Ферма. Великая теорема Ферма. Выпуск 18. Самая сложная задача в мире

Tags: журнал величайшие теории великая теория ферма теория ферма
ISBN: 2409-0069
Year: 2015
Similar
Великая теорема Ферма
Последняя теорема Ферма для любителей
Мир математики. Том 25. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики
Программирование. Теоремы и задачи
Text
                    ФЕРМА великая теорема Ферма
НАУКАтеорир
ФЕРМА	is
Великая теорема Ферма
 Самая сложная
18 задача в мире
D4AGOSTINI
ФЕРМА
Великая теорема Ферма
ФЕРМА
Великая теорема Ферма
Самая сложная
задача в мире
НАУКА. ВЕЛИЧАЙШИЕ ТЕОРИИ
Наука. Величайшие теории: выпуск 18: Самая сложная зада-
ча в мире. Ферма. Великая теорема Ферма. / Пер. с исп. — М.:
Де Агостини, 2015. — 160 с.
Пьер де Ферма — исключительная личность в истории нау-
ки: будучи адвокатом по профессии, он посвящал математи-
ке только свободные часы. Его научное наследие по большей
части сохранилось в виде писем, которыми он обменивал-
ся с другими светилами своего времени, такими как Марен
Мерсенн, Блез Паскаль или Рене Декарт. Гениальность этого
французского ученого, несмотря на его дилетантизм, про-
явилась в разнообразных областях: в теории вероятностей,
математическом анализе и особенно в теории чисел, в рамках
которой он выдвинул гипотезу, озадачившую самых значи-
тельных математиков на более чем три века. Историю реше-
ния задачи, известной как Великая теорема Ферма, можно
назвать одной из самых красивых легенд научного мира.
ISSN 2409-0069
© Luis Fernando Arean Alvarez, 2012 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014-2015
Иллюстрации предоставлены:
Archive RBA: 26b, 31b, 59i, 59d, 61ad, 87ai, 101,149a;
Biblioteca del Congreso de Estados Unidos: 61ai; Getty Images:
48; Jakob Emanuel Handmann/Museo de Arte de Basilea: 47;
Sir Godfrey Kneller/National Portrait Gallery: 87ad; Peter
Lely/National Portrait Gallery: 87bd; Henry Moreau: 149bd;
CJ. Mozzochi/Princeton, NuevaJersey: 61b; Practical Physics:
138,149bi; Smithsonian Institution: 26a; Universidad de York,
Reino Unido: 31a, 87bi; Joan Pejoan.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение
без разрешения издателя запрещено.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ	7
глава 1. Теорема, которую доказывали 350 лет......... хз
глава 2. Попытки доказательства Великой теоремы	41
ГЛАВА 3. Современная теория чисел ................... 65
глава 4. Аналитическая геометрия..................... эз
глава 5. Вклад Ферма в дифференциальное
и интегральное исчисление.............................из
глава 6. Вероятность и принцип Ферма	135
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ	155
УКАЗАТЕЛЬ
157

Мигелю, делающему первые
шаги в большом путешествии.
Введение
Любой студент, изучавший высшую математику в течение трех
последних веков, слышал о Великой (или Последней) теореме
Ферма. Пьер де Ферма был своеобразным ученым. Он не опу-
бликовал ни одной книги под своим именем, а, как правило, из-
лагал свои идеи в письмах или распространял их в рукописях.
Похоже, ему было достаточно самому убедиться в том, что он
может считать свой результат верным, поэтому он не заботил-
ся о том, чтобы детально записать доказательство. Таким обра-
зом, наследие Ферма представляло собой большой вызов для
математиков, следовавших за ним, поскольку им нужно было
доказывать почти все, что он утверждал в качестве истин. И по-
степенно ученые это сделали (а что-то, наоборот, опровергли).
Нерешенной оставалась только одна дьявольская задача, кото-
рую никто не мог доказать... или опровергнуть. Речь шла о По-
следней теореме, о случайной записи, которую автор оставил
на полях книги Диофанта Александрийского. С ней не могли
справиться даже самые блестящие умы, начиная со швейцар-
ца Леонарда Эйлера, одного из величайших математиков всех
времен.
Все студенты когда-нибудь слышали от своих препода-
вателей, что эта теорема так и не была доказана и тем самым
превратилась в одну из самых старых математических задач,
все еще актуальных в конце XX века. Они удивлялись, когда
7
преподаватель писал на доске то, что утверждает эта теорема.
Это простейшее высказывание, и любой ученик средней шко-
лы мгновенно понял бы его. Может быть, ее невозможно до-
казать? Ужасающая возможность того, что существуют мате-
матические утверждения, которые невозможно доказать, была
выдвинута одним из самых великих логиков XX века, австро-
американским ученым Куртом Гёделем, а через некоторое вре-
мя — отцом информатики Аланом Тьюрингом. Возможно, дан-
ная теорема — одна из тех несчастных, изгнанных из царства
математики. Возможно, Ферма, не зная этого, нашел первый
недоказуемый результат в истории математики. В любом слу-
чае, он вряд ли предполагал, что будет нести ответственность
за создание других математических теорий, которые возник-
нут из безрезультатных попыток доказать его теорему. Они
появлялись благодаря надежде найти доказательство, которое
окончательно закроет тему и навсегда поместит ее в один ряд
с другими результатами, не подвергающимися глубокому ис-
следованию, поскольку они прекрасно известны.
Тогда преподаватель переставал говорить о Ферма и воз-
вращал своих учеников на землю, в привычный мир, где теоре-
мы следуют одна за другой в сопровождении строгих доказа-
тельств, а Великая теорема — всего лишь странное чудовище,
лишившее сна некоторых людей. Почти все принимали тот
факт, что задача никогда не будет решена.
В какой-то степени парадоксально, что это самый извест-
ный вклад Ферма, с учетом того, что его можно назвать матема-
тиком первой величины. Однако его имя редко цитируют вме-
сте с именами Архимеда, Евклида, Декарта, Ньютона, Лейбни-
ца, Эйлера или Гаусса. По разным причинам огромный вклад
Ферма отошел на задний план. Достаточно взглянуть в энци-
клопедии и книги по истории математики, чтобы убедиться,
что его там едва упоминают, и он почти всегда находится в тени
какого-то своего современника или последователя.
Пьер де Ферма, королевский советник парламента в Ту-
лузе, которого некоторые считают самым великим из матема-
тиков-любителей, жил в ту эпоху, когда эта наука, медленно
просыпаясь после средневекового сна, вступала в фазу своей
8
ВВЕДЕНИЕ
лихорадочной деятельности. Это было время, когда она пере-
жила глубокие изменения, настоящую научную революцию.
О событиях жизни Ферма — спокойной, буржуазной и без рез-
ких перемен — известно мало, но его характер открывается нам
через его переписку и подход к математике.
Ферма был революционером в научной сфере. Мало кто
заложил столько основ современной математики, как он, точ-
но так же как мало кто предпринял такие смелые шаги на пути
к будущему. Но, как это обычно происходит с некоторыми ре-
волюционерами, Ферма не оценивал должным образом все то,
что он делал. Он был одержим желанием возродить греческую
науку, разрушенную веками небрежности и жестокости. Ему
было интересно восстановить работы Диофанта, Аполлония,
Архимеда, Евклида. Ферма не понимал, что инструменты, ко-
торыми он пользовался, чтобы возродить авторов античности,
заложат основы новой науки и отправят многие методы древ-
них ученых в исторический архив.
Поколение, следующее за Ферма, потеряло интерес к гре-
ческой математике, исключая разве что Евклида, работы кото-
рого до самого XX века были примером строгости и красоты
в геометрии. Его «Начала* — наиболее часто издаваемая книга
после Библии.
Но случай с Евклидом — это редкость. С конца XVII века
греческая наука превратилась в музейный экспонат. С тех пор
математики не смотрели назад, они всегда думали о будущем
и о том, что они сами создают. Ферма был одним из послед-
них, кто наслаждался традицией прошлого, и одним из тех,
кто запер это прошлое и создал новый мир, наряду с другими
великими математиками своего времени. Любая традиция со-
противляется смерти, и даже одна из ключевых работ по физи-
ке — «Математические начала натуральной философии* Нью-
тона — имела «греческую» форму. Но ее можно назвать лебе-
диной песней античной науки. Со смертью Ферма в 1665 году
греческая математика уже сменилась современной. После него
ни один великий математик не озадачивался тем, чтобы вос-
становить традицию античности.
ВВЕДЕНИЕ
9
В нашей книге мы рассмотрим историю этой революции.
Первые две главы посвящены теореме, которая сделала Ферма
известным и в течение трех с половиной веков подстегивала
математиков на создание невероятных конструкций с един-
ственной целью — решить его дьявольскую головоломку. Это
захватывающая история. В остальной части книги мы расска-
жем о другом вкладе Ферма в науку, абсолютно незаслуженно
оставшемся в полутьме.
Речь пойдет о его вкладе в теорию чисел, а также о рево-
люционном прорыве, ставшем возможным благодаря фран-
цузскому ученому, — аналитической геометрии, с помощью
универсального языка алгебры навсегда изменившей подход
к математике. Кроме того, в наше повествование включены
предшественники анализа бесконечно малых — методы макси-
мумов и минимумов Ферма, касательных, квадратур и спрям-
лений. Мы проанализируем эпистемологические препятствия
(термин французского философа Гастона Башляра), которые
помешали Ферма открыть собственно анализ. Наконец, мы
остановимся на его роли в зарождении теории вероятностей
и на его вкладе в физику в виде экстремального принципа, но-
сящего его имя.
Здесь будет рассказано о достижениях этого великого мыс-
лителя, но также будут затронуты и причины, по которым он
был забыт. Иногда они связаны просто со случайностями, пре-
вратностями судьбы, но в других случаях роль сыграла и сама
личность Ферма, например его боязнь публикации трактатов
под своим именем. В то же время он ждал от коллег признания
благодаря своим письмам, полным задач, которые, как утверж-
дал ученый, он решил, но они разочаровывали его корреспон-
дентов отсутствием конкретики. Идеи Ферма почти всегда па-
дали на плодородную почву, но были отделены от его имени,
и, таким образом, он оставался в тени. Жизнь этого ученого,
в которой так мало примечательных событий, по-настоящему
отражается в его работе, демонстрируя нам личность потряса-
ющего человека.
ю
ВВЕДЕНИЕ
1601 Родился 20 августа в Бомоне, Фран-
ция.
1620 Изучал право в Тулузе в течение пяти
лет.
1625 Четыре года прожил в Бордо, где об-
щался с французским математиком
Жаном де Бограном.
1631 Закончил обучение в Орлеане 1 мая.
Получил должность советника в пар-
ламенте Тулузы.
1636 Первое письмо философу Марену
Мерсенну. Создал трактат об аналити-
ческой геометрии «Введение к теории
плоских и пространственных мест*.
Разработал свой метод максимумов
и минимумов.
1637 Формулировка Великой теоремы.
1638 Начало полемики с «соперником»
Рене Декартом о методе максимумов
и минимумов и его применении к ка-
сательным.
1640 Обнародование малой теоремы Ферма.
1641 Охлаждение отношений с Бернаром
Френиклем и Пьером Брюларом.
1643 Объяснил основы своего метода
в «Аналитическом исследовании*,
одной из самых важных его ученых за-
писок.
1652 Заболел чумой. Друг ученого Бернар
Медон ложно объявил о его смерти.
1654 Поддерживал переписку с Блезом Па-
скалем, в результате чего были зало-
жены основы теории вероятностей.
1657 Полемика с Джоном Уоллисом и Уи-
льямом Браункером об уравнении
Пелля.
1658 Написал «Трактат о квадратурах*,
в котором расширил применение
своего метода. Начал споры о «Диоп-
трике* с картезианцем Клодом Клер-
сел ье.
1659 Начал переписку с нидерландским ма-
тематиком Христианом Гюйгенсом.
1660 Создал «Трактат о спрямлении*,
в котором отошел от своего аналити-
ческого метода и использовал синтети-
ческий метод греков.
1665 Скончался 12 января в городе Кастр,
рядом с Тулузой.
ВВЕДЕНИЕ
11

ГЛАВА 1
Теорема, которую
доказывали 350 лет
Несмотря на свою кажущуюся простоту,
Последняя теорема Ферма мучила самых лучших
математиков в мире не больше и не меньше, чем 350 лет.
Раз за разом они пытались доказать ее и всегда терпели
неудачу, пока в конце XX века одному британскому
математику не удалось сделать то, что до тех пор
казалось невозможным.

Представим себе на мгновение: человек с длинными волосами,
ссутулившийся, склоняется при свете свечи над экземпляром
«Арифметики* греческого математика Диофанта Алексан-
дрийского (ок. 214 — ок. 298). Прочитав одну из его теорем, он
немного размышляет, улыбается, смачивает перо и на полях
книги пишет фразу на латыни. Делает паузу, снова берет перо
и добавляет: <[...] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi,
hanc marginis exiguitas non caperet*. To есть: *[-] я нашел это-
му поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком
узки, чтобы записать его».
Очевидно, вскоре этот человек пошел спать. На следую-
щий день его ждали срочные дела в парламенте. Мы не знаем,
сколько раз он вспоминал об этой маленькой записи. Возмож-
но, он так и не вернулся к мысли о ней. Мог ли он подумать, что
его немногочисленные слова породят одну из самых страстных
одиссей в истории математики и что в течение веков они бу-
дут мучить самые блистательные умы в мире? Маловероятно.
Пьер де Ферма — главное действующее лицо описанной нами
сцены — увлекался играми и головоломками, но вряд ли той
ночью он предвидел, что создал самую знаменитую математи-
ческую загадку всех времен.
Действительно, потомки узнали о ней, можно сказать,
чудом. В виде личной заметки на полях книги она могла просто
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
15
исчезнуть наряду с другими более или менее многочисленными
тривиальными мелочами в жизни. Но эта пометка пережила
своего автора, ее открыли и напечатали, и она превратилась
в царицу задач, которые, казалось, невозможно решить. Мир
продолжал вращаться. В эпоху Ферма Францией правил кар-
динал Ришелье, что описано Александром Дюма в бессмертных
*Трех мушкетерах*, в то время как король предавался развле-
чениям. Ришелье умер; Франция прошла через ряд восстаний,
известных как Фронда; был Король-Солнце, а затем Просвеще-
ние, Революция, бурный XIX век и еще более драматич-
ный XX век. И пока текла история, теорема, которую Ферма,
по его словам, доказал, оставалась по-прежнему недоказанной,
выдерживая все атаки, все попытки раскрыть ее тайну: это до-
казательство, которое не помещалось на полях, также не нахо-
дило места и в умах самых великих математиков.
Ускорим наше повествование. Сейчас мы в 1993 году,
в мире компьютеров. Распался СССР. Еще не существует со-
циальных сетей, но есть их предок под названием юзнет, на ко-
торый были подписаны только люди, связанные с академиче-
ским миром, — их абсурдно мало по сравнению с современны-
ми пользователями различных социальных сетей. Вдруг эта
первоначальная сеть, обычно сонная, начала кипеть от воз-
буждения. Сообщения следовали друг за другом как молнии,
сопровождаемые терминами, которые неспециалист не мог бы
понять: модулярные функции, эллиптические кривые, группы
Галуа, теория Ивасавы, гипотеза Таниямы-Симуры.
Постепенно в сети складывалась картина того, что про-
изошло. Эндрю Уайлс, британский математик, специалист
в области эллиптических кривых, прочитал в Институте Иса-
ака Ньютона в Кембридже три лекции, в течение которых он
постепенно, терпеливо, применив драматическое искусство,
достойное Лоуренса Оливье, подводил слушателей к неизбеж-
ному результату.
В течение нескольких лет Уайлс работал секретно, как ал-
химик, не делясь ни с кем не то что результатами, но даже темой
своего проекта. Он не хотел, чтобы кто-нибудь забрал его славу
решения одной из самых сложных проблем в мире математики.
16
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
Хотя и ходили какие-то слухи в виде электронных писем, когда
какой-нибудь коллега спрашивал его о содержании лекций, он
ограничивался тем, что улыбался и отвечал: «Приходи на лек-
ции и увидишь».
Такая таинственность подстегивала любопытство. Итак,
аудитория из 200 человек, состоящая из опытных специали-
стов и некоторых докторантов, кипела с каждой проходящей
минутой. Когда Уайлс объявил о лекциях, он хорошо постарал-
ся спрятать проект под внешне безобидным названием. Однако
по мере того как он продвигался в изложении, ученые начина-
ли понимать, о чем идет речь. Они писали электронные пись-
ма в паузах между лекциями, находясь в ожидании того, что,
как они себе представляли, должно было произойти. В гробо-
вом молчании аудитории докладчик заполнял доску за доской
сложнейшей математикой. Наконец, Уайлс написал еще не-
сколько строчек, дополняющих доказательство, сделал драма-
тическую паузу и нацарапал то, что утверждается в Последней
теореме Ферма. Улыбаясь, он повернулся к публике и сказал:
«Думаю, что остановлюсь здесь».
Защелкали фотоаппараты, начались овации, аплодисмен-
ты. Одна из самых сложных проблем в мире (она же — одна
из самых старых нерешенных задач) в конце концов пала под
натиском систематической атаки блестящего математика, ко-
торый более десятилетия работал один. Но как это возможно?
Неужели Уайлс открыл доказательство Ферма? Нет, история
намного сложнее. На самом деле аплодисменты были преждев-
ременными: в доказательстве Уайлса содержалась роковая
ошибка. Самоизоляция сыграла с ним плохую шутку: посколь-
ку ученый не делился своими достижениями, никто не смог
указать ему на это. А в математике только одна ошибка, толь-
ко один ложный шаг делает непригодным все доказательство:
оно разваливается, как карточный домик, из которого убрали
лишь одну из карт. Так что сокрушенному Уайлсу пришлось
вернуться в кабинет и продолжить работу, чтобы получить не-
опровержимое доказательство, которое ему наконец удалось
опубликовать в 1994 году. Но оставим на некоторое время
Уайлса в момент его наивысшей славы.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
17
ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА
Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней тео-
ремой. Вывод, который математик записал на латыни на не-
больших полях книги, был следующим:
«Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвер-
тую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом
любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть
записано в виде суммы двух степеней того же уровня».
В современной алгебраической записи эта теорема утверж-
дает, что уравнение У + у" - 2" при п > 2 не имеет натуральных
решений; то есть не существует натуральных чисел х, у и z, ко-
торые соответствуют заданному условию: иметь кубическую
(или большую) степень, которая была бы суммой двух кубиче-
ских степеней (или больших того же уровня).
Теорема Ферма применяется исключительно к натураль-
гмммтричккм ным числам (тем, с помощью которых мы считаем предметы: 1,
представление 2,3,... и так до бесконечности); хотя в оригинальном высказы-
пифагора. вании автор не сформулировал данного условия открыто, это
понятно из контекста.
Стоит спросить, почему Фер-
ма говорит только о показателях
степени больше двух. Ответ прост.
Для случая п - 1 мы имеем три-
виальное высказывание: действи-
тельно, любое натуральное число,
большее единицы, может быть вы-
ражено в виде суммы двух других
чисел (необязательно различаю-
щихся между собой). Если п - 2,
мы сталкиваемся с известнейшей
теоремой Пифагора (см. рисунок),
выраженной в алгебраической
форме: х2 + у2 - г2.
18
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
У этого уравнения не существует решений для любых на-
туральных чисел; но все-таки какие-то решения найти можно.
Первое из них — этох - 3,у - 4 иz - 5:
32 + 42 - 9+16 - 25 - 52.
Другой пример — этох- 5, у - 12 иг - 13; еще один: х - 65,
у - 72 и z - 97. Можно доказать, что существует бесконечное
количество множеств из трех натуральных чисел, выполняю-
щих данное требование; такие множества известны как пифа-
горовы тройки.
Итак, Ферма утверждал, что если заменить показатель сте-
пени, равный двум, на больший, то не существует тройки на-
туральных чисел, при которых такое уравнение было бы истин-
ным и которую мы могли бы назвать «тройкой Ферма». При
таком определении Последняя теорема Ферма равносильна
утверждению, что не существует троек Ферма.
Несложно представить себе, как математик получил этот
результат. Он некоторое время анализировал пифагоровы
тройки и их свойства. Речь идет о записи квадрата в виде суммы
двух квадратов так, чтобы все используемые числа были нату-
ральными. Разумно предположить: поставив перед собой эту
проблему, Ферма также задался вопросом, что произойдет, если
вместо квадратов использовать кубы, четвертые степени и так
далее. В конце концов, одной из самых естественных тенденций
для математика является поиск обобщенного результата или,
по крайней мере, исследование возможных обобщений.
Понять поставленную задачу довольно просто, и хотя уже
половина ее решения заключается в этом понимании, вто-
рая половина, в случае теоремы Ферма, сформулированной
в 1637 году, чрезвычайно сложна. Почему? Чтобы попытаться
ответить на данный вопрос, нужно совершить «небольшое» пу-
тешествие в прошлое, примерно за 2100 лет до Ферма, во вре-
мена Пифагора, — не только из-за связей, которые имеются
у Великой теоремы с пифагоровыми тройками.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
19
ГРЕКИ
Вернемся к началу времени математики для понимания приро-
ды математического доказательства. Пифагор Самосский (ок.
580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все
документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас,
были созданы через несколько веков после его смерти, и по-
скольку последователи разве что не обожествляли Пифагора,
значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов.
Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной
литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.
Одно известно точно: Пифагор не формулировал теорему,
которая носит его имя. Египтяне и вавилоняне знали и приме-
няли ее, но они пользовались ею как инструкцией. Они неодно-
кратно проверили ее на практике и убедились в ее истинности.
Говоря современным языком, египтяне и вавилоняне использо-
вали математику эмпирически: если они систематически убеж-
дались, что результат верен, они обобщали его и думали, что
он верен всегда. Это известно как индуктивное рассуждение.
Когда мы находим действующую инструкцию, мы применяем
ее, даже если и не понимаем, почему она работает.
Однако то, что сделал Пифагор, было действительно ре-
волюционно: он пришел к убеждению, что эмпирических ин-
струкций недостаточно и что требуется строгое доказательство
их правоты. Фалес Милетский (ок. 630-545 до н. э.), отец фи-
лософии, уже занимался выведениями доказательств, но Пи-
фагор превратил поиск математического доказательства в си-
стематическую программу. Он сделал нечто удивительное: при-
шел к выводу, что инструкция может быть доказана для всех
случаев дедуктивно, с помощью правил логики, чтобы стать
вечной, безупречной истиной, которую невозможно оспорить.
Эмпиризму он противопоставил разум. Так, доказательство,
основанное на логических правилах и образованное рядом ша-
гов, которые любой может рассмотреть и понять, лучше, чем
миллион экспериментов.
Насколько известно, Пифагор был первым, кто подумал
о том, что такие доказательства не только возможны, но и до-
20
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Возьмем два квадрата одинаковой площади со стороной а + b и разделим
их, как показано на рисунке. Очевидно, что площадь каждого из квадратов
равна (а + Ь)2, но ее можно выразить и другим способом. В квадрате сле-
ва общая площадь равна сумме площадей двух квадратов со сторонами b
и а и площадей четырех треугольников со сторонами а и Ь, то есть
для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата
равна
A,-a2 + b2 + 4^abj.
Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата
со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и Ь:
Так как Ах и А2 равны, то
И, после сокращения уравнения:
а2+Ь2=с2.
Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для
него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри
квадратов.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
21
стижимы систематически. Поэтому он заслуживает титула отца
математики. Все амбиции математической науки, одной из са-
мых плодотворных в интеллектуальной истории человечества,
выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943)
в своем «Wir miissen wissen. Wir werden wissen» (<Мы должны
знать. Мы будем знать!») во втором десятилетии XX века.
Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, нося-
щую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истин-
ности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае
с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет
выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для по-
следующих поколений: уже недостаточно было найти правило,
проверить его на практике много раз и признать его истинным.
Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в не-
которых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифаго-
ра оказался таким плодотворным, что математики, несмотря
на все трудности, не готовы отказываться от него.
В течение нескольких веков греки следовали принципам
Пифагора и стремились к строгому доказательству своих ре-
зультатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283
до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта,
пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.),
который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные
результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое
знание своего времени в одну систему.
Евклид понял, что любое доказательство основывается
на предыдущих результатах, которые, в свою очередь, были
доказаны ранее. Но данный процесс не может длиться до бес-
конечности — нужно исходить из некоторых истин, которые
считаются очевидными. Их Евклид называл аксиомами. Также
должны существовать четкие определения используемых эле-
ментов; в геометрии, например, это точки, линии, треугольни-
ки, круги и так далее. На этой основе Евклид создал единую
систему, в которой доказанные и предполагаемые результаты
(в последнем случае — аксиомы) служат основой для доказа-
тельства других результатов. В отличие от аксиом, эти новые
22
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
результаты, требующие доказательства, получили название
теорем.
Повторяя эту операцию снова и снова, мы можем постро-
ить математическую теорию, похожую на дерево, на котором
с помощью небольшого количества корней можно породить
потенциально бесконечное количество веток и листьев. Какие-
то из них более важны (более крепкие и плодородные в сво-
ем потенциале создания новых ветвей), чем другие, но все они
одинаково истинные.
Рассказывают, что Птолемей I потребовал у Евклида обу-
чить его математике, при этом не желая тратить много сил
и времени. Он хотел, чтобы ученый упростил свои объяснения,
на что тот ответил:
«Ваше Величество, то, о чем Вы меня просите, невозможно; не-
обходимо пережить и пройти через все необходимые шаги, чтобы
понять науку. Не существует царской дороги в математику».
Невозможно преувеличить важность евклидовой геоме-
трии. Практически все последующие поколения математиков
использовали ее в качестве отправной точки. Сегодня любой
математик, предлагающий новую теорию (или пытающийся
переформулировать существующую), пользуется системой Ев-
клида. До самого XX века его книга — знаменитые «Начала» —
была самой популярной после Библии и считалась отправной
точкой и необходимым объектом изучения в университетах.
Но несмотря на невероятные результаты, некоторые ню-
ансы деятельности Пифагора и школы, которую он основал,
сегодня могут показаться неприемлемыми. Пифагорейцы
представляли собой что-то вроде тайной религии или секты
и, возможно, не сильно отличались от других секретных древ-
негреческих обществ, например элевсинских или орфических
мистерий. Так же как и посвященные элевсинцы, пифагорейцы
не могли открывать природу своей деятельности.
Пифагорейский мистицизм был тесно связан с идеей того,
что число — это сущность природы. Но под числом пифагорей-
цы понимали не совсем то же, что и мы. Для них числа были
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
23
только натуральными и теми, что могут быть выражены в виде
частного натуральных (3/4,5/8 и так далее): множество рацио-
нальных положительных чисел.
Конечно, пифагорейцы умели измерять геометрические
длины. Верные своей мистической вере в числовую сущность
природы, они были уверены, что любую длину можно выразить
рациональным положительным числом. Они ожидали, что гео-
метрия будет открывать природу, подобно любой естественной
науке или музыкальной гармонии, также открытой ими.
И тут произошла катастрофа. Согласно легенде, один
из учеников Пифагора доказал, что гипотенуза прямоуголь-
ного треугольника не является числом в том смысле, который
назначали этому понятию пифагорейцы. Как ни удивитель-
но, речь шла о самым простом прямоугольном треугольнике,
у которого два катета имеют длину, равную единице, — о тре-
угольнике не только прямоугольном, но и равнобедренном.
Действительно, в данном случае гипотенуза, согласно соб-
ственно теореме Пифагора, равна V2 .
Но V2 нельзя выразить в виде рационального положи-
тельного числа! Это то, что мы сегодня называем иррациональ-
ным числом, так как его нельзя выразить в виде отношения
между двумя натуральными числами. Именно это, как говорит
легенда, доказал Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), строп-
тивый ученик, за что его (или за то, что он открыл миру свое
доказательство), как говорят, утопили в море рядом с Крото-
ной. Здесь мы видим типичный случай доказательства от про-
тивного, в котором предполагается противоположное тому, что
нужно доказать, и, в свою очередь, доказывается, что это пред-
положение приводит к неразрешимому противоречию с уже
доказанной истиной. Это один из самых мощных способов до-
казательства в математике, при котором, как говорил британ-
ский ученый Годфри Харди (1877-1947), математик рискует
сильнее, чем любой шахматист с его гамбитом: он рискует всей
игрой.
Интеллектуальная гордость пифагорейцев перенесла тя-
желейший удар: мир, по-видимому, не был основан на числе
как основной сущности. Пифагорейцам не пришло в голову,
24
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ J2
Представим, что число V2 рационально. Тогда его можно выразить в виде
отношения двух целых чисел: V2 =p/q. Мы можем предположить, что пре-
дыдущее отношение несократимо, то есть его нельзя упростить еще боль-
ше, или, что то же самое, р и q не имеют общих делителей. Итак, из преды-
дущего выражения следует, что 2 = p2/q2. Следовательно, р2 — четное.
Но если целое число в квадрате четное, то и само число, р, тоже четное
(поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный). Следовательно, мы
можем записать р = 2к и 4k2 = 2q2, или 2k2 = q2. То есть q2 также четное,
и q тоже. Но это противоречит гипотезе о том, что у р и q нет общих дели-
телей! Следовательно, одна из наших гипотез ложная. Это не может быть
гипотеза о том, что отношение несократимо; то есть ложно предположение
о том, что 42 — рациональное число.
что достаточно пересмотреть их ограниченное понятие числа,
чтобы решить дилемму. Но это объяснимо; на заре математики
для пифагорейцев было невозможно принять то, что им каза-
лось невыразимым. В конце концов, они были вынуждены про-
вести различие между величиной и числом, между длинами,
измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифме-
тически. Так, обе дисциплины начали отдаляться друг от дру-
га, и только работы ученых XVI и XVII веков Франсуа Виета,
Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их.
ОТ ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ ДО XVII ВЕКА
Эпоха Возрождения привела к настоящему пробуждению ин-
теллектуальной математической деятельности. В течение же
всего Средневековья сложно найти выдающиеся математиче-
ские достижения в Европе; они встречались только в мусуль-
манском мире. Но постепенное знакомство с греческими тек-
стами, которые были сохранены арабами, в сочетании с ориги-
ТЕОРЕМА, КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
25
ТАРТАЛЬЯ И КАРДАНО
Никколо Фонтана (1499-1557),
по прозвищу Тарталья, и Джироламо
Кардано (1501-1576) были одними
из самых знаменитых реистов. Детство
Тартальи нельзя назвать безоблач-
ным: у него не было отца, он рос в ни-
щете, а при завоевании Брешии фран-
цузский солдат нанес ему рану,
затронувшую челюсть и нёбо, из-за
чего он не мог нормально разговари-
вать. Отсюда его прозвище, означаю-
щее «заика». Кардано, знаменитый
врач, алгебраист и великий инженер,
потерял сына, поскольку не смог за-
платить компенсацию, которая требо-
валась, чтобы того не казнили. Случи-
лось так, что итальянский математик
Сципион дель Ферро (1465-1526) на-
шел решение кубических уравнений,
которое держал в секрете ото всех,
кроме своих самых близких учеников.
Один из них, А.М. Фиоре, вызвал Тар-
талью в 1535 году на математическое
соревнование. Работая в усиленном
темпе, Тарталья нашел собственное
решение, более общее, чем у дель Фер-
ро. Это позволило ему застать Фиоре
врасплох, решить все задачи с кубиче-
скими уравнениями, которые тот ему
предлагал, и, в свою очередь, выиграть
у него, предложив ему задачи, которые
Фиоре не смог решить. Кардано узнал
об этом состязании и постарался рас-
положить к себе Тарталью, который
в итоге показал ему решение, потребо-
вав хранить его в секрете. Но Кардано
узнал также решение дель Ферро и, ду-
мая, что это освобождает его от необ-
ходимости хранить секрет, опублико-
вал результат Тартальи в •Великом
искусстве», большом трактате по алге-
бре.
Никколо Фонтана Тарталья.
Джироламо Кардано.
26
ТЕОРЕМА, КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
нальным вкладом исламских ученых, вызвали у первых мате-
матиков XVI века беспрецедентную активность.
Очень рано произошло разделение этой науки. С одной
стороны были геометры, которые пытались понять и допол-
нить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохра-
нилось несколько книг, многие из них погибли при различных
исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой
эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около
2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или
несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак,
математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что по-
теряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши,
которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Дио-
фанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий
метод: строгие и красивые геометрические доказательства.
Однако в то же время другие математики, называемые ре-
нетами, занимались решением более или менее практических
задач. Их нанимали торговцы, хотя часто они также участво-
вали в состязаниях, на которых задавали друг другу задачи,
требующие решения. Эти математики были первыми алгебра-
истами и исповедовали прагматический подход: строгость, со-
вершенство и красота доказательства интересовали их меньше,
чем эффективность их методов. В какой-то степени они были
наследниками египтян и вавилонян. С одной стороны, благо-
даря деятельности ренетов уменьшилась значимость идеи до-
казательства, а с другой стороны, они культивировали тради-
цию засекречивания знаний, в отличие от греков-постпифаго-
рейцев, публиковавших свои результаты подобно тому, как это
делается сегодня.
Итак, мы провели краткий обзор истории математики, что-
бы исследовать природу доказательства согласно различным
математическим традициям, от Пифагора до Возрождения.
Данные традиции колеблются между секретностью и открыто-
стью, строгостью и прагматизмом. Именно в этой питательной
среде противоположных тенденций Ферма занимался своей
работой. Французский математик и юрист жил в эпоху, когда
закладывались основы современной математики: она во мно-
ТЕОРЕМА, КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
27
гом базировалась на древних традициях, но в то же время пред-
ставляла нечто абсолютно новое, и Ферма сыграл немалую
роль в зарождении этой науки.
Следует указать, что вся научная деятельность, как со сто-
роны новых наследников греческой математики, так и со сто-
роны ренетов, происходила практически полностью за преде-
лами устаревших университетских заведений того времени,
погруженных в тяжелую средневековую традицию. В этих уни-
верситетах даже не существовало, собственно, кафедр матема-
тики. Не было ни профессоров, ни четкого списка дисциплин,
которые должен был посещать каждый студент.
Сегодня для того чтобы стать математиком, нужно пройти
несколько курсов и дисциплин, а также заниматься научной
деятельностью под контролем компетентного руководителя.
Ничего подобного не существовало в XVI и XVII веках. Один
из самых великих историков математики, шотландец Эрик
Темпл Белл (1883-1960), назвал Ферма «принцем любителей»,
но дело в том, что в то время все были в той или иной степени
любителями. Немногие математики добивались финансирова-
ния своих исследований меценатами: большинство занимались
другим делом и посвящали науке свое свободное время.
ЛИЧНАЯ И ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЖИЗНЬ ФЕРМА
Так мы дошли до первого года XVII века. Пьер де Ферма родил-
ся 20 августа 1601 года. Его отец Доминик был процветающим
торговцем, кожевником из Бомон-де-Ломани, поселка недале-
ко от Тулузы. Ферма чувствовал себя немного иностранцем,
потому что в то время исторический центр Франции находил-
ся на севере и существовало недоверие к «гасконцам» — юж-
ным людям, таким как знаменитый д’Артаньян. Француз Рене
Декарт (1596-1650), родившийся тоже во Франции, в Турени,
использовал южное происхождение Ферма в качестве оскор-
бления своего соперника в математике. Ферма же, наоборот,
озвучивал его с гордостью.
28
ТЕОРЕМА, КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
Его мать, Клер, относилась к тем, кого в дореволюционной
Франции называли «дворянством мантии». Очень примечате-
лен тот факт, что Ферма посвятил себя судейской должности:
деньги отца-буржуа и связи семьи матери прочили молодому
Пьеру карьеру адвоката.
Очень мало известно о его личной жизни в целом и еще
меньше — о его детстве и отрочестве. У него был брат, Кле-
ман, который также посвятил себя адвокатской деятельности,
и две сестры, Луиза и Мария. Все указывает на то, что детство
и юношеские годы Ферма спокойно протекали в Бомоне, где,
возможно, он получил образование у монахов-кордельеров
из монастыря Грансельв.
Пьер начал изучать право в университете Тулузы до пе-
реезда в Бордо во второй половине 1620-х. Очень вероятно,
что его математическое образование началось в Бордо, хотя
не осталось никаких свидетельств того, предшествовал ли его
интерес к этой дисциплине переезду в новый город, причины
которого неясны. Есть мнение, будто Ферма выбрал Бордо
именно для того, чтобы изучать математику, воспользовавшись
чем-то вроде академического отпуска: он отошел от права для
занятий тем, что было его страстью в течение всей жизни. По-
скольку в этом городе было намного больше возможностей для
изучения данной науки, чем в Тулузе, такое объяснение нельзя
отбрасывать.
В Бордо занимался математическими исследованиями
Франсуа Виет (1540-1603), также известный под своим ла-
тинизированным именем Францискус Виета. У нас будет
возможность более глубоко исследовать его работу, но пока
достаточно сказать, что он стал основателем символической
алгебры. Его труды имели огромную важность, но, возможно,
по географическим причинам, из-за отдаленности провинци-
ального города от центра Франции, а также из-за отсутствия
средств обмена научной информацией в то время, когда Ферма
жил в Бордо, революционная работа Виета была практически
неизвестна вне кружка его прямых учеников.
Ферма не встречался с Виетом, ушедшим из жизни, ког-
да ему исполнилось два года, но познакомился с одним из его
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
29
учеников, Жаном де Бограном (ок. 1584-1640), который был
его другом и коллегой до самой смерти. Дело в том, что уже
в 1629 году, в возрасте 28 лет, Ферма впервые продемонстри-
ровал свой математический талант, послав Бограну экземпляр
своей реконструкции потерянной работы греческого геоме-
тра Аполлония Пергского (ок. 262-190 до н. э.) De locis planis,
то есть <0 плоских геометрических местах*. Значительная часть
деятельности математиков XVI и XVII веков заключалась в по-
пытках восстановить потерянные античные работы, основыва-
ясь на упоминаниях других математиков. Одним из главных
источников были труды Паппа Александрийского (290-350),
жившего через несколько веков после большинства математи-
ков, о которых он писал. Действительно, Папп опубликовал око-
ло 400 теорем, взятых из работ классиков, которые он еще мог
прочесть. И хотя не все их работы дожили до Возрождения, по-
терянные при поджоге Александрийской библиотеки и других
подобных обстоятельствах, по крайней мере оставались эти не-
большие обломки, отдельные камни, оставленные Паппом, спо-
собные в некоторой степени дать представление обо всей славе
математических зданий античности.
После обучения в Бордо Ферма поступил в университет
Орлеана. Там он в 1631 году получил степень лиценциата граж-
данского права, после чего, как было принято в то время, выку-
пил пост советника парламента Тулузы у вдовы предыдущего
владельца этой должности, Пьера де Каррьера. Как следствие,
благодаря своей мантии Ферма получил дворянство, которое
позволило ему добавлять частицу «де> к своему имени: Пьер де
Ферма. Кстати, то, что Ферма смог внести значительную сум-
му за должность (43500 фунтов), доказывает: его финансовое
положение было весьма неплохим, каковым оно и оставалось
в течение всей его жизни.
В дореволюционной Франции парламенты играли значи-
тельную политическую роль в качестве противовесов королю,
который пытался насадить абсолютную власть. В частности,
парламент Тулузы был королевской привилегией населению,
которое жаловалось на удаленность от Парижа и на то, что осо-
бенности местного права в Лангедоке игнорируются в столице.
зо
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
ВВЕРХУ:
Пьер де Ферма
начал изучать
право
в университете
Тулузы
и, проведя шесть
лет в Бордо,
во второй
половине
1620-х годов,
окончил
изучение права
в университете
Орлеана
в 1631 году.
ВНИЗУ:
Знаменитая
фраза,
записанная
Ферма на полях
страницы
экземпляра
•Арифметики»
Диофанта,
в которой после
изложения
теоремы
греческого
математика
можно было
прочесть: •[...]
я нашел этому
поистине
чудесное
доказательство,
но поля здесь
слишком узки,
чтобы записать
его*. Речь шла
о Великой
теореме Ферма.
OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT.
ite nentinh rjl diiihrt ciiki rti hmt/tjfunntii xhTtbiltei fene ietoxi*
Нлж	яч ctfcrtt.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
31
Следует вспомнить бурную эпоху, в которой жил Ферма.
Это были времена Людовика XIII, слабого и своенравного,
и его властного министра, кардинала Ришелье. Не так много
времени прошло с тех пор, как был убит король Генрих IV, гу-
генот, который обратился в католичество, потому что, по его
словам, «Париж стоил мессы»; тогда Пьер был восьмилетним
ребенком. Суровые религиозные войны между католиками
и протестантами, закончившиеся вскоре после принятия Нант-
ского эдикта (1598), провозгласившего терпимость к обоим ве-
роисповеданиям, также были недавним прошлым. На самом
деле Ришелье все еще воевал с протестантами в Ла-Рошели,
не очень далеко от Бордо (данный эпизод описан Дюма в *Трех
мушкетерах*). Кстати, в этой осаде участвовал и Рене Декарт.
Кроме того, на жизнь Ферма пришлись Тридцатилетняя вой-
на (один из самых драматичных эпизодов в истории Европы,
который по жестокости и страданиям гражданского населе-
ния может сравниться только с двумя мировыми войнами)
и Фронда (восстания против Мазарини, когда деспотизм ре-
гентши Людовика XIV столкнул ее с парламентами и с частью
провинциального дворянства).
Однако жизнь Ферма можно назвать спокойной. Он
жил в эпоху великих событий, но политически не участвовал
ни в одном из них. Нам даже не известны его политические
взгляды. Через несколько месяцев после окончания универси-
тета Ферма женился на троюродной сестре со стороны матери,
Луизе де Лонг. У четы было пятеро детей: Клеман-Самюэль,
Жан, Клер, Катрин и Луиза. Первенец унаследовал должность
отца и затем передал ее по наследству своему сыну. Жан стал
архидьяконом, Клер вышла замуж и родила двух дочерей, став-
ших монахинями. Больше почти ничего не известно, но эти на-
броски позволяют нам представить размеренную буржуазную
жизнь, без чрезмерных беспокойств, что удивительно с учетом
бурной политической истории эпохи. Похоже, общественные
потрясения почти не коснулись Ферма, несмотря на то что
в течение своей судебной карьеры он занимал очень важные
должности, которые, благодаря исторической оппозиции пар-
ламента Тулузы центральной власти, почти обязательно долж-
32
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
ны были поместить его в центр сложных политических кон-
фликтов.
Парламенты были судебными, а не законодательными
органами. Их отменили во время Французской революции,
но в свое время они были большим противовесом королевско-
му абсолютизму. Следовательно, в течение всей своей профес-
сиональной карьеры Ферма не только занимался правосудием,
но также выступал посредником между противоположными
политическими интересами. В частности, в Нантском эдикте
было распоряжение об основании палат, в которых были бы
представлены и защищаемы права обеих конфессий — католи-
ческой и гугенотской.
В Кастре, городе недалеко от Тулузы, бастионе протестан-
тов, Ферма был членом одной из этих палат с 1632 года, когда
ему исполнился 31 год. Можно предположить существование
здесь значительных конфликтов, но ничего подобного не вид-
но по переписке Ферма, а она является практически единствен-
ным источником информации о его жизни. Некоторые биогра-
фы усматривают в этом неприятие им полемик и столкнове-
ний, а также, возможно, причину его увлечения математикой,
которое отнимало у него много времени: наука помогала Фер-
ма избегать конфликтов и противоречий его профессиональ-
ной жизни.
Действительно, мало в каких областях знания может быть
столько уверенности и так невелико пространство для сомне-
ний, как в математике. Есть глубокая ирония в том, что Ферма
как раз жил в ту эпоху, когда из-за молодости этой дисциплины
дебаты по ее поводу происходили на каждом шагу, а поскольку
он был одним из самых ярких мыслителей века, то был неиз-
бежно втянут в них, что было ему крайне неприятно.
Возвращаясь к описанию фактов из жизни ученого, отме-
тим, что он всю жизнь поддерживал тесную связь со своим род-
ным городом, Бомоном, в котором Ферма несколько раз был
председателем Генерального совета. Однако представляется
очевидным, что он мало путешествовал, проводя время между
Тулузой, Кастром и Бомоном с редкими поездками в Бордо.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
33
Кроме своих знакомых в Бордо, некоторых математи-
ков из Тулузы и англичанина Кенельма Дигби, Ферма лично
не был знаком почти ни с кем из своих коллег: практически все
его общение с ними осуществлялось по переписке. Его жизнь
в сравнении с бурной жизнью его соперника Декарта, кото-
рый участвовал в Тридцатилетней войне, объехал пол-Европы
и побывал при различных дворах, казалась мирной, буржуаз-
ной и провинциальной. Математика была для него секретным
убежищем, когда, уставший от политических конфронтаций
и грустных приговоров, Ферма скрывался у себя дома, чтобы
почитать, поразмышлять, создавая новые миры и иногда сооб-
щая о них своим корреспондентам.
Действительно, ученый писал сотни писем, в которых де-
тально раскрывал свои открытия, бросал вызов противникам
или ввязывался в полемику. Главным его корреспондентом был
монах ордена минимов Марен Мерсенн (1588-1648), страст-
ный поклонник математики: благодаря ей он переписывался
с большинством мыслителей того времени.
Тогда еще не было научных журналов, и их заменял Мер-
сенн, который был чем-то вроде эпистолярного центра, полу-
чавшего результаты от одних ученых и сообщавшего их дру-
гим. Хотя личный математический талант Мерсенна никогда
не был выдающимся, его огромная заслуга состояла в способ-
ности понять, кто из его современников является великим уче-
ным и какова важность его результатов. Кроме того, безуслов-
но, очень ценными были созданные им «мосты», связывающие
более или менее изолированных друг от друга любителей. Без
Мерсенна Ферма остался бы никому не известной личностью,
находившей отдых в математике в одиночестве своего каби-
нета. Однако именно благодаря монаху, который поделился
его открытиями, математическая слава Ферма распространи-
лась по всей Европе. Мерсенн жил в Париже и тесно общался
с группой парижских математиков, среди которых выделялся
Этьен Паскаль, отец Блеза. Участники этой группы сначала со-
бирались в доме у кого-нибудь из них, а затем в келье самого
Мерсенна, имевшего к тому времени уже 180 корреспондентов,
живущих по всей Европе.
34
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
Мерсенн обожал полемику и наслаждался, сталкивая сво-
их корреспондентов и участников группы между собой. Он
твердо верил в то, что с помощью данного метода выявляется
истина. Часто монах даже без разрешения делился с другими
корреспондентами письмами, которые ему присылали конфи-
денциально, что вызывало немало недовольства. Для Мерсен-
на важнее верности и доверия своих корреспондентов было
то, чтобы математические идеи распространялись публично
и пылко отстаивались. Это убеждение стоило ему дружбы
с Декартом. Впоследствии Французская академия наук была
создана на основе данной группы ученых, объединившихся во-
круг Мерсенна.
Марен Мерсенн познакомился с Ферма через друга по-
следнего, Пьера де Каркави. Об этом сообщает сам Каркави
в первом послании, которое он отправил Мерсенну 26 апреля
1636 года, начав тем самым плодотворную переписку. Карка-
ви тоже был математиком-любителем. Он переехал в Париж
из Тулузы в качестве королевского библиотекаря и не упустил
возможности поговорить с деятельным монахом о математи-
ческом гении Ферма. В любом случае Ферма виделся с Мер-
сенном лично только один раз — в Бордо в 1654 году, когда
тот возвращался в Париж после долгой поездки по Европе.
Похоже, так протекала вся жизнь Ферма — между судейской
должностью, позволявшей ему зарабатывать на хлеб своей
семье, и тайной страстью к науке, которая сжигала его, когда
ему не нужно было носить мантию. Можно сказать, что ученый
обеспечивал свою жизнь с помощью права и зарабатывал бес-
смертие с помощью математики.
Насколько известно, Ферма серьезно болел только во вре-
мя чумы 1652-1653 годов. Его положение было настолько кри-
тичным, что один из друзей ученого, Бернар Медон, объявил
о его смерти своему голландскому корреспонденту Николасу
Хейнсиусу. Через некоторое время Медон опроверг сам себя
и сообщил Хейнсиусу счастливую новость о том, что Ферма
все еще пребывает в числе живых. Любопытно, но чума даже
помогла его карьере. Поскольку рост в судебной системе опре-
делялся строгой шкалой должностей, смерть многих юристов
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
35
в эти мрачные годы быстро подняла Ферма в списке, так что
он стал судьей высшего суда парламента, который рассматри-
вал уголовные дела. В этой должности ему однажды пришлось
приговорить к сожжению изгнанного священника, «злоупо-
треблявшего своими полномочиями», что привело его к силь-
нейшей депрессии, которая несколько недель мешала ему за-
ниматься математикой.
Другой стороной деятельности Ферма, связанной с его
профессией, был прием ходатайств подданных Короны,
не имевших право действовать напрямую; они должны были
проходить через такого советника, как Ферма, которого им
нужно было убедить в целесообразности своего ходатайства.
Согласно некоторым источникам, ученый выполнял эту функ-
цию с сочувствием и добротой.
У нас есть достоверное свидетельство того, что ученый
являлся представителем парламента Тулузы по связям с могу-
щественным канцлером Пьером Сегье. Пост канцлера был од-
ним из самых значимых во Франции, сегодня он соответствует
посту министра юстиции. В частной петиции Ферма просил
Сегье, чтобы жителей Аквитании освободили от уплаты неко-
его налога, поскольку, согласно аргументам ученого, любая по-
пытка собрать его силой неизбежно приведет к нежелательным
гражданским волнениям.
Как бы то ни было, создается впечатление, что карьера
парламентария никогда не представляла для Ферма большого
интереса. Сам он при случае признавался Мерсенну в своих
опасениях, что особого назначения, запрошенного им у Сегье,
не будет из-за провала его «деятельности в Кастре», о которой
нет других сведений. Несколькими годами позже управляю-
щий Лангедоком написал отчет знаменитому министру Жа-
ну-Батисту Кольберу, высказывая свое мнение о президенте
парламента, прямом руководителе Ферма, и о его советниках.
Он отозвался о главном герое этой книги как о судье не очень
лестно:
«Ферма, человек большой эрудиции, имеет контакты с учеными
по всему миру. Но он обычно очень занят (своей эрудицией]; он
36
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
нехорошо ведет свои дела и часто путается. Он не входит в число
друзей президента».
Таким образом, Ферма предстает перед нами как сдер-
жанный, почти застенчивый человек. Он был склонен к ком-
промиссам до такой степени, что, с одной стороны, находился
на высочайшей должности в учреждении, открыто противосто-
явшем Короне, а с другой — имел хорошие отношения с коро-
левским двором.
ЛИЧНОСТЬ ФЕРМА КАК МАТЕМАТИКА
Черты замкнутого характера Ферма решительно повлияли
на его научную карьеру. Как рассказывает один из главных его
биографов, Майкл Шон Махони, его математическая перепи-
ска лишена самовлюбленности, которая характеризует Рене
Декарта или Джона Уоллиса. Мерсенну он признавался, что
не ищет славы и «лишен амбиций». Возможно, это было не со-
всем так. Ясно, что Ферма гордился своей карьерой в судебном
деле и высокими постами, до которых он дослужился; точно
так же он ожидал признания и за свой вклад в математику. Тем
не менее его амбиции были в каком-то смысле скромными.
Ферма было достаточно признания своих коллег, а не славы
среди широкой публики: когда он не получил этого признания,
то отреагировал довольно болезненно, разочарованный безраз-
личием и враждебностью некоторых своих современников.
Данная особенность его личности («самый ленивый из лю-
дей» — говорит он Мерсенну о себе), возможно, объясняет, по-
чему Ферма никогда в жизни не публиковался под своим име-
нем и почему он, насколько это было возможно, избегал того,
чтобы приводить доказательства результатов, о которых объ-
являл в своей переписке.
Традиция секретности в математике зародилась еще в пи-
фагорейской школе; но если у подобной закрытости в антич-
ности имелись мистические корни, то реисты продолжили ее
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
37
из прагматических соображений. Это был эквивалент совре-
менной защиты авторских прав.
Со своей стороны Мерсенн боролся именно против такой
секретности, пересылая письма, которые были адресованы ему.
Твердо убежденный в том, что только дебаты вызовут про-
гресс в математике, монах ордена минимов в Париже заложил
эту новую традицию, пытаясь убедить своих корреспондентов
в необходимости открывать свои тайны. Но несмотря на дар
убеждения, ему так и не удалось уговорить Ферма опублико-
вать официальную работу. Мерсенна и членов его кружка Фер-
ма, должно быть, сводил с ума: блестящий математик, он вы-
давал результаты по капле, не приводя в большинстве случаев
доказательств своих теорем.
Несколько раз Ферма пользовался этой секретностью, ко-
торой так дорожили реисты, и бросал вызов соперникам, пред-
лагая им решить задачу, которую он сам уже решил. Подобный
вид игр и загадок, казалось, доставлял ему большое удоволь-
ствие, особенно когда, как случалось не единожды, соперниче-
ство превращалось в откровенную вражду. Итак, Ферма огра-
ничивался тем, что частично объяснял свои идеи в письмах, ко-
торые посылал главным образом Мерсенну, и иногда делился
докладами и маленькими рукописными трактатами. При жиз-
ни была опубликована только одна его книга, в качестве при-
ложения к другой и под псевдонимом. Скрытность математика
разочаровывала многих его друзей. Медон просил Хейнсиуса
воспользоваться своим положением и убедить саму королеву
Швеции Кристину повлиять на Ферма, чтобы тот опублико-
вался. Однако Мерсенн, Жиль де Роберваль, Блез Паскаль
и Христиан Гюйгенс потерпели в этом поражение.
Отказ ученого, возможно, также был вызван огромным ко-
личеством работы, которую потребовало бы строгое формули-
рование результатов. Ферма был человеком с огромной мате-
матической интуицией, и часто собственные небольшие замет-
ки убеждали его в том, что он прав. Превращение этих заметок
в формальное доказательство, согласно стандартам греческой
геометрии, предполагало больший труд, отнимающий много
времени, которым Ферма не хотел жертвовать. Он работал для
38
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
себя; его доказательства, частичные или полные, предназнача-
лись для личного пользования. Подобно шахматисту, угадыва-
ющему, как сделать мат в пять ходов, Ферма в доказательстве
доходил только до того места, которое считал необходимым.
Его заметки были просто напоминаниями для самого себя,
ключами, благодаря которым перед ним снова представала
идея, возникшая как раз перед тем, как он ее вкратце записал.
Но есть и другая причина, о которой мы поговорим поз-
же, когда расскажем о том, как Ферма развил наследие Виета.
Как бы то ни было, убеждение остальных в правильности сво-
их результатов не входило в круг его интересов. Ученый ду-
мал, что другие смогут воспроизвести его рассуждения, а если
не смогут — тем хуже для них. В любом случае попытки убеж-
дать были бы, судя по всему, потерей его ограниченного време-
ни: Ферма предпочитал посвятить его поиску новых результа-
тов, а не доказательству того, что и так выглядело очевидным.
[Если возникнет] любая часть моей работы, которая будет
достойна публикации, я отказываюсь от того, чтобы в ней
появлялось мое имя.
Ферма в письме Робервалю, 1637 год
Его собственная профессиональная карьера способствова-
ла такому отношению, поскольку не давала ему достаточно до-
суга для занятий математикой. Так, вся научная жизнь Ферма
характеризуется результатами, о которых он объявлял очень
осторожно, едва намеченными идеями, никогда не доведенны-
ми до завершения, презрением к заполнению пробелов и дета-
лям, а также отсутствием доказательств. Вкратце его методы
можно назвать полнейшей противоположностью тому, чем за-
нимался Евклид с его систематическим и строгим подходом
и выверенными доказательствами, которые имели огромное
значение для поколений математиков. В этом смысле Ферма
был намного ближе к реистской традиции, чем к античной
строгости.
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
39
Все эти записки, наброски и беспорядочные бумаги при-
вел в порядок, систематизировал и опубликовал (по крайней
мере все, что смог найти и осмыслить) его наследник, первенец
Клеман-Самюэль. Он унаследовал не только должности отца,
но и, по крайней мере частично, страсть к математике.
Помимо прочего, в 1670 году сын опубликовал ^Коммен-
тарии к Диофанту», собрав все пометки отца на полях. Имен-
но так до нас дошла знаменитая теорема, которая явно была
просто пометкой, сделанной Ферма для себя самого. Он никог-
да ни с кем не делился ею целиком; единственное оставшееся
свидетельство о ней — заметка на полях, которую Клеман-Са-
мюэль, верный памяти отца, расшифровал и посмертно опу-
бликовал.
Ферма обсуждал частные результаты теоремы; но общая
формулировка, в том виде, в каком она появляется в его слу-
чайной записи, почти точно затерялась бы.
Судьба научной работы иногда зависит от воли некоего
человека, который сочтет, что она важна. И таким волоском
в случае Ферма стала любовь Клемана-Самюэля к своему отцу
и к памяти о нем.
Итак, мы, наконец, пришли к этому полю, на котором Фер-
ма записал свою дьявольскую теорему. «Я нашел, — утверждает
он, — этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь
слишком узки, чтобы записать его».
Любопытно, что в течение веков всегда говорили о Вели-
кой теореме Ферма. В математике любой недоказанный резуль-
тат известен как предположение, или гипотеза. Так, у нас есть
гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха и до недавнего времени
у нас была гипотеза Пуанкаре, которая, после того как была до-
казана, превратилась в теорему Пуанкаре — Перельмана. Дело
в том, что только доказанные результаты заслуживают звания
теоремы.
Но по какой-то причине утверждение Ферма всегда было
известно как теорема; возможно, потому что другие утверж-
дения ученого были постепенно доказаны и оставалось толь-
ко последнее. Следовательно, теореме Ферма понадобилось
350 лет, чтобы оправдать свое название.
40
ТЕОРЕМА. КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЛИ 350 ЛЕТ
ГЛАВА 2
Попытки доказательства
Великой теоремы
В течение 350 лет историки математики безуспешно
задавались вопросом: действительно Ферма доказал
свою теорему или нет? А может, на самом деле он
ошибочно верил в то, что ему это удалось?
Стиль работы французского математика
позволяет предположить все что угодно,
хотя одни версии более вероятны, чем другие.

Математические методы эпохи Ферма были очень похожи
на те, которыми пользуется прилежный ученик в школе. Дру-
гими словами, человечеству понадобилось около 2500 лет
на то, чтобы приобрести знания, доступные сейчас выпускнику
школы. И наоборот, с тех пор научные понятия усложнились
настолько, что неспециалисты уже не в состоянии их понять.
Математики, которой пользовался Уайлс для доказатель-
ства Последней теоремы Ферма, не существовало во времена
французского ученого. На самом деле большая ее часть была
создана только в XX веке. Поэтому чрезвычайно сложно пове-
рить в то, что у Ферма было доказательство его теоремы, кото-
рое не смогли получить самые лучшие мировые математиче-
ские умы в течение 350 лет.
Наиболее вероятно, что Ферма доказал некоторые частные
случаи. В замечании 45 к трактату Диофанта отмечается, что
он доказал ее для случая п - 4. То есть не существует таких на-
туральных чисел х, у и z, что х* + у* - z*.
Возможно, Ферма также доказал случай п - 3. По крайней
мере, он ссылался на это в своей переписке как на доказанный
результат, точно так же, как и п - 4. Вероятно, на основе этих
двух случаев математик решил, что обобщение сделать очень
просто.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
43
Ферма ошибался уже не в первый раз. Он также утверждал,
что 22Р +1 — всегда простое число (делится только на само себя
и на единицу), если р — простое. Великий швейцарский мате-
матик Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что это не так: при
р " 5 утверждение Ферма ложно, поскольку полученное число
делится на 641.
Так что Ферма иногда делал неправильные выводы, слиш-
ком доверяя интуиции и своим неполным доказательствам.
Есть основания думать, что его предполагаемое доказательство
Последней теоремы существовало только в его воображении
и что отсутствие строгости привело его к очень смелому ут-
верждению на основе пары отдельных случаев... к утвержде-
нию, которым, с другой стороны, насколько известно, он не со-
бирался делиться со всеми.
В любом случае, следует отметить, что Великая теорема —
это просто любопытное явление, практически мелочь, а не одна
из основ математической революции. По сравнению с другими
результатами, которые на сегодняшний день так и не доказаны,
такими как гипотеза Римана, математическое значение теоре-
мы ослабевает; после ее доказательства не было создано нового
и плодородного поля математических исследований. Матема-
тики измеряют значимость результата с учетом новой матема-
тики, которую этот результат порождает после его доказатель-
ства. Дело в том, что Последняя теорема сама по себе ни к чему
особенному не ведет.
Однако усилия, потраченные на ее доказательство в тече-
ние 350 лет, способствовали развитию важнейших математиче-
ских теорий. В этом и заключается парадокс данной теоремы:
в некотором смысле она представляет собой незначительный
результат, замечание, подходящее для поля книги, где она была
записана; но огромная сложность доказательства и интерес,
который оно вызывало в течение веков, привели к созданию
сложных теорий, применение и развитие которых оказались
крайне значимыми.
Преподаватели, упомянутые нами ранее, очевидно, гово-
рили своим ученикам: «Хоть бы она никогда не была доказа-
на». Потому что математические методы и теории, которые
44
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
были порождены попытками доказательства, оказались важнее
самой теоремы, и мы надеемся, что благодаря этим попыткам
появятся новые теории.
Конечно, вероятна и другая версия истории, согласно ко-
торой Ферма, как он это иногда делал, играл со своими совре-
менниками, бросая им вызов и провоцируя на поиск доказа-
тельства того, в чем сам не был уверен; однако свой результат
он не опубликовал, и этот факт выступает против данной ги-
потезы. Кроме того, как уже было сказано, очень трудно себе
представить, что Ферма действительно обладал общим дока-
зательством теоремы. Либо самые блестящие математики по-
следних 350 лет были слепцами, либо необходимого математи-
ческого аппарата для доказательства во времена Ферма просто
не существовало. Второе намного более вероятно.
Нерешенная проблема — как стена. Математики, которые
подступаются к ней, должны обладать соответствующим арсе-
налом, чтобы снести ее. Некоторые задачи просто нельзя раз-
бить с помощью примитивного «оружия*. Точно так же, как
римская катапульта была бы абсолютно бесполезна против со-
временного авианосца, некоторые математические инструмен-
ты не годятся для решения определенных проблем, и ученым
приходится ломать себе голову, изобретая новые стратегии
атаки и новое вооружение. Современная история математи-
ки — это в значительной мере история изобретения более со-
вершенного арсенала.
У Ферма было такое оружие, о котором одно или два пре-
дыдущих поколения даже не мечтали; но его было недостаточ-
но, чтобы решить его задачу. С другой стороны, вполне вероят-
но, что он этого не знал. Возможно, тулузский юрист был осле-
плен блеском стали того арсенала, который изобрел его выдаю-
щийся предшественник Виет, а также он сам, и не подозревал,
что не все стены разрушаются под его ударами. Девизом Виета
была фраза: Nullum поп problema solver ( « Нет проблем без реше-
ний*). Сегодня оптимизм ученого можно назвать чрезмерным,
но тогда никто этого не знал.
Математики используют в своих доказательствах не мень-
шее количество стратегий, чем полководцы в битве, а возможно,
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
45
даже и большее. Во времена Ферма число стратегий значи-
тельно увеличилось с изобретением символической алгебры;
одну из тех, что использовал Ферма, изобрел он сам: метод бес-
конечного спуска, который происходит из доказательства
от противного. В общих словах данный метод заключается
в том, чтобы принять за гипотезу тезис, противоречащий тео-
реме, которую мы хотим доказать, и искать свойство, справед-
ливое для заданного числа п. Затем доказывается, что если
данное свойство справедливо для числа п, оно также справед-
ливо для числа меньше п, как правило п - 1.
Но здесь возникает проблема! Если это так, то существует
бесконечная последовательность натуральных чисел, каждый
раз все меньших, а мы знаем, что это не так. Самое маленькое
натуральное число равно 1. Таким образом, у нас есть противо-
речие, из которого следует, что наша гипотеза ошибочна.
Так Ферма доказал, что его знаменитая теорема истинна
по крайней мере для частного случая, при п - 4, в записи, ко-
торая почти поместилась на другом поле той же самой ^Ариф-
метики^ Диофанта. И мы говорим «почти», потому что Ферма
опустил, как обычно, некоторые этапы доказательства.
Мало что еще можно сказать о работе Ферма над доказа-
тельством его легендарной теоремы, поскольку он практически
больше ничего не оставил на эту тему; зато мы можем просле-
дить ее судьбу в течение тех 350 лет, которые Ферма не мог
увидеть.
ОТ ЭЙЛЕРА ДО СОФИ ЖЕРМЕН
Как уже было сказано, Великая теорема Ферма стала известна
после его смерти. С другой стороны, теория чисел, над которой
работал математик, не имела большого успеха среди его совре-
менников, так как они больше интересовались другими мате-
матическими проблемами того времени. Поэтому публикация
комментариев Ферма к «Арифметике* Диофанта не имела
большого резонанса. Ученые того времени не понимали его
46
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Швейцарский ученый Леонард Эйлер
(1707-1783) был знаковой фигурой
в математике XVIII века. Его работы по-
священы практически всем областям
математики, существовавшим в тот
момент, а также разнообразным про-
блемам физики и ряда других наук.
Эйлер занимал выдающиеся должно-
сти в академиях наук России и Пруссии
во время правления Екатерины Вели-
кой и Фридриха II, где он общался
на равных с королями и мыслителями
уровня Вольтера. Ученый был одногла-
зым и в конце концов полностью по-
терял зрение, но это не помешало ему
каждую неделю писать по статье.
У него была чудесная память, которая
позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать
наизусть •Энеиду» от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екате-
рине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера
унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:
— - х, следовательно, Бог существует. Отвечайте!
п
Дидро не знал, что ответить. Однако некоторые историки сомневаются
в истинности этой истории. Также Эйлеру принадлежит одна из самых кра-
сивых формул в математике: е* + 1 = О.
увлеченности этими «бессмысленными» задачками, которые
казались больше похожими на загадки и головоломки, чем
на важные математические проблемы.
Однако прусский математик Христиан Гольдбах (1690—
1764; что любопытно, он знаменит благодаря своей до сих пор
не доказанной гипотезе, не сильно отличающейся от задач, ко-
торыми занимался Ферма) начал изучать работы Ферма и при-
влек к ним внимание самого великого математика своего
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
47
времени. Этим математиком, родившимся примерно через
40 лет после смерти Ферма, был Леонард Эйлер.
Итак, любопытство Эйлера было разбужено комментари-
ями Гольдбаха, и швейцарец начал анализировать работы
Ферма. Среди прочего он доказал: тот ошибся, утверждая, что
числа, известные как «числа Ферма», всегда простые. Также
Эйлер изучал Великую теорему Ферма. И хотя он не смог до-
казать ее для общего случая, ему удалось доказать ее для п - 3.
Так что на тот момент, когда Эйлер оставил данную тему, было
доказано два случая... или на самом деле бесконечное их число,
СОФИ ЖЕРМЕН
Как и все женщины-ученые, жившие
до XX века, парижский математик
Софи Жермен (1776-1831) столкну-
лась со множеством проблем в своей
научной карьере. Она не получила офи-
циального образования и пользова-
лась для учебы записками Политехни-
ческой школы. Софи также
переписывалась с великими матема-
тиками своего времени, такими как
Жозеф Луи Лагранж, Адриен Мари Ле-
жандр и Гаусс, выдавая себя за неко-
его «господина Леблана». Гаусс узнал
правду о ее личности при самых любо-
пытных обстоятельствах, которые толь-
ко можно себе представить. Когда на-
полеоновские войска заняли
территорию Германии, где жил Гаусс,
Жермен испугалась за жизнь своего
корреспондента, вспомнив пример Ар-
химеда, и написала генералу Пернети,
другу ее семьи, попросив его защитить
гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи.
Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых
предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком,
обладающим «благородной смелостью, необычайным талантом и наивыс-
шей гениальностью», чтобы победить все препятствия.
48
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
поскольку если доказать теорему для п - 3, результат также
справедлив для всех чисел, кратных 3, то есть для последова-
тельности 6, 9, 12, 15... Так происходит потому, что любая сте-
пень, кратная трем, может быть записана в виде числа в кубе.
Например, 46 - 163. Кстати, доказательство самого Ферма для
п - 4 справедливо также для чисел, кратных 4.
Если бы мы могли доказать теорему для простых чисел,
поскольку любое число кратно простым числам, мы бы до-
казали ее в целом. Однако, к сожалению, доказательство для
п - 5 оказалось гораздо сложнее, чем представлял себе Ферма.
В любом случае, тот факт, что Эйлер заинтересовался работа-
ми Ферма, вызвал интерес к теории чисел. Благодаря Эйлеру
и Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) данная дисциплина
превратилась в уважаемую математическую теорию, как этого
и хотел Ферма.
Гаусс отзывался о Великой теореме Ферма достаточно пре-
зрительно и считал работу над ней потерей времени. Возмож-
но, он и сам пытался решить когда-то эту задачу, но, потерпев
неудачу и разочаровавшись, повел себя подобно лисе из басни
про лису и виноград. Но другие математики его времени по-
дошли к задаче очень серьезно. Например, Софи Жермен от-
крыла, что для простых чисел, теперь носящих ее имя (числа р,
где р — простое число, и Р - 2р + 1 также простое), с учетом
некоторых требований, которым должны соответствовать Р и р
(в частности, что р не является делителем произведения трех
неизвестных — х, у, z — из уравнения Ферма), теорема Ферма
верна для п - р. С помощью этого подхода Жермен удалось до-
казать теорему Ферма для всех простых чисел, меньших 100.
К сожалению, ее работа не была опубликована при жизни.
Адриену Мари Лежандру и Густаву Лежёну Дирихле
удалось доказать теорему для п ” 5. При этом они использо-
вали математические инструменты, которых не существовало
в XVII веке, такие как теория квадратичных форм. Доказатель-
ство теоремы является относительно простым для п - 3 и п - 4,
но оно становится гораздо сложнее начиная с п - 5 и недоступ-
но обычным методам начиная с л - 23.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
49
В любом случае, Софи Жермен была первой, кто попытал-
ся найти решение для целого класса чисел, а не для частных
случаев; также она открыла новые подходы к решению задачи,
которыми продолжали пользоваться в последующие годы.
ЛАМЕ, КОШИ И КУММЕР
В следующие десятилетия были предприняты попытки Габрие-
ля Ламе (1795-1870) и Огюстена Луи Коши (1789-1857) дока-
зать теорему. Ламе удалось найти решение для я - 7, и на бур-
ном заседании Французской академии наук он объявил, что
вот-вот докажет ее для общего случая. Он в общих чертах
обрисовал свою стратегию, которая основывалась на алгебре
комплексных чисел. Но настоящая сенсация произошла, когда
Коши, который был одним из самых значительных математи-
ков своего времени, встал и объявил, что он тоже вот-вот полу-
чит доказательство и его подход очень похож на метод Ламе.
Так началась гонка между этими двумя учеными, которая
была драматично прервана немцем Эрнстом Куммером (1810-
1893), публично заявившим, что подход Коши и Ламе неверен.
Куммер справедливо утверждал, что они оба совершили роко-
вую ошибку, когда предположили, будто комплексные числа,
которыми они пользовались, имеют единственное разложение
на множители.
После этого попытки Коши и Ламе провалились, в то вре-
мя как Куммер продолжил исследования и в итоге создал но-
вую математическую теорию, чтобы попытаться доказать Ве-
ликую теорему Ферма. Данное исследование подтолкнуло его
к изучению разложения на множители, на которое опирались
французы, и это, в свою очередь, привело его к формулиров-
ке принципов того, что сегодня известно как теория идеалов.
Инструменты для доказательства становились все более слож-
ными...
Однако Куммер пошел еще дальше. Пользуясь еще более
продвинутыми математическими методами, он нашел условия,
которые делали возможным единственное разложение на мно-
50
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
ПОДРОБНЕЕ О ПОДХОДЕ ЛАМЕ-КОШИ И ПОПРАВКЕ КУММЕРА
Подход Габриеля Ламе и Огюстена Луи Коши заключался в том, чтобы по-
пытаться разложить на множители левый член уравнения Ферма в следу-
ющем виде: хп + уп - (х + у)(х + gy)...(x ♦ g	где х и у — обычные целые
числа, ад — числа, которые известны как алгебраические целые числа.
Последние, несмотоя на свое название,— комплексные числа (числа вида
а + Ь/, где i равен 7-1), появляющиеся в виде корней некоторого типа мно-
гочленов. Важно то, что если это разложение на множители является един-
ственным, можно доказать, что нет решений для уравнения Ферма, то есть
Последняя теорема истинна. Ламе и Коши открыли новый фронт: исполь-
зование комплексных чисел в степени. Но Куммер доказал, что такое раз-
ложение на множители в целом невозможно. На основе этого он пытался
найти условия, при которых можно было бы его осуществить, что привело
его к изучению так называемых циклотомических полей. Они являются
продолжением рациональных, полученных прибавлением одного из чисел
из предыдущего уравнения. Куммер впервые применил теорию групп
к теории чисел. На основе этого немецкому математику удалось доказать,
что существуют некие простые числа, которые не являются делителем чис-
ла, называемого числом класса идеалов, что служит характеристикой вы-
шеупомянутого продолжения. Такие простые числа называются регуляр-
ными простыми числами.
жители. На основе этого он доказал, что существуют некие про-
стые числа, называемые регулярными, для которых Последняя
теорема Ферма выполняется. Куммеру удалось доказать тео-
рему для огромного числа случаев (возможно, бесконечного,
хотя не было доказано, что число регулярных простых чисел
бесконечно). На самом деле ему удалось доказать ее для всех
случаев меньше 100, кроме 37,59 и 67, являющихся иррегуляр-
ными простыми числами.
Работа Куммера также была основополагающей для после-
дующего обобщения его понятия идеальных чисел немецким
математиком Рихардом Дедекиндом (1831-1916) при создании
теории идеалов. Идеал, например, — это множество четных
чисел, или кратных трем, однако существуют идеалы, не явля-
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
51
ющиеся числами, несмотря на то что к ним применимы близкие
им понятия, такие как разложение на простые множители.
ФАЛЬТИНГС И ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОИСК КОНТРПРИМЕРОВ
После смерти Куммера в 1893 году серьезные исследователи
перестали заниматься поисками доказательства теоремы
Ферма. В течение десятилетий эти поиски были уделом мате-
матиков-любителей, которые искали Грааль, обещающий славу
и некое материальное вознаграждение (в начале XX века Пауль
Вольфскель установил премию в 100 тыс. марок тому, кто до-
кажет или опровергнет Великую теорему Ферма). Но методы,
используемые этими любителями, были настолько же прими-
тивны, как и методы самого Ферма, что снова и снова обрекало
их на поражение. Изобретение компьютеров позволило начать
поиски контрпримеров. Как известно, достаточно только од-
ного контрпримера (в случае Ферма — найти по крайней мере
одну тройку х, у и z натуральных чисел, для которых выполня-
лось бы равенство при п > 2), чтобы доказать, что теорема лож-
ная. Наоборот, если нужно доказать ее истинность, не хватит
и миллиона примеров.
Компьютеры, каждый раз все более мощные, позволили
доказать в начале 1980-х годов, что Великая теорема истинна
для всех значений п до четырех миллионов. Но этого было не-
достаточно. Хотя большинство математиков было убеждено
в том, что теорема истинна, нельзя утверждать какой-то ре-
зультат, сколько бы положительных случаев его ни подкрепля-
ло. Ярким примером этого может служить гипотеза, которую
сформулировал Эйлер в XVIII веке. В ней утверждалось, что
равенство х* + у* + z* - w* не имеет натуральных решений.
Только в 1988 году, примерно через 200 лет после смерти Эй-
лера, с помощью найденного контрпримера было доказано, что
его гипотеза ложна. У уравнения существует следующее реше-
ние: х - 2682 440, у - 15 365 639, z - 18 796 760, a w - 20 615 673.
52
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Есть некая справедливость в том, что человек, который опро-
верг Ферма с его простыми числами, сам был, в свою очередь,
опровергнут.
Но в 1983 году немецкий исследователь по имени Герд
Фальтингс совершил гигантский прорыв, доказав, что если
и существуют натуральные решения уравнения Ферма, то их
число конечно. Это не доказывало теоремы, в которой говорит-
ся, что число решений равно нулю, но это был значительный
прогресс. Будем осторожны и проясним, что конечное число
решении может быть равно 1010	, так
называемому «числу Скьюза», связанному с распределением
простых чисел. Речь идет о невообразимо большом числе, на-
много большем, чем количество частиц во Вселенной, или даже
большем, чем число возможных взаимодействий между этими
частицами. Годфри Харди назвал его «самым большим числом,
которое когда-либо имело применение в математике».
Метод Фальтингса основывался на дифференциальной
геометрии. Она изучает, в общих чертах, обобщенные кривые
и геометрические поверхности, используя для этого такие ин-
струменты исчисления, как дифференцирование и интегриро-
вание. Группа советских исследователей в 1970-х годах поняла,
что можно связать некоторые проблемы теории чисел, то есть
теории, к которой принадлежит теорема Ферма, с некоторыми
проблемами дифференциальной геометрии. Эти исследовате-
ли построили мост между двумя островами, очень далекими
друг от друга, соединяя специалистов, ранее не взаимодейство-
вавших между собой.
Фальтингс связал уравнение Ферма (.х* + у" ~ z") с различ-
ными поверхностями в области дифференциальной геометрии,
по одной для каждого значения п. Такие поверхности похожи
на бублики, только вместо одной дырки в центре у них много
дыр. Чем больше л, тем больше дыр. Фальтингс связал возмож-
ность существования более чем одной дыры с тем фактом, что
у соответствующего уравнения Ферма есть конечное число ре-
шений. Это был большой шаг, но все еще недостаточный.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
53
ГИПОТЕЗА ТАНИЯМЫ — СИМУРЫ
Возвращаясь к Великой теореме, никто не представлял себе,
какие сюрпризы она может преподнести. Если математик эпо-
хи Ферма работал с близкими нам элементами, такими как
круги или простые числа, то исследователи последующих эпох
стали создавать каждый раз все более любопытные элементы
и пытались понять законы, которые регулируют их поведение.
В этом месте повествования важно не расстраиваться, если
не удастся понять сложных математических теорий, которые
используются для того, чтобы «снести стену*. Никакой неспе-
циалист не может точно понять их. На самом деле только про-
фессиональный ученый способен детально рассмотреть эти
Эллиптические
кривые для
с«0
и различных
значений а и Ь.
54
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
аргументы. Как бы то ни было, математики создали теорию,
устанавливающую определенное соответствие между эллипти-
ческими кривыми и модулярными функциями.
Эллиптические кривые того типа, который нас здесь интере-
сует (см. рисунок), — это просто уравнения вида: у2 ~ х3 + аг2 +
+ Ьх + с; где а, b и с — целые числа. На самом деле они не эл-
липсы; своим названием кривые обязаны тому, что в прошлом
их использовали для изучения траекторий планет. А модуляр-
ные функции, наоборот, несколько более странные «существа».
Они обитают в том, что называется гиперболическим простран-
ством, в котором у нас есть две оси, но они обе образованы ком-
плексными числами. Вследствие этого, поскольку любое
комплексное число имеет действительную и мнимую части,
гиперболическое пространство на самом деле имеет четыре ко-
ординаты. Поскольку наше несовершенное зрение ограничива-
ется тремя пространственными координатами, мы не можем
представить наглядно модулярную функцию. Итак, скажем,
что модулярная функция является математическим объектом,
существующим в гиперболическом пространстве и имеющим
некоторые свойства. Одно из них — то, что их мнимая часть по-
ложительна, поэтому наши объекты находятся в верхней части
пространства. Другие свойства не так просто описать, и мы опу-
стим их в нашем изложении.
Итак, у каждой модулярной функции есть, по образному
выражению Симона Сингха, ДНК — ряд чисел, которые полно-
стью ее описывают и которые мы назовем М{, Мг ... Мя. Анало-
гично, у каждой эллиптической кривой есть, в свою очередь,
другое ДНК, которое мы назовем £,, Е2,... Ея.
Еще в первой половине XX века обе области (изучение эл-
липтических кривых и модулярных функций) были подобны
изолированным отсекам, не имеющим между собой ни малей-
шей связи. Следуя традиции специализации в математике, ко-
торая начиная с XIX века стала еще более ярко выраженной,
те, кто занимался одной ее областью, не имели ни малейшего
понятия о другой.
Но японские математики Ютака Танияма (1927-1958)
и его друг Горо Симура вывели удивительный результат: каж-
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
55
дой эллиптической кривой соответствует модулярная функ-
ция, и наоборот. ДНК полностью взаимозаменяемые. Последо-
вательность М модулярной функции равна последовательно-
сти Е эллиптической кривой, и наоборот.
Они не могли доказать эту гипотезу, когда сформулирова-
ли ее в послевоенной Японии, но были убеждены в ее истин-
ности. На вопрос своего коллеги, утверждает ли он, что неко-
торые эллиптические кривые имеют соответствующую моду-
лярную функцию, Симура ответил: «Нет, я утверждаю, что она
есть у них у всех».
Гипотеза была красивой, поскольку она, словно мост между
двумя мирами, соединяла две внешне чуждые области. Если
гипотеза верна, это означало, что любая теорема, истинная для
модулярных функций, верна и для эллиптических кривых,
и наоборот. Красота гипотезы состоит не только в том, что эко-
номится половина усилий, но и в том, что иногда доказатель-
ство намного более достижимо в одном из миров, чем в другом.
Гипотеза завораживала математиков в течение десятилетий...
Но, как это произошло и с Великой теоремой Ферма, она сопро-
тивлялась всем попыткам доказать ее.
Верно, что исследователи рассмотрели огромное число
частных случаев и во всех из них гипотеза выполнялась; но это-
го было не достаточно для доказательства. Однако исследова-
тели начали изучать следствия из нее, как если бы она была
верной, и получили огромное количество фантастических ре-
зультатов. Гипотеза была очень плодотворной. Если бы она
только была истинной... Все эти результаты можно сравнить
с ветками, отделенными от дерева математики, так как они ос-
новывались на недоказанной гипотезе. Однако мир, частица
которого была видна из-за представшей перед учеными стены,
представлялся фантастическим.
Через несколько лет, в середине 1980-х годов, немецкий
математик Герхард Фрай заявил, что Великая теорема Ферма
может быть записана в виде эллиптической кривой. Но это
была бы очень особенная эллиптическая кривая. Если бы она
существовала на самом деле, ее последовательность Е была бы
такой странной, чтобы было бы невозможно существование
56
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
модулярной функции с такой же последовательностью М. Дей-
ствительно, если бы существовала эллиптическая кривая Фрая,
то для гипотезы Таниямы — Симуры нашелся бы контрпример
и, следовательно, она являлась бы ложной. Ложность Великой
теоремы предполагает ложность гипотезы Таниямы — Симу-
ры, следовательно, истинность гипотезы Таниямы — Симуры
предполагает истинность теоремы Ферма. Фраю не удалось до-
казать свою гипотезу, однако позднее это сделал американский
математик Кен Рибет.
Результат Фрая и Рибета делал возможной совершенно
новую стратегию атаки Великой теоремы, попытки покорить
которую зашли в тупик и пребывали в таком состоянии десяти-
летиями. И вдруг открылся новый, абсолютно инновационный
фронт: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет
и теорему Ферма.
ПОСЛЕДНИЙ ШАГ
Именно здесь на сцену выходит математик Эндрю Уайлс.
По невероятной случайности он был увлечен теоремой Ферма
с десяти лет. Но когда Уайлс начал изучать математику, она за-
вела его, казалось бы, очень далеко от детской увлеченности:
он стал специализироваться на эллиптических кривых. Долж-
но быть, он был очень удивлен, когда узнал о результате Фрая
и Рибета в обычной беседе в 1986 году. Премия была перед ним!
Однажды я ходил по местной публичной библиотеке и нашел
книгу по математике, в которой немного говорилось
об истории этой задачи, и я, в возрасте десяти лет, смог понять
ее. С тех пор я пытался решить ее сам Этой задачей была
Последняя теорема Ферма.
Эндрю Уайлс о своей первой встрече с теоремой Ферма
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
57
Не сомневаясь в своем успехе, Уайлс закрылся у себя
в комнате и, не посвящая никого в свои проекты, решил дока-
зать гипотезу Таниямы — Симуры, которая доказала бы авто-
матически и Последнюю теорему Ферма. Между этим момен-
том и циклом лекций в Кембридже прошло семь лет, во время
которых Уайлс не публиковал почти ничего и занимался, каза-
лось, исключительно преподавательской деятельностью.
Такая ситуация несколько необычна, поскольку карьера
исследователя, который не публикуется, подвергается серьез-
ному риску. В академическом сообществе существует присказ-
ка: публиковаться или погибнуть. Успех измеряется числом
цитат, взятых из публикуемых статей в престижных журналах.
ЭВАРИСТ ГАЛУА И НИЛЬС АБЕЛЬ
Эварист Галуа (1811-1832) и Нильс Хенрик Абель (1802-1829) развили,
независимо друг от друга, теорию групп для решения вопроса, имеет ли
уравнение пятой степени обобщенное решение, как это было у всех урав-
нений меньшей степени. Теория француза Галуа была гораздо более раз-
вита. чем теория норвежца Абеля, поскольку он первым использовал
термин «группа». Обоих математиков ждала трагическая судьба, они оба
умерли молодыми. Абель скончался от болезни и лишений. Галуа же был
не только гениальным математиком, но и ярым республиканцем: он про-
жил короткую жизнь, которая закончилась абсурдной дуэлью из-за жен-
щины. В ней многие увидели политическую ловушку полиции Луи Филиппа
Орлеанского. Ни один из этих ученых не был признан при жизни. Известно,
что Галуа лихорадочно записывал свои идеи накануне дуэли, явно убеж-
денный в том. что умрет на следующий день. Иногда он писал: «У меня нет
времени». На следующий день, действительно. Галуа был смертельно ранен
и покинут своим противником. Ученый прожил еще несколько дней. Когда
он увидел, как плачет его брат, то сказал ему: «Не плачь, мне нужна вся
моя смелость, чтобы умереть в 21 год».
Теория групп
Группа — это просто множество А с операцией Ф, которая имеет некоторые
свойства: она закрытая (результат операции находится в А), ассоциатив-
ная. имеет нейтральный и обратный элементы. Например, множество
(а. Ь, с) и операция, которая состоит в расположении всех трех элементов
58
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Но Уайлс держался практически в полном молчании, перио-
дически все-таки публикуясь по вопросам, очень отдаленным
от его реального исследования. Ученый быстро продвигался
в своей работе, и некоторые его результаты по теории групп
были достойны того, чтобы принести ему известность; однако
он боялся, что кто-нибудь узнает, чем он на самом деле занима-
ется, и вынудил себя молчать. Вскоре коллеги начали думать,
что карьера Уайлса закончена и его математический гений ис-
черпан. Ничего удивительного в их выводах не было, посколь-
ку большинство математиков вносят свой вклад в науку еще
в молодости.
в различном порядке (abc), (асЬ), (Ьса) и так далее, образуют группу. Се-
годня группы вездесущи в математике. Мало что было таким плодотвор-
ным, как теория групп. Но, кроме того, изучение теории групп ведет к ис-
следованию других алгебраических структур, таких как кольца, поля
и идеалы. Значительная часть современной алгебры — это изучение мно-
жества и некоторых операций с элементами этого множества.
Эварист Галуа.	Нильс Хенрик Абель.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
59
Молчание Уайлса привело к тому, что ему пришлось про-
глотить обиду, когда, едва лишь через два года после начала
его работы, другой исследователь по имени Иоичи Мияока
объявил, что доказал Последнюю теорему Ферма. Мияока ос-
новывался на стратегии (наследнице стратегии Фальтингса),
вроде бы отличной от стратегии Уайлса, однако в глубине ана-
логичной тому, что он пытался сделать. Таким образом была
сформулирована гипотеза Мияоки, которая, так же как и гипо-
теза Таниямы — Симуры, была связана с Великой теоремой;
если гипотеза Мияоки истинна, то истинна и теорема Ферма.
К счастью для Уайлса, сам Фальтингс быстро нашел ошиб-
ку в доказательстве Мияоки, и, несмотря на все усилия по ее
устранению, доказательство провалилось всего лишь через два
месяца. Уайлс вздохнул с облегчением и продолжил работать.
История того, как Уайлс нашел доказательство, очень
сложна: в нем более ста страниц. Стоит выделить некоторые
аспекты этого доказательства. Уайлс так же, как и Куммер, вос-
пользовался теорией групп.
Изначальный подход Уайлса основывался на теории Ива-
савы, от которой он отказался, поскольку она не давала ре-
зультатов, заменив ее так называемым методом Колывагина —
Флаха. Интересно отметить, что теория Ивасавы возникла как
обобщение работы Куммера. В математике есть связи, которые
постоянны в истории.
Как мы уже говорили, математик, пытающийся доказать
сложную теорему, пользуется различными стратегиями, пока
в момент озарения не находит нужную — ту, что способна сне-
сти стену. Сам Уайлс сравнивал свою работу с входом в темную
комнату, где он постепенно узнает о мебели и вещах, которые
в ней существуют, пока, наконец, не находит выключатель
и не заполняет комнату светом.
Дело в том, что доказательство, изложенное Уайлсом
в знаменитой серии лекций, прочитанных 23 июня 1993 года
в Кембридже, было основано на его второй стратегии, Колыва-
гина — Флаха, поскольку он отбросил за бесполезностью изна-
чальный метод. Однако это доказательство было опровергнуто,
поскольку в нем содержалась роковая ошибка.
60
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
СЛЕВА ВВЕРХУ:
Французский
математик
Огюстен Луи
Коши доказал
теорему Ферма
о прямоугольных
числах
в 1812 году.
СПРАВА ВВЕРХУ:
В1843 году
Эрнст Куммер
утверждал,
будто доказал
Последнюю
теорему Ферма
и выяснил, что
она выполняется
для регулярных
простых чисел.
ВНИЗУ:
Эндрю Уайлс
опубликовал
в 1994 году
окончательное
доказательство
Последней
теоремы Ферма.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
61
Уайлс натолкнулся на ту же самую стену, что и Коши,
Ламе, Куммер и Мияока. Все они были убеждены в своем успе-
хе, однако были разбиты в самый последний миг. Этот послед-
ний шаг, эта последняя карта не давалась ни одному из матема-
тиков. И теперь, казалось, она не далась и Уайлсу. Так же как
и предыдущим исследователям, Уайлсу было предназначено
стать очередным именем в длинном ряду провалов, который
длился 350 лет.
Но это не было очевидно в начале, когда математику устро-
или овацию в конце лекции. Ошибка всплыла при подготовке
к публикации, во время очень серьезного процесса, известного
как «рецензирование». Как правило, во время рецензирова-
ния формулируются вопросы и сомнения, на которые автор
должен ответить. На одно из таких сомнений Уайлс ответить
не смог. Его ошибку, которую нашел американский математик
Ник Катц, невозможно объяснить неспециалисту. Согласно
самому Уайлсу, даже профессиональному математику потребо-
валось бы два или три месяца, чтобы понять ее. В конце кон-
цов ученый был вынужден признать правоту Катца: он ошибся
в такой тонкости, что ее было практически не видно.
Это и была цена самоизоляции Уайлса. Открытое обсужде-
ние с коллегами хода исследования является одним из неписа-
ных правил в математической практике. Подобное обсуждение
позволяет обнаружить возможные ошибки, обсудить методы,
сопоставить идеи. Но есть и обратная сторона: если кто-то тебе
что-то подсказывает, в публикуемой статье ты должен вынести
ему благодарность или даже включить в число соавторов. Вот
почему такие статьи часто подписаны десятками авторов.
Проблема работы с Ферма — в том, что ты можешь провести
годы, ничего не получив
Эндрю Уайлс
Уайлс знал о риске, которому подвергался, но премия была
слишком важна для него, и он не хотел с кем-то ею делиться.
Так что математик решил рискнуть... и совершил ошибку.
В любом случае, в доказательстве Уайлса было столько нова-
62
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
торства, что оно само по себе обладало ценностью. Так же как
в случае с Коши или Куммером, его попытки уничтожить стену
открыли дверь в новые миры. Но Уайлс не был готов сдаться.
Поскольку секретничать уже не было смысла, он начал рабо-
тать со своим коллегой Ричардом Тейлором, чтобы попытаться
исправить ошибку. В конце концов он нашел решение. Хи-
трость заключалась в том, чтобы совместить метод Ивасавы,
от которого он отказался, с методом Колывагина — Флаха.
Уайлс решил задачу в день своего рождения. Вдруг все стало
ясно, выключатель нашелся, и комната наполнилась светом.
Через некоторое время, в мае 1995 года, состоялась публикация
двух статей в журнале Annals of Mathematics, одна была подпи-
сана Уайлсом и Тейлором, а другая — только Уайлсом. Им
обоим наконец-то удалось доказать одну из самых сложных
задач всех времен. Небольшого книжного поля, действительно,
было недостаточно для ста страниц доказательства, которое
нашел Уайлс, основываясь, в свою очередь, на невероятных
идеях Таниямы, Симуры, Фрая и Рибета. Стена наконец-то
пала. Одна из самых долгих и сложных осад в истории матема-
тики закончилась победой осаждающих.
Из теоремы самой по себе нельзя было вывести никаких ре-
волюционных результатов, но попытки ее доказательства дали
огромное количество новых и плодотворных путей исследова-
ния. Возможно, если бы Эйлер не заинтересовался этой теоре-
мой, теория чисел была бы разработана намного позже; теория
идеалов была изначально задумана Куммером как инструмент
доказательства теоремы, хотя сегодня она применяется во мно-
гих других областях. Фальтингс и Мияока исследовали связи
между дифференциальной геометрией и теорией чисел благо-
даря Последней теореме Ферма. И наконец, Уайлс, возможно,
не занялся бы доказательством гипотезы Таниямы — Симуры
с таким пылом, если бы не знал о связи между этой гипотезой
и любимой задачей его детства.
Всем этим мы обязаны скромному утверждению, или, даже
можно сказать, всего лишь любопытному замечанию — теоре-
ме, которую однажды Ферма написал на полях «Арифметики*
Диофанта.
ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
63

ГЛАВА 3
Современная теория чисел
Несмотря на важность Великой теоремы Ферма
для последующего развития математики, если бы она
стала его единственным вкладом в науку, фигура
тулузского юриста не обладала бы такой значимостью.
Но Ферма был первоклассным математиком, для многих
историков — мыслителем, равным Архимеду, Эйлеру
или Гауссу. Он внес важный вклад в одну из своих
любимых областей — современную теорию чисел,
которую сам же и создал.

Собственные делители числа, или его аликвоты (включая чис-
ло 1, которое всегда является делителем любого числа),— это
делители, отличающиеся от самого числа, на которые оно де-
лится без остатка. А совершенное число — это число, равное
сумме всех своих собственных делителей.
Приведем пример. Собственными делителями числа 6 яв-
ляются 1,2иЗ,а1+2 + 3-6. Следовательно, 6 — это совершен-
ное число, первое, но не единственное из этих чисел. Пифаго-
рейцы придавали большое значение мистике совершенных чи-
сел. В частности, 6 сочетало в себе три первых числа, которые
имели важное мистическое значение (единство, двойствен-
ность и троица как смесь единства и двойственности); 6 — объ-
единение всех этих значений.
Греки обнаружили только четыре первых совершенных
числа: 6, 28, 496 и 8128. Пятое было открыто лишь в XV веке:
33 550 336. Найти совершенное число нелегко. В марте 2012 года
было известно только 47 из них, самое большое из которых со-
держит 25956377 знаков.
Евклид известен как великий геометр, но, однако, меньше
всего обращают внимание на то, что в его «Началах* содер-
жится много арифметических теорем. Знаменитому греческому
математику мы обязаны, например, знанием того, что количе-
ство простых чисел бесконечно. В области совершенных чисел
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
67
Графическое
представление
совершенного
числа.
он доказал удивительный результат (см. рисунок): пусть N -
- 2" (2" +1 - 1) - 2”М, где под М мы подразумеваем множитель
2" +1 - 1 (М — одно из так называемых чисел Мерсенна, как мы
увидим далее). Тогда, говорит нам Евклид, N — совершенное
число, если М — простое.
Как можно легко заметить, все эти числа N четные. Мы
пока не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа.
Это одна из больших открытых проблем в теории чисел. Од-
нако известно, что если они существуют, то они должны соот-
ветствовать ряду очень сложных условий. Многие математики
думают, что было бы чудом, если бы они существовали. Мы
также не знаем, бесконечно ли количество чисел вида N, по-
скольку неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел
вида М, то есть простых чисел Мерсенна. Через несколько лет
после смерти Ферма Эйлер доказал, что теорема, обратная тео-
реме Евклида, верна: любое совершенное число можно запи-
сать в виде N.
Очевидно, что существуют несовершенные числа. Они де-
лятся на два типа: избыточные (сумма их собственных делите-
лей меньше самого числа) и недостаточные (меньше этой
суммы).
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2x14 = 4x7 = 22 X (2




68
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Данное доказательство принадлежит Евклиду, и оно осуществляется уже
известным нам методом от противного. Предположим, что вывод ложен
и количество простых чисел конечно. Это означает, что существует самое
большое простое число. Назовем его рп. Теперь составим число N из про-
изведения всех простых чисел плюс один: N = ргрг.. р„ _, р„ + 1 = Ап + 1.
Такое число не делится ни на одно простое число от до рп, поскольку
тогда на них должно было бы делиться как Ал, так и 1, и ясно, что ни одно
число не является делителем 1, кроме него самого. То есть либо N — про-
стое число, либо оно содержит простые множители, большие рп. Следова-
тельно, мы нашли простое число, большее рл, что противоречит нашей
гипотезе о том, что рл — самое большое простое число. Получается, гипо-
теза ложна и количество простых чисел бесконечно.
Наконец, есть другие числа, тесно связанные с совершен-
ными: так называемые дружественные числа. Два числа назы-
ваются дружественными, когда сумма собственных делителей
одного равна другому, и наоборот. В античности единственной
известной парой дружественных чисел были 220 и 284. Дей-
ствительно, собственные делители 220 — это 1,2,4,5,10,11,20,
22,44,55,110, а 284- 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 +20 + 22 + 44 + 55 +
+ 110. Аналогично, собственные делители 284 — это 1, 2, 4, 71,
142, а 220- 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
У этой пары дружественных чисел также было магико-ми-
стическое значение. В Средние века верили, что если два чело-
века съедят два куска хлеба, на каждом из которых написано
одно из этих чисел, то они будут друзьями навсегда, даже если
раньше не были знакомы.
Возрождение пифагорейского мистицизма в начале Но-
вого времени поддерживало интерес к этим проблемам.
В книге ^Трактат о всеобщей гармонии* Мерсенн утверждал,
что Ферма открыл пару дружественных чисел, 17 296 и 18416,
первую такую пару, обнаруженную со времен античности.
Также, если верить данной книге, Ферма доказал, что как 120,
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
69
так и 672 являются недостаточными числами, равными поло-
вине суммы их собственных делителей (эта сумма равна 240
и 1344 соответственно). Такие числа известны как мультисо-
вершенные, или ^-совершенные.
[Среди] знатных людей... которые внесли вклад в эту область
математики и которых никто не может научить ничему
новому, я бы повторил имя... [Этьена Паскаля] и добавил бы
имя господина Ферма...
Комментарий Марена Мерсенна в книге «Трактат о всеобщей гармонии» (1636)
Итак, уже в 1636 году Ферма задумывался о том, как опре-
делить сумму собственных делителей заданного числа. На тот
момент он уже явно знал, как это сделать. Его способ так
и не был опубликован и сейчас утерян. Однако до нас дошел
метод, которым мы обязаны Рене Декарту. Поскольку любое
число может быть выражено в виде произведения степеней его
простых множителей, N -	собственные делители —
это все возможные сочетания между данными множителями.
Например, 1452 - 22 • 3 • И2, и его собственными делителями
являются 2, 3, И, 22, И2, 2 • 3, 22 • 3 и так далее, включая все
сочетания. Декарт нашел формулу, которая на основе преды-
дущих результатов предлагала новый собственный делитель,
пока все они не заканчивались. Это известно как рекурсивная
формула. Метод Ферма явно аналогичный.
Математик получил несколько результатов на основе сво-
его метода. Он послал Мерсенну пару решений, которые тот
включил во вторую часть своей Гармонии», опубликованной
в 1637 году. Например, он предлагал общий метод нахождения
дружественных чисел, подобный по структуре способу, кото-
рый применял Евклид для нахождения совершенных чисел.
Так, если три числа А - З2 • 22"_', В - 3 • 2""1 и С - 3 х 2"_ 1 - 1
простые, то 2"А и 2пВС дружественные. Обратите внимание
на сходство данного результата с результатом Евклида о совер-
шенных числах. Второй результат содержал подобную формулу
для особого случая мультисовершенных чисел, которые явля-
70
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ются третьей частью от суммы их собственных делителей. Рас-
суждение было аналогичным: если число некоего вида простое,
то результат формулы — это число, дающее при умножении на 3
сумму собственных делителей. Ферма утверждал, что нашел
подобные формулы для других мультисовершенных чисел,
но они так и не стали известны.
У всех этих задач есть одна общая предпосылка: в каждой
из них, прежде чем утверждать, можно считать число совершен-
ным или пару чисел дружественными, или какое-то из них —
мультисовершенным, нужно понять, являются ли некоторые
числа определенной структуры простыми. Следовательно, нет
ничего странного в том, что в переписке с Мерсенном в конце
1630-х годов Ферма все больше интересовало, существует ли
способ установить, является ли число некоего вида простым.
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
Ферма понял, что основная задача теории чисел заключается
в изучении простых чисел, проблемы разложения на простые
множители и проблемы простоты числа (то есть определения,
является ли число простым). Такое понимание делает его от-
цом современной теории чисел.
В античности Диофант опубликовал свою знаменитую
«Арифметику», от которой сохранилась приблизительно по-
ловина. Это не трактат, как «Начала» Евклида, а сборник более
чем 100 задач на определенные (с одним или небольшим коли-
чеством уникальных решений) и неопределенные уравнения
(с бесконечным числом решений). В изложении его задач нет
системного подхода, их решение обычно дается целенаправ-
ленно, индивидуально для каждой проблемы. Метод решения
излагается в каждом отдельном случае в качестве примера.
Когда Диофант сталкивался с неопределенным уравнением, он
довольствовался тем, что находил только одно решение, игно-
рируя существование других возможных.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
71
Поскольку греки считали, что числа бывают только рацио-
нальными положительными, числа же вроде V2 были стран-
ными «чудовищами», которые появлялись лишь в геометрии,
то Диофант давал решения только для признаваемых греками
чисел. Итак, игнорирование возможных решений, связанных
с нерациональными числами, было характерным для Диофанта
и все еще было живо в XVII веке. Рациональные числа в целом
неразложимы на простые множители. Греки знали это, но хотя
они были знакомы с простыми числами, они не создали дис-
циплину, посвященную исключительно числам, которые дей-
ствительно разложимы на простые множители, то есть
натуральным числам. Такую дисциплину основал Ферма, и он
был первым, кто понял, что натуральные числа заслуживают
отдельного изучения, и первым, кто заложил основы этого изу-
чения анализом свойств простых чисел.
Простые числа — это кирпичи, из которых строятся все на-
туральные. Уже было рассмотрено несколько примеров, в ко-
торых важно, чтобы некая величина была простым числом.
Но есть много других результатов, в которых все основывает-
ся на простых числах, поскольку исследование свойств этих
кирпичиков позволяет делать утверждения, которые нельзя
было бы сделать о натуральном числе в целом. У простых чи-
сел есть интересные свойства, которыми не обладают состав-
ные (не простые) числа; следовательно, рассуждать о них и вы-
водить свойства составных чисел на их основе — обычная стра-
тегия в теории чисел.
Работы Ферма привлекли внимание математика по имени
Бернар Френикль де Бесси (1605-1675), члена кружка Мер-
сенна. Френикль хотя и не обладал математическим гением
Ферма, сделал впечатляющую догадку о свойствах очень боль-
ших чисел. Он, как и другие ученые, вел переписку с Ферма:
она началась в 1640 году, длилась с перерывами и закончилась
почти через 20 лет. Эти отношения, что вообще характерно для
Ферма, были сложными. Однако Френикль, возможно, был
человеком, который лучше всего понимал вклад этого ученого
в теорию чисел.
72
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА И ЕГО СЛОЖНОСТЬ
Решето Эратосфена — самый древний метод определения, является ли
число N простым. Для этого составляется список всех чисел до N. Исходя
из первого простого числа, 2, из данного списка вычеркиваются все чис-
ла, кратные 2, до N. Затем то же самое делается для первого невычеркну-
того числа в списке, то есть 3, затем для 5, и так далее, пока не встреча-
ется число, наиболее близкое к Jn. Каждое первое невычеркнутое число
простое. Если в какой-то момент этого процесса будет вычеркнуто N, мы
будем знать, что N — составное число. Наоборот, если удастся дойти до по-
следнего простого числа, наиболее близкого к Jn, toN — простое число.
Очевидно, что данный способ громоздкий, поскольку требуется узнать все
простые числа до >[n. Похожий метод — перебор делителей, когда число
делится на все простые числа до V/V (полученные заранее) либо на два
и все нечетные числа до 4n, пока не будет найдено число, являющееся
делителем N, или не закончится список.
Эффективность вычислений
Такие методы, как решето Эратосфена, могут быть более или менее слож-
ными. Изучение эффективности алгоритма вычислений является одной
из самых важных ветвей исследования в науке о вычислениях. Появляют-
ся неразрешимые проблемы, если не существует алгоритма, который
мог бы дать ответ. При этом мы можем оценить, за какое максимальное
время решается проблема при заданном алгоритме. Это можно обозна-
чить как О(Л( л)), где f(n) — любая функция от л, которая, в свою очередь,
является мерой «размера» проблемы (например, это может быть число
элементов в списке). Могут быть алгоритмы, обладающие сложностью:
О(л), О(л2), O(log n), O(nlog л), О(еп) и так далее. С другой стороны, существу-
ют проблемы, которые хоть и разрешимы, но требуют столько времени,
что нереально пытаться их решить. Это проблемы экспоненциальной слож-
ности — О(еп) — или, что еще хуже, комбинаторной сложности — О(л!):
например, посчитать все перестановки л объектов. Они получают назва-
ние неразрешимых проблем. Есть и другой очень интересный класс про-
блем: те, что могли бы быть неразрешимыми, но мы не знаем, так ли это.
По сути это проблемы, для которых очень легко проверить верность реше-
ния, если оно известно, но нахождение решения кажется неразрешимой
проблемой. Мы говорим «кажется», поскольку никто не смог доказать,
так ли это. Они называются проблемами NP. Проблема разложения числа
на простые множители — самый важный пример для нас. Наконец, суще-
ствуют разрешимые проблемы: мы знаем, что они решаемы в разумное,
известное как полиномиальное, время. Это проблемы порядка О(л*),
О(л log л) или O(log л). Решето Эратосфена — это алгоритм сложности
0(10^), явно экспоненциальной.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
73
Действительно, Ферма, изолированно живший в Тулузе,
снова и снова проваливался в своих попытках пробудить инте-
рес коллег к новой области, которую он открывал. Отчасти
в его неудачах явно виновата его монашеская изоляция, а от-
части, и в большей степени, причина таилась в его методе ра-
боты. Поскольку Ферма не разделял их взглядов и даже к таким
корреспондентам, как Френикль, относился с недовольством,
для него было невозможно создать школу, набрать учеников,
взять на себя роль лидера, исследующего новую территорию.
Всегда, когда Ферма работал над проблемами, которые
волновали его современников, его вклад разумно признавался.
Но в теории чисел он был один. Он был пионером. Никто его
не понимал, никто не мог объяснить, почему эти, казалось бы,
тривиальные задачи, нигде не применимые, имеют какое-либо
значение. То, что никто не обращал на него внимания, вызвало
у Ферма огромную горечь, которая начала проявляться посте-
пенно во все большей враждебности по отношению к совре-
менникам.
В переписке через Мерсенна Френикль бросил Ферма вы-
зов, предлагая найти совершенное число из 20 знаков. Ответ
от тулузского математика поступил немедленно: не существу-
ет такого числа, как и нет такого числа из 21 знака, и это, в свою
очередь, доказывает, что гипотеза о существовании по крайней
мере одного совершенного числа в каждом интервале между
10" и 10"+ 1 ложная.
В один из тех редких случаев, когда Ферма показал некото-
рые из своих достижений, в ответе Френиклю в 1640 году он
утверждал, что числа Мерсенна М - 2₽ - 1 являются простыми,
когда показатель степени — простое число. Также если п про-
стое число, то п — делитель 2" ~ - 1, и, наконец, если п простое
число, то единственно возможные делители 2" - 1 имеют вид
k(2n) + 1. Но, как обычно, Ферма не предоставил никакого до-
казательства.
Первый результат очень важен, поскольку он позволяет от-
бросить большое количество чисел Мерсенна в качестве канди-
датов в простые числа. Второй и третий — сокращенные пути.
Второй позволяет найти по крайней мере один делитель неко-
74
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
его числа Мерсенна (который может быть самим числом, что
доказывает 231 - 1 в 3, являющееся делителем 3), а третий по-
зволяет ограничить вид множителей другого числа Мерсенна,
в связи с чем его поиск (и последующая проверка того, явля-
ется число простым или составным) оказывается намного эф-
фективнее: он ограничивается числами такого вида, исключая
все остальные. Хотя Ферма не знал лучших методов поиска
простых чисел, чем решето грека Эратосфена Киренского (276-
194 до н. э.), он все же мог определить простоту некоторых
чисел очень быстро, благодаря этим сокращенным путям.
Ферма воспользовался третьим результатом, чтобы дока-
зать, что не существует ни одного совершенного числа из 20
или 21 знака. Для начала он установил, что 237-1 — единствен-
ное число Мерсенна, которое может образовать по формуле
Евклида совершенное число из 20 или 21 знака (это предпо-
лагает знание и принятие за справедливую теорему, обратную
теореме Евклида, доказанную Эйлером несколько лет спустя).
Затем он доказал, что данное число Мерсенна не является про-
стым, поскольку делится на 223 - 3 - (2 • 37) +1, что как раз име-
ет вид k(2n) + 1. Действительно, вместо того чтобы вычислять
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Прямое доказательство теоремы идет от гипотезы и шаг за шагом при-
ближается к выводу. Некоторые из данных шагов можно инвертировать,
а другие нет. В целом шаг, содержащий импликацию, нельзя инвертиро-
вать. Рассмотрим это на бытовом примере. Можно сделать вывод, что
тротуар мокрый, из того факта, что идет дождь, но мы не можем сделать
вывод о том, что идет дождь, из того, что тротуар мокрый. Последнее мог-
ло произойти из-за обстоятельств, не связанных с дождем: например, воду
пролила проехавшая автоцистерна или тротуар полили из обыкновенного
шланга. Если идет дождь, то тротуар мокрый; но необязательно наоборот.
Значит, тот факт, что идет дождь, — достаточное условие для того, чтобы
тротуар был мокрым, но не необходимое. Такая однонаправленность при-
сутствует, среди прочего, в малой теореме.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
75
огромное количество простых чисел, которые могли бы быть
делителями 37-го числа Мерсенна, Ферма было достаточно по-
степенно попробовать числа k(2 • 37) + 1 для различных значе-
ний k. На третьей попытке он уже нашел ответ.
В письме Френиклю ученый говорил, что начал различать
свет чудесных результатов. Но на самом деле он уже видел этот
свет. Два последних результата, о которых он сообщал Френи-
клю, были следствиями намного более общего результата, из-
вестного сегодня как «малая теорема Ферма» (чтобы отличать
его от Великой теоремы). Парадокс в том, что «малая» теорема
Ферма намного более значима для теории чисел, чем «Вели-
кая».
В том же 1640 году Ферма ознакомил с малой теоремой
Френикля. Малая теорема Ферма применима только к про-
стым числам. В ее современной формулировке в теореме гово-
рится, что при заданных простом числе р и натуральном чис-
ле а, если р не является делителем а, то ар ~1 - 1 делится на р.
Сначала не очень ясна значимость данной теоремы, однако она
устанавливает основополагающее свойство этих кирпичиков,
простых чисел, что влечет за собой очень интересные послед-
ствия.
Годфри Харди около 1912 года отмечал, что теория чисел
не имеет практического применения. Тем не менее ситуация
радикально изменилась, когда в 1977 году был разработан
шифровальный алгоритм под названием RSA, который осно-
ван на разложении числа на два простых множителя (нахож-
дение решения) и умножении двух множителей для получения
числа (сверка решения).
Взломать данный код означает разложить на простые
множители огромное число. Это должно быть очень сложно,
чтобы алгоритм был успешен. Наоборот, те, кто знают множи-
тели, могут легко зашифровать и расшифровать сообщение,
поскольку для этого требуется только умножение. Впервые
теория чисел получила практическое применение. От данного
принципа сегодня зависят все шифрованные операции в ин-
тернете, не больше и не меньше. Однако надежность метода,
понимаемая как разница во времени между шифровкой и Де-
76
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
шифровкой, с одной стороны, и взломом кода, с другой сторо-
ны, не могла быть доказана. Вся электронная экономика висит
на этом математическом волоске, хотя большинство экспертов
считают, что алгоритм надежен.
Как бы то ни было, после всеобщего внедрения RSA и те-
сты простоты числа (первый шаг алгоритма — найти два огром-
ных простых числа), и алгоритмы разложения на простые мно-
жители (которые в худшем случае могли бы разрушить надеж-
ность RSA) получили огромную практическую важность.
Итак, Ферма был озабочен проблемой нахождения про-
стого числа. В качестве элементарной проверки, является ли
данное число простым, можно задаться вопросом, выполняет ли
заданное число требования малой теоремы Ферма; однако за-
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ МЕТОДОМ ФЕРМА
Ферма изобрел метод разложения на множители исходя из того, что не-
четное неквадратное число нельзя записать как N = х2 - у2, где
x = и у = ?^.
2	2
Можно легко доказать, что N = ntnr Если N — простое число, то nx = N,
а п2 = 1. В противном случае пх и п2 - собственные делители N. Посколь-
ку и п2 нечетные, так как N нечетное, то х и у — целые числа. Отсюда
следует, что решение предыдущих уравнений для х и у предполагает воз-
можность разложения N на множители. Для решения этого уравнения при-
бегают к проверкам, начиная с целого числа т, которое выполняет некое
свойство, и, если оно не является решением, продолжают с помощью дру-
гого числа т\ которое получается на основе т, и продолжают таким об-
разом, пока не получают собственный делитель или не доходят до самого
числа N. Разложение на множители методом Ферма может стать очень
эффективным в некоторых случаях, поскольку числа т должны быть ква-
дратными, и очень часто бывает легко определить, является ли число ква-
дратным, просто посмотрев на него. Действительно, идеальные квадраты
могут заканчиваться только на 0,1,4,5,9,16,36,56,76 и 96, что исклю-
чает 90% окончаний. Красота данного метода в том, что в нем не требует-
ся знания всех простых чисел до определенного числа и что если N — со-
ставное число и имеет множитель, близкий к Vw, то это разложение
на множители быстро его определяет.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
77
метьте, что здесь речь идет, скорее, про обратную теорему. Сле-
довательно, нет никакой гарантии того, что число окажется
простым. Действительно, известно, что так называемые числа
Кармайкла не выполняют обратную теорему. Но даже тогда
этот тест является настолько простым и быстрым, что он ис-
пользуется при исполнении алгоритма RSA, чтобы быстро от-
бросить составные числа. Ведь на самом деле тест простоты,
основанный на малой теореме Ферма, заключается в том, чтобы
выяснить, является ли число составным. В довершение всего
малая теорема Ферма также используется, чтобы доказать, что
алгоритм RSA верен.
Другие тесты на простоту делятся на вероятностные и де-
терминированные. К первым относится тест Миллера — Ра-
бина, который также основывается на малой теореме Ферма,
или тест Соловея — Штрассена, основанный на теореме Эй-
лера, обобщающей малую теорему. Последний тест никогда
не утверждает, что число простое, если это не так, но он менее
успешен с составными числами. Действительно, существуют
тесты, более эффективные в том, чтобы показать, что число со-
ставное, а другие больше подходят для доказательства того, что
оно простое.
Детерминированное продолжение теста Миллера — Ра-
бина основывается на недоказанном результате: расширенной
гипотезе Римана. Очевидно, что его эффективность зависит
от того, истинна ли эта гипотеза. Однако в 2002 году впервые
было объявлено о тесте под названием AKS, который является
универсальным (работает для любого числа), детерминирован-
ным, безусловным (не зависит от недоказанных результатов)
и эффективным (с полиномиальной сложностью вычислений).
Алгоритм AKS также основан на обобщении малой теоремы
Ферма.
Важно отличать тесты простоты от алгоритмов разложе-
ния на множители. В то время как любой алгоритм разложения
на множители скрывает в себе тест простоты, тесты простоты
не предполагают обязательного разложения на множители. На-
пример, решето Эратосфена не разлагает число на множители
(хотя при тривиальном обобщении оно могло бы это делать),
78
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
а тест, основанный напрямую на малой теореме Ферма, не на-
ходит даже ни одного множителя, в то время как перебор де-
лителей действительно разлагает число. Следовательно, даже
если и был найден эффективный алгоритм теста простоты,
проблема разложения на множители продолжает быть доста-
точно сложной для того, чтобы алгоритм RSA оставался акту-
альным. Тест AKS не разлагает число на множители: операции
в интернете остаются надежными.
Существует много других результатов, зависящих от малой
теоремы. Один из самых известных — то, что мы все замечали:
количество знаков после запятой в рациональном числе повто-
ряется периодически, если в данном рациональном числе, вы-
раженном несократимой дробью, знаменатель — простое
число р, отличное от 2 и 5 (которые являются простыми мно-
жителями 10). Именно поэтому 1/3 -= 0,33333..., а 1/7 -
я 0,142857142857..., но 1/5 - 0,2, без периодического повторе-
ния. Предыдущие рассуждения служат для того, чтобы понять:
малая теорема — один из самых важных результатов в теории
чисел.
Вот основная теорема, выполняющаяся в каждой конечной
группе, называемая обычно малой теоремой Ферма, поскольку
Ферма был первым, кто доказал особый ее случай.
Замечание немецкого математика Курта Гензеля
в своей книге «Теория чисел> (Zablentheorie, 1913).
Конечно же, Ферма, верный своей традиции, не оставил
ни одного доказательства. Теорема была доказана Эйлером,
который не знал, что Лейбниц несколькими годами ранее уже
доказал ее, хотя результат был опубликован только в XIX веке.
В доказательстве Лейбница используются математические ме-
тоды, известные Ферма, поэтому возможно, что доказательство
Ферма, если оно существовало, было сделано подобным спосо-
бом.
В любом случае, Ферма явно не догадывался о ее последу-
ющем применении. Для него теорема была инструментом для
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
79
теста простоты некоторых чисел, таких как 2" - 1. Она была од-
ним из его сокращенных путей, используемых с целью избежать
решета Эратосфена. Например, благодаря своей малой тео-
реме Ферма смог подступиться к числам вида а" - 1 при а > 2,
которые никогда не являются простыми, сведя кандидатов в их
простые делители к меньшему множеству. Как легко увидеть,
эти числа — обобщение чисел Мерсенна. Кроме того, малая тео-
рема позволила Ферма таким же образом подойти к числам
а" + 1, которые, как он утверждал, являются простыми, если
а четное, а п имеет вид 2". Именно в ходе этого исследования
математик открыл так называемые простые числа Ферма, кото-
рые соответствуют этим двум условиям и еще одному — тому,
что число т вида 22' +1 простое, если р простое.
Но в данном случае интуиция подвела Ферма. Эйлер нашел
контрпример при р - 5. Итоговое число делится на 641. Ферма
осознавал, что не может доказать этот результат, и говорил
о своем разочаровании в течение многих лет; в 1659 году он из-
ложил доказательство своему другу Каркави, но с учетом
контрпримера Эйлера, оно, даже если и существовало, явно
было ошибочным. В любом случае ясно, что малая теорема по-
зволяла Ферма исключить из своих вычислений любое множе-
ство простых чисел — кандидатов в делители чисел некоего
вида, что облегчало тесты простоты указанных чисел. Однако,
к своему большому разочарованию, он никогда не добился того,
к чему стремился, — вывести теорему, позволяющую изба-
виться от всех простых чисел, которые можно исключить для
указанных типов чисел.
Сегодня не существует по-настоящему эффективного
и надежного метода нахождения простых чисел произвольного
размера; нет формулы вроде той, что нашел Евклид для четных
совершенных чисел. В большинстве методов нахождения про-
стых чисел требуется знать все простые числа до некоего пред-
варительного числа либо знать, являются ли числа, соседние
с кандидатом на простое число, разложимыми на множители.
Следовательно, тесты простоты крайне важны: сначала ищут
кандидата на простое число, а потом проверяют, является ли
оно таковым.
80
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Казалось, что к концу 1640 года Ферма потерял интерес
к суммам собственных делителей. Его следующие исследова-
ния по теории чисел напрямую связаны с Великой теоремой.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
И ОБОБЩЕННЫЙ ПОДХОД
Рациональные прямоугольные треугольники — это называе-
мые пифагоровыми тройки рациональных чисел х, у и z, кото-
рые выполняют теорему Пифагора: х2 + у2 = z2.
Такие тройки очень древние и встречаются уже в Вавилоне
и Египте. Но Евклид доказал, что — при заданных двух рацио-
нальных числах р и q - z s р2 + q2, х - р2 - q2 и у - 2pq - это пи-
фагорова тройка. Из чего непосредственно следует, что коли-
чество пифагоровых троек бесконечно, поскольку количество
рациональных чисел бесконечно.
Диофант посвятил Книгу VI своей <Арифметики> реше-
нию задач, связанных с данным типом треугольников, как он
это обычно и делал: рассматривая их в виде отдельных слу-
чаев. Его метод решения предполагал составление уравнения
или системы уравнений. Проблема была в том, что иногда
в результате получалось рациональное отрицательное число,
и это не имело смысла, поскольку ни у одного треугольника
нет сторон отрицательной длины. В других случаях метод уче-
ного не работал, поскольку некоторые условия, необходимые
для успеха, не выполнялись: например, в итоговых уравнениях
коэффициент х2 или константа должны были быть квадратом.
Диофант выбирал свои задачи осторожно, чтобы они соответ-
ствовали таким условиям и решение всегда было положитель-
ным; «хитрость» заключалась в том, чтобы ставить только за-
дачи, решаемые с помощью предложенного метода.
В 1621 году во Франции Клод Гаспар Баше де Мезириак
издал работу Диофанта. Именно благодаря этому изданию
Ферма познакомился с Диофантом, и на его полях он сделал
свою знаменитую запись Великой теоремы.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
81
Ферма заинтересовался прямоугольными треугольни-
ками, внеся важные коррективы: во-первых, он ограничился
изучением треугольников, стороны которых были выражены
только натуральными числами. Во-вторых, вместо того что-
бы решать частные случаи с особыми числами, Ферма взял
метод решения Диофанта и сформулировал его в общем виде.
В то время как Диофант был ограничен языком словесной ал-
гебры, Ферма, следуя Виету, уже пользовался символической
алгеброй, которая позволяла ему большую возможность аб-
страгирования. При таких обстоятельствах Френикль написал
Ферма в 1641 году и предложил ему задачу: найти треугольник,
в котором выполнялось бы следующее уравнение: (х - у)2 -
= у + г2. Задачи Диофанта неизменно приводят к уравнениям
такого типа.
Ферма не без усилий решил задачу, но через два года у него
уже был метод. Он предложил Пьеру Брюлару де Сен-Мартену
три подобные задачи, чтобы пробудить его интерес к теории
чисел. Брюлар и сам Френикль отреагировали с возмущением.
По их мнению, его задачи не имели решения. Они подумали,
что Ферма пытается высмеять их. Но тулузец уверил (через
Мерсенна), что решение существует, не открывая его. Однако
под давлением Мерсенна через некоторое время он предал глас-
ности эти результаты.
Вы спрашиваете меня, является ли число 100 895 598 169
простым или [...] составным. На этот вопрос отвечаю Вам,
что это число составное и получается из произведения 898 423
и 112 303, которые являются простыми.
Ферма Мерсенну в связи с малой теоремой
Предполагаемая невозможность основывалась на том, что
метод Диофанта давал отрицательный результат; но Ферма
разрубил этот гордиев узел. Действительно, когда получался
отрицательный корень, он переписывал уравнение, используя
данный корень и измененную переменную, и решал методом
Диофанта итоговое уравнение. Если снова получался отрица-
82
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
тельный корень, он вновь переписывал уравнение, повторяя
это действие, пока, наконец, не получал положительный ко-
рень. Ферма исследовал неопределенность уравнения для изо-
бретения искусного метода решения.
Пользуясь таким обобщенным подходом, основанным
на теории уравнений, Ферма решительно порвал с диофан-
товым подходом, рассматривавшим частные решения, сделав
прорыв, которого его современникам не удалось понять. Фер-
ма перестал зависеть и от квадратных чисел, когда решил за-
дачу; однако его отношения с Френиклем и Брюларом были
серьезно испорчены.
РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И РАЗБИЕНИЕ
НЕЧЕТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В другом письме 1640 года Френиклю Ферма объявил, что на-
шел общие правила разложения числа на сумму двух квадратов.
Это происходило из комментария Баше к одной задаче Дио-
фанта, связанной с разложением числа Уна сумму двух квадра-
тов четырьмя разными вариантами.
Разложение числа на слагаемые — проблема, схожая с раз-
ложением на множители. Если в последнем случае ищут дели-
тели, то здесь — слагаемые. Очевидно, что слагаемые должны
быть определенного типа, поскольку нахождение любых слага-
емых тривиально. Именно эту проблему Ферма и решил.
Решением является формула, которую мы не будем здесь
приводить. Достаточно отметить: значимость результата состо-
ит в том, что Ферма снова удалось найти общий метод, и для
этого он воспользовался любопытным свойством простых чи-
сел, которое намного более важно, чем проблема сама по себе.
Действительно, Ферма знал, что простые числа вида 4Л - 1
не могут быть выражены в виде суммы двух квадратов. Также,
хотя доказательство стоило ему большого усилия и было осу-
ществлено с помощью его метода бесконечного спуска, он до-
казал, что простые числа вида 4£ + 1 всегда можно разложить
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
83
на сумму двух квадратов, и эта сумма единственная. Ферма уда-
лось разбить нечетные простые числа на две различные группы
в зависимости от того, выполняют они некое требование или
нет. Он использовал эти два результата для доказательства
того, что проблема Баше может быть сведена к определению,
при заданном числе N, сколько его простых делителей имеют
вид 4k- 1, а сколько — вид 44+1. Действительно, за исключе-
нием числа 2 все простые числа могут быть записаны в первом
или втором виде, поскольку они оба включают все нечетные
числа. Следовательно, только простые делители вида 44+1
могут образовывать два слагаемых, а количество вариантов,
по которым можно разложить N, — это всего лишь проблема
комбинаторики.
Мы снова видим плодотворность изучения простых дели-
телей. Мы можем мало сказать о числе N в целом, зато можем
делать утверждения о его простых делителях, которые полны
интересных свойств! Таким образом мы в конце концов узнаем
что-то о числе N. Этой плодотворной стратегией Ферма поль-
зовался несколько раз. Он сам жаловался Мерсенну в 1636 году,
что в арифметике не существует общих принципов решения
задач. Через несколько лет сам Ферма установил некоторые
из таких принципов.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
После 1644 года Ферма внезапно перестал писать своим корре-
спондентам, и его молчание продлилось десять лет. Этому, без
сомнения, поспособствовала в 1648 году смерть его главного
корреспондента, Марена Мерсенна, а также тот факт, что его
отношения с другими привычными корреспондентами, Фре-
никлем и Брюларом, охладились чуть ли не до разрыва.
Затворничество математика завершилось, когда Блез Па-
скаль, сын Этьена, обратился к Ферма, чтобы поставить перед
ним задачу, с которой началась теория вероятностей. Во время
этой переписки ученый воспользовался случаем и начал ста-
84
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
вить задачи по теории чисел, надеясь заинтересовать ими Па-
скаля. Ферма говорил, что важно создать братство математи-
ков, которые, соревнуясь между собой и одновременно сотруд-
ничая, решали бы задачи, поставленные этой теорией. Один
из результатов, о которых сообщил Ферма, очень красив. Что-
бы объяснить его, нужно вернуться к предмету другого боль-
шого арифметического интереса пифагорейцев: треугольным
числам и их обобщению — прямоугольным числам.
Треугольное число — это число, которое можно разложить
так, чтобы слагаемые образовывали треугольник (рисунок 1). На-
пример, число 10 обладает данным свойством (10-1+2 + 3 +
+ 4), то есть является суммой первых четырех натуральных
чисел. Число 10 лежало в сердце пифагорейской мистики. Они
называли его тетраксис, и оно символизировало собой четыре
стихии, гармонию сфер и упорядочивание пространства (0 из-
мерений, 1 измерение, 2 и 3 измерения, представленные в каж-
дой линии). Пифагорейцы молились тпетраксису и клялись им,
считая его создателем богов и людей и источником изменяю-
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
85
щего творения. Также 1, 3, 6 и 15 — треугольные числа (рису-
нок 2). А 6 — это первое совершенное число. На самом деле
любое совершенное число является треугольным.
Число будет квадратным, если оно образовано квадратом
некоего целого числа. Квадратные числа — это 1, 4, 9, 16, 25...
и так далее (рисунок 3).
У нас уже есть все исходные данные, чтобы получить ре-
зультат Ферма: любое число либо треугольное, либо является
суммой двух или трех треугольных чисел. Оно также является
либо квадратным, либо суммой двух, трех или четырех ква-
дратных чисел. Кроме того, оно либо пятиугольное, либо сум-
ма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных. И так далее.
Помимо переписки с Паскалем, Ферма оставил этот ре-
зультат записанным на другом поле ^Арифметики* Диофанта.
Неудивительно, что он сопровождается замечанием, практиче-
ски идентичным замечанию к последней теореме ученого: «До-
казательство этого чудесного результата не помещается на этом
поле, но я собираюсь написать книгу на данную тему». Как
и во многих других случаях, Ферма не сдержал своего обеща-
ния: трактат так и не был написан, и доказательства так
и не было найдено. Лагранж и Гаусс доказали частные случаи,
и, в конце концов, Коши привел общее доказательство
в 1812 году. В любом случае, Ферма не удалось заинтересовать
Паскаля. В 1654 году тот ответил вежливым и скромным пись-
мом, в котором говорил, что не способен достичь той же мате-
матической высоты, что и Ферма, и призывал его продолжать
свои исследования и публиковать результаты.
УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И РАЗНЫЕ РАЗОЧАРОВАНИЯ
Поскольку Ферма не мог обратиться напрямую к Френиклю,
после отказа Паскаля он разработал новый план. Ученый по-
знакомился с трудами англичанина Джона Уоллиса, прочитав
книгу, которую ему предоставил Дигби. И он, и Уоллис разра-
ботали очень похожий подход к решению проблем, связанных
86
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX.
FT DI NFAtiFIS MFLTANqrttS
LVTETIAE PARIS1ORVM.
Sumptibui SiBAtTiANi С я. л moi ст, via
Jacobxa, tub Ckodim.
M DC. XXL
CTM TFtriLKCtO Ftcrf
ВВЕРХУ СЛЕВА:
Издание
1621 года
«Арифметикив
Диофанта,
в котором
Ферма сделал
много известных
сегодня заметок.
ВВЕРХУ СПРАВА:
Джон Уоллис
принял вызов,
который Ферма
бросил
математикам
своего времени.
ВНИЗУ СЛЕВА:
С1636 года
Ферма, как
общеизвестно,
переписывался
с Мареном
Мерсеином
(на изображе-
нии), монахом
ордена
минимов.
Последний
поддерживал
контакт
с главными
парижскими
математиками
того времени,
среди которых
выделяется
Этьен Паскаль,
отец Блеза.
ВНИЗУ СПРАВА:
Виконт Уильям
Браункер
(на изображе-
нии), как и Джон
Уоллис,
интенсивно
переписывались
с Ферма в 1657
и 1658 годах.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
87
с суммами степеней целых чисел. Полный надежд Ферма об-
ратился к Уоллису, пытаясь заинтересовать его проблемами,
которые отверг Паскаль.
Однако для привлечения Уоллиса Ферма разработал иную
стратегию. Если Паскалю он прямо предлагал сотрудничество,
то Уоллису бросил вызов. Ферма написал 3 января 1657 года
из Кастра письмо Клоду Мартену де Лорандьеру с просьбой
распространить его в математическом сообществе. В нем он го-
ворил о двух частных проблемах. Ферма высокомерно говорил,
что Нарбонская Галлия (то есть Южная Франция) даст реше-
ние, если Англия, Фландрия и Кельтская Галлия (то есть Па-
риж) будут неспособны сделать это. Здесь таился скрытый вы-
зов Френиклю, который имел возможность прочитать письмо.
Эти проблемы (а также многие другие, которые Ферма
также поднял в своей корреспонденции, хотя и не говорил о них
открыто) требовали знания уравнения Пелля, общее решение
которого Ферма, без сомнения, нашел: х2 - ру2 - 1, если р —
простое число.
К несчастью, Ферма не получил желаемого ответа. Корре-
спонденты считали его задачи неразрешимыми. Так что через
некоторое время ученый опубликовал некоторые свои резуль-
таты и заявил о необходимости решения теоретических про-
блем более общего характера. В частности, Ферма изложил
уравнение Пелля и попросил решений.
Данное письмо было практически исповедью. Ферма на-
чинал жаловаться на отсутствие исследователей, которые за-
нимались бы чисто арифметическими проблемами (задачами
теории чисел). Он связывал это с тем, что геометрия и ее ме-
тоды запятнали арифметику. Его проект, говорил Ферма, за-
ключался в том, чтобы исключить ее влияние и относиться
к арифметике как к отдельной науке, такой же тонкой, строгой
и сложной, как и сама геометрия. По его мнению, арифметика
должна отдать должное доктрине натуральных чисел как сво-
ему наследию.
Программа Ферма теперь была открыта. Сам того не зная,
поскольку он считал, что возрождает древнее искусство, мате-
матик закладывал основы чего-то совершенно нового: ариф-
88
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
метической науки, которую, без влияния геометрии, можно
было бы изучать саму по себе с тем же успехом, что и греческую
геометрию. К несчастью, никто до Эйлера не рассматривал ее
таким образом. Ферма был одинок среди современников. Фре-
никль решил первую проблему и послал четыре результата. Он
был неспособен (и, возможно, Ферма знал это) дать ее решение
в общем виде. Ответ Уоллиса не мог быть более обескуражива-
ющим. Он написал виконту Уильяму Браункеру, который до-
вел до него вызов Ферма, что не существует общих уравнений
для решения подобных задач, и на них у него, занятого другими
делами, нет времени. Далее он презрительно предложил три-
виальное решение обеих проблем: число 1. Его ответ не дошел
до Ферма. Он остался в Париже, где Дигби показал письмо
Френиклю, который, в свою очередь, поспорил с Уоллисом, мо-
жет ли 1 считаться числом. Зато до Ферма дошло решение Бра-
ункера, с которым Уоллис был согласен. Ученый увидел, что
ни Браункер, ни Уоллис его не поняли: он настаивал на полу-
чении целых решений, а Браункер выявил метод нахождения
дробных результатов.
Ферма ответил Дигби письмом, в котором говорил, что
любой глупец может найти решение Браункера и Уоллиса. По-
думав о традиционной вражде между англичанами и францу-
зами, он, возможно и не желая этого, высказался, по мнению
англичан, оскорбительно, заявив, что «урожай определяется
по полю, на котором он вырос». Таким образом Ферма намек-
нул на отсутствие у них математического таланта, а затем, под-
лив еще масла в огонь, тулузец добавил к своему письму суро-
вую критику книги Уоллиса, которую ему вручил Дигби.
Мы ждем этих решений, и если Англия, Бельгия
или Кельтская Галлия не получат их, то их предоставит
Нарбоннская Галлия.
Отрывок из письма, которое Ферма написал 3 января 1657 года Клоду Мартену де
ЛОРАНДЬЕРУ, БРОСАЯ ВЫЗОВ ЕВРОПЕЙСКИМ МАТЕМАТИКАМ
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
89
Ответ Ферма дошел до всех заинтересованных лиц, но по-
следующая полемика проходила без тулузца, превратившись
в состязание между Френиклем и Дигби, с одной стороны,
и Уоллисом и Браункером, с другой. Уоллис настаивал на том,
что в этих задачах, которые можно было придумать в большом
количестве, не было никакой пользы и сложности. Он не видел
теоретических аспектов, замеченных Ферма. Задачи казались
бессмысленным развлечением, не заслуживающим внимания
«всей Англии, Франции и Голландии».
Уоллис считал, что таких предложений бесконечное мно-
жество, и все они скучны и нецелесообразны, поэтому он не по-
нимал, почему Ферма придает такое значение тому, чтобы уди-
вить Френикля своими «смелыми» утверждениями о частных
уравнениях с ограниченным (или нулевым) числом решений.
Как мы увидели, Уоллис серьезно ошибался. Проблемы, по-
ставленные Ферма, привели к очень плодотворным исследова-
ниям.
Однако Ферма не сдавался. В письме Дигби в июне
1658 года он говорил о своей надежде на то, что Уоллис и Бра-
ункер поймут все так, как он считает нужным. Гораздо более
примирительным тоном ученый просто просил, чтобы англи-
чане признали свою ошибку. Уоллис так и не ответил. Он огра-
ничился тем, что добавил его письмо к заключению к своей
книге об этой полемике. Попытка Ферма добиться того, чтобы
теория чисел пересекла Ла-Манш, провалилась. По иронии,
Джон Пелль, малозначимый английский математик, скопиро-
вал уравнение Ферма (которое, с другой стороны, уже было из-
вестно в Индии) из книги Уоллиса. Его работа дошла до рук
Эйлера, который, не зная, кто истинный автор, назвал данное
выражение уравнением Пелля. Вновь Ферма был обманут по-
следующим поколением.
Все больше сдающийся и разочарованный Ферма предпри-
нял последнюю попытку заинтересовать всех своей страстью
и новым миром, о котором догадывался только он. Эта попыт-
ка была связана со знаменитым нидерландским математиком
Христианом Гюйгенсом, который написал в 1656 году тулузцу,
призывая его опубликовать свои результаты.
90
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Ферма в конце концов создал небольшой трактат, который
послал Каркави, чтобы тот переправил его Гюйгенсу. В данном
трактате математик говорит, среди прочего, о методе бесконеч-
ного спуска (мы уже упоминали о нем в связи с Великой тео-
ремой) и объясняет, как он воспользовался им для доказатель-
ства результата о разложении простых чисел 4А + 1 на сумму
двух квадратных чисел, едва набросав доказательство. Вновь
победила скрытность Ферма, демонстрируя результаты, изло-
женные без доказательства, едва намеченные доказательства
и неполные описания исследования.
В завершение Ферма ссылался на отсутствие времени для
написания законченного трактата и выражал надежду на то,
что другие математики заполнят эти пробелы (он имел в виду
конкретно Френикля и Каркави). Он писал: «Последующие
поколения, возможно, поблагодарили бы меня за то, что я по-
казал, что древние знали не все».
Гюйгенс повторно выразил свое восхищение им, но, как ра-
нее и Паскаль, отказался участвовать в исследовании новой тео-
рии чисел. Так же как и другие математики того времени, он
не видел пользы в том, чтобы заниматься этими проблемами.
Гюйгенс был прикладным математиком, человеком, интересу-
ющимся проблемами физики и их решением с помощью ма-
тематики. Ферма, наоборот, такие проблемы не интересовали.
Разногласие между обоими подходами к математике оказалось
неразрешимым. Если в начале переписки Гюйгенс был вооду-
шевлен Ферма, то ее продолжение все больше разочаровывало
его. Кроме того, что он не понимал открытий Ферма в области
теории чисел, его запись, в которой тот был верным последо-
вателем Виета, была сложной для Гюйгенса в сравнении с бо-
лее ясной записью Декарта. Проблемы, поставленные Ферма,
были либо тривиальными, либо уже решенными, поскольку
иногда математик посылал ему свои прошлые исследования,
возможно не зная, что они уже устарели. Постепенно перепи-
ска прекратилась, а с ней пропала и последняя для Ферма воз-
можность привлечь ученика к работе над его исследованиями.
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
91

ГЛАВА 4
Аналитическая геометрия
Научная деятельность Ферма не ограничивалась теорией
чисел. В XVII веке начинали развиваться аналитическая
геометрия и математический анализ, и ученый стал
одним из их основоположников. И теперь, в отличие
от истории с теорией чисел, французский математик
действовал как часть научного сообщества,
что способствовало полному признанию
его открытий еще при жизни.

И вновь для того чтобы понять вклад Ферма в науку, обратим
свой взгляд назад, к самому рождению алгебры. После огром-
ной эллинской славы в течение Средних веков западная мате-
матика пережила период угасания: в Европе сложно найти
оригинальную работу по математике до Фибоначчи, который
жил на рубеже XII и XIII веков. В мусульманском мире, наобо-
рот, греческое наследие было изучено и развито дальше. Му-
сульмане, среди многих других греческих авторов, перевели
Аристотеля, Евклида, Птолемея, Аполлония и Диофанта.
Кроме того, они также сделали две важнейшие вещи: развили
алгебру и ввели в обиход арабские цифры, распространив их
вместе с использованием десятичных дробей.
Невозможно представить себе развитие западной матема-
тики без языка арабских чисел. Греки не умели выражать ирра-
циональные числа, а неспособность выразить что-то является
препятствием для развития научной мысли. Только представ-
ляя себе некий объект, человек способен рассуждать о нем.
По этой причине введение арабских чисел стало одной из вели-
ких научных революций. Мы получили, в первую очередь, по-
нятие «ноль». Наконец-то стало ясно, что «ничто» можно
выразить. Также появилась форма записи десятичных дробей,
приближенная к записи иррациональных чисел. Кроме того,
арабская система дала нам возможность осуществлять алгорит-
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
95
мически (то есть на основе правил) самые основные операции:
сложение, вычитание, умножение, деление. Вместо того чтобы
работать со счетами, которые необходимы при использовании
римских цифр, впервые стало возможным осуществлять опера-
ции в уме в соответствии с простыми правилами, которые
может выучить любой школьник.
Другим большим новшеством исламской культуры была
систематизация алгебры. Выдающийся исламский математик
Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (780-850) написал трактат
по алгебре, в котором классифицировал различные типы урав-
нений и высказал мысль, что две части уравнения подобны
чашам уравновешенных весов: то, что вычитается или прибав-
ляется в одной части, должно быть вычтено или прибавлено
в другой.
Благодаря проникновению арабской культуры в Европу
стало возможным появление и развитие одной из школ мате-
матики XVI и XVII веков — ренетов, которые просто занима-
лись вычислениями, основываясь на арабской традиции и соб-
ственных первых открытиях. Они были прежде всего прагма-
тиками, не желавшими тратить время на строгость греческого
доказательства. В этой смеси традиций и развивалась деятель-
ность Ферма. С одной стороны, реистский прагматичный под-
ход к решению задач, с другой — геометры и их страсть к систе-
матизированным и выверенным результатам. Но самое боль-
шое влияние на героя этой книги оказал математик Франсуа
Виет; его работы являются связующим звеном, объединяющим
разные направления научной деятельности Ферма. В первую
очередь речь идет о созданной Виетом символической алгебре
и его методах работы с уравнениями.
Уже Диофант в эллинскую эпоху иногда пользовался сим-
волами для обозначения числовых величин, но именно Виет
создал новый язык, который, как и индо-арабская запись, по-
зволял выражать до тех пор невыразимые вещи. Виет был пер-
вым, кто систематично использовал буквы, чтобы обозначать
константы и неизвестные.
Символическая алгебра позволяет представить неизвест-
ное нам число: оно уже не «вещь», а х. Действительно, как
96
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
в случае с Великой теоремой можно выразить числа, «которых,
возможно, даже не существует», — х, у и z из уравнения Ферма.
Символическая алгебра позволяет рассуждать о целых классах
задач и делать утверждения о бесконечном количестве похо-
жих проблем, зная только их алгебраическую структуру, связь
между переменными посредством уравнения. То есть можно
говорить об уравнениях в общем виде. Например, можно бы-
стро и просто сказать, что а2 - Ь2 - (а + Ь) (а - Ь) и что это
выполняется при любых а и Ь. Символическая алгебра осво-
бождает наш ум от тяжелых словесных описаний и позволяет
рассуждать на другом уровне, точно так же, как арабские циф-
ры помогают нам считать. Революция в данной области стала
возможной благодаря Виету, а затем и Декарту.
Теперь необходимо остановиться на некоторых понятиях.
Древнегреческие математики стремились к строгим безукориз-
ненным доказательствам: они назывались «синтетическими»
и шли от гипотезы теоремы до ее заключения, с использовани-
ем логических правил, шаг за шагом. Но редко ученый следует
по такому прямому пути, когда делает свои открытия. Матема-
тик пользуется (и греки не были исключением) эвристически-
ми, неформальными методами для проверки своей правоты,
прежде чем попытаться составить доказательство. В Древней
Греции пробные пути, по которым пытались исследовать дока-
зательство, можно сравнить со строительными лесами, убран-
ными из окончательной редакции доказательства. Они называ-
лись анализом (следует заметить, что это слово имеет абсолют-
но другое значение в современной математике), в то время как
доказательство было синтезом. Анализ ведется от заключения
к гипотезе, в то время как обычное, строгое и синтетическое
доказательство всегда следует в противоположном направ-
лении. К разочарованию своих читателей XVI и XVII веков,
греки не оставили следов используемого ими аналитического
метода, полностью стирая их и демонстрируя только строгость
и красоту синтетического доказательства. Папп, несколько ве-
ков спустя писавший о вершинах эллинской математики, был
одним из немногих авторов, который оставил какие-то свиде-
тельства анализа.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
97
На первый взгляд использование такого приема кажется
странным. Обратные теоремы необязательно верны (см., на-
пример, малую теорему Ферма). Следовательно, перевод ана-
лиза (движения в обратном направлении) в синтетическое
доказательство (скажем так, в правильном направлении, от ги-
потезы к заключению) не является автоматическим. Но греки
прибегали к искусным методам, позволяющим инвертировать
анализ и превращать его в доказательство по правилам. В част-
ности, они заметили, что в геометрии во многих случаях шаги
действительно можно инвертировать. В других случаях они
с той же целью использовали вспомогательные гипотезы.
Анализ в том виде, в каком им занимались греки, также
прижился у арабских алгебраистов и ренетов. В алгебре урав-
нения в основном инвертируются. Если согласно неким пра-
вилам преобразовать уравнение, то всегда можно осуществить
и обратную процедуру. Например, мы можем перейти от записи
а2 - Ь2 к записи (а + Ь) (а - Ь), равно как и совершить обратный
переход. Так происходит потому, что два равных между собой
выражения свободно взаимозаменяемы. Виет осознал это и от-
крыл, что если основывать анализ на алгебре, пользуясь только
действиями с уравнениями и тождествами, то доказательства
автоматически будут истинными. Вышесказанное привело его
к революционному утверждению о том, что анализ и алгебра —
это одно и то же; он назвал это аналитическим искусством.
Теперь имелись общие методы работы с уравнениями, и за-
дачи можно было решать в два этапа: постановка, то есть пере-
вод задачи в область символической алгебры в виде уравнения,
и алгебраические действия для нахождения решения. Этим за-
нимаются на уроках математики в школе. Таким образом, вме-
сто того чтобы делать акцент на решении частного уравнения,
как поступали реисты, Виет сосредоточился на правилах дей-
ствий, совершаемых над уравнением: сложении членов в обеих
частях, вычитании членов, возведении в степень, извлечении
корней, умножении или делении. Кроме того, он искал об-
щие виды операций, которые зависели бы только от структу-
ры уравнения. Значительная часть трактата Виета посвящена
98
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
классификации тождеств, помогающих осуществлять такие
действия.
Если мы видим выражение 3 + 2, то наша естественная ре-
акция состоит в том, чтобы, как делали реисты, осуществить
сложение и поставить 5. Но при этом мы теряем структуру ис-
ходного выражения, сам факт того, что это сложение. Следо-
вательно, мы не можем рассуждать в общем виде о сложении.
Символическая алгебра позволяет нам рассуждать о структу-
рах. Можно сказать, что символическая алгебра сосредотачива-
ется на синтаксисе уравнения, забывая о его содержании и зна-
чении до получения конечного решения. В то же время алгебра
Виета предполагала, что объекты, с которыми мы работаем
(константы и неизвестные), необязательно должны быть чис-
лами. Они могут быть чем угодно — углами в тригонометрии,
геометрическими элементами, — всем, к чему применимы сло-
жение, умножение, возведение в степень и так далее. Алгебра,
которая ранее была только ответвлением арифметики, где ак-
цент делался на решении числовых задач, теперь превращается
в универсальный язык математики.
Математика — это наука о порядке и мере, о красивых
и простых цепочках рассуждений.
Рене Декарт
В данном месте нашего повествования должно стать оче-
видным, какое значение имела для нашего героя работа Виета,
с которой Ферма познакомился в Бордо. Действительно, мы
уже наблюдали у Ферма тенденцию идти от частного к общему,
анализировать структуру уравнений, решающих целый класс
задач, — преимущество, которое он отдавал общему методу
перед конкретным решением локальной задачи. Виет не толь-
ко предлагал методы и решения, он создал математическую
программу, доведенную Ферма до последних выводов. Но он
был не один. Другой великий мыслитель, Рене Декарт, пришел
к таким же заключениям. Они втроем — Виет, Декарт и Фер-
ма — создали методы современной математики, навсегда разо-
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
99
рвав их связь с элегантными построениями Евклида и древне-
греческих геометров. Туда, где раньше царствовали чертежи,
построенные с помощью линейки и циркуля, теперь пришли
алгебраические действия, совершаемые каждый раз над все бо-
лее необычными объектами. Алгебра действительно преврати-
лась в их руках в преимущественный способ математических
рассуждений.
Очевидно, что Ферма многим обязан в математике Виету,
однако остается спорным, до какой степени последний повли-
ял на Декарта. Некоторые историки, например Богран, предпо-
лагают знакомство Декарта с работами Виета, другие считают,
что Декарт, по его же собственным словам, пришел к своим ре-
зультатам независимо. Но так как он систематизировал лучше
Виета, его запись оказалась намного более ясной (вспомним,
что понятная запись в математике может озарить, в то время
как неясная способна сбить с мысли). Также его теория урав-
нений была настолько выше теории Виета, что через одно по-
коление она полностью победила, оставив последнего в забве-
нии. Там, где Виет пользовался изнурительными казуистика-
ми, очень соответствующими образу мысли адвоката, Декарт
рассуждал как философ.
Несмотря на свои революционные догадки, Виет в каких-
то аспектах оставался привязанным к прошлому. Для него не-
известная, возведенная в квадрат, имела очень специфическое
значение: это настоящий, геометрический квадрат, площадь.
То же самое для неизвестной, возведенной в куб: это куб, объ-
ем. И, несмотря на то что он был способен представить себе
большие степени (четвертые, пятые), не имеющие очевидного
геометрического значения, ему не удалось сделать основопола-
гающего шага: подумать о том, что многочлен может быть неод-
нородным, то есть его члены могут иметь различные степени:
ar3 + bx2 + сх = d. Для него подобное было как сложение груш
с яблоками, линии с кубом, квадрата с точкой. Это не имеет
геометрического смысла. Таким образом он сформулировал за-
кон однородности: многочлены должны быть суммами одноч-
ленов одной и той же степени (квадраты с квадратами, кубы
с кубами).
100
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Очевидно, что на плечах Виета еще держалась вся тяжесть
греческого наследия, в котором числа не имеют измерения,
а геометрические фигуры — имеют. Комбинировать их нет
смысла. Для греков понятие измерения неизбежно связано
с умножением геометрических элементов: две перемноженные
линии дают прямоугольник, а прямоугольник, умноженный
на третью линию, дает параллелепипед.
РЕНЕ ДЕКАРТ
Без сомнения, Рене Декарт (1596-
1650) — самая значительная фигура
в философии XVII века, и больше всего
примечателен отказ этого ученого ве-
рить во что-то, что невозможно дока-
зать. Он родился в Лаэ, в провинции
Франции Турень, окончил университет
Пуатье в области права, но вскоре по-
ступил на военную службу в армию
Морица Нассауского в войне Флан-
дрии против Испании. Он также уча-
ствовал в Тридцатилетней войне под
командованием герцога Максимилиа-
на I Баварского, а также в осаде Ла-
Рошели, которую Александр Дюма опи-
сал в своем романе о мушкетерах.
Когда Декарт служил в армии, у него
случилось озарение: все истины долж-
ны быть связаны и основаны на пер-
вичной истине, то есть «я мыслю, следовательно, я существую». Декарт
уверился в том, что разум — это путь к знанию. Большую часть своей жиз-
ни после увольнения из армии он провел в Голландской Республике, пере-
езжая из университета в университет. В 1637 году ученый опубликовал
•Рассуждение о методе» с приложениями. Через четыре года также увиде-
ли свет •Размышления о первой философии». Когда Декарта начал пре-
следовать католический мир, его пригласила королева Швеции Кристина
стать ее наставником. Говорят, что привычка королевы вставать рано
и держать окна открытыми пошатнула здоровье мыслителя, который умер
от воспаления легких 11 февраля 1650 года. Через 13 лет папа Алек-
сандр VII включил работы Декарта в список запрещенных книг.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
101
Ферма было не так-то просто освободиться от этого гре-
ческого наследия, которое мешало работе с более общими
многочленами. Он достиг цели, но в своем привычном стиле,
не подводя твердой теоретической базы к отказу применять
вышеуказанный закон. Декарт, наоборот, обосновал свой отказ
от закона однородности. Он был первым, кто использовал
верхние индексы (к которым мы так привыкли) для обозначе-
ния операции возведения в степень, и он сделал это частично
ради того, чтобы освободиться от недостатков предыдущей за-
писи. Вот пример алгебраической записи Виета: В • A quad +
+ G planum А = Z solido. Quad, planum и solido — это степени,
в которые возводятся Л, G и Z соответственно для сохранения
однородности, с явной геометрической интерпретацией.
Декарт отказался от такой интерпретации, говоря:
«Я сам долго был обманут этими названиями [квадрат, куб] ...
В конце концов после многочисленных экспериментов я заметил:
нет ничего, что можно было бы решить с этой интерпретацией,
чего нельзя было бы решить без нее проще и яснее и что от таких
названий следует отказаться, чтобы они не путали мысли*.
Декарт утверждает, что если, например, треугольник с не-
ким углом и сторонами а и 1 подобен треугольнику с тем же
углом и сторонами ab и Ь, то все геометрические пропорции
соотносятся друг с другом по масштабу и выбранная единица
измерения произвольна. Другими словами, произведение ab,
имеющее степень 2 и являющееся, следовательно, квадратом,
совсем не отличается от линейного числа Ь. Так, не стоит ду-
мать, что представлены различные математические объекты.
С точки зрения измерений они равны.
В итоге метод Виета забыли, и победил Декарт, что нема-
ловажно: абсолютная верность Ферма своему, условно говоря,
учителю Виету затмила собственный вклад тулузца, часто ка-
завшийся тусклым его современникам и последователям, кото-
рые переняли запись и идеи Декарта. Это еще одна из причин,
по которым Ферма оказался непонятым современниками.
102
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Существует и еще одна грань работы Виета, которая по-
влияла на деятельность Ферма. Уже было сказано, что Виет ве-
рил (в основном оправданно) в свое аналитическое искусство,
и эта вера шла рука об руку с некоторым презрением к синтети-
ческой форме доказательств, используемой греками. В работе
^Введение в аналитическое искусство* (1571) Виет утверждал:
поскольку в его анализе предполагалось, что все этапы доказа-
тельства обратимы, синтез в его греческой форме уже не нужен.
Ферма сделал данный принцип Виета одной из основ сво-
его математического исследования. Наряду с его обычным
нежеланием писать полные трактаты этот подход проясняет,
почему он столкнулся с таким непониманием со стороны со-
временников. Действительно, при нескольких аналитических
этапах, которые позволяли ему (как он думал) разглядеть до-
казательство, для Ферма (как и для Виета) строить доказа-
тельство как у греков уже не имело смысла. Это было излишне.
Проблема, конечно же, в том, что его современники не находи-
лись под таким влиянием аналитического метода Виета, как он.
Ферма не смог увидеть данного несоответствия, что привело
ко многим размолвкам и разочарованиям. Наконец, любопыт-
но заметить, как уже было показано на некоторых примерах,
что Ферма использовал символическую алгебру для своих
изысканий, но почти всегда представлял результат в словесном
виде. Таким образом, Ферма находился на рубеже двух тради-
ций: между одним, древним, умирающим миром математики
и другим, который только зарождался.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Настало время немного задержаться на хронологии. В этой
книге в хронологическом порядке уже было рассказано поч-
ти о всей математической жизни Ферма. Но «другая жизнь»
ученого, о которой сейчас пойдет речь, протекала параллельно
и в некоторых случаях даже предваряла описанную нами, по-
этому стоит вернуться назад во времени, в Бордо.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
103
Ферма жил в Бордо во второй половине 1620-х годов.
К тому времени он уже усовершенствовал свой метод максиму-
мов и минимумов и начал восстанавливать работу Аполлония
Пергского о плоских геометрических местах, прямой линии
и круге. Это сочинение было утеряно, но тот факт, что Папп
оставил описания многих античных работ, позволил матема-
тикам XV и XVI веков, которые превратились в настоящих
археологов знания, попробовать восстановить утраченное. Де-
ятельность Виета включала в себя, во-первых, такое восстанов-
ление, а во-вторых, перевод результатов классиков на новый
язык аналитического искусства.
Ферма удалось в значительной степени восстановить ра-
боту Аполлония согласно тому, как ее резюмировал Папп, ко-
торый обобщил 147 теорем и 8 лемм, но одна теорема меша-
ла ему двигаться дальше. Частичное доказательство, которое
он привел, его не удовлетворяло. По возвращении в Тулузу
в 1631 году Ферма начал анализировать данную проблему
в свете новых методов. Уже в 1635 году появляются явные при-
знаки того, что он использовал эти методы для решения клас-
сических проблем. В конце концов он изложил свою теорию
в маленьком трактате под названием «Введение к теории пло-
ских и пространственных мест» (на латыни Ad locos pianos et
solidos isagoge, далее — Isagoge), который послал в Париж Мер-
сенну и Робервалю в конце 1636-го — начале 1637 года. Имен-
но тогда Ферма начал свою переписку с Мерсенном, наводняя
Париж удивительными результатами, не только по теории чи-
сел, но и по геометрии и тому, что с течением времени было
названо анализом. Его работы привлекли внимание француз-
ского математика Жиля де Роберваля (1602-1675), который
работал с похожими проблемами и стал преданным поклонни-
ком судьи из Тулузы.
Isagoge было первым этапом великой революции. Виет уже
предлагал решения геометрических задач алгебраическими
методами, но его задачи сводились к нахождению неких точек
(выполнявших бы некое условие) или пересечений между про-
стыми геометрическими фигурами, такими как прямая и круг,
в которых решением неизменно была точка. Ферма пошел
104
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
еще дальше, ему удалось достичь революционного результата:
ни больше ни меньше — свести всю геометрию (царицу наук,
согласно Платону) к скромной алгебре, служившей еще поко-
ление назад только для решения числовых задач, не имеющих
видимого математического значения. Тулузский математик
изобрел аналитическую геометрию. Поспешим заметить, что
другой великий мыслитель сделал то же самое почти одно-
временно и независимо. Это Рене Декарт, которому обычно
приписывают первенство до такой степени, что координаты,
которыми мы пользуемся, получили название «декартовых».
Однако, хотя нет сомнений в том, что идеи у Декарта созрели
раньше, чем у Ферма, именно тулузский ученый был первым,
кто их опубликовал.
В главе 2 этой книги говорится о том, как математики ищут
мосты между областями, которые на первый взгляд различны
и не имеют никакой связи. Один из первых примеров подобной
деятельности по построению мостов — это аналитическая гео-
метрия, которая так называется, поскольку в ней используется
аналитическое искусство (алгебра) для описания всей геоме-
трии. Внезапно оказывается, что все геометрические проблемы
могут быть решены с помощью алгебры на основе определения
кривых как геометрических мест точек.
График кривой
в двумерном
пространстве,
общее уравнение
которой
y«axa+taa+cx+d.
Геометрическое место точек —
это множество точек, обычно беско-
нечное: то, что мы называем кривой,
несмотря на то что не все эти множе-
ства — кривые в обыденном понима-
нии. Данное множество должно об-
ладать неким свойством. Например,
все точки, равноудаленные от одной
неподвижной, определяют геометри-
ческое место точек под названием
«окружность», а все точки, рассто-
яние от которых до заданной точки
равно расстоянию до заданной пря-
мой, определяют геометрическое ме-
сто точек под названием «парабола».
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
105
Таким образом, каждый раз можно определять все более слож-
ные кривые.
Во время изучения геометрических мест точек, определен-
ных Аполлонием, у Ферма, так же как и у Декарта, случилось
озарение: эти множества, находясь на плоскости, могут быть
полностью определены уравнением с двумя неизвестными.
Оказалось, что размерность не зависит, как считалось
до того времени, от степени уравнения — от того, квадратное
оно или кубическое. Она зависит от числа неизвестных. Так,
если у нас есть две неизвестные, то получатся две кривые
на плоскости (два измерения). Если переменная только одна,
получаются точки на линии (одно измерение), которые ана-
лизировал Виет. Если их три, получаются поверхности в трех
пространственных измерениях.
Не важно, что уравнение — это многочлен третьей степени;
оно определяет не трехмерную поверхность, а, если в нем две
неизвестные, всего лишь двумерную кривую (см. рисунок).
Теперь ничто не мешало анализировать многочлены боль-
шей степени. Это изменение понятия размерности стало шагом
на пути к аналитической геометрии. К тому же эти перемен-
ные были связаны друг с другом посредством неопределенного
уравнения, то есть уравнения с бесконечным числом точек —
геометрического места точек.
До аналитической геометрии геометрические места точек
описывались в соответствии с их свойствами, например в слу-
чае с коническими сечениями — пересечениями объема и пло-
скости. Аналитическая геометрия полностью изменила пара-
дигму, позволив, чтобы ограниченное число кривых, которые
изучали греки и которые должны были строиться по одной,
умножилось до бесконечности. Это не преувеличение. Дей-
ствительно, число уравнений с двумя неизвестными бесконеч-
но, и так как каждому из них соответствует кривая, количество
возможных кривых также бесконечно.
Кроме того, алгебраизация геометрии позволяла ввести
в последнюю гибкость алгебраических операций — сложения,
вычитания, умножения, деления, возведения в степень и из-
влечения корня, — что вместе с теорией уравнений позволяло
106
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
решать многие задачи почти механически. В сравнении с тру-
доемким начертательным методом греческих геометров ана-
литическая геометрия была чрезвычайно мощным методом
решения задач. Это как раз доказал Ферма, взявшись за неко-
торые теоремы Паппа, которые до этого никто не мог доказать,
АПОЛЛОНИЙ И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Аполлоний Пергский (ок. 262 — ок. 190 до н.э.) систематизировал изуче-
ние кривых, называемых коническими сечениями, которым он дал их се-
годняшнее название. Конические сечения определяются пересечением
плоскостью конуса под разными углами. Можно доказать, что, кроме слу-
чаев вырожденных сечений, все виды конических сечений можно свести
к следующим случаям. Если пересечь конус параллельно образующей,
результатом сечения будет парабола; если угол между плоскостью и осью
конуса больше, чем угол при образующей, получается эллипс; когда секу-
щая плоскость перпендикулярна оси — окружность; наконец, если пло-
скость пересекает обе полости конуса, мы видим гиперболу. Свойства,
сформулированные математиком из Перге, позволили каждой из них
иметь определяющую характеристику, которая отличает ее от всех осталь-
ных конических сечений и выражена в виде пропорции. Именно на осно-
ве этих характеристик Декарт и Ферма строили свое изучение соответству-
ющих уравнений.
Окружность
Эллипс
Парабола
Гипербола
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
107
а также занявшись задачей
Галилея и поправив само-
го тосканского ученого.
В то время как Галилей
думал, что пушечное ядро,
падающее к центру Земли,
движется по круговой тра-
ектории, Ферма выяснил,
что данная траектория яв-
ляется спиралью. Галилей
в переписке с Ферма со-
Иллюстрация
метода
координат
Ферма и того,
как определя-
ется геометри-
ческое место
точек.
гласился с его поправкой.
Между тем работа Декарта в этой области хотя и привела
к крайне богатым результатам, была им заброшена. Он хотел
показать новый образ мысли, а не находить новые математиче-
ские результаты. Парадоксально, что в 1637 году, когда матема-
тическая карьера Ферма едва только начиналась, Декарт
по собственной воле заканчивал свою. Опубликованная им
«Геометрия* была частью книги, содержащей три научных
трактата, которым предшествовало знаменитое «Рассуждение
о методе*. Она в глазах самого Декарта была только иллюстра-
цией того метода, что он открыл, неоспоримым доказатель-
ством силы его философии. Эта работа, опубликованная
в 1637 году, стала лебединой песней математики Декарта,
а именно в то время Ферма начал работать с наибольшим
пылом. Эти два гения имели между собой мало общего. Декарт
внес огромный вклад в науку, однако просто как факт следует
отметить, что его математический гений блистал лишь в тече-
ние нескольких чудесных лет. Декарт был прежде всего фило-
софом, а Ферма — математиком в чистом виде. Они
использовали разные подходы к решению задач. Для Декарта
было достаточно разработать метод, а Ферма было необходимо
применять его к решению математических задач.
Как уже упоминалось, интерес Ферма к аналитической гео-
метрии возник из его попыток восстановить сочинение Апол-
лония. В процессе этой работы он пришел к мыслям, которые
отразил в своем Isagoge, где можно прочитать следующее:
108
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
«Каждый раз, когда две величины [две неизвестные] находятся
в равенстве..., существует такое геометрическое место..., что ко-
нечная точка (этих величин] описывает прямую или кривую ли-
нию».
Согласно историку Карлу Бойеру, данное утверждение со-
ставляет одну из самых больших революций в истории матема-
тики. Его нельзя доказать напрямую; это постулат. Но Ферма
посвящает остаток своего маленького трактата иллюстрации
его пользы, анализируя частный случай кривых: конические
сечения, прямую линию и окружность (которую в древности
не считали коническим сечением).
Ферма не создавал прямоугольную систему координат,
которая так хорошо знакома нам сегодня. Его аналитическая
геометрия одноосная: определяется только ось абсцисс. Одна-
ко очевидно, что он скрыто использует ось ординат при опре-
делении расстояний.
На рисунке показаны элементы аналитической геометрии
Ферма. У нас есть уравнение с двумя неизвестными х и у и кон-
стантой с, /(х, у) = с. Расстояние х0 — это явно значение абс-
циссы, в то время как ордината задана значением длины
отрезка yQ. Заметьте, что угол а необязательно прямой, как это
было бы в современной системе декартовых координат. На са-
мом деле угол произволен (более поздние авторы поняли, что
намного проще сделать угол а прямым). Точка, которая движет-
ся по геометрическому месту точек, — А. Мы можем видеть, как
она движется к положению Л’, которое соответствует абсцис-
се xt и ординате уг Следует заметить, что f(x0, у0) - f(xv у{) -
= с, то есть уравнение выполняется для всех точек А геометри-
ческого места точек, и наоборот, точки А полностью определя-
ются уравнением. Это ключевое соответствие между
геометрией и алгеброй, предоставляемое аналитической геоме-
трией (запись современная — Ферма не использовал запись
функции f(x, у)).
В этом изложении есть скрытое понятие, которое было
основополагающим для развития анализа: непрерывное изме-
нение. Используя единственную ось, Ферма сосредоточился
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
109
на том, как движется точка по кривой, определяющей геоме-
трическое место. Это концептуально отличается от процесса
графического представления точек на плоскости с двумя ко-
ординатными осями и помещения между ними кривой, как
большинство из нас научилось делать при составлении графи-
ка. Видение Ферма динамично: оно соответствует точке, дви-
гающейся по некоей траектории, и, следовательно, почти слу-
чайно Ферма придал физическую реальность аналитической
геометрии, которая оказалась основополагающей в последу-
ющих работах Ньютона, Лейбница и семьи Бернулли. Другая
отличительная характеристика системы Ферма в том, что она
включает в себя только положительные величины в области
и абсцисс, и ординат, поэтому его кривые всегда находятся
в первой четверти плоскости и, следовательно, иногда теряет-
ся от половины до трех четвертей их протяженности. Парабола
с вершиной в начале координат и фокусом на оси х, например,
была бы только половиной параболы.
Центральная теорема, которую Ферма доказывает в своем
Isagoge, состоит в том, что все конические сечения, помимо пря-
мой линии и окружности, могут быть выражены общими урав-
ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ
В приложении, которое вышло через некоторое время после Isagoge, Фер-
ма представил общий метод превращения уравнения третьей или четвер-
той степени в систему уравнений второй степени. Речь идет о поиске точ-
ки пересечения между двумя кривыми. Так, уравнение х3 + bx2 = Ьс
с помощью введения новой переменной у превращается в два неопреде-
ленных уравнения: х2 + bx = by, с = ху. Речь явно идет о пересечении меж-
ду параболой и гиперболой. К сожалению, геометрический «дух» метода
помешал Ферма найти больше одного корня (пересечения), поскольку под
влиянием греков он довольствовался только одним положительным кор-
нем. Математик пользовался этими результатами для выступления против
классификации кривых Декарта в полемике, которая на сегодняшний день
оказалась бесплодной, поскольку данные классификации, как выяснилось,
не имеют значения.
но
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
нениями второй степени или первой степени (в случае
с прямой). Ферма делит все возможные уравнения первой или
второй степени на семь «канонических» случаев, доказывая,
что любое уравнение первой или второй степени можно свести
к одному из них: они относятся, соответственно, к окружности,
эллипсу, параболе, двум видам гиперболы и двум видам прямой
линии. Доказательства для каждого случая намного более под-
робные, чем те, что обычно давал Ферма, но даже здесь было
опущено несколько шагов, которые казались математику оче-
видными, поскольку они вытекали из классических сочинений,
таких как «Данные» Евклида, трактат «Конические сечения»
Аполлония или работа Виета.
Как и Виет, Ферма неизменно опускает синтетическое до-
казательство, считая его тривиальным и пользуясь только ана-
литическим методом, чтобы дойти от уравнения
до геометрического места точек. Однако ясно: ученый считает,
что его теоремы обратимы (и это соответствует действитель-
ности), то есть для любого геометрического места точек также
есть уравнение. Кроме того, в своих доказательствах Ферма ис-
пользовал, чрезмерно не выделяя их, ряд преобразований, ти-
пичных для аналитической геометрии, таких как перемещение
круга (чтобы его центр совпадал с началом координат), враще-
ние параболы или изменение переменной. Ученый уже знал,
что он может осуществить эти преобразования, и его результат
все равно не потеряет обобщенности.
Заложив основы аналитической геометрии на плоскости,
Ферма затем принялся за попытки распространить свои ре-
зультаты на трехмерное пространство. Однако его математи-
ческие методы не справились с такой задачей. Отсутствие си-
стемы координат оказалось роковым; визуализация геометри-
ческих результатов в трех измерениях без соответствующих
координат слишком сложна, и Ферма так и не добился своей
цели.
Декарт был первым, кто рассуждал об алгебре как о виде
мыслительного процесса, но ясно, что Ферма, менее склонный
к философии, был твердым сторонником данного подхода.
Им вдвоем удалось создать новое математическое мышление,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
111
актуальное и сегодня. Очевидно, что Ферма не знал этого,
но, вероятно, он был одним из последних математиков, ко-
торые так глубоко интересовались классиками. Герой нашей
книги хотел возродить классическую традицию, восстановив
самые значимые работы, однако на самом деле похоронил ее.
Инструменты, которыми он пользовался для того, чтобы рас-
крыть забытые секреты Древней Греции, открыли новый мир,
и из-за этого многие классические греческие методы потеряли
свое значение.
112
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 5
Вклад Ферма
в дифференциальное
и интегральное исчисление
Аналитическая геометрия стала основой,
с помощью которой были созданы другие революционные
методы, в частности математический анализ. Ферма
понял, что если можно использовать уравнение
для полного описания кривой, то можно применить
алгебраические действия для изучения свойств этой
кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому
пришлось преодолеть извилистый путь.

Еще в Бордо (где он установил связь с кружком последователей
Виета и получал частные уроки математики от Жана Бограна),
в молодости, Ферма работал над методом нахождения макси-
мальных и минимальных значений, который, поскольку воз-
ник раньше, чем он изобрел аналитическую геометрию, не был
основан на ней. Однако в течение примерно 15 лет математик
возвращался к данной теме снова и снова, сочиняя небольшие
трактаты, посвященные ей, и обсуждая ее в своей переписке.
Эти записи наглядно показывают, как менялись мысли Ферма
о его методе. В одном из писем Мерсенну он пообещал, что ког-
да у него будет время, он напишет о нем большой трактат, чего
так и не сделал. Речь идет о колоссальной потерянной возмож-
ности: если бы тулузский математик сдержал свое обещание,
не исключено, что сегодня автором дифференциального исчис-
ления мы считали бы Ферма.
Для ученого была характерна несколько хаотичная мане-
ра работы. Однажды Декарт с презрением сказал, что Ферма
просто решает задачи (как реисты), а не систематизирует. Воз-
можно, в чем-то он был прав. Гению из Тулузы было достаточ-
но убедиться в том, что метод работает, чтобы увериться в его
обобщенности, и он забывал про его доказательство. Исследо-
вание максимумов и минимумов не стало исключением.
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
115
ПОЛЕМИКА С ДЕКАРТОМ
В 1636 году в Париже начала распространяться рукопись
Ферма под названием «Метод определения максимумов и ми-
нимумов и касательных к кривым линиям* (которую мы бу-
дем далее именовать Methodus, по ее латинскому названию).
Methodus, написанная, вероятно, в 1629 году, состояла едва
лишь из 600 слов. Она представляла собой пару инструкций,
алгоритмов. Не было ни одного намека на то, как Ферма при-
шел к описанному результату, и ни одного доказательства. Как
мы увидим, отсутствие ясности в Methodus вызовет у ученого
немало проблем. Из-за своеобразной манеры изложения сочи-
нение выглядело абсурдно. Практически сразу же, благодаря
вмешательству Декарта, вокруг Methodus развязалась огром-
ная полемика, и Ферма пришлось впервые и практически един-
ственный раз в своей жизни дать детальное объяснение своего
метода. Целых пять рукописей, включая письмо Брюлару, на-
писал наш герой на эту тему. Самая важная из них — * Анали-
тическое исследование метода максимумов и минимумов* (да-
лее ^Аналитическое исследование*), в котором он объединяет
два подхода, с одной стороны, исходя из работ Виета, а с дру-
гой — опираясь на труды Евклида и Паппа.
Действительно, Папп столкнулся с задачей, в которой ему
потребовалось получить максимум. Такие задачи привычны
для нас сегодня: например, найти геометрическую фигуру, об-
ладающую наибольшим объемом с наименьшей площадью
поверхности (сфера). Или, в качестве обратной задачи, опре-
делить, являются ли пчелиные соты оптимальной формой
покрытия плоскости. Как видно, у данного типа задач много
общего с задачами на оптимизацию. В любом случае, внимание
Ферма привлекло то, что максимум, который искал Папп, был
«единственным и исключительным». Пользуясь своими гу-
манитарными способностями, Ферма смог понять автора, что
считал невозможным сам переводчик Паппа на латынь, Феде-
рико Коммандино. Папп говорил о том, что экстремум являет-
ся единственным. На основе этого, а также опираясь на работы
Виета, Ферма придумал, как составить квадратное уравнение,
не
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
СИНКРИЗИС ВИЕТА
Синкризис состоит в том, чтобы скомбинировать похожие уравнения с це-
лью получить выражения, в которых корни связаны с их коэффициентами.
Например, из уравнения Ьх - х2 = с, корнем которого является х, можно
получить уравнение by - у2 = с, где у — другой корень. Виет приравнивал
оба уравнения: Ьх - х2 = by - у2, откуда
2	2
Ь(х - у) - х2 - у2 *• Ь - - —
и после замены с = (х + у) х - х2 = х2 + ху - х2 = ху. Таким образом, как Ь,
так и с выражаются через х и у.
отвечающее условиям задачи Паппа, у которого было бы толь-
ко одно решение.
Вспомним, что у квадратного уравнения обычно два корня
(мы говорим «обычно», поскольку во времена Ферма некото-
рые корни — от иррациональных до комплексных, не говоря
уже об отрицательных — не допускались). Дело в том, что Виет
изобрел метод выражения коэффициентов уравнения через два
его корня, который он назвал синкризис.
Ферма воспользовался данным методом для выполнения
действий со своим квадратным уравнением в инновационной
форме. Он утверждал, что существует один корень х, а другой
корень он назвал х + А, где А, как он пояснял, может быть лю-
бым значением. Далее следовал решительный и странный шаг.
Ферма «приравнял» уравнение со значением х к уравнению
со значением х + А: /(х) - /(х + А). Он назвал эту операцию
«приравнять», воспользовавшись термином, взятым у Дио-
фанта. Однако на самом деле во всей теории уравнений Виета
не существует формального математического обоснования для
осуществления этой странной операции.
Далее, в довершение всего, Ферма занялся тем, чтобы ис-
ключить некоторые члены, содержащие А, с помощью деления
на А:
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
117
МЕТОД МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ ФЕРМА
Проиллюстрируем метод примером: разделим отрезок ДВ точкой Е так.
чтобы АЕ -ЕВ было максимумом.
I--------------------------1---------------------------1
А	Е	В
Пусть ДВ = Ь.
1.	Тогда если ДЕ - а, ЕВ - Ь - а.
2.	Следовательно, произведение, максимум которого нужно найти, рав-
но ab - а2.
3.	Теперь заменим изначальную неизвестную а на а + е. то есть на другой
корень. Следовательно, отрезок ДЕ теперь равен а + е. а отрезок ЕВ
равен b - а - е. в связи с чем произведение их обоих равно ab - а2 +
+ be - 2ае - е2.
4.	Приравниваем (2) и (3), так что ab-a2+be - 2ае - е2=ab-a2. Упроща-
ем: Ье-2ае-е2=0<->Ье=2ае+е2. Эта операция подобна синкризису:
осуществляется приравнивание вместо обычного равенства.
5.	Осуществляется деление на е до тех пор. пока в одном из членов
не останется ни одного е: Ь=2а+е.
6.	Устанавливается, что е равно нулю: Ь=2а.
b
2
7.	Следовательно, а -
Очевидно, что речь идет о середине отрезка.
Лх)вЛх+Л)
h h
Наконец, он постановил, что h равно нулю и, следова-
тельно, оба корня — это один-единственный корень. Это способ
зафиксировать один корень и сделать так, чтобы второй корень
равнялся ему. Но на самом деле казалось, что Ферма в данном
118
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
случае просто разделил на ноль без какого-либо теоретического
обоснования.
Это очень похоже на то, что делают сегодня, когда вычис-
ляют производную, определение которой дал Коши только
в XIX веке, и, приравнивая ее к нулю, находят максимумы
и минимумы. Такое сходство привело к тому, что некоторые ма-
тематики (Лагранж, Пьер-Симон Лаплас) и историки науки
считали дифференциальное исчисление изобретением Ферма.
К сожалению, они ошибались.
Верно, что Ферма приближался к методам современного
дифференциального исчисления. Эта Л, по мысли Готфрида
Лейбница и Исаака Ньютона, — бесконечно малая величина,
которая, говоря проще, не равна нулю, но может считаться
при некоторых обстоятельствах за ноль. Только когда Коши
удалось сформулировать понятие предела, эти идеи получили
строгое математическое выражение.
Ферма не делал различия между конечными и бесконечно
малыми величинами, по крайней мере в своих работах о мак-
симумах и минимумах и касательных, которые появились в от-
носительно раннее время его математической жизни. А это
различие является основополагающим. Ферма считал, что h,
расстояние от исходного корня, полностью произвольно: оно
может быть большим или малым, по желанию. Очевидно, что
эта мысль сильно отличается от понятия бесконечно малых,
небольшая величина которых должна быть произвольной.
На самом деле Ферма никогда не думал, что его максимумы
и минимумы могут быть локальными, а не глобальными. Ло-
кальный максимум может быть найден только с помощью ме-
тодов анализа бесконечно малых. В любом случае, справедли-
во заметить, что с помощью метода Ферма можно было даже
определить, является решение максимумом или минимумом.
Предыдущее воспроизведение мысли Ферма основано
на ^Аналитическом исследовании». Достоверно известно, что
тулузец начал с задачи, упомянутой Паппом, а историкам уда-
лось восстановить на основе многочисленных записей его рас-
суждения. В любом случае, по своей неискоренимой привычке
Ферма, даже когда формулировал шаги доказательства в *Ана-
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
119
литическом исследовании*, был краток в своих объяснениях. Он
опускал некоторые шаги, веря, что читатель сможет заполнить
пробелы. Читатель должен был быть эрудитом, знающим наи-
зусть, что такой-то шаг подтверждается теоремой Аполлония,
другой шаг — теоремой Паппа, а третий верен, поскольку это
уже доказал Виет. Более того — в изначальном варианте
Methodus, как мы уже сказали, не было даже таких набросков
доказательства, как в «Аналитическом исследовании*, ни ма-
лейшего обоснования странных действий, которые предприни-
мал наш герой: Ферма ограничивался тем, что давал алгоритм.
Очевидно, что инструкция без малейших объяснений, с деле-
нием на нуль, шокировала современников ученого, и те из них,
кто приятельствовал с Ферма, попросили у него объяснений,
а остальные безжалостно напали на него. Кроме того, Methodus
ограничивался решением двух уже решенных задач, в которых
находятся касательные к параболам. В сочинении, по крайней
мере внешне, не было ничего нового, но содержалось много
проблематичного.
Собственно, в Methodus Ферма сформулировал способ на-
хождения касательной к любой заданной кривой. Он с гордо-
стью говорил, что этот метод абсолютно общий и работает всег-
да, но не обосновывал своего утверждения. Упомянутый им ме-
тод нахождения касательных, естественно, исходил из его же
120
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
метода максимумов и минимумов. Действительно, Ферма по-
нял, что, так как классические греческие кривые (конические
сечения, окружности и прямые линии) были определены через
пропорции, решить задачу касательной равносильно тому, что-
бы найти минимум некоей пропорции между двумя величи-
нами. Его метод максимумов и минимумов также работал для
максимизации или минимизации некоторой величины или
пропорции. Следовательно, нахождение касательной было его
естественным применением.
Рассмотрим метод Ферма детально. Возьмем параболу, по-
казанную на рисунке. Мы ищем касательную в точке В, прямую
ВЁ. Ферма рассматривал произвольную точку О, внешнюю
по отношению к параболе. Здесь ясно видно, что он был еще
далек от понятия бесконечно малых; в анализе бесконечно ма-
лых точка О должна была находиться произвольно близко к точ-
ке В. Затем он рассмотрел свойство параболы, определенное
Аполлонием в виде пропорции:
ВС2/ZI2-CD/DI, так как 67>z7, CD/D1 >ВС?/ОР.
По подобию треугольников ВСЕ и OIE получается, что
ВС/01 -СЁ/ТЁ, поэтому CD/ЕЙ >СЁ*/ЕЁ*.
Пусть CD -d, CI -е и СЕ - а. Этот последний отрезок —
подкасательная. Тогда
d а2
d-e (а-е)2
и d(a - е)2 > а2 (d - е), откуда da2 - 2dae + de2 > da2 - a2e.
Затем приравниваются оба члена неравенства: da2-
-2dae + de2=da2-a2e, и после сокращения и перестановки чле-
нов: de2 + a2e=2dae. При делении на е: de + a2=2da. Наконец,
Ферма игнорировал член, содержащий е: а2 - 2da, из чего а “
- 2d. Таким образом можно найти точку Е, определив подкаса-
тельную к параболе ( СЁ ).
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
121
КАСАТЕЛЬНЫЕ К МЕХАНИЧЕСКИМ КРИВЫМ
В своей «Гвометрии* Декарт сделал различие между геометрическими
и механическими кривыми. Первые имели выражение в алгебраических
уравнениях, то есть многочленах. Механические кривые, наоборот,
не имели такого выражения; они представляли собой траекторию пере-
мещения некоей точки, которая двигалась в соответствии с определен-
ными правилами. В «Гвометрии» Декарт счел невозможным анализ ме-
ханических кривых. Зато Ферма в своей безымянной рукописи 1640 года
изучал три геометрические кривые: циссоиду, конхоиду и декартов лист,
а также циклоиду — механическую кривую. Циклоида — это ответ на ка-
жущийся парадокс Аристотеля о расстоянии, которое проходят две точки,
расположенные в двух
концентрических
окружностях, катящих-
ся по линии. Циклоида
образуется движением
определенной точки
колеса, катящегося
без скольжения
по прямой. При анали-
зе этой проблемы
Ферма был вынужден,
«чтобы избежать ирра-
циональности», при-
равнять отрезок RB
касательной к отрезку
RN кривой.
Methodus был написан до того, как Ферма изобрел аналити-
ческую геометрию. Единственное представление о классиче-
ских кривых все еще принадлежало Аполлонию. Именно
поэтому Ферма продолжал применять геометрические опреде-
ления грека вместо своего более позднего алгебраического
представления. Но в «Аналитическом исследовании* Ферма
уже был способен использовать огромную силу своих алгебраи-
ческих уравнений для подхода как к проблеме максимумов
122
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и минимумов, так и к проблеме касательных. Действительно,
в его записях было каждый раз все меньше диаграмм. Ему было
достаточно уравнения, которое полностью определяло кривую,
для глубокого анализа ее свойств. С помощью такого уравнения
он мог искать максимумы и минимумы, с одной стороны, и ка-
сательные, с другой. Алгебраический метод вновь показывал
свою эффективность. В последующие годы он пошел еще
дальше, практически дойдя до понятия произвольно малого
расстояния в работе о касательной к циклоиде, то есть находясь
на самом пороге дифференциального исчисления.
Но Ферма лишь наполовину осознавал огромную силу
своих методов. Увлеченный — как и все его современники,
а также его учитель Виет — восстановлением великого труда
греков, он не обратил внимания на то, что его мысль пошла
по пути, открывающему новые возможности перед математи-
кой. Захваченный прошлым, он не смог справедливо оценить
важность своих достижений.
Действительно, вспомним, что производная в заданной
точке кривой определяется как угловой коэффициент каса-
тельной к данной точке. Ферма этого не видел... поскольку
на самом деле ему не пришло в голову рассматривать угловой
коэффициент как уравнение. Действительно, он вычислял
не угловые коэффициенты, а подкасательные, то есть проекции
касательной на ось абсцисс, и делал справедливый вывод о том,
что как только вычислена данная проекция, нарисовать каса-
тельную тривиально просто. Очевидно, именно по этой причи-
не он так и не заметил, что угловой коэффициент может быть
также выражен в виде кривой, определенной уравнением. Фер-
ма был неспособен увидеть, что существует отношение между
двумя уравнениями с двумя переменными, в котором диффе-
ренцирование — это способ превратить одно в другое. Как бы
то ни было, нам нужно вернуться в то время, когда Methodus
только начал распространяться: аналитическая геометрия
и обоснования «Аналитического исследования» были в бу-
дущем. В Methodus есть только инструкции. Чтобы поверить
Ферма, требовалась благосклонность к автору, а в то время
жил человек, который очень недружелюбно относился к Пьеру
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
123
де Ферма и совсем не собирался проявлять к нему подобных
чувств. Этим человеком был не кто иной, как Декарт.
До определенного момента уже занимавшийся науч-
ной деятельностью Декарт не знал о существовании Ферма.
В 1637 году, когда едва начиналась переписка Ферма с Пари-
жем, он заканчивал свой знаменитый труд «Рассуждение о ме-
тоде*, куда в качестве приложений были включены три ра-
боты. В них Декарт пытался проиллюстрировать мощь своей
философии. Одной из них была «Диоптрика*, другой — «Гео-
метрия*, в которой ученый впервые излагал свое понимание
теории уравнений и аналитической геометрии. Он был уверен,
что никто не сделал ничего подобного. Декарт полагал, что за-
ново создал философию, сформулировав правила корректного
мышления и проиллюстрировав, как их применять в матема-
тике и физике.
К тому времени он уже вступил в полемику с некоторыми
математиками. Судьба распорядилась так, что этими математи-
ками были Роберваль и учитель Ферма, Богран, — друзья
Ферма, на которых он рассчитывал в период своей известности
в кружках Парижа. Декарт сурово раскритиковал «Геоста-
тику* Бограна. В свою очередь, Богран обвинил Декарта в том,
что тот совершил плагиат теории уравнений Виета, его учителя.
Кроме того, похоже, что Богран воспользовался своей должно-
стью королевского секретаря (которая давала впечатляющую
власть), чтобы получить экземпляр «Диоптрики* Декарта. Со-
чинение оказалось в руках Ферма до публикации, в связи с чем
на Мерсенна обрушился гнев Декарта.
Обеспокоенный Мерсенн попросил Ферма не комменти-
ровать трактат публично, а направлять всю переписку через
него. Ферма, не знавший всего, что произошло, воспринял это
как просьбу прокомментировать труд Декарта. В своем письме
он говорил, что «Диоптрика* кажется ему попыткой исследо-
вателя вслепую изучать что-то в темноте и результаты его —
плод круговой аргументации: автор доказывает свои тезисы
с помощью аргументов, истинность которых основывается
на его же тезисах. Мерсенн, поколебавшись, переслал это пись-
мо Декарту. Примерно в то же самое время Декарт получил
124
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
экземпляр первого трактата Ферма, посвященного восстанов-
лению работы Аполлония. Поскольку это была ранняя работа,
Декарт отнесся к ней с презрением.
Ученый решил, что Ферма не понял его «Диоптрику»,
поэтому через Мерсенна порекомендовал ему хорошо ее про-
читать, добавив, что если он также проштудирует его «Геоме-
трию», то сможет стать успешным учеником. Очевидно, что
Декарт недооценивал своего оппонента. Через некоторое вре-
мя он получил экземпляры Methodus и Isagoge, присланные
Ферма, гордость которого, возможно, была уязвлена, и он хо-
тел доказать свою значимость. В этот момент Декарт явно по-
нял свою ошибку: Ферма был математиком высшего уровня.
Действительно, он тоже открыл аналитическую геометрию, ко-
торой так гордился сам Декарт!
Вместо того чтобы признать талант своего соперника, Де-
карт решил, что Ферма — участник заговора (в котором также
замешаны ненавидимые им Роберваль и Богран), направлен-
ного на то, чтобы разрушить работу всей его жизни, его сокро-
вище, «Рассуждение о методе». Действительно, в письме
Мерсенну в январе 1638 года Декарт жаловался на то, что его
интеллектуальное детище пытаются задушить еще в колыбели.
И хотя ученый и не говорил этого открыто, возможно, он также
думал, что из-за бестактности Бограна и Мерсенна Ферма со-
вершил плагиат его аналитической геометрии. Далее мы приво-
дим фрагменты ответов Декарта Мерсенну.
Май 1637 года
<[...] Вы посылали мне предложение математика, советника из Ту-
лузы, очень красивое, и оно мне очень понравилось. Поскольку
оно во многом может с легкостью быть решено тем, что я написал
в своей «Геометрии», [...] я надеюсь, что этот советник, если он
открытый и честный человек, окажется одним из тех, кто извлек
наибольшую выгоду из моей работы [...]».
18 января 1638 года
«[...] я даже не хочу называть его имени, чтобы он не чувствовал
себя настолько пристыженным ошибками, которые я у него нашел,
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
125
а также потому что мои намерения не в том, чтобы оскорбить ко-
го-либо, а лишь чтобы защититься. И так как я чувствую, что он
не упустит возможности чваниться за мой счет во многих работах,
я думаю, что лучше пусть многие увидят мою защиту. [...] И если,
несмотря на это, он скажет Вам, что хочет послать мне другие ра-
боты, прошу Вас попросить его, чтобы он лучше обдумал преды-
дущие; если он этого не сделает, прошу Вас не посылать их мне».
Как бы то ни было, Декарт нашел слабое место своего со-
перника: это была не аналитическая геометрия, a Methodus.
Действительно, в отсутствии у Ферма метода, обоснования или
доказательства Декарт увидел идеальную возможность нападе-
ния на него. В ядовитой форме он вернул ученому комплимент
«вслепую». Согласно Декарту, в работе Ферма не было ника-
кого оригинального результата. Он пришел к выводам, извест-
ным и ранее, случайно и не прилагая усилий. Л tdtons («на
ощупь»), аналогично тому выражению, которое Ферма приме-
нил к нему. Ферма показал, как получить касательную к пара-
боле. Однако его метод был одинаковым для любой другой
кривой без каких-либо изменений, что явно было абсурдно, по-
скольку касательная к параболе — это не то же самое, что каса-
тельная к эллипсу. Декарт отрицал, что метод касательных
вытекает из метода максимумов и минимумов.
Как мы видели, ответ Декарта (всегда через Мерсенна)
был разгромным. Он открыто выражал презрение к матема-
тику, даже не упоминая его имени и говоря, что если Ферма
не пересмотрит свои работы, то он не снизойдет до чтения дру-
гих его результатов, которые тот обещал ему послать. В то же
время он обвинял Ферма в том, что тот систематично нападает
на него, хотя в действительности тулузский ученый всего лишь
один раз выступил против его * Диоптрики*.
«[Я бы предпочел] ничего не говорить о статье, которую Вы
мне прислали [Methodus], поскольку я не могу сказать ничего
в пользу того, кто ее написал
Декарт в письме, посланном Мерсенну 18 января 1638 года, о работе Methodus Ферма
126
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Мерсенн в этой полемике проявил редкий талант к прово-
цированию скандала. Вместо того чтобы послать ответ Декар-
та напрямую Ферма, он, в свою очередь, направил его париж-
ским врагам Декарта, Этьену Паскалю и Робервалю, которые
не мешкая вступили в полемику, действуя как слон в посудной
лавке, часто неправильно истолковывая работу своего подза-
щитного. Это подтвердило худшие страхи Декарта: против
него организовали заговор, и Ферма являлся только пешкой
в руках парижан.
В любом случае, Декарт перешел некоторые границы. Если
его второе возражение, направленное на то, что метод касатель-
ных не вытекает из метода максимумов и минимумов, понятно
с учетом неясности изложения Methodus, то первое было просто
абсурдным. Декарт утверждал, что метод Ферма дает одну
и ту же касательную для любой известной кривой, но это была
неправда, поскольку замена слова «парабола» на слово «эл-
липс» требует и замены математического определения пара-
болы на определение эллипса, и в этом случае метод Ферма
работал бы безукоризненно.
Декарт закончил свое письмо в очень снисходительном
тоне, снова рекомендуя Ферма прочитать внимательно ^Гео-
метрию^, в которой, как он утверждал, было все, что Ферма
открыл. Только с помощью его книги, заключал Декарт, можно
прийти к истине. Таким образом, столкнувшись с математиче-
ским гением того же уровня, Декарт не мог этого признать: он
лишь уверил себя в том, что монополия на истину была у него.
Чтобы доказать свою точку зрения, Декарт бросил вызов:
попросил Ферма найти касательную к заданной кривой, кото-
рую затем назвали «декартов лист». Ферма ответил правиль-
ным решением. Тулузский ученый получил результат двумя
способами. Второй из них был основан на идеях самого Декар-
та, где он использовал нормаль для вычисления касательной;
так он хотел доказать своему сопернику, что его метод дает
те же самые результаты, но проще. Однако Ферма не смог до-
биться того, чтобы его метод приравнивания был полностью
принят его соперниками. Тем не менее в своей обычной манере
он думал, что если метод работает, то он должен быть истин-
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
127
ным. В любом случае, к счастью для историков, полемика дли-
лась какое-то время, из-за чего Ферма был вынужден в первый
раз обосновать свои результаты несколько подробнее.
По сути все это было недоразумением. В ^Аналитическом
исследовании* уже было ясно, что возражение Декарта о том,
что метод касательных не основан на методе максимумов и ми-
нимумов, ложное. В конце концов посредник, работавший
в стиле Декарта, французский математик Жерар Дезарг (1591 -
1661), принял соломоново решение в данной полемике: Декарт
был прав в том, что выразил недоверие, поскольку изложение
Ферма, представленное в Methodus, было недостаточно ясным.
Но по сути Ферма был прав: его метод касательных был абсо-
лютно универсальным. Оба гиганта столкнулись с проблемой
оценки их личности. Точнее, проблема была в личности фило-
софа, поскольку Ферма в целом вел себя довольно корректно.
Декарт нехотя согласился с этим вердиктом и даже извинился
перед Ферма за свои оскорбления, но не упустил возможности
в будущем оправдаться, пытаясь омрачить репутацию Ферма.
Последний же продолжил свою полемику с Декартом и его по-
следователями еще через 20 лет, когда его соперник уже умер.
Из его дальнейших записей очевидно восхищение, которое он
испытывал к Декарту, несмотря на критику. В некотором
смысле, хотя Ферма так и не оставил идей Виета, он все же об-
ратил внимание на Декарта и частично принял его ^Геоме-
трию*. Но раны, вызванные этой полемикой и тем, как
презрительно относился к нему Декарт, пытаясь понизить его
авторитет в математическом сообществе, так никогда и не за-
тянулись.
КВАДРАТУРА
В ходе исследований о касательных, максимумах и минимумах
Ферма постепенно ушел от своего приравнивания к намно-
го более современному понятию квази-равенства, настолько
128
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
произвольно близкого к точке, что разница практически равна
нулю. Но именно в своем методе квадратур он сделал послед-
ний шаг к анализу бесконечно малых, к произвольно малым
величинам. К тому времени Ферма уже оставил позади свои
методы касательных, максимумов и минимумов и никогда
не пересматривал их в свете своих новых идей.
Проблема квадратур существовала уже в античности, ими
занимались даже Евдокс и Архимед. В целом она состоит в том,
чтобы найти площадь, ограниченную некоей кривой и пря-
мой (обычно осью), или, когда кривая полностью окружает
точку, как в случае со спиралями, — площадь, ограниченную
кривой. Как это делали древние, данная площадь выражается
построением прямоугольника, площадь которого равна иско-
мой площади, то есть нахождением произведения двух рацио-
нальных чисел а и 6, образующих стороны прямоугольника.
Действительно, во многих случаях они получали несколько
прямоугольников, площади которых в сумме давали искомую
площадь.
Вскоре греки столкнулись с очень сложной задачей. Речь
шла о нахождении квадратуры самой элементарной фигуры —
круга. И сколько бы усилий ни прилагали греки, им не удалось
построить прямоугольник с рациональными сторонами, ко-
торый имел бы такую же площадь. Причина их неудачи была
найдена только в XIX веке: число л, с помощью которого обя-
зательно выражается площадь круга, не может быть выражено
не только в рациональном виде, но даже в качестве результата
алгебраического уравнения. Сегодня такие числа называются
трансцендентными, и они относятся к иррациональным чис-
лам.
Сложность квадрирования некоторых кривых не усколь-
знула от Ферма, но, как мы уже сказали, его аналитическая гео-
метрия порождала бесконечное число кривых. В частности,
кривые конических сечений степени больше квадрата внезапно
стали отлично доступными в виде уравнений. Итак, вместо того
чтобы увлекаться неквадратными кривыми, такими как круг,
Ферма применил свой метод к кривым высшей степени. Убеж-
денность ученого в том, что эти кривые идеально определяются
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
129
Иллюстрация
метода
исчерпывания,
при котором
площадь
под кривой
находится между
большей
площадями.
его уравнением, постепенно при-
вела Ферма к тому, чтобы не бес-
покоиться об их геометрическом
представлении. В письмах
и трактатах он каждый раз все
более демонстративно забывал
о графике кривой и сосредотачи-
вался на алгебраических дей-
ствиях. Как всегда, Ферма начал
свою работу на основе трудов
греческого ученого. В этот раз это был не Аполлоний и не Дио-
фант, а Архимед. Окончательные работы Ферма на эту тему
были опубликованы его сыном Клеманом-Самюэлем после его
смерти, и хотя они не были поняты людьми уровня Гюйгенса,
автора уже не было в живых, чтобы, как это было в случае с Де-
картом, прояснить то, что он хотел сказать.
Возвращаясь к раннему времени его переписки с Мерсен-
ном и Робервалем, в 1636 году, мы видим, что Ферма был занят
трактатом Архимеда о спиралях, в котором тот нашел квадра-
туру спирали, носящей его имя. Ферма распространил этот
метод на другие спирали, например на ту, которую он нашел
при решении задачи Галилея, упомянутой нами ранее. Ферма
бросил вызов Робервалю, предлагая ему найти квадратуру ку-
бической параболы, графика кубической функции: у3 - kx, ко-
торую он рассматривал впервые и которая была очень похожа
на параболу. Роберваль ответил сразу же. У него уже был метод,
подобный методу Ферма, основанный на теореме о сумме сте-
пеней целых чисел, найденной тулузцем в ходе исследований
по теории чисел, и старом «методе исчерпывания», изобретен-
ном Евдоксом и примененном Архимедом. Он состоит в том,
чтобы определить искомую площадь между двумя суммами
(см. рисунок). Одна из этих сумм — сумма прямоугольников,
подобных DEFG (описанных), большая, чем реальная площадь
под кривой, другая — сумма площадей прямоугольников, по-
добных HIFG (вписанных), меньшая, чем искомая площадь.
Очевидно, что реальная площадь находится между этими двумя
суммами. Метод исчерпывания состоял в том, чтобы предло-
130
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
жить площадь и обосновать методом двойного доказательства
от противного, что она является единственной площадью, ве-
личина которой находится между этими двумя суммами; это
может быть только реальная площадь.
Метод Ферма и Роберваля не работал для некоторых кри-
вых, как они оба быстро убедились. Казалось, Ферма перестал
интересоваться данной темой. Но в 1658 году он практически
сразу же ответил на недавнюю работу Уоллиса о квадратурах,
распространив собственный трактат, который он явно вына-
шивал в течение многих лет.
В ^Трактате о квадратурах» Ферма показывал, как дале-
ко он зашел. Теперь его метод был применим ко всем гипербо-
лам степени больше двух, которые не поддались ему за 20 лет
до этого. Он произвел радикальные изменения. Там, где Ар-
химед (и что присутствовало в ранних методах самого Ферма
и Роберваля) искал конечные суммы, Ферма теперь допускал
возможность бесконечной суммы прямоугольников на оси аб-
сцисс. Это был единственный способ проанализировать пло-
щадь под гиперболой, поскольку альтернатива заключалась
не в бесконечном числе прямоугольников, а в конечном числе
прямоугольников с бесконечной площадью. Прямоугольник
с бесконечной площадью при сложении с другими прямо-
угольниками дает бесконечную площадь. Наоборот, бесконеч-
ное число прямоугольников может в некоторых условиях дать
конечную площадь. Но, кроме того, метод Ферма отличался
от метода исчерпывания тем существенным обстоятельством,
что уже больше не было необходимости определять площадь
между двумя суммами. Математик приравнивал верхнюю сто-
рону каждого прямоугольника к очень маленькому отрезку
гиперболы. Чем меньше был отрезок, тем точнее было это ра-
венство и, следовательно, площадь под отрезком кривой была
ближе к площади соответствующего прямоугольника. Разница
тончайшая, но основополагающая.
Она была такой тонкой, что Ферма даже не осознал, на-
сколько важным было изменение. Его понятие приравнивания
изменилось: речь уже шла не о том, чтобы приравнять любые
конечные величины. Ферма открыл бесконечно малые. Одна-
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
131
ко он был уверен, что продолжа-
ет традицию Архимеда. Ученый
не понял, насколько большой
концептуальный скачок он сде-
лал, и теперь его греческие учи-
теля, вызывавшие у него восхи-
щение, уже не могли идти за ним
по этой неисследованной дороге.
Снова, не осознавая этого, Фер-
ма хоронил традицию, которую
так уважал. Действительно, ква-
Иллюстрация
метода
кривых Форма.
дратура кривых — это операция,
которую мы сегодня называем интегрированием, хотя, как
и в случае с касательными, Ферма не смог увидеть, что пло-
щадь под кривой тоже выражена уравнением.
СПРЯМЛЕНИЕ
Если «квадрировать» означает найти площадь прямоуголь-
ника, равную площади другой фигуры, образованной кривой,
то «спрямить» означает найти прямую линию, по длине рав-
ную длине кривой линии. Задача опять восходит к грекам.
Аристотель утверждал, что невозможно найти прямую
линию, равную по длине кривой линии. Его авторитет был так
велик, что даже в XVII веке большинство математиков были
согласны с ним, несмотря на то что уже удалось сделать неко-
торые спрямления, в частности Архимеду. Следуя за этим вы-
дающимся математиком, Ферма был убежден в возможности
спрямления кривых. Его работа на данную тему — единствен-
ный случай, когда трактат Ферма был опубликован в печатном
виде при жизни автора, в качестве приложения к работе его
друга, тулузского иезуита Антуана де Лалувера (1600-1664),
в 1660 году. Однако ее опубликовали анонимно. Ее автора
можно было определить только по инициалам, которые не со-
ответствовали инициалам Ферма. Последователи Декарта, под-
132
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
МЕТОДИКА ДВУХ ПОЗДНИХ ТРАКТАТОВ ФЕРМА
В •Трактате о квадратурах» используется значительная часть прежних от-
крытий Ферма: его метод максимумов и минимумов, который помогает
разделить кривую на отрезки, монотонно возрастающие или убывающие;
аналитическая геометрия, позволяющая осуществлять действия с этими
отрезками; и, конечно же, прием приравнивания. Как и можно было ожи-
дать, у него получился аналитический трактат. Наоборот, •Трактат о спрям-
лении» методически очень отличается от всего, что Ферма написал к тому
времени. Действительно, тулузец отдалился от своего аналитического
метода и применил греческий синтетический метод, которым пользовались
такие классики, как Евклид. При этом его аналитическое рассуждение
оказалось скрыто. Почему он так сделал — загадка, но, возможно, это
было связано с традициями. Трудоемкость, которую предполагало напи-
сание подобной работы, сравнимая с работой Ньютона в «Началах», в свою
очередь, могла бы объяснить, почему он не пользовался этим подходом
ни в каком другом своем труде.
ражая учителю, пребывали в уверенности, что Аристотель был
прав. Ферма в своем трактате решил доказать, что картезианцы
ошибаются.
В ^Трактате о спрямлении* Ферма в ясном виде прирав-
нивает заданный касательный к кривой отрезок БЁ к дуге FE
(см. рисунок). Для приравнивания данный отрезок обязатель-
но должен быть произвольно малым. Говоря в общих чертах,
Ферма думал о кривой как о линии, образованной огромным
числом очень маленьких прямолинейных отрезков, каждый
из которых является касательным к кривой. Сумма длин этих
бесконечно малых отрезков дает длину кривой (спрямление).
Следующим шагом было нахождение суммы длин таких
отрезков, и здесь Ферма использовал прием, именуемый се-
годня «изменением переменной». Это был гениальный скачок:
изменение переменной определяло обычную параболу (второй
степени), квадратура которой равна значению разыскиваемой
нами суммы. Другими словами, Ферма превратил проблему
спрямления в проблему квадратуры, уже известную и решен-
ную им самим. Не довольствуясь достигнутым, он определил
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
133
бесконечное семейство кривых, основанных на обобщенной
параболе, и доказал, что если она спрямляема, то и все осталь-
ные тоже. Он сделал это, доказав, что всегда можно построить
обычную параболу, которую мы только что упомянули. Ему
не только удалось спрямить кривую; он доказал, что число
спрямляемых кривых бесконечно.
Но именно этот шаг сведения спрямления к квадратуре
снова помешал Ферма увидеть, что результат его спрямления
является еще одним уравнением. Он даже не осознал, что почти
дотрагивается до основных принципов анализа. Ему удалось
начать думать о бесконечно малых, что было важным шагом
в открытии анализа, но это не только не привело Ферма к пере-
смотру своей работы о касательных и максимумах, но он также
не смог истолковать свои результаты как уравнения: он думал
о подкасательных и площадях.
Годами позже (и частично благодаря работам Ферма)
Лейбниц и Ньютон независимо пришли к основным идеям ана-
лиза: использованию бесконечно малых и основополагающей
идее того, что операция вычисления углового коэффициента
касательной к кривой, заданной уравнением Л, дает в резуль-
тате уравнение В, а операция нахождения квадратуры кри-
вой В дает в результате уравнение Л. Другими словами,
нахождение угловых коэффициентов и квадратур, дифферен-
цирование и интегрирование являются обратными операци-
ями, как сложение и вычитание. Это основная теорема анализа.
Как стало возможным, что Ферма не понял, насколько важ-
ное открытие находится рядом? Это ужасно досадно. Так же
как и рыцарь Персеваль, Ферма увидел Святой Грааль, но не
смог узнать его, что лишило его лавров первооткрывателя.
В любом случае, великое открытие, которое удалось сделать
Лейбницу и Ньютону, — еще один пример чудесных мостов
между внешне непохожими проблемами. С подобным, как мы
видели, столкнулись Ферма и Декарт при создании аналитиче-
ской геометрии, а также Танияма, Симура и Уайлс при работе
над гипотезой, которая носит имя первых двух.
И здесь мы почти закончили нашу историю.
134
ВКЛАД ФЕРМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 6
Вероятность и принцип Ферма
Вклад Ферма в математику не исчерпывается
большими областями, о которых мы говорили
до этого момента, — теорией чисел, а также
аналитической геометрией и анализом. Наряду
с Паскалем он также стоял у истоков теории
вероятностей. Свои же последние годы ученый
посвятил полемике с Декартом вокруг оптики.

Говорить о «законах случая», на первый взгляд, нелепо. Как
случай, который по определению непредсказуем, может иметь
законы? Если сегодня, в разгаре XXI века, это понятие кажется
нам удивительным, то во времена Ферма оно было невообра-
зимым. Но такие законы существуют, и Ферма сыграл важную
роль в их изучении по инициативе Блеза Паскаля.
Как обычно, все началось с одной задачи. Блез Паскаль,
отец которого был одним из парижских корреспондентов Фер-
ма, членом кружка Мерсенна, обратился к Ферма в 1654 году.
Он напомнил тому о дружбе с его покойным родителем и по-
ставил перед ним задачу. К тому времени Ферма в течение не-
скольких лет ни с кем не переписывался. Но в 1650-х годах он
взялся за науку с новыми силами. Ясно, что этого не могло про-
изойти, если бы он не работал скрыто все это время, хотя смерть
Бограна, Декарта, Этьена Паскаля и особенно Мерсенна, а так-
же его профессиональные обязанности, не говоря о чуме и бур-
ном политическом климате Фронды, держали Ферма в глубо-
кой изоляции, которую, наконец, пробило письмо Паскаля.
Паскаль познакомился с неким Антуаном Гомбо, шевалье
де Мере, настоящим шулером. На основе эмпирических наблю-
дений тот вывел некоторые правила того, когда следует
и не следует делать ставки. Шевалье поставил перед Паскалем
задачу, основанную на так называемой игре очков, в которой
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
137
человек ставит на то, что сможет получить определенный ре-
зультат: например, число шесть при бросках игральных костей
за N попыток, скажем за восемь, как это было в примере Гомбо.
Суть в том, что делается ставка определенного размера, а затем
бросают кости либо до тех пор, пока не будут использованы все
восемь бросков, а шестерка не выпадет (что означает прои-
грыш), либо пока не выпадет шестерка, в случае чего бросаю-
щий кости выигрывает. Вопрос, который Гомбо задал Паскалю,
был следующим: что произойдет, если прервать игру до оконча-
ния, скажем после трех бросков? Как разделить ставки между
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
Блез Паскаль (1623-1662), родив-
шийся в Клермоне, во Франции, был
гением. В 12 лет юноша представил
своему отцу Этьену доказательство
того, что сумма углов любого треуголь-
ника равна 180°. То есть он доказал
одну из основных теорем •Начал» Ев-
клида — книги, о которой мальчик
не знал... Впечатленный Этьен лично
занялся его образованием. В юноше-
ском возрасте Блез создал механиче-
скую вычислительную машину с целью
помочь своему отцу в утомительных
расчетах, связанных со службой. Когда
Этьен получил травму, Блез нанял для
ухода за ним двух молодых людей, ис-
поведовавших янсенизм — течение
в католической церкви, которому про-
тивостояли иезуиты. Ученый обратился
в янсенизм, отдавшись крайне суровой религиозной практике, но через
некоторое время вернулся к своим исследованиям. Блез Паскаль осуще-
ствил важные исследования в области гидростатики и конических сечений,
но тем не менее продолжал уделять внимание религии. Его самым извест-
ным открытием является треугольник, носящий его имя.
138
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
игроками? Каким образом справедливо разрешить спор? Па-
скаль изложил эту задачу и другие подобные ей в письме, кото-
рое не сохранилось. Однако мы знаем ответ Ферма.
Как Ферма, так и Паскалю было ясно, что нужно вычис-
лить количество возможных случаев, с одной стороны, и ко-
личество благоприятных случаев для одного игрока, с другой
(остальные случаи благоприятны для второго игрока). Затем
надо разделить второе число на первое — сегодня это извест-
но как вероятность, хотя тогда никто не пользовался таким
термином. Наконец, данную вероятность требуется умножить
на сумму ставки. Полученный результат сегодня называется
ожидаемым значением.
Основной принцип, который сразу же приняли оба уче-
ных, — события независимы друг от друга. Вероятность полу-
чения шестерки при пятой попытке независима от того, что
произошло до этого момента. Их вывод кажется тривиальным,
если знать теорию вероятностей, но вспомним, что существуют
миллионы людей в мире, полагающие, что выигрышный номер
рождественской лотереи будет заканчиваться на цифру 4, по-
тому что она давно не выпадала и «уже пора».
Паскаль нашел значение для четвертой попытки: то, каким
должен быть справедливый способ распределения выигрыша
после трех неудачных попыток, предполагая, что оба игро-
ка рассматривают альтернативу остановить игру или бросить
кости в четвертый раз. Следует отметить, что здесь речь идет
не об оригинальной задаче Гомбо; она ограничивается только
одним броском после трех неудачных. Паскаль нашел, что если
не осуществлять бросок, то игрок, который бросает кости, дол-
жен получить 125/1296 от исходной ставки (около 10%) — ре-
зультат сложения всех вероятностей того, что он мог выиграть
при первом броске, при втором и при третьем, то есть в про-
шлом. В соответствии с этим игрок, который бросает кости,
имеет право примерно на 10% ставки.
Но Ферма заявил, что он неправ: «Если мой оппонент
предложит мне 10%, чтобы я больше не бросал кости, было бы
ошибкой соглашаться на них». Вероятность получения не-
вероятность И ПРИНЦИП ФЕРМА
139
стерки за еще один бросок та же самая, что и при любом другом
броске: 1/6, около 17%. Паскаль увидел свою ошибку и согла-
сился с решением Ферма: прошлое не важно. Единственное,
что имеет значение для вычисления вероятности,— это буду-
щее.
Но далее Паскаль озвучил несколько сомнений. Во-первых,
он попытался упростить проблему, сведя ее к игре с монетами
(орел или решка) так, чтобы шансы были равны для обоих
игроков. На основе этого, воспользовавшись рекурсивным ме-
тодом, алгебра которого довольно сложна, он предложил реше-
ние полной проблемы. Здесь он рассматривал уже не только
четвертый бросок, но также и оставшиеся возможности: выи-
грыш участника на пятом, шестом, седьмом или восьмом броске
или проигрыш после всех них.
Ферма ответил, что анализ Паскаля верен, но предложил
намного более простой метод. Вместо сложного алгебраиче-
ского ответа Паскаля тулузец просто осуществил пересчет воз-
можных случаев и выбрал среди них благоприятные. Однако
на основе невероятной догадки (поскольку ни он, ни Паскаль
не делали никаких эмпирических усилий для подтверждения
своих результатов) он сделал нечто очень любопытное: Ферма
не остановился на ситуации выигрыша бросающего, а рассмо-
трел случаи, когда он выиграет на бросках с пятого по седьмой,
если партия продолжится.
Согласно Ферма, нужно было рассмотреть все эти случаи,
чтобы правильно вычислить вероятность. Только таким об-
разом можно быть уверенным в том, что правильно вычисле-
ны все возможные и все благоприятные случаи. Он был прав,
но ни Паскаль, ни многие из тех, кому стало известно это рас-
суждение (в частности, Роберваль), сначала не понимал его.
Почему нужно продолжать игру, когда один из игроков уже
выиграл? Было абсурдным рассматривать данные случаи,
поскольку в настоящей игре действие останавливается, как
только кто-то выигрывает, так же как останавливается партия
в теннис, когда один из спортсменов выигрывает три из пяти
сетов. «Это правда,— комментировал Паскаль в своем ответе,—
что два человека могут продолжать игру после того, как один
140
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
Хотя Паскаль и не открыл этот треугольник, зато он был первым на Западе,
кто глубоко исследовал его. До него индийские, персидские, китайские
и западные математики изучали некоторые аспекты этой любопытной
структуры. Самое элементарное свойство треугольника в том, что каждое
составляющее его число равно сумме двух чисел, расположенных над ним.
Из такого простого свойства вытекает огромное количество результатов.
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Например, двучлен, возведенный в степень п - 1, будет иметь для каж-
дого из его членов коэффициенты, соответствующие ряду треугольника,
определяемого л. Так:
(а + Ь)° = 1
(a + b^l-a + 1-b
(a + b)2 = la24-2ab4-lb2
(a + b)3 = la3 + 3a2b + 3ab2 + lb2
(а + Ь)4 = 1 • а4 + 4а3Ь 4- 6а2Ь2 4- 4аЬ3 4-1 • Ь\
Другое непосредственное применение треугольника — вычисление со-
четаний. Клетка к в ряду п (при нумерации с О) соответствует всем спосо-
бам выбрать к элементов из л, если порядок не имеет значения.
к I (л-ку.к\'
Например, если у нас есть четыре элемента и мы хотим выбрать два
из них, при этом порядок не имеет значения, мы можем сделать это шестью
способами:
4!	/3 2
(4-2)121" 2 2
Именно эту формулу использовал Паскаль для вычисления вероятностей
в игре.
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
141
из них выиграл, и что, по логике, остальные броски не изменят
результат. Но что произойдет, если их будет три или больше?»
Представим себе, что есть три человека, у которых равная
вероятность выигрыша. Если один из них выиграл, скажем,
с четвертой попытки, ему невыгодно продолжать игру, по-
скольку другой сможет сыграть с ним вничью. Такого не проис-
ходит с двумя игроками, но может произойти с тремя или более.
Паскаль спросил у Ферма: «Как же тогда можно утверждать,
что нужно учитывать все случаи до завершения всех восьми
бросков?» Не рассматривал ли Ферма не очень реалистичный
пример?
Паскаль не только поставил этот вопрос. Он ответил само-
му себе, пользуясь своим треугольником для вычисления всех
возможных сочетаний. Полученный им ответ, как ему показа-
лось, не был правильным, и он решил найти парадокс в методе
Ферма. На его письмо, самое сложное из написанных Паска-
лем, датированное 24 августа 1654 году, Ферма ответил очень
кратко.
Ошибка Паскаля была очевидной для тулузского судьи:
он забыл, что даже если учесть все сочетания, поскольку пред-
полагается, что игра будет продолжаться до конца, то целью
СПОР ПАСКАЛЯ
Любопытно, что Паскаль использовал теорию вероятностей в одной из сво-
их самых важных теологических работ. Французский математик был ка-
толическим мыслителем, испытавшим влияние янсенизма. В знаменитых
•Мыслях» — книге, которую он начал писать вскоре после смерти своего
отца, но так и не закончил,— Паскаль говорит о вере в Бога в утилитарной
форме, как о споре. Если не верить в Него, но Он на самом деле суще-
ствует, мы будем вечно прокляты: следовательно, рационально верить.
Даже если мы не уверены, ожидаемое значение (вечное спасение) в бес-
конечное число раз больше, если мы будем верить, чем если мы не будем
верить (в таком случае — вечное проклятие). Этот аргумент критиковали
несколько философов, но здесь важно оценить, как математическая мысль
проникла в философию Паскаля.
142
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
является только рассмотрение всех возможных случаев. Благо-
приятными случаями, например для игрока А, можно назвать
только те, в которых А выигрывает, даже если В и С сыграют
с ним потом вничью. Ничья не имеет значения, так как А уже
выиграл. Как будто футбольный матч закончился 2:1, но игро-
ки договорились, чтобы развлечься, продолжить играть еще не-
много. Официальный результат, независимо от того, будет ли
потом ничья, останется 2:1. Другими словами, следует учиты-
вать порядок, в котором встречаются благоприятные случаи.
Если вычислить благоприятные случаи, учитывая порядок, па-
радокс исчезает.
Паскаль принял объяснение Ферма и счел проблему ре-
шенной. Ни Паскаль, ни Ферма больше не возвращались к тео-
рии вероятностей. В любом случае, из этой короткой переписки
возникли важнейшие основополагающие идеи для последую-
щего развития теории вероятностей, которое продолжили сна-
чала Христиан Гюйгенс, а затем гениальная семья Бернулли.
Поправку Ферма, касающуюся пространства элементар-
ных событий, сложно представить себе интуитивно и понять.
Рассмотрим это на примере. Представим себе: некий человек
говорит, что у него двое детей, из которых один мальчик. Ка-
кова вероятность того, что его другой ребенок тоже мальчик?
Большая часть людей ответит: 50 %. Но это неверно. Существу-
ет четыре возможности в пространстве элементарных событий,
которые мы можем записать в следующем виде: МД, ММ, ДМ,
ДД. Ясно, что четвертая возможность исключается из-за предо-
ставленной нам информации. Но остаются три, а не две равно-
вероятные возможности. Следовательно, вероятность того, что
другой ребенок окажется мальчиком, равна 1 /3.
Паскаль и Ферма установили способ рассуждения о буду-
щем. Оно непредсказуемо полностью от события к событию,
зато предсказуемо в целом, когда подобные события повторя-
ются достаточное число раз. Это стало удивительным откро-
вением, будущую судьбу которого едва ли можно было тогда
предвидеть.
В обращении к Академии Мерсенна Паскаль говорил
о своих математических работах, закончив перепиской, кото-
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
143
рую он поддерживал с Ферма. Он уверял, что они оба получи-
ли нечто парадоксальное:
«Так, соединив строгость доказательств науки с неопределенно-
стью случая и примирив между собой эти две внешне противопо-
ложные вещи, можно справедливо объединить их названия в уди-
вительный заголовок: «геометрия случая».
Итак, на тот момент Паскаль уже полностью осознавал это
достижение: оказалось, что случай, как правило, распределя-
ется «справедливо» (выражаясь его несколько теологическими
словами) и это распределение можно выразить «математиче-
ски». А когда Паскаль говорит о геометрии, на самом деле он
имеет в виду математику в целом. К сожалению, Паскаль был
уже серьезно болен в то время, когда развивалась его переписка
с Ферма. В одном из писем он сообщал тулузцу, что лежит в по-
стели и что он получил его письмо, но не смог прочесть. Почти
точно известно, что у Блеза Паскаля был рак желудка, который
и убил его. Паскаль был нездоров уже с 20 лет, страдал от ужас-
ных головных болей и медленно угасал.
Через шесть лет после их краткой переписки, в 1660 году,
зная, что Паскаль уехал из Парижа в родной город Клермон
на лечение, Ферма предложил ему личную встречу. К тому вре-
мени у тулузца тоже не было сил предпринять путешествие,
и он предложил Паскалю промежуточное место. Но Паскаль
ответил, что это невозможно. Он также сказал Ферма, что ему
было бы очень приятно познакомиться с ним лично, не из-за
математики (геометрии, как он говорил), ради которой он уже
не сделал бы и пары шагов, а из-за удовольствия побеседовать
с человеком, которым так восхищался. Называя Ферма «глав-
ным геометром Европы», он в то же время выражал безраз-
личие к этому занятию, убеждая героя нашей книги в том, что
качества его души ценнее всего его математического знания.
Теолог выиграл партию у ученого в сердце больного Паскаля.
Как бы то ни было, Паскаль сообщил Ферма, что его целью
было вернуться в Париж как можно более комфортным спосо-
бом: по каналам. Можно догадаться, что из-за болей он не мог
144
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
даже представить себе, как залезть в дилижанс. Паскаль умер
в 39 лет настоящим аскетом, каким он был всю свою жизнь. Ре-
лигиозность убедила его в том, что страдания являются есте-
ственным состоянием человека, и он принял свой крест с му-
жеством и стоицизмом. Паскаль видел, как янсенизм, который
он так защищал, был объявлен ересью и, следовательно, начал
подавляться королем. Он написал последнюю работу в защиту
своих идей и скончался 18 августа 1662 года. Ферма остался
один. Теоретически его учеником мог стать Христиан Гюйгенс,
но голландец, хотя и признавал гений тулузского ученого, был
неспособен понять его. Великому математику XVII века так
и не удалось создать школу.
ОПТИКА И ПРИНЦИП ФЕРМА
Вспомним, что полемика с Декартом началась с замечаний
Ферма о «Диоптрике*, одном из приложений к «Рассуждению
о методе*. В предыдущей главе мы не очень глубоко рассма-
тривали аргументы Ферма, поскольку именно на эту тему они
практически не спорили. Их полемика быстро перешла на ме-
тоды максимумов и минимумов и построения касательных.
Но ближе к концу жизни, когда Декарт уже восемь лет как был
мертв, Ферма снова вернулся к этому разговору.
Мне бы очень хотелось знать, что он [Ферма] ответит
как на письмо, которое я прилагаю к этому,
так и на предыдущее, в котором я ответил на его выпад против
моей «Диоптрики*. Я написал оба эти письма для того, чтобы
он их прочитал, если Вы окажете мне эту любезность».
Декарт в письме Мерсенну 18 января 1638 года
Пьер де Ферма был, в первую очередь, математиком. Уче-
ный проявлял лишь незначительный интерес к физике, к тому,
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
145
что тогда называлось «натурфилософией». Он ограничился
некоторыми комментариями в защиту идей по геостатике его
друга Бограна и знаменитой полемикой с Декартом по оптике.
Ферма не сам вступил в эту полемику. Он подумал, будто Мер-
сенн и Богран просят его прокомментировать работу Декарта,
и сделал это с наилучшими намерениями, не осознавая, что его
поступок приведет к вражде с философом.
Возражения Ферма в 1637 году, когда его переписка с Мер-
сенном только начиналась, носили в основном философский
характер. Математик был убежденным сторонником эмпи-
ризма, с которым он ознакомился благодаря Фрэнсису Бэкону.
Он считал, что истину в физических науках можно найти
только посредством эксперимента, как это делал Галилео Гали-
лей. Декарт же, согласно Ферма, отступал на шаг назад, пользу-
ясь рациональным, полностью аристотелевским методом для
того, чтобы попытаться дойти до истин, связанных с природой.
На первую критику Ферма «Диоптрики* повлиял и еще
один момент. Декарт не стал публиковать одно из приложе-
ний к своей работе, «Трактат о свете*, в котором он объяснял
свои физические воззрения, из-за страха перед инквизицией.
Не так давно был осужден Галилей, а Декарт так же, как и Гали-
лей, был сторонником гелиоцентрической системы. Поэтому
Декарт воздержался от публикации и лишил «Диоптрику* фи-
зического обоснования, оставив ее простым математическим
трактатом. Следовательно, Ферма не мог узнать о физических
идеях Декарта. Он был знаком только с его общей рациональ-
ной методикой. И математические принципы «Диоптрики*
представились ему произвольными, не имеющими никаких ос-
нований.
Далее посмотрим на то, чего Ферма не знал. Свет для Де-
карта — это импульс, который передается посредством столкно-
вения между очень легкими частицами, такими как бильярдные
шарики (практически вся декартова физика основывается
на столкновениях). В качестве сравнения Декарт говорил о тро-
сти слепого, которая, сталкиваясь с чем-нибудь, передает им-
пульс от этого удара руке слепого. Свет поступает с глазом
подобным образом, а трость — это последовательность частиц,
146
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
Зеркальное отражение (рисунок 1) происходит, когда свет полностью или
частично отражается отражающей поверхностью, такой как металл или
лужа воды. Как мы сегодня знаем (хотя это считалось спорным в XVII веке),
в законе отражения света говорится следующее.
1	. Падающий луч РО, отраженный луч OQ и нормаль находятся в одной
и той же плоскости, и эта плоскость перпендикулярна поверхности.
2	.е=ег.
З	.РО и OQ находятся с противоположных сторон от нормали.
Преломление (рисунок 2) наблюдается, когда свет переходит из прозрач-
ной среды некоторой плотности в среду с другой плотностью. Все мы стал-
кивались с ситуацией, когда ложка, частично опущенная в воду, кажется
«сломанной». В законе преломления, известном как закон Снелла, гово-
рится, что синус угла между падающим лучом и нормалью так относится
к синусу угла между нормалью и преломленным лучом, как соответствую-
щие скорости и обратные показатели преломления друг к другу:
sin^ _ У] _ п2
sin02 V2
Нормаль
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
147
сталкивающихся друг с другом. Кроме того, их перемещение
мгновенно.
Декарт продолжал рассуждать о том, что импульс, посколь-
ку это «сила* (декартова сила — не то же самое, что ньютонов-
ская, к которой мы привыкли), может быть разложен на век-
торы. На основе этого он выводил законы отражения: для него
они были подобны удару бильярдного шарика о неподвижную
стену (как можно заметить, такой удар имеет сходство с отра-
жением света: угол, под которым шар ударяется о стену, равен
углу, под которым он отскакивает от нее). В очень спорном
виде Декарт вывел закон преломления (то, что мы сегодня зна-
ем как закон Снелла) из гипотезы о том, что при изменении
среды на более плотную свету нужно затрачивать больше уси-
лий для перемещения.
У модели Декарта была одна проблема: во вселенной би-
льярдных шаров при изменении среды, например при проник-
новении через очень тонкую ткань, угол между траекторией
шара и нормалью к границе сред увеличивается. В оптике же,
наоборот, наблюдается уменьшение угла. Для устранения дан-
ного противоречия Декарт придумал физическую уловку: объ-
яснение специально для этого случая, не имеющее никакой
основы. Оно имеет смысл, только если известны принципы де-
картовой физики. Обоснование теории света Декарта нахо-
дится в его физике, а не в его математике.
Ферма был не в курсе, что ему нужно знать декартову фи-
зику для понимания «Диоптрики*. В свою очередь ни Декарт,
ни его последователи не знали, что Ферма не знаком с декарто-
вой физикой. Они думали, что Ферма просто не понимает ее.
Тулузский ученый, в свою очередь, считал неоправданными вы-
воды Декарта. Он снова погрузился в бессмысленный спор,
один из тех споров, в которых Ферма часто участвовал в тече-
ние своей жизни. Возможно, декартова физика вызвала бы
у Ферма протест, поскольку Декарт ошибался, когда сводил все
к столкновениям между частицами.
Полемика в тот раз завершилась достаточно быстро.
Но в 1658 году Клод Клерселье связался с Ферма, чтобы про-
консультироваться у него по поводу этого спора, поскольку он
148
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
n‘a pas de solution pour des entiers n^i
• TVF	LAVERGNE
ВВЕРХУ:
Памятная марка,
посвященная
Великой
теореме Ферма.
ВНИЗУ СЛЕВА:
Нидерландский
математик
Христиан
Гюйгенс был
одним
из пионеров
в разработке
теории
вероятностей.
ВНИЗУ СПРАВА:
Монастырь
августинцев
в Тулузе,
где Ферма
перезахоронили
через десять лет
после его
смерти.
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
149
готовился издавать письма Декарта. Клерселье только поин-
тересовался, были ли еще письма Ферма, кроме тех двух, что
он нашел, но тот ответил длинным письмом, в котором, к воз-
ражениям, выдвинутым в 1637 году, добавил новые. К своему
удивлению Клерселье увидел, что Ферма хочет возобновить
полемику.
В то время Декарт уже умер, но неприятие Ферма человека,
который презрел его и попытался запятнать его репутацию,
не прошло. Также возможно, что в этот период Ферма, огорчен-
ный многочисленными неудачными попытками заинтересовать
современников теорией чисел, считал, что атаки Декарта спо-
собствуют формированию такого отношения к его работам. Его
характер, сначала уступчивый в споре, испортился. Как бы
то ни было, Клерселье и другой французский математик, Жакоб
Ро, ответили, защищая Декарта. Ферма не сдался и настаивал
на своем, и эта новая полемика длилась четыре года. Отсут-
ствие интереса, которое ученый продемонстрировал в 1637 году
из-за того, что спор был связан с вопросами физики, полностью
исчезло: он был готов к битве.
Так сложилось, что Ферма в силу своей профессии был
в постоянном контакте с Мареном Кюро де ла Шамбром, се-
кретарем канцлера Сегье. С ним ученый, который в то время
был представителем парламента, должен был вести официаль-
ные дела. У Кюро де ла Шамбра также были научные интересы,
и он на тот момент недавно, а именно в 1657 году, опубликовал
книгу по оптике под названием «Сеет», посвященную карди-
налу Мазарини. Кюро послал экземпляр Ферма, ученый про-
читал его и ответил, выразив свое согласие с Кюро и радость
от того, что его работа «заставит месье Декарта и всех его дру-
зей перейти от наступления к обороне».
Кюро постулировал физический принцип, известный
со времен античности: «Природа всегда выбирает самый ко-
роткий путь». Данный принцип был сформулирован отдельно
для случаев отражения Героном Александрийским (ок. 10-70).
Кюро, согласный с Героном, ограничивал этот принцип отра-
жением. Ферма, наоборот, обобщал его до преломления, до-
бавив гипотезу того, что отношение между сопротивлением
150
вероятность и принцип ферма
при переходе света от одной среды к другой определяет самую
короткую траекторию. Как и обычно, он не доказал то, что ут-
верждал.
Детальный анализ рассуждений Ферма показывает, что он
не вычислял самый короткий путь. На самом деле он вычислял
самое короткое время. Ферма изменил принцип Герона: он из-
мерял не расстояния, а время. Тогда почему тулузский ученый
попытался замаскировать свое рассуждение, основывая его
на авторитете греческого математика? С одной стороны, он из-
менил своему эмпирическому убеждению. Принцип Ферма,
как его называют сейчас, был в то время в большей степени ак-
сиоматическим постулатом, чем эмпирическим результатом.
Ферма для борьбы с Декартом принял его понятия: математи-
зация природы и отказ от эмпиризма, рассуждения на основе
постулатов, как будто физика — это ветвь математики.
Но, что самое важное, Ферма прибегнул к авторитетному
принципу и замаскировал свой настоящий метод. Ясно поче-
му: как Кюро, так и Декарт думали, что свет распространяется
мгновенно, то есть, выражаясь иначе, что его скорость беско-
нечна. Но для того чтобы говорить о времени, которое затра-
чивает свет на пересечение заданной среды, нужно предполо-
жить, что скорость света конечна. Без сомнения, Ферма хотел
избежать этой полемики, в которой у него не было прочных
аргументов, и он пообещал прислать Кюро доказательство за-
кона преломления, основанное на этом принципе. Четыре года
спустя он все еще не выполнил своего обещания. Кюро умолял
его взяться за работу, но Ферма отвечал, что у него нет време-
ни осуществлять необходимые сложные вычисления. Однако
в конце концов тулузский математик согласился и вывел закон
преломления из принципа, носящего его имя, пользуясь мето-
дом максимумов и минимумов.
Удивительно, как у Ферма темы повторяются снова и сно-
ва. С другой стороны, это логично: принцип Ферма является
примером того, что в физике известно как экстремальные прин-
ципы, которые требуют вычисления максимума или минимума,
в данном случае минимального времени. Формулирование ме-
ханики или оптики в терминах этих принципов имеет огром-
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
151
ное значение. В механике, например, экстремальные принципы
более существенны, чем законы Ньютона, и имеют более широ-
кое применение: принцип наименьшего действия справедлив
как для ньютоновской механики, так и для релятивизма или
квантовой механики; меняется только детальное определение
того, что нужно минимизировать. Следовательно, Ферма снова
применил подход, имевший огромное будущее.
В любом случае, герою нашей книги удалось вывести закон
преломления на основе своего принципа, который на этот раз
действительно был постулатом в открытом виде. И к его огром-
ному удивлению это оказался тот же самый закон, который по-
лучил Декарт! Конечно же, вывод Ферма был намного лучше.
Во-первых, он основывался на очень элегантном и простом
принципе, который, как мы сейчас знаем, имеет всеобщее при-
менение в оптике, и при этом нет необходимости строить гипо-
тезы о природе света (только о конечности его скорости).
Во-вторых, не нужно строить гипотезы специально для этого
случая. Он естественным образом выводится из самого прин-
ципа.
Ферма был счастлив. Он надеялся, что теперь картезианцы
увидят подтверждение закона преломления, который, в свою
очередь, был выведен гораздо более убедительно, чем у Декар-
та. Однако снова находчивость нашего героя обманула его ожи-
дания. Строгие картезианцы, такие как Клерселье, не могли
уступить и бросить своего учителя. Полемика продолжилась,
на этот раз сосредоточившись на выводе Ферма.
Есть некая ирония в том, что последнее известное письмо
Ферма на научную тему, увидевшее свет в 1662 году, было соз-
дано им для защиты своего вывода. И это при том, что он вы-
казывал так мало интереса в течение всей карьеры к математи-
ческой физике. Мы знаем, по его последнему письму Паскалю,
что уже с 1660 года Ферма чувствовал себя больным и не был
в силах совершить поездку в Клермон. В следующем году он
сделал распоряжения о том, чтобы его сын Клеман-Самюэль
унаследовал его должности. Ученый чувствовал, что прибли-
жается конец.
152
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
Начиная с 1662 года о жизни Ферма, его последних годах,
известно немного, и то благодаря его профессиональной дея-
тельности. В 1663 году губернатор Лангедока, Везен де Безон,
написал Кольберу письмо, в котором характеризовал совет-
ников парламента Тулузы, называя Ферма большим эруди-
том, политически безобидным и даже несколько неуклюжим
в профессиональных вопросах. Ни Сегье до этого, ни Кольберу
не стоило бояться наивного судьи, ученого, который отдыхал
среди математических истин, убегая от политики.
Но судья продолжал работать. Его чувство долга было ис-
ключительным. Как уже было сказано, оно часто мешало герою
этой книги следовать своему желанию и посвящать математике
больше времени. Он продиктовал свой последний судебный акт
9 января 1665 года. Всего лишь через три дня Пьер де Ферма
умер в Кастре — городе, с которым так тесно была связана его
профессиональная карьера, — и был похоронен без почестей
на местном кладбище. Хвалебная речь в честь него была опу-
бликована, вероятно, Пьером де Каркави в сЖурналь дэ саван*
(Journal des Savants) 9 февраля 1665 года. В ней он выражал оза-
боченность тем, чтобы разрозненные труды Ферма были из-
даны в одном произведении и мир увидел бы его гениальность:
«С большой грустью мы узнали о смерти месье де Ферма, совет-
ника парламента Тулузы. Это был один из самых блестящих умов
этого века, универсальный гений такого высокого уровня, что
если бы ученые не были свидетелями его необычайного таланта,
мы едва поверили бы всему, что он сделал, и могли бы преумень-
шить его похвалу».
Любовь сына Клемана-Самюэля, который терпеливо соби-
рал труды отца, была первым шагом к сохранению его насле-
дия. Также Жак де Билли и Джон Уоллис, каждый
по отдельности, опубликовали фрагменты из работы Ферма.
Однако этого было недостаточно; важные письма, находивши-
еся у Каркави (которые он по необъяснимым причинам не пре-
доставил наследнику) и у многих других корреспондентов,
были опубликованы очень поздно. Письма Ферма неизбежно
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
153
терялись по мере того, как умирали адресаты. Только в XIX веке
один библиофил объявил, что купил значительную часть руко-
писей Ферма в Меце. Из-за революционных событий 1848 года
коллекция снова затерялась. Но между 1879 и 1891 годами
Шарль Анри и Поль Таннери провели титаническую работу
по восстановлению работ ученого на основе опубликованных
сочинений и частных коллекций. Благодаря им его наследие
дошло до нас.
Ферма был перезахоронен в знаменитой и прекрасной
церкви августинцев в Тулузе через десять лет после смерти.
Там один из самых блестящих умов всех времен покоился в те-
чение более 100 лет — до тех пор, пока в период Французской
революции его останки не были утеряны.
154
ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРИНЦИП ФЕРМА
Список рекомендуемой литературы
Alsina Barnes, С., La secta de los numeros: el teorema de Pitdgoras,
Barcelona, RBA, 2010.
Bell, E.T., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer C., Historia de la matematica, Madrid, Alianza Editorial,
2007.
Du Sautoy, M., La musica de los numeros primes, Barcelona, El
Acantilado, 2007.
Fermat, P.; Pascal, B., La geometria del azar (la correspondencia
entre Pierre de Fermat у Blaise Pascal), Basulto Santos, Jesus;
Camunez Ruiz, Jose Antonio (ed.), Tres Cantos (Madrid), Ni-
vola, 2007.
Gonzalez Urbaneja, P.M., Fermat у los origenes del calculo diferen-
cial, Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2008.
Gracian, E.: Los numeros primes: un largo camino al infinite, Barce-
lona, RBA, 2010.
Mahoney, M.S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat 1601-
65, Princeton, Nuevajersey, Princeton University Press, 1973.
Navarro, J., Al otro lado del espejo: la simetria en matematicas, Bar-
celona, RBA, 2010.
Singh, S., El enigma de Fermat, Barcelona, Planeta, 2006.
Stewart, I., Historia de las matematicas, Madrid, Critica, 2008.
155

Указатель
AKS (см. также тест простоты,
AKS)78,79
Isagoge И, 104,108,109,110,124
Methodus И, 116,119-121,123-127
RSA (шифровальный алгоритм)
76-79
Абель, Нильс Хенрик 58,59
аль-Хорезми, Мухаммед ибн Муса
96
анализ (алгебра) 72,97,98,102,140,
150
аналитическая геометрия 10,93,
103-111,115,121,123-125,130,
134
аналитическое исследование 11,
116,119,121,123,127
Аполлоний Пергский 9,27,30,40,
95,103-105,107,108,110,120-
122,125,130
арифметика 25,84,88,99
«Арифметика» (Диофант) 15,31,46,
63,71,81,85,87
Архимед Сиракузский 8,9,27,65,
128-131
Баше де Мезириак, Клод Гаспар
81,83
Белл, Эрик Темпл 28
Бернулли (семья) 110,143
бесконечность простых чисел 69
Богран, Жан де 11,30,100,115,
124-125,137,146
Бойер, Карл 108
Бордо 11,29,30-32,34,35,99,103,
115
Браункер, Уильям 11,87-90
Брюлар де Сен-Мартен, Пьер 11,
82-84,116
вероятность 10, И, 84,139,140,142,
143,149
Виет, Франсуа (Францискус Виета)
25,29,30,39,45,82,91,96-106,
111,115-117,119,122,124,128
Вольфскель, Пауль 52
Галилей, Галилео 108,129,145,146
Галуа, Эварист 16,58,59
Гаусс, Карл Фридрих 8,48,49,65,86
Генрих IV 32
геометрическое место точек 105,
106,108-110
«Геометрия» (Декарт) 107,122-125,
127,128
«Геостатика» (Богран) 124
Гедель, Курт 8
гипербола 107,110,130,131
Гиппас из Метапонта 24
157
Гольдбах, Христиан 40,47,48
Гюйгенс, Христиан 11,38,90,91,
130,143,145,149
«Данные» (Евклид) 110
Дедекинд, Рихард 51
Дезарг, Жерар 128
Декарт, Рене 8,11,25,28,32,34,35,
37,70,91,97,99-102,104-108,
111,115,116,123,132,134,135,
137,145,146-148,150-152
Дигби, Кенельм 34,86,89-90
«Диоптрика» 124-126,145,146,148
Диофант Александрийский 7,9,15,
27,31,39,40,43,46,63,71,72,
81-83,86,95,96,117,130,153
Дирихле, Густав Лежён 49
Евклид Александрийский 8,9,22,
23,27,39,40,67,68,70,71,75,
81,95,99,111,116,133
Жермен, Софи 46,48,49
интегрирование 53,131
иррациональность >/2 25
Каркави, Пьер де 35,80,91,152,153
касательная 10, И, 116,119,120-
123,126-128,131-133,145
Катц, Ник 62
квадратура 10,128-133
Коммандино, Федерико 116
«Конические сечения» (Аполло-
ний) 111
коническое сечение 106-109,120,
129,138
Коши, Огюстен Луи 50,51,60,62,
86,119
круг 22,54,103,104,108,111,120,
122
Куммер, Эрнст Эдуард 50,51,59-63
Лагранж, Жозеф Луи 48,86,119
Лалу вер, Антуан де 132
Ламе, Габриель 50,51,62
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 8,79,
110,119,134
Лорандьер, Клод Мартен де 88,89
Мере, Антуан Гомбо, шевалье не 137,
138,139
метод
касательных 126,127
квадратуры 128
максимумов и минимумов 11,
103,116,118,120,126,133,
151
Мияока, Иоичи 60,62,63
Мерсенн, Марен 11,34-38,68-72,
74,75,76,80,82,84,87,104,115,
124-126,129,137,143,145,152
Медон, Бернар 11,35,38
модулярные функции 16,54,55,56
Нантский эдикт 32,33
«Начала» (Евклид) 9,23,67,71,138
Ньютон, Исаак 8,9,16,110,119,133,
134,146,152
оптика 135,145,148,150,151
ординаты 108,109
ось координат 108,109,123,129
отражение 146,147,150
Папп Александрийский 30,97,104,
107,116,119
парабола 105,107,109, ПО, 111,120,
121,126,127,130,133,134
кубическая, или обобщенная
129,132
Паскаль, Блез 11,35,38,86-88,91,
137,138,139,140,142,143,144,
152
Паскаль, Этьен 34,70,87,127,137
Пелль, Джон 11,86-88,90
Пифагор Самосский 18,19,20,22,
23,24,27,81
подкасательная 121
преломление 147,150,151,152
приравнивание 117,118,121,122,
127,128,131-133
прямоугольный треугольник 22,24
разложение на множители 50,51,71,
76-78,83
единственное 50,51
158
УКАЗАТЕЛЬ
«Рассуждения о философии» 101
Рибет, Кен 57,63
Риман, Бернхард 8,78
Римана гипотеза 40,44,78
Роберваль, Жиль де 38,39,104,123,
124,125,127,130,131,140
Симура, Горо 16,54-58,60,63,134
синкризис117,118
синтез (доказательство) 11,96,97,
98,103,110,134
сочетания 70,141,142
спрямление 10, И, 131-133
Танияма, Ютака 55,60,134
Таниямы — Симуры гипотеза 16,53,
56-58,63
Тарталья (Никколо Фонтана) 26
Тейлор, Ричард 62
теория
вероятностей 10,11,84,139,142,
143,149
групп 51,57-59
Ивасавы 16,60,63
идеалов 50,63
тест простоты
Миллера — Рабина 77,78
Соловея — Штрассена 78
Ферма 76
AKS 78
тройки
пифагоровы 19,80
Ферма 19
Тулуза 8,11,29-36,72,104,115,125,
149,152,153
Тьюринг, Алан 8
Уайлс, Эндрю 16,17,43,56-63,134
угловой коэффициент 123,134
уравнение
Пелля И,86-91
Ферма 49-53,90,97
Уоллис, Джон 11,37,86-90,131,153
Фалес Милетский 20
Фальтингс, Герд 52,53,60,63
Ферма, Клеман-Самюэль 32,39,40,
130,152,153
Ферма, Пьер де
биография личности 28
малая теорема 11,71,75-80,98
математический подход 37
Великая (Последняя) теорема 7,
8,17-19,40,43,44,46,48-53,
56-58,63,75,80,81,89,97
принцип 150,151
судья в Тулузе 30,137,150,152
уравнение 49,52,90,97
Фрай, Герхард 56,57,63
Френикль де Бесси, Бернар И, 72,
74,75,76,83,86,88,89,90
Харди, Годфри Харолд 24,53,76
Хейнсиус, Николас 35,38
числа
k-совершенные, или мультисо-
вершенные 70,71
дружественные 69,70
комплексные 50,51,54
Мерсенна 68,74,75,79
натуральные 18,19,24,43,46,
51,52,72,76,81,84
простые 43,47,49,50,51,52,
53,61,67-72,74-80,82,83,
86,90
вида 4k + 183,90
Мерсенна 68
Ферма 79
рациональные 24,71,72,78,80,
81,128,129
совершенные 67-70,80
составные 72,77,78
целые 25,51,54,130
Эйлер, Леонард 7,8,44,46,47,49,
52,63,68,75,79,80,89,90
эллипс 54,107,111,126,127
эллиптические кривые 16,54,55,57
эффективность вычислений 73
УКАЗАТЕЛЬ
159
Наука. Величайшие теории
Выпуск № 18,2015
Еженедельное издание
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини*, Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова,
д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу
не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор:
Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Младший менеджер по продукту:
Ольга Кравцова
Для заказа пропущенных выпусков
и по всем вопросам, касающимся информа-
ции о коллекции, обращайтесь по телефону
бесплатной горячей линии в России:
9 8-800-200-02-01
Телефон «горячей линии* для читателей
Москвы:
9 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини*, «Наука. Величайшие
теории*
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (теле-
фон или e-mail).
Распространение: ООО «Бурда Дистрибью-
шен Сервисна*
Свидетельство о регистрации СМИ в Феде-
ральной службе по надзору в сфере связи, ин-
формационных технологий и массовых ком-
муникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77-
56146 от 15.11.2013
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг*, Украина
Юридический адрес:
01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского,
119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных выпусков
и по всем вопросам, касающимся информа-
ции о коллекции, обращайтесь по телефону
бесплатной горячей линии в Украине:
9 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини*,
«Наука. Величайшие теории*
Украша, 01033, м. Кжв, а/с «Де ArocTiHi*
Свидетельство о регистрации печатного
СМИ Государственной регистрационной
службой Украины
КВ № 20525-10325Р от 13.02.2014
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк*, 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: + 375 (17) 331 94 41
Телефон «горячей линии* в РБ:
« + 375 17 279-87-87
(пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк*, «Де Агостини*,
«Наука. Величайшие теории*
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс*
Издатель оставляет за собой право изменять
розничную цену выпусков. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последователь-
ность выпусков и их содержание.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного
электронного оригинал-макета
в ОАО «Ярославский полиграфический
комбинат*
150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
Формат 70 х 100 / 16.
Гарнитура Petersburg
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Печ. л. 5. Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 28 300 экз.
Заказ № 1504880.
© Luis Fernando Arean Alvarez, 2012 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО “Де Агостини”, 2014-2015
ISSN 2409-0069
Q24
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требова-
ниями Федерального закона от 29 декабря
2010 г. № 436-ФЗ «О защите детей от ин-
формации, причиняющей вред их здоровью
и развитию*.
Коллекция для взрослых, не подлежит обя-
зательному подтверждению соответствия
единым требованиям установленным Тех-
ническим регламентом Таможенного союза
«О безопасности продукции, предназначен-
ной для детей и подростков* ТР ТС 007/2011
от 23 сентября 2011 г. № 797
Дата выхода в России 09.05.2015
Пьер де Ферма - исключительная личность в истории науки: будучи адво-
катом по профессии, он посвящал математике только свободные часы. Его
научное наследие по большей части сохранилось в виде писем, которыми
он обменивался с другими светилами своего времени, такими как Марен
Мерсенн, Блез Паскаль или Рене Декарт. Гениальность этого французского
ученого, несмотря на его дилетантизм, проявилась в разнообразных обла-
стях: в теории вероятностей, математическом анализе и особенно в теории
чисел, в рамках которой он выдвинул гипотезу, озадачившую самых зна-
чительных математиков на более чем три века. Историю решения задачи,
известной как Великая теорема Ферма, можно назвать одной из самых
красивых легенд научного мира.
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.