В. г. БОЛТЯНСКИЙ и И. М. Я1УЮМ
ГЕОМЕТРИЯ
ДЛЯ IX КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Рекомендовано
Министерством просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1964

От редакции
Во второе издание внесены незначительные
редакционные изменения.
Владимир Григорьевич Болтянский, Исаак Моисеевич Яглом
геометрия
для IX класса средней школы
Редактор В. Г. Долгополов. Художественный редактор Б. JJ. Николаев.
Технический редактор М. И. Смирнова. Корректор Р. Б. Берман.
Сдано ь набор 28/11 1964 г. Подписано к печати 18/V 1964 г.. 60X90Vie. Печ. л. 8.
Уч.-изд. л. 7,13. Тираж 2000 тыс. (1—700 000) экз. Тем. пл. 1964 г.
Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР
по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Главполиграф-
прома» Государственного комитета Совета Министров СССР по печати, Гатчинская, 26.
Заказ № 918.
Цена без переплета 9 к., переплет 5 к.

Часть I
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГЛАВА I
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
§ 1. Определение осевой симметрии
Две фигуры, расположенные на рисунке 1 слева и справа от
прямой /, симметричны друг другу относительно этой прямой.
Изображения двух рыб (рис. 2) также симметричны друг другу
относительно проведенной прямой /. Напротив, на рисунке 3
фигуры не симметричны.
Рис. 1.	Рис.	2.
Симметричные фигуры можно получить с помощью следующего
приема. Проведем в плоскости чертежа некоторую прямую I и
по одну сторону от нее начертим какую-либо фигуру. Приставим
затем к прямой I край зеркала, перпендикулярного к плоскости
чертежа (рис. 4). В зеркале мы увидим вторую фигуру, симмет¬
ричную первой относительно прямой /.
Точное определение симметричных фигур будет дано ниже.
Точки, симметричные относительно прямой. Определение.
Точки А и А' называются симметричными относительно
прямой I, если отрезок А А' перпендикулярен прямой I и делится
этой прямой пополам (рис. 5).
1

Пусть на плоскости задана некоторая прямая I. Тогда для
каждой точки Л, не лежащей на прямой /, найдется единствен¬
ная точка А\ симметричная точке А относительно прямой /. Чтобы
построить эту точку А', достаточно опустить из точки А на пря-
Рис. 3.
Рис. 4.
мую / перпендикуляр АР и на его продолжении за точку Р отло¬
жить отрезок РА' = АР (рис. 5).
Если точка Аг симметрична точке А относительно прямой 1Л
то и, обратно, точка А симметрична точке А' относительно I.
Именно поэтому можно сказать, что точки А и А’ симмет¬
ричны друг другу (или просто сим¬
метричны) относительно прямой /.
Если точка А лежит на прямой /, то
точка, симметричная точке А относительно пря¬
мой /, по определению, совпадает с точкой А.
Фигуры, симметричные относительно пря¬
мой. Предположим, что на плоскости, кроме
прямой /, задана некоторая фигура F, напри¬
мер отрезок, кривая линия, окружность,
треугольник, трапеция или какая-либо иная
фигура. Возьмем произвольную точку А фи¬
гуры F и найдем точку А\ симметричную
точке А относительно прямой I (рис. 6). За¬
тем возьмем точку В фигуры F и найдем симметричную ей точку В';
потом возьмем точку С фигуры F и симметричную ей точку С и
т. д. Рассмотрим всевозможные точки А\ В', С',..., симметричные
точкам Л, В, С,... фигуры F, или, как говорят в математике,
множество всех точек, симметричных точкам фигуры F отно¬
сительно прямой I. Это множество, состоящее из точек А\ В\
С', ..., представляет собой некоторую фигуру F'\ на рисунке 6 фи¬
гура F' изображена пунктиром. Фигуру F называют фигурой,
симметричной фигуре F относительно прямой /. Говорят также
и иначе: фигуры F и F симметричны относительно прямой I.
Рис. 5.
4

Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение. Фигура F', образованная всеми точками, сим¬
метричными точкам фигуры F относительно заданной прямой /,
называется фигурой, симметричной фигу ре F относительно прямой I.
Для каждой фигуры F и каждой прямой / на плоскости най¬
дется фигура F\ симметричная фигуре F относительно /. Переход
от фигуры F к симметричной ей фигуре F’ называется симмет¬
рией относительно прямой I или, как иногда говорят, осе¬
вой симметрией.
)i
Рис. 8.
Если фигура Fr симметрична фигуре F относительно прямой /,
то и, обратно, фигура F симметрична фигуре F' относительно /.
Таким образом, при осевой симметрии фигуры F и F' меняются
местами (т. е. каждая из них переходит во вторую фигуру).
Фигуры, обладающие осью симметрии. Фигура, изображенная
на рисунке 7, разделена вертикальной прямой I на две части,
причем правая и левая половины этой фигуры симметричны друг
5

другу относительно прямой Л При симметрии относительно пря*
мой / правая и левая половины фигуры меняются местами, а вся
фигура в целом переходит при симметрии относительно прямой /
в ту же самую фигуру. То же мы наблюдаем на рисунке 8. В этих
случаях говорят, что фигура симметрична относительно пря’-
мой /.
Определение. Фигура F называется симметричной от¬
носительно прямой I, если при симметрии относительно этой
прямой фигура F переходит снова в ту же самую фигуру.
Если фигура F симметрична относительно прямой /, то эта
прямая называется осью симметрии фигуры F.
§ 2. Самостоятельная работа
Построение симметричных фигур на миллиметровой бумаге.
С помощью линейки проведите карандашом прямую /, совпадаю¬
щую с одной из жирных линий, намеченных на миллиметровой
Рис. 9.
бумаге. По одну сторону от проведенной прямой изобразите какую-
либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 9). На линии F
отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Для
каждой из этих точек найдите симметричную ей точку относи¬
6

тельно прямой / (это легко сделать, используя деления миллимет¬
ровой бумаги). Соедините между собой полученные точки; это даст
линию F\ симметричную линии F.
§ 3. Перегибание листа бумаги
Проведем на листе бумаги прямую линию I и возьмем какую-
нибудь точку Л, не лежащую на этой прямой. Перегнем лист
бумаги по линии / до совмещения обеих половин листа. Тогда
точка А совместится с некоторой точкой А' другой половины листа.
/
А' У
О
Ч А
		О
к
/
Рис. 10.
Отметим эту точку А' и затем снова разогнем лист бумаги. Дока¬
жем, что точки А и Аг симметричны относительно прямой I (рис. 10).
Соединим точки А и А' отрезком прямой. Так как при пере¬
гибании отмеченные на рисунке 10 углы 1 и 2 совмещаются один
с другим, то Z. 1 = Z. 2. Но углы эти
смежные; следовательно, оба они — пря¬
мые. Из совмещения точек А и А' при
перегибании следует также, что изобра¬
женные на рисунке 10 отрезки КА и
КА' равны между собой. Таким обра¬
зом, отрезок ЛЛ' перпендикулярен пря¬
мой / и делится этой прямой пополам,
т. е. точки А и А' симметричны отно¬
сительно прямой /.
Верно и обратное: две точки А и А',
симметричные относительно прямой I,
при перегибании чертежа по прямой I
совмещаются. Действительно, из симмет¬
рии точек А и А' следует, что отрезки
КА и К А! равны между собой и пер¬
пендикулярны прямой /. Поэтому при перегибании листа бумаги
отрезок КА пойдет по КА' и точки А и А' совпадут.
Таким способом можно получать и симметричные фигуры.
Например, если по одну сторону от линии перегиба / изображена
не застывшей еще краской некоторая фигура, то при перегибании
чертежа мы получим на другой стороне листа симметричный отпе¬
чаток этой фигуры (рис. 11).
7

§ 4. Самостоятельная работа
Построение симметричных фигур с помощью листа кальки.
Наложите кальку на лист миллиметровой бумаги с изображен¬
ными на нем симметричными относительно прямой I фигурами F
и F (§ 2).
С помощью линейки проведите на кальке прямую I и, кроме
того, обведите на кальке фигуру F. Теперь снимите лист кальки
с миллиметровой бумаги и перегните его по линии / так, чтобы
начерченная фигура находилась на внешней стороне сложенного
листа кальки. На второй стороне листа кальки обведите снова
изображение фигуры F. Развернув теперь лист кальки, вы увидите
по одну сторону линии / фигуру F, а по другую сторону — сим¬
метричную ей фигуру F'. Сравните полученный чертеж с черте¬
жом, полученным при выполнении предыдущей работы.
§ 5. Свойства осевой симметрии
Следующие свойства осевой симметрии вытекают из связи осе¬
вой симметрии с перегибанием листа бумаги.
Теорема 1. Фигуры, симметричные относительно прямой I,
равны между собой.
В самом деле, так как при перегибании листа бумаги по пря¬
мой / симметричные относительно I фигуры F и F' совмещаются,
то они равны между собой.
Частными случаями теоремы 1 яв¬
ляются следующие теоремы 2 и 3.
Теорема 2. Фигура, симмет¬
ричная отрезку А В относительно
прямой I, представляет собой отре¬
зок А'В', равный отрезку АВ. Кон¬
цы Л' и Вг отрезка А'В' симметрич¬
ны концам А и В первоначального
отрезка.
Теорема 3. Фигура, симмет¬
ричная окружности радиуса г отно¬
сительно прямой I, представляет со¬
бой окружность того же радиуса г. Центром этой окружности
служит точка О', симметричная относительно I центру О первона¬
чальной окружности (рис. 12).
В самом деле, если А — произвольная точка исходной окруж¬
ности, а А' — симметричная ей относительно / точка, то, в силу
теоремы 2, 0'Af = 0A — r.
Теорема 4. Фигура а\ симметричная прямой а относи¬
тельно прямой I, также является прямой линией. Если прямая а
пересекает /, то d пересекает / в той же точке, причем прямые а
и d образуют с прямой I равные углы. Если прямая а парал-
7^1
V?
О
Рис. 12.
8

к
А'
а'
<*)
6)
Рис. 13.
лельна /, то а' также параллельна / и удалена от I на то же
расстояние, что и а. Наконец, если прямая а совпадет с /, то и
а' совпадет с /.
Доказательство. Фигура, равная прямой линии (т. е.
совпадающая с ней при наложении), также является прямой
линией. Поэтому, в силу
теоремы 1, а'есть прямая.
Если прямая а пересекает¬
ся с / в точке М (рис. 13, а),
то прямая d также про¬
ходит через точку М (ибо
при симметрии относитель¬
но / точка М переходит
сама в себя). Изобра-'
женные на рисунке 13, а
углы 1 и 2 симметричны
друг другу относительно
прямой / и потому равны
(теорема 1). Предположим теперь, что прямая а параллельна I
(рис. 13,6). В этом случае прямая а! не может пересечь /, так
как иначе симметричная а' прямая а должна была бы пересечь /
в той же самой точке. Следовательно, прямая а' параллельна /.
Далее, расстояния от прямых а и а до прямой / равны, так как
любой перпендикуляр к прямой I пересекает а и а' в симметрич¬
ных точках Л и Л', и потому АК = А'К (см. рис. 13,6).
Последнее утверждение теоремы 4 очевидно.
§ 6. Примеры-симметричных фигур
Многие из геометрических фигур, встречавшихся в курсе гео¬
метрии VI—VIII классов, обладают осью симметрии, т. е. явля¬
ются симметричными фигурами. Так, перпен-
дыкуляр I, восставленный к отрезку АВ в его
середине, является осью симметрии этого от¬
резка (рис. 14). В самом деле, при симметрии
А о——4——*> В относительно прямой / отрезок А В переходит в
отрезок, концы которого симметричны точкам Л
и В относительно I (см. теорему 2 из § 5). Но
точке Л симметрична точка В, а точке В —
точка Л. Поэтому при симметрии относительно
прямой I отрезок А В перейдет сам в себя и,
значит, прямая I является его осью симметрии.
Осью симметрии угла ABC является его биссектриса BD
(рис. 15). В самом деле, при симметрии относительно прямой BD
луч В А перейдет в луч ВС> а луч ВС — в луч В А (см. теорему 4
из § 5). Но это означает, что угол ABC при симметрии относи¬
тельно прямой BD перейдет сам в себя.
I
Рис. 14.

Осью симметрии равнобедренного треугольника ABC
является биссектриса I угла при вершине (рис. 16). В самом деле,
при симметрии относительно пря¬
мой / луч ВА перейдет в луч ВС
и наоборот. Так как отрезки В А и
О ВС равны, то при симметрии относи¬
тельно прямой / они перейдут один
в другой. А отсюда следует, что тре¬
угольник ABC при симметрии отно¬
сительно / перейдет сам в себя.
Рассмотрим теперь равнобоч¬
ную трапецию ADEC и продол¬
жим ее боковые стороны AD и СЕ до
пересечения в точке В (рис. 17). Мы получим равнобедренный тре¬
угольник ABC (так как £ A — L С). Биссектриса I угла В
v
Рис. 16.
является осью симметрии этого треугольника. Так как DE || АС,
т. е. DE _!_ Л то точки D и Е симметричны относительно /, и
потому прямая / делит отрезок DE попо-
лам. Мы видим, что прямая I, проходящая
через середины оснований равнобочной
трапеции, является ее осью симметрии.
Каждая прямая I, проходящая через
центр О	окружности,	является	осью
симметрии этой окружности (рис. 18).
В самом деле, при симметрии относитель¬
но / рассматриваемая окружность переходит
в окружность того же радиуса с центром
в точке О',	симметричной О	относительно I
(см.	теорему	3	из § 5). Но	точка О' совпадает с О,	и по¬
тому	окружность	переходит	сама в себя.
Рис. 18.
10

§ 7. Применение осевой симметрии к доказательству теорем
С помощью осевой симметрии могут быть доказаны многие
геометрические теоремы, как уже известные из курса VI—VIII
классов, так и новые. Приведем некоторые примеры.
А°
уМ
\
/
\
/
В
Рис. 19.
Каждая точка М прямой I, перпендикулярной отрезку	А В	и
проходящей через его середину, равноудалена	от	концов	отрезка
(рис. 19). В самом деле, точки А и В симметричны относительно
прямой /; поэтому отрезки AM и ВМ симметричны относительно /
и, следовательно, равны (теорема 2, § 5).
Каждая точка М биссектрисы I угла
ABC равноудалена от сторон угла (рис.
20). Действительно, опустим из точки М
перпендикуляр МР на сторону В А. При
симметрии относительно биссектрисы ВМ
точка Р переходит в некоторую точку Q
стороны ВС (так как сторона ВА перехо¬
дит в ВС). Угол МРВ переходит при сим¬
метрии относительно прямой / в угоnMQB.
Следовательно, Z MQB= /, МРВ = 90°,
т. е. MQa_BC. Наконец, MP = MQ, так
как эти отрезки симметричны друг другу	рис 21.
относительно прямой /.
Углы при основании АС равнобедренного треугольника А ВС
равны, а биссектриса BD угла при вершине является в то же
время медианой и высотой (рис. 21). Это вытекает из того, что
прямая BD — ось симметрии треугольника ABC. При симметрии
относительно этой прямой угол ВАС переходит в угол ВС А,
отрезок AD — в отрезок CD, угол ADB — в угол CDB (значит,
эти углы — прямые).
Диаметр I, перпендикулярный к хорде А В окружности, делит
эту хорду пополам (рис. 22). Это вытекает из того, что прямая
/ — ось симметрии окружности и точке Л окружности симметрична
относительно прямой / точка В.
11

Касательные МА и MB, проведенные к окружности ив внеш¬
ней точки М, образуют равные углы с хордой А В. Отрезки МА
и MB равны между собой. Прямая МО, соединяющая точку М
с центром окружности* перпендикулярна хорде А В и пересекает
эту хорду в ев середине К (рис* 23).
Прямая ОМ является осью симметрии окружности. Касатель¬
ная МА, имеющая единственную общую точку с окружностью,
\f
\
переходит при симметрии относительно прямой ОМ в прямую,
также имеющую единственную общую точку с окружностью, т. ев
в касательную MB. При симметрии относительно прямой ОМ
отрезок МА переходит в отрезок MB, угол МАВ переходит в
угол MBA у отрезок АК переходит в отрезок ВК\ угол МКА
переходит в угол МКВ. Поэтому MA = MBt Z. МАВ= Z. MBA,
АК = ВК, L МКА = Z МКВ = 90°.
§ 8. Задачи
При решении задачи осевая симметрия иногда применяется не
ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части. При
этом мы приходим к новому чертежу, который может оказаться
более удобным для решения задачи, чем исходный.
Приведем два примера.
Задача 1. Дана прямая I и две точки А и В по одну сто¬
рону от нее. Найти на прямой I такую точку М, чтобы сумма
AM 4" MB была наименьшей.
Можно представить себе следующий случай, приводящий к
решению этой задачи. Туристы разбили палатку в пункте Л, рас¬
положенном недалеко от берега / реки. В другом пункте В на¬
ходится костер. Одному из туристов предстоит взять в палатке
ведро, наполнить его водой на реке и принести к костру. Берег
реки считается строго прямолинейным; никаких препятствий на
местности нет. Спрашивается, какой путь будет наиболее выгод¬
ным для туриста (т. е. самым коротким)?
Решение. Рассмотрим точку В\ симметричную точке В от¬
носительно прямой / (рис. 24). Тогда для любой точки N пря-
12

Рис. 24.
мой / мы имеем NB = NBr (теорема 2, § 5), и потому
AN + NB = AN + NB'.
Таким образом, сумма AN + Л/В равна длине ломаной AN В’.
Следовательно, наименьшую величину сумма расстояний AN -f- NB
будет иметь в том случае, когда наименьшую длину будет иметь
ломаная ANB\ Но ломаная ANBn
будет иметь наименьшую длину, если
она обратится в отрезок прямой,
т. е. в случае, когда роль точки N
играет точка М пересечения пря¬
мой I с отрезком АВ\ Эта точка М
и является искомой (рис. 24).
Задача 2. Построить квадрат, —^	—f-	/
две противоположные вершины кото¬
рого лежат на данной прямой I, а
две другие — на двух данных окруж¬
ностях.
Решение.
Анализ. Предположим, что за¬
дача решена и ABCD — искомый
квадрат;	точки А и	С	лежат на прямой /, точка В — на дан¬
ной	окружности F,	а	точка D — на другой данной окружно¬
сти G (рис. 25). Так как диагонали квадрата взаимно перпенди¬
кулярны и делятся в точке пересечения пополам, то точки В и
D симметричны относительно пря¬
мой АС (т. е. относительно прямой /).
Но точка В принадлежит окружно¬
сти F\ поэтому симметричная ей точ¬
ка D должна лежать на окружно¬
сти F\ симметричной окружности F
относительно прямой I. Кроме того,
точка D лежит на окружности G.
Следовательно, D есть точка пересе¬
чения окружностей G и F\
Построение. Построим окруж¬
ность F', симметричную окружности F
относительно прямой I (см. теорему 3,
§ 5). Пусть D — точка пересечения
окружностей G и F'. Обозначим че¬
рез В точку, симметричную точке D
относительно прямой /, и через Q — точку пересечения отрезка BD
с прямой /. Наконец, отложим на прямой I по обе стороны от
точки Q отрезки QA и QC, равные отрезку QD. Тогда ABCD —
искомый квадрат.
Доказательство. Четырехугольник ABCD является ква¬
дратом, так как диагонали его равны, перпендикулярны и делятся
F
13

в точке пересечения Q пополам. Точки А и С лежат, по построе¬
нию, на прямой /, а точка D — на окружности G. Наконец, так
как точка D лежит на окружности F\ то симметричная ей точ¬
ка В лежит на окружности F.
Исследование. В зависимости от расположения окруж¬
ностей F' и G они могут иметь две, одну или ни одной общей
точки. В соответствующих случаях задача будет иметь два, одно
или ни одного решения. Может даже случиться, что окружности
G и F' совпадут, т. е. имеют бесконечно много общих точек (это
будет в том случае, если окружности F и G симметричны отно¬
сительно прямой /). В этом случае задача будет иметь бесконечно
много решений.
ГЛАВА II
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
§ 9. Определение центральной симметрии
Рис. 26.
Наряду с симметрией относительно прямой в геометрии рас¬
сматривают также симметрию относительно точки (цент¬
ральную симметрию). Две
фигуры, симметричные отно¬
сительно точки О, изображе¬
ны на рисунке 26.
Дадим точное определе¬
ние симметрии относительно
точки.
Центральная симметрия
точек. Определение. Точ¬
ки А и А’ называются
симметричными относи¬
тельно точки О, если отрезок А А' проходит через точку О
и делится этой точкой пополам (рис. 27).
Выберем на плоскости определенную точку О. Для каждой
отличной от О точки А найдется единственная точка А\ симмет¬
ричная точке А относительно О. Для построения точки А' надо про¬
вести прямую АО и отложить на ней (на
продолжении отрезка Л О за точку О) от¬
резок О А' = О А. Если точка А симмет¬
рична точке А относительно точки О,
то и, обратно, точка А симметрична
точке АТ относительно О.
Для точки О симметричная ей относи¬
тельно О точка считается совпадающей
с ней самой.
О
Рис. 27.
14

Центральная симметрия фигур. Пусть на плоскости выбрана
точка О и задана некоторая фигура F. Возьмем произвольную
точку А фигуры F и найдем
точку А\ симметричную точ¬
ке А относительно точки О
(рис. 28). Затем возьмем еще
одну точку В фигуры F и
найдем симметричную ей от¬
носительно О точку В' и т. д.
Множество всех точек А\ В\
С, ..., симметричных точ¬
кам А, В, С, ... фигуры F
относительно точки О, пред¬
ставляет собой новую фигу¬
ру F (рис. 28). Фигура F называется фигурой, симметричной
фигуре F относительно точки О. Говорят также, что фигуры Р
и F' симметричны относительно точки О.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение. Фигура Ff, образованная всеми точками, сим-
метричными точкам фигуры F относительно данной точки О,
называется фигурой,
симметричной фигуре F
относительно* точки О.
Примеры симметрич¬
ных друг другу фигур
показаны на рисунках
26, 28, 29.
Для каждой фигу¬
ры F найдется фигура
F, симметричная фигу¬
ре F относительно за¬
данной точки О. Пере¬
ход от фигуры F к сим¬
метричной ей относи¬
тельно О фигуре F* на¬
зывается симметрией
относительно точ¬
ки О, или централь¬
ной симметрией.
Если фигура F сим¬
метрична фигуре F от¬
носительно точки О, то и, обратно, фигура F симметрична фигу¬
ре F относительно О. Другими словами, при центральной сим¬
метрии фигуры F и F меняются местами.
Фигуры, обладающие центром симметрии. Изображенная на
рисунке 30 фигура не имеет осей симметрии, но она также пред¬
ставляется нам «симметричной». Это связано с существованием
15

такой точки О, что для каждой точки А этой фигуры найдется
другая точка А' этой же фигуры, симметричная точке А относи¬
тельно О. Другими словами, симмет¬
рия относительно О переводит рас¬
сматриваемую фигуру снова в ту же
самую фигуру.
Определение. Фигура F на¬
зывается симметричной относи¬
тельно точки О (или центрально-
симметричной), если при симметрии
В	относительно точки О эта фигура
Рис. 31.	переходит сама в себя.
Если фигура F симметрична
относительно точки О, то эта точка называется центром
симметрии фигуры F.
Примеры центрально-симметричных фигур даны на рисунках
30, 31.
§ 10. Самостоятельная работа
Построение фигуры, симметричной данной относительно точ¬
ки О. Отметьте на листе бумаги некоторую точку О и изобра¬
зите на этом же листе какую-либо фигуру, например замкнутую
линию F (рис. 28). На линии F отметьте ряд точек, достаточно
густо расположенных на ней. Для каждой из этих точек пост¬
ройте точку, симметричную ей относительно О (для чего соеди¬
ните каждую из точек с О и на продолжении соединяющего от¬
резка отложите такое же расстояние). Соедините между собой
полученные точки; вы получите линию F', симметричную линии
F относительно точки О.
§ 11. Центральная симметрия как поворот на 180°
Точки, симметричные относительно данной точки О, можно
также получить следующим образом. Отметим на листе бумаги
некоторую точку О и ук¬
репим лист на столе с по¬
мощью булавки, проткнув
его в точке О (рис. 32).
Теперь, не вынимая бу¬
лавки, повернем лист бу¬
маги на 180°, перемещая
его по поверхности стола.
Каждая точка А в резуль¬
тате этого поворота займет
новое положение по дру¬
гую сторону от точки О и на том же расстоянии от О. Иначе
говоря, точка А займет положение точки А\ симметричной точке А
16

относительно О. Таким образом, если точки А и Af симметрич¬
ны относительно точки О, то в результате поворота на 180°
они поменяются местами: каждая из них займет то положение,
которое до поворота занимала другая точка.
Аналогично обстоит дело и с фигурами. Если F и F' — две
фигуры, симметричные друг другу относительно точки О, то
в результате указанного поворота каждая из них займет то по¬
ложение, которое ранее занимала другая фигура. Если мы пред¬
ставим себе теперь, что фигура F' неподвижна (например, выре¬
зана из листа бумаги и прикреплена к столу), а фигура F
совершает тот же поворот на 180°, то ясно, что в результате
этого поворота фигура F совместится с фигурой F'. Если фи¬
гура F центрально-симметрична (имеет центр симметрии О), то
после поворота вокруг О на 180° она перейдет сама в себя.
§ 12. Самостоятельная работа
Осуществление центральной симметрии с помощью поворота.
Наложите кальку на имеющийся у вас чертеж (фигуры F и F\
симметричные относительно точки О, § 10). Проткните кальку
и чертеж булавкой в точке О и обведите на кальке фигуру F.
Затем, оставляя чертеж неподвижным, поверните лист кальки
ровно на 180° и убедитесь в том, что начерченная на кальке
фигура совместится с имеющейся на чертеже фигурой F\
§ 13. Свойства центральной симметрии
Связь центральной симметрии с поворотом, на 180° (см. § 11,
12) убеждает нас в справедливости следующих теорем:
Теорема 1. Две фигуры, симметричные друг другу отно¬
сительно некоторой точки, равны между собой.
В самом деле, так как эти фигуры можно совместить поворо¬
том одной из них на 180\ то они равны.
Теорема 2. Фигура, симметричная отрезку АВ относи¬
тельно точки О, представляет собой отрезок А'В', равный пер¬
воначальному отрезку АВ; точки Аг и В' симметричны концам Л,
В первоначального отрезка относительно точки О. Отрезки А В
и А'В' либо параллельны (рис. 33, а), либо расположены на одной
прямой, проходящей через точку О (рис. 33, б).
Первое утверждение теоремы 2 непосредственно следует из
теоремы 1. Параллельность отрезков АВ и А'В' (в случае, когда
прямая Л В не проходит через О) вытекает из того, что отрезки
Л Л' и ВВГ делятся в точке О пополам, и поэтому четырехуголь¬
ник АВА'В'— параллелограмм. Если же прямая АВ проходит
через О, то концы Л', В' отрезка Л'В' принадлежат той же пря¬
мой ЛВ в силу определения центральной симметрии.
17

Теорема 3. Фигура, симметричная окружности относи¬
тельно точки О, представляет собой окружность того же ради¬
уса. Центр ее симметричен центру первоначальной окружности
относительно точки О.
Первое утверждение теоремы 3 вытекает из теоремы 1. Точка
O', симметричная центру Q первоначальной окружности, служит
центром полученной окружности,
ибо в силу теоремы 2
QA=z:Q'A' = r
(см. рис. 34).
Из теорем 1 и 2 непосредствен¬
но вытекает следующая теорема:
Теорема 4. Фигура а', сим¬
метричная прямой а относитель¬
но точки О, также является пря¬
мой линией. Если прямая а не
проходит через О, то прямая а’ параллельна а и находится
от точки О на том же расстоянии, что и а. Если же прямая а
проходит через точку О, то прямая d совпадает с а.
§ 14. Центр симметрии параллелограмма
Теорема. Параллелограмм является центрально-симмет¬
ричной фигурой, центром симметрии которой служит точка
пересечения диагоналей.
Эту точку часто называют просто
центром параллелограмма.
Доказательство. Пусть ABCD —
произвольный параллелограмм и О — точ¬
ка пересечения его диагоналей (рис. 35).
Так как диагонали АС и BD делятся в	Рис. 35.
точке О пополам, то точки А и С сим¬
метричны относительно точки О; точки В и D также симметричны
относительно О. Из этого в силу теоремы 2 § 13 вытекает, что
Рис. 34.
18

отрезки АВ и CD симметричны относительно точки О и точно
так же отрезки ВС и DA симметричны относительно точки О.
Поэтому при симметрии относительно О (при повороте вокруг О
на угол 180°) параллелограмм перейдет сам в себя.
Из существования у параллелограмма центра симметрии вы¬
текает ряд его свойств. Приведем несколько примеров:
1)	противоположные углы параллелограмма равны;
2)	на всякой прямой, проходящей через точку О пересечения
диагоналей параллелограмма, стороны параллелограмма высекают
отрезок MN, делящийся в точке О попо¬
лам (рис. 36);
3)	биссектрисы противоположных углов
параллелограмма параллельны между собой
(или совпадают).
Предложение 1) вытекает из того, что
противоположные углы параллелограмма
симметричны относительно точки О (см.
теорему 1, § 13).
Предложение 2) вытекает из того, что
точки М и N (рис. 36) симметричны от¬
носительно точки О.
Предложение 3) вытекает из того, что при повороте вокруг
точки О на 180° углы ABC и ADC параллелограмма совместятся
и биссектриса угла ABC совместится с биссектрисой угла ADC.
Но это значит, что прямые, которым принадлежат эти биссек¬
трисы, симметричны относительно точки О, т. е. либо парал¬
лельны, либо совпадают (см. теорему 4, § 13).
Рис. 36.
§ 15. Задачи
Существование у фигуры центра симметрии позволяет уста¬
навливать различные ее свойства. Выше мы видели это на при¬
мере параллелограмма. Вот еще одна
задача такого рода.
Задача 1. Две равные окруж¬
ности касаются друг друга внешним
образом в точке М. Доказать, что
на каждой прямой, проходящей через
точку М, окружности высекают рав¬
ные хорды (рис. 37).
рис. 37.	Решение.	Рассматриваемые	ок¬
ружности симметричны относительно
точки М: это следует из того, что они равны и их центры сим¬
метричны относительно точки М (рис. 37; см. теорему 3, § 13),
Поэтому изображенные на рисунке 37 точки А к В симметричны
относительно точки М> откуда АМ = МВ.

При решении задач центральная симметрия часто применяется
также	не ко	всему чертежу в	целом, а	лишь к некоторой его
части.	При этом мы приходим	к новому чертежу, который мо¬
жет оказаться более удобным для решения задачи, чем исходный
(см. § 8). Приведем пример.
Задача	2. Дан угол ABC	и точка	О внутри него. Про¬
вести	через	точку Q прямую,	отрезок	которой, заключенный
между сторонами угла ABC, делится
в точке О пополам.
Решение.
Анализ. Предположим, что за¬
дача решена и MN — искомая пря¬
мая (точка М лежит на стороне А В,
точка N — на стороне ВС; рис. 38).
Так как точка О — середина отрез¬
ка MN, то точки М и N симмет¬
ричны относительно О. Но точка М
принадлежит прямой АВ; следова¬
тельно, симметричная ей точка N
должна лежать на прямой А'В', симметричной А В относительно
точки О (на рисунке 38 прямая А'В' проведена пунктиром).
Таким образом, N должна быть точкой пересечения прямых А’В’
и ВС.
Построение. Пусть А — какая-то точка луча В А (эту точку
можно выбрать произвольно). Построим точки А' и В\ симмет¬
ричные точкам А и В относительно точки О. Проведем прямую
А'В' и обозначим через N точку пересечения этой прямой с пря¬
мой ВС. Тогда прямая N0 — искомая.
Доказательство правильности построения и исследо¬
вание (показывающее, что задача всегда имеет одно решение)
предоставляется учащемуся.
ГЛАВА III
ПОВОРОТ
§ 16. Определение поворота
При изучении центральной симметрии мы уже пользовались
(в§ 11) поворотом на угол 180°. Теперь мы рассмотрим по¬
ворот на произвольный угол.
Чтобы получить наглядное представление о повороте, поступим
так же, как в § 11. Отметим на листе бумаги некоторую точку О
и укрепим лист на столе с помощью булавки, проткнув его в
точке О. Затем, не вынимая булавки, повернем лист вокруг
точки О на некоторый угол а (рис. 39). Каждая точка А в ре¬
зультате этого поворота займет новое положение А. Мы будем
20

говорить, что точка А получается из точки А поворотом вокруг
точки О на угол а. Если на листе бумаги изображена некоторая
фигура F, то после указанного поворота листа бумаги она займет
новое положение. Обозначим фигуру в новом ее положении
л"1
А ?
I
через F' (рис. 39). Здесь мы также говорим, что фигура F' полу¬
чается из фигуры F поворотом вокруг точки О на угол а.
Угол а будем, как принято в тригонометрии, считать поло¬
жительным, если поворот совершается протияв часовой
стрелки, и отрицательным, если поворот совершается
по часовой стрелке.
Дадим теперь точное определение по¬
ворота вокруг точки О на угол а.
Определение. Пусть9 даны точ¬
ка О и угол а (положительный или от¬
рицательный). Возьмем произвольную от¬
личную от О точку А и обозначим че¬
рез А точку, определяемую следующими
двумя условиями:	1) угол от луча О А
до луча О А равен а; 2) отрезок О А ра¬
вен отрезку О А (рис. 40). Переход от точ¬
ки А к точке А называется поворотом
вокруг точки О на угол а.
Сама точка О переходит при повороте
вокруг точки О (на любой угол) в ту же
самую точку О.
Подчеркнем, что в этом определении угол а может быть как
положительным, так и отрицательным. Знак угла а определяет
направление поворота (см. рис. 41, на котором изображены
точки А и Л", получающиеся из одной и той же точки А пово¬
ротами вокруг точки О на углы а и —а).
Поворот фигуры. Если на плоскости задана некоторая фигура F,
то для любой ее точки А можно найти точку А\ в которую
Рис. 41.
21

переходит А при повороте во¬
круг точкиОна угол а(рис.42).
Множество всех получающих¬
ся таким образом точек А’
представляет собой новую фи-
гуру F. Об этой фигуре гово¬
рят, что она получается
из фигуры F при по¬
мощи поворота вокруг
точки О на угол а.
Опр'е деление.	Фигу¬
ра F', образованная всеми
точками, получающимися из
точек фигуры F поворотом
вокруг точки О на угол а,
из фигуры F поворотом вокруг
§ 17. Самостоятельная работа
Построение фигуры, получающейся из данной поворотом на
угол 45°. Отметьте на листе бумаги некоторую точку О и изобра¬
зите на этом же листе какую-либо фигуру, например замкнутую
линию F (рис. 42). На линии F отметьте ряд точек, достаточно
густо расположенных на ней. Если А — какая-либо из отмечен¬
ных точек, то проведите отрезок ОА и, пользуясь угольником
с углом 45°, постройте такой луч ОМ, что Z АОМ = -f-45° (луч
ОМ получается из луча ОА поворотом на 45° против часовой
стрелки). На луче ОМ отложите отрезок ОА = ОА. Тогда А —
первая найденная вами точка фигуры F. Поступив точно так же
со всеми отмеченными на линии F точками, вы получите ряд то¬
чек линии F'. Соедините их между собой — это и даст линию F\
которая получается из F поворотом на 45° вокруг точки О.
Теперь положите на полученный чертеж лист кальки и про¬
ткните кальку и чертеж булавкой в точке О. Обведите на кальке
линию F. Оставляя чертеж неподвижным, поверните лист кальки
вокруг точки О на 45° против часовой стрелки. Убедитесь, что
обведенная на кальке линия после поворота совместится с ли¬
нией F'.
§ 18. Свойства поворота
Теорема 1. Фигура F, получающаяся из фигуры F поворо¬
том на угол а вокруг точки О, равна фигуре F.
В самом деле, фигура F может быть совмещена с фигурой F
(см. § 16, 17).
Теорема 2. Фигура, получающаяся из отрезка А В с по¬
мощью поворота вокруг точки О на угол а, представляет собой
22

отрезок А'В', равный отрезку АВ (рис. 43). Концы А' и В' от¬
резка А'В' получаются из концов А к В отрезка А В с помощью
того же поворота.
Теорема 3. Фигура, получающаяся из данной окружности F
с помощью поворота вокруг точки О на угол а, представляет
собой окружность F', рав¬
ную окружности F (рис. 44).
Центр окружности F полу¬
чается из центра первоначаль¬
ной окружности с помощью
того же поворота (см. рис. 44).
Действительно, поворот
вокруг точки О переводит
точку Q, удаленную от всех
точек окружности F на одно	Рис. 43.
и то же расстояние г (т. е.
центр окружности F), в точку Q', удаленную на расстояние г
от всех точек окружности F' (см. теорему 2).
Теорема 4. Фигура d, в которую переходит прямая а при
повороте вокруг точки О на угол о., также является прямой ли-
нией. Если —180°<^а<[ 180° и а ф 0, то углы между прямыми
and равны |а| и 180° — |а|; если же а = 0 илл а =—180°, то
прямые and параллельны или совпадают между собой.
Доказательство. Фигура а представляет собой прямую
в силу теоремы 1. Если прямая а проходит через точку О, то
заключительное утверждение теоремы 4 очевидно (см. рис. 45;
напомним, что, в отличие от угла поворота а, смежные углы,
образованные при пересечении двух прямых, мы считаем поло¬
жительными). Пусть теперь прямая а не проходит через точку О.
Прямая а\ получающаяся из а поворотом вокруг точки О на
угол а, может быть найдена следующим образом. Опустим из
точки О перпендикуляр ОР на прямую а (рис. 46). Затем найдем
23

точку Р\ в которую переходит Р при рассматриваемом повороте.
Наконец, через точку Р' проведем прямую, перпендикулярную
отрезку ОР'; это и есть искомая прямая а\ В самом деле, пря¬
мой угол ОРА (рис. 46) переходит при повороте вокруг точки О
на угол а в прямой угол
ОР А9 (см, .теорему 1); от¬
сюда и следует, что пря¬
мая РА перейдет в пря¬
мую РГА\
Углы между прямыми а
и а равны углам между
прямыми ОР и ОР\ про¬
веденными через точку О
(рис. 46) перпендикулярно
а' и а. Таким образом, при
а^0° и а ф ± 180° эти
углы равны | а | и 180°—|а| (рис. 46). При а = 0° или а=± 180°,
прямые ОР и ОРг совпадают между собой, и потому прямые а
и d совпадают или параллельны.
§ 19. Задачи
Применение поворота к решению задач мы проиллюстрируем
двумя примерами.
Задача 1. На сторонах А В и АС треугольника ABC по-
строены равносторонние треугольники АВМ и АСЫ, причем
треугольник АВМ расположен вне тре¬
угольника ABC, а треугольник ACN — с ^
той же стороны от прямой АС, что и
исходный треугольник ABC (рис. 47). До-
казать, что расстояние между точками
М и N равно стороне ВС.
Решение. Предположим, например,
что поворот на 2. А, переводящий луч
АВ в луч ЛС, происходит против часр-
вой стрелки (рис. 47). В таком случае
£ВАМ = — 60° и Z CAN = — 60°; кро¬
ме того, АМ — АВ и AN = АС. Но это
означает, что точки М и N получаются
из точек В и С поворотом вокруг точ¬
ки А на угол — 60°. Поэтому отрезок MN получается из от¬
резка ВС поворотом вокруг точки А на угол —60°. Но отсюда
следует, что эти отрезки равны (см. теорему 2, § 18).
Задача 2. Даны три параллельные прямые а, Ь и с. По¬
строить равносторонний треугольник ABC, вершины А, В, С
которого лежат на данных прямых.
24

Решение.
Анализ. Предположим, что задача решена и ABC ~ иско¬
мый треугольник (рис. 48). Так как АВ — АС и /_ВАС = 60’,
то точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А
на угол -J- 60° или на
угол —60°. Пусть, на-	/
пример, В переходит
в С при повороте во¬
круг А на угол -j- 60°.
Точка В лежит на
прямой Ь. Поэтому точ¬
ка С, получающаяся из
нее поворотом вокруг А
на угол -4- 60°, должна
лежать на прямой Ъ\
получающейся из пря¬
мой Ь поворотом во¬
круг А на угол -j- 60°.
Кроме того, точка С лежит,	по	условию,	на прямой
этому С есть точка пересечения	прямых	Ь'	и	с.
Аналогично, если точка В переходит в С при повороте вокруг А
/Ь'
Рис. 48.
с. По-
600 (рис. 49), то
получающейся
на угол —
и прямой
угол — 60'
Построение. Выберем
Затем построим прямую
С есть точка пересечения прямой с
из b поворотом вокруг точки А ка
точку А на прямой а произвольно,
получающуюся из b поворотом во¬
круг А на угол —|— 601
(рис. 48). В пересечении
прямых Ь' и с получаем
точку С. Третья верши¬
на В искомого треуголь¬
ника ABC получается из
точки С поворотом во¬
круг А на угол —60°
Другое построение мы
получим, заменяя пово¬
рот вокруг точки А на
угол -f- 60° поворотом
вокруг той же точки на
угол —60° (рис. 49).
Доказательство. При повороте вокруг точки А на угол
—	60° прямая 6' переходит в прямую Ъ (рис. 48). Следовательно,
точка С прямой Ьт переходит при этом повороте в точку, лежа-
щую на прямой Ь. Иначе говоря, точка В лежит на прямой Ь.
Далее, по определению поворота, мы имеем:	/тВАС = 60\
АС = АВ. Поэтому треугольник ABC — равнобедренный с уг¬
лом 60° при вершине; следовательно, он равносторонний. Точно
25

так же доказывается, что равносторонним является и изображен¬
ный на рисунке 49 треугольник.
Исследование. Прямая b' (рис. 48) не параллельна пря¬
мой Ъ (см. теорему 4, § 18); поэтому она пересечет прямую с\\Ь
в некоторой точке С. Следовательно, треугольник ABC всегда
существует. Также всегда существует и второй треугольник
(рис. 49). Поэтому при выбранной точке А задача всегда имеет
два решения. (Точка А может быть выбрана на прямой а про¬
извольно.)
ГЛАВА IV
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
§ 20. Вектор
Часто приходится, кроме обычных отрезков, рассматривать
направленные отрезки, считая один из концов отрезка
его началом, а второй концом. На чертежах направленные
отрезки изображают в виде отрезков со стрелками (рис. 50), при¬
чем стрелка указывает направление от начала отрезка к его концу.
Направленные отрезки называют также век¬
торами; этим названием мы и будем поль¬
зоваться в дальнейшем.
Вектор с началом А и концом В (рис.
50) обозначается через А В (в отличие от
& обычного, т. е. ненаправленного, отрезка с
рис	концами в точках Л и В, который обозна¬
чается символом АВ — без черточки сверху).
Вектор обозначают также одной жирной бук¬
вой, например, а, Ь, с, ... Так как в тетради или на доске писать
жирные буквы неудобно, то вместо них пишут обычные (светлые)
буквы с черточкой сверху (пишут а вместо а, Ъ вместо Ь и т. д.).
Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Если
вектор обозначен одной жирной буквой, то его длина обозначается
той же светлой буквой (а в тетради или на доске — той же бук¬
вой без черточки). Длину вектора иногда обозначают вертикаль¬
ными черточками, как и абсолютную величину числа. Таким об¬
разом, длина вектора а обозначается через а или | а | (а в тетради
или на доске длина вектора а обозначается через а или \а\).
Равенство векторов. Векторы АВ и CD называются равными
(рис. 51), если выполнены следующие три условия:
1)	прямые А В и CD параллельны (или совпадают);
2)	направление (на прямой А В) от точки А к точке В сов¬
падает с направлением (на прямой CD) от точки С к точке D;
3)	отрезки А В ti CD равны между собой.
26

Равенство векторов обозначается тем же знаком —, что и ра.
венство чисел: А В —CD (рис. 51), или а = Ь (рис. 52).
Рис. 51.
Рис. 52.
Важно подчеркнуть, что равенство отрезков АВ и CD
(т. е. равенство длин векторов АВ и CD) не достаточно для
того, чтобы были равны векторы АВ и CD. Если отрезки А В
и CD равны между собой, но не выполнено условие 1) (рис. 53, а)
или выполнено условие 1), но не выполнено условие 2) (рис. 53, б),
то векторы А В и CD не считаются равными.
Из приведенного определения следует, что равенство векторов
обладает тем же основным свойством, что и равенство чисел:
два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Иначе
говоря, если а = с и Ь = с, то а = Ь
(рис. 54).	°—-—^
Во многих случаях бывает полезен	b
следующий признак равенства	°
векторов: Для векторов АВ a CD, не	«—-—
расположенных на одной прямой, равен-	Рис.	54.
ство AB=±CD имеет место в том, и
только в том случае, если ABDC — параллелограмм (рис. 55).
Это утверждение вытекает из определения равенства векторов.
Откладывание вектора от точки. Если на плоскости даны не¬
который вектор А В и точка С, то существует единственный
вектор CD с началом С, равный вектору АВ. Для того чтобы
о)
6)
Рис. 53.
27

получить конец D этого вектора, достаточно провести через
точку С прямую, параллельную прямой АВ (рис. 55) или совпа-
Рис. 55.	Рис.	56.
дающую с ней (рис. 56), и отложить на этой прямой в напра¬
влении, указываемом вектором Л В, отрезок CD = AB.
§ 21. Определение параллельного переноса
Определение. Пусть дан некоторый вектор а. Для про¬
извольной точки А мы обозначим через А такую точку, что
АА' = а (рис. 57). Переход от точки А к точке Аг называется
параллельным переносом на вектор а.
Иначе говоря, для того чтобы найти точку А\ в которую
переходит точка А в результате параллельного переноса на век¬
тор а, нужно отложить от
точки А вектор, равный век¬
тору а (Рис* 57). Конец
этого вектора и будет иско¬
мой точкой А.
а
Рис. 57.
Параллельный перенос фигуры. Предположим, что на плоскости
заданы вектор а и некоторая фигура F (рис. 58). Для каждой
точки А этой фигуры найдем точку А\ получающуюся из А
с помощью параллельного переноса на вектор а. Множество всех
точек, получающихся из точек фигуры F с помощью параллель¬
ного переноса на вектор а, представляет собой некоторую новую
фигуру F' (рис. 58) — фигуру, получающуюся из фигуры F с по¬
мощью параллельного переноса на вектор а.
28

Определение. Фигура F, образованная всеми точками,
получающимися из точек заданной фигуры F параллельным пере-
носом на вектор а, называется фигурой, получающейся из F па¬
раллельным переносом на вектор а.
§ 22. Самостоятельная работа
Построение фигуры, получающейся из данной параллельным
переносом. На листе бумаги начертите некоторый вектор MN и
какую-либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 58).
На линии F отметьте ряд точек Л, В, С,..., достаточно густо
расположенных на ней. С помощью линейки и угольника про¬
ведите через каждую из отмеченных точек прямую линию, парал¬
лельную MN. Измерив теперь с помощью циркуля отрезок MN,
отложите на прямой, проходящей через точку Л, отрезок AA'=MN,
причем так, чтобы имело место равенство AA' = MN (рис. 58). Ана¬
логично постройте точки В\ С\ ..получающиеся из точек В, С,...
параллельным переносом на вектор MN. Последовательно соедините
построенные точки Л', В', С', ... ; это и даст линию F, получаю¬
щуюся из F с помощью параллельного переноса на вектор MN.
Теперь наложите на полученный чертеж лист кальки. Обведите
на кальке линию F и прямую MN, отметив на этой прямой точку М.
Оставляя чертеж неподвижным, сдвиньте лист кальки в направле¬
нии прямой MN так, чтобы отмеченная на кальке точка М совме¬
стилась с точкой N на чертеже. Убедитесь, что при таком сдвиге
изображение линии F на кальке совместилось с фигурой F' на
чертеже.
§ 23. Свойства параллельного переноса
Теорема 1. Фигура F' получающаяся из фигуры F парал¬
лельным переносом, равна фигуре F.
В самом деле, пусть фигура F' получается из фигуры F па¬
раллельным переносом на вектор a = MN (рис. 58). В таком
случае при перемещении фигуры F как твердого целого в направ¬
лении вектора а на расстояние, равное длине вектора а, эта
фигура совместится с F (см. § 22). Так как фигуры F и F' могут
быть совмещены друг с другом, то они равны.
Теорема 2. Фигура, получающаяся из отрезка АВ с помо¬
щью параллельного переноса на вектор а, представляет собой
отрезок А'В', равный отрезку АВ (рис. 59, а, б). Концы А' и В'
отрезка А'В' получаются из концов Л и В отрезка АВ с помощью
того же параллельного переноса.
Теорема 3. Фигура F', получающаяся из данной окружно¬
сти F с помощью параллельного переноса, представляет собой
окружность, равную окружности F (рис. 60). Центр окружности F
29

получается из центра окружности F с помощью того же парал¬
лельного переноса.
В самом деле, параллельный перенос переводит окружность F
в окружность F’ (теорема 1), а центр О окружности F, т. е. точку,
удаленную от всех точек окружности F на расстояние г, —
в точку О', удаленную на рас-
6)
Рис. 59.
стояние г от всех точек окруж¬
ности F (см. теорему 2).
Теорема 4. Фигура V, полу¬
чающаяся из прямой I параллель¬
ным переносом на вектор а, также
представляет собой прямую линию.
Прямая Г либо параллельна /,
либо совпадает с ней.
Рис. 60.
Первое утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 1 (так как
фигура, равная прямой линии, есть прямая). Если I % а, то мы
возьмем две точки Л, В прямой I и обозначим через А и В'
точки, в которые переходят А к В при рассматриваемом парал¬
лельном переносе (рис. 59, а). Тогда АА = ВВ' — а и, следова¬
тельно, АА'В'В — параллелограмм (см. признак равенства векто¬
ров, § 20). Следовательно, АВ || АВ\ т. е. 11| Г. Если же /1| а
(рис. 59, б), то рассматриваемый перенос переводит любую точку
прямой I в точку, лежащую снова на той же прямой /; поэтому Г
совпадает с /.
§ 24. Задачи
При решении задач параллельный перенос обычно применяется
не ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части.
Проиллюстрируем это двумя примерами.
Задача 1. Даны две окружности F и G и отрезок MN
(рис. 61). Построить отрезок, равный и параллельный отрезку
MNt концы которого лежат на данных окружностях.
30

Решение.
Анализ. Предположим, что задача решена и Л В —искомый
отрезок (точка А лежит на окружности F, точка В — на окруж¬
ности G). Так как отрезок АВ равен и параллелен отрезку MN,
то имеет место один из двух случаев: либо AB = MN, либо
АВ — NM.
О
м
N
Рис. 61.
Рис. 62.
Пусть, например, AB = MN (рис. 62). Тогда точка В полу¬
чается из точки А параллельным переносом на вектор MN. Так
как точка А лежит на окружности F, то точка В должна при¬
надлежать окружности F\ получающейся из F с помощью парал¬
лельного переноса на вектор MN.
Кроме того, точка Ву по условию,
лежит на окружности G. Поэтому
В есть точка пересечения окруж¬
ностей F и G.
Аналогично, если AB — NM
(рис. 63), то В есть точка пере¬
сечения окружности G и окруж¬
ности F', получающейся из F
параллельным переносом на век¬
тор N М.
Построение. Строим ок¬
ружность F, получающуюся из F
параллельным переносом на вектор MN (теорема 3, § 23). Пусть
В — одна из точек пересечения окружностей F и G. Если А —
та точка окружности F, которая переходит в В при параллель¬
ном переносе на вектор MN, то отрезок АВ — искомый.
В этом построении параллельный перенос на вектор MN может
быть заменен переносом на вектор NM.
Рис. 63.

Доказательство правильности построения предоставляем
учащемуся.
Исследование. Если окружность G получается из F па¬
раллельным переносом на вектор MN или на вектор NM, то
Рис. 64.	Рис.	65.
задача имеет бесконечно много решений (рис. 64). В остальных
случаях задача имеет не более четырех решений, так как окруж¬
ность G имеет не более двух точек пересечения с окружностью F'
и не более двух точек пересечения с окружностью F”. Случай,
когда задача имеет четыре решения, показан на рисунке 65.
Задача 2. В каком месте следует построить мост MN
через реку, чтобы путь AMNB из деревни А в расположенную
по другую сторону реки деревню В (рис. 66) был кратчайшим?
(Предполагается, что берега реки — параллельные прямые; мост
должен быть перпендикулярен
берегам.)
Решение.
Анализ. Предположим,
что AMNB — некоторый путь
(рис. 66). Перенесем параллель¬
но отрезок AM ш вектор MN\
мы получим отрезок AN (где
А— точка, получающаяся из А
параллельным переносом на век¬
тор MN). Так как AMNA —
параллелограмм, то AM MN = АА А N к AM-\-MN -\-NB —
= АА -{-AN -4- NB. Но длина отрезка MN = А А нам известна —
она равна расстоянию между параллельными берегами реки. Сле¬
довательно, для того чтобы путь AMNB был кратчайшим, не¬
обходимо, чтобы наименьшей была длина ломаной AN В. Это будет,
очевидно, в том случае, если ломаная AN В, соединяющая точки А
и В, превращается в отрезок прямой. Таким образом, точка N,
принадлежащая кратчайшему пути, лежит на прямой АВ и,
кроме того, на ближайшем к деревне В берегу реки, т. е. иско¬
Рис. 66.
32

мая точка N есть точка пересечения прямой А'В и этого берега
(рис. 67).
Построение. Проведем прямую, перпендикулярную бе¬
регам реки, и обозначим через Р точку пересечения этой пря¬
мой с берегом, ближайшим к
деревне Л, а через Q —
точку пересечения с другим
берегом (рис. 67). Построим
точку А\ получающуюся из
А параллельным переносом
на вектор PQ. Проведем от¬
резок А'В и обозначим че¬
рез N точку пересечения
этого отрезка с берегом,
ближайшим к деревне В.
Опустив из точки N перпен¬
дикуляр NM на второй берег реки, мы и получаем место рас¬
положения требуемого моста MN.
Доказательство правильности построения и исследова¬
ние (показывающее, что задача всегда имеет ровно одно ре¬
шение) предоставляется учащемуся.
Рис. 67.
ГЛАВА V
ГОМОТЕТИЯ
§ 25. Определение гомотетии
Гомотетия с положительном коэффициентом. Определе¬
ние. Писть О — данная точка плоскости и k — данное положи-
тельное число. Для любой отличной
от О точки А на луче ОА найдется
такая точка Ачто
ОЛ' = *ОЛ
Рис. 68.
(рис. 68). Переход от точки А к точ¬
ке А называется гомотетией с цент¬
ром О и коэффициентом k.
Это определение не указывает, в
какую точку переходит при гомотетии
точка О. Условимся считать, что точ
ка О (центр гомотетии) переходит при гомотетии сама в себя
Гомотетия фигур. Предположим, что нам заданы точка О пло
скости и положительное число k, а также некоторая фигура Р
Для любой точки А фигуры F можно найти точку Л', получаю¬
щуюся из Л с помощью гомотетии с центром О и коэффициентом k
(рис. 69).
2 В. Г4 Болтянский и И% М. Яглом
33

Множество всех точек, получающихся из точек фигуры F
с помощью рассматриваемой гомотетии, представляет собой неко¬
торую новую фигуру F'. Эта фигура F называется фигурой, полу-
0
к =
Рис. 69.
Рис. 70.
чающейся из F при помощи гомотетии с центром О и коэффи¬
циентом k, или, короче, фигурой, гомотетичной фигуре/7
(с центром гомотетии О и коэффициентом k).
Гомотетию с центром О и коэффициентом k, меньшим единицы,
иногда называют «сжатием к точке О». Это название объясняется
/	/	/	л*
А’
/
ч I
К- 1
н- г
Рис. 71.
тем, что в результате такой гомотетии все точки плоскости при¬
ближаются к точке О, причем расстояния всех точек от точки О
уменьшаются в одинаковое число раз. Так, например, при k= ~
каждая точка А плоскости переходит в середину А’ отрезка О А
(рис. 70). На рисунке 69 показана гомотетия с коэффициентом
34

Рис. 72.
fe=~-. Мы видим, что фигура F, гомотетичная Z7, будет иметь
тем меньшие размеры, чем меньше коэффициент гомотетии. Форма
же фигуры при гомотетии не меняется, т. е. фигура F, гомо¬
тетичная фигуре F с ко¬
эффициентом гомотетии
&<Ч, представляет собой
«уменьшенную копию» фи¬
гуры F.
При k^>l гомотетия
увеличивает («растягивает»)
фигуры (см. рис. 71, на
котором изображена гомо¬
тетия с коэффициентом
*=!)■
Гомотетия с отрицательным коэффициентом. Предположим
снова, что заданы точка О на плоскости и число k, которое, однако,
мы теперь будем считать отрицательным. Для любой отлич¬
ной от О точки А на продолжении луча О А за точку О най¬
дется та!(ая точка А\ что
(рис. 72)
OA' = \k\.'OA.
Переход от точки А к точ¬
ке А называется гомоте¬
тией с центром О и (отри¬
цательным) коэффициентом
Как и в случае положи¬
тельного kt считают, что точ¬
ка О (центр гомотетии) пе¬
реходит при гомотетии сама
в себя.
Предположим теперь, что
заданы точка О плоскости,
некоторое отрицательное чи¬
сло ку а также фигура F. Для любой точки А фигуры F можно
найти точку А, получающуюся из Л с помощью гомотетии с
центром О и коэффициентом k (рис. 73). Множество всех точек,
получающихся из точек фигуры F с помощью рассматриваемой
гомотетии, представляет собой новую фигуру F\ Эта фигура на¬
зывается фигурой, получающейся из F при помощи гомотетии
с центром О и коэффициентом k<^0t или, короче, фигурой,
гомотетичной фигуре F.
Гомотетия с центром О и коэффициентом гомотетии k ——1
совпадает, очевидно, с симметрией относительно точки О.
А’..-
У Г.
Рис. 73.
2
35

§ 26. Самостоятельная работа
Построение гомотетических фигур. На листе бумаги отметьте
некоторую точку О и изобразите замкнутую линию F. На линии Р
отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Каж¬
дую из отмеченных точек соедините отрезком с точкой О и разде¬
лите соединяющий отрезок пополам. Последовательно соедините
середины всех проведенных отрезков — это даст линию F', гомо¬
тетичную линии F с центром гомотетии О и коэффициентом
Постройте на этом же чертеже фигуру Р", гомотетичную
фигуре F с тем же центром гомотетии О и коэффициентом гомо-
I	з
тетии k = —
4
§ 27. Пантограф
Пантографом называется прибор, позволяющий механи¬
чески вычерчивать фигуры, гомотетичные заданным фигурам. Рас¬
смотрим четыре стержня, соединенных между собой так, как
показано на рисунке 74. Стержни соединены шарнирами в таких
точках А, М, N и Р, что
MP — A'N и NP — A'M. Че¬
тырехугольник A'NPM с
равными противоположными
сторонами является парал¬
лелограммом; углы его можно
по желанию менять. Длины
стержней выбраны так, что
выполняется соотношение
ON _NА-
0Р~~ РА •
общую величину этих двух
отношений мы обозначим че¬
рез k.
Из выписанного соотноше¬
ния и равенства углов ON А’
и ОРА (соответственные углы
при параллельных NA' и РА)
заключаем, что треугольники ON А' и ОРА подобны (у них равны
углы и отношения заключающих эти углы сторон).
Поэтому Z. A'ON — АОР и, следовательно, точки О, А' и А
всегда лежат на одной прямой. Из подобия треугольников ON А'
и ОРА вытекает также, что
0А‘ ON

Следовательно, при любых углах параллелограмма A'NPM
точка А' получается из точки А при помощи гомотетии с цен¬
тром О и коэффициентом k.
Прибор используется следующим образом. Точка О укрепляется
на чертеже неподвижно. В точке А помещается острие, а в точке Л'—
пишущее устройство (грифель). Если теперь мы будем двигать
пантограф так, чтобы острие А описывало некоторую изображен¬
ную на чертеже линию F (рис. 74), то грифель А' опишет линию F\
гомотетичную линии F с центром О и коэффициентом k.
В описанном устройстве коэффициент k может меняться:
шарниры можно перемещать вдоль стержней, устанавливая значе¬
ние коэффициента гомотетии k по желанию.
§ 28. Свойства гомотетии
Теорема 1. Фигура, гомотетичная отрезку АВ, представ-
ляет собой отрезок А'В'. Точки А' и В' получаются из точек А
и В с помощью той же гомотетии. Отрезок А'В' параллелен от¬
резку АВ (либо расположен с ним на одной прямой) и имеет
длину \k\ •/, где k — коэффи¬
циент гомотетии, а / — длина
отрезка АВ.
Доказательство. Пусть
А и В — концы первоначаль¬
ного отрезка, а Л' и В' — точ¬
ки, получающиеся из Л и В
при рассматриваемой гомоте¬
тии. Если прямая АВ не про¬
ходит через центр гомотетии О	Рис.	75.
(рис. 75), то треугольники ОАВ
и О А'В' подобны (ибо Z ЛОВ = L А'ОВ' и О А': О А = OB': ОВ =
—	\k\). Следовательно, Z.OAB=£OA'B' и, значит, Л'В'|| ЛВ;
кроме того,
А'В': АВ = О A' :OA — \k\,
т. е.
Л'В' = |&|-ЛВ.
Далее, пусть М— произвольная точка отрезка АВ; обозначим
через МТ точку пересечения прямой ОМ с отрезком А В' (рис. 75).
Из подобия треугольников ОАМ и ОА'М' следует, что
ъ\
ОМ	О А	1 ''
Поэтому при гомотетии точка М переходит в точку ЛГ. Обратно,
если N' — произвольная точка отрезка А'В' и N — точка пересе¬
0
(к> 0)
37

чения прямой ON' с отрезком АВ (рис. 75), то из подобия тре¬
угольников О AN и OA'N' вытекает, что
ОК — °*. — \ъ\
ON	О A — I*!*
Поэтому в точку N' при гомотетии переходит точка N.
А
Рис. 76.
Итак, каждая точка М отрезка АВ переходит при гомотетии
в некоторую точку отрезка А'В' и притом в каждую точку N'
отрезка А'В' переходит некоторая точка отрезка АВ. Это и озна¬
чает, что отрезок А В переходит при гомотетии в отрезок А'В'.
(На рис. 75 изображен
(h>0j
Рис. 77.
случай, когда fe^>0; слу¬
чай k<^0 показан на рис.
76.)
Если прямая АВ проходит
через точку О, то приведенное
выше доказательство неприме¬
нимо. Рассмотрим этот случай.
Предположим сначала, что
точки Ли В расположены на
прямой АВ по одну сто¬
рону от точки О. Для опре¬
деленности будем считать, что
точка В расположена ближе
к О, чем А (точка В может и
произвольную точку М и обозна-
переходят Л, В и М при рассмат-
совпадать с О). Выберем на отрезке АВ
чим через А\ В' и М точки, в которые
риваемой гомотетии. Так как точки Л, В и М лежат* на прямой АВ по одну
сторону от точки О, то точки А\ В' и № также лежат по одну сторону от
точки О. (При k > О точки Л', В' и М' лежат по ту же сторону от О, что и
точки Л, By Mt а при Л<0 — по другую сторону; см. рис. 77, я, 0.)
Из определения гомотетии следует, что
О А = | Л | • ОАу OB' = \k\OB, ОМ' = |Л|-ОМ.
Так как ОВ <ОМ<ОА, то отсюда вытекает, что OB' <ОМ' <ОА', и
поэтому точка М' лежит на отрезке А'В\ Обратно, в каждую точку Л'
отрезка А В’ переходит при рассматриваемой гомотетии некоторая точка N
38

отрезка АВ. Таким образом, отрезок АВ переходит при рассматриваемой
гомотетии в отрезок А'В’. Далее,
Л'Я' = ОЛ' — OB'*=\k\ -OA — \k\ 05 = !/г|-(0Л
ОВ)--
\ k i . АВ.
Пусть, наконец, точки А и В расположены на прямой АВ по разные
стороны от О (рис. 78). Тогда А' и В' также расположены по разные сто-
Рис. 78.
роны от О. В силу доказанного выше, отрезок О А переходит при гомотетии
в отрезок OA't а отрезок ОВ — в OB'. Следовательно, отрезок ЛВ переходит
в отрезок АГВГ. При этом
А В1 = OAr + OB' = | k |. О А + | k | • OB = | k |. (OA + OB) = | k j. AB.
Следствие. При гомотетии все размеры фигуры изменяются
пропорционально.
Более точно это означает следующее. Пусть F— произволь¬
ная фигура и F' — фигура, гомотетичная F с коэффициентом
Лв’ в'с'_ Со' аЪ’ в'р'
АВ ВС CD AD ВО
А\
гомотетии k. Тогда, если А и В—две произвольные точки
фигуры F, а А' и В'— точки фигуры F, в которые переходят
А и В при рассматриваемой гомотетии, то
А'В'
АВ
\k\.
Например, если Л, В, С, Д... — какие-то точки фигуры F и Л',
В\ С', D',... соответствующие им точки фигуры F' (т. е. точки,
в которые переходят точки Л, В, С, Д ... при рассматриваемой
гомотетии; рис. 79), то
А'В' А'С' А'Р'
АВ ~ AC — AD :
.В'С — В'Р'—	,,,
ВС ~ ВО ~	,Л|
Теорема 2. Фигура, гомотетичная многоугольнику М с коэф¬
фициентом гомотетии k, представляет собой многоугольник М’,
подобный многоугольнику М с коэффициентом подобия \ k\. Вер¬
39

шины многоугольника М' получаются из вершин многоугольника
М с помощью той же гомотетии (рис. 80).
Доказательство. Обозначим через А, В, С, D,..., К вер¬
шины многоугольника М, а через А', В’, С,..., К' — точки,
в которые переходят эти вершины при рассматриваемой гомотетии
(рис. 80). В силу теоремы 1, отрезок АВ переходит в А'В', отре¬
зок ВС — в В'С' и т. д. Поэтому многоугольник М переходит
в многоугольник М' с вер¬
шинами А', В', С’, U, ...
К'. Далее,
A'B’ = \k\-AB,
В’С’ = | А |• ВС, ...
...,K’A' = \k\-KA.
Кроме того,
Z ABC = Z А'В'С,
Z BCD = Z. B'C'D', ...
Рис. so.	...,	AKAB=Z.K'A'B'
(как углы с параллельными сторонами). Следовательно, много¬
угольник М' подобен многоугольнику М с коэффициентом подо¬
бия | k |.
Теорема 3. Фигура, гомотетичная окружности радиуса г
с коэффициентом гомотетии k, представляет собой окружность
радиуса \k\-r. Центр этой окружности получается из центра
исходной окружности с помощью той же гомотетии (рис. 81).
м
о
F
Рис. 81.
Доказательство. Пусть Q — центр данной окружности F,
a Q' — точка, в которую переходит Q при рассматриваемой гомо¬
тетии. Возьмем произвольную точку М окружности F и обозна¬
чим через М' точку, в которую переходит при гомотетии точка М
(рис. 80). В силу теоремы 1 имеем:
А
40

Следовательно, точка М' принадлежит окружности F с центром
Q' и радиусом \k\ откуда видно, что окружность F переходит
при гомотетии в окружность F\
Теорема 4. При гомотетии любая прямая а переходит
в прямую а\ Прямая d либо параллельна прямой а, либо совпа¬
дает с ней.
Доказательство. Пусть I — прямая, не проходящая
через центр гомотетии О. Выберем на этой прямой точку
А и обозначим через А' точку, в
которую переходит Л при рассмат¬
риваемой гомотетии. Наконец, про¬
ведем через Л' прямую /', парал¬
лельную прямой I (рис. 82). Если
М — произвольная точка прямой /,
то прямая ОМ пересекает /' в не¬
которой точке М\ и из подобия
треугольников ОМА и ОМ'Л' мы
имеем:
ОМ'	О А'	.
ОМ О А ‘
Следовательно, при рассматривае¬
мой гомотетии точка М перехо-	Рис. 82.
дит в М\ Обратно, в любую точку
Л/' прямой d переходит некоторая точка N прямой а. Это значит,
что прямая а переходит в прямую а\
Если прямая а проходит через центр гомотетии О, то
любая точка прямой а снова переходит в некоторую точку пря¬
мой а. Поэтому прямая а переходит при гомотетии сама
е себя.
§ 29. Точка пересечения высот треугольника
Теорема. Высоты произвольного треугольника (или их про-
должения) пересекаются в одной точке Н. Точка Н лежит на
прямой, проходящей через центр О описанной окружности и точку
М пересечения медиан, причем точка М расположена между
точками О и Н и МО = ~МП,
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник,
Д Е, F — середины его сторон (рис. 83). Тогда
MD = ~MA, МЕ — ^МВ, MF = ±MC
(в силу теоремы об отношении отрезков медиан). Слгдовательно,
гомотетия с центром М и коэффициентом —у переводит точки
А, В, С в точки D, Е, F (замзгим, что точки А и D располо¬
41

жены по разные стороны от М). Иначе говоря, рассмат¬
риваемая гомотетия переводит треугольник ABC в треугольникDEF.
Высота АР треугольника ABC переходит при этой гомотетии
в отрезок, проходящий через точку D и параллельный АР
(см. теорему 1, § 28), т. е. в
отрезок DK, перпендикулярный
к стороне ВС треугольника ABC и
проходящий через ее середину D.
Прямая DK проходит через
центр О описанной окружности тре¬
угольника ABC. Обозначим че¬
рез Н точку, которая переходит
в О при рассматриваемой гомо¬
тетии. Так как прямая ЦК прохо¬
дит через О и гомотетична АР,
то прямая АР проходит через
точку Н. Точно так же доказывается, что высоты BQ и CR тре¬
угольника ABC (или их продолжения) проходят через точку Н. Таким
образом, Я — точка пересечения высот треугольника А ВС.
Заключительное утверждение теоремы вытекает из того, что
при гомотетии с центром М и коэффициентом — точка Н пере¬
ходит в О.	н
Рис. 84.
Замечание. В случае остроугольного треугольника
точка Н пересечения высот расположена внутри треугольника
(см. рис. 83). В прямоугольном треугольнике точка Н сов¬
падает с вершиной прямого угла (рис. 84, а), а в слу¬
чае тупоугольного треугольника точка Н лежит вне его
(рис. 84, б).
§ 30. Задачи
Приведем примеры применения гомотетии к решению задач
на построение.
Задача 1. Дан угол ABC и внутри него точка Р. Провести
через точку Р прямую, отрезок MN которойt заключенный между
В
Рис. 83.
42

сторонами угла, делится точкой Р в отношении NP: РМ =1:2.
(Точка N лежит на стороне Л В, точка М — на стороне ВС.)
Решение.
Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN—
искомая (рис. 85). Так как точка Р лежит между точками М и
N и NP: РМ = 1:2, то точка N получается из точки М гомоте¬
тией с центром Р и коэффи¬
циентом— у. Но точка М
принадлежит прямой ВС.
Следовательно, точка N при¬
надлежит прямой В'С', в ко¬
торую переходит прямая ВС
при рассматриваемой гомо¬
тетии. Кроме того, точка Л/,
по условию, принадлежит
прямой АВ. Поэтому N —
точка пересечения прямых
А В и В'С'.
Построение.	Найдем	точки В'	и С', в которые переходят
В и	С	при	гомотетии	с	центром	Р и коэффициентом —
(Точку С выберем на прямой ВС произвольно.) Точку пересечения
прямых АВ и В'С обозначим через N. Прямая NP — искомая.
Доказательство правильности построения и исследо¬
вание, показывающее, что задача всегда имеет единственное
решение,	мы предоставляем учаще-
В	муся.
Задача 2. Вписать в данный
треугольник ABC квадрат, две вер¬
шины которого лежат на основа¬
нии АС треугольника, а две дру¬
гие— на боковых сторонах (рис. 86).
		Решение.
А Кг К С L С Анализ. Предположим, что за¬
дача решена и KLMN — искомый
Рис. 86.	квадрат (рис. 86). Произведем гомо¬
тетию с центром А и некоторым
коэффициентом k. В результате этой гомотетии квадрат KLMN
перейдет в новый квадрат KfL'M'N\ две вершины К' и U кото¬
рого по-прежнему лежат на прямой ЛС, а вершина N' — на пря¬
мой АВ. Однако вершина М' уже не будет принадлежать стороне ВС.
Если заранее задать точку N' на прямой АВ, то квадрат K'L'M'N'
нетрудно будет построить (рис. 86). При этом точки Л, М и АГ
лежат на одной прямой. Следовательно, точка М лежит на пря¬
мой AM' и, кроме того, на прямой ВС, т. е. является точкой
пересечения этих прямых.
А
43

Построение. Выбрав произвольную точку ЛГ стороны АВ,
опустим из нее перпендикуляр N'K! на основание АС и на отрезке
N К! построим квадрат K'L'M’N' (рис. 86). Затем вершину М\
не лежащую на сторонах АВ и АС, соединим прямой с точкой А.
Пусть М — точка пересечения этой прямой со стороной ВС. Про¬
ведя прямую MN || АС до пересечения в точке N со стороной АВ
и опустив из точек М и N перпендикуляры NK и ML на осно¬
вание АС, мы и получим искомый квадрат KLMN.
Доказательство правильности построения предоставляется
учащемуся.
В курсе геометрии VIII класса было дано следующее опреде¬
ление подобия многоугольников: два многоугольника на¬
зываются подобными, если их соответствующие углы равны и
соответствующие стороны пропорциональны. Однако это опреде¬
ление относится только к многоугольникам; оно не применимо
ни к каким другим фигурам. Здесь мы дадим более общее опре¬
деление подобия, применимое к любым геометрическим фигурам.
Определение. Две фигуры F2 и Ft называются подобными,
если существует фигура F', равная одной из них и гомотетичная
второй (рис. 87, а).
Если фигура F равна фигуре F{ и гомотетична фигуре F.2
с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k> то говорят,
что фигура Fi подобна фигуре F2 с коэффициентом подобия \k\.
В частности, если Ft и F2— любые две окружности радиусов г{
и г2, то окружность Fx подобна F2 с коэффициентом подобия
k = ~ (рис. 87, б). В самом деле, окружность F\ гомотетичная
г 2
окружности Fz с коэффициентом гомотетии k (или —k), равна
окружности Fi (см. теорему 3, § 28).
Согласно нашему определению, любые две гомотетичные фигуры
являются подобными. Наоборот, если фигуры Fa и Fj подобны,
§ 31. Общее понятие о подобии
\
/
F
О
б)
Рис. 87.
44

то, переместив фигуру Ft в новое положение (т. е. заменив ее
равной ей фигурой F), можно добиться того, чтобы рассматривае¬
мые фигуры стали гомотетичными.
В § 28 мы отмечали, что при гомотетии все размеры фигуры
пропорционально изменяются (см. рис. 79). Поэтому все размеры
одной из двух подобных
фигур получаются про¬
порциональным умень¬
шением (или увеличени¬
ем) соответствующих
размеров другой фигуры.
Например, на рисунке 88
с.,п.2
С, А :
где k — коэффициент по¬
добия фигур.	Рис	88
Укажем без доказа¬
тельства, что справед¬
ливо и обратное утверждение: если для каждой точки Ах фи-
гуры Fx можно указать соответствующую ей точку А2 фигу-
ры F<2, причем так, что расстояние между точками фигуры Ft
пропорциональны расстояниям между соответствующими им точ¬
ками фигуры F2j то фигуры Fx и F2 подобны. Иными словами,
подобие двух фигур пол-
А
А* ^
-
V
1 .
г J К
• .
1
\-4
/
^ /
F’
ностью характеризуется
тем, что при переходе от
одной из них к другой все
размеры пропорционально
изменяются.
Эквивалентность двух
определений подобия мно¬
гоугольников. Докажем,
что для многоугольников
новое определение подобия
совпадает с известным из
курса VIII класса. В са¬
мом деле, если два много¬
угольника Fi и F2 таковы,
что существует многоуголь¬
ник F\ гомотетичный F* и равный Ft (рис. 89), то углы много¬
угольника Ft соответственно равны углам многоугольника F' и
стороны многоугольника F% соответственно пропорциональны сто¬
ронам многоугольника Рф (см. теорему 2, § 28). Но у многоуголь¬
ника F' те же самые углы и стороны, что и у равного ему мно¬
Рис. 89.
45

гоугольника FY. Следовательно, многоугольники Fx и F2 подобны в
том смысле, в каком это понималось в курсе геометрии VIII класса.
Обратно, пусть мно*гоугольники Fx и F* таковы, что их углы
соответственно равны и стороны соответственно пропорциональны.
Отношение сторон многоугольника Fx к соответствующим сторонам
многоугольника F* обозначим через к. Далее, обозначим через F
многоугольник, получающийся из F2 гомотетией с коэффициентом к
(и каким угодно центром гомотетии; рис. 89). В таком случае
в силу теоремы 2, § 28 многоугольники F' и Рг будут иметь соот¬
ветственно равные стороны и углы, т. е. эти многоугольники
будут равны. Поэтому многоугольники и F% будут подобны и
в смысле приведенного здесь определения подобия.
ГЛАВА VI
ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
§ 32. Что такое геометрическое преобразование?
Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, парал¬
лельный перенос, гомотетия имеют то общее, что все они «пре¬
образуют» каждую фигуру F в некоторую новую фигуру F\ По¬
этому их называют геометрическими преобразова¬
ниями.
Вообще, геометрическим преобразованием называют
всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости
указать новую точку А', в которую переводится точка А рас¬
сматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана ка¬
кая-либо фигура Fy то множество всех точек, в которые перехо¬
дят точки фигуры F при рассматриваемом преобразовании, пред¬
ставляет собой новую фигуру F'. В этом случае говорят, что F
получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.
Пример. Симметрия относительно прямой I является геомет¬
рическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке А
найти соответствующую ей точку Л', в этом случае заключается
в следующем: из точки Л опускается перпендикуляр АР на пря¬
мую / и на его продолжении за точку Р откладывается отрезок
РА' = АР (см. рис. 5).
Преобразования, которым были посвящены главы I—V, яв¬
ляются важнейшими в геометрии. Кроме них, в геометрии рас¬
сматриваются и многие другие преобразования; однако их изуче¬
ние выходит за рамки курса средней школы.
§ 33. Сложение геометрических преобразований
Предположим, что мы рассматриваем два геометрических пре¬
образования, одно из которых называем «первым», а другое
«вторым». Возьмем на плоскости произвольную точку Л и обо¬
46

значим через А' ту точку, в которую переходит А при первом
преобразовании (рис. 90). В свою очередь точка А' переводится
вторым преобразованием в некоторую новую точку Л". Иначе
говоря, точка А" получается из точки А при помощи последова¬
тельного применения двух пре¬
образований — сначала первого,
а затем второго.
Результат последовательного
выполнения взятых двух преоб¬
разований также представляет
собой геометрическое преобразо¬
вание: оно переводит точку А
в точку А". Это «результирую¬
щее» преобразование называется
суммой первого и второго рас¬
смотренных преобразований.
Пусть на плоскости задана
какая-либо фигура F. Первое
преобразование переводит ее в
некоторую фигуру F' (рис. 90).
Вторым преобразованием эта фигура Fr переводится в некоторую
новую фигуру F”. Сумма же первого и второго преобразований
сразу переводит фигуру F в фигуру F\
Пример. Пусть первое преобразование представляет собой
симметрию относительно тонки Оь а второе преобразование —
симметрию относительно другой
точки 02. Найдем сумму этих двух
преобразований.
Пусть А — произвольная точка
плоскости. Предположим сначала,
что точка А не лежит на прямой
0{0*. Обозначим через А’ точку,
симметричную точке А относитель¬
но О,, а через А" — точку, сим¬
метричную точке А' относитель¬
но 02 (рис. 91). Так как 0t02 — сред¬
няя линия треугольника ЛЛ'Л",
то отрезок АА” параллелен отрез¬
ку 0{0ъ и имеет вдвое боль¬
шую длину. Направление от точки А к точке А' совпа¬
дает с направлением от точки к точке 02. Обозначим те¬
перь через MN такой вектор, что отрезки MN и ОуО* парал¬
лельны, отрезок MN в два раза длиннее отрезка ОД, и лучи MN
и 0j02 имеют одно и тоже направление. Тогда A A” = MNy т. е.
точка А” получается из точки Л параллельным переносом
на вектор MN.
А
Рис. 91.
Риг. 90.
47

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой О
Это легко получается из рассмотрения того же рисунка 91 (на
котором В В" = АА" = MN).
Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно
точки 0г и симметрии относительно точки 02 представляет со¬
бой параллельный перенос (на вектор MN, определение которого
по точкам Oi и 0.2 было описано выше; см. рис. 91).
§ 34. Движения
Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симмет¬
рия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих
преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в рав¬
ную ей фигуру F'. Преобразования, обладающие этим свойством,
называются движениями. Гомотетия представляет собой (при
| ft | Ф 1) пример преобразования, не являющегося движением.
Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в рав¬
ную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на пло¬
скости; гомотетия же изменяет и размеры
фигур.
При выполнении самостоятельных ра¬
бот, связанных с движениями (см. § 4,
12,	17,	22), мы пользовались листом
кальки. Перемещая лист кальки, мы каж¬
дый раз убеждались, что фигура F, полу¬
ченная из фигуры F рассматриваемым пре¬
образованием, равна фигуре F. В случае
гомотетии такое использование кальки не¬
возможно: фигуры F и F в этом случае
не равны между собой.
Рис. 92.	Роль движений в геометрии. Движе¬
ния играют в геометрии чрезвычайно важ¬
ную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур,
меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся
лишь своим расположением на плоскости (рис. 92), с точки
зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и
называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свой¬
ство	геометрической	фигуры не отличается от соответствующего
свойства равной	ей	фигуры. Так, например, равные треугольники
имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы,
медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной
окружностей и т. д.
На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е.
такие, которые можно совместить при помощи движения) одина¬
ковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за
одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что,
48

например, задача построения треугольника по двум сторонам а,
b и заключенному между ними углу С имеет только одно ре¬
шение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные
стороны а и Ъ и заключенный между ними угол С данной вели¬
чины, можно найти бесконечно много (см. рис. 93). Однако все
эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять
за «один» треугольник.
Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые
одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать «гео¬
метрическими свойствами». Другими словами: геометрия изучает
свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры,
отличающиеся только расположением (равные фигуры), — это те,
которые можно совместить с
помощью движения. Поэтому
мы приходим к следующему
определению предмета
геометрии: геометрия изу¬
чает те свойства фигур, ко¬
торые сохраняются при дви¬
жениях.
Движения и расстояния.
Итак, понятие движения иг¬
рает в геометрии первостепен-	Рис.	93.
ную роль. Движения («нало¬
жения») использовались в VI классе для определения равных
фигур, для доказательства признаков равенства треугольников;
понятие движения, как мы видели выше, позволяет также дать
описание предмета геометрии.
Между тем в определениях понятия равенства фигур и поня¬
тия движения имеется пробел. В самом деле, равные фигуры опре¬
делялись (в VI классе) как такие фигуры, которые могут быть
совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были
определены выше как такие преобразования, которые переводят
каждую фигуру в равную ей. Таким образом, равенство фигур
определялось с помощью понятия движения, а движение в свою
очередь определялось через понятие равенства фигур. С точки
зрения логики здесь получается так называемый «порочный круг»:
первое понятие определяется через второе, а второе — через первое.
Для того чтобы устранить этот логический пробел, нужно дать
определение движений, не опирающееся на понятие равенства
фигур. Такое определение можно дать, используя понятие рас¬
стояния между точками.
Движениями называются такие преобразования плоскости,
которые сохраняют расстояния между точками. Иными словами,
геометричекое преобразование в том, и только в том случае
является движением, если любые две точки Л, В оно переводит
в такие точки Л', В\ что АВ = А'В\
49

При таком определении понятия движения становится неоче¬
видным, что осевая симметрия, центральная симметрия, поворот
и параллельный перенос являются движениями, и это уже нужно
доказывать.
Доказательства эти сравнительно несложны. Например, если точки А и
В' получаются из точек А и В симметрией относительно пря¬
мой, то АВ — А'В’. Действительно (рис. 94), A APQ~&A'PQ (по двум
катетам), следовательно, £ AQP = / AQP и
AQ^A'Q- Далее, /. AQB = 90° — ^ AQP =
Р аг =90°—L A QP = AQB\ Наконец, Д AQB=
треть учащемуся.)
Мы знаем, что две фигуры Рх и
называются равными, если существует
Рнс- 94-	движение,	переводящее	фигуру	Fx	в	/\2.
Поэтому приведенное выше определение
движения позволяет следующим образом определить равные фи¬
гуры, основываясь на понятии расстояния:
Дее фигуры Fx и F* называются равными, если для каждой
точки А\ фигуры Fx можно указать соответствующую ей точку А*
фигуры Fif причем так, что расстояние между любыми точками
А\, Вх фигуры F{ равно расстоянию между соответствующими им
точками Aif фигуры F2 (ср. со сказанным о подобных фигурах
на стр. 45).
При таких определениях движений и равенства фигур теоремы 1
в § 5, 13, 18 и 23, ранее не доказывавшиеся, а лишь поясняв¬
шиеся с помощью листа бумаги или кальки, могут быть строго
доказаны. Эти доказательства совпадают с доказательством того,
что рассмотренные в главах I—IV преобразования сохраняют рас¬
стояния между точками.
Движения в геометрии и физике. Отмеченный выше логический
пробел в изложении геометрии не мешает, однако, правильному
ее пониманию. Дело в том, что когда в VI классе говорят о «пе¬
ремещении» и «наложении» фигур, то имеют в виду вовсе не гео¬
метрическое преобразование (движение), а физическое движе¬
ние, т. е. механическое перемещение тела, как твердого целого.
С понятием же механического перемещения тела каждый из нас
хорошо знаком из повседневного опыта; поэтому использование
«перемещения фигур» в геометрии не вызывает никаких неяс¬
ностей.
Таким образом, понятие движения и понятие равенства фигур
имеют опытное происхождение, связанное с наблюдением окру¬
жающего нас материального мира. Никакого другого, чисто гео¬
метрического определения этих понятий в школьном курсе гео¬
метрии нет.
50

Однако использование физических представлений характерно
лишь для самых первых шагов геометрии; большинство же теорем
доказывается «чисто геометрически»: они выводятся из установ¬
ленных ранее геометрических фактов.
Намеченное выше определение движений и равенства фигур
с помощью понятия расстояния свободно от указанного на стра¬
нице 49 логического пробела. Однако оно также не исключает
использования физических представлений — только теперь эти фи¬
зические представления будут относиться к процессу измерения
расстояний.
Возможно и строго логическое построение геометрии, заклю¬
чающееся в выводе всех предложений из небольшого числа аксиом,
описывающих свойства основных геометрических понятий (точек,
прямых, движений или рас¬
стояний и т. д.). Однако
такое построение геометрии
слишком сложно для того,
чтобы его можно было из¬
лагать в школе.
Так, например, при до¬
казательстве теорем о ра¬
венстве треугольников по
существу используются
следующие п редложен и я.
Каждую точку А плоскости можно совместить движением с любой
другой точкой А'. При этом движений, переводящих точку А
в точку А\ существует бесконечно много. Среди них можно вы-
брать такое, которое совмещает произвольный луч а, исходящий
из точки А, с заданным лучом d, исходящим из точки А'. Этим,
однако, движение все еще не определяется однозначно; можно еще
потребовать, чтобы определенная полуплоскость а, ограниченная
прямой, по которой идет луч а, совместилась с выбранной полу-
плоскостью а', ограниченной прямой, по которой идет луч d
(рис. 95). Все эти требования, вместе взятые, уже однозначно
определяют движение плоскости, т. е. движение, переводящее
точку А в точку А, луч а — в луч d и полуплоскостью — в полу¬
плоскость <х, существует только одно. Эти предложения в гео¬
метрии обычно не доказываются, т. е. их принимают за аксиому,
описывающую свойства движений.
Полный список аксиом, из которых можно выводить все тео¬
ремы геометрии, не обращаясь к физическим представлениям,
довольно велик и поэтому не может быть приведен в школьном
учебнике.
Рис. 95.

Часть II
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА I
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
§ 35. Сумма двух векторов
Пусть а и Ь — два произвольных вектора на плоскости (рис. 96).
Возьмем на плоскости произвольную точку О и отложим век¬
тор ОМ, равный вектору а:
Затем от точки М отложим век¬
тор MN, равный вектору Ь:
	Ш=ь.
Вектор ON называется суммой
векторов а и & и обозначается
через а-\-Ь\
Рис. 96.	0N==ajrbв
Таким образом, для построения суммы а-\-Ь двух векторов
а и Ь нужно отложить на плоскости произвольный вектор, рав¬
ный вектору а, и от конца его отложить вектор, равный век¬
тору Ъ. Тогда «замыкающий» вектор (т. е. вектор, начало кото¬
рого совпадает с началом первого из отложенных векторов, а
конец — с концом второго) и будет равен вектору а-\-Ь.
Независимость суммы от выбора начальной точки. Согласно опре¬
делению, для построения суммы а + Ь нужно не только знать векторы а и
Ь} но, кроме того, выбрать на плоскости некоторую точку О (от которой
откладывается вектор а). Покажем, что если заменить точку О другой точ¬
кой О', то вектор ON ==а -\-Ь заменится равным ему вектором, т. е. что
сумма а-\- b не зависит от выбора тонки О.
В самом деле, пусть О' — произвольная, отличная от О точка плоскости.
Отложим от точки О' вектор О'М' = а, а от полученной точки М' вектор
M'N'~b (рис. 97). Так как О'М = ОМ, то О'М'МО — параллелограмм
(см. § 20, стр. 27); следовательно, 00' =АШ\ Точно так же из равенства
52

M'N' = M'N вытекает, что M'TVWAf — параллелограмм, и потому ММ' = AW.
Таким образом,
7xr = Mi\'=l№.
Из равенства 00' = NN' вытекает теперь, что OO'N'N — параллелограмм,
и потому 0'N' = 0N. Тем самым независимость суммы а -\-Ь от выбора
точки О доказана.
Правило трех точек. Определение суммы двух векторов непо¬
средственно приводит к следующему простому, но важному вы¬
воду:
Для любых трех точек А, В, С на плоскости справедливо
равенство:
Ш + ВС = АС.
Это соотношение называют правилом трех точек.
Правило трех точек очень часто применяется при решении задач.
§ 36. Сумма двух параллельных переносов
Теорема. Сумма параллельного переноса на вектор а и па¬
раллельного переноса на вектор b представляет собой параллель¬
ный перенос на вектор а-\-Ь.
Доказательство. Согласно определению суммы двух гео¬
метрических преобразований (§ 33), суммой двух параллельных
переносов называется геометрическое преобразование, получаемое
в результате последовательного выполнения этих переносов. Пусть
а — вектор первого переноса, а Ь — вектор второго переноса.
Возьмем на плоскости произвольную точку А. В результате пер¬
вого переноса точка А переходит в такую точку А\ что А А' = а
(рис. 98). При выполнении второго параллельного переноса точ¬
53

ка А' переходит в такую точку А\ что А'А' — Ь. Но в силу
правила трех точек, мы можем написать равенство:
аЖ+Ш^^аа,
или, иначе, а-\-Ъ = АА\
Полученное равенство АА” — а-\-Ъ означает, что точка А9
получается из точки А переносом на вектор
§ 37, Нулевой вектор
Правило трех точек приводит к тому, что сумма АВ-\~ВА
векторов АВ и В А представляет собой «вектор» АА, начало и
конец которого совпадают:
АВ-\-ВА = АА.
«Вектор» АА изображается «отрезком нулевой длины», т. е.
точкой, и не имеет какого-либо определенного направления.
А А мы также считаем вектором; этот вектор называется нуле¬
вым вектором и обозначается символом 0 (а в тетради и на
доске — символом 0). Если В — любая другая точка, то вектор В В
мы считаем равным вектору АА и обозначаем тем же символом 0.
Таким образом, нулевым вектором называется такой вектор,
начало и конец которого совпадают.
Свойство нулевого вектора. Из правила трех точек вытекает,
что для любого вектора а = АВ имеем:
АВ + ВВ = АВ,
или, иначе,
а —1~ 0 == а*
54

Это равенство, напоминающее знакомое из арифметики равенство
и-\-0 — а, и послужило причиной того, что вектор ВВ, начало
и конец которого совпадают, называется «нулевым» вектором.
§ 38. Коммутативность сложения векторов
Лемма. Пусть векторы а и b отложены от одной точки О:
а = ОА, Ь = ОВ.
Обозначим через М середину отрезка АВ, а через С — точку,
симметричную точке О относительно точки М (рис. 97). Тогда
ОС = а + Ь.
Доказательство. Так как М — середина отрезка АВ, то
точки А а В симметричны относительно точки М. Таким обра¬
зом, при симметрии относительно М точки О и В переходят
и точки С и Л, и поэтому отрезки ОВ и С А равны между собой
и параллельны (теорема 2, § 13). Кроме того, направление от
О	к В противоположно направлению от С к Л (так как
симметрия относительно точки М представляет собой поворот на
180°, а при таком повороте направле-	g
ние от О к В переходит в противопо¬
ложное направление). Следовательно,
направление от О к В совпадает с на¬
правлением от Л к С. Но тогда
ОВ = АС, и мы имеем:
а-{-Ь — ОА-\-ОВ = ОА-}-АС = ОС.
Лемма доказана.	а
Правило параллелограмма. Если	рис	99
в предыдущей лемме векторы О А и
ОВ не лежат на одной прямой (рис. 99), то четырехуголь¬
ник О АС В является параллелограммом (так как ОВ = АС).
В этом случае доказанное в лемме равенство О А -\-ОВ = ОС вы¬
ражает правило параллелограмма, применяющееся в фи¬
зике для определения суммы векторов («параллелограмм сил»):
сумма векторов О А и ОВ равна вектору ОС, изображаемому диа¬
гональю параллелограмма О АС В, построенного на векторах О А и
ОВ (рис. 99). Следует отметить, что «правило параллелограмма»
менее удобно для определения суммы векторов, чем правило трех
точек: «правило параллелограмма» теряет смысл в случае парал¬
лельности векторов-слагаемых и нуждается в этом случае в до¬
полнительных разъяснениях, в то время как правило трех точек
применимо во всех случаях. В тех же случаях, когда векторы-
55

слагаемые не параллельны, правило параллелограмма и правило
трех точек лишь несущественно отличаются друг от друга.
Коммутативный (переместительный) закон сложения векторов.
Сложение векторов коммутативно (перестановочно), т. е.
для любых двух векторов а, Ь справедливо равенство:
a-\-b = b-{-a.
Для доказательства отложим векторы а и b от одной точки О
и обозначим через М середину отрезка АВ, а через С —точку,
симметричную точке О относительно М (рис. 99). Тогда, согласно
лемме, а~\~Ь = ОС. Но так как серединой отрезка В А является
та же точка Му то, согласно лемме, Ь-\-а = ОС. Таким образом,
a-\-b = b-\-a. (В случае, когда векторы а, b не парал¬
лельны, равенство а -\-b = b-\- а вытекает также из правила
пара л лелогр амма.)
§ 39. Ассоциативность сложения векторов
Как и в обычной алгебре, в «алгебре векторов» справедлив
ассоциативный (сочетательный) закон сложения векторов,
выражаемый равенством:
(а + Ь) + с=а + (Ъ + с).
Для доказательства этого закона мы отложим от произволь¬
ной точки О вектор ОА—а, от точки А—вектор АВ = Ь и от
точки В — вектор ВС — с. В силу правила трех точек имеем:
(а4-й) + с = (бЛ+Аё) + ВС = 01 + Ж = бС
В
а + (Ь + с) = ОА+{АВ-\-ВС) = ОА+АС = ОС,
откуда и следует ассоциативность сложения векторов.
Замечание. Приведенное доказательство совсем не исполь¬
зует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для реше¬
ния задач и доказательства тео¬
рем при помощи векторов. При
желании учащийся может повто¬
рить вывод соотношения ассоциа¬
тивности, воспользовавшись ри¬
сунком 100.
Сумма нескольких векторов.
Сумма трех векторов опреде¬
ляется равенством:
а-\-Ь-\-с = (а-\ Ь)-\-с
(т. е. доз получения суммы трех векторов нужно к сумме пер¬
вых двух прибавить третий). Так как в силу ассоциативного за¬
56

кона векторы (а~\-Ь)-{-с и а-\-(Ь~\-с) равны между собой, то
(а -]— Ъ) —j~ с == а —1~ (Ь *-f- с) = а —j— Ъ —{— с.
Приведенное выше доказательство ассоциативного закона (см.
рис. 100) убеждает нас в том, что сумма а-\-Ь-\-с трех векто>
ров а, Ь, с представляет собой замыкающую этих векторов, от¬
ложенных один за другим. Иначе говоря,
Ш+АВ + ВС = ОС
для любых четырех точек О, А, В, С.
То же справедливо и для любого числа слагаемых. Суммой
нескольких векторов называется вектор, получаемый в ре-
q	зультате последовательного прибавле-
Г>ч.	ния каждого из векторов к сумме пред-
S	> q шествующих. Например, в случае че-
тырех векторов (рис. 101)
^	a, -j- b —p c -j- d:=	-j~ b) -j- c] -j— d.
Из этого определения вытекает сле-
дующее правило. Если несколько векто-
Рис. 101.	ров отложены таким образом, что на¬
чало второго совпадает с концом' пер¬
вого, начало третьего — с концом второго и т. д., то замыкаю¬
щая, т. е. вектор, начало которого совпадает с началом первого,
а конец — с концом последнего, представляет собой сумму всех
взятых векторов. Например,
AS + BC-f CD-\-DE = Л£
(см. рис. 101).
Условие замкнутости. Из того, что сумма нескольких векторов
может быть определена как замыкающая, непосредственно выте¬
кает следующее условие замкнуто¬
сти векторного многоугольника. Пусть
а,	&, с, ... — несколько векторов; отло¬
жим их последовательно один за другим
(т. е. так, чтобы начало второго совпадало
с концом первого, начало третьего —с
концом второго и т. д.). Для того чтобы
получающаяся ломаная, составленная из
векторов (она может оказаться невыпук¬
лой и даже пересекающей себя), была
замкнутой (т. е. чтобы конец последнего вектора совпадал с на¬
чалом первого, рис. 102), необходимо и достаточно, чтобы сумма
Есех этих векторов была равна нулевому вектору:
а~\~& + с+ ... =0.
57

Замечание. Коммутативный и ассоциативный	законы	вы¬
полняются и	для сложения чисел, и для сложения	векторов.	Это
очень важно, так как позволяет, не переучиваясь, производить
действия над равенствами, содержащими векторы, используя на¬
выки, выработанные при изучении действий над числами. В ча¬
стности, в векторной сумме, как и в сумме чисел, можно как
угодно переставлять и группировать слагаемые. Например,
и -р Ь -{- с -|- d=(и -f- b) -j- (с -f- d),
а -f Ь 4- с -р d=(a -j- с) + {b + d),
a + b-\-c + d=a-)r[(b + c) + d\
И т. д.
Аналогия между числами и векторами, как мы сейчас увидим,
сохраняется и далее, при определении вычитания векторов и
в действиях над равенствами.
§ 40. Вычитание векторов
Как и в случае чисел, разностью
х=а — Ь
векторов а и Ь называется такой вектор х, который в сумме с
вектором b дает вектор а:
х ; Ь=а.
Иначе говоря, равенство х = а — Ь, по определению, озна¬
чает, что справедливо соотношение Ь-\- х—а.
Нахождение разности. Существует ли вектор х, который (при
заданных а и ft) удовлетворяет соотношению Ь-\-х = а? Рису¬
нок 103 изображает это соотноше¬
ние; на нем векторы а = ОА и Ь =
р = Ob отложены от одной точки О. Из
этого рисунка видно, что разностью
векторов О А и ОВ является вектор В А:
ОА—ОВ = ВА.
Это следует непосредственно и из
правила трех точек, так как
ОВ-\-ВА = ОА.
Итак, для получения разности а — Ь достаточно отложить
векторы а и Ь от одной точки и взять вектор, идущий от конца
вектора b к концу вектора а. Таким образом, операция вычита¬
ния векторов всегда выполнима.
Разность а — а двух равных векторов, очевидно, является
нулевым вектором:
а — а==0.
58

Рис. 104.
Противоположные векторы. Определение. Два параллель¬
ных (или лежащих на одной прямой) вектора, имеющих равные
длины, но направленных в противоположные стороны (рис. 104),
называются противоположными векто¬
рами.
Примером противоположных векторов
являются векторы АВ и В А, где А и
В — какие угодно точки плоскости. Равен¬
ство АВ~х~ВА =АА (см. стр. 54) означает,
что сумма двух противоположных векторов
равна нулевому вектору.
Далее, вектор 0 а является вектором, противоположным век¬
тору а. В самом деле, находя разность 0 — а по данному выше
правилу, мы приходим к выеоду, что вектор 0 — а изображается
тем же отрезком, что и вектор а, но направленным в противо¬
положную сторону:
АА—АВ = ВА.
Для краткости вектор 0 — а, противоположный вектору а, обо¬
значают символом — а.
Мы уже знаем (см. § 37), что
а + (— а) = 0.
Другое определение разности. Докажем, что
a — b = a-\-(—b).
В самом деле, если а = ОА, Ь = ОВ, — Ь = ВО, то (см. рис. 103)
а — Ь = ОА — ОВ = ВА
а-И— Ь) = (— Ь) + а = В0+ ОА = ВА.
Формула а — Ь = а~\-(—Ь) дает другое определение опера¬
ции вычитания: для того чтобы вычесть из некоторого вектора
а вектор Ь, достаточно прибавить
к нему противоположный вектор — b
(рис. 105).
Действия над векторными равен¬
ствами. Напомним еще раз, что ра¬
венства
Ь-\-х=а и х—а — Ь,
по определению, означают одно и
то же. Это показывает, что для ра-
Рис. 105.	венств,	составленных из векторов,
справедливо следующее правило (вы¬
полняющееся и для равенств, составленных из чисел): слагае-
*мые из одной части равенства можно переносить в другую, ме¬
59

няя стоящие перед этими слагаемыми знаки на обратные. Иначе
говоря, для сложения и вычитания векторов выполняются все
свойства, выполняющиеся для сложения и вычитания чисел.
ГЛАВА II
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
§ 41. Определение умножения вектора на число
Пусть а = ОА—некоторый вектор и k— отличное от нуля
число. Обозначим через А' точку, в которую переходит точка А
при гомотетии с центром гомотетии О и коэффициентом гомо¬
тетии k (рис. 106). В этом случае вектор О А' называют произ¬
ведением вектора а на
число k и пишут:
OA' = k-OA = ka.
0)
Рис. 106.
Рис. 107.
Произведение любого вектора на число 0 считается равным нуле¬
вому вектору:
0а = 0.
Таким образом, произведение ka определено для любого числа k
и любого вектора а.
Вспоминая определение гомотетии (§ 25), мы можем сформули¬
ровать определение произведения вектора на число следующим
образом:
Произведение ka вектора а на число k представляет собой
вектор, удовлетворяющий следующим трем условиям:
1)	вектор ka параллелен вектору а;
2)	длина вектора ka равна длине вектора а, умноженной на
абсолютную величину числа k:
\ka\ = \k\-\a\\
3)	вектор ka при k^>0 направлен в ту же сторону, что и
вектор а, а при k<^0 направлен в противоположную сторону.
На рисунке 107 изображены векторы ka при разных значениях k.
60

Свойство параллельных векторов. Из определения операции
умножения вектора на число вытекает:
Если векторы а и Ь параллельны (и а /- 0), то существует
такое число I, что Ь = 1а.
§ 42. Свойства операции умножения вектора на число
Из определения умножения вектора на число непосредственно
вытекают следующие соотношения:
0а = 0,
/еО = 0,
1а = а,
(—1 )а — — а, (—k)a = — (ka).
Все они напоминают хорошо известные свойства операции умно¬
жения чисел. Следующие три свойства также подчеркивают эту
аналогию:
1)	k (la) = (kl) а;
2)	(k-\-l)a — ka-\-la\
3)	k(a~\-b) = ka-\-kb.
Доказательство свойства 1). Будем предполагать, что а ф 0,
/г^£0, 1ф0, так как в противном случае доказываемое соотношение оче¬
видно. Из определения операции умно¬
жения вектора на число следует, что
векторы k (la) и (kl) а параллельны
вектору а и что они имеют одну и ту
же длину:
| k (la)| = | k l • | la ! = | k | • | /1. | a
I	(kl) C I = j W I • | с ! = | ft I • I /1 • | a |.
Поэтому остается только проверить,
что эти векторы одинаково на-	рис> юз.
правлены. Но если k и I — числа
одного знака, то и вектор k (la) и век¬
тор (kl) а направлены в ту же сторону, что и вектор а; если же числа k и /
имеют разные знаки, то и вектор (kl) а и вектор k (la) направлены противо¬
положно вектору а. Тем самым равенство k (la) = (kl) а доказано.
Доказательство свойства 2). Будем предполагать, что а ф 0,
так как в противном случае доказываемое соотношение очевидно. Рассмотрим
сначала случай, когда числа k и I имеют один и тот же знак. В этом
случае все три вектора (& + /) a, ka и 1а имеют одно и то же направление
(рис. 108). Кроме того, длина вектора ka равна | k | • j а |, а длина вектора 1а
равна | / j • | а |. Следовательно, вектор ka-\-la имеет длину:
l*|.|a| + |/|-lel = ()^| + |/|)-|a| = |* + /|.|e|f
т. е. ту же длину, что и вектор (k-\-l)a. Так как, кроме того, векторы
ka + la и (k-\-l) а направлены в одну сторону, то они равны.
Предположим теперь, что k и I имеют противоположные знаки, и пусть,
например, число k + / имеет тот же знак, что и число / (т. е. знак, проти¬
61

воположный знаку числа k). Тогда числа —k и & + / имеют одинаковые
знаки, и потому
(— Л) а 4- (Л + /> а = 1(— Л) Ч- (Л -h />]
Учитывая, что (-— k) а = —• (ka), получим:
—	(ka) + (k + l)a = la.
Отсюда и следует справедливость равенства (ft +/) а = £а +/а в этом
случае.
Наконец, если хотя бы одно из чисел k, /, k + / равно нулю, то соотно¬
шение (k + /) а = ka -J-очевидно.
С'
Доказательство свойства 3). Отложим векторы а и Ь от
одной точки О:
а = ОА, Ь = ОВ
и обозначим через М середину отрезка АВ, а через С—точку, симметрич¬
ную точке О относительно точки Л1 (рис. 109 а, б). Тогда (в силу леммы § 38)
ОС ==: О A -j- О В = а Ь,
При гомотетии с центром О и коэффициентом k точка О перейдет
в себя, а точки А, В, С, М перейдут в некоторые новые точки А', В\ С, М\
По определению умножения вектора на число, мы имеем:
()A'==k-OA = ka, ОВ = Л • ОВ= **, ОС = k . ОС = /г (а + 6).
Так как при гомотетии середина отрезка переходит в середину отрезка, то
точка М' — середина отрезка А'В', а точка С симметрична точке О отно¬
сительно М\ Следовательно, согласно лемме § 38,
ОА + ОВ' = ОС\ т. е. ka + kb = k(a + b).
§ 43. Деление отрезка в данном отношении
Пусть АВ — произвольный отрезок и С— его внутренняя
АС
точка (рис. 110 а). Тогда число называется отношением, в
котором точка С делит отрезок АВ. Например, если С —
середина отрезка АВ, то отношение, в котором точка С делит
отрезок АВ, равно 1 (так как АС = СВ). Если, далее, Ct и С3 —
точки, делящие отрезок АВ на три равные части (рис. 110 6), то
точка С, делит отрезок АВ в отношении ~, а точка Са делит
отрезок А В в отношении 2.
62

Теорема. Пусть С —точка, делящая отрезок АВ в отно¬
шении {т. е. АС: СВ — ^ , Q — произвольная точка плоскости
(рис. 111). Тогда
QC = _1_ ЩА	^—QB-
v т + я m +я
Обратно, если выполнено это соотношение, то точка С делит
отрезок АВ в отношении
В
Доказательство. Если точка С делит отрезок А В в от¬
АС = -СВ.
п
Но направления векторов АС и СВ совпадают; поэтому
АС = — СВ.
П
Заменяя здесь вектор АС на QC — QA, а вектор CBmQB — QC,
получаем:	5
откуда
(l+^)QC = Q^ + fQB.
Умножая обе части этого соотношения на
т + п
, получаем:
QC=—t-QA
х т + п х
т
т-\-п
QB.
Обратно, если последнее равенство выполнено, то, проводя
вычисления в обратном порядке, мы найдем, что ЛС:С# = ~ .
63

§ 44. Следствия
1)	Точка С тогда, и только тогда, является серединой отрез¬
ка АВ, когда
QC = y (QA + QB),
где Q — произвольная точка плоскости. Иначе это соотношение
может быть записано в виде:
2	QC = QA + QB-
Это вытекает из формулы, доказанной в § 43, если положить
в ней т = п (см. рис. 111).
2)	Пусть ABC — произвольный треугольник и М — его центр
тяжести (точка пересечения ме¬
диан). Тогда
W==±(QA+QB + QC),
где Q — произвольная точка плос¬
кости (рис. 112).
В самом деле, если D — середи¬
на стороны ВС, то в силу след¬
ствия 1) имеем:
Рис. 112.
QD = ~(QB + QC).
AM
МО
Далее, точка М делит медиану AD в отношении
(рис. 112). Поэтому, в силу теоремы § 43, имеем:
Щ = у ОЛ +1QD = j ОЛ + [у (Q5 + QC)] =
= -i(Ql+QS + QC).
§ 45. Задачи
Приведем примеры применения векторов к решению геометри¬
ческих задач.
Задача 1. Доказать, что в произвольном четырехугольнике
средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противопо¬
ложных сторон), пересекаясь делятся пополам.
Решение. Пусть А, В, С, D — вершины четырехугольника,
К, L, М, N — середины его сторон и Q — произвольная точка
плоскости (рис. 113). В силу следствия 1), § 44 имеем:
Q7( = !(Ql + Q5), QL=\№ + QC), QM = |(QC + QO),
QN = \(QD + QA).
64

Обозначим через S середину отрезка КМ, а через Г —середину
отрезка LN. Тогда
=4(0Л + 0В + 0С + 0О)
и
=4(0Л +QB + QC + QD).
Таким образом, QS = QT, откуда вытекает, что точки S и Т сов¬
падают. Иначе говоря, точка S является общей серединой от¬
резков КМ и LN.
В
Задача 2. Пусть ABCDEP — произвольный шестиугольник
и U, V, W, X, Y, Z — середины его сторон (рис. 114). Доказать,
что центры тяжести треугольников UWY и VXZ совпадают.
Решение. В силу следствия 1), § 44 имеем:
т = ±(0А+Щ,	^ = |(0А + 0С),	0Г = у(0С + 0Я).
0Х=4(05 + Щ	QY=±(QE + QF),	QZ=4(QF+QI);
здесь Q — произвольная точка плоскости. Далее, обозначим
через М и N центры тяжести треугольников UWY и VXZ. Тогда
согласно следствию 2), § 44
Щ = 1 (ф + QW + QF) = 1 [1 (QA + QB) + у (QC + ф) +
+ ~ (ОЁ + OF) j = 1 (QA + QB + QC + QD + QE + QF)
3 В. I\ Болтянский и И. М. Яглои	65

QN = (QV QX -!- QZ) = -■ [ ■ (QB + QC) + \ (QD + QE) -f
2 (Qi* H- ^)]=■§■ (QA ~b ^ ”b ~Ь H-
Таким образом,
W = QN,
откуда вытекает, что точки М и N совпадают.
ГЛАВА III
ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
§ 46. Проекция вектора на ось
Определения. Прямая линия, на которой задано некото¬
рое направление (на чертежах указываемое стрелкой) и задана
единица измерения длин, называется осью. Вектор, имеющий
длину 1 и направление, совпадающее
с направлением оси, называется еди¬
ничным вектором этой оси.
Пусть /	— некоторая ось, е — ее
единичный	вектор (рис. 115) и а —
=АВ — произвольный вектор на плос¬
кости. Обозначим через А{ и Вх
проекции точек Л и В на прямую /
(т. е. основания перпендикуляров,
опущенных из точек Л и В на пря¬
мую /). Проекцией вектора А В на ось I называется длина
отрезка	АхВи	взятая	со	знаком «+»,	если направления векто¬
ров АХВХ	и	е	совпадают,	и со знаком	«—» в противном случае.
Проекция вектора А В на ось I обозначается символом прг А В.
Из этого определения следует, что если АВ то npz АВ — 0 и,
обратно, если npz АВ = О, то АВ ±_1.
Теорема 1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось
равны между собой.
Доказательство. Пусть AB = CD’ Обозначим через Аи
Ви Си Di проекции точек Л, В, С, D на прямую /. Через точки
В и D проведем прямые, параллельные /, и обозначим через М
и N точки пересечения этих прямых с АА{ и ССХ (рис. 116).
В получившихся прямоугольных треугольниках АВМ и CDN
равны гипотенузы и, кроме того, 2 АВМ= Z.CDN (как углы
с параллельными сторонами). Следовательно, aABM = &CDN
66

и потому MB = ND. Кроме того, Л,В( = Л1В, CXDX = ND (так
как АХВХВМ и CxDtDN — прямоугольники). Таким образом,
AJ}i = M=W==CjTt.
Равенство AXBX=CXDX означает, что отрезки АхВх и CXDX имеют
одну и ту же длину и одно и то же направление, т. е. что про¬
екции векторов А В и CD на ось I равны между собой.
Теорема 2. Пусть А, и В,—проекции точек А и В на
ось I. Тогда
А1 Вх = ke ^
где е — единичный вектор оси I, a k = nptAB.
Доказательство. Так как векторы АХВХ и е располо¬
жены на одной прямой, причем е Ф О, то в силу свойства па¬
раллельных векторов (§ 41) справедливо равенство AxBx = ke,
где k — некоторое число.
Если ЛВ	то
пр, АВ — 0;
в этом случае Л1В! = 0,
ибо точки Л, и Вх совпа¬
дают и потому в равенстве
AiBx = ke число k равно ну¬
лю, т. е. й=пр, АВ. Если
же прямая АВ не перпенди¬
кулярна оси /, то точки A j и Вх	Рис- 116.
не совпадают. Так как длина
вектора е равна единице, то из равенства AxBx = ke, вытекает
(см. § 41), что | АХВХ | = | k |, т. е. что число k равно длине от¬
резка Л,ВЬ взятой с некоторым знаком. В силу того же опреде¬
ления умножения вектора на число (§41) число k положительно,
если векторы АхВх и е одинаково направлены, и отрицательно
в противном случае. Поэтому во всех случаях & = прtAB.
§ 47. Свойства проекции
Мы докажем следующие важные свойства проекции вектора
на ось:
1)	пр, (a-\-b) = пр; a -f- пр, Ь\
2)	п'р1(ка) = к-щ1а.
Доказательство свойства 1). Пусть а — АВ, Ь = ВС;
тогда а-\-Ь = АС (рис. 117). Обозначим через Л,, Вх, Сх проек¬
ции точек Л, В, С на ось /. Тогда мы можем написать:
3»	67

AiBt=xfe, BiCi = xre, A &=xe,
где
x’=np{a, x' = nplb, дс=прt(a-\-b).
Но мы имеем:
xe —— A\Ci= A\B\ —1“ B\C\ — x?e -j* x e—{pd —x ) e.
Отсюда следует:
x — x!-\-x’,
что и требовалось доказать.
Доказательство свойства 2). Отложим вектор а от
точки О, лежащей на оси I:
а — ОА,
и обозначим через At проекцию точки А на прямую /. Тогда
АА,±1. Обозначим через А' и А[ точки, в которые переходят
точки А и А\ при гомотетии с центром О и коэффициентом k
(рис. 118). Согласно теореме 1, § 28, отрезок А’А\ параллелен
отрезку AAt (или расположен с ним на одной прямой), и потому
А'А[ _1_ (. Следовательно, А[ — проекция точки А' на прямую /.
В силу определения умножения вектора на число, мы имеем:
OA’—k-OA=ka, OA'^k-OAi.
Далее,
OAi—xe, ОА\=х!е,
где
х=npz а,	х’— пр, (ka).
6$

Таким образом,
x'e = OA[—k-OAl = k (xe) = (kx) e.
Отсюда следует:
у! — kx,
что и требовалось доказать.
§ 48. Координаты вектора
Пусть ОХ и OY — две взаимно перпендикулярные оси на пло¬
скости, составляющие вместе систему координат. Мы будем
предполагать направления осей выбранными таким образом, что
поворот оси ОХ вокруг точки О против часовой стрелки на 90°
переводит ее в ось OY (рис. 119).
Обычно ось ОХ (или, иначе, ось аб¬
сцисс) представляют себе в виде го¬
ризонтальной прямой, направленной
вправо, а ось OY (ось ординат) —
вертикальной прямой, направленной
вверх (рис. 119).
Пусть а — произвольный вектор на
плоскости. Обозначим его проекции на
оси OX k OY соответственно через х
и у:
*	= ПР оха>	У — пР0уа"
Числа х и у, т. е. проекции векто¬
ра а на оси координат, называются
координатами вектора а (в системе X0Y). Вектор с коорди*
натами х, у мы будем иногда обозначать символом {ж; у}. Напри^
мер, запись а = {2; —3} означает, что вектор а имеет коор-1
динаты х — 2, у = — 3.
динаты х — 2, у = — 6.
Разложение вектора по осям координат. Теорема. Пусть
X0Y — прямоугольная система координат на плоскости, i и j—
единичные векторы осей OX u OY (рис. 119). Для любого вектора а
справедливо равенство:
a — xi-\-yj,
где х и у — координаты, вектора а в системе X0Y.
Доказательство. Отложим вектор а от начала координат О:
а
= 0А
69

(рис. 119). Обозначим через Л, и Л2 проекции точки А на оси
координат. В силу определения координат вектора мы имеем:
OA1 = xi, OA2 = yj.
Далее,
а == О А = 0А \ —|— 0А%
(§ 38? «правило параллелограмма»). Отсюда и вытекает требуе¬
мое соотношение:
a = xi-\-yj\
§ 49. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора
на число
Теорема 1. Пусть вектор а имеет в системе XOY коорди¬
наты {хх\ ух}, а вектор Ь — координаты {	У-2 }• Тогда вектор
а-\-Ь имеет в этой же системе XOY координаты {xt -{- х.г\ух -j- у2}.
Доказательство. В самом деле,, координаты х, у вектора
a -f- b определяются как проекции этого вектора на оси координат:
*=пр ох(а + Ъ),	y = np0Y(a-\-b).
Отсюда имеем (см. § 47):
х = пРолг (а + ь) = ПР оха + ПР охЬ =*1 +
У = пРоу(а ~\~b)= np0ya-{-np0K& = i/1-|-i/.2.
Теорема 2. Пусть а — вектор, имеющий в системе XOY
координаты {х\ у], и k — некоторое число. Тогда вектор ka имеет
в той же системе XOY координаты {kx\ ky\.
В самом деле, координаты вектора ka имеют следующие зна¬
чения (см. § 47):
npox(ka) = k-npoxa = kx,
np0Y(ka) — k-np0Ya = ky.
§ 50. Связь между координатами вектора и коопдинатами точки
Пусть вектор а имеет в системе XOY координаты {х; у}. От¬
ложим вектор а от точки О:
а = ОА
70

(рис. 119). Вектор О А называется радиусом-вектором точ¬
ки А. Очевидно, что координаты точки А в прямоугольной си¬
стеме координат XOY совпадают с
координатами радиуса-вектора ОА
этой точки.
Теорема. Если в прямоуголь¬
ной системе координат XOY точ¬
ка А имеет координаты (л^; ух), а
точка В—координаты (х2; у2), то век¬
тор А В (рис. 120) имеет коорди¬
наты:
{х2 — Хи Уъ — ух}.
Доказательство. Вектор О А,
как мы знаем, имеет координаты
{хи У\}> а вектор ОВ — координаты
{х2; у2}. Обозначим неизвестные нам координаты вектора А В че¬
рез {х\ у}. Так как ОВ = ОА-\- АВУ то согласно теореме 1,
§ 49 имеем:
х2 = хх-\- х,	Уч = У1~гУ*
Отсюда и вытекает, что
х = хъ — хи	У = У% — У\.
§ 51. Связь проекций и координат вектора с тригонометрическими
функциями
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна длине проек¬
тируемого вектора, умноженной на косинус угла между осью
и вектором.
Другими словами, пусть /— некоторая ось, а — произвольный
вектор длины а. Обозначим через а угол (ненаправленный, т. е. за¬
ключенный между 0 и 180°) между на¬
правлением оси / и направлением векто¬
ра а (рис. 121). Тогда
пр, a = acos а.
Доказательство. Отложим век¬
тор а от точки О оси I
а = ОАу
Рис. 121.	и	пусть	Ах — проекция точки А на
ось /. Если угол а, который век¬
тор а образует с осью ОХ, острый (рис. 122), то пр,ОЛ = -{-ОА1.
Но из треугольника ОААх имеем:
ОАх = О А • cos cl —a cos а,
71

и потому
пр ta = a cos а.
Если же вектор а образует с осью ОХ тупой угол а (рис. 123),
то прtOA= — ОАи Но в этом случае
О	А1 = О А • cos £ AOAt = OA cos(180° — а) = — acosa
и поэтому по-прежнему
пр,а — а cos а.
Замечание. Если XOY — прямоугольная система коорди¬
нат на плоскости и е — ОЕ — вектор длины 1, образующей с
с осью ОХ угол а (рис. 124), то, как известно из тригонометрии,
вектор е имеет в системе XOY координаты:
Угол а
ным.
Т ео
наш на
X — COS4, у = sin a.
здесь может быть как положительным, так и отрицатель-
р е м а 2. Пусть XOY — прямоугольная система коорди-
плоскости и а = ОА — вектор длины а, образующий с
осью ОХ угол а. Тогда вектор а имеет
в системе XOY координаты:
х = а cosa, у-
Доказательство.
;asin a.
Обозначим че¬
рез е = 0Е вектор длины 1, направление
которого совпадает с направлением векто¬
ра а. В силу определения умножения век¬
тора на число, мы имеем:
а — ае
(так как оба вектора а и ае одинаково
направлены и имеют одну и ту же длину а).
Но мы уже знаем, что вектор е имеет
координаты {cosa; sin а}. Отсюда в силу теоремы 2, § 49 выте¬
кает, что вектор а — ае имеет координаты {a cos a; a sin а}.
72

Г Л А В А IV
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
§ 52. Определение скалярного произведения
В этом параграфе мы будем предполагать, что выбрана опре¬
деленная единица измерения длин.
Пусть а и b — два произвольных вектора, причем а 9- 0. Обо¬
значим через I ось, параллельную вектору а и имеющую то же
Рис. 125.	Рис.	126.
направление (рис. 125). Под проекцией вектора b на век¬
тор а мы будем понимать проекцию вектора b на ось I:
ПРд Ъ Пр^ Ъ.
Произведение а ■ пра Ъ (т. е. произведение длины вектора а
и проекции на него другого вектора Ь) называется скалярным
произведением вектора а на вектор Ь и обозначается симво¬
лом аЬ\
аЬ — а-ЩаЬ.
Это определение теряет смысл, если а = 0, так как в этом слу¬
чае направление вектора а не определено. Однако в этом случае
а = 0, и скалярное произведение аЬ считается равным нулю:
если а = 0, то ab = 0.
Так как в силу теоремы § 51 npa& = 6cosa, где a— угол
иежду направлениями векторов а и & (рис. 126), то
аЬ — аЬ cosa.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно
произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярный квадрат вектора. Если а = Ь, то скалярное произ¬
ведение ab принимает вид аа; его называют скалярным
квадратом вектора а и обозначают символом а2. Так как
cos0°=l, то из формулы ab = abcosa вытекает, что скалярный
квадрат вектора равен квадрату его длины:
а* = а\
Знак скалярного произведения. Косинус острого угла поло¬
жителен, косинус прямого угла равен нулю, а косинус тупого
угла отрицателен. Поэтому:
73

скалярное произведение ab двух отличных от нуля векторов
а и &, образующих угол а,
положительно, если а— острый угол (или а = 0э),
равно нулю, если а — прямой угол,
отрицательно, если а— тупой угол (или а =180°).
Особо подчеркнем, что
два не равных нулю вектора а и Ь в том, и только в том
случае перпендикулярны друг другу, если ab = 0 (условие
перпендикулярности векторов).
§ 53. Свойства скалярного произведения
Теорема 1. Скалярное умножение коммутативно, т. е.
аЪ = Ъа
для любых векторов а и Ь.
Доказательство теоремы вытекает из формулы ab =
= ab cos а.
Из коммутативности скалярного умножения векторов и равен¬
ства ab = a-npab вытекает, что также ab = b -ирьа.
Теорема 2. Скалярное умножение ассоциативно по отноше¬
нию к умножению вектора на число, т. е.
(ka) b = k (ab), a (kb) = k (ab)
для любых векторов а, b и числа k.
Доказательство. Если а=0, то соотношение a (kb)=k (ab)
очевидно — обе части последнего равенства обращаются в нуль.
Пусть а Ф0. Тогда мы имеем (см. § 47, свойство 2):
a (kb) = а • ира (kb) = a-(k- ира b) = k-(a- пра b) — k (ab).
Далее, в силу коммутативности скалярного умножения, имеем:
(ka) b = b (ka) — k (ba) = k (ab).
Теорема 3. Скалярное умножение дистрибутивно (распре¬
делительно) относительно сложения векторов, т. е.
а (Ь + с) = ab + ас;	(a-\-b)c = ac-\-bc
для любых трех векторов а, Ь> с.
Доказательство. Соотношение a (b-\-c) = ab-\-ac оче¬
видно, если а = 0 — в этом случае а(Ь-\-с) = 0 и ab-\-ac = 0.
Пусть теперь а Ф 0. Тогда в силу свойства 1 проекции вектора
(§ 47) мы имеем:
а (Ь + с) = а • пра (Ь-\-с) = а • (пра b + пра с) =
= а • пра b + и • пра c = ab-1- ас.
Второе соотношение дистрибутивности получается из первого
перестановкой сомножителей:
(а -\~Ь) с = с (a-\-b) = са -j- cb — ас + Ьс.
74

Замечания. Свойства скалярного умножения, составляющие
содержание теорем 1—3, похожи на хорошо знакомые правила
действий с числами. Это позволяет легко производить вычисле¬
ния со скалярными произведениями.
Например:
(а + Ь) (с + d) = а (с + d) + b (с + d) = ас + ad+ be -f bd;
(2а + b) (3d—c)=2a (3d—с) + b (3d—с) = 6ad—2ac + 3bd—bc\
(a ~ by = (a — b) (a — b) = a2 — 2ab + b\
(a + b) (a-b) = a*-b*
и т. д. В этом и заключается ценность скалярного произведения.
С одной стороны, оно геометрически интересно, так как
позволяет находить длины отрезков и величины углов (см. §55);
с другой стороны, скалярное произведение алгебраически
удобно, так как вычисления со скалярными произведениями
производятся по правилам, хорошо знакомым из алгебры.
Имеются, однако, и серьезные различия между скалярным
умножением векторов и умножением чисел. Заметим прежде
всего, что скалярное произведение двух век¬
торов является не вектором, а числом («ска¬
ляром»)1. Далее, в то время как в обычной
алгебре произведение двух чисел равно нулю
только в том случае, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю, в «алгебре век¬
торов» дело обстоит совсем не так. Равенство
ab = 0 может выполняться и при аф О,
Ьф 0 (если векторы а и b взаимно перпенди*
кулярны).
Последнее замечание влечет за собой еще
одно существенное различие между «алгеброй
векторов» и обычной алгеброй: векторные ра¬
венства нельзя сокращать на отличный от
нуля множитель. В самом деле, если из соотношения ас — Ьс
для чисел a, b и	вытекает, что а = &, то из равенства
ас = Ьс (с Ф 0)
вытекает лишь, что ас — be — 0, или (а — Ь)с = 0 и, следова¬
тельно, вектор а — b или равен нулю, или перпендикулярен
вектору с (рис. 127).
1	Это обстоятельство делает невозможным саму постановку вопроса
* а
об определении «векторного деления»: символу у нельзя приписать ника¬
кого смысла. Это же обстоятельство мешает рассматривать произведения
трех векторов; например, формула
(а b)z = a3 +	+ Sab2 + №
на область векторов никак не переносится.
/
/
75

§ 54. Вычисление скалярного произведения в координатах
Теорема, Пусть в некоторой прямоугольной системе коор¬
динат XOY вектор а имеет координаты {xf, ух}, а вектор Ь —
координаты {х2; у2}. Тогда
ab=x1xt+yiyt.
Доказательство. В силу теоремы § 48 мы имеем:
а — xj -f- yj, b—xtf, -j- y%j,
где i и j— единичные векторы, направленные по осям ОХ и ОУ
(см. рис. 119). Учитывая, что <*==/*= 1 (ибо векторы i и J—
единичные) и что ij= О (ибо векторы i я j перпендикулярны),
мы получаем:
ub = (X\i -j- yxJ) (x^i -j- y%J) = X1X4P -f- x^y^ij -{- y^x-iji -(- t/jt/gy9 =
=ад+м«-
Словами эту формулу можно выразить так: скалярное произ¬
ведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных
координат.
Следствие. Скалярный квадрат а1 вектора а с координат,
тами {х; у) вычисляется по формуле:
§ 55. Вычисление длин и углов
Теорема. Пусть точка А имеет в прямоугольной системе
X0Y координаты (*,; у,), а точка В —координаты (х2; t/9).
Тогда длина отрезка А В равна:
А В =	(х3	—	*i)a	-j- (1/2 — f/i)*.
Доказательство. Мы знаем, что вектор АВ имеет коор¬
динаты {дг2 — хх; yz — ух} (см. § 50). Вычисляя скалярный квадрат
этого вектора, находим (см. § 54, следствие):
АВг — АВ2 — (х, - Xif + (</2 - yt)\
Отсюда и вытекает теорема.
Пример. Найти расстояние между точками Л П; —2)
и В (—5; 6).
Решение. В силу теоремы 1, имеем:
АВ = У [—5 — lf + [6—(—2)]3 = У (—6)» + 8а = J/lOO = 10
(рис. 128).
Вычисление углов. Из формулы
ab — ab cos а
76

следует, что, зная скалярное произведение двух векторов а, b
и их длины, мы можем определить косинус угла а между этими
векторами:
аЪ
COSa = 5Tft-
В частности, cos а можно вычислить, если известны координаты
векторов а и Ь (скалярное произведение ab и длины векторов а
и Ь вычисляются с помощью формул § 54).
Как известно из тригонометрии, угол а, заключенный между 0°
и 180°, однозначно определяется, если известен его косинус.
Таким образом, зная координаты
двух векторов, можно найти угол
между ними.
Рассмотрим два примера.
Пр и мер 1. Найти угол между
векторами а = { 1;	—2} и Ь —
{— 3; 1}.
Решение. Имеем:
cos a = —т—
ab
' а-Ь~
1 • (— 3) + (— 2) • 1
у 1* + (_2)»./(_3)*+1*
—5	—5	1
УЪ-У~10~~ЬУ~2~
у V
Отсюда находим: a =135° (рис. 129).
Пр имер 2. Четыре точки заданы своими координатами
(рис. 130):
А (3; 1), В(Н 4), 0(1; 0), D(4; 5).
Определить угол между прямыми АВ и CD.
77

Решение. Согласно теореме § 50, вектор а —АВ имеет коор¬
динаты {—2; 3}, а вектор b = CD имеет координаты {3; 5}.
Найдем угол а между этими векторами — это и будет искомый
угол между прямыми АВ и CD. Имеем:
т-г,^аЬ— (—2)'-3 + 3-5			9^
~а-Ь у(—2/ + З2 • УЗ2 + 5а	/13-/34
Отсюда по таблицам находим: а 64?39'.
§ 56. Задачи
Приведем примеры, иллюстрирующие применение скалярного
произведения векторов к решению геометрических задач.
Задача 1. Доказать, что сумма квадратов диагоналей па¬
раллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
С
Решение. Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 131). Обо¬
значим АВ = а, AD = b. Тогда
AC — a-\-b, DB — a — b,
и мы находим:
Л (^ + DB2 = ЛС2 + Ш2 == (« + bf + {а — bf =
= (а2 + 2 ab + b2) + (а2 — 2 ab + &2) = 2а2 + 2 Ъ‘ =
= 2а2 + 2Ъг = А В2 + ВСг + CD2 + DA\
Задача 2. Найти угол при вершине равнобедренного тре¬
угольника, если известно, что медианы, проведенные к его боко¬
вым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть ABC — треугольник, о котором идет речь
в условии задачи, АС = ВС (рис. 132). Обозначим через М и N
78

середины сторон АС и ВС и положим СМ = а, CN = b. Тогда
СА — 2а, СВ = 2Ь.
Далее,
Ш=ВС + СМ== — 2Ъ-\-а, AN = AC -f- CN = — 2а-\-b.
По условию, прямые ВМ и AN перпендикулярны, т. е.
1M-~AN = 0,
или, иначе,
(— 2Ь-\-а){— 2а + &) = 0.
Раскрывая скобки, находим:
ЪаЬ — 2а2 — 2&2 = 0,
или, что то же самое,
5а6 cos а — 2а2 — 262 = О,
где а — угол между векторами а и &, т. е. искомый угол С тре¬
угольника ABC. Но а2 = 62 = а& (так как а = 6). Следовательно,
имеем:.
5 cos а — 4 = 0, т. е. cos а = -g-.
По таблицам находим: ая^36°52'.
ГЛАВА V
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
§ 57. Теорема косинусов
Для любого треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС —
= а, СА = Ь имеет место формула:
с2 = a2 -f- й2 — 2ab cos С.
Другими словами, квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон, уменьшенных на удвоенное произ¬
ведение этих сторон на косинус заключенного между ними угла.
Это соотношение называется теоремой косинусов.
Доказательство. Обозначим СВ = а9 СА = Ь, АВ = с
(рис. 133). Тогда
с — а — Ь
и, кроме того, угол между векторами а и Ь равен С. Отсюда
имеем:
с* = с* = (а — й)2 — а1 — 2ab -f- й2 = а2 — 2ab cos С -{- 62.
Мы знаем, что косинус острого угла положителен, косинус
тупого угла отрицателен и косинус прямого угла равен нулю.
Учитывая это, получаем из теоремы косинусов такое следствие.
79

Следствие. Квадрат стороны,
лежащей против острого угла треуголь¬
ника, меньше суммы квадратов двух
других сторон; квадрат стороны, ле¬
жащей против прямого угла треуголь¬
ника, равен сумме квадратов двух дру¬
гих сторон (теорема Пифагора);
квадрат стороны, лежащей против
тупого угла треугольника, больше сум¬
мы квадратов двух других сторон•
§ 58. Вычисление площади треугольника по его элементам
Теорема 1. Для любого треугольника А ВС справедливо
соотношение
S = ^-ab sin С,
где S — площадь треугольника, а и Ь — длины сторон ВС и АС,
а С — угол между этими сторонами.
Доказательство. Расположим треугольник ABC так,
чтобы вершина С совпала с началом системы координат XOY,
вершина В лежала на поло¬
жительной части оси ОХ, а
вершина А лежала выше оси
ОХ (рис. 134).. Обозначим
через А\ -проекцию точки А
на ось OY. Тогда ордина¬
та у вектора СА равна дли¬
не отрезка СЛЬ т. е. равна
высоте h треугольника АВСУ
проведенной из вершины А.
Но согласно теореме 2 § 51,
координата у вектора СА
равна sin С (так как этот вектор имеет длину b и образуете
осью ОХ угол С). Таким образом, h = b sin С и потому
S = ~ ah = y ab sin С.
Теорема 2. Пусть а, Ъ и с — длины сторон треугольника и
Р = ^(а + Ь + с)
— его полупериметр. Тогда для площади S этого треугольника
справедлива формула:
S = Vp(p-a)(p-b)(p-c).
80

(Эта формула известна под названием формулы Герона1.)
Доказательство. В силу теоремы 1 имеем:
<S = -^a&sinC = y]/a262sin9C==y'j/a9&a(l — cosaC) =
=	dW — iab cos C)\
Но из теоремы косинусов имеем:
ab cos С =	(a8	+ 68 — c8),
и потому
5=>/л._(£1±^7
Подкоренное выражение преобразуется следующим образом:
+ 62—с2\*	(	.	.	а?-\-Ь3— с*\/ ,	а2 + Ь2— е2 \
^2	) =Г + ^Ч	)г	^2	)="
 а? Ь* -\-2ab—с2 с2 — (а2 + 62 — 2аЬ)
~ 2 ' * 2 =
= _L [{а.+ ь?	са] [с« -(а- Ь)*] =
= \(а-\-Ь-\-с)(а-{-Ь — с)(с-\-а — Ь)(с — а-\-Ь),
Последнее выражение упрощается таким образом:
\ (а + Ъ + с) [(а + Ь + с) - 2с) [(а + Ь + с) - 26] [(а+6+с)-2а]=
= \-2р (2 р — 2с) (2р — 26) (2р — 2а) = 4р (р — а) (р — Ь)(р— с).
Окончательно мы получаем:
S = ~y4p(p — a)(p — b)(p — c) = Vp(p — a)(p — b)(p—c)'.
§ 59. Теорема синусов
Для любого треугольника ABC со сторонами АВ=с, ВС = а,
С А = Ь имеют место формулы:
а	b	с
sin A sin В sin С*
(Эти соотношения носят название теоремы синусов.)
Доказательство. Согласно теореме 1, § 58, мы имеем*
. ^ 2S
s тС=й,
и потому
с 		2	S	abc
Же-c:ab~ 2S*
1	Герои Александрийский—древнегреческий математик, живший во II
или в I веке до нашей эры в г. Александрии (Египет).
81

Аналогично, заменяя сторону с стороной а или 6, мы полу¬
чим:
a	abc	b	аЪс
sin A	2S *	sin В	25 ’
Отсюда и вытекает справедливость теоремы синусов.
§ 60. Решение треугольников
Решением треугольников называется нахождение всех
его элементов (сторон и углов), если известны три из них. Рас¬
смотрим основные случаи решения треугольников.
I.	Известны две стороны треугольника и заключенный между
ними угол. Пусть, например, даны стороны ВС —а, АС = Ь и
угол С. По теореме косинусов мы можем определить сторону с:
с2 = а* 4-	—	2ab cos С.
После вычисления стороны с углы А и В могут быть найдены
с помощью той же теоремы косинусов. В самом деле, написав
а1 = 6* —|—	—	2be cos Л,
мы найдем:
Ь* + с* — а*
cos А— ^
2Ьс
откуда с помощью таблиц можно определить угол Л. Аналогично
определяется и угол В. (Можно также определить угол В из
формулы В =180° — Л—С.)
Пример. Дано: я = 50,8; £ = 32,3; С = 23°30\ Найти с, А и В.
Решение. По таблицам (или с помощью логарифмической линейки)
находим:
cos С= cos 23°30' = 0,917.
Далее, по теореме косинусов получаем:
с2 = а2 + Ь2 —2ab cos С ^ (50,8)2 + (32,3)2 — 2 .50,8 • 32,3 .0,917 ^
2581 + 1043 — 3010 = 614,
откуда находим: с ^24,8.
Второй раз теорему косинусов применяем для определения угла А:
™ л _ Ь2 + с2-а* _ (32,3)2 + 614- (50,8)2 _
COS А—	2Ьс	~	2	<	32>3 248	ка
-	Ю43 + 614-258!
2	• 32,3 • 24,8
Отсюда имеем:
Л	arc cos (— 0,577) ^ 180° — 54°45' = 125° 15'.
Наконец,
В = 180° — Л — С ^ 180° — 125° 15' — 23°30' = 31 ° 15'.
И. Известны сторона треугольника и два прилежащих к ней
угла. Пусть, например, даны сторона АВ = с и углы Л и В.
82

Прежде всего из соотношения /.A -f-	/.С=	180° мы можем
определить угол С. Далее, для нахождения сторон а и b можно
воспользоваться теоремой синусов. В самом деле, из равенств
а 	 b 	 с
sin A	sin В	sin С
легко находим:
	с sin Л	, 	с sin В
а sin С *	sin С *
Пример: Дано: с = 48,8; Л = 106°; /? = 25°20\ Найти а, b и С.
Решение. Прежде всего находим:
С= 180° — Л —В= 180° —106° — 25°20' = 48°40'.
Далее, применим теорему синусов. Для этого найдем синусы углоз тре¬
угольника:
sin Л = sin 106° = sin (180° — 106°) = sin 74° ^ 0,961;
sin В = sin 25°20' ^ 0,428;
sin С = sin 48°40' sss 0,751.
Используя эти значения, получаем:
с sin Л 48,8-0,961	. с sin В	48,8-0,428
а=——^—7ГЧН1	«=:Ь2,5;	0 = —:——ттчп—^27,8.
sin С	0,751	sin	6	0,7о1
III. Известны три стороны треугольника. В этом случае для
нахождения углов треугольника пользуются теоремой косинусов,
из которой следует:
™ л b2 + c2 — a2	D а2 + с2 —Ь2	„	а2	+	Ь2—с2
cos А =—-Цтт	, cos В = —	, cosС =—+л-т
Ibc *	lac	9	lab
(ср. со случаем I).
Пример. Дано: а — 28; Ъ = 35; с = 42. Найти Л, В, С.
Решение. Из теоремы косинусов находим:
cos Л = Ь2 + с2— а2 _ (35)2 + (42)2 — (28)2 __ 1225 + 1764—784
* 0 75
2Ьс	2 • 35 • 42	2	•	35	•	42	’	*
откуда получаем
Аналогично
Л = arc cos (0,75) ^ 41 °24\
cos Д - * +	+ (W. - <35>3 = ™ +	1225 ~ 0,562,
2ас	2 • 28 • 42	2 • 28 • 42
и, следовательно,
В = arc cos (0,562) ^ 55°46'.
Наконец,
С = 180° — Л — В ^ 180° — 41 °24' — 55°46' = 82°50'.
Замечание. Иногда встречаются и иные случаи решения треуголь¬
ников. Например, может случиться, что заданными тремя элементами явля¬
ются три медианы треугольника или, скажем, два угла и площадь и т. п.
Разумеется, три заданных элемента треугольника должны однозначно опре¬
делить этот треугольник, так как иначе «решить» треугольник по этим трем
элементам невозможно. Например, задача «решить треугольник по заданным
трем его углам» не может быть поставлена, так как задание трех углов не
определяет треугольника (любой треугольник, подобный искомому, имеет те
же углы). ’

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Часть /
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГЛАВА I
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Определение осевой симметрии
1.	Перерисуйте в тетрадь фигуры, изображенные на рисунке 135.
Для каждой из этих фигур изобразите фигуру, симметричную ей
относительно оси.
2.	Укажите оси симметрии фигур, изображенных на рисунке 136.
3.	Какие из заглавных букв русского алфавита (рис. 137)
симметричны? Какие из
I	I ^ них имеют несколько
осей симметрии?
4.	Может ли фигура
иметь бесконечно много
осей симметрии?
«Е
Перегибание листа
бумаги
5.	На листе бумаги
изображены три точки
А, В и С. С помощью
Рис. 135.	перегибания листа бу¬
маги, без помощи ка¬
ких бы	то	ни	было геометрических	инструментов, отметьте:
а) центр вписанной окружности треугольника ABC;
б) центр описанной окружности треугольника ABC.
6.	На	листе	бумаги отмечены	две	точки Л и В. С по¬
мощью перегибания листа бумаги изобразите квадрат со сто¬
роной АВ.
84

Свойства осевой симметрии
7.	Даны прямая I и точка А, не лежащая на этой прямой.
Постройте точку А', симметричную точке А относительно прямой /.
8.	Даны прямая / и отрезок АВ. Постройте отрезок А'В',
симметричный отрезку АВ относительно прямой /.
Рассмотрите разные случаи расположения отрезка А В отно¬
сительно прямой I.
I/
а)	6)	б)	г)
Рис. 136.
9.	Даны прямая I и четырехугольник ABCD. Постройте четы¬
рехугольник A’B'C'Dсимметричный четырехугольнику ABCD
относительно прямой /.
10.	Даны прямая I и окружность F. Постройте окружность F\
симметричную окружности F относительно прямой /.
Рассмотрите различные случаи расположения прямой I и окруж¬
ности F.
АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЙЬЗЮЯ
Рис. 137.
11.	Даны две точки А и В;	постройте такую	прямую	/,	что
А	и В симметричны друг другу	относительно /.
12.	Даны две прямые а и Ь;	постройте такую	прямую	/,	что
а и b симметричны друг другу относительно I.
13.	Какие прямые переходят сами в себя при симметрии отно¬
сительно прямой /?
14.	Пусть ABC и А'В'С' — два треугольника, симметричные
друг другу относительно некоторой прямой I. Докажите, что
точка М пересечения медиан треугольника ABC симметрична
85

относительно прямой / точке Мг пересечения медиан треуголь¬
ника А'В'С.
15.	Какие из перечисленных ниже фигур имеют оси симметрии:
отрезок; разносторонний треугольник; равнобедренный треуголь¬
ник; равносторонний треугольник; параллелограмм; прямоуголь¬
ник; ромб; квадрат; неравнобочная трапеция; равнобочная трапе¬
ция; правильный пятиугольник; правиль-
ный п-угольник?
I	Укажите в каждом случае число осей
J	симметрии.
X	16.	Укажите оси симметрии много-
угольников, изображенных на рисунке
|	138. Для каждой из вершин этих много-
I	vv угольников укажите вершину, симметрич-
V N ную ей относительно оси симметрии,
с»	17.	Какие из следующих фигур имеют
оси симметрии: круг; полукруг; сектор;
Рис. 138.	сегмент; линза, образованная пересечением
двух неравных кругов; линза, образован¬
ная пересечением двух равных кругов; кольцо, образованное двумя
концентрическими окружностями; кольцо, образованное двумя
эксцентрическими (т. е. не концентрическими) окружностями?
Какие из этих фигур имеют больше одной оси симметрии?
18.	Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии,
то он имеет и третью ось симметрии.
19.	а) Перечислите все виды выпуклых четырехугольников,
имеющих ось симметрии.
б) Перечислите все виды выпуклых четырехугольников, имею¬
щих две или больше осей симметрии.
20.	Какое наибольшее число осей симметрии может иметь
четырехугольник?
Применение осей симметрии к доказательству теорем
21.	Какие свойства ромба вытекают из существования у него
осей симметрии?
22.	Какие известные вам свойства равнобочной трапеции выте¬
кают из существования у нее оси симметрии?
23.	Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований
равнобочной трапеции, перпендикулярна основаниям.
24.	Через произвольную точку М биссектрисы угла ABC
проведен к ней перпендикуляр, пересекающий стороны угла
в точках Р и Q. Докажите, что эти точки симметричны относи¬
тельно прямой ВМ.
25.	На равных сторонах АВ и ВС равнобедренного треуголь¬
ника ABC отложены равные отрезки AM и CN. Докажите, что
а)	отрезки СМ и AN равны;
86

б)	точка пересечения прямых СМ и AN принадлежит биссек¬
трисе BD треугольника.
26.	На боковых сторонах А В и ВС равнобедренного треуголь¬
ника ABC вне его построены квадраты ABKL и BCMN. Дока¬
жите, что AM = CL и AN = СК\ докажите также, что отрезки AM
и CL, AN и С К пересекаются на высоте BD треугольника ABC.
27.	Докажите, что если прямая, соединяющая середины осно¬
ваний трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция —
равнобочная.
28.	Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения
диагоналей равнобочной трапеции с точкой пересечения продол¬
жений боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и
делит их пополам.
29.	На стороне В А угла ABC отложены отрезки ВМ и BN, а на
стороне ВС — равные им отрезки ВР = ВМ и BQ = BN. Докажите,
что отрезки MQ и NP пересекаются на биссектрисе угла ABC.
30.	Докажите, что линия центров двух пересекающихся ок¬
ружностей делит пополам их общую хорду.
31.	На касательных МА и MB, проведенных к окружности
из одной точки М, отложены равные отрезки МК и ML\ А и В —
точки окружности. Докажите, что
а)	точки К и L равноудалены от центра О окружности;
б)	три прямые AL, ВК и МО пересекаются в одной точке.
32.	Две окружности пересекаются в точках А и В. Докажите,
что угол между касательными к окружностям, проведенными в точ¬
ке А, равен углу между касательными, проведенными в точке В.
33.	Докажите, что общие внешние касательные двух окружно¬
стей пересекаются на линии центров или параллельны ей; общие
внутренние касательные пересекаются на линии центров.
34.	Прямая пересекает одну из двух концентрических окруж¬
ностей в точках А, В, а вторую — в точках С, Ь. Докажите, что
AC — BD.
35.	Окружность S пересекает одну из двух концентрических
окружностей в точках Л и В, а вторую —в точках С и D. До¬
кажите, что Л В || CD, AC = BD, AD = BC.
Разные задачи
36.	Дана прямая MN и две точки А и В по одну сторону
от MN. Найдите на прямой MN такую точку Q, чтобы прямые
AQ и BQ образовывали с MN одинаковые углы.
37.	Даны прямая / и две точки Л и В по разные стороны от
нее. Найдите на прямой такую точку М, чтобы разность расстоя¬
ний МА и MB была наибольшей.
38.	На плоскости даны угол ABC и прямая /. Постройте
квадрат, две противоположные вершины которого принадлежат
прямой /, а две другие — сторонам угла ABC.
87

39.	Даны прямая MN и две	точки А	и В	по	одну сторону
от нее. Найдите на прямой MN	такую точку	Q,	чтобы было
Z, AQM = 2 Z. BQM.
40*. Даны прямая MN и две	точки Л	и В	по	одну сторону
от MN. Найдите на прямой MN такую	точку Q, чтобы было
L AQM = 2 Z BQN.
41*. Постройте четырехугольник A BCD, у которого диаго¬
наль АС является биссектрисой угла А, зная длины всех сторон,
четырехугольника.
42.	Высоты АР и BQ треугольника ABC пересекают описан¬
ную вокруг треугольника окружность в точках D и Е. Докажите,
что точка, симметричная D относительно прямой ВС, совпадает
с точкой, симметричной Е относительно прямой АС.
Выведите отсюда, что три высоты треугольника пересекаются
в одной точке.
43.	Докажите, что из всех треугольников с данными основа¬
ниями и высотой равнобедренный имеет наименьший периметр.
44.	Даны прямая / и две точки Р и Q по одну сторону от I.
Укажите на прямой I такую точку R, чтобы периметр треуголь¬
ника PQR был наименьшим.
45*. Даны угол ABC и внутри него точка Р. Постройте треуголь¬
ник PQR наименьшего периметра, одна вершина которого совпадает
с точкой Р, а две другие принадлежат сторонам данного угла.
46*. Докажите, что если фигура имеет две оси симметрии I
и Л, то и прямая /2, симметричная I относительно прямой 1и
также является осью симметрии фигуры.
47*. Докажите, что если фигура имеет только две оси сим¬
метрии, то эти оси симметрии взаимно перпендикулярны.
Г л А'В А II
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Определение центральной симметрии
48. Перерисуйте в тетрадь фигуры, изображенные на рисун¬
ке 139. Для каждой из этих фигур постройте фигуру, симметрич¬
ную ей относительно точки О.
49.	Какие из заглавных букв
русского алфавита (рис. 137) имеют
центр симметрии?
50.	Докажите, что если фигура
имеет две взаимно перпендикуляр¬
ные оси симметрии, то она имеет и
центр симметрии.
51.	Обязательно ли точка пересечения осей симметрии плоской
фигуры F будет ее центром симметрии?
*	Звездочкой отмечены задачи повышенной трудности.

Свойства центральной симметрии
52.	Даны две точки О, Л. Постройте точку А', симметричную
точке А относительно точки О.
53.	Даны три точки О, Л, В. Постройте отрезок Л'В', сим¬
метричный отрезку А В относительно точки О. Рассмотрите раз¬
личные случаи расположения отрезка А В и точки О.
54.	Даны точка О и четырехугольник A BCD. Постройте четы¬
рехугольник Л'В'СТУ, симметричный четырехугольнику ABCD
относительно точки О.
55.	Даны точка О и окружность F. Постройте окружность F,
симметричную окружности F относительно точки О.
Рассмотрите различные случаи расположения точки О и окруж¬
ности F.
56.	Сколько центров симметрии имеет фигура, образованная
двумя пересекающимися прямыми? Сколько центров симметрии
имеет фигура, образованная двумя параллельными прямыми?
57.	Два треугольника симметричны друг другу относительно
точки О. Докажите, что точки пересечения медиан этих треуголь¬
ников симметричны относительно точки О.
58.	Пусть D, Е, F — середины сторон треугольника ЛВС; М—
точка пересечения его медиан; К, L, N — середины отрезков УИЛ,
MB и МС. Докажите, что треугольник KLN равен треуголь¬
нику DEF.
59.	Какую форму может иметь пересечение треугольника ЛВС
и треугольника А'В'С', симметричного ЛВС относительно некото¬
рой точки О?
60.	Какие из следующих фигур имеют центр симметрии: разно¬
сторонний треугольник; равносторонний треугольник; отрезок;
луч; прямая; угол; пара вертикальных углов; полоса, заключен¬
ная между двумя параллельными прямыми; трапеция; прямо¬
угольник; правильный шестиугольник; правильный п-угольник?
Какие из этих фигур имеют больше одного центра симметрии?
61.	Какие из следующих фигур имеют центр симметрии: окруж¬
ность; круг; сектор; сегмент; кольцо, образованное двумя концен¬
трическими окружностями; кольцо, образованное двумя эксцентри¬
ческими (т. е. не концентрическими) окружностями; линза, обра¬
зованная пересечением двух равных кругов; линза, образованная
пересечением двух неравных кругов.
62.	Докажите, что никакой многоугольник с нечетным числом
сторон не имеет центра симметрии.
Центр симметрии параллелограмма
63.	Докажите, что если четырехугольник имеет центр симме¬
трии, то этот четырехугольник — параллелограмм.
64.	Докажите, что если шестиугольник имеет центр симметрии,
то противоположные стороны его равны и параллельны.
89

Обратно, если противоположные стороны шестиугольника
равны и параллельны, то этот шестиугольник имеет центр сим¬
метрии.
65.	Может ли центрально-симметричный шестиугольник не яв¬
ляться правильным?
66.	Прямая ЕР, проходящая через центр О параллелограм¬
ма ABCD, пересекает противоположные стороны АВ и CD парал¬
лелограмма в точках £ и F. Докажите, что АЕ = СР.
67.	На противоположных сторонах АВ и CD параллелограм¬
ма ABCD отложены равные отрезки: AM = CN. Докажите, что
прямая MN проходит через центр параллелограмма.
68.	Прямые MN и PQ, проходящие через центр О парал¬
лелограмма A BCD, пересекают противоположные стороны парал¬
лелограмма в точках М и N, Р и Q. Докажите, что MP — NQ.
69.	Пусть ABCD — параллелограмм, Аи Ви Сь Dx— такие
точки на продолжениях его сторон, что В есть середина от¬
резка ААи С — середина отрезка BBU D — середина отрезка СС{
и А—середина отрезка DDX. Докажите, что четырехугольник
A1B1C1D1 — параллелограмм.
70.	На противоположных сторонах АВ и CD параллелограм¬
ма ABCD вне его построены равные треугольники АВЕ и CDF,
причем так, что AE — CF, BE = DF. Докажите, что отрезок EF
проходит через точку О пересечения диагоналей параллело¬
грамма A BCD и делится в этой точке пополам.
71.	ABCD — параллелограмм, Qx и Q2 — центры окружностей,
вписанных в треугольники ABC и ADC. Докажите, что отрезки
АС, BD a QjQ.2 пересекаются в одной точке.
72.	На сторонах параллелограмма вне его построены пра¬
вильные пятиугольники. Докажите, что их центры образуют па¬
раллелограмм.
Разные задачи
73.	Выведите из свойств центральной симметрии теорему о ра¬
венстве вертикальных углов.
74.	Пусть А и Ву С и D — диаметрально противоположные
точки двух концентрических окружностей. Докажите, что отрез¬
ки АС и BD равны и параллельны (или принадлежат одной
прямой).
75.	В окружности с центром О проведены равные и парал¬
лельные хорды АВ и CD. Далее, выбраны такие точки М и N,
лежащие вне полосы между прямыми АВ и CD, что А АВМ =
= A CDN. Докажите, что отрезок MN либо перпендикулярен
прямой АВУ либо проходит через точку О.
76.	В четырехугольнике A BCD диагональ BD делится в точке О
пересечения диагоналей пополам. Докажите, что если ОЛ^>СС,
то L А Z С.
90

77*. Может ли ограниченная фигура иметь два разных центра
симметрии? А неограниченная фигура?
78*. Пусть /— ось симметрии фигуры F, а О — ее центр сим¬
метрии. Докажите, что точка Ои симметричная О относительно
прямой /, также является центром симметрии фигуры F.
79.	Через данную точку Q проведите прямую так, чтобы отре¬
зок, заключенный между точкой пересечения этой прямой с дан¬
ной прямой / и с данной окружностью F, делился точкой Q
пополам.
80.	Через точку А пересечения двух окружностей F и G про¬
ведите прямую так, чтобы обе окружности высекали на этой пря¬
мой равные хорды.
ГЛАВА III
ПОВОРОТ
Определение поворота
81.	Перерисуйте в тетрадь изображенную на рисунке 140 фи-
гуру F; изобразите на том же чертеже фигуру F, полученную из F
поворотом вокруг точки О на угол
+ 90°; заштрихуйте общую часть фигур
F и F.
82.	Фигура Fx получается из фигу¬
ры F поворотом вокруг точки О на угол
4-90°, а фигура получается из F по¬
воротом вокруг той же то^ки О на угол
— 90°. Докажите, что фигура симмет¬
рична Fx относительно точки О.
83.	Фигура F' получается из фигу¬
ры F поворотом вокруг точки О на
угол а. Докажите, что фигура F также
чена из фигуры Ff некоторым поворотом.
84*. Докажите, что если фигура F имеет две оси симметрии 1Х
и /2, пересекающиеся в точке О и образующие между собой
угол а, то F переходит в себя при повороте вокруг точки О на
угол 2а.
Рис. 140.
может быть полу-
Свойства поворота
85.	Даны две различные точки О и А. Постройте точки, по¬
лучающиеся из точки А поворотом вокруг точки О на угол:
1)	+45"; 2) —60°; 3) —135°; 4) +1803.
86.	Даны три различные точки О, Л, В и угол а. Постройте
отрезок А'В', получающийся из отрезка А В поворотом вокруг
точки О на угол а.
91

87.	Дан ромб, один угол которого равен 60°. Постройте ромб,
получающийся из данного ромба поворотом вокруг его центра на
угол — 90°.
88.	Постройте окружность, получающуюся из данной окружности
поворотом на угол +45° вокруг известной точки О. Рассмотрите
различные случаи расположения точки О и данной окружности..
89.	Для каких а существуют прямые, переходящие сами в себя
при повороте вокруг точки О на угол а? Что это за прямые?
90.	Треугольник А'В'С' получен из треугольника ABC пово¬
ротом вокруг некоторой точки О на угол -f-90°. Докажите, что
медиана А’М’ треугольника А'В'С'
перпендикулярна медиане AM.
треугольника ABC.
91. Даны два равных непарал¬
лельных (и не лежащих на од¬
ной прямой) отрезка А В и CD.
Докажите, что всегда существует
единственный поворот, [переводя¬
щий точку А в точку С, а точ¬
ку В — в точку D.
92*. Пусть АВ и CD — два
равных отрезка, М — точка пере¬
сечения прямых А В и CD, F и
G — окружности, описанные вокруг треугольников ACM и BDM,
N — отличная от М точка пересечения этих окружностей (рис.
141). Докажите, что отрезок А В можно перевести в отрезок CD
поворотом вокруг точки N.
Разберите отдельно случай, когда окружности F и G касаются
друг друга в точке М.
Разные задачи
93.	Даны три концентрические окружности. Постройте равно¬
сторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим
окружностям.
94.	Даны угол и внутри него точка А. Постройте равнобедрен¬
ный прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого
совпадает с точкой А, а две другие вершины принадлежат сторо¬
нам угла.
95.	На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построены
квадраты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и треуголь¬
ник ABC расположены по разные стороны от прямой АВ, а ква¬
драт BCPQ и треугольник ABC — по одну сторону от прямой ВС.
Докажите, что отрезок MQ равен стороне АС и перпендикулярен
этой стороне.
96.	Даны две прямые 1Х и /3, точка А и угол а. Проведите
такую окружность с центром А, чтобы одна из дуг этой окруж¬
92

ности, концы которой принадлежат прямым 1Х и /2, по угловой
мере была равна а.
97*. На последовательных отрезках АВ и ВС прямой АС по
одну сторону от нее построены равносторонние треугольники АВЕ
и BCF. Пусть М — середина отрезка AF, N — середина отрезка СЕ.
Докажите, что треугольник BMN — равносторонний.
98*. На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его
построены квадраты ABMN и ACPQ. Докажите, что медиана АЕ
треугольника ABC перпендикулярна стороне NQ треугольника ANQ
и равна ее половине.
99.	При повороте на какой угол вокруг точки пересечения
медиан равносторонний треугольник переходит сам в себя?
100.	Через точку О пересечения медиан правильного треуголь¬
ника ABC проведены две прямые MN и PQ, образующие между
собой угол 60°; пусть М, N и Р, Q — точки пересечения этих
прямых со сторонами треугольника. Докажите, что MN = PQ.
101*. На сторонах АВ и АС правильного треугольника ABC
отложены такие отрезки AD и АЕ, что AD-\- АЕ = АВ. Через О
обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC. Дока¬
жите, что OD — OE и что /_ DOE = 120°.
102.	Некоторая прямая пересекает стороны АВ и CD квад¬
рата A BCD (или их продолжения) в точках М и N; перпенди¬
кулярная к ней прямая пересекает стороны ВС и AD (или их
продолжения) в точках Р и Q. Докажите, что MN = PQ.
ГЛАВА IV
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Вектор, равенство векторов
103.	Изобразите на чертеже несколько разных векторов, имею¬
щих одинаковую длину.
104.	На плоскости даны две различные точки А, В. Справед¬
ливы ли равенства: 1) АВ = ВА; 2) \AB\ = \BA\f
105.	Перерисуйте в тетрадь изображенные на рисунке 142
точки А, В, С, D, 0; отложите от точки О векторы, равные
векторам АВ, AC, AD, ВА,	д	о
ВС, BD, CD и DC.	°	0
Определение параллельного	g
переноса	°
106.	Перерисуйте в тет-	о	q
радь изображенную на ри-	С
сунке 143 фигуру F и отрезок Рис. 142.	Рис.	143.
93

MN; изобразите на том же чертеже фигуры Ft и F2» получаю¬
щиеся из фигуры F параллельными переносами на векторы MN
и NM.
107.	Фигура F получается из фигуры F при помощи парал¬
лельного переноса. Докажите, что и фигура F получается из фи¬
гуры F' при помощи некоторого параллельного переноса.
108.	Пусть фигура F получается из фигуры F параллель¬
ным переносом на вектор а. Соединим отрезком каждую точку А
фигуры F с соответствующей ей точкой А' фигуры F' и разделим
этот отрезок пополам. Докажите, что множество всех точек деле¬
ния образует фигуру G, также получающуюся из фигуры F не¬
которым параллельным переносом.
109*. Докажите, что если фигура F имеет две параллельные
оси симметрии /j и /2, то она переводится в себя некоторым па¬
раллельным переносом. Укажите примеры таких фигур.
Свойства параллельного переноса
110.	Дан треугольник ABC. Постройте треугольники, солу-
чающиеся из данного треугольника параллельным переносом
1)	на вектор А В; 2) на вектор ВС; 3) на вектор С А.
111.	Дан параллелограмм A BCD с центром О. Постройте па¬
раллелограмм, получающийся из данного параллельным перено¬
сом: 1) на вектор АО; 2) на вектор ОС; 3) на вектор О А.
112. Длина вектора а равна диаметру окружности F. Дока¬
жите, что окружность F, получаемая из окружности F парал¬
лельным переносом на вектор а, касается окружности F.
113.	Треугольник А'В'С' получен параллельным переносом из
треугольника ABC. Докажите, что соответствующие медианы тре¬
угольников ABC и А'В'С параллельны (или расположены на
одной прямой).
114.	Треугольник А'В'С получается из треугольника ABC
параллельным переносом; О и О' — центры вписанных окружно¬
стей треугольников ABC и А'В'С, a Q и Q'— центры их описан¬
ных окружностей. Докажите, что 00' = QQ'.
115.	На сторонах АВ и DC параллелограмма ABCD со сто¬
ронами АВ = а и ВС = b построены равные треугольники АВМ
и DCN, где AM — DN, BM = CN, причем треугольник АВМ
лежит вне параллелограмма, а треугольник DCN — с той же сто¬
роны от прямой DC, что и параллелограмм ABCD. Чему равно
расстояние между точками М и А/?
116.	К двум равным окружностям F и Ft с центрами в точ¬
ках О и Oi проведены параллельные касательные / и /ь причем I
касается окружности F в точке М, a U касается окружности Fx
в точке Ми Докажкте, что прямая ММХ либо параллельна от¬
резку ООь либо проходит через его середину.
94

117.	На противоположных сторонах АВ и CD параллело¬
грамма ABCD построены квадраты; Qx и Q*— их центры. Дока¬
жите, что либо QjQ2 || ВС\ либо отрезок QXQ% проходит через центр
параллелограмма.
118.	Пусть F, D и Е — середины сторон АВ, ВС и С А тре¬
угольника ABC; центры окружностей, описанных вокруг треуголь¬
ников AEF, BDF и CDE, мы обозначим через Ои 02 и 03, а
центры окружностей, вписанных в те же треугольники, — через Q,,
Qa и Q3. Докажите, что треугольники 0i0203 и Q1Q2Q3 равны.
119.	Даны окружность F и две прямые I и MN. Постройте
отрезок АВ данной длины а так, чтобы он был параллелен
прямой MN и чтобы один конец его принадлежал прямой I,
а другой — окружности F.
120.	Деревни А и В разделяются двумя реками (берега кото¬
рых мы сдитаем параллельными прямыми; LpHC. 144). Как надо
расположить мосты MN и PQ через эти реки (мосты ставятся
перпендикулярно направлению реки), чтобы путь AMNPQB из
деревни А в деревню В был кратчайшим?
121.	Постройте трапецию, зная ее основания и боковые сто¬
роны.
122.	Докажите, что если стороны одной трапеции равны соот¬
ветствующим сторонам второй трапеции, то эти трапеции равны.
123.	Постройте трапецию, зная ее диагонали, угол между
диагоналями и одну из боковых сторон.
124.	Постройте четырехугольник A BCD, зная все его стороны
и угсл между продолжениями сторон АВ и CD.
Разные задачи
В
Рис. 144.
Рис. 145.
95

125*. Даны две окружности F и G и прямая /. Проведите
прямую, параллельную прямой /, на которой окружности F и G
высекают равные хорды.
126*. По одну сторону от железной дороги (которую мы
представляем себе в виде прямой линии) расположены две дерев¬
ни Л и В (рис. 145). Где надо расположить на железной дороге
платформу MN данной длины а, чтобы общая длина дорог AM
и BN, которые надо провести для соединения станции с дерев¬
нями Л и В, была наименьшей?
глава V
ГОМОТЕТИЯ
Определение гомотетии
127.	Пусть фигура F' получается из фигуры F гомотетией с
центром О и коэффициентом k. Докажите, что и фигура F полу¬
чается из фигуры F при помощи некоторой гомотетии. Каков
будет коэффициент этой гомотетии?
128.	Фигуры Fj и /^ гомотетичны одной и той же фигуре F
с центром гомотетии О и коэффициентами гомотетии и k2. До¬
кажите, что эти фигуры гомотетичны между собой. Каков будет
коэффициент гомотетии?
129.	Докажите, что фигуры F' и F", гомотетичные фигуре F
с центром О и коэффициентами k и —к, симметричны относи¬
тельно точки О.
Свойства гомотетии
130.	Пусть точка О совпадает с серединой стороны Л В тре¬
угольника ЛВС. Постройте треугольник А'В'С, гомотетичный
треугольнику ЛВС с центром гомотетии О и коэффициентом го¬
мотетии: 1) k — ~\ 2) к =—3) к = 2; 4) k = — 2.
131.	Постройте параллелограмм, гомотетичный данному па¬
раллелограмму ABCD с центром гомотетии в точке Q, делящей
диагональ АС в отношении AQ: QC= 1:2, и коэффициентом
, 1
гомотетии k= — у.
132.	Постройте четырехугольник, гомотетичный данному че¬
тырехугольнику ABCD с коэффициентом гомотетии £ = у и дан¬
ным центром гомотетии, лежащим вне четырехугольника.
133.	Постройте окружность F\ гомотетичную данной окруж¬
ности F с данным центром гомотетии О и коэффициентом

Рассмотрите различные случаи расположения точки О и ок¬
ружности.
134.	Треугольник А'В'С получен из треугольника ABC не¬
которой гомотетией. Докажите, что биссектрисы треугольника
А'В'С’ параллельны биссектрисам треугольника ЛВС.
135*. Стороны треугольника А'В'С' параллельны соответст-
вующим им сторонам треугольника ABC. Докажите, что тре¬
угольник А'В'С' можно получить из треугольника ABC при по--
мощя гомотетии или параллельного переноса.
136.	Треугольник А'В'С' получается из треугольника ABC
гомотетией с центром О и коэффициентом —-g-. Чему равно от¬
ношение периметра треугольника А'В'С к периметру треуголь¬
ника ЛВС? Чему равно отношение площади треугольника А'В'С
к площади треугольника ЛВС?
137.	На основаниях АВ и CD трапеции вне трапеции постро¬
ены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры,,
проходит через точку Е пересечения диагоналей трапеции.
138*. Докажите, что прямая, соединяющая середины основа¬
ний трапеции, проходит через точку пересечения продолжений
боковых сторон и через точку пересечения диагоналей.
139.	На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты такие
точки М и N, что MN || ВС. Докажите, что прямая, соединяю¬
щая центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABC
и AMN, проходит через точку Л.
140.	Что представляет собой множество середин всех хорд
окружности F, проходящих через фиксированную ее точку Л?
141.	Дана окружность и на ней три точки Л, В и С. Прове¬
дите через точку Л такую хорду AD, которая делилась бы
хордой ВС пополам.
142.	Через точку касания М двух окружностей F и G прове¬
дена секущая, пересекающая второй раз окружности Fn G в точках
Л и В. Докажите, что касательные к окружностям Fn О в точках Л
и В параллельны.
143.	Через точку М касания двух окружностей F и G про¬
ведены секущие k и /, пересекающие окружность F в точках Л
и В, а окружность G — в точках С и D. Докажите, что прямые
ЛВ и CD параллельны.
144.	Докажите, что точка пересечения общих внешних каса¬
тельных двух окружностей является центром гомотетии, перево¬
дящей одну из этих окружностей во вторую. Докажите то же и
для точки пересечения общих внутренних касательных.
145*. Даны две окружности F и G. Докажите, что либо су¬
ществуют две гомотетии, переводящие окружность F в окружность
G, либо одна гомотетия и параллельный перенос. Что представляет
собой гомотетия, переводящая окружность F в окружность О,
если F можно перевести в G также и параллельным переносом?
4 В, Г. Болтянский и И* М. Яглом
97

146.	Через точку М пересечения общих внутренних каса¬
тельных k и I окружностей F и G проведена секущая, пере¬
секающая окружность F в точках Л и В, а окружность G —
в точках С и Ь; прямая k касается окружностей F и G в точ¬
ках Р и Q. Докажите, что треугольник АВР подобен треуголь¬
нику CDQ.
147.	Пусть М— точка пересечения продолжений боковых сто¬
рон AD и ВС трапеции ABCD, N — точка пересечения ее диаго¬
налей. Докажите, что:
а)	окружности F и G, описанные вокруг треугольников АВМ
и DCMf касаются между собой;
б)	окружности Ft и Gu описанные вокруг треугольников ЛBN
и DCNy касаются между собой;
в)	радиусы окружностей Fx и Gx относятся, как радиусы
окружностей F к G.
Разные задачи
148.	Даны две окружности F и G и точка М. Найдите на
окружности F такую точку Л, а на окружности G — такую точ¬
ку Ву что точки Л, В, М лежат на одной прямой и AM: МВ =
= 2:3.
149.	На стороне В Л угла ЛВС дана точка М. Найдите на
этой же стороне точку Nt расстояние которой от точки М в два
раза больше расстояния до стороны ВС угла.
150.	Впишите в данный треугольник ЛВС другой треуголь¬
ник MNP,' стороны которого параллельны трем данным прямым
Шу Пу р.
151.	На стороне ЛВ треугольника ЛВС от его вершин Л и В
отложены равные отрезки AM = BN; через точки М и N про¬
ведены прямые, параллельные сторонам АС и ВС треугольника.
Докажите, что точка пересечения этих прямых лежит на ме¬
диане CD треугольника ЛВС.
152.	Дан треугольник ЛВС. Найдите внутри него такую точ¬
ку Му расстояния от которой до сторон ЛВ, ВС и СА треуголь¬
ника относятся друг к другу, как 1:2:3.
153.	Впишите в данный сектор ЛОВ окружность, касающуюся
радиусов ОЛ и ОВ и дуги ЛВ сектора.
154.	Впишите в данный угол ЛОВ окружность F, проходя¬
щую через известную точку М.
155*. Через середины Ь, Е и F сторон треугольника ЛВС
проведены прямые, параллельные биссектрисам противолежащих
углов. Докажите, что: а) эти три прямые пересекаются в одной
точке Q; б) точка Q лежит на одной прямой с точкой М пересе¬
чения медиан треугольника и центром О вписанной в треуголь¬
ник окружности, причем QM : МО= 1 : 2.
156** Соедините данную точку М с точкой N пересечения
двух заданных прямых а и 6, если точка N находится за пре-
98

делами доступной нам области плос¬
кости, например за пределами листа	jp	/V
бумаги или доски, на которых осу-	/У\
ществляется построение (рис. 146).	/•	!
Общее определение подобия
157.	Докажите, что два круговых
сектора подобны в том, и только в
том случае, если они имеют одина¬
ковый центральный угол.
158.	Докажите, что два круговых
сегмента подобны в том, и только в
том случае, если ограничивающие их
дуги имеют одинаковую угловую меру.
159.	Докажите, что два кольца, образованные парой концент¬
рических окружностей, подобны в том, и только в том случае,
если одинаковы отношения радиусов окружностей, образующих
кольцо.
ГЛАВА VI
ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Сложение геометрических преобразований
160.	Отличается ли сумма симметрии относительно точки Ог
и симметрии относительно точки 02 от суммы симметрии относи¬
тельно точки 02 и симметрии относительно точки (обратите
внимание на порядок, в котором берутся рассматриваемые пре¬
образования)?
161.	Что представляет собой сумма симметрий относительно
двух параллельных прямых I и т?
162.	Что представляет собой сумма симметрий относительно
двух пересекающихся прямых I и т?
163.	В каком случае сумма симметрий относительно двух
прямых / и /п не зависит от порядка, в котором осуществляются
эти преобразования?
164.	Докажите, что сумма гомотетии с центром О и коэффи¬
циентом k и симметрии относительно точки О представляет собой
гомотетию с центром О и коэффициентом —k.
Движения
165.	Докажите, что сумма двух движений всегда также пред¬
ставляет собой движение.
166.	Каким должен быть коэффициент гомотетии для того,
чтобы это преобразование представляло собой движение?
4*
99

167.	В каких случаях сумма гомотетии с центром и коэф¬
фициентом kx и гомотетии с центром 02 и коэффициентом
представляет собой движение?
Часть II
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА I
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
Сумма векторов
168.	Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Дока¬
жите, что
AB + BC = AD-\-DC.
169.	Пусть ABCDE — произвольный пятиугольник. Выразите
векторы Л С, AD, СЛ, DA в виде сумм векторов, по величине и
направлению совпадающих со сторонами пятиугольника.
170.	Докажите, что:
а)	если векторы а и Ъ параллельны и одинаково направлены,
то вектор а -{- Ь также параллелен им, направлен в ту же сто¬
рону и имеет длину а -\-Ь;
б)	если векторы а и Ь параллельны и противоположно на¬
правлены, причем а ^>6, то вектор а^-Ъ также параллелен а и
&, его направление совпадает с направлением вектора а, а длина
равна а — Ь.
171.	Докажите, что для любых векторов а и Ъ справедливы
неравенства:
и Ь ^ [ а	b j ^ ct —}— Ь,
В каком случае справедливы равенства: 1) |а + &| = а + 6;
2)	|я + &|=а — Ь?
172.	а) На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты
точки Л и В, которым соответствуют числа а и Ь. Точку, кото¬
рой соответствует число а -\-Ь, обозначим через С. Докажите, что
ОА-\-ОВ — ОС. Рассмотрите случаи: 1) а = 2, Ь — 3; 2) а —3,
Ь = —2; 3) а = 2, Ь = — 6; 4) а = —2, 6 = 5; 5) а = — 1, Ъ =
б)	На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты
точки Л и В, которым соответствуют числа а и Ь. Отложим от
точки В вектор, равный О А. В какой точке окончится получен¬
ный вектор?
173.	Может ли длина вектора а-\-Ь быть меньше, чем длина
каждого из векторов а, b?
100

174.	Векторы АВ=р и AF = q служат двумя смежными сто¬
ронами правильного шестиугольника ABCDEF. Выразите через
р и q векторы ВС, CD, FE, ED, идущие по сторонам этого шести¬
угольника.
175.	Точки А, В, С, D — вершины прямоугольника, О — его
центр. Какие векторы, начинающиеся и кончающиеся в точках
А, В, С, Д О, равны между собой? Какие из них представля¬
ются в виде суммы двух других?
Сумма параллельных переносов
176.	Точки Л, В, С, D являются вершинами параллелограмма
A BCD. Что представляет собой сумма двух параллельных пере¬
носов на векторы АВ и СВ?
177.	Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого
равны и параллельны двум данным взаимно перпендикулярным
отрезкам, а концы гипотенузы лежат на двух данных окружно¬
стях.
178.	ABCDE — правильный пятиугольник. Сумма параллель¬
ных переносов на векторы АВ и ВС переводит некоторую точку
М в N, а сумма параллельных переносов на векторы CD и ЕА
переводит эту же точку М в другую точку Р. Докажите, что
точки Mt N и Р лежат на одной прямой. Какой стороне пяти¬
угольника параллельна эта прямая?
Коммутативность сложения. Правило параллелограмма
179.	Докажите равенство a-\~b = b-\-a в случае, когда век¬
торы а и b параллельны, используя результат задачи 172, а).
180.	От точки О пересечения двух прямых 1Х и /2 отложен
вектор ОА — a, не идущий ни по одной из этих прямых. Можно
ли вектор а представить в виде суммы двух векторов, направ¬
ленных по прямым lt и /2? Как это сделать?
181.	Докажите, что сумма двух векторов только в том случае
равна нулевому вектору, если эти векторы противоположны.
182.	Докажите, что если AB = CDy то и AC = BD. Сохраняет
ли силу это утверждение, если заменить в нем направленные
отрезки (векторы) обыкновенными отрезками?
183.	Докажите, что точки А и В в том, и только в том слу¬
чае можно перевести параллельным переносом в точки С и D,
если AB = CD.
184.	Груз Р весом 1 т поддерживается двумя стержнями А В
и СВ, прикрепленными к стенке с помощью шарниров (рис. 147).
Найдите усилия, возникающие в стержнях, если Z. СА В = 90\
L АСВ = 60°.
101

185.	Груз Р весом 1 т подвешен в середине троса ABC, при¬
крепленного к крюкам А и С, расположенным на одной высоте.
Определите натяжение троса на участках А В и ВС, если длина
троса равна 2а, а АС = аУ2 (рис. 148).
Ассоциативность, сумма нескольких векторов,
условие замкнутости
186.	Найдите сумму векторов АВ, МА, ВМ (А, В, М — три
данные точки).
187.	Точки А, В, С, D — вершины параллелограмма, О —его
центр. Каким векторам равны суммы:
(ЛВ + Ш) +6J;
(BC-fCM)-}-OD;
ОА + BC-J- DO-J- CD?
188.	Существует ли пятиугольник, стороны которого равны
и параллельны диагоналям произвольного заданного пятиуголь¬
ника?
Вычитание векторов
189.	Точки А, В, С, D — вершины параллелограмма, О — его
центр. Выразите векторы АВ, ВС, CD и DA, являющиеся сто¬
ронами этого параллелограмма, через векторы а = АО и & = В0.
190.	Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF.
Выразите векторы ОА, ОВ, ОС, 0D через векторы ОЁ=р и
OF = q.
191.	На векторах АВ = а и AD—b построен параллелограмм
A BCD. Какой из векторов, соединяющих вершины параллело¬
грамма, равен сумме a-f-б? разности а — Ь?
192.	На плоскости заданы параллелограмм ABCD и точка О.
Докажите, что О А -\-ОС = ОВ-\- 0D.
102

193.	Докажите, что если четырехугольник A BCD обладает
тем свойством, что О A -f- ОС = О В -f- ОД где О — некоторая точ¬
ка плоскости, то A BCD — параллелограмм.
194.	Рассматривая параллелограмм, построенный на векторах
а и Ьу проверьте правильность соотношения:
{а — b) + b = a.
195.	На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты
точки А и В, которым соответствуют числа а и Ь. Точку, кото¬
рой соответствует число а — 6, обозначим через С. Докажите, что
ОЛ —ОВ==ОС.
196.	Определите неизвестный вектор х из равенства
1)	а-\-х — Ь = а-\-с\
2)	а — х = с — Ь-\-а.
197.	Докажите, что длина вектора а — & не превосходит сум¬
мы длин векторов а и &, но не меньше разности этих длин.
В каком случае выполняется каждое из следующих равенств:
1)	\a-b\ = a + b;
2)	|а — Ь\=а — Ь\
3)	\ а — Ь\ = Ь~ а.
198.	Докажите, что если AB = DE и AC = DFy то BC=EF.
Сохраняет ли силу это утверждение, если заменить в нем на¬
правленные отрезки (векторы) обыкновенными отрезками?
Противоположные векторы
199.	Докажите, что если фигура Ft получается из F парал¬
лельным переносом на вектор АВУ то фигура F получается из Ft
параллельным переносом на противоположный вектор ВА.
200.	Даны две точки М и N. Найдите такую точку Р, что
векторы МР и NP противоположны!
ГЛАВА II
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Определение произведения вектора на число
201.	Изобразите какой-либо вектор а. Постройте следующие
векторы:
-а; 4а; -|а; -За; /2а; /За; /5а; -yf*.
103

202.	Изобразите два непараллельных вектора а и Ь. Постройте
векторы:
а-\-2Ь; —У^а — Ь] —+	— 2&.
203.	Пусть точки М и N — середины сторон АС и ВС тре¬
угольника ABC. Докажите, что
Ш=\{СВ — СЛ).
204.	Точка Р — середина стороны AD параллелограмма ABCD.
Выразите вектор PC через векторы АВ и AD.
205.	Пусть точки М и N — середины сторон CD и AD парал¬
лелограмма ABCD. Выразите вектор MN через векторы СВ — а
и DC — b.
206.	Векторы АС = а и BD=b служат диагоналями па¬
раллелограмма A BCD. Выразите через а и & векторы АВ,
ВС, CD и DA, направленные по сторонам этого параллелограмма.
207.	Докажите, что если	точки О, А	и В расположены	на
одной прямой, причем точки	А и	В — по	одну сторону от О,	то
OA=k- ОВ, где k — отношение длин отрезков О А и ОВ. Как
изменится это равенство, если точки А к В расположены по раз¬
ные стороны от точки О?
208.	Докажите, что если а — произвольный вектор, а е — век¬
тор длины 1, параллельный вектору а и направленный в ту же
сторону, то а — ае и е = ^а.
209.	Даны два непараллельных вектора ОА = а, 0В = Ь. До¬
кажите, что векторы ОМ = а~Ь и ON = ^- а b симметрич¬
ны относительно биссектрисы	угла	между	векторами а и Ь.
210.	Из точки О выходят	два	вектора	ОА = а, ОВ — b. До¬
кажите, что вектор ОМ = Ьа-\-аЬ направлен по биссектрисе
угла АОВ.
211.	Докажите, что вектор ОР = Ьа — аЬ направлен по бис¬
сектрисе угла, смежного с углом между векторами а = ОА и
Ь = ОВ.
212.	Обозначим через е вектор, идущий от точки О к точке 1
на числовой оси, и отложим от точки О вектор ke. Какое число
будет соответствовать концу этого вектора?
Свойства умножения вектора на число
213.	Векторы а и b отличны от нулевого вектора и не парал¬
лельны. Докажите, что если числа аир удовлетворяют условию
о.а-\-$Ь = Ъ, то а = 0 и р = 0.
104

214.	Докажите соотношение (k -f- I) а — ka -f-la, воспользовав¬
шись результатами задач 172, а и 212.
215.	Определите неизвестный вектор х из уравнения:
1)	ха—- Ъ = 2а — 3Ь\ 2) 2х — а	5Ь — —	j— Зд?»
Какие свойства действий над векторами используются при
решении этих уравнений?
216.	Пусть т = а-\-Ь, п — а — Ъ\ выразите через а и Ь
векторы: 2т. — 2я;	—т — ^л.
217. Пусть т = 2а-\-Ь, п — аАг2Ь.	Выразите векторы
2а —2Ь, 3 а + у&, —а—^Ь через тип.
218.	Векторы а и b отличны от нулевого вектора и не парал¬
лельны. Вычислите аир, если дано:
1)	За + 56 = аа + (2р+1)&;
2)	(а+р-1)а + (2а-(3)& = 0;
3)	(2а — р — 1) а — (За —J— р —{— 10) & = 0;
4)	аа-j-= (Р + 1)а — (а— \)Ь.
219.	В трапеции ABCD основание AD в k раз больше осно¬
вания ВС. Выразите вектор QD через векторы QA = a, QB = b,
QC = c (Q — произвольная точка плоскости).
220.	Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Выразите век¬
торы, направленные по сторонам этого шестиугольника, через
векторы АВ = а и BD — b.
221.	Векторы АВ—р и AF = q служат двумя смежными сто¬
ронами правильного шестиугольника ABCDEF. Выразите через
р и q векторы, идущие по диагоналям этого шестиугольника.
222.	Докажите, что если А, В, С, D — середины последова¬
тельных сторон четырехугольника, то А В-'r CD = 0. Выведите
отсюда, что середины сторон произвольного четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
223.	Докажите, что если А, В, С, D, Е, F — середины после¬
довательных сторон шестиугольника, то AB-\-CD-\-EF = 0.
224.	Даны две различные точки А, В и число k. Найдите
такую точку М, что векторы AM и k • ВМ
а)	равны между собой; б) противоположны.
225.	Существует ли в плоскости треугольника ABC такая
точка Q, что Q/4 -(- 2QB -f- 3QC = 0?
226.	В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF.
Найдите сумму векторов AD-\-BE-\-CF.
227*. В треугольнике найдите такую точку, чтобы сумма
векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была
равна нулевому вектору.
105

228.	В параллелограмме найдите такую точку, чтобы сумма
векторов, идущих из этой точки к вершинам параллелограмма,
была равна нулевому вектору. Докажите, что такая точка только
одна.
Деление отрезка в данном отношении
229.	Точки Ми М2 делят отрезок АВ на три равные части;
Q — произвольная точка. Выразите векторы QMU ЩТ2 через век¬
торы QA —a, QB = Ь-
230.	Точки Сь С2, С3 делят отрезок АВ на четыре равные
части; D — произвольная точка. Выразите векторы DCU DC2, DC3
через векторы DA = a, DB = b-
231.	В плоскости взяты три точки Л, В и М. На отрезке АВ
взята такая точка С, что АС: СВ = k. Выразите вектор МС через
МА и MB.
232*. На сторонах ЛВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD
взяты такие точки К, L, М, Л/, что
AK:KB = BL:LC = CM:MD = DN: NA=k,
причем число k отлично от 1. Докажите, что если KLMN —
параллелограмм, то и ABCD—параллелограмм.
Середина отрезка; центр тяжести треугольника
233.	Пусть D, В, F — середины сторон треугольника ЛВС,
Q — произвольная точка плоскости. Докажите, что
№ + W + W=QA+QB-\-QC-
234.	В окружности с центром О проведены две перпендикуляр¬
ные хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М. Докажите, что
ОА + ОВ -f ОС + OD = 20М.
235.	В треугольнике ЛВС проведена медиана СМ и взята
точка N так, что CM-\-CN = 0. Выразите векторы NA и NB
через векторы СЛ и СВ.
236*. Через точку М, взятую внутри параллелограмма, прове¬
дены прямые, параллельные его сторонам. Они пересекают стороны
параллелограмма в точках Л, С и В, D. Докажите, что точка пере¬
сечения средних линий четырехугольника A BCD является сере¬
диной отрезка ОМ, где О — центр данного параллелограмма.
237. Точки М и N являются серединами сторон АВ и CD
четырехугольника A BCD. Докажите, что
Ш=-12-{ВС+Щ и Ш=~(ЛС+Щ.
106

	238. В четырехугольнике ABCD положим АВ = т, ВС = я5
CD=p. Найдите вектор EF, соединяющий середины диагоналей
ЛС и BD.
239. В четырехугольнике ABCD точки М и N — середины
сторон АВ и CD. Докажите, что 2MN^BC-{-AD.
В каком случае имеет место равенство?
240*. В плоскости треугольника дана точка М. Докажите, что
точки, симметричные с точкой М относительно середин стдрон
треугольника, являются вершинами треугольника, центрально¬
симметричного данному.
241.	Докажите, что в произвольном четырехугольнике отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, сое¬
диняющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и
делятся в этой точке пополам.
242.	Точка М— середина отрезка АВ, точка М' — середина
отрезка А'ВГ. Докажите, что середины отрезков АА', ВВ' и МЛГ
расположены на одной прямой.
243.	Существует ли треугольник, стороны которого равны и
параллельны медианам данного треугольника?
244*. На равных сторонах АС и ВС равнобедренного тре¬
угольника ABC взяты такие точки М и N, что CM -j- CN= А С.
Докажите, что средняя линия PQ, параллельная основанию АВ,
делит отрезок MN пополам.
245. Точки М и N — середины сторон ЛВ и CD четырехуголь¬
ника ABCD. Докажите, что середины диагоналей четырехуголь¬
ников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма
(или лежат на одной прямой).
246*. Докажите, что если средняя линия четырехугольника
проходит через точку пересечения его диагоналей, то этот четы¬
рехугольник является трапецией (или параллелограммом).
247.	Даны три точки Оь 02, 03 и еще одна точка М. Обозна¬
чим через Мх точку, симметричную точке М относительно Ои
через Мъ — точку, симметричную точке Мх относительно 02, через
М3 — точку, симметричную точке М% относительно 03, через Mi —
точку, симметричную точке Мг относительно Ои через Ло¬
точку, симметричную точке М4 относительно 02 и через М6 —
точку, симметричную точке Мъ относительно 03. Докажите, что
точки М и М% совпадают.
248.	Дан треугольник ABC. Докажите, что равенство
QA+QB + QC = 0
имеет место в том, и только в том случае, если Q — центр тя¬
жести треугольника.
249.	Пусть М и N—центры тяжести треугольников ABC и DEF.
Докажите, что AD-\ BE -|- CF = ЗМЛЛ
107

250.	Пусть М и М, — центры тяжести треугольников ABC и
AiB^. Докажите, что если прямые ААЬ ВВУ и ССХ параллельны,
то прямая ММХ также параллельна этим прямым.
251*. Пусть ABC, ABD и АВЕ — три треугольника, М, N и
Р — точки пересечения их медиан. Докажите, что если точки С,
D и Е принадлежат одной прямой, то и точки М, N и Р также
принадлежат одной прямой.
252*. Докажите, что если О — центр описанной окружности
треугольника ABC, а Я — точка пересечения его высот, то
ОН = ОА + ОВ + ОС.
253.	Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Обозна¬
чим через М, N, Р, Q центры тяжести треугольников BCD,
ACD, ABD, ABC. Докажите, что отрезки AM, BN, CP, DQ пе¬
ресекаются в одной точке и каждый из них делится этой точкой
в отношении 3: 1 (считая от вершин четырехугольника).
254.	В плоскости треугольника ABC взята точка М и от нее
отложены векторы MD—AB, МЕ = ВС, MF=CA. Докажите,
что центром тяжести треугольника DEF является точка М.
255*. Из точки Р, лежащей внутри треугольника ABC, опу¬
щены перпендикуляры на стороны ВС, АС, АВ и на этих пер¬
пендикулярах отложены отрезки PAU PBU PClf равные этим
сторонам. Докажите, что центром тяжести треугольника AiBfii
является точка Р.
ГЛАВА Ш
ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ
Проекция вектора на ось
256.	Даны два вектора а и Ь. Существует ли ось /, для ко¬
торой np,a = npz&?
257.	Векторы а и а' симметричны относительно прямой т;
при каком расположении оси I справедливы следующие равен¬
ства:
1)	npza = npza'; 2) пр,а = — npza'?
258.	Докажите, что если для двух непараллельных осей /, т
выполнены соотношения пр, а — 0, прт а = 0, то а — нулевой
вектор.
259.	Дано: np,a = —1, прг 6 = 3. Вычислите следующие про¬
екции:
npz (a -f- 2b)\ npt(—a + 2b); прДза —	пр	Да	—6).
260.	Докажите, что пр, (а — Ь) = npf а — пр; Ь.
108

Координаты вектора
261. Векторы а и Ь отложены от начала координат О. Как
расположены друг по отношению к другу эти векторы в каж¬
дом из следующих случаев:
а)	абсциссы векторов а и b совпадают, а ординаты равны по
абсолютной величине и противоположны по знаку;
б)	ординаты совпадают, а абсциссы отличаются знаком;
в)	абсцисса и ордината вектора а отличаются знаком от
абсциссы и ординаты вектора Ь.
Сделайте чертежи для следующих случаев:
1)« = {1;2},	Ь = II;- — 2}
3)а = {1;3},	Ь=\- 1; 3}
5) а = {0; 1},	£= {0; — 1}
2) а = {— 2; 1}, й = {-2
3}, Ь — {— 2
0}, Ь = {— 3
— 3}, Ь = {— 2
-1};
-3};
0};
3}.
2};
4) а = \2;
6) а = \3;
7) а = \2; 3}; й = {-2;-3}; 8) а = {2;
262.	Выразите векторыа = {2; 3}, & = {—1; 3},с = {0;
d={—1; —5}, е — {Ъ\ —4} через единичные векторы i, j, на¬
правленные по осям координат.
263.	Дано: а — Ы — 2j, b = i — 5/, c=j-\-2>i, d = — 2/, е =>
= — j, /= — 5j -)- 3 i, где i и j— единичные векторы, направленные
по осям координат. Найдите координаты векторов а, Ь, с, d, е, /.
Координаты суммы двух векторов и произведения вектора
на число
264.	Как найти координаты вектора —а, если известны ко¬
ординаты вектора а?
265.	Как найти координаты вектора а — Ь, зная координаты
векторов а и Ь?
266.	Даны три вектора а — {2; 4},Ь={—3; 1}, с = {5; — 2}.
Найдите координаты векторов:
1) 2я + 3й — 5с;	2) а+ 24&+14с;
3) 2а — ~Ь\	4) 5с.
267*. В каждом из следующих случаев определите, при каком
значении k вектор a-{-kb будет параллелен вектору с:
1)	а =={2;	3},	& = {3; 5},	с = {-1
2)	а = {1;	0},	Ь = {2; 2},	с = {	3
3)	« = {3;	—2},	& = {!;!},	с = {	0
3};
5};
5}.
Связь между координатами вектора и координатами точки
268. Найдите координаты вектора А В, если точки А а В
имеют следующие координаты:
1)	Л(3;	1),	В (5;	0);
2)	А (—	1; 3),	В С-2; 1)5
3)	А (0;	4),	В (5;	0);
4)	Л (3;	1),	В (—	1; —3).
109

269.	Вершинами треугольника ABC являются точки А (1; 1),
В( 0; 3), С(—1; —1). Найдите координаты векторов А В, ВС,
С А. Проверьте с помощью координат соотношение АВ-\- ВС-\-
+ СЛ = 0.	_
270.	От точки А отложен вектор АВ = а. Найдите коорди¬
наты точки В в каждом из случаев:
а)	А (0; 0),	а = {- 2; 1};
б)	А (— 1; 5),	а = {\\ -3};
в)	А (2; 7),	а = {—2; —5}.
271.	Найдите координаты середины отрезка АВ в каждом из
следующих случаев:
а) А (0; 0),	5(1; 5);
б) А (-2; 3),	В (— 5; 7).
272. Даны четыре точки Л (0; 2), В (3; 1), С(—5; 3), D(2; 4).
Найдите координаты такой точки Q, что QA -f- QB -f - QC-f- QD = 0.
273.	Известны координаты трех вершин Л, В, С параллело¬
грамма ABCD; найдите координаты вершины D:
1) Л(2; 3),	5(1; 4),	С(0; —2);
2) Л (-2; -1),	В(3; 0),	С(1; -2).
274.	Проверьте, пользуясь координатами векторов, справедли¬
вость соотношений:
= & + (а + Ь) + с = а + (Ь + с);
h {cl —|— Ъ) kcL —j— kb\	(k —j— /) CL =■ kd —j- ld\
k(la) = (kl)a.
Связь координат вектора с тригонометрическими функциями
275.	Вектор а образует с осью ОХ угол а и имеет длину а.
Определите координаты вектора а в каждом из следующих слу¬
чаев:
1)
« = 0°,
а = 3;
2)
а = 90°,
а
= 2;
3)
а =180°,
3
а~ 2’
4)
а= —90°,
а
1
2
5)
а = 45°,
а= 1;
6)
а = 60°,
а-
= 2;
7)
а =135°,
а = 3;
8)
а = — 120°,
а-
= 5;
9)
О ~
8
1
II
а = 4;
10)
а = — 135°,
а-
= 6;
11) а = —60°, a = j.
276.	Вектор а образует с осью ОХ угол а и имеет длину а.
Пользуясь таблицами или логарифмической линейкой, определите
координаты вектора а в каждом из следующих случаев:
110

1)	а = 57=36',	а = 2,75
3)а=108°14\	а = 3,11
5)	а=169°18',	а=1,73
7)	а = — 71° 15',	а = 3,55
2)	а = —	129 I Г,	а=1,84
4)	а. = —	12 42,	а = 0,94
6)	а = 241 Г,	0=1,54
8)	а =—175е20',	а = 0,18
277.	Векторы АВ, ВС и CD имеют длины а, Ъ, с и образуют
с осью ОХ углы а, 3, Определите координаты вектора AD.
278.	Точки А, В и С — три последовательные вершины пра¬
вильного «-угольника со стороной а. Чему равна проекция век¬
тора АВ на ось ВС (направленную от точки В к С)?
ГЛАВА IV
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение скалярного произведения
279.	Зная длины векторов а, Ь и угол а между ними, вычис¬
лите их скалярное произведение:
1)	о = 8, 6 = 5, а = 60:;
2)	о = Ъ = 1, а = 135°;
3)	а = 90 ;
4)	а = 3,	6 = 6; векторы а и b параллельны и одинаково
направлены;
5)	о = 3, 6=1; векторы а и Ь параллельны и противопо¬
ложно направлены.
280.	При каком расположении векторов а и b справедливы
соотношения: 1) ab — ab, 2) ab = — ab?
281.	Что можно сказать о расположении векторов а и Ь,
если их скалярное произведение аЬ:
1)	положительно; 2) отрицательно; 3) равно нулю?
282.	Дан равносторонний треугольник ABC, длина стороны
которого равна 1. Полагая а = ВС, Ь = СА, с = АВ, вычислите
выражение аЬ-\-Ьс -\-са.
283.	Определите угол между векторами а и Ь в каждом из
следующих случаев:
1)	о = 2,
2)	о=1,
3)	о = 2,
4)	о = 2,
6 = 3,
6 = 1,
6 = 0,25,
6 = 5,
аЬ = 4,841;
аЬ = 0,891;
аЬ = 0,341;
аЬ = — 8,25.
Свойства скалярного произведения
284.	В каком случае имеет место равенство (ab) ■ с = [be) • а?
285.	Раскройте скобки в следующих выражениях:
(P + q)iP — я)', (а — щ*; (а + Ь — с)(а — Ь + с).
in

286.	Докажите, что вектор (аЬ) с— (ас) Ь перпендикулярен
вектору а.
287.	Вычислите скалярное произведение (За — Ь) (2Ь-\-2а),
если известно, что а и & — единичные взаимно перпендикулярные
векторы.
288.	Какой угол образуют единичные векторы s и t, если из¬
вестно, что векторы s ~~2t и 5s — 41 взаимно перпендикулярны?
289.	Используя скалярное произведение, докажите, что диаго¬
нали ромба взаимно перпендикулярны.
290.	Используя скалярное произведение, докажите, что диа¬
гонали прямоугольника равны между собой.
291.	Докажите, что при любом расположении точек А, В, С,
D на плоскости имеет место равенство ВС • AD С А ■ BD -\-
+ Лй-С/) = 0.
292.	Используя результат задачи 291, докажите, что высоты
треугольника пересекаются в одной точке.
293.	В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF.
Вычислите ВС• AD-\-CA -BE-\-AB-CF.
294.	На стороне АВ треугольника ABC взята такая точка D,
что AD\DB = m:n. Зная длины сторон С А, СВ и величину
угла С, найдите длину отрезка CD.
295.	Вычислите длину медианы та треугольника, зная заклю¬
чающие ее стороны Ь, с и угол А.
296.	Докажите, что если М — середина отрезка АВ, то
<ЭЛ2 + QB2 = 2QM2 + АВ2
(Q — произвольная точка плоскости).
297.	Вычислите длину медианы та треугольника, зная его
стороны а, Ь, с.
298.	Даны три точки А, В, С, для которых
Докажите, что АС -\- ВС = 0.
299.	Найдите множество всех точек, сумма квадратов рассто¬
яний от которых до двух заданных точек плоскости имеет за¬
данное значение.
300.	Пусть М — центр тяжести треугольника ABC и Q —
произвольная точка. Докажите, что
QA* + QB2 + QC2 = 3QM2 + МЛ2 + MB2 + МС\
301.	В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. До¬
кажите, что МЛ2 + УИС2 = АШ2 + М£2.
302.	В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. До¬
кажите, что скалярное произведение векторов, идущих от точки М
112

к двум противоположным вершинам прямоугольника, равно ска¬
лярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум
другим вершинам.
303.	Докажите, что разность между суммой квадратов рас¬
стояний от произвольной точки плоскости до двух противопо¬
ложных вершин параллелограмма и суммой квадратов расстояний
от этой точки до двух других его вершин не зависит от выбора
точки плоскости (а только от параллелограмма). В каком случае
эти две суммы будут равны?
304.	Докажите, что если в четырехугольнике суммы квадратов
противоположных сторон равны, то диагонали взаимно перпен¬
дикулярны. Обратно, если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон
равны.
305.	Докажите, что в трапеции сумма квадратов диагоналей
равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным
произведением оснований.
306*. Дан треугольник ABC. Вектор СА повернут вокруг
точки С на угол +90°, а вектор СВ — на угол — 90°. Получен¬
ные векторы обозначены через СА\ и СВХ. Докажите, что меди¬
ана треугольника САхВи проведенная из вершины С, перпенди¬
кулярна прямой АВ.
307*. На сторонах параллелограмма вне его построены квад¬
раты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами
квадрата.
308*. На сторонах четырехугольника вне его построены квад¬
раты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами
четырехугольника с равными и взаимно перпендикулярными диаго¬
налями.
Вычисление скалярного произведения в координатах,
нахождение длин отрезков и величин углов
309.	Вычислите скалярное произведение векторов а и Ъ, задан¬
ных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:
1)	а = {5;	2},	& = {- 3; 6};
2)	а = {6;	-8},	Ъ=\ 12;'9};
3)	а — {3;	— 5},	Ъ={7; 4}.
310.	Дан вектор а = {—6; 8}. Найдите координаты единичного
вектора, параллельного вектору а и направленного 1) в ту же
сторону, 2) в противоположную сторону.
311.	Найдите пр,а, если а = {7; —4}, а ось / параллельна
вектору'{—8; 6} и имеет то же направление.
ИЗ

312.	Определите длину отрезка АВ в каждом из следующих
случаев:
1)	А	(2; 3)г	В (3; 1);
2)	Л	(-2; 5),	В (1; 9);
3)	Л	(-2; 0),	В (-7; 12).
313.	Определите угол	а между двумя векторами а и Ь, задан¬
ными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:
1)а	= {4;3},	&={1; 7};
2)	а = {6;	— 8},	й={9;-12};
3)	а = {2;	5},	Ь={3; -7};
4)	а = {2;	—6},	Ь={— 3; 9}.
314.	Какой угол образуют с осью ОХ следующие векторы:
а = {2; 3}; Ь=\— 2; 5}; с = {-5; 1}; d={- 1; -1J?
315.	Определить угол между прямыми АВ и CD в каждом из
нижеследующих случаев:
1) Л (3; 1),	В (3; 5),	С(1; 2),	D(0;1);
2) Л (5; —2),	В (0; —1),	С(—1, 2),	D(0; 0).
316.	По координатам вершин треугольника ABC выясните,
является ли он прямоугольным, остроугольным или тупоугольным:
1)	Л (1;	2),	В(2;	3),	С(2±,2±);
2)	Л (!;	1),	В (2;	4),	С(8; 3);
3)	Л (2;	1),	В(—	1; 3),	С (2; 5).
317; Найдите Z ЛВС, если точки Л, В, С имеют следующие
координаты:
1)	Л (0;	1),	В (1;	0),	С(4; 4;);
2)	Л (0;	3);	В(3;	2\	С (2; 5);
3)	Л (2;	—	1),	В (2;	2),	С(— 3; 5).
ГЛАВА V
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Теорема косинусов
318.	Сформулируйте и докажите предложения, обратные тем,
которые сформулированы в конце § 57.
319.	Найдите диагонали ромба со стороной 4 и углом 65°1Г.
320.	Диагонали параллелограмма имеют длины 5 и 8 и накло¬
нены друг к другу под углом 77°18'. Определите стороны парал¬
лелограмма.
321.	Смежные стороны параллелограмма равны 2 и Зу, угол
между ними 18 24'. Определите диагонали параллелограмма.
114

322.	Две силы Ft = 70 кГ и F2 = 60 кГ приложены к одной точке
под углом 40э друг к другу. Найдите величину равнодействующей
и углы, которые она составляет с силами Fx и F%.
323.	Для измерения расстояния между двумя пунктами А и В
выбрали третий пункт С (рис. 149) и измерили расстояния Л С,
ВС и ^ АСВ. По результатам изме¬
рения найдите АВ, если
1)	ЛС = 73,2 м, ВС = 68,1 ж,
Z Л СВ = 72°10';
2)	ЛС = 275 ж, ВС = 311 м,
L ЛСВ = 41°54'.
Площадь треугольника
324.	В параллелограмме две смеж¬
ные стороны равны а и Ь, а угол
между ними равен а. Докажите, что
площадь параллелограмма равна
ab sin а.
325.	Докажите, что площадь вписанного в круг четырехуголь¬
ника равна ~ (abcd) sin а, где а, b, с, d — длины сторон
четырехугольника, а а—угол между сторонами а и Ь.
326.	Вычислите площадь ромба со стороной 7,2 см и углом
69°48'.
327.	Вычислите площадь земельного участка, имеющего форму
треугольника, если при съемке плана этого участка с масштабом
1 : 200 000 две его стороны изображены отрезками 3,7 см и 4,2 см
и угол между ними равен 54°.
328.	При съемке плана участка ABCD полярным способом
(за полюс взята точка О, одна из внутренних точек участка)
измерением были получены следующие данные:
ОА =28 ж, ОВ = 31 м,	ОС = 24 м,	OD = 37 м;
/АОВ = 36°, Z ВОС = 78°, LCOD= 110°, £DOA = 136°.
Вычертите план участка Л BCD и вычислите его площадь; угол
NOA (азимут направления О А) равен 280°.
329.	Вычислите площадь треугольника по следующим данным:
1) а = 60,
6 = 85,
С = 47° 12';
2) а —32,
6=11,
с = 22;
3) 6=13,
с = 25,
А =27.°40';
4) а= 15,
6 = 26,
с= 18;
5) а = 20,
II
со
о
В — 108°29\
115

330*. Докажите, что площадь вписанного в круг четырехуголь¬
ника равна V(р — а)(р — b)(p — с)(р — d), где а, Ь, с, d — сто¬
роны четырехугольника, а р — его полупериметр.
Теорема синусов
331.	Для измерения расстояния между двумя пунктами А и В,
расположенными на разных берегах реки, выбрали третий пункт С
(рис. 150) и измерили расстояние АС
и углы Л и С треугольника ABC. По
результатам измерения найдите А В,
если:
А =62°,	С = 75°:
А = 57°,	С = 82°.
1)	Л С == 200 м,
2)	АС= 172 м,
332.	На горе, склон которой пони¬
жается к горизонту под углом р, стоит
дерево. Тень дерева, падающая вниз
по склону горы, при высоте солнца
а(а>р) имеет длину I. Определите
высоту дерева (рис. 151).
333*. Спутник, движущийся по круговой орбите на высоте h
над Землей, прошел (в зените) над точкой А земной поверхности,
а спустя t секунд был виден из
точки А под углом а к горизонту.
Определить (зная радиус Земли R)
период обращения спутника. Для
числовых подсчетов возьмите сле¬
дующие данные:
-9г
h = 240 км,
а = 47°1Г,
#	= 6300 км,
t = 29 сек.
334.	Сила, равная 30 кГ, раз¬
ложена на две составляющие, ко¬
торые образуют с ее направлением
углы 67°15' и 51°36\ Найдите ве¬
личины этих составляющих.
335.	Докажите, что для любо¬
го треугольника ABC справедлива
формула -£j=2R, где R — ра¬
диус описанного круга.
Выведите отсюда новое доказательство теоремы синусов.
336.	Вычислите радиус круга, описанного около треугольника,
если дано:
1) а= 17,	Л = 69°1Г;
2) £> = 29,	В — 48°29'.
116

337.	Докажите, что для любого треугольника имеет место
соотношение:
аЬс — 4RS,
где а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь и R — ра¬
диус описанного круга.
Решение треугольников
338.	Решите треугольник по следующим элементам:
1) а —Ь —31,2,	Л = 58° 12';
2) а = 6 = 28,1,	с=13,7;
3) а —с=0,576,
В — 104° 16';
4) а = 118, 6 = 92;
С=58°41';
5) а = 54,2, Б = 41°14',
С=73°51';
6) а= 18, 6 = 24,
с= 13;
7) а— 153, 6=117,
с= 134;
8) а= 17,6, с— 13,1,
В= 118°34';
9) а— 113, Л = 73°15',
В = 29° 13';
10) 6=18,3, с= 11,8,
Л = 71°44';
11) а = 5,41, 6 = 7,14,
с = 6,28;
12) 6 = 31,2, Л = 124°7',
В= 18°39'.
339. Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий
одной из них. Укажите, в каких случаях остальные элементы
треугольника однозначно определяются
ясните почему:
, а в каких нет; объ-
1) а = 31, 6=18,
Л = 31с36';
2) а = 27,1, 6 = 34,5,
Л =36°15';
3) а = 0,31, с = 0,26,
Л = 32°45';
4) а —3,75, с = 2,24,
С = 58с29';
5) 6 = 31, с=27,
В= 129э12';
6)6=135, с =189,
В = 35°49'.
В тех случаях, когда данные задачи
однозначно определяют
остальные элементы треугольника, вычислите эти элементы.
340.	Определите стороны и углы треугольника по следующим
данным (R — радиус описанного круга, г — радиус вписанного
круга, S — площадь треугольника, ha, hb, hc — высоты, la — бис¬
сектриса угла Л):
1)	Я = 5,63,	Л = 57°11\	В= 108° 19';
2)	S = 372,	А = 29° 13',	С = 54°9';
3)	А = 72°,	ha — 37, 1,	а = 6;
117

4)	S= 152,
5)	a = 3,72,
6)Ae	= 2,71,
7)	/e = 1,207,
8)	r= 13,
9)	S=15,8,
10)Ae	= 8,
Л = 62°19',	a = b\
A„ = 1,72,	b = c;
B— 128°15't	C=15°18'
B=123°15',	С = 37°1Г
В = 108°13',	C = 52°18'
a = 3,25,	В = 86° 18':
A*= 12,	Ae=16.
341.	Вычислите угол между диагоналями выпуклого четырех¬
угольника ABCD, если известны его стороны и диагональ:
АВ = 31, ВС = 29, CD = 33, DA = 35, ЛС = 27.
342. Дана выпуклая ломаная A BCD, в которой
АВ = 9, ВС= 11, CD = 32, ЛВС = 109°, ^BCD= 154°.
Найдите длину отрезка Л£>.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Часть I. Геометрические преобразования
4.	Может (приведите примеры).
5.	а) Воспользуйтесь тем, что биссектриса угла является его осью сим¬
метрии.
б)	Воспользуйтесь тем, что перпендикуляр, проведенный к отрезку
в его середине, является его осью симметрии.
19.	а) Ромбоид (т. е. четырехугольник ABCD, соседние стороны которого
равны: АВ = АС, BC = CD), в частности ромб или квадрат; равнобедренная
трапеция, в частности прямоугольник или квадрат.
б)	Ромб (в частности, квацрат); прямоугольник (в частности, квадрат).
20.	Четыре.
25. Отрезки СМ и AN симметричны относительно прямой BD.
32. Эти углы симметричны относительно линии центров окружностей.
36—37. Замените точку В точкой В\ симметричной В относительно
данной прямой.
39.	Воспользуйтесь тем, что точка Л', симметричная точке А относи¬
тельно прямой BQ, принадлежит прямой MN.
40.	Пусть точка В’ симметрична В относительно прямой MN. Можно
воспользоваться тем, что точка А', симметричная А относительно прямой B’Q,
принадлежит прямой MN (первое решение) или же тем, что прямая AQ
касается окружности S с центром В' и радиусом, равным расстоянию от В'
до MN (второе решение).
41.	Пусть ABCD—искомый четырехугольник и D' — точка, симметрич¬
ная точке D относительно прямой АС\ тогда треугольник BCD' можно
построить.
42.	Докажите, что прямая BD образует со стороной ВС такой же угол,
как и высота BQ, т. е. прямые BD и BQ симметричны относительно пря¬
мой ВС. Поэтому точка, симметричная D относительно ВС, принадлежит
как высоте АР, так и высоте BQ.
43.	Пусть АВ — основание треугольника, / || АВ — прямая, расстояние
которой от АВ равно высоте треугольника. Достаточно найти такую точку С
прямой /, чтобы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.
45.	Замените отрезки PQ и PR отрезками P’Q и P"R, симметричными
первоначальным отрезкам относительно сторон угла.
46.	Пусть М — произвольная точка фигуры, а М' и М\—точки, симмет¬
ричные точке М относительно прямых I и lt; Мх — точка, симметричная
точке ЛГ относительно прямой lv Докажите, что точка М\ симметрична
точке относительно прямой /2.
47.	Воспользуйтесь результатом задачи 46.
51. Не обязательно.
56. Один; бесконечно много.
59.	Форму параллелограмма или форму шестиугольника, противополож¬
ные стороны которого равны и параллельны; это пересечение может также
быть отрезком или точкой.
119

60.	Правильный я-угольник имеет центр симметрии лишь при четном п.
Больше одного центра симметрии имеет лишь полоса, заключенная между
двумя параллельными прямыми.
65. Не всегда.
70. Точки Е и F симметричны относительно точки О.
76.	Сравните L BAD и L BCD, где точка С симметрична С относи¬
тельно точки О.
77.	Если фигура F имеет два разных центра симметрии О и Oi9 то она
имеет бесконечно много центров симметрии, неограниченно удаляющихся
вдоль прямой 00 поэтому F не может быть ограниченной.
Неограниченная фигура F может иметь бесконечно много центров
симметрии (пример: полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми).
83.	Фигура F получается из фигуры F' поворотом вокруг точки О на
угол 360° — а (или на угол—а).
84.	Если точка Ах симметрична точке А фигуры F относительно пря¬
мой /1у а точка А симметрична точке А1 относительно прямой /2, то точка А
получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол 2а.
91.	Это есть такой поворот на L ВАМ (где отрезок AM параллелен CD
и одинаково направлен с CD), который переводит точку А в точку С.
92.	Если окружности F и G касаются в точке М, то центр поворота,
переводящего отрезок АВ в отрезок CD, совпадает с М.
~	94. Поверните одну сторону угла вокруг точки А на угол + 90° (или —90°);
найдите точку пересечения полученной прямой с другой стороной угла.
97.	Воспользуйтесь тем, что треугольник ВСЕ получается из треуголь¬
ника BFA поворотом вокруг точки В на угол 60°.
98.	Отложите на продолжении АЕ за точку Е отрезок ЕК — АЕ; сравните
треугольник ANQ с треугольником ANK, получаемым из треугольника АВК
поворотом вокруг точки А на 90°.
99.	На угол, кратный 120®.
100.	Поворот вокруг О на 120° переводит отрезок MN в отрезок PQ.
101.	Поворот вокруг О на 120° переводит отрезок OD в отрезок ОЕ.
102.	Пу1сть	||	MN	и	PtQi\\PQ проходят через центр О квадрата;
тогда поворот вокруг точки О на 90° переводит MiNl в PXQV
104. 1.) Несправедливо; 2) справедливо.
109. Если точка Ах симметрична точке А фигуры F относительно пря¬
мой 1и а точка А симметрична точке At относительно прямой /2, то точка А
получается из А параллельным переносом в направлении, перпендикуляр¬
ном /, и /2 на расстояние, в два раза большее расстояния между lt и 12.
115.	Ь.
116.	Касательная I переходит в lt либо при параллельном переносе на
вектор ООи либо при симметрии относительно середины отрезка OOv
118. Воспользуйтесь тем, что, например, треугольник BDF получается
из треугольника AEF параллельным переносом на вектор AF.
120. Замените точку А точкой Л', получаемой из точки А параллель¬
ным переносом на вектор MN; тогда вы придете к задаче 2, разобранной
в § 24.
121—122. Перенесите параллельно одну из боковых сторон трапеции
в направлении ее оснований на расстояние, равное меньшему основанию
трапеции.
123.	Перенесите параллельно одну из диагоналей трапеции параллельно
ее основаниям на расстояние, равное меньшему основанию трапеции.
124.	Перенесите параллельно сторону CD в положение BD\
125.	Перенесите параллельно окружность F в направлении прямой I
в такое положение F', что линия центров окружностей Р и G перпендику¬
лярна прямой /.
126.	Перенесите параллельно точку А в направлении железной дороги
на расстояние а в положение далее воспользуйтесь задачей 1, разобран¬
ной в § 8.
120

m. i.
128. Фигура F2 гомотетична фигуре Ft с коэффициентом гомотетии-г-.
«1
135. Докажите, что если прямая ВВ' пересекает прямую АА в некото¬
рой точке О, то и прямая СО пересекает АА в той же точке О.
137.	Квадраты гомотетичны с центром гомотетии в точке Е.
138.	Найдите две гомотетии, переводящие одно из оснований трапеции
в другое.
141. Воспользуйтесь результатом задачи 140.
145.	Эта гомотетия представляет собой центральную симметрию.
146.	Эти треугольники даже гомотетичны (с центром гомотетии в точ¬
ке М).
147.	Воспользуйтесь тем, что треугольники АВМ и DCM гомотетичны
DC
с центром М и коэффициентом треугольники ABN и CDN гомотетич¬
ны с центром N и коэффициентом — ^-^.
AtS
149. Пусть jVj — какая угодно точка стороны ВА, Рх — такая точка, что
NlPi Jl ВС и 2N1Pl = MNV Все определенные таким образом точки обра¬
зуют две прямые, проходящие через точку М.
151.	Треугольник ABC и полученный треугольник MNP гомотетичны
с центром гомотетии в середине D стороны АВ.
152.	Воспользуйтесь тем, что множество точек N, расстояния которых
до АВ и до ВС относятся, как 1 :2, представляет собой прямую.
153—154. Воспользуйтесь тем, что любая окружность, вписанная в угол
ОАВ, гомотетична искомой.
155.	Воспользуйтесь тем, что треугольники ABC и DEF гомотетичны с
центром гомотетии в точке М пересечения медиан треугольника ABC и ко¬
эффициентом гомотетии
156.	Выберите на плоскости произвольную точку О и произведите гомо¬
тетию с центром О и таким коэффициентом /г, чтобы точка N перешла в
«доступную» точку N'\ далее осуществите переход от преобразованного чер¬
тежа к первоначальному.
160.	Отличается.
161.	Параллельный перенос.
162.	Поворот.
163.	Если прямые / и т перпендикулярны друг другу или совпадают
между собой.
166. k = ±\,
167. Если /г1/г2 = 1 или /г1£2 = —1.
Часть II. Векторная алгебра
171.	Если векторы а и Ь 1) параллельны и направлены в одну сторону;
2)	параллельны и направлены в противоположные стороны.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 170 и теоремой
о	том, что каждая сторона треугольника меньше суммы, но больше разности
двух других сторон.
172.	б) В точке, которой соответствует число а + Ъ.
173.	Может: если ABC — такой треугольник, что в нем АС—наимень¬
шая сторона, то векторы а = АВ и Ь = ВС—искомые, так как вектор
a -j- Ь — АС имеет меньшую длину, чем векторы а и Ь.
174.	BC=p + q\ CD = q\ FE=p + q; ED=p.
121

175.	AB = DQBA = CD\ AD == ВС] DA = CB; AO^OC\ OA = CO\
DO==OB; OD = BO\_
M = M + OD = W+OD = OC + BO;
AO = AD + DO = BC + 'DO = BCJ1OB и т. д.
176.	Параллельный перенос на вектор DB-
177.	Приняв данные отрезки за векторы, найдите их сумму s; затем к
одной из цанных окружностей нужно применить параллельный перенос на
вектор s. В гочке пересечения полученной окружности со второй данной
окружностью будет находиться одна из вершин искомого треугольника. За¬
дача может иметь до шестнадцати решений.
178.	Параллельна стороне DE.
180. Можно.
Указание. Нужно провести через точку А прямые, параллельные
/i и /2, и рассмотреть получившийся параллелограмм.
184.	Стержень ВС сжимается силой 2т, стержень АВ растягивается си¬
лой ^ 1,732 т.
185.	те 0,707 т.
186.	0_
187.	DB, BD, ВА.
188.	Существует.
189.	АВ = а — Ъ\ ВС —а + b; CD = b—a; DA = — а — b.
190.	О А = д—р\ ОВ — — р\ ОС = — q; QD=p — q.
191.	а + 6 = ЛС; a—b==DB.
192—193. Перенесите	ОВ и ОС из	одной	части	равенства в	другую.
196.	1) х = Ь + с; 2) х — Ь —с.
197.	1) Если векторы	а и b параллельны и	противоположно направлены;
2)	если	векторы а и b	параллельны	и одинаково	направлены,	причем
а^>Ь\ 3) если векторы а и b параллельны и одинаково направлены, причем
а^Ь.
200. Середина отрезка MN.
Указание. Надо доказать, что никакая точка, кроме середины отрез¬
ка MNt требуемым свойством не обладает.
204.	РС = АВ + у/Ш.
205.	Ш = ^-а— ~Ь.
206.	А8 = ^-а-^ft; ВС = ~а + ~Ь-, CD = — \а + \ь-,
7=гт ~	'	1 «.
DA— 2 а 2-ft.
210. Воспользоваться тем, что \ ba\ — \ ab\.
212. Число к.
215.	1) х = а —2ft; 2) х = 2а — 2ft —\с-
216.	2т — 2п — 4ft; Зт + -g- n =	+
1	11	9	.
-m-fo и=-То «“То*
217.	2а — 2ft = 2т— 2л; За + ~ ft = т — п;
1	.	3.1
_о_._
Указание. Рассматривая соотношения т = 2а-\-Ь, п = а-{-2Ькш
систему уравнений, найдите а и Ь.
122

4) а = 1, р = 0.
Указание. Приведите подобные члены и воспользуйтесь результатом
задачи 213.
219.	QD==a—kb + kc.
22д. АВ = а-, ВС = ^-a-\-~b) CD = ^-b — ^ а;
Ш = — a; EF= —	— у&;7М = -|-а — \ Ь.
221. AC^=FD = 2p + q-, JAD = 2р + 2q^ АЁ = BD = 2q 4- p;
CE = BF = q — p; CF=—2p\ BE = 2q.
222—223. Выразите указанные векторы через векторы, идущие по сто¬
ронам многоугольника.
224.	а) Ш =	б) Ш^-^jAB.
225.	Существует и только одна: AQ = АВ -f- АС-
226.	0.
227.	Такая точка только одна: центр тяжести треугольника.
228.	Точка пересечения диагоналей параллелограмма.
229. QMt = a -f- - Ъ\ QM% ==—#-)- — Ь.
230. DCi =	а, + -j- Ь\ DC2 = ~2 а~2 Ь;	^ а "4
231.	Ш = у^гг-Ж4 + у^ТЖ
232.	Выбрав на плоскости произвольную точку Q, выразите векторы
QK, QLу QM, QN через ~QA, QB, QC, QD и воспользуйтесь результатом
задач 192, 193.
235. Ш=~СЛ + уСё; М = ~СЛ+|-СВ.
238. Обозначьте стороны параллелограмма через а и Ь, а векторы МЛ
и Ж# через &а и lb.
238.	Ё/7 = m + у р.
239.	Воспользуйтесь задачей 237. Равенство имеет место при ВС || AD.
243.	Существует.
244.	Положив СЛ = а, СВ = Ь и обозначив через k отношение АМ\АС,
найдите векторы PQ и PF, где F — середина отрезка MN.
246. Пусть М — середина стороны АВ, а N — середина стороны CD и
средняя линия MN проходит через то_чку О пересечения диагоналей. Поло-
э::им ОА = ау OB — b, OC — ka, OD = lb. Следует найти векторы ОМ и
ON и воспользоваться тем, что эти векторы направлены по одной прямой.
248.	Воспользуйтесь задачей 226.
249.	Воспользуйтесь задачей 248.
250.	Воспользуйтесь задачей 249.
252. Используя теорему § 29, докажите, что ОМ — ^ ОЙ•
254—255. Воспользуйтесь задачей 248.
256.	Существует: эта ось должна быть перпендикулярна вектору а—Ь.
257.	1) при 11| т; 2) при /1/п.

259. 5; 7; -41;-4.
261.	а) Симметричны относительно оси абсцисс; б) симметричны отно¬
сительно оси ординат; в) симметричны относительно начала координат (т. е.
а — — Ь).
262.	а = 2/4-3/; b=—i + Sj; c=—2j;	= —/— 5/; <? = 5/ —4/.
263.	а = {3; —2}; Ъ = {\\ —5}; с = {3; 1}; d = { — 2; 0}; е = {0; — 1};
/={3; —5}.
266.	1) { -30, 21}; 2) {0; 0}; 3) {-£; -£]; 4) {25; -10}.
267.	1) А = —	2) к = —А.; 3) й = —3.
Указание. Для параллельности вектора а + kb вектору сф0 нуж¬
но, чтобы выполнялось равенство a-{-kb = lc.
268.	1JJ2; —1}; 2) { —1; —2}; 3) {5;	—4};	4)	{	— 4; -4}.
269.	ЛВ = {— 1; 2}; £С={ — 1; —4};	СЛ =	{2;	2}.
270.	а) ( — 2; 1); б) (0; 2); в) (0; 2).
У Казани е. Воспользуйтесь равенством ОМ = ~ О А + у ОВу где М-—
середина отрезка АВ} а О—начало координат.
272.	(О;
273. 1) (1; —3); 2) (—4; —3).
275. 1) {3; 0}; 2) {0; 2}; 3) |-|; о}; 4) {0; _!};
7f};
»){—§; _У£2-|;9) {2/3; -2); 10)|-3|/2;
■•) {г. -1?}-
276.	1)	{1,47;	2,32};	2) { — 1,16;	—1,43};	3)	{—0,97;	2,95};
4)	{0,92; —0,21};	5) {—1,7; 0,32};	6)	{1,4;	0,63};	7)	{1,14;	—3,36};
8)	{ —0,18; —0,015}.
277.	х = a cos а	Ь cos + с cos Y>
у = a sin а	b sin {3 + с sin
360°
279.	1) 20; 2) —у=, 3) °: 4) 18: 5) —3.
280.	1) Векторы а и b параллельны и одинаково направлены; 2) векто¬
ры а и b параллельны и противоположно направлены.
281.	1) Векторы образуют острый угол (либо параллельны и одинаково
направлены); 2) векторы образуют тупой угол (либо параллельны и проти¬
воположно направлены); 3) векторы взаимно перпендикулярны.
282.	—
283.	1) 36° 13'; 2) 27°; 3) 47°; 4) 145°36'.
284.	В случае, если векторы а и с параллельны.
285.	р2 — q2\ а2 — 6а& + 9b2\ a2—b2—c2 + 2Ьс.
287.	4.
288.	60°.
124

291.	Воспользуйтесь равенством AD=~AB-\-BD*
292.	Примите за D точку пересечения двух высот треугольника ABC.
293.	Ж-АО+Ш-Ш + АВ-СР== 0.
294. CD = —\— Vп2а2 4- т2Ь2 + 2 mnab cos С, где а и b—длины сто-
рон СЛ и С£.
Указание. Выразите вектор CD через векторы СЛ = а, СВ=-Ь
и возведите его в квадрат.
295.	та = у /б2 + с2 + 26с cos А .
296.	Выразите векторы (?Л и QZ? через векторы Щ4 и Л®.
297.	= у Y2Ь- + 2с2 — а2.
298.	Воспользуйтесь задачей 296.
299.	Окружность с центром в середине данного отрезка.
Указание. Воспользуйтесь задачей 296.
300.	Воспользуйтесь задачей 248.
301.	Выразите все векторы через МА=р, АВ — а и ВС = Ь.
306. Обозначим через АХВ'С треугольник, получающийся из треуголь¬
ника ABC поворотом на 90° вокруг точки С; Тогда (СAt —~СВ') J, (СА—ВС).
Выразите медиану треугольника Л^С через векторы САХ и СВ1»
307—308. Пусть а, b—два вектора, а а' и b'—векторы, получающиеся
из них поворотом на угол-)-90о* Тогда аа' = 0; ЪЪ' = 0; а2 = а’2\ b2 — b’2;
аЪ = а'Ъ\ Этими соотношениями и следует пользоваться при решении задач
307—308 (выбирая векторы а, Ь по смыслу задачи).
311.	—8.
312.	1) УЪ\ 2) 5; 3) 13.
313.	1) а = 45°; 2) а = 0°; 3) «=135°; 4) а =180°.
314.	1) 56° 19'; 2) 11Г48'; 3) 168°42'; 4) —135°.
315.	1) 45°; 2) 52°8\
316.	1) Прямоугольный (В—вершина прямого угла);
2)	тупоугольный (В — вершина тупого угла);
3)	остроугольный.
317.	1) 81°52'; 2) 53°8'; 3) 120°58'.
319.	4,31 и 6,74.
320.	5,16 и 4,22.
, 321. 5,43 и 1,72.
322.	Величина равнодействующей те 122 кГ\ образует угол 21°36' с силой
60 к Г и угол 18°24' с силой 70 к Г.
323.	1) 83,3 м; 2) 212 м.
326.	48,6.
327.	25,1 кв. км.
328.	те 1400 к в. м.
329.	1) 1871; 2) 60,6; 3) 75,4; 4) 131; 5) 284.
330.	Используйте задачу 325 и формулу sin2a cos2a= 1; для вычи¬
сления cos а воспользуйтесь теоремой косинусов.
331.	1) 283 м; 2) 260 м.
ООО _/ Sin (ct — Р)
309. 1) —3; 2) 0; 3) 1.

333.	Угол 7, под которым из центра земли видна дуга, пройденная спут¬
ником за t сек, равен 90°—а — р, где р—острый угол, определяемый из
D
равенства sin р = -	sin (90° + «)•
Н	h
Период обращения спутника равен	— сек (для числовых данных ^
<^90 мин).
334.	26,8 к Г и 31,6 к Г.
335.	Проведите диаметр BD и хорду DC. Рассмотрите отдельно случаи,
когда угол А является острым, тупым, прямым.
336.	1) 9,1; 2) 19, 36.
337.	Воспользуйтесь	теоремой 1, § 58 и результатом задачи 335.
338.	1) С=^63°36',	с = 32,9;
2)	Л = £ = 75°54',	С = 28° 12';
3)	Л = С = 37°52',	£ = 0,91;
4) с =105,	А = 73°,	5 = 48° 19';
5) А = 64°55',	£ = 39,4,	с = 57,5;
6)	Л = 47°34',	£=100°13',	С	=	32°13';
7)	Л = 74°48',	В = 47°33',	С = 57°39';
8)	£ = 26,5,	Л = 35°42',	С = 25°44';
9)	С = 77°32',	£ = 57,6,	с = 115;
10)	g = 18,4,	£ = 70°44',	С = 37°32';
11)	Л = 47° Г,	В = 74°53',	С = 58°6';
12)	С = 37°14',	а = 80,8,	с = 59,0.
339.	По указанным данным можно определить синус угла, лежащего
против второй стороны. Если первая сторона (угол против которой задан)
меньше второй стороны, то угол против второй стороны больше угла,
противолежащего первой; он может быть и острым и тупьш. Поэтому, зная
синус, мы не можем однозначно определить этот угол. Если же первая
сторона больше второй, то угол против второй стороны меньше угла,
противолежащего первой, так что угол против второй стороны обязательно
острый. Следовательно, зная синус, можно этот угол определить одно¬
значно.
В примерах 2), 4) и 6) дан угол против меньшей из двух заданных
сторон, и потому остальные элементы не определяются однозначно. В при¬
мерах же 1), 3), 5) определяются.
\) В = 17°43',	С = 130°4Г,	с = 44,9;
3)	С = 26°59',	В = 120° 16',	£ = 0,5;
5) С = 42°27',	Л = 8°2Г,	а = 5,8.
340.	1) С=14°30',	а = 9,46,	£=10,7,	с = 2,82;
2)	В = 96°38',	а = 21,2,	£ = 43,2,	с = 35,3;
3)5	= 72°,	С = 36°,	я = £ = 63,1	с = 39;
4)£	= 62°19',	С = 55°22',	а = £=19,2,	с = 17,9;
5)	Л = 94°28',	В = С = 42°4б', £ = с = 2,53,
6)	Л = 36°27',	а = 7,77,	£ = 10,3,	с = 3,45;
7)	Л = 19°34',	а = 0,58,	£ = 1,46,	с = 1,05;
8)	Л = 19°34',	а = 35,9,	£=102,2,	с = 85,1;
9)	с = 9,74,	£=10,1,	Л = 18°44',	C = 74°15f;
10) Л = 117°17г,	В = 36°20',	С = 26°23г;
а = 27,	£=18,	С =13,5.
341.	9Г58' У казани е. Находим сначала L ВАС, L CAD, L BAD,
затем BD и, наконец, L ABD.
342.	43.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Глава I. Осевая симметрия
§	1.	Определение осевой симметрии		3
§ 2.	Самостоятельная работа		6
§ 3.	Перегибание листа бумаги		7
§ 4.	Самостоятельная работа		8
§ 5.	Свойства осевой симметрии		—
§ 6.	Примеры симметричных фигур			9
§ 7.	Применение осевой симметрии к доказательству теорем	 И
§ 8.	Задачи		.....!!		12
Глава II. Центральная симметрия
§ 9.	Определение центральной симметрии. . 			14
§ 10.	Самостоятельная работа		16
§ 11.	Центральная симметрия как поворот на 180°		—
§ 12.	Самостоятельная работа		17
§ 13.	Свойства центральной симметрии		—
§ 14.	Центр симметрии параллелограмма				18
§ 15.	Задачи		19
Глава III. Поворот
§ 16.	Определение поворота		20
§ 17.	Самостоятельная работа		22
§ 18.	Свойства поворота		—
§ 19.	Задачи		24
Глава IV. Параллельный перенос
§ 20.	Вектор		26
§ 21.	Определение параллельного переноса		28
§ 22.	Самостоятельная работа		29
§ 23.	Свойства параллельного переноса		—
§ 24.	Задачи		30
Глава V. Гомотетия
§ 25. Определение гомотетии		33
§ 26. Самостоятельная работа		 . ♦	36
§ 27. Пантограф	*	—
§ 28.	Свойства гомотетии		37
§ 29.	Точка пересечения высот треугольника		41
§ 30.	Задачи		42
§ 31.	Общее понятие о подобии		 			44
Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании
§ 32. Что такое геометрическое преобразование?		 .	40
§ 33.	Сложение геометрических преобразований		—
§ 34.	Движения		48
Часть //. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава I. Сложение и вычитание векторов
§ 35.	Сумма двух векторов		52
§ 36.	Сумма двух параллельных переносов			53
§ 37.	Нулевой вектор		54
127

§ 38. Коммутативность сложения векторов		55
§ 39. Ассоциативность сложения векторов		56
§ 40. Вычитание векторов		58
Глава II. Умножение вектора на число
§ 41. Определение умножения вектора на число		60
§ 42. Свойства операции умножения вектора на число		61
§ 43. Деление отрезка в данном отношении		62
§ 44. Следствия • *		64
§ 45. Задачи. • * » 				—
Глава III. Проекции и координаты вектора
§ 46. Проекция вектора на ось	*	66
§ 47. Свойства проекции		67
§ 48. Координаты вектора		69
§ 49. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число
§ 50. Связь между координатами вектора и координатами точки		—
§ 51. Связь проекций и координат вектора с тригонометрическими
функциями			71
Глава IV. Скалярное умножение векторов
§ 52. Определение скалярного произведения		73
§ 53. Свойства скалярного произведения		74
§ 54. Вычисление скалярного произведения в координатах		 . .	76
§ 55. Вычисление длин и углов		 .	—
§ 56. Задачи		78
Г л а в а V. Метрические соотношения в треугольнике
§ 57. Теорема косинусов		79
§ 58. Вычисление площади треугольника по его элементам		80
§ 59. Теорема синусов		81
§ 60. Решение треугольников		82
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Часть /. Геометрические преобразования
Глава	I. Осевая симметрия		84
Глава	II. Центральная симметрия		88
Глава	III. Поворот		91
Глава	IV. Параллельный перенос		93
Глава	V. Гомотетия		96
Глава	VI. Понятие о	геометрическом преобразовании		99
Часть //. Векторная алгебра
Глава	I. Сложение и	вычитание векторов	100
Глава	II. Умножение	вектора на число	103
Глава	III. Проекции и координаты векторов	108
Глава	IV. Скалярное умножение векторов			111
Глава	V. Метрические соотношения в треугольнике	114
Ответы и указания. • •	.		. 119