Мир
МАТЕМАТИКИ
25
Неуловимые
идеи и вечные
теоремы
Великие задачи математики
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Хоакин Наварро
Неуловимые идеи и вечные теоремы
Великие задачи математики
Москва - 2014
D^AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 25: Хоакин Наварро. Неуловимые идеи и вечные теоре-
мы. Великие задачи математики. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
В течение жизни человек сталкивается с множеством разных задач. Какие-то из них
оказываются элементарными, над решением других приходится серьезно подумать. Неко-
торые задачи, условия которых сформулированы еще сотни лет назад, не решены до сих
пор. Эта книга — уникальный сборник величайших задач прошлого и современности. Ра-
ботая над ее созданием, автор прислушивался к мнению научного сообщества: в издание
включены только те задачи, которые большинство специалистов считают важнейшими
в математике. Каждая из них — своеобразная бифуркационная точка, от которой зависит
путь дальнейшего развития науки.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0720-5 (т. 25)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: Corbis.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие......................................................... 9
Глава 1. Великие задачи Античности................................... И
Неразрешимая задача.................................................. И
Греческая задача оракула............................................ 15
Еще одна классическая задача — без оракула и без решения............ 17
Изначальная теорема................................................. 21
Простых чисел бесконечно много...................................... 23
Совершенные числа................................................... 25
Сфера и цилиндр.................................................... 29
Чудесная циклоида................................................... 32
Почему пчелиные соты имеют шестиугольную форму...................... 37
Кеплер и апельсины.................................................. 38
Глава 2. Эпоха Эйлера............................................... 43
Задача, которая не интересовала Шерлока Холмса...................... 43
Задача о сумме обратных квадратов, или Базельская задача........... 48
Гипотеза Гольдбаха.................................................. 52
Задача трех тел.................................................... 56
Гипотеза Лежандра................................................... 58
Несуществующий кирпич............................................... 61
Кёнигсбергские мосты................................................ 63
Девятнадцатилетний гений........................................... 66
В поисках утраченного уравнения.................................... 69
Теорема о распределении простых чисел............................... 73
История продолжается................................................ 77
Глава 3. Математика взрослеет....................................... 81
Самая известная теорема............................................ 81
Смерть коммивояжера................................................ 86
Четырех цветов достаточно...........................................  87
Пары простых чисел................................................. 90
Гипотеза Бибербаха................................................. 94
Гипотеза на 100 000 долларов........................................ 95
5
СОДЕРЖАНИЕ
Вперед и только вперед.......................................... 96
Гипотеза Тэта................................................. 98
Гипотеза Каталана............................................. 98
Задача о магических квадратах из простых чисел................ 98
Еще одна, последняя задача.................................... 99
Глава 4. Проблемы Гильберта.....................................101
Проблема № 1....................................................101
Проблема № 2....................................................106
Проблема № 3....................................................108
Проблема № 4....................................................108
Проблема № 5....................................................108
Проблема № 6....................................................108
Проблема № 7....................................................109
Проблема № 8....................................................109
Проблема № 9....................................................109
Проблема № 10...................................................110
Проблема № И....................................................110
Проблема № 12.................................................. 111
Проблема № 13...................................................112
Проблема № 14....................................................ИЗ
Проблема № 15 ...................................................ИЗ
Проблема № 16....................................................ИЗ
Проблема № 17...................................................114
Проблема № 18...................................................115
Проблема № 19...................................................116
Проблема № 20...................................................116
Проблема № 21...................................................118
Проблема № 22...................................................119
Проблема № 23 ..................................................120
Глава 5. Задачи тысячелетия ................................... 121
PhNP........................................................... 123
Гипотеза Ходжа..................................................129
Гипотеза Пуанкаре...............................................132
Гипотеза Римана.................................................138
6
СОДЕРЖАНИЕ
Зеленые поля Янга — Миллса....................................144
Неразрешимые уравнения .......................................146
Мать всех гипотез............................................ 148
Эпилог .......................................................151
Библиография..................................................153
Алфавитный указатель..........................................155
7

Предисловие
Я знаю только то, что ничего не знаю.
Сократ
Человеческий разум в течение жизни сталкивается с самыми разными задачами.
Но как отличить поистине великие от более или менее обычных, хотя и доволь-
но сложных? Например, однажды Александру Айкену, известному профессору
из Эдинбурга, в ходе дискуссии потребовалось вычислить несколько десятичных
знаков числа 4/47. Он начал перечислять цифры: «0,085106382...» и так далее,
пока не назвал 26 знаков после запятой. Затем он ненадолго остановился, после
чего перечислил одну за другой все 46 цифр периода этой дроби. «Затем этот пери-
од повторяется. Если период дроби содержит 46 цифр, значит я прав», — заметил
Айкен. Коллеги поспешили заверить профессора, что он не ошибся. Этот случай —
прекрасное доказательство способностей Айкена к вычислениям в уме, но сама за-
дача сложной не была. Вооружившись карандашом и имея достаточное количество
времени, эти вычисления произведет любой (или почти любой).
Хотя общей классификации задач не существует, можно использовать такие
критерии, как важность и влияние на прогресс. Однако некоторые задачи, решение
которых ознаменовало новый этап в развитии мысли, сегодня мы считаем элемен-
тарными. Рассмотрим в качестве примера утверждение: «существует бесконечно
много простых чисел», которое сегодня изучается в рамках школьного образования.
Оно было доказано еще в «Началах» Евклида и относится к теории чисел, которая
занимает первое место среди всех разделов математики, если говорить о задачах.
Задачи теории чисел формулируются очень просто и касаются близких нам понятий.
Тем не менее решить их очень сложно.
Рассмотрим другую задачу, на этот раз сформулированную современным язы-
ком: «Пусть А — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый цикл
Ходжа для А будет линейной комбинацией с рациональными коэффициентами
классов когомологии комплексных подмногообразий Л». Что можно сказать об этой
до сих пор не решенной задаче? Ничего определенного! Но не потому, что она недо-
статочно важна (Институт Клэя предлагает миллион долларов за ее решение),
а потому, что ее формулировка совершенно непонятна непосвященным. Цель этой
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
книги — объяснить задачи математики популярным языком, а не засыпать читателя
сложнейшими терминами.
Великие математические задачи, к сожалению, часто непонятны тем, кто не вла-
деет языком, на котором они сформулированы. И хотя те, кто посвятил изучению
этого языка несколько лет, свободно говорят на нем, увы, он имеет мало общего
с привычным нам языком, который мы слышим на улицах.
Велик соблазн рассмотреть некое круглое число задач, например сто. Но этот пе-
речень будет искусственным, и каким-то областям будет уделено больше внимания,
чем другим. Так что разумнее всего прислушаться к мнению научного сообщества
и назвать важными те задачи, которые считают таковыми большинство специали-
стов. Хотя такой подход не принесет каких-то неожиданных открытий, однако мы
точно не попадем в неловкое положение. Кроме того, благодаря интернету рассказ
о важных задачах будет намного полезнее: любой, кто захочет узнать о каком-
нибудь вопросе побольше, сможет самостоятельно найти всю необходимую инфор-
мацию. Последуем же за наукой и, кроме того, попытаемся объяснить читателю,
почему же те или иные задачи считаются важными.
Сделать это будет нелегко. Майкл Барнсли (род. в 1972 году) применил неко-
торые аффинные преобразования к определенным фрактальным структурам и за-
одно решил проблему избыточности информации. Благодаря решению этой задачи
Барнсли стал долларовым миллионером, а мы можем записать целый фильм на один
DVD-диск. Заслуживает ли эта задача упоминания в нашем списке?
10
Глава 1
Великие задачи Античности
Если я видел дальше других, то потому,
что стоял на плечах гигантов.
Сэр Исаак Ньютон
Многие великие математические задачи берут начало в Античности, и прежде всего
в Древней Греции. Сегодня почти все они решены, однако по-прежнему остаются
прекрасной разминкой для ума, так как, перефразируя Ньютона, всеми своими заслу-
гами мы обязаны тому, что стоим на плечах гигантов. Отдадим дань уважения нашим
предшественникам, ведь именно они указали нам путь, которым нужно следовать.
Рассмотрим, например, задачу о простых числах. Сегодня вполне естественной и даже
красивой выглядит гипотеза, согласно которой существует бесконечно много простых
чисел вида 22" +1. Но сначала нужно доказать вовсе не очевидное утверждение, что
простых чисел бесконечно много. Если вы попробуете вслед за Евклидом сделать это,
вы начнете уважать этого очень и очень умного человека, который не был доктором
наук или нобелевским лауреатом.
Задачи, о которых мы расскажем в книге, доказывают, сколь многообразен про-
гресс.
Неразрешимая задача
Выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи. Почему?
Решить задачу о квадратуре круга означает построить квадрат той же площади, что
И
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
и данный круг. Когда-то, еще в глубокой древности, эта задача имела важное прак-
тическое значение — она упоминается в Библии, египетских и вавилонских текстах.
Круг и квадрат одинаковой площади.
Введем некоторые обозначения, которые позволят нам сосредоточиться на основ-
ных идеях. Обозначим через Л постоянное число, равное отношению длины окруж-
ности Z к ее диаметру d:
I
я = -.
d
Этой же постоянной равен результат деления площади круга S на квадрат его ра-
диуса г:
S
71 =—.
Г2
Архимед доказал: 1) Л — постоянное число; 2) выполняются две формулы, при-
веденные выше. Если мы хотим решить задачу о квадратуре круга, нужно найти
сторону L квадрата, площадь которого равна S:
S = Ttr2 = I2	L = yfnr2 = гл/п.
То есть нужно построить отрезок длиной w, что так же сложно, как и построить
отрезок длиной Л.
Архимед первым всерьез изучил число Л. Этот греческий математик хитроумным
способом вычислил его значение, причем с невероятно высокой точностью для своей
эпохи:
3 + 10/71 < л < 3 + 1/7.
Этот результат Архимед получил методом исчерпывания, который был создан ма-
тематиком Евдоксом Книдским (ок. 390 года до н. э. — ок. 337 года до н. э.): окруж-
12
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА К
Хотя авторство обозначения л обычно приписывается
Леонарду Эйлеру (1707-1783), он всего лишь использо-
вал способ, предложенный Уильямом Джонсом (1675-
1749). Буква л есть не что иное, как первая буква гре-
ческих слов лЕргфЕрЕш («периферия») и лЕргцЕтрод
(«периметр»).
Британский математик-самоучка Уильям Джонс,
предложивший обозначение числа л.
ность заключалась между вписанным и описанным правильными многоугольниками,
затем вычислялись их периметры, и с увеличением числа сторон многоугольников
их периметры все больше приближались к длине окружности. Так и было получено
приближенное значение Л.
Точное значение этого числа не суждено было найти никому, но древние матема-
тики об этом не знали и начали настоящую одиссею разума — охоту за квадратурой
круга, которая не прекратилась даже после того, как в 1753 году Парижской акаде-
мией наук было объявлено, что рукописи с предполагаемым решением больше не бу-
дут рассматриваться, а затем Карл Луи Фердинанд фон Линдеман (1852—1939)
доказал, что решить задачу о квадратуре круга невозможно. Сложилась любопыт-
ная ситуация: хотя существует неоспоримое математическое доказательство того,
что решить задачу нельзя, многие любители математики все еще пытаются решить
ее. Даже автору этих строк довелось рецензировать одно из таких «решений» в кон-
це XX века. И, разумеется, это решение объемом почти 200 страниц содержало
ошибку в самом начале.
Чисто геометрические методы уступили место более мощным и абстрактным ме-
тодам анализа, а те — компьютерным методам, с которыми приходится считаться.
Однако и они не помогут решить задачу о квадратуре круга — доказательство Лин-
демана неопровержимо. Началась новая гонка — теперь ее участники стремятся
найти как можно больше знаков Л (в 2009 году было вычислено свыше 2699 мил-
лиардов знаков), чтобы определить нормальность Л (этот термин относится к тео-
рии чисел) и его вычислительную сложность.
В таблице ниже мы вкратце излагаем основные этапы истории числа Л исключи-
тельно в справочных целях.
13
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Дата	Автор	Приближенное значение л
ок. 2000 года дон. э.	Египет: папирус Ахмеса	(16/9)2 = 3,160493...
ок. 1900 года до н. э.	Вавилонские математики	25/8 = 3,125
ок. 900 года до н. э.	Индия: «Шатапатха-брахмана»	339/108 = 3,138888...
ок. 250 года до н. э.	Архимед	223/71 < л < 22/7 (3,140845... < л < 3,142857...)
5	Лю Синь	3,154
150	Птолемей	377/120 = 3,141666...
480	Цзу Чунчжи	3,1415926 < п <3,1415927
499	Ариабхата	62 832/20 000 = 3,1416
800	Аль-Хорезми	3,1416
1150	Бхаскара	3,14156
1220	Фибоначчи	3,141818
1400	Мадхава из Сангамаграма (с помощью степенного ряда)	И десятичных знаков
1596 1615	Людольф ван Цейлен	20 десятичных знаков 32 десятичных знака
1621	Виллеброрд Снелл	35 десятичных знаков
1699	Абрахам Шарп	71 десятичный знак
1706	Джон Мэчин	100 десятичных знаков
1719	Том Фанте де Ланьи (вычислил 127 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	112 десятичных знаков
1794	Георг Вега (вычислил 140 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	137 десятичных знаков
1841	Уильям Резерфорд (вычислил 208 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	152 десятичных знака
1844	Захариус Дазе и Шульц фон Штрасницкий (вычислили 205 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	200 десятичных знаков
1847	Томас Клаузен (вычислил 250 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	248 десятичных знаков
1853	Уильям Резерфорд	440 десятичных знаков
1874	Уильям Шэнкс (вычислил 707 десятичных знаков, но не все они оказались правильными)	527 десятичных знаков
1949	Фергюсон и Ренч с помощью настольного калькулятора	1120 десятичных знаков
1949	Ренч и Смит с помощью ЭВМ ENIAC, как и последующие исследователи	2037 десятичных знаков
1958	Франсуа Женюи	10 000 десятичных знаков
1961	Дэниел Шенке и Джон Ренч	100 265 десятичных знаков
1973	Жан Гийу и Мартин Буйе	1001 250 десятичных знаков
1983	Ясумаса Канада, Йошияки Тамура и Йошинобу Кубо	16 777 206 десятичных знаков
1987	Ясумаса Канада, Йошияки Тамура и Йошинобу Кубо	134 214 700 десятичных знаков
1989	Григорий Чудновский и Давид Чудновский	1011 196 691 десятичный знак
2009	Фабрис Беллар	2699 999 990 000 десятичных знаков
14
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
В основе задачи о квадратуре круга лежат введенные греками правила постро-
ения. Изначально допускались только построения с помощью циркуля и линейки,
во время которых можно было построить ограниченное множество чисел (постро-
имых чисел). Нетрудно доказать, что всякое построимое число является алгебраи-
ческим, при этом множество алгебраических чисел содержит и построимые, и непо-
строимые числа. Чтобы читатель смог получить полное представление о задаче,
приведем определение алгебраического числа: алгебраическим называется число,
которое является решением уравнения с рациональными коэффициентами. Числа,
не являющиеся алгебраическими, образуют неизмеримое и несчетное бесконеч-
ное множество трансцендентных чисел. Это название происходит от латинского
transcendere — «превосходить» и означает, что эти числа в некотором роде «пре-
восходят» алгебраические.
ЛЕТ
Диаграмма Венна, на которой показана связь между построимыми (С), алгебраическими (А),
трансцендентными (Т) и вещественными (R) числами.
В 1882 году Линдеман доказал, что число Л является трансцендентным, следо-
вательно, оно не является алгебраическим и построимым с помощью циркуля и ли-
нейки.
Греческая задача оракула
Задача, которую мы рассмотрим далее, по-видимому, имеет божественное проис-
хождение, ведь ее герои — дельфийский оракул, бог Аполлон, Платон и другие.
Однако вначале отметим, что для древних греков геометрическое построение означало
15
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
построение исключительно с помощью циркуля и линейки. При этом число этапов
построения должно быть конечным, а линейка не должна иметь никаких отметок,
то есть заранее определить меру длины было нельзя.
Эта почти легенда посвящена удвоению куба. Когда примерно в 430 году до н. э.
на Делосе разразилась эпидемия, жители острова обратились за спасением к дель-
фийскому оракулу. Оракул попросил построить новый алтарь Аполлона взамен ста-
рого, кубической формы: новый алтарь должен был сохранить форму, но удвоиться
в размере. Жители острова принялись за постройку алтаря. Если мы обозначим че-
рез I ребро исходного куба, а через V — его объем, то, согласно указаниям оракула,
нужно было построить алтарь объемом
(2/)3 = 8Р = 8К
Новый алтарь должен был быть в восемь раз больше прежнего. Эпидемия не стихала.
Тогда жители обратились за советом к мудрецу Платону, и он, блестящий фило-
соф и геометр, пристыдил их за незнание: оракул требовал построить новый алтарь
Аполлона в два раза большего объема, а не с ребром удвоенной длины. Требовалось
построить алтарь с ребром /’ объема V’ так, чтобы выполнялось условие
V' = (J'y=2V = 2l\
или, что аналогично,
/' =	= /^2.
Таким образом, нужно было возвести алтарь Аполлона с длиной ребра, равной
itfl. Более того, сказал Платон, истинное желание Аполлона, которое он сообщил
устами оракула, заключается в том, чтобы жители Делоса больше занимались мате-
матикой и вспомнили давно забытую геометрию.
Должно быть, эпидемия прекратилась сама собой либо Аполлон излечил жите-
лей острова на свой страх и риск, потому что задача дельфийского оракула не имеет
решения, что и доказал Пьер Ванцель (1814—1848) в 1837 году.
Задача дельфийского оракула эквивалентна построению отрезка длиной ^2
с помощью циркуля и линейки. Хотя построить этот отрезок можно множеством
способов (эту задачу решали Архит Тарентский (428—347 годы до н. э.), Менехм
(380—320 годы до н. э.), Филон Византийский (280—220 годы до н. э.), Никомед
(280—210 годы до н. э.), Диокл (240—180 годы до н. э.) и Герои Александрийский
(10—75 годы н. э.)), во всех решениях циркуль и линейка использовались недопу-
стимым образом. Даже в удивительном построении, предложенном великим Исаа-
16
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
ком Ньютоном (1643—1727), которое вы можете видеть на рисунке ниже, необхо-
димо отметить на линейке отрезок, длина которого равна либо единице, либо длине
ребра куба.
Числа, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, представимы
как элементы вложенных друг в друга множеств (на языке современной алгебры они
называются расширениями полей чисел):
К., cz К, cz К. cz cz К. cz... cz К cz...,
0	1	2	3	4	и ’
где множеству KQ принадлежат числа вида д() + aJ/T"; — числа вида я, + где
ar bjG Ко и так далее. Множеству К принадлежат числа вида ап + .^Г, где ап, bn G
G К . Все эти поля образованы построимыми числами. К ним же относятся линейные
комбинации квадратных корней, линейные комбинации построимых чисел, опреде-
ленные на основе предыдущих (то есть корни четвертой степени), корни восьмой
степени и т. д., однако среди элементов этих полей отсутствуют кубические корни.
Построить алтарь согласно требованиям оракула было нельзя, так как ^2 не яв-
ляется ни квадратным корнем, ни корнем четвертой, восьмой или любой другой чет-
ной степени. Следовательно, искомое число не является членом ни одной последова-
тельности полей вида Кп. Аполлон вряд ли знал об этом.
Еще одна классическая задача - без оракула и без решения
Трисекция угла означает разделение угла на три равные части. В греческой культуре
для этого использовались только циркуль и линейка и соблюдались упомянутые выше
ограничения. Столь строгие правила не были капризом — они возникли вследствие
17
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
желания достичь максимального совершенства: греки избегали грубых приближений
и стремились к абсолютной точности.
Эти устремления были не лишены здравого смысла. Нам известно многое о том,
как разделить угол пополам, — необходимое построение приведено на рисунке.
Будем повторять деление угла пополам снова и снова, до бесконечности. Резуль-
татом будут углы ОС/2, ОС/4, Ot/8, ..., а/2п... Если мы найдем сумму этого ряда
ос/4 + ос/16 + ос/64 + ... + ос/4п + ... = ос/3,
то увидим, что задача о трисекции угла решена. Однако мы нарушили одно из правил
построения: число этапов должно быть конечным. Погрешили мы и против здравого
смысла, так как ни один человек не будет делить угол пополам бесконечное число раз.
Задача о трисекции имеет решение для некоторых углов: мы приглашаем читате-
ля решить эту задачу для углов величиной Л, Зл/8, л/6 или л/4. Заверяем, что их
действительно можно разделить на три части, хотя для этого и потребуется некото-
рое время. Греки же хотели найти способ трисекции произвольного, а не какого-то
конкретного угла.
Архимед предложил очень интересный алгоритм трисекции произвольного угла
под названием «невсис»: в нем допускалось нанесение отметок на линейку. Пусть
нужно разделить на три равные части угол АОХ. Архимед утверждал, что если на-
нести на произвольную линейку две отметки, В и С, и действовать так, как показано
на иллюстрациях, то можно разделить АОХ на три равные части.
18
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Угол CBD равен 1/3 АОХ. Суть построения заключается в том, чтобы повернуть
линейку вокруг точки А так, чтобы точка С лежала на окружности, а точка В —
на прямой ОХ. Понять этот метод поможет рисунок, на котором представлены до-
полнительные этапы построения.
19
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Обратите внимание, что выполняются следующие равенства:
е + с = 71
е + 2Ь = 7Г
с = 2Ь
d + 2с = 7Г
а + d + b = 71.
Из этих равенств следует, что а — ЗЬ.
Однако Архимед предлагает нанести на линейку отметки, что недопустимо.
В других подобных методах решения этой задачи (греки называли их механиче-
скими) использовались дополнительные кривые — трисектрисы, которые строятся
с помощью известного геометрического метода и помогают разделить произвольный
угол на три части.
При решении задачи о делении угла За на три равные части величиной ОС по-
является уравнение третьей степени. В самом деле, построение угла ОС означает по-
строение одной из его простых тригонометрических функций, так как в задаче идет
речь о простых отрезках. Применив тригонометрическую формулу синуса тройного
угла, получим:
4sin3 ОС — 3sin ОС + sin Зое = 0.
Обозначив sin ОС через х, имеем следующее кубическое уравнение:
4х3 — Зх + sin За = 0.
Хотя существуют кубические уравнения, которые можно решить в построимых
числах (а также существуют углы, для которых задача о трисекции имеет решение),
уже Кардано с помощью формул показал, что в общем решении кубического уравне-
ния используются кубические корни, которые не являются построимыми.
Пьер Ванцель в 23 года окончательно доказал, что задача о трисекции угла
не имеет решения. Наряду с этим доказательством в книге, вышедшей в 1837 году,
он описал невозможность удвоения куба. Таким образом, в общем виде решить за-
дачу о трисекции угла с помощью циркуля и линейки невозможно.
20
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Изначальная теорема
«Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» — так звучит первая теорема
геометрии, которую изучают в школе и которая лежит у истоков научного познания
мира.
В любом прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с выпол-
няется соотношение
Верна и обратная теорема: если стороны треугольника а, b и с удовлетворяют вы-
шеуказанному соотношению, этот треугольник прямоугольный. Легенда гласит, что
автором этой теоремы был философ и математик Пифагор Самосский (ок. 582 года
до н. э. — ок. 507 года до н. э.), однако скорее всего доказательство теоремы при-
надлежит не ему, а одному из его последователей. Впрочем, сомнительно и автор-
ство Пифагора или пифагорейцев: по-видимому, формулировка теоремы была из-
вестна уже в Вавилоне и, возможно, в Древнем Египте.
На вавилонской табличке Плимптон 322 (слева), созданной в 1790-1750 годах до н. э.,
записаны различные пифагоровы тройки. Это позволяет предположить,
что в Вавилоне была хорошо известна теорема Пифагора, пригодная для решения практических задач,
например задачи о вычислении сторон квадратного поля по известной диагонали
(ее решение записано на табличке, изображенной справа).
21
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Первым доказательство этой теоремы привел Евклид Александрийский
(ок. 300 года до н. э.) в своих «Началах» (книга 1, предложение 47). Впоследствии
было найдено несколько десятков доказательств этой теоремы. В некоторых из них
в шутливой форме используются столь абстрактные математические понятия, как,
например, дифференциальные уравнения. Два наиболее простых доказательства,
понятных даже без вычислений, представлены на рисунках ниже.
Тройки чисел а, b и с, которые для любых натуральных х и у удовлетворяют сле-
дующим соотношениям
а = х2~ у2,
b = 2ху,
с = х2 + у2,
называются пифагоровыми тройками, так как а2 + Ь2 = с2. Приведенные равенства
верны для чисел любого вида.
И раз уж мы заговорили о различных видах чисел, упомянем, что безобидная
и красивая теорема Пифагора стала источником множества неудобств для самих пи-
фагорейцев: если применить эту теорему к квадрату, длина стороны которого L —
рациональное число, диагональ будет равна
D = y/b2+L2 =42В=ьЛ.
Это число не является рациональным. 1реки называли его несоизмеримым, то есть
нерациональным, или иррациональным. Сами пифагорейцы не смогли постичь несо-
измеримое число, и, по легенде, Гиппас из Метапонта был убит за то, что поведал
22
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
о подобных числах миру. Другая версия этой легенды гласит, что Гиппас был всего
лишь изгнан из пифагорейской школы.
Пифагорово соотношение а2 + Ь2 = с2, эквивалентное с = \1а2+Ь2, позднее стало
пониматься как определение евклидовой метрики. По определению, n-мерное про-
странство является евклидовым, если на нем определено расстояние
d = ^x}-Yj2+- + (xn-l)2.
Иллюстрация из древнейшего греческого издания «Начал» Евклида,
сопровождавшая доказательство теоремы Пифагора
Простых чисел бесконечно много
Существует бесконечное множество простых чисел. Сегодня это утверждение выгля-
дит тривиальным, однако современники Евклида его таковым не считали. Оно приво-
дится как теорема 20 в книге IX «Начал» и упоминается среди основных утверждений
во всех учебниках по элементарной арифметике. Напомним, что натуральное число
n > 1 является простым тогда и только тогда, когда оно делится на единицу и само
себя. То есть единица не является простым числом. Числа, которые не являются
простыми, называются составными. Первые простые числа, меньшие 100, таковы:
2,3,5,7, И, 13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
Существует безошибочный, но медленный алгоритм поиска простых чисел —
решето Эратосфена. При взгляде на этот ряд чисел возникает вопрос: имеет ли по-
следовательность конец? Ответ, приведенный в трактате Евклида, может служить
примером логических рассуждений даже в наши дни. Воспроизведем рассуждения
Евклида. Рассмотрим конечную последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, ..., р
23
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
и определим новое число п = 2- 3- 5- 7-...-р + 1, которое будет либо простым,
либо произведением простых. Допустим, что л простое. Очевидно, что л > р., где
р. — произвольное простое число из приведенной выше последовательности Таким
образом, мы получили новое простое число, большее всех предыдущих. Если бы л
всегда было простым, на этом доказательство закончилось бы.
Предположим, что л — составное число. Возможны два варианта.
1. Ни один из его простых множителей не больше р.
2. Один из его простых множителей больше р.
Проанализируем первый вариант. Один из множителей п должен принадлежать
последовательности простых чисел 2, 3, 5, 7, ..., р. Обозначим этот множитель
через т. Так как т является делителем л и является простым, оно будет делителем
произведения 2 • 3 • 5 • 7 • ... • р. Если т — делитель обоих этих чисел, оно будет
делителем их разности л — 2,3,5*7,...,р = 1. Таким образом, т является делителем
единицы, следовательно, т — 1. Однако это число не принадлежит последователь-
ности 2, 3, 5, 7, .., р, следовательно, наше предположение неверно.
Рассмотрим второй вариант. Если бы число п имело простой множитель, боль-
ший р, значит для данного простого р всегда существует другое, большее простое
число. Таким образом, этот процесс можно продолжать бесконечно, и всякий раз его
результатом будет все большее простое число. Это означает, что последовательность
простых чисел является бесконечной.
Рисующий Евклид на фреске Рафаэля «Афинская школа».
24
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Доказательство Евклида может показаться несколько длинным и витиеватым.
Однако приведение его в сокращенном виде может стать причиной различных за-
блуждений. Например, читатель, который в спешке ознакомился с доказательством,
может решить, что если
п = 2-3-5-7 р + 1,
то п, очевидно, простое, так как если мы разделим его на любое из чисел 2, 3, 5, 7,
..., р, остаток будет равен 1. В действительности мы можем сделать вывод только
о том, что если л — составное, то наименьший из его простых множителей должен
быть больше р. В доказательство обычно приводят следующий пример:
(2 • 3 • 5 • 7 • И • 13) + 1 = 30 031 = 59 • 509.
Наибольшее простое число, известное на 2008 год, равно 243112609—1, оно содержит
12 978189 цифр. Возможно, очень скоро будет найдено еще большее простое число:
таких чисел бесконечно много, а тяга к их поиску бесконечно велика. К тому же
организация Electronic Frontier Foundation учредила премию в 150 тысяч долларов
тому, кто первым найдет простое число из 100 000 000 цифр (это число должно быть
записано в десятичной системе счисления).
Следует учитывать, что простые числа играют важную роль в теории чисел и чаще
других становятся предметом великих задач и математических открытий. Рассмо-
тренную теорему («существует бесконечно много простых чисел») можно было бы
считать самой мощной теоремой о простых числах, однако в конце XIX века была
доказана теорема о простых числах, о которой мы расскажем позднее.
Совершенные числа
Хотя и говорят, что в мире нет совершенства, но, быть может, оно скрывается в мире
чисел, ведь совершенные числа известны еще со времен Пифагора. Не будем огра-
ничиваться Древней 1рецией — по всей видимости, этими числами интересовались
уже в Древнем Египте.
Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей
за исключением самого себя. Чтобы дать этим числам определение, более приме-
нимое на практике, вводится функция о(п), равная сумме делителей п (обратите
внимание, в этот раз в число делителей п входит и само л). Таким образом, число
является совершенным, когда О(л) = 2л.
25
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Приступив к поиску совершенных чисел, вы вскоре убедитесь: это равенство вы-
полняется далеко не всегда, а совершенство встречается крайне редко. В таблице
ниже сравниваются размеры п, n-го совершенного числа Рп и порождающего его
простого числа р .
п	₽п	Р п
1	2	6
2	3	28
3	5	496
4	7	8128
5	13	33 550 336
6	17	8589 869 056
7	19	137 438 691328
8	31	2305 843 008 139 952 128
На этом мы остановимся. Аврелий Августин утверждал, что Бог создал мир
за шесть дней, так как 6 — совершенное число. Если бы для сотворения мира Бог
выбрал другое совершенное число дней, ему потребовалось бы намного больше вре-
мени. Вот, например, пятнадцатое совершенное число, которое имеет относительно
обозримые размеры:
541625262843658474126544653743913161408564905390316957846039208183
872069941585348591989999210567199219190573900802636461592800138276
05439746262788903057303445505827028395139475207769044924431494861
729435113126280837904930462740681717960465867348720992572190569465
545299629919823431031092624244463547789635441481391719816441605586
7880921478866773213987566616247145517269643022175542817842548173196
119516598555535739377889234051462223245067159791937573728208608782
143220522275845375528974762561793951766244263144803134469350852036
575847982475360211728804037830486028736212593137899949003366739415
03747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212775
603535764707952250173858305171028603021234896647851363949928904973
292145107505979911456221519899345764984291328.
Наибольшее совершенное число, которое было известно на 2008 год, содержит
25 956 377 цифр. Одним из его делителей является наибольшее из известных простых
26
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
чисел. Обратите внимание, что все совершенные числа, найденные до настоящего
времени, вплоть до 1030°, являются четными. Гипотеза о нечетных совершенных чис-
лах гласит, что их не существует. Однако если нечетное совершенное число все же
есть, оно должно иметь как минимум 47 простых множителей с учетом повторений.
В «Началах» Евклид уделяет большое внимание четным совершенным числам.
В предложении 36 книги IX он доказывает, что любое четное число вида
Р = 2П-1(2П - 1),
где 2П — 1 простое, является совершенным. Доказательство этого утверждения
не слишком сложно (интересующийся читатель может найти его самостоятельно,
используя функцию о), однако доказать обратное утверждение непросто. Доказать,
что все совершенные числа имеют вид 2П “ 1(2П — 1), где 2П — 1 простое, удалось
только в XVIII веке при участии самого Эйлера.
Вышеприведенное выражение означает, что все совершенные числа, записанные
в двоичной системе, имеют похожий вид:
610 =
2810 = 111002
49610 = 111110000,.
Они состоят из рп идущих подряд единиц, за которыми следует рп — 1 нулей.
Упоминания заслуживает святой отец Марен Мерсенн (1588—1648) — фран-
цузский богослов, философ, математик и знаток музыки, который изучал числа вида
М =2"-1.
Л
Мерсенн предположил, что такие числа часто являются простыми, и привел их список
(к сожалению, ошибочный). Согласно его гипотезе, подобные числа являются про-
стыми только для и = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257. Однако полученные
числа будут простыми и при л = 61, 89 и 107 (хотя Мерсенн не привел их в своем
списке), а при л = 67 и 257 они будут составными (Мерсенн включил их в свой
список предположительно простых чисел).
27
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Эти числа были столь важными, что их изучением занималась даже графиня Ада
Лавлейс, дочь лорда Байрона. С помощью методов Евклида и Эйлера можно найти
все простые числа Мерсенна, которых столько же, сколько и четных совершенных
чисел (и наоборот). На 2011 год было известно 47 простых чисел Мерсенна, и в ин-
тернете существует множество сайтов, посвященных им. Возможно, они так попу-
лярны потому, что с их помощью можно найти очень большие простые числа.
Пока что неизвестно, конечно или бесконечно множество четных совершенных
чисел. Кроме них, существуют избыточные, недостаточные, гармонические, мульти-
совершенные, псевд©совершенные, квазисовершенные числа, и с каждой их группой
связаны свои нерешенные задачи.
Tabejk pulcherrima ^vtihpiina Com'trMtionit duodecimCantilenarHm.
хи.
I.	и.	III.	IV.	V.	VI.	VII	VIII. IX.		X.
1	I	1	I	1	1	I	1	1	1
2	7	4	s	6				10	II
7	6	И»	4.	11	18	76	47	я	66
¥	ю	10	H|	0	84,	no	165	210	186
	If	7»	74	11?	Ito	)1O	491	7И	loot
6	1<	S'-	116,	*5*	461	79*	1187	1002	JOO)
7	18	8,	lid	461	9*4	17 <6	JOO)	/O©J	800b
в	>б		в°!	79»		HI*	6457	11440	«944s
9	47	1'5	499	>187	7OOJ	«4)1	11870		457/8
IC	5/	Xia	7'5	2O’>2	700J	11440	i4)io	48620	9i)7«
п	66	iSo	1001	500;		1944S	45’18	91578	184756
п	7$	4	i;..<(	436I	>1576	5'814	75)8*	167 960	jli’16
в	9*	4'V	1810I	6i«8	18,69	/ojSS	1x5970	*9)75°	6466^6
14	107	i6	ijSo	S7-8	*7 В*	77f*o	*0)490	4974*0	1144066
ч	!1О	65:	1060	ii 'if S	5З760	116280	5'977”	817190	1961156
Гб	1)6	«it	7S76	‘//’>4	54164	17OJ44	49°)*4	B°7f>’4	516876 >
17	•я	969	484/	*°H9	74617	*47*57	75)471	104*97/	/5'1755
18	>71	114c	f93f	16754	10094?	J4<’,°4	1°SB75	51*41/0	84)628)
«9	9°	IJJO	7*4		IJ41 p6	।480700	l/6127fj 468681)		1)11)110
X	210	1/4°	88j j	4ЧО*	177106	j 657800	111007f 6906900*		200)0010
1]	*5»	1771	( OC>16	57B°	ijt'ija	' 888070	)io8io;	1001500/	5004501/
11	*Я	1014	11<JO	'7780	196010 1184041		4*9*’45	«4507150	445 J* i^S
*7	176	1? .0	1497c	fo7|© pO-f© 1/60780			5851915	1016007г 64511190	
*4		1600	‘7SS1	8x8	47/020 WtfSoc		78887x5	18048800' 91/61040	
*/	5*5	1915	*°47.	*7/>	/9)775 *6*9175		,o| 18)00	)3j67lool 1)1128140	
7&
l6t
4j6i
1476
Jt8M
7//81
16796a
7”545*
МЛ07Ч
M9<>44‘
44/74°”
7’16 6c
MOJ7897
11474180
5459719°
Н6*Ч°°
84672717
П9014480
V)/567*0
>1
5'
4i(
1S10
6.88
i8t6.
/ojS8
>17970
191оjo
646646
>771078
17°44<
jioojoc
9677700
>778)860
70411777
5‘89/95J
86497117
>4<40pJ
11779*840
77*817710
/48774040
186097760* 8)4471800
417117900 1171677700
Святой отец Марен Мерсенн внес важный вклад в математику и музыку —
две тесно связанные между собой дисциплины.
На иллюстрации — одна из таблиц его трактата о гармонии.
Один из подвидов совершенных чисел — дружественные числа. Числа пит на-
зываются дружественными, если сумма делителей одного числа равна другому, и нао-
борот (например, 9363584 и 9437 056). Число, дружественное самому себе, является
совершенным, и наоборот, хотя два числа могут быть дружественными и не быть при
этом совершенными. Сабит ибн Курра (826—901) показал, что существует беско-
нечно много дружественных чисел, и разработал систему, позволяющую вычислить
28
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
их (хотя и не все). Обобщенный случай дружественных чисел — общительные числа
(неизвестно ни одного такого числа третьего порядка).
Сфера и цилиндр
Архимед из Сиракуз (287 год до н. э. — 212 год до н. э.) первым доказал, что пло-
щадь поверхности цилиндра и его объем соответственно равны 2/3 площади поверх-
ности и объема вписанной в него сферы. Рисунок ниже поможет вам представить это
соотношение.
и
ГОРДОСТЬ АРХИМЕДА
При расчете площади поверхности цилиндра
не следует забывать о площади его оснований.
Архимед так высоко ценил решение этой задачи,
что, по словам Плутарха, попросил, чтобы оно было
высечено на его надгробии. Хотя местонахождение
могилы Архимеда неизвестно, вполне возможно,
что его воля была исполнена, - до наших дней до-
шло свидетельство выдающегося древнеримского
политика Марка Туллия Цицерона, посетившего
могилу Архимеда.
Портрет Архимеда кисти Джузеппе Катаньи.
XIX век.
29
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
В современной нотации утверждение Архимеда записывается так:
9	4
S = 4пг2 v = -71г\
3
где S — площадь поверхности сферы, V — объем сферы. По-видимому, доказать
это утверждение было непросто: строгое доказательство приведено в книге «О шаре
и цилиндре» — объемном труде, содержащем 53 предложения. Датский исследова-
тель Хельберг в 1906 году, изучая старинный пергамент с православными греческими
молитвами, обнаружил, что они были записаны поверх более раннего текста. Этим
текстом был «Метод механических теорем» Архимеда, который считался утрачен-
ным. К счастью, исходный текст удалось восстановить, а в 1998 году пергамент
был продан за 2 миллиона долларов. В «Методе механических теорем» площадь
поверхности и объем сферы рассчитываются механическими методами, которые были
знакомы великому греку по задачам с рычагами.
Рычаг, поддерживающий в равновесии три геометрических тела определенного размера.
В трактате Архимеда «Метод механических теорем» путем рассуждений с использованием похожего
рычага рассчитываются объем и площадь поверхности сферы.
При доказательстве вышеприведенных формул используется метод исчерпыва-
ния Евдокса — прообраз современного анализа бесконечно малых. В более совре-
менных и доступных понятиях пределов метод исчерпывания формулируется так:
если мы будем находить последовательные приближения сверху и снизу для вели-
чины А
п
х < А < у ,
п п * н
30
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
то также будет выполняться неравенство
lim х < lim А < lim у .
И	»	ч 7 М
Если расстояние между х и у стремится к нулю
lim(x — у )—>0,
H—>оо
то все пределы будут равны:
lim х = lim А =А = lim у
ч	«	V	«	ч 1 П *
Архимед построил ряд вписанных и описанных конических сечений для сферы
так, что смог вычислить площади их поверхностей и объемы, которые последова-
тельно приближались к площади поверхности сферы и объему сферы, как показано
на иллюстрации ниже.
Современные исследователи для решения этой задачи могут обратиться к ин-
тегральному и дифференциальному исчислению, но во времена Архимеда это было
невозможно, и древний математик использовал геометрические методы. Всякий, кто
ознакомится с книгой «О шаре и цилиндре», убедится, что Архимед при этом был
хитроумен и проницателен, недаром его считают одним из выдающихся мудрецов.
31
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Чудесная циклоида
Может показаться, что циклоида — это просто кривая, заданная параметрическим
уравнением
х = a (2l — sin X)
у = а (1 — cos X)
и чуть более сложным уравнением в декартовых координатах
х = а • arccos (1 — —) — ^2ау — у2,
а
в котором общая высота кривой равна 2а. Длина каждого периода равна 8а — в че-
тыре раза больше высоты циклоиды. Внешний вид циклоиды представлен на рисунке
ниже.
На иллюстрации — геометрическое определение циклоиды: это кривая, которая
определяется как траектория движения точки окружности радиуса а, катящейся без
скольжения по прямой. Хотя циклоида является вогнутой кривой, чтобы продемон-
стрировать ее построение, мы можем изобразить ее в виде выпуклой кривой.
Гэафик циклоиды, выпуклой вверх.
32
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Циклоида обладает еще одним любопытным свойством: площадь, ограниченная
циклоидой, в три раза превышает площадь производящего ее круга.
Теперь, после знакомства с циклоидой, мы представим вам семью швейцарских
ученых Бернулли, с которой может сравниться разве что семья композиторов Бахов.
Николай Старший
(1623-1708)
Якоб	Николай	Иоганн
(1654-1705)	(1662-1716)	(1667-1748)
Николай I
(1687-1759)
Николай II	Даниил	Иоганн II
(1695-1726)	(1700-1782)	(1710-1790)
Иоганн III	Даниил II	Якоб II
(1744-1807)	(1751-1834)	(1759-1789)
Фамильное древо Бернулли.
Члены многочисленного семейства Бернулли периодически враждовали между
собой и нередко находились в сложных отношениях, однако все они занимали свое
место в научном мире на протяжении почти двух столетий. Иоганн Бернулли — про-
ницательный мыслитель и дурной отец семейства — нашел решение сложной задачи
с простой формулировкой, которая сегодня называется задачей о максимумах и мини-
мумах и рассматривается в курсе вариационного исчисления. Эта задача звучала так:
33
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
если материальная точка падает вдоль нисходящей кривой под собственным весом без
скольжения, то какую форму будет иметь кривая, для которой время падения этой
материальной точки будет наименьшим? В 1696 году в журнале Acta Eruditorum
была опубликована следующая статья Иоганна Бернулли:
«Мы приглашаем математиков решить новую задачу: для двух данных точек
А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости, найти для материальной
точки М путь AM В, двигаясь вдоль которого под действием собственной тя-
жести, точка М пройдет путь из точки А в точку В за наименьшее время. [... ]
Чтобы предвосхитить любые скоропалительные выводы, отметим, что хотя
прямая АВ, вне сомнения, является кратчайшим путем между точками А и В,
она не будет описывать путь, пройденный за наименьшее время. Тем не ме-
нее кривая AM В, наименование которой я приведу, если никто не отыщет ее
до конца этого года, прекрасно известна геометрам».
Портрет математика Иоганна Бернулли,
который уделял основное внимание анализу бесконечно малых.
Решение этой задачи (правда, ошибочное) привел Галилео Галилей (1564—1642).
Задача может показаться незначительной, однако она стала связующим звеном меж-
ду физикой и математикой. Говоря современным языком,
cBds
АВ ~ J А '
V
34
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
где tAB — время в пути от точки А до точки В, s обозначает дугу кривой, v — скорость
материальной точки. Так как
ds = y]dx2+dy2 =	dx = -J1 + у'2dx,
имеем
t
АВ
•В /1 + у'2
I------dx.
А\ 2ЯУ
Применив методы вариационного исчисления, получим параметрическое уравне-
ние кривой от ОС:
х = У2К{а — sin ос)
у = у,К(1 — cos ОС).
Таким образом, искомой кривой будет циклоида. Разумеется, Иоганну Бернулли
не были известны все тайны вариационного исчисления, позднее разработанного Эй-
лером на основе идей Якоба Бернулли, поэтому Иоганн использовал исключительно
силу своего разума и законы преломления света.
Как мы уже упоминали, он предложил эту задачу для публикации в 1696 году
в научном журнале Acta Eruditorum. Иоганн надеялся унизить своего брата Якоба,
предполагая, что тот не сможет решить задачу. Сам Иоганн в следующем году опу-
бликовал предполагаемое решение, которое, однако, содержало ошибки.
АСТА
ERVDITORVM
ANNO
М DC XCIV
publicata.
CuntS Crjltr ’,e Majcftatis & Potentiljimi
Eltiloiii SaxomA prrvtlcviii	*
L I P SI A'.
Proliant apnd J OH. GROSSIl Hzrcdc
& JOH. гном. KRITSCIfiu.M.
Спкитмх! t.oi rl.
A. M IX, X( IV.
Обложка Acta Eruditorum — немецкого научного журнала,
выходившего в период с 1682 по 1782 год.
35
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Тем временем о задаче узнал Ньютон. Неизвестно, счел ли он ее вызовом своим
способностям, однако решение ученый предложил уже на следующий день. Ньютон
отправил решение в Лондонское королевское общество, и его перевод на латынь
был опубликован в Acta Eruditorum рядом с решениями других авторов, правда, без
указания авторства. Иоганн прочитал предложенные решения, убедился в том, что
они верны, и немедленно определил, кто мог быть автором анонимного ответа. Он
сказал: «По когтям узнают льва», — и этот комментарий остался в истории. Наряду
с Ньютоном решения этой так называемой задачи о брахистохроне (от греческого
[Зрсхх1(ТТ(Т — «кратчайший» и хр/гтчу — «время») предложили Лейбниц, Эрен-
фрид Вальтер фон Чирнхаус, маркиз Лопиталь и брат Иоганна, Якоб Бернулли.
Брахистохроной, то есть кривой скорейшего спуска, оказалась циклоида.
Кроме того, циклоида также является таутохронной и изохронной кривой: частица,
помещенная в любую ее точку, достигнет нижней точки за одно и то же время.
Четыре одинаковые материальные точки, помещенные в различные участки циклоиды,
достигнут горизонтали за одинаковое время. Ускорение материальных точек указано стрелкой.
На координатной плоскости изображен пройденный путь (s) как функция от времени (t).
Время падения будет одинаковым независимо от длины пройденной дуги,
поэтому все материальные точки, которые начнут движение одновременно,
достигнут нижней точки циклоиды в один и тот же момент времени.
Циклоида — таутохронная кривая.
36
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Христиан Гюйгенс в своем трактате о часах использовал это свойство циклоиды
и описал циклоидальный маятник.
Колебания маятника Гойгенса — голландского математика XVII века.
Маятник описывает не дугу окружности, а дугу циклоиды, поэтому является изо-
хронным. Амплитуда колебаний не имеет значения, так как он описывает таутохрон-
ную (или изохронную) кривую. Гюйгенсу удалось сконструировать очень точные
маятниковые часы.
Почему пчелиные соты имеют шестиугольную форму
Хотя пчелам этот вопрос может показаться сугубо теоретическим, геометры полагают
совершенно иначе. Для некоторых философов здесь скрывается множество загадок.
Подчиняются ли пчелы инстинкту, имеющему божественную природу, или же этот
инстинкт сформировался в ходе эволюции? Быть может, восковые соты принимают
форму шестиугольных призм под тяжестью других сот, расположенных выше? По-
чему соты имеют именно такую форму?
Начнем отвечать на эти вопросы с самого начала. Замощением, как правило,
называется покрытие плоскости равными многоугольниками, которые могут быть
правильными, выпуклыми, неправильными, невыпуклыми, иметь прямолинейные
или криволинейные стороны. Уже Папп Александрийский (III—IV века до н. э.)
обратил внимание на «прозорливость пчел» и, говоря о пчелиных сотах, заметил,
что правильные шестиугольники оптимальны в том смысле, что характеризуются
наименьшим периметром среди всех возможных замощений из правильных много-
угольников. Таким образом, шестиугольные соты наилучшим образом соответствуют
цели пчел — использовать для их постройки наименьшее количество воска.
37
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Но не все последующие мудрецы были согласны с Паппом. Кеплер и Дарвин,
например, полагали, что пчелы строят соты в форме цилиндров, которые принимают
форму шестиугольных призм, прекрасных в своей симметрии, под весом вышележа-
щих сот.
Шестиугольные пчелиные соты стали объектом изучения геометров.
Постепенно геометрам удалось распутать этот клубок загадок, прежде всего
благодаря открытиям Ласло Фейеша Тота (1915—2005). Он доказал, что из всех
выпуклых многоугольников (правильных и неправильных), которыми можно замо-
стить плоскость, правильный шестиугольник имеет наименьший периметр при за-
данной площади. После этого до окончательного решения задачи оставался один
шаг. Американский математик Томас Хейлс (род. 1958), который к тому моменту
уже доказал гипотезу Кеплера об упаковке шаров, занялся задачей о пчелиных со-
тах и спустя несколько месяцев нашел ее решение: замощение плоскости выпуклыми
шестиугольниками максимально эффективно среди всех возможных, оно более эф-
фективно, чем любое замощение невыпуклыми многоугольниками и многоугольни-
ками, имеющими одну или несколько криволинейных сторон.
Решение Хейлса можно использовать и при укладке плитки: если вы хотите об-
лицевать плоскую поверхность, наилучшим выбором станут шестиугольные плитки.
Кеплер и апельсины
Имя Иоганна Кеплера (1571—1630) осталось в веках благодаря открытым им астро-
номическим законам, а не математическим трудам. Кеплер занимался не только та-
кими приземленными вопросами, как емкость и форма бочек или форма снежинок,
38
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
но и выдвинул две весьма известные гипотезы. Первая касалась пчелиных сот, во вто-
рой речь шла об укладке шаров. В одной из версий последней гипотезы требуется
найти оптимальный способ укладки пушечных ядер, в другой речь идет об уклад-
ке апельсинов. С древнейших времен продавцы фруктов выкладывают апельсины
на прилавках в форме пирамид, при этом апельсины верхнего слоя помещаются в вы-
емки между апельсинами нижнего слоя.
Оптимальный способ укладки пушечных ядер изучил еще Иоганн Кеплер.
Предложенный им способ приведен на иллюстрации слева, взятой из книги
«О шестиугольных снежинках», изданной в 1611 году.
И продавцы фруктов при укладке апельсинов, и сэр Уолтер Рэли при укладке
пушечных ядер использовали так называемую гранецентрированную кубическую
упаковку, плотность которой равна примерно 74%. В контексте нашей беседы мы
будем определять плотность как отношение объема апельсинов или пушечных ядер
к общему объему занимаемого ими пространства. Является ли эта упаковка опти-
мальной? В 1609 году, когда Кеплер впервые описал эту задачу в письме к своему
другу-атомисту Томасу Хэрриоту, который, в свою очередь, был другом и колле-
гой сэра Уолтера Рэли, ответ на этот вопрос был еще неизвестен. Если мы будем
беспорядочно складывать апельсины в мешок, кто сможет гарантировать, что для
полученной укладки, одной из триллиона возможных, плотность случайным обра-
зом не окажется наибольшей? Расчеты, проведенные в 1992 году, показали, что
максимальная плотность такой укладки имеет порядок 0,64, что заметно меньше
0,74048 — именно такую плотность имеет укладка в виде пирамиды.
39
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
ЗАБОТЫ УОЛТЕРА РЭЛИ
Знаменитый английский политик и мореплаватель сэр
Уолтер Рэли (ок. 1554-1618) интересовался хранением
провианта на флоте. Его внимание привлекла не задача
об упаковке шаров, которую рассматривал Кеплер (един-
ственной математической задачей, входившей в круг
интересов Рэли, было уменьшение количества его вра-
гов), а связанный с ней частный случай: как оптимально
расположить квадратное число пушечных ядер в форме
пирамиды с квадратным основанием? Простое решение
этой задачи позволило бы перевозить на кораблях больше
ядер. Найти ответ нетрудно с помощью диофантовых уравнений (они допускают только целые
решения): решением будет несколько неустойчивая пирамида высотой в 24 ядра, каждое ядро
в которой будет уложено в выемку, образованную другими четырьмя ядрами.
Если мы начнем рассматривать эту задачу с более простого случая, то увидим,
что на плоскости существует всего два возможных способа упаковки кругов.
Квадратная упаковка.
Шестиугольная упаковка.
Плотность упаковки, изображенной на рисунке справа, равна:
^-«0,9068996821.
6
40
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Это и есть искомый результат. Если перейти в трехмерное пространство, получим
кубические и гексагональные (шестиугольные) упаковки. Максимальной плотностью
Лл/2
—— = 0,74048
6
обладают гранецентрированная кубическая упаковка и гексагональная плотная упа-
ковка. По сути, возможны два варианта упаковки.
Возможные упаковки из двух слоев.
Эти упаковки располагаются по слоям, и на каждом этапе образуются две очень
похожие упаковки, различные с геометрической точки зрения.
Две возможные упаковки.
Во всех этих упаковках каждый шар располагается в углублении нижнего слоя,
как при укладке апельсинов. Всего несколько лет назад стало известно, что эти упа-
ковки шаров в трехмерном пространстве оптимальны.
41
ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ АНТИЧНОСТИ
Томас Хейлс (род. в 1958) доказал эту почти 400-летнюю гипотезу в 2002 году.
Он использовал методы линейного программирования, теории оптимизации и дру-
гих связанных с ними разделов математики, а также несколько компьютеров. Само
доказательство оказалось невероятно сложным и его проверка была неимоверно
трудной. Специалистам удалось показать, что степень корректности доказатель-
ства составляет почти 99 %, но получить более точные результаты не удалось. По-
видимому, окончательно проверить его сможет только новая группа исследователей,
которая воспользуется более совершенными компьютерами. В связи с этим возни-
кает важный вопрос: в какой степени допустимы доказательства, выполненные с по-
мощью компьютеров? Некоторые исследователи первой величины, включая и мно-
гих математиков, не признают подобные доказательства.
42
Глава 2
Эпоха Эйлер
До сих пор математики тщетно пытались обнаружить
в последовательности простых чисел какой-либо порядок,
и мы имеем все основания верить, что здесь существует
какая-то тайна, в которую человеческий ум никогда не проникнет.
Леонард Эйлер
Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707—1783), вне всяких сомнений, был за-
метной фигурой в истории математики. Хотя он всю жизнь испытывал проблемы
со зрением, Эйлер ознаменовал целую эпоху, отличался невероятной плодовитостью
(собрание его сочинений насчитывает 76 томов, при этом оно включает не все тек-
сты). На времена Эйлера пришелся период развития математического анализа, что
повлекло за собой применение принципиально иного способа рассуждений и изменило
научную мысль в целом. Этот же период был ознаменован распространением идей
о свободе мысли: различные догмы по-прежнему преобладали, но их истинность на-
чала ставиться под сомнение.
Задача, которая не интересовала Шерлока Холмса
В первом рассказе Артура Конан Дойла о Шерлоке Холмсе, «Этюд в багровых
тонах», доктор Уотсон негодует: оказывается, великий сыщик совершенно не зна-
ком с гелиоцентрической теорией. Ему неизвестно, что планеты вращаются вокруг
Солнца, и его это абсолютно не интересует.
«На кой черт она мне? Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся
вокруг Солнца. А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы
это помогло мне или моей работе?»
Эти слова Холмса звучат разумно. А теперь представим себе подданного Священ-
ной Римской империи в XVI веке, покрытого оспинами, видевшего смерть несколь-
43
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
ких своих детей; он уже не любит свою жену, обеспокоен тем, что его пожилую
мать обвиняют в колдовстве, и, в довершение всего, ему не платят жалованья из-за
неподвластных ему политических осложнений. Наверняка этот человек будет интере-
соваться вращением планет вокруг Солнца еще меньше, чем Шерлок Холмс. Но мы
ошибаемся: этим немцем, которого так обошла судьба, был не кто иной, как мате-
матик Иоганн Кеплер (1571—1630), и для него действительно было важно, вокруг
Земли вращаются планеты или вокруг Солнца. О Кеплере написано множество книг,
несколько романов. Он был странной, противоречивой личностью, но, бесспорно,
выдающимся ученым.
От Николая Коперника (1473—1543) Кеплер узнал о гелиоцентрической моде-
ли мира, согласно которой Земля и остальные планеты вращаются вокруг Солнца.
Впоследствии учение Коперника было запрещено всесильной католической церко-
вью, но веру в гелиоцентрическое устройство мира Кеплер сохранил навсегда.
Гэоцентрическая система (Земля — центр Вселенной, звезды вращаются вокруг нее),
изображенная на рисунке слева, уступала позиции гелиоцентрической системы
(в ней центром Вселенной считалось Солнце). Промежуточных взглядов придерживался Тихо Браге:
в его системе (на рисунке в центре) сочетались геоцентрическая и гелиоцентрическая модели.
В прошлом было выдвинуто множество теорий, описывающих природу и дви-
жение небесных тел: так, согласно Аристотелю, природа была неизменной и имела
божественное происхождение. Конечно, эти вопросы не занимали обычных лю-
дей, но и не считались пустяковыми. Простой наблюдатель знал о том, что многие
планеты при движении по своим орбитам вокруг Солнца, казалось, по прошествии
определенного времени возвращались назад. Чтобы объяснить подобные явления,
были созданы сложные механизмы, как, например, эпициклы Аристарха Самосско-
го (310 год до н. э. — 230 год до н. э.).
44
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Если мы предположим, что одно небесное тело движется по круговой орбите, при этом
описывает еще один, меньший круг (деферент), то результатом его движения станут эпициклы.
При наблюдении из центра будет казаться, что небесное тело периодически движется назад.
В гелиоцентрической системе не удалось дать объяснение обратному движению
планет. Тем не менее грамотное применение теории Коперника позволяло разом
устранить многие нестыковки, и неудивительно, что ее появление приветствовали
многие мыслители. И Кеплер был в их числе.
В неспокойной жизни Кеплера центральное место занимал Тихо Браге (1546—
1601) — знаменитый астроном, придворный математик Рудольфа II и блестящий
наблюдатель. После его внезапной смерти Кеплеру достался труд Браге по редак-
тированию монументальных Рудольфинских таблиц, содержавших данные о поло-
жении важнейших небесных тел. Именно эти данные Кеплер взял за основу при
формировании картины мира.
В разные годы жизни Кеплер написал множество книг, однако он вошел в исто-
рию благодаря открытию в 1609—1618 годах трех законов. Они изложены в труде
Harmonices Mundi («1армония мира») — самом красивом из всех трудов Кеплера
с точки зрения математики. Три закона Кеплера звучат так.
1.	Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
d + е = константа
Планета
45
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
2.	За равные промежутки времени отрезок, соединяющий Солнце и планету, опи-
сывает равные площади.
3.	Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы сред-
них расстояний от этих планет до Солнца. Третий закон Кеплера чрезвычайно
важен, так как он связывает размеры орбит и время движения планет по ним.
Если не рассматривать эксцентриситет эллипса и считать орбиты планет окруж-
ностями, то скорость движения планет будет постоянной. Однако Кеплер обнару-
жил, что окружность примитивна и неточна. Три закона Кеплера больше согласуют-
ся с реальностью. Наряду с гелиоцентрической системой Коперника они позволили
дать ответ на извечный вопрос: как движутся небесные тела?
Математик и астроном Иоганн Кеплер, который, как считается,
сыграл ключевую роль в формировании научного метода.
46
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
ПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛИЧНОСТЬ
С точки зрения современной науки Кеплер был весьма противоречивой фигурой: его взгляды
представляли собой нечто среднее между средневековым мистицизмом и современным профес-
сионализмом. Этот очень религиозный человек верил, что воплощением Святой Троицы (Бога
Отца Бога Сына и Бога Святого Духа) являются Солнце, небесная сфера и межзвездная пустота.
Много лет он зарабатывал на жизнь составлением гороскопов, не проводя четких различий между
астрономией и астрологией, и разрабатывал столь необычные идеи, как «музыка сфер» и по-
строение многогранников, вписанных в орбиты планет Солнечной системы. Однако занимался
он и такими задачами, как измерение бочек, изучение формы снежинок, рассматривал форму
пчелиных сот и задачу об упаковке сфер.
С помощью сфер, вписанных и описанных около платоновых тел, Кеплер попытался доказать,
что орбиты планет, каждой из которых соответствовал один из правильных многогранников.
подчинялись некоему божественному гармоническому геометрическому соотношению. Однако
реальность вскоре показала, что ученый ошибался.
На рисунке справа представлено увеличенное
изображение внутренних сфер, которые можно
видеть на рисунке слева в центре.
Наблюдения Кеплера носили чисто эмпирический характер. Ему требовалось
всего лишь вникнуть в суть результатов наблюдений, опираясь на собственный ра-
зум и несколько астрономических таблиц. Нельзя сказать, что все астрономы по-
чтительно склонились перед тремя законами Кеплера, однако первоначальное про-
хладное отношение вскоре стало более благосклонным.
Почти сто лет спустя, в 1687 году, в труде «Математические начала натуральной
философии» Исаак Ньютон путем объемных рассуждений с применением диффе-
ренциального исчисления вывел три закона Кеплера из своих законов движения тел.
Важным элементом рассуждений Ньютона был закон обратных квадратов, согласно
47
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
которому сила притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния
между ними. Представить расчеты Ньютона в декартовых координатах можно с по-
мощью системы из трех следующих дифференциальных уравнений:
d2x
т----
dt2
i = 1,2,3.
Решением этой системы уравнений будут три закона Кеплера. Таким образом, дви-
жение небесных тел описывалось законами Кеплера и подчинялось законам механики
Ньютона.
Обложка «Математических начал натуральной философии» — труда Исаака Ньютона,
в котором из закона всемирного тяготения выводятся три закона Кеплера.
Задача о сумме обратных квадратов, или Базельская задача
Прекрасный швейцарский город Базель стоит на берегах реки Рейн. Здесь жили
Андреас Везалий, Карл Густав Юнг, Эразм Роттердамский, Фридрих Ницше и Па-
рацельс, а также члены семьи Бернулли и Леонард Эйлер, которые занимались ре-
шением задачи о сумме обратных квадратов:
48
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Эта задача беспокоила умы многих европейских ученых, пока Эйлер не решил
ее с помощью хитроумных вычислений. Сложно сказать, что в его решении вос-
хищает больше — изобретательность или смелость исходной гипотезы. Задачу
о сумме обратных квадратов предложил итальянский математик Пьетро Менголи
(1626—1686) в 1644 году. Ее безуспешно пытались решить Готфрид Вильгельм
Лейбниц (1646—1716), Иоганн Бернулли и его сын Якоб. В отличие от расходяще-
гося гармонического ряда
1111
12 3 4
интересующий нас ряд сходится, и его сумма равна
+...=1,64493406684822643647241516664602518921894990120
р 22 З2 42
679843773555822937000747040320087383362890061975870...
Этот результат получил Эйлер, правда, с менее высокой точностью. Считается, что
он вычислил первые шесть знаков после запятой, что совсем немало: из-за того, что
этот ряд сходится медленно, ему потребовалось сложить несколько тысяч членов ряда.
Также вероятно, что Эйлер, обладавший почти сверхъестественными способностями
+г2	»
к вычислениям, смог предугадать, что это число равно -—. А предполагать, чему равен
ожидаемый результат, — это первый шаг к тому, чтобы найти его. Проследим же
за рассуждениями Эйлера.
Возьмем за основу известный ряд Тейлора
X3 X5 X1
3! 5! 7!
Нам известно, что при х, кратном п, сумма этого ряда также стремится к нулю. Ины-
ми словами, sin х — 0 при х = О, ±П, ±2п, ±3п... Таким образом, если мы предпо-
ложим, что этот ряд ведет себя подобно многочлену (так как в действительности он
представляет собой очень большой многочлен), то по основной теореме алгебры этот
ряд можно представить как произведение одночленов вида х — Ct, где Ct — корень
многочлена:
х5 хР
X------h---------К.. =
3! 5! 7!
= К(х)(х - 7l)(x + 7l)(x - 2л) (х + 2я)(х - Зя)(х + Зя)...
49
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Пусть К — неизвестная постоянная. Правая часть равенства примет вид:
з7+5?” 7?+”'= К^х2 -47г2)(*2 -9л2)...
Заметим, что каждый член вида х2 — X2 Л2 в правой части равенства равен нулю тогда
и только тогда, когда ]_х2 равно нулю. Преобразуем правую часть равенства:
Х2л2
х3 х5 х1
X----Ч--------h
3! 5! 7!
I х2
'(X) 1- —
V 4л2)
V 9л2)
где К' — К (—Л2) (—4л2)(—9 Л2)... Разделив обе части равенства на х, получим:
sin X
3! 5! 7!
X
(«у.2	(	"\‘2	"\‘2
1-— I”— 1- —
л2 J V 4л2 J V 9л? )
Так как lim S— Х- — 1, имеем К' = 1. Таким образом,
3! 5! 7!
Мы получили произведение бесконечного числа членов. Будем последовательно вы-
полнять операции умножения и выделим члены с х2(их бесконечно много) в правой
части равенства. Получим равенство
х2
3!
д-2 Х^ Х^“
л2 4л2 9л2
Разделив обе части на---, имеем
л2
л2
6
что и требовалось доказать.
После того как Эйлер понял, в каком направлении нужно двигаться, он доработал
доказательство и подытожил все полученные результаты в «Наставлении по диф-
ференциальному исчислению» (1755). Сегодня существует множество версий этого
доказательства, в некоторых из них используется только интегральное исчисление.
50
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
INSTITUTIONS
CALCULI
DIFFERENTIATES
ССЫ пев
IN ANALW FlNtTOKUM
AC
ПОСТЙ1КА SERFERUM
BVCT«I|
LFONAKOO tulfro
ACAIX MCA, K»Nr. П »L«*. LITT. «iMUtt. ГОМСТвад.
ПЛ9. MWOB АСАЛ. IW. <x HUTT. НПО*
XT ACAD* »I Aft VM	[ОДШ**
at кслатлти *«а».
Обложка «Наставления по дифференциальному исчислению», изданного в 1787 году.
В этой книге Эйлер изложил свое решение задачи о сумме обратных квадратов.
Вычислив сумму обратных квадратов, Эйлер приступил к вычислению сумм по-
хожих рядов для четвертой и высших степеней. Он не знал, что при этом возникает
неспокойная дзета-функция Римана, определенная следующим образом
Ф)=Ё-
„=1
Is 2s 3s
ад>1
для комплексных чисел с вещественной частью больше 1.
Этим результатом Эйлер намного опередил свое время:
я2 /ЛХ л4	22476977927я26
?(2) = т, 5(4) = -. 5(26) =
945
Тем не менее до сих пор не найдена простая формула, подобная приведенным
выше, которая позволила бы вычислить, например, значение ^(3) или значение дзе-
та-функции для любого целого нечетного аргумента. Дзета-функция является пред-
метом одной из величайших задач современной математики. Расскажем о ней под-
робнее. Так, известно значение ^(3) — оно равно
д(3) = 1,2020569...
Это число называется постоянной Апери. Оно иррационально, но неизвестно, яв-
ляется ли оно трансцендентным. Также можно вычислить значение дзета-функции
51
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
для нечетных аргументов, однако для них неизвестно какое-либо аналитическое вы-
ражение, подобное тем, что нашел Эйлер для первых четных аргументов. Впрочем,
вы можете сказать, что современные формулы, подобные следующей
л3 16^	1 2v 1
—+ —>-------------> --------
28 7 ~н3(е™+1) 7~н3(е21й-+1)
вовсе не кажутся слишком сложными...
Один из портретов Леонарда Эйлера. Как вы можете видеть,
Эйлер был слеп на правый глаз. Позднее он полностью потерял зрение,
но так и не прекратил заниматься математикой.
Гипотеза Гольдбаха
Прусский математик и историк Кристиан Гольдбах (1690—1764) в 1742 году написал
объемное послание к Эйлеру и благодаря этому навечно остался в истории. В своем
письме Гольдбах выразил уверенность в том, что любое четное число, большее 2,
можно представить в виде суммы двух простых чисел. В действительности дело об-
стояло несколько сложнее: Гольдбах считал единицу простым числом, и его гипотеза
звучала иначе, но мы не будем приводить ее здесь.
52
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Страница письма Гольдбаха Эйлеру, где изложена гипотеза,
о которой рассказывается в этом разделе.
Гипотеза Гольдбаха обладала всеми необходимыми свойствами для того, чтобы
обрести популярность в научном мире: в ней шла речь о простых числах, ее форму-
лировка была понятна любому, над ней ломали головы сотни ученых и блестящих
умов, но никому не удалось доказать ее. Были даже написаны художественные про-
изведения, например «Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха» Апостолоса Док-
сиадиса, посвященные тривиальному соотношению, которое может увидеть любой,
взяв в руки карандаш и записав число 1000 в виде суммы двух слагаемых:
1000 = 3 + 997 = 17 + 983 = 23 + 977 = 29 + 971 = 47 + 953 = 53 + 947 =
= 59 + 941 = 71 + 929 = 89 + 911 = ИЗ + 887 = 137 + 863 = 173 + 827 =
= 179 + 821 = 191 + 809 = 227 + 773 = 239 + 761 = 257 + 743 = 281 +
+ 719 = 317 + 683 = 347 + 653 - 353 + 647 - 359 + 641 = 383 + 617 =
= 401 + 599 = 431 + 569 = 443 + 557 = 479 + 521 = 491 + 509.
53
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Эти и другие похожие результаты подтверждали, что любое четное число, боль-
шее 2, можно не просто представить в виде суммы двух простых, но и сделать это
многими способами. После публикации романа Доксиадиса британское издательство
Faber and Faber в качестве рекламного хода в течение двух лет предлагало премию
в миллион долларов любому, кто докажет или опровергнет гипотезу Гольдбаха.
Правильность гипотезы Гольдбаха была подтверждена вплоть до чисел поряд-
ка 1018, были проверены числовые отрезки до 10300. Гипотеза Гольдбаха неизменно
оказывалась верной, или, по словам Карла Поппера, она никогда не оказывалась
ложной.
Так называемая слабая гипотеза Гольдбаха гласит, что «все нечетные числа, боль-
шие 7, можно представить как сумму трех нечетных простых чисел». Доказательство
сильной гипотезы Гольдбаха автоматически означает доказательство слабой гипотезы,
так как последняя выводится из первой. Гипотеза Римана, одна из семи проблем
тысячелетия, предложенных Институтом Клэя, также охватывает слабую гипотезу
Гольдбаха. Если кому-то удастся доказать слабую гипотезу, это не будет означать, что
доказана сильная. Это будет означать, что любое четное число можно представить как
сумму 4 простых. Сумму 4 простых от суммы 2 простых отделяет немного: несколько
МАТЕМАТИКИ ПРОТИВ СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ
Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983) в 1937 году доказал,
что любое достаточно большое нечетное число можно представить
в виде суммы трех простых. При этом формулировка «достаточно
большое» означает число порядка 3,33 • 1043000, поэтому доказан-
ное Виноградовым утверждение нельзя применить на практике.
В свию очередь, Чэнь Цзинжунь (1933-1996) в 1973 году получил
еще один прекрасный результат: он доказал, что любое достаточно
большое четное число есть сумма простого и полупростого числа
(то есть числа, равного произведению двух простых).
Еще в 1931 году русский математик Лев Шнирельман (1905-
Лев Шнирельман—
один из математиков,
работавших над
гипотезой Гольдбаха
1938) доказал, что любое целое число, большее 1, можно записать как сумму не более чем С про-
стых чисел, где С - константа. Изначально полученное значение С постепенно уменьшалось (уже
само доказательство того, что существует предельное число простых слагаемых С, стало огромным
шагом вперед), и, наконец, в 1995 году Оливье Рамаре получил значение С, равное семи.
54
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
месяцев или, возможно, несколько веков. Именно слабость слабой гипотезы сделала
ее предметом самых серьезных исследований.
Сегодня доказано, что плотность четных чисел, не удовлетворяющих этой гипо-
тезе, равна нулю. Иными словами, она выполняется почти для всех четных чисел,
но пока никому не удалось избавиться от этого «почти».
Если отметить на горизонтальной оси координат четные числа, на вертикаль-
ной — число способов, которыми можно представить каждое из них в виде суммы
двух простых, то полученный график будет напоминать хвост кометы.
2500
2000
1	2 3 4	5 6 7 8	9 10
хЮ4
В 2006 году было начато изучение фрактальных характеристик этой кривой.
Примечательно, что чем больше рассматриваемое число, тем больше количество
возможных сумм для него. Это правило в целом верно, однако его выполнение
в каждом конкретном случае не гарантируется.
Чтобы дать читателю примерное представление о возможном числе сумм, при-
ведем следующую таблицу.
Число	Количество сумм простых чисел
10	2
100	6
1000	28
10 000	127
100 000	810
1000 000	5402
10 000 000	38 807
100 000 000	291 400
55
ЭПОХА ЭЙЛЕРА

Памятная марка, выпущенная в Китае в честь открытия, сделанного Чэнем Цзинжунем,
который доказал утверждение, близкое к гипотезе Гэльдбаха. Надпись на китайском языке
в верхней части марки гласит: «Лучший результат, относящийся к гипотезе Гэльдбаха».
Задача трех тел
Еще одна задача, ставшая знаменитой, но слишком объемная и малопонятная, — это
задача трех тел, которая не имеет ничего общего ни с переселением душ, ни с Шер-
локом Холмсом и злодеем Мориарти. Она имеет отношение к Ньютону и небесным
телам. В первом варианте — его решил Иоганн Бернулли (1667—1648) — речь шла
о двух телах, затем число небесных тел, рассматриваемых в задаче, возросло до п,
но задача о трех телах по-прежнему сохраняет свое очарование. Это старинная задача
механики, которая, если говорить простым языком, заключается в определении отно-
сительного движения трех небесных тел, движущихся по орбитам друг вокруг друга.
Во времена Ньютона в качестве этих трех тел рассматривались Солнце, Земля
и Луна. Сегодня ученые, возможно, в качестве примера использовали бы астероид,
движущийся под действием силы тяготения Юпитера и Солнца, или планету и две
двойные звезды.
Общая задача об п телах заключается в том, что нужно решить систему диффе-
ренциальных уравнений второго порядка, определяемых векторной формулой:
ma.
I I
56
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
где заданы начальные положения тел а.(0), где а.(0) * <г(0) для любых i * j и ско-
рости о.(0). Массы тел обозначены как При п = 3 имеем задачу трех тел.
В разное время были полностью решены конкретные практические задачи для
трех тел, которые иногда носили достаточно универсальный характер, но в общем
виде задача не была решена. Чтобы получить практические результаты, пришлось
прибегнуть к помощи компьютеров.
Когда мы говорим о задаче трех тел, мы имеем в виду более ограниченную и про-
стую ее формулировку, в которой предполагается, что орбиты тел лежат в одной
плоскости, а массой одного из тел можно пренебречь.
Первую известную успешную попытку решить задачу трех тел предпринял Эй-
лер. Его же путем, однако с учетом различных ограничений и важных обобщений,
следовали Лагранж, Якоби, Лаплас, Адамс, Леверье, Пуанкаре, Хилл, Зундман,
Биркхоф и многие другие. Решение ограниченной задачи трех тел (за исключени-
ем особых случаев, в частности столкновений тел) нашел Карл Фритьёф Зундман
(1873-1949), однако оно сегодня неприменимо на практике.
В числе решений этой задачи особое место занимают периодические решения
Эйлера, Лагранжа и Хилла, среди которых особое внимание привлекает элегантное
решение Лагранжа.
Решение Лагранжа для ограниченной задачи трех тел. Соотношение масс небесных тел,
рассматриваемых в задаче, равно 1:2:4. Тела, движущиеся по орбитам,
находятся в вершинах равностороннего треугольника.
57
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Примечательно, что сравнительно недавно, в конце XX века, был получен
доступ к новым периодическим решениям, которые изучил Карлее Симо (род.
в 1945 году). В этих решениях три тела одинаковой массы вращаются равномерно
и образуют подобие восьмерки. Орбиты этих тел очень метко названы «хореогра-
фическими».
В непериодических решениях этой задачи за хаотическим движением тел непре-
менно следует столкновение.
Слева — вторая точка либрации, или точка Лагранжа (L2) — одна из пяти геостационарных точек.
Эти точки были описаны Лагранжем в решении одного из вариантов задачи трех тел.
Группы астероидов, называемые троянскими, располагаются в точках Лагранжа
относительно Солнца и Юпитера (см. рис. справа).
Гипотеза Лежандра
Очарование простых чисел не меркнет со временем: напротив, они только разжигают
любопытство. Гипотеза, которую в свое время выдвинул Адриен Мари Лежандр
(1752—1833) в труде «Теория чисел», по-прежнему не доказана, хотя и была сфор-
мулирована два столетия назад, в 1808 году.
58
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Портрет Адриена Мари Лежандра, автора гипотезы,
носящей его имя, выполненный в 1820 году Жюльеном-Леопольдом Буальи
в рамках серии акварелей, посвященных знаменитым математикам.
Позднее русский ученый Лев Ландау (1908—1968) включил эту гипотезу в свой
краткий список нерешенных задач наряду с гипотезой Гольдбаха, гипотезой о про-
стых числах-близнецах и о квазиквадратных простых числах (в ней утверждается,
что существует бесконечно много простых чисел вида х2 + у4).
В гипотезе Лежандра идет речь о количестве простых чисел и их распределении.
Точная формулировка гипотезы выглядит так: «для всякого натурального числа п
между п2 и (и +1)2 всегда найдется простое число». В действительности для каждо-
го п, по-видимому, найдется больше одного простого числа.
Чэнь Цзинжунь в 1975 году доказал, что на этом интервале всегда найдется
простое или полупростое число, однако из этого утверждения не следует истинность
гипотезы Лежандра — этому мешает союз «или». Жозеф Бертран (1822—1900),
в свою очередь, выдвинул еще одну гипотезу (впоследствии ее доказал Чебышев),
согласно которой между п и 2п всегда найдется простое число. На первый взгляд мо-
жет показаться, что из этой прекрасной гипотезы следует истинность гипотезы Ле-
жандра, однако это не так. В 1984 году было доказано, что обязательно существует
простое число между п—пй и п — этот результат лучше полученного Бертраном,
однако он также не позволяет доказать гипотезу Лежандра.
Гипотеза Лежандра означает, что промежуток между последовательными просты-
ми числами рп и рп + 1 меньше 4у]рт + 3. Кроме того, были выдвинуты гипотезы,
которые еще больше уточняют этот результат. Однако все подобные утверждения —
59
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
лишь гипотезы, находящиеся в тени гипотезы Лежандра, пусть даже эта тень с каж-
дым днем становится все меньше.
ГИПОТЕЗА ЛЕЖАНДРА И СКАТЕРТЬ УЛАМА
Если гипотеза Лежандра верна, то на каждом витке скатерти Улама, названной в честь ее созда-
теля Станислава Улама (1909-1984), будет находиться простое число. Что это означает?
37-	-36-	35-	-34-	-33-	32-	-31 1
38 1	17-	16-	- 15 -	- 14-	13	1 30
39	1 18	5 -	- 4 -	- 3	1 12	1 29
1 40	19	1 6	1 -	1 - 2	1 И	1 28
1 41 1	20	7 -	- 8 -	- 9 -	1 10	1 27
1 42	1 21-	22-	-23 -	-24-	25-	-26
1 43-	-44-	45-	-46-	-47-	48-	-49
Это скатерть Улама, которая представляет собой натуральный ряд чисел, записанный в виде
спирали. Если рассмотреть одну из таких спиралей в достаточно большом масштабе, мы увидим
загадочные линии, вдоль которых будут располагаться простые числа. Объяснить существование
многих таких линий пока не удалось, и гипотеза Лежандра лишь делает этот вопрос острее.
Увеличенная скатерть Улама. Вы можете видеть, как образуются линии, вдоль которых
располагаются простые числа.
60
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Несуществующий кирпич
Эйлеров параллелепипед — это особая разновидность прямоугольного параллеле-
пипеда. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, который в геометрии также
называется кубоидом.
а
Прямоугольный параллелепипед.
Если длины его сторон, равные a, b и с, и длины диагоналей его боковых граней,
соответственно равные:
d = у/а^+Ь2
ав
d. =\Jb2+c2
be
d = у] a2 +c2 ,
ar
выражаются целыми числами, то такой параллелепипед называется эйлеровым.
Если же диагональ параллелепипеда также выражается целым числом (напомним,
что все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны):
d. =\/a2+b2+c2,
abc
то такой параллелепипед называется рациональным кубоидом, или целочисленным
кирпичом. Задача не изменится, если рассмотреть ее в поле рациональных чисел, что
является следствием теоремы Пифагора. Если знаменатели несократимых дробей dab,
cL ,d nd, равны ОС,, CL , ОС и ОС, , то рациональный кубоид станет целочисленным,
если мы умножим длины его сторон на НОД (0CQfc, <Xfcc» 0Cqc, aafcc)-
Co временем удалось обнаружить эйлеров параллелепипед, однако найти цело-
численный кирпич пока не получилось. Как показывают исследования, скорее всего,
он не существует.
Задача о его поиске сводится к решению системы диофантовых уравнений:
61
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
X2 + у2 — Z2
X2 + V2 = IV2
у2 + V2 — t2
у2 + IV2 = S2.
В параметрическом виде представленные выше уравнения записываются так (за-
метим, что это представление не описывает все возможные решения):
(л,Ь,с) = (|и(4г2 — w2|,|p(4w2 -ш2|,|4нир|) ,
где
а2 + Ь2 + с2 = /(f,s)(s2 + t2)2
и — 2dt
v — v2 — t2
w = s2 + t2
— s8 + 68s612 — 122s4t4 + 68s2/2 + t8.
Ни одно из этих решений не позволяет найти длины ребер целочисленного кирпича,
что было доказано в 1972 году.
В отличие от целочисленных кирпичей, эйлеровы параллелепипеды существуют.
Размеры некоторых из них представлены ниже.
44-117-240
85-132-720
88-234-480
132-351-720
140-480-693
160-231-792
176-468-960
240-252-275
480—504—550
720-756-825
Наименьшие из них вычислил бухгалтер Пол Хальке еще в 1731 году.
62
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
В 2009 году было доказано, что существуют целочисленные параллелепипеды,
которые, к сожалению, не являются кубоидами, так как их грани не перпендикуляр-
ны. Эту гипотезу выдвинул Ричард Гай (род. в 1916 году).
В ходе первого исследования, выполненного с помощью компьютеров, было
найдено 27 целочисленных параллелепипедов. Затем были проанализированы эй-
леровы параллелепипеды со стороной вплоть до 109, однако найти целочисленный
кубоид среди них не удалось.
Кёнигсбергские мосты
Кёнигсбергские мосты помогли Эйлеру создать новую науку. Во времена Эйлера
Кёнигсберг принадлежал Пруссии, но сегодня он находится в анклаве Российской
Федерации и называется Калининградом. Кёнигсберг пересекает река Преголя.
В 1730-е годы через нее было переброшено семь мостов. Сегодня город сильно из-
менился, и некоторые из этих мостов были снесены, но план города времен Эйлера
можно видеть на гравюре.
План Кёнигсберга, выполненный в середине XVII века.
63
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
На следующей схеме вы можете видеть основные элементы задачи Эйлера: два
острова А и D, вышеупомянутые семь мостов через реку (обозначены строчными
буквами) и части города (обозначены буквами В и С).
С
В
Жителям города, которые любили прогулки, была предложена задача на сооб-
разительность: как пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них
дважды? Эйлер привел решение задачи в 1735 году: искомого маршрута не суще-
ствует, и всякий, кто захочет найти его, будет обречен вечно бродить по мостам
Кёнигсберга.
Доказательство Эйлера можно найти во многих источниках. С его оригина-
лом на латыни вы можете ознакомиться в статье Эйлера Solutio problematis ad
geometriam situs pertinentes («Решение задачи, касающейся геометрии места»). Уче-
ный догадался, что главную роль в задаче играют мосты и определяемые ими пути.
Он представил части города в виде вершин графа, обозначив их точками, а мосты
между узлами — в виде ребер, тем самым исключив из рассмотрения все вопросы,
касающиеся расстояний и траекторий.
64
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Эйлер рассмотрел схему с четырьмя вершинами и семью ребрами. В ней «пройти
по мосту» означает пройти вдоль ребра графа. Сам того не осознавая, ученый рас-
смотрел задачу в терминах топологии — раздела современной математики, в кото-
ром не имеют значения расстояния и формы, а основное внимание уделяется только
тому, что на самом деле важно. Сегодня мы говорим, что Эйлер создал новый раздел
дискретной математики — теорию графов.
Решение Эйлера основано на следующих рассуждениях:
—	если ребро входит в вершину, которая не является конечной, то из этой
вершины должно выходить другое ребро;
—	число ребер в каждой вершине должно быть четным;
—	все вершины на схеме имеют нечетное число ребер.
Но мы не последуем трудным путем Эйлера — он требует значительного времени
и внимания. Полностью ознакомиться с его решением вы можете в специализирован-
ной литературе или на интернет-сайтах — вам гарантированы увлекательные минуты
или даже часы. Важно понять, что доказательство Эйлера элементарно, но ни в коем
случае не просто!
Результат его рассуждений вкратце звучит так:
По мостам можно пройти ровно один раз, если все вершины, за исключе-
нием двух, будут иметь четную степень.
В начале этого раздела мы уже сказали, что современный Калининград не похож
на древний Кёнигсберг. Два моста были уничтожены в ходе бомбардировок во вре-
мя Великой Отечественной войны, третий был перестроен: два коротких моста были
объединены в один, как показано на иллюстрациях.
65
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Вы можете выбрать и другой путь, однако если вы начнете маршрут в точке D,
то обязательно должны будете закончить его в точке А, и наоборот. Условия задачи
таковы, что маршрут прогулки в любом случае окажется неудобным — он начнется
на одном острове и закончится на другом. А чтобы завершить прогулку должным
образом и вернуться в исходную точку, придется пройти по одному из мостов еще
раз. Похоже, даже бомбы упали на город в точном соответствии с теорией графов,
чтобы испортить жизнь всякому, кто захочет совершить прогулку по мостам Кёниг-
сберга.
Девятнадцатилетний гений
Карла Фридриха Гаусса (1777 — 1855) современники называли princeps
mathematicorum — «король математиков». Этот вундеркинд сохранил удивительные
способности к вычислениям, феноменальную память, не говоря уже о выдающемся
уме, и в более зрелом возрасте. В историях о нем немало вымысла и преувеличений,
но по меньшей мере одна из них абсолютно достоверна: Гаусс решил классическую
задачу о построении правильных многоугольников, когда ему было всего 19 лет и он
еще не определился, математикой или языками он хочет заниматься. Это открытие
побудило Гаусса сделать выбор в пользу математики.
Древним грекам были известны алгоритмы построения с помощью циркуля и ли-
нейки правильных 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10- и 15-угольников (некоторые из них Евклид
описал его в своих «Началах»). Построения, выполняемые на основе известных путем
умножения числа сторон многоугольника на 2П, тривиальны: достаточно последова-
тельно делить пополам центральные углы. В Новое время правильные многоугольни-
ки вновь стали популярными: они отличались красотой, и их можно было использовать
при создании изображений в перспективе. Особенно широко применялся пятиуголь-
ник — инженеры использовали его в качестве основы при возведении крепостей.
Вычислить длину стороны правильного и-угольника I нетрудно, так как равен-
ство
I . 2тг z	,	~  7Г
— = г sin — (или, что эквивалентно, / = 2r sin—)
2 п	" н
2
несложно и позволяет использовать такие тригонометрические функции, как синус,
неизвестный древним грекам. Однако не всякую задачу, которую нетрудно понять,
можно легко решить математически. Построение правильных многоугольников вновь
66
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
привлекло интерес математиков, и Таусс принял брошенный ему вызов. Почему такой
мудрец, как Евклид, не смог построить, например, простой семиугольник?
Гаусс провел параллели между построением правильного п-угольника и построе-
нием корней кругового многочлена хп — 1 на комплексной плоскости.
хп-1 + хп~2 + ...+ х2 + х + 1 — О
Построение правильного n-угольника эквивалентно построению всех комплексных корней кругового
многочлена хп - 1. На иллюстрации приведен пример для п-5, которому соответствует правильный
пятиугольник. Обратите внимание, чтохп- 1 = (х-	+ хп~2 +... + х + 1).
Чтобы лучше понять решение Гаусса, дадим вначале определение числам Ферма.
Число F называется числом Ферма, если оно имеет вид
F = 22” +1.
р
Числа Ферма могут быть простыми или составными. Если мы составим список
Fn = 22" +1 = 3
Fx=22' +1 = 5
F2 = 222 +1 = 17
F3 = 22> +1 = 257
F,=22* +1 = 65 537
F5 = 225 +1 = 4294 967 297 = 641 • 6700 417,
то увидим, что первые числа простые, а последнее — нет. Это заметил и Эйлер. Раз-
ложить число F5 на множители, используя только карандаш и бумагу, стоило немалых
трудов. Следующее число, F6 = 274177 • 67 280 421310 721, разложил на множители
в 1880 году французский математик Фортюне Ландри, который посвятил этому
немалую часть жизни. Вероятность разложения этого числа на множители меньше,
67
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
чем вероятность выиграть главный приз в лотерею, если всю жизнь покупать билет
каждую неделю, при этом для разложения числа на множители требуется намного
больше интеллектуальных усилий, чем для покупки лотерейного билета.
Неизвестно, существует ли среди простых чисел Ферма, следующих за шестым,
хотя бы одно простое. Специалисты не слишком надеются на то, что такое число
будет найдено. Считается, что множество этих чисел, если оно и существует, должно
быть конечным.
Гаусс доказал следующую теорему: правильный и-угольник можно построить
с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда п равно произведению 2к
на 1 или любое множество простых чисел Ферма. Если использовать символические
обозначения, то эта теорема будет записываться так:
п = 2kp^p2-... • рт при k > О,
где р — либо 1, либо различные простые числа Ферма.
Из теоремы следует, что возможно построение правильных п-угольников для
п = 3, 4, 5, 6, 8,10,12,15,16,17, 24.
В частности, правильный 17-угольник описывается следующим умопомрачи-
тельным выражением, которое нашел Гаусс:
16cos— = -1 + л/17 + >/з4-2л/17 + 2J17 + 3 л/17 -^34-2у/п -2у/з4 + 2у/17 .
17
Построение этого угла стоило немалых усилий современнику Гаусса, Йоханнесу
Эрхингеру. Следующие числа Ферма порождают поистине монструозные много-
угольники с 257 и 65537 сторонами.
«Официальный» портрет Гэусса. Его исследования ознаменовали отдельную эпоху в математике,
астрономии и физике (Гаусс входил в число изобретателей телеграфа). На его надгробии
в Гёттингене изображен правильный 17-угольник — его первое геометрическое открытие.
68
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
257-УГОЛЬНИК И 65 537-УГОЛЬНИК
В 1832 году Фридрих Юлиус Ришело (1808-1875) впервые описал построение правильного
257-угольника с помощью циркуля и линейки в статье с огромным названием: De resolutione
algebraica aequationisx257 - 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in
partes 257 inter se aequales commentatio coronata («Тезисы об алгебраическом решении уравнения
х257 - 1, или о делении круга на 257 равных частей путем семикратной итерации бисекции угла»).
Иоганн Густав Гермес (1846-1912), в свою очередь, посвятил десять лет жизни построению
правильного 65537-угольника с помощью циркуля и линейки, завершив свой титанический труд
в 1894 году. Он описал построение в рукописи объемом свыше 200 страниц, которая хранится
в Гёттингенском университете, где с ней может ознакомиться любой желающий. Кроме того,
подробную информацию об этом построении можно найти в интернете. Некоторые ученые, в част-
ности Джон Конвей, не поверили доказательству Гермеса - и благодаря этому очевидно, что они
прочли его полностью. Многоугольник, построением которого занимался Гермес, имеет столько
71
сторон, что на первый взгляд неотличим от окружности. Величина cos—алгебраическое
оэээ/
число, однако чтобы найти его, требуется вычислить корень многочлена 32 768-й степени.
В поисках утраченного уравнения
Поиск решений квадратных уравнений интересовал людей с незапамятных времен.
Формула, позволяющая найти корни квадратного уравнения, была известна уже егип-
тянам, вавилонянам и древним грекам, о чем сохранились письменные свидетельства,
в частности принадлежащее Диофанту (ок. 200/234 — ок. 284/298). До наших
дней дошла формула для вычисления корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0:
—b + \lb2 -4ас
х =-----------.
2а
В некоторых случаях корни квадратного уравнения, найденные по этой формуле,
будут сопряженными комплексными числами, но это тема для отдельной беседы,
как и основная теорема алгебры, согласно которой любой многочлен степени п с ком-
плексными коэффициентами имеет п комплексных решений (эту теорему доказал
Жан Робер Арган в 1806 году).
В эпоху Возрождения охота за квадратными уравнениями продолжилась. Ма-
тематик Сципион дель Ферро (1465—1526) проник в тайны кубических уравнений
69
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
особого вида: х3 + Ьх = с. Одно из трех решений подобных уравнений определяется
по следующей формуле:
Как видите, решить такие уравнения совсем не просто.
Дель Ферро унес с собой в могилу секрет решения кубических уравнений. При-
мерно в это же время в Брешии родился Никколо Фонтана (1500—1557), который
вошел в историю под именем Тарталья, что в переводе с итальянского значит «за-
ика». Тарталья был превосходным математиком, однако жил бедно и неустанно ис-
кал академическую должность или любую другую работу, которая позволила бы ему
поправить финансовое положение. В те времена довольно часто проводились ма-
тематические турниры, победители которых признавались лучшими математиками
и получали лучшие академические, административные и другие должности. На од-
ном из таких поединков сошлись Антонио Мария Фьор, правая рука дель Ферро,
которому была известна от учителя секретная формула решения кубических уравне-
ний, и Тарталья. Фьор был уверен в своем успехе, но он не учел, что талантливый
Тарталья всего за несколько дней повторно открыл метод дель Ферро, улучшил его
и в результате безжалостно разгромил Фьора на математическом диспуте.
Заклятого врага Тартальи звали Джероламо Кардано (1501—1576). Он был
незаконнорожденным сыном адвоката и посвятил себя самым разным занятиям:
он был врачом, игроком в шашки, шахматы и кости, специалистом по тайнописи,
астрологом, — словом, Кардано, как и Тарталья, всегда стремился заработать. Он
применил все возможные средства, чтобы узнать метод Тартальи, и после различ-
ных уловок, интриг и обещаний продвижения по службе ему удалось заполучить
желанную формулу с условием никому не рассказывать о ней. Но, по-видимому,
Кардано все же обсуждал методы Тартальи со своим помощником — умнейшим
юношей по имени Лодовико Феррари (1522—1565).
Как-то раз Кардано нанес визит зятю покойного дель Ферро и получил у него
рукопись с секретом решения кубических уравнений. Это стало для Кардано благо-
видным предлогом, чтобы нарушить обещание: оказалось, что секрет Тартальи был
уже отчасти известен дель Ферро.
70
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
HIERONYMI CAR
DANI. PRASTANTISBIMI MATHE
A R T I S ° * M AG *N Je ,
give DE RECVLIS ALGEBRAICIS.
lUb.wxu. Qiri^codiMopcwticAmhmmca^t^uod
OPVS PERFECTVM
Ыспр&дй fa ordfae Dtdnau*.
HAbctfnbxWxOgRxiikafrLrdotJtqnjh*	e?rl* СоГ
С*иосат>ямЛ*4»т»п1гк»аЬш<«аг^оай<«хыЛ<в»Ь Auiborr f<*
i«x-MDk(»t>,ut p»o peuadif ела»	Jnn bptiujtnr» пм Jerint.No»
фМит , ribatinutnunMnMAlMrMutduotM^ucnnnKUtnjAriAio dutKw,
aut tro iini (фмЬз facrintjaodumrtpfcanu Huoc Jfc Ы» un>»4m frvr.
WmtxJrrepUcurf.uihoobflrufi&wxi, Jtptox inruh-ufto tnriu* ArMimcri
«thcfewcitnfoctm mW,&oj»61nftntiJ члючктолт<Ы»« >d $xd»n
Am expo!ito. l^doto fackart turrit tdkjuot Operit (VtfcAs Hbrtu, tpM pa
Xxnoeojcaau^nato nifa antpkil»»£,»enrfaor«EB»dfc) per44u*>
Портрет Тартальи и обложка трактата «Великое искусство», в котором Кардано изложил результаты
своих исследований, посвященных уравнениям третьей и четвертой степеней.
Тем временем умнейший Феррари открыл способ, позволяющий преобразовать
уравнение четвертой степени в кубическое уравнение, и оставил свое имя в истории:
он умел решать уравнения третьей и четвертой степеней! Кардано изложил результаты
Феррари в своей книге «Великое искусство» (1545) и также обрел славу.
Тарталья пришел в ярость. Он считал, что Кардано нарушил обещание. Тарталья
преследовал Кардано, вызывая его не просто на математический поединок, а на са-
мую настоящую дуэль на шпагах. Он был так настойчив, что Феррари решил выйти
вместо учителя и вызвал Тарталью на математический турнир. Тарталья принял вы-
зов, и юный, блестяще подготовленный Феррари одержал верх. (Позднее Ферра-
ри был отравлен собственной сестрой, поэтому, наверное, он был не так умен, как
казалось.)
Решить уравнения пятой степени с помощью уравнений четвертой степени никак
не удавалось. Лагранж нашел удивительный метод решения множества уравнений:
решению ставилось в соответствие новое уравнение, называемое резольвентой, ко-
торое позволяло уменьшить степень исходного уравнения. По известным решениям
резольвенты можно было найти решения исходного уравнения. Остроумный метод
Лагранжа оказался неприменим для решения уравнений пятой степени: их резоль-
вента имела степень, большую 5. Что-то пошло не так. После множества безуспеш-
ных попыток Лагранж заподозрил: быть может, уравнения пятой степени не имеют
решений?
71
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Существуют уравнения пятой степени, которые прекрасно можно решить, однако
Лагранж хотел найти решения не для отдельных частных случаев, а общую формулу,
верную для любого уравнения пятой степени.
В 1824 году задачу об уравнениях пятой степени решил юный норвежский мате-
матик Нильс Абель (1802—1829). До него к успеху близко подошел Паоло Руф-
фини (1765—1822), однако его доказательство содержало пробелы. Абель доказал,
что не существует волшебной алгебраической формулы (содержащей исключитель-
но операции сложения, умножения, возведения в степень и обратные им), которая
позволила бы решать произвольные уравнения выше пятой степени.
Безупречное, но довольно сложное доказательство Абеля в свое время осталось
незамеченным, и на него обратили внимание лишь по прошествии некоторого вре-
мени. Если Абеля и можно в чем-то упрекнуть, так это в том, что он ограничил-
ся решением задачи и не продолжил работу в этом направлении. Любопытно, что
в этом случае решить задачу почти так же важно, как и определить, почему же она,
собственно говоря, является задачей.
Портрет Нильса Абеля изображен на различных марках и банкнотах
С 2002 года Норвежской академией наук присуждается премия, носящая его имя,
призванная компенсировать отсутствие Нобелевской премии по математике.
Ответ на последний вопрос дается в так называемой теории Галуа, которую мы
не будем подробно объяснять здесь, поскольку ее изложение будет излишне объем-
ным и труднодоступным для понимания, однако вкратце объясним ее суть. Каждо-
му уравнению можно поставить в соответствие множество перестановок его корней,
которое характеризует уравнение. Это множество перестановок образует группу —
относительно простую и очень подробно изученную алгебраическую структуру.
Группа каждого уравнения называется группой Галуа.
72
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Одним из алгебраических свойств групп является их разрешимость. Галуа до-
казал, что уравнение можно решить с помощью общей формулы, в которой исполь-
зуются радикалы, тогда и только тогда, когда группа Галуа для этого уравнения раз-
решима. Для уравнений пятой и высших степеней группы Галуа могут быть нераз-
решимыми. Следовательно, существуют нерешаемые уравнения.
Эварист Галуа (1811—1832) был французским революционером и математиком.
Он погиб в 21 год на дуэли, а за несколько часов до смерти записал свои математи-
ческие открытия и попросил передать заметки Гауссу или Якоби (1804—1851). В те-
чение многих лет записи Галуа считались утерянными, пока их не обнаружил Жозеф
Лиувилль (1809—1882), который опубликовал их в «Журнале чистой и прикладной
математики» в 1846 году. Лиувилль был потрясен работами Галуа, и не напрасно —
так называемая теория Галуа представляет собой одно из величайших достижений
человеческого разума.
Теорема о распределении простых чисел
Сколько положительных чисел, кратных 10, меньше заданного числа п? Как они
распределены? Ответить на этот вопрос нетрудно, так как закон распределения этих
чисел прекрасно известен. Они разделены равными промежутками в девять чисел
и подобны межевым столбам в числовом ряду. Для данного п достаточно «вернуться
назад», найти ближайшее число, кратное 10 (для этого достаточно вычесть из исход-
ного числа последнюю цифру), и отбросить ноль. Полученное число укажет искомое
количество чисел, кратных 10 и меньших заданного п. Однако если вместо чисел,
кратных 10, мы рассмотрим, например, факториалы:
k! = k  (k — i)  (k — 2)  ... • 3 • 2 • 1,
то ответить на поставленный вопрос будет уже не так просто.
А если мы захотим рассмотреть простые числа? Для заданного п нельзя сразу
сказать, простое оно или нет. Найти число р, ближайшее простое к п, очень сложно,
и неизвестен промежуток между данным простым числом р и следующим простым.
Существуют огромные простые числа, отличающиеся всего на 2 (такие простые числа
называют близнецами), как, например, 65516468355 • 2333333 ± 1. В то же время су-
ществуют огромные числовые интервалы, не содержащие ни одного простого числа:
например, интервал между (п + 1)! + 2 и (п + 1)! + п + 1 содержит п чисел, при
этом все они являются составными. Если выбрать очень большое п, то можно полу-
73
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
чить последовательности чисел произвольной длины, которые не будут содержать
ни одного простого числа. Выберем, например, п = 24. И это означает, что вопрос
о распределении простых чисел вовсе не прост. Введем некоторые обозначения. Обо-
значим через л(х) количество простых чисел, меньших или равных х. График этой
функции для больших х представлен на иллюстрации ниже.
20 000 40 000 60 000 80 000 100 000
Таблица значений этой функции, известных на сегодняшний день, выглядит так.
X	Л(Х)	
10	4
100	25
1000	168
10 000	1229
100 000	9592
1000 000	78 498
10 000 000	664 579
100 000 000	5761455
1000 000 000	50 847 534
10 000 000 000	455 052 511
100 000 000 000	4118 054 813
1000 000 000 000	37 607 912 018
10 000 000 000 000	346 065 536 839
100 000 000 000 000	3204 941 750 802
1000 000 000 000 000	29 844 570 422 669
10 000 000 000 000 000	279 238 341 033 925
100 000 000 000 000 000	2623 557 157 654 233
1000 000 000 000 000 000	24 739 954 287 740 860
10 000 000 000 000 000 000	234 057 667 276 344 607
100 000 000 000 000 000 000	2220 819 602 560 918 840
1000 000 000 000 000 000 000	21 127 269 486 018 731928
10 000 000 000 000 000 000 000	201 467 286 689 315 906 290
100 000 000 000 000 000 000 000	1925 320 391 606 803 968 923
74
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Теорема о распределении простых чисел гласит, что
Л(х)~---,
1пх
где In х — натуральный логарифм х. Знак ~ читается как «асимптотически равно»
и означает, что предел отношения указанных функций стремится к 1, когда х —> °°,
но это не означает, что разность переменных стремится к нулю:
д(х)-------->0.
1пх
Они могут отличаться, например, на константу. Достаточно рассмотреть перемен-
ные и и и + 1000. Предел их отношения стремится к единице, однако их разность
не стремится к нулю: она равна 1000:
п
---------> 1, но (п + К Ш) — п —> 1000.
н+1000
Нетрудно видеть, что, по сути, выражение тг(х)----------— эквивалентно
х	1п X
7l(x)---------, где k — константа.
V 7 In(x-fe)
Первым теорему о распределении простых чисел описал Лежандр, который ис-
пользовал k = 1,08366. Это значение он получил из числовых таблиц. Сегодня нам
известно, что наибольшая точность достигается при k = 1, так как мы располагаем
более точными числовыми таблицами.
Ниже представлены приближенные значения величин с достаточной точностью.
X	Л(Х)	x/lnx	x/ln (x - 1)
1000	168	145	169
10 000	1229	1086	1218
100 000	9592	8686	9512
1000 000	78 498	72 382	78 030
10 000 000	664 579	620 420	661 459
100 000 000	5761 455	5428 681	5740 304
Гаусс изменил формулировку задачи. На первый взгляд новая формулировка эк-
вивалентна исходной, однако с ее помощью можно получить более точные значения:
г х dt
7С(х)«П(х)= I -—•
J? Inf
75
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Здесь вводится новая функция Li(x), называемая интегральным логарифмом.
Гаусс, который часто не публиковал свои рукописи, упомянул об этой формулировке
теоремы в 1843 году в письме к своему другу и коллеге, астроному Иоганну Энке
(1791—1865), но не привел ее полностью. Гипотеза Гаусса об интегральном логариф-
ме прекрасна, удивительна, гениальна, но есть небольшая деталь: ученый не привел
ее доказательства. Он выдвинул и записал ее, но не смог доказать. Его гипотеза
была доказана лишь в 1896 году, когда бельгийский математик Шарль Жан Ла
Валле Пуссен (1866—1962) и французский математик Жак Адамар (1865—1963)
доказали ее совершенно независимо друг от друга. Оба они использовали новейшие
методы комплексного анализа и дзета-функцию Римана.
Шарль Жан Ла Валле Пуссен (слева) и Жак Адамар в 1896 году
доказали теорему о распределении простых чисел.
Знаменитая гипотеза Римана равносильна следующему утверждению: ошибка
приближения в формуле Гаусса имеет порядок logx-Jx. Однако прошло уже больше
ста лет, и эта гипотеза все еще не доказана.
Следующие кривые помогают представить, насколько близки друг к другу раз-
личные выражения, приближенно описывающие распределение простых чисел.
76
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
Наконец, приведем еще один любопытный факт для неспециалистов: график
Li(n) располагается над графиком п(п). Первое значение п, для которого это не так
(при условии, что гипотеза Римана верна), называется числом Скьюза и равно
В течение длительного времени это число было самым большим из всех чисел, ис-
пользуемых в математических формулах. Его значение было вычислено в 1933 году,
и оно намного превышает число атомов в известной нам Вселенной.
История продолжается
Мы могли бы продолжать наш рассказ, ведь список важных математических задач
кажется бесконечным. Назовем лишь некоторые из них. Например, проблема Ба-
ринга, которую предложил Эдвард Баринг (1734—1798) и решил Давид Гильберт
в 1909 году. Любое число можно представить в виде суммы не более четырех кубов,
не более чем девяти четвертых степеней и (это самый трудный случай) 19 пятых сте-
пеней. Можно ли представить любое число в виде некоторого фиксированного числа
п-х степеней? Именно так звучит гипотеза, предложенная Барингом и доказанная
Гильбертом.
Также можно упомянуть задачу о числе 0,57721566490... Это число, которое
кажется совершенно заурядным, возникает, когда из n-го члена гармонического ряда
77
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
ПРОБЛЕМА БАРИНГА - ГОЛЬДБАХА
Так называемая проблема Баринга - Гольдбаха ставит вопрос о том, является ли всякое нечетное
число простым либо суммой трех простых. Иван Виноградов (1891-1983) в 1937 году доказал,
что любое достаточно большое нечетное число, как простое, так и спет; иное, можно представить
как сумму трех простых. В чем же заключается проблема? Она заключается в том, что «достаточно
большое» число невероятно велико даже для суперкомпьютеров. Результат, полученный Вино-
градовым,- это большой шаг вперед, и тем не менее он не позволяет окончательно решить эту
задачу.
111	„	„
1-I-1-1--1- мы вычитаем натуральный логарифм п, и результатом всякий раз
2 3 4
будет все меньшее число:
1 —Ini = 1 — 0=1
1+—- In 2 = 1,5 - 0,6931471... = О,8068528...
2
1	1
1 + - + — In 3 = 1,8333333... -1,0986123... = 0,734721...
2	3
1 + — + — +—- 1п4 = 2,083333... -1,3862944... = 0,6970389...
2 3 4
Эта разность постепенно стабилизируется и в пределе равна постоянной, которая
обычно обозначается буквой у:
г V	1
у = пт > т п
и^°°и=/k
= 0.57721566...
Это число называется постоянной Эйлера — Маскерони в честь уже знакомого
вам Леонарда Эйлера и другого блестящего геометра, Лоренцо Маскерони (1750—
1800). Эйлер ввел постоянную у в 1734 году, а Маскерони вычислил ее значение,
верно определив первые 19 ее знаков. Для интересующихся читателей мы приведем
первые 150 знаков этого числа:
0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576
723488486772677766467093694706329174674951463144724980708248
096050401448654283622417399764492353...
78
ЭПОХА ЭЙЛЕРА
В 2007 году с помощью компьютеров было вычислено свыше 2000 000 000 зна-
ков постоянной Эйлера — Маскерони.
Постоянная у очень важна, так как она используется самым неожиданным образом
во множестве дисциплин: в статистике, квантовой физике, математическом анализе
и теории чисел. Оно также применяется при изучении загадочной дзета-функции
Римана.
О постоянной у мы не знаем почти ничего: неизвестно, является ли она алгебра-
ическим или трансцендентным числом. Мы даже не знаем, является ли она рацио-
нальной или иррациональной. Конвей и Гай считают, что у — трансцендентное чис-
ло. Известно лишь, что если у рационально, то его период должен иметь огромную
длину — минимум 242080 знаков.
В завершение этой главы приведем неожиданное равенство, которое не дает по-
коя математикам:
п
Откуда взялась дзета-функция? Какую загадку скрывает это равенство?
Y = Z
79

Глава 3
Математика взрослеет
Почему все обстоит именно так, а не иначе?
Иоганн Кеплер
После того как Эйлер свел воедино разрозненные математические дисциплины, мате-
матика встала в один ряд с другими уважаемыми науками. Один великий ум все еще
мог охватить математику целиком, хотя с годами это становилось все труднее, а новые
задачи были все непонятнее для непосвященных. Возможно, было бы логично, если
бы каждая задача рассматривалась в ту же эпоху, когда она была сформулирована.
Но некоторые проблемы, поставленные в прошлых столетиях, например теорема
Ферма, датируемая XVII веком, были доказаны лишь в конце XX века, в наши дни.
Другие гипотезы и задачи, например возникшие с появлением статистики, очень
интересны с точки зрения математики, но так сложны, что их объяснение займет
несколько страниц, что неуместно в научно-популярной книге. Например, очень из-
вестная проблема звучит так: какова вероятность того, что завтра взойдет Солнце?
Эта и похожие задачи входят в большую группу задач, лежащих на стыке математики
и других наук, и до сих пор не решены.
Самая известная теорема
В1993 году событие из мира математики впервые в истории попало на первые полосы
газет. Эндрю Уайлс (род. в 1953 году), впоследствии удостоенный рыцарского звания,
объявил о доказательстве теоремы Ферма. Эта теорема гласит: не существует трех
натуральных чисел х, у, z, которые удовлетворяют уравнению хп + уп = zn для п > 2.
Так как эта теорема оставалась единственной недоказанной из всех, предложенных
81
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Пьер Ферма (слева) в 1637 году сформулировал теорему,
которую доказал лишь в 1990-е годы британский математик Эндрю Уайлс
(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси).
Ферма, во многих источниках она называется последней теоремой Ферма. Погоня
за доказательством длилась 356 лет, и ее формальным окончанием стала конференция,
проведенная в одной из аудиторий Кембриджа.
Теорема Пьера Ферма (1601—1665), который нечасто записывал найденные им
доказательства, имела все шансы стать главным героем бестселлера. С одной стороны,
чтобы ее понять, достаточно школьного курса алгебры. Гильберт отверг эту теорему,
посчитав ее слишком заурядной в том смысле, что ее доказательство не вызвало бы
качественного скачка в математике. Однако шли годы, но никому не удавалось до-
казать эту теорему, принадлежащую к теории чисел — разделу математики, кото-
рый можно назвать Математикой с большой буквы. Теорема Ферма была окруже-
на самыми разными историями. Так, в XIX веке немецкий любитель математики
Пауль Вольфскель (1856—1906) оказался настолько очарован этой теоремой, что
передумал совершать самоубийство и учредил премию в 100 тысяч марок тому, кто
ее докажет. Как свидетельствуют слова самого Ферма, записанные на полях книги
Баше де Меризиака в 1637 году («Я нашел этому поистине чудесное доказательство,
но поля книги слишком узки, чтобы записать его»), доказательство этой теоремы
существовало, но оно было подобно утерянному сокровищу. Теорема Ферма упоми-
нается во множестве произведений: в сериалах «Звездный путь» и «Симпсоны», в на-
учно-фантастических книгах Артура Кларка и Фредерика Пола и даже в детективных
бестселлерах, например в книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнем».
После каждого заявления о доказательстве теоремы Ферма весь математический мир
раз за разом охватывало разочарование. В доказательстве Уайлса эксперты нашли
82
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Сын Ферма в 1670 году опубликовал перевод книги Диофанта,
выполненный Баше де Меризиаком (1581-1638), с комментариями отца.
Так родилась «последняя теорема Ферма».
нетривиальный, едва заметный, но очень важный пробел. Уайлс и его помощник
Ричард Тэйлор (род. в 1962 году) потратили почти два года на доработку доказа-
тельства и в 1995 году обнародовали новый его вариант, который на этот раз оказался
верным. Однако во время работы над новым доказательством Уайлсу исполнилось
сорок лет — предельный возраст для выдвижения на Филдсовскую премию (пре-
стижной Абелевской премии еще не существовало), и, таким образом, престижная
премия уже не могла стать вершиной карьеры математика. Специально для него была
учреждена особая премия — серебряная тарелка, которую представители Междуна-
родного математического союза и вручили Уайлсу на берлинском конгрессе 1998 года.
Стоит отметить, что потомки Ферма считают, будто бы в доказательство их зна-
менитого предка вкралась ошибка, но при этом само доказательство так и не было
найдено. По всей видимости, на одном из этапов предполагаемых рассуждений
Ферма пришел к представлению многочлена в виде произведения неприводимых
многочленов. Однако то, что верно для чисел и элементарных многочленов (для них
разложение на простые множители является единственным), вовсе не обязательно
83
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
выполняется для квадратичных целых, даже если кажется очевидным. Разложение
многочленов на множители необязательно является единственным. Но это, вероят-
но, не учитывалось Ферма и некоторыми его последователями. Чтобы обойти это
препятствие, Эрнст Куммер (1810—1893) и Рихард Дедекинд (1831—1916) опре-
делили так называемые идеальные числа и совершили прорыв в современной алге-
бре.
Но вернемся к теореме Ферма. При п = 2 теорема не рассматривается, так как
в этом случае она сводится к рассмотрению троек чисел х, у, z, которые удовлетво-
ряют условию
х2 + у2 = z2.
Эти пифагоровы тройки представляют собой решение элементарного и прекрас-
но известного диофантова уравнения. В параметрическом виде для любых целых
положительных а и b пифагоровы тройки выражаются так:
х = а2 — Ь2
у — 2аЬ
х = а2 + Ь2.
Далее для любых п > 2 казалось, что решения отсутствуют. Было доказано от-
сутствие решений для п = 3 (доказательство принадлежит Эйлеру и, возможно,
Ферма), для п = 4 (Ферма), для п = 5 (Дирихле и Лежандр) и многих других
значений. Теорема была доказана для бесконечного числа значений, так как если
она верна для некоторого простого числа k, то автоматически верна для всех чисел,
кратных k. Имена Габриеля Ламе (1795—1870), Софи Жермен (1776—1831) и уже
упомянутого Эрнста Куммера не должны быть преданы забвению. Теорема Ферма
в итоге была доказана для простых п < 4000 000, но не для произвольных п. Эйлер
предсказал, что не существует х, у, z и v таких, что
х4 + у4 + z4 = о4.
Это казалось очевидным для всех, так как оно очень схоже с теоремой Ферма при
п — 4, однако в 1988 году, к разочарованию научного сообщества, Ноам Элкис (род.
в 1966 году) показал, что
2682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734.
В 1954 году Горо Симура (род. в 1930 году) и Ютака Танияма (1927—1958)
обнаружили связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами —
84
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
двумя алгебраическими объектами, которые казались очень далекими друг от друга.
Эллиптические кривые задаются кубическими уравнениями вида:
у2 = (х + а) (х + Ь) (х + с),
где а, b и с — целые числа, не равные нулю. Модулярная форма — это уравнение
на поле комплексных чисел, которое, если говорить вкратце, обладает огромным чис-
лом видов симметрии и инвариантно для группы унитарных матриц второго порядка.
Модулярные формы и эллиптические кривые связывает загадочная L-функция в виде
степенного ряда, в которой каким-то образом зашифрованы глубинные алгебраиче-
ские закономерности.
Никто не ожидал, что Кен Рибет (род. в 1947 году) в 1986 году докажет, что
истинность гипотезы Таниямы — Симуры подразумевает доказательство теоремы
Ферма. В действительности для доказательства теоремы Ферма достаточно доказать
часть этой гипотезы и рассмотреть особый класс эллиптических кривых. Сложней-
шую гипотезу Таниямы — Симуры доказала группа математиков под руководством
Кристофа Брёиля в 1999 году, но не будем опережать события.
Преподаватель Калифорнийского университета в Беркли Кен Рибет
установил связь между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма.
Уайлс был блестящим математиком, увлеченным человеком и обладал желез-
ной волей. Он на несколько лет добровольно ушел в затворничество, чтобы при-
няться за эту задачу со всей силой своего разума. Как мы уже писали, в 1993 году
он представил первое доказательство, в котором позднее был обнаружен пробел.
В 1995 году с публикацией двух статей в журнале «Анналы математики» теорема
Ферма была окончательно доказана.
85
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Смерть коммивояжера
Худший сценарий развития карьеры коммивояжера заключается не в том, что Артур
Миллер напишет пьесу о его злоключениях. Куда хуже, если коммивояжер получит
повышение — по крайней мере, так считают математики. Допустим, что он должен
объехать на машине п городов. Маршрут разумного коммивояжера будет обладать
некоторыми элементарными свойствами: например, он постарается совершить гамиль-
тонов цикл, то есть не проезжать через один город дважды и свести расход горючего
к минимуму. Вышесказанное можно представить в виде графа, на ребрах которого
записаны расстояния между городами.
Z1138z^P\ \ \
/	/883	70б\\ \
I/ 1020	\)
А\^^'/у58Г~/су
\236 /1256/ /00
Е
Но если коммивояжер захочет определить оптимальный путь, ему потребуется
рассмотреть все возможные пути и найти их длину. Для этого надо нарисовать всего
путей и найти 12 сумм. Наименьшая укажет оптимальный путь. Эта задача кажет-
ся посильной, но если коммивояжер получит повышение, ему придется тяжелее. Если
ему потребуется объехать, например, 50 городов, то чтобы выбрать оптимальный
путь, он должен будет найти примерно 5 • 1062 сумм. Собственно, до самоубийства его
доведут всего 20 городов: чтобы найти оптимальный путь между ними, потребуется
вычислить 121645100408832000 сумм. Для п городов понадобится найти
сумм, где знак ! означает
и! = 1 • 2 • 3 • 4 •... • (п — 1) • п
и читается «и факториал». С увеличением п факториал возрастает экспоненциально.
Именно так звучит задача коммивояжера, впервые сформулированная
в XIX веке. Более строгую формулировку в 1930 году предложили несколько мате-
матиков, среди которых был Карл Менгер (1902—1985). Эта задача применяется
и в других областях, например при расшифровке ДНК.
86
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
В ОЖИДАНИИ УНИВЕРСАЛЬНОГО АЛГОРИТМА
Существует множество алгоритмов, эвристических и при-
ближенных (в том числе алгоритм, имитирующий поведение
колонии муравьев), позволяющих найти приближенное ре-
шение задачи коммивояжера. В качестве примера приведем
решение, найденное Дэвидом Эпплгейтом: возглавляемая
им группа в 2004 году решила задачу коммивояжера для
24978 шведских городов. Длина оптимального маршрута
между ними составила 72 500 км. Сегодня это решение уже
не носит гордое название «решение задачи коммивояжера для
наибольшего числа городов», но в свое время этот результат
вошел в историю математики. Однако до сих пор не известен
универсальный алгоритм, позволяющий решить задачу ком-
мивояжера в разумное время. Возможно, такого алгоритма
не существует, но это нужно доказать.
Один из кратчайших путей для тысяч шведских городов,
приведенный на веб-странице TSP (англ. Traveling Salesman
Problem — «задача коммивояжера»), — решение задачи
коммивояжера, предложенное Дэвидом Эпплгейтом.
Но хотя эта задача не решена, существует прекрасный алгоритм ее решения:
нужно найти невообразимое число сумм и выбрать среди них наименьшую. Впро-
чем, этот алгоритм нельзя использовать на практике даже с помощью компьютеров.
Существуют алгоритмы, время выполнения которых имеет порядок п22п — с увели-
чением п время на поиск решения возрастает экспоненциально. Задача коммивоя-
жера входит в число так называемых NP-трудных задач.
Четырех цветов достаточно
Эту фразу можно прочесть на почтовом штемпеле, оттиски которого в 1977 году
появились на некоторых письмах, отправленных из города Эрбана, штат Иллинойс,
где работают математики высочайшего уровня. Кеннет Аппель (1932—2013) и Воль-
фганг Хакен (род. в 1928 году) решили одну из самых сложных в истории математики
задач, которая имела на первый взгляд простую формулировку.
87
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
FOUR COLORS
SUFFICE
Знаменитый штемпель с надписью
«Four Colors Suffice» («Четырех цветов достаточно»).
Формулировка гипотезы о четырех красках (теперь она имеет статус теоремы)
элементарна: четырех красок достаточно, чтобы раскрасить плоскую карту так, что-
бы все смежные области были окрашены в разные цвета. Здесь не рассматриваются
карты, в которых одна область разделена на несколько не связанных между собой
частей (например, в России это Калининградская область). Не рассматриваются
и случаи, когда четыре и более областей имеют общую точку, как показано на ри-
сунке.
Четыре страны, границы которых имеют общую точку.
Короткую и в некотором роде элементарную гипотезу доказать невероятно
трудно.
88
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Гипотеза о четырех красках гласит, что для раскраски любой плоской карты
необходимо и достаточно четырех красок, хотя на первый взгляд может показаться,
что для этого требуется пять красок.
Эту задачу выдвинул в 1852 году математик-любитель Фрэнсис Гутри, который
в то время работал адвокатом. Научный мир узнал о ней благодаря Огастесу де Мор-
гану (1806—1871). Его изложение содержит ряд предполагаемых доказательств,
которые помогли понять сложность этой задачи и сформулировать ее на языке тео-
рии графов. За предполагаемым доказательством Альфреда Кемпе (1849—1922),
найденным в 1879 году, последовало решение Перси Хивуда (1861—1955). Было
доказано, что пяти красок достаточно (1890), однако гипотеза о четырех красках
оставалась недоказанной. Чтобы свести задачу о раскраске карт к задаче теории
графов, заменим каждую область карты вершиной графа, каждую границу обла-
сти — ребром. В полученной задаче нужно раскрасить вершины графа так, чтобы
смежные вершины были окрашены в разные цвета, как показано на следующих ил-
люстрациях.
Генрих Хееш (1906—1995) описал новый метод, позволяющий определять множе-
ства приводимых конфигураций карт. Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен реализовали
этот метод и получили множество примерно из 1500 приводимых конфигураций. Для
их анализа пришлось использовать компьютер.
89
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Истинность гипотезы была подтверждена для всех конфигураций, и гипотеза об-
рела статус теоремы. Четырех цветов оказалось достаточно. Если говорить матема-
тическим языком, то для карты, изображенной на ориентируемой поверхности рода g,
достаточно и в общем случае необходимо N цветов:
7 + Vl + 48g
2
где символы |_ J обозначают «целая часть числа». Для ориентируемых и неориен-
тируемых поверхностей положительного рода и топологической характеристики %
формула для расчета числа красок выглядит так:
7 + ^49-24%
2
Для карт на плоскости обе этих формулы дают N — 4.
Доказательство Аппеля и Хакена было проведено с помощью компьютера, и из-
за этого не все безоговорочно приняли его. Ошибка в процессоре Intel, обнаружен-
ная Томасом Найсли (о ней мы поговорим позднее), только усилила сомнения. На-
конец, в 2008 году Вернер и Гонтьер свели доказательство теоремы к универсаль-
ному логическому языку (Coq), исключив тем самым возможное влияние отдельных
компьютерных программ. В корректности этого доказательства также можно усом-
ниться, но это будет означать, что под сомнение попадет почти вся математика.
С задачей четырех красок связана задача о совершенном графе (хотя на первый
взгляд они кажутся непохожими) — основная задача коммуникаций.
Пары простых чисел
Простыми числами-близнецами называются пары простых чисел, отличающихся
на два, которые имеют вид (р, р + 2). Сам термин возник относительно недавно,
его предложил Пауль Штекель (1862—1919). Далее представлены простые числа-
близнецы, меньшие 1000:
90
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
(3, 5), (5, 7), (И, 13), (17,19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101,
103), (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193), (197, 199),
(227,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313), (347,349), (419,
421), (431,433), (461,463), (521,523), (569,571), (599,601), (617, 619),
(641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859),
(881, 883).
В 2009 году была найдена пара простых чисел 65 516 468 355 • 2333333 ±1 — эти
числа являются простыми числами-близнецами и содержат 100 355 цифр. Однако
они вряд ли будут последними в ряду простых чисел-близнецов, ведь считается, что
их последовательность бесконечна, хотя это до сих пор не доказано.
В 2004 году американец Ричард Аренсторф привел доказательство того, что
существует бесконечное множество простых чисел-близнецов, однако затем было
показано, что его доказательство содержит ошибку в лемме номер 8.
Математики Годфри Харди (1877—1947) и Джон Литлвуд (1885—1977), авто-
ры множества совместных статей по теории чисел, предложили формулу, в которой
учитывается плотность простых чисел в целом. Эта формула дает представление
о распределении простых чисел-близнецов и об их количестве.
Гэдфри Харолд Харди был не только исключительным математиком, но и блестящим писателем
и философом. В «Апологии математика» он выразил свою убежденность в том, что изучать
математику следует исключительно из-за ее красоты, и отверг все доводы о ее полезности. Потомки
запомнили Харди также благодаря тому, что он познакомил западный мир с выдающимся индийским
математиком Сринивасой Рамануджаном (1887-1920).
91
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Если обозначить через Л2(х) количество простых чисел р — х, имеющих простое
число-близнец р + 2, то
я (х) ~ 2С [———,
2	2j2 (Inf)2
где С2 — константа, полученная Харди и Литлвудом. Ее значение равно
С = ГТР(Р 0,660161815846869573927812110014...
!>l(r-i)2
Это бесконечное произведение, в котором все числа р — простые. Известные
сегодня значения представлены в таблице ниже.
Л	Л?(Л)
103	35
104	205
105	1224
106	8169
ю7	58 980
ю8	440 312
ю9	3424 506
ю10	27 412 679
10“	224 376 048
ю12	1870 585 220
ю13	15 834 664 872
ю14	135 780 321 665
ю15	1177 209 242 304
ю16	10 304 195 697 298
ю18	808 675 888 577 436
Немногие известные сегодня теоретические результаты довольно близки к реаль-
ности, как вы можете видеть в таблице простых чисел-близнецов.
Интервал	Количество простых чисел-близнецов	
	Ожидаемое	Фактическое
100 000 000-100 150 000	584	601
1000 000 000-1000 150 000	461	466
10 000 000 000-10 000 150 000	374	389
100 000 000 000-100 000 150 000	309	276
1000 000 000 000-1000 000 150 000	259	276
10 000 000 000 000-10 000 000 150 000	221	208
100 000 000 000 000-100 000 000 150 000	191	186
1000 000 000 000 000-1000 000 000 150 000	166	161
92
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
ЧЕЛОВЕК И МАШИНА
В ходе исследований л2(х) математик Томас Найсли, выполняя сложные расчеты в поисках значения
л2(1014), заметил, что расчеты, сделанные на компьютере, неверны для чисел 824 633 702 418 <
< п < 824 633 702 449. Он был настолько уверен в том, что ошибка кроется в самом компьютере,
что в 1994 году отправил компании - производителю микропроцессора электронное письмо.
Вскоре в процессоре Pentium действительно была найдена ошибка - один из компонентов оказал-
ся дефектным, и производителю пришлось признать свою вину, доработать процессор и улучшить
систему контроля качества. Так простые числа-близнецы в конце концов нашли практическое
применение.
DATE: 30 October 1994
It appears that there is a bug in the floating point unit (numeric
coprocessor) of many, and perhaps all, Pentium processors.
In short, the Pentium EPU is returning erroneous values for certain
division operations. Eor example,
1/824633702441.0
is calculated incorrectly (all digits beyond the eighth significant digit
are in error). This can be verified in compiled code, an ordinary
spreadsheet such as Quattro Pro or Excel, or even the Windows calculator
(use the scientific mode), by computing
(824633702441.0)*(1/824633702441.0) ,
which should equal 1 exactly (within some extremely small rounding
error; in general, coprocessor results should contain 19 significant
decimal digits). However, the Pentiums tested return
0.999999996274709702
for this calculation. A similar erroneous value is obtained for x*(l/x)
for most values of x in the interval
824633702418 <= X <= 824633702449,
and throughout any interval obtained by multiplying or dividing the above
interval by an integer power of 2 (there are yet other intervals which
also produce division errors).
Отрывок электронного письма Томаса Найсли, в котором описывается обнаруженная им
ошибка в процессоре Pentium. В первых строках Найсли отмечает, что эта ошибка содержится
во многих, возможно, во всех процессорах этой марки.
93
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Задача о простых числах-близнецах еще более усложнилась с введением па-
раллельных гипотез, в которых рассматриваются простые числа, отличающиеся
на 4 и более. В отличие от простых чисел-близнецов, двоюродными (от англ, cousin
primes) называются простые числа, которые отличаются на 4. Пары простых чисел,
отличающиеся на шесть, в английском языке называются sexy primes (возбуждаю-
щие простые числа-близнецы) и так далее. Для всех подобных чисел можно рас-
смотреть похожие задачи.
Любопытно отметить, что если перевернуть простые числа-близнецы «с ног
на голову» и найти сумму полученного ряда, то он будет сходиться, что доказал
Вигго Брун (1885—1978):
1 1 ] ( 1 1 ] ( 1	11(1	11
-+- + -+- + —+— + —+— +...== 1,902160583104...
3 5J ^5 7jl.ll 13J 1Д7 19J
С обычными простыми числами все обстоит с точностью до наоборот: ряд чисел,
обратных простым, расходится:
111111111
---1----1----1-----1----1----1------1------1-----h...
2 3 5 7 И 13 17 19 23
Можно предположить, что существует бесконечно много простых чисел-тройня-
шек. И действительно, мы сразу же найдем первые три таких числа: 3, 5 и 7. Однако
это все, других таких троек не существует. Простые числа могут быть близнецами,
но не могут быть тройняшками.
А значит, не существуют четверняшки и так далее.
Гипотеза Бибербаха
Людвиг Бибербах (1886—1982), сочувствовавший нацистам и получивший при
крещении имя Моисей, был выдающимся математиком и незаурядной личностью.
В гипотезе Бибербаха идет речь о голоморфных функциях комплексной переменной
и об их разложении на единичном круге комплексной плоскости в степенной ряд,
подобный следующему:
/(z) = ап + а.х + а.х2 + ... + а хп + ...
' '	0	1	Z	п
Согласно этой гипотезе, для всех таких функций / справедлива оценка
k, k «hl-
94
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
При aQ = 0 и а} = 1 (к этому случаю можно свести все функции) неравенство
будет еще красивее:
Последняя формула на языке специалистов по аналитической геометрии звучит
так: «экстремальность определяет метрику».
История этой гипотезы начинается с момента, когда Бибербах доказал ее ис-
тинность для |а21 < 2. Далее была доказана справедливость гипотезы для п = 3, 4,
5, 6 и, наконец, для произвольного п. Полное доказательство гипотезы Бибербаха
нашел Луи де Бранж (род. в 1932 году) в 1964 году.
На этом рассказ о гипотезе Бибербаха можно было бы завершить, если бы
де Бранж не был столь неординарной личностью. Он обладал богатым воображе-
нием и большими способностями к математике, но так часто провозглашал, что на-
шел доказательство, которое в итоге оказывалось ошибочным, что утратил доверие
со стороны многих коллег. Например, найденное им доказательство гипотезы Рима-
на до сих пор не подтверждено. Чтобы проверить его корректность (в которой мно-
гие эксперты сомневаются), потребовалось бы много времени и сил. Кто поставит
на карту годы жизни, чтобы в конечном итоге упереться в тупик?
Гипотеза на 100 000 долларов
После того как была доказана великая теорема Ферма, неизбежно возникло ее след-
ствие — так называемая гипотеза Била, которая гласит: если равенство
ха + уь = zc
выполняется для некоторых натуральных х, у, z, а, b и с, при этом показатели степени
больше 2, то х, у, z обязательно будут иметь общий простой множитель. Как видите,
гипотеза Била — это обобщение теоремы Ферма.
По-видимому, первым точно сформулировал эту гипотезу техасский математик
Дэниел Молдин в 1997 году. Американский банкир и игрок в покер Эндрю Бил (род.
в 1952 году) предложил премию в 100 тысяч долларов тому, кто докажет или опровер-
гнет гипотезу. Хотя гипотеза Била не относится к задачам тысячелетия, за решение
которых предложена премия в миллион долларов, премия за нее весьма существенна,
а доказательство принесет его автору моральное удовлетворение от решения сложной
числовой задачи.
95
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Далее мы перечислим некоторые примеры, полученные с помощью компьютера,
которые подтверждают истинность гипотезы.
У + 6’ = 3’
З9 + 54’ = 3“
З6 + 18’ = З8
76 + Т = 98’
274 + 162’ = 97
211’ + 3165’ = 4224
386’ + 4825’ = 5794
307’ + 6144 = 5219’
5400’ + 904 = 6304
217’ + 5642’ = 651"
271’ + 8134 = 7588’
602’ + 9034 = 8729’
624’ + 14 352’ = 312’
1862’ + 57 722’ = 37244
2246’ + 44924 = 74 118’
1838’ + 97 414’ = 55144.
Вперед и только вперед
В наше время математические задачи уже не окутаны завесой тайны, как в прошлом.
Их уже не может решить одинокий мыслитель в момент счастливого озарения — по-
добный романтизм остался в прошлом. Сегодня ученые отправляют друг другу письма
по электронной почте. В них идет речь о конкретных аспектах очень узких задач,
так как ни один ученый не может охватить взглядом всю математику в целом. Ввиду
конкуренции между тысячами ученых математика все больше становится плодом
коллективного труда. Доказательство теоремы Ферма стало сюрпризом для всех:
Уайлс совмещал свои исследования, достойные уважения, с регулярной публикацией
96
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
рядовых статей в специализированных журналах, и большинство его коллег считало,
что ученый занимается привычными темами, а вовсе не борьбой с формулой хп + уп =
= zn.
С другой стороны, сегодня новые задачи появляются, словно грибы после до-
ждя. Причина этого, главным образом, в том, что математика вступила в возраст
зрелости. Мы не знаем больше, чем мы знаем, размеры нашего незнания становятся
все больше, и нам все сложнее понять, что же именно нам неизвестно. Так как мы
не можем привести примеры задач для всех разделов современной математики, для
того чтобы читатель примерно понимал положение дел в современной математике,
осветим несколько вопросов, которые долго ждали ответа (а некоторые — так пока
и не дождались).
ПАРАДОКС РАССЕЛА
Простое, пусть и несколько неточное определение парадокса звучит так: парадокс - это разумное
высказывание, которое ведет к противоречию. Когда мы находимся в мире логики (а следователь-
но, в мире математики), мы говорим об антиномиях - это уже не простые парадоксы. Приведем
пример: будем называть нормальным всякое множество, которое не принадлежит самому себе,
и аномальным - всякое множество, которое принадлежит самому себе. Множество А всех мно-
жеств будет аномальным. Каким будет В, которое мы определим как множество всех нормальных
множеств: нормальным или аномальным?
На первый взгляд, ответить на этот вопрос не так-то просто, однако важнее то, что каким бы
ни был ответ на поставленный вопрос, он неизбежно приведет к противоречию. Эта ситуация на-
зывается парадоксом, или антиномией Рассела в честь лорда Бертрана Рассела (1872-1970),
который сформулировал этот парадокс в 1903 году. Общепринятое решение парадокса заклю-
чается в том, чтобы отказаться от интуитивно понятного опреде-
ления множества и использовать определение в аксиоматике
Цермело - Френкеля, не допускающей существования объектов,
подобных^, которые становятся причиной подобных парадоксов.
Философ и математик Бертран Рассел, внесший большой вклад
в самые разные дисциплины, был известным активистом:
он выступал против использования ядерного оружия, за что
неоднократно подвергался тюремному заключению.
97
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Гипотеза Тэта
Эта гипотеза, предложенная Питером Гатри Тэтом (1831—1901), относится к тео-
рии узлов. Ее формулировка содержит глагол Ауре, заимствованный из древнешот-
ландского, который можно примерно перевести на русский как «переворачиваться».
Значение этого глагола проиллюстрировано на следующем рисунке.
Гипотеза Тэта, которая теперь имеет статус теоремы, звучит так: от одной аль-
тернированной диаграммы узла к другой можно перейти последовательностью
переворачиваний. Эту гипотезу доказали Морвен Фистлвейт и Уильям Менаско
в 1991 году.
Гипотеза Каталана
Эту гипотезу сформулировал Эжен Каталан (1814—1894), а доказал румынский
математик Преда Михалеску (род. в 1955 году) в 2002 году. Согласно гипотезе,
только числа 2 и 3 имеют последовательные степени (23 = 8, З2 = 9). Точная фор-
мулировка звучит так: единственным решением уравнения ха — уь = 1 в натуральных
числах для х, а, у, b > 1 является х = 3, а = 2, у = 2, b = 3.
Задача о магических квадратах из простых чисел
Квадратная числовая матрица называется магическим квадратом, если сумма чисел
в каждой ее строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Число эле-
ментов на каждой стороне матрицы называется порядком. Введем дополнительное
условие, согласно которому все числа магического квадрата должны быть простыми.
98
МАТЕМАТИКА ВЗРОСЛЕЕТ
Каково число магических квадратов каждого порядка, состоящих только из простых
чисел? Этот вопрос остается открытым.
На гравюре «Меланхолия /»Альбрехта Дюрера изображен магический квадрат 4-го порядка.
Гэд создания гравюры, 1514, указан в двух центральных ячейках последней строки.
Еще одна, последняя задача
Вещественное число называется нормальным по основанию 10, если его цифры, взя-
тые в группах по одной, по две, по три и так далее, распределены равномерно. Л —
нормальное число? Вряд ли можно так же коротко сформулировать более трудную
задачу. Задача о нормальности Л до сих пор не решена.
Длинный список решенных и нерешенных задач математики можно продолжать
очень и очень долго.
99

Глава 4
Проблемы Гильберта
Мы должны знать. Мы будем знать!
Давид Гильберт
На Международном математическом конгрессе 1900 года Давид Гильберт (1862—
1943), который в то время считался ведущим математиком мира, представил список
из 23 нерешенных задач, решение которых, по его мнению, означало бы существенный
прогресс математики. Гильберт имел достаточный авторитет, чтобы сформулировать
подобный список, и, возможно, был последним, кто мог со знанием дела говорить обо
всех разделах математики — впоследствии дерево этой науки слишком разрослось.
Представив свой список из 23 задач, Гильберт отметил, что хорошей проверкой для
любой задачи будет предложить ее первому встречному на улице. Если вы сможете
объяснить задачу так, что вас поймут, значит формулировка безупречна.
Многие из предложенных Гильбертом проблем уже решены, другие, составля-
ющие меньшинство, по-прежнему неприступны, а третьи утратили актуальность
и почти никому не интересны. Мы умышленно опускаем некоторые подробности,
иначе нам потребовалось бы несколько сотен малопонятных страниц, чтобы про-
рваться сквозь математические джунгли.
Проблема № 1
Первая проблема в списке Гильберта стала известной как континуум-гипотеза. Кон-
тинуум — это число элементов множества всех вещественных чисел (множество R).
Быстрее и проще всего эту проблему можно объяснить на интуитивно понятном
уровне. Множества можно естественным образом разделить на непересекающиеся
группы, то есть группы, не имеющие общих элементов, которые называются классами
101
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
НЕПУТЕВЫЙ МУДРЕЦ
Гильберт был первым математиком в Гёпингенском универ-
ситете, феминистом в патриархальном обществе и до самой
смерти оставался демократом, за что в последние годы жизни
нацисты сместили его со всех постов. Всю свою жизнь он был
воплощением рассеянного мудреца. Рассказывают, что как-то
раз на приеме жена отправила его в спальню переодеться: ей
не понравилась какая-то деталь в костюме Гильберта. Он под-
нялся в свою комнату и стал переодеваться, но, к сожалению,
автоматически начал привычную процедуру: снять галстук,
снять рубашку и так далее. В.итоге Гильберт совершенно за-
был о приеме и улегся в кровать, и лишь громкие крики жены
заставили его подняться.
Фотография Давида ГАльберта,
сделанная в 1912 го-
ду, Koyja он преподавал
математику в Гёттингенском
университете.
эквивалентности. Классы эквивалентности определяет отношение R между множе-
ствами, которое называется отношением эквивалентности. Объекты х и у, связанные
отношением R, обозначаются xRy.
Отношение R называется отношением эквивалентности, если оно обладает тремя
простыми свойствами:
1)	рефлексивностью — xRx верно для любого х\
2)	симметричностью — если xRy, то yRx;
3)	транзитивностью — если xRy и yRz, то xRz.
Класс эквивалентности множеств, задаваемый отношением эквивалентности R,
определяется путем выбора любого из его членов, например а:
Класс а = {х/ xRa}.
Иными словами, к одному классу принадлежат множества, связанные между со-
бой отношением R. Логично, что если aRb, то:
Класс а = Класс Ь.
102
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Заметим, что определить класс эквивалентности можно посредством любого
его элемента, который называется представителем класса эквивалентности. Клас-
сы эквивалентности непусты (на языке математики это записывается как С(а) #
=/= 0), так как в силу свойства рефлексивности как минимум справедливо соотношение
х принадлежит классу х.
Различные классы являются непересекающимися, так как если бы а и b имели
некий общий элемент х, то выполнялось бы следующее:
1)	xRa и xRb по определению;
2)	xRa => aRx в силу свойства симметричности;
3)	aRx и xRb => aRb в силу свойства транзитивности;
4)	Класс а = Класс b по определению.
Таким образом, классы а и b совпадают.
Применим вышесказанное к множествам. Заменим R символом ~, обозначаю-
щим взаимно однозначное соответствие. Отношение ~ определяется очень просто:
между двумя множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие,
или биекция (А~В), когда каждому элементу одного множества соответствует
только один элемент другого.
А~В
Взаимно однозначное соответствие между А и В.
Очевидно, что отношение ~ определяет отношение эквивалентности между мно-
жествами. Изобразим на рисунке некоторые из полученных классов.
103
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Классы эквивалентности для множеств из 1,2, 3 элементов и т. д.
Как видите, к одному классу относятся множества, между которыми можно
установить взаимно однозначное соответствие. Множества, между которыми уста-
новлено такое отношение, относятся к одному классу, классы не пересекаются и яв-
ляются непустыми.
Члены каждого класса имеют одинаковое кардинальное число. В виде символов
это записывается так:
Класс А = Кардинальное число А = |Л|.
Если А является конечным, то вместо «кардинальное число А» обычно говорят
«число элементов А». Эти формулировки эквивалентны. Кардинальное число пу-
стого множества (0) равно нулю. Наиболее интересными кардинальными числами
являются трансфинитные числа — они были открыты сравнительно недавно и об-
ладают многими удивительными свойствами.
Первые множества чисел имеют одинаковое кардинальное число К — первое
из кардинальных чисел бесконечных множеств. Впервые это показал Георг Кантор
(1845—1918), гениальный математик, который «открыл» бесконечность.
М = |Z| = |Q| =
Если кардинальное число множества равно Ко, множество называется счетным.
104
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Также любопытно, что множества, которые очевидно отличаются, имеют одина-
ковые кардинальные числа. Еще более удивительно, что следующее числовое мно-
жество, множество вещественных чисел R, которое обычно изображается в виде
числовой прямой, имеет то же кардинальное число, что и R2, R3,Rn. Число точек
на прямой, в квадрате, в кубе и в пространстве одинаково, и это не может не удив-
лять. Когда Кантор показал, что кардинальное число множества точек прямой равно
кардинальному числу множества точек произвольного пространства, современники
встретили его открытие с недоверием.
Гэорг Кантор совершил огромный вклад в математику:
он дал определение бесконечности и создал теорию множеств.
Кардинальное число R и его степеней R2, R3, ..., Rn обозначается с.
|R| = |R2| = ... = |Rn| = с.
С другой стороны, если обозначить множество частей N через р N, можно дать
рекурсивное определение рп N = ft) N), где р° (N) = N, и далее опреде-
лить следующие трансфинитные кардинальные числа так:
|p"(N) |= К„.
Следующим способом определяется телескопический (возможно, неполный) ряд
кардинальных чисел, каждое из которых строго больше предыдущего:
\ < \ < \ < ‘ * < \ < * * *
Раз уж мы упомянули об этом, заметим, что некоторые трансфинитные числа так
велики, что кажутся непостижимыми.
105
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Применив аксиомы теории множеств, можно доказать, что х < с, однако главная
загадка, вставшая перед Кантором, записывается так:
с=К,.
Это недоказанное утверждение называется континуум-гипотезой. Пол Коэн
(1934—2007) в 1963 году доказал, что континуум-гипотеза недоказуема. Чтобы
лучше понять этот результат, ознакомьтесь с проблемой № 2, которая имеет отно-
шение к работам Курта Гёделя (1906—1978).
Проблема № 2
Мы расскажем об этой проблеме вкратце и не со всей строгостью — о теореме Гёделя
написано множество научно-популярных книг, к которым мы отсылаем читателя,
а здесь ограничимся крайне упрощенным и популярным изложением.
Любая теория строится на основе аксиом, или начальных положений. Множество
правил вывода позволяет формулировать все новые и новые теоремы, которые вы-
водятся из аксиом. Теория называется непротиворечивой, если с помощью правил
вывода нельзя одновременно доказать некое высказывание этой теории и противо-
положное ему. Нельзя доказать, что, с одной стороны, 2 + 2 = 4 (между прочим,
Бертран Рассел присвоил теореме «2 + 2 = 4» номер 54.43 во втором томе своих
«Начал математики»), а с другой — что 2 + 2*4.
Кроме того, естественно ожидать, что система логических связей будет полной,
то есть любое истинное высказывание заданной теории можно доказать. Например,
высказывание 4 + 23 = 27 можно объяснить с помощью правил арифметики. Раз-
умеется, мы говорим о высказываниях, принадлежащих логической системе, так как
высказывание «Возможно, сегодня пятница и идет дождь» может не иметь никако-
го смысла, например, в арифметике.
Суть второй проблемы Гильберта не до конца ясна, по всей видимости, ученый
стремился показать непротиворечивость арифметики, которая для него была очевид-
ной, и, тем не менее, он так и не смог доказать этого. В 1933 году Гёдель доказал
106
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
так называемую вторую теорему о неполноте, согласно которой непротиворечивая
аксиоматическая система, включающая элементарную арифметику, обязательно бу-
дет неполной. Иными словами, в ней всегда найдутся высказывания, которые мы
не сможем доказать только средствами самой этой системы. Разумеется, их всегда
можно будет доказать, расширив границы системы (например, очевидным шагом
будет принять недоказуемые утверждения в качестве аксиом), однако мы ничего
не сможем сделать с подобными высказываниями в пределах самой системы. Это
может служить ответом ко второй проблеме Гильберта, но какое отношение это имеет
к континуум-гипотезе — первой проблеме в списке?
Коэн доказал, что континуум-гипотеза относится к утверждениям, описанным
Гёделем. Точнее говоря, Гёдель доказал, что континуум-гипотеза непротиворечива
в элементарной теории множеств, которую можно построить на основе аксиом Цер-
мело — Френкеля, а Коэн показал, что отрицание этой теории также не противо-
речит континуум-гипотезе. Как следствие, континуум-гипотеза будет выполняться
вне зависимости от того, примем ли мы элементарную теорию множеств. Контину-
ум-гипотеза — это независимое высказывание.
Говоря о Гёделе, мы не можем не упомянуть, что континуум-гипотеза не един-
ственная неразрешимая проблема. В следующей главе мы дадим определение машине
Тьюринга, а пока вспомним еще об одной неразрешимой задаче. Необходимо знать
заранее, прекратит данная машина Тьюринга свою работу или же она будет работать
бесконечно.
СЛОЖНАЯ ЛИЧНОСТЬ
Гёдель был экстраординарным человеком. Он отличался острым умом и глубокими знаниями,
а в повседневной жизни, особенно в последние годы, страдал от маний и паранойи. Он родился
в Чехословакии, подвергся преследованиям нацистов и эмигрировал в США. Понять, насколь-
ко сложным человеком он был, можно, узнав историю его смерти:
он боялся, что его отравят, и безоговорочно доверял только одному
человеку - своей жене. Когда ей потребовалась госпитализация, Гё-
дель предпочел умереть от голода в одиночестве, но не притронулся
к пище.
Курт Гёдель достаточно быстро получил широкую известность
благодаря своим работам по логике и теории множеств.
107
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Проблема № 3
Эта проблема заключается в следующем: нужно строго доказать, что два тетраэ-
дра равного основания и высоты, но разной формы имеют одинаковый объем. При
этом нельзя использовать аксиому Архимеда, характеризующую поле R: если а < b
na,b G R, то существует п такое, что па > Ь.
С тем, что Архимед — действительно автор этой аксиомы, согласны немногие.
Гильберт пытался найти два тетраэдра, обладающие указанными свойствами, такие,
что первый можно разрезать на конечное число равных частей и составить из них
второй. Макс Ден (1878—1952) в 1902 году доказал, что таких тетраэдров не су-
ществует.
Проблема № 4
В исходной формулировке Гильберта эта проблема звучит так: нужно перечислить
все метрики, для которых прямые линии будут геодезическими. К счастью для всех
авторов и читателей математической литературы, эта проблема слишком расплывчата
и требует уточнения. Ответа на вопрос, поставленный таким образом, не существует.
Проблема № 5
Насколько необходимо включить дифференцируемость в определение групп непре-
рывных преобразований, известных как группы Ли? Эта проблема имеет довольно
четкую формулировку, но также не имеет особого значения.
Открытия Джона фон Неймана (1903—1957), Эндрю Глизона (1921—2008),
Дина Монтгомери (1909—1992), Лео Циппина (1905—1995) и Хидехико Ямабе
(1923—1960) позволили доказать эту гипотезу.
Проблема № 6
Математическое изложение аксиом физики. Эта проблема частично была решена,
однако с появлением новых теорий (в частности, квантовой физики и теории отно-
сительности) она неожиданно усложнилась, чего во времена Гильберта никто не мог
предвидеть. Интерес к проблеме сохраняется, но сегодня она не является приори-
тетной.
108
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Проблема № 7
Рассмотрим выражение аь, где а — алгебраическое число (а * 0 и 1 из очевидных
соображений), b — иррациональное. Является ли аь трансцендентным? Эту проблему
практически одновременно и независимо друг от друга решили два специалиста по те-
ории чисел, Александр Гельфонд (1906—1968) и Теодор Шнайдер (1911—1988),
доказав теорему, которая сегодня называется теоремой Гельфонда — Шнайдера:
если а и b — комплексные числа, где а — алгебраическое, а b — иррациональное,
то любое значение аь будет трансцендентным. Слова «любое значение» предполагают
следующее: поскольку а и b — комплексные числа, аь — комплексная степень и, по-
добно многим комплексным степеням, допускает несколько решений.
Эта теорема в точности соответствует проблеме трансцендентности, предложен-
ной Гильбертом. В частности, следствием теоремы Гельфонда — Шнайдера явля-
ется трансцендентность 2^ или i', привлекавших большой интерес, и даже е”, что
можно доказать, применив теорему достаточно оригинальным способом.
Проблема № 8
Это гипотеза Римана — единственная из 23 проблем, которая была включена Ин-
ститутом Клэя в список так называемых задач тысячелетия. Мы поговорим о ней
в следующей главе.
Проблема № 9
Эта проблема заключается в том, чтобы найти наиболее общий закон взаимности
на поле алгебраических чисел. Закон взаимности, уходящий корнями в XIX век,
выполняется для символов Лежандра — , которые определяются так:
\PJ
f п А
—	=0 при п = 0 (modp),
\Pj	/
(и |
—	I = + 1 при и = 0 (mod р) и существует такое х, что х2 = п (mod р),
PJ
(1
—	= — 1 в остальных случаях.
{Pj
Далее следует множество полезных формул, среди которых мы выделим следу-
ющую:
109
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
если р и q — нечетные простые числа, то	j _ I £ |(_1) W
IpJ UJ
Эта теорема называется золотой теоремой со времен Гаусса, который очень интере-
совался подобными выражениями. Гаусс доказал:
для любых двух нечетных простых чисел р и q,
— q есть квадрат (mod р) <=> р есть квадрат (mod q) за исключением случаев,
когда оба этих числа имеют вид 4п — 1, — в этом случае
— q есть квадрат (mod р) <=> р не является квадратом (mod q).
Квадратичный закон взаимности, предложенный Гильбертом, был разработан
Эмилем Артином (1898—1962) в 1924—1930 годах. Артин в одиночку создал
крайне элегантную теорию, в которой простые числа заменены идеалами.
Проблема № 10
Требуется найти универсальный алгоритм решения любых диофантовых уравнений.
Этот вопрос можно назвать массовой задачей, так как ответ на него охватывает бес-
конечное множество случаев. Очевидно, что существуют диофантовы уравнения, для
которых известен алгоритм решения, однако в этой проблеме требуется определить,
существует ли универсальный алгоритм для всех диофантовых уравнений. В решение
этой проблемы внесли большой вклад Мартин Дэвис (род. в 1928 году), Джулия
Робинсон (1919—1985) и Хилари Патнем (род. в 1926 году), а последний, самый
важный этап решения выполнил в 1970 году русский вундеркинд Юрий Матиясевич
(род. в 1947 году). При этом важным элементом рассуждений Матиясевича стало
диофантово уравнение, в котором фигурировали числа Фибоначчи. Примечательно,
что заключение Матиясевича («Любое рекурсивно перечислимое множество является
диофантовым») эквивалентно теореме Гёделя о неполноте.
Проблема № 11
В этой проблеме рассматриваются квадратичные формы с алгебраическими коэффи-
циентами. Чтобы читатель понял, о чем идет речь, укажем, что квадратичная форма
Q (хг х2, ..., хп) от п переменных на множестве R (наиболее распространенный
случай) — это многочлен второй степени
110
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
....л«)-Х\л.л,'
>.J=I
где а.. Е R. Хотя квадратичные формы на полях R и С широко изучены, нужно
провести их анализ на поле Q и, например, на полях р-адических чисел QL Рас-
смотрением недостающих случаев занимались немецкие математики Хельмут Хассе
(1898-1979) И Карл Зигель (1896-1981).
Проблема № 12
По-видимому, мечты детства для Леопольда Кронекера (1823—1891) были связаны
с абелевыми расширениями, квадратичными полями комплексных чисел, алгебраи-
ческими числами, расширениями полей, круговыми полями и другими алгебраиче-
скими чудовищами, несколько далекими от реальности. Гильберт, пусть и не совсем
четко, обобщил эти понятия в проблеме под номером 12 и предложил ее будущим
поколениям математиков. В 1886 году была сформулирована теорема Кронекера —
Вебера, в которой говорилось об абелевых расширениях поля рациональных чисел Q
как о подполях кругового поля (то есть поля корней из единицы), и Кронекер, по-
ОРИГИНАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК
Леопольд Кронекер был, по нашим меркам, оригинальным математиком, профессионалом высо-
чайшего уровня, который внес большой вклад в науку. Однако его также считали излишне мелоч-
ным и непреклонным в своих убеждениях; а еще он совершенно не желал рассматривать области
знаний, которые не поддавались интуиции. Известна его фраза: «Бог
создал целые числа, все остальное - дело рук человека».
Неудивительно, что Кронекер был противником идей Кантора и его
последователей.
Сегодня имя Леопольда Кронекера связывают
с различными математическими теоремами,
среди которых выделяется теорема Кронекера — Вебера.
111
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
видимому, мечтал расширить эту теорему на произвольное поле К. Именно в этом
и заключалась суть проблемы.
Сегодня полностью удовлетворительное решение этой задачи неизвестно.
Проблема № 13
Известно, что любое уравнение пятой степени и выше неразрешимо в радикалах.
Гильберт поставил вопрос: можно ли найти общее решение уравнений седьмой сте-
пени с помощью функций двух переменных? Если формулировка проблемы кажется
не совсем понятной, попытаемся прояснить ее.
Во-первых, неясно, существуют ли в самом деле функции от трех переменных.
Обычно приводят простой пример: функция суммы /(х, у, z) = х + у + z очень
просто сводится к композиции функций двух переменных: /(х, у, z) = х + (у + z).
Гильберту было известно, что уравнения пятой и шестой степени можно упро-
стить, поэтому он заострил внимание на уравнении седьмой степени, приводимом
в несократимом виде:
х7 + ах3 + Рх2 + %х + 1 = О
с тремя переменными ОС, Р и %. Решением должна быть непрерывная функция этих
трех переменных. Можно ли упростить ее и получить решение в виде функции двух
переменных?
Если бы кто-то доказал, что любая непрерывная функция трех переменных сво-
дится к композиции конечного числа непрерывных функций двух переменных, то во-
прос был бы закрыт. Однако тринадцатая проблема Гильберта представляет собой
более частный случай. В 1957 году это утверждение доказали Андрей Колмогоров
(1903—1987) и Владимир Арнольд (1937—2010) в рамках более широкого утверж-
дения: любую непрерывную функцию нескольких переменных можно представить
в виде композиции конечного числа функций двух переменных.
Некоторые отмечают, что Гильберт говорил не о непрерывных, а об алгебраиче-
ских функциях (то есть о многочленах, коэффициентами которых также являются
многочлены), следовательно, тринадцатая проблема Гильберта все еще не решена.
112
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Проблема № 14
Проблема № 14 относится к теории инвариантов. Ее можно описать следующим
образом. Для данного набора замен переменных G на многочленах от п переменных
рассмотрим семейство многочленов S, которые останутся неизменными, если при-
менить к ним любой элемент С. Можно ли построить S, взяв за основу конечное
число фундаментальных инвариантных многочленов? Ко всеобщему удивлению, ответ
на этот вопрос не всегда положительный, что в 1958 году доказал видный японский
математик Масаёши Нагата (1927-2008).
Проблема № 15
Так называемое исчисление Шуберта находится на стыке комбинаторики и алгебра-
ической геометрии. Изучение этой дисциплины — неблагодарный труд, требующий
больших умственных усилий. Некоторые ученые полагают, что исчисление Шуберта
требует в три раза больше знании и времени по сравнению с другими дисциплинами.
Основы этого исчисления заложил немецкий математик Герман Цезарь Ганнибал
Шуберт (1848—1911). Созданная им дисциплина представляет собой не более чем
описание умножения на кольце когомологий. К сожалению, наше описание напоми-
нает характеристику, которую Джованни Папини дал «Одиссее»: «Беспорядочные
и нескончаемые странствия несчастного идиота, который не помнит, где его дом».
Теория, легшая в основу исчисления Шуберта, была недостаточно разработанной,
и это удалось устранить лишь в середине XX века.
Суть пятнадцатой проблемы Гильберта заключалась в формировании фундамента
исчисления Шуберта, поэтому проблему можно считать решенной лишь частично.
Вопросы, относящиеся к самой этой дисциплине, ясны, однако очень сложны. Что
касается исчислительной геометрии, лежащей в основе исчисления Шуберта, то в ней
осталось еще много нерешенных вопросов.
Проблема № 16
В исходной формулировке Гильберта эта проблема делится на две части. Гильберт упо-
мянул реальные объекты, например овалы, порожденные определенными веществен-
ными алгебраическими кривыми (в проективном пространстве), и так называемые
ИЗ
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
циклы Пуанкаре определенных векторных полей на плоскости, однако он изложил
проблему весьма расплывчато, и многие полагают, что она сводится к изучению топо-
логии вещественных алгебраических кривых и поверхностей. Шестнадцатая проблема
Гильберта слишком широка, так что вряд ли она будет решена в обозримом будущем.
Считается, что в строгой трактовке обе части проблемы близки к решению. Воз-
можно, решения уже найдены, но пока не прошли проверку.
Проблема № 17
Рациональная функция / — это дробь, числителем и знаменателем которой являются
многочлены с рациональными коэффициентами:
Рациональные функции определяют поле. Если присвоить аргументам х}, х2, ..., х„
некоторые значения (за исключением тех, при которых знаменатель обращается
в ноль), /(хр х2, ..., хп) принимает некое положительное или отрицательное значе-
ние. В ряде случаев все возможные значения f(x}, х2, ..., хп) положительны. Гиль-
берт задался естественным вопросом: можно ли при таком условии представить /(хг
х2, ..., хп) в виде суммы квадратов рациональных функций?
Лагранж доказал, что любое натуральное число п можно представить в виде сум-
мы не более чем четырех квадратов, которые могут повторяться. Гильберт в неко-
тором смысле хотел обобщить результат Лагранжа на поле рациональных функций.
Этой проблеме повезло больше всех: уже в 1927 году блестящий математик Эмиль
Артин привел ее решение всего на пятнадцати страницах.
Артина не слишком волновало, конструктивно ли его доказательство — он до-
казал истинность требуемого утверждения и остановился на этом. Он не описал, как
можно представить произвольные функции в виде суммы квадратов, и не рассмо-
трел вопрос о том, сколькими способами это можно сделать. Прошло много лет, пре-
жде чем Чарльз Нил Делзелл из Университета Луизианы нашел строгий конструк-
тивный алгоритм. До сих пор неизвестно, сколько квадратов рациональных функ-
ций необходимо, чтобы представить произвольную рациональную функцию в виде
их суммы. Известно лишь, что это число меньше 2П, где п — число переменных.
114
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Проблема № 18
Проблема № 18 в списке Гильберта состоит из трех частей. В ней объединены во-
просы, которые казались Гильберту связанными, однако в действительности они до-
статочно далеки друг от друга.
Первая часть звучит так: известно, что на плоскости существует семнадцать
групп симметрии — это независимо друг от друга доказали Евграф Федоров
(1853—1919) и Дьёрдь Пойа (1887—1985). Также известно, что в трехмерном про-
странстве число групп симметрии составляет 230 — этот вопрос решили специали-
сты по кристаллографии. Возможно, первым это число получил Федоров. Решения
ожидала задача о числе групп симметрии в n-мерном пространстве.
Ответ на вопрос нашел Людвиг Бибербах (1886—1982) в статье Uber die
Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume («О группах движений в евклидовом
пространстве»), опубликованной в 1911 году. Число групп симметрии в п-мерном
пространстве конечно для любого п. Для п = 4 число кристаллографических групп
равно 4895 (результат получен при помощи компьютера), для п = 6 их число равно
уже 28934974. Точные значения для многих других п неизвестны, так как пока
не найдено какой-либо универсальной формулы для вычисления. Как мы уже гово-
рили, Бибербах симпатизировал нацистам, верил в превосходство «немецкой науки»
над всеми остальными науками, и после Второй мировой войны ему совершенно
справедливо было запрещено преподавать в Германии.
Вторая часть задачи звучит так: известно, что существуют многогранники, ко-
торыми можно заполнить пространство, при этом всегда можно выделить базовый
элемент заполнения и переместить его (не используя повороты или любые виды сим-
метрии) так, что он совпадет с таким же многогранником, расположенным в другой
части пространства, при этом заполнение по-прежнему будет корректным. Такое
заполнение называется регулярным. Нерегулярное заполнение не обладает этим
свойством. Чтобы понять различие между регулярным и нерегулярным заполнени-
ем, необходимо обратиться к понятию орбиты элемента. Может случиться так, что
при выделении базового элемента заполнения и его переносе этот элемент и его ор-
бита совпадут с другими идентичными элементами заполнения, однако для осталь-
ных элементов, не лежащих на орбите, подобные совпадения наблюдаться не будут.
Вопрос Гильберта звучал так: существует ли нерегулярное заполнение трехмерного
пространства? Несомненно, он ожидал, что ответ будет отрицательным.
115
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Карл Рейнхардт (1895—1941) в 1928 году в статье Zur Zerlegung der euklidischen
Raume in kongruente Polytope («Деление евклидова пространства на конгруэнтные
политопы») описал многогранник в трехмерном пространстве, который удовлетво-
рял требованиям Гильберта, но в совершенно противоположном смысле. Более того,
Рейнхардт предсказал, что существует нерегулярное замощение двумерного про-
странства. Оно было обнаружено в 1935 году, когда Генрих Хееш (1906—1995)
получил замощение плоскости, представленное на рисунке.
Третья часть проблемы является, возможно, самой интересной. В ней идет речь
о задаче Кеплера об упаковке сфер, о которой мы упоминали выше. Эта задача была
решена в XXI веке.
Проблема № 19
Гильберт хотел знать, всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа
являются аналитическими. Этот достаточно технический вопрос охотно рассматрива-
ли специалисты. Уже в 1904 году русский математик Сергей Натанович Бернштейн
(1880—1968) дал положительный ответ, однако ввел некоторые начальные усло-
вия, которые казались несущественными. В действительности их важность оказа-
лась недооцененной, и 19-я проблема Гильберта была окончательно решена лишь
в 1956 году итальянским математиком Эннио де Джиорджи (1928—1996).
Проблема № 20
Вариационное исчисление — важная часть анализа, но не исчисления в строгом смыс-
ле этого слова. Суть вариационного исчисления заключается в изучении не самих
116
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
МАТЕМАТИКА С ПОСЛЕДСТВИЯМИ ДЛЯ ЛИЧНОСТИ
Эннио де Джиорджи был человеком интересной судьбы, который «сделал себя сам». Он был очень
религиозным, избегал любых конфликтов и был видным членом неправительственной организа-
ции «Международная амнистия». Однако именно он по воле рока привел гениального математика
и нобелевского лауреата Джона Форбса Нэша (род. в 1928 году) на грань отчаяния и сумасше-
ствия. Нэш, как и де Джиорджи, занимался решением 19-й проблемы Гильберта, но опоздал
на несколько месяцев. Сегодня можно сказать, что де Джиорджи представил первое полное до-
казательство, Нэш - более элегантное. Как бы то ни было, в 1959 году Нэш был госпитализирован
с диагнозом «параноидная шизофрения».
.«««.Лййй TuttoScx ze III
1 gci li rovinati dalla stessa idea
La storfa. I hnio 1 k- (iiprvi risolw* * рш primo un	enigma mau-malieo. hatlwido il fuiurn \obel John Narfi
Ma il pnnitx it aisnxi deHaceadrmia italkuiagli imperii dioiiK|uMiirela<.vldirila.ln un libivlasnaavvvnlunt
МШ1ГХМЫ
PlWMtlo «lu* fnn) fWjMi
*ara b at мм idea qoari m-
gU K««al KNMtMtirti irut »o
•patUra мпо daflihrv • pol
iuuctranu dl atugfita, Ata
Mte roita. * non rtuacir* a
rarenartaril b pared*
«1м mortal I kr ieb*rit* lrh«
aqiMKhm Aa 11 ham» utdli
par aarnprv nairoitapti «Ы
iMtoaialiciT
Orta dwt * poodW* A
Tr*6U> ua prcfMMTv Л
aaud rile un gbrnu riCae-
diitoiiitnaanatatoahaefr-
lyrirha. МГ aoi
che mkImibo a сомгошха Io
fcomrtno drib apma, none
•41*01 Hi Aiama Mario Mi-
read* a la «гам coppb
JAn F. Nmb • «.“ai Da
fihqd, rah а dlra It O**k»
Яст» U llaaki Ifiwwato
I рлпм g*nk>, a 7» aanK
M goer la duppta coodUmne
dl eriebrti ala tra I cdiatfil
ria Ua la gwrta* 1 nuo ma*-
•toradtapawM * Ae fl Na
•ABm«Alftil ЫЫ. mi Tab-
Ы* fctto dhtantan rl««ia>
me rhi ГИа Ькфлгаоамц Гм
fledlM-rr Kumrii Спим. H
Ыяагпа cotnunW dri mart*-
matri, recta ua ifieoor Naa-
•«no tra h trih  e4a mac»
rlufiiw enrecamantc ама!
«Ж мкм, raHatoril«,M*a*ii.
Admao M HU» («Eaaio
Da Giorgi UMlMiatKo r tUo-
• To*, acriuo da Lupi Ao
bracks Marco Pwti. Anto-
nto Marino* Наг*1оЯр«**№
Io p*r la EdmnniETS a la b-
brerb Ш аииша«м • un «F
«bo <Ш aurrcah iaooairo dl
U aani Г» (curctu da Mira»-
daaaod. al axxMnto.poehi
brtunetj
ao) putrriibern laeriiur* 1
rflrmkx E’ Io «мао ch* ha a
ba*n t*ci|Mutaito De ffloefi
♦ Naafc aleioru мйМгаэ* cu-
rioeanimtr paraUri* unpra-
guava Гalmadbra «Ma «rtau-
a a Ptaa, d-м, dricaoa К
to, ok praducm -uraiul*
anaa mm lore area* реею di
carta a unprigtuumk la manta
•riUariraoira driTritro, alia
derKa tra la cBrnra paidtbtri
va aPrinratoa
E anebe nriio rtnrirn fior-
u,i«M mane- **в1’1мап(мша)
dal аЛмаЬ (ЬмЗмА рагиаем-
пмпМа. Miranda k> rirorda CO-
й. «Ютим! m1 mMtro noudo
51 incontrarono »olo
du* volte wnu rtusdr*
• MCCoHUrsi bhro
rtreot dbert» krtukhnl
«rMUintnaidarad durgrandic
гим vl guard* ranoquavk Nri
•0 w*nutl<M ridacnoa altnv
va м fatMW in cut Ennl» a
Jdui kacrodno *1i iguartL «
hboatna b roavarauiona
A* avmhbafatU) la Ын-М аГ
Поим dal reporter a qurila di
hagk durtta d«gti uiorieL
II Web
8е<пЫ-ам> arasai. mantra
laariano brtemmarr A one
mirro-'jritdiaijra di prof » Mib
«hr«L appurr due tram
№пЛкЫ(»ыЫЙм rtMiano
n«i prime II амаа roadotU alb
aiaarn awantura iutcUrttuab
«Е periootnao noa andcra a oacA D* йкгц! a motto шо^
taadt ddlf «мм», dtav NaA.
<F ahagliato pariare aA>
3uarwk> al aa сА il rimltatit»,
г.'сшгам-Д
Ataijoti ponflo era aiidala
b prttna *o»a. *4 HJ64- ail'aii-
tario «Courant Inuiute» dl
Naw Yorii Da Oiorgt. «мрка
•ресЫ*. аЪЬмаб quakbe ph-
nda la nglMa par аггммЬгш
auMuaJla Йп*м mmW ma»-
tr* Nmmi ri e ' nftaae tra il pub-
Ыкп а, ЯШ «Ы1а mabttia,
prubaJMlmcMe mat riuari a
cifrar* b aatura daib atratia
ptaartiaa: I'ltaJlino m
ch* - рама«а 1ш - gjt avava Im-
podtt,» di vinccra U Nobai «tat
~ймш1сЕ ta Mwfc^lte FA-
da, u un aa ataaau prewenkrtiLe
«b ua ahra dtawsWorta?
1 7 Urrcgatwo >o aebtae
m* 1ММ, quaudo alb tu«u<tMi
<t*|i Nobri par ГсгопошЬ Dn
Laiki c «TMMi Uitdi dhnru, ra-
It a dir* л Tautbdm Gkxhij
em> Гваьеакиа ft*aar p« tnbb>
U: «Ha nqgrlurtto la wUt pri-
madl me». Era wro, «neba a*
al era mrazubz prtsia dl ыа-
mrtirrlo. De Gkt#< hm»
hattiitu aul tempo nri IK5. Dii-
rwrt. um paaaegfiate «die
Dukitufceoo ш> akroprtrf, Ou|-
do Htantpaccbia, d baciO etrt
turara tiai тщаАпеf!to dM
Fkwimeflte r»t i 9M
I'americano fe onori:
«€* hi dw h* ng fllunto
la witar prim* dime»
maaetro Ji rbolm* u« c«l«^
Vt* *n|gma twUMMlbco, Ж
•XIX ргоЫмпа £ Hilbert*. La
dl due ataal agpuaritA la
acfcitioM rba befbn tutti
tmaao aacato * La preaeati al
Cwragno di Maia«i«ie* di
Favh. InerediMtt&Mta^ eoa
acarto mwaaao (id art Л nut>
w materiaJlmato .JteaatMd-
mniWailaniM).
N*ru, iulnflto, ми» «x*ma-
1ше ch* com awaalaae in
tuHa lavorava alo аСамо pn>
Umu, «friflUt »orir Im da ш
тмим, гЫ а. гйимп
Lou* Nhanbtug, e be* puidi
tare h ш »olaji ur aak> tri
iflfiA Era раиийл! un auoo d»-
ramauiMM utftrbie <H DeQk*-
jri, ooacaaaagti fiaabMwt* a ua
Ucotov* con*a*»> *ITAr*»d*-
Lafornxifodal’unoe
del'akro sono reccolt»
In un unkoteoiwm-
*Afv*c*zloiMunonniM
mb ddh ackanaa di Torino,
жм fl rtiardo er» sutu bub.
Par l‘u*o a Mtriw per futtro.
L*tnr:*M4Mdani maligRe; А»
««Mitj&wva a tMurii Mripruoa-
mat** nKWurtt, era <»iu Ы1»
шгаШосЬЕфпогааха A
Wdi Da GW • da wadh-
m rtvalt* areadamicbeiUlia-
№ « friTara prtrlaienMt «га
fraqparau* the *H atudioal da
nuawri «I iw»«rj tina crinifiii»
a* da MMgaiod itditari.
Cott una abaMtua tampo-
rah fora aalurw i'appuntaman-
U cou b ftorw. «Naah avrah
ba vb«o il Notri roa equaitaa
di lutt aKrv Про a Da Gkuvl il
РгмпЬ> Writ iBvaaujadn nir-
mul* antora dbwaa*, ирЬр
Ifruihla, tun,aaSprituoitpta
tb ПжмШаМГйЦ, fl HBwvndo
iku> а* м i*»rft uul 4ri tuttu
A uuirli c't part una creator»
bLthMile batiMUta Teorema
D* Takugi'NMh- dalinea par-
rortidtfbranti (aquanloni aillt
btij* ad aqmuuoel paralriL
Aa], the BMtgVamMU eutkdu-
cmki alb «aa«<i rbultato, «v
KMgli <tM.vh «trahinaddi Ea
du a Juits nd porno < Jri *ML
Poi, quaedo AhdHa a im шг
шспаИеаосюм Amtiroaks ri«tt
rt cbeir* hdoaauhnhci Г«>
UMtradu d quefia rwda da De
GloraS, сои immactM appim»-
rioai eke a'i coeuceiatw, aid цс
prauare жА, XJU aatoao
MtnptAar per kderpraUrit lo
ack«fhMwto<№gbbctbL
В этой статье из итальянской газеты «Ла Стампа» говорится о книге «Слова улетают, написанное
остается», посвященной де Джиорджи. В ней подробно описаны отношения итальянского
математика с Джоном Форбсом Нэшем, а также интриги, которые помешали ему обрести
заслуженную славу после решения 19-й проблемы Гильберта.
117
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
функций, а более широкого понятия — функционалов, то есть функций от функций.
В простых типичных задачах вариационного исчисления используются интегралы
следующего вида:
f F(/(x),/'(x),x)Jx.
J а
Это интеграл функции от другой функции (или функций) и ее производной (или про-
изводных). Функция в общем случае может быть функцией нескольких переменных,
а прои вводные — частными. В задачах вариационного исчисления требуется найти
максимальное или минимальное значение подобных интегралов либо определить их
экстремумы и множества критических точек.
С древних времен, когда была сформулирована задача о брахистохроне, вариаци-
онное исчисление сделало огромный шаг вперед. Во времена Гильберта вариацион-
ным исчислением интересовались многие, и он коснулся частной темы вариационного
исчисления, посвященной граничным условиям. Когда на функцию / накладывается
ограничение, согласно которому ее график должен располагаться на определенной
поверхности или ее производная (точнее, вектор-производная) должна обладать
определенными свойствами, речь идет об установлении граничных условий. Так на-
зываемые граничные условия Дирихле, Неймана и Робина широко известны специ-
алистам в области анализа.
При выполнении этих граничных условий искомая функция является аналитиче-
ской. Гильберт поставил следующий вопрос: все ли вариационные задачи при опре-
делении разумных граничных условий будут иметь решение?
Так как вариационное исчисление стало одним из самых популярных разделов
математики XX века, благодаря усилиям множества ученых на вопрос Гильберта
был дан положительный ответ.
Проблема № 21
Монодромия — это метод анализа, который заключается в окружении особенно-
стей рациональной функции (особенностями называются точки, в которых значение
функции стремится к бесконечности) кривыми, которые загадочным с точки зрения
математики образом описывают особенности функции. Рассмотрим реальный пример
и попробуем решить дифференциальное уравнение (или систему дифференциальных
уравнений) следующего вида:
118
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
'A d"Y
У Р(х)~’
ах"
где Р — полиномиальные функции, имеющие одну или несколько критических точек.
Предположим, что мы обходим критическую точку по окружающему ее пути. Таким
образом мы получим группы матриц среди решений, которые будут группами моно-
дромии. Как видите, все это не содержит никаких сложностей.
Гильберт, ознакомившись с работами Римана, задался вопросом: соответству-
ет ли любой группе монодромии дифференциальное уравнение или система диффе-
ренциальных уравнений. В теории положительный ответ на этот вопрос дал словен-
ский математик Иосип Племель (1873—1967) в 1907 году, однако в его доказа-
тельстве обнаружилась ошибка (Гильберт сформулировал проблему недостаточно
четко), и в 1980-е годы проблему пришлось пересмотреть. В 1989 году российский
математик Андрей Болибрух (1950—2003) построил контрпример и опроверг тео-
рию, описывающую эту проблему. Проблему № 21 можно считать решенной в за-
висимости от того, какие случаи рассматриваются. В ее решении используются так
называемые фуксовы функции, названные в честь Лазаря Фукса (1833—1902),
ученика Феликса Клейна.
Проблема № 22
Проблему № 21 можно в некотором роде считать общим случаем проблемы № 22,
но рано вздыхать с облегчением. В проблеме № 22 идет речь об униформизации —
вопросе, относящемся к математическому анализу. Дадим не вполне строгое объ-
яснение этого понятия. Рассмотрим в качестве примера окружность на плоскости.
Ее уравнение записывается как х2 + у2 — 1. Центр этой окружности расположен
в точке (0, 0), радиус окружности равен единице. Это уравнение можно записать
параметрически с помощью тригонометрических функций. Координаты точек окруж-
ности при этом будут иметь вид (cos ОС, sin Ol) для Ct G [0, 2п]. Уравнение окружности
также можно записать в более элегантном виде с помощью рациональных функций:
2Х Х2-Г
Д+Х2 X + 1?
где Z, Е R.
119
ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Выражение такого типа называется униформизацией вещественной окружности.
Униформизация также выполнима на множестве комплексных чисел С. Пуанкаре
доказал, что униформизация выполнима для функций, в которых зависимость меж-
ду переменными выражается алгебраически. Гильберт задался вопросом, будет ли
это утверждение справедливо всегда, то есть как для алгебраических, так и для дру-
гих зависимостей.
Проблему № 22 в 1909 году теоретически решили Пауль Кёбе (1882—1945)
и Анри Пуанкаре, дав на вопрос Гильбета положительный ответ.
Проблема № 23
Если вы добрались до последней, двадцать третьей проблемы в этом списке, то будете
рады услышать, что ее формулировка столь расплывчата (и столь амбициозна), что
ее нельзя считать проблемой в полном смысле слова. Формулировка проблемы под
номером 23 очень объемна, и ее смысл сводится к развитию вариационного исчисле-
ния в будущем. Так как эта проблема является не научной, а скорее прогнозной, она
обычно не рассматривается.
120
Глава 5
Задачи тысячелетия
Правильная постановка задачи даже важнее,
чем ее решение.
Альберт Эйнштейн
В XXI веке математика достигла удивительного уровня развития. Ежегодно в специ-
ализированных журналах публикуются десятки тысяч статей. Существует множество
стимулов заниматься математикой: это и хорошо оплачиваемые должности, и денеж-
ные премии, и престиж профессии. Не так давно одна из британских компаний —
производителей автомобилей оплатила математическое исследование, посвященное
траектории парковки автомобиля.
Словом, математика находится в самом расцвете сил. Математики XXI века
работают с самыми разными задачами, им нужно найти ответы на множество во-
просов. При этом достигнут определенный консенсус относительно того, какие во-
просы следует считать фундаментальными, то есть их решение будет способствовать
развитию всей математики в целом и прольет свет на многие ее тайны. Естественно,
наука при этом может пойти неожиданным путем, но прогресс в любом случае будет
заметен.
Классификацией подобных фундаментальных вопросов и стимулированием их
решения занимается Институт Клэя. В 1998 году американский миллионер и фи-
лантроп Лэндон Клэй при поддержке супруги Лавинии и гарвардского профессора
Артура Яффе (род. в 1937 году) основал Математический институт Клэя в городе
Кембридж, штат Массачусетс. Клэй пожертвовал институту достаточно средств
на множество исследовательских программ и учреждение крупных премий, среди
которых — семь премий по миллиону долларов. Они будут присуждены тем, кто ре-
шит одну из так называемых задач тысячелетия, выбранных экспертной комиссией.
Этот круг вопросов уже не отражает предпочтения какого-то конкретного ученого,
как это было при формулировке Гильбертом 23 проблем. Семь задач, выбранных
121
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
институтом, подобны семи чудесам света в мире чистого знания. Эти задачи — луч-
шие из лучших.
В л Grмп (UmwrMly al CMnfat«dg«l CMt)	Prim* ЧимЬага
AKlhiy Venklteeh (Cowrit latftut*) Mimg Square Kunhtta
» LNfVIKSITY ОГ
О CAMBRIDGE
Афиша одного из многочисленных мероприятий, организованных Институтом Клэя.
Спустя некоторое время после того, как были обнародованы задачи тысячелетия,
российский математик Григорий Перельман (род. в 1966 году) опубликовал реше-
ние первой задачи — доказательство гипотезы Пуанкаре. Математический мир ох-
ватила досада: столько сил потрачено на определение задач тысячелетия, неужели
все они будут решены через несколько лет, в течение нынешнего столетия? Но если
так и произойдет, то всем от этого будет только лучше. Наши правнуки определят
свой список задач, над которыми будут ломать головы математики будущего.
Досадовали и те, кому пришлось объяснять непосвященным смысл семи задач
тысячелетия: более или менее простым языком можно выразить лишь некоторые
из них. Современный математический язык очень сложен и информативен, поэтому
любое высказывание на нем несет большой груз накопленных знаний, и многие во-
122
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
просы, записанные всего несколькими символами, в действительности очень сложны,
порой совершенно непостижимы для неспециалистов. Подведем итог: чтобы понять
некоторые задачи тысячелетия, не говоря уже о том, чтобы объяснить их, требуется
знание современного математического языка.
Ри/VP
Решить задачу не то же самое, что проверить возможное решение, и порой эта раз-
ница весьма существенна. Рассмотрим, например, школьную задачу по составлению
расписания, для которой часто не удается найти оптимальное решение. В расписании
нужно учесть свободное время всех преподавателей, их пожелания и постараться
всем угодить. При этом если составителю расписания придется попотеть, то проверка
корректности решения не составит никакого труда.
Приведем более математический пример: путь в графе называется гамильтоно-
вым, если он проходит через все вершины графа только один раз. Например, если
рассмотреть платоновы тела как графы, то все они будут гамильтоновыми.
Гамильтоновы пути в платоновых телах.
Под каждым многогранником изображен эквивалентный ему граф,
ниже — гамильтонов путь в этом графе.
123
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Задача о поиске гамильтонова пути в произвольном графе (более сложном, чем
предыдущие) может оказаться непосильной. Но если мы найдем такой путь, то про-
верить, действительно ли он является гамильтоновым, можно мгновенно.
Первая задача тысячелетия формулируется просто: можно ли решить в разумное
время задачи, решения которых можно проверить в разумное время? Выберите про-
извольное число и его предполагаемый делитель. Будет ли остаток от деления этого
числа на делитель равен нулю? Ответить на этот вопрос можно мгновенно, разделив
одно число на другое. Однако поиск делителя — совершенно другое дело. Если ис-
ходное число равно произведению неизвестных огромных простых чисел, то найти
их будет очень трудно (на этом основаны современные алгоритмы шифрования с от-
крытым ключом), и на решение задачи уйдет целая вечность.
Обозначим через Р множество задач, решаемых в разумное время, через NP —
множество задач, решения которых можно проверить за разумное время. Задача
о классах Р и NP звучит так: равны ли классы Р и NP?
Р = NP?
Впервые этот вопрос поставил Стивен Кук в 1971 году.
Далее, говоря о задачах, мы будем иметь в виду задачи выбора «да — нет». Нас
интересует ответ на следующий вопрос: если ответ задачи «да» и это нетрудно про-
верить, то можно ли так же легко найти этот ответ? Именно в этом заключается суть
задачи о равенстве классов Р и NP.
Р — первая буква слова «полиномиальный», к классу Р относятся задачи, раз-
решимые за полиномиальное время, то есть за нормальное время, постижимое че-
ловеком. Точнее, время решения таких задач является полиномиальной функцией
от объема входных данных.
Когда мы говорим о функциях, мы знаем, что они возрастают с разной скоро-
стью. Можно использовать следующие неравенства:
М П < П <	< (1" < п';.
В общем случае логарифмическая функция возрастает медленнее линейной, та,
в свою очередь, медленнее полиномиальной, та — медленнее экспоненциальной,
а та — медленнее экспоненциально-степенной. Изобразив графики этих функций
на координатной плоскости, мы увидим, как быстро они возрастают.
124
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Полиномиальное время означает, что время решения задачи не возрастает
несоразмерно росту объема входных данных L Время решения задачи имеет поря-
док ta — степень от времени с фиксированным показателем, но не более.
Теперь рассмотрим класс NP. Сразу же укажем, что NP означает не «не по-
линомиальный», а «недетерминированный полиномиальный». Это понятие требует
подробного объяснения.
Начнем с машины Тьюринга, которая, на первый взгляд, не совсем относится
к нашей задаче. Предположим, что у нас есть вычислительная машина, на кото-
рой можно производить любые вычисления. Они будут детерминированными в том
смысле, что будут подчиняться принятому нами решению произвести некоторую по-
следовательность вычислений. Английский математик Алан Тьюринг (1912—1954)
изобрел математические машины, представлявшие собой разновидность идеализи-
рованного представления вычислительной машины. Может показаться, что опи-
санные им машины не слишком сообразительны и медленно работают, однако с их
помощью можно выполнить все возможные арифметические вычисления. Впрочем,
о машинах Тьюринга далее мы поговорим отдельно. Компьютеры могут быть меха-
ническими, электрическими, электронными, в будущем, возможно, станут кванто-
выми, но все они — машины Тьюринга.
125
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
О жизни и смерти Алана Тьюринга можно написать приключенческий роман.
Он был блестящим математиком и создателем машин, носящих его имя,
героем Второй мировой войны, прославился успехами в криптографии во время работы
в легендарной лаборатории в Блетчли-парке.
Таким образом, задача относится к классу Р, когда существует детерминирован-
ная машина Тьюринга, способная решить эту задачу за полиномиальное время.
Проясним смысл понятий «детерминированный» и «недетерминированный».
Решение задачи можно получить с помощью компьютера — детерминированной
машины, но мы можем найти его и в результате недетерминированного процесса,
то есть случайно, после долгих поисков или в момент озарения. Разумеется, мы всег-
да можем проверить правильность решения, как бы оно ни было найдено.
Класс NP образуют задачи, возможные решения которых (детерминированные
либо нет) можно проверить за полиномиальное время при наличии необходимой ин-
формации. Задача относится к классу NP, когда любое ее предполагаемое решение
нетрудно проверить за полиномиальное время. Например, задача о сборке паззла
может относиться к классу NP. Если паззл состоит из большого числа различных
частей, на его складывание может уйти целая вечность, но как только паззл будет
сложен, нетрудно показать, что его элементы действительно образуют часть замо-
щения плоскости без наложений и промежутков.
Обратите внимание, что Р С NP, так как если задачу можно решить за поли-
номиальное время, то для проверки решения, разумеется, также потребуется по-
126
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
ИДЕАЛЬНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА
Машина Тьюринга подобна математическому скелету компьютера. Она состоит из бесконечной
(либо конечной) ленты, разделенной на ячейки, в которых написаны начальные символы; устрой-
ства чтения-записи, которое считывает символы на ленте, записывает символы в ячейку, а затем
смещается вправо или влево; и программы или таблицы конечного размера, которая определяет,
какие символы следует записывать на ленту, а также задает текущее состояние машины. Кроме
того, машина Тьюринга содержит хранилище возможных состояний.
Как правило, машина Тьюринга работает с нулями и единицами, однако допускается исполь-
зование любых других знаков. Она моделирует любые вычислительные действия и при наличии
вспомогательных элементов способна смоделировать работу любого вычислительного устройства,
которое только можно представить.
(Состояние, СИМВОЛ)	(Состояние, символ, направление)
(1,““)	(1, “ “, вперед)
(1/1”)	(1, “1”, вперед)
(1,"-")	(1, вперед)
(1,“=”)	(2 , “ “, назад)
(2, “1”)	(3, назад)
(2,“-”)	(СТОП, “ “, назад)
(3, “1”)	(3, “1”, назад)
(3,“-”)	(4, назад)
(4, “ “)	(4, “ назад)
(4, “1”)	(1, “ вперед)
Это пример элементарной машины
Тьюринга, способной выполнять вы-
читание. Таблица описывает машину,
справа изображено пошаговое выпол-
нение этой машиной команд. Результа-
том является Bcei о лишь разность 4-2.
Шаг15|ТЦ1| I hFTTJT
из
Шаг 17 P h ИI Г-Н I 111
Шаг 14ГчГч i 7КТГП
Можно сказать, что машина Тьюринга - это вычислительное устройство, не испытывающее
проблем с памятью.
линомиальное время: чтобы проверить решение, достаточно решить задачу заново.
Сложность возникает тогда, когда мы хотим определить равенство классов Р и NP.
127
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Дальнейшее изложение достаточно сложно, поэтому проиллюстрируем его диа-
граммой.
Множество проблем не-Р (оно не является множеством NP), то есть допол-
нение множества Р, содержит задачи, которые не входят в Р. Их решения можно
найти с помощью алгоритмов, работающих неполиномиальное время, то есть очень
долго. Определить все задачи множества не-Р — труд, достойный уважения. Для
каждой из них потребовалось бы рассмотреть все возможные алгоритмы решения
и подтвердить, что ни один из них не выполняется за полиномиальное время. Если
множеству Р принадлежат простые задачи, то чтобы определить, что некая задача
относится к множеству не-Р, нужно доказать, что она является сложной в любых
обстоятельствах.
Здесь мы рассматриваем только ту часть множества NP, которая частично со-
впадает с не-Р. В результате длительных исследований было выделено множество
задач NP, обладающих любопытным свойством: если одну из них удастся решить
за полиномиальное время, то при правильном алгоритме все задачи класса NP также
можно решить за полиномиальное время. Это подмножество NP называется /VP-
полным.
Известно множество /VP-полных задач (например, известная игра «Сапер»), но,
к сожалению, ни для одной из них не найден алгоритм, позволяющий решить ее
за полиномиальное время. Все NP-полные задачи являются NP-трудными, и как
подойти к их решению — неизвестно. Множество NP-полных задач определяет-
ся как множество NP-трудных задач, принадлежащих классу NP. Теперь читатель
имеет полное право спросить, что по этому поводу думают специалисты. Мнение
128
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
большинства склоняется к тому, что Р # NP — так считают 61 % специалистов,
еще 22 % затрудняются ответить. Правда, в нашем опросе приняли участие всего
100 математиков, и его результаты нельзя считать значимыми.
Все вышесказанное может показаться далеким от реальности, но если немного
подумать, то станет понятно, что речь идет о кодировании информации. И действи-
тельно, задача об обеспечении безопасности, например, наших кредитных карт —
малая часть более общей задачи о шифровании сообщений.
Представьте, что все сообщения будут шифроваться с использованием алгоритма
RSA с открытым ключом — самого надежного алгоритма шифрования на сегод-
няшний день. Основа безопасности систем, в которых он применяется, заключается
в невозможности решить задачу класса NP о разложении огромного числа на два
простых множителя. Тот, кому удастся разложить искомое число на два простых
множителя, взломает алгоритм RSA. Но если выяснится, что Р = NP, это будет
означать, что выполнить требуемое разложение можно за полиномиальное время.
Следовательно, существует алгоритм разложения на множители, который можно
выполнить за разумное время на достаточно мощном компьютере.
И зачем тогда нужны алгоритмы шифрования, если их можно взломать с помо-
щью компьютера?
Гипотеза Ходжа
Вторая задача в списке задач тысячелетия также окутана завесой тайны, что стано-
вится понятно уже из ее формулировки. Звучит она так:
Пусть А — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый цикл Ход-
жа Л будет линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов
когомологии комплексных подмногообразий Л.
Как видите, задачи тысячелетия недоступны для понимания, и многие авторы,
особенно в США, выпустили поясняющие видеоролики и презентации с объясне-
ниями трудных, но важных понятий для непосвященных.
В интернете можно найти доклад специалиста по алгебраической геометрии, на-
пример Дэна Фрида, и посвятить несколько часов его изучению.
129
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
3 HodfisConjecture Microsoft Internet Explorer
I Archtvo Edttfn Ver Fevoritoj Herremiertaj Ayuda
QAtrto ’ 0 j]	Busqueda ^Favorto» <>?
' Orercdn Htp://www.rM.utexw.ed4/users/dafrrHodgoC<xitecture/Hodoe%20Cor>iecti>e_H«/frame.htm
*	’	J»|’	CpffiOar-tr -	Stdewfc ’	_orrecb* ortojrAfto
“The Hodge
Conjecture**
Introduction
The Hodge Conjecture (1950)
The Greek Geometers
The Greek Geometers
Warmup
Warmup
Real Projective Line
Introducing
Coordinates
Real Projective Line
RP1 (Summary)
Real Projective Plana
RP2
Coordinate Description
of RP2
1. Since tbe origin* of tbr bit ittonnl geometry о elgebrun -smut* «aa
be traced Iragk to Икшешг’е theory of u tx-in fuulw* n u Ml urpnjng
tba: topokogkJ ronndemlimt burr played a rooeid n ir > role in the U*t«у
THE TOFtlljOCK AJ. INVARIANTS OF А1Х1ШПА1С VARIETIES
W. V D. Honor:
(1903-1975)
Hodge Conjecture: Let Xbe a pi . *y*x1	1 4. TLciia
topological cycle C on Xis homologous to a rational combination of
if and onh if C has rotation number zero
More Shapes
Intersection of Curves
Some Algebra
Complex Numbers in
Geometry
Atiyah and Hirzebruch (1962) showed that the conjecture is false if
rational numbers are replaced by mtegere.
। Outline
Slide 34 of 37
Internet
a
Интернет-страница Дэна Фрида, посвященная гипотезе Ходжа.
Эту гипотезу, которая кажется совершенно непонятной, можно в общих чертах
объяснить так: в течение многих лет геометры постепенно совершенствовали методы
изучения форм очень сложных объектов, сводя их к совокупности более простых
компонентов. Постепенно эти методы становились все менее понятными, и сегодня
они достаточно далеки и от реальности, и от теории. Вильям Волане Дуглас Ходж
(1903—1975) способствовал некоторому упрощению этих методов, предположив, что
определенные структуры, состоящие из компонентов, называемых циклами Ходжа,
в действительности представляют собой линейные комбинации простых классов с ра-
циональными коэффициентами.
Можно пойти другим путем и посвятить несколько лет изучению геометрии и ал-
гебраической топологии. На этом пути нам встретятся такие объекты, как симплек-
сы, циклы, границы, цепи, дифференциальные формы, а также прекрасные и зага-
дочные формулы, подобные этой:
[ г/(О= [ со
J \1 J дМ
U: НМ(Х) X ’(X) -» Н^+’’(Х).
... <- С"+| (X;G)<—C"(X;G) <-... <- С*’( X,G) <- 0.
130
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Нам также встретятся классы гомологии и когомологии, пучки, локально триви-
альные расслоения, проективные многообразия, подмногообразия, теория мотивов
и, наконец, циклы Ходжа и гипотеза Ходжа. Но пока мы пройдем весь этот путь
до конца и поймем смысл всех перечисленных понятий, наверняка найдется гений,
который докажет гипотезу Ходжа.
Даже в заявлении Института Клэя говорится, что «в XX веке математики от-
крыли мощные методы исследования форм сложных объектов. Их основная идея
заключается в том, чтобы узнать, до какой степени можно приблизительно описать
форму данного объекта сочетая простые геометрические формы все большего раз-
мера. Этот полезный прием был обобщен различными способами и привел к соз-
данию мощных инструментов, которые позволили математикам достичь огромного
прогресса в каталогизации объектов, обнаруженных в ходе исследований.
К сожалению, геометрическое происхождение этого метода по мере его обобщения
становилось все менее явным, поскольку метод потребовалось дополнить элементами,
не имевшими геометрического толкования. Гипотеза Ходжа гласит, что для некоторых
особых видов пространств, называемых алгебраическими проективными многооб-
разиями, элементы, называемые циклами Ходжа, в действительности представляют
собой линейные комбинации (с рациональными коэффициентами) геометрических
объектов, называемых алгебраическими циклами».
Если даже объяснение задачи, предложенное самим Институтом Клэя, непро-
сто понять, то сама задача должна быть очень и очень сложной. Даже вводный
курс по этой задаче, подготовленный выдающимся бельгийским математиком Пье-
ром Делинем (род. в 1944 году), лауреатом Филдсовской премии 1977 года, очень
непрост для понимания.
Корректно сформулировать гипотезу Ходжа настолько сложно, что сам Ходж
допустил в ней ошибку, и «анфан террибль» того времени, Александр Гротендик
(род. в 1928 году), в 1969 году опубликовал статью под названием «Общая гипо-
теза Ходжа ложна по тривиальным причинам», указав на ошибку в формулировке.
В новой редакции гипотезы этот недочет был исправлен.
В гипотезе Ходжа идет речь о многообразиях (так в алгебраической геометрии
называются поверхности) из соображений простоты — использование этого терми-
на позволяет рассмотреть произвольное число измерений. Как правило, в п-мерном
пространстве k- мерные многообразия задаются системами из n — k уравнений
от п переменных. Очевидно, что речь идет о многообразиях вещественных чисел, так
как гипотеза Ходжа распространяется и на комплексные числа, но в этом случае ее
уже никак нельзя представить с помощью привычных нам геометрических объектов.
131
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Гипотеза Пуанкаре
Это единственная уже решенная задача тысячелетия. В 2002 году российский мате-
матик Григорий Перельман (род. в 1966 году), который к тому моменту уже успел
продемонстрировать огромный талант и незаурядный характер, начал публиковать
в интернете серию статей, направленных на доказательство гипотезы. По мнению
экспертов, в них содержались ответы на все необходимые вопросы. Существует целая
сеть под названием arXiv, в которой исследователи могут размещать полученные
результаты в сыром виде, не подвергая их длительной (однако обязательной) про-
верке со стороны других специалистов. По всей видимости, статьи Перельмана были
абсолютно безошибочны.
В 2010 году Перельману была присуждена премия в 1000 000 долларов, а гипо-
теза Пуанкаре обрела статус теоремы.
Анри Пуанкаре (1854—1912) был исключительным математиком, ведущим спе-
циалистом своего времени. Гипотеза (а теперь теорема) Пуанкаре, сформулирован-
ная в 1904 году, гласит:
МАТЕМАТИКИ В СВОЕМ МИРЕ
В 2006 году на Международном математическом конгрессе в Ма-
дриде Григорию Перельману была присуждена Филдсовская пре-
мия - высочайшая награда, вручаемая математикам в возрасте
до 40 лет, которые внесли значимый вклад в науку. Перельман
отказался принять награду. Как пишет Daily Telegraph, он был
не первым отказавшимся от серьезного вознаграждения: до него
от премий отказывались Жан-Поль Сартр, Марлон Брандо, а Бо-
риса Пастернака от Нобелевской премии по литературе отка-
заться вынудили. Подобное равнодушие к материальным благам
удивительно для человека, который живет с пожилой матерью
Гэигорий Перельман.
в скромной санкт-петербургской квартире. Перельман не первый математик, равнодушный к мир-
ской славе. Невероятно одаренный ученый Александр Гротендик, известный своими работами
по самым абстрактным разделам математики, прекратил заниматься наукой в 62 года, живет
вдали от всех на юге Франции, не имея французского гражданства, и почти не подает о себе
вестей. Как говорил Маркус Дю Сотой, «нужно быть немного сумасшедшим, чтобы заниматься
математикой». Возможно, так оно и есть.
132
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно
трехмерной сфере.
Фрагмент фотографии, сделанной на Сольвеевском конгрессе в 1911 году. Первый справа (сидит) —
Пуанкаре, рядом с ним — Мария Кюри. Второй справа (стоит) — Альберт Эйнштейн.
Формулировка гипотезы звучит несколько пугающе, однако объяснить ее смысл
достаточно просто. N-мерное многообразие — это пространство, которое в неболь-
шой окрестности обладает теми же свойствами, что и евклидово пространство Rn.
В нем содержатся кривые, поверхности и гиперповерхности, определенные как нули
одной или нескольких функций от р параметров, где р — размерность многообразия,
ап — размерность пространства, в которое вложено многообразие. Очень простой
пример многообразия, вложенного в R3, представляет собой сфера радиуса г, кото-
рая обозначается S2 и задается уравнением
Х~ + Х~ +	= г .
Это многообразие, подобно другим многообразиям в евклидовом пространстве, об-
ладает особым свойством: его можно составить из более простых элементов путем
деформаций и склеек.
133
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Из двух кругов с помощью непрерывных преобразований и склеек
можно получить сферу в двумерном пространстве.
В топологии гомеоморфизмом называется всякое непрерывное преобразование,
сохраняющее форму. Так, чайная чашка и бублик гомеоморфны, так как возможно
непрерывное преобразование чашки в бублик и наоборот без разрезов. Чайная чашка
и мяч, напротив, не гомеоморфны, так как сколько бы мы ни изменяли форму чашки,
в ней всегда будет сохраняться ручка, отсутствующая у футбольного мяча.
Мяч гомеоморфен кубу и любому другому компактному объекту без отверстий,
например монолиту из фильма «Космическая одиссея 2001».
Не все разновидности гомеоморфизма так же просты, но эти примеры позволяют
понять, что такое гомеоморфизм.
Компактность означает, что многообразие не является неограниченным и пред-
ставляет собой компактную поверхность. На множестве Rn «компактный» означает
«замкнутый и ограниченный».
«Многообразие без края» подразумевает, что не допускаются многообразия, име-
ющие выступы или границы необычной формы. Так, например, допускаются скру-
гленные поверхности, подобные эллипсоиду.
Фигура называется односвязной, если она не имеет отверстий, а точнее — если
для данной точки Р любую замкнутую кривую на этой поверхности, проходящую
134
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
через точку Р, можно стянуть в точку, или, иными словами, если любая замкнутая
кривая на этой поверхности гомеоморфна точке.
В качестве примера односвязных поверхностей приводят тор и сферу. Если мы
проведем на поверхности сферы замкнутую кривую вокруг точки, эту кривую можно
будет стянуть в точку.
Тор, или тороидальная поверхность в двумерном пространстве, — это поверх-
ность в форме бублика, получить которую можно соединением двух концов цилин-
дрической поверхности.
135
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Если мы построим две кривые, изображенные ниже, то увидим, что ни одну из них
нельзя стянуть в точку на поверхности тора. Это ограничение следует из свойств са-
мой поверхности, так как кривая не проходит через тор, и ее нужно будет разрезать.
Если использовать термины гомотопии (понятия, позволяющего изучать зам-
кнутые кривые в топологическом пространстве, считая эквивалентными кривые,
связанные между собой непрерывным преобразованием), то S2 имеет тривиальную
группу гомотопии, сведенную к единственному элементу, в то время как группа го-
мотопии тора нетривиальна.
Гипотеза Пуанкаре гласит, что в трехмерном пространстве не существует более
«нормальной» и односвязной поверхности, чем сфера S3. В пространствах с иным
числом измерений этот вопрос был прояснен. Оставалось доказать (на это ушло
почти сто лет), что такой поверхностью в трехмерном пространстве является сфера.
Будьте внимательны: трехмерная сфера является гиперповерхностью, она недоступ-
на нашим органам чувств.
Чтобы лучше понять гипотезу Пуанкаре, проясним, что такое сфера. Сфера опре-
деляется так:
S" = (х[х = (хп,...,х,...,х )их2+... + х2 +... + х2 = г2}.
Иными словами, это полый шар радиуса г.
136
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
В двумерном пространстве четко видно, что сфере эквивалентны плоскость
и точка на бесконечности.
Так называемая стереографическая проекция — это взаимно однозначное непрерывное
отображение S2 и плоскости. В таком отображении без пары остается всего одна точка сферы —
ее северный полюс. Это можно исправить, если поставить в соответствие этой точке сферы точку
на бесконечности на плоскости. Так мы получим компактное множество.
Аналогичные действия можно провести в пространствах с большим числом
измерений. Именно такое отображение использовал в 1960 году в своем доказа-
тельстве тогда еще гипотезы Пуанкаре для пространств с числом измерений п >
5 математик Стивен Смэйл (род. в 1930 году). Гипотеза Пуанкаре для четырехмер-
ного пространства с большими трудностями была доказана Майклом Фридманом
в 1982 году. В 1986 году он также был удостоен Филдсовской премии.
Долгие годы оставался недоказанным единственный случай, при п = 3. Обла-
датель Филдсовской премии Уильям Терстон (1946—2012), блестящий математик
и большой педант, в 1970-е годы определил набор геометрических критериев в виде
гипотезы, доказательство которой означало доказательство гипотезы Пуанкаре.
К сожалению, доказать его гипотезу не удалось. Терстон обнаружил восемь геоме-
трических структур и предположил, что на их основе можно сформировать класси-
фикацию трехмерных многообразий. Гипотеза Пуанкаре выводилась из этой клас-
сификации.
В этот момент свое слово сказал американский математик Ричард Гамильтон (род.
в 1943 году), который предложил стратегию доказательства гипотезы Пуанкаре
с использованием потока Риччи — открытого им понятия, имеющего физические
137
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
коннотации. Поток Риччи — это деформация римановой метрики на многообразии,
весьма схожая с процессом распространения тепла.
Перельман в своих рассуждениях следовал за Гамильтоном и уточнил предло-
женную им стратегию с помощью необычно звучащего понятия «поток Риччи с хи-
рургией». Это действительно звучит забавно, а для простых смертных — столь же
непонятно и недоступно, как музыка сфер. В итоге Перельман, используя новые
математические методы, доказал даже более общее утверждение, чем гипотеза Тер-
стона, и, следовательно, вытекающую из него гипотезу Пуанкаре.
Перельман был настолько уверен в том, что заслуга принадлежит Гамильтону,
что отказался от премии, присужденной ему Институтом Клэя, отметив, помимо
прочего, что Гамильтон также заслуживает награды.
Гипотеза Римана
Эксперты считают эту задачу важнейшей задачей математики. Она даже упомянута
в фильме «Игры разума»: главный герой, Джон Нэш, ставший впоследствии нобе-
левским лауреатом, не мог решить эту задачу, так как ему мешали думать таблетки
против шизофрении. Уважаемый математик Шарль Жан Ла Валле Пуссен сказал,
что тот, кто докажет гипотезу Римана, покроет себя славой, а лауреат Филдсовской
премии Энрико Бомбиери считает, что доказательство гипотезы вызовет огромные
изменения в теории, описывающей распределение простых чисел. Питер Сарнак,
МАТЕМАТИК С ЧУВСТВОМ ЮМОРА
Гипотеза Римана столь важна, что заставляет совершать эксцентричные поступки даже самых
уравновешенных людей. Математик Годфри Харолд Харди как-то раз должен был отправиться
на корабле из Скандинавии в Англию через Северное море, где в то время бушевал шторм. Харди
отправил своему другу Харальду Бору открытку со словами: «Я доказал гипотезу Римана». Благо-
получно прибыв в Англию, Харди сразу же отослал Бору письмо с опровержением. Математик
с изрядной долей юмора объяснял свой поступок так: Б01 в своей бесконечной мудрости не по-
зволил бы кораблю погибнуть, поскольку в этом случае неверующий Харди оказался бы окружен
ореолом гениальности, а о том, что эти почести незаслуженны, знал бы только Бог.
138
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
ставший автором официального представления задачи для Института Клэя, отмечает,
что если гипотеза Римана не подтвердится, то мир очень сильно изменится.
Доказательство гипотезы Римана стоит больше миллиона долларов: гораздо цен-
нее денег престиж, восхищение коллег, конференции, завистливые взгляды и статьи
на первых полосах. Но эта задача ожидает решения уже полтора столетия, и найти
его не удалось пока никому. Даже серьезные специалисты вроде аргентино-амери-
канского математика Грегори Джона Хайтина (род. в 1947 году) сомневаются в том,
что доказательство когда-нибудь будет найдено. Действительно ли гипотеза Римана
недоказуема? Гёдель в свое время доказал существование подобных высказываний:
в логических системах определенной структуры, в особенности тех, подмножеством
которых является элементарная арифметика, всегда найдутся непротиворечивые вы-
сказывания, которые нельзя доказать в рамках этих систем. Складывается любо-
пытная ситуация: математическое высказывание вида «можно доказать, что некото-
рое высказывание никогда нельзя будет доказать» вполне корректно.
Однако ничто не свидетельствует о том, что гипотеза Римана недоказуема. Были
проверены триллионы частных случаев, которые свидетельствуют о ее истинности.
Пьер Делинь даже доказал ее для конечных полей. С недавнего времени предпри-
нимаются попытки доказать эту гипотезу с помощью квантовой механики. Однако
всегда остается повод для беспокойства: а что если гипотеза Римана принадлежит
к числу задач неизмеримо большой, экспоненциальной вычислительной сложности?
Рассмотрим эту знаменитую гипотезу подробнее. Ее формулировка достаточно
безобидна и на первый взгляд кажется совершенно неинтересной. Рассмотрим ком-
плексную функцию (она обозначается греческой буквой дзета), то есть функцию,
определенную на поле комплексных чисел С, вещественная часть которых больше 1:
00	1	1	1	1
W)>1-
В XVIII веке Эйлер с помощью этой функции выполнил один из привычных
и головокружительных алгебраических фокусов и, словно по мановению волшебной
палочки, представил дзета-функцию в виде бесконечного произведения простых чи-
сел. Это уже наводит на мысли о том, каким образом функцию использовал Риман.
,п	1— р
«=1	р простое х
139
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Преобразование Эйлера выглядит так:
Pk Р'у Pi Р'у
±7
k=0 V Р 2 7
Z—+ Е
y<i<jP'P'j y<i<j<kP,PjPl
1111	V 1 г, Ч
—+—+—+—+...= > —=С(А
2' 3s 4' 5'	Z^n'
=i+X-+
1<. р-
Для тех, кто знаком с комплексным анализом, укажем, что с помощью стандарт-
ного метода дзета-функцию можно продолжить как мероморфную функцию на всю
комплексную плоскость с единственным полюсом s = 1, где вычет равен 1. Именно
об этой функции говорил Риман, и именно она является предметом гипотезы.
Так как дзета-функция — это комплексная функция комплексного переменного,
то для ее определения требуются четыре параметра и, следовательно, четыре оси
декартовых координат. Иными словами, представить ее нельзя. Ограничимся тем,
что рассмотрим три оси и изобразим на вертикальной оси модуль результирующего
комплексного числа (z)|. Это число, в отличие от комплексного числа £(z), будет
вещественным. Получим следующий график.
Нас интересуют точки, в которых значение дзета-функции равно нулю. Дзета-
функция обращается в ноль при четных отрицательных значениях аргумента. Эти
нули функции называются тривиальными. Нас же интересуют нетривиальные нули.
Гипотеза Римана гласит: все нетривиальные нули функции £(z) имеют веществен-
ную часть, равную 1/2.
140
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
БЕРНХАРД РИМАН (1826-1866)
Этот выдающийся математик первым систематически использовал дзета-функцию в своей статье
Uber die Anzahl der Primzahlen untereinergegenbenen Grosse («О количестве простых чисел, мень-
ших данной величины»), которая увидела свет в ноябре 1859 года. Риман был универсальным
математиком и оставил след во всех разделах науки, которыми занимался. К нему почтительно
относился даже Гаусс, научный руководитель его докторской диссертации. Риман умер от ту-
беркулеза. Размышляя о его жизни и о жизни других гениев, которые умерли молодыми, можно
задаться вопросом: как далеко он продвинулся бы в своих работах, если бы не умер так рано?
Работы Римана оказали наибольшее влияние на изучение геометрических пространств пере-
менной кривизны и теорию простых чисел.

Портрет немецкого математика Бернхарда
Римана и репродукция одной из его
рукописей, хранящихся в библиотеке
Гёттингена. В этой восьмистраничной
рукописи изложена знаменитая
гипотеза Римана. Она впервые была
сформулирована в 1859 году и спустя
полтора столетия по-прежнему считается
одной из важнейших нерешенных задач
современной математики.
141
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Менее наглядная, но более информативная формулировка этой гипотезы выгля-
дит так: нетривиальные нули дзета-функции расположены в критической области,
а именно на вертикальной линии -H(z) = 1/2.
(нетривиальные нули)
-1/2 + (37,58...)i
30i
20i
10i
(тривиальные нули s = —2, —4, —6...)
—I-------о-------1------о-------1------
-5	-4	-3	-2	-1
-lOi
—20i
—30i
1/2 + (
1/2 + (
32,93...)i
:30,42...)i
1/2 + (21,02...)i
1/2 + (14,13...)i
Полюс s = 1
Критическая линия
1/2 —(14,13...)»
1/2 -(
1/2 —C
1/2 — (21,02...)i
1/2 —(25,01...)i
30,42.
32,93.
6
6
I
1	2
Что общего имеют нули комплексной функции и простые числа? Не будем при-
водить объемного и малопонятного подробного объяснения, но попытаемся обри-
совать вопрос в общих чертах. Мы уже упоминали функцию Римана R(x) в связи
с теоремой о распределении простых чисел. Связь этой функции и функции стано-
вится очевидной, если провести некоторые вычисления:
Я(и) = 1 +
Y__1
£W+i)
(In п)к
kl
Функция R, которую ввел сам Риман, обычно определяется так:
„=1 п
142
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
где р(п) — несколько устаревший способ обозначения 0, +1 или —1. Функция р(п)
называется функцией Мёбиуса и принимает следующие значения:
•	0, если п имеет один или несколько повторяющихся простых сомно-
жителей;
•	+1, если п = 1;
•	(—1)', если п равно произведению i различных простых чисел.
Напомним, что
J2 ш и
Функция R(x) — улучшенная версия функции Li(x), введенная Риманом из со-
ображений, связанных с теорией вероятностей. Если рассмотреть подробнее вопросы
функционального анализа, можно увидеть, что R(x) имеет важные связи с дзета-
функцией. Она также позволяет изучить нули ^(х), благодаря чему можно точнее
описать колебания R(x) вблизи п(х) — идеальной и вечно ускользающей функции,
которая определяется так:
7С(х) = количество простых чисел, меньших х.
Следующая таблица дает представление о том, как можно определить значения
п(х) с помощью R(x).
	7Т(х)	R(x)
100 000 000	5761 455	5761 552
200 000 000	11078 937	11079 090
300 000 000	16 252 325	16 252 355
400 000 000	21336 326	21336 185
500 000 000	26 355 867	26 355 517
600 000 000	31 324 703	31324 622
700 000 000	36 252 931	36 252 719
800 000 000	41 146 179	41 146 248
900 000 000	46 009 215	46 009 949
Если гипотеза Римана будет доказана, путь к вычислению подобных отклоне-
ний R(x) будет найден и дорога к познанию простых чисел откроется перед нами
143
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
подобно тому, как воды Красного моря разошлись перед Моисеем и его народом,
спасавшимся от преследования фараона. Специалисты по теории чисел ждут этого
момента с нетерпением.
На данный момент сформулировано несколько десятков утверждений, эквива-
лентных гипотезе Римана. Одно из них гласит:
|Л(х) — L/(x)| < — yfx In х для х > 2656.
8я
Другое, которое отличает особая красота и лаконичность, выглядит так:
о(п) < еуп In In п для любого п > 5040,
где о(п) — наша старая знакомая функция делителей, о которой мы уже упоминали,
говоря о совершенных числах, а у — постоянная Эйлера — Маскерони. Существует
множество утверждений, эквивалентных гипотезе Римана, которые принадлежат
к изначально очень далеким от нее разделам математики — например, к теории групп.
Существуют и более сильные гипотезы, чем простая гипотеза Римана. Их дока-
зательство автоматически будет означать доказательство гипотезы Римана. Однако
мы не будем останавливаться на них подробнее — мы ведем речь исключительно
о гипотезе, корректность которой была подтверждена для более чем десяти трилли-
онов частных случаев.
Зеленые поля Янга - Миллса
Единственное, что обладает цветом (и даже ароматом) в микромире — это кварки,
которые подчиняются законам квантовой хромодинамики. Как известно, цвет кварка
является одним из квантовых чисел (существует шесть кварков разного аромата,
каждый из них может иметь три разных цвета). Поле Янга — Миллса берет на-
чало в теории поля и является обобщением квантовой электродинамики и простого
электромагнитного поля, введенного Джеймсом Клерком Максвеллом (1831—1879)
много лет назад.
Перед тем как углубиться в рассмотрение вопроса, укажем, что Роберт Миллс
(1927—1999) был американским физиком, который проработал 39 лет в Универси-
тете Огайо и в 1954 году вместе с коллегой Янгом Чжэньнинем (род. в 1922 году)
описал новое, более широкое понятие поля, названное в их честь.
144
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Ведущим исследователем в паре Янг — Миллс является Янг Чжэньнин (на фотографии),
который в 1957 году был удостоен Нобелевской премии по физике
за открытие нарушения закона сохранения четности.
В квантовой физике силы описываются с помощью полей. Их составляющие обла-
дают группой симметрии, которая называется калибровочной группой поля. Если бы
мы захотели привести строгое математическое определение поля Янга — Миллса,
нам пришлось бы рассмотреть инвариантность лагранжиана поля под действием ка-
либровочной группы, что достаточно сложно для понимания. В электромагнетизме
калибровочной группой является группа Ли 1/(1). В квантовой хромодинамике ка-
либровочной группой является SU(3). В так называемой стандартной модели кван-
товой физики такой группой является SU(3) х SL7(2) х (7(1). Стандартная модель
достаточно точно унифицирует электромагнитные сильные и слабые взаимодействия.
Однако математические свойства калибровочных полей и групп изучены недостаточно
хорошо, и сегодня ученые не считают, что исследования в этом направлении необхо-
димы для значимого прогресса в физике.
В официальной формулировке пятой задачи из списка задач тысячелетия, пред-
ложенной физиком Эдвардом Виттеном (род. в 1951 году), требуется ответить
на несколько вопросов. Во-первых, нужно описать алгоритм построения полей
Янга — Миллса, верный для всех простых компактных калибровочных групп.
В этом построении должен учитываться так называемый конфайнмент кварков,
то есть невозможность получения кварков в свободном состоянии. Иными словами,
требуется объяснить, почему мы живем во Вселенной, которая не заполнена квар-
ками.
Теория также должна объяснять так называемый mass gap — дефект массы.
Объяснить это понятие достаточно сложно. Отметим лишь, что частицы, которые
в пустоте ведут себя очень скромно, меняют свое поведение под действием энер-
145
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
гии. При движении они неизбежно набирают массу (согласно знаменитой формуле
Е = тс2) в соответствии с их энергетическим уровнем. Дефект массы возникает
между нулевым и первым энергетическим уровнем. Искомая теория должна охва-
тывать этот феномен, что позволит описать сильные взаимодействия и объяснить,
почему они действуют только на очень малых расстояниях.
Эдвард Виттен — единственный обладатель Филдсовской премии (1990), который является
не математиком, а физиком. Он совершил открытия первостепенной важности в квантовой физике,
в частности создал теорию струн. Однако его брат Мэтт, продюсер и автор сценариев знаменитых
телесериалов, в частности «Доктор Хаус», скорее всего, популярнее Эдварда.
Неразрешимые уравнения
Формулировка вышеописанной задачи относится к таинственной квантовой физике,
которая, перефразируя Артура Кларка, для непосвященных неотличима от магии.
В квантовом мире нельзя получить полную информацию о частице: когда нам из-
вестно ее местоположение, нельзя узнать, как она движется. Частицы проникают
сквозь непроницаемые стены, при этом никогда нельзя сказать, пройдет ли сквозь
стену конкретная отдельно взятая частица. Частицы, разделенные невообразимыми
расстояниями, мгновенно вспоминают свое прошлое и ведут себя так, как будто на-
ходятся рядом, и так далее. Этот мир подчиняется своим законам — вероятностным
и неточным, если их рассматривать по отдельности, но очень строгим в совокупности.
Следующая задача тысячелетия также относится к физике, однако не к совре-
менным ее разделам, а скорее к ньютоновской, классической физике. Уравнения
Навье — Стокса описывают осязаемый мир гидродинамики — науки о движении
идеальных и реальных жидкостей и газов. Этими неразрешимыми уравнениями
определяется точный прогноз погоды. К сожалению, не существует способа познать
законы гидродинамики, так как уравнения Навье — Стокса неразрешимы.
146
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
Клод Луи Мари Анри Навье (1785—1836) был выдающимся французским фи-
зиком и инженером и, как и Стокс, занимался проектированием мостов. Он сменил
Коши на посту преподавателя математики и механики в Политехнической школе.
Известность пришла к Навье после совместного с сэром Джорджем Габриелем
Стоксом (1819—1903) открытия знаменитых уравнений гидродинамики.
Сэр Джордж Габриель Стоне побил рекорд Ньютона: он одновременно был членом парламента,
Лукасовским профессором Кембриджа и президентом Лондонского королевского общества.
Знаменитые уравнения Навье — Стокса, выраженные на языке векторов, мож-
но записать так:
3v
— + (v • V) v = — Vp + V Av +/(х, 0
ot
V • v = 0.
Многочисленные знаки дельта (А) и операторы набла (V) обозначают соответ-
ственно лапласиан и градиент — две операции в поле частных производных. Здесь v
обозначает скорость частицы с координатой х, на которую в момент времени t дей-
ствует сила /. Вязкость потока обозначается V > 0, р обозначает давление.
Несмотря на векторную запись, уравнения могут выполняться на плоскости или
в пространстве. Это нелинейные уравнения в частных производных, и неизвест-
но, имеют ли они точные и математически выводимые решения. Приближенные
решения, найденные с помощью компьютеров, становятся все точнее, однако они
остаются приближенными, так как в реальности завихрения в потоке образуются
мгновенно, а о самих уравнениях нам мало что известно, за исключением того, что
в состоянии покоя, по всей видимости, с потоком ничего не происходит.
Российский математик Ольга Ладыженская (1922—2004) решила эту задачу
в двухмерном пространстве еще в 1960-е годы. В двухмерном пространстве не могут
возникать (по меньшей мере, спонтанно) вихри и водовороты, подобные тому, что
утянул на дно «Наутилус» капитана Немо в последней главе романа «Двадцать ты-
147
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
сяч лье под водой». В трехмерном пространстве уравнения Навье — Стокса до сих
пор не решены.
Мать всех гипотез
Почему мы назвали последнюю задачу тысячелетия именно так? Причина проста: эта
задача совершенно непонятна для непосвященных — тех, кто не является экспертом
в алгебраической геометрии и теории чисел. Объяснить задачу помогут несколько
вводных слов. Уже много лет алгебраисты занимаются изучением диофантовых урав-
нений (уравнений на поле рациональных чисел Q), в частности им посвящена десятая
проблема Гильберта. Юрий Матиясевич доказал, что не существует общего алгоритма
их решения. Тем не менее некоторые диофантовы уравнения можно решить, и если
гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера будет доказана, то мы сможем оценить коли-
чество таких решений. При этом мы так и не узнаем, как именно можно будет найти
эти решения. Доказательство гипотезы всего лишь укажет, сколько таких решений
существует, что уже крайне важно.
На иллюстрации представлены графини двух кривых: у2 + у = х3 - х2 (выделена серым) иу2+у = х3 + х2
(выделена черным). Если мы рассмотрим рациональные точки на этих кривых, получим диофантовы
уравнения. Внешне кривые очень похожи, и тем удивительнее, что кривая, выделенная серым
цветом, имеет четыре рациональные точки, а кривая, выделенная черным, — бесконечно много таких
точек. Если бы мы рассматривали окружности, описываемые уравнениями х2 + у2 = 1 и х2 + у2 = 3,
то с еще большим удивлением обнаружили бы, что первая имеет бесконечно много
рациональных точек, вторая — ни одной.
Сложнейшая формулировка этой гипотезы подобна кролику, которого фокусник
достает из шляпы: специалист, которому удастся ее понять, будет ловить на себе
148
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
недоверчивые взгляды. Как может функция L содержать столь ценную информа-
цию о кривой Е, если они кажутся очень далекими друг от друга?
Гипотезу Бёрча — Свиннертон-Дайера можно сформулировать следующим об-
разом.
Пусть Е — эллиптическая кривая на множестве Q. Обозначим связанную с ней
L функцию через L(E, s). Имеем
, ЦЕ, S)
Нт-------=----------------------.
В этой формуле используются следующие обозначения:
•	R — ранг E/Q;
•	Q — вещественный период либо удвоенный вещественный период мини-
мальной модели Е (зависит от связности E(R))-,
•	|S/ia| — порядок группы Тэйта — Шафаревича E/Q;
•	Reg (E/Q) — эллиптический регулятор E/Q;
•	1^ (®| — число точек кручения на Е/Q (включая точку на бесконеч-
ности);
•	с — коэффициент, равный кардинальному числу E(Qp)/E0(Qp), где
Eq(Qp) — множество точек на E(Qp), для которых р-адическая норма
на £(QP) не имеет особенностей.
Соответствующая L-функция будет произведением бесконечного числа членов,
очень похожего на дзета-функцию, и будет записываться так:
ЦЕ, 5) = —-— ГТ-------------.
Проясним некоторые обозначения: Z. — особое число для каждой кривой; ар опре-
деляется как а = р — N • Np можно сравнить с числом рациональных решений, при-
надлежащих полю Q, при рассмотрении модульного уравнения р.
L-функцию можно разложить в ряд Тейлора, а гипотеза Бёрча — Свиннертон-
Дайера допускает более простую формулировку:
149
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
разложение в ряд Тейлора в точке s = 1 имеет вид
L(C,s) = c(s — l)r + члены высшего порядка,
где с * 0, а г — ранг (C(Q)).
В завершение скажем несколько слов о главных героях этой задачи. Брайан Бёрч
(род. в 1931 году) — выдающийся английский математик, член Лондонского коро-
левского общества, сэр Питер Свиннертон-Дайер (род. в 1927 году) — математик-
аристократ, также член Королевского общества и один из сильнейших в мире игро-
ков в бридж. Гипотезу Бёрча — Свиннертон-Дайера в Институте Клэя представил
не кто иной, как сэр Эндрю Уайлс, так как эта гипотеза относится к той же области,
что и всем известная теорема Ферма. Отличие лишь в том, что если гипотеза Бёр-
ча — Свиннертон-Дайера будет доказана, она не вызовет такого же оживления:
вряд ли какой-либо журналист будет удостоен Пулитцеровской премии за освеще-
ние столь скучной и, если позволите, столь трудной темы.
150
Эпилог
Различны языки и люди,
И множество имен дают они одной любви.
Сальвадор Эсприу
Математические задачи подобны языкам, о которых писал Эсприу: они неисчислимы,
но без них нельзя обойтись. Они — двигатель абстрактного мышления.
Конечно, это справедливо не для всех задач, о которых мы рассказали, а неко-
торые из них остались за пределами книги. Кроме того, задачи, которым посвящена
последняя глава, практически непонятны. Великие математические задачи, за исклю-
чением тех немногих, что имеют на первый взгляд невинную формулировку, под силу
только специалистам. Такие задачи существуют во всех областях: в теории графов
(сильная теорема о совершенном графе — доказана, задача со счастливым концом —
не решена), линейной алгебре (гипотеза о матрицах Адамара — не доказана), теории
функций (гипотеза Коллатца — не доказана), теории чисел (проблема 196 — не ре-
шена), теории вероятностей (проблема о порождающих множествах симметрической
группы — не решена), гидродинамике (задача о пороге протекания — не решена),
криптографии (задача о взломе шифра Дорабеллы — не решена), теории групп (об-
ратная задача теории Галуа — не решена), теории игр (задача Конвея об ангеле —
не решена) и так далее.
Нерешенных задач много, но еще больше людей работают над их решением,
и даже ограничения Гёделя не могут помешать способности рассуждать. Конеч-
но, существуют высказывания, которые мы никогда не сможем доказать, но ничто
не помешает нам достоверно выяснить, что некое высказывание является недоказу-
емым.
151

Библиография
ClPRA, В., What's Happening in Mathematical Sciences, 7 vols., American Mathematical
Society, Providence, 2006.
COURANT, R., ROBBINS, H., (What Is Mathematics?, segunda edition a cargo de Ian
Stewart, Oxford University Press, Oxford, 1996.
De SAUTOY, M., La musica de los primes, Acantilado, Barcelona, 2007.
DEVLIN, K., The Millennium Problems, Barnes and Noble, Nueva Y>rk, 2006.
DUNHAM, W., Journey to Genius: The Great Theorems of Mathematics, Penguin, Lon-
dres, 1991.
JACOBS, H., Mathematics: A Human Endeavor, W.H. Freeman, Nueva Y>rk, 1982.
Roman, M., Symmetry and the Monster, Oxford University Press, Oxford, 2006.
SlNGH, S., El enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 2010.
YANDELL, B.H., The Honors Class: Hilbert Problems and their Solvers, A.K. Peters,
Nueva Y)rk, 2002.
153

Алфавитный указатель
/VP-полная задача 128
Абель, Нильс Хенрик 72
Адамар, Жак 76, 151
Айкен, Александр 9
аксиома 106—107, 108
Цермело — Френкеля 97, 107
алгебраическая геометрия ИЗ, 129, 131,
148
алгоритм 87,110,114,128-129,148
Аппель, Кеннет 87, 90
Аристарх Самосский 44
Арнольд, Владимир 112
Артин, Эмиль 110, 114
Архимед 12, 18—31, 108
Бернулли 33—36, 48—49, 56
Бернштейн, Сергей Натанович 116
Бёрч, Брайан 148—150
бесконечность 23—25, 28, 84,
104-105,118,136,137,149
Бибербах, Людвиг 94—95, 115
Бил, Эндрю 95
Болибрух, Андрей 119
Браге, Тихо 44—45
Бранж де Бурсия, Луи де 95
брахистохрона 36, 118
Брун, Вигго 94
Ванцель, Пьер 16, 20
Варинг, Эдвард 77—78
вектор 118
Виноградов, Иван Матвеевич 54, 78
Виттен, Эдвард 145—146
Гай, Ричард 63, 79
Галилей, Галилео 34
Галуа, Эварист 72—73, 151
Гамильтон, Ричард 137—138
гамильтонов цикл 86
гамильтонов путь 123—124
Гаусс, Карл Фридрих 66—68, 75—76,
110, 141
Гёдель, Курт 106-107,110,139,151
гелиоцентрическая система мира
43-46
Гельфонд, Александр 109
геодезическая линия 108
Гильберт, Давид 77, 82, 101—120, 121,
148
гипотеза
Гольдбаха 52—56, 59
континуум 101, 106—107
о четырех красках 87—90
Римана 54, 76-77, 95,109,138-
144
гипотенуза 21
Гольдбах, Кристиан 52—56, 59
гомеоморфизм 134
граф 64—66, 86, 89, 90
Гротендик, Александр 131, 132
группа 72-73,108,115,119,136,
144—145,149,151
калибровочная 145
Ли 108,145
Гутри, Фрэнсис 89
Гюйгенс, Христиан 37
двоичная система счисления 27
де Джиорджи, Эннио 116—117
Дедекинд, Рихард 84
155
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Делинь, Пьер 131, 139
делитель 24—26, 28,124,144
Делос 16
дель Ферро, Сципион 69—70
Ден, Макс 108
десятичная запись 14
диагональ 21, 22, 61, 98
диаметр 12
дифференциальное
исчисление 31, 47, 51
форма 130
уравнение 22, 48, 56, 118—119
Дэвис, Мартин 110
Евдокс Книдский 12, 30
Евклид 9, И, 22—28, 66—67
Жермен, Софи 84
задача о сумме обратных квадратов
48-52
закон взаимности 109—110
замощение 37—38, 115—116, 126
Зигель, Карл 111
Зундман, Карл Фритьёф 57
инвариант 85, ИЗ
интеграл 31, 50, 76, 118
исчерпывание 12, 30
Кантор, Георг 104—106, 111
Кардано, Джероламо 20, 70—71
кардинальное число 104—105
Каталан, Эжен 98
катет 21
квадратичные целые 84
квадратное уравнение 110
квадратура 11—13, 15
кварк 144—145
Кёбе, Пауль 120
Кемпе, Альфред Брей 89
Кёнигсберг 63—66
Кеплер, Иоганн 38—40, 44—48
Кинтали, Шива 59
класс 101-104, 124-131
Клэя
Институт 54,109,121-122,129,
131,138,150
проблемы 121—151
когомология ИЗ, 129, 131
Колмогоров, Андреи 112
компактность 134,137, 145
компьютер 42, 87, 90—91, 93, 96,
125-129,147
Конвей, Джон 69, 79
конические сечения 31
константа 54, 78—79, 92
координата 36, 48, 55, 119, 124
Коперник, Николаи 44—46
косинус 69
Коэн, Пол 106—107
коэффициент 15, 69, 110, 112, 114,
129-131,149
кратное 73, 84
Кронекер, Леопольд 111—112
кубоид 61—63
Кук, Стивен 124
Куммер, Эрнст 84
Лавлейс, Ада 28
Лагранж, Жозеф Луи 57—58, 71, 114
Ладыженская, Ольга 147
Ламе, Габриель 84
Ландау, Лев 59
Ландри, Фортюне 67
Лежандр, Адриен Мари 58—60, 75,
84,109
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 36, 49
156
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
линейная комбинация 17, 129—131
Литлвуд, Джон Идензор 91—92
Лиувилль, Жозеф 73
логарифм 75, 78
магический квадрат 98
Максвелл, Джеймс Клерк 144
Маскерони, Лоренцо 78
Матиясевич, Юрий 110, 148
матрица 98
машина Тьюринга 107, 125—127
Мёбиус 143
Менгер, Карл 86
Менголи, Пьетро 49
Мерсенн, Марен 27—28
механика 30, 45, 48, 125, 139
Миллс, Роберт 144
Михалеску, Преда 98
многогранник 47, 115—116, 123
многообразие ИЗ, 129, 131, 133—137,
144
многоугольник 13, 38, 66—69
многочлен 49, 67, 69, 83,110,112,114
множество 72, 97,101—107,124—128,
137
множитель 24—27, 84, 95,124,143,
149
модулярная форма 84
монодромия 118—119
Морган, Огастес де 89
Навье, Клод Луи Мари Анри 147
Нагата, Масаёши ИЗ
Найсли, Томас 90, 93
«Начала» 9, 22—23, 27, 66
Ньютон, Исаак И, 17, 36, 47—48, 56
Нэш, Джон Форбс 117, 138
объем 16, 29-31,39,108
овал ИЗ
орбита 44—47, 56—58,115
особенность 57, 118—119
отношение эквивалентности 102-103
отрезок 16, 17, 54
Папп Александрийский 37
Патнем, Хилари 110
Перельман, Григорий 122, 132, 138
перестановка 72
период 9, 32, 36, 43, 79,149
Пифагор 21—23, 25, 61
планета 43—47, 56, 58
плотность 39—41, 55, 91
площадь 11-12, 29-31, 33, 38, 46
Пойа, Дьёрдь 115
поле 17,111,139,148
полиномиальное время 126, 128
последовательность 17, 23-24, 74
поток Риччи 137
предел 13, 30-31, 75, 78
призма 37—38
Пуанкаре, Анри 57, 120, 122, 132—138
Пуссен, Жан Ла Валле 76, 138
равенство классов Р и NP 87, 123—129
радикал 73, 112
разрешимость 73,110,124, 126
Рассел, Бертран 97, 106
расстояние 23, 31, 48, 64, 86, 146
ребро 16—17, 64—65
регулярное замощение 115—116
Рейнхардт, Карл 116
рефлексивность 102
Рибет, Кен 85
Риман, Бернхард 51, 54, 76, 119,
138-144
Робинсон, Джулия 110
157
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Руффини, Паоло 72
ряд 18, 23, 49-50, 60, 73, 77, 94,105
Тейлора 49, 149—150
Свиннертон-Дайер, Питер 150
связность 149
симметрия 102, 115
Симо, Карлее 58
Симура, Горо 84
синус 20, 66
Смэйл, Стивен 137
статистика 79
Стокс, Джордж Габриель 147
сфера
геометрическая фигура 29—31,
38-41,116,133-138
небесная 44, 47
пространство 23, 39, 105, 115, 133,
141
счетное множество 104
Танияма, Ютака 84
Тарталья (Никколо Фонтана) 70—71
таутохронная кривая 36—37
Терстон, Уильям 137—138
тетраэдр 108
топология 65, 114, 130, 134
тор 134—136
транзитивность 102
трансфинитное число 104—105
треугольник 21, 57
тригонометрия 20
трисекция 20
Тьюринг, Алан 125—127
Тэйлор, Ричард 83
Тэт, Питер Гатри 98
Уайлс, Эндрю 81—83, 85, 96,150
угол 18—21, 66
Улам, Станислав 60
униформизация 119—120
упаковка 39—41, 116
уравнение 40, 61, 69—73, 146—149
диофантово 61, 84, 110, 148
уравнение четвертой степени 71, 77
уравнение пятой степени 71
факториал 73, 86
Федоров, Евграф 115
Ферма, Пьер 67—68, 81—85, 95, 96
Феррари, Лодовико 70—71
Филдсовская премия 83, 131, 132, 137,
138,146
фокус 45
фон Линдеман, Карл Луи Фердинанд
13,15
фрактал 10, 55
Фридман, Майкл 137
Фукс, Лазарь 119
функция 66, 74, 76, 85, 94,112—120,
124,142-144,149
аналитическая 116, 118
голоморфная 94
делитель 25, 27, 144
дзета 51, 76, 79,139-142,143,149
Фьор, Антонио Марио 70
Хайтин, Грегори Джон 139
Хакен, Вольфганг 87, 90
Харди, Годфри Харолд 91—92, 138
Хассе, Хельмут 111
Хееш, Генрих 89, 116
Хейлс, Томас 38, 42
Хивуд, Перси 89
Ходж, Вильям Волане Дуглас 130—131
Ходжа класс и гипотеза 129—131
циклоида 32—37
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
цилиндр 29—31
циркуль и линейка 15—17, 20, 66,
68-69
частная производная 118, 147
число
алгебраическое 15, 69, 79
дружественное 28—29
идеал 84
комплексное 51, 69, 85, 109, 120,
131,139
полупростое 54, 59
построимое 15, 17, 20
простое 23—28, 51—60, 67—78,
90-99
простое-близнец 59, 73, 90—94
рациональное 22, 61, 79, 111, 148
Скьюза 77
совершенное 25—27
составное 23—25, 27, 67, 73, 78
трансцендентное 15, 51, 79, 109
целое 22, 54, 61, 84, 85, 90,111
Чэнь Цзинжунь 54, 56, 59
шестиугольник 37
Шнайдер, Теодор 109
Шнирельман, Лев 54
Штекель, Пауль 90
Шуберт, Герман Цезарь Ганнибал ИЗ
Эйлер, Леонард 13, 27, 43—79, 81, 84,
139,140
Элкис, Ноам 84
эллипс 45
эпицикл 44—45
Янг Чжэньнин 144—145
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 25
Хоакин Наварро
Неуловимые идеи и вечные теоремы.
Великие задачи математики
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, а/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
УкраУна, 01033, м. КиГв, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 21.05.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 08.07.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 50 000 экз.
© Joaquin Navarro, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0720-5 (т. 25)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Неуловимые идеи
и вечные теоремы
Великие задачи математики
В течение жизни человек сталкивается с множеством разных
задач. Какие-то из них оказываются элементарными,
над решением других приходится серьезно подумать. Некоторые
задачи, условия которых сформулированы еще сотни лет назад,
не решены до сих пор. Эта книга - уникальный сборник
величайших задач прошлого и современности. Работая над ее
созданием, автор прислушивался к мнению научного
сообщества: в издание включены только те задачи, которые
большинство специалистов считают важнейшими в математике.
Каждая из них - своеобразная бифуркационная точка,
от которой зависит путь дальнейшего развития науки.