Ананченко В.Н., Гофман Л.А.
Теория измерений
Об учебнике
В. Н. Ананченко, Л.А. Гофман
Теория измерений
Учебное пособие
УДК 621.317.08(075.8)
А 64
А 64 Ананченко В.Н., Гофман Л.А. Теория измерений: Учеб. пособие.
–
Ростов н/Д:
Издательский центр ДГТУ, 2002.
–
214 с.
ISBN 5
-
7890
-
0212
-
9
Рассмотрены вопросы исследования общих закономерностей измерительных процессов,
задачи оптимизации при разл
ичных условиях измерений и внешних воздействиях.
Значительное место уделено методам математического описания и исследования свойств
различных изме
-
рительных сигналов, а также методам получения оценок их информативных
параметров, включая фильтрацию. Подробн
о рассмотрены алгоритмы измерительных процедур
и методы научного подхода к планированию измерительного эксперимента.
Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки
дипломированных специалистов 653700 и подготовки бак
алавров и магистров 551500, а также
может быть полезной студентам смежных специальностей, аспирантам и научным работникам,
занимающимся техническими измерениями и измерительной техникой.
Печатается по решению редакционно
-
издательского совета
Донского
государственного технического университета

ISBN 5
-
7890
-
0212
-
9
Издательский центр ДГТУ, 2002.
Рецензенты:
д
-
р техн. наук, проф. В.А.Иванов
(СПбГИТМО, г. Санкт
-
Петербург);
д
-
р техн. наук, проф. В.Л.Попов
(РГАСХМ, г.Ростов
-
на
-
Дону)
Содержание
Предисловие
Введение
1.Общие сведения об измерениях
1.1.Сущность и особенности измерительного процесса
1.2.Способы описания измерительных процедур и результатов измерений
Вопросы
для самопроверки
2.Измерительные сигналы
2.1.Общие положения и классификация
2.2.Математические модели и параметры квазидетерминированных сигналов
2.2.1.Элементарные сигналы
2.2.2.Сложные полигармонические сигналы
2.2.3.Почти периодические сложные сигналы
2.2.4.Непериодические (переходные) сигналы
2.3.Случайные сигналы
2.3.1.Случайный измерительный сигнал как случайный процесс
2.3.2.Эргодические стационарные случайные
сигналы
2.4.Квантованные сигналы
2.5.Дискретизированные сигналы
2.5.1.Общие вопросы дискретизации и восстановления непрерывных функций
2.5.2.Аппроксимация
рядом Котельникова и степенными полиномами
Вопросы для
самопроверки
3.Влияние на результаты изме
рений неконтролируемых воздействий
3.1.Помехи и возмущения
3.2.Влияние изменения усл
овий измерений
Вопросы для самопроверки
4.Показатели качества и критерии оптимальности измерител
ьных устройств
4.1.Обобщенные показатели качества измерительных устройств
4.2.Задачи
оптимизации и критерии оптимальности измерительных устройств
Вопросы для самопроверки
5.Алгорит
мы измерительных процедур
5.1.Основные операции измерений и элементарные средства их реализации
5.2.Аналитическое описание процедуры измерений
5.3.Классификация видов и методов измерений
5.4.Методы прямых измерений без предварительного преобразования
5.5.Методы измерений с предварительным преобразованием измеряемой величины

5.6.Методы измерений вероятностных характеристик случайных процессов
Вопросы для самопроверки
6.Методы получения оценок параиетров измерительных процессов
6.1.Свойства и алгоритмы определени
я статистических оценок
6.2.Определение статистических оценок по плотности распределения
совокупности наблюдений
6.2.1.Определение точечных оценок при прямых измерениях
6.2.2.Нахождение интервальных оценок при прямых измерениях
6.2.3.Нахождение точечных оценок при косвенных и совместных измерениях
6.3.Определение
статистических оценок по условной плотности распределения
Вопросы для самопроверки
7.Задачи филь
трации, интерполяции, экстраполяции
7.1.Общие вопросы фильтрации
7.2.Аналоговая филь
трация детерминированных и квазидетерминированных
сигналов
7.3.Фильтрация случайных сигналов
7.4.Цифровая фильтрация
Вопросы для самопроверки
8.Методы и алгоритмы решения задач ада
птации к меняющимся условиям измерений
8.1.Структурные методы уменьшения влияния условий измерений на точность
измерительных устройств
8.2.Методы экранирования, компенсации погрешностей и коррекции характеристик
измерительных устройств
Вопросы
для самопроверки
9.Подготовка и проведение измерительного эксперимента
9.1.Основные этапы подго
товки измерительного эксперимента
9.2.Общие вопросы оптимального планирования измерительного эксперимента
9.3.Планирование пассивного эксперимента
9.4.Планирование активного эксперимента
9.5.Планирование полного факторного эксперимента
9.6.Планирование дробного факторного эксперимента
9.7.Проведение обработки результатов эксперимента
9.8.Планирование эксперимента при решении задачи оптимизации методом
градиента
Вопросы для самопроверки
Заключение
Библиографический список
Предисловие
Радикальный пересмотр картины м
ира, начатый физиками в первые десятилетия
прошлого века, и бурное развитие вычислительной техники и информатики в последнее время
стали основными факторами, определившими историю развития теории измерений.
Расширение и уточнение понятия измеряемой величин
ы в результате изучения микромира и
внедрения измерений в область исследования нефизических величин (экономика, социология,
психология, системотехника и др.), а также существенные особенности изучаемых в
современной физике и технике явлений (быстропротекаю
щие процессы, случайные процессы и
поля, многомерные детерминированные и случайные величины и т.д.) наряду с усложнением
процессов их измерения и повышением требований к точности измерений явились мощным

стимулом для возникновения и развития новых концепци
й на фундаментальном и на
прикладном уровнях теории измерений.
Данное пособие написано в соответствии с требованиями ГОС высшего
профессионального образования для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
дипломированного специалиста 653
700 "Приборостроение" по специальности 190100
"Приборостроение", и является методологической основой для изучения таких дисциплин, как
"Измерительные преобразователи", "Основы теории точности измерительных устройств",
"Методы и средства измерения механичес
ких величин", "Теория автоматического контроля",
"Электронные устройства средств измерений" и т.п.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам: д
-
ру техн. наук, проф.
В.А.Иванову и канд. техн. наук, проф. В.Л.Попову
-
за ценные замечан
ия и предложения,
которые были учтены при подготовке учебного пособия к печати.
Авторы будут благодарны за все замечания и предложения, которые просят направлять в
адрес издательства (344010, г.Ростов
-
на
-
Дону, пл.Гагарина 1, Донской государствен
ный
технический университет, издательский центр).
Введение
С древних времен и до наших дней измерения как один из способов познания играют
важную роль в жизни человека. Сначала человек в своей повседн
евной деятельности
довольствовался информацией, доставляемой лишь его органами чувств, а затем привлек им в
помощь средства измерительной техники.
Целью измерения является получение количественной информации о величине
исследуемого объекта, под
которым понимаются реально существующие объекты (вещи,
процессы, поля, явления и т.д.) материального мира, а также взаимодействия между ними.
Измерение может производиться как в познавательных (изучение элементарных частиц,
организма человека и т.д.), так
и в прикладных (управление конкретным технологическим
процессом, контроль качества продукции) задачах. Получение и использование информации
-
характерное свойство кибернетических систем. Поэтому измерение можно рассматривать как
ту часть кибернетики, котор
ая принимает в качестве объекта исследования предметы и явления
окружающего мира, в качестве метода
-
эксперимент, а в качестве средства
-
измерительную
технику.
Существует тесная взаимосвязь между научно
-
техническим прогрессом и достижениями
в
области измерений и измерительной техники. Важной составной частью большинства научно
-
исследовательских работ являются измерения, позволяющие установить количественные
соотношения и закономерности изучаемых явлений. Важность измерений в достижении
научных
результатов неоднократно отмечалась известными учеными: "Надо измерять все
измеримое и делать измеримым то, что пока не поддается измерению" (Галилео Галилей);
"Наука начинается с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры" (Д.И.
Менде
леев); "Искусство измерения является могущественным орудием, созданным
человеческим разумом для проникновения в законы природы" (Б.С. Якоби). Прогресс в области
измерений способствовал и способствует многим новым открытиям, а достижения науки, в
свою очере
дь
-
совершенствованию методов и средств измерений (например, благодаря
использованию лазеров, микроэлектроники и т.п.)
Любое современное производство должно быть оснащено измерительными средствами,
позволяющими осуществлять точный и объективный
контроль технологического процесса. От
этого зависят уровень качества продукции и производительность. В автоматизированном
производстве своевременное получение необходимой достоверной измерительной информации
является одним из важнейших условий качественн
ого управления объектом регулирования. С
другой стороны, развитие и совершенствование технологических процессов в области
получения новых материалов и элементов создают возможности для совершенствования и
создания принципиально новых средств измерительной
техники.

Прогресс в области измерений и измерительной техники немыслим без развития теории
измерений ("Нет ничего более практичного, чем хорошая теория"!) В основе любого
измерительного процесса, независимо от вида объекта измерения, измеряемой
физической
величины, принципа измерения, способа обработки информации и т.п., лежат одни и те же
закономерности. Исследованию этих закономерностей, задачам оптимизации измерительного
эксперимента при различных условиях измерений и воздействиях посвящены ос
новные
разделы теории измерений, излагаемые на языке всех теорий
-
языке математики. Причем
точное описание измерительных процедур опирается на корректное определение цели и
особенностей измерений. В этом находит свое выражение алгоритмизация измерений, ко
гда
содержательное описание процедур и результатов заменяется формализованным.
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ
1.1. Сущность и особенности измерительного процесса
Понятие "измерение физической величины" согласно
РМГ 29
-
99 [1] определяется как «совокупность
операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих
нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с её единицей и получение значения
этой
величины». Подобная формулировка приведена и в работе [2]. Такое толкование понятия «измерение»
отражает следующие его особенности:


измерять можно характеристики свойств реально существующих объектов материального мира;


метрологиче
ская суть измерений состоит в определении соотношения между измеряемой величиной и её
единицей;


процесс измерения
-
экспериментальный процесс (теоретическим или расчетным путем измерение
провести нельзя)
–
совокупность операций;


для
проведения измерения обязательным является использование технического средства, хранящего
единицу измерения;


в качестве результата измерения принимается значение физической величины (выражение, размера
физической величины в виде некоторого числ
а принятых для нее единиц).
Последний признак является принципиальным, отличающим измерение от других информационных
процессов. Число может быть выражено комбинацией символов в любой системе счисления, числом импульсов,
комбинацией уровней и любым другим
принятым способом.
Для реализации измерительного процесса необходимо обеспечить:


возможность выделения измеряемой величины среди других величин;


возможность установления единицы, необходимой для измерения выделенной величины;


возможность материализации (воспроизведения или хранения) установленной единицы техническим
средством;


возможность сохранения неизменным размера единицы (в пределах установленной точности) как минимум
на срок, необходимый для измерений.
Сущ
ествуют другие формулировки понятия "измерение". Таково, например, определение измерения,
данное К.Б. Карандеевым, М.П.Цапенко и В.И.Рабиновичем, цитируемое в работе [3]. "Измерение есть процесс
получения информации, заключающийся в сравнении опытным путе
м измеряемых и известных величин или
сигналов, выполнения необходимых логических операций и представления информации в числовой форме". Данная
формулировка дополняет предыдущую в том, что измерение представляет собой информационный процесс, она
предполагае
т, что измерительная информация в дальнейшем используется либо человеком
-
оператором, либо
автоматизированной системой, осуществляющей обработку, хранение и передачу этой информации.
В работе [4] дано еще одно определение: "Измерение
-
получение числового
эквивалента (значения)
величины, характеризующей свойства физического объекта (предмета, процесса, явления), посредством
эксперимента (опытным путем), удовлетворяющего требованиям системы обеспечения единства измерений, основу
которого составляет операция
сравнения аналоговой величины с образцовой (значением меры)". Здесь особое
внимание уделено операции сравнения и удовлетворению требованиям системы единства измерений, что
обусловлено включением в процедуру числовых преобразований. Указанные особенности из
мерений выделены в
связи с необходимостью отделения чисто вычислительных процедур получения количественной информации от
измерительных.
Измерению могут подлежать не только физические величины, но и функциональные зависимости,
характеризующие свойства объ
екта измерения. В этом случае проводятся либо измерения при фиксированных
значениях аргумента (чаще времени или пространственных координат), либо измерения функций с помощью меры,
воспроизводящей образцовую зависимость. Если измеряются случайные величины,
то проводятся статистические
измерения, при которых входное воздействие рассматривается как реализация (ансамбль реализаций) случайного
процесса, а целью измерения является определение значения оценки той или иной вероятностной характеристики.
Причем резул
ьтат измерения должен быть привязан к какому
-
либо моменту времени (или точке пространства) или
к определенной реализации.
1.2. Способы описания измерительных процедур

и результатов измерений
Чаще всего для описания используют уравнение измерений,
устанавливающее связь результата измерения с
входным воздействием и выполняемыми преобразованиями, которые могут быть аналоговыми (обозначим символом
R
1
), аналого
-
цифровыми (
К
) и цифровыми (
R
2
).
В
зависимости от качества аппаратурной реализации принятого алгоритма преобразования можно
разделить на неидеальные (обозначим индексом
н
при соответствующем символе формы преобразования) и
идеальные (без индекса). Если принят алгоритм преобразования, позвол
яющий при идеальной аппаратурной
реализации получить результат измерения в виде истинного значения измеряемой величины, то такое
преобразование называют гипотетическим (
г
). В зависимости от качества алгоритмов преобразования уравнение
измерений может быть
представлено в трех модификациях [4]:
-
уравнение измерений, учитывающее неадекватность аппаратурной реализации принятого алгоритма,
,
где
-
результат измерения, получаемый с помощью
j
-
го измерительного эксперимента;

i
-
входное воздействие;
-
уравнен
ие измерений, представляющее собой принятый алгоритм,
,
где
-
результат измерения, полученный при идеальной реализации принятого алгоритма;
-
уравнение измерений, представляющее собой истинное значение измеряемой величины
Х
j
(гипотетический
алгоритм),
.
Особое место занимает аналого
-
цифровое (А
-
Ц) преобразование, в ходе которого осуществляются три
операции: квантование, сравнение с мерой, дискретизация. Последняя из них связана с тем, что каждое цифровое
значение соотносится с фиксированным моментом
времени, либо с фиксированными пространственными
координатами. Если имеет место дискретизация по времени, то переход от непрерывной функции

(
t
)
к дискретной
последовательности, реализуемой с помощью дельта
–
функции

(
t
)
, может быть описан следующим образ
ом:
,
где
T
-
время наблюдения.
После равномерного квантования с шагом

k

последовательность дискрет

(
t
i
)
преобразуется в
последовательность численных значений:
,
где
E
-
диапазон измерения.
Обозначив операцию идеального аналого
-
цифрового
преобразования
,
определим вид гипотетического А
-
Ц преобразования:
.
Неидеальность аналого
-
цифрового преобразования обусловлена неидеальностью дискретизации,
определяемой тем, что вместо

-
функции используется импульсная переходная характеристика дискр
етизатора
h(t,t
i
)
, и неидеальностью реального интервала квантования
(
)
. Тогда неидеальное аналого
-
цифровое
преобразование может быть представлено следующим образом:
.
Учитывая рассмотренные особенности А
-
Ц преобразования, можно
записать уравнения измерений в виде:
;
.
Рис. 1.1. Структурная модель процесса измерения
i
н
н
н
j
R
K
R
X

1
2
*

*
j
X
i
иj
KR
R
X

1
2
*

*
иj
X
i
г
г
г
j
R
K
R
X

1
2
*



T
t
dt
t
t
t
t
t
i
T
i















,
)
(
)
(
)
(
)
(





























dt
t
t
t
E
t
K
T
i
k
m
i
i
)
(
)
(
1
)
(
1








k
i
t
t
K


)
(
)
(




0
0
)
(
)
(
lim
)
(
i
k
i
г
t
t
t
K
k











н
к








h
н
к
i
T
i
н
к
н
)
(t
)dt
(t)h(t,t
Д
E
(t)
K












1




h
н
к
j
н
н
j
R
R
X


1
2
*




к
j
иj
R
R
X


1
2
*

Более полно и наглядно измерительный
процесс можно представить в виде
структурной модели
(рис.1.1), [5]. В ней учитывается: многообразие объектов и видов измерений (механических, радиотехнических,
химических, акустических, медицинских и др.); влияние неконтролируемых возмущений; возможность п
роведения
как детерминированных, так и статистических, а также комплексных и элементарных измерений.
Так, измерения всего многообразия реальных объектов (множество
Х
) в виде изменяющихся во времени или
пространстве физических величин, технических устройств
и т.д. должны быть обеспечены соответствующим
множеством
М
(тезаурусом) математических моделей (формул), по которым может быть точно воспроизведено
множество
Э
эталонов в виде физических моделей (устройств).
С помощью эталонов реализуются (напрямую или о
посредовано) соответствующие известные объекты, без
которых не возможен измерительный процесс. Если, например,
Х
-
множество физических свойств реального
внешнего мира, характеризуемых некоторыми константами, то
М
-
система единиц, а
Э
-
множество первичны
х
эталонов этих единиц. Если множества
Х
,
М
,
Э
полностью эквиваленты, то это будет соответствовать гипотетической
цепочке
Х
-
М
-
Э
.
В рассматриваемой структурной модели предполагается, что на процесс измерения оказывает
воздействие не только объект измерени
я, точнее
-
один элемент
х

X
(какой именно, неизвестно), но и внешние
неконтролируемые возмущения
z

Z
(температура, давление, влажность и т.д.) Влияют также отклонения значений
параметров
c

C
участвующих в нем измерительных устройств (из
-
за технологическог
о разброса, старения и т.д.), в
том числе отклонения значений параметров рабочей меры, вызванные несовершенством системы передачи единиц
от эталонов. Все эти воздействия имеют случайный характер. Поэтому эффект их влияния на измерительный
процесс определяе
тся вероятностными механизмами
ВМ
х
,
ВМ
z
,
ВМ
с
и
ВМ
к
соответственно.
Процесс измерения может быть идеальным и реальным (неидеальным). В первом случае идеальная
измерительная система*
,
представляющая собой гипотетическое устройство, реализующее процесс измер
ения,
описываемый оператором
А
и
, сравнивает с помощью оператора

по определенному алгоритму исследуемый объект
Х
с эталонами
Э
. Получаемый результат измерения
y
и
будет свободен от погрешностей, поскольку множества
Х
,
М
,
Э
эквивалентны, а влияющие факторы отсутствуют. Кроме того, при фиксированном
Х
y
и
не является случайной
величиной, что дает основание считать идеальную систему детерминированной.
Процесс измерения, осуществляемый реальной системой в соответствии с операто
ром
А
р
,
характеризуется использованием меры и компаратора, а также наличием влияющих факторов. Соответственно
вступают в действие вероятностные механизмы
ВМ
к
,
ВМ
z
,
ВМ
с
. Кроме того, задействуется также вероятностный
механизм
ВМ
х
, связанный с ограниченностью
числа и длительностью доступных для наблюдения реализаций
исследуемого процесса. Получаемый результат измерения
y
р
будет не свободен от погрешности измерения, значение
которой может быть установлено сравнением по алгоритму


результатов измерения
y
р
и
y
и
. Показания реальной
системы изменяются случайным образом из
-
за действия вероятностных механизмов. Поэтому погрешность
измерения является случайной величиной, а реальная система является стохастической. Оператор

ставит в

соответствие закону распределения
погрешности измерения некоторую числовую характеристику
-
погрешность
системы
r
, которая затем сравнивается с предельно допустимой

пд
. По результату сравнения принимается решение
о возможности дальнейшего использо
вания системы или о необходимости ее усов
ершенствования (оператор
U
).
Вопросы для самопроверки
1. Каковы основные отличительные признаки заложены в понятии «измерение физической величины»?
2. Что называется уравнением измерений? Как оно видоизменяется в зависимости от качества
принятого
алгоритма преобразований при измерениях и аппаратурной реализации?
3. Как видоизменяется уравнение измерений при наличии в измерительной процедуре аналого
-
цифровых
преобразований?
4. Как можно
представить в виде структурной модели процесс измерений, осуществляемый с помощью
идеальной измерительной системы?
5. Как можно представить в виде структурной модели процесс измерений, осуществляемый с помощью
реальной измерительной системы?

Под понятием "Измерительная система" здесь и в дальнейшем предполагается вся совокупность средств измерений,
необходимая и достаточная для проведени
я данного измерительного эксперимента.
Глава 2. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ
2.1 Общие положения и классификация
Слово "сигнал" происходит от латинского "
signum
"
–
знак. В широком смысловом значении оно
отождествляется с такими понятиями, как
сообщение
,
инф
ормация
. Более узко сигнал трактуется как процесс
изменения во времени или в пространстве физического состояния какого
-
либо объекта, служащий для отображения,
регистрации и передачи сообщений с содержащейся в них ин
формацией.
Классифицируя сигналы, прежде
всего следует разделить их по виду энергии, с помощью которой
осуществляется представляющий их физический процесс. По этому признаку сигналы разделяются на механические,
электриче
ские, магнитные, тепловые, акустические, световые, ионизирующих излучений и
др.
Применительно к задачам теории измерений следует рассматривать два типа сигналов
–
образцовые
и
измерительные
, различающиеся характером со
держащихся в них сведений.
Образцовыми
называют сигналы с априорно известными характеристи
ками, формируемые с п
омощью
образцовых мер и цифроаналоговых преобразователей.
Измерительными
называют сигналы, одна или несколько характеристик которых априорно неизвестны и
функционально связаны с измеряемой величиной. Параметры измерительного сигнала, несущие неизвестные на
м
сведения, измерительную информацию, называются
информативными параметрами
.
Измерительные сигналы разделяются в зависимости от того, в какой части средства измерений (СИ) они
действуют. Сигналы, действующие на входе СИ, называют
входными
, а на выходе
–
в
ыходными
. Информативным
параметром входного сигнала является параметр, функционально связанный с измеряемой величиной. На
информативные параметры входного сигнала могут оказывать нежелательные влияния его неинформативные
параметры. Информативный параметр в
ыходного сигнала однозначно функционально связан с измеряемой
величиной или с информативным параметром входного сигнала.
Для теоретического изучения и расчетов получения возможности обобщенно, независимо от физической
природы, судить о свойствах сигналов,
предсказывать результаты в изменившихся условиях создаются и
используются
математические модели
. С помощью математической модели мы получаем возможность описывать
именно те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяющие, главные, и игнори
ровать большое
число второстепенных признаков. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и
комплексные значе
ния. Соответственно сигналы могут быть
вещественными
и
комплексными
.
Знание математических моделей сигналов дает возможнос
ть классифицировать их по различным признакам,
характерным для того или иного типа моделей. Так, прежде всего, сигналы разделяются на неслучайные и
случайные в зависимости от возможности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в
любые
моменты времени. Если математическая модель позволяет осуществить такое предсказание, то сигнал
является неслучайным и называется
детерминированным
. Он может быть задан математической функцией,
вычислительным алгоритмом и даже словесным описанием.
Обобщен
но функция, описывающая математическую модель сигнала, может быть представлена в виде
где
x
–
информативный параметр сигнала;
t
,
z
,

–
независимые аргументы (время, пространственная координата,
частота);
A
,
B
,
C
…
–
параметры
сигналов. Чаще используется модель с одним независимым аргументом.
Соответственно модели называют временными, пространственными или частотными. Применяются
также векторные модели. Примеры основных видов моделей сигналов показаны на рис. 2.1.
,...),
,
,
,...
,
,
(
C
B
A
z
t
F
x



Рис. 2.1. Временная (
t
), частотная (

), векторная (
v
) диаграммы:
а
,
б
,
в
–
постоянного сигнала;
г
,
д
,
е
–
синусоидального сигнала
Выбор адек
ватной математической модели сигнала во многом предопределяет результат измерения. Но
модель должна быть, по возможности, проще и минимизирована по количеству независимых аргументов.
В математической модели детерминированного сигнала априорно известны все
параметры. Такая модель
может быть использована только для описания образцовых сигналов.
Для описания неслучайных
измерительных
сигналов используются
квазидетерминированные
модели, в
которых значения одного или нескольких параметров априорно неизвестны и ч
аще всего считаются случайными
величинами с малой случайной (шумовой) компонентой, влиянием которой можно пренебречь. Примеры:
постоянный сигнал с неизвестным размером; синусоидальный сигнал с известной частотой и постоянной, но
неизвестной амплитудой.
Слу
чайным
называется сигнал, закон изменения которого во времени (или в пространстве) носит случайный
характер. Модель такого сигнала представляет собой описание статистических характеристик случайного процесса
путем задания законов распределения вероятностей
, корреляционной функции, спектральной плотности энергии и
др.
Следует отметить, что детерминированные процессы в строгом понимании этого слова в природе не
существуют вследствие неизбежного влияния внешних факторов и условий, хаотических тепловых флюктуац
ий,
неполноты знаний о начальном состоянии системы. Поэтому, в принципе, любой сигнал является случайной
функцией времени; с другой стороны, если мы имеем дело со случайным сигналом, но уровень помех значительно
меньше уровня полезного сигнала с известной
формой, мы можем использовать детерминированную модель.
В зависимости от числа принимаемых значений измерительные сигналы разделяются на аналоговые,
квантованные и дискретизированные.
Аналоговым
(континеальным) называют сигнал, изменение которого во времен
и или пространстве имеет
непрерывный характер. Параметры аналогового сигнала изменяются непрерывно, а число мгновенных значений
функции, описывающей сигнал, бесконечно при любом приращении аргумента. Одномерный аналоговый сигнал
наглядно представляется сво
им графиком, который может быть как непрерывным, так и с точками разрыва.
Квантованным
сигналом называется физический процесс, основная характеристика которого может
принимать ограниченное множество размеров в пределах диапазона измерений.
Дискретизирова
нным
называют
сигнал, у которого размер хотя бы одного параметра может быть отличен от нуля только при определенных
значениях аргумента описывающей его функции. Таким аргументом могут быть: время, пространственные
координаты, частота. Соответственно, сигна
л называется дискретизированным по времени, по пространству и по
частоте. На рис. 2.2 графически представлены вышерассмотренные формы сигналов.
Простейшая математическая модель дискретизированного по времени сигнала
x
д
(
t
)
–
это счетное множество
точек
{
t
i
}
(
i
–
целое число) на оси времени (см.рис. 2.2,
в
), в каждой из которых определено отсчетное значение

сигнала
x
i
(на графике соответствующий вертикальной отрезок прямой). Как правило, шаг дискретизации
T
ц
=
t
i
+1
-
t
i
для каждого сигнала постоянен. Благодаря том
у, что дискретизированный сигнал воспроизводится только в
определенные моменты времени, появляется возможность по одной и той же линии связи передавать сообщения из
разных источников, организуя многоканальную связь с разделением каналов по времени.
Рис. 2.2. Четыре формы сигналов:
а
–
непрерывная;
б
–
квантованная;
в
–
дискретизированная,;
г
–
дискретизированная и квантованная
Квантованный сигнал, широко используемый при преобразованиях код
-
аналог и аналог
-
код (
см.рис 2.2,
б
),
представляет собой ступенчатую изменяющуюся величину с заданными размерами ступеней
–
шагов квантования
q
к
.
Мгновенное значение величины
x
кв
(
t
)=
N
i
q
к
при равномерном квантовании (
q
к
=
const
) равно соответствующему числу
ступеней
N
i
, представляе
мому обычно в числовом коде. Квантованная и дискретизированная формы сигналов могут
быть обусловлены самой физической природой процесса, например: дискретность процессов ионизирующего
излучения; квантованность постоянной длиной волны

пространственной коо
рдинаты светового когерентного луча;
дискретность временной координаты периодического сигнала, связанная с постоянством его периода и др.
Еще одной разновидностью дискретных сигналов являются кодовый измерительный сигнал, в котором
известные или неизвестны
е данные или характеристики заключены в количестве или расположении его элементов
во времени или в пространстве. Элементами кодовых сигналов служат электрические импульсы или потенциалы. Так
как информативным параметром кодового измерительного сигнала явля
ется число, то такие сигналы часто называют
цифровыми
. Особенностью цифровых сигналов является отсутствие влияния на его значения изменений
неинформативных параметров.
2.2. Математические модели и параметры
квазидетерминированных сигналов
2.2.1. Элементарные сигналы
Квазидетерминированные сигналы делятся на элементарные и сложные.
Характерными особенностями
элементарных
квазидетерминированных сигналов являются: простота
математической модели,
минимальное число параметров, простота реакций звеньев. На основе математических
моделей элементарных сигналов строятся модели сложных сигналов.
Основными
элементарными сигналами
являются: постоянный сигнал, идеальный единичный импульс,
синусоидальный сигн
ал.
Постоянный сигнал
имеет только один параметр
x
, который неизменен во времени (рис. 2.3,
а
).
x
=
A
;
A
=
const
.
Идеальный единичный импульс
(рис. 2.3,
б
) описывается математической моделью в виде дельта
-
функции
(

-
функции):
при
t

t
и
;
при
t
=t
и
,



0
)
(
и
t
t


где
t
и
–
момент действия импульса, являющийся единственным параметром

-
функции, указывающим его положение
на оси времени.
Идеальный единичный импульс рассматривается как предельный случай реального прямоугольного
импульса с конечной длительностью


0
, площадью
F
=1
, амплитудой
X
м
=1/



.
Интеграл

-
импульса
.
(2.1)
Рис. 2.3. Основные элементарные сигналы:
а
–
постоянный сигнал;
б
–
идеальный единичный импульс;
в
–
единичный сигнал на выходе
интегратора;
г
–
дельта
-
функция на выходе д
ифференциатора
При
t=t
и
и
t
>
t
и
интеграл

-
функции отличен от нуля. Когда
t
>
t
и
, он представляет собой единичную
функцию 1
(t
-
t
и
)
(рис. 2.3,
в
):
t
>
t
и
;
t
<
t
и
.
После дифференцирования (рис. 2.3,
г
) единичной функции получим дельта
-
функцию:
.
В результате интегрирования единичной функции получается линейно нарастающая функция

(
t
)
.
при
t
<0
;
при
t
>0.
Важное свойство дельта
-
функции отражено в выражении
.
(2.2)
Как видно, физическая размерность дельта
-
функции такая же,
как и размерность частоты, то есть
с
-
1
. Таким
образом, если непрерывную функцию умножить на дельта
-
функцию и произведение проинтегрировать по времени,
то результат будет равен значению непрерывной функции в точке, где сосредоточен

-
импульс. Такое свойство

-
функции называют
фильтрующим
или
стробирующим
. Оно используется для представления дискретизированной во
времени функции с периодом дискретизации
T
ц
:
.
(2.3)
Синусоидальный
или
гармонический
сигнал, описываемый моделью вида



t
dt
t
t
0
0
1
)
(

0
1
)
(
0
0



dt
t
t
t

)
(
)]
(
1
[
и
и
t
t
dt
t
t
d




t
t
0
)
(


)
(
)
(
)
(
и
и
t
x
dt
t
t
t
x







)
(
)
(
)
(
1
ц
N
i
ц
д
iT
t
iT
x
t
x






,
(2.4)
и
меет три параметра: амплитуду
X
м
, период
T
или частоту

=2

/T и начальную фазу

. Такой сигнал широко
используется при измерениях, является одним из наиболее простых и удобных для анализа временных
зависимостей. Это объясняется тем, что гармонические сигн
алы инвариантны относительно преобразований,
осуществляемых стационарными линейными системами. Если на вход такой системы подан гармонический сигнал, то
сигнал на выходе системы остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь
а
мплитудой и начальной фазой.
2.2.2. Сложные полигармонические сигналы
Сложные
квазидетерминированные сигналы
бывают периодические и непериодические переходные.
К
периодическим
сложным сигналам относятся полигармонический сигнал, последовательность
им
пульсов прямоугольной, экспоненциальной и других форм.
Математическая модель
полигармонического
периодического сигнала характеризуется условием
x(t)=x(t+kT)
, где
T
–
период,
k=1,2,3…
, это означает, что основной параметр сигнала
x
повторяет все свои значен
ия
через интервал времени, равный периоду
T
. Чаще всего полигармонические периодические сигналы представляются
с помощью элементарных сигналов путем разложения их в ряд по соответствующим функциям:
,
(2.5)
где
A
k
–
коэффициенты разложения членов ряда, н
азываемые
спектром
;

k
(
t
)
–
элементарные функции.
Выражение (2.5) называется
обобщенным рядом Фурье
в выбранном базисе
ортонормированных функций
[6,7].
Ортонормированной называют систему функций, отвечающих условиям ортогональности и нормированности.
Ортогональными называется совокупность функций

k
(
t
)
и

n
(
t
)
, удовлетворяющая на отрезке
времени
(
t
2
-
t
1
)
условию
,
(2.6)
где
k
=1,2,3,…,
m
;
n
=1,2,3,…,
m
при
n

k
.
Условие (2.6) будет соблюдаться, если одна из двух функций не содержит в своем составе
компонент, имеющих форму второй ортогональной ей функции. Нормой в математике называют длину вектора. В
нормированном
линейном пространстве сигналов
(
L
)
каждому вектору

(
t
)

L
однозначно сопоставлено число





–
норма
этого вектора. Чаще всего
полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму
.
(2.7)
Квадрат нормы носит название
энергии сигнала
.
(2.8)
-
такая энергия выделяется в резисторе сопротивлением 1 Ом, если к нему приложено напряжение

(
t
)
.
Ортонормированные
функции отвечают условию
.
(2.9)
Для определения коэффициентов обобщенного рядя Фурье разложим произвольный сигнал
x
(
t
)
в
ряд вида
, (2.10)
умножим правую и левую части этого выражения на базисную функцию

k
(
t
)
с произ
вольным номером
k
и затем
проинтегрируем результаты по времени:
(2.11)
Ввиду ортогональности базиса в правой части остается только член суммы с номером
i
=
k
, поэтому
)
2
sin(
)
sin(








T
t
X
t
X
x
м
м



N
k
k
k
t
A
t
x
1
)
(
)
(

0
)
(
)
(
1
2
1
1
2



t
t
n
k
dt
t
t
t
t








dt
t
)
(
2








dt
t
E
x
)
(
2
2





2
1
1
)
(
2
t
t
k
dt
t
E





0
)
(
)
(
i
i
i
t
A
t
x

.
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
1
2
1






i
t
t
k
i
i
t
t
k
dt
t
t
A
dt
t
t
x




.
(2.12)
Обычно в качестве ортонормированного базиса ряда Фур
ье используется совокупность
тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом:
;
;
;
;
; (2.13)
; …
Любая функция

k
из этого базиса удовлетворяет условию периодичности. Используя (2.10) и
(2.13), получа
ем выражение для тригонометрического ряда Фурье
x
(
t
)
=
a
0
+
a
1
cos

0
t
+
b
1
sin

0
t
+
a
2
cos
2

0
t
+
b
2
sin
2

0
t
+…+
a
k
cos
k

0
t
+
b
k
sin
k

0
t
,
или
(2.14)
с коэффициентами:
.
(2.15)
Итак, в
общем случае сложный периодический сигнал содержит не зависящую от времени
постоянную
составляющую
и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых
гармоник
с частотами

k
=
k

(
k
=1,2…
), с частотами, кратными основной частоте последовательности.
Каждую гармонику можно описать ее амплитудой
A
k
и начальной фазой

k
. Для этого
коэффициенты рядя Фурье следует записать в виде
,
.
Так что
,
.
(2.16)
Подставив эти выражения в (2.15), получим другую эквивалентную форму ряда Фурье:
.
(2.17)
Итак, описав полигармонический периодический сигнал с помощью тригонометрического рядя
Фурье и определив коэффициенты (
A
k
и

k
,
k
=1,2…
) для всех элементарных гармонических составляющих, мы можем
представить такой сложный сигнал в частотной фор
ме: в виде дискретных линейчатых спектров амплитуд и фаз.
Спектры графически изображены (рис 2.4) в виде вертикальных линий вдоль оси частот в точках

0
,
2

0
,
3

0
…
n

0
,
причем высота каждой из этих линий пропорциональна амплитуде или фазе данной частотной с
оставляющей. Два
дискретных спектра используются только в тех случаях, когда частотные составляющие спектра являются
комплексными числами. Если же частотные составляющие являются только действительными или только мнимыми
числами, сложный периодический сигн
ал представляется только одним спектром
–
амплитудным.
Рис. 2.4. Спектр амплитуд (
а
) и спектр фаз (
б
) периодического сигнала


2
1
)
(
)
(
t
t
k
k
dt
t
t
x
A

T
1
0


t
T
0
1
sin
2



t
T
0
2
cos
2



t
T
0
3
2
sin
2



t
T
0
4
2
cos
2



t
T
0
5
3
sin
2









1
0
0
0
)
sin
cos
(
)
(
k
k
k
t
k
b
t
k
a
a
t
x


;
)
(
1
2
2
0



T
T
dt
t
x
T
a
;
cos
)
(
2
2
2
0



T
T
k
tdt
k
t
x
T
a




2
2
0
sin
)
(
2
T
T
k
tdt
k
t
x
T
b

k
k
k
A
a

cos

k
k
k
A
b

sin

2
2
k
k
k
b
a
A


k
k
k
a
b
tg


)
cos(
2
)
(
0
1
0
k
k
k
t
k
A
a
t
x









Заметим, что очень часто дискретные спектры характеризуются совокупностью важных
информативных
параметров сигнала в виде амплитуд и фаз отдельных гармоник, полосы частот и пр.
Второй формой тригонометрического рядя Фурье является
экспоненциальный ряд Фурье
, в котором
в качестве ортонормированного базиса используется совокупность комплексных функций
.
,
k
=0,

1,

2,…
(2.18)
Экспоненциальный ряд Фурье имеет вид
.
(2.19)
Сигналы в виде
периодической последовательности импульсов прямоугольной формы
(рис. 2.5), находящие
широкое применение в информационных процессах, также относятся к классу сложных к
вазидетерминированных
периодических сигналов. Периодический импульсный сигнал описывается функцией и определяется тремя
параметрами: амплитудой
X
m
, периодом повторений
T
и длительностью импульса

, а также скважностью
(2.20)
или обратным ей парамет
ром
–
коэффициентом заполнения
(2.21)
Любой из этих параметров может быть информативным. Математическая модель сигнала:
при
kT
<
t
<
kT
+

;
k
=0,

1,

2…
при
kT
+

<
t
<(
k
+1)
T
.
Рис. 2.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Следует отметить, что при анализе периодических сложных сигналов, независимо от их формы,
кроме рассмотренных, часто используются также следующие параметры:
текущее среднее значение за время
T
(2.22)
среднее значение (постоянная составляющая)
(2.23)
среднее выпрямленное значение
(2.24)









T
t
jk
U
k
0
exp(

;
...
...
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
1
1
t
j
k
k
t
jk
k
t
jk
k
t
j
t
j
t
j
t
j
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
t
x






























2
2
0
)
(
1
T
T
t
jk
k
dt
e
t
x
T
C


ц
T
Q

.
ц
T
q






0
)
(
м
X
t
x
;
)
(
1
.



T
t
t
тек
ср
dt
t
x
T
x
;
)
(
1
0


T
ср
dt
t
x
T
x
;
)
(
1
0
.


T
выпр
ср
dt
t
x
T
x

действующее или среднее квадратичное значение
(2.25)
Информативными параметрами периодических сигналов сложной формы могут также являться:
максимальное
отклонение сигнала в сторону больших значений от постоянной составляющей
(2.26)
максимальное отклонение сигнала в сторону меньших значений от постоянной составляющей
(2.27)
размах периодического сигнала
(2.28)
коэффициент амплитуды
(2.29)
коэффициент формы
(2.30)
2.2.3. Почти периодические сложные сигналы
Одной из разновидностей часто встречающихся сложных квазидетерминированных сигналов
являются так называемые
почти периодические сигн
алы
[6]. Такое название эти сигналы получили потому, что они
не в полной мере отвечают условию формирования сложных периодических процессов суммированием двух или
более синусоидальных гармоник с
кратными частотами
. Это означает, что отношения любых пар гар
моник
представляют собой
рациональные числа
.
Приведем примеры функций, описывающих два сигнала:
;
В первой функции все значения отношений частот возможных пар гармоник представляют
рациональные числа: 2/5; 2/9; 5/9.
Во второй
–
и
не являются раци
ональными числами. Итак, сложный сигнал,
описываемый второй функцией, является почти периодическим. Сигналы такого типа относятся к классу сигналов с
ограниченным спектром и аналитически представляются с помощью преобразования Гильберта.
По Гильберту слож
ный сигнал
x
(
t
)
, состоящий из суммы гармонических составляющих,
расположенных в
узкой
полосе частот, представляется выражением
,
(2.31)
в котором каждое слагаемое рассматривается как проекция на ось абсцисс вектора
x
k
(
t
)
, находящегося под углом
(

k
t
+

k
)
к оси абсцисс (рис.2.6).
Сигнал, соответствующий проекции вектора
X
k
(
t
)
на ось ординат, называют
сопряженным
сигналу
x
k
(
t
)
.
.
Если представить математическую модель сложного сигнала в виде
.
)
(
1
0
2


T
скз
dt
t
x
T
x
];
)
(
[
max
max
ср
T
t
x
t
x
x




;
]
)
(
[
min
max
ср
T
t
x
t
x
x




;
max
max




x
x
x
разм
;
скз
m
a
x
x
K

.
.
выпр
ср
скз
ф
x
x
K

)
9
sin(
)
5
sin(
)
2
sin(
)
(
3
3
2
2
1
1









t
x
t
x
t
x
t
x
).
60
sin(
)
5
sin(
)
2
sin(
)
(
3
3
2
2
1
1









t
x
t
x
t
x
t
x
60
2
60
5
)
cos(
)
(
0
k
k
k
k
t
x
t
x







)
sin(
)
(
€
k
k
k
t
x
t
x




Рис. 2.6. К представлению
периодического сигнала по Гильберту

,
то тогда
;
(2.32)
;
(2.33)
где
A
(
t
)
–
результирующий вектор, называемый огибающей сигнала
x
(
t
)
;
Ф(
t
)
–
угол сдвига
–
полная фаза сигнала
x
(
t
)
, образованная результирующим в
ектором
A
(
t
)
с осью абсцисс.
Из соотношений (2.31), (2.32), (2.33) следует, что функция
x
(
t
)
представляет собой проекцию
вектора
A
(
t
)
на ось абсцисс, относительно которой отсчитывается угол
Ф(
t
)
. Причем в точках, где
, имеет
место равенство
.
Кроме того
, при
=0
.
Это означает, что в точках
кривые
A
(
t
)
и
x
(
t
)
имеют общие касательные. Тот факт, что при
функция
x
(
t
)
принимает значения, близкие к амплитудным, означает, что функция
A
(
t
)
является огибающей быстро
осциллирующей функции.
Связь между сопряженным и исходным сигналами описывается парой преобразований Гильберта:
прямым
,
(2.34)
и обратным
.
(2.35)
Вычисление по (2.34) и (2.35) показывает, что если
x
(
t
)=
, то
, а если
, то
. Из этого следует, что для преобр
азования гармонического сигнала по Гильберту
его нужно сместить на угол

/2 в сторону запаздывания. Преобразования Гильберта для сигнала
x
(
t
)
, состоящего из
суммы гармонических составляющих, реализуются поворотом каждой из них на угол

/2 в сторону запазды
вания.
Одним из часто встречающихся на практике является измерительный сигнал, представляющий
сумму двух гармонических колебаний с близкими частотами

1
и

2
:
.
Причем
,
то есть результирующий сигнал является узкополосным. Сигнал,
сопряженный результирующему, согласно выше
установленному правилу, имеет вид
.
Применив (2.32) и (2.33), получим:
;
.
)
(
cos
)
(
)
(
t
t
A
t
x


)
(
€
)
(
)
(
2
2
t
x
t
x
t
A


)
(
)
(
€
)
(
t
x
t
x
arctg
t


0
)
(
€

t
x
)
(
)
(
t
x
t
A

)
(
€
t
x
dt
t
dx
t
d
t
dA
)
(
)
(
)
(

0
)
(
€

t
x
0
)
(
€

t
x










d
t
x
t
x
)
(
1
)
(
€











d
t
x
t
x
)
(
€
1
)
(
t

cos
t
t
x

sin
)
(
€

t
t
x

sin
)
(

t
t
x

cos
)
(
€


t
X
t
X
t
x
m
m
2
1
cos
cos
)
(
2
1




2
2
1
2
1










t
X
t
X
t
x
m
m
2
1
sin
sin
)
(
€
2
1




t
K
K
X
t
x
t
x
t
A
m







cos
2
1
)
(
€
)
(
)
(
2
2
2
1













t
X
t
X
X
arctg
t
m
m
m


sin
cos
)
(
2
2
1

Рис. 2.7. Сумма двух синусоид с отношением частот, близким к единице (
а
);
сумма синусоид с большим отношением частот (
б
)
Полигармонический сигнал образует биения (рис.2.7,
а
). Если
, то гармоника первого сигнала
называется
главной компонентой
или главной гармоникой. Амплитуда биения изменяется от (
) (“горб”)
до (
) (“талия”). Частота биения равна


. Суммарный сигнал
-
биение
не является синусоидой, но похож
на нее. Отличие определяется непостоянством амплитуды и фазы в течение периода биения. Огибающие биения
образуют полосу огибания. При двухкомпонентном сигнале нижняя огибающая является зеркальным изображением
верхней. Ампл
итуда огибающей равна амплитуде второстепенной компоненты.
Если отношение частот компонент значительно отличается от единицы, то высокочастотная
компонента на суммарной кривой представляется в виде пульсаций, наложенных на низкочастотную (рис.2.7,
б
).
Амплитуда и фаза огибающей равны амплитуде и фазе высокочастотной компоненты, а ширина полосы равна
удвоенной амплитуде высокочастотной компоненты.
Частотный спектр почти периодических сигналов является дискретным.
2.2.4. Непериодические (переходные)
сигналы
Непериодические сигналы
так же, как и периодические, анализируются с помощью частотного
представления. Однако для этих сигналов не могут быть использованы рассмотренные выше коэффициенты ряда
Фурье
a
k
,
b
k
,
c
k
,

k
, так как “период”
T
стремится к
бесконечности. Для представления непериодических сигналов в
частотной области используют
интегральное преобразование Фурье
, которое можно получить путем предельного
перехода при рассмотрении
непериодического сигнала в виде импульса конечной длительности (рис. 2.8). Если его
мысленно дополнить такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени
T
, то
получим периодическую последовательность
x
пер
(
t
)
, которая может быть
представлена в виде комплексного ряда
Фурье
,
(2.36)
Рис. 2.8. Одиночный сигнал и воображаемая
периодическая последовательность
2
1
m
m
X
X

2
1
m
m
X
X

2
1
m
m
X
X






k
t
jk
k
пер
e
c
t
x
0
)
(


с коэффициентами
(2.37)
Если теперь период
T
стремить к бесконечности, то час
тоты соседних гармоник
k

0
и
(k+1)

0
окажутся сколь угодно близкими (так как
,
), и дискретную переменную
k

0
можно заменить
непрерывной переменной

–
текущей частотой. Амплитудные коэффициенты
C
k
станут неограниченно малыми из
-
за
наличия величины
T
в з
наменателе формулы (2.37).
Таким образом, в предельном переходе возникает непрерывный спектр. Однако вместо исчезнувших
коэффициентов
C
k
, соответствующих отдельным амплитудам, вводят так называемую спектральную плотность
Х(

)
при условии интегрируемости
Х(
t
)
на интервале
-

<
t
<+

, связанную с сигналом
x
(
t
)
зависимостью
(2.38)
Формулу (2.38) и называют
интегральным преобразованием Фурье
или непрерывным комплексным спектром
сигнала.
Спектральную плотность
X(

)
называют также спектральной функцией или Фурье
-
образом сигнала. Ее
можно трактовать как коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот


и отвечающей
ему комплексной амплитудой

A

b
гармонического сигнала с некоторой частотой

b
. Прич
ем вклад в амплитуду
дают в равной мере и положительные, и отрицательные частоты, образующие окрестности


b
. Следует отметить,
что спектральная плотность
–
комплексно
-
значная функция частоты, одновременно несущая информацию как об
амплитуде, так и о фазе
элементарных синусоид.
Формулу (2.38) называют
прямым
преобразованием Фурье. В спектральной теории сигналов решается и
обратная задача
–
нахождение сигнала по его спектральной плотности, которую считают заданной.
Непериодический сигнал в этом случае получа
ется из его периодической последовательности, когда ее период
устремляется к бесконечности. В результате может быть получено выражение
,
(2.39)
называемое
обратным
преобразованием Фурье. Итак, сигнал
x
(
t
)
и его спектральная плотность
Х(

)
взаимно
однозначно связаны прямым и обратным преобразованием Фурье. Основные непериодические переходные сигналы
и их спектры представлены на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Примеры непериодических сигналов и их спектров:
а
–
экспоненциальный,
б
–
затухающий
колебательный,
в
–
прямоугольный
Представленные сигналы описываются функциями:
экспоненциальной
затухающей колебательной
.
)
(
1
2
2
0




T
T
t
jk
k
dt
e
t
x
T
c

T


2
0



T
.
)
(
)
(






dt
e
t
x
X
t
j











d
e
X
t
x
t
j
)
(
2
1
)
(







0
)
(
at
m
e
X
t
x
t

0;
t<0;
t

0;
t<0;

прямоугольной
В качестве информативных параметров
непериодических сигналов выступают амплитуда и
постоянная времени затухания (рис.2.9,
а
), амплитуда, постоянная времени затухания, фаза и частота (рис.2.9,
б
),
амплитуда и длительность прямоугольного импульса (рис.2.9,
в
).
Наряду с рассмотренными формами пре
дставления сложных сигналов широко применяют
представления сигналов в виде изображений по Лапласу
.
(2.40)
Таблицы изображений по Лапласу для различных функций можно найти в литературе.
Важную роль при анализе квазидетерминированных сигналов играют так
ие его характеристики, как
спектральная плотность энергии
и
корреляционная функция
.
Спектральное представление энергии сигнала получается из обобщенной формулы Рэлея, имеющей
вид
,
(2.41)
где
(
x
,
y
)
–
скалярное произведение двух вещественных си
гналов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
. Произведение
Х(

)
Y
*
(

)
называют
взаимным энергетическим спектром. Если сигналы
x
(
t
)
и
y
(
t
)
одинаковые, то получим выражение для
спектральной плотности энергии сигнала
x
(
t
)
, которую также называют энергетическим спектром
.
(2.42)
С другой стороны, если сигналы
x
(
t
)
и
y
(
t
)
тождественно совпадают, то их скалярное произведение
равно энергии:
.
(2.43)
Использовав (2.41)
-
(2.43), получим
.
(2.44)
Выражение (2.44) известно в различных областях физики как
формула
Рэлея
(в узком смысле). Как
видно, энергия любого сигнала равна сумме вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый
интервал положительных частот


обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный
,
где

b
–
некоторая внутренняя точка дан
ного интервала.
В отличие от преобразований Фурье, в которых комплексные амплитуды описывают вклады малых
частотных участков и характеризуются модулями и фазами, соответствующие энергии являются вещественными
числами. Поэтому вследствие отсутствия фазовых
характеристик спектра имеет место некоторая потеря
информации. Тем не менее энергетические спектры сигналов достаточно часто используют при анализе реальных
сигналов.
При анализе сигналов на практике возникает потребность в сравнении сигналов, сдвинутых
во
времени. Примером могут служить сигналы импульсного радиолокатора, принцип работы которого основан на
задержке

во времени между зондирующим
x
(
t
)
и принятым
x
(
t
-

)
сигналами. Измерив задержку

, определяют
дальность до цели. К числу главных задач следу
ет отнести и определение скорости изменения сиг
нала во времени
без разложения его на элементарные составляющие и др.







0
cos
)
(
t
e
X
t
x
at
m





0
)
(
m
X
t
x






dt
e
t
x
P
X
pt
)
(
)
(









d
Y
X
y
x
)
(
)
(
2
1
)
,
(
*
2
*
)
(
)
(
)
(
)
(




X
X
X
W
x









dt
t
x
x
x
E
x
)
(
)
,
(
2













d
W
dt
t
x
E
x
x
)
(
2
1
)
(
2






)
(
1
в
x
x
W
E
t

0;
t<0.

Для решения задач такого типа используется характеристика квазидетерминированного сигнала,
называемая
автокорреляционной функцией
(АКФ). А
КФ дает возможность количественно определить степень
отличия сигнала
x
(
t
)
от смещенной во времени копии
x
(
t
-

)
и равна скалярному произведению сигнала и копии:
(2.45)
Зависимость (2.45) справедлива для сигналов, имеющих локализованный во време
ни импульсный
характер (условие существования интеграла).
При

=0
АКФ становится равной энергии сигнала:
.
(2.46)
Другие свойства АКФ:
четность
;
при любом значении

модуль АКФ не превосходит энергию сигнала:
.
Следовательно, АКФ представляется
кривой с центральным всегда положительным максимумом,
имеющей монотонно убывающий либо колебательный характер.
Для примера определим АКФ прямоугольного импульса с амплитудой
X
m
длительностью

и
. Данный
импульс и его “копия”, сдвинутая во времени в сторону
запаздывания на

, показаны на рис. 2.10,
а
.
Рис. 2.10. Нахождение АКФ прямоугольного импульса:
а
–
прямоугольный импульс и его «копия»;
б
–
АКФ прямоугольного импульса
Интеграл вычисляется на основе графического построения:
x
(
t
)

x
(
t
-

)
отлично от нуля лишь в
пределах изменения времени, при котором имеет место наложение сигналов (заштрихованные части графика), что
соответствует интервалу времени

и
-



. Исходя из этого, можно записать
График
R
0
(

)
–
треугольник, у которого основание в два раза больше длительности импульса (рис.2.10,б).
Для сигналов в виде неограниченно протяженной во времени последовательности АКФ может быть
определена, если считать, что данная последовательность получается из неко
торого импульсного сигнала,
длительность

и
которого стремится к бесконечности. АКФ такого сигнала определяется как
среднее
значение
скалярного произведения сигнала и его копии:
(2.47)
В этом случае АКФ
становится равной
средней взаимной мощности
сигн
алов
x
(
t
)
и
x
(
t
-

и
)
.
Следует отметить, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала,
определяемая выражением
.
)
(
)
(
)
(






dt
t
x
t
x
R
x


x
x
E
R

)
0
(
)
(
)
(




x
x
R
R
x
x
E
R
R


)
0
(
)
(


















.
,
0
;
,
1
)
(
2
и
и
и
m
x
X
R








.
)
(
)
(
1
lim
)
(
~
2
2






и
и
и
dt
t
x
t
x
R
и
и
x






)
(
~

x
R

(2.48)
Как видно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны прямым
преобразова
нием Фурье.
Имеется и обратное соотношение:
(2.49)
Из приведенных соотношений следует, что чем шире спектр, тем меньше время корреляции, то есть
значение сдвига

, в пределах
которого АКФ отлична от нуля. Другими словами, чем шире полоса частот сигнала,
тем уже основной лепесток АКФ и тем совершеннее сигнал с точки зрения измерения момента его начала. Кроме
этого, выражения (2.48) и (2.49) показывают, что имеется возможность эк
спериментально определить
автокорреляционную функцию и по ней рассчитать энергетический спектр. Такой прием находит применение при
исследовании свойств сиг
налов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.
В ряде случаев при анализе сигнал
ов пользуются особой характеристикой совокупности двух
сигналов
–
их
взаимокорреляционной функцией
(ВКФ), которая описывает как различия формы сигналов, так и
взаимное расположение на оси времени. ВКФ двух сигналов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
является их скалярное произве
дение:
(2.50)
Возможна и такая запись
(2.51)
где
u
=
t
-

;
dt
=
du
,
поэтому
(2.52)
Совпадение результатов расчетов по (2.50) и (2.51) связано с тем, что одно и то же взаимное
положение сигналов будет достигнуто как при сдвиге
y
(
t
)
в сторону запаздывания, так и при сдвиге
x
(
t
)
в сторону
опережения.
Другие свойства ВКФ:
если описываются два неодинаковых сигнала, то их ВКФ не являются четной функцией аргумента

:
B
xy
(

)

B
xy
(
-

)
;
ВКФ двух сигналов, имеющих конечные энергии, ограничен
а; при

=0
ВКФ не обязательно достигает
максимума.
2.3. Случайные сигналы
Случайные сигналы отображают развивающиеся во времени (или в пространстве) случайные явления.
Математические модели случайных сигналов используются при решении таких задач, как п
олучение оценок их
информативных параметров на фоне помех при априорно известных вероятностных характеристиках и как
измерения этих характеристик (статистические измерения). Составление этих моделей производится на основе
теории случайных процессов (функц
ий), предполагающих описание случайных процессов с помощью систем
вероятностных характеристик (одно
-
и многомерных функций распределения вероятностей, моментных функций,
характеристических функций и т.п.) и теории статистических измерений, в которой исслед
уемый процесс
представляется ансамблем реализаций. Причем в понятиях, определениях и терминологии этих двух теорий имеется
ряд аналогов и заимствований. Так, используемому в теории статистических измерений понятию
реализация
случайного процесса соответству
ет аналог из теории случайных функций, называемый
выборочная функция,
мгновенному значению
–
выборочное значение, совокупности мгновенных значений
–
выборка, вероятностной
характеристике
–
предел выборочного среднего
.
2.3.1. Случайный измерительный сигна
л
как случайный процесс
Случайные измерительные сигналы рассматривают как
случайный процесс
x
(
t
)
-
особого вида функцию,
характеризующуюся тем, что в любой момент времени
t
принимаемые ею значения
являются случайными
величинами. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность выборочных функций
x
i
(
t
)
в виде
реализаций, образующих статистический ансамбль. Под реализацией понимаются фиксированные на определенном
.
)
(
2
1
)
(










d
e
W
R
j
x
.
)
(
)
(










d
e
R
W
j
x
.
)
(
)
(
)
(






dt
t
y
t
x
R
xy


,
)
(
)
(
)
(






du
t
y
u
x
R
yx


).
(
)
(




yx
xy
R
R

промежутке времени мгнове
нные значения случайного сигнала. Ансамбль
–
математическая абстракция, модель
рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте,
представляют собой физические объекты или явления и входят в ансамб
ль как его неотъемлемая часть.
Упрощенную реализацию можно рассматривать как некие сложные кривые, определяемые случайным характером
изменения одного и того же измеряемого параметра, полученные повторением измерительного эксперимента,
например, с помощью с
амопишущего измерительного прибора.
Сечением случайного процесса
называется совокупность мгновенных значений
x
i
(
t
j
)
проходящих
одновременно реализаций
x
i
(
t
)
в заданный момент времени
t
j
(рис. 2.11). Случайный сигнал в заданном временном
сечении
t
1
можно р
ассматривать как случайную величину
x
i
(
t
1
)
, характеризуемую функцией распределения
вероятности, плотностью вероятности, другими статистическими характеристиками.
Рис.2.11. Выборочные реализации случайного процесса
Функция распределения
или
интеграль
ный закон распределения
F
(
x
i
,
t
1
)
равна вероятности того, что
мгновенные значения сигнала
x
(
t
)
не превосходят заданного значения
x
при достаточно большом числе
N
реализаций, и представляется как
,
(2.53)
а ее оценка как
,
(2.54)
где
P
<

>
–
вероятность;
N
–
число выборочных функций (реализаций), входящих в ансамбль;
n
F
–
число мгновенных
значений сигнала
x
i
(
t
1
)
, отвечающих условию
x
i
(
t
1
)<
x
1
;
x
1
–
заданное значение
x
.
По определению:
F
(
-

)=0
;
F
(

)=1
(рис.2.12,
а
).
Рис. 2.12. Вид функции распределения вероятностей (а)
и вид плотности распределения вероятностей (б)


1
1
1
)
(
)
,
(
x
t
x
P
t
x
F
i




N
n
x
t
x
F
F
N
i




lim
)
(
1
1

Плотность распределения
случайного сигнала, или
дифференциальный закон
распределения
f
(
x
),
характеризует вероятность того, что мгновенное значение реал
изаций в произвольный момент времени будет
находиться заданном интервале значений
x
+

x
(рис. 2.12,
б
)
,
(2.55)
а ее оценка
,
(2.56)
где
n
f
–
число мгновенных значений сигнала
x
i
(
t
1
)
, удовлетворяющих условию
x
1
<
x
i
(
t
1
)<
x
i
+

x
.
Для того чтобы
можно было судить о характере развития реализаций случайного процесса во
времени, следует рассматривать несколько (
n
) сечений случайного процесса в несовпадающие моменты времени.
Возникающая при этом
n
-
мерная случайная величина
{
x
(
t
1
),
x
(
t
2
)…
x
(
t
n
)}
описывается
многомерной плотностью
вероятности
P(x
1
, x
2
… x
n
, t
1
, t
2
… t
n
)
.
Многомерная плоскость вероятности случайного процесса должна отвечать
обычным условиям, налагаемым на плотность вероятности совокупности случайных величин, а также не должна
зависе
ть от того, в каком порядке располагаются ее аргументы.
Законы распределения вероятностей связаны между собой зависимостями
(2.57)
при
f
(
x
1
,
t
1
)

0
;
(2.58)
Наряду с интегральными и
дифференциальными законами распределения сечение случайного
процесса характеризуется средними значениями
–
моментами первого, второго и третьего порядков.
Среднее значение сигнала (момент первого порядка) при усреднении по ансамблю в момент
t
1
определяетс
я по формуле
,
k
=1,2…
N
.
(2.59)
Среднее значение сечения характеризует его постоянную составляющую.
Среднее значение квадрата сечения (момент второго порядка)
.
(2.60)
Средний квадрат отклонения (момент третьего порядка
–
дисперсия) характери
зует рассеяние
значений реализаций в выбранном сечении, определяется по формуле
(2.61)
Для характеристики статистической зависимости случайного сигнала применяют
автокорреляционную функцию (смешанный момент)
.
(2.62)
2.3.2.
Эргодические стационарные случайные сигналы
Стационарными
называют случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех
сечениях.
Случайный процесс может быть
стационарен в узком смысле и в широком смысле
. Условием
стационарности
в узком смысле является инвариантность
n
-
мерной плотности вероятности относительно временного
сдвига

:
f
(
x
1
,
x
2
…
x
n
,
t
1
,
t
2
…
t
n
)=
f
(
x
1
…
x
n
,
t
1
+

,
t
2
+

…
t
n
+

).
(2.63)


x
x
x
t
x
x
P
t
x
f
i
x








1
1
1
0
1
)
(
lim
)
,
(
x
N
n
t
x
f
f
x
N
i







1
lim
)
,
(
0
1
dt
t
x
dF
t
x
f
)
,
(
)
,
(
1
1

.
1
)
,
(
)
,
(
1
1






dx
t
x
f
t
x
F








N
k
k
k
N
t
x
N
t
x
M
1
1
1
1
)
(
1
lim
)
(








N
k
k
k
N
t
x
N
t
x
M
1
1
2
1
2
)
(
1
lim
)
(










.
)
(
)
(
1
lim
)
(
)
(
)
(
1
2
1
1
2
1
1
2
1











k
k
k
k
N
k
k
t
x
M
t
x
N
t
x
M
t
x
M
t
x
D






)
(
)
(
1
lim
)
,
(
1
1
1
1


t
x
t
x
N
t
t
R
k
k
N
x

Условия стационарности в широком смысле ограничиваются требованиями, чтобы
математическое
ожидание (момент первого порядка) и дисперсия (момент третьего порядка) не зависели от времени, а
корреляционная функция зависела лишь от разности

=

t
2
-
t
1

, то есть
R
x
(
t
1
,
t
2
)=
R
x
(

)
.
Эргодическим
называют такой стационарный
случайный процесс, у которого усреднение по
статистическому ансамблю можно заменить усреднением во времени. Операция усреднения выполняется над
единственной реализацией
x
(
t
)
, длительность
T
которой теоретически может быть сколь угодно велика.
Возможность
определения статистических параметров
по одной реализации
делает эргодические
стационарные сигналы наиболее удобными для исследования.
Среднее значение и автокорреляционная функция для одной реализации эргодического
стационарного случайного сигнала определяется усреднением по времени:
(2.64)
(2.65)
Условием эргодичности является
.
Практическое применение этого критерия сводится к проверке неравенства
,
(2.66)
где

–
максимальный интерва
л корреляции,
b
доп
–
заданное допустимое значение.
Рассмотрим статистические и спектральные характеристики эргодических стационарных случайных
сигналов.
Плотность распределения,
или дифференциальный закон распределения
f
(
x
),
характеризует
вероятность
P
того, что мгновенное значение
x
(
t
)
реализации, представляющей сигнал в произвольный момент
времени, будет находиться в заданном интервале значений
x
и
x
+

x
:
(2.67)
Как видно,
f
(
x
)
не содержит координаты времени и поэтому не отражает статистическ
ой зависимости значений
сигнала при изменении времени.
Функция распределения
или интегральный закон распределения
F
(
x
)
характеризует вероятность
P
того, что мгновенное значение
x
(
t
)
реализации, представляющей сигнал в произвольные моменты времени, не
прев
осходит заданного значения
x
.
.
(2.68)
Как и для временного сечения ансамбля реализаций, функция распределения
F
(
x
)
изменяется от
0
до
1
. Функция распределения и плотность вероятности могут быть экспериментально определены по достаточно
протяжен
ной во времени реализации.
По известной плотности распределения можно установить структуру случайного сигнала,
определить другие важные его параметры.
На рис. 2.13 даны примеры реализаций различных случайных сигналов и их плотности вероятности
(гармониче
ский сигнал причислен к классу случайных в связи с тем, что его фаза является случайной величиной).
Сравнивая примеры, приходим к выводу о возможности установления по форме кривой плотности распределения не
только вида сигнала, но и определения состава исс
ледуемого случайного
шума.
Рис. 2.13. Примеры сигналов и графики плотностей распределения:
а
–
гармонического,
б
–
суммы гармонического и случайного,
в
–
узкополосного случайного шума,
г
–
широкополосного случайного шума
Среднее значение случайного сигнала
при усреднении данной реализации во времени
;
)
(
1
lim
)]
(
[
0
1




T
T
dt
t
x
T
t
x
M
.
)
(
)
(
1
lim
)
(
0






dt
t
x
t
x
T
R
T
x


0
)
(
lim





x
R
доп
x
b
R

)
(
max

.
]
)
(
[
lim
)
(
0
x
x
x
t
x
x
P
x
f
x

















dx
x
f
x
t
x
P
x
F
)
(
)
(
)
(

(2.69)
или с выражением через плотность распределения
(2.70)
Среднее значение квадрата эргодического
стационарного случайного сигнала характеризует суммарную
интенсивность данной реализации (среднюю мощность реализации)
(2.71)
или, выражая через
f
(
x
)
,
(2.72)
Среднее квадратичное значение сигнала
(2.73)
Дисперсия стационарного эргодического случайного сигнала
(2.74)
или,
после преобразования,
(2.75)
Среднеквадратическое отклонение (с.к.о.) сигнала
(2.76)
Поскольку
M
2
[
x
(
t
)]
представляет собой среднюю мощность реализации, а
M
1
2
[
x
(
t
)]
–
мощность
постоянной составляющей, физический смысл дисперсии можно о
пределить как мощность флюктуационной
составляющей эргодического случайного сигнала.
Автокорреляционная функция
эргодического стационарного случайного сигнала находится усреднением
произведения двух мгновенных значений флюктуционной составляющей сигнала п
ри временном сдвиге

:
(2.77)
Для центрированных значений
,
АКФ имеет вид
(2.78)
где
,
Итак, автокорреляционная функция эргодического стационарного сигнала отражает степень
линейной стохастической связи значений сигнала в данный момент времени от его значений в другие моменты.
АКФ является четной функцией
R
x
(
-

)=
R
x
(

)
и имеет максимум в точке

0
, в которой
(2.79)
что, согласно (2.75), означает
.
(2.80)
Коэ
ффициентом корреляции центрированного сигнала
r
x
(

)
называется отношение


,
)
(
1
lim
)
(
0
1




T
T
dt
t
x
T
t
x
M


.
)
(
)
(
)
(
1





dx
x
f
t
x
t
x
M


,
)
(
1
lim
)
(
0
2
2




T
T
dt
t
x
T
t
x
M


.
)
(
)
(
)
(
2
2





dx
x
f
t
x
t
x
M


.
)
(
)
(
)
(
1
lim
)
(
2
0
2
2
.
.
.











dx
x
f
t
x
dt
t
x
T
t
x
M
x
T
T
з
к
с






,
)
(
)
(
1
lim
)
(
0
2
1





T
T
dt
t
x
M
t
x
T
t
x
D






.
)
(
)
(
)
(
2
1
2
t
x
M
t
x
M
t
x
D






.
)
(
)
(
t
x
D
t
x
















.
)
(
)
(
)
(
1
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
1
1
t
x
M
dt
t
x
t
x
T
t
x
M
t
x
t
x
M
t
x
M
t
x
M
t
x
M
t
x
M
R
T
T
x



















)
(
t
x

)
(


t
x

,
)
(
)
(
1
lim
)
(
0





T
T
x
dt
t
x
t
x
T
R






)
(
)
(
)
(
1
t
x
M
t
x
t
x





.
)
(
)
(
)
(
1
t
x
M
t
x
t
x







,
1
lim
)
0
(
0
2
dt
x
T
R
T
T
x







)
(
)
0
(
2
t
x
D
R
x


. (2.81)
АКФ различных сигналов имеет ряд особенностей, использование которых позволяет
идентифицировать исследуемый случай
ный сигнал. Рассмотрим некоторые примеры (рис. 2.14).
Как видно, АКФ гармонического сигнала (рис.2.14,
а
) является гармонической функцией
-
косинусоидой с
частотой

0
, равной частоте гармонического сигнала:
.
Рис. 2.14.
Автокорреляционные функции некоторых сигналов:
а
–
гармонического,
б
–
суммы гармонического и случайного,
в
–
узкополосного случайного шума,
г
–
широкополосного случайного
шума
АКФ смеси гармонического и случайного сигналов (рис.2.14,
б
) представляет сумму их АКФ, имеет крутой пик
при

0
и является незатухающей гармонической функцией. АКФ узкополосного случайного сигнала (рис.2.14,
в
)
представляет собой медленно затухающую периодическую функцию. АКФ широкополосного случайного сигнала
(ри
с.2.14,
г
) с нулевым средним значением представляет собой крутой пик при

0
, который затем затухает. Чем
медленнее, плавнее во времени изменяется случайный сигнал, тем больше промежуток времени

, в пределах
которого наблюдается стохастическая связь между м
гновенными значениями случайной функции. И, наоборот, АКФ
быстро и резко изменяющегося широкополосного случайного сигнала быстро затухает. В предельном случае
широкополосный случайный сигнал, называемый «белым шумом», имеет АКФ в виде

-
функции при

=0
и р
авную
нулю при


0
. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда
называют «дельта
-
коррелированным процессом». Дисперсия такого процесса бесконечно велика. Такой сигнал
является математической идеализацией реа
льно наблюдаемых сигналов с АКФ в виде крутого пика при

=0
.
Спектральные характеристики случайного сигнала
описывают его частотные свойства. Следует
отметить, что описание случайных сигналов с помощью корреляционной теории
–
теории случайных процессов
–
позволяет выявлять тесную связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов.
Отметим также, что прямой перенос рассмотренных выше методов спектрального анализа
квазидетерминированных сигналов в теорию случайных процессов невозможен
из
-
за вероятностного характера
отдельных реализаций. Однако ряд важных спектральных характеристик случайных сигналов удается получить,
преобразуя по Фурье некоторые функции, получаемые путем усреднения реализаций.
Спектральное представление
случайного си
гнала осуществляется с помощью преобразования Фурье
,
(2.82)
где
x
k
(t)
–
отдельно взятая реализация стационарного случайного процесса
x(t)
с нулевым математическим
ожиданием
M
1
[x(t)]=0
,
Х
k
(

)
–
спектральная плотность.
Реализация
x
k
(t)
есть детерминированная функция, ей соответствует детерминированная спектральная
плотность
Х
k
(

)
.
В описании ансамбля реализаций спектральные плотности
Х
k
(

)
являются случайными функциями частоты.
Налицо порождение случайного процесса в частотной области ка
к следствие случайного процесса во временной
области.
Важнейшее значение в теории случайных процессов имеет
выяснение свойств случайных процессов
Х
k
(

)
,
обеспечивающих
стационарность
x
(
t
) в широком смысле.
Анализ [8] случайного сигнала согласно данному кри
терию
приводит к выражению
,
(2.83)


)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
t
x
D
R
R
R
x
x
x
x









0
2
cos
2
)
(
m
x
x
R










d
e
X
t
x
t
j
k
k
)
(
2
1
)
(










d
e
W
R
j
)
(
2
1
)
(

где
W
(

)
–
функция, называемая
спектральной плотностью мощности
сигнала
x
(
t
)
или
спектром мощности
.
Как видно, АКФ и спектр мощности
стационарного случайного сигнала связаны между собой
преобразованием Фурье. Поэтому
.
(2.84)
Формулы (2.83), (2.84) составляют содержание
теоремы Винера
-
Хинчера
, имеющей важнейшее
значение в теории случайных процессов.
Для выяснения физического
смысла понятия энергетического спектра положим в (2.83)

=0
. Тогда,
поскольку
R
x
(0)=
D
[
x
(
t
)]=

2
, получаем
(2.85)
Дисперсия

2
, равная средней мощности флюктуаций стационарного случайного процесса, есть,
таким образом, сумма вкладов от всех участков
частотной оси, а функция
W
x
(

)
характеризует
удельную меру
мощности.
Причем по физическому смыслу спектр мощности вещественен, неотрицателен и не содержит
никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими.
Спектральна
я плотность мощности сигнала может быть представлена и как
,
(2.86)
где
M
2
–
среднее значение квадрата флюктуационной составляющей сигнала в интервале частот

+


,
определяемое из выражения
(2.87)
В выражении (2.87)
x
(
t
,

,


)
–
с
оставляющая
x
(
t
)
, действующая в интервале частот от

до

+


, которая может быть выделена с помощью полосового фильтра. Наряду с этим
.
(2.88)
Это означает, что среднее значение
квадрата сигнала равно суммарной площади под кривой
спектральной плотности как функции частоты.
Спектральная плотность мощности сигнала дает возможность определить его частотную структуру,
доминирующую частотную область, а также проводить идентификацию исс
ледуемых сигналов.
В ряде случаев возникает задача измерения параметров и характеристик системы, состоящей обычно из
двух случайных процессов, статистически зависимых между собой. Такие системы описываются во временной и
частотной областях с помощью
совмес
тных и условных характеристик случайных сигналов
.
Совместная плотность распределения
f
(
x
,
y
)
характеризует вероятность того, что мгновенные значения двух
эргодических сигналов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
будут в произвольный момент времени одновременно находиться в заданны
х
интервалах.
(2.89)
Если известны отдельно плотности вероятности
f(x)
и
f(y)
статистически независимых сигналов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
, то
(2.90)
Совместная функция распределения
F
(
x
,
y
)
двух статистически зависимых эргодических сигналов
x
(
t
),
y
(
t
)
равна
вероятности того, что эти сигналы не превосходят заданных значений
x
и
y
соответственно:
.
(2.91)
Условная плотность
распределения
f
(
x
|
y
)
характеризует статистическую зависимость эргодического
случайного стационарного сигнала
x
(
t
)
при условии, что второй случайный стационарный сигнал
y
(
t
)
принимает
определенное значение
.
(2.92)




d
e
R
W
j
x






)
(
)
(
.
)
(
2
1
2









d
W
x










)
,
(
lim
)
(
2
0
M
W
x
.
)
,
,
(
1
lim
)
,
(
0
2
2
dt
t
x
T
M
T
T















0
2
)
(
2
1
)
(



d
W
t
x
M
x






.
)
(
)
(
lim
)
,
(
0
0
y
x
y
y
t
y
y
x
x
t
x
x
P
y
x
f
y
x















).
(
)
(
)
,
(
y
f
x
f
y
x
f














x
y
dxdy
y
x
f
y
t
y
x
t
x
P
y
x
F
)
,
(
)
(
;
)
(
)
,
(


x
y
y
t
y
y
y
x
t
x
x
P
y
x
f
y
x














)
(
|
)
(
lim
)
|
(
0
0

Условная плотность распределения вероятностей
f
(
x
|
y
)
может быть определена через совместную
плотность распределения
f
(
x
,
y
)
.
(2.93)
Условная функция распределения
–
вероятность того, что случайный стационарный сигнал
x
(
t
)
не
превышает значения
x
при условии, если второй случайный сигнал
y
(
t
)
принимает определенное значение
y
3
:
.
(2.94)
Условное среднее значение
стационарного случайного сигнала
x
(
t
)
при заданной величине
y
3
.
(2.95)
Функцию, представленную (2.95), называют
функцией регрессии
f
рег
(
y
)
случайного сигнала.
Взаимная корреляционная функция
двух сигналов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
характеризует общую статистическую
зависимость их значений и для эргодических сигналов:
(2.96)
ВКФ применяется для определения взаимных временных характеристик и параметров исследуемых
сигналов, например для определения полезного сигнала в
шуме.
2.4. Квантованные сигналы
Квантованные величины и сигналы находят широкое применение в цифровых измерительных
устройствах. Процесс формирования таких величин и сигналов
–
квантование, является составной частью
измерительных преобразований, одной
из наиболее ответственных операций процесса измерения.
Квантование, или дискретизация, по уровню представляет собой преобразование множества
значений непрерывной величины
x
или непрерывного сигнала
x(t
i
)
в дискретное множество значений
x
N
или
x
кв
(t
i
)
,
гд
е
N=0,1,2…m
-
1
;
i=0,1,2…N
; при
x
N

[x
min
,x
max
]
, где
x
min
и
x
max
–
минимальный и максимальный пределы изменений
непрерывных величины
x
или сигнала
x
(
t
i
)
. Если это непрерывная величина, то она отождествляется с разрешенным
значением шкалы квантования; если это
сигнал
x
(
t
i
)
, то
–
со ступенчато изменяющейся величиной
x
кв
(t
i
)
с заданными
размерами ступеней. Процесс квантования связан с округлением значений непрерывной величины или сигнала в
соответствии с принятым решающим
правилом (например, отнесения к нижней, верхней границе разрешенного
значения уровня квантования или к ее середине).
Если диапазон
x
д
=
x
max
-
x
min
возможных значений непрерывной величины
x
разбивается на
N
равных
частей квантования с границами
x
0
=
x
min
,
x
1
,
x
2
,…
x
N
=
x
max
(рис. 2.15), то квантование равномерное.
Рис. 2.15. Равномерное квантование по уровню
Длина каждого интервала квантования называется ступенью или шагом квантования
.
При равномерном квантовании
q=const
. Если
q

const
, квантование неравномерное (применяется
при измерениях
значительно реже, чем равномерное). В результате квантования любое из значений
x
,
принадлежащих интервалу
[x
i
-
1
, x
i
]
, округляется до некоторой величины
x
кв i

[x
i
-
1
, x
i
]
, причем
x
кв i+1
-
x
кв i=
q
k
.
Значения
x
кв i
носят название уровней квантования. Как уже указывалось, в качестве уровней квантования
выбирают нижнюю, верхнюю границу
q
k
либо их середину.
Квантованный сигнал может быть представлен выражением
,
(2.97)
где
1(
t
-
t
N
)
–
единичная ступ
енчатая функция, которая равна единице при положительном аргументе и нулю
–
при
отрицательном.
Квантованный сигнал с равномерными и неравномерными ступенями квантования показан на
рис.2.16.
)
(
)
,
(
)
|
(
y
f
y
x
f
y
x
f



3
)
(
|
)
(
)
|
(
y
t
y
t
x
x
P
y
x
F











dx
y
x
x
y
y
x
M
p
y
x
)
|
(
|
3
|
.
)
(
)
(
1
lim
)
(
0





T
T
xy
dt
t
y
t
x
T
R


m
i
x
x
q
i
i
k
...
2
,
1
;
1




)
(
1
)
(
)
(
N
k
N
i
кв
t
t
q
t
N
t
x
i





Рис. 2.16. Квантование аналоговых сигналов:
а, б
–
с
равномерными ступенями;
в, г
–
с неравномерными ступенями;
д
–
квантование известной величины
на выходе регулируемой меры
В процессе измерения квантование образцовой величины осуществляется многоканальной или
регулируемой мерой (рис.2.16,
д
). Выходной
сигнал при этом представляется в виде совокупности значений
заданного размера, выраженных в единицах измерения данной физической величины.
Характерной особенностью квантования является погрешность

k
, свойственная методу отражения
непрерывной по размеру
величины ограниченным по числу разрядов числом, т.е. методическая погрешность самого
преобразования. При этом максимальное значение погрешности зависит от принятого способа отождествления
сигнала с ближайшим уровнем квантования или с ближайшим меньшим (или
большим) уровнем квантования.
На рис. 2.17 показаны [9] два варианта сигналов
x
1
(t)
и
x
2
(t)
. Для сигнала
x
1
(t)
при первом способе
(рис.2.17,
а
) значение
x
i
(
t
j
)
сигнала принимают равным уровню
x
k
,
по второму способу (рис.2.17,
б
)
-
равным
x
k
-
1
.
Рис. 2.17. Квантование сигналов
x
1
(
t
)
и
x
2
(
t
)
:
а
–
сигнал
x
1
(t)
отождествляется с ближайшим
уровнем квантования;
б
–
сигнал
x
2
(t)
отождествляется с ближайшим меньшим (или
большим) уровнем квантования
Погрешность
квантования равна разности значения, соответствующего уровню квантования
x
кв
и истинного
значения сигнала
x
(
t
i
)
:

x
кв
=
x
кв
-
x
(
t
i
).
Для первого из способов отождествления максимальная погрешность
|

x
кв
|
max
=
max
[
x
кв
-
x
(
t
i
)]=
q
k
;
при втором способе отождествления
максимальная погрешность квантования не превышает
0.5
q
k
.
При
(
x
max
-
x
min
)>>
q
кв
закон распределения погрешности квантования практически не зависит от
закона распределения
x(t)
и близок к равномерному. При втором способе отождествления математическое ожидан
ие
погрешности квантования равно нулю, а дисперсия погрешности квантования
.
(2.98)
Если закон распределения вероятностей сигнала
x
(
t
)
существенно отличается от равномерного, а
число уровней квантования в диапазоне изменения
x
(
t
)
невелико (меньше
2
5
), то прибегают к неравномерному
квантованию, т.е. квантованию с переменным шагом. При больших значениях плотности вероятности
f
(
x
)
шаг




12
2
2
кв
кв
кв
q
x
x
D






квантования выбирается меньшим, при малых
–
б
ό
льшим. При этом погрешность квантования более вероятных
значений
x
(
t
)
снижается.
2.5. Дискретизированные сигналы
2.5.1. Общие вопросы дискретизации
и восстановления непрерывных функций
Дискретизированными называют сигналы, представленные функцией дискретного времени (или
пространства) в виде совокупност
и отсчетов мгновенных значений непрерывной функции, взятых в определенные
дискретные моменты времени.
Соответственно, дискретизацией называется процесс перехода от функции непрерывного времени
x
(
t
)
в функцию дискретного времени
x
(
t
i
)
(рис.2.18), по отсчет
ам которой можно восстановить новую непрерывную
функцию
x
вос
(
t
)
, воспроизводящую исходную с заданной точностью.
Необходимость дискретизации непрерывных сигналов возникает в следующих случаях: при
проведении операций измерения через некоторые интервалы вре
мени, обусловленные тем, что измерительное
устройство в этих интервалах загружено измерением других величин; при аналого
-
цифровом преобразовании
сигналов, для выделения с минимальными аппаратными затратами измерительной информации о процессе по обеим
коорд
инатам
–
по значению и времени; при уменьшении динамических погрешностей измерения
быстроизменяющихся сигналов; при выборке для измерения определенных мгновенных значений, например,
экстремальных при масштабно
-
временном преобразовании сигнала; при фильтра
ции сигналов; при уплотнении
информации, передаваемой по каналам связи, и в ряде других случаев.
Рис. 2.18. Равномерная дискретизация по времени
Наряду с искусственно дискретизированными сигналами находят применение
естественно
-
дискретизированные сигналы.
К ним, например, относятся: случайные последовательности импульсов напряжения
от преобразователя радиоактивного излучения, в котором пространственная совокупность частиц преобразуется в
последовательность импульсов с
различными амплитудами; последовательность импульсов, возникающих под
воздействием скачков Баркгаузена, используемых при магнитных измерениях и неразрушающем контроле.
Аналитически дискретизацию можно представить как линейную операцию умножения функции
x
(
t
)
на функцию дискретизации по времени в виде последовательности единичных импульсов
–

-
функции.
В соответствии с этим идеальный дискретизированный сигнал
x
д
(
kT
ц
)
представляется
последовательностью импульсов нулевой
длительности, площадь которых равна ординатам сигнала
x
(
t
)
в моменты
kT
ц
(
k
=1,2,3…)
:
,
(2.99)




n
k
ц
k
ц
д
kT
t
t
x
kT
x
1
)
(
)
(
)
(


а квантованный дискретизированный сигнал
-
последовательностью численных значений
N
x
(
kT
ц
)
, воздействующими
в течение минимально короткого времени:
.
(2.100)
Дискретизация может производиться равномерно, т.е. с постоянным шагом
T
ц
=
const
,
и
неравномерно
–
с переменным шагом
T
ц
=
var
.
Дискретные во времени отсчеты непрерывной функции нередко используются для восстановления
исходной функции. В
озможны два случая восстановления непрерывного сигнала из дискретизированного:
по «физически» дискретизированным во времени мгновенным значениям амплитудно
-
импульсно
-
модулированного сигнала;
по «аналитически» дискретизированному сигналу в виде числовых зн
ачений
N
x
(
kT
ц
)
измеряемой
величины в соответствующие моменты времени
t
k
.
В обоих случаях возникает задача
восстановления
промежуточных между отсчетами значений с
заданной погрешностью, которая при заданном шаге дискретизации будет зависеть от
способа восс
тановления
.
Возможна и обратная постановка задачи
–
при заданной допустимой погрешности восстановления способ
приближения функции будет определять максимальное значение шага
дискретизации. Разумеется, чем меньше шаг
дискретизации, чем больше дискрет содер
жится в сигнале, тем с большей точностью может быть восстановлена исходная
функция. Однако увеличение количества отсчетов ведет к перегрузке каналов связи, требует повышения емкости и
быстродействия преобразователей, устройств памяти и т.п.
Таким образом,
способ восстановления
(приближения) определяет оптимальность результатов
решения как прямой, так и обратной задачи. Восстанавливаемый сигнал обычно выражается суммой базисных
функций:
,
где
c
i
(
t
)
–
принятая в данном алгоритме аппроксимации система
базисных функций, которая должна быть
ортогональной;
a
i
–
коэффициенты ряда.
Чаще всего базисные функции и коэффициенты подбирают по одному из критериев: либо из
условия оптимального приближения к оригиналу, либо по критерию совпадения значений восстанавл
иваемого
непрерывного сигнала с мгновенными значениями дискретизированного сигнала. Причем координаты времени
базисных функций могут изменяться в широком диапазоне: от интервала времени, соответствующего одному шагу
дискретизации
T
ц
, до интервала
T
времен
и реализации данного сигнала. Кроме того, базисные функции должны
быть просты в реализации, а коэффициенты должны определяться простым путем по параметрам исходной функции.
Если базисные функции и коэффициенты выбираются из условия максимального приближен
ия, то
выбор производится из условия минимума средней квадратической погрешности восстановления:
.
Система базисных функций отвечает условиям ортонормированности или ортогональности, а
коэффициенты определяются как коэффициенты ряда Фурье:
(2.101)
Координата времени каждой базисной функции в этом случае изменяется во всем диапазоне времени реализации
сигнала.
В том случае, когда основным критерием выбора базисных функций и коэффициентов ряда
являе
тся совпадение в моменты дискретизации мгновенных значений восстанавливаемого и дискретизированного
сигналов, то их параметры определяются путем решения системы уравнений
(2.102)
где

=(
t
-
t
k
)
.
В качестве базисных функций принимают произведение полином
а на функцию окна:
, (2.103)
где
P
М
(

)
–
полином
m
-
й степени от

.
)
(
)
(
)
(
1
ц
k
ц
n
k
x
ц
кд
kt
t
q
kT
N
kT
x








n
i
i
i
вос
t
c
a
t
x
1
)
(
)
(


dt
t
x
t
x
T
T
вос


0
2
)
(
)
(
1
min
.
)
(
)
(
0


T
i
i
dt
t
c
t
x
a
,
)
(
)
(
)
(
...
2
,
1
1








n
k
i
k
k
i
k
i
k
t
c
t
a
t
x





ц
M
k
i
T
P
t
c






)
(
)
(

Функция окна
2.5.2. Аппроксимация рядом Котельникова
и степенными полиномами
Часто в
качестве восстанавливающей функции используется ряд В.А.Котельникова, в котором
базисные функции отвечают требованию минимума средней квадратической погрешности, а коэффициенты ряда
a
i
равны соответствующим мгновенным значениям дискретизированного сигнала.
В этих случаях интервал
дискретизации выбирают исходя из следующей теоремы.
Теорема Котельникова.
Если непрерывная функция
x
(
t
)
удовлетворяет условиям Дирихле
(ограничена, кусочно
-
непрерывна и имеет ограниченное число экстремумов) и ее спектр ограничен н
екоторой
частотой

c
(частотой среза), дискретизирована циклически, то существует такой максимальный интервал
T
ц
между
отсчетами, при котором имеется возможность безошибочно восстанавливать дискретизируемую функцию
x
(
t
)
по
дискретным отсчетам. Этот максима
льный интервал
(2.104)
Ряд Котельникова имеет вид
(2.105)
Как видно, непрерывный сигнал в данном случае имеет вид суммы произведений мгновенных значений сигнала
x
(
kT
ц
)
, отсчитанных с интерва
лом
T
ц
=

/

с
на функцию типа
S
ay
=(
sin y
)/
y
, называемую
функцией отсчетов
.
.
(2.106)
Заметим, что по своей форме (рис.2.19) функция отсчетов совпадает с кривой реакции идеального
фильтра на воздействие в виде единичной импульсной функции.
Рис. 2.19. График функции отсчетов
Последовательность отсчетов
x
(
kT
ц
)
, являющихся коэффициентами разложения, называют
решетчатой функцией.
Свойства функции отсчетов:
-
наибольших значений, равных единице, функция достигает в момент времени
t
=
kT
ц
;
-
в моменты времени
t
=(
k

n
)
T
ц
, где
n
–
любое целое число, равна нулю;
-
ортогональна на бесконечном интервале времени.
Ряд Котельникова является одним из возможных воплощений обобщенного ряда Фурье. Его
практическая ценность состоит в том, что коэффициенты ряда определяются наиболее простым
способом и по
каналу связи передаются не известные по виду функции отсчетов, а только значения решетчатой функции
x
(
kT
ц
)
.
Кроме того, поскольку функция отсчетов полностью соответствует кривой реакции идеального фильтра на
единичное импульсное входное возд
ействие с амплитудой, равной
x
(
kT
ц
)
, то при подаче на вход идеального фильтра
дискрет решетчатой функции на выходе фильтра мы получим восстановленный без погрешностей непрерывный
сигнал
x
(
t
)
(рис. 2.20).













.
;
0
;
0
;
0
;
1
ц
ц
ц
T
T
T




.
2
1
c
с
ц
f
T




.
)
(
)
(
sin
)
(
)
(







k
ц
c
ц
c
ц
вос
kT
t
kT
t
kT
x
t
x




ц
c
ц
c
ay
kT
t
kT
t
S





)
(
sin

Рис. 2.20. Восстановление сигнала рядом Кот
ельникова
с помощью функции отсчетов
Вместе с тем, в реальных условиях восстановление непрерывной функции происходит с погрешностями,
обусловленными несоблюдением условий теоремы Котельникова
–
реальные функции всегда конечны во времени,
поэтому их спек
тры не ограничены. Кроме того, в действительности реальные фильтры нижних частот точно не
воспроизводят функцию отсчетов, а дискреты
x
(
kT
ц
)
не являются мгновенными значениями.
Дисперсия относительной погрешности из
-
за потери высокочастотной составляющей
сигнала определяется
выражением
(2.107)
Конечность интервала наблюдения
T
нб
непрерывной функции приводит к конечному числу отсчетов
на этом интервале
N= T
нб
/(T
ц
+1)
. Поэтому практически используют усеченный ряд Котельникова:
(2.108)
позволяющий восстановить непрерывную функцию по дискретным отсчетам с определенной погрешностью.
В измерительных процессах при определении промежуточных значений измеряемой величины по
дискретным отсчетам часто применяют
восстановление степенными полинома
ми
с определением частоты
дискретизации по заданной погрешности от аппроксимации.
Принцип аппроксимации заключается в том, что на каждом участке между известными значениями
функции
x
(
t
)
проводится
ее замена кривой, описываемой степенными полиномами. Это может быть, например,
горизонтальная прямая при ступенчатой аппроксимации, отрезок наклонной прямой при кусочно
-
линейной и
участок параболы при параболической аппроксимации (рис. 2.21).
Так
же, как при аппроксимации рядом Котельникова, при аппроксимации степенными полиномами
определение цикла и частоты дискретизации

д
=2

/
T
ц
производится путем поиска оптимального решения,
позволяющего выполнить два противоречивых требования: с одной стороны,
это возможно больший период
T
ц
и,


.
)
(
)
(
)
(
0




c
c
d
W
d
W
t
x
D
x
x






,
)
(
)
(
sin
)
(
)
(
1





N
k
ц
c
ц
c
ц
kT
t
kT
t
kT
x
t
x



соответственно, меньшее количество дискрет в сигнале (во избежание перегрузки аппаратуры и каналов связи); с
другой
–
обеспечение необходимой точности приближения, зависящей напрямую от количества отсчетов в сигнале.
Сте
пень приближения восстановленной функции к исходной оценивается максимальным значением
погрешности
(2.109)
Рис.2.21. Примеры аппроксимации:
а
–
ступенчатая;
б
–
кусочно
-
линейная
При этом решается задача равномерного приближения функции. В
ряде случаев, в соответствии с
принятым алгоритмом восстановления, предъявляется дополнительное требование, чтобы в точках отсчета (узлах
аппроксимации) погрешность восстановления

была равна нулю, т.е.
x
вос
(
t
i
)=
x
(
t
i
)
.
При этом осуществляется
интерполяция функции между точками отсчета.
Наряду с точечными оценками погрешности, например, по модулью |

|, в качестве критерия
точности приближения используются оценки приближения в среднем. Чаще всего
–
это среднее квадратиче
ское
отклонение

,
(2.110)
где
T
–
интервал аппроксимации.
Итак, погрешность восстановления непрерывной функции является основным критерием выбора
способа восстановления и шага дискретизации. Способ восстановления определяется главным образом видом
во
спроизводящей функции, в качестве которой используются полиномы Лагранжа, Чебышева, Хаара, Уолша и
степенные полиномы.
Выбор типа аппроксимирующей функции определяется преимущественно целью измерения. Наиболее часто
в практике используются
полиномы нулевого и первого порядка.
Довольно часто при построении интерполяционных полиномов используют метод Лагранжа [10],
который сводится к нахождению многочлена, принимающего единичное значение в одной узловой точке
t
j
и нуль
–
во всех других узловы
х точках, который имеет вид
(2.111)
Интерполяционный полином степени
m
,
построенный на основе многочлена (2.111),
удовлетворяющий условию
x
вос
(
t
i
)=
x
(
t
i
)
(при
i
=0,1,2…
m
)
и проходящий через
m
+1
точку
[
t
i
,
x
(
t
i
)],
представляется в
виде
(2.112)
Формула (2.112) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
.
|
)
(
)
(
|
max
i
вос
t
x
t
x








T
вос
dt
t
x
t
x
T
0
2
2
)
(
)
(
1
)
(


.
)
(
)
(
)
(
0
0









j
i
i
i
j
j
i
i
i
j
t
t
t
t
t
L
.
)
(
)
(
)
(
0



m
j
j
j
m
вос
t
x
t
L
t
x

При постоянном шаге дискретизации пользуются интерполяционной формулой Ньютона,
получающейся из формулы Лагранжа при условии
T
ц
=
const
, записываемой в ви
де
(2.113)
где
;
;
;
–
конечная разность
k
-
го порядка (
k
=1,2,…,
m
) функции
,
,
.
При восстановлении непрерывных функций находят применение три вида интерполяции: ступенчатая, линейная и
параболическая.
Ступенчатая
интерполяция практически представляет собой экстраполяцию от точки
t
0
до точки
t
1
:
x
вос0
(

)=
x
(
t
0
)
для
0



1.
Сущность линейной интерполяции состоит в том, что о значениях измеряемой величины внутри
интервала судят по ее значениям в конце интервала интерпо
ляции (шага дискретизации). Полином, описывающий
аппроксимирующую функцию при кусочно
-
линейной аппроксимации, имеет вид
для
0



1.
(2.114)
Параболическая, или трехточечная, аппроксимация описывается полиномом
. (2.115)
При измерениях чаще в
сего приходится решать задачу определения интервала дискретизации
функции по заданным погрешностям приближения. Решение в этом случае возможно, если известно максимальное
значение модуля
(
m
+1)
-
й производной аппроксимирующей функции |
M
|
m
+1
.
При
ступенчатой аппроксимации
.
(2.116)
При кусочно
-
линейной аппроксимации
.
(2.117)
При параболической аппроксимации
.
(2.118)
Обычно информация о
M
m
+1
априори отсутствует. Максимальное значение производной
x
n
(
t
)
стационарного случайного процесса может быть определено неравенством Бернштейна, которое справедливо для
функций, ограниченных по модулю и имеющих ограниченный спектр:
,
(2.119)
где

c
–
верхняя граничная частота спектра непрерывной функции.
Для оценк
и погрешности восстановления получены зависимости:
;
;
(2.120)
Сравнение численных значений погрешностей восстановления, полученных с использованием
зависимостей (2.120), показывает, что линейная интерполяция значительно точнее, чем ступенчатая,
а
использование полинома второго порядка уже не дает существенного выигрыша в точности по сравнению с
полиномом первого порядка.
Вопросы для самопроверки
1. Какие сигналы называют измерительными и каковы их основные разновидности?
2. Как можно предс
тавить обобщённую математическую модель измерительного сигнала и как разделяются
сигналы в зависимости от вида математической модели?
3. Что такое идеальный единичный импульс и гармонический сигнал, каковы их математическое описание и
свойства?
4. Что назы
вают полигармоническим периодическим сложным сигналом? Как называется и что собой
представляет описывающее его математическое выражение в обобщённой и конкретной форме?
5. С помощью каких математических выражений можно представить полигармонический периоди
ческий
сигнал в частотной области?
6. Каковы основные параметры сложных периодических сигналов и как они вычисляются?
7. Какие квазидетермированные сигналы называют почти периодическими и как можно
математически
описать их свойства с помощью преобразования Гильберта?
...,
)
)...(
2
)(
1
(
!
...
)
1
(
!
2
)
(
0
0
2
0
0
0















m
m
x
x
x
x
T
t
x
m
ц
m
вос








ц
ц
T
T
t
t





0
)
(
0
0
t
x
x

)
(
1
1
t
x
x

0
x
k

)
(
0
t
x
)
(
),...,
(
1
1
m
m
t
x
x
t
x
x


0
1
1
1
0
x
x
x
k
k
k







)
(
)
(
)
(
0
1
0
0
1
x
x
t
x
x
вос





2
/
)
1
(
)
2
(
)
(
)
(
0
1
2
0
1
0
2











x
x
x
x
x
x
x
вос
1
max
0
/
M
T
ц


2
max
1
/
8
M
T
ц


3
3
max
2
/
16
M
T
ц


)
(
max
)
(
max
)
(
t
x
t
x
M
m
c
n
m



ц
ц
MT
T
M




1
0
8
/
2
/
)
1
(
2
2
2
1
ц
ц
T
M
T
M






.
16
/
6
/
)
2
)(
1
(
3
3
3
3
2
ц
T
M
T
M









8. Как математически можно представить непериодический квазидетерминированный сигнал в частотной
области через спектральную плотность и энергетический спектр?
9. Каковы вид и основные св
ойства автокорреляционной функции квазидетерменированных сигналов?
10. Каковы основные статистические характеристики измерительных сигналов, представленных в виде
случайного процесса в заданном временном сечении и в виде стационарного эргодического случайн
ого процесса?
11. С помощью каких характеристик описываются частотные свойства случайных измерительных сигналов,
какова их связь с корреляционными свойствами?
12. В чём заключается квантование сигналов, какие погрешности свойственны этому процессу и как он
и
зависят от принятого способа отождествления с уровнем квантования?
13. В чём суть основных способов восстановления исходной функции из дискретизированных сигналов,
какие критерии учитываются при выборе шага дискретизации?
Глава 3. ВЛИЯНИЕ НА РЕЗУЛЬТА
ТЫ ИЗМЕРЕНИЙ НЕКОНТРОЛИРУЕМЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
3.1. Помехи и возмущения
Помехами называют физические процессы, обычно однородные с входными или промежуточными
сигналами, и вызывающие появление погрешности. К помехам не следует причислять всевозможные искаж
ения
полезного сигнала нелинейными преобразованиями и другими подобного рода факторами.
Помехи классифицируют по источникам их возникновения, по среде распространения, энергетическому
спектру, по характеру воздействия на измерительный сигнал, по вероятнос
тным характеристикам и другим
признакам.
Источники помех бывают внутренние и внешние.
Внутренние источники шумов возникают в измерительных устройствах от температуры, гальванического
взаимодействия в местах соединений участков цепи, от теплового шума в ис
точниках полезных сигналов. Тепловые
шумы возникают из
-
за теплового движения заряженных частиц в элементах электрических цепей и дробового
эффекта в электронных приборах. На низких частотах во многих, совершенно различных элементах электронных
приборов, на
чиная примерно с 1 кГц, проявляется фликкерный шум.
Внешние источники шумов бывают искусственного и естественного происхождения. К искусственным
источникам помех (так называемых индустриальных помех) относятся двигатели, переключатели, генераторы
сигналов
различной формы и т.д. Естественными источниками помех являются молнии, всплески солнечной энергии
и т.д.
Проникновение помех в измерительное устройство может проходить по двум путям. Первый путь
–
по
проводам, проходящим к измерительному устройству чер
ез «зашумленное» пространство. Помеха наводится на
проводах и по ним поступает на элементы и узлы прибора. Второй путь проникновения
–
через общий элемент,
связывающий элементы измерительного устройства, например, через цепи питания. Помехи проникают такж
е в виде
излучения электрических и магнитных полей, возникающего по различным причинам на элементах и проводах
измерительного устройства (например, при протекании по ним электрических зарядов), а также в виде излучения
внешних источников.
Электрические и
магнитные поля различных источников помех вследствие наличия
индуктивных, емкостных и резистивных связей создают на различных участках и цепях измерительного
устройства паразитные разности потенциалов и токи, накладывающиеся на полезные сигналы.
По
энергетическому спектру помехи делятся на флюктуационные, импульсные и периодические
(сосредоточенные). Флюктуационные помехи представляют хаотический, беспорядочный, непрерывный без
существенных изменений во времени процесс в виде последовательности нерег
улярных всплесков, параметры
которых имеют случайный характер. Такой вид помехи часто называют шумовой помехой или шумом. Спектр
шумовой помехи широк и может заполнить всю полосу пропускания измерительного устройства. Примерами
флюктуационных помех являютс
я шумы датчиков, внутренние шумы усилительных элементов, шумы линий связи
c
датчиком и шумы входных устройств измерительных преобразователей.
Считается, что флюктуационные помехи распределены по нормальному закону с нулевым средним и
плотностью распределе
ния [11]:

,
где

2
–
дисперсия;

–
текущее значение помехи.
Шумы оказывают существенное влияние только на цепи передачи сигналов низкого уровня.
Импульсивные помехи проявляются либо в виде отдельных импульсов, либо в виде регулярной или
хаотической
последовательности импульсов, форма и параметры которых имеют случайный характер. В цепях
измерительных устройств импульсные помехи по форме совпадает с флюктуационными помехами. Это объясняется
тем, что из
-
за ограни
ченности полосы пропускания цепей форма
импульсных помех искажается.
Причинами появления импульсных помех являются резкие изменения тока и напряжения в промышленных и
энергетических установках, транспортных средствах, а также природные электрические явления. Распределение
импульсных помех симмет
ричное с произвольной плотностью распределения.
Периодические помехи
–
это помехи, вызванные периодическими низкочастотными или высокочастотными
полями. Если основная часть мощности периодических помех сосредоточена на отдельных участках диапазона
частот,
меньших полосы пропускания измерительного устройства, (например, на частоте напряжения промышленной
сети или кратной этой частоте), то такие помехи называют сосредоточенными. Источниками такого рода помех
являются линии электропередач, силовые электроуста
новки и др.
В зависимости от характера воздействия на измерительный сигнал помехи разделяют на аддитивные и
мультипликативные. Аддитивные (налагающиеся) внешние помехи характеризуются тем, что их действия
накладывается на измерительный сигнал и соответстве
нно на результат измерения. Возникающая при этом
погрешность не зависит от значения измеряемой физической величины. Примерами аддитивных помех могут
служить наложение на измерительный сигнал напряжения, наведенного переменным магнитным полем, и смещение
ну
ля прибора.
Мультипликативными, или деформирующими, помехами называют помехи, влияющие на функцию
преобразования измерительного устройства. Соответственно характеру воздействия помехи на измерительный
сигнал разделяют аддитивную и мультипликативную составл
яющие погрешности измерения.
В связи с тем, что мультипликативные погрешности не возникают при проникновении помех во внутренние
проводные линии связи, используемые в большинстве измерительных устройств, поддаются коррекции, а их
воздействие можно свести
к воздействию эквивалентной аддитивной помехи, обычно ограничиваются анализом
влияния помехи на основные характеристики полезного сигнала при их аддитивном взаимодействии.
Рассмотрим три случая такого взаимодействия [6]. Первый случай
–
взаимодействуют
ква
зидетерминированные сигнал
x
(t)
и помеха
x
п
(
t
)
. Суммарный сигнал
x

=
x
(
t
)+
x
п
(
t
)
. Если сигнал и помеха
импульсивные, то спектр суммарного сигнала
X

(
j

)=
X
(
j

)+
X
п
(
j

)
,
где
Х(j

)
,
X
п
(j

)
–
спектры
x
(t)
и
x
п
(t)
.
Энергия суммарного сигнала
где
Exx
п
–
энергия взаимодействия сигнала и помехи.
Для ортогональных
(
Exx
п
=0)
сигнала и помехи корреляционная функция
.
Второй случай
–
взаимодействуют квазидетерминированный сигнал и случайная помеха.
Суммарный сигнал
x

(t)=
x
(t)+
x
п
(t)
может рассматриваться
как нестационарный сигнал, у которого
математическое ожидание изменяется во времени. Сигнал и помеха в этом случае взаимозависимы, а
корреляционная функция суммарного сигнала
R

(

)=
R
x
(

)+
R
х
п
(

)
.
Если сигнал периодический, то
R
x
(

)
является периодической функцией,
а
Rх
п
(

)=0
. Это может быть использовано для выделения периодического полезного сигнала из суммарного.
Третий случай
–
сигнал и помеха являются случайными, суммарный сигнал
x

(
t
)=
x
(
t
)+
x
п
(
t
)
.
Плотность вероятности
f

(
x
)
сигнала
х

(t)
будет равна свертке распределений
f
(
x
)
и
f
(
x
п
)
. Корреляционная
функция суммарного сигнала
R

(

)=R
xх
(

)+Rх
п
х
п
(

)+Rхх
п
(

)+Rх
п
х(

).
Если
x
(t)
и
x
п
(t)
некоррелированы, то
Rхх
п
(

)=0
и
Rх
п
х (

)=0
. Тогда
R

(

)=Rхх(

)+Rх
п
х
п
(

)
.
Энергетический
спектр суммарного сигнала










2
2
2
exp
2
1
)
(





f
,
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
dt
t
x
t
x
dt
t
x
dt
t
x
E
хх
Ex
E
dt
t
x
E
п
п
п
п
x




























)
(
)
(
)
(
)
(
)
(




п
п
xx
x
Rx
R
dt
t
x
t
x
R












Если
x
(t)
и
x
п
(t)
некоррелированы, то
Wxx
п
(

)=
Wx
п
x
(

)=0
и
W

(

)=
Wxx
(

)+
Wx
п
x
п
(

)
.
3.2. Влияние изменения условий измерений
Наряду с помехами различного происхождения на результат измерения влияют изменения условий
измерительного эксперимента (температуры, давления, влажности окружающего воздуха, параметров сетевого
питания и др.).
Количественная взаимосвязь между выходными и входными параметрами объекта исследования
описывается с помощью его математической модели. Д
ля построения математической модели объекта в технических
науках широко используется принцип «черного ящика», в основе которого лежит представление исследуемого
объекта в виде системы, структура которой скрыта от наблюдателя. Судить о функционировании тако
й системы
можно только на основе анализа внешних воздействии и соответствующих им реакций системы. Структурная схема
объекта исследования (рис.3.1) имеет следующие группы параметров:
х
1
, х
2
, …х
n
–
параметры контролируемых воздействий, которые также часто н
азывают управляющими
(входными) или стимулирующими;
у
1
, у
2
, …у
n
–
параметры состояния (выходные);

1
,

2
, …

r
–
возмущающие (неконтролируемые) воздействия.
Управляющие параметры
x
i
представляют собой независимые
переменные, которые можно изменять с целью управления выходными
параметрами объекта. При построении математической модели
измерительной системы в качестве управляющих параметров могут быть
приняты измеряемая величина, температура, давление, влажность
окруж
ающей среды, напряжение питания и т.п.
К параметрам состояния
у
j
относят контролируемые или
вычисляемые параметры, характеризующие свойства объекта. Если
исследованию подлежит объект измерения, то параметрами состояния
являются параметры физических величи
н, характеризующие свойства
объекта. В тех случаях, когда исследуется измерительная система, то к выходным параметрам относят результат
измерения, параметры, характеризующие точность, быстродействие и другие свойства системы. Обычно
рассматривается один па
раметр состояния.
Рис. 3.1. Структурная схема объе
кта
Возмущающие воздействия

к
относятся к неконтролируемым величинам. К ним относятся помехи
различного происхождения, а также параметры той же природы, что и управляющие, но по каким
-
либо причинам не
поддающиеся управлению или контролю. Возм
ущающие воздействия обычно проявляют себя как случайные
величины или функции времени. В результате их влияния зависимость выходных параметров объекта от входных
становится неоднозначной.
Обобщенная математическая модель объекта исследования может
быть выражена через комплекс функций:
Совокупность допустимых значений
х
1
, х
2
, …х
n
можно представить как
n
-
мерное пространство, в пределах
которого существование объекта имеет практическую ценность. Применительно к задаче анализа объекта или
процесса изм
ерения такая совокупность и характеризует условия измерения. Сочетание
х
1
,х
2
…х
n
представляет собой
координату вектора
n
-
мерного пространства, которому соответствуют значения
у
j
, являющиеся, в свою очередь,
координатами
m
-
мерного пространства.
При выборе м
атематической модели измеряемого объекта необходимо учитывать цель измерения.
Например, если, желая измерить активное сопротивление резистора, включим его в высокочастотную цепь, мы
совершим грубую ошибку,
–
появится погрешность измерения, обусловленная те
м, что сопротивление резистора
будет не омическим, а комплексным на рабочей частоте; будут оказывать влияние поверхностный эффект,
паразитные емкость и индуктивность. Если заданы жесткие требования к стабильности характеристик цепи,
необходимо учитывать из
менения его параметров во времени (процесс старения) и под действием внешних условий
применения (температура, влажности и т.п.).
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(








х
Wx
Wxx
х
Wx
Wxx
d
e
R
W
п
п
п
п
t
j













.
2
1
3
3
2
1
2
2
2
1
1
1
)
...
,
(
);
...
,
(
);
...
,
(































n
n
n
x
x
x
f
y
x
x
x
f
y
x
x
x
f
y

Таким образом, одному и тому же исследуемому объекту мы ставим в соответствие ту или иную модель,
исходя из условий применения
и необходимой точности. В свою очередь, это обусловливает необходимость
наложения ограничений на состав и параметры условий, при которых проходит процесс измерения данного объекта.
В случае, если исследуется измерительная система или ее составные части, то
математическая модель
строится в соответствии с ранее рассмотренной структурной моделью процесса измерений (см.рис.1.1) при
фиксированных параметрах и математической модели объекта измерений. Состав и механизмы влияния на результат
измерения внешних проце
ссов рассмотрены подробно при обсуждении этой структурной модели в главе 1.
Из изложенного становится понятным, почему в практической метрологии уделяется особое внимание
нормированию условий измерений. Прежде всего, это касается терминологии [1,12]. Усло
вия измерений
разделяются на нормальные и рабочие. Нормальные условия измерений характеризуются совокупностью значений
или областей значений влияющих величин, принимаемых за номинальные. Нормальные условия измерений
устанавливаются в нормативно
-
технических
документах на средства измерений конкретного вида или при их
поверке. Значение влияющей величины, установленное в качестве номинального, называется
нормальным
значением
этой величины.
ГОСТ 8.395
-
80 регламентирует нормальные условия измерений при поверке.
Устанавливается также область
значений влияющей величины, под которой понимается область ее значений, в пределах которой изменением
результата измерения под ее воздействием можно пренебречь в соответствии с установленными нормами точности.
В ряде случаев
предъявляются также требования к рабочему пространству, под которым понимается часть
пространства (окружающего средство измерений и объект измерений), в котором нормальная область значений
влияющих величин лежит в установленных пределах. Наиболее наглядно
это проявляется при измерениях линейных
и угловых величин [13], при которых придается особое значение влиянию температуры. Так, по ГОСТ 8.050
-
73 «ГСИ
нормальные условия выполнения линейных и угловых измерений» пределы допускаемого отклонения температуры
о
бъекта измерения и рабочего пространства от нормального значения в процессе измерения длины должны быть от

0,1 до

0,4
о
С. Средства измерений должны находиться в условиях, соответствующих этим требованиям не менее
24 часов до начала
измерений. В рабочее пространство не рекомендуется помещать объекты измерения с
отклонением температуры на поверхности от нормальной более чем 1,5
-
5
о
С. При этом время выдержки объекта в
рабочем пространстве до начала измерений должно быть не менее 2
-
36 час
ов (в зависимости от массы объекта). В
процессе измерений допускаемые изменения температуры в любой точке рабочего пространства и находящихся в
нем поверхностей объекта и средства измерений составляют 0,02
-
0,5
о
С в течение 12 часов; допускаемая разность
тем
ператур в двух точках находится в пределах 0,02
-
0,5
о
С, причем предел 0,02
-
0,1
о
С обеспечивается только при
расположении оператора вне рабочего пространства.
Наиболее действенным мероприятием по борьбе с влиянием температуры и других факторов на результат
из
мерения является кондиционирование помещений.
Рабочими условиями измерений считают такую совокупность значений влияющих величин, которые не
выходят за пределы рабочей области значений, нормирующих дополнительную погрешность или изменение
показаний средства
измерения.
Иногда используется понятие «Предельные условия применения» [1,12], которое формулируется как
«Условия измерений, характеризуемые экстремальными значениями измеряемой и влияющих величин, которые
средство измерений может выдержать без разрушени
й и ухудшения его метрологических характеристик».
Итак, дополнительная погрешность является следствием отклонений влияющих величин от нормальных
значений (нормальных областей значений).
Статическая характеристика преобразования средства измерений может бы
ть представлена в виде
y
=
F
(
x
,

1
,

2
…

n
),
где
х
–
входная величина;

1
,

2
…

n
–
влияющие величины. Используя эту зависимость, можно вычислить
изменение выходной величины

y
:
где

X
–
изменение измеряемой величины;


1
,


2
…


n
–
отклонения влияющих величин от нормальных значений
при фиксированном значении
х(

X
=0)
.
Второй и последующие члены правой части является составляющими дополнительной погрешности,
вызванной соответствующими отклонениями влияющих величин.


1
=(

1
-

1норм
),


2
=(

2
-

2норм
),
. . . . . . . .


n
=(

n
-

n
норм
),
где

1норм
,

2норм
…

n
норм
–
нормальные значения влияющих величин.
Функции
(
i
=1,2…
n
)
называют функциями влияния, а производные
–
коэффициентами влияния. Функция влияния
относится к категории метрологических характеристик средств
измерений, номенклатура и назначение которых определяются ГОСТ 8.009
-
84 «ГСИ нормируемые метрологические
характеристики средств измерений». Нормирование метрологических характеристик средств измер
ений заключается
в установлении границ для отклонений реальных значений параметров средств измерений от их номинальных
значений. Нормирование обеспечивает взаимозаменяемость средств измерений.
Для всех экземпляров средств измерения данного типа функции вли
яния могут быть подобны, но иметь
различные значения параметров. В этом случае в качестве основной характеристики дополнительной погрешности
принимают номинальную функцию влияния

ном
(

)
, определяемую как среднее
значение функций влияния средств
измерений данного типа со средними значениями ее параметров. Нормируются пределы допускаемых отклонений
функции влияния от ее номинального значения. В этих пределах должны находиться функции влияния всех
экземпляров средств
измерений данного типа.
Если функции влияния различных экземпляров сильно отличаются друг от друга по виду или параметрам, то
нормируют нижнюю и верхнюю граничные функции влияния.
,
2
2
1
1
n
n
д
ду
д
ду
д
ду
x
дx
ду
y




















i
i
д
дy






)
(
i
д
дy


В связи с тем, что влияющие факторы могут вызывать не только дополнительную
погрешность, но и
изменения других метрологических характеристик, стандартами допускается при определенных условиях
нормирование функции влияния на эти характеристики. Это справедливо только для метрологических
характеристик, которые нормируются для норма
льных условий применения средств измерений. Если же
метрологическая характеристика нормирована для рабочих условий эксплуатации, то функцию влияния не
нормируют.
Если функция влияния

(

i
)
какой
-
либо величины (или вызванная ею дополнительная погрешность

(

i
))
существенно зависит от других влияющих факторов, то допускаемые отклонения нормируют для совместных
изменений нескольких влияющих факторов:

(

1
,

2
…

n
)
.
В тех случаях, когда влияние несущественно, нормируют влияние каждого отдельного фактора. Услов
ия
существенности влияния указывают в технической документации на данное средство измерения. При отсутствии
таких указаний внешний фактор относят к существенно влияющему, если его изменение в пределах рабочих условий
применения приводит к изменению функции
влияния данного фактора более чем на 20% от ее номинального
значения.
Вопросы для самопроверки
1. Что в измерительных процессах называют помехами, каковы их разновидности и причины появления?
2. Как математически можно представить аддитивное взаимодей
ствие полезного сигнала и помехи?
3. Дайте определение понятиям: «нормальные» и «рабочие» условия измерений, «нормальное значение
влияющей величины», «область значений влияющей величины», «рабочее пространство».
4. Что такое «функция влияния» и как с её по
мощью можно рассчитать погрешность измерения, вызванную
изменением условий измерения?
Глава 4. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА И КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ
4.1. Обобщенные показатели качества
измерительных устройств
Понятие «качество» можно определить как степень соответствия изделия своему назначению. Следовательно, о
качестве измерительного устройства следует судить по тому, насколько полно реализуется цель измерения
–
получение информации об объекте измерения, необ
ходимой для управления им. Такое расширительное
представление о цели измерения связывает задачи измерения, а следовательно, и задачи создания методов и
средств измерения, с использованием результатов измерений для управления реальными объектами. Другими
сл
овами эффективность управления объектами во многом определяется качественными показателями средств
измерений.
При такой постановке целей измерения исследуемыми объектами могут быть:


система управления объектом (суперсистема);


измери
тельная система произвольного назначения (для комплексных или элементарных статистических
измерений) в различных областях (субсистема системы управления) и ее субсистемы (блоки, модули, элементы);


тип измерительных систем произвольного направле
ния и типы субсистем;


множество типов измерительных систем и субсистем, образующих всю измерительную технику,
используемую в масштабах страны.
Если считать результат измерения
у
и
, проведенного с использованием идеальной
измерительной системы
(теоретический случай), численно равным цели, для которой предназначено изделие (цели управления), то
количественное определение понятия «качество» формально совпадает с понятием полной погрешности типа
измерительных систем (см.гл.1).
Для принятой модели измерительного процесса полная погрешность измерения
представляет собой неотрицательное число


(у
и
, у
р
)
(
у
р
–
результат измерения, полученный с использованием
реальной измерительной системы). Погрешность типа измерительных систем
*
опр
еделяют при исследовании
всевозможных объектов
х

Х
, проводя измерительные эксперименты с обработкой любых реализаций при
воздействии произвольных внешних возмущений
z

Z
.
При этом учитывают множество всевозможных параметров
c
элементов, входящих во все изме
рительные
системы данного типа (например, указанные на принципиальной схеме или чертеже), а также множество
всевозможных значений образцовых мер, с помощью которых градуируют и регулируют все экземпляры
измерительных систем данного типа.
Из сказанного след
ует, что полная погрешность измерения является случайной величиной, определяемой
действием вероятностных механизмов. Если обозначить через
,
,
,
,
–
элементарные события,
полностью определяющие действие соответствующего вероятностного механизма на р
езультат конкретного
измерительного эксперимента, а через

х
,

х
,

с
,

к
,

z
–
пространства соответствующих элементарных событий, то
выходные сигналы идеальной и реальной систем могут быть [5] представлены соответственно в виде
y
и
=А
и
x(
t
,

х
)=
y
и
(

х
);
y
р
=А
р
[
c
(

с
),
k
(

к
)
z
(

z
)]=
x
(
t
,

х
,

z
)=
y
р
(

х
,
,

с
,

к
,

z
).
Поэтому

(
y
и
,
y
р
)=

(

),



,
где

=

х
,

х
,

с
,

к
,

z
–
общее пространство элементарных событий, связанных с действием всех вероятностных
механизмов.
x

x
~

c

k

z

x
~


Полная погрешность
R
типа измерительной системы может быть определена с помощью оператора
(функционала) расширения

, связанного с переходом к погрешности на всем пространстве

элементарных событий

:
.
Конкретный вид оператора

можно определить несколькими
способами. Например, если на

задана
вероятностная мера
Р(

)
, то

совпадает с оператором математического ожидания.
,
т.е. погрешность типа ИС определяется как среднее (по множеству) значение погрешности измерений.
Возможно и другое, вероятностное, опред
еление понятия качества измерительной системы. Если считать,
что измерительное устройство является объектом системы управления, то ее качество будет тем выше, чем лучше
выполняется требование приведения объекта в результате управления в достаточно малую

-
окрестность заданной
точки.
Поскольку задача управления имеет вероятностный характер, количественное выражение этого требования
можно выразить в виде заданной вероятности
Р
достижения цели измерения с погрешностью, не превышающей
заданную величину

пд
(предел допускаемой погрешности), что может быть выражено в виде
P
(
r


ПД
)=1
-

,
где

ПД

0,


0
–
заданные достаточно малые величины;
r
r
(
y
’,
y
)
–
расстояние между целью
y
’
и
конечным состоянием объекта, или в виде
P
(
r
)


.
Поскольку измерительная система является субсистемой системы управления (суперсистемы), ее качество
должно соотноситься с качеством суперсистемы. Конкретно это проявляется в том, что требования к измерительной
системе выражаются так же, как и требования к
суперсистеме. Значение и способ выражения погрешности, по
которой судят о качестве субсистемы, определяются в зависимости от структуры суперсистемы и ее критерия
качества
r
. Условие выполнения измерительной системой заданных требований можно представить в
виде [5]
P
{
r
[
A
и
x,А
р
{
C
(
t
,
z
,
k
)
X
}


ПД
, х

M
,
z

M
z
,
t

(
t
н
,
t
н
+
T
)


,

l
{
А
р
[c(t,z,k)]}

Г
l
, l =1,N,
где
Р(·)
–
вероятность,
r
(··)
-
критерий точности, согласованный с критерием точности суперсистемы,
A
и
x
=
x
–
исследуемый объект (процесс) или его характеристика,
подлежащая измерению;
М
-
тезаурус;
А
p
[
c
(
t
,
z
,
k
)]
–
оператор реальной системы, изменяющийся с течением времени за счет старения (поэтому
r
[
A
и
x,
;
t
н
-
момент времени соответствующий началу эксплуатации;
T
–
долговечность
измерительной системы;

–
допуск на
долговечность;

l
(·)
–
функционалы
-
показатели (масса, габариты,
стоимость, время наблюдения и др.);
N
–
число показателей;
Г
l
–
значения ограничений на эти показатели;

ПД
,

,

l
–
положительные числа.
При этом должны быть заданы условия эксплуатации и
точностные характеристики образцовых средств в
виде распределений:
F
(
z
)
–
мешающих воздействий и
F
(
k
)
–
действительных значений образцовых мер. Задаются
также свойствами элементной базы, используемой при создании измерительной системы (в виде распределени
я
F
[
c
(
t
,
z
)]
их параметров
c
, зависящих от времени
t
и внешних воздействий
z
).
Таким образом, при заданных условиях эксплуатации система данного типа удовлетворяет предъявляемым к
ней требованиям, если в любой момент времени на протяжении интервала эксплуа
тации вероятность того, что ее
полная погрешность превышает предел допускаемой погрешности, не превышает допуск на долговечность. При этом
должны быть соблюдены ограничения, накладываемые на ряд характеристик измерительной системы.
Из сказанного следует, ч
то обобщающими показателями качества измерительной системы можно считать:
предел допускаемой погрешности

пд
, долговечность
T
, допуск на долговечность

, значения ограничений
Г
l
.
В число показателей, подлежащих ограничениям
Г
l
, могут быть внесены: физичес
кие (условия физической
реализуемости, устойчивости и пр.), вычислительные, ресурсные (экологические), конструктивные (масса, габариты
и др.).
Рассмотрим характеристики свойств средств измерений, оказывающие определяющее влияние на их
обобщенные показатели
качества. К ним следует отнести метрологические характеристики [14], т.е. характеристики,
оказывающие влияние на результаты измерений и их погрешности. Имеется в виду, прежде всего, инструментальная
составляющая полной погрешности, являющаяся следствием н
еадекватной реализации средством измерений
некоторого принятого алгоритма (метода) измерений. Однако в ряде случаев метрологические характеристики
ориентированы и на методическую составляющую полной погрешности измерения. Например, основная
характеристика
аналого
-
цифрового преобразователя (АЦП)
–
число разрядов
–
определяет для установившегося
диапазона преобразования значение интервала квантования. В свою очередь, интервал квантования и способ
квантования определяют методическую погрешность квантования.
В
соответствии с ГОСТ 8.009
-
84 метрологические характеристики разделяются на шесть групп:


характеристики для определения результатов измерения;


характеристики погрешностей средств измерений;


характеристики чувствительности средств измерений к влияющим величинам (функции влияния);


динамические характеристики;


характеристики влияния взаимодействия средства и объекта измерений;


неинформативные параметры выходных сигналов.
)
,
(
)
(
р
и
y
y
R

















R
dP
y
y
dP
M
R
р
x
и







)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(












)
,
,
(
)
,
,
(
k
c
t
r
x
k
z
t
c
A
p


К перв
ой группе относятся функции преобразования звеньев измерительной цепи, значения мер, цена
деления шкалы или единицы наименьшего разряда кода, в котором представляется результат измерения; вид
выходного кода и число разрядов кода.
Функция преобразования
у=

(х)
(статическая характеристика преобразования)
–
функциональная
зависимость между информативными параметрами выходного и входного сигналов средства измерений.
Функцию преобразования, принимаемую для средства измерений (типа) и устанавливаемую в научно
-
тех
нической документации на данное средство (тип), называют номинальной функцией преобразования (типа).
Важной характеристикой является чувствительность (
S
) средства измерений, под которой понимают предел
отношения приращения выходного сигнала

у
средства изм
ерений к вызвавшему его изменению входного сигнала

х
, т.е.
.
Следовательно, чувствительность может быть определена дифференцированием функции преобразования.
Если функция нелинейная, чувствительность зависит от
х
, если линейная
–
постоянна. В первом сл
учае шкала
измерительного прибора
–
неравномерная (длина деления шкалы неодинаковая); во втором
–
равномерная (длина
всех делений шкалы одинаковая).
Ценой деления шкалы измерительного прибора называется
разность значений величины, соответствующих
двум соседним отметкам шкалы. Для цифровых средств измерений указывают цену единицы младшего разряда
цифрового отсчетного устройства, вид выходного кода (двоичный, двоично
-
десятичный) и число разрядов кода.
Метро
логические характеристики второй группы являются непосредственно характеристиками погрешности.
К ним относятся характеристики систематической и случайной составляющей от вариации выходного сигнала. В
практической метрологии под погрешностью средства измере
ния понимают погрешность результата измерения,
полученную при его использовании в установленных условиях. Причем, если систематическая погрешность
относится к типу средства измерения, ее значение для каждого конкретного экземпляра будет случайным, что
объя
сняет применение в этом случае статистических характеристик. К числу характеристик погрешностей средств
измерений отнесены и пределы допускаемых значений погрешности с установленной доверительной вероятностью.
Особенностью второй группы характеристик являе
тся то, что они относятся к основной погрешности без
учета динамики процесса измерений. Метрологические характеристики третьей группы
–
характеристики
чувствительности средств измерений к влияющим величинам (см.гл. 3).
Все вышерассмотренные метрологические
характеристики отражают статические свойства средства
измерений, проявляемые при статическом режиме его работы, т.е. когда выходной сигнал средства считается
неизменным при измерении. Если средство измерений работает в режиме, при котором входной сигнал и
зменяется
во времени (в динамическом режиме), то его инерционные свойства описываются динамическими характеристиками.
Метрологические характеристики этой группы описывают зависимость выходного сигнала средства измерений от
меняющихся во времени величин: па
раметров входного сигнала, внешних влияющих величин, нагрузки.
Динамические свойства средства измерений определяют динамическую погрешность. В зависимости от полноты
описания динамических свойств средств измерений различают полные и частные динамические ха
рактеристики.
К полным динамическим характеристикам относят переходную характеристику, импульсную переходную
характеристику, амплитудно
-
фазовую характеристику, совокупность амплитудно
-
частотной и фазово
-
частотной
характеристик, передаточную функцию.
Частна
я динамическая характеристика не отражает полностью динамических свойств средства измерений.
Если аналоговое средство измерения считается линейным, то его частными динамическими характеристиками могут
быть любые функционалы или параметры полных динамически
х характеристик. К ним относятся: время реакции
средства измерений (время установления показаний), постоянная времени, частота собственных колебаний,
коэффициент демпфирования (степень успокоения).
К динамическим характеристикам относят и погрешность датир
ования отсчета, которая равна разности
между тем моментом времени, с которым соотносится полученный результат измерения, и фактическим моментом
времени, для которого проведено измерение. Из
-
за погрешности датирования, например, появляется составляющая
погр
ешности, вносимая процессором в результат измерения.
Пятая группа метрологических характеристик
–
характеристики влияния взаимодействия средства и объекта
измерения
–
представляется входным и выходным полным сопротивлением. С учетом их значений при электри
ческих
измерениях могут быть оценены характеристики погрешностей результатов измерения для установленных
диапазонов значений полных сопротивлений подключаемых устройств.
Шестая группа характеристик, называемых неметрологическими характеристиками, определяе
т допустимые
диапазоны значений тех параметров выходного сигнала, которые, не будучи непосредственно связаны с измеряемой
величиной, могут влиять на точность измерений. Например, если информативным параметром является частота
импульсов, то для обеспечения
установленной точности могут быть предъявлены требования к амплитуде и форме
импульсов. Рассмотренные метрологические характеристики нормируются стандартом.
Для описания свойств средств измерений используются и другие неметрологические характеристики:
пок
азатели надежности, время установления рабочего режима, устойчивость к климатическим воздействиям и др.
Применительно к средствам измерений лучше подходит понятие
метрологическая надежность
–
свойство
средства измерений сохранять его метрологическую исправ
ность в течение заданного интервала времени, т.е.
сохранять соответствие нормируемых метрологических характеристик установленным нормам. С понятием
метрологической надежности связывается понятие
метрологический отказ
средства измерений
–
выход
метрологичес
кой характеристики за установленные нормы. Различают внезапный отказ, когда средство измерений
полностью теряет свою работоспособность, и постоянный отказ, когда с течением времени метрологические
характеристики выходят за допустимые пределы.
dx
dy
x
y
X






0
lim
S

Показателями
надежности являются: безотказность, ремонтопригодность (для восстанавливаемых средств
измерений), долговечность. В качестве показателя безотказности устанавливают наработку на отказ. Под
наработкой понимают продолжительность работы средства, а под наработк
ой на отказ
–
отношение наработки к
числу отказов в течение этой наработки. В качестве показателя долговечности принят средний срок службы или
средний ресурс
–
соответственно календарная продолжительность эксплуатации средства и его наработка от ее
начала
до наступления такого предельного состояния, при котором дальнейшая эксплуатация средства должна быть
прекращена.
Показателем ремонтопригодности является среднее время восстановления средства.
4.2. Задачи оптимизации и критерии оптимальности
измерител
ьных устройств
Под оптимизацией понимается выбор наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. В
теории измерений освещаются вопросы оптимизации процессов и средств измерений как составной части более
общей задачи
–
оптимизации управления ре
альными объектами материального мира. Измерения, его результаты
рассматриваются как получение информации об объекте, необходимой для управления им, а средства измерений
–
как важнейшая составная часть системы управления, обеспечивающей выполнение основных
задач. Степень
достижения цели, следовательно, зависит от достоверности получаемой информации, от качества используемых для
этого технических средств.
Для раскрытия связи между измерением и оптимизацией целесообразно сначала рассмотреть отдельно эти
проце
ссы [5]. Говоря об измерениях, следует отметить, что возможны два варианта постановки задачи измерения.
Постановка задачи по первому варианту предполагает, что имеется скалярная физическая величина
, значение
которой неизвестно, а также величина того же р
ода
, которая может принимать произвольные, но известные
(контролируемые) значения внутри диапазона
A
(причем предполагается, что значение величины также находится в
этом диапазоне). Необходимо, сравнивая
с
,
варьируя
, выбрать
=
. Уравнение измерени
й в этом
случае будет иметь вид
,
(4.1)
означающий, что результат измерения
находится как такое значение аргумента (обозначение
arg
)
функции
, которое соответствует минимуму этой функции (подробнее этот
вариант постановки задачи
измерения будет рассмотрен в дальнейшем).
Второй вариант постановки задачи измерения («фиксированный объект
–
управляемая модель»)
предполагает: заданы фиксированный объект
х



и тезаурус
М
; необходимо, сравнивая
х

с
m


,
выбрат
ь с
помощью управления и из множества
М
модель
m
*
, наиболее близкую к
х

в смысле критерия сравнения. Уравнение
измерения для такого варианта имеет вид
, (4.2)
а процесс измерения
m


представл
ен схемой, показанной на рис.4.1.
Отметим, что первый вариант задачи измерения, является частным случаем второго. Для сопоставления
задач измерения и оптимизации применим второй вариант, так как он предполагает математическое описание
исследуемого объекта
, т.е. модели, достаточно адекватной исследуемому объекту.
При постановке задачи оптимизации («фиксированная модель
–
управляемый объект») задаются
фиксированная модель
m

, отождествляемая с некоторым предписанием (алгоритмом, проектом, чертежом,
технолог
ическим документом и т.д.), и допустимое множество
Х
состоянии объекта
x
. Необходимо сравнить
x
с
m

и
на основании результатов сравнения путем воздействия на объект с помощью управления
и
, перевести его в
состояние
x
*
, наиболее близкое к
m

по
заданному критерию сравнения
r
(рис.4.2.) что можно выразить как
.
(4.3)
Рис.4.1.Структурная схема
задачи
измерения
Рис.4.2. Структурная схема
задачи
оптимизации
Таким образом, в процессе измерения проводится управление моделью, а в процессе оптимизации
–
объектом при неизменных
х

и
m

, соответственно. При оптимизации минимизируется различие между текущим
состоянием объекта фиксированным (заданным) состоянием, оп
исываемым моделью
m

.
a
~
a
a
~
a
a
*
a
a
~


a
a
a
A
a



~
min
arg
*

*
a


a
a

~

)
,
(
min
arg
*
m
x
r
m
M
m



)
,
(
min
arg
*



m
x
r
x
X
x

В результате измерения мы как бы отождествляем текущее состояние объекта с его моделью
(совокупностью характеристик, результатом измерения), соответствующей данному моменту. Учитывая это, связь
задач оптимизации и измерения может быть
представлена выражением
, (4.4)
где
–
текущее состояние объекта (результат измерения), изменяющееся за счет управления
объектом.
Примером может служить процесс обработки детали на металлорежущем станке. Объектом
х
является
обрабатываемая деталь, моделью
m

–
чертеж детали, измерительная система
–
соответствующий измерительный
прибор (микрометрический, штанген
-
инструменты и пр.) Регулируют подачу обрабатывающего инструмента
(управление объектом
и
) в зависимости от со
ответствия фактических размеров детали (результат измерения) и
размеров, указанных на чертеже. Степень достижения поставленной цели при прочих равных условиях,
характеризуемая величиной
r
(
x
*
,
m
0
),
зависит от точности измерений.
Последнее обстоятельство пре
допределяет другой аспект оптимизации
–
оптимизацию измерительных
систем, т.е. выбор управлений (технических решений), обеспечивающих минимальное значение полной погрешности
типа измерительных систем.
Задачу оптимизации любых изделий, в том числе средств и
змерений, можно рассматривать как задачу
управления качеством. В параграфе 4.1 мы установили, что обобщенными показателями, достаточно полно
характеризующими качество типа серийно выпускаемых измерительных устройств, можно считать: предел
допускаемой погре
шности

ПД
; ресурс времени эксплуатации
Т
; допуск на долговечность

; ограничения
Г
l
,
накладываемые на ряд показателей (физических, вычислительных, конструктивных и др). Задача оптимизации
заключается в нахождении предельных (потенциальных) возможностей и
змерительных систем, в достижении
наилучших показателей качества (а также реализаций измерительных средств, обладающих этими возможностями).
В этом случае объектом управления становится измерительная система.
Исходными данными, необходимыми для постановки
задачи оптимизации, являются: описание и начальное
состояние объекта управления (т.е. измерительной системы), цель управления, множество допустимых управлений,
показатель качества.
Описание объекта управления может быть представлено оператором
А
р
(
и
,

,
t
)
реальной (см. гл.1)
измерительной системы, в котором
и
–
управления,

–
неконтролируемые возмущения (заданные, например,
вероятностными характеристиками),
t
–
заданный момент времени, прошедшего после начала эксплуатации
измерительной системы.
Начальное с
остояние измерительной системы как объекта управления описывается с помощью оператора
А
и
=А
(0)
(
и
0
,

(0)
,
t
н
)
идеальной системы, когда
А
и
x
=
x


, где
x
–
«истинная» модель исследуемого объекта,
М
–
тезаурус.
Целью управления является модель исследуемого объекта или его достаточная характеристика или даже
результат элементарного измерения
А
и
x
=у
и

Y
и
,
Y
и
=
F
(
M
)
–
целевое множество).
Множество (класс) допустимых управлений может быть представлено в виде
,
(
4.5)
где

l
(
и
)
–
функционалы, имеющие смысл ограничений, связанных либо с законами природы, которые
невозможно нарушить (физическая реализуемость управлений), либо с затратой ресурсов, которые нежелательно
превзойти, таких например, как стоимость измерите
льной системы, время наблюдения, потребляемая мощность,
габариты, масса. Константы в этом случае имеют смысл предельно допустимых значений указанных ресурсов.
Показателем (критерием) качества оптимизируемой измерительной системы является полная погрешность
типа измерительной системы
r
(у
и
,у
p
)=
r
[А
и
x
,А
р
(
и
,

,
t
)
x
],
(4.6)
представляющая собой статистический функционал, способ выражения которого зависит от имеющейся
информации о критерии качества
суперсистемы и о вероятностных характеристиках неконтролируемых возмущений.
В соответствии с рассмотренными выше исходными данными
задача оптимизации
описывается выражением
,
(4.7)
или в эквивалентном ему виде
,

u

U
*
.
(4.8)
В вероятностных терминах
задача оптимального управления может быть представлена в виде
(4.9)
где
C
–
«стоимость»
–
условная величина, характеризующая затраты производственных ресурсов.
Как видно, возможны различные формулировки задачи оптимизации, но в каждом случае до
лжны быть
зафиксированы любые показатели, кроме одного («свободного»). Задачей оптимального управления является
обеспечение экстремума «свободного» показателя. Соответственно четырем показателям

;

пд
,
Т
,
С
можно назвать
и записать выражения четырех видов критериев оптимальности:















m
m
x
r
r
m
x
m
r
x
M
m
X
x
X
x
),
,
(
min
arg
min
arg
),
(
min
arg
*
*
)
,
(
min
arg
)
(
*
m
x
x
m
M
m




N
l
u
u
U
l
l
i
,
1
,
)
(









x
t
u
A
x
A
r
u
y
y
r
u
p
u
U
u
p
u
U
u
опт
)
,
,
(
,
min
arg
)
(
,
min
arg
*









)
(
,
)
(
,
*
u
y
y
r
u
y
y
r
p
u
опт
p
u











C
u
T
t
u
r
P
пд
)
(
)
,
0
(
,
)
(



критерий вероятности выполнения задачи («Р
-
критерий»)
,
(4.10)
если
, то требование (6.9) выполнимо;
критерий точности («

-
критерий»)
;
(4.11)
критерий долговечности
;
(4.12)
критерий стоимости («
C
-
критерий»)
.
(4.13)
Управления по рассмотренным критериям оптимальности в общем случае различны, из
-
за чего может
возникнуть неопределенность в постановке
задачи на оптимум. Поэтому выбор критерия является важнейшим
этапом оптимизации измерительных систем. Практическому решению задач оптимизации по выбранному критерию
препятствует то, что функционалы
Р
,

пд
,
Т
,
С
в действительности являются функциями чрезвыч
айно большого
числа переменных.
Путь к решению этой проблемы [5] лежит в сведении сложной задачи отыскания экстремума функций очень
большого числа переменных к совокупности более простых, поддающихся решению задач отыскания экстремумов
ряда функций, кажда
я из которых зависит от гораздо меньшего числа переменных. Причем критерии оптимума в
«простых» задачах должны быть согласованы с критерием оптимума «сложной задачи».
Применение этого метода к решению задачи оптимизации измерительных систем предполагает, ч
то
конечное состояние системы является результатом управлений, принятых на каждом этапе ее эволюций. Такая
особенность процесса управления присуща так называемой большой системе, т.е. системе, оптимизирующей
(создающей, обслуживающей) «малую»
–
измерительн
ую систему, оператор которой представляется в виде
некоторой последовательности этапов (шагов), например, этапов выборов модели исследуемого объекта,
проектирования системы, ее производства, эксплуатации и пр.
*
Тип средств измерений
–
совокупность с
редств измерений, имеющих одинаковое устройство, функциональное назначение и
нормируемые характеристики. Погрешность типа средств измерений характеризует всю совокупность данного типа. Погрешность
любого экземпляра данного типа не может превышать погрешнос
ти типа. Погрешность типа указывается для средств измерений
массового производства.
*

–
квантор (символ сокращения записи) общности (всеобщности), означающий «любой», «какой бы ни был», «для всех».
Глава 5. АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР
5.1. Основны
е операции измерений
и элементарные средства их реализации
Основными операциями, составляющими процедуру измерения, являются: воспроизведение величин
заданного размера, сравнение величин, измерительные преобразования. К
ним следует добавить также операции,
общие для всех информационных процедур: передача, коммутация, запоминание. Каждая из этих операций может
быть описана с помощью математических выражений.
Средства измерений (СИ), с помощью которых реализуются те или и
ные операции измерительной
процедуры, называются
элементарными
средствами измерений. СИ, с помощью которых реализуются измерительные
процедуры, состоящие из нескольких операций, называют
комплексными
средствами измерений. Главная
отличительная особенность,
разделяющая эти два вида СИ, состоит в том, что с помощью любого другого
элементарного СИ нельзя определить значение величины; в то время как процедура измерений, выполненная с
помощью комплексных средств измерений, завершается получением значения измеряе
мой величины. К
элементарным СИ относятся: устройства сравнения, меры, измерительные и масштабные преобразователи; к
комплексным
-
измерительные приборы и системы.









const
C
T
u
P
u
пд
U
u
опт
,
,
)
(
min
arg
*


)
(
*
окт
u
P









const
C
T
u
u
пд
опт
,
,
)
(
min
arg
*









const
C
u
T
u
пд
окт
,
,
)
(
max
arg
*









const
T
u
C
u
пд
окт
,
,
)
(
min
arg
*


Под
воспроизведением величины заданного размера
понимается создание выходного сигнала с за
данным
размером информативного параметра. Эта операция выполняется с помощью меры. Меру можно рассматривать как
преобразователь, входной величиной которого следует считать числовое значение величины
N
x
,
а выходной
-
квантованную аналоговую величину заданно
го размера
х
n
=N
x
q
x
. Поскольку на входе и выходе цифроаналогового
преобразователя имеются соответственно именно такие величины, то его можно считать автоматически
управляемой мерой.
Регулирование меры может осуществляется как по детерминированному, так и по
случайному закону.
Примером детерминированного закона является закон "лесенки":
x
N
(
t
)=
N
x
(
t
)
q
k
,
характеризующий изменение
N
x
(
t
)
от 0 до
N
н
через одинаковые интервалы времени единичными ступенями.
Меры подразделяются на однозначные, многозначные, наборы мер
, магазины мер. Под однозначной мерой
понимается мера, воспроизводящая физическую величину одного размера, под многозначной
-
мера,
воспроизводящая физическую величину разных размеров. Кроме того, различаются меры одно
-
и многоканальные,
регулируемые и нер
егулируемые.
Однозначная мера может быть только одноканальной нерегулируемой (рис. 5.1) (например, образцовое
электросопротивление в виде измерительных безреактивных катушек), описываемой уравнениями
x
N
=N
x
q
k
=const; N
x
=const; q
k
=const.
Рис.5.1. Разновидности мер:
а
-
одноканальная нерегулируемая;
б
-
одноканальная регулируемая;
в
-
многоканальная нерегулируемая;
г
-
многоканальная регулируемая
Многозначная мера может быть:
одноканальной регулируемой (рис.5.1,
б
), когда в данный момент
времени воспроизводится только один
размер. т.е. осуществляется временное разделение величин (например, магазин емкостей), ее уравнение
x
N
=N
x
q; N
x
=var; q
k
=const
;
многоканальный нерегулируемой (рис.5.1,
в
), одновременно воспроизводящей несколько размеров за
данной
величины (например, нерегулируемый делитель напряжения), ее уравнение
x
Ni
=
N
i
q
k
=
const
;
многоканальной регулируемой, воспроизводящей одновременно несколько величин, размеры которых могут
изменяться (рис.5.1,
г
), ее уравнение
=
N
i
q
k
=
var
при
N
i
=
var
;
q
k
=
var
.
Характерной особенностью многоканальных мер является пространственное разделение выходных величин.
Другой важнейшей операцией, входящей в процедуру измерения, является
сравнение величин
, под которым
понимается определение соотношения однородных величи
н по знаку их разности (иногда по другому признаку).
Совокупность и последовательность выполнения приемов использования физических принципов и явлений,
необходимых для осуществления сравнения величин, называют
методом сравнения
, а соответствующее техническ
ое
средство
-
устройством сравнения
(УС).
Устройство сравнения чаще всего состоит (рис.5.2,
а
) из вычитателя В, создающего разность сравниваемых
сигналов

p
=
x
1
-
x
2
, и релейного элемента (РЭ), реагирующего на знак разности

p
. В аналоговых устройствах
релейный элемент часто отсутствует.
Сравнение может быть одно
-
и разновременным. Если осуществляется операция одновременного
вычитания, то УС реализуется двухканальной структурой (рис.5.2,
а
). Выходной сигнал
a
i
, несущий информаци
ю о
результате сравнения, чаще всего представляется логическими "1" или "0":
(5.1)
i
N
l
x




.
при
0
;
при
1
5
.
0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
sign
a
i







Рис.5.2. Разновидности устройств сравнения:
а
-
на основе одновременного
вычитания;
б
-
на основе разновременного вычитания;
в
-
на основе деления
Операция сравнения разновременным вычитанием может быть осуществлена одноканальным УС (рис.5.2,
б
). С помощью переключателя П, управляемого сигналами, поступающими с генератора, создается переменный
сигнал с частотой, равной частоте генератора, и фазой, со
держащей информацию о соотношении между
сравниваемыми величинами.
Иногда сравнение однородных величин осуществляется с помощью операции деления (рис.5.2,
в
):
(5.2)
Измерительными преобразованиями
называются преобразования измеряемой величины в другую ве
личину
или сигнал измерительной информации (удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации
или передачи по каналам связи), осуществляемые с заданной точностью. К числу измерительных преобразований
можно отнести следующие операции: из
менение физического рода сигнала или величины; масштабно
-
линейные,
масштабно
-
временные (смещение, сжатие или растяжение во времени), нелинейные или функциональные
преобразования; модуляция, квантование, дискретизация.
Из перечисленных видов измерительных п
реобразований остановимся на
масштабировании
, являющемся
одной из основных операций процедуры измерения.
Масштабированием
называется измерительное преобразование, осуществляемое с целью изменения
размера величины или измерительного сигнала в заданное число
раз с заданной степенью точности.
Соответственно,
масштабный преобразователь
(МП)
–
средство измерений, с помощью которого осуществляется
масштабирование.
Метод масштабирования
-
совокупность приемов использования физических явлений и
процессов,
положенных в основу работы масштабного преобразователя.
Масштабные преобразователи могут быть одно
-
и многозначными, одно
-
и многоканальными с
регулируемым и нерегулируемым коэффициентом преобразования
К
мп
(рис.5.3).
Рис.5.3. Разновидност
и масштабных преобразователей:
а
-
одноканальный
нерегулируемый;
б
-
одноканальный регулируемый;
в
-
многоканальный
нерегулируемый;
г
-
многоканальный регулируемый
Регулируемые масштабные преобразователи (рис.5.3,
б
,
г
) отличает от нерегулируемых (рис.5.3,
а
,
в
)
возможность изменения коэффициента преобразования
К
мп
. Многоканальные масштабные преобразователи могут
быть с временным (рис.5.3,
б
) и пространственным разделением (рис.5.3,
в
,
г
).
Уравнения измерения:
одноканального нерегулируемого масштабного преобразо
вателя
х
1
=К
мп
х;
(5.3)
многоканального нерегулируемого масштабного преобразователя с пространственным разделением
х
i
=К
i
мп
х;
(5.4)
многоканального регулируемого масштабного преобразователя с временным и пространственным разделениями
х
i
=К
i
мпр
х(
t
)
x
.
(5.5)
5.2. Аналитическое описание процедуры измерений
.
при
0
;
при
1
1
5
,
0
5
,
0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
sign
a
i













Аналитическое описание процедуры измерений осуществляется с помощью уравнения измерений,
связывающего между собой: истинное значение измеряемой величины
х
; результат измерения
x
N
=
N
x
q
k
=
N
x
q
x
, где
q
k
-
ступень квантования, единица младшего десятичного разряда числового значения меры
N
x
, обычно равная
десятичной кратной или дольной единице измеряемой величины
q
x
; погрешность измерения

=
x
N
-
x
; числовое
значение кода меры
N
x
; ступень квантования
q
k
; коэффициент масштабного преобразования
К
мп
. Уравнение
измерений получают из уравнения устройства сравнения подстановкой в него уравнения меры и масштабного
преобразователя.
Процедура измерений может быть построена по самым различн
ым алгоритмам. Для пояснения общих
принципов составления уравнения измерений рассмотрим [6] простейший случай, когда процедуру измерений
составляют лишь две операции: операция воспроизведения мерой ряда величин с известными размерами из
множества
x
N
, т.е.
x
1
,
x
2
…
x
1
…
x
N
н
, например, равноинтервального ряда с одинаковым интервалом
q
k
, размер которого
принимаем равным единице данной величины или ее десятичной доле; операция сравнения для выявления знака
разности размеров величины
х
и однородной выходной величины
x
N
.
В этом случае операция воспроизведения величины заданного размера реализуется в виде ступенчатого
изменения известной величины
x
Ni
последовательными шагами от первого
i=1
до конечного
i
кон
. Размеры ступеней
x
i
при отработке выбирают в зависимости от с
пособа отработки
–
равномерно
-
или неравномерно
-
ступенчатого. Если
используется равномерно
-
ступенчатое изменение известной величины, то ступень изменения равна ступени
квантования
q
k
; если изменение
x
i
неравномерно
-
ступенчатое, то в начале изменение происх
одит большими
ступенями
x
i
, а затем меньшими, вплоть до
q
k
. Отработка
x
N
продолжается до тех пор, пока не уравняется
х
и
x
Nx
,
т.е. до тех пор, пока разность
x
N
-
x
не станет меньше минимальной ступени
q
k
.
Операция отработки может быть записана следующим обра
зом:
,
где
x
i
-
изменение образцовой величины
x
N
при
i
-
м шаге отработки;
где
x
Ni
-
значение величины
x
N
после
i
-
го шага отработки.
На конечном шаге отработки имеем:
(5.6)
Числовое значение величины, следовательно:
,
(5.7)
где Е
–
целая часть числа, полученного делением
х
на
q
х
.
Выражение (5.7), описывающее зависимость между числовым значением результата измерения
N
x
и
размером измеряемой величины
х
, и является уравнением измерений. Рассмотренный алгоритм может быть
п
редставлен структурной схемой, приведенной на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Структурная схема непосредственных
прямых измерений
Составим уравнение измерений для трех вариантов набора
элементарных средств измерений, реализующих
операции измерительной процедуры.
В первый вариант набора входят одноканальная регулируемая мера и устройство сравнения (рис. 5.5,
а
).










кон
i
i
i
i
k
N
i
q
x
x
sign
F
x
x
1




.
0
при
1
;
0
при
0






i
i
N
N
N
x
x
x
x
x
x
sign
F
.
;
k
x
N
кон
N
k
кон
N
q
N
x
x
x
q
x
x
i
i





k
x
q
x
E
N


Рис. 5.5. Простейшие наборы средств измерений для реализации
абсолютных непосредственных измерений:
а
-
устройство
сравнения (УС) и одноканальная регулируемая мера (М);
б
-
устройство сравнения, одноканальная нерегулируемая мера и
одноканальный регулируемый масштабный преобразователь(МП)
Подставим в уравнение уст
ройства сравнения уравнение меры:
x
–
x
n
=

p
;
x
-
N
x
q
k

q
k
.
Для нахождения
х
нужно изменять
N
x
до тех пор, пока

p
не станет меньше
q
k
. Очевидно, мера должна быть
многозначной во всем диапазоне
х
:
.
(5.8)
Следовательно, измерение
математически представляется в виде деления, которое продолжается, пока
остаток деления или разность становится:
x
-
N
x
q
k
<
q
k
.
Уравнение измерения
всегда является линейным, так как
.
Второй вариант состава элементарных средств измерений включает нер
егулируемую одноканальную меру,
устройство сравнения и масштабный преобразователь (рис. 5.5,
б
). Уравнение измерения получаем подстановкой в
уравнение устройства сравнения уравнения масштабного преобразователя:
Если выполнить условие
, то
,
т.е. уравн
ение измерений линейно. Однако соблюсти это условие затруднительно и поэтому такой вариант
применяется редко.
Третий рассматриваемый нами вариант предполагает наличие в составе элементарных средств измерений
регулируемой одноканальной меры, устройства сра
внения, масштабного преобразователя, тогда:
Поскольку
K
мпр
=
const
-
уравнение измерений линейно.
5.3. Классификация видов и методов измерений
Современный этап развития измерений и измерительной техники
характеризуется большим разнообразием
измеряемых величин, различным характером их изменения во времени, условий измерений, требований к точности
измерения и т.д. Это обусловило широкое развитие различных видов и методов измерений. Для обеспечения
возможнос
ти систематизации и выявления общих закономерностей всего многообразия измерений их
классифицируют по наиболее существенным признакам.
Следует отметить, что виды и методы измерений классифицируются как по признакам, предусмотренным
РМГ 29
-
99, так и по разл
ичным «нестандартизированным» признакам, появление которых связано с бурным
развитием цифровых измерительных устройств и все более широким использованием современной вычислительной
техники при измерениях.
Рассмотрим прежде всего, как классифицируются виды
измерений в соответствии с признаками,
предусмотренными стандартом.
В зависимости от способа обработки экспериментальных данных для нахождения результата измерения
разделяются на прямые, косвенные, совместные, совокупные.
Прямое измерение
-
измерение, при
котором искомое значение величины находят непосредственно.
k
x
k
x
q
x
E
N
q
N
x


;
k
x
q
x
E
N

const
q
k

.
;
0
0
x
x
K
x
x
K
N
мп
N
мп
p




x
мп
N
K
p
1

0
0
;
1
N
x
N
x
x
x
E
N
x
x
N


.
;
;
k
мп
x
k
k
x
мп
p
N
мп
q
x
K
E
N
q
q
N
x
K
x
x
K
р
р
р







Косвенное измерение
-
измерение, при котором искомое значение физической величины определяют на
основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой
в
еличиной. При косвенном измерении значение измеряемой величины получают путем решения уравнения
x
=
G
(
x
1
,
x
2
…
x
n
)
,
где
x
1
,
x
2
…
x
n
-
значения величин, полученных прямым измерением.
Совместными
называют одновременные измерения нескольких неодноименных величин для
нахождения
зависимости между ними.
Совокупные измерения
–
одновременно проводимые измерения нескольких одноименных величин, при
которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях
этих величин в различных
сочетаниях. Причем число уравнений должно быть не меньше числа величин.
В зависимости от количества наблюдений, выполняемых для получения результата измерительного
эксперимента, измерения разделяются на
однократные
и
многократные
.
Наблюдение
–
экспериме
нтальная операция, выполняемая в процессе измерения, в результате которой
получают одно из группы значений величины. Для получения результата измерений с многократными наблюдениями
требуется статистическая обработка наблюдений. Измерения вероятностных хара
ктеристик случайных процессов
называют
статистическими
измерениями.
В зависимости от режима работы применяемые средства измерения распределяются на статические и
динамические.
Статическими
называют измерения физической величины, принимаемой в соответствии с конкретной
измерительной задачей за неизменную на протяжении времени измерения.
Динамическое измерение
–
измерение
изменяющейся по размеру физической величины.
По характеристике точности
измерения разделяются на равноточные и неравноточные.
Равноточными
измерениями называют ряд измерений какой
-
либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами
измерений и в одних и тех же условиях с одинаковой тщательностью.
Неравноточными
назы
вают ряд измерений
какой
-
либо величины, выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных условиях.
По выражению результата измерения разделяются на абсолютные и относительные.
Абсолютное
измерение
основано на прямых измерениях
одной или нескольких величин и (или) использовании значений физических
констант.
Относительное
измерение
–
измерение отношения величины к одноименной величине, играющей роль
единицы, или измерения величины по отношению к одноименной величине, принимаемой з
а исходную.
По метрологическому назначению измерения разделяются на технические и метрологические.
Техническими
называются измерения с помощью рабочих средств измерений.
Метрологические
измерения
проводятся при помощи эталонов и образцовых средств измере
ний с целью воспроизведения физических величин
для передачи их размера рабочим средствам измерения.
К видам измерений, классифицируемым по признакам, предусмотренным стандартом, добавим измерения
различаемые по другим признакам [6].
При наличие предварит
ельного измерительного преобразования измерения подразделяют также на: 1)
непосредственные
, при которых величина измеряется без любых предварительных преобразований сравнением с
выходной величиной меры, однородной с измеряемой, и 2) с
предварит
ельным преобразованием
, при
которых измеряемая величина предварительно преобразуется в величину, которая может быть воспроизведена с
заданным размером и поддается сравнению.
По мерности измеряемой величины измерения классифицируются на
одномерные
и
многоме
рные
.
Например, многомерным называется измерение вектора напряжения, когда требуется раздельно измерять активную
и реактивную составляющие, отсекая влияние неинформативных параметров сигнала.
По соотношению между числом
n
измеряемых величин и числом уравнений измерения
m
величины
измерения разделяют на
неизбыточные
и
избыточные,
или множественные. При
m
=
n
измерения неизбыточные (т.е.
однократные), при
m

n
–
избыточные.
По способу осуществления избыточности множественные изм
ерения подразделяются на
многократные
и
многоканальные
, что определяет возможность осуществления избыточности либо повторными измерениями, т.е.
многократными наблюдениями, либо разовым
m
-
канальным измерением, либо их комбинацией.
Переходя к
классификации м
етодов измерений
, уточним определение самого предмета классификации.
Здесь также возможны два подхода к трактованию смысла понятия метода измерения.
Первый подход [4] основывается на положениях классической метрологии и закреплен соответствующими
формулир
овками РМГ 29
-
99. Согласно стандарту, под методом измерений понимается «прием или совокупность
приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей в соответствии с реализованным принципом
измерений».
Второй подход [6] предполагает более широко
е трактование этого понятия: метод измерения определяется
«как алгоритм использования операций воспроизведения, сравнения, измерительного преобразования,
масштабирования и запоминания с целью получения значения величины
–
результата измерения». В данной
ин
терпретации присутствует характеристика метода как измерительной процедуры в целом, а не только операции
сравнения, предполагается корректное описание последовательности действий (алгоритма) выполняемых при
получении результата измерений.
В связи с этим,
а также учитывая широкое использование в измерительных процедурах элементов цифровой
электроники и программируемой вычислительной техники, предлагается [4] следующее развитие определения:
«метод измерений характеризуется последовательностью измерительных п
реобразований, в которую обязательно
входят сравнение, аналого
-
цифровое преобразование и масштабирование, а также при необходимости
дополнительные преобразования, выполняемые в аналоговой и числовой форме и цифроаналоговое
преобразование». При этом аналого
-
цифровое преобразование связывает аналоговые числовые измерительные
преобразования, а масштабирование заключает измерительную процедуру.

Соответственно рассмотренным вариантам толкования понятия «метод измерения» существует два варианта
классификации мет
одов измерения.
Первый вариант классификации предполагает, что в соответствии с РМГ 29
-
99 все методы измерений
подразделяются на две группы: методы непосредственной оценки и методы сравнения.
Согласно
методу непосредственной оценки
значение измеряемой ве
личины определяют непосредственно по
показывающему средству измерений.
К
методам сравнения с мерой
относятся методы измерений, в которых производится сравнение измеряемой
величины и величины, воспроизводимой мерой. Сравнение может быть непосредственным ил
и опосредованным
через другие величины, однозначно связанные с первыми. Отличительная черта методов сравнения
-
известная
величина однородна с измеряемой.
Группа методов сравнения с мерой включает в себя следующие методы: нулевой, дифференциальный,
против
опоставления, замещения и совпадения.
Нулевой метод измерений
–
метод сравнения с мерой, в котором результирующий эффект воздействия
измеряемой величины и меры на прибор сравнения доводят до нуля.
Дифференциальный метод измерений
–
это метод сравнения с
мерой, при котором измеряемая величина
сравнивается с однородной величиной, имеющей известное значение, незначительно отличающееся от значения
измеряемой величины, и при котором измеряется разность между этими двумя величинами.
Метод измерения дополнение
м
–
метод сравнения с мерой, в котором значение измеряемой величины
дополняется мерой этой же величины с таким расчетом, чтобы на прибор сравнения воздействовала их сумма,
равная заранее заданному значению.
Метод замещения
–
метод сравнения с мерой, в ко
тором измеряемую величину замещают мерой с
известным значением величины. Этот метод можно рассматривать как разновидность дифференциального или
нулевого методов, отличающуюся тем, что воздействие на прибор сравнения измеряемой величины и величины,
воспроиз
водимой с мерой, производится разновременно.
Несколько иной представляется классификация методов измерений, если основываться на рассмотренной
выше расширенной трактовке понятия метода измерения. По данному варианту классификации [6], методы прямых
измере
ний подразделяются (рис. 5.6) на методы измерений: комплексными средствами измерений (КСИ) (что
эквивалентно методу непосредственной оценки); наборами элементарных средств измерений (ЭСИ);
комбинированные с использованием как комплексных, так и элементарны
х средств измерений.
Методы прямых измерений наборами элементарных средств измерений подразделяются в зависимости от
наличия или отсутствия в наборе измерительного преобразователя (ИП) и масштабного преобразователя на четыре
группы. Широко используются так
же варианты синтеза методов и алгоритмов прямых абсолютных измерений
наборами элементарных средств без предварительных преобразований рода величин. Эти методы
классифицируются по двум существенным признакам: особенности алгоритма и набор средств.
По особе
нностям алгоритма методы измерения подразделяются на методы сопоставления и методы
уравновешивания.
Рис. 5.6. Методы измерений: УС
–
устройство сравнения;
МП
–
масштабный преобразователь; М
–
мера;
ИП
–
измерительный преобразователь;
ПП
–
прямой преобразователь
Методы сопоставления
осуществляются за один прием, параллельно, одноэтапно, на основе
многоканального сравнения. В соответствии с основным уравнением измерения
K
мп
х=
N
x
q
k
, если измеряемая
величина
х
изменяется от нуля до
х
н
,
то при постоянстве
q
k
для обеспечения равенства правой и левой частей
необходимо изменять либо
К
МП
, либо
N
х
.
Данное условие реализуется изменением
х
, что возможно, если мера и
масштабный преобразователь будут либо регулируемыми, либо многоканальными. Приче
м в уравнении измерения
только этих элементарных средств входят числа, определяющие размер их входных величин. Это означает, что для
реализации процедуры измерения минимально необходимый набор элементарных средств измерений должен
состоять из меры и устрой
ства сравнения. Причем если мера однозначна, то масштабированный преобразователь
должен быть многозначным, и наоборот.
Методы
прямых
измерений
Комплексными
средствами
измерений
Наборами
элементарных
средств
измерений ИП,
М
,
УС, МП
Комплексными
и
элементарными (ЭСИ)
средствами
измерений
Показывающим
измерительным
прибором
Цифровым
измерительным
прибором
Измерительной
системой
М, УС
без ПП
рода и
масштаба
величины
М, УС, МП
без ПП
рода
величины
ИП, М, УС
после ПП
величины
ИП, М, УС
после ПП
рода
величины
М, УС КСИ
(
дифференциальный
метод)
МП, КСИ
ИП, КСИ
МП, ИП, КСИ

Рассмотренные условия реализации процедуры измерений, а также вариации возможных сочетаний в
наборах этих и других элементарных средств
измерений положены в основу различных методов измерений,
представленных в классификационной схеме на рис. 5.7. Подробнее некоторые из этих методов измерений и их
алгоритмы [6] рассмотрены ниже.
Методы уравновешивания
осуществляются за несколько приемов, п
оследовательно, на основе
многократного сравнения.
Рис. 5.7.
Классификац
ия методов
прямых
абсолютных
измерений
без
предваритель
ного
преобразова
ния рода
физической
величины.
Условные
обозначения
элементарны
х
СИ: ОН
-
одноканальн
ые
нерегулируем
ые;
ОР
-
одноканальн
ые
регулируемы
е; МР
-
многоканаль
ные
регулируемы
е; МН
-
многоканаль
ные
нерегулируем
ые; а,д,е,ж,з
–
методы,
синтезируем
ые на основе
использовани
я различия
мер по числу
к
регулируемос
ти выход
ных
величин
(ОН,ОР,МН,М
Р) без
масштабного
преобразоват
еля;
б,в,г,и,к,л,м,
н,о,п,р
–
то
же с
масштабными
преобразоват
елями типов
ОН,ОР,МН,МР
5.4. Методы прямых измерений
без предварительного преобразования
Методы сопоставления
представлены своими четырьмя разновидностями.
Первый метод сопоставления
(метод интерполяции) (рис.5.8,а) предполагает использование в наборе
элементарных средств измерений многоканальной нерегулируемой меры и устройства сравнения. Многоканальная
нерегули
руемая мера имеет
N
н
каналов, обеспечивающих работу по единичной системе счисления с
N
н
и
равномерными ступенями. В набор входит также
N
н
устройств сравнения при условии реализации одноэтапного
алгоритма.

Рис. 5.8. Структура измерений методом сопоставления:
а
–
первый метод;
б
–
второй метод;
в
–
третий метод;
г
–
четвертый метод
При условии, что начальные нулевые значения измеряемой и известной величин совпадают, числовое
значение определяется по старш
ему из сработавших устройств сравнения.
Детерминированный алгоритм первого метода сопоставления:
N
x
q
k
<
x
< (
N
k
+1)
q
k
.
По этому алгоритму определяют номер старшего из сработавших устройств сравнения:
(5.9)
При этом по каждому каналу с номером
N
х
передае
тся единичный сигнал. Так формируется первичный
единичный многоканальный код
, который и представляет числовое значение измеряемой величины. В
дальнейшем этот код преобразуется обычно в цифровой код. Уравнение метода:
.
При несовпадении начальных н
улевых отметок измеряемой и известной величин появляется погрешность
квантования с обеих сторон интервалов.
Метод используется при измерении напряжения, перемещения и времени.
Одним из вариантов первого метода сопоставления является
метод одноэтапного но
ниуса
, основанный на
использовании двух многоканальных нерегулируемых мер с различными шагами квантования
q
1
и
q
2
.
Метод
используется при
х<
q
1
.
При кратности повышения чувствительности
n
должно соблюдаться соотношение
q
2
=
q
1
(1
-
1/
n
).
(5.10)
Графичес
ки метод нониуса представлен на рис.5.9. В момент измерения нулевые отметки двух
многоканальных нерегулируемых мер оказываются сдвинутыми на величину
х
. Отсчет делается по номеру
ближайшей из «совпавших» отметок. Алгоритм метода измерения:
N
x
q
1
-
(
x
+
N
x
q
2
)<
q
1
/
n
.
(5.11)




0.
x
при
1
0;
x
при
0






i
i
N
N
N
x
x
x
x
sign
G
)
(
)
1
(
m
N
k
x
q
x
E
N


Рис. 5.9. Графическое представление метода нониуса
Считая, что
q
1
/
n
пренебрежимо мало, с учетом (5.10) получаем уравнение метода однократного нониуса:
.
(5.12)
Получается, что шаг квантования как бы уменьшается в
n
раз. Метод нониуса чаще всего применяется для
измерения перемещений и иногда малых интервалов времени.
При относительных измерениях, т.е. при определении отношения
,
q
1
–
опорное значение шага квантования может оставаться неизвестным, так как важно, чтоб
ы было известным
отношение
ql
1/
q
2
=1
-
1/
n
.
Это оказывается очень удобным при измерении фазы.
Часто применяемыми вариантами метода нониуса являются метод растра и метод муара.
Метод растра
предполагает использование двух многоканальных мер в виде прозрачных
линеек (рис. 5.10,
а
)
с близкими размерами шага квантования
.
При параллельном наложении меток одной линейки на метки другой образуются тени
–
участки с
максимально сближенными метками. В процессе измерения расстояние между нулевыми метками должно
увеличи
ваться плавно от 0 до
l
х
. Перемещение одной из линеек вызовет перемещение теней на расстояние в
n
раз
больше, чем
l
x
.
Результат измерения равен числу меток в ряду
, пересеченных тенью:
,
что совпадает с уравнением измерения методом нониуса.
1
1
q
nx
E
n
q
x
E
N
x




1
2
1
1
q
q
N
q
x
k
x





1
2
1
;
и
12
l
l
l
q
n
l
l
q
q
q


1
l
q
n
q
l
N
l
x
x
1


Рис. 5.10. Схематическое представление методов растра (
а
) и муара (
б
)
Метод муара
так же, как и метод растра, предполагает использование двух многозначных мер
–
прозрачных
линеек с штриховыми метками (рис. 5.10,б) в виде параллельных равноотстоящих линий
.
В отличие от растровых многоканальных мер штриховые метки муаровых линеек имеют одинаковый шаг
квантования и при параллельном совмещении линеек располагаются под небольшим углом
друг от друга. В
процессе измерения, когда одна из линеек плавно переме
щается в продольном направлении от 0 до
l
х
, теневые
полосы движутся в поперечном направлении, и перемещение в
1/
sin

больше
l
х
. Результат измерения получают
путем счета количества меток, пересеченных тенью, с помощью третьей меры с шагом квантования
q
l
,
расположенной перпендикулярно первым двум мерам. Тогда
N
x
=
l
x
/
sin

q
l
.
Второй метод
сопоставления
отличается от первого тем, что используемая в нем мера является
одноканальной, а для получения
количественного результата используется многоканальный нерегулируемый
масштабный преобразователь (см.рис.5.8,
б
). Такой набор позволяет обеспечить минимальное время измерения. Если
нерегулируемый масштабный преобразователь является равноступенчатым делителе
м с коэффициентом передачи
,
где
N
н
-
шаг деления, то алгоритм метода
N
/
N
н
x
<
x
0
< (
N
+1) /
N
н
x
, откуда
.
Уравнение измерения:
.
(5.13)
Третий метод сопоставления
отличается от первого наличием в наборе элементарных средств измерений
предвк
люченного одноканального нерегулируемого масштабного преобразователя (см.рис.5.8,
в
). Алгоритм метода:
(5.14)
Уравнение измерения:

н
мп
N
N
K

н
x
N
x
x
N
N
0


0
x
xN
E
N
н
x





.
0
при
1
;
0
при
0






k
n
мп
k
n
мп
k
x
мп
q
N
xK
q
N
xK
q
N
xK
sign
G

.
(5.15)
Четвертый метод сопоставления
предполагает наличие в наборе двух многоканальных неуправляемых
средств
измерений
-
меры и масштабного преобразователя (см.рис.5.8,
г
). Другое название метода
-
метод
коинциденции (одновременного попадания). Чаще всего метод применяют при измерении шага
l
x
штриховых меток и
периода
T
x
или частоты импульсов.
Если нужно измерить
l
x
, смещаются метки как меры, так и масштабного преобразователя до совпадения
нулевых отметок и затем определяются номера
N
’
x
и
N
’’
x
пары "совпадающих" меток рядов меры и масштабного
преобразователя соответственно.
Алгоритм метода:
.
(5.16)
Уравнен
ие измерения:
,
(5.17)
где
q
l
-
шаг квантования меры.
В связи с тем, что в измерении участвует два многозначных средства измерений, метод измерений является
избыточным, благодаря чему шаг квантования меры
q
i
уменьшается в
N
'’
x
раз.
При измерении период
а
T
x
импульсного сигнала
,
где
T
0
-
период меры.
Методы измерений, основанные на
уравновешивании измеряемой величины
известной величиной по
многоэтапному алгоритму, можно объединить в группу методов уравновешивания. Для таких методов характерно
использова
ние регулируемых мер и масштабных преобразователей. Причем выходная величина меры или
масштабного преобразователя изменяется до тех пор, пока устройство сравнения не зафиксирует равенство
измеряемой величины
х
и квантованной ступенчато изменяющейся величин
ы
x
N
, или равенство между величиной на
выходе масштабного преобразователя
хК
МП
и постоянным значением
х
0
, воспроизводимым мерой. Процесс
изменения
x
N
или
хК
МП
проходит последовательно во времени, поэтому методы уравновешивания по быстродействию
уступают ме
тодам сопоставления. Отличительной чертой методов уравновешивания является также и то, что
числовое значение измеряемой величины определяется по входному коду меры или коэффициенту преобразования
К
МП
масштабного преобразователя в момент срабатывания устрой
ства сравнения при достижении равенства
х
и
х
0
.
Рассмотрим сначала подгруппу методов уравновешивания, в которую входят методы с набором, состоящим
из двух видов элементарных средств измерений: меры и устройства сравнения.
Первый метод уравновешивания, или нулевой метод измерения (рис.5.11,
а
), предполагает использование
одноканальной регулируемой меры, управляемой оператором или автоматически по знаку разности
х
-
х
N
на
выходе устройства сравнения. Причем выходная вели
чина меры
х
N
изменяется до момента уравнивания со
значением
х
.
Рис.5.11. Структуры измерений методами уравновешивания:
а
–
первый;
б
–
с удвоением разностей;
в
–
ускоренного уравновешивания;
г
–
многократного нониуса
Нулевой метод измерения является наиболее распространенным благодаря простоте и минимальным
аппаратурным затратам.
Отработка выходной величины меры может проходить как по детерминированным алгоритмам с
использованием различных систем счисления (единичной,
двоичной, двоично
-
десятичной и др.), так и по
стохастическому, когда величина изменяется случайно, но имеет заданное распределение.
k
мп
x
q
x
К
E
N

0





x
x
x
N
q
N
l
i
l
x
x
x
q
N
l
E
N



0
0
1
;
f
N
N
T
f
T
N
T
N
x
x
x
x
x
x









а
i

Наиболее распространены детерминированные алгоритмы "исчерпывания" и поразрядного
уравновешивания.
Алгоритм "исчерпывания"
:
(5.18)
;
В данном случае размер
q
k
реализуется последовательными ступенями изменяющейся во времени выходной
величины меры. Каждая ступень инициируется импульсом. В момент равенства
х
и выходной величины меры число
импульсов равно
N
x
, выражаемому первично в одноканальном последовательном коде, который в цифровой форме с
помощью счетчика импульсов может быть представлен двоичной (или иной) кодовой комбинацией:
.
(5.19)
Алгоритм поразрядного уравновешивания:
(5.20)
где
m
-
количество разрядов двоичного кода,
-
значение выходной величины меры, соответствующее
i
-
му разряду двоичного кода.
Результат измерения в двоичном коде:
;
(5.21)
при
<0 a
m
=0
;
при
>0 a
m
=1
;
при
x
-
(a
m
+a
m
-
i
)<0; a
m
-
i
=0
;
при
x
-
(a
m
+a
m
-
i
)<0; a
m
-
i
=1
.
Результат измерения в виде числового значения
N
x
представляется первично в двоичном или ином
цифровом коде.
Аппаратурная реализация метода несколько сложнее, чем при поразрядном уравновешивании, но
быстродействие увеличивается в
раз.
Статистический алгоритм
первого метода
уравновешивания рассмотрим на примере алгоритма отработки
среднего значения случайного процесса
х(t)
. Выходная величина одноканальной регулируемой меры в данном
случае принимает случайные значения, подчиняющиеся рав
номерному закону распределения вероятностей, что
может быть реализовано, например, при управлении мерой в пределах чисел от 0 до
N
x
от генератора случайных
чисел. Максимальное значение
x
m
(
t
)
должно быть меньше номинального значения выходной величины меры
x
N
н
.
Описание алгоритма:
(5.22)
Отработка производится до тех пор, пока частость срабатывания
n
0
/
n
устройства сравнения при
(x
–
x
Ni
)
>0
не будет равна отношению
x
ср
/
x
N
н
, тогда
.
Второй метод
уравновешивания, называемый методом с
удвоением разностей
, характеризуется
использованием одноканальной нерегулируемой меры и одного устройства сравнения (см.рис.5.11,
б
).
;
0
1
k
N
i
k
i
q
q
a
x
x













0
при
0
1















x
N
i
k
i
i
q
a
x
a
.
0
при
1
1













x
N
i
k
i
i
q
a
x
a
k
x
q
x
E
N



,
0
при
1
0
при
0
1
k
m
i
i
N
N
N
i
k
q
x
x
x
x
x
x
sign
G
x
x
i
i
i
i





























1
2


i
k
i
x





m
i
i
k
i
i
N
q
a
x
i
1
1
2
m
k
x
x

m
k
x
x

m
k
x
i
m
k
x

m
k
x
i
m
k
x

N
н
N
н
2
log








.
0
при
1
;
0
при
0
;
1
0
1
0












i
i
i
н
н
i
N
N
N
N
x
n
i
i
N
ср
N
x
x
x
x
x
x
sign
G
x
q
x
x
x
x
sign
G
n
0
1
n
x
n
x
N
н
ср


Отличительной особенностью метода является создание и удвоение разностей с последующим сравнением выходной
величины меры с
создаваемыми разностями.
Третий метод
уравновешивания
-
метод ускоренного уравновешивания
-
основан на использовании
многоканальной регулируемой меры и N устройств сравнения (см.рис.5.11,
в
).
Уравнение метода:
x
=
N
x
q
k
.
Ускорение процесса уравновешивания
достигается за счет многоканальности меры и увеличения числа
используемых устройств сравнения, чем обеспечивается пространственное и временное разделения. Крайним
случаем является развертка выходной величины меры во всех квантах одновременно.
Метод многок
ратного нониуса
(
четвертый метод
уравновешивания) реализуется с помощью трех и более
многоканальных нерегулируемых мер и ряда устройств сравнения (см.рис.5.11,
г
).
Уравнение метода:
x
-
Nq
-
N
1
(
q
1
-
q
2
)
-
N
2
(
q
1
-
q
3
)

q
1
-
q
3
.
Такой метод применяется, если размер ступени мер не отвечает требованиям чувствительности и точности
и требуется повысить быстродействие.
Подгруппу методов измерений с использованием
универсальных средств измерений трех видов
-
меры,
устройства сравнения и
масштабного преобразователя
-
составляют девять методов измерений. На схеме рис. 5.7
эти методы обозначены как 2
-
3
-
й методы уравновешивания, 2
-
5
-
й методы ускоренного уравновешивания, 1
-
2
-
й
стробоскопические методы. Числовые обозначения методов даны условн
о с целью идентификации каждого из них.
По этой схеме можно определить набор элементарных средств измерений для соответствующих методов измерения.
Уравнения методов рассматриваемой подгруппы:
второго метода уравновешивания
K
МПр
x
=
x
0
,
(5.23)
где
К
МПр
-
коэффициент преобразования одноканального регулируемого масштабного преобразователя;
третьего метода уравновешивания
-
x
К
МП
=
x
0
К
МПр
=
N
x
q
k
;
(5.24)
второго
-
пятого методов ускоренного уравновешивания
соответственно
-
xN
x
/
N
н
=
x
0
;
xN
x
/
N
н
=
x
0
K
Мр
;
xK
МПр
=
N
x
q
k
;
xK
МП
=
N
x
q
k
р
,
(5.25)
первого и второго стробоскопических методов
соответственно
-
T
x
K
МПр
=
T
0
;
T
x
=
T
0
K
МПр
.
(5.26)
Последние два метода получили такое название в связи с тем, что в устройстве сравнения используется
стробоскопический э
ффект. В момент уравновешивания срабатывают все устройства сравнения. Измерению
подлежат величины частотно
-
временной группы
-
частота и период. Уравновешивается период (или частота)
изменением известного периода
Т
0
либо коэффициента масштабного преобразова
теля. С помощью стробоэффекта
определяется знак разности, равенства или кратности сравниваемых величин.
Одним из наиболее часто применяемых методов является дифференциальный метод измерений (рис. 5.12).
Во многих случаях при реализации дифференциального м
етода находят применение
комбинированные
прямые измерения
без предварительных преобразований. Процедура таких измерений состоит из двух этапов:
сначала измерения производятся одним из рассмотренных методом сопоставления или уравновешивания, а затем
разност
ь измеряемой величины и выходного сигнала меры измеряется другим (или таким же, как на первом этапе)
методом. На втором этапе измерений нередко используются комплексные средства измерений.
Рис. 5.12. Дифференциальный метод измерения:
а
-
с применением на первом этапе нерегулируемой меры;
б
-
с применением на первом этапе регулируемой меры
Возможны два варианта реализации: первый с применением на первом этапе нерегулируемой меры
(см.рис.5.12,а), второй с применением регулируемой меры (
см.рис.5.12,б). В обоих вариантах устройство сравнения
используется в качестве вычитателя В с выходной величиной в виде разности

р
измеряемой и известной величин.
В первом варианте с помощью меры воспроизводится постоянное значение
х
0
и на выходе вычитате
ля
получается разность

p
=
x
-
x
0
, которая на втором этапе измеряется комплексным средством измерения. Результат
измерения получается суммированием результатов обоих этапов. Такой вариант дифференциального метода
применяют при близких значениях
х
и
х
0
, когда
точность измерения зависит только от погрешности меры.
Во втором варианте дифференциального метода на первом этапе с помощью регулируемой меры создается
величина
x
1
=
N
x
q
k
, однородная с
х
и близкая к ней по значению. Получаемая на выходе вычитателя
В
разнос
ть

p
=
x
-
N
x
q
k
измеряется на втором этапе с помощью комплексного средства измерений, затем результаты суммируются.
Отсчет по комплексному СИ
n
x
=

p
/
q
пр
,
где
q
пр
-
шаг квантования комплексного СИ.
Тогда результат измерений
X
N
=
N
x
q
k
+
n
x
q
пр
.
(5.27)
1

Очевидно, суммарная погрешность измерений при реализации метода будет зависеть как от точности меры
(определяемой первым слагаемым), так и от точности комплексного средства измерений (второе слагаемое). Если
принять
N
x
q
k
>>
n
x
q
пр
, т
о точность измерения будет зависеть главным образом от точности шага квантования
выходной величины меры.
5.5. Методы измерений с предварительным
преобразованием измеряемой величины
Конечной целью измерительного преобразования, выполненного перед процед
урой измерения, является
получение величины, удобной для измерения. Чаще всего
–
это изменение рода сигнала, усреднение или
функциональное преобразование, проводимые с помощью измерительных преобразователей (ИП) в тех случаях,
когда для измеряемой величины
отсутствуют устройство сравнения и меры.
Рассмотрим два варианта реализации метода замещения с предварительным преобразованием вида
измеряемой величины (рис.5.13).
Рис. 5.13. Методы замещения:
а
–
с регулируемой мерой;
б
–
с регулируемым масштабным преобразованием величины
Если не созданы устройства сравнения, но имеются регулируемые одноканальные меры, то используют
вариант метода замещения, в набор элементарных средств измерений которого (рис.5.13,
а
), кроме одноканаль
ной
регулируемой меры (РМ), входит устройство сравнения, работающее в режиме вычитателя (В), измерительный
преобразователь (ИП), запоминающее устройство (ЗУ).
Процедура измерений разбивается на два этапа. Первый этап включает в себя операцию преобразовани
я,
осуществляемую измерительным преобразователем согласно уравнению
у
1
=
f
(
x
1
),
и запоминания
х
1
с помощью
запоминающего устройства.
На втором этапе изменяющийся выходной сигнал
х
N
регулируемой меры преобразуется измерительным
преобразователем согласно урав
нению
у
2
=f(x
N
)
. Изменения
х
N
происходят до тех пор, пока значения
у
2
и
у
1
не
уравняются. Результат измерения для линейных функций
у
1
=f(x
1
)
и
у
2
=f(x
N
)
определяется как
x
N
=
N
x
q
k
.
Таким же образом будет определяться
х
N
для нелинейных функций
у
1
=
f
(
x
1
)
и
у
2
=
f
(
x
N
)
, если хотя бы одна
производная разложения
у
1
–
у
2
=
f
(
x
1
)
–
f
(
x
N
)
в ряд Тейлора в точке
х
N
не равна нулю.
Для линейных функций преобразования:
(5.28)
где
К'
,
К''
-
коэффициенты передачи измерительного преобразователя,

1
,

2
–
мультипликативные погр
ешности
(погрешности коэффициента передачи);

y
1
,

y
2
-
аддитивные погрешности измерительного преобразователя, если
по условию

1
=

2
;

y
1
=

y
2
и К'=К''
, то при
y
1
=
y
2
x
1
=
x
N
.
Это означает, что при таком варианте использования метода
замещения погрешности, связанные с включением в набор измерительного преобразователя, отсутствуют.
Алгоритм метода замещения с регулируемой мерой:
[
x
1
k
(1+

1
)+

y
1
]
-
[
N
x
q
x
k
(1+

2
)+

y
1
]<

y
п.ч
.
(5.29)
При

y
1
=

y
2
,

1
=

2
уравнение измерения
N
x
=
E

x
1
/
q
k

.
(5.30)
Метод замещения с регулируемой одноканальной мерой находит широкое применение при точных
измерениях.
Второй вариант реализации метода замещения строится на основе регулируемого масштабного
преобразователя МП и набора средств, состоящег
о из вычислителя В, одноканальной нерегулируемой меры ОМ и
измерительного преобразователя ИП (см.рис.5.13,
б
).
Алгоритм метода:
[х
K
(1+

1
)
K
МП
+

y
1
]
-
[
x
0
K
(1+

2
)
K
'
МП
+

y
2
]


y
п.ч
,
(5.31)
при

1
=

2
; и

y
1
=

y
2
x
К
МП
=
N
x
q
k
К'
МП
,
уравнение измерения
.
(5.32)
Y
,
)
1
(
;
)
1
(
2
2
2
1
1
1
1
y
x
K
y
y
x
K
y
N













1
k
мп
мп
X
q
K
xK
E
N



Методы с применением набора элементарных средств с предварительным преобразованием широко
используются на только при прямых, но и при косвенных измерениях, когда осуществляется предварительное
функциональное преобразование одной или нескольких вели
чин.
Применяются методы как с аналоговым, так и с цифровым функциональным преобразованием аргументов
х
и
у
и результатов измерений
N
X
,
N
Y
соответственно.
Так как возможны и варианты места включения измерительного функционального преобразователя, то
рассма
триваемые методы измерений можно разбить на четыре группы (рис.5.14). Во всех вариантах предполагается,
что для получения числового выражения
N
Z
измеряемой величины
z
требуется функциональное преобразование
аргументов
х
и
у
(или их числовых эквивалентов
N
x
,
N
y
).
Рис. 5.14. Методы измерений с функциональным преобразованием:
а
,
б
-
аналоговые;
в
,
г
-
цифровые
Методы измерений первой группы (рис.5.14,
а
) используются, когда имеется мера для измеряемой величины
z
, получаемой после функционального преобразования,
z
=ху
. Уравнение измерений:
.
(5.33)
Такой результат получается на выходе устройства управления при
z
=
z
к
, фиксируемом устройством
сравнения.
Методы измерений второй группы (рис
.5.14,
б
) применяются, если имеется функциональный
преобразователь с функцией, обратной заданной:
x
k
=
f
-
-
1
(
z
,
y
)
,
т.е.
x
k
=
n
z
q
z
/
y
.
Уравнение измерений:
.
(5.34)
Методы третьей группы (рис. 5.14,
в
) предполагают наличие в составе технических средств цифрового
вычислительного устройства:
.
Методы четвертой группы (рис.5.14,
г
) используются, когда функциональное преобразование, обратное
заданному, реализуется с помощью детерминированного или стохаст
ического преобразователя кода. Тогда:
x
k
=
N
x
q
x
=
N
z
/
N
y
q
k
=
x
;
N
z
/
N
y
=
N
x
;
N
z
=
N
y
N
x
.
(5.35)
5.6. Методы измерений вероятностных характеристик случайных процессов
Вероятностные характеристики случайного процесса определяются либо
усреднением
по совокупности
ансамбля реализаций
х
i
(
t
):
,
(5.36)
где
g
[
x
i
(
t
)]
–
некоторое преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики,
либо
усреднением по времени
с использование
k
-
й реализации:
.
(5.37)
Как и другие измерения, измерение статистических характеристик производится с помощью специальных
средств, реализующих алгоритм измерений, в том числе и меры, воспроизводящей известную величину.
Используют [15] три алгоритма измерений:
z
z
q
xy
E
N

z
k
z
q
x
E
N

z
y
y
k
x
z
q
q
N
q
N
E
N









dt
t
x
g
N
t
x
N
i
i
N






1
1
lim








dt
t
x
g
T
t
x
T
i
T





0
1
lim
ФП
x
УС
УУ
М
y
z
k
N
z
а)
УС
УУ
ФП
М
x
y
N
z
б)
УС
УУ
ЦВУ
М
УС
УУ
М
N
z
x
x
N
x
N
y
в)
УС
УУ
М
ФП
x
N
x
N
y
N
z
г)

(5.38)
где
S
d
–
оператор усреднения (если усреднение по совокупности
d
=
N
, если усреднение по времени,
d
=Т
),

-
оператор сравнения,
–
результат измерения (оценка) характеристики
.
Как видно, алгоритмы (5.36) отличаются только позициями, занима
емыми в выражении соответствующими
операторами. Операция сравнения с мерой может быть: первой в цепи преобразований, второй
–
после реализации
оператора
g
; и последней, что и отражено в структурных схемах (рис. 5.15).
Рис. 5.15. Структура измерени
й вероятностных характеристик случайных
процессов:
а
-
сравнение с образцовой мерой является первой операцией;
б
-
выполняется до усреднения;
в
-
является заключительной операцией
Обозначения структурных элементов на
схемах соответствуют обозначениям тех операторов, которые ими
реализуются. В качестве устройства усреднения
S
d
может быть использован сумматор или интегратор.
На рис. 5.15,
а
показана реализация следующей процедуры: на первом этапе с помощью блока

форми
руется массив числовых эквивалентов мгновенных значений реализаций случайного процесса, после чего
преобразование
g
и усреднение
S
d
проходят в цифровой форме. Эти процессы могут быть реализованы
последовательным соединением аналого
-
цифрового преобразовател
я и вычислительного устройства (например,
микропроцессорного). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной
программе обеспечивает реализацию операторов
g
и
S
d
.
Процедура, осуществляемая структурой
б
(см.рис.5.15), нач
инается с преобразования совокупности
реализаций
{
x
i
(
t
)}
в совокупность преобразованных реализаций
{
g
[
x
i
(
t
)]}
; затем с помощью компаратора

выполняется сравнение с известной величиной
g
0
. На выходе компаратора формируется числовой массив
{
g
*
[
x
i
(
t
i
)]}
,
кот
орый поступает в вычислительное устройство, осуществляющее операцию усреднения
S
d
и выдающее результат
в
цифровой форме.
Структура, показанная на схеме
в
(см.рис. 5.15) реализует процедуру
измерений, которая на первом этапе
проходит так же, как в предыдущем случае, но затем совокупность
{
g
[
x
i
(
t
)]}
поступает на усреднение
S
d
, после
которого величина
S
d
[{
g
[
x
i
(
t
)]}]
поступает на компаратор

, осуществляющий сравнение с известной величиной

0
.
На выходе компаратора имеем
.
Рассмотрим алгоритмы измерений основных статистических характеристик [15].
Измерение математического ожидания
. Чаще всего производится усреднением по времени.
Алгоритм измерения:
.
(5.39)
Структурная схема реализац
ии данного алгоритма (рис. 5.16) в простейшем случае включает набор
последовательно соединенных мас
штабного преобразователя МП, интегратора И, аналогового измерителя АИ.
Рис. 5.16. Структура измерений математического ожидания
Основным преобразователем в измерительной цепи является интегратор И, осуществляющий усреднение по
времени. Возможны варианты схемы с выходом интегратора на цифровой измерительный прибор, самопишущий
прибор и т.д.
Дисперсия случайного процесса
характериз
ует математическое ожидание квадрата отклонения мгновенных
значений реализаций от математического ожидания.
Алгоритм измерений, реализуемый структурой, представленной на рис.5.17:
























,
€
;
€
;
€



t
x
g
S
t
x
t
x
g
S
t
x
t
x
g
S
t
x
d
d
d










t
x

€




t
x

€




t
x

€




dt
t
x
T
t
x
M
t
T
t
k



)
(
1
€
МП
x'
k
(t)
И
АИ
x
k
(t)


dt
t
x
T
k

1




t
x
M
€

. (5.40)
Одномерная интегральная функция распределения
F
(х
),
определяемая как вероятность того, что в
произвольный момент времени мгновенное значение реализации не превысит заданного уровня, т.е.
x
i
(
t
j
)

x
,
определяется как предел выборочного среднего
, (5.41)
где
Рис. 5.17. Ст
руктура измерений дисперсии случайного процесса:
ВУ
–
вычитатель; КУ
-
квадратирующее устройство
Практически выражение (5.41) представляется как алгоритм измерения оценки
в виде
.
(5.42)
Обобщенная схема реализации алгоритма (5.42) показана на ри
с.5.18. Здесь: УС устройство сравнения,
работающее в режиме вычитателя, формирующего сигнал
x
k
(
t
)
-
x
; ФП
–
функциональный преобразователь,
реализующий функцию

[
x
k
(
t
),
x
]
, И
–
интегратор,
Т
-
время наблюдения.
Рис. 5.18.
Структурная схема измерения интегральной функции
распределения вероятности
Выражение для алгоритма измерения
дифференциальной функции распределения
вероятностей
f
(
x
)
может
быть получено, если учесть, что
f
(
x
)
и
F
(
x
)
связаны между собой известными соотно
шениями:
.
Тогда справедливо выражение
,
(5.43)
где
При соблюдении условий стационарности и эргодичности интегральная функция распределения может
характеризоваться
относитель
ным временем
пребывания значений реализации ниже заданного уровня
х
:
,
(5.44)
где
i
–
интервал времени пребывания;
n
–
число интервалов.








dt
dt
t
x
T
t
x
T
t
x
D
t
T
t
t
T
t
k
k
















2
1
1
1
€






t
x
S
x
F
d
d




lim
)
(








.
при
0
;
при
1
,
x
t
x
x
t
x
x
t
x




)
(
€
x
F




dt
x
t
x
T
x
F
t
T
t
k



,
1
)
(
€







dx
x
f
x
F
dx
x
dF
x
f
x




;
)
(












x
t
x
S
x
x
F
x
x
F
x
f
d
x
x













0
0
lim
lim








.
при
0
;
при
1
,
x
x
t
x
x
x
x
t
x
x
x
t
x


















n
i
i
n
T
T
x
F
1
1
lim
)
(


Соответственно выражение для дифференциальной функции можно представить в виде
,
(5.45)
где

х
–
ширина «дифференциального коридора», т.е. расстояние между соседними уров
нями
х
к
и
х
к+1
;

t
i
–
i
-
й
интервал времени пребывания реализации между уровнями
х
к
и
х
к+1
.
На основании (5.44) и (5.45) алгоритмы измерений:
.
(5.46)
Применяются и другие алгоритмы, например, основанные на методе дискретных выборок.
Измерение
корреляционной функции
с усреднением по времени производятся по алгоритму
.
(5.47)
Структура измерительного устройства, реализующего данный алгоритм, представлена на рис. 5.19.
Рис. 5.19. Схема измерений корреляционной функции
С выхода масштабного
преобразователя МП сигнал разветвляется, одновременно поступая на
перемножающее устройство ПУ и на устройство временной задержки УЗ, с помощью которого получается сигнал
x
k
(
t
-

)
. Этот сигнал также поступает на ПУ, осуществляющее перемножение мгновенных зна
чений, сдвинутых на
интервал

. Результирующий сигнал поступает на интегратор И, с помощью которого осуществляется операция
усреднения. На выходе интегратора получаем оценку корреляционной функции
.
Измерение спектра мощности
сигнала производится в соотв
етствии с формулой
,
(5.48)
где
x
iT
(

)
-
спектральная плотность сигнала на интервале усреднения
Т
, определяется согласно преобразованию
Фурье по формуле
.
(5.49)
В соответствии с (5.48) алгоритм измерения
.
(5.50)
Схема реализации данного алгоритма показана на рис. 5.20.
Рис. 5.20. Схема измерения спектра мощности
Нормированный сигнал
i
-
й реализации с масштабного преобразователя МП поступает на функциональный
преобразователь ФП, выполняющий преобразование Фур
ье. Затем с помощью квадратирующего преобразователя КВ
производится возведение в квадрат и нормирование с учетом интервала усреднения Т.
Вопросы для самопроверки
1. Каковы основные разновидности элементарных средств измерений, как математически опи
сываются
алгоритмы их функционирования?
2. Какие виды и методы измерений вы знаете, в чем их суть?
3. Как осуществляется аналитическое описание процедуры измерений?













n
i
i
x
n
T
t
x
T
x
f
1
0
1
lim












n
i
i
n
i
i
t
x
T
x
f
T
x
F
1
1
1
€
;
1
€











t
T
t
k
k
x
dt
t
x
t
x
T
R


1
€


t
R
x
€




2
1
lim


T
i
T
x
X
T
W












t
T
t
t
j
i
iT
t
d
e
t
x
X


)
(




2
1
€


iT
x
X
T
W

МП
x'
k
(t)
ПУ
x
k
(t)



x
R
€
УЗ
И
x
k
(t)xk(t-

)
МП
x'
(
t)
ФП
КВ
x'
i
(
t)




2
1
€


T
i
x
T
W

x
iT
(

)

4. В чем суть и особенности измерений первым методом сопоставления в различных его разновид
ностях?
Каковы их структура, алгоритмы и аналитическое описание?
5. В чём суть и особенности измерений первым (нулевым) методом уравновешивания в различных его
разновидностях? Каковы их структуры, алгоритмы и аналитическое описание?
6. В чём суть и особе
нности измерений методом замещения в двух его вариантах? Какова их структура,
алгоритмы и аналитическое описание?
7. Как можно представить обобщенные алгоритмы и структуры измерений вероятностных характеристик
случайных процессов? Приведите пример их прим
енения при измерениях одной из статистических характеристик.
Глава 6. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
При рассмотрении в главе 1 модели измерительного
эксперимента, осуществляемого с
помощью реальной измерительной системы, было отмечено, что специфичными для такой модели
являются вероятностная природа исследуемого объекта, статистический характер наблюдения,
наличие неконтролируемых возмущений. Результат
ом действия всех этих вероятностных механизмов
являются случайные погрешности измерений.
Случайные погрешности исключить невозможно, но уменьшить их влияние на результат, и соответственно
повысить точность измерений, можно рациональным выбором методики изм
ерений и соответствующей обработкой
результатов измерений. Такие действия оказываются эффективными при повышении точности результатов
измерений за счет проведения многократных измерений одного и того же значения измеряемой величины,
коррекции результатов и
змерений по соответствующим алгоритмам; алгоритмического повышения
помехоустойчивости аппаратуры.
Так как измерения сопровождаются случайными погрешностями, то обработка результатов измерений
всегда включает операции над случайными величинами или случайным
и процессами, выполненными на основе
методов теории вероятностей, математической статистики. Полученные в результате измерений эмпирические
характеристики (параметры) случайных процессов принято называть оценками истинных характеристик. Задача
обработки ре
зультатов измерений состоит в получении путем математических операций такой оценки, которая
наилучшим образом приближается к значению измеряемой величины. Заметим, что оценки параметров случайных
процессов сами по себе являются случайными величинами. Задач
и получения оценок должны решаться с учетом
ограничений на их погрешность, объем исходных данных, время измерений, возможностей аппаратуры и т.п.
6.1 Свойства и алгоритмы определения
статистических оценок
Статистической оценкой измеряемого параметра
является некоторая функция от полученных измерений
, где
z(t)
-
сигнал на входе измерительной системы, один из параметров
а
, которого подлежит
измерению, причем аргумент
t
может быть непрерывным или дискретным. Поиск наилучшей оценки измеряемого
параметра соответствует минимизации некоторого функционала:
.
Оценочные функции выбираются такими, чтобы получаемые оценки были «доброкачественными», т.е.
отвечали следующим требованиям [16].
Состоятельность
–
свойство оценки, означающее, что оценка
дол
жна сходиться по вероятности к
истинному значению
а
i
оцениваемого сигнала (параметра) при неограниченном объеме выборки
(
x
1
,
x
2
,…,
x
n
)
.
,
(6.1)
т.е. с увеличением выборки
n
(числа опытов) оценка
должна приближаться к истинному значению
а
i
.
Несм
ещенность
–
это означает, что математическое ожидание равно истинному значению:
М[
â
i
]=а
i
.
(6.2)
Несмещенная оценка не содержит систематической погрешности.
Эффективность.
Отвечающая этому требованию оценка должна иметь рассеивание относительно ист
инного
значения не больше, чем рассеивание оценки, полученной с помощью любой другой оценочной функции, т.е.
обладать наименьшей дисперсией
D
(
â
i
) =
M
(
а
i
-
â
i
)
2
.
(6.3)
Эффективность
G
(
g
)
алгоритма оценки определяется отношением
;
. (6.4)
где
-
дисперсия оптимальной оценки;
-
дисперсия ее алгоритма.
a
€


)
(
)
(
€
t
z
g
t
a

min
)
€
(


a
a
F
i
a
€


1
€
lim






a
a
P
i
n
a
€
a
D
a
D
g
G
опт
€
€
)
(

1
€
€
lim
0



a
D
a
D
опт
n
опт
a
D
€
a
D
€

Мерой удаленности оценки
â
от истинного значения в статистической теории служит функция потерь П(
а
i
-
â
i
),
которая характеризует погрешность оценки. Графики (рис.6.1) показывают, как изменяется П(
а
i
-
â
i
) в
зависимости от того, чем представлена погрешность оценки.
Для П(
а
i
-
â
i
)=

а
-
â

(рис.6.1,а) потери пропорциональны значению погрешности; при П
(
а,
â
)=

а
-
â

2
(рис.6.1,б) функция потерь особое значение придает большим погрешностям; для П
(
а,
â
)
на рис.6.1,в погрешности,
не превышающие некоторых значений

, вообще не учитываются, а все остальные погрешности оценки берутся с
равным весом.
Наряду с получе
нием оценки искомой величины в виде одного числа («точечное» оценивание)
применяют оценивание с помощью доверительных интервалов. Доверительным интервалом
называется интервал значений оцениваемой величины, внутри которого с заданной (доверительной)
вероятн
остью находится искомое (истинное) значение этой величины. Положение доверительного
интервала, определяемое точечной оценкой величины, и его длина, вычисляемая по опытным данным,
являются случайными величинами. Расчет этих величин при заданной доверительно
й вероятности
требует знания вида закона распределения.
Наибольшее распространение в практике получили следующие методы нахождения «доброкачественных»
оценок: наименьших квадратов, максимального правдоподобия, минимума среднего риска, минимаксный.
Рис. 6.1. Виды функций потерь П (
а
i
-
â
)
В методе наименьших квадратов в качестве критерия сравнения оценок используется сумма квадратов
отклонений результатов
х
i
выполненных в одинаковых условиях
n
аналогичных измерений от полученной оценки
â
измеряемой величины (или функции). Наилучшая оценка
â
должна удовлетворять условию
. (6.5)
В методе максимального правдоподобия в качестве критерия оптимальности оценок используется функция
правдоподобия, которая может быть
определена либо по распределению плотности вероятности всей совокупности
экспериментальных данных, либо по распределению условной плотности вероятности результата измерений
случайной величины.
6.2. Определение статистических оценок по плотности распр
еделения совокупности
наблюдений
6.2.1. Определение точечных оценок
при прямых измерениях
min
)
€
(
2
1




n
i
i
a
x
a
a
-
â
a)
a
a
-
â
б)
П
a
в)
П
a
-
â
1



Определение оценки результатов прямых измерений методом правдоподобия производится по
распределению плотности вероятности всей совокупности результатов наблюдени
й
х
1
, х
2
,…,х
n
.
(результатом
наблюдения называют результат измерения
х
i
этой совокупности). Разность

i
= х
i
-
a
есть погрешность
i
-
го
наблюдения. При рассмотрении примем, что погрешность

i
распределена по нормальному закону с
математическим ожиданием
М


i

=0
(т.е. отсутствует систематическая погрешность), имеет дисперсию

2
,
одинаковую для всех измерений (т.е.измерения равноточные), а погрешности отдельных наблюдений независимы.
Допущение о нормальности закона распределения правомерно в связи с тем, что п
огрешность

i
является
следствием различных причин, и, независимо от того, по какому закону распределены соответствующие
составляющие погрешности, закон распределения результирующей погрешности будет близок нормальному.
Для любого результата дифференциальный закон распределения имеет вид
. (6.6)
Дифференциальный закон распределения системы случайных величин в данном случае
представляет собой
функцию правдоподобия
(6.7)
Условием максимального правдоподобия является при
а=
â
.
(6.8)
Условием максимума для (6.7) будет
.
(6.9)
Сравнив (6.5) и (6.9), отметим, что при нормальном за
коне распределения случайной величины
оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают.
Продифференцировав по
â
левую часть (6.9) и приравняв нулю, получим
;
(6.10)
т.е.
наилучшей оценкой является среднее значение результатов наблюдений. Отсюда следует, что оценка
х
является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем
M

x

=
a
;

2

x

=

2
/
n
.
(6.11)
Так как дисперсия оценки в
n
раз меньше
дисперсии отдельных наблюдений, то оценка имеет более
высокую точность, чем любое из них. Кроме того снижается неопределенность результатов измерений,
характеризуемая значением среднего квадратического отклонения погрешности, что выражается в том, что при
усреднении результатов
n
наблюдений случайная погрешность уменьшается в
раз.
Итак, оценка
â
=
x
является состоятельной, несмещенной и эффективной. Оценим значение дисперсии
погрешности измерения, характеризующей неопределенность значения
â
,
воспользова
вшись функцией
правдоподобия в виде
(6.12)
Ус
ловием максимального правдоподобия в данном случае является
Прологарифмируем правую часть (6.12), а затем, продифференцировав по

2
и приравняв нулю, получим
(6.13)
2
2
2
/
)
€
(
2
1
)
,
(



a
x
i
i
e
a
x
f










.
2
1
exp
2
)
,
(
,...,
,
,...,
,
1
2
2
2
/
1
2
1
2
1




















n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
a
x
a
x
f
x
x
x
f
x
x
x
L





max
€
,
,...,
,
2
1

a
x
x
x
L
n


min
€
1
2




n
i
i
a
x




n
i
i
x
x
n
a
1
1
€
n






.
2
1
exp
)
(
2
,
,
,...,
,
1
2
2
2
/
2
2
/
2
2
1















n
i
i
n
n
n
a
x
a
x
x
x
L






.
max
,
,
,...,
,
2
2
1


a
x
x
x
L
n


.
0
2
1
1
2
1
2
4
2






n
i
i
a
x
n




(

)


2


B


1


2
Отсюда найдем о
ценку, которую обозначим
(6.14)
Но экспериментально можно определить только
,
поэтому приняв и обозначив как
S
2
соответствующую
оценку дисперсии, получим
(6.15)
Для проверки данной
оценки на смещенность преобразуем (6.15):
(6.16)
Математическое ожидание оценки
S
2
(6.17)
Таким образом, оценка
S
2
является смещенной оценкой дисперсии

2
.
Но чем больше
n
, тем ближе
S
2
к

2
,
т.е.
.
т.е. оценка является
асимптотически несмещенной. Введя для ликвидации смещенности оценки поправочный
множитель
получим несмещенную оценку
. (6.18)
6.2.2. Нахождение интервальных оценок
при прямых измерениях
Рассмотренные
оценки измеряемой величины и дисперсии являются точечными оценками.
Часто используются интервальные оценки параметров. Общий подход к интервальному оцениванию
состоит в следующем.
Предположим, известна точечная оценка некоторого параметра

и плотность распределения этой оценки
(рис.6.2). Необходимо получить доверительный интервал для данного параметра при заданной доверительной
вероятности
Р.
Если границы доверительного интервала
и
, то должно быть,
чтобы
(6.19)
Рис. 6.2. Плотность распределения оценки
2
*



.
1
1
2
2
*




n
i
i
a
x
n

x


.
1
1
2
2




n
i
i
x
x
n
S
.
)
(
1
)
(
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2











n
i
n
i
n
i
i
i
i
x
x
n
x
x
n
x
x
n
S












.
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
n
n
n
a
n
a
n
x
M
x
M
n
x
M
x
n
M
S
M
n
i
n
i
i
n
i
i













































2
2
lim




S
M
n
,
1

n
n









n
i
i
x
x
n
n
S
n
n
1
2
2
2
1
1
€

1
€

2
€







€
€
€
)
€
(
P
d
f

Для решение этой задачи примем допущения о том, что, во
-
первых, математическое ожидание
равно
вычисленной оценке
, а во
-
вторых, вероятности того, что истинное значение

оцениваемого параметра лежит
выше верхней границы (или нижней границы) доверительного интервала одинаковы и равны (1
-
Р)/2.
Из второго условия следует, что при симметричном относительно математического ожидания законе
распределения границы
и
также си
мметричны относительно

В
.
Для истинного значения
а
измеряемой, величины границы доверительного интервала зависят не только от
оценки
â=
х
,
но и от оценки

среднеквадратического отклонения погрешности. В таких случаях используют
распределение случайной
величины
. (6.20)
При нормальном распределении погрешности величина
t
n
-
1
распределена по закону Стьюдента с
n
-
1
степенями свободы (
t
–
распределение). С увеличением
n
распределение Стьюдента
асимптотически приближается к
нормальному. В таблицах процентных точек распределения Стьюдента приведены значения
t
a
, удовлетворяющие
равенству
, (6.21)
где

n
-
1
(
t
)
–
плотность
t
-
распределения.
Полагая

=
(1
-
Р)/2
(
Р
–
дов
ерительная вероятность), при известном
k
=
n
-
1
по таблице находят границу
t

.
Подставив в (6.20) граничные значения

t

, получают границы доверительного интервала величины:
(6.22)
или
. (6.23)
При построении дове
рительного интервала для дисперсии используют величину
. (6.24)
Установлено, что при нормальном законе распределения случайной погрешности
и
распределена по закону

2
n
-
1
с
n
-
1
степенями свободы.
В таблицах процентных точек

-
квадрат распределения приведены значения
t

, удовлетворяющие
равенству
(6.25)
для различных значений

; и
k
;
f
n
-
1
;
(
u
)
-
плотность

2
распределения. Так как это распределение несимметрично,
то по таблице находят значения верхней

2

1
и нижней

2

2
границ интервала, соответствующие вероятностям

1
=(1
-
Р)/2
и

2
1=(1
-
Р)/2
. Подставив вместо
и
в (6.24) найденные граничные значения

2

1
, и

2

2
, получают
границы доверительного интервала для дисперсии:
(6.26)
или
.
(6.27)
6.2.3. Нахождение точечных оценок при косвенных
и совместных измерениях
Прежде чем перейти к рассмотрению методов оценивания результатов
косвенных измерений
, рассмотрим
вкратце общие принципы и особенности этого вида измерений.
При ко
свенных измерениях искомое значение физической величины
z
определяют на основании
результатов прямых измерений других физических величин (
а
1
,
а
2
,
… ,
а
m
)
,
функционально связанных с искомой
величиной
z
=
F
( а
1
,
а
2
,
…,
а
m
)
.
(6.28)
Полный дифференциал
функции (6.28) можно записать как

€
B

€
1
€

2
€

n
a
x
n
S
a
x
t
n







1
1




a
t
n
dt
t
f

)
(
1
1
/
1
/






n
S
t
x
a
n
S
t
x
a
a
1
/
/





n
t
x
a
n
t
x
a
a


2
2
2
2
/
)
1
(
/






n
nS
u




2
)
(
1



du
u
f
n
2
2
2
2
2
/
/
2
1





nS
nS


2
2
2
2
2
2
1
/
)
1
(
/
)
1
(











n
n

(6.29)
или
.
(6.30)
Если погрешности измерений

j
величин
a
j
(
j
=1,2…
m
)
достаточно малы, то, заменив
da
j
на

j
, получим
. (6.31)
Каждое слагаемое в
этом выражении представляет собой частную погрешность результата косвенного
измерения, вызванную погрешностью

j
(первичной погрешностью) измерения величины
а
j
.
Частные производные
/
называют коэффициентами влияния соответствующих погрешностей.
Если извес
тны систематические погрешности

j
, то по формуле (6.31) может быть определена
систематическая погрешность результата косвенного измерения.
Если оцениваются случайные погрешности

j
, имеющие нулевые математические ожидания
M
/

j
/=0
и
дисперсии

2
j
, то мате
матическое ожидание
M
/

z
/
будет равно нулю, а дисперсия

2
/

z
/
определяется по формуле
, (6.32)
где
-
коэффициент корреляции погрешностей

k
и

l
.
Если погрешности некоррелированны, то
.
(6.33)
Что касается оценок
результатов косвенных измерений и их погрешностей, то они могут быть
определены по формулам (6.28) и (6.33) с заменой величин
a
1
,
a
2
,…,
a
m
и

1
,

2
,…,

m
их оценками, т.е.
;
(6.34)
.
(6.35)
Следует отметить, что по ряду причин при о
бработке результатов измерений коэффициенты влияния
устанавливаются с некоторой погрешностью, т.е. определяются не сами коэффициенты влияния, а их оценки.
Однако если функция преобразования
z
=
F
(
a
1
,
a
2
,…,
a
m
)
линейна, то такая погрешность минимальна.
Совокупн
ыми
называют проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин.
Совместными
называют одновременные измерения нескольких неодноименных величин для нахождения
зависимостей между ними. При совместных измерениях искомые значения величин определя
ются в результате
решения системы уравнений:
(6.36)
где
х
1
, х
2
, х
3
, …,х
n
-
искомые величины;
,
-
значения измеряемых величин.
Примером совместных измерений может служить определение зависимости сопротивления резистора от
температуры
R
t
=
R
0
(1+
At
+
Bt
2
)
, когда искомыми величинами являются
R
0
,
A
,
B
. Проводятся измерения
R
t
при трех
различных
t
.
Представим уравнения (6.36) в другом виде:
(6.37)
m
m
da
a
F
da
a
F
da
a
F
dz










...
2
2
1
1
j
m
j
j
da
a
F
dz





1
j
m
j
j
a
F
z







1
F

j
a














m
k
l
k
l
k
kl
m
j
j
j
a
F
a
F
a
F
z
1
1
2
2
2
2
)
(
]
[





kl







m
j
j
j
a
F
z
1
2
2
2
)
(
]
[


Z
€
)
€
,...,
€
,
€
(
€
2
1
m
a
a
a
F
Z







m
j
j
j
a
F
z
1
2
€
)
(
]
[
€


,
)
(
)
(
3
)
(
2
)
(
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
0
)
,...,
,
,
,
...,
,
,
(
.....
..........
..........
..........
..........
0
)
,...,
,
,
,
...,
,
,
(
0
)
,...,
,
,
,
...,
,
,
(






















n
m
n
n
n
n
m
m
n
m
n
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
F
,
,...,
3
m
x
x




)
(
2
)
(
1
,
n
n
x
x
)
(
)
(
3
,...,
n
m
n
x
x
,
2
2
1
1
2
22
2
21
1
2
1
12
2
11
1
1
...
.......
..........
..........
..........
...
...



















nm
m
n
n
n
m
m
m
m
x
a
x
a
x
a
y
x
a
x
a
x
a
y
x
a
x
a
x
a
y

где
a
j
(
j
=1,2,…,
m
)
-
искомые значения величин;
y
i
(
i
=1,2,…,
n
)
-
измеряемые значения величин;
x
ij
-
из
вестные
значения величин,
что более кратко можно записать:
.
(6.38)
Результаты измерений
l
i
содержат погрешность

i
, т.е.
l
i
=
y
i
+

i
, или:
,
(6.39)
поэтому
при решении системы уравнений (6.37) вместо
y
i
должны использоваться измеренные значения
l
i
.
В этом
случае, если число измерений
n
больше числа неизвестных
m
(
n
>
m
)
, система уравнений не имеет решения, т.е. нет
набора значений
а
1
,
а
2
,
…,
а
m
, которые удо
влетворяли бы всем
n
уравнениям системы. Такие уравнения
называют условными.
Если считать, что погрешность

i
является нормально распределенной случайной величиной с нулевым
математическим ожиданием
M
[

i
]=0,
дисперсией

2
, одинаковой во всех измерениях, а погрешности отдельных
измерений независимы, то величина
l
i
будет иметь нормальное распределение с параметрами:
.
(6.40)
В таком случае плотность распределения вероятности
f
i
(
l
i
)
величины
l
i
записывается в виде
. (6.41)
Определим функцию правдоподобия:
(6.42)
Прологарифмировав (6.42), получим
. (6.43)
Условием максимума функции (6.43) является:
(6.44)
(6.45)
Следовательно, и в данном случае, при условии нормального распределения случайной погрешности,
совпадают оценки метода максимального правдоподобия и метода наим
еньших квадратов.
Оценки
можно найти, приравняв нулю все частные производные от этой функции по
a
j
.
Соответственно получим:
(
j
=1,2,…,
m
).
(6.46)
Являясь линейной относительно величин
a
j
,
система (6.46) носит название системы нормальных уравне
ний.
Число уравнений в такой системе всегда равно числу неизвестных величин, оценки которых определяются в
результате решения этой системы.
Стандартную запись системы нормальных уравнений получают после группирования всех коэффициентов
при неизвестных
a
j
:



m
j
ij
j
i
x
a
y
1





m
j
i
ij
j
i
x
a
l
1
;
]
[
1



m
j
ij
j
i
x
a
l
M
0
]
[
2

i
l














2
1
2
)
(
2
1
exp
2
1
)
(
m
j
ij
j
i
i
i
x
a
l
l
f



.
)
(
2
1
exp
)
2
(
)
(
)
,...,
,
(
1
1
2
2
2
/
1
2
1





















n
i
m
j
ij
j
i
n
n
n
i
i
i
n
x
a
l
l
f
l
l
l
L











n
i
m
j
ij
j
n
x
a
l
n
n
l
l
l
L
1
2
1
1
2
2
1
)
(
2
1
ln
)
2
ln(
2
)
,...,
,
(
ln



;
min
)
(
1
2
1






n
i
m
j
ij
j
i
x
a
l
.
min
1
2




n
i
i
m
a
a
a
€
,...,
€
,
€
2
1






n
i
ij
m
j
ij
j
i
x
x
a
l
1
1
0
)
(

(6.47)
В (6.47)
x
j
и
l
рассматриваются как
n
-
мерные векторы с компонентами
x
1
j
,
x
2
j
,
x
3
j
, …
x
nj
, так
и
l
1
,
l
2
,…,
l
n
соответственно.
Коэффициенты
[
x
r
x
s
]
и свободные члены
[
x
j
l
]
представляют собой скалярные произведения
соответствующих
векторов:
[
x
2
x
3
]=
x
1
r
x
1
s
+
x
2
r
x
2
s
+…+
x
nr
x
ns
;
[
x
j
l
]=
x
ij
l
1
+
x
2
j
l
2
+…+
x
nj
l
n
.
(6.48)
Тогда искомые оценки величин
a
j
могут быть вычислены из (6.47) методом определителей
(6.49)
где
.
Определитель
D
j
получен заменой в определителе
D j
-
го столбца столбцом свободных членов системы
нормальных уравнений. Полученные оценки являются состоятельными и несмещенными, а для нормального
распределения погрешности и эффективными.
Для нахождения
оценки дисперсии случайной погрешности
продифференцируем по

2
(6.43) и, приравняв
нулю, получим
.
(6.50)
Подставив вместо
a
j
оценку
получим соответствующую оценку дисперсии
S
2
:
.
(6.51)
Проведя преобразования, аналогичные
(6.16) и определив математическое ожидание оценки
S
2
, получим
доказательство смещенности этой оценки. Для устранения этой смещенности необходимо перейти к оценке
.
(6.52)
Оценки дисперсии найденных значений
a
j
можно вычислить, пользуясь формул
ой
где
D
-
главный определитель систем нормальных уравнений;
D
jj
-
алгебраическое дополнение определителя
D
,
получаемое путем удаления из определителя
j
-
й строки и
j
-
го столбца;

2
-
оценка дисперсии погрешности
прямых измерений.
Если условные уравнени
я нелинейны, решение задачи усложняется. Условные уравнения искусственно
линеаризируется при допущении, что погрешности измерений малы (соответственно мала несовместность условных
уравнений).
Рассмотрим основные этапы решения задачи получения оценок совме
стных измерений, когда задана
система нелинейных условных уравнений вида
,
(
i
=1,2,..,
n
)
n
>
m
.
(6.53)
Сначала примем, что
n
0
=
m
(т.е. возьмем из системы столько уравнений
n
0
,
сколько неизвестных), и, решив
неизбыточную систему, найдем начальные о
ценки неизвестных
. Затем, использовав все
первоначально заданные
n
уравнений, найдем первые поправки к начальным оценкам.
Если
-
первое приближение оценки,
-
первая поправка, то
. (6.54)
,
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
]
[
]
[
...
]
[
]
[
..
..........
..........
..........
..........
..........
]
[
]
...[
]
[
]
[
]
[
]
[
...
]
[
]
[


















l
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
l
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
l
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
;
]
]...[
]...[
[
.
..........
..........
..........
]
]...[
]...[
[
1
1
1
1
1
m
m
j
m
m
m
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D

,
]
]...[
]...[
[
.........
..........
..........
]
]...[
]...[
[
1
1
1
1
1
m
m
m
m
m
j
x
x
l
x
x
x
x
x
l
x
x
x
D

D
D
a
j
j
/
€












n
i
m
j
ij
j
i
r
x
a
l
n
L
1
1
2
4
2
0
)
(
2
1
2
ln



j
a
€






n
i
m
j
ij
j
i
x
a
l
n
S
1
1
2
2
)
€
(
1









n
i
m
j
ij
j
i
x
a
l
m
n
S
m
n
n
1
1
2
2
2
)
€
(
1
€

,
/
€
€
2
2
€
D
D
jj
a
j



i
m
i
a
a
a
f
l



)
,...,
,
(
2
1
0
0
0
2
1
€
,
€
m
a
a
a

1
j
a
1
j
a

,
€
1
0
1
1
1
1
a
a
a



,...,
€
€
1
0
1
2
2
2
a
a
a



1
0
1
€
€
m
m
m
a
a
a




Подставим (6.54) в (6.53):
. (6.55)
Разложив функции
f
i
в точках
в ряд Тейлора и ограничившись линейными членами
разложения, получим:
(6.56)
Система уравнений (6.56) является системой линейных условных уравнений относительно поправок

a
1
,

a
2
,…,

a
m
,
, решением которых (после пер
ехода к системе нормальных уравнений (6.47) находятся первые
приближения поправок
[17]. Аналогичным образом можно найти второе приближение оцениваемых
значений величин и т.д. Как видно, в данном случае искомые оценки находятся методом последовательных
пр
иближений.
6.3. Определение статистических оценок
по условной плотности распределения
Рассмотренные методы получения оценок параметров измерительных процессов предполагают
использование в качестве
основной вероятностной характеристики совместной плотности вероятности всей
совокупности результатов наблюдений
х
1
, х
2
,…,х
n
.
Однако нередко считают, что более точной и полной
характеристикой измерений
{
х
i
}
является условная плотность распределения
f
(
x
/
a
)
.
В общем случае условная плотность распределения
f
(
x
/
a
)
характеризует статистическую зависимость
случайного стационарного процесса
x
(
t
)
при условии, что второй случайный стационарный процесс
y
(
t
)
принимает
определенное значение, и может быть выражена в
виде
, (6.57)
где
Р
[

]
–
вероятность.
Условная плотность распределения
f
(
x
/
y
)
(дифференциальная функция) может быть определена через
условную функцию распределения (интегральную функцию)
,
(6.58)
где
F
(
x
/
y
)
-
условная функция распределения
–
вероятность того, что случайный процесс
x
(
t
)
не превышает
значения
x
при условии, если второй случайный процесс
y
(
t
)
принимает определенное значение
y
,
а также через совместную плотность вероятностей случайных процессов
x
(
t
)
и
y
(
t
)
:
.
(6.59)
Условно
е математическое ожидание стационарного случайного процесса
x
(
t
)
при данной величине
y
. (6.60)
Эту функцию называют функцией регрессии случайного сигнала
y
.
Использование условной плотности вероятности для оценивания параметров измерительного
процесса предполагает подход к объекту измерения как к случайной величине с учетом ее
вероятностных характеристик. Увеличение информации об измеряемой величине
x
определяется
переходом от состояния “до измерения”, характеризующимся плотностью распределения
f
(
x
)
, к
состоянию “после измерения”, характеризующимся резко суженным распределением
f
(
x
/
x
N
)
(рис.6.3);
x
N
-
результат измерения. В условной плотности вероятности
f
(
x
/
x
N
)
заключена информация об
измеряемой величине, необходимая для оценки результата измер
ения.
i
m
m
i
i
a
a
a
a
a
a
f
l








)
€
,...,
€
,
€
(
1
0
1
0
1
0
2
2
1
1
0
0
0
2
1
€
,
€
m
a
a
a

.
)
(
...
)
(
€
)
(
)
€
,...,
€
,
€
(
1
0
1
0
2
2
1
1
0
0
0
€
2
€
2
1
1
1
1
2
1
i
m
a
a
m
i
a
a
i
i
m
i
i
a
a
f
a
a
f
a
a
a
a
f
a
a
a
f
l
m
m




















1
1
1
,...,
€
,
€
2
1
m
a
a
a
x
y
y
t
y
y
x
x
t
x
x
P
y
x
f
y
x














/
)]
)
(
(
)
)
(
[(
lim
)
/
(
0
0
)
/
)
/
(
)
/
(
x
y
x
F
y
x
f



)
(
)
,
(
)
/
(
y
f
y
x
f
y
x
f

;
)
/
(
)
(
)
/
(






dx
y
x
f
t
X
y
Y
X
M
)
(
)
/
(
y
f
y
Y
X
M
рег



Рис. 6.3. Кривые распределения вероятностей
Отметим, что если рассматриваются многократные измерения неизменной величины
x
=
a
=
const
с
определением случайной погрешности измерительного средства

’
=
x
N
-
a
, то под
x
N
понимается один из
результатов раз
ового измерения
[
т.е.
x
N
=
x
i
(
i
=1,2,…,
n
)]
. Если же рассматриваются измерения, когда
измеряемая величина
x
не фиксирована, т.е. является случайной величиной, а случайная погрешность
измерения определяется как

=
x
N
-
x
, то под
x
N
будем понимать результат
измерения одного из значений
случайной величины.
Условное распределение
f
(
x
/
x
N
)
как достаточно полная характеристика результата измерения
используется для нахождения “доброкачественных” оценок результата измерений случайной
величины
x
одним из следующих ме
тодов (рис.6.4):
метод максимального правдоподобия или максимальной вероятности, при котором, равно моде
распределения
f
(
x
/
x
N
)
;
метод минимума среднего риска, при котором вероятности положительных и отрицательных
отклонений от
одинаковы, а среднеквадрати
ческое отклонение минимально по условию
то есть
;
минимаксный метод, при котором минимизируется максимально возможное отклонение, при этом
равно
медиане распределения
f
(
x
/
x
N
)
.
Рис. 6.4. Оценки измерения
случайной величины по
f
(
X
/
X
N
)
Рассмотрим подробнее, как реализуется метод среднего риска при нахождении оценки результата
измерения случайной величины
x
при нормальных известных и независимых распределениях измеряемой величины
и погрешности средства измерения. Предполагается, что получ
енная оценка должна быть положена в основу
алгоритма функционирования корректирующего устройства, являющегося составной частью измерительной системы.
2
€
N
X















,
/
€
min
2
2
dx
X
X
f
X
X
N
N










N
N
N
X
X
Xf
X
X
M
X
/
/
€
2
N
X
€

Метод основан на критерии минимума среднего риска, который называют критерием Байеса. Сущность этого метод
а
состоит в том, что корректирующее устройство должно работать таким образом, чтобы средний риск был
минимальным.
Средним риском называется зависимость
где
П(х
1
х
N
)
-
функция потерь, характеризующая отклонение результата измерения
х
N
, от истинного значени
я
измеряемой величины
x
;
Г
-
область возможных значений
х
N
,

-
область возможных значений
х
.
Придавая особое значение необходимости исключения из результата измерений больших погрешностей,
функцию потерь принимают в виде
П(
x
,
x
N
)=(
x
-
x
N
)
2
.
В этом случае минимум среднего риска достигается при
.
(6.61)
Как видно, выражение (6.61) представляет собой математическое ожидание измеряемой величины при
данном результате измерения
х
N
. Следовательно, оценка результата измерения, вычислен
ная с помощью
корректирующего устройства, будет зависеть от вида условного распределения величины
x
при данном результате
измерения.
При принятых нами допущениях о нормальности распределений
х
и

’
соответствующие выражения имеют
вид:
;
(6.62)
. (6.63)
При условии аддитивности погрешностей
х
N
=х+

’
.
(6.64)
Распределение
х
N
также будет нормальным с параметрами
M
(х
N
),

(х
N
):
,
(6.65)
где согласно (6.64):
M
(
x
N
)=
M
(
x
)+
M
(

’)
;
(6.66)
.
(6.67)
Согласно теории вероятностей выражение для
f
(
x
/
x
N
)
имеет вид
(6.68
)
где
-
коэффициент корреляции между
X
и
X
N
.
Согласно теории
,
(6.69)
где
Rxx
n
-
второй смешанный центральный момент.
Подставив (6.69) в (6.68), после преобразований получим
,
(6.70)



Г
N
N
ср
dxdy
x
f
x
y
f
x
x
П
r

,
)
(
)
/
(
)
,
(



dx
x
x
xf
x
N
N
)
/
(






















2
)
(
)
(
2
1
exp
)
(
2
1
)
(
x
x
M
x
x
x
f




























2
)
'
(
)
'
(
2
1
exp
)
'
(
2
1
)
'
(



M
x
f





















2
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
N
N
N
N
N
x
x
M
x
x
x
f



)
'
(
)
(
)
(
2
2






x
x
N
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
2
1
exp
1
)
(
2
1
)
/
(
2
2
2
2




























N
N
N
xx
xx
xx
N
x
x
M
x
x
x
M
x
x
x
x
f
N
N
N







N
xx

)
(
)
(
)
(
)
(
N
N
xx
xx
x
x
x
x
R
N
N




























2
)
/
(
)
/
(
2
1
exp
)
/
(
2
1
)
/
(
N
N
N
N
x
x
x
x
M
x
x
x
x
x
f




где
(6.71)
(6.72)
Выражение для оптимальной оценки результата измерений
получаем после
подстановки (6.70) в (6.61):
(6.73
)
Выражение (6.73) может быть использовано в качестве алгоритма работы корректирующего устройства
измерительной системы при полученном результате измерения
х
N
.
Преобразуем (6.73) к иному виду:
(6.74)
На рис. 6.5 графически представлены рассмотренные зависимости. Как видно, при полученном результате
измерения
x
N
значения измеряемой величины группируются вокруг
M
(
x
/
x
N
)
, которое сдвинуто относительно
полученн
ого результата измерения
x
N
.
Выражение (6.67) для среднеквадратического отклонения результатов
измерений может быть представлено в другом виде:
(6.75)
;
)
(
)
'
(
1
)
'
(
1
)
(
)
/
(
2
2
2
x
R
x
x
x
N
xx
N















.
)
(
)
'
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
2
2
2
2
N
N
N
N
xx
N
x
M
x
x
x
x
M
x
M
x
x
M
x
x
M
N













).
/
(
)
/
(
/
(
2
1
exp
)
/
(
2
1
)
/
(
€
2
N
N
N
N
N
N
x
x
M
dx
x
x
x
x
M
x
X
x
x
dx
x
x
Xf
x





















































)
(
)
'
(
)
(
)
'
(
)
(
)
'
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
€
2
2
2
2
2
2
N
N
N
N
N
N
x
M
x
x
x
M
x
x
x
x
M
x
x
M
x























)
(
)
(
)
(
)
'
(
)
(
)
(
)
(
)
'
(
)
(
)
'
(
2
2
2
2
2
2
N
N
N
N
N
x
M
x
x
x
x
M
x
x
M
x
M
x
x








).
/
'
(
)
(
)
'
(
)
(
)
'
(
)
'
(
2
2
2
N
N
N
N
N
x
M
x
x
M
x
x
M
x














.
)
(
)
'
(
1
)
'
(
)
/
(
2
2
x
x
x
N









Рис.6.5. Графическое представление оценки результата
измерений случайной величины
Поскольку знаменатель (6.75) всегда больше единицы, то

(
x
/
x
N
)<

(

’)
.
Итак, для оценки результата измерения, при принятых
допущениях о нормальности
x
и

,
из результата
измерений
x
N
необходимо вычесть не только значения систематической составляющей погрешности измерения
измерительного средства
M
(


)
,
но и составляющую

2
(


)[
x
N
-
M
(
x
n
)/

2
(
x
)+

2
(


)]
.
Значение второй
с
оставляющей увеличивается с увеличением отношения

2
(


)/

2
(
x
)+

2
(


)]
.
Используя выражение (6.74), можно определить оценки результатов
измерений, проводимых с определенными ограничениями.
При измерении постоянной величины

(
x
)=0
(6.76)
(сравним
с 6.10);
при измерении центрированной величины
[
M
(
x
)=0]
;
(6.77)
при измерении без систематической составляющей погрешности измерительного средства
[
M
(


)=0]
(6.78)
при измерении без случайной составляющей погрешности измерительного ср
едства
[
M
(


)=0]
(6.79)
При рассмотрении методов получения оценок параметров измерительных процессов мы в каждом случае
оговаривали в качестве одного из условий оптимальности оценки наличие априорной определенности
вероятностных
характеристик сигналов и измерительных устройств. Отклонение реальных характеристик от
предполагаемых может заметно повлиять на качество оценок. Априорную неопределенность в статистическом
описании измерений можно преодолевать двумя различными подходами
-
адаптивным и робастным.
Адаптивный подход
основан на том, что существует истинное апостериорное распределение
f
ист
(
x
/
x
N
)
,
которое можно определить с помощью обучающих выборок или другим методом, а затем, подставляя в выражение
для условия минимума среднего
риска (8.61), найти оптимальную оценку.
Робастный подход
-
предполагает некоторое изменение выбранной модели распределения случайного
процесса. Например, при робастной трактовке, истинная функция распределения
F
(
x
)
лежит в окрестности
основного гауссовско
го распределения с малыми отклонениями

.
Робастный подход предполагает выполнение следующих требований:
для выбранной модели алгоритм получения оценки должен обеспечивать ее максимальную или почти
оптимальную эффективность;
малые отклонения от предложенн
ой модели должны ухудшать качество процедуры лишь в малой степени, а
значительные изменения от модели не должны приводить к катастрофическим последствиям.
Качество робастных оценок характеризуется дисперсией погрешности оценки. Количественными
показателями
устойчивости робастных алгоритмов являются функция влияния и функция чувствительности, которые
),
(
)
'
(
)
(
€
x
M
M
x
M
x
N
N






)
(
)
'
(
)
(
)
(
€
2
2
2
x
M
x
x
x
x
N
N









;
)
(
)
'
(
)
(
)
'
(
€
2
2
2
x
M
x
x
x
x
N
N
N









).
'
(
€



M
x
x
N
N

позволяют характеризовать чувствительность оценки к изменению
одного наблюдения
и сравнивать алгоритмы
оценки.
Функция влияния, которую также называют кривой вл
ияния, имеет вид
(6.80)
где
F
=
F
(
x
1
,
x
2
…
x
N
)
-
функция распределения случайных величин;
g
=
g
(
x
1
,
x
2
…
x
n
)
-
алгоритм оценки;

x
-
единичная масса в точке
x
.
Как видно, функция влияния
IC
показывает относительное изменение оценки, полученной по
тому или иному
алгоритму, вызванное дополнительным наблюдением в точке
х
.
Максимум абсолютного значения функции влияния называют функцией чувствительности к большим
выбросам.
Если заменить
F
на
F
n
-
1
и

на
1/
n
, кривая чувствительности будет иметь вид
(6
.81)
Робастные оценки уступают по качеству рассмотренным выше определенным оценкам параметров
измерительных процессов, но при априорной неопределенности относительно вероятностных характеристик
случайных сигналов или изменении этих характеристик применени
е робастных алгоритмов предпочтительнее.
Глава 7. ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ,
ИНТЕРПОЛЯЦИИ, ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
7.1. Общие вопросы фильтрации
Фильтрацией в широком смысле называется любое преобразование обрабатываемых сигналов с целью
изменения
соотношения между их различными компонентами. Чаще всего путем фильтрации проводится выделение
из сигнала его части, спектр которой лежит в определенной области (в полосе пропускания).
При фильтрации измерительных сигналов решаются два основных типа задач
: выделение полезного
сигнала, наблюдаемого на фоне помех, и частотный анализ.
Задачами первого типа являются:


обнаружение детерминированного сигнала известной формы на фоне помех;


оценка информативных параметров
квазидетерминированных сигналов, наблюдаемых на фоне помех;


фильтрация случайных сигналов.
Задачи частотного анализа сводятся к определению составляющих сигнала с некоторыми, в большинстве
случаев дискретными, частотами.
При решении задач, свя
занных с анализом сигналов, фильтрация применяется для измерения искажений,
формирования средних экспоненциальных значений и для подавления, усиления или отделения некоторых
частотных составляющих или полос частот.
Фильтрацию можно классифицировать по ро
ду преобразований на аналоговую и цифровую, а по
расположению полос пропускания
–
на фильтрацию нижних частот (ФАЧ) (рис.7.1,
а
); фильтрацию верхних частот
(ФВЧ) (рис.7.1,
б
); полосовую фильтрацию (ПФ), при которой полоса пропускания ограничена сверху и сниз
у
(рис.7.1,
в
); заграждающую фильтрацию (ЗФ), при которой между двумя полосами пропускания, ограниченными
снизу и сверху, имеется узкая полоса непропускания (рис.7.1,
г
).
Фильтрация может быть линейной и нелинейной. При линейной фильтрации в качестве фильтр
ов
используются динамические линейные системы, при нелинейной фильтрации
–
нелинейные. Линейная фильтрация
используется гораздо чаще, чем нелинейная. Это объясняется, во
-
первых, сложностью анализа нелинейных систем,
и, во
-
вторых, тем, что удовлетворительно
й вероятностной моделью большинства измерительных сигналов являются
гауссовы случайные процессы, для которых линейные фильтры обеспечивают возможность выделения с требуемыми
показателями полезной информации из смеси с помехой. Нелинейные фильтры находят пр
именение для фильтрации
импульсных помех с целью нахождения оценки информативного параметра сигнала, в качестве которой
используется медиана плотности распределения вероятности.




,
)
(
1
lim
)
,
,
(
0




F
g
F
g
g
F
x
IC





x






.
,...,
,
,
,...,
,
/
1
)
(
1
2
1
1
1
2
1
1

























n
n
n
n
n
n
x
x
x
g
x
x
x
x
g
n
n
g
x
SC
)
g(F
(n)
д
F
n
1
n
1
n
n
1
n

Рис. 7.1. Основные виды фильтрации сигналов по расположению полос
пропускан
ия:
а
–
нижних частот;
б
–
верхних частот;
в
–
полосовая;
г
–
заграждающая
Учитывая широкую распространенность, математическую обоснованность методов линейной фильтрации,
значительно превосходящих методы нелинейной фильтрации, в дальнейшем будем рассмат
ривать только линейную
фильтрацию.
В зависимости от априорной определенности сведений о форме, характере изменения и параметрах
полезного сигнала может быть:


фильтрация постоянного или
периодического полезного сигнала с наложенной на него случайной помехой;


фильтрация изменяющихся во времени полезного сигнала и помехи;


фильтрация сигналов в виде дискретных последовательностей.
Устройства, с помощью которых осуществ
ляется намеренное селективное подавление отдельных
составляющих сигнала, называют фильтрами.
Основной характеристикой фильтра является его
амплитудно
-
частотная характеристика
(АЧХ),
определяемая как модуль комплексного
частотного коэффициента
передачи |
K
(
j

)
|. АЧХ часто изображают в логорифмическом масштабе в виде графика
, по
которому можно определить
логорифмическую крутизну
:
.
(7.1)
Являясь безразмерной величи
ной, не зависящей от масштабов по осям координат,

измеряется в децибелах
на октаву (дБ/октава). В октавах измеряется интервал частот. Одна октава соответствует интервалу, в котором
частота изменяется вдвое.
Идеальными
называются фильтры нижних частот, в
ерхних частот, полосовой, у
которых полоса пропускания находится внутри интервалов
0
-

1
,

2
-

,

1
-

2
соответственно. Причем
внутри этих интервалов АЧХ постоянна, а вне интервалов
равна нулю. Идеальный заграждающий
(режекторный) фильтр имеет АЧХ, равную нулю в некоторой полосе частот, и постоянное значение вне
этого интервала. Следовательно, у АЧХ идеальных фильтров на граничных частотах

равна
бесконечности.
Реальные фильтры
имею
т АЧХ с конечной крутизной.
Фильтры разделяются также на физически реализуемые и физически неосуществимые.
Физически реализуемый фильтр
–
это такой фильтр, у которого сигнал на выходе не может появиться
раньше, чем был подан сигнал на вход. Для физически
реализуемого фильтра необходимо, чтобы соблюдалось
условие
казуальности:
,
(7.2)
где
h
(
t
)
–
импульсная характеристика фильтра.
Вторым условием физической осуществимости фильтра является затухание импульсной характеристики
со
временем:

K

а)

K

б)

K

г)

K

г)
полоса
пропускания
ФНЧ
полоса
пропускания
ФВЧ
полоса
пропускания
ПФ
полоса
непропускания
ЗФ
)
(lg
)
(
ln


f
j
K




lg
)]
(
ln[
d
j
K
d

0
при
0
)
(


t
t
h

.
Физически реализуемые фильтры должны отвечать условиям устойчивости. Во временной области
–
это
условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:
.
(7.3)
В спектральной области устойчивость фильтра определяется
критерием Пэли
–
Винера:
.
(7.4)
В соответствии с этими условиями физически осуществимы только те фильтры, у которых АЧХ не имеют
нулевых значений в некоторой полосе частот. Следовательно, все вышерассмотренные идеальные фильтры
являются физически н
еосуществимыми.
Физически неосуществимые фильтры называют
математическими фильтрами
. Их можно осуществить с
помощью цифровых систем обработки информации.
Идеализированные функции физически осуществимых реальных фильтров описываются асимптотическими
АЧХ, и
меющими прямолинейный участок в области пропускания (рис.7.2), острые углы при предельных частотах

g
и постоянный логорифмический участок падения амплитуды в области запирания. В действительности коэффициент
пропускания неоднократно варьируется (волнистос
ть), переходная область скруглена (преждевременное падение
амплитуды), падение амплитуды непостоянно, подавление отдельных частотных составляющих начинается далеко
от предельной частоты и осуществляется неполностью.
Рис. 7.2. АЧХ фильтра нижних частот:
1
–
идеальная;
2
–
идеализированная; 3
–
реальная
Наряду с АЧХ и переходными характеристиками в ряде случаев представляет интерес фазочастотная
характеристика. Чем сложнее фильтр, тем больше сдвиг фаз. Допустм только сдвиг фаз, пропорциональный частоте
,
при котором фазовые соотношения между различными частотными составляющими сигнала не нарушались бы при
прохождении через фильтр. Наибольшее распространение получили реальные фильтры (см.рис.7.2): Гаусса,
Бесселя, Баттерворта, Чебышева, Кауэра.
Характерис
тики фильтров различных типов показаны на рис.7.3 и в табл. 7.1
[
18
]
.
Рис. 7.3. Качественный вид амплитудной (
а
), фазовой (
б
) и переходной (
в
)
характеристик различных фильтров нижних частот с одинаковым числом полюсов: 1
–
фильтр
Гаусса; 2
–
фильтр Бесселя;
3
–
фильтр Баттерворта;
4
–
фильтр Чебышева; 5
–
фильтр Кауэра
Таблица 7.1
Сравнительная характеристика фильтров различных типов
Наименование
Преимущества
Недостатки
Фильтры
Гаусса
Отсутствие затруднений в
реализации, отсутствие
колебаний с чрезмерной
Большое время нарастания
переходной характеристики,
резкое снижение амплитуды



t
t
h
при
0
)
(




0
)
(
dt
t
h





0
2
1
)
(
ln



d
j
K

амплитудой в переходной
характеристике
и заметный сдвиг фаз уже в
области пропускания,
пологий переход в области
запирания
Фильтры
Бесселя
Пологая и
пропорциональная частоте
форма фазовой
характеристики в области
пропускания, что означает
малое искажение сигналов,
имеющих составляющие
различной частоты,
практически полное
отсутствие колебаний с
чрезмерной амплитудой в
пере
ходной
характеристике
Раннее падение амплитуды в
области пропускания,
полный переход к области
запирания
Окончание табл.7.1
Наименование
Преимущества
Недостатки
Фильтры
Баттерворта
Короткое время
нарастания по
переходной
характеристике; позднее
начало падения амплитуды
в области пропускания и
более быстрый переход из
области пропускания к
области запирания
Непропорциональная частоте
фазовая характеристика уже
в начале области
пропускания, что вызывает
искажение
сигнала по
времени; колебания с
чрезмерной амплитудой при
переходном процессе, более
продолжительное время
установления колебаний
Фильтры
Чебышева
Крутой переход из области
пропускания к области
затухания; АЧХ наиболее
близко приближается к
характ
еристике идеального
фильтра
Сильная волнистость АЧХ в
области пропускания; сильно
изменяющаяся фазовая
характеристика в области
пропускания; колебания с
чрезмерной амплитудой и
более продолжительное
время установления
колебаний по переходной
характеристик
е
Фильтры
Кауэра
(эллиптические
фильтры),
двойные
фильтры
Чебышева
Быстрый переход от
области пропускания к
области запирания; очень
крутое падение амплитуды
Волнистость амплитудной
характеристики в области
пропускания и в области
запирания; сильная
зависимость сдвига фаз от
частоты
Предпочтение тому или иному типу фильтров дается в зависимости от цели его применения.
При использовании фильтрации для повышения помехоустойчивости си
гналов измерительной информации
наблюдаемый процесс чаще всего представляется в виде аддитивной смеси
,
где
х(
t
)
–
полезный сигнал;

(
t
)
–
помеха.
Если помеха

(
t
)
во всех случаях является случайной величиной, представляемой в виде шума, то сигнал
х(
t
)
может быть представлен в одном из трех видов: детерминированного сигнала известной формы,
квазидетерминированного сигнала, случайного сигнала. В зависимости от того, чем представлен полезный сигнал,
изменяется и постановка задачи фильтрации. Рассмотрим по
дробнее алгоритмы фильтрации для каждого из трех
случаев представления полезного сигнала.
7.2. Аналоговая фильтрация детерминированных
и квазидетерминированных сигналов
Для обнаружения детерминированного сигнала известной формы на фоне помех
смесь
сигнала и помехи
обрабатывается с целью нахождения с максимальной вероятностью сигнала в наблюдаемом случайном процессе.
Поскольку форма сигнала известна и нет необходимости ограничивать частотные искажения, вносимые фильтром,
добиваются, чтобы в процессе
фильтрации обеспечивалось максимально возможное превышение амплитуды сигнала
над помехой. Задача решается с помощью
оптимального линейного фильтра
–
частотно
-
избирательной системы,
выполняющей обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом.
)
(
)
(
)
(
t
t
x
t
z




Ес
ли для обработки сигнала и шума используется стационарный линейный фильтр с импульсной
характеристикой
h
(
t
),
то, согласно теории линейных стационарных систем, детерминированный полезный сигнал
х
вх
(
t
)
создает на выходе отклик, описываемый формулой, носящей
название интеграл Дюамеля:
.
Согласованным фильтром
называется такой линейный фильтр, у которого импульсная характеристика
h(t
0
)
(
t
0
–
зафиксированный момент времени
t=t
0
) выбрана таким образом, чтобы модуль отклика
х
вых
(t
0
)
имел
максимальное значение. Следовательно, подлежащий максимизации по модулю отклик имеет вид
.
(7.5)
На основании неравенства Коши
-
Буняковского
. (7.6)
Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропо
рциональны
друг другу:
,
(7.7)
где
k
–
произвольный коэффициент.
Выполнив формальную замену переменной
t
=
t
0
-

, получим:
.
(7.8)
Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой
масштабную копию
зеркального (относительно оси времени) изображения
х
вх
(
-
t
)
входного сигнала
х
вх
(
t
)
, смещенную по оси времени
относительно сигнала
х
вх
(
-
t
)
на отрезок
t
0
.
На рис. 7.4 показано построение функции
h
согл
(
t
)
применительно к некоторому импульсн
ому сигналу
х
вх
(
t
)
длительностью

и
, возникающему при
t
=0
. Как видно, необходимым (но недостаточным) условием физической
реализации согласованного фильтра является следующее: промежуток времени
t
0
между началом импульса на входе
и моментом возникновения м
аксимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого
импульса. При несоблюдении этого условия
h
(
t
)

0
при
t

0
, т.е. до момента поступления дельта
-
импульса на вход
фильтра.
Рис.7.4. Построение
импульсной характеристики согласованного фильтра
Другими словами, для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе
согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.
Если
х
вх
(
t
)
–
сигнал, по
отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным,
а
z
вх
(
t
)
–
некоторый входной сигнал, не совпадающий с
х
вх
(
t
),
то отклик фильтра имеет вид
или
(7.9)
Выражение (7.9) является не чем иным, как взаимокорреляционной
функцией сигналов
z
вх
(
t
)
и
х
вх
(
t
)
, т.е.:
.
(7.10)



d
t
h
x
t
x
вх
вых






)
(
)
(
)
(



d
t
h
x
t
x
вх
вых






)
(
)
(
)
(
0
0
2
1
0
2
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(





























d
t
h
d
x
dt
t
h
x
вх
вх
)
(
)
(
0


вх
kx
t
h


)
(
)
(
0
t
t
kx
t
h
вх
согл


t
x

и

и

t
0
x
вх
(-t)
x
вх
(t)
h
согл
(t)


,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0






d
t
t
x
z
k
d
t
h
z
t
z
вх
вх
согл
вх
вых















.
)
(
)
(
)
(
0



d
t
t
x
z
k
t
z
вх
вх
вых







)
(
)
(
0
t
t
kR
t
z
zx
вых



В момент времени
t
=
t
0
.
(7.11)
Если
z
вх
(
t
)= х
вх
(
t
)
, т.е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр
согласован, то, согласно (7.10):
.
(7.12)
Это означает, что выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой по
времени на отрезок
t
0
, и следовательно, при согласованной фильтрации формы сигналов на входе и на выходе могут
сильно отличаться. На рис. 7.5
это обстоятельство проиллюстрировано на примере построения сигнала на выходе
фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом.
а)
б)
в)
Рис. 7.5. Построение сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом:
а
–
сигнал на
входе;
б
–
его автокорреляционная функция;
в
–
сигнал на выходе для случая, когд
а максимум выходного колебания
достигается в момент окончания импульса на входе
Определим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра. Для этого воспользуемся
преобразованием Фурье, связывающим импульсную характеристику и частотный коэффициент
преобразования
K
(
j

)
. С учетом формулы (7.8) получим
.
(7.13)
Ведя новую переменную интегрирования

=t
0
–
t
1
, получим
.
(7.14)
Использовав формулу преобразования Фурье, окончательно получим:
,
(7.15)
где
–
функция,
комплексно
-
сопряженная по отношению к
;
t
–
момент времени, в который
отношение сигнал/помеха достигает наибольшего значения.
Как видно, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную
плотность полезного сигнала. Мно
житель
k
соответствует усилению, вносимому фильтром, а
t
0
влияет на фазовую
характеристику фильтра (показатель степени при
е
). В целом
e
-
j

t
описывает смещение отклика фильтра по оси
времени на величину
t
0
.
Из сказанного следует, что модуль
|
K
(
j

)|
долже
н быть пропорциональным модулю спектральной
плотности сигнала на каждом малом участке оси частот. Выделяя известный полезный сигнал из смеси с шумом,
фильтр пропускает с малым ослаблением только те гармонические колебания, частоты которых отвечают участк
ам
спектра, на которых спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. Примером может служить фильтр с
гребенчатой формой АЧХ, используемый для фильтрации смесей, в которых спектр полезного сигнала имеет
дискретную структуру (рис.7.6).








d
x
z
k
t
z
вх
вх
вых
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0
t
t
kR
t
x
xx
вых


dt
e
t
t
x
k
j
K
t
j
вх
согл









)
(
)
(
0





d
e
x
ke
j
K
j
вх
t
j
согл







)
(
)
(
0
0
)
(
)
(
*
t
j
вх
согл
e
kX
j
K







*
вх
X



вх
X
Z
0
2

Рис. 7.6
. АЧХ гребенчатого фильтра (
a
),
соответствующая спектру полезного сигнала (
б
)
Имеется возможность еще большего повышения эффективности обнаружения согласованного фильтра. Так
как в общем случае
,
то сигнал на выходе согласованного фильтра достигает
максимума
(7.16)
в момент времени
t
0
, когда все элементарные составляющие входного сигнала складываются на выходе когерентно,
имея одни и те же фазовые сдвиги.
Задача оценки информативных параметров квазидетерминированных сигналов, наблюдаемых на фоне
помех
, решается также с помощью оптимального фильтра обнаружения. Такой подход обосновывается тем, что для
снижения случайной погрешности оценки параметра
А
в момент
t
=
t
0
измерения выходного напряжения фильтра, по
которому оценивается данный параметр, пре
вышение сигнала
х(
t
)
над помехой должно быть максимальным.
Представим квазидетерминированный сигнал в виде
,
где
u
(
t
)
–
известная функция времени, описывающая форму сигнала, наблюдаемого на фоне помех со спектральной
плотностью энергии
W
(
j

)
.
Максимальн
ое значение выходного сигнала фильтра в момент времени
t
=
t
0
.
(7.17)
Следовательно, коэффициент масштабного преобразования должен устанавливаться исходя из соотношения
.
(7.18)
Структура линейного фильтра, реализующего рассмотренный алгоритм
оценки параметра показана на рис. 7.7.
Аддитивная смесь
z
(
t
)
сигнала
х(
t
)
и помехи умножается на образцовый сигнал
u
(
t
)
, формируемый
генератором
Г
в интервале времени
(0;
t
0
)
, усредняется в
И
и масштабируется в
П
. Выходной величиной фильтра
являются
оценки параметра
а
сигнала
х(
t
)
. Образцовый сигнал
И(
t
)
определяет импульсную характеристику фильтра
линейной оценки, согласованной с формой полезного сигнала.
Рис. 7.7. Структура линейного фильтра:
И
–
интегратор; Г
–
генератор;
П
–
преобразователь
7.3. Фильтрация случайных сигналов
Рассмотрим
задачу оптимальной линейной фильтрации случайных сигналов
, когда неизвестна форма
полезного сигнала и возникает необходимость восстановления сигнала
х(
t
)
или его характеристик. Линейная
фильтрация основа
на на том, что энергетические спектры полезного сигнала и помехи различаются своим







d
e
X
R
j
xx





2
2
1
)
(





d
X
k
x
вх
вых





2
max
2
)
(
)
(
t
u
a
t
x







d
u
a
d
t
h
x
t
x
t
вх
вых






0
0
2
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(


d
u
K
t
пр


0
0
2
)
(
1

частотным содержанием. Предполагается, что полезный сигнал
х(
t
)
и помеха

(
t
)
отвечают условиям
стационарности, нормально распределены и не коррелированы между собой.
Аддитивная смесь
z(t)
сигнала и
помехи, спектральные плотности мощности которых известны, подается на оптимальный линейный фильтр,
обеспечивающий фильтрацию с минимальной погрешностью.
Возможны варианты желаемого преобразования полезного сигнала: фильтр
ация без запаздывания и
фильтрация с задержкой или предсказанием. При фильтрации без запаздывания

=0
(т.е. моменты приложения
сигнала к входу фильтра и отсчета совпадают). Если



, то осуществляется фильтрация с задержкой, которую
также называют
интерпол
яцией
. В этом случае желаемый частотный коэффициент передачи имеет вид
.
(7.19)
Однако частотный коэффициент передачи линейного фильтра
имеет несколько иной вид:
, (7.20)
где
-
АЧХ фильтра;

(

)
–
ФЧХ фильтра.
Отличие выражений (7.19) и (7.20)
является причиной искажения полезного сигнала и появления соответствующей
составляющей погрешности фильтрации

х
. Вторая составляющая погрешности фильтрации


обусловлена входным
шумом, прошедшим через фильтр.
Согласно теории случайных процессов, связь
межу дисперсией

стационарного случайного процесса и его
спектральной плотностью мощности
W
(

)
может быть представлена в виде
,
(7.21)
а связь между спектрами мощности выходного случайного сигнала с аналогичным спектром на входе системы
–
в
виде
.
(7.22)
Используя (7.21) и (7.22), получим выражение для дисперсии суммарной погрешности фильтрации
(7.23)
или, после преобразования,
(7.24)
Минимум подынтегральной функции найдем из условия
.
После
дифференцирования получим выражения АЧХ оптимального фильтра и дисперсии его суммарной
погрешности:
;
(7.25)
.
(7.26)
Для определения АЧХ подставим в (7.23) тригонометрические представления
K
ф
(
j

)
и
K
ж
(
j

)
из формул
(7.19) и (7.20). Получим после преобразования:




sin
cos
)
(
j
e
j
K
j
ж



)
(

j
K
ф
)
(
sin
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
)
(
)
(










jA
A
e
A
j
K
j
ф



)
(
)
(


j
K
A
ф





d
W





)
(
2
1
2
2
)
(
)
(
)
(



j
K
W
W
вх
вых

,
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
2
2
2
2
2

















d
j
K
j
K
W
d
j
K
W
ж
ф
x
ф
x



















.
)
(
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
2
2
2

















d
А
d
A
W
A
W
x
x
















0
)
(

дA
A
д














W
W
W
A
x
x
опт
















d
W
W
W
x
x







2
1
2
min

(7.27)
Условием минимума
является наибольшее значение
или
,
тогда оптимальная фазочастотная характеристика фильтра определяется выражением
.
Для решения задач фильтрации
случайных сигналов, наряду с методами оптимальной линейный
фильтрации с интерполяцией находит применение метод
экстраполяции
(прогнозирования) [18]. Задача
оптимальной экстраполяции сводится к поиску такого линейного алгоритма обработки входного сигнала
z
(
t
)
,
который позволял бы получить оценку
того значения полезного сигнала
, которое он примет на
момент времени
t
+
t
э
, где
t
–
момент наблюдения сигнала на выходе фильтра,
t
э
–
время экстраполирования.
Предполагается, что фильтр должен представлять собой
инерционную линейную систему, сигнал
на выходе которой должен зависеть не только от смеси
z
(
t
)
полезного сигнала с аддитивной помехой в момент
времени
t
,
но и от его значений в предыдущие моменты времени. Величина сигнала
формируется на
выходе линейно
й системы путем сложения (суперпозиции) всех значений
z
(
t
)
, каждое из которых умножено на
импульсную переходную функцию
h
(
t
,

)
(

-
момент приложения сигнала к входу фильтра).
В общем случае связь процесса
на выходе линейной системы с процессом на вход
е сигнала
z
(
t
)
описывается выражением
.
(7.28)
Следовательно, свойства фильтра полностью определяются функцией
h
(
t
,

)
.
Условием физической осуществимости фильтра является
h
(
t
,

)=
0
при
t


,
т.е. сигнал на выходе
в
данный момент времени
зависит только от значений, предшествующих этому моменту
z
(
t
)
. Поэтому верхний предел
интегрирования в выражении (7.28) следует ограничить значением
t
. Если
z
(

)=0
при


0
,
то нижний предел
интегрирования равен нулю. Учитывая стационарность входного сигнал
а, можно допустить, что линейный фильтр
имеет постоянные параметры, а его
h
(
t
,

)
зависит только от разности
t
-

,
т.е.
h
(
t
1
–

)=
h
(
t
–

)
.
Учитывая
сказанное, выражение (7.28) преобразуем к виду
.
(7.29)
Для фильтра с предсказанием
.
(7.30)
Погрешн
ость фильтрации с экстраполяцией является случайным процессом с математическим ожиданием,
равным нулю. Оценка отвечает требованию несмещенности. Поэтому, как и в задаче оптимальной фильтрации,
близость оценки
к истинному значению
х(
t
+
t
э
)
определяется дисперсией
погрешности экстраполяции

:
(7.31)










.
))
(
cos(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
sin
)
(
sin
)
(
cos
)
(
cos
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
2
2
2
2
2
2




























d
A
A
W
A
W
d
A
A
W
d
A
W
x
x


























2



))
(
cos(




0
)
(









)
(
)
(
€
0
t
t
x

)
(
0
t
t
x

)
(
€
э
t
t
x

)
(
€
э
t
t
x

)
(
€
t
x


d
t
z
t
h
t
x





)
(
)
,
(
)
(
€
)
(
€
t
x



d
h
t
z
t
x
t



0
)
(
)
(
)
(
€




t
z
g
d
t
h
t
z
t
t
x
t
э
э









0
)
(
)
(
)
(
€
)
(
€
э
t
t
x

2
























.
)
(
)
(
2
2
2
2
2
э
э
э
t
t
x
M
t
t
x
t
z
g
M
t
z
g
M
t
t
x
t
z
g
M












Подставив в (7.31) значение
g
[
z
(
t
)]
из выражения (7.30) и заменив произведение двух одинаковых
интегралов
{
g
[
z
(
t
)]}
2
двойным интегрированием с переменными

и

`
,
получи
м:
;
где
–
корреляционная функция входного сигнала
z
(
t
)
;
R
zx
(

+
t
э
)
–
взаимная корреляционная функция
полезного
х(
t
)
и входного
z
(
t
)
сигналов.
Следовательно, дисперсия погрешности фильтрации с экстраполяцией определяется выражением
(7.32)
Для того чтобы определить оптимальную импульсную характеристику фильтра
-
экстраполятора, следует
найти минимум
. Задача может быть решена двумя способами [16,18]: либо решением интегрального уравнения
Винера
-
Хопфа, либо путем решения дифференциал
ьных уравнений с заданными начальными условиями (метод
фильтрации Калмана
-
Бьюси). Техническая реализация фильтров как одного, так и другого связана со
значительными трудностями, поэтому в аналоговой линейной фильтрации используются в основном фильтры
Батте
рворта и им подобные.
7.4. Цифровая фильтрация
В связи с развитием микроэлектронных вычислительных устройств и систем в настоящее время находят
широкое применение методы цифровой фильтрации, реализуемые с помощью
линейных стационарных цифровых
фильтров
. Принцип цифровой обработки сигналов иллюстрируется структурной схемой (рис. 7.8).
Рис. 7.8. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов
С помощью аналого
-
цифрового преобразователя (АЦП) входной сигнал преобразуется в дискретную
последовательность цифровых отсчетов в виде двоичных кодовых комбинаций, отображающих результаты
измерения мгновенных значений
х(кТ)
в моменты подачи синхронизирующих импульсов от генератора, задающего







;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
0
0
0
0
2































dtd
R
t
h
t
t
h
d
d
t
z
t
z
M
t
h
t
h
t
z
g
M
t
э
э
t
t
э
э
zz


2
2
)
0
(
)
(
x
xx
э
R
t
t
x
M










,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0





d
t
R
t
t
h
d
x
z
t
t
x
M
t
h
t
t
x
t
z
g
M
t
э
zx
э
t
э
э
э











)
(




zz
R
.
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
2
x
э
xz
э
t
t
t
zz
э
э
d
t
R
t
h
d
d
R
t
h
t
h



























2



частоту дискретизации. Цифровой процессор преобразу
ет поступающие в него числа в соответствии с заданным
алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел
y
(кТ)
. Причем в устройстве
памяти, входящем в состав процессора, может храниться некоторое число предшествующих отсчетов входн
ого и
выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки. Цифроаналоговый преобразователь
(ЦАП) в сочетании с аналоговым фильтром низких частот задействуется только в тех случаях, когда выходной
сигнал требуется получать в аналоговой
форме.
Теория линейной цифровой фильтрации [19] основана на теории линейных стационарных систем, согласно
которой входной сигнал преобразуется системой таким образом, что на ее выходе возникает колебание
y
(
t
)
, равное
свертке функций
х(
t
)
и импульсной хар
актеристики
h
(
t
):
.
(7.33)
Линейным цифровым фильтром называется дискретная система (физическое устройство или программа
ЭВМ), которая преображает последовательность
{
x
k
}
числовых отсчетов входного сигнала в последовательность
{
y
k
}
отсчетов выходного сигнала:
,
или сокращенно
.
Основным свойством линейного цифрового фильтра является преобразование суммы любого числа входных
сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из
соот
ветствий
следует, что
. (7.34)
Применительно к дискретным сигналам, преобразуемым цифровыми фильтрами, под импульсной
характеристикой понимается дискретный сигнал
{
h
k
}
, который является реакцией цифрового фильтра на
«единичный импульс» (рис.7.9):
.
(7.35)
Линейный цифровой фильтр стационарен, если при смещении единичного импульса на любое число
интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме.
Например:
(7.36)
Расс
мотренные свойства линейности и стационарности фильтра положены в основу алгоритма цифровой
фильтрации. На основании (7.34) и (7.36) при подаче на вход фильтра сигнала
{
x
k
}=(х
0
, х
1
, х
2
,…)
m
-
й отсчет
выходного сигнала
{
y
k
}
может быть выражен соотношением
(7.37)
Формула (7.37) является основной в теории линейной цифровой фильтрации. Согласно этому выражению
выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсн
ой характеристики фильтра. При
каждом отсчете цифровой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений



d
t
h
x
t
y






)
(
)
(
)
(
,...)
,
,
,
(
,...)
,
,
(
3
2
1
0
2
1
0
y
y
y
y
x
x
x





k
k
y
x









,...,
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
N
k
N
k
k
k
y
x
y
x








...
...
)
(
)
1
(
1
)
(
)
1
(
1
N
k
N
k
N
k
N
k
y
y
x
x













,...
,
,
,
,...
0
,
0
,
0
,
1
3
2
1
0
h
h
h
h









.
,...
,
,
0
,
0
,...
0
,
1
,
0
,
0
;
,...
,
,
,
0
,...
0
,
0
,
1
,
0
1
0
2
1
0
h
h
h
h
h












m
k
k
m
k
m
m
m
m
h
x
h
x
h
x
h
x
y
0
0
1
1
0
.
...
Рис. 7.9. Реакция цифрового фильтра на единичный входной импульс

входного сигнала. Роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики,
что предполагает обл
адание фильтром некоторой «памяти» по отношению к прошлым входным воздействиям.
Для физически реализуемых фильтров коэффициенты
h
-
1
,
h
–
2
,…
обращаются в нуль. Поэтому суммирование
по (7.37) распространяется только на положительные значения индекса
k
, т.е
.
m
=1, 2, …
Итак, в цифровом фильтре реализуется цифровое перемножение числовых значений дискретизированного
входного сигнала
{
x
k
}
на весовые коэффициенты
{
h
k
}
, равные соответствующим значениям заданной импульсной
характеристики фильтра. Перемножением
соответствующих весовых коэффициентов на текущие и все
k
-
1
предшествующие числовые значения сигнала
{
x
k
}
и суммированием получают числовое значение
дискретизированного входного сигнала
{
y
k
}
в данный момент времени.
Алгоритм
цифровой фильтрации представляют и в несколько иной форме, чем в формуле (7.37). Цифровой
фильтр рассматривается как цифровое устройство, реализующее в общем случае решение уравнения в конечных
разностях вида
,
(7.38)
где
х(
k
Т)
,
y
(
kT
)
,
k
=0,1,2, …
-
отсчеты входного и выходного сигналов, соответственно;
a
i
,
b
i
–
коэффициенты
фильтра.
Первое слагаемое в правой части (7.38) определяется действием обратной связи в структуре фильтра. Если
хотя бы один из коэффициентов
a
i

0
,
то фильтр, реализующий этот
алгоритм, называют
рекурсивным
. Если же все
коэффициенты
a
i
=0
, то получим
нерекурсивный
(трансверсальный) фильтр, реализующий алгоритм:
.
(7.39)
Передаточная функция
H(z)
цифровых фильтров определяется через
z
-
образы выходного
y
(
z
)
и входного
x
(
z
)
с
игналов (при нулевых начальных условиях):
.
(7.40)
Получают
z
-
образ применением преобразования Лапласа к дискретному сигналу, представленному
выражением
.
(7.41)
Применив преобразования Лапласа, получим:
.
(7.42)
Приняв
,
(7.43)
получим
z
-
образ:
.
(7.44)
Использовав формулы (7.38), (7.40), (7.44), получим выражение передаточной функции для рекурсивного
цифрового фильтра:
.
(7.45)
По формулам (7.39), (7
.40), (7.44) получим выражение передаточной функции для нерекурсивного фильтра:
.
(7.46)
Комплексные частотные коэффициенты передачи цифровых фильтров определяют из (7.45) и (7.46) при
условии
p=
j

:
; (7.47)














1
0
1
1
)
(
)
(
)
(
N
l
l
M
i
i
T
l
k
x
b
T
i
k
y
a
kT
y







1
0
)
(
)
(
N
l
l
T
l
k
x
b
kT
y
)
(
)
(
)
(
z
x
z
y
z
H






0
)
(
)
(
)
(
k
kT
t
kT
t










pkT
pt
e
kT
dt
e
t
p
F
)
(
)
(
)
(
0


z
e
pT







0
)
(
)
(
k
k
z
kT
z



























1
1
1
0
1
)
(
M
i
i
i
N
l
l
l
p
z
a
z
b
z
H





1
0
)
(
N
l
l
i
н
z
b
z
H


























1
1
1
0
1
)
(
M
i
Ti
j
i
N
l
Tl
j
l
T
j
p
e
a
e
b
e
K




.
(7.48)
Определив модули
и аргументы комплексов (7.47) и (7.48), можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ
соответствующих фильтров.
Импульсная характеристика (весовая функция)
h
(
k
Т)
цифровых фильтров связана с комплексным частотным
коэффициентом передачи преобразованием Фурье:
;
(7.49)
.
(7.50)
В настоящее время цифровые фильтры нашли широкое применение, так как позволяют реализовывать
сложные перестраиваемые алгоритмы обработки, что практически невозможно с помощью аналоговой техники.
Цифровые фильтры превосходят анал
оговые по точности обработки сигналов и другим характеристикам.
Недостатками цифровых фильтров являются более высокие, чем у аналоговых, сложность и стоимость, а
также наличие методических погрешностей, связанных с дискретизацией и квантованием сигналов.
Глава 8. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
АДАПТАЦИИ К МЕНЯЮЩИМСЯ УСЛОВИЯМ ИЗМЕРЕНИЙ
В главе 3 были подробно рассмотрены вопросы влияния различных внешних воздействий на точность измерений. К числу таких
воздействий относятся как помехи и возмущения
, так и изменяющиеся внешние условия проведения измерения.
Характер погрешности во многом определяется видом вызвавших его воздействий. Помехи и возмущения
вызывают случайные погрешности, в то время как изменяющиеся внешние условия (изменение температуры,
влажности, давления окружающей среды, изменения питающих напряжений, влияние внешних электрических и
магнитных полей) вызывают переменные систематические погрешности. Поскольку значения изменяющихся
внешних воздействий обычно неизвестны, то переменные сис
тематические погрешности проявляют себя как
случайные функции времени. В отличие от случайных погрешностей эти функции являются нестационарными
случайными функциями величин, сравнительно медленно изменяющихся во времени.
Соответственно характеру погрешнос
ти выбираются методы их уменьшения. При постоянстве значений
измерительной величины наиболее эффективным методом уменьшения случайной погрешности является усреднение
результатов многократных наблюдений. Уменьшение случайной погрешности, когда измеряемая ве
личина
изменяется во времени, добиваются с помощью сложных процедур фильтрации, выбором оптимального алгоритма
оценки результатов измерений.
Что касается переменных систематических погрешностей, то методы их уменьшения основаны на адаптации
измерительных
устройств к изменяющимся внешним условиям измерений с применением структурных способов
стабилизации, методов компенсации и коррекции погрешностей, чему и посвящается настоящая глава.
8.1 Структурные методы уменьшения влияния условий измерений на точность
измерительных устройств
В основе структурных методов уменьшения переменных систематических погрешностей лежит структурная или временная
избыточность, используемая для реализации принципа инвариантности [20] (многоканальности). Под инвариантностью поним
ают
компенсацию возмущений, т.е. достижение полной или частичной независимости результата измерений от дестабилизирующего фактора
. В
инвариантных системах помимо основного канала ОК преобразования создается второй канал (рис. 8.1)
–
вспомогательный (ВК).
а) б)
Рис. 8.1. Структуры инвариантных измерительных устройств:
а
-
измерительный сигнал и помеха на входе обоих каналов преобразования;
б
-
измерительный сигнал на входе одного канала преобразования





1
0
)
(
N
l
Tl
j
l
T
j
н
e
b
e
K










d
e
e
K
T
kT
h
T
T
T
jk
T
j



2
)
(





0
)
(
)
(
k
T
jk
T
j
e
kT
h
e
K


ОК
ВК
ВУ
y
1
y
2
x

y(x)
ОК
ВК
ВУ
x

y(x)

Отличие структуры инвариантной системы, построенной по схеме рис. 8.1,
а
от схемы по рис. 8.1,
б
сводится
к тому, что в первом случае измеряемая величина
x
подводится к входу обоих каналов, во в
тором
-
только к входу
основного канала. Возмущения

действуют на входы обоих каналов с соответствующими коэффициентами
преобразования
K
1
и
K
2
.
Для инвариантной системы по схеме рис.8.1,
а
функции преобразования каналов
y
1
=
F
1
(
x
,

)
;
y
2
=
F
2
(
x
,

)
;
вычислите
льного устройства (ВУ)
–
y
=
F
(
y
1
,
y
2
)=
y
(х)
.
Для системы по схеме рис.8.1,
б
:
y
1
=F
1
(x,

)
;
y
2
=F
2
(

)
;
y=F (y
1
, y
2
)=y
(х)
соответственно.
Если в системе по рис.8.1,
а
добиться равенства функций преобразования с коэффициентами передачи
K
1
=
K
2
=
K
по дестабилизирующему сигналу обоих каналов и инвертирования полезного сигнала во втором канале, то
при условии линейности функции преобразования на выходе вычислительного устройства, работающего как
сумматор, получим для первого варианта
y
=
F
1
(
x
,

)+
F
2
(
x
,

)=
K
1
(
x
+

)+
K
2
(
x
-

)=(
K
1
+
K
2
)
x
=2
Kx
.
Для второго варианта (рис. 8.1,
б
)
y
=
F
1
(
x
,

)+
F
2
(

)=
K
1
(
x
+

)+(
-
K
2

)=
K
1
x
=
Kx
.
В обоих случаях влияние дестабилизирующего фактора отсутствует, а в первом
-
чувствительность к
полезному сигналу удваивается.
Если функции преобразования каналов нелинейны, то используют вычислительные
устройства, производящие операции по более сложным алгоритмам.
Инвариантные системы могут иметь замкнутую структуру уравновешивающего действия, наиболее часто с
отрицательной обрат
ной связью.
Метод с отрицательной обратной связью
является универсальным по отношению к различным видам
дестабилизирующих факторов, так как уменьшается суммарный эффект их действия.
На рис. 8.2 показана структурная схема измерительной системы с обратной с
вязью. Система имеет два
канала преобразования: канал прямого преобразования КПП с коэффициентом передачи
K
пп
и канал обратного
преобразования КОП с коэффициентом передачи
K
оп
. Каждый из каналов может реализоваться как о
дним
(элементарным) преобразователем, так и сложным (в виде цепи преобразователей). Физическая величина на выходе
КОП
x
ос
должна быть однородна с измеряемой величиной
x
.
Рис. 8.2 Структурная схема измерительной системы
с отрицательной обратной связью
Если функции преобразования каналов линейны, т.е.
y
=
K
пп
x
;
x
ос
=
K
оп
y
,
то при выборе обоих каналов в системе на входе канала прямого преобразования будет разностный сигнал

p
=
x
-
x
ос
и
y
=
K
пп

p
Определим коэффициент передачи системы с отрицательной обратной св
язью:
,
откуда
.
(8.1)
Функция преобразования системы
.
(8.2)
Как видно, добавление канала отрицательной обратной связи привело к уменьшению чувствительности в
1+
K
пп
K
оп
раз.
Если принять
K
пп
K
оп
>>1
(глубокая обратная связь), то получим
оп
ос
пп
ос
пп
ос
K
K
K
x
x
x
K
x
y
K





)
(
оп
пп
пп
ос
K
K
K
K


1
x
K
K
K
x
K
y
оп
пп
пп
ос



1

.
Это означает, что коэффициент передачи системы зависит только от коэффициента передачи канала
обратного преобразования и не зависит от
чувствительности
канала прямого преобразования, и, следовательно,
система становится
нечувствительной к дестабилизирующим факторам, действующим на канал прямого
преобразования.
Нестабильность в виде отклонения коэффициента передачи от номинальных значений вызывает
мультипликативные погрешности
. (8.3)
Разделив обе части н
а
y
, получим относительную погрешность
,
(8.4)
где
;
;
-
относительные погрешности системы с отрицательной обратной
связью.
Погрешности

K
пп
и

K
оп
являются мультипликативными.
Уравнение (8.4) дает возможность количественно оценить влияние от
рицательной обратной связи на
повышение стабильности системы к внешним факторам. Исходная мультипликативная погрешность

K
пп
уменьшается в
(1+
K
пп
K
оп
)
раз, но добавляется погрешность

K
оп
, создаваемая каналом обратного преобразования.
При
K
пп
K
оп
>>1
получим

y


оп
. Это означает, что мультипликативную погрешность системы можно считать равной
погрешности канала обратного преобразования. Поэтому метод применим, если имеется возможность выполнить
высокоточный канал (чаще
-
это один преобразователь) отрицательной
обратной связи.
Абсолютная аддитивная погрешность, связанная с параллельным смещением статической характеристики
системы (из
-
за наличия порога срабатывания, дрейфа нуля и пр.), с введением отрицательной обратной связи
практически не уменьшается, так как с
нижение коэффициента передачи системы в
(1+
K
пп
K
оп
)
раз уменьшает не
только погрешность, но и значение выходной величины.
При введении отрицательной обратной связи предполагается, что этим осуществляется статическое
регулирование относительно влияющих вели
чин. Этот процесс характеризуется коэффициентом статизма
.
(8.5)
Уменьшение
K
с
неравномерно увеличивает стабильность системы. Наибольший эффект достигается при
соотношении
(1
-
K
с
)

K
пп
/
K
с
K
пп

3…5.
Дальнейшее уменьшение
K
с
незначительно уменьшает
нестабильность системы, но ухудшает ее устойчивость как
системы авторегулирования.
Расчет частотного коэффициента передачи (амплитудно
-
фазовой характеристики) системы с отрицательной обратной связью
приводит к выражению, аналогичному (8.1), но в частотно
-
комплексном представлении:
,
(8.6)
где
K
пп
(
j

)
,
K
оп
(
j

)
-
соответствующие частотные коэффициенты прямого канала и канала обратной связи.
При
K
пп
(
j

)>1
можно получить приближенно
;
.
Это означает, что введение
отрицательной обратной связи подавляет изменение параметров прямого
канала преобразований в диапазоне частот, полностью определяемом частотой пропускания канала отрицательной
обратной связи. Анализ выражения (8.6) показывает также, что отрицательная обратн
ая связь уменьшает
нестабильность амплитудно
-
фазовой характеристики и влияние фазового сдвига.
К недостаткам метода отрицательной обратной связи следует отнести: необходимость избыточности канала
прямого преобразования по чувствительности; возможность пот
ери устойчивости системы при большом усилении в
каналах; невозможность одновременного увеличения стабильности и расширения полосы частот.
Метод вспомогательных измерений
заключается в том, что с помощью вспомогательных измерительных
устройств ВИУ
1
…ВИУ
n
(р
ис.8.3) измеряются возмущающие воздействия

1
,
…
,

n
и производится расчет погрешности
измерения по известной для основного средства измерений зависимости

y
=
F
(

1
,

2
…

n
)
.
(8.7)
оп
ос
K
K
1





.
1
1
2
2
2
оп
оп
пп
пп
пп
оп
пп
оп
оп
пп
пп
K
K
K
x
K
K
K
K
x
K
дK
дy
K
дK
дy
y
















оп
пп
оп
пп
оп
пп
пп
K
K
K
K
K
K
K
K
y




1
/
1



y
y
y



пп
пп
пп
K
K
K



оп
оп
оп
K
K
K



оп
пп
с
K
K
K


1
1








)
(
)
(
1







j
K
j
K
j
K
e
j
K
j
K
оп
пп
пп
j
ос
ос










j
K
j
K
оп
ос
1









оп
oc
tg
tg


Выходные сигналы ВИУ
1
…ВИУ
n
поступают на вычислительное устройство ВУ, которое вычисляет поправки

y
п
, необходимые для коррекции погрешности, согласно (8.7) и записанным в его память номинальным значением
возмущающих факторов. В дальнейшем сигнал поправки

y
п
используется для коррекц
ии выходного сигнала
y
основного средства измерений ОСИ.
Рис. 8.3. Структурная схема реализации метода вспомогательных измерений
Как видно на схеме (рис.8.3), на вычислительное устройство поступают сигналы, несущие информацию как
о возмущениях

1
,
…
,

l
, п
оступающих на вход основного средства измерений вместе с полезным сигналом, так и о
факторах

l
+1
,
…
,

n
,
характеризующих воздействие внешних условий измерения. Причем измерение и коррекция
проводятся одновременно и непрерывно по различным каналам, благодаря чему рабочий диапазон частот
корректируемого прибора не зависит от характеристик системы коррекции. Данное обстоятельство является
основным достоинством метода.
К недостаткам метода след
ует отнести следующие: необходимость отдельного вспомогательного
измерительного устройства для каждого фактора; возможность снижения влияния только легко учитываемых
дестабилизирующих факторов и только при известной, независимой от времени зависимости погр
ешности СИ от этих
факторов. Поэтому данный метод адаптации СИ к внешним условиям измерений применяется редко.
Итерационные методы
[21,22] характеризуются тем, что в процессе измерения одного и того же значения
измеряемой величины результат уточняется нес
колько раз и, в конечном счете, получается путем последовательных
приближений. Метод требует избыточности средства измерений по быстродействию, а для своей реализации
-
структурной избыточности. Возможны реализации метода путем поочередного выполнения необ
ходимых операций
либо параллельным выполнением операций структурированной совокупностью дополнительных устройств. В первом
случае выполняется временное разделение каналов, во втором
-
пространственное.
Рассмотрим метод итерации с временным разделением (р
ис.8.4).
Рис. 8.4. Структурная схема реализации итерационного метода
уменьшения погрешностей измерения (временное разделение)
С помощью средства измерений СИ при положении 1 переключателя П производится измерение входной
величины, при положении 2
-
и
змерение выходного сигнала
x
оп
точного обратного преобразователя ОП.
Вычислительное устройство ВУ служит для запоминания результатов промежуточных измерений, для вычисления
поправок и коррекции результатов. Обратный преобразователь ОП должен иметь линейную
функцию
преобразования
x
оп
=
K
оп
y
при обязательном соблюдении условия
,
где
K
оп
,
K
си
-
коэффициенты передачи (номинальные значения) обратного преобразователя и средства измерений
соответственно.
Итерационный
алгоритм коррекции носит циклический характер и повторяется до достижения необходимой
точности. Цикл начинается с измерения входной величины
x
(положение 1 переключателя П) и записи результата в
память ВУ. Затем, после перевода переключателя П в положение
2, хранящийся в памяти сигнал поступает на вход
обратного преобразователя, преобразуется в сигнал
x
оп
, измеряемый средствами измерений. Результат измерения
поступает в ВУ, которое сравнивает его с результатом, записанным ранее в память, вычисляет значение
поправки.
Затем вновь измеряется
x
(П в положении 1) и в результат измерения вносится вычисленная поправка. Начинается
новый цикл итерации. Итерационная процедура продолжается до достижения необходимой точности.
си
оп
K
K
1


Рассмотрим, как проводится итерация, если ф
ункция преобразования имеет вид
y
=
K
си
(1+

)
x
+

,
(8.8)
где

-
относительная мультипликативная погрешность;

-
абсолютная аддитивная погрешность.
Результат первого измерения
y
0
=
K
си
(1+

)
x
+

.
(8.9)
Результат первого обратного преобразования
.
(8.10)
После измерения сигнала
x
оп1
на выходе ОП
y
1
=
K
си
x
оп1
+

+
K
си

x
оп1
=
K
си
x
(1+2

+

2
)(2+

)

.
(8.11)
Вычисления и запоминание в ВУ

y
1
=
y
1
-
y
0
=

+K
си

x+

(

+K
си

x).
(8.12)
После перевода
П
в положение 1результат измерения
x
y
2
=
K
си
x
+

+
K
си

x
(8.13)
(предполагаем, что за время итераций

=
const
,
K
си

=
const
).
В результат измерения вводится первая поправка (первая итерация):
y
3
=
K
си
x
+

+
K
си

x
-

y
1
=
K
си
x
-

(

+
K
си

x
)
.
(8.14)
Далее повторяется итерационная процедура.
Результат преобразования
y
3
.
(8.15)
Результат измерения
x
оп2
:
. (8.16)
Вычисление поправки

y
2
и запоминание:
.
(8.17)
Новое измерение
x
и внесение второй поправки (вторая итерация):
.
(8.18)
Поскольку

<1
,
то процесс итерации сходится. После
n
итераций получим результат:
.
(8.19)
При

<1
, следовательно,
.
Практически полной коррекции погрешности измерения добиться невозможно, так как будут оказывать
влияние неточности средств, задействованных в итерационной процедуре.
Основным достоинст
вом итерационных методов является кор
ректирование общей погрешности СИ
независимо от вызвавших ее причин.
Недостатки: ограниченная область применения из
-
за необходимости использования достаточно точного
обратного преобразователя; необходимость оценки и уч
ета погрешности дискретизации, связанной с периодическим
отключением измеряемой величины.
При реализации итерационных методов с пространственным разделением каналов отключение измеряемой
величины не требуется. На рис. 8.5 представлена структурная схема та
кой системы итеративной коррекции. В состав
системы входит несколько одинаковых прямых (ПП) и обратных образцовых (ОП) преобразователей.
Преобразования, реализуемые системой:
и т.д.


x
K
K
x
x
си
си
оп






1
1
)
(
1
3
1
2


си
си
си
оп
K
K
x
y
K
x











x
K
x
K
x
K
x
K
y
си
си
си
си
и














2


x
K
x
K
y
y
y
си
си











2
3
4
2


x
K
x
K
y
y
y
си
си









2
2
4
5




x
K
x
K
y
си
n
си
n









0
lim




n
n

x
K
y
си
n

;
;
1
1
1
1
y
K
x
x
K
x
K
y
пп
пп
пп









;
1
1
1
x
K
K
x
x
x
пп
пп










;
1
1
2
x
K
K
x
K
x
K
y
пп
пп
пп
пп


















;
1
2
1
2
x
K
x
K
y
y
y
пп
пп













;
1
;
2
1
2
2
2
1
2
x
K
x
x
x
y
K
x
пп
пп















;
1
2
2
2
2
3














пп
пп
пп
K
x
K
x
K
y


;
1
3
2
3
2
3
x
K
x
K
y
y
y
пп
пп













Рис. 8.5. Структурная схема
реализации метода итеративной коррекции
погрешностей с пространственным разделением каналов
Поскольку

<<1
, то
y
n

K
пп
x
+

.
Это означает, что мультипликативная погрешность скорректирована
полностью, но
остается аддитивная погрешность последнего преобразователя.
Методы образцовых мер
(сигналов) основаны на определении в процессе цикла измерений реальных
значений параметров функции преобразования средства измерений путем отключения от входа СИ измеряемой
величины и подключения образцовых мер.
Метод предполагает, что функция преобразования средства измерений с достаточной точностью
описывается полиномом порядка
n
-
1
.
,
(8.20)
где
d
i
–
коэффициенты функции преобразования средства измерений.
С
труктурная схема измерительной системы, реализующей данный метод, показана на рис. 8.6.
Рис. 8.6. Структурная схема измерительной системы
с образцовыми сигналами
В состав системы кроме средства измерений СИ входит набор мер М
1
,…,М
n
, коммутатор К,
вычи
слительное устройство ВУ.
Процедура измерения состоит из
n
+
1
такта. В первом такте коммутатор подключает к входу СИ измеряемую
величину
x
. Во втором и последующих
n
тактах коммутатор последовательно подключает к входу СИ меры М
1
,
М
2
,…,М
n
с выходными обра
зцовыми сигналами
x
01
,
x
02
,…,
x
0
n
. Полученные результаты измерений
y
01
,
y
02
,…,
y
0
n
поступают в ВУ, в памяти которого записана статическая характеристика СИ, в виде (8.20). Таким образом,
формируется система из
n
уравнений:
(8.21)
Решая (8.21), ВУ
вычисляет параметры
d
1
,
d
2
,…,
d
i
, значения которых подставляются в первое уравнение.
Если СИ имеет линейную функцию преобразования, то система (8.21) будет состоять из трех уравнений:




n
i
i
i
x
d
y
1
1

























n
i
i
n
i
n
n
i
i
i
n
i
i
i
x
d
y
x
d
y
x
d
y
1
1
0
1
1
01
1
1
1
0
;
.
.
.
.
.
.
.
.
;
;
M
n
K
M
1
x
0n
x
01
x
...
СИ
ВУ
y

(8.22)
Решение системы (8.22) относительно
x
имеет вид
.
(8.23)
Как видно из (8.23), вычисленное значение
x
и, следовательно, результат измерения не зависят от
изменений функции преобразования средства измерений, связанных с изменением коэффициентов
d
i
под действием
влияющих факторов.
Метод уменьшает как мультипликат
ивную, так и аддитивную составляющие погрешности измерения. Метод
применим и при нелинейной функции преобразования средства измерений. В этом случае прибегают к кусочно
-
линейной ее аппроксимации, при которой связь между выходной и входной величинами выража
ется в виде
(8.24)
где
m
–
число линейных участков, которыми может быть с требуемой точностью аппроксимирована функция
преобразования средства измерений.
Вычисление
x
производится также по результатам трех измерений:
,
(8.25)
где
x
0
i
,
x
0
i
+
1
–
образцовые сигналы соответствующих мер, выбираемые в
зависимости от первого измерения так, как
это показано на рис.8.7.
Рис. 8.7. Выбор образцовых сигналов
при кусочно
-
линейной аппроксимации
нелинейной функции преобразования СИ
К недостаткам ме
тода образцовых мер следует отнести частые переключения входных сигналов при
измерениях, а также необходимость использования большого количества образцовых мер.
Тестовые методы
[23] основаны на получении в процессе измерительного цикла информации не тольк
о об
измеряемой величине, но и о параметрах функции преобразования средства измерений в момент измерения.
Тестовые методы так же, как и метод образцовых сигналов, предполагает, что функция преобразования
описывается полиномом порядка
n
-
1
(8.20), содержащи
м
n
параметров
d
i
. Общим между этими методами является
то, что цикл измерений состоит из
n
+1
тактов и в первом такте измеряется величина
x
.
В отличие от метода образцовых сигналов, при последующих тактах измерения используются тесты
A
1
(
x
),
A
2
(
x
),…,
A
n
(
x
),
каждый из которых является некоторой функцией измеряемой величины
x
.
Чаще всего используются аддитивные тесты в виде суммы
A
j
(
x
)=
x
+

j
, где

j
–
образцовая величина,
физически однородная с измеряемой, совместно с мультипликативными тестами,
формируемыми в виде
произведения
A
j
(x)=K
j
x
, где
K
j
–
известный коэффициент передачи. Тесты третьего вида
–
функциональные
–
используется сравнительно редко.
Искомые значения
x
и значения параметров
d
1
,
d
2
,…
,
d
n
получаются решением системы уравнений:











.
;
;
03
2
1
2
01
2
1
1
2
1
0
x
d
d
y
x
d
d
y
x
d
d
y






1
2
1
0
01
02
01
y
y
y
y
x
x
x
x





,
,...
2
,
1
;
2
1
m
j
x
d
d
y
j
j





1
2
1
0
0
1
0
0
y
y
y
y
x
x
x
x
i
i
i







(8.26)
Структурная схема одного из вариантов реализации тестового метода показана на рис.8.8. В состав
используемых средств помимо средства измерений и вычислительного устройства ВУ входят блоки формирования
БАТ и БМТ аддитивного и мультипликативного те
стов и коммутирующие ключи Кл
1
, Кл
2
, Кл
3
, с помощью которых
осуществляются такты процесса измерения. На первом такте при разомкнутых ключах Кл
1
, Кл
3
и замкнутом Кл
2
на
СИ подается непосредственно входная величина
x
. Во втором такте замыкается ключ Кл
1
и на
вход СИ подается
аддитивный тест
x+

. В третьем такте ключ Кл
2
размыкается, а ключ Кл
3
замыкается и на вход СИ подается
мультипликативный тест
kx
.
Рис. 8.8. Структурная схема реализации тестового метода
Если функция преобразования СИ нелинейная (рис.8.9) и используется ее кусочно
-
линейная аппроксимация,
то результаты тактовых измерений представляются в виде системы
(8.27)
и запоминаются вычислительным устройством. Решив эту систему относительно
x
по ф
ормуле
(8.28)
вычислительное устройство выдает результат измерения. Границы
j
-
го интервала аппроксимации соответствуют
значениям
kx
и
x
+

. При изменении
x
соответствующее смещение границ
означает переход на новый интервал

































n
i
i
n
i
n
n
i
i
i
n
i
i
i
x
A
d
y
x
A
d
y
x
d
y
1
1
1
1
1
1
1
1
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
;
















kx
d
d
y
x
d
d
y
x
d
d
y
j
j
j
j
j
j
2
1
2
2
1
1
2
1
0
;
;







,
1
0
1
1
2
y
y
k
y
y
x





Рис.8.9. Функция преобразования СИ

аппроксимации. Таким образом, для реализации метода необходимо получение точных и стабильных

и
k
.
Технически это легче достижимо для

,
чем для
k
.
Эта
проблема может быть решена некоторым изменением структуры (рис. 8.10) и алгоритма работы
корректирующей системы соединением входа БМТ с выходом БАТ и введением одного дополнительного такта
измерения.
Рис. 8.10. Система коррекции погрешностей тестовы
м методом
Первые три такта измерений проходят так же, как при использовании системы, изображенной на рис. 8.8. В
четвертом такте ключ Кл
2
разомкнут, а ключи Кл
1
и Кл
3
замкнуты. При этом входной величиной СИ является тест
k
(
x
+

)
, а результат измерения
.
(8.29)
Тогда в результате совместного решения (8.27) и (8.29) получается
,
(8.30)
и, следовательно, коэффициент
k
не влияет на результат измерения.
По сравнению с методом образцовых сигналов, тестовые методы обладают существенными
пр
еимуществами. Это отсутствие необходимости в процессе измерения отключать измеряемую величину от входа СИ
и использовать большое количество образцовых величин, даже при существенной нелинейности функции
преобразования средства измерения.
8.2. Методы экранирования, компенсации погрешностей
и коррекции характеристик измерительных устройств
Наряду с рассмотренными выше структурными методами адаптации измерительных устройств к меняющимся
условиям измерений применяются: конструктивные методы
, методы компенсации погрешности, а также методы,
основанные на коррекции характеристик средства измерений. Во всех случаях прежде всего следует установить,






x
k
d
d
y
j
j
2
1
3








0
2
1
3
0
2
y
y
y
y
y
y
x







являются ли помехи и возмущения аддитивными или мультипликативными, а также
возможность воздействия
на
помехи до входа их в измерительную систему.
Конструктивные методы
стабилизации чаще всего основаны на
принципе экранирования
помех и
возмущений.
Экранирование уменьшает или подавляет сигналы как аддитивных, так и мультипликативных помех,
проникающие в
измерительную систему, и применяется тогда, когда можно воздействовать на помеху до ее входа в
измерительную систему. Методы экранирования неэффективны для тех помех, которые успели уже наложиться на
измерительный сигнал в измерительном устройстве вне зоны
их экранирования, а также для некоторых помех,
генерируемых самой измерительной системой (шумы и т.п.)
Примером применения принципа экранирования являются два способа уменьшения влияния температуры на
средство измерений или его составные части. Первый спо
соб
–
термостатирование, другой способ состоит в нагреве
экранируемого элемента средство измерений до такой температуры, что колебания температуры окружающей среды
не оказывают заметного влияния на результат измерения.
Компенсационные методы
адаптации сред
ства измерений к изменяющимся условиям измерений основаны
на принципе компенсации погрешностей, согласно которому, в отличие от способа экранирования, возмущающее
воздействие

не ослабляется, но уменьшается его влияние на точность измерений.
Наиболее широко применяется метод компенсации погрешностей способом составных параметров с
использованием компенсирующего преобразователя с полной или неполной компенсацией. Метод предполагает
встраивание в средство измерений некоторого дополнительного эле
мента, который, реагируя на влияющую
величину, изменяет статическую характеристику средства измерений, частично или полностью компенсируя
погрешность


, вызванную изменением параметров основного элемента. Считается, что изменение функции
преобразования ка
к бы вызывает появление погрешности

k
(

)
, коррелированной с погрешностью


, но обратной
ей по знаку.
Поскольку в общем случае возмущающее воздействие является случайной величиной, то погрешность
преобразования


является случайной погрешностью с математ
ическим ожиданием
M
[


]
, дисперсией
D
|


| и с
плотностью распределения, близкой к плотности распределения погрешности

k
(

)
.
Остаточная погрешность после компенсации
(8.31)
С учетом корреляционной связи погрешностей дисперсия остаточной погрешности


).
(
0



k






, (8.32)
где

k
–
коэффициент корреляции погрешностей.
Продифференцируем (8.32) по переменной
D
[

k
(

)]
и, приравняв к нулю полученное значение производной,
получим оптимальное значение:
.
(8.33)
С учетом
(8.33) можно записать минимальное значение остаточной погрешности:
. (8.34)
При параметрической компенсации добиваются, чтобы

k
=1
(что соответствует детерминированной связи),
и тогда
.
(8.35)
Соблюдение условия (8.35) зависит от возможно
сти подбора одинаковых параметров влияния основного и
компенсирующего элементов во всем диапазоне влияющих величин. Практически этого добиться невозможно,
особенно когда метод применяется для компенсации динамической составляющей погрешности. Тем не менее,
этот
метод во многих случаях дает удовлетворительные результаты. В качестве примера его применения можно назвать
компенсацию температурных погрешностей тензорезистивных преобразователей при включении в соседние плечи
моста основного и термокомпенсирующего
тензодатчиков; температурную стабилизацию электронных усилителей,
температурную компенсацию магнитоэлектрических приборов и пр.
Метод калибровки
–
метод уменьшения погрешностей средства измерений, вызванных возмущающими
воздействиями, путем коррекции пар
аметров СИ по результатам дополнительных измерений образцовых сигналов.
На рис.8.11 показаны возможные структурные схемы реализации метода.






















k
k
k
D
D
D
D
D








2
0












D
D
k
опт
k
2



























D
D
D
D
k
опт
k
2
min
0
0
1




0
min
0
0



D

Рис. 8.11. Схемы реализации метода калибровки:
а
–
с образцовым
источником сигналов,
б
–
с образцовым делителем напряжения; СИ
–
средство измерений; УУ
–
устройство управления; УС
–
устройство
сравнения; В
–
вычитатель; И
О
–
источник образцового сигнала
Калибровка с образцовым источником сигналов (см.рис.8.10,
а
) проводится при поло
жении 2
переключателей П
1
и П
2
. Учитывая, что на вход СИ при этом сигнал не поступает (
x
=0
), то функцию преобразования
СИ можно записать в виде
,
(8.36)
где
K
–
статический коэффициент передачи СИ;

-
аддитивная погрешность;

k
–
мультипликативная
погрешность.
При поступлении сигнала
y
=

устройство управления, воздействуя на СИ, изменяет его параметры, устраняя
погрешность. Формула функции преобразования после этого будет иметь вид
y
=К
x
(1+

k
).
(8.37)
Затем от источника образцового сигнала н
а вход СИ подается сигнал
x
0

0
, а на УС
–
сигнал
y
0
,
соответствующий этому
x
0
в идеальном СИ. С выхода СИ на устройство сравнения также поступает выходной сигнал
СИ, который для данного случая имеет вид
y
=К
x
0
(1+

к
).
(8.38)
При
y

y
0
устройство управления регулирует (автоматически или вручную) коэффициент передачи СИ до
величины
К

=К(1
-

к
)
(8.39)
путем установления на выходе СИ сигнала, равного
y
0
.
Измерение величины
x
производится в положении 1 переключателей П
1
и П
2
. Выходной сигнал
y
=К(1
-

к
)
x
+К

k
x
=К
x
,
(8.40)
т.е. благодаря калибровке мультипликативная погрешность устраняется полностью. В реальных условиях из
-
за
погрешностей блоков, задействованных при калибровке, небольшие аддитивные и мультипликативны
е погрешности
остаются нескомпенсированными.
На рис. 8.11,
б
показана схема реализации метода калибровки с образцовым делителем напряжения,
используемая в тех случаях, когда входным и выходным сигналом СИ является напряжение. Калибровку проводят
при положе
нии 2 переключателя П
1
. Переводя П
2
сначала в положение 2, а затем в положение 1, регулируют
коэффициент передачи
СИ, добываясь равенства показаний вольтметра при обоих положениях П
2
.
0
0
k
K
K
y







Метод
калибровки эффективен при измерениях сравнительно медленно изменяющихся величин. Увеличение
быстродействия сопровождается снижением требований к стабильности параметров элементов преобразования.
Метод аддитивной коррекции
осуществляется путем смещения фун
кции преобразования с использованием
для выявления погрешности образцового обратного преобразователя ОП (рис. 8.12).
Рис.8.12. Структурная схема реализации
метода аддитивной коррекции
В результате вычитания двух сигналов: измеряемого
х
и сигнала
x
оп
,
полученного на выходе ОП, выделяется
сигнал погрешности

x
, который с помощью вспомогательного канала ВК усиливается и используется для введения
поправки.
Обратный образцовый преобразователь должен иметь характеристику преобразования вида
,
(8.41)
г
де
К
си
–
номинальный коэффициент передачи СИ.
Если статическая характеристика СИ имеет вид
y
1
=К
си
x
+

+ К
си

k
x
,
(8.42)
то
(8.43)
Если статические характеристики вспомогательного канала и средства измерений одинаковые, то для
вспомогатель
ного канала функцию преобразования запишем в виде
.
(8.44)
После подстановки в (8.44) значения

x
из (8.43) получим
(8.45)
Если обеспечить
К
вк
=К
си
и малую аддитивную погрешность


вспомогательного канала, то получим
y
=К
си
x
(1
-

k


k
)
-


k

.
(8.46)
Ввиду малости

k


k
и


k

можно считать
y

К
си
x
,
т.е. осуществляется полная коррекция.
Мультипликативная коррекция
-
осуществляется путем выделения погрешности средства измерения и
регулирования коэффициента передачи СИ с целью минимизации этой погрешности. Схема реализации метода
показана на рис. 8.13.
1
1
y
K
x
си
оп




.
,
1
x
K
x
x
x
x
K
x
x
K
x
K
K
x
k
си
оп
k
си
k
си
си
си
оп



















x
K
x
K
y
k
вк
вк








2
.
1
1
2
1
си
k
вк
си
вк
k
k
вк
си
вк
k
си
си
K
K
К
K
K
K
K
K
K
x
y
y
y














































Рис. 8.13. Структурная схема СИ
с мультипликативной коррекцией
Как и в предыдущем случае, должно обеспечиваться условие
.
Обозначим
Кz
–
изменение коэффициента передачи СИ под действием сигнала
z
, тогда функцию
преобразования СИ можно записать в виде
y
=(К
си
+К
z
)
x
+

.
(8.47)
Сигнал на выходе вспомогательного канала ВК
, (8.48)
где
К
си
,
К
вк
–
соответственные номинальные значения коэффициентов передачи средства измерений и
вспомогательного канала;


и


-
аддитивная и относительная мультипликативная погрешности ВК.
Используя выражения (8.47) и (8.48), получим погрешность на выходе системы
.
Поскольку
, можно получить соотношение
.
(8.49)
Как видно, с увеличением коэффициента передачи вспомогательного канала ВК погрешность системы после
корректирования параметров СИ уменьшается и при
К
вк



y
=0
.
Погрешность

y
зависит и от значения
x
. Это следует учитывать, определяя оптимальные параметры
системы для различных значений
x
на всем диапазоне изменения входной величины.
Вопросы для самопроверки
1. В чём сущность принципа инвариантности, используемого в структурных методах
уменьшен
ия влияния условий измерений на точность измерительных устройств?
2. В чём сущность и каковы принципы, структурное решение и алгоритм реализации метода
обратной связи, используемого для уменьшения влияния внешних дестабилизирующих факторов?
3. В чём сущнос
ть и каковы структурные решения и алгоритмы реализации метода
вспомогательных измерений, используемого для уменьшения погрешностей, связанных с изменением
условий измерений?
4. В чём сущность, каковы структурные решения и алгоритм реализации итерационных м
етодов
коррекции погрешностей измерительных устройств?
5. В чём сущность и каковы структурные решения и алгоритмы процедуры измерения при
использовании метода образцовых мер (сигналов) для коррекции погрешностей?
6. На чём основаны и каковы структуры и алг
оритмы реализации тестовых методов коррекции
погрешностей?
7. В чём сущность компенсационных методов адаптации измерительных устройств к
изменяющимся внешним условиям?
Глава 9. ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ
ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
;
1
y
K
x
си
оп


y
K
x
x
x
x
си
оп
1










y
K
x
K
y
K
x
K
x
K
x
K
z
си
k
вк
си
вк
k
вк
вк
1
1


























x
K
x
K
KK
K
K
x
KK
x
K
y
y
си
к
вк
си
си
к
вк
си



















1
1
1
1
2


1
1
1




x
K
K
KK
вк
си



x
K
K
K
K
K
y
си
вк
си









Как и любой другой
эксперимент, измерения должны осуществляться с наибольшей эффективностью при
минимальных затратах материальных средств и времени. Этого можно добиться только при условии внимательного
подхода к подготовке и организации проведения измерительного эксперимент
а. Предопределяющее влияние на
решение возникающих при этом вопросов оказывает цель измерений, которая, в свою очередь, определяется
целями и задачами исследований, испытаний и пр., важной составной частью которых являются измерения
физических величин. В п
роцессе подготовки должны быть определены требования к точности измерений, составу и
характеристикам привлекаемых технических средств, а также методы, общие и частные методики измерений. Все
эти вопросы прорабатываются с точки зрения наибольшей эффективнос
ти измерений с привлечением теории
планирования эксперимента [24,25]. Результаты проработки составляют содержание
программы измерений
.
9.1.
Основные этапы подготовки измерительного
эксперимента
Первым прорабатывается вопрос о
предварительной
модели объекта
. При этом должна привлекаться вся
имеющаяся в распоряжении информация. Если, например, объектом измерения является сигнал в виде изменения
физической величины во времени, то нужно учитывать сведения не только о диапазоне возм
ожных значений
величины, но и о форме кривой, частоте, о других неинформативных параметрах. Должна использоваться
имеющаяся априорная информация о статистических характеристиках объекта измерения. В случае, если возникает
сомнение в адекватности выбранной
модели, то следует провести предварительно дополнительные измерения и
уточнить модель либо выбрать средство измерения, не реагирующее на отклонения одного или нескольких
неинформативных параметров объекта измерения.
При определении модели объекта возм
ожны варианты. Выбор того или другого из них определяется целью,
задачами и условиями измерений. Если, например, измеряется высокочастотный сигнал, то следует принимать во
внимание поверхностный эффект, собственную индуктивность и емкость элементов и пр. П
равильный выбор модели
позволит адекватно оценить результаты измерений и получить необходимую точность.
Следующий этап подготовки
-
обоснование необходимой точности эксперимента
. Проработка этого вопроса
должна вестись с учетом поставленной цели измерений
при ряде ограничений, связанных с техническими
возможностями, материальными и временными затратами и пр. Не следует стремиться к получению результата с
максимальной возможной точностью, к получению "запаса" по точности. Точность измерений должна
соответств
овать их основной цели. Избыточность по точности ведет к необоснованному усложнению и удорожанию
эксперимента.
Точность эксперимента во многом определяется выбором метода, средств и условиями измерений. Задача
решается перебором возможных вариантов состава
и степени влияния составляющих суммарной погрешности,
которая должна не превышать заданного значения. Принимается вариант, в наибольшей степени удовлетворяющий
требованиям удобства, простоты при соблюдении необходимой точности.
Важным этапом подготовки из
мерительного эксперимента является разработка
методики проведения
эксперимента
, под которой понимается совокупность действий с использованием различных способов и средств,
обеспечивающих измерения с необходимой точностью. В число средств, задействуемых сог
ласно методике, входят
не только средства измерений, но и вычислительные и различные вспомогательные средства. Особое место при
разработке методики занимает выбор вида измерений: прямых, косвенных, совместных или совокупных, а также
метода измерений: непос
редственной оценки, сравнения с мерой и т.д. Решается также вопрос, производится ли
одно
-
или многократные измерения.
В результате данного этапа подготовки эксперимента разрабатывается схема измерений, план проведения
эксперимента (вопрос составления оптим
ального плана на основе теории планирования эксперимента
рассматривается в параграфе 9.2), подготавливается методика обработки результатов наблюдений и оценки
влияния условия измерений на их результаты.
Необходимым этапом подготовки измерительного эксперим
ента является
выбор средств измерений
.
Используемые в эксперименте средства измерений должны соответствовать принятым моделям, измеряемым
величинам, целям и условиям проведения эксперимента. Возможны варианты, связанные с необходимостью
автоматической реги
страции результатов наблюдений, представления результатов в аналоговой или цифровой
форме, ввода полученной измерительной информации в ЭВМ и пр. Однако каждый из вариантов должен
прорабатываться на соответствие метрологических характеристик используемого с
редства измерений
установленным требованиями по точности и их влиянию на результаты измерений. Среди факторов, учитываемых
при выборе СИ, назовем следующие: воздействие средства измерений на объект; неполная адекватность принятой
модели объекта измерения;
погрешности, вносимые средствами измерений (пределы измерений); частотный
диапазон.
Воздействие СИ на объект
проявляется в большей степени в тех случаях, когда отсутствует согласование
между ними по мощности. Измеряемая величина вследствие влияния средства
измерений может претерпеть
заметные искажения, что приведет к неверному результату эксперимента. Чем меньше мощность, потребляемая
средством измерений от объекта (или выделяемая на объекте), тем меньше искажения. Относительная погрешность,
вызванная влиян
ием средства измерений на объект измерения, приблизительно оценивается по формуле
,
(9.1)
где
Р
си
-
мощность, потребляемая средством измерений,
Р
-
мощность объекта измерения.
Аналогичным образом
можно оценить влияние мощности, выделяемой средством измерения на объекте
измерения (например, искажения вследствие нагрева измерительным током).
P
P
си



Неполная адекватность принятой модели объекту измерения
проявляется в том, что показания средства
измерений за
висят от неинформативных параметров принятой модели измеряемой величины. Типичный пример
-
влияние на результат измерения отклонений формы кривой сигнала от синусоидальной. Естественно, во избежание
такого влияния следует из возможных вариантов средств изм
ерений предпочесть такой, который не реагирует на
форму кривой сигнала. При отсутствии такового следует учитывать наличие погрешности измерения от
неадекватности модели.
Погрешности, вносимые средствами измерений
, часто являются основными составляющими пог
решности
результата измерений. Для оценки погрешности средства измерений используются их нормированные
метрологические характеристики. Следует, однако, помнить что не всегда та или иная метрологическая
характеристика достаточно полно отражает точностные св
ойства данного экземпляра средства измерений.
Например, такая обобщенная характеристика точности средства измерений, как класс точности, дающая
возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность СИ этого класса, не является непосредственным
п
оказателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого этих средств. Для выявления действительных
точностных средств данного экземпляра СИ можно провести его предварительную поверку с целью выявления
систематической погрешности и определения поправок
для его различных показаний. Введением поправок в
процессе измерения исключаются систематические погрешности, что равносильно повышению точности средства
измерений, уменьшается потребность использования более дорогостоящих высокоточных измерителей. При вы
боре
средства измерений следует учитывать влияние внешних факторов. Этот вопрос может решаться либо
использованием одного из методов адаптации (см. главу 8), либо организацией контроля значений одного или
нескольких внешних влияющих факторов и соответствую
щей коррекцией результатов измерений. И в том, и другом
случае должно быть предусмотрено расширение состава используемых средств измерений.
Пределы измерений
используемых СИ следует выбирать такими, чтобы ожидаемые показания находились
ближе к верхнему пре
делу. Это связано с тем, что у многих средств измерений погрешность минимальна на верхнем
пределе измерений.
Частотный диапазон
выбираемых СИ должен быть шире частотного спектра входных сигналов, чтобы
обеспечивать их неискаженное прохождение. Вместе с тем
, расширения частотного диапазона увеличивает
возможность прохождения помехи и, как следствие, появления связанной с этим погрешности измерения. При
наличии возможности влияния помех при эксперименте частотный диапазон выбираемых средств измерений должен
б
ыть возможно более узким, но без ущерба для прохождения сигнала. Кроме рассмотренных возможны и другие
критерии выбора средств измерений, например, требования к быстродействию, к конструкции и др.
Одним из основных разделов методики проведения измерительно
го эксперимента должен быть раздел,
посвященный
обработке результатов измерений (наблюдений)
с целью установления значений измеряемой
величины и оценки погрешности полученного результата измерения.
Применяются различные методы обработки результатов наблюде
ний; некоторые из них рассмотрены
подробно в главе 6. Применение того или другого метода определяется наличием предварительной информации,
которой располагает экспериментатор об источниках и характере проявления погрешностей, условиях эксперимента,
свойств
ах используемых средств и вида измерений, числа выполненных наблюдений и пр.
9.2.
Общие вопросы оптимального планирования
измерительного эксперимента
Задачи оптимального планирования измерительного эксперимента наиболее эффективно решаются на
основе с
равнительно недавно сформировавшегося научного направления
-
теории планирования эксперимента.
Под
планом эксперимента
-
понимается совокупность данных, определяющих число, условия и порядок
реализации опытов. Под словом опыт в данном случае имеется в виду
отдельная, элементарная часть эксперимента.
Соответственно, понятие планирование эксперимента, определяемое как процесс разработки плана эксперимента,
включает в себя все, что делается по разработке стратегии экспериментирования от начальных до заключител
ьных
этапов изучения объекта исследования, т.е. от получения априорной информации до создания работоспособной
математической модели объекта исследования или определения оптимальных условий. Планирование способствует
значительной интенсификации труда исслед
ователя и сокращению затрат на эксперимент, повышению
достоверности полученных результатов исследования.
Целью планирования является оптимизация плана эксперимента, т.е. выбор из нескольких возможных
планов одного в определенном смысле наилучшего. Оптимиза
ция осуществляется путем сравнения различных
планов с использованием принятых критериев сравнения или целевой функции. Теория эксперимента помогает:
наилучшим образом организовать эксперимент; выбрать способ обработки результатов, позволяющий получить
макс
имальное количество информации об исследуемом объекте; сделать обоснованные выводы по результатам
эксперимента.
Основным математическим аппаратом теории планирования эксперимента является теория вероятностей и
математическая статистика.
Теория предполагает
, что эксперимент может быть пассивным и активным. При
пассивном эксперименте
информация об исследуемом объекте накапливается путем пассивного наблюдения, т.е. информацию получают в
условиях обычного функционирования объекта.
Активный эксперимент
проводитс
я с применением искусственного
воздействия на объект по специальной программе.
Активный эксперимент позволяет быстрее и эффективнее решать задачи исследования, но более сложен,
требует больших материальных затрат и может помешать нормальному ходу технологи
ческого процесса. Иногда

отсутствует возможность проведения активного эксперимента (например, при исследовании явлений природы). Тем
не менее, учитывая преимущества активного эксперимента, тогда, когда это возможно, предпочтение отдают
активному эксперимен
ту.
В теории планирования эксперимента объект исследования представляется структурной схемой в виде
"черного ящика", состояние которого характеризуется выходными параметрами, реагирующими на внешние
управляющие (входные) и возмущающие воздействия. Одной из
главных задач эксперимента является получение
математической модели объекта, описывающей в количественной форме взаимосвязи между входными и выходными
параметрами объекта. Входные параметры, которые могут быть изменены, называют факторами. Для каждого
фак
тора до измерения устанавливается
область определения
, которая может быть непрерывной и дискретной. Часто
непрерывная область определения искусственно дискретизируется. При активном эксперименте факторы должны
быть управляемыми и независимыми.
Многомерное
факторное пространство представляется множеством точек, каждая из которых соответствует
определенной комбинации факторов. Область возможных комбинаций факторов называется
областью возможных
(допустимых) планов эксперимента
.
Вектор, образуемый выходными пар
аметрами
-
характеристиками свойств или качеств объекта, называют
откликом,
а зависимость отклика от рассматриваемых факторов
-
функцией отклика
. Геометрическое представление
функции отклика в факторном пространстве называют
поверхностью отклика
. Функцию отк
лика называют также
целевой функцией
, имея в виду, что при планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она
является критерием оптимальности.
Планирование эксперимента проводится в несколько этапов [23]:
постановка задачи
(определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых
затрат времени и средств, установление типа задачи);
сбор априорной информации (получение литературы, опрос специалистов и т.п.);
выбор способа решения и стратегии его реализаци
и (установление типа модели, выявление возможных
влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых
нестандартных технических средств, формулировка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов
программ об
работки экспериментальных данных).
9.3. Планирование пассивного эксперимента
При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но
неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдател
я. Задача
планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как
выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.
Наиболее часто целью пассивного эксперимента является
построение математической модели объекта,
которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном
объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров
устанавли
ваются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными.
Плохо организованные или диффузные объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с
использованием таких моделей не требуют детального изучен
ия механизма процессов и явлений, протекающих в
объекте.
Однофакторный пассивный эксперимент
проводится путем выполнения
n
пар измерений в дискретные
моменты времени единственного входного параметра
х
и соответствующих значений выходного параметра
y
.
Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий
рассматривается в виде зависимости математического ожидания
y
от значения
х
, носящей название
регрес
сионной
.
Соответствующая линия А В показана на графике (рис.9.1).
Целью однофакторного
пассивного эксперимента является построение регрессионной модели. Следует
отметить, что регрессионная модель является приближенной
оценкой истинной регрессионной зависим
ости. Для
построения модели следует провести обоснованный выбор аппроксимирующей функции. Критериями выбора
являются простота, удобство пользования, обеспечение требуемой точности аппроксимации, адекватность.
Адекватная регрессионная модель позволяет предс
казывать с требуемой точностью значения выходной величины в
некоторой области значений входной.
Нередко для выбора аппроксимирующей функции пользуются кривой регрессионной зависимости,
проведенной "на глаз".
Чаще всего регрессионная модель представляется с
помощью аппроксимирующей функцией в виде
полинома
Рис 9.1. График регрессионной
зависимости
y
от
х

.
(9.2)
Приняв такую модель, следует определиться в порядке полинома, после чего вычислить параметры
а
1
, а
2
,…,а
м
.
,
воспользовавшись методом, рассмотренным в параграфе 6.1.
В общем случае результ
аты измерения
l
i
значения выходной величины и ее значения
y
i
определяемые
регрессионной зависимостью от входного фактора
x
i
,
не совпадают, т.е. отлична от нуля разность

i
=
l
i
-
y
i
,
что
связано с
наличием погрешности измерения и возмущающих воздействий. Обычно считают, что

i
не зависит от
значения
y
(т.е. аддитивна) и подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим
ожиданием.
Если выполнено
n
измерений, то их результаты можно
записать в виде:
(9.3)
Система уравнений (9.3) линейна относительно
a
j
.
Для нахождения оценок
a
j
из условия минимума

j
необходимо добиться равенства нулю всех частных производных функций
по
a
j
.
Получим
систему
нормальных
уравнений:
(
j
=1,2,…,
m
)
.
(9.4)
Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных
a
j
и записав уравнения системы (9.4) в стандартном виде
можно вычислить искомые параметры
a
j
методом определителей.
Многофакторный пассивный эксперимент
дает
n
значений выходного параметра
y
объекта, соответствующих
измерениям
n
совокупностей значений выходных параметров:
x
11
,
x
12
,…,
x
1
k
;
x
21
,
x
22
,…,
x
2
k
;
.……...............
x
n
1
,
x
n
2
,…,
x
nk
.,
где
x
ij
-
значение
j
входного параметра в
i
-
м измерении
(
j=1,2,...,n
)
.
В качестве регрессионной моде
ли примем линейный многочлен вида
у = а
0
+ а
1
х
1
+
a
2
x
2
+ …+ а
k
х
k
.
(9.5)
Заменим переменные их центрированными значениями:
Тогда модель принимает вид
.
(9.6)
На основе (9.6) составляется система нормальных уравнений вида (9.4) (с заменой
m
на
k
) и вычисляются
оценки параметров
. Затем вычисляется оценка
и осуществляется переход к исходной модели (9.5).
9.4. Планирование активного эксперимента
Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в каждом
опыте
уровней факторов
. При планировании активного эксперимента решается задача рационального выбора факторов,
существенно влияющих на объект исследования, и определения соответствующего числа проводимых опытов
1
2
1
...





m
m
x
a
x
a
a
y
.
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
......
..........
..........































m
j
n
j
n
j
n
m
j
j
j
m
j
j
j
x
a
l
x
a
l
x
a
l














n
i
m
j
j
i
j
i
x
a
l
1
1
1
0
1
1
1
1
















j
i
n
i
m
j
j
i
j
i
x
x
a
l
.
...
1
;
1
);
...
(
;
2
2
1
1
0
1
1
2
2
1
1
0
k
k
n
i
i
n
i
ij
j
k
k
i
i
j
j
j
x
a
x
a
x
a
a
y
n
y
x
n
x
x
a
x
a
x
a
a
y
y
y
y
x
x
x
























k
k
x
a
x
a
x
a
a
y









...
2
2
1
1
0
k
a
a
a
€
...
€
,
€
2
1
)
€
...
€
€
(
€
2
2
1
1
0
k
k
x
a
x
a
x
a
y
a






[23,24]. Увеличение числа включенных в рассм
отрение факторов приводит к резкому возрастанию числа опытов,
уменьшение
-
к существенному увеличению погрешности опыта. Фактор считается заданным только тогда, когда при
его выборе указывается его
область определения
–
совокупность значений, которые может
принимать данный
фактор. В эксперименте используется ограниченная часть области определения, задаваемая обычно в виде
дискретного множества уровней. Выбранные факторы должны быть
однозначно управляемыми и операциональными
,
т.е. поддающимися регулированию
с поддержанием на заданном уровне в течение всего опыта при соблюдении
последовательности необходимых для этого действий. Должна быть назначена также точность измерения факторов
в выбранном диапазоне измерения.
Совокупности факторов должны отвечать требова
ниям
совместимости и независимости
. Соблюдение
первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны, второго
-
возможность
установления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.
При планировании многофакторн
ого активного эксперимента решаются типичные задачи математической
статистики: выбор стратегии эксперимента в условиях неопределенности, обработка результатов измерений,
проверка гипотез и принятие решений. При этом важное значение имеет выбор математическ
ой модели объекта, в
качестве которых чаще всего используются полиномиальные аппроксимации.
Важным этапом, предшествующим планированию эксперимента, является
выбор локальной области
факторного пространства
. Для этого должны быть оценены границы областей оп
ределения факторов с учетом
ограничений нескольких типов.
К первому типу относятся ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Ко
второму типу относятся ограничения технико
-
экономического характера. Третий тип ограничений, чащ
е всего
встречающийся,
-
ограничения, накладываемые конкретными условиями проведения эксперимента.
Решение вопросов, связанных с определением локальной области факторного пространства, должно
базироваться на результатах тщательного анализа априорной информ
ации в виде сведений о выходной величине,
факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика. Такая информация может
содержаться в результатах проведенных ранее однофакторных экспериментов, в литературных источниках.
Сама проце
дура определения локальной области факторного пространства состоит из двух этапов:
выбор
основного уровня и выбор интервалов варьирования
.
За основной (нулевой) уровень принимается точка в
многомерном факторном пространстве, принятая за
исходную для построения плана эксперимента. Такой точкой является оптимальная комбинация уровней факторов,
установленная в результате анализа априорной информации.
Построение плана эксперимента сводится к выб
ору экспериментальных точек, симметричных относительно
нулевого уровня. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора),
прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание
-
нижний. Таки
м образом,
выбрав интервал варьирования, определяют крайние уровни факторов. При планировании масштабы данных по
осям принимаются такими, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний
-
-
1, основной
-
0.
Если область определения фактора непрерывна, выбор
масштаба производится согласно формуле
888
,
(9.7)
где
x
j
-
кодированное значение фактора;
,
-
натуральные значения основного фактора и основного уровня;
I
j
-
интервал варьирования;
j
-
номер фактора.
B
табл.9.1 приведен пример кодированных значений для одного фактора, рассчитанных по формуле (9.7).
Интервал варьирования не может быть меньше погрешности измерения фактора и больше пределов
области определения.
Таблица 9.1
Кодированные значения фактора при
I=2
Натуральные
значения
1
2
3
4
5
Кодированные
значения
х
1
-
1
-
0,5
0
+0,5
+1
При выборе интервала варьирования используют априорную информацию, содержащую сведения о
точности измерения факторов, кривизне
поверхности отклика и о диапазоне изменения выходной величины. Однако
в виду того, что такая информация может оказаться не всегда достоверной, в ходе эксперимента ее нередко
приходится корректировать.
9
.
5. Планирование полного факторного эксперимента
Полный факторный эксперимент
характеризуется тем, что число уровней каждого фактора равно двум. При
соблюдении этого условия число N опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней
факторов
N
= 2
k
,
где
k
-
число факторов.
План эксперимента для двух
-
и трехфакторных функций отклика может быть изображен в виде графика,
называемого факторным пространством. На рис.9.2 показан в факторном пространстве симметричный
двухуровневый план для двухфакторной функции отклика
y
=
f
(
x
1
x
2
)
пр
и нейтральном (рис.9.2,
а
) и нормированном


j
j
j
j
I
x
x
x
0
~
~


j
x
~
0
~
j
x
1
~
x

(рис.9.2,
б
) представлении уровней факторов. Здесь
,
-
искомые натуральные уровни факторов,
-
нижние,
-
верхние уровни,
,
-
интервалы варьирования.
Рис.9.2. Симметричный двухуровневый план
для двухфакто
рной функции отклика
Согласно такому плану эксперимента должно быть проведено четыре опыта. Условия эксперимента также
записываются в виде таблиц, называемых
матрицами (репликами) планирования
. Каждый столбик матрицы
называют вектор
-
столбцом, а каждую стро
ку
–
вектор
-
строкой (табл.9.2).
Таблица 9.2
Матрица планирования 2
2
Номер опыта
х
1
х
2
y
1
-
1
-
1
y
1
2
+1
-
1
y
2
3
-
1
+1
y
3
4
+1
+1
y
4
При построении матрицы 2
2
комбинации уровней находятся прямым перебором. Если количество факторов
более двух, используют три приема перехода от матрицы меньшей размерности к матрицам большей размерности.
При выполнении первых двух приемов сначала строится матрица 2
2
, а затем
–
матрица 2
3
(табл.9.3) и
большей размерности.
Таблица 9.3
Матрица планирования 2
3
Номер опыта
х
1
х
2
х
3
у
1
-
1
-
1
-
1
у
1
2
+1
-
1
-
1
у
2
3
-
1
+1
-
1
у
3
4
+1
+1
-
1
у
4
5
-
1
-
1
+1
у
5
6
+1
-
1
+1
у
6
7
-
1
+1
+1
у
7
8
+1
+1
+1
у
8
Первый прием основан на том, что при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней,
имеющихся в матрице меньшей размерности, в
матрице большей размерности встречается дважды: в сочетании с
нижним и верхним уровнями нового фактора. Поэтому сначала описывается исходный план для одного уровня
фактора, а затем он повторяется для другого уровня (см. табл. 9.3).
Второй прием основан на
построчном перемножении двух столбцов согласно правилу знаков: одноименные
знаки перед единицей при перемножении дают +1, разноименные
-
-
1. После перемножения получается вектор
-
столбец произведений х
1
х
2
в исходном плане. Затем исходный план продлевается п
о числу опытов вдвое путем
повторения предыдущего исходного плана (включая столбец х
1
х
2
). Далее удлиненный вдвое исходный план вновь
повторяется, но вместо столбца произведений записывается столбец добавленного фактора х
3
с изменением на
противоположные зн
аки столбца х
1
х
2
. Этот прием несколько сложней, чем первый.
Третий прием основан на правиле чередования знаков. В матрице, включающей 2
к
опытов, знаки первого
столбца меняются поочередно, знаки второго столбца
-
через два, третьего
-
через четыре, четверто
го
-
через
восемь и т.д. по степеням двойки.
Матрица планирования эксперимента обладает четырьмя общими свойствами. Два свойства относятся к
особенностям построения вектор
-
столбцов и следуют непосредственно из правил построения матрицы.
10
~
x
20
~
x
)
1
,
1
(
~
,
~
2
1


н
н
x
x
)
1
,
1
(
~
,
~
2
1


в
в
x
x
1
~
x

2
x


Первое свойство
-
с
имметричность относительно центра эксперимента
–
проявляется в правиле:
алгебраическая сумма элементов вектор
-
столбца каждого фактора равна нулю, т.е.
, где
j
-
номер
фактора,
i
-
номер опыта,
N
-
число опытов.
Второе свойство (условие нормировки): сумма
квадратов каждого столбца равна числу опытов, т.е.
.
Два других свойства относятся к совокупности столбцов матрицы.
Третье свойство (ортогональность матрицы): сумма почленных произведений любых двух вектор
-
столбцов
матрицы равна нулю, т.е.
,
j

n
.
Четверт
ое свойство (ротабельность): точки в матрице планирования подбираются так, что точность
предсказаний значений выходного параметра на основании математической модели одинакова на равных
расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Если ма
трица обладает всеми четырьмя свойствами, то она составлена правильно.
Рассмотрим вопрос об оценке коэффициентов линейной модели, считая, что задачей эксперимента является
проверка гипотезы об адекватности модели
у
и
=
a
0и
+
a
1и
x
1
+
a
2и
x
2.
Индекс
и
обозначает истинное значение неизвестной.
Поскольку эксперимент содержит конечное число опытов, то после их проведения можно получить только
оценки для коэффициентов модели
y
=
a
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
2
.
После проведения
опытов неизвестными величинами в этом выражении будут только коэффициенты
a
0
,
a
1
,
a
2
.
Для
N
опытов можно составить систему линейных условных уравнений. После ее решения методом наименьших
квадратов определяются оценки коэффициентов:
.
(9.8)
Так, при
N
=4
получим:
a
1
=

(
-
1)
y
1
+ (+1)
y
2
+(
-
1)
y
3
+(+1)
y
4

/ 4;
a
2
=

(
-
1)
y
1
+ (
-
1)
y
2
+(+1)
y
3
+(+1)
y
4

/ 4
.
Для определения
а
0
представим среднее значение в виде
.
Так как матрица обладает свойством симметрии, то
, поэтому
.
Для
того чтобы получить возможность определения
а
0
по формуле (9.8), в матрицу вводят фиктивную
переменную
х
0
, которая во всех опытах принимает значение +1. Составленная линейная модель несколько
видоизменяется:
у=
a
0
х
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
2.
Положительные
коэффициенты при
х
ji
пропорциональны степени влияния факторов, отрицательные
-
обратно пропорциональны.
Линейная модель не всегда в полной мере описывает объект исследования. Часто нелинейность связана с
взаимным влиянием факторов, и задачей полного факто
рного эксперимента является установление степени такого
взаимодействия. Для этого перемножением столбцов матрицы получают новый столбец произведений двух факторов
так, что матрица размерности 2
2
будет иметь вид, представленный в табл.9.4.
Таблица 9.4
Матрица планирования эксперимента 2
2
с учетом взаимодействия факторов
Номер опыта
х
0
х
1
х
2
х
1
х
2
у
1
+1
-
1
-
1
+1
у
1
2
+1
+1
-
1
-
1
у
2
3
+1
-
1
+1
-
1
у
3
4
+1
+1
+1
+1
у
4
С
учетом взаимодействия факторов х
1
х
2
видоизменяется модель
у=
a
0
х
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+ а
12
х
1
х
2
.
(9.9)
Коэффициент
а
12
вычисляется также по формуле (9.8):
0
1



N
i
ij
x



N
i
ij
N
x
1
2



N
i
ni
ij
x
x
1
0
N
y
x
a
N
i
i
ij
j











1
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y



0
2
1


x
x
0
a
y


a
12
=

(+1)
y
1
+ (
-
1)
y
2
+(
-
1)
y
3
+(+1)
y
4

/ 4
.
Чем бо
льше факторов, тем больше число возможных взаимодействий. Так, в матрице планирования 2
3
появляются новые вектор
-
столбцы
х
1
х
2
, х
1
х
3
, х
2
х
3
, характеризующие эффект взаимодействия первого порядка, и
столбец
х
1
х
2
,х
3
,
-
эффект взаимодействия второго порядка.
В общем случае эффект взаимодействия максимального
порядка имеет порядок на единицу меньше числа факторов. Применяются также такие понятия, как парные
эффекты взаимодействия
(
х
1
х
2
, х
1
х
3
, х
2
х
3
),
тройные
(
х
1
х
2
х
3
, х
3
х
4
х
5
)
и т.д.
Суммарное количество коэффици
ентов (в том числе
а
0
,
линейные эффекты и эффекты взаимодействия)
равно числу опытов, проводимых согласно матрице эксперимента. Значения различных коэффициентов независимы
друг от друга.
Если
модель включает не только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, но и квадраты, кубы и т.д.
факторов, то подход к оценке коэффициентов несколько иной.
Если, например, при двухфакторном эксперименте заметное влияние имеет квадратичный член, то модель
мо
жно записать следующим образом:
у=
a
0
х
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+ а
12
х
1
х
2
+ а
11
х
2
1
+ а
22
х
2
2
.
(9.10)
Если мы захотим построить матрицу планирования эксперимента с добавлением вектор
-
столбцов
х
2
1
и
х
2
2
, то
получим единичные столбцы, совпадающие друг с дру
гом и со столбцом
х
0
,
в результате чего невозможно
определить, за счет чего получилось значение
а
0
. Полученную для такого случая оценку
а
0
называют смешанной,
так как она определяется совместными вкладами свободного и квадратичных членов. Соответствующая з
апись
выглядит следующим образом:
.
Для модели (9.10) получается система, состоящая из смешанных и несмешанных оценок:
;
a
1

a
1и
;
a
2

a
2и
;
a
12

a
12и
.
Итак, полный факторный эксперимент при варьировании факто
ров на двух уровнях
позволяет оценить
линейные эффекты эксперимента.
9.6. Планирование дробного факторного эксперимента
Дробный факторный эксперимент
, сохраняя все свойства полного факторного эксперимента
(симметричность, выполнение условия нормировки,
ортогональность), проводится при меньшем числе опытов.
Возможность сокращения числа опытов при использовании линейной модели предоставляется в связи с тем, что в
полном факторном эксперименте число опытов больше числа коэффициентов модели.
Для пояснения п
ринципа, на котором основано сокращение числа опытов, обратимся к матрице
2
2
полного
факторного эксперимента, представленной в табл.9.4. Использую эту матрицу, можно вычислить четыре
коэффициента модели (9.9). Однако при принятом условии линейности модели
а
12

0
достаточно определить три
коэффициента:
а
0
, а
1
, а
3
,
вектор
-
столбец
х
1
х
2
можно использовать для нового фактора
х
3
.
Если проверить возможность смешивания оценок, то можно заметить, что оно имеет место
при различных
сочетаниях вектор
-
столбцов в связи с их совпадением. Однако благодаря тому, что модель линейна, парные
взаимодействия незначительны, и взаимодействия практически не влияют на достоверность вычисленных оценок.
Таким образом, оказалось, что дл
я изучения трех факторов достаточно поставить четыре опыта вместо
восьми. Сказанное можно обобщить правилом: для сокращения числа опытов новому фактору следует присвоить без
изменения знаков вектор
-
столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым мож
но пренебречь.
Матрица 2
2
(см.табл.9.4) с заменой
х
1
х
2
на
х
3
, представляющая собой половину матрицы 2
3
полного
факторного эксперимента (опыты 5, 2, 3, 8 по табл. 9.3), называется полурепликой. Вторую половину матрицы 2
3
с
постановкой четырех опытов для оц
енки влияния трех факторов можно получить, если в матрице 2
2
х
3
приравнять с
обратным знаком к
х
1
х
2
(опыты 1, 6, 7, 4 по табл.9.3). При объединении двух полуреплик получим полный
факторный эксперимент. Каждая из полуреплик может быть использована как для п
олучения оценки линейных
эффектов, так и эффектов взаимодействия таким же образом, как и в полном факторном эксперименте 2
3
. Кроме
полуреплик находят применения другие виды дробных реплик (1/4, 1/8, 1/16), каждая из которых имеет две
разновидности, которые
отличаются числом
с
линейных эффектов, приравненных
к эффектам взаимодействия, и
условным обозначением в виде
(табл.9.5).
Таблица 9.5
Характеристика дробных реплик
Число
факторов
Дробная реплика
Условное
обознач.
Число опытов
для дробных
реплик
для полного
факторного
эксперим.
3
1/2
-
реплика от
2
3
2
3
-
1
4
8
4
1/2
-
реплика от
2
4
2
4
-
1
8
16




k
j
jj
u
a
a
a
a
u
1
0
0




k
j
u
jj
u
a
a
a
1
0
0
c
k

2

5
1/4
-
реплика от
2
3
2
5
-
2
8
32
6
1/8
–
реплика от
2
5
2
6
-
3
8
64
7
1/16
-
реплика от
2
6
2
7
-
4
8
128
5
1/2
-
реплика от
2
5
2
5
-
1
16
32
6
1/4
-
реплика от
2
6
2
6
-
2
16
64
7
1/8
-
реплика от
2
7
2
7
-
3
16
128
8
1/16
-
реплика от
2
8
2
8
-
4
16
256
Таким образом, применение дробного факторного эксперимента
позволяет существенно сократить число
опытов, необходимых для построения модели (16 вместо 256 при восьмифакторном эксперименте). Наиболее
целесообразно использовать дробные реплики для получения линейных моделей с большим количеством факторов.
9.7. Пров
едение обработки результатов эксперимента
Любой эксперимент, связанный с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений,
вносящими элемент неопределенности в результат эксперимента. Постановка повторных или параллельных опытов
полностью не ис
ключает неопределенность, так как они проводятся также с погрешностью воспроизводимости. Если
проверить параллельно несколько опытов в одинаковых условиях, то погрешность воспроизводимости можно
оценить по отклонениям результатов опыта от среднего арифмети
ческого, характеризуемого оценкой дисперсии
,
(9.11)
где
n
–
число параллельных опытов, при условии исключения грубых погрешностей.
Для получения оценки дисперсии эксперимента нужно усреднить оценки дисперсии всех опытов,
предусмотренных
матрицей планирования. Оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента подсчитывают по
формуле
.
(9.12)
Если из
-
за отбрасывания промахов число
n
повторных опытов во всех точках неодинаково, оценка
дисперсии эксперимента определяется по формуле
, (9.13)
где
–
оценка дисперсии
i
-
го опыта;
f
i
–
число степеней свободы в
i
-
м опыте; равное числу параллельных опытов
n
i
минус 1.
Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы
f
i
.
Формулы
(9.12) и (9.13) справедливы только тогда, когда дисперсии однородны, т.е. если среди суммируемых дисперсий не
было бы таких, которые превышали бы все остальные. Для сравнения дисперсии но их оценкам пользуются
критерием Фишера (
F
-
критерий). Отношен
ие наибольшей оценки дисперсии к наименьшей сравнивается с
табличным. Если это значение отношения больше табличного, то оценки дисперсии эксперимента неоднородны.
Наряду с оценкой случайных погрешностей измерений должны быть приняты меры по уменьшению вли
яния
систематических погрешностей, вызванных изменением внешних условий. Для этих целей оказывается эффективной
«рандомизация» (от
random
–
случайный) опытов во времени приданием случайного характера последовательности
проведения опытов, предусмотренных ма
трицей планирования.
Обработка результатов эксперимента сводится к последовательному выполнению трех операций:
-
вычислению коэффициентов модели (коэффициентов регрессии);
-
проверке адекватности модели;
-
проверке значимости отдельных коэффициентов регре
ссии.
Вычисление коэффициентов модели производится с привлечением метода наименьших квадратов (см. гл.6).
Проверка адекватности модели состоит в установлении возможности с помощью выбранной регрессионной
модели объекта предсказывать с требуемой точностью з
начения выходной величины в некоторой области значений
входной. Для этого прежде всего вычисляется оценка дисперсии адекватности





n
q
q
y
y
n
1
2
2
)
(
1
1
€

)
1
(
)
(
)
(
€
1
2
2













n
N
y
y
y
N
i
q













N
i
i
N
i
i
i
N
N
N
f
f
f
f
f
f
f
f
y
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
€
...
€
...
€
€
)
(
€





2
€
i


,
(9.14)
где
у
i
–
реальное значение выходной величины, полученное в результате
i
-
го опыта,
у
i
м
–
значение выходной
ве
личины, предсказанное в
i
-
м опыте по полученной модели (для получения
у
i
м
необходимо подставить в
модель значения факторов, предусмотренные матрицей планирования в
i
-
м опыте, вычислить значение
у
i
м
по
значениям факторов и коэффициентов модели);
f
–
число с
тепеней свободы, равное числу различных опытов,
результаты которых используются при подсчете коэффициентов модели, минус число определяемых
коэффициентов.
Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью
F
-
критерия:
,
(9.15)
г
де
–
оценка дисперсии воспроизводимости со своим числом степеней свободы.
Модель считается адекватной, если рассчитанное значение
F
не превышает табличного. При несоблюдении
этого условия проводится корректировка модели, вновь определяются коэффициенты
и проверяется ее
адекватность.
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии проводится по
t
-
распределению Стьюдента.
Сначала находят оценки дисперсии коэффициентов регрессионной модели
,
(9.16)
затем вычисляется
(9.17)
и сравнивается с табличным при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.
Проверке подлежат все коэффициенты. На основании результатов проверки проводится корректировка модели
путем исключения незначимых факторов или эффектов вза
имодействия.
9.8. Планирование эксперимента при решении
задачи оптимизации методом градиента
Задача оптимизации
–
это отыскание таких значений факторов
х
1опт
, х
2опт
…х
к опт
, при которых функция
отклика (целевая функция) достигает экстремального
значения:
у (х
1опт
, х
2опт
,…,х
к опт
) =
max
(
min
)
,
(9.18)
при выполнении условий ограничения, число которых
r
может быть произвольным. Нахождение экстремума функции
отклика производится при условии, что функция отклика априори неизвестна.
Решение поставлен
ной задачи целесообразно вести путем последовательного (шагового) поиска экстремума
целевой функции. Изучение поверхности отклика производится последовательной постановкой нескольких серий
опытов, каждая из которых производится с целью изучения ограниченны
х участков поверхности отклика и выбора
направления движения, приближающего условия к оптимальным. Серии опытов продолжаются до тех пор, пока
исследование не выведет на «почти стационарную область» вблизи точки оптимума. После этого ставится большая
серия
опытов с целью более точного описания поверхности отклика и нахождения точки оптимума.
Чтобы достичь экстремума за наименьшее число шагов, нужно двигаться по направлению наискорейшего
возрастания целевой функции. Такого рода движение описывается с помощью
вектора, называемого градиентом
скалярного поля.
,
(9.19)
где
–
орты (единичные векторы) соответствующих координатных осей.
Сопоставляя (9.19) с линейной полиномиальной моделью, нетрудно сделать вывод, что координаты
градиента
совпадают с коэффицие
нтами уравнения регрессии
а
1
, а
2
,…,а
к
и для максимальной скорости роста
целевой функции необходимо двигаться в направлении градиента. Данное направление ортогонально линии равного
уровня
у(х)=
const
, проходящей через исходную точку
х
0
. Обычно считают, что
линейная модель является хорошим
приближением функции
y
(
x
)
в некоторой окрестности
x
0
,
ограниченной сферой радиуса
,
(9.20)
где

x
j
–
приращение факторов при удалении от исходной точки на фиксированное расстояние, равное

,
j
=1,2…
k
.
Для того чтобы
определить, в каком направлении от точки
x
0
в пределах

двигаться, чтобы получить
максимальное приращение
у(х
)
, необходимо решить задачу на условный экстремум, т.е. найти такие

х
j
, которые
максимизируют
при

=
const
. Задача решается с помощью стандартно
го метода множителей
Лагранжа. В результате решения получается
f
y
y
N
i
im
i
ад












1
2
2
)
(

)
(
€
€
2
2
y
F
ад



)
(
€
2
y

N
y
a
j
)
(
€
)
(
€
2
2



)
(
€
j
j
a
a
t


k
k
p
дx
дy
p
дx
дy
p
дx
дy
x
y
grad








...
)
(
2
2
1
1
k
p
p
p



,...,
,
2
1








j
дx
дy
2
2
2
2
1
)
(
...
)
(
)
(
k
x
x
x











k
j
j
j
x
a
y
1



.
(9.21)
Выражение (9.21) представляет собой алгоритм поиска, так как задает линию наискорейшего подъема. Эта
линия совпадает с направлением вектора градиента.
Таким
образом, направление градиента функции отклика определяется значениями коэффициентов
регрессии.
Поясним сущность метода градиента на примере двухфакторной функции отклика
у(х
1
, х
2
)
. На рис. 9.3 в
факторном пространстве изображены кривые равных значений фу
нкции отклика (кривые уровня). Если мы выберем
какую
-
либо точку факторного пространства в качестве исходной
(х
10
, х
20
)
, то наикратчайший путь к вершине
функции отклика (область 110) на этой точке
–
это путь по кривой 1, касательная к которой в каждой точке
совпадает с нормалью к кривой уровня, т.е. это путь в направлении градиента функции отклика. Реализация
алгоритма движения по градиенту начинается с построения симметричного двухуровнего плана эксперимента
относительно исходной точки
х
10
, х
20
факторного п
ространства. Интервалы варьирования при этом должны быть
достаточно малыми, чтобы обеспечить адекватность линейной модели. Затем определяются оценки
а
1
, а
2
,…,а
к
коэффициентов регрессии, строится линейная модель
у=a
0
х
0
+a
1
x
1
+a
2
x
2
,
проверяется ее адекватность и
определяется направление градиента.
Дальнейшее движение по градиенту осуществляется переходом из точки
х
10
, х
20
в точку с координатами
х`
1
=х
10
+â
1

, х`
2
=х
20
+â
2

,
где

-
положительное число, определяющее величину шага в направл
ении градиента. Эта
точка используется для планирования нового эксперимента. Вновь проводятся все те же действия, что и при предыдущем
планировании и определяется новое направление градиента и переход на следующую точку. Таким же образом
осуществляются пос
ледующие циклы поиска до тех пор, пока все координаты градиента (все оценки коэффициентов
а
j
)
не окажутся весьма близкими к нулю. Подобная ситуация служит признаком того, что достигнута некоторая окрестность
точки экстремума.
Рис. 9.3. Поиск максиму
ма методами градиента (1)
и крутого восхождения (2)
Недостатком такого алгоритма реализации метода градиента является то, что он требует значительного
числа опытов и не обладает высокой помехоустойчивостью.
Другой, часто используемой разновидностью град
иентного метода является метод крутого восхождения
(метод Бокса
-
Уилсона).
Процедура при реализации этого метода так же, как и в методе градиента, начинается с выбора начальной
точки проведения эксперимента и определения направления градиента. Однако в даль
нейшем после каждого шага
определение градиента не производится, а производится процедура одномерного поиска, когда шаговое движение
из начальной точки по направлению градиента осуществляется до попадания в частный оптимум по кривой 2
(см.рис.9.3). Практич
ески это реализуется путем определения
у(х
1
х
2
)
после каждого шага: если функция отклика не
уменьшается, то движение продолжается. Когда
у(х
1
х
2
)
начнет уменьшаться, движение по градиенту прекращается,
проводится новое планирование для точки частного
оптимума, принимаемой за исходный уровень. Проводятся
опыты и определяется новое направление движения, и так до достижения максимума целевой функции, когда все
координаты градиента в очередном цикле будут близки к нулю.
Очевидно, что метод крутого восхожде
ния по сравнению с градиентным методом обладает меньшей
трудоемкостью.



k
j
j
j
j
a
a
x
1
2



Заключение
Идеей, которая легла в основу
теории, является цель измерений. Цель любого измерения
-
это формирование заключения о состоянии наблюдаемого фрагмента действительности, т.е.
некоторого объективного образа этой действительности. Теория измерений должна включать
способы построения доказат
ельства истинности и объективности образа действительности,
полученного в результате измерений.
Ключевой проблемой теории измерений является модель погрешностей. В пособии
принято, что погрешность можно рассматривать как многомерный нестационарн
ый случайный
процесс, сводимый к стационарному. Такая модель, по мнению авторов, хорошо отражает
метрологические свойства многих измерительных средств и позволяет широко использовать
методы математической статистики. При построении такой модели необходимо
учитывать
следующее:

между состояниями данной характеристики и между значениями соответствующих величин
существует отношение изоморфности;

отображение состояния данной характеристики в образ состояния неоднозначно;

неоднозначность отображения с
остояния в образ состояния, реализованного с помощью
измерительного средства, можно установить на основе математической модели, описывающей
метрологические качества этого средства;

сформированный образ действительности соотносится с некоторыми условно
установленными эталонными состояниями (состояниями сравнения).
Задачи эти сложны и ответственны. Рациональное их решение может быть получено лишь
после тщательной подготовки программы и методики измерений на основе системного
подхода. Методологи
ческой основой системного подхода к постановке и решению задач
разработки и наиболее эффективного применения технических средств измерений является
анализ (задачи оптимального использования измерительных средств) и синтез (задачи
проектирования измерительн
ых средств) математических моделей конкретных процессов
измерения в условиях известных ограничений в отношении свойств реализуемых элементов
измерительного средства.
Библиографический список
1.
РМГ 29
-
99. Рекомендации по межгосударственной стандартизации. //
Межгосударственные организационно
-
методические документы по метрологии: Сб.
–
М.: Изд
-
во стандартов, 1999.
–
С.41
-
48.
2.
Сели
ванов М.Н., Фридман А.Э. Кудряшова Ж.Ф. Качество измерений.
–
Л.: Лениздат,
1987.
3.
Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений: Учеб.пособие для вузов
–
М.: Энергоатомиздат, 1986.
4.
Методы электрических измерений: Учеб. пособие для вузов /Л.Г.Жу
равин,
М.А.Мариненко, Е.И.Семенов, Э.И.Цветков; под ред.Э.И.Цветкова.
–
Л.:
Энергоатомиздат. Ленингр. отд
-
ние, 1990.
-
288 с.
5.
Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем.
–
М.:
Сов.радио,1975.
6.
Орнатский П.П. Теоретические основы информац
ионно
-
измерительной техники.
–
Киев:
Вища школа, 1983.
7.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по спец.
«Радиотехника».
-
2
-
е изд., перераб. и доп.
-
М.: Высш. шк. 1988.
8.
Купер Дж., Макгиллен К. Вероятностные методы анализа сигналов и
систем : Пер. с
англ.
-
М.: Мир, 1989.

9.
Алиев Т.М., Тер
-
Хачатуров А.А. Измерительная техника: Учеб. пособие для техн.вузов.
-
М.: Высш.шк.1991.
10.
Новоселов О.Н., Фомин А.Ф. Основы теории и расчета информационно
-
измерительных
систем.
-
М.: Машиностроение, 1980.
11.
Отт Г.У. Методы подавления шумов и помех в электронных системах / Пер. с англ.; под
ред. М.В.Гальперина.
–
М.: Мир, 1979.
12.
Основные термины в области метрологии: Словарь
-
справочник / М.Ф.Юбин,
М.Н.Селиванов, О.Ф.Тищенко, А.И.Скороходов; под ред. Ю.В.Тарбеев
а.
–
М.: Изд
-
во
стандартов, 1989.
13.
Чудов В.А. и др. Размерный контроль в машиностроении / В.А.Чудов, Ф.В.Цидулко,
Н.И.Фрейдгейм.
–
М.: Машиностроение, 1982.
14.
ГОСТ 8.009
-
84 ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.
15.
Основы метрологии
и электрические измерения: Учебник для вузов / Б.Я.Авдеев,
Е.М.Антонюк, Е.М.Душин и др.; под ред. Е.М.Душина.
-
6
-
е изд., перераб. и доп.
-
Л.:
Энергоатомиздат. Ленингр. отд
-
ние, 1987.
16.
Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции.
–
М: Сов.радио, 1972.
17.
Долинский Е.Ф. Обработка результатов измерений.
–
М.: Изд
-
во стан
-
дартов, 1973.
18.
Измерения в промышленности. Справ.изд. / Под ред. П.Профоса.
–
М.: Металлургия,
1980. Пер. с нем.
19.
Коростелев А.А. Пространственно
-
временная теория радиосистем: Учеб. пособие
для
вузов.
–
М.: Радио и связь, 1987.
20.
Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. /Под ред. А.М.Трахтмана.
–
М.: Сов.
радио, 1980.
21.
Принцип инвариантности в измерительной технике /Б.Н.Пет
-
ров, В.А.Викторов,
П.В.Лункин, А.С.Совлуков.
–
М.: Наука, 1976.
22.
Б
ромберг Э.М., Куликовский К.Л. Тестовые методы повышения точности измерений.
–
М.: Энергия, 1978.
23.
Алиев Т.М., Тер
-
Хачатуров А.А., Шекиханов А.М. Иттерационные методы повышения
точности измерений.
–
М: Энергоатомиздат, 1986.
24.
Планирование эксперимента в ис
следовании технологических процессов /К.Хартман,
Э.Лецкий, В.Шефер и др.
–
М.: Мир, 1977.
25.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий.
–
М.: Наука, 1976.