Е.М. Вечтомов
ВВЕДЕНИЕ В
ПОЛУКОЛЬЦА
Киров
2000
г

Вятский государственный педагогический университет
Е.М. Вечтомов
ВВЕДЕНИЕ В ПОЛУКОЛЬЦА
Пособие для студентов и аспирантов
Киров
2000

ББК 22.1
В 39
Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского
государственного педагогического университета
Научный редактор
Е. М. Ковтина, кандидат физико-математических наук, доцент, декан
математического факультета Вятского госпедуниверситета
Рецензент
A.B. Михалев, доктор физико-математических наук, профессор МГУ
им. М.В. Ломоносова
В 39 Вечтомов Е.М. Введение в полукольца: Пособие для студентов
и аспирантов. -Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000. -44 с.
В пособии изложены начала теории полуколец. Оно содержит 90
упражнений и задач как обучающего, так и исследовательского характера.
Может быть использовано в научно-исследовательской работе студентов,
аспирантов и преподавателей математических факультетов.
Вечтомов Е.М., 2000
Вятский государственный педагогический университет (ВГПУ),
2000

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
§1. Исходные понятия и примеры 5
Независимость аксиом
Присоединение единицы
Примеры
Полукольца с n < 3 элементам и
О конечных алгебраических системах
§2. Основные классы полуколец 10
Аддитивно сократимые полукольца
Аддитивно идем патентные полукольца
Дистрибутивные решетки
Полутела
§3. Идеалы 15
Решетка идеалов полукольца
§4. Конгруэнции 19
Решетка конгруэнции полукольца
§5. Структурные теоремы 24
Общая структурная теорема
Расширения полуколец
Ниль-радикал коммутативных антиколец
Циклические полукольца
Абелево-регулярные положительные полукольца
§6. Упорядоченные полукольца 29
Положительный конус упорядоченного кольца
Линейно упорядоченные полутела
§7. Полукольца непрерывных функций 34
Литература 39
3

Предисловие
Термин «полукольцо» произошел из наглядного представления о
полукольце как «половине кольца». Если взять линейно упорядоченное
кольцо (скажем, Z, Q или R) и «отрезать» множество отрицательных
элементов, то получим полукольцо (соответственно, Z+ = N0, Q+ или R+ )в
нем нельзя вычитать большие элементы из меньших. Определение
полукольца отличается от определения (ассоциативного) кольца только
тем, что не требуется существование противоположных элементов, но
предполагается, что аддитивный нуль является и мультипликативным
нулем. Современное определение дано Вандовером в 1934 г., хотя еще
Дедекинд рассматривал алгебраическую структуру всех идеалов кольца
относительно операций сложения и умножения идеалов, образующую
полукольцо.
Класс полуколец включает в себя все кольца, все дистрибутивные
решетки с нулем, ряд числовых объектов. При исследовании полуколец
широко применяются кольцевые (и модульные), полугрупповые,
решеточные и универсально-алгебраические понятия и идеи, конструкции
и методы. В частности, важное значение имеют идеалы, ко их (в отличие
от колец) недостаточно при изучении морфизмов и фактор-объектов.
Необходимо рассмотрение конгруэнции на полукольцах, дающих
возможность строить фактор-полукольца.
Для успешного изучения полуколец надо накладывать на них те или
иные дополнительные условия, ограничения, выделяющие важные классы
более просто устроенных полуколец, на основе которых можно развивать
различные структурные теории, например, сводить полукольца к кольцам,
дистрибутивным решеткам, полутелам и т.п.
Активное исследование полуколец началось в 50-е гг. XX в.
Развитие теории полуколец в последние 15 лет связано с их применениями
в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории кодирования,
идемпотентном анализе и теории оптимального управления [26, 51]. Как и
кольца, полукольца с единицей допускают хорошие функциональные
(пучковые) представления [4249]. Это делает актуальным изучение
полуколец непрерывных функции, обобщающих и развивающих
классическую теорию колец непрерывных функций [8, 51, 54]}
4

Полукольцам непрерывных функций посвящены кандидатские
диссертации [4, 29, 38].
Несколько слов о самой работе. Пособие служит введением в
теорию полуколец. Излагаются основные понятия, примеры и избранные
результаты, причем как хорошо известные, так и сравнительно новые,
полученные участниками научного алгебраического семинара Вятского
госпедуниверситета, действующего с 1994 г. (см. [1-7, 10-19, 25, 2741, 45-
49, 53]). Лишь некоторые результаты приводятся с доказательствами,
иллюстрирующими типичные рассуждения. Отметим, что основные
направления работы семинара -это полукольца и кольца непрерывных
функций, общая теория полуколец, пучковые представления полуколец.
Во многом пособие строится как система упражнений и задач,
предполагающая познавательную активность читателя. Мы приводим
более 70 упражнений учебного характера и 18 исследовательских задач,
которые могут послужить темами курсовых и выпускных работ, а также
научных публикаций. Используются материалы спецкурсов, прочитанных
автором студентам-математикам IV и V курсов Вятского
госпедуниверситета и Глазовского госпединститута- В дальнейшем наша
работа может стать отправной точкой для спецкурсов о полукольцах и
полумодулях, для научно-исследовательской работы студентов и
аспирантов.
Мы предполагаем знакомство читателя с педвузовским курсом
алгебры. Рекомендуем следующие книги, так или иначе связанные с
излагаемым материалом: [20-24, 50, 51]. Книги [48, 52] посвящены теории
полуколец. Данная брошюра предназначена студентам старших курсов,
аспирантам и преподавателям математических факультетов.
§ 1. Исходные понятия и принеры
Полукольцам называется алгебра (S,+, ,0} с двумя бинарными
операциями сложения + и умножения и выделенным элементом нуль 0,
удовлетворяющими следующим 7 аксиомам:
5

1) (S, +, 0) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0,
т.е. сложение в S коммутативно, ассоциативно и тождественно
х + 0 = х (3 аксиомы)
2) (S, •) - полугруппа, т. е. умножение ассоциативно (I аксиомa);
3) 0 - мультипликативный нуль, т.е. тождественно (Ьг-х"0 = 0
(1 аксиома);
4) ум ножение дистрибутивно относительно сложения с обеих
сторон, т. е. в S справедливы тождества (х + y)z ^xz + 'yz и
xfy+z)=xy+xz (2 аксиомы).
Независимость аксиом
Для доказательства независимости данных 7 аксиом надо построить
7 примеров алгебраических систем (S, +, -, 0), в которых соответственно не
выполнялась бы ровно 1 из 7 аксиом полукольца.
В примере {[0, \\ min> -, I) сложение - это операция min взятия
наименьшего из двух чисел, умножение - обычное, а нуль - это число 1, не
являющееся мультипликативным нулем. Все остальные аксиомы
полукольца выполняются. Значит, аксиома 3) не зависит от (не выводится
из)других аксиом теории полуколец.
Рассмотрим множество всевозможных отображений N0->N0,
сохраняющих 0, со сложением max (поточечно) и умножением ° -
композицией функций. Нулем служит функция-константа 0. Здесь
выполняются первые 6 аксиом, но не выполняется второй закон
дистрибутивности.
Упражнение 1. Докажите независимость остальных 5 аксиом.
Полукольцо S называется полукольцам с единицей, если его
мультипликативная полугруппа {£, ■) обладает нейтральным элементом 1,
называемым единицей: в S тождественно Ьх~хЛ ==х
Присоединение единицы
Для произвольного полукольца S возьмем прямое произведение
множеств SxN с покоординатным сложением и умножением, заданным
формулой: (s, mXt, л) — (§t+ns+mt, тп\ где ns - это сумма п элементов s.
Получаем полукольцо с единицей (0, 1\ содержащее подполу колыю
6

Sx {0}, изоморфное S. Эта процедура имеет смысл для полуколец S без
единицы. Итак, любое полукольцо можно вложить (с сохранением
операций) в полукольцо с единицей.
Упражнение 2» Дайте строгое обоснование этому построению.
Понятия подгюлукольш и изоморфизма полуколец определяются
очевидным образом (приведите определения).
У пражне ние 3. % дет ли любое подпалу кольцо произ вольного
кольца его подкольцом?
Дальнейшие определения. Полукольцо с коммутативным
умножением называется коммутативным. Множество всех обратимых
элементов мультипликативной полугруппы любого полукольца с I
образует группу относительно умножения, называемую
мультипликативной группой данного полукольца. Бели
мультипликативная группа полукольца S с 1 совпадает (как множество) с
S\{0}, то S называется полукольцом с делением. Полукольцо с делением,
не являющееся кольцом, называется полу тел ом. Коммутативное полу тело
называется полу полем. Полукольцо с 1 называется положительным, если
для любого его элемента s элемент s +1 обратим.
Полукольцо с квазитождеством х+у=0=>х^0 назовем
антикольцом; в нем только 0 имеет противоположный элемент.
Полукольцо называется аддитивно идемпотентным {мультипликативно
идем поте нтным\ если оно удовлетворяет тождеству х+х=х
(соответственно, хх-х). Полукольцо S называется аддитивно сократимым
(мультипликативно сократимым), если x+z-y+zz^>x~y для любых я,
у, z е S (xz^yz^x^y и zx-zy^>x=y для любых х, у и г^О из S).
Предполагается, что г ом ом орфизмы полу колец сохраняют 0.
Примеры
1. Числовые полукольца. Относительно обычных операций
сложения и умножения чисел N0 — {0, 1, 2, ...} - коммутативное аддитивно
и мультипликативно сократимое полукольцо с единицей 1. Полукольцо
{No, max, •) аддитивно идем патентно. Полуполя Q+ и R+ с обычными
операциями аддитивно сократимы, а если их рассматривать с операцией
max в качестве сложения, то получим аддитивно идемпотентные полуполя.
7

2. Кольца - это полукольца, в которых каждый элемент имеет
противоположный элемент.
3. Дистрибутивные решетки с нулем 0 - это коммутативные
полукольца, в которых справедливы законы поглощения: тождественно
х +ху =х и х(х +у)~х. Они аддитивно и мультипликативно
идемпотентны. Действительно, при у=0 второй закон поглощения дает
тождество jct=jt. Поэтому при у=х из первого закона поглощения
вытекает тождество х+х=х. Конкретные примеры: {[0, l\ max, min);
{В(Х% u, n), где B(X) - булеаи множества Ху т.е. множество всех
подмножеств в X; (N0, HOK, НОД). Подробнее о дистрибутивных решетках
будет сказано в §2,
4. Так называемое «минимаксное» полу поле (Ru {-oo}, max, +),
являющееся основой идемпотентного анализа [26}. Нулем служит элемент
<о? а единицей - число (X
5. Пример Дедекинда. Пусть ДА) - множество всех идеалов
произ вольного кольца (или полукольца), рассм атриваем ое с обычным и
операциями сложения и умножения идеалов. Нулевой идеал {0} в R играет
роль нуля. Бели R имеет 1, то несобственный идеал R служит единицей
полукольца КД\
6. Полукольца многочленов. Пусть S - полукольцо и х -
неизвестное. Тогда 5]х] ~ {s^x*-*- ..,+SxX+So'- S\ € S} - полукольцо с
естественными операциями сложения и умножения многочленов
(элементы из S коммутируют с х). Бели S - полукольцо с 1, то считается
\х =х, Sfc] является полукольцом с 1. Аналогично определяются
полукольца формальных степенных рядов S\[x% Можно рассматривать
подобные полукольца S\X] и S\pC§ от любого непустого множества
неизвестных, коммутирующих (или нет) между собой, и коэффициентами
из S.
7. Полукольца матриц. Пусть MJS) - множество всех квадратных
матриц п-го порядка с элементами из полукольца S. Относительно
обычных операций сложения и ум ножения м атриц MJS) становится
полукольцом.
8. Полукольца функций. Полукольцом является множество Sx
всех отображений непустого м ножества X в полукольцо S,
8

рассматриваемое с поточечно определенным и операциями сложения и
умножения функций.
Полукольца с п<3 элементами
С точностью до изоморфизма существуют: 1 одноэлементное
полукольцо - нулевое {0}; 4 двухэлементных полу кольца; 6
трехэлементных полу колец с единицей I. Перечислим их.
Прип ^2 имеем S = {0, а}. Возможны следующие случаи:
1) о + о=0иа2^0- получаем кольцо характеристики 2 с нулевым
умножением;
2) а + а = 0, а2 = а ~ двухэлем ентное поле Ъг (а = 1);
3) а + а^а, <я2-0 - аддитивно идемпотентное полукольцо с нулевым
умножением;
4) а +а=а,а2^а-двухэлементная цепьD(я = 1).
Пусть S - трехэлементное полукольцо cl: S= {0, 1, а}. Получаем
следующие 6 попарно неизоморфных коммутативных полуколец.
L Полукольцо S аддитивно идем патентно, т. е. 1 + 1 - L Тогда:
(1) а + 1 =\,а2~а -получаем трехэлементную цепь S = {0<а< 1};
(2) а +1 = 1,а2^0(случайа +1 = 1,а2 = Î невозможен);
(3) а +1 =а, а2 -а - трехэлементная цепь S^ {0 < 1 < а} (случаи
а + \=а, а2^0 и а + 1=а, а2-1 невозможны)
Предположение а + 1 =0 противоречиво,
II. 1 + 1^1. Случай 1 + 1=0 невозможен. Поэтому 1 + 1 =д.
Тогда:
(4) а+ 1=0, откуда д2 = 1 - получаем трехэлементное поле Z3
(я ^ 2)5
(5)а + 1=13 откуда а2:=а - получаем мультипликативно
идемпотентное полукольцо;
(6)а + 1~а, откуда а2 = а - мультипликативно идемпотентное
полукольцо.
Упражнение 4. Проверьте детально ситуацию с трехэлементными
полукольцами с 1. Приведите таблицы Кэли этих полуколец.
Задача 1. Опишите с точностью до изоморфизма все
трехэлементные полукольца без единицы.
9

О конечных алгебраических системах
Изучение конечных алгебраических систем - важное направление в
современной алгебре и дискретной математике. Мощным инструментом их
описания служит компьютер. Еще в XIX в. выяснено строение конечных
полей и конечных абелевых групп. Привлекательной для исследований,
курсовых и выпускных работ является задача описания различных
алгебраических систем малого порядка: групп, полугрупп, колец, решеток,
полуколец и т. д.
Известно, что с точностью до изоморфизма существуют:
2 четырехэлементиые группы, 2 шестиэлементные группы,
5 восьмиэлементных групп и по 1 группе каждого простого порядка;
5 двухэлементных полугрупп, 24 трехэлементные полугруппы,
188четырехэлементных полугрупп; по 2 двухэлементных и
трехэлементных кольца, 11 четырехэлемеш'ных колец;
2 четырехэлементные решетки, 5 пятиэлементных решеток,
15шестиэлементных решеток; 16 четыре хэлементных и
63 пятиэлементных упорядоченных множеств; 8 четырехэлементных и
44 пятиэлементных линейно упорядоченных полуколец с наибольшим
элементом 1.
§ 2, Основною классы полуколец
Рассмотрим некоторые важнейшие классы полуколец.
Аддитивно сократимые полукольца
Кольцо R называется кольцом разностей полукольца S, если S есть
подполу кольцо в R и каждый элемент г е R является разностью некоторых
элементов s, t e S: r^s-L Класс аддитивно сократимых полуколец
содержит все кольца.
Теорема 1, Для любого полукольца S эквивалентны следующие
условия:
î) S аддитивно сократимо;
2) S обладает кольцом разностей;
3) S вкладывается в некоторое кольцо.
10

Существенным является лишь доказательство импликации 1)^>2).
Построение кольца разностей R аддитивно сократимого полукольца S (оно
единственно с точностью до изоморфизма над S) вполне аналогично
построению кольца Z целых чисел, исходя из системы N натуральных
чисел: элементы R определяются как классы эквивалентных пар (s, i)
элементов из S, интуитивно представляющих собой разности s - L
Задача 2, Как связаны между собой свойства аддитивно
сократимого полукольца и его кольца разностей: коммутативность,
наличие 1, отсутствие ненулевых нидьпотентных элементов или делителей
нуля, мультипликативная идемпотентность или сократимость и т. а?
Упражнение 5. Приведите пример полуполя, не вложим ого в тело.
Аддитивно идемттентные полукольца
Сразу заметим, что любое аддитивно идем патентное полукольцо
является антжольцом. Действительно, в нем а + £=0 влечет
a ^a + a+b~a+.b~Q.
Ha произвольном аддитивно идемпотентном полукольце S
естественным образом вводится ог ношение порядка <:
а <Ь означает a+b-b.
В результате получается упорядоченное полукольцо {S, +, -, 0, <) с
наименьшим элементом 0 (см. §6).
Упражнение 6- Докажите последнее утверждение.
Дистрибутивные решетки
Существуют алгебраическое и порядковое определения решетки.
Алгебраически решеткой называется алгебра (S, +, ■) с бинарными
операциями сложения + и умножения -, которые коммутативны,
ассоциативны и связаны законами поглощения; их идемпотентность
вытекает из остальных аксиом. При порядковом подходе решеткой
называется упорядоченное множество (5, <), любые два элемента которого
имеют точную верхнюю грань (sup) и точную нижнюю грань (inj).
Если в решетке (S, +, •) задать бинарное отношение < правилом:
а<Ь означает a + b^b (или ab~a\ то получим «порядковую» решетку
11

(S,<). Обратно, если в решетке (S, '<) положить a+b=$up{a, h) и
ab ^infla, b\ то получим решетку (S, +, *) в алгебраическом смысле.
Эти отображения устанавливают взаимно однозначное соответствие
между классами решеток в алгебраическом и порядковом смыслах.
Упражнение 7. Проверьте эквивалентность (равнообъемность)
двух данных определений.
Далее будем считать, что любая решетка S является алгебраической
системой (S, +. -, <).
Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется закон
дистрибутивности: (x+y^=xz+yz. Примером дистрибутивной решетки
является всякая цепь -упорядоченное множество, в котором х<у шту<х
для любых элементов х, у. Решетка называется модулярной, если в ней
справедливо тождество ixz+y)z~xz+yz (более слабое, чем
дистрибутивность ).
Упражнение 8. Докажите, что для любой решетки закон
дистрибутивности равносилен двойственному закону дистрибутивности:
ху +z = ix +z>fy +z\
Говорят, что решетка S есть решетка с нулем О, если в (S, <)
существует наименьший элемент 0. Алгебраически 0 можно определить
одним из тождеств 0+х^х или (k^ö. Бели решетка S имеет наибольший
элемент I, то S называют решеткой с единицей 1: единица 1 может быть
определена одним из тождеств 1 +х = 1 или \х =х.
Дистрибутивная решетка S с нулем 0 и единицей 1^0 называется
булевой решеткой, если каждый элемент s е S имеет дополнение, т. е.
такой элемент / е S, что s+/ = l и st = Q. Дополнение t элемента s
единственно и обозначается s'. Поэтому булевы решетки можно
рассматривать как булевы алгебры, т.е. дистрибутивные решетки в
алгебраическом смысле с унарной операцией ' и с дополнительными
тождествами (аксиомами) jc+jc'=1 ихс'^О. Примером булевой решетки
служит булеан <#(*), с) при любом непустом множествеХ
Упражнение 9. Докажите, что в любой дистрибутивной решетке с 0
и 1 каждый элемент имеет не более одного дополнения.
12

Упражнение 10. Докажите, что в любой булевой решетке
тождественно х" =х (закон двойного дополнения), (х + уУ = х'у' и
(хуУ — х' + у Законы de Мэргана\ а также
x<y<r>y<x'<^xy'=ö<=>xf+y-l.
Приведем некоторые полукольцевые характеризации
дистрибутивных решеток с нулем.
Теорема 2. Для произвольного полуколы^а S равносильны следуюгцш
утверждения:
!) S - дистрибутивная решетка с нулем,
2) в S тождественно (х + у)(х + z) - х + yz;
3) в S справедливы тождества (х + у)х ^х = х(х + у);
4) в S тождественнох + ху = х ^х + ух их2 =х.
Доказательство нетрудно провести по циклу
1 ) => 2) => 3) z=^> 4) :=> 1 > В качестве иллюстрации докажем, что 4) => 1 \
Пусть полукольцо S обладает свойством 4). Тогда тождественно
(х +у)х =х2 +ух ~х +ух ~ху xfy +y)~x +xy ™jc.
Значит, в S имеют место законы поглощения. Остается проверить
коммутативность умножения:
ху =ху +хух ^хуху +хух =ху(ху +х)=хух =
=(яс +дяс)ух =xyjc +jaryx =xyjt +_уж —ух.
Угфажнение 11, Докажите, что для полукольца с 1 эквивалентны
тождества: х + 1 - 1, х +ху =х9 х +ух ~х.
Упражнение 12. Проверьте, что для любого полукольца S с 1
равносильны условия: S - дистрибутивная решетка с 0 и 1; в S
тождественно х(х+у)-х; в S тождественно (х+уУ=х; в S выполняются
тождества х -Н = i нх2 ~х.
Более подробно с дистрибутивными решетками можно
познакомиться в [9,20].
I Толу тела
Наряду с полуполями - вспомним числовые полуполя и
минимаксное полуполе из примеров 1 и 3 §1 - существуют
некоммутативные полутела. Пусть
13

Ю с
a,b,c g R, а > 0,с> 0 или я ~ Ь = с = О
полукольцо треугольных матриц с обычными операциями, являющееся
подполукольцрм в M2(R)l Получаем некоммутативное полутело Р.
Рассмотрим теперь некоторые структурные свойства полутел.
1. Любое полутело является антикольцом.
В самом деле, пусть S - полутело иа+е=0 для некоторых я, b е 5.
Бели а * 0, то любой элем ент s e S им еет противоположный:
5 +séa*! ^.stftf"1 +sba~x = 0,
что невозможно. Значит, а =0, и S - антикольцо.
Для произвольного полутела & в силу свойства 1 получаем алгебру
(S\ {0}, +, -), называемую нам и «о/гутеяам без f/уля.
2. С точностью до изоморфизма существует единственное
конечное полу тело - двухэлементная цепь D = {0,1}.
Докажем это. Пусть $=$,+ ...+$п - сумма всех ненулевых
элементов конечного полутела S. Полутела мультипликативно сократимы.
Поэтому для каждого i: = 1, ..., п элементы SjSj, ..., snSj попарно различны и
образуют перестановку ненулевых элементов полу тела. Следовательно,
причем s * 0 по свойству 1. Откуда 5; = 1, и5={0, 1}.
3. Всякое полутело либо аддитивно идемпотентно, либо
содержит полуполе Q+ в качестве подптутела.
Доказательство этого свойства имеется в [52J
Упражнение 13. Попытайтесь самостоятельно доказать свойство 3.
4. Любой неединичный элемент мультипликативной группы
произвольного полутела имеет бесконечный порядок.
Действительно, пусть S - полутело и а е SA {0}. И пусть ап = 1 для
некоторого натурального числа и. Полагая с = о""1 + ...+ а + 1 ф 0 (по
свойству \\ получаем ас = о" + (а11"1 + ...+ а) = 1 + (апА + ... -ha) — er, откуда
д = 1.
5. Класс идемпотентных полутел без нуля совпадает с классом
решеточноупорядоченных групп (см. [16])l
6. Прямое произведение любого непустого семейства попу тел
без нуля является полутелам без нуля.
14

Напомним, что в прямом произведении однотипных алгебр
операции выполняются покоординатно.
Свойство 6 позволяет строить новые полутела из данных полутел.
Пусть дано непустое семейство полутел без нуля S,\{Ö}, i e /, и пополним
его нулем. В результате получим полутело, которое назовем почти
прямым произведением данного семейства полутел.
7. Любой не нулевой г ом ом орфный образ произвольное о полу тела
также является полутелом.
Упражнении 14. Докажите свойства 6 и 7.
§3. Идеалы
Расмотрение идеалов на полукольцах - это кольцевой подход к
изучению полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется идеалом в S,
если а, Ъ е / влечет а ■+ b, sa, as s I для любых а, &, s e S. Для
не комм утативных полуколец определяются понятия левое о и правое о
идеалов (как?). Наименьший идеал полукольца S, содержащий элемент
a &S3 называется главным идеалом, порожденным а, и обозначается (а}, он
является пересечением всех идеалов, содержащих элемент а. Заметим, что
само S и {0} служат идеалами полукольца $, называемыми соответственно
несобственным и нулевым. Каждый идеал в S содержит 0.
Упражнение 15. Докажите, что пересечение любого непустого
семейства идеалов полукольца является его идеалом.
Упражнение 16. Покажите, что для полукольца S и а е S
(ß)~CZs\ot^na :я е N0,i=l, ...ДДе N и^,/; е S].
Если S - коммутативное полукольцо с 1 и a е S, то (ß)~aS~{as:
s g S}.
Суммой конечного семейства идеалов /ь ..., 1п полукольца
называется множество/| + ... +/п = {а,+ ... ап:ах е 1Ъ -*,яп е /„}♦
Упражнение 17» Проверьте, что сумма нескольких идеалов
полукольца является идеалом этого полукольца. Можно ли определить
сумму бесконечного семейства идеалов полукольца?
15

Произведением IJ идеалов I и J полукольца называется множество
всевозможных конечных сумм элементов вида ab, где а € / и b e J. Снова
получаем идеал.
В частности, 4Zn6Z = 12Z, 4Z+6Z-2Z и 4Z-6Z-24Z. Легко
видеть, что для любых целых чисел а и Ь: аЪ слЪЪ = НОК(я, Ъ\
ab +bZ = НОД(я, b)naZ-bZ =аЬЪ.
Бели iS - кольцо с 1, то любой идеал в полукольце S является и
кольцевым идеалом, т.е. замкнут относительно операции вычитания. Но
для колец без единицы это, вообще говоря, неверно. Например, в кольце S
всех целых чисел с обычным сложением и нулевым умножением (ab^Q
для всех a, b e S) N0 - полу кольцевой идеал, не являющийся кольцевым.
Упражнете 18. Найдите все полукольцевые идеалы обычного
кольца 2Z.
Идеал / полукольца S называется конечно-порожденным, если он
обладает конечной системой образующих аь ..., ап: I = (а{) + ... + (ап).
Бели S ком мутативно и с 1, то
/={jla, + ...+5naB:jï,...,511€5}.
Пример. В полукольце N0 любой идеал конечно-порожден (см. [48Jl
Кроме того, пусть / - ненулевой идеал в N0 и d = НОД I. Тогда существует
такое k е 1Ч,чго/п {к, к + \,к + 2,...} - {А, *+ </,* +2</,...}.
В конечных дистрибутивных решетках все идеалы -главные.
Далее, идеал / полукольца S называется полустрогим, если
a,a+bel ^ b е /, и строгим, если а+Ь е I =>а,Ье! (для любых
a,b e S). Нулевой идеал - полустрогий, а само 5 - строгий идеал. Строгие
идеалы являются полустрогим и. В кольцах с 1 все идеалы полу строгие. В
дистрибутивных решетках с 0 все идеалы строгие. Нулевой идеал
полукольца S - строгий <=> S - антикольцо.
Собственный идеал / полукольца S (I*$) называется:
максимальным, если в S нет собственных идеалов, строго содержащих /;
простым, если ab е I влечет а е / или b g / для любых a, b е S;
полупростым, если а2 в I влечет a е / для любого ае/. Заметим, что
максимальность идеала I ъ S означает, что / есть максимальный элемент
упорядоченного множества всех собственных идеалов полукольца S
относительно отношения включения о Очевидно, что пересечение любого
16

непустого множества простых идеалов произвольного полукольца является
полупростым идеалом этого полукольца.
Упражнение 19. Для полукольца N0 найдем все его строгие,
полу строгие, максимальные, простые и полу простые идеалы. Проверьте
следующие утверждения об идеалах в N0:
строгими являются только нулевой и несобственный идеалы;
полу строгие идеалы совпадают с главными;
M = N0\{1} - наибольший собственный идеал и, стало быть,
единственный максимальный идеал;
кроме нулевого идеала и M простыми идеалами являются в
точности главные идеалы /?N0, порожденные простыми числами р;
помимо нулевого идеала и M полу простым и являются в точности
главные идеалы, порожденные натуральными числами, разложимыми в
произведение попарно различных простых чисел (т. е. свободными от
квадратов натуральным и числам и > 1)
Ясно, что полукольцо с 1 - ненулевое oUO.
Теорема 1. Любой собственный идеал произвольного полукольца с
I # 0 содержится в некотором его максимальном идеале.
Эта теорема вытекает из леммы Цорна, эквивалентной аксиоме
выбора - важном и необходимом инструменте современной математики.
Лемма Цорна. Если в упорядоченном множестве каждая цепь
ограничена сверху, то оно обладает хотя бы одним максимальным
элементом.
Упражнение 20. Выведите теорему 1 из леммы Цорна.
Ееиштш идеалов полукольца
Пусть IdS - множество всех идеалов произвольного полукольца 51
Относительно операций сложения и пересечения идеалов или отношения
включения IdS является решеткой с наименьшим элементом {0} и
наибольшим элементом S. Эта решетка не обязана быть модулярной Щ
Пусть теперь S - аддитивно сократимое полукольцо нЯ - кольцо его
разностей. Заметим, что решетка идеалов кольца модулярна, но, вообще
говоря, не дистрибутивна. Между решетками идеалов Id S и Id R
существуют следующие связи. Для любого идеала / кольца R положим
a{f)=Jr\S - полу строгий идеал в S. А для любого идеала / полукольца S
17

положим ß(/)=/-/ - так называемый разностный идеал кольца R. В
результате получаем пару отображений a:IdR-> IdSn ß: IdS~> IdR. Эти
соответствия в определенной мере позволяют сводить изучение идеалов
полукольца к идеалам кольца.
Задача 3. Каким и свойствами обладают отображения а и ß? См. [6].
В оставшейся части параграфа предполагается, что S - произвольное
коммутативное полукольцо с 1 ф 0.
Предложение 1. Пусть I - идеал в S, не пересекающийся с
непустым подмножеством А в S, замкнутым относительно ум ноже ния>
Тогда любой идеал Р в S, максимальный среди всех идеалов J, таких, что
l(zJuJпА = 0t является простым идеалом.
Доказательство. Пусть Р - указанный в формулировке
предложения идеал полукольца 5. Тогда Q п А ф 0 для любого идеала Q в
S, строго содержащего Р (PczQ\ Для доказательства простоты идеала Р
возьмем любые элементы а, Ъ g S/P. Имеем PczP+aS и PczP+hS.
Откудаp + as g A ид+bt g А для подходящих/?, g g PhsJ g S. Значит,
A э (p + as\q + ht)=(pq +pbt -f asq) + a to.
Поскольку элемент, заключеный в скобки в правой части равенства,
принадлежит Р иР r\ А = 0, то ab g P. Предложение доказано.
Теорема 2. Любой максимальный идеал в S является простым.
Данная теорема непосредственно вытекает из предложения 1, если
взять максимальный идеал / в S и А = { 1}.
Следствием предложения 1 служит также (почему?)
Предложение 2. Каждый полупростой г4деал полукольщ S есть
пересечение всех простых идеалов, его содержащих.
Обозначим через rad S пересечение всех простых идеалов
полукольца S. Получаем идеал, называемый простым радикалом (или
ниль-радикалом) полукольца S, Напомним, что элемент а полукольца
называется нильпотентным, если ап для некоторого натурального числа п.
Теорема 3. Простой радикал полукольщ S совпадает с
множествам всех его нильпотентных элементов.
Доказательства Легко видеть, что нильпотентные элементы
полукольца S содержатся в любом его простом идеале, т. е. лежат в radS.
С другой стороны, возьмем в S любой нильпотентный элемент а. Положим
18

A ^{a, az, ..., ап}. При / = {0} лемма Цорна гарантирует существование
идеала Р, максимального среди идеалов в Sy не пересекающихся с Л. По
предложению 1 Р - простой идеал, не содержащий а. Значит, a g rad S.
Теорем а доказ ана.
Ясно, что полупростота нулевого идеала полукольца S эквивалентна
равенству Rad S= {0}.
Пересечение всех максимальных идеалов полукольца S называется
папупростым радикалам (по Джекобсону) Rad S полукольца S. По
теореме 2 rad S с rad S.
Для кольца S имеет место следующая характеризация идеала Rad S:
Предложение 3. Справедливо равенство
Rad S - {s € S' элемент I -as обратим для всех а е S).
Упражнение 21. Докажите предыдущее предложение (см. [24]).
Предложение 4. Полукольцо S - положительное <=> все
максимальные идеалы в $ - строгие.
Упражнение 22. Докажите предложение 3.
Для произвольного элемента а е S множество Ann a = {s g S:
as=0} называется аннулятором а. Для любого простого идеала Р в S
положим
Öp^ {5 е 5:ау=0дпя некоторого« g S/P}}.
Идеалы вида Ор играют важную роль в структурной теории и в пучковых
представлениях полуколец [167 48].
Упражнение 23- Проверьте, что Ann а и Ор - полу строгие идеалы
полукольца S.
§4. Конгруэнции
Как и в теории полугрупп или решеток, при исследовании строения
полуколец, конгруэнции играют более существенную роль, чем идеалы,
хотя некоторые известные конгруэнции строятся по идеалам полуколец.
Конгруэнцией на полукольце S наз ывается отношение
эквивалентности р на 5, стабильное относительно операций:
aph и cpd влекут (а + с)рф +d)n (ac)p(bd) для любых a, byc,d g S.
Упражнение 24. Докажите, что отношение эквивалентности р на
полукольце S есть конгруэнция <г> для любых а, &, с g S:
19

apb влечет (a +c)p(& +c\ (ас)рфс) и (ca)p(cby
Пусть р - конгруэнция на полукольце S. Для каждого a g S положим
[а\> = {s g S: spa}. Очевидно, что [а\> — [b\> <з> apb. Множество S/p - {[а\:
ар S} всех классов эквивалентности р с операциями
Н + Н = 1а+Ь1и[аЦЬ1=[аЬЪ
является полукольцом, называемым фактор-полукольцом полукольца S по
конгруэнции р. Существует канонический гомоморфизм п: S —> S/p,
7i(a)=[ö~k для всех a е S. Роль нуля в S/p играет класс [0^, являющийся
полу строг им идеалом в S.
Пусть / S -^ Т - произвольный гомоморфизм полуколец.
Отношение равнообраз ностпи р( отображения/ арф означает fia) =fip) для
любых ауЬ е S, является конгруэнцией на S.
Аналогичные построения проводятся для любых алгебр: групп,
колец» полугрупп, решеток и т. а В частности, и для полуколец имеет
место следующая теорема.
Теорема о гомоморфизмах. Для любого гомоморфизма f
полукольца S на полукольцо Т существует единственный изоморфизм
gS/pf—> Т, для которого g<>n—f, где ж: S ~~* S/pf - канонический
гомоморфизм.
Именно, äKU ~fa) при любом а е S.
Упражнение 25. Восстановите доказательство этой теоремы.
Замечание. Теорема о гомоморфизмах показывает, что понятия
гомоморфизма «на» (эпиморфизма), конгруэнции и фактор-полукольщ
(для произвольного полукольца) - три лика одной и той же вещи. Первое
из них отождествляется с каноническим гомоморфизмом, второе - с
отношением равнообразности сответствующего гомоморфизма, третье - с
гомоморфным образом данного полукольца.
Рассмотрим пример [48]. На полукольце N0 каждая конгруэнция, не
являющаяся отношением равенства, имеет вид p(k,n) для некоторых
к g N0 и п е N:
ар(к, rifi означает, что а^Ь<к или а^Ь (mod п) при a>k<b»
Получаем фактор-полукольцо Nc/p(£,п) = {{0}, ..., {£-1}, \к\ ..., [&+й-1]},
где [т\- {т+хп:х е N0} где m ~к9..., к+п-1.
20

Упражнение 26. Найдите все идеалы и конгруэнции
шестиэлементной дистрибутивной решетки, изображенной на рисунке:
Для любого идеала / полукольца S определяется бинарное
отношение Берна р(/) на S:
apifp означает, что а +х ^Ь +у для некоторыххуу е /.
Легко видеть, что р(7) - конгруэнция на S и [0^ - наименьший
полу строгий идеал в S, содержащий L
Рассмотрим несколько известных конгруэнции на произвольном
коммутативном полукольце 5 с 1 ^t 0. Во-первых, это огношение Берна
р((9Р) по идеалу Ov для любого простого идеала Р в S. Во-вторых,
конгруэнция Q(P\ Р - простой идеал в S:
ад(Р)Ь <=>3seS\Pas =bs.
В-третьих, отношение Берна р(Апп а) по аннулятору любого элемента
a g S. Наконец, это «уравнитель» ~ данного элемента ае5:5~/о^=о/
для всехs,t g S. Заметим, что p(öP)cв(Р)ир(Апп a)ç ~.
Упражнение 27. Рассмотрите подробнее предыдущие конгруэнции.
Предложение 1. Для произвольного идеала I полукольца S
эквивалентны следующие условия:
1)1- полустрогий идеал,
2) I ' — [0]р - класс нуля некоторой конгруэнции р на S;
Доказательство нетрудно провести по циклу \)=> Ъ)^> 2)=z> 1).
Упражнение 28. Докажите это предложение.
21

Предложение 2 (см. [51]). Коммутативное полукольцо с 1 имеет
ровно две конгруэнции с$ оно является полем или изоморфно
двухэлементной цепи.
Упражнение 29. Какие еще полукольца имеют ровно две
конгруэнции?
Полуполе R+ имеет ровно три конгруэнции: отношение равенства;
двухклассовую, порожденную разбиением {{ö}, R+\{0}}; одноклассовую.
Любое бесконечное полутело имеет по крайней мере три (указанные)
конгруэнции.
Задача 4. Как устроены полутела, обладающие ровно тремя
контру э нциям и?
Вгшгтш. кощруэищш полукольца
Множество Con S всех конгруэнции полукольца S является
решеткой относительно включения конгг^энций:
р^о означает, что apb => a<jb для любых a,b e S.
Наименьшим элементом служит нулевая конгруэтрш Ö, представляющая
собой отношение равенства на S, a наибольшим элементом - единичная
конгруэнция 1=р(0,1Х «склеивающая» все элементы в S, т.е.
одноклассовая конгруэнция. Для любых р, а е Con S имеем
inflp, ö)=pno и sup(p, о)^р v о, где а(р r> a)b означает, что существует
цепочка элементов аъ ..., ап е S, такая, чтоат^т^ь --• #Л+А гДе ть Xv->
Tn+i -последовательность чередующихся конгруэнции р и а.
Упражнение 30. Найдите решетку конгруэнции некоммутативного
полутела матриц из §2. Нарисуйте ее диаграмму Хассе.
Упражнение 31. Докажите, что решетка Con S для любого полутела
Змодулярна.
Упражнение 32 [16]. Докажите, что решетка конгруэнции любого
аддитивно вдем патентного полу тела дистрибутивна.
Задана 5. Что представляют собой полукольца S, для которых
существует естественное взаимно однозначное соответствие между Con S
н Id SI Когда решетки Con Su Id S изоморфны?
Задача 6. Дайте абстрактную характеризацию решеток
конгруэнции всех полуколец, полутел, конечных полуколец.
22

Пусть теперь S - аддитивно сократимое полукольцо с кольцом
разностей R. Установим соответствия между решетками Con S и IdR. Для
каждого идеала J кольда R обозначим через у(7) так называемую идеальную
конгруэнцию на S, определенную следующим образом :
sy(f)t<^>s~t g Jпри всехs9t g S.
A для любой конгруэнции р на S определим идеал
д(р) = {s -1: s, t g S и spt} кольца R.
В результате получаем отображения у: Id R —> Con S и 6:
Con S-^ Id R, устанавливающие полезные связи между конгруэнциями на
S и идеалами bR.
Упражнение 33. Проверьте, что у(/) g Con S и 6(р) g Zrf /?.
Упражнение 34. Докажите, что конгруэнция р на аддитивно
сократимом полукольце S идеальна <=> (a+c\>(b+c) ^> арЪ при любых
a,b,c€ S.
Задача 7, Каким и свойствами обладают соответствия у и5? См. [6}
Теорема. Для любых полуколец S и Т с единицей I решетка
конгруэнции прямого произведения S хТизоморфна прямому произведению
решеток конгруэнции этих полуколец:
ConfS х T) s Con S х Con T.
Доказательство. Для конгруэнции р на 5 и о на Т определим
бинарное отношение р х а на S х Т:
(s, t) рха (s\ /*)<=> $р$' и tat для любых s, sf <=Snt,f s T.
Очевидно, что pxcs есть конгруэнция на S х T.
Обратно, пусть - - произвольная конгруэнция на Sx T. Для любых
s, s' g S и /, f g T положим sps' и taf в том и только в том случае, когда
(s, 0)~(?г, 0) и, соответственно, (0, /)~(0, ?\ Ясно, что р и о - конгруэнции
на S и Г соответственно. Покажем, что - = рха. Бели (у, t) рха (у', f\ то
А если (s, /) ~ ($\ f\ то, умножая это соотношение на элемент (1,0),
а затем это же соотношение на (0, 1), получим (s, О) - (уг, 0) и ф, *) - (0, ^
т. е. spsr и to/', откуда (у, t)pxa (у', г"). Эти соответствия и устанавливают
изоморфизм между решетками ConÇSx T)nCon SxCon T.
23

Упражнешю 35. Докажите, что решетка конгруэнции п-элементной
цепи является булевой решеткой, содержащей 2nl элементов.
Следствие. Решетка конгруэнции прямого произведения нескольких
конечных цепей - булева решетка.
Например, шестиэлементная решетка из упражнения 26, будучи
прямым произведением двухэлементной цепи и трехэлементной цепи,
имеет булеву решетку конгруэнции, содержащую 2-4=8 элементов.
Заметим, что вообще решетка кош^руэнций любой конечной
дистрибутивной решетки является булевой решеткой рО].
Предложен« 3. Пусть S - полу тело, р - конгруэнция на S и ab = ba
для ненулевых элементов a,b&S. Тогда если anpbn для некоторого
натурального числа п, то apb.
Доказывается аналогично свойству 4 полутел из §2, если в нем в
качестве элемента а взять элемент ab'\ a вместо отношения равенства - р.
Утоажиение 36. Восполните детали.
§5. СгрукгурЕые теоремы
Что такое структурная теорема и теорема о строении в алгебре? В
широком смысле структурная теорема - это результат об абстрактных
алгебраических свойствах алгебраических объектов (групп, колец,
полуколец и т. д.). Обычно структурная теорема сводит изучение объектов
к более простым, лучше изученным объектам с помощью той или иной
конструкции (прямого произведения, расширения, радикала и т. п.).
Теорема о строении (в узком смысле) дает полное описание с точностью до
изоморфизма всех объектов из данного класса алгебраических структур.
Общхя структурная теорема
Пусть дано непустое семейство (р{: i е I) конгруэнции на
полукольце S. Рассмотрим прямое произведение соответствующих фактор-
полуколец И S/pi, Его элементы можно мыслить как «строки» fo) с i4i
координатой х; е S/p{ для каждого индекса i e /. Существует естественный
гомоморфизм
а: 5~> П S/p;, a(y)^^j) для всех s е S.
Бго образ a(S) является подпрямым произведением полуколец Slpx (i g 1%
т.е. подполу кольцом в Y\S/ph таким, что каждый элемент х{ е S!p{ при
24

любом / е / служит i-й координатой некоторого элемента (строки) этого
подполу кольца. Действительно, jc; = [у^ для подходящего s е S, т. е. Xj есть
\-я координата строки a(s\
Предположим, что n pi =0, т.е. пересечение всех конгруэнции р;
есть нулевая конгруэнция. Возьмем s, t е 5, для которых a(s) = a(t). Тогда
\?\п ~ й» ир1* всех * € Ъ т-е- 5Pi^ Я*1*1 всех * G ^* Значит, s(r\p\% sOt ns=t.
Итак, получаем следующую теорему универсальной алгебры.
Теорема 1. Если семейство конгруэнции р (i el) произвольном
полукольце S имеет нулевое пересечение, то полукольцо S изоморфно
подпрямаму произведению фактор-полуколец S/p-, (i e I).
Разумеется, для успешного применения этой теоремы необходимо,
чтобы факторкюлукольца S/p, были проще устроены, чем само полукольцо
S. Теорема 1 имеет многочисленные применения в теории колец и в теории
дистрибутивных решеток. Так, применяя теорему I к дистрибутивной
решетке из упражнения 26, мы видим, что она изоморфна прямому
произведению двухэлементной и трехэлементной цепей.
Икширенш полуколец
Полукольцо S называется расширением полукольца А при помощи
полукольца £, если существует такая конгруэнция р на 3, что Щ, ~ А и
S/p ~ В (расширение посредством конгруэнции р)
Например, если S = АхВ - прямое произведение полуколец А и Д
то посредством конгруэнции р: (я, b)p(a\ br) означает Ь — У при любых
а, а' <=А и b, h' s В, S есть расширение А при помощи В (а также В при
помощи А\
Обозначим через g(S) множество всех элементов полукольца 3,
имеющих противоположный элемент. Легко видеть, что g(S) - строгий
идеал в S, являющийся кольцом.
Теорема 2 [13]. Любое полукольцо S является расширением
однозначно определенного с точностью до изоморфизма кольца при
помощи некоторого антикольца
Для доказательства рассмотрим конгруэнцию Берна р ~ p(g(*S)) по
идеалу g(S). Тогда Щ> = g(S) и S/p - антикольцо. Действительно, если
25

[а^ + ВД = Щ, для а, Ъ е S, то a+b е g(S\ откуда а е g(S\ т.е.
Чтобы проверить единственность кольца g(S) возьмем
произвольную конгруэнцию а на S, для которой [а]^ - кольцо и Sfa -
антикольцо. Ясно, что [0^ çz g(5). Бели де^(5), то а+Ъ^ 0 для
некоторого bsg(S), откуда [а^ + [% = [0]^ и значит [а^ - [01,, т.е.
а е [0]о. Поэтому [О], =g(»S)i
Заметим, что в теореме 2 антикольцо определено не однозначно.
Пусть S = Z х No- Тогда g(S) ~ Zx{0 }- простой строгий идеал в S.
Возьмем двухклассовую конгруэнцию а на 5, порожденную разбиением
{g(Sl S\g(S)}. Для нее И, = g(S) и S/a s D = {0, 1}. Итак, S есть
расширение кольца Z = g(S) при помощи не изоморфных антиколец N0 и D.
Кроме того, полукольцо Z х D также является расширением Z при помощи
D, но оно не изоморфно S.
Предложение [13]. Полукольцо Sel изоморфно прямому
произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда идеал g(S)
имеет единичный элемент е, коммутируюищи со всеми элементами из S.
Упражнение 37. Попытайтесь доказать данное предложение.
Сделаем несколько замечаний о классе антиколец Класс антиколец
замкнут относительно взятия подполу колец, прямых произведений,
расширений, но не гомоморфных образов. Антикольца образуют
квазимногообразие алгебр, не являющееся многообразием. Бели р -
конгруэнция на полукольце S, то S/p есть антикольцо <=> Щ> - строгий
идеал в S.
Упражнете 38. Докажите эти простые утверждения.
Нильрадикал коммутативных шнткалец
Пусть S - коммутативное антикольпа Как и для полуколец с 1 (см.
§У% обозначим через га d S множество всех нилъпотентных элементов в S и
будем называть radS нильрадикалом полукольца S. Если a^b^radS и
s g S, то о1" = 0 и Ьа = 0 для некоторых натуральных чисел т, и, откуда
(asf1 = amsm — 0 и по биному Ньютона
(а +ЬТ+пА =am+nA+Clm+nAam+n-2b + ... + <^mw*m+n"k"W" + Ьт+п~1 -0.
Значит, rad S - идеал полукольца S.
26

Пусть теперь a+b е radS для некоторых элементов a, b е 5, т. е.
(а +&У1 ^0 для подходящего натурального п. Имеем
дп + С\апЛЬ +... + CV'V +... + 6п - 0.
Поскольку S - антикольцо, то ап - Ь" = 0, т. е. о, b е га J 5. Следовательно,
raj 5 - строгий идеал в S.
Полукольцо S называется радикальным, если гас/ £ = 5, и
редуцированным, если га J S = {0}.
Теорема 3. Любое коммутативное антикольцо есть расширение
радикального коммутативного антикольца при помощи редуцированного
коммутативного антикольца
Доказательство. Пусть S - ком мутативное антикольцо и
p^p(radS) - конгруэнция Берна на S, Тогда [0J, = rod S - радикальное
коммутативное антикольцо. Фактор^кщукольцо S/p есть коммутативное
антикольцо. Если [afp = [0^ при некоторых а е S и натуральном л, то [ап^
= [0^ ап е rarf 5 и а е гд J »S, т. е. [а\> = [0^. Значит, S/p - редуцированное.
Упражнение 39. Докажите, что в теорем е 3 радикальное
антикольцо определено однозначно с точностью до изоморфизма. Верно
ли это для редуцированного антикольца из теоремы 3?
Циклические полукольца
Полукольцо S с 1 ф 0 назовем циклическим, если существует
элемент а € 5, неотрицательные целые степени которого или целые
степени которого в случае обратимого элемента а исчерпывают все
ненулевые элементы в S, возможно, и 0. Циклические полукольца
коммутативны.
Опишем бесконечные циклические полукольца.
Лемма. Циклические кольца - это в точности конечные поля.
Упражнение 40. Докажите, что мультипликативная группа
бесконечного поля не может быть циклической.
Хорошо известно, что мультипликативная группа любого
конечного поля является циклической.
Упражнение 41. Докажите лемму.
Теорема 4. Каждое бесконечное циклическое полукольцо
из ом орфно одному из следующих трех идемпотентных числовых
полуколец:
27

Ï) полукольцу {2n: n e N0j u{0} со сложением max и обычным
умножением:
2) полукольцу {1/2": п е АУ ufOj со сложением max и обычным
умножением;
3) полу полю {2k: keZ}u{0} со сложением max и обычным
умножением.
Схема доказательства. Пусть S - бесконечное циклическое
полукольцо с мультипликативным образующим а Предположим сначала,
что а необратим. Тогда
S = {0,1, а, а2, ...,ап,...}
с попарно различными степенями элемента а, С помощью леммы нетрудно
показать, что S - антикольцо. Затем доказывается аддитивная
идемпотентность S; в противном случае мультипликативная полугруппа
5\{0} должна содержать подполугруппу, изоморфную
мультипликативной полугруппе N, не являющейся конечно-порожденной
полугруппой. Но (S\ {0}, ■) изоморфна аддитивной полугруппе N0, все
подполугруппы которой конечно-порожденные. Далее от противного
доказывается, что а + 1=а или а+ 1=1. Вспоминая, как на аддитивно
идем патентном полукольце вводится порядок (см. §2\ в первом случае
получаем 0<1<а<а2<...ап<... и S изоморфно полукольцу l\ a во
втором случае 0<„.<an<...a2<a<lnS изоморфно полукольцу 2\
Пусть теперь элемент а обратим. Тогда
S ={.*>,а' ,а , О,1,а,а ,...}
с попарно различными элементами. Такое S является бесконечным
циклическим полукольцом с делением. По лемме S не является полем.
Поэтому S - полу поле. Аддитивная идемпотентность S следует из того, что
в противном случае по свойству 3 полутел S должно содержать копию
полуполя Q+, мультипликативная группа которого не является конечно-
порожденной, что невозможно в силу цикличности мультипликативной
группы полуполя S. Затем доказывается, что а + \=а или а + 1=1. В
обоих случаях получаем полу поле, изоморфное 3).
Следствие. Любое циклическое полукольцо с делением либо
является конечным полем, либо изоморфно двухэлементной цепи D, либо
изоморфно папу полю 3).
28

Задана 8. Опишите конечные циклические полукольца, не
являющиеся полями. Рассмотрите случаи аддитивно идемпотентных и не
аддитивно идемпотентных конечных циклических полуколец.
Абелево-рефлярные положительные полукольца
Кратко коснемся этого класса полуколец, структурная теория
которого развита в [16], см, также [53]. Полукольцо S с 1 ф 0 называется
абелево-регулярным, если для любого a е S существует такой Ъ е S, что
aba — а, и каждый его идемпотент е (р2=е) коммутирует со всеми
элементами из S.
Пусть S - одновременно абелево-регулярное и положительное
полукольцо. Обозначим через L(S) множество всех идем поте нтов в 5, а
через U(S) множество всех его обратимых элементов. Относительно
естественного отношения порядка: e<f <^> ef—e? L(S) является
дистрибутивной решеткой с 0 и 1. Относительно операций сложения и
умножения в S множество U(S) образует полутело без нуля. Для любого
е s L(S) на U(S) определяется конгруэнция: а~сЬ означает, что ае^Ье.
Отображение <р: L(S) —» Con U(S\ <p(e) = ~е, оказывается
антигомоморфизмом решеток, переводящим 0 в 1 и 1 в 0.
Получается тройка {L($\ U($), cp). Изучение абелево-регулярных
положительных полуколец ведется в терминах таких троек, сводится к их
изучению.
§ 6. Упорядоченные полукпльш
Полукольцо S с заданным на нем отношением порядка < называется
(рапожительно) упорядоченным полуколы^ом^ если:
1)0- наименьший элемент в {S, <);
2) а<Ь влечета+с<Ь +с,ас<Ьсиса<сЬ для всехa,b,c e S.
Из определения следует, что а<а+Ь для любых а,Ъ е S* Любое
упорядоченное полукольцо S является антикольцрм: если a+b=^Q в 5, то
а <а+Ь=0и0<а,т. е.а=0.
Упражнение 42. Докажите, что в упорядоченных полукольцах
неравенства можно почленно складывать и умножать:
а < Ь7 с < d => а +с < b 4 с, ас < be.
29

Полукольцо называется упорядочиваемым7 если на нем существует
отношение порядка, превращающее его в упорядоченное полукольцо.
Замечание. От нашего определения определение упорядоченного
кольца отличается тем, что для упорядоченного кольца отсутствует
условие \\ а в условии 2) при умножении на элемент с требуется, чтобы
0<с.
На произвольном полукольце S определим конгруэнцию о
следующим образом:
aob <?>а+х = ЬиЬ+у=а для некоторых х,y е S.
Заметим, что p(g(5))gG.
Упражнение 43. Проверьте, что а действительно является
конгруэнцией на S и [Ob =g(S).
Предложение h Полукольцо S упорядочиваемо тогда и только
тогда, когда а = 0 е Con S.
Упражнение 44. Докажите предложение 1.
Теорема 1. Каждое полукольцо S есть расширение однозначно
определенного с точностью до изоморфизма кольца при помощи
некоторого упорядочиваемого полукольца
Доказательство. Вспоминая теорему 2 из§5 с учетом равенства в
упражнении 42, достаточно показать, что S/a - упорядочиваемое
полукольцо. Пусть И^ + Мз = Из и Иа + Cylj =-' [я^ для некоторых
a,b,x,yeS. Тогда (a +x)aZ? и ф+у)ва, откуда a+ty+c)=^b и
ЬМу + ф^а для подходящих c,deS, т.е. aob. Поэтому [а\, = [Ь\,.
Остается применить предложение 1.
Отметим, что существуют неупорядочиваемые антикольца.
Рассмотрим пример: для неодноэлементного кольца R с нулем 0* образуем
антикольнр S — R и {0} с аддитивным и мультипликативным нулем 0
(операции с R переносятся на 5> Тогда [0^ = {0} и [0'k = R. Значит, по
предложению i, S не упорядочиваемо. Конгруэнция p(g(5)) строго
содержится в а. Теорема 1 сильнее теоремы 2 из §5.
Упражнение 45. Однозначно ли определено упорядочиваемое
полукольцо в теореме!?
30

Упражнение 46. Докажите, что аддитивно идем патентные
полукольца упорядочиваемы единственным образом.
Упражнение 47. Покажите, что всякое аддитивно сократимое
антикольцр упорядочиваемо.
Задача 9. Любое ли полутело упорядочиваемо?
Замечание» Структурные теоремы 1 и 2 §5 верны и для
полу м оду лей. Коммутативная аддитивная полугруппа M с нейтральным
элементом 0 называется (левым) полумодулем над полукольцом £, если
определено отображение Sx M —> M, (s, a)—>sa, удовлетворяющее
аксиомам (для любых s>te S и a, Ъ еЩ s(ta) = (y/)a, s(a+b) = sa+sb,
(s+ф = sa+ta, Oa = sO = 0. Определение упорядоченного полу модуля
вполне аналогично определению упорядоченного полукольца.
Упражнение 48. Докажите для полумодулей аналоги теорем 1 и
2 §5. Предварительно дайте определения подполу модуля, гомоморфизма
полумодулей, конгруэнции на полумодуле, фактор-полу модуля,
расширения полу модулей, упорядоченного и упорядочиваемого
полумодуля. Все полумодули рассматриваются над фиксированным
полукольцом.
Положительный конус упорядоченною кольца
Множество {х е R: 0<х} всех неотрицательных элементов
упорядоченного кольца R является упорядоченным аддитивно сократимым
полукольцом, называемым положительным конусом R. Упорядоченное
полукольцо (кольцо) называется рететочно упорядоченным, если
соответствующее упорядоченное множество является решеткой.
Упорядоченное полукольцо (кольцо) с линейным порядком называется
л инейно упорядоченным.
Предложение 2 ßO]. Рететочно упорядоченное полукольцо S
является положительным конусом некоторого рететочно
упорядоченного кольца тогда и только тогда, когда для любых a,b eS с
условием а <Ь существует единственный элемент с sS такой, что
b =a + с.
Упражнение 49. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы упорядоченное полукольцо было положительным конусом
31

некоторого упорядоченного кольца. То же самое для линейно
упорядоченного полукольца.
Линейно упорядоченные полу тела
Линейно упорядоченное полу тело S наз ывается:
мультипликативно архимедовым, если для любых его элементов
а>\ ъЬ существуетпg N, для которогоап>h;
аддитивно архимедовым, если для любых а ф О и Ъ из S найдется
такое «eN, что па > Ь;
непрерывным, если любое его ограниченное сверху непустое
подмножество имеет точную верхнюю грань;
плотным, если для любых а < b в S существует элемент с е S, для
которого а<с<Ь;
рационально плотным, если оно содержит копию Q+, плотную в S:
для любых a,b e S a<b влечет a<q<b для подходящего q e Q+*
Сформулируем ряд результатов, доказательство которых можно
найти в статье [33]. Попытайтесь доказать следующие предложения
самостоятельно.
Предложение 3. Любое мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полу тело либо аддитивно архимедово, либо аддитивно
идем потентно.
Предложение 4. Для произвольного линейно упорядоченного
полу тела, не являющегося аддитивно идем поте нтным,
мультипликативная архимедовость равносильна рациональной
плотности.
Предложение 5, Всякое мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полу тело, не являющееся аддитивно идем поте нтным,
аддитивно сократимо.
Упражнение 50. Докажите, что любое аддитивно архимедово
линейно упорядоченное полутело удовлетворяет квазитождеству х+у^
Упражнение 51. Убедитесь, что всякое аддитивно сократимое
линейно упорядоченное полутело является плотным.
32

Теорема 2. Всякое ' мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полу тел о изоморфно некоторому подполу полю полу поля R+,
рассматриваемого с обычным сложением ши с операцией сложения max.
Теорема 3 [17]. Каждое непрерывное линейно упорядоченное
попу тел о изоморфно одному из следующих линейно упорядоченных
полу полей:
1) двухэлементная цепь D;
2) {2к: к е Z} и{0} с обычными умножением и порядком и со
сложением max;
3) R* с обычными операгцтми и порядкам;
4) R+ с обычными умножением и порядком и сложением max.
Примером аддитивно архимедова и аддитивно сократимого
линейно упорядоченного полуполя, не являющегося мультипликативно
архимедовым, служит почти прямое произведение линейно
упорядоченного полуполя R+ с самим собой, взятое с лексикографическим
порядком. Существуют также неплотные аддитивно архимедовы линейно
упорядоченные полуполя ß3].
Упражнение 52. Приведите пример линейно упорядоченного
полуполя, не являкяцегося ни аддитивно сократимым, ни аддитивно
идемпотентным.
Упражнение 53. Покажите, что любая линейно упорядоченная
группа допускает идемпотентное сложение, превращающее ее в линейно
упорядоченное полутело без нуля.
Упражнение 54. Докажите, что бесконечная линейно
упорядоченная циклическая группа не допускает неидем потентное
сложение.
Сформулируем еще три задачи для исследования.
Задача 10. Найти необходимые и достаточные условия линейной
упорядочиваем ости произвольного полутела.
Задача 11. При каких условиях на линейно упорядоченной группе
существует неидемпотентное сложение, превращающее ее в линейно
упорядоченное полутело без нуля?
33

Задача 12. Обобщить сформулированные результаты о линейно
упорядоченных полутелах на упорядоченные полутела. В частности
исследовать мультипликативно архимедовы упорядоченные полутела.
§7. Полукольца непрерывных футцда
Функциональные полукольца ЦХ, S) образуют важный и
интересный специальный класс полуколец. Изложим некоторые
основополагающие результаты о них в обзорном порядке.
Пусть X - некоторое топологическое пространство, a S -
топологическое полукольцо, т. е. полукольцо и одновременно
топологическое пространство, в котором полукольцевые операции
сложения и умножения непрерывны. Через QX,S) обозначается
множество всех непрерывных отображений (функций) топологического
пространства X в топологическое пространство S. фикции можно
поточечно складывать и умножать: если f, geC(X^S\ то
(f+g%x)=fix)+g(x)u<fg)fr)^flt}g&)i№ всех* g X
Упражнение 55. Докажите, что эти функции/+£,^: X -» S также
непрерывны, т. е. принадлежат С(Х, S).
Тем самым на множестве CQC>S) заданы бинарные операции
сложения и умножения.
Упражнение 56. Покажите, что в результате получается
полукольцо QX^ S) непрерывных функций.
Наиболее интересны и плодотворны случаи, когда S есть поле R
действительных чисел, полу поле R+ всех неотрицательных
действительных чисел или полуполе без нуля всех положительных
действительных чисел Р, которые берутся с их обычной (интервальной)
топологией. Существуют специальные обозначения: CQC) ~ С(ХУ Щ
С(Х) = С(Х, R*)nU(X)^C(X, ¥).
Упражнение 57. Проверьте, что относительно поточечных
операций сложения и умножения функций получаем коммутативное
кольцо С(Х) с 1, коммутативное полукольцо С*(Х) с 1 и полу поле без нуля
Для простоты изложения будем рассматривать только компактные
хаусдорфовы пространства, т.е. компакты. По известной лемме Урысона
34

[50], для любых двух непересекающихся непустых замкнутых
подмножеств А и В компакта X существует разделяющая их функция
fe C(Xf.f^Q шА и/- 1 на В.
Пусть ^-произвольный компакт их е X. Множество
Mx^{feC(Xy.flx)-0}
является максимальным идеалом кольца CÇQ. Аналогичное множество
будет максимальным идеалом и в полукольце С*(Ху
Упражнение 58. Докажите эти факты.
Первая часть следующего результата служит частным случаем
знаменитой теоремы Гельфанда-Колмогорова [51].
Теорема 1. Для компакта X максимальные идеалы колыша CÇC) и
полукольца С (X) совпадают с идеалами вида Мк (х е X).
Доказательство проведем для полукольца €*(Х). Сначала покажем,
что для произвольной фиксированной точки х компакта X множество Мх
является максимальным идеалом в C^ÇC). очевидно, Мк - идеал. Пусть
g g C*Ç(%MX. Тогда g(x)> 0. Требуется доказать равенство Мх ■+ gC^ÇC) ^
C*ÇC) или, что равносильно, m+gh - 1 для подходящих m e Мх и
h е С*(Х). Рассмотрим функцию k = min(g-g(xj\ l)e С(Х). Легко видеть,
что к g gC*(X) (почему?) Имеем m ~ 1 -к е Мх. Значит, 1 =
m+keMx+gC*(Xy
Пусть теперь M - произвольный максимальный идеал полукольца
С*(Х). Покажем, что MçzMx для некоторой точки xel. Предположим от
противного, что это не так, т.е. для любой точки х еХ существует
функция^ g М, принимающая в точке х положительное значение. Тогда и
в некоторой открытой окрестности Ux точки х функция fx будет
положительна. Открытые множества UX9 х е Х9 покрывают компакт X.
Поэтому найдется конечное множество точек х, у, .., z в X, такое, что
множества /7Х, Uyy,..zUz также будут покрывать пространствоX. Функция
в каждой точке пространства X принимает положительное значение.
Значит, / является обратимым элементом полукольца С*(Х\ что влечет
равенство M = С*(Х). Полученное противоречие завершает доказательство
теоремы.
35

Для любого непрерывного отображения <р: У -> X топологических
пространств зададим отображение а: С(Х)~> С(У)формулой:
o:0(y)^X<p(y)) при любых/ € С(Х)иу е К
Упражнение 59. Убедитесь, что а является кольцевым
г ом ом орф из м ом, сохраняющим константы,
Оказывается, вер1Ю и обратное утверждение:
Теорема 2. Для произвольных компактов X и Y любой кольцевой
гомоморфизм а: С(Х) -* C(Y\ сохраняющий 1, порождается некоторым
однозначно определенным (как выше)непрерывным отображением У~> X.
Заметим, что упражнение 59 и теорема 2 справедливы и для
полуколец С*(ХУ Они устанавливают двойственность между категорией
компактов X и их непрерывных отображений и категорией
соответствующих колец С(Х) (полуколец С^(Х)) и их гомоморфизмов,
сохраняющих 1. В частности, имеет место следующий результат.
Упражнение 60. Любой гомоморфизм a: C(X)-+R или а:
C^ÇQ-^R*, сохраняющий 1, является вычислением в некоторой точке
xelj.e.Oiffi^fö)для всех/из С(Х)тиго C*QCy Докажите.
Доказательство теоремы 2 опирается на теорему 1. В самом деле,
берем точку у е Y и рассматриваем прообраз а_1(Л/у) максимального идеала
Му, совпадающий в силу теоремы 1 с идеалом Мх дяя некоторой точки
х е X. Полагая <pfy)=x, получим требуемое отображение <р: У—> X.
Упражнение 6L Подробно докажите теорему 2.
Задача 13. Верна ли теорема 2 для полу полей без нуля ЦХ)?
Теорема 3. Любой простой идеал колыша CÇC) или полукольца С+(Х)
содержится в единственном его максимальном идеале.
Упражнение 62. Докажите теорему 3 (см. [51]).
Для подмножества А в X определим бинарное отношение рА на
С*(Х) и на U(X) как равенство функций на А:
fpAg означает, что/^g на А.
Упражнение 63. Убедитесь, что отношение рА является
конгруэнцией как на полукольце CÇC% так и на полуполе без нуля ЦХ).
Теорема 4 [6, 36, 38} Для компакта X все конгруэнции на полуполе
без нуля U(X) являются идеальными, а максимальные конгруэнции
сопадают с конгруэщиями р^ ix e X).
36

Упражнение 64. Покажите, что для полуколец С*(Х) теорема 4
неверна.
Однако теорема 4 справедлива для предмаксимальных конгруэнции
на полукольцах С*(Х). Конгруэнция на полукольце называется
предмаксималънойу если она , строго содержится ровно в двух
конгруэнциях: единичной 1 и некоторой максимальной.
Теорема 5 [38]. Для компакта X предмаксимальные конгруэнции на
полукольце £*(¥)- это в точности конгруэнции р^ по различным х е X.
В качестве следствия теорем 2,4 и 5 получается следующая теорема
определяем ости для ком пактов.
Теорема 6 [6, 39]. Для любых компактов X и Y эквивапентны
условия:
1) X и ¥ гаме аморфны;
2) кольца С(Х) и C(Y) изоморфны;
3) полу кол ъ ца С*(Х) и C*(Y) из ом орфны ;
4) полупаля без нуля UÇC) и U(Y);
5) решетки идеалов колец С(Х) и C(Y) изоморфны;
6) решетки идеалов полуколец С(Х) и C(Y) изоморфны;
7) решетки конгруэнции полуколец CfÇC) и С*(У) изоморфны;
8) решетки конгруэнции полуполей без нуля U(X) и U(Y)
изоморфны.
Упражнение 65. Как это получается?
Конгруэнция р на полукольце С"(Х) (или на полуполе без нуля
UÇC)) называется замкнутой, если замкнуто подмножество р в
пространстве C*(Xf^ рассматриваемом в топологии поточечной
сходимости Имеет место следующий результат.
Теорема 7 [28, 29]. Конгруэнция на C^ÇC) или на U(X) замкнута о
она имеет вид рм где Л - замкнутое подмножество в X.
Упражнение 66. На основе теорем 4 и 7 опишите все замкнутые - в
топологии поточечной сходимости - идеалы кольца С(Х) для компакта X.
Задача 14. Влечет ли замкнутость классов конгруэнции на С*(Х)
зам кнутость самой конгруэнции? Для U(X) это так [28].
Наконец, коснемся темы подалгебр в полукольцах непрерывных
функпий, Подполукольцо полукольца QX,S% замкнутое относительно
37

умножения (справа и слева) на элементы из S, называется подалгеброй в
С(Х^ $У Нас интересуют проблема определяем ости jaoooro компакта X
решеткой подалгебр соответствующего полукольца C(Y, S) и строение
максимальных подалгебр.
Теорема 8 [12]. Произвольные компакты X и Y г оме аморфны <=>
изоморфны решетки всех подалгебр колец С(Х) и С{¥\
Задач» 15 (гипотеза). Доказать аналоги теоремы 8 для полуколец
С*(X) и полуполей без нуля UQfy
В кольце С(Х), где X - произвольный ком паю, изестны два типа
максимальных подалгебр -это максимальные идеалы Мх (х е А)и
^х5у- {/"е CQfyftx)=ßy)} np*1 фиксированныхх Фу из X.
Упражнение 67. Покажите, что Мх и Ак у действительно являются
максимальными подалгебрами в С(Х).
Задача 16. Существуют ли в кольцах С(Х) для компактов X другие
максимальные подалгебры?
Заметим, что в случае дискретных тел S кольца С(Х, S) не имеют
других максимальных подалгебр [14}
Теорема 9 [11} Для каждого максимального идеала M полукольца
С*{Х) и любого минимального простого идеала Р в С*(Х\ не
содержащегося в М, множество А(М, Р) = M uiC^Qfy F) является
максимальной подалгеброй в С*(Х).
Упражнение 6&. Проверьте, что А(М, Р) - подалгебра в С*(Х).
Упражнение 69. Докажите, что для конечного дискретного
пространства X все максимальные подалгебры в С*(Х) имеют вид А(М, Р).
Что в этом случае представляют собой подалгебры А(М, PJ!
Задача 17. Для компактов X выяснить строение максимальных
подалгебр в полукольцах С*(Х) и в полу полях без нуля U(Xy
Упражнение 70. Укажите хотя бы одну максимальную подалгебру
вЦф, 1£См.[34].
Задача 18. Каждая ли собственная подалгебра в С*(Х) или в U(X)
содержится в некоторой максимальной подалгебре?
В заключение укажем один тип максимальных подалгебр в
полуполях без нуля U(X). Он связан со следующим классическим
неравенств ом Гел ьдера-Мтковског о:
38

для любых наборов положительных действительных чисел аь аъ
..., ял и Ьъ Ьъ ..., hn и любых п положительных чисел г, s, ..., *, сумма
которых равна 1, имеем
Пусть даны конечное множество У = {х0, хь х2, ..., jcn} точек
компакта X и конечное семейство п положительных чисел г, s> ..., /, сумма
которых равна 1. Определим множество
Аналогичное множество можно определить и в полукольце С+(Х)
Упражнение 71. Проверьте, что множество А(¥; г, s, ..., *) является
подалгеброй как в ЦА^ так и в С*(X).
Теорема 10 [34]. Любое множество A(Y; r, s, ..., г) является
максим ал ьной подалгеброй полу поля без нуля UQC).
Упражнение 72. Покажите, что для полукольца С*(Х) замкнутая
подалгебра A(Y; г,s, ...,*)не максимальна.
Заметим, что в р5] введен более широкий класс максимальных
подалгебр в UÇC% выраженных в интегральной форме.
Литература
L Богдалов И.Ф. Обратимость теоремы Гильберта о базисе в классе
полуколеи// Тез. докл. науч. конф. «Проблемы современного
математического образования в педвузах и школах России». - Киров: Изд-
во Вятского гос. пед. ун-та, 1998, -С. Î71-172.
2. Варанкин A.B. Конгруэнции на полукольцах непрерывных
неотриндтельных функций, порожденные фильтрами// Матем. вестник
педвузов Волго-Вятского региона. -2000. -Вып. 2. -С. 3-10.
3. Варанкина В,И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных
функций// Фундаментальная и прикладная матем. - 1995. - Т. 1, № 4. - С.
923-937.
39

4. Варанкина В.И- Максимальные идеалы и делимость в полукольцах
непрерывных функции: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. - Киров: Вят. гос.
пед. ун-т, 1996.
5. Варанкина В.И. О свойствах делимости в полукольцах непрерывных
функций // Вестник Вятского гос. пед ун-та. Матем., инф., физ. - 1996. -
Вып. 1.- С. 4-5.
6. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца
непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,
конгруэнцин // Фундаментальная и прикладная матем. - 1998. - Т. 4, № 2. -
С. 493-510.
7. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Смирнова (Подлевских) М.Н.
Пространства первичных идеалов полуколец непрерывных функций //
Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. - 1997. - Вып. 3. - С.
4-7,
8. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций со значениями в
топологическом теле: Дис. ... д-ра физ.-матем. наук. - М.: Моск. пед. гос.
ун-т, 1993.
9. Вечтомов Е.М. Теория решеток. -Киров: Киров, гос. пед. ин-т, 1995.
10. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально
представимые цепями // Фундаментальная и прикладная матем. - 19%. -
Т. 2, №1. -С. 93-102.
11. Вечтомов Е.М. Один класс максимальных подалгебр полуколец
непрерывных неотрицательных функций // Вестник Вятского гос. пед. ун-
та. Матем., инф., физ.-1997. ~Вып.З.> -С. 7-10.
12. Вечтомов Е.М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и
хьюиттовские пространства // Матем. заметки. -1997. - Т. 62, № 5. - С. 687-
693.
13. Вечтомов Е.М. Полукольца как расширения колец при помощи
полуколец без противоположных элементов// Науч. вестник Кировского
филиала МГЭИ. -1998.- Вып 1. - C. 151-153.
14. Вечтомов Е.М. О подалгебрах колец непрерывных функций со
значениями в дискретном теле // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. - 1999. -
№1.-С. 19-20.
40

15. Вечтомов Е.М. Функциональная характеризация стоуновых
решеток // Вестник Вятского гос. пед, ун-та. -1999. -№ 2. -С. 9-11.
16. Вечтомов Е.М., Михалев A.B., Чермных В.В. Абелево-регулярные
положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г.Петровского. -
1997.-Т. 20.-С. 282-309.
17. Вечтомов Е.М., Ряттель A.B. Непрерывные линейно упорядоченные
полутела // Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. - С.
154-157.
18. Вечтомов Е.М., Смирнова (Подлевских) М.Н. Одна двойственность
для топологических полуколец непрерывных функций // Успехи матем.
наук.-1996, -Т. 51,№3. -С. 187-188.
19. Вечтомов Е.М,, Чермных В.В. Условия симметричтсти в кольцах и
полукольцах// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., фмз. - 19%. -
ВъшЛ.-С.б«.
20. Гретцер Г. Общая теория решеток. -М.: Мирэ 1982.
21. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В 2 т. -
М.: Мир, 1972.
22. Кокорин А.И., К опытов В.М. Линейно упорядоченные группы. - М.:
Наука, 1972.
23. Кон П. Универсальная алгебра. -М.: Мир, 1968.
24. Ламбек И. Кольца и модули. -М.: Мир, 1971.
25. Лукиных (Пушкарева) ЕГ. Об упорядоченных полукольцах // Тез.
докл. VI Между нар. конф. женшин-матем. - Чебоксары: Чуваш. гос. ун-т,
1998.-С.
26. Маслов В. П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его
применение в оптимальном управлении. -М.: Наука, 1994.
27. Подлевских М.Н. Решетка замкнутых конгруэнции на полукольцах
непрерывных функций // Вестник Вятского гос. пед, ун-та. - 1999. -№ 1. -
С. 101-102.
28. Подлевских М.Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах
непрерывных функций // Фндаментальная и прикладная матем. - 1999. -
Т.5,№3.
41

29. Подлевских M.H. Полукольца непрерывных функций с топологией
поточечной сходимости: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. -Киров: Вят. гос.
пед. ун-т, 1999.
30. Подлевских М.Н. Решеточно упорядоченные полукольца // Науч.
вестник Кировского филиала МГЭИ. -1999. - Вып. 3. - С. 240-244.
31. Подлевских М.Н. Конгруэнции и идеалы в полукольцах
непрерывных функций // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона.
-2000. -Вып. 2. -С. 70-74.
32. Пушкарева Е.Г. О строении конечных линейно упорядоченных
полуколец // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. - 2000. -
Вып. 2.-С. 74-79.
33. Ряттель A.B. Об аддитивно архимедовых и мультипликативно
архимедовых линейно упорядоченных полу полях // Науч. вестник
Кировского филиала МГЭИ. -1998. - Вып. 1. - С. 172-176.
34. Семенов А.Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций //
Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. -1998. -Вып. 1. -С. 83-
90.
35. Семенов А.Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Тез.
докл. Между нар. алгебр, конф. памяти А.Г. Куроша. - М.: Изд-во МГУ,
1998.-С. 208-209.
36. Семенова И.А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных
положительных функций // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф.,
физ. -1996. -Вып. 1. -С. 14-16.
37. Семенова И.А. Конгруэнции на полуполе непрерывных
положительных функций и его строго выпуклые мультипликативные
подгруппы // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. - 1997. -
Вып. 3.-С. 30-32.
38. Семенова И.А, Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций:
Дис. ... канд. физ.матем. наук. -Киров: Вят. гос. пед. ун-т, 1998.
39. Семенова И.А. Определяем ость хьюиттовского пространства X
решеткой конгруэнции полуколец непрерывных неотрицательных
функций на X // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. -1999. - Вып 1. -С. 20-23.
42

40. Семенова И.А- Один алгебраический критерий псевдокомпактности
топологического пространства // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского
региона. -2000. -Вып 2. -С. 80-82.
4L Смирнова (Подлевских) М.Н. Замкнутые идеалы в полукольцах
непрерывных функций с топологией поточечной сходимости // Вестник
Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. -1996, -Вып. 1. -С. 16-18.
42. Чермных В.В. Представления положительных полуколец
сечениями // Успехи матем. наук. - Î992. -Т. 47, № 5. -С. 193-194,
43. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец // Успехи матем.
наук.-1993. -Т. 48, № 5. -С. 185486.
44. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец: Дис. ... канд.
физ.-матем. наук. - М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.
45. Чермных В.В. О полноте пучковых представлений полуколец //
Фундаментальная и прикладная матем. -1996. -Т. 2, № 1. -С. 167-177.
46. Чермных В.В. Ламбековское представление полуколец // Вестник
Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ.-1996.-Вып. 1. - C. 19-21.
47. Чермных В.В. О предпучке полуколец эндоморфизмов // Вестник
Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. -1997. -Вып. 3. -С. 33-36.
48. Чермных В.В. Полукольца. - Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та, 1997.
49. Чермных В.В. Аналог теоремы Стоуна-Вейерштрасса для
полуколец // Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. -
С. 193-196.
50. Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986.
51. Gillman L, Jenson M. Rings of continuous functions. - N.Y.: Springer-
Veriag, 1976.
52. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and
theoretical computer science. - Pitman monographs and surveys in рure and
applied mathematics. V. 54. -1992.
53. Mikhalev A,V., Vechtomov E.M., Aitamonova L.L, Cheimnykh V.V.,
Varankina V.L. Semrangs: sheaves and continuous fonctions // Semigroups with
applications, including semigroup rings. -Sankt-Peterburg, 1999. -P. 23-58.
54. Vechtomov EM. Rings of continuous fonctions with values in topological
division ring // J. Math. Sciences (USA) -1996. -V. 78, № 6. -P. 702-753.
43

Научное издание
Вечтомов Евгений Михайлович
Введение в полукольца
Лицензия ЛР№ 020507 от 4.08.1997 г.
Редактор Г. Попырина
Технический редактор И. Богдалов
Подписано в печать 30.10.2000 г. Формат 60x84 1/16
Бумага типографская. Усл печ. л. 2,75
Тираж 100. Заказ 167
Вятский государственный педагогический университет,
г. Киров, ул. Ленина, 111
Отпечатано в тип. ЦДООШ г. Киров, ул. Ленина, 105