной после- ]
доватбль!юст"ыо,~сходящейся в себе последовательностью) в "
метрическом пространстве (X, р), если р(хп, хт)-*-0 при \
п, т-^-оо, т. е. для любого е>0 существует номер п{г) )
такой, что для п, пг^п(е) выполняется неравенство \
Р(хп>хт)<г. 1
Общее понятно сходящейся последовательности в мс- j
трическом пространстве в конкретных случаях может |
иметь весьма различный вид; многие известные типы <
сходимости в пространствах функций и последователь- -;
ностей совпадают со сходимостью по какой-нибудь мет-
метрике.
Рассмотрим конкретный вид сходимости последова-
последовательностей в различных пространствах.
1. Пространство С [0, 1]. Условие ро(хп, х0) -v 0 имеет
следующий вид: для любого г >• 0 существует номер п (е)
такой, что для п ^ п (е) выполняется max \хп (/) — х0 (t)\ <
< е. Это есть широко используемое в математическом ана- v
лизе и в теории интегрирования понятие равномерной сходи-
сходимости последовательности функций.
2. Пространство С/. [О, 1]. Условие pL{xn, xo)->-0 име-
имеет вид: для любого е > 0 существует номер п (г) такой, что
для п ^ п (е) выполняется
1
f |*n(O-*o(OI<«<e.
'о
Этот тип сходимости называется сходимостью в среднем
и также часто встречается в математическом анализе и
теории интегрирования.
84
3. Пространство s. Пусть хп — последовательность
элементов пространства-s. Каждый элемент хп является
последовательностью чисел xn(k) (здесь удобно обозна-
обозначение последовательности xn = xn(k) как функции на-
натурального аргумента k). Сходимость в пространстве s
последовательности хп к элементу х0 означает, что для
любого е>0 существует номер п(е) такой, что для
выполняется
1 \xn(k)-x0(k)\ _
_ 2ft \ + \xn(k)-x0(k)\
Тогда для каждого слагаемого получаем
1 \хп (k) — х„ (k)\
~?~ l + \Xn(k)-xo{k)\ <e>
откуда следует, что для любого k \xn(k)—л:о(й)|-»-0 при
П->оо (дробь стремится к нулю, знаменатель ограничен).
Таким образом, из сходимости в метрике пространства s
Вытекает покоординатная сходимость последовательно-
последовательности хп (число x(k) по аналогии со случаем пространства
R" называют k-ti координатой элемента xds).
Сейчас покажем, что из покоординатной сходимости вы-
вытекает сходи мое п. п метрике пространства s. Действительно,
пусть \хп(к) - х„ (/е)|->-0 при н->-оо. Возьмем (-:>() и вы-
оо
берем номер ;V такой, что V l/2ft<e/2. Для каждого
к, k — I, .. ., N, выберем номер пк такой, что для n>nh
МЫиолняется ф(л:п (k) — xo(k)) ^ е/2*>. Пусть п(е) = max n,t,
тогда для п > п (е) получаем
*») • 2 1*~ Ч(Х"(Ь)-Ъ>{Ь)) =
vi 1 , , ^ 1 е
ч in и трейовилось доказать. ?
85
Упражнение. Показать, что из сходимости в
пространстве 1Р вытекает покоординатная сходимость,
но покоординатно сходящаяся последовательность мо-
может не сходиться в смысле 1Р.
Определение 7. Отображение мечоических прог.т-
ранств /: (X, px)—*-(Y, pY) называетсн^шометриещ если
1) / биективно; 2) для любых xv х2?Х выполнено равен-
равенство pyifiXi), f(x2)) — рх (xv хг). Метрические пространства
(X, рх) и (Y, ру) называются изометричными, если между
ними существует изометрия.
В теории метрических пространств изучаются те
свойства метрических пространств, которые сохраняются
при изометрических отображениях. Иначе говоря, изо-
изометрические пространства считаются одинаковыми с точ-
точки зрения теории метрических пространств.
Примеры.
X
1. Множество X — R с метрикой р (х, у) —
изометрично интервалу ]— 1, 1[ с обычной мет-
X
рикой. Изометрия задается отображением f(x) — .
1 +\х\
2. Пространства С [0, 1] и С [a, b] изометричны. Изо-
метрией является отображение f(x) (t) = x(a(\ — t) + bt),
действующее из С [а, Ь] в С [0, 1].
§15. Топология метрических пространств
Исследуем топологию на множестве X, порожденную
метрикой р. Напомним, что топологией на множестве X
называется семейство т подмножеств множества X, удов-
удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) если иа?т, то U Ua?
а
?т; 2) если U^?r, U2?x, то U1f]U2?x; 3) 0 ?т и Х?т.
Подмножества, входящие в семейство т, называют откры-
открытыми в топологии т.
Определение 1. Открытым (замкнутым) шаром с
центром в точке х0 радиуса г в метрическом пространстве
(X, р) называется множество В(х0, г)-• {х?Х\р(х, хо)<
< г}, г> О, (В [х0, г] =•-, {х ? X | р (х, jco) < г».
В случае пространства R3 с евклидовой метрикой
В(хо, г) есть обычный шар, в случае пространства R2 —
круг, пространства R — интервал. Шары в произвольных
метрических пространствах наследуют далеко не все
86
свойства обычных шаров в R3. Так, например, в прост-
пространстве R.f., состоящем из неотрицательных чисел с мет-
метрикой р(х,у)=\х—у\,В[3, 3] = [0, 6],В
и, значит, шар радиуса 5 является собственным подмно-
подмножеством шйра радиуса 3.
Определение 2. Множество Uc^X называется
открытым в метрическом пространстве (X, р), если для
любого xodU существует число г>0 такое, что справед-
справедливо включение В(х0, r)czU.
Проверим, что определенное таким образом семейст-
семейство т открытых множеств удовлетворяет аксиомам топо-
топологии.
1. Пусть Ua — открытые множества в (X, р) и пусть
U ~ U Uи- Если xo?U, то существует UUo такое, что хо?
? Uа ¦ Значит, существует радиус г >0 такой, что В (х0, /-)<=
cU'a.c=U.
2. Пусть ?/, и U2 — открытые множества в (X, р) и
U ¦ ¦U1f\U2. Если xo?U1[]Us, то Xo^Ui и xo?U2 и, зна-
значит, существует шар В(х0, rl)czU1 и шар В(х0, r2)czU2.
Тогда для г--min {/-!, г2} имеем В(х0, r)czU, т. е. U
открыто.
3. Пространство X содержит все шары и, значит,
удовлетворяет определению открытого множества. Пу-
Пустое множество 0 также будем считать открытым.
Построенная описанным выше способом топология
па множестве X называется естественной топологией,
или топологией, индуцированной метрикой р.
Таким образом, в метрическом пространстве имеют
смысл все понятия, которые можно рассматривать в то-
топологических пространствах.
Предложение 1. Открытый шар В(х0, г) явля-
является открытым множеством. (Лингвистическая очевид-
очевидность но яилмется доказательством.)
Док и жительство, Если х}?В(х(), г), то p(xfi) xx)<.
< г. Воньмем радиус г, г -(>(а',„ хх) >0. Теперь если
v G В (хг, гх), т. е. (> (х, х,) < гх, то, применяя неравенство
треугольника, получаем р(х, хо)^р(л:, xi)-\-p(xl, лг„)<
< Г\ + Р (*i> х0) --¦ г. Таким образом, В {хх, гх) с: В (х0, ги)
и, значит, открытый шар является открытым множеством, i
Приведем необходимые в дальнейшем определения.
Пусть А — подмножество в метрическом пространст-
ио (X, р). Точки пространства X могут быть по-разному
расположены относительно множества А.
87
1. Точка XodX называется внешней точкой множест-
множества А, если существует радиус г>0 такой, что В(х0, г)(]
ПЛ = 0-
2. Точка хо6Х называется точкой прикосновения мно-
множества А, если для любого г>0 шар B(xq, r) содержит
точки множества А, т. е. В(х0, г){\АФ0.
Если xo(iX — внешняя точка множеств;! А, т. е. В(х0,
г){]А = 0, то все точки открытого шара В{х», г) —внеш-
—внешние для множества А (предложение 1). Поэтому мно-
множество внешних точек является открытым.
Множество точек прикосновения миожегтиа Л назы-
называется замыканием множества А и обозначается А.
Любая точка хСЛ является точкой прикосновения для
множества Л, т. е. AczA, так как хвВ(х, r)f\A.
Множество А называется замкнутым, если его до-
дополнение открыто. Свойства замкнутых множеств опи-
описываются следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть А — подмножество в метрическом
пространстве (X, р). Тогда следующие свойства экви-
эквивалентны:
1) дополнение Х\А есть открытое множество, т. е. А
замкнуто;
2) Да А, т. е. А содержит все свои точки прикоснове-
прикосновения;
3) А = А, т. е. совпадает со своим замыканием;
4) из того, что последовательность хп-*-х0 и все точ-
точки хп?А, следует, что xodA.
Доказательство. 1ч=ф-2. Если Х\А — открытое
множество, то для любой точки хо(\А существует шар
В{х0, г), г>0, такой, что В(х0, г)с Х\А, т. е. В(х0, г)П
f]A — 0. Это означает, что хо$А. Таким образом, Х\Аа
<= X\J. __ _
Если Ас А, то любая точка х0 ? Х\А с Х\А явля-
является внешней для А, т. е. существует шар В (х0, г), г >0,
такой, что В(х0, г)[\А= 0, т. е. В(х0, r)czX\A. Экви-
Эквивалентность доказана.
2 «$=ф- 3. Ввиду ^отмеченного ранее включения А а А
эквивалентность очевидна.
3 =>4. Пусть хп-^хп, хп?А. Тогда для любого г>0
В(х0, г)[\Аф0, так как это пересечение содержит члены
последовательности с достаточно большими номерами (для
любого г > 0 существует номер п (г) такой, что для п ^
>и(г) хп?В(х0, г) и,_значит, хп?В(х0, r)f\A)).
4 =4*3. Пусть хо?А. Так как В(х0, \/п)(]АФ0, то
88
выберем хп?В(х0, \/n)f\A. Тогда последовательность хп-
-*¦ хо> xv € А, в силу 4) х0 ^Л, т. е. Лс А, что и требова-
требовалось доказать. Ц
Замечание 1. В произвольных топологических пространствах
из 4) не следует 3), а все остальные утверждения имеют место.
Множество V cz X называется окрестностью точки х0
в топологическом пространстве (X, т), если существует от-
открытое множество U (U ? т) .такое, что х0 ? U cz V. В мет-
метрическом пространстве любая окрестность точки х0 содер-
содержит шар В(х0, г), г>0. Поэтому в определениях внешних
точек прикосновения, непрерывного отображения и т. д.
вместо окрестностей в случае метрического пространства
рассматриваются шары.
П р и м с р ы.
1. В пространстве С [0, 11 непрерывных функций рас-
рассмотрим подмножество ,Ф, состоящее из функций, являю-
щихся полиномами, т. е. имеющими вид p(t) — "V akt .
По теореме Вейершграсса любая непрерывная функция мо-
может быть равномерно приближена полиномом, т. е. если
х?С\0, I], то для любого г>0 существует полином р
такой, что \x(t) — рA)|<л т. е. р?В(х, г). Таким обра-
образом, любая функция х?С[0, 1| является точкой прикосно-
прикосновения множества полиномов, т. о. ./> С [0, 1].
2. В пространстве R вещественных чисел с естествен-
естественной метрикой р(х, у)=\х—у\ рассмотрим подмножество
Q, состоящее из рациональных чисел. Так как в любом
интервале ]хо—8, л:о + е[ существуют рациональные чис-
числа, то каждое действительное число является точкой
прикосновения множества Q, т. е. Q=R.
O_ii р е д е л е и и е 3. Множество AczX называется
\мсюду плотным)если А = Х.
Ран .иифЯТные в предыдущих примерах множества 9*
и Q япляются всюду плотными соответственно в С[0, 1]
HR.
Заметим, что нринеденпыо и § 14 определения сходя-
сходящейся последовательности и непрерывного отображения
эквивалентны соответствующим определениям для топо-
топологических пространств с топологией, индуцированной
метрикой.
Теорема 2. Пусть f : (X, рх)-^(^, ру) — отображение
метрических пространств. Следующие свойства эквивалентны:
1) / непрерывно в точке хо?Х;
89
2) для любой последовательности хп-+х0 справедливо
[
f(n)[{0)
Доказательство. Пусть / непрерывно в точке х0
и хп ~+х0. По е > О выберем б > 0 так, что из неравенст-
неравенства рх(х, хо)< б следует ру (f (х), /(х„))<в. Для б>0
найдем число п(б) такое, что для /!^»(б) выполнено
Рх {хп, хо)< s- Тогда pY(f(xn), /(*,,)) <е и, значит, /(хп)->
Пусть для любой последовательности хп -*¦ х0 имеем
f(xn)->-f(x0). Предположим, что отображение / разрывно
в точке х0. Это значит, что сущсетнует число е„ > 0 такое,
что для любого б >0 существует точка х6 ? X, для кото-
которой рх (х&, х0) < б, но ру (/ (д:6), / (*„)) > е0. Возьмем после-
последовательность 6п->-0 и выберем хп так, что рх{хп, хо)<
<б„, но pY{f{xn), /(лго))>ео>О. Тогда хп-+х0, nof(xn)
не сходится к /(л:0), что противоречит условию. П
Следствие. Для непрерывности отображения f в
точке Хо достаточно, чтобы для любой последовательно-
последовательности Хп-^хо последовательность f(xn) была сходящейся.
Доказательство. Если для некоторой последова-
последовательности х„ такой, что х„-*Хо, имеем f(x,,)-i-y=^=f(x0),
то выбираем последовательность х'п так, что х'2п ~ хп, х^п+] =
— х0. Тогда х'п-*¦ х0, но /{х'2п) не сходится, так как /(х'2 )->¦
Замечание 2. В произвольных топологических пространствах
из свойства 1) следует 2), но обратное ие верно.
Пример. Пусть па множестве Х—Ц заданы две
топологии: jt—^iX) —• дискретная топология и тополо-
топология Т2, в которую входят те и только те множества, у
которых дополнения конечны или счетны, и пустое мно-
множество. Сходящиеся последовательности в пространст-
пространствах (X, п) и (X, тг) одни и те же. Поэтому тождествен-
тождественное отображение \{х)—х, рассматриваемое как отобра-
отображение из (X, тг) в (А^, ti), обладает свойством 2), но яв-
является разрывным отображением.
Замечание 3. Понятиям последовательности Копш и равно-
равномерно непрерывного отображения не может быть придам смысл в
произвольном топологическом пространстве, так как дли введения
этих понятий нужно сраншшать по «иелкчпне» окрестности различных
точек, что невозможно в произвольном топологическом пространстве.
Замечание 4. Проверка условий п определениях в случае
метрических пространств проще, чем для произвольных топологиче-
топологических, так как она сводится к сравнению чисел, а в топологических
пространствах — к сравнению множеств.
Замечание 5. До сих пор мы только один раз воспользова-
90
лись аксиомой 1) метрики (р(х, у) — О^^^^-х— у) в доказательстве
теоремы о единственности предела.
Определение 4. Полуметрикой на множестве X
называется отображение р: XX^->R+. удовлетворяющее
следующим аксиомам:
1) х = у=>р(х, #)==-. 0;
2) р (дг, У) = 9 (У, х), х, у?Х;
3) р(х, г/)<р (х, г) + р (г, у), х, у, z? X.
Полуметрическим пространством называется пара
(X, р), где X — множество, р — полуметрика на X.
В определении полуметрики только аксиома 1) отли-
отличается от аксиомы 1) в определении метрики. Как отме-
отмечалось выше, аксиома 1) использовалась лишь в дока-
доказательстве предложения о единственности предела, зна-
значит, в полуметрических пространствах имеют смысл все
приведенные выше определения и справедливы все
утверждения, кроме утверждения о единственности пре-
предела. ,
Пример. Рассмотрим множество всех подмно-
подмножеств пространства X с о-аддитивиой мерой ц, заданной
на алгебре Ё элементарных множеств. Для двух под-
подмножеств А и В положим р(А, В) = [i*(AAB), где и* —
пнешняя мера. Следствие 3 теоремы 1 § 4 утверждает,
что для р(А, В) выполнены аксиомы полуметрики. Если
рG1, /?)--(), то А\В есть множество меры пуль, но не
обязательно Л=В, т. i\ (> не является метрикой. Ис-
Используя введенную в § 14 терминологию, утверждение
теоремы 2 § 4 перефразируем следующим образом: сово-
совокупность измеримых по Лебегу множеств есть замыка-
замыкание множества элементарных множеств в построенном
полуметрическом пространстве (!Р(Х), р).
§ 16. Полные метрические пространства
Понятие последовательности Коши, специфическое
для метрического пространства, позволяет выделить
класс полных метрических пространств.
Рассмотрим сия.чь между последовательностями Ко-
Коши и сходящимися последовательностями.
Теорема 1. В любом метрическом пространстве схо-
сходящаяся последовательность есть последовательность
Коши.
Доказательство. Пусть хп->х0. Тогда p(xn, xm)^.
- р(хп, хо) + р(хо, хт)->-0 при п, т->оо, что и требо-
палось доказать. П
91
Классическая теорема «критерий Коти» утверждает,
что в пространстве R действительных чисел верно обрат-
обратное утверждение: любая последовательность Коши схо-
сходится. Приведем примеры, показывающие, что обратное
утверждение для произвольных пространств не верно.
Примеры.
1. Пусть Х=] — 1, 1[ с метрикой р(х, ц)=\х—у\. По-
Последовательность хп = п/(п+ 1) является последователь-
последовательностью Коши, ноне имеет предела в X.
2. Пусть Q — множество рациональных чисел с мет-
метрикой р(х, у)=\х—у\. Последовательность хп=(\ +
+ \/п)п является последовательностью Коши, но не схо-
сходится в пространстве Q.
3. В пространстве CL[0, 1] рассмотрим последова-
последовательность функций
О, 0<*.<у,
2
nli —
п
2 J 2 ^ ' 2 ' n
Проверим, что хп — последовательность Коши. Действитель-
Действительно, если т>п, то р(хп, хп) = j | xn(t) — xm(t)\dt =
n
l/2+1/л
1
1/2
; *-0 при п->оо.
n
Эта последовательность сходится и среднем к разрыв-
разрывной функции
О,
1,
2
I
2
Предположим, что хп-*у0 и yo€Ci.[O, 1]. Запишем нера-
неравенство для интегралов:
j l*o (t) - Уо @1 dt < |- |х0 @ - хп @1Л +
о и
1
92
1
Переходя к пределу при л-> оо, получаем f |хоB)—y^t)\dt =
о
= 0 и, значит, у0 (/) почти всюду совпадает с х0 (t) (свой-
(свойство 9 § 8).
Значит, функция yo(t) разрывна в точке t—l/2 и по-
последовательность хп не сходится в пространстве Cl[0, 1].
4. На R введем метрику Pi (х, у) —
Последовательность хп = п является последовательностью
п w
Коши в этой метрике: р1 (п, т) =
¦О, п,
1+n 1-f-m
m->oo. Эта последовательность не сходится. Если сущест-
вует х0 такое, что (>,(/;, xo)-vO, то >¦ — .
1 + я 1 + |хо|
Для нашей последовательности >¦ 1, однако всегда
1 +п
•< 1 и, значит, такой точки х^ не существует.
+ W
Замечание 1. Метрика из примера 4 порождает на R ту же
топологию, что и метрика р (х у) =¦- \х — у\, так как шар {.vjpx (x, дго)<
< г} есть обычный интервал {х? Р|ф (х0 — г) < х < ф (*0+ г)}, где
X
ф (лг) , и любой интервал \а, Ь\ может быть представлен
¦ I |*1
в виде шара в метрике рх. Кяк мы убедились пышс, последователь-
последовательности Коши в этих пространствах различны. Это означает, в частно-
частности, что полнота не является топологическим свойством.
Отметим, что в примерах 1 и 2 пространство легко
Jj «исправить» так, чтобы любая последовательность Ко-
. |ши оказалась сходящейся. Так, в примере 1 естественно
рассмотреть более широкое пространство [—1, 1], в
примере 2 — более широкое пространство R. Подобное
«исправление» пространства CL[0, 1] представляет со-
боп более сложную з_адачу, которая будет рассмотрена в
¦ ¦;§ 19. В примере 4 «исправить» пространство можно сле-
следующим образом. Заметим, что функция f(x) = x/(l +
+ \х\) является изомстрнен между пространством Х^
= (R, р[) и пространством У= (] — 1, 1 [, р) из примера 1.
.Так как эти пространства изометричны, то «исправлен-
:ным» пространством можно считать пространство У =
Л *=[-!, 1].
.;; П п р р я р л р н и р 1 Метрическое пространство (X,
\р) называетс5^олкьш^Ьсли в нем любая последователь-
i Коши сходится.
93
Таким образом, R+, Q, CL[0, 1]—неполные прост-
пространства, a R+, R— полные.
Теорема 2. Пространство С[0, 1] является полным
метрическим пространством. .
Доказательство. Эта теорема фактически до-
доказывается в курсе математического анализа под назва-
названием «критерий Коши равномерной сходимости последо-
последовательности функций». Однако ввиду особой важности
повторим это доказательство.
Пусть хп—последовательность Коши в пространстве
С[0, 1]. Это значит, что xn — xn(t) —непрерывные функ-
функции и для любого р>0 существует число п(е) такое, что
для п, tn^n(e) выполняется неравенство
max \xn(f)~ xm@|<e. A)
Зафиксируем точку t. Для п, т~^п(ъ) имеем \xn(t) —
— хт @1 ^ е> т- е- числовая последовательность хп (t) яв-
является последовательностью Коши и в силу полноты про-
пространства R сходится. Пусть lim xn{t) — xo(t). Получили
функцию xo(t), к которой последовательность xn(t) сходит-
сходится точечно. Остается доказать, что предельная функция xo(t)
непрерьшпа и что х„->х0 в смысле пространства С[0, 1],
т. е. равномерно.
В неравенстве A) перейдем к пределу при т->оо. По-
Получаем, что для /г^/г(е) max |лгп @ -— jc0 (^)| ^ е, т. е. по-
следовательность хп сходится к х0 равномерно. Покажем,
что xo(t) — непрерывная функция. Пусть ^?\0, 1]- По е>
>0 выберем п, так, что выполнено max \хП1 (t) — х0 (t)\ ^C
O'/l
Ov/rl
3, и выберем 6>0 так, что из \t — /0|^° следует
\хпЛи) — xnt @1<е/3. Тогда для t таких, что \t — to\<.b,
выполнено неравенство
\Ч @ - *о (^оI < 1*о @ - хП1 @1 + \хП1 @ - х„, (to)\ +
что и означает непрерывность функции х0 в точке t0. ~n
Упражнение. Доказать полноту пространств /,, /«,,
s, 1Р.
Свойство полноты пространства R используется в по-
подавляющем большинстве теорем мятсматического ана-
анализа. Выделение класса полных метрических пространств
позволяет доказать ряд теорем, не имеющих места в не-
неполных метрических пространствах и тем более в про-
94
извольных топологических (если даже имеет смысл
формулировка). Рассмотрим несколько таких теорем,
условно назвав их теоремами о полных метрических
пространствах.
Теорема 3 (принцип вложенных шаров). В полном
метрическом пространстве любая последовательность
замкнутых, вложенных друг в друга шаров, радиусы
которых стремятся к нулю, имеет общую точку.
Доказательство. Пусть г„->0и В [хп, гп]^зВ\хп+1,
rn+1] zd . . . — последовательность вложенных шаров. Дока-
Докажем, что точки хп — центры шаров — образуют последова-
последовательность Коши. Действительно, при т>п хт?В[хп, гп],
т. е. р (хп, хт) sjC rn -> 0 при п -> оо. Так как пространство
X полное, то последовательность хп сходится к некоторой
точке х*. При т>п р(х*, хп)<.р(х*, хт) + р (хт, xn)<
^ р (х*, Хт) + гп. Переходя к пределу в этом неравенстве
при т-+оо, получаем р(х*, хп)^гп, что и означает х* ?
?В[хп, гп], л = 1, 2, . . . . П
Замечание 2. Справедлива и обратная теорема: если в мет-
метрическом пространств (л, р) любая последовательность замкнутых,
вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю,
имеет общую точку, го это пространство полное.
Замечание 3. Условия теоремы 3 существенны. Покажем это
на примерах.
Пример 1.В пространстве R+ множества В[1/п, 1/я]=]0,2/га]
обрн.чуют иоеледошгтельность замкнутых, вложенных друг в друга
Ширин, радиусы которых стремятся к нулю. Эти шары не имеют об-
общей точки (нарушено услинне полноты нрострапстна).
Менее очевидна существенность второго условия: гп -* 0.
II р и м е р 2. Пусть X—подпространство в lt, образованное счетным
пидором элементов вида хп -¦ @, 0, . . . , 0, 1/2 —j- 1/я, 0, . . . ). В
•мим пространстве при тфп р(хп, хт) =- 1-f- 1/n-j- l/m, В[хп, 1-1-
I 2/п\ ¦--{хп,хп+г, .. . }. Очевидно, что В [хп+1, 1 + 2/(п -\- 1)] сг
С Л [jc,,, 1 -(• 2/п], но общей точки эти шары не имеют. Заметим, что
!ф(М'Т|>|'шстно X полное- Действительно, если уп — последовательность
KtHiiii М А', то () (уп, Ут) < I Для п, т^п0 и, так как р (уп, ут) >
%t> I при п I т, то уп -¦- уп для п^п0 и последовательность схо-
дитси h yHf.
Теоремм 4 (Бэр). Пусть (X, р) — полное метрическое
пространстно, U){¦ ¦ последовательность открытых всюду
плотных множеств. Тогда ( Uh^=0.
к—]
Доказательство. Заметим, что всюду плотное мно-
множество имеет непустое пересечение с любым открытым ша-
шаром. Выберем шар В (xlt r-^) cz Uv В открытом непустом
множестве B(xlt rj2) П U2 выберем in;ip B(x2, r2), причем
г2<г1/4. Аналогично в пересечении В(х2, r2j2) f\ U3 вы-
95
берем шар B(xs, r3), причем возьмем г3<л2/4 и т. д. По-
Получаем вложения B[xh, rh/2\c:B(xh, rh) cr B [xh_lt rh.J2]
и, значит, замкнутые шары B[xk, rh/2] вложены друг в дру-
друга, причем их радиусы стремятся к нулю. В силу принципа
вложенных шаров существует точка х* такая, что х* ?
00 00
?B[xh, rh/2], k= 1, 2, . . . . Тогда x*^[\Uh и Ц икФ
ft.-~--l ft^l
?=0-1
оо
Следствие 1. Множество ("| Uk = U всюду плотно в
Л - 1
пространстве X.
Доказательство. Предположим, что существует
открытый шар В (х0, г) такой, что U [) В (х0, г) = 0. Тог-
Тогда рассмотрим пространство Х0 = В[х0, г/2]. Это полное
пространство. В нем множества Vk — Uh f] Xo открыты и
со
всюду плотны, но A Vk Ф 0. Получаем противоречие. :_"
Другую эквивалентную формулировку получаем, рас-
рассматривая дополнения открытых множеств Uk.
Теорема 4' (Бэр). Пусть (X, р) — полное метрическое
пространство, Fk — последовательность замкнутых множеств
оо
в X и X == U Fk- Тогда хотя бы одно из множеств Fh
содержит открытый шар.
Доказательство. Предположим противное, т. е.
оо
пусть X = U F,, и для любого к Fh не содержит откры-
открыла i
того шара. Это значит, что дополнение Uh = X\Fk пере-
пересекается с любым открытым шаром, т. е. является всюду
плотным множеством. По формулам двойственности полу-
оо
чаем Г| Uk — 0, что противоречит теореме 3. П
Определение 2. Множество А называется щщ)?
не плотным, если его замыкание не содержит ни одного
оТктлтгттга шара.
Следствие 2. Полное метрическое пространство
не может быть представлено в виде объединения счетно-
счетного числа нигде не плотных множеств.
Доказательство. Предположим противное: пусть
Ап—-последовательность нигде не плотных множеств н X —
оо
= U Ап. Тогда последовательность Ап удовлетворяет усло-
виям теоремы 4' и получаем противоречие. ГЦ
96
Приведем одно из простейших применений теоремы Бэ- !)¦
ра. Покажем, как просто из теоремы Бэра вытекает несчет- ]
ность множества R действительных чисел. Предположим, 1
оо
что R— U {xu}, X;,?R. Ни одно из множеств {xh} не со-
содержит открытого шара. Получаем противоречие с теоре-
теоремой Бэра.
§ 17. Пополнение метрических пространств
В § 16 были приведены примеры, в которых для не-
неполных метрических пространств строились содержа-
содержащие их полные пространства. Такое построение возмож-
возможно для любых метрических пространств. Строгий смысл
этому утверждению придается следующим образом.
Определение. Пополнением метрического прост-
пространства (X, рх) называется полное метрическое прост-
пространство (Y, ру) такое, что (X, рл) является его всюду
плотным подпространством.
Так как изометричные метрические пространства с
точки зрения теории метрических пространств считают-
считаются одинаковыми, то любое метрическое пространство,
изометричнсе (Y, ру), тоже будем называть пополнением
метрического пространства (X, рх) и пополнение прост-
ранстил, изометричного X, будем считать пополнением
X, Как будет поксюапо в § 18, из общих соображений
следует, что пополнение метрического пространства,
если оно существует, единственно с точностью до изо-
изоморфизма.
Теорема 1. Для любого метрического пространства
существует пополнение.
Лемма 1. Для любых четырех точек х, у, z, t в метри-
метрическом пространстве справедливо неравенство четырехугрль-
ника \р{х, у) — p(z, OI^pC*» z)+p(«/, 0- I
Доказательство леммы. Применяя неравенство
треугольника, получаем
¦РB, #)<Р(х. z)+P(z, t)+p(t, у)
или
р(х, у) — р(г, 0<Р(*. 2) + р(у, t). A)
В полученном неравенстве поменяем местами пары точек
(х, у) и (г, t). Получаем —(р(х, y) — p(z, 0Х<>(*. *) +
+ р(у, /), что вместе с A) дает
- (р (х, г) + р (у, /)) < р (х, у)- р (г, /) <
<р(х, г) + р(у, t). J
7. Зак. 420 97
Доказательство теоремы. Если пространство X
полное, то оно само является своим пополнением. Пусть
X — неполное пространство, т. е. в X существуют после-
последовательности Коти, которые не сходятся в X. Пусть Z—
множество всех несходящихся последовательностей Кошн.
R множестве Z введем отношение эквивалентности: после-
^довательность zn эквивалентна последовательности zn (за-
(заспись (гп) ~ (г„)), если lim р(г„, zn) — 0. Рефлексивность
и симметричность отношения очевидны. Если (zn) ~ (zn) и
(zn)~(z"n), то (ф,,, 2,")^;pBn, z^) + p(Zn, г^)->(), т. е.
(zn) -~ (г„). Введенное отношение траизитивно и, значит,
является отношением эквивалентности.
Множество Z разбивается па • непересекающиеся классы
эквивалентных между собой последовательностей Коши.
Множество классов эквивалентности обозначим Z. Каждому
элементу х ? X поставим в соответствие класс [х], состоя-
состоящий из последовательностей, которые сходятся к х. Эти
последовательности являются последовательностями Коши
и эквивалентны в определенном выше смысле. Пусть X'—
множество таких классов. Очевидно, что отображение х-*-
-> [л] есть биективное отображение из X в X'. Чтобы но-
новое множество Y состояло из элементов одинаковой при-
природы, будем вместо X рассматривать множество X' и опре-
определим Y = X' U Z. Введем на множестве Y метрику. Если
У ~ [Х,Л — класс, содержащий последовательность (хп),
У' = [*л]> то положим
Ру(У- У')-- liin i>x{xn, х'п). B)
II ¦
Проверим, что равенство B) действительно задает функцию
на Y X Y.
Так как (х„) и (х„) — последовательности Коши, то,
используя неравенство четырехугольника, получаем
\9х(хп, х'„) — рх{хт, ^)|<рх(х„, хт)-\-рх(х'п, х'„,)-*-0.
Это означает, что числовая последовательность ()(х„, хп)
есть последовательность Коши и, значит, существует
Нтр(х„, х'„).
Пусть (у*„) — другой представитель класса у. Тогда
98
и, значит, Птрх(у„, у'„) = \impx(yn, у„), т. е. предел не
зависит от того, какой представитель из класса последова-
последовательностей выбран.
Выполнение аксиом метрики легко проверяется. Пусть,
например, у, у' — элементы из Z и ру (у, у') — 0. Тогда
для представителей уп и уп классов у_ и у' имеем (уп) ~
~{у'п), откуда ~у = ~у'. Равенство ру(у, у')^ру(у', у) оче-
ьидно. Предельным переходом из неравенства
получаем неравенство треугольника для ру:
РУ(У, У'ХРу(У- У") + Ру(У"' У')-
Переходим к проверке того, что метрическое пространство
(У, ру) действительно является пополнением (X, рх). Если
//= [а;] ? X' и у' = [х']?Х\ то очевидно, что pY(y, у') =
~рх(х, х') и, значит, новая метрика на X' совпадает с
исходной, т. е. (X', рх) — подпространство в (У, ру). Ер-
ли y~?Z и ~у=--[уп\, то pY{yn, у)- \\mpx(yn, ym)->0
при п-*оо. Значит, у?Х (теорема 1 §15). Проверим пол-
полноту пространства У. Пусть (х,,) — последовательность Ко-
Коши, составленная из элементов пространства X и х = [х„].
Если она сходится в пространстве X, то она сходится и в
У. Если же х„ не сходится в X, то она определяет в У
класс х = \х„] ? Z, к которому сходится в пространстве У.
Лемма 2. Пусть X — всюду плотное подпространство
I) метрическом пространстве У. Если любая последователь-
последовательность Коши, составленная из элементов X, сходится в У, то
пространство У полное.
Доказательство. Пусть уп — последовательность
Кошн и У. Для каждого уп возьмем элемент х„^-Х так,
чтобы иыполинлось р(хп, yn)<c\ln. Тогда хп —Тоже по-
последовательность Коши
р(хп, }
при n, m-voo. По условию последовательность хп имеет
upc-дел у?У и, значит, уп-*-У- Г
Применяя лемму 2, получаем, что пространство Y,
построенное выше, является полным. Теорема доказа-
IU1. а
99
Замечание. Конструкция в доказательстве теоремы анало-
аналогична построению теории действительных чисел. Если в качестве
«сходного пространства X взять множество рациональных чисел Q с
метрикой р(х, у) = \х—у\, то построенное в теореме множество Z
есть множество иррациональных чисел. Иначе говоря, иррациональ-
иррациональное число можно считать классом эквивалентных последовательно-
последовательностей Коши, состоящих из рациональных чисел и не имеющих преде-
предела в множестве рациональных чисел. Запись иррационального числа
в виде бесконечной непериодической десятичной дроби представляет
собой выбор представителя из класса ноелсдопитолыюстей Коши.
Например, равенство я=3,14159259... означает, что число я есть
класс последовательностей Коши, содержащий последовательность
рациональных чисел *i = 3; х? — 3,1; хз^З.И; х«-Я,М1; ... ,
Заметим вместе с тем, чти построение действительных чисел
нельзя рассматривать как частный случай теоремы о пополнении
метрических пространств, так как само понятие метрического про-
пространства и доказательство теоремы уже используют действительные
числа.
Приведенные в предыдущем параграфе примеры
«исправления» неполных метрических пространств есть
примеры пополнения. Опишем пополнение метрического
пространства из примера 4. Если х„ — последователь-
хп хт
ность Коши в (X, р), т. е.
-О при
+ х„ 1 +\хт\
п, т->оо, то возможны только три случая, т. е. последо-
последовательности Коши могут быть трех видов: 1) \хп—хт|->
->0; 2) x,i->+oo; 3) *п->—°°- Последовательности Ко-
Коши первого вида сходятся, последовательности вида 2) и
3). не сходятся. Последовательности Коши вида 2) экви-
эквивалентны между собой, т. е. образуют один класс экви-
эквивалентных последовательностей, который обозначим
+ оо; последовательности вида 3) образуют другой класс,
который обозначим символом —оо. Таким образом,
множество Z в данном примере состоит из двух точек
+ оо и —оо и процесс пополнения пространства X сво-
сводится к добавлению двух точек. Построенное простран-
пространство иногда называют расширенной числовой прямой.
§ 18. Теоремы о продолжении
Типичной задачей анализа, например; при решении
уравнений (дифференциальных, интегральных и т. п.)
является задача о нахождении функции нз фиксирован-
фиксированных классов (непрерывных, дифференцируемых, измери-
измеримых и т. д.), обладающих заданными свойствами (удо-
(удовлетворяющих уравнениям, неравенствам и т. д.). Ряд
задач такого типа редуцируется к следующей задаче о
продолжении.
100
Пусть X—метрическое (или топологическое) прост-
пространство, АаХ — подмножество, /0 — заданная на А не-
непрерывная функция. Требуется найти непрерывную
функцию f на X такую, что f(x) = fo(x) для хвА, или до-
доказать ее существование. Функция f называется продол-
фщ1
"" Сразу отметим, что задача продолжения не всегда
имеет решение. Например, если Х=К, A = R\{0} и
fo(x) = sin—, то не существует непрерывной на R функ-
х
ции f, совпадающей с f0 при хФО (функцию /0 нельзя до-
доопределить в нуле так, чтобы она стала непрерывной).
Ясно также, что, вообще говоря, продолжение может
быть не единственным. Поэтому представляют интерес
теоремы о существовании и о единственности продолже-
продолжения.
Теорема 1. Пусть X, Y — метрические пространства,
f:X-+Y. g:X->Y — непрерывные отображения. Тогда
множество точек S — {х ? X\f (х) = g (х)} замкнуто в X.
Доказательство. Пусть хп-*-хй, xn?S. Тогда
f(xn) — g(xn) и, переходя к пределу, получаем f{xo) =
' ¦ g(xo)> т. е. xo?S. По теореме 1 § 15 множество S замк-
замкнуто. Г I
С л v л с т иио ( и р и и н и н п р о д о л ж е и и я то ж-
деств). Если f и g — два непрерывных продолжения
функции fo, заданной на подмножестве А, то f(x)=g(x)
lid Л. В частности, если А всюду плотно, то f(x)=g(x).
Доказательство. Так как на А выполняется
равенство f(x) = g(x), то по доказанному это равенство
ИЫполняется для всех точек прикосновения множества
И, т. е. на л. О
Подходящим классом отображений, для которых бу-
Д>Т докллопя теорема о существовании продолжения,
ИВ.'1Икт'и ршшомерио непрерывные отображения. Рас-
Рассмотрим некоторые снойства равномерно непрерывных
бй
р
Вкачале отметим, что понятие эквивалентности,
шюденное в предыдущем параграфе для последовательностей
Коти, имеет смысл для произвольных последовательностей:
(,v,,) ~ (х„), если р(л-„, х„)->0. Ясно, что если хп->х0
» Р(Хп> х'„)->0, то х„-*-х0 '
)
,))
Лемма. Равномерно непрерывное отображение мет-
|»и'к'ских пространств переводит последовательности Ко-
101
ши в последовательности Коши, а эквивалентные после-
последовательности — в эквивалентные последовательности.
Доказательство. Пусть f : X -> Y — равномерно
непрерывное отображение метрических пространств, т. е.
для любого е>0 существует б(е)>0 такое, что из
рх(х, х')<б следует рк (/(*'). /(*'))<е. Если (хп) ~ {xn)t
то для п>п(б) р(л;„, Хл)<6 и, следоиателыю, р(/(*п)>
f(x'n))<e, т. е. (f(xn))~{f(x,,)). Нсли (х„) последователь-
последовательность Коши, то для //, /n>«F) (>(.*„, Д",„) -: ft и, значит,
р (/ (л-„), f(xm))<E, т. е. (/(х,,))--последовательность Коши.
Пример. X = R+, f(x)—l/x, xn = l/n, x'n-^l/nz,
f(xn) = n, f(x'n) — n2, (xn) ~ (х'п), но последовательность
f(xn) не эквивалентна f (х'п) и f (xn) не является последо-
последовательностью Коши.
Теорема 2. Пусть X, Y — метрические пространства,
Y — полное, Л с X, Ж = X, /0: Л -> У — равномерно непре-
непрерывное отображение. Тогда существует равномерно непре-
непрерывное продолжение / отображения /0 на все X. Такое про-
продолжение единственно.
Доказательство. Возьмем произвольную точку
хо?Х. Тогда существует последовательность х„?Л такая,
что хп-*-х0. Так как хп — последовательность Коши, то
в силу леммы Д, (хп) есть последовательность Коши в Y
и, значит, существует элементу такой, что /о(*п)-*¦#<>•
Если хп -> х0, то (х„) ~ (хп) и в силу той же леммы /0 (хп) ~
~ fo{xn). Значит, fn(x'n)-*-yn, т. е. у0 не зависит от выбо-
выбора последовательности хп. Положим f (х0) =- \\m fo(xn) — у-
Если хо?А, то, согласно теореме 2 § 15, [oW^/oW и,
значит, /(л;0) = fo(xo).
Пусть х0, Хо^Х, л;„->л;0, ^->%u, х„?^. хп^Л. По
е > 0 выберем б > 0 такое, что из нераве}1ства р (х,. х') <
< б следует, что р (Д, (х), /0 (х')) < е. Если р (х0, х'о) < б,
то для достаточно больших номеров п выполнено р (хп, хп) <
< б и, значит,
*п). /о(^))<е. A)
Так как по построению f f (х0) - lim fo(xn), f (x0) =
n-aa
= lira fo(xn), то, переходя к пределу в неравенстве A), по-
лучаем р(/(х0), /(xa))^e. Таким образом, / является рав-
равномерно непрерывным продолжением отображения /0, при-
102
чем свойство равномерной непрерывности выполнено с теми
же самыми б и е, что и для f0. Единственность продолже-
продолжения следует из теоремы 1. ,'!
Определение. Отображение /:(Х, px)-+(Y, pK)
удовлетворяет условию Липшица с константой С, если су-
существует поствнкнУн С такая, что для любых х1У хг?Х
выполнено неравенство pY(f(xi)> /O^^Q^C^n х2)-
Отображение f, удовлетворяющее условию Липшица,
является равномерно непрерывным (достаточно взять
6(е) =--е/С). Если в условии теоремы предположить, что
отображение f0 удовлетворяет условию Липшица, то по-
построенное в теореме его продолжение удовлетворяет
условию Липшица с той же константой.
Заметим, что непрерывное отображение может не
быть равномерно непрерывным, а равномерно непрерыв-
непрерывное— не удовлетворять условию Липшица. Примерами
могут служить отображения f : Rt>jc->xaG R, g : Ю
I
С помощью доказанных теорем получаем, например,
следующее утверждение.
Предложение. Любые два пополнения метриче-
метрического пространства изометричны.
Доказательство. Пусть Y и Y'¦— два попол-
пополнения пространства X. Тогда XczY и XczY'. Построим
отображение цн)(х)~х, определенное на XczY со зна-
значением » XczY'. Это отображение, очевидно, изомстрич-
iio и, в частности, равномерно непрерывно. По теореме 2
существует продолжение ф : Y-*-Y'. Так как равенство
|>(х, х')=р(ф(х), ф(х')) выполняется на плотном мно-
множестве X, то оно выполняется тождественно. Для ото-
отображения фо также существует продолжение g : Y'-*-Y.
Тпк как равенства g(<f(x)) —x, (f(g(x))—x выполняют-
выполняются на плотном множестве X, то по лемме эти равенства
пыколишотся тождественно. ?
Л й м р ч I) и и е. Продолжение непрерывного отображения с замк-
замкнутых множн'тн пргдетавляет собой более сложную задачу. Пусть
.(«¦/)' ¦ 1'ДИ111(М1A.п"г 'шмкнутый круг па плоскости, Y=Sl — единич-
единичном окружность, .1 г-..Y • шкже единичная окружность, отображе-
отображение /:¦: A-+Y тождестнеиппо (/u(.t) —х). Отображение /о — изометрия
ц, П частности, ранпоморпо иепрсрынно. По не существует непрерыв-
непрерывного продолжения отображения f0 на все X.
Из доказанных теорем следует, что формулы вида
t(x)~fi(x), где f и g — непрерывные отображения, до-
достаточно проверять на всюду плотных множествах и что
pHHiuiMcpiio непрерывные отображения достаточно зада-
мить на всюду плотных множествах. В связи с этим же-
103
I
лательно иметь всюду плотные множества возможно
меньшей мощности, чтобы такое задание или проверка
были проще. С этой точки зрения особенно удобны про-
пространства, в которых существуют счетные всюду плот-
плотные множества. Такие пространства, называются сепара-
бельными. В сепарабельных пространствах непрерывные -
отображения однозначно определяются своими значени-
значениями в счетном числе точек.
Примеры.
1. Пространство R. Стандартное сметное всюду плот-
плотное множество в R- множество Q рациональных чисел.
2. Пространство С[(), 1]. Счетным всюду плотным
множеством в этом пространстве является множество
полиномов с рациональными коэффициентами.
3. Пространство 1\. Счетным всюду плотным множе-
множеством является множество финитных последовательно-
последовательностей с рациональными координатами, т. е. последова-
последовательностей вида x=(qu q2, ... qn, 0...), где </,?Q.
4. Пространство lx не сепарабелыго. В пространстве /„
рассмотрим подмножество А, элементами которого являются
последовательности из 0 и 1. Таких последовательностей не-
несчетное множестио. Для любых х, у^А, хфу, р«, (х, у) = \
и, значит, В (х, —) [}В (у, —) 0. Пусть теперь S —
\ 3 / V 3 /
всюду плотное множество в /„,. Тогда в каждом из шаров
В(х, —V х?А, должен содержаться элемент sx?S. Так
V 3 /
как шары не пересекаются, то ахфау, если хфу. Таким
образом, в S имеется несчетное подмножество, значит, и
само S несчетно.
§ 19. Пространство L,G\ ц) -
Пусть (Г, 2, р.) — пространство с мерой, т. е. Т — мно-
множество, 2 — cr-алгебра измеримых множеств, jj, — полная 0-
аддитивная мера. Обозначим через ^ (Г, jj,) множество всех
функций, интегрируемых по Лебегу на Т, т. е. функций,
для которых существует интеграл Лебега j x (I) d\i. Паибо-
г •
лее важный случай, когда Т |(), 1|, я ц —мера Лебега.
Каждой паре функций и i ^, ('/', \i) поставим в соответ-
соответствие число р (х, у) ¦— \ \х (I) — у (l)\ dp. Как и в примере 6
т
§ 14, проверяем, что р (х, у) удовлетворяет аксиомам 2 и 3
104
метрики. Однако аксиома 1 не выполняется: если р(х, у)—О,
то x(t) = y(i) почти всюду, но, вообще говоря, хфу. Та-
Таким образом, ^г(Т, ц) есть полуметрическое пространство.
Построим новое метрическое пространство. В «^1(Т, ц) вве-
введем отношение эквивалентности: х ~ у, если x(t) = у (t)
почти всюду. Множество классов эквивалентности обозначим
^i (Т, ц). Метрика в Lx (T, \i) задается формулой
Р(М. ДО)= §\x{t)-y(t)\d\x = p(x, у).
т
Очевидно, что расстояние определено корректно: замена
в интеграле функции х на эквивалентную не меняет ин-
интеграла. Аксиома 1 метрики выполняется по построению:
если р([х], [у])=0, то х~у и, значит, [я] =[«/]. Постро-
Построенное метрическое пространство обозначается L\(T, \\,).
Теорема 1. Пространство Ьг(Г, у) полное.
Доказательство. Пусть [хп] — последовательность
Коши в L1 (T, \\), хп ¦— последовательность представителей,
тогда р ([*„], [хт])-+0. Выберем подпоследовательность но-
номеров nh->oo так, что p([xnh], [XnhJ_l])<. l/2ft. Рассмотрим
ряд
для kotoj)oio x,lh является частной суммой. Ряд, составлен-
составленный из модулей,
состоит из положительных членов. Покажем, что для него
МШолнены условия следствия из теоремы Б. Леви (§ 9).
Оцепим интегралы от частных сумм
(К @1 -
24 f
i=2 l f
I Io теореме Б. Леви ряд B) сходится почти всюду к интег-
интегрируемой функции ф(/). Значит, ряд A) сходится почти
нсюду к некоторой функции x(t). Так как
h
к @1 < к @1 + 2 К- (О - *«,_, ф\ < ф (о.
2=2
105
I
то по теореме Лебега (§9; функция x(t) интегрируема. По-
Поскольку \х„к{1) — *(*)|<2<р(/), то 9{{xnh\, [х\) = j \xnh (t) —
т
— x{i)\ dfjt—>-0 no той же теореме, т. е. последовательность хПк
сходится к х в метрике /а. Тогда о ([*„], [х])^р ([*„]>
[Xnhl) + p{[Xnh\, [*])->-О при и, nk-+oo, т.е. [хп]-+[х]. j
Замечай и с. Выделение в последовательности хп @ точечно
сходящейся подпоследовательности существенно, так как сходящая-
сходящаяся ii смысле метрики L\(T, ц) последовательность (а значит, и под-
подпоследовательность Кошм) может не сходиться пи в одной точке
(см. пример § 9 с. 60).
Элементы пространства LX(T, ц) обычно называют
функциями, хотя это неточно: пространство состоит из
классов функций и обладает далеко не всеми свойства-
свойствами пространств функций. Например, для элемента хб
GLiG\ ц.) не определено значение в точке I из Т, так как
х есть класс функций и значение в точке зависит от вы-
выбора представителя из этого класса.
Укажем в пространстве L\ (T, \х) некоторые всюду
плотные множества.
1. Множество простых интегрируемых функций. По
определению интегрируемая по Лебегу функция являет-
является пределом последовательности простых функций.
2. Множество простых функций, принимающих конечное
число значений. Если простая интегрируемая функция x(t)
оо
имеет вид x{t) = yk при t?Th, T— U Г,„ то последова-
тельность функций
x(t) для /g U Th,
О для t$ U Tk
сходится к x(t) в метрике L\(T, \x).
Теорема 2. Пусть Т= [0,1], jj, — мера Лебега. Мно-
Множество непрерывных функций всюду плотно в простран-
пространстве L\(T, ц), и, следовательно, пространство Li(T, ц)
является пополнением пространства Cj,[0, I].
Доказательство. Для доказательства доста-
достаточно показать, что в любой окрестности любой функции
х из L\{T, jj,) есть непрерывная функция, т. е. любая
функция д: может быть сколь угодно точно в метрике
Li(T, ц) приближена непрерывной функцией. Построим
такое приближение поэтапно. Как показано выше, функ-
106
ция х может быть приближена простой функцией, при-
принимающей конечное число значений, т. е. линейной ком-
комбинацией характеристических функций измеримых мно-
множеств. Согласно теореме 2 § 4, для измеримого множества
А существует элементарное множество В такое, что
\х(ААВ)<е. Тогда р{%л, "/в) <е> т- е- характеристическая
функция ia измеримого множества А может быть при-
приближена характеристической функцией %в элементарно-
элементарного множества В — линейной комбинацией характеристи-
характеристических функций полуинтервалов. Характеристическая
функция полуинтервала [а, Ь[ с точностью е в метрике
пространства LX(T, \x) может быть приближена непре-
непрерывной функцией, например функцией
0, t ^ a — е,
t — а — е
е
1, а
-, а — г^.1 <а,
Таким образом, функция х может быть приближена не-
нрсрышюй функцией, т. е. Cl 10, 1] = Lx G\ ц).
Пространство 11G", ^) есть полное пространство, содер-
Жй!цее С/. [0, 1] в качестве подпространства (метрика задана
той же формулой). По доказанному Cl[0, 1] = /,1G\ Ц.)'и,
мрачит, L1(T, ц) есть пополнение пространства Cl 10, 1]. п
Следствие 1. Если Т= [0, 1] и \х — мера Лебега,
to пространство Li(T, (x) сепарабельно.
Доказательство. Любая непрерывная функция
HI итцеаке может быть равномерно приближена много-
ЧЛРИом, Многочлен можно приблизить многочленом с
рйШишильиыми коэффициентами, т. е. множество много-
ч,1Ц'1|A|| о ийцпопильними коэффициентами всюду плотно
И 1-\{Т, |1). 1мк кик но множество счетно, пространство
/<iG', ц) сспарабелыю. LJ
И дальнейшем пространство интегрируемых по море
Лебега функций на отрезке [0, 1] будем обозначать
/*i[0, 1].
Укажем простой способ построения по функция-1 -
д:(!/м|(), Г] близкой к ней непрерывной функции. ,_^.
Определение 1. Средней по Стеклову от фунйш!!^
107
x будем называть функцию xh(t) ¦¦— j" x(j)dx, Л>0 (при
^ t-h
вычислении интеграла полагаем, что х (т.) — 0 вне отрезка
[О, 1J).
Лемма. Пусть х ? LL [0, 1]. Тогда со {Щ — Г |х {t -\-h) —
— x{t)\dt-+O при ft->0.
Доказательство. Возьмем е>0. Существует не-
непрерывная функция *j (/) на |0, 1| такая, что Г \xt(t)\ dl<.
о
< е/3, где х2 (I) — х (t) — хх {(). Функция хх {t) равномерно
непрерывна, т. е. для ех — е/3 существует б > 0 такое, что
если |ft|<6, то \xx(t + К) — х^ОКе/З. Тогда при \h\ < б
выполнено неравенство
i 1
со {h) < j [хл U + Л) — «! @1]Л + f \x2 {t +h)\ dt +
О Q
1
+ f |x2 (/)| d/ < e/3 + e/3 + e/3 = e. D
6
Доказанное свойство функции x(i) называется непрерыв-
непрерывностью в среднем. Другая трактовка этого свойства озна-
означает, что отображение R Э h -> х (t -J- h) 6 Ьг непрерывно за-
зависит от К.
Теорема 3. Для любой функции x(t) из Lt [0, 1] сред-
средние по Стеклову xh{t) являются непрерывными функциями
x{t)\dt-+O при h-+0.
о
Доказательство. Функция xh(l) есть интеграл с
переменным верхним пределом и в силу теоремы 1 §9 яв-
является непрерывной (даже абсолютно непрерывной) функци-
функцией. Покажем, что р(хЛ, х)-*-0 при Л->0. Имеем
Р (х, xh) = f fix @ - J- f x(x) йт\) dt =
5 VI 2ht-h I/
+h
По теореме Фубини
108
i 1 t-h
p(x, xh) =—— \ \ \x(t) — x{x)\dxdt.
б Г-н
Делая замену т — t = s, t — t, получаем
0 f-h Z/X 0 -h
1 " 1
= —- f©(s)rfs, p(x, *„)< —-
2/1 Jft 2/1
_;,
В силу леммы для е >• 0 существует б > 0 такое, что при
\а\ < б выполнена со (s) < е. Тогда при 0 < /i < б р (х, х)^
^ 2/ie = e и теорема доказана. ¦•¦¦
2/
§ 20. Пространство LP{T, u)
Пусть Т — пространство с сг-конечной мерой ^. Зададим
число 1 •< р <; оо и обозначим через ??р (Г, }х) множество
измеримых функций, для которых существует интеграл
\х (Oli^M- В этом множестве введем отношение эквивалент-
эквивалентности а-~//, если х (/)-//(/) почти всюду. Множество
классов эквивалентных между собой функций обозначим че-
черен Lv (Г, \\). На этом множестве зададим метрику формулой
где \х\ — класс эквивалентных между собой функций, "со-
Дйржнщих х (класс функций, эквивалентных х). Очевидно,
ЧТО f»(|*|( \у\) не зависит от выбора представителя из клас-
классе [*| И что выполняются аксиомы 1 — 2 метрики. Прежде
4WM ]||м>|№|)ить норавенство треугольника, докажем три вспо-
вспомогательных Ш'ранецства.
1. Периш'нсшш) Юнга. Пусть 1 < р < + °° и пусть
A ~ Р!(Р — 1) (определяется из равенства 1/р + \/q = 1).
Тогда для любых неотрицательных чисел а и Ъ справедли-
справедливо неравенство Юнга
Ip + b" Iq. A)
Доказательство Рассмотрим функцию и (v) ~
i/<i) так как р>1, то показатель 1/(р—1) поло-
109
жителей и график является выпуклой или вогнутой линией
(рис. 3). Проведем через точки с координатами @, а) и (Ъ, 0)
прямые, параллельные осям пни соответственно. Тогда
аЪ < Sj -f i2, где
ь
f
б f
Получаем неравенство A).
и.
= [
аР
s2 —
dv —
b«
1
it!'
2. Неравенство Гёльдера. Для
любой функции из x?Lp(T, ц)
введем обозначение
РНр = Р @, х) =-¦
1/р
* к
(читается: «норма х»).
Для любых функций x?Lp(T,
\i) и y?Lq (T, ц) их произведение
Рис. 3. Неравенство Юнга, интегрируемо и справедливо не-
?СИЛ10Л""ОСИE Гё
прямоугольника ОасЬ мень- i :•! I
ше суммы площадей кри- j )lx(t) у (t) dpi ^ ||х||р \\y\\q. B)
волинейцых треугольников т
Д о к_а з а т е л ь с т в о. Пусть \\хо\\р = \\yo\\q = 1. }3афик-
сируем t и применим неравенство Юнга
C)
Р Ч
Проинтегрируем неравенство C) и получим
Г ,11.
Г Р Я
Если х = 0 или г/ = 0, то неравенство Гёльдера очевидно.
D)
Если
0, то построим
1
IMI,
x(i), t/0@ =
¦t/(i). Подставляя их в неравенство D), получаем
1 1
IWIp Ш\ч т
ПО
Умножая последнее неравенство на IM|pj|#||g, получаем|
неравенство Гёльдера. г]
Замечание 1. В случае р = 2 неравенство Гёльдера имеет вид ]
|()) (J
т т т
и называется неравенством Коши—Буняковского.
3. Неравенство Минковского. Для любых функций х и"
у из LP(T, ц) их сумма принадлежит LV(T, \i) и справед-
справедливо неравенство Минковского \\х + y\\v ^ \\х\\р -\- \\у\\р-
Доказательство. Заметим, что при фиксированном
/ справедлива цепочка неравенств
\х (О -Ь у (г)\р < [2 max {\х (t)\, \уA)\}}Р <
г max {\x(t)\P, \у (/)|р } < 2" (|*{t)\P
из которой следует интегрируемость функции \х {t)-\- у (t)\p.
Так как \\x(t)-\-y{t)\p-l\q=--=\x(t)-\-y{t)\p, то функция \x{t)+
•I // (Ol'' принадлежит Lq (T, \i). Перейдем к доказатель-
стиу неравенства Минковского:
ИО + y{t)\"dii - J \x(t) + y(t)\ \x(t)
Г
I
с; J \х @1 к @ Ч- у (/)!"-' t/[i -I- j \y @11* @ + f/ @Г1
г г
Н'пользуя неравенство Гёльдера, получаем
щ
ш
m
нирпнеиство на интеграл, стоящий в правой части,
i—L
что и требовалось доказать. П
Из неравенства Минковского получаем нерапснсгво тре-
треугольника для метрики пространства Lv (T, |i), p (х, у) =
•¦-11*-^11,.---||(*-г) + (г-^)||11<||дс-2||р-Н||г-^||,=
~-р(х, 2) + ()(г, у). Значит, LV(T, \i) действительно явля-
является метрическим пространством.
Ill
Замечание 2. Если взять в качестве Т множество N нату-
натуральных чисел и задать меру ц так, что мера каждой точки равна 1,
то функция х (t) есть фактически последовательность лг;; и интеграл
Лебега 1 х (t) d\i совпадает с суммой ряда у*. *ь- Поэтому простран-
т ь^-л
ство 1р, введенное в примере 4 § 14, является частным случаем про-
пространства Lp (T, \i) и для него справедливы неравенства Гёльдера,
Минковского и неравенство треугольника. Аналогично, взяв Г —
= : {1, 2 п), получаем пространство R« с метрикой рр (х, у) из
примера 7 § 14 и выполнение неравенства треугольника для этого
пространства.
Теорема 1. Пространство LV(T, yi) полно.
Доказательство. Возьмем произвольную последо-
последовательность Каши xn?Lp(T, ц). Пусть АаТ—произволь-
АаТ—произвольное измеримое множество конечной меры. Тогда с помощью
неравенства Гёльдера получаем
f К @ - хт @1 dfi < ( f \хп @ - хт (t)\>> dp)
А А
'lp x
(
А
X ( ) lrf|x) " ->0, п, т-+оо.
л
Значит, последовательность хн есть последовательность Ко-
ши в L1 (А, \х) и, как показано в доказательстве теоремы 1
§ 19, существует подпоследовательность, которая сходится
оо
почти всюду в А. Если мера ц а-конечна, т. е. Т — ц Тк,
где (j, (Th) <z -f- с», можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся почти всюду на Т к некоторой функции xo(t).
Проверим, что Xnh-+xn по метрике пространства LP(T, [i).
Для е > 0 существует номер н (е) такой, что для k, i J>
^ п (е) выполняется
т
Переходя к пределу при i->oo по теореме Фату, получаем
т. е. рр (хПк, х0) '-*- 0. Значит, и сама последовательность хп
сходится в пространстве Lp (т, ц). r-j
Следствие. Пространство 1Р полное.
Замечание 3. Множества, для которых в § 19 было доказа-
доказано, что они всюду плотны в Lx (Г, |х), являются всюду плотными в
/.р (Г, |г). Доказательство этого факта аналогично случаю р= 1.
112
Теорема 2 (непрерывность в среднем функций из
Lp[0, 1]). Пусть x?Lp\0, 1], тогда для любого е>0 су-
существует б > 0 такое, что если \s\ < б, то
Чр
I
(Как и в § 19, считаем, что все функции продолжены ну-
нулем вне [0, 1].)
Доказательство. Пусть у — такая непрерывная
функция, что ||je — #||р^е/4. Функция у равномерно не-
непрерывна на [0, 1]. Поэтому существует б>0 такое, что
если \s\ < б, то \у (t +s) — y (t)\ < е/4 для всех t и t + s,
принадлежащих [0, 1]. Тогда, если 0<s<6<61, получаем
($\y(t+s)-y @1" dff /p< ( J\y (t -I-- s) - у (OP ЛI lp +
i
+ ( J \y (t)\P dt\'/p < e/4 + б1 I'M,
1
J
1—s
где M= max. \y(t)\. Если выберем б>0 так, чтобы
*^ е/4, получаем \\у (t + s) — «/ (f)||P ^ е/2. Аналогично по-
поступаем, если —6<s<0. Тогда для |s|< б справедливо
неравенство
-y{t + s)||p
* (OIIp < е/4+ е/2+ 8/4 = е. d
Tc»|K-Mii 3. Пусть x?Lp [0, 1]ихЛ @ = f л;(т)с(т—
с|1едние по Стеклоиу. Тогда xh{i) — непреротные функции
и \\xh — л;||р->0 при /i-^0.
Доказательство. Функция xh(t) как интеград с
переменным верхним пределом является непрерышюп (и
даже абсолютно непрерывной). Оценим разность
\х @ - xh @1 < ~] \х (/) - х (т)| </т =
к. Зак. 420 ИЗ
—л
1 "
—h
Значит,
j |* @ - xh @1" л = J- f f |* @ -x(t-
и, поменяв порядок интегрирования (что возможно по тео-
теореме Фубини), получим
\\x{t)-x(t+s)\p<itds. E)
—ft О
В силу непрерывности в среднем функции х по е > 0 мо-
можем найти б > 0 такое, что для \s\ < б выполняется
(t + s)\P(it ^ гп. Тогда при 0 < А < б имеем
1 , h
=: Р.Р
- 6
0 —ft
и, значит, ||х — х,,||р<е. ?
§ 21. Принцип сжимающих отображений
Пусть f : Х-*-Х — отображение метрического прост-
пространства в себя. Точка а?Х называется неподвижной точ-
точкой отображения /, если f(a) = a. Иначе говоря, непо-
неподвижная точка есть решение уравнения x=f(x). Урав-
Уравнения, которые могут быть записаны в таком виде,
возникают в различных приложениях.
Одним из общих результатов, дающих достаточные
условия существования неподвижной точки, является
теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего ото-
отображения.
Определение. Отображение f:(X, px)-*-(X, рх)
называется/'сжимающим,^ если существует константа 0^
<;«< 1 такай, Ч'1о"для любых хг, х2?Х выполнено
P/f | V* | f | у П <^*" fy f\ ( у VI 111
\/ K^i/i I х^й// "^^ t*j-J х."*!) "'2/* V /
114
Таким образом, сжимающее отображение есть ото-
отображение, удовлетворяющее условию Липшица с кон-
константой а<1. Такое отображение всегда равномерно не-
непрерывно и непрерывно.
Заметим, что при отрицательном а неравенство A)
не может выполняться (если пространство содержит
хотя бы две точки), поэтому проверять нужно лишь
условие а<1.
Теорема 1 (Банах). В полном метрическом простран-
пространстве сжимающее отображение имеет неподвижную точ-
точку, и притом только одну.
Доказательство. Единственность неподвижной
точки получаем независимо от полноты пространства.
Если a = f(a), b = f(b), афЪ, то 0<р(а, b) = p(f(a),
f(b))^.ap(a, b)<p(a, b) и получаем противоречие.
Существование неподвижной точки докажем методом по-
последовательных приближений или методом итераций. Возь-
Возьмем произвольную точку хо?Х и построим последователь-
последовательность хг = /(х0), хг = /fo), ..., xn = f (xn-i), Пока-
Покажем, что построенная последовательность хп есть последо-
последовательность Коши. Оценим сначала расстояние между сосед-
соседними членами последовательности р (xh, Xh+i)^p(f(Xh—i)t
[ (*,,))< ар (xfc_,, xh) -- ар (/ (хк-2), f (**_i)) < • ¦ • < «h X
Ч p{xltx0). Применяя неравенство треугольника, получаем
(считая т > п)
Р (*,,. хт) <, р (х,„ х„ \) -I- (> (х„ I.|, х„ | ¦>) + ¦ ¦ ¦
+ р (*„_,, хт) < (а" + а"-1 + . . . + ат-') р {х0,
откуда
Р(хп, *„,)<¦
а"
1 —a
о. f{x0)).
B)
Тнк как пространство X полное, то последовательность
Хп сходится к некоторому элементу а&Х. Переходя в ра-
ненстпс xn = f(xn-i) к пределу (что обосновано ввиду
HWipppunuocTii /), получаем a = f(a). О
(! л i1 д с г и и г. Для любого начального приближе-
приближения Хо последовательные приближения xn=f(xn-\) схо-
сходятся к неподвижной точке а отображения /, причем
справедлива оценка погрешности
Р(хп,
а"
—а
¦Р(*о.
Доказательство. Сходимость последователь-
последовательных приближений доказана в теореме 1. В неравенстве
115
B) перейдем к пределу при m-voo и получим неравен-
неравенство C). ?
Таким образом, Доказанная теорема кроме утверж-
утверждения о существовании решения дает простой способ его
приближенного построения и часто используется при чис-
численном решении уравнений вида x=f(x).
Укажем несколько случаев, когда решение уравнения
x=f(x) с несжимающим отображением f можно свести
к рассмотрению сжимающих отображений.
Отображение f может оказаться сжимающим не на
всем пространстве, а на некотором подпространстве
MczX, т. е. существует а<1 такое, что неравенство
p(f(*i). f(x2))^ap(xu x2) выполняется для Х\, х2вМ.
Если неравенство выполняется на множестве М, то оно
выполняется и на его замыкании М. Поэтому множество
М будем считать замкнутым. Чтобы к множеству М,
рассматриваемому как самостоятельное метрическое
пространство, можно было применить теорему Банаха,
нужно еще, чтобы выполнялось f(M)czM, т. е. М долж-
должно быть инвариантно относительно /. Частный случай та-
такой ситуации, когда в качестве М берется замкнутый
шар, рассмотрен п следующей теореме.
Теорема 2 (локальный принцип сжатых отображе-
отображений). Пусть X—полное метрическое пространство, на
некотором шаре В[х0, г] отображение f является сжи-
сжимающим с константой а<1 и выполнено неравенство
р(*о, f(*o))=^0—а)г- Тогда в шаре В[хо, г] существует,
и притом только одна, неподвижная точка отображе-
отображения f.
Доказательство. Шар В[хо, г] будем рас-
рассматривать как самостоятельное метрическое простран-
пространство. Так как шар замкнут, то это пространство полное.
Покажем, что } отображает шар в себя. Пусть х&В[хо, г],
т. е. р {х, хо) ^г. Тогда
Р (*о. f W) < Р (*о, f (Хо)) + Р {f (*о). f (X)) <
<^ A — а) г -f- ар (х„, х) ^ A — а) г + аг — г.
Значит, f(x)?B \х0, г] и к отображению / в шаре В \х„, г]
применима теорема 1. —.
Теорема 3. Пусть X — полное метрическое пространство
и отображение f : Л' -*¦ X такопо, что его некоторая итерация
fN(x) — f(f... (/(х))...) является сжимающим отображе-
N
нием. Тогда отображение / имеет, и притом единственную,
неподвижную точку в X.
116
Доказательство. Пусть а — неподвижная точка
отображения fN. Тогда f (а) также является неподвижной
точкой отображения fN:
fN(f(")) = f(fN (a)) = f (a).
Так как неподвижная точка у отображения fN единствен-
единственная, то a=f(a). Неподвижная точка отображения / яв-
является неподвижной точкой отображения fN и, значит,
не может быть двух различных неподвижных точек. ?
Пример. Отображение, не являющееся сжимающим,
а его некоторая степень является сжимающим отображени-
см: X - R2, f (х) = Ах, где А = |
10 т
Еще один способ применения теоремы Банаха в слу-
случае, когда отображение f: (X, р)~>(Х, р) не является
сжимающим, заключается в следующем. Иногда па мно-
множестве X можно задать другую метрику рь порождаю-
порождающую ту же топологию, что и метрика р, относительно
которой отображение f оказывается сжимающим и при- \J
менима теорема Банаха. Пример такой ситуации приве-
приведен в упражнении 1 § 28.
В случае, если fo: X—*-Х — сжимающее отображение
неполного метрического пространств X а себя, то не-
неподвижной точки может не существовать.
Например, пусть X — множество рациональных точек
отрезка —, 1 с метрикой р(х, у) = \х — у\. Отображение
/ (х) = хг + х Н переводит X в X и является сжи-
2 4
мающим, но не имеет неподвижной точки в пространстве X.
В таком случае можно провести следующее построение.
Пусть (К, р) — пополнение метрического пространства X.
Так как /,, равномерно непрерывное отображение простран-
пространства X и соОи, то существует его продолжение на все про-
пространство Y, которое также является сжимающим (см. теоре-
теорему 2 § 18). Поэтому в пополненном пространстве Y суще-
существует неподвижная точка, т.е. решение уравнения x--f(x).
Эту точку обычно называют обобщенным решением уравне-
уравнения х — /0 (л;).
Возьмем непрерывное отображение f отрезка [0, 1]
в себя. Тогда f@)>0, /A)<1. .Эти неравенства озна-
означают, что функциях—f(x) имеет разные знаки на концах
117
отрезка. Тогда по теореме Коши эта функция обра-
обращается в нуль в некоторой точке отрезка, т. е. сущест-
существует точка а такая, что a=f(a). Таким образом, непо-
неподвижная точка существует без предположения о сжи-
сжимаемости отображения f.
Это утверждение является простейшим частным слу-
случаем следующей топологической теоремы.
Теорема 4 (Боль—Брауэр). В пространстве Rn не-
непрерывное отображение замкнутого шара в себя имеет
неподвижную точку.
Доказательство см., например,.в [33].
§ 22. Применение принципа сжимающих
отображений к интегральным уравнениям
Интегральными уравнениями обычно называют урав-
уравнения относительно неизвестной функции, в которые эта
функция входит под знаком интеграла. Такое описание
не является точным определением, так как не указано,
какие еще операции допустимы в записи уравнения.
Ограничимся рассмотрением интегральных уравне-
уравнений вида
a(t)x(t)-[K(l, s, x(s))d\i{s)^-y(l), l?T, A)
г
где Т— некоторое пространство с мерой; a(t), y(t)—
заданные на Т функции; K(t, s, z) — заданная на Тх
X^XR функция; x(t)— неизвестная функция. Чаще
всего в качестве Т рассматривается некоторое подмно-
подмножество в Rn с мерой Лебега, например отрезок [0, l]czR.
Решение х разыскивается в различных пространствах
функций, определенных па Т, а зависимости от свойств
функции K(t, s, z) и у. В случае, когда рассматривают-
рассматриваются непрерывные функции, интеграл можно понимать в
смысле Римапа. Заметим, что пространства выбираются
так, чтобы для функций из этого пространства интеграл
в A) существовал.
Решением интегрального уравнения A) называется
функция x(i), при подстановке которой в уравнение вы-
выполняется равенство для всех tBT или почти всех /.
Укажем некоторые примеры задач, приводящие к ис-
исследованию интегральных уравнений.
1. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного диф-
дифференциального уравнения:
¦%- = J{t. х), х@) = у0. B)
at
118
Проинтегрировав уравнение B) с учетом начального
условия на отрезке [0, /], получаем интегральное урав-
уравнение
которому удовлетворяет решение задачи Коши B).
2. Рассмотрим следующую физическую задачу (о
постановлении изображений). Пусть в трехмерном про-
пространстве с координатами х, у, z вдоль оси г распрост-
распространяется излучение, интенсивность которого есть функ-
функция от координат х, у:ц> = <р(х, у). Требуется измерить
ату функцию. Для этого на плоскости (х, у) устанавли-
устанавливается экран, который регистрирует поступающее па него
получение. Это может быть обычная фотобумага, рент-
рентгеновский экран и т. д. в зависимости от вида излучения.
Изображение на экране позволяет восстановить интен-
интенсивность поступающего на него потока как функцию от
X, у. Однако на пути потока обычно имеются препятст-
iiii», искажающие изображение. Такими препятствиями
может быть, например, атмосфера Земли при космиче-
космической и астрономической съемке. Рассмотрим случай, ко-
когда на пути излучения расположено полупрозрачное
иренятепше, которое пропускает часть излучения, а ос-
остальную ч;кп> поглощает и рассеивает. В результате па
«кране фиксируется не искомая интенсивность ц>(х, у),
и некоторая иная величина
1\>(х, У)- Подсчитаем интен- *•
сниность $(х, у) излучения,
поступающего на экран в
точке (х, у). Часть tyi излу-
излучения, которая проходит че-
|H»;t препятствие без откло-
отклонении, пропорциональна ф,
т. в. ^ц(х, у)'-\щ-(х, у). Ин-
Интенсивность ijb(-v, у) излуче-
излучения, поступающего I» точку
(х, у) из других точек пре-
препятствия в результате рас- °
сеяния, найдем следующим
образом. От элементарного
участка AS', расположенно-
расположенного в окрестности точки (х\
у'), поступает излучение,
1
t2 1". у)у
/ 1
¦ as'
\
F
\/
I
I
(х'У)
X.V
Рис. 4. Рассеянно изучения.
В точку (х, у) поступает излу-
излучение ij)|(x, //). прошедшее че-
через препятствии бел отклоне-
отклонений, и от каждого участка AS'
мосту илот излучение il>2(*. У) D
результате рассеяния
119
пропорциональное площади Ах'Ay' этого участка и ин-
интенсивности излучения, поступающего в точку (х', у')
(рис. 4). Коэффициент пропорциональности К зави-
зависит от расположения точек (х, у) и (х', у'), т. е. К=К(х,
у; х', у'). Например, если излучение в точке (У', у')
рассеивается равномерно во всех направлениях, этот ко-
коэффициент пропорционален телесному углу, под которым
видна элементарная площадка AS' из точки (х, у).
В однородных средах коэффициент заиисит только от
взаимного расположении точек (х, у) и (х', у'), т. е. от
разностей х—х'', у—у'.
Таким образом, получаем соотношение Д\|>2 (х, у) - -
= К(х, у, х', у')<р(х', у')Ах'Ау'. Суммируя по всем эле-
элементарным площадкам и переходя к пределу при Ах', Ау1-*-
-»-0, получаем
§), у, х', у')у(х', y')dx'dy',
D
где интегрирование ведется по области D в R2. В резуль-
результате получаем соотношение
$$ У, х', у')ц>(х', y')dx'dy' = q(x, у), C)
D
которое представляет собой интегральное уравнение от-
относительно неизвестной функции у(х, у) с заданными
функциями i|3(x, у) и К(х, х', у, у'). Таким образом, за-
задача восстановления истинного изображения ф по иска-
искаженному изображению ¦$ эквивалентна нахождению ре-
решения интегрального уравнения C).
Отметим сразу качественное различие случаев ц = 0
(непрозрачное препятствие) и 0<ц<1 (полупрозрачное
препятствие). Естественно ожидать, что в случае непро-
непрозрачного препятствия задача восстановления истинного
изображения существенно сложнее. Действительно, за-
задача решения интегрального уравнения C) в случае
ц = 0 есть так называемая «некорректная» задача, иссле-
исследование которой требует более сложных методов.
Выделим некоторые классы интегральных уравнений.
Интегральное уравнение A) будем называть линей-
линейным, если функция K(t, s, z) линейна по z, т. е. имеет
вид K(t, s, z) = K(t, s)z. Интегральное уравнение приоб-
приобретает вид
а @ х@ - j К (I, s) х (s) dp (s) = у (t). D)
г
Функция двух переменных K(t, s) называется ядром ин-
интегрального уравнения D). Говорят, что интегральное
120
уравнение D) есть уравнение 1-го рода, если a(t)==O, и
есть интегральное уравнение 2-го рода, если a(t) = l.
При произвольном a(t) уравнение D) обычно называют
уравнением 3-го рода. Таким образом, уравнение 1-го ро-
рода имеет вид
$K(t, s)x(s)d\i{s)--=y(t),
f
уравнение 2-го рода—
x{t)~ ]K(t, s)x(s)d\i(s) = y(t).
т
Если у —0, то уравнение D) называют однородным; ес-
если уфО, то неоднородным. Однородное линейное урав-
уравнение всегда имеет решение x(t)=O. Если Т=[а, Ь[,
где Ь^ + оо, то выделяется класс уравнений вида
a(t)* (/) = J ff{t, s)x(s)ds + у(i), E)
a
включающих интеграл с переменным верхним пределом.
Такие уравнения называют уравнениями Вольтерра.
В случае, если переменная t есть время, то специальный
ьид уравнения E) имеет простой физический смысл:
состояние x(t) некоторой системы в момент времени t
зависит от ее состояния в предыдущие моменты време-
времени s<(, но не зависит от состояния в будущем. Такой
вид имеют, в частности, интегральные уравнения, возни-
возникающие при исследовании задачи Коши для обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегральное урав-
iii'iiHe Вольтерра является частным случаем уравнения
нпда (А), так как, определив ядро
Л', (^ S, 2) = ( 0> 'S>'-
\K(t, s, z),
E) M(»Kiro записать в виде
v,(/, s, x
Идея применения принципа сжимающих отображений к ин-
интегральным уравнениям заключается в следующем. Пусть
имеется интегральное уравнение 2-го рода:
х @ = J К (t, s, х (s)) dp (s) + y(t). F)
г
121
Соответствие #->¦ \ K(t, s, х (s)) d\i (s) + у (t) определяет
f
отображение F множества функций на Т г? себя. Значение
F(x) есть функция от t, заданная как интеграл, зависящий
от параметра t, т. е.
(F (x)) (t) - \ К (t, s, x (s)) rf|i (s) + «/ @. G)
т
Тогда уравнение F) записывается и виде x~F(x), т. е.
искомое решение есть пеподпижпая точка отображения
F. Для того, чтобы применить принцип сжимающих ото-
отображений, нужно:
выбрать некоторое полное метрическое пространство
X, состоящее из функций, заданных на 7;
проверить, что формула G) определяет отображение
F пространства X в себя;
проверить, что отображение F — сжимающее в про-
пространстве X.
Покажем, каким образом такая схема реализуется в
пространстве С [а, Ь] непрерывных функций на отрезке
[a, ft].
Теорема 1. Пусть Т=>[а, Ь] и пусть K(t, s, z)— не- <
прерывная функция переменных 1, s, z, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию Липшица по г, т. е. для которой существует \
постоянная С такая, что
\K{t, s, zJ — K{t, s, z,)|<С|Zj — 2,|. к
Если выполнено неравенство С (Ь — а) < 1, то интегральное
уравнение
ь
x{t)= {Kit, s, x{s))ds + y(t) (8)
j
a
имеет, и притом*[единственное, непрерывное решение для
любой непрерывной функции y(t). -
Доказательство. Зафиксируем пространство С [а, Ь]. ;;
Это пространство полное. Проверим, что формула ' '!
ь ¦
{Fx)(t)= [K(t, s, x(s))ds+'y(f)
a
определяет отображение пространства С [а, Ь] в себя. Так
как по условию у?С\а, Ь], то достаточно проверить, что
ь
z(i)= [K(t, s, x(s))ds есть непрерывная функция от t.
а
122
Действительно, при фиксированной непрерывной функции х
подынтегральная функция q>(<, s) = K(t, s, x(s)) есть не-
непрерывная функция переменных t и s и по теореме об не-
непрерывности интеграла, зависящего от параметра, непрерыв-
непрерывна.
Проверим, что отображение F сжимающее, i Используя
условие Липшица, получаем
s> *i(s)) —/C(f, s,
Г 6
<С J ^ (s) -x,(s)| ds <С(b -a)p (^, x2).
a
Поэтому, обозначив а = С (b — а), получим
p(F(Xl), F(x2))
По условию а<1 и, значит, отображение F сжимающее.
Тогда, согласно теореме Банаха, существует, и притом
единственная, неподвижная точка отображения F, т. е.
существует, и притом единственное, непрерывное реше-
решение x(t) интегрального уравнения (8). ?
Условие С(Ь—а)<\ есть условие малости функции
K(t, S, 2).
Покажем, что для уравнения Вольтерра существова-
существование решения получается без требования малости ядра —
функции КО> s> z)-
Теорема 2. Пусть функция K(t, s, z) удовлетворяет
условию Липшица по переменной г:
\K(t, s, z1) — K(t, s, z2)KL|2l-22|.
Тогда интегральное уравнение Вольтерра
*(/)« \K(t, s, x(s))ds + y(t) (9)
имеет единственное непрерывное решение хО)&С[а, Ь]
для любой функции y(t)QC[a, b].
Доказательство. Правая часть уравнения (9)
задает отображение F в пространстве С[а, Ь]:
s, x(s))ds + y(t).
123
Воспользуемся специальным видом уравнения (9). Оно
имеет смысл на любом отрезке [a, ti]cz[a, b] (для об-
общего уравнения вида F) такое рассмотрение невозмож-
невозможно, ибо для вычисления правой части нужно, чтобы х
было задано на всем отрезке [а, Ь]). Если выбрать t\
так, что L(t\—а)<1, то на отрезке [a, t{\ длины t\—а =
= h к уравнению (9) применимы рассуждения теоремы 1
и на этом отрезке существует единственное решение x(t).
Рассмотрим далее отрезок f^, t%\, где /2---ti + h. Урав-
Уравнение (9) перепишем в виде
. ' *@= f K(t, s, x{s))ds
и
+ J K(t, s, x(s))ds. A0)
a
Так как на отрезке fa, t^] функция х (s) однозначно
определена, последний интеграл можно считать известной
функцией и уравнение A0) переписывается в виде x(t) =
' ti
= [ К (t, s, x (s)) ds 4 i/i (/), где yx @ = у @ + \ K(t, s,
h a
x(s)) ds — известная функция. Повторяем те же рассужде-
рассуждения на отрезке [tlt ti~\-h] и получаем решение на отрезке
Ui> ti-\-h]- Затем берем следующий отрезок и т. д., пока
не получим решения на всем отрезке [а, Ь\. D
Если K(t, s, x(s)) = К {I, s)x(s), т. е. уравнение ли-
линейное, и К (t, s) — непрерывная функция, то
\K(t, s, z,) —A"(/, s, г,)|<тах|/С(/, s)!-^ — г2|,
t ,s
т. е. выполнено условие Липшица с постоянной L —
= max \K (t, s)\ и, значит, для линейных уравнений 2-го
рода справедливы теоремы 1 и 2. Для линейных уравне-
уравнений более точные условия применимости принципа сжима-
сжимающих отображений будут получены в §37.
§ 23. Компактные метрические пространства
Две классические леммы и.ч мптем.тп тсс кого анали-
анализа, лемма Больцано—ПеГкрштрасса и лемма Бореля,
служат истоком понятия компактного пространства.
Лемма Больцано — Вейерштрасса. У любой ограни-
ограниченной последовательности вещественных чисел сущест-
существует сходящаяся подпоследовательность.
124
Лемма Бореля. У любого покрытия отрезка числовой
прямой интервалами существует конечное подпокрытие.
Указанные леммы являются основой доказательства
ряда теорем из математического анализа (теорема Вей-
ерштрасса о максимуме непрерывной функции на отрез-
отрезке, теорема Кантора о равномерной непрерывности). По-
атому выделяется класс пространств, обладающих
свойствами из лемм Больцано—Вейерштрасса и Бореля.
Определение 1. Метрическое пространство
(X, р) называется компактным, если у любой последо-
иательности точек '•¦этого пространства существует схо-
сходящаяся подпоследовательность.
Другое свойство пространства X возникает как об-
обобщение свойства из леммы Бореля о покрытиях.
Определение 2. Пусть {У}}х А— семейство откры-
открытых подмножеств метрического (или топологического) про-
пространства X. Семейство {U>}heA называется открытым, по-.
крытием X, если X = U UK.
Часть семейства {С/^.}^еДсЛ, которая сама является по-
покрытием, называется подпокрытием.
Справедлива следующая теорема (ее доказательство
будет дано в конце параграфа).
Теорема 1. Для метрических пространств следующие
свойства экпивалентцы:
1) у любой последовательности точек существует
Сходящаяся подпоследовательность;
2) у любого открытого покрытия пространства X су-
существует конечное подпокрытие.
Отметим, что для произвольных топологических про-
странстн свойства 1) и 2) не эквивалентны и за опреде-
Я«чше компактности принимается свойство 2 (см. При-
¦Жим-ние).
С.нпйетпо компактности метрического пространства
явлистей более сильным свойством, чем полнота.
Лемма I. Компактное метрическое пространство
полно.
Доказательство. Пусть (хп) — последовательность
Коши в компактном метрическом пространстве (X, р). У
нее существует сходящаяся подпоследовательность, т. е.
существует такое х0, что р(хп , xQ)->-0. Тогда р{хп, *0Х
<р(*п. хП)) + Р (xnk> #0)->-0,V e. xn-+x0, что и требо-
требовалось доказать. Г
Обратное утверждение не верно: пространство R
полно, но не компактно.
125
Проверку существования у последовательности (хп)
сходящейся подпоследовательности можно проводить в
два шага: 1) выделение подпоследовательности Коши;
2) доказательство, сходимости этой последовательности.
Так как второй шаг есть фактически проверка полноты
пространства, то наиболее существенным является пер-
первый шаг — выделение из произвольной последовательно-
последовательности подпоследовательности Коши. Эти рассуждения при-
приводят к определению еще одного класса метрических
пространств.
Определение 3. Метрическое пространство (X,
р) называется пред компактным, если у любой последо-
последовательности в *л""существует подпоследовательность
Коши.
Результат предыдущих рассуждений можно сформу-
сформулировать следующим образом.
Предложение. Метрическое пространство ком-
компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно
и полно.
Так как каждое множество в метрическом простран-
пространстве само является метрическим пространством, опреде-
определения компактности и иредкомнактпости имеют смысл
для множеств. Множество МаХ в метрическом прост-
пространстве X называется компактным, если у любой после-
последовательности точек этого "множества существует схо-
сходящаяся в М подпоследовательность.
Отметим, что в определении компактного множества
М требуется, чтобы выделенная подпоследовательность
сходилась к элементу из множества М. Пусть, например,
М — ограниченный интервал на числовой прямой. Лю-
Любая последовательность чисел из М ограничена, по лем-
лемме Больцано—Вейерштрасса у нее существует сходя-
сходящаяся подпоследовательность. Но эта подпоследователь-
подпоследовательность может сходиться к точке не из М, т. е не сходится
в М. Поэтому М является в этом случае не компакт-
компактным, а только предкомпактным множеством. Из леммы
Больцано—Вейерштрасса вытекает, что любое ограни-
ограниченное множество в R предкомпактно.
Понятие ограниченного множества можно ввести в
произвольном метрическом пространстве.
Определение 4. Множество М и метрическом
пространстве называется ограниченным, если множество
чисел р(хь х2), где Xi и .v^ принадлежит М, ограничено.
Очевидно, что множество ограничено тогда и только
тогда, когда оно явл-яется подмножеством шара.
Лемма 2. Предкомпактное множество ограничено.
. 126
Доказательство. Предположим противное, т. е.
пусть существует последовательность хп?М такая, что
(I (xv х„)->-оо. Если х —подпоследовательность Коши,
то числовая последовательность p{xv xn ) имеет конечный
предел, но вместе с тем р (xv xn )-^оо. Получаем проти-
противоречие. 1 i
Покажем на примере, что ограниченное множество в
произвольном метрическом пространстве может не быть
мродкомпактиьш.
Пример. В пространстве 1Х рассмотрим множество М
элементов х, удовлетворяющих условию
V
М --= {я | х -= (xv . . . , хп, . . . ) ? tv 2 \xh\
В этом множестве выберем последовательность е„, где еп =
в= @, . . ., О, 1, 0, .. .). Тогда р (еп, ет) = 2 при афт
И, ипачит, у последовательности еп нет подпоследовательности
тнкой, что р (еп , е „.)-*-0.
Определение 5. Пусть е>0 — заданное число.
Множество S в метрическом пространстве (X, р) назы-
нпстся .ъгсегыо для MczX, если для любой точки хЕМ
сущостмует точка x'QS такая, что |>(,v, .v')^e.
Таким образом, множество S является е-сетыо, если
любой элемент из М может быть с точностью е прибли-
приближен элементом из S. Другая трактовка этого понятия:
Ширы радиуса е с центрами в точках из S образуют по-
покрытие пространства X.
Определение 6. Метрическое пространство (X,
р) Нйаынпется вполне ограниченным, если для любого
«Э*0 и X существует конечная е-сеть.
Српмним это определение с определением ограничен-
ограниченного ириетрииетш! или множества. Ограниченное прост-
pniU'iiit) мижет Оыть покрыто одним шаром некоторого
рнднуеп, и ннолпе играпмчеиное может быть покрыто ко-
конюшим числом шаром с заданным радиусом е>0.
Теорема 2 (Хаусдорф). Метрическое пространство
иррдкчмпактно тогда и только тогда, когда оно вполне
"Гриинчсио,
Доказательство. Необходимость. Пусть X*—
предкомиактпое метрическое пространство. Для произволь-
произвольного к > 0 будем строить е-сеть. Возьмем произвольную
точку хг ? X и выберем х2 так, что р (xv х2) ^ е, затем х3
127
так, что р {xlt х3) ^ е, р (х2, х3) ^ е; аналогично выбираем,
хп+1 так, что p(xh, хк+1)^г для k=\, ... , п. Возмож
ны два случая: описанный процесс построения точек хп бу
дет продолжаться бесконечно либо он оборвется после ко
печного числа шагов. Покажем, что первый случай невоз
можен. Предположим, что процесс продолжается бесконеч
но, т. е. построена последовательность точек хп?Х такая
что р(хп, xh)~^e при п-ф-k. Так как пространство пред
компактно, то у последовательности (хп) существует под
последовательность Коти (хп ). Значит, р(хп , хп)-*-{
при k, t->oo, но по построению р (хп , хп)^-е>0. По
лучаем противоречие. Значит, процесс построения окончит
ся после конечного числа шагов, потому что не существуе'
точки хп+1 такой, что (i(xh, хп+1)^г, k — 1, . . . , п. Эт<
значит, что для любого х?Х существует точка xh, I ^
=SC&=SC'2 такая, что р(х, xh)<.s,- Это в точности означает
что множество {xv .. . , хп) образует е-сеть.
Достаточность. Пусть пространство X вполне ограни
чено, (л;,,) — произвольная последовательность из X. Пока
жем, что у нее существует подпоследовательность Крши
Возьмем последовательность в„-»-0. Для е1 построим ко
нечную Ei-сеть, т. е. покроем пространство конечным чис
лом шаров Вп. В один из этих шаров попадает бесконеч
ная подпоследовательность М± последовательности (хп)
Из них выберем хп с наименьшим номером. Затем повто
ряем процедуру выбора при е = е2. Построим конечную е2
сеть, т. е. покрытие пространства X конечным числом шг
ров радиуса е2- В один из этих шаров попадает бесконеч
ная подпоследовательность М2 из Mv Выберем п2 > п
так, что хп ? М2. Продолжая указанный процесс бесконеч
но, построим подпоследовательность (хп ). Так как пр
т > k точки х их принадлежат одному шару радиус
пк "т
ел, получаем, что р{хп , ^„m)< 2eft->0, k, т-*-оо, т. е
(хп ) — последовательность Коши. '.1
При проверке предкомпактности конкретных множест
бывает удобно использовать
Следствие. Множество М а X является предко\
пактным, если для любого е > 0 существует предкомпакт
ная е-сеть.
Доказательство. Возьмем г1 = е/2 и пусть S-
предкомпактная ег-сеть для множества М. По теореме X;
усдорфа для S существует конечная е1-сеть St. Возьме
х?М. Существует такая точка х'?S, что р(л:, х')<е
128
и для х' существует точка x"?SL такая, что р[х', х")<_
Тогда p(.v, x")<еи, значит, множество St является ко-"
нечной е-сетью для М. г
Доказательство теоремы 1. 2)=> 1). Пусть
(хп) — последовательность и пусть Хп — замыкание мно-
множества {хп, хп+и ... }. Покажем, что д Хпф0. Дей-
/2—1
СО 00
ствительно, предположим р| Хп = 0. Тогда X — U U,.,
где Un = Х\Хп открыты. Ввиду предположения 2) су
N N
шествует номер N такой, что X = \J Un. Тогда pj Xri
N
- 0, но этого Не может быть.'ибо 0фХы*\ c= р| X
Таким образом, существует точка xQ? pj Хп, т. е. х0 яв-
ляется точкой прикосновения каждой последовательности
(х„, хп+1, . . .). Возьмем последовательность шаров
Н(х0, 1/k) и в каждом шаре выберем входящую в него
точку хп так, чтобы выполнялось nk>nh+1. Выделенная
подпоследовательность сходится к х0. Таким образом, у
любой последовательности точек из пространства X сущест-
jjyer сходящаяся подпоследовательность.
1)=*-2). Пусть выполнено 1). Тогда в силу теоремы
'Хаусдорфа X вполне ограничено и полно. Предположим,
что 2) не выполняется, т. е. существует открытое покры-
покрытие (Ux)\eL пространства X, никакое конечное подсемей-
стно которого не покрывает X. Так как пространство X
Ниолне ограничено, построим его покрытие конечным чис-
числом шаров радиуса 1/2. Тогда хотя бы один шар В1 =
П(ху, 1/2) из этих шаров не может быть покрыт конеч-
конечным подсемейством из {U})- Поскольку Ву — также вполне
огршшчепное множество, покрывая его конечным числом
ширин радиуса 1/22, найдем шар B2 = B(x.z, 1/22), пересе-
пересекающийся с /<,, который не может бить покрыт конечным
подсемейством из {U%). Рассуждая далее аналогичным об-
ричом, построим последовательность шаров Вп — В(хп, 2~"),
ни один из которых не может быть покрыт конечным под-
подсемейством из {U}} и таких, что пересечения Вп[\Вп.[л не-
непусты. Применяя неравенство треугольника, получаем, что
т
1>{хп, хт)^.2 "V l/2fe —>- 0, т. е. центры шаров образуют
ч Зак. 420 129
последовательность Каши. Так как пространство X полно,
последовательность хп сходится к некоторой точке а?Х.
Для некоторого индекса Яо выполнено а ? ?/*,„ и, поскольку
множество {/*,„ открытое, существует число г>0 такое,
что В (а, г) cz ?/я,0. Выберем номер N так, чтобы выполня-
выполнялось р (a, xN) < г/2 и 2~N < г/2. Тогда BN с В (а, г) с:
с 6/я0, а по построению множество Вы не может быть
покрыто конечным числом множества С/*. Получаем про-
противоречие. D
§ 24. Свойства компактных пространств
Теорема 1. Образ компактного множества при непрерыв-
непрерывном отображении компактен.
Доказательство. Пусть f:X-+Y—непрерывное
отображение, А — компактное множество в X. Возьмем
последовательность уп ? / (А). Тогда существует последова-
последовательность хп ? А такая, что уп = f (xn). Из последователь-
последовательности хп выбираем сходящуюся подпоследовательность
Х пк -+ Х0- Т°ГДа Упк = f iXnh) -*¦ f (*о)- -
Следствие 1. Образ компактного множества при
непрерывном отображении ограничен и замкнут.
Следствие 2. Пусть X — компактное метрическое
пространство и / : X-vR—непрерывная числовая функ-
функция. Тогда / ограничена и достигает своих точных верх-
верхней и нижней граней.
Доказательство. Ограниченность — необходи-
необходимое свойство компактного множества f(X). Из замкну-
замкнутости f(X) следует, что точные верхняя и нижняя грани
принадлежат множеству значений. ?
Замечание 1. Образ предкомпактного множества при не-
непрерывном отображении может не быть предкомпактным. Если ото-
отображение / равномерно непрерывно, то образ предкомпактного мно-
множества А является предкомпактным (образ конечной б-сети в Л —
конечная е-сеть в {(А)).
Теорема 2. Если Х-—компактное метрическое прост-
пространство, У — метрическое пространство, то любое непре-
непрерывное отображение / : Х->У равномерно непрерывно.
Доказательство. Предположим, что / не является
равномерно непрерывным, т. е. существует ео>О такое,
что для любого 6 >0 существуют х?X и х' ? X такие,
что рх(х, лг')<Сб, рк(/:(л:), f(х'))^-г0. Возьмем последо-
последовательность 8„->0 и для каждого п выберем соответствую-
соответствующие хп и х'п, т. е. такие, что рх(хп, х'п)<Ьп и pY{f (хп),
130
Из последовательности хп выберем сходящуюся
подпоследовательность хп -+х0. Тогда рх(х0, x'
Xnh)+Px(xnk> х'Пк)-*-0, т. е. Xnk-+x0. Тогда /[(
!(х'ПкУ+f(x0) и, значит, pY(f{xnf), /Ц^О, что проти-
норечит выбору последовательности хп . ?
В частном случае, когда X = [а, Ь] и У — R, получаем
теорему Кантора.
Рассмотрим признаки компактности и предкомпактности
» конкретных метрических пространствах.
1. Пространство С [0, 1].
Определение 1. Будем говорить, что множество
Мег С [0, 1] равностепенно непрерывно, если для любого
е > О существует 5>>0 такое, что для любых точек tx, t?
?[0, 1], для которых |*!—t2\<i8, и любой функции х?М
выполнено \x(tx) —х(/8)|< г.
Пример. Конечный набор непрерывных функций
равностепенно непрерывен.
Определение 2. Множество МczС[0, 1] называ-
называется равномерно ограниченным, если существует посто-
постоянная "С" такая, "ЧттгшаТ|xf?) I ^с Для всех хпМ, т. е.
множество М ограничено в метрическом пространстве
С[0, 1].
Теорема 3 (Арцела—Асколи). Для того, чтобы мно-
множество функций М в пространстве С [0, 1] было пред-
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Доказательство. Необходимость. Так как М —
предкомпактно в С [0, 1], то оно ограничено в С [0, 1],
т. е. М равномерно ограничено. Проверим равностепенную
непрерывность. Зададим s >¦ 0 и построим конечную — -
о
сеть {х,, ... , хп} с: М. В силу теоремы Кантора каждая
из функций хь i= 1, ...,«, равномерно непрерывна.
Тогда для каждой х; выберем бг так, чтобы при \tx—12\ <;
< 8t для, любых tv t2?[0, 1] выполнялось ta^!)—х$,)\<.
< 8/3, t = 1, .. . , п. Выберем б — min бг. Тогда для лю-
бых tx, ?2€[0, 1] таких, что \tx — 4|<б, и всех
будем иметь неравенство
\х (tt) - х (t2)\ < \х (tj - xt (^)l + \xt (h) - xt (t2)\ +
+ l*i &) - x (t2)\ < 2p (x, Xi) + \xt (tj - xt (t2)\.
9* 131
Ввиду того, что {xlt .. . , хп) является е/3-сетью для М,
для любого х?М можно найти такой номер i, чтобы
р(х, JCj)<s/3. Тогда при tx, t2?[0, 1] таких, что \tt —
—/2|<б, будем иметь \х(/t) — х(t2)\<е для всех х?М.
Достаточность. Пусть М — равномерно ограниченное
и равностепенно непрерывное семейстпо функций из С [0, 1].
В силу теоремы Хаусдорфа достаточно показать, что М
вполне ограничено. Пусть \x(t)\<uC для всех х?М. Зада-
Зададим е > 0 и выберем б > О так, чтобы \х (tj) — х (^)| <; е/5
при |/х — ^I^S Дл$| »сех х?М. Разобьем отрезок [0, 1]
точками 0 = t0 < U < ••• <tn~- 1 на шггервалы длины
меньше б, а отрезок [— С, С\ — точками — С = ^ < |t <
< ... < Ь,т = С на интервалы меньше е/5. Пусть jWj —
семейство непрерывных функций, принимающих в точках
fh значения |г и линейных ка отрезках [tk, ik+1]. Это се-
семейство конечно. Покажем, что Мх — е-сеть для множест-
множества М. По функции х?М выберем функцию у?Мх так,
чтобы выполнялось \x(th) — #D)|<?/5- Такая функция
существует, так как по определению множества Мх функ-
функции из этого множества принимают в точках th значения
|/ и ||/ —5y_i|-<K/5. По иыбору б и точек th имеем нера-
неравенство \x(th) — л;(^,1+1)|<б и, значит,
\У (к)- У <!к+1I < \У (h) ~ х (th)\ + \х (tk) - х (tk+l)\
Так как на отрезке \th, /л+]] функция y(t) линейна, то
\y(h) — y(t)\<Se/5 для всех t?\th, t,l+1]. Теперь пусть
t — произвольная точка отрезка |0, 1]. Тогда найдется k
такое, что t?[th, /,гц]. Отсюда
- У @1 < \х @
+ \У (tk) - У @1 < е/5 + 8/5 + Зе/5 - е,
т. е. р(х )<
Аналогичное утверждение имеет место в пространствах
непрерывных функций на компактных пространствах.
Пусть Т — компактное метрическое пространство, С(Т) —
множество непрерывных числовых функцнй на Т с метри-
метрикой р(х, у) — max \x(t)~-t/(t)\. Множество МсС(Т) на-
зывается равностепенно непрерывным, если для любого
е > 0 существует б >> 0 такое, что для любой функции х
из М и любых /j, t2(:T из неравенства pr(/i, t2)<.8 сле-
следует, что И/]) —л:(<2)|<е.
132
Теорема 4. Множество МаС(Т) является предком-
мпктным тогда и только тогда, когда оно ограничено и
рмииостспенно непрерывно.
Доказательство этой теоремы повторяет основные
моменты приведенного выше доказательства для случая
Г-[0,1].
2. Пространство Rn.
Теорема 5. В пространстве R" множество предком-
ипктно тогда и только тогда, когда оно ограничено.
Доказательство. Необходимость тривиальна
Ибо всякое вполне ограниченное множество ограничено.
Обратно, если AlcrR" ограничено, то его можно поме-
поместить внутрь некоторого достаточно большого куба.
Исли такой куб разбить на кубики с ребром меньше е, то
пер_шины этих кубиков будут образовывать конечную
^i-e/2-сеть в исходном кубе и, значит, тем более в лю-
любом множестве, лежащем внутри этого куба. ?
3. Пространство 1Р.
Теорема 6. Множество М а 1Р, 1 <!/?<; оо, предком-
Яактно тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) существует число С такое, что \ \xt\p ^.С для лю-
бого х?М, т. е. множество М ограничено;
2) для любого е > 0 существует номер п0 (г) такой, что
00
V |Х{|р<ер для всех х?М.
Доказательство. Необходимость. Ограниченность
М вытекает из теоремы Хаусдорфа (§ 23) и ограниченнос-
ограниченности вполне ограниченного множества. Докажем необходи-
необходимость второго условия. Обозначим Snx — (xv . .. , хп, 0, ... )
и Rnx = @, ... , 0, хп+1, хп+2, ...). Тогда х = Snx +
+ Rnx и ( 2 I*/ )'/Р = Р (^х, 0) = р (х, Snx). Очевид-
1-п-\-\
ко, что /?„*-> О при «->оо. Кроме того, справедливо не-
неравенство
"=P(X, У)
дли любых х, y?lp- Зададим е>0и выберем e/3-сеть
дли М: {zv ... , zm}<=M. Тогда для любого х?М най-
133
дется z. такой, что р(х, г. )<s/3, и будем иметь
p(Rnx, О) = р(л;, Snx)]^p(x, z.J + p (г^, Snx) ^
<^f\(v V \ \ nil ? 7 \J_Af? Г Q лЛ . .
5^ р 1Л, С. I -f- р 1л. , ^Э^л* I -р р 1Огг?. , ОуэЛ! —
*о 'о 'в 'в
= р (х, z.) + p (Snztt, Snx) + р (/?„г/§, 0) <
<2р(л;, ztf) + р(/?„, z,t, 0)<B/3)8+ p(Rn2(e, 0).
Поскольку р(/?пг( , 0)->0 при п-*-оо, то найдется /г0 та-
такое, что p(Rnzt , 0)<е./3 при п>п„ и всех i — 1, 2, ...
... , m. Тогда p(Rnx, 0)<e для всех х?М.
Достаточность. Пусть условия теоремы выполнены. j
Докажем для заданного е > 0 существование конечной s - ]
сети для М. Выберем п0 так, что
Р (?„.*, 0) =
ft--rt0 f I
для всех х?М. Рассмотрим конечное множество Мг с: lpt
Mi--= \у --- (У, УПа, 0, ... ); у, = k6,
Покажем, что Мг является s-сетью для М. Для х?М вы-
выберем t/ = (Г-^-1 б r^t-1 6, 0, ... \tMlt где
1л;] — целая часть числа х. Тогда
б —
+
По теореме Хаусдорфа М предкомпактно. И
4. Пространство Lp\0, 1].
Определе1гие 3. "МтГожество УИ с: L,, |0, 1], 1^
^р-оо, называется равностепенно непрерывным в
среднем, если для любого й>0 существует б>0 такое,
что для |s[<6 и для любой функции х?М выполняется
i
134
Теорема 6 (М. Рисе). Множество MczLp[0, 1], 1 <
«, />• -\ оо, является предкомпактным тогда и только
тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно
и среднем, т. е. выполнены условия;
1) существует постоянная С такая, что ( \x(t)\" dt ^.C"
о
для каждого х?М\
2) для любого е >¦ 0 существует б > 0 такое, что при
0<s<6
— x(i)\pdt<zp
для всех функций х семейства М.
Достаточность. Пусть множество М с= Lp [0, 1] рав-
равностепенно непрерывно в среднем и ограничено в Lp [0, 1].
Рассмотрим средние по Стеклову xh (t) для х ? М. Имеем
l/p
t-h
2/i
, i+h
4p
\x(%)\pdt)
I/p
X
J_
2ft
t+s+h
2/i
x (t) dx —
i+s—h
t+h
Л
t+h
I
JL
/pfi»
1/p
t—h
<
(
<
1/p
Значит, \Xh @1
%еA/2ЛI'р, т. е.
1 /p и при |s| < 6 \xh {t+s)~xh(t)\^
семейство (xh) при фиксированном h
135
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. По
теореме Арцела — Асколи у любой последовательности функ-
функций этого семейства существует равномерно сходящаяся
подпоследовательность. Эта подпоследовательность сходит-
сходится также в Lp [0, 1], т. е. семейство (xh) предкомпактно
в Lp [0, 1]. В силу оценки E) из § 20 получаем, что если
0<й<6, то Ц* — *ft||p<e. Это значит, что предкомпакт-
ное семейство (xh) является к-сетыо для множества М. Со-
Согласно следствию теоремы Хаусдорфа (§ 23), множество М
предкомпактно.
Необходимость. Пусть М — и редком пак гное множество
в Lp [0, 1]. Всякое предкомпактное множество ограничено
и, следовательно, выполнено условие 1). Возьмем s > 0 и
построим конечную е/3-сеть {ух, у2, ... , уп} для множест-
множества М. Выберем б>0 так, чтобы для |s|<6 выполнялось
]\Ук (t + s) — Uh {t)\\P <в/3. Возьмем произвольную функцию
х?М. Пусть yh —такая функция, что ||*— yh || <! s/3.
Тогда если |s| < б, то получаем
||* (t + s)-x (Ollp < II* (t + s) - Ука {t + s)\\p +
¦1- \\yha (t + s)-a
<e/3 + E/3 |-e/3 = s,
что означает выполнение условия 2) для множества М. D
Замечание. Аналогичная теорема справедлива в пространстве
Lp (Й), где Q — ограниченная область в R".
Глава IV
НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 25. Нормированные пространства
С этой главы мы наминаем изучение пространств, од-
одновременно являющихся векторными и метрическими, и
тем самым переходим к рассмотрению одного из основ-
основных объектов функционального анализа.
Напомним определение векторного пространства.
Определение I. Векторным пространством над
полем К. называется множество X, для которого заданы
два отображения:
а) X А X Э (*, у) ->¦ * + У 6 X (сложение);
б) К X Х^(К х)->-Хх?Х (умножение на число),
причем выполняются следующие аксиомы.
136
I. X является абелевой группой относительно сложения,
т. с. 1) х Ч- (у + г) - (х + у) + г; 2) х+ у = у + ж; 3) су-
существует элемент 0?Х такой, что для любого х х+0—х;
4) для любого х?Х существует элемент —х такой, что
х -|- (_*) = о.
II. Для любых X, у,?К их, у?Х справедливы равен-
стиа: 1) X(цх) ¦= (Щх; 2) Ьх = х; 3) X(х + у) = Кх+Ху;
А) (К + И-) * " ^ + pjf.
Точки векторного пространства называются вектора-
векторами. В дальнейшем будем рассматривать векторные про-
пространства только над полями R и С. Любое векторное
пространство над полем С является векторным прост-
пространством над полем R.
Большинство утверждений, полученных ниже, спра-
справедливы для векторных пространств над полем R и над
полем С, хотя доказательства будем проводить в основ-
основном для случая R.
Примеры.
1. Пространство Rn с покоординатными операциями
сложения и умножения на число — векторное простран-
пространство над полем R.
2. Пространство С™ с покоординатными операция-
операциями — векторное пространство над полем С. Заметим, что
Сп можно рассматривать и как векторное пространство
над полем R.
3. Пусть Т — произвольное множество. Множество
8Г(Т) всех функций, определенных на Т, со значениями
в R является векторным пространством над R с естест-
естественными операциями сложения и умножения на число:
(x+y)(t) = x(t) + y(t), (Kx)(t)=Xx(t).
Определение 2. Подмножество L векторного
пространства называемся векторным подпространством,
если оно замкнуто относительно операций сложения и
умножения на скаляр, т. е. если x?L, y?L, Хв.К, то х+
I
Векторное подпространство само является векторным
пространством. Рассматриваемые в дальнейшем в ка-
качестве примеров векторные пространства обычно заданы
как подмножества пространства всех функций на каком-
нибудь, множестве. Поэтому для проверки аксиом век-
векторного пространства достаточно проверить замкну-
замкнутость этих множеств относительно алгебраических опе-
операций.
Примеры.
1. С[0, 1] —пространство непрерывных функций, за-
137
данных на отрезке [0, 1] со значением в R (или С),—
векторное пространство над полем R (или С).
2, S'piT, ц) — пространство измеримых на Т инте-
интегрируемых в степени р функций со значением в R (или
С) — векторное пространство над R (или С).
3. Множество всех периодических функций (с разны-
разными периодами) на R и со значением в R не является
векторным пространством над R, так как сумма двух
периодических функций sin / и sin nt не является перио-
периодической функцией.
Определение 3. Множество В в векторном про-
пространстве X называется линейно независимым, если для
любого конечного набора хг, х2, . .., хп элементов из В
равенство ^i%ixl = Q возможно только при Хь = 0.
i—\
Определение 4. Множество ВсХ называется ал-
алгебраическим базисом векторного пространства X, если В
линейно независимо и для любого х ? X существует конеч-
конечный набор xv х2, ..., хп элементов из В такой, что х =
я
г —1
Предложение 1. В любом векторном пространстве
X существует алгебраический базис.
Доказательство. Рассмотрим множество М всех
линейно независимых подмножеств из X. На М зададим
отношение порядка по включению. Пусть Мо—линейно упо-
упорядоченное подмножество в М. Тогда множество в X вида
Во — U В является также линейно независимым и мажари-
рует каждый элемент из Мо, т. е. является верхней гранью
для Мо. Значит, в упорядоченном множестве М выполнены
условия леммы Цорна и в М существует максимальное ли-
линейно независимое множество, которое и является базисом в X.
Определение 5. Пространство X называется
конечномерным (п-мерным), если в нем существует ко-
конечный базис (базис из п элементов), и называется бес-
конечномерным в противном случае. Размерность прост-
ранства X будем обозначать dim X.
Типичные для функционального анализа векторные про-
странства, такие, например, как С |0, 1|, ?р[0, 1], lp,
бесконечномерны. Бесконечными линейно независимыми сие-
темами векторов в пространствах С|0, 1] и Lp[0, 1] явля-
ются {ih}, k — 0, 1, ..., а в 1Р—векторы {eh}, где eh —
-@, ..., 1, 0, ...).
ft
138
Определение 6. Пусть Xj и Х2—векторные про-
i)f|MlMCTBa. Их прямой суммой называется пространство
в покоординатными операциями сложения и умножения
ill ЧИСЛО.
Определение 7. Пусть X — векторное простран-
пространство, Х\ и Х2 — его подпространства. Говорят, что про-
пространство X разлагается в прямую сумму своих подпро-
подпространств Xi и Х2, если каждый элемент хпХ представля-
мтеи, и притом единственным образом, в виде х=х\ + х2,
да ххпХи х2?Х2.
Пусть L — векторное подпространство векторного
пространства X. Введем в X отношение эквивалентно-
эквивалентности: х~у, если х—увЬ. Множество X распадается на не-
непересекающиеся классы эквивалентных между собой
элементов. В множестве классов эквивалентности, кото-
которое обозначается X/L, вводятся операции сложения и
умножения на число [х] + [у] = [х+у], Х[х]=[кх]. Здесь
[х] — класс, содержащий элемент х.
Упражнение 1. Проверить, что операции введе-
введены корректно и множество X/L удовлетворяет аксиомам
векторного пространства.
Построенное векторное пространство X/L называется
фактор-пространством пространства X по подпростран-
подпространству L.
Пример. Пространство Lp(Т, ц). Пусть^р(Г, ц)—
множество измеримых функций, р-е степени которых сум-
суммируемы. В нем функции, почти всюду равные 1гулю, об-
образуют векторное подпространство Af. Фактор-пространство
l?v{T, \i)lN есть пространство LP(T, |л).
Определение 8. Пусть А — подмножество век-
векторного пространства X. Наименьшее векторное подпро-
подпространство в X, содержащее А, называется векторным/"""
подпространством, порожденным множеством А, и обо-Д^
значается L(A), т. е. L(A)^A, и если Х\ — векторное^
подпространство в X такое, что Х|ГэЛ, то Х\^эЬ(А).
Очевидно, что L(A) есть пересечение всех векторных
подпространств в X, содержащих А.
Упражнение 2. Показать, что L{A) есть множество
конечных линейных комбинаций элементов из А, т. е. L (Л)=
i
Для векторных пространств вводится понятие нормы,
обобщающее понятие длины вектора.
139
Определение 9.(Нормда)на векторном пространстве
X называется отображение из X в R (X Э *-HWI € R). удов-
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1 ||>0 ||Ц О О
2. ||М1 №1
3- ||* + */|КЛМ1 + Hi/11 (неравенство треугольника).
Нормированным векторным пространством называ-
называется векторное пространство с заданной на нем нормой.
В любом нррмнрованном пространстве формула
р(х, у) = \\х—у\\ определяет метрику. Действительно:
1) если р(х, у) --- 0, т. е. ||x--//|| - 0, то х -=¦ у;
2) р (х, у) = \\х ~- у\\ - \\у — х\\ ----- р (у, х);
3) P(*,y) = ||*-0ll=||(*-z) + (z-0)||<||*-z|| +
+ 11 г — у || <р(дс, 2) + р[г,у).
Введенная по формуле р (х, у) — \\х — у\\ метрика обла-
обладает двумя дополнительными свойствами:
1) р (л:, у) = p(x-\-z, у + г) — инвариантность относи-
относительно сдвига;
2) р(кх, Ку) — \Х\р(х, у) — положительная однород-
однородность.
Упражнение 3. Проверить, что если в вектор-
векторном пространстве X задана метрика, обладающая свой-
свойствами 1) и 2), то функция р(х, 0) есть норма на X и эта
норма порождает исходную метрику.
Примеры.
1. С[0, 1] —нормированное пространство с нормой
||*||= max
2. ЬР(Т, ц) — нормированное пространство с нормой
3. tp—нормированное пространство с нормой
Метрики, заданные в этих пространствах (см. § 14), об-
обладают свойствами 1), 2) и порождаются указанными
нормами.
4. Метрика в векторном пространстве s (см. § 14)
обладает свойством 1), но не обладает свойством 2) и,
значит, не порождается нормой.
5. Пусть С°°[0, 1] :—векторное пространство беско-
140
HiMHu дифференцируемых функций на [О, 1]. Метрика,
ИДйнная формулой
max \xw(t) — yik){t)\
VI 1
pi
/ > VT* 1 0<<<1
+max
гикжс нс обладает свойством 2) и поэтому не порожда-
ртси никакой нормой.
Поскольку всякая норма задает метрику, то в нор-
нормированном пространстве естественным образом опре-
определяются сходимость, непрерывность, полнота и другие
топологические и связанные с расстоянием понятия.
Алгебраические операции являются отображениями
XXX в X и КХХ в X. Поэтому естественно выяснить
ионрос об их непрерывности относительно заданной
нормы.
Теорема 1. Сложение и умножение на число в норми-
нормированном пространстве непрерывны.
Доказательство. Пусть хп->х0, уп^~у0 в X и
Кп-уХ0 в К- Тогда
Н*п + Уп — I*. + Уо)\\ < 11*п — *oll + \\Уп~ Уо1К0,
т. е. хп + уп-+х0 + у0.
Аналогично
<\К\ \\хп — хо\\ + \К — К\ !
т. е. Xnxn^-Vo-D
Замечание. Алгебраическая и топологическая структуры на-
мынаются согласованными, если алгебраические операции непрерыв-
непрерывны в заданной топологии. Теорема 1 утверждает, что для любой
нормы структура векторного пространства согласована с топологией,
порожденной нормой.
Могут существовать векторные пространства и мет-
метрики на них с несогласованными структурами.
Пример. В пространстве ff (R) всех функций на пря-
прямой R зададим метрику р{х, у) = mm{s\ip\x{t) —y{t)\, I}.
Сходимость в заданной метрике есть равномерная сходи-
сходимость на R. Тогда 1/п->0 в R, но последовательность
произведений {\jn)t не сходится в § (R), ибо р(?/я, 0) =
- min{sup|^/«|, 1} = 1.
tn
141
Отметим, что отображение сдвига Х$х-*-х + хо?Х в
нормированном пространстве X изометрично, удовлетворяет
условию Липшица с константой 1 и, значит, равномерно
непрерывно.
§ 26. Банаховы пространства
Определение 1. банаховым пространством на-
называется полное нормированное векторное пространство.
Примеры банаховых пространств.
1. Пространство С [0, 1] с нормой ||л;|| = max \x(t)\.
2. Пространство С(Т) непрерывных ^функций на ком-
компактном метрическом пространстве Т с нормой ||я|| —
= max 15c (fl|.
3. JC с любой из следующих норм:
^PodJ . P^l; IMIoo = max]^ft);
4. Lp(T, v) с нормой ||*||р= ($)x(b\pd\iy/p,
оо
5. 1Р с нормой ||х|| = B
6. С"[0, 1] с нормой ||jc|| ----= y.max\x{h)(i)\-
Чр
\x\i)\ a\ij
t
Py/P
Полнота этих пространств уже проверялась.
Укажем одно свойство, характеризующее банаховы про-
пространства в классе нормированных.
В нормированном пространстве X можно рассматривать
ряды 2 xin гДе xh?X. Ряд 2 xh называется сходящимся,
ft=-l h^\
п
если последовательность частных сумм Sn — j^xh сходит-
ся. Элемент S = limSn называется суммой ряда и обозна-
с» с»
чается S— 2-Yft- Вместе с рядом ^хк можем рассмотреть
142
числовой ряд2|1*й11> доставленный из норм элементов. Если
со
ряд, составленный из норм- 2 II хь II > сходится, то исход-
оо
Ьгый ряд 2dXh называют абсолютно сходящимся.
Для числовых рядов в математическом анализе доказы-
ОО ОО
кается, что если ряд 2 1ал1 сходится, то и ряд 2 ak cxo-
дится, т. е. абсолютно сходящийся ряд сходится.
В нормированных пространствах справедливо следующее
утверждение.
Теорема 1. Нормированное пространство является бана-
банаховым тогда и только тогда, когда в нем каждый абсолют-
абсолютно сходящийся ряд сходится.
Доказательство. Необходимость. Пусть X—бана-
со
хово пространство и пусть ряд 2llaftll сходится. Рассмот-
к=\
ОО
рим ряд 2а'с Проверим, что частные суммы этого ряда
Sn =J^ak образуют последовательность Коши. Действи-
h = \
тельно, если т>п, то
т т
l|Sm-Sn|| = || 2 flftH< 2 INI-^О, л, m-H-oo.
Так как пространство X полно, то ряд 2°а сходится
Кроме того, выполняется неравенство ||2а'< ||^2 HaftH> кото'
рое является обобщением неравенства треуголыгика для норм.
Достаточность. Пусть в нормированном пространстве
X любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Возьмем
произвольную последовательность Коши хп в X. Выберем
подпоследовательность хп так, что \\хп —хп ||<l/2ft.
оо
Тогда для ряда х +"У, (х — х ) ряд, составленный из
143
норм, сходится и, значит, сходится исходный ряд. Но для
этого ряда его частная сумма равна хп и, таким образом,
выделенная подпоследовательность хп сходится. Если у
последовательности Коши сходится подпоследовательность,
то сходится и сама последовательность. [. ,|
Если Хо — неполное нормированное пространство, то
но теореме 1 § 17 для него существует пополнение X.
Однако X еще не будет банаховым пространством, так
как пополнение (по конструкции теоремы) не является
векторным пространством. Его легко превратить в век-
векторное, задав операции следующим образом: пусть
ydX. Возьмем последовательности лгп6Х0> хп-^-х, и
уп-+У- Положим по определению
х + у = lim (хп + уп), "кх = lim kxn.
П-*-оо п-*-оо
Корректность введения операций и выполнения ак-
аксиом нормированного пространства можно либо прове-
проверить непосредственно, либо воспользоваться теоремами
о продолжении из § 18, в которых такая конструкция
применялась ранее. Таким образом, справедлива
Теорема 2. Для любого нормированного простран-
пространства Хо существует банахово пространство X, являющееся
пополнением Хо, причем Хо является векторным подпро-
подпространством в X.
Напомним, что пополнением метрического простран-
пространства Хо называется_полное метрическое пространство X
такое, что ХоСгХ и Хо=Х. Для нормированных прост-
пространств дополнительно требуется, чтобы X было вектор-
векторным пространством, а Хо — его векторным подпростран-
подпространством.
Примеры.
1. Пространство Lp[0, 1] является пополнением С [0, 1]
по норме
1
M\P=(\\x(t)\"dtLp.
о
2. В векторном пространстве С1 [0, 1], состоящем из
непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0, 1],
зададим норму
1 1
Ь [\x'(t)\dt.
о
Относительно этой нормы пространство непачно. Пока-
Покажем, что его пополнение можно естественно реализовать
как некоторое векторное подпространство в Lx[0, 1].
144
Пусть хп ? С1 [О, 1] — последовательность Коши относи-
относительно нормы H-IIJ. Так как ||я||} = IMIi + ||*'lli> то хп яв-
лиется последовательностью Коши в Lt [О, 1] и производные
jr' также образуют последовательность Коши в L, [0, 1],
Тик как Li [0, 1] полно, то существуют функции х0, уо?
( Lx [0, 1] такие, что хп-1х0, х'п-1-у0.
Определение 2. Функция у0?Ьг [О, 1 ] [называется
обобщенной производной функции xo^Lil0, 1], если суще-
ствует последовательность \хп ? С [0, 1] такая, что хп-*-
~>х0, х'п-*-у0. Обобщенную произюдную будем обозначать
как обычную х'о. Множество 'функций, имеющих обобщен-
обобщенную производную, обозначим через W\ [0, 1]. Это вектор-
Иое пространство. Норму введем по формуле ||л;||} = \\x\\x +
"Ill^'lli. понимая под х' обобщенную производную.
Множество С1 [0, 1] входит в W\ [0, 1] и является в
нем всюду плотным векторным подпространством. По
построению любая последовательность Коши, состоящая из
элементов С1 [0, 1], сходится в W\ [0, 1]. В силу леммы 2
§ 17 пространство W{ [0, 1] полно и, следовательно, явля-
является пополнением подпространства С110, 1].
Исследуем, какие функции принадлежат W\ [0, 1]. Для
непрерывно дифференцируемых функций на [0, 1] из фор-
формулы Ньютона—Лейбница получаем неравенство
t 1
\х (а)\ = \х (t) - j *' (т) dt\ < \х @1 + | \х' (т)| dx
а 0
и, интегрируя по t, неравенство
1 1
\x{a)\^\\x(t)\dt+l\x'{x)\dx. A)
о о
Пусть #o?Wi[0, 1]. [Возьмем [последовательность хп?
^СЧО, 1] такую, что \\х0 — ^п||} < -г5"-»-0. Применяя не-
неравенство A), получаем, что
max \хп (а) — хт (а)\ < f \xn (t) — хт (t)\ dt
sSasgl g
+
III Ник. 420 145
откуда следует, что последовательность хп (t) сходится равно-
равномерно. Переходя к пределу при /и-оо в равенстве
получаем
t
x0(t)~xo@)=\x'a(r)dx.
В частности, х0—абсолютно непрерывная функция (см. § 12).
Обратно, пусть х0—абсолютно непрерывная функция. Тогда
в силу теоремы Радона—Никодима (пример, с. 71) суще-
существует функция y{f)?Lx такая, что x{t) — §y(x)dx + г/@).
о
Для функции y(t) существует последовательность уп?
?С[0, 1] такая, что уп ->¦ у в Lx [0, 1]. Тогда для последова-
i
тельности xn{t) = ^ уп (т) dx + У@) выполняется условие
о
хп ->¦ х0, х'п (I) -*¦ у (t), т. е. функция ха имеет обобщенную
производную. Таким образом, пополнением пространства
С1 [0, 1] по норме ЦяЦ} = ||*|li + |pc'||i является множество
абсолютно непрерывных на [0, 1] функций.
Аналогичным образом определяется целый класс про-
пространств, называемых пространствами Соболева.
Пусть Q — ограниченная область в R". На векторном
пространстве С" (Q), состоящем из функций, имеющих не-
непрерывные на Ti частные производные до порядка т вклю-
включительно, зададим норму
Пополнение пространства Ст (Q) по этой норме называется
пространством Соболева и обозначается Wpm(Q). Рассуждая,
как и в случае пространства W\ [0, 1], можно Wpm{Q) реа-
реализовать как множество функций ю L,, (Q), имеющих обоб-
обобщенные производные из пространства LP(Q) до порядка т
включительно. Заметим, что в отличие от рассмотренного
выше случая Wj [О, 1] при п>\ функции, имеющие обоб-
обобщенные производные, могут быть разрывными.
146
Примеры. ¦
1. Пусть Q— куб
где ||*_т|| = Wi—TiJ+(/2— т2J+(/3— т3J-
Функция ф (t) разрывна в точке т. Покажем, что она имеет
обобщенную производную, которая почти всюду совпадает
с обычной. Пусть %п — такая последовательность непрерыв-
непрерывно дифференцируемых функций на R, что %п(%) = 1/1. если
111>1/« и ЬСЙЖ1^2' например
Тогда
в Lx(Q) и
в Lj (Q) в силу теоремы Лебега о мажорированной сходи-
сходимости, т. е. функция ф имеет обобщенную производную.
2. Пусть Q = ]0, 1 [х] 0,1 [X] 0,1 [crR3 и {rh}~счетное
всюду плотное множество в Q (например, {rh} — множество
точек с рациональными координатами). Рассмотрим ряд
ОС
2 2~\р (/ — г,,), где функция ф из примера 1. Согласно
ii. =i
¦геореме Б. Леви, этот ряд почти всюду сходится в Q к ин-
интегрируемой функции f(t). Так как ряд, составленный из
производных, также сходится в L1(Q), то f(t) имеет обоб-
щенную производную —— = 2л ~ж -^Г~ 7, й ' Од"
t 2 dt VII* ll/
2л ж ^Г 7,й
otm ft=1 2 dtm VII* — '¦fell/
пако функция f(t) разрывна в каждой точке множества Q.
Векторное подпространство нормированного прост-
пространства само является нормированным. Но векторное
подпространство банахова пространства может не быть
замкнутым и тогда не является полным. Например, век-
векторное подпространство Р@, 1)с=С[0, 1], состоящее из
многочленов, незамкнуто в С[0, 1].
Определение 3. Подпространством банахова
пространства X называется замкнутое векторное подпро-
подпространство в X.
Пример. Множество функций С010, 1 ] — {х | х ? С [0, 1],
х@) — хA) — 0} является подпространством банахова прос-
пространства С[0, 1] с нормой || я || — max |a:@I-
о <t<\
147
Заметим, что если L — векторное ¦ подпространство нор-
нормированного пространства X и L Ф X, то L не содержит
внутренних точек. Действительно, пусть хв ? L и х1 (? L, тог-
тогда точки вида уп — лг0 И хх попадают в любую ок-
п
рестность точки х0, но yn$;.L. Значит, х0 не является вну-
внутренней точкой для L. В частности, некторное подпростран-
подпространство, отличное от всего пространства, не может быть откры-
открытым множеством.
Если X — нормированное пространство и L — его замк-
замкнутое векторное подпространство, то на фактор-пространстве
X/L задается норма || [х] || == inf ||x + /||.
let
Упражнение 1. Проверить выполнение аксиом
нормы.
Упражнение 2. Доказать, что если пространст-
пространство X банахово, то и фактор-пространство со введенной
нормой банахово.
Пусть X—нормированное пространство, Xi— его
замкнутое векторное подпространство. Замкнутое век-
векторное подпространство Х2 называется дополнением к Х\,
если пространство X разлагается в прямую сумму под-
подпространств Xi и Х2, т. е. любой элемент *6Х представ-
представляется, и притом единственным образом, в виде х=Х\ +
+ хг, где Х\ёхи лггбХг.
Несколько неожиданным является тот факт, что не
для любого подпространства в банаховом пространстве
существует дополнение. Например, в пространстве /«>
подпространство с0, состоящее, из последовательностей,
стремящихся к нулю, не имеет дополнения. Доказатель-
Доказательство этого утверждения довольно сложно, и мы его опу-
скгшл* , . и^.
{Базисом Шацдера\в банаховом пространстве X называ-
ется последовательность элементов elt e2, • • ¦ из X такая,
что любой вектор х ? X разлагается, и притом единственным
образом, в ряд V С*ек, сходящийся по норме
1 h=\
— л: || —*- 0, и коэффициенты разложения непрерывно зави-
зависят от х.
Если в банаховом пространстве X существует базис Шау-
дера, то это пространство сепарабелыю, так как конечные ли-
линейные комбинации ZCheh с рациональными коэффициентами
образуют счетное всюду плотное множество. Примером
зиса Шаудера служит полная ортонормированная системг
148
гильбертовом пространстве. В пространствах Lp[0, 1], С[0,
и многих других построены базисы Шаудера. Рассмотрим,
например, пространство С [0, 1]. Такие «хорошие» системы
функций, как степенная 1, /, t2, ts, ... и тригонометричес-
тригонометрическая 1, sin 2nkt, cos2jr&/, k — 1, 2, .... не являются ба-
ипсами в С [0, 1], так как не любая непрерывная функция
рнмагается в степенной ряд и не для любой непрерывной
функции ряд Фурье сходится равномерно. Впервые базис в
пространстве С [0, 1] был построен Шаудером. Этот базис
имеет следующий вид: eo(t) — t, e1(t) =1 —t. Для записи
остальных функций базиса более удобна нумерация двумя
целыми индексами л «= 1, 2, ... , k = 0, 1, ..., 2п~1 — 1:
2»*-2* 2k <t< 2k+l
— 2" t + 2k +2,
2^
О для остальных t.
При разложении по этому базису частные суммы ря-
ряда являются естественными аппроксимациями функции
х кусочно линейными непрерывными функциями.
Известная проблема базиса заключалась в том, что-
чтобы выяснить, существует ли базис Шаудера в произволь-
произвольном сепарабельном банаховом пространстве. Шведским
математиком П. Энфло в 1972 году был построен пример
сспарабельного банахова пространства, в котором нет
базиса.
$ 27. Линейные операторы в нормированных
пространствах
Среди отображений нормированных пространств вы-
выделяется класс линейных отображений, сохраняющих
структуру векторного пространства.
Определение 1. Пусть Xi и Х2 — векторные
пространства над одним и тем же полем К. Отображе-
Отображение А : Xi-*-X2 называется линейным отображением, или
линейным оператором,, если
~ 1) А (х + У) = Ах + Ау, х, y?Xi (аддитивность);
2) А (Хх) = Ых, х ? Xv Я ? К[ (однородность).
Для произвольного отображения /: Xi-+X2 нормиро-
пмпных или метрических пространств следующие свой-
ииа различны и каждое последующее влечет предыду-
предыдущее:
149
1) / непрерывно в точке Хо;
2) / непрерывно в каждой точке х;
3) / равномерно непрерывно;
4) / удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует
постоянная с > 0 такая, что || / {хг) — / (х2) || ^ с || хх — х21[
для любых хх, х2?Х1;
Определение 2. Линейный оператор A:Xi-+• Х2, где
Xi я Х2 — нормированные пространства, называется огра-
ограниченным, если существует постоянная с>0 такая, что
Для всех х?Хг выполняется неравенство ограниченности
Для х = 0 это неравенство всегда выполняется, поэтому
его надо проверять для хфО.
Пример 1. Пусть А : R" ->- Rm —линейный оператор. В
R" зададим норму ||л;||«,=тах|.*й|. Пусть ev е2,...,еп —
h n
стандартный базис в R, х = 2 хкен, XhQR, тогда Ах ==
h=\
п
= \ хкАвк- Оценим норму
Таким образом, произвольный линейный оператор из
R". в цт ограничен. Как будет показано в конце пара-
параграфа, операторы в бесконечномерных нормированных
пространствах могут быть неограниченными. Однако и
в бесконечномерных нормированных пространствах ли-
линейные операторы обладают дополнительными свойст-
свойствами но сравнению с произвольными отображениями.
Теорема 1. Пусть Х\ и Хг — нормированные простран-
пространства, А : Xi~^X2 — линейный оператор. Следующие свой-
свойства оператора эквивалентны:
1) А непрерывен в точке 0;
2) А непрерывен в любой точке;
3) А равномерно непрерывен;
4) А ограничен.
Доказательство. Так как импликации 4) => 3)=>2)=s».
=> 1) справедливы для любого отображения, то для дока-
доказательства теоремы достаточно проверить, что из 1) следу-
150
от 4). Пусть оператор А непрерывен в точке 0. Тогда для
к — 1 существует б>0 такое, что из неравенства Цх|| ^
«,* 6 следует ||Ах||^1. Возьмем произвольное х, хфО, и
построим л-'== х. Так как ||л:'||^б, то имеем ЦАх'Ц^
б 2
<1, т. е. ||Лдс|К1, /.' ^4л: /,' ^^ •. Таким образом,
2|||| б||||
^
ля ¦
^ I
и Щ
|||| ||||
неравенство ограниченности выполнено с постоянной 2/6. Z\
Определение 3. Линейным функционалом на
нокторном пространстве-над полем Д называется линей-
иое отображение f : Х-*-К.
Таким образом, линейный функционал является част-
частным случаем линейного оператора. Ограниченный ли-
линейный функционал является частным случаем ограни-
ограниченного оператора.
Неравенство ограниченности ||Лл;[|^С||лс|| запишем в
ииде
или, обозначив х0 — х/\\ х ||, будем иметь
Таким образом, наименьшая из констант С в неравенстве
ограниченности есть точная верхняя грань множества
{||Л*/|И1Н= 1}. т. е. minC= sup ||Ак||.
||хМ=1
Введем норму ограниченного оператора
|| А || = sup || Ах ||.
Таким образом, по определению норма оператора А есть
наименьшая из постоянных С>0, при которых справедли-
ио неравенство ограниченности.
Пример 2. В пространстве С [а, Ь] с нормой \\x\\ =
»» max | .v (t) | рассмотрим линейный интегральный опе-
ратор с непрерывным ядром К {t, s)
h
Ax{t)= j K(t, s)x(s)ds. A)
Замечание. Запись Ax(t) следует понимать только следую-
следующим образом: к функции х применен оператор А и вычисляется зна-
значение новой функции Ах в точке t. Вариант прочтения Л[дгС01
Не нмост смысла, ибо x(t) — число, а оператор применяется к
функции и его образ может зависеть че только от значения х в точ-
точки /, но и от значений в других точках.
151
Теорема 2. Формула A) определяет линейный ограничен-
ограниченный оператор в пространстве С {а, Ь], причем ||Л|| =
= max f | К (t, s) | ds.
a
Доказательство. Для любой непрерывной
функции x(t) Ax(t) есть непрерывная функция от t (как
интеграл, зависящий от параметра с непрерывной под-
подынтегральной функцией). Проверим линейность опера-
оператора А:
А (хх + х2) @ - j K{t, s){Xl(s)+x2(s)] ds^-^K(t, s)Xl (s)ds +
a a
b ¦
+ j K{t, s) x2 (s) ds = AxY (t) + Ax2(t),
a
т. e. A (xx + x2) = Axt + Ax2. Аналогично проверяется
однородность.
Проверим ограниченность оператора А:
»
|| Ах || = max | Лх@1 max | Г Щ, s)x(s) ds\ <
max \x(s)\ = C||jc||,
где
ь
C= max Г \K{t, s)\ds.
Покажем, что найденная постоянная С в неравенс. -
ограниченности наименьшая. Для этого нужно для npoHbi."
льного е>0 указать функцию х?С\а, Ь], \\x\\ = 1 такую
что || Ах || > С — е. По теореме Вейерштрасса существуем
ь
точка t0 ? [а, Ь] такая, что С = f | К (t0, s) \ ds. Если взяъ.-
а
х0 (s) = sign К (t0, s), то получим
J/((*„, s)xo(s)ds= f \K(t0, s)|ds = C.
a a
Если К (t0, s) не меняет знака, то х0 (s) — непрерывная
функция и || АхA1| = С, т. е. С — наименьшая константе
Если же х0 (s) — разрывная функция, то, вообще говори
может не существовать функции х?С[а, Ь] такой, чте
152
|| Ах|| — С, flxfl = 1 (точная верхняя грань не достигает-
уи). Если xh (s) — средние по Стеклову функции xo(s) (§ 19),
то II х II <~С" 1 и
6 Ь
|| Л || > lim| Г К (to, s)xh(s)ds\= \ \ К {to,s)\ds = С.п
а а
Требование непрерывности функции К (t, s) в теореме 2
излишне. В следующей теореме оно заменено более слабым
условием.
Теорема 3. Пусть функция К (t, s) задана для всех
(/, s)?/ х /, / = [а, Ь], измерима и удовлетворяет усло-
иннм:
ъ
1) существует С>0 такое, что [\K{t, s)\ds^.C для
а
Любого t;
ь
2) для любого Ъ?[а, b] f [K(t, s) — K(tu s)|ds->0
a
при t-t-ti. Тогда интегральный оператор А с ядром K(t, s)
b
ограничен в пространстве С [а, Ь\ и || Д1!^ sup [\ К (t, s)\ds.
a
Доказательство. Проверим, что для любой непре-
непрерывной функции x Ах есть непрерывная функция. Возьмем
('i > 0 и по нему найдем б > 0 такое, что для | tx *|6
имеем
»
| Ах @ - Ах (*01 = | j" [К (t, s)-K (tlt s)]x(s)ds|<
a
/((/, s)-K(flt s)|ds||
Проверим ограниченность оператора А:
ь
|| Ах || = max | f /((*, s)x(s) ds |< sup Г
Тем самым теорема доказана. ?
Важным примером интегральных операторов явля-
являются операторы со слабополярным ядром.
Определение 4. Ядро K(t, s), t, sG[a, b], назы-
иается полярным, если оно может быть записано в виде
I
K{t, s) =
153
где Ko(t, s) — непрерывная (следовательно, ограничен-
ограниченная) функция. Ядро называется слабополярным, если
01
у<1.
Полярное ядро, вообще говоря, имеет разрыв (осо-
(особенность) на диагонали t = s. Покажем, что интеграль-
интегральный оператор со слабополярным ядром удовлетворяет
условиям теоремы 3:
ds
. «с
b—a
<h
*
* — S V
ds < /x + /2, где
max \K0{t, s) —
<<6
1
1
ds.
Для б > 0 получаем /2 = /3 + Л + ^5. гДе
при
, С— max J/Co(^7 s)|,
1-Y
при в->0.
Если | / — <i | < 6, то в силу непрерывности подынтегра-
подынтегральной функции
1
1
ds
при
Рассмотрим интегральные операторы в пространстве
)
154
Теорема 4. Пусть (Т, ц)—пространство с мерой, Kit
и меримая функция на Т х Т и существует интеграл
J
Интегральный оператор А с ядром /С(^, s) вида
B)
ограничен в пространстве L2 (Г, \к) и || А || ^ М.
Доказательство. В силу неравенства Коши—Бу-
пяковского интеграл в B) существует почти для всех t.
Пусть y(t) = Ax{t). Тогда
J
г
Интегрируя по ^, получаем
J |У(О12^ <М2 f | * (s) |» d|i.,
т т
т. е. y?L2{T, (д.) и выполнено неравенство ограниченности
|| Ах || ^ М || д; || с постоянной М. О
Пример 3. Оператор умножения на непрерывную
функцию в С [а, Ь\. Пусть d?C[a, b], рассмотрим оператор
Vx(t) = d{t)x{t).
Теорема 5. D — линейный ограниченный оператор в
С |a, b] и || D ||= max \d(t)\.
a<t<b
Доказательство. Проверим линейность и ограни-
ограниченность оператора D:
D (х, + х2) @ = d @ [Xl (t) + x2 @1 = DXl @ + Dx2 @;
D (Ajc) @ = d@ [Л. x @1 = A. Da; @;
||/)x||=- max |d@*@K max ld @1 max \xlt)\=* max
Для д;@=^ 1 получаем ||Dx|| = max |d@l» т. е. полу-
a<t^b
чинная оценка наилучшая и ||D||= max |d@l = IHllcra ьл
В частности, оператор умножения на число к имеет нор-
Пример 4. Оператор замены переменной (подстановки).
Пусть а — непрерывное отображение отрезка [0, 1] в
155
себя. Рассмотрим отображение Та пространства С [0, 1] в
себя, заданное формулой
Та х ф = х [а @1.
Теорема 6. Та — линейный ограниченный оператор в
пространстве С [0, 1] и || Та || = 1.
Доказательство. Проверим линейность:
Та (*1 + Х2) @ = (*» + Х,Уш(а (/)) - X, |а @1 +
+ х,[«@] = Ta xx (t) + Tre x, @,
To (Я*) @ = (Xx) (a @) - U la (/)] - ХГа х ®.
Теперь докажем ограниченность:
|| Tax || = max | л: (a if)) | = max \x (т) | < max |х(т)| -1! x ||.
0</<l a«) 0<т<1
Таким образом, неравенство ограниченности выполнено
с постоянной С=1, причем для х(/)^1 имеем точное ра-
равенство. Следовательно, l|7a|| = l. D
Отображение А может оказаться заданным не на
всем пространстве X, а на его векторном подпростран-
подпространстве Da. В этом случае имеет смысл определение ли-
линейного оператора и возникает вопрос об ограниченности
или неограниченности этого оператора.
Пример 5. Рассмотрим оператор дифференцирования в
пространстве С [а, Ь]. Этот оператор определен на вектор-
векторном подпространстве, состоящем из непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций. Покажем, что оператор дифференциро-
дифференцирования в С [а, Ь\ есть линейный неограниченный оператор.
т ^ / _i_ \ — dxx , dx2 d ,. .__. dx
1ак как ——- (Xx -\- x2) — —— Н — , ——- (лх)~ л — ,
at at at at at
то оператор линеен. Рассмотрим последовательность
dt
xn{t) = sin/if, ||хпЦ<1,
dxn
= max | n cos nt \ = n
dt
и, значит, sup —. —+ 00.
n I) dt
Если линейный оператор задан иа всюду плотном век-
векторном подпространстве банахова пространства X и ограни-
ограничен, то по теореме о продолжении (§ 18) существует един-
единственное его продолжение на все X, причем продолжение
является линейным ограниченным оператором с той же
нормой.
156
{ 28. Критерий конечномерности
нормированного пространства. Эквивалентные нормы
Пусть на векторном пространстве X заданы две нор-
>1Ы||-||1И||.|12.
Определение 1. Две нормы на векторном про-
пространстве X называются эквивалентными, если сущест-
иуют постоянные С|>0 и с2 такие, что для любого х&Х
справедливы неравенства
Cill*lli<ll*ll.<c,||x||1. A)
Выделение эквивалентных норм вызвано тем, что
ишивалентные нормы порождают одинаковые тополо-
11Ш, одинаковые сходящиеся последовательности, оди-
iinновые последовательности Коши, одинаковые классы
ограниченных операторов, ограниченные множества,
тмкнутые множества, компактные и предкомпактные
множества.
п
Пример. В пространстве R" нормы |х|!р = CS \xh\p)'/р ,
й = 1
1г^р<оо, || лс ||ш —= max \xh\ эквивалентны между собой.
k
Действительно,
*11р-
h--=\
Таким образом, любая из норм ||д;||р эквивалентна ||х||оо
и, значит, \\х\\р и ||x||Pl эквивалентны.
Справедливо более сильное утверждение.
Теорема 1. В пространстве R" любые две нормы экви-
эквивалентны.
Доказательство. Пусть (ег, . . . , еп) — каноничес-
канонический базис в R". Каждый элемент х представляется в виде
п
xkek> где xft?R. Пусть на R" задана норма \\x\\.
Докажем, что эта норма эквивалентна норме |ре||»— max |хл|.
Действительно, k
2
й=1
157
Из полученной оценки вытекает, что || х || как функция на
R" с нормой || хИ» непрерывна. В самом деле, \\\х\\ —
-Il*'lll<ll*-x'll<cill*-*'ll-
Непрерывная функция f (х) — || х || на компактном мно-
множестве || х II» -- 1 достигает минимума. Так как f (x) > О
при хфО, то /(x)^d>0 для х таких, что ||jc||» — 1.
Тогда для произвольного хф О возьмем х — х'. Так
как ||^11,» = 1, то имеем ||х'||></, ||х||> d||x||», т. е.
для любого хфО справедливо ||х||<х> *^ \\x\\. И
d
Прежде чем переходить к следствиям теоремы 1, введем
Определение 2. Пусть X и Y—нормированные
пространства. Линейный биективный оператор / : X -»- Y та-
такой, что / и /~* ограничены, называется изоморфизмом. Два
нормированных пространства X и Y называются изоморф-
изоморфными, если существует изоморфизм f : X-*-Y.
По определению ограниченности линейного оператора /
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда сущест-
существует две константы ct>0 и с2>0 такие, что ||/(*)llv^
<ca||jc||x для всех х^Хи ||/"ЧУ) IU<ci 11У Ну Для всех
у ? Y. Последнее неравенство эквивалентно неравенству
II х Wx ^ ci II / (*) Ну Для всех х^Х. Таким образом, линей-
линейное биективное отображение является изоморфизмом тогда
и только тогда, когда существуют константы сг > 0 и с2>0
такие, что
11Л)«<1111<
Сопоставляя неравенства A) и B), видим, что отображение /
есть изоморфизм пространства X и Y, если нормы || х \\х и
II / (х) \\у — IIх II на -^ эквивалентны.
Перейдем к следствиям теоремы 1.
Следствие 1. Все конечномерные пространства оди-
одинаковой размерности изоморфны между собой.
Доказательство. Пусть X —д-мерноепространство
над R с нормой || х \\х и пусть (ех,..., еп) — базис в X.
Тогда каждый х?Х однозначно представим в виде х =
= "V xh eh, хь (;R. Это разложение определяет биективный
л=1
оператор J :Rn -*- X. Тогда р(хи х2,.. Д хп) =||Jr(x1, .. .
• • • . хп)\\х — норма на R" . Ввиду теоремы 1 и неравенст-
158
nil B), J — изоморфизм между R" с нормой || х \\ж и X
нормой \\х\\х. ?
Следствие 2. Конечномерное нормированное
пространство полно.
Доказательство. Пусть X — n-мерное норми-
нормированное пространство. В силу следствия 1 X изоморфно
R", которое полно. Следовательно, X полно.
Следствие 3. Конечномерное подпространство
нормированного пространства замкнуто.
Доказательство вытекает из следствия 2 и
общего факта, что полное подпространство метрическо-
метрического пространства замкнуто.
Аналогичные утверждения справедливы для конечно-
конечномерных пространств над полем С.
Пример. Покажем, что в бесконечномерном бана-
банаховом пространстве не может существовать счетного ал-
алгебраического базиса.
Действительно, предположим, что в бесконечномерном
банаховом пространстве X существует счетный алгебраи-
алгебраический базис (ev ev ..., еп,.. .)> т. е. каждый элемент
п(х)
представляется в виде конечной суммы х = V хквь. Рас-
смотрим последовательность конечномерных подпространств
ое чИ
Л=1
«И ** € R}
По определению алгебраического базиса X=[}Ln, по
доказанному подпространства Ln замкнуты. Отсюда по
следствию теоремы Бэра (см. § 16) хотя бы одно из
подпространств Ln имеет внутреннюю точку. Но вектор-
векторное подпространство, отличное от всего пространства,
не имеет внутренней точки (см. § 26). Получаем проти-
иоречие.
Прежде чем перейти к рассмотрению критерия конеч-
конечномерности нормированного пространства, докажем лем-
лемму, имеющую самостоятельное значение.
Лемма (о почти перпендикуляре). Пусть X — норми-
1юванное пространство, L — его замкнутое векторное под-
подпространство, ЬфХ. Тогда для любого е > 0 существует
точка u?X\L, ||и || = 1, такая, что || и — 11| ^& 1 — е для
любого / ?L.
Док азательство. Обозначим р{и, L) = inf p (и, I),
let
159
р(«, /) = ||ы —/||. Пусть uo?E, ao(f.L. Тогда p(«0, L) =
—¦ d >• 0. (Если d —' 0, то существует последовательность
ln?L такая, что р(м0, /п)->0, т. е. ln-*-u0. В силу зам-
замкнутости L получаем uo?L, что противоречит условию.)
Возьмем г1 >0 такое, что d -{•г1 ^ d /I — е, и выберем
10 ? L так, чтобы d ^ р (и0, Zo) ^ d + ei = d/( 1 — е)- Поло-
Положим ы -- —5 — . Тогда || и || — 1 и для любого / ? L
Н«о—У
р (и, I) = ||« — /
I Мп —
1
l«o—
Так как /0 -f /1| — 'о II € ^. то по определению d полу
чаем неравенство
1
р(ы, I) =
I "о — «о II
= 1 — е. О
1-е
Лемма имеет простой геометрический смысл. В слу
чае, когда Х—Ц2 — плоскость с евклидовой нормой ||-||
и L — прямая, проходящая через начало координат, с>
ществует вектор ы0 такой, что ||ыо11 = 1 и ||ыо—Л1^1. 3ti
есть перпендикуляр к L единичной длины. При други
нормах такого элемента (с е = 0) может не существовав
но есть элемент с близким свойством (почти перпенд!
куляр).
Понятие размерности (конечномерности, бесконечне
мерности) векторного пространства есть алгебраически
понятие. Покажем, что различие в размерности приводг
к существенному различию в топологических свойства:
Теорема 2 (Ф. Рисе). Нормированное пространств
конечномерно тогда и только, тогда, когда в нем едини1
ный шар предкомпактен.
Доказательство. Достаточность. Докажем, ч~
в бесконечномерном нормированном пространстве X едини
ный шар В не является предкомпактиым множеством. Ь
зьмем произвольную точку х± ? X, || хх || = 1. Постро!
одномерное подпространство LY -- {^х1\ К?К}- Для е — i
по лемме о почти перпендикуляре существует точ
х? X\ Lv ||х21| = 1 такая, что ||х2 — х\\^\ — 1/2 — i
160
/Щи любого x?Lv Построим двумерное пространство L2 —
- {Х|Х, + Л,2дс2/^1» ^г€^}- Это тоже замкнутое подпрост-
подпространство, и по той же лемме для б = 1/2 существует точка
Xt?X\L2, ||x8||--l, такая, что \\х3 — x||J>l/2 для любо-
любого x?L2. В частности, ||xs — х21| > 1/2, || xs — xx\\ > 1/2.
П|юдолжая далее этот процесс, на п-м шаге строим под-
подпространство Ln, порожденное точками хи хг, ... , хп, и
точку хп+1 такую, что ||xn+1|| --= 1 и ||xn+1 — хл||> 1/2
дли k ¦-- 1, 2, .. . , п. Так как пространство бесконечномер-
но, то Ln Ф X и процесс продолжается бесконечно.
11олучаем последовательность (хп) точек единичного шара
/i такую, что \\хп—хт\\~^\/2 при пфт. Из такой по-
последовательности нельзя выделить подпоследовательность
Коши, и, значит, шар В не является предкомпактным мно-
множеством.
Необходимость. Пусть X — n-мерное нормированное
пространство с нормой ||-||х- Согласно следствию 1 тео-
теоремы 1, X изоморфно R™ с нормой || - (|2- При изоморфиз-
изоморфизме нормированных пространств ограниченные множества
переходят в ограниченные, предкомпактные — в пред-
компактные. Поскольку в R" множество предкомпактно
тогда и только тогда, когда оно ограничено, такое же
утверждение справедливо в произвольном конечномер-
конечномерном пространстве. В частности, шар является ограничен-
ограниченным множеством и, следовательно, он предкомцактен.
Аналогичное рассуждение справедливо в случае прост-
пространств над полем С. ?
Упражнение 1. Доказать, что норма || х \\р -=
г- max \x(t)e~pt\ на пространстве С [О, 1] эквивалентна
I
норме || х || -- max \x(t)\ и что при достаточно большом р
интегральный оператор Вольтерра
t
Ax(t)= JK(*. s)x(s)ds
является сжимающим отображением, т. е. ||Л||<1, для
любого непрерывного ядра K(t, s).
§ 29. Гильбертовы пространства
При построении метрического пространства в качест-
ие аксиом принимаются свойства расстояния между
точками в евклидовом пространстве, при построении те-
теории нормированных пространств — свойства длины
II Зак. 420 161
Щ
вектора. При изучении евклидовых пространств широко
используется понятие угла между векторами, причем
вместо задания двух объектов — длины вектора и угла
между векторами — удобнее задавать скалярное произ-
произведение, через которое выражается длина вектора и угол.
Определение 1. Будем говорить, что на вектор-
векторном пространстве Я (над полем К) задано скалярное
произведение, если каждой паре элементов х, увН по-
поставлено в соответствие число (х, у)?К так, что выпол-
выполнены следующие аксиомы:
1) (хг + х2, */) = (*!, y)-\-(xt, у), (Кх, у) = К(х, у) (ли-
(линейность по первой переменной);
2) (*. У) ¦¦= (У' х) (эрмитовость);
3) (х, х) ^5 0, причем из (х, х) = 0 следует, что х = 0.
В случае векторного пространства Я над полем R ак-
аксиома 2) имеет вид (х, у) = (у, х).
Из 1) и 2) получаем свойство антилинейности по вто-
второй переменной:
(х, Хгуг + Х2у2) =\ (х, уi) + X (х, г/а).
Примеры.
1. В пространстве С" стандартное скалярное произведе-
произведение имеет вид
п
(X, у) = ^
где х = (х1г ..., хп), у = (yv ..., уп).
2. В пространстве R" стандартное скалярное произведе-
произведение имеет вид
п
(х, У) --= 2 хьУь-
Любое скалярное произведение в пространстве [R" имеет
вид
п
(х, у) = 2 ам*ъУ1>
где ahi — положительно определенная матрица.
3. В пространстве /2 зададим скалярное произведение
формулой
00
(х, у)^У^ xhjk. A)
162
IU неравенства | xhyh | < (| xk р + | yh р) получаем, что
ряд в A) сходится абсолютно. Свойства скалярного произ-
нсдения проверяем непосредственно.
4. В пространстве L2 [0, 1] зададим скалярное произве-
произведение формулой
(х, у) = \х (о y(t) at. B)
Существование интеграла доказано в § 20. Свойства ска-
скалярного произведения вытекают из свойств интеграла.
5. Формула B) задает скалярное произведение на
иекторном пространстве С [О, 1].
Конечномерное вещественное пространство со ска-
скалярным произведением называется евклидовым. Конеч-
Конечномерное комплексное пространство со скалярным про-
произведением называется унитарным пространством.
Определение 2. Векторное пространство со ска-
скалярным произведением называется предгильбертовым
пространством. Нормой элемента дгб/Г в прёдгильТГерто-
пом пространстве Н называется число IW|=y(x, x).
Лемма. В любом предгильбертовом пространстве
справедливо неравенство Коши—Буняковского
I (х, у) К II х || \-y\\. C)
Доказательство. Если х--0 либо г/- О, то не-
неравенство очевидно. Предположим, что у Ф 0, и построим
элемент г?# так, чтобы z — Ху и (х — 2, у) — 0, т. е.
(х — ку, у)=\0. Для этого возьмем X — (х, у)/(у, у).[По-
у).[Получим
0 <: (х — 7.у, х — ку) •-- (х — ку, х) — к (х — ку, у) —
--{х-'ку, х)« || х|р -X (у, х) = ||х|Р-|(х, y)\V\\y\\2,
откуда |(х, У) |< || х || || у ||
Предложение 1. Функция х->||х|| — (х, х)]/2 яв-
является нормой на предгильбертовом пространстве.
Доказательство. Проверим выполнение аксиом
нормы:
1) (х, хI/2 ^0, если (х, хI'2 = 0, то jc —'ft из аксио-
аксиомы 3) скалярного произведения;
2) (кх, кху/2--^(к-кУ/2(х, хI/2 = |Я|||х||;
3) || х + у IP = (х + У, х + у) = (х, х) + (х, у)+{у, х)+
, (У, у) - || х ||Ч-2 Re (х, у) + II 0112 < II * IIs-1-2II х || №|| +
1-11У l!2 = (II х || +|| у ||J.
II» 163
¦I
Таким образом, предгильбертово пространство явля-
является частным случаем нормированного пространства и
для него справедливы все теоремы, доказанные для нор-
нормированных пространств.
Предложение 2. В предгильбертовом прост-
пространстве справедливы: тождество параллелограмма
и тождество
ll* + f/H2-||*-y||2-4Re(*> y)
Доказательство проводим непосредственным
вычислением. Например,
||* + JM|2+|U — У\\2 = (х + У, х + у) + (х — у, х — у) =
= (х, х) + (у, х) + (х, у) + (у, у) + (х, х) — (у, х) —
-(х, у) + (у, у) = 2 (|| х |Р+ || у |Р).
Тождество параллелограмма является характеристиче-
характеристическим свойством нормы, порожденной скалярным произ-
произведением.
Упражнение. Доказать, что если норма норми-
нормированного пространства Н удовлетворяет тождеству па-
параллелограмма, то формула
(х, у) = -i- (|| х + у (|2 -1| х - у |Р + «|1х + iy |p-»||x-ty||»)
определяет на Н скалярное произведение, причем ||х|| =
= (х,хУ'2.
Определение 3. Векторное пространство со
скалярным произведением, полное относительно нормы
(х, хI'3, называется гильбертовым пространством.
Примеры. R", &., 72, 12 [0, 1] — гильбертовы про-
пространства. Пространство С [0, 1] со скалярным произведе-
1
нием (х, у) = [x(t)y(t)dt неполно по норме ||х|| =
о
1
=¦- ([ \х@ ? dt)i/2 и, следовательно, является неполным
о
предгильбертовым пространством.
Пусть #0 — предгильбертово пространство и Я — его
пополнение как нормированного пространства. Поскольку
скалярное произведение в силу неравенства Коши — Буня-
164
конского есть непрерывная функция и Но плотно в Я, то
«¦кшшрное произведение продолжается на все ЯхЯ по не-
непрерывности (см. § 18). Другими словами, если х, у?Н,
то найдутся (хп), (уп)?Н0 такие, что х — limxn, y=l\myn.
Тогда (х, у)н = lim (xn, уп)н.
П-+оо
Таким образом,справедлива
Теорема 1. Всякое предгильбертово пространство об-
обладает пополнением, являющимся гильбертовым прост-
пространством.
§ 30. Ортогональность. Теорема о проекции
Пусть Я — предгильбертово пространство.
Определение 1. Два вектора х, убЯ называют-
называются ортогональными, если (х, у) = 0.
Определение 2. Вектор дгбЯ называется ортого-
ортогональным к множеству М(=Н(х±М), если (х, z) = 0 для
любого zdM. Множество векторов, ортогональных мно-
множеству М, называется его ортогональным дополнением н
обозначается Мх.
Лемма 1. Ортогональное дополнение к любому мно-
множеству является замкнутым векторным подпространст-
иом в Я.
Доказательство. Для любого хбЯ обозначим
через Lx его ортогональное дополнение
Пели yv у2 € ?*. то (х, "кгух + Х2г/2) = 0, т. е. Lx — вектор-
векторное подпространство. Если yn?Lx и уп -*¦ у, то, переходя
к пределу в равенстве (х, уп) = 0, получаем (х, у) = 0,
т. е. y?Lx. Так как ML — Л Lx, то М1 есть пересече-
хем
пие замкнутых векторных подпространств и поэтому само
является замкнутым векторным подпространством. ;_1
Определение 3.. Набор векторов (bi) называет-
называется ортогональным, если любые два различных вектора
из этого набора ортогональны.
Определение 4. Система векторов (е^,еы назы-
называется ортонормировашюй, если
Понятие ортогональности лежит в основе одной из
дреинейших теорем.
165
Теорема 1 (Пифагор). Пусть xv ..., хп — ортогональ]
л
ный набор векторов из Н и х = V xh. Тогда
Доказательство. Непосредственным вычислением
получаем
п п п
I 1 '*•' | * ——-- 1 ^ ^ ^ J ' I ^^ ^v l> f ^r wV J | — "
k=\ (-Л ft/
Л Л
С понятием ортогональности связано понятие проек-
проекции вектора на подпространство.
Определение 5. Пусть L — векторное подпрост-
подпространство в предгильбертовом пространстве Н. Проекцией
вектора х на L называется вектор </GL такой, чт"о х~-=л[Т-С,
т. е. (х—у, /) = 0 для любого WL.
В отличие от конечномерного случая в бесконечно-
бесконечномерном пространстве со скалярным произведением мо-
может не существовать проекции вектора на векторное под-
подпространство.
Пример. Пусть Н = С [0, 1] со скалярным произве-
дением (х, у) = f x(t) y{t)dt. Множество ?f'[0, 1| функций,
являющихся многочленами, является векторным подпрост-
подпространством. Возьмем функцию x(t) — e'. Покажем, что не
существует проекции этой функции на векторное подпрост-
подпространство ?Р [0, 1|. Предположим, что такая проекция есть.
Другими словами, пусть существует многочлен y(t) такой,
что х — у ортогонально любому многочлену. Тогда, поло-
л
жив хп (t) — ^ thlk\, имеем (х — у, хп — у) —• 0. Перехо-
Переходя к пределу в последнем равенстве, почучаем || х -у||2 =
= 0, т. е. х = у. Так как с' не является многочленом, то
такое равенство невозможно. Значит, такого многочлена
y(t) не существует.
Дополнительные трзбоззния полноты пространства Н и
замкнутость подпространства L обеспечивают существова-
существование проекции.
166
В случае плоскости R2 утверждение из элементарной
ичшетрии «перпендикуляр короче наклонной» описыва-
описывает одно из важнейших свойств проекции \\х—г/Ц^Цх—/||
у\н любого ШЬ, т. е. проекция у является ближайшей к
v точкой подпространства L. Как показывает предыду-
предыдущий пример, векторное подпространство 5s [О, 1] не
имеет ближайшего элемента к точке е*.
Лемма 2. Пусть Н — гильбертово пространство,
LczH — его замкнутое векторное подпространство. Тогда
для любого ябЯ существует в L ближайший к х элемент
//0L, т. е. такой, что
Доказательство. Пусть d -- \r\l\\x — /1|. Если
чо d — О и х — у. Если х$Ь, то d> О (ибо L замкнуто в
//). По определению точной нижней грани существует по-
последовательность yn?L такая, чю \\х — yn\\~^d- Покажем,
что последовательность уп сходится к иско;иой точке. Ис-
Используя равенство параллелограмма, получаем
|| Уп - Ут II2 - II (X - Ут) - (Х~ Уп) ||2 = -|1 (* ~ Упд +
+ (х - Уп) I!2 +.2 \\х-уп |р +• 21| х - ут ||2 =
= 21| х- уп ||2 -г2\\х~ут |Р - 4 ||* - Уп-[^Ут |j2_
Отсюда, так как (уп + ут)/2 ? L, имеем || х — (уп +
+ «/m)/21|> d и, значит,
О < II Уп - Ут[\\2 < 2II х - уп ||2 + 2 || х- ут |р - Ad? ->
Таким образом, *г/п — последовательность Коши в полном
пространстве Н. Следовательно, она сходится к некото-
некоторой точке у ? Н. Тогда \\х — у || = lim || х — уп || — d. п
Л-*СХ)
Теорема 2 (о проекции). Пусть Н — гильбертово про-
пространство, L — его замкнутое векторное подпространст-
110. Для любого хвН существует, и притом единственная,
pro проекция на L.
Доказательство. Пусть х?Н. Если x?L, то у—х
является его проекцией. Пусть xQL. Тогда, согласно лем-
МВ, существует вектор у ?L такой, что || х — y\\ — d =
*»lnf||^—/||. Проверим, что вектор у является проекци-
167
ей. Возьмем произвольный элемент /?L и покажем, что
(х — у, I) — 0. По построению элемента у имеем для лю-
любого t?R и любого /?L ||л; — {у + Н)\р?*\\х — у\\2 = d2.
Обозначив х — у = z, получим
|| х — у — U ||2 = || z — U ||2 == d2 — 2t Re B, /) + i2 \\l II2 > d2.
Значит, для любого t ? R справедливо неравенство /21| I1|2—
— 2/ReB, 1)^0, что невозможно, если ReB, /)=й=0.
Аналогичное рассуждение с заменой / на it приводит к
тому, что число (г, I) имеет нулевую мнимую часть. Таким
образом, B, /) — 0. Докажем единственность проекции.
Если у1 — другая проекция, т. е. х — у + z и х = yY -|- zlt
где у, ух?L, 2, гг ? L1, тогда у — У1 ^ zx — z?
?LL. Поскольку у — yi?L, то (у — ух, у—г/х) = 0, зна-
значит, \\у — г/2|| = 0иу = ^. Q
Заметим, что из единственности проекции вытекает
единственность ближайшего элемента.
Следствие 1. Пусть L — замкнутое подпростран-
подпространство гильбертова пространства Н, U его ортогональ-
ортогональное дополнение. Тогда Н разлагается в прямую сумму
H = L®IA, т. е. любой вектор х&Н представляется, и
притом единственным образом, в виде х = у+г, где г/GL, ¦
гб/Л. В частности, в гильбертовом пространстве любое
замкнутое подпространство имеет дополнение.
В силу теоремы о проекции каждому xQH ставится в
соответствие его проекция y?L. Возникает отображение
PL : H*x-+yGL.
Упражнение. Проверить, что Pl — линейный
оператор.
Определение 6. Линейный оператор Pl'-H-^-L
называется ортогональным проектором на подпростран-
подпространство L.
Отметим некоторые свойства проектора Рь-
Следствие 2. Для ортогонального проектора PL
справедливы следующие свойства:
1) PLx = x, если x?L, и PLx = 0, если x?lM
2) PL — ограниченный оператор и ||.Р?|| — 1, если L Ф
3) P? = PL;
4) (Р,х, г) = (х, PLz), х, z?H.
Доказательство. Свойство 1) непосредственно
следует из определения проекции. Поскольку х — PLx -\-
+ {х — PLx) и PLx J_ (x — Р[Х), по теореме Пифагора
168
\\Plx\f + \\x-PLx\\z = \\x\\*. Отсюда ||PLx||<||x||, т. е.
/', ограниченный оператор и ||РД||^1. Если же x?L,
\ / О, то || PLx || = || х || и, значит, постоянную 1 нельзя
уменьшить, т. е. норма ||PL|| -- 1, и получаем свойство 2).
i гойстЕО 3) вытекает из свойства 1). Осталось доказать
i itni'iciBO 4). Для любых х, z?H справедливы разложения
л PLx -\- хъ г — PLz -f- 21; где xlf zx ? L1. Тогда имеем
(PLx, z) = (PLx, PLz + ty) = {PLx, PLz); (x, PLz) =
= (PLx + xlt PLz) = (PLx, PLz),
откуда получаем требуемое равенство 4).
Следствие 3. Для любого замкнутого векторного
подпространства L гильбертова пространства Я сущест-
иует ортогональный проектор на это подпространство,
г, е. оператор, обладающий свойствами 1)—4).
Замечание. В произвольном банаховом пространстве дока-
:шнная выше лемма 2, вообще говоря, не верна, т. е. для точки про-
пространства может существовать много ближайших элементов в замк-
замкнутом подпространстве, а может их вообще не оказаться. Приведем
гпответствующие примеры.
Примеры.
1. Возьмем пространство R2 с нормой || х|| = тахЦл^ |,
| х41} и выберем подпространство L =-- {(xlt 0)} и точку а--
A, 1). Тогда ||а —i/||-max{|l — г/J, 1} > 1 и
Inf ||а — у\\~\. Существует целый отрезок точек вида
{у (t, 0)|— 1 <*< 1} с= L таких, что \\х — у\\ =- 1.
2. В пространстве С [а, Ь] возьмем подпространство
/. {лг|л;(О)= 0} и точку *„(/)= 1. Тогда inf||x0— г/||=-1
и существует мною функций у таких, что y?L, \\хй—у\\ =
¦ 1. Это все функции y?L, 0^y(t)^2.
3. Пусть X — с0 — иространстро сходящихся к нулю
последовательностей с нормой || х || = sup | xk | и пусть L —
одмкнутое подпространство вида
ft=0
Покажем, что для любого x^L не существует y?L тако-
i и, что р (х, у) = р (х, L). Возьмем последовательность x$L
И </?/«• Пусть d = \\x — у\\ = max\xh — yh\. Построим по-
k
еледоинтельность у 6 L такую, что || х — у \ < d, и тем
169
самым покажем, что ближайшего элемента к х в подпро-
подпространстве L не существует. Так как Xi, — yk-*-0, то лишь
для конечного множества номеров kl7 k2, . . . , km выпол-
выполнено \xkm — yk _ | — d и существует б > 0 такое, что \xh —
¦—yh\<d—б для остальных номеров k. Зададим элемен-
элементы из пространства L:eo^=(l, —3-2"', —3-2, . . .), ek =
= (—2~\ 0, ... , 0, 1, 0, ...), *=Ь 2, .... Пусть
— т б — —
у = г/ — У. —- sign (г/Л — *ft ) еА . Тогда у ? L и ||х—г/||<
<d. Таким образом, для любого x([L в подпространстве L
нет ближайшей точки.
§ 31. Разложение по ортонормированным системам
в гильбертовом пространстве
Пусть (eh) — счетная ортонормированпая система в
гильбертовом пространстве Н. Как и в случае конечно-
конечномерных пространств, базис, являющийся ортонормиро-
ванной системой, наиболее удобен для разложений.
Основная задача, которую мы рассмотрим в этом \ параг-
параграфе, заключается в том, чтобы выяснить, когда произволь-
произвольный элемент х ? Н можно представить в виде ряда х ~
ft=l
Предположим, что
оо
х~ 2л h "¦ \'
А=1
Умножив скалярно равенство A) на еп, получаем
оо
(х е \ —¦
Определение 1. Число сп — (х, еп) называется ко-
коэффициентом Фурье элемента х по ортонормированной си-
системе (еп). Ряд V спеп называетс^ряЗож Фуръе\элемен-
л=1 —
та х.
Таким образом, если для х возможно представление
в виде ряда, то это ряд Фурье элемента х. В частности,
если ~Lcheh = 0, то C;t = 0, т. е. векторы е* линейно незави-
независимы.
170
Выясним, сходится ли ряд Фурье, чему равна сумма
ряда Фурье, когда сумма ряда Фурье для элемента х
совпадает с х.
Теорема 1. Пусть (eh) — ортонормированная система .
н гильбертовом пространстве Н, х — произвольный эле*
мент, ck=(x, ей). Тогда:
I
1) числовой ряд V lchl2 сходится, причем справедливо
неравенство Бесселя
с
2) ряд Фурье "\ ckek сходится;
3) сумма ряда Фурье есть проекция элемента х на
подпространство L, порожденное системой (е&);
4) элемент xfiH равен сумме своего ряда Фурье то-
тогда и только тогда, когда справедливо равенство Парсе-
вадд—-Стеклова: * :
12 _
= ll*li"-
Доказательство. 1. Рассмотрим частную сумму ря-¦
п
да Фурье Sn — \* cheh. Проверим, что разность х — Sn
ортогональна в), j = 1, ... , п. Действительно,
п
Л *^?и j) — \ * Jf / h v*k* Jfk— 3 — 3 —
Значит, в разложении элемента х в сумму
все слагаемые ортогональны и по теореме Пифагора
тсюда 2 I cft I2 < II ^ II2 и, значит, ряд ^ I сь I2 сходится,
171
причем справедливо неравенство Бесселя V I ck I2 ^ IIх II2-
2. Покажем, что последовательность частных cyMMSn =
п
= "V ckeh является последовательностью Коши. Для гО>т
имеем
Я /1
МО О М9 || \1 - |'в ^Г1 I 19 Л **
II Sn — Sm (I2 = I 2л ci<ei'\\ ' ц2* Iе''12-*-0. «. m^oo.
A—7i|-l A /u(-l
Так как пространство Я полно, то ряд V ckeh сходится к
элементу S?L.
со
3. Пусть S = V cheh, тогда
¦¦— Cj — Cj = 0,
т. е. вектор a; — S ортогонален подпространству, порож-
порожденному системой (ek).
4. Переходя к пределу при п->-оо в равенстве B), по-
оо
лучаем ||х||2 = V |cft|2 -f- \\x — S|p, откуда видно, что
равенство Паргеваля — Стеклоза ||л;||г — V \сп\г эквивалент-
1
но тому, что 11 х — S|| = 0, т. е. х — S. ?
Следствие. Огрззох ряда Фурье обладаетэкстремаль-
п ¦ '
ным свойством, т. е. \\х— У ckeh II = inf II jc — /||, где
7* iL
7
L — подпространство, порожденное elt ..., еп.
Доказательство. Так как. отрезок ряда Фурье
cheh является проекцией на подпространство L, то он
1
обладает этим экстремальным свойством (см. лемму 2 § 30).
О п р р nj»/ р %И р 2. Ортонормированная система (eh)
пазываетсцполной) если из того, что (я, 6^=0 для лю-
любого k, следует, что х—0.
172
Из определения сразу вытекает, что к полной системе
) нельзя присоединить элемент так, чтобы она оста-
остались ортонормированной.
Теорема 2. Пусть Н — гильбертово пространство,
(<'п) — ортонормированная система в Н, L — подпрост-
подпространство в Н, порожденное системой (eft). Тогда следую-
следующие свойства эквивалентны:
1) любой элемент х?Н является суммой своего ряда
Фурье;
2) система (eh) — полная;
3) для любого х?Н выполнено равенство Парсеваля —
оо
Стеклом Цх ||2- 2lc*l2;
1
4) подпространство L, порожденное (eh), совпадает с Н.
Доказательство. 1) =>- 2). Пусть ск — (х, eh) — О,
тогда х — V cheh = 0.
00
2) =>- 1). Элемент у = х— V chek по теореме 1 орто-
00
юнален всем ek, значит, у = 0, т. е. х = V chek.
1)-«=^3) следует из утверждения 4) теоремы 1.
1)-*=*-4) следует из утверждения 3) теоремы 1.П
Замечание. Полная ортонормнрованная система в гильбер-
пространстве является примером базиса Шаудера. Линейно
шимая система (е^) в банаховом пространстве X называется
Л есля для нее выполнено свойство 4) теоремы 2, т. е. под-
ррйнство, порожденное этой системой, совпадает с X. Система
I. ', /г, ... в пространстве L2[0, 1] линейпо независима и полна, но не
нилнотся базисом Шаудера в этом пространстве. Таким образом, в
'иличие от случая ортонормироваииых систем, для произвольных
iiiiit'ftno независимых систем из полноты не следует, что система
иплмстся базисом Шаудера.
В конечномерном гильбертовом пространстве сущест-
иопиние базиса доказывается с помощью процесса орто-
Им|)м;1лизации в курсе линейной алгебры. В случае бес-
|(П|Ц!чномерных пространств возможны аналогичные
шч'троения.
Теорема 3. Для того, чтобы в гильбертовом простран-
гИи // существовала полная счетная ортонормирован-
ортонормировании» система, необходимо и достаточно, чтобы простран-
(Ио // было сспарабельным и бесконечномерным.
173
Доказательство. Необходимость. Пусть (eh)—счет-
(eh)—счетный базис в гильбертовом пространстве Я. Пространство Н
бесконечномерно, так как (eh) — бесконечная линейно не-
независимая система. Покажем, что конечные суммы вида
п
{2 4ft6fe:'/fc?Q| образуют счетное всюду плотное множест-
fe=i
во. Действительно, множество конечных наборов (qv . ..
. . . , qn) рациональных чисел счетно и объединение по п
счетного числа счетных множеств счетно. Возьмем произ-
произвольный элемент х?Н и е >¦ О и покажем, что в е-окрест-
п
ности точки х существуют точки вида 2^qkek. Рассмотрим
i
со
ряд Фурье элемента х. По доказанному х — J^ ckeh, [т. е.
iV
для е/2 существует номер N такой, что \\х—2 ckek II <
ft=i
<е/2. Для каждого из чисел ck выберем рациональное
число rh так, чтобы \rh — ch\ < e/2N. Тогда
N
N
12 <r* -c^) e"|l < r>2+n'r>2N=e-
Достаточность. Пусть Н сепарабелыю и бесконечно
мерно. Возьмем в иН счетное всюду плотное множеств
(zn)"=i. Выберем подпоследовательность ух, . .. , уп, . ..
полученную из последовательности zn выбрасыванием эле-
элементов, которые линейно зависят от предыдущих. Постро-
Построенная система (yh) линейно независима, бесконечна у
порождает все пространство Н, так как всюду плотное
множество (zn) состоит из линейных комбинаций элементоЕ
yk. Теперь укажем, как по линейно независимой системь
(yh) построить полную ортоиормированную систему (про
цесс ортогонализации Грамма —Шмидта).
Положим ех — й/ЦйЦ. Затем выберем е'2 в виде е'2 ¦-
— у2 — аег, где постоянную а найдем из условия (е'2, ег) —
= 0. Отсюда (у2 — aev ег) — Она— (уг, ег). Далее е2 —
¦•-ег/ЦегЦ. Продолжая построение по индукции, полагаед
174
tin- Уп — Zi Cheh' где Cfe ^ (^ е*) я еп=~ с-п1\\еп\\ ¦ Постро-
Построенная система ортонормирована по построению. Так как
Уп — еп \\еп\\ + ^ cft6ft, то линейные комбинации элементов
иг» (е„) образуют всюду плотное множество. Значит, под-
щотстранство, порожденное (е„), совпадает- со всем Я и по
теореме 2 (е„) — полная ортонормированная система. Lj
Из доказанной теоремы вытекает следующий фундамен-
фундаментальный результат.
Теорема 4. Все сепарабельные бесконечномерные гиль-
гильбертовы пространства изометрически изоморфны между
гобой.
Доказательство. Достаточно показать, что произ-
лольное бесконечномерное сепарабельное гильбертово про-
пространство Н изоморфно пространству 12. Выберем в прост-
пространстве Н базис Ffe). Каждому элементу х?Н поставим в
соответствие последовательность чисел х — (xk) — коэффи-
коэффициентов Фурье элемента х по базису (е,,). В силу теоремы 1
< -J- оо, т. е. последовательность х?12. Таким
образом, построено отображение J : H^>-12, Jx = х. Очевид-
Очевидно, что J линейно.
Покажем, что J — изометрия. Если Jx — 0, то по опре-
определению базиса х = 0. Пусть а?12, т. е. а —(ад, а2, ...
... , ап, ...), где ^ К12< + °°- Тогда ряд ^akeh exo-
дится в Я и, значит, J B ciheh ] =-- а. Таким образом, ото-
бражение / биективно. Покажем теперь, что / сохраняет
скалярное произведение. Действительно,
-п
Пример. Пространство L2[0, 1] изоморфно прост-
рпнетву t2, так как они оба бесконечномерны и сспара-
Лсльиы. По конструкции пространство /2 является непо-
непосредственным обобщением конечномерного евклидова
пространства и в нем но аналогии с конечномерным слу-
чисм можно сформулировать и доказать ряд свойств.
175
В силу изоморфизма такие же свойства имеются у про-
пространства L2[0, 1]. Таким образом, пространство функ-
функций L2[0, 1] можно рассматривать как бесконечномер-
бесконечномерное евклидово пространство и использовать при его изу-
изучении геометрические представления и геометрическую
интуицию.
В качестве второго следствия из теоремы 4 можно
получить новое доказательство теоремы о проекции для
сепарабельных пространств. Для этого в подпространст-
подпространстве L сспарабельного пространства // выберем ортонор-
мированную систему (еА). Тогда, согласно теореме 1,
сумма ряда Фурье элемента х есть проекция х на под-
подпространство L. (Отметим, что в доказательствах теорем
1—3 теорема о проекции не использовалась.)
§ 32. Полные ортонормированные системы
в конкретных пространствах
1. В пространстве /2 рассмотрим систему элементов eh
h
вида ek ¦- @, ... , 0, 1, 0, . ..), k = 1, 2 Очевидно,
что эта система ортонормированная. Проверим ее полноту.
Пусть х — (xlt х2, . . . , хп, . . .)?12 и {х, eh) — 0. Так как
(х, ек) — xh, получаем, что х = 0. Это простейший пример
полной ортонормированной системы в гильбертовом прост-
пространстве.
2. В пространстве L2[—1, 1] классическим примером
ортонормированной системы является тригонометрическая
система
l/]/IF, cosnt, s'mnt, cos2n/, sin2n^, ....
Ортонормированность системы проверяется непосредствен-
непосредственным вычислением. Например,
] sin knt sin tint dt = — J [cos (k — n) t — cos (k + n)t]dt =
1 sin (k — n) nt
2 {k -- n) n
sin 2nnt
1 sin (k -j- n) nt
2 (k + n) n
= 0,
—i
2nn
= 1, если k п.
Проверим полноту этой системы. Для этого, согласно
теореме 2 § 31, достаточно показать, что подпространст-
подпространство L, порожденное тригонометрической системой, сов-па-
176
ieDUJTDacca ™
дает с L2[—1, 1]. Воспользуемся теоремой Вейерштрасса
о том, что любую непрерывную периодическую функцию
можно равномерно приблизить тригонометрическим мно-
многочленом, т. е. линейной комбинацией функций из рас-
рассматриваемой системы. По теореме Вейерштрасса непре-
непрерывные функции, удовлетворяющие условию и(—1) =
«A), принадлежат замкнутому подпространству L.
По такие непрерывные функции образуют всюду плотное
множество в L2[—1, 1], откуда следует, что L = L2[—1, 1].
Коэффициенты при разложении функции х по системе
1/У2, cos nt, sin nt, cos 2nt, ... обозначаются соответствен-
соответственно aQ, аи b\, a2, ... . Таким образом, применяя теорему 2
§ 31, получаем, что любая функция x6L2[—1, 1] разла-
разлагается в классический тригонометрический ряд Фурье,
который сходится по норме пространства L2[—1, 1]:
х (t) — ao/Y 2 + ах cos я? + Ьг sin nt + а2 cos 2nt -+¦
+ b2 sin 2nt + .. . ,
где
i i
С X (t} С
ao= \ —y=rdt, an= \ x(t) cos nntdt,
—l у 2 _i
i
bn ¦-¦ \ x(t)s'mnntdt, n-\, 2, ... .
3. В пространстве L2[0, 1] рассмотрим систему функ-
функций {ei2nkt, k - 0, ±1, ±2, ...}. Вычисляя интегралы,
получаем
Г ппы ~[2зш ,, _ @, 1гфп,
о Ь, k-n,
что означает ортонормированность этой системы функций.
Так как по формулам Эйлера
i2nht , —i2xht iinht iirthi
^Usin2rc^
то линейные комбинации функций рассматриваемой системы
образуют всюду плотное в L2[0, 1] множество и, значит,
рассматриваемая ортонормированная система полна. Таким
образом, любая функция x?L2[0, 1] разлагается в ряд
-|-оо
XV)- 2 ckei2nht, A)
ft——со
I.'. Зак. «О 177
I
где ск — j x (i) e~l2:lktdt, и ряд сходится по норме прост-
0
ранства L2[0, 1]. Ряд A) называется тригонометрическим
рядом Фурье в комплексной форме.
4. Система функций 1, t, t2, ... линейно независима, но
не ортогональна в L2[—1, 1]. Используя процесс орто-
нормализации, получаем ортонормированную последова-
последовательность многочленов Po(t), Pi(t), ... . Эта система пол-
полная, так как порожденное ею замкнутое подпространство
совпадает с L2[—1, 1].
Действительно, согласно теореме Вейерштрасса, лю-
любая непрерывная функция на отрезке [—1, 1] может быть
равномерно приближена многочленом, а любой много-
многочлен является линейной комбинацией многочленов Pn{t).
Для многочленов Рп (t) можно получить формулу
dtn
п 0 j 2
Эти многочлены лишь постоянными множителями отли-
отличаются от многочленов Лежандра
В приложениях чаще используются многочлены Лежанд-
Лежандра. Таким образом, любая функция хвЬ2[—1, 1] разла-
разлагается в ряд
k=0
где
i
^ -i
и ряд сходится по норме L2[—1,1].
5. В пространствах функций двух переменных полные ор-
тонормированные системы можно строить с помощью сле-
следующего утверждения.
Теорема. Пусть (X, ц.^) и (Y, \iY) — пространства с
мерами, фп — полная ортонормированная последовательность
в L2 (X, \ix) и tyn — полная ортонормированная последова-
последовательность в L2(Y, цк). На произведении Z — XxY рас-
рассмотрим меру \iz — [ix ® \x,y и соответствующее простран-
178
ство L2{Z, \iz). Тогда произведения enk{x, у) =- q>n(x)$h{y),
к, n—1, 2, ... , образуют полную ортонормированную
систему в L2(Z, \iz).
Доказательст в*о. Проверим ортонормированность
системы {enh}:
(у),Щ
) e,,k (х, У) ет1 (х, y)]d[iz = ) <рп (х) фт (х) d\ix X
z 'х
С с 11. ti — tn, k = /,
/ у пт [0, пфт или кф1.
Проверим полноту ^системы {enh}. Пусть f?L2(Z, \iz) и
(функция f ортогональна всем enh, т. е. для любых п и k
\ f (х' У) Фп (х) Ч
= 1 (J
^. У)
(J
Так как система \jjft полна в L2(Y, цу), то получаем при
» я
фиксированном п, что функция /„(у) = у(х, #)фп(*)Фх=
- 0 почти для всех у. Поскольку система ф„ полна в
L2(X, [ix), имеем почти для всех х f (х, у) — 0. Поэтому
J I/ (x> y)\2d[nx — 0 почти для всех у и по теореме Фубини
f \f(x, */)№z = $($ \f(x, у)Г<1рх) dpY = 0.
Z Y X
Z Y X
Значит, f = 0 как элемент L2 (Z, \iz) и система {епк} пол-
полна. ?
Глава V
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 33. Пространства линейных ограниченных операторов
Пусть X и У — нормированные пространства. Рас-
Рассмотрим множество L(X, Y), состоящее из всех линейных
ограниченных операторов, действующих из X в У.
1»' ' 179
Если A, B?L(X, У), то суммой А+В операторов А и
В называется оператор, действующий по формуле (Л +
+ В)(х)=Ах+Вх. Произведением оператора А на число
к называется оператор кА, действующий по формуле
{ХА) {х) =кАх.
Напомним, что для ограниченного линейного оператора
определена норма ||Л|| -- sup ||Лх||.
1И1=1
Теорема 1. Множество L(X, У) с введенными опера-
операциями сложения, умножения на число и нормой операто-
оператора образует нормированное векторное пространство. Про-
Пространство L (X, У) полно, если полно пространство У.
Доказательство. Проверим сначала, что вве-
введенные операции не выводят из множества L(X, У). Если
A nBeL(X, У), то
(А + В) (хг + х2) == А (хг + х2) + В {хг + х2) =
- AXl\+ Ах2 + Bxj. + Вх2 --= {А + В) {хг) + (А+В) (х2)
и, значит, А + В — аддитивный оператор. Аналогично
А(кх) = Ь{Ах) = (КА)(х).
Проверим, что А + В — ограниченный оператор. Дейст-
Действительно,
\\(А + В) (х)\\ = \\Ах + Вх\\ < ||Лх||
Следовательно, оператор А + В ограниченный и | |
^||Л|| +||В||, т. е. для нормы оператора справедливо не-
неравенство треугольника. Нулевой оператор @x=0) явля-
является нулевым элементом в векторном пространстве
L(X, У). Проверим остальные аксиомы нормы.
Если ||Л||--=0, то ||Лх|К0.||л:||, т. е. \\Ax\\ = 0 и, зна-
значит, А = 0:
|М|| = sup |Мх|| - sup \Ц.\\Ах\\ = IA.I- |И||.
Таким образом, L (X, Y) — нормированное пространство.
Пусть Y — банахово пространство. Докажем, что любая
последовательность Коши Лп в пространстве L(X, Y) схо-
сходится. Возьмем х ? X и рассмотрим последовательность
образов уп =-. А„х. Так как \\уп — ут\\ -¦= ||(Л„ — Ат) х\\ <
^ ||Ап — Лт|| 1|х|| -¦- 0, то уп — последовательность Коши
в пространстве У" и, значит, существует предел lim yn — у.
Определим оператор Л, положив Ах = у. Проверим, что
180
построенный оператор линейный и ограниченный и что
Переходя к пргделу в равенстве Л„ (к^ -+- к^хг) —
\1Апхг -\- %2Anx.lt получаем Л (^-i*i -f- Х2х2) — Ь^Ахх -f-
| \.,Ах.2, т. е. А — линейный оператор. Так как последова-
последовательность Коши всегда ограничена, то существует постоян-
постоянней с>0 такая, что ||Л„||^с. Поэтому, переходя к пре-
пределу в неравенстве ||Л„*||:^с||*||, получаем ||Л*|| <! с \\x\\,
Т. о. Л — ограниченный оператор. Вэзьмем е > 0 и найдем
но нему п0 так, чтобы при п, т^п0 выполнялось ||Л„ —
1 "^mll^e- Тогда \\Апх — Лт*|| s^e ||*||. Переходя в этом
Неравенстве к пргделу при т-*-со, получаем \\Апх—Ах\\^.
<.к||*||, т. е. для п^п0 имеем \\Ап — Л||<е. LJ
Будем говорить, что последовательность ояератороэч
Ац 6L (X, Y) сходится к оператору A?L (X, Y^no норме^у
*ч.'ли ||ЛП —Л||"-^0. -— —
Пусть оператор Л действует из пространства X в про-
пространство Y и оператор В действует из пространства Y в
Пространство Z. Произведением операторов Л и Б называ-
называется оператор (ВА), определенный равенством (ВА) (*) —
- В {Ах).
Теорема 2. Пусть A?L{X, Y), B?L(Y, Z), где X, Y,
t, — нормированные прэстранства. Оператор В А является
ограниченным линейным оператором из X в Z и ||ВЛ|| <!
<^. ||Б|| ||Л||. Операция умножения операторов непрерывна
относительно нормы, т. е. если ДП->Л и Bn->fl по нор-
норме, то АпВп-+АВ по норме.
Доказательство. Линейность произведения линей-
линейных отображений очевидна. Для х?Х получаем
т. е. для оператора ВА выполнено неравенство ограничен-
цогги с постоянной ||Я|| ||Л||. Значит, ||5Л||<||?|| ||Л||.
Оценим норму разности
<\\Вп\\ ||Лп
l;iK как \\Ап — ЛЦ->0 и ||В„ — Я||-»-0 и последователь-
пнть ||В„|| ограничена, получаем \\ВпАп — ВА\\->-0. "i
Рассмотрим несколько примерэв сходящихся последова-
имьностей операторов.
Примеры.
1. Пусть последовательность функций Кп (U s)> опреде-
¦кчнгых и непрерывных на квадрате [0, 1] X [0, 1], равно-
181
мерно сходится к функции K(t, s). Тогда последователь-
последовательность интегральных операторов Фредгольма в С [0, 1]
Anx(f)=.$Kn(t, s)x(s)ds
по норме сходится к интегральному оператору
Ах (t) = \К (t, s) x (s) ds.
о
Действительно, разность Ап — А есть интегральный
оператор с ядром Kn{t, s) — K(t, s). По теореме 2 § 27
\\Ап — А||< max |tfn (*, s)
t
©Пусть Kit, s)?L2(Ilx I), т. е. измеримая функция
l l
такая, что ] ) \K(t, s)j2 dtds < + °° • Выберем в простран-
b о (
стве Ьг [О, 1] базис ej(t). Тогда, согласно п. 5 § 32, функ-
функции etj --.- et (t)ej (s) образуют базис в пространстве L2(/x/).
Разложим функцию K(t, s) в ряд по этой системе:
K(t, s)-
Пусть Kn(t, s) = ^ c,je;@ej(s). Покажем, что последо-
последовательность интегральных операторов]
1
J
о
в пространстве L2 (/) сходится по норме [к интегральному
оператору
1
Ах Ц) = \К(t, s)x(s)ds.
о
Как и в примере 1, А ,, — А есть интегральный оператор с
ядром Kn(t, s) — K(t, s). Согласно теореме 4 § 27,
^\Kn(t, s)-K(t,
о о
182
1
iго так как Кп — часиодеесуммы ряда Фурье для функции
К, то, по тёорэме 2 § 3v||/C,t—К\\-^-0 и, значит, \\Ап —
-/4||->-0. "Заметим, что здесь операторы К„ суть опера-
юры конечного ранга, т. е. множество их значений-—ко-
т'чномерное подпространство.
3. Пусть операторы Ап в С [0, 1] имеют вид Anx{t) —
a^(t)x{t), где an(t) — непрерывная функция, и пусть
последовательность функций an(t) равномерно на [0, 1]
<• ходится к функции a(t). Тогда последовательность опера-
тров Anx(t) — an (t) x(t) сходится по норме к оператору
,1 v (t) — a (t) х (t). Действительно,
||ЛП — Л||= max \an(t) — a(t)\-+Q, n^-oo.
4. Пусть функция K(t, s) определена для 0<^s^l,
(»s^l s^ 1 и имеет вид
где 0<-у<1 и функция Ko{t, s) непрерывна, т. е. K(t, s) —
слабополярное ядро.
Покажем, что в пространстве С[0, 11 интегральный
Оператор А со слабополярным ядром K(t, s) является
Пределом последовательности интегральных операторов
Лп с непрерывными ядрами. Для этого построим непре-
непрерывные функции
-, если \t~^-s\^>— ,
— s\
п
nvK0(t, s), если \t— s|<— ,
n
И пусть Ап — интегральный оператор с ядром К„ [t, s). Из
теоремы 3 § 27 имеем
1
|ИП-Л||= max \\Kn(t, s)-K(t, s)\ds.
Функция Ко (t, s) непргрывна на компактном множестве и,
следовательно, ограничена некоторой постоянной С.
Оценим интеграл
(n(t, s) — K{t, s)\ds =
183
' n
-I
K0(t, s) K0(t, s)
\t-sp
2C
1 V--V
J
2C v C1
2C
Так как v < 1, показатель 1 — у положительный и • полу-
получаем, что
1Ип — ^iKCx/n'^
при
cx>.
§ 34. Сильная сходимость »
последовательности операторов.
Теорема Банаха—Штейнгауза
Определение 1. Пусть X и Y—нормированные
пространства. Последовательность операторов An?L{X,
У) сходится к оператору А(шльно2^сля для любого xhx
последовательность Апх сходится к Ах.
Введение сильной сходимости последовательности
операторов Ап мотивируется тем, что встречаются после-
последовательности операторов, которые естественно считать
сходящимися, но они оказываются не сходящимися по
норме.
Пример 1. Пусть Н — гильбертово пространство,
(ek) — ортонормированный базис в Н. Любой элемент х?Н
оо
представляется в виде ряда Фурье х — J^ ckek. Построй^
п
оператор Рп, Рпх- j^ cheh. Этот оператор по теореме 11
§ 31 является проектором на подпространство Ln, порож-
оо
денное элементами (elt ... , еп). Равенство х--¦¦¦¦-- ^ chek по
определению означает, что Рпх-*-х, т. е. последователь-
последовательность операторов сильно сходится к единичному оператору.
184
Оператор / — Pn есть проектор на подпространство Lk и
иочтому ||/ — Рп\\ — 1, т. е. Рп по норме не сходится к
цдиничному оператору. Аналогичные примеры можно пост-
построить и в других пространствах.
Лемма. Если последовательность Ап ? L (X, Y) сходится
но норме к оператору А, то Ап сходится к А сильно.
Доказательство. Возьмем х?Х. Тогда \\Апх —
Л*||<|И„ — А\\ |W|-^0 при я-^оо.
Как показано в примере, из сильной сходимости не вы-
И'кает сходимость по норме.
Пример 2. В пространстве LP(R), 1г^р<оо, рас-
рассмотрим последовательность операторов Ahkx(t) — x(t +/г^).
Покажем, что если hh-*-h, то последовательность Ацк
сильно сходится к Ah, но не сходится по норме. Действи-
Действительно, для любого x?Lp(R) аналогично теореме 2 § 20 о
ранномерной непрерывности в среднем для е > 0 существу-
существует б > 0 такое, что
( j \x(t + h) — x(t + hh)\pdt) lP < e, если \h — hh\ < 6.
—0»
Jiro и означает сильную сходимость последовательности
Thli. Оценим \\Thk~T\\ при hh=?h. Пусть \hk — h\ -- d>0.
Возьмем функцию
n/d,O<l<d,
ow lo, *<o, t>d.
Тогда ||xo||p = 1 и
\\{Thk- T) x,\\LpW - ( j |*o V
>1
щачит, \\Tnk — Th\\ не сходится к 0 при hk-*-h.
В определении предела сильно сходящейся последова-
|гльности операторов не требуется, чтобы предельный
шюратор был линейным ограниченным. Если Ап->-А силь-
iMi и Ап линейные, то, переходя к пределу в равенствах
•*1м (-«ч -+- х2) -= Апхх -)- Апх2, Ап (кх)~кАпх, убеждаемся, что
оператор А линейный. Однако в неполных пространствах
пниратор А может не быть ограниченным.
Имеется аналогия между двумя типами сходимости в
Пространствах функций — равномерной и точечной —и
двумя.типами сходимости в пространстве линейных огра-
18Б
ничейных операторов — равномерной и сильной. Отме-
Отметим, что предел точечно сходящейся последовательности
непрерывных функций может не быть непрерывной функ-
функцией. Аналогично и предел сильно сходящейся последо-
последовательности ограниченных (непрерывных) линейных опе-
операторов может не быть непрерывным.
Пример 3. На векторном пространстве С1 [0, 1] за-
зададим норму ||л:|| — max \х (t)\. Рассмотрим оператор диф-
o^si
ференцирования как оператор из С110, 1] в С [0, 1].
dt
Как показано в примере 5 § 27, этот оператор неограничен.
Пусть разностный оператор Ап задан формулой
A r(t\ x(t)-x(t-l/n)
1/Я
Тогда для любого х?С*[0, 1] последовательность Апх
dx . d rr
равномерно сходится к , т. е. Л„-> сильно. Таким
" dt dt
образом, последовательность ограниченных линейных опе-
операторов сильно сходится к неограниченному оператору
. Если пространство, на котором определен [оператор,
dt
полно, то такой пример невозможен. Это утверждение
является одним из следствий следующей фундаментальной
теоремы.
Теорема 1 (принцип равномерной ограниченности)
(Банах—Штейнгауз). Пусть X — банахово пространство,
Y — нормированное пространство и пусть М — множест-
множество ограниченных линейных операторов McL(X, Y) та-
такое, что для любого х?Х существует постоянная Сх>0
такая, что ЦАл:|К;Сж для любого А?М. Тогда М — огра-
ограниченное множество, т. е. существует постоянная С та-
такая, что \\А || ^ С для любого А6М.
Доказательство. Так как ||Л|| = sup ||Лл||, то ус-
1И1=1
ловие ЦЛЦ^С эквивалентно тому, что ЦЛдсЦ^С при ||*|K[
s^ 1. Таким образом, нужно доказать, что множество чисел
V --¦- {\\Ax\\\ IWK 1; А?М} ограничено, т. е. нормы \\Ax\\
ограничены в совокупности на единичном шьре. Покажем,
что если нормы \\Ay\\ ограничены постоянной Со на каком-
нибудь шаре В\у0, г0], го>°. то ||Лх|| ограничены на
единичном шаре. Действительно, если ||х||^1, то л:—
Ц — Уо), глеу?В[у0, г0]. Тогда ||Ае|| < (\/го)(\\Ау\\+
1С ) С
186
^Предположим теперь, что "множество V неограничено.
!пгда по доказанному множество чисел \\Ax\\ не ограничено
ни каждом замкнутом шаре ненулевого радиуса и, в част-
|июти, не ограничено на каждом открытом шаре. Возьмем
м|И1извольный шар В[х0, го\. Так как на открытом шаре
" 1*о> го1 множество норм не ограничено в совокупности,
in существует оператор Л,?УИ и точка х1^В(х0, г0) такие,
м го IHjlJCjJ^ 1. В силу непрерывности оператора Ау суще-
i снует шар B[xlt гг\ такой, что \\Агх\\ > 1 для всех x?B[xlt
i, |. Для достаточно малого гу (гх < г0 — ||л;0 — л^Н) имеем
- Н\хи r^] cz В 1х0, г0]. Выберем также rl<.rj2. Далее,
шив шар В [хх, гх\, находим оператор Л2 и шар В [х2, г2]
шкие, что ||Л2л:||>2 для всех х?В[х2, г2], причем В [ха,
it\czB[xu Г]], r2<r0/2z. Продолжая процесс, получаем
ш)следовательность B[xk, rh] замкнутых, вложенных друг
и друга шаров, причем rft-*-0, и последовательность опе-
рлгоров Ah такую, что для x?B[xlt, rk] имеем ||Льл:||>^.
•'.пгласно принципу вложенных шаров (теорема 3 § 16),
• уществует точка x*?B[xk, rh] для любого k. Тогда
|И/,х*||>Л и, значит, множество чисел ||Ллл:*|| не ограни-
ограничено в совокупности, что противоречит условию. D
Замечание. \\Ax\\ можем рассматривать как функцию двух
Переменных A(AkM) и *(IW!^Sl). В теореме дана ограниченность
итой функции по каждой из переменных (при фиксированном А \
||1||||Л|! ф }
р р р
по определению ограниченности оператора, при фикси-
||иианном х -- по условию теоремы) В теореме доказана ограничен- ,
пость функции по совокупности переменных. *
Простейший пример функции
f (х, у) г-. ху/(х-\- у), х > 0, у > 0 .
показывает, что.для произвольных функций двух переменных такое
\ терждение ие имеет места.
Следствие 1. Пусть X — банахово пространство,
)'—нормированное. Если последовательность AnQL(X,
У) сильно сходится к оператору А, то:
1) Ап ограничена по норме;
2) оператор А ограничен.
Доказательство. Проверим, что множество
(Ап) удовлетворяет условиям теоремы Банаха—Штейнга-
v.ta. Действительно, (Avx)—сходящаяся последователь-
иость и, значит, ||Лпл:!|^Сж. По теореме Банаха—Штейн-
гмуза ЦЛпЦ^С. Тогда справедливо неравенство 1И?гЛ:||^
-СС||л:|1. Переходя к пределу, получаем неравенство огра-
ограниченности для оператора А.
Определение 2. Последовательность {Ап)пЬ(Х,
У) называется последовательностью Коши в смысле
187
сильной сходимости, если для любого х?Х Апх есть по-
последовательность Коши в Y.
Следствие 2. Если X и Y — банаховы простран-
пространства, то пространство L(X, Y) полно в смысле сильной
сходимости.
Доказательство. Пусть (Ап) — последователь-
последовательность Коши в смысле сильной сходимости. Так как про-
пространство У полное, то Апх~*-у и мы получаем оператор
А : х-*-у. Этот оператор линейный и по следствию 1 огра-
ограниченный. По построению Ап-*-А сильно.
§ 35. Обратные операторы
Многие задачи, встречающиеся в теории дифферен-
дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и других
приложениях, могут быть записаны в виде уравнений
Ах=--у, A)
где х — неизвестная функция из некоторого пространства
X; у — известная функция из некоторого пространства Y;
А — заданный линейный оператор из пространства X в
пространство Y. При исследовании уравнения A) необ-
необходимо по возможности дать ответы на следующие во-
вопросы: 1) существует ли решение уравнения A) для про-
произвольного у; 2) единственно ли это решение; 3) если не
единственно, то сколько решений существует; 4) если не
для любого у существует решение, то какие условия нуж-
нужно наложить на у для существования решения; 5) как
найти х точно или приближенно.
Рассмотрим, с какими свойствами оператора А свя-
связаны перечисленные свойства уравнения A).
Определение 1. Пусть А : X-+Y. Оператор В : X-*-
->-У называется правым обратным к оператору Л,.если
= IY. Оператор В называется левым об
А ВА 1 О В
рр рр\
ратору А, есля ВА = 1Х- Оператор В называетейобратным
к А (обозначается Л-1), если AB = IY, BA=IX, тг?7"явля-
ется одновременно левым обратным и правым обратным.
Заметим, что в определении не выдвигается требова-
требование линейности или ограниченности оператора В. у
Множество КегЛ {х\х?А, Ах — 0} называется.ядрвм-
оператора Л, множество ImA {yfax^X, у — Ах} — об-
разом оператора Л. ^~" "
Лемма 1. Для линейного оператора Л следующие ут-
утверждения эквивалентны:
1) решение уравнения Ах — у единственно для любого
«/€1тЛ;
188
2) КегЛ--{0};
3) для оператора А существует левый обратный опера-
оператор.
Доказательство. 2) =ф- 1). Если Ахх = у и Ах2 =
у, т. е. хг и х2 — два решения, то Л (xx — х2) •--¦- 0 и
*, •¦- х2.
1) =ф-2). Достаточно положить у 0.
1) =ф-3). Для у?\тА существует и единственно реше-
решение уравнения Ах - у. Построим оператор В, который
у ? I m А ставит в соответствие решение х. (Для остальных
у оператор В определен произвольным образом или вообще
lie определен.) Тогда если у --- Ах, то по построению By—
- В Ах ----- х, т. е. В А --- 1Х-
3) =ф- 1). Если существует левый обратный оператор В
к оператору А и если Ахх --- у, Ла-2 == «/, то xx =¦¦= By, x2 =
- В«/, т. е. Xi_ -- х2.
Лемма 2. Следующие утверждения эквивалентны:
1) решение уравнения Ах = у существует для любого
U
2)
3) для оператора А существует правый "обратный опе-
|К1тор В.
Доказательство. Эквивалентность 1 )<=$-2) следует
mi определения множества 1тЛ.
1)=>3). Для каждого y?Y выберем одно из решений
х уравнения Ах = у. Тем самым определено отображение
H\Y-*X, By = ~х. По построению если By ="х, то х —
решение уравнения, т. е. Ах — у или АВу = у, т. е. АВ =
*¦ 1у
3) => 1). Если существует правый обратный оператор В
к оператору А, то для любого y?Y точка х = By являет-
1'и решением уравнения Ах = у, так как Ах — A (By) — у.
Пример. Пусть А — оператор дифференцирования
- : С1 [0, 1] —>- С1 [0, 1]. Обычно говорят, что обратной
lit — :_
к дифференцированию является операция интегрирования
ttl СЮ, 1]->СЧ0, 1], By(t) = ^y(x)d%.
о
Вычислим произведения:
dt
189
7 7 •"•"«- «t '" ^L»ffj 'tfC/J
t d
BAx(t)= [^
d x() x(O)^x{t)
J dx X
Значит, АВ = 1, ВАф1 и оператор интегрирования явля-
является правым обратным к оператору дифференцирования,
но не является левым обратным.
Замечание 1. Существование линейных ограниченных обрат-
обратных связано с более топкими свойствами. Для существования линей-
линейного ограниченного левого обратного к оператору А необходимо, что-
чтобы образ 1т(Л) был дополняемым замкнутым векторным подпрост-
подпространством в К, для существопапия линейного ограниченного правого
обратного необходимо, чтобы подпространство Ксг Л имею дополне-
дополнение в X.
В практических задачах функция у получается в ре-
результате измерений и, следовательно, с некоторой погреш-
погрешностью, т. е. практически вместо точного решения х урав-
уравнения Ах = у находим решение х приближенного уравне-
уравнения Ах—у. Может оказаться, что, несмотря на то, что
у близко к у, решение х сильно отличается от х. Расчеты
(решение приближенного уравнения) имеют смысл толь-
только тогда, когда для близких у решения близки. Так как
x=A-lyt х—А-лу, то требование непрерывной зависимо-
зависимости решения от правой части является фактически требо-
требованием непрерывности оператора А-'.
Уравнение Ах=у называется корректно разрешимым,
если 1) решение существует для любой правой части;
2) решение единственно; 3) решение непрерывно зависит
от правой части.
Из предыдущих рассуждений следует, что корректная
разрешимость уравнения Ах —у эквивалентна существо-
существованию ограниченного обратного оператора А~1. Заметим,
что свойство корректной разрешимости существенно за-
зависит от рассматриваемых пространств и норм на них.
Приведем несколько теорем, которые позволяют по-
получить существование ограниченного обратного к опера-
оператору А.
Оператор А называется обратимым^ если для него
существует линейный ограниченный обратный оператор.
Теорема 1. Пусть X — банахово пространство, Y —
нормированное пространство, А: Х->-У — ограниченный
линейный оператор и пусть:
1) Im A — Y (образ плотен в Y);
2) существует постоянная С>0 такая, что ||Лх||^С||#||.
Тогда оператор А обратим.
Доказательство. Из условия 2) получаем, что если
Ах == 0, то х= 0, т, е. Кег А = {0}.
190
Проверим, что в действительности образ Im А замкнут
м совпадает с Y. Пусть y?Y и пусть уп-+у, г/п?1тЛ,
i е. уп — Ахп. Покажем, что у? \тА. Используя неравен-
• ню 2), получаем
\\Хп — Jfmll < -? \\AXn — Axm\\ = — \\уп — ym\\ -»- 0.
1|гачит, (хп) — последовательность Коши в X и, в силу
полноты пространства X, хп сходится к некоторому элемен-
i у х ? X. Тогда ввиду непрерывности А имеем у =
Пт Ахп = Л(Пт *„) = Ах, т. е. у?\тА. Таким обра-
<ом, в силу леммы 1 и 2 существует обратный А'1. Про-
Промерим, что он ограничен. Действительно, в силу неравен-
.тва 2) 1И''
Замечание 2. Несмотря на внешнюю сложность условий 1)
|| 2), в ряде задач нх проверка легко осуществляется. Например,
¦ ivih уравнение Ах=у рассматривается в пространстве функций на
" фезке, то часто для функций, являющихся многочленами, решение
• iроится в явном виде. Так как множество многочленов всюду плот-
плотни в ряде пространств, например в Lp[0,l], 1^Гр<оо, для этих
Пространств таким образом можем проверить условие 1).
Неравенство из условия 2) в некоторых задачах, имеющих физи-
•нткнй смысл, является следствием закона сохранения энергии.
Н связи с этим неравенства такого вида иногда называют энергети-
HVVKUMU.
Замечание 3. Очевидно, что условия теоремы являются не-
необходимыми для существования ограниченного обратного оператора.
Теорема 2. Пусть X — банахово пространство и Л б
<</.(Х), ||Л||<1. Тогда оператор 7=1—А обратим.
Доказательство. В случае, если А есть число и
|Л|<1, то число A—Л)-1 является суммой бесконечной
геометрической прогрессии A—А)~] = \+А +Ла+... .
Покажем, что аналогичное равенство имеется и в слу-
случае, когда А есть оператор.
Рассмотрим в пространстве L{X) линейных ограни-
ограниченных операторов ряд
/ + А + А* + . . . . B)
Докажем, что этот ряд сходится и его сумма есть обрат-
обратный оператор к Т. Так как ||Л2||<||Л||2, ..., [|Л"||<
• _, |И||", . . . , то получаем мажорирующий сходящийся ряд
I йк как пространство L (X) полно, то по теореме 1 § 26
рид B) сходится. Пусть S — его сумма, Sn — 1 + А + . . .
191
. . . +Л" — частная сумма. Тогда в силу непрерывности у»
ножения S(I — A) = lim Sn (I — A) = lim (/ — An+l) =
Аналогично (I — A)S= lim (/ — An+l) = /. D
Замечание 4. Из доказательства имеем оценки
Теорема 2 является некоторым усилением принциг
сжимающих отображений для линейных операторов
банаховых пространствах. Решение уравнения х—Ах —
(у — фиксированная точка) есть неподвижная точка от
бражения f(х)=Ах+у. Отображение f является сжим
ющим тогда и только тогда, когда ||Л||<1.
Теорема 3. Пусть X и У — банаховы пространства
пусть оператор A(<L(X, Y) имеет ограниченный обрг
ный. Если оператор В удовлетворяет условию \\А—В\\
<1/1И~М1, то оператор В имеет ограниченный обратнь:
Доказательство. РасСхМотрим произведение А~'5 =
= Л [А —(А — В)) - / — Л (А — В). Так как ЦЛ (Л -
— В)|КНЛ!!||Л — В||< 1 по условию, то оператор /-
— Л (Л — В) имеет ограниченный обратный в силу теоо
мы 2 и {[/ — А~1 (А — В)]~1А~1}В — I, т. е. оператор, стс-
щий в фигурных скобках, является ограниченным левь
обратным к оператору В. Аналогично, рассмотрев ВА~*
= / — (Л — В) Л, получаем
т. е. оператор В имеет правый ограниченный обратнь
Тогда левый и правый обратные совпадают и у опера"
ра В существует ограниченный обратный. ?
Следствие 1. Множество обратимых оператоо
в L(X, Y) есть открытое множество.
Доказательство. Теорема 3 утверждает, чте
обратимого оператора Л существует целая окрестное
(шар радиуса 1/||Л~Ч1), состоящая из обратимых oner
торов, т. е. по определению открытого множества в м-
рическом пространстве множество обратимых оператог
открыто. ?
Следствие 2. Пусть A?L(X, Y) — обратимый о
ратор (пространства X и Y — банаховы) и пусть Ап —
по норме, где An?L(X, Y). Тогда, начиная с некотор
номера п0, все операторы Ап обратимы и Л^1-^А~1
норме.
192
Доказательство. Екььмем номер ;г0 тлк, чтобы
им «^«о выполнялось \\А„—Л||< 1/||Л '||. Тогда по
ч'ореме 3 все операторы Л„ при п'^-п,, обратимы. Опера-
юр Ап имеет вид (из доказательства теоремы)
Л,,1 :\1~-А-ЧА~Ап)Г1А-1.
'Гик как lim[/ — A~f (A— Л,,)] — / (замечание к теоре-
ме 2), то в. силу непрерывности умножения получаем, что
Л,,-»-Л по норме. Это утверждение, в частности, озна-
•iiiCT, что переход к обратному оператору как отображение,
определенное на множестве обратимых операторов, являет-
является непрерывным. ?
f 36. Теорема Банаха об обратном операторе
и ее следствия
Среди теорем об обратных операторах особое место
иинимает теорема Банаха. Эта теорема вместе с теоремой
Ьпнаха—Штейнгауза и теоремой Хана—Банаха (§ 41)
составляет три основных принципа линейного функцио-
функционального анализа.
Теорема 1 (об обратном операторе) (Банах). Пусть
А' и У — банаховы пространства, Л : X-+Y — линейный
биективный ограниченный оператор. Тогда оператор А х
является непрерывным.
Доказательство. Следует проверить, что для лю-
любого е>0 образ шара Вх@, е) с X при отображении А
содержит некоторую окрестность нуля в Y, что и означает
Непрерывность А.
Пусть УсХ — произвольная окрестность 0 в X. Преж-
Прежде всего докажем, что замыкание AW содержит некоторую
окрестность 0 в У". Так как отображение X X X Э (х, у) ->-
• » х — у ? X непрерывно, то существует такая окрестность
Нуля V, что V — FclP. Последовательность х/п-»-0 для
.шобого фиксированного х?Х и, следовательно, x?nV для
достаточно больших п. Поэтому
X = U nV, Y - АХ -- U nAV cz 0 nAV.
л---1 л-1 п— 1
По следствию 1 теоремы Бэра (см. § 16) одно из множеств
nAV содержит непустое открытое множество. Так как ого-
II :ш. т 193
бражение Y^y-^ny^Y является гомеоморфизмом, то и J-
содержит непустое открытое множество G. Таким образо
AW гэ AV — AV zd AV — AV zz G — G.
Множество a — G открыто, так как отображение Y $у-
—у а — у ? Y является гомеоморфизмом. Поэтому и множес
во G — G — U (а — G) открыто. Так как оно содержит
a$G
то оно является окрестностью нуля. Итак, замыкание обра:
окрестности нуля содержит некоторую окрестность нуля.
Зададим произвольное ео>-О и выберем ег>-0 1&\
оо
чтобы 'V ег <; е0. Согласно предыдущему, существует т
кая последовательность (т];), /^0, 1, ..., т^ХЗ, ч1*
Чг-^0 и
АВх@, Ь;)=>Ву@, tj,). (
Покажем, что АВХ @, 2е0) г) Ву @, т|0). В самом дел!^
пусть у?Ву@, т]о). Тогда из A) при 1 = 0 вытекает, чт
у?АВх{0, ео). Это означает, что любой шар с центром в
пересекается с множеством АВх@, е„), а значит, и
By (У, %)П АВх@, го)Ф0-
Таким образом, существует точка хо?Вх(О, е0) такая, чтг
Ахо?Ву(у, тH), т. е. \\У — Ахо\\< r\v что означает
у — Ах0?Ву@, г),).
Аналогично из A) при i -— 1 вытекает существование х1^
?Вх@, е,) такого, что \\у — Ах0 — Лдг^К %. Продолжая
это рассуждение, построим такую последовательность (л:„)
что л-„6Вл@, е„) и
^х,\\<у]п+1. B;
Положим sn ¦--- х0 + ¦ • • + хп, тогда при п>т будем иметь
\К — Sb.1I -- lk»+i + • • • + х„\\ <ет+1 + . . . + еп. Следова-
Следовательно, (sn) — последовательность Коши в X и поэтому ряг
оо • оо
сходится к некоторой точке х и ||*|| ^ V ||л:Л|| ^
fe-0
е,( < 2ес, т. е. х ? fl^ @, 2е0). Так как Л непрерысе!:
194
ii Чпч 1 —*¦ 0 при п-*~оо, то из B) получаем, что у — Ах.
Отсюда у?АВх@, 2е0). Г,
Следствие 1. Пусть на векторном пространстве X
<иданы две нормы ||-||, и ||-||2 и пространство X полно от-
относительно каждой из норм. Если IM|i^C||a:||2 для всех х?
( X, то эти нормы эквивалентны, т. е. существует постоян-
няя С1>0 такая, что ]|jc||2 ^ Сх \\х\\х для всех х?Х.
Доказательство. Обозначим через Xh(k — I, 2)
Гшнахово пространство X с нормой ||-||h. Неравенство Цд:^^
;С||х||2 означает, что тождественный оператор /:X2-^XX
непрерывен. По теореме 1 оператор /~1:Х1->Х2 также
непрерывен, что эквивалентно неравенству ||x||2^Ci IMIi-
Для ряда приложений более удобным оказывается след-
следствие, эквивалентное самой теореме, которое называется
теоремой о замкнутом графике, г1
Определение 1. Пусть X и Y — нормированные
пространства. Линейный оператор А, отображающий вектор-
векторное подпространство D (А) с X в У, называется щмти-
тым, если из того, что хп->х0, xn?D(A) и Ахп-^~у0, сле-
следует, что xo?D(A) и уо^-Ахо.
Требование замкнутости оператора эквивалентно тому,
что его график является замкнутым множеством в X X У-
Примеры.
1. Если А — ограниченный оператор, то А замкнут тог-
тогда и только тогда, когда замкнуто векторное подпростран-
подпространство, на котором он определен.
2. Пусть X - Y =-- С [0, 1], D(A)~C40, 1] и опера-
гор А есть оператор дифференцирования: АхA) - х'(I).
Нсли последовательность хп состоит из дифференцируемых
функций, равномерно сходится к функции х и последова-
последовательность производных х'п равномерно сходится к функции
//, то по известной теореме из математического анализа
функция х непрерывно дифференцируема и х' ¦—- у. Это
угперждение в точности означает, что оператор А замкнут
и рассматриваемых пространствах.
Приведенный пример показывает, что замкнутый опе-
ритор может быть неограниченным.
Теорема 2 (о замкнутом графике). Пусть X и Y — ба-
Нйхош пространства. Если линейный оператор А : X -> Y
«пределен на всем пространстве X и замкнут, то он огра-
ограничен.
Доказательство. На пространстве X введем новую
Норму ||jr||, : ||х|| -|- \\Ax\\. Покажем, что относительно но-
НОП нормы пространство X полно. Пусть \\хп — atJ^-^O
при /(, tn—foo. Тогда хп есть последовательность Коши
193
в X, а Ахп — последовательность Коши в Y. Значит, хп -*¦
-+х, Ахп-+у и в силу замкнутости оператора Ах-- у.
Тогда \\хп — х\\\ -- \\xn — Xf>\\ + \\Axn — y\\-*Q. В силу след-
следствия 1 существует постоянная С такая, что IMIi^C||x||,
откуда получаем неравенство ограниченности \\Ax\\ «^ С ||х||. С
Пример. Пусть банахово пространство X разложено
в прямую сумму своих замкнутых векторных подпространств
Y и Z, т. е. каждый элемент х представляется в виде х —
---¦ у + z. Определим проектор в X на подпространство Y
по формуле Рх — у. Покажем, что этот проектор является
ограниченным оператором. В силу теоремы о замкнутом
графике достаточно проверить замкнутость оператора Р.
Пусть хп-*-х, Рхп-+у. В силу замкнутости У имеем у?
? Y. Так как хп — Рхп --- zn ? Z и zn -*¦ г —¦¦ х — у, в силу
замкнутости Z получаем, что z ? Z и, значит, Рл; = ?/. Это
и означает, что оператор Р замкнут.
С помощью теоремы Банаха об обратном операторе мож-
можно получить другое доказательство теоремы Банаха — Штейи-
гауза.*
Теорема 3 (Банах — Штейнгауз). Пусть X — банахово
пространство, Y — нормированное пространство и Ah(-L (X,
Y) — линейные ограниченные операторы. Если для каждого
х?Х sup |И„л:!|у< Ч- оо, то sup \\А,,\\ЦХ _У)< + °°.
Доказательство. На банаховом пространстве X
зададим еще одну норму
11x11,"= ||х|| + sup \[Ahx\\Y.
Из условия теоремы следует, что это действительно норма,
причем очевидно, что IMl^lMli. Покажем, что в новой
норме ||-Ил пространство X полно. Действительно, пусть
(z,,) — последовательность Коши в норме \\-\\v т. е. для
любого е>-0 найдется номер п0 такой, что при п, т~^па
Н*п — хт\\х -!- sup }\Ahxn — Ahxm\\Y < е. C)
А>0
Отсюда следует, что (хп) — последовательность Коши в X
в исходной норме. Так как X полно, то существует х?Х
такой, что \\хп — х\\х-+0 при п-*-оо. Поскольку все. Ak
непрерывны, то \\Ahxn — А,,х\\ -*- 0 при п -> оо для любого
k. Устремляя т к оо в неравенстве C), получим 1|*п —х|| +
+ sup ||Л/.хп — Акх\\ < е при п ^ п0. Это означает, что
\\х* — ^lli-^-O при н->оо. Таким образом, X полно в нор-
норме II-Hj. В силу следствия 1 эти нормы эквивалентны, т. е.
196
существует постоянная С такая, что
\\х\\ +
Отсюда sup |Иьх||< С \\x\\ для любого х?Х, т. е.
§ 37. Интегральные уравнения с вырожденными
и малыми ядрами
Рассмотрим интегральное уравнение вида
s)x(s)ds = y(t). A)
Определение 1. Ядро К(t, s) интегрального урав-
уравнения называется вырожденным, если оно может быть
представлено в виде
K(t, s)^^iah(t)bk(s). B)
Решение интегрального уравнения вида A) с вырожденным
ядром сводится к решению системы линейных алгебраичес-
алгебраических уравнений. Будем считать, что в равенстве B) функ-
функции ah(t), k--l, . . ., п., линешю независимы и функции
b),(s), k — 1, . . ., п, также линейно независимы. Если
функции ак (t) или bh (s) линейно зависимы, то, выражая
часть из них через остальные, получаем для K(t, s) вы-
выражение вида B) с меньшим числом слагаемых.
Подставив ядро в виде B) в уравнение A), подучаем
п I
х @ - у а« (О С b>< (s)х (s)ds + у @- C)
Если уравнение A) имеет решение, то из C) видно, что
STO решение имеет специальный вид
^ D)
где ch — постоянные. Поэтому решение уравнения A) бу-
будем искать в виде D). Подставив D) в левую часть ра-
пекства C), получаем равенство
„ @ + У @ - 2 й" @1Ь* (s)х (s)ds + У(Ь
197
которое в силу линейной независимости функций ak (t) экви-
эквивалентно системе
1
cft = \ bk (s)x(s)ds, k = 1 п. E)
о
Подставив в E) функцию х в виде D), получаем систему
линейных алгебраических уравнений
п
где
dhj = j *>ft (s) flj (s) ds, k, j = I, . . ., n, G)
о
l
ds, (8)
эквивалентную уравнению A) в следующем смысле:
если уравнение A) имеет решение, то оно представляется
в виде D) и коэффициенты о, удовлетворяют системе
F); если коэффициенты сь ..., сп удовлетворяют системе
F), то функция х, полученная по формуле D), является
решением уравнения A).
Мы не налагали на функции аи@ и bh(s) условий и
не зафиксировали пространство функций, в котором ре-
решаем уравнение A), так как рассуждения одинаковы для
всех пространств функций таких, как С[0, 1], Lp[0, 1],
С<[0, 1] и т. д.
Приведенные выше рассуждения справедливы, если
функции au{t) принадлежат рассматриваемому прост-
пространству функций, а функции bh{s) таковы, что интегралы
в (8) существуют для любой функции у из рассматрива-
рассматриваемого пространства.
Заметим, что мы пока не использовали условие линей-
линейной независимости функций bh(s). Из этого условия сле-
следует, что векторы у=(У\, ..., Уп), где Ук определены по
формуле (8), пробегают n-мерное пространство, если
функции у пробегают все пространство функций, т. е.
отображение f/-H/ является сюръективным отображени-
отображением на n-мерное пространство. Как известно, необходимым
и достаточным условием разрешимости системы линей-
линейных алгебраических уравнений при любой правой части
является невырожденность матрицы системы. Определи-
Определитель Д системы F) имеет вид
198
Д =:
du — 1 d12. . . dln
du d22— 1 • • • d2
d,,i dn2 . . . dnn —
Если Д^О, то система F), а следовательно, и урав-
уравнение A) имеют единственное решение при любой правой
части. Если Д = 0, то система F), а следовательно, и
уравнение A) не разрешимы при произвольной правой
части, а однородная система, соответствующая F), и
однородное уравнение, соответствующее A), имеют ко-
конечное число линейно независимых решений.
Второй класс интегральных уравнений, который так-
также легко поддается исследованию,— это интегральные
уравнения с достаточно малыми ядрами.
Ядро K{t, s) будем называть достаточно малым, если
для интегрального оператора
1
Ax(t)- §K(t, s)x(s)ds (9)
выполнено условие |||
По теореме 2 § 35 из условия ||Л||<1 следует, что
оператор /—А имеет ограниченный обратный, что экви-
эквивалентно однозначной разрешимости уравнения A) для
любой правой части. Как показано в § 27, для интеграль-
интегрального оператора А в пространстве С[0, 1] норма выража-
выражается формулой
1
[И||= max f \K(t, s)\ds.
Поэтому получаем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть функция K(t, s) определена и неп-
непрерывна при 0^^, s<;i. Если max [\K(t, s)\ds<. 1, то
интегральное уравнение A) в пространстве С [0, 1] имеет,
и притом единственное, решение для любой правой части.
Рассмотрим интегральный оператор (9) в пространстве
/•а [0, 1]. Как показано в §27, если K(t, sNL2([0, 1] X
•¦" [0, I]), то для интегрального оператора А в простран-
пространстве L2[0, 1] справедлива оценка
Ш\ 1/2
)
Ш\ 1/2
\K(t, s)\4sdt) .
I
199
Применяя предыдущие рассуждения в случае прост-
пространства L2[0, 1], получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть функция K(t, s) измерима и
00
Тогда интегральное уравнение A) в пространстве L2[0, 1]
имеет, и притом единственное, решение для любой правой
части.
Если ядра K{t, s) по являются достаточно малыми, то
интегральное уравнение может быть исследовано следую-
следующим образом. Пусть, например, K{t, s) измерима и суще-
существует интеграл \\ \К(t, s)\2dsdt. Пусть eh(i) — полная ор-
тонормированная система в Ьг[0, 1]. Тогда функция К (Л s)
разлагается в двойной ряд К (t, s) — V ckД (t) ej (s), ko-
торый сходится в L2([0, 1] X [0, 1]). Пусть Kn(t, s) =
n
-- "V ch]eh (t) ej (s). Если An — интегральный оператор с яд-
ром Kn(t, s), то 1И —ЛП|К||/С —/Cn|U2. Выберем номер
п0 так, чтобы выполнялось \\АПо — Л||< 1. Уравнение A)
в пространстве L2 [0, 1] запишем в операторном виде
По теореме 2 § 35 для оператора / — {А — AnJ существует
ограниченный обратный В. Тогда уравнение A0) эквивалент-
эквивалентно уравнению
(/ - ВАПо) х = By. A1)
Но уравнение A1) есть интегральное уравнение с вырож-
вырожденным ядром, так как
п I
ВАПах (t) = ^ СЧ №ek](t) j ej (s) x (s) ds.
ft.jf^l 0
Следовательно, уравнение A) с ядром K(t, s) обладает
основными свойствами уравнения с вырожденным ядром.
Таким образом, получаем, например, следующее утверж-
утверждение.
Теорема 3. Пусть K(t, sNL2([0, l]X[0, 1]). Инте-
Интегральное уравнение A) в пространстве Ьг[О, 1] разреши-
200
мо для любой правой части тогда и только тогда, когда
однородное уравнение имеет только нулевое решение.
Однородное уравнение имеет всегда конечное число ли-
линейно независимых решений.
Заметим, что сведение уравнения A) к уравнению с
вырожденным ядром A1) может быть использовано не
только для исследования, но и для приближенного реше-
решения уравнения A).
Более общие, чем теорема 3, утверждения об инте-
интегральных уравнениях будут получены из других сообра-
соображений в § 49.
§ 38. Преобразование Фурье функций
из пространства / i|R)
Преобразованием Фурье функции f, заданной на пря-
прямой R, называется функция f, определенная формулой
f(x)e~ixldx. A)
Теорема 1. Если функция /?Z,,(R), то ее преобразова-
преобразование Фурье определено, удовлетворяет неравенству
и является непрерывной функцией на R, причем lim /(?) --
Доказательство. Так как \f(x)e~ixl\^\f(x)\, то из
свойств интеграла Лебега получаем
¦+°°
ю< j \f(x)\dx,
00
т. е. неравенство B). Значит, преобразование Фурье
/'": f-^-f можем рассматривать как отображение из про-
пространства Li(R) в пространство ограниченных функций
и, согласно неравенству B), это отображение ограниче-
ограничено. Линейность отображения F очевидна.
Пусть ф(я)—характеристическая функция интерва-
интервала ]а, b[.Тогда
e~tbl
C)
201
и, значит, ф(|) — непрерывная на R функция и lim cp (?) —
11/-°°
— 0. Аналогично доказательству теоремы 2 § 19 получаем,
что линейные комбинации характеристических функций ин-
интервалов плотны в пространстве Lx (R), их образы являются
линейными комбинациями функций вида C) и, следователь-
следовательно, непрерывными функциями, стремящимися к нулю на
бесконечности.
Пусть теперь / — произвольная функция из Lx (R) и
пусть /„ — последовательность ступенчатых функций (т. е.
линейных комбинаций характеристических функций интер-
интервалов) такая, что ||/„ — /||il(R)->0. Тогда в силу неравенства
B) последовательность /п равномерно сходится к функции
/ и, значит, функция / как предел равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций является функ-
функцией непрерывной. Свойство lim /n (|) = 0 также сохраняет-
ся при равномерной сходимости. В самом деле, возьмем
8>0и выберем номер л0 так, чтобы выполнялось |/„0(|)—
— /(?I<е/2, и число М так, что при |?|>Л1 будет
|/п„(?I <С е/2- Тогда для ? таких, что |||>М, получаем
I? AI < if п. (S)l + \к (?) - f(l)\ < е-:.:
Замечание. Не любая функция, непрерывная на R и стремя-
стремящаяся к нулю на бесконечности, является преобразованием Фурье
функции нз L\ (R). Можно показать, например, что функция
Ч-L-i
не является преобразованием Фурье функции чз /./(R), хотя она не-
.прерывна и lim g (I) — 0.
Заметим также, что функция /(?) может быть неинтег-
рируемой (например, функция ср(?) из формулы C)).
Возникает задача: как по образу /(?) найти исходную
функцию f(x). Поскольку для элементов / из пространства
Lj(R) значение в точке, вообще говоря, не определено, то
естественно ожидать, что значение f(x) в точке х можно
найти лишь для функций, удовлетворяющих дополнитель-
дополнительным условиям.
202
О п р е д е_ле н и е 1. Функция / удовлетворяет в точке
Х0//условию ДинИ,- если функция
интегрируема в некоторой окрестности точки t — 0.
Условию Дини удовлетворяет, например, абсолютно не-
непрерывная функция, имеющая ограниченную производную.
Действительно, если |/' (х)\ ^ М, то
1фю1= 4-*Тfl{x)dx
и, значит, условие Дини выполнено.
Теорема 2. Если функция /?Lj(R) и в некоторой точке
х удовлетюряет ^словиюЛинИт то в этой точке справед-
справедливо равенство
TfOe* D)
2я •>
причем интеграл в D) есть интеграл в смысле главного
значения.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Так как существует повторный интеграл
—ЛГ —оо
то по теореме Фубшси можем изменить порядок интегри-
интегрирования и, учитывая, что
f ei(x~y)ldl = 2 sinM(x —
—N X У
получаем
/Л
lx — y)
—
— У
203
Сделав замену переменной t — х — у, получаем
/ (х) - —Т f(x+f) SinNt
N л J t
dt.
Из курса математического анализа известно, что при ./V >
>• 0 справедливо равенство
°с sin Nt ,, л
at = — ,
ь1 I 2
E)
причем несобственный интеграл сходится условно и равно-
равномерно по ./V при iV^sl, подынтегральная функция не ин-
интегрируема по Лебегу. Представляя f(x) в виде
^— Г f(x) dt,
я •> t
00
получаем
л.
Покажем, что последний интеграл стремится к нулю при
Л^-*¦ оо. Возьмем е>Ои в силу равномерной сходимости
интеграла E) выберем число А > 0 так, чтобы
П
dt
Тогда разность представим а в виде
1 г f(x + t) — f(x)
\fir(x)-f(x)\-=
z
- f
dt
При |^| > 1 имеем
sin Nt
i
1. Поэтому, выбрав доста-
достаточно большим число А, получим, что -:q
sin Nt
- f
я i
¦dt
По условию Дини функция
204
t)-f(x)
t
О, 1*1 > Л,
интегрируема, и по теореме 1 получаем, что
lim Г ц> (t) sin Ntdt ^ lim С (f>(t)
elNt — e-l
.Чпачит, существует число Л/о такое, что при
полнено
вы-
выТогда при N>N0
означает, что
/ (х) = lim —
будем иметь \fN (х) — f (x)\ < е. Это
1 +°°л .
'xld% =—- v.p. Г }®eixldx.
2л. J
Теорема доказана. П
Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.
1. Если функция / интегрируема и абсолютно непрерыв-
на, а ее обобщенная производная f интегрируема, то /'(!)==
-»№
Доказательство. Как показано в § 12, для функ-
функции f справедлива формула Ньютона — Лейбница
Поэтому существует предел
lim / (х) =
и lim f(x) = O, так как функция / интегрируема. Анало-
гично получаем lim / (л;) — 0.
Тогда интегрированием по частям получаем
/'©= if г,
205
il jf(x)e-ixldx--ilf(t\ П
2. Если /6 MR) и xf (x) 6 Lx (R), то функция
прерывно дифференцируема и
не-
неДоказательство. Рассмотрим приращение
—ihx
e
— 1
dx.
F)
Так как
e-ihx-\
< \x\, подынтегральные функцииj3 F)
мажорируются интегрируемой функцией \xf(x)\ и, значит,
по теореме Лебега можно перейти к пределу при ft->-0.
Получаем
— /(!) = -» Т xf (x) e-ixldx. J
ft _J«
3. Сверткой функций / и ^^называется функция / *'g,
определенная формулой
(f*8){*)= J f(*\-y)g(y)dy:
Если функции fug принадлежат Lx (R), то их свертка / *
*g определена почти всюду и принадлежит Z-i(R). При
этом f * g — f-g, т. е. при преобразовании Фурье свертка
переходит в обычное произведение функций.
Доказательство. Рассмотрим повторный интеграл!
f J \f (x - у)\ \g (У)\ dxdy - j° f |/ (* - y)\ dx \g (y)\ dy =
206
По теореме^ Фубини существует двойной интеграл и суще-
существует повторный интеграл, полученный переменой поряд-
порядка интегрирования:
-f-oo -{-o°
Л j /(*— У) 8 W) dy\dx<+ 00.
— 00 —00
Существование этого интеграла означает, что свертка f*g
определена почти всюду и является интегрируемой функ-
функцией. Тогда
-{-00 -f-00
= J J f(x-y)8to)dy-e-l*dx =
—00 —00
+f
= T 8to) е-'Лс1у +f f(x-y) e-l[x-y)ld (x - y) -=
4. Пусть /eMR), ft^R, g(x) = /(jf + /i) и
е'Л/ (х). Тогда g (I) = e"*> (i), ф (i) = / (g - A).
Доказательство.
—oo
eihl j f(x + h)e-4x+h)tdx = emf{l),
—oo
-•-00
<p (?) =, [ f (x) elxh e~ixldx =
§ 39. Преобразование Фурье в пространстве Z.2(R)
Если функция f принадлежит пространству L2(R),
ТО интеграл в формуле A) § 38, задающей преобразова-
преобразование Фурье, может оказаться расходящимся. Покажем,
ЧТО для функций из L2(R) преобразование Фурье можно
207
задать иначе. Основой для этого задания является сле-
следующее утверждение.
Теорема 1. Вели функция / дважды непрерывно диф-
дифференцируема и f, /' и /" принадлежат L^R), то справед-
справедливо равенство Парсеваля
\f(x)\4x~ J-'j \f{\)\4l.
Доказательство. Согласно свойству 1 преобра-
преобразования Фурье в Z-i(R), функция |2/(Е) является преоб-
преобразованием Фурье функции f"(x) и по теореме 1 § 38 огра-
ограничена некоторой постоянной М. Тогда |f(|)|^Al/|2,
откуда следует, что функция f интегрируема. Функция f
удовлетворяет условию Дини, для нее справедлива фор-
формула обратного преобразования Фурье и, так как функ-
функция f интегрируема, интеграл в формуле D) § 38 можно
рассматривать как обычный несобственный интеграл, а
не интеграл в смысле главного значения.
Так как функция / ограничена и интегрируема, то про-
произведение / (х) I (х) является интегрируемой функцией и по-
получаем
J ~ J 2л J
= -^— Т JW 7 / (х) е-**Лк I = -J- "'Г Г® / F) а\.
2я _f _^те 2л _Ум
Изменение порядка интегрирования допустимо в силу
теоремы Фубини, так как функция f(x)f(l) интегрируе-
интегрируема. ?
Функции /, удовлетворяющие условию теоремы 1, об-
образуют всюду плотное множество в L2(R). Оператор F
преобразования Фурье, определенный на этих функциях,
является ограниченным в норме L2{R) и, более того, ра-
равенство Парсеваля означает, что
1
По непрерывности этот оператор может быть продолжен
на все пространство L2(R) до оператора, который будем
обозначать той же буквой F. При этом в силу теоремы о
продолжении равенство Парсеваля (I) будет выполнять-
выполняться для продолженного оператора и, в частности, все об-
208
разы F(f) принадлежат L2(R). Обратное преобразова-
преобразование Фурье также продолжается на все пространство
/.2(R), и это продолжение является обратным к преобра-
преобразованию F в силу теоремы о продолжении § 18.
Продолжение по непрерывности в данном случае мо-
может быть описано следующим образом. Пусть fGL2(R).
Тогда функция
U'{X)""W \x\>ff,
ииляется интегрируемой и \\fN— /II/ -»-0 ПРИ #-»-оо. Для
функции /Л, существует обычное преобразование Фурье, ко-
i орое' совпадает с преобразованием, определенным как про-
продолжение по непрерывности. В силу равенства Парсеваля
получаем
, m,
т. е. последовательность fn является последовательностью
Коши в L2(R). В силу полноты этого пространства /„ схо-
сходится к некоторой функции /, которая по определению яв-
является преобразованием Фурье функции /. Таким образом»
для / из L2(R) получаем
f (g) = lim f f(x)e-"*dx,
N-kxi J
причем предел понимается в смысле сходимости в Z-2'(R).
Таким образом, пространство L2(R) при преобразо-
и;пши Фурье биективно отображается на L2(R) и поэтому
применение преобразования Фурье в пространстве Z-2(R)
оказывается наиболее эффективным. Преобразование
Фурье в пространстве L2(R) обладает свойствами 1)—4)
m предыдущего параграфа.
Рассмотрим в качестве примера интегральные урав-
уравнения с операторами свертки, исследование которых в
пространстве L2(R) легко проводится с помощью преоб-
рпзования Фурье.
Пусть К(х) — интегрируемая функция. Рассмотрим,
уравнение вида
аср (х) -1- j' К (х - - у) <р [у) dy - if (x), B),
где Ф — неизвестная ([ \ нкция, if — известная, а — число.
И. Зпк. 420 209
Рассмотрим уравнение B) в пространстве Z.2(R), т. е.
будем считать, что ip?L2(R) и $?L2(R).
Теорема 2. Пусть /С ? i^ (R) П La (R). Для того, чтобы
уравнение B) имело, и притом единственное, решение
<p?L2(R) Для любой функции i|3?L2(R), необходимо и до-
достаточно, чтобы выполнялось условие
афО, a + k(l)?*0, ySGR- C)
Доказательство. Применим преобразование Фурье
к уравнению B). Получаем уравнение
[а-\ ¦*(©]¦? (Б)--*(?) D)
в пространстве L2 (R). Функция К (|) является непрерывной
функцией и lim /^(|) = 0. Оператор умножения на непре-
lii—ж,
рывную функцию а + К (!) обратим в L2 (R)_ тогда и толь-
только тогда, когда а + К {%) ф 0 и lim [a -f К (?)] --• а Ф 0.
Значит, условия C) являются необходимыми и достаточными
условиями разрешимости уравнения D), а следовательно, и
уравнения B). j
Глава VI
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
•§ 40. Линейные ограниченные функционалы
Определение 1. Линейным функционалом на век-
векторном пространстве X над полем К называется отобра-
отображение / : Х-»-К, удовлетворяющее условиям
/ (*! + xj = f (х,) + f (.r2), / (X*) = X/ (х)
для любых хи х2?Х,
Сопоставляя определение 1 с определениями § 27,
видим, что линейный функционал является частным слу-
случаем линейного оператора. В частности, для линейного
функционала справедливы все понятия и теоремы § 33.
Приведем некоторые из этих понятий.
1. Линейный функционал на нормированном прост-
пространстве X называется ограниченным, если существует
210
постоянная С>0 такая, что справедливо неравенство
\1)\СЩ
2. Нормой ограниченного линейного функционала f на-
называется наименьшая из констант С, при которых справед-
справедливо неравенство ограниченности, т. е. ||/|j = infC =
Определение 2. Пространство L(X, К) линейных
ограниченных функционалов на X называется сопряжен-
сопряженным к пространству X и обозначается X'.
Согласно теореме 1 § 33, сопряженное пространства
является полным нормированным пространством.
Примеры.
1. Пусть X — конечномерное нормированное пространства
с базисом ev е2, . .. , еп. Тогда любой элемент х представ-
п
ляется в виде х— V xheh, xlt?R. Поскольку в X все нор-
нормы эквивалентны (см. § 28), будем считать, что \\х\\х =
|х;и2]1/2. Если / — линейный функционал на X, то
где Ik = f{ek). Полагая g =
л
¦¦- V \hek, имеем f (x) = (x, %)¦ Из неравенства Коши —
ft=i
Г>уняковского] получаем оценку \f(x)\ = \{x, g)| < ||||||И|,.
ксугорая показывает, что в конечномерном нормированном.
пространстве любой линейный функционал / ограничен.
2. Пусть X = С [0, 1]. Функционал / на X определим
1
формулой f (x) = f х (t) dt. Линейность функционала / сле-
следует из свойств интеграла
f [>^i (О -I- V4 @1 dt = X \ Xi (t)dt + \i \ х2 @ dt.
0 0 0
Проверим ограниченность э ого функционала:
21t
3. Пусть a(t) — интегрируемая по Лебегу функция. На
нормированном пространстве С [0, 1] определим функционал
формулой /(х)= *\ a{t)x(t)dt, где интеграл понимается в
смысле Лебега. Линейность этого функционала очевидна.
1
Неравенство |/(х)| ^ max \x(t)\ [\a(t) |dt есть неравенст-
во ограниченности для функционала /, причем
<\\a(t)\dt.
о
На пространстве С |0, 1] могут быть функционалы и
других видов.
4. На пространстве С[—1, 1] определим линейный
функционал б формулой 8(х) = х@). Так как |б(х)| =
= Iх @) I ^ max | х (/) |, то функционал б ограничен и
К*<1
||б|| = 1. Однако не существует функции a(t)?L1[—1, 1]
такой, что 6(*)=•- \ а (/) х(t) dt для всех х?С[— 1, 1].
Действительно, предположим противное и выберем последо-
последовательность
п п
,/, + J.). _J.<
V л / п
-n(t-J-
{ \ п
Тогда хп ?С[—1, 1] и хп@) = 1 для всех п. Подставляя
хп в формулу, получаем
1-хп@)-Ь(хп)^ $a(t)xn(t)dt. A)
Так как a(t)xn(t)-+O почти всюду и 10@^,1@1*^1 а @1 •
то, переходя в равенстве A) к пределу по теореме Лебега,
1
будем иметь 1 == б(л:п) = lim Г с@^п@^ — 0- Получаем
л-юо J
противоречие.
212
5. Пусть X = LP(T, \i) и пусть g ?Lq(T, p), где
\/р+ 1/д = 1. На пространстве LpG\ ц) определим линей-
Иый функционал формулой
f(x)^\x(t)g(f)dp. B)
г
Согласно неравенству Гёльдера (см. § 20), интеграл B) су-
существует и справедливо неравенство
которое является неравенством ограниченности для функцио-
функционала /, и из C) получаем, что || / || ^ || g \\L .
6. Пусть Н — гильбертово пространство и и?Н — про-
Н июльиый элемент Н. Линейный функционал на Н опреде-
определим формулой / (х) — (х, и). Линейность этого функционаЛа
следует из аксиом скалярного произведения, а неравенство
Коши — Буняковского | (х, и)\^.\\х\\ \\u\\ является нера-
нспством ограниченности для функционала / и показывает,
1110 II /ll^l!u II- Так как в случае х — и имеем равенство
/ (и) = (и, и) = || и || || и ||, то постоянная || и \\ есть наимень-
наименьшая, при которой справедливо неравенство ограниченности,
¦I. е. Ц/11 = ||и||.
Следующая теорема утверждает, что справедливо и об-
обра гное.
Теорема 1 (Рисе). Для любого ограниченного функцио-
функционала / на гильбертовом пространстве Н существует, и при-
•|ом единственный, элемент и?Н такой, что f (х) = (х, и),
причем Ц/11 = Ц «II-
Доказательство. Единственность. Пусть /(х) =
(х, Uj) и f(x) = (x, u2). Тогда (х, и1 — м2) = 0 для лю-
Гин'о х?Н. Положив х = иг — и2, имеем ||иг — щ||2 — 0,
1. е. иг = и2.
Существование. Пусть Л^ = Ker/ = {x\x?H, f(x) — O}.
!-)го векторное подпространство в Н. Оно замкнуто в силу
непрерывности/. (Если хп-+х0 и xn?N, то f (х0)—
li/(xn) = 0, т. е. xo?N.) Если N = Н, то f(x) = (x, 0).
11усть N фН, тогда, согласно теореме о проекции (см. § 30),
существует элемент и0 _\_N, и„Ф0. Возьмем произвольный
/ (х)
элемент х б Н и построим элемент хх — х i-L-Z_ щ. Так
/ («о)
KaK7(*i) = f{x)- Ж-7Ы> 0, то x&N. Тогда (xlt ио)=
/(«о)
213
I
=- 0, т. е. (х, и0) — —Щ-1| ы01|2 = 0, откуда / (л:) = (х, и),
гдеЦ==4^и
«о
2
И О II
Равенство ||f]| = |l«ll было доказано в примере 6. ?
Доказанная теорема утверждает, что между элементами
гильбертова пространства Н и его сопряженного Н' суще-
существует биективное соответствие Н^и-*- fu?H', где /и (х) -¦=
— (х, и). Очевидно, что это отображение обладает свойст-
свойствами иг + и2 -*¦ fu + fUt, A,u ->- %fu (такие отображения на-
называются антилинейными) и, так как ||и|| ¦-• ||/и||, оно изо-
метрнчно.
Значения линейных функционалов в Rn являются
координатами точки х в некоторой системе координат.
С этой точки зрения можно рассматривать и линейные
ограниченные функционалы в нормированном простран-
пространстве, т. е. значения линейных ограниченных функциона-
функционалов в точке х считать координатами точки х и вместо х
рассматривать ее «координаты» f(x). Поэтому можно
считать, что введение сопряженного X' к бесконечномер-
бесконечномерному нормированному пространству X аналогично вве-
введению координат в геометрическом пространстве. Для
обоснования правомерности такой точки зрения нужно
прежде всего показать, что линейных ограниченных функ-
функционалов на нормированном пространстве достаточно
много в том смысле, что по значениям всех линейных
ограниченных функционалов точка хпХ определяется
однозначно.
§ 41. Теорема Хана—Банаха о продолжении
линейного функционала
Задача о том, достаточно ли много на нормированном
пространстве линейных ограниченных функционалов,
сводится к задаче о продолжении линейного функционала
с подпространства на все пространство. Утверждение о
возможности такого продолжения (теорема Хана—Бана-
Хана—Банаха) дает решение этих задач. Эта теорема, как уже отме-
отмечалось, относится к числу трех основных принципов функ-
функционального анализа.
Определение 1. Пусть X — множество, (fa) —
семейство отображений fa •' X-*-R. Говорят, что это се-
семейство отображений разделяет точки пространства X,
если для любой пары Xi^x2 точек из X .существует
функция f?(fa) такая, что f(xi)=?f(x2).
214
Нужно выяснить, разделяют ли ограниченные линей-
линейные функционалы точки нормированного пространства,
т. е. достаточно ли много таких функционалов.
Близкая к этой задаче — задача о продолжении ли-
линейного ограниченного функционала.
Определение 2. Пусть LczX — подпространство
нормированного пространства X и пусть на L задан ли-
линейный ограниченный функционал /0. Продолжением
функционала fQ называется линейный ограниченный функ-
функционал f па X такой, что f(x)=fo(x) для x?L.
Если для ограниченного функционала продолжение су-
существует, то для х1 Ф х2 ? X разделяющий их функционал
построим следующим образом: на подпространстве L —
{((Xj — х2) 11? К) зададим функционал f[t(x1 — х2)] = t.
Иго продолжение разделяет точки xL и х2.
Отметим, что если / — продолжение /0, то
ЦП!-- sup |/(x)|> sup |/(*)|=--|l/oll.
i. e. при продолжении норма не может уменьшиться.
Представляют интерес такие продолжения, при которых
норма не увеличивается.
Покажем, как эти задачи решаются в случае гильбер-
тва пространства Н на основе теоремы Рисса.
1. Если х1фхг, то для функционала /(х) = (х, хх—ха)
имеем / (%]) — / (х.) ¦¦- \\ хх — х21|2 ф 0, т. е. линейные огра-
ограниченные функционалы разделяют точки пространства Н.
2. Пусть L d Н — подпространство в Я и /0 — функ-
функционал на L. Согласно теореме Рисса, fo(x) — (x, u0), где
и0 ? L. Тогда формула / (х) ^~ (х, и0) определяет линейный
ограниченный функционал на Н, являющийся продолжени-
продолжением /о, причем || /1| = || /01|.
Основную теорему Хана — Банаха докажем в более об-
общей формулировке.
Определение 3. Пусть X — векторное пространст-
1Ю. Полунормой на X называется отображение p:X->-R,
удовлетворяющее условиям 1) р(х)^О; 2) р (Кх) ¦-- \k\ p (х);
( )<( ()
) Р( у)р() р(у)
Примером полунормы является норма. Другие при-
примеры см. в § 53 и в гл. IX.
Теорема 1 (Хана — Банаха, действительный случай).
Пусть X —^ветггортилгяроетраново над Я,г=ТП5лу-
норма на X, LoczX — векторное подпространство и на
I.q .чадан линейный функционал /0, удовлетворяющий,
условию
215
Тогда существует линейный функционал F.X-+R такой,
что F (х) = / (х) для х ? Lo и | F (x) | <i р (х) для всех х ? X.
Доказательство. Так как из неравенства F(х) ^
<р(х) следует |F(x)|</?(%) (если F(x)<0, то |F(x)| =-
= F(—х)^р(х)), докажем существование продолжения,
удовлетворяющего условию F (х)^.р (х).
Пусть х1 (¦• Lo. Множество Lx = {кхг + х \ х ? Lo, к ? R}
является подпространством в X.
Построим продолжение /\ функционала f0 на Lv В силу
линейности /j (Uj + ^) - Я/j (хх) + fj (х) - ЯД (xj) + /0 (х).
Поэтому для определения fi достаточно задать только число
fi(xi)~c- Нужно подобрать с так, чтобы выполнялось ус-
условие /j (?.Xj -\- Х)^р (XXj -г X) ИЛИ
%с + /0 (а:) < р (А*! + х) у^ € ^-о. *. € R- A)
При Я>0 нераЕенстсо A) переписывается следующим об-
образом:
а при ^ < 0 так:
^р (^х/Х _ Хл) + /0 (-л:/?.) < с. C)
Покажем, что найдется постоянная c?R, удовлетворяющая
условиям B) и C). Пусть у', у? — произвольные элементы
из Lo. Тогда
. /о (У') + /о (У") = /о (У' + /) < Р (У' + У") <
или
-Р (У' -х>) + /о (У') < р (г/" + хх) - f0 (у')- D)
Положим
С'= sup [—р (У' —
y'ei-o
с'= inf
Тогда из D) вытекает, что с' ^ с". Выбрав с так, чтобы
с' ^ с ^ с", получаем, что с удонлетЕоряет условиям B) и
C), т. е. функционал /1; определенный на Lx формулой
/i (^a'i + х) = he -\- f0 (x), удовлетворяет условию подчинения
М*) * )
М) О (! )
Рассмотрим теперь множество М всех продолжений g
функционала /0, удовлетворяющих неравенству g(x)^.p(x).
Продолжение /а функционала /0 задается парой (La, /a),
210
состоящей из подпространства La и функционала fa, опре-
определенного на нем. В множестве продолжений вводим отно-
отношение порядка: будем говорить, что (La, /a)<(Lp, /р),
если Lacz Lp и /a (л:).— /р (х) на La. Если в множестве М
исех продолжений взять линейно упорядоченное подмноже-
подмножество (La, fa) ., то, положив L= U К и f (х) =¦¦ f a (х),
для x?La будем иметь, что (L, /) является верхней
гранью для этого подмножества. Значит, согласно лемме
Цорна, в множестве всех продолжений существует макси-
максимальный элемент (L, F). Если ЬфХ, то функционал F,
согласно первой часги теоремы, может быть продолжен и
продолжение не является максимальным. Значит, макси-
максимальное продолжение есть продолжение на все пространст-
пространство. П
Теорема 2 (Хана — Банаха, комплексный случай). Пусть
X — векторное пространство над С, р — полунорма на X,
I. — векторное подпространство и на L задан линейный
функционал /, удовлетворяющий услозию
Тогда существует линейный функционал F:X-+C такой,
что 1) F(x) = f{x) для всех x?L и 2) \F(x)\ <p(%) ,для
*iii'ex х? X.
Доказательство. Отметим, что если в комплексном
иекторном пространстве ограничиться умножением лишь на
действительные числа, то это пространство можно рассмат-
рассматривать как действительное векторное пространство. Запи-
Запитом f{x) = g(x) -f- ih(x), где g(x) и h(x) — действительная
и мнимая части / (х) соответственно. Тогда g и h — дейст-
пптельные функционааы на L. Так как для каждого х ? L
ц (ix) + ih(ix) = f (ix) - if (x) -= i \g (x) + ih (x)] == -h (x) +
I ig(x), то h{x) = — g(ix). Поэтому f(x) =-- g(x) — ig (ix).
'l'.iK как \g(x)\ ^| / (x) | ^p(x), то по теореме 1 продол-
продолжим g до действительного функционала G:X->R, удов-
удовлетворяющего условию G (х) ^ р (х) при х ? X. Следователь-
Следовательно, —G(x) = G(—x)^p(—x) — р(х)'и поэтому |G(x)|<
^). Определим теперь функционал
комплексный аддитивный функционал, определенный
на X, однородный относительно умножения на действитель-
действительные числа (ибо G — действительный линейный функционал).
Чтобы доказать, что F — комплексный линейный функцио-
функционал, достаточно показать, что F (ix) = iF (x) для всех Х
217
Действительно, F (ix) — G (ix) — iG (— x) — iG (x) + G (ix) =
— i[G(x) — iG(ix)] = iF(x). Функционал F является про-
продолжением /, так как G является продолжением g. Оста-
Осталось доказать неравенство \F (х)\ <; р (х). Запишем F {х) в
виде F (х) =-. \F (х)\ е'ф, где ф = arg F (х). Тогда \F(x)\ --=
= F(x)e~iq>= F(e~i<fx)p--0. Выражение F(e~t4>x) является:
действительным и неотрицательным, поэтому F(e~l<fx) =
= \G (e~il*x)\ < р (e-ivx) = | <Гг(Г| р (*) ¦=-- р (*), т. е. \F (x)\ <
<р(х). г
Как следствие доказанных выше теорем получаем
к«[ассическую теорему Хана—Банаха.
Теорема 3. Пусть X — нормированное пространство,
L — его векторное подпространство. Тогда для любого
ограниченного линейного функционала /: L-+C сущест-
существует определенный на всем пространстве X ограниченный
линейный функционал F такой, что 1) F является про-
продолжением/^) 11Л1Н1Я1-
Доказательство. Условие ограниченности [/(х)\^
^ 11/11 IMI есть частный случай условия 2) теоремы 2, так
как р (х) = II/H |1х|| есть полунорма. Согласно теореме Ха-
Хана — Банаха, существует продолжение F на все X такое,
что IFMKIi/il-IMI- Значит, !|F||<||fll- Так как при про-
продолжении норма не может уменьшиться, то получаем ||F||=
= llfll- ?
С л е д с т'в и е 1 .^Пусть х0 Фш0 — точка нормированного
пространства* X. Тогда существует линейный ограниченный
функционал / на X такой, что f(x0) = ||лго|| и ||/|| = 1.
Доказательство. Пусть L — {tx0 \t? R} — одномер-
одномерное подпространство, порожденное вектором х0. Определим
на L функционал по формуле fo(txo) = t\\xo\\. Тогда /о(^о) =
- ||хо|| и так как |/0(*х0)| = |/ \\хо\\ | = 1.||/*0||, то ||/0[| = 1.
Согласно теореме 3, функционал /0 продолжается на все
пространство с сохранением нормы.
Следствие 2. Линейные ограниченные функционалы
разделяют точки нормированного пространства X, т. е. если
xi Ф хг> т0 существует функционал / ? X' такой, что / (х^Ф
Доказательство. Согласно следствию 2,- для х0 =
— xt — х2 существует функционал / такой, что / (х0) =
= ||хо||^0, тогда f(*i)-/(x2) = /(x0)=^0. D
Следствие 3. Пусть L — векторное подпространство
нормированного пространства X и х0 ? X — внешняя точка
для L. Тогда существует функционал f?X' такой, что
/(х) = 0 Для x?L и /(хо)#0.
218
Доказательство. Пусть Lo — векторное подпрост-
ркнство, порожденное L и х0, т. е. Lo — {у\у — tx0 + х,
х( L, t?R}. Положим fo(y) — t. Тогда /„(*) = 0 для x?L
•• /о(*о) = 1=7^=0. Покажем, что функционал /0 ограничен.
Для этого воспользуемся условием, что х0 — внешняя точка
для L, т. е. существует г>0 такое, что шар {х: \\х —
- • *о1Кг) не содержит точек из L. Значит, для любой
точки x?L выполнено неравенство \\х — хо||^г>О. Тогда
имеем \\y\\ = Цл: + ^хо|| = |/| ||— x/t — хо\\ > |^| г. Последнее
исравенстю справедливо потому, что —x/t?L. Разделив
на г это неравенство (так как г>0), получаем \fo(y)\ —
f Щ ^ — Ш\> т- е- функционал /0 ограничен. По теореме
г
Хана — Банаха его можно продолжить на все пространство
X. U
Замечание 1. Если L — замкнутое векторное подпространство
И Л', то условие, что х0 является внешней точкой, эквивалентно ус-
лонию XofyL.
Определение 4. Последовательность функционалов
/ii /2. ••• . fn, •¦•?X' называется биортогональной к по-
последовательности хъ х2. ... , хп, ...?Х, если
1, / = /,
Пример. Если (eh)T — базис Шаудера в банаховом
Пространстве X, то коэффициенты разложения ch = с,, (х)
!*.1емента х в ряд х = '2ctleh являются ограниченными ли-
лс'йными функционалами на X и образуют биортогональ-
иую последовательность к последовательности (eh).
Следствие 4."аДля любой конечной последовательно-
последовательности линейно независимых элементов хи х2, ... , хп в
нормированном пространстве существует биортогональная
1Кк;ледовательность ограниченных функционалов.
Доказательство. На подпространстве L =
п
\Zi ckxh\ck € R/ функционал ft зададим формулой fi{x) —
k=\
ch i=l, 2, ... , п. По теореме Хана — Банаха для
нормированных пространств ft можно продолжить па все
\. П
Следствие 5. Пусть хъ х2, ... — бесконечная пос-
последовательность точек нормированного пространства X и
гичка хп не принадлежит замкнутому подпространству Ln
219
порожденному всеми остальными элементами последователь-
последовательности. Тогда существует последовательность /ь f2,... 6Х',
биортогональная к исходной.
Доказательство. Зафиксируем номер п. Пусть Ln—
подпространство, порожденное xh при 1х,фп. Точка хп по-
условию не принадлежит Ln. Согласно следствию 4, суще-
существует функционал /„ такой, что fn (Ln) ~0и fn(xn) = l.,..i
Замечание 2. В случае сепарабелыюго нормированного про-
пространства теорема Хана — Банаха (теорема 3) может быть получена
без использования леммы Цорпа.
Доказательство. 11усть ух, ... , уп, ... — счетное всюду.
плотное множество в X, состоящее из лииейио независимых векто-
векторов. Все элементы tjh, не принадлежащие L, занумеруем в последо-
последовательность хи x.z, . . . , хп . . . . Пусть Ln — подпространство,
порожденное L и элементами хи . . . , хп. Согласно первой части
теоремы Хана — Банаха, функционал/ последовательно продолжаем;
с сохранением нормы на Li, Lz, . . . , Ln и т. д. Получаем функ-,
ционал, определенный па LJ Ln — всюду плотном векторном под-
п=1
пространстве в X. По теореме о продолжении (см. § 18) функционал
продолжаем на все пространство с сохранением нормы, j ]
Пусть MczX'. Множество M±={x\f(x) = 0 V/6M} на-
называется по аналогии со случаем гильбертова простран-
пространства ортогональным дополнением к М. Для множества
NaX аналогично вводится ортогональное дополнение
N± {f}fdXrf()OY?N}
})
Как уже отмечалось в § 26, замкнутое векторное под-
подпространство в нормированном пространстве может не
иметь дополнения. В качестве примера применения тео-
теоремы Хана—Банаха покажем, что конечномерное прост-
пространство всегда имеет дополнение.
Теорема 4 (о дополнениях).
1. Если L — n-мерное подпространство банахова про-
пространства X, то для L существует замкнутое дополнение,
которое может быть задано с помощью п линейно неза-
независимых функционалов.
2. Если М — замкнутое подпространство в банаховом
пространстве X, заданное конечным набором из п линей-
линейно независимых функционалов M = {x\fi(x) =0, t= I, ..., п},
то для М существует дополнение размерности п.
Доказательство. 1. В пространстве L выбираем
базис ву, ... , еп. По следствию 4 теоремы Хана—Банаха
существуют такие линейные ограниченные функционалы
fit i ¦-- 1, ... , п, что
f to \ « I0' i=?k>
220
Тогда множество М = {x\ft (х) — О, i = 1, ... , п) являет-
является замкнутым дополнением к подпространству L. Действи-
Действительно, М — замкнутое иекторнсе подпространство и в
п
формуле х = х1+х2, где xt = 2dfi(x)ei, x2 = x —
x)eh имеем x^L, х2?М. Докажем единственность
/=•1
разложения. Если 0 =-- хх + х2, где хх ? L, лга ? М, то х2 =
п
^i. Тогда ch = fh(x2) = 0, к = 1, ... , п, т. е. лгх=
у 0, х2 = 0. Таким образом, X = L@ M и утЕерждение
I) доказано.
2. Пусть fu ... , fn — набор линейно независимых
функционалов. Покажем, что отображение Ф: X -> R" ,
определенное формулой
сюръективно. Если предположим, что 1тФ^=Н", то су-
существует вектор а = (аь ... , an)?R", а Ф 0, такой, что
\a.ift(x) = 0 для любого х, т. е. функционалы /г линейно
И
мшисимы. Пачучаем противоречие с условием.
В силу сюръективности Ф существуют такие е1у ...
... , еп?Х, что fi{ek)=8ih. Тогда, как показано в первой
части теоремы, n-мерное подпространство L =
цпляется дополнением к М._П
| 42. Общий вид линейных ограниченных функционалов
¦ конкретных пространствах
Для ряда банаховых пространств сопряженное прост-
простри нство может быть описано явно. Такое описание дается
V помощью теорем об общем виде линейного ограничен-
Нш'о функционала. В § 40 был установлен общий вид
функционалов в пространстве R" и в гильбертовом про-
сграцетве Н.
1. Пространство R". Любой ограниченный линейный
функционал f на пространстве R" имеет вид / (х) =
221
Уъ> гДе У\ Уп — заданные постоянные. По-
лучаем изоморфизм между пространством (R")' и R".
2. Гильбертово пространство. Согласно теореме Рис-
са, любой линейный ограниченный функционал единст-
единственным образом представляется в виде f(x) = (х, и), при-
причем Ц/11 = ||и||.
3. Пространство с0. Пусть eh = @, ... , 0, 1, 0, ...),
k = 1, 2, ... ,—последозателыюсть элементовиз с0. Тогда
00
любой элемент х?с0 преде гавляется в виде х = 2 **А»
где ряд сходится по норме с0. Действительно, ||*~
п
— \ x,,eh ||с = max \xh\ -*• 0 при п -> оо. Пусть / — произ-
вольный линейный ограниченный на с0 функционал. Тогда
оо с» оо
f{x) = / B **«
Таким образом, функционал / определяется последователь-
последовательностью чисел у = (Ун)- Покажем, что у?.1х- Положим хм =
= (signylt ... , signifo, O...)€co. Тогда
<11Л1 ll^<n)ll = llfll- Значит, ряд 2 1^1 сходтся и
< 11/11-
Покажем, что для любой последовательности у= (Уъ)€1\
00
формула f(x)= 2 хкУь. определяет линейный ограниченный
А=1
функционал на с0. Действительно, имеем | / (х) \ ^
оо оо
<B Ы)тах\хь\ = 2 fi/ftl IWk- Отсюда следует, что
функционал / определен (ряд сходится) и ограничен, при-
со
чем ||/||^2 \Ук\- Линейность очевидна. Полученный ре-
зультат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1. Пространство (с,,)' линейно изометрично про-
пространству 1Х. Этот изоморфизм задается формулой
222
к ъ у={ук) -*• f е (со)'. / w = 2
fti
,4: Пространство 1Х. Как в случае пространства с0, по-
лучаейГ; ¦чгпт'ЛЮбой^-эяегаент x?lx представляется в виде
оо п оо
*¦ ¦ = 2 **е* (так как и*—2 *ie*ii'«= 2 Iх*!-»-0 при
w > оо), ограниченный линейный функционал /— в виде
/ (х) = 2 xhl/k, гДе ^/а = f(eh)- Положим х — eh. Тогда
k=i
\Vi,\= \f{eh)\< 11/11 IKII/, = II/II, т. е. последовательность у=
" (Уь) ограничена числом ||/||. Таким образом, ограничен-
ограниченный линейный функционал / определяется ограниченной
числовой последовательностью у = (ук). Покажем, что верно
Н обратное, т. е. любая ограниченная числовая последова-
оо
чтльность (yh) по формуле f (х) = 2 хьУн определяет огра-
А=1
ничейный линейный функционал на пространстве lv Дей-
00
гтиительно, |/(x)|<sup|//ft|- 2 1**1 = SUP l&l-IMk. откуда
2
гледует, что функционал определен и ограничен, причем
11/11 sj;sup\yh\. Учитывая неравенство в обратную сторону,
/г
имеем H/II -; sup \yl;\ — WyWi^. Значит, справедлива
к
Теорема 2. Пространство (/х)' линейно изометрично про-
пранству /„. Этот изоморфизм задается формулой
E.) Пространство lp.
георема 3. Пространство (/р)' при 1 <С р <С + оо изо-
Мп|х1)но пространству lq, где 1/р + \jq — 1. Этот изомор-
фн:ш задается формулой
^лУй-
Доказательство. Пусть у - (у,,)?/д. Тогда по не-
ршч-нству Гёльдсра |/ (х)\ =- [2 *;-^А | < I! x \\tp \\ у \\iq, т. е.
л— 1
функционал / ограничен и ||/|| ^ \\y\\i(.
223
Любой элемент х ? 1Р представляется в виде х ¦
оо п оо ,
2 11 VI II 1 V п\'/р
V Р T'AV 1^ОТ«* V У V О I I Ў v- I" 1
лк^Ь> 1«" ivdK Л ¦ ^^ -*/i"/f I; ~~ \ ^j rWil J
при п->оо. Тогда любой ограниченный функционал / i
пространстве 1Р представляется в виде f(x) - 2 xJ(eh)
. Положим
ri \Уп\"~^Щпуп, 0, ...)?/„.
Тогда
Отсюда получаем
или, разделив на B |Уя1") ". получим B 1^1") <1!/1
Значит, ряд 2 \Ук\" сходится и ||«/||/g<||fll- 3
Замечание. Ограничение р < + оо в теореме существен:»
так как пространство A^)' устроено значительно сложнее и, в час
ности, не все функционалы на /от пргдставляюгся в виде / (*) =
оо
= 2 Xh'jh-
h=\
6. Пространство LP(T, ц), 1<р< + оо.
Теорема 4. Пусть Т—пространство с полной а-коне
ной мерой. Пространство (Lp (Г, (д.))' при 1 < р < -|- <
линейно изометрично прэсгрлнсгву Ltl(T, ii), где 1/р
+ 1/^ — 1. Изоморфизм задается формулой
Lq(T, iiKu-^f^(Lp(T, у))', f{x)-- \x{t)u{t)dv.
f
224
Доказательство. Согласно неравенству Гёльдера,
«ели u?Lq{T, \i) и x?Lp(T, [i), то m?Lx(T, \i) и
|«lk9 IMkp- Значит, функционал /задан
(t)u(t)d\i\
для любого x?Lp(T, |х), линеен, ограничен и ||/|| ^ ||и|к .
Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать,
что любой ограниченный линейный функционал / пред-
павляется в указанном виде и справедливо неравенство
1№«< 11/11-
Сначала рассмотрим случай [хG')< + оо. Пусть /—ог-
/—ограниченный линейный функционал на LP(T, jx). Пусть
Л — измеримое множество, его характеристическая функция
X, принадлежит LV(T, jx) и, значит, определено /(Хл).
Получаем отображение v :Л->/(хл). Покажем, что v есть
;ифяд на алгебре измеримых множеств (в смысле опреде-
определения 1 § 11), т. е. обладает свойством сх-аддитивности.
Мели А — Ц Ah, то %А — У ХА > причем ряд сходится в
k
fei
I.,,(T, ц). В силу линейности и непрерывности / получаем
ч
1'хли (а(Л)=-0, то хл есть пулевой элемент пространства
1Ч,(Т, (х) и v(/4)--=0. Это значит, что заряд v абсолютно
непрерывен относительно меры ц. По теореме Радона —
Никодима (§ 12) существует такая функция a?L1G', (.i),
что v (Л) -= J и @ d\i.
А
Покажем, что и ? Lq G1,1 (х) и что
' (О
Представление A) справедливо для характеристических
функций, так как
/ (хл) - v И) - 1«@ ^^ ~ ( %а @ «@ ^-
л г
И силу линейности представление A) справедливо для
линейных комбинаций характеристических функций, т. е.
для простых функций с конечным числом значений. Для
ограниченной измеримой функции х построим последова-
10, Пак. КО 223
тельность хп простых функций с конечным числом знач(
ний, равномерно сходящуюся к х. Переходя к пределу
представлении f(xn)=fxn(t)u(t)dyL, что допустимо в сил
т
теоремы Лебега, получаем представление A) для огрг
ничейных функций.
Пусть теперь
„ (п f МО I. если |и@1<п,
и„ it) = <
10, если |и@1>п.
Функция хп (t) - ип (t)q~l sign и (I) ограниченная, измерима
и
В силу представления A)
f (*») = J и„ (О' sign u @ и @ dji = J |«„ (Ol«d|i.
г г
Так как |/(х)|<||/|| |[*[IV получаем
Разделив это неравенство на
( \ |un (Ol*rf|i)'/Р, имеем ( f \un @|'rf|*)''' < || /1|. Последо-
т т
\ )(
т т
вательность \ип (t)\q сходится точечно к \и (t)\q и справед-
справедлива оценка ||»n||i. ^ ||/||. По теореме Фату (§ 9) получаем,
что \и @1* — интегрируемая функция и
т. е. u?Lq{T, ц) и IMIt <||/||
Ограниченный линейный функционал f совпадает с ог-
раничепным линейным функционалом \ x(t)u(t)d\i на плот-
т
ном множестве ограниченных функций и, значит, по тео-
теореме о продолжении, эти функционалы совпадают на всем
LV(T, ц), т. е. справедливо представление A).
Пусть теперь мера а-коиечна, т. е. Т ~ у Th, где
ЦG^)< + °°- Рассмотрим сужение функционала / на про-
пространство Lp(Th, ц), состоящее из функций, обращающихся
226
N нуль вне множества Ти. По доказанной части теоремы
I р
I получаем представление f(x) ---- J х (i)uh(t)d\x., где uh?Lq{Tk,
f»). Аналогично доказательству в примере 5 для простран-
©о
t'nia Aр)' получаем, что ряд ^ ) |ий!"ф сходится, т. е.
и - 2 "л€Мг> V)- Если * = 2 **• где
то
сю
/ (*) - 2 С х„ (о«, (о ф = \х (о
7. Пространство Lr (T, р).
Теорема 5. Пространство (L, (Г, (х))' линейно изомет-
рнчно пространству L<x,(T, \i). Этот изоморфизм задается
формулой
)', f{x)= |
г
Доказательство этой теоремы в основном ана-
4.
у
1ГПространство С [6, 1^
ОбТдий вид лилейного ограниченного функционала на
пространстве С[0, 1] описывается следующей теоремой.
Теорема 6 (Рисе). Для любого ограниченного линей-
линейного функционала f па пространстве С[0, 1] существует
функция g ограниченной вариации такая, что функцио-
функционал / представляется с помощью интеграла Римана—
</гилтьеса ¦•. ¦
1
B)
причем Vg{t)--\\f\\.
о
Доказательство. Пусть / — ограниченный линей-
1
г*
ный функционал на С10, lj. Если в интеграле J x(t)dg(t)
о
подставить
' ПРИ ^^ , то \xl(t)dg(t)-=g{l)-g(O),
(и, при t > g b
t
т. е. по значениям интеграла на функциях x$(t) функция
g может быть записана явно. Но функция x$(t) разрывна
и значение функционала f па ней не определено. Поэтому
поступаем следующим образом.
Пространство С [0, 1] является подпространством прост-
JttQ/ранства В [0, 1] всех ограниченных функций на [0, 1] с
"'- ' нормой ||л;|| --- sup \x(t)\. Согласно теореме Хана — Банаха,
функционал / может быть продолжен^на, все пространство
с сохранением нормы. Пусть F -^'такск* продолжение. Тогда
определено значение F(xt). Покажем, что функция g (%>)—-
— /'(Х|) искомая. Возьмем произвольное разбиение отрезка
[О, 1], 0 :•¦- ^0< tx < ... < tn<i 1, и составим сумму
п
\8 (h) - g (tk-i)\ - 2 гк (g (th) - g (
fti
ft--i
где eft --- sign [g (th) — g D-i)]. Тогда
-- F B th(x,k -%j)< Il/H \\v\\,
где v (t) = ^ eA [Jf/ft (/) — ^ft_, (Ob Так как в последней сум-
/»—=i
ме в каждой точке t лишь одно слагаемое может быть
отличным от нуля и каждое слагаемое |e,((x,ft — ДС/Л_,)|^1,
получаем ||и|| — 1. Значит, функция g имеет ограниченную
вариацию я Vg^ \\f\\.
о
Покажем, что справедливо представление B). Для
1
функций л*| равенство F (х%) -- \ лч @ dg (t) справедливо по
о . -
построению. По линейности равенство распространяется на
кусочно-постоянные и непрерывные справа функции — ли-
линейные комбинации функций х\. Если //„ — последователь-
последовательность кусочно-постоянных непрерывных справа функций,
равномерно сходящаяся к непрерывной функции х, то,
переходя к пределу в представлении f(yn)=- j yn(t)dg(l),
о
Получаем представление B) для х?С[0, 1]. Оценим интег-
1
(Шьную сумму интеграла Римана—Стилтьеса } x(t)dg(t) :
о
max
i
Переходя к пределу, получаем |/ (х)\ ^ Vg \\ x ||, откуда
о
ll/IK^g- Значит, [|/|| rr- Vg. 1.1
о о
Полученное в теореме 6 соответствие не является 1у
взаимно однозначным. Так, если g\(t)=g(t) +const, то v
интеграл в B) не изменится. Не влияет на интеграл для
непрерывной функции х также изменение функции g в
счетном числе точек. Так как функция ограниченной ва-
вариации может иметь не более счетного числа точек раз-
разрыва, то, изменив значения функции в этих точках,
можно сделать g непрерывной слева. Следующая теоре-
теорема показывает, что в этом случае соответствие оказыва-
оказывается биективным.
Теорема 7. Пространство (С[0, 1])' изоморфно про-
пространству У[0, 1] функции ограниченной вариации, не-
непрерывных слева и удовлетворяющих условию g@)=0
с нормой llgll = yg. Изоморфизм устанавливается форму-
формулой
V\0, \\3g-+f?(C№, 1])', /(*)= \x{t)dg{t). C)
о
Доказательство. Пусть g — функция ограниченной
1
иариации. Тогда функционал f(x)= ) x(t)dg(t) на С [0, 1]
о
1
определен и ограничен, причем ||/|[ ^ Vg. Покажем, что
' о
если g непрерывна слева, то ||fl| ^- Vg. Возьмем е > 0 и
о
п
построим разбиение отрезка [0, 1] так, чтобы 2 \g(h) —
229
1
— gD-i)| >Vg — e. Построим последовательность непре-
o
рывных функций хп таких, что \хп A)\ <1 и хп (t) ->- х0 (t)
yt, где х0(t) = sign[g(tj) — g(/*_,)] для fA_i<t<th. Неп-
Непрерывной слева функции g(?) соответствует ex-аддитивный
i i
заряд v на [0, 1], поэтому j xn{i)dg(t) = \ xn(t)dv. По
о о
теореме Лебега возможен предельный переход под знаком
интеграла
! I
lim \xn(t)dg(t)-¦=
я->оо 0
- ff (fft-
i
Поэтому при достаточно большом п имеем \f (xn)\ > Vg —е
о
1
и, так как ||х„1К 1, получаем ||/||>Fg. Значит, ||/|| --¦
о
1
— Vg и мы показали, что отображение из V [0, 1] в (С[0,
о
1])', определенное формулой C), изометрично и, в частно-
частности, инъективно. Сюръективность этого отображения уста-
ношгена в теореме 6. Значит, отображение, определенное
формулой C), является изоморфизмом. U
§ 43. Сопряженные операторы
Пусть X и У — банаховы пространства, А : X -> У —
ограниченный линейный оператор. Возьмем функционал
1^У и по нему построим новый функционал g(x) — f(Ax).
Проверим, что g — линейный ограниченный функционал на
X. Равенства
вытекают из линейности функционала / и оператора А. Из
неравенства
\g (х)\ - |/ (Ах)\ < H/II \\Ax\\ < 11/
230
получаем, что g — ограниченный линейный функционал и
что
11/11- A)
Таким образом, возникает отображение
Определение 1. (Сопряженным)оператором к ли-
линейному ограниченному ^иперашру AZX-+Y называется
оператор А', действующий по формуле A'f(x) — f(Ax) из
пространства Y' в пространство X'.
Замечание 1. В выражении A'f (x) из двух возможных вари-
мнтов расположения скобок {A'f) (х) и A' {f (х)) второй не имеет смыс-
.1.1 (f (x) — ч!:сло и оператор А' нельзя применить к числу), поэтому
иираженне A'f (x) читается по первому варианту (оператор А' при-
применяется к функционалу / и вычисляется иппчсмне нового функцио-
функционала в точке х).
Покажем, что операция сопряжения не выводит из клас-
класса ограниченных линейных операторов.
Теорема 1. Оператор А', сопряженный к линейному
ограниченному оператору А, является линейным ограничен-
ограниченным, причем ||Л'|| - ||.4||.
Доказательство. Проверим линейность оператора А':
Л' (f\ + /8) {х, =:¦ (h + /,) (Ах) - /д (Ах) +
х А' (Л/) (х) - kf (Ах) - XA'f (x).
Согласно неравенству A), получаем неравенство
1И711 - Hell < 1И!111/11.
¦г. е. оператор А' ограничен и |И'||^||Л||. Покажем, что
справедливо обратное неравенство |И||^||Л'||. Возьмем
произвольный элемент х?Х и пусть у -•= Ах. Согласно
следствию 2 теоремы Хана — Банаха (§ 41), существует
такой функционал f?Y', что ||/||----- 1 и f(y) =ч||г/||. Тогда
/ {Ах) - 1|Лх|| и
||Лх|| - \f(Ax)\ --. \A'f(x)\ < ||Л'|| 11/Ц |М| = ||Л'|| \\x\\.
Таким образом, для любого х?Х выполнено ЦЛхЦ^ЦЛ'Цх
X ||*||, откуда получаем ||Л|| < ||Л'|| и, значит, ||Л'|| — ||Л||. D
Замечание 2. Из равенства A'f (xt -|- х2) — A'f (xi) + A'f(x2)
следует аддитивность функционала A'f, но не оператора А'.
231
Построив для каждого оператора Л его сопряженный
А', мы определили отображение, действующее из L (X, Y)
в L(Y', X'), которое оператору Л ставит в соответствие
его сопряженный А'. Это отображение называют отобра-
отображением сопряжения. Отметим следующие свойства сопряже-
сопряжения: 1) (А-г В)' - А' + В', 2) (КА)' = ХА' (линейность); !
3) ||Л'|| -- |И|| (изометричность).
Если X -- Y, то дополнительно отметим: 4) l'x -- 1х'\ '
5) (ЛВ)' = В'А'.
Докажем равенство 5). (Заметим, что в правой части
сомножители берутся в обратном порядке.) Имеем (AB)'f(x)--
=-¦ f (АВх), A'f (х) = f (Ах) ¦---. g (х), В'A'f (х) - g (Bx) -=
¦-- 1(АВх), т. е. {АВУ --- В'А'.
6) Если оператор А имеет ограниченный обратный Л,
то Л' также обратим и (Л') —= (Л)'.
Доказательство. Так как АА = 1 и А~КА = /,
то, согласно свойствам 4) и 5), будем иметь (А~{)'А' — I
и Л' (Л)' -- /, т. е. оператор (Л~Ц' является обратным к
оператору A'. _j
Приведем несколько задач, при решении которых
естественно возникают сопряженные операторы.
Пусть Л : X-+Y — ограниченный линейный оператор
(A', Y — банаховы пространства). Задача заключается в
том, чтобы установить, имеет ли уравнение Ах=-у реше-
решение xQ.X для заданного убУ. Иначе говоря, нужно опи-
описать образ 1тЛ = {у\у=Ах, хвХ} оператора Л.
Теорема 2. Пусть X и У — банаховы пространства и
Л : Х-уУ — ограниченный линейный оператор, 1тЛ —
его образ. Замыкание образа оператора Л совпадает с
множеством векторов у, удовлетворяющих условию
f(y)=Q Для любого функционала /бУ такого, что A'f = O.
Доказательство. Пусть L ~ f[ Ker f = (КегЛ')¦'-—
А'1=0
множество векторов, удовлетворяющих условию теоремы.
Как пересечение замкнутых векторных подпространств L
есть замкнутое подпространство.
Пусть у?\тА, т. е. у — Ах и A'f = 0. Тогда / (у) --=
— f (Ах) --- A'f (х) -- 0, значит, 1тЛ cz L. Так как L замк-
замкнуто, то 1тЛс!..
Докажем теперь включение в обратную сторону. Пред-
Предположим противное, т. е. что существует г/0?^ такой, что
уо$\тА. Тогда, согласно -следствию 3 теоремы Хана —
Банаха (см. § 41), существует такой функционал /0, что
/о(Уо) Ф0 и /0(у) - 0 для всех у?\тА. Тогда Л7о(*)-=
232
I
-- f{){Ax) ¦-- 0 и условие yo?L означает, что fo(yo) ~~ 0. По-
Полученное противоречие означает, что \m.A^L. М
Следствие 1. Для того, чтобы уравнение Ах — у
имело решение, необходимо, а если образ \тА замкнут,
то и достаточно, чтобы f(y) = O для любого функционала
/', удовлетворяющего однородному сопряженному уравне-
уравнению A'f --- 0.
Следствие 2. Для того, чтобы уравнение Ах=у
Снлло разрешимо для любого ydY, необходимо, чтобы
уравнение A'f — O имело только нулевое решение.
Доказательство. Если 1тЛ-- Y, то, согласно
теореме 2, для любого у и /?КегЛ' выполнено /(*/) — 0,
т. е. / = 0. и
Следствие 3. Уравнение А7 = 0 имеет единственное
решение тогда и только тогда, когда lm А -¦¦¦ У.
Теорема 3. Оператор А : X -*- Y имеет ограниченный
обратный A~l :Y->X тогда и только тогда, когда сущест-
существует постоянная С > 0 такая, что справедливы неравенства
||х|КС|И*||, х?Х, B)
N 11ЛКСИ7Н, f?Y'- C)
Доказательство. Необходимость. Неравенства ог-
ограниченности для операторов Л и Л' совпадают с не-
неравенствами B) и C).
Достаточность. Из C) получаем, что Кег Л' — {0}.
Тогда по следствию 3 \mA~-Y. Применяя теперь теоре-
теорему 1 § 35 об обратных операторах, получаем существова-
существование ограниченного оператора Л. D
Замечание. В отличие от конечномерного случая разреши-
разрешимость уравнения Ах = у для любой правой части в бесконечномерном
и|юстранстве не связана с единственностью решения этого уравнения.
I Стример, пусть А — оператор одностороннего сдвига влево А:12 ¦* /2,
Л (хи х2, ¦•• ) = (Хо, xs, ... ), Im A -- 12, Кег А Ф 0.
$ 44. Примеры сопряженных операторов
Формула A'f(x)=f(Ax) задает явно действие сопря-
сопряженного оператора на функционалах, поэтому построе-
построение сопряженного оператора сводится к подстановке А в
формулу A'f(x)=f(Ax). На практике, однако, в тех слу-
случи их, когда известны теоремы об общем виде функцио-
Ннла, вместо пространства функционалов рассматривают
н.чоморфное ему другое, более удобное для вычислений
пространство. Пусть функционал /6У представляется
233
Тогда / (Ах) --¦ {и, Ах > . Обозначим через А'и ? Х1
мент, соответствующий функционалу A'f?X'. Тогда
A'f( f (A)
через элемент и пространства Y\. Значение функционала
f(x) будем обозначать
/(*) - <«, х). A)
эле-
элеу фуу f? ра-
равенство A'f(x) =¦- f (Ax) запишется в виде
< А'и, х) --¦ (и, Ах) . B)
Таким образом, сопряженный оператор А' можно опреде-
определить как оператор A':Y1-*-Xv удовлетворяющий равен-
равенству B).
Например, в случае пространств ¦ LP(T, \x) вместо про-
пространства ограниченных линейных функционалов рассмат-
рассматриваем изоморфное ему пространство Lg(T, ji), где \lp-\-
-f- \jq -_ 1. Заметим, что вид сопряженного оператора за-
зависит от способа реализации сопряженного пространства.
Например, изоморфизм между Lq(T, и.) и (LP(T, ,u.))' мож-
можно задать формулой
Lq(T, ,и)Э«->/(*)- j x(t)u(t)g(t)dt,
т
где g(t) — фиксированная измеримая функция такая,
что \g(t)\ = \. При таком представлении сопряженный
оператор будет иметь несколько иной вид, чем, напри-
например, в примерах 2 и 3.
Примеры.
1. Пусть X -. С", Y ¦-- С" и линейшй оператор Л:Х->-
-*¦ Y задается /; х /н-матрицей с элементам (ац) обыч^гой
п
формулой (Ax)j ¦ V С1цхг. Пространство, сопряженное к
(«1
О™, реализуется как пространство С"' с помощью соответ-
соответствия
С" 31 <—v / (Jt) - - V x& -- < I, jc > .
(—1
Поэтому из ( ормулы B) получаем
A'I (x) ¦-, f(Ax) - ]? 2 я*^' = < 1~' Ах > •
Построенный новый функционал представим в виде ^
т п п
\ /1 С, X ) — / \ ? "(jei \*j гг=: /
-<nst \ aU ) Ami
¦1=1 ''-I i=\
234
где
Таким образом, функционал, соответствующий векто-
вектору |, перешел под действием сопряженного оператора в
функционал, соответствующий вектору г\. В этом смысле
будем говорить, что сопряженный оператор отображает
пектор"| в вектор т), т. е. сопряженный оператор действу-
действует по формуле C), из которой видим, что действие опе-
оператора задается матрицей (ац), транспонированной к
матрице («!.;).
Применим к данному случаю теорему 2 § 43. Так как
и конечномерном пространстве любое векторное подпро-
подпространство замкнуто (теорема 1 § 28), из следствия 1 § 43
получаем следующую фундаментальную теорему, даю-
дающую условия разрешимости системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений.
Теорема 1. Для того, чтобы система линейных алгеб-
алгебраических уравнений
имела решение для данного вектора у = (уи .. . , у„), не-
обходимо и достаточно, чтобы V у fa = 0 для любого
вектора % ~ (%v ... , ?„), являющегося решением однород-
однородной транспонированной системы
п
2. Рассмотрим в пространстве Lp [0, 1] интегральный
оператор
Ax(t)= J K(t, s)x{s)ds,
где K{t, s) — ограниченная измеримая функция. Построим
оператор, сопряженный к оператору А. Любой функционал
/'?(?р[0, 1])' представляется в виде
j
о
/(*)-- j x(t)u(t)dt,
о
235
где u?Lq[O, 1] (см. § 42). Возьмем u?Lq[0, 1] и посмот-
посмотрим, как действует оператор А' на соответствующий ей
функционал
< А'и, х > --= < и, Ах}-^ j(j K(t, s)x{s)ds\u(t)dt.
j
Переставив порядок интегрирования в последнем интеграле
(что законно в силу теоремы Фубини), получим
< А'и, х > = \ x(s) I f К {t, s) и (t) dt]ds =
о о
1
=^ j" x{s)v{s)ds,
о
1
rnev(s)— f K(t, s)u(t)dt. Таким образом, сопряженный
о
оператор А' переводит функционал, соответствующий функ-
функции и, в функционал, соответствующий функции v, т. е.
сопряженный оператор действует по формуле ;
1 I
A'u(t) •¦=--= j" K{s, t)u{s)ds. «
о
Таким образом, оператор, сопряженный к интеграль-
интегральному оператору с ядром K(t, s), является интегральным
оператором с ядром K(s, t). Такое ядро называется
транспонированным, к ядру K{t, s). Аналогичный резуль-
результат справедлив в пространствах LP(T, \л), а также для
ограниченных интегральных операторов, заданных с по-
помощью неограниченных ядер.
Как известно, интегральное уравнение Фредгольма
*(/)- f K(t, s)x(s)ds = y(t) D)
о
может не иметь решения для некоторых y(t). Получим
условия разрешимости этого уравнения, опираясь на
теорему 2 § 43.
Теорема 2. Для того, чтобы уравнение D) имело реше-
решение x?Lp[0, 1], для данного y?Lp[0, 1] необходимо,
чтобы f у{t)и(t)dt == 0 для любой функции u?Lg[0, 1],
о
236
удовлетворяющей однородному сопряженному уравнению
1
«(/) — f K(s, t)u(s)ds — 0.
о
Доказательство того, что указанное условие является
достаточным, требует более тонких рассуждений и будет
проведено в § 50.
Пример. Рассмотрим уравнение
х (t) — \ №sx (s) ds = (t— a). E)
о
Запишем однородное сопряженное уравнение
1
u(t) — f AsHu (s) ds = 0. F)
о
Это уравнение с вырожденным ядром. Его решение будем
искать в виде u{t) — ct. Подставляем и в уравнение F),
i
получаем ct— f Ab4csds — 0, откуда 0 — 0, т. е. для лю-
о
Гюго с функция ct является решением уравнения F). Из
теоремы 2 получаем, что условие разрешимости уравнения
E) имеет вид [ (I — a)ctdt = O. Или, вычисляя, получаем
<ъA/3 — а/2) — 0. Отсюда видим, что при а— 2/3 условие
ныполнено, а при а=ф2/3 условие не выполнено и урав-
уравнение E) решения не имеет.
3. Рассмотрим оператор ta:Lp[0, 1]->Lj,10, 1], 1 scC
-;/о< + «», вида Tax{t) = x{a(t)), где а: [0, 1]->[0, 1]—
непрерывно дифференцируемое обратимое отображение от-
отрезка [0, 1] в себя, а' @=5^0. Построим сопряженный опе-
оператор Та:
(и,Тах)= [ u{t)x{a{t))dt =
t
т =
,1 ^
J
237
Р'(т)н(Р(т))х(т)й'т-<7';ы> х).
Получаем, что сопряженный оператор Та действует в
L(J[0, 1] по формуле T'aii(t) = [}' @«(Р<). где р =- а.
§ 45. Спектр оператора
Введем понятие спектра оператора, которое обобща-
обобщает понятие множества собственных чисел матрицы.
О и р с д е л сине 1. Пусть А : Х->-Х — ограниченный
оператор и банаховом пространстве X над нолем С. Точ-
Точка КО.С называется регулярной точкой оператора, если
оператор {KI—А)-1 существует и является ограниченным
оператором, определенным на всем X. Множество регу-
регулярных точек обозначается р(А) и называется резоль-
резольвентным множеством оператора А.
Определение 2. Комплексное число К, не являю-
являющееся регулярным, называется спектральным. Множе
схво спектральных точек а(А) оператора А называется
Опектром оператора А. Таким образом, а(Л) = С\р(Л).|
""""Определенная на р(Л) функция (KI—Л)-1 называете*
резольвентой оператора А и обозначается R(K; А). Зна-
Значениями этой функции являются ограниченные опера-
операторы.
Теорема 1. Резольвентное множество р{А) операто-
оператора А открыто. Функция R(K; А) — операторнозначная
аналитическая функция в р(А).
Доказательство. Пусть К—фиксированная"точка
в р (Л) и ц—любое комплексное число такое, что |ц| <
<||Я(Х; А)\\~1. Покажем, что К + j.i ? p (А). Это означает,
что множество р (Л) открыто. В самом деле,
(К + \i) I — А = ц/ + (К!
А) = (KI — Л) х
A)].
A)
В силу теоремы 3 § 35 и условия на ц оператор, стоящий
в правой части равенства A), имеет ограниченный обрат-
обратный оператор
оо
R (К + ц; Л) =-¦ R (К; А) У (— \i)hRk{K; Л)==
2 (-
А=0
238
Равенство B) показывает, что функция R(k; А) в окрест-
окрестности каждой точки к?р(А) разлагается в степенной ряд,
т. е. R (к; А) есть операторная аналитическая функция на
,,(Л). п
Теорема 2. Спектр ограниченного оператора А есть
непустое компактное множество в С.
Доказательство. Покажем, что а (А) с {к?С\ |Я|<;
•^1ИЦ>. Если М>|И||, то оператор {kl — Л) = к (I — А/к)
обратим (см. теорему 2 § 35) и
1F
Следовательно,
C)
при |Я,| |
Так как резольвентное множество р (Л) открыто, а(А)—
замкнутое ограниченное множество в С, т. е. компактное
множество. Покажем, что а (А) Ф 0. Предположим про-
противное. Тогда р (А) -- С. Следовательно, согласно теореме 1,
R(k; А) есть целая функция, т. е. функция аналити-
аналитическая на всем С. Поэтому она ограничена на множестве
D -¦=¦¦ {X ? С | |Я,|< 2 \\A\\}. Согласно неравенству C), она of-
раничена и вне множества D. Значит, \\R(k; A)\\^.c для
всех Х?С. Причем из C) следует, что \\R (к; Л)||->0 при
|Х| —»- оо. Таким образом, для любого х?Х и каждого f$X'
(функция ф (к) — f (R (к; А) х) есть целая аналитическая
(функция, ограниченная и стремящаяся к нулю на бесконеч-
бесконечности. По теореме Лиувилля получаем, что <р (к) — 0 для
|»сех х?Х и всех f?X' и из следствия 1 теоремы Хана —
Папаха (см. § 41) вытекает, что R(k; A) ~ 0 для любого
к G С. Отсюда следует, что / = (kl — A) R (к; А) -- 0. Про-
Противоречие доказывает теорему. LM
Теорема 3. Спектр сопряженного оператора А': Х'-*~ X'
совпадает со спектром оператора А:Х~уХ. Кроме того,
К (к; А') --- R(k; А)' для чисел А,?р(Л) = р(Л')-
Доказательство. Это утверждение является не-
непосредственным следствием свойства сопряженного опе-
ритора (см.§ 43). ?
В силу теоремы Банаха об обратном операторе су-
существование ограниченного обратного к оператору kl—Л
239
эквивалентно тому, что Im(?J—А)=Х и Кег (XI—Л)=0.
Число X является точкой спектра оператора Л, если на-
нарушено хотя бы одно из этих условий. В зависимости от
того, какое из условий нарушено, выделяются следую-
следующие типы точек спектра.
1. Число X называется собственным значением онера-
тора Л, если Кег (XI—А)Ф0, т. е. существует непулевой
вектор х такой, что Ах=Хх. Такой вектор называется
собственным вектором оператора А, соответствующим
собственному значению X. Множество собственных зна-
значений называется точечным, спектром.
2. Число X называется точкой непрерывного спектра
оператсна А, если Кег (II — А) -^ 0, \m(kl— А) ФХ,
]m()J — А) ~ X.
3. Число X называется точкой остаточного спектра
оператора А, если Ker(>J — А) ---¦ О и \т(Х1— А)ФХ.
Таким образом, вся комплексная плоскость разбива-
разбивается на четыре попарно непересекающихся множества:
резольвентное множество, точечный, непрерывный и
остаточный спектр.
3 а м о ч а II и с\ Аналогичным образом можно ввести понятие
спектра оператора в случае пространств над полемvвещественных
чисел. Однако в атом случае спектр может оказаться пустым.
Примеры.
1. Пусть X — С" и Л : X -> X — линейный оператор,
заданный матрицей М. Оператор XI — А обратим тогда и
только тогда, когда невырождена матрица ХЕ — М, т. е.
р (X) — det (XE — М)фО. Таким образом, спектр операто-
оператора А состоит из корней характеристического многочлена
р(Х). Каждый из этих корней является собственным зна-
значением оператора А, и, значит, весь спектр оператора в
конечномерном пространстве точечный, а непрерывный и
остаточный спектры пусты.
2. Пусть X = С[0, 1], Ax(t)-tx(t). Если Ах - Хх,
т. е. tx(t) — Xx(t), то (t — X)x(t) = O, откуда x(t)--O.
Значит, у оператора Л нет собственных значений и точеч-
точечный спектр пуст. Если Х(?[0, 1], то функция \/(X—t) не-
непрерывна на [0, 1] и для любой функции у?С[0, 1]
функция х (/)-•-- у {t)l(X — t) непрерывна и является реше-
решением уравнения (XI — А) х - у. Значит, все точки X, лежа-
лежащие вне отрезка |0, 1], являются регулярными точками
оператора Л. Пусть теперь X — точка отрезка [0, 1]. Если
y(t) -(Х- t)x (/), где х ? С [0, 1], то у (X) - 0. Для функ-
функции у0 (t) == 1 получаем р (у, у0)^ 1. Это значит, что об-
240
раз оператора XI— А, состоящий из таких функций у,
имеет внешние точки и, следовательно, не является всюду
плотным в С [0, 1]. Значит, все точки отрезка [0, 1] яв-
являются точками остаточного спектра.
3. Пусть X - Lp [О, 11, 1<р<оо, и Ax(t)--tx(t).
Как в примере 2, получаем, что у оператора А нет собст-
собственных значений и если X(i[0, 1], то X являетья регуляр-
регулярным значением. Покажем, что все точки отрезка [0, 1] яв-
являются точками непрерывного спектра. Если при некото-
некотором у уравнение (XI — А) х --- у имеет решение, то х (t) —
y(t)l(X—t). При yo(t)— 1 получаем, что хA)— 1/(Х —
— t) и не принадлежит пространству Lp [О, 1] при 0<;Х <Л.
Значит, функция у() не принадлежит Im (XI — А) при
О ^ X <; 1 и весь отрезок состоит из спектральных значе-
значений. Покажем, что образ \\п(Х1 — Л) всюду плотен в про-
пространстве Lp [0, 1]. Если функция y(t) 0 в окрестности
точки Х?[0, 1], то она является образом функции х (t) —
~——— , принадлежащей Lp[0, 1]. Для любой функции
у ? Lp [О, 1] построим функцию уп (t) --•- у (/), если \t — Х\^
>-\,Ш, и yn(t) = O, если \t — Х\<1/п. Тогда \\у — у„\|-»-0
при /1-+О0 в силу абсолютной непрерывности интеграла
Лебега. Функции уп принадлежат образу 1т(л/ — А), м,
:шачит, \т(Х1 — А) — Lv [0, 1]. Таким образом, все точки
отрезка [0,1] являются точками непрерывного спектра.
4. Пусть X — 1Р, 1 ^р <; оо, и оператор А задан фор-
формулой Ах — (х2, х3, . .. ) (оператор сдвига). Так как ||Л|| —
- 1, спектр оператора А лежит в круге радиуса 1. Если
Ах -- Хх, то х = (хг, Ххх, Хгхх, .. . ). При р< оо построен-
построенная последовательность принадлежит 1Р тогда и только
тогда, когда \Х\<с 1. Если р — оо, то построенная после-
последовательность принадлежит 1Х тогда и только тогда, когда
|?i|<Cl. Таким образом, при р-оо спектр оператора А
есть единичный круг D — {Х\ \Х\ <; 1}, причем все точки
спектра являются собственными значениями. При р<оо
псе внутренние точки круга D — собственные значения
оператора Лив силу замкнутости спектра a (A) =D (спект-
(спектром оператора является весь единичный круг). Покажем,
что при р< оо точки X, лежащие на окружности \Х\ ¦--- 1, —
что точки непрерывного сгектра, т. е. покажем, что образ
I m (XI — А) всюду плотен в 1Р. Согласно следствию 3 те-
теоремы 2 § 4 3, для этого достаточно показать, что Кег (XI—¦
— А') — 0. Для оператора А сопряженный А' действует в
пространстве lq, 1де 1/р+ 1/7= 1 при 1 </?< оо и 7=°°
1Л. Зак. 420 24)
при р --¦ 1, и имеет вид А'и — @, иг, иг, ... ). Если
А'и --- hi для некоторой последовательности и— (ult и2, ¦ ¦ ¦ ),
то 0 — 7uilt иг — Ки2, ... и, следовательно, и — 0. Значит,
Ker (kl — А') = 0, и при 1 <1 р < -f оо окружность \Ц ¦-- 1
состоит из точек непрерывного спектра.
§ 46. Слабая сходимость. Рефлексивность
С помощью ограниченных линейных функционалов в
банаховом пространстве вводится новый тип сходящих-
сходящихся последовательностей.
Определение 1. Последовательность хп точек ба-
банахова пространства X ^лабо сходится к точке х0 ? X
(обозначается хп-*-хй), если для любого /?Х' выполнено
f(xn)-+f(x0).
Очевидно, что если последовательность хп сходится к
х0 по норме, то она сходится слабо. Действительно, |/(л:„)—
- / (*оI - I/ (хп - *оI < И/Н \\х„ - хо|| -*0.
Покажем на примере, что слабо сходящаяся последова-
последовательность может не сходится по норме.
Пример. В пространстве с0 последовательность eh --
— @, ... , 1, 0, . .. ) но норме не сходится, так как
\\et — ej\\=- 1 при 1ф). Покажем, что она сходится слабо.
Действительно, любой функционал / ? (с0)' представляется
оо оо
в виде / (х) - 2 **!а. r«e 2 1^*1<+ °°- Тогда ^ ^^
Введение слабой топологии мотивируется тем, что в
ряде построений возникают последовательности, которые
не сходятся по норме, но сходятся слабо, а также отоб-
отображения, которые переводят слабо сходящиеся последо-
последовательности в слабо сходящиеся.
Пусть X — банахово пространство, X' — его сопряжен-
сопряженное. Зафиксируем точку х0 ? X и / (х0) будем рассматривать
как функцию от /. Получаем отображение gr из X' в R,
U Xt'X'Ъ f-*-f (*o)?R> т. е. функционал gx , определенный
на пространстве X'. Из соотношений
gXo (Я/) ---. kgXo (f), \gxa (/)| = |/ (xQ)\ < Ц/11 ||*0||
получаем, что функционал gx линеек и ограничен, причем
1lgjJI^II*oll> т' е' SXt €.(Х'у. Согласно следствию 1 теоре-
242
мы Хана — Банаха (§ 41), существует функционал f0 та-
такой, что /о (х0) = ||Ао|| и Ш\=-- 1- Поэтому
I 1,711-1
! Значит, Hgf^ || = ||л:0||. В результате папучаем изометрическое
отображение J:X—*-(X')', которое каждому х?Х ставит
в соответствие функционал gx из сопряженного пространст-
пространства к X'. Как будет показано ниже на примерах, возмож-
возможны случаи JX --- X" и 1ХфХ".
0 HJ?-?Afi л. fi KJLe 2. Банахово пространство X называ-
ется (рефлексивным^ если JX — X".
1 Поскольку J — инъективное отображение, то в случае
рефлексивного пространства X J яшшется биекцией между
X и X". Это означает, в частности, что для сопряженного
пространства X' справедлива следующая теорема об общем
виде линейного ограниченного функционала: для любого
ограниченного линейного функционала Ф на пространстве
X' существует точка хо?Х такая, что Ф представляется
и виде Ф (!) = f (*0).
Примеры.
1. Пусть X = Lp [0, 1], 1<р< •+ оо, тогда, согласно
теореме Рнсса, (Lp [0, l])'^Lq[0, 1] и ((Lp[0, 1])')'^
эй Lp [0, 1], причем последний изоморфизм, построенный с
помощью теоремы Рнсса, совпадает с отображением J, по-
построенным выше. Таким образом, пространство Lp [0, 1]
ири1 < /X -j- оо является рефлексивным.
(_2^ Пусть с0 — пространство последовательностей x—(xh)
таких, что л;,;->-0 с нормой ||х|| — тах|хЛ|.
Как показано в § 42, (с0)' ^ /х и (У^/™, причем,
отображение J'-Cq-^I^ является естественным вложением,
по соф1х. Значит, пространство с0 нерефлексивно.
3. Простра1Гстю С [0, 1] также не является рефлексив-
рефлексивным. Сопряженное пространство к С [0, 1] есть простран-
пространство функций ограниченной вариации, полунепрерывных
слева и таких, что g@)—0, или, что эквивалентно, — про-
пространство зарядов на борелевском кольце. Можно показать,
что линейный ограниченный функционал Ф?(С[0, 1])" вида
Ч2 /j 1 Г\
Ф (v) -¦ ¦ i dv = v "—~ ] не может быть представ-
о
I
лен в виде Г х (t)~dv с непрерывной функцией х.
о
W 24»
В случае рефлексивных банаховых пространств спра-
справедлив ряд теорем, которые для произвольных банахо-
банаховых пространств могут оказаться неверными. Часто
доказательства в случае рефлексивных пространств
упрощаются. Сформулируем некоторые такого рода ре-
результаты.
Если X — рефлексивное банахово пространство и А:Х->
—>Х — оператор, то (А')' — А. Действительно, для функ-
функционала ф ? X" найдется точка х0 ? X такая, что Ф (/) --
=-- / (*0) для всех / ? А" и Л"Ф,0 (/) =--, Ф (A'f) - A'f (x0) -
=¦- / (Ах0) = Фах0 (/)• Последняя запись означает, что А"
переводит функционал, соответствующий точке л:0, в функ-
функционал, соответствующий точке Ах0, т. е. А" действует
так же, как А. Отсюда получаем, например, что в теореме
2 § 43 и ее следствиях можно поменять местгми оператор
А и А'. Получаем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть X — рефлексивное банахово простран-
пространство, A?L(X, X). Тогда \тА' совпадает с (КегЛI —
множеством функционалов / таких, что / (х) — О, если
Ах --- 0.
Отметим, что в нерефлексивных банаховых пространст-
пространствах теорема 1 неверна. Действительно, пусть X -- Lx [0, 1]
и оператор A: Lx [0, 1] —*- Lj [0, 1) задан формулой Ax(t)~
— f x(s) ds. Тогда КегЛ — {0} и, следовательно, (КегЛ)-1" —
I
— L\ [0, 1] -—¦ Loo [0, 1]. Вычислим действующий в ?«,[(), 1]
сопряженный оператор Л':
(g, Ax) j j x(s)g(i)dsdt^
о о
1 1
- J x (s) \ g (t) dtds = < A'g, x > ,
0 s
1
т. e. A'g(s)~ j g(t)dt.
s
Таким образом, 1тЛ' состоит из функций /(s), удов-
удовлетворяющих условию Липшица и обращающихся в нуль
в точке s — 1. Это множество отстоит от функции /0 (s) ^
^1€^«,[0, 1] на расстояние 1 и, следовательно, неплотно
в /-„[О, 1].
244
Глава VII
УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§ 47. Компактные операторы и их свойства
Как уже было отмечено, операторы в конечномерном
пространстве обладают рядом свойств, которые не пере-
переносятся на произвольные ограниченные операторы в бес-
бесконечномерных пространствах. Например, утверждение,
что если 1<егЛ={0}, то 1тА = Х, справедливо для линей-
линейного оператора А : Х-+Х в случае конечномерного про-
пространства X и может быть неверным в бесконечномерном
случае. В этом и последующих параграфах будет изучен
класс операторов, обладающих некоторыми свойствами
операторов в конечномерных пространствах. Особый ин-
интерес к этому классу операторов связан также с тем, что
в него входят многие интегральные операторы.
Определение 1. Пусть X и У — банаховы про-
пространства. Линейный оператор А : Х-*-У пазывается(ксш-
пактньш или вполне[непрерывным, если он любое ОТрТ-
пиченное множество в л переводит в множество, пред-
компактное в У.
Напомним, что оператор А является ограниченным
(непрерывным), если он ограниченное множество пере-
иодит в ограниченное. Выделение класса компактных
операторов основано на том, что ограниченные множе-
множества могут не быть предкомпактными.
Примеры.
1. Если пространства X и У конечномерны, то любой
линейный оператор ограничен, значит, он переводит огра-
ограниченное множество в ограниченное; в конечномерном
пространстве любое ограниченное множество предком-
иактно. Таким образом, в конечномерных пространствах
псе линейные операторы компактны.
2. Пусть X и У — произвольные нормированные про-
пространства.
Определение 2. Линейный ограниченный опера-
оператор А :Х->У называется оператором конечного ранга,
если его образ 1пъ4 является конечномерным простран-
пространством.
Покажем, что операторы конечного ранга являются
компактными. Пусть Мал — ограниченное множество,
тогда множество A(M)aY ограничено и в силу конечно-
конечномерности 1тЛ множество А(М) предкомпактно. В част-
245
ности, если У конечномерно, то любой ограниченный ли-
линейный оператор компактен.
3. Примером оператора конечного ранга является ин-
интегральный оператор с вырожденным ядром.
В пространстве С[0, 1] рассмотрим интегральный
оператор с вырожденным ядром, т. е. оператор вида
Ах (t) = J К (t, s) x (s) ds,
о
n
где K(t, s)= ^alt(t)bh(s), ah(i), bh (l) — непрерывные
ft-1
функции. Тогда
Ax (t) = J «* @ J h (s) x (s) ds = 2 Cftaft (<),
ft=-l 0 ft—1
т. е. образ Tm Л принадлежит конечномерному простран-
п
ству L = | V с^ (f): с,, ? R j , порожденному функциями
л- i
alt (t). Как интегральный оператор, А является ограничен-
ограниченным, следовательно, он компактен.
4. Для нулевого оператора образом является одна
точка, значит, он компактен.
5. Тождественный оператор / в конечномерных про-
пространствах является компактным (см. пример 1). Если
пространство X бесконечномерно, то единичный шар в
нем, согласно теореме Рисса (§ 28), не предкомпактен.
Оператор / переводит шар в себя, т. е. ограниченное мно-
множество в множество, не являющееся предкомпактным,
значит, / не является компактным оператором.
6. Оператор вложения / : С1 [0, 1]-э-С[0, 1] действует
по формуле Jx — х. Покажем, что J — компактный опера-
оператор. Пусть М — ограниченное множество в С1 [0, 1], т. е.
HxJd^C. Покажем, что множество М предкомпактно в
С [0, 1]. Согласно теореме Арцела — Асколи (см. §24),
нужно проверить, что множество М равномерно ограничено
и равностепенно непрерывно.
Для х?М из условия IWIi^C получаем
max |x(f)|<C, A)
max |*'(<)|<C. B)
246
I
Неравенство A) означает равномерную ограниченность мно-
множества М. Из неравенства B) и оценки
\х (fj) — х U2)\ < \х (Ш Кх —12\ < С \it —У
получаем, что при б<е/С для любых xQM и любых
l*i — ^I<S имеем |лг(/х) — x(t2)\<Ze, что означает равно-
равностепенную непрерывность множества М в С [0, 1]. Таким
образом, множество М иредкомпактно в С [0, 1] и оператор
J компактен.
7. Оператор умножения на функцию а (/) в пространст-
пространстве С [0, 1] и Lp 10, 1] не компактен, если аA)ф0.
Рассмотрим сначала случай пространства Lp [0, 1]. Пусть
\x(t)\>Q на множестве То cz [0, 1], где ц(Г0) >0. Тогда
па бесконечномерном подпространстве Lp (То) с: Lv [0, 1],
состоящем из функций, равных нулю вне множества То,
оператор Л имеет ограниченный обратный. Как будет по-
показано ниже (см. замечание 6 § 48), это невозможно, если
А компактен.
Теперь рассмотрим случай пространства С[0, 1J.
Пусть аA0)=?0 и a(t)?C[O, 1]. Ограниченная последова-
последовательность sinn(*—10) при умножении на a(t) переходит
и последовательность a(t)smn (t—t0), которая не явля-
является равностепенно непрерывной и, значит, не является
иредкомпактной.
Рассмотрим основные свойства компактных операто-
операторов. """"
Множество компактных операторов, действующих из
банахова пространства X в банахово пространство У,
обозначим К(Х, Y).
1. Если Л и В — компактные операторы, то оператор
/1+В компактен.
Доказательство. Пусть М — ограниченное мно-
множество. В образе (A -j- В) (М) возьмем последовательность
//„ - (А -\- В) хп. В силу компактности оператора А из по-
последовательности Ахп можно выделить сходящуюся под-
подпоследовательность Ахп , а в силу компактности В---из
подпоследовательности Вх сходящуюся подпоследователь-
nh
иость Вхп . Подпоследовательность (A -j- В) хп сходится,
значит, множество (Л + В) (М) предкомпактно и оператор
А-\ В компактен. G
2. Пусть X, Х1г Y, Y1 — банаховы пространства. Если
Л?К{Х, Y), B?L(Y, YJ и C?L(Xlt X), то операторы
НА и АС компактны.
247
Действительно, если М — ограниченное множество в X,
то А (М) предкомпактно и так как равномерно непрерывное
отображение переводит предкомпактное множество в пред-
компактное (см. § 24), то В(А(М)) предкомпактно в Yv
Если М — ограниченное множество в Хг, то С (М) —
ограниченное множества в X и, поскольку оператор А ком-
компактен, А (С (М)) есть предкомпактное множество.
В частности, оператор умножения на число X ограничен
и, значит, КА — компактный оператор.
3. Если последовательность Ап?К(Х, Y) компактных
операторов сходится по норме к оператору A?L (X, Y), то
А ¦— компактныii оператор.
Доказательство. Пусть М — ограниченное мно-
множество в X и ЦдсН ^ С для х?М. Для доказательства пред-
компактности множества А (М) воспользуемся теоремой
Хаусдорфа (см. § 23) и для любого е > 0 построим конеч-
конечную е-сеть для множества А (М). Сначала выберем номер
п0 так, чтобы \\АГ.О — Л|| ^ е/2С. Множество Ап„ (М) пред-
g
компактно. Пусть S --- (su ... , sm) — конечная сеть
для А„0(М). Покажем, что S является е-сетью для А(М).
Пусть у?А(М), т. е. у - Ах, х?М. Существует st такое,
что \\ы — Лйох||< ь/2. Тогда \\у — s,\\ < ||У — А„„х\\ +
+ \\АПох — 5г!| < \\А - А„,\\ \\x\\ + е/2 < (е/2С) С + е/2 = е,
что и требовалось доказать. ?
4. Оператор, сопряженный к компактному, является
компактным.
Доказательство. Если А?К(Х, Y), тогда Л'?
?L(Y', X'). Пусть М — ограниченное множество вГ и
Ц/11^с для f?M. Тогда для g-A'j имеем
- sup \g{x)\ = sup \f(Ax)\ == sup
IKi ibii MS)
= sup
где S — единичный шар в X, Т -- A (S). Множестю A(S)
предкомпактно, a A (S) компактно в Y. Функционалу g
поставим в соответствие сужение функционала / на мно-
множество Т, т. е. элемент пространства С (Т) непрерывных
функций. Формула C) показывает, что это соответствие
изометрично. Поэтому достаточно доказать предкомпакт-
ность в С (Т) множества М функционалов /, для чего про-
проверим выполнение условий теоремы 3 § 24. Действительно,,
248
Для у?Т |/(г/)|<||Л|1М1<с||Л|||М|<с|И||, т. е. М рав-
равномерно ограничено.
Если при е >0 выберем б - в/с, то из неравенства
ll</i - Уг\\ <J> следует, что \f ({/,) - f (y2)\ < ||/|| ||^ - у2]\ <
!ГГ. С'Е/с = е, т. е. множество М равностепенно непрерывно
в'С(Т). П
Из свойств 1—3 следует, что множество К(Х, Y)
компактных операторов является замкнутым векторным
подпространством в пространстве L(X, Y) линейных ог-
ограниченных операторов.
Из примера 2 и свойства 3 следует, что предел после-
последовательности операторов конечного ранга является ком-
компактным оператором. Для гильбертовых пространств (и
банаховых со счетным базисом) верно и обратное: любой
компактный оператор является пределом сходящейся по
норме последовательности операторов конечного ранга
Лп = РпЛРп, где Рп — проектор на первые п базисных
векторов.
Существуют сепарабельные банаховы пространства,
и которых есть компактные операторы, не являющиеся
пределами последовательностей операторов конечного
ранга. Впервые пример такого пространства был постро-
построен П. Энфло в 1972 году и тем самым было получено
решение известной проблемы С. Банаха.
§ 48. Компактность интегральных операторов
Покажем, что если функции K(t, s) удовлетворяют
некоторым условиям, то интегральные операторы с яд-
ядром K(l, s) являются компактными в соответствующих
пространствах.
Теорема 1. Пусть Q — ограниченная область в R" и
пусть К{1, s) — функция, определенная на QxQ и удов-
удовлетворяющая следующим условиям:
1) существует постоянная С такая, что
j \K {t, s) | ds < С
a
2) для любого е > 0 существует б > 0 такое, что из
неравенства |^—/?|<Сб следует j \K(tv s)—K(t2> s)|ds<e.
и
Тогда интегральный оператор, действующий по формуле
Ax(t) = § K(l, s)x(s)ds,
_ u
компактен в C(Q).
24'J
Доказательство. Аналогично доказательству тео-
теоремы 3 § 27 проверяем, что оператор А действует из
С (й) в С (Й)_и ограничен. Возьмем ограниченное [множе-
[множество М в С (Q), т. е. IMI^-qj ^ С] для х ? М. Тогда мно-
множество А (М) ограничено в С (Й). Для доказательства пред-
компактности множества А(М) достаточно показать
в силу теоремы 3 § 24, что оно равностепенно непрерывно.
Проверим равностепенную непрерывность А (М). Для е/С,>
> 0 возьмем 8 > 0 из условия 2) теоремы 1. Тогда если
\ |6С то
s) — K{t» s)]*(s)ds|<
d f \K(tlt s)— K(t2, sftds^C^ = e.Q
C
Следствие. Если К(t, s) — непрерывная функция
двух переменных в ограниченной замкнутой области Qa
crR", то интегральный оператор с ядром Kit, s) компак-
компактен в С (Q).
Доказательство. Проверим выполнение условий 1)
и 2) теоремы. Условие 1) следует из ограниченности функ-
функции K{t/t s). В силу равномерной непрерывности функции
К (t, s) для любого е > 0 существует б > 0 такое, что для
любых tlf t2 € й и удовлетворяющих условию |^ —12\ < б
выполнено \К(tu s) — К(tz, s)\< е/(д.(Q). Тогда \\К(tit s)—
п
— К (t2, s)| cis <; e и условие 2 выполнено. IJ
Замечание. В условиях следствия компактность оператора А
можно доказать следующим образом. Согласно теореме Вейерштрасса,
существует последовательность многочленов Kn (t, s), равномерно
сходящаяся к непрерывной функции К {t, s) на QXfi. Согласно
примеру 1 § 33, интегральные операторы конечного ранга
Апх @ = f Kn (t, s) x (S) ds
сходятся по норме к оператору А. Оператор А компактен как пре-
предел последовательности компактных операторов.
Теорема 2. Пусть (Т, I, \а) — пространство с конечной
или оконечной мерой, функция K(t, &)?L2(T х Т), т. е.
она измерима и
{ j \К (Л s)№ (s) d\x @ - М2 < -f оо.
тт
250
Тогда интегральный оператор с ядром К. (t, s) компактен в
пространстве L2(T, \x).
Доказательство. Согласно примеру 2 § 33, интег-
интегральный оператор А является пределом по норме интеграль-
интегральных операторов Ап конечного ранга. Следовательно, А
компактен. D
Следствие. Если Q — ограниченная область в R"
и ядро K(t, s) непрерывно на Qx Q, то интегральный опе-
оператор с ядром K{t, s) компактен в L2(Q).
Интегральные опедат^^_^^дощ[е.1щщшше^^?ловиям
теоремы, иазываются^о^^еторами Гильберта—Шмидта)
Приведем один из результатов для *пространст'в"Тр.
Теорема 3. Пусть Q — ограниченная область в R" и
пусть ядро K{t, s) непрерывно в QxQ. Тогда интеграль-
интегральный оператор А с ядром K(t, s) является компактным опе-
оператором в LP(Q) при 1 ^р < + оо.
Доказательство. Пусть М—ограниченное множе-
множество в Lp (Q). Покажем, что множество А (М) предкомпакт-
по в LP(Q).
Пусть C1==sup\K{t, s)| и \\x\\, ^С2 для х?М. Тогда
t,s Р
\Лх @1 - I f К (t, s) х (s) ds | < (f | К (t, s)\" ds)''" \\x\\L <
я ii p
fax fo) - Ax (i,)| < f | К (/,, s) - К (ta, s)| |jc
a
r < sup \K (tlt s)~K (t2, s)\ ц (QI /' \\x\\Lp.
В силу равномерной непрерывности функции K(t,s) noej =
о
можно найти б > 0 такое, что прн \ix
- ——-jyq—
\i (Q) , С2
пыполняется \Ах (tt) — Ах A2)\ < в. Это означает, что мно-
множество А (М) принадлежит С (Q) и предкомпактно в нем.
Тогда у любой последовательности (Ахп), хп ? М, существу-
существует равномерно сходящаяся подпоследовательность, а из
равномерной сходимости следует сходимость в LP(Q). Сле-
Следовательно, А(М) предкомпактно в LP(Q). П
Замечание 1. Для других классов ядер проверку компакт-
компактности в Lp (Q) можно проводить с помощью критерия предксмпакт-
ности множества в LP(Q) (см. § 24) или с помощью аппроксимации
операторами конечного ранга.
251
Замечание 2. По ходу доказательства теоремы 3 доказано
следующее свойство: если ядро K(t, s) непрерывно в ОХЙ~и функция
xqLj,(Q), где Q — ограниченная область в R", то Ах@ =
= \ K(t, s)x(s)ds является непрерывной функцией.
Q
Интегральные операторы со слабополярными ядрами
ь
Теорема 4. Интегральный оператор Ах (t)-~ \К (t, s) x(s) ds
a
со слабополярным ядром K(t, s) компактен в пространстве
С [а, Ь].
Доказательство. В примере 4 § 33 построена по-
последовательность непрерывных функций Кп (t, s) такая, что
интегральные операторы Ап с ядрами Кп (t, s) сходятся по
норме к оператору А. Операторы Ап компактны в силу
следствия теоремы 1 и, значит, компактен оператор А как
предел последовательности компактных операторов. D
Замечание 3. В случае пространства R" ядро интегрального
оператора K(l, s) называется слабополярным, если оно может быть
представлено в виде
п
где а < п, \( — s| =- ( jj?\1h — sii ]2) ' — расстояние между точками
t и s в R", Кц((, s)—непрерывная функция. Аналогично теореме 4
получгем, что если Q — ограниченная область в R", то интегральный
оператор'со слаСополярпмм ядром компактен в пространстве С(й).
Теорема 5. Пусть Q —ограниченная область с R" и
пусть 5Uipo А'(/, i) предстаБЛяется в виде A), где а</г/2
и К о (t, ь) — ограниченная измеримая функция. Тогда ин-
интегральный оператор с ядром K(t, s) компактен в про-
пространстве L2(Q).
Доказательство. Согласно теореме 2, достаточно
проверить, что
Пусть \K0(t, s)|<Ci и \t — s|<jR для любых t и s из
fi. Тогда
{ ! К (t, s)|Vs < С? J \t~s\-2ads <
Q <>
J \s\-2ads =-. C?con J t»-x-**dr, B)
252
где юп — J ds — площадь единичной сферы в простран-
|s!=l
стве R". В силу условия а<л/2 последний интеграл в B)
существует и справедливо неравенство
C)
из которого после интегрирования по t получаем A). П
Замечание 4. Слабополярное ядро при а < я/2 удовлетво-
удовлетворяет условию C), более сильному, чем необходимо для компактности
оператора А. Это условие будет использовано далее в теореме Гиль-
Перта—Шмидта (§ 52).
Приведем пример интегрального оператора, который не является
компактным. Пусть К ? Ц (К) и оператор А действует в Z,2 (R) "О
формуле
+
11осле преобразования Фурье оператор А перейдет в оператор А ум-
умножения на функцию К (?), который не является компактным (см.
пример 7 § 47").
Замечание 5. Условие а < п в замечании 3 теоремы 4 су-
существенно: если а:— п и Ко {U s) Ф 0, то интегральный оператор с
ндром K(l, s) не является даже ограниченным в пространстве С(Й).
Замечание 6. Если компактный оператор /1: Х-^-Х имеет
ограниченный обратным Л~\ то тождественный оператор 1=*АА'Л но
сиойству 2 § 47 является компактным и, значит, пространство X ко-
конечномерно. Поэтому для уравнений Лх = г/ с компактным операто- к
|тм А и бесконечномерных пространствах всегда неверпа теорема ж
г\ щестоовапня и единственности решения. Это относится, в частно-
частности, к интегральным уравнениям первого рода f K(t, s)x(s)ds=y(t)
т
к случае, если К(г, s) обеспечивает компактность оператора Л. За-
Заметим, что физические соображения, приводящие к указанному ка-
качественному отличию интегральных уравнений 1-го и 2-го рода, со-
содержатся в § 22. Задача о разрешимости уравнений 1-го рода отно-
относится к числу так называемых некорректных задач, для решения
Которых разработана теория, выходящая за рамки настоящей книги.
| 49. Теория Рисса—Шаудера уравнений
с компактными операторами. Фредгольмовы операторы
При исследовании интегральных уравнений 2-го рода
!*), Фрсдгольм получил ряд теорем, заведомо не имеющих
места для произвольных уравнений. В дальнейшем
Ф. Рисе и Ю. Шаудер показали, что особые свойства это-
этого класса уравнений вытекают из компактности инте-
интегральных операторов, и построили общую теорию урав-
уравнений с компактными операторами.
25а
Пусть X — банахово пространство, К : Х-+Х — ком-
компактный линейный оператор. Рассматриваются четыре
уравнения: два в пространстве X:
х-Кх = у, A) j
х — Кх = 0 B) !
и два в пространстве X', сопряженном к X:
f-KT е. C)
f-K'l- 0. D)
Напомним, через Кег(/ — К) обозначаем пространство ре-
решений уравнения B), Im(/ — К)— множество у, для кото-
которых уравнение A) имеет решение. Следующие теоремы
устанавливают связи между уравнениями A)—D). ,
Теорема 1. Если К—компактный оператор, то простран-
пространства Кег(/— К) и Кег (/ — /(') конечномерны, a Im(/— К)
и Im(/ — К') замкнуты. I
Доказательство. На подпространстве Кег(/—/()
имеем Кх -- х, т. е. оператор К действует как тождествен-
тождественный. Но тождественный оператор является компактным
только в случае конечномерного пространства. Значит,
Кег (/ — К) конечномерно.
Так как К'—компактный оператор, то приведенное вы-
выше рассуждение относится и к Кег(/—К').
Обозначим L~=-Ker(/ — К). Согласно теореме 4 § 41,
существует разложение в прямую сумму X — L ф М. Обо-
Обозначим через В сужение оператора А — I — К на М. Если
Вх~0, то х с М П L и, значит, х - - 0. Таким образом,
Кег В — {0}, т. е. В — инъективный оператор; по построе-
построению ImB= Im Л. Значит, существует обратный оператор
В~1:1тА-*-М. Покажем, что оператор В-ограничен.
Предположим противное. Тогда существует последователь-
последовательность хп?М такая, что H^xJ-^-O и" ||х„|| =~ 1. Так как
последовательность (хп) ограничена, то (Кхп) — предком-
пактное множество и, значит, существует подпоследователь-
подпоследовательность (Kx,,h), которая сходится в М к точке х0. Но тогда
xnh — Axnk -г КхП]{ -+ ха ? М. В^силу непрерывности А имеем
АхПк-*-Ах0 и так как АхПI~*-0 по условию, то Ахо-—О.
Значит, xo^L(]M, т. е. хп — 0. Но так как ||xnj|^=l,
получаем противоречие. Таким образом, оператор В огра-
ограничен, т. е. справедлива оценка ]
ПМ1<е||В*Н Чх?М. E)
254
Из оценки E) получаем замкнутость образа 1тЛ. Пусть
уп = Ахп — последовательность элементов из 1тЛ и уп~*-
-*-у0. Покажем, что уо?\тА. Из неравенства E) получим
\\хп — хт\\^с\\Ахп — Ахт\\ = с\\уп—ут\\->0, 'п, т-+оо,
т. е. (х„) —последовательность Коши. Пространство X пол-
Itoe, значит, хп ->- х0. Тогда, переходя к пределу, получаем
flo = Ax0, т. е. уо?1тА. Так как К' — компактный опе-
оператор, то предыдущее рассуждение справедливо для опера-
оператора /—К'- rZ
Следствие 1. Уравнение A) разрешимо для дан-
данного ydX тогда и только тогда, когда f{y) = 0 для любого
функционала /, удовлетворяющего уравнению D).
Доказательство вытекает из утверждения о
замкнутости образа 1тЛ и теоремы 2 § 43. D
Определение 1. Пусть X и У — бангуцжи_щюс1=-,
ранства. Оператор A?L(X, Y) называется (фредгольмо-"
пым, если 1) dim Кег А< + °о; 2) dim Кег А'< + оо;
.')) ©4раз 1тА замкнут.
Таким образом, теорема 1 утверждает, что оператор
иида /—К, где К—компактный оператор в банаховом
пространстве, является фредгольмовым.
Важной характеристикой фредгольмова оператора Л
является его индекс
/ind Л — dim Kcr Л — dim Кег А'.
В случае конечномерных пространств X a Y имеем
dim Кег А — dim A' — r, dim Кег Л'— dim К — г, где г —
ранг матрицы, задающей оператор Л. Тогда ind Л — dimX—
¦--dim У. В частности, если А:Х-+Х и X конечномерно,
то ind А — 0. Если фредгольмов оператор Л действует в
бесконечномерном пространстве X, то его индекс может
быть ненулевым. Например, для оператора одностороннего
левого сдвига V:l2^-lt, действующего по формуле V(x) —
(х2, х3, . . .), имеем Кег V --¦-. {(xv 0, . . .)} и dim Кег V—
1. Но I m V - /2 и по следствию 3 теоремы 2 § 43
К(тУ'^{0}. Значит, ind V — 1.
Теорема 2. Если К — компактный оператор в банаховом
пространстве X, то ind (/ — К) — 0.
Рассмотрим сначала некоторые свойства фредгольмовых
операторов, из которых теорема 2 получается как простое
следствие.
Пусть банаховы пространства X и Y разложены в пря-
прямые суммы своих замкнутых векторных подпространств X—
. ¦ Хг 0 Х2 и Y - \\ ф Y2 и Pt: X-+Xt, Qt: У-> Yh i=
255
--=-- 1, 2, —соответствующие проекторы (см. пример 3 § 36
Ограниченному линейному оператору A-.X-+Y можно п
/Л,, Л,,\
ставить в соответствие операторную матрицу , г;
\Л21 Л22
Atj?L(Xh Yj), Аи ¦-- QtA, i, j --- 1, 2. При этом оператс
А действует на пару (xv х2), где х, ? X,, х2 ? Х2, как обьг
нее умножение матрицы на вектор:
A (Xj, Х2) ™ (^11-^1 I ^Ч2%21 ^2\^Л "Г 2^2)>
и произведению операгоров соответствует произведение мат
риц, определенное по тому же правилу, что и для числе
вых матриц.
Если оператор А задается с помощью диагонально,
матрицы А --¦ I , то оператор А фредгольмов тог;
V О А<22 I
и только тогда, когда фредгольмовы операторы Ап и
Действительно, Кег А ---- Кег А^ х ф Кег Л22, Кег Л' ~ Кег Л J,
ф Кег Лаг. 1тЛ = 1т Ли ф 1т Л22, откуда следует утвер
ждение и равенство шс1Л = 1ПС1ЛЦ -j- ind Л22.
Если оператор А фредгольмов, а оператор В имеет огра
ничейный обратный, то оператор Б Л фредгольмов и тс1Л =
¦-'-'тАВЛ. Действительно, в силу обратимости оператора L
пространство КегВЛ -- Кег Л, Кег (ВА)' ¦--= Я'(КегЛ')
dim Кег (ВА)' ¦-- dim Кег Л', подпространство lm (BA) -
~ В A m Л) замкнуто.
Пусть оператор Л : Х->-К фредгольмов. Обозначим Хх -
— Кег Л, Х2 — дополнение к Xlt которое существует в си
лу теоремы 4 § 41: Подпространство 1тЛ замкнуто и п<
теореме 2 § 43 1тЛ — (Кег Л'I. Так как ядро Кег Л' ко
нечномерно, подпространство К2~1тЛможет быть заданс
с помощью конечного числа линейно независимых функци-
функционалов, то по теореме 4 § 41 существует конечномерное
дополнение Yt для пространств Y2 и dim Yt --- dim Кег Л'.
При этом разложении пространств X --- Хх® Х2 и У--К,ф
ф Y% оператор Л задается матрицей ( ) , причем one-
\0 Л22/
ратор Л22 обратим и ind Л — dim Хг — dim Yv
Пусть при том же разложении пространств некоторый
ограниченный оператор С: X ->- Y записывается в виде
Сп О
О С 22 /
256
где С22 — обратимый оператор. Тогда С — фредгольмов опе-
оператор и indC-= indCn-|-indC22--indCu-dimXj—dimFi -
ind Л.
Теорема 3. Если А -.— фредгольмов оператор, то сущест-
пует число б >> 0 такое, что любой оператор В, удовлетво-
удовлетворяющий условию ||Л — 5||< б, фредгольмов и indA=indS.
Доказательство. Пусть по фредгольмову оператору
/1 построено разложение пространств X и Y, описанное
пыше, при котором оператору Л соответствует матрица
] , где Л22 — обратимый оператор. При том же
разложении пространств оператору В соответствует матрица
( Вп Bvi ) . Если ||Л22 - ?22||< \I\\AV2 II f, то, согласно
\ В21 В2, I
теореме 3 § 35, оператор В22 обратим. Так как ||Л22—52i!||^
¦: ; || Q2 (Л — В) || < || Q21| || А — В ||, получаем, что если б - -
e/||Q2||, то из условия \\А — S||< б следует обратимость
оператора В22. Матрицы ( ВЫВ22\ и| ^
(адают обратимые операторы. Перемножая матрицы, полу-
получаем равенство
ВгЛ! I 0\ / Са О
2i В22 I \— В->2 В.п I) \ О В2%
О / / \В.п В22 ! \— ВТ.} В.п I) V О В
где С1( - Вп — B12BJ2 В21.
Так как оператор / п ] фредгольмов и при умно-
V О S22 /
жении на обратимые операторы фредгольмов оператор пере-
переходит в фредгольмов и- индекс не меняется, получаем, что
оператор В фредгольмов и ind В -^ ind A.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим семей-
1-тво операторов At — I — tK, O^.t^.1. По теореме 1 все
ути операторы фредгольмовы. Согласно теореме 3, функция
(|'@ ~- ind (I — tK) непрерывна на [0, 1]. Но ср(О) -¦ ind / -=
0. Если фA) ¦-- ind (/ — К)фО, то функция <р(?) должна
принимать все промежуточные значения, что невозможно,
так как <p(i) принимает только целые значения. Значит,
(|>(^) = 0, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Уравнения B), D) имеют одинако-
пое число линейно независимых решений.
Это другая формулировка утверждения о том, что
ind Л = 0.
Следствие 2. Уравнение A) разрешимо для любой
17 Зак. 420
257
правой части тогда и только тогда, когда однородно^
уравнение B) имеет только нзллевое решение.
Доказательство. Пусть уравнение B) имеет
только нулевое решение. По следствию 1 уравнение D)
имеет только нулевое решение. Тогда условие разреши
мости из следствия теоремы 1 выполнено для любого
упХ, т. е. уравнение A) разрешимо для любого у.
Если уравнение A) разрешимо для любого у&Х, то,
согласно следствию 3 теоремы 2 (§ 43), Кег Л' = {0}. Тог-
Тогда по теореме 2 и Кег Л = {0}.
Следствие 3. Сопряженное уравнение C) разре-
разрешимо для данного gdX' тогда и только тогда, когда
g(x) = 0 для любого х, являющегося решением однород-
однородного уравнения B).
Доказательство. Уравнение f—K'f=g есть
уравнение с компактным оператором, и поэтому приме-
применимы теоремы 1 и 2. Условие разрешимости уравнения
C) есть <D(g)=0 для любого ФбХ", удовлетворяющего
уравнению Ф—К"Ф = 0. Если X — рефлексивное банахо-
банахово пространство, то это уравнение совпадает (с точно-
точностью до изоморфизма J: Х-*-Х") с уравнением B).
Если пространство X нерефлексишю, то, вообще гово-
говоря, уравнение Ф — /С"Ф 0 рассматривается в более ши-
широком пространстве и может иметь больше решений, чем
уравнение B). Но, согласно теореме 2, имеем dim Кег (/—
— К) -- dim Кег (/— К') ^ dim Ker (I — K"). Поскольку
Кег (/ — К) cz Кег (/ — К"), то из совпадения размерностей
имеем Кег (/ — К)' = Кег (/ — К"). ¦
Результаты, полученные в теоремах 1 и 2, легко рас-
распространить на несколько более широким класс уравнений.
Теорема 3. Пусть X и Y — банаховы пространства и
оператор А : X -> Y имеет вид А --¦ Лх + К, где At — обра-
обратимый оператор, К—компактный оператор. Тогда оператор
А фредгольмов и ind А — 0.
Доказательство. Оператор А можем представить
в виде Л — At(I — AT1 К). Оператор AT1 К компактный,
оператор / — А~х К фредгольмов и ind (/ — AT1 К) —¦ 0.
Как уже отмечалось, при умножении фредгольмова опера-
оператора на обратимый получается фредгольмов оператор с тем
же индексом. Значит, А —фредгольмов оператор и iruM - 0.
258
§ 50. Альтернатива Фредгольма
для интегральных уравнений,
Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода
Пусть Q — область в Rn. В пространстве L2(Q) рас-
рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
х (t) — \К (t, s) x (s) ds -= у (t). (i)
a
Предположим, что \\ \K{t, s)\2dtds< + °°- Тогда ин-
ЬЪ
тегральный оператор К с ядром K{t, s) является ком-
компактным и к уравнению A) применимы теоремы 1 и 2
§ 49 и их следствия. Напомним, что сопряженным к
/,2(й) является L2(Q). Запишем для данного случая со-
соответствующие уравнению A) однородное, сопряженное
и сопряженное однородное уравнения:
x{t) - [ K(t, s) x{s)ds = 0; B)
j
u(t)- \K(s, t)u(s)ds-g(t); C)
a
и it) — f K(s, t)u (s)ds = 0. D)
I
Запишем для данного случая условия разрешимости.
Функционал, соответствующий функции и, задается фор-
формулой
/ (X) - j X (О U (t) dt.
а
Теоремы 1 и 2 предыдущего параграфа для уравнения
A) сформулируем несколько в другом виде.
Теорема 1 (альтернатива Фредгольма для интеграль-
интегральных уравнений. Пусть К{i, s) — такое ядро, что интег-
интегральный оператор с ядром K(t, s) компактен в L2(Q).
Тогда возможны лишь два случая разрешимости урав-
уравнения A) и C).
I. Однородные уравнения B) и D) имеют только ну-
нулевые решения; уравнения A) и C) разрешимы для лю-
|>ой правой части.
II. Уравнение B) имеет конечное число п линейно
независимых решений хи х2, ...,• хп\ уравнение D) имеет
также п линейно независимых решений щ, «2, —, «п;
17* 259
уравнение A) разрешимо для данной функции
y?L2(Q) тогда и только тогда, когда
$y{t)uk(l)dt~O, k= I, 2...., п. E)
а
При выполнении условия E) общее решение уравнения
п
A) имеет вид х -- х0 -f V ckxk, где х0 — частное решение
уравнения A), ch—произвольные постоянные.
Такое же утверждение справедливо в случае простран-
пространства LP(Q) с тем изменением, что решение сопряженного
однородного уравнения нужно искать в этом случае в
пространстве Lq(Q).
Теперь перейдем к изучению интегральных уравнений
A) в пространстве С[0, 1].
В этом случае сопряженное уравнение нужно запи-
записать в сопряженном пространстве (С[0, 1])'. Но прост-
пространство (С[0, 1])' есть пространство функций ограничен-
ограниченной вариации, или пространство зарядов, и оно менее
удобно для вычислений. Оказывается, что в ряде случаев
исследование уравнения A) в пространстве С[0, 1] мож-
можно провести с помощью формально сопряженного урав-
уравнения
и @ — [ К (s, t) и (s) ds = О
о
в том же пространстве С [0, 1].
Теорема 2. Если ядро K{t, s) непрерывно, то для уран
нения A) в пространстве С [0, 1] справедлива альтерна-"
тива Фредгольма.
Доказательство. Дополнительному исследова-
исследованию подлежат условия разрешимости, так как в них ис-
используется сопряженное пространство, в формулировке
теоремы оно не участвует.
Рассмотрим уравнение A) в пространстве L2[0, 1].
Тогда для него справедлива альтернатива Фредгольма.
Значит, если
1
\ y(t)uh(t)dt - 0, k= 1,2, ...,п,
о
где uh — линейно независимый набор решений уравнения
1
и @ — ( К (s, 0 и (S) ds = 0
о
260
ft пространстве L2 |0, 1|, то уравнеше A) икеет решение
X?L210, 1]. Покаж;ем, что если у?С\0, 1], то и х?С[0,1],
I1, е. справедлива теорема существования в пространстве
С |0, 1]. Имеем
i
.,-, . X(t)= \K(t, s)x(s)ds+ y(t).
о
. -, ¦ ' 1
Так как интеграл f К (t, s)x(s)ds есть непрерывная 4 унк-
Ь
пия от t, то х?С[0, 1]. Из этих же соображений получа-
получаем, что- если решения ургвкений B) и D) принадлежат прсст-
|чщстЬу /.»|0, 1|, то они принадлежат С @, 1]. Таким об-
рппом, реши» уршшспля B), D) и L2\0, 1] и в С|0, 1], полу-
мнем одни и тот же набор решений и, значит, все
) iиерждения для уравнений A)—D) в пространстве L2|0, 1]
справедливы в пространстве С10, 1]. М
Замечание 1. Аналогичный fрезультат 'имеет место в случае,
если я^ро К (Л s) икеет еид К((, k) — Kc(t, s)/\l— s|a , где/Со(/,«)—
пспрерьрная функция и а< 1/2. Для доказател!ства достаточно про-
i срить лишь cEOfcTEO, которьм мы воспользовались в случае непре-
непрерывного ядра! если х?Ь2[0, 1], то I К (t, s)x(s)ds есть непрерыв-
о
пня функция от t па [0, 1].
Замечание 2. Условия гладкости па ядро сутестгепны для
справедливости альтернативы Фредгольма в приведенной формулировке
и С[0, \\.
Пример.
Интегральное уравнение
s-i'**(s)ds + 1/@
ить интегральное уравнение с компактным оператором (с операто-
оператором конечного ранга). Решая это уравнение как уравнение с вы-
вырожденным ядром, получаем условия разрешимости:
I
\ у(() t~lli dt ---= 0.
о
Мели же решать формально сопряженное уравнение в С [0, 1] или да-.
mil в L2 [0, 1], получаем только нулевое решение. Другими словами,
«ля данного уравнения в С[0,П утверждение теоремы неверно.
Замечание 3. Нагруженным интегральным уравнением на-
напивают уравнение в пространстве С [0, 1] вида
п 1
40+ 2 ah (I) х (th)+\ К (/, s) х (S) ds=y (t). th ? [0, 1].
261
Здесь формально сопряженный оператор уже не имеет смысла —
для исследования нужно строить сопряженный и применять теоремы
1 и 2 § 43.
Уравнения типа свертки. В пространстве L2(R) выде
лим один класс интегральных уравнений, для которых
также справедливы теоремы 1 и 2 предыдущего пара-
параграфа и альтернатива Фредгольма.
Пусть ядро K(t, s), определенное на RXR, допускает
разложение в виде
K(t, «)-*,(*, s) + K,(t, s),
где K1 (t, s) -- q>(/ — s), причем (p^L^R), а интегральный
оператор с ядром K2(t, s) компактен в пространстве Z.2(R).
Интегральное уравнение
-J-OO -J-O0
ах (t) + f ф (t — s) х (s) ds + j K2 (t, s) x (s) ds -- tj{t) F)
будем называть^?/равнением типа свертки, Интегральный
оператор Л2 с ядром Kzyt, s) является компактным опе-
оператором, а интегральный оператор А\ с ядром ф(^—s)
не является компактным. Поэтому для уравнения F)
альтернатива Фредгольма справедлива не всегда, а толь-
только если ядро удовлетворяет дополнительным условиям.
Теорема 3. Если а Ф 0 и а + ф (|) — 0 для % ? R, где
Ф — преобразование Фурье функции ф, то оператор Л =
— а\ -\- Ах + Аг фредгольмов и ind A ---¦ 0.
Доказательство. Согласно теореме 2 § 39, при
выполнении условий настоящей теоремы оператор а! + Ах
обратим и применима теорема 3 § 49. Отсюда следует
утверждение. D
Заметим, что сопряженное однородное уравнение к
уравнению F) имеет вид
-f- ОО -1-00
аи @ --- j ф (s — t) и (s) ds+ [ K2 (s, 0 и (s) ds = 0.
Рассмотрим в L2(R) интеграаьное уравнение типа сверт-
свертки вида
ах (i) + 2 1 а" (f)'Xh (t - s) bk (s) x (s) ds = у (t), G)
где a,f (^), bh (t) — непрерывные функции такие, что сущест-
существуют пределы lim ah (t) = а(оо) и lim bk (t) = bk (oo),
262
Л',, €^-i (R) П ^2(R). * =¦- I- 2, ..., т. Пока».ем, что уравне-
уравнение G) удовлетворяет условиям теоремы 3.
Теорема 4. Если выполнены \словия а Ф 0 и
V ah(oo)bh (oo)Kh{?) Ф 0 для ??R. то оператор А, оп-.
роделенный левой частью уравнения G), 4РеДгольм0В»
Hid А — О и, значит, для уравнения G; справедлива аль-
'КфнатиЕа Фредгольма.
Лемма. Если a (t)— непрерывная функция такая, что
lima (/) - 0 и /C€^i(R), то интегральные операторы
{ -» ОС
\x(t) \ a(t)K{t — s) jc(s)rfs, Bx(t)-- j ^_s)a(s)jc(s)ds
- -ixj —— ОС
компактны в L2(R).
Доказательство. Пусть an(t) — \ '' "^ , и
10, \t\>n
пусть Ж„—оператор умножения на функцию а. Тогда
\\Мап—Ма\\=sup \an(t)—a{t)\= sup |a(/)|-»-0. Если
< \t\>n
1 0 в остальных случаях
и Кп — интегральный оператор с ядром Кп (/ — s), /С — ин-
интегральный оператор с ядром К (t — s), то \\Кп — ^ II ^
I Кг* (т) — /С (т) | ах-+ 0. Операторы Ма Кп и /Cn AJa
компактны по теореме 2 § 48 (МапКп и КпМап—интег-
|кшьные операторы, ядра которых ограничены и обращаются
и нуль при |^| >2«, |sl>2/i). Так как А — Нт МппКп и
Я = Нт Кп Мап, то они компактны.
Л-»оо
Доказательство теоремы 4. Уравнение G) пе-
[юпишем в виде
-j-oo -)-оо
ах (t) + [ Ny(t, s)x(s)ds + [ N2 (t, s) x (s) ds = у (t),
где N1 (t, s) =- V ah (c») bft (c») iC;i (/ — s) — разностное
ft=i
ядро,
263
+ aA (oo) Kh (t - s) [&ft (s) - &ft (oo)]}.
Согласно лемме, оператор с ядром Af2 компактен. Применяя
теорему 3, получаем утверждение теоремы 4. D
§ 51. Сопряженные операторы в гильбертовом
пространстве
Согласно теореме Рисса (§ 40), каждый ограниченный
линейный функционал f на гильбертовом простран-
пространстве Я задается в виде скалярного произведения f(x) =
= (х, и), т. е. существует изометричное отображение меж-
между Я и Н'', что позволяет реализовать сопряженный опе-
оператор как оператор в том же пространстве Я. В случае
комплексного пространства Я соответствие f-*-u между
Я' и Я антилинейно. Поэтому свойства сопряженного
оператора, полученного при такой реализации, несколько
отличаются от свойств обычного сопряженного операто-
оператора А'. Вследствие этого, как правило, сопряженный опе-
оператор в гильбертовом пространстве определяют неза-
независимо. ^_^_ ...
Определение ^Сопряженным оператором к опера-
оператору А : Нг -> Я2, где Я] и Я2 — гильбертовы пространст-
пространства, называется оператор Л* \Hi^*-H1 такой, что для любых
х ? HL, у ? Я2, выполняется равенство
(Ах, у)Нг =•- (х, А*у)Нш.
Иногда, чтобы отличить его от сопряженного опера-
оператора А', оператор А* называют эрмитово сопряженным.
Для эрмитово сопряженного оператора Л* справед-
справедливы все теоремы, доказанные для оператора А' (см.
§ 43). Отличие заметно только в свойстве операции со-
сопряжения (ЯЛ)* = ХЛ* (сравнить с (ЫУ = кА').
В случае гильбертовых пространств всегда А** = А.
Определение 2. Линейный ограниченный опера-
оператор Л : И-+Н называется самосопряженным, если А = А*,
т. е. справедливо тождество {Ах, у) — (х, Ау). Линейный
ограниченный оператор Л называется унитарным, если
А*=А~1. Линейный ограниченный оператор Л называется
нормальным, если АА*=А*А.
Эти определения имеют смысл только в гильбертовом
пространстве, так как для банаховых пространств Л и Л'
действуют в разных пространствах.
264
Примеры.
1. В пространстве С" со скалярным произведением
п _
[х, у)т= V xhyh рассмотрим оператор Л:СЛ->С". Пусть
оператор А задан матрицей (аи). Построим к нему сопря-
сопряженный оператор А*. Имеем
*= 2 ХА
Таким образом, оператору Л* соответствует матрица (а;г)—
эрмитово сопряженная к матрице (аи). Оператор А самосо-
самосопряжен, если atj = ал, т. е. матрица (ао-) эрмитово сим-
симметричная.
2. В пространстве L2 G\ ,u) со скалярным произведением
(х, y)^\x(t)W)d4
т
рассмотрим интегральный оператор Ax(t) =«= {K(t,s)x(s)d\i,,
где K(t, s)?L2(Tx T). Тогда
(Ах, у) -
г г
, s) у @ d\it d\xs =
= f JC @ [/C(s, 0 ^(s)d|t,dm - (x, Л* г/).
T T
Получаем, что сопряженный оператор
A*y(t)--- \K(s, t) y(s)d\xs
т
<хть интегральный оператор с ядром K(s, t) . Интеграль-
иый оператср является самосопряженным, если K(t, s) =
К (s, t) .
3. В пространстве L, [0, 1] рассмотрим оператор умно-
умножения на (}ункьию a(t), т. е. Ax(l)~a(i)x(t).
265
Тогда
(Ах, у) = $a(t)x(t)W)dt ¦-: \хA)ЩУ (t) dt = (x, А* у).
о б
Значит, A* y(t) — a(t)y (t). Если a (t) — взщесгвгннозначная
функция, то a(t) — a(t) и оператор А самосопряжен. Если
\a(t)\ -¦- 1 почти всюду, то \/a(t) ¦¦- a(t) и оператор А уни-
унитарный. Так как a(t)a(t) ¦¦- a(t)a(l), to оператор умножения
на функцию нормальный.
Как известно из курса алгебры, эрмитово симметрич-
симметричная матрица {ац=а,ц) может быть ортогональным пре-
преобразованием приведена к диагональному виду. Наша
цель — получить аналогичное утверждение для случая
бесконечномерного пространства.
Приведем такую формулировку указанного свойства,
которая имеет смысл в бесконечномерном пространстве:
если А — самосопряженный оператор, то в пространстве
#=О существует ортогональный базис, состоящий из
собственных векторов оператора А.
Понятие базиса, т. е. полной ортопормированной сис-
системы, имеется для гильбертовых пространств, и поэтому
возникает вопрос, верно ли аналогичное утверждение для
операторов в бесконечномерном гильбертовом простран-
пространстве.
Отметим прежде всего, что для произвольных операто-
операторов даже в конечномерном пространстве теорема не верна.
. Л 1 v .
Например, оператор, заданный матрицей (q ^) в прост-
пространстве С2, имеет только собственные векторы вида (О,
х2), из которых нельзя построить базис в С2. Покажем
на примере, что в бесконечномерном случае аналогичная
теорема не верна даже для самосопряженных операторов.
В пространстве L2[0, 1] рассмотрим оператор умноже-
умножения на независимую переменную: Ax(t)=tx(t), A — са-
самосопряженный оператор. Уравнение для нахождения
собственных векторов имеет вид tx(t) =Xx(t), откуда
(t—h)x(t)=O и я(?)*=0. Значит, оператор А не имеет ни
одного собственного вектора и тем более не существует
базиса из собственных векторов.
Имеется два варианта обобщения этой теоремы на
случай бесконечномерного пространства.
1. Выделение более узкого класса операторов, для ко-
которых теорема справедлива в приведенной формулировке.
2. Изменение формулировки (с ослаблением утверж-
266
дсния) так, чтобы теорема была верна для произвольно-
произвольного самосопряженного оператора.
В § 52 будет показано, что у любого компактного са-
самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве
существует базис из собственных векторов, т. е. будет
Рассмотрен первый вариант обобщения.
Задача приведения эрмитово симметричной матрицы ац
\\ диагональному виду в случае пространства С" эквива-
эквивалентна приведению квадратичной формы (Ах, х) =
я
У! auxixs K сумме квадратов.
2 __. 1 /==-. I
По аналогии квадратичной формой оператора А будем
называть числовую функцию ^(х) — (Ах, х) на простран-
пространстве //. С оператором А можно связать также функцию
/тух переменных (Ах, у) — билинейную форму опера-
оператора А. Эта функция линейна по переменной х и, если
Л—самосопряженный оператор, антисимметрична:
(Ах, у) =-- (х, Ау) --- (Ау, х),
т. е. обладает некоторыми свойствами скалярного произ-
произведения. Поэтому для нее выполнены некоторые тожде-
тождества, которые аналогичны тождествам из предложения 2
§29:
(А (х + у),х + у) + (А (х — у), х - у) 2 (Ах, х) + 2(Ау, у),
A)
(А(х + у), х + у)- (А (х-у), х-у) -- 4Re(,4*, у). B)
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор в
гильбертовом пространстве Я. Тогда
1) квадратичная форма (Ах, х) принимает только ве-
вещественные значения, собственные значения оператора
А вещественны;
2) собственные векторы оператора А, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны;
3) для любого подпространства Z-сгЯ, инвариантного
относительно А, его ортогональное дополнение L1- инва-
инвариантно относительно А.
Доказательство. 1.' Первое утверждение вытекает
н'л равенства (Ах, х) — (х, Ах) — (Ах, х). Пусть Ах == Хх,
\\x\\ —- 1, тогда i — (Ах, х) — вещественное число.
2. Если Ах — Хх и Ау —- \iy, то (х, Ау) ----= р(х, у),
(Лх, у) —- К (х, у), откуда после вычитания получаем (X —
- |л) (х, у) = 0. Если % Ф ц, то (х, у) -- 0.
26?
3. Пусть y?L-. Тогда для любого x?L имеем (х, Ау) =
= (Ах, у) — 0, что и означает Ay?LL, т. е. подпро-
подпространство L L инвариантно относительно оператора А. п
Теорема 2. Пусть А — самосопряженный оператор в
гильбертовом прэстранствэ Н. Тогда:
1) sup \(Ax, х)\ ¦-- \\A\\;
1МИ1
2) существует спектральное значение X оператора А та-
такое, что |А.| ^ \\A\\.
Доказательство. 1. Обозначим N. — sup \(Ах, х)\ —
= sup | (Ах, х) |, тогда
\(Ах, x)\^NA\\x [p. C)
Из неравенства | (Лх, х) | ^ || Ах || || jc || ^ || Л || || х \\г следует„
что Л^л^||Л|| для любого ограниченного оператора. Испо--
льзуя тождество B), неравенство C), а затем тождество
параллелограмма, получаем
Re (Ах, У) = -]~ [(А (х + у), х + у) — (А (х - у), х—у)\ <¦
4
< —NA [\\х + у ||*+ \\х -У\\2) -4tNa diх II2 + IIУ И2)'
4 2
Положив у — —!!__!!_ Ах, будем иметь || х \\ \\ Ах \\ ^
|| Ах ||
< -1- УУл (||*Ц« + || х ||2) или || Ах || <ЛГЛ Btfi, откуда И;!<Л^Л •
2. По доказанной части теоремы существует последова-
последовательность хп?Н такая, что ||хп|| = 1 и (Ахп, хп)-+к, где
Х = \\А || или к = —1| Л |[. Тогда
||2- (Лх„— Ялп, Лд;„ — Ял„) - (А«п, Лхп) —
— 2Х(Лд;п, хп) + Х2(хп> ж„) < К — 2Я,(/4*„, *„) +
+ №:---21 (к —(Ахп, *„))-» 0.
Предположим, что оператор Л—X/ имеет ограниченный
обратный оператор. Тогда справедливо неравенство
||х||^с||(Л—Я/)д:||, с>0. При подстановке в это неравен-
неравенство последовательности хп получаем противоречие, зна-
значит, оператор Л—XI не имеет ограниченного обратного и
X есть спектральное значение для оператора Л. ?
268
§ 52. Спектральное разложение
самосопряженного компактного оператора
Ненулевое собственное значение Я компактного само-
самосопряженного оператора имеет конечную кратность, т. е.
число линейно независимых собственных векторов, отве-
отвечающих собственному значению А, конечно (см. § 49).
Лемма. Пусть А : Н-*-Н—компактный самосопряжен-
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Я. Для лю-
любого е>0 число собственных значений, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию \к\^г, конечно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
elt е%,...,еп,...— бесконечная ортонормированыая последова-
последовательность, состоящая из собственных векторов с собственными
Значениями kh, где \К,,\^к >0. Тогда множество Дел—А;,е/, как
образ ограниченного множества должно быть предкомпактным.
Ho\\Aeh-Aen\\-^\\khen-Ken\\ ¦- V% +Я,5> е/27Это
означает, что из последовательности Aeh нельзя выделить
подпоследовательность Коти. L'
Следствие. Собственные значения КФО самосо-
.пряженного компактного оператора с учетом кратности
могут быть занумерованы в последовательность Х\, Хг, ...
..., Х„,... так, что | Ah | ^ | Kh+i | и Ь->0 при?->оо.
Докажем" теорему Гильберта о приведении к диаго-
диагональному виду самосопряженного компактного операто-
оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве и дадим
ее применение к интегральным уравнениям с симметрич-
симметричными ядрами.
Теорема 1 (Гильберт). Пусть А — самосопряженный
компактный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н. Тогда в Н существует полная ортонор-
мированная система, состоящая из собственных векторов
оператора А.
Доказательство. Для каждого ненулевого соб-
собственного значения К в пространстве Кег (А—XI) выбе-
выберем ортогональный базис. Пусть L — подпространство в
Я, порожденное объединением всех выбранных базисов.
Тогда L инвариантно относительно А и, значит, L1- также
инвариантно относительно А. Сужение оператора А на
L-L является самосопряженным компактным оператором.
Покажем, что B=A\L' = 0, т. е. что это нулевой оператор.
Согласно теореме 2 § 51, существует спектральное зна-
значение ц оператора В такое, что ||ы|=||В||. Предположим,
что ||В||=^0, т. е. |д,?=0. Тогда по теореме 2 § 49 оператор
й—[х/ фредгольмов и ind(B—jx/)=O. Если Кег (В—
2С9
—ц./)={0}, то ImE—ц,/)=1-!-и, значит, В—ц/ имеет
ограниченный обратный оператор. Следовательно, ц, не
является спектральным значением. Значит, Кег(В—\*.1)Ф
ф{0), т. е. ц есть собственное значение оператора А с соб-
собственным вектором уб?А. Но по построению все собст-
собственные векторы с ненулевыми собственными значениями
принадлежат L. Получаем противоречие. Значит, ||В]|=0
и все векторы из Lx являются собственными векторами"
оператора А с собственным значением Х=0. Выберем в
L-L базис и, объединяя его с построенным ранее базисом
в L, получаем базис в пространстве Н, состоящий из соб-
собственных векторов оператора А.
Замечание 1. Сепарабельность пространства Н использована
только для построения счетного базиса в ?¦'•. Поэтому для произ-
произвольных гильбертовых пространств аналогичная теорема формулиру-
формулируется следующим образом.
Теорема 2. Если А — самосопряженный компактный
оператор в гильбертовом пространстве Н, то существует
инвариантное подпространство LaH такое, что в L есть
счетный базис, состоящий из собственных векторов опе-
оператора А с ненулевыми собственными значениями, а на
ортогональном дополнении ZA оператор А нулевой.
Замечание 2. Если для оператора А в гильбертовом прост-
пространстве Н существует полная ортопормированная система е^ такая,
что Aek — %heh, причем Я,й вещественны и Я& -* 0 при k - °°, то
А — самосопряженный компактный оператор
Действительно, обозначая Ап оператор, действующий по формуле
( XftCft, k < П,
Апеъ. — {'
\ 0, k>n,
получаем, что Ап ¦— оператор конечного ранга и, следовательно,
компактен. Так как \\Ап — А\ = sup \\ъ\ -* 0, то А компактен.
fcjsn
Замечание 3. Если оператор А действует в гильбертовом
пространстве /2, то он может быть задан бесконечной матрицей {аи),
оо
его квадратичная форма имеет вид ^ atjXtXj,r. e. является
i ,/=1
квадратичной формой бесконечного числа переменных *&. Если пе-
перейти к базису «й, состоящему из собственных векторов оператора
А с собственными значениями %ъ, то квадратичная форма примет
вид
(Ах, х)-- 7 A,ft | Cft J2, где с^— (х, е^) •—новые координаты век-
тора х. Таким образом, из теоремы Гильберта получаем, что квад-
квадратичная форма компактного самосопряженного оператора приводится
к сумме квадратов.
270
Простейшими операторами в гильбертовом простран-
пространстве являются проекторы PZ=P, P.* = P. Обозначим че-
через Pk оператор проектирования на подпространство,
порожденное собственным вектором eh, соответствующим
собственному значению Хн, Ркх—{х, eft)eft.
Проекторы Pi и Р2 называются ортогональными друг,
к другу, если Р\Р2 = Р2Р\ = 0, т. е. если ортогональны под-
подпространства, на которые они проектируют. Тогда теоре-
теорему Гильберта можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 3. Если А — самосопряженный компактный
оператор, то существует последовательность попарно орто-
оо
тональных проекторов Ph такая, что A— 'V^sPft, причем
^-кО и ряд сходится по норме.
Пусть eh — базис в пространстве Н, состоящий из соб-
собственных векторов оператора А с собственными значениями
00
Xh. Если х = V xkeh — разложение х?Н в ряд Фурье
но этой сисгеме, то действие оператора А задается простой
формулой
Ах =
eh,
которая позволяет определить функции от оператора
def
Оператор / (Л) определен для функций, заданных и огра-
ограниченных на множестве собственных значений {кк}. В
частности, если X — регулярное значение для оператора А,
то определена резольвента оператора
{A-XI)-iX = y—±—Xheh. A)
Формула A) позволяет явно выписать решение уравнения
Ах — Хх = у для регулярного значения X:
х —
Ун — (У> ?к) — коэффициенты Фурье элемента у.
271
Интегральные уравнения с симметрическими ядрами.
В пространстве L2 (Т, \а) рассмотрим интегральный оператор
Ax(t) = \K (t, s)x (s)d\is.
т
Пусть
'т
2) K(t, s) ¦-¦= K{s, t).
Из условия 1) получаем, что оператор А компактен,
из условия 2) имеем, что оператор А самосопряжен.
По теореме Гильберта в пространстве L%{T, ц) существу-
существует полная ортонормированная система ek(t), состоящая
из собственных функций оператора А. Разложение по
этой системе позволяет полностью исследовать и решить
интегральное уравнение
*(*)- \ K{t, s) х (s) diis =¦¦ y(t). ' B)
т
Будем искать решение уравнения B) в виде ряда
*(*)-V xheh{t).
ft—i
Подставляя в уравнение B) и приравнивая коэффициен-
коэффициенты при eh{t) в левой и правой частях, получаем
= у,„ Уъ ---- (У, eh)--= \ y(l)eh(l) d\it, k--- 1, 2.
f
Решая полученные уравнения относительно xh, получаем
два случая.
I. Если "КиФ 1, k -¦- 1, 2,..., то xh = yh и для
1 — К
любого у ? Н существует решеше уравнения B)
(Первый случай альтернативы Фредгольма.)
II. Если Xh ---¦ 1 для k -¦¦ kv .... kn, то для сущест-
существования решения необходимо и достаточно, чтобы
Уи =---• j y(t)eh{t)d\xt •¦- 0, k - kx kn. C)
г
272
При выполнении условий C) решение имеет вид
х {t) =
t~ Ук e"(t) + 2
где Ckt — произвольные постоянные. (Второй случай альтер-
альтернативы Фредгольма.)
При решении уравнения 2-го рода х—Ах=у нет необ-
необходимости получить разложение функции х, так как х—
~--у+Ах, где у— заданный элемент и, значит, достаточ-
достаточно получить разложение элемента Ах:
^t). D)
Так как А,/,-Я) при /e-voo, скорость сходимости в разложе-
разложении D) для Ах больше, чем в разложении для х, что су-
существенно при практических вычислениях.
Ряд D) более удобен также тем, что при некоторых
дополнительных ограничениях на ядро он сходится рав-
равномерно в отличие от ряда для х, где из общих сообра-
соображений получаем лишь сходимость в L2G\ ц).
Теорема 4 (Гильберт—Шмидт). Пусть ядро K{t, s)
определено на QXQ (Q — ограниченная область), сим-
симметрично (K(t, s) = K(s, t)) и существует постоянная С
такая,что
J
G
Пели функция / представляется в виде
/(/) = [ K(t, s)h(s)ds, AGMG), E)
а
то ее ряд Фурье по собственным функциям интегрально-
интегрального оператора А с ядром K(t, s) сходится к f равномерно
II абсолютно.
Функцию f, представимую в виде E), называют иног-
иногда истокообразно представимой.
Доказательство. Отметим, что С \ \K(t,s)\2dtds<.
hb
<; + °°, Л — компактный самосопряженный оператор в
/.2 (Q) и существует полная ортоиормированная система eh(t)
из собственных функций оператора Л. Тогда h (t) =
Afcefc(O, где 2 |Лл|а<-г- °о и f{t) = 2А*Х*е* ^"
й==1 *=1 А=1
1м Зак. 420 273
Проверим, что для ряда, составленного из модулей, выпол
ияется критерий Коши равномерной сходимости, т. ё.
т
sup V | h,, hh e,, (t) | -»- 0, п, т -»- се. F
Из неравенства Коши — Буняковского имеем
m
Первый сомножитель V \hkf стремится к нулю при п, т-*
Ь--=п
->¦ с» как отрезок сходящегося ряда. Для доказательства
теоремы достаточно показать, что второй сомножитель
ограничен. Запишем в явном виде условие Aeh — k,,ek:
C(<, b)eAs)ds-^Kkeh(t). G)
По условию, что С \K(t, s)\*ds<C, при фиксированном
функция К (t, s) как функция переменной s принадлежит
L2 (Q) и равенство G) означает, в частности, что число
К @ есть ее коэффициент Фурье. Следовательно, по
неравенству Бесселя У |^ей@ |2 <С. п
Замечание. Как было отмечено в § 48, условие теоремы
\\К (l> s) \2 ds <: С выполнено для слабополярного ядра при а<и/2.
Примеры.
1. В пространстве L2 ]0, 2я] рассмотрим интегральный
оператор вида л
•л ||
^д;(/) - J /С(/ —s)Jc(s)ds, |1
о
где K(t) — 2я- периодическая непрерывная функция.
Покажем, что функции eh it) — -7^^- егМ . образующие ба-
К2я
зис в L2[0, 2л], являются собственными функциями опера-
оператора А. Действительно,
274
2Я
, 2Я
Лек (/) = —zzr [K(t — s) elhs ds - 11 — s = x| =
K2
< /—2Л 1 2Я
= _4_ Г K(%)emt-T)dx = _i_f
У 2я / У2я -ь
2Я
V 2я 5
2Я
it! собственное значение Xk —¦ \ K(t)e~lkTdx определяется
о
ж коэффициент Фурье <)ункции /С(т). Условие самосопря-
" 1ИЮСТН оператора (/\'(т) K(--t)) обеспечивает ве-
iH'iTBCiiiKKTii епоепимшых чначеиим.
2. В пространстве L2 [0, 1] рассмотрим интегральный
чюратор с ядром
' S. 8 < t
t, S>t.
!1ш[ишем уравнение для нахождения собственных функций
Ах = hi, используя явный вид ядра:
/ 1
;, С sx (s) dx+ \ tx (s) ds = Xx (t). (9)
0 (
Левая часть уравнения (9) есть непрерывная функция
/1.1 я любой функции x?L2[0, 1]. При ХфО получаем отсю-
ii.i, что и функция х непрерывна. Но при непрерывной
функции х левая часть является непрерывно дифферен-
дифференцируемой функцией, а значит, и х непрерывно дифферен-
дифференцируема. Продифференцируем два раза по t уравнение
1
tx (t)+ [ х (s) ds — tx (t) - he' (t), — x (t) = Xx"{t).
t
Миачит, собственная функция, соответствующая собст-
тиному значению X, является решением обыкновенного
дифференциального уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами
kx"(t) + x(t) = O. A0)
Напишем общее решение уравнения A0):
@ -fc2sin—=-. A1)
уХ
=fc2sin=
у X уХ
275
Не всякое решение уравнения A0) является решение!
интегрального уравнения (9). Можно подставить A1)
(9) и найти те X, при которых (9) имеет ненулевые реш»
ния.
Более удобен другой способ Положим t = 0- в уравнв
нии (9) и t -= 1 в уравнении |" x(s) ds = he1 (t). Получае
t
кроме уравнения A0) краевые условия, которым должн.
удовлетворять собственные функции: л:@) = 0, л:' A) == С
Покажем, что если функция x(t) удовлетворяет уравнений
A0) и краевым условиям
то х является решением интегрального уравнения (9)
Действительно, проинтегрировав A0) от t до 1 и исполь
1
зуя A3), получим уравнение $x(s)ds = Xx/(t). Проинтег
t
рировав его от 0 до t и используя A2), получим исходно
уравнение (9). Значит, уравнение (9) для нахождени
собственных функций эквивалентно краевой задач
A0), A2), A3) для дифференциального уравнения, та
называемой зси)аче Штурма—Лиувилля. Так как извест
но общее решение уравнения" A0O~мо1?Гем в явном вид
выписать решение краевой задачи.
При X = 0 получаем х = 0, и, значит, h = 0 не ест
собственное значение. Общее решение уравнения A0) ест
при ^,=5^0
*(') O3 + Si
Подставляя х в краевые условия A2), A3), получаем л;@) =
-^-0, х'A)= -4=-cos—L= = 0. Если cos—!= =^= С
v% V). ¦ VX
то с2. -= 0 и х — 0 не является собственной функциек
Значит, собственные функции существуют только, есл1
cos — —0 и тогда с2 произвольно. Отсюда 1/У^=я/2-*-
у X
-!- kn, k = 0, 1, 2 ... и Хк = \ , k = 0, 1, 2 ..
(я/2 + kzif
При X — Xh собственная функция имеет вид ek (t) —
~ с2 sin (я/2 + kn)t. Постоянную с2 выбираем из условий
нормировки так, чтобы ||eft|| = 1, для чего полагаем с2 г.
276
( ) Итак, интегральный
6
оператор А с ядром К. (t, s) = min(*, s) в пространстве L2 [0, 1]
имеет полную ортонормирозанную систему собственных функ-
функций е,, (t) -- >/2 sin (л/2 -f- kn) t с собственными значениями
К = . где k - 0, 1, 2
(я/2 + fenJ
3. В пространстве L2G\ fx) рассмотрим интегральный
п
оператор с вырожденным ядром K(t, s) = \ah(t)bh(s).
Для нахождения собственных функций с ненулевыми соб-
собственными значениями получаем однородное уравнение Фред-
гольма второго рода с вырожденным ядром
= f/C(/, s)x(s)ds.
1'ешение этого уравнения сводится (как показано в § 37) к
решению системы линейных алгебраических уравнений Хх=
-Ах, где элементы матрицы имеют вид Ац~ \at{t)b}{t)dt.
Глава VIII
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 53. Топологические векторные пространства
Определение 1. Топологическим ве?горным про-
страиством (т. в. п.) называется множество лГкоторое:
1) является векторным пространством (над полем R или
С); 2) является топологическим пространством; 3) струк-
структуры топологического и векторного пространства согла-
согласованы, т. е. операции сложения и умножения на число
непрерывны в заданной топологии.
Заметим, что встречаются естественные на первый
взгляд топологии, не "согласованные с векторной струк-
структурой (пример § 25, с. 141).
Примером т. в. и. является нормированное простран-
пространство, так как (см. § 25) в нормированном пространстве
операции сложения и умножения на число непрерывны.
Особенность нормированных пространств заключается в
277
том, что в них топология задается с помощью одной
нормы. Однако встречаются различные типы сходимости
и связанные с ними топологии в векторных пространст-
пространствах, согласованные с векторной структурой, которые не
могут быть заданы с помощью одной нормы. Таковы, на-
например, точечная сходимость последовательности функ-
функций, сильная сходимость последовательности операторов,
слабая сходимость в нормированном пространстве и др.
Создание теории обобщенных функций также стимули-
стимулировало развитие теории топологических векторных про-
пространств.
На различные классы т. в. п. переносятся ряд понятии
и теорем из теории нормированных пространств. Рас-
Рассмотрим здесь лишь некоторые вопросы, связанные с со-
сопряженными пространствами и сопряженными операто-
операторами. Более подробно т. в. п. будут рассмотрены в
гл. IX.
Определение 2. Сопряженным пространством к
т. в. п. X называется пространство X' линейных непре-
непрерывных функционалов на X.
В сопряженном пространстве можно ввести слабую
сходимость: последовательность fn6X' сходится слабо к
fQX', если для любого xQX fn(x)-+-f(x)-
Как и в случае нормированных пространств, для не-
непрерывности линейного оператора (или функционала) в
т. в. п. достаточно, чтобы он был непрерывен в одной
точке (например, в точке 0).
Если/4 — линейный непрерывный оператор в т. в. п. X,
то точно так же, как и в случае нормированного про-
пространства, вводится понятие сопряженного оператора.
Значение функционала fQX' на точке х будем обозна-
обозначать <f, х>.
Определение 3. Сопряженным оператором для не-
непрерывного линейного оператора А:Х-+Х называется опе-
оператор А': Х'-лХ', действующий по формуле A'f(x)~ f(Ax),
или, что то же, удовлетворяющий условию ¦< A'f, х > = --
=--= </, -Ах>.
Теорема 1. Для любого непрерывного линейного опера-
оператора А:Х~*-Х сопряженный оператор А':Х'-*~Х' являет-
является непрерывным в смысле слабой сходимости линейным' опе-
оператором из X' в X'.
Доказательство. Функционал "g(x) = (/°Л)(х) как
композиция непрерывных отображений есть непрерывное
отображение, т.е. g есть элемент из X'. (Тем самым про-
проверена корректность определения оператора А'.)
278
О Если fn-+f слабо, то A'fn(x) = fn{Ax)-+f{Ax)=A'f{x),
т. е. оператор А' переводит слабо сходящуюся последова-
последовательность из X' в слабо сходящуюся последовательность
из X'.
Как мы уже отмечали, использование сопряженного
пространства наиболее полезно в том случае, когда со-
сопряженное пространство X' достаточно обширно, т. е.
функционалы из X! разделяют точки пространства X.
Оказывается, однако, что для произвольных т. в. п. со-
сопряженное пространство может не разделять точки X.
Пример. В векторном пространстве КС [0, 1] кусочно-
непрерывных функций на отрезке [0, 1] зададим топологию
1
с помощью метрики р{х, у) — Г К|*@— y(t)\dt. Эта топо-
6
логия согласована с векторной структурой. Покажем, что
если / — непрерывный линейный функционал на этом про-
пространстве, то f -- 0, т. е. сопряженное пространство триви-
тривиально. Действительно, предположим, что существует функ-
функция х0 такая, что /(д:0) —а>0. Из непрерывности / в
точке 0 следует, что существует б > 0 такое, что если
р (х, 0) < б, то / (х) < а. Если х0 представить в виде х0 —
= —0/1 + • ¦ • + Уп), то f(x0) == — [f(у,) + ... + f(yn)] и
п п
хотя бы для одного k имеем / (yh) J> а. Возьмем
nxo{t), если
п п
0 для остальных t.
Тогда выполняется равенство xo(t)—— \yi(t)+. • • + «/„ @1 и
п
Р (Ун, 0) = \ \^Mt)\ dt < -!=¦ V sup
/ б \2
Если взять п > , то p (yh, 0)< б и получаем
\ sup |x0 @1 /
противоречие. Значит, / (л;) --- 0 для любого х.
Локально выпуклые топологические векторные про-
пространства. Выделим класс топологических векторных
пространств, для которых непрерывные линейные функ-
функционалы разделяют точки исходного пространства.
Лемма 1. Окрестности точки 0 т. в. п. X однозначно
определяют топологию этого пространства.
27W
Доказательство. Для любого /гбХ отображе-
отображение ThX=x+h является непрерывным (в силу аксиомы 3
из определения 1 т. в. п.), обратное отображение Г_/,
также непрерывно, значит, Тк — гомеоморфизм. При
этом гомеоморфизме точка 0 переходит в точку h и
окрестности точки 0 взаимно однозначно переходят в
окрестности точки h. Значит, по окрестностям точки О
можно построить все окрестности произвольной точки
h?X и тем самым однозначно задать топологию в X.
Определение 4. Множество М в векторном про-
пространстве X называется выпуклым, если для любых
х, уЪМ точки tx+A—t)y принадлежат М для всех t та-
таких, что 0<?<1.
Определение 5. Топологическое векторное про-
пространство (X, т) называется локально выпуклым, если
в X существует база окрестностей—нуля, состоящая из
выпуклых множеств. Топология т называется в этом слу-
случае локально выпуклой.
Топологию в локально выпуклых пространствах обычно
задают с помощью полунорм следующим образом. Пусть на
векторном пространстве X задано семейство полунорм (Pi)iei
(/ — произвольное семейство индексов). Для произвольного
конечного набора полунорм р,,, ..., pin и числа г>0 за-
зададим множество
Vu in.r = {x?X\pih(x)<r, k=l, ..., л}.
Множества Vti сп%г образуют базу окрестностей нуля не-
некоторой топологии, а множества xo-\-\Vil in.r—базу ок-
окрестностей точки х0.
Эта топология определяется аналогично топологии мет-
метрического пространства. Множество U с: X называется от-
открытым, если для любой точки х0 ? U существует такое
множество Vit ,-n,,.==V, что х0 -f- V с: U. Проверим, что
это действительно топология. Множества 0 и X открыты.
Пусть Hi, i?l, — семейство открытых множеств. Рассмот-
Рассмотрим множество U — U Ut. Если x0?JJ;jo xo?Ui0 для не-
некоторого j'o. Так как {/,„ открыто, то найдется множество
Vai ап,г такое, чтол:0+Уа1 ап,, с: Ui<t a U. Следова-
Следовательно, U открыто. Покажем теперь, что U1[]U2 — также
открытое множество. В самом деле, если х0 ? Ut f] U2, то
xo?U1 и jfo??/2- Тогда найдутся множества Vai,...,an.r1 и
Vp, рто, Г1 такие, что хй -J- Fa, an.rlczU1 и nxQ -f-
+ ^Pi,-.,p ,r2 c^ V2- Выберем г — т\г\(гъ г2) и множество
280
» Vai «„.p, pm/ с KPl om,ri. Следовательно, х0 +
+ Ка,....,о„.р1 рЛ. r a Ux П t/2, т. e. UtftUt открыто.
Предложение 1. Топология на векторном простран-
пространстве X, заданная с помощью системы полунорм, локально
выпукла.
Доказательство. Покажем, что множества
Vat а„,г, образующие базу окрестностей нуля, являются
выпуклыми множествами. Пусть х, y?Vai ап,г- Тогда,
если 0 ^ t ^ 1 и 1 — 1, .. ., п, получаем|
pa.(t*+(l-t)y)^tpa.(x) +
ЗНаЧИТ, tX+ {{—() У ?Va,.....an.r.
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение 2. На локально выпуклом т. в. п.
(X, т) существует такая система полунорм (Pi)iei, что топо-
топология т совпадает с топологией, построенной описанным
иыше способом по этой системе полунорм (см. след-
следствие 4 теоремы 3 § 57).
Предложение 3. Пусть в т. в. и. X топология т
задана системой полунорм (р;),е/ и пусть для любого х?Х,
хфО, существует полунорма р;0 такая, что р1о(х)ф0.
Тогда непрерывные линейные функционалы разделяют точ-
точки пространства X.
Доказательство. Возьмем две различные точки хх
и хг, и пусть хо — х1 — х2=т^0. Возьмем р-,, — полунорму
на X из числа задающих топологию и такую, что /?;0 (хо)=?
Ф 0. На одномерном подпространстве L = {tx0 j / ? R} с: X
зададим линейный функционал /0 формулой /о(^о) = lpi<,ixo)-
Тогда на L выполнено неравенство \f0(x)\^.pi0(x). По тео-
теореме Хана—Банаха (см. §41) для функционала Д> существу-
существует продолжение / на все пространство X такое, что |/(х)|^
¦ =PioW' Покажем, что функционал f непрерывен в точке 0.
Действительно, для окрестногти V нуля в R вида V =
-~ ]—е, е [, е > 0, прообраз /-1 (V) содержит множество
V(,,,e. т- б- является окргсгноггыо нуля в (X, т). В силу
линейности f из непрерывности его в точке 0 следует не-
непрерывность и, значит, f?X'. По построению f (хх) —
f
Замечание. Условие на систему полунорм в предложении 3
(для х Ф 0 существует полунормч р такая, что р{х) Ф 0) эквивалент-
эквивалентно требованию отделимости топологии т. Доказательство см. в § 57
(предложение 2).
28i
Примеры.
1. В пространстве C(R) непрерывных функций на R
система полунорм
pk{x)--- max |*@1, ??]0, + оо[,
задает локально выпуклую топологию, в которой сходятся
те последовательности, которые равкомерко сходятся на
°° tk
компактных подмножествах из R. Например, ряд ^ '—"
сходится в этом пространстве к с* (равномерно и в среднем
ряд не сходится).
2. В пространстве ^"[0, 1] всех функций на отрезке
[0, 1] система полунорм pt(x) — \x(t)\, *G[0, 1] задает
локально выпуклую топологию, сходимость в которой
совпадает с точечной сходимостью последовательности
функций.
3. В пространстве L(X, Y) линейных ограниченных
операторов, где X, У — банаховы пространства, система
полунорм Px(A) = \\Ax\\Y, A?L(X, Y), хвХ, задает силь-
сильную топологию, сходимость в которой есть сильная схо-
сходимость операторов.
4. В нормированном пространстве X система полу-
полунорм pf(x)= \f(x) \, f&X', задает слабую топологию, схо-
сходимость в которой есть слабая сходимость в X.
5. В пространстве X', сопряженном к топологическому
векторному пространству X (в частности, нормированно-
нормированному пространству X), система полунорм px(f)=\f(x)\,
х&Х, задает слабую топологию, сходимость в которой
есть слабая сходимость в X'.
6. В пространстве С°° 10, 1], состоящем из бесконечно
дифференцируемых функций на отрезке [0, 1], зададим ло-
локально выпуклую топологию системой полунорм рк (х) =
= max \x(k) @|. Последовательность хп сходится к х в этой
0«1
топологии, если она сходится равномерно Екесте со исеми
своими производными.
§ 54. Пространства основных и обобщенных функций
Понятие обобщенных функций возникло в связи с ря-
рядом задач математики и физики, когда обычных функ-
функций оказалось недостаточно для описания наблюдаемых
явлений. Например, распределение масс в пространстве
282
удобно задавать с помощью функции — плотности рас-
распределения. Если есть точки, имеющие положительную
массу, то не существует обычной функции, которая явля-
являлась бы плотностью распределения. Среди других ослож-
осложнений, заставивших пересмотреть понятие функции, от-
отметим следующие: для разрывной функции нет обычной
функции, которая могла бы играть роль производной
(чтобы, например, выполнялась формула Ньютона —
Лейбница); сходящуюся последовательность нельзя по-
почленно дифференцировать; для таких важных функций,
как многочлены, нет функций, которые являлись бы их
преобразованиями Фурье.
Ряд такого рода затруднений был разрешен введени-
введением обобщенных функций. Заметим, что понятие обоб-
обобщенной функции было вызвано не стремлением к обобще-
обобщениям, а конкретными задачами. Впервые обобщенные
функции начали использоваться в физике П. Дираком.
Основы математической теории обобщенных функций
были заложены С. Л. Соболевым и Л. Шварцем.
Идею введения обобщенных функций проиллюстри-
проиллюстрируем на следующем примере. Если на множестве
С00 [0, 1] задать топологию с помощью нормы из L2[0, 1],
то сопряженное пространство будет изоморфно L2[0, 1].
Если ввести более сильную топологию на С°°[0, 1], то
множество функционалов увеличится. Получаем расши-
расширение пространства функций L2[0, 1]. Если топологию
задать, кроме того, таким образом, чтобы оператор диф-
дифференцирования был непрерывным, то сопряженный к
оператору дифференцирования будет действовать в этом
расширенном пространстве и играть роль дифференци-
дифференцирования. Значит, для построения обобщенных функций
следует построить такое пространство функций, чтобы в
нем топология была достаточно сильной и оператор диф-
дифференцирования был непрерывен.
Пространство Й)(К) основных функций. Через S)(R)
будем обозначать множество функций, определенных на
R, бесконечно дифференцируемых и финитных, т. е. та-
таких, что <р(Х)=0, если \х\>с (с зависит от <р). Функции
из пространства 3)(R) будем называть основными. Мно-
Множество <fc>(R) является векторным пространством с есте-
естественными операциями сложения и умножения на
число.
Определение 1. Носителем функции ср (обознача-
(обозначается ?иррф) называется наименьшее замкнутое множество,
вне которого <р (х) = 0, т. е. supp <р = {х ? R | Ф (х) Ф 0}.
283
Используя это понятие, можно сказать, что финитные
функции — это функции с компактным носителем.
В пространстве ®(R) зададим сходимость.
Определение 2. Последовательность ц>п?2)(Я) на-
называется сходящейся^ к ф в 3) (R), если
1) сугЯествует компакт К cr R такой, что 5иррфпс:Л'
для любого п;
2) для любого k = 0, 1, ... rocлегоЕйтелькость ф^й)(л)
сходится к ф равномерно.
Определение 3. Оператор А (функционал /) в про-
пространстве ?D (R) будем называть непрекыеньщ, если для
любой последовательности фп -*- С^в 3) (R) выполняется
Лф„ —»- 0 в 3) (R) (/(фп)~^)-
В пространстве JZ)(R) оператор дифференцирования
определен и непрерывен, оператор умножения на беско-
бесконечно дифференцируемую функцию также определен и
непрерывен.
Замечание. Мы задали в пространстве .25(R) сходимость и
непрерывность определили через сходимость. В пространстве .25(R)
можно задать такую локально выпуклую топологию, что сходимость
в этой топологии совпадает с заданной сходимостью в .25(R). При-
Причем непрерывные операторы есть именно те, которые сходящуюся
последовательность переподят в сходящуюся (см. гл. IX). Таким
образом, iZ>(R) есть локально выпуклое пространство и к нему при-
применимы утверждения, справедливые для локально выпуклых прост-
пространств.
Прежде чем перейти к дальнейшим построениям, по-
покажем, что основные функции существуют и их доста-
достаточно много. Заметим, что функции из 3)(R) являются
бесконечно дифференцируемыми, но не аналитическими,
так как из аналитичности функции ф и условия ф(Х) = 0
при \х\ >С сразу следует, что ф(Х) = 0.
Классическим примером функции из пространства
3)(R) является «шапочка»:
h*
Постоянную С/, выбираем так, чтобы \ (ah(x)dx= 1. Функ-
R
ция (О/, позволяет построить мкого других примеров функ-
функций из 30 (R): ее сдвиги, растяжения, произведения на
функции из О (R), линейные комбинации построенных
функций, пределы последовательностей и т. д.
Определение 4. Локально интегрируемой функ-
284
шей будем называть функцию g, заданную почти всюду
ia R, измеримую и интегрируемую на каждом ограиичен-
1пм замкнутом множестве из R.
Как и при построении пространства- LP(R), локально
ттегрируемые функции отождествляем, если они совпа-
совпадают почти всюду.
Покажем, что основных функций из 2D(R) достаточно
иного в следующем смысле.
Лемма 1 (Дюбуа-Реймон). Для любой локально интегри-
_>уемой функции g, g ф О, существует функция ф ? <?) (R)
акая, что
Доказательство. По локально интегрируемой функ-
1ии g построим для 0<C/i< 1 функцию
x+h
x'—h
"ункция gh бесконечно дифференцируема в силу бесконеч-
юй дифференцируемости «шапочки»—функции coft (x). Пока-
ь
кем, что Г \g{x) — gh(x)\dx-+Q при h-+Q для любого от-
а
•езка [а, Ь]. Возьмем 8>0 и выберем непрерывно диффе-
•енцируемую функцию v на [а—1, Ъ-\-\) так, чтобы вы-
юлнялось
\ \g(x)-v{x)\dx<—.
а-\ 6
"акая функция существует и может быть выбрана даже
многочленом, согласно следствию 1 теоремы 2 § 19. Для
пункции v построим аналогично усредненную функцию vh.
~огда
x-i-h
x) j" <oh{x—y)dy —
x—h
b x+h
x< j" \ \v{x) —
a x'—h
max \v'(x)\h(b —
l)b+l]
J \v{x) — vh{x)\dx=
x+h
f
+
— f v
x—ft
x+h
— a)[ <ah(x—y)dy= max \v'(x)\h(b — a).
xth xe[a-l,brn
285
Выберем 6>0 так, чтобы при 0</t<6 выполнялось
ь
\ \v(x)-vh(x)\dx<B/3.
а
Применяя неравенство треугольника в пространстве Lx [а, Ь\
получаем
ь ь
j \ё (*) - gh (x)\ dx < j \g (x) - v (x)\ dx +
а а
Ь Ь
\V (X) - Vh (Х)\ dX + \ \Vh (X) — gh (X)\ dx <i
a a
2
< —- e + f \vh (x) — gh (x)\ dx.
6 a
Для усредненной функции получаем
b b дг-i A
j" \gh (x)\ dx < j* f \g (y)\ &h (x — y) dydx <
h
a
i+ft
< \ \g\
a—ft
a
y'rh
'M j (o
x-h
i IV - /M /j
a—1
откуда
b b+l
f |fл (^) — gh (x)\ dx < Г |g (л:) — у (x)| dx < —-.
Таким образом, \\g — gi,\\Lt[a, &]-*-0 при h-+-0. Пусть теперь
локально интегрируемая функция g такова, что для любо
функции cp?2)(R) выполнено
\g(x)y(x)dx = O.
—-oa
Так как функция a>;i (х — у) как функция у принадлеяц
2) (R) при любом х, усредненная функция gh (x) = 0 и
силу доказанной сходимости g - 0 почти всюду, г;
Определение 5. Обобщенной функцией (на ве-
вещественной прямой) называется непрерывный Линейный
функционал на пространстве J25(R), т. е. элемент про-
пространства S)'(R)-
Обобщенные функции называют также распределе-
распределениями/Подчеркивая связь с физическими приложениями.
286
Расшифруем определение 5: обобщенная функция / — это
ВЮбражение из 25 (R) в С такое, что 1) / (Л-Ф1 + ИФг) =
¦ bf(<Pi) + tfM; 2) если Ф„->0 в ?>(R), то /(ф„)-^0.
Рассмотрим пример.
Локально интегрируемой функции g поставим в соот-
Югствие функционал Fg по формуле
<Fe, ф> - §g(x)<f(x)dx. A)
R
Проверим, что Fg — обобщенная функция. Отметим сна-
сначала, что интеграл в A) существует для любой функции
ip?<3!)(R), так как интегрирование ввиду финитности <р
производится по конечному отрезку. Линейность Fe оче-
пилна. Если фп->-0 в S)(R), то
м
< Fg, ф„ > - [ g (х) фп (х) dx,
—м
|де постоянная М не зависит от и. Тогда
м
I < Fgt Ф„ > | < max |Фп (х)\ \ \g (x)\ dx-+0
при п-+ос.
Например, постоянной функции g (x) = с соответствует
функционал (с, Ф > = ] c<p(x)dx. Таким образом, локально
R
интегрируемой функции g поставлена в соответствие обоб-
обобщенная функция Fg, причем если g^gv то, согласно лем-
лемме Дюбуа-Реймона, Fg^=Fgi. Это значит, что множество
локально интегрируемых функций инъективно отображается
(т. е. вкладывается) в множество обобщенных функций
•f' (R).
Определение 6. Обобщенная функция F назы-
иается регулярной, если существует локально интегри-
интегрируемая функция/такая, что
<F, ф>= [f(x)<i,(x)dx.
R
Остальные обобщенные функции называются сингуляр-
сингулярными.
Наиболее часто встречающаяся сингулярная обоб-
обобщенная функция есть так называемая б-функция Дира-
Дирака, определенная формулой <б, ф>=ф@). Функцио-
Функционал б линеен; если фП->-0 в 2)(R), то фп@)-^0, т. е. б —
непрерывный функционал. Покажем, что обобщенная
287
функция б является сингулярной. Предположим протиг.
.ное, т. е. что существует такая локально интегрируема
функция и, что
Возьмем последовательность ф„ (х) — a>L (nx). Тогда фп@)=
=, с ф. О, а, согласно теореме Лебега, ] а (х) фп (х) dx -> l
R
Получаем противоречие. Значит, представление B) нева.
можно и б-функция есть сингулярная обобщенная фуцкци>
Приведем еще несколько' примеров сингулярных обск.
щенных функций: < flt ф > ^ф' @), < /2, ф > -= \\x\l'2q>°{x)d:
к
сдвинутая б-функция < б (х — х0), ц> > — ф (х0).
В пространстве 3)' (R) вюдится сходимость.
Определение?. Последовательность fn обобщен
ных функций сходится в З)'(Я) к обобщенной функции
если для любой основной функции q>&3)(R) числова
последовательность fn(<p) сходится к/(ф).
Заданная таким образом сходимость является слабо
сходимостью в сопряженном пространстве.
Введение обобщенных функций как функционалов н
пространстве основных функций является не только уда1
ным математическим приемом, но имеет и физически
смысл. Пусть, например, существует функция р, опись
вающая плотность распределения вещества. Ни один ф!
зический прибор не измеряет значение этой функции
точке, а, как правило, прибор измеряет величину, коте
рая выражается формулой fp(x)(p(x)dx, где ф — так нг:
зываемая приборная функция. Таким образом, величь
ны, имеющие физический смысл, являются значениям
функционала, соответствующего функции р, а не знач^
ниями функции р(х). Если такой функции р нет, то ра--
пределение вещества все равно задает функционал и
множестве приборных функций, т. е. фактически задае
обобщенную функцию.
§ 55. Действия с обобщенными функциями
Дифференцирование. Пусть и — непрерывно диффе
ренцируемая функция. Проследим связь между фунь
ционалом, соответствующим функции и,
(и, ф> =--: §u(x)q>{x)dx (
R
288.
и функционалом, соответствующим ее производной и',
<«', ф> = |и'(дг)ер(*)d*. B)
R
Проинтегрируем по частям B):
+ 00
J
— J и (х) ф' (х) dx - U (х) (— ф' (х)) dx C)
R R
(внеинтегральные члены обращаются в нуль ввиду фи-
нитности ф). Получаем, что для любой функции q>(i?D(R)
выполнено равенство
<«', ф> = («, — ф' >. D)
Равенство D) берется в качестве определения.
Определение 1. Производной обобщенной функ-
функции f называется обобщенная функция Dj такая, что для
любого увФ(И) выполняется равенство
< D/, ср > - < f, - D<P > . E)
Сравнивая формулу E) с определением сопряженно-
сопряженного оператора (§ 53), видим, что оператор дифференциро-
дифференцирования D в пространстве 3)'(R) есть оператор, сопряжен-
сопряженный к оператору — D в пространстве 20 (R). Поскольку
оператор D непрерывен в 2)(R), то, согласно теореме
1 § 53, оператор D' действует из 3)'(R) в ZD'(R) и непре-
непрерывен в топологии слабой сходимости. Это простое за-
замечание приводит к неожиданным результатам.
Предложение 1. Любая обобщенная функция
бесконечно дифференцируема.
Предложение 2. Сходящуюся с &'(R) последо-
последовательность (и ряд) можно почленно дифференцировать
сколько угодно раз.
В частности, разрывная локально интегрируемая
функция имеет производную, которая является сингуляр-
сингулярной обобщенной функцией.
Пример.
1. Если и — обычная непрерывно дифференцируемая
функция, то производная соответствующей ей обобщен-
обобщенной функции есть обобщенная функция, соответствую-
соответствующая обычной производной, т. е. производная в смысле
обобщенных функций совпадает с обычной производной
14 Зак. 420 28.9
(это свойство взято в основу определения производно
обобщенной функции).
2. Продифференцируем разрывную функцию 9 (х) ¦-
— ' ^ ' в смысле обобщенных функций.
1 0, х<0, W
Рассмотрим 0 как обобщенную функцию:
4-
< 0, ф > = [ 0 (х) ф (х) dx-- \ ф (х) dx.
R О
Тогда
Значит, производная от 0 в смысле обобщенных функци!
есть б-функция.
Замечание 1. Приведенный пример показывает, что, есл]
обычная функция и дифференцируема почти всюду, ее производив!
в смысле обобщенных функций может не совпадать с обычной про
нзводной.
3. Пусть и (х) — кусочно непрерывно дифференцируема)
функция и пусть хк — ее точки разрыва. Продифференци
руем ее в смысле обобщенных функций. Пусть точки раз
рыва xk занумерованы так, что xh<Z.Xh+\, и g—произвол
ная функции и. Обозначим ак ¦-- и (xh + 0) — и (xh — 0), где
и (xh db 0) — lim и(х). Рассмотрим и как обобщеннук
x-+xh±0
функцию
< и, ф > ¦--- \ и (х) ф (х) dx.
к
Тогда
+ 00
< Du, ф > --= ( и, — ф' > = _ Г и (х) ф' (х) dx =
—00
JV—1 xh+l JV—1
С и (х) ф' (х) dx -- ^ I" (х>< + °) Ф (xh) —
-О хъ h=--0
= 2
290
h=0 xh
N -foo
Таким образом, для производной в смысле обобщенных
функций получаем
где g — обычная производная функции и.
4. Функция In |*| локально интегрируема и почти всюду
дифференцируема. Но ее обычная производная 1/* не яв-
ляется локально интегрируемой и формула I ах не
r х
ставит ей в соответствие функционал. Вычислим производ-
производную от 1п|*| в смысле обобщенных функций
< In |*|, ф > ¦- j In |*| <p (*) dx,
R
(Din|*|, ф> -— ]ln\x\4>r(x)dx.
R
Преобразуем полученный функционал к более удобному
виду. Заметим, что интегрирование по частям в послед-
последнем интеграле неприменимо, так как In |л:| — разрывная
функция. Рассмотрим равенство
-i-oo -E,
— f In 1*1 ф' (*) dx = — lim Г Г In |*| ф' (*) dx +
+¦» г
+ Г 1п х ф' (х) dx] = — lim In (+ ей) Ф (— в,) +
В последней сумме ни одно из слагаемых не имеет преде-
предела при 8i -> 0, е2 -*¦ 0. Мо если положить ех —- е2 = е, то
lim [In еф (— г) — In еф (е)] = 0. Поэтому
— \ 1п|*|ф' (*)dx = lim j 2&Ldx,
R e-° X
291
причем предел в правой части существует. Этот предел
называется интегралом в смысле главного значения и обо-
обозначается v. p. J —^~dx. Таким образом, мы поставили в со-
R X
, 1 ,
ответствие функции — (не являющейся локально интегри-
X
} л
руемой) функционал, обозначаемый 3s—: . s
Х I
X X / r' X
и показали, что D In \x\ -- ,9s —.
x
5. Функция f (x) -- л/2— x/2 при 0^х<2п и продол-
продолженная с периодом 2л на всю ось R разлагается в ряд
Фурье
причем ряд сходится в смысле пространства 25'(R). Про-
Продифференцируем ряд почленно и, как в примере 3, продиф-
продифференцируем функц ю /. Получаем
ft/0 ft—— ~
Мы нашли таким способом сумму ряда "Leihx, который
ь=о
заведомо расходится во всех пространствах обычных
функций.
Покажем теперь, что, несмотря на существенное рас-
расширение класса функций, производная в смысле обоб-
обобщенных функций сохранила одно из важнейших свойств
обычной производной.
Теорема 1. Если и ? 3)' (R) и Du — 0, то и = const.
Доказательство. По определению
< D'u, Ф > - < и, — ф' > ¦-- О
и, значит, функционал и определен и равен нулю на тех
функциях ур из ЗГ (R), которые являются производными
функций из 3) (R). Функция г|; является производной бес-
х
конечно дифференцируемой функции ф (х) —• f\|5 (т) ах. Что-
292
бы ф (х) была финитна, необходимо и достаточно, чтобы
+00
f if (т) dt — 0. Возьмем функцию ср0 6 ЙГ (R) такую, что
—оо
\ фо (х) dx — 1 (каг.ркер, <о8). Тогла для любой функции
—оо
Ф € З' (R) получаем разложение
+ во
Ф (х) = Фо (х) (' Ф (х) dx -
где \|5 (х) = ф (х) — ф0 (х) \ ф (х) их— произгодная [
из 35 (К). Значит,
+¦»
¦ < и, ф > = < и, Фо > J Ф (х) dx + < и, \|5 > .
—оо
Обозначив < и, ф0 > — с, получаем
-f оо
< и, ф > = с J ф (х) dx = < с, ф > ,
— со
т. е. и = с.
Замечание 2. В классе обычных функций, дифференцируе-
дифференцируемых почти всюду, аналогичное свойство не имеет места. Например,
функция 0 имеет производную, почти всюду равную нулю, но Ъф
Более того, пусть функция g(x) = Q для х<0, g(x) = \ для х>\
и совпадает на [0,1] с функцией Кантора (§ 6). Функция g непре-
непрерывна, g'(x)=0 почти всюду, но g(x)^const. Производная Dg, вы-
вычисленная в смысле определения 1, отлична от нуля и является син-
сингулярной обобщенной функцией.
Умножение на бесконечно дифференцируемую функ-
функцию.
Определение 2. Произведением бе&тц,енно лдф.
ференцируемой функции гфг)""на обобщенную функцию f
называется обобщенная функция af, определенная равен-
равенством <af, ф> = <f, ац>>.
Как видно из определения, оператор умножения на
функцию а в iZ5'(R) есть оператор, сопряженный к опе-
оператору умножения на функцию а в .25 (R). Отсюда следу-
следует, что произведение на бесконечно дифференцируемую
функцию определено для любой обобщенной функции и
операция умножения является непрерывной в 0'(R).
293
Если / — обычная функция, то равенство
J \а {х) f (х)] ф (х) dx -- J / (х) [а (х) Ф (х)] dx
R R
показывает, что для регулярных обобщенных функций про-
произведение на бесконечно дифференцируемую функцию сов-
совпадает с обычным.
Примеры.
j j +;• ]
1. /х.Ф —, (р\ = /.<з/а—, хц\ — v. р. | — (x(p(x))dx—
—Inn
с 1
= J Ф (х) dx, т. е. xSf> — — 1;
2. < xb, ф > = < б, хф > = хф (x)U=o =--¦ 0, т. е. хб •--¦ 0;
3. < а (х) б, ф > =--= < б, а (х) ф > •-¦; а @) ф @) --¦= < а @) б,
Ф > , т. е. а (х) б = а @) б.
При расширении множества функций до 3)' (R) не сохра-
сохраняются все свойства обычных функций. В частности, невоз-
невозможно определить произведение произвольных обобщенных
функций так, чтобы операция умножения была ассоциатив-
ассоциативной и коммутативной. Действительно, если предположить,
что такая операция определена, то получаем O--(xb)SP— —
х
= {Ьх) Я> — = б (х9Р —j ¦--: б, что неверно.
х \ х j
Не определено также значение обобщенной функции
в точке (значение в точке не определено и для элементов
из пространств ЬР[0, 1]). Но сравнить значения двух
обобщенных функций в области можно следующим об-
образом.
О пределе и иеЗ. Будем говорить, что обобщенная
функция /6S)'(R) равна нулю в области Gc:R, если для
любой основной функции ф такой, что виррфсС, выпол-
выполнено <f, ф> = 0.
Будем говорить, что f — g в области С, если /—g = 0
в С.
Определение 4. Носителем обобщенной функ-
функции f называется (обозначается supp f) наименьшее
замкнутое множество, вне которого /=0.
Например, для обобщенной функции б имеем б — 0 на
R\{0}. Следовательно, supp б-^{0}.
Сзертка обобщенных функций. Напомним, что сверткой
двух обычных функций f и g называется функция f*g, оп-
определяемая формулой
294
:--\fa)g(x-t)at F)
R
Операция свертки определена не для любых обычных
функций, так как интеграл в F) может оказаться рас-
расходящимся. Заметим, что если одна из функций f или g
является финитной, а вторая локально интегрируемой,
то интеграл F) существует и свертка определена.
Прежде чем дать определение свертки обобщенных
функций, проследим связь функционала, соответствую-
соответствующего функции f*g, с функционалами, соответствующи-
соответствующими / и g:
< f *g, Ф > - J ] / (I) g(x-l) at<p (x) dx -
"l - \\ / (I) g (У) Ф (У + fc) d?y - < 8v> < h> Ф (У + 6) > > •
В обозначении f| нижний индекс ? показывает, что
функционал / применяется к <р (г/ + Ю как к функции I, a
у служит параметром. Если / — финитная функция, то фун-
функция \|) (у) — < /|, ф (у + |) > принадлежит Ж (R) и опреде-
определено значение обобщенной функции g на ij;. Аналогично,
если / — обобщенная функция с компактным носителем, то
функция TJ5 (у) = < f|, ф (у +1) > принадлежит Ж (R). Дей-
Действительно, если f (х) — 0 при |х|>е, ф(х)=-0 при \х\ >с2,
то при |z/| > Cj -f с2 получаем, что \|; (у) = 0, т. е. гр — фи-
финитная функция. Переходя к пределу в равенстве
(У + Ау) — Ч> (У) _ /<= Ф (У + Ау +1) — Ф (У + I)
6
\
Ау
что возможно, так как в Прагой части предел существует,
получаем, что \|> — дифференцируемая функция и \|>' (у) =
= ( /g, ф' (z/ + ^) > . Повторяя последнее рассуждение, по-
получаем, что р*Чу)=- </в, ф(А) (у + Е)>, тг е. т|> €2) (R).
Таким образом, если g — обобщенная функция с компакт-
компактным' носителем, то имеет смысл выражение < gx, < /„, ф(х+
+ У) > > •
Определение 5. Пусть f и g — обобщенные функ-
функции, f имеет компактный носитель. Сверткой /*g называ-
называется обобщенная функция, определенная равенством < /*g,
Ф> = <?*. </», Ф {х + У)У > •
Примеры.
1. Вычислим сьертку /*б для /?2/(R):
= </. Ф>-
295
Значит, /*б ¦-- f и б-функция играет роль единицы при
свертке.
2. < /*б', ф >---=< fx, < б;, Ф (х+у) > > -^ < fx, -
— ф' (х) > - < /', ф > . Получаем, что f*6' = f, т. е. сверт-
свертка с б' есть производная.
Аналогично получаем, что
т. е. результат применения дифференциального операто-
оператора с постоянными коэффициентами к обобщенной функ-
функции / совпадает со сверткой / с линейной комбинацией
производных 6-функций.
§ 56. Пространство обобщенных функций
медленного роста. Преобразование Фурье
Определить преобразование Фурье в пространстве
0'(R) тем же способом, что и дифференцирование, как
сопряженный оператор, мы не можем, потому что опера-
оператор преобразования Фурье не переводит пространство
0(R) в себя. Поэтому для определения преобразования
Фурье нужны дополнительные построении. Обычно по-
поступают следующим образом. Строят другое простран-
пространство основных функций так, чтобы преобразование Фурье
его переводило в себя. Тогда преобразование Фурье
можно определить как сопряженный оператор к обычно-
обычному преобразованию Фурье. , ¦ ~v-v
Определение 1. Огнесем к пространств^ S(R) юс-
новных функций все бесконечно дифференцируемвге--Ч7унк-
ции ф на R, убывающие при х->-оо вместе со своими про-
производными быстрее любой степени 1/х, т. е. такие, что
Итл-'' ф'.*> (х) = 0; /, ft = 0, 1, 2
Топологию в S (R) зададим набором полунорм
pk., (Ф) = sup |A + |*|)/ ф<*> (х)\, ft, / = 0, 1, 2
xeR
Последовательность (рл->0 в пространстве S(R), если
для любых к, ] последовательность A + |х|)' ф^'° (х) стре-
стремится к нулю при и->-оо равномерно по х.
В пространстве S(R) определена и непрерывна опе-
операция дифференцирования.
Определение 2. Обобщенной функцией медлен-
ного роста называется непрерь1втгБГЙ~Яинейный функцио-
нал на пространстве S(R).
296
Таким образом, пространство обобщенных функций
медленного роста есть пространство S'(R), сопряженное
к пространству 5(R).
Любая финитная бесконечно дифференцируемая функция
(т. е. элемент Ж (R)) есть элемент 5 (R) и из сходимости по-
последовательности фп в 3j (R) следует ее сходимость в S (R).
Если f — непрерывный линейный функционал на S(R), то
его сужение на X (R) является непрерывным линейным
функционалом на Ж (R). Таким образом, получаем вложе-
вложение пространства S' (R) в 3J' (R), т.е. обобщенные функции
медленного роста образуют часть пространства 3/ (R) обоб-
обобщенных функций. Если f(x)— обычная функция, растущая
медленнее степени х, т. е. такая, что для любых k сущест-
существуют константы т и С, что |/(/|> (х)|^СA -\- \х\)т, то соот-
соответствующий ей функционал < /, <р > - - ) f (х)ц>(х) dx есть
к
обобщенная функция медленного роста. Напротив, функцио-
функционал, соответствующий быстро растущей функции, например
е.х , не является обобщенной функцией медленного роста.
Все обобщенные функции с компактными носителями явля-
являются обобщенными функциями медленного роста.
Особый интерес к пространству S(R) обусловлен сле-
следующей теоремой.
Теорема 1. Преобразование Фурье отображает про-
пространство S(R) на себя биективно и непрерывно.
Доказательство. Пусть
-lS{x)dx A)
R
— преобразование Фурье функции ф65. Так как функ-
функция ф убывает на бесконечности быстрее любой степе-
степени \/х, интеграл в A) существует и его можно диффе-
дифференцировать по параметру | любое число раз:
Ф(й)XI) - f (— ix)k Ф (х) e-^dx = F [(— ixf <p] (|).
R
Значит, ф— бесконечно дифференцируемая ограниченная
функция. Так как
F (ЕИ ф) (|) = f в-"*Ф<л (х) dx = (i©/ F [Ф] (I)
есть ограниченная функция для любого /, получаем, что
^() принадлежит S(R).
Обратное преобразование Фурье задается 'формулой та-
297
кого же вида и отображает S(R) в S(R). Получаем, что
отображение F биективно.
Пусть ф„-»-0 в S(R), т. е. для любых k, j sup\Dk(pn(x) xl\-*-
х
->0. Тогда для любых k и /
||* D/ F (Фп) (|)! -= ||* F [(- ix)l Фп] (|)| ---
<sup|(l М/ j ^
0,
* R 1 + X2
т.е. последовательность ?(ф„)->0 bS(R). Теорема дока-
доказана. 2
Определение 3. Преобразованием Фурье обоб-
обобщенной функции f медленного роста называется обоб-
обобщенная функция F(f) медленного роста, определенная
формулой
Таким образом, оператор F преобразования Фурье в
S'(R) есть оператор, сопряженный к оператору F преоб-
преобразования Фурье в S(R).
Из теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 1 § 53
получаем:
1) преобразование Фурье существует для любой обоб-
обобщенной функции из S'(R);
2) преобразование Фурье биективно отображает S' (R) на
S'(R);
3) преобразование Фурье непрерывно в S' (R).
Сравним функционал, соответствующий функции f^Lt (R):
(Ff, ф > = j f (x) ф (х) dx,
R
и функционал, соответствующий ее преобразованию Фурье /:
< Ff, Ф > = j / (|) Ф ® d% = j ( J f(x)e-'*dx) Ф (g) dg. B)
R R R
Изменив порядок интегрирования в B), что допустимо
в силу теоремы Фубини, получаем
(Ff, Ф > : -= [ f (х) f Ф (g) e^&ldx _- < Ff, ф > ,
R R
т. е. для регулярных обобщенных функций, соответст-
соответствующих интегрируемым функциям, преобразование
298
Фурье в смысле обобщенных функций совпадает с обыч-
обычным преобразованием Фурье.
Приведем примеры преобразований Фурье сингуляр-
сингулярных обобщенных функций и неинтегрируемых обычных
функций.
Примеры.
1. < FF), Ф > - < б, /Ч<Р) > = f <Р (*) e-
R
§tp(x)dx-. < 1, ф>, т.е.
\ <FF'), Ф> = <б',
= — < 6, F[(— ix)(p]) *-¦ §ixy(x)dx^ (ix, ц>), т. е.
FF') ix;
3. <FA), ф> = <1, F(q>)> = f $
R R
= 2лф @) = < 2лб, ф > , т. e. F A) = 2лб.
4. <F[x], Ф> = <дс, Р(ф)> - <
= <1, — ?F (ф') > i < F A), Ф'>--< Ф>
= < 2шб', ф > , т. е. F [х] = 2я1в';
5. < F (eixh), Ф > = < в»*», F (Ф) > = < 1, eixhF (Ф) (х) > =
-< 1, 5(Ф)(х + /г)>-<^A), ф(х + й)>- <2лб, ф(х +
Н- Л) > == < 2пб (х + Л), ф > , т.е. F (eixh) - 2пб (х + И).
Преобразование Фурье обобщенных функций обла-
обладает основными свойствами обычного преобразования
Фурье. Это позволяет, в частности, исследовать широкий
класс уравнений с операторами свертки, а также диффе-
дифференциальных уравнений.
Пример. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное
т
уравнение "S akuW (x)-— g (х) в пространстве S'(R). Это
h=r-0
уравнение можно записать в виде свертки /*и = g, где
т
f — V (—l)ft afc8<A>. Применяя преобразование Фурье, по-
й=0
т
лучаем ^ah (ф* F (и) (g) = F (g) (g). Если
для g^R, то
m
й=0
299
и получаем формулу решения дифференциального уравнения
и -- F'
Глава IX
ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе изложены основные факты общей тео-
теории локально выпуклых топологических векторных про-
пространств. В ней используется больше, чем в предыду-
предыдущих главах, сведений из топологии. Для удобства чита-
читателей такие сведения приведены в приложении.
§ 57. Полунормы и локально выпуклые топологии
Определения топологического векторного пространст-
пространства и полунормы были уже даны (§ 53, §41). Рассмотрим
подробнее связь этих понятий.
Подмножество А векторного пространства X над полем
К называется выпщлым, если Хх + \iy?A, каковы' бы ни
были х, у?А и X n€R, >„>0, ц>0 и Ь+|а=1. Оно
называется уравновешенным, если Хх?А, каковы бы ни
были х?А, А, ? К и |А.|^1. Множество А называется аб-
абсолютно выпуклым, если оно одновременно выпукло и
уравновешено. Это равносильно следующему требованию:
%х 4- цу € А для любых х, у?Ан К, \х?А таких, что
m-Hi*i<i.
Множество всевозможных конечных линейных комбина-
комбинаций y^j, где ^^3= О, V>,. = l, Xt?A, является выпук-
I i
лым множеством, содержащим Л, и называется выпуклой
оболочкой множества А. Оно является пересечением всех
выпуклых подмножеств из X, содержащих А, и тем самым
наименьшим таким подмножеством.
Аналогично наименьшее абсолютно выпуклое (уравно-
(уравновешенное) множество, содержащее А, называется абсолют-
абсолютно выпуклой (уравновешенной) оболочкой множества А.
Оно состоит из элементов" вида 'S'kiXi (Xx), в которых
i
300
Говорят, что подмножество А векторного пространст-
пространства Л' поглощает множество В, если существует такое
а>0, что ВаХА для всех X, \Х\ ^а. Поглощающим мно-
множеством называется множество А, которое поглощает
каждую точку из X.
Конечная вещественная функция р : X-vR на вектор-
векторном пространстве X называется полунормой, если она
удовлетворяет следующим условиям:
P)()>0
)Р( ):Р()
для всех х, у?Х и Х?
Ясно, что р@)=0, но может быть, что р(х)=*0 и для
хфО, т. с., нообщо. говоря, р ' @) — векторное подпрост-
подпространство в X. Полунорма р, для которой из р(х) = 0 сле-
следует х=0, является нормой.
В векторном пространстве X имеется следующее со-
соответствие между полунормами и абсолютно выпуклы-
выпуклыми поглощающими множествами.
Теорема 1. I. Пусть р — полунорма на X. Тогда мно-
множества Вр @, а) ^ {х ? X \ р (х) < а} и Вр [0, а] -=
=- {х?Х \р(х)^. а}, называемые полушарами, абсолютно
выпуклые и поглощающие для любого а>0.
II. Каждому абсолютно выпуклому поглощающему
множеству АаХ соответствует полунорма рл, называе-
называемая функционалом Минковского множества А, опреде-
определенная формулой
и обладающая тем свойством, что
ВРА@, 1)сЛсВР1[0, I].'
Доказательство. Утверждение I следует из усло-
условий Р2), Р3) и конечности р.
II. Из того, что А — поглощающее множество, следу-
следует, что рА (х) конечно для каждого х?Х. Условия Р1 и
Р2 очевидны. Чтобы доказать Р3), возьмем х?ХА, y?\iA,
X > 0, (.1 > 0. Тогда х + у ? ХА -f- цЛ =- (X + ц) А и поэто-
поэтому рл(х + у)^Х-{- \i. Следовательно, рА{х -\- у)<рА{х)+
+ РА (У)-
Напомним, что векторное пространство X над полем
К с заданной на нем топологией т называется топологи-
топологическим векторным пространством, если операции сло-
сложения и умножения на число непрерывны в заданной
топологии.
301
Предложение 1. Замыкание выпуклого (урав-
(уравновешенного, абсолютно выпуклого) множества в т. в. п.
выпукло (уравновешено, абсолютно выпукло).
Доказательство проведем для выпуклого множе-
множества А из т. в. п. X. Пусть х, у?А. Тогда существуют
направленности (х*,)лел> (УьКел. Ч> Уь?А такие, что х =¦-
— lim**,, г/=Птг/ь (теорема 1 § 5 Приложения). По-
л л
скольку ах\ + рг/х ? А для любых а ^ О, Р ^ О, а -f P =^ 1
и X — т. в. п., то ах% + $У\-*¦ а* + рг/ ? А Остальные
случаи рассматриваются аналогично. ^
Как показано в лемме 1 § 53, топология т. в. п. X
однозначно определяется заданием окрестностей нуля и,
следовательно, заданием базиса окрестностей нуля. Для
числа ХфО из непрерывности отображения ц>(х) — Хх и
непрерывности обратного отображения ср^) — —х по-
лучаем, что для любой окрестности нуля U множество
XU — {кх\x?U} является окрестностью нуля.
Теорема 2. В т. в. п. X существует базис Ш окрест-
окрестностей нуля такой, что:
Bj) каждое множество V ?Щ уравновешенное и погло-
поглощающее;
В2) если V ? 3d, то *kV ? 3$ для любого *к Ф 0;
В,) для каждого U ? 33 существует V ? Si такое, что
V + V с: U;
В4) для любых U, V?Ш существует W?{М такое, что
n
Доказательство. В^. Так как отображение Кх
X ХЭ(К х)-+'кх?Х непрерывно в точке @, 0), то для
любой окрестности U нуля в X существует б > 0 и W —
окрестность нуля в X такие, что Xx?U для всех | X | ^ б
и всех х? W. Обозначим V =--• {Хх\Х?К, I >-1< б, х? W).
V — уравновешенное множество, причем bWczVczU. Так
как 8W — окрестность нуля, то и V — окрестность нуля.
Пусть задано а?Х. Поскольку отображение КЭ^~*"
->- Ха ? X непрерывно в точке X -- 0, то для любой окрест-
окрестности нуля U существует б>0 такое, что Xa?U при
|^,|<;б. Следовательно, a?\dj при Ijxl^e. Это означа-
означает, что каждая окрестность нуля в т. в. п. является по-
поглощающим множеством.
Таким образом, в каждой окрестности нуля U содер-
содержится уравновешенная поглощающая окрестность V и,
значит, множество 33 уравновешенных поглощающих ок-
окрестностей нуля образует базис окрестностей. Свойство В2)
302
следует из сделанного перед теоремой замечания. Отобра-
Отображение ХхХЭ(х, у)^>-х-{- у?Х непрерывно в точке @, 0).
Поэтому для любой окрестности нуля U существуют ок-
окрестности нуля Уг?53 и V2€S3 такие, что V^-^V^aU.
Выберем V — Ух f] Vt и получим свойство В3). Свойство В4)
выполнено для любого базиса окрестностей точки. Для
рассматриваемого базиса можно положить W — U[\V, так
как пересечение уравновешенных поглощающих окрестно-
окрестностей есть уравновешенная поглощающая окрестность. ?
Замечание, Свойства Вз) и B<s) выполнены для любого бази-
базиса окрестностей нуля в т. в. п.
Таким образом, в каждом т. в. п. имеется базис урав-
уравновешенных окрестностей. В наиболее важных и употре-
употребительных т. в. и. существует также базис из выпуклых
окрестностей нуля. Такие пространства назыпаются ло-
локально выпуклыми (л. в. п.).
Следующая теорема характеризует топологию ло-
локально выпуклого пространства.
Теорема 3. В л. в. п. X существует базис <Й окрестно-
окрестностей нуля, обладающий следующими свойствами:
Ci) каждое F?,® абсолютно выпуклое и поглощающее;
С2) если FG33, то XV ?3$, ХфО;
С3) для каждого U ? 3?> существует V ? Ш такое, что
V + Vcz U\
С4) для любых U, V?33 существует W?33 такое, что
WciV[\U.
Если в векторном пространстве X задано непустое
семейство J? подмножеств из X, обладающее свойствами
Ci)— C4), то в X существует, и притом единственная, то-
топология, в которой X является л. в. п. с базисом окрест-
окрестностей нуля $.
Доказательство. Если W — выпуклая окрест-
окрестность нуля, то для любого 6>0 множество V={kx\XdK,
|А,|^б, x^W} есть абсолютно выпуклая окрестность
нуля. Поэтому аналогично доказательству теоремы 2 по-
получаем, что абсолютно выпуклые окрестности нуля об-
образуют базис, обладающий свойствами Q)—С4).
Пусть семейство Я?, обладает свойствами Сх) — С4).
' Обозначим через ff' множество всех подмножеств из X,
содержащих какое-нибудь множество из fB, и примем
'¦)f (х)-- W + х для каждого х?Х за множество окрестно-
окрестностей точки х. Из свойств С]) — С4) получаем выполнение
аксиом окрестностей из предложения 3 § 1 Приложения.
После этого остается проверить, что определенная таким
образом топология согласуется со структурой векторного
303
пространства. Сначала покажем, что операция сложения
непрерывна в любой точке (а, Ь) изХхХ. Действительно,
если U ? 39, то для любых х ? U + a, yd U + Ъ
выполнено х-J- у ?U -\- Ь + а. Для доказательства непре-
непрерывности умножения в точке (х, а) из ХхК достаточно
для U ? ЙУ найти такие р8, что ах — аа ? f/, как только
|^— а|<т) и х?8?/ + а. Существует такое ц>0, что
a?\iU; выберем т) так, чтобы выполнялись неравенства!
0<2т)<(А"~1, и затем б>0 так, чтобы выполнялись нера-
венства 0 < 26 < (| а \ + г\) К Тогда Хх — Ха — к (х — а) +
X( )8U UU
Следствие 1. Пусть Т — произвольное семейство
абсолютно выпуклых поглощающих множеств векторно-
векторного пространства X. Тогда в X существует слабейшая из
топологий, согласованных с алгебраической структурой,
в которых каждое множество из Т является окрестно-
окрестностью нуля. В этой топологии X — локально выпуклое
пространство с базисом окрестностей пуля, образован-
п
ным множествами вида ^П^г, ГДе А,>0,
Используя предложение 1, получаем
Следствие 2. В л. в. и. существует базис замк-
замкнутых окрестностей нуля со свойствами Ci)—С4).
Поскольку теоремой 1 установлено соответствие ме-
между абсолютно выпуклыми поглощающими множества-
множествами и полунормами, то из следствия 1 получаем
Следствие 3. Пусть на векторном пространстве
X задано семейство полунорм {pi}iej. Тогда в X сущест-
существует слабейшая из топологий, в которых все р* непре-
непрерывны. В этой топологии X — локально выпуклое прост-
пространство с базисом окрестностей, образованным абсолют-
абсолютно выпуклыми поглощающими множествами вида
Veil, /п^5р. (О, 8) П • ¦ • П Sp. (О, 8).
'» 'п
Доказательство. Достаточно заметить, что по-
лушар ВР@, е) является окрестностью тогда и только
тогда, когда полунорма р : X^>-R непрерывна. ?
Топологию, описанную в следствии 3, называют топо-
топологией, определяемой семейством полунорм {рг)ш.
Следствие 4. Для любого локально выпуклого
пространства (X, т) существует семейство полунорм
{pi}izi такое, что топология, определяемая семейством
полунорм {ргЬс-ь совпадает с т.
304
Доказательство. Пусть 38 — базис окрестно-
окрестностей нуля, состоящий из всех абсолютно выпуклых окре-
окрестностей. Тогда семейство полунорм {pv}vt%, где pv —
функционал Минковского для множества V, определяет
топологию, совпадающую с исходной топологией т. ?
Таким образом, всякая локально выпуклая топология
определяется множеством непрерывных полунорм и об-
обратно, всякое множество полунорм определяет локально
выпуклую топологию, в которой эти полунормы непре-
непрерывны.
Предложение 2. Топология, определяемая мно-
множеством полунорм {pi}iei, отделима тогда и только тогда,
когда из того, что pt (х) - 0, у' ? / следует, что х —- 0.
Доказательство. Если X отделимо и хфО, то
существует окрестность нуля U такая, что xi^U. По опре-
определению базиса окрестностей это значит, что существуют
е>0 и конечное подмножество ff {ilt ... , «'„} такие,
что множество П Вр, @, в) с U. Таким образом, найдется
некоторая полунорма рь t?,f. такая, что х$Вр.(О, е),
т. е. pi(x)^t.
Обратно, пусть хфу. Следовательно, х — уфО и по-
поэтому существует полунорма р, такая, что pt(x — у) —
=-.<х>0. Тогда JBPJ(х, а/2)ПЯр.(у, а/2) = 0. -,
Теорема 4. Локально выпуклое пространство (X, т)
метризуемо тогда и только тогда, когда его топология
отделима и может быть задана счетным числом полу-
полунорм.
Доказательство. Необходимость. Если пространст-
пространство (X, т) метризуемо, то существует счетный базис ок-
окрестностей нуля. Выбирая внутри каждой из окрестности
этого базиса абсолютно выпуклую окрестность, получаем
базис из счетного числа абсолютно выпуклых окрестностей
нуля {V,-}?L,. Тогда функционалы Минковского {pv)^Lx об-
образуют требуемую систему полунорм.
Достаточность. Пусть {ph)t=\ — система полунорм,
определяющая топологию т. Положим
р(*. у) = 1Л—рЛх~у)
1Л—¦
Аналогично примеру 5 § 14 получаем, что р(х, у) удов-
удовлетворяет аксиомам метрики, и нужно лишь проверить,
20. Зак. 420 305
что топология, определяемая метрикой р (х, у), совпадает
с исходной топологией, т. е. что шары
В@, е) — {х?Х\р@, х)<е}
образуют базис окрестностей нуля в X.
Так как базис в X состоит из множеств вида
v6.p р. --=вр. (о, 6)n...nfip. (о, б)
(следствие 3 теоремы 3), то надо для заданного б>0
найти е>0 так, чтобы В@, е) cz V& Pl Pn, и обратно
для е>0 найти 8>0 и р; так, чтобы В@, е) гэ
В первом случае выберем е<С—^ , k=\, ...,
... , п. Тогда при x?B(Q, e) имеем —-<е<
Т 1 + ph (x)
16,, . .
<С—-г , А—1, ..., п; следовательно, ph\X)<.
2 1 + 6
<б, k — 1, ... , п, т. е. х? V& Pl Рп.
Во втором случае выберем б<е/2 и п так, чтобы
1/2"<е/2. Тогда при .vgF6; Р„ ... , Рп
п \ °° 1 г- 1
Р (О, X) < > —г (- > —т— <
Метризуемое_ полнее локяльнп _вьгпуклое пространство
называется [пространством. ФрешеГ~]
§ 58. Линейные непрерывные операторы
и функционалы. Ограниченные множества
Пусть X и У — локально выпуклые пространства с
топологиями, определяемыми системами полунорм Р и
Q соответственно. Будем считать без ограничения общ-
общности, что для любого конечного набора pi, ..., рп полу-
полунорм из Р полунорма р(х) = тахри(х) также принадле-
жит системе Р. Из этого свойства вытекает, что полу-
полушары Вр@, г) образуют базис окрестностей нуля, а не
предбазис, как в общем случае. Аналогичное свойство
будем считать выполненным у семейства Q.
Поскольку окрестности точки а в л. в. п. являются
сдвигами окрестностей нуля, то всякое линейное отобра-
306
жение Т: X^>-Y непрерывно тогда и только тогда, когда
оно непрерывно в нуле.
Линейные отображения называют обычно оператора-
операторами. Множество линейных непрерывных операторов из X
в Y обозначим L(X, Y), а множество X' = L(X, К) линей-
линейных непрерывных функционалов на X называется прост-
пространством, сопряженным в X.
Теорема 1. Линейное отображение Т : Х-*-У непре-
непрерывно тогда и только тогда, когда для каждой полунор-
полунормы c/GQ существуют полунорма р?Р и константа С^О
такие, что справедливо неравенство
q(Tx)^Cp(x), x?X. A)
Доказательство. Достаточность. Для окрест-
окрестности U=Bq{0, г) точки 0 u Y на идем полунорму р, для
которой выполнено неравенство A), и построим окрест-
окрестность V = B@, г/С) точки 0 в А". Тогда T(V)czU, что и
означает непрерывность оператора Т.
Необходимость. Если Т непрерывно в точке х — 0, то
для всякой полунормы q ? Q и любого е > 0 найдутся по-
полунорма р ? Р и б > 0 такие, что из соотношения р (х)^8
следует q(Tx)^.e. Пусть х?Х — произвольная точка.
Выберем такое X, что Хр(х)^б. Тогда р(Хх)^8 и поэто-
поэтому q(T(Xx))^t. Следовательно, q(Tx)^&/X. Если р(х)~
— О, то А, можем выбрать сколь угодно большим и тогда
q (Тх) — 0; если же р (х) ф 0, то возьмем X ~ 8/р (х). Тог-
Тогда q(Tx)^(e/8) p{x) и в любом случае A) выполняется. ?
Следствие 1. Пусть X — л. в. п., f : X-+R — ли-
линейный функционал, Р — система полунорм, определяю-
определяющая топологию на X. Функционал f непрерывен тогда и
только тогда, когда существуют полунорма р?Р и кон-
константа С>0. такие, что
|/(*)|<Ср(*), х?Х. B)
Из теоремы Хана—Банаха (§ 41) следует, что если
{0} то и Х'Ф{0} и, более того, непрерывные линей-
линейные функционалы разделяют точки отделимого локально
выпуклого пространства. Напомним, что для произволь-
произвольного топологического векторного пространства может
оказаться, что Х' = {0} (см. § 53).
Множество В в л. в. п. X называют ограниченным,
если оно поглощается каждой окрестностью нуля, или,
что то же самое, каждая полунорма р?Р ограничена
на В.
Будем обозначать через 9&(Х) совокупность всех
замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных множеств
20' . 307
из X. Тогда для любого ограниченного множества А из X
существует множество В?38(Х) такое, что АсВ. Вся-
Всякая подсистема З&а системы $(Х), обладающая таким
свойством, будет называться фундаментальной системой
ограниченных множеств, или базисом ограниченных
множеств на X. Непосредственно из определений выте-
вытекает
Предложение 1.
1. Конечное множество ограничено.
2. Замыкание, выпуклая оболочка, абсолютно вы-
выпуклая оболочка ограниченного множества ограничены.
3. Любое подмножество ограниченного множества А
и множество ХА ограничены.
4. Объединение конечного числа ограниченных мно-
множеств ограничено.
5. Образ ограниченного множества при непрерывном
линейном отображении ограничен.
Предложение 2. Для того, чтобы множество В в
л. в. п. X было ограниченным, необходимо и достаточно,
чтобы для каждой последовательности (хп) сВи каждой
последовательности чисел Хп, Хп^>-0, имело место Хпхп ->¦
Доказательство. Необходимость. Пусть (хп) и
(кп) — последовательности указанного вида и V — произ-
произвольная абсолютно выпуклая окрестность нуля в X. Су-
Существует X > О такое, что В с= XV. В частности, хп ? XV,
п --- 1, 2, .... Если п настолько велико, что \Хп |< 1Д,
то Хпхп?XnXVс= V, т. е. Хпхп-+0.
Достаточность. Если бы в условиях теоремы множест-
множество В не было ограниченным, то нашлась бы окрестность
нуля V, которая не поглощает В, т. е. при любом п мно-
множество B\nV Ф 0. Выберем хп ? B\nV. Тогда, с одной
стороны, (хп)?В, а с другой xn$V, что противоре-
п
чит условию. ?
Понятие ограниченного множества позволяет охарак-
охарактеризовать нормируемые пространства, т. с. такие л. в. п.,
топология в которых может быть задана с помощью од-
одной нормы.
Теорема 2 (Колмогоров). Отделимое локально вы-
выпуклое пространство нормируемо тогда и только тогда,
когда в нем есть хотя бы одна ограниченная окрестность
нуля.
Доказательство. Необходимость очевидна, так
308
как единичный шар в нормированном пространстве яв-
является ограниченной окрестностью нуля.
Достаточность. Пусть U—ограниченная окрестность
нуля. Без ограничения общности можно считать, что мно-
множество U абсолютно выпукло. Тогда для произвольной ок-
окрестности нуля V существует А,>0 такое, что U с: XV и,
следовательно, U а V. Таким образом, множества
л
| U) образуют базис окрестностей. Так как пространст-
{ п \
во отделимо, то рц является нормой, определяющей топо-
топологию. ; П
Локально выпуклое пространство называется борно-
логическим, если б нем каждое абсолютно выпуклое
множество, поглощающее все ограниченные множества,
является окрестностью нуля.
Теорема 3. Метризуемые л. в. п. являются борноло-
гическими пространствами.
Доказательство. Если X метризуемо, то сущест-
существует счетный базис окрестностей нуля (Vn) такой, что
V1 zd V2 :э ... :э Vn гэ. Пусть А — абсолютно выпуклое
множество, которое поглощает все ограниченные множест-
множества. При некотором п мы должны иметь включение VnanA.
В противном случае существовали бы xn?Vn такие, что
хп$пА. Так как хп — сходящаяся к нулю последователь-
последовательность, то она ограничена и, следовательно, поглощается А,
что является противоречием. Значит, А содержит Vn и
п
является окрестностью нуля. [-¦
Линейное отображение Т : X^-Y одного л. в. п. X в
другое У называют ограниченным, если оно ограничен-
ограниченное множество из X переводит в ограниченное множест-
множество в У.
Исходя из теоремы 1 получаем, что каждое непре-
непрерывное линейное отображение ограничено, но ограничен-
ограниченные операторы могут быть разрывными. Борнологиче-
ские пространства характеризуются тем, что в них по-
понятия непрерывного и ограниченного отображения сов-
совпадают.
Теорема 4. Для того, чтобы л. в. п. X было борно-
логическим, необходимо и достаточно, чтобы каждое ли-
линейное ограниченное отображение Т: X^>~Y в любое
л. в. п. У было непрерывным.
Доказательство. Необходимость. Пусть X —
309
¦орнологическое л. в. п., Т : X-^-Y — ограниченное ото
>ражение, V — абсолютно выпуклая окрестность нуля п
' и В— ограниченное множество в X. Тогда V погли
дает Т(В) и, следовательно, T~l(V) поглощает В, а по
тому T~l(V) — окрестность нуля в X. Значит, Т непрс
>ЫВНО.
Достаточность. На локально выпуклом пространстве
Г зададим новую топологию, присоединяя к базису окре
тностей нуля все абсолютно выпуклые множества, по-
лощающие каждое ограниченное (в исходной тополо-
ии) множество. Полученное пространство обозначим Хь.
Очевидно, что оно является борнологическим л. в. п. и
1меет те же ограниченные множества, что и X. Поэтому
ождественное отображение /: Х-*-Хь ограничено, а сле-
следовательно, и непрерывно. Значит, топология прост-
>анств X мажорирует топологию Хь. С другой стороны,
"опология Хь сильнее топологии X по построению. Сле-
[.ователыю, они совпадают. Значит, X борнологично. ?
На борнологические пространства переносится ряд
фугих свойств нормированных пространств.
Теорема 5. Пусть X — борнологическое, a Y — произ-
юлыюе л. в. п. и пусть Т : X-*~Y — линейное отображе-
гае. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
а) Т непрерывно;
б) Т ограничено;
в) из хп—>-0 ъ X следует, что Гхп->0 в Y.
Доказательство. Эквивалентность а) «*==*- б) уста-
ювлена теоремой 4. Импликация а) =Ф- в) очевидна. Дока-
кем, что из в) следует б). Пусть В — произвольное огра-
гаченное множество в X. Если Тхп?Т(В), то для любой
юследовательности кп? К, Хп-*¦(), в силу предложения 2
^п->-0- Тогда ХпТХп = Т(кпхп)^>-0. По предложению 2
Г (В) ограничено в У. []
Пусть Л — совокупность ограниченных множеств в
а. в. п. X, удовлетворяющая следующим условиям:
1А) если А?А и В?Л, то gCG,^ такое, что A{jBcz
= С,
2Л) если A?J, то ХА?Л
ЗА) U А порождает X.
a
Пусть топология на л. в. п. Y порождается системой
полунорм {pt}. На множестве L(X, Y) определим локаль-
локально выпуклую топологию с помощью полунорм
РАш1(Т)= sup Pi(Tx),
¦де pi?{pi}, A?.A. Эта топология называется jt-тополо-
>ией, или топологией равномерной сходимости на ограни-
юнных множествах из Л, а множество L(X, Y) с этой
топологией обозначается L^ (X, Y).
Наиболее важными для приложений являются сле-
цующие три топологии.
1. ?Ф — семейство конечных подмножеств (т. е. мно-
множеств, состоящих из конечного числа элементов). Соот-
Соответствующая ^-топология называется топологией то-
точечной, или простой сходимости.
2. $Ф — семейство компактных подмножеств из X; со-
соответствующая ^-топология называется топологией
компактной сходимости.
3. $Ф — ссмейстно нсох ограниченных подмножеств
Из X; соответствующая ^-топология называется тополо-
топологией равномерной сходимости.
Из определения ограниченного множества видно, что
чем сильнее топология на л. в. п., тем меньше в нем огра-
ограниченных множеств. Другими словами, если на одном
векторном пространстве задано несколько локально вы-
луклых топологий, то множество, ограниченное в более
сильной топологии, ограничено и в более слабой. Так,
например, множество из L(X, Y), ограниченное в топо-
топологии равномерной сходимости, ограничено в топологии
компактной сходимости и топологии точечной сходимо-
сходимости. Представляет интерес выяснить, при каких условиях
на пространства X и У ограниченные множества в L(X,
\ Y) в этих трех ^-топологиях будут совпадать.
Множество HczL(X, Y) называется равностепенно не-
непрерывным, если для каждой окрестности нуля V в У
существует окрестность нуля U в X такая, что T(U)aV
для всех Т&.Н.
Пример. Если X и У — нормированные простран-
пространства, то множество HaL(X, Y) равностепенно непрерыв-
непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено по норме.
Очевидно, что равностепенно непрерывное множество
Н d L(X, Y) ограничено в любой ^-топологии. Действи-
Действительно, равностепенная непрерывность Н означает, что для
любой полунормы р на Y существуют такие полунорма q
на X и С>0, что p(Tx)^Cq(x) ух€Х, уГ?#. По-
Поскольку любое А ? .Л ограничено в X, то q (x) е^ Мл для
всех х?Л и, следовательно,
sup р {Тх) < CM a YT € н>
Л
т. е. любая полунорма из ?д(Х, У) ограничена на Н.
311
Бочкой в л. в. п. X называют замкнутое абсолютно
шуклое поглощающее множество. Локально выпуклое
¦остранство называют бочечным, если в нем каждая
'чка является окрестностью нуля.
Теорема 6. Полное метризуемое л. в. п. (т. е. прост-
нство Фреше) бочечно.
Доказательство. Пусть D — бочка в X. Тогда
оо
—¦¦ U nD. По теореме Бэра существует п0 такое,
мкнутое множество n0D содержит внутрен}1юю точку. Сле
¦вательно, D имеет внутреннюю точку x?D. Так как
'Солютно выпукло, то —x?D и 0 — х-\ (— х)
>инадлежит внутренности D, т. е. D — окрестность нуля.
Следующая теорема является обобщением на случай
жалыю выпуклых пространств теоремы Банаха—
тейнгауза.
Теорема 7. Если X — бочечное, а У — произвольное
в. п., то каждое точечно ограниченное множество
c:L(X, Y) равностепенно непрерывно.
Доказательство. Пусть V — произвольная замкну»
я абсолютно выпуклая окрестность нуля в У и положим
= П Т~1(У). Множество U замкнуто и абсолютно вы-
кло. Проверим, что U — поглощающее. Так как множе-
во Н (х) == {Тх \Т ? Я) ограничено в Y, то существует
>0 такое, что H(x)ckV, т. е. Tx?aV для всех Т?Н.
-о означает, что х?К f[ T'y(V) = W. Таким образом,
— окрестность нуля в X. Но поскольку Т (U) cz V для
ех Т?Н, то, по определению, Н равностепенно непре-
,1вно. L1
Следе гвие. Пусть X — бочечное, Y — произвольное
в. п. Если последовательность (Tn)?L(X, У) сходится
каждой точке к оператору Т, то Тх = lim Tnx — линейный
шрерывный оператор из X в Y.
Доказательство. Линейность отображения Т оче-
1ДНа.Так как последовательность Я -- {Тп)п^\ есть точечно
раниченное множество, то по предыдущей теореме Н рав-
эстепенно непрерывно. Следовательно, для каждой замкну-
|й окрест}юсти нуля FcF существует такая окрестность
/ля 0 в X, что Tnil с: V. Переходя к пределу при п ->
- оо в соотношении Tnx?V, где х ? U, и учитывая замкну-
ость V, получим Tx?V, x?U, т. е. TU c:V, откуда сле-
,ует непрерывность Т. и
! 59. Сопряженное пространство
i связанные с ним топологии
Пусть X— отделимое л. в. п., X' = L(X; К) — его
¦опряженное. Точечную топологию на X' называют слабой
i обозначают о(Х'; X), а пространство X' с топологией
т (X'; X) обозначают Ха. Пространство X' с топологией
сомпактной сходимости обозначают Хс- Топологию равно-
лерно ограниченной сходимости в X' называют сильной то-
юлогией и обозначают [\{Х'\ X), а пространство X' с этой
юпйлогиси обозначают Хц. Чтобы задавать окрестности
з X', удобно пользоваться понятием поляры множества.
Поляр-уй множества Ad X называют множество Л° с:
с: X' такое, что
Из свойств At — Ая §58 получаем, что система {Л°|Л?^}
задает в X' базис окрестностей нуля топологии равно-
равномерной сходимости на ограниченных подмножествах из .Л.
Аналогично, если имеются множества А' с: X', то его
полярой называется множество
°А' = {х S Х| |< х, х' >|< 1 V*' € А'}.
С помощью сопряженного пространства IX' определим еще
одну топологию на X, которая задается полунормами
sup \(х, х\)\.
1<^
Здесь х?Х, х'.?Х', а выражение < х, х\) обозначает
значение функционала х\ на элементе х.
Такую топологию на X называют слабой и обозначают
о(Х; X'). Векторноа пространство X с топологией ст(Х; X')
обозначают Х„.
"i Предложение 1. Пусть X—отделимте л. в. п. с
топологией т. Тогда: а) топология ст(Х; X') слабее топо-
топологии т; б) пространство Ха отделимо; в) (X<j)' = X'; г) ог-
ограниченные множества в топологии т и а(Х; X') одни и те
же.
Предложение 2. Пусть X — отделимое л. в. п. Тогда
пэляра любого множества ЛсХ является абсолютно вы-
выпуклым замкнутым множеством в слабой топологии сг(Х'; X).
Доказательство. Линейный функционал }х(х') —
313
= < x, x' > непрерывен в топологии а(Х'; X) при любоц
'иксированном х?Х. Поэтому множество {х}° = /-' [—1,
лабо замкнуто в X'. Следовательно, Л° = f| M° замкщ
топологии о(Х'; X). Абсолютная выпуклость Л° пров
яется непосредственно.
Теорема 1. Пусть X — отделимое л. в. п., U—абсс
о выпуклая окрестность нуля в X. Тогда псляра U0 кот|
актна в топологии а(Х'\ X).
Доказательство. Пусть ри — функционал Минкс
кого множества U. Для произвольною фиксированно^
? X рассмот рим на комплексной плоскости С шары Sx
= {z ? С | \г\ ^ ри (л:)} и их произведения S — П Sx с
ологией Тихонова. Множество S в этой топологии кои
актно (см. теорему 4 § 7 приложения).
Докажем, что 0° cz S. В самом деле, пусть х' ? U0 и
? X. Тогда для любого е > 0 имеем х ? [рц (х) + е] U. По-
гому х — \ри (х) -f- е] а, где а ? U. Следовательно,
\х' (х)\ = |< х, х' > | - |< \Ри (х) + ?] а, х' > | =
= \Рп (х) "Г" е1 К й» х> ) I ^ Ри (х) "Г" е'
. е. х' (х) ? Sx для любого х ? X. Это означает, что х' =э
= П x'(x)?S.
Х?Х
Направленность (х^) ? U0 сходится к х' , в топологии
(X'; X) только в том случае, если х'х (х) -»- х' (х) для каж-
ого х?Х. Однако этой же сходимостью определяется то-
ология и в S. Поэтому ЮПСЛО1ИЯ S и топология о (X'; X)
овпадают на U0.
Согласно предложению 2, U° замкнуто в топологии
(Х'\ X), значит, U0 замкнуто в 5 н поэтому компакт-
о. П
Следствие 1 (теорема Банаха—Алаоглу). Еди-
ичный шар в нормированном пространстве X'', сопря-
сопряженном к нормированному X, компактен в слабой топо-
огии, так как является полярой единичного шара в X.
Теорема 2 (о биполяре). Бипсляра °(Л°) множества Л с:
= X совпадает с замкнутой абсолютно выпуклой оболоч-
ой множества Л.
Доказательство. Достаточно проверить, что Л =-
= °(Л°), если Л замкнуто и абсолютно гыпукло. Очевидно,
то Л сг °(Л°). Предположим, что А Ф °(Л°). Тогда сущест-
14
ет хо?о(Л°)\Л. По следствию из теоремы Хана—Банаха
йдется элемент х'о ? X' такой, что | < х, х'о > | ^ 1 для х ?
4 и < х0, х'>>1. Это означает, что х'0?А° и хо§о(А°).
эотиворечие доказывает теорему. '.1
Для л. в. п. строится каноническое отображение во
орое сопряженное пространство аналогично случаю
армированных пространств, рассмотренному в § 46.
Теорема 3. Пусть X— бочечное пространство, тогда ка-
эническое отображение J:X->(Xp)p является линейным
меоморфизмом X на JX.
Доказательство. Рассмотрим В' — ограниченное
ножество в Хр. Тогда В'0 = {х"?(Хр)р ] sup | < х', х" > |<
лгев
1} — замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля в
р)р Поэтому множество В'0 П X ¦- °В' является абсолютно
ыпуклым и поглощающим. Но °В' замкнуто в слабой то-
ологии сг(Х; X'), а следовательно, и в исходной. Поэтому
!'°f|X—'бочка, а значит, окрестность нуля в X. Так как
емейство {В'0} образует базис окрестностей нуля в (Хр)р
когда В' пробегает ограниченные множества в Х'р), а их
леды на X — окрестности нуля в X, то отображение J:
:Х->(Хр)р непрерывно.
Пусть теперь U — произвольная замкнутая абсолютно
»ыпуклая окрестность нуля в X. Тогда по предыдущей тео-
хше U ^=n{U°). Поэтому JU = JX(](U°)°. С другой сто-
юны, W—ограниченное мтэжеггвэ в Хр. Тогда (?/°)° —
жрестность нуля в (Хр)|5. Поэтому образ JU окрестности
нуля в X представляет собой след окрестности нуля из
(Хр)р на подпространство /X. .1
Локально выпуклое пространство X называют иолуреф-
лексивныму если каноническое отображение J : X-v (Xp)p
сюръективно, или сокращенно, если X -— (Хр)', т. е. X и
(Хр)' совпадают как векторные прэггранства. Л. в. п. X на-
называется (рг^лексив.шм, если каноническое отображение
J:X->(Xp)p является топологическим изоморфизмом, т. е.
X — (Хр)р как локально выпуклые пространства.
Из теоремы 3 и определений следует
Предложение 3. Полурефлексивное бочечное
пространство рефлексивно.
Оказывается, что это утверждение обратимо. Преж-
Прежде чем доказывать этот факт, приведем критерий полу-
полурефлексивности л. в. п.
315
Теорема 4. Для того, чтобы л. в. н. X было полуреф-
ексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякс
амкнутое ограниченное множество в X было компакт]
о в слабой топологии этого пространства.
Доказательство. Необходимость. Пусть В а X¦
амкнутое ограниченное множество и S — абсолютно вып}
ая замкнутая оболочка В и поэтому тоже ограничение
X множество. По теореме 2 S = °(S°). Так как S огра-
ичено в X, то S0 — окрестность нуля в Хр. Тогда по тео-
еме 1 (S0H компактна в слабой тополо1ии пространства
К'р)'. Учитывая полурефлексивнссть пространства X, заклю-
аем, что множество S = °(S°) компактно в слабой тополо-
ии пространства X.
Достаточность. Пусть х" ? (Хр)р. Из непрерывности х"
а Хр следует, что существует замкнутое абсолютно вы-
уклое ограниченное множество ВсХ такое, что | < х',
">|<1 для всех х' ? В', т. е. х" ? (Б0H. Так как по усло-
ию теоремы В компактно в слабой топологии а(Х; X'),
э оно слабо замкнуто. Поскольку В а (В°)°, то для дока-
ательства равенства В00 = В, а тем самым и теоремы, до-
таточно установить, что х" — точка прикосновения множе-
тва В в слабой топологии о((Х$)'; X). Выберем п точек
р ..., х'п?Х' и рассмотрим отображение ф:ХаЭх->-
> Ф (х) = { < х, xj, ..., х, хп > } ? С".' Легко видеть, что ф
инейно и непрерывно. Поэтому множество ф (В) абсолютно
¦ыпукло и компактно. Если элемент (< х|, х" > , ...
.., < х'п, х"У)?Сп не принадлежит ф(В), то по следст-
ию теоремы Хана—Банаха найдется точка (съ .... с„)?
С" такая, что
<П Y \ <С^ 1 VT I ^\ Г- / у' У"" \ \ ***^ 1
1о это означает, что V с-,х. ? В0 и х" (* В00. О
t
Теорема 5. Для того, чтобы л. в. п. X было рефлек-
рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы оно было полу-
ефлексивным и бочечным.
Доказательство. Достаточность сформулиро-
анных условий уже установлена. Докажем необходи-
юсть бочечности.
Пусть V—некоторая бочка пространства X. Покажем,
:то она поглощает любое ограниченное множество В а X.
16
/сть К. — замкнутая абсолютно выпуклая оболочка мно-
;ства В. По теореме 4 /С компактно в слабой топологии X.
оо
эложим Y = У пК. и обозначим через р (х) [функционал
инковского множества К.. Поскольку К ограничено, то
[х) — норма в Y. Так как запас ограниченных [множеств
Y меньше, чем в топологии, индуцированной в Y из X,
• нормированная топология в Y сильнее, чем относитель-
iH топология Y, как подмножества X. Множество V замк-
/то в X, следовательно, V[\Y замкнуто в Y в нормиро-
.нной топологии. Поскольку единичным шаром в Y явля-
'ся множество /С, которое компактно, то по теореме Рис-
i Y конечномерно и, следовательно, полно. Значит, Y —
эчечное пространство, а V Л У — бочка в нем. Отсюда за-
лючаем, что Vi]Y поглощает К'гэВ. Следовательно,
поглощает В. Поэтому для некоторого а>0 имеем В0:о
э ocV°. Поскольку В0 является окрестностью нуля в Хр, то
0 — ограниченное множество в Хр. По теореме о биопо-
яре V — °(V°). По условиям теоремы X рефлексивно, по-
потому °(F°) — (V0H. Следовательно, V = V00. Таким образом,
очка V есть окрестность нуля в (Хр)р = X. Следователь-
:о, X — бочечное пространство. И!
Отделимое л. в. п. называют монтелевским, если оно
(очечное и каждое замкнутое ограниченное множество в
[ем компактно.
Из определений и теоремы 4 вытекает, что монтелев-
:кое пространство рефлексивно.
Из теоремы Рисса (§ 28) следует, что нормирован-
юе пространство является монтелевским тогда и только
гогда, когда оно конечномерно. Существуют бесконечно-
бесконечномерные монтелевские пространства (см. § 61).
Сопряженные отображения. Пусть X и У — отделимые
л. в. п., X' и У — -их сопряженные пространства и Т : Х-*-
->- Y — линейное непрерывное отображение. Линейное отоб-
отображение Т : У->-Х' т кое, что < Тх, у' > = < х, Ту' >
для всех х?Х, y'?Y', называют сопряженным [отображе-
[отображением к Т. |з:.
Предложение 1. Пусть Т : X-*¦ Y — линейное не-
непрерывное отображение, тогда Т непрерывно как отобра-
отображение из X в Y со слабыми топологиями а (X; X') и
о (Y, У) соответственно.
Доказательство. Пусть V = {у | sup | < у, уг > |^
317
^ 1} — произвольная о (У, У")-окрестность нуля в У. Тогда
U =-- {х€Х| sup ] (х, Т'у\ > |<1}
твляется а(Х; X')-окрестностью, для которой T(U)aV.
Следовательно, Т непрерывно при слабых топологиях в
КнУ.П
Обратное утверждение не имеет места. Например,
тусть X — банахово пространство и У — векторное про-
пространство X со слабой топологией. Очевидно, что тож-
тождественное отображение / : У-*-Х слабо непрерывно, од-
гако разрывно в исходных топологиях.
Предложение 2. Если линейное отображение Т : X-»-
->Г непрерывно, то Т (ВH = V (В0) для каждого BczX.
Доказательство. Каждое из этих множеств есть
множество всех тех у' ? У, для которых
fI/тv и'\\ — I/ г т'и' ^ I<~ 1
1ри каждом х?В. :.
Предложение 3. Пусть X, У — отделимые л. в. п.,
К', У — их сопряженные, Т : Х-»- У — непрерывное линей-
гое отображение и пусть .,1 — семейство ограниченных под-
подмножеств из X, покрывающее X. Если X' наделено топо-
тогией равномерной сходимости на множествах из .А, а У—
топологией равномерной сходимости на множествах из Т{,А),
го отображение Т':У—*-Х' непрерывно.
Доказательство. Для всякого А ? ,А имеем Т (Л)°=
= 7"~1(Л°), а поэтому отображение 7" непрерывно. г-
Следствие 1. Если T:X-»-F непрерывно, то Т':
iY'-*-X' непрерывно при слабых и сильных топологиях
1 X' и У соответственно.
5 60. Полнота. Индуктивные пределы
Определение 1. Направленность (х^ел в л. в. п. X
зазывается направленностью Коши, если для каждой ок-
эестности нуля U с X существует элемент Хо ? Л такой,
по для всех К, ц>/.0 выполнено хх — xu?U.
Каждая сходящаяся направленность является на-
направленностью Коши, но направленность Коши может
не сходиться. Локально выпуклое пространство X назы-
называется полным, если в нем любая направленность Коши
сходится.
Для каждого локально выпуклого пространства X су-
существует определенное однозначно, с точностью до изо-
•рфизма, полное л. в. п. Я, содержащее X как плотное
диространство. Это пространство Я будем называть
полнением пространства X.
Направленность Коши называют ограниченной, если
южество всех элементов (х>.)л6л ограничено в X. Ло-
льно выпуклое пространство X, в котором сходится
якая ограниченная направленность Коши, называют
азиполным. Другими словами, л. в. п. X квазиполно,
ли всякое ограниченное вамкнутое подмножество в X
>лно.
Каждое л. в. п. X обладает квазипополнением Я, т. е.
.азиполным л. в. п., содержащим X как плотное под-
юстранство.
Локально выпуклое пространство X пгкшипют секвен-
шльно полным, если каждая последовательность Коти
X имеет предел. Поскольку всякая последовательность
эши в л. в. п. Х_ограничена, то квазиполное простран-
во секвенциально полно.
Теорема 1. Для локально выпуклого пространства X
[едующие условия эквивалентны: а) X полурефлексив-
у, б) Ха квазиполно.
Доказательство, а) =>- б). Пусть В — слабо-
имкнутое слабоограниченное множество в X. Следова-
:льно, оно замкнуто и ограничено в I, а поскольку X
злурефлексивно, то В — слабо компактно, а поэтому и
ia6o полно в X. ?
Следствие 1. Всякое полурефлексивное прост-
энство квазиполно.
Следствие 2. Всякое полурефлексивное норми-
эванное пространство является рефлексивным банахо-
_>im пространством.
Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что
элурефлексивное нормированное пространство является
анаховым и поэтому бочечным. ?
Теорема 2. Если X — бочечное л. в. п., то X' квази-
олно для всякой ,9^-топологии, где s4- — семейство огра-
иченных множеств, покрывающее X.
Доказательство. Пусть (л^) — ограниченная на-
равлениость Коши в X <. Тогда х'% сходится к xV равно-
:ерно на каждом А^Л. Следовательно, х' — линейный
1ункционал, ограниченный на каждом А?<А. Поскольку
Г — бочечное пространство, а (х'}) — ограниченное множест-
о, то (л:^) равностепенно ^непрерывно^по теореме 7 § 58.
]ледовательно, существует окрестность U нуля в X такая,
319
что | < х, х'к > | ^ 1 для всех x?U. ! 1ереходя к пределу в
этом неравенстве, получим, что ] ( х, х' > | <С 1 для всех
x?U, т. е. х' — непрерывный функционал и х'^-^-х' рав-
равномерно на каждом А?Л. и
Теорема 3. Если X — борнологическое л. в. п., то Хр
полно.
Доказательство. Пусть (х^)—направленность Коши
в Хр. Тогда для каждого х?Х числовая направленность
х'к (х) сходится к х' (х) равномерно на каждом ограниченном
множестве В из X. Отсюда х' — линейный функционал
на X, ограниченный на каждом ограниченном множестве
из X. Поскольку X борнологично, то х' ? Хр и х^ —>- х' в
Хр. Li
Индуктивные пределы локально выпуклых пространств.
Пусть X — векторное пространство и (х?,)?.ел — семейство
векторных подпространств из X такое, что X _— U Х^.
Предположим, что все Х^ — локально выпуклые простран-
пространства, причем для любых Хх и Я2 выполняется следующее^,
условие: если Х?„ с Х%,, то топология в X*., сильнее, чем!
топология, индуцированная в Ха,, из X?.,, т. е. отображе-
отображение вложения Х%1 -> Хя.а непрерывно.
На векторном пространстве X зададим локально вы-
выпуклую топологию индуктивного предела. Назовем окрест-
окрестностями нуля те и только те абсолютно выпуклые множе-
множества U из X, для которых пересечения вида U (]Х%, сг
всеми Х^ представляют собой окрестности нуля в Xv Jlo
кально выпуклое пространство X с определенной выше то
пологией называют индуктивным пределом л. в. п. Х>, i
обозначают X = lim ind Xk.
б
Фундаментальная система окрестностей нуля в X задает
ся следующим способом. Выберем из каждого пространств
Xj, некоторую абсолютно выпуклую окрестность U% пул.
в этом пространстве. Тогда выпуклая оболочка объединени
V — U Ux, т. е. множество
П(Х) П{Х)
U = \х? X | х = ^ а.-tt, Уг € V, а, 2
является абсолютно выпуклым и поглощающим, при
пересечения U (] Хх представляют собой абсолютно выпук
лые окрестности нуля в Х^ для всех X*,. Совокупносп
всех таких множеств U, когда 1)% пробегает базис окрест
Я20
:тей нуля в Хх, образует базис окрестностей нуля ин-
ктивного предела X = lim ind Xx-
е
Исследование произвольных индуктивных пределов
груднительно, как правило, по той причине, что трудно
ть описание ограниченных множеств в индуктивных
еделах. В связи с этим выделяют индуктивные преде-
: X, в которых множество В ограничено только в том
учае, если оно содержится и ограничено в одном из
. Такие пределы называют регулярными индуктивны-
i пределами. Известно несколько достаточных условий
гулярности индуктивных пределов. Наиболее часто ис-
льзуются следующие два. Приведем их без доказа-
льства (см., например, [18]).
Теорема 4. 1. Пусть (Хп)— последовательность л. в. п.
Х= lim ind Xn — их индуктивный предел. Если индук-
вный предел строгий, т. е. Хп cz Хп+г, и топология,
щуцированная из Хп+1 на Хп, совпадает с топологией
„, то этот предел регулярен.
2. Пусть Хп — банаховы пространства и вложения Xncz
: Хп+1 компактны. Тогда индуктивный предел X =
: lim ind Xn регулярен.
Теорема 5. Пусть (Хх)^еЛ — семейство отделимых л. в. п.
Х= Km ind Xx — их регулярный предел. Тогда
1) X отделимо;
2) X бочечно, если А\ бочечны;
3) X борнологично, если Хх борнологичны;
4) X квазиполно, если X). квазиполны;
5) X рефлексивно, если Х\ рефлексивны;
6) X монтелевскос, если Хх монтелевские.
Доказательство. 1. Пусть х0ф0, хо?Х, содер-
сится в каждой окрестности нуля пространства X, тогда
прямая {ахо}а>о содержится в каждой окрестности
уля пространства X, т. е. она ограничена. В силу регу-
ярности предела она ограничена в некотором Х%, что
евозможно ввиду отделимости Х-к.
2. Пусть V — бочка в X. Следовательно, Vx=V[\X\ —
)очка в Хх и поэтому окрестность нуля в Хх. Значит,
/ — окрестность нуля в X.
3. Пусть W—абсолютно выпуклое множество в А',
юглощающее вес ограниченные множества из X. Тогда
№x=W(]Xx—абсолютно выпуклое множество, поглоща-
ощее все ограниченные множества в Хх и, следователь-
21. Зак. 420 321
до, окрестность нуля в Х^. Поэтому W — окрестность ну-
нуля в X.
4. Вытекает из определения квазиполноты и регуляр-
регулярности предела.
5. Следует из регулярности предела X, свойства 2) и
теоремы 4 § 59.
6. Вытекает из свойства 2) и регулярности предела
X. П
§ 61. Локально выпуклые пространства
функционального анализа
1. Пространство С(R).
Множество C(R) всех непрерывных вещественных
(или комплексных) функций на R является локально
выпуклым пространством в топологии, определяемой
полунормами
pn (x) = sup
Это отделимое, метризуемое (теорема 4 § 57), полное
л. в. п., т. е. пространство Фреше. Следовательно, оно
бочечио и бораологично (теоремы 3 и 6 § 58). Оно не
нормируемо. Предположим, что существует норма,
определяющая ту же топологию, тогда единичный шар
U содержит окрестность V={x\pn(x)^e} с некоторым
п и е>0, поэтому из рп(х)=0 следует, что XxdU для УК
и, значит, х = 0. Однако для каждого п существует нену-
ненулевая непрерывная функция х, обращающаяся в нуль
на [—п, п], так что рп(х) = 0. Получаем противоречие.
2. Пространство Ж(R).
JSf(R) — множество всех непрерывных веществен-
вещественных (или комплексных) функций с компактным носите-
носителем в R. Это множество можно наделить различными то-
топологиями: нормированной топологией равномерной
сходимости
||*||= sup \x{i)\
или метризуемой топологией компактной сходимости
Рп(х)= sup \x(t)\.
Однако в обеих этих топологиях пространство СК (R) не-
неполно.
«Естественная» топология на ^"(R) определяется сле-
следующим образом: для каждого компакта Ап — [— п, п]
322
означим через Жп (R) векторное подпространство в Ж (R),
стоящее из тех функций, носитель которых содержится
[—п, я]. На пространстве Ж„ (R) зададим норму |Uc||n =
sup \x(t)\. Пространстю ЭСп (R) с такой нормой ста-
t
)вится банаховым пространством. Если k<Zn, TO.%"ft(R)c=
: Ж\ (R) и топология, индуцированная на .%',, (R) из Жп (R),
впадает с топологией Жп (R). Поскольку
) на Ж(R) зададим локально выпуклую топологию
грогого индуктивного предела пространств Жп(К).
Таким образом, пространство Ж(R) — отделимое
зазиполиое (на самом деле даже полное) иемстризуе-
ое (базис окрестностей нуля, как видно из определения
апологии индуктивного предела, несчетен) бочечное и
орнологическое пространство.
Пространство Ж"{9), сопряженное к JSf(R), является
олным отделимым локально выпуклым пространством,
эвпадающим с пространством мер Радона.
3. Пространство ^"(R).
Пространство ^"(R) состоит из всех бесконечно ф
)еренцируемых функций (вещественных или комплекс-
Ых на R. В топологии компактной сходимости всех про-
зводных, определяемой полунормами
<тп (х) = sup \хм @1; m = 0, 1, ...; л = 1, 2, ...,
f(R) —полное метризуемое л. в. п., т. е. пространст-
.о Фреше.
Покажем, что ^"(R) — моптелевское пространство.
Тусть В — ограниченное множество из «^(R). Тогда про-
1зводпые (m-fl)-ro порядка равномерно ограничены па
саждом компактном интервале [—п, п] из R; из теоремы
) конечных приращениях следует, что сужения на [—п,
г] производных m-го порядка функций из В образуют
*ля каждого т^О равностепенно непрерывное множест-
множество; теорема Лрцела—Асколи показывает тогда, что это
множество предкомпактно в топологии равномерной
:ходимости на [—п, п] функций и их производных до
лорядка ^т. Поскольку т произвольное, то В предком-
предкомпактно в «^(R), а поскольку ^"(R) полно, то В относи-
относительно компактно.
Пространство ?"(R), наделенное сильной топологией,
является полным рефлексивным пространством, оно сов-
21* 323
падает с пространством обобщенных функций (распреде-
(распределений) с компактными носителями.
гА: Пространство S^RJ.
VRpocTpaHCTBo S(R) (см. § 56) состоит из всех вещест-
вещественных (или комплексных) бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций на R, обладающих тем свойством, что,
каковы бы ни были целые числа пг^О и га^О,
\t\nx{-m)(i)-*Q при |^|—voo (быстро убывающие функ-
функции). При введении топологии, определяемой полунор-
полунормами
Pmn(x)= sup |(l+|*|Vm)(OI.
S(R) становится пространством Фреше. Эта топология
сильнее топологии компактной сходимости всех произ-
производных, индуцированной из <^(R). Пространство 5(R)
является монтелевским. Это вытекает из теоремы Арце-
ла—Асколи.
Пространство 5'(R), сопряженное к S(R) и наде-
наделенное сильной топологией, является полным пеметри-
зуемым л. в. п. Его элементы называются медленно рас-
растущими распределениями (обобщенными функциями).
V 5. Пространство 3) (R).
Пространство S>(R) состоит из всех бесконечно диф-
дифференцируемых функций на R с компактными носителя-
носителями в R (см. § 54). Топология на 3)(R) вводится следую-
следующим образом. Обозначим через 3)n(R) векторное под-
подпространство пространства S5(R), образованное всеми
функциями, носители которых содержатся в [—п, га], н
наделенное топологией, определяемой полунормами
Ршп(х)= SUp
В этой топологии &п (R) является пространством Фреше,
причем топология, индуцированная из 3)n+i (R) на 3)п (R),
совпадает с топологией из %Dn(R).
Теми же рассуждениями, что и для пространства $(R),
устанавливается, что 3)п (R) — моптелевское пространство
Фреше. Поскольку
#(R)= U 2>n(R).
то на 2D (R) задаем топологию строгого индуктивного
предела монтелевских пространств Фреше iZ)n(R). Та-
Таким образом, Ж) (R) —отделимое квазиполное (на самом
деле полное) неметризуемое моптелевское бочечное и
борнологическое пространство. Сходимость последова-
324
гельности в этом пространстве совпадает со сходимо-
;тыо, введенной в § 54.
Его сопряженное пространство S5'(R), наделенное
сильной топологией, является полным монтелевским
пространством и называется пространством обобщенных
функций (распределений).
Для рассмотренных пространств имеем включения вместе
с топологиями ? (R) с S (R) с Щ (R) и Я" (R) с: S' (R) <=
<= SD' (R).
Пространства основных функций & (R), S (R), '? (R) и
пространства обобщенных функций 3)' (R), S' (R), #" (R)
называют пространствами^ Л. Шварца^ Можно рассматри-
рассматривать аналогичные пространства, определенные не на веще-
вещественной прямой R, а на R".
6. Пространство ()
Пусть D — область комплексной плоскости С и
(D) — пространство голоморфных функций на D, на-.
деленное топологией компактной сходимости. Эта топо-
топология определяется полунормами
рп(х)= sup |*@1,
teBn
где Вп = {* g С| Щ < п, р (t, dD) > 1/n}.
Следовательно, Ж(Е>) метризуемо. По теореме Вейер-
штрасса для голоморфных функций Ж(й) замкнуто в
<S(D) и поэтому полно. Из этих же соображений следует,
что оно монтелевское.
7. Пространство ?T(S).
Пусть S — произвольное множество. Векторное про-
пространство .^"(S) всех вещественных (или комплексных)
функций на S можно сделать локально выпуклым про-
пространством, наделив его топологией точечной сходимо-
сходимости, определяемой полунормами pt(x)=\x(t)\ для каж-
каждого t?S.
8. Банахово пространство является локально выпук-
выпуклым топологическим векторным пространством. Оно мст-
ризуемое борнологическое бочечное. Нормированное
пространство является локально выпуклым метризуемым
борнологическим, но может не быть бочечным.
Приложение
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Открытые множества, окрестности
Определение 1. Топологией на множестве X называется
чножество т(=!?(Х) подмножеств множества X, обладающее сле-
следующими свойстпами: 1) объединение любого семейства множеств
из х принадлежит т; 2) пересечение всякого конечного семейства
подмножеств из т принадлежит т; 3) 0, XQx.
Множества из т. называют открытыми, а X с заданной на нем то-
топологией называется топологическим пространством.
Примеры.
1. На произвольном непустом множестве X определим тополо-
топологию т= {0, X}, называемую антидискретной топологией. Открыты-
Открытыми множествами этой топологии являются пустое множество и
все X.
2. На произвольном непустом множестве X определим тополо-
топологию t=^(J), называемую дискретной. Открытым множеством в
этой топологии является каждое подмножество множества X.
3. На множестпе R (действительных чисел) определим тополо-
топологию, приняв за открытые множества всевозможные объединения
открытых интервалов. Аксиома 1) определения 1 выполняется оче-
очевидным образом, а для проверки аксиомы 2) достаточно заметить,
что непустое пересечение двух открытых интервалов снова являет-
является открытым интервалом. Такая топология на R называется естест-
естественной, и R с естественной топологией называется числовой прямой.
На каждом множестве X, содержащем более одной точки, мо-
может быть задано несколько топологий.
Определение 2. Топология Tj па X слабее топологии т, на
X нли т2 сильнее Tj (мажорирует), если t1czt2. Две топологии,
одна из которых мажорирует другую, называются сравнимыми.
Таким образом, топология Ti слабее топологии т- если каждое
открытое- множество в топологии Ti открыто в топологии то. Други-
Другими словами, запас открытых множеств в более слабой топологии
беднее, чем в более сильной.
Примеры.
1. Естественная топология в R сильнее антидискретион н сла-
слабее дискретной.
2. Пусть X = {а, Ь] — двухточечное множество. Определим на X
две топологии: Tj —{0, {а}, X) и тг— {0, {Ь}, X}. Эти топологии
не сравнимы.
Определение 3. Окрестностью подмножества А и тополо-
топологическом пространстве А называется всякое множество, которое со-
содержит некоторое открытое множество, содержащее А. Окрест-
Окрестностью точки х?Х называют окрестность множества {х).
Пример ы.
1. Пусть X—• антиднекретное топологическое пространство. Тог-
Тогда единственной окрестностью каждой точки хСХ является X.
2. Пусть X—-дискретное топологическое пространство. Каждое
подмножество из X, содержащее точку xQX, является окрестностью
этой точки.
326
3. Если X=R с естественно» топологией, то окрестностью точки
SR является любое множество, содержащее какой-нибудь откры-
открыли интервал, которому принадлежит точка х.
Предложение 1. Множество А в топологическом простран-
:ве открыто тогда и только тогда, когда оно является окрестностью
зждой своей точки.
Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточ-
ость. Пусть А является окрестностью каждой своей точки, U-—
бъединеиие цсех открытых подмножеств из Л. Очевидно, что U —
ткрытое подмножество в А. Пусть х?А—произвольная точка. Так
ак А—окрестность х, то х принадлежит некоторому открытому под-
шожестиу из А п, следовательно, x(-U. Таким образом. Л-~и.
Обозначим через V (х) множество всех окрестностей точки х.
Предложение 2. Множества из if (х) обладают следующи-
щ свойствами:
1) если VcX, U?ty (х) и U czV, Vъ'Р'(х)\
2) пересечение конечного числа множеств из 'Р (х) принадлежит
Г(х);
3) элемент х принадлежит каждому множеству из ''If (х);
•1) для каждого V ?('lf (х) существует W ?ff (х) такое, что Vg
I V (.У) Для любого у ? W.
Доказательство. Свойства 1)— 3) являются неносредст-
iemibiMi! следствиями определения 3 и аксиомы 2) определения 1.
1ля доказательства свойства 4) достаточно на основании предло-
кеипя 1 в качестве W взять любое открытое множество, содержа-
цее х и содержащееся в V.
Эти четыре свойства множества Т(х) являются характеристи-
характеристическими в следующем смысле.
Предложение 3. Если каждому элементу х множества X
юставлено в соответствие множество Т(х) подмножеств из X, для
которого справедливы свойства \)—4) предложения 2, то на X су-
существует, и притом единственная, топология, для которой Т(х)
является множеством окрестностей точки х.
Доказательство. Единственность требуемой топологии
следует из предложения 1, ибо множеством всех открытых мно-
множеств в этой топологии является множество т всех подмножеств
Л из X таких, что AdT(x) для любого х?А.
Из свойств 1) и 2) непосредственно следует, что т — топология
на X. Остается проверить, что множество окрестностей точки х в
этой топологии совпадает с У(х)-
Пусть V — окрестность точки х в топологии т; следовательно,
существует А сг V такое, что*еЛ, AqV" (у) для каждого у?А и
VZD А. По свойству 1) предложения 2 Kg^(^).
Обратно, пусть V ? if (х). Положим U = {у ? X | V ??f {у)}.
Очевидно, что xgU; если y?l', то VeW (у) н по свойству 3) пред-
предложения 2 y?V. Таким образом, UczV. Покажем, что U ?Х, т. е.
UG°^ (у) Для всех y?U. Если у?11, то, согласно свойству d), су-
существует W'?lf (у) такое, что V?ffl(z) для всех Z?W. Так как Vq
? W (г) означает Z?l/, то Wall и, следовательно, по свойству 1)
f
Таким образом, топологию на X можно определять заданием
окрестностей каждой точки.
327.
Определение 4. ч'ундаментальной системой (базисом, ба-
базой) окрестностей точки х в топологическом пространстве X назы-
называют множество В окрестностей точки х такое, что в каждой окре-
окрестности точки х содержится множество ыч В.
Примеры.
1. Множество открытых окрестностей точки х образует фунда-
фундаментальную систему окрестностей точки х в произвольном тополо-
топологическом пространстве.
2. В дискретном топологическом пространстве множество {{*}),
состоящее из одной окрестности, образует фундаментальную систе-
систему окрестностей точки х.
3. Множество открытых интервалов \х— — , х-\- — на чис-
ювой прямой R является фундаментальной системой окрестностей
точки х.
О п р е д^л е и и е 5. Множество Я открытых множеств пз X
называется \базой топологии топологического пространства X, если
любое открытое множество в X является объединением множеств
из Я.
Примеры.
1. Множестио всех одноточечных множеств является базой диск-
дискретной топологии.
2. Множество ограниченных открытых интервалов — база топо-
топологии числовой прямой.
Определение. 6. Предбазой топологии ни X называется
всякое множество 2 открытых множеств из X такое, что семейство
всевозможных конечных пересечений элементов из 2 образует базу
топологического пространства X.
Теорема 1. Произвольное непустое семейство 2 миожеств из X
образует нредбазу некоторой топологии на X.
Определение 7. Замкнутыми множествами в топологиче-
топологическом пространстве X называют дополнения открытых миожеств.
Примеры.
1. Множества 0 и X замкнуты в любом топологическом про-
пространстве X.
2. В дискретном топологическом пространстве всякое подмно-
подмножество замкнуто.
3. Замкнутый интервал на числовой прямой— замкнутое мно-
множество.
Определение 8. Точка х топологического пространства X
называется внутренней точкой множества А, если А окрестность х.
Множество внутренних точек множества А называется внутрен-
внутренностью и обозначается Л,
Таким образом, точка xgX является внутренней точкой множе-
множества А, если существует открытое множество О такое, что xcU cz
о
czA, поэтому А есть объединение всех открытых множеств, содер-
о
жащихся в А. Значит, А — наибольшее открытое множество, содер-
о
жащееся в А. Следовательно, из ^соотношения A(ZlB следует Ас
CZB. Используя понятия внутренности, предложение 1 можно сфор-
сформулировать следующим образом: множество А в топологическом про-
о
странстве открыто тогда и только тогда, когда А — А.
328
Предложение 4. Для любых двух множеств А и В в топо-
эгпческом пространстве X справедливо равенство
^ о о
А[\В = А[\В. A)
о о оо
Доказательство. Так как А с:. А, Вей, то A[\BczA f\B
о о ^JL^ о о
А(]В CZ А[)В, ибо А(]В открыто.
Обратно, из Af\ BczA, A {] В czB следует A f\B CZ A, Af\B a
о ^-^ (о о
:В и Af\BczAf\B. п
Определение 9. Точка х топологического пространства X
13ывается точкой прикосновения множества А, если каждая окрест-
окрестить точки х содержит точки из А. Множество точек прикосновения
южества А называется замыканием множества и обозначается А.
Предложение 5. Для любого подмножества АсХ тополо-
1ческсго пространства X и его дополнения Сх А = Х\А справедли-
>i равенства
_ ^ о
СХА= СХА, СХА= СХА. B)
Доказательство. Докажем первое из этих равенств. Вто-
>е вытекает из _нервого переходом к дополнениям.
Пусть xgCA, это озпЕЧ<ет, что существует окрестность V точки
о
такая, что V [\ А ф 0, т. е. VczCxA. Следовательно, xqCA.
Отсюда следует, [что замыкание А—это [наименьшее замкнутое
.нолестьо, содерж; щее А. ТсКим сбргзом, из Л с: В следует Лей.
Предложение 6. МпожестЕО А в топологическом простран-
гве замкнуто тогда и только тогда, когда А — А.
Доказательство непосредственно вытекает из предложении 1 и 4.
Предложение 7. Для любых двух множеств Л и В из то-
ологического пространства X спрагедливо равенство
A U В = A U В. C)
оказательство вытекает из равенств (I) и B) переходом к допол-
шиям.
Определение 10. Точка х топологического пространства
называется граничной ^точкой множества А, если она является
>чкой прикосновения как множества Л, так и множества С А. Мио-
ество граничных точек множества А называется границей и обо-
шчастсн дА.
Граница каждого множества замкнута, так как дА=А[)СА.
Определение 11. Говорят, что множество А плотно в то-
элогическом пространстве X, если А = X. Топологическое простран-
гво называется сепарабельным, если в нем существует не более чем
[етное плотное множество.
329
Примеры.
1. Внутренность отрезка \а, Ь] на числовой прямой есть интер-
интервал ]я, Ь\. Внутренность любого одноточечного множества на чис-
числовой прямой есть пустое множество.
2. Множество Q рациональных чисел плотно на прямой. Следо-
Следовательно, R — сспарабелыюе топологическое пространство и 3Q=R.
3. В дискретном пространстве X не существует плотных мно-
множеств, отличных от X.
4. В антиднекретном пространстве X всякое непустое множество
плотно в X. Следовательно, каждое аитндискретное пространство
сепарабельио.
§ 2. Непрерывные отображения
Определение 1. Отображение / : X -» Y, где X и Y—топо-
Y—топологические пространства, называют непрерывным в точке xoqX, если
для любой окрестности U точки f (x0) найдется окрестность V точки
х0 в X такая, что х? V мечет j (x)qU.
Поскольку условие J{x)gU для всех x-qV равносильно условию
/(V')c= U, а также условию V с/ (U), то с учетом свойства A)
предложения 2 § 1 определение 1 эквивалентно следующему опреде-
определению.
Определение Г. Отображение f : X -* Y непрерынно в точке
xoqX, если прообраз /-1(С/) каждой окрестности U в Y точки f (х„)
является окрестностью точки хи в X.
Определение 2. Отображение f : X ->¦ Y, где X, Y—топо-
Y—топологические пространства, называют непрерывным, если оно непрерыв-
непрерывно в каждой точке из X.
Определение 3. Отображение f : X ¦* Y Называется гомео-
гомеоморфизмом, если оно биективно, непрерывно и обратное к нему ото-
отображение f-1: Y ¦* X непрерывно.
Пример ы.
1. Тождественное отображение топологического пространства
X на себя непрерывно,
2. Постоянное отображение одного топологического пространст-
пространства в другое непрерывно.
3. Всякое отображение дискретного простраистна ц топологи-
топологическое пространство непрерывно.
Теорема 1. Пусть f—отображение топологического простран-
пространства X в топологическое пространство Y. Тогда следующие свойства
эквивалентны:
а) f непрерывно на X;
б) /(Л) cz f(A\ для любого AczX;
в) прообраз всякого замкнутого множества из Y—замкнутое мно-
множество в X;
г) прообраз всякого открытого множества из Y—открытое мно-
множество в X.
Доказательство, а) =ф- б). Л1усть х g А [и пусть {У—про-
{У—произвольная окрестность в Y точки f (x); поскольку f~l(U) —окрест-
—окрестность точки * в X, то f~l(U) [\A=f=<Z и поэтому существует yg
€f~1{U)(]A. Отсюда следует, что f (y)eUf\f (А), т.е. V(]f{A)?=0,
следовательно, f(x)? f(A).
б) =ф- в). Пусть F' ClY — замкнутое множество и F — J~1(F');
по предложению f{F) czf (F)czW czF', откуда F~cz /~г(Я") --Fez
330
CZF, т. с. F= F, что означает з.ашутость F (предложение 7 § 1 при-
приложения).
в) =->. г). Следует из раненсл-гС/-1 (А') = /-1 (СА').
г) =?- а). Пусть xgX и U -произвольная окрестность ^точки
/ (х)\ следовательно, / (х) g А' а! где А' — открытая окрестность
точки f(x). Тогда xq f~l (A1) CZ fA(U) и, поскольку f'1 (А') откры-
открыто, f'1 (U) — окрестность точки к
Следствие 1. Пусть f:'i-Y и g: Y - Z — непрерывные
отображения, тогда g ° f : X ¦+ Z крерынно.
Следствие 2. Для того,<гобы биективное непрерывное ото-
отображение f : X -* Y было гомеом-о^измом, необходимо и достаточво,
чтобы образ открытого множеств-азХ был открыт в Y.
Следствие 3. Для того.тобы топология тх была сильнее
топологии та на X, необходимо достаточно, чтобы тождественное
отображение / : Xi ¦* Ха было неперывпым, где Xt — множество X,
наделенное топологией Т( (i — 1, й.
Доказательство. Это аедстгие немедленно вытекает из
теоремы 1 г).
Замечание 1. При непрерывном отображении X в Y образ
открытого (замкнутого) множества в X не обязательно открыт (замк-
(замкнут) в Y. Например, отображение/: R Эх -» ———7~eR непрерыв-
A -г а:2)
но, но /(R)=]0, 1[.
Замечание 2. Может с^ествовать непрерывная биекция
/.' X-+-Y, не являющаяся гомеомсофизмом. Например, пусть X —-
множество действительных чисел с дискретной топологией, Y — дей-
действительные числа с естественной топологией и {•' X-*-Y тождествен-
тождественное отображение.
Замечание 3. Непрерывное отображение /:X-*Y остается
непрерывным, если топологию на I усилить, а на Y ослабить, Если
обе топологии, на X н на Y, оелгэать или усилить одновременно, то
непрерывность отображения f может нарушиться.
§ 3. Подпространства. Фактор-пространства
Пусть X — топологическое пространство и Y его подмножество.
В этом случае можно определить некоторую топологию на множе-
множестве Y, которую называют индуцированной топологией.
Определение 1. Топологией, индуцированной из X на Y,
называется топология, открытыми множествами которой служат
пересечения открытых множеств из X с множеством Y. Множество
1, наделенное этой топологией, яазывается подпространством про-
пространства X.
Легко видеть, что это определение корректно, т. е. индуцирован-
индуцированная топология удовлетворяет аксиомам топологии.
Пример. '
Топология действительной прямой R индуцирует на множестве
Z целых чисел дискретную топологию, ибо следом открытого интер-
интервала [я—1/2, я+1/2 [на Z является множество {я}.
Во всех вопросах, где фигурируют нодмиожестиа и точки из Y,
надо отличать их свойства как свойства подмножеств и точек про-
пространства X от их свойств как подмножеств и точек из Y. Напри-
Например, множество, открытое в Y, не обязательно открыто в X.
331
Индуцированные топологии траизитивны, т. е. если ZcYaX, то
¦дпрострацство Z пространства X совпадает с подпространством
пространства Y. Это прямо следует из определения.
Пусть X — топологическое пространство, R — отношение экнива-
ттности на X, Y=X/R— фактор-множество и ф : X-+Y—капони-
¦ское отображение. Определим па Y топологию, открытыми мно-
сствами которой будут такие подмножества ВсгК, у которых про-
5разы Ц>~'(В) открыты в X. Эти подмножества из У образуют то-
)логию. Эта топология называется фактор-топологией топологии
юстраиства X по отношению R.
Фактор-топология есть сильнейшая из топологий на X/R, при
)торых каноническое отображение ф непрерывно.
О а р еде л е и п е 2. Пусть R—¦ отношение эквивалентности в
июлогическом пространстве X. Фактор-пространством X но R на-
шадот фактор-миожесгво XjR, наделенное фактор-топологией.
4. Произведение топологических пространств
Пусть (Xi)ieI — семейство топологических пространств, и X =
"X; — декартово произведение множеств Xj. На множестве X
феделяется топология, называемая пооизведением топологий, или
'пологией Тихонова, следующим образом. Напомним, что произведе-
шм X — И Xi называется множество, состоящее нз семейств
ементов (*,-);e/ таких, что xi ? X-t \i?l. Отображение ргг:Х -> Xt
кое, что pTi(x)~Xj, называется проектированием на t-й сомножи-
ль, а элемент xt — i-k проекцией элемента х — (xi)iei- Семейство
евозможных подмножеств вида рг^~' (Ui), где G; — открытые
южества из Х(, образует предбазу топологии Тихонова. По самому
феделению эта топология — самая слабая среди топологий на X,
>и которых все проектирования непрерывны. Базу этой топологии
)разует семейство всевозможных конечных пересечений элементов
мазанной предбазы. Произвольный элемент U этой базы имеет вид
= Прг~'(^;). гДе К — конечное "^множество. Если / — конечное
шжество, то построение топологии произведения по топологиям
множителей X-t упрощается: множества вида II Ai, где Ai — произ-
1льиое открытое множество из Xi для каждого i g /, образуют базу
ШОЛОГИИ В П X;.
Пример.
Топология пространства R" имеет своим базисом множество все-
шюжиых произведений п открытых интервалов из R.
Теорема 1. Пусть / — отображение топологического пространства
в топологическое пространство X = П Х-,. Для того, чтобы отоб-
' lei
|жение / было непрерывным, необходимо н достаточно, чтобы была
шрерывной каждая композиция рг;о/, »g/.
Доказательство. Если f непрерывно, то непрерывно и
¦pf для каждого I ? I, ибо проекции рг; непрерывны. Обратно, если
:ображение рг^/ непрерывно при каждом i?l, то для каждого
крытого U из Xi множество (рг^) ((/) = f~* (pry1 (U)) открыть
Y. Отсюда следует, что прообраз относительно f каждого элемента
едбазы из П Xi открыт в К. Следовательно, f непрерывно.
5. Сходящиеся направленности
Упорядоченное множество Л называется направленным, если для
:обых двух элементов %lt %2qA существует элемент Хз такой, что
1<Хз> 1Е < ^з- Например, множества N, R с естественным отно-
.ением порядка ^являются направленными.
Определение 1. Пусть X — произвольное множество.
Направленностью в X называют отображение направленного множества
i в X. Направленность обозначается (х% )^gA.
Примеры.
1. Каждая последовательность есть направленность.
2. Всякая функция действительной переменной является направ-
енпостью.
3. Пусть 9s (X) — множество всех подмножеств произвольного
тожества X, направленное по включению. Для каждого V ? 9 (X)
!Ыделим (но аксиоме выбора) элемент Ху g V. Получим направленность
xv )ve^>(X)-
Определенно 2. Пусть X ¦—¦ топологическое пространство,
"оворят, что направленность (х )^„л сходится к точке xgX, если
1ля каждой окрестности Vx точки х существует элемент ^об^
такой, что Х^Хц влечет x^qVx. Будем это записывать следующим
образом: х — litn x..
л *•
Примеры.
1. Пусть 53 (хо) — базис окрестностей точки .v0. Для каждой
окрестности V б S (хо) выберем ху g V. Тогда направленность
(xv )уеЩ(х„)' где SB (xo) направлено по обратному включению,
сходится к х0.
2. Пусто X — топологическое пространство, МсХ — подпрост-
подпространство. Пусть (х% )ieA — направленность в М н т? М. Тогда
(д:. )^рЛ сходится к /» и Л1 только в том случае, если (х^ )^„А
сходится к m в X,
3. Пусть (г^ )? _д -- (х^, у^) ¦—направлСннесть в топологическом
пространстве Z = X X Y и z = (x, y)?Z. Направленность (г^ )%е^
сходится к z тогда и только тогда, когда (х, )^рЛ сходится к х, а
(У% )).ел садится к у.
Теорема 1. Пусть А — подмножество топологического пространст-
пространства X. Для того, чтобы х ? А, необходимо и достаточно, чтобы су-
существовала направленность в А, сходящаяся к х.
Доказательство. Пусть х — lim a%, а%? А. Тогда каждая
л
окрестность точки х пересекается с Л, т. е. Х?А.
Обратно, пусть xgA и пусть @1 (х)— базис окрестностей точки
х, направленный отношением обратного включения (Vi^V2 означает
333
'2CFi). Для каждого V? gg (х) выберем а^? А [\ V. Тогда
фавленность (ау) _ сходится к х.
Замечание. В произвольном топологическом пространстве,
| отличие от метрического, может существовать такая точка
СоС'А, что нет пи одной последовательности хп?А, сходящейся к Хо.
Если у точки Хо существует счетный базис окрестностей, то такая
юследовательность обязательно существует.
Теорема 2. Пусть X, Y— топологические пространства, f:X->Y—
ггображепие, хо?Х. Для того, чтобы функция f была непрерывна
i точке xoqX, необходимо и достаточно, чтобы для любой направ-
1енности (х^ )^еЛ, сходящейся к х0, направленность (/ (х^ )
годилась к точке / (х0).
Доказательство. Пусть / непрерывно в точке х0 и
П V
у / рр
ХХеА направленность, сходящаяся к х0. Пусть
юльная окрестность точки /(*0)- Ввиду непрерывности /
Jx—окрестность точки х0 такая, что f (UXJ CZVi^
пусть
x^— произ-
существует
XJ ^y Для Ux
:уществует А,о g Л такая, что X Js= Хо влечет X^?U^ . Следовательно,
щя всех Х^Х0 имеем f (х% ) ? V^x^, т. е. / (х0) = limf (x^j.
л
Предположим теперь, что отображение / не является нёпрерыв-
тым в точке х0. Покажем, что можно найти направленность (х^ )^рЛ ,
годящуюся к х0, для которой f (х^ не сходится к f(x0). Запишем
/слоиие разрывности / следующим образом: существует окрестность
/ точки f (х0) такая, что для любой окрестности U g 0& (х0)
¦ (U) ф.У, где S3 (хо) — базис окрестностей уточки лг0. Отношение
: UV означает, что существует точка и ? U такая, что / (и) (tV.
Гаким образом, для каждого U ?$>, (х0) выберем xu?lf так, что
: (xu) tf V. Очевидно, что построенная направленность (хи)
;ходится к х0. Так как j(xu)(iV, то направленность (J (хи)) не
сходится к / (л:0).
Замечание. Если X и Y — топологические пространства и
f: X -»Y—отображение, то может оказаться, что для любой последо-
последовательности хп, сходящейся к х0 в X, последовательность f (xn)
гходится к /(х0), но отображение / разрывно в точке х0. Пример
такого отображения приведен в замечании 2 § 15. В пространстве
(X т2) из этого примера любая точка Х?Х является предельной
точкой множества А, состоящего из иррациональных чисел, но если
xo(j_A, то не существует последовательности хп? А, сходящейся к х0.
Это замечание вместе с теоремами 1 и 2 поясняет, почему и случае
произвольных топологических пространств вместо последовательностей
необходимо рассматривать более общее понятие направленности.
Определение 3. Говорят, что направленность (-^ )^ел
в X часто встречается с множеством Acz X, если для каждого [J-gA
найдется элемент XgA такой, что X > ц и х^?А.
Точка х топологического пространства X называется предельной
точкой направленности (х )^еЛ, если эта направленность часто
встречается с каждой окрестностью точки х.
Определение 4. Направленность
(у
называется
поднаправленностью направленности {х% )>еЛ, если существует функ-
функция ф : М -> Л такая, что: а) Уи-~ хц(и.)'< б) Для каждого Хо g Л
334
найдется элемент Цоб^ такой, что если ц > |х0, то <р (и) > ^0.
Теорема 3. Точка х топологического пространства X является
предельной точкой направленности тогда н только тогда, когда не-
некоторая поднаправлепность заданной направленности сходится к х.
§ 6. Отделимые пространства
Определение 1. Топологическое пространство X называют
отделимым, или хаусдорфовым, если для любых различных точек
х, yfX существуют окрестность точки х и окрестность точки у, не
имеющие общих точек.
Пример ы.
1. Всякое дискретное пространство отделимо.
2. Числовая прямая R отделнмя: если х, #gR и х ф у, то для
е< —\х — у\ окрестности ] х—е, дг-р?[и](/ — е, у -\- е [ точек
х и у не пересекаются.
3. Лнтидискретное топологическое пространство, состоящее бо-
более чем из одной точки, не отделимо.
Теорема 1. Топологическое пространство X отделимо тогда и
только тогда, когда каждая сходящаяся направленность имеет
только один предел.
Доказательство. Пусть X отделимо и хи х2 — пределы
направленности (х^ )^еА и х1 ф xt. Тогда существуют V\ — окрест-
окрестность точки Xi и V2— окрестность точки х2 такие, что Ki f] V2~0 .
Так как неправленность (х^) сходится к x-t (L-— 1, 2), то существуют
Xf g Л такие, что-^еК,- для всех X т> %i (t —1, 2). Поскольку
множество Л папранлено, то существует XogA такое, что Хо > Xlt
Х0>Х2. Следовательно, при X > Хо имеем х% g ]/г [] V2, что
противоречит Vi(\V2= 0. Значит, х1~хг.
Предположим теперь, что X не отделимо. Тогда найдутся точки
я, ф хг такие, что любая окрестность точки х^ пересекает любую ок-
окрестность точки дг2. Обозначим ^Г (xi) множество всех окрестностей
точки xi (i ¦= 1, 2), направленное относительно обратного включения.
На декартовом произведении 2^ (xi) X 'ffl (^2) зададим порядок произ-
произведения, считая, что ViXV2< V[x V'2, если v\d\\ и V'2CZVi. Яс-
Ясно, что -уу (Ху) X ffi (xz) становится направленным множеством. Для
каждого элемента Kj.X V2 g )f (xi) X C1? (x2), Vxf) V2 Ф 0 . Выберем
sv,xv.€yi П Vt. Если Vt XV2> V\ X V'2, то SViXVi ?V, [)
СГ K[ X V2- Следовательно, направленность 5 сходится к точкам xt
и *2.
Теорема 2. Пусть f, g — непрерывные отображения топологичес-
топологического пространства X в отделимое топологическое пространство Y;
тогда множество тех xqX, для которых f (x) =g(x), замкнуто в X.
Доказательство. Обозначим А ¦-— {х g X \ f (x) = g (x)}. До-
Докажем, что Сх А открыто в X. Пусть хо?СхА, следовательно,
f (хо) ^ g (Хо) ¦ Ввиду отделимости К существуют окрестность Vцх^
точки f (ха) и Vg(x<iy — окрестность точки g (xa) такие, что V^x ^ [)
П У Лх,) = «• Множества Vx - f~* (V,M). U2 ~g-i (VgM) являют-
являются окрестностями точки х0, ибо / и g непрерывны. Следовательно.
335
=- UiftUa — окрестность точки х0 и / (U) а , 1{х>), g (V) С VgM .
ээтому UczCxA. Значит, Сх А является окрестностью каждой
оей точки, т. е. Сх А открыто. LJ
Следствие 1 (принцип продолжения тождеств).
Пусть / и g — непрерывные отображения топологического нро-
ранства X в отделимое топологическое пространство Y. Если
x) = g(x) во всех точках некоторого всюду плотного в X мно-
:ства, то f=g.
Предложение 1. Если для любой пары различных точек
у топологического пространства А" существует такое его ненрерыв-
¦е отображение / в отделимое пространство Y, что f(x)?=f(y), то
отделимо.
Доказательство. Пусть V и W— непересекающиеся окрест-
¦сти точек f (х) и f(y). Тогда f (V), f~x (W) — непересекающиеся
рестности точек х и у, что доказывает предложение. ZL
Следствие 2. Всякое подпространство А отделимого тополо-
ческого пространства X отделимо.
Доказательство. Достаточно применить предложение 1 к
ионическому вложению ]А ¦¦ А -* X.
Следствие 3. Всякая топология, мажорирующая отделимую
пологию, отделима.
Следствие 4. Произведение любого семейства отделимых
пологнческих пространств отделимо.
Доказательство. Пусть Х= П Xt — топологическое про-
ведение отделимых пространств X;. Если х, у? X и х Ф у, то су-
гствует iog/ такое, что ргг х ф рг? у, и предложение 1 доказы-
ет, что X отделимо.
7. Компактные пространства
Определение 1. Отделимое топологическое пространство X
зывается компактным, если у всякого открытого покрытия про-
ранства X сущестпует конечное открытое подпокрытие.
Пример.
1. Всякое отделимое пространство, состоящее из конечного чис-
точек, компактно.
Определение 2. Семейство {A{)t t подмножеств множества X
зывается центрированным, если пересечение любого конечного на-
>ра множеств из этого семейства непусто.
Предложение 1. Отделимое топологическое пространство
является компактным тогда и только тогда, когда каждое центри-
¦ваиное семейство замкнутых подмножеств из X имеет непустое
ресечение.
Доказательство. Необходимость. Пусть пространство X
>мпактно. Предположим, что существует центрированная система
мкнутых множеств {А{\1е1 такая, что pj A-L -- з. Тогда дополне-
1Я Ui — X\Ai образуют открытое покрытие X. В силу компакт-
л
)сти X существует конечный набор /1: . . . , in такой, что U Ui --
h
i6
п п
-¦ X. Тогда г\ At — Х\ U U{ = 0. Получаем противоречие с
k^=l h ft-I
1ределением центрированной системы.
Достаточность. Пусть {^Л/е/—открытое покрытие простран-
пространна X. Предположим, что у этого покрытия нет конечных подпо-
рытий. Тогда систем» множеств Л, .— X\U,- является цептрирован-
эй. По условию [\А1Ф0 и, значит, \}Ui ф X. Получаем противо-
;чие. П•
Теорема 1. Для того, чтобы топологическое пространство X
ыло компактным, необходимо и достаточно, чтобы каждая на-
равленность в X имела предельную точку.
Доказательство. Пусть X — компактное пространство и
CjJ —направленность в X. Для каждого % ? А обозначим А^ =
= {х i: (х > %} и рассмотрим семейство множеств (Л^) . Нетрудно
идеть, что (] А^Ф0. Действительно, в противном случае, так как
ХеЛ
( компактно, нашлось бы конечное множество К сЛ такое, что
П А% — 0 • И тем более (] А% ¦—. 0. Но это невозможно, ибо если
С = {Я,], . . . , Хп}> то найдется Хо gA такой, что %0 > Я,;, i —- 1, ...
. . , п. Следовательно, Ак С f) A%. Таким образом, существует х g
_ ° >-еК
I П А*. Точка х является предельной точкой направленности (дг,)
е ^
i6o в противном случае у х найдется окрестность U, с которой на-
фавленность \х^) ^л не встречается часто. Значит, для некоторого
tgA из \ > |i следует x^fyU, т. е. Uf\A = 0. Это означает, что
Обратно, пусть каждая направленность имеет предельную точку
s X и пусть U — произвольное семейство замкнутых множеств такое,
1то пересечение любого конечного множества элементов этого семей-
:тва непусто (центрированное семейство). Определим ffl как семей-
семейство всевозможных конечных пересечений элементов из U, направлен-
направленное по обратному включению. Ясно, что никакое пересечение конеч-
конечного множества элементов из ^Р непусто. Выбирая xv g V для каждого
'VqW' получим направленность (ху) veif ^сли W > V, то xw g
?'WczV. Поэтому направленность (ху ) уеа°, с некоторого момента
находится в замкнутом множестве V, а поэтому и ее предельная точ-
точка xqV. Таким обратом, *gf~| V, т. с. {] V Ф 0 и, следовательно,
П Уф 0. j
Определение 3. Подмножество А отделимого топологиче-
топологического пространства X называется компактным, если А компактно
как подпространство с индуцированной топологией.
Другими словами, для того чтобы подмножество Л отделимого
топологического пространства X было компактным, необходимо и
достаточно, чтобы из каждого его покрытия множествами, открыты-
открытыми в X, можно было выделить конечное подпокрытие.
22. За к. 420 337
Предложение 2. В компактном пространстве X всякое
замкнутое множество А компактно.
Доказательство. Достаточно воспользоваться предложе-
предложением 1, учитывая, что если Л замкнуто в X, то всякое замкнутое
множество в А замкнуто в А'.
П р е д л о ж е н п е 3. В отделимом пространстве X всякое ком-
компактное множество Л замкнуто.
Доказательство. Пусть х — произвольная точка из СХА.
В силу отделимости X для каждой точки а?А найдется открытая
окрестность Ua такая, что x$Ua. В силу компактности А существу-
существует конечное семейство Uo, Ul, . . . , Uл открытых множеств, покры-
п
Бающих А, и таких, что *(??/;, i=0, 1, ..., п. Положим V= U (/;.
г"=0
п
Тогда AczV и х QV = U fi, следовательно, xgCxVczCx A — ок-
рестность точки х. Таким образом, доказано, что Сх А открыто,
т. е. А замкнуто.
Теорема 2. Для того, чтобы множество 4crR было компактным,
необходимо н достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено,
Доказательство. Пусть А компактно, тогда оно замкну-
замкнуто, согласно предложению 3, и ограничено, ибо его можно покрыть
конечным числом открытых интервалов длины 1.
Обратно, если множество А замкнуто и ограничено, то оно со-
содержится в некотором замкнутом интервале Acz[a, b]. И поскольку
[а, Ь] компактен, то А компактно ввиду предложения 2.
Предложение 4. Если / — непрорывное отображение ком-
компактного топологического пространства X в отделимое пространство
У, то f(X) компактно.
Доказательство. Поскольку Y отделимо, то f (X) также
отделимо, j Пусть (Вх) ^еЛ — покрытие множества f (X) открытыми
множествами В% из Y. Тогда (f-1 (B^))^eA —открытое покрытие мно-
множества X. Поскольку X компактно, то существует конечное множе-
множество KczA такое, что семейство (/-1 (Вх))^^ .покрывает А', следо-
следовательно, семейство (В^) k&f<. покрывает f (X). [J
Теорема 3 (Вонерштрасс). Пусть А'—компактное топологическое,
пространство и /: А' -» R - непрерывное отображениг. Тогда f (X)
ограничено и существуют в X точки а и Ь такие, что
Доказательство. Первая часть теоремы следует из предло-
предложения 4 и теоремы 2. Вторая часть следует из того, что f (X) замк-
замкнуто и поэтому точки inf f (X) и supf(X), являющиеся точками
прикосновения множества /(А'), принадлежат f (X). _'|
Теорема 4. (Тихонов). Произведение произвольного семейстпа
компактных топологических пространств компактно.
Доказательство. Пусть №he/ — семейство компактных
топологических пространств и X—его топологическое произяедение,
Согласно предложению 1, достаточно показать, что для любо;! цент«|
рироианной системы 2 пересечение f) А непусто.
е
Рассмотрим множестно 5 всех цептриронанных систем подмно
жести в А', содержащих 2. Это множестго упорядочено по
338
нию. Покажем, что для него выполнено условие леммы Цорна. Дей-
ггвительно, если 2а, ае У,—линейно упорядоченный набор элементов
из S, то \) 2а — центрированная система, содержащая 2, которая
осе-'
мажорирует все 2а. Согласно лемме Цорна, существует максималь-
максимальная центрированная система 2тах> содержащая 2. Максимальность
2тах означает, что если к 2тах добавить множество, не принадле-
принадлежащее 2тах, то полученная система не будет центрированной;
если для максимальной системы 2тах пересечение [\А ф 0, то тем
более П А Ф 0.
л
е
Так как добавление к центрированной системе конечных пересе-
пересечений не нарушает свойства центрированности, из максимальности
системы получаем следующие свойства: а) любое конечное пересече-
пересечение множеств из 2тах принадлежит 2тах; б) если множество Л пере-
пересекает каждое множество нз 2тах, то А ?2.
При каждом фиксированном i ? 1 система проекций {рг, (А)}А&^—
подмножеств пространства Х-г центрирована. Так как замыкания этих
множеств образуют также центриронаиную систему, в силу компакт-
компактности прос1ранства Xj существует точка xt, принадлежащая всем этим
замыканиям, г. е. являющаяся точкой прикосновения для всех мно-
множеств рг; (А). Полученное семейство точек {*;};,,/ есть элемент х про-
пространства X.
[Покажем, что Х? f] А, т. е. является точкой прикосновения
ле2тах
каждого множества А из 2тах. Если Ui—окрестность точки *; в Xj,
то Ui [) ргг (А) непусто для любого ^4gSmax. Переходя к прообра-
прообразам, получаем, что пересечение prT1 (Uf) f\ А ф 0 для любого А ?
gSmax. В силу свойства б) множество рг^~' (t/;) принадлежит Smax
и в силу свойства а) каждое конечное пересечение множеств вида
ргт~' (t/f) принадлежит Smax. Но совокупность таких ковечных пере-
пересечений образует базис окрестностей точки х -—{xt} в топологии про-
произведения. Таким образом, каждая окрестность точки х принадлежит
системе Smax и в силу центрированности этой системы имеет непус-
непустое пересечение с каждым множеством этой системы. Это по опреде-
определению означает, что х является точкой прикосновения для каждого
множества А из 2тах, т. е. х? (] А. Значит, пересечение иепус-
ТО. Lj
¦:2«
ПИТЕРАТУРА
1. Александров П. С. Введение в теорию • множеств и общую
топологию.— М.: Наука, 1977.— 368 с.
2. Александров Л. С, Колмогоров А. Н. Введение в теорию
функций действительного переменного.— М.—Л.: Гос. техн.-теорет.
изд-во, 1933.—272 с.
3. Антоневич А. Б., Князев Л. П., Радыно Я. В. Задачи и
'пражнения по функциональному анализу.— Минск: Выш. шк.,
1978.—206 с.
4. Лхиезер Н. #., Глазман И. М. Теория линейных операторов
в гильбертовом пространстве.— М: Наука, 1966.— 544 с.
5. Банах С. Курс функционального анализу.— Ки'ш: Радянська
лкола, 1948.—216 с.
6. Березанский Ю. М. Разложение но собственным функциям
;амосопряженных операторов.— Киев: Наукова думка, 1965.— 798 с.
7. Бурбаки И. Топологические векторные пространства.— М.:
^зд-во иностр. лит., 1959.— 410 с.
8. Бурбаки Н. Теория множеств.— М.: Мир, 1965.—456 с.
9. Бурбаки Н. Общая топология: Основные структуры.— М.:
Наука, 1968.—272 с.
10. Брудно A. JI. Теория функций действительного переменно- ¦
го.—М.: Наука, 1971 — 120 с.
11. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической
физике.—М.: Наука, 1976.—280 с.
12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.:
Наука, 1981.—512 с.
13. Вулих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной пе-
переменной,— М.: Наука, 1973.—352 с.
14. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ.— М.: Наука,
1967.—416 с
15. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.— М.:
Мир, 1967.— 251 с.
16. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции.— М.:
Физматгиз, 1958, т. 1.—440 с; т. 3.—273 с.
17. Данфорд II., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Общая
теория.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.— 896 с.
18. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектраль-
Спектральная теория,—М.: Мир, 1966.— 1064 с.
19. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектраль-
Спектральные операторы.—М.: Мир, 1971.— 662 с.
20. Дьедонне Ж- Основы современного анализа.—^М.: Мир,
1964.—432 с.
21. Дэй М. Нормированные линейные пространства.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1961—232 с.
22. Зиманский М. Введение в современную алгебру н анализ.—
М.: Наука, 1974 — 487 с.
23. Иосида К. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.—624с.
24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах.— М.: Физматгиз. 1959.— 684 с.
340
25. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—
1.: Наука, 1977.—742 с.
26. Келли Дж. Л. Общая топология.— М.: Наука, 1968.—384 с.
27. Кириллов А. А., Гвшииани А. Д. Теоремы и задачи функци-
гШльного анализа.— М.: Наука, 1979.—384 с.
28. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная мате-
1атика.—М.: Мир, 1969.—447 с.
29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
)ункционального анализа.— М.: Наука, 1972.— 496 с.
30. Краснов М. Л. Интегральные уравнения.— М.: Наука, 1975.—
Ю4 с.
31. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.— Но-
юеибирск: Наука, Сиб. отд., 1983.—222 с.
32. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ.—
L: Изд-во иностр. лит., 1956.— 252 с.
33. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального
анализа.—М.: Наука, 1965.—520 с.
34. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функциональ-
функционального анализа.— М.: Высш. шк., 1982.— 272 с.
35. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнени-
уравнениям.—М.: Физматгиз. 1959.—232 с.
36. Морен К. Методы гильбертова пространства.— М.: Мир,
1965.—572 с.
37. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.—
М.: Наука, 1974.—480 с.
38. Никольский Н. К- Лекции об операторе сдвига.— М.: Наука,
1980. -383 с.
39. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравне-
уравнений.— М.: Наука, 1965.— 128 с.
40. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фи-
5ики: Функциональный анализ.— М.: Мир, 1977, т. 1.— 357 с.
41. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фи-
физики: Гармонический анализ. Самосопряженность.— М.: Мир, 1978,
т. 2.—395 с.
42. Рид Л1, Саймон Б. Методы современной математической фи-
физики: Теория рассеяния.—М.: Мир, 1982, т. 3.—443 с-
43. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фи-
физики: Анализ операторов.— М.: Мнр, 1982, т. 4.— 428 с.
44. Рисе Ф., Сёкефальви-Падь Б. Лекции по функциональному
анализу,—М.: Мир, 1979.—592 с
45. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные прост-
пространства.—М.: Мир, 1967.—260 с.
46. Рудин У. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1975.—448 с.
47. Сакс С. Теория интеграла.— М.: Изд-во иностр. лит., 1949.—
494 с.
48. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.— 256 с.
49. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— М.:
Наука, 1974 — 808 с.
50. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.: Гос-
техиздат, 1948.— 480 с.
51. Титчмарш Е. Теория функций.— М.: Наука, 1980.— 464 с.
52. Треногий В. А. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1980.—
496 с.
53. Халмош П. Теория меры.— М.: Изд-во иностр. лит., 1953.—
290 с.
:- 341
54. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.— М.: Мир,
1970.— 352 с.
55. Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.—Л.: Гостехиздат,
937.—304 с.
56. Шефер X. Топологические векторные пространства.— М.:
4ир, 1971.—360 с.
57. Шилов Г. Е. Математический анализ: Специальный курс-
курсам Физматгиз, I960.—388 с.
58. Шилов Г. Е. Математический анализ: Второй специальный
курс—М : Наука, 1965.—328 с.
59. Шилов Г. Е., Гуревич. Б. Л. Интеграл, мера, производная.—
Д.: Наука, 1967.—220 с.
60. Эдварде Р. Функциональный анализ: Теория и приложения.—
М.: Мир, 1969.— 1071 с.
i
1РЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивность интеграла 51
Аксиома выбора 6
Алгебра борслевская 13, 14
— множеств 11
Альтернатива фредгольма 258
А -топология 311
База окрестностей 10, 328
— топологии 328
Базис алгебраический 138
— ортопормированный 173
— Шаудера 148
Билинейная форма 267
Бочка 312
Вариация функции 67
Внутренность множества 328
Гомеоморфизм 330
Граница множества 329
График отображения 8
Дополнение в нормированном
пространстве 148
Дополнение ортогональное 165
— - в нормированном про-
пространстве 220
Задача Штурма--Лиувилля
276
Замыкание множества 88
За.ряд 64
— абсолютно непрерывный 69
Значение собственное операто-
оператора 240
Изометрия 86
Изоморфизм 158
Индекс оператора 255
Интеграл Лебега 46, 48, 60
Канторова лестница 39
Квадратичная форма 267
Кольцо множеств 10
6-кодьцо 11
а-кольцо 1!
Композиция отображений 9
Коэффициент Фурье 170
Лемма Больцано—Вейерштрас-
са 124
— Бореля 125
— Дюбуа-Реймона 285
— Цориа 8
Мажоранта 8
Мера 15
— абсолютно непрерывная 37
— внешняя 23
— внутренняя 24
— Лебега 23
— — в R 31
Мера Лебега — Стилтьеса 35
— непрерывная 19
— полная 29
— (т-копечиая 29
— о-аддитивная 16
Меры сингулярные 40
Метрика 79
—¦ чебышевская 81
Множество 5
— абсолютно выпуклое 300
— бесконечной меры 30
— борелевское 13, 14
— вполне ограниченное 127
— - всюду плотное 89
— - выпуклое 300
— замкнутое 10, 88
— измеримое 23, 29
— каиторово 31
-- конечной меры 30
— - компактное 126
— линейно независимое 138
— линейно упорядоченное 8
— меры нуль 22
— направленное 333
— неизмеримое 34
— нигде не плотное. 96
Множество ограниченное в ме-
метрическом пространстве 126
— — в топологическом вск-
343
-орним пространстве 307
— в упорядоченном множе-
:тве 8
открытое 10, 87
отрицательное 65
поглощающее 300
положительное 65
предкомпактное 126
пустое 5
равностепенно непрерывное'
— 31
счетное 9
упорядоченное 7
¦ уравновешенное 300
аправленность 333
— Коши 318
ограниченная 319
— сходящаяся 333
епрерывность в среднем 108,
113
еравеиство Бесселя 171
— Гельдера 110
— Коши — Буияковского 111,
163
— Мииковского 111
— ограниченности оператора
150
— треугольника 80
— Чебышева 52
— Юнга 109
[орма 140
— оператора 151
[ормы эквивалентные 157
1оситель функции 283
1оситель обобщенной функции
294
Збраз оператора 188
Эбъединенпе 5
Окрестность 10, 89, 326
— открытая 10
Окрестностей аксиомы 327
Эператор 149
— вполне непрерывный 245
— Гильберта — Шмидта 251
— замкнутый 195
— интегральный 151
— конечного ранга 245
— линейный 149
— нормальный 264
— обратный 188
— ограниченный 150, 309
— самосопряженный 264
— сопряженный 231, 264, 278
— унитарный 264
— фредгольмов 255
Отношение 6
— включения 8
¦— порядка 7
— рефлексивное 7
— симметричное 7
— транзитивное 7
— эквивалентности 7
Отображение 8
— биективное 9
— изометрическое 86
— инъективное 8
— линейное 149
— непрерывное 89, 330
— обратное 9
— ограниченное 309
— равномерно непрерывное 84
— сжимающее 114
— сюръективное 9
Пересечение 5
Подмножество 5
Поднанравленность 334
Подпокрытие 125
Подпространство банахова про-
пространства 147
— векторное 137
— метрического пространства 80
— порожденное множеством
139
Покрытие 125
Полукольцо 12
Полуметрика 91
Полунорма 215
Полушар 301
Пополнение 97, 319
Последовательность биортого-
нальная 219
— Коши 84
в смысле сильной сходи-
сходимости 187
— сходящаяся 83
— финитная 104
— фундаментальная 84
Предбаза топологии 328
Предел индуктивный 320
регулярный 321
— направленности 333
— последовательности 83
Преобразование Фурье 296
Принцип вложенных шаров 95
— равномерной ограниченности
186
— сжимающих отображений
.115
Продолжение меры 20
— — по Лебегу 23
— функции 101
344
— функционала 215
роектор 196
— ортогональный 168
роекция на подпространство
166
Произведение мер 75
— множеств 5
— топологий 332
— скалярное 162
[ространство банахово 142
— бесконечномерное 138
— борнологическое 309
— бочечное 312
— векторное 136
— гильбертово 164
— квазиполное 319
— компактное 125, 336
— конечномерное 138
— локально выпуклое 280
— метрическое 80
— монтелевское 317
— нормированное 140
— отделимое 335
— полное 93, 318
— полуметрическое 91
— полурефлексивное 315
— предгильбертово 163
— предкомнактиое 126
— рефлексивное 243, 315
— с мерой
— секвенциально полное 319
— сепарабельное 104, 329
— сопряженное 211
— топологическое 10
векторное 277
— Фреше 306
— хаусдорфово 335
Равенство Парсеваля 208
— Парсеваля — Стеклова 171
Разность множеств 6
симметрическая 6
Расстояние от точки до мно-
множества 156
Регулярная точка оператора
238
Резольвента оператора 238
Резольвентное множество 338
Ряд абсолютно сходящийся 143
— сходящийся 142
— Фурье 170
Система множеств центриро-
центрированная 336
— ортонормнрованная 166
— полная 172
Собственное значение 240
Спектр 238
— непрерывный 240
— остаточный 240
— точечный 240
Сравнение топологий 326
Сумма подпространств 139
Сходимость в среднем 84
— операторов по норме 181
— — сильная 184
¦— почти всюду 41
— равномерная 41
— слабая в банаховом про-
пространстве 242
— слабая в сопряженном про-
пространстве 278
— точечная 41
Теорема Арцела —: Асколи 131,
133
— Банаха — Адаоглу 314
— Банаха о неподвижной точ-
точке 115
— Банаха об обратном опера-
операторе 193
— Боля — Брауэра 118
— Бэра 95, 96
— Гильберта 269
— Гильберта — Шмидта 273
— Егорова 44
— Колмогорова 308
— Лебега 56, 61
— Леви 57
— Пифагора 166
— Радона — Никодима 70
— Рисса М. 135
— Рисса Ф. 160, 213
— Тихонова 338
— Фату 59
— Фубини 77
— Хана — Банаха 215, 218
— Хаусдорфа 127
Тождество параллелограмма
164
Топология 10, 326
— антидискретная 326
— дискретная 326
— естественная на R 10
— индуцированная 331
метрикой 87
•— компактной сходимости 311
— локально выпуклая 280, 303
¦— отделимая 335
— порожденная системой по-
полунорм 280, 304
— равномерной сходимости
511
345
— слабая 313
— сильная 313
— тихоновская 332
— точечной сходимости 311
Точка внешняя 88
— внутренняя 328
— граничная 329
— предельная иаправлениостн
334
— прикосновения 88
Уравнение интегральное 118
Вольтерра 121
— корректно разрешимое 190
Условие Липшица 103
Фактор-множество 332
Фактор-пространство 332
— векторного пространства
139
Фактор-топология 332
Функционал линейный 151, 210
ограниченный 151, 211
— Минковского 301
Функция 8
— абсолютно непрерывная 37
— Дирихле 15
— измеримая 40
— интегрируемая 48
— истокообразно представимая
?73
— Каитора 39
— локально интегрируемая 284
— непрерывная слева 35
— обобщенная 280
регулярная 287
сингулярная 287
— ограниченной вариации 67
— основная 283 ,|
— простая 42 J
— средняя по Стеклову 107 |
— финитная 283 «
Функции эквивалентные 42
Центрированное семейство 336
Шар замкнутый 86
— открытый 87
Элемент максимальный 8
8-сеть 127
Ядро оператора 188
Ядро интегрального уравнения
112
слабополяриое 153
вырожденное 197
УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
А 328 1П(* А 255
до 313 ^E) *'
1 со *(*, К) 247
А f .tf(R) 322
^"(R) 322
Л* 264 ¦
К!1'} ее мг^Гш!
^ [А»' г] 86 Жоо (Т, (г) 52
С 6 L (X> К) 179
rm и яп JimindX, 320
С Ю, 1] оО INI fi
С(Т) 132 рд зо1
Cif°> }1 82 °Р(Х) 6 *..">- А
ОО, 1] 142 p(i) 215
С (R) 322 - 1
cm g . S5-^- 215
СХА 329 О е
25(RJ83,324 d 6
S'(R) 286 J 6
dA 329 J+ 6
<q(R) 323 Dn. ». ono
Ш' (R) 323 ^ ^' A) г66
f (R) 141 s
F (S 325 supp 283, 294
F 208 S(R) 296, 324
f-g 9 S'(R) 297
hg 206, 295 »
/ 86 V8 67
11ПГ2П Fl[0, i, 145
4flD\ S25 F- № 146
1тЛ 188 X' 211
347
X"
XlL
XIR
xh(t)
151
139
332
l 108
(x, y) 162
<«,
[I*
И-*
p(jf,
P(x,
о (A)
q>> 287
i и-г, 75
23
24
У) 80
L) 156
238
a (A) 238
1a 44
cofc(x) 284
U 6
5
5
П
и
л о
П 6
0 5
_L 165, 220
11-11 НО
ОГЛАВЛЕНИЕ
Отавторов 3
Глава I. Теория меры 5
§ 1. Предварительные сведения 5
§ 2. Кольца и полукольца множеств 10
§ 3. Общее понятие меры 14
§ 4. Лебеговское продолжение меры 23
§ 5. Мера Лебега иа прямой 30
§ 6. Мера Лебега—Стилтьеса 35
Глава П. Интеграл Лебега ЦсГ)
§ 7. Измеримые функции 40
§ 8. Интеграл Лебега. Определение и основные свойства . 44
§ 9. Предельный переход под знаком интеграла ... 53
§ 10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана . 61
§ 11. Заряды 64
§ 12. Теорема Радона—Никодима . 69
§ 13. Произведение мер. Теорема Фубини 73
Глава III. Метрические пространства \79j
§ 14. Метрические пространства. Определения и примеры . 79
§ 15. Топология метрических пространств 86
§ 16. Полные метрические пространства 91
§ 17. Пополнение метрических пространств 97
§ 18. Теоремы о продолжении 100
§ 19. Пространство LiG\ ц) 104
§ 20. Пространство LP(T, ц) 109
§ 21. Принцип сжимающих отображений 114
§ 22. Применение принципа сжимающих отображений к ин-
интегральным уравнениям 118
§ 23. Компактные метрические пространства 124
§ 24. Свойства компактных пространств 130
•—*>
Глава IV. Нормированные векторные пространства . . (ьЗб^
§ 26. Нормированные пространства 136
§ 26. Банаховы пространства 142
§ 27. Линейные операторы в нормированных пространствах 149
§ 28. Критерий конечномерности нормированного пространст-
пространства. Эквивалентные нормы 157
§ 29. Гильбертовы пространства 161
§ 30. Ортогональность. Теорема о проекции 165
§ 31. Разложение по ортонормированным системам в гильбер-
гильбертовом пространстве 170
§ 32. Полные ортонормированные системы в конкретных про-
пространствах 176
349
Глава V. Линейные операторы КрЩ
§ 33. Пространства линейных ограниченных операторов . . 179
§ 34. Сильная сходимость последовательности операторов.
Теорема Банаха—Штейнгауза 184
§ 35. Обратные операторы 188
§ 36. Теорема Банаха об обратном операторе и ее следствия 193
§ 37. Интегральные уравнения с вырожденными и малыми
ядрамл 197
§ 38. Преобразование Фурье функций из пространства Li(R) 201
§ 39. Преобразование Фурье в пространстве L2(R) . . . 207
Глава VI. Сопряженные пространства и сопряженные опера- /-"Ч
торы С21 V
§ 40. Линейные ограниченные функционалы 2Ш
§ 41. Теорема Хана—Банаха о продолжении линейного функ-
функционала 214
§ 42. Общий вид линейных ограниченных функционалов в кон-
конкретных пространствах 221
§ 43. Сопряженные операторы 230
§ 44. Примеры сопряженных операторов 233
§ 45. Спектр оператора ¦. . 238
§ 4G. Слабая сходимость. Рефлексивность 242
Глава VII. Уравнения с компактными операторами . . /245j
§ 47. Компактные операторы и их свойства 27о
§ 48. Компактность интегральных операторов 249
§ 49. Теория Рисса—Шаудера уравнений с компактными опе-
операторами. Фредгольмовы операторы 253
§ 50. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений.
Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода .... 259
§ 51. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве 2G4
§ 62. Спектральное разложение самосопряженного компактно-
компактного оператора 269
Глава VIII. Обобщенные функции
§ 53. Топологические векторные пространства ...
§ 54. Пространства основных и обобщенных функций . . . 282
§ 55. Действия с обобщенными функциями 288
§ 56. Пространство обобщенных функций медленного роста.
Преобразование Фурье 296
Глава IX. Локально выпуклые топологические векторные
пространства
§ 57. Полунормы и локально выпуклые топологии . . .
§ 58. Линейные непрерывные операторы и функционалы.
Ограниченные множества . 306
§ 59. Сопряженное пространство и связанные с ним топологии 313
§ 60. Полнота. Индуктивные пределы 318
§ 61. Локально выпуклые пространства функционального
анализа 322
Приложение. Топологические пространства .... 326
§ 1. Открытые множества, окрестности 32Г>
§ 2. Непрерывные отображения 330
350
3. Подпространства. Фактор-пространства 331
4. Произведение топологических пространств .... 332
5. Сходящиеся направленности 333
6. Отделимые пространства 335
7. Компактные пространства 336
[нтература 340
Предметный указатель 343
казатель символов 347