/
Author: Браун К.С.
Tags: алгебра математика топология гомологическая алгебра алгебраическая топология
Year: 1987
Text
К. С. БРАУН
КОГОМОЛОГИИ ГРУПП
Перевод с английского
Д. Г.. ФУКСА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.144 KENNETH S. BROWN
УДК 512.54 COHOMOLOGY OF GROUPS
SPRINGER-VERLAG
NEW YORK HEIDELBERG BERLIN
1982
Браун К. С. Когомологий групп: Пер. с англ.—М.: Наука, Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1987.— 384 с.
Теория когомологий групп развилась к настоящему врсмопи в разветв-
разветвленную математическую дисциплину со своими методами, целями и ре-
результатами. Книга Брауна является вводным курсом, рассчитанным на на-
начинающих, но достаточно полным и подводящим к ряду самых последних
достижений.
Для математиков — алгебраистов и топологов.
Табл. 1. Ил. 7. Библиогр. 153 назв.
© 1982 by Springer-Vcrlag New York Inc.
All Rights Reserved Authorized translation
from English language edition published
by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New-
York Tokyo
© Издательство «Наука»
Главная редакция
1702030000—041 физико-математической литературы.
Б Пго,П9-_о7 S-87 Перевод на русский язык.
05d@2)-S7 Добавление, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 6
Предисловие 7
Соглашения о терминологии а обозначениях 8
Введение 9
Глав а Т. Немного гомологической алгебры 12
§ 0. Обзор цепных комплексов 12
§ 1. Свободные резольвенты 19
§ 2. Групповые кольца 21
§ 3. G-модулп 22
§ 4. Резольвенты Z над ZG, имеющие топологическое происхож-
происхождение 23
§ 5. Стандартная резольвента 28
§ 0. Периодические резольвенты, построенные при помощи свобод-
пых действий в сферах 30
§ 7. Единственность резольвент 31
§ 8. Проективные модуля 37
Добавление. Обзор регулярных накрытий 42
Глава II. Гомологии групп 44
§ 1. Общее вступление 44
§ 2. Коииварианты 44
§ 3. Определение #*G . 46
§ 4. Топологическая интерпретация 48
§ 5. Теоремы Хопфа . 53
§ 6. Функториальность 60
§ 7. Гомологии амальгамированных свободных произведений 02
Добавление. Деревья и амальгамы 06
Глава III. Гомологии и когомологии с коэффициентами ... 09
§ 0. Предварительные сведения о функторах ®о и Ноте ... 09
§ 1. Определение Я*(С М) и H*(G, M) 70
§ 2. Тог и Ext 74
§ 3. Расширения и корасширения скаляров ...... 76
§ 4 Инъективные модули 79
§ 5. Индуцированные и коиндуцированные модули .... 82
§ fi. Я* п Я* как функторы от модуля коэффициентов ... 87
§ 7. Сдвиг размерностей 90
? 8. Я* и II* как функторы двух переменных ¦. 95
S 9. Трансфер 97
§ 10. Применения трансфера . 101
I' л а в а IV. Когомологпи палых размерностей п групповые расши-
расширения 104
§ 1. Введение 104
§ 2. Расщенляющиеся расширения 105
§ 3. Классификация расширений с абелевым ядром 109
§ 4. Применение: р-группы с циклической подгруппой индекса р 116
§ 5. Скрещенные модули и Я3 (набросок) ....... 121
§ 6. Расширения с неабелевым ядром (набросок) ... . . 124
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Умножения 127
§ 1. Тензорное произведение резольвент 127
§ 2. X-умножения 128
§ 3. v^-умножение и ^-умножение 129
§ 4. Композиционные умножения 135
§ 5. Умножение Понтрягина 138
§ 6. Применение: вычисление токологии абелевой группы . . . 142
Глава VI. Когомологическая теория конечных групп .... 150
§ 1. Введение 150
§ 2. Относительная гомологическая алгебра 151
§ 3. Полные резольвенты 153
§ 4. Определение Н* 150
§ 5. Свойства Н* 158
§ 6. Композиционные умножения 166
§ 7. Теорема двойственности 169
§ 8. Когомологически тривиальные модули 174
§ 9. Группы с периодическими когомологиями 180
Глава VII. Эквивариантные гомологии и спектральные последова-
последовательности , 188
§ 1. Введение 188
§ 2. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса 188
§ 3. Двойные комплексы 192
§ 4. Пример: гомологии объединения 193
§ 5. Гомологии групп с коэффициентами в цепном комплексе 196
§ 6. Пример: спектральная последовательность Серра — Хохшилда 199
§ 7. Эквивариантные гомологии 200
§ 8. Вычисление дифференциала d1 205
§ 9. Пример: амальгамирования 207
§ 10. Эквивариантные когомологии Тейта 210
Глава VIII. Условия конечности 215
§ 1. Введение 215
§ 2. Когомологическая размерность 213
§ 3. Теорема Серра 220
§ 4. Резольвенты конечного типа 222
§ 5. Группы типа FPn 227
§ 6. Группы типа FP и FL 230
§ 7. Топологическая интерпретация 237
§ 8. Дальнейшие топологические результаты 242
§ 9. Дальнейшие примеры 246
§ 10. Группы с двойственностью 254
§ 11. Виртуальные понятия 261
Глава IX. Эйлеровы характеристики 267
§ 1. Ранги проективных модулей: введение 267
§ 2. Ранг Хаттори — Столлингса 268
§ 3. Ранги над коммутативными кольцами 272
§ 4. Ранги над групповыми кольцами; теорема Суопа .... 277
§ 5. Следствия из теоремы Суона 281
§ 6. Эйлеровы характеристики групп: случай отсутствия кручения 285
§ 7. Распространение на группы с кручением 288
§ 8. Эйлеровы характеристики и теория чисел 293
§ 9. Теоремы целочисленности для %{Т) 297
§ 10. Доказательство теоремы 9.3; действия конечных групп 299
§ И. Дробная часть числа х(Г) 303
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 12. Ацикличные покрытия; доказательство леммы 11.2 . . . 307
§ 13. р-дробная часть числа х(П 300
§ 14. Формула для %г(&) 313
Глава X. Теория когомологий Фаррелла 317
§ 1. Введение 317
§ 2. Полные резольвенты 317
§ 3. Определение и свойства И*(Т) 322
§ 4 Эквивариантные когомологий Фаррелла 327
§ 5. Когомологически тривиальные модули 333
§ 6. Груипы с периодическими когомологиями 334
§ 7. Ti*(Г) и упорядоченное множество конечных подгрупп груп-
группы Г 338
Добавление. Непрерывные когомологий топологических групп и
характеристические классы (Д. Б. Фукс) 342
§ 1. Топологические когомологий 342
§ 2. Когомологий алгебр Ли 345
§ 3. Непрерывные когомологий топологических групп .... 349
§ 4. Явные описания коциклов 353
§ 5. Связь с расширениями 354
§ 6. Теорема Бореля и гипотеза Милнора 359
§ 7. Характеристические классы 361
Список литературы 369
Предметпый указатель 377
Указатель обозначений 381
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Когомологии групп принадлежат к числу тех алгебраических объектов,
которые постоянно появляются в различных областях математики и в не-
непохожих друг на друга ситуациях. Например, вы занимаетесь теорией
представлений и имеете дело с «проективным представлением», т. е. опе-
операторы TgTh и Тен у вас не совпадают, а различаются постоянным (зави-
(зависящим от g и h) множителем; вас интересует, можно ли исправить дело,
подобрав подходящие множители для самих операторов Тй. Или, скажем, вы
занимаетесь теоретической физикой и сталкиваетесь с тем, что та или иная
величина «не совсем инвариантна» относительно той или иной группы
(речь может идти, например, о регуляризованном определителе оператора
Дирака с коэффициентами в векторном расслоении и калибровочной груп-
группе); другими словами, вас интересует явление, которое физики называют
(квантовой) аномалией. Или вы занимаетесь топологией и задаетесь вопро-
вопросом, может ли заданная группа быть фундаментальной группой замкнутого
трехмерного многообразия или свободно действовать в сфере. Все эти
проблемы, как и десятки других содержательных математических проблем,
решаются в рамках когомологической теории групп. Полезность этой тео-
теории для широкого круга математиков не вызывает сомнения. (Можно воз-
возразить, конечно, что в применениях встречаются почти исключительно кого-
когомологии «малых размерностей»: 0, 1, 2 и изредка 3; но единообразное изу-
изучение этих маломерных групп без продумывания общей теории вряд ли
возможно.) Поэтому появление общедоступного руководства по когомологиям
групп, каким является книга К. С. Брауна, как нельзя более своевременно.
Достоинств в книге немало: удачный отбор и удачное расположение
материала, тактичность автора по отношению к читателям, особенно в том,
что касается познаний последних в гомологической алгебре и топологии,
отличный набор упражнений разной трудности, сопровождаемых подробны-
подробными указаниями. Производит глубокое впечатление компетентность автора,
известного своими работами по эйлеровым характеристикам групп. В книге,
как и в этих работах, широко эксплуатируются связи теории когомологии
групп с топологией. Впрочем, эти связи представлены в книге несколько
односторонне — они рассматриваются с точки зрения алгебраиста; точка
зрения тополога на эти связи представлена в написанном мною добавле-
добавлении «Непрерывные когомологии топологических групп и характеристиче-
характеристические классы».
Д. Фукс
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основе этой книги лежит курс лекций, читавшийся в Кор-
нелльском университете и предназначавшийся, главным образом,
для студентов второго курса. Курс имел своей целью познако-
познакомить студентов, немного знающих алгебру и топологию, с пред-
предметом, для которого характерно глубокое взаимодействие этих
дисциплин. Поэтому я не принял ни чисто алгебраическую, ни
чисто топологическую точку зрения, а старался по мере необхо-
необходимости пользоваться средствами как алгебры, так и топологии.
В первых шести главах излагается материал, составляющий,
на мой взгляд, основы предмета. Содержание остальных четырех
глав более специально и отражает мои собственные научные ип-
тересы. Чтение большей части книги требует знакомства лишь
с элементами алгебры (группы, кольца и модули, включая тен-
тензорные произведения над некоммутативными кольцами) и алге-
алгебраической топологии (фундаментальная группа, накрывающие
пространства, симшшциальпые и клеточные пространства и го-
гомологии). В книге есть, однако, несколько теорем (особенно в по-
последних главах), доказательства которых используют чуть более
изощренные топологические средства (такие как теорема Гуре-
вича или двойственность Пуанкаре). Читатель, недостаточно зна-
знакомый с топологией, может просто принять эти теоремы па веру.
Книга содержит некоторое количество упражнений, утверж-
утверждения которых изредка используются в тексте. Упражнения, по-
помеченные звездочкой, более трудны и подчас требуют для своего
решения более серьезной подготовки.
Я очень благодарен Р. Биери, Ж.-П. Серру, У. Штаммбаху,
Р. Штребелю и Ч. Т. С. Уоллу за ценные замечания к предвари-
предварительному варианту этой книги.
СОГЛАШЕНИЯ О ТЕРМИНОЛОГИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Все кольца (включая градуированные кольца) предполагают-
предполагаются ассоциативными и имеющими единицу. Предполагается также,
что последняя сохраняется кольцевыми гомоморфизмами. Если
противное явно не оговорено, модули считаются левыми модуля-
модулями. Аналогично групповые действия понимаются, вообще говоря,
как левые действия.
Если группа G действует в множестве X, то для множества
орбит я обычно буду использовать обозначение X/G, а не G\X,
даже если группа G действует слева. Исключением из этого пра-
правила будет обозначение для множества смежных классов под-
подгруппы Н в группе G. Здесь мы будем иметь дело с действием
группы Н в G посредством как левых, так и правых сдвигов,
и я всегда буду писать Н с правильной стороны. Таким образом,
G/H = {gH: g e G) и H\G = {Hg: g e G).
Запись вида
S /(*)
gSG/H
показывает, что / есть такая функция на g, что f(g) зависит
только от смежного класса gH элемента g; сумма распространя-
распространяется в этом случае на произвольное множество представителей
смежных классов.
Наконец, я пользуюсь «обозначением топологов»
Z« = Z/»Z;
в частности, ZP обозначает целые числа mod p, а не целые р-ади-
ческие числа.
ВВЕДЕНИЕ
Истоки когомологической теории групп распределены между
алгеброй и топологией. Отправной точкой топологического аспек-
аспекта теории послужила работа Гуревича [1936] об «асферических
пространствах». Примерно за год до этого Гуревич ввел высшие
гомотопические группы лпХ пространства X (га > 2). Теперь он
сосредоточился па изучении таких линейно связных пространств
X, у которых все высшие гомотопические группы тривиальны,
в то время как фундаментальная группа я = niX тривиальной
быть не обязана. Такие пространства называются асферическими.
Гуревич доказал, среди прочего, что гомотопический тип ас-
асферического пространства X полностью определяется его фунда-
фундаментальной группой л. В частности, гомологические группы про-
пространства зависят только от я; поэтому разумно представлять их
себе как гомологические группы группы п. [Впрочем, эта терми-
терминология появилась только в 40-е годы.] Поэтому на протяжении
настоящего введения мы будем использовать обозначение #*я
для гомологии произвольного асферического пространства с фун-
фундаментальной группой л. (Аналогичным образом можно было бы
определить гомологии и когомологии группы я с произвольными
коэффициентами.) В качестве простого примера заметим, что
H2(Z ф Z) == Z. [В качестве X можно взять тор.] Хотя Гуревич
рассматривал лишь проблему единственности, а не существования
асферических пространств, в действительности можно построить
асферическое пространство с наперед заданной фундаментальной
группой. Таким образом, наше топологическое определение гомо-
гомологии группы применимо ко всем группам.
Для любой группы л, очевидно, Нол = Z и Н^п = яаЬ, где
последнее обозначает абелианизацию группы л, т. е. ее фактор-
факторгруппу по коммутанту. При п>2, однако, задача алгебраического
описания группы Нпп представляется не столь простой. Первое
продвижение в этом направлении было достигнуто Хопфом [1942],
который дал чисто алгебраическое описание группы Я2я и заодно
продемонстрировал ее важность для топологии, доказав следую-
следующую теорему: для любого линейно связного пространства с фун-
фундаментальной группой я существует точная последовательность
@.1)
[Чтобы поместить этот результат в правильную историческую
перспективу, следует вспомнить, что Гуревич определил гомомор-
гомоморфизмы hn: л„Х-+НпХ (п>2) и показал, что hn есть изомор-
изоморфизм, если я(Х = 0 при i < п. В частности, ht есть изоморфизм,
если я = Я1Х = 0. Если же группа я нетривиальна, то Ъг не яв-
JO ВВЕДЕНИЕ
ляется, вообще говоря, ни мономорфизмом, ни эпиморфизмом,
и теорема Хопфа точно описывает в терминах группы я степень
его отклонения от эпиморфности.]
Кстати сказать, хопфовское описание группы Я2я заключается
в следующем. Зафиксируем для группы я представление в виде
F/R, где F — свободная группа и R < F'); тогда
@.2)
где для A, BsF символ [А, В] обозначает подгруппу группы F,
порожденную коммутаторами [a, b] = aba~ib~1 (aei, Ъ^В).
Работа Хопфа стимулировала быстрое развитие предмета; это
развитие связано с именами Экмана, Эйленберга, Маклейна,
Фрейденталя и того же Хопфа. (Некоторые исторические ком-
комментарии имеются в статье Маклейна [1978].) В частности, в се-
середине 40-х годов уже существовало чисто алгебраическое опре-
определение гомологии и когомологий групп, и из этого определения
стало ясно, что предмет представляет интерес не только для то-
топологов, но и для алгебраистов. Именно, оказалось, что некоторые
маломерные когомологий групп совпадают с объектами, которые
были введены много раньше в связи с различными алгебраиче-
алгебраическими проблемами. Так, например, Я1 есть просто группа «скре-
«скрещенных гомоморфизмов» или «дифференцирований», а Я2 со-
состоит из классов эквивалентных «наборов факторов», изучение
которых восходит к Шуру [1904], Шрайеру [1926] и Брауэру
[1926]. Даже группа Я3 появлялась в алгебраическом контексте
(см. Тейхмюллер [1940]). Это — алгебраические предпосылки тео-
теории когомологий групп, упоминавшиеся нами в начале введения.
(Конечно, ничто пе указывало на то, что за этими разрозненны-
разрозненными алгебраическими работами стоит единая «теория гомологии»;
понять это стало возможным лишь в результате мощного импуль-
импульса со стороны топологии.)
Ввиду этих особенностей истории предмета не удивительно,
что он представляет богатое поле взаимодействия между алгеброй
и топологией. Например, понятие «трансфер», мотивированное
классической теоретико-групповой конструкцией, восходящей
к Шуру [1902], было введено в теорию когомологий групп (Экман
[1953], Артин — Тейт [не опубликовано]) и перекочевало оттуда
и топологию, где оно сделалось важным техническим средством.
Другой пример — теория эйлеровых характеристик групп. Эта
теория была мотивирована топологией, но имеет применения
в теории групп и теории чисел.
Наш подход к предмету таков. Мы начинаем с того, что
в главах I и II определяем Н%п с точки зрения «гомологической
алгебры». Это — точка зрения, которая получила хождение
') Запись R <3 F означает, что R есть нормальная подгруппа группы
F.— Примеч. пер.
ВВЕДЕНИЕ И
в конце 40-х годов. Однако мы постоянно будем держать в поле
зрения топологические мотивировки и сразу получим топологи-
топологическую интерпретацию Н^п в терминах асферических про-
пространств. В частности, мы докажем утверждения 0.1 и 0.2.
Более серьезным образом гомологическую алгебру эксплуа-
эксплуатирует глава III, посвященная гомологиям и когомологиям с ко-
коэффициентами. Последние естественно возникают в применениях,
как в алгебре, так и в топологии. Они оказываются также важ-
важным техническим средством, поскольку создают возможность
доказывать теоремы при помощи «сдвига размерностей». В гла-
главе IV мы изучим теорию групповых расширений, в которой важ-
важную роль играют упоминавшиеся выше скрещенные гомоморфиз-
гомоморфизмы и наборы факторов.
В главе V вводятся (мотивированные топологией) понятия
v- и ^-умножения, которые используются затем в главе VI для
изучения когомологий конечных групп. Большая часть материа-
материала главы VI (как, например, «теория когомологий Тейта») пер-
первоначально была мотивирована алгеброй (теорией полей классов),
но она связана и с топологическими проблемами, как, скажем,
с изучением групп, свободно действующих в сферах.
В главе VII появляется техника спектральных последователь-
последовательностей, которая широко используется в последующих главах.
Изложение рассчитано на читателя, который никогда до того не
встречался со спектральными последовательностями; наше изло-
изложение этого предмета до разумных пределов независимо, мы про-
пропускаем лишь рутинные (но иногда довольно трудоемкие) про-
проверки некоторых утверждений.
Начиная с главы VIII, наше главное внимание обращено
к бесконечным группам, наиболее интересными примерами кото-
которых будут для нас группы целочисленных матриц. В главе VIII
обсуждаются различные условия конечности, выполнение кото-
которых влечет за собой различные хорошие свойства гомологии.
В частности, при выполнении подходящих условий конечности
определены эйлеровы характеристики, которым посвящена гла-
глава IX. Как уже говорилось, их теория имеет интересные связи
с теорией чисел. Наконец, в главе X речь идет о «теории когомо-
когомологий Фаррелла», которая представляет собой обобщение на бес-
бесконечные группы теории когомологий Тейта, определенных для
конечных групп.
ГЛАВА I
НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
§ 0. Обзор цепных комплексов
Мы приведем здесь для удобства ссылок некоторые термины
и результаты, относящиеся к цепным комплексам. Большая часть
этого материала должна быть хорошо известна всякому, кто изу-
изучал алгебраическую топологию. Читателю рекомендуется пропу-
пропустить этот параграф (или бегло просмотреть его) и возвращаться
к нему по мере необходимости. Некоторые из доказательств мы
опустим: они либо тривиальны, либо могут быть найдены в стан-
стандартных учебниках, таких как Дольд [1972], Спепьер [1966] или
Маклейн [1963].
Пусть Л — произвольное кольцо. Под градуированным R-моду-
лем мы понимаем последовательность С = (?„)„= г Л-модулей.
Если х е Сп, то мы говорим, что х имеет степень га, и пишем
deg х = п. Отображение степени р градуированного Л-модуля С
в градуированный Л-модуль С есть семейство f — {fn' Cn-*-
-*-Cn+p)nelz Л-гомоморфизмов; таким образом, deg/(z) = deg/ +
+ deg х. Цепной комплекс над Л есть пара (С, d), где С есть
градуированный Л-модуль и d: С -*¦ С есть отображение степе-
степени —1, такое, что d2 = 0. Отображение d называется дифферен-
дифференциалом или граничным оператором в С. Иногда мы будем исклю-
исключать символ d из, обозначения и просто говорить, что С есть
цепной комплекс. Мы определяем циклы Z(C), границы В (С) ж
гомологии Н(С) формулами Z (С) = ker d, В (С) = im d, H (С) =
= Z(C)/B(C). Все это — градуированные модули.
Часто приходится сталкиваться с градуированными модулями
С, наделенными эндоморфизмом d с d* = 0, имеющим степень не
—1, а +1. В этом случае в обозначении градуировки принято
использовать верхние индексы вместо нижних, т. е. писать
C=(Cn)n=z и d = (dn: Cn-*-Cn+i). Такая пара (С, d) называется
коцепным комплексом. Существенной разницы между цепными
комплексами и коцепными комплексами нет, поскольку всегда
можно превратить один в другой, положив Сп = С~п. Поэтому мы
будем ограничиваться, по большей части, обсуждением цепных
комплексов, имея в виду, что все, что будет нами сказано, после
указанной переиндексации применимо и к коцепным комплексам.
[Заметим, впрочем, что разница появляется, когда мы рассмат-
рассматриваем неотрицательные комплексы, т. е. комплексы, у которых
Сп — 0 (или С" = 0) при п < 0; если представлять себе днффе-
§ в. ОБЗОР ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 13
ренциал действующим слева направо, то нетривиальная часть
неотрицательного цепного комплекса бесконечно вытянута влево,
а нетривиальная часть неотрицательного коцепного комплекса
бесконечно вытянута вправо.] Говоря о коцепных комплексах,
часто присоединяют ко всем терминам приставку «ко»; таким об-
образом, d может называться кограничным оператором, и анало-
аналогичным образом появляются коциклы Z(C), кограницы В (С) и
когомологии Н (С) = (Н71 (С))пег-
Если (С, d) и (С, d') — цепные комплексы, то цепное ото-
отображение из С в С есть, по определению, отображение /: С -*¦ С
степени 0, такое, что d'f — fd. Гомотопия k, связывающая цепное
отображение / с цепным отображением g, есть отображение
h: C-+C степени 1, такое, что d'h + kd=-f — g. Если существу-
существует гомотопия, связывающая / с g, то мы пишем / ^ g и говорим,
что / гомотопно g.
0.1. Предложение. Цепное отображение /: С-*• С инду-
индуцирует отображение Я(/): Н(С) ->-Я(С"), и H(f) =H(g), если
i<*g. U
Абелева группа гомотопических классов цепных отображений
С -*¦ С будет обозначаться через [С, С]. Часто бывает полезно
интерпретировать [С, С] как 0-ю гомологическую группу некото-
некоторого «функционального комплекса» af6omR{C, С"), определяемого
следующим образом: 2%>omR(C, C')n есть совокупность отображе-
отображений С -*¦ С степени п [таким образом, Жотпъ (С, С')п =
=1Тде'гНотн(Сд, ^в+п)]> и граничный оператор Dn: Жотпп{С,
С')п-+ 9eomR(C, C')n-t определяется формулой Dn(f) = d'f —
— (—l)nfd. [Здесь знак необходим для равенства D* = 0. Он согла-
согласуется также с другими стандартными правилами знаков — см.
упражнение 3 ниже.] Заметим, что 0-циклы — это в точности цеп-
цепные отображения С-*-С, а 0-границы — ценные отображения,
гомотопные 0. Таким образом, Н0B№от„(С, С')) = [С, С]. Более
общим образом можно интерпретировать в терминах цепных ото-
отображений HnC@omR(C, С')) с любым п. Именно, рассмотрим
комплекс (EnC, Snd), определяемый формулами (S"C)p = Cp_n,
2"d = (—l)"d; этот комплекс называется п-кратной надстройкой
над С. [При п = 1 вместо S'C мы пишем SC] Положим [С, С']п —
= [2"С, С]. Тогда Н„{Жотпв{С, С')) = [С, С%. Элементы мно-
множеств [—, —]„ называются гомотопическими классами цепных
отображений степени п.
Цеппое отображение /: С -*¦ С называется гомотопической
эквивалентностью, если существует такое цепное отображение
/': С'-*-С, что /'/ — idc и //'~idC/. Далее, цепное отображе-
отображение / называется слабой эквивалентностью, если H(f): H(C)-*-
-*-Н(С) есть изоморфизм.
0.2. Предложение. Всякая гомотопическая эквивалент-
эквивалентность является слабой эквивалентностью. ?
J4 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Цепной комплекс С называется стягиваемым, если он гомото-
пически эквивалентен нулевому комплексу, или, что эквивалент-
эквивалентно, если idc — 0. Гомотопия, связывающая idc с 0, называется
стягивающей гомотопией. Всякий стягиваемый цепной комплекс
ацикличен, т. е. #(С) = 0.
0.3, Предложение. Комплекс С стягиваем тогда и только
тогда, когда он ацикличен и всякая короткая точная последова-
последовательность вида 0 —> Zn+i -*¦ Cn+1-^-Zn ->- 0, где d индуцируется диф-
дифференциалом d, расщепляется.
Доказательство. Если h есть стягивающая гомотопия,
то сужение h\Z: Z-+C служит расщепляющим гомоморфизмом
для эпиморфизма d: С -*¦ Z. Обратно, предположим, что мы имеем
расщепление s: Z -*¦ С и, следовательно, разложение градуирован-
градуированного модуля С = ker d ® im s = Z © im s. Тогда мы можем по-
построить стягивающую гомотопию h: С-*-С, положив k\Z = s и
Aiims = 0. ?
0.4. Предложение. Короткой точной последовательности
0 —v С" -Х- С Д- С" —*¦ 0 цепных комплексов отвечает длинная точная
последовательность в гомологиях:
...->Я„(С)™ #„(С)^Нп(С")XНп.,(С) — ...
«Связывающий гомоморфизм» д является естественным в том
смысле, что коммутативной диаграмме
с точными строками соответствует коммутативный квадрат
0.5. Следствие. Вложение i: С -*¦ С в том и только в том
случае является слабой эквивалентностью, если комплекс С"
ацикличен. ?
Это показывает, что коядро С" вложения i наилучшим обра-
образом приспособлено для измерения «разности» между Н(С) и
Н(С). Сейчас мы определим «теоретико-гомотопическое» коядро
произвольного цепного отображения /: С -*¦ С, которое будет иг-
играть ту же роль, что коядро в случае вложения. Именно, конус
цепного отображения /: (С, d')-+(C, d) определяется как комп-
комплекс (С", d"), где С"=С©ЕС (в градуированном смысле) и
d" (с, c') = (dc + fc', —d'c'). В матричных обозначениях
/
О 2с
§ 0. ОБЗОР ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ J5
Мотивировка этого определения разъясняется в упражнении 2
ниже.
0.6. Предложение. Пусть /: С -*¦ С — цепное отображе-
отображение, и пусть С"—конус этого отображения. Тогда существует
длинная точная гомологическая последовательность
... — #п (С) ^1 Нп (С) -*» Яп(П+#«-1 (С) г* ...
В частности, f есть слабая эквивалентность тогда и только тогда,
когда комплекс С" ацикличен.
Доказательство. Имеется короткая точная последователь-
последовательность 0 -»¦ С-*- С" -*¦ ЪС -»- 0; применим к ней предложение 0.4.
Анализируя определение связывающего гомоморфизма ИГпBС")->-
-»- Hn-t(C), легко усмотреть, что он совпадает с Hn-i(f):
Mr,-i(C')^Hn-i(C). ?
Конусы цепных отображений полезны не только при изуче-
изучении слабых эквивалентностей, но и при изучении гомотопических
оквивалентностей.
0.7. Предложение. Цепное отображение /: Сг-+С в том
и только в том случае является гомотопической эквивалентностью,
если его конус С" стягиваем.
Доказательство. Прямое вычислительное доказательство
читатель может найти в стандартных учебниках (или провести
самостоятельно). Для разнообразия мы приведем здесь набросок
концептуального доказательства. Предположим сначала, что
комплекс С" стягиваем. Легко проверить, что в этом случае функ-
функциональный комплекс ЖотпЛ@, С") стягиваем для любого комп-
комплекса D; в частности, он ацикличен. Столь же легко проверить,
что комплекс Жотпвф, С") изоморфен конусу цепного отобра-
отображения 3eomR{D, f): 3eomR[I), С")-*- 2%>omR(D, С). Ввиду этого из
предложения 0.6 вытекает, что 36отпп(В, }) есть слабая эквива-
эквивалентность. На уровне Н„ это означает, что / индуцирует изомор-
изоморфизм [D, С] -»- [D, С] при любом D; отсюда уже стандартным
образом выводится, что / есть гомотопическая эквивалентность.
Обратно, предположим, что / есть гомотопическая эквивалентность.
Тогда легко показать, что и 3eomR{Dr f): 2@omR(D, С) -»-
-»- Жотпц (D, С) есть гомотопическая эквивалентность, так что ко-
конус последнего отображения 3@omR(D, С") ацикличен в силу
предложения 0.6. В частности, [D, С"] = 0 при любом D, и это
показывает, что комплекс С" стягиваем. Е
В заключение мы коротко напомним теоремы Кгоннета и уни-
универсальных коэффициентов. Если (С, d) (соотв. (С, d')) есть
цепной комплекс правых (соотв. левых) Л-модулей, то мы опре-
определяем тензорное произведение C®RC формулой (С®ЛС')„ =
= ©p+<7=7iCp®flC? и дифференциал D в нем формулой D(c®c') =
= dc®cr + (-i)d"cc®d'c', где с^С, с'^С. Для запоминания
знака в этой формуле и в других подобных формулах удобно
гл- !• НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
пользоваться следующим правилом знаков: когда что-то, имею-
имеющее степень р, переставляется с чем-то, имеющим степень q, то
возникает знак (—1)и. [В нашем случае дифференциал, который
имеет степень —1, переставляется с с, так что возникает знак
(—l)"desc = (—l)dege.] Заметим, что в случае произвольного R
комплекс C®RC' является просто комплексом абелевых групп,
в случае же коммутативного R он является комплексом
Д-модулей.
0.8. Предложение (формула Кюннета). Пусть R —коль-
—кольцо главных идеалов, и пусть С и С — цепные комплексы, причем
комплекс С покомпонентно свободен. Тогда существуют естествен-
естественные точные последовательности
0-у © Hp{C)®RHn_p(C')-*Hn{C
— © Тог?(Я„(С), Яп_р_! (С)) -> 0
р=г
и
0 -> П Ех1хд (Яр (С), Нр+п+1 (С)) -+
-*¦ Нп (Жотв(С, С')) ->¦ П Нот* (Яр (С), Нр+п (С)) -+ 0,
и эти последовательности расщепляются. П
Мы не напоминаем здесь определений операций Тог и Ext,
поскольку нам предстоит определить их в значительно большей
общности в § II 1.2.
Важный специальный случай предложения 0.8 доставляет си-
ситуация, когда С состоит из единственного модуля М, рассматри-
рассматриваемого как комплекс, сконцентрированный в размерности О
(т. е. Со = М, Сп = 0 при п Ф 0). В этом случае предложение 0.8
называется теоремой универсальных коэффициентов, и его точ-
точные последовательности принимают вид
0 -> Нп (С) ® н М -*- Нп (С ® в М) -¦- Тог? (#„_! (С), М) -* 0
(Яя_1(С), M)-yHnB%omR(C, M)) ->RomR(Hn(C), М)-у0.
[Здесь мы следуем стандартному соглашению, по которому
3eomR(C, M) надлежит рассматривать как коцепной комплекс
с Жотпп(С, M)n = 3@omR(C, Л/)_п = Ноти(С„, М); последнее ра-
равенство вытекает из того факта, что единственной ненулевой
компонентой степени — п градуированного отображения /: С -*¦ М
служит /„: Сп-+М.]
Упражнения
1. Пусть Т: (Я-модули)->E'-модули) есть ковариантный функтор, пере-
переводящий нулевой модуль в нулевой модуль (или, что эквивалентно, пере-
переводящий нулевые отображения в нулевые отображения). Для всякого цеп-
§ 0. ОБЗОР ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 17
ного комплекса (С, d) над Л возникает цепной комплекс (ТС, Td) над Л.
Покажите, что если Т есть точный функтор, то Н(ТС) ж ТН(С). [Напом-
[Напомним, что функтор Т называется точным, если он переводит точные последо-
последовательности в точные последовательности; очевидно, такой функтор Т со-
сохраняет мономорфизмы, эпиморфизмы, ядра, коядра и т. д.]
2. (Мотивировка определения конуса отображения.) Если f: С'-*-С —
цепное отображение, то «теоретико-гомотопическое коядро» С" должно
включаться в диаграмму С' —С Л-С с gf ~ 0. Таким образом, в комплекс
С" должны быть направлены цепное отображение g (степени 0) из С и го-
мотопия h (степени 1) из С; это подсказывает определение С" = С Ф 2С"
комилекса С" как градуированного модуля и принятие за g и h естествен-
естественных вложений. Покажите, что определение граничного оператора А" одно-
однозначно диктуется условиями, что g есть цепное отображение, а к есть го-
мотоиия, связывающая j/ с 0. [У к а з а п и е. Используя матричные обозна-
обозначения, положите
= (<*
и заметьте, что
После этого распишите матричные уравпения d"g = gd и d"fe + fed' = g/ и
решите их относительно a, [J, ft 6-1
Цель остальных упражнений заключается в том, чтобы продемопстри-
вать различные удобства, проистекающие из нашпх правил знаков в
Жот(—, —) и — ® —. Вряд ли у многих читателей хватит терпепия, чтобы
проделать все эти упражнения, но стоит проделать достаточное их коли-
количество, чтобы убедиться в том, что все разумные тождества для Жот и ®
будут справедливы, если следовать сформулированным выше правилам
знаков.
3. Для и е Зёот,ц(С, С')р и х е Сч положим <м, хУ = и (х)^ Cpfg- Пусть
d, d' и D — дифференциалы в комплексах С, С и Э@отв (С, С"). Проверьте,
что d'(и, ху = {Du, ху -\- (—1)р<и, dxy. [Это в действительности не что
иное, как вариант определения дифференциала D, но в такой форме это оп-
определение удобнее запомнить.] Другими словами, отображение значений
Эёотц (С, С) ®С-*-С, задаваемое формулой и($х>-> <и, хУ, является цеп-
цепным отображением.
4. Для v = ilgomtt(C, C')q и ue3@omR(C, C")p рассмотрим композицию
и о I', лежащую в 3eomR(C, С')р+Ч. Проверьте, что D(u о v) = Dm о v +
+ (—i)pu о Dv, где символ D обозначает дифференциал в каждом из трех
комплексов Жот; другими словами, компонирование градуированных ото-
отображений определяет цепное отображение Жотн (С, С") ® Жотн (С, С")->-
-*-Жотпц (С, С"). [Указание. Это упражнение, как и все последующие-
упражнения, удобно делать, пользуясь определением дифференциала D в
форме, данной в упражнении 3. Встав на эту точку зрения, мы записываем
определение композиции в виде (в»р, ху = <ц, <р, ж>> (ieC) п приме-
применяем d" к обеим частям последнего равенства. Применив после этого не-
несколько раз упражнение 3, мы приходим к равенству
(м о v), хУ + (—1)р+«<м о v, dxy =
= фи, (v, хУ
упрощающемуся до равенства
ф(и о v), х} = (Du в v, хУ + (—1)р<м о Dv, х},
которое и составляет нашу цель.]
2 К. С. Браун
18 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
5. Если Си С — цепные комплексы над коммутативным кольцом Л, то
формула с ® с V (— l)dog с de§ с' с' ® с определяет изоморфизм С ® л С 5-
^С'®НС между градуированными модулями. Докажите, что этот изо-
изоморфизм является цепным отображением.
0. Пусть С — комплекс правых Л-модулей, С — комплекс левых Л-моду-
лой и С" — комплекс Z -модулей.
(а) Существует канонический изоморфизм между градуированными
абелевыми группами
ф: Жотг(С®вС, С")%Жотп(С, Эвотг(С, С")),
задаваемый формулой <<<р(«), с>, с'} = (и, с&с'}, us Увотг (C®RC, С"),
с е С, с'еГ, [Набросок доказательства. Элемент множества
Жот7{С ®RC, t'")n ость семейство Z-отображений Cp^>r c^C"r+q+n.
Последнее, ввиду универсальных свойств тензорного произведения, есть не
что иное, к,ак семейство Л-отображений Ср -*¦ Нот,; (С?, Cp+q+n), т. е. как
отображение С-*-Жот7(С', С") степени п одного градуированного Л-мо-
дуля в другой градуированный Л-модуль. Кстати заметим, что Жотг(С', С")
обладает естественной структурой комплекса правых Л-модулей благодаря
наличию левого действия кольца Л в С и контравариантностн функтора
Пот по первому переменному: (иг)с') = и(гс'), где и е 3@от.7.Сс', С")
геД, с' е С] Покажите, что <р есть цепное отображение. [Указание.
Пусть d, d' и d" — дифференциалы в С, С и С", и пусть символ D обозна-
обозначает дифференциал во всех рассматриваемых комплексах Stfom. Применим
Л" к обоим частям равенства, определяющего <р; несколько раз применив уп-
упражнение 3, мы придем к равенству, в левой части которого должно стоять
«В(ф(в)), с}, с') + (-1)»<«р(в),<*с>, С'>+ (_1)р+««ф(„), с}, d'e'y,
где р = deg и и q = deg с, а в правой части —
фщ еде'} + (—1)р<ц, dc ® с") + (—1)р+?<м, с ® d'c'}.
Вспомнив определение ср, мы сможем заключить, что
), с>, с") = фи, с ® О
и, значит, что(ф(<р(и)), с>, с'> = <<ф(?ц), с>, с'>]
(Ь) Выведите из (а) (или проверьте непосредственно), что отображение
и: С ®rC-*-C" степени 0 тогда и только тогда является ценным отобра-
отображением, когда соответствующее отображение С-+-Зёитг (С', С") являет-
является цепным отображением.
7. Пусть С ж С (соотв. Е и Е') —комплексы правых (соотв. левых)
Л-модулей. Если и^Э@отв (С, С) и v ^2eomR (Е, Е'), то тензорное про-
произведение
и® te 2eomz(C®RE, С ®RE')
•определяется формулой
<м $ v, с ® е> = (—l)deg » de« с<«. с> ® <у, е>, гдесеС, ее Е.
(а) Пусть символ D обозначает дифференциал во всех трех рассматри-
рассматриваемых комплексах Жотп. Проверьте, что D(u® v) = Du <gi v + (—l)deg uu ®
(gi Z)y. Другими словами, операция «тензорное перемножение градуирован-
градуированных отображений» определяет цепное отображение
л (С, С) ® 5gomR (?, Е') ->- 5^omz (С ®RE, С ® R E').
[Указание. Действуйте, как в предыдущих упражнениях, пачав с при-'
менепия дифференциала к равенству, определяющему и ® v.]
§ 1. СВОБОДНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ' Ц>
(b) Выведите из (а) (или проверьте непосредственно), что если
и: С-*-С есть цепное отображение (степени 0), то формула v*-» и, ® v оп-
определяет цепное отображение 3@omR(E, Е') -+3ёотг (С ®л Е >-* С ®RE').
(c) Выведите из (а) (или проверьте непосредственно), что тензорпое
перемножение цепных отображений в следующем смысле согласовано с го-
мотопиями: если даны цепные отображения и гомотопип u0 ~ щ: С-*-С л
v0 ~ vt: Е-*-Е', то мо® "о ^ Щ ® : C®rE-*-C ®rE'. [Указание: м0 и
«1 представляют собой гомологичные ((-циклы в Зёотя(С, С), и подобное
верно для vo и vi; ввиду граничной формулы из (а) это показывает, что
uo ® i>o И ui $ i>i — гомологичные 0-циклы в Жот 7(С ®н Е, С ®R ?').]
8. Покажите, что операция тензорного перемножения из предыдущего
упражнения согласована с композицией градуированных отображений,
т. е. что
(и ® v) о (м' ® v') = (- l)deg " desu' (м о и') ® (о о „'),
если входящие в формулу композиции определены.
§ 1. Свободные резольвенты
Пусть R — кольцо (ассоциативное с единицей) и М — (левый)
Л-модуль. Резольвентой модуля М называется точная последова-
последовательность Л-модулей вида
Если все модули Ft свободны, то говорят о свободной резольвен-
резольвенте. Свободные резольвенты существуют у всякого модуля М и
могут быть построены очевидной индуктивной процедурой: вы-
выбираем эпиморфизм е: Fo~+ М со свободным Fo, затем выбираем
эпиморфизм Fi -»- ker е со свободным Fi и т. д. Заметим, что
начальный отрезок Ft -*¦ F<, -*¦ М -*¦ 0 свободной резольвенты мо-
может рассматриваться как задание модуля М посредством образу-
образующих и соотношений.
Существует два разумных способа интерпретировать резоль-
резольвенты как цепные комплексы1). Первый состоит в том, что сама
резольвента рассматривается как ацикличный цепной комплекс,
в котором М имеет степень — 1. Этот комплекс называется руг-
ментированным цепным комплексом, ассоциированным с резоль-
резольвентой. Второй способ заключается в том, что рассматривается
неотрицательный цепной комплекс F = (Fi, д(){>1), наделенный
цепным отображением е: F-+M, где М рассматривается как
цепной комплекс, сконцентрированный в размерности 0. При та-
таком подходе предположение о точности означает просто, что 8
есть слабая эквивалентность.
В случае, когда существует такое целое число п, что F{ = 0
при i > n, мы скажем, что резольвента имеет длину <п. В этом
') Терминологию и основные факты, относящиеся к цепным комплек-
комплексам, см. в § 0.
2»
20 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
случае мы просто будем писать
О -+• Fn -> ... -*- Fo ->' М -+• О,
подразумевая, что резольвента продолжается влево нулями.
Примеры. •/-/)
1. Свободный модуль F допускает свободную резольвенту
длины 0.
2. Если R = Z (или любое другое кольцо главных идеалов),
то подмодули свободных модулей свободны, и поэтому любой мо-
модуль М допускает свободную резольвенту
длины <1. Например, Z-модуль Z2 = Z/2Z допускает ре-
резольвенту
3. Пусть снова М есть группа Z2> рассматриваемая теперь
х;ак модуль над кольцом многочленов R = 'Z[T], в котором Т
действует нулевым образом (т. е. f(T) действует как умножение
па/@)). Тогда М может рассматриваться как факторкольцо
кольца R по идеалу, порожденному Г и 2. Используя единствен-
единственность разложения на множители в R и тот факт, что Т и 2
взаимно просты, легко получить свободпую резольвенту длины 2
где g(/)=/@)mod2, а д± и д2 определяются соответственно мат-
матрицами (Т 2) и (_!г).
4. Пусть R = Z [Т]/(Т2 — 1), и пусть t есть образ Г в Л. Пусть,
далее, М есть Л-модуль R/(t — 1). (Иначе говоря, М есть груп-
группа Z, в которой t определяет тождественное преобразование.)
Поскольку Тг — 1=(Т—1) (Т + 1), ясно, что элемент кольца R
имеет нулевое произведение с t — 1 (соотв. с t +1) в том и
только в том случае, если он делится па t + 1 (соотв. на t— 1).
Благодаря этому мы получаем свободную резольвенту
<—1 /+i <-i
... R—* R—> R—*- R-+M-+0.
Заметим, что, в отличие от резольвент из предыдущих примеров,
эта резольвента имеет бесконечную длину. В действитель-
действительности, как мы увидим ниже (см. § И.З, упражнение 2), модуль
М вообще не имеет свободных резольвент конечной длины.
§ 2. ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 21
В этой книге мы будем, главным образом, интересоваться
случаем, когда R есть групповое кольцо, так что мы сделаем
сейчас отступление и напомним, что такое групповые кольца.
§ 2. Групповые кольца
Пусть G — группа, записанная мультипликативно. Обозначим
через ZG (или Z [G]) свободный Z-модуль, порожденный
элементами группы G. Таким образом, всякий элемент ZG един-
единственным образом представляется в виде Zig(=c,a>(g) g, где a(g)eZ
и a(g) = 0 почти для всех g. Умножение в G единственным об-
образом продолжается до Z-билинейного умножения TLG X ZG-*-ZG,
что делает ZG кольцом, называемым целочисленным групповым
кольцом группы G.
Заметим, что G есть подгруппа группы (ZG)* единиц коль-
да Z G и что Z G обладает следующим универсальным
свойством.
2.1. Для любого кольца R и любого группового гомоморфизма
/: G -*- R* существует единственный кольцевой гомоморфизм
%G-*R, продолжающий /. Таким образом, имеет место следу-
следующая «формула сопряжения»:
Нот(„Ольца) (ZG, R) « Нот(группы) (G, R*).
Примеры.
1. Пусть G — циклическая группа порядка п и; t — ее обра-
образующая. Тогда степени t* (O^t^re —1) составляют Z- базис
в ZG, в то время как tn = 1. Отсюда следует, что ZG та
)
2. Если G — бесконечная циклическая группа с образующей t,
то ZG имеет Z- базис {tx){=i. Следовательно, кольцо ZG мо-
может быть отождествлено с кольцом (обычно обозначаемым через
2 [t, 2]) многочленов Лорана S»szai*l(aie Z, а( = 0 почти
для всех г)>
Упражнения
1. Определим для произвольной группы G аугментацию как кольцевой
гомоморфизм е: ZG-»-Z, такой, что e(g) = 1 для всех g<=G. Ядро гомо-
гомоморфизма е называется аугментационным идеалом 2 G и обозначается че-
через / или IG.
(a) Показать, что разности вида g — 1 (g e G, g Ф i) составляют в / ба-
базис, как в Z -модуле.
(b) Покажите, что если S — множество образующих группы G, то разно-
разности вида s — 1 (sgiS) порождают / как левый идеал.
(c) Обратно, если S — такое множество элементов группы G, что раз-
разности вида s — 1 (s e S) порождают / как левый идеал, то S порождает G.
[Указание. Из условий, паложенных на S, вытекает, что всякий элемент
¦деала / представляется как сумма разностей вида g — g', где g = g's*1
22 гл. i. немного гомологической алгебры
для некоторого s s S. Записав таким образом g— 1, где g — произвольныii
элемент группы G, мы заключаем, что существует последовательность.
g\, g2, ¦¦ ¦, 8п элементов группы G, такая, что gi = g, gn = 1 и #. = ?i+]sfl
для некоторого s< e -S. Идея другого доказательства содержится в упраж-
упражнении 2 к следующему § А.\
(d) Покажите, что G есть конечно порожденная группа в том и только
том случае, если / есть конечно порожденный левый идеал.
2. Пусть G — циклическая группа с образующей t, и пусть М есть G-мо-
G-модуль1), в кртором t действует как тождественное преобразование. (Иначе-
говоря, М = ZG/1 = !Gj(t — 1).) Напишите свободную резольвенту мо-
модуля М. [Случай \G\ = 2 разобран в примере 4 к § 1.]
§ 3. G-модули
(Левый) XG -модуль, называемый также G-модулем, состоит
из абелевой группы А и гомоморфизма кольца ?G в кольца
эндоморфизмов группы А. В силу 2.1 кольцевые гомоморфизмы
указанного вида в точности соответствуют групповым гомомор-
гомоморфизмам из G в группу автоморфизмов группы А. Таким образомг
G-модуль — это просто абелева группа А, наделенная действием
группы G. Например, всякая абелева группа А обладает три-
тривиальной модульной структурой, в которой ga = а для любых
g <= G, а^А. (Таким образом, в этом случае для любого reZG
имеет место равепство га = е (г)а, где е: ZG -*- Z — аугмента-
аугментация, о которой шла речь в упражнении 1 к § 2.)
Один из способов построения G-модулей состоит в линеариза-
линеаризации перестановочных представлений. Точнее, если X есть G-mho-
жество (т. е. множество, наделённое действием группы G), то мы
образуем свободную абелеву группу XX (обозначаемую такжо
через Х[Х]), порожденную X, и распространяем действие груп-
группы G в X до Z -линейного действия группы G в XX. Возника-
Возникающий G-модуль называется перестановочным модулем. В частно-
частности, имеется перестановочный модуль Z [G/H J для всякой под-
подгруппы Н группы G, где G/H есть множество смежных классов
gH и G действует на G/H посредством левых сдвигов.
Операция дизъюнктного объединения в категории G-множеств
соответствует операции прямой суммы в категории G-модулей:
Следовательно, всякий перестановочный модуль XX допускает
разложение
XX « © X [G/Gx],
где х пробегает множество представителей G-орбит в X и Gt
есть стационарная подгруппа группы G, отвечающая точке х.
') Что такое G-модуль, объясняется несколькими строчками ниже.—
Примеч. пер.
§ 4. РЕЗОЛЬВЕНТЫ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ 23
В частности, если X есть свободное G-множество (т. е. если все
стационарные подгруппы тривиальны), то G/Gx = G, и мы
получаем:
3.1. Предложение. Пусть X есть свободное G-множество
и Е есть множество представителей G-орбит в X. Тогда ZX есть
^свободный 7,G -модуль с базисом Е. О
Замечание. Если к есть произвольное коммутативное
кольцо, то можно образовать групповую алгебру kG группы G
над к. Это — свободный ^-модуль, порожденный G и наделенный
единственным ^-билинейным умножением, продолжающим груп-
групповое умножение в G. Все сказанное в этом параграфе очевид-
очевидным образом обобщается на эту ситуацию. Например, kG-yio-
дуль — это просто ^-модуль А, наделенный (й-линейным) дей-
действием группы G.
Упражнения
1. Пусть Н — подгруппа группы G, и пусть Е есть множество предста-
представителей правых смежных классов Hg. Покажите, что кольцо ZG, рас-
рассматриваемое как левый модуль над своим подкольцом Zff, является сво-
свободным и имеет, базис Е.
2. Используя перестановочные модули, найдите невычислительное ре-
решение упражнения 1(с) из § 2. [Указание. Пусть Я —подгруппа груп-
группы G, порожденная 5; рассмотрим перестановочный модуль 2[G/H]. Он
обладает элементом, неподвижным относительно Я и, следовательно, анну-
аннулируемым /. Но тогда этот элемент неподвижен и относительно G.]
§ 4. Резольвенты Z над XG, имеющие
топологическое происхождение
В этом параграфе мы будем рассматривать Z как "ZG-uo-
дуль с тривиальным действием группы G. Целью параграфа яв-
является построение свободных резольвент этого модуля при по-
помощи свободных действий группы G в стягиваемых клеточных
пространствах.
Под G-пространством мы понимаем клеточное пространство X,
наделенное действием группы G посредством преобразований,
переставляющих клетки. Таким образом, каждому элементу g
группы G отвечает гомеоморфизм х >->¦ gx пространства X, такой,
что образ ga произвольной клетки о пространства X снова есть
клетка. Например, если X есть симплициальное пространство, на
котором G действует посредством симплициальных преобразова-
преобразований, то X есть G-пространство.
Если X есть G-пространство, то действие группы G в X ин-
индуцирует действие группы G в клеточном цепном комплексе
С*{Х), который тем самым превращается в цепной комплекс
б'-модулей.
Мы скажем, что X есть свободное G-пространство, если дей-
действие группы G свободно переставляет клетки пространства X
24 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
(т. е. если go Фа для всех о и g^l). В этом случае каждый из
модулей Сп(Х) обладает Z-базисом, свободно переставляемым
группой G, и потому является, в силу 3.1, свободным ZG-моду-
лем с базисом, элементы которого соответствуют G-орбитам
в множестве клеток. (Заметим, что для задания такого базиса мы
должны выбрать представляющую клетку в каждой орбите и за-
затем выбрать ориентацию в каждой пз этих представляющих
клеток.)
Наконец, если пространство X стягиваемо, то II ^Х я* #* (pt)>
другими словами, последовательность
точна. Таким образом, мы получаем:
4.1. Предложение. Пусть X — стягиваемое свободное
G-пространство. Тогда аугментированный клеточный цепной комп-
комплекс пространства X представляет собой свободную резольвенту
Z над ZG. ?
Читатель, которому доводилось изучать накрывающие прост-
рапства, разумеется, знаком с большим количеством примеров.
свободных G-пространств. Действительно, предположим, что-
р: ? -*¦ У есть регулярное накрытие, для которого G является
группой скольжений. (Обзор регулярных накрытий см. в допол-
дополнении к этой главе.) Если У есть клеточное пространство, то Y
получает клеточную структуру, причем такую, что действие груп-
группы G в F переставляет клетки — по поводу этого элементарного
факта см. Шуберт [1968], Ш.6.91). Именно, клетки простран-
пространства Y, лежащие над клеткой о пространства У,— это просто-
связные компоненты множества р~1(о); эти клетки переставля-
переставляются группой G свободно и транзитивно, и каждая из них го-
меоморфно отображается па о посредством р. Таким образом, Y
есть свободное G-пространство и С* (У) есть комплекс свобод-
свободных 1LG -модулей, базисные элементы которых отвечают клеткам
пространства Y.
Ввиду предложения 4.1 особенный интерес представляют кле-
клеточные пространства У, удовлетворяющие следующим трем
условиям:
(a) У связно;
(b) я1У = С;
(c) универсальная накрывающая X над Y стягиваема.
Такие пространства У называются пространствами Эйленберга —
Маклейна типа (G, 1) или просто K(G, ^-пространствами. Усло-
Условие (Ь) следует понимать в том смысле, что фиксированы отме-
') Переводчик надеется, что недоступность источника компенсируется,
вдесь тривиальностью предмета.— Примеч. пер.
§ 4. РЕЗОЛЬВЕНТЫ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ 25
ченная точка y^Y и определенный изоморфизм я1(У, y):=*-G,
посредством которого мы отождествляем ni(Y, у) с G.
Иногда бывает удобно заменить условие (с) эквивалентным
условием
(с') #,(Х) = 0 при i>2.
Эквивалентность проверяется автоматически: очевидно, что из
(с) следует (с'), и столь же очевидно, что из (с') вытекает, что
пространство X ациклично, т. е. что Н%Х«7/#(pt); в то же
время из элементарной теории гомотопии известно, что односвяз-
ные ацикличные клеточные пространства стягиваемы. [Читатель,
не знакомый с последним фактом, может просто принять за о п-
ределение K(G, 1)-пространства условия (а), (Ь) и (с'), по-
поскольку мы никогда не будем всерьез использовать тот факт, что
пространство X стягиваемо. Заметим, например, что предложе-
предложение 4.1 останется верным, если заменить в нем слово «стягивае-
«стягиваемое» словом «ацикличное».]
Из элементарной теории гомотопии вытекает также, что усло-
условие (с) эквивалентно условию
(с") яТ = 0 при i>2.
Таким образом, пространства Эйленберга — Маклейна — это в точ-
точности асферические пространства, изучавшиеся Гуревичем (см.
введение). Но и этот факт нам не потребуется.
Если Y есть K(G, 1), то универсальное йакрытие р: X-+Y
<?сть регулярное накрытие, группа которого изоморфна я^У = G.
[Изоморфизм зависит от выбора отмеченной точки в X — см. до-
дополнение.] Таким образом, мы получаем из предложения 4.1
4.2. Предложение. Если Y есть K(G, 1), то аугментиро-
тнный клеточный цепной комплекс универсальной накрывающей
пространства Y есть свободная резольвента Ъ над ZG. Q
Мы ограничимся сейчас одним примером. Многие другие
примеры появятся в гл. II и в последующих главах.
4.3. Пример. Пусть G = F(S) —свободная группа, порож-
порожденная множеством S. Пусть, далее, Y = \Jt=sS\ — букет окруж-
окружностей, поставленных во взаимно однозначное соответствие с S.
Таким образом, Y есть одномерное клеточное пространство, име-
имеющее ровно одпу вершину и имеющее по одной одномерной клет-
клетке для каждого элемента множества S. Хорошо известно, что
iitY&F(S). Более того, Y есть K(F(S), 1), поскольку условие
(с') выполняется по тривиальным причинам (X одномерно). За
отмеченную точку в X мы примем какую-нибудь вершину х„; эта
вершина представляет единственную G-орбиту в множестве вер-
вершин пространства X и потому порождает свободный ZG-модуль
Со(Х). Чтобы построить базис в С1(Х), мы зафиксируем для
каждого ss5 ориентированную 1-клетку е, пространства X, ле-
2g ' ¦ гл, i, немного гомологической алгебры
жащую над окружностью S\ (проходимой в положительном/
направлении). Заменяя клетку ев клеткой ges с подходящим
geG, мы. можем добиться того, чтобы начальная вершина каж-
каждой из клеток es совпадала с отмеченной точкой х0; конечной
точкой клетки е„ будет тогда sx0 (см. дополнение, Д1), так что
des = sxa — х0 = (s — 1)х0. Мы получаем, таким образом, свободную-
резольвенту
D.4) O-*ZG(S)^ZG^-Z-*O,
1'Дэ ZG(S) есть свободный ZG-модуль с базисом (es)seS, 0es —
— s — 1, и е (g) = 1 для всех g e G.
Замечания. 1. Заметим, что е совпадает с естественной
аугментацией группового кольца ZG, которая была определена
в упражнении 1 к § 2. Точность последовательности D.4) озна-
означает поэтому, что аугментациошшй идеал кольца Z[F(S)\ есть
свободный левый Z [F(S)]-модуль с базисом (s — l)seS.
[Позднее мы наметим чисто алгебраическое доказательство этого
факта —см. упражнение 3 (Ь) к § IV.2.] Читателю, который не
привык иметь дело с модулями над некоммутативными кольцами,
может показаться удивительным, что кольцо XG1 которое явля-
является над собой свободным модулем ранга 1, может содержать
свободный модуль ранга >1; подобное невозможно в комму-
коммутативном кольце R, ибо любые два элемента a, b^R линейно
зависимы: (—Ь) • а + а ¦ Ъ = 0.
2. Если S состоит из единственного элемента t (т. е. если G
есть бесконечная циклическая группа), то D.4) сводится к «оче-
«очевидной» резольвенте, которую читатель, вероятно, написал, решая
упражнение 2 к § 2:
D.5) O-^ZG-^XZG^Z-^O.
Заметим, что в этом случае X есть просто прямая К1, в которой
t действует как сдвиг х -* х + 1:
0 о ,, о г— о—
Ггх0 Г'д:0 х0 txQ t2x0
3. Стягиваемое свободное F (S) -пространство X и, таким обра-
образом, резольвенту D.4) можно построить прямо, не привлекая
теорию накрытий и даже не используя тот факт* что Jij ( V д^1)==
= F (S). Именно, X можно определить как одномерное симпли-
циальное пространство, вершины которого представляют собой
элементы группы G = F(S) и 1-симплексы которого представля-
представляют собой пары {g, gs} (g^G, s^S). Действие группы G в себе
левыми сдвигами индуцирует симплициальное действие группы
G в X, которое, очевидно, является свободным. Наконец, легко
§ 4. РЕЗОЛЬВЕНТЫ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ 27
построить явную стягивающую гомотопию, которая стягивает X
к вершине 1 вдоль путей вида
9=9п #i-i 0! до=\
где g = s®i.«. ^"—приведенное слово длины п (s(^S, г{ = ±1,
Рис. 1
«< = 8,+i при Si = sj+i) и gi = s*1... s*J. В случае, если, напри-
например, S есть двухэлементное множество is, t), пространство X есть
дерево, изображенное на рис. 1.
Упражнения
1. В случае, когда X есть произвольное G-пространство, обязательно ли
Сп(Х) будет перестановочным модулем?
* 2. Пусть X — свободное G-пространство, где G — произвольная группа.
Покажите, что всякая точка пространства X обладает такой окрестностью
U, что gU П U = 0 для любого g Ф 1 из G. Выведите отсюда, что X -*- X/G
есть регулярное накрытие с группой G. В частпости, если X стягиваемо, то
X/G есть K{G, 1) и X есть универсальная накрывающая над K(G, 1).
[Указание. Клеточное пространство_Х с явно заданными характеристи-
характеристическими отображениями (Вп, Sn~l) ->• (а, да) для егоклехок обладает ка-
каноническим открытым покрытием {Uo}, индексированным клетками и та-
таким, что {/0 П U% = 0, если о и т — различные клетки одной размерности.
Например, если пространство X симплицпалыго, то за Ua можно взять от-
открытую звезду барицентра симплекса о в барицентрическом подразделении
пространства X.]
28 ' ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
3. Пусть G — свободная абелева группа ранга 2. Используя методы это-
этого параграфа, постройте свободную резольвенту Z над ZG.
* 4. (Это упражнение требует некоторого знакомства с гомотопической;
теорией.)
(a) Покажите, что для любой группы G существует K(G, 1). [Указа-
п и е. Начните со связного двумерного клеточного пространства, у которого
Л] = G; затем уничтожьте высшие гомотопические группы при помощи при-
приклеивания клеток.]
(b) Покажите, что конструкция (а) может быть сделана функторналь-
ной по G. [Указанно. Если (п — 1)-остов У"-' уже построен, приклейте-
к нему п-мерныо клетки по всем возможным отображениям Sn~] -*¦ Y"~l.\
§ 5. Стандартная резольвента
Пусть X — стягиваемое симплициалыюе пространство, па кото-
котором снмплицпалыю действует группа G. Может случиться, что-
действие группы G па вершинах свободно, а на симплексах стар-
старшей размерности — не свободно. [Такого не может быть, если G
не имеет кручения.] В этом случае мы все равно получим сво-
свободную резольвенту Z над ZG, используя вместо обычного цеп-
цепного комплекса С1* (X) упорядоченный цепной комплекс Сф (X)
(см. Спеньер [1966], гл. 4, § 3). Группа Сп(Х) имеет Z-базис,
состоящий из всех упорядоченных (ге + 1)-ок (v0, ..., vn) вершин
пространства X, таких, что {v0, ..., vn) есть симплекс простран-
пространства X (размерности <п, если не все vt различны). Поскольку G
очевидным образом свободно действует на таких (п + 1)-ках, мы
получаем свободную резольвенту Z над ZC
Наиболее очевидный пример такого X есть «симплекс», натя-
натянутый на G; именно, вершины пространства X — это просто эле-
элементы группы G (G действует па них посредством левых сдви-
сдвигов), и всякое ко печное подмножество группы G есть симплекс
пространства X. [Если группа G конечна, то это — настоящий
симплекс; в противном случае это — бесконечномерный аналог
обычного симплекса. В любом случае этот симплекс стягиваем по-
посредством прямолинейной стягивающей гомотопии.] Соответству-
Соответствующая свободная резольвента F* = Ct (X) называется стандарт-
стандартной резольвентой Z над G/. Явным образом Fn можно описать
как свободный Z-модуль, порожденный (ге + 1)-ками (g0, ..., gn)
элементов группы G, на которых группа G действует по формуле
?(#о, ..., gn) = (ggo, .... ggn). Граничный оператор д: Fn-*Fn-y
определяется, в свою очередь, формулой д = 2Г=о (— 1)* <^и гДе
E.1) dt(g0, ..., ?„) = (?„, ..., 9„ .... gn).
Наконец, аугментация е: Fo-*-Z определяется формулой e(go) =
= 1. Заметим, что ацикличность (т. е. точность) этого аугменти-
рованного комплекса была нами выведена из стягиваемости X,
но она может быть проверена и прямо, путем выписывания стя-
стягивающей гомотопии h для нашего аугментированного комплек-
§ 5. СТАНДАРТНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА 29
са, рассматриваемого как комплекс Z-модулей (смысл последней
оговорки состоит в том, что h не будет G-отображением). Имен-
Именно, мы определяем h формулой h(g0, ..., gn) = (l, ga, ..., gn) при
п^ 0 и формулой йA) = A) прига = — 1.
В качестве базиса в свободном ZG-модуле Fn мы можем
взять множество (тг + 1)-ок, у которых начальный элемент есть 1:
такие (тг + 1)-ки представляют G-орбиты (п + 1)-ок. Часто бы-
бывает удобно записывать такие (п+1)-ки в виде A, gt, gigz, ...
• • •) gtgz ¦ ¦ • g*) и вводить «бар-обозначения»
[gi\gi\ ••• 1|ГП]=A, gl, gigl, ••-, glgi.'.gn).
(При п = 0 имеется ровно один такой базисный элемент, полу-
получивший у нас обозначение [ ]; при очевидном отождествлении
Fa с ZG этому элементу соответствует 1.) Легко вычислить дей-
действие в ZG-базисе {[gj ... \gn]} дифференциала д: Fn-*-Fn-i.
Оказывается, что д = 2Г=о (— 1)гс^4, где dj есть ZG-гомоморфизм,
задаваемый формулой
E.2) di{[g1\...\gn]) =
\gi Igi! • • • I gn] при i = 0,
= [Sil ¦•• \gi-i\gigi+i\gi+*\ •¦•\gn] при 0<i<n..
[igi\ •¦• \gn-i] при i =ra.
Эта стандартная резольвента F% часто называется бар-ре-
бар-резольвентой. В малепьких размерностях она имеет вид
где di([g\h]) = g[h]-[gh] + [gl 0t ([*]) = *[ ]-[ ]-g-l и
e(l)-1.
В заключение мы упомянем нормализованную стандартную
(или бар-) резольвенту F^ — F^/D^, где D% — «вырожденный»
подкомплекс комплекса F^, порожденный (п + 1)-ками (g0, •••
..., gn), в которых gi = gi+i при некотором i. В бар-обозначениях
комплекс Z)* может быть описан как G-подкомплекс комплекса
F^., порожденный элемептами [gil...lgn], в которых gt = 1 при
некотором L Таким образом, Р„ есть свободный ZG-модуль,
в котором базисные элементы (обозначаемые по-прежнему через
[gil...lgn]) соответствуют n-кам нетривиальных элемептов груп-
группы G. Что комплекс F.t ацикличен над Z и, следовательно,
является резольвентой, вытекает из общих фактов, касающихся
нормализации (см. Маклейн [1963], § VIII.6); а можно просто
заметить, что построенная выше стягивающая гомотопия h пе-
переводит D* в себя и потому индуцирует стягивающую гомотопию
на факторкомплексе F*.
30
ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Упражнения
1. Запишите оператор гомотопии h через Z-базис g[g\ \...\ gn] в Fn.
2. Выпишите нормализованную бар-резольвенту в случае, когда G есть
группа порядка 2; сравните ее с резольвентой, построенной в примере 4 § 4.
* 3. (а) Покажите, что стандартная резольвента есть клеточный цепной
комплекс некоторого стягиваемого G-пространства Х. Заметьте, что это да-
ч'т повое решение упражнений 4 (а) и 4 (Ь) из § 4. [У к а з а п и е. Для каж-
каждой (п + 1)-ки о = (go, ..., gn) обозначим через А„ экземпляр стандартного
л-симплекса с лсрпшпами v0, ..., vn. Пусть d,o = (go, . •., gi, • ¦ •, gn),
и пусть 6^. A(i-(y-*-Aa—линейное вложение, переводящее v0, ..., yn-i в
го, ..., 'vi, ..., vn. Образуем дизъюнктное объединение XQ = ЦоДаи по-
построим из негоХ путем отождествления симплекса Д,}.а с его образом при
вложении &i для всех о и всех i. Используя проекцию С„ (^0) -*¦ С^(Х),
иычислите граничный оператор в С* (X) и убедитесь в том, что б'* (X) « F.
Чтобы доказать, что X стягиваемо, для каждого а рассмотрите ha = (I, go, ...
..., gn) и воспользуйтесь прямолинейной гомотопией между бо: До-*-Дло
и постоянным отображением Дст -*¦ Д?1а со значением i>o]
(b) Сделайте то же для нормализованной стандартной резольвенты.
[Указание. Воспользуйтесь тем же методом, что в (а), но проделайте в
А'о дальнейшие отождествления, смяв вырожденные симплексы на их грани.
Именно, для каждого а = (g0, ..., gn) положите Sid — (go, • • ¦- gi, gi, ¦¦•
-.., gn) и сожмите Д8.а на Д„ посредством линейного отображения, пере-
НОДЯЩОГО 1>о, • .., l'n+1 В V0, ..., V(, V{, ...,Vn.]
§ 6. Периодические резольвенты, построенные
при помощи свободных действий в сферах
Пусть X есть свободное G-пространство, которое гомеоморфно
нечетномерной сфере S2"-1. (Поскольку X компактно, группа G
обязательно должна быть конечной.)
Простой специальный случай теоремы
Лефшеца о неподвижных точках (см.
ниже упражнение 1) показывает, что
G тривиально действует в H2h-iX =
= Z. Положив С* = С* (X), мы получа-
получаем точную последовательность G-моду-
лей
*»-'»
F.1) о-
-!-*-...
Рис. 2
в которой каждый модуль d свободен. Сращивая вместе беско-
бесконечное число экземпляров последовательности F.1), мы получаем
свободную резольвенту Z над ZG, которая периодична с пе-
периодом 2к:
F.2)
h-i ->•
t -»- CQ —*¦ Z ->¦ 0.
5 7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕЗОЛЬВЕНТ . 31
Пример. Пусть G — конечная циклическая группа порядка
п с образующей t. Группа G свободно действует как группа вра-
вращений окружности S\ рассматриваемой как клеточное простран-
пространство с п вершинами и п 1-клетками (см. рис. 2). Заметим, что
HtSl порождается циклом е + te + fe + ... + tn~le — Ne, где N
есть «нормирующий элемент» 1 +1 + ... + Г кольца ZG, так
что F.1) принимает вид
О -»» Z -3» ZG !li. ZG ±+ Z ->¦ О,
где еA)=1 и r\(l) = N. Мы приходим к следующей периодиче-
периодической резольвенте периода 2, с которой читатель, вероятно, уже
знаком (упражнение 2 к § 2):
F.3) ...-
С другими примерами групп с периодическими резольвентами
мы встретимся в гл. VI.
Упражнения
1. Докажите следующий специальный случай теоремы Лефшеца о не-
неподвижных точках. Пусть X — конечное клеточное пространство и
/: X -*- X — такое отображение, что для всякой клетки о
/ (а) с и т.
dimT<dim<r
(В частности, / не имеет неподвижных точек.) Тогда число Лефшеца
^ (— l)*tr/j равно 0, где /< есть эндоморфизм свободной абелевой груп-
группы HiX/tors, индуцированный отображением /. [Указание. Число Леф-
Лефшеца может быть вычислено на цепном уровне, а матрица отображения, ин-
индуцируемого / в цепях, имеет на диагонали только нули.1 Если Н^Х «
«ff^SZ"-!^ выведите отсюда, что отображение/»: Н2п_1Х-^ Hin_1X долж-
должно быть тождественным.
2. Докажите, что группа порядка 2 есть единственная группа, способ-
способная свободцо действовать на четномерной сфере.
§ 7. Единственность резольвент
Мы возвращаемся к общности § 1, т. е. будем иметь дел»
с произвольным кольцом R. Очевидно, что данный Д-модуль М
допускает много различных свободных резольвент; цель этого па-
параграфа состоит в том, чтобы доказать, что все эти резольвенты
гомотопически эквивалентны. В процессе доказательства этого
факта мы столкнемся с проблемой построения отображения, ко-
которая может быть представлена в виде диаграммы
G.1)
32
ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
где сплошные стрелки изображают заданные отображения
(с ;ф = 0), а пунктирная стрелка изображает отображение, кото-
которое мы хотим построить. Решением этой проблемы служит ото-
отображение яр: Р ->- М', такое, что Щ = ф. Модуль Р называется
проективным, если проблема G.1) разрешима при условии, что
строка диаграммы точна. Выражаясь короче, скажем, что мо-
модуль Р ироективен, если функтор Ногал(Р, —) точен.
С точки зрения наших теперешних целей, проективные модули
представляют интерес, главным образом, пз-за следующей леммы.
7.2. Лемма. Свободные модули проективны.
Доказательство. Пусть F — свободный модуль с базисом
(еа); рассмотрим проблему построения отображения
с точной строкой. Тогда ф(еа)е ker/ = im i, так что мы можем
тзыбрать Хъ^М' с г(#а) = ф(еа). Теперь за if можно принять
единственное /f-отображение с ty(ea) — ха. О
Следующая лемма имеет дело с более частными проблемами
построения отображения, которые приходится решать при индук-
индуктивном построении цепных отображений и гомотопии.
7.3. Лемма (а). Предположим, что нам дана диаграмма
•i I'
М' j*M т*М",
d d
<? которой d2fd = 0, и что нам нужно найти такое g, что dtg = fd.
Если модуль Р проективен и нижняя строка диаграммы точна, то
такое g существует.
(Ь) Предположим, что нам дана диаграмма (не обязательно
коммутативная)
в которой djid = d2f, и что нам нужно найти такое к, что d,k +
+ hd = f. Если модуль Р проективен и нижняя строка диаграммы
точна, то такое к существует.
§ 7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕЗОЛЬВЕНТ
33
Доказательство. Часть (а) очевидпа, поскольку данная
проблема построения отображения имеет вид G.1) с (p — fd.
Аналогично, (Ь) есть проблема вида G.1) с <р = /— hd. О
Теперь мы можем доказать «фундаментальную лемму гомоло-
гомологической алгебры», которая, грубо говоря, утверждает, что легко
строить ценные отображения и гомотопии нз проективного комп-
комплекса в ацикличный.
7.4. Лемма. Пусть (С, д) и (С, д')—цепные комплексы,
и пусть г — целое число. Пусть, далее, (ft: Ci-*-^'i)i^r—такое
семейство отображений, что d\j\ = /i-i^i при i < г. Если модуль
('¦i проективен при i> г и #((С") = 0 при i>r, то (/i)«r продол-
продолжается до цепного отображения /: С ->- С, причем такое / един-
единственно с точностью до гомотопии. Более того, любые два такие
продолжения соединяются такой гомотопией h, что h( = О при
i «S г.
Доказательство. Введем индуктивное предположение, что
/, уже определено при i =S п, где п S* г, и что д^х = fi-idi при
i «5 п. Мы приходим к проблеме построения отображения
С
I fn \ fn-1
+1
i-l,
где д'}пд = fn-tdd = 0. Нужное отображение /n+i здесь существует
в силу леммы 7.3 (а).
Предположим теперь, что g — другое продолжение семейства
(h)i>cr- Мы хотим построить гомотопию h между jug. Предполо-
Предположим, что Ь,г: С4-*-С;4-1 уже определено при i^n, где п^г, и
что d'ht-\- hi-fi = /,- — gi. (Заметим, что в качестве начального
шага индукции мы можем принять предположение, что ht = 0
при Кг.) Полагая tt — U — gi, мы приходим к проблеме по-
построения отображения
в которой
d'hnd = (тп — hn-^d [в силу индуктивного'предположения] =
= хпд [поскольку З3 = 0] =
= <9'тп+1 [поскольку х есть цепное отображение].
3 К. С. Браун
34 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Нужное отображение hn+i с d'hn+1 + hnd = т„+1 здесь существует
в силу 7.3 (Ь). ?
Замечание. Доказательство леммы 7.4 покажется знако-
знакомым всякому, кто изучал метод ацикличных моделей в алгебраи-
алгебраической топологии. Эту «аналогичность» мы объясним ниже в уп-
упражнении 3.
Пусть теперь е: F -> М и е': F'-+М'— две свободные (или
проективные) резольвенты модуля М. Считая их аугмептирован-
ными цепными комплексами с М в размерности — 1, мы приме-
применяем лемму 7.4 с г = —1:
I I I Ид* I
у у
... -ч-Fi-^F'^ М -*-0-* ...
Мы заключаем, что существует цепное отображение f: F -*¦ F'r
которое сохраняет аугментацию, т. е. удовлетворяет соотношению
е'/ = е. Более того, такое / единственно с точностью до гомотопии.
(Заметим, что хотя гомотопия h, доставляемая леммой 7.4, дей-
действует на уровне аугментированных цепных комплек-
комплексов, ее можно рассматривать и как гомотопию F -*¦ F', поскольку
h-i = 0.) Аналогичным образом строится сохраняющее аугмента-
аугментацию отображение /': F'->-F, и, опять-таки в силу утверждения
об единственности из леммы 7.4, /'/ — id* и //' ^ idj?'- Мы при-
приходим к следующему результату.
7.5. Теорема. Для любых проективных резольвент F и Fr
модуля М существует сохраняющее аугментацию цепное отобра-
отображение /: F -*¦ F', которое единственно с точностью до гомотопии
и является гомотопической эквивалентностью.
Выражаясь менее формально, можно сказать, что проективные
резольвенты «единственны с точностью до канонической гомото-
гомотопической эквивалентности». Пока мы, конечно, иптересуемся
главным образом свободными резольвентами, но позднее (начиная
с гл. VIII) нам придется рассматривать проективные резольвен-
резольвенты, про которые не будет известно, являются ли они свободными.
Для удобства будущих ссылок мы выделим два специальных
случая теоремы 7.5.
7.6. Следствие. Пусть е: F->-Z — свободная резольвента
группы Z, рассматриваемой как 1-модуль, Тогда е есть гомото-
гомотопическая эквивалентность.
Доказательство. Поскольку id?,: 2-*-Z также есть сво-
свободная резольвента, мы можем рассматривать s: F-*-X как со-
сохраняющее аугментацию цепное отображение одной свободной
резольвенты в другую. О
7.7. Следствие. Если F есть неотрицательный ацикличный
цепной комплекс, составленный из проективных модулей (над
произвольным кольцом R), то комплекс F стягиваем.
§ 7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕЗОЛЬВЕНТ 35
Доказательство. Комплекс F и нулевой комплекс пред-
представляют собой две проективные резольвенты нуля; следователь-
следовательно, они гомотонически эквивалентны. Другое доказательство см.
д упражнении 3 к § 8. П
Замечания. 1. На практике свободные резольвенты часто
задаются вместе с фиксированным базисом в каждой размерности,
и проверку того, что такой комплекс действительно является
резольвентой, обычно осуществляют при помощи явной стягива-
стягивающей гомотопии в этом комплексе, рассматриваемом как комп-
комплекс Z-модулей. В этом случае доказательство теоремы 7.5 до-
доставляет определенное отображение /: F -*¦ F'. Ииеппо, если к —
¦стягивающая гомотопия для аугментированного комплекса, ассо-
ассоциированного с F', то / определяется индуктивно формулой
fn+\(ea) = knfndea, где (еа) есть базис в Fn+l.
2. Теорема единственности 7.5 может рассматриваться как ал-
алгебраический аналог упоминавшейся во введении теоремы Гуре-
шша, утверждающей единственность с точностью до гомотопиче-
гомотопической оквивалентпости асферического пространства с данной фун-
фундаментальной группой.
Упражнения
1. Пусть G — конечная циклическая группа, и пусть F — свободная ре-
резольвента 2 над ZG, построенная в 6.3, а ?' — бар-резольвента. Выпишите
сохраняющее аугментацию цепное отображение /: F-+-F'.
2. Метод доказательства леммы 7.4 применим ко многим ситуациям,
некоторые из которых возникнут позднее в этой книге. Поэтому представ-
представляется полезпой следующая аксиоматизация этой леммы. Под аддитивной
категорией мы понимаем категорию S4-, в которой множества Нот (Л, В)
наделены структурой абелевой группы таким образом, что композиция
Tlom (В, С) X Нот (А, В) ->-Нот (Л, С) Z-бнлинейна. В частности, ввиду
наличия нулевых элементов 0 е Нот (Л, В), в категории si- имеет смысл
понятие цепного комплекса. Обычные определения цепного отображения и
гомотопии также сохраняют смысл без каких-либо изменений. [Заметьте,
что в определении гомотопип существенно используется аддитивность.]
Предположим теперь, что нам задан класс Ш последовательностей М'-*¦
—>-М-*-Л1" в si, называемых точными последовательностями. Скажем те-
теперь, что объект Р из si является проективным по отношению к <5, если
всякая проблема построения отображения 7.1, у которой строка принадле-
принадлежит В, имеет решение. Проверьте, что доказательство леммы 7.4 сохраняет
силу в этой ситуации и приводит к аналогу леммы 7.4 для цепных комп-
комплексов в S&. [Заметим, что в формулировке этого аналога предположение
ацикличности комплекса С должно быть заменено предположением, что по-
последовательность Ci+1 -»- Ci ->- Ci_l при г :=г г принадлежит d?.l Выведите
аналог теоремы 7.5.
3. Пусть 9 — произвольная категория и si — аддитивная категория,
объектами которой служат ковариантные функторы &-*¦ (абелевы группы)
и морфизмами которой служат естественные преобразования функторов.
Фиксируем подкласс М класса объектов категории 'S. Последовательность
Т'-*-Т-*-Т" из s4- называется М-точпой, если последовательность Т'{М) -»-
-+Т (М)-+¦ Т" (М) абелевых групп точна для любого М <=М. Цель этого уп-
упражнения—показать, что применение упражнения 2 к категории л?(с ё,
равным классу «^-точных последовательностей) приводит в точности к тео-
3*
36 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
реме об ацикличных моделях — см., например, Спеньер [1966], теорема
4.2.8, или Дольд [1972], предложение VI.11.7. Центральный момент состоит в
доказательстве в категории si аналога леммы 7.2; это доказательство наме-
намечено в нижеследующих частях (а) и (Ь) этого упражнения.
(а) (Лемма Йонеда.) Пусть А—объект категории ^, и пусть
hA: 9 -*¦ (множества) — ковариантный функтор, представляемый А, т. е.
hA = Нот^,(Л, —). Пусть, далее, иА е hA(A) —тождественное отображение
А -*¦ А. Пусть, наконец: Т: V-*¦ (множества) — произвольный ковариантный
функтор. Покажите, что для всякого v^T(A) найдется единственное ес-
естественное преобразование ф: hx-*-T, такое, что <${иА) = v. Таким обра-
образом, Нот^Лд, Г) « Т(А), где & — категория функторов <8 -*¦ (множества).
[Все это иожпо выразить совсем коротко: функтор hA «свободно порождается»
элемептом иА. Доказательство сводится к прямому сопоставлению опреде-
определений. Например, чтобы доказать единственность, достаточно заметить, что
для любого /еЬл (В) = Нот^ (Л, В), ввиду диаграммы
hA (А) > hA (В)
Г(/)
Т(А) >Т[В),
должно иметь место равенство <р(/) = 7(/)(у). Для доказательства суще-
существования нужно принять это равенство за определение и проверить, что
такое определение годится.]
(b) Пусть ^^^-^(абелевы группы)—композиция функтора А а с
функтором (множества)-»-(абелевы группы), который относит множеству
свободную абелеву группу, порождаемую этим множеством. Функтор
F: 41 -*¦ (абелевы группы) будет называться JC-свободным, если он изомор-
изоморфен прямой сумме ®aZhA , где Аае-Я при всех а. Выведите из (а), что
^-свободные функторы проективны по отношению к классу Jf-точных по-
последовательностей.
(c) Используя (Ь) и упражнение 2, сформулируйте и докажите теоре-
теорему о цепных отображениях в категории si из ^-свободных комплексов в
«^-ацикличные» комплексы. [Эта теорема есть в точности упоминавшаяся
выше теорема об ацикличных моделях.]
4. Другой важный специальный случай упражнения 2 получится, если
в качество si взять категорию, двойственную к категории Л-модулей. Дру-
Другими словами, в категории si- имеется один объект М° для всякого /?-моду-
ля М и один морфизм /': Afj[-»-.ftf2 для всякого Я-гомоморфизма /: Mr*-Mt.
Композиция морфизмов определяется формулой f°g° = {gf)°. За точные по-
последовательности в st- мы принимаем последовательности М1-*-М2-*-М3
для которых точны соответствующие последовательности Мз-*-М2-*-Mi,
Л-модулей. Применяя упражнение 2, мы получаем для цепных комплексов
в si- аналог леммы 7.4, который может быть очевидным образом перефор-
переформулирован как теорема о коцепных комплексах Я-модулей. Сформулируйте
явно эту теорему, а также теорему, соответствующую теореме 7.5. [R мо-
модуль Q называется инъективным, если соответствующий объект Q° категории
si проективен, или, что эквивалентно, если точен функтор HomH(—, Q). Ваша
теорема может быть, таким образом, сформулирована как теорема об ото-
отображениях ацикличных коцепных комплексов в коцепные комплексы, со-
составленные из инъективных модулей. Разумеется, чтобы сделать эту теоре-
теорему содержательной, мы должны найти аналог леммы 7.2, т. с. должны со-
станить достаточный запас примеров инъективных модулей. Такой аналог
мы представим позднее, в § Ш.4.]
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ 37
§ 8. Проективные модули
Возможно, чтение предыдущего параграфа вызвало у читате-
читателя желание узнать о проективных модулях нечто большее, чем
просто тот факт, что свободные модули являются проективными.
Поэтому ыы приведем в этом параграфе небольшое количество
результатов и примеров, относящихся к проективным модулям и
составленным из них комплексам. Никакого серьезного исполь-
использования этих результатов не будет до гл. VIII (разве что они
будут применяться к свободным модулям). Поэтому читатель
может сейчас пропустить этот параграф и вернуться к нему
позднее.
Наше первое наблюдение заключается в том, что для провер-
проверки проективности модуля Р можно ограничиться рассмотрением
проблем построения отображений вида G.1) с М" =0; действи-
действительно, диаграмма G.1) может быть заменена диаграммой
Мы получаем, таким образом:
8.1. Предложение. Модуль Р проективеи в том и только
в том случае, если для_ любого эпиморфизма я: М -*¦ М и любого
отображения ср: Р-*¦ М существует такое отображение i|): Р-*~М,
что ф = Jtip:
D
Существуют также следующие характеризации проективности.
8.2. IIредложение. Следующие условия на R-модулъ Р
эквивалентны:
(a) модуль Р проептивен;
(b) всякая точная последовательность вида 0 -*- М' -*¦ М -*- Р -*¦
-*¦ 0 расщепляется;
(c) модуль Р является прямым слагаемым свободного модуля;
(d) существуют элементы et^P и /<еНотл(Р, R) (где i про-
пробегает некоторое множество индексов I), такие, что для любого
х^Р почти все }((х) равны 0 и х = 2isr/i(^)^i-
Доказательство. Если модуль Р проективен и нам за-
задана точная последовательность условия (Ь), то мы можем рас-
расщепить ее, подняв отображение id: Р-*- Р до отображения Р -*- М.
38 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Следовательно, (а)=*-(Ь). Взяв такую точную последовательность
со свободным М, мы увидим, что (Ь)=*-(с). Из определения не-
немедленно вытекает, что прямое слагаемое проективного модуля
проективпо; следовательно, (с)=*-(а). Наконец, (d) есть просто
переформулировка (с). О
Примеры.
1. Пусть ееД — идемпотепт, т. е. е2 = е. Тогда умножение
справа на е есть оператор проектирования кольца R на его пря-
прямое слагаемое Re. Таким образом, левый идеал Re проектпвен.
2. Пусть R — (коммутативное) кольцо целостности и / — об-
обратимый идеал. [Это означает, что существует Л-подмодуль /
в поле частных кольца R, такой, что // = Я, где // есть множе-
множество конечных сумм вида 2 а^ь а%е Л ^Ч е /. ] Тогда / есть
проективный модуль. Действительно, если мы запишем 1 = S eihi
где е, е /, Де /, то будет выполнено условие 8.2 (d). [Умножение
па fa дает гомоморфизм / -*¦ R, который играет роль /; из 8.2 (d).]
С другой стороны, модуль / свободен только тогда, когда / есть
главный идеал, поскольку любые элементы а, Ъ<=1 линейно за-
зависимы.
3. Пусть i? = 2 [?], где 5 — примитивный корень двадцать
третьей степени из единицы. Из алгебраической теории чисел
известно, что R обладает идеалом /, который не является глав-
главным, но что всякий ненулевой идеал в R обратим. Таким обра-
образом, модуль / проективен, но не свободен.
4. Пусть G — циклическая группа простого порядка р. Суще-
Существует теорема, принадлежащая Риму, которая связывает проек-
проективные модули над Z.G с проективными модулями над Z[?].
где ? — примитивный корень р-й степени из единицы — см. Мил-
нор [1971], § 3. В частности, если р — 23, из примера 3 можно
вывести, что и над %G существуют несвободные проективные
модули.
5. Если R — рациональная групповая алгебра QG копечной
группы G, то можно показать, что всякий Д-модуль проекти-
проективен, см. ниже упражнение 5. В качестве иллюстрации к этому
факту мы покажем, что модуль Q с тривиальным действием
группы G проективеп. Прежде всего заметим, что функтор
HomQG(Q) _)есть просто «функтор инвариантов» М*-* MG, где
MG = {m& M: gm — т при всех g e G}.
Таким образом, мы должны показать, что всякий эпиморфизм
М -»- М одного QG-модуля на другой индуцирует эпиморфизм
Мс' -> Ма. Это доказывается путем усреднения: если т е MG,
поднимем т в М — получится пекоторый элемент т^ М;
тогда A/ \G\) 2g-=s Sm также служит поднятием т и содержит-
содержится в Ма.
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ 39
Обратимся теперь к теории двойственности для конечно по-
порожденных проективных модулей, аналогичной подобной теории
для копечномерпых векторных пространств над полем. Для ле-
левого .й-модуля М положим М* = Homn (М, R). Здесь, чтобы опе-
операция Нош была примепима, следует рассматривать R как левый
Д-модуль, по структура правого /^-модуля в R также необходи-
необходима — чтобы сделать М* правым Д-модулем; именно, мы полагаем
(иг) (m)=u(m)r для и^М*, r^R, m<=M. Аналогичным обра-
образом мы можем определить двойственный модуль для правого
модуля — ото будет левый модуль.
Главные факты относительно двойствепности собраны в сле-
следующем предложении. Особенно важны для наших дальнейших
целей части (Ь) и (с): они позволяют использовать двойствен-
двойственность, чтобы превращать Нот в ® и наоборот.
8.3. Предложение. Пусть Р — конечно порожденный ле-
левый проективный R-модулъ.
(a) Р* есть конечно порожденный правый проективный
R-модуль.
(b) Для всякого левого R-модуля М имеется изоморфизм
<р: Р* ®нЛ/^Нотн(Р, М)
абелевых групп, действующих по формуле ф(ы ® т) (х) = и(х)т,
где и s Р*, т е И, х «= Р.
(c) Для всякого правого R-модуля М имеется изоморфизм
Ф': 3f ®я/>^-Ногаи(Р», М),
действующий по формуле ф' (тп® х) (и) = пги(х), где т<=М,
Ж€=Р, w.eP*.
(d) Существует R-изоморфизм
ф": Р%-Р**,
действующий по формуле <р" (х) (и) = и(х), где х&Р, и^Р*.
[В связи с утверждениями (Ь) и (с) читатель должен вспом-
вспомнить, что тензорное произведение М ® RN можно образовать, если
М есть правый модуль, а N есть левый модуль; таким образом,
выписанные выше тензорные произведения имеют смысл.]
Доказательство. Из доказательства предложения 8.2
видно, что модуль Р может быть сделан прямым слагаемым ко-
конечно порожденного свободного модуля F. Ввиду аддитивности
предложение достаточно доказать для F. Подробнее: если F —
= РФ(?, то F*=P*®(?*, F*®RM = (P* ®RM)®(Q*®RM) и т. д.,
и отображения ф, ф' и ф" согласованы с этими разложениями.
Следовательно, утверждения (а) — (d) для Р являются следствия-
следствиями тех же утверждений для F. [Конечно, прежде чем применять
это рассуждение, нужно проверить, что отображения ф и ф' кор-
корректно определены.] Опять-таки ввиду аддитивности можно огра-
ограничиться случаем, когда ранг модуля F равен 1, т. е. когда F =
40 ГЛ. I. НЕМНОГО ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
= R. В этом случае R* »R, утверждение (а) делается очевид-
пым, а утверждения (b) — (d) ничего не стоит проверить. На-
иример, чтобы доказать (Ь), достаточно заметить, что <р есть
композиция канонических изоморфизмов Р* йвЖ^-М2*-
~Нотд (R,M). а
Теперь мы приведем некоторые свойства цепных комплексов,
составленных из проективных модулей.
8.4. Теорема. Если /: Р' -+ Р — слабая эквивалентность
между неотрицательными комплексами, составленными из проек-
проективных модулей, то / есть гомотопическая эквивалентность.
Доказательство. Конус отображения / есть неотрица-
неотрицательный ацикличный (см. предложение 0.6) комплекс, составлен-
составленный из проективных модулей. Поэтому он стягиваем (см. след-
следствие 7.7), и, значит, / есть гомотопическая эквивалентность (см.
предложение 0.7). П
Используя аналогичные методы, мы докажем теперь весьма
близкое к предыдущему свойство отображений проективных комп-
комплексов, из которого можно было бы получить теорему 8.4 в ка-
качестве следствия.
8.5. Теорема. Пусть /: С -*¦ С — слабая эквивалентность
между произвольными комплексами. Если Р — неотрицательный
комплекс проективных модулей, то
36omR{P, /): Z6omR{P, C')-+MomR{P, С)
есть слабая эквивалентность. В частности, отображение [Р, С] -*¦
-*¦ [Р, С], индуцированное f, есть изоморфизм.
Доказательство. Пусть С" есть конус отображения /.
Он ацикличен, и конус отображения 2@omR(P, /) есть
Жотплф, С"); таким образом, достаточно показать, что комплекс
Жотпн(Р, С") ацикличен, т. е. что [Р, С"]„ = 0 при всех гее '?
Но [Р, С"]п = [Р, 2~ПС"], а последпее равняется 0 в силу части
фундаментальной леммы 7.4, касающейся единственности, по-
поскольку всякое отображение комплекса Р тривиально в отрица-
отрицательных размерностях. П
В заключение мы докажем аналог теоремы 8.5 для тензорных
произведений. Проективность излишне сильна для этой цели —
ее можно заменить требованием «плоскости». Напомним, что
(левый) Л-модуль F называется плоским, если функтор — ®rF
точен. Например, свободные модули являются плоскими, а, зна-
значит, и проективные модули являются плоскими в силу 8.2(с).
8.6. Теорема. Пусть /: С -*¦ С есть слабая эквивалентность
между комплексами правых R-модулей. Если Р — неотрицатель-
неотрицательный комплекс, составленный из левых плоских R-модулей, то
/ ®пР'- С ®пР -*¦ С ®RP есть слабая эквивалентность.
Доказательство. Пусть С"—конус отображения /. Он
ацикличен, и С" ®ВР есть конус отображения /®Р; таким обра-
8 8. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ 41
зом, достаточно показать, что комплекс С" ®RP ацикличен. Пусть
Pin) есть «-остов комплекса Р, т. е. усечение (Рг)^п- Мы докажем
по индукции, что комплексы C"®rP(u) ацикличны. Прежде все-
всего заметим, что комплекс С" ®RF ацикличен для всякого комп-
комплекса F, сводящегося к одному плоскому модулю, стоящему в
какой-нибудь размерности: точная последовательность Сц.\—*-
-*-C"i-*-Cl-i останется точной после тензорного умножения на F.
Но факторкомплекс р<»>/р<п-'> есть как раз такой комплекс F.
Таким образом, если мы предположим, что комплекс С" ®RP(n~l)
ацикличен, из точности последовательности 0 -*¦ С" ®в Р{п~г) -*¦
— С" ®RPin) -+С" ®R(P<nVP{n-1>)-^0 будет следовать, что и
комплекс С" ®RP{n) ацикличен. Наконец, комплекс С" ®RP бу-
будет ацикличен, поскольку он является объединением возрастаю-
возрастающей последовательности ацикличных комплексов С" ®RP{n). О
Упражнения
1. Каковы то группы G, для которых Z есть проективный ZG-модуль?
[Указание. Сведите к вопросу: когда е: ZG->Z расщепляется как G-
отобрая;енже?]
2. Покажите, что если Р есть проективный ZG-модуль, то Р есть так-
также проективный гЯ-модуль для любой подгруппы И группы G. [Указа-
[Указание. Используйте критерий 8.2 (с).]
3. (а) Выведите следствие 7.7 из предложения 8.2. [Указ_апие. В си-
силу предложения 0.3, достаточно показать, что эпиморфизм д„: Pn->-Zn_b
индуцированный дп, расщепляется при всех п. Предположив по индукции,
что расщепляется 9„_ь мы находим, что Zn~\ = ker дп-\ есть прямое сла-
слагаемое в Р„_1 и, значит, есть проективный модуль. Поэтому дп также рас-
расщепляется.]
(Ь) Тем же методом покажите, что предположение неотрицательности
в 7.7 может быть отброшено для некоторых колец R, например, для колец
главных идеалов. [Указание. Если R есть кольцо главных идеалов, то
подмодули проективных модулей проективны (даже свободны). Поэтому
Zn-\ автоматически будет проективным модулем, и нам не требуется ин-
индукция.]
4. Пусть G есть группа и X есть G-множество, такое, что все стацио-
парные подгруппы Gx конечны. Покажите, что перестановочный модуль
QX проективен над QG.
5. Пусть G — конечная группа и к — поле характеристики 0. Покажите,
что всякий AG-модуль проективен. [Указание. Возьмите точпую последо-
последовательность, как в утверждении 8.2 (Ь), и найдите для нее расщепление
/: Р-+М, как для последовательности векторных пространств пад к. Тогда
х>-» A/1 G |) 2g=G Bf (g~1^) будет AG-расщеплением.]
6. Докажите следующее обращение теоремы 8.3 (Ь). Если Р есть такой
модуль, что отображение ф: Р* ®н Р -*¦ Ношя(Р, Р) является эпиморфизмом,
то модуль Р конечно порожден и проективен. [Указание. Положите
idp = ф B /t ® ei) и покажите, что удовлетворяется критерий 8.2(d).]
7. Пусть Р — конечно порожденный проективный модуль. Для любого
z^P* ®яР и любого модуля М существует отображение т|зг: HomB(P, M)-*-
-*¦ Р* ®н 'V, определяемое следующим образом: \}>2 (/) есть образ z при ото-
отображении Р* <Э /: Р* ®в Р-*-Р* $?„ М. Покажите, что обращение капопиче-
ского изоморфизма ср: Р* ®дМ-5-Нотк(Р, М)из предложения 8.3(Ь) есть
отображение вида tfx для некоторого фиксированного z (не зависящего от
42 гл. i. немного гомологической алгебры
М). [Метод 1. Рассмотрите ф-1 как естественпое преобразование
Нотл(Л —)->-Р*®л—. По лемме Йонеда (упражнение 3(а) к § 7) q>~'
однозначно определяется тем, куда оно переводит idp. Более того, доказа-
доказательство леммы Йонеда содержит описание ф через z = ф (idp), и это
описание в точности показывает, что ф~' =tyz. Метод 2. Выберите (е*)
и (/<), как в 8.2 (d), и положите г = ^ fi ® <?е. Непосредственно из опреде-
определений выведите, что tyz ° Ф = id и что ф о -ф2 =id.]
8. Пусть Р — конечно порожденный плоский модуль. Покажите, что мо-
модуль Р проективен. [У к а з а н и е. Возьмите конечное представление F\ -*•
->-.Fo->-.P-»-0 со свободными модулями Fo и F{ конечного ранга. Оно дает
точную последовательность 0-*-P*-+F0-*-F1 правых Д-модулей. Умножь-
Умножьте ее тензорно на Р и выведите, что Р* ®цР да HomB [Р, Р). Затем приме-
примените упражнение 6.]
Добавление. Обзор регулярных накрытий
Материал, коротко излагаемый в этом добавлении, может быть
найден во многих учебниках алгебраической топологии, таких,
как, например, Масси [1967] или Спеньер [1966].
Пусть р: X -*¦ X — накрытие со связными локально линейно
связными X, X. Скольжение накрытия р есть, по определению,
гомеоморфизм g: X ->¦ X, такой, что pg = р. Группа G всех сколь-
скольжений действует на X свободно в том смысле, что gx?=x для
любого |е!и любого g ^= 1 из G.
Накрытие р называется регулярным, если оно удовлетворяет
следующим условиям, которые эквивалентны между собой:
(a) G транзитивно действует на р~*х при всех х ^ X (и, зна-
значит, X » X/G);
(b) образ гомоморфизма ntX -*¦ ntX есть нормальная подгруп-
подгруппа группы jtiX при некотором (а, значит, и при любом) выборе
отмеченных точек;
(c) для любой петли <о в X верно, что если одно из ее под-
поднятий в X замкнуто, то и все ее поднятия в X замкнуты.
В этом случае G да лД/я^. В частности, если X односвяз-
но (т.е. если р есть универсальное накрытие над X), то G » ntX.
Чтобы явно построить изоморфизм G » яД/Я)!, мы должны
выбрать отмеченные точки х^Х и Jep~lx. Тогда возникает
следующий гомоморфизм ср: ni(X, x)-+G. Пусть петля со: [0, 1] -*•
-*¦ X представляет [ш]ея,(Х, ж), и пусть со: [0, 1]->-Jl есть
поднятие петли ю с <d@) = :e. Тогда <вA)^р~1х и <р([со]) опреде-
определяется как единственный элемент группы G, такой, что
Можно проверить, что ф есть гомоморфизм, что образ <р есть все
G и что ядро ф есть UiX; таким образом, ф индуцирует требуе-
требуемый изоморфизм.
В заключение упомянем несколько иную точку зрения, кото-
которая иногда бывает полезпой. [Нам она потребуется только в уп-
ДОБАВЛЕНИЕ. ОБЗОР РЕГУЛЯРНЫХ НАКРЫТИЙ 43
ражнешш 2 к § II.7.] Зафиксируем абстрактную группу G и связ-
связное локально линейно связное пространство X. Под регулярным
G-накрытием пространства X (называемым также главным G-pac-
слоением над X) мы понимаем накрытие р: Х-*-Х с не обяза-
обязательно связным X, заданное вместе со свободным действием
группы G в Ж, удовлетворяющим вышеназванному условию (а).
В случае, когда X связно, такое р есть просто регулярное
накрытие в обычном смысле, заданное вместе с изоморфизмом
между группой G и группой скольжений.
Мы будем предполагать, что зафиксирована отмеченная точка
ieJb что все накрывающие пространства X всегда снабжаются
отмеченными точками х е р~1х. Тогда мы можем определить го-
гомоморфизм ф: я4Х-»-(? в точности, как выше,— формулой (Д1),
и единственная разница будет заключаться в том, что <р не будет
эпиморфизмом, если X несвязно. В действительности, как можно
легко проверить, G/im <p«п0Х (изоморфизм между G-мпо-
жествами).
Главная теорема о регулярных G-накрытиях (с отмеченными
точками) заключается в том, что сопоставление с (ps
eHom(niX, G) доставляет их полную классификацию.
Д2. Теорема. Пусть We (X) есть множество классов изо-
изоморфных регулярных G-накрытий над X, снабженных отмечен-
отмеченными точками. Сопоставление <р с р определяет взаимно однознач-
однозначное соответствие
[Замечание: изоморфизмы должны сохранять отмеченные точ-
точки, быть согласованными с действиями группы G и коммутиро-
коммутировать с проекцией па X.]
Набросок доказательства. Используя обычную клас-
классификацию связных накрывающих через подгруппы группы я4Х,
легко показать, что связные регулярные G-накрытия с отмечен-
отмеченными точками соответствуют эпиморфизмам ср: niX->-G. Изуче-
Изучение несвязных накрывающих легко сводится к связному случаю
путем рассмотрения связных компонент пространства X. П
ГЛАВА II
ГОМОЛОГИИ ГРУПП
§ 1. Общее вступление
Все гомологические инварианты, которые гомологическая ал-
алгебра ставит в соответствие алгебраическим объектам, определя-
определяются при помощи того или иного варианта следующего процесса.
Пусть R — кольцо и Т — ковариантный аддитивный функтор
из категории Д-модулей в категорию абелевых групп. Таким
образом, определяемое функтором Т отображение H.omR(M, N)-+-
—>-Нотг(ГМ, TN) является, для любых Д-модулей М, N, гомо-
гомоморфизмом одпой абелевой группы в другую. Для произвольного
Д-модуля М зафиксируем свободную (или проективную) резоль-
резольвенту г: F ->- М и рассмотрим цепной комплекс TF абелевых
групп, полученный почленным применением Т к F. Далее, функ-
функтор Т, будучи аддитивным, сохраняет цепные гомотопии; поэтому
мы можем вывести из теоремы единственности для резольвент
(теорема 1.7.5), что комплекс TF не зависит, с точностью до ка-
канонической гомотопической эквивалентности, от выбора резоль-
резольвенты. Переходя к гомологиям, мы получаем группы Hn{TF),
которые зависят (с точностью до канонического изоморфизма)
только от Т и М.
Разумеется, эта конструкция не представляет интереса в слу-
случае, когда Т есть точный функтор, ибо тогда аугментирован-
ный комплекс
ацикличен, и, значит, Hn{TF) = 0 при п>0 и H0(TF) = TM. Та-
Таким образом, в общем случае мы можем рассматривать группы
Hn(TF) как меру неточности функтора Т.
В этой главе мы будем применять эту конструкцию в ситуа-
ситуации, когда R = Ifi, М — Z и Г есть функтор коинвариантов,
который мы опишем в § 2. Как мы увидим, этот выбор R, М ж
Т не случаен, а диктуется топологическими предпосылками гомо-
гомологической теории групп.
§ 2. Коинварианты
Если G есть группа и М есть G-модуль, то группа коинвш-
риантов модуля М, обозначаемая через MG, определяется как
фактормодуль модуля М по аддитивной подгруппе, порожденной
разностями вида gm — m (ge G, me?). Таким образем, Мл
§ 2. КОИНВАРИАНТЫ 45
получается из М посредством «деления» на действие группы G.
[Название «коинварианты» объясняется тем, что Ма есть наи-
наибольший фактормодуль модуля М, на котором G действует
тривиально, в то время как М°, группа инвариантов, определяет-
определяется как наибольший подмодуль модуля М, на котором G дей-
действует тривиальпо.] Ввиду упражнения 1(а) к § 1.2 мы можем
также описать Мо как M/IM, где / есть аугментационный идеал
в ZG и IM обозначает множество всех конечных сумм вида
2>щЬ{ (a,e/, Ь;еМ).
Еще одно описание группы Мв доставляется формулой
B.1)
Чтобы тензорное произведение имело смысл, мы должны здесь
рассматривать Z как правый ZG-модуль (с тривиальным дей-
действием группы G). Чтобы доказать B.1), заметим, что в Z ®гвМ
имеет место тождество 1 ® gm = 1-#®/ге = 1®пг; благодаря это-
этому имеется отображение Мс -*¦ Z ®zgM, определяемое формулой
т >-* 1 ® т, в которой т обозначает образ в Ма элемента та е M.
С другой стороны, пользуясь универсальным свойством тензор-
тензорного произведения, мы можем определить отображение Z ®zgM —*¦
-+Mg формулой а®т^*ат. Эти два отображения обратны друг
другу.
Ввиду B.1) и стандартных свойств тензорного произведения,
мы немедленно получаем следующие два свойства функтора ко-
инвариантов.
2.2. Точность справа: для любой точной последовательности
М'-*- М -*¦ М" -*¦ 0 G-модулей индуцированная последовательность
M'g-^Mg-*- Mg-+0 точна.
2.3. Если F есть свободный ZG-модуль с базисом (е*), то
Fa есть свободный Z-модуль с базисом (ё<).
В заключение мы заметим, что функтор коинвариантов есте-
естественно возникает в топологическом контексте § 1.4.
2.4. Предложение. Пусть X есть свободное G-пространство
и Y — соответствующее пространство орбит X/G. Тогда
Доказательство. Проекция C#(X)-*-C#(Y) индуциру-
индуцирует, после перехода к фактормножеству, отображение
<р: С% (X)G->- C% (Y). Далее, С*(Х)Г, обладает (в силу 2.3 и на-
наблюдений, сделанных в § 1.4) Z-базисом, элементы которого
соответствуют G-орбитам клеток в X. Но С* (Y) также обладает
Z -базисом, элементы которого соответствуют G-орбитам клеток
в X. и ясно, что ф отображает базисные элементы группы
С%(Х)с в соответствующие базисные элементы группы С* ( Y)
следовательно, <р есть изоморфизм. П
46 гл. п. гомологии групп
Упражнения
1. Для произвольного G-множества S покажите, что BS)G^ 2 [S/G].
2. Условие свободности в предложении 2.4 излишне сильно. Найдите
более слабое условие, при котором заключение предложения остается вер-
верным. [Указание. Воспользуйтесь упражнением 1.]
3. Пусть II— нормальная подгруппа группы Си М — некоторый G-mo-
дуль.
(a) Покажите, что действие группы G в М индуцирует действие груп-
группы GJH в Мв.
(b) Покажите, что Мо » (Мп)с/п.
(c) Покажите, что имеет место G/Я-изоморфпзм Мн « Z [G/II] ®zg ^-
(Здесь действие группы G в2 [G/H] посредством правых сдвигов исполь-
используется для образования тензорного произведения, а действие группы G/tf в
2 [GIII] посредством левых сдвигов сообщает тензорному произведению
структуру G/i/ модуля.)
§ 3. Определение H#G
Пусть G— группа и е: F-+Z—проективная резольвента Z
над %G. Мы определяем гомологические группы группы G
формулой
HiG = Hi(Fe).
Как объяснялось в § 1, правая часть этого равенства с точностью
до канонического изоморфизма не зависит от выбора резольвенты.
Предположим, например, что G есть конечная циклическая груп-
группа порядка п. Используя резольвенту
t-l w (-1
ZG^ZG ZG-+%"-+О
из 1.6.3, мы получаем в качестве Fa комплекс
Таким образом,
C.1) Hfi
', если i = 0,
7jn, если i нечетно,
О, если i четно.
Читателю предлагается аналогичным образом вычислить гомоло-
гомологии свободной группы (см. пример 1.4.3) или свободной абелевой
группы ранга 2 (ш- упражнение 3 к § 1.4). Мы рассмотрим эти
примеры в следующем параграфе с топологической точки
зрения.
Для любой группы G мы можем взять в качестве F стан-
стандартную резольвенту (см. § 1.5); в этом случае комплекс Fa мы
будем обозначать через C^.(G). Используя 2.3 и формулу
A.5.1), мы можем дать комплексу C^G) следующее явное опи-
описание. Определим для (п + 1)-ок (g,, ..., gn) (gt^G) отноше-
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ H»D 47
ние эквивалентности, положив (go, ..., gn) ~ (ggo, ¦ • ¦, ggn). для
всех geG, и обозначим через [g0, ..., ?„] класс эквивалентности
(п + 1)-ка (g0, ..., gn). Тогда Cn(G) обладает Z-базисом, состоя-
состоящим из классов эквивалентности [g0, ..., gn], и д: Cn(G)->- Cn-i(G)
задается формулой д = 2JU (— 1)* ^и где
d>[go, . . ; gn] = [go, ¦•-, gi, •¦ ; gnl-
Описанный этим способом комплекс С* (G) часто называют од-
однородным цепным комплексом группы G — по аналогии с одно-
однородными координатами в проективном пространстве.
Неоднородное описание комплекса С* (G) получается при
использовании бар-обозначений и формулы A.5.2). С этой точки
зрения Cn(G) обладает Z-базисом, составленным из д-ок
Igi I • • • \gn] и д — 2?=о (— 1)г &ь ГДе
"а I • • • I Ы при i = О,
11 — i ^i^i+i I • • • I gn] при 0 < i <ra,
[lgi\---\gn-i] при i = n.
Заметим, что символ [#il ... lgn], который прежде использовался
как обозначение для типичного ZG-базисного элемента в Fn,
теперь обозначает образ этого базисного элемента в (Fn)G=
— Cn(G). Эта вольность в обозначениях, которая является совер-
совершенно стандартной, может при неблагоприятных обстоятельствах
привести к недоразумениям. Читателю следует также иметь
в виду, что некоторые авторы вместо [gi\... \gn] пишут [g,, ..., gn]
или (gt, ..., gn).
В малых размерностях комплекс С* (G) имеет вид
где d[g\h] = [h]-[gh] + [g]. Следовательно, H0G = Z, а груп-
группа HiG изоморфна абелианизации Gab = G/[G, G] группы G.
(Точнее, если мы обозначим через g гомологический класс цик-
цикла [g], то, как читатель сможет без_труда проверить, существует
изоморфизм HiG -*• Gab, такой, что g >-+¦ gmod [G, G].)
Упражнения
1. Пусть gt, ..., gn — попарно коммутирующие элементы группы G;
рассмотрим элемент
группы Cn(G), где о пробегает все перестановки множества {1, .,., п}.
(Например, если п = 2, то z=[g1|g2] — ЕЫгО.) Проверьте, что z есть
цикл. [Как мы увидим в гл. V, такие циклы играют важную роль в теории
гомологии абелевых групп.]
2. Пусть G есть нетривиальная конечная циклическая группа. Пока-
Покажите, что Z по допускает проективпой резольвенты конечной длины
над IG.
48 гл. ii. гомологии групп
3. Пусть G имеет кручение (т. е. нетривиальные элементы конечного
порядка). Покажите, что Z не допускает проективной резольвенты конеч-
конечной длины над ZG. [Указание. Это следует из упражнения 2.]
§ 4. Топологическая интерпретация
Если У есть K(G, 1)-пространство с универсальной накрыва-
накрывающей X, то, как мы уже знаем (см. предложение 1.4.2), С%(Х)
есть свободная резольвента Z над %G. Поскольку С% (Х)а«
я* С*, (У) (см. предложение 2.4), мы заключаем:
4.1. Предложение. Если У есть K(G, 1)-пространство,
[Как мы замечали во введении, существует подход к теории
гомологии групп, при котором этот результат принимается за
определение Н\fi.\
Примеры.
1. Пусть У есть букет окружностей, индексированных некото-
некоторым множеством S. Тогда, как мы видели в примере 1.4.3, У есть
K(F(S), 1). Следовательно,
при г = О,
) при i = 1,
при i > 0.
2. Пусть g — целое число > 1, и пусть G=<al7 ..., ag,bu..,
•••*bgi H?=i [fli> &i]>! т. e. G есть группа с образующими ah ..., at,
bt, ..., bg и единственным определяющим соотношением
Uf=ifai» 4*il=1 - Другими словами, G есть фундаментальная груп-
группа замкнутой ориентируемой поверхности У рода g (см. Масси
[1967], гл. 4, § 5), и я утверждаю, что У есть K(G, 1). Чтобы
убедиться в этом, достаточно заметить, что универсальная пакры-
вающая X поверхности У есть некомпактная поверхность»
поскольку группа G бесконечна. Благодаря этому, как известно
из гомологической теории многообразий, ЯД = 0 при i > 2 (см.
Дольд [1972], гл. VIII, § 3), так что У есть K{G, 1). [По-другому
этот факт можно доказать, представив X как гиперболическую
плоскость, вымощенную 4^-угольниками (см. Зигель [1971], гл. 3,
§ 9),— из этого представления непосредственно видно, что X стя-
стягиваемо.] Таким образом,
при г = 0, 2,
при i = 1,
10 при 2>2.
Интересующийся читатель может аналогичным образом разобрать
случай группы <сь ..., ck; fli=iC{>(A;^2), которая представляет
собой фундаментальную группу неориентируемой замкнутой по-
8 4. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 49
верхности с к пленками Мёбиуса. Добавим, что некомпактные
поверхности и поверхности с краем, как легко видеть, также яв-
являются K(G, 1)-пространствами, но они не представляют для нас
интереса, поскольку их фундаментальные группы свободны.
3. Фундаментальные группы поверхностей, которые мы толь-
только что рассмотрели, являются примерами групп с одним соотно-
соотношением. Предположим теперь, что G — (S; r> есть произвольная
группа с одним соотношением, т. е. G есть факторгруппа свобод-
свободной группы F(S) по наименьшей нормальной подгруппе, содер-
содержащей данный элемент /•. Пусть У есть двумерное клеточное про-
пространство {\/s=sS\) [_} ге2, полученное из букета окружпостей
V S\ приклеиванием 2-клстки по отображению 5l->- V Ss, соот-
соответствующему г. Тогда ni(Y)=G (см. Масси [1967], гл. 7, § 2).
Если г не является степенью ип (п>1) в F(S), то, как ут-
утверждает глубокая теорема Линдона, У есть K(G, 1); по поводу
доказательства см. Линдон [1950], Дайер — Васкес [1973] и Лин-
доп — Шуцц [1977] (гл. III, §§ 9 — 11). (С другой стороны, если
г является степенью, то, как легко покапать, G имеет кручение,,
так что, в силу упражнения 3, конечномерного K(G, 1)-простран-
1)-пространства существовать не может.) Цепной колгплекс С* (У), очевид-
очевидно, имеет вид
т э, пг с» 1 ^
?-*¦??> -*• у,
где 0A) есть образ элемента г в Z5 = /Y'(«S)ai>. Следовательно,
IIfi = Zj, HjG = Gab,
tf G=|
2 @в противном случае,
и IItG = 0 при i > 2.
4. Если G = Z" — свободная абелева группа ранга п, то
«-мерный тор SiX...XS1 (n сомножителей) есть K(G, l), так
как его универсальная накрывающая R" стягиваема. Следова-
Следовательно, HiG есть свободная абелева группа рапга ( . I = .. —г-.-
Пример 4 можно описать в терминах вложения группы
G = Zn в качестве дискретной подгруппы в группу Ли L = Rn.
Действительно, K(G, 1)-пространство У = S' X ... X S1 есть прос-
просто факторпространство L/G. Все последующие примеры пред-
представляют собой дальнейшую иллюстрацию этого способа построе-
построения K(G, 1)-пространств. Вероятно, эти примеры потребуют от
читателя больших усилий, чем предыдущие, но мы не будем
возвращаться к ним до гл. VIII. Поэтому читатель, может быть,
захочет сейчас только просмотреть эти примеры с тем, чтобы про-
прочесть их более внимательно потом.
4 К. С. Браун
50 гл. и. гомологии групп
5. Пусть G есть группа строго верхних треугольных пХ п-
матриц над Z, т. е. группа целочисленных п X я-матриц с еди-
единицами на диагонали и с нулями под диагональю. Пусть, далее,
L есть группа строго верхних треугольных п X и-матриц над К.
Тогда G есть дискретная подгруппа группы L, и мы можем об-
образовать фактор-пространство L/G. Поскольку группа G дискрет-
дискретна, проекция L -*¦ L/G представляет собой накрытие. В самом
деле, если U есть окрестность единицы в L, такая, что U П. G =
=={1}, и V есть такая окрестность единицы, что V^V^U, то
для любого lei окрестность W — IV точки I обладает тем свой-
свойством, что ее образы Wg (g ^ G) попарно не пересекаются; на-
наше утверждение вытекает отсюда немедленно. Наконец, L, оче-
очевидно, гомеоморфно евклидову пространству Kd, где d = n(n —
— 1)/2, так что многообразие L/G есть K(G, 1) и H%G —
— Н# (L/G). [Строго говоря, нам следовало бы проверить, что
LIG обладает структурой клеточного пространства, поскольку
предложепие 4.1 было доказано нами только для клеточных
K(G, 1)-пространств. В действительности L/G обладает клеточ-
клеточной структурой в силу доказанной Уайтхедом триангуляционной
теоремы для гладких многообразий (см. Манкрес [1966], гл. II),
по проще разрешить проблему, просто заметив, что доказательст-
доказательство предложения 4.1 проходит без всяких затруднений в контекс-
контексте сингулярной теории гомологии — см. ниже упражнение 1.]
6. Пусть L — группа Ли GLn{R). В противоположность
группам Ли, рассматривавшимся в примерах 4 и 5, группа L не
•стягиваема. Тем не менее, существует ассоциированное с L стя-
стягиваемое многообразие IX, которое может быть использовано для
изучения гомологии дискретных подгрупп группы L. Чтобы опи-
описать X, мы должны напомнить некоторые факты из элементар-
элементарной линейной алгебры.
Напомним, что квадратичная форма на Кп есть функция
<?: Rn-s-[R вида
п
Q {хи ..., хп) = 2
Матрица А = (ац) может быть сделана симметрической, и тогда
она однозначно определяется формой Q. Мы часто будем отож-
отождествлять Q с А. Форма Q и матрица А называются положитель-
положительно определенными, если Q(x)>0 для всех х Ф 0 из КП. Мно-
Множество положительно определенных симметрических матриц
представляет собой выпуклое открытое множество в пространст-
пространстве всех симметрических п X и-матриц.
Определим теперь X как пространство положительно опреде-
определенных квадратичных форм на К", топологизированное как
подпространство пространства симметрических п X /г-матриц. Из
§ 4. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 51
сказанного выше ясно, что X есть стягиваемое многообразие раз-
размерности d = n(n + 1)/2. [В действительности X да Rd. ] Имеет-
Имеется естественное действие группы L = GLn (R) на^К" посредст-
посредством правого матричного умножения (при этом элемент простран-
пространства IR рассматривается как вектор-отрока), и это определяет
левое действие группы L в X, задаваемое, как говорят, «заменой
переменных»:
где Q ^ X, g e L, же К™. [В терминах симметрических матриц
это действие записывается формулой
g • Л = gAg\
где g* обозначает матрицу, полученную из матрицы g транспони-
транспонированием.] Хорошо известно, что всякая форма Q е X приводит-
приводится заменой переменных к стандартному виду <?о = 2 х\, так что
действие группы L в X транзитпвыо. Более того, стационарная
подгруппа ?qo есть ортогональная группа Я|= 0^(?). Мы по-
получаем, таким образом, взаимно однозначное соответствие
X » L/K
между левыми L-пространствами, которое, как можно без труда
показать, является гомеоморфизмом.
Поскольку группа К компактна, действие группы L в X яв-
является собственным, т. е. выполнено следующее условие: для
всякого компактного множества С s X множество {g e L: g С П
П С = 0} является компактным подмножеством группы L. [Эта
означает, грубо говоря, что образ gC компактного множества
СеХ уходит на X в °°, если g -*¦ °° в L.]
Предположим теперь, что G есть дискретная подгруппа
группы L. Тогда для любого компактного множества С s X мно-
множество (geC: gC П. С Ф 0} конечно. Отсюда очевидным образом,
выводится, что для любой точки х^Х стационарная подгруппа
Gx конечна и что х обладает такой окрестностью U, что gU П, U =
— 0 при g ев G— Gx.
Предположим, наконец, что группа G не имеет кручения*
Тогда конечные стационарные подгруппы Gx должны быть три-
тривиальными, и отсюда сразу следует, что проекция X -*¦ X/G есть
регулярное накрытие с группой G. Таким образом, %/G есть
K(G, 1) и НъСъН*(Х№.
Эти рассуждения неприменимы к GLn (Z,) — наиболее оче-
очевидной дискретной подгруппе группы •{ GLn(iR), поскольку она
имеет кручение. Но у группы GLn (?)л, есть не имеющие круче-
кручения подгруппы G конечного индекса (см. ниже упражнение 3),.
и к ним наши рассуждения вполне применимы. К несчастью,
на практике бывает чрезвычайно трудно явно вычислитьЯ(Х/в)
4*
52 гл. ii. гомологии групп
7. Рассмотрим теперь специальную линейную группу
?Ln(R) = {g^GLn($): det|» = l}. Пространство X из приме-
примера C можно заменить в этом случае стягиваемым многообразн-
многообразном Хо с собственным действием группы SLn (R) и с dim Хо —
= dimX— 1. Именно, мы примем за Хо факторпространство про-
пространства X, получающееся в результате отождествления квадра-
квадратичных форм, отличающихся друг от друга (положительным)
скалярным множителем. Легко проверить, что
я это показывает, ввиду компактности группы SOn(R), что
действие группы SLn($) в Хо собственно. Более того, Хо есть
стягиваемое многообразие; в действительности, как может прове-
проверить читатель, которого это интересует, Хо диффеоморфно евкли-
евклидову пространству размерности ^-^ 1. Как и в приме-
примере 6, мы получаем, что H^G « H% (XjG) для всякой дискрет-
дискретной, не имеющей кручения подгруппы G группы SLn(\R). За-
Заметим, что при п = 2 пространство Хо может быть отождествлено
с верхней полуплоскостью Ш сг С, в которой SL2 (к1) действу-
действует посредством дробно-линейных преобразований:
(а b\ az + b
\с dlZ~~cz-\-d'
Действительно, как показывает прямая проверка, эта формула
•определяет транзитивное действие группы SL2(R) в Ж, и ста-
пионарная подгруппа, отвечающая точке z = i, есть »SIO2(R);
это очевидным образом приводит к желаемому гомеоморфизму
8. В заключение мы сформулируем общие факты, которые
иллюстрируются предыдущими примерами. Пусть L — группа
Ли с конечным числом связных компонент. Тогда у L есть мак-
максимальная компактная подгруппа К (единственная с точностью
до сопряженности), и однородное пространство X = L/K диффео-
диффеоморфно Kd, где d = dim L — dim if. (Доказательства можно най-
найти, например, в книге Хохшилда [1965], гл. XV.) Следовательно,
для всякой дискретной, не имеющей кручения подгруппы G
группы L фактормногообразие XIG есть K(G, I) nH*GttH%(X/G).
Упражнения
1. Пусть У — линейно связное пространство. Если У обладает стягивае-
стягиваемой регулярной пакрывающей X с группой скольжений G, покажите, что
II*Y» НЩС [Указание. Сингулярный цепной комплекс С% s (X) до-
доставляет свободпую.резольвенту Z над 2G, и C^mg (X)G « CsJng (У).]
2. (Это упражнение требует известпых познаний в элементарной гомо-
гомотопической теории.) Пусть У есть K(G, 1)-пространство, не предполагаемое
§ 5. ТЕОРЕМЫ ХОПФА 5 3
клеточным, т. е. линейно связное топологическое пространство с n\Y = G и
3iiY = 0 при i > 1. Докажите, что H*Y ж H^G. [Указание. Это нам
уже известно, если Y — клеточное пространство; в общем случае замените
Y клеточным пространством, слабо гомотопически эквивалентным Y (см.
¦Спепьер [1966], § 7.8). Другой способ доказательства состоит в прямом по-
построении цепной гомотопической эквивалентности C|ing (У) ^ С* (G) —
см. Эйленберг — Маклейн [1945].] Заметьте, что упражнение 1 есть специ-
специальный случай этого упражнения.
3. Зафиксируем целое число п г> 1. Для целого числа N ^ 2 обозначим
через T(N) ядро канонического отображения GLn(I) ->-GLn(Z/N2);
другими словами, Г (N) = {g e GLn (J); ^=lmodiV}i где 1 обозначает
«диничную матрицу. Группа Г (Л'') называется главной конгруэнц-подгруп-
пой уровня N группы GLn(l). Заметьте, что группа T(N) имеет в GLn(Zt
конечный индекс, поскольку группа GLn (Z/NZ) конечна. Цель этого уп-
ражения состоит в том, чтобы показать, что при N^-Ъ группа T{N) не
имеет кручения.
(a) Пусть р — простое число и А — такая целочисленная п X га-матри-
га-матрица, что .4 = 1 mod р. Если А Ф 1, то существует единственное целое поло-
положительное число d = d(A), такое, что
A==imo&pd и A^lmodp'i+l.
Покажите, что d(Aq) = d(A) для любого простого числа q ф р. Если р пе-
четно или d(A) ^2, покажите, что d(Av) = d(A) +1. [Указание. Напи-
Напишите А = 1 + pdB с В Ф 0 mod p и рассмотрите биномиальное разложение
для A + pdB)', где I = p или q.]
(b) Выведите из предыдущего, что группа T(N) не имееег кручепия
при Л?>3 и что группа ГB) может иметь только 2-кручение. [Указа-
[Указание. Предположите, что 4еГ(N) имеет простой порядок, и примените
часть (а), взяв в качестве р простой делитель числа N.]
§ 5. Теоремы Хопфа
Цель этого параграфа состоит в доказательстве двух утверж-
утверждений (см. @.1) и @.2)) из введения. Нам потребуется теорема
Гуревича (см. Спеньер [1966], гл. 7, § 5), которая утверждает,
что если JiiX = 0 при i < п (где п > 2), то HJC = 0 при 0 < i < п
ж отображение Гуревича h: лпХ -*¦ НпХ есть изоморфизм.
{В действительности, как покажет внимательный анализ наших
доказательств, пам необходима только эпиморфность отображе-
отображения h, которую гораздо легче доказать; например, она прямо
следует из теоремы 7.4.8 книги Спеньера.]
Мы начнем с замечания, что для любой группы G и любого
целого числа п группы H{G, i ^ п + 1, можно вычислить при по-
помощи частичной проективной резольвенты длины п.
5.1. Лемма. Пусть Fn->- . .. -*-^0->-Z->0 — точная после-
последовательность 7LG-модулей, в которой все Ft проективны. Тогда
HtG « Hi{Fe) при Кп и имеется точная последовательность
0 -> Hn+lG -> (HnF) а - Нп (Fo) - HnG - 0.
Доказательство. Продолжим F до полной резольвенты
F+, выбрав проективный модуль Fn+1, отображающийся на HnF,
54 гл. п- гомологии групп
и т. д.:
и\ /м
Легко проверить (или прямо, или при помощи гомологической
точной последовательности, ассоциированной с точной последова-
последовательностью 0-vFG-»-Fq ->-Fa/FG->0 цепных комплексов),.
что #j (Fq ) = Нг (Fq) при ? < n и что имеется точная последо-
последовательность
О -^ Нп+! (^) -> А -> Я„ (fG) ^ Я„ (Fj) -> О,
в которой Л = coker \(F'n+2)G^-(Fn+1)G}. В силу 2.2 последпее
коядро может быть отождествлено с (HnF)e, что и дает нужное-
утверждение. ?
5.2. Теорема. Для любого связного клеточного пространства
Y имеется каноническое отображение ty: H* Y -> Н*п (л =nlY),
Если лгУ = 0 при 1 < i < /г (для некоторого и>2), го ф есгь-
изоморфизм HiY -*- 7/(я «pu i< п, и последовательность
точна.
[Заметим, что в случае и = 2 предположение всегда выполне-
выполнено, так что из теоремы 5.2 вытекает сформулированное во введе-
введении утверждение о существовании точной последовательно-
последовательности @.1).]
Доказательство. Пусть !Х — универсальная накрываю-
накрывающая пространства У, и пусть F — проективная резольвента Z
над Zft. Поскольку С* (X) есть комплекс свободных Zn-моду-
Zn-модулей, аугментированный над Z, фундаментальная лемма 1.7.4
доставляет каноническое цепное отображение (над Zn)
С* (X) ->- F, определенное с точностью до гомотопии. Переходя
к коинвариантам, мы получаем отображение С* (Y) ->- Fn, инду-
индуцирующее нужное отображение ty'- H^Y-^-H^n. Как известно,
лД « jiiY при i>l (см. Спеньер [1966], 7.3.7), так что из на-
нашего предположения вытекает, что я*Х = 0 при i < п. Следова-
Следовательно, HiX = 0 при 0<i<n, и отображение Гуревича h:
ппХ -*¦ Н^Х является изоморфизмом. Таким образом, мы имеем,
частичную свободную резольвенту
п-я группа гомологии которой есть группа ZnX «-циклов про-
пространства X. Из леммы 5.1 вытекает теперь, что H{Y » H{n при
§ 5. ТЕОРЕМЫ ХОПФА 55
i < n и что имеется точная последовательность
Возникшее здесь отображение ф есть, как легко видеть, компози-
композиция ZnY-^>-HnY->-Hnn. Ввиду этого последовательность
точна, и нужная точная последовательность
доставляется диаграммой
Обратимся теперь к формуле @.2) из введения.
5.3. Теорема. Если G=F/R, где F — свободная группа, то
Доказательство. Пусть F — F(S), У — букет окружно-
окружностей, индексированных множеством S, и Y — связная регулярная
накрывающая пространства У, соответствующая нормальной под-
подгруппе R группы F(S)= я4У. Выбрав отмеченную точку v в Y,
лежащую над вершиной букета У, мы отождествляем группу
G = F/R с группой скольжений накрывающей Y, как это дела-
делалось в добавлении к гл. I (см. (Д1)). Элемент / группы F мы
рассматриваем как комбинаторный путь в У и обозначаем через
/ поднятие пути f в ?, начинающееся в точке v. [Под комбина-
комбинаторным путем в клеточном пространстве мы понимаем последо-
последовательность еи ..., е„ ориентированных 1-клеток, такую, что на-
начальная вершина клетки е1+1 совпадает с конечной вершиной
клеткж_ е{ при i = 1, ..., п — 1.] Тогда путь f кончается в вер-
вершине fv, где / есть образ / в G.
Комплекс С% (У) есть комплекс свободных ZG-модулей, и
ввиду этого он доставляет частичную резольвенту Сх (Y)-*-
—*¦ Со (y)->Z->0. Поэтому мы можем применить 5.1 и полу-
получить изоморфизм HZG « ker {(Я,?)о->- H^Y). Далее, Н{? ~
*» (я1?)аь«Даь, и я утверждаю, что составной изоморфизм
HiY«ДаЬ есть изоморфизм между G-модулямн, где действие
группы G в Даь индуцируется действием группы F в Д посредст-
посредством сопряжений. [Это имеет смысл, поскольку действие группы
R в себе посредством сопряжений индуцирует тривиальное дей-
действие группы Д в Д»ь.] Чтобы проверить это утверждение, доста-
достаточно проанализировать определение изоморфизма Даь"*¦ H^Y
56 гл. п. гомологии групп
и заметить, что оп индуцируется отображением d:R -*¦ HtT, опре-
определяемым следующим образом. Для любого reJ? поднятие г
есть замкнутый путь в Т; взяв сумму ориентированных 1-клеток,
составляющих путь г, мы получим 1-цикл в F, т. е. элемент
группы 11$; по определению, ото п ость dr. Теперь, если / е F
и r^R, то поднятие пути /г/~' есть путь
Ъ fv Sv v
следонателыю, d(frf~l) = fdr. Это показывает, что изоморфизм
Яаь^^Л^ есть изоморфизм между G-модулями, что и утверж-
утверждалось.
Таким образом, мы имеем диаграмму
(Я,7)«« (R*H = R/[F, R]
BiY « F* =F/[F,F],
в которой вторая и третья вертикальные стрелки индуцируются
включением R-*- F. Следовательно, //2G « ker {R/[F, R\ -*•
- F/[F, F]) = (R П [F, F])/[F, R]. ?
[G-модуль 7?аь, который появился в предыдущем доказательст-
доказательстве, называется модулем соотношений, ассоциированным с пред-
представлением группы G как F/R.]
Заметим, что цепной комплекс С„, (Г) можно описать явно —
в точности как в примере 1.4.3. Таким образом, мы получаем,
как следствие предыдущего доказательства, такой результат.
5.4. Предложение. Если G = F(S)/R, то существует точ-
точная последовательность
Л zg(S> 4 zg 4
о -* я,* Л. zg(S> 4- zg 4» г ->¦ о,
G-модулей, в которой TLGr — свободный модуль с базисом:
(е.K<=в и de, = s — 1. П
[Здесь s обозначает, как обычно, образ s в С]
Входящее в эту последовательность отображение 6 было опи-
описано в доказательстве теоремы 5.3 через поднятие путей. Ниже,
в упражнении 3 (d), мы увидим, что Э может быть описано чисто-
алгебраически, в терминах «свободного дифференциального ис-
исчисления».
Замечали я. 1. Можно доказать предложение 5.4 чисто ал-
алгебраическим путем (см. упражнение 4(d) к § IV.2) и затем вы-
вывести формулу Хопфа (теорема 5.3) прямо из предложения 5.4.
2. Формула Хопфа показывает, что, грубо говоря, HZG состо-
состоит из коммутаторных соотношений Ц[аь 6j] = 1в G по модулю
тех соотношений, которые выполняются тривиальным образом.
Точную формулировку и доказательство этого утверждения см. в.
статье К. Миллера [1952].
S 5. ТЕОРЕМЫ ХОПФА 57
Упражнения
1. В ситуации теоремы 5.2 предположим дополнительно, что У я-мер-
но; докажите, что существует точная последователыгость
О -*¦ Я„+,я -> (я„У) л -> Я„У -* Я„я -v 0.
Здесь (я„У)я имеет смысл, поскольку я действует на я„У (см. Спеньер
?1966], гл. 7, § 3); это действие соответствует очевидному действию я в
НпХ (X — универсальная накрывающая над У) при изоморфизме ппУ-?-
"^ я,пХ -^"ЯПХ. [Без всяких размерностных ограничений па У можно пока-
показать, что существует точная последовательность
Яп+1У-+Яп+1я-*(я„У)я-*-Я„У-*Я,,я->0.
Это будет доказано в упражнении 6 к § VII.7 при помощи спектральных
последовательностей; читатель может попытаться уже теперь дать прямое
доказательство этого факта.]
2. Пусть G = <5; г,, г2, .. .>, т. о. G = F(S)lR, где Л — наименьшая нор-
нормальная подгруппа группы F(S), содержащая ее элемепты гь гг, ...
(a) Покажите, что модуль соотношений Яаь порожден (как G-модуль)
образами п, г2, ...
(b) Покажите, что эти элемепты свободно порождают Лаь как ZG-mo-
дуль в том и только в том случае, если двумерное клеточное пространство,
ассоциированное с данным представлением G, есть K(G, 1). [Иод двумер-
двумерным клеточным пространством, ассоциированным с представлением, мы по-
ипмаом клеточное пространство ( \/ ,=ss\) [] г е\ \]т е\ И • • •. ГДО 2-клетка
е? приклеивается'к \J S\ по отображению, соответствующему г^е п1 X
х( \/ <Sj)= F (iS).l Таким образом, например, теорема Липдопа о группах с
одним соотношением G = (S; г>, которую мы формулировали в примере 3
из § 4, может быть интерпретирована как утверждение, что если г пе есть
степень, то Даь свободно порождается образом г. В этой форме теорема и
•была фактически сформулирована и доказана Лиидоном.
* (с) Пусть G= (S; r>—произвольная группа с одним соотноше-
соотношением; запишем г = ип в F{S), где n :=s 1 — наибольшее возможное. Можно
показать (см. Липдон — Шупп [1977], IV.5.2), что образ ( элемепта и в
группе G имрст порядок, в точности равный
п; обозначим через С циклическую группу
порядка п, порожденную t. Если л > 1, то
г mod [Л, Щ не свободно порояадает Лаь, по-
¦скольку эта образующая, очевидно, переходит
в себя под действием С. Но Линдон [1950]
доказал, что никаких других соотношений
нет. т. е. что очевидный эпиморфизм
Z \GIC\-*- ЛаЬ является изоморфизмом. Пока-
Покажите, что этот результат допускает следую- . А""
щую топологическую интерпретацию. Пусть h
У, У и г; обозначают то же, что в дока-
доказательстве теоремы 5.3. Рассмотрим поднятие
г петли г в У. Поскольку г = ип и путь й
кончается в точке W, г есть составной путь, рис з
схематически изображенный на рис. 3. Таким
образом, отображение S1-*- Y, соответствую-
соответствующее г, согласовано с действием циклической группы С, где С действует в
?' посредством поворотов, как в § 1.6. Выведите отсюда, что можно постро-
построить двумерное клеточное G-пространство Х, присоединяя к Y 2-клетки вдоль
петель gf, где g пробегает множество представителей смежных классов
группы G по С; если о есть 2-клетка, приклеенная вдоль г, то стационарная
58 гл. ii. гомологии групп
группа Ga совпадает с С и С действует в а посредством поворотов. Покажи-
Покажите, что сформулированная выше теорема Линдона о группе Rah эквивалент-
па утверждению, что X стягиваемо. [В терминологии Линдоиа — Шуппа
[S977J, гл. III, А' называется комплексом Коли, ассоциированным с пред-
стаилением (S; г).]
3. В этом упраяшеншг вы построите, при помощи идей из доказатель-
доказательства теоремы 5.3, «свободные производные» Фокса. Чисто алгебраический
подход к тем же результатам представлен в упражнениях к § IV.2. Если
G есть группа и М есть G-модуль, то дифференцированием (или скрещен-
скрещенным гомоморфизмом) пз G в VI/ называется такое отображение d: G—>-M,
что d(gh) = dg + gdh при всех g, h e G.
(a) Примем обозначения теоремы 5.3 п ее доказательства. Покажите,.
что содержащееся в этом, доказательстве определение dr почти дословно»
может быть использовано для определения отображения d: F -*-С\(Т), удов-
удовлетворяющего соотношению d{/i/2) = d/, + ]\dj2 при всех /i, faeiF. Таким
образом, если мы будем рассматривать G-модуль С, (?) как /"'-модуль по-
посредством канонического гомоморфизма F-*~G, то d: F-+C\(Y) станет диф-
дифференцированием.
(b) Для произвольной свободной группы F = F(S) покажите, что су-
существует /"'-модуль Q, который допускает дифференцирование d: F -*¦ Q,.
такое, что Q есть свободный Z/'-модуль с базисом (ds)SES. [Указание.
Примените (а) при R = {1}.] Для /eF мы назовем df тотальной (свобод-
(свободной) производной /. Коэффициент при ds в разложении df по базису (ds}
называется частной производной /по $ и обозначается через df/ds; таким
образом, df — ^?s-s (df/ds) ds, где df/ds i=ZF. Покажите, что д/ds: F-+2F
является дифференцированием и удовлетворяет соотношению dt/ds = б„, t
(t^S). Эти свойства полностью характеризуют д/ds. (Например, если S =
= {s, t}, эти свойства должны позволить вам вычислить 0(ts-'ts2)/ds.)
(c) Если F обозначает то же, что в (Ь), покажите, что всякое диффе-
дифференцирование d: F-+M, где М есть f-модуль, удовлетворяет соотпошеною>
(d) Покажите, что отображение 9: 7?ah -+• ZG'S' из теоремы 5Л ин-
индуцируется отображением R-rZG^, действующим по формуле г*—
t—^-g (9r/3s) es, где dr/ds есть образ dr/ds при каноническом отображения
ZF -*¦ TG. Если R есть наименьшая нормальная подгруппа группы /•', со-
содержащая множество Т s /'', выведите пз предыдущего, что имеется частич-
частичная свободная резольвента
ZG<7) -*- ZG(S) -+¦ ZG -*-1 -»- О,
в которой матрица отображения Зг есть «якобнева матрица» (dt/ds) tl r s=s-
* 4. Пусть G = FIR, как в теореме 5.3. Цель этого упражнения — вывести
явные формулы для изоморфизма ф: JI2G-^-(R П [F, F])I[F, R\ и обратно-
обратного изоморфизма, где H^G рассматривается как вторая гомологическая груп-
группа стандартного цепного комплекса С* (G).
(а) Выпишите явпос цепное отображение в размерностях ^:2 из бар-ре-
бар-резольвенты в частичпую резольвенту
Сх (У) -* Со (У) -* Z -* О,
где ? — пространство из доказательства теоремы 5.3. (Здесь ZG^ — сво-
свободный модуль с базисом (ег)геВ; он отображается на Даь = Н{? a Ct (?)
очевидным образом.) Получите с его помощью следующее явное описание
отображения ф. Выберем для каждого geG такой элемент f(g)eF, что
§ 5. ТЕОРЕМЫ ХОПФА 59
/(?) = В- Для g, h^G напишем f(g)f(h) = f(gh)r(g, h), где r(g, h) <= R.
Тогда формула [g | h] t— r (g, h) mod [R, Л] определяет гомоморфизм
A(G) -»¦ Яаь одной абелевой группы в другую, и этот гомоморфизм индуци-
индуцирует изоморфизм <р: HiG^t- (R П [F, F])/[F, R] при переходе к подфактор-
шгожествам.
(b) Постройте цепное отображение частичной резольвенты (*) в бар-
резольвенту и получите с его помощью следующее описание отображения
<р~'. Пусть D: F-+C2(G)—единственное дифференцирование, такое, что
¦Ds = [l|s] для каждой свободной образующей s e S, где группа C2(G)
рассматривается как F-модуль со структурой /[g|u] = [/g|fel- (Это диффе-
репцирование определяется формулой Df — 2ses idf/^s Is!» гДе
символ [—|—] считается Z-бплипейным.) Тогда (D\R): R-+C2(G) есть го-
гомоморфизм, который индуцирует <р-1 при переходе к подфактормно-
жествам.
(c) Пусть ei, ..., ag, Ьь ..., bg — такие элементы группы F, что г =
= IJf=i ["у 6{] лежит в Л. Тогда ф (г mod [F, R]) представляется циклом
где /i = [ai, 5|] ... [at, bt]. [Указание. Достаточно доказать это для уни-
универсального примера, когда F есть свободная группа с образующими вь ...
..., ag, bt, ..., bg и R — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая г.
В этом случае (p-'frmod [F, R]) легко вычислить при помощи формулы
из (Ь).]
5. (а) Пусть G — группа, которая допускает представление с п образу-
образующими и т соотношениями. Пусть г = rkz (Gab) = dim^ (Q ® Gab). До-
Докажите, что абелева группа H2G порождается т — п + г элементами. [У к а-
з а н и о. Пусть Y есть двумерное клеточное пространство, ассоциированное
•с представлением. Вычисляя двумя разными способами эйлерову характери-
характеристику %(Y), мы видим, что 1 — ге + т = 1— rk (H,Y) + rk (H2Y) =
= 1 — г + rk (Я2У), откуда rk(Я2У) = т. — n + r. Далее, группа II2Y, бу-
будучи подгруппой группы клеточных 2-цепей пространства У, является сво-
свободной абелевой группой, и остается заметить, что имеется эпиморфизм
¦H2Y -*¦ H2G.]
Нижеследующие части (Ь) и (с) представляют собой типичпые приме-
применения части (а).
(b) Пусть G — совершенная группа (т. е. Gab =0), допускающая пред-
представление, в котором образующих столько же, сколько соотношений. Дока-
Докажите, что HzG = 0.
(c) Пусть G —такая совершенная группа, что #2G = Z2©Z2. Пока-
Покажите, что любое представление группы G, включающее п образующих, дол-
должно включать по меньшей мере п + 2 соотношений,
С. (а) Под групповым расширением мы понимаем короткую точную по-
последовательность l-*-iV-i-G-»-(?-»-l групп. Выведите из формулы Хопфа,
что такое расширение индуцирует пятичленпую точную последовательность
яяе -5- и 2q Л (ii^q Л- и xg -i HjQ ¦*• о,
тде действие группы Q в IhN = Л'аь индуцируется действием G в N посред-
посредством сопряжений, a f и б индуцируются мономорфизмом N-+G и эпимор-
эпиморфизмом G-+Q. [Указание. Запишите G = F/R и Q = F/S, где ScSs
^ F. Нужная последовательность имеет вид
Л П [F, F] S П \F, Л N G G
[/•', Л] ¦* [F,S] "* 1С, ЛГ] ¦* [б, Gl-Jt-IG. G]"^0'
gO гл. и. гомологии групп
и легко показать, что она точна.] Другой вывод этой пятичлепной точной:
последовательности и ее обобщение см. в § VII.6. Эта последовательность
имеет интересные приложения к изучению нижних центральных рядов, най-
найденные независимо Столлишсом [1905а] и Штаммбахом [19661; дальнейшая
работа в этом направлении отражена в дниге Штаммбаха [1973], гл. IV.
(Ь) Покажите, что и наоборот, формула Хопфа может быть выведен»
из пятнчленной точной последовательности. [Указание. Примените (а)
к последовательности i-*-R-*-F—»-G-*-l и вспомпите, что Н^г = 0.]
* 7. (а) Вспомните, что 3-сфера S3 обладает групповой структурой. (Это —
мультипликативная группа кватернионов нормы 1.) Для конечной подгруп-
подгруппы G группы S3 выводите из результатов этого параграфа, что ЯгС = 0.
[Указание. S*/G — замкнутое ориентируемое 3-многообразие с конечной
фундаментальной группой, следовательно, #2(S3/G) = 0.] Список групп G,.
к которым применим этот результат, содержится в книге Вольфа [1974] и
коротко напоминается ниже — см. пример 2 в VI.9.2. Там же мы сможем
дать более элементарное решение настоящего упражнения — см. упражне-
упражнение 3 к § VI.9.
(b) Одной из паиболое интересных групп, к которым применимо преды-
предыдущее упражнение, является «бинарная группа икосаэдра». Это — группа;
G порядка 120, которая отображается на группу Аъ — группу четных пере-
перестановок пяти элементов — с центральным ядром порядка 2. Используя эти
факты, результат части (а) и пятичленную точную последовательность,
иокажите, что II2 (^6) = 1Г
(c) (Р. Штребель). Известно, что группа Аъ допускает представление-
<х, у, г; х2 = у3 = z5 = xyz = 1). Рассмотрим теперь абстрактную группу
G = (х, у, г; х2 = у3 = z5 = xyz), и пусть С — циклическая подгруппа
группы G, порожденная центральным элементом я2 = у3 = zs = xyz этой
группы. Таким образом, G/C = А$. Найдите порядок группы С и, используя
его,— порядок группы G. [У к а з а и и е. Из данного представления группы;
G вы можете вывести, что группа G является совершенной и потому H-fir =
= 0 в силу упражнения 5(Ъ). Пятичленная точная последовательность по-
показывает теперь, что //2.4s « HtC = С, откуда С имеет порядок 2 и G име-
имеет порядок 120. В действительности небольшое дополпительпое усилие-
позволит вам показать, что G есть снова бинарная группа икосаэдра.] Анало-
Аналогичные методы могут применяться к анализу других абстрактных групп,
задаваемых представлениями, близкими к представлениям известных групп.
С пекоторыми примерами вы можете познакомиться в книге Кокстера —
Мозера [1980], где они появляются в связи с найденным Миллером обобще-
обобщением групп многогранников; некоторые из приведенных там доказательств
можно упростить, применяя метод настоящего упражнения.
Замечание. Из последнего упражнения ясно, что группа Нг тесно
связана с теорией центральных расширении. Эту связь можно было бы из-
изложить систематически на основании формулы Хопфа и пятичленпон точ-
точной последовательности, но мы предпочтем вывести ее из общей теории
групповых расширений, которая будет обсуждаться в гл. IV. См. упражне-
упражнение 7 к § IV.3.
§ 6. Функториальность
Стандартный цепной комплекс C%(G) очевидным образом
функториален по G, поэтому и H%G есть (ковариантный) функ-
функтор группы G. Эту функториальность можно также следующим
образом описать в терминах произвольных резольвент. Если за-
задан гомоморфизм a: G -*¦ G' и проективные резольвенты F и F'
группы Z соответственно над Ifi и ZG', то гомоморфизм а
наделяет F' структурой комплекса G-модулей. Поскольку комп-
§ 6. ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ 61
леке F' ацикличен (хотя составляющие его модули, вообще гово-
говоря, не проективны над 2Д), фундаментальная лемма 1.7.4 до-
доставляет однозначно определенное с точностью до гомотоции,
сохраняющее аугментацию цепное G-отображение т: F'-*- F''. Ус-
Условие, что т есть G-отображение, выражается формулой
F.1) x(gx)=a(g)x(x),
где g e G, х е F. Очевидно, т индуцирует определенное с точ-
точностью до гомотопии отображение FG->-FG>, которое, в свою оче-
очередь, индуцирует уже однозначно определенное отображение
ctjj.; л %G—*-Н %G .
6.2. Предложение. Пусть go^G, и пусть a: G -*¦ G есть
внутренний автоморфизм, заданный формулой a (g) = gogg^1-
Тогда a*: H^G^-H^G есть тождественное отображение.
Доказательство. Пусть F есть проективная резольвента
Z над ZG; определим т: F -»¦ F формулой х(х)~ g^x. Очевид-
Очевидно, т коммутирует с граничным оператором и удовлетворяет
формуле F.1), так что можно использовать т при вычислении а*.
Но ясно, что т индуцирует на Fa тождественное преобразование,
откуда и следует наше утверждение. ?
6.3. Следствие. Если G — группа и N — ее нормальная
подгруппа, то действие группы G в N посредством сопряжений
индуцирует действие группы G/N в H%N. ?
Упражнения
1. Пусть N <] G, как в 6.3, и пусть Р — проективная резольвента
Z над ZG; рассмотрим комплекс FN. Поскольку FN есть комплекс G/N-mo-
дулей (см. упражнение 3(а) к § 2), Я *(FN) наследует действие группы G/N.
Покажите, что Я* (Ppj) = H*N и что возникающее действие группы GIN в
H*N совпадает с действием из 6.3. [Указание. Действие g e GbH^N
может быть вычислено при помощи отображения т: F-*-F, задаваемого
формулой х(х) = gz.]
2. Пусть А—конечное множество и 2(^4)—группа перестановок в А.
Если \А\ sg: |B| (где | | обозначает мощность), выберем вложение
i: A -*¦ В и рассмотрим вложение 2(А) -*- 2(В), при котором перестановка в
А продолжается посредством тождественного преобразования множества
В — i(A). Покажите, что индуцированное отображение Я*2 {А) -*¦ Я*2 (Б)
не зависит от выбора i. В частности, если \А\ = \В\, то Я*2(Л) канони-
канонически изоморфно Я*2 (В).
3. (а) Имея в виду изоморфизм Н\{ ) « ( )аь из § 3, покажите, что
отображение Hiol: H\G^>-H\G' соответствует отображению Gab-^Gab, по-
полученному из а факторизацией; другими словами, изоморфизм Н\( )«
« ( )аь естествен. В частности, действие группы G/N в H\N, доставляемое
следствием 6.3, совпадает с действием, которое было определено в упраж-
упражнении 6 к §5. [Указание. Для вычисления Н\<х воспользуйтесь бар-ре-
бар-резольвентой.]
(Ь) Для изоморфизма Хопфа из теоремы 5.3 докажите следующее свой-
свойство естественности. Предположим, что G = F/R и G' = F'/R' со свободны-
свободными F и F' и предположим, что a: G-+G' поднимается до a: F-+F'. Тогда
E2 гл. п. гомологии групп
диаграмма
H2G а» (Я П [Л Л)/[*\ Л]
2 ', Л'],
в которой праная вертикальная стрелка ипдуцирована а, коммутативна.
[Указание. Пусть Y и F ассоциированы с представленном G = F/R, как
л доказательств теоремы 5.3, и пусть У и S" аналогичным образом соот-
соответствуют G' — F'/R'. Тогда а индуцирует отображение У-*-У, которое
индуцирует отображение С* (F) -»- С* (У'), которое может быть продол-
продолжено до отображения т резольвенты в резольвенту, которое может быть
использовано для вычисления Нух.]
3 а м о ч а и » о. Это упражнение позволяет интерпретировать в терми-
терминах фупкториалыюсти Я, п Я2 три из четырех отображений, входящих в
пятпчлеиную точную иоследовательпость упражнения О к § 5.
§ 7. Гомологии амальгамированных свободных произведений
Чтобы проиллюстрировать значение топологической интерпре-
интерпретации гомологии групп, мы выведем в этом параграфе последо-
последовательность Майера — Виеториса для вычисления гомологии
амальгамированных свободных произведений. Мы начнем с напо-
напоминания необходимых снедений из теории групп.
Предположим, что нам даны группы G,, G% и А и гомомор-
гомоморфизмы а,: Л ->- Gt и а2: А -> G2. В нужный момент мы предпо-
предположим, что ai и а2 — мономорфизмы, и это позволит рассматри-
рассматривать А как общую подгруппу d и G2; но пока что мы не делаем
этого предположения. Под амальгамированным свободным произ-
произведением (или амальгамированной суммой, или амальгамой)
групп Gi и G2 по отношению к А мы понимаем группу G, входя-
входящую в коммутативный квадрат
Ih
^G
h
со следующим универсальным свойством: для любой группы Ы и
у
любых гомоморфизмов ч(: Gi-+II (I = 1, 2), таких, что f
= у2а2, существует единственное отображение ср: G-+H, такое,
что фР( = it. Мы будем писать G = Gt *A G2 и говорить, что квад-
квадрат G.1) есть амальгамирующая диаграмма.
Предыдущее универсальное свойство показывает, что амаль-
амальгамирование есть теоретико-групповой аналог склеивания двух
топологических пространств по общему подпространству. Теоре-
Теорема Зейферта — ван Кампена, которую читатель, вероятно, в той
или иной форме зпает, делает эту аналогию точной через посред-
посредство функтора jti. Нам потребуется следующий простой вариант
этой теоремы.
g 7. ГОМОЛОГИИ АМАЛЬГАМИРОВАННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 63
7.2. Теорема. Пусть X есть клеточное пространство, пред-
представленное в виде объединения двух своих связных подпрост-
подпространств (в клеточном смысле) X, и Хг, пересечение Y которых
связно и непусто. Тогда квадрат
в котором все фундаментальные группы вычислены по отноше-
отношению к одной и той же отмеченной точке у еУ и все отображе-
отображения индуцированы включениями, является амальгамирующей
диаграммой. Таким образом,
Это — легкое следствие обычного комбинаторного описания
фундаментальной группы клеточного пространства. Подробности
см. в книге Шуберта [1968], Ш.5.8, или Коэна [1978], Н.2.31).
Доказательство, основанное на теории накрытий, намечено низке
в упражнении 2. ?
Более коротко содержание этой теоремы может быть выраже-
выражено словами: функтор
связные клеточные \
пространства I _>_ (группы)
\с отмеченной точкой/
сохраняет амальгамы. Чтобы изучить гомологии групповых
амальгам, нам требуется результат, направленный в противопо-
противоположную сторону: «функтор»
К(—, 1): (группы)-»-(клеточные пространства)
сохраняет амальгамы. Оказывается, что это верно, если отобра-
отображения a.i и Gt2 из G.1) являются мономорфизмами.
7.3. Теорема (Уайтхед). Всякая амальгамирующая диа-
диаграмма 7.1 с мономорфными oci и а2 реализуется диаграммой
I
2
i,
составленной из К(п, 1)-пространств и вложений, в которой
X = X, U Xz и Y = Z, П Х2.
Доказательство этой теоремы требует трех элементарных
лемм.
7.4. Лемма. Если at и а2 — мономорфизмы, то р\ и р2 —
также мономорфизмы. Таким образом, Gt, G2 и А могут рассмат-
рассматриваться как подгруппы группы G.
') См. также Постников [1985], с. 301.— Примеч. пер.
64
ГЛ. II. ГОМОЛОГИИ ГРУПП
Это — часть «теоремы о нормальной форме» для амальгам.
См., например, Серр [1977а], Линдон — Шупп [1977] или Коэн
11978]. D
7.5. Л е м м а. Пусть X'-*- X — вложение одного связного кле-
клеточного пространства в другое, такое, что индуцированное ото-
отображение л' -*¦ л фундаментальной группы в фундаментальную
группу является мономорфизмом. Пусть, далее, р: X -»¦ X — уни-
универсальное накрытие над X. Тогда всякая связная компонента
прообраза р~*Х' односвязна {и является, таким образом, экзем-
экземпляром универсальной накрывающей над X'). Более того, эти
компоненты транзитивио переставляются действием группы п в
X, и л' есть стационарная подгруппа, отвечающая одной из
лих; другими словами, пй{р~гХ')& я/я'.
Доказательство. Для любой отмеченной точки в р~1Х'
имеем диаграмму
л, (р X'j
я'
вертикальные стрелки которой индуцированы отображением р,
¦& горизонтальные стрелки — включениями. Первое утверждение
получается из этой диаграммы сразу, поскольку л<Х=*Ш. Вто-
Второе утверждение, серьезных применений которого у нас не будет,
¦оставляется интересующемуся читателю в качестве упраж-
упражнения. ?
7.6. Лемма. Всякая диаграмма Gl ¦*- А -*¦ G2 групп может
¦быть реализована диаграммой Xt ¦*- У -+• Хг К{л, 1)-пространств
и вложений.
Доказательство. Согласно упражнению 4 к § 1.4 или
упражнению 3 к § 1.5 К(п, 1)-пространства могут быть построе-
построены функторналыто. Поэтому мы можем реализовать заданные
грушювыо гомоморфизмы клеточными отображениями X,*-Y->-
—- Хг, связывающими К (я, 1)-пространства. Переходя, если нуж-
нужно, к цилиндрам отображений (см. Спеньер [1966], 1.4), мы мо-
можем сделать эти отображения вложениями. ?
Доказательство теоремы 7.3. Начнем с диаграммы
Xi ¦*- Y -+• Хг из леммы 7.6 и составим объединение PC = X, Ur Хг\
последнее озпачает, что X получено из несвязного объединения
Х^иХъ посредством отождествления двух экземпляров прост-
пространства Y. Тогда в силу теоремы 7.2 я?Х = Gj *A Gz = G, так
что мы должны только показать, что для универсальной накры-
накрывающей X пространства X выполнено равенство HiX = 0 при
г > 1. Пусть Xi, Хг и У — прообразы пространств Xt, X2 и У в
X. Поскольку Хи Хг и У имеют ацикличные универсальные на-
накрывающие, из лемм 7.4 и 7.5 следует, что пространства Хи Х2
и F имеют тривиальные гомологии в положительных размерно-
§ 7. ГОМОЛОГИИ АМАЛЬГАМИРОВАННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 65
стях. Поэтому последовательность Майера — Виеториса, ассоции-
ассоциированная с квадратом
Y-+X,
1 L
(составленным из вложений), показывает, что ЯД = О при
г > 1. ?
7.7. Следствие. Если G = Gi*AG2, где А <= Gl и А с G2,
то имеет место «последовательность Майера — Виеториса»
... - ПпА - Я.С, ® HnG2 - IInG - Hn.tA
Ото непосредственно вытекает из теоремы 7.3. ?
Замечание. В качестве побочного продукта доказательства
теоремы 7.3 мы получаем точную последовательность перестано-
перестановочных модулей
G.8) O-^ZIG/A^ZW/GJ ®Z[G/Ct]^-Z-*-0.
]) действительности это — просто отвечающий малым размерно-
размерностям кусок последовательности Майера — Виеториса, которой мы
пользовались в доказательстве теоремы 7.3. (Вторая часть леммы
7.5 позволяет отождествить На(Т), Н0(Х,) и По(Х2) с перестано-
перестановочными модулями.) Другой вывод последовательности G.8),
также основанный на топологических идеях, мы приведем в до-
добавлении к этой главе. Можно также доказать G.8) алгебраиче-
алгебраически, см. Биери [1976], предложение 2.8, или Соуп [1969], лемма
2.1. Более того, можно дать чисто алгебраическое доказательство
л следствия 7.7, используя G.8) как отправную точку. Это мы
объясним ниже, в упражнении к § III.6.
Упражнения
1. Пусть G==Gi*aG2, причем A-*-G\, A-+G2 не обязательно мопо-
морфны. 11уст1. G\, Пъ и Л —образы групп G\, G2 и Л в G. Покажите, что
G-~G1»—G2. Таким образом, всякая амальгама в смысле определения,
данного и начале этого параграфа, изоморфна амальгаме с мономорфными
А ->* G, и Л -v С2.
* 2. Найдите доказательство теоремы 7.2, основанное па классификации
регулярных накрытий, содержащейся в добавлении к гл. I (см. теорему Д2).
[У капа н и о. Для любой группы Я регулярная Я-накрывающал X с от-
отмеченной точкой пространства А' определяется заданием регулярных Я-на-
]фыиающих Xi н Хг, с отмоченными точками пространств, соответственно,
Xi и Х3, таких, что индуцированные накрывающие пространства Y изо-
изоморфны (как регулярные Я-пакрывающие с отмеченными точками).]
3. Имеется классический факт: SL2 (Z) fa^-i*j2^-e- (Его простое до-
доказательство намечено в статье Серра [1977а]; см. также ниже в этой кни-
книге пример 3 к SJVIII.9.) Вычислите Я#E?2B)) при помощи последова-
последовательности Майера — Виеториса. [Рекомендация. Вы сэкономите массу
усилий, если в последовательности Майера — Виеториса будете раздельно
5 к. с. Биатн
g6 гл. п. гомологии групп
рассматривать 2-кручение и 3-кручение. В том, что касается 2-кручения,
SL2 (Ж) ведет себя, как Zt*2, Z2=Z4, а по отношению к 3-кручению
SL2 (I) ведет себя, как {1} *{1} Zg = Z3-]
Добавление. Деревья и амальгамы
Результаты § 7 были основаны на топологической интерпре-
интерпретации амальгамированных свободных произведений в терминах
«амальгам» топологических пространств. Цель этого добавления
заключается в описании другой топологической интерпретации
амальгамированных свободных произведений, принадлежащей
Серру [1977а]. В частности, мы получим другое доказательство-
утверждения 7.8.
Напомним, что граф есть одномерное клеточное пространство'
и что путь в графе есть последовательность et, ..., е„ ориентиро-
ориентированных ребер, такая, что концевая вершина ребра е; совпадает
с начальной вершиной ребра et+i при 1 < i < п. Путь называется
петлей, если концевая вершина ребра е„ совпадает с начальной
вершиной ребра е4. Мы не исключаем случая п = 0; в этом слу-
случае путь называется тривиальным. Наконец, путь называется
приведенным, если e{+i Ф ё< при О < i < n, где ё; обозначает реб-
ребро, геометрически совпадающее с ребром е,-, но ориентированное
противоположным образом.
Граф X называется деревом, если он удовлетворяет следую-
следующим условиям, которые, очевидно, все эквивалентны между
собой:
(a) [Х стягиваемо;
(b) X односвязно;
(c) X ациклично;
(d) X связно и не содержит нетривиальных приведенных пе-
петель.
Предположим, что группа G действует в дереве X как груп-
группа автоморфизмов, и пусть е — ребро дерева 1Х с вершинами v
и w. Мы скажем, что е есть фундаментальная область для дей-
действия группы G, если всякое ребро дерева X эквивалентно е по.
отношению к G и всякая вершина дерева X эквивалентна одной
из вершин v и w, но не обеим. Другими словами, мы требуем,
чтобы подграф
изоморфно отображался на- факторграф X/G. Заметим, что ста-
стационарные подгруппы Ge, Gv и Gw удовлетворяют соотношению.
G. - G, П G«.
Действительно, включение Ge2G,fl Gw вытекает из того, что е
есть единственное ребро с вершинами v и w (X есть дерево);
ДОБАВЛЕНИЕ. ДЕРЕВЬЯ И АМАЛЬГАМЫ 67
противоположное включение имеет место вследствие того, что
никакой элемент группы G не может переставить вершины v и
w (они не эквивалентны по отношению к G).
Теорема Серра, которую мы сейчас сформулируем, утвержда-
утверждает, что действия группы G такого типа (т. е. действия, для кото-
которых ребро служит фундаментальной областью) по существу не
отличаются от разложений группы G в амальгамированные сво-
свободные произведения.
Д1. Теорема. Пусть группа G действует в дереве X. Пред-
Предположим, что е есть ребро дерева X с вершинами v и w и что е
есть фундаментальная область для нашего действия. Тогда
G = С„ *Се Gw. Обратно, если дана амальгама G = G, *Л G2 (где
A с G, и А <= G2), то существует дерево, на котором G действует
вышеуказанным образом, такое, что Gu G2 и А совпадают со
стационарными подгруппами Gv, Gw и Ge.
Набросок доказательства. Заметим, что ребра gte
и g2e дерева X {gt e G) тогда и только тогда имеют общую вер-
вершину, когда gi g2 s Gv или Gw. Это позволяет связать приве-
приведенные пути в X с приведенными словами («нормальными фор-
формами») в Gv*GeGw. Рассмотрим, например, приведенный путь
длины 4, пачипающийся с ребра е и ориентированный таким
образом, что v есть его первая вершина. Такой путь должен
иметь вид
в w до ffhw ghkv
-о»
е ge ghe ghke
где g, k^Gw и h e Gv. Более того, g, h, кФ Ge. Таким образом,
этот путь порождает приведенное слово ghk в Gv*c,eGw. Так
как X не имеет петель, то ghk Ф 1 в G. Обобщая это рассужде-
рассуждение, можно показать, что каноническое отображение
<р: Gv*GeGw—*~G мономорфно. Из связности графа X аналогич-
аналогичным образом выводится, что ф эпиморфно. [Для g ^ G нужно
рассмотреть путь с концом gv, начинающийся с ребра е.] Это до-
доказывает первую часть теоремы.
Обратно, равенство G = Gi*AG2 не оставляет нам никакой
свободы в построении X. Именно, мы должны взять (G/G-^ LJ
LJ (G/G2) за множество вершин дерева X и G/A за множество
«го ребер. Существуют канонические отображения a: G/A -»- G/Gi
и р": G/A -*¦ G/G2, посредством которых мы соотносим ребра с
вершинами, т. е. ребро e^G/A соединяет вершины а(е) и (}(е).
Этим путем мы получаем граф X, на котором действует группа
G, причем ребро служит для этого действия фундаментальной
областью, а группы G{, G2 и А являются стационарными под-
подгруппами. Поскольку G^G^aGz, первая часть доказательства
68 гл. ii. гомологии групп
показывает, что граф X связен и не имеет нетривиальных приве-
приведенных петель, т. е. что он является деревом. ?
Этот набросок доказательства наводит на мысль, что теорема
не особенно глубока; и действительно, факт существования дере-
дерева ЯГ, ассоциированного с Gt *А G2, есть немногим больше, чем
переформулировка теоремы о нормальной форме для амальгами-
амальгамированных свободных произведений. Тем не менее, дерево пред-
представляет собой очень удобный инструмент, позволяющий просле-
проследить за комбинаторикой нормальных форм. Часто бывает значи-
значительно легче доказать что-нибудь о группе G, используя X, чем
работая непосредственно с нормальными формами.
Например, мы можем получить обещанный вывод последова-
последовательности G.8), заметив, что эта последовательность есть просто
аугментированный цепной комплекс пространства X. Его точ-
точность следует поэтому из ацикличности X.
Вот еще два применения теоремы Д1.
Д2. Следствие. Пусть F ^ G, *A G2 — подгруппа, имеющая
тривиальное пересечение с любой подгруппой, сопряженной с G,
или с G2. Тогда F — свободная группа.
Доказательство. Из предположения вытекает, что F сво-
свободно действует в %. Поскольку X односвязно, это означает, что
X есть универсальная накрывающая факторграфа X/F и, таким
образом, что F « nt (X/F). Но хорошо известно, что фундамен-
фундаментальная группа графа всегда свободна. ?
ДЗ. Следствие. Пусть Н s Gt *A Gz — конечная подгруппа.
Тогда подгруппа II сопряжена с подгруппой группы Gt или груп-
группы G2.
Доказательство. Мы должны показать, что Н оставляет
неподвижной некоторую вершину графа X. Но это вытекает из
элементарного факта, что всякая конечная группа автоморфиз-
автоморфизмов дерева имеет неподвижную точку. Подробности см. в статье
Серра [1977а], 1.4.3. ?
ГЛАВА HI
ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 0. Предварительные сведения о функторах ®0 и Ното
Напомним, что тензорное произведение М ® RN определено в
ситуации, когда М есть правый /?-модуль и iV есть левый /?-мо-
дуль. Оно получается из тензорного произведения М <8> z N (ко-
(которое мы обозначаем через М ® N) наложением соотношений
тг® п = гп®т (m<=M, г е= #, n e= N).
В случае, когда R есть групповое кольцо XG, мы можем из-
избежать необходимости рассматривать одновременно левые и пра-
правые модули, воспользовавшись антиавтоморфизмом g *-*¦ g~ груп-
группы G. Последний позволяет нам рассматривать любой левый
G-модуль М как правый G-модуль, положив mg — g~lm (т е М,
g&G), и мы можем, таким образом, придать смысл тензорному
произведению А/®гс N (обозначаемому также через M®eN)
двух левых G-модулей.
Заметим, что М ®0N получается из М ® N наложением соот-
соотношений g~lm ® п = т ® gn. Если мы вместо т возьмем gm, эти
соотношения примут вид т ® п = ^m ® ^п, так что
@.1) M®aN=-(M®N)c,
где G действует в M®N «диагональным образом»: g(m® ra) =
= ^m ® go. В частности, это показывает, что операция — ®0 —
коммутативна:
M®GN<* N®aM.
Предостережение. Это уничтожение различия между
левыми и правыми модулями удобно, но может привести к пута-
путанице, особенно в случае, когда М естественным образом наделено
и левым, и правым действием группы G (например, если
М = 1Л\ где G^G'). Мы будем возвращаться к стандартному
обозначению М ®/с iV всякий раз, когда захотим подчеркнуть,
что тензорное произведение берется по отношению к заданному
правому действию группы G в М, а не по отношению к правому
действию, полученному из левого действия.
Упомянутое выше диагопальное действие группы G является
весьма общим и может быть использовано, когда к G-модулям
применяется функтор от одной или нескольких абелевых групн.
Рассмотрим в качестве примера функтор Нога ( , ) =
Homz ( , ). Если М и N являются G-модулями, то действия
70 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
группы G в М и N индуцируют, ввиду функториальности, «диа-
«диагональное» действие группы G в Нот (М, N), задаваемое фор-
формулой
где g e G, и е Нот (Af, N), теМ. [Использование g~l здесь не-
необходимо ввиду контравариантности функтора Нот по первому
переменному. Можно сказать, что мы компенсируем эту контра-
вариантность превращением модуля М в правый модуль.]
Заметим, что gu = и тогда и только тогда, когда и перестано-
перестановочно с действием группы g. Таким образом,
@.2) HomG {M, N) = Нот (М, N) °.
Этот вывод неявно уже фигурировал в упражнении 5 к § 1.8, где
мы применяли процедуру усреднения к превращению произволь-
произвольного элемента из Horn (M, N) в элемент из Нот (М, N)G =
= HomG(Af, N).
Упражнения
1. Пусть F есть плоский ZG-модуль и М есть G-модуль, не имеющий
Z-кручения (т. е. Z-плоский). Покажите, что тензорное произведение
F®M (с диагональным действием группы G) является ZG-плоским.
[Указание. (F ® М) ig> G — ~(F ® М ® — )G = F ®0 (М ® —), послед-
последнее же есть точный функтор.]
2. Пусть F есть проективный ZG-модуль и М есть G-модуль, свободный
над Z. Покажите, что G-модуль F ®М (с диагональным действием группы
G) проективен. [Указание. HomG (F ® М, — )= Нот (F&M, —)° =
= Нот (F, Horn (M, —))G = EomG(F, Horn (M, —)), последнее же есть
точный функтор. Другое доказательство намечепо ниже в упражнении 3
к § 5.]
§ 1. Определение Я, (G, М) и Я* (G, М)
Пусть F — проективная резольвента Z над XG, и пусть М
есть произвольный G-модуль. Мы определяем гомологии группы
G с коэффициентами в М формулой
A.1) H*(G,M)^H*(F®GM).
Здесь F ®G M обозначает комплекс, полученный из F применени-
применением функтора — ®GM. Таким образом, A.1) есть естественное
обобщение данного в гл. II определения Н* G; последнее можно
получить, положив М = Z:
A.2) H*{G,Z) = H,p.
Подобно тому, как это было в гл. II, группа II* {G, М) опреде-
определена с точностью до канонического изоморфизма.
Комплекс F ®0М можно представлять себе также как тен-
тензорное произведение двух цепных комплексов (см. § 1.0), где М
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ В, (G, М) И H*(G, M) 71
рассматривается как цепной комплекс, сконцентрированный в
размерности 0. С этой точки зрения в формуле A.1) присутству-
присутствует определенная асимметрия, не возникавшая в контексте гл. II.
Более симметричное с «иду определение можно получить, выбрав
проективные резольвенты для обоих модулей Z и М, скажем,
е: F -> 2 и ц: Р -*¦ М, и положив
A.3) H*(G,M) = H*(F®GP).
К счастью, A.3) согласовано с A.1), поскольку согласно теореме
1.8.6 Ti индуцирует слабую эквивалентность F ® ц: F®gP~>-
-+F®GM.
Заметим, что теорема 1.8.6 доставляет также слабую эквива-
эквивалентность е ® Р: F ®GP -*-Ъ ® G-f- Таким образом,
A.4) Ht{G,M) = H,{PG).
Как мы видим, при вычислении Н% (G, М) мы обладаем значи-
значительной свободой в выборе цепного комплекса. Пока что мы
удовлетворимся тривиальным примером такого вычисления:
A.5) H9(G,M)«M0.
Это вытекает из точности тензорного произведения справа. [При-
[Применим — ®0 М к Fl -> Fo -*-Z -*¦ 0 и воспользуемся A.1), или
применим ( )о к Р^^-'-^-^О и воспользуемся A.4).]
Обратимся теперь к когомологиям с коэффициентами, кото-
которые определяются уже не через посредство функтора ®, а через
посредство функтора Жопь. Выберем, как и прежде, проективную
резольвенту F-*¦"? и рассмотрим комплекс 3^omo(F, М), где М
снова рассматривается как цепной комплекс, сконцентрирован-
сконцентрированный в размерности 0. Из данного в § 1.0 определения функтора
Збопь видно, что Жохпа (F, М) п = Homo (F-n, M). Ввиду этого
разумно рассматривать 3eomG(F, M) как коцепной комплекс,
принимая обычные соглашения об индексах, т. е. полагая
F, AT)" = 2%omG(F, M)-n = Homc(Fn, M).
При этом он делается неотрицательным коцепным комплексом с
кограничным оператором б, действующим по формуле
где ue 2$omG(F, M)n, ief,+1. Легче всего запомнить эту фор-
формулу в виде
A.6) <бв, x>+(-l)lesu<M, дх>=0
(ср. упражнение 3 к § 1.0).
Мы полагаем
A.7) H*(G,M)=H*(MomG(F,M)).
72 гл. т. гомологии и когомологии с коэффициентами
Замечание. Поскольку в данном выше определении опера-
оператора б присутствует множитель (—l)n+l, 2f6oma{F, M)—это не
то же самое, что комплекс, получающийся поразмерностным при-
применением к комплексу F функтора HomG(—, М). Это досадное не-
несоответствие является в действительности пустяковым, поскольку
изменение знака кограничного оператора не влияет на коциклы,
кограницы и, следовательно, когомологии. Мы предпочли функ-
функтор Жот функтору Нот по той лишь причине, что нам удобно
будет пользоваться свойствами функтора Зёот, систематически
изученными в упражнениях к § 1.0. Читателю следует, однако,
иметь в виду, что в литературе когомологии II* (G, М) часто оп-
определяются при помощи функтора Нот, а не Жот.
Заметим, что точная последовательность Fx -*¦ Fo -*¦ Z -*¦ 0
ипдуцирует точную последовательность 0-»-Hom<j (Z, М)-*-
->¦ Ношено, М) -v HomG (Fu М). Поскольку HomG (Z, М) = MGt
мы получаем:
A.8) II°(G,M) = M°.
Для когомологии II*(G,—) существуют аналоги формул A.3)
и A.4), но эти аналоги требуют понятия инъективной резольвен-
резольвенты, которое мы лишь коротко упомянули выше (см. упражнение
4 к § 1.7). Интересующийся читатель найдет эти аналоги ниже,
и упражнении 4(Ь), но больше нигде в книге опи не потре-
потребуются.
Примеры.
1. Пусть G — бесконечная циклическая группа с образующей
t. Тогда мы имеем резольвенту A.4.5)
ввиду чего Н% (G, М) — это гомологии комплекса
а Н* (G, М) — когомологии комплекса
м г-^+ м -*- о -v...
Таким образом, II0(G, М) =#'(?, М)= Ма, IIt{G, Л/) =
= //°(G, М) = МС и IliiG, М) = Нг{С, М) = 0 при »>1.
2. Предположим, что G есть циклическая группа конечного
порядка п с образующей t. Тогда мы имеем резольвенту A.6.3)
^^^ —ZG-vZ->0,
где N = 2Г=о t1' Следовательно, H%(G,M)—это гомологии комп-
комплекса
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Я» (G, М) И H*(G, M) 73
а Ы* (G, М) — когомологии комплекса
Заметим, что отображение N: М -+¦ М удовлетворяет соотноше-
соотношению Ngm = Nm (ge-G, m<sM) и что NM = Ма; таким образом,
N индуцирует отображение N: Мо -*¦ М°, которое _называется
нормирующим отображением. [В действительности, N будет оп-
определено для любой конечной группы G, если положить N—
= 2geG?-]Tenepb мы можем прямо извлечь из предыдущего, что
//,((?, М) = Hi+i (G, М) = M°/NM = coker N
при нечетном i>l и что
H,(G, Af) = J5T-|(G, М) = кегЖ
при четном г 5» 2.
3. Для любой группы G мы всегда можем в качестве резоль-
резольвенты F взять бар-резольвенту. В этом случае вместо F ®GM
[ = М ®0F] мы пишем Ct(G, М) и вместо cf€oma{F, M) пишем
C*(G, M). Таким образом, элемент группы Cn(G, M) может быть
единственным образом представлен как конечная сумма элемен-
элементов вида m ® [gi I ... I #„], т. е. как формальная линейная ком-
комбинация символов [gi I ... I gn] с коэффициентами из М. Гранич-
Граничный оператор д: Cn(G, М)-»- Cn_!(G, М) действует при этом по
формуле
d(m ® fe, I... I gn])-mgi ® [*, I ... I *.] -
Аналогичным образом элемент группы Cn(G, M) может рассмат-
рассматриваться как функция /: Gn -*¦ М, т. е. как функция п перемен-
переменных из G в М. Кограничный оператор б: Cn~*(G, M)-*- Cn(G, M)
определяется, с точностью до знака, формулой
= glf(g2, ..., gn)—Hgig2, ..., gn)+...+(~ i)"J(gi, -.., gn-i).
[Если n = 0, то Gn, в соответствии с принятыми соглашениями,
есть одноэлементное множество, так что C(G, М)» М.] Можно
было бы воспользоваться здесь нормализованной бар-резольвен-
бар-резольвентой; получающийся при этом нормализованный цепной комплекс
CN(G,M) представляет собой подкомплекс комплекса C*(G, M),
состоящий из таких /, что f(gi, ..., gn)=0, если ?» = 1 при не-
некотором i.
В заключение мы заметим, что Ht (G, М) и Н* (G, М) имеют
топологическую ' интерпретацию, аналогичную интерпретации
тт р,
Hi{G,M)-H,{K(G,i), Л),
H*(G, M) = H*(K(G, 1), Uf),
74 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
где Ж есть локальная система коэффициентов на K(G, 1), ассо-
ассоциированная с G-модулем М. [Важнейшие факты о локальных
системах коэффициентов изложены в статье Эйленберга [1947],
гл. V.] Нам эти изоморфизмы не потребуются, так что мы остав-
оставляем подробности интересующемуся читателю. [Указание.
Пусть F — цепной комплекс универсальной накрывающей.
K(G, 1)-пространства У; тогда С* (У, Ж) = F ®GM и С*{?,Ж) =
3@ M]
Упражнения
1. Пусть G— конечная группа, М — некоторый G-модуль и N: Мс->
-»¦ MG — нормирующее отображение, определенпое выше в примере 2.
(a) Покажите, что kerN и cokeriV аннулируются умножением на \G\.
[Указание. Рассмотрите очевидное отображение М° -> Мо.]
(b) Предположим, что М — модуль вида 1G ® А, где А — абелева
группа, с действием группы G, описываемым формулой g(r$a) = grig) a.
[Такие модули М называются индуцированными,] Покажите, что
N: Ма-*-Мс есть изоморфизм.
(c) Покажите, что N есть изоморфизм в случае, если М есть проектив-
проективный ZG-модуль.
2. Покажите, используя стандартный коцешгой комплекс C*(G, M), что
группа Н1 (G, М) изоморфна группе дифференцирований из G в М (см. уп-
упражнение 3 к § II.5) по модулю главных дифференцирований. (Главными
называются дифференцирования вида dg = gm — т, где т — фиксирован-
фиксированный элемент модуля М.) В частности, если G действует в М тривиально, то
Я'(С, М) « Нот (G, М) = Нот (Gsb, М) = Нот (Я,С, М).
3. Пусть А — абелева группа с тривиальным действием группы G. По-
Покажите, что F ®0А « FG (gi А и что 9@omG(F, А) « Э&от (FG, А). Выведите
отсюда последовательности универсальных коэффициентов
О -> HnG ® А - IIп (G, А) -»¦ Tor^ (//„„iG, А) -* О
О ->- Ext^ (Hn_tG, A) -+ Ип (G, А) -> Нот (HnG, A) -> 0.
4. (а) Сформулируйте и докажите аналог теоремы 1.8.5 для отображе-
отображений в неотрицательные коцеппые комплексы ипъективных модулей.
(Ь) Пусть е: F-+Z—проективная резольвента и ц: M-*-Q—инъек-
тивпая резольвента. Докажите, что 8 и т) индуцируют слабые эквивалент-
эквивалентности
?eomG(F, M)->ZeomG(F, Q)-* 3%от G (Z, Q),
так что H*(G, M) можно вычислять при помощи любого из этих трех комп-
плексов. В частности,
H*{G, М) « Я* ((?«).
§ 2. Тог и Ext
Имеются очевидные обобщения гомологии H*{G, —) и кого-
когомологии H*(G, —), называемые Тог* (—, —) и ExtG (—, —) и
получаемые удалением из A.1) и A.7) ограничения, что модуль,
резольвентой которого служит F, есть именно модуль Z. В слу-
случае Тог мы берем проективные резольвенты F -*¦ М и Р -*¦ N двух
§ 2. Тог и Ext 75
произвольных G-модулей М и N и полагаем
Tor?(M, N) = Я* (F ®GN) = Я* (F ®GP) = Я, (Л/ ®G P).
Гомологии Я* (С, —)получаются при этом как Tor^Z, —)•
Аналогично, если F -*¦ М снова есть проективная резольвента,
мы полагаем
ExtG (М, N) = Я* (Жотв (F, N)).
Когомологии H*(G, —) получаются как ExtG(Z, —)• Читатель,
проделавший упражнение 4 к § 1, заметит, конечно, что мы мог-
могли бы также взять инъективную резольвенту N -*¦ Q и написать
ExtS (М, N) = Я* (Жот0 (F, <?)) = Я* (Жота (М, <?)).
Мы не собираемся систематически изучать свойства операций
Тог п Ext, но для удобства будущих ссылок приведем несколько
важнейших результатов, касающихся этих операций. Первый по-
показывает, что при вычислении групп Тог имеется гораздо больше
свободы в выборе резольвенты, чем это кажется при поверхност-
поверхностном взгляде на определение.
2.1. Предложение. Пусть е: F -*¦ М и т): Р -*¦ N — резоль-
резольвенты, не обязательно проективные. Если хотя бы одна из этих
резольвент представляет собой комплекс плоских модулей, то
Доказательство. Предположим, например, что F состоит
из плоских модулей, и пусть ti : Р -*¦ N — проективная резольвен-
резольвента. Согласно фундаментальной лемме 1.7.4 существует сохраняю-
сохраняющее аугментацию цепное отображение /: Р -*¦ Р. Двукратное при-
применение теоремы 1.8.6 дает:
H*(F®GP)^Я, (F ®сР)^-Я, (М ®GР) = Tor?(M, N),
где первое отображение индуцировано /, а второе отображение
индуцировано 8. ?
Один из способов построить резольвенту модуля М состоит в
том, чтобы взять резольвенту s: F'-»-Z и тензорно умножить ее
на М, получив е ® М: F <g> М -»- Z <S> М = М. Небольшие ограни-
ограничения на F и М гарантируют, что получится резольвента. Напри-
Например, предположим, что резольвента F состоит из Z-свободных
модулей; тогда е будет, если мы игнорируем действие группы G,
гомотопической эквивалентностью (см. следствие 1.7.6), и то же
верно для 8 ® М. [Другой путь состоит в том, чтобы на основа-
основании теоремы об универсальных коэффициентах написать
Я* (F ® М) = H*(F) ®M = M.)
Применяя этот метод, мы покажем сейчас, что Тог» и ExtG
часто можно вычислять через H^(G, —) и H*(G, —).
76 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
2.2. Предложение. Пусть М и N — некоторые G-модули.
Если М не имеет Ъ-кручения, то
Tor* (M, N)« Я* (С, М ® /V),
где G действует в М ® N диагональным образом. Если модуль М
свободен над Z> то
Ext? (M, N)« Я* (G, Horn (M, N)),
где G действует в Kom(M, N) диагональным образом.
Доказательство. Пусть е: F-vZ— проективная резоль-
резольвента; рассмотрим резольвенту е ® М: F ® М ->¦ М. Если модуль
Ж не имеет Z-кручения, то эта резольвента будет плоской, а ес-
если модуль М Z -свободен, то она будет проективной — см. упраж-
упражнения 1 и 2 к § 0. Таким образом, если М не имеет Z-круче-
Z-кручения, то
Tor* (M, N)« Я* ((F ® М) ®G N) [по предложению 2.1] =
= Я* ((F ® М (8) N)o) = H*{F ®G(M <g> N)) = Я*(С, AT ® TV).
Если же модуль М Z -свободен, то
ExtS(M, N) = H* C@omG(F <g> M, N)) [по определению Ext] =
= H* {Жот (F ® AT, TV)G) = H* {Жот (F, Horn (M, N))<>) =
= Я* (Жотв (F, Нот (Л/, TV))) = Я* (G, Horn (ikf, N)). П
Другое доказательство этого предложения мы наметим ниже
в упражнении 2 к § 7.
В заключение мы заметим, что операции Тог и Ext могут
быть определены для модулей над произвольным кольцом R точ-
точно так же, как они определяются для G-модулей. Нужно только
проявлять осторожность в отношении того, какие модули явля-
являются левыми, а какие — правыми. Именно, Tor* (M, N) опреде-
определяется в ситуации, когда М есть правый модуль, а N есть левый
модуль, a ExtR (М, N) определяется, если модули М и N либо
оба являются левыми, либо оба являются правыми.
Упражнение
Покажите, что Тог^ {М, N) « Tor* (N, М). [Указание. Восполь-
Воспользуйтесь упражнением 5 к § I.O.]
§ 3. Расширения и корасширения скаляров
Отложив на время изучение H*(G, M) и H*(G, M), мы обсу-
обсудим в этом и в двух следующих параграфах некоторые теорети-
теоретико-модульные конструкции, которые играют фундаментальную
роль в теории гомологии и когомологии групп. Пусть a: R -*¦ S —
§ 3. РАСШИРЕНИЯ И КОРАСШИРЕНИЯ СКАЛЯРОВ 77
кольцевой гомоморфизм. Этот гомоморфизм позволяет рассматри-
рассматривать всякий 5-модуль как /?-модуль, и мы получаем, таким обра-
образом, функтор из S-модулей в Л-модули, называемый сужением
¦скаляров. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы изложить
две конструкции, идущие в противоположном направлении — от
.ft-модулей к ^-модулям.
Для произвольного (левого) Д-модуля М рассмотрим тензор-
тензорное произведение S ®я М, где S рассматривается как правый
Д-модуль со структурой sr = sa{r). Поскольку естественное ле-
левое действие кольца S в себе коммутирует с этим правым дейст*
вием кольца R в S, мы можем сделать произведение S ® RM
(левым) S-модулем, положив s (s' ® т) — ss' ® т. Про этот 5-мо-
дуль говорят, что он получен из М расширением скаляров от
Д до S.
Заметим, что имеется естественное отображение t: M -*¦
S ®н М, действующее по формуле i (т) = 1 ® т. Так как
® ()® ()(l ® т) при гей, то
другими словами, если превратить S-модуль S ®я М в Л-модуль
посредством сужения скаляров, то i станет Д-отображеняем. Бо-
Более того, имеет место следующее универсальное функциональное
свойство:
3.2. Для любого 5-модуля N и любого Д-отображения /:
М-*¦ N существует единственное S отображение g: S®ВМ-+ N,
такое, что gi — /:
М 1 > S®RM
N.'
[Таким образом,
C.3) HomaE ®RM, N)« Нотя(М, N),
т. е. функтор расширения скаляров (Л-модули) -*¦ E-модули) яв-
является левым сопряженным к функтору сужения скаляров
(?~модули)->-(.й-модули).] Неформальный смысл свойства 3.2 со-
состоит в том, что S ®RM есть наименьший S-модуль, в который
направлено Л-отображение из М. Чтобы доказать это свойство,
достаточно заметить, что отображение g, если оно существует,
должно удовлетворять соотношению g(s ® m)= sg(i ® m) —
= sg(i(m)) = sf(m). Это доказывает единственность и подсказы-
ет, как нужно определить g, чтобы доказать существование;
дальнейшие подробности оставляются читателю.
Заметим, что свойство 3.2 можно применить, в частности, к
ситуации, когда М есть модуль N (превращенный в Л-модуль
78 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
при помощи сужения скаляров) и / = idjy. В результате мы по-
получим для произвольного 5-модуля N каноническое &ютобра-
жение У
C.4) S®*N-+N,
действующее по формуле s ® n •—¦sn. Это отображение эпиморфпо;
более того, как /?-отображение оно является расщепляющимся
эпиморфизмом.
Теперь мы рассмотрим двойственную конструкцию, исполь-
использующую Нош вместо ®. Для произвольного (левого) /?-модуля М
рассмотрим абелеву группу Нотя(?, М), где S рассматривается
как левый Л-модуль со структурой rs = a(r)s. Поскольку естест-
естественное правое действие кольца S в себе коммутирует с этим ле-
левым действием кольца R в S, мы можем сделать группу
НотнE, М) левым 5-модулем, положив (sf){s')=f(s's) при
/еНотнE, М). [Замечание: правое действие кольца S в себе
индуцирует левое действие этого кольца в Нотл (S, М) из-за
контравариантности функтора Нош по первому аргументу.] Про
этот 5-модуль говорят, что он получен из М корасширепием ска-
скаляров от R до S.
Имеется естественное отображение п: HomH(S, M)-*-M, дей-
действующее по формуле л(/) = /A). Заметим, что я(а(г)/) =
= (а(г)/) A) = /(«(/*))= г/A)= rn(f), так что л станет .й-отобра-
жением, если мы превратим S-модуль НотяE, М) в Д-модуль.
посредством сужения скаляров. Более того:
3.5. Для любого S-модуля N и любого Л-отображения /:
N' -»- М существует единственное S-отображение g: N -*¦
-*¦ НотнE, М), такое, что ng = f:
HomH (S,M)
¦4
/
N
[Таким образом,
C.6) Homs(N, Horn^S, M))» HomH{N, M),
т. е. корасширение скаляров сопряжено справа с сужением ска-
скаляров.] Неформальный смысл свойства 3.5 состоит в том, что
НотнE, М) есть наименьший 5-модуль, из которого направлено
/?-отображение в М. Чтобы доказать это свойство, достаточно за-
заметить, что g должно удовлетворять соотношению sg(n)= g(sn)t
где se S, reeN; беря значения обеих частей этого равенства
в 1, мы видим, что g(n)(s) = g{sn){l)= n(g{sn))= f{sn); суще-
существование и единственность g отсюда легко следуют.
§ 4. ИНЪЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ 79
Если взять в качестве М модуль N (рассматриваемый как
/?-модуль) и положить / = idjy, то мы получим из 3.5 канониче-
каноническое 5-отображение
C.7) . N-»RomR(S, N),
действующее по формуле /ib>(s« sri). Это отображение моно-
морфно; более того, как R-отображение оно является расщепляю-
расщепляющимся мономорфизмом.
Примеры расширения и корасширения скаляров у нас уже
появлялись. Именно, если а есть аугментация б: ZG->Z, то
функтор расширения скаляров (ZG-модули) -*¦ (Z-модули) есть
просто М *-* Мс, а функтор корасширения скаляров есть М*-*М
Более того, в упражнении 3 к § П.2 мы имели дело с расшире-
расширением скаляров в более общей ситуации, когда а есть эпимор-
эпиморфизм ZG-*-Z[G/H], где H<]G. Нас, однако, будет главным
образом интересовать случай, когда а есть вложение вида
XH->7,G, где //eG. Этот случай мы подробно обсудим
ниже, в § 5.
Упражнения
1. Покажите, что расширение скаляров переводит проективные Д-мо-
дули в проективные 5-модули. [Указание. Если Р есть проективный
Л модуль, то как это видно из C.3), Homs (S®RP, —) есть точный
функтор.]
2. Напомним (см. упражпение 4 к § 1.7), что Д-модуль Q называется
инъективиым, если функтор HomR (—, Q) точен. Покажите, что корасшире-
лие скаляров переводит инъективные Д-модули в инъективные 5-модули.
[У к а з а п и е. Если Q есть пнъективный /?-модуль, то, как это видно из
{3.6), Homs (—, HomH (S, Q)) есть точный функтор.]
3. Если кольцо S плоско как правый Л-модуль (т. е. если S ®и — есть точ-
точный функтор), покажите, что сужение скаляров переводит инъективные
Л-модули в инъективпые Л-модули. [Аналогичное указание.]
4. Если кольцо S проективно как левый Л-модуль, покажите, что суже-
сужение сцаляров переводит проективные 5-модули в проективные Д-модули.
[Аналогичпое указание.]
Читатель, зпакомый с сопряженными функторами, возможно, пожелает
«формулировать общее утверждение, частными случаями которого являют-
являются упражнения 1—4. [Упражпепия 1 и 4 можно сделать также более кон-
конкретным способом, используя тот факт, что проективный модуль есть пря-
прямое слагаемое свободного модуля. Специальный случай упражнения 4 был
уже сделан этим способом в упражнении 2 к § I.8.]
§ 4. Инъективные модули
Напомним (см. упражнение 4 к § 1.7), что Л-модуль Q назы-
называется инъективным, если он удовлетворяет следующим эквива-
лентпым условиям, двойственным к тем, посредством которых
мы определяли проективность.
(а) Функтор Ноглн(—, (?) точен.
гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
(Ь) Всякая проблема построения отображения
с точной строкой имеет решение.
(с) Для любого вложения М' -*¦ М всякое отображение М' ->•
-*¦ Q может быть продолжено до отображения М -*¦ Q:
Цель этого параграфа заключается в доказательстве утвер-
утверждения, что всякий модуль может быть вложен в инъективный
модуль; это утверждение аналогично (очевидному) факту, что
всякий модуль является фактормодулем проективного модуля.
4.1. Предложение. R-модулъ Q в том и только в том. слу-
случае является инъективным, если всякое отображение I -+¦ Q, где
I есть левый идеал кольца R, может быть продолжено до ото-
отображения R -*¦ Q.
Доказательство. Необходимость очевидна. Чтобы дока-
доказать достаточность, предположим, что для любого идеала / s R
всякое отображение / -*¦ R может быть распространено на все R.
Отсюда сразу вытекает, что если С ^ С, где С есть циклический
.й-модуль'), то всякое отображение С -*¦ Q может быть продол-
продолжено до отображения С -*~ Q. Пусть теперь М' ^=*М—произволь-
^=*М—произвольное вложение. В силу леммы Цорна для любого отображения /:
М' -*¦ Q существует максимальное продолжение F: М" -*¦ Q, где
М' s М" s М. Если М" ФМУ то существует циклический модуль
С ^ М, такой, что С Qt М"'. Но мы знаем, что F I С П М" распро-
распространяется на С, так что F распространяется на М" +С, что
противоречит максимальности F. Таким образом, М" ==М, и мо-
модуль Q инъективен. П
4.2. Следствие. Если R есть кольцо главных идеалов, то
R-модулъ Q является инъективным в том и только в том случае,
если он делим, т. е. если гМ = М для любого r?=Q из Q.
') Д-модуль называется циклическим, если он изоморфен факторкольцу
кольца R по главному идеалу.— Примеч. пер.
\ § 4. ИНЪЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ gf
Доказательство очевидно. ?
Например, Z-модуль Q делим и потому инъективен. Анало-
Аналогичным образом, инъективеп модуль Q/Z. Последний модуль,
представляет особенный интерес из-за следующего факта.
4.3. Предложение. Если А есть Ъ-модуль и ОФа^А, то
существует отображение /: A-*-Q/7,, такое, что f(a)?=O.
Доказательство. Поскольку Q/Z при любом пФО со-
содержит A/и) Z/Z «Z/raZ, ясно, что существует отображение
0/: Za-»-Q/Z, такое, что ^(а)Ф0. Но так как модуль Q/Z
инъективен, отображение f% продолжается до отображения /: А -*•¦
->Q/Z. ?
Это предложение показывает, что Q/Z играет в теории,
групп роль, двойственную роли группы Z, ибо последняя допу-
допускает ненулевое отображение во всякую ненулевую абелеву
группу.
Возвращаясь к произвольному кольцу R, обозначим через R'
Л-модуль Ногаг (R, Q/Z), полученный из Q/Z корасширениек
скаляров по отношению к кольцевому гомоморфизму %-*~В..
Этот модуль ипъективен в силу упражнения 2 к § 3. Как мы
увидим, оп играет в теории инъектнвных модулей ту же роль,
какую в теории проективных модулей играет R = R ®z Z. Под
несвободным модулем мы понимаем произвольное прямое про-
произведение экземпляров R'. Следующий факт аналогичен лем-
лемме 1.7.2.
4.4. Лемма. Несвободные модули инъективны.
Доказательство. Из определения инъективных модулей
сразу следует, что произвольное прямое произведение инъектив-
инъективных модулей инъективно. ?
Вспомните теперь стандартное доказательство того, что вся-
всякий модуль является фактормодулем свободного модуля F: нуж-
нужно взять F — (В R, где слагаемые находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с элементами модуля М, т. е. с Д-отобра-
жениями R -*¦ М. Двойственным образом мы можем рассмотреть
Q = П/е^ ' гДе ^~ = HomB(il/, R'). Имеется очевидное отобра-
отображение г: М -*¦ Q, /-компонента которого для ]^5Г есть отобра-
отображение /.
4.5. Теорема. Отображение i моиоморфно. Таким образом,
всякий R-модулъ может быть вложен в инъективный модуль.
Доказательство. Если О Ф m e M, то в силу предложе-
предложения 4.3 существует Z-отображение/0: M-*-Q/Z, такое, что-
fo(m)?=O. В силу свойства 3.5 /„ пропускается через /?-отобра-
жепие /: M-+R'. Следовательно, /(га) =5^=0 и, значит,
i(m) Ф0. П
Другое доказательство второй части теоремы 4.5, основанное
прямо на предложении 4.1, см. в книге Картана — Эйленберга
[1956], 1.3.3.
6 К. С. Браун
;&2 ГЛ. III. ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ '
/
Упражнение
Пусть R — 7/nJ. Покажите, что R есть ипъектнвпый Л-модуль. Выве-
Выведите отсюда, что:
(a) Если А есть абелева группа, такая, что пА = О, и С ^ А +- цикли-
циклическая подгруппа порядка п, то С выделяется в А прямым слагаемым;
(b) если А обозначает то же, что в (а), то А есть прямая сумма ци-
.клнческих групп.
§ 5. Индуцированные и коиндуцированные модули
В этом параграфе мы применил! конструкции § 3 к кольце-
кольцевым гомоморфизмам вида ЪН =*¦ ZG, где // s G. В этом случае
расширение скаляров (соотв. кораспшрение скаляров) называет-
называется индуцированием (соотв. коиндуцированием) с Н на G. Мы
часто будем писать
и
HomZH(ZG, M) = CoindH M
для //-модуля М. Заметим, что модули вида Ind<i>M— это в точ-
точности то, что мы называли индуцированными модулями выше, в
упражнении 1(Ь) к § 1. Аналогичным образом модули вида
Coind^} М будут называться коиндуиированными.
Поскольку действие группы Н в G посредством правых сдви-
сдвигов является свободным, ;i,G есть свободный правый Z/Z-мо-
дуль; за его базис можно взять любое множество представителей
ле!-.ых смежных классов gli. Поэтому '/,G ® zh M допускает как
абелева группа разложение
= 0 g®M,
где g ® M = {g ® т: т е М) и g ® М » Ж, g ® т ¦*-*¦ т. В част-
частности, пос1;ольку мы можем сделать 1 представителем своего
смежного класса, каноническое Я-отображение i: M -*-1fi ®ънМ,
определенное в § 3, изоморфно отображает М на его образ 1 ® М.
Поэтому отображение i позволяет нам рассматривать М как
//-подмодуль в 1п&нМ. Более того слагаемое g ® Ж, которое
входит в предыдущую сумму, представляет собой просто образ
этого подмодуля при преобразовании, производимом g, поскольку
g(l ® ra)= g ® т. Мы доказали, таким образом, следующий
факт.
5.1. Предложение. G-модулъ Ind^Af содержит М как Н-
подмодулъ и представляет собой прямую сумму образов gM, где
g пробегает любое множество представителей левых смежных
классов подгруппы Н группы G.
§ 5. ИНДУЦИРОВАННЫЕ И КОИНДУЦИРОВАННЫЕ МОДУЛИ gj
Второе утверждение этого предложения можно представить в
сокращенной форме:
E.2) Ш%М = Ф gM.
g=G/H
Эта запись имеет смысл, поскольку М отображается на себя пре-
преобразованиями, производимыми элементами группы Н, так что-
подгруппа gM модуля IndgM зависит только от класса элемента
g в G/H.
Описание E.2) полностью характеризует G-модули вида
InduM. Более точно, предположим, что N есть G-модуль, пред-
представляющий собой как абелева группа прямую сумму вида
0 .eiMj, и что действие группы G транзитивно переставляет сла-
слагаемые в том смысле, что имеется транзитивное действие груп-
группы G в I такое, что gMi = Mgi для всех g ^ G и i ^ I. Тогда:
5.3. Предложение. Пусть N есть G-модулъ описанного ти-
типа, М — одно из слагаемых М{ и Н ^ G — стационарная подгруп-
подгруппа, отвечающая i. Тогда М есть Н-модуль и N « \п&нМ.
Доказательство. Очевидно, что М есть Я-подмодуль мо-
модуля N, и из 3.2 следует, что включение М -»iV продолжается
до G-отображепия ср: IndflM-WV'. Очевидно, ф отображает слагае-
слагаемое gM модуля Indy M изоморфно на соответствующее слагаемое
Мщ модуля N, так что ф есть изоморфизм. П
5.4. Следствие. Пусть N есть G-модулъ, который как абе-
абелева группа имеет вггд0;е1М(. Предположим, что действие груп-
группы G в N переставляет слагаемые в соответствии с некоторым
действием группы Gel. Пусть, наконец, G{ есть стационарная
подгруппа, отвечающая элементу i множества I, и пусть Е есть
мнозкество представителей орбит группы Gel. Тогда Mt есть
Gi-модуль и имеется G-изоморфизм Nm^iSE Itida.Mi.
Доказательство. Так как / = UisE^i, то N =
= 01 e в 0je= otMj, и остается применить предложение 5.3 к внут-
внутренней сумме. ?
5.5. Примеры, (а) Перестановочный модуль X[G/H] изо-
изоморфен IndH Z, где Н действует в Z тривиально. Это можно уви-
увидеть непосредственно из определения Indn Z или вывести из
предложения 5.3, записав l\GIH\ как прямую сумму некото-
некоторого количества экземпляров Z.
(Ь) Пусть X есть клеточное G-прострапство; рассмотрим G-
модуль Сп (X). Это — прямая сумма групп Z, отвечающих га-
клеткам пространства X, и эти слагаемые переставляются дейст-
действием группы G. Поэтому из следствия 5.4 вытекает, что
С»(Х)« 0 IndgeZot
6*
84 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
где Sn есть множество представителей G-орбит в гс-клетках,
Ga = {g е= G: go = о)
и Za есть «ориентирующий модуль»t ассоциированный с а, т. е.
2а есть бесконечная циклическая группа, две образующие кото-
которой соответствуют двум ориентациям а. (Таким образом, g e Ga
действует в Za как +1, если g сохраняет ориентацию клетки а,
и как —1 в противном случае.) Заметим, что если G действует
в X свободно, то предыдущий изоморфизм сводится к тому, что,
как мы видели в § 1.4, Сп(Х) есть свободный ZG-модуль, базис-
базисные элементы которого соответствуют элементам множества 2„.
Прежде чем сформулировать следующее утверждение, заме-
заметим, что слагаемое gM модуля 1пс1я М замкнуто относительно
действия группы gHg, т. е. gM есть ^Я^'-модуль. Заметим
также, что преобразование, производимое g~\ определяет взаим-
взаимно однозначное соответствие /: gMZJ*-M, такое, что j(kn) —
= g-ikg • f(n) при к е gllg~\ n e gM, и потому gM можно отож-
отождествить с gHg~ '-модулем, получаемым из Я-модуля М сужением
скаляров, отвечающим изоморфизму сопряжения gHg~1'-=*~ H.
Для G-модуля N мы обозначим через ResfliV i/-модуль, по-
полученный сужением скаляров от G до Я.
5.6. Предложение, (а) Пусть N есть G-модуль. Тогда
Ind& Res? N « Z [G/H] ® N,
где G действует в тензорном произведении диагональным образом.
(Ь) Пусть Я и К — подгруппы группы G и Е — множество
представителей двойных смежных классов KgH. Для любого Н-
модуля М имеет место К-изоморфизм
Res? Ind? M » Д IndJn<fH<rx Resg,^-! gM.
В частности, если Н <i G, то имеет место Н-изоморфизм
Res^Indg M» Ф gM.
gSG/H
[Рассуждения, предшествующие формулировке предложения,
позволяют отождествить модуль ^^кр^яг-1^-^' входящий в
формулировку, с модулем R^KpigHg-1^' r^e сУжение берется по
отношению к отображению сопряжения К П gHg~l -*¦ H,k>-*g~ kg.]
Доказательство. Часть (а) оставляется читателю; она
представляет собой специальный случай М =Z упражнения 2 (а)
к этому параграфу. Чтобы доказать часть (Ь), заметим, что сла-
слагаемые модуля IndflM =(&geG/HgM переставляются действием
группы К в соответствии с естественным действием К в G/H. По-
§ 5. ИНДУЦИРОВАННЫЕ И КОИНДУЦИРОВАННЫЕ МОДУЛИ 85
•скольку орбиты группы К в G/H соответствуют двойным смежным
классам KgH и стационарная подгруппа группы К, отвечаю-
отвечающая смежному классу gH, есть К П gHg~\ (b) следует из 5.4. П
Мы будем несколько раз пользоваться предложением 5.6 (а)
в специальном случае Н = {1}. В этом случае результат прини-
принимает следующую форму.
5.7. Следствие. Пусть М есть G-модулъ, и пусть Мо — мо-
модуль М, рассматриваемый как абелева группа. Тогда модуль
TLG <8> М (с диагональным действием группы G) канонически
изоморфен индуцированному модулю XG ® Мо. В частности, если
Мй есть свободная абелева группа, то М есть свободный lfi-мо-
дулъ. П
Интересующийся читатель может проверить, что доказатель-
доказательство предложения 5.6 (а) доставляет определенный изоморфизм
%G ® Мо -*- Z.G ® М, именно, изоморфизм, задаваемый формулой
:g ® m<-+ g ® gm; обратный изоморфизм действует по формуле
g ®m« g (g) g~lm.
Коиндуцирование обладает свойствами, аналогичными пере-
перечисленным свойствам индуцирования, только операцию ф нуж-
ло всюду заменить операцией Ц. Точные формулировки, однако,
несколько более громоздки и требуют новых обозначений. Имен-
ло, если лг: N-*-Mt и я2: N -*¦ M2 — эпиморфизмы абелевой груп-
группы в абелевы группы, то мы будем писать я4 ~ яг в случае, ког-
когда существует изоморфизм h: М-^ ^*- М2, такой, что hnx = я2, или,
¦что эквивалентно, ker nt = ker я2. Если я: N-*¦ М — эпиморфизм
и N обладает структурой G-модуля, то для g^G мы обозначаем
через ng эпиморфизм N -*¦ М, определяемый формулой (я^) {х) =
= n(gx). Наконец, под разложением N в прямое произведение
мы понимаем семейство эпиморфизмов (я<: N -*¦ M()i3t, таких,
что соответствующее отображение -^-^Пге i M{ является изомор-
чризмом. Теперь легко сформулировать для коиндуцирования ана-
аналоги предложений 5.1, 5.3, 5.4 и 5.6. Например, аналог предло-
предложения 5.1 заключается в том, что модуль Coindfl M, рассматри-
рассматриваемый как абелева группа, допускает разложение в прямое про-
произведение (ng)gaa\e, где я: Coind/?M-*-Mесть каноническое
//-отображение, определенное в § 3. (Заметим, что nh ~ л при
АеЯ, так что класс эквивалентности эпиморфизма я# зависит
только от класса g в H\G.) Подобным образом аналог предложе-
предложения 5.3 заключается в следующем.
5.8. Предложение. Пусть N есть G-модулъ, который как
абелева группа допускает прямое разложение (я(: N -*• M()iml.
Предполооким, что существует транзитивное правое действие
группы Gel, такое, что я,# ~ n{g при всех ie / и ge G. Пусть
я: N-*¦ М есть один из эпиморфизмов Яг, и пусть H^G — ста-
стационарная подгруппа, отвечающая i. Тогда М наследует от N
структуру Н-модуля и N та Coindn M. О
86 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
Читатель может аналогичным образом сформулировать апало^-
ги следствия 5.4 и предложения 5.6.
Наконец, тот факт, что прямое произведение, индексирован^
ное конечным множеством, не отличается от соответствующей"
прямой суммы, делает неудивительным следующий результат.
5.9. Предложение. Если (G: Н) < °°, то
Доказательство. Рассмотрим ZT-отображе ние фо: М
-HomH(ZG!,Af), действующее по формуле
/ w \ igm при S^H,
Фо (Щ (*) = { 0 при g ф Н.
В силу 3.2, это отображение продолжается до G-отображения фг
Ifi ®гн М-*-Нотя (ZG, М). Выбирая представителей в смежных
классах и выражая ZG ®гнМ (соотв. HomH(ZG, M)) как пря-
прямую сумму (соотв. прямое произведение) экземпляров модуля М,
мы можем отождествить ф с каноническим вложением прямой
суммы в прямое произведение. Следовательно, ф есть изомор-
изоморфизм при (G :Н)<°°. Последнее можно доказать также, поло-
положив -ф (/) = ^igee/H 8® f (g~*) и проверив, что i|> = ф. D
Упражнения
1. Докажите, что индуцирование «инвариантно относительно сопряже-
сопряжер
dfjMmlnd
Выведите отсюда, что Я-модуль
ния» в том смысле, что lndfjMmlnd _±gM для любого Я-модуля М.
который фигурирует в предложении 5.6 (Ь), зависит (с точностью до изо-
изоморфизма) только от класса g в K\G/H.
2. (а) Для любого Я-модуля М и любого G-модуля М докажите, что
JV ® ЫА% М « Indg (Res? N ® М),
где тензорное произведение слева наделено диагональным действием груп-
группы G, а тепзорное произведение справа наделено диагональным действием
группы Н. [Указание. Запишите левую часть как © (N ® gM) и при-
примените предложение 5.3.]
(Ь) Сформулируйте и докажите аналогичные результаты для
Нот (ind^A/, N) и Hom(iV, Coind^M).
3. Дайте новое доказательство утверждения из упражнения 2 к § 0 при
помощи следствия 5.7.
4. (а) Докажите, что если (G; Н) = оо, то (lnd^Af)G = O для любого
Я-модуля М.
* (Ь) Докажите, что если G — конечно порожденная группа и (G: Н) —
= оо, то (Coind^iW)G= 0 для любого Я-модуля М. [Алгебраическое доказа-
доказательство этого факта содержится в статье Штребеля [1977]. Вот набросок
топологического доказательства. Можно предположить, что группа G сво-
свободна. В этом случае мы обозначим через Y конечное связное одномерное1
§ 6. Я, и Я* КАК ФУНКТОРЫ ОТ МОДУЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ 87
¦клеточное пространство с n\Y = G и через ?— накрывающую У, соответ-
соответствующую Н. Тогда М (соотв. CoindHAf) можно рассматривать как локал].-
яую систему коэффициентов на ? (соотв. на У), и легко видеть, что
(CoindgM)G = Яо (У, CoindHM) = П^ (У, М), где Я1°о) обозначает го-
гомологии комплекса бесконечных цепей. Нужный результат вытекает из сле-
следующего элементарного факта: если X — бесконечное локально конечное
•связное клеточное пространство, то Н^ (X, М) = О для любой локальной
системы коэффициентов М.]
* (с) Для H^G докажите, что следующие условия эквивалентпы.
(*) Существует конечно порожденная подгруппа G'<=G, такая, что
(G': G' П gHg~l) = оо для всех g еС, [Если, например, Н <\ G, то это оз-
шачает просто, что G/H содержит конечно порожденную бесконечную под-
подгруппу, т. е. что группа GIH не является локально конечной.]
(**)(CoindHAf)G = 0 для любого Я-модуля М.
(***) Элемент группы(Coind^Z)G, представляемый аргументацией ее
•е HomH (ZG, Z) = CoindH Z, равен нулю. [Указание. Воспользоваться
частью (Ь) и формулой двойных смежных классов.]
5. Покажите, что если G есть копечная группа и к есть поле, то ftG-мо-
.дуль проективен тогда и только тогда, когда ои инъективен. [Указание.
Докажите сначала, что свободный модуль kG инъективен; это следует из
.аналога над полем к предложения 5.9, который показывает, что
Нот*, (-, kG) да Ноли (-, к).]
§ 6. Н% и Н* как функторы от модуля коэффициентов
Поскольку F ®0— и 3>eomo(F, —) — ковариантные функторы,
ясно, что H$.{G,—) и H*(G, —)—ковариантные функторы от
модуля коэффициентов. Следующее предложение содержит ос-
основные свойства этих функторов.
6.1. Предложение, (а) Существует естественный изомор-
изоморфизм Ha(G, М)»Ма.
(а') Существует естественный изоморфизм H°(G, M)»M°.
(Ъ) Для любой точной последовательности G-модулей
О -»- М'-*~М -*~М" -*¦ 0 и любого целого числа п существует естест-
естественное отображение д: Hn(G, М")-*- ЯП_4(С, М'), такое, что по-
последовательность
...-+ЕХ (G, М) -+ Пг (G, М") Л #0 (G, М') -»¦
0(,H(;)
точна. (Ненадписанные стрелки обозначают отображения, инду-
индуцированные i и j.)
(b') Для любой точной последовательности G-модулей
О —*• М' —>~М ~^~М"-*¦ 0 и любого иелого числа п существует естест-
естественное отображение б: Hn(G, M")->-Hn+i(G, M'), такое, что по-
последовательность
О -*¦ Н° (G, М') ->Я° (G, М) -»- Я°(б, М")+ H\G, M')
точна.
gg ГЛ. HI. ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(с) Если Р — проективный Jfi-модулъ, то IIn(G,P) = O
при п > 0.
(с') Если Q — инъективный ZG-модудь, то Hn(G, @)=O
при п > 0.
[Утверждение об естественности в части (Ь) означает, что»
для любой коммутативной диаграммы
с точными строками квадрат
Hn{G, N")^Hn-X{G, N')
коммутативен.]
Доказательство. Части (а) и (а') были доказаны в § 1.
Если дана точпая последовательность 0 -*¦ М' -*¦ М -> М" ->- 0г
как в части (Ь), и проективная резольвента F модуля Z над.
"Z.G, то мы имеем точную последовательность цепных комп-
комплексов
(проективные модули плоски!); соответствующая длинная точ-
точная гомологическая последовательность доставляет (Ь). Анало-
Аналогичным образом A)') доказывается при помощи последовательно-
последовательности коцепных комплексов
0 -* Жотпв (F, М') ч- Жота (F, М) -*¦ ЭВотв (F, М") -> 0,
которая точпа в силу определения проективных модулей. Нако-
Наконец, (с) и (с') представляют собой немедленные следствия опре-
определений H*(G,—) и H*(G, —) и точности функторов —®0?*"
и Ношв(-, Q). П
Свойства (с) и (с') обычно коротко выражают словами: про-
проективные модули Н^-ацикличны и инъективные модули //*-
ацикличны.
Функтор Т (скажем, из Д-модулей в абелевы группы) назы-
называется уничтожаемым, если всякий_модуль М является фактор-
модулем такого модуля М, что Т(М)=0. Очевидно, функтор Т
уничтожаем, если Т(Р) = 0 для всякого проективного модуля Р.
Обратно, если функтор Т уничтожаем, то Г(Р)=0_для всякога
проективного модуля Р. Действительно, пусть я: Р -*¦ Р—эпи-
Р—эпиморфизм с Т (Р) = 0; поскольку модуль Р проективен, эпимор-
эпиморфизм я должен расщепляться, следовательно, Т(я): Т(?)-*¦ Т(Р)
также есть расщепляющийся эпиморфизм и, значит, Т(Р)=0.
Таким образом, содержание утверждения (с) сводится к тому,
§ 6. Я* И Н* КАК ФУНКТОРЫ ОТ МОДУЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ 89
что функтор Hn(G, —) уничтожаем при гс>0. Аналогично (с')
•состоит в том, что функтор Hn(G, —)коуничтожаем при п > О,
т. е. всякий модуль М может быть вложен в модуль М, такой,
что IIn(G, If)=0.
6.2. Предложение (лемма Шапиро). Если Я е G и М есть
II-модуль, то
и
II* (Я, М)» Я* (G, Coind? Af).
[После того как мы обсудим функториальпость #* и Я* по
отношению к групповым гомоморфизмам, мы сможем уточнить
эту формулировку, показав, что эти изоморфизмы индуцируются
включением Я -»¦ G и каноническими Я-отображениями М -*¦
->1п<1яЛ/ и Сот<1яЛ/-*-М; см. упражнение 2 к § 8.]
Доказательство. Пусть F — проективная резольвента Z
над ZG. Так как F можно рассматривать также как проектив-
проективную резольвенту Z над ZЯ, то
Но F ®zhM z*F ®zG(ZG®ZHM)ttF ®c{lnd%M), откуда выте-
вытекает первый из изоморфизмов. Второй изоморфизм вытекает
из универсального свойства коипдуцирования, которое показыва-
«т, что Жотя (F, М)» Жот0 (F, Coind? М) — ср. C.6). П
В случае М=Х первый изоморфизм предложения 6.2 при-
принимает вид
<б.з> я
(Это показывает, что гомологии с нетрипиальпыми коэффициен-
коэффициентами представляют интерес даже для тех, кто первоначально ин-
интересуется только обычными целочисленными гомологиями.) Ес-
Если (G : Н)< оо, то в силу предложения 5.9 Со'тд-нМ ж 1пс1н.М\
так что мы имеем также
<6.4) Я* (Я, Z) « Я* (G, Z \GIH\).
Аналогичным образом, все еще предполагая, что (G :Я)<°°, мы
находим, что
<6.5) П* (Н, 2Д) » Я* (G, ZG),
иоскольку ZЯ ®гн1М т1&. (Верно также, конечно, что
II* (Я, ZЯ) fa H% (G, XG), но этот изоморфизм не представ-
представляет интереса ввиду 6.1 (с).) В заключение мы заметим, что
применение леммы Шапиро к случаю Я = {1} доставляет следу-
следующий результат.
90 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
6.6. Следствие. Индуцированные модули 7? ® А
Н#-ацикличны. Коиндуцироеанные,модули ttom (Z,G, А) ^-ацик-
^-ацикличны. ?
Заметим, что следствие 6.6 дает другое доказательство того
факта, что функтор JIn(G, —) уничтозкаем и функтор Hn(G, —)
коуиичтожаем при п > 0, поскольку, как мы видели (см. C.4) и
C.7)), всякий модуль является фактормодулем индуцированного
модуля и всякий модуль может быть вложен в коиндуцирован-
иый модуль.
Упражнение
(a) Покажите, что последовательность Майора — Виеториса (следствие-
П.7.7) может быть получена из короткой точной последовательности (II.7.8)
перестановочных модулей. [Указание. Примените предложение 6.1 (Ь) и
F.3).]
(b) Выведите этим способом более общую последовательность Майе-
ра — Виеториса для гомологии и когомологии с коэффициентами. [Указ а~
и и е. Примените функторы — ® М и Нот (—, М) к (II.7.8) и воспользуй-
воспользуйтесь предложениями 5.6(а) и 6.2.]
§ 7. Сдвиг размерностей
Мы видели в § 6, что при п>0 функтор Hn(G, —) уничто-
уничтожаем, а функтор Hn(G, —) коуничтожаем. Важность этого фак-
факта заключается в том, что он предоставляет в наше распоря-
распоряжение следующую технику сдвига размерностей. Для данного'
модуля М выберем //^.-ацикличный модуль М, который отобра-
отображается па М (например, возьмем М = Tfi ® M), и положим1
К = ker Ш -* М).
Тогда из длинной точной последовательности предложения
6.1 (Ь) вытекает, что
[#n_i(G, К) при /г>1,
G.1) //„(G, М)«{, ,тт 1П „. ,, 1П -гг- Л
v ' " ' (ker{//0(G, K)^-II0(G, M)} при п = 1.
Таким образом, задача вычисления Нп может быть, в припципе^
сведепа к задаче вычисления Нп-„ правда, с другими коэффи-
коэффициентами. Итерируя эту процедуру, мы придем в конце концов
к Но. Аналогичным образом, вкладывая М в Я*-ацикличный мо-
модуль М (например, в Нот (ZG, М)) и полагая
С = coker W -»¦ Ш),
мы находим, что
(Я" (б, С) _ при п > 1,
G.2) Я (б, ^)«lcoker{#°(G,M)-^#0(G, С)} при п = 1.
§ 7. СДВИГ РАЗМЕРНОСТЕЙ 91
Это рассуждение показывает, по крайней мере эвристически,
что «гомологическая теория» #*, обладающая свойствами, анало-
аналогичными частям (Ь) и (с) предложения 6.1, полностью опреде-
определяется Но. Подобным образом «когомологическая теория» //*,
обладающая свойствами (Ь') и (с'), полностью определяется
Л". Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена точной
¦формулировке и доказательству этих утверждений.
Пусть R — произвольное кольцо и Тп = (Tn)nSz — семейство
ковариантных функторов из Я-модулей в абелевы группы. Пред-
Предположим, что нам заданы «связывающие гомоморфизмы»
¦д; Г„(Л/")->- Tn-i(M') для всякой короткой точной последова-
последовательности Д-модулей 0-*-М'-*-М-*-М" -*¦ 0. Мы требуем, что-
чтобы гомоморфизмы д были естественны (в смысле, объясненном
после формулировки предложения 6.1) и чтобы в последователь-
последовательности
.. . -> Тп+1 (М") ^ Тп (М') -+ Тп {М) -> Тп (М") ^ Гп_! (М1) -> ...
все композиции соседних гомоморфизмов были тривиальны. Мы
скажем тогда, что Т (или, точнее, (Т, д)) есть д-функтор. Если
в дополнение к сказанному Тп = 0 при га < 0 и приведенная
выше последовательность точна для любой короткой точной по-
последовательности 0 ->- М' ->- М ->- М" -»- 0, то мы скажем, что Т
есть гомологический функтор. Таким образом, например, содер-
содержание утверждения 6.1 (Ь) заключается в том, что Н* (G, —)
есть гомологический функтор на категории G-модулей.
Для d-функторов S и Т отображение из S в Т определяется
как семейство ф естественных преобразований ф„: Sn ~*~ Тп, та-
таких, что для любой короткой точной последовательности 0 -»-
-*¦ М' -*¦ М -*¦ М" -+0и любого п квадрат
коммутативен.
7.3. Теорема. Пусть II — гомологический функтор, такой,
что при п > 0 функтор Нп уничтожаем. Если Т есть произволь-
произвольный д-функтор и ф0: Го ->- Яо есть естественное преобразование,
то ф0 единственным образом продолжается до отображения
<р: Т ->- Н д-функтора в д-функтор. Это отображение ф является
изоморфизмом в том и только в том случае, если выполнены
следующие три условия:
(a) ф0 есть изоморфизм;
(b) функтор Т является гомологическим;
(c) функтор Тп уничтожаем при п > 0.
g2 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
[Таким образом, гомологический функтор Я, уничтожаемый?
в положительных размерностях, определяется однозначно (с точ-
точностью до капонического изоморфизма 5-функторов) своей ком-
компонентой 7/0. Это показывает, в частности, что функтор-
H#(G, —) одпозначпо определяется своими свойствами (а) — (с)
из предложения 6.1.J
Доказательство. Мы должны построить такие <р„: Тп -*¦
-*¦ Ип, что для любой короткой точной последовательности 0 -»-
-*-Л/'-»-Л/->ЛГ'->0 квадрат
коммутативен. При ге<0 выбора нет, и все диаграммы (¦) ав-
автоматически являются коммутативными. Предположим, что п > О*
и фп_1 уже определено. Для произвольного модуля М выберем*
короткую точную последовательность 0-*-К-*-Р-+М->-0 с про-
проективным Р и рассмотрим диаграмму
(**) <Р„(М)|
О -> Нп (М) ^Нп-Х (К) -* Яп_х (Р),
где пунктирная стрелка обозначает отображение, которое мы
хотим построить. Заметим, что композиция отображений из верх-
верхней строки равна 0, а нижняя строка точна (поскольку Нп(Р) =
= 0), и что правый квадрат коммутативен (ввиду естественности
фи-«). Следовательно, существует единственное отображение-
(р-п(М), делающее коммутативной всю диаграмму (**). Посколь-
Поскольку это определение ф„ продиктовано условием (*), часть теоре-
теоремы, касающаяся единственности, доказана. Из (**) ясно такжег
что если выполняются условия (а) — (с), то мы можем ипдук-
тивпо доказать, что ф„ есть изоморфизм. Остается, таким обра-
образом, завершить доказательство существования ф„, а именно, до-
доказать, что фя корректно определено и естественно и что все-
квадраты вида (*) коммутативны. Для этого нам требуется
следующая лемма.
7.4. Лемма. Пусть ф„(М) определено вышеуказанным спо-
способом, при помощи короткой точной последовательности 0 -*¦ К -*¦
-*¦ Р ->- М -*¦ 0. Тогда для любой диаграммы
М
V
0N'NN'0
§ 7. СДВИГ РАЗМЕРНОСТЕЙ
с точной строкой диаграмма
Тп (М) — Тп (N")
Hn
коммутативна.
Доказательство. Поскольку модуль Р проективен, дан»
ная диаграмма может быть дополнена до коммутативной диаг-
диаграммы
0-+К -+Р-+М ->0
0NN
Рассмотрим теперь диаграмму
Т„(М)
Tn(N")
т„-Лк)
в которой отображения, помеченные значком д в квадрате 1\ —
это «5-отображения», отвечающие последовательности 0 -+ К -*¦
->- Р ->- Л/ -> 0. В этой диаграмме квадрат ® коммутативен в си-
силу (**), квадрат ® коммутативен, поскольку Н есть 5-функтор,
и квадрат ® коммутативен в силу естественности <pn-i. Крома
того, внешний квадрат коммутативен, поскольку Т есть д-функ-
тор. Наша лемма отсюда немедленно вытекает. ?
Возвращаясь к доказательству теоремы, рассмотрим произ-
произвольное Л-отображение /: Mt -*¦ М2. Выберем точные последова-
последовательности 0 -»¦ К( -*- Pf -+¦ М( -+¦ 0 с проективными Р< (i = 1, 2)
и определим с их помощью отображения (рп(М{): Tn(Mf)-*-
-*¦ //„(Mi) по способу (**). Применяя лемму к диаграмме
?
>94 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
мы заключаем, что в диаграмме
Тп (Мг) — Тп (М2) +
коммутативен внешний прямоугольник. Далее, правый квадрат
коммутативен в силу (**), а отображение
д: Hn{M2)-+Hn^{K2)
мономорфно; следовательно, и левый квадрат коммутативен. Это
показывает, что ф„ естественно. Это показывает также, что ц>п(М)
корректно определено, т. е. не зависит от выбора точной после-
последовательности 0^-К-*-Р-+М-+0. [Возьмите / = idM.] Наконец,
если 0 -*¦ М' ->- М -*¦ М" -*¦ 0 есть произвольная точная последо-
последовательность, то мы можем применить лемму к диаграмме
М"
II заключить, что квадрат (*) коммутативен. О
Повторяя сказанное с очевидными изменениями, можно оп-
определить понятия 8-функтора и когомологического функтора и
доказать следующий факт.
7.5. Теорема. Пусть И — когомологический функтор, та-
такой, что функтор Нп коуничтооюаем при п > 0. Если Т — произ-
произвольный Ь-функтор и ф°: #° -> Т' — естественное преобразова-
преобразование, то ф° единственным образом продолжается до отображения
чр: II -*- Т одного Ь-функтора в другой. Это отображение ф яв-
является изоморфизмом в том и только в том случае, если выпол-
выполнены следующие три условия:
(a) ф° есть изоморфизм;
(b) функтор Т является когомологическим;
(c) функтор Тп поуничтожаем при п > 0. О
Упражнения
1. (а) Докажите следующее обобщение равенства A.4). Пусть
... -*¦ Cj —*- С'о —у- М -*¦ 0 — точная последовательность, в которой каждое d
Я*-ациклично; тогда Я* (G, М) я* Я»(СС). [Указание. Примените рас-
рассуждение сдвига размерностей, используя точные последовательности
0-»кеге->-Со->--/1/-'-0, 0 ->¦ ker д -*- С, -> ker e ->- 0 и т. д.]
(Ь) Аналогичным образом, пусть О-^Ж-^С-^С1-*- ...— точная после-
последовательность, в которой каждое С* //""-ациклично. Докажите, что
H*(G, M) « Н*(Св).
2. Найдите новое доказательство предложения 2.2, основанное па ро-
аультатах этого параграфа. [Метод 1. Если М не имеет Z - кручения, то
Тог* (М, —) и Я* (G, M (g) —)— гомологические функторы, которые совпа-
§ 8. Н» И Н* КАК ФУНКТОРЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 95.
дают в размерности 0 и уничтожаемы в положительных размерностях;
подобное верно для Exlg Ш, —) и H*(G, Нот (М, —)). Метод 2. Вычис-
Вычислите Тог^ (М, N) в терминах проективной резольвенты М, запишите ре-
результат вычисления в виде Тог^ (М, N) = #» F')си примените упражпе-
иие 1(а); аналогичным образом выведите нужное утверждение об Ext из
упражнения 1(Ь).]
3. Покажите, что в ситуации, рассматривавшейся в начале параграфа,
эпиморфизм М^-М и мономорфизм М-*-М всегда могут быть выбраны.
Z-расщепляющимися. [Указание. Воспользуйтесь C.4) и C.7).]
§ 8. Я* и Я* как функторы двух переменных
Пусть Я? есть следующая категория. Объект категории *&'
есть пара (G, М), где G есть группа и М есть G-модуль; ото-
отображение категории & из (G, М) в (С, М') есть пара (а, /),
где а: G -*¦ G' и /: М -*¦ М' — групповые гомоморфизмы, такие,,
что f(gm) — a(g)f(m) при g e= G, т^М. (Другими словами,
/ есть G-отображение, где М' наделяется структурой G-модуля
посредством а.) Пусть (а, /) — такая пара, и пусть F (соотв.
F') — проективная резольвента Z над XG (соотв. над 'LG'),
а т: F ->- F' — цепное отображение, согласованное с а в смысле
§ II.6. Тогда определено цепное отображение т ® /: F ®GM -*-
-*~F' ®G'M',vi это отображение т®/ индуцирует корректно оп-
определенное отображение - (а, /)*: Н* (G, М) -*• И* (G1, М'). Таким
образом, Н% делается ковариантным функтором на категории <ё>.
В случае, когда М = М' и / = 1&м>, мы будем обозначать
(а, /)*: H*(G, М')->¦ Я* (С, М') просто через а*. Заметим, что
произвольное отображение (а, /)* может быть представлено как
композиция
Я* (б, М)Н^ Н* (G, М') ^ Я* (G', М%
где Н% (G, /) имеет смысл, поскольку / есть G-отображение..
Чтобы проиллюстрировать эту функториальность примером,
рассмотрим отображения, индуцированные сопряжениями. Для
подгруппы Н группы G, G-модуля М и элемента g группы G мы
рассмотрим изоморфизм c(g): (II, M)-+(gHg~\ M) категории <S>,
определяемый как
Чтобы вычислить с {g)%: II^ (Я, M)-*-H^(gHg~1, М) на цепном
уровне, мы выберем проективную резольвенту F модуля Z над
?,G и воспользуемся этой резольвентой для вычисления гомоло-
гомологии групп Я и gHg~l. В качестве т: F -*¦ F можно взять умно-
умножение на g — как в доказательстве предложения П.6.2, п тогда
отображение c(g)* будет индуцироваться цепным отображени-
отображением F (&НМ -*-F <8>gH?-x М, задаваемым формулой х ® т >-». gx <g>
<)g ГЛ. III. ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
® gm. Заметим, что это — не что иное, как отображение, полу-
получаемое посредством факторизации из обычного диагонального
действия элемента g в F ® М.
Для z^H^(H, М) положим gz = c(g)*z^ll*{gllg~x, M).
Предыдущее описание отображения c(g)* на цепном уровне
делает очевидным следующее утверждение.
8.1. Предложение. Если h e Я, то hz = z для всех ze
<=Н*(Н,М). ?
8.2. Следствие. Если Н <] G и М есть G-модуль, то дей-
действие группы G в (Я, М) посредством сопряжений индуцирует
действие группы Gill в Н*(Н, М). ?
Для когомологий ситуация аналогична. Пусть Ф — категория,
у которой объекты те же, что у *&, но отображение (G, М) -*¦
-"(С, М') представляет собой пару
(a: G-+G',f: Ж'-М);
при этом мы, как и прежде, требуем, чтобы / было G-отобра-
/кспием, т. е. f(a(g)m') = gf(im') при g e= G, m'<=M'. Если F
и /'" — резольвенты Z над %G и 'ZG' и т: F -*¦ F' — цепное
•отображение, согласованное с а, то определено цепное отобра-
отображение
Ж от (т, /): Жото, (F', М') ->• Жотс (F, М),
которое индуцирует отображение (а, /)*: H*(G', М')-+-
-*-7/*(G, M). Таким образом, Я* — коптравариантный функтор
на 2). В случае, когда М = М' и / = idM', мы вместо (а, /)*
пишем а*; заметим, что в общем случае (а, /)* представляет
собой композицию
Я* (С, М')^ Я*(G, М)^Hi}Я* {G, М).
Пусть Ч?й — подкатегория категории %\ состоящая из всех
•объектов (G, М) и из тех отображений (а, /), для которых /
есть изоморфизм (абелевых групп). Тогда формула (а,/)н*
-*(а, /-1) определяет изоморфизм между категорией Я?а и под-
подкатегорией категории 2t>, так что Я* может рассматриваться как
контра»арпаптный функтор на "SV В частности, в <&„ лежат рас-
рассматривавшиеся выше отображения сопряжения c(g), так что
для любых g e G, И ^ G и G-модуля М мы имеем изоморфизм
«(*)*: H*(gUg~\ M)-+H*(H, M). Положим для z*sH*(H, M)
В терминах проективной резольвенты F модуля Z над TLG
отображение г *-*¦ gz индуцируется коцепным отображением
, M)-*-3@omglIg-i(F, M), задаваемым формулой
§ 9. ТРАНСФЕР 97
Наметим, что это — не что иное, как сужение на 2@omB(F, M)
обычного диагонального действия элемента g в 3eom(F, M).
При g e // мы получаем, очевидно, тождественное отображение,
н это позволяет сделать следующее заключение.
8.3. Предложение. Если h e Н, то hz = z для всех z <=
е //*(//, Ж). П
8.4. Следствие. #слц Н <$G и М есть G-модуль, то дей-
действие группы G в (Н, М) посредством сопряжений индуцирует
действие группы G/II в II* (II, М). Q
Упражнения
1. Покажите, что если II содержится в центре группы G и М есть абе-
лова группа с тривиальным действием группы G, то GjII тривиально дей-
действует и Я* (У/, М) иН*(Н,М).
2. Пусть a: H-+G есть включение,, пусть М есть //-модуль, и пусть
U М -*¦ Ind^ М и л: Coindjf М-*- М — канонические Я-отобрая;ения. Пока-
Покажите, что изоморфизмы из леммы Шапиро С.2 могут быть описаны как (a, i)m:
//*(//, M)-»-tf*(G, inu^M) и (а, я)*: Я* (С, Coind^/) -»- Я* (G, М). [Ука-
u а и и с. В качестве т моншо взять тождественное отображение.]
§ 9. Трансфер
Если заданы включение а: Я-*Си G-модуль М, то, как мы
видели, имеются отображения a*: H*(G, Д/)->- Н*(Н, М) и
а*: Н.М(Н, M)-+H*(G, М). Мы часто будем писать а* = гезя
и называть это отображение сужением. Аналогичным образом
мы будем писать а* = согн и называть это отображение ко-
сужением. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать,
что если (G :#)<<», то существуют отображения, действующие
в противоположном направлении,— так называемые трансферы.
Этот исключительно полезный результат принадлежит Экману
[1953] и Артину — Тейту (не опубликовано). Существование
трансферов — в известпом смысле более тонкий факт, чем су-
существование гомоморфизмов а* и а*; в частности, трансферы не
индуцируются никакими отображениями категорий f и 2) из
§ 8. [Название «трансфер» происходит из того факта, что па
//, это отображение совпадает с трансфером из классической
теории групп, введенным Шуром [1902]; см. ниже упражнение 2.]
Мы изложим пять различных подходов к понятию трансфе-
трансфера, и вес эти подходы будут нам полезны.
(Л) Для любого С-модуля М и любой подгруппы // группы G
плюется канонический G-эпиморфизм
(9.1) ZG®zHM-vilf
п каноническое вложение
(9.2) M->HomzH(ZG, M)
7 К. С. Браун
98 гл. ш. гомологии и когомологии с коэффициентами
— ср. C.4) и C.7). Применяя к (9.1) функтор Я*(С, —) и
используя лемму Шапиро, мы получаем отображение-
Я* (Я, M)-*-H#(G, M); легко видеть, что оно совпадает с а*.
[Воспользуйтесь упражнением 2 к § 8.] Аналогичным образом,,
применяя функтор H*(G, —) к (9.2) и используя лемму Ша-
Шапиро, мы получаем гомоморфизм a*: H*(G, М)->- Н*(Н, М)„
Если мы предположим теперь, что (G :#)<«>, то в силу пред-
предложения 5.9 будет ZG ®zhM (aHom7,H(?G, M). Следователь-
Следовательно, мы можем применить H*(G, —) к (9.1) и Я*(С, —) к (9.2).
Получающиеся отображения и называются трансферами; они
часто обозначаются соответственно
corg: Я* (Я, М) -> Я* (G, М)
и
или просто символом tr#, если из контекста ясно, о каком и»
функторов Я* и Я* идет речь.
(B) Для произвольной подгруппы Я группы G мы можем
рассматривать как Я* (G, —), так и Я* (Я, —) как гомологи-
гомологические функторы па категории G-модулей, и ясно, что оба они
уничтожаемы в положительных размерностях. Предполагая те-
теперь, что (G :_//)<<», мы определяем отображение tr: Мв-*-Мя
формулой tr (т) = 2gsH\c gm, где т (соотв. т) обозначает об-
раз т в Ма (соотв. в Мн). (Сумма имеет смысл, поскольку gm
зависит только от класса g в H\G.) Определим теперь
res: Я* (G, —) -> Я* (Я, —) как единственное продолжение
отображения tr до отображения одного гомологического функто-
функтора в другой — см. теорему 7.3. Чтобы показать, что это отобра-
отображение совпадает с отображением, определенным в (А), нужна
только проверить, что последнее перестаповочно с д и совпа-
совпадает с tr в размерности 0. Подробности оставляются читателю.
Аналогичным образом можно определить сог: Н*(Н, —) -*-
-+H*(G, —) как единственное отображение одного когомологи-
когомологического функтора в другой, которое в размерности 0 есть ото-
отображение tr: MH->-MG, действующее по формуле tr(m) =
= SgsG/я gm. {Чтобы проверить коуничтожаемость функтора
Н"(Н, —) на категории G-модулей, воспользуйтесь упражнени-
упражнением 3 к § 3; или, по-другому, заметьте, что коиндуцированный
G-модуль является коиндуцированным и как Я-модуль.]
(C) Пусть F — проективная резольвента Z над %G. Тогда
F ®н М = (F ® М)а и F ®в М = (F ® M)G. Можно определить те-
теперь res: H^.{G, М)^-Н*(Н, М) как отображение, индуциро-
индуцированное цепным отображением tr: (F ® M)a -+{F ® М)н, опреде-
определяемым, как в (В). Получается отображение одного гомологи-
гомологического функтора в другой, которое равняется tr на Яо и потому
совпадает с отображением, определенным в (В). Аналогичным
§ 9. ТРАНСФЕР 99
образом 3eomo{F, M) = 3@om(F, М)в и 3@omH(F, M) =
= Mom(F, M)H, где G действует в Жот диагональным обра-
образом (см. § 0). Поэтому имеется коцепное отображение
Ir: 36om(F, М)" ->- Жот(Р, М)а, которое индуцирует отображе-
отображение cor: H*(H, M)^II*(G, M).
(D) Если мы пожелаем вычислить трансфер по способу (С),
используя одну резольвенту F(G) для G и другую резольвенту
F(H) для Я, то нам потребуется (сохраняющее аугментацию)
цепное .//-отображение т: F(G)-*-F(II), реализующее канониче-
канонический изоморфизм H^.{F{G)®HM)^H^(F{H) ®н М). Тран-
Трансферы будут тогда индуцироваться композициями
<9.3) F(G) ®с М^F(G) ®HM^lF(Я) ®нМ
и
<i)/i) 3%omtI(F (П), М)Ж"т(Х'М>Жотн (F (G), М)^Жота (F (G), M).
Например, выбирая в качестве F(G) и F(H) стандартные ре-
зо.'!1>иснты, мы можем без труда явно выписать такое отображе-
отображение т. Именно, фиксируем представители в правых смежных
классах Ilg. Тогда существует единственное Я-отображение
р: G -+ II (по отношению к действию группы Н левыми сдвига-
сдвигами), переводящее каждый из выбранных представителей в 1:
«ели g обозначает выбранный представитель класса Hg, то pg =
— /*#'"'. Используя «однородное» описание стандартных резоль-
резольвент, мы можем теперь определить т: F{G)-*-F(H) формулой
т(#0, .. ., grn) = (pgo, • ¦-, Р^)- Интересующийся читатель может
игре вести эту формулу на язык бар-обозпачений и явно выпи-
выписать соответствующие цепные трансферы С% (G, М) —>¦ С.,. (//, М)
и С*(II, M)-+C*(G, M), заданные формулами (9.3) и (9.4).
(Е) Если У -*¦ Y — коиечполистное накрытие, то определены
трансферы Я* (Y, М) -»- Я* (У, М) и Я* (Г, М) -*¦ II* (Y, М)
для любой системы коэффициентов М па У. В терминах кле-
клеточных цепных комплексов гомологический трансфер индуциру-
индуцируется сопоставлением о* ® т <-*¦ 2j^ ® т> где а — ориентированная
клетка Y, а о пробегает ориентированные клетки Y, лежащие
над о. Аналогичным образом когомологический трансфер инду-
индуцируется коцопным отображением /-^[ст— ^— /(о)]. Если Y
есть K(G1 1) и У ость накрывающее пространство, соответству-
соответствующее II ^ G, то Y есть К(Н, 1), и эти трансферы совпадают
с трансферами Н* (G, М)-+Н* (II, М) и Н*(Н,М)^
-*II*(G, M). Чтобы убедиться в этом, достаточно применить оп-
определение (С) к F, равному цепному комплексу универсальной
накрывающей над У.
Перечислим теперь некоторые свойства трансферов. Пусть
II (—, —) обозначает Я* или Я*.
100 гл- ш- гомологии и когомологии с коэффициентами
9.5. Предложение, (а) Если Z == # = G и (G:K)<oot то-
С С* TJ С TJ С4
согк = согн о согк и resK = resjf° геэ
(b) Если (G : Н)< оо и zesH(G,M), то corgгевнz = (G:H)z.
(c) Пусть Н, K^G, и пусть (G-.H) < °°, если #(—, —) =
= Я*, и (G:K)<o°, если Hi,—, —)=#*. Тогда
Д
любого z e //(Я, Ж), где ? есть множество представителей
двойных смежных классов KgH. В частности, если Н <\G и
(G: Я) < оо, то гевнсогн z = 2ig<=G/Hgz = iVz, где N — нормирую-
нормирующий элемент кольцаЪ [G/H].
[Определение gz см. в § 8. Заметим, что в когомологическом
случае мы можем написать res^*H._i gz = res^n H _i z, где вы-
высечение в правой части берется по отношению к отображению
сопряжения (к >-»¦ g~xkg, m >-¦ g~1m), рассматриваемому как ото-
отображение (К П gHg~l, М) -*¦ (Н, М) категории Фо-]
Доказательство. Части (а) и (Ь) без труда выводятся
из определений и оставляются читателю. Часть (с) можно вы-
вывести из формулы двойных смежных классов 5.6 (Ь) и опреде-
определения (А) трансфера, но проще действовать непосредственно,,
пользуясь определением (С). Мы приведем доказательство для
случая #(—, —)~Н*; гомологический случай аналогичен.
Пусть и е Эёопг (F, М)н представляет z. Тогда resjf согн z пред-
представляется .Sgec/я ёи s Шотп (F, M)G S Жот (F, М)К- Группируя
вместе члены gu, соответствующие одной Я-орбите в G/H, мы
находим, что
2 gu= 2 2 kgu,
gsG/H gSE hSK/Kg
где Kg = {k<^ К: kgH = gffl = К П gHg~\ Поскольку внутренняя
сумма в правой части равенства представляет, очевидно,
j^ это доказывает (с). П
Упражнения
1. Покажите, что res?: H (G, М) ->- Я {II, М) и сог|[: И (H,AI)-+H{G,M)
«инвариантны относительно сопря;кения» в том смысле, что gresj^w =
= res j в при w е И (G, М) и cor _1 gz = сог^ z при z е Н(Н, М).
2. Трансфер Hi(G) ->-Hi(H) может рассматриваться как отобразкение
Gab-»-^ab. Пользуясь определением (D), покажите, что это отобра;пение
действует по формуле
S mod [G, G] <-* П g'g ШГ1 mod [Я, II],
§ 10. ПРИМЕНЕНИЯ ТРАНСФЕРА Ю1
где Е есть множество цредставителей правых смежных классов Hg и х есть
представитель класса Их. [В теории групп эта формула обычно принима-
принимается за определение трансфера — см., например, Холл [1959], формула
A4.2.4).]
§ 10. Применения трансфера
Для упрощения записи мы будем формулировать в этом па-
параграфе результаты только для когомологий; для гомологии спра-
справедливы аналогичные результаты.
10.1. Предложение. Пусть М есть G-модулъ, и пусть
H^G— подгруппа конечного индекса, такая, что Нп(Н, М)—0
при некотором п. Тогда II" (G, М) аннулируется умножением на
((?://). В частности, если число (G: Н) обратимо в М (т. е.
если умножение на (G : II) -есть изоморфизм), то Hn(G, M) — 0.
Доказательство. Первое утверждение немедленно вы-
вытекает из предложения 9.5 (Ь). Второе утверждение вытекает
из первого, поскольку если (G : II) обратимо в М, оно обратили?
ив Hn(G, M). ?
Заметим, что предложение 10.1 применимо к любому п>0,
если группа G копечна, а // = {1}. Таким образом:
10.2. Следствие. Если группа G конечна, то Hn(G, M)
аннулируется умножением па \G\ при любом п > 0. Если \G\
обратимо в М (например, если М есть QG-модуль), то
Hn(G, M)=0 при всех /г>0. П
Отсюда вытекает, что IIn(G, М) допускает примарпое раз-
разложение
tfn(G, Л/)= 0 IIn(G,M)p,
v
где /; пробегает простые числа, делящие |Gl, a H"(G, M)iP)
есть /ыфимариая компонента группы II" (G, М). Фиксируем про-
простое р и рассмотрим силовскуго р-подгруппу // группы G. По-
Поскольку (G : И) взаимно просто с р, из 9.5 (Ь) вытекает, что
согя resH есть изоморфизм на Hn(G, M){V). В частности суже-
сужеH(G M) G
){) у
ние индуцирует мономорфизм Hn(G, M)lP) -*¦ IIn(G, M). Чтобы
описать образ этого мономорфизма, нам требуется некоторая до-
дополнительная терминология.
Если G есть произвольная группа, // есть се произвольная
подгруппа и М ость G-модуль, то элемент z группы Н*(Н, М)
называется ь-инвариантным, если resHn н х z = TesH^gjjg-i Sz
при любом g e G. Если // < G, то это просто означает, что z e
еЯ*(Я, М)а/Н. Заметим, что если z = resH^ Для некоторого
w<=H*(G, M), то z G-инвариантно: gz = res^Hg_i wb силу уп-
упражнения 1 к § 9 и потому res^"* Hg_! gz
~ res
102 гл- ш- гомологии и когомологии с коэффициентами
Мы можем теперь сформулировать следующий результат.
10.3. Теорема. Пусть G — конечная группа и Н — ее си-
ловская р-подгруппа. Тогда для любого G-модуля М и любого
п>0 отображение vesn изоморфно отображает Hn(G, М)(р) на
множество G-инвариантных элементов Нп(Н, М). В частности,
если Н <\ G, то
Доказательство. Мы уже показали, что res# моно-
морфно отображает Hn(G, М)(Р) в G-инварианты, так что оста-
остается показать, что всякий инвариант z лежит в образе. Рас-
Рассмотрим элемент w = corHze Hn(G, М). Так как Я" (Я, М)
аппулируется \Н\, то w^Hn(G, M)(p). Теперь мы можем вы-
вычислить res^u* при помощи формулы двойных смежных клас-
классов предложения 9.5 (с); поскольку z инвариантно, мы полу-
получаем:
2 сог <
= 2 cmHngHg-i resHngHg-iz =
g<=H\G/H
= 2
(Последнее равенство получается ввиду разложения множества
G/H на Я-орбиты и того факта, что (Я : Я П gHg~l) совпадает с
мощностью Я-орбиты класса gH.) Поскольку (G : Н) взаимно
просто с р, отсюда вытекает, что z = гевя W, где
w' = wJ(G :7/)e//"(G, M)m. ?
Это доказательство, основанное, в известном смысле, на идеях
усреднения, может быть использовано и в других ситуациях,
когда возможно деление на (G:H). Например, точно так же
доказывается следующее утверждение.
10.4. Предложение. Пусть G — произвольная группа,
М — некоторый G-модулъ и Н s G — подгруппа конечного ин-
индекса. Если (G : Я) обратимо в М, то vesn изоморфно отобра-
отображает H*(G, М) на множество G-инвариантов в Н*(Н, М). В ча-
частности, если Н <]G, то H*(G, М)&Н*(Н, М)с/Я. ?
Упражнения
1. Вычислите при помощи теоремы 10.3 когомологии II* (G, Z), где
G — симметрическая группа третьего порядка. [ Это легче будет сделать,
когда в нашем распоряжении будет когомологическое умножение, но мож»
но сделать уже и теперь.]
§ 10. ПРИМЕНЕНИЯ ТРАНСФЕРА
2. Пусть Я s G — подгруппа копечпого индекса. Для любого G-модуля
М всякий Я-Я-двойной смежный класс С определяет G-эндоморфизм /(С)
модуля 1G ®iHM по формуле 1 ® т i— 2g=c/H ^ ® Я"» • Лемма Шапиро
позволяет нам рассматривать отображение H*(G, f{C)) как эпдоморфпзм
Т(С) группы Я* (Я, Ж).
(а) Для С = 7/g.ff покажите, что
[Указание. Достаточно проверить это в размерности 0.]
(b) Покажите, что осли ;еЛ*(//, М) G-ипвариантно, то T(C)z =¦]
-в(СJ, где в(С) = |С/Я| = (Я.-ДПгЯвг1)-
(c) В ситуации теоремы 10.3 и предложения 10.4 покажите, что образ
отображения гезд совпадает с мпожеством таких z, что T(C)z = a(C)z
для любого двойного смежного класса С.
ГЛАВА IV
КОГОМОЛОГИИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
II ГРУППОВЫЕ РАСШИРЕНИЯ
§ 1. Введение
Расширение группы G при помощи группы N есть короткая
точная последовательность групп вида
{*) 1-*• N-+Е-+G-*• 1.
[Предостережение: некоторые называют это расширением груп-
группы N при помощи G.] Другое расширение i-+N-+E'-*-G-*-l
называется эквивалентным (*), если существует отображение
Е ->- ?", делающее коммутативной диаграмму
-1.
Заметим, что такое отображение обязательно является изомор-
изоморфизмом.
Главная проблема, касающаяся групповых расширений, со-
состоит в классификации расширений группы G при помощи N
с точностью до эквивалентности. Грубо говоря, мы пытаемся
найти все возможные способы построения группы Е, у которой
N есть нормальная подгруппа с факторгруппой G. Эта пробле-
проблема оказывается тесно связанной с когомологическими функтора-
функторами H'{G, -), i = l, 2, 3.
Для начала мы рассмотрим случай, когда ядро N есть абе-
лева группа А (в аддитивной записи). Особенностью этого слу-
случая является тот факт, что расширение
естественным образом определяет действие группы G в А, де-
делающее А G-модулем. Действительно, Е действует в А посред-
посредством сопряжений, поскольку группа А вложена в Е как нор-
нормальная подгруппа; в то же время действие А на себе три-
тривиально, так что возникает индуцированное действие фактор-
факторгруппы El А — G в А. Более явным образом, для g ^ G мы вы-
выбираем g^E так, что n(g) = g, и действие g в А описывается
формулой
A.1) i{ga)-gi{a)g-' (a^A).
§ 2. РАСЩЕПЛЯЮЩИЕСЯ РАСШИРЕНИЯ 105
Часто бывает более удобно записывать A.1) как правило ком-
коммутации
A.2) gi(a)=i(ga)g.
Это показывает, в частности, что группа i(A) содержится в цент-
центре Е тогда и только тогда, когда действие G в А тривиально.
В этом случае расширение называют центральным расширением.
Ввиду наличия G-модульной структуры в А мы можем кон-
конкретизировать пашу классификационную проблему, зафиксиро-
зафиксировав G-модуль А и пытаясь классифицировать те расширения
группы G при помощи А, которые индуцируют заданное дей-
действие группы G в А. Как мы увидим в § 3, эта последняя проб-
проблема имеет очень простое решение: классы таких расширений
находятся во взаимно одпозпачпом соответствии с элементами
группы HZ(G, А).
Мы начнем с обследования простейшего класса расшире-
расширений — так называемых расщепляющихся расширений.
§ 2. Расщепляющиеся расширения
Зафиксируем G-модуль А; пусть
— расширение, индуцирующее заданное действие группы G в
А. Мы будем говорить, что расширение (*) расщепляется, если
существует такой гомоморфизм s: G -+ Е, что ns = idG. Ниже-
Нижеследующая характеризация расщепляющихся расширений, веро-
вероятно, хорошо известна читателю, но мы приведем подробное ее
доказательство, поскольку в нем заложена идея доказательства
основного результата следующего параграфа.
2.1. Предложение. Следующие свойства расширения (*)
эквивалентны;
(a) расширение (*) расщепляется;
(b) в группе Е имеется подгруппа G, изоморфно отобража-
отображающаяся посредством п на G, т. е. такая, что E = i(A)-G и
{A)[G {\)
) ;
(c) в группе Е имеется подгруппа G, такая, что всякий эле-
элемент группы Е единственным образом представляется в виде
i(a)g (a^A, g^G);
(d) расширение (*) эквивалентно расширению
где А X G есть полупрямое произведение G и А по отношению
к данному действию, a i' и л' представляют собой соответствен-
соответственно каноническое вложение и каноническую проекцию.
106 гл- IY- когомологии и групповые расширения
[Определение группы A A G мы напомним в процессе дока-
доказательства предложения 2.1.]
Доказательство. Очевидно, (а) <=^(Ь)<=^(с). Чтобы до-
доказать, что из этих условий следует (d), мы зафиксируем рас-
расщепление s: G ->- Е и заметим, что формула (a, g) >-+ i (a) s (g)
определяет взаимно однозначное соответствие А X G « Е. На
множестве А X G имеется единственная групповая структура,
по отношению к которой это взаимно однозначное соответствие
является изоморфизмом. Чтобы вычислить эту структуру, мы
должны произвольное произведение [i(a)s(g)][i(b)s(h)\ пред-
представить в виде i(—)s(—). Привлекая правило коммутации A.2),
мы находим, что
i(a)s(g)i(b)s(h)=i(a)i(gb)s(g)s(h) = i(a + gb)s(gh).
Таким образом, искомая групповая структура на А X G опреде-
определяется формулой
Множество А X G с этой групповой структурой и есть, по опре-
определению, полупрямое произведение А к G, откуда немедленно
вытекает (d). Наконец, импликация (d)=*»(a) очевидна. П
Предложение 2.1 показывает, что, с точностью до эквивалент-
эквивалентности, существует единственное расщепляющееся расширение
группы G при помощи А, ассоциированное с данным действием
группы G в А. Тем пе менее, и с расщепляющимися расшире-
расширениями связана интересная «классификационная» проблема: для
заданного расщепляющегося расширения перечислить все воз-
возможные расщепления.
Например, в случае, когда группа G действует в А тривиаль-
тривиальным образом, группа Е изоморфпа прямому произведению AXG
и расщепления находятся в очевидном взаимно однозначном со-
соответствии с гомоморфизмами G^-A. Оказывается, что в общем
случае расщепления соответствуют дифференцированиям (назы-
(называемым также скрещенными гомоморфизмами). Это — функции
d: G ->- А, удовлетворяющие условию
B.2) d{gh)=dg + g-dh
для всех g, h^G. Действительно, мы можем считать, что (*)
есть каноническое расщепляющееся расширение
Отображение s: G ->¦ А X G, такое, что its = id должно иметь
вид s(g) = (dg, g), где d — некоторое отображение G ->- А. При
этом должно быть
s(g)s(h) = (dg + g -dh, gh),
что равносильно тому, что d есть дифференцирование. Наше ут-
верждепие доказано.
§ 2. РАСЩЕПЛЯЮЩИЕСЯ РАСШИРЕНИЯ Ю7
Замечание. Термин «дифференцирование» станет более
осмысленным, если мы будем считать, что наряду с заданным
левым действием группы G в А задано также тривиальное пра-
правое действие G в А. Тогда равенство B.2) примет знакомую
форму
d (gh) = dg • h + g • dh
правила Лейбница для производной.
Расщепления su s2 называются А-сопряженными, если суще-
существует такой элемент а^А, что Si(g)— i(a)si(g)i(a)~1 для всех
geG. Поскольку
(a,t)(b,g)(a,i)-*=(a+b-ga,g)
в A A G, это условие сопряженности в терминах дифференци-
дифференцирований dt, d2, соответствующих расщеплениям sb s2, прини-
принимает вид
d,g = а + d2g - ga.
Таким образом, дифференцирования d, и йг в том и только в том
случае соответствуют Л-сопряженным расщеплениям, если их
разность d2 — di есть отображение G -*¦ А вида g •-»• ga — а, где
а — фиксированный элемент группы А. Такие отображения на-
называются главными, дифференцированиями.
Можно резюмировать содержание предыдущего абзаца, ска-
сказав, что классы А -сопряженных расщеплений расщепляющегося
расширения группы G при помощи А соответствуют элементам
факторгруппы Der(G, A)/P(G, А), где Der(G, А) есть абелева
группа дифференцирований G^-i и P(G, А) есть группа глав-
главных дифференцирований. С другой стороны, достаточно беглого
взгляда на стандартный коцепной комплекс C*(G, А), чтобы
увидеть, что Der(G, А) есть группа 1-коциклов, a P(G, А) есть
группа 1-кограниц (см. упражнение 2 к § III.1). Таким образом,
мы установили следующий факт.
2.3. Предложение. Для любого G-модуля А классы А-со-
пряженных расщеплений расщепляющегося расширения
0-+А -+ A A G^G-+ 1
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами
группы IP(G, А). ?
Упражнения
Цель этих упражнений заключается в том, чтобы развить теорию диф-
дифференцирований и дать алгебраические доказательства некоторых резуль-
результатов, которые были получены топологическими средствами в главах I и II.
1. Покажите, что если d есть дифференцирование, то d(l) = 0.
2. Пусть / есть аугментациониый идеал кольца 1G, и пусть D: G-»-/
есть дифференцирование, определенное формулой Dg = g — I, g^G. [Рас-
[Рассматриваемое как дифференцирование G -> 2G, это просто главное диффе-
гл- IV- когомологии и групповые расширения
ренцирование, соответствующее 1 е ZG.] Покажите, что дифференцирова-
дифференцирование D в следующем смысле является универсальным дифференцировани-
дифференцированием на G. Для любого G-модуля А и любого дифференцирования d: G^>-A
существует единственное G-отображение /: I^-А, такое, что d = fD:
Таким образом, Der (G, А) = HomZG (/, А). [Указание. Дифференциро-
Дифференцирование d: G ->- А продолжается до аддитивного отображения d: ZG -*¦ А,
такого, что
S(rs) = dr-e(s) -\-r-3s
для всех г, se ZG, где е: ZG-*¦ Z — аугментация. Сужение отображения
d на / есть G-гомоморфизм, такой, что d(g — 1) = dg для всех geG.]
3. Пусть F = F(S) —свободная группа, порожденная множеством S.
(a) Покажите, что если А есть f-модуль и (a,),es — семейство его эле-
мептов, то существует единственное дифференцирование d: F-+A, такое,
что ds = а, для всех sei'. [Указание. Дифференцирования F—>-А соот-
соответствуют расщеплениям расширения 0-*¦ А-^>-А "X. F->-F-*¦ i; воспользуй-
воспользуйтесь универсальным функциональным свойством F.]
(b) Выведите из (а) и упражнения 2, что аугментационный идеал
кольца 7.F есть свободный IF -модуль с базисом (Ds),eS- Это даст новое
доказательство того факта, что A.4.4) есть резольвента, а также новое ре-
решение упражнения 3(Ь) к § II.5. Как и в этом упражнении, мы можем оп-
определить теперь частные производные д/ds: I -+-7.F формулой
Df = 2UsW/5s) Ds, f e F.
(с) Отправляясь от нашей теперешней точки зрения, найдите новое ре-
решение упражнения 3(с) к § II.5. [Указание. Формула, которую нужно
доказать, справедлива для универсального дифференцирования, а, значит,—
и для любого дифференцирования.]
4. Пусть G = F/R, где F = F(S) и R — наименьшая нормальная под-
подгруппа группы F, содержащая множество fsF.
(a) Для любого G-модуля А покажите, что дифференцирования G—»-А
соответствуют дифференцированиям d: F^-A, таким, что d(T) =0. [Ука-
[Указание. Расщепление расширения 0->-4->-^4Х^->-С->-1 может быть по-
построено при помощи подходящего отображения F -*¦ А ? G.]
(b) Используя упражнение 3, покажите, что утверждение (а) равно-
равносильно следующему утверждению. Дифференцирования G—*-А соответству-
соответствуют таким семействам (a,)«Es элемептов модуля А, что 2«sS (dt/ds) as = 0
при всех fe Г, где dt/ds есть образ dt/ds при проекции ZF ->- ZG.
(c) Используя упражнение 2, покажите, что утверждение (Ь) равно-
равносильно следующему утверждению. Пусть I — аугментациониый идеал
кольца 1G. Тогда существует точная последовательность
где die, =s — 1 и b^t = ^jsss (9tl^s) ег ¦ (Тем самым будет дано новое
доказательство второй части упражнения 3(d) к § II.5.)
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСШИРЕНИЙ С АБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ Ю9
(d) Уточните утверждение (с), показав, что существует точная после-
последовательность
в которой де, = s — i и G (г mod [Л, Щ) = 2»es (dr/ds) eg. (Тем самым
будет дано новое доказательство предложения П.5.4, а также первой части
упражнения 3(d) к § II.5) [Указание. Мы имеем свободную резоль-
резольвенту
<**) O-^I^-ZF-^-l-^O
Z над Z F, где / обозначает теперь аугментационный идеал кольца "LF.
Переходя к Л-коинвариантам, мы получаем комплекс, гомологии которого
•совпадают с H*R. Так кап / яа ZF^, это доставляет точную по-
последовательность
О -*. HXR Л- ZG(S) -»- ZG -*¦ 2 -*¦ 0.
<С другой стороны, H*R можно вычислить при помощи стандартной
(бар-) резольвенты Z над 1Я, и именно этим способом мы показали в свое
время, что HiR « Лаь. Но легко отобразить стандартную резольвенту в
(» »), положив[ ]н!в размерностиО, [г] >-* г — 1 = Dr в размерности 1 и
\ri I ••• I гп] •— 0 при п > 1. Выведите отсюда, что имеется коммутативная
диаграмма
R
в которой вертикальные стрелки — проекции, отвечающие факторизациям.
Поскольку композиция F -*-1 -*¦ ZG(S) есть не что иное, как дифференци-
дифференцирование st-> e«, отсюда немедленно вытекает точность последователь-
последовательности (»).]
§ 3. Классификация расширений с абелевым ядром
Пусть А — некоторый G-модуль. Относительно всех расши-
расширений группы G при помощи А, которые будут рассматриваться
в этом параграфе, предполагается, что индуцируемое ими дей-
действие группы G в А совпадает с заданным действием. Чтобы
проанализировать расширение
C.1) 0-+A^E3-G-+l,
мы фиксируем теоретико-множественное сечение отображения п,
т. е. такое отображение s: G -*¦ Е, что ns = idG. Для простоты
мы будем предполагать, что s удовлетворяет условию нормали-
нормализации
C.2) *A)=1.
110 гл- IV- когомологии и групповые расширения
Если s есть гомоморфизм, то расширение расщепляется, и его
структура описывается предложением 2.1. В общем случае име-
имеется отображение /: GXG->-4, которое измеряет степень не-
гомоморфности отображения s. Именно, для любых g, fteG
элементы s(gh) и s(g)s(h) группы Е отображаются в один и
тот же элемент gh группы G, так что они различаются на неко-
некоторый элемент образа i(А). Таким образом, мы можем опре-
определить / уравнением
C.3) s(g)s(h)=i(f(g, h))s(gh).
Заметим, что из C.2) следует, что отображение / тоже норма-
нормализовано, в том смысле, что
C.4) f(g, 1)= 0-/A, g)
для всех g e G. Отображение / часто называют набором множи-
множителей, отвечающим расширению C.1) и сечению s.
Оказывается, что расширение C.1) однозначно восстанавли-
восстанавливается по G-модулыгой структуре в А и отображению /. Дей-
Действительно, поскольку s(G) есть множество представителей
смежных классов подгруппы i (А) группы Е, формула (a, g) <—
>-»¦ i (a) s (g) определяет взаимно однозначное соответствие
А X G ->¦ Е. Чтобы вычислить групповую структуру на АХ G,
по отношению к которой это соответствие является изоморфиз-
изоморфизмом, рассмотрим два элемента (a, g), (b, h) множества 4XG.
Пользуясь правилом коммутации A.2), мы можем написать
i(a)s(g)i{b)s(h)=i(a)i(gb)s(g)s(h) =
= i(a + gb)i{f{g, h))s(gh)=i(a + gb + f{g, h))s{gh).
Таким образом, искомая групповая структура на А X G задается
формулой
C.5) (a, g)(b, h) = (a + gb + f(g, h), gh).
Множество АХ G с умножением C.5) мы будем обозначать
через Е). Заметим, что умножение C.5) выглядит как умноже-
умножение в А X G, «возмущенное» посредством /.
Поскольку i(a)= i(a)s(l) для любого а^А, композиция
А-*- ?« Ef есть не что иное, как каноническое вложение
C.6) а ~ (а, 1).
А композиция Ejtt E-*¦ G есть, очевидно, каноническая про-
проекция
C.7) (a,g)~g.
Таким образом, исходное расширение C.1) эквивалентно рас-
расширению
C.8) 0
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСШИРЕНИЙ С АБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ \\\
определяемому формулами C.5), C.6) и C.7) исключительно
в терминах G, А и /.
В этот момент естественно спросить, можем ли мы начать
с произвольного отображения /: G X G ->- А, удовлетворяющего
условию C.4), и определить группу Е, с помощью формулы
C.5). Ответ на этот вопрос отрицателен. Действительно, если
мы определим умножение формулой C.5) и вычислим тройные
произведения [{a, g) (b, h)](c, к) и (a, g)[(b, h) (с, к)], то мы
•обнаружим, что умножение C.5) ассоциативно в том и только
в том случае, если / удовлетворяет соотношению
C.9) f(g, h) + f(gh, k)=gf(h, k) + f(g, hk)
¦для всех g, h, k<^ G. Однако, если условие C.9) выполнено,
то мы получаем-таки группу, потому что из C.4) следует, что
(О, 1) есть двусторонняя единица, а существование обратных
доказать совсем легко. [Для (a, g)^Ef решим относительно Ъ
и V уравнения (a, g) (b, 8~1) = @, 1) и (Ь', g'1) (a, g) = @, 1).
Мы пайдем, что (a, g) обладает левым обратным (—g~la — f(g l,
_g), g-1) и правым обратным (-g~'a- g~l](g, g~x), g-1). Эти два
обратных обязаны быть равными ввиду ассоциативности.] Более
того, легко проверить, что формулы C.6) и C.7) определяют
гомоморфизмы, делающие точной последовательность C.8), что
эта последовательность ипдуцирует заданное действие гругшы G
в Л и что набор множителей, отвечающий C.8) (с каноническим
сечением g -»¦ @, g)), совпадает с исходным отображением /.
Результат, к которому мы пришли, есть, по существу, вза-
взаимно однозначное соответствие
расширения C.1) \ /отображения G X G->-А,
с нормализованным I -*-»- I удовлетворяющие
сечением / \ условиям C.4) и C.9)
Заметим теперь, что равенство C.9) может быть переписано в
форме, в которой оно кажется знакомым:
C.10) gf(h, k)-j(gh, k)+f(g, hk)-f(g, h) = 0.
Действительно, / может рассматриваться как 2-коцепь стандарт-
стандартного комплекса C*(G, А) для вычисления H*(G, А) (см.
§ III. 1), и C.10) показывает в точности, что / есть коцикл.
Более того, C.4) означает просто, что / лежит в нормализован-
нормализованном коцепном комплексе С^ (G, A) s С* (G, А). Таким образом,
(расширения C.1) \ / нормализованные
с нормализованным I ¦<-*¦ [ 2-коцпклы группы G
сечением / \с коэффициентами в А
Наконец, оказывается, что изменение выбора сечепия расши-
расширения C.1) в точности соответствует прибавлению к коциклу /
гл-IV- когомалогии и групповые расширения
комплекса Cn (G, А) кограницы. Действительно, произвольное
нормализованное сечение расширения C.1) задается формулой
C.11) g~i{c(g))s(g),
где с: G -*¦ А — такое отображение, что сA) = 0, т. е. с есть про-
произвольный элемент группы Cjv (G, А). И мы легко можем вы-
вычислить набор множителей, отвечающий сечению C.11), по-
поскольку
4c(g))s(g)i(c(h))S(h)=i(c(g))i(gc(h))s(g)s(h) =
= i(c(g)+ gc(h))i(f(g, h))s(gh) =
°=i(c(g)+ gc(h)+ f(g, h)- c(gh))i(c(gh))s(gh).
Таким образом, новый набор множителей имеет вид
(g, h) ~c(g) + gc (h) + j{g,h)~c (gh),
т. e., как и утверждалось, равен / + 8с.
Мы приходим, таким образом, к следующему результату.
3.12. Теорема. Пусть А есть G-модулъ, и пусть <S{G, A) —
множество классов эквивалентности расширений группы G при
помощи А, индуцирующих заданное действие группы G в А.
Тогда имеет место взаимно однозначное соответствие
&(G,A)&H2(G,A). D
В качестве простого применения теоремы 3.12 и предложе-
предложения 2.3 мы можем доказать теперь следующую известную тео-
теорему из теории групп.
3.13. Следствие. Пусть Е — конечная группа порядка тга,
где тип взаимно просты. Предположим, что Е содержит абе-
леву нормальную подгруппу порядка т. Тогда Е содержит под-
подгруппу порядка п и любые две такие подгруппы сопряжены.
Доказательство. Пусть G = Е/А; рассмотрим расши-
расширение
Ol^Gl
Поскольку \А\ и !G| взаимно просты, H2(G, A)=0 (см. III.10.2).
Таким образом, &{G, А) содержит единственный элемент, и рас-
расширение расщепляется. Этим доказано существование требуе-
требуемой подгруппы. Единственность (с точностью до сопряженности)
аналогичным образом выводится из предложения 2.3, нужно
только заметить, что всякая подгруппа & s E порядка га должна
изоморфно отображаться на G и, следовательно, расщеплять рас-
расширение. О
Замечание. Предположение абелевости группы А в этом
следствии может быть отброшено — см. Цассенхаус [1958], IV.7.
Часть этого обобщения, относящаяся к существованию, можег
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСШИРЕНИЙ С АБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ
быть доказана прямым индуктивным рассуждением, основанным
на следствии 3.13 и теоремах Силова. То же относится к един-
единственности, если дополнительно предположить, что по крайней
мере одна из групп А, Е/А является разрешимой. Для заверше-
завершения доказательства единственности можно воспользоваться тео-
теоремой Фонта — Томпсона, утверждающей, что всякая группа не-
нечетного порядка разрешима.
Дальнейшие теоретико-групповые применения теоремы 3.12т
содержатся в нижеследующих упражнениях 3—7 и в § 4.
Упражнения
1. (Фупкториальные свойства <?(G, А).)
(a) Пусть даны расширение §-*sk-*-E-*-G-*-\. и групповой гомомор-
гомоморфизм a: G'-*-G. Покажите, что существует расширение 0 -»- Л -*-?'-»- G' -»-•
-»• 1, с точностью до эквивалентности характеризующееся тем фактом, что-
оно включается в коммутативную диагрумму
О -»- А -*. Е -+¦ д ¦+ 1
II t t« '
Выведите отсюда, что а индуцирует отображение &(G, A)-*-S(G', Л), ко-
которое переводится взаимно однозначпым соответствием из теоремы 3.12 в-
гомоморфизм Я2(а, A): IP(G, Л) -+IP(G', А). [Указание. Возьмите в ка-
качество Е' расслоенное произведение (или «коамальгаму») Е Хс G'. которое
по определению представляет собой множество пар (е, g') е Е X G', таких,,
что е и g' имеют один и тот же образ в G.]
(b) Пусть даны расширение 0->-.4->-?-vG->-l и G-гомоморфизм
f: A-+-A'. Покажите, что существует расширение O-*-A'-*-E'-*-G-*-l, с
точностью до эквивалентности характеризующееся тем фактом, что оно«
включается в коммутативную диаграмму
О->¦ А-*¦ Е-*¦ G ¦+I
1\ \ II
О -> A'-t-E'-*- G ->-1.
Выведите отсюда, что / индуцпрует отображение &(G, А)^-ЩШ, А'), кото-
которое переводится взаимно однозначным соответствием из теорыйй 3.12 в го-
гомоморфизм IP(G, /): H2(G, A)^~H2(G, А'). [Указание. ВИЩите в ка-
качестве Е' наибольшую факторгруппу группы А' /?, для которЛКроммутати-
веп левый квадрат предыдущей диаграммы.] ^А
2. (Интерпретация б: Я'-^Я2.) *• '
(а) Пусть 0->-Л'-»-^4->-Л"->-0 — короткая точная последовательность.
G-модулей. Для произвольного дифференцирования d: G-+A1'. покажите,
что существует расширение 0->-Л'->-.?-»-<?->-1, характеризующееся тем.
фактом, что оно включается в коммутативную диаграмму :
О _,. А' -*- А -*. А" -+¦ О
н ta +d
0->-A'->-E-+G-+i,
в которой 3,—дифференцирование. (Последнее имеет смысл, поскольку го-
гомоморфизм E-+G делает А ^-модулем.) [Указание. В качестве Е, как
и в упражнении 1(а), возьмите теоретико-множественную коамальгаму в
рассмотрите ее как подгруппу группы А X G.]
8 к. с. Браун
I 14 ГЛ. IV. КОГОМОЛОГИИ И ГРУППОВЫЕ РАСШИРЕНИЯ:
(Ь) Конструкция (а) доставляет отображение Der (G, Л")-<-# (G, А').
.Покажите, что диаграмма
Der (G, А") -+¦ S (G, А')
\ . I «
llx{G,A")Z>Ul\fi, A')
коммутативна. [Указание. Поднятие (теоретико-множоствеппое) диф-
дифференцирования d до отображения G-+A доставляет (теоретико-множест-
(теоретико-множественное) сечение отображения E-^-G. Дальнейшее заключается в непосред-
непосредственном применении определении.]
3. Пусть G — конечная группа. Для любого гомоморфизма G -»¦ Q/Z
мы можем построить центральное расширение группы G при помощи Z i
применяя конструкцию упражнения 1 (а) к каноническому расширению
О -+¦ 1 ->¦ Q -*- Q/Z -»• 0:
О-*- Z -*- Q -
_Д f + G ->"'
Таким образом, получается отображение ср: Нот (G, Q/Z) -*- 8 (G, 2),
где G действует в Z тривиально. Докажите, что ср есть взаимно однознач-
однозначное соответствие. [Указание. В силу упражнения 2, ср может быть ото-
.ждествлоио с б: II1 (G, Q/Z) + Н2 (G, I}.]
А. (а) Пусть Е — группа и С — ее центральная подгруппа конечного ип-
докса п. Покажите, что существует гомоморфизм Е ->- С. сужение которого
на С есть возведение в п-го степень. [Метод 1. Мы имеем центральное
расширение 1->-С-*-Е ->-G ->-1 с \G\ = re. Поскольку H2(G, С) аннули-
аннулируется умножением на п, возведение в гс-io степень С^-С индуцирует в
H2(G, С) иулевоо отображение. Ввиду этого из упражнения 1(Ь) вытекает,
что существует диаграмма
п| | ij'
Требуемым отображением будет С-компопента отображения E-^-Cy^G. Ме-
Метод 2. Используйте трансфер Н\Е-*-Н\С = С]
(Ь) Выведите из доказанного, что для конечно порожденной группы Е
эквивалентны следующие два условия.
(*) Центр С группы Е имеет в ней конечпый индекс.
(**) Коммутант [Е, Е] группы Е конечен.
(Эвристически каждое из этих условий заключается в том, что группа Е
«почти абелева». [Указание. Импликация (#) =ф- (#*) вытекает из того,
что отображение Е^-С из (а) имеет конечное ядро. Обратно, из (**) сле-
следует, что каждая образующая группы Е имеет лишь конечное число сопря-
сопряженных, и потому централизатор этой образующей имеет конечный ин-
индекс]
5. (а) Предположим, что группа Е содержит бесконечную циклическую
подгруппу конечного индекса, лежащую в ее центре. Докажите, что группа
Е изоморфна Fa 2, где .F — конечная группа. [Указание. Используя
упражнение 3 или упражнение 4(а), мы можем построить эпиморфизм
Е ->- Z с коночным ядром. Этот эпиморфизм должен расщепляться, по-
поскольку группа Z свободна.]
(Ь) Выведите из доказанного следующую известную теорему теории
групп. Если Е — группа без кручепия, которая содержит бесконечную ци-
циклическую нормальную подгруппу конечного индекса, то сама группа Е
есть бесконечная циклическая группа. [Указание. Пусть Л = Е — беско-
бесконечная циклическая нормальная подгруппа конечного индекса. Тогда Е со-
содержит подгруппу Е' индекса 1 или 2, такую, что А лежит в центре Е'.
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСШИРЕНИЙ С АБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ
Из (а) теперь вытекает, что ?'«Z,TaK что мы имеем расширение
O-»-Z->-?-*-G->-l с | G | sg 2. Если G действует в Z нетривиально, то,
как показывает прямое вычисление, Я2(в, Z) = 0. Но тогда расширение
расщепляется, что противоречит предположению об отсутствии в Е круче-
кручения. Значит, G действует тривиально, и Е т 2 опять-таки в силу (а).]
* 6. Пусть Е — конечно порожденная группа, не имеющая кручения, кото-
которая содержит абелеву подгруппу конечного индекса. Докажите, что Е мо-
может быть вложено в группу R71 х Оп изометрий пространства R71 (с неко-
некоторым и) в качестве дискретной кокомпактной подгруппы. [Указание.
Мы имеем расширение 0 —»- Zn -*- iS -*- G -^ 1 с конечной группой G; далее
действуйте в соответствии с указанием к упражнению 4(а).]
7. (Универсальные центральные расширения.) В этом упражнении все
расширения предполагаются центральными и все модули коэффициентов
в когомологиях предполагаются тривиальными. Мы предположим, кроме
того, что группа G совершенна, т. е. что G = [G, G], или, что эквивалентно,
HiG = 0. Например, всякая (неабелева) простая группа совершенна.
(a) Покажите, что для любой абелевой группы А имеет место изомор-
изоморфизм универсальных коэффициентов
#2(G, A) « Нога (H2G, A).
(b) Выведите отсюда, что существует «универсальный» когомологиче-
когомологический класс u^H2(G, H^G) со следующим свойством. Для любой абелевой
группы Л и любого v^lP(G, А) существует единственное отображение
/: H2G-+A, такое, что v = 1P{G, f)u. [Указание. Из леммы Йонеда (уп-
(упражнение 3(а) к § 1.7) нам известно, как описать естественное отображе-
отображение Нош (Я С, —) ^ Я2 (G, —) в терминах образа элемента id^ G s
6Е Нога (#2G, H2G).]
(c) Используя теорему 3.12 и упражнение 1(Ь), интерпретируйте (Ъ)
как утверждение, что G обладает «универсальным центральным расшире-
расширением»
характеризующимся следующим свойством: для любой абелевой группы А
и любого расширения
существует единственное отображение ?->-?', делающее диаграмму
коммутативной. [Указание. Чтобы доказать единственность, заметьте,
что два таких отображения EZXE', индуцирующих одно и то же отобра-
отображение //2G->-yl, должны различаться на гомоморфизм /?->-Л, пропускаемый
через G. Но группа G совершение, и потому нетривиальных отображений
6?->-Л. не существует.]
Замечание. На практике (с) часто используется для вычисления
H2G. Вычисление состоит в том, что находят, центральное расширение груп-
группы G, обладающее описанным в (с) универсальным свойством, и ядро та-
такого расширения автоматически будет изоморфно H^G. Пример такого вы-
вычисления (для G = SLn(k)) н дальнейшую информацию об универсальном
цептралыюм расширении см. в книге Милнора [1971].
\ 16 ГЛ- IV- КОГОМОЛОГИИ И ГРУППОВЫЕ РАСШИРЕНИЯ
8. Пусть Q-*-A-*-E-*-G-*-i — центральное расширение аболевой
группы G. Коммутаторное спаривание, ассоциированное с этим расширени-
расширением, есть, по определению, отображение с: Gy^G—t-A, действующее по
формуле с(д, h)=i~1([g, Ъ]) = 1~1а>КЦ~:7г]), где g и Ъ — поднятия g
и h в Е.
(a) Покажите, что с корректно определено, Z -билинейно и кососиммет-
рично. (Последнее означает, что c(g, g) =0; отсюда вытекает, ввиду били-
билинейности, что c(g, h) = —c(h, g).) Таким образом, с может рассматривать-
рассматриваться как отображение A2G-*-A, где Л2С, вторая внешняя степень группы G,
ость факторгруппа группы G ® G по подгруппе, порожденной элементами
вида g ® g.
(b) Покажите, что если / есть набор множителей, ассоциированный с
расширением, то c(g, h) = f(g, h) —f(h, g).
(c) Пусть 9: JP(G, A) ->-Hom (A2G, А) есть отображение, отпосящее ко-
когомологическому классу коцикла / кососимметрическое отобрая!енио
4'i '**- / (gih) — / (h, g). Выведите из (b), что имеется взаимно однозначное
соответствие кег 9 « ^"ab(G, А), где (Уаь(О, А) есть множество классов эк-
эквивалентности абелевых расширений ') группы G при помощи А.
Дальнейшая информация о 0 содержится в упражнении 5 к § V.6.
§ 4. Применение:/?-груш1ы с циклической подгруппой
индекса р
В качестве иллюстрации к теории групповых расширений мы
приведем в этом параграфе классификацию /ьгрупи, содержа-
содержащих циклическую подгруппу индекса р, где р просто. (Такая
подгруппа обязательно является нормальной —¦ см. Холл [1959],
§ 4.2.) Затем мы докажем при помощи этой классификации одну
теорему Бернсайда (теорема 4.3), которая понадобится нам ниже
(в § VI.9).
Мы начнем с перечисления некоторых примеров /ьгрупп, об-
обладающих циклической подгруппой индекса р.
(B) ZqXZP{q = p
(C) Zg X Zp(q = pn, n^2), где каноническая образующая
группы ZP действует в Zg как умножение на 1 + р". (Это
имеет смысл, поскольку A + р"'1)* ^ 1 modрп в силу биноми-
биномиальной формулы.)
При р = 2 имеются три дополнительные семейства.
(D) Диэдральные 2-группы. Напомним, что при любом m > 2
диэдральпая группа DZm определяется как Zm X Za, где образу-
образующая Z2 действует в Zm как умножение на —1. Если m есть
степень двойки, то D2m есть 2-группа. Заметим, что группа D4
принадлежит к типу (В), а группа А, — к типу (С). Однако
') То есть расширений 0-*~А-*¦ Е-+G-*¦ 0 с абелевой группой Е.— При-
. меч. пер.
§ 4. р-ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДГРУППОЙ ИНДЕКСА р
яри т > 4 группа ZJm не изоморфна ни одной из перечисленных
выше групп; в этом можно убедиться посредством вычисления
абелеанизаций.
(Е) Обобщенные кватернионные 2-группы. Пусть И — алгеб-
алгебра кватернионов R © Ш © К/ © R&. Для любого целого т > 2
обобщенная кватернионная группа (?4т определяется как под-
подгруппа мультипликативной группы Н*, порожденной х = e"i/m и
.!/ = /. Например, @8 есть обыкновенная кватернионная группа
{±1, ±i, ±/, ±А}. Заметим, что а; имеет порядок 2т и выполнены
¦соотношения уг = хт и узд = ж. Следовательно, циклическая
подгруппа С, порожденная ж, нормальна и имеет индекс 2, а зна-
значит, сама группа Qim имеет порядок Am. Если т есть степень
двойки, то Qkm есть 2-группа. Перечислим для удобства после-
последующих ссылок некоторые свойства группы Qkm. (а) В расши-
расширении 0-*-C-^-Qim-^-Z2-^-0 образующая группы Z2 действует
в С как —1. (Ь) Всякий элемент множества Qkm — C имеет в Qkm
порядок 4. (с) Qt имеет в точности три циклических подгруппы
индекса 2; при т > 2 группа Qim имеет единственную цикличе-
циклическую подгруппу индекса 2. [Это следует из (b).] (d) Qim содер-
содержит единственный элемент порядка 2. (е) Расширение 0-*-С—*-
•—*-Qtm-*-Z2-*-0 не расщепляется.
(F)Z9XZ2 (q = 2", и 3*3), где образующая группы Z2 дейст-
действует в Zg как умножение на —1 + 2".
Мы докажем теперь, что этот список полон.
4.1. Теорема. Если G есть р-группа, обладающая цикличе-
циклической подгруппой индекса р, то группа G изоморфна одной из
групп (A) —(F).
Доказательство основано на следующей лемме из элементар-
элементарной теории чисел.
4.2. Лемма. Пусть а — такое целое число, что арэ1 modpn
¦при некотором п > 2. Если р нечетно, то a^lmodp"; если
р = 2, то а = ±1 mod 2".
Доказательство. Приняв безвредное предположение,
что аФ\, обозначим через d(a) наибольшее целое d, такое, что
¦а = lmod//. Заметим, что d(a)^l, поскольку а = ар в 1 mod p,
где первое сравнение имеет место в силу малой теоремы Ферма.
Если р нечетно или d(a)>2, то применимо упражнение 3(а)
из § П.4, которое дает d(ap)= d(a)+ 1. Таким образом, в этом
•случае d(a)>n— 1, что и утверждается. Если р = 2 и d(a)=l,
¦то а = — 1 mod 4. Поэтому мы можем применить предыдущее
рассуждение к —а и получить, что —а з- 1 mod 2n-1. ?
Доказательство теоремы 4.1. По предположению, мы
имеем расширение O-+-Xq-+-G-*-H-*-l, где q = pn с некото-
некоторым и^Ои |Я| =/>. Если Я действует в Ze тривиально, то груп-
группа G порождена двумя коммутирующими элементами и потому
является абелевой. В этом случае из теории конечных абелевых
групп вытекает, что G относится к одному из типов (А), (В).
в
g
гл-1V- когомологии и групповые расширения
Предположим теперь, что // действует в Zg нетривиально. Мы
вычислим Л2 (ff, Zg), используя пример 2 из § III.1. Действие
группы Я в Zg задается вложением группы Я в Zg, где "Zq,
есть группа единиц кольца Zq = ZlpnZ, и яспо, что должно-
быть п> 2. Предположим сначала, что р нечетно. Тогда из лем-
леммы 4.2 следует, что образ этого вложеиия есть |1 + Ь:.
be pn~1Z/pnZ\ — группа порядка р, порожденная 1+ /?""'.
В частности, // заведомо имеет образующую, которая действует
как умножение па i + рп~1— как в (С). При таком действии
группы // в Zq легко видеть, что Zf = [х е Zq: рп~1х=0} =
= pZ/pnZ. С другой стороны, нормирующий оператор 2л=я к
есть умножение на 2A + &) (*е pn~1Z/pnZ), т. о. на р.
= 0> поскольку р исчетпо.] Таким образом, образ нормиру-
нормирующего оператора также есть pZ/pnZ- Мы можем заключить, что^
Я2 (Я, Zg) = 0, благодаря чему расширение расщепляется и G
есть группа типа (С). Предположим теперь, что р = 2. Опять-
таки в силу леммы 4.2, образ вложения Я—>-Zg есть подгруппа
{±\ + b: b<=2n~xZl2nZ\. Поэтому для образа sgZJ образу-
образующей группы II имеются три возможности.
Случай 1: а = —1. В этом случае Zf = 2n~1Z/2nZ, а нор-
нормирующий оператор тривиален, так что Н2(Н, Zg) « Z2- Таким
образом, имеются в точности два неэквивалентных расширения:
группы // при помощи Zg, соответствующие этому действию //
в Z9. Так как мы уже предъявили два таких расширения в-
(D) и (Е), то G и есть группа одного из типов (D), (Е).
Случай 2; а = 1 + 2". Тогда Z% = 2Z/2"Z и нормирующий
оператор есть умножение на 2 +2"~'= 2A + 2"~2). Мы можем
счптать, что п ^ 3, поскольку остальные возможности покрыва-
покрываются случаем 1. Таким образом, 1 + 2™~2 е Zg и образ норми-
нормирующего отображения есть 2Z/2nZ. Поэтому Я2 (Я, Zg) = О,
так что расширение расщепляется и G есть группа типа (С).
Случай 3: а = -1 + 2"-\ и ^ 3. Тогда Z? = 2n~~1Z/2nZ и нор-
нормирующий оператор есть умножение на 2Я~*. Таким образом,
Я2 (Я, Zg) = 0, расширение расщепляется и G есть группа ти-
типа (F). ?
Эта теорема позволяет нам доказать следующий факт (см-
Бернсайд [1911], §§ 104 и 105).
4.3. Теорема. Если G есть р-группа, которая обладает един-
единственной подгруппой порядка р, то G есть либо циклическая
группа, либо обобщенная кватернионная группа.
Доказательство. Очевидная индукция по \G\ позволя-
позволяет нам считать, что всякая собственная подгруппа группы G
является циклической или обобщенной кватернионной группой..
Выберем в G нормальную подгруппу Я индекса р. [Такая всегда
§ 4. р-ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДГРУППОЙ ИНДЕКСА р
существует — см. Холл, [1959], § 4.2.] Если группа Н является
циклической, нам достаточно применить теорему 4.1, ибо среди
групп из списка (А) — (F) только циклические и обобщенные
кватернионные группы имеют единственную подгруппу порядка
р. Предположим, что Н есть обобщенная кватернионная группа
(и значит, р = 2). Я утверждаю, что Н имеет циклическую под-
подгруппу N индекса 2, которая нормальна в G. Действительно,
пусть Я' есть множество всех циклических подгрупп индекса 2
в И; мы зпаем, что card(^) нечетно (см. выше свойство (с)
групп типа (Е)); поэтому действие 2-группы G в 9* посредством
сопряжений должно иметь неподвижный элемент N s &, что и
утверждается. Рассмотрим теперь действие факторгруппы G/N
в N. Оно задается некоторым гомоморфизмом G/N^-Zq, где
q = \N\^A. Композиция этого гомоморфизма с канонической
проекцией Zg->-Z4 — {±1} представляет собой эпиморфизм
¦G/N -*¦ {±0, ядро которого есть группа KIN порядка 2. Посколь-
Поскольку образующая группы K/N не действует в N как —1, К не
может быть обобщенной кватернионной группой. Значит, К —
циклическая подгруппа группы G индекса 2, и примепимо пре-
предыдущее рассуждение. О
Замечание. Любопытно взглянуть на доказательство этой
теоремы, принадлежащее самому Бернсайду. Хотя в то время
ни когомологии групп, ни классификация групповых расшире-
расширений еще не существовали, доказательство Бернсайда, по суще-
существу, содержит прямой вывод изоморфизма <%(G, A)~ AG/NA
для конечной циклической группы G, где N — нормирующий
оператор. [Рассуждение Бернсайда заключается в следующем.
Он берет расширение 0-+~A-*-E->~G-+~l, где G — циклическая
группа порядка п с образующей t, поднимает t до t е E и рас-
рассматривает a = tn<^A. В действительности а лежит в Ав,
и amodNA есть элемент факторгруппы A°/NA, который класси-
классифицирует расширение.]
В заключение, в качестве еще одной иллюстрации примене-
применения когомологии в теории групп, мы перечислим все подгруппы
недиэдралыюй группы типа (С).
4.4. Предложение. Пусть G == Zg X 7Р(q — рп, и^2) —
группа типа (С). Если р = 2, то предположим, что п>3. Пусть
A a Z« есть подгруппа pZ/pnZ индекса р.
(a) А / ZP = А X Zp есть нециклическая абелева подгруп-
подгруппа группы G индекса р.
(b) Всякий элемент группы G, не лежащий в А X ZP, порож-
порождает циклическую подгруппу индекса р. Всего имеется ровно р
различных циклических подгрупп указанного вида.
(c) Всякая собственная подгруппа И группы G является ли-
либо подгруппой группы А X Zr>, либо циклической подгруппой
.индекса р, описанной в (Ь). В частности, группа Н абелева.
120 гл. iv. когомологии и групповые расширения
Доказательство. Утверждение (а) очевидно, поскольку
Zp тривиально действует в А. Утверждение (Ь) можно доказать
прямым (по довольно утомительным) вычислением, но проще-
действовать следуюгцим образом. Прежде всего заметим, что вся-
всякий гомоморфизм G-*-Z..p должен пропускаться через фактор-
факторгруппу Zp X /р группы G. Отсюда следует, что подгруппы ин-
индекса G группы р соответствуют подгруппам индекса р группы
Zp X Zp, последних же имеется ровно р + 1. [Это — точки про-
проективной прямой над полем из р элементов.] Из этих р + 1 под-
подгрупп группы G одна есть Лх Zp, и я утверждаю, что осталь-
остальные р являются циклическими. Приняв на секунду это утвер-
утверждение, мы можем доказать (Ь) прямым подсчетом числа эле-
элементов. Именно, р циклических подгрупп индекса р содержаг
все вместе р(рп — рп~1) образующих, и ни одна из этих образу-
образующих не может лежать в А X ZP. Но card (G — (А х ZP)) =
= рп+1—рп=^р(рп—рп~1), так что (Ь) доказано. Поскольку (с)
есть немедленное следствие (Ь), нам остается доказать принятое
без доказательства утверждение.
В процессе доказательства теоремы 4.1 мы вычислили норми-
нормирующий оператор для действия группы Zp в Zg, и из этого»
вычисления вытекает, что Н1 (Zv, Z9) = 0. Ввиду предложения
2.3 это означает, что расширение
обладает единственным (с точностью до сопряженности) рас-
расщеплением, и, следовательно, G содержит только два класса
сопряженных подгрупп порядка р. Предположим теперь, что Н
есть нециклическая подгруппа ипдекса р группы G. Тогда мы
имеем расширение
в котором ZP тривиально действует в А (потому что 1 + рп~1 =*
^ lmod\A\). Таким образом, группа И абелева, но не цикли-
циклическая, так что она содержит по крайней мере две подгруппы
порядка р. Так как подгруппа Н группы G нормальна, она долж-
должна содержать оба класса сопряженных подгрупп группы G
порядка р. В частпостп, 0 X Zp ? Н и, значит, Н = А X Zp, что-
и утверждалось. ?
Упражнения
1. Покажите, что если G ость обобщенная кватернионпая группа, то
всякая подгруппа группы G есть либо циклическая, либо обобщенная ква-
тернионная группа. [Это, конечно, следует из теоремы 4.3, но можно до-
доказать и прямо.]
§ 5. СКРЕЩЕННЫЕ МОДУЛИ И Я» (НАБРОСОК) 12
2. Покажите, что если G есть диэдральная группа, то всякая подгруппа
группы G есть либо циклическая, либо диэдральная группа. [У к а з а п и е.
Всякий элемент группы G = Zq XZ2, не лежащий в Z9,имеет порядок 2.]
Покажите, далее, что если \G\ > 8, то нециклические абелевы подгруппы
группы G (т. е. подгруппы, изоморфные Z-3xZ2 = Dt) по являются нор-
нормальными в G. Группа же Dt содержит две нециклические абелевы нор-
нормальные подгруппы.
3. Пусть G = Zg XZ2(g = 2n, га>3)— группа типа (F). Пусть
А с Zq — подгруппа порядка 2. Покажите, что единственными нецикличе-
нециклическими абелевыми подгруппами группы G являются группа А х Z8 и сопря-
сопряженные с ней подгруппы. Покажите, далее, что группа A XZ2 не являет-
является нормальной в G. [Указание. Если Н — собствепная нециклическая
подгруппа группы G, то мы имеем расширение 0-»-Н П Ztf -»-#-»- Z 2 -»- О,
в котором образующая группы Z2 действует в // П Zq как —1. Это рас-
расширение может быть абелевым, только если Я П Zq= Л. Теперь вычис-
вычислите II1 (Z 2, Zq) и используйте полученную информацию, как в доказа-
доказательстве предложения 4.4.]
4. Покажите, что если G есть р-группа, у которой всякая абелева нор-
нормальная подгруппа является циклической, то G принадлежит одному из ти-
типов (A), (D), (Е) или (F), причем если G принадлежит типу (D), то
| G | ^16. [Указание. Выберите в G максимальную абелеву нормальную
подгруппу и рассмотрите соответствующее расширение0-*¦ Zq-*- и-*-Я-»¦ 1,
q = р". Если \Н\ ^р, то наше утверждение вытекает из теоремы 4.1, по-
поскольку группы типов (В) и (С) имеют нециклические абелевы пормаль-
иые подгруппы1). Предположим, что \Н\ ^ р2, и рассмотрим нормальные
подгруппы Й' cz Н порядка р. Такая группа //' не может действовать в Z?
тривиально, поскольку иначе прообраз G' группы Н' в G был бы абелевой
нормальной подгруппой, большей, чем Zq. И, за исключением случая р =
= 2, п = 2, Н' пе может действовать, как в (С), поскольку нециклическая
подгруппа ипдекса р группы G' (см. предложение 4.4) была бы нормальна
в G. Так что единственная возможность заключается в том, что р=2и
нетривиальный элемент группы Н' действует как —1 или как —1 + 2"-'
(в последнем случае п ^ 3). Но это певозможно, поскольку композиция
И-*-Zq-*-{+ 1} имеет нетривиальное ядро, и мы могли бы взять группу
//' содержащейся в этом ядре.]
§ 5. Скрещенные модули и IP (набросок)
Мы видели в §§2 и 3, что Н1 п Я2 имеют конкретные
теоретико-групповые интерпретации. Оказывается, что теорети-
теоретико-групповые интерпретации имеют и функторы Нп при п ^ 3,
и этот факт был обнаружен независимо несколькими людьми.
(Проясняющие историю вопроса ссылки сделаны в статье Мак-
лейна [1979].) Мы ограничимся здесь наброском теории в слу-
случае IP. Основные идеи, относящиеся к этому случаю, восходят
к статье Маклейна [1949], хотя точная классификационная тео-
теорема 5.4 в этой статье не содержится.
Пусть Е и N — группы. Предположим, что задано действие
группы Е в 7V, записываемое как (е, п) <-*¦е п, а также гомомор-
') И то исе верно для группы Ds — см. упражнение 2.— Цримеч. пер.
122 ГЛ' IV- когомологии и групповые расширения
физм а: N -*¦ Е, удовлетворяющий условиям
E.1) a(fV *, пп'п~г (n,n'<=N)
и
E.2) а(еп) = еа(п) e~l (e^E,n^N).
Мы скажем тогда, что группа N- (рассматриваемая вместе с дей-
действием и с гомоморфизмом а) является скрещенным модулем
над Е.
Католический пример скрещенного модуля доставляет ситуа-
ситуация, когда Е есть полная группа автоморфизмов Aut(iV) и а (га)
есть внутренний автоморфизм, ассоциированный с п. Тогда ус-
условие E.1) выполнено по определению, а условие' E.2) легко
проверяется. Скрещенные модули естественным образом появля-
появляются в топологии, н именно в этом коптексте они впервые были
введены (Уантхед [1949]). Именно, если X есть топологическое
пространство и У — его подпространство, то относительная го-
гомотопическая группа лг(Х, У) есть скрещенный модуль над
л,У, причем роль а играет граничный гомоморфизм д: п2(Х, Y)-*-
-*¦ nty. Другой пример: предположим, что Е есть тотальное про-
пространство расслоения со слоем F; тогда ziiF естественным образом
наделяется структурой скрещенного модуля над UiE.
Заметим, что всякий обыкновенный (абелев) ^-модуль может
рассматриваться как скрещенный модуль с тривиальным а. Дру-
Другая крайность заключается в том, что всякая нормальная под-
подгруппа группы Е является скрещенным модулем, в котором Е
действует посредством сопряжений, а а является включением.
Пусть N — скрещенный модуль над Е. Положим А = ker a и
G = cokera; последнее имеет смысл, поскольку образ ima нор-
нормален в Е-—см. E.2). Заметим, что А лежит в центре N (в си-
силу E.1)) и что действие группы Е в N индуцирует действие
группы G в А. Таким образом, мы имеем четырехчленную точную
последовательность
E.3) . 0-,^^?i6.1,
в которой Л есть G-модуль. Оказывается, что точные последова-
последовательности этого вида классифицируются (при подходящем отно-
отношении эквивалентности) элементами группы H"(G, A).
Точнее, предположим, что мы начинаем с произвольной груп-
группы G и произвольного G-модуля А. Рассмотрим все возможные
точные последовательности вида E.3), в которых N есть скре-
скрещенный модуль над Е, такой, что действие Е в N индуцирует
данное действие G в А. Мы накладываем на эти последовательно-
последовательности минимальное отношение эквивалентности, такое, что последо-
последовательность
О -*¦ А -*¦ N -*¦ Е -ч- G-*- 1
§ 5. СКРЕЩЕННЫЕ МОДУЛИ И IP (НАБРОСОК)
эквивалентна последовательности
0-*A-+N'-+E'-+G-+l
лри наличии коммутативной диаграммы
N
о-—^А^
JV-
¦в которой вертикальные стрелки согласованы с действиями групп
Е и Е' в N и N'. [Предостережение: вертикальные стрелки не обя-
обязаны быть изоморфизмами.] Тогда справедливо следующее утвер-
утверждение.
5.4. Теорема. Существует взаимно однозначное соответствие
между вышеуказанными классами эквивалентности и элементами
группы H3(G, А).
Мы не приводим доказательства — его можно найти в источ-
источниках, цитируемых в статье Маклейна [1979]. Мы объясним, од-
однако, как точная последовательность E.3) определяет элемент
группы IP(G, А). Фиксируем теоретико-множественное сечение
я: G -*¦ Е отображения я. Степень его негомоморфности измеря-
измеряется отображением /: G X G -*¦ ker я, определяемым формулой
E.5) s(g)s(h) = f(g, h)s(gh).
Лак и в § 3, ассоциативность умножения в Е накладывает на /
«условие коцикла», которое принимает форму
"E.6) f(g, h)f(gh, *)~'<«>/(Л, k)f(g, hk),
где slg)j(h, k) = s(g)f(h, k)s(g)~l. [Условие E.6) представляет
•собой неабелев аналог условия C.9); его доказательство заклю-
заключается в вычислении двумя способами тронного произведения
s(g)s(h)s(k).\
Поскольку ker я = im а, мы можем подпять / до отображения
F: GX G -*¦ N, и можно будет спросить, удовлетворяет ли F ус-
условию, аналогичному E.6) (в которое входит действие группы
Е в N из структуры скрещенного модуля). Степень, в которой
не выполнено это условие, измеряется отображением с: GX. GX.
X G -*¦ А, определяемым формулой
E.7) '«>F(h, k)F(g, hk)=i(c{g, h, k))F(g, h)F(gh, k).
Можно показать, что с есть 3-коцикл, когомологический класс
которого не зависит от выбора s n F; этот когомологический класс
и есть нужный элемент групп H3(G, A).
124 гл- IV- когомологии и групповые расширения
§ 6. Расширения с неабелевым ядром (набросок)
Главными источниками по теме этого параграфа являются кни-
книга Маклейпа [1963] и статья Эйленберга — Маклейна [1947].
Пусть N— труппа; напомним (см. § 5), что каноническое ото-
отображение а: N -*¦ Aul(N) и каноническое действие Aut(TV) в N
составляют структуру скрещенного Aut(TV)-модуля в N. Ядро
отображения а есть центр С группы N, а его коядро есть, по оп-
определению, группа Out(AT) внешних автоморфизмов группы N..
Возникающая точная последовательность
F.1) 0-
играет фупдамоптальпую роль в изучении расширепий
F.2) \-+N±E^G-+\
с ядром N.
Наше первое наблюдение заключается в том, что такое рас-
расширение не определяет никакого действия группы G в N, а опре-
определяет лишь «впешпее действие», т. е. гомоморфизм "ф: G -*¦
-*¦ Out (N). Последний ипдуцируется действием в N группы Е по-
посредством сопряжений:
jV_>. Е -> G
\
Итак, мы фиксируем гомоморфизм \\>: G -*¦ Out (TV) и пытаемся
понять устройство множества &"(G, N, "ф) классов эквивалентных
расширений, индуцирующих гомоморфизм if. Заметим, что для
данного "ф не очевидно даже, что множество e"(G, N, "ф) не явля-
является пустым. В частности, если if не поднимается до гомоморфиз-
гомоморфизма G-> Aut(./V), то в множестве &{G, TV, of) отсутствует «полу-
«полупрямое произведение» NAG.
Предположим сначала, что расширение F.2) нам задапо. Как
в § 3, фиксируем теоретико-множестиенное сечение s: G -*¦ Е ото-
отображения п. Оно определяет, как обычно, отображение /: G X
X G -*¦ N, измеряющее степень негомоморфности s. В дополнение
к этому оно определяет теоретико-множественное поднятие <р:
G->Aut(/V) отображения if; именно, cp(g) есть сопряжение по-
посредством s(g). Отображения / и <р связаны соотношением
F.3) Ф(*)Ф(А)«=<*(/(*, h))v(gh),
где а обозначает то же, что в F.1). Более того, / удовлетворяет
«условию коцикла» (ср. E.6))
F.4) f(g, h)f(gh, k) = ^f(k, k)f(g, hk).
§ 6. РАСШИРЕНИЯ С НЕАБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ (НАБРОСОК)
Обратно, если заданы отображения / и g, удовлетворяющие^
условиям F.3) и F.4), то можно построить расширение
F.5) l->/V->?,,,-G->l,
где Eti, есть TV X G с умножением, которое явно выписывается^
через / и ф. Этим путем можно показать, что расширения клас-
классифицируются парами (/, ф) с указанными свойствами, связан-
связанными некоторым отношением эквивалентности.
Это описание множества &(G, N, а|>) может быть радикаль-
радикальным образом упрощено, если мы заметим, что поднятие ф ото-
отображения if может быть выбрано одним и тем же для всех рас-
рассматриваемых расширений, ибо надлежащее изменение сечения
s приводит к замене поднятия ф каким угодно другим подняти-
поднятием. Таким образом, мы можем зафиксировать ф и ограничиться
рассмотрением расширений Е)ш^ где / пробегает все «коциклы»
относительно ф. Из F.3) следует, что два таких коцикла раз-
различаются на отображение G X G -*¦ С, которое является уже на-
настоящим 2-коциклом группы G с коэффициентами в С, где С
наделяется структурой G-модуля отображением ip. На этом пути
можно показать, что для любых двух элементов множества
&(G, N, а|>) корректно определена их «разность» в H2(G, С).
Более того, имеет место следующее утверждение.
6.6. Теорема. Множество lf(G, N, ф) допускает свободное
транзитивное действие абелевой группы HZ(G, С). Таким обра-
образом, либо &(G, N, o|))=0, либо существует взаимно однозначное
соответствие &(G, TV, ip)«//2(G, С). Это взаимно однозначное
соответствие зависит от выбора в <8{G, TV, if) отмеченного эле-
элемента. ?
Чтобы завершить классификацию, мы должны определить,,
когда &{G, TV, ^)Ф0. Напомним (см. § 5), что последователь-
последовательность F.1) выделяет некоторый элемент и ^ Н3(Out(N), С).
Применяя когомологический гомоморфизм ip* = Я3 (ip, С), мы по-
получаем некоторый элемент ty*u^ H3(G, С). Оказывается, что
¦ф*м есть «препятствие» к существованию элемента множества
&{G, N, if). Чтобы убедиться в этом, удобно воспользоваться
следующим явным описанием а|>*м, которое легко выводится из
§ 5. Выберем теоретико-множественное поднятие ф: G -*¦ Aut(TV)
отображения "ф и отображение /: G X G -*• TV, удовлетворяющее
условию F.3). Тогда мерой того, насколько / не удовлетворяет
условию F.4), служит некоторое отображение GX GX G -»- С,
которое является 3-коциклом, представляющим ty*u.
В частности, если &(G, N, ty)^&, то, как мы уже видели,
можно выбрать ф и / таким образом, чтобы условие F.4) было
выполнено, так что этот 3-коцикл равен 0. Обратно, если if>*u =
= 0, то, надлежащим образом изменив выбор /, мы добиваемся
того, чтобы условие F.4) было выполнено, и тогда мы можем
j 26 ГЛ- IV- КОГОМОЛОГИИ II ГРУППОВЫЕ РАСШИРЕНИЯ
построить расширение F.5). Мы приходим к следующему ре-
результату.
В.7. Теорема. Гомоморфизм if: G -*¦ Ont(N) порождает
«препятствие» в //3(G, С), которое обращается в О тогда и толь-
только тогда, когда ё(G, N, у)?= 0. ?
Это препятствие вполне может быть отлично от 0. В действи-
действительности для любой группы G, любого G-модуля С и любого
элемента v<^H3(G, С) можно построить группу N с центром С
и отображение я|:: G->0utGV), такое, что соответствующее ему
препятствие равно v.
В заключение мы упомянем один специальный случай, в ко-
котором теория расширений оказывается особенно простой.
G.8. Следствие. Если группа N имеет тривиальный центр,
то всякому гомоморфизму G->-Out(N) отвечает одно и только
одно (с точностью до эквивалентности) расширение группы G
при помощи N.
Конечно, это — немедленное следствие теорем 6.6 п 6.7, но
оно имеет н несложное прямое доказательство, не использующее
коюмо.т1огнческой теории (см. ниже упражнение 1). D
Упражнения
1. Найдите прямое доказательство следствия 6.8. [Указапие. Если
группа Л' имеет тривиальный центр, то всякое расширение группы G при
помощи Л: шелючается в коммутативную диаграмму
l-^TV-* Е -* G ->1
II I I
1 _> ДГ ->. Aut (,V) -»- Out (Лг) ->-1
с точными строками. Такая диаграмма обязательно является коамальгами-
рующой диаграммой — ср. § 3, упражнение 1 (а) .1
2. Пусть I -> N-*¦ Е->-G-*-i —расширение конечной группы при помо-
помощи коночной группы, такое, что \N\ и \G\ взаимно просты. Мы доказали
и § 3, что если группа N аболева, то такое расширение должно расщепляться
(см. следствие 3,13), и заметили, что этот результат обобщается на неабе-
.лов случай. Можно было бы надеяться вывести это обобщение прямо из
теоремы O.(i, поскольку группа IP(G, С) тривиальна. Почему ото по полу-
получается?
ГЛАВА V
УМНОЖЕНИЯ
§ 1. Тензорное произведение резольвент
Если G и G' — группы, а М и М' — соответственно некоторые
G-модуль и G'-модуль, то М ® М' обладает естественной струк-
структурой G X G'-модуля: (g, g') • (т® т') = gm® g'm'. Заметим,
что если модуль М проективен над 7LG и модуль М' проективен
над ZG', то модуль М ® М' проективен над %{G xG'}. Дей-
Действительно, достаточно проверить это в случае, когда М = ZG
и М' = ZG', а в этом случае утверждение вытекает из очевид-
очевидного изоморфизма XG <g> ?G' ж Z\G X G'].
Пусть теперь е: F->Z и е': F'—*-%— проективные резоль-
резольвенты '? соответственно над Ifi и над %G' Рассмотрим комп-
комплекс F ® F'. Это — комплекс проективных . Z [G X С]-модулей,
аугментированный над X отображением е <g) e': F (8> F' ->- / (g)
® Z = Z. Более того, е ® е' есть слабая эквивалентность. Это
следует, например, из предложения 1.7.6, ибо последнее пока-
показывает, что е: F-*-% и г': F' —*-/, — гомотопические эквива-
эквивалентности (если не учитывать действия группы G), а значит,
то же верно для е ® е' (см. упражнение 7 (с) к § 1.0). [Другой
способ доказательства: воспользуйтесь формулой Кюннета.]
Итак, мы доказали следующий факт.
1.1. Предложение. Если е: F->Ъ и е': F'^-Z— проек-
проективные резольвенты Z над ZG и ZG', mo e <g> г': F (g) F'->2
есть проективная резольвента Z над Z[G X G']. ?
Этот результат можно понимать как алгебраический аналог
того очевидного факта, что произведение K(G, 1)-пространства
и K(G', 1)-пространства есть K(GXG', 1)-пространство.
1.2. Следствие. Если е: F-+-Z и е': F'-+Z— проектив-
проективные резольвенты Z над ZG, mo e (g) e': F (g) F'-*-Z, где G
диагональным образом действует в F ® F', также есть проектив-
проективная резольвента Z над ZG.
Это выводится из предложения 1.1 посредством сужения ска-
скаляров по отношению к «диагональному» вложению G -*¦ GXG,
действующему по формуле g >-+ (g, g). Q
Заметим, что если в следствии 1.2 F = F', то мы имеем два
очевидных отображения резольвенты F ® F в резольвенту Fr
именно, F0s: F ®F-+F ®Z=F и г® F:F®F-+Z® F = F.
Никакого очевидного отображения, действующего в обратном
направлении, мы указать пе можем, но из теоремы 1.7.5 мы
-128 ¦ гл- v- умножения
;шаем, что существуют сохраняющие аугментацию цепные
G-отображопия Д: F -*¦ F ® F и что любые два таких отобра-
;кения гомотопны. Всякое такое отображение Д будет назы-
иаться диагональной аппроксимацией. Например, в случае, когда
/' есть стандартная резольвепта, хорошо известна диагональная
аппроксимация, называемая отображением Александера — Уитни.
В терминах однородного описания F это отображение задается
формулой
п
A.3) A(g0, ,..,?„)= 2 (?о> •••.&>)»&>. --мЫ-
р=0
Переводя на язык бар-обозначений, мы находим, что
п
ilA) A[gi | ... \gn] = ^ [gi\...\gP]® gi ---'gplgp+i] ¦•¦ \gn\-
p=0
Упражнение
Пусть G — конечная циклическая группа порядка та с образующей t,
и пусть F — резольвента A.6.3). В частности, Fn^=ZG при всех п ^ 0.
Пусть Л: F ->- F ф F — отображение, (р, q)-компонента Дрд: Fp+q -+FP igi Fq
которого задается формулой
® 1, если р четно,
® t, если р почетно, а д четно,
X ^ ® & 1 если р нечетно и g нечетно.
o<t<j-«m—г
Проверьте, что А есть диагональная аппроксимация.
§ 2. Х-умножения
Пусть G, G', F и F' обозначают то же, что в предыдущем
параграфе. Для любых G-модуля М и G'-модуля М' имеется
очевидное отображение
<2.1) (F <g)c M) ® (i7' (8>с Л/')->-(^ <g> F') (8)CXG; (Л/ (8) Л/'),
заданное формулой (х ® m) <g) (^ ' (8) m') -* (z ® х') ® (?n <g> m').
[Это можно строго обосновать, заметив, что
)® (F' <g>GA/') = (F ® Л/)с ® (F' ® M')c
¦есть факторгруппа группы F ® M ® F' ® M'; явпо производя эту
факторизацию, можно усмотреть, что B.1) есть изоморфизм.]
Если z e F ®„ Д/ иг'е1"®с( Л/', то мы обозначаем через zXzr
образ z ® z' при этом отображении. Ясно, что если deg z = р,
то 9 (z X z') = 5z X z' + (—1) pz X 5z' и, значит, произведение
двух циклов есть цикл, гомологический класс которого зависит
только от гомологических классов перемножаемых циклов. Мы
§ 3. ^-УМНОЖЕНИЕ И «-.-УМНОЖЕНИЕ 129
получаем, таким образом, ввиду 1.1, индуцированное умножение
HP(G, M)®Hq(G', M')-+Hp+q(G XG\M® M'),
называемое гомологическим Х-умножением и обозначаемое по-
прежнему z ® z'»-»-z ® z'. Это произведение определено корректно,
т. е. не зависит от выбора резольвент F и F'.
Подобным же образом для коцепей и^Жотв(Р, М) и и' е
е Жота> (F', М') мы определяем их Х-произведение «X^'s
е Жогпсхс (F ® F', М <g> M') как тензорное произведение ото-
отображений и я и' — см. упражнение 7 к § 1.0; таким образом,
<и X и', х <g> х'} = (—l)deg u'deg \u, х} <S> {и', х'>. Легко проверить,
что если deg и = р, то 8(и X и')=* 6иХ и' + (—1)ри Хби'. [Это—
специальный случай упражнения 7 (а) к § I.O.] Таким образом,
возникает индуцированное когомологическое Х-умножение
H>(G, M)®H4{G', M')-^H^{GXG', M®M').
Упражнения
1. Покажите, что отображение B.1) есть изоморфизм. Наложив подхо-
подходящие ограничения, выведите формулу Кюннета, выражающую Я* (G X G',
М ® М') через Я* (б, М) и Я, (б', М').
* 2. Укажите условия, при которых коцепное Х-умиожсние
Жота (F, M) ® MomG, (Fr, M') -»- ЖотСу<(}1 (F ® F', М ® М')
является изоморфизмом, и выведите когомологическую формулу Кюннета.
§ 3. '-'-умножение и ^-умножение
В предыдущем параграфе мы имели дело с «внешними» ум-
умножениями, в которых участвовали три группы: G, G' и G X G'.
8 этом параграфе мы изучим внутренние умножения, дей-
действующие в гомологиях и когомологиях одной-единственной
группы G.
Для u^Hp(G, М) и vsH"(G, N) мы определяем ^/-произве-
^/-произведение классов и, v (обозначаемое через и^ v или uv) как
d*(uXv)^H1>+q(G, M®N), где d: G -> G X G — диагональное
отображение. Здесь М ® N наделяется диагональным действием
группы G (ни при каком другом действии отображение
d*: H*(GXG, M® N)-+H*(G, M ® N) не было бы определено).
Непосредственно из определений видно, что «-"-умножение ин-
индуцируется следующим коцепным ^-умножением. Пусть F и
F' — проективные резольвенты Z над ZG; напомним, что F ®
® F' с диагональным действием группы G также есть проектив-
проективная резольвента Z над %G (следствие 1.2). Для us
е Жотв (F, I) и);е Жотв (F', N) мы определяем коцепь и ^ v
как коцепь и X v из § 2, рассматриваемую теперь как элемент
Жота (F ® F', M ® N). По-другому, если мы предпочитаем
пользоваться единой резольвентой F, мы выбираем диагональную
9 к. С. Браун
130 гл- v- умножения
аппроксимацию A: F -*¦ F ® F (см. § 1) и полагаем для
Ж?, М) и v^MomG{F, N)
F, M®N).
Например, если F есть бар-резольвента и Д есть отображение
Александера — Уитни A.4), то произведение коцепей и <=
eCfG, М) и ve=C<(G, N) есть коцепь u^veCv+^(G, M®N),
определяемая формулой
(mw v){gt, ..., gP+(J) =
Перечислим теперь некоторые формальные свойства <~--умно-
жения.
3.1. Размерность 0: «^-умножение H°(G, M)®H°(G, N)->
->¦ //°(G, Л/ ® TV) совпадает с отображением Me®Na-+(M® N)e,
индуцированным включениями М° ->- Л/ и № -*- М
3.2. Естественность по отношению к коэффициентным гомо-
гомоморфизмам. Для G-отображений /: М ->¦ М' и g: N -*• N' и кого-
когомологических классов u^H*(G, M) и veH*(G, N) в H*(G,
М' ® N') имеет место равенство
где /, = Н* (G, /), и т. д.
Утверждения 3.1 и 3.2 вытекают непосредственно из опреде-
определений.
3.3. Согласованность с б. Пусть 0 -*¦ М' ->- М -*¦ М" -*¦ 0 — ко-
короткая точная последовательность G-модулей, и пусть /V — такой
G-модуль, что последовательность 0 -+ М' ® N -*¦ М ® N -*¦ М" ®
® N -*¦ 0 также точна. (Например, это верно для любого N, если
последовательность 0 -+ М' -+¦ М ->~ М" -*¦ 0 расщепляется как
последовательность Z-модулей.) Тогда б (и w v) = bu <~> v для
любых ue=Hp(G, M") и veH"(G, N). Другими словами, квадрат
HP(G, M")-^Hp+l{G,M')
Hp+q (G, M" ® N) Л- Hp+9+1 (G, M' (8) N)
коммутативен.
Для доказательства рассмотрим коммутативную диаграмму
0-^ C*(G,M') -»- C*{G, M) -> C*(G,M") ->0
0-+С* (G, M' ® /VK С* (G, Af ® N)-*- С* (G, М"
вертикальные стрелки которой определяются ^-умножением на
фиксированный коцикл из Cq(G, N), представляющий v. Эти вер-
вертикальные отображения коммутируют с кограничным операто-
оператором б комплексов C*(G, —), потому что формула (Ь)
§ 3. «->-УМНОЖЕНИЕ И «-.-УМНОЖЕНИЕ 131
= 8а ^> Ъ +(—1) dega ^ 66 в случае, когда Ъ есть коцикл, сводит-
сводится к б (a w 6) = 8а ^ Ь. Нужное утверждение вытекает теперь из
естественности связывающих гомоморфизмов по отношению к
отображениям одной короткой точной последовательности в дру-
другую (см. предложение 1.0.4). О
Аналогичным образом доказывается следующий факт.
3.3'. Если 0 -*¦ N' -*¦ N -*¦ N" ->¦ 0 — короткая точная последо-
последовательность, такая, что последовательность 0--M®N'-*~M®
® N-+М ® N" -*-0 также точна, то для любых u^Hp(G, M),
v^H"{G, N") в Hp+q+i(G, M®N') имеет место равенство
6(Ми !?) = (-l)'K^ 8v.
Утверждения 3.3 и 3.3' позволяют привлечь к изучению
^-умножения технику сдвига размерностей. Действительно, как
мы видели (см. упражнение 3 к § III.7), сдвиг размерностей
может осуществляться при помощи Z-расщепляющегося вложе-
вложения М -*¦ М.
3.4. Существование единицы. Элемент 1еЯ° (G, Z) = Z
удовлетворяет для всех и е H*(G, М) соотношениям 1ик = и =
= м <-> 1, в которых произведено очевидное отождествление
1,®М = М = М®% модулей коэффициентов.
Это следует из определений и следующих двух очевидных
наблюдений: (а) 1еЯ° (G, Z) представляется аугментацией
е, рассматриваемой как 0-коцикл комплекса Ж от a (F, Z)
(Ь) отображения F ® е, е® F: F ® F -*¦ F представляют собой
отображения резольвенты в резольвенту (см. § 1) и потому ин-
индуцируют тождественное отображение в когомологиях. Другое
возможное доказательство состоит в применении формулы Алек-
сандера — Уитни.
3.5. Ассоциативность. Для любых u; e H*(G, M{) (i= 1, 2, 3)
в H*(G, Mi ® M2® М3) имеет место равенство (щи2)иа =
Действительно, ассоциативность имеет место на коцепном
уровне — как равенство в Жотпв (F ® F ® F, Mi ® М2 ® М3). Другое
доказательство снова доставляет формула Александера — Уитни.
3.6. Коммутативность. Для любых u^Hp(G, M), v e
eH4(G, N) имеет место равенство uv = (—l)vq t* (vu), где t
обозначает канонический изоморфизм N ® М -*¦ М ® N.
Действительно, пусть т: F ® F -*¦ F ® F — цепной автомор-
автоморфизм, определяемый формулой т (х ® у) = (—l)deg *leg уу ® х —
см. упражнение 5 к § 1.0. Имеется коммутативная диаграмма
(F, M) <g> 36omG (F, Л^) -^ Жота (F<g>FrM® N)
(F, N) <g> 36omG (F, М) ^ Жотс {F ® F, N ® М),
левая вертикальная стрелка которой определяется формулой
*
132 гл- v- умножения
и <g>y>->- (— l)deBUde8"v®w.[ Когда вы будете проверять комму-
коммутативность этого квадрата, знак может поначалу показаться вам
неправильным; но не забудьте, что если aeg и Ф deg х, то
<м, хУ = 0.] Отображение т, будучи сохраняющим аугментацию
цепным отображением, индуцирует тождественное отображение
в когомологиях. Следовательно, правая вертикальная стрелка на-
нашей диаграммы индуцирует в когомологиях отображение t%, от-
откуда и вытекает утверждение 3.6.
Утверждения 3.4—3.6 показывают, что Я* (G, Z) есть ко-
сокоммутативное градуированное кольцо и что II* (G, М) есть
градуированный модуль над этим кольцом. В более общей ситуа-
ситуации, когда к есть произвольное коммутативное кольцо (для про-
простоты, с тривиальным действием группы G), мы имеем умно-
умножение
Я* (G, к) ® Я* (G, к) ^ Я* (G, к ® к) -> Я* (G, к),
делающее H*(G, к) косокоммутативноп градуированной А;-алгеб-
рой. (Ненадписанная стрелка индуцируется умножением к ® к ->-
-+-&.) Если при этом М есть frG-модуль, то H*(G, M) ость
II*(G, к)-модуль.
3.7. Естественность по отношению к групповым гомоморфиз-
гомоморфизмам. Для любого гомоморфизма а: Я ->- G и любых и е
^H*(G, M), v^H*(G, N) имеет место равенство a*(u^v) =
= а*и w a*v.
Это — немедленное следствие определений.
В частности, a*: H*(G, k)->~II*(H, k) есть кольцевой гомо-
гомоморфизм.
3.8. Взаимодействие с трансфером. Предположим, что Я^б
есть подгруппа конечного индекса. Тогда для любых и е
, M), veil*(H, N)
согн (resH (и) w v) = и w согн {v).
Это показывает, в частности, что если рассматривать Н*{Н, к)
как H*(G, А)-модуль со структурой, определяемой высечением
Я*(С, к) + Н*(Н, к), то трансфер Я*(Я, k)^H*{G, к) делает-
делается Н* (G, к)-гомоморфизмом.
Пусть F — проективная резольвента Z над 1G; мы докажем
утверждение 3.8 па коцепном уровне. Если ие Жот{Р, М)а
и v^2eom(F,N)H, то в 2eom{F ® F, M ® N)G
gee/н
[поскольку м есть G-инвариант] =
= U(g) S gV = UV
9/H
согн (rcsH (м) w у) =
S 3. w-УМНОЖЕНИЕ И «-.-УМНОЖЕНИЕ 133
Мы переходим к рассмотрению ^-умножения — другого внут-
внутреннего умножения, которое полезно при изучении двойственно-
двойственности (см. §§ VI.7 и VIII.10). Если F есть проективная резольвен-
резольвента Z над XG, то имеется цепное отображение
Г- Жота(Р, M)®((F®F)®oN)-+F®e{M®N),
действующее по формуле и®(х®у®п)^ (—l)de8ude**a: ® и(у)®п.
(Читатель может проверить непосредственно, что f кор-
корректно определено и представляет собой цепное отображение.
Другой путь состоит в апелляции к упражиепиям к § 1.0.
Именно, упражнение 7 (Ь) доставляет цепное отображение
Жота (F, М) -*- Жот ((F'® N) ®0 F, (F®N)®GM), действующее
по формуле и <-*¦ idj?®jy ® и- В силу упражнения 6 (Ь) послед-
последнее соответствует цепному отображению
Жото{Р, M)®{(F®N)®eF)^(F®N)®GM,
которое, по модулю отождествлений (F ® N) ®G F = (F ® F) ®G N
и (F® N)®GM = F®G(M® TV), есть в точности у. К этим ото-
отождествлениям можно npniiTH, манипулируя тройными тензор-
тензорными произведениями, как в доказательстве предложения
Ш.2.2.1
Если u^2%omG(F, MY = MomG{F, M)-p и z^(F®F)q®GN,
то if(u®z) есть элемент группы Fq-P ®G (M ® N). Этот элемент
обозначается через и ^ z и называется /^-произведением и и 2.
То же обозначение и то же название употребляется для индуци-
индуцированного умножения
H>(G, M)®Hq{G, 7V)->//,_p(G, M®N).
Подобно "--умножению, -^-умножение можно вычислять при по-
помощи единой резольвенты F и диагональной аппроксимации
Д: F'-> F ® F. Именно, надлежит взять композицию отображения
If с отображением
id®(A®id): 3eomG(F, M)®(F®GN)-+
->Жота(F, M)®((F®F)®aN).
Мотивировкой для рассмотрения -^-умножения может слу-
служить то несколько неожиданное его свойство, что оно сопряжено
"-"-умножению в смысле, который мы сейчас объясним. Рассмот-
Рассмотрим «отображение значений»
Жотв (F, M) ®(F®GN)-+M ®o /V,
определяемое формулой и (g) (x (g) п) >-* и (х) ® п. Образ произведе-
произведения u®z при этом отображении мы обозначаем через <и, z>.
[Это отображение значений отличается от аналогичного отобра-
отображения из упражнения 3 к § 1.0 лишь тем, что мы тянем за
собой множитель N.] Отображение значении есть цепное ото-
отображение, т. е. <бм, z> + (—l)desu<u, dz) — 0; таким образом,
134 гл- v- умножения
возникает индуцированное спаривание
H»(G, M)®HP{G, N)-+M®GN,
обозначаемое по-пре.жнему символом <—, —> и не зависящее от
выбора резольвенты. И непосредственно из определений следу-
следует, что для любых ue=Hp(G, Mi), ve=Hq(G, M2), z^Hp+q(G,Ms)
имеет место следующая формула сопряжения:
C.9) (и v v, z> = <и, v <~v z>.
(Обе части последнего равенства лежат в (Мк ® Мг ® М^)а.)
В частности, полагая « = 1еД'(С, Z), мы приходим к следую-
следующему утверждению.
3.10. Для любых vesH*(G, М) и ze//,(G, N) в Я,(С, М®
® N) = M ®GN имеет место равенство v <-> z = <.v, z>.
Формулировку и доказательство свойств «"«-умножения, ана-
аналогичных свойствам 3.1—3.8, мы оставляем читателю.
Упражнения
1. Покажите, что если те H°(G, *)=*°и«е H?(G, N), то т^ и—
= fm(u), где /щ есть отображение H*(G, N)-+H*{G, M®N), индуцирован-
индуцированное коэффициентным гомоморфизмом п*-> т ®п. [Указание. Восполь-
Воспользуйтесь утверждениями 3.2 и 3.4.] Сформулируйте и докажите аналогичное
описание ^-умпожения H°(G, M) ® Hq{G, N) -+Hq(G, M® iV).
2. Используя диагональную аппроксимацию, указанную в упражнении
к § 1, вычислите все «^-произведения в H*(G, —), где G — конечная группа.
3. Пусть G — конечная группа, действующая свободно в S2h~l, как в
§ 1.6.
(a) Для произвольного G-модуля М покажите, что существует итери-
итерированное кограничное отображение d: H*(G, M) -+Hi+ih(G, M), которое яв-
является изоморфизмом при i > 0 и эпиморфизмом при I = 0. [Указание.
Тензорно умножьте последовательность A.6.1) на М, разбейте полученную
последовательность на короткие точные последовательности и примените
нужное число раз сдвиг размерностей.]
(b) Покажите, что существует такой элемент uetPh(G, Z ), что «ото-
«отображение периодичности» d из (а) для любого v^H*(G, M) определяется
JopMynofi ii(p) =i*ui'. [Указание. Из утверждения 3.3 вытекает, что
(w \^i v) = dw w v для любых w е Н* (G, Z), не Н* (G, М); положите
w = 1.]
(c) Вычислите при помощи (Ь) кольцевую структуру в Я* (G, 2) для
конечной циклической группы G.
4. Пусть G — циклическая группа порядка А. Для т е 2п рассмотрим
эндоморфизм а(т) группы G, задаваемый формулой a(m)g = gm. Вычисли-
Вычислите а(т)*: #*(G,Z) -*¦ Н* (G, Z). [Указание. Ииформация о кольцевой
структуре в Я* (G, Z), которую мы получили, решая упражнепия 2 и 3(с),
показывает, что достаточно вычислить а(т)* на-ff2 (G, Z). А это можно
сделать без всяких вычислений, пользуясь изоморфизмом Я2 (G, Z) «
« Ext (ЛXG, Z), доставляемым формулой универсальных коэффициентов,
или используя интерпретацию И2 в терминах групповых расширений.]
5. При помощи упражпения 4 и теоремы III.10.3 вычислите целочислен-
целочисленные когомологии симметрической группы третьего порядка.
§ 4. КОМПОЗИЦИОННЫЕ УМНОЖЕНИЯ 135
§ 4. Композиционные умножения
В гл. III мы многократно сталкивались с тем фактом, что
для вычисления Я$ (G, —)и H*(G, —) могут быть использованы
различные цепные комплексы. Вот еще один подобный пример.
4.1. Лемма. Пусть е: F-»-Z и е': F'->• Z — резольвенты Ъ
над "ZG, причем комплекс F проективен, а комплекс F'
Z -свободен. Тогда для любого G-модуля М отображение е' ® М:
F'^M-*-X®M = M индуцирует слабые эквивалентности
F®e(F'®M)-+F®GM и 2%omG(F, F' ® Л/)-> 3%omG(F, M). Сле-
Следовательно,
Я* (G, M)ttH*{F®G {F' ® М))
Я* (G, М)« Я* (Жотъ (F, F' ® М)).
Доказательство. Мы уже замечали в § Ш.2, что е' ®
® М: F' ® М' -*¦ М есть слабая эквивалентность. Лемма вытекает
поэтому из теорем 1.8.5 и 1.8.6. П
Заметим, что последний изоморфизм леммы 4.1 может быть
записан в виде H*{G, ЛГ)« [F, F' ® М]*, где [F, F' ® MJ" =
= [F, i5" ® Л/J-n есть группа гомотопических классов цепных
отображений степени — п комплекса F в комплекс F' ® М (см.
§ 1.0). Значение этого факта состоит в том, что он позволяет
строить умножения, беря композиции цепных отображений. На-
Например, если положить М = Z и F = F', то наш изоморфизм
примет форму Я* (G, Z)« [^, i5"]*. Так как из гомотопиче-
гомотопических классов цепных отображений можно составлять композиции,
мы получаем композиционное умножение
Я* (G, Z) ® Я* (G, Z) -* Я* (G, Z).
Более общим образом, пусть е: F->X, &''¦ F'-*-X и е": F"-^-
-*• Z — резольвенты Z над ZC, причем резольвенты F и F'
проективны, а резольвента F" Z-свободна. [На практике мы бу-
будем сталкиваться либо со случаем, когда резольвента F" также
проективна, либо со случаем F" = %.] Для любых G-модулей
М, N имеется коцепное умножение
D.2) 2/вота(Ff, F" ®М)®Жото(F, F'®N)-+
F, F" ®M®N),
определенное формулой и (gi v >-+ (и (gi idjy) ° v, где и е Жото (F',
F" ®M), v^3eomo(F, F'®N):
F-^F' ®N -^i F" ® M (8) N.
Легко видеть, что D.2) есть цепное отображение (ср. упражне-
упражнение 4 к § 1.0); благодаря лемме 4.1 возникает индуцированное
136 гл- v- умножения
когомологическое умножение
D.3) Я*(G, M) ® Я* (G, N) -> II* (G, M®N),
также называемое композиционным умножением. Оно корректно
определено и не зависит от выбора резольвент.
Аналогичным образом имеется умножение
D.4) Жотв(F\ F" ®M)®{F®G{F'® N))-+F ®G(F" ® M ® N),
определяемое формулой
где u^3eomG(F', F"®M), x^F, x'e=F', neN. Повторяя рас-
рассуждения, сопровождавшие определение -^-умножения, можно
проверить, что D.4) есть цепное отображение; благодаря лемме
4.1 возникает индуцированное умножение
D.5) Я* (G, М) ® Я* (G, iV) -> Н* (G, М ® Л^).
Следующее утверждение, хотя оно и не является неожидан-
неожиданным, оказывается полезным.
4.6. Теорема. Умножения D.3) и D.5) совпадают соот-
соответственно с ^-умножением и г\-умножением.
Доказательство. Рассмотрим коцепное композиционное
умножение D.2) с F = F' и F" = Z:
(*) Жотпа (F, М) ® Жота {F, F®N) -> Ж>тос (F, M ® iV).
Слабая эквивалентность а = Ж>»гс (F, в® N): Жотпа (F, F® N)^»
-*a@oma(F, N) из леммы 4.1 превращает его в умножение D.3).
Чтобы сравнить умножение D.3) с «---умножением, нам было бы
желательно найти слабую эквивалентность, обратную к а, т. е.
построить отображение a': a/6oma{F, N)-*-36oma(F, F®N), ко-
которое индуцирует в когомологиях изоморфизм, обратный к изо-
изоморфизму, индуцируемому а. Такое а' позволило бы нам пре-
превратить (*) в коцепное умножение
(* *) Жотпо {F, М) ® Жотпс (F, N) -+ Жот0 (F, M®N)
— достаточно взять композицию умножения (*) с
id®a': 3%ome(F, M)®3%omG(F, N)-+
Р, M)®2eomG{F, F®N).
Оказывается, что такое отображение а' можно построить при
помощи диагональной аппроксимации A: F -*¦ F ® F. Именно, в
качестве а' можно взять композицию
idp® — о д
(F, N) * 2eomG (F ®F,F®N) > Жота (F, F ® iV),
т. е. можпо положить а'(и) — (idF ® и) ° А. Очевидное вычис-
вычисление показывает, что аа': Жотв(Р, N) -*¦ Жота{Р, N) есть
§ 4. КОМПОЗИЦИОННЫЕ УМНОЖЕНИЯ 137
отображение
и I-»- (e <g> idjy) ° (idp (g> м) ° А = (е ® и) ° Д.
Но это есть не что иное, как и >-»¦ е w и; поскольку коцикл е
представляет le H°(G, Z), мы видим, что отображение а дей-
действительно является слабым обратным к а.
Таким образом, мы имеем коцепное умножение (**), инду-
индуцирующее композиционное умножение в когомологпях, и это
коцепное умножение действует по формуле
и ® v ь*. (и <g) idjy) о а' (у) = (и ® idjy) (idi? ® у) Д =
= (w ® w) Д = и *и v,
где последнее обозначает коцепное ^-произведение, определен-
определенное посредством Д. Таким образом, композиционное умножение
в когомологиях совпадает с «-'-умножением.
Доказательство того, что умножение D.5) совпадает с «^-ум-
«^-умножением, аналогично и даже проще. На этот раз мы рассмат-
рассматриваем отображение D.4) с F = F' и F" = Z и ищем слабое
обратное $': F®0N-+F®a{F®N) для слабой эквивалентности
§ = F®%®N: F®e(F®N)-+F®aN из леммы 4.1. Оказывается,
что в качестве [}' можно взять просто А ® N. Действительно,
композиция (F ® г ® N) ° (А ® N): F®0N-+F®GN есть отобра-
отображение вида т ® N, где т: F -»- F — цепное отображение, сохра-
сохраняющее аугментацию и потому гомотопное тождественному
отображению. Далее мы превращаем при помощи р' умножение
D.4) в умножение
, M)®(F®eN)-+F®e(M® N),
и совершенно очевидно, что на цепном уровне последнее умно-
умножение совпадает с ^-умножением, определяемым посредством
Д. ?
В заключение мы заметим, что методы этого параграфа по-
позволяют определить композиционные умножения
4.7) ExtS(M\ M") (8) Ext?(M, M')->Ext?(M, M")
и
D.8) Ext*G (М', М") (8) Тог? (М, М') -> TorS (М, М")
для любых G-модулей М, М', М". Для этого нужно выбрать под-
подходящие резольвенты F, F', F" этих трех модулей и определить
отображения 3%ome(F', F")®3^omG(F, F')-+2MomG(F, F") и
3eome(F', F")®(F®oF')-+F®oF", аналогичные отображениям
D.2) и D.4). Умножения D.7) и D.8) тесно связаны с умно-
умножениями D.3) и D.5), но никакое из них не является специаль-
специальным случаем другого. Например, умножение D.3), которое, как
мы теперь знаем, не отличается от ia-умножения, может быть
138 гл- v- умножения
записано в виде
ExtS(Z, M) ® ExtS(Z, iV)->ExtS(Z, M
Это включается в рамки D.7) в важном специальном случае
N = Z, но не в общем случае. С другой стороны, мы знаем, что
группы Ext из D.7) в случае, когда М и М' Z-свободны, мо-
могут быть представлены как когомологические группы (см. пред-
предложение III.2.2), так что в этом случае мы можем надеяться
выразить умножение D.7) через "-"-умножение, но в общем слу-
случае такой возможности не видно.
Заметим, кстати, что умножения D.7) и D.8) могут быть
определены для групп Ext и Тог не только над групповыми
кольцами, но и над произвольными кольцами. Нужно только не
путать, какие модули должны быть левыми, а какие — правыми.
Упражнения
1. Восстановите детали определений умножений D.7) и D.8).
2. Выразите умножение D.7) через ^-умножение в случае, когда мо-
модули М и М' Z-свободны. Выразите умножение D.8) через ^-умножение
в случае, когда модуль М' Z-свободен, а модуль М не имеет Z-кручения.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой 4.6.]
§ 5. Умножение Понтрягина
Если G есть а бе лев а группа, то умножение GXG-+G
есть групповой гомоморфизм. Мы используем этот гомоморфизм
для определения внутреннего гомологического умножения, на-
называемого умножением Понтрягина. Для простоты мы ограни-
ограничимся случаем, когда модуль коэффициентов есть коммутативное
кольцо к с тривиальным действием группы G. Более общий слу-
случай обсуждается ниже в упражнении 1.
Умножение Понтрягина в Н* (G, к), где G — абелева груп-
группа, определяется как композиция
Я* (G, к) ® Я* {G, к) -3- Я* (G X G, к <g> к) ^ Я* (G, к),
где \х: (GXG, к® к)-+ (G, к) есть умножение ((g, g') '->¦ gg'
X <g) к' >-»¦ KK' Чтобы вычислить это умножение в терминах про-.
ективной резольвенты F модуля Z над ZG, нам требуется
сохраняющее аугментацию цепное отображение т: F ® F ->- F,
согласованное с умножением GXG-+ G, т. е. удовлетворяющее
соотношению x(gx ® g'y) = gg'x(x ® у). Другими словами, мы
должны построить ZG-билинейное умножение в F, такое, что
(а) е(ху) = е(х)е(у) и (Ь) д(ху) = (дх)у + (-1)йе11Ххду, где ху =
= %(х®у). (Для краткости мы будем называть ZG-билиней-
ные умножения в F, удовлетворяющие условиям (а) и (Ь),
допустимыми умножениями.) Такое умножение индуцирует к-
билинейное умножение в F®ek, которое, в свою очередь, инду-
§ 5. УМНОЖЕНИЕ ПОНТРЯГИНА 139
цирует умножение Понтрягина в H%(G,k). Можно проверить
аналогично тому, как мы делали подобное при доказательстве
утверждений 3.4—3.6, что это умножение делает Н* (G, к) ас-
ассоциативной косокоммутативной градуированной fc-алгеброй с
единицей.
В случае, когда F есть стандартная резольвента, в F имеется
каноническое допустимое умножение, называемое перетасовыва-
перетасовывающим умножением. Оно происходит от теоремы Эйленберга —
Зильбера в алгебраической топологии (см. Маклейн [1963],
VIII.8, Х.12) и в нашем контексте принимает следующую фор-
форму. Пусть 9"п — группа перестановок множества {1, ..., п); име-
имеется естественное ZG-линейное действие группы 9"л в Fn, опре-
определяемое формулой
Если п = р + q, то элемент о группы 9"п называется (р, q) -пере-
-перетасовкой, если a(i)< o(j) при 1 < i <; < р и при р + 1 < i < / =^
< р + q. (Такую перестановку можно представлять себе как
перетасовку колоды из р карт с колодой из q карт, при которой
карты каждой колоды сохраняют свой порядок.) Перетасовыва-
Перетасовывающее умножение в F определяется теперь как ZG-билинейное
умножение, такое, что
где a пробегает все (р, q) -перетасовки. Можно проверить, что
это умножение, в дополнение к тому, что оно допустимо, явля-
является ассоциативным, косокоммутативным и обладает единицей.
Поскольку F не имеет Z-кручения, косая коммутативность вле-
влечет за собой строгую косую коммутативность, т. е. равенство
х2 = 0 при нечетном degx. Следовательно, и F ®вк строго косо-
коммутативно. Мы получаем следующее утверждение.
5.1. Предложение. Для любой абелевой группы G и лю-
любого коммутативного кольца к кольцо Н% (G, к) строго косоком-
мутативно.
[В противоположность этому, когомологическое кольцо
H*(G, k), вообще говоря, не является строго косокоммутативным.
Попытка доказать его строгую косую коммутативность предыду-
предыдущим методом не проходит из-за того, что коцепное умножение
Александера — Уитни является косокоммутативным лишь с точ-
точностью до гомотопии.]
Теперь мы приведем некоторые другие примеры резольвент
с допустимыми умножениями.
5.2. Пример. Пусть G — бесконечная циклическая группа
и F — резольвента A.4.5). Пусть 1 и а: обозначают %G -базис-
-базисные элементы в размерностях Oil соответственно. Мы полага-
полагаем 1-1 = 1, 1-ж = ж-1 = ж и ж2==0,;и ничего не стоит прове-
140 гл- v- умножения /
рить, что это умножение допустимо. (Заметим, что, как Т&-
алгебра, F есть просто внешняя алгебра А(х) с одной образую-
образующей х степени 1.)
Наш следующий пример использует понятие алгебры разде-
разделенных полиномов, которая определяется следующим образом.
Рассмотрим элементы у{ц=у4п (i>0) кольца Q[y]. Очевид-
Очевидно y{i>ya)=(i, 1)yii+'\ где (i, /) есть биномиальный коэффициент
[ '. ] = (i+ /)!/?!/!, так что Z-подмодуль кольца Q[y], по-
порожденный yw, является подкольцом. Это кольцо обозначается
через Т(у) или Гг(^) и называется кольцом разделенных по-
полиномов (над Z) от одного переменного у. В более общей
ситуации, когда R есть произвольное кольцо, .fi-алгебра R®T(y)
называется алгеброй разделенных полиномов над R от одного
переменного у и обозначается снова через Т(у) или через Та(у).
Мы будем рассматривать Т(у) как градуированное кольцо, счи-
считая, что deg у — 2.
5.3. Пример. Пусть G есть конечная циклическая группа,
и пусть F есть резольвента A.6.3) с одним ZG-базисным эле-
элементом е( в размерности i, de2i — NeZi-1 (i>0) и de2i-i =
= (t—l)e2i-2- Определим в F 1G -билинейное умножение фор-
формулами
(a) вг,-ву = A, i)e2i+Ih
(b) e2ie2ji_l = (i, j)e2l+2j+l = e2j+le2i,
(c) e2,4-ie2j+i = 0.
Таким образом, как ZG-алгебра, F есть просто Л(ех) 0гв Г(е2).
[Напомним, что если А и В — градуированные алгебры над ком-
коммутативным кольцом R, то их градуированное тензорное произ-
произведение A®RB есть градуированная алгебра с умножением
(о® b){a' ®b') = (-ifegbdesa'aa'®bb'.] Можно проверить, что
это умножение в F допустимо; кроме того, оно ассоциативно,
косокоммутативно и обладает единицей.
Замечание. Вышеописанное умножение в F имеет следу-
следующую мотивировку. Пусть х = ei и у = е2. Предположим, что мы
хотим, чтобы наше умножение было ассоциативным и косоком-
мутативным, чтобы е0 было для него единицей и чтобы оно
удовлетворяло следующему дополнительному условию: (d) xe2i =
= e2i+1. Запишем yi — cieli, где с, — неизвестный элемент 7LG.
Тогда д(у*) — Cid(e2i) = CiNe2i-t. С другой стороны, из допусти-
допустимости и условия (d) следует, что
Таким образом," должна' быть c.TV = ic^iN. Наиболее очевидный
способ удовлетворить это* равенство1 состоит в том, чтобы в!зять
§ 5. УМНОЖЕНИЕ ПОНТРЯГИНА 141
ct = V.,\vi тогда будет ец = уЧй Формулы (а) — (с) вытекают от-
отсюда немедленно.
5.4.]Пример. Предположим, что F и F' — резольвенты с
допустимым умножением для G и G'. Тогда легко проверить, что
F ® F' есть резольвента с допустимым умножением для G X G',
где, как обычно,
(х ® х') (у ® у') = (- l)deg *' deg " ху ® х'у'.
Комбинируя примеры 5.2—5.4, мы можем выписать резоль-
резольвенту с допустимым умножением для любой конечно порожден-
порожденной абелевой группы G.
Наконец, при помощи примера 5.4 мы можем связать умно-
умножение Понтрягина с Х-умножением. Если F и F' обозначают
то же, что в 5.4, то имеется цепной изоморфизм
E.5) (F ®Gк) ®h(F' ®G,k)^(F® F') ®GXG' *,
задаваемый формулой (х ® X) (g) (х' ® X') >-» (х (g) x') (g) KK''. Для
ге? ®сЛи z' e F' ®G> к мы обозначаем через zXz образ z ® ъ'
при этом изоморфизме. Как и в § 2, возникает индуцированное
гомологическое Х-умножение
E.6) Я* (<?, к) ®k H* (G', к) ^H*(GxG', к).
5.7. Предложение. Если G и G' — абелевы группы, то
Х-умножение E.6) является к-гомоморфизмом. Более того,
zX z' = i^z-Uz' для любых геЯ, (G, к) и z' e Я* (G', к), где
i: G-+GXG' и i': G' -*- G X G' — включения.
Доказательство. Первое утверждение представляет со-
собой легкое следствие сказанного в 5.4. Поскольку z ® z' =
= (z®l)(l®z'), мы получаем, в частности, что z X z =
=. (z X 1) A X z'). Я утверждаю, что z X 1 = t*z; действительно,
в силу естественности Х-умножения, это утверждение достаточно
проверить в случае G' = 1, а в этом случае оно очевидно. Анало-
Аналогичным образом 1 X z' = i*z'\ предложение доказано. О
Мы получаем теперь следующую формулу Кюннета.
5.8. Следствие. Если G и G' — абелевы группы и к —
кольцо главных идеалов, то существует расщепляющаяся точная
последовательность
0+ ф Hv(G,k)®kHq{G',k)^Hn(GxG',k)^
p+q=n
- 0 Тог? (Яр (G, к), Hq (G\ к)) -*• 0,
p+q=n-l
в которой n(z ® z') = i^z-Uz'.
Доказательство. Ввиду изоморфизма E.5) и теоремы
Кюннета для цепных комплексов мы имеем расщепляющуюся
142 гл- v- умножения /
точную последовательность указанного вида, в которой ш есть
Х-умножение E.6). [Это верно даже для неабелевых G jvi G'.]
Теперь остается применить предложение 5.7. О <
Упражнения
1. Напомним, что если R есть коммутативное кольцо, то для лю-
любых Д-модулей М и N тензорное произведение М ®д N обладает структурой
й-модуля, определенной формулой г(т ® п) = гт ® п = т ® т. В част-
частности, это верно, когда й= T.G, где G — абелева группа. Возникающее тен-
тензорное произведение М ®%qN не следует путать с тензорным произведе-
произведением M®GN= (M®N)G, которое мы ввели в § Ш.О для произвольной
группы G. [Подчеркнем, что хотя это тензорное произведение M®zg-^
как абелева группа совпадает с (М ® N) с, группа G действует в нем а н-
тидиагональным образом.]
(a) Покажите, что если группа G абелева, то имеется умножепие Понт-
рягина Я» (G, М) ® Я» (G, N) ->- Я* (<?, М ® ZG N).
(b) Приведите пример ситуации, в которой М ®%qN qb M ®G N. [Ука-
[Указание. Возьмите за G циклическую группу третьего порядка и положите
М = N = Z? с нетривиальным действием группы С]
2. Сформулируйте и докажите предложение, аналогичное 5.7 и выража-
выражающее когомологоическое Х-умиожение через w-умножение.
3. (а) Покажите, что гомологии коммутируют с переходом к прямому
пределу. Точпее говоря, пусть (Ga)a<=n есть прямая система групп, где D
есть направленное множество, и пусть G =lim Ga. Для любого <?-модуля М
мы имеем согласованное семейство отображений Нц (Ga, М\ -*¦ Н% (G, М)
(a&D) и, значит, отображение (р: lim H»(Ga, M)-^H^(G, M). Нужно до-
доказать, что <р есть изоморфизм. [Указание. Используйте стандартную ре-
резольвенту.]
(Ь) Докажите предложение 5.1, не привлекая перетасовывающего ум-
умножения. [Указание. При помощи (а) сведите общий случай к случаю
конечно порожденной группы G.]
4. Пусть п = р + q + г. Введите понятие (р, q, r)-перетасовки и дока-
докажите, что трехкратное перетасовывающее умножение в бар-резольвенте оп-
определяется формулой
[*! | ..• Up] • [gp+1 | • • • | 8, + ,] ¦ [Sp+q+1 I • • • | gp+q+r] =
о
где о пробегает все (р, q, г)-перетасовки. Обобщите этот результат.
§ 6. Применение: вычисление гомологии абелевой группы
Для любой абелевой группы G имеют место равенства
Hi (G, к) = Hfi ® k = G® к. Поэтому мы можем строить элементы
группы Я* (G, к), беря произведения в смысле § 5 элементов
из G ® к. (В случае к = Ъ читатель уже видел эту конструкцию
в упражнении 1 к § П.З.) Наша главная цель в этом парагра-
параграфе — показать, что (по меньшей мере, если к есть кольцо глав-
главных идеалов) эти произведения не связаны никакими соотно-
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ 143
шениями, не проистекающими из того факта, что Н% (G, к)
есть ciporo косокоммутативная А;-алгебра. Мы начнем с обсуж-
обсуждения понятия внешней алгебры, которое позволит нам точно
сформулировать этот результат.
Пус^ь к — произвольное коммутативное кольцо и V — неко-
некоторый ^-модуль, и пусть Тр (V) = V ® ... ® V (р сомножителей),
где ® = ®к. (Мы принимаем соглашение, что T"(V) = k.)
В T*(V) имеется очевидное /с-билинейное умножение, задаваемое
приписыванием тензоров друг к другу и делающее T*(V) гра-
градуированной ^-алгеброй. Внешнюю алгебру над F, обозначаемую
через A*(V) или Ah(V), мы определяем как факторкольцо
кольца T*(V) по двустороннему идеалу, порожденному элемен-
элементами вида и®!;еГG). Иначе говоря, AP(V) есть фактормо-
дуль TP(V) по ^-подмодулю, порожденному элементами вида
Vi ® ... ® vp, такими, что vt = vi+i при некотором i. Произведения
в Л*(У) обозначаются иногда символом х /\у.
Очевидно A°{V) = k и Л'G)= V; более того, AJ(F) порожда-
порождает A*(V) как ft-алгебру. Поскольку образующие v^V = Al(V)
удовлетворяют соотношению v2 = 0 по определению, легко ви-
видеть, что алгебра A*(V) строго косокоммутативна. Более того,
из определения немедленно вытекает, что A*(V) обладает сле-
следующим универсальным свойством.
6.1. Если А* есть строго косокоммутативная градуированная
А-алгебра, то всякое ^-отображение V -*¦ А1 единственным обра-
образом продолжается до мультипликативного ^-отображения
где вертикальная стрелка обозначает включение.
Таким образом, Л*(У) есть строго косокоммутативная &-ал-
гебра, «свободно порожденная» V. Для нас наиболее существен-
существенны следующие два свойства функтора внешней алгебры.
6.2. Л*(У1Ф72)«Л*(У1)®Л*(У2). Подробнее, пусть U:
A*(V1)->A*(V1® v2) и U: Л* (F2) - Л* (V, Ф V2)- отображения,
индуцированные каноническими вложениями Fj -*¦ Vi ® Fa и
У2 — Vi ® У,, и пусть <р: Л*(У4) ® A*(F2) -*Л*(У. © У,) - ото-
отображение, действующее по формуле ц>(х ® г/) = ^дг -i2y. Тогда ф
есть изоморфизм.
Для доказательства рассмотрим ^-отображение F4 ® У» -*•
-»- Л* (F4) ® Л* (F2), определяемое формулами ух ¦-»¦ i?x ® I, i?2 >-v
>-*¦! ® v2 (^eFj). В силу свойства 6.1 это отображение про-
144 гл-v- умножения /
должается до мультипликативного отображения 1
A*(Vi®V2)^A*(Vi)®A*(Vi), I
которое, очевидно, обратно к ф. П /
6.3. Пусть (Va)aeD — прямая система А;-модулей, где D — на-
направленное множество. Тогда A*(limFa) « ПтЛ* (Va). Подроб-
Подробнее, канонические отображения Va —>¦ lira Va индуцируют согла-
согласованное семейство отображений Л* (Fa) -кЛ.* (Hm Va) и, сле-
следовательно, отображение ф: limA*(Fa)->A*(limFa); это ото-
отображение ф является изоморфизмом.
Действительно, включения Fa->-A*(Fa) индуцируют к-ото-
бражение lim Fa->lim A* (Fa). В силу 6.1 оно продолжается
до мультипликативного отображения A*(limFa)->-lim A* (Fa),
которое обратно к ф. П
Свойства 6.2 и 6.3 позволяют дать следующее конкретное
описание A*(F) в случае, когда V есть свободный Л-модуль. Вы-
Выберем в V базис (x,)iei с линейно упорядоченным /; тогда /с-ба-
зис в AP{F) Соогавляют мономы х^... xip, ij < ... < ip. Часто
пишут A*(V) = A*(xt)tsJ.
Возвращаясь к изучению гомологии Н% (G, к) абелевой груп-
группы G, мы замечаем, что изоморфизм G® k-*- Hi{G, к) продол-
продолжается, согласно 6.1, до мультипликативного ^-отображения
ty :A* (G ® к)->• Н% (G, к), которое является изоморфизмом в
размерностях 0 н 1. Очевидно, но важно, что af> есть естест-
естественное отображение одного функтора от G в другой.
6.4. Теорема. Предположим, что к есть кольцо главных
идеалов.
(a) Для любой абелевой группы G отображение ty'>A* (G®k)—>¦
->H*{G, k), является мономорфизмом, а если группа G конечно
порождена, то оно является расщепляющимся мономорфизмом.
(b) Предположим, что всякое простое р, такое, что группа G
имеет р-кручение, обратимо в G; тогда г|> есть изоморфизм.
(c) Если к имеет характеристику 0 (например, k = Z), то ф
есть изоморфизм в размерности 2.
Заметим, что предположения, выставленные в (Ь), выполне-
выполнены, в частности, если к = Q или если к = ZP и G не имеет
р-кручения, или если к = Z и G не имеет кручения.
Доказательство теоремы 6.4. Предположим сначала,
что G — циклическая группа. Тогда Ap(G®k) = 0 при р>1, так
что утверждение (а) выполнено тривиальным образом. В пред-
предположениях утверждения (Ь) при р>\ и HP(G, J;) = 0 в силу
вычислений из § III.1, так что гр есть изоморфизм. Те же вы-
: § 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ
числения показывают, что если char к = 0, то H2(G, k) = 0, так
что (с) также выполняется.
Предположим теперь, что группа G конечно порождена и яв-
ляетсядтаким образом, конечным прямым произведением цикли-
циклических ррупп. Применяя индукцию по числу циклических сомно-
сомножителей, мы можем считать, что G = GiXG2 и что теорема уже
доказана для Gi и G2. Рассмотрим диаграмму
Л* (Gx ® к) ®ftA* (G2 ® к) -| Л* (G ® к)
(G2, к) Д- Я,, (G, А),
где ф есть изоморфизм пз утверждения 6.2 и ^ есть расщепляю-
расщепляющийся изоморфизм пз последовательности следствия 5.8. Вспо-
Вспоминая определения ф и fi и используя естественность гр, мы ви-
видим, что эта диаграмма коммутативна. Так как по предположе-
предположению ty(Gi) и ty(Gz)— расщепляющиеся мономорфизмы, из ска-
сказанного вытекает, что и ty(G) есть расщепляющийся мономор-
мономорфизм, откуда вытекает (а). Предположим теперь, что выполнены
предположения, выставленные в (Ь). Тогда они выполнены так-
также для G, и G2, так что i|:(C?i) и ty(G2) — изоморфизмы. Так как
d ® к есть свободный /с-модуль (базисные элементы которого
соответствуют бесконечным циклическим сомножителям группы
Gi), то и H^iGi, к) есть /с-свободный модуль. Поэтому в форму-
формуле Кюннета пропадает член, содержащий Тог, ц есть изоморфизм
и утверждение (Ь) выполнено. Аналогично и. всегда есть изо-
изоморфизм в размерности 2, поскольку в Тог обязательно входит
Но ( —, к) = к. Предполагая теперь, что char к — 0, мы видим,
что ty(Gi) и i|)(G2) — изоморфизмы в размерностях ^2, откуда
вытекает (с).
Наконец, произвольная группа G есть прямой предел своих
конечно порожденных подгрупп Ga. Поэтому мы имеем диа-
диаграмму
lim Л* (Ga ® к) 4- Л* (G ® ft)
lira Я* {Ga, к)^>Н* {G, к),
в которой ф есть изоморфизм в силу свойства 6.3, а необозна-
ченный изоморфизм есть изоморфизм из упражнения 3(а) к § 5.
Как и предыдущая диаграмма, эта диаграмма является комму-
коммутативной в силу естественности if>, откуда немедленно вытекает
наша теорема. В
10 К. С. Браун
146 гл- v- умножения
/
Если группа G обладает р-кручением и р не обратимо в к,
то ситуация становится более сложной. Мы ограничимся для про-
простоты случаем к = Zp, и даже в этом случае мы не сможем
углубляться в подробности. Более детальное изложение, а также
вычисление Н *(G, Z) см. Картан [1954/55]. I
Напомним (см. пример 5.3), что если G есть конечная цикли-
циклическая группа с образующей t, то имеется свободная резольвен-
резольвента F вида Л (х) ® zg Г (у), где degx = 1, deg у = 2, дх = (t — 1) • 1
и dy = Nx. Если р — простое число, делящее |G|, то F <S>g Zp =
= Л(х) ® Ту), где дх = О и ду = О, причем Л, ® и Г берутся
теперь над ( ZP; следовательно, H*(G, ZP) = Л(х) ® Г (г/). Таким
образом, в Я* ((?, Zp), наряду с внешней частью, кото-
которую мы обследовали в теореме 6.4, присутствует двумерная об-
образующая у и ее разделенные степени yil). Это подсказывает, что
гомологии абелевой группы должны иметь, наряду с кольцевой
структурой, структуру «разделенных степеней». Сейчас мы точно
объясним, что это значит.
Пусть А=(Ап)п>0 — строго косокоммутативное градуирован-
градуированное кольцо. Под системой разделенных степеней в А мы пони-
понимаем семейство отображений Агп^Агщ (тг>0, г 3=0), обозна-
обозначаемых х >->. х^ и обладающих следующими свойствами.
(а) ж@> = 1, xw=x.
(b) *">*«>=(*, i)x™\ где (i, j) = (t + j)\/l\J\,
(c) (х + !/)(i) = 2 ^Ы"\
(а\ ( \<») __ I 0» если degx и degi/ нечетны иг>2,
\ М — | х«г/({), если degx и deg у четны и degj/>0.
(е) (x(i>)<J) = еох(У), если i, j > 0, где
Если в Л задан дифференциал 9 (который, как всегда, пред-
предполагается удовлетворяющим соотношению д(ху) = дх ¦ у +
+ (— l)ieexx ду), то мы накладываем также требование
(f) 3x(i)=x(i-1)9x при i>0.
Заметим, что из (f) следует, что если х есть цикл, то и х<1>
есть цикл. Тем не менее, система разделенных степеней в А не
индуцирует, вообще говоря, никакой системы разделенных сте-
степеней в Н^А— см. ниже упражнение 3.
Работая с разделенными степенями, часто бывает удобно вво-
вводить формальный степенной ряд etx = 2i>ox *'' где t — фор-
формальное переменное. Формула (с) принимает тогда вид etlx+y) —
= e'xety, т. е. показывает, чтох-*е/;х; есть гомоморфизм аддитив-
аддитивной группы А2п (п>0) в мультипликативную группу формаль-
формальных степенных рядов 1 + у it + y2t2 + ... с у{ <= A2ni.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИИ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ 147
6.5.\ Примеры. 1. Если А есть строго косокоммутативная
Q-алгёбра, то А допускает систему разделенных степеней x{i) =
= xi/i\. (Более того, это — единственная система разделенных сте-
степеней д|ая А, поскольку, как это следует из (а) и (Ь), в любой
алгебре р разделенными степенями xxu~l) =jxi3) и, следовательно,
я* = *!*<".
2. Пусть a: R->- S — гомоморфизм одного коммутативного
кольца в другое, и пусть А — (строго косокоммутативная) гра-
градуированная Л-алгебра с системой разделенных степеней. Тогда
5-алгебра S®BA, полученная из А расширением скаляров, об-
обладает единственной системой разделенных степеней, такой, что
A ® x)(i) = 1® xw. Действительно, в силу (d) мы должны иметь
(s ® a:)(i) = s* ® x{i), так что единственность вытекает из (с). Что-
Чтобы доказать существование, можно использовать универсальное
функциональное свойство тензорного произведения, которое по-
показывает, что е'г для ге5®я42„ может быть корректно опреде-
определено формулой et(s == 2г (*г ® хМ) Ъг\ подробности оставляют-
оставляются читателю.
3. Определенная в § 5 алгебра разделенных многочленов
TR(y) обладает системой разделенных степеней. Действительно,
ввиду примера 2 достаточно проверить это в случае R = Z, а в
этом случае утверждение вытекает из того факта, что множество
Т (у) cz Q [у] замкнуто относительно взятия разделенных степе-
степеней (см. тождество (е)). Точно таким же образом строится ал-
алгебра разделенных многочленов Гн(г/*),<ЕГ от нескольких пере-
переменных; если множество / упорядочено, то эта алгебра имеет
Д-базис, составленный из «мономов» г/^1 .-.J/ift с i± < ... < ik
и щХ). Если V есть свободный Л-модуль с базисом (yi){s=i, то
мы полагаем T(V) =Тв(у^; очевидно, что двумерная компонен-
компонента T(V) есть V и что T(V) обладает универсальным функцио-
функциональным свойством (в категории Л-алгебр с разделенными сте-
степенями), аналогичным 6.1. Последнее показывает, в частности,
что T(V) с точностью до канонического изоморфизма определено
корректно, т. е. не зависит от выбора базиса в V.
4. Кольцо Понтрягина Н% (G, к) абелевой группы G допус-
допускает естественную систему разделенных степеней. Чтобы убе-
убедиться в этом, рассмотрим бар-резольвенту F с перетасовываю-
перетасовывающим умножением. Если x = [g1\...\g2n\ (тг>0), то (см. упраж-
упражнение 4 к § 5)
я*- S o[g1\...\g2n\...\g1\...\g2n],
где «блок» gil...lg2n повторяется i раз и ^A<=^2n-j есть множе-
множество Bп, ..., 2я)-перетасовок. Далее, имеется очевидное вложе-
вложение группы 9*i в 'Згш как группы поблочных перестановок i
множеств из 2/г элементов. Поскольку 9"{с ^гы есть группа
10*
148 гл- v- умножения
четных перестановок, ясно, что /
Ш ... \gzJ ... \gi\ ... \gin] i
неподвижно относительно 9*и Более того, множество 9*h вамкну-
то относительно умножения справа на элементы 9"г; поэтому
предыдущая формула для х' может быть переписана в виде
o[gl\...\g2n\...\gl\...\g2n].
i
Отсюда сразу следует (ввиду тождества (с)), что F с: Q ® F
замкнуто относительно взятия разделенных степеней и, значит,
обладает системой разделенных степеней. Это доставляет (см.
пример 2) систему разделенных степеней в k®GF, и я утверж-
утверждаю, что в //* (G, к) возникает индуцированная система разделен-
разделенных степеней. Чтобы доказать это, достаточно установить (см. ни-
ниже упражнение 3), что если z<^k®aF2n есть граница, то и z(t)
есть граница. С этой целью мы запишем k®aF как (к® F)a и
заметим, что комплекс к ® F ацикличен в положительных размер-
размерностях (потому что отображение е: F—*-% является, если игнори-
игнорировать действие группы G, гомотопической эквивалентностью).
Всякая граница z^k®GF является образом некоторой границы
w^k®F, и м>@ есть цикл в силу тождества (f). Но тогда w{i)
есть граница — в силу ацикличности — и, следовательно, z(i), бу-
будучи образом грапицы, также является границей.
Возвращаясь к изучению ## (G, ZP), рассмотрим расщепля-
расщепляющуюся точную последовательность универсальных коэффици-
коэффициентов
О -»»Hfi ® ZP -> Я2 (G, Zp) -»- Tor {HXG, Zp) -»- 0.
В силу теоремы 6.4(с) H2G ~ A2(G), и легко видеть, что
A2(G)®ZP«Alp(Gp), где GP = G ®'ZP = GlpG. Далее, Тог(Я1С,,
Zp) = Tor (G, ZP) =PG,где последнее обозначает (geG: pg = 0).
Поэтому предыдущая последовательность принимает вид
0 -»»Л2 (Gp) -+ Н, (G, ZP) -> PG -> 0.
Зафиксируем расщепление PG^-H2(G, ZP) этой последователь-
последовательности. (Если р нечетно, то мы можем использовать каноническое
расщепление, указанное ниже в упражнении 4(Ь).) Это расщеп-
расщепление продолжается до мультипликативного Zp-гомоморфизма ср:
Г (PG) ^>-Н% (G, Zp), согласованного с взятием разделенных
степеней — см. выше пример 3. Комбинируя ф с отображением
•ty: A(GP) -*- Н% (G, ZP), изучавшимся в теореме 6.4, мы полу-
получаем мультипликативное отображениер: Л(Сгр)®Г(pG)-*-H^.(G, Zp),
действующее по формуле р(х ® у)= ${х)ц>(у)- Оказывается, что
имеет место следующий факт.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИИ АБЕЛЕВОП ГРУППЫ 149
6.6. Теорема. Отображение р: Л (Gp) ® Г (PG) ->- Я* {G, ZP)
является изоморфизмом. Этот изоморфизм естествен при р Ф 2.
Для случая циклической группы G это без труда выводится
из проделанных нами вычислений. Общий случай получается по
схеме доказательства теоремы 6.4 — с применением формулы
Кюннета и прямых пределов. Подробности см. в семинаре Кар-
тана (Картан [1954/55]). ?
Упражнения
1. Для (записанной аддитивно) абелевой группы G и целого числа п
вычислите эндоморфизм Ht(G, Q), индуцированный эндоморфизмом g*—ng
группы G.
2. Пусть А и В — строго косокоммутативныо градуированные Л-алгеб-
ры. Покажите, что А ®н В есть суммаЛийв категории строго косоком-
мутатввных градуированных fr-алгебр по отношению к отображениям а >—¦
иа®1, 6>-l®!i(oGi, бе В). Таким образом, свойство С>.2 может быть
интерпретировано как утверждение, что функтор внешней алгебры сохра-
сохраняет суммы.
3. Пусть А — строго косокоммутативное градуированное кольцо с диф-
дифференциалом д и системой разделенных степеней.
(a) Предположим, что если х есть граница, то и л:"' есть граница. По-
Покажите, что в Я* А возникает индуцированная система разделенных
степеней.
(b) Приведите пример, показывающий, что сделанное в (а) предполо-
предположение выполнено не всегда.
к. (а) Покажите, что мономорфизм г|): A2(G & к) ->- H2(G, к) из теоремы
6.4 переводит (? ® 1) Л (h, ® 1)в класс цепи [g\h] — [h\g].
(b) Если дпопка обратима в к, покажите, что отображение C2{G, к) ->-
—>-A2(G ® к), действующее по формуле (#| h] н- (g ® 1) Д (h <g) l)/2, индуци-
индуцирует отображение H2(G, к) ->-A2(G ® к), являющееся левым обратным для г|).
5. Пусть G — абелева группа, и пусть А есть G-модуль с тривиальным
действием группы G. Ввиду изоморфизма H^G -*¦ A2G, теорема универсаль-
универсальных коэффициентов доставляет расщепляющуся точную последовательность
О -» Ext (G, А) -> Н2 (G, А) Л- Нот (A2G, A) -* 0.
Выведите из упражнения 4(а), что отображение 0 совпадает с отображени-
отображением, обозначавшимся через Э в упражнении 8 к § IV.3, и, значит, последнее
является (расщепляющимся) эпиморфизмом. Таким образом, всякое косо-
симметрическое отображение происходит из 2-коцикла. (Некогомологическое
доказательство этого удивительного факта можно найти в статье Хью
[1951] •—см. доказательство теоремы 2.) Попутно мы доказали также, что
Ext(G, A) « <%n\,(G, Л). [Известен более общий факт, что для любого коль-
кольца Я группа Ext^ (M, N) изоморфна множеству классов расширений Я-
модуля М при помощи Я-модуля Л', откуда и происходит наименование Ext.
Доказательство можно найти почти в любой книге по гомологической ал-
алгебре.]
ГЛАВА VI
КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
§ 1. Введение
Гомологии и когомологии принято считать двойственными
друг другу объектами. Например, мы видели в гл. III, что если
гомологии обладают каким-нибудь формальным свойством, то ко-
когомологии, как правило, обладают «двойственным» свойством.
Однако в случае, когда группа G конечна, создается впечатле-
впечатление, что гомологии и когомологии обладают не столько двой-
двойственными, сколько аналогичными свойствами. Например,
так как всякая подгруппа Я конечной группы G имеет конечный
индекс, то отображения сужения и косужения определены для
произвольной подгруппы — как в гомологиях, так и в кого-
мологиях. Другой пример заключается в том, что исчезает раз-
различие между индуцированными и коиндуцированными модулями,
так что мы имеем единый класс & G-модулей (именно, класс
индуцированных модулей вида Z G ® А) со следующими свой-
свойствами: (а) всякий модуль М^Э ацикличен по отношению как
к гомологиям, так и к когомологиям; (Ь) для всякого G-модуля
М существует модуль MeJ, такой, что модуль М является
как фактормодулем, так и подмодулем модуля М.
Весьма остроумный способ использовать эту аналогию между
гомологиями и когомологиями конечных групп изобрел Тейт.
Именно, он показал, что существует такой факторфунктор Я"
функтора Я" и такой подфунктор Во функтора Яо, что функторы
..., #2, Ни Во, В", Я1, Я2, ... вместе составляют «когомологи-
«когомологическую теорию» Я*, включающую в себя функторы Н* для всех
ie=Z:
, . . На Нл Hq Н Н Н . . «
111111
...Я Я Я Я0 Я1 Я2...
Цель этой главы состоит в том, чтобы изложить эту когомологи-
когомологическую теорию Тейта и проиллюстрировать ее полезность на
примерах (а) теории Накаямы — Рима когомологически триви-
тривиальных модулей (§ 8) и (Ь) теории групп с периодическими
когомологиями (§ 9).
§ 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА -?51
§ 2. Относительная гомологическая алгебра
Мы видели в упражнении 2 к § 1.7, что фундаментальная
лемма 1.7.4 и ее следствия допускают самые разные обобщения.
В этой главе нам потребуется «двойственно-относительный» ва-
вариант этих результатов, и мы изложим этот вариант в настоя-
настоящем параграфе.
На протяжении этого параграфа G будет обозначать фикси-
фиксированную (не обязательно конечную) группу и //— ее фиксиро-
фиксированную подгруппу. Для целей настоящей главы интерес пред-
представляет только случай, когда G — конечная группа и // = {1}.
Общий случай потребуется позже, в гл. X.
Вложение i: М' -*¦ М одного G-модуля в другой будет назы-
называться допустимым, если, рассматриваемое как вложение //-мо-
//-модуля в //-модуль, оно является расщепляющимся, т. е. если су-
существует //-отображение я: М-*-М', такое, чтоя? = 1Aм'. Точ-
Точная последовательность М'-*- М -*¦ М" будет называться допу-
допустимой, если допустимо включение ivij^-M". Ацикличный цеп-
цепной комплекс С G-модулей будет называться допустимым, если
точная последовательность Ci+i -*¦ & -*- Cf-i допустима при каж-
каждом i; ввиду предложения 1.0.3 это эквивалентно стягиваемости
комплекса С, рассматриваемого как комплекс Я-модулей. Нако-
Наконец, G-модуль Q называется относительно инъективным, если
он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям,
(а) Всякая проблема построения отображения
с точной допустимой строкой разрешима.
(Ь) Всякая проблема построения отображения
в которой i — допустимое вложение, разрешима.
(с) Контравариантный функтор HomG(—, Q) переводит до-
допустимые мономорфизмы G-модулей в эпиморфизмы абелевых
групп.
В частности, всякий инъективный модуль является, конечно,
относительно инъективным. Существует, однако, большое коли-
152 гл- VI- КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
чество относительно инъективных модулей, не являющихся инъ-
ективными.
2.1. Предложение. Для любого Н-модуля N G-модулъ
Coind/f^f относительно инъективен.
Доказательство. В силу универсального свойства ко-
индуцирования (см. (Ш.3.6))
HomG (-, CoindH N) « HomH (Res? (-), N).
Но ясно, что функтор в правой части равенства переводит всякий
допустимый мономорфизм G-модулей в эпиморфизм абелевых
групп. П
2.2. Следствие. Для любого G-модуля М_ существует ка-
каноническое допустимое вложение М ->- М, где М — относительно
инъективный модуль. При (G:H)<-°° эта конструкция обладает
двумя дополнительными свойствами: (а) если модулъ_М свобо-
свободен {соотв. проективен) как ТМ-модуль, то модуль М свободен
{соотв. проективен) над ZG; (Ь) если М — конечно порожден-
порожденный G-модулъ, то и М — конечно порожденный G-модулъ.
Доказательство. Положим М = CoindH Resjf M и вос-
воспользуемся каноническим Я-расщепляющимся вложением М -*¦
-*¦ М — см. (Ш.3.7). Если {G:H)<oo, то мы будем иметь
CoindH (—) « Indfl (—), откуда без труда получаются (а) и
(Ь). ?
2.3. Следствие. Предположим, что (G://)<°o. Тогда вся-
всякий XG-проективный модуль относительно инъективен.
Доказательство. Поскольку, как легко видеть, прямое
слагаемое относительно инъективного модуля относительно инъ-
ективно, можно ограничиться случаем свободных модулей. Но
если F есть свободный ZG-модуль, то, очевидно, F « 1G ®гнР' —
= Indjj/", где где F' — свободный ХН-модуль того же ранга,
что F. В то же время IndH^' = Coindff^", последний же мо-
модуль относительно инъективен в силу предложения 2.1. О
Теперь мы приведем в нужной нам форме «двойственно-от-
«двойственно-относительный» вариант леммы 1.7.4.
2.4. Предложение. Пусть С и С — цепные комплексы
G-модулей, и пусть г — целое число. Предположим, что модуль
Сг относительно инъективен при i<r и что последовательность
Cf+l -»¦ Ci -*¦ Ci_i точна и допустима при i < г.
(a) Всякое семейство (W- С\-*-С\)\>т отображений, комму-
коммутирующих с граничными операторами, продолжается до цепного
отображения С ->• С".
(b) Пусть f,g: С -*¦ С — цепные отображения, и пусть {hi-
Cj-^-C'i+i)^,.-! —семейство отображений, такое, что di+ihi +
+ fej-idi = /i — gi при i>r. Тогда (А<),>г-1 продолжается до го-
мотопии, связывающей f с g.
§ 3. ПОЛНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 153
Доказательство получается из доказательства леммы 1.7.4 об-
обращением всех стрелок. П
Под относительно инъективной резольвентой G-модуля М мы
понимаем неотрицательный коцепной комплекс Q относительно
инъективных модулей, заданный вместе со слабой эквивалент-
эквивалентностью r\: M -»- Q и такой, что аугментированный комплекс
О — М -+Q0 -*<?'->...
является допустимым. Как немедленное следствие предложения
2.4 мы получаем следующее утверждение.
2.5. Следствие. Любые две относительно инъективные ре-
резольвенты одного модуля М канонически гомотопически экви-
эквивалентны. ?
Ясно, что относительно инъективные резольвенты есть у лю-
любого модуля М; действительно, достаточно взять за ц: M->~Qa
канонический допустимый мономорфизм следствия 2.2, затем,
опять-таки при помощи следствия 2.2, построить допустимый
мономорифзм coker Ti-*-()' и т. д. Более того, если (G,H)<°°
и модуль М проективен над 1№, то модули Qn, входящие в эту
резольвенту, будут проективны над %G. Действительно, для Qa
это верно ввиду 2.2(а). Далее, поскольку г\ Я-расщепляется,
то модуль сокег ц проективен над %Н, и из 2.2 вытекает, что
модуль Q1 проективен над Ifi, и т. д. Подобным же образом
доказывается, что если модуль М конечно порожден, то и каж-
каждый модуль Q" конечно порожден. Таким образом, мы установили
следующий факт.
2.6. Предложение. Предположим, что (G :Я)<«\ Если
М есть "IP-модуль, который проективен (соотв. конечно порож-
порожден и проективен) как ХН-модуль, то М допускает относитель-
относительно инъективную резольвенту ц: М-*¦ Q, каждый член Q" кото-
которой есть проективный (соотв. конечно порожденный проектив-
проективный) XG-модулъ. U
Упражнение
Покажите, что если модуль М из предложения 2.6 свободен как 2Н-мо-
2Н-модуль, то резольвента Q, построенная в доказательстве этого предложения,
состоит из свободных Z G-модулей.
§ 3. Полные резольвенты
В этом параграфе мы применим относительную гомологиче-
гомологическую алгебру § 2 к случаю, когда G — конечная группа и Н =
= Ш. В этом случае мы получаем из предложения 2.6 довольно
удивительный результат, что G-модуль Z обладает «попятной»
резольвентой 0 ->- Z -*¦ Q" -*¦ Q1 -*• • •., составленной из конечно
порожденных проективных модулей Q\ [Этот результат станет
менее удивительным, однако, если понять, что попятная резоль-
154 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
вента может быть получена дуализацией обычной проективной
резольвенты конечного типа; см. ниже предложение 3.5.] Если
положить F{ = Q~'~\ то эта резольвента примет вид
C.1) O-^Z^F^-^F^-^...
Сращивая C.1) с обычной проективной резольвентой е: (
мы получаем ацикличный комплекс
Комплекс этого типа называется полной резольвентой для G.
Более точно, полная резольвента есть ацикличный комплекс
F — (Fi)i^x проективных 1G- модулей, заданный вместе с ото-
отображением в: Fo-+Z и такой, что s: F+-*¦%, где F+ — (Fi)i>0,
есть резольвента в обычном смысле. Из определения вытекает,
что д: Fo -*¦ F-i единственным образом представляется в виде Tie,
где 11: %—*-F-i есть мономорфизм. Из него вытекает также,
что возникающий в результате этого комплекс вида C.1) явля-
является относительно инъективной резольвентой Z- Действительно,
следствие 2.3 показывает, что все F{ относительно инъективны,
а допустимость вытекает из упражнения 3(Ь) к § 1.8, которое
мы повторим здесь:
3.2. Лемма. Всякий ацикличный цепной комплекс С, со-
составленный из свободных абелевых групп, стягиваем.
Доказательство. Абелева группа Zn re-циклов, будучи
подгруппой свободной группы, свободна, и, значит, последова-
последовательность 0 ->• Zn+i -*¦ Сп+1 -*¦ Zn -»¦ 0 расщепляется. ?
Мы не включили в определение полной резольвенты требо-
требование, чтобы она имела конечный тип, т. е. чтобы все Ft были
конечно порождены, но, как мы видели в начале параграфа, пол-
полная резольвента конечного типа всегда существует.
Как и в случае обычной резольвенты, мы можем рассматри-
рассматривать отображение в в полной резольвенте как цепное отображе-
отображение /?-*-Z. (Заметим, однако, что е теперь не является слабой
эквивалентностью.) Если e:F->-Z и е': F'->Z—полные
резольвенты, то цепное отображение т: F -*¦ F' называется со-
сохраняющим аугментацию, если е'т = е.
3.3. Предложение. Если е: F -> Z и е': F'->Z— пол-
полные резольвенты, то существует единственный гомотопический
класс сохраняющих аугментацию отображений F -*¦ F'. Эти ото-
отображения являются гомотопическими эквивалентностями.
Доказательство. В силу леммы 1.7.4 существует сохра-
сохраняющее аугментацию цепное отображение т+: F+—*-F+. Посколь-
§ 3. ПОЛНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 155
ку комплекс F ацикличен и допустим (в силу леммы 3.2), а
комплекс F' относительно инъективен в каждой размерности,
предложение 2.4 позволяет продолжить т+ в отрицательные раз-
размерности. Подобным же образом, если даны два сохраняющих
аугментацию цепных отображения т, т': F -*¦ F', то лемма 1.7.4
доставляет гомотопию между их положительными частями т+ и
т+, а предложение 2.4 позволяет продолжить эту гомотопию в от-
отрицательные размерности. Из этой единственности стандартным
образом выводится, что всякое отображение одной полной резоль-
резольвенты в другую является гомотопической эквивалентностью. О
В заключение мы хотим показать, что отрицательная часть
полной резольвенты конечного типа двойственна обычной про-
проективной резольвенте Z над 1/х. Напомним, что G-модуль М
обладает двойственным модулем М* = Нот (М, XG) и что в
гл. I мы изучали двойственные модули для конечно порожден-
порожденных проективных модулей (см. предложение 1.5.8). [Заметим,
что для левого G-модуля М модуль М* обладает естественной
структурой правого G-модуля, но можно превратить его в
левый G-модуль, применив схему § III.0. Другими словами, мы
полагаем (gu) (m) = u(m)g~1 при g^G, u^M*, meM.] С дру-
другой сторбны, можно рассмотреть двойственный модуль Нош (М, Z)
к модулю М, рассматриваемому как Z-модуль. Диагональное
действие группы G в Нога(М, Z) (см. § Ш.О), соответствующее
тривиальному действию G в Z» наделяет Hom(M, Z) структу-
структурой G-модуля: (gu) (т) = u(g~tm) при jeG, ueHom (?, Z),:
т е М. Оказывается, что если группа G конечна, то этот модуль
Нот (Af, Z) не отличается от М*\
3.4. Предложение. Для любой конечной группы G и лю-
любого (левого) G-модуля М существует G-изоморфизм
-ф: Нот (М, Z)^M* = HomG(M, ZG),
действующий по формуле
г|> (и) (т) = 2г=с и (g^1m)g,
где и е Нот (Му Z), т е М.
Доказательство. Этот факт ничего не стоит доказать
посредством прямого сопоставления определений, но в действи-
действительности он является следствием уже доказанных вещей. Имен-
Именно, XG есть индуцированный модуль ZG ® Z, так что он изо-
изоморфен коиндуцированному модулю Hom(ZG, Z) в силу пред-
предложения Ш.5.9. Универсальное свойство коиндуцирования (см.
II 1.3.6) влечет за собой существование изоморфизма Нопю (М,
ZG)m Hom(M, Z) (между абелевыми группами), и анализ дока-
доказательств Ш.3.6 и Ш.5.9 показывает, что они доставляют неко-
некоторый определенный изоморфизм яр. Наконец, легко проверить,
что этот изоморфизм гр согласован с действиями группы G. ?
156 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
В качестве применения мы дадим конкретную интерпретацию
«попятной проективной резольвенты» Z —>-(?» обсуждавшейся
в начале параграфа. Двойственным к цепному комплексу F (над
произвольным кольцом^/?) мы считаем комплекс F = 3eomR(F,R).
Таким образом, Fn = F~n = Horn*(Fn, R) = (/<'„)*¦
3.5. Предложение. Если г:Р-^-Х есть проективная ре-
резольвента конечного типа модуля Z над Ifi (где группа G
конечна), то е*: Z* = Z-^-P есть попятная проективная ре-
резольвента; более того, с точностью до изоморфизма всякая по-
попятная проективная резольвента конечного типа получается этим
способом. Таким образом, всякая полная резольвента конечного
типа получается из двух обыкновенных проективных резольвент
конечного типа _P^-*-Z и Р—*-Х посредством сращивания
комплексов Р' и ЕР, где 2Р есть надстройка над Р (см. § 1.0).
Доказательство. Аугментировапный цепной комплекс,
ассоциированный се: Р—т'~?, стягиваем как комплекс абелевых
групп (например, в силу леммы 3.2). Он остается стягиваемым
и после применения функтора двойственности (—)* «Нот(—, Z).
ак что е*: Z* = Z—»--Р есть попятная проективная резоль-
резольвента. Это доказывает первое утверждение. Далее, если задана
попятная проективная резольвента конечного типа Z-»-(?, то
двойственный комплекс <?-»-Z есть обыкновенная проективная
резольвента, и в силу части (d) предложения 1.8.3 комплекс Q
может быть отождествлен с комплексом, двойственным Q. Осталь-
Остальные утверждения очевидны. ?
Упражнение
Покажите, что если группа G свободно действует в сфере S2h~x (ср.
§ 1.6), то для G существует периодическая полная резольвента с периодом
'Ik. Выпишите явно такую резольвенту в случае, когда G есть конечная цик-
циклическая группа.
§ 4. Определение Н*
Когомологии Тейта конечной группы G с коэффициентами в
G-модуле М определяются формулой
W(G, M) = H{
где ieZ л F есть полная резольвента группы G. В силу пред-
предложения 3.3, группы Н' корректно определены с точностью до
канонического изоморфизма.
Пусть F+ = (Fi)t>0 и F- = (Ft)i<(l, и пусть С+ (соотв. С~)
обозначает комплекс 3eomG(F+, M) (соотв. 2/eomo{F-, M)). Тог-
Тогда имеют место равенство
Я1 (С") при
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Я* 157
и точная последовательность
о -». я-1 (G, м)-+н-1(с-)^н°{с+)-+ щв, м) -»- о,
где а индуцируется кограничным оператором 6: C~t -*¦ С° (ср.
доказательство леммы Н.5.1). Точнее говоря, а определяется по-
посредством диаграммы
с-1 -5. с0
(»\ ЭПИф |ЫОН0
Далее, так как е: F+—>-Z есть проективная резольвента Z
над ZG, то Н'(С+)~ tP(G, M). И если мы предположим, что
F имеет конечный тип (что мы можем сделать), то из предло-
предложения 3.5. будет следовать, что F- = SP для некоторой проектив-
проективной резольвенты конечного типа JP-»-Z. Изоморфизм двой-
двойственности из предложения 1.8.3 (с) принимает тогда вид
С~ = Жото (F-, М) = Жогпа (SP, М)» ЕР ®e'Af,
так что Я'' (С-) « Я_, (ЕР ®0 Ж) = Я_;_4 (Р ®G Л/) = Я-,-» (G, Ж).
Мы видим, таким образом, что
V (G, М) при j > О,
Я'•"""'- ' " "?, М) при i<-l
и имеет место точная последовательность
О -»- Я (G, М) -»»Яо (G, М) -5- Я° (<?, М) -»»Я0 (G, М) -*¦ 0.
Оказывается, что в^ этой последовательности ос есть норми-
нормирующее отображение N: Ма-*-Ма, определенное в § III.1. Чтобы
доказать это, удобно предположить, что у обеих рассматривав-
рассматривавшихся выше проективных резольвент в размерности 0 стоит "ZG
и что обе они начинаются с канонической аугментации ijG—*¦%.
[Мы можем, конечно, это предположить, поскольку наши
резольвенты могут быть произвольными проективными резоль-
резольвентами конечного типа.] Тогда r\ = e*: Z-^-Z^ определяется
формулой tiA) = 2«=g?- Поскольку HomG (ZG,M) = М, диа-
диаграмма (*) принимает вид
М -2- М
эпнф | моно
и легко проверить, что вертикальные отображения совпадают с
каноническими отображениями М -*¦ Ма и Ма ->- М. Наше утверж-
утверждение доказано.
158 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
Таким образом, мы доказали, что
Я (G, М) = ker N <= Но (G, М)
и
Н° (G, М) = coker JV ^ Я0 (G, М).
Например, Я (G, Z) = 0 и Я0 (G, Z) = Z/| G | Z.
Полученные результаты можно схематически изобразить на
диаграмме
Н° Я1 Л2...
...я- ft* ^ /н° & й'...
моно
\
* •. л2 л? Д,
Можно определить также гомологические группы Тейта, по-
положив H^.(G, M) = H*(F ®GM), где F — полная резольвента.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что
Hi при i > О,
^ ker iV при i = 0,
г ~ coker N при i = — 1,
Н~г~г при г< — 1.
Другими словами, Я* = Н~*~1. Ввиду этого может показаться бес-
бессмысленным вводить гомологии Я*, поскольку они, как и Я*,
состоят из функторов Н{ и Н с i > 0, к которым добавлены не-
некоторые модификации функторов Яо и Я0. Однако, как мы уви-
увидим в § 7, «равенство» Hi = Я"' должно рассматриваться в дей-
действительности как теорема двойственности и, как таковая, имеет
важные последствия.
§ 5. Свойства Я*
Поскольку когомологии Тейта определены нами при помощи
резольвент, легко показать, что многие из формальных свойств
Н* сохраняют силу для Я*. Например, повторяя доказательство
утверждения Ш.6.1(Ь'), мы получаем следующий факт.
§ 5. СВОЙСТВА Н* 159
5.1. Короткая точная последовательность G-модулей 0-*-М' -*¦
¦ М -*¦ М" -*¦ 0 индуцирует длинную точную последовательность
Аналогичным образом доказательство леммы Шапиро (пред-
(предложение III.6.2) сохраняет силу в нашем теперешнем контек-
контексте, поскольку полная резольвента для G может рассматриваться
также как полная резольвента для произвольной подгруппы Я
группы G. Так как коиндуцирование не отличается от индуци-
индуцирования (потому что группа G конечна), лемма Шапиро прини-
принимает вид:
5.2. Если H^G и М есть Н-модуль, то
Н* (Я, М) » Я* (G, ZG ®гн Щ-
Полагая Н=Ш и замечая, что Я*({1), —) = 0, мы получаем
следующий результат.
5.3. Н* {G, %G ® ^4) = 0 для любой абелевой группы А. Таким
образом, каждый функтор Н{ является как уничтожаемым, так
и неуничтожаемым.
Заметим, что утверждения 5.1 и 5.3 позволяют применять к
когомологиям Тейта сдвиг размерностей. Именно, для любого
G-модуля М можно найти такие G-модули К я С (как в (III.7.1)
и (III.7.2)), что
E.4) Я1 (G, М) да //'+' (G, К) и Я' (G, М)« Л»-1 (G, С)
для всех i e Z-
Это показывает, по крайней мере на эвристическом уровне,
что когомологическая теория Тейта полностью определяется лю-
любым одним из функторов Я\ При желании читатель может по-
попытаться сделать это утверждение точным, наподобие теорем
Ш.7.3 и Ш.7.5.
Если Я — подгруппа группы G, F — полная резольвента для
G и М — произвольный G-модуль, то имеются коцепные отобра-
отображения Жогпо (F, М) -» Жотп (F, М) и Жотпн (F, М) -» Жота (F, М),
первое из которых представляет собой естественное вложение,
а второе — трансфер, определение которого аналогично определе-
определению (С) из § Ш.9. Это влечет за собой следующее утверждение.
5.5. Для любой подгруппы Я группы G и любого G-модуля
М определены сужение H*(G, М)-+Н*{Н, М) и косужение
Н*(Н, M)-*-H*(G, M). Эти отображения обладают формальны-
формальными свойствами, в точности аналогичными свойствам, перечислен-
перечисленным в предложении Ш.9.5.
Отсюда следует, например, что для Я* имеют место аналоги
теорем III.10.2 и III.10.3.
Наконец, мы покажем, что в когомологиях Тейта имеется
аналог ^-умножения.
160 ГЛ. VI. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
5.6. Существует w-умножение HP(G, M)®H"(G, N)->HP+I!(G,
М ® N), обладающее формальными свойствами, аналогичными
V.3.1—V.3.8.
[Чтобы сформулировать аналог свойства V.3.7, необходимо
предположить, что а: Н-^ G есть вложение, ибо только в этом
случае определено отображение а*: Н*(G) -*¦ Н*(Н).]
В частности, Н (G, Z) есть косокоммутативное кольцо с
единицей 1 <= Z/1 G|Z = #°(G, Z), и Н*{G, М) при любом
М есть модуль пад Н (G, Z).
Построенрш w-умножения требует известных усилий. Дело
в том, что наш подход к ^-умножению в обычных когомологиях
был основан на том факте, что тензорное произведение резоль-
резольвент есть резольвента. Таким образом, на коцепном уровне
^-умножение представляло собой просто отображение
E.7) Жотпо (F, М) ® Жогпо {F, N) - Жота (F ® F, M®N),
задаваемое тензорным перемножением градуированных отобра-
отображений. При этом мы замечали, что w-умножение можно опреде-
определять также в терминах единой резольвенты F, выбрав диаго-
диагональную аппроксимацию A: F -*¦ F ® F и составляя композицию
предыдущего умножения с отображением
Жотв{А, M®N): 36omQ{F®F, M® N)-*- 2eomG(F, M®N).
Заметим, что с этой точки зрения w-умножение
Жотв(Р, My®2eomG(F, N)q-^3^omo(F, M
зависит только от (р, q)-компоненты Apq: FP+q^- Fp® Fq отобра-
отображения Л.
Предположим теперь, что F есть полная резольвента. Первая
трудность, с которой мы сталкиваемся при попытке осуществить
подобную процедуру, состоит в том, что F ® F уже не есть пол-
полная резольвента. В частности, (F®F)+ не совпадает с F+®F+.
Поэтому отображение E.7) никаким очевидным образом не ин-
индуцирует когомологического умножения Нр ® Hq -*¦ Нр+Я, так что
к диагональной аппроксимации теперь приходится обращаться
не для удобства, а по необходимости. Вторая трудность, как по-
показывает минутное размышление, состоит в том, что F ® F не
есть более подходящая область значений для диагональной ап-
аппроксимации. Действительно, при каждом п имеется бесконечное
множество пар (р, q), таких, что р + q = n, и рассмотрение сдви-
сдвига размерностей показывает, что соответствующие ^-умножения
могут все оказаться нетривиальными. Таким образом, диагональ-
диагональная аппроксимация А может иметь нетривиальные компоненты
Ар, при всех (р, q), т. е. отображение А должно быть направле-
направлено в градуированный модуль, который в размерности п есть
§ 5. СВОЙСТВА Я* 161
Tl.p+q=nFp ® Fq, а не ®p+q=nFp ® Fq. Это наблюдение мотиви-
мотивирует следующие определения.
Если С я С — градуированные модули, то их пополненное
тензорное произведение С®С определяется формулой
П
p+q=n
Если даны два других градуированных модуля D, D' и отобра-
отображения и: С ->• D степени г и v: С'-*¦ D' степени s, то возникает
отображение u®v: С ® С -*• D^> D' степени r + s, определяемое
формулой
П Ср ® C'q
p+g=n
Пусть теперь е: F-^-Z, — полная резольвента и d — диффе-
ренциа? в F. Тогда в F® F имеются «частичные дифференциа-
дифференциалы» d ® idF и idF ® d; они имеют нулевой квадрат и антикомму-
тируют, поскольку (d ® idF) (idP ® d) = d ® d, в то время как
(idF ® d) (d ® idF) = — d ® d (см. упражнение 8 к § 1.0). Поэтому
«тотальный дифференциал» д — d® idp + idp ® d имеет квадрат 0
и делает F® F цепным комплексом. Более того, имеется «аугмен-
«аугментация» е ® в: F ® F-*-X ®Z= Z- Под полной диагональной
аппроксимацией мы понимаем сохраняющее аугментацию цепное
отображение A: F -»- F ® F. Ни в коей мере не очевидно, что пол-
полные диагональные аппроксимации существуют, но ниже мы до-
докажем их существование. Считая на мгновение его доказанным,
мы определим коцепное ^-умножение
Z6omG (F, М) ® Жогпо, (F, N) ^ Жота (Ft M ® N)
формулой и ^ v = (и ® v) ° Д.
Можно проверить, что имеет место обычная кограничная
формула
и благодаря этой формуле возникает индуцированное умножение
Hp(G, M)®fr(G, N)-^-Hp+q(G, M®N). Автоматически прове-
проверяется, что это умножение естественно по отношению к коэф-
коэффициентным гомоморфизмам (ср. V.3.2), и дословное повторение
рассуждений из V.3.3 и V.3.3' показывает, что оно перестано-
перестановочно со связывающими гомоморфизмами б из длинных точных
когомологических последовательностей. Более того, тот факт, что
И К. С. Браун
162 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
Д сохраняет аугментацию, позволяет нам вычислить ^-умноже-
ние Н° ® Н" -»- Я", и мы находим — так же, как в V.3.1,— что оно
индуцировано очевидным отображением MaXNa -+(MX N) °.
[Это имеет смысл, поскольку H°(G, —) есть факторгруппа груп-
группы (-)».]
Теперь, используя сдвиг размерностей, мы можем доказать,
что ^-умножение не зависит от выбора F и Д. Точнее, имеет
место следующее утверждение.
5.8. Лемм а. Существует не более одного ^-умножения в
H*(G, —), удовлетворяющего аналогам свойств V.3.1, V.3.3 и
V.3.3'. _
Доказательство. Обозначим для модуля М через М
индуцированный модуль 1G ® М, и пусть 0-+К-+М-+М-*-
-»- 0 — каноническая Z-расщепляющаяся точная последователь-
последовательность. Для любого G-модуля N последовательность 0 ->- К ® N -»-
->-M®N->-M®N-+0 точна и модуль М® N является индуци-
индуцированным (см. упражнение 2 (а) к § Ш.5). Благодаря этому
возникают сдвигающие размерность изоморфизмы
S: Я* (G, М) Л Яi+1 (G, К)
и
б: Я* (G, M®N)*> Hi+1 (G, К ® ЛО;
более того, всякое «---умножение, удовлетворяющее аналогу свой-
свойства V.3.3, согласовано с этими изоморфизмами в том смысле,
что диаграмма
fi +1?, К)
, М ® ЛО » Яр+9+1 (G, Я ® iV)
коммутативна для всякого v^Hq(G, N). Предположим теперь,
что существуют два ^-умножения, удовлетворяющие условиям
леммы. По предположению, эти умножения совпадают при р =
= 2 = 0, так что предыдущий коммутативный квадрат позволяет
доказать, применяя нисходящую индукцию по р, что они совпа-
совпадают при р < 0 и з = 0. Аналогичным образом, записывая N как
фактормодуль индуцированного модуля, мы можем распростра-
распространить это посредством нисходящей индукцией по q на случай
р < 0, q < 0. Далее мы вкладываем М в индуцированный модуль
и индуктивно доказываем, что наши ^-умножения совпадают
при q < 0 и произвольном р, и, наконец, мы вкладываем N в
индуцированный модуль и доказываем, что они совпадают при
всех р и q. П
Все еще предполагая доказанным существование Д, мы мо-
можем теперь доказать остающиеся свойства ^-умножения. Имен-
Именно, факт, что 1 еZ/|G|Z = Я(oG,Z) есть единица, дока-
§ 5. СВОЙСТВА Н* 153
зывается так же, как при доказательстве утверждения V.3.4 или
при помощи сдвига размерностей '[он очевиден в размерности
0]; ассоциативность доказывается при помощи сдвига размер-
размерностей {она очевидна в размерности 0]; коммутативность может
быть выведена из леммы 5.8 [и, v <—¦ и w v и (— 1)м t% (v w и) —
два «-"-умножения с требуемыми этой леммой свойствами], но есть
и прямое доказательство, аналогичное доказательству утвержде-
утверждения V.3.6; наконец, тот факт, что ^-умножение ведет себя нуж-
нужным образом по отношению к сужению и косужению, может
быть выведен из определений по образцу V.3.7 и V.3.8 или до-
доказан при помощи сдвига размерностей.
Чтобы завершить конструкцию ^-умножения, мы должны
установить существование полной диагональной аппроксимации
А. Для этого нам потребуются следующие три леммы.
5.9. Лемма. Комплекс F^F ацикличен и относительно
инъективен в каждой размерности.
Доказательство. Относительная инъективность вытекает
из того факта, что прямое произведение относительно инъектив-
ных модулей относительно инъективно. Чтобы доказать ациклич-
ацикличность, зафиксируем стягивающую гомотопию h: F -»- F для комп-
комплекса F, рассматриваемого как комплекс абелевых групп (см.
лемму 3.2), и положим Н = h® idF. Я утверждаю, что Я есть
стягивающая гомотопия для комплекса F ® F (также рассмат-
рассматриваемого как комплекс абелевых групп). Действительно, вспо-
вспоминая определение дифференциала д в F ® F, мы можем на-
написать
дН +
= (d
= dh
Нд =
®idF
® idF
+ id
— ft
If'
§
d)
+
.(ft
hd
® idF) + (h ® idF)°(d <§> idF + idf ® d) =
id*. + h <g) d[cM. упражнение 8 к § 1.0] =
= (dh + hd) ® idf = idf ® idF = i
откуда и вытекает наше утверждение. Е
5.10. Лемма. Пусть (С, д) и (С, д') — два ацикличных
комплекса XG-модулей. Предположим, что каждый модуль С{
проективен и каждый модуль Сг относительно инъективен. Если
т: Со -> Со есть такое отображение, что дйходх = 0, то т0 про-
продолжается до цепного отображения т: С -*¦ С.
Доказательство. Поскольку комплекс С проективен,
а комплекс С ацикличен, мы можем построить (Ti)is,0, как в
доказательстве фундаментальной леммы 1.7.4, чтобы выполня-
выполнялось условие перестановочности с граничными операторами; при
этом равенство дйхйд1= 0 — это в точности то, что требуется
для начала индуктивного построения — см. лемму 1.7.3 (а). По-
11*
гл- VI- когомологическая теория конечных групп
добным же образом, поскольку комплекс С ацикличен и допустим
(в силу леммы 3.2), а комплекс С относительно инъективен,
семейство (т()(>о может быть продолжено в отрицательные раз-
размерности согласно предложению 2.4. П
5.11. Лемма. Пусть С — допустимый ацикличный комплекс
XG-модулей. Тогда для любого проективного XG-модуля Р
комплекс Р® С (с диагональным действием группы G) стягива-
стягиваем как комплекс "ZG-модулей.
Доказательство. Достаточно доказать это в случае
Р= ?,G. В силу III.5.7 комплекс 1G ® С изоморфен инду-
индуцированному комплексу ZG ® С", где С есть комплекс С, рас-
рассматриваемый как комплекс абелевых групп. Поскольку комп-
комплекс С по предположению стягиваем, комплекс XG <g) С также
стягиваем. Е
Переходим к построению Д: F -»- F § F. В силу лемм 5.9 и
5.10 нам достаточно построить такое отображение ос = (ар): Fo-+-
-*-1Jpez,Fp ® F_p, что (а) да\Ва = 0 и (Ь) (е ® е)ао= е, где Bo<=
c=F0 — модуль границ. Положим дм = dp ® Fg: Fv (g) Fq-+Fv-x®
®Fq и dpg= (— l)p Fp ® dg: Fp®Fq-+Fp® Fq^. Отображение да:
Fo -*• Upez ^"p-i ® Fp должно иметь компоненты dp
+ Vi,i-Pap-i' Поэтому требование (а) равносильно требованию
(а') (д'аР+ д"ар-1)\Во = 0 (для упрощения записи мы отбросили
нижние индексы у д' и д"). Мы начинаем строить а, приняв за
a0: Fu -*¦ Fo ® Fo произвольное отображение, удовлетворяющее
требованию (Ь) (такое существует в силу проективности Fa).
Предполагая, что при некотором р > 0 уже определено aP-i, мы
хотим определить аР: Fo -»- Fp ® F_p таким образом, чтобы была
коммутативна диаграмма
?>0
!
V
в которой JJ = —д"аР-1. Я утверждаю, что 9'р|50 = 0. Действи-
Действительно, если р>1, то мы можем принять индуктивное предпо-
предположение, что {d'aP-i + д"аР-2) \Ва = 0, и тогда на Во мы будем
иметь
5'р = —d'd'raP-i [по определению р] =
= 5'ap_i [так как д' к д" антикоммутпруют] =
= —д"д"аР-2 [по индуктивному предположению] =
= 0.
§ 5. СВОЙСТВА Н* 165
Если же р = 1, то на В„
д'$ = —д'д"ао [по определению р*] =»
= —(do® do)a0 [по определению д' и д"] =
= — (т) ® ц) (е ® е)а0 [так как d0 = tie] =
= — (ц®ц)е [всилу(Ь)] =
= 0 [так как е \Ва = 0].
Это доказывает наше утверждение. В силу леммы 5.11 комплекс
(F% <g) F_p, д') стягиваем. Поэтому мы можем выбрать стягиваю-
стягивающую гомотопию h и положить аР = fep, и это завершает шаг ин-
индукции. Аналогичное рассуждение, использующее нисходящую
индукцию, доставляет аР с р < 0. Доказательство утверждения
5.6 закончено. О
В заключение параграфа мы заметим, что в теории Тейта
можно определить и ^-умножение. При этом никаких новых
трудностей не возникает, так что мы ограничимся сокращен-
сокращенным изложением. Формула и ь+ id*- <g) и ® idw определяет отобра-
отображение
N, F®C(M®N)).
Оно соответствует некоторому отображению
^: Moma(F, M)®({F®F)®eN)-+F®0{M®N).
Теперь мы определяем «^-умножение
Жота (F, M) ® (F ®о N) J^. F ®g (M ® N)
как композицию отображения ^ с отображением
id ® (А ® id): 5^omo (/?, М) ® (F ®a N) ->
-+ 5^ото (F, М) ® ((F ® F) ®G iV)',
где Д: F -+ F ® F — произвольная полная диагональная аппрок-
аппроксимация. Это умножение индуцирует корректно определенное
«^-умножение
с обычными свойствами.
Упражнения
1. Покажите, что ^-умножение в Н* согласовано с ^-умножением в Н*,
определенным в гл. V. Более точно, имеется естественное отображение Н* -*¦
-*-И*, которое является изоморфизмом в положительных размерностях и
эпиморфизмом в размерности 0; покажите, что это отображение мульти-
мультипликативно.
гл- VI- КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
2. Пусть Я*(б)(р) есть^р-примарная компонента группы В* (G) =
= Й* (б, Z); таким образом, H*(fi) = ®Р \ \OlS*(G){p) в силу аналога пред-
предложения Ш.10.2. ^ ^
(а) Покажите, что H*(G)ip) с любым р, а значит, и ф4 ^ РЯ* (G) {д) есть
идеал в #*Fг).^Следовательно, #*(<?)(Р) есть факторкольцо кольца H*(G).
[Заметим, что H*(G)(P) не есть подкольцо кольца H*(G); действительно, хо-
хотя вложение //*(G)(P)->-#*(G) согласовано с умножением, оно не переводит
единицу в единицу.]
fb) Покажите, что существует кольцевой изоморфизм Н* (б) «
« JJ | |G| й* (<?)(р), где каждый сомножитель в правой части наделен
кольцевой структурой в соответствии с (а), а умножение в произведении
определяется покомпонентно.
§ 6. Композиционные умножения
Как и в случае обычных когомологий (см. § V.4), имеется
второй метод определения умножения, основанный на компони-
ровании цепных отображений. Мы начинаем с аналога леммы
V.4.I.
6.1. Предложение. Пусть G — конечная группа, F —
ацикличный цепной комплекс, составленный из проективных
1Д-модулей, и е': F' ->Z— полная резольвента.
(a) Для любого G-модуля М отображение &'® М: F' ® М -*¦
-*¦ М индуцирует слабую эквивалентность Жотпо (F, F' ® М) -*¦
-»-3eoma{F, M). В частности, если F есть полная резольвента,
то Н*(G, М)» Н*(Жогпо(F, F'®M)) = [F, F' ® М]*.
(b) Если комплекс F имеет конечный тип, то в' ® М индуци-
индуцирует слабую эквивалентность
F®o(F'®M) -vF®GM = F®GM.
В частности, если F есть полная резольвента, то
II, {G, М) « Я# (F ®а (F' ® М)).
Доказательство. Утверждение (а) заключается в том,
что естественное отображение [F, F' ® М]п -»- [F, Щп является
при всех и е Z изоморфизмом. Заменяя комплекс F его п-крат-
ной надстройкой IFF, мы сводим общий случай к случаю и = 0;
таким образом, достаточно показать, что [F, F'®Щ-+ [F, М]
есть изоморфизм. Пусть и: F -»- М — цепное отображение. Это
означает, что и есть отображение Fo -+¦ М, такое, что udt = 0, где
d — граничный оператор в F. Поскольку модуль Fo проективен,
мы можем поднять и до отображения т0: Fo -*- Fo ® M, такого,
что (8'®М)то = и. Вспомнив, что граничный оператор d0: Fo->-
-> F_x представляется в виде композиции ri'e', рассмотрим
§ 6. КОМПОЗИЦИОННЫЕ УМНОЖЕНИЯ
167
(d'o ® М) т0Й!*.
^'SIM-
^'SIMS'® M
> F>M.
Мы видим, что
(do ® M) Todi
M) (в' ® AT) To^
M) udx = 0,
так что применима лемма 5.10, которая показывает, что т0 про-
продолжается до цепного отображения т: F -+F' ® М. [Заметим, что
модуль Fi ® M относительно инъективен; действительно, как
показывает предложение III.5.7, если L есть свободный IG -мо-
-модуль, то L®М есть индуцированный модуль.] Этим доказано,
что [F, F' ® М]-+ [F, М] есть эпиморфизм. Предположим те-
теперь, что т: F -+F" ® М есть цепное отображение, такое, что
композиция (е' ® М)т. F->• М гомотопна 0, т.е. что (е' ® Ж)'то =
= sd0 для некоторого отображения s: /*_! -»- М. Поднимем s до
отображения fe_i: F_!->-Fo ® M, удовлетворяющего условию
(е' ® М) h-i = s, и рассмотрим (^ )
t
Мы видим, что
{d'Q ® Л/) й_1С^
d'09M
8' ® Л/) /1_!
М) т0 =
М)
Подобно тому, как это было в доказательстве фундаментальной
леммы 1.7.4, полученное равенство — это в точности то, что нуж-
нужно для продолжения отображения h-i до семейства {Ы){>-и
удовлетворяющего условию hd + (d' ® M)h = %,— ср. лемму
I.7.3(b). Предложение 2.4(Ь) позволяет после этого продол-
продолжить (й*)*>-1 до гомотопии h, связывающей т с 0. Таким обра-
168 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
аом, отображение [F, F' ® М]-*- [F, М] мономорфно, что завер-
завершает доказательство части (а). Чтобы доказать (Ь), мы рассмот-
рассмотрим двойственный F комплекс F = 3@omG (F, ZG). Он также
ацикличен и проективен (см. доказательство предложения 3.5),
и имеет место изоморфизм двойственности F®0 — &2@oma(F, —)
(см. ниже упражнение 1). Таким образом, (Ь) следует из
(a). D
Замечание. Поначалу может показаться удивительным,
что мы получили здесь такое же заключение, как в теоремах
1.8.5 и 1.8.6, хотя наше отображение е' ® М не является слабой
эквивалентностью. Можно сказать, что этот недостаток отобра-
отображения е' ® М компенсируется тем, что мы наложили очень
сильное условие на F (условие ацикличности).
Теперь мы можем без всяких хлопот повторить определения,
данные в § V.4. Пусть е: F->Ъ и в': F'-*-Z— полные ре-
резольвенты, и пусть е": F" -> Z — либо полная резольвента, либо
тождественное отображение Z->Z. Тогда мы можем опреде-
определить — см. (V.4.2) и (V.4.4) — цепные отображения
F',F" ® М)®Жотв(F,F'®N)^Жотв{F,F" ®M® N)
Р' ® N))-+F®G{F"
Эти цепные отображения индуцируют композиционные умно-
умножения
H*(G, M) ®H*{GX N)-*ll*{G, M®N)
и
fi*(G, M) <g> t*{G, N)-+E,(G, M®N).
Почти дословное повторение доказательства теоремы V.4.6
приводит к следующему результату.
6.2. Теорема. Эти композиционные умножения совпадают
соответственно с ^-/-умножением и /-^-умножением. ?
Упражнения
1. Пусть R — кольцо, С — цепной комплекс конечно порожденных про-
проективных Д-модулей и С —двойственный комплекс 2№отл(С, R) конечно по-
порожденных проективных правых Д-модулей. Докажите следующий аналог
предложения 1.8.3 (Ь).
Для любого цепного комплекса С левых Я-модулей имеет место цепной
изоморфизм (р: С ®н С —»¦ 9eomR(C, С). [Указание. Определите фРд:
С„®Сд-*Нотй(С_|), C'q) формулой <фм(и ® *')> *> =(- №Q <". *> х%
где«еСр = Нотн(С_р, R), x' e c'q, хе С_р, По предложению 1.8.3(Ь) это
изоморфизм. Положите теперь фв = Цр+д=п фр,: Цр+д=в Ср ®й Сд ~"
^JJp+e_nHomB(C_pi Cq~j~S^omR(C, C')n.\ Подобным же образом докажи-
докажите аналоги предложений 1.8.3 (с) и 1.8.3 (d).
§ 7. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 169
2. Jlydb С и С" обозначают то же, что в упражнении 1. Для любого z е
е(С<8>вС)„ и любого цепного комплекса С определим отображение о|)г:
Эвотп{С, С) -*¦ С ®в С степени п формулой о|>2 (и) = /id- §> u\ (z). Покажите,
что существует такой цикл z s (С ®в С) „, что отображение а|)г является при
любом С" обратным к изоморфизму ф: С ®й С —* dSomR (С, С) из упраж-
упражнения 1. [Указание. Пусть :е(С0яС)о соответствует idc при отобра-
отображении ф: ~С ®д С %-26отп (С, С). Тогда z = (zp)pSr где Zp е= С_р ®вСр =
= (Ср)*®вСр соответствует (—l)pidc при каноническом изомор-
изоморфизме (Ср)* ®rCp « Нотв(Ср, Ср), Из определения отображения -ф* видно,
что оно составлено из отображений ^рд: Нотд(С_р, c'q)-*- Cp® С'д, дейст-
действующих по формуле ^|>рд (и) — (— 1)(9+Р>Р /idg ® и^\ (г_р). Упражнение 7
к § 1.8 показывает теперь, что ^^ = <р~^. ]
¦3. Необходимо ли условие конечности в предложении 6.1 (Ь) ?
*4. Пусть F — полная резольвента, п — произвольное число и Z — мо-
модуль Zn(F) n-циклов. Покажите, что существует кольцевой эпиморфизм
Homo(Z, Z) -*¦ [F, F], ядро которого есть группа / отображений Z -*¦ Z, про-
продолжающихся до отображений Fn-*-Z. Выведите отсюда, что / есть двусто-
двусторонний идеал в HomG(Z, Z) и что имеется кольцевой изоморфизм HomG (Zt
Z)/Iftf H°(G, Z)= Z/|G|Z. [Указание. Воспользуйтесь техникой доказа-
доказательства предложения 6.1.]
§ 7. Теорема двойственности
Из существования полных резольвент конечного типа вы-
вытекает, что группы Hl(G,Z) конечно порождены. С другой сто-
стороны, они аннулируются умножением на IGI — значит, они ко-
конечны. Главная цель этого параграфа состоит в том, чтобы по-
показать, что Н% (G, Z) и #~* (G, Z) — двойственные конечные
абелевы группы; точнее говоря, мы покажем, что двойственность
между этими группами определяется ^-умножением
*lji If* П7\ /О» 'if—* if4 rj7\
a («, ?) ® U (tr, ?)-
Мы приведем здесь доказательство этого факта, использующее
теорию гомологии Тейта и «-^-умножение; другое доказательство,
использующее только «-"-умножение и сдвиг размерностей, может
быть найдено в книге Картана — Эйленберга [1956], XII.6. Мы
начнем с напоминания необходимых сведений из теории двой-
двойственности для абелевых групп.
Для абелевой группы А мы полагаем А' = Нот (A, Q/Z).
Поскольку группа Q/Z инъективна, (контравариантный) функ-
функтор (—)' точен. Если пА=0 при некотором и>0, то
Horn {A, Q/Z) = Нот {A, n^Z/Z) « Horn {A, Z/nZ)', поэтому мы
можем отождествить А' с Horn (A, Zn)- В частности, если А
есть циклическая группа порядка п, то такова же и группа А'.
Следовательно, А' «Л (не канонически) для любой конечной
170 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
абелевой группы А. Как обычно, мы можем получить канониче-
канонический изоморфизм, применив оператор двойственности дважды:
имеется естественное отображение А -*¦ А", заданное формулой
а >-»• (/ >-»• / (я)), которое является изоморфизмом, если группа А
конечна.
Всякое отображение р: А ® В ->- Q/Z порождает отображе-
отображение р: А -+В'; мы будем говорить, что р есть невырожденное
спаривание, если р есть изоморфизм. Конечно, р порождает так-
также отображение р: В-+А', которое совпадает с композицией
В -»- В" -?> А'. Отсюда очевидным образом выводится, что спа-
спаривание р невырождено в том и только в том случае, если р
есть изоморфизм. Таким образом, невырожденное спаривание
между конечными абелевыми группами порождает изоморфизм
каждой из них на группу, двойственную другой. Канонический
пример невырожденного спаривания доставляет отображение
значений A' ®.4->-Q/Z, где А — произвольная группа. Наконец,
если пА = 0 и пВ = 0, то мы можем аналогичным образом го-
говорить о невырожденных спариваниях А ® В -*- Zn-
Если G есть группа и М есть G-модуль, то М' = Нот (М, Q/Z)
обычным образом наследует действие группы G: (gu)(m) =
= и (^г'те) при g^G, и е М', т^М. Имеется каноническое
спаривание р: Я1 (G, М') ® Я{ (G, M) -v Q/Z, определяемое как
композиция спаривания <—, —> из § V.3 с отображением зна-
значений М' <SigM ->Q/Z. Аналогичным образом для конечной
группы G определяется спаривание р: H\G, M') ® #i(G, M)->-Q/Z*
7.1. Предложение. Спаривания pup невырождены. Та-
Таким образом, H'(G, М')&Ht(G, М)' для любых G и М и
H'(G, Af')« Hi(G, M)' для конечной группы G.
Доказательство. Пусть F — проективная резольвента Z
над 7?. Тогда 9eoma(F, M')tt2eomG(F, Hom(M, Q/Z)«
« Жото (F ® M, Q/Z) = 3@om (F ®G M, Q/Z) = (F ®GM)'. По-
Поскольку функтор (—)' точен, мы можем перейти от комплек-
комплексов к гомологиям и получить изоморфизм Н (G, М')« Н* (G, М)'.
Легко проверить, что этот изоморфизм соответствует спариванию
р. Для р рассуждение совершенно такое же. П
Предположим теперь, что группа G конечна. Как мы коротко
заметили в конце § 4, имеет место изоморфизм H'(G, Af)«
«H~i-i{G, M). Мы хотим теперь сделать это утверждение более
точным, показав, что такой изоморфизм задается «^-умножением
на «фундаментальный класс». ^
7.2. Предложение. Существует элемент z^H-1(G, Z),:
такой, что г\-умножение <~\z: H'(G, M) -*¦ H-i-i(G, M) является
изоморфизмом для любого G-модуля М.
§ 7. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 171
Доказательство. Пусть (F, d) — полная резольвента ко-
конечного типа, в которой d0 = г\г, как в § 3, и пусть F — двой-
двойственный F комплекс MomG (F, ZG). Таким образом, F( =
= (F~j)*. Тогда комплекс F тоже проективен и ацикличен (ср.
доказательство предложения 3.5), и граничный оператор Fi-^-Fo
представляет собой композицию
Таким образом, с точностью до небольшого расхождения_в ин-
индексации, F есть полная резольвента; точнее говоря, F есть
надстройка 2>Е над полной резольвентой Е_. Применим теперь
изоморфизм двойственности MomQ(F, M)^F®SM из предложе-
предложения 1.8.3 (Ь). Мы получаем:
#<(С, М) «Я_<(/'®0М) = Я_{-1(Е®0Л/) = Я-{-1(С, М).
Я утверждаю, что, с точностью до знака, этот изоморфизм за-
задается ^-умножением на универсальный элемент z e Н-г {G, Z)-
Этот факт имеет простое абстрактное доказательство, намечен-
намеченное ниже в упражнении 1. Мы приведем здесь прямое, хотя и
несколько скучноватое, доказательство, основанное на компози-
композиционном умножении и упражнениях к § 6.
Пусть и?0 есть 0-цикл в F ®aF, соответствующий Ир при
изоморфизме F ®eF«3^ome(F, F) из упражнения 1 к § 6. Ис-
Используя обозначения и результат упражнения 2 к § 6, мы на-
находим, что фигурировавший выше изоморфизм
2eomG(F, M)—>F ®GM
есть не что иное, как отображение tyW()- Далее, F®aF = 1,E®eF.
Поэтому w0 может также рассматриваться как (—1)-цикл w~l
в Е ®aF. Более того, непосредственно из определений видно, что
¦фто..^ 3>eomG(F, M)i^-{E ®вМ]ы равняется (—lI!^'- 3@omG(Ft
M)i^-(F ®GM)i. Таким образом, изоморфизм H'(G, M)'-*¦
-*¦ H-i-i(G, M) из предыдущего абзаца индуцируется, с точ-
точностью до знака, отображением i|)tc_1. С другой стороны, tyw_x есть
в точности композиционное умножение на ы;_, (см. § 6); поэтому
•ф Н)_1 индуцируется /^-умножением на гомологический класс z e
е #_1 (G, Z) цикла w-i. Это доказывает наше утверждение и
завершает доказательство предложения 7.2. ?
Замечание. Определенный выше элемент z обязательно
является образующей циклической группы Й-iiG, Z) = Zl\G\Z,
поскольку изоморфизм гл z'. Н° (G, Z)^>-H-i{G, Z) переводит 1е
ел \Ь, ?) = ?I\G\? ъ 1 r\ z = z.
?72 гл- VI- КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
7.3. Следствие. Для любого G-модуля М композиция
Я* (G, М') ® Я (G, М) ^ Я (G, М' ® М) 2$. Н'1 (G, Q/Z),
где а% индуцируется каноническим спариванием а: М' ® Л/ -*¦
->-Q/Zj представляет собой невырожденное спаривание.
[Заметим, что это утверждение имеет смысл, ввиду того, что
fi-\G, Q/Z) - ker {N: (Q/Z)G-^(Q/Z)G) = | G \~1га
и H*(G, —) аннулируется умножением на |G|.]
Доказательство. Предложения 7.1 и 7.2 доставляют
изоморфизмы Я* {G, М') -^ % {G, M)' -^ H~l~^ (G, М)'. Составной
изоморфизм действует по формуле и н* (у >-»¦ a <u, v r^ z», где а:
М' ®gM-+Q/Z индуцируется спариванием а. Так как а <ил
v r\z) — а <м w у, г> = <а# (м ч^ у), z>, то композиция
, М') ® Я (G, М) X Я (G, М' ® М) ^
является невырожденным спариванием. Чтобы завершить дока-
доказательство, нам остается заметить, что <—, z> изоморфно отобра-
отображает Н~г (GtQ/X) на |G|~1Z/Z. Действительно, <—, z> есть ком-
композиция
Я {G, Q/Z) Д- Я_х (G, Z)' -> Q/Z,
где первое отображение есть изоморфизм из предложения 7.1,
а второе ставит в соответствие отображению Я_х (G, Z) -*¦ Q/Z
его значение на образующей z е Я_1 (G, Z). Наконец, очевидно,
что если Л есть конечная циклическая группа, то вычисление
значения на образующей доставляет изоморфизм А'-^\ А р1 Z/Z. п
Теперь мы можем перейти к нашему главному результату.
7.4. Теорема: ^-умножение Я1 (G, Z) ® Я (G, Z) -> Я0 (Сг
Z)=Z/|G;|Z представляет собой невырожденное спаривание.
Доказательство. Поскольку Я (G, Q) = 0, коэффици-
коэффициентная последовательность 0-»-Z->-Q-»-Q/Z-*-0 доставляет
изоморфизм 6: W {G, Q/Z) Д- H3+1 (G, Z) при каждом /. Более
того, в силу свойства V.3.3 имеет место коммутативная диа-
диаграмма
Я1 (Gt Q/Z) ® Я {G, Z) ^ Я (G,
6®id i « в J. s
§ 7. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ J73
В силу следствия 7.3 (применяемого к случаю М = Z), верхняя
строка представляет собой невырожденное спаривание; значит,
и нижняя строка представляет собой невырожденное спарива-
спаривание. Е
Замечание. Тот факт, что 'H\G,Z) и ?г{(?, Z) двой-
двойственны друг другу, может быть без труда доказан при помощи
теоремы универсальных коэффициентов и интерпретации Н* в
терминах Н* и Н%. [Напомним, что если группа А конечна, то
Ext (.4, Z)&A'—см. ниже упражнение 2.] Не очевидным яв-
является лишь то, что невырожденное спаривание определяется
именно при помощи ^-умножения. Последнее и составляет глав-
главное содержание теоремы 7.4.
Упражнения
1. Цель этого упражнения — дать другое доказательство установленного
в первой части доказательства предложения 7.2 факта, что изоморфизм
Я* (G, M)-^> H_1_i (G, М) с точностью до знака задается о-умножением
на фиксированный элемент 2еЯ_1(C, Z). Обозначим этот изоморфизм че-
через ф И ПОЛОЖИМ Z = фA).
(a) Покажите, что изоморфизм ф естествен и согласован со связываю-
связывающими гомоморфизмами длинных точных последовательностей.
(b) Покажите, что отображение ф: H°(G, M)-*-H-x(G, M) задается г\-
умножепием на z. ^[Указание. По определению z, отображения ф и пг
совпадают на 1еЯ° (G, Z). Далее, для произвольных М и к е Я°(<2, M) су-
существует коэфф^ициептный^гомоморфизм Z -*¦ М, такой, что индуцированное
отображение Я0 (G, Z) -+• Я0 (G, М) переводит 1 в и; поэтому, в силу ес-
естественности, ф(«) = Ur\Z-]
(c) Используя технику сдвига размерностей, покажите, что с точностью
до знака филг совпадают во всех размерностях.
2. Для любой периодической абелевой группы А покажите, что Ext (A,
Z) «^'. [Указание. Рассмотрите длинную точную Ext*(А, —)-последова-
—)-последовательность, ассоциированную с короткой точной последовательностью
О -*- Z -*- Q -v Q/Z -у 0.
Эквивалентный способ состоит в вычислении Ext {A, Z) посредством
пнъективной резольвенты 0 -»- Z -*¦ Q -*¦ Q/Z -*¦ 0 модуля Z.]
3. Покажите, что если М есть G-модуль, который свободен как абелева
группа, то
Яг (G, М*) ® Я~* (б, М) ^ Я0 (б, М* ® М) ->- Я0 (G, Z)
есть невырожденное спаривание.
4. Пусть к — произвольное коммутативное кольцо и Q — инъективный
А-модуль. Пусть, далее, А' = Нот*D, Q) для некоторого fc-модуля А. Пока-
Покажите, что для любого fcG-модуля М спаривание
Я* (G, М') ® Я (G, М) -^ Я (G, М' ® М) ->- Я (G, (?) Д Q
индуцирует изоморфизм Я* (б, М') -^ Н~х~{ (б, М)'.
174 гл- vi. когомологическая теория конечных групп
§ 8. Когомологически тривиальные модули
Теория, излагаемая в этом параграфе, принадлежит Накаяме
и Риму. Наш подход к ней происходит из книги Серра [1968].
G-модуль М (где G — конечная группа) называется когомоло-
когомологически тривиальным, если Н{(Н, М) = 0 для всех isZ и всех
Н s G. Например, любой индуцированный модуль Ifi ® А кого-
когомологически тривиален в силу утверждения 5.3, поскольку он
остается индуцированным, если его рассматривать как Я-модуль
для любой подгруппы Н ? G. [Это — легкий частный случай фор-
формулы двойных смежных классов — см. III.5.6 (Ь).] В частности,
отсюда следует, что для любого коммутативного кольца к всякий
свободный AG-модуль когомологически тривиален и, значит, вся-
всякий проективный AG-модуль когомологически тривиален. Наша
цель в этом параграфе состоит в том, чтобы 1) доказать обрат-
обратное, т. е. что при подходящих предположениях всякий когомоло-
когомологически тривиальный /cG-модуль проективен, и 2) найти простой
критерий когомологической тривиальности модуля. Эти результа-
результаты имеют приложения к классической теории полей классов (см.
Серр [1968]), а также к алгебраической Я-теории и теории го-
мотопий.
Мы начнем со случая, когда G есть р-группа с некоторым
простым р. В этом случае все можно вывести из следующего про-
простого результата.
8.1. Предложение. Если G есть р-группа и М есть G-mo-
дуль, в котором порядок каждого элемента есть степень числа р,
то М° Ф 0.
Доказательство. Можно предположить, что модуль М
конечно порожден как G-модуль, а, значит, и как абелева груп-
группа. Но тогда он конечен, и его порядок есть степень числа р. По-
Поскольку всякая Сорбита в М имеет порядок р" с некоторым
а > 0, отсюда вытекает, что \MG\ = \М\ = Отойр, так что
МаФ0. ?
8.2. Следствие. Если к есть поле характеристики р,
G есть р-группа и М есть простой kG-модулъ, то М « А; с триви-
тривиальным действием группы G.
[Напомним, что простой модуль — это ненулевой модуль, ко-
который не содержит собственных подмодулей.]
Доказательство. Так как в силу предложения 8.1
Мв Ф 0, то Мв = М, т. е. G действует в М тривиальным образом.
Из простоты вытекает теперь, что dimhM = 1. ?
Пусть / — аугментационный идеал кольца kG, т. е. ядро муль-
мультипликативного /с-гомоморфизма е: kG -*¦ к, такого, что e(g)=l
при всех g <= G. По-другому можно описать / как аннулятор
7гС-модуля к.
8.3. Следствие. Если G есть р-группа и к есть поле ха-
характеристики р, то аугментационный идеал I кольца kG нилъпо-
тентен.
§ 8. КОГОМОЛОГИЧЕСКИ ТРИВИАЛЬНЫЕ МОДУЛИ 175
Доказательство. Выберем композиционный ряд 0 = Дс
с- Ji<= .. .<= Jn — kG для кольца kG, рассматриваемого как левый
AG-модуль. Тогда Л есть при каждом i левый идеал и фактормо-
дули /{//,_! просты. [Существование композиционного ряда сле-
следует из конечномерности kG над к.] В силу 8.2, / аннулирует
Jt/Ji-i, вследствие чего //< ? Л-i. Следовательно, /" = /"/„ ? /0 =
= 0. ?
Если, например, G есть циклическая группа порядка q = ра,
то нильпотентность идеала / легко установить непосредственно:
/ порождается t — 1, где t — образующая группы G (см. упраж-
упражнение 1 (Ь) к § 1.2), и (t — IL = t" — 1 = 0, поскольку char к = р.
8.4. Следствие. Пусть G есть р-группа и к есть поле ха-
характеристики р. Если М — такой kG-модуль, что H0(G, M) — 0,
то М = 0.
Доказательство. Легко видеть, что H0(G, M) = M/IM
(см. первый абзац § П.2). Таким образом, H0(G, М) = 0=^М =
•— IM =>¦ М = 1пМ при любом п. Ввиду 8.3 отсюда вытекает, что
М = 0. ?
Теперь мы можем достичь для /cG-модулей рассматривавшего-
рассматривавшегося вида обеих целей 1) и 2), поставленных в начале этого пара-
параграфа.
8.5. Теорема. Пусть G есть р-группа и к — поле характе-
характеристики р. Следующие условия на kG-модуль М эквивалентны:
(a) модуль М свободен;
(b) модуль М проективен;
(c) модуль М когомологически тривиален;
(d) Ht(G,M)=0;
(e) H'(G, M) = 0 при некотором teZ.
Доказательство. Очевидно, (а) =*¦ (Ь) =*- (с) => (d) => (е).
Чтобы завершить доказательство, мы докажем импликации (d) =*»
=*- (а) и (e)=^(d). Выберем в векторном пространстве Мо /с-базис
и поднимем элементы этого базиса в элементы щ (/ е /) моду-
модуля М. Пусть F — свободный /cG-модуль с базисом (ej)jSj; опре-
определим отображение j: F-*¦ М формулой f{e1)=mi. По построе-
построению, H0{G, /): HQ(G, F) ->-H0(G, M) есть изоморфизм. В силу
точности функтора H0{G, —) справа, отсюда вытекает, что
#0(G, coker/)=0, и из 8.4 следует, что coker/ = 0. Рассмотрим,
далее, длинную точную гомологическую последовательность, ас-
ассоциированную с короткой последовательностью 0 -»• кег / ->- F -*-
->Af->0. Если Hi(G, М)=0, то из того факта, что Ho(G, f) есть
изоморфизм, вытекает, что H0{G, ker/)=0. Снова применяя 8.4,
мы заключаем, что ker/ = 0, т. е. что / есть изоморфизм. Таким
образом, модуль М свободен, и мы доказали импликацию
(d)^ (a).
Предположим теперь, что выполняется (е). При помощи сдви-
сдвига размерностей мы можем найти такой /cG-модуль N, что
Hn(G, N)« Hn+t+* (G, М) при всех ne=Z. [Заметим, что техника
176 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
сдвига размерностей не выводит нас за пределы категории
&(?-модулей, поскольку ZG <8> А есть &С^модуль для любого
/с-модуля А.] В частности, H^G, N) = H~l{G, N) = Hf{G, M) = 0,
так что модуль N ^свободен в силу сказанного в^ предыдущем
абзаце. Но тогда H*(G, N)=0, следовательно, H*(G, M)=0,
и потому Ht{G, М)=0. Таким образом, (e)=^(d). П
Заметим, что эта теорема, в частности, показывает, что если G
есть (нетривиальная) р-группа, то Н{ {.G, ZP) Ф 0 при всех i > 0.
Замечания. 1. Следствие 8.2 может быть интерпретиро-
интерпретировано как утверждение, что / есть радикал Джекобсона кольца kG.
С этой точки зрения следствие 8.3 есть просто хорошо известное
утверждение, что радикал Джекобсона артинова кольца ниль-
потентен, а следствие 8.4 — специальный случай «леммы Накая-
мы». Эквивалентность условий (а), (Ь) и (d) в теореме 8.5 также
может быть сформулирована в более общем контексте как теоре-
теорема о модулях над локальными кольцами. [Из 8.3 следует, что kG
есть (некоммутативное) локальное кольцо, в котором единствен-
единственным максимальным идеалом служит /.]
2. Из предыдущего доказательства можно извлечь следующее
уточнение импликации (d)=*-(a). Для любого /cG-модуля М раз-
размерность dimt#o(G, M) совпадает с минимальным числом обра-
образующих модуля М, a dim^i(G, M)—с минимальным числом
определяющих соотношений между образующими из любой ми-
минимальной системы.
Теперь, по-прежнему предполагая, что G есть р-группа, мы
рассмотрим более общие модули М. Положим Мр = М ® ZD =
М/М
8.6. Лемма. Пусть G есть р-группа и М есть G-модуль, не
имеющий р-кручения. Тогда при любом ieZ равенство
H'(G, Мр)= 0 имеет место тогда и только тогда, когда H'(G,M) =
= #+1(G, M)=0.
Доказательство. Из короткой точной последовательно-
последовательности 0->M-^.ikf->-ikfp->0 мы получаем точную последователь-
последовательность
Л1 (Gx М) Л Я1 (G, М) -* Н1 (G, Mp) -+Hi+1 (G, М) Л Hi+1 (G, М).
Если H'(G, M) = Hi+i(G, М)=0, то из этой последовательности
получается, что Я!(С, МР)=0. Обратно, если H'(G, МР\= 0, то
эта же последовательность показывает, что группа H({G, M)
р-делима, а группа Hi+l{G,M) не имеет р-кручения. Но H*(G,M)
аннулируется числом IGI, которое является степенью числа рг
так что H*(G, M)=H<+l{G, M) = 0. ?
8.7. Теорема. Если G есть р-группа, то следующие два ус-
условия эквивалентны для любого G-модуля М:
§ 8. КОГОМОЛОГИЧЕСКИ ТРИВИАЛЬНЫЕ МОДУЛИ YJJ
(a) модуль М когомологически тривиален;
(b) H*(G, M) = 0 для двух последовательных i.
Если модуль М не имеет р-кручения, то условия (а) и (Ь).
эквивалентны также следующим условиям:
(c) #'(<?, Mv)= О при некотором i;
(d) модуль Мр когомологически тривиален;
(e) модуль Мр свободен над ХР [G]>
Доказательство. Предположим, что М не имеет р-круче-
р-кручения. Тогда импликация (а)=*-(Ь) тривиальна, импликация (Ь)=*-
=>(с) вытекает из леммы 8.6, эквивалентности (с) ¦«=*¦ ((!)¦«=*¦ (е) —
из теоремы 8.5 и импликация (d)=*-(a)—из леммы 8.6, приме-
примененной к группе G и ко всем ее подгруппам. Если же модуль М
произволен, то мы можем доказать эквивалентность (а)^=*-(Ь),
сведя общий случай к уже рассмотренному при помощи сдвига
размерностей: мы можем выбрать точную последовательность
0-+M'-*-F-+M-*-0, в которой F есть свободный ZG-модуль,.
и затем применить уже доказанное к М'. ?
Важное следствие теоремы 8.7 состоит в том, что когомологи-
когомологическую тривиальность модуля М можно установить (в случае,.
когда G есть р-группа), зная только когомологии Н* (G, М), хотя
определение налагает условия на когомологии Н*(Н,М) для всех
подгрупп Н s G.
Теперь мы переходим к случаю, когда G есть произвольная
конечная группа. Для каждого простого р, делящего IGI, выбе-
выберем силовскую подгруппу G(p).
8.8. Предложение. G-модулъ М когомологически тривиа-
тривиален в том и только том случае, если его сужение на G(p) кого-
когомологически тривиально при любом р.
Доказательство. Необходимость очевидна. Чтобы доказать
достаточность, мы заметим прежде всего, что если сужение моду-
модуля М на G(p) когомологически тривиально, то Н*(Р, М) = 0 для
любой р-подгруппы Р группы G. Действительно, мы знаем, что
gPg~* ? G(p) для некоторого g^G, так что имеется изоморфизм
сопряжения Н* (Р, М)« Н* {gPg~\ М) = 0. Теперь, если Н s G —
произвольная подгруппа, то из теории трансфера (см. § ШЛО)
нам известно, что#*(#, М)=фрН*(Н, M)(p)s фрЙ*(Н{р), М)=
= 0, где р пробегает все простые числа, делящие |Я|, и Н(р)
есть силовская р-подгруппа группы Н. Таким образом, модуль М
когомологически тривиален. ?
Комбинируя предложение 8.8 с нашими предыдущими резуль-
результатами о когомологической тривиальности модулей над р-группа-
ми, мы получаем удовлетворительное решение проблемы 2), по-
поставленной в начале параграфа. В частности, справедливо следу-
следующее утверждение.
8.9. Теорема. G-модулъ М когомологически тривиален «•
том и только в том случае, если для любого простого р сущест-
12 к. с. Браун
178 гл- VI- когомологическая теория конечных групп
еуют два последовательных целых числа i, такие, что
Т
((р),)
Решение проблемы 1) (с k = Z) доставляется следующей
теоремой Рима.
8.10. Теорема. Если М есть G-модулъ, который Z-свободен
и когомологически тривиален, то модуль М Ifi-проективен.
Доказательство. Выберем короткую точную последова-
последовательность 0-+K-+F-+M-+Q с ZG-свободным F. Мы покажем,
что эта последовательность расщепляется и, следовательно, мо-
модуль М является прямым слагаемым свободного модуля и потому
проективен. Я утверждаю, что препятствие к тому, чтобы эта по-
последовательность расщеплялась, лежит в #'(G, Horn (If, К)). Бо-
Более точно, поскольку модуль М Z-свободен, мы имеем точную
последовательность G-модулей 0 -*¦ Нош {М, К) -*¦ Нот (М, F) -*¦
-*¦ Нот (М, М) -*¦ 0, и это приводит к точной последовательности
HomG(M, Fy+HomG(M, M)\H\G, Hom(M, К)). [Напомним, что
HomG(-, -)=Hom(-, —)° = H°(G, Hom(—, —)).] Таким обра-
образом, расщепление существует в том и только в том случае, если
¦6 (idjir) == 0. Поэтому нам достаточно доказать следующую лемму.
8.И. Лемма. Пусть М и К — два Ъ-свободных G-модуля.
Если модуль М когомологически тривиален, то и модуль
Hom(il/, К) когомологически тривиален.
Доказательство. В силу предложения 8.8 мы можем
ограничиться случаем, когда G есть р-группа, а в этом случае
в силу теоремы 8.7 достаточно показать, что когомологически
тривиален модуль Нот(М, К)Р. Из точной последовательности
О -*- К Л* К -v Кр -*• 0 мы получаем (ввиду того, что модуль
М Z-свободен) точную последовательность 0 —>¦ Нот {М, К) J*.
ЛЯоха(М, К)-*-Иота(М, Кр)->-0. Таким образом, Нот (Л/, К)Рм
«Нот(If, .К,) = Нот(МР, КР). Но в силу теоремы 8.7 модуль
Mv Zp [G] -свободен; следовательно, модуль Нот(Жр, Кр) явля-
является индуцированным (см. упражнение 2 (Ь) к § III.5), и пото-
потому он когомологически тривиален. О
Замечание. Группа Hl(G, Horn(ilf, К)), появившаяся в до-
доказательстве теоремы 8.10, в действительности изоморфна
ExtzG^»^) (см. предложение Ш.2.2). Читатель, знакомый
с теорией расширений модулей, поэтому не должен удивиться,
что эта группа содержит препятствие к расщепляемости расши-
расширения 0-+K-+F-+M-+0.
В заключение мы выведем из теоремы 8.10 (также принад-
принадлежащую Риму) характеризацию когомологически тривиальных
модулей, которые, вообще говоря, не являются Z-свободными.
Если R есть кольцо и М есть Л-модуль, то проективная размер-
размерность модуля М, обозначаемая через projdimlf или projdimHM,
определяется как нижняя грань множества таких чисел п, что М
допускает проективную резольвенту О-*-Р„->-...->-Ро->-М->-О
§ 8. КОГОМОЛОГИЧЕСКИ ТРИВИАЛЬНЫЕ МОДУЛИ
длины п. (В частности, proj dim M = °°, если М вообще не допу-
допускает проективных резольвент конечной длины.)
8.12. Теорема. Следующие условия на ZG-модулъ М эк-
эквивалентны:
(a) модуль М когомологически тривиален;
(b) proj dimMsS 1;
(c) proj dim M < °°.
Доказательство. Предположим, что модуль М когомоло-
когомологически тривиален, и выберем короткую точную последователь-
последовательность Q-+Pi-+Ps,-+M-+Q с ZG-проективным Ро. Тогда мо-
модуль Pi когомологически тривиален и Z-свободен, так что в си-
силу теоремы 8.10 этот модуль проективен. Этим доказана импли-
импликация (а)=**(Ь). Поскольку импликация (Ь)=>(с) тривиальна,
остается доказать, что (с)=>(а). Предположим, что proj dim M<
< «о, и выберем проективную резольвенту 0 -*¦ Рп -*¦ ... -»- Ро -*¦
->- М -> 0 конечной длины. Разбивая эту последовательность на
короткие точные последовательности 0 -»- Zi ->¦ Pi -»- Zi_4 -»- 0, мы
доказываем нисходящей индукцией по i, что все модули Z{ кого-
когомологически тривиальны. В частности, модуль М = Z_j когомо-
когомологически тривиален. О
Результаты Рима доставляют способ построения проективных
модулей над ZG. Предположим, например, что / с: T,G есть
левый идеал конечного индекса пг, где m взаимно просто с |G|.
Поскольку I B1 обратимо в М = JfiU, модуль М когомологиче-
когомологически тривиален. Отсюда выводится, в точности так же, как подоб-
подобное делалось в доказательстве импликации (a)=*»(b) предыдущей
теоремы, что модуль / проективен. [Другое доказательство тога
факта, что из обратимости \G\ в М вытекает неравенств»
proj dim M =S 1, намечено в упражнении 7 к § VIII.2.]
Упражнения
1. Приведите пример, в котором H*(G, М) = 0, но модуль М не явля-
является когомологически тривиальным. [Указание. В качестве G возьмите-
циклическую группу.],
2. Докажите следующее усиление леммы 8.11: если модуль М когомоло-
когомологически тривиален и Z-свободен, то модуль Нот(М, К) когомологически
тривиален для любого G-модуля К. [Указание. Воспользуйтесь теоре-
теоремой 8.10. Или, по-другому, выберите точную последовательность Q^-L->-
->- F -»- К ->- 0, в которой модуль F свободен, и примените лемму 8.11 к,
Hom(M, L) и Нот(М, F).]
3. (а) Покажите, что если М и Р — два ZG-модуля, причем модуль М
Z-свободен, а модуль Р "LG -проективен, то всякая точная последова-
последовательность вида 0->.Р-»-.Е-»-М-»-0 расщепляется. [Указание. Рассуж-
Рассуждайте, как в доказательстве теоремы 8.10, или, что проще, воспользуйтесь.
тем фактом, что модуль Р относительно инъективен.],
(Ь) Дайте прямое доказательство импликации (с) =ф- (Ь) из теоремы 8.12,
использующее часть (а) этого упражнения, но не использующее других ре-
результатов этого параграфа.
4. Пусть G — такая группа, что существует свободное конечное клеточ-
клеточное G-пространство X, такое, что Н^Х « H^Sik~1. Покажите, что G облада-
12*
гл. vi. когомологическая теория конечных групп
ет периодической полной резольвентой с периодом 2к. [Указание. Если В
есть модуль Bк — 1)-границ в комплексе, С^(Х), то фактормодуль
Сы-\{ХIВ Z-свободен и имеет конечную проективную размерность.]
§ 9. Группы с периодическими когомологиями
О конечной группе G говорят, что она имеет периодические
когомологии, если при некотором d Ф О в Hd (G, Z) существует
элемент и, обратимый в кольце Н (G, Z). В этом случае ^-умно-
^-умножение на и определяет изоморфизм периодичности
и w -: H"(G, M) A fin+d (G, М)
для любого ве2и любого G-модуля М. В частности, полагая
п = О и М = Z, мы находим, что Hd (G, Z)» Z/1G | Z и что
и порождает #**(?, Z)-
Если о группе G известно, что она имеет периодические ко-
когомологии, то, очевидно, задача вычисления когомологии значи-
значительно упрощается. Поэтому большой интерес представляют кри-
критерии, позволяющие распознавать группы с периодическими ко-
когомологиями, и в этом параграфе мы займемся отысканием таких
критериев.
9.1. Теорема. Следующие условия эквивалентиы:
(a) группа G имеет периодические когомологии;
(b) существуют целые числа п и d Ф 0, такие, что H*(G, M)&
»Hn+i{G, M) для всех G-модулей М\
(c) при некотором dФ0 группаHd(G, X) изоморфна Z/\G\Z;
(d) при некотором dФ0 группа Hd(G, X) содержит элемент
и порядка \G\.
Доказательство. Импликация (а)=^(Ь) тривиальна.
Если выполняется (Ь), то, как показывает сдвиг размерностей,
Hn{G, М) «"Я"+<!(С, М) при всех ne= Z; полагая п = 0 и М = Z,
мы получаем (с). Импликация (c)=>(d) снова тривиальна. Пред-
Предположим, наконец, что выполняется (d). Тогда существует отоб-
отображение ?td (G, Z) -+ Q/Z, такое, что и >-* 1/1G \ mod Z (см. дока-
доказательство предложения Ш.4.3). В силу теоремы двойственно-
двойственности 7.4 это отображение представляет собой композицию
Ъй (G, Z) 1^1 Н° (G, Z)»| G |-i Z/Z с Q/Z
с некоторым v e H~ (G, Z). Поскольку uv = 1, отсюда выте-
вытекает (а). ?
Например, если группа G свободно действует в 52*, как
в § 1.6, то G обладает очевидной периодической резольвентой пе-
периода d — 2k, так что выполнено условие 9.1 (Ь) и G имеет пе-
периодические когомологии. [Существует и прямое, не использую-
§ 9. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ
щее теоремы 9.1, доказательство того факта, что Н (G, Т) со-
содержит обратимый элемент; см. упражнение 3 к § V.3.]
Один из способов построения примеров такой ситуации за-
заключается в том, чтобы начать с линейного действия конечной
группы G в четномерном вещественном векторном пространстве
V, такого, что G свободно действует в V — {0} (т. е. что 1 не есть
собственное значение никакого нетривиального элемента g s G);
такие действия называют представлениями группы G, не имею-
имеющими неподвижных векторов. Выбирая G-инвариантную сферу
S <= V — {0} (например, единичную сферу по отношению к G-ин-
вариантному скалярному умножению в V), мы получаем свобод-
свободное действие группы G на нечетномерной сфере. Конечно, для
того чтобы применять результаты § 1.6, мы должны проверить
наличие у S G-эквивариантной клеточной структуры. Сущест-
Существование такой структуры вытекает из общей триангуляционной
теоремы, но в нашем случае его можно доказать при помощи сле-
следующего много более элементарного рассуждения, принадлежа-
принадлежащего Иллману [1978]. Пусть (е<) ieiieia. — базис в У, и пусть С —
выпуклая оболочка конечного множества K±gec g^G, I < j ^ 2k).
Тогда С есть выпуклая клетка, содержащая 0 в своей внутренно-
внутренности, так что граница S множества С есть топологическая сфера
в V — {0} с клеточной структурой, составляемой естественными
(плоскими) гранями (см., например, Хадсон [1969], гл. I). По-
Поскольку G действует в V линейно и отображает С в себя, ясно,
что S есть клеточное G-пространство.
Замечание. Проблема существования эквивариантной кле-
клеточной структуры притянута здесь, в действительности, за уши,
поскольку и не предполагая наличия такой структуры, можно
показать, что если группа G свободно действует в 52*, то кого-
мологии H*(G) периодичны с периодом 2к. Доказательство на-
намечено ниже, в упражнении 4(с) к § VII.7.
Теперь мы можем привести несколько специфических приме-
примеров групп с периодическими когомологиями.
9.2. Примеры. 1. Всякая циклическая группа G допускает
двумерное представление без неподвижных векторов в качестве
группы поворотов; следовательно, когомологии H*(G) периодич-
периодичны с периодом 2.
2. Пусть Н — алгебра кватернионов К © Ш © К/ © R&. Если
G есть конечная подгруппа мультипликативной группы Н ,¦
то действие группы G в И посредством умножений определяет
четырехмерное представление группы G, которое не имеет непо-
неподвижных векторов, поскольку п есть алгебра с делением. Таким
образом, когомологии H*(G) периодичны с периодом 4. Наиболее
очевидными примерами конечных подгрупп группы И являются
обобщенные кватернионные группы Qim (m 5s 2), которые мы
изучали в § IV.4. В дополнение к этим группам (и, конечно, цик-
182 гл- VL когомологическая теория конечных групп
лическим группам), группа Н имеет ровно три (с точностью
до сопряжения) конечных подгруппы (см. Вольф [1974], § 2.6):
бинарная группа тетраэдра (порядка 24), бинарная группа окта-
октаэдра (порядка 48) и бинарная группа икосаэдра (порядка 120).
Последняя группа особенно интересна, поскольку она совершен-
совершенна, т. е. Gab = 0. При помощи двойственности Пуанкаре отсюда
можно вывести, что фактормногообразие S3/G имеет те же гомо-
гомологии, что и S3. Этот факт был обнаружен Пуанкаре [1904], ко-
который построил, таким образом, первый пример трехмерного мно-
многообразия, гомологически эквивалентного сфере S3, но не гомео-
морфного ей1). Другой интересный факт, касающийся бинарной
группы икосаэдра G, доставляется следующей удивительной тео-
теоремой Цассенхауза (см. Вольф [1974], 6.2): с точностью до изо-
изоморфизма G есть единственная совершенная группа, которая до-
допускает представление без неподвижных векторов.
3. Пусть /га, га и г — целые положительные числа, такие, что
г" = 1 mod /га. Предположим, что выполняются следующие два
условия: (а) /га и п взаимно просты; (Ь) если к есть порядок вы-
вычета г mod /га в мультипликативной группе Ът кольца Ът (так
что обязательно к\п), то всякий простой делитель числа п делит
п/к. Пусть G — полупрямое произведение Ът X Zn. где образу-
образующая группы Zn действует в Zm как умножение на г. Я утвер-
утверждаю, что G обладает 2&-мерным представлением без неподвиж-
неподвижных векторов и, таким образом, когомологии H*(G) периодичны
с периодом 2к. Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что
в G имеется подгруппа А индекса к, которая действует в Zm три-
тривиально, так что G содержит подгруппу С = Zm X А, которая
является циклической в силу (а). Из (Ь) следует, что А содер-
содержит всякую подгруппу группы Zm имеющую простой порядок,
откуда очевидным образом выводится, что С содержит и всякую
подгруппу группы G, имеющую простой порядок. Выберем пред-
представление группы С без неподвижных векторов в двумерном век-
векторном пространстве W и образуем индуцированный модуль
V = ZG <g>zc W = \RG <g>RC W. Так как С < G, то в силу предложе-
предложения III.5.6(b) Rescy = ®g=c/c gW^> n каждое gW есть, очевидно,
пространство представления группы С без неподвижных векто-
векторов. Следовательно, и V есть пространство представления груп-
группы С без неподвижных векторов. Но тогда V есть аналогичное
пространство и для группы G, ибо нетривиальная стационарная
подгруппа Gv (v^V—{0}) содержала бы подгруппу простого
порядка и потому нетривиально пересекалась бы с С.
') Вопрос, существует ли такое многообразие, был поставлен Пуанкаре
в более ранней работе. Приведя свой пример, Пуанкаре переформулировал
проблему, добавив условие, что многообразие должно быть односвязным. Эта
проблема, или, точнее, предположение, что такого многообразия не сущест-
существует, известна с тех пор как гипотеза Пуанкаре.
§ 9. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ 183
Полная классификация групп, допускающих представления
без неподвижных векторов, содержится в книге Вольфа [1974].
Замечания. 1. Если группа G имеет периодические кого-
мологии, то и любая ее подгруппа Н имеет периодические кого-
мологии. Это вытекает из того факта, что гомоморфизм сужения
Н (G, Z)-*-# {H, Z), будучи кольцевым гомоморфизмом, пе-
переводит обратимые элементы в обратимые элементы. [По-другому
это можно доказать при помощи леммы Шапиро.]
2. Если группа G абелева, но не является циклической, то G
не может иметь периодических когомологий. Действительно, та-
такая группа G должна содержать подгруппу, изоморфную ZpXZp
с некоторым простым р, и прямое вычисление (основанное, на-
например, на формуле Кюннета) показывает, что #™(ZpXZp, ZP)
имеет при п~^0 Zp-размерность п + 1, так что когомологий
Н*(ZpXZp, ZP) не периодичны.
Вернемся теперь к общей задаче нахождения критерия перио-
периодичности когомологий группы. В случае, если G есть р-группа,
задача полностью решается следующим результатом. Напомним,
что элементарная абелева р-группа ранга г Зг О есть по определе-
определению группа, изоморфная Zp = ZPX . .. xZp {r сомножителей).
9.3. Предложение. Если G есть р-группа с некоторым
простым р, то следующие условия эквивалентны:
(a) группа G имеет периодические когомологий;
(b) всякая абелева подгруппа группы G является цикли-
циклической;
(c) всякая элементарная абелева р-подгруппа группы G име-
имеет ранг =?1;
(d) группа G имеет единственную подгруппу порядка р;
(e) G — циклическая или обобщенная кватернионная группа.
[Обобщенные кватернионные группы могут появиться, конеч-
конечно, только при р = 2.]
Доказательство. Импликации (е)=*-(а)=^(Ь)=*-(с) дока-
доказываются предыдущими примерами и замечаниями. Докажем им-
импликацию (c)=*-(d). Так как G есть р-группа, то она содержит
центральную подгруппу порядка р (см. Холл [1959], теоре-
теорема 4.3.1). Если бы существовала другая подгруппа порядка р,
то две эти подгруппы составляли бы элементарную абелеву
р-группу ранга 2, что противоречит (с). Наконец, импликация
(d) =*- (е) составляет содержание теоремы IV.4.3. ?
Переход от случая р-группы к общему случаю осуществляет-
осуществляется на основании следующего факта.
9.4. Предложение. Конечная группа G в том и только
в том случае имеет периодические когомологий, если всякая ее
силовская подгруппа имеет периодические когомологий.
Доказательство. Необходимость вытекает из сделанного
выше замечания 1. Чтобы доказать достаточность, фиксируем
184 гл- VL когомологическая теория конечных групп
простое р и рассмотрим силовскую р-подгруппу Я группы G. По
предположению, Я (Я, Z) содержит обратимый элемент и сте-
степени d Ф 0, и я утверждаю, что некоторая степень и G-инвари-
антна в смысле § II 1.10. Действительно, пусть е > 0 — такое це-
целое число, что а' = 1 для всех а е (Z/1Я \ Z) , где последнее
обозначает группу единиц кольца Z/1Я | Z. Для любого geG
элементы v = res^ngHg_i и и w = res^g-1 _x gw кольца Л*(Я П
П gHg1) Z) обратимы в этом кольце и потому порождают
циклическую группу Я (Я П gHg~x, %). Поскольку отображение
(Z/1Я | Z)* -*¦ (Z/1Н' | Z) эпиморфно для любой подгруппы Я'
группы Я, отсюда следует, что v — aw для некоторого
а е= (Z/1Я | Z)*. Таким образом, z;e = we и, значит, ие е Я"" (Я, Z)
инвариантно. Подобным же образом инвариантно иг*. Ввиду ана-
аналога теоремы III.10.3 для когомологий Тейта, это показывает, что
кольцо Я* (G, Z)(p) обладает обратимым элементом и(р) не-
ненулевой степени d(p). Наконец, заменяя и(р) подходящей сте-
степенью и(р)е{т), мы можем предположить, что d(p)— одно и то же
для всех простых делителей р числа IGI; поскольку кольцо
Я (G, Z) есть прямое произведение колец Н (Gt Z)(P) (см.
упражнение 2 к § 5), отсюда вытекает, что Я (G, Z) содержит
обратимый элемент положительной степени. ?
Комбинируя предложения 9.3 и 9.4, мы получаем следующий
результат.
9.5. Теорема. Для конечной группы G следующие условия
эквивалентны:
(a) группа G имеет периодические когомологий;
(b) всякая абелева подгруппа группы G является цикли-
циклической;
(c) всякая элементарная абелева р-подгруппа группы G
(с любым простым р) имеет ранг <1;
(d) все силовские подгруппы группы G являются цикличе-
циклическими или обобщенными кватернионными группами. П
Критерий (d) из этой теоремы позволяет нам привести, в до-
дополнение к примерам 9.2, еще несколько примеров групп с пе-
периодическими когомологиями.
9.6. Примеры. 1. Если m и п — взаимно простые числа, то
всякое полупрямое произведение ZmXZn (с произвольным дей-
действием) имеет циклические силовские подгруппы и потому имеет
периодические когомологий. [Обратно, из одной теоремы Берн-
сайда (см. Вольф [1974], 5.4) вытекает, что всякая группа с цик-
циклическими силовскими подгруппами есть полупрямое произведе-
произведение указанного вида.] Это обобщает пример 3 из 9.2.
2. Пусть р — простое число, и пусть G = SL2 (?р) — группа
2 X 2-матриц с определителем 1 над полем Fp из р элементов.
Тогда группа G имеет периодические когомологий. Чтобы убе-
§ 9. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ 185
дпться в этом, заметим сначала, что IGI = р(р* — 1). [Для пер-
первого столбца матрицы из G имеется рг — 1 возможностей; при
данном первом столбце число возможностей для второго столбца
равно (pz — р)/{р — 1) = Р-] Таким образом, силовская р-подгруп-
па группы G имеет порядок р и потому является циклической.
Пусть теперь I есть простое число, не равное р. Тогда многочлен
х' — 1 сепарабелен над ?р, так что матрица, имеющая в груп-
группе G порядок I, диагонализируема над конечным расширением к
поля FP, полученным присоединением корней 1-й степени из 1.
Поэтому любые два коммутирующих элемента группы G поряд-
порядка I приводятся к диагональному виду одновременно и, значит,
порождают группу, изоморфную группе
{(
которая имеет порядок I. Таким образом, G не содержит под-
подгрупп, изоморфных ZiXZb и, следовательно, G имеет перио-
периодические когомологии. Другое доказательство этого факта, со-
состоящее в явном построении циклических и кватернионных си-
ловских подгрупп, см. ниже в упражнении 8.
Замечания. 1. Группы SL2(fp) с р — 2, 3, 5 фактиче-
фактически рассматривались в наших предыдущих примерах. Именно,
Sb2^2)faZ3XZ2» группа SL2(fz) изоморфна бинарной груп-
группе тетраэдра, а группа S?2(F6) изоморфна бинарной группе
икосаэдра.
2. Полная классификация групп с периодическими когомоло-
гиями была получена Сузуки [1955], завершившим работу, нача-
начатую ранее Цассенхаузом. (См. также Вольф |1974], 6.1 и 6.3.) Не
все такие группы могут свободно действовать в сфере. В дейст-
действительности, как показал Милнор [1957а], группа, которая сво-
свободно действует в сфере, может иметь не более одного элемента
порядка 2. (Таким образом, например, диэдральная группа D2n
с нечетным п не может свободно действовать в сфере, хотя все
ее силовские подгруппы являются циклическими.) Наоборот,
Мадсен, Томас и Уолл [1976] показали, что если группа G имеет
периодические когомологии и содержит не более одного элемента
второго порядка, то G свободно действует в сфере. Эта теорема
применима, в частности, к группам SL2(FP) с нечетным р, по-
поскольку
[ 0 —1
есть единственный элемент второго порядка. Эти группы, однако,
не допускают свободного ортогонального действия в сфере
(т. е. не имеют представлений без неподвижных векторов), за
исключением случаев р = 3 и р = 5.
гл- VI- КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Условие, что все силовские подгруппы группы G являются
циклическими или обобщенными кватернионными группами, оче-
очевидно, очень ограничительно. Гораздо чаще случается, что для
некоторых простых р силовские р-подгруппы принадлежат
указанному типу. Поэтому представляет интерес замечание, что
результаты этого параграфа могут быть «локализованы» в одном
простом р. Именно, мы скажем, что группа G имеет р-периоди-
ческие когомологии, если кольцо Н* (G, Ж)(Р) содержит обрати-
обратимый элемент ненулевой степени d. Очевидно, «-«-умножение на
такой элемент определяет изоморфизм периодичности
Hn(G,M)(P) &Hn+i(G, M)m для любого G-модуля М. Читатель
без труда сможет сформулировать и доказать аналоги для этой
ситуации теорем 9.1, 9.4 и 9.5. В частности, справедлива:
9.7. Теорема. Для конечной группы G и простого числа р,
делящего \G\, следующие условия эквивалентны:
(a) группа G имеет р-периодические когомологии;
(b) кольцо Н (G, Zp) содержит обратимый элемент ненуле-
ненулевой степени;
(c) всякая элементарная абелева р-подгруппа группы G име-
имеет ранг <1;
(d) силовские р-подгруппы группы G являются циклическими
или обобщенными кватернионными группами. П
В заключение этого параграфа мы приведем без доказатель-
доказательства красивое обобщение последней теоремы, которое высказы-
высказывалось в качестве гипотезы Атиа и Суоном и было доказано
Квилленом [1971]. Фиксируем простое р и обозначим через H(G)
коммутативную Zp-алгебру фп>о Н271 (G, %р). Если максималь-
максимальный ранг элементарной абелевой р-подгруппы группы G равен 1,
то теорема 9.7 показывает, что Н (G) есть конечно порожденный
модуль над алгеброй многочленов ?р [и]. Следовательно, H(G)
имеет размерность Крулля, равную 1. (Изложение теории раз-
размерности коммутативных колец можно найти, например, в книге
Серра [1965].) Результат Квиллена заключается в следующем.
9.8. Теорема. Для всякой конечной группы G размерность
Крулля кольца H(G) равна максимальному рангу элементарной
абелевой р-подгруппы группы G. ?
Грубо говоря, степень сложности кольца Н (G, %р) опреде-
определяется степенью сложности р-подгрупп группы G.
Упражнения
1. Докажите, что если группа G нетривиальна и имеет периодические
когомологии периода d, то d четно. [Указание. Воспользуйтесь косоком-
му тати вно стью. ],
2. Докажите, что группа G в том и только в том случав имеет перио-
периодические когомологии периода 2, если группа G является циклической.
[Указание. Что можно сказать о HXG, если когомологии H*(G) имеют
период 2?].
§ 9. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ 187
3. Вычислите Нп (G, 2) и Нп (G, Z) при всех п, если когомологии
7?*(G) являются периодическими периода 4. Заметьте, что, в частности,
Я (G) = Я (G) = Н1 (G) = Нот (G, Z) = 0, что доставляет новое доказа-
доказательство результата из упражнения 7 (а) к § II.5.
4. Покажите, что если группа G имеет периодические когомологии, то
Hl(G, Z)=0 при нечетном i. [Указание. Достаточно доказать это в
случае, когда G есть р-группа.],
5. Найдите прямое доказательство импликации (а) =>- (а) из предложе-
предложения 9.3. [Указание. Воспользуйтесь индуцированными представлениями,
как в примере 3 из 9.2.,],
6. Пусть G = 1тА 2п, где т и п взаимно просты и Zn действует в Zm
посредством гомоморфизма Zn->-Z^, образ которого имеет порядок к. Дока-
Докажите, что наименьший возможный период когомологии H*{G) равен 2ft.
[Указание. Если р\п, то Н* (G, Z)(p)« Л*{1п, Z)(p); если р\т,
7. Пусть ?д — поле из q элементов, где д есть степень простого числа.
Покажите, что группа SLn(Fq) не имеет периодических когомологии, ес-
если п ^ 3 или если q не просто.
8. Пусть к = F?' где q есть степень нечетного простого числа.
(а) Пусть М — подгруппа группы SL^(к), состоящая из мономиалышх
матриц
(I Л) ¦ (I -V)-
Покажите, что если q ф 3, то М да
(Ь) Пусть К Z3 к — квадратичное расширение (так что К = F Л. Рас-
Рассмотрим К как двумерное векторное пространство над к и обозначим через
GL{K) (соотв. SL(K)) группу векторных автоморфизмов К (соотв. группу
'(К) да
автоморфизмов с определителем, равным 1). Таким образом, GL(K)
« GL2(k) и SL(K) да SL2(k). Рассмотрим включения Gal(#//c) -»GL(R) и
K*^>~GL(K), второе из которых соответствует действию К* в К посредством
умножений. Покажите, что GaL(AT/fc) и К* порождают в GL(K) подгруппу
порядка 2(д2— 1), пересечение которой с SL(K) изоморфно ?2(9+1). [Указа-
н и е. Композиция К* -*¦ CL (К) —> к* есть просто нормирующее отображе-
отображение теории Галуа, которое в рассматриваемом случае действует по формуле
Я-* %q+1. Далее, если а — нетривиальный элемент группы Gal(K/k), то
det о = —1.]
(с) Используя (а) и (Ь), а также тот факт, что \SL2(k)\ = q{q2 — l),
покажите, что у группы SL2(k) силовская 2-подгруппа есть обобщенная ква-
тернионная группа, а силовская ^-подгруппа с нечетным простым I Ф char к
есть циклическая группа.
9. Предположим, что G имеет р-периодические когомологии. Пусть Р s
= G — подгруппа порядка р, пусть N(P) (соотв. С(Р)) —нормализатор (со-
(соотв. централизатор) группы Р в G, и пусть W = N(P)/C(P). Покажите, что
$*{G,M){p)i*E*(N(P),M)(p)*s8*(C(P),M)yr). [Указание. Для до-
доказательства первого изоморфизма выберите силовскую р-подгруппу Я э Р
и покажите, что всякий N(P) -инвариант в Н*(Н) является G-инвариантом.
Для доказательства второго изоморфизма заметьте, что р -f \W\.]
10. Покажите, что для любой конечной группы G аугментационный иде-
идеал / с T.G в том и только в том случае является циклическим G-модулем,
если G есть циклическая группа. [Указание. Если модуль / цикличен, то
G допускает периодическую резольвенту периода 2.]
ГЛАВА VII
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ГОМОЛОГИИ
И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Введение
Если группа G действует в топологическом пространстве X,
то можно определить эквивариантные гомологические и когомо-
когомологические группы, которые на эвристическом уровне можно
представлять себе как «смесь» H(G) и Н(Х). Эквивариантная
теория доставляет мощное средство для извлечения гомологиче-
гомологической информации о группе G из действия этой группы в X. На-
Например, именно на этом пути Квиллен доказал свою теорему
о размерности Крулля кольца Н* (G, %р) для конечной груп-
группы G (см. теорему VI.9.8).
Главная цель этой главы заключается в том, чтобы построить
эквивариантную теорию и доказать ее основные свойства, вклю-
включая две спектральные последовательности. Эта теория будет
играть весьма существенную роль в остающихся главах этой кни-
книги. Для простоты мы ограничимся случаем, когда X есть клеточ-
клеточное G-пространство в смысле § 1.4. Изложение более общей точ-
точки зрения можно найти в работах Гротендика [1957] и Квил-
лена [1971].
Мы начнем с краткого изложения теории спектральных после-
последовательностей.
§ 2. Спектральная последовательность
фильтрованного комплекса
Если С есть цепной комплекс и С — его подкомплекс, то
имеется длинная точная последовательность, которая позволяет
получать информацию о #*(С), если известны Я* (С) и ##(С/С").
Предположим теперь, что вместо одного подкомплекса С нам да-
дана последовательность подкомплексов {^"pCJpszi B которой
Fp-iC s FPC. В таком случае естественно попытаться получить
информацию о группах Н*(С) через посредство групп
H^iFpC/Fp-xC). В этом параграфе мы опишем метод, кото-
который позволяет это сделать. Грубо говоря, этот метод доставляет
для Н*(С) цепочку последовательных приближений Ет (г 5* 0),
в которой Е1 состоит из групп H^lFpC/Fp-iC).
Большую часть доказательств мы в этом параграфе пропу-
пропустим. Читатель может либо самостоятельно восстановить пропу-
пропущенные доказательства (которые совершенно стандартны), либо
§ 2. ФИЛЬТРОВАННЫЕ КОМПЛЕКСЫ 189
заглянуть в любую книгу, имеющую дело со спектральными по-
последовательностями, например, Спеньер [1966] или Маклейн
[1963].
Пусть R — произвольное кольцо. (В применениях обычно бу-
будет R = Z.) Под возрастающей фильтрацией Д-модуля М мы
понимаем семейство подмодулей FpM (p e Z), такое, что
FPM s Fp+iM. Фильтрация называется конечной, если FPM = О
для достаточно малых р и F?M = М для достаточно больших р.
Если в М задана фильтрация, то ассоциированный градуирован-
градуированный модуль Gr M определяется формулой GrpM = FPMJFp-iM^
Можно представлять себе модуль М как построенный из «кусков»
GVfM. Следующая элементарная лемма показывает, что в извест-
известном смысле, переходя от М к Gr М, мы теряем не особенно много
информации.
2.1. Лемма. Пусть М и М' — модули с конечными фильт-
фильтрациями и /: М -*¦ М' — сохраняющее фильтрации отображение^
Если Gr /: Gr M ->¦ Gr M' есть изоморфизм, то и j есть изо-
изоморфизм.
Другое элементарное (но важное) наблюдение состоит в том,.
что если для Д-модулей имеется понятие «ранга» (например,
если R = Z или если R есть поле), такое, что ткМ = ткМ' +
+ ткМ" для любой короткой точной последовательности 0 ->-
¦-*¦ М' -*¦ М -*¦ М" -*- 0, то ранг конечно фильтрованного модуля
может быть найден через ассоциированный градуированный
модуль:
B.2) rkAf= S rkGrpAf.
р=1
Если фильтрованный модуль М в дополнение к фильтрации
обладает градуировкой (и FVM есть при каждом р градуирован-
градуированный подмодуль), то при каждом neZ мы имеем фильтрацию
{FpMn} в М„, и это доставляет очевидный способ ассоциировать
с М биградуированный модуль. Общепринятые обозначения при
этом таковы: GxTqM = FvMp+q/Fv-iMvJrq. Об элементе модуля
QvpqM говорят, что он имеет фильтрационную степень р, допол-
дополнительную степень q и полную степень р + q. Для упрощения
записи мы часто будем отбрасывать второй индекс и писать
GtpM = FPMIFV^M.
Пусть теперь С = (Cn)nsz есть фильтрованный цепной ком-
комплекс (где FPC при каждом р есть подкомплекс). Для простоты
мы всегда будем предполагать, что фильтрация поразмерностно
конечна, т. е. что при каждом п {FpCn}p<=z есть конечная филь-
фильтрация модуля Сп. В гомологиях Н(С) возникает индуцирован-
индуцированная фильтрация, определяемая формулой FpH(C)=im{H(FvC)-+
-» Н\С)). Мы можем отождествить FPH{C) с (FPC П Z)/{FVC П В),
где Z (соотв. В) есть модуль циклов (соотв. границ) комплек-
комплекса С. Ассоциированный биградуированный модуль Gr#(C>
ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
задается формулами
B.3) GtpH(C) = {FpC П Z)/((FvC П B) + (Fp-,C Л
Теперь мы опишем спектральную последовательность, ассоци-
ассоциированную с фильтрованным комплексом С. Это — последователь-
последовательность {Ег}г>0 «последовательных приближений» для GtH(C).
Положим Zrp = FPC П д~1 Fp-rC. (Точнее, Zrpq = FpCpU f]
П d^Fp-rCp-iq-!.) Положим, далее, Zp = FPC[\ Z. Очевидно, FPC=
= Zp= Zp= ... Э Zp°. Так как фильтрация {FPO поразмерност-
но конечна, то эта последовательность включений в каждой раз-
размерности стабилизируется, превращаясь в последовательность
равенств, т. е. при фиксированных р, q мы имеем Zpq = Zpq —
= ... = Z°p\ для достаточно большого г. Пусть, наконец,
Вр = FPC П 3Fp+r_1C = dZ'p+U HB"=VnS. Тогда В°рs
S i5p E ... S S~, и снова последовательность включений ста-
стабилизируется к последовательности равенств. Таким образом,
мы имеем
В* s В\ = ... = 5~ s Z" s ... = Z^ s Z° = FPC
и полагаем
я; = z;/E; + zrpz\) = z;/(b; + {fp^c n z;))
?~ = Z~/E" + Z-_x) = GrpH(C)
{cp. B.3)). При фиксированных р, q мы имеем
для достаточно большого г, так что последовательность {Ег}
«сходится» к GvH(C) при г ->- °°. (Часто при этом отбрасывают
Gr и просто говорят, что спектральная последовательность схо-
сходится к Н(С) или что Я (С) есть предел спектральной последо-
последовательности.)
Особенно просто описать модули Ет при г = 0 и 1:
<2.4) ?Р = FpC/F^C = Grp
B.5) El = (FPC П d^F
(Точнее говоря, Exm « Яр+д (FpC/Fp-iG).) Таким образом, Е* есть
томологии комплекса Е" по отношению к дифференциалу, инду-
индуцированному в Е" дифференциалом д. Можно показать, что при
любом г дифференциал д индуцирует в Ег некоторый диффе-
§ 2. ФИЛЬТРОВАННЫЕ КОМПЛЕКСЫ
ренциал dr бистепени (—г, г—1) (т. е. dr: Етш-*~Ep_r>g+r_i)
и что при этом Er+i = H(Er). Вот важное следствие этого
факта.
2.6. Предложение. Пусть С и С — комплексы с пораз-
мерностно конечными фильтрациями и т: С -*¦ С — сохраняющее
фильтрации цепное отображение. Если при некотором г индуци-
индуцированное отображение Ег(х): ЕТ{С)^~ ЕТ{С) одной спектральной
последовательности в другую является изоморфизмом, то Н(т):
Я(С)-> Н(С) также есть изоморфизм.
Доказательство. Если Ег(х) есть изоморфизм, то и
Е"(х) есть изоморфизм при s>r, поскольку ЕВ = Н(Е3~1). Сле-
Следовательно, изоморфизмом является и Ес°(х)= GtH(x), и наше
утверждение вытекает из предложения 2.1. П
Другой важный факт заключается в том, что при помощи
спектральных последовательностей можно вычислять эйлеровы
характеристики. Предположим, например, что R = Z или R есть
поле. Для градуированного Я-модуля А=(Ап) (соотв. биградуи-
рованного модуля A—(APq)) положим %(А) = ^п(—l)n vk Ап
(соотв. %(А) = 2р,?(~ 1)Р+9гк^4Р9), где предполагается, что все
ранги конечны и почти все ранги равны 0. Если в А задан
дифференциал, то, как это хорошо известно, х(А) = %(Н(А))
(см. Спеньер [1966], 4.3.14). В частности, если С есть, как и вы-
выше, фильтрованный комплекс и если %{ЕГ) определено при не-
некотором г, то
B.7) 1(Е')=1(Е'+1)=... = х{Е-) = %(Н(С)),
где последнее равенство есть следствие формулы B.2).
В заключение мы вкратце опишем общепринятые обозначе-
обозначения в случае, когда комплекс С индексирован как коцепной
комплекс (Cn)nsz и имеет дифференциал степени +1. В этом;
случае фильтрация обозначается символом {FPC} и предполагает-
предполагается убывающей (т. е. FVC з FP+1C). Члены получающейся когомо-
когомологической спектральной последовательности обозначаются через
Е?, и при этом Eiq = Gvpq H (С) = FpHp+q (C)/Fp+1H*>+q (С).
Дифференциал dr имеет бистепень (г, —г+1), так что
dr: E™-*- E?+T'q~r+1. Если мы будем представлять себе член ??''
расположенным в точке (р, q) решетки на плоскости, то
дифференциал dr изобразится стрелкой, направленной при г > 2'
вправо и вниз. Напротив, дифференциалы dT гомологической
спектральной последовательности направлены влево и вверх.
Канонический пример фильтрованного коцепного комплекса
доставляет Жотп(С, М), где С есть фильтрованный цепной комп-
комплекс. В этом случае полагают
iC, M).
•J92 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Упражнение
Пусть 0 ->- С -*- С -*¦ С" -*¦ О — короткая точная последовательность цеп-
цепных комплексов. Рассмотрим фильтрацию {FVC}, в которой F0C = 0, FtC =
= С и F-fi — С. Опишите модули E^q и выведите из спектральной после-
последовательности хорошо знакомую нам длинную точную гомологическую по-
последовательность. [Таким образом, спектральная последовательность фильт-
фильтрованного комплекса может рассматриваться как обобщение длинной точ-
точной последовательности, ассоциированной с комплексом и его подкомплек-
подкомплексом, как и было обещано в начальном абзаце этого параграфа.]
§ 3. Двойные комплексы
Под двойным комплексом мы понимаем биградуированный
модуль С — (Cp9)pi9=z, в котором заданы «горизонтальный»
дифференциал д' бистепени (—1, 0) и «вертикальный» диффе-
дифференциал д" бистепени @, —1), такие, что д'д" =д"д':
с Х-с
Cp-l,q-l "*— Cp,q-1.
Заметим, что двойной комплекс может рассматриваться, и даже
двумя способами, как «цепной комплекс в категории цепных
комплексов». Так, при каждом q мы имеем горизонтальный цеп-
цепной комплекс С*,9 с дифференциалом д', и нам заданы цепные
отображения д": C,i9->-C#i9_i, такие, что д"д" = О. Аналогич-
Аналогичным образом, при каждом р мы имеем вертикальный цепной
комплекс CPtif с дифференциалом 9", и нам заданы цепные ото-
отображения д': Cp^^-Cp-i^, такие, что д'д' = 0.
Из двойного комплекса С можно сделать обычный цепной
комплекс ТС, называемый тотальным комплексом: мы полагаем
iTC)n — ®Pfg=nCpg и определяем в ТС дифференциал д усло-
условием d\Cvq= д'+(—1)Р3". Известный пример этой конструкции
доставляет тензорное произведение комплексов С и С". Дейст-
Действительно, модули Cpq = Ср ® Cq составляют двойной комплекс
¦С и ТС есть просто обычное тензорное произведение С® С" цеп-
цепных комплексов.
Фильтруем теперь ТС, положив Fv{TC)n— Фг<рС{_п_{. Если
комплекс С имеет лишь конечное число ненулевых модулей Cvq
каждой полной степени р + q (это выполняется автоматически,
папример, если С есть двойной комплекс первой четверти,
т. е. если Cpq = 0 при р < 0 или q < 0), то эта фильтрация
поразмерностно конечна. В этом случае мы получаем спектраль-
спектральную последовательность {Ег}, сходящуюся к Н*(ТС). Прямо из
определений вытекает, что E°pq = Cpq и d° = ±d". Следовательно,
Ei совпадает с вертикальными гомологиями С, т. е.?р<,= Hq(Cp^)-
Дифференциал d1: Epq-*- ЕР-\Л есть, как легко видеть, отобра-
§ 4. ПРИМЕР: ГОМОЛОГИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ 193
жонне, индуцированное цепным отображением д': CVt9—*-Cp-\iif\
действительно, всякий элемент модуля Epq представляется таким
элементом с е Cvq, что 5"с = 0, а для такого с очевидно равен-
равенство дс = д'с. Таким образом, Ег можно описать как горизонталь-
горизонтальные гомологии вертикальных гомологии комплекса С.
Равным образом можно профильтровать комплекс ТС, поло-
положив Ер(ТС)п = (Bi<pCn-i,j- Тогда мы получим другую спект-
спектральную последовательность, сходящуюся к Н(ТС), и на сей раз
будет E'lq = Cqp, Eyq = Hq(CVttf) и дифференциал dl:E\q-> Ер-1л
будет равен (с точностью до знака) отображению, индуцирован-
индуцированному цепным отображением д": C^p-j-C^p-!.
[Предостережение: хотя две спектральные последовательно-
последовательности имеют один и тот же предел Н(ТС), они могут иметь разные
члены Е°°, поскольку мы имеем, вообще говоря, две разные филь-
фильтрации в Н(ТС) и, значит, два разных ассоциированных градуи-
градуированных модуля GtH(TC).]
Аналогичные построения примепимы к двойным коцепным
комплексам С=(СТ"). В этом случае определяется тотальный ко-
цопной комплекс ТС с двумя убывающими фильтрациями и, сле-
следовательно, две спектральные последовательности когомологиче-
когомологического типа, сходящиеся к Н*(ТС) (при условии, что С имеет
лишь копечпое число ненулевых модулей каждой тотальной
степени). Детали оставляются читателю.
Упражнение
Пусть С — двойной комплекс первой четверти, такой, что у одной из
двух ассоциированных спектральных последовательностей (скажем, у пер-
первой) ?р9 = 0 при q ф 0. Пусть D — цепной комплекс ?° 0 с дифференци-
дифференциалом dx. ^
(a) Покажите, что имеется изоморфизм <р: Д* (ТС) -^/Z* (D).
(b) Уточните этот результат, показав, что существует слабая пквияа-
лситиость т: TC-+D. [Указание. Возьмите за т канонический гшнмор-
фнзм, происходящий из того факта, что D совпадает с вертикальными нуль-
нульмерными гомологиями комплекса С. Равенство т;]. =ср выведите прямо из оп-
определений, составляющих конструкцию спектральной последовательности.
Если вы не хотите с ятим возиться, то вы можете вывести это равенство из
замечания, что т может рассматриваться как отображение C—>-D в катего-
категории двойных комплексов (при этом D рассматривается как двойной комп-
комплекс, сосредоточенный на прямой q = 0); индуцированное отображение од-
одной спектральной последовательности в другую есть изоморфизм на уров-
уровни Е\ так что т индуцирует изоморфизм Я* (ТС) -> //* (TD) = II* (D). ]
§ 4. Пример: гомологии объединения
Пусть X — клеточное пространство, представленное в виде
объединения семейства своих непустых подпространств (в кле-
клеточном смысле) Ха, где а пробегает некоторое упорядоченное
множество / индексов. В случае J = {1, 2} мы получаем короткую
13 К. С. Браун
194 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
точную последовательность цепных комплексов
О -* С(Х4 П Хг)-+ С(Х,)Ф C(Xt)-+ С(Х)-* О
(где С( ) обозначает клеточный цепной комплекс), которая ип-
дуцирует знакомую нам последовательность Майера — Виетори-
са. Мы покажем, что в общем случае указанная короткая точная
последовательность заменяется точной последовательностью
а последовательность Майера — Виеториса заменяется спектраль-
спектральной последовательностью. Перейдем к детальному изложению.
Пусть К — симплициальная схема с множеством вершин J,
симплексы которой — непустые конечные подмножества о мно-
множества /, для которых пересечения Хст = |]а^стХа непусты;
К называется нервом покрытия {Ха}. Для р > 0 обозначим че-
через Сг цепной комплекс Фа=х(,р)С{Ха), где Kip) есть множество
/^-симплексов нерва К. Если а имеет вершины а0 < ... < аР, то
мы обозначим через dta (O^i^p) (p — 1)-симплекс {а0, ...
..., а;, ..., а,Р}. Включения С(Ха)—>-С(Хд.о) составляют цеп-
цепное отображение д{: СР -*¦ CP-i при р ^ 1, и мы полагаем
<9=2f=o(— l)l^i- Аналогичным образом включение С(Ха)-+ С(Х)
составляют цепное отображение е: С0->С(Х). Мы получаем, та-
таким образом, аугментированный цепной комплекс
D.1) -+С -+С _ ->¦ -+С -+С(Х)^>-0
в категории цепных комплексов и, значит, двойной комплекс Сг
у которого СРЧ есть группа g-цепей комплекса СР, т. е. См =
Я утверждаю, что последовательность D.1) точна. Чтобы убе-
убедиться в этом, мы дадим другое описание для Cvq. Для клетки е
пространства X обозначим через К, часть нерва К, составленную'
из тех симплексов о, для которых е s Х„. Тогда СРЯ имеет базис,
элементы которого отождествляются с парами (а, е), где е есть
g-клетка пространства X и о есть р-симплекс пространства Ке.
Другими словами, Ст « ©eexW ^p (^«)i гДе -^(9) есть множество
g-клеток пространства X. Более того, как это видно из опреде-
определений отображений д и е из последовательности D.1), отобра-
отображение д: См->- Cp-i,, совпадает с ®e5X(g){d; Ср {Ке) ->- Ср-Х (Ке)},,
и подобное верно для е. Таким образом, ^-мерная часть последо-
последовательности D.1)
§ 4. ПРИМЕР: ГОМОЛОГИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ 195
изоморфна фсеХ(д) С(ЛГе), где С(Ке) есть аугментировапныи
енмнлициальный цепной комплекс пространства Ке. Но прострап-
стио Кг ациклично. Действительно, симплексы, входящие в 1С,—
пто псе конечные подмножества непустого множества /, =
= (а е /; е ^ XJ, так что Ке есть «симплекс», натянутый на
(ио.'шожио, бесконечное) множество /«. Таким образом, комп-
комплекс фе6'(А',) ацикличен, и наше утверждение доказано.
Рассмотрим теперь дне спектральные последовательности
двойного комплекса (CPq). Ввиду точности последовательности
(i.l), у второй спектральной последовательности
. 10 при п Ф О,
Переходя к гомологням по отпошепшо к р, мы получаем
_ |0 при дфО,
Р9=(Я?,(Х) при 5 = 0.
Таким образом, спектральная последовательность «вырождается»
и даст изоморфизм
D.2) II
В то же время в первой спектральной: последовательности
<4.3) Е1„ = НЧ(СР)= © Hq(Xa).
Более того, ввиду изоморфизма D.2), мы можем рассматривать
Ilt(X) как предел спектральной последовательности, т. е. Е =
¦—GrH%(X) по отношению к некоторой фильтрации вЯ*(Х).
Первая спектральная последовательность и доставляет, такпм об-
образом, желаемое обобщение последовательности Майера — Вко-
ториса. Она дает приближения к Я%(Х) в терминах гомологии
.кусков Ха и их пересечений.
Чтобы описать член Е\ нам потребуется понятие «системы
коэффициентов» на симплицнальном пространстве К. Это — се-
семейство ^ = {А„} абеловых групп, где о пробегает множество
симплексов пространства К, заданное вместе с отображениями
/,!Г: Ал-* Лх, определенными, когда т есть грань симплекса о (мы
употребляем в этом случае запись т<=о); при этом предполагает-
предполагается, что Утр/ot = /ор, если р с х с о, Очевидным образом строится
цепной комплекс С{К,зФ), в котором CV(K, s?) = ®a-K(V)-Aa,
и возникают гомологические группы Н%(К, М). [Детальное из-
изложение когомологической версии этой системы определений
имеется в книге Годмана [1958], I.3.3.]
Возвращаясь к ситуации, когда К есть нерв покрытия {Ха},
мы имеем при каждом q 5= 0 систему коэффициентов Жч =
13*
196 ГЛ- VII> СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
= {Пч(Ха)} на К, в которой отображения /«: Ня(Ха)->-Hq(Xx)
индуцируются включениями Ха -*¦ Хх. Из определений вытекает,
что член Еи описанный формулой D.3), равен СР(К, Жч); таким
образом, Epq — HP(K, 3@q). Все сказанное можно выразить фор-
формулой
?*„- НР(К, 3«q)=>Hp+q(X),
где значок =*¦ указывает на то, что спектральная последователь-
последовательность сходится к тому, что стоит в правой части.
Если каждое пространство Ха ациклично, то Звй = Z и Жп =
= 0 при q ?=0. Поэтому спектральная последовательность вырож-
вырождается, начиная с члена Е2, и мы получаем следующий резуль-
результат, по существу, принадлежащий Лере.
4.4. Теорема. Предположим, что X есть объединение под-
подпространств Ха, таких, что всякое непустое пересечение
Ха0 П • • • П Хар (Р > 0) ациклично. Тогда Я* (X) « Я* (К), где К
есть нерв покрытия. ?
Упражнения
1. Уточните теорему 4.4, показав, что при сделанных там предположе-
предположениях существует цепной комплекс Т, который допускает слабые эквивалент-
эквивалентности Т-*С(Х) и T-fC{K). [Указание. Положите Т = ТС, где С есть
двойной комплекс, фигурировавший в этом параграфе, и воспользуйтесь
частью (Ь) упражнения к § 3.]
*2. Дополнительно уточните теорему 4.4, показав, что существует кле-
клеточное пространство У, которое отображается как в К, так и в X посредст-
посредством отображений, индуцирующих гомологические изоморфизмы. (Указа-
н и о. Возьмите за Y объединение клеток о X е произведения К\ X, таких,
что е s Ха (или, что эквивалентно, таких, что о лежит в Ке); заметьте, что
C(Y) можно отождествить с комплексом Т из упражнения 1.]
Замечание. Отображение Y->• X в действительности является гомо-
гомотопической эквивалентностью. Это можно увидеть, например, применив ин-
индуктивное рассуждение по остовам X, использующее тот факт, что все Ке
стягиваемы. Это наблюдение доставляет канонический гомотопический класс
отображений Х-*-К, индуцирующих гомологической изоморфизм. В случае,
если каждое Ха стягиваемо (а не просто ациклично), можно аналогичным
образом показать, что и отображение Y -*¦ К является гомотопической экви-
эквивалентностью, так что X и К гомотопически эквивалентны. Такого рода ре-
результаты впервые были получены Вейлем [1952], § 5; см. также Борсль —
Серр [1974], § 8, и Квиллен [1978], 1.С—1.8.
§ 5. Гомологии групп с коэффициентами
в цепном комплексе
Напомним, что H*(G, M) есть, по определению, H%(F<g)GM)r
где F есть проективная резольвента ?, над XG. Оказывается
полезным обобщить это определение, допустив в качестве обла-
области коэффициентов неотрицательный цепной комплекс. Таким
образом, мы полагаем
§ 5. ГОМОЛОГИИ ГРУПП С КОЭФФИЦИЕНТАМИ В КОМПЛЕКСЕ
как обычно, эти гомологии определены корректно с точностью
до канонического изоморфизма. Если С состоит из одного моду-
модуля М, сконцентрированного в размерности 0, то Я„. (G, С) сводит-
сводится к Я* (G, М).
Поскольку F ®аС есть тотальный комплекс двойного комп-
комплекса абеловых групп (Fp ®eCq), мы имеем в силу § 3 две спект-
спектральные последовательности, сходящиеся к Н% (G, С). У первой
из них Ехп = Hq (Fp <g>B С„) = Fp <8>G Яд (С), поскольку F? ®0 —
есть точный функтор. Беря гомологии по отношению к р, мы по-
получаем Е2Щ = HP(G, IIдС). Таким образом, спектральная после-
последовательность имеет вид
E-1) Е% = Нр (G, IIf) => Hp+q (G, С).
Важное следствие заключается в том, что Я* (G, С) есть ин-
инвариант «слабого гомотопического типа» комплекса С.
5.2. Предложение. Если т: С-*¦ С есть слабая эквива-
эквивалентность цепных G-комплексов, то х индуцирует изоморфизм
H*(G,C)^II*(G,C).
Доказательство. Отображение т индуцирует отображе-
отображение одной спектральной последовательности в другую, которое
является изоморфизмом на уровне Е2; следовательно, т индуци-
индуцирует изоморфизм и между пределами этих спектральных после-
последовательностей, в силу предложения 2.6. ?
[Предложение 5.2 вытекает, конечно, и из теоремы 1.8.6, но
приведенное нами доказательство представляет интерес как ил-
иллюстрация мощи техники спектральных последовательностей.]
У второй спектральной последовательности Ем = Hq(F# ®а
®g Ср) — Hq (G, Ср). Таким образом, мы получаем
E.3) Е]щ = IIя (G, С„) => Нрл q (G, С).
Группа Ёщ может быть описана, таким образом, как р-я гомоло-
гомологическая группа комплекса, полученного пз С поразмерностным:
применением функтора Hq(G, —). Таким образом, про каждую
из этих спектральных последовательностей можно сказать, что
она доставляет аппроксимацию Я* (G, С) в терминах о б ы ч-
ных гомологических групп H*(G, M).
Чтобы достичь лучшего понимания групп H%(G, С), рассмот-
рассмотрим некоторые специальные случаи. Предположим сначала, что
G действует в С тривиальным образом. Тогда F ®0С « FG® С
так что имеет место формула Кюннета
G
О-»- Ф HvG®H?^Hn{G,C)-+ © Тог(#„6, #,С)-»-О,
Р+9=п р+9=п—1
выражающая Н* (G, С) через H^G и Н*С. Аналогичным образом,
если к есть поле и С есть комплекс векторных пространств над к
J98 гл- VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
(с тривиальным действием группы G), то
E.4) Я* (G, С)« Я* (G, к) ®h H*C.
В качестве другой крайности рассмотрим случай, когда каж-
каждый ZG-модуль Ср свободен или по крайней мере Я^-ацикличен
(например, является проективным или индуцированным). Тогда
"член Е1 спектральной последовательности E.3) сосредоточен на
прямой 5 = 0 и Ер,п = (Cp)g- Следовательно, спектральная по-
последовательность вырождается, начиная с члена Ez, и дает изо-
изоморфизм
<5.5) H#(G,C)^Ht(Ce).
Таким образом, предел спектральной последовательности E.1)
может быть отождествлен к Я* (Со); это доказывает следующее
утверждение.
5.6. Предложение. Пусть С — неотрицательный цепной
комплекс G-модулей, такой, что каждый модуль Сп Н^-ацик-
личен. Тогда существует спектральная последовательность вида
Замечание. Эта спектральная последовательность пред-
представляет собой частный случай «спектральной последовательно-
последовательности универсальных коэффициентов» — см. Годман [1958], 1.5.5.1.
Мы можем определить также когомологические группы
H*(G, С), где С =(Сп)п>0 — неотрицательный коцепной комп-
комплекс; именно, мы полагаем
Я* {G, С) = Я* (Жотпо {F, С)),
тде F есть проективная резольвента Z над Z.G. Далее,
<MomG(F, С) есть в действительности тотальный комплекс, ассо-
ассоциированный с двойным комплексом, у которого Cvq =
= HomG(F,, С). Действительно, 2%omG(F, C)n= 3eomG(F', С)_я =
= Л P-ig=nHomG (/",,, Ср) = 0P4 7-nHomG(/'9, Cp). И если мы
определим б' как кограничный оператор в cf6omG(Fq,C) (где
q фиксировано и модуль Fq рассматривается как цепной ком-
комплекс, сосредоточенный в размерости 0) и определим б" как ко-
кограничный оператор в a^oma{F, Cp), то получающийся тоталь-
тотальный кограничный оператор будет совпадать с кограннчным опе-
оператором в 3fSomG(F, С). Теперь ничего не стоит перенести на ко-
гомологии все результаты, полученные выше в этом параграфе.
Аналогичным образом, используя полную резольвенту F,
можно определить для конечной группы G когомологические
группы Тейта H*(G, С). При этом предполагается, что С = 0
при п > 0, так что двойной комплекс Нотс(^9, Ст) по-преяшему
зшоет лишь коночное число ненулевых групп каждой полной
степени.
§ 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СЕРРА — ХОХШИЛДА 199
В заключение мы заметим, что все формальные свойства го-
гомологии и когомологий, собрапные в главах III и IV, без труда
переносятся па гомологии и когомологии с коэффициентами в
(ко)цепном комплексе. В частности, это относится к длинным
точным последовательностям, лемме Шапиро, отображениям су-
сужения и косуження, '-'-умножению и т. д. Более того, когомоло-
когомологические аналоги спектральных последовательностей E.1) и E.3)
согласованы с '-'-умножением. Точнее, предположим, что С и D —
коценные G-комплексы, и рассмотрим коцепное G-умножение
Жото (F, С) ® Хота (F, D) -* 36omG (F, C®D),
определенное посредством некоторой диагональной аппроксима-
аппроксимации F -*¦ F ® F. Легко проверить, что это ^-умножение согласо-
согласовано с фильтрациями, определяющими две спектральные после-
последовательности, т. е. что оно индуцирует умножение
Fp3>eomo(F, C)<g)Fp'3eomo{F, D)^ Fp+p'3>eomG{F, С ® D).
Таким образом, возникает индуцированное '-'-умножение
Eprq(C) ®E?q> (D)-+E?+P''qi9> (С ® D),
где. обозначение Ег( ) относится к когомологическому варианту
любой из спектральной последовательностей E.1) или E.3).
С применениями этой мультипликативной структуры мы позпа-
компмся в гл. X.
§ 6. Пример: спектральная последовательность
Серра — Хохшнлда
Пусть i-+H-*G-*-Q-*-l — групповое расширение. Если F
есть проективная резольвента Z над Ifi и М есть G-модуль, то
F ®g M = (F ® M)G можно вычислить в два этапа (см. упражне-
упражнение 3 к § II.2), сначала произведя факторизацию по действию
группы // в F ® М и затем дофакторизовав по действию группы Q:.
F ®oM = {{F ® M)I,)Q=(F ®ИМ)Я.
Таким образо-м,
6.1) nt(C,M) = Ht(CQ),
где С = F ®н И. Заметим также, что имеется ^-изоморфизм
F.2) 11*{Н,М)жН*(С),
где действие группы Q в II* (//, М) определено в силу предло-
предложения II 1.8.2. Наконец, я утверждаю, что (^-модули CV={FV®
® М)п //^-ацикличны. Действительно, достаточно показать,
что Н ^-ацикличен модуль (ZG ® М)н, а это станет очевидным^
если заметить, что (Jfi <8> М)ц есть ипдуцированный (^-модуль
ZQ ® А (последнее вытекает, например, из III.5.7).
200 гл- vn- СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теперь мы можем применить к ^-комплексу С предложе-
предложение 5.6. Ввиду F.1) и F.2) мы получаем следующий результат.
6.3. Теорема (Серр — Хохшилд). Для любого группового
расширения i-*-H-*-G-*-Q-*-l и любого G-модуля М сущест-
существует спектральная последовательность вида
Е2М = Нр(Q, Hq(Я, М)) =*Hp.q(G, M).
[Аналогичная спектральная последовательность имеется, ко-
конечно, и в когомологиях; ее легко построить на основании того
факта, что Жотпо{Р, M) = C>eomH{F, M))Q.]
Важным следствием теоремы 6.3 является существование сле-
следующей точной пятичленной последовательности маломерных го-
гомологических групп, обобщающей пятичленную последователь-
последовательность из упражнения 6 к § 11.5.
6.4. Следствие. В предположениях теоремы 6.3 имеет ме-
место точная последовательность
H2(G, M)^H2(Q, МН)^Н,(Н, M)Q-Hl(G, М)^Н^, МИ) -> 0.
Доказательство. Так как Е°° = GvH(G, M), имеется ко-
короткая точная последовательность
0 ^ Eftl -+ Нх (G, М) -+ ?Г,о -* 0.
Так как Ег1>0 с г ^ 2 не участвует пи в каких ненулевых диффе-
дифференциалах, то
¦C'l.O = ?1,0-
Далее, единственный ненулевой дифференциал, в котором участ-
участвует ErOti или Е\л, есть
так что имеет место точная последовательность
Сращивая эту последовательность с предыдущей короткой после-
последовательностью, мы получаем точную последовательность
0 -+ ЕТ,о -ь Elo -»- Е20Л -v Ex (G, М) -* Е\л -*¦ 0.
Поскольку Е\ч =Hp(Q, Hq(H, M)), a Et,o есть фактормодуль
модуля lh{G, M), эта последовательность доставляет нужную
пятичленную последовательность. ?
§ 7. Эквивариантные гомологии
Теперь мы применим теорию § 5 к случаю, когда цепной
комплекс С есть клеточный цепной комплекс С(Х) клеточного
^-пространства X (см. § 1.4). Получающиеся гомологические
§ 7. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ГОМОЛОГИИ 201
группы Н% (G, С (X)) обозначаются через Н^(Х) и называют-
называются эквивариантными гомологическими группами пары (G, X).
В более общей ситуации, когда задан произвольный G-модуль М,
определено диагональное действие группы G в С(Х, М) =
= С(Х) ® М, и мы полагаем
Аналогичным образом, эквивариантные когомологические
группы определяются формулой
H*G(X,M) = H*(G,C*(X,M)).
В случае, если пространство X конечномерно, а гурппа G конеч-
конечна, мы можем определить также эквивариантные когомологиче-
когомологические группы Тейта, положив
Til (X, М) = И* (G, С* (X, М)).
Наконец, если Y ^ X есть G-инвариантное подпространство
(в клеточном смысле), то возникают относительные эквивари-
эквивариантные гомологические и когомологические группы, определя-
определяемые при помощи факторкомплекса С(Х, Y) = C(X)/C(Y).
Для простоты мы ограничимся в этом параграфе обсуждени-
обсуждением (абсолютных) гомологических групп Н* (X, М). Конечно,
все наши результаты будут иметь относительные варианты и ко-
когомологические аналоги.
Прежде всего заметим, что #S(pt, М) = H^(G, M). По-
Поскольку всякое G-пространство Х допускает (единственное)
G-отображение в точку, мы выводим отсюда, что имеется канони-
каноническое отображение
G.1) HG*{X,M)-+H*{G,M).
Спектральная последовательность E.1) в нашей теперешней
ситуации принимает вид
G.2) Е% = Нр (G, Hq (X, М)) => #?+3 (X, М).
(Заметим, что в формуле для члена Е2 подразумевается диаго-
диагональное действие группы G в Н% (X, М), индуцированное дей-
действием этой группы в X и в М.)
В качестве применения спектральной последовательности
G.2) мы получаем следующее утверждение (ср. предложение 5.2).
7.3. Предложение. Если /: X -*¦ Y есть клеточное G-отоб-
G-отображение одного клеточного G-пространства в другое, такое, что
f*' H^X-^-H^Y есть изоморфизм, то / индуцирует изоморфизм
Н* (X, М)-*- Hi(Y, M) для любого G-модуля М. В частности,
202 ГЛ- VIL СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
если пространство X ациклично, то каноническое отображение
G.1) превращается в изоморфизм Н1(Х, М)^-H*(G, M). а
Чтобы проанализировать вторую спектральную последователь-
последовательность E.3), мы разложим СР(Х)® М, как в примере Ш.5.5(Ь).
Именно, для каждой /ьклетки о пространства X мы рассматри-
рассматриваем Go-модуль Z<j, который аддитивно изоморфен Z, но на ко-
котором Ga действует посредством «ориентационного характера»
Х„: Ga ->- {±1}. Положим
MQ = Zc ® M;
таким образом, Ма есть Go-модуль, который аддитивно изомор-
изоморфен М и в котором действие группы Go «подкручено» на харак-
характер %а. Пусть Хр есть множество р-клеток пространства X, и пусть
2„ есть множество представителей G-орбит в Хр. Мы имеем адди-
аддитивное разложение
<7.4) СР(Х, М) = СР(Х)®М= 0 Мо,
а Хр
яз которого мы извлекаем G-модульное разложение
<7.5) Ср (X, М) « 0 Indg Ma.
Лемма Шапиро теперь дает
G.6) Hq (G, Ср (X, М)) «ФЯ, (Ga, Ма),
2
так что спектральная последовательность E.3) принимает вид
G.7) E\q = 0 Hq (Go, Ma) => HGv+q (X, М).
а=2р
Предположим, например, что действие группы G свободно,
так что Ga — {1} при всех а; для простоты предположим также,
что М = Z. Тогда спектральная последовательность вырождает-
вырождается, начиная с члена Е2, и дает (ср. E.5)):
G.8) Hi (X) « Я* (С (X)G) = H* (X/G).
Комбинируя G.8) с G.2), мы приходим к следующему за-
заключению (ср. с предложением 5.6).
7.9. Теорема. Если X есть свободное G-пространство, то
существует спектральная последовательность виде.
E%q = Нр (G, HqX) => Я* (X/G). a
Замечание. Эта спектральная последовательность называ-
называется спектральной последовательностью Картана — Лере, ассо-
ассоциированной с регулярным накрытием X -*¦ XIG. Теорема 7.9
останется верной, если мы введем произвольный модуль коэффи-
§ 7. ЭКВИВАРИАПТНЫЕ ГОМОЛОГИИ 203
циентов М, но получающиеся гомологические группы Я* (X/G, М)
должны интерпретироваться как гомологические группы с ло-
локальными коэффициентами (если группа G действует в М не-
нетривиальным образом).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда пространство X ациклич-
ациклично (но действие группы G не обязательно свободно), так что
в силу предложения 7.3. Спектральная последовательность G.7)
может быть тогда записана в виде
G.10) E\q = © Hq {Ga, Ma) => Hp+q (G, M).
<J?2p
Эта спектральная последовательность представляет собой важное
вычислительное средство гомологической теории групп. Конечно,
чтобы пользоваться ею, нужно найти какое-нибудь интересное
ацикличное пространство X, на котором действует группа G.
Если, например, G есть амальгамированное свободное произведе-
произведение, то, как мы увидим в § 9, подходящий выбор пространства X
приводит к последовательности Майера — Виеториса, которую мы
получили ранее с другой точки зрения (см. предложение II-7.7
и упражнение к § Ш.6).
Упражнения
1. Рассмотрим «левый край» Ег0 спектральной последовательности
G.7). Поскольку дифференциал йт при г^ 1 обращается на этом крае в 0,
спектральная последовательность дает отображения
« qira n MOHO „
ф Я, (Gv, М) = Е\>ш *-+ Е?ф=Ог0Л« (X, М) > П° (X, М).
v=Sa
[Мы пишем здесь H^(GV, М) вместо H^^GV, М„I поскольку 0-клетка име-
имеет каноническую ориентацию, не изменяемую отображениями, так что мо-
модуль М„ канонически С-изоморфеп М.] Композиция
Д Я, (С,, М) -> Н° (X, М)
представляет собой один из двух «краевых гомоморфизмов», ассоциирован-
ассоциированных со спектральной последовательностью. Покажите, что сужение этой ком-
композиции на //* (Gv, M) совпадает с отображением
11¦„ (б„, М) = Il1v (v, М) -> Я? (X, М),
индуцированным включением (Gv, v) -*¦ (G, X). [Указание. Это можно
сделать посредством прямой (но утомительной) апелляции к определени-
определениям. Проще, однако, привлекая соображения естественности, сначала свести
общий случай к случаю, когда X состоит из единственной вершины v; в
этом случае апелляция к определениям делается тривиальной.]
2. Пусть X — клеточное G-пространство, такое, что любая клетка о ия X
поточечно неподвижна относительно подгруппы Ga. В этом случае легко по-
понять, что пространство орбит XIG наследует от X естествепную клеточную
204 гл- VIL спектральные последовательности
структуру. Покажите, что если, в дополнение к тому, каждая группа Go
конечна, то
Выведите из этого, что, в частности,
если X стягиваемо. [Предположение, что клетка а поточечно неподвижна
относительно С, на практике не особенно ограничительно. В случае симп-
лициалышго действия, например, его всегда можпо сделать выполненным,
перейдя к барицентрическому подразделению.]
3. Покажите, что Н^ (X) % Я* (X XG Е), где Е есть стягиваемое свобод-
свободное G-пространство (т. е. универсальная накрывающая над K(G, I)), a
A'XGE обозначает произведение ХХЕ, профакторизованное по диагональ-
диагональному действию группы G. [Указание. Существует G-отображение Х X
У(.Е->-Х, являющееся гомотопической эквивалентностью, и группа G дейст-
действует вХХ? свободно.1
Замечание. Изоморфизм из упражнения 3 часто принимают за опре-
определение. С этой точки зрения спектральную последовательность вида G.2)
можно получить, просто заметив, что существует расслоение XXG?->
->-K(G, 1) со слоем X.
4. (а) Пусть X есть G-пространство (не обязательно клеточное). Опре-
Определите при помощи сингулярных цепей эквивалентные сингулярные гомо-
гомологии Я* (X) и постройте спектральную последовательность вида G.2).
(Ь) Предположим, что G действует в X свободно и что проекция Х-*-
-f-X/G есть накрытие. (Она будет тогда регулярным G-накрытием в смысле
дополнения к гл. I.) Докажите, что Я* (X) яз Я„ (X/G). [Указание: E.5).]
Выведите отсюда, что в сингулярной теории имеется спектральная после-
последовательность Картана — Лере (см. теорему 7.9).
*(с) Предположим, что в (Ь) X = S2h~\ Докажите, что G имеет перио-
периодические когомологии периода 2к. [Метод 1. Пространство орбит X/G яв-
является конечномерным многообразием и потому имеет в высоких размер-
размерностях тривиальные гомологии с любыми локальными коэффициентами. По-
Поэтому дифференциал в спектральной последовательности дает изоморфизм
Я,- (G, М) « Hi+ih(G, М) при i > 0. М е т о д 2. Имеется сферическое расслое-
расслоение iS2* X GE->-K(G, 1) (где Е обозначает то же,что вупражнении 3), то-
тотальное пространство которого гомотопически эквивалентно S2h~4G. Более
того, включение слоя в тотальное пространство расслоения гомотопически эк-
эквивалентно отображению степенни \G\ одного ориентированного Bк— 1)-
многообразия в другое. Последовательность Гизина показывает теперь, что
класс Эйлера нашего сферического расслоения есть элемент порядка |G|
в II2k(G,l), откуда нужное нам утверждение вытекает ввиду теоре-
теоремы VI.9.l(d). Дальнейшие результаты, которые можно получить при по-
помощи сферических расслоений над K(G, 1), см. в статье Яковского [1978].]
5. Пусть X — клеточное G-пространство. Покажите, что если N есть нор-
нормальная подгруппа группы G, свободно действующая в X, то #* (X) «
« H^N (X/N) для любого G/iV-модуля коэффициентов. [У к а з а н ж е. При-
Примените спектральную последовательность G.7) к (G, X) и к (GIN, XIN).]
6. Пусть Y — связное клеточное пространство с я<Г = 0 при 1 < i < п
(как в теореме И.5.2). Выведите из спектральной последовательности Карта-
па — Лере универсального накрытия над У, что имеется пятичленная точ-
точная последовательность
Яп+1У->Я„+,я-> (я„У)„->ЯпУ->-Я„я->-0,
где я = Я1У.
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА d1 205
§ 8. Вычисление дифференциала dl
Пусть X есть клеточное G-пространство и М есть G-модуль.
В этом параграфе мы вычислим дифференциал d1 спектральной
последовательности G.7).
Если а есть р-клетка пространства Хит есть его (р— 1)-
.клетка, то мы обозначим через дах' Ма-^МХ (о, т)-компоненту
граничного оператора д: СР{Х, М)-+Ср-г(Х, М) (см. G.4)).
Пусть &~а = {т: д„?=0). Это — конечное множество (р — 1)-кле-
1)-клеток, которое Go-инвариантно. Полагая Gax = Ga П Gt, мы заклю-
заключаем, что (Go: Got) < °° при т е <?. Поэтому определен трансфер
tOT: H,{Ga,Mtt) + H,{Gm,Ma).
Заметим, далее, что дот: Ма -*¦ М, есть Got-отображение, по-
поскольку д есть G-отображение; поэтому дах и включение G« -»- Gx
индуцируют некоторое отображение
Пусть, наконец, т0 е 2Р_! есть представитель G-орбиты клет-
клетки т; выберем g(t)sG с ^(т)т = т0. Тогда преобразование, про-
производимое g(%) в Cp~i(X, М), определяет изомярфизм Мт->Мт0,
согласованный с изоморфизмом сопряжения GT->GT(), действу-
действующим по формуле g ¦-» g(t) gg(T:)~lm, ввиду этого возникает инду-
индуцированный изоморфизм
^Обозначение подсказывает, что vx зависит в действительности
только от т, а не от выбора #(т); но нам этот факт не понадо-
понадобится.]
Теперь мы можем определить отображение
«р: Ф H*(GO,MO)^ © Ht{Gx,Mx)
-формулой
ФIН* (Go, Ма) = 2 vxuaxtax,
^<
где @~а есть множество представителей для ?TJGa. ».
8.1. Предложение. С точностью до знака ф совпадает
с дифференциалом d1: Ev*^>-Ep-\ti, спектральной последо-
последовательности G.7).
Доказательство. Мы должны установить коммутатив-
коммутативность диаграммы
0
20G ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
вертикальные изоморфизмы которой происходят из G.6). В дей-
действительности мы докажем коммутативность соответствующей
диаграммы цепных комплексов. Точнее говоря, если F есть про-
проективная резольвента Z над Ifi, то мы вычислим отображение
Ф па цепном уровне — т. е. некоторое (также обозначаемое че-
через ф) отображение
0 F®GaMo-+ 0 F®GMZ
— и докажем коммутативность диаграммы
0 F®0oJlf«-S- © F®GxMt
e j \ *
F®e
F ®gCp{X, M)—~ F QcCp-^X, M).
Здесь 6 и if — цепные изоморфизмы, индуцирующие изоморфизм
G.6); как это сразу видно из доказательства леммы Шапиро
(предложение III.6.2), Э и if — это просто отображения, индуци-
индуцируемые включениями Ма ->- Ср (X) ® М и Мх -*¦ Cv-X (X) ® М.
Мы начнем с того, что вычислим трансфер tax на цеппом уров-
уровне при помощи определения (С) из § Ш.9. Из этого определения
видно, что для х s F и яг е Ма
tax(x®m)= Ц g-1x®g-1mG=F®c Ma.
Далее, и„г на цепном уровне задается отображением F ® дох:
FMF gx Mz. Таким образом,
где второе равенство имеет место благодаря тому факту, что д
есть G-отображение. Далее мы применяем отображение vx, кото-
которое вычисляется через «диагональное действие» элемента g(i)
группы G (см. § II 1.8, абзац, предшествующий предложению
1П.8.1), и суммируем по tef^U результате получается:
Теперь мы можем установить коммутативность нашей диа-
диаграммы цепных комплексов. Используя соотношение gu ® gv =
= и ® v в — ®а —, мы выводим из предыдущей формулы для фг
§ 9. ПРИМЕР: АМАЛЬГАМИРОВАНИЯ 207
ЧТО
Но из определения &~о ясно, что правая часть этого равенства
есть просто
2 х ® дах (т) — х ® 9т.
Таким образом, г|)ф = (F ® д)8, что и требовалось. ?
Описание Е1 и d1 значительно упрощается, если X обладает
тем свойством, что каждая клетка о поточечно неподвижна отно-
относительно группы Ga,— как в упражнении 2 к § 7. Действительно,
тогда можно таким образом ориентировать каждую клетку про-
пространства X, что действие группы G сохраняет ориентации, и та-
такой выбор ориентации определяет для каждой клетки о Go-изо-
Go-изоморфизм М„« М. Поэтому мы можем писать Hq(Ge, M) вместо
Hq{GB, Ma). Что более важно — в этом случае Gn = Ga при те
¦е ^"д, поскольку такая клетка т обязательно лежит в замыкании
клетки а и потому переводится в себя любым преобразованием
из Go. Таким образом, трансфер tax есть тождественное отобра-
отображение и, кроме того, @~в = &~о-
Грубо говоря, мы имеем «систему коэффициентов»
на пространстве орбит X/G, и {El, d1) есть цепной комплекс про-
пространства X/G с коэффициентами в этой системе. Член Ег спект-
ральпой последовательности можно представлять себе поэтому
как HP(X/G, Жч). Мы не будем, .однако, пытаться сделать эти
замсчапия точными.
§ 9. Пример: амальгамирования
Рассмотрим амальгаму G = Н *ЛК, где А ^И и А ^К. Пусть
X — дерево, ассоциированное с G (см. дополнение к гл. II); на-
помикм, что G действует в X без «инверсий», т. е. никакой эле-
элемент группы G пе переставляет вершины одного 1-симплокса до-
рева X. [Таким образом, мы находимся в ситуации, описанной
в конце § 8.] В X имеется 1-симплекс е, который изоморфно ото-
отображается на факторграф X/G и обладает тем свойством, что
стационарные подгруппы группы G, отвечающие симплексу е и
его вершинам v и w, таковы:
G, = #, GW = K и G. = A.
Поэтому для любого G-модуля М мы имеем спектральную
последовательность, сходящуюся к H%(GtM) (см. G.10)),
208 ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
у которой
EPi* = ¦
Я* (Я, М) ф Я* (К, М) при р = 0,
Н*(А, М) при р = 1,
0 при р >• 1.
(Мы полагаем здесь 20 = iv, w) и 24 = {е}.) Эта спектральная по-
последовательность вырождается, начиная с члена Е2, и сводится
к точной последовательности Майера — Виеториса
(9.1) ... -> Нп (А, М) -5- Нп (Н,М) ф //„ (К, М) +
-t Я„ (G, М) -> Яп_! (А, М) -+ ...
Отображение {3 из этой последовательности есть не что иное,
как краевой гомоморфизм, обсуждавшийся в упражнении 1 к § 7,
и, следовательно, оно совпадает с отображением, индуцирован-
индуцированным включениями Я -»¦ G и К -*¦ G. Отображение а есть диффе-
дифференциал d\ описанный в предложении 8.1. Последний устроен
в нашей ситуации особенно просто, поскольку отображения <«
и v? из § 8 являются тождественными. Так как де, w' М -*¦ М есть
Им и де,»: М -*¦ М есть —idw, мы заключаем, что а есть просто
разность отображений Н%.(?)-+Н*(Н) и Н^(А)-*-Н#(К), инду-
индуцированных включениями А -*¦ Н и А -*¦ К.
Теперь мы коротко опишем обобщение понятия амальгамы,
для которого также можно построить последовательность Майе-
Майера — Виеториса. Под графом групп мы понимаем связный граф
У, заданный вместе с (а) группами Gv и Ge, где v (соотв. е) про-
пробегает множество вершин (соотв. ребер) графа У, и (Ь) мономор-
мономорфизмами Эо: Ge-*-Gv и Эь Ge-*-Gw, определенными для каждого
ребра е, где v и w — вершины этого ребра. [Замечание: мы до-
допускаем возможность v = w, но Эо и 0i могут при этом разли-
различаться.] Можно определить фундаментальную группу G графа
групп, введя подходящее понятие «пути»: элемент группы Ga
рассматривается как путь из у в у, и накладывается соотношение
Э0(а)е = eQi(a)
для любого а е Ge, т. е. отождествляются составные пути
из v в w. (Подробности см. в книге Серра [1977а].)
Например, амальгама Я *А К есть фундаментальная группа
графа
11 К
§ 9. ПРИМЕР: АМАЛЬГАМИРОВАНИЯ 209*
где около ребра и вершин выписаны ассоциированные группы.
(В этом случае Эо и 9i — включения А -*¦ Н и А -*¦ К.)
Другой важной теоретико-групповой конструкцией, которая
укладывается в эти рамки, является HNN-расширение Н *А-
Здесь мы предполагаем заданными группу II, ее подгруппу А и
мономорфизм 0: А -*~ И; группа Я *д получается посредством
присоединения к II новой образующей t, связанной соотношения-
соотношениями t~lat = Q(a) {a<=A). Эта группа может быть реализована как
фундаментальная группа графа
О
с одним ребром, где Эо и 8i — соответственно включение i: А -*¦ Н'
и заданное отображение 6: А -*¦ Н.
В точности, как в случае амальгамы, с графом групп ассоции-
ассоциируется дерево X, и фундаментальная группа G действует в X без.
инверсий. Исходный граф У совпадает при этом с факторграфом
X/G, а группы Gv и Ge — со стационарными подгруппами груп-
группы G, отвечающими надлежащим поднятиям в X вершин и ребер-
графа У. Ввиду этого из спектральной последовательности G.10)
получается последовательность Майера — Виеториса
(9.2) ...->|//„ (Ge, МУ+ J) Hn (Gv, M) ->
-*Я„(G, М)-н» 0 Я„_!(Ge,rM)-+...r
обобщающая последовательность (9.1). (Здесь У( есть множество
i-клеток графа У.) Эта точная последовательность впервые была
явно выписана Чизвеллом [1976а].
[Конечно, эту точную последовательность можно получить и
без помощи спектральных последовательностей. Именно, можно
действовать, как в упражнении к § III.6, пользуясь точной по-
последовательностью G-модулей
подучающейся из аугментиров энного цепного комплекса де-
дерева X.]
Рассмотрим, например, ЯЖ/У-расширение G = 11 *А, описанное-
выше. Последовательность (9.2) принимает при этом вид
(9.4)
... -> Я„ (А, М) -5- Я„ (Я, М) -i Hn (G, М) -*¦ Яп_1 (А, М) -v ...
Как и в последовательности (9.1), отображение [J индуцируется
включением Я -*¦ G. Чтобы описать а = dl, нам потребуется сле-
14 К. С. Браун
ГЛ. VII. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТП
дующий факт, касающийся дерева X: единственное ребро гр,афа
Y поднимается в ребро е дерева X, вершины которого имеют вид
г, to. Полагая (в обозначениях § 8) 2„ = М и 2, = {е}, мы на-
находим, что vf (где х = tv) есть изоморфизм сопряжения с(?-1)*:
Л „.[till-1, М)->Н%[Н, М). Поскольку комиозиция
•совпадает с (Э, t~l), отсюда следует, что а = @, t~1)* — 1#-
§ 10. Эквивариантные когомологии Тейта
Напомним из § 7, что когомологиц Hg(X, M) определены,
••если G есть конечная группа и X есть конечномерпое клеточное
G-пространство. Эти когомологпи были введены Суоном [1960а],
который в действительности построил топологический вариант
этой теории (т. е. вариант, в котором X не предполагается кле-
клеточным).
Полезность эквивариантных когомологии Тейта проистекает
главным образом из того факта, что они позволяют систематиче-
систематически игнорировать свободные действия.
10.1. Предложение. Пусть Y есть G-ипвариантпое под-
подпространство (в клеточном смысле) пространства X, такое, что
для каждой клетки а пространства X, не лежащей в Y, стацио-
.парная подгруппа Ga тривиальна. Тогда включение У -*¦ X инду-
.цирует изоморфизм Н%(Х, М)'-^ Н^ (F, М).
Доказательство. Рассмотрим относящийся к когомоло-
гиям Тейта вариант спектральной последовательности G.7) для
{G, X) и (G, Y). По предположению, H*(Ga, M) = 0, если клет-
клетка а лежит в X — Y. Следовательно, включение Y -*¦ X индуци-
индуцирует изоморфизм между спектральными последовательностями,
а значит, оно индуцирует и изоморфизм между их пределами
Нс(Х, М)пЩ(У, М). U
В качестве простой иллюстрации предложения 10.1 мы дока-
докажем следующий факт (см. упражнение 4 к § VI.8).
10.2. Предложение. Пусть G — конечная группа, для ко-
которой существует конечномерное свободное клеточное G-прост-
ранство X, такое, что Я^даиЯ^^"'). Тогда G имеет пе-
периодические когомологии периода 2k.
Доказательство. В силу предложения 10.1 (с Y = 0)
имеет место равенство Щ (X, М) = 0. С другой стороны, име-
имеется спектральная последовательность
A0.3) Elq - Нр (G, Н4 (X, М)) => tfg+9 (X, М)
(см. G.2)). Так как эта спектральная последовательность сосре-
сосредоточена на двух горизонтальных прямых q — 0 и q = 2к -^ 1, то
§ 10. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ ТЕЙТА 211
дифференциал d*k представляет собой изоморфизм
A0.4) Hv (G, Я2" (X, М)) ^ TP+2h (G, М).
Ввиду изоморфизма универсальных коэффициентов
который естествен и потому является G-изоморфизмом, доказа-
доказательство будет закончено, если мы покажем, что группа G дей-
действует тривиальпым образом в бесконечной циклической группе
Ягь-Д. Это можно вывести из общой теоремы Лефшсца о непо-
неподвижной точке (см. упражнение 1 к § IX.5), но в нашей тепе-
теперешней ситуации имеется намного более простое доказательство.
Нам достаточно доказать, что всякая циклическая подгруппа
группы G тривиально действует в Нгк-iX, так что мы можем
ограничиться случаем, когда группа G является циклической
(и нетривиальной). В этом случае мы применяем изоморфизм.
A0.4) с М —- Z и р = 0 и заключаем, что
Tl° (G, Н*Р-'(Х, Z)) « Ни (G, 2) да Z/| G11.
Но отсюда следует, что Нгк~г (X, Z)G Ф 0, а это возможна»,
только если G действует в Нгк^Х тривиально. П
Замечание. Преимущество этого, основанного на спект-
спектральной последовательности доказательства предложения 10.2 со-
состоит в том, что оно дословно проходит в топологической ситуа-
ситуации, когда X не предполагается клеточным пространством,— см..
Суон [1960а].
В качестве другого применения теории эквивариантных кого-
мологий Тейта (которое также принадлежит Суону) мы докажем
некоторые классические факты из теории неподвижных точек.
(Стандартное доказательство этих фактов, основанное на «тео-
«теории Смита», содержится в книге Бредона [1972] и в трудах семи-
семинара Бореля — см. Борель и др. [I960].)
10.5. Теорема. Пусть X — конечномерное клеточное G-npo-
странстео, где G имеет простой порядок р. Предположим, что
множество неподвижных точек Ха является подпространством
пространства X в клеточном смысле.
(a) Если группа Н* (X, ZP) конечно порождена, то и группа
II* (X , Хр) конечно порождена.
(b) Если пространство X ациклично mod р (т. е. Н*(Х, Zp') «*
fa H* (pt, ZP)), то и пространство Xе ациклично mod p.
(c) Если X есть когомологическая сфера mod p (т. е.
Н* (X, ZP)&H* (Sn, ZP) с некоторым п>0), то и Х° есть
когомологическая сфера mod р, при условии, что XG Ф 0.
[Предположение, что Ха есть подпространство в клеточном
смысле, выполнено, например, если X удовлетворяет предположе-
предположениям упражнения 2 к § 7.]
14*
12 ГЛ- VIL СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказательство. В силу предложения 10.1
С другой стороны, так как G действует в Xs тривиально, то име-
имеет место изоморфизм Кюннета
Hi (XG, ZP) « Н* (G, ZP) ®zpH* (XG, ZP)
(см. E.4)). Поскольку dim2p H71 {G, Zp) = 1 при всех п s Z,
отсюда вытекает, что
•A0.6) dim/lTS (X, ZP) = 2 dimz Hl (XG, ZP)
npii всех п. Теперь если группа Н* (X, Zp) конечно порожде-
порождена, то, как показывает спектральная последовательность A0.3)
(с М = Zv), группа Hq{X, Zp) также конечно порождена,
так что (а) вытекает из A0.6). Подобным же образом, если X
ациклично mod/), то левая часть равенства A0.6) равна 1, так
что и правая часть равна 1; это доказывает (Ь). Доказательство
утверждения (с) идентично доказательству утверждения (Ь),
разница лишь в том, что нужно пользоваться теперь относитель-
относительными когомологическими группами пространства X по модулю
любой вершины v, лежащей в Х°.
Упражнения
1. Где в доказательстве теоремы 10.5 используется, что \G\ = pi [Таких
мост два.]
2. Распространите теорему 10.5 на случай, когда G есть произвольная
р-группа и X" является подпространством пространства X в клеточном
смысле для любой подгруппы Н группы G. [Указание. Примените ин-
индукцию по \G\, заметив, что еслиЛ <] G, то Ха = (XN)a/N.]
3. Пользуясь методом доказательства предложения 10.2, покажите, что
если X есть конечномерное свободное клеточное G-пространство (с копечной
труппой G), с Я* (X) жНъ (S2h), то всякий нетривиальный элемент груп-
лы G нетривиальным образом действует в Ягь(Х) и, значит, |G| ^2.
ГЛАВА VIII
УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
§ 1. Введение
Напомним, что определение Я^(С, М) и H*(G, M) оставляет
щам свободу выбрать произвольную проективную резольвенту
Р = (Pi) i>0 модуля Z над ZG. Равным образом, если мы примем
топологическую точку зрения, мы можем использовать для вы-
вычисления H%(G, М) и H*(G, М) произвольное K(G, 1)-шростран-
ство Y. Поскольку мы располагаем этой свободой выбора, естест-
естественно попытаться выбрать Р (или У) «поменьше», чтобы были
выполнены разнообразные условия конечности.
Например, если мы интерпретируем «малость» через длину
резольвенты Р (или размерность пространства У), то мы придем
ж понятию когомологической размерности. Если же мы будем по-
понимать малость в том смысле, что каждое Pt конечно порождено
(или что У имеет конечное число клеток), то мы придем к так
называемым условиям FP и FL.
Наша цель в этой главе состоит в том, чтобы ввести эти и
¦близкие к ним условия конечности и привести некоторые приме-
примеры. Наше изложение ни в коей мере не будет полным: по боль-
большей части мы будем приводить полные доказательства лишь для
утверждений, которые будут использоваться в главах IX и X.
Пропущенные доказательства и литературные указания можно
найти в книге Биери [1976] и в статьях Серра [1971, 1979]. Спи-
Список нерешенных проблем, касающихся условий конечности, со-
содержится в статье Уолла [1979].
Наконец, несколько слов об обозначениях. В теории дискрет-
вых подгрупп групп Ли, которая служит для нас основным ис-
источником примеров, принято обозначать группу Ли через G,
а дискретную подгруппу через Г. Чтобы не порывать с этой тра-
традицией, мы отныне будем использовать для обозначения типич-
типичной абстрактной группы не букву G, а букву Г.
§ 2. Когомологическая размерность
Мы начнем с основной леммы, которая характеризует проек-
проективную размерность в терминах обращения в 0 когомологических
функторов. Сначала напомним (см. § VI.8), что если R есть
кольцо, М есть .й-модуль и п есть неотрицательное целое число,
то proj dimB М ^ и в том и только в том случае, если М допускает
214 гл. viir. условия конечности
проективную резольвенту
длины п. Напомним также (см. § III.2), что функторы Ext опре
деляются формулой
ВД/, -) = 1Р(Жотн (Р, -)),
где Р есть проективная резольвента модуля М. В частности,
2.1. Лемма. Следующие условия эквивалентны:
(a) proj dininM < Щ
(b) Exii(M, —) = 0 при i > п;
(c) Ext?+1(iW\ -) = 0;
(с!) если О -» Я -*¦ Р„_4 -*¦ ... Р„ -*¦ М -* 0 еегь точкйя по-
следователъноетъ R-модулей, в которой все модули Pt проективны^
то и модуль К проективен.
Доказательство. Очевидно, что (d)=> (а)=^ (Ь)=^ (с), так
что пам нужно только доказать импликацию (c)=*-(d). Выберем
частичную резольвенту, как в (d), и произвольным образом до-
дополним ее до проективной резольвенты:
1 К
АЛ
О 00
Для произвольного Л-модуля N (п +1) -коцикл комплекса
Жотн(Р, N) представляет собой отображение Pn+i -*- N, компози-
композиция которого с Рп+2 -*¦ Pn+i тривиальна. Поэтому такой коцикл
может рассматриваться как отображение ср: L -*¦ N. Этот коцикл
в том и только в том случае будет кограницей, если ср продолжа-
продолжается до отображения Рп -*¦ N. Таким образом, из (с) вытекает,
что всякое отображепие, заданное на L, продолжается на Р„.
В частности, тождественное отображепие модуля L продолжается
на Рп, откуда вытекает, что Рп~L® К и, значит, что модуль К
проективен. ?
Особенно полезна импликация (а) =>¦ (d) леммы 2.1. Она по-
показывает, что если проективные резольвенты длипы п существу-
существуют, то для построения такой резольвенты большого ума не тре-
требуется—всякая частичная резольвента длины и—1 может быть
§ 2. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 215
.дополнена до проективной резольвенты длины га. Ниже мы при-
приведем другое доказательство этого важного факта (см. замеча-
замечание 3 после леммы 4.4).
Обратимся теперь к случаю R = IX, M = Z. Когомологиче-
Когомологическая размерность группы Г, обозначаемая через cd Г, определя-
определяется как наименьшее число га, такое, что выполнены условия лем-
леммы (в предположении, что такие числа существуют; в противном
случае мы полагаем cd Г = «>). Таким образом,
«d Г = proj dimZrZ =
= inf {га: Z допускает проективную резольвенту длины га} =
= inf (и: Я* (Г, —) = 0 при i > и) =
= sup (га: Я"(Г, М)фО для некоторого Г-модуляМ].
Очевидным топологическим аналогом инварианта cd Г слу-
служит геометрическая размерность группы Г, обозначаемая через
.geom dim Г и определяемая как наименьшая размерность клеточ-
клеточного К(Т, 1)-'пространства. Поскольку клеточный цепной комп-
комплекс универсальной накрывающей клеточного К (Г, 1)-простран-
1)-пространства У представляет собой свободную резольвенту Z над 2Г
(длины, равной размерности У), очевидным образом справедливо
2.2. Предложение: cd Г < geom dim Г. О
Мы вернемся к этому предмету в § 7, где будет показано, что
это перавепство обычно обращается в равенство.
Примеры.
1. cd Г = 0 в том и только в том случае, если Г есть триви-
тривиальная группа (см. ниже упражнение 1).
2. Если группа Г свободна п нетривиальна, то cd Г = 1
(см. пример 1.4.3). Обратно, глубокая теорема Столлингса [1968]
я Суона [1969] утверждает, что всякая группа когомологической
размерности 1 свободна. Ввиду гл. IV этот результат может быть
переформулирован следующим образом: если группа Г не допу-
допускает нерасщепляющихся расширепий с абелевым ядром, то она
не допускает вообще никаких нерасщепляющихся расширений.
3. Пусть Г — фундаментальная группа связной замкнутой по-
поверхности У, отличной от Sz и Р2. Тогда У есть двумерное
К (Г, 1) -пространство (см. пример 2 из § II.4), так что cd Г «S 2.
В то же время Я2 (Г, Z2) « Я2 (Г, Z2) ?= О, так что cd Г = 2.
4. Рассмотрим более общую ситуацию, когда Г есть группа с
одним соотношением, причем левая часть соотношения не явля-
является степенью. Тогда cd Г «S 2 в силу теоремы Линдона, которую
мы формулировали в примере 3 к § П.4.
5. Если Г = Zn, то га-мерный тор У = S1 X . .. X S1 является
К(Т, 1)-пространством и при этом Я™(У, Z) « Z ?= 0; зпачит,
cd Г = га.
216 гл. viii. условия конечности
6. Пусть Г есть группа строго верхних треугольных 3 X 3-мат-
риц с целочисленными элементами:
/1 * *\
О 1
\0 0 1/
Мы покажем, что cd Г = 3. Пусть Г' — центральная подгруппа:
группы Г, состоящая из матриц
/1 0 *\
О 1 0 ;
\0 0 1/
заметим, что Г"=Г/Г' есть свободная абелева группа ранга 2..
Рассмотрим спектральную последовательность Серра — Хохшилда;
ЕТ = НР(Т", IP (Г, М)) =>Hp+q (Г, М),
где М есть произвольный Г-модуль. Пример 5 показывает, что эта*
спектральная последовательность сосредоточена в прямоугольни-
прямоугольнике 0<р<2, OsSgsSl. Следовательно, Н'(Г, М) = 0 при i > 3,.
так что cd Г =5 3. Более того, так как дифференциал dr отобража-
отображает Eprq в Er+r' q~r+1, группы Ег'1, стоящие в правом верхнем
углу, не участвуют пи в каких нетривиальных дифференциалах.
Поскольку это — единственный нетривиальный член тотальной
степени 3, отсюда вытекает, что
#з (Г, М) = Е^1 = El'1 - IP (Г", Я1 (Г', М)).
В частности, полагая М •= Z и вспоминая, что Г' есть централь-
центральная подгруппа группы Г, мы видим, что Н3 (Г, Т)^Ъ (см. уп-
упражнение 1 к § III.8); следовательно, cd Г = 3.
7. Рассмотрим более общую ситуацию, когда Г есть произволь-
произвольная конечно порожденная нильпотентная группа без кручения.
Можно показать, что Г допускает центральный ряд
со свободными абелевыми факторгруппами 1УГ,+1. Сумма рангов
этих факторгрупп не зависит от выбора центрального ряда и на-
называется рангом (или числом Хирша) группы Г. Рассуждая, как
в примере 6, мы приходим к равенству
cd Г = rank Г.
Подробности мы опускаем. Их можно найти в книгах Биери-
[1976], § 7.3, и Грюнберга [1970], § 8.8, содержащих и дальнейшие-
результаты такого типа. Другое доказательство нашего результа-
результата намечено ниже в упражнении 2 к § 9.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена некоторым эле-
элементарным свойствам когомологической размерности.
§ 2. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 217
2.3. Предложение. Если cd Г < °°, то .
•cd Г = sup in: ЯП(Г, Р)Ф<) для некоторого свободного
ТХ-модуля F).
Доказательство. Пусть п = cd Г. Ввиду длинной точной
^когомологической последовательности из предложения Ш.6.1(Ь'),
функтор Я"(Г, —) точен справа. Так как Я"(Г,М)Ф0 для неко-
некоторого модуля М, то ЯП(Г, Р)Ф0 для любого свободного модуля
J?, который отображается на М. Q
2.4. Предложение.
(a) Если Г' ?= Г, то
cd Г' < cd Г,
причем если cd Г < °° и (Г:Г')<°°, то имеет место равенство.
(b) Если 1 -*- Г'-»- Г-*- Г" ->- 1 — короткая точная последова-
последовательность групп, то
(с) Если Г = Г, * Г2 (где А <= Т{), то
cd Г ^ max {cd 1\, cd Г2, 1 + cd A).
Доказательство. Неравенство в (а) является немедлен-
немедленным следствием леммы Шапиро или, если угодпо, того факта,
•что проективная резольвента Z над ?Т может рассматриваться
также как проективная резольвента Z над Zf'. Чтобы доказать
вторую часть утверждения (а), предположим, что cdr = «<°°.
В силу предложения 2.3 существует свободный Zr-модуль F,
такой, что ЯП(Г, F)?=0. Если F' — свободный Zr'-модуль того
.же ранга, то F m Indr'^', так что в силу леммы Шапиро
Я"(Г', F')» Я"(Г, Р)Ф 0. Таким образом, cd Г > п, и утвержде-
лие (а) доказано. [Улражнепие: где мы использовали предполо-
предположение, что (Г:Г')<°°?] Утверждение (Ь) доказывается при по-
помощи спектральной последовательности Серра — Хохшилда по
образцу примера 6. Наконец, (с) вытекает из когомологического
варианта последовательности Майера — Виеториса (см. (VII.9.1)
или упражнение к § III.6). ?
2.5. Следствие. Если cd Г < °°, то группа Г не имеет кру-
кручения.
Доказательство. Если группа Г имеет кручение, то Г
«одержит нетривиальную конечную циклическую подгруппу Г'.
Но cdr' = °°, поскольку Н211^', Z)?=0 при всех к (см. при-
пример 2 в § III. 1), так что из утверждения 2.4(а) вытекает, что
cdr = °°. ?
Если Г'еГи (Г:Г")<°°, то утверждение 2.4(а) показывает,
что cd Г' = cd Г, за исключением случая, когда
(#) cdr = «> и cdr<«.. -
218 гл- vm- условия конечности
Простые примеры показывают, что ситуация (*) возможпа: на—
пример, .можно взять за Г группу порядка 2 и положить Г' = Ш.
Вообще, если Г — группа, имеющая кручение, то в силу след-
следствия 2.5 cd Г = °с, но Г вполне может иметь подгруппы Г"
конечного индекса без кручения с cd Г < °°. В следующем пара-
параграфе мы докажем теорему Серра, которая утверждает, что все-
примеры ситуации (*) имеют этот тин, т. е. ситуация (*) невоз-
невозможна, если труппа Г по имеет кручения.
В заключение мы покажем, что для определения когомологи-
когомологической размерности не нужно привлекать проективных резоль-
резольвент, но являющихся свободными.
2.G. Предложение. Для любой группы Г существует сво-
свободная резольвента % над ZP длины, равной cd Г.
Доказательство использует следующий «трюк Эйлспберга».
2.7. Лемма. Если Р— проективный модуль над произволь-
произвольным кольцом R, то существует такой свободный модуль F, что'
P®F*>F.
[Предостережение: F, вообще говоря, будет иметь бесконеч-
бесконечный ранг даже в случае, когда модуль Р конечно порожден.]
Доказательство. Так как модуль Р проективен, то суще-
существует такой модуль Q, что модуль Р © Q свободой. Определим F'
как счетную прямую сумму
(Р © Q)® (Р ©(>)©...
Будучи прямой суммой свободных модулей, модуль F свободен..
Но F можно описать также как сумму счетного числа экземпля-
экземпляров модуля Р и счетного числа экземпляров модуля Q. Добавле-
Добавление еще одного модуля Р этой суммы не изменит, так что*
P@F~F. О
Доказательство предложения 2.6. Пусть п — cd Г.
Мы можем считать, что 0 < п < °°. Выберем частичную свобод-
свободную резольвенту
длины п — 1 и положим Р — ker {д: Fn-t -*¦ Fn-2). (При п — 1 мы
считаем, что F-i — ''?.) В силу леммы 2.1 модуль Р ироектплен,.
а в силу леммы 2.7 существует свободный модуль F, такой, что-
модуль Р © F свободен. Таким образом, если мы заменим в на-
нашей резольвенте модуль Fn-i модулем Fn-t ©F и положим d\F =
— О, мы получим частичную свободную резольвенту длины п — 1
со свободным ядром ker д, и это доказывает наше предположе-
предположение. ?
Упражнения
1. Докажите, что тривиальная группа — единственная группа когомоло-
когомологической размерности 0. [Указание, cd Г = 0 ФФ Z есть проективный:
ZF-модуль о канонический эпиморфизм е: ZF-»-Z расщепляется.]
§ 2. КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ 219
2. Приводите пример, показывающий, что условие cd Г < оо в предло-
предложении 2.3 необходимо.
3. (а) Покажите, что geomdim 1\ *лГ2 ^ max{gcomdim Гь gcomdimr2,
1 + geom dim Л}.
*(b) Покажите, что если последовательность 1 -+- Г' ->• Г -+¦ Г" -»-1 точна,
то geom dim Г sg: geom dim Г' + geom dim Г".
4. Докажите следующее обобщение утверждения 2.4(с). Если Г — произ-
произвольная группа и X — ацикличное клеточное Г-простраиство, то
cd Г < sup {cd Го + dim с},
гдо а пробегает множество представителей клеток прострапства Xmod Г.
(Чтобы получить 2.4(с), нужно взять за X дерево, ассоциированное с амаль-
амальгамой.) [Указание. Воспользуйтесь когомологическим вариантом спект-
спектральной последовательности VI 1.7.10. Другое доказательство см. в статье
Серра Г1971М
5. Цель отого упражнения — дать когомологический критерии конечно-
конечномерности (с точностью до гомотопической эквивалентности) произвольного
цепного комплекса. В случае, когда цепной комплекс является проективной
резольвентой, этот результат (часть (Ь)) сводится к эквивалентности (а) ¦<=>-
<=>. (Ь) ¦<=>• (d) из леммы 2.1. Пусть С — цепной комплекс над произвольным
кольцом R.
(a) Докажите, что при любом п эквивалентны следующие условия:
(*) Нп+1(Жотв(С, М)) = 0 для всех Д-модулей М;
(**) Нп+1С = 0 и модуль JSn я-границ является прямым слагаемым мо-
модуля сп.
[У к а з а п и е. Проанализируйте коциклы и кограницы комплекса
Жотп(С, М), как в доказательстве леммы 2.1.1
(b) Докажите, что при любом п эквивалентны следующие три условия:
(#) комплекс С гомотопически эквивалентен такому комплексу С, что
?i = 0 при j > п;
(*#) 1Р(Жотц(С, М)) = 0 для всех i > п и всех Л-модулей М;
(*#*) если С есть факторкомплскс комплекса С, определяемый фор-
формулой
iCi прп i < п,
С\ = \Сп/Вп при i = и,
I 0 при i > п,
то проекция С-*С является гомотопической эквивалентностью.
Докажите также, что если эти условия выполняются и С ость комплекс
проективных Л-модулей, то комплекс С" из (#*#) также является комплек-
комплексом проективных Л-модулей.
[Указание. Выведите из части (а), что если выполняется условие
(* *), то С « С © С", где С" — стягиваемый комплекс.
*С>. Предположим, что cdr = /i<oo, и пусть Г's Г — подгруппа ко-
конечного индекса.
(а) Покажите, что для любого Г-модуля И трансфер tr: Я"(Г', Ы) -*¦
-*•//"(Г, М) эшшорфен. [Указание. Вычислите tr на цепном уровне, ис-
используя проективную резольвенту Ж над T.G длины и; заметьте, что цеп-
лое отображение эпиморфно. Другое доказательство см. в статье Серра
[19711, 1.3, лемма 2.]
(п) Предположим, что подгруппа Г' нормальна. Покажите, что если М
{¦сть Г-модуль и d — такое целое число, что //'(Г', М) =0 нри i > d, то
Л' (Г, М) = 0 при { > d и tr индуцирует изоморфизм
Hd(T\ M)riT,^Hd(T, М).
220 гл- vin- условия конечности
В частности, это верпо при любом М, если d = п. [См. Браун — Кап [1977],.
предложен ко 1.2.]
7. (а) Покажите, что индуцированные Г-модулп Z г ® Л имеют проек-
проективную размерность ^ 1.
(b) Покажите, что если proj dim^/l/г^ п, то proj dimAf'^ n для любого-
прямого слагаемого М' модуля М. [Указа п и е. Используйте лемму 2.1.]
(c) Выведите из (а) и (Ь) следующее утверждение (которое является
также немедленным следствием теоремы VJ.8.12). Если группа Г конечна
и М есть Г-модуль, в котором число |Г| обратимо, то proj dimzrM ^ 1.
[У к а з а ц и с. М есть прямое слагаемое индуцированного модуля.]
§ 3. Теорема Ссрра
3.1. Теорема (Серр [1971]). Если Г — группа без кручения
и Г"— ее подгруппа конечного индекса, то cd Г' = cd Г.
Доказательство. Ввиду 2.4(а) нам нужно лишь пока-
показать, что если cd Г' < °°, то cd Г < °°. Как мы объясним ниже,
этот факт можно доказать чисто алгебраическим образом; мы
предпочитаем, однако, дать здесь топологическое доказательство,,
заключающее в себе важную информацию, которая потребуется:
нам в главах IX и X. Это топологическое доказательство исполь-
использует следующий результат Эйленберга и Гани [1957], который
будет доказан ниже как часть теоремы 7.1: если Г — такая груп-
группа, что cdr<°°) то существует конечномерное клеточное К(Т, 1)-
пространство.
Вернемся к доказательству теоремы 3.1. Так как по условик>
cd Г' < °°, то существует конечномерное клеточное К(Т', ^-про-
^-пространство. Его универсальная накрывающая X' представляет со-
собой конечномерное стягиваемое свободное клеточное Г'-простран-
ство. Чтобы доказать, что cd Г < °°, мы построим из X' конечно-
конечномерное стягиваемое свободное клеточное ^пространство X. Кон-
Конструкция, представляющая собой точный топологический аналог
конструкции коиндуцирования, заключается в следующем.
Как множество, X определяется формулой X = Honif (Г, X'),
где Г' действует в Г посредством левых сдвигов и Ногаг- (—,—)
обозначает мпожество отображений в категории левых Г'-мно-
жеств. Поскольку правое действие группы Г в себе перестановоч-
перестановочно с левым действием группы Г' в Г, возникает индуцированное
(левое) действие группы Г в X, задаваемое формулой (^о/) (т)~
= /(ТГо)| где /еХ, |, Чо^Г.
Выбирая множество Чи ..., Чп представителей смежных клас-
классов из Г'\Г, мы получаем взаимно однозначное соответствие
ср: X^f[X',
относящее отображению набор его значений в ^i, . .., ч„. Посколь-
Поскольку произведение в правой части имеет естественную клеточную
структуру (клетками произведения служат произведения клеток
§ 3. ТЕОРЕМА СЕРРА 221
сомножителей), мы можем ввести в X при помощи ср топологию-
и клеточную структуру. [Произведение должно быть наделено
клеточной топологией, т. е. «слабой топологией» по отношению к
клеткам; эта топология совпадает с обычной топологией произве-
произведения, если X' счетно или локально компактно — см. Ланделл —
Вейнграм [1969], § II.51). В любом случае две топологии совпа-
совпадают на всех компактных подмножествах.]
Эти структуры ие зависят от выбора представителей в смеж-
смежных классах: если мы заменим fii ..., *(„ другими представителя-
представителями ViTn • • •! YnVn (Тг^ Г'^), то новое ср будет композицией ста-
старого ф с клеточным изоморфизмом
Структуры не зависят также от упорядочения смежных классов..
Из сказанного следует, что действие группы Г в X сохраняет*
клеточпую структуру. Действительно, для любого fs Г мы име-
имеем коммутативную диаграмму
где ф определено при помощи наоора представителей смежных
классов (if<)i«:i<n и ф' определено при помощи набора G*7) 1^«п-
Таким образом, X есть корректно определенное клеточное Г-про-
странство, которое, очевидно, является стягиваемым и конечно-
конечномерным.
Чтобы завершить доказательство неравенства cd Г < °°, мы по-
покажем, что группа Г действует в X свободно. Имеется канониче-
каноническое отображение X -*¦ X', относящее отображению его значение
в 1еГ, Это отображение Г'-эквивариантно и переводит клетки
в клетки. Поскольку Г' свободно действует в X', мы получаем,
что Г' свободно действует и в X. Поэтому для каждой клетки в
пространства X мы имеем Г„ П Г' = {1}. Следовательно, группа IV
конечна. Но Г не имеет кручения, поэтому все эти конечные ста-
стационарные подгруппы Г„ тривиальны. Q
Замечание. Читатель может при желании перевести это
доказательство на чисто алгебраический язык. Для этого нужно-
работать непосредственно с проективными резольвентами и про-
производить конструкцию «коиндуцирования», пользуясь тензорным
') См. также Рохлин — Фукс [1977], п. 2.1.5.— Примеч. пер.
222 гл- vm- условия КО1ШЧИОСТИ
перемножением цепных комплексов вместо декартова перемно-
перемножения клеточных пространств. Подробности см. в статье Суона
11909], теорема 9.2.
У и р а ж нсине
Заметьте, что доказательство теоремы 3.1 проходит в случае, когда Г
имеет кручение, за исключением последней фразы. Таким образом, если
Г —произвольная группа, содержащая подгруппу конечного индекса Г' та-
такую, что cd Г' < оо, то мы можем построить стягиваемое конечномерное
клеточное Г-иространство X, у которого все стационарные подгруппы Го ко-
конечны. Покажите, что это пространство обладает следующим дополнитель-
дополнительным свойством. Для каждой конечной подгруппы И группы Г множество
неподвижных точек X" стягиваемо. [Указание. Покажите, что, как II-
пространство, X изоморфно произведению (Г : Г') экземпляров пространст-
пространства А'', в котором Я действует перестановкой множителей в соответствии со
(свободным) правым действием группы Н в Г'\Г. В этом можно убедиться
либо при помощи формулы двойных смежных классов для коипдуцпрова-
нни, либо прямой проверкой, использующей представители смежных клас-
классов иида (Vi/')i«:i sid, /..= л, где d= (Г : Г')/|Я|. Значит, Xя гомеоморфяо
произведению d экземпляров пространства X'.]
§ 4. Резольвенты конечного типа
Паша следующая цель — изучить разного рода условия конеч-
конечности в ситуации, когда существует проективная резольвента Р,
у которой все Pt конечно порождены. В этом параграфе мы собе-
соберем некоторые общие факты о таких резольвентах над произ-
произвольным кольцом R. Случаи резольвент Z над Zr будет рас-
рассмотрен п следующих двух параграфах.
Мы начнем с обзора теории конечно нредставимьтх модулей.
4.1. Предложение. Следующие условия на R-модуль М
.эквивалентны:
(a) существует точная последовательность Rm ->¦ Rn -*¦ М -*- О
с некоторыми целыми ш, п;
(b) существует точная последовательность Рх -*¦ Ро -*¦ М -*¦ О
¦с некоторыми конечно порожденными проективными модулями
(c) модуль М конечно порожден и для любого эпиморфизма
*: Р-" М с конечно порожденным проективным Р ядро kers
.конечно порождено.
Доказательство опирается на следующую «лемму Шаиуэля».
4.2. Лемма. Пусть 0-+К-+Р-?М-*0 и 0-+К'-+Р'^М-+О-
¦точные последовательности с проективными Р и Р'. Тогда
Р © А" » Р' Ф К.
Доказательство. Пусть Q — коамальгама, построенная
ло диаграмме
Р'
§ 4. РЕЗОЛЬВЕНТЫ КОНЕЧНОГО ТИПА 223~-
т. е. Q есть подмодуль модуля РХР', состоящий из таких пар
(х, х'), что л(х) = я'(х'). Легко проверить, что в этом случае-
имеет место коммутативная диаграмма
О О
\ \
К' = К'
I \
0-+К-+- Q ->Р'-)-0
p -
\
0
+ M
1
0
с точными строками и столбцами. Поскольку модули Р и Р' лро-
ектпвны, две точные последовательности, в которые входит Q,.
должны расщепляться, благодаря чему Р ® К' ^ Q ~ Р' ® К.
Доказательство предложения 4.1. Очевидно, (с)=*-
=^(а)=^(Ь). Чтобы доказать импликацию (b)=*-(c), мы сначала
заметим, что если выполняется (Ь), то модуль М будет конечно-
порожденным, поскольку конечно порожден модуль Ро. Далее,
лемма Шануэля дает: Р фкеНРо""*" М) « Ро ® кеге. Левая часть
конечно порождена по предположению, значит, конечно порожде-
порождена сумма Ро ® кеге, а значит, конечно порождепо и кеге. ?
Модуль М называется конечно представимым, если для него^
выполнены условия предложения 4.1. Говорят, далее, что точная
последовательность (а) задает конечное представление модуля
Men образующими и та соотношениями. Заметим, что имплика-
импликация (а)=^(с), примененная к случаю, когда модуль Р свободен,,
сводится к хорошо известному факту: если модуль М допускает
некоторое конечное представление, то всякое конечное множество
Xi, ..., xk образующих модуля М обладает тем свойством, что со-
соотношения между ними (т. е. такие наборы (л, ..., гА) элементов
кольца R, что ^j r-%x^ = 0) образуют конечно порожденный под-
подмодуль модуля Rh.
Понятие конечно иредставимого модуля допускает следующее
естественное обобщение. Резольвента или частичная резольвента
(Р,) называется принадлежащей конечному типу, если каждый
модуль Р{ конечно порожден. Далее, модуль М называется при-
принадлежащим типу FPn (n>6), если для него существует ча-
частичная резольвента Рп ->-...->- Ро -*¦ М -*¦ 0 конечного типа. Та-
Таким образом, условие FP0 есть просто условие конечной порож-
денпости, FPi есть условие конечпой представимости, a FP2,.
FP3, ...— последовательные усиления условия конечной пред-
представимости.
Предложение 4.1 подускает следующее обобщение.
4.3. Предложение. Для любого модуля М и любого числа
п "> 0 эквивалентны следующие условия:
224 гл- vin- условия конечности
(a) существует частичная резольвента Fn -*¦ ... -*¦ Fa -»- М -»- О,
¦в которой все Fi —• свободные модули конечного ранга;
(b) М есть модуль типа FPn;
(c) модуль М конечно порожден, и для всякой частичной про-
проективной резольвенты Рк -*¦...-*¦ Р„ -*~ М -*• 0 конечного типа с
к < п, ядро кег {Ph -*¦ Pk-i) конечно порождено.
Для доказательства необходимо следующее обобщение леммы
Шануэля.
4.4. Л е м м а. Пусть
¦и
— точные последовательности, в которых модули Р{ и Pi проек-
тивиы при i < п— 1. Тогда
Р0 © P'l Ф ^2 © ^3 Ф • • • « Р'о Ф ^1 © P'i Ф Pi Ф • ••
Следовательно, если модули Р,- u jP{ конечно порождены при
i^n — 1, то модуль Рп конечно порожден в том и только в том
случае, если конечно порожден модуль Рп.
Доказательство. Применим индукцию по п. Пусть К
(соотв. К') — ядро отображения Р„_2 -*¦ Рп-3 (соотв. Рп-г -*¦ Рп-з) •
В силу индуктивного предположения
К Ф Q « К' Ф Q',
где
Q = P'n-i Ф 'Рп-З Ф • • • И Q' = Рп_2 0 /Сз Ф • • •
С другой стороны, имеются точные последовательности
Поскольку модули Р„-1 ® Q к Pn-i Ф <?' проективны, лемма 4.2
доставляет изоморфизм
Рп Ф -Рп-1 Ф <?' « ^п Ф ^п-1 Ф ^,
который и есть нужный нам изоморфизм. ?
Доказательство предложения 4.3. Импликация
(а)=*»(Ь) очевидна. Докажем импликацию (Ь)=*-(с). Если М есть
модуль типа FPn, то для любого к < п существует частичная про-
проективная резольвента Рк ->¦ ...-*¦ Ро -*¦ М -»- 0 конечного типа с
конечно порожденным ядром кег {Рк -»- Pk-i). Из леммы 4.4 сле-
следует, что всякая другая частичная проективная резольвента
§ к, РЕЗОЛЬВЕНТЫ КОНЕЧНОГО ТИПА 225
Pft->-.. ,-*-Р0-*-М -*-0 конечного типа (и той же длины к) имеет
конечно порожденное ядро ker{iV-»-Pfc_i}, так что выполнено ус-
условие (с). Наконец, для доказательства импликации (с)=*-(а)
достаточно заметить, что если выполнено (с), то требуемую ус-
условием (а) частичную резольвенту Fn -*-...-*¦ Fo ->¦ М ->¦ 0 можно
построить шаг за шагом. О
Замечания. 1. Изоморфизм леммы 4.4 можно запомнить,
формально перенося слагаемые из одной части в другую, как ра-
равенство «эйлеровых характеристик»
Ро - Pi + Р, ~ • • • = Р» - Р'х + Р'2 - • • •
2. Если рассматривать лемму 4.4 как теорему сравнения для
резольвент, то естественно спросить, нельзя ли вывести ее из ре-
результатов § 1.7. Это действительно можно сделать; вот план рас-
рассуждения. В силу леммы 1.7.4 мы можем найти сохраняющее
аугментацию цепное отображение Р' -*¦ Р; пусть С — конус этого
отображения. Тогда комплекс С ацикличен и потому разбивается
на короткие точные последовательности. Используя тот факт, что
комплекс С проективен во всех размерностях, за исключением
двух верхних, можно индуктивно доказать, что эти короткие точ-
точные последовательности расщепляются (см. упражнение 3(а) к
§ 1.8). Таким образом, С, « Со е Zu C2«Z,®Z2, С, « Z2 ® Z3
и т. д., откуда
С» ® С2 ® ... » С, © С3 © ...
Вспомнив, что Сг = Рг ф Pi-i, мы получаем желаемый изо-
изоморфизм.
3. Из леммы 4.4 вытекает, что модуль Рп проективен в том и
только в том случае, если проективен модуль Рп. Таким образом,
лемма 4.4 доставляет новое доказательство импликации (a)=^(d)
из леммы 2.1.
В наибольшей мере нас будет интересовать случай, когда ус-
условия предложения 4.3 выполняются при всех п ~s* 0. Эта ситуа-
ситуация характеризуется следующим предложением.
4.5. Предложение. Следующие условия на модуль М экви-
эквивалентны:
(a) М допускает свободную резольвенту конечного типа;
(b) M допускает проективную резольвенту конечного типа;
(c) М принадлежит типу FPn при всех п^О.
Доказательство. Очевидно, (а) =»¦ (Ь) =>(с). Для доказа-
доказательства импликации (с)=^(а) достаточно заметить, что если ус-
условие (с) выполнено, то мы можем построить свободную резоль-
резольвенту конечного типа шаг за шагом, используя 4.3(с). ?
Если выполнены условия предложения 4.5, то говорят, что М
есть модуль типа FPK.
15 К. С. Браун
226 гл' VIII. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
В заключение мы упомянем некоторые полезные формальные
свойства, которыми обладают гомологические и когомологические
функторы Тог? (Л/, —) и Ех1,н(Л/, —) в случае, когда М есть
модуль типа FPn- (При этом читатель должен постоянно помнить,
что главный интерес представляет случай R = IX, М = Z. В этом
случае функторы Тог и Ext —это просто Н*(Г, —) и Я*(Г, —).)
Заметим сначала, что гомологические функторы Тог?(М, —)
всегда коммутируют с прямыми пределами в следующем смысле.
Пусть {iV,}isI — прямая система Л-модулей, где / — направленное
множество, и пусть ^ = 1шш1^. Таким образом, N есть уни-
универсальная область значений для согласованного семейства ото-
отображений N{--N (i^I). Эти отображения индуцируют согласо-
согласованное семейство отображений в категории абелевых групп
ToT*{M.,Ni)->-ToT*(M,N), которые определяют отображение
mi
Утверждение заключается в том, что ф — изоморфизм. Это прямо
следует из определения функтора Tor? (M, —) как функтора
H*(P(?)r—), где Р есть проективная резольвента модуля М, вви-
ввиду следующих двух фактов:
(a) функтор Р ®в — коммутирует с прямыми пределами (см.
Спеньер [1966], 5.1.9);
(b) функтор Н+ (—) коммутирует с прямыми пределами (ом.
Спеньер [1966], 4.1.7).
Функторы вида Шогп.п(Р, —) не коммутируют, вообще гово-
говоря, с прямыми пределами, так что мы не можем рассчитывать на
то, что будет коммутировать с прямыми пределами функтор
Extfl(M, —). Но все же можно доказать, что последнее имеет
место при выполнении надлежащих условий FPn. Для простоты
мы ограничимся случаем п = °°.
4.6. Предложение. Если М есть модуль типа FP^, то
функтор Extfl(M, —) коммутирует с прямыми пределами.
Это немедленно вытекает из следующей леммы.
4.7. Лемма. Если Р — конечно порожденный проективный
R-модуль, то функтор Нотл(/>, —) коммутирует с прямыми пре-
пределами.
Доказательство. Изоморфизм двойственности 1.8.3 (Ь)
показывает, что функтор Нотв'(?, —) эквивалентен функтору
Р* ® д —, а мы уже знаем, что последний коммутирует с прямыми
пределами. ?
[Обобщение леммы 4.7 и указания к ее другому доказатель-
доказательству см. ниже в упражнении 4.]
§ 5. ГРУППЫ ТИПА FPn 227
Аналогичным образом можно показать, что функтор
Тог,. (М, —) коммутирует с прямыми произведениями, если М
есть модуль типа FP*, (в то время как функтор Extfl(M, —)
коммутирует с прямыми произведениями при любом М).
Удивительным образом, эти формальные свойства функторов
Extfl(M, —) и Tor* (M, —) характеризуют свойство FP*,. Имен-
Именно, справедливо следующее утверждение.
4.8. Теорема. Следующие условия эквивалентны:
(a) М принадлежит типу FP^;
(b) ExtR(M, —) коммутирует с прямыми пределами;
(c) Тог? (М, —) коммутирует с прямыми произведениями.
Мы не приводим доказательства, поскольку этот результат
дальше всерьез не используется. Эквивалентность условий (а) и
(с) впервые была доказана Биери и Экманом [1974]. Доказатель-
Доказательство эквивалентности условий (а) и (Ь), а также обобщение тео-
теоремы 4.8 содержатся в статье Брауна [1975а]. Дальнейшие ре-
результаты этого типа см. в статье Штребеля [1976].
Упражнения
1. Пусть Г — некоторая группа. Покажите, что Z в том и только в том
случае есть конечно представимый ZF-модуль, если Г есть конечно порож-
порожденная группа. [Указание. Воспользуйтесь упражнением 1 (d) к § I.2.]
2. Пусть М' и Ш" — модули, и пусть М = М' ф М". Покажите, что М
принадлежит типу FPn в том и только в том случае, если и М', и М" при-
принадлежат типу FPn. [Указание. Предположите, что Р' и Р" — частичные
резольвенты конечного типа длины к модулей М' и М", и положите Р =
= Р' (Э Р". Заметьте, что Р имеет конечно порожденное ядро в том и толь-
только в том случае, если его имеют Р' и Р".]
3. Пусть С и С" — неотрицательные цепные комплексы проективных мо-
модулей. Если С и С гомотопически эквивалентны, покажите, что
с0 © с[ ® с2® ... & с'о © с1 © с;© ...
[Указание. Имитируйте второе доказательство леммы 4.4, намеченное
в замечании 2 после этой леммы.]
4. Покажите, что если М есть конечно представимый Д-модуль, то функ-
функтор Нотв(М, —) коммутирует с прямыми пределами. [Указание. Это
можно вывести из леммы 4.7, но можно доказать и прямо, пользуясь тем
фактом, что для задания отображения из модуля М в другой модуль доста-
достаточно указать в последнем некоторое конечное множество элементов, кото-
которые удовлетворяют некоторому конечному множеству соотношений.]
§ 5. Группы типа FPn
Теперь мы посмотрим, что дает теория § 4 в случае R = ZI\
М = Z- Мы скажем, что группа Г принадлежит типу FPn @ <
s^resSoo), если Z принадлежит типу FPn как Zr-модуль. Та-
Таким образом, всякая группа принадлежит типу FP0, и легко ви-
видеть, что группа Г принадлежит типу FPl тогда и только тогда,
15*
228 гл- VIIL условия конечности
когда она конечно порождена (см. упражнение 1 к § 4). Однако
уже для условия FP2 столь же простой интерпретации не извест-
известно. Легко понять, что конечно представимые группы принадлежат
типу FPz, ибо если У есть конечное клеточное двумерное про-
пространство с niY = T, то клеточный цепной комплекс универсаль-
универсальной накрывающей пространства Y является частичной свободной
резольвентой Z над "IX длины 2 конечного типа. [Алгебраиче-
[Алгебраическое доказательство намечено в упражнении 4(с) к § IV.2.] Но
не известно, верно ли обратное1). (Переформулировка этой про-
проблемы приведена ниже в упражнении 3.)
Мы не будем останавливаться на примерах, поскольку множе-
множество примеров групп типа FP*, появится в §§ 6, 9 и 11. Читатель,
желающий познакомиться с примерами групп, которые при п < °°
принадлежат типу FPn, но не принадлежат типу FPn+u отсылает-
отсылается к книге Биери [1976], § 2.6, и статье Штюлера [1980]; способ
построения таких примеров в случае п = 1 описан ниже в упраж-
упражнении 2, в случае п = 2 — в статье Столлингса [1963].
Особенно хорошо условия FPn ведут себя по отношению к пе-
переходу к подгруппам конечного индекса.
5.1. Предложение. Пусть Г" ^Г — подгруппа конечного
индекса. Тогда Г есть группа типа FPn (O^n^oo) в том и
только в том случае, если Г" есть группа типа FPn.
Доказательство. Всякая (частичная) проективная резоль-
резольвента конечного типа Z над Zr может рассматриваться также
как (частичная) проективная резольвента Z над 2У', и как
таковая она также имеет конечный тип, поскольку (Г:Г")<°°.
Это доказывает необходимость. Предположим теперь, что Г' при-
принадлежит типу FPn. Мы покажем, что в этом случае ZF-модуль
Z удовлетворяет условию 4.3(с). Пусть Р — частичная проектив-
проективная резольвента Z над Zr конечного типа и длины к < п. Рас-
Рассматривая Р как частичную резольвенту Z над Zr\ мы можем
применить 4.3 (с) и заключить, что ядро кег {Рк -*¦ Ph-i) конечно
порождено над IX'• Но тогда это ядро тем более конечно по-
порождено над Zr, так что Z удовлетворяет условию 4.3 (с) над
zr. п
Полагая, например, п — 1, мы приходим к хорошо известному
(но не вполне очевидному) факту, что группа Г конечно порож-
порождена тогда и только тогда, когда конечно порождена группа Г'.
В заключение мы приведем для удобства будущих ссылок
следующее важное следствие предложения 4.6.
5.2. Предложение. Пусть Г — группа типа FPn, и пусть
п — такое число, что Я"(Г, ZI1) = 0. Тогда Нп(Т, F)=0 для
любого свободного ZF- модуля F.
') Для разрешимых групп Г значительный прогресс в решении этой
проблемы достигнут Биери и Штребелем. Ссылки см. в дополнении к вы-
выходящему в свет второму изданию книги Биери [1976].
§ 5. ГРУППЫ ТИПА FP» 229
Доказательство. Если F имеет конечный ранг, то утвер-
утверждение вытекает из аддитивности функтора Н"(Т, —). В общем
случае мы выбираем в F базис (ei)ieJ и замечаем, что F = lim Fj-,
где / пробегает все конечные подмножества множества / и Ft
есть подмодуль модуля F, порожденный е<, i^J. Тогда Fj есть
свободный модуль конечного ранга, и, используя предложение 4.6,
мы заключаем, что Нп (Г, F) = lim Я" (Г, F) = 0. а
Упражнения
1. Пусть Г —группа типа FPn, и пусть М есть Г-модуль, конечно по-
порожденный как абелева группа. Покажите, что при i ^ n абелевы группы
Я<(Г, М) и Я*(Г, М) конечно порождены.
2. Пусть Г есть амальгама Г] «лГг, где Fi и Гг — свободные группы ко-
конечного ранга ж Л — свободная группа бесконечного ранга. Покажите, что
группа Г конечно порождена, но не принадлежит типу FP2. В частности,
группа Г не является конечно представимой. [Указание. Выведите из по-
последовательности Майера — Виеториса, что группа Н^Т не является конеч-
конечно порожденной.]
3. (а) Покажите, что если Г — группа типа FP2 n N — ее совершенная
нормальная подгруппа (т. е. такая нормальная подгруппа, что N = [N, ЛП),
то TIN также есть группа типа FP^. [Указание. Примените функтор (— )м
к частичной резольвенте Z над ZF длины 2 конечного типа. Получивший-
Получившийся комплекс по-прежпему будет ацикличен в размерности 1, поскольку его
одномерные гомологии совпадают с H^N = 0.]
(b) Пусть Г = F/R, где F есть конечно порожденная свободная группа.
Докажите, что эквивалентны следующие условия:
(*) Г есть группа типа FP?,
(#*) модуль соотношений i?ab является конечно порожденным
модулем; _^
(# * #) Г = TIN, где Г — конечно представимая группа и N — ее совер-
совершенная нормальная подгруппа.
[Указание. Для доказательства импликации (*) =>- (**) воспользуй-
воспользуйтесь предложением П.5.4.]
Замечание. Ввиду эквивалентности условий (») и (*#*) мы можем
следующим образом переформулировать вопрос, является ли конечно пред-
представимой всякая группа типа FP%: всегда ли совершенная нормальная под-
подгруппа конечно представимой группы конечно порождена как нормальная
подгруппа?
4. Заметьте, что для любой группы Г когомологические группы
Н* (Г, ZF) обладают канонической структурой правого Г-модуля. Дейст-
Действительно, модуль коэффициентов ZF, который в определении Я* (Г, ZT)
выступает как левый модуль, обладает также правым действием группы Г
(посредством правых сдвигов), которое коммутирует с левым действием;
это правое действие индуцирует правое действие группы Г в когомологиче-
когомологических группах Я* (Г, ZF). Данное упражнение содержит две «формулы
универсальных коэффициентов», в которых участвует эта правая Г-модуль-
ная структура.
(а) Докажите, что если Г есть группа типа FPa,, то для любого плоско-
плоского Z Г-модуля F
H*(T,F)»H*(T,2T)9zrF-
[Указание. Используя изоморфизм двойственности 1.8.3(Ь), запишите
Эёотт(Р, F), где Р—проективная резольвента конечного типа, в виде тен-
тензорного произведения.]
230 гл- vin. условия конечности
(Ь) Докажите, что если Г есть группа типа FPa,, то для любого инъек-
тивного Z Г-модуля Q
Я* (Г, (?) « Homr (Я* (Г, 2Г), <?).
[Чтобы Нот имел смысл, мы должны считать Q правым Г-модулем.]
5. Пусть Г — свободное произведение Г] * Г2, где Т\ и Гг — бесконечные
группы типа FP«>. Покажите, что для любого целого i существует отобра-
отображение (правых) Г-модулей
Я* (Г, zr) ч- Ind^-ff* (I\, Zrt) © Ind^tf* (Г2, Zr2)
являющееся при i > 1 изоморфизмом, а при i = 1 — эпиморфизмом, ядром
которого служит свободный /Г-модуль ранга 1. [Указание. Воспользуй-
Воспользуйтесь последовательностью Майера — Виеториса и примените упражнепие
4(а) для вычисления Я* (Г^, ZT), / = 1, 2.]
§ 6. Группы типа FP и FL
Теперь мы скомбинируем два типа условий конечности, рас-
рассматривавшихся в этой главе. Резольвента называется конечной,
если она имеет как конечный тип, так и конечную длину. Груп-
Группа Г называется группой типа FP, если Z допускает конечную
проективную резольвенту над IX.
6.1. Предложение. Группа Г принадлежит типу FP в том
и только в том случае, если (a) cd Г < °° и (Ь) Г принадлежит
типу FP*,.
Доказательство. Необходимость очевидна. Предположим,
что cd Г < °° и что Г принадлежит типу FP^; конечную резоль-
резольвенту можно построить следующим образом. Возьмем частичную
резольвенту конечного типа Рп-г ->-... -*¦ Ро -*¦ Z-> 0, где п =
= cdr, и положим Рп = ker {Pn-i -*• Рп-г)- Тогда модуль Рп проек-
тивен (см. лемму 2.1 (d)) и конечно порожден (см. предложение
4.3(с)), так что мы получаем конечную проективную резольвенту
Заметим, что это доказательство требует, чтобы группа Г при-
принадлежала не типу FPoo, а только типу FPn с п — cd Г. Отсюда
следует, например, что конечно представимая группа Г с cd Г = 2
принадлежит типу FP2. Заметим также, что частичную резоль-
резольвенту (Pt)isin-i можно было взять в этом доказательстве свобод-
свободной. Таким образом, если группа Г принадлежит типу FP, то су-
существует конечная проективная резольвента
F.2) О-^P + F^+...+Fo + Z,
в которой модули Fi свободны. (См. также упражнение 2 к это-
этому параграфу.) Но нет причин ожидать, что свободным будет и
модуль Р. Таким образом, впервые в этой книге мы сталкиваемся
с существенным различием; между тем, что можно сделать, ис-
используя проективные резольвенты, и тем, что можно сделать, ис-
используя только свободные резольвенты.
§ 6. ГРУППЫ ТИПА FP И FL 231
Ввиду этого представляется естественным ввести еще более
сильное условие конечности: группа Г называется группой типа
FL, если Z допускает конечную свободную резольвенту над IX•
[Предостережение. Многие ошибочно полагают, что символ
FL есть сокращение английских слов «finite length» — «конечная
длина»,— и, таким образом, путают свойство FL со значительно
более слабым свойством конечности когомологической размерно-
размерности. В действительности L в FL происходит не от английского
«length», а от французского «libre» — ««вободный». Иногда в ли-
литературе вместо символа FL используют символ FF (от англий-
английского «/inite /гее resolution» — «конечная свободная резольвен-
резольвента»).]
Очевидный способ построения групп типа FL доставляет то-
топология.
6.3. Предложение. Если для данной группы Г существует
конечное клеточное К(Т, 1)-пространство, то Г есть группа
типа FL.
[Мы увидим в § 7, что обратное также верно, во всяком слу-
случае, если предположить, что группа Г конечно представима.]
Просматривая список примеров из § 2, мы немедленно полу-
получаем следующие примеры групп типа FL: свободные группы ко-
конечного ранга; группы поверхностей; конечно порожденные груп-
группы с одним соотношением, левая часть которого не является
степенью; свободные абелевы группы конечного ранга. Без боль-
большого труда можно также показать (см. упражнение 8 к этому
параграфу), что конечно порожденные нильпотентные группы
без кручения тоже принадлежат типу FL. Мы передокажем
этот результат и приведем много других примеров групп типа
FL в § 9.
Свойство FP также допускает топологическую интерпретацию,
которая требует введения нового понятия: пространство У назы-
называется конечно доминируемым, если существует такое конечное
клеточное пространство К, что У является ретрактом К в гомото-
гомотопической категории (т. е. существуют отображения U У -*¦ К и
г: К -*¦ У, такие, что ri ^ idr).
6.4. Предложение. Если для данной группы Г существу-
существует конечно доминируемое К(Т, 1)-пространство, то Г есть группа
типа FP.
[Опять-таки в § 7 мы увидим, что обратное верно в предпо-
предположении, что группа Г конечно представима.]
Этот результат нам не понадобится, так что мы ограничимся
кратким наброском доказательства.
Пусть У есть клеточное К(Т, 1)-пространство, доминирован-
ное конечным клеточным пространством К. Последнее можно вы-
выбрать таким образом, что отображения У =*± К индуцируют изо-
изоморфизмы групп iti. Обозначая через ? и К универсальные на-
накрывающие, мы заключаем, что клеточный цепной комплекс С(Т)
232 гл. viii. условия конечности
есть ретракт комплекса С (К) в гомотопической категории цеп-
цепных комплексов над Zr. Поскольку С(Т) есть свободная резоль-
резольвента модуля Z и С (R) есть конечный свободный комплекс, это
показывает, что функтор Я* (Г, —) коммутирует с прямыми пре-
пределами и что Я*(Г, — ) = 0 при i>dim.K. Отсюда следует, ввиду
теоремы 4.8, что Г есть группа типа FP. О
Замечание. Предложения 6.3 и 6.4 и их обращения пред-
представляют собой специальные случаи следующей теоремы, принад-
принадлежащей Уоллу [1965, 1966]. Пусть У —связное клеточное про-
пространство, фундаментальная группа л которого конечно предста-
вима, и пусть С — клеточный цепной комплекс универсальной
накрывающей пространства Y, рассматриваемый как комплекс
я-модулей. Тогда (а) пространство Y в том и только в том слу-
случае гомотопически эквивалентно конечному клеточному простран-
пространству, если комплекс С гомотопически эквивалентен конечному
сводобному комплексу; (Ь) пространство Y в том и только в том
случае является конечно доминируемым, если комплекс С гомо-
гомотопически эквивалентен конечному проективному комплексу.
Потратив столько усилий на разъяснение различий между
условием FP и условием FL, мы должны признать теперь, что
примеров групп типа FP, не принадлежащих типу FL, не извест-
известно. [С топологической точки зрения ситуация такова: хотя из-
известно множество примеров конечно доминируемых пространств,
не имеющих гомотопического типа конечного клеточного про-
пространства, ни один из этих примеров не есть К(Т, 1).]
Чтобы лучше понять содержание проблемы, посмотрим, в чем
состоит препятствие к доказательству того, что группа типа FP
принадлежит типу FL. Предположим, что Г есть группа типа FP,
и выберем конечную проективную резольвенту вида F.2), кото-
которая свободна во всех размерностях, кроме старшей. Проективный
модуль Р, который стоит в старшей размерности, может обладать
тем свойством, что свободен модуль Р® F, где F — некоторый сво-
свободный модуль конечного ранга. В этом случае модуль Р назы-
называется стабильно свободным, и мы можем превратить F.2) в ко-
конечную свободную резольвенту точно так же, как подобное дела-
делалось в доказательстве предложения 2.6. Обратно, если конечная
свободная резольвента существует, мы можем сравнить ее с ре-
резольвентой F.2) при помощи леммы 4.4 и заключить, что модуль
Р стабильно свободен. [Две резольвенты могут иметь неодинако-
неодинаковую длину, но лемма 4.4, тем не менее, применима, поскольку
мы можем продолжить более короткую резольвенту нулями.] Мы
приходим к следующему результату.
6.5. Предложение. Пусть Г — группа типа FP, и пусть
О -*¦ Р -*¦ Fn_i->-... -*-F0-*- Z ->- 0— конечная проективная резоль-
резольвента Z над IX, в которой все модули F< свободны. Тогда Г
в том и только в том случае принадлежит типу FL, если модуль
Р стабильно свободен. О
§ 6. ГРУППЫ ТИПА FP И FL 233
Таким образом, вопрос, существуют ли группы типа FP, не
принадлежащие типу FL, приводит к более фундаментальному
вопросу: существуют ли конечно порожденные проективные мо-
модули, которые не являются стабильно свободными? В случав
произвольного кольца ответ на последний вопрос, конечно, утвер-
утвердителен, известны даже примеры для целочисленных групповых
колец ЖГ — простейший пример Г = Х2зЦ (ом- Милнор [1971],
§ 3). Удивительный факт, однако, состоит в том, что подобные
примеры не известны для групп Г без кручения, а группа
типа FP не может иметь кручения в силу следствия 2.5.
Заметим, наконец, что резольвенты вида F.2), в которых мо-
модуль Р не свободен, действительно бывают. Первый такой пример
был построен Данвуди [1972]; группа Г в этом примере была
группой трилистника. Однако во всех известных в настоящее вре-
время примерах такого рода группа Г заведомо является группой
типа FL (и, значит, модуль Р является стабильно свободным).
Несмотря на это отсутствие примеров, существуют, как мы
увидим позднее (см. следствие IX.6.4 и замечание 1 после его
доказательства), конкретные результаты, доказательства которых
требуют именно свойства FP, а не FL. Одна из причин этого со-
состоит в том, что мы можем доказать для групп типа FP следую-
следующий результат, аналога которого для групп типа FL не известно.
6.6. Предложение. Пусть Г — группа без кручения и Г"—
ее подгруппа конечного индекса. Тогда Г в том и только в том
случае принадлежит типу FP, когда Г' принадлежит типу FP.
Доказательство. Это следует из теоремы 3.1 и предло-
предложения 5.1. D
В частности, если Г — группа без кручения, содержащая под-
подгруппу конечного индекса, принадлежащего типу FL, то благода-
благодаря предположению 6.6 мы знаем, что Г есть группа типа FP, но
нет оснований для уверенности, что Г принадлежит типу FL.
В заключение этого параграфа мы обсудим некоторые специ-
специальные свойства когомологий старшей размерности группы ти-
типа FP. Сначала мы заметим, что в этом случае имеет место сле-
следующее усиление предложения 2.3.
6.7. Предложение. Если Г есть группа типа FP, то cd Г =
= тах {га: Я"(Г, %Т)фО}.
Доказательство. Это следует из предложений 2.3 и
5.2. ?
Напомним, что когомологические группы Нг (Г, "ZX) облада-
обладают канонической структурой правых Г-модулей (см. упражне-
упражнение 4 к § 5). Поэтому для любого (левого) Г-модуля М мы мо-
можем образовать тенэорное произведение Н{ (Г, ZF)
Имеется также каноническое отображение
Ф: Я* (Г, ЖГ) ®2гЛ/-*-Я*(Г, М),
234 гл- viii. условия конечности
определяемое на коцепном уровне следующим образом. Пусть
Р — проективная резольвента Z над IX; для любых и е
е 3@отт(Р, IX) и теМ наше отображение переводит и® тп
в коцепь х >-*¦ и (х) m (х е Р) комплекса Жотпт {Р, М).
Теперь мы можем доказать для когомологий старшей размер-
размерности группы типа FP следующую «теорему универсальных коэф-
коэффициентов».
6.8. Предложение. Если Г — группа типа FP и п = cdГ,
то
q>: Hn(T, ZF) ®гтМ-^Нп(Г, il/)
есть изоморфизм для любого Т-модуля М.
Мы приведем два доказательства этого предложения, каждое
из которых представляет для нас интерес.
Первое доказательство. Рассмотрим ф как естествен-
естественное преобразование между функторами от М. Поскольку оба
функтора точны справа, достаточно показать, что ф есть изомор-
изоморфизм, когда модуль М свободен. [Для перехода к общему случаю
достаточно рассмотреть точную последовательность F' -*¦ F -*¦ М ->
-»- 0 со свободными F' и F.] Так как, далее, оба функтора адди-
аддитивны и коммутируют с прямыми пределами, можно ограничить-
ограничиться случаем, когда свободный модуль М имеет ранг 1, т. е. мы мо-
можем предположить, что М— "JX. Но в этом случае ф: Я™ (Г,
IX) <8>zrZr->-^n(r, Zr)ecTb просто хорошо известный изомор-
изоморфизм и (g) г •->• иг (с обратным и <-*¦ и ® 1).
Второе доказательство. Пусть Р — конечная проек-
проективная резольвента Z над Zf длины п, и пусть Р — двойствен-
двойственный комплекс Жотг {Р, %Х) правых Г-модулей. Тогда
Н* (Г, ZF) « Н* (Р). В частности, мы имеем точную после-
последовательность
pn-i^-pn^jp(г? zr)_^0)
включающую модуль когомологий старшей размерности. Тензор-
но умножая эту последовательность на М и применяя изомор-
изоморфизм двойственности из предложения 1.8.3 (Ь), мы получаем ком-
коммутативную диаграмму
( )
Рп-ь M)-+RomT(Pn,M)-+Hn(T,M) ->0
с точными строками. Из нее видно, что ф есть изоморфизм. ?
Изоморфизм предложения 6.8 можно переписать следующим
многообещающим образом. Пусть D есть Г-модуль Я™ (Г,-7Х);
§ 6. ГРУППЫ ТИПА FP И FL 235
тогда ЯП(Г, ZF) ®zrM = D <g>zr M = (Z> <g> М)г = Яо (Г, Я ® М),
где D ® М = D ®%М с диагональным действием группы Г. {По-
{Поскольку D есть правый модуль, а М есть левый модуль, диаго-
диагональное действие определяется формулой ч(d ® m) = d-p1 ® Тm.
где y e Г, d^D, m^ М.\ Таким образом, изоморфизм из предло-
предложения 6.8 может рассматриваться как изоморфизм
F.9) Я"(Г, ЛГ)«Я,'(Г, D9M).
Мы вернемся к этой точке зрения в § 10.
Упражнения
1. Покажите, что если Г есть группа типа FL и cd Г = га, то Z допус-
допускает над ZF конечную свободную резольвенту длины га.
2. Пусть Г — группа типа FP, и пусть т — произвольное неотрицатель-
неотрицательное целое число. Докажите, что Z допускает над ZT такую конечную про-
проективную резольвенту Р, что модуль Pt свободен при i ф т. Более того,
длипа такой резольвенты Р может быть сделана равной max{m, cdr}, [Ука-
[Указание. Данную резольвенту можно модифицировать, составляя ее прямую
сумму с комплексами вида 0->(J-^-(J->0.J
3. Покажите, что если Г есть группа типа FP и cd Г = га, то Нп (Г, ZF)
есть конечно порожденный Г-модуль.
*4. Пусть Г — группа типа FP и cd Г = п; предположим, что модуль
Н71 (Г, ZF) конечно порожден как абелева группа. Покажите, что если
Г' cz Г есть подгруппа бесконечного индекса, то cd Г' < га. [Указание.
Заметьте, что Я™ (Г', М') « ^P(r, Comd?,.M') для любого Г'-модуля М'. Да-
Далее примените изоморфизм F.9) и упражнение 4(Ь) из § Ш.5.] Приведите
пример, показывающий, что условие на Нп (Г, ZF) не может быть от-
отброшено.
5. В этом упражнении удобно будет считать модули коэффициентов для
гомологии правыми Г-модулями, а модули коэффициентов для когомоло-
гий левыми Г-модулями. Напомним из § V.3, что имеется спаривание вы-
вычисления значений
Нг (Г, М) ® № (Г, N)-+M ®ZTN.
В частности, полагая N = IT, мы получаем отображение
(*) нг(т, м)® нг(т, гт)-+
(a) Покажите, что (*) есть отображение в категории правых Г-моду-
лей, где группа Г действует в левой части через посредство ее действия f
Нг(Т,1Т). Заметьте, что отображение (*) индуцирует некоторое ото-
отображение
i|>: Я{ (Г, М) -+ Ношг (Я*(Г, 2Г), М).
,- ¦ • \
[Указание. Воспользуйтесь естественностью спаривания вычисления зна-
значений. Или, по-другому, выведите нужное непосредственно из- определений
на цепном уровне.]
(b) Покажите, что если Г есть группа типа FP и cdr"= n, то i|) есть
изоморфизм в размерности п. Таким образом,
F.10) Я„(Г, М) да Нотг(Д М) = Я0(Г, Hom(?>, M)),
236 гл- уш- условия конечности
где, как и в F.9), /> = Я"(Г, 2Г). [Указание. Рассмотрите естествен-
естественное отображение М ®щР -*¦ Звотг (Р, М), где Р = 2fi$omr (P, 2Г).]
(c) В предположениях части (Ь) пусть г<=Яп(Г, D) соответствует
idi)eHomr(b, D) при изоморфизме 6.10. Мы называем z фундаментальным
классом группы Г. По определению, этот класс характеризуется уравнением
<г, и> = и
при любом иеЯ" (Г, 2Г) = D, где <—, —> обозначает спаривание вычис-
вычисления значений, задаваемое определенным выше отображением (*). Пока-
Покажите, что для любого модуля М отображение
1Г1: Homr (D, М) 3- Яп (Г, М)
действует по формуле if (/) = /«=z, где /<=Homr(Z>, М) и /, = ЯП(Г, /):
#Я(Г, D) -*¦ Нп (Г, М). [У к а з а н и е. В случае М = D, / = id это вытека-
вытекает из определения класса z; переход к общему случаю осуществляется на
основании естественности отображения i))—см. упражнение 3(а) к § 1.7.]
Выведите из этого, что изоморфизм
Я0 (Г, Horn (D, М)) 3- Яп (Г, М),
обратный к 6.10, определяется /-ч-умножением на z; точнее говоря, он явля-
является композицией
Я0 (Г, Horn (D, М){Ц Яп (Г, Нот (D, M)®D) + Нп (Г, М),
где второе отображение индуцируется очевидным коэффициентным гомо-
гомоморфизмом Нот (D, M) ® D-+M. [Указание. Воспользуйтесь описанием
rs-умножения Н° ® Нп -*¦ Н„, данным в упражнении 1 к § V.3.]
(d) Покажите, что изоморфизм
Ф: Я" (Г, М) % D О^М,
обратный к изоморфизму предложения 6.8, задается вычислением значения
на фундаментальном классе z. [Указание. В случае Af = ZT это выте-
вытекает из определения класса z; для перехода к общему случаю применяется
«абстрактная чепуха» — как в первом доказательстве предложения 6.8.] Вы-
Выведите отсюда, что изоморфизм F.9)
Яп (Г, М) ^ Яо (Г, D ® М)
задается гл -умножением на z. [Указание. Воспользуйтесь утверждением
V.3.10.]
6. (а) Пусть Г — группа типа FР, и пусть Dun обозначают то же, что
выше. Покажите, что ЯП(Г, D) Ф 0, и выведите отсюда, что cdr = ndr,
где hd Г — гомологическая размерность группы Г, определяемая формулой
hd Г = sup{n: Я„(Г, М) Ф 0 для некоторого Г-модуля *Г}.
*(Ь) Приведите пример группы Г (заведомо не принадлежащей типу
FP), для которой hd Г < cd Г.
*7. Покажите, что если Г — группа типа FP и cd Г = га, то имеются
спектральные последовательности
#м = Тог I (Я""9 (г, ZF), М) => Я"-(р+9) (Г, М)
и
ЕМ = Extf (Я"-« (Г, 2Г), М) =>Я„_(р+в) (Г, М).
§ 7. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 237
Рассматривая в этих спектральных последовательностях угол р = q = О
дайте повое доказательство изоморфизмов #П(Г, М) « Нотг(Д М) и #П(Г,
М) « D ®2г ^- [Указание. Воспользуйтесь спектральными последова-
последовательностями универсальных коэффициентов — см. Годман [1958], 1.5.4.1 и
1.5.5.1.]
*8. Докажите, что свойства FP и FL хорошо себя ведут по отношению к
расширениям, амальгамированиям и т. д. Точнее:
(a) Предположим, что последовательность 1->-Г"->-Г->-Г"-»-1 точна.
Если группы Г" и Г" принадлежат типу FP (соотв. FL), то и группа Г при-
принадлежит типу FP (соотв. FL).
(b) Пусть X — ацикличное клеточное Г-пространство, имеющее лишь ко-
конечное число клеток mod Г. Если стационарная подгруппа Г„ группы Г,
отвечающая каждой клетке о пространства X, принадлежит типу FP (со-
(соотв. FL), то и Г принадлежит типу FP (соотв. FL). В частности, амальгама
1\ #лГг принадлежит типу FP (соотв. FL), если Г], Гг и А принадлежат
типу FP (соотв. FL).
[Указание. См. Серр [19711 или Биери [1976].]
§ 7. Топологическая интерпретация
Как мы уже знаем (см. предложение 2.2), из существования
конечномерного клеточного К(Т, 1)-пространства вытекает, что
группа Г имеет конечную когомологическую размерность. Анало-
Аналогичным образом предложения 6.3 и 6.4 показывают, что из суще-
существования конечного клеточного К(Т, 1)-пространства (соотв.,
конечно доминируемого К(Т, 1)-пространства) вытекает, что
группа Г принадлежит типу FL (соотв. типу FP). Цель этого
параграфа составляют обращения этих результатов. Заодно мы
дадим топологическую интерпретацию Г-модуля Н* (Г, ZT),
возникшего в § 6. Мы будем пользоваться одним простым резуль-
результатом из гомотопической теории, а именно теоремой Гуревича
(которая формулировалась в § II.5).
Следующая теорема принадлежит Эйленбергу — Гане [1957] и
Уоллу [1965, 1966].
7.1. Теорема. Пусть Г—произвольная группа, и пусть п =
= max{cdr, 3). Тогда существует п-мерное клеточное К(Т, 1)-
пространство Y. Если группа Г конечно представима и принад-
принадлежит типу FL (соотв. FP), то пространство Y может быть вы-
выбрано конечным (соотв. конечно доминируемым).
(Мы не исключаем здесь возможности cd Г = °°, но теорема
в этом случае утверждает просто существование клеточного
К (Г, 1)-пространства.)
Следующий факт немедленно вытекает из теоремы 7.1.
7.2. Следствие (Эйленберг —Ганя). Если cdT>3, то
cd Г = geom dim Г.
Конечно, равенство cd Г = geom dim Г имеет место и в случае
cd Г = 0 (поскольку группа Г в этом случае тривиальна), и в слу-
случае cd Г = 1 (по теореме Столлингса — Суона, упоминавшейся в
примере 2 к § 2). Ввиду теоремы 7.1 равенство cdr = geomdim Г
238 гл- vin- условия конечности
имеет место, таким образом, всегда, за исключением, возможно,
случая cd Г = 2, geom dim Г == 3; реализуется ли такая возмож-
возможность, не известно.
Доказательство теоремы 7.1. Пространство У мы по-
построим индуктивно по остовам. Для начала индукции возьмем
за У2 двумерное клеточное пространство, ассоциированное с не-
некоторым представлением группы Г (см. упражнение 2 к § II.5);
таким образом, niYz « Г. Если группа Г конечно представима, то
пространство У2 может быть выбрано конечным. Заметим, что у
его универсальной накрывающей X2 гомологии Я, = 0 при О < i <
< 2. Предположим теперь, что уже построен остов У*" и что
у его универсальной накрывающей Хк~1 гомологии Н{ = 0 при
О < i < к — 1. Если группа Г конечно представима и принадле-
принадлежит типу FP, то предположим также, что остов У* конечен.
Выберем множество образующих (za) для Г-модуля Hk-iXk^.
По теореме Гуревича для каждого а мы можем найти отображе-
отображение /а: 1$*"' -*¦ Хк~\ представляющее za в том смысле, что ото-
отображение Hk-i(fa): Hk-iSk~l -*- //fc-iX" переводит каноническую
образующую группы Hh-iSh''i в za. Положим, далее,
где й-тоштка е„ приклеивается к Yh~l по сквозному отображению
cft-i _!?. хк~г -> Yh~1
Обозначая универсальную накрывающую пространства У* че-
через X", мы должны проверить, что Н{Хк = 0 при 0 < i < к. Снача-
Сначала заметим, что Xh~l может рассматриваться как (к— 1)-остов
пространства X"; действительно, Хк получается из Xs приклеи-
приклеиванием /с-клеток по отображениям fa и всевозможным Г-образам
этих отображений. Ясно, следовательно, что Н{Хк = Н(Хк~* = 0 при
О < i < к — 1 и что имеется точная последовательность
Hh {Xh, Xй) Л tf^Xb-i -> Я^_1Х" ^ 0.
Достаточно показать, таким образом, что д есть эпиморфизм.
Напомним, что Hh(Xh, Xk~l) (т. е. просто Ск(Хк) — группа
^-мерных клеточных цепей) есть свободный Zr-модуль, базис-
базисные элементы которого соответствуют Химерным клеткам про-
пространства Yh, т. е. индексам а. А именно, в этом модуле имеется
базис (va), который строится следующим образом: если %а:
(Ек, 8к~*)-+(Х", X*-1)—характеристическое отображение, соот-
соответствующее клетке, приклеенной посредством отображения fa, то
va определяется как образ канонической образующей группы
Hk(Eh, Sk~l) при отображешш
: Hh{E\ Sk~l)-+ Нк(Х\ X*-1).
§ 7. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 239
Из коммутативности диаграммы
следует, что dt;a = Za (образующие в Нк(Ек, Я*-1) й Hk-iSk~i вы-
выбраны согласованным образом), так что отображение д действи-
действительно эпиморфно.
[Для удобства будущих ссылок заметим, что если Я^Х* есть
свободный Zr-модуль с базисом (za), то д: Нк(Хк, X*)-*-
-»¦ Hh-±Xh~l есть изоморфизм. Ввиду этого длинная точная гомо-
гомологическая последовательность пары (Х\ Xh~l) показывает, что
в этом случае ИгХк = 0 при всех ? > 0, так что уже У* есть
К(Т, 1).]
Чтобы завершить шаг индукции, мы должны показать, что
если группа Г конечно представима и принадлежит типу FP, то
остов Yk может быть сделан конечным; другими словами, мы дол-
должны показать, что в указанном случае Я^Х* есть конечно по-
порожденный Г-модуль. Чтобы в этом убедиться, достаточно заме-
заметить, что клеточный цепной комплекс
Cft_!-*-...->C0-»-Z-> О
пространства Х* есть частичная свободная резольвента конеч-
конечного типа, поскольку остов У1 предполагался конечным.
Поэтому группа #,,_, = ker {Ch-i -*¦ Ck-2] конечно порождена в си-
силу предложения 4.3 (группа Г принадлежит типу FP).
Если п = «о, мы продолжаем этот индуктивный процесс бес-
бесконечно и получаем желаемое К(Т, 1)-пространствоF = (J hYk,
Если п < оо, то рассмотрим Х"~1. (Это имеет смысл, поскольку
п—1^2.) Клеточный цепной комплекс этого пространства
есть частичная свободная резольвента длины п — 1. Следователь-
Следовательно, лемма 2.1 показывает, что Hn-iX71 есть проективный ZT-
модуль. Трюк Эйленберга (лемма 2.7) показывает, что существу-
существует такой свободный модуль F, что модуль Нп-1Хп~1 © F свободен.
Заменим теперь пространство Yn~l пространством У" = У" V
V iS1"-1 V Sn~* V ..., где экземпляры Sn~l отвечают базисным эле-
элементам модуля F. Эффект, производимый этой заменой на С(ХП~1),
состоит просто в том, что к Cn-i прибавляется F и при этом
<9|F = 0. Универсальная накрывающая X"" будет теперь иметь
свободный модуль #„_). Поэтому, как было замечено выше, если
мы приклеим я-клетки е™ к У по базисным элементам za мо-
модуля Нп-1Хп~\ то получающееся пространство У" =УИ~1 U ((J е?)
будет и-мерным К (Г, 1)-пространством.
240 гл- vni- условия конечности
Предположим теперь, что Г — конечно представимая группа
типа FL. Тогда пространство У конечно и проективный модуль
^n-iX" конечно порожден. Предложение 6.5 показывает, далее,
что этот модуль стабильно свободен, т. е. что существует свобод-
свободный модуль F конечного ранга, такой, что Яп-Д" © F
также есть свободный модуль конечного ранга. Далее мы дей-
действуем, как в предыдущем абзаце, и получающееся пространство
У" будет конечным К(Т, 1).
Наконец, предположим, что группа Г конечно представима,
но принадлежит не типу FL, а лишь типу FP. Тогда, с одной
стороны, описанный выше общий индуктивный шаг доставляет
конечное клеточное пространство
у« = yn-i и en U ... U еп,
универсальная накрывающая которого имеет Я( = 0 при 0 < i < п.
Следовательно, я4Уп « ntXn = 0 при 1 < i < п. С другой стороны,
мы уже знаем, что существует К(Г, 1)-пространство вида
У" = У"-1 V 5-1 V... U e" U ...,
так что л(У" = 0 при всех г> 1. Я утверждаю, что У" доминирует
над У". Действительно, требуемые отображения
с ri ^ id легко построить следующим образом: оба они являются
тождественными на общей части У" пространств F", F" и оба
продолжаются произвольным образом на приклеиваемые клетки.
(Продолжения существуют по тривиальным причинам для сфер
5"~1, присоединяемым к У" букетным образом при построении
У", и они существуют для каждой клетки еп, потому что nn-iYn =
= 0 и я„_1Уп = 0.) Наконец, гомотопия ri ^ id_ определяется как
неподвижная на Yn~l и щюдолжается на все У" ввиду тривиаль-
тривиальности групп Jin-tYn и л»У. П
Для удобства будущих ссылок мы упомянем следующую воз-
возможность усовершенствования теоремы 7.1.
7.3. Добавление. Пространство Y из теоремы 7.1 может
быть сделано симплициальным1).
Доказательство. Сохраняя обозначения предыдущего
доказательства, предположим, что остов Yk~l является симпли-
симплициальным. По теореме о симплициальной аппроксимации мы мо-
можем сделать каждое приклеивающее отображение /а: Я* -*¦ Y%~i
симплициальным по отношению к некоторой триангуляции сферы
') В топологии существует общая теорема, согласно которой всякое
(конечное, конечно доминируемое) клеточное пространство гомотопически
эквивалентно (конечному, конечно доминированноыу) сииплициальноиу
пространству; см. Рохлин — Фукс [1977], 2.3.4.2.— Примеч. пер.
§ 7. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 241
5*~'. Получающееся пространство У* будет тогда триангулируе-
триангулируемо — см. Уайтхед [1949], § 9, лемма 2. ?
В заключение мы приведем, в предположении, что группа Г
конечно представима и принадлежит типу FL, топологическую ин-
интерпретацию правого Г-модуля Я*(Г, ZF). Нам потребуется
следующее наблюдение.
7.4. Лемма. Пусть Г — группа и М — левый Т-модулъ. Пусть,
далее, Hom?(M, Z) ? Нот (М, Z) состоит из таких групповых го-
гомоморфизмов М-*-%% что при любом тп^М для всех "f e Г, кроме
конечного числа, f(^m) = 0. Тогда существует естественный изо-
изоморфизм
Нотг(М, ZF) « Homc(il/, Z).
Более того, это — изоморфизм правых Т-модулей, где группа Г
действует в Homr(M, IX) через посредство ее правого действия
в ZF и действует в Нотс(М, Г) через посредство ее левого дей-
действия в М (г. е. (/y) (m) = f("(m) для /еНотс(М, Z), Г
)
Доказательство. Всякий групповой гомоморфизм F:
М-+ТХ имеет вид
F(m)= 2 /v(m)v,
vsr
где /v: М-*-Х и при любом тп^М для всех Y е Г, кроме конеч-
конечного числа, /т(т) = 0. Легко проверить, что такое отображение
является Г-гомоморфизмом в том и только в том случае, если
/т(т) = /1Aу-1т) при всех f^r. Таким образом, отображение
Homr(M, Zr)-*-Homc(M, Z), определяемое формулой F >-* f±,
является изоморфизмом, обратным к которому служит отобра-
отображение
v=r
Читатель без труда сможет проверить, что этот изоморфизм яв-
является естественным и согласован с правыми действиями груп-
группы Г. О
Предположим теперь, что группа Г конечно представима и
принадлежит типу FL. В силу теоремы 7.1 существует стягивае-
стягиваемое свободное клеточное Г-пространство X с конечным фактор-
пространством Х/Т. Тогда С(Х) есть конечная свободная резоль-
резольвента Z над Zr и Н* (Г, Zr) совпадает с когомологиями
комплекса
Жотт(С{Х)% Zr).
Ввиду леммы
Жотп? (С (X), Zr)» 50omc (С (X), Z) S <?0om (С (X), Z),
16 К. С. Браун
242 гл- V1IL условия конечности
причем изоморфизм согласован с правыми действиями группы Г
и с кограничными операторами (последнее — ввиду утверждения
о естественности в лемме 7.4).
Напомним, что в С(Х) имеется Z-базис, элементы которого
соответствуют клеткам пространства X. Эти базисные элементы
свободно переставляются действием группы Г и распадаются
в конечное число орбит. Из этого очевидным образом вытекает,
что комплекс 2ёотс {С (X), Z) состоит из таких коцепей / е
¦^ Жот(С(Х), Z), что /(а) = 0 для всех клеток а, кроме ко-
конечного числа. Когомологии этого комплекса называются когомо-
логиями пространства X с компактными носителями и обознача-
обозначаются через Н*С(Х, Z). Таким образом, мы доказали следующее
утверждение.
7.5. Предложение. Если X есть стягиваемое свободное
клеточное Т-пространство с компактным X/Y, то имеет место
изоморфизм
*
правых Т-модулей, где правое действие группы Те Нс (X, Z)
индуцируется ее левым действием в X.
Ввиду предложения 6.7 это влечет за собой
7.6. Следствие. Если X обозначает то же, что в пред-
предложении 7.5, то
Упражнения
1. Покажите, что если Г — счетная группа, то существует счетное кле-
клеточное К (Г, 1)-пространство.
2. Предполагая, что группа Г конечно представима, укажите топологи-
топологическую интерпретацию условий FPn C г? п ^ оо).
3. Предположим, что cd Г = 2. Покажите, что существует двумерное
ацикличное свободное клеточное Г-пространство. [Указание. Запишите
Г = FIR, где F — свободная группа и R < F. Пусть У1 — одномерное кле-
клеточное пространство с П\ = F, и пусть X1 — накрывающее пространство,
отвечающее R; далее действуйте, как в доказательстве теоремы 7.1.1 Таким
образом, для любой группы Г ее когомологическая размерность cd Г топо-
топологически характеризуется как минимальная размерность свободного ацик-
ацикличного клеточного Г-пространства.
*4. Докажите следующее обобщение предложения 7.5. Пусть X — стяги-
стягиваемое клеточное Г-пространство с конечными стационарными подгруппа-
подгруппами Го е с конечным числом клеток mod Г. Тогда Я*(Г, 7Г)«я? (Х,2).
[Указание. Прежде всего покажите, например, при помощи спектраль-
спектральных последовательностей, что Н* (Г, ZT) можно вычислять через посред-
посредство 3tSomr(C(X),ZT).]
§ 8. Дальнейшие топологические результаты
Цель этого параграфа — посмотреть, какие свойства типа ко-
конечности проистекают для группы Г из того факта, что сущест-
существует К (Г, 1)-пространство, являющееся многообразием. С боль-
§ 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 243
шпм количеством примеров такой ситуации мы столкнемся в сле-
следующем параграфе. Для понимания доказательств из этого пара-
параграфа требуется более солидная топологическая подготовка, чем
в любом другом разделе этой книги. Читатель, не имеющий этой
подготовки, все же сможет прочесть и понять формулировки всех
результатов.
Мы начнем с того, что докажем для К(Т, 1)-многообразий
аналоги предложений 2.2 и 6.3.
8.1. Предложение. Предположим, что Y есть d-мерное
К(Т, I)-многообразие (возможно, с краем). Тогда:
(a) cd Г =? d, причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда многообразие Y замкнуто (т. е. компактно и не имеет
края);
(b) если Y компактно, то группа Г принадлежит типу FL.
Доказательство, (а) Если многообразие Y гладко, как
это будет во всех наших примерах, то существует несколько спо-
способов показать, что Y имеет гомотопический тип некоторого кле-
клеточного пространства У размерности ^ d (так что cd Г ^ d в си-
силу предложения 2.2): нужно воспользоваться либо триангуляци-
триангуляционной теоремой Уайтхеда (см. Манкрес [1966], гл. II), либо тео-
теорией Морса (см. Милнор [1963]), либо теорией нервов покрытий
(см. Вейль [1952]). Другой способ, который действует и в не-
негладком случае, состоит в том, чтобы вывести из двойственности
Пуанкаре с локальными коэффициентами, что Н'(Т, М) =
= #' (Y, М) = О при i > d для всех Г-модулей М. Это доказывает
первую часть утверждения (а). Если многообразие Y замкнуто,
то Hd(T, Z2) = Hd(Y, Z2)=Z2=? 0, так что cd Г = d. Если У не
замкнуто, то из той же двойственности Пуанкаре с локальными
коэффициентами выводится, что Hd(Г, М) = Hd(У, М) = О для
всех Г-модулей М, так что cd Г < d; подробностей мы не приво-
приводим, поскольку это строгое неравенство нам не понадобится.
[Другое, геометрическое, доказательство этого строгого неравен-
неравенства можно дать, предположив Y триангулируемым: в этом слу-
случае можно показать, что Y обладает деформационной ретракцией
на подпространство размерности < d. Ниже мы явно опишем та-
такую деформационную ретракцию в одном интересном примере —
см. § 9, пример 3.]
(Ь) Предположим, что многообразие Y компактно. В гладком
случае клеточное пространство У из доказательства части (а)
может быть выбрано конечным, так что Г принадлежит типу FL
в силу предложения 6.3. Тот факт, что Y имеет гомотопический
тип конечного клеточного пространства, остается верным и в об-
общем случае, хотя доказательство становится значительно более
трудным (см. Кирби — Зибенман [1969] или Вест [1977]); таким
образом, мы можем считать утверждение (Ь) доказанным. [Стоит
заметить, что если мы удовлетворимся тем фактом, что Г принад-
принадлежит типу FP, то доказательство делается значительно более
16*
244 гл' viii. условия конечности
элементарным: нужно лишь вложить У в евклидово пространство
и заметить, что образ вложения является ретрактом компактной
полиэдральной окрестности (см. Дольд [1972], доказательство тео-
теоремы V.4.11); таким образом, Г принадлежит типу FP в силу
предложения 6.4.
Теперь мы приведем новую интерпретацию когомологий
Н* (Г, IX) (ср. предложение 7.5) в случае, когда существует
компактное К(Т, 1)-многообразие Y. Пусть X — универсальная
накрывающая многообразия Y. Поскольку многообразие X одно-
связно, оно, конечно, ориентируемо, и мы обозначаем через Q со-
соответствующий «ориентационный модуль». Таким образом, Q есть
бесконечная циклическая группа, две образующие которой соот-
соответствуют двум ориентациям X. Действие группы Г в X индуци-
индуцирует действие этой группы в Q: элемент уеГ действует в Q
как ±1, в зависимости от того, сохраняет или обращает ориента-
ориентацию действие |вХ. Заметим, что Г действует в й тривиальным
образом в том и только в том случае, если Y ориентируемо. На-
Наконец, примем соглашение, что приведенные гомологии простран-
пространства Z, т. е. гомологии пополненного цепного комплекса простран-
пространства Z, обозначаются через H*(Z). Например, Н^1@)=Х-
Теперь мы можем сформулировать наш результат.
8.2. Предложение. Пусть Y — компактное d-мерное
К(Т, I)-многообразие (возможно, с краем). Пусть X — универ-
универсальная накрывающая многообразия Y u Q — соответствующий
ориентационный модуль. Тогда при всех i имеются Т-изомор-
физмы
Н{ (Г, ZT)» tfd_i-i (дХ) ® О.
В частности, если Y есть замкнутое многообразие, то
(О при 1фй,
{ nPpu i = d]
8.3. Следствие. В ситуации предложения 8.2 предположим,
что существует хотя бы одно такое к, что Йк(дХ)?=0. Положим,
далее,
l = l + min{k:
Тогда
Это следствие немедленно вытекает из предложений 8.2 и 6.7.
Заметим, что если dY?*0, то 1>0. Таким образом, следствие 8.3
уточняет неравенство cdr<d предложения 8.1 (а) в компактном
случае.
Доказательство предложения 8.2. Поскольку Y
компактно и имеет гомотопический тип конечного клеточного
§ 8. ДАЛЬНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 245
пространства, то в силу предположения 7.5
С другой стороны, существует изоморфизм Пуанкаре — Лефшеца
Этот изоморфизм не является, однако, каноническим: он зависит
от выбора ориентации в X В частности, он коммутирует или
антикоммутирует с действием элемента |^Г в зависимости от
того, сохраняет или обращает f ориентацию X. Следовательно,
имеется Г-изоморфизм
Наконец, так как Я* (X) = 0, то
Я*., (X,
Предложение доказано. С
Замечание. Читатель, не знакомый в достаточной мере с
изоморфизмом Пуанкаре — Лефшеца для некомпактных многооб-
многообразий с краем, может предпочесть следующее другое доказатель-
доказательство, использующее двойственность только для компактных мно-
многообразий (правда, с локальными коэффициентами) и не исполь-
использующее того факта, что Y имеет гомотопический тип конечного
клеточного пространства.
Рассматривая ZF и Q как локальные системы коэффициен-
коэффициентов на Y, мы имеем:
Я* (Г, 2Г)« Я* (У, 2Г)« Hd_i (У, dY; ZT ® Q).
Далее, IX ® Q с диагональным действием группы Г есть инду-
индуцированный модуль (см. следствие III.5.7), а гомологии с коэф-
коэффициентами в индуцированном модуле, очевидно, совпадают с
обычными гомологиями универсальной накрывающей. Таким об-
образом,
#„_, (У, 3Y; 2Г <g> Q)» Hd_i (X, дХ; п)« Hd^ (X, дХ) ® Q,
откуда наше предложение выводится уже известным нам спо-
способом.
Упражнение
Пусть Г —такая группа, что существует замкнутое Я(Г, ^-многообра-
^-многообразие. Выведите из предложения 8.1 (а), что если Г'с Г — подгруппа беско-
бесконечного индекса, то cd Г' < cd Г. [Указание. Если р: Т -*¦ Y — бесконеч-
волистное накрытие, то ? не может быть компактным.] Обобщение этого
результата см. ниже в упражнении 6 к § 10.
246 гл- vin- условия конечности
§ 9. Дальнейшие примеры
Мы видели в § 2 несколько примеров групп Г с cd Г < °°,
а в § 6 мы заметили, что некоторые из этих групп принадлежат
типу FL. Сейчас мы введем некоторые дополнительные семейства
примеров, самыми интересными из которых служат так называе-
называемые арифметические группы. Изучение этих примеров, как мы
увидим в следующей главе, помогает вскрыть замечательные свя-
связи между теорией когомологий групп и теорией чисел. К сожа-
сожалению, утверждения, которые мы будем делать относительно этих
примеров, значительно менее элементарны, чем соответствующие
утверждения, касающиеся предыдущих примеров, и мы не смо-
сможем привести доказательств. Читателю не стоит тратить на этот
параграф больших усилий: ему нужно только принять на веру
несколько глубоких результатов, которые мы должны будем
привести без доказательств.
1. Пусть Г — классическая группа узла (т. е. фундаменталь-
фундаментальная группа дополнения к нетривиальному узлу K<^S3). Тогда Г
принадлежит типу FL и cd Г = 2. Чтобы убедиться в этом, поло-
положим У = S3 — Т, где Т — открытая трубчатая окрестность узла К.
Тогда У есть компактное 3-многообразие, край которого есть тор,
и глубокая теорема Папакирьякопулоса [1957] утверждает, что
У есть К(Г, 1). Из предложения 8.1 вытекает теперь, что Г при-
принадлежит типу FL. Чтобы вычислить cd Г, мы используем другой
результат теории узлов, а именно, тот факт, что группа nl{dY^
вкладывается в nj в качестве подгруппы бесконечного индекса.
Если X есть универсальная накрывающая пространства У, то из
сказанного следует, что дХ представляет собой несвязное объеди-
объединение счетного числа экземпляров универсальной накрывающей
R2 тора 3Y. Таким образом, число I в следствии 8.3 равно 1 и
cd Г = 3 — 1 = 2, как и утверждалось. Более того, предложение 8.2
позволяет нам вычислить Я* (Г, IX). Мы видим, в частности,
что Я1 (Г, 2Г) = 0 при 1ф2ш что Я2(Г, Z?) есть свободная
абелева группа счетного ранта.
2. Пусть Г — группа строго верхних треугольных га X п-матриц
над Z- Мы видели в примере 5 к § Н.4, как можно построить
К (Г, 1)-многообразие (без края). Именно, нужно положить Y —
= T\G, где G есть группа строго верхних треугольных п X га-мат-
га-матриц над R. Легко видеть, что У компактно (см. упражнение ни-
ниже), так что из предложения 8.1 вытекает, что Г принадлежит
типу FL и что
(В частности, при п = 3 мы вновь получаем результат примера 6
§ 9. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 247
к § 2.) Более того, предложение 8.2 показывает, что
О при 1фп Г" ,
Я1(Г,2Г) = . 2
(Z ПрИ i = ZL?Lpi>t
где Г действует в Z тривиальным образом. Оказывается, что этот
результат обобщается на случай, когда Г есть произвольная ко-
конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Именно,
как показал Мальцев [1949], такая группа Г может быть вложена
в качестве дискретной подгруппы с компактным факторпростран-
ством в нильпотентную группу Ли G, которая гомеоморфна ев-
евклидову пространству размерности d = rank Г. [Можно рассмат-
рассматривать G как «тензорное произведение» К ® Г —см. Бурбаки Н.
Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и
группы Ли.- М.: Мир, 1976, с. 214-215, 451-452.]
3. Рассмотрим тешерь группу SLn(Z), га ^ 2. Эта группа
имеет кручение, так что cd(SLn(Z,)) = оо. Мы знаем, однако,
что в этой группе есть подгруппы Г конечного индекса, не имею-
имеющие кручения — см. упражнение 3 к § П.4. Пересечение такой
группы Г со строго верхней треугольной группой U имеет конеч-
конечный индекс в U и, значит, имеет cd = ra(ra —1)/2 в силу приме-
примера 2 и предложения 2.4(а). Таким образом,
Теперь мы наметим доказательство (основанное на теории приве-
приведения квадратичных форм к каноническому виду) того, что груп-
группа Г принадлежит типу FL и что в (9.1) в действительности име-
имеет место равенство. Другое доказательство этих фактов будет об-
обсуждаться ниже в примере 5.
Пусть X — пространство, которое мы в примере 7 к § II.4 обо-
обозначали через Хо; таким образом, по модулю умножения на по-
положительные скаляры X есть пространство положительно опре-
определенных квадратичных форм в R". Напомним, что X есть стя-
стягиваемое многообразие (без края) размерности о~ ~ 1>
что SLn(\R) (а, значит, и Г) действует в X и что Х/Т есть
К(Т, 1). Напомним также, что при га = 2 мы можем отождествить
X с верхней полуплоскостью (или, что эквивалентно, с открытым
единичным диском), в которой SL2(R) действует посредством
дробно-линейных преобразований.
Ввиду предложения 8.1 (а)
cdr<^Li_!.
Более того, можно показать, что факторпространство Z/Г неком-
некомпактно, так что из того же предложения 8.1 (а) вытекает, что пре-
248
ГЛ. VIII. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
дыдущее неравенство является строгим, Это рассуждение можно
значительно улучшить, заменив ссылку на общие факты, собран-
собранные в предложении 8.1, прямой геометрической конструкцией.
Именно, мы сейчас покажем, что Х/Т обладает деформационной
ретракцией на подпростран-
подпространство, которое является кле-
клеточным пространством раз-
размерности п(п — 1)/2. Тем са-
самым мы установим, что
cd Г =? п(п — 1)/2, и докажем,
таким образом, наше утверж-
утверждение, что 9.1 является в дей-
действительности равенством.
Мы начнем с объяснения,
как это сделать в случае
п = 2, используя в качестве
модели для X открытый еди-
единичный диск. Существует
паркетирование диска X
«идеальными гиперболиче-
гиперболическими треугольниками», ко-
Рис. 4 торое согласовано с дейст-
действием группы SL2(Z) и хо-
хорошо известно в теории модулярных форм (см., например,
Ленер [1964]). Чтобы построить это паркетирование, нужно
начать с какого-нибудь одного идеального треугольника (т. е.
гиперболического треугольника, вершины которого лежат на
единичной окружности) и затем породить остальные треуголь-
треугольники последовательными отражениями в сторонах. Это построе-
построение изображено на рис. 4, на котором заштрихованные треуголь-
треугольники чередуются с незаштрихованными. Вершины треугольников
паркетирования называются точками заострения, и мы обознача-
обозначаем через X* пространство, получаемое из X добавлением точек
заострения; X* может рассматриваться как симгошциальное про-
пространство с симплициальным действием группы ?L2(Z). [Мы
наделяем X* обычной симплициальной топологией, а не тополо-
топологией, которая проистекает из вложения в плоскость. В частности,
множество дХ* точек заострения в симплициальной топологии яв-
является дискретным. Можно показать, впрочем, что симплициаль-
ная топология совпадает с обычной топологией на открытом под-
подмножестве X пространства X*.]
Пусть теперь Т — симнлициальное дополнение к дХ* в бари-
барицентрическом подразделении К пространства X*, т. е. Т есть наи-
наибольшее подпространство пространства К в симплициальном
смысле, не пересекающееся с дХ*. (По-другому можно описать Т
как объединение всех симплексов из К, ни одна из вершин кото-
которых не принадлежит дХ*.) Подпространство Т показано на рие. 5.
§ 9. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
249
См. также рис. 6, на котором показано все барицентрическое под-
подразделение К на модели верхней полуплоскости для X. Читателю
предлагается проследить на этой картинке расположение подпро-
подпространства Т. [Вершины самого большого треугольника на рис. 4
соответствуют на рис. 6 точ-
точкам —1, 0, °°; барицентр это-
этого треугольника соответству-
соответствует точке (-l + fV3)/2 на
рис. 6.]
Сейчас мы укажем кано-
каноническую деформационную
ретракцию геометрического
дополнения Х = Х*— дХ* на
симплициальное дополнение
Т. Именно, при деформации
X в Т движение происходит
по прямым линиям (в ги-
гиперболическом или симшга-
циальном смысле), исходя-
исходящим из точек множества дХ*.
Точнее говоря, всякая точка
х^Х лежит в замкнутом Рис $
2-симплексе а пространства
К, одна вершина v которого лежит в дХ*, а противополож-
противоположное этой вершине ребро т лежит в Т. Поскольку x?=v, существу-
существует корректно определенный луч, исходящий из v и проходящий
через х, и точка х движется при деформации по этому лучу в на-
направлении от v, пока она не достигнет ребра т.
Заметим, что как Т, так и деформация описаны в чисто сим-
шшциальных терминах, так что они согласованы с действием
250 гл' VIIL условия конечности
группы SL2(Z) и ее подгруппы Г. Следовательно, факторпро-
странство Т/Т есть деформационный ретракт факторпространства
Х/Т, и оно имеет размерность 1 = 2B— 1)/2, как и требуется.
Прежде чем обратиться к общему случаю, мы сделаем не-
несколько замечаний относительно предыдущей конструкции. Пусть
К — симплициальное пространство. Подпространство (в симпли-
циальном смысле) L называется полным, если всякий симплекс
пространства К, все вершины которого лежат в L, сам принадле-
принадлежит L. Например, подпространство дХ* пространства X* не пол-
полно в X*, но оно полно в барицентрическом подразделении про-
пространства X*. (Вообще, если К — произвольное симплициальное
пространство и L — его произвольное подпространство, то бари-
барицентрическое подразделение пространства L является полным
подпространством барицентрического подразделения пространст-
пространства К.) Пусть Т — симшлициальное дополнение к L в К; оно опре-
определяется, как и выше, как подпространство пространства К, со-
состоящее из тех симплексов, которые не имеют вершин, лежащих
в L. Если L полно в К, то всякий симплекс из К, не содержащий-
содержащийся в L, имеет непустую грань, лежащую в Т и такую, что про-
противоположная грань (возможно, пустая) лежит в L. Отсюда без
труда выводится, что геометрическое дополнение К — L допуска-
допускает деформационную ретракцию на симплициальное дополнение Т:
каждый симплекс выметается по прямолинейным отрезкам от
своей L-грани на свою Г-грань.
Наши предыдущие действия могут быть объяснены теперь
так: сначала мы перешли к барицентрическому подразделению,
чтобы подпространство дХ* стало полным, а затем мы произвели
деформационную ретракцию геометрического дополнения к дХ*
на симплициальное дополнение.
Обобщение предыдущей конструкции на SLn (Z) с произ-
произвольным га основывается на теории, принадлежащей Вороному
[1907]. Вороной построил расширение X* пространства X, при-
присоединив к X некоторые неотрицательно полуопределенные квад-
квадратичные формы, а именно те, нулыпространства которых обла-
обладают базисам, составленным из векторов, лежащих в Qn. Он
определил, далее, явное подразделение пространства X* на вы-
выпуклые клетки, переставляемые действием группы SLn(Z).
Разность X* — X = дХ* является подпространством в клеточном
смысле. Клетки пространства X не обязательно являются симп-
симплексами, но X* обладает барицентрическим подразделением, ко-
которое симплициально и наследует симплициальное действие груп-
группы SLn(?). Отсюда выводится в точности, как выше, что
X = X* — дХ* допускает деформационную ретракцию (согласо-
(согласованную с действием группы SLn(Z)) на симплициальное до-
дополнение Т к дХ* в К. Рассмотрение конструкции Вороного
показывает, далее, что дХ* содержит весь (га — 2)-остов про-
пространства X*, откуда очевидным образом выводится, что Т имеет
§ 9. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 251
коразмерность > п — 1. Таким образом,
dim Т/Т = dim Т < п-Щ-У - 1 - (га - 1) = 1&р1\
что и требовалось. Наконец, Вороной доказал, в дополнение к
сказанному, что X* имеет конечное число клеток по модулю дей-
действия группы ЗЬп(Х), так что Т/Т есть в действительности
конечное клеточное пространство и Г принадлежит типу FL.
Замечание. В случае га = 2 пространство Т, будучи дефор-
деформационным ретрактом стягиваемого пространства X, является
деревом. Это дерево было впервые построено Серром [1977а],
1.4.2, который дал с его помощью простое доказательство класси-
классической теоремы, выражающей SL2 (Z) как амальгаму Z4*z2Z6-
Существование аналога Т при га>2 (т. е. Г-инвариантного стя-
стягиваемого подпространства пространства X размерности га (га— 1)/2
с компактным Т/Т) было доказано при га = 3 Суде [1978] и в об-
общем случае Эшем [1977]. Эш в действительности получил, ис-
используя надлежащее обобщение теории Вороного, аналогичный
результат для более широкого класса групп. Когомологическая
размерность таких групп была ранее вычислена Борелем и Сер-
Серром [1974], пользовавшимися другими методами, которые мы
опишем ниже в примере 5.
Группы из примеров 2 и 3 представляют собой примеры
«арифметических» групп. Прежде чем переходить к рассмотре-
рассмотрению общих арифметических групп, посмотрим, что можно ска-
сказать о произвольных дискретных подгруппах групп Ли.
4. Пусть G — группа Ли с конечным числом связных компо-
компонент, К — ее максимальная компактная подгруппа и d = dim G —
— dim К. Я утверждаю, что если Г — произвольная дискретная
подгруппа группы G, не имеющая кручения, то
cd Г «? d,
причем равенство достигается в том и только в том случае, если
группа Г кокомпактна в G, т. е. если факторпространство G/T
компактно. Более того, в кокомпактном случае Г принадлежит
типу FL и, кроме того, Н\Т, JX) = 0 при i^d и Hd(T, ZT) = Z
(возможно, с нетривиальным действием группы Г). Чтобы дока-
доказать эти утверждения, достаточно вспомнить (см. пример 8 в
§ II.4), что T\G/K есть К(Т, 1)-многообразие (без края) размер-
размерности d; более того, многообразие T\G/K компактно тогда и толь-
только тогда, когда группа Г кокомпактна. Все сделанные выше ут-
утверждения сразу вытекают теперь из предложений 8.1 и 8.2.
5. Теперь мы рассмотрим «арифметический» случай примера 4.
Мы ограничимся кратким наброском теории арифметических
групп, отсылая читателя за подробностями и дальнейшими ссыл-
ссылками к обзорной статье Серра [1979]. Пусть G — линейная алгеб-
252 тл- vm- условия конечности
раическая группа, определенная над Q. В конкретных терминах
это значит просто, что G есть подгруппа некоторой полной линей-
линейной группы GLn, выделяемая в ней полиномиальными уравнения-
уравнениями (с рациональными коэффициентами) относительно пг матрич-
матричных элементов. Например, группа G может быть группой SLn
(определяемой одним уравнением det(a«)=l) или группой стро-
строго верхних треугольных матриц (определяемой уравнениями
пц = 1, а,3- = 0 при i > j). Вещественные матрицы, удовлетворяю-
удовлетворяющие данным полиномиальным уравнениям, образуют тогда груп-
группу Ли G(R) (например, <SXn(R)), относительно которой из-
известно, что она имеет конечное число компонент; целочисленные
же матрицы, удовлетворяющие нашим уравнениям, образуют
дискретную подгруппу G(Z) группы G(iR) (например, SLn(Z)cz
cz SLn(\R)). Группа G(Z) называется арифметической группой.
В более общей ситуации, когда подгруппа Г группы G(Q)
соизмерима с G (Z), т. е. обладает тем свойством, что пере-
пересечение Т (] G(Z) имеет конечный индекс как в Г, так и в
G(Z), Г называется арифметической подгруппой группы G(Q).
В частности, всякая подгруппа конечного индекса группы G (Z)
является арифметической.
Предположим теперь, что Г — арифметическая группа без
кручения. Как и в примере 4, мы имеем стягиваемое много-
многообразие X = G (R)/K, в котором Г действует свободно, так что
Х/Т есть К(Т, 1)-многообразие. Оказывается, однако, что груп-
группа Г обычно не кокомпактна в G(R) и, значит, многообразие
Х/Т не компактно. В действительности с алгебраической группой
G ассоциируется ее «Q-ранг» I, и группа Г является ко компакт-
компактной в G (R) в том и только в том случае, если 1 = 0.
[Для читателей, знакомых с алгебраическими группами, мы
можем привести точное определение числа I: это — ранг макси-
максимального Q-расщепляющегося тора в G/RG, где RG есть радикал
группы G. Если, например, G есть группа строго верхних тре-
треугольных матриц, то RG = G, так что I = О и группа Г кокомпакт-
кокомпактна, как мы видели в примере 2. Если же G = SLn (n 5=2), то
RG = Ш и максимальным Q -расщепляющимся тором в G/RG =
= G служит группа диагональных матриц; таким образом, I =
= п — 1 > 0 и Г не кокомпактна, как мы видели в примере 3.]
Хотя в общем случае группа Г и не кокомпактна, Борелю и
Серру [1974] все же удалось показать, что Г принадлежит типу
FL, и вычислить Н* (Г, IX)- Их метод заключается в том, что
X заменяется стягиваемым многообразием X с краем (если
группа G полупроста, то X есть внутренность X), на котором дей-
действует группа G(Q). Они показали, что действие группы Г в X
является свободным и собственным, так что фактормногообразие
Х/Г компактно. Таким образом, Х/Т есть компактное К(Г, 1)-
иногообразие, так что Г принадлежит типу FL в силу_ предложе-
предложения 8.1 (Ь). Более того, конструкция многообразия X оказалась
I 9. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 253
достаточно явной для того, чтобы Борель и Серр смогли опреде-
определить гомотопический тип его края: именно, многообразие дХ го-
мотопически эквивалентно счетному букету (I— 1)-сфер, где I —
упоминавшийся выше Q-ранг группы (^[Если 1 = 0, это просто
означает, что дХ—&.\ Полагая d = dimX, мы выводим из пред-
предложения 8.2, что Я1 (Г, ZT) = 0 при IФ d - I и что Hd~l (Г, 2Г)
есть свободная абелева группа счетного ранга, если I > 0, и ран-
ранга 1, если I = 0. В частности,
cd Г = d - I.
Например, если G = SLn, то d = ^-^— — 1 и l — n—i, так
что cd Г <=d — I = и (и— 1)/2, как мы видели в примере 3.
6. Пусть 5 — конечное множество простых чисел, и пусть
Zs с Q — локализация Z, полученная обращением элементов
множества S. Если G — то же, что в примере 5, то подгруппа
группы G(Q) называется S-арифметической, если она соизмери-
соизмерима с G(Zs). Борель и Серр [1976] показали, что если группа G
редуктивна, то результаты из примера 5 распространяются на
5-арифметичеокие группы без кручения.
7. Серр [1971] заметил следующее замечательное следствие
примера 6: если Г — конечно порожденная подгруппа группы
GLn (Q), не имеющая кручения, то cd Г < °°. [Набросок доказа-
доказательства: мы замечаем, что T^GLnCZ,s) при некотором S, по-
после чего, применяя результат примера 6 к 5-арифметической
группе GLn(Zs)> заключаем, что всякая подгруппа последней
группы, не имеющая кручения, имеет конечную когомологическую
размерность.]
8. Результат примера 7 перестает быть верным, если заме-
заменить поле Q полем К, имеющим над Q степень трансцендентно-
трансцендентности 5=1. Дело в том, что в этом случае в GLn{K) можно найти
подгруппы без кручения, у которых есть унипотентные подгруп-
подгруппы, являющиеся свободными абелевыми группами бесконечного
ранга. [Подгруппа U группы GLn(K) называется унипотентной,
если у всякого элемента группы U все п собственных значений
равны 1. Согласно известной теореме Колчина это имеет место в
том и только в том случае, если группа U сопряжена в GLn(K)
с подгруппой группы строго верхних треугольных матриц.] Впро-
Впрочем, как показали Алперин и Шейлен [1981], это, по существу,
единственный возможный тип контрпримера. Говоря точнее, они
показали, что если Г есть конечно порожденная подгруппа груп-
группы GLn(K), не имеющая кручения, где К есть произвольное поле
характеристики 0, то cd Г < °о в том и только в том случае, если
числа Хирша конечно порожденных унипотентных подгрупп
группы Г ограничены сверху.
Замечание. Читатель, возможно, заметил, что все примеры
групп типа FL, которые мы рассматривали в этом параграфе,
254 гл- VIIL условия конечности
обладают следующим замечательным свойством. Существует це-
целое число п (обязательно равное cdГ), такое, что Я1 (Г, JX) = О
при i Ф п, a Я™ (Г, IX) есть свободная абелева группа. Как мы
увидим в следующем параграфе, значение этого свойства заклю-
заключается в том, что обладающие им группы удовлетворяют некото-
некоторому соотношению двойственности, аналогичной двойственности
Пуанкаре для многообразий.
Упражнение
Пусть G и Г обозначают то же, что в примере 2. Положим С =
= {(аи) е G: \ац\^: 1 при всех i,)}. Покажите, что G — ТС, и выведете из
этого, что группа Г кокомпактна в G. [Указание. Рассмотрите лежащие
в Г элементарные матрицы и интерпретируйте левое умножение на такую
матрицу как элементарную операцию над строками.]
§ 10. Группы с двойственностью
Как мы знаем (см. F.9)), для любой группы Г типа FP име-
имеет место изоморфизм
Я"(Г, ЛГ)«Я,(Г, D®M),
где М — произвольный Г-модуль, п = cd Г, D есть правый Г-мо-
дуль Я" (Г, IX) и D ® М = D ®%М с диагональным действием
группы Г. В этом параграфе мы будем изучать те группы Г, для
которых предыдущий изоморфизм включается в семейство изо-
изоморфизмов
Н'(Т, ДГ)»Я„_,(Г) D® М)
при всех i. Такие группы впервые рассматривались Биери и Эк-
маном [1973], доказавшими следующую их характеризацию.
10.1. Теорема. Для группы Г типа FP следующие условия
эквивалентны.
(a) Существуют целое число п и Т-модуль D, такие, что
Я'(Г, ДГ)«Я»_|(Г, D®M)
для всех Т-модулей М и всех целых чисел i.
(b) Существует целое число п, такое, что Их (Г, 2Г ® А) = 0
для любого 1Фп и любой абелевой группы А.
(c) Существует целое число п, такое, что Н1 (Г, IX) = 0 при
1фпи Я"(Г, IX) не имеет кручения (как абелева группа).
(d) Существуют естественные изоморфизмы
где ra = cdF и. D = Нп(Г, Z,T), согласованные со связывающими
гомоморфизмами в длинных точных гомологической и когомоло-
8 10. группы с двойственностью 255
гической последовательностях, ассоциированных с короткой точ-
точной последовательностью модулей.
Доказательство. (а)=>(Ь). Применим (а) к случаю, ко-
когда М есть индуцированный модуль ZF ® А. Легко видеть, что
модуль D ® М также является индуцированным (ом. следствие
Ш.5.7). Поскольку индуцированные модули Я^-ацикличны, из
(а) следует, что Я'(Г, М) * Я„-<(Г, D ® М) = 0 при i Ф п.
(Ь)=>-(с). Применяя (Ь) к случаю А = Z, мы находим, что-
Н\Г, 7Х) — 0 при i Ф п. Применяя теперь (Ь) к случаю А = Zk
(к>0) и используя точную когомологическую последова-
последовательность, ассоциированную с короткой точной последователь-
последовательностью
мы находим, что точна последовательность
о = я"-1 (г, zr ® zft) -^ я71 (г, zr> i- я" (г,
откуда вытекает, что Я" (Г, 2Х) не имеет /с^кручения.
(c)=*-(d). Заметим сначала, что ввиду предложения 6.7 число
п в (с) обязательно равно cd Г. Теперь мы дадим три различных
доказательства импликации (c)^-(d).
Первое доказательство. Мы будем пользоваться «аб-
«абстрактной чепухой» из § III.7, и читателю, возможно, стоит осве-
освежить ее в памяти прежде, чем двигаться дальше. Рассмотрим
когомологический функтор Я*(Г, —). Так как cdr = n<°°) мы
можем произвести переиндексацию и превратить Я*(Г, —) в
гомологический функтор; действительно, точная последова-
последовательность 0 -*¦ М' -*¦ М-*- М" -*¦ 0 Г-^одулей индуцирует точную
последовательность
...-*Я-»(Г, Л/")-* Я" (Г, М')-+Нп(Г, М)->ЯП(Г, М")-+0г
так что мы получим гомологический функтор Г, положив 7\ =
= Я"~*(Г, —). Из (с) вытекает (ввиду предложения 5.2), что
Я1 (Г, F) = 0 при всех ХФп и всех свободных ZF-модулях F.
Следовательно, функтор Г< уничтожаем при i > 0. Рассмотрим
теперь функтор Я* (Г, D <g> —), где D = Я" (Г, ZT). Это — тоже
гомологический функтор: если последовательность 0 -»¦ М' -*¦
-*¦ М -*¦ М" -*¦ 0 точна, то точна и последовательность 0 -*¦
-+D®M'-+D®M-+D®M"-+0 (поскольку D, по предположе-
предположению, не имеет кручения), и, значит, с ней ассоциируется длин-
длинная точная гомологическая последовательность. Более того, функ-
функтор Я{(Г, D®—) с ?>0 уничтожаем, так как если модуль М
индуцирован, то и модуль D ® М индуцирован. Так как, наконец,
Го л Я0(Г, D ® —) (см. F.9)), то теорема III.7.3 доставляет изо-
изоморфизм гомологических функторов Т « Я* (Г, D ® —), т. е. (d).
256 гл- vni- условия конечности
Второе доказательство аналогично первому доказа-
доказательству, за тем лишь исключением, что для построения отобра-
отображения Т -+Н# (Г, D ® —) мы вместо «абстрактной чепухи» поль-
пользуемся «-«-умножением. В силу упражнения 5(d) к § 6 существует
«фундаментальный класс» геЯ„(Г, D), ^-умножение на кото-
который доставляет изоморфизм Я"(Г, —)^-Н0 (Г, D ® —). Посколь-
Поскольку ^-умножение
nz: Г, = ЯЯ-(Г, -)^#<(Г, D ® -)
согласовано (с точностью до знака) со связывающими гомомор-
гомоморфизмами из длинных точных последовательностей, с помощью
сдвига размерностей стандартным образом доказывается, что по-
последнее отображение является изоморфизмом при всех г.
Третье доказательство. Пусть Р = (Pt),,«;«„ — проек-
проективная резольвента Z над ZF длины га. Рассмотрим двойствен-
двойственный комплекс Pj= 2ёопгг(Р, ZY). Так как Я* (Г, ZT) = 0 при
i Ф п, комплекс Р представляет' собой проективную резольвенту
модуля ?> = #И(Г, 2Г):
точнее говоря, га-я надстройка 2"Р есть проективная резольвен-
резольвента модуля D. Ввиду изоморфизма двойственности
(см. предложение 1.8.3), отсюда вытекает, что
(*) Я* (Г, М)« Я_{ (Р ®г М) = Яп_{ BПР ®ТМ) = Тог?_{ (D, М)
для любого Г-модуля М. Поскольку D не имеет кручения, из
предложения III.2.2 следует, далее, что
(..) Тог?_( (Д М)« Hn-i (Г, D ® М).
Читатель без труда убедится в том, что изоморфизмы (*) и (**)
естественны и согласованы со связывающими гомоморфизмами,
что и дает (d).
(d)=>-(a) очевидно. П
Если группа Г удовлетворяет условиям теоремы 10.1, то Г
называется группой с двойственностью, а Г-модуль D =
= Я™ (Г, IX) называется дуализирующим модулем для Г. Ес-
Если, в дополнение к этому, модуль D является бесконечным ци-
циклическим (как абелева группа), то Г называется группой с
двойственностью Пуанкаре, и в этом случае группа Г называется
ориентируемой, если Г действует в D тривиальным образом,
и неориентируемой в противном случае. Заметим, что если Г
есть ориентируемая группа с двойственностью Пуанкаре, то
§ 10. ГРУППЫ С ДВОЙСТВЕННОСТЬЮ 257
изоморфизмы (d) принимают знакомую форму
Я1 (Г, ЛГ)«Я._(Г, М)
двойственности Пуанкаре в замкнутых ориентируемых много-
многообразиях.
Замечания. 1. Иногда бывает полезно помнить, что если
Г есть группа с двойственностью, то изоморфизмы двойствен-
двойственности Я* (Г, М) =*-#n_j (Г, D ® М) задаются ^-умножением на
фиксированный элемент геЯ„(Г, D). Это было явно показано
выше во втором доказательстве импликации (c)=*-(d) теоре-
теоремы 10.1, но вытекает и из третьего доказательства, подобно то-
тому, как это было в доказательстве предложения VI.7.2.
2. Биери и Экман первоначально определили группу с двой-
двойственностью как группу Г не обязательно типа FP, такую,
что при любых i и М имеются изоморфизмы вида
^ z: Я* (Г, М) ^ Я„_4 (Г, D ® М),
где п — фиксированное число, D — фиксированный Г-модуль и
z — фиксированный элемент группы Я„(Г, D). Из предыдущего
замечания ясно, что группа с двойственностью в нашем смысле
является также группой с двойственностью в смысле Биери и
Экмана. Обратно, если Г есть группа с двойственностью в смыс-
смысле Биери и Экмана, то из естественности ^-умножения выте-
вытекает, что имеются естественные изоморфизмы
Я* (Г, -)«Я„-«(Г, Z)®-).
Так как D ® — и Я* (Г, —) коммутируют с прямыми предела-
пределами, этот изоморфизм показывает, что Я* (Г, —) также комму-
коммутирует с прямыми пределами. Он показывает также, что
cd Г < п < оо. Таким образом, Г принадлежит типу FP в силу
теоремы 4.8 и, значит, Г есть группа с двойственностью в на-
нашем смысле. Стоит заметить также, что число п, которое фи-
фигурирует в определении Биери — Экмана, обязательно равно
cdT (это видно из доказательства теоремы 10.1) и что модуль D
обязательно изоморфен Я™ (Г, IX). Действительно, изоморфизм
двойственности с i = п и М = ZX дает изоморфизм
Я"(Г,
согласованный с действием группы Г в силу естественности изо-
изоморфизма двойственности.
Примеры.
1. Если Г — такая группа, что существует замкнутое К(Т, 1)-
многообразие Y, то, как и следует ожидать, Г есть группа с
двойственностью Пуанкаре, оиентируемая в том и только в том
случае, если ориентируемо Y. Это немедленно вытекает из пред-
17 к. С. Браун
258 гл- vin- условия конечности
ложений 8.1 (Ь) и 8.2 и критерия двойственности 10.1 (с). [Мож-
[Можно и прямо проверить, что группа Г удовлетворяет упоминавше-
упоминавшемуся выше определению Биери — Экмана группы с двойствен-
двойственностью, используя двойственность Пуанкаре с локальными коэф-
коэффициентами в У и беря в качестве D ассоциированный с Y ори-
ентационный модуль Q] Например, свободная абелева группа
Zn есть ориентируемая группа с двойственностью Пуанкаре.
[В качестве Y можно взять га-мерный тор.] Вообще всякая ко-
конечно порожденная нильпотентная группа, не имеющая круче-
кручения, является ориентируемой группой с двойственностью Пуан-
Пуанкаре в силу примера 2 из § 9. [Можно дать этому и чисто
алгебраическое доказательство — см. Биери [1976], теорема 9.10.]
Дальнейшее обобщение этого факта состоит в том, что если G
есть произвольная группа Ли с конечным числом компонент и
Г есть ее дискретная кокомпактная подгруппа без кручения, то
Г есть группа с двойственностью Пуанкаре, ориентируемая, если
группа G связна (см. пример 4 из § 9).
Замечание. Всякая ли группа с двойственностью Пуан-
Пуанкаре Г допускает замкнутое К(Т, 1)-многообразие, не известно.
Это не известно даже в двумерном случае. Но Экман и Мюллер
[1980] показали, что всякая двумерная группа с двойственностью
Пуанкаре, имеющая гомологии поверхности, отличной от S2 и
Р2, изоморфна фундаментальной группе этой поверхности. Из
этого вытекает, что если существует двумерный контрпример
(т. е. двумерная группа Г с двойственностью Пуакаре, для ко-
которой не существует замкнутого К(Т, 1)-многообразия), то су-
существует и контрпример Г с Я* (Г) да ff* (S2). Такая группа
Г была бы очень интересна. Например, методом Дж. Коэна [1972]
можно показать, что такая группа не может принадлежать
типу FL.
2. Если Г есть свободная группа с к образующими, 1 ^ к < °°,
то Г есть одномерная группа с двойственностью. Действительно,
нам уже известно, что cd Г = 1 и что Г принадлежит типу FL,
так что остается лишь проверить, что #° (Г, ZF (g) A) — 0
для любой абелевой группы А. Но, как легко видеть, это верно
для любой бесконечной группы Г — см. упражнение 4 (а) к
§ III.5. Если к = 1, то Г есть ориентируемая группа с двойствен-
двойственностью Пуанкаре в силу примера 1 (это можно проверить и пря-
прямым вычислением Н*(Т,2Х) при помощи резольвенты 1.4.5).
Если же к>1, то Г не есть группа с двойственностью Пуанка-
Пуанкаре, поскольку
Ъ\ « Я1 (Г, Z)« Яо (Г, D ® Z) =Я0 (Г, D)
и, значит, модуль D не может быть бесконечной циклической
группой. (Нетрудно показать, что в действительности D есть
§ 10. ГРУППЫ С ДВОЙСТВЕННОСТЬЮ 259
свободная абелева группа счетного ранга — см. ниже упражне-
упражнение 2.)
3. Результаты примера 1 в § 9 показывают, что группы уз-
узлов являются двумерными группами с двойственностью (но не
с двойственностью Пуанкаре).
4. Результаты Бореля и Серра, сформулированные в приме-
примере 5 к § 9, показывают, что арифметические группы без кру-
кручения являются группами с двойственностью (но не с двойствен-
двойственностью Пуанкаре, если ранг больше 0).
5. Если Г — конечно представимая группа когомологической
размерности 2, которая не разлагается в свободное произведение,
то Г есть группа с двойственностью. Действительно, Г принад-
принадлежит типу FP в силу комментария к предложению 6.1, так что
достаточно показать, что Нг(Т, ZT (g> А) = 0 при i<2 для
любой абелевой группы А. При i = 0 это ясно. Что же касается
случая i = 1, нетрудно показать (см. Суон [1969], § 3), что
/^(Г, 2Г) есть свободная абелева группа ранга с —1, где е —
число «концов» группы Г, и что Н1 (Г, 'IX <8> А) «* Я1 (Г, 2Т) (g) A.
Но в нашем случае е = 1 (и, значит, Н1 (Г, %Г (g> А) = 0)
15виду следующей теоремы Столлингса [1968]: конечно порожден-
порожденная группа без кручения, имеющая более одного конца, либо
является свободной циклической, либо разлагается в свободное
произведение. (Изложение теории концов и доказательство тео-
теоремы Столлингса см. также в статье Скотта — Уолла [1979].)
6. Дальнейшие примеры групп с двойственностью можно по-
построить из известных примеров при помощи расширений и
амальгам. Мы не приводим точных формулировок, потому что
они довольно сложны, и отсылаем читателя за подробностями к
книге Биери [1976]. [Предостережение. Эти теоретико-груп-
теоретико-групповые операции, вообще говоря, выводят за пределы класса
групп с двойственностью. Например, свободное произведение
групп с двойственностью не является группой с двойственностью,
если группы не свободны — см. упражнение 3.]
Замечание. Рассмотренные примеры порождают гипотезу,
что если Г есть группа с двойственностью, то дуализирующий
модуль D является (как абелева группа) либо бесконечным ци-
циклическим, либо свободным абелевым бесконечного ранга. Одна-
Однако не известно, верно ли это, и трудность состоит в доказатель-
доказательстве свободности D. Известно, впрочем, что если D не есть беско-
бесконечная циклическая группа, то D имеет бесконечный ранг, т. е.
<ttmQ (D (g> Q) = оо (это — следствие результатов Фаррелла [1975]).
Доказательство этого факта, а также другие интересные свой-
свойства модуля D можно найти в книге Биери [1976].
В заключение этого параграфа мы докажем еще одно полез-
полезное свойство групп с двойственностью.
10.2. Предложение. Пусть Г — группа без кручения и
Г' — ее подгруппа конечного индекса. Тогда Г есть группа с
17*
260 гл- vin- условия конечности
двойственностью в том и только в том случае, если Г' есть груп-
группа с двойственностью. Более того, если Tut' — группы с двой-
двойственностью, то они имеют один и тот же дуализирующий мо-
модуль. (Точнее говоря, если D — дуализирующий модуль для
группы Г, то дуализирующий модуль для группы Г" изоморфен
модулю Resr' D, полученному из D сужением группы Г до Г'.)
Доказательство. В силу предложения 6.6 группа Г при-
принадлежит типу FP тогда и только тогда, когда группа Г' принад-
принадлежит типу FP. Так как, кроме того, Я* (Г, ?Г)« Я* (Г', ZI")
в силу леммы Шапиро, первая часть предложения вытекает из
критерия двойственности 10.1 (с). Чтобы доказать вторую часть,
мы должны проверить, что изоморфизм Нп(Т, IX) « Я™ (Г', ZF')
является Г'-изоморфизмом. Непосредственно из определений
вытекает (см. упражнение 2 к § Ш.8), что этот изоморфизм
представляет собой композицию
Я*(Г, Zr)^ЯП(Г. 2Г)->Я"(Г, ZI"),
где второе отображение индуцируется коэффициентным гомо-
гомоморфизмом
Zr
Легко проверить, что этот гомоморфизм действует по формуле
(у при у е Г',
1"~@ при 7еГ-Г,
что, очевидно, согласовано с правым действием группы Г'. Что-
Чтобы завершить доказательство, остается заметить, что гомомор-
гомоморфизм res: Hn(T,Z?)-*-Hn(T',7X), очевидно, согласован с
правым действием группы Г" (в действительности — с правым
действием группы Г). П
Упражнения
1. Пусть Г есть га-мерная группа с двойственностью иО — дуализирую-
дуализирующий модуль; докажите, что D есть ZT-модуль типа FP (т. е. он допускает
конечную проективную резольвенту) и проективной размерности п.
2. Пусть Г — свободная группа конечного ранга > 1. Докажите, что
дуализирующий модуль Я1 (Г, IT) является свободной абелевой группой
бесконечного ранга. [Указание .Используйте упражнение 5 к § 5 и при-
примените индукцию по рангу группы Г. Другая возможность: примените тео-
теорию концов.]
3. Покажите, что группа с двойственностью когомологической размерно-
размерности > 1 не может быть разложена в свободное произведение. [Указание.
Воспользуйтесь упражнением 5 к § 5.]
4. Пусть Г есть re-мерная группа с двойственностью, дуализирующий мо-
модуль D которой Z-свободен. Докажите, что для любого Г-модуля М
Hi (Г, М) л> Я»-«(Г, Нот(Д М)).
§ И. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 261
[Указание. Взяв за отправную точку упражнение 5(Ь) к § 6, имитируй-
имитируйте любое из трех доказательств импликации (с) =>¦ (d) теоремы 10.1. Если
вы будете имитировать второе или третье доказательство, то вам потребу-
потребуется упражнение 4(Ь) к § 5.]
5. Покажите, что если мы разрешим рассматривать цепные комплексы
коэффициентов (см. § VII.5), то всякая группа типа FP будет вести себя
как группа с двойственностью. Именно, имеется «дуализирующий комп-
комплекс» ?>, такой, что
Я*(Г, Ъ) да Я„-,(Г, <8 ®3>) и Я4(Г, <&) да Л"-4(Г, 3%отB), <&))
для всякого комплекса # Г-модулей. [Указание. За Э> нужно взять
надлежащим образом переиндексированный двойственный комплекс к ко-
конечной проективной резольвенте Z над IT. Проанализируйте определе-
определения групп Я*(Г, Щ и Ht(T, <ё) и примените упражнение 1 к § VI.6.]
*6. (а) Докажите следующий результат Штребеля [1977]. Если Г —груп-
—группа с двойственностью Пуанкаре и Г' — ее подгруппа бесконечного индекса,
то cd Г" < cd Г. [Указание. Используйте упражнение 4 к § 6.] Этот
результат мотивируется специальным случаем (который, возможно, явля-
является в действительности общим), приведенным в упражнении к § 8.
(Ь) Приведите пример, показывающий, что результат части (а) не ве-
верен для произвольной группы с двойственностью.
§ 11. Виртуальные понятия
До настоящего момента мы рассматривали в этой главе глав-
главным образом группы без кручения. Действительно, как мы заме-
заметили в § 2, у всякой группы с кручением cd = °°, и? значит, та-
такая группа не может принадлежать типу FL или FP или быть
группой с двойственностью. С другой стороны, мы видели при-
примеры групп с кручением (таких, как SLnB)), у которых есть
подгруппы конечного индекса без кручения, удовлетворяющие
этим условиям конечности. Цель этого параграфа состоит в том,
чтобы отработать язык, пригодный для описания этой ситуации.
Мы будем говорить, что группа обладает тем или иным свой-
свойством виртуально, если этим свойством обладает некоторая ее
подгруппа конечного индекса. Например, группа Г виртуально
не имеет кручения, если у нее есть не имеющая кручения под-
подгруппа конечного индекса. В этом случае из теоремы Серра (тео-
(теорема 3.1) следует, что все такие подгруппы имеют одну и ту же
когомологическую размерность (которая может быть конечной
или бесконечной); действительно, если Г' и Г" —две подгруппы
конечного индекса без кручения, то Г' П Г" имеет конечный ин-
индекс как в Г', так и в Г", и в силу теоремы Серра с<1Г' =
= cd(r' П Г")= cdF". Общая когомологическая размерность под-
подгрупп конечного индекса группы Г, не имеющих кручения, на-
называется виртуальной когомологической размерностью группы Г
и обозначается через vcd Г.
Аналогичным образом, группа Г называется группой ти-
типа VFP (соотв. VFL), если некоторая ее подгруппа конечного
индекса принадлежит типу FP (соотв. FL\. Если Г принадле-
262 гл- VIn- условия конечности
ясит типу VFP, то, как следует из предложения 6.6, всякая ее
не имеющая кручения подгруппа конечного индекса принадле-
принадлежит типу FP. Верно ли подобное для групп типа VFL, не из-
известно, так что приходится ввести следующее, по видимости,
более сильное, чем VFL, условие: группа Г называется группой
типа WFL, если Г виртуально не имеет кручения и всякая ее
подгруппа конечного индекса, не имеющая кручения, принадле-
принадлежит типу FL.
Итак, мы ввели в этом параграфе четыре «виртуальных» ус-
условия конечности, следующим образом связанных между собой:
WFL => VFL => VFP => (vcd < «).
Обратимы ли первые две импликации, не известно. Заметим еще,
что в силу предложения 5.1 VFP =*- FPm.
Мы видели в § 7, что cd Г < °° тогда и только тогда, когда
существует конечномерное стягиваемое свободное клеточное Г-
пространство. Чтобы сформулировать «виртуальный» аналог это-
этого предложения, нам потребуется следующее ослабление условия
свободности: клеточное Г-пространство называется собственным,
если для всякой клетки о соответствующая стационарная под-
подгруппа Го конечна. (Это согласуется с понятием «собственного
действия», введенным в примере 6 из § И.4, но нам этот факт
не потребуется.) Заметим, что собственное Г-пространство явля-
является Г'-свободным для любой не имеющей кручения подгруппы
Г' группы Г. Обратно, если X есть Г-пространство, Г'-свободное
для некоторой подгруппы Г' конечного индекса (т. е., как гово-
говорят, если X виртуально свободно), то X является собственным.
Таким образом, если группа Г виртуально не имеет кручения,
то Г-пространство в том и только в том случае является соб-
собственным, если оно виртуально свободно.
Теперь мы можем указать топологическую интерпретацию
конечности виртуальной когомологической размерности.
11.1. Теорема. Пусть Г — группа, виртуально не имеющая
кручения. Тогда vcd Г < °° в том и только в том случае, если
существует конечномерное стягиваемое собственное клеточное
Т-пространство X. Если такое X существует и имеет конечное
число клеток mod Г, то Г принадлежит типу WFL.
Доказательство. Второе утверждение и достаточность в
первом утверждении очевидны ввиду сделанных выше замеча-
замечаний. Необходимость видна из доказательства теоремы Серра
(теорема 3.1). Действительно, все доказательство этой теоремы,
за исключением последней фразы, проходит для любой группы Г
с vcd Г < °°, так что в этом случае оно доставляет нужное прост-
пространство X. П
Остаются открытыми несколько естественных вопросов, воз-
возникающих в связи с теоремой 11.1. Не известно, например,
можно ли сделать размерность пространства X равной vcd Г.
§ 11. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 263
Очевидно, для любого такого X справедливо неравенство vcd Г ^
< dim X, но наше доказательство всегда доставляет X с dim X >
>vcdT (за исключением тривиального случая, когда группа Г
конечна и X есть точка). Не известно также, обратимо ли вто-
второе утверждение теоремы 11.1. В частности, наше доказатель-
доказательство, за исключением случая, когда группа Г конечна, достав-
доставляет пространство X с бесконечным числом клеток modi1. Таким
образом, мы очень далеки от понимания наших алгебраически
определенных условий конечности и аналогичных топологически
определенных условий.
Для удобства последующих ссылок мы сформулируем сейчас
некоторые факты, которые могут быть выведены из нашего до-
доказательства теоремы 11.1.
11.2. Добавление. Если vcdr<°°, то пространство X из
теоремы 11.1 может быть сделано симплициалъным (с симпли-
циалъным действием группы Г) и обладающим следующим свой-
свойством: для всякой конечной подгруппы Н группы Г множество
неподвижных точек ХП непусто и стягиваемо.
Доказательство. Утверждение о множествах неподвиж-
неподвижных точек без труда выводится из доказательства теоремы 11.1 —
см. упражнение к § 3. Доказательство же того факта, что X мо-
может быть сделано симплициальным, требует некоторой подготов-
подготовки, касающейся упорядоченных симплициальных пространств.
Упорядоченное симплициальное пространство есть симплици-
альное пространство, заданное вместе с частичным упорядоче-
упорядочением его вершин, в котором вершины одного симплекса упоря-
упорядочены: v0 < Vi < ... < vn. Канонический пример упорядоченного
симплициального пространства доставляет барицентрическое под-
подразделение К' произвольного симплициального пространства К.
Чтобы увидеть, что К' упорядочено, достаточно вспомнить, что
вершины пространства К' — это барицентры симплексов прост-
пространства К, ввиду чего возникает частичное упорядочение вершин
пространства К', соответствующее естественному упорядочению
(через посредство отношения граней) симплексов пространства
К; более того, симплексы пространства К' — это в точности ко-
конечные упорядоченные множества барицентров (см. Спеньер
[1966], 3.3, или Шуберт [1968], Ш.2.6), так что К' действительно
есть упорядоченное симплициальное пространство.
Теперь мы напомним определение симплициального произве-
произведения KXL двух упорядоченных симплициальных пространств
К и L. Множество вершин vert (К XL) определяется формулой
vert (К X L) = vert К X vert L и наделяется произведением упоря-
упорядочений: (v, w)<(v', w') тогда и только тогда, когда v<v' и
w<w'. Симплекс пространства KXL определяется как упорядо-
упорядоченное множество вершин (v0, w0) < ... < (и„, wn), такое, что
iv0, ..., vn) есть симплекс пространства К (возможно, размерно-
размерности <п) и {и>„, ..., «?„} есть симплекс пространства L. Класса-
264 гл- VIir- условия конечности
ческий факт (см. Эйленберг — Стинрод [1952], И.8.9, или Мил-
нор [1957b]) заключается в том, что эта абстрактная симплици-
альная схема KXL доставляет триангуляцию геометрического
произведения пространств К и L, т. е. что \KXL\ « 1Я| X \L\,
где I I обозначает геометрическую реализацию. [Здесь, как и в
доказательстве теоремы 3.1, топологизация произведения |Я| X
X \L\ требует некоторой аккуратности.]
Посмотрим теперь на доказательство теоремы 3.1. К(Т\ 1)-
пространство У может быть выбрано симплициальным в силу
7.3. Тогда универсальная накрывающая X' пространства У так-
также будет симплициальной (с симплициальным действием груп-
группы Г')—см. Спеньер [1966], теорема 3.8.3, или Шуберт [1968],
§ III.6.9. Переходя, если нужно, к барицентрическому подразде-
подразделению, мы можем считать, что X' есть упорядоченное симпли-
циальное пространство и что действие группы Г' сохраняет по-
порядок. Конструкция коиндуцирования, содержащаяся в доказа-
доказательстве теоремы 3.1, может быть проведена поэтому в катего-
категории упорядоченных симплициальных пространств при помощи
описанного выше симплициального умножения, и ее результатом
будет симплициальное пространство X. ?
Примеры.
1. vcd Г = 0 в том и только в том случае, если группа Г
конечна.
2. Если Г = Г4 *А Г2, где 1\ и Г2 — конечные группы, то Г
принадлежит типу WFL и vcd Г < 1. То же верно в более общей
ситуации, когда Г есть фундаментальная группа конечного гра-
графа конечных групп — см. § VII.9. Это — простое следствие по-
построенной Серром теории, описывающей действие групп в де-
деревьях; в нашей ситуации эта теория доставляет стягиваемое
клеточное пространство с собственным действием группы Г, фак-
торпространство по которому конечно. Подробности си. в книге
Серра [1977а], И.2.6, предложение 11. [Если мы отбросим требо-
требование конечности графа конечных групп и вместо того потре-
потребуем, чтобы порядки этих конечных групп были ограничены, то
неравенство vcd Г =? 1 сохранится, но группа Г уже не обяза-
обязательно будет принадлежать типу WFL.] Обратно, если Г есть
группа с vcd Г < 1, то теорема Столлингса — Суона (пример 2
в § 2) показывает, что Г имеет свободную подгруппу конечного
индекса, и в этом случае известно, что Г есть фундаментальная
группа графа конечных групп. Этот результат принадлежит Кар-
рассу — Пиетровски — Солитару [1973] в случае, когда группа Г
конечно порождена (в этом случае граф может быть сделан ко-
конечным), и Д. Е. Коэну [1972] и Скотту [1974] в общем случае.
Доказательства могут быть найдены также в работах Данвуди
[1979] и Скотта-Уолла [1979].
§ 11. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ . 265
3. Если Г есть конечно порожденная группа с одним соот-
соотношением, то Г принадлежит типу WFL и vcd Г < 2. Действи-
Действительно, как показали Фишер, Каррасс и Солитар [1972], Г вир-
виртуально не имеет кручения, а Линдон [1950] доказал существо-
существование точной последовательности вида
где F есть свободный Zr-модуль конечного ранга и С есть ко-
конечная циклическая подгруппа группы Г. Наши утверждения
немедленно вытекают из этих результатов, поскольку Z [Г/С]
есть, очевидно, свободный Zr'-модуль конечного ранга для лю'
бой не имеющей кручения подгруппы Г'еГ конечного индекса.
[Заметим, что в этом случае существует стягиваемое собственное
двумерное клеточное Г-пространство с конечным факторпрост-
ранством. Это вытекает из топологического варианта теоремы
Линдона, сформулированного в упражнении 2 (с) к § II.5.]
4. Пусть G — группа Ли и X — ассоциированное с ней одно-
однородное пространство G/K, где К. — максимальная компактная
подгруппа. Пусть Г — дискретная подгруппа группы G; предпо-
предположим, что Г виртуально не имеет кручения. [Последнее верно
автоматически, если, например, Г есть подгруппа некоторой
группы GLn(Z) — см. упражнение 3 к § II.4.] Тогда из при-
примера 4 в § 9 вытекает, что
vcd Г < dim X,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда груп-
группа Г кокомпактна в G. В этом последнем случае Г принадлежит
типу WFL. Что более интересно, Г принадлежит типу WFL и
в арифметическом случае, обсуждавшемся в примере 5 к § 9,
хотя группа Г в этом случае обычно не является кокомпактной;
упоминавшиеся там результаты Бореля — Серра доставляют при
этом точную формулу для vcd Г. Например,
Наконец, говорят, что группа Г есть виртуально группа с
двойственностью, если некоторая ее подгруппа конечного индек-
индекса является группой с двойственностью. Широкий и интересный
класс виртуальных групп с двойственностью доставляют ариф-
арифметические группы.
11.3. Предложение. Группа Г есть виртуально группа с
двойственностью тогда и только тогда, когда выполняются сле-
следующие два условия.
(а) Г есть группа типа VFP.
Существует такое п, что Нх(Г, ZX) — приi фп и
Zr) есть группа без кручения.
(Ь)
Я" (Г,
266 гл> vni- условия конечности
В этом случае всякая не имеющая кручения подгруппа ко-
конечного индекса группы Г есть группа с двойственностью, дуали-
дуализирующим модулем для которой служит Я" (Г, 7Х).
Это — простое следствие леммы Шапиро — ср. доказательство
предложения 10.2. О
Упражнения
1. Предположим, что группа Г виртуально не имеет кручения и что
Г' — ее произвольная подгруппа. Покажите, что vcd Г' ^ vcd Г, причем в
случае (Г: Г') < оо это неравенство делается равенством.
2. Исследуйте поведение свойств виртуальной конечности по отноше-
отношению к расширениям, амальгамированиям и т. д. [Указание. Выберите в
рассматриваемой группе не имеющую кручения подгруппу конечного ин-
индекса и примените предложение 2.4 (Ь), упражнение 4 к § 2 и упражнение 8
к § 6.] Предостережение: эти теоретико-групповые операции выводят за
пределы класса групп, виртуально не имеющих кручения,—см. Шнеебели
[1978]. Таким образом, результаты, которые у вас должны получиться,
должны включать в себя предположение, что рассматриваемая группа вир-
виртуально не имеет кручения.
ГЛАВА IX
ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 1. Ранги проективных модулей: введение
Пусть Г — конечная группа и Р — конечно порожденный про-
проективный ЖГ-модуль. Можно несколькими способами попытать-
попытаться определить «ранг» модуля Р. Первый кандидат, который мы
будем обозначать через е(Р) или ег(Р), определяется через по-
посредство расширения скаляров при помощи аугментации ZI1—>-
-*¦ Z- Именно, мы рассматриваем тензорное произведение Р? =
«¦ Z Фаг-Р* которое является конечно порожденным проектив-
проективным Z-модулем; поскольку проективные Z-модули свободны,
мы можем положить
A.1) e(P)=rkz(Pr),
где правая часть есть ранг в наивном смысле (т. е. мощность
базиса). Заметим, что A.1) имеет смысл, даже если группа Г
бесконечна.
Другой «ранг» модуля Р, обозначаемый через р {Р) или рг (Р),
определяется на основании того факта, что сам модуль Р, рас-
рассматриваемый как Z-модуль, является конечно порожденным и
проективным; поэтому мы можем положить
A.2)
Здесь, конечно, предположение о конечности группы Г необ-
необходимо.
Как е, так и р дают «правильный» ответ п в случае, когда
Р есть свободный модуль Zrn. В более общей ситуации, одна-
однако, не видно, имеют ли они между собой хоть что-нибудь общее.
В действительности не очевидно даже, что рациональное число
р (Р) является целым. Все же оказывается, что е = р для любой
конечной группы Г и любого конечно порожденного проектив-
проективного Zr-модуля Р. Этот факт, который принадлежит Суону,
играет ключевую роль в нашей теории эйлеровых характери-
характеристик. Поэтому мы не пожалеем нескольких первых параграфов
этой главы на его доказательство.
Следуя Бассу [1976, 1979], мы начнем доказательство с того,
что введем в § 2 третье понятие ранга, которое принадлежит
Хаттори и Столлингсу и определено для конечно порожденных
проективных модулей над произвольным кольцом. В § 3 мы
дадим, пользуясь стандартной гомологической алгеброй, конкрет-
268 гл- гх- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ную интерпретацию ранга Хаттори — Столлингса в случае, ког-
когда кольцо коммутативно. Эта интерпретация, дополненная фор-
формальными свойствами ранга Хаттори — Столлингса модулей над
групповыми кольцами, приведет в § 4 к доказательству равен-
равенства б = р.
Упражнение
Цель этого упражнения — показать, что для того, чтобы для конечно
порожденных проективных Л-модулей был определен «разумный» Z знач-
ный ранг, требуются некоторые ограничения на кольцо А. Предположим, что
на классе конечно порожденных проективных 4-модулей определена функ-
функция г, принимающая значения в Z и такая, что:
(a) r(P®Q) =r(P)+r(Q);
(b) если Р ф О, то г(Р) > 0;
(c) г(А) = 1.
Покажите, что кольцо А неразложимо, т. е. не представляется в виде пря-
прямой суммы двух ненулевых левых идеалов. [Указание. Разложение А —
= I (В J влечет за собой равенство 1 = г (/) + г (J) в Z.]
§ 2. Ранг Хаттори — Столлингса
Если F есть конечно порожденный свободный Z-модуль, то
радг модуля F равен следу тождественного эндоморфизма этого
модуля; действительно, это — просто переформулировка очевид-
очевидного утверждения, что след единичной матрицы порядка п ра-
равен п. Отправляясь от этого наблюдения, Хаттори [1965] и Стол-
лингс [1965b] определили «ранг» произвольного конечно порож-
порожденного проективного модуля над произвольным кольцом как
след тождественного отображения. Чтобы придать этому смысл,
мы начнем с построения некой теории следов эндоморфизмов
проективных модулей, не обязательно являющихся свободными,
над кольцами, не обязательно являющимися коммутативными.
Пусть А — произвольное кольцо, F — конечно порожденный
свободный А -модуль и a: F -*¦ F — эндоморфизм. Хотелось бы
определить tr(a) как сумму диагональных элементов матрицы
эндоморфизма а в некотором базисе модуля F. Однако в случае
некоммутативного кольца неверно, к сожалению, что эта сумма
не зависит от выбора базиса в F (это видно уже на примере
1X 1-матриц).
Все же имеется корректно определенный след, принимающий
значения в Т{А) — А/[А, А], где [А, А] есть аддитивная подгруп-
подгруппа кольца А, порожденная всеми коммутаторами db — Ъа, а, Ь е
е4. [Предостережение: [.4, А], вообще говоря, не есть идеал, так
что Т(А) есть просто абелева группа, а не кольцо.] Именно,
•след_Ьг(а)е= Т(А) п X тг-матрицы а мы определяем как сумму
2"=10Сл, где аи есть образ ос« в Т(А). Очевидная проверка по-
.казывает, что
B.1) tr(ap)
§ 2. РАНГ ХАТТОРИ — СТОЛЛИНГСА 269
для любых т X n-матрицы а и и X m-матрицы р (так что обе
матрицы оф и ра квадратны); отсюда вытекает, что tr(^a^~1) =
= tr(jj~1pa) = tr(a) для любой обратимой матрицы Р, так что
след эндоморфизма действительно есть корректно определенный
элемент группы Т(А), не зависящий от выбора базиса.
Наша следующая цель — распространить определение следа
на эндоморфизмы конечно порожденных проективных моду-
модулей. Я утверждаю, что если потребовать, чтобы для любых ото-
отображений а: Р' -*¦ Р, E: Р -»• Р' имело место равенство B.1), то
это можно сделать единственным способом. Действительно, пусть
а: Р -*¦ Р есть эндоморфизм конечно порожденного проективного
модуля. Представим Р как прямое слагаемое свободного моду-
модуля F посредством отображений i: Р -*¦ F, л: F -*¦ Р, таких, что
m = idp. Эндоморфизм а индуцирует эндоморфизм tan модуля F.
[Более конкретно, последний эндоморфизм есть просто а на сла-
слагаемом Р и 0 на дополнительном слагаемом кепл.] Если мы
хотим, чтобы выполнялось равенство B.1), мы должны принять
по определению, что
B.2) tr(a) = tr(icm),
ибо в силу B.1) должно быть tr(ia.u) = tr(ajTi) = tr(a °id).
Остается показать, что правая часть равенства B.2) не за-
зависит от выбора отображений P^F и что равенство B.1) по-
прежнему имеет место. Предположим, что нам заданы отобра-
отображения
где F и F' свободны, ni = idP и яЧ' = idP/. Применяя B.1)
к матрицам композиций
мы заключаем, что tr(ian'i'pji) = tr(i'Pnian')- Поскольку отобра-
отображения л'|/ и ль тождественны, отсюда вытекает, что
Полагая Р' =Р и ? = id, мы заключаем, что правая часть фор-
формулы B.2) действительно не зависит от выбора отображений
Р ** F. После этого, снова считая Р' и р произвольными, мы
заключаем, что равенство B.1) имеет место для любых a: P' -*¦
~*-Р, fi: Р -*¦ Р'. Утверждение доказано. Определенный нами след
tr(a) иногда будет обозначаться через tax (a).
Теперь мы обсудим поведение следов при расширении и су-
сужении скаляров.
2.3. Предложение. Пусть ср: А-+В — кольцевой гомомор-
гомоморфизм, и пусть Т(ц>): Т(А)-*¦ Т(В) — индуцированное отображе-
270 гл- тк- эйлеровы характеристики
ние. Если а: Р -*¦ Р есть эндоморфизм конечно порожденного
проективного А-модуля, то В®Аа: В ®АР-*-В ®АР есть эндо-
эндоморфизм конечно порожденного проективного В-модуля и
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
модуль Р свободен. В этом случае модуль В®АР также свободен
и матрица, представляющая В ®А а, получается из матрицы,
представляющей а, поэлементным применением отображе-
отображения ф. С
2.4. Предложение. Пусть ср: А-+В — такой кольцевой
гомоморфизм, что кольцо В конечно порождено и проективно
как левый А-модулъ. Тогда существует отображение
trBM: T(B)-+T(A)
со следующим свойством. Если а: Р -*¦ Р — эндоморфизм конеч-
конечно порожденного проективного В-модуля, то модуль Р конечно
порожден и проективен как А-модулъ и
Для доказательства нам потребуется
2.5. Лемма. Пусть А — произвольное кольцо, и пусть Р —
конечно порожденный проективный А-модулъ, разложенный в
прямую сумму Pi ® ... © Рп. Пусть, далее, а: Р -»• Р — эндомор-
эндоморфизм с компонентами a{j: Р{-*-Р}. Тогда tr(a) = 2" tr(a4i).
Доказательство. Утверждение очевидным образом сво-
сводится к случаю, когда все слагаемые Р,- свободны, а в этом слу-
случае оно доказывается посредством рассмотрения матрицы эндо-
эндоморфизма а. П
Доказательство предложения 2.4. Для любого Ье5
оператор правого сдвига Ць: В-+ В представляет собой эндомор-
эндоморфизм левого .4-модуля В и потому обладает следом tTA(\ib)^T(A).
Рассмотрим аддитивное отображение В-*-Т(А), заданное фор-
формулой о >-> trA (\1Ъ). Поскольку fAbi(,2 = (J*sfi6i, это отображение
аннулирует коммутаторы bib2 — bibl. Поэтому оно индуцирует
отображение Т(В)-*- Т(А), которое мы и принимаем за txB/A.
Чтобы доказать формулу trA(a) = trBM(trB(a)), прежде всего за-
заметим, что она имеет место очевидным образом, если Р = В
(в этом случае а обязательно имеет вид ць). Ввиду леммы 2.5
она имеет место также в случае, когда Р есть сумма нескольких
экземпляров кольца В, т. е. когда Р есть свободный 5-модуль.
В общем случае мы находим отображения i: P-*-F, л: F -*¦ Р,
такие, что m = id, где F есть свободный 5-модуль. Тогда
tr(ian) = tr(ani) = tr(a) как над А, так и над В, так что фор-
формула для а: Р-*¦ Р следует из формулы для ихя: F-+F. О
§ 2. РАНГ ХАТТОРИ — СТОЛЛИНГСА 271
Теперь мы можем определить для Р ранг Хаттори — Стол-
лингса, обозначаемый через R(P) или Ra(P), положив
Л (Р)-to (id,).
Заметим, что R(P) есть не число, а элемент несколько таин-
таинственной абелевой группы Т(А). В следующих двух парагра-
параграфах, однако, мы дадим конкретные интерпретации ранга R(P)
для некоторых интересных классов колец. Мы настоятельно реко-
рекомендуем читателю, однако, переходя к этому, не пренебрегать
нижеследующими упражнениями: результаты упражнений 5, 6
и 7 потребуются нам в § 4.
Упражнения
1. Пусть Р — конечно порожденный проективный (левый) А -модуль, и
пусть Р* — двойственный модуль. Тогда Р* есть правый 4-модуль и, соглас-
согласно предложению 1.8.3(Ь), Р* ®АР « Ноша^, Р). Докажите, что имеет мес-
место коммутативная диаграмма
Р*®АР& Hom4(RP)
\ /
ТС4),
где ev, «отображение значений», определяется формулой ev(u.®x) = и(х).
Эту диаграмму иногда используют как определение следа: см., напри-
например, Басе [1976, 1979]. [Указание. Рассмотрите отображения и: Р -»- А,
х: А->Р].
2. (а) Пусть С — конечный проективный цепной комплекс над А, и
пусть т: С-+С — цепное отображение с компонентами xv. d-*-Ci. Опреде-
Определите «число Лефшеца» L(x) е Т(А) формулой L (т) = 2 (~ 1)*tr (Ti)- До-
Докажите, что L(t0) = i(xi), если to^ti. [Указание. Выпишите опреде-
определение гомотопии и воспользуйтесь формулой 2.1.]
(Ь) Выведите из (а), что след tr: Honu(Af, M)-+T(A) можно опреде-
определить для любого .4-модуля М типа FP, положив tr(a) = ?(т), где т — про-
произвольное поднятие отображения а в конечную проективную резольвенту
модуля М.
3. Предположим, что А есть алгебра над коммутативным кольцом к
(например, А всегда есть алгебра над своим центром). Наделите Нотл(Л Р)
и Т(А) естественными структурами fc-модулей и покажите, что отображе-
отображение tr: Ноша(-Р, Р)->-Т(А) ^-линейно. Покажите, что то же верно в бо-
более общем случае, в котором проективный модуль Р заменяется модулей М
типа FP, как в упражнении 2 (Ь).
4 Покажите путем сличения определений, что ранг R(P) равен следу
идемпотентной матрицы, определяющей Р. Более точно, пусть F — конечно
порожденный свободный модуль и е: F-*-P—(идемпотентный) оператор
проектирования модуля F на прямое слагаемое, изоморфное Р; тогда
R(P) = tr(e).
5. Пусть Г —группа и q>: lT-*-Z— аугментация. Покажите, что чис-
численный «ранг» ег(—), определенный в § 1, может быть получен из ранга
Хаттори — Столлингса Л2Г (—) при помощи формулы
ег(Р) =
272 гл- JX- эйлеровы характеристики
[Указание. Примените предложение 2.3 с а = idp и заметьте, что Г(ср)
принимает значения в Z, поскольку ТB)=1.]
6. Пусть Г — конечная группа.
(a) Проанализируйте определение отображения tr&ryz' ^ (^D "*"
-*-Т (Z) = Z, содержащееся в доказательстве предложения 2.4, и выведите
из него, что trgjy^l)^ Г | и что tr?r/2 (у) = 0 при 1 ф у <= Г. Здесь if
обозначает образ if в Т (ZF). Следовательно, существует корректно опре-
определенный гомоморфизм т: r(ZF)-»-Z, такой, что тA) = 1 и т(у) = 0 при
1 Ф у е Г, и при этом tr?r^z = \ Г | т.
(b) Из предложения 2.4, примененного к включению Z-^ZF (с а, =
= idp), выведите, что rkz (Р) = | Г | т (/?zr (.P)) для любого конечно по-
порожденного проективного ZF-модуля Р. Следовательно, «ранг» р, опреде-
определенный в § 1, находится по формуле
7. Упражнение 6(Ь) показывает, что pr(.P)eZ. С другой стороны, из
определения очевидно, что ргС?) > 0 при Р Ф 0. Выведите, что если груп-
группа Г конечна, то кольцо ZF неразложимо. [Указание. Воспользуйтесь
упражнением к § 1.]
8. Покажите, что данное в упражнении 6 (а) определение отображения т
имеет смысл, даже если группа Г бесконечна, т. е. что и в этом случае су-
существует корректно определенный гомоморфизм т: ТBГ)-*-2, такой,
что тA) = 1 и t(y) = 0 при 1 ф к е Г. Поэтому мы можем определить Z-
значный «ранг» р над ZF, положив р(Р) = т(Д (Р)). Ввиду упражне-
упражнения 6(Ь) этот ранг р согласуется с р из § 1, если группа Г конечна. Более
того, для произвольной группы Г оказывается, что р(Р) > 0, если Р ф 0.
[Этот нетривиальный результат принадлежит Капланскому; доказательства
могут быть найдены в статье Монтгомери [1969] и в книге Пассмана [1977],
теорема 1.8 и упражнение 9 к § 1.], По схеме упражнения 1 из этого выво-
выводится, что какова бы ни была группа Г, кольцо ZF неразложимо.
§ 3. Ранги над коммутативными кольцами
Если А — целостное кольцо с полем частных К, то существует
совсем простой способ определить для конечно порожденных
проективных Л-модулей Z-значный ранг. Именно, мы полагаем
Более того, ранг Хаттори — Столлингса Ra(P) просто определя-
определяется формулой
C.1) ЛА(Р) = гкл(РI,
где 1^А = Т(А) есть единица. [Чтобы доказать это, мы можем
рассматривать обе части равенства как элементы поля К. Тогда
левая часть будет равна Rk(K®aP) в силу согласованности сле-
следов с расширением скаляров (см. предложение 2.3), последнее
же равно, в свою очередь, dimK(K®AP) • 1 = rkA(P) • 1, посколь-
поскольку К®АР есть свободный ^-модуль.]
Цель этого параграфа — доказать обобщение равенства C.1)
на случай неразложимых коммутативных колец, не обязательно
§ 3. РАНГИ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ 273
являющихся целостными. [То, что мы ограничиваемся неразло-
неразложимыми кольцами, не должно удивить читателя ввиду упраж-
упражнения к § 1. Однако интересные результаты того же рода можно
получить и для разложимых колец; см. упражнения к этому
параграфу.]
Поскольку кольцо А не предполагается более целостным,
в нашем распоряжении больше нет поля частных. Вместо него
мы будем пользоваться локализациями Ау кольца А в простых
идеалах р. [Определения и элементарные факты, касающиеся ло-
локализаций, см. в книге Атиа — Макдоналда A969], гл. 3.] Кольцо
Ау является локальным (оно имеет единственный максималь-
максимальный идеал), и мы докажем следующий факт.
3.2. Предложение. Всякий конечно порожденный проек-
проективный модуль над локальным кольцом свободен.
Этот факт позволяет определить ранг модуля Р в у как ранг
в наивном смысле свободного ^4^-модуля Р$ = А^ ®А Р. Пусть
Spec Л — множество простых идеалов кольца А. Мы получаем,
таким образом, функцию
{Р): Spec A -»»Z,
значение которой в точке у есть ранг модуля Р ъ у.
Множество Spec А обладает хорошо известной топологией
(топологией Зарисского). Ниже мы напомним ее определение и
докажем следующий факт.
3.3. Предложение. Функция МкА(Р) локально постоянна.
Наконец, мы установим следующую (нисколько не удиви-
удивительную) геометрическую интерпретацию неразложимости.
3.4. Предложение. Если кольцо А неразложимо, то прост-
пространство Spec А связно.
Таким образом, в случае неразложимого кольца А функция
&кА(Р) постоянна, и мы полагаем ранг ткА(Р) равным ее по-
постоянному значению.
На время приняв все это на веру, мы можем доказать желае-
желаемое обобщение формулы 3.1.
3.5. Теорема. Пусть А — коммутативное неразложимое
кольцо, пусть Р — конечно порожденный проективный А-модулъ,
и пусть rkA (Р) — ранг модуля Р в каком-нибудь простом идеа-
идеале р. Тогда ранг Хаттори — Столлингса RA {P) находится по фор-
формуле RA(P) = vkA{P) • 1.
Доказательство. Согласованность следов с расширением
скаляров влечет за собой, как в доказательстве формулы 3.1,.
совпадение образов Ra(P) и rkA(P)-l в А^ для любого р; сле-
следовательно, RA(P) = TkA(P). D
Остается доказать предложения 3.2, 3.3 и 3.4. Для доказа-
доказательства предложения 3.2 нам потребуется следующая «лемма
Накаямы».
18 к. с. Браун
274 ГЛ- 1Х' ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
3.6. Лемма. Пусть А — локальное кольцо с максимальным
идеалом ш и полем вычетов к = А/ш, и пусть М—конечно по-
порожденный А-модулъ. Если к ®д М = О, mo M = 0.
[Обратите внимание на сходство между этим утверждением и
следствием VI.8.4. Оба факта представляют собой специальные
случаи общей «леммы Накаямы».]
Доказательство. Пусть ти ..., т, — минимальное мно-
множество образующих модуля М, и предположим, что г>1. По-
Поскольку к®лМ = М/тМ, наше предположение означает, что М =
= шМ. В частности, мы можем записать тпу = 2i°4mi с а{ ^ Ш,
так что A — fli) тпг = 2j2aiTOi- Но разность 1 — а1 обратима в коль-
кольце А, поскольку она не лежит в единственном максимальном
идеале этого кольца; значит, М порождается тпг, ..., пгг. Но это
противоречит минимальности системы образующих mit ..., mr;
следовательно, г = 0. О
Доказательство предложения 3.2. Оно аналогично
доказательству теоремы VI.8.5. Пусть А — локальное кольцо с
полем вычетов к, пусть Р — конечно порожденный проективный
-А-модуль, и пусть
Тогда мы можем построить отображение /: Аг -*¦ Р, такое, что
А;®/: кт = к®Ат-+
есть изоморфизм. Так как к ® сокег / == сокег (к ® /) = 0, то в си-
силу леммы 3.6 и сокег / = 0. Мы получаем короткую точную по-
последовательность
которая расщепляется, поскольку модуль Р проективен. Поэтому
последовательность остается точной после тензорного умножения
на к, так что к ® кег / = 0. Но ядро кег /, будучи прямым сла-
слагаемым модуля Аг, конечно порождено; это позволяет еще раз
применить лемму 3.6, которая показывает, что кег / = 0. Таким
образом, / есть изоморфизм. Q
Наша следующая задача состоит в топологизации множества
Spec Л. Для произвольного подмножества 5^Л мы определяем
подмножество V (S) s Spec А формулой
УE)-{у: ? = ?}.
3.7. Лемма, (а) Если I есть идеал, порожденный S, то
SV(I)
)()
(b) 7(iS) = Spec4 в том и только в том случае, если всякий
элемент множества S нилъпотентен.
(c) Если I есть идеал, то V(I)=0 в том и только в том
случае, если 1 = А.
(dl Если 1 и 1-идеалы, то V(IJ) = V(I)\i V(J).
§ 3. РАНГИ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ 275
(е) Если На) — семейство идеалов и I — сумма этих идеалов,
то V(I)= n«VGe).
Доказательство. Все эти утверждения доказываются ру-
рутинной проверкой, которая оставляется читателю; исключение
составляет необходимость в утверждении (Ь), которая доказыва-
доказывается следующим образом. Предположим, что ае5 и что а — не-
нильпотентный элемент. Тогда локализация А [а] представляет
собой ненулевое кольцо и, следовательно, содержит максималь-
максимальный идеал ш. Прообраз этого идеала в А есть тогда простой
идеал, не содержащий а, откуда видно, что V(S)?* Spec Л. П
Из (с) —(е) вытекает, что мы можем топологизировать
Spec А, объявив замкнутыми множества вида V(I), где / есть
идеал в А. В силу (а) всякое множество вида V(S) будет тогда
замкнутым.
Доказательство предложения 3.3. Предположим,
что Pf есть свободный Ау -модуль ранга г. Мы должны пока-
показать, что для простых идеалов 4, содержащихся в некоторой
окрестности простого идеала f, Pq есть свободный Ац -модуль
того же ранга г. Легко видеть, что мы можем найти г элементов
модуля Р, образы которых в Ру составляют базис в Ру. Други-
Другими словами, можно найти отображение /: F -*¦ Р, где F есть сво-
свободный .4-модуль ранга г, такое, что /?: F^^-P^ есть изомор-
изоморфизм. Тогда (сокег /)р = 0, так что всякий элемент коядра
сокег / аннулируется некоторым элементом разности А — р. Но
сокег/ конечно порождено, так что существует единый элемент
s «= А — р, такой, что s • сокег / = 0. Таким образом, если мы ло-
локализуем А, обратив s, то мы получим эпиморфизм /[s]:
F [s] -»- Р [s~l], который становится изоморфизмом после локали-
локализации в р. (Это высказывание имеет смысл, поскольку А^ мож-
можно рассматривать и как локализацию кольца A [s~1].)
Поскольку Р [s~'] есть проективный А [«"^-модуль, этот эпи-
эпиморфизм расщепляется, и потому ядро ker/[s"~'] конечно порож-
порождено. Так как при локализации в р оно делается нулевым, оно
аннулируется некоторым элементом разности A [s~'] — р [s-i] и,
значит, некоторым t е А — р. Полагая и = st, мы заключаем, что
f[u~1]: F[w1]-*¦ Р[ц-1] есть изоморфизм. Но тогда и /q: F^-^-P^
есть изоморфизм для любого Ц, такого, что m§^<j, поскольку при
таких <j кольцо А^ является локализацией кольца А [иг1]. Таким
образом, Рц есть свободный ^-модуль ранга г для всех Ц, ле-
лежащих в окрестности Spec A — V(u) точки ?. п
Доказательство предложения 3.4. Прежде всего
заметим, что кольцо А разложимо в том и только в том случае,
если оно содержит идемпотент е?=0, 1; действительно, разложе-
разложения .4-модуля А в прямую сумму соответствуют идемпотентным
1 X 1-матрицам, а это — то же самое, что идемпотентные элемен-
18*
276 ГЛ' 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ты. Мы должны доказать, таким образом, что если пространство
Spec Л несвязно, то Л содержит идемпотент е?=0, 1.
Предположим, что пространство Spec Л несвязно, скажем,
Spec Л = F(/)ljF(/), где / и /—собственные идеалы. По-
Поскольку е есть идемпотент в том и только в том случае, если
еA — е) = 0, наша задача состоит в том, чтобы разложить 1 в
сумму e + f с е/ = 0 и е, /#1. Нам известно, что V (/ + /) =
= У(/)П7G)=-0 (см. 3.7 (е)), следовательно, I + J = A (см.
3.7(с)). Таким образом, е±4-Д = 1 для некоторых ei^/, /,е;.
Нам известно также, что V(IJ)= F(/)U V(J) — Spec Л (см.
3.7 (d)), так что всякий элемент произведения // нильпотентен
в силу 3.7 (Ь). В частности, нильпотентно произведение eji.
Я утверждаю теперь, что желаемое разложение е/ = 1 можно
получить, возводя обе части равенства е4 + /i = 1 в достаточно
высокую степень. Действительно, для любого целого п > О
мы можем сгруппировать члены биномиального разложения
(ei + ZiJ" таким образом, чтобы получилось равенство 1 =
= (ei + /,Jn-1 = e + /, где е еЛе^Е/ и / е Л/^S / (откуда
видно, что е, /т*1). Поскольку произведение ei/i нильпотентно,
ef = 0 при достаточно большом п. ?
Упражнения
*1. Обобщите предложение 3.4 следующим образом. Для любого комму-
коммутативного кольца А идемпотенты кольца А находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с подмножествами пространства Spec А, которые одновре-
одновременно являются открытыми и замкнутыми.
*2. Обобщите теорему 3.5 следующим образом. Пусть А — произвольное
коммутативное кольцо, и пусть Р — конечно порожденный проективный А-
модуль. Для любого целого i ^ 0 пусть Uf s Spec А есть &kA(P)^l(i). Пусть,
далее, е< е А есть идемпотент, соответствующий Ui (см. упражнение 1). Тог-
Тогда е< = О для всех I, кроме конечного числа, и RA (P) =2j>o iev
*3. Ввиду упражнения 4 к § 2 результат упражнения 2 можно перефор-
переформулировать в следующих более конкретных терминах. Пусть Е есть идем-
потентная матрица над коммутативным кольцом А; тогда существуют идем-
потентные элементы et е А, такие, что tr (Е) = 2i>o iei- Естественно спро-
спросить, можно ли явным образом выразить е< через элементы матрицы Е.
Цель этого упражнения — дать утвердительный ответ на этот вопрос, при-
принадлежащий Голдману [1961], (см. также Алмквист [1973]), который нашел
выражение идемпотентов е« через коэффициенты характеристического мно-
многочлена матрицы Е.
(a) Пусть Е — идемпотентная п X re-матрица, и пусть <p(t) —
— det(l + tE) = l + tr(?)f + ... + det(E)tn. Пусть, далее, Р — соответству-
соответствующий проективный модуль Im(E), и пусть (е*)<~,0 обозначают то же, что
в упражнении 2. Покажите, что ф (t — 1) = %>ое^\ [Указание.
В простом идеале, в котором Р имеет ранг i, обе части равенства равны t*.]
(b) Положив ф (t) = 2{<4<г» выведите из этого, что
+
Например, если п = 2, то e2 = det(E), t\ = tr(?) — 2 det(?) и е0 =
= l-tr(?l+det(?r).
§ 4. РАНГИ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ; ТЕОРЕМА СУОНА 277
§ 4. Ранги над групповыми кольцами; теорема Суона
Для простоты мы ограничимся целочисленными группо-
групповыми кольцами ZF, хотя будет очевидно, что некоторая часть
этого параграфа распространяется на более общие групповые
кольца кТ.
Чтобы достичь лучшего понимания ранга Хаттори — Стол-
лингса R(P) над XT (обозначаемого также через RT(P)), мы
должны сначала разобраться в устройстве группы ГBГ). Эта
группа представляет собой факторгруппу аддитивной группы ZF
по подгруппе, порожденной коммутаторами [у, f'] = 44' — y'k
(t, ч'еГ). Но коммутаторы этого вида — это в точности элемен-
элементы 'HiT'-'b (Ч. Ъ^Г); действительно, [у, ч'] = Y(Ч/Ч)T1-
—(ч'ч) и ТТМГ1 ~~ Tfi= fy TfiTf]- Отсюда очевидным образом вы-
вытекает, что группу Т(?Т) можно отождествить со свободной
абелевой группой, порожденной классами сопряженных элемен-
элементов группы Г. Таким образом, всякий элемент группы Т(ЖХ)
имеет вид
2 t(Y)-[Yb
где W есть множество представителей классов сопряженных эле-
элементов группы Г, [у] обозначает класс элементов, сопряженных
с if, и ?: F-»-Z есть функция, которая постоянна на каждом
классе сопряженных элементов и равна нулю почти на всех
классах. Выражаясь более конкретно, след матрицы над IX по-
получается сложением диагональных элементов и группированием
слагаемых, лежащих в одном классе сопряженных элементов.
Пусть, далее, Р есть конечно порожденный проективный
Zr-модуль. Его ранг Хаттори — Столлингса RF {Р) <= Т (ZT)
представляется в виде
ДГ(Р)= 2 RT(P)(y).[y].
Таким образом, Rt{P) может рассматриваться как семейство це-
целых чисел Rr{P) D) (Т е®')) ассоциированных с Р. С этой точки
зрения формула сужения из предложения 2.4 принимает сле-
следующий вид.
4.1. Предложение. Пусть Г — группа и Г' — ее подгруп-
подгруппа конечного индекса. Для любого "у е Г' существует целое число
n(Y)>0, такое, что для всякого конечно порожденного проек-
проективного ZT-модуля Р
Более того, кA) = (Г : Г')-
(Точную формулу для п (у) см. ниже в упражнении 2.)
278 гл- тх- эйлеровы характеристики
Доказательство. Мы должны вычислить tr =
ТAХ)-*-Т(IX'). Фиксируем цеГ й напомним, что
есть след над ZI" правого сдвига Щ" ZT-+-ZT (см. доказа-
доказательство предложения 2.4). Пусть S есть множество предста-
представителей смежных классов группы Г по Г'. Тогда S можно при-
принять за базис Zr как левого Zr'-модуля, и Цт можно описать
через этот базис следующим образом: если ssS, то Mt(s) = s'Y=s
= f't, где t^S есть представитель смежного класса T'sy и ]' =
= sy*~1 e Г'. Таким образом, мы получаем ненулевой вклад в
след цт в том и только в том случае, если t = s, т. е. если s^s'1 e
s Г', и этот вклад в указанном случае равен f' = sfs~l. Таким
образом,
tr([Y]) = 2 [ST8^'»
sSS
где ^
[sYS-1]r' =
_ (класс элементов,Т'-сопряженных с sys~x, еслиsys^^F'i
(О в противном случае.
Для YeT' обозначим через w(f) число смежных классов T's,
таких, что [sy^1]?'= [?]г'« Заметим, что k(y)^1 и пA) =
= (Г:Г'). Пусть 9" (соотв. 9") — множество представителей
классов сопряженных элементов в Г (соотв. в Г'). Тогда фор-
формула предыдущего абзаца доставляет следующую формулу для
tr: T(ZT)-*T(ZT'):
tr B г (Y) [Yij = ^ 2 , n (у) r (Y) [Ylr'.
Наше предложение вытекает теперь из предложения 2.4. П
Если, например, взять группу Г конечной и положить Г' ==•
= И), то содержание предложения 4.1 сведется к тому, что
rkz(^) = | r|-i?r^P)(l); таким образом, «ранг» Рг(^), вве-
введенный в § 1, удовлетворяет соотношению
D.2)
[Замечание: мы просто передоказали результат упражнения 6
к § 2.] С другой стороны, наш другой «ранг» ег(Р) также мо-
может быть выражен через Rr(P). Действительно, мы уже сделали
это в упражнении 5 к § 2, и результат этого упражнения, пере-
переведенный на язык настоящего параграфа, звучит так:
D.3) ег(^)= S RAP) (у).
Теперь мы можем перейти к доказательству нашего главного-
результата, который можно рассматривать как утверждение, что
три наши «ранга» е, р и R в случае конечной группы Г пред-
представляют собой, по существу, одно и то же.
§ 4. РАНГИ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ; ТЕОРЕМА СУОНА 279
4.4. Теорема (Суон [1960b]). Если Г — конечная группа и
Р — конечно порожденный проективный 7Х-модулъ, то
Лг(^>)(т)==О при f?=i. Таким образом, существует целое чис-
число г, такое, что Rt (Р) = г • [1], и при этом еГ(Р) = рт(Р) = г.
Доказательство. Второе утверждение вытекает из пер-
первого ввиду D.2) и D.3). Чтобы доказать первое утверждение,
мы можем заменить группу Г циклической подгруппой, порож-
порожденной f: формула сужения из предложения 4.1 показывает, что
это не повлияет на справедливость равенства Rt{P) (ч) — 0.
В частности, мы можем предположить, что кольцо ZF комму-
коммутативно. Кроме того, как мы заметили в упражнении 7 к § 2,
из формальных свойств рг( ) вытекает, что Zf неразложимо.
Поэтому применима теорема 3.5, которая показывает, что Rr(P)
есть целочисленное кратное [1], что и требуется. О
Чтобы прояснить наш результат, мы возвратимся к опреде-
определениям р и е и явно сформулируем, что означает их равенство.
4.5. Следствие. Пусть Г — конечная группа и Р — конечно
порожденный проективный ХТ-модулъ. Тогда
Замечание. Используя элементарную теорию представле-
представлений (см. ниже упражнение 3), можно переформулировать теоре-
теорему Суона следующим образом: если Г — конечная группа и Р —
конечно порожденный проективный ZF-модуль, то Q®zP
есть свободный QF-модуль. Сам Суон сформулировал и доказал
свою теорему именно в такой форме. Формулировка и доказа-
доказательство в терминах ранга Хаттори — Столлингса принадлежит
Бассу [1976, 1979]. Басе пошел дальше и высказал гипотезу, что
теорема 4.4 сохраняет силу для произвольной группы Г. [Чтобы
придать смысл в случае произвольной группы Г второму утверж-
утверждению теоремы 4.4, следует принять D.2) за определение для
случая бесконечной группы Г; по существу, мы это уже делали
в упражнении 8 к § 2.] Басе доказал свою гипотезу для широ-
широкого класса групп Г без кручения. Для бесконечных групп
с кручением гипотеза Басса остается, однако, совершенно от-
открытой.
Упражнения
1. Где в доказательстве теоремы 4.4 используется предположение о ко-
конечности группы Г?
2. Покажите, что число п(у) из предложения 4.1 равно(Сг (у) : СрСу)),
где Сг("() (соотв. Сг/ (у)) есть централизатор элемента y в Г (соотв. в V).
3. Пусть Г— конечная группа, к — поле характеристики 0 и V — неко-
некоторый й:Г-модуль, имеющий конечную размерность над к. Тогда модуль V
конечно порожден и проективен (см. упражнение 5 к § 1.8) и, следователь-
следовательно, имеет ранг Хаттори — Столлингса 2#(Y)*[Yl> где R: Т-+-к — цент-
280 гл. ix. эйлеровы характеристики
ральная функция, т. е. функция, постоянная на классах сопряженных эле-
элементов. С другой стороны, существует классический способ ассоциировать
при помощи следов с V центральную функцию х,: Т-*-к, называемую ха-
характером модуля V. Именно, x(y) есть слеД наД * преобразования, произво-
производимого в V элементом у. Цель этого упражнения — связать % с R и вывести
из этой связи некоторые следствия.
(а) Покажите, что ранг Хаттори — Столлингса модуля V равен
1 V v(v-1).[7]= У ihlH
1 '-per ve^ I rV'M
т. е. что R(y) = %(~1I\СтA)\- [Метод 1. Существует канонический спо-
способ представить V как прямое слагаемое индуцированного модуля. Именно,
где
Выберем в V базис (ei) над к, так что A <Э е{) есть базис в кТ ® V над
А:Г. Теперь можно записать матрицу оператора ш в терминах матриц a,j(if)
преобразований, производимых элементами группы Гв 7. Метод 2. Мож-
Можно ограничиться случаем, когда поле к алгебраически замкнуто и модуль V
неприводим. В этом случае элемент
где п = dinuF, является в кТ идемпотентом, который проектирует кТ на
прямое слагаемое типа V (см. Серр [1977], 2.6). Поскольку V входит в
kF п раз, образ е в Т(кТ) есть ранг Хаттори — Столлингса суммы п экземп-
экземпляров модуля V. М е т о д 3. Благодаря формуле сужения (приведенной в
точном виде в упражнении 2) мы можем считать группу Г циклической,
так что преобразование цт: V-+-V, производимое действием элемента ч, кГ-
линейно при каждом feT. Но тогда trw(u-r) = 1Hr*r(id) = v#*r(F) в си-
силу упражнения 3 к § 2. В частности, коэффициент trfcr([xT) A) при [1] ра-
равен Rkr(V) (\~l). С другой стороны, аналог предложения 4.1 для следов да-
дает: x(T) =tr*([xT) = |ГИг„.([Хт)A).]
(b) Используя (известный из теории представлений) факт, что мо-
модуль V с точностью до изоморфизма определяется своим характером, пока-
покажите, что два конечно порожденных ЛГ-модуля изоморфны в том и толь-
только в том случае, если они имеют одинаковые ранги Хаттори — Столлингса.
(c) Докажите переформулировку теоремы 4.4, приведенную выше в
замечании.
4. Приняв формулу D.2) за определение, докажите, что рг, (Р) =
= (Г: Г') рг (Р) для любой группы Г, любой ее подгруппы Г' конечного ин-
индекса и любого конечно порожденного проективного 2Г-модуля Р.
5. В ситуации упражнения 4 докажите, что 8Г, (Р) = (Г : Г') ег (Р).
[Указание. Сначала рассмотрите случай, когда Г' есть_нормальная под-
подгруппа группы Г. Пусть Г = Г/Г', и пусть Р = Рт, =2Г ф^Р (ср. уп-
упражнение 2 к § II.2). Тогда Р есть конечно порожденный проективный ZT-
модуль, и нужный результат получится, если применить к нему следст-
следствие 4.5. В общем случае выберите в Г' подгруппу Г" конечного индекса,.
§ 5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ СУОНА 281
нормальную в Г; это возможно, поскольку в Г имеется лишь конечное число
подгрупп, сопряженных с Г', так что их пересечение, которое, очевидно,
нормально в Г, имеет в Г конечный индекс. После этого сравните ег„ как
с ег, , так и с «г.]
§ 5. Следствия из теоремы Суона
В этом параграфе читатель, наконец, столкнется с некоторы-
некоторыми эйлеровыми характеристиками. Это подготовит нас к тому,
чтобы обсудить в § 6 эйлеровы характеристики групп.
Для конечно порожденной абелевой группы А мы определя-
определяем ее ранг формулой
тк%(А) = dimQ(Q
Если группа А свободна, этот ранг, очевидно, совпадает с наив-
наивным рангом (мощностью базиса), который мы на протяжении
этой главы используем для свободных модулей; в общем случае
определенный выше ранг rkz (^1) совпадает с рангом в этом
наивном смысле «свободной части» группы А, т. е. факторгруппы
группы А по ее кручению. В частности, rk2 (A) = О в том и
только в том случае, если группа А конечна.
Пусть С — неотрицательный цепной комплекс абелевых групп.
Мы будем говорить, что комплекс С конечномерен, если Ct = 0
для достаточно больших i. Если, в дополнение к этому, каждая
группа С{ конечно порождена, то комплекс С называется конеч-
конечным. Предположим, что С есть конечномерный комплекс с ко-
конечно порожденными гомологиями Н*С; тогда эйлерова харак-
характеристика %(С) определяется формулой
В случае, если С есть клеточный цепной комплекс С(Х) конеч-
конечномерного клеточного пространства X, мы вместо %(С(Х)) пи~
гпем %(Х). Таким образом,
Если клеточное пространство X конечно, то х(^0 совпадает с
классической эйлеровой характеристикой Si (— 1)г Щ, где п{
есть число г-клеток в X. Это вытекает из следующего факта.
5.1. Предложение. Если С есть конечный цепной комп-
комплекс, то
Доказательство (совсем простое) см. в книге Спеньера [1966],
4.3.14, или Дольда [1972], V.5.2. ?
282 гл- rx' эйлеровы характеристики
Иногда бывает удобно вычислять эйлеровы характеристики,
используя гомологии «modp». Это можно делать благодаря сле-
следующему факту.
5.2. Предложение. Пусть С—конечномерный свободный
цепной комплекс над Z с конечно порожденными гомологиями
НцС. Пусть, далее, р — простое число. Тогда
Х(С) = 2 (- II dimZp {Щ (С
Доказательство. Пусть г{ = dimz ((HiC)p), и пусть
s. = dimZp(p (НгС)). [Напомним, что Ар = А ® Zp = -4/М и что
Л {4 0} Т (А Х
р {ое4: ра = 0} = Тог (А, Хр) для любой абелевой груп-
группы AJ Используя теорему об универсальных коэффициентах
(или длинную точную гомологическую последовательность, ассо-
ассоциированную с короткой точной последовательностью 0-+С-*-
-+С-+С ® ZP->0), легко убедиться, что dimzp(.fl\{C ® ZP))=
= r{ + Si-!. С другой стороны, из того, что #<С есть пря-
прямая сумма циклических групп, с очевидностью следует, что г, =
=rkz (HiC) + Si. Таким образом, dim2p(#{(C ® Zp)) = rkz (HtC) +
+ Si + Sj-ь откуда немедленно вытекает наше предложение. ?
Теперь мы можем доказать главное утверждение этого па-
параграфа.
5.3. Теорема. Пусть G есть конечная группа, и пусть С
есть конечномерный цепной комплекс проективных ZG-моду-
лей. Если, гомологии, Н^С конечно порождены, то гомологии
Н* (Св) тоже конечно порождены и
X(C)=\G\-X(Ce).
[Другими словами, в том, что касается эйлеровых характе-
характеристик, С ведет себя как свободный конечный комплекс]
Доказательство. Если проективный комплекс С конечен,
то это вытекает из следствия 4.5, поскольку х можно вычислять
в том случае на цепном уровне (предложение 5.1). Общий слу-
случай сводится к конечному случаю доказываемой ниже лем-
леммы 5.4. ?
Напомним, что кольцо R называется нётеровым, если всякий
подмодуль конечно порожденного Л-модуля конечно порожден.
Например, если группа G конечна, то кольцо Z<? является нё-
нётеровым, поскольку всякий конечно порожденный ZG-модуль
конечно порожден как Z-модуль.
5.4. Лемма. Пусть R — нётерово кольцо и С — конечномер-
конечномерный цепной комплекс проективных R-модулей. Если гомологии
Н^С конечно порождены над R, то комплекс С гомотопически
эквивалентен конечному проективному комплексу.
§ 5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ СУОНА 283
Доказательство. Сначала мы укажем индуктивную про-
процедуру построения свободного комплекса F конечного типа, до-
допускающего слабую эквивалентность х: F -*¦ С. Шаг индукции
заключается в следующем. Предположим, что мы уже построили
п-остов комплекса F и цепное отображение
такое, что #(т есть изоморфизм при i < га и эпиморфизм при
i = n. Тогда ядро кег(#„т) конечно порождено, поскольку мо-
модуль Fn конечно порожден, а кольцо R нётерово. Пусть
Xi, ..., Xr^Fn — циклы, представляющие образующие ядра
кег(Я„т), пусть уи ..., ут ^ Сп+1 — такие цепи, что дуг = ххи
и пусть Zi, ..., z, ^ С„+1 — циклы, представляющие образующие
конечно порожденного модуля Hn+iC. Тогда мы можем определить
Fn+i как свободный модуль с образующими еи ..., ет, /4, ...,/, и
положить det = xt, dft = 0, те« = yt и т/, = z<. Получающееся цеп-
цепное отображение
индуцирует //(-изоморфизм при i < п + I и //„+1-эпиморфизм. Это
завершает индуктивное построение комплекса F и отображения
т. Заметим, что слабая эквивалентность т является в действи-
действительности гомотопической эквивалентностью в силу теоремы 1.8.4.
Пусть теперь п — такое целое число, что Ct = 0 при i>n.
Рассмотрим факторкомплекс F комплекса F, определяемый фор-
формулой
Fi при i < п,
Fn/Bn при i = п,
О при i > п,
где Вп обозначает модуль га-границ. Мы по-прежнему имеем сла-
слабую эквивалентность F -*¦ С, и лемма будет доказана, если мы
установим, что модуль FJBn проективен. Но для всякого Л-мо-
дуля М
поскольку F ^ С и Сп+1 = 0. Рассматривая коциклы и кограницы
комплекса MomR(F, M) по образцу доказательства лем-
леммы VIII.2.1, мы заключаем, что В„ есть прямое слагаемое в Fn,
так что фактормодуль FJBn действительно лроективен. П
Чтобы проиллюстрировать значение теоремы 5.3, мы выделим
два ее специальных случая.
284 гл- гх- эйлеровы характеристики
5.5. Следствие. Пусть G— конечная группа, и пусть X—
конечномерное свободное клеточное G-пространство с конечно
порожденными гомологиями Н$Х. Тогда гомологии H$(XjG)
конечно порождены и %(Х) — \G\ •%{X/G).
Для доказательства достаточно применить теорему 5.3 к кле-
клеточному цепному комплексу пространства X. П
Этот факт очевиден, конечно, если пространство X конечно,
поскольку тогда мы можем вычислять эйлеровы характеристики,
подсчитывая число клеток.
Второй специальный случай затрагивает когомологии групп.
Если Г есть группа, гомологии HtT которой конечно порождены
при всех i и конечны при достаточно больших I, то мы полагаем
[Обозначение % призвано подчеркнуть, что это не всегда есть
«правильная» эйлерова характеристика. Мы объясним это в § 7.]
5.6. Следствие. Пусть Г — группа с cd Г < °°, и пусть V —
ее нормальная подгруппа конечного индекса. Если гомологии
#*Г' конечно порождены, то гомологии #*Г тоже конечно по-
порождены ых(П = (Г :Г)Х(Г).
Доказательство. Пусть Р — проективная резольвента
конечной длины модуля Z над IX, пусть G — Г/Г', и пусть
С = Рт> = %G ®ггР (см. упражнение 3 к § П.2). Тогда С есть
конечномерный комплекс проективных ZG-модулей с Н^С = Н#Т'
и Н% (Cq) = Н%Т; остается применить теорему 5.3. Е
В заключение мы докажем для теоремы 5.3 ее аналог mod p.
5.7. Теорема. Пусть G — конечная р-группа с некоторым
простым р, пусть С — поле характеристики р, и пусть С — конеч-
конечномерный комплекс проективных kG-модулей. Если гомологии
Н$С имеют над к конечный ранг, то то же верно для гомологии
H*{CG) и %(С)= \G\x(CG), где % ( ) обозначает теперь
2
()И{( ))
Доказательство идентично доказательству теоремы 5.3 с од-
одним важным упрощением; именно, аналог moip леммы 4.5 ве-
верен по тривиальным причинам, поскольку все проективные kG-
модули свободны (см. теорему VI.8.5). С
Очевидно, аналоги modp имеются и у следствий 5.5 и 5.6
из теоремы 5.3.
Упражнения
1. Пусть С и G обозначают то же, что в теореме 5.3. Для g eG обозна-
обозначим через L(g) число Лефшеца преобразования, производимого g в комп-
комплексе С, т. е. положим
L (g) = 2 (- {){trQ (Действие ?вЯ,С0 О).
Докажите, что L(g) =0 при g Ф 1, и сформулируйте топологическое следст-
§ 6. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ 285
вис, аналогичное следствию 5.5. [У к а з а п и е. Мы можем предположить,
что комплекс С конечен, так что число L(g) может вычисляться на цепном
уровне. Далее, упражнение 3 к § 4 позволяет теперь выразить L(g) через
ранги Хаттори — Столлингса, а последние вычисляются при помощи теоре-
теоремы Суона 4.4.]
2. Пусть Г и Г' обозначают то же, что в следствии 5.6. Пусть, далее,
t|L — характер естественного представления конечной группы Г/Г" в
Hi(Y',Q). Покажите, что ^(—1I% есть целочисленное кратное харак-
характера регулярного представления группы Г/Г'. [Указание. Регулярное
представление, по определению, есть свободный Q [Г/Г']-модуль ранга 1;
его характер принимает нулевое значение на любом отличном от единицы
элементе группы Г/Г'.]
§ 6. Эйлеровы характеристики групп: случай
отсутствия кручения
Эйлеровы характеристики групп были определены различны-
различными авторами в предположении различных условий конечности.
Нам будет удобнее всего наложить следующее условие. Груп-
Группа Г называется группой конечного гомологического типа, если
(a) vcd Г < °° и (Ь) для всякого Г-модуля М, который конечно
порожден как абелева группа, группы Я* (Г, М) конечно порож-
порождены при всех i. [Предостережение: это условие слегка отлича-
отличается от условия, фигурировавшего в предыдущих работах авто-
автора,— см. Браун [1974].] Предположим, что группа Г не имеет
кручения; тогда из (i) следует, что cdr<°° (см. § VIII.3).
Замечание. Основные примеры групп конечного гомологи-
гомологического типа — это группы типа VFP, так что читатель может
при желании заменить «конечный гомологический тип» «типом
VFP»; кое-где это приведет к упрощению доказательств. С дру-
другой стороны, мы увидим, что невозможно ограничиться группа-
группами типа VFL, хотя все известные примеры групп типа VFP при-
принадлежат в действительности типу VFL.
6.1. Лемма. Если Г есть группа и Г' —ее подгруппа конеч-
конечного индекса, то Г приндлежит конечному гомологическому типу
в том и только в том случае, если Г' принадлежит конечному-
гомологическому типу.
Доказательство. Очевидно, что vcdr<°° тогда и только
тогда, когда vcd Г' < °°, так что проверить нужно лишь то, что
требование (Ь) выполняется для Г тогда и только тогда, когда
оно выполняется для Г'. Необходимость вытекает из леммы Ша-
Шапиро, поскольку модуль coindr' M конечно порожден над Z,
если подобное верно для М. Предположим, что требование (Ь)
выполняется для Г'. Мы знаем, что в Г' имеется подгруппа Г"
конечного индекса, нормальная в Г (см. указание к упражне-
упражнению 5 к § 4); группа Г" удовлетворяет требованию (Ь) в силу
только что доказанного. Заменив группу Г' группой Г", мы
можем считать, что группа Г' нормальна в Г. Но тогда для
любого Г-модуля М, конечно порожденного над Z, спектральная
286 ГЛ- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
последовательность Серра — Хохшилда
Е1я = Нр(Г/Г', Hq (Г', М))=> Hp+q (Г, М)
показывает, что группы Я* (Г, М) конечно порождены при всех?,
что и требовалось. П
Предположим, что группа Г принадлежит конечному гомо-
гомологическому типу и не имеет кручения. Тогда мы определим
шлерову характеристику %(Г) формулой
{Таким образом, в этом случае %(r) = x(r')i где % определено в
§ 5.] В случае, когда Г принадлежит типу FP, существует ана-
аналог комбинаторной формулы для эйлеровой характеристики ко-
конечного клеточного пространства. Именно, если Р есть конечная
проективная резольвента 2 над IX, то
F.2) Х(Г) = 2(-1){8(Л).
где е есть «ранг», определенный в § 1. [Для доказательства до-
достаточно заметить, что Н%Г можно вычислить при помощи ко-
конечного цепного комплекса Рг; утверждение следует, ввиду это-
этого, из предложения 5.1.] Имеется также очевидная топологическая
интерпретация Х(Г) = %(#(Г, 1)).
Приведем несколько примеров, в которых эйлерова характе-
характеристика х(Г) может быть легко вычислена.
Примеры.
1. Если Г есть свободная группа ранга и^О, то существует
if (Г, 1)-пространство с одной вершиной и п одномерными клет-
клетками; таким образом, х(Г)= 1 — и.
2. Если Г есть свободная абелева группа ранга п ^ 1, то
К(Т, 1)-пространством является гс-мерный тор iS^X.^XiS1 с
эйлеровой характеристикой х(^1)---ХA^1) = О; таким образом,
Х(Г) = О.
3. Пусть Г есть коммутант группы SL2(Z). Хорошо извест-
известно, что последняя группа есть амальгама Z4 *z2 Z6. [Набросок
простого доказательства этого факта см. в книге Серра [1977а],
1.4.2; см. также выше пример 3 к § VIII.9.] Отсюда, в частности,
«ледует, что группа >S//2(Z)ab имеет порядок 4-6/2=12, так
что Г имеет индекс 12 в SL2(Z). Можно проверить также, ис-
используя нормальные формы слов в амальгамированном свободном
произведении, что Г есть свободная группа ранга 2 (см. Серр
[1977а], 1.1.3, доказательство предложения 4). Таким образом,
ЭС(Г)= 1 — 2 = — 1 в силу примера 1.
§ 6. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ 287
С дальнейшими примерами мы познакомимся позже.
Следующее свойство эйлеровой характеристики х( ) являет-
является фундаментальным.
6.3. Теорема. Если группа Г не имеет кручения и принад-
принадлежит конечному гомологическому типу, а Г' — ее подгруппа
конечного гомологического типа, то
Х(Г) = (Г:Г)Х(Г).
Доказательство. Достаточно доказать это в случае, ко-
когда Г' есть нормальная подгруппа группы Г, а в этом случае
утверждение вытекает из следствия 5.6. П
Доказательство теоремы 6.3 слегка упрощается, если Г есть
группа типа FP; в этом случае вместо следствия 5.6 мы можем
использовать F.2) и упражнение 5 к § 4. И доказательство
упрощается очень значительно, если Г принадлежит типу FL,
поскольку для свободных модулей упражнение 5 к § 4 три-
тривиально.
Теорема 6.3 имеет интересное приложение к теории группо-
групповых расширений.
6.4. Следствие. Пусть
— групповое расширение, такое, что группа Г не имеет кручения
и принадлежит конечному гомологическому типу, а группа G
имеет простой порядок р. Если р\ %(Г), то расширение рас-
расщепляется.
[Если, например, Г есть свободная группа с п образующими,
то такое расширение обязано расщепляться, когда р I (п — 1).]
Доказательство. Группа Е обязана иметь кручение, так
как если бы она не имела кручения, то была бы применима
теорема 6.3 и эйлерова характеристика %(Г) делилась бы на р,
в противоречие с предположением. Пусть G — нетривиальная ко-
конечная подгруппа группы Е. Так как Г не имеет кручения, то-
<7ПГ = Ш; таким образом, О отображается в G мономорфно.
Но порядок |G| прост, значит, & отображается в G изоморфно,
что и доставляет расщепление. П
Замечания. 1. Даже если бы мы хотели доказать след-
следствие 6.4 только для групп типа FL, в доказательстве пришлось
бы использовать теорию эйлеровых характеристик для групп
типа FP. Действительно, в первой части доказательства мы долж-
должны применять теорему 6.3 к группе Е (предполагая, что в Е
отсутствует кручение), а если даже группа Г принадлежит ти-
типу FL, все, что мы знаем о группе Е,— это лишь то, что если
она не имеет кручения, то она принадлежит типу FP.
2. Ниже мы достигнем значительного улучшения след-
следствия 6.4 (см. следствие 9.4).
288 гл- к- эйлеровы характеристики
¦ § 7. Распространение на группы с кручением
С топологической точки зрения Ограничение группами без
кручения кажется вполне разумным. Действительно, топологи
обычно рассматривают эйлеровы характеристики только для
конечномерных пространств, а мы знаем, что конечномерное
К(Т, 1)-пространство может существовать, только если группа Г
не имеет кручения. С алгебраической же точки зрения это ка-
кажется, однако, менее оправданным, поскольку мы вынуждены
исключать из поля нашего зрения некоторые группы Г (такие,
например, как SL2(Z,)) только потому, что они имеют круче-
кручение, хотя они могут иметь подгруппы конечного индекса, для
которых эйлерова характеристика определена.
Имеется простой выход из положения, основанный на идее
Уолла [1961]. Именно, если Г — произвольная группа конечного
гомологического типа, то мы находим в ней не имеющую круче-
кручения подгруппу конечного индекса Г' и полагаем
Это определение мотивируется теоремой 6.3, и теорема 6.3 в дей-
действительности есть в точности то, что требуется для проверки
корректности этого определения, т. е. для того, чтобы показать,
что правая часть равенства не зависит от Г'. Действительно,
предположим, что Г"—другая такая подгруппа, и положим
Г„ = Г'ПГ"; тогда
Г) езХ(Г0)/(Г:Г0) Х(Г0)
' Г
(Г: Г') (Г: Г) (Г : Го)
и аналогично %(Г")/(Г : Г") = х(Г„)/(Г : Г„), что и доказывает
наше утверждение.
Если, например, группа Г конечна, мы можем положить
Г' = A) и получить, таким образом, равенство
G.1) Х(Г)=1/1П.
Или, если Г = 5/.гB), то мы можем принять за Г' коммутант
(см. пример 3 в § 6), и это дает:
<7.2)
Эти примеры показывают, что рациональное число %(Г) не
является, вообще говоря, целым. В частности, %(Г) может быть
не равно наивной эйлеровой характеристике %(Т), определенной
в § 5, которая всегда является целым числом. [Заметим, что
если группа Г принадлежит конечному гомологическому типу,
то число х(Г) действительно определено. Действительно, в этом
¦случае, как мы знаем, гомологические группы 7/,Г конечно по-
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА ГРУППЫ С КРУЧЕНИЕМ 289
рождены при всех i, и, применяя трансфер (см. предложе-
предложение III.10.1), легко убедиться в том, что Tkz(HiT) = 0 при
?'>vcdr.] Эта нецелость числа %(Т) порождает некоторое коли-
количество интересных проблем, которыми мы займемся в § 9.
Изучая эйлеровы характеристики, мы будем пытаться полу-
получить информацию о х(Г), рассматривая действия группы Г в
клеточных пространствах. Основным инструментом при этом бу-
будет служить так называемая эквивариантная эйлерова характе-
характеристика %V(X). Она определяется следующим образом. Предпо-
Предположим, что X есть клеточное Г-пространство, такое, что (а)
каждая стационарная подгруппа Г„ принадлежит конечному го-
гомологическому типу; (Ь) X имеет лишь конечное число клеток
mod Г. Тогда мы полагаем
где <% есть множество представителей орбит группы Г в множе-
множестве клеток пространства X. Заметим, что x(r) = Xr(pt), так чт0
эквивариантная эйлерова характеристика может рассматривать-
рассматриваться как обобщение обычной эйлеровой характеристики.
Мы завершим этот параграф перечислением некоторых по-
полезных свойств эйлеровых характеристик %(—) и Хг(~)-
7.3. Предложение, (а) Если Г — группа без кручения,
принадлежащая конечному гомологическому типу, то
X (Г) = х(Г)= 2 (- 1)* dim^ (Я, (Г, Zp))
для любого простого числа р.
(Ь) Если Г—группа конечного гомологического типа и Y —
ее подгруппа конечного индекса, то
Х(Г)-(Г:Г)Х(Г).
(Ь') Обобщение: если определена эквивариантная эйлерова
характеристика Хг(^) и Г'^ Г — подгруппа конечного индекса,
то эквивариантная эйлерова характеристика %т> (X) также оп-
определена и
(с) Предположим, что определена эквивариантная эйлерова
характеристика Хг(^) и что ни одна из групп Го не имеет кру-
кручения. Тогда эквивариантные гомологии Н*(Х) конечно порож-
порождены и
где 1т{Х)=%{-\Iхкг(Н\{Х))~
(d) Пусть 1 -> Г' -*¦ Г -»- Г" -»-1 — короткая точная последова-
последовательность групп, в которой группы Г' и Г" принадлежат конеч-
19 К. С. Браун
290 гл- 1Х' эйлеровы характеристики
ному гомологическому типу. Если группа Г виртуально не имеет
кручения, то Г принадлежит конечному гомологическому типу и
(е) Пусть Г = 1\ *л Г2, где группы Т„ Г2 и А принадлежат
конечному гомологическому типу. Если группа Г виртуально не
имеет кручения, то она принадлежит конечному гомологическо-
гомологическому типу и
(е') Обобщение: пусть X есть стягиваемое клеточное Т-прост-
ранство, такое, что определена эквивариантная эйлерова харак-
характеристика Хг(Х). Если группа Г виртуально не имеет кручения,
то Г принадлежит конечному гомологическому типу и
Доказательство. Первое из равенств (а) справедливо по
определению, второе вытекает из предложения 5.2. Утверждение
(Ь) немедленно следует из определения %. Чтобы доказать (Ь'),
зафиксируем клетку о пространства X и рассмотрим множество
Га клеток, эквивалентных a mod Г. Так как множество Га нахо-
находится во взаимно однозначном соответствии с Т/Та, оно разби-
разбивается на конечное число Г'-орбит, представляемых клетками
¦уа, где "у пробегает множество S представителей двойных смеж-
смежных классов Г'\Г/Г„. Заметим, чтоГ.уа = Г' П Г7(Т = Г' (] Т^оТ »
последнее же пересечение сопряжено в Г с ч~'Г"ч П Го. Вклад
множества Го в сумму, определяющую Хг" (-Ю> следовательно,
равен
S (-i)dimTex(r' n тГсу-1) = (- ifmc S x(vr'v n г„) =
= (_ 1}dlm a 2 (Гд . _,г, п r<j) t {Tg) = (_ 1)(lim a {f . p/} % ^
y~S
(Последнее равенство доказывается путем разложения Г'\Г в
сумму орбит по отношению к правому действию группы Г„.) От-
Отсюда немедленно следует (Ь').
Чтобы доказать (с), мы рассмотрим эквивариантпую гомоло-
гомологическую спектральную последовательность
E\q= 0 Hq(Ta,la)^HTp+q(X)
5Р
О=<5р
(см. (VII.7.7)), где <%р есть множество представителей Г-орбит
в множестве р-клеток пространства X. Поскольку группа Г„ не
имеет кручения и принадлежит конечному гомологическому ти-
типу, гомологии Н%(Га) конечно порождены. Следовательно, ко-
конечно порождены гомологии Н* (X), и мы можем находить
§ 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА ГРУППЫ С КРУЧЕНИЕМ 291
%т(Х) из члена Ei спектральной последовательности (см.
(VII.2.7)). Предположив на мгновение, что при всех а группа Г,
действует в Za тривиальным образом, мы находим, что
»•(*) = 2 2 (-1)р+?гк2(яд(г(Т)) =
= 2 2 (-1)рх(Га) =хг(Х).
В общем случае нужно лишь заметить, что все эйлеровы харак-
характеристики могут вычисляться из гомологии с коэффициентами
в Z2(cm. утверждение (а)). Поскольку Г„ всегда тривиальным
образом действует в (Z2)c, нужный результат получается, как
выше, при помощи эквивариантной гомологической спектральной
последовательности с коэффициентами в Z2.
(d) Пусть Го s Г — не имеющая кручения подгруппа конеч-
конечного индекса, образ Го которой в Г" не имеет кручения, и пусть
Го = Го П Г'. Легко видеть, что (Г : Го) = (Г': Го) (Г": Го);
действительно, (Г : Г0) = (Г : Г"Г0) (Г"Г0: Го), и хорошо известные
законы изоморфизма из теории групп влекут за собой равенства
(Г: Г'Г0)= (Г": Т"о) и (ГТ0: Го) = (Г : Т'о). Поэтому мы можем
заменить данную точную последовательность точной после-
последовательностью 1->Го->Го->-Го->-1, т. е. мы можем предполо-
предположить, что группы Г', Г и Г" не имеют кручения. Тогда в силу
предложения VIII.2.4(b) cd Г < °°, и спектральная последова-
последовательность Серра — Хохшилда
Е2М = НР(Т", И9{Г, М))^Яр+д(Г, М)
показывает, что Г принадлежит конечному гомологическому ти-
типу. Положим теперь М = Z2- Так как гомологии Н% (Г', Z2)
конечны, существует подгруппа Го Е Г" конечного индекса,
которая действует в них тривиальным образом. Заменяя группу
Г" группой Го и группу Г прообразом группы Го, мы можем
предположить, что Г" тривиальным образом действует в
Я*(Г', Z2)- Тогда Егт=Нр{Т", Z2) ®ЩНЯ{Г, Z,). Вычисляя эйле-
эйлеровы характеристики из этой спектральной последовательности,
мы заключаем, что %{Т)= %(Г')%(Т").
Наконец, (е) следует из утверждения (е'), примененного к
дереву, ассоциированному с Г4 *А Г2 (см. дополнение к гл. II),
так что в доказательстве нуждается еще только (е'). Ввиду (Ь')
доказать (е') достаточно в случае, когда группа Г не имеет кру-
кручения. Так как пространство X стягиваемо, то Я* (Г, М)«
та Я* (X, М) для любого Г-модуля М (см. предложение VII.7.3),
и подобное верно для когомологий. Простое рассуждение, ис-
19*
292 гл- 1Х- эйлеровы характеристики
пользующее спектральные последовательности (ср. доказатель-
доказательство утверждения (с)), показывает, ввиду этого, что Я*(Г, М) =
= 0 при i > dim X + max {cd ГЛ и что гомологии #*(Г, Af) ко-
конечно порождены, если конечно порожден модуль М. Следова-
Следовательно, группа Г принадлежит конечному гомологическому типу.
Более того,
X (Г) = 1 (Г) [так как Г не имеет кручения] =
= Хг(х) [так как Я*Г = Я?(Х)] = Хг (X) [ввиду (с)], п
Для иллюстрации утверждения (е) рассмотрим группу
SL2 (Z) « Z4*z2 Z6- Тогда в силу (е)
4 +
в согласии с G.2).
Упражнения
1. Цель этого упражнения — описать другой способ определения «раци-
«рациональной эйлеровой характеристики» при надлежащих условиях конечно-
конечности. Этот способ принадлежит Бассу [19761, Чизволлу [1976] и Столлингсу
(не опубликовано). Для любой группы Г и любого конечно порожденного
проективного QF-ыодуля Р мы можем определить «рациональный ранг»
р(Р) [или рг(^)] формулой р (Р) = Rqt (P) A) е О. [Это определение мо-
мотивируется формулой D.2) .1 Заметим, что если Г' = Г есть подгруппа ко-
конечного индекса, то рг, (Р) = (Г : Г')Рг (Р) (СР- предложение 4.1).
(a) Говорят, что Г есть группа типа FP над Q, если Q обладает ко-
конечной проективной резольвентой над ОГ. В этом случае мы выбираем
такую резольвенту Р и полагаем е (Г) = ^ (~ II P {р\)- Покажите, что
е(Г) корректно определено и что е(Г') = (Г:Г')е(Г), если Г'еГ есть под-
подгруппа конечного индекса.
(b) Покажите, что всякая группа типа VFP принадлежит типу FP
над Q. [Указание. Если Р есть ОГ-модуль, проективный над ОГ',
где (Г: Г') < оо, то модуль Р проектпвен и над ОГ. Это может быть до-
доказано посредством усреднения.],
(c) Покажите, что если Г принадлежит типу VFL, то е(Г)= %{Т). [Не
известно, верно ли, что е(Г) = х(Г) для произвольной группы Г типа
VFP.I
2. (а) Покажите, что если е(Г) Ф 0, то центр С (Г) группы Г конечен.
[Указание. Рассмотрите «полную эйлерову характеристику» Е (Г) е
еГ(ОГ), определяемую формулой Е (Г) = ^ (— 1)* R^v (P{), где (Р{)
есть конечная проективная резольвента модуля Q над ОГ. Заметьте, что
Е(Т) есть просто trQr (id(n) B смысле определения, данного в упражне-
упражнении 2 к § 2, и что Е(Т)A) = е(Г). Если кеС(Г), то мы находим (исполь-
(используя упражнение 3 к § 2), что Е (Г) = tr(iJQ) = tr(yidG) = Y-tr(idQ) =
== i ¦ E(T). Следовательно, е(Г)= Е(Т) (t-1).]
(b) Выведите из (а) следующую теорему Готтлиба [1965]: если Y есть
конечное й:(Г, 1)-пространство с %(Y) ф 0, то С(Г_) = {1}. [Эта переформу-
переформулировка теоремы Готтлиба принадлежит Бассу [1976], а ее намеченное в (а)
доказательство принадлежит Столлишту [1965].]
*3. Предположим, что Г есть группа без кручения, принадлежащая конеч-
конечному гомологическому типу, и что М есть Г-модуль, конечно порожденный
§ 8. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 293
как абелева группа. Покажите, что
2 (- II rkz (Я, (Г, М)) = X (Г) • rka (M).
г
*4. Покажите, что если Г есть произвольная группа конечного гомоло-
гомологического типа и М есть Г-модуль, конечно порожденный как абелева груп-
группа, то когомологии Л'(Г, М) конечно порождены при всех U [Указание.
Сведите общий случай к случаю, когда модуль М Z-свободен. В этом слу-
случае положите М* = Нот (М, 2) и заметьте, что Э6отт (Р, М) « Шстп (Р ®г
Л/* Z)
]
*5. Пусть Г с 8Ь„ ij\ есть не имеющая кручения подгруппа копечно-
к
го индекса к. Покажите, что Г есть свободная группа с 1 + То образующи-
образующими. Пример: главпая копгруэиц-подгруппа уровня 3 имеет индекс 24=
= I 5L2(Z8) I; следовательно, она является свободной группой с тремя об-
образующими.
§ 8. Эйлеровы характеристики и теория чисел
Изучение групп целочисленных матриц тесно связано с алгеб-
алгебраической теорией чисел. Например, если попытаться классифи-
классифицировать элементы порядка р группы GLn{J) с точностью до
сопряженности, то мы немедленно столкнемся с необходимостью
рассматривать классы идеалов р-ro циклотомического поля. На-
Напомним теперь, что многие группы целочисленных матриц при-
принадлежат типу VFL (см. § VIII.11). Поскольку наша теория
ассоциирует с такими группами рациональные числа %(Г), есте-
естественно спросить, не имеют ли эти числа теоретико-числового
смысла. Ответ замечателен; он заключается в том, что для мно-
многих арифметических групп Г эйлерова характеристика х(Г) мо-
может быть выражена через значения ^-функции. В этом парагра-
параграфе мы дадим краткий обзор результатов этого рода. Подробности
и литературные указания см. в статьях Серра [1971] и [1979].
Отправной точкой вычисления %(Г) служит дифференциаль-
дифференциально-геометрическая теорема Гаусса — Бонне, которая утверждает
следующее. Пусть Y—замкнутое риманово многообразие. Суще-
Существует мера [I на Y, которая канонически строится по кривизне,
ассоциированной с римановой метрикой, такая, что
[Замечание: р, вообще говоря, не есть положительная мера;
например, если У есть поверхность, то \i = KdA/2n, где К обо-
обозначает гауссову кривизну и dA есть канонический элемент пло-
площади на Y.] Мы называем ц мерой Гаусса — Бонне.
Если Y принадлежит типу -К(Г, 1) и X — универсальная на-
накрывающая многообразия Y, то можно переписать эту формулу
294 гл. ix. эйлеровы характеристики
в виде
(8.1) х(Г) = ц(Х/Г);
Более того, мы можем интерпретировать правую часть послед-
последнего равенства как меру фундаментальной области действия
группы Г в X по отношению к мере Гаусса — Бонне в X.
Ограничимся теперь арифметическим случаем. Предположим,
что G есть полупростая алгебраическая группа, определенная
над Q, и Г есть арифметическая подгруппа группы G (Q) с: G(R),
не имеющая кручения. Пусть К — максимальная компакт-
пая подгруппа группы G (R), и пусть X = G (Щ/К. Поскольку
группа К компактна, легко видеть, что X обладает G(S) -инва-
-инвариантной римановой метрикой; следовательно, на X имеется
G('J?)-инвариантная мера Гаусса — Бонне и, и равенство (8.1)
выполняется для любой кокомпактной подгруппы Г группы
G (R). Вновь пользуясь компактностью группы К, мы поднимаем
ц до левоинвариантной меры на G(S) (по-прежнему обозначае-
обозначаемой через и); формула (8.1) принимает тогда вид
(8.2)
Преимущество этой формулировки состоит в том, что она сохра-
сохраняет силу даже в случае, когда группа Г имеет кручение. Дей-
Действительно, если мы заменим группу Г ее подгруппой Г' конеч-
конечного индекса, не имеющей кручения, то обе части формулы (8.2)
умножатся на (Г : Г').
Мы доказали формулу (8.2) в предположении, что группа Г
кокомпактна в G$), но, как мы видели в § VIII.9, эта ситуа-
ситуация далеко не является типичной. Замечательная теорема Хар-
дера [1971] утверждает, однако, что формула (8.2) остается вер-
пой и в случае, когда группа Г не кокомпактна. Хардеру удалось
даже явно вычислить меру |х для интересного класса групп G,
так называемых «групп Шевалле». [Такие группы взаимно одно-
однозначно соответствуют простым алгебрам Ли над С Таким обра-
образом, мы имеем специальные линейные группы SLn, симплекти-
ческие группы Spin, специальные ортогональные группы SOn и
пять исключительных групп Gz, Ft, Ее, Е1 и Es.]
Для такой группы G имеется каноническая мера Хаара (т. е.
положительная инвариантная мера) и„ на G(R)f называемая
арифметической мерой, которая обладает тем свойством, что
Ра№($) /G(Z)) выражается через значения ?-функции. С дру-
другой стороны, мера ц Гаусса — Бонне, будучи инвариантной, обя-
обязана иметь вид и — с\ла с некоторым celR. Достижение Харде-
ра заключается в том, что ему удалось вычислять скаляр с, после
чего формула (8.2) доставляет явную формулу для % (G (Z))
в терминах значений ^-функции. Ниже мы приведем эту фор-
формулу в некоторых примерах, предварив ее кратким обзором
Е;-функции Римана.
§ 8. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 295
Напомним, что ?(s) определяется при Re(s)>l формулой
4= П
р простое 1 — Р s
Таким образом, ?(s) есть аналитическая функция в полуплоско-
полуплоскости Re(s)>l, и оказывается, что она аналитически продолжа-
продолжается до мероморфной функции во всей комплексной плоскости.
Более того, функция | (s) = я~'/2Г (s/2) ? (s) удовлетворяет функ-
функциональному уравнению ?(s) = l(l — «)• Нас будут интересовать
значения функции ?(s) для отрицательных целых s. Эти значе-
значения вычисляются тривиальным образом для четных отрицатель-
отрицательных s:
Б (-2ft)-0 при к>\.
Действительно, функция ?(s) голоморфна при s = 2& + l, а зна-
значит, она голоморфна также при s= 1 — Bк + 1) = — 2к. Но функ-
функция Г (s/2) имеет при s = —2k полюс, так что функция ?(s) обя-
обязана иметь в этой точке нуль. С другой стороны, при нечетных
отрицательных значениях аргумента функция ?(s) отлична от
нуля и может быть описана в терминах чисел Бернулли, опре-
определение которых мы сейчас напомним.
Разложение функции z/(ez —1) в степенной ряд имеет вид
где B2k e Q. Возникающие таким образом числа В2к называют-
называются числами Бернулли. Мы приведем несколько первых чисел
Бернулли, разложив их числители и знаменатели в произведения
простых чисел:
20
1
2-3'
2
7
2-3'
1
•3-5
283
2-3'
•617
5-11 '
-°4
ТЗ
•°ю
?*22
2
5
2-3-
11
1
•3-5'
11?
3617
2-3-5-17 '
•131-593
2-3-23 '
В6 =
R
°\ъ -
D2i -
1
2-3-7'
691
2-3-5-7-13 '
43867
2-3-7-19'
103-2294797
2-3-5-7-13
Хорошо известно, что числа Бернулли появляются при вы-
вычислении t,Bk) для целого к > 1:
П *
BA)!
Переделывая это равенство при помощи функционального урав-
296 гл- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
непия в формулу для %A — 2к), мы обнаруживаем, что факто-
факториалы и степени минус единицы, двойки и числа п уничтожа-
уничтожаются; в результате получается
(8.3) S(i_2*) = _^i.
Теперь мы можем привести в нескольких примерах формулу
Хардера для %(G(Z))- Прежде всего для G = SL% формула вы-
выглядит так:
(8-4)
Поскольку ?(—1)= — #2/2 = —1/12, это согласуется с 7.2. Груп-
Группа SL2 является представителем двух бесконечных семейств
групп, а именно, семейства специальных линейных групп SLn и
семейства симплектических групп Sp2n. [Имеет место равенство
Spz = SL2] Обобщениями формулы (8.4) на эти семейства слу-
. жат формулы
(8.5)
(8.6)
ft=i
Конечно, правая часть формулы (8.5) при п > 3 включает мно-
множитель t(—2), так что она утверждает просто, что %(SLn(Z)) — О
при п S» 3. Формула же (8.6) включает в себя только нену-
ненулевые значения ?-функции и потому более интересна.
В качестве последнего примера группы G мы рассмотрим
исключительную группу Шевалле Е-,. Формула Хардера для
этой группы включает в себя значения ?-функции в точках
—1, —5, —7, —9, —11, —13 и —17 и, таким образом, включает
в себя числа Бернулли Вк с к = 2, 6, 8, 10, 12, 14 и 18. Точная
формула выглядит так:
юп\' /г? /то 691-43867
(8-7) х(Я,(Z)) = - йИ.з».5-.7».11-1а.« •
В заключение мы упомянем, что формулы Хардера (такие,
как (8.5) и (8.6)) сохраняют силу, если заменить '? кольцом
целых числового поля F и заменить ? ^-функцией Дедекинда
?f, ассоциированной с F. Более того, как показал Серр, эта фор-
формула обобщается еще дальше, именно, на кольца Os «^-целых».
Здесь S есть конечное множество простых в F и 0S c F есть
подкольцо, состоящее из элементов F, целых во всех простых,
не входящих в S. При этом необходимо использовать ^-функ-
^-функцию t,F, в, которая получается из ?*¦ путем выбрасывания из
§ 9. ТЕОРЕМЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОСТИ ДЛЯ х(П 297
бесконечного произведения множителей, отвечающих простым,
входящим в S. Например, если F = Q и S состоит из един-
единственного простого числа р, то %r, s(s) = %(s) A — р~'), и обобще-
обобщение формулы (8.4) дает:
х (SL2 (Z [1/р])) = Ь,8 (- 1) = ^
§ 9. Теоремы целочисленности для %(Т)
Пусть Г — группа конечного гомологического типа (например,
группа типа VFP). Мы знаем, что % (Г) = % (Г) е Z, если груп-
группа Г не имеет кручения, так что нецелость числа %(Г) в общем
случае каким-то образом связана с присутствием в Г кручения.
Оставшаяся часть этой главы будет посвящена доказательству
различных уточнений этого туманного высказывания.
Наиболее очевидное утверждение о целочисленности, которое
можно сделать в общем случае, заключается в том, что если
Г' — подгруппа конечного индекса, не имеющая кручения, то
(Г:Г')х(Г)е2; действительно,
Следовательно,
(9.1)
где й = н.о.д.((Г : Г'): Г — подгруппа конечного индекса, пе
имеющая кручения). Уже это простое наблюдение, в соединении
с глубокими результатами Хардера (§ 8), имеет нетривиальные
применения. Например, Серр [1971] использовал его в доказа-
доказательстве теорем целочисленности для значений ^-функции про-
простого поля. Другое применение (также принадлежащее Серру)
касается кручения в исключительных группах Шевалле. Оно
основывается на следующей лемме.
9.2. Лемма. Простые делители числа d — это в точности те
простые числа р, при которых Г имеет р-кручение.
Доказательство. Пусть Н — конечная подгруппа груп-
группы Г. Если Г" s Г — подгруппа без кручения, то И свободно
действует в множестве Г/Г", так что индекс (Г: Г'), если он
конечен, делится на \И\. Следовательно, d делится на 1#|.
В частности, d делится на любое простое р, при котором Г име-
имеет р-кручение. Обратно, предположим, что р есть такое простое
число, что Г не имеет /нкручения. Пусть Го s Г — не имеющая
кручения нормальная подгруппа конечного индекса, и пусть
Г'— промежуточная подгруппа (Г0^Г"^Г), такая, что Г7Г0
есть силовская р-подгруппа группы Г/Го. Тогда (Г' : Г,) есть
степень числа р, а (Г : Г') взаимно просто с р. По первой части
доказательства, всякая конечная подгруппа группы Г' должна
298 гл-1Х- эйлеровы характеристики
быть р-группой, так что Г' не имеет кручения. Но тогда
dl (Г : Г') и, значит, р \ d. a
Например, взглянув на формулу (8.7) для %(Е7 (Z)), мы
заключаем, ввиду формулы (9.1) и леммы 9.2, что группа Е7 (/)
должна иметь р-кручение при р = 2, 3, 5, 7, И, 13, 19.
Доказательство леммы 9.2 показывает, что d делится на по-
порядок любой конечной подгруппы группы Г; следовательно, d де-
делится на наименьшее общее кратное т порядков конечных под-
подгрупп. Но в общем случае d=?=m. Можно показать, что в случае
группы Г = SL3 (Z), например, d = 24 • 3, в то время как т =
= 23 ¦ 3.
Поэтому естественно спросить, можно ли улучшить (9.1) до
утверждения, что т% (Г) е Z. Вопрос был поставлен Серром,
и оказалось, что ответ на него утвердителен:
9.3. Теорема (Браун [1974]). Пусть Г — группа конечного
гомологического типа, и пусть m — наименьшее общее кратное
порядков конечных подгрупп группы Г. Тогда ffi%(r)sZ. Сле-
Следовательно, если степень простого числа ра делит знаменатель
эйлеровой характеристики %(Т), то Г обладает подгруппой по-
порядка ра.
Второе утверждение легко следует из первого утверждения и
теорем Силова. Доказательство первого утверждения требует
привлечения некоторых топологических идей, связанных с дей-
действиями конечных групп; оно будет приведено в следующем
параграфе.
Теорема 9.3 позволяет улучшить результаты Серра о цело-
численности значений ?-функции (см. Браун [1974], § 9). Она
позволяет также получить хорошие оценки для размеров круче-
кручения в некоторых исключительных группах Шевалле. Например,
теорема 9.3 и формула (8.7) показывают, что ЕтA) имеет
подгруппы порядков 2й, З9 и т. д. (Дальнейшая информация об
этом содержится в статье Серра [1979].) Третьим применением
является следующее улучшение следствия 6.4.
9.4. Следствие. Пусть
— такое групповое расширение, что группа Г не имеет кручения
и принадлежит конечному гомологическому типу, a G есть р-груп-
па при некотором простом р. Если р \ %{Т), то расширение рас-
расщепляется.
Доказательство. Мы имеем %(?)= %(T)J\G\, и эта дробь
несократима, так как Р I X (Г)- Поэтому из теоремы 9.3 выте-
вытекает, что Е обладает конечной подгруппой В с |ff| = |G|. Так
как Г не имеет кручения, G изоморфно отображается на G, что
и доставляет расщепление. П
§ 10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.3 299
§ 10. Доказательство теоремы 9.3; действия
конечных групп
Мы начнем с топологической интерпретации теоремы 9.3. Так
как vcd Г < °°, из теоремы VIII.11.1 нам известно, что существу-
существует стягиваемое конечномерное клеточное Г-пространство X с ко-
конечными стационарными подгруппами. Более того, я утверждаю,
что пространство X может быть выбрано допустимым в том
смысле, что для него выполняется следующее условие: любая
клетка о пространства X поточечно неподвижна относительно
стационарной подгруппы Г„. Чтобы убедиться в этом, достаточно
вспомнить, что пространство X может быть выбрано симплици-
альным (см. VIII.11.2); переходя, если нужно, к барицентриче-
барицентрическому подразделению, мы можем предположить, что X есть упо-
упорядоченное симплициальное пространство и что Г сохраняет по-
порядок. Но в этом случае очевидно, что никакой элемент груп-
группы Г не может нетривиальным образом переставлять вершины
симплекса, так что условие допустимости выполняется.
Пусть Г' ^ Г есть не имеющая кручения нормальная под-
подгруппа конечного индекса. Тогда Г' свободно действует в X,
и факторпространство Y = Х/Т' принадлежит типу ^(Г', 1). Сле-
Следовательно,
m . Х(П- X(Y)
* К ' ~ (Г : Г') ~~ (Г : Г')'
где %{Y) = 2(— l)lrkz(#jY). Таким образом, наша цель со-
состоит в том, чтобы доказать, что
где тп = я. о.к.{|#|: Я —конечная подгруппа группы Г). Други-
Другими словами, мы хотим доказать, что
где к есть целое число (Г : Г')/т.
Обозначим через G конечную факторгруппу Г/Г'. Заметим,
что действие группы Г в X индуцирует действие группы G в Y.
Более того, я утверждаю, что стационарная подгруппа Gx, отве-
отвечающая произвольной клетке т пространства Y, есть просто
я (Го), где о есть произвольная клетка пространства X, лежащая
над т, и я: Г -»- G есть естественная проекция. Действительно,
предположим, что gx = т, и выберем элемент f группы Г, такой,
что n(i) = g. Тогда клетки fa и о лежат обе над т, так что
Ч'1уа = о для некоторого ч'еаГ'. Так как я(ч'ч}=(!, это показы-
показывает, что Gr^n(Ta). Противоположное включение выполняется
тривиальным образом, так что утверждение доказано. (Кстати,
в действительности л отображает Го на Gt изоморфно: пересече-
пересечение Г« П Г' конечно и не имеет кручения и потому тривиально.)
300 гл- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Из сказанного вытекает два факта. Во-первых, действие груп-
группы G в У является допустимым. Во-вторых, порядок каждой
стационарной додгруппы Gt делит тп и, значит, число |G|/[Gtl
элементов орбиты клетки т делится на к = IGI /т.
Таким образом, теорема 9.3 является следствием такого ут-
утверждения.
10.1. Теорема. Пусть G — конечная группа, и пусть У—
конечномерное допустимое клеточное G-пространство с конечно
порожденными гомологиями H^Y. Если целое число к делит
число элементов всякой G-орбиты, то А;|^(У).
Заметим, что не имеет никакого значения, интерпретируем
ли мы G-орбиты как G-орбиты точек или G-орбиты клеток: усло-
условие допустимости влечет за собой равенство Gx = Gv для любой
внутренней точки у клетки т.
Заметим также, что теорема верна очевидным образом, если
пространство Y конечно, так как в этом случае х(^) можно вы-
вычислять, подсчитывая число клеток. Главным достоинством тео-
теоремы 10.1 является как раз то, что она справедлива при весьма
слабом предположении гомологической конечности прост-
пространства У. В действительности можно даже доказать вариант
теоремы 10.1 для пространств Y, не предполагаемых даже кле-
клеточными (см. Браун [1979], теорема 7.4), но доказательство это-
этого варианта требует более изощренной техники, чем доказатель-
доказательство теоремы 10.1.
Доказательство теоремы 10.1. Для произвольной под-
подгруппы #sG положим YH = {у е У: Gv — H}. Из условия до-
допустимости вытекает, что YH есть объединение (открытых) кле-
клеток, а именно, тех клеток т, для которых Gt = Н. Заметим, что
Ун = Ygug-iRnx любого g<=G. В частности, YH инвариантно
относительно действия нормализатора N(H) группы Н в G.
Более того, N(H)/H действует в YH свободно. Теперь мы с лег-
легкостью можем объяснить идею доказательства. Пространство У
представляется как дизъюнктное объединение (в теоретико-мно-
жествепном смысле) своих подпространств Уя, так что можно
ожидать, что
В то же время Y'gHg-i = gYn ~ Yh, так что мы можем сгруп-
сгруппировать в (*) члены, соответствующие сопряженным подгруп-
подгруппам Н; в результате получатся:
С**) Х(П- 2 (G:N(H))%(YH),
где ^ есть множество представителей классов сопряженных под-
§ 10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.3 301
групп группы G, которые встречаются среди стационарных под-
подгрупп при действии группы G в Y. [Мы пользуемся элементар-
элементарным фактом, что (G :N(H)) есть число подгрупп группы G, со-
сопряженных с Н.] Так как N(H)/H действует в YH свободно, из
следствия 5.5 должно вытекать, что %(YH) делится на (N(H): H),
так что (G: N(H))%(YH) делится на (G://). Но (G : Я) совпа-
совпадает с числом элементов некоторой орбиты, так что каждое сла-
слагаемое в правой части равенства (**) делится на к; следова-
следовательно, k\%(Y).
Теперь мы сделаем это «доказательство» строгим. Прежде
всего, пространство YH не есть, вообще говоря, подпространство
пространства Y в клеточном смысле, поскольку оно может быть
не замкнутым. (Граничная точка клетки имеет, вообще говоря,
более обширную стационарную подгруппу, чем ее внутренние
точки.) Но каждое множество YH точек, неподвижных относи-
относительно Н, является клеточным подпространством, ввиду чего YH
есть разность двух клеточных подпространств:
YH = YH- У>н,
где У> = U __-)-Y » Временно предположим теперь, что
Н'-^Н
каждое из пространств Ун имеет конечно порожденные гомоло-
гомологии. Тогда то же верно для пространств У>н, что доказывается
многократным применением последовательности Майера — Вието-
риса (семейство {У : #'2#1 замкнуто, очевидно, относи-
относительно пересечения). Таким образом, гомологии Н% (У , Y>
конечно порождены, и я утверждаю, что формула (*) станет
верной, если мы заменим числа %(YH) числами %(УН, Y>Ji).
Чтобы доказать это, занумеруем все подгруппы группы G
в последовательность Ht, ..., Нп таким образом, чтобы при
всех i выполнялось неравенство \Ht\ > |Я4+1|. Профильтруем У
клеточными подпространствами
0 = Fo s У, = ... = Yn = Y,
определяемыми индуктивно формулой
Y, = У4_х U YHK
При этом У»-1 П У * = У *• Таким образом, по теореме выре-
вырезания
[Заметим, что поскольку мы имеем дело с клеточными подпрост-
подпространствами, применение теоремы вырезания не встречает никаких
препятствий. В действительности изоморфизм вырезания имеет
3Q2 ГЛ. IX. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
место уже на уровне клеточных цепных комплексов.] Итак,
что и утверждалось.
Оставшаяся часть нашего первоначального эвристического до-
доказательства станет теперь вполне строгой, если всюду заменить
пространство YH парой (Ун, У>н). При этом, конечно, придется
пользоваться относительным вариантом следствия 5.5 — в приме-
применении к действию факторгруппы N(H)/H в (YH, У>н),— но это
не доставляет никаких проблем: нужно просто применить тео-
теорему 5.3 к относительному клеточному цепному комплексу
C(YH, Y>n), который является конечномерным комплексом сво-
свободных Z[N(Il)i'H] -модулей.
Если мы отбросим предположение, что гомологии Н% [Y )
конечно порождены при каждом Я, то мы должны рассуждать
следующим образом. Сначала предположим, что G есть /г-груп-
па для некоторого простого р. Поскольку гомологии H%Y ко-
конечно порождены, мы можем вычислять эйлерову характери-
характеристику %{Y) при помощи H%(Y, 2P)- Мы повторяем предыду-
предыдущее рассуждение, используя гомологии #*(—, ZP) и ссылаясь
на теорему 5.7 вместо теоремы 5.3. Теперь, однако, мы распола-
располагаем теоремой (см. теоремы VII.10.5 и упражнение 2 к § VII.10),
которая утверждает, что гомологии #* (Ун, Zp) конечно порож-
порождены, так что нам более не нужно это предполагать.
Наконец, свести общий случай к случаю /ьгрупп совсем про-
просто: чтобы доказать теорему 10.1, достаточно показать, что ес-
если степень простого числа ра делит к, то pa\%(Y). Пусть G(p) —
силовская р-грутша группы G. По предположению, ра делит
(G:GX) — \G\/\GX\ для любой клетки т пространства У. Взглянув
на jo-части чисел \G\ и IG,I, мы заключаем, что р" делит
\G(p)\/\P\, где Р есть произвольная р-подгруппа группы Gx.
В частности, р" делит \G{p) l/lG(/?)t'l, а это — число элементов
типичной G(p) -орбиты. Теперь из уже доказанного вытекает, что
p"h(Y). ?
Упражнение
Примените метод доказательства теоремы 10.1 к доказательству следу-
следующей «теоремы Лефшеца о неподвижных точках». Пусть G — конечная
группа и У — допустимое конечномерное клеточное G-пространство. Пред-
Предположим, что каждое множество неподвижных точек У* (g e G) имеет ко-
конечно порожденные гомологии. Докажите для числа Лефшеца L(g) формулу
[Указание. Можно предположить, что G есть циклическая группа, по-
порожденная g. Тогда для любой подгруппы Н группы G, отличной от G, g
определяет ненулевой элемент в N(H)jH = G/H, так что L{g[YH) =0 в
§ И. ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА х(Г) 303
силу упражнения 1 к § 5. Далее воспользуйтесь аналогом формулы (#) для
чисел Лефшеца и заметьте, что равны 0 все слагаемые, за исключением
слагаемого, отвечающего Н = G.]
Замечание. При помощи этой теоремы можно доказать следующее
утверждение об эйлеровых характеристиках групп (см. Браун [1982]). Пусть
Г — такая группа, что централизатор С (ч) произвольного элемента f e Г
конечного порядка (включая f = 1) имеет конечный гомологический тип.
Пусть, далее, 'S — множество представителей классов сопряженных элемен-
элементов конечного порядка. Тогда множество *& конечно и
Х(Г)= 2 X(C(v)).
Таким образом, имеет место следующая формула, измеряющая отклонение
ЗС(Г) от х(Г) в терминах кручения группы Г:
if (Г) = ЗС (Г) + 2 У-(С (У));
yeV'
здесь «" = «' — {1}.
§ 11. Дробная часть числа %(Т)
При надлежащих предположениях относительно группы Г из
доказательства теоремы 9.3 можно вывести точные формулы, вы-
выражающие разность х(Г) — %(Г) через кручение группы Г. По-
Поскольку x(F)eZ, эти формулы могут рассматриваться как фор-
формулы для «дробной части» рационального числа %(Г). Одна фор-
формула этого типа была только что выписана — см. замечание пос-
после упражнения к § 10. Другая формула, содержащаяся в статье
Брауна [1974], имеет вид
н ' '
где Н пробегает множество представителей классов сопряжен-
сопряженных нетривиальных конечных подгрупп группы Г и с{Н) — це-
целое чпсло, определение которого слишком сложно, чтобы повто-
повторять его здесь.
Вместо того чтобы формулировать и доказывать эту форму-
формулу, мы докажем, при помощи аналогичных методов, некотрые
менее точные формулы, которые оказываются более удобными
для применения.
Существует очевидный способ построить по частично упоря-
упорядоченному множеству S упорядоченное симплициальное простран-
пространство 151. Именно, вершины пространства |5|—это элементы
множества S, а симплексы пространства \S\ натянуты на упо-
упорядоченные подмножества s0 < ... < sn множества S. [Мы уже
сталкивались со специальным случаем этой конструкции: если
К — произвольное симплициальное пространство и S — множе-
множество симплексов пространства К, частично упорядоченное по
304 ГЛ- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
включению, то \S\ есть просто барицентрическое подразделение
пространства К — ср. § VIII.11.] Если группа Г действует в S
(с сохранением порядка), то возникает индуцированное дей-
действие Г в |5|, и мы полагаем
(если эквивариантная эйлерова характеристика в левой части
равенства определена). Вообще мы часто будем переносить то-
топологические понятия на частично упорядоченные множества,
пользуясь функтором Si-^liS1]. Например, мы будем писать
С*{S) и Н*(S) вместо С* (\S\) и Н%{\S\) и будем говорить,
что множество S стягиваемо или ациклично, если таковым явля-
является пространство |5|.
11.1. Теорема. Пусть Г — группа конечного гомологиче-
гомологического типа. Предположим, что Г имеет лишь конечное число
попарно не сопряженных конечных подгрупп и что нормализа-
нормализатор N(H) всякой конечной подгруппы Н имеет конечный гомо-
гомологический тип. Пусть S — множество нетривиальных конечных
подгрупп группы Г, частично упорядоченное по включению,
в котором группа Г действует посредством сопряжений. Тогда
число %г(?) определено и
[Более конкретно, эта формула выражает дробную часть чис-
числа х(Г) через эйлеровы характеристики подгрупп группы Г,
имеющих вид N(H0)ft .. ¦ Л N(Hn), где Но <= ... с Нп — цепочка
нетривиальных конечных подгрупп.)
Доказательство. Чтобы доказать, что число %тE) оп-
определено, мы должны установить, что пространство \S\ имеет
конечное число симплексов a mod Г и что каждая из групп Г„
имеет конечный гомологический тип. Пусть 8Г — (конечное)
множество представителей классов сопряженных конечных под-
подгрупп группы Г. Тогда всякий симплекс Яо с ... с Я„ про-
пространства |iS| эквивалентен mod Г симплексу, у которого #„е^".
Но, очевидно, таких симплексов существует лишь конечное чис-
число, поскольку группа #„ конечна. Чтобы доказать утверждение,
касающееся стационарных подгрупп, мы заметим, что для любой
группы Н е S группа N(H) переставляет симплексы Яо с ... <=
<= Нп с //„ = Н. Так как число таких симплексов конечно, {N(H):
N(H)a) < °° для всякого такого симплекса о; следовательно,
группа N(H)a принадлежит конечному гомологическому типу.
Но ^(^0 = ^, и, значит, первая часть теоремы доказана.
Предположим теперь, что X, V, G и Y обозначают то же,
что в доказательстве теоремы 9.3. Благодаря утверждению
VIII.11.2 мы можем предположить, что пространство Хн стягивае-
стягиваемо при любом Яе5. Пусть Хо обозначает часть пространства X,
§ 11. ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА х(Г) 305
на которой действие группы Г не свободно, т. е.
х0 - U хн,
и пусть Уо = XJV ^ У. Рассмотрение стационарных подгрупп
Gr, предпринятое нами в процессе доказательства теоремы 9.3,
показывает, что Уо есть в точности часть пространства У, на ко-
которой не свободно действие группы G. [В действительности Уо
совпадает с подпространством пространства У, которое в доказа-
доказательстве теоремы 10.1 обозначалось через У„_1.]
Я утверждаю теперь, что гомологии #* (Yo) конечно по-
порождены, и, значит, конечно порождены гомологии H%(Y, Уо).
Временно считая это доказанным, мы можем применить теоре-
теорему 5.3 к C(Y, Уо), поскольку G действует в Y—Yo свободно.
Эта теорема показывает, что %(Y, Уо) делится на \G\. Таким об-
образом,
Завершая доказательство, мы покажем, что гомологии Н% (Fo)
конечно порождены и что %(Yo)/\G\ =%T(S). Прежде всего мы
заметим, что так как Г' действует в Хо свободно, то Н% (Yo)«
«Н$'(Х0) (см. (VII.7.8)). Далее, мы применим к Хо следу-
следующее наблюдение.
11.2. Лемма. Пусть Z — собственное допустимое клеточ-
клеточное Т-пространство, такое, что каждая группа Го нетривиальна
и что при H^S, где S — мнооиество нетривиальных конечных
подгрупп группы Г, пространство ZH ациклично. Тогда простран-
пространство Z в следующем смысле гомологически эквивалентно S: су-
существует цепной комплекс С Т-модулей и Г'-отображения C{Z)-^-
¦*- С -*¦ С E), индуцирующие гомологические изоморфизмы.
[Термин «ацикличный» означает у нас «имеющий гомологии
точки»; в частности, ацикличность влечет за собой непустоту.J
Доказательство представляет собой точный аналог доказа-
доказательства теоремы VII.4.4. Детали этого доказательства мы при-
приведем в следующем параграфе. [Интуитивная идея заключает-
заключается в следующем. По предположению, Z = [! hss^H> и отноше-
отношение порядка в множестве индексов S полностью определяет граф
пересечений ацикличных пространств Za. Именно, ZHi П ZH^ 0
в том и только в том случае, когда Hi и Н2 имеют в S точную
верхнюю грань Я; в этом случае ZHi f) ZH2 = ZH. Ввиду этого
не удивительно, что |5| может играть в нашей ситуации ту роль,
которую в теореме VII.4.4 играл нерв покрытия.]
Возвращаясь к доказательству теоремы 11.1, мы заключаем
из сказанного, что ## (Уо) « И* (^0) « Н*' (S) (ср. предло-
предложение VII.5.2). Ввиду частей (с) и (Ь') предложения 7.3 из
26 К. С. Браун
306 ГЛ- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
этого следует, что
W irjf)
U
|G| \G\
Теорему 11.1 можно без большого труда следующим образом
обобщить.
11.3. Предложение. Пусть Т и S обозначают то же, что в
теореме 11.1. Если Z — допустимое клеточное Т-пространство,
для которого определено число, %r{Z), и если пространство ZH
ациклично при любом Н е S, то
xv(S) mod Z.
[Это сводится к теореме 11.1, если Z есть точка.]
Доказательство. Определим X и Г', как выше, и по-
повторим доказательство теоремы 11.1, заменив X произведением
X X Z. Заметим, что последнее конечномерно, допустимо и соб-
собственно и что' пространство (XXZ)H=XHXZH ациклично при
всяком Н е S. Более того,
Я, ((X х Z)IT) « Н[' (XxZ)^ Hi' (Z),
так как X стягиваемо. Следовательно, мы получаем, как в до-
доказательстве теоремы 11.1:
Комбинируя предложение 11.3 с теоремой 11.1, мы видим,
что в предположениях предложения 11.3
A1.4) x(n
В заключение мы докажем следующий, нужный для дальней-
дальнейшего, «локальный» вариант формулы 11.4, который справедлив
при более слабых предположениях относительно Г.
Для простого р положим Z(P) = {a/b: а, Ъ eZ, р \ Щ-
11.5. Предложение. Пусть Г—группа конечного гомоло-
гомологического типа, и пусть Z — допустимое клеточное Т-простран-
Т-пространство, для которого определена эквивариантная эйлерова харак-
характеристика %т(%). Если простое число р таково, что пространство
Z" ациклично для всякой нетривиальной конечной р-подгруппы
II группы Г, то
Доказательство. Мы по-прежнему пользуемся обозна-
обозначениями доказательства теоремы 11.1. Сначала предположим,
что Г/Г' есть /ьгруггаа. Тогда всякая конечная подгруппа груп-
группы Г является jo-группой, так что наше предположение утверж-
утверждает просто, что пространство Zn ациклично при любом Н & S.
§ 12. АЦИКЛИЧНЫЕ ПОКРЫТИЯ; ДОКАЗАТЕЛЬТСВО ЛЕММЫ 11.2 307
Теперь мы повторяем доказательства теоремы 11.1 и предложе-
предложения 11.3, заменяя все гомологии гомологнями с коэффициентами
в ZP- Наши предположения более не гарантируют существо-
существования %г(?), но мы можем вместо этого, как в доказательстве
теоремы 10.1, вывести из теоремы VII.10.5, что гомологии
Я* (Хо; ZP) конечно порождены. Рассуждая, как в доказатель-
доказательстве теоремы 11.1 (но пользуясь теоремой 5.7 вместо теоре-
теоремы 5.3), мы приходим к тому, что гомологии Я* (S; ZP) так-
также конечно порождены и что
где эквивариантная эйлерова характеристика в правой части вы-
вычисляется при помощи гомологии Я» (S, Zp). Аналогично
Хг B) = (р'. Г) mod Z»
откуда
В общем случае, когда Г/Г' не обязательно есть р-группа,
мы выбираем в Г подгруппу Тр з Г', такую, что Тр/Т' есть си-
ловская р-подгрупла группы Г/Г'. Согласно только что доказан-
доказанному,
так что
Это доказывает наше предложение, поскольку индекс (Г: ТР)
взаимно прост с р. П
Знать x(r)modZ(p)— это то же, что знать «р-дробнуто часть»
числа х(Г), т. е. часть разложения числа %(Г) в сумму простей-
простейших дробей, составленную из слагаемых, знаменатели которых
являются степенями числа р. Предложение 11.5 утверждает, что.
числа х(Г) и %r(Z) имеют одну и ту же р-дробную часть. Сущ-
Сущность этого результата мы проясним в § 13, где будет приведен
интересный пример пространства Z, удовлетворяющего предпо-
предположениям предложения 11.5.
§ 12. Ацикличные покрытия; доказательство леммы 11.2
Доказательство леммы 11.2 основано па следующем вариан-
варианте теоремы VII.4.4.
12.1. Предложение. Пусть X — клеточное пространство и.
(¦X»).es- семейство его подпространств (в клеточном смысле),,
индексированное элементами частично упорядоченного множен
20*
308 ГЛ' 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ства S. Предположим, что X, э Xt, если s^t. Для каждой клет-
клетки е пространства X положим Se = {seS: e^Xa). Если каждое
пространство Ха ациклично и каждое частично упорядоченное
множество Se ациклично, то. Н% (X)« Я* (S). Более точно, суще-
существует цепной комплекс С, который канонически строится по
указанным, данным и обладает каноническими слабыми эквива-
лентностями С (X) ¦+- С -*¦ С (S).
Доказательство. Мы построим двойной комплекс, ана-
аналогичный использовавшемуся в § VI 1.4. Пусть |5|(р) — множе-
множество /^-симплексов пространства |5|. Для каждого симплекса
о = (s0 < ... < sp) из IS |(р) положим Х„ = XSp. Тогда Ха s Хх,
если т есть грань симплекса о. В частности, имеют место вклю-
включения
дг: {)
где diO = (s0 < ... < Si < ... < sp). Положим
Cp = Ш С (Ха).
o=|S|(P)
Полагая, далее, д = Х(—l)*^i- Cp-*-Cv-\, мы получаем цепной
комплекс
в категории цепных комплексов, т. е. двойной комплекс. Ацик-
Ацикличность каждого из пространств Ха приводит к тому, что одна
из спектральных последовательностей двойного комплекса вы-
ро;вдается, доставляя изоморфизм
Я* (С)« Я* (S),
где С есть тотальный комплекс, ассоциированный с нашим деой-
пым комплексом. С другой стороны, в точности так же, как по-
подобное делалось в § VII.4, мы выводим из ацикличности мно-
множеств Se, что и другая спектральная последовательность вырож-
вырождается, ввиду чего
Я, (С) «#„(*)¦
Легко понять, что эти изоморфизмы индуцируются канонически-
каноническими цепными отображениями С{Х)+- С -*¦ C(S) —ср. упражне-
упражнение 1 к § VII.4. ?
Еще нам потребуется следующий простой результат.
12.2. Лемма. Если S — частично упорядоченное множество
с наибольшим и наименьшим элементом, то S стягиваемо.
Доказательство. Если se S — наибольший или наимень-
наименьший элемент п S' — S— is), то \S\ есть конус над |5"| с верши-
вершиной s. ?
§ 13. р-ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА х(Г) 309
Доказательство леммы 11.2. Мы имеем Z
где S есть множество нетривиальных конечных подгрупп груп-
группы Г. Для каждой клетки е пространства Z множество Se, оп-
определенное в формулировке предложения 12.1, есть просто мно-
множество всех нетривиальных конечных подгрупп стационарной
подгруппы Ге. Так как группа Г« сама есть нетривиальная ко-
конечная подгруппа, множество Se обладает наибольшим элемен-
элементом, и, следовательно, стягиваемо в силу леммы 12.2. Предпо-
Предположения предложения 12.1, следовательно, выполнены, и мы по-
получаем цепной комплекс С и слабые эквивалентности C(Z)+-
¦*- С -*¦ C(S). Так как Г действует в Z свободно и переставляет
пространства Z" в соответствии с действием Г в S посредством
сопряжений, ясно, что комплекс С наследует действие группы Г
и что построенные слабые эквивалентности согласованы с этим
действием. О
§ 13. р-дробная часть числа %(Г)
Теорема 11.1 на практике бывает не особенно полезна, по-
поскольку вычисление %r(S) обычно оказывается чрезвычайно уто-
утомительным. Однако если мы зафиксируем простое р и заменим
S множеством нетривиальных конечных подгрупп, которые яв-
являются р-группами, то это часто привадит к радикальному уп-
упрощению вычислений. Более того, это вычисление позволяет най-
найти р-дробную часть эйлеровой характеристики %(Г). В действи-
действительности, последнюю можно даже вычислить, рассматривая
только элементарные абелевы р-подгруппы группы Г, т. е. под-
подгруппы, изоморфные прямым суммам конечного числа экземп-
экземпляров группы 1,р'
13.1. ^eop^eмa. Пусть Г — группа конечного, гомологиче-
гомологического типа, и пусть s& — частично упорядоченное множество не-
нетривиальных элементарных абелевых р-подгрупп группы Г, где
р — фиксированное простое число. Предположим, что нормализа-
нормализатор N (А) всякой группы 4е^ принадлежит конечному гомо-
гомологическому типу. Тогда определена эйлерова характеристика
%т{А) и
[Это — принадлежащее Квиллену [1978] усовершенствование
основного результата статьи Брауна [1975b].]
Доказательство использует следующую лемму.
13.2. Лемма. Пусть Г — группа с vcdr<°°, и пусть р —
простое число. Если Г обладает не имеющей кручения нормаль-
нормальной подгруппой Г' конечного индекса, такой, что гомологии
Н%(Т', ZP) конечно порождены, то, с точностью до сопряжен-
сопряженности, Г имеет лишь конечное число р-подгрупп.
ГЛ- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Доказательство. Пусть X — конечномерное стягиваемое
собственное допустимое клеточное Г-просгранство, такое, что
Хн Ф 0 для любой конечной подгруппы ffsF. Пусть У = X/V,
и пусть G — Г/Г'. По предположению, гомологии Я* (Y, ZP)
конечно порождены, так что мы знаем, что гомологии H%(YV, ZP)
конечно порождены для всякой р-подгруппы Р s G (см. § VII.10,
теорему 10.5 и упражнение 2). В частности, Yp имеет лишь ко-
конечное число компонент связности.
С другой стороны, я утверждаю, что
YP= П XH/(T'[]N(H)),
где 13 — множество представителей Г'-сопряженных конечных
подгрупп группы Г, образ которых в G совпадает с Р. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим прообраз Yp множества У'вХп
обозначим через Я& множество конечных подгрупп группы Г, об-
образ которых в G есть Р. Из § 10 нам известно, что стационарная
подгруппа Гх, отвечающая произвольной точке х <s Yp, изоморф-
изоморфно отображается на Gy s G, где у ^ Y есть образ точки х. Так
как Р ^ Gy, отсюда вытекает, что существует единственная под-
подгруппа Н е Г, образ которой в G есть Р. Другими словами, су-
существует единственная подгруппа fle?, такая, что хе Xs. Та-
Таким образом, YP = UHs^-XH. Так как Г' переставляет множе-
множества Xй в соответствии с действием Г' в ^ посредством сопря-
сопряжений, отсюда следует, что
Yp=( П ХНIГ= П XH/(T'(}N(H)),
что и утверждалось.
Так как Yp имеет конечное множество компонент и каждое
множество Xй непусто, мы можем заключить, что множество %?
конечно, т. е. что конечные подгруппы группы Г, лежащие над
Р, распадаются в конечное число классов сопряженности. Нако-
Наконец, имеется лишь конечное число возможностей для Р, и это
завершает доказательство леммы. П
На потребуется еще одна лемма:
13.3. Лемма. Пусть S и Т — частично упорядоченные мно-
множества, и пусть /о, U'- S-*¦ Т—сохраняющие порядок отображе-
отображения, такие, что fo(s)^ /t(s) при всех s^S. Тогда отображения
l/ol, l/il: 151 -»- |7| гомотопны.
[Заметим, что если S = Т и из двух отображений /0, Д одно
есть ids, а другое постоянно, то эта лемма сводится к лем-
лемме 12.2.]
Доказательство. Идея заключается в том, что /0(s) при
гомотопии движется к /4(s) по 1-симплексу {/0(s), /iCs)} про-
§ 13. р-ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА х(Г) 311
странства 171. К сожалению, однако, это определяет гомотопию
лишь на вершинах пространства \S\, так что мы будем действо-
действовать следующим образом. Пусть / — упорядоченное множество
{О, 1}, 0 < 1. Заметим, что |/| есть единичный интервал. Рас-
Рассмотрим произведение S X / с покоординатным отношением по-
порядка: (s, i)<(s', i') в том и только в том случае, если s^s'
и i sg i'. Определим отображение F: S X/ -+• Т формулой F(s, i) =
= Fi(s). Предположение, что /0(s)^ /i(s), обеспечивает сохра-
сохранение порядка отображением F, так что возникает индуциро-
индуцированное отображение \F\: \S X /I -*¦ 1Я. Далее, из определений
немедленно вытекает, что для любых частично упорядоченных
множеств Si, Si
l5tX 5,1 = 15,1X15,1,
где произведение справа есть симплипральное произведение,
описанное в § VIII.11. Таким образом, \F\ может рассматривать-
рассматриваться как отображение \S\ X I/I -+¦ \Т\, последнее же и представляет
собой нужную гомотсшию.
Доказательство теоремы 13.1. В силу леммы 13.2
группа Г имеет, с точностью до сопряженности, лишь конечное
число ^-подгрупп. Отсюда выводится, точно так же, как в пер-
первой части доказательства теоремы 11.1, что определена эйлеро-
эйлерова характеристика %г{А). Теперь мы хотим применигь к кле-
клеточному Г-пространству предложение 11.5, так что мы должны
проверить, что для всякой нетривиальной р-подгруппы // — Г
пространство \s&\H ациклично. Но |^|н=|^н|, где S&H есть
множество нетривиальных элементарных абелевых /ьподгрупп,
нормализуемых группой Я, и я утверждаю, что это простран-
пространство в действительности стягиваемо. Действительно, пусть С ^
s# — центральная подгруппа порядка р; рассмотрим для 4е
^.зФ" цепочку неравенств
в эФн. (Заметим, что Ас, С ж С ¦ Ас действительно лежат в «s$H;
для Ас это следует из предложения VI.8.1.) Ввиду леммы 13.3
ото показывает, что тождественное отображение пространства «s#H
гомотопно постоянному отображению А<-+ С, поскольку проме-
промежуточные отображения ^4-»-^1с и А^-С-Ас являются сохра-
сохраняющими порядок отображениями «s$ ->¦ si. Таким образом, пред-
предложение 11.5 применимо и доставляет желаемое сравнение. О
В следующем параграфе мы покажем, что эйлерова харак-
характеристика %т(-?&) может быть явно вычислена в терминах норма-
нормализаторов групп 4erf. Пока что мы ограничимся упоминани-
упоминанием одного случая, в котором это очевидно. Предположим, что
всякая группа A^.s4- имеет ранг ^ 1. [Это эквивалентно тому,
что все конечные подгруппы группы Г имеют ^-периодические
когомологии, см. теорему VI.9.7. Как мы увидим в следующей
гл- IX- эйлеровы характеристики
главе, это эквивалентно также тому, что сама группа Г имеет
р-периодические когомологии в достаточно высоких размерно-
размерностях.] В этом случае пространство [s4-\ дискретно, и мы, оче-
видно, имеем:
%т(Л)= S %(N(P)),
где 9* есть множество представителей классов сопряженных под-
подгрупп группы Г, имеющих порядок р. Таким образом, в этом
случае
A3.4) Х(Г)^2 x(iV(P))modZ(p).
При практических вычислениях часто бывает удобно иметь
дело не с подгруппами порядка р и их централизаторами, а с
элементами порядка р и их централизаторами. Формула 13.4
легко может быть переписана в этих терминах:
13.5. Следствие. Пусть Г — группа конечного гомологи-
гомологического типа. Предположим, что всякая элементарная абелева
р-подгруппа группы Г имеет ранг ^ 1. Предположим, далее,
что централизатор С (у) любого элемента уеГ порядка р имеет
конечный гомологический тип. Пусть, наконец, Ч? есть множество
представителей классов сопряженных элементов порядка р груп-
группы Г. Тогда множество *&* конечно и
X(C(y))modZ(P).
Р— '
Доказательство. Выберем для каждой группы Р ед*
множество *&р представителей орбит действия группы N(P)/C(P)
в множестве нетривиальных элементов группы Р посредством
сопряжений. Тогда Цр^з^р есть множество представителей
классов сопряженных элементов порядка р всей группы Г, так
что мы можем считать, что W совпадает с этим объединением. Так
как С(Р) = С(ч) Для всякого нетривиального уеР, действие
N(P)/C(P) вР-A) свободно. Таким образом,
Следовательно,
Наше утверждение вытекает теперь из 13.4. П
Мы бегло остановимся теперь на одном интересном примене-
применении следствия 13.5 к теории чисел. [Это применение принадле-
§ н. формула для гт(&) 313
жит Серру, его подробное изложение приведено в статьях Брау-
Брауна [1974, 1975b].] Зафиксируем нечетное простое число р и при-
примем за Г симплектическую группу Spin{l), где 2п = р — 1.
С одной стороны, у нас есть формула Хардера (8.6), выражаю-
выражающая %(Г) через ?(—1), ..., %A — 2п) и, значит, через числа
Бернулли В2, ..., Вр-1. Известные факты относительно чисел
Бернулли («теорема фон Штаудта») позволяют заключить, что
X (Г) s 0 mod Z(P) в том и только в том случае, если р делит
числитель одной из дробей В2, ..., Вр-3.
С другой стороны, в группе Г нетрудно перечислить элемен-
элементы порядка р с точностью до сопряженности и вычислить их
централизаторы. При этом оказывается, что (а) предположения
следствия 13.5 выполнены; (Ь) число классов сопряженных эле-
элементов порядка р тесно связано с числом h классов идеалов р-то
циклотомического поля; (с) централизатор всякого элемента у
порядка р конечен и имеет порядок 2р, так что %(С(ч)) 1/2
Из следствия 13.5 вытекает, таким образом, что %(r) = 0mod(P)
в том и только в том случае, если h/2p =з 0 mod Z(P), т. е. если
p\h. (Простое число р с таким свойством называется иррегу-
иррегулярным.)
Комбинируя результаты двух последних абзацев, мы прихо-
приходим к следующему утверждению. Простое число р в том и толь-
только в том случае является иррегулярным, если оно делит числи-
числитель одного из чисел Бернулли Вг, • • -, Вр-3- Этот результат не
нов: он известен как критерий регулярности Куммера. Но наш
метод доказательства, использующий эйлеровы характеристики,
обобщается на кольца простых, отличные от Z» и доставляет, та-
таким образом, ранее не известные теоретико-числовые результаты.
§ 14. Формула для Xr(«s#)
Формула, которая будет приведена в этом параграфе, по су-
существу принадлежит Квиллену (личное сообщение). Она осно-
основывается на следующем факте.
14.1. Предложение. Пусть V—векторное пространство
размерности г > 1 над полем Fg из q элементов, и пусть S =
= S(V) — частично упорядоченное множество нетривиальных соб-
собственных подпространств пространства V. Тогда
Z"(r>
Z
если i = r-2,
0, если 1фг~2,
где n(r) = gr(r-1)/2.
[Это —специальный случай так называемой «теоремы Соло-
Соломона — Титса». Доказательство, которое мы приведем, принад-
принадлежит Квиллену [1973]. Из этого доказательства с легкостью
можно вывести, что |5| имеет гомотопический тип букета п(г)
сфер размерности г — 2, но нам этот факт не понадобится.]
гл- 1Х- ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Доказательство. При г = 1 предложение верно триви-
тривиальным образом, ибо S в этом случае пусто. Предположим те-
теперь, что г > 1 и что предложение уже доказано для векторных
пространств размерности г — 1. Пусть L <= V — фиксированное
одномерное подпространство, и пусть ?"<= S — множество нетриви-
нетривиальных подпространств V пространства V таких, что V'+ L?=V
(т. е. таких, что F' + LeS). Для любого F'e5' в S' выполня-
выполняются неравенства
V'<V' + L>L,
и отсюда с легкостью выводится, что S' стягиваемо (ср. доказа-
доказательство теоремы 13.1). Таким образом,
Si(S)=H<(s, sr).
Пусть Ж — множество гиперплоскостей Н в V, которые дополни-
дополнительны к L (т. е. таковы, что V = L®H). Пусть S{H) (соотв.
S(H))—множество нетривиальных подпространств (соотв. нетри-
нетривиальных собственных подпространств) пространства Я. Заметим,
что каждый симплекс о пространства |5|, не содержащийся в |5"|,
имеет вид
Уо < •.. < Fn
с Vn^3e. Следовательно, а есть симплекс пространства \S(H)\,
не содержащийся в \S(H) I для единственного ЯеЖ Ввиду это-
этого имеет место изоморфизм вырезания (на уровне шмплициаль~
ных цепных комплексов):
Ht(S,S')?- © H*(S(H),S(H)).
Далее, пространство \S(H)\ стягиваемо, поскольку 3(Н) имеет
наибольший элемент; следовательно,
в силу предположения индукции. Таким образом,
j2cMd(*)-(r-i)j если i = r _ 2,
О,
Чтобы вычислить card {Ж), заметим, что элементы множества
Ж соответствуют расщеплепиям точной последовательности
О -+ L -+ V -* V/L ¦* О,
так что имеется взаимно однозначное соответствие Jvf&nom^^v/L,
L). Последнее есть векторное пространство размерности
г—1, так что card(<5#) = q^1. Для завершения доказательства до-
достаточно теперь проверить, что функция n(r) = gr(r)/2 удовлет-
удовлетворяет соотношению ra(r)= qr'in(r — 1). ?
§ 14. ФОРМУЛА ДЛЯ Хг(л0) 315
14.2. Теорема. Пусть Г — группа и р — такое простое чис-
число, что определена эйлерова характеристика %г{Л), где эФ есть
множество нетривиальных элементарных абелевых р-подгрупп
группы Г. Пусть з&0 есть множество представителей для .<&
mod Г. Тогда
= 2 (-i)r(A)
где г(А) есть ранг группы А и п(А) = г (А) {г (А)— 1)/2. Следо-
Следовательно,
2 (Ab
в предположениях теоремы 13.1.
Доказательство. Для A^s4- обозначим через В {А)
(соотв. через S(А)) множество нетривиальных подгрупп (соотв.
нетривиальных собственных подгрупп) группы А. Пусть 9"(А) —
множество представителей modN(А) симплексов пространства
15(^4I, не содержащихся в |5(Л)|. Тогда 11А=^0^(-4) есть
множество представителей симплексов пространства |«s#|modr.
Ввиду этого из определения эйлеровой характеристики ()
вытекает, что
= 2
где относительная эквивариантная эйлерова характеристика в
правой части равна, по определению, 2а=^(А)(— l)dim °Х {N {А)о).
Я утверждаю, что %N(A)(S(A), S(A))=%(N(A))-%(S(A),
S (A)). Действительно, пусть С s N (А) — не имеющая кручения
подгруппа^ конечного индекса, централизующая А. Тогда С дей-
действует в S(A) тривиальным образом, и мы имеем спектральную
последовательность (см. (VII.7.2))
E2pq = Нр (С, Q) ®Q Я, (S (A), S (A); Q) => Hcp+q {S (A), S (A); Q).
Таким образом, xc{S(A), S(A)) = x(c) • %C(А), S{A)). Утверж-
Утверждение сразу следует теперь ыз частей (а) и (Ь) предложе-
предложения 7.3 и из относительных вариантов частей (Ь') и (с) этого
предложения.
Итак,
2
Далее, А можно рассматривать как векторное пространство раз-
размерности г = г(А) над Fp, так что мы можем применить пред-
предложение 14.1. Поскольку пространство S(A) стягиваемо, мы за-
заключаем, что хE(А), Б(А)) = ( — 1)г^рНг-1)/2, откуда и следует
наша теорема. ?
ГЛ- 1Х' ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Замечание. Пусть р" — максимальный порядок jo-подгруп-
пы группы Г. Тогда в силу теоремы 9.3 знаменатели фигуриру-
фигурирующих в теореме 14.2 чисел %($(.А)) содержат р не более, чем
в степени а. Так как г(г—1)/2>1 при г>2, из теоремы 14.2
вытекает, что
где & есть множество представителей классов сопряженных под-
подгрупп группы Г, имеющих порядок р. Таким образом, мы мо-
можем вычислить «старший член» разложения числа %(Г) на про-
простейшие дроби (т. е. член со знаменателем р"), рассматривая
только подгруппы порядка р и их нормализаторы.
Упражнения
1. Выведите из доказательства теоремы 14.2 следующий факт. Пусть S
есть частичпо упорядоченное Г-множество, такое, что определена эйлерова
характеристика %t(S). Для «е5 обозначим через S^s (соотв. через ?<,)
множество таких ?е S, что t ^ s (соотв. t < s). Если каждое из множеств
S^, конечно, то
где s пробегает множество представителей Г-орбит в 5.
2. Покажите, что условие конечности множеств S^, в упражнении 1
может быть заменено более слабым условием конечной порожденности го-
гомологии -й* (?<«) ПРИ каждом s. [Указание. Г, обладает подгруппой ко-
конечного индекса, тривиальным образом действующей в Нп E^s, ^<i; 1^)-
ГЛАВА X
ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРЕЛЛА
§ 1. Введение
Пусть Г — группа с vcd Г < °°. Если группа Г не имеет кру-
кручения, то из гл. VIII нам известно, что cd Г < °°, так что Г не
имеет когомологий высокой размерности. В общем же случае
можно надеяться «прояснить» когомологий высоких размерно-
размерностей через кручение группы Г. (Это аналогично ситуации гл. IX,
где мы пытались прояснить через кручение группы Г нецелость
ее эйлеровой характеристики %(Г).)
Для этой цели удобно пользоваться модифицированными ко-
когомологическими группами Я* (Г, М), впервые определенными
Фарреллом [1977]. Теория Фаррелла обобщает теорию когомоло-
когомологий Тейта конечных групп (гл. VI) и обладает следующими
двумя свойствами, которые делают ее подходящей для наших
теперешних целей: (а) Н* = Н* при i > vcd Г; (Ь) Я*=0, если
группа Г не имеет кручения.
Следующие три параграфа будут посвящены основаниям ко-
когомологической теории Фаррелла. Затем, в §§ 5 и 6, мы перене-
перенесем на когомологий Фаррелла некоторые результаты §§ VI.8 и
VI.9 о когомологической тривиальности и периодичности. Нако-
Наконец, § 7 будет содержать главный результат этой главы, свя-
связывающий Я* (Г) с кручением группы Г.
§ 2. Полные резольвенты
Пусть vcd Г = п < °о. Под полной резольвентой для группы Г
мы понимаем ацикличный цепной комплекс F проективных Z Г-
модулей, заданный вместе с обыкновенной проективной резоль-
резольвентой е: P-»-Z группы Z над ZI\ такой, что F и Р совпа-
совпадают в достаточно высоких размерностях. (Как это было и в
гл. VI, комплекс F не обязательно является неотрицательным.)
Например, если группа Г конечна, то всякая полная .резольвен-
.резольвента в смысле § VI.3 является полной резольвентой и в нашем те-
теперешнем смысле. В § VI.3 мы требовали, однако, чтобы F и Р
совпадали во всех неотрицательных размерностях, так что те-
теперешнее понятие полной резольвенты является более широким.
(Может показаться разумным, по аналогии с § VI.3, наложить
требование, чтобы F и Р совпадали во всех размерностях ^ п =
= vcd Г. Действительно, ниже мы увидим, что полные резоль-
318 ГЛ. X. ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРЕЛЛА
венты этого типа всегда существуют. Причина, по которой мы
этого требования не накладываем, заключается в том, что мы хо-
хотим, чтобы полная резольвента для группы Г была также пол-
полной резольвентой для любой подгруппы группы Г.)
Если (F, Р, г) и (F', Р', е')—полные резольвенты, то цеп-
цепное отображение т: F-*¦ F" называется отображением полной ре-
резольвенты в полную резольвенту, если существует сохраняющее
аугментацию отображение Р ->¦ Р', совпадающее с г в достаточ-
достаточно высоких размерностях.
2.1. Предложение, (а) Существуют полные резольвенты
(F, Р, е), у которых F совпадает с Р в размерностях S5 n =
¦= vcd Г. Если Г принадлежит типу VFP, то резольвенту F мож-
можно выбрать принадлежащей конечному типу.
(Ь) Если (F, Р, е) и (F', Р', е') — полные резольвенты, то
существует единственный гомотопический класс отображений
резольвенты (F, Р, е) в резольвенту (Fr, P', г'), и эти отобра-
отображения являются гомотопическими эквивалентноеями.
Доказательство. Выберем в Г подгруппу Г' конечного
индекса, не имеющую кручения. Мы будем применять к паре
(Г, Г') относительную гомологическую алгебру из § VI.2. Таким
образом, у нас есть понятие допустимой короткой точной после-
последовательности Г-модулей и соответствующее понятие относитель-
относительно инъективного Г-модуля. Пусть е: Р ->¦ Z — проективная ре-
резольвента Z над IX,и пусть К = ker{Pn_! -*¦ Рп-г). Тогда (Р
есть проективная резольвента
модуля К. Так как cd Г' = п, мы знаем (см. лемму VIII.2.1),
что К есть ZF'-проективный модуль. Предложение VI.2.6 до-
доставляет нам поэтому относительно инъективную резольвенту
О -»- К -+ Q0 ¦+ Q* -* ...,
все модули Q* которой проективны. Сращивая резольвенты
(Pi)i>n и ((?')<>»> мы получаем желаемую полную резольвенту.
«Заметим, что если группа Г принадлежит типу VFP, то Р и Q
можно сделать резольвентами конечного типа, что завершает до-
доказательство части (а).
Для доказательства части (Ь) нам потребуется следующее
обобщение леммы VI.3.2.
2.2. Лемма. Если cd Г < °°, то всякий ацикличный цепной
комплекс проективных ТХ-модулей стягиваем.
Доказательство. Сначала заметим, что proj dim^r M^.n=
= cd Г для всякого Z - свободного Г-модуля М. Действи-
Действительно, если Р — проективная резольвента длины п модуля Z,
то Р ® М (с диагональным действием группы Г) есть проектив-
проективная резольвента длины п модуля Z <8> М =М. [Почему?] Предпо-
Предположим теперь, что F есть ацикличный комплекс проективных
§ 2. ПОЛНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 319
модулей, и обозначим через Zh соответствующий модуль fc-цик-
лов. Мы можем написать точную последовательность
О -*¦ Zb -*¦ Fh -*¦... -*¦ Fh-n+t -* Zh-n -*¦ О,
модули Ft которой проективны. Так как proj dim2rZft-n<i n,
отсюда следует (см. лемму VIII.2.1), что модуль Zk проективен.
Значит, эпиморфизм Fh+l -*¦ Zh при всех к расщепляется, откуда
следует, что комплекс F стягиваем. П
Возвращаясь к доказательству утверждения 2.1 (Ъ), мы за-
замечаем, что в силу доказанной леммы всякая полная резольвен-
резольвента F является Г'-стягиваемой; следовательно, она допустима.
С другой стороны, как показывает следствие VI.2.3, всякий про-
проективный модуль F{ относительно инъективен. Если нам, как
это предполагается в утверждении (Ь), заданы две полные ре-
резольвенты, то обычная гомологическая алгебра позволяет нам
построить сохраняющее аугментацию отображение Р-+Р'; это
определяет цепное отображение т: F ->- F' в высоких размерно-
размерностях. Так как комплекс F ацикличен и допустим, а комплекс F'
относительно инъективен, относительная гомологическая алгебра
позволяет вам продолжить т до отображения, заданного во всех
размерностях (см. предложение VI.2.4). Это же рассуждение
применимо к гомотопиям: два таких отображения гомотопны в
высоких размерностях, благодаря обычной гомологической ал-
алгебре, примененной к Р и Р', и эта гомотопия может быть про-
продолжена во все размерности благодаря относительной гомологи-
гомологической алгебре. Наконец, из единственности вытекает, что ото-
отображения полных резольвент в полные резольвенты всегда яв-
являются гомотопическими эквивалентностями.
Эта же техника может быть применена к построению мно-
многих других цепных отображений. Например:
2.3. Предложение. Если (F, Р, е)—полная резольвента,
то существует единственный гомотопический класс цепных ото-
отображений т: F -*¦ Р, которые в достаточно высоких размерностях
представляют собой тождественное отображение.
Доказательство. Комплекс F ацикличен и допустим, а
каждый модуль Pt относительно инъективен. П
В дополнение к этому можно построить «диагональное отоб-
отображение», которое понадобится нам для определения (->-
умножения.
2.4. Предложение. Пусть (F, Р, г)—полная резольвен-
резольвента, и пусть т: Р -*¦ Р ® Р — диагональная аппроксимация (см.
§ V.1) с компонентами xPq: PP+q -+ Pt ® Pq. Пусть, далее, F ® F—
пополненное тензорное произведение (ср. § VI.5). Если пг есть
такое целое число, что F и Р совпадают в размерностях ^тп — \,
то существует цепное отображение A: F-+-F&F, (тп, пг)-ком-
пг)-компонента Amm: F2m -*¦ Fm® Fm которого совпадает с xmm.
320 гл- х- теория когомологий фаррелла
Доказательство почти идентично доказательству соот-
соответствующего факта для конечных групп (см. конец § VI.5).
Как и там, достаточно построить отображение А в размерности
2т таким образом, чтобы выполнялись равенства дК\В2т = 0 и
Amm = rmm. Это сводится к построению семейства отображений
&p''F2m-*-Fm+p ® /sn-p (peZ), удовлетворяющих условиям
(а) (д'ар + д"аР-г)\В2т = 0 и (Ь) а„ = ттт. (Здесь д', д" и Вгт
обозначают то же, что в § VI.5.) Положим а0 = хтт и а,=
= Tm+li,n_1; эти равенства имеют смысл, поскольку F = P в раз-
размерностях 5* т — 1. Так как т: Р -*¦ Р ® Р есть цепное отображе-
отображение, условие (а) (с р = 1) выполнено. Мы можем поэтому ин-
индуктивно определить ар при всех р точно так же, как в
§ VI.5. ?
В заключение напомним, что в случае конечной группы мож-
можно построить полную резольвенту, сращивая обычную резоль-
резольвенту с 'Двойственной. Оказывается, что аналогичная (но более
сложная) конструкция проходит для любой группы Г типа VFP.
Для простоты мы ограничимся здесь случаем, когда Г виртуаль-
виртуально есть группа с двойственностью, оставив общий случай для
упражнений.
Пусть Г виртуально есть группа с двойственностью с «дуали-
«дуализирующим модулем» D = Hn(T, IX) (см. предложение
VIII.11.3). Я утвер|Ждаю, что D принадлежит как Zr-модуль
типу FP<a. Действительно, если Г' s Г — не имеющая кручения
подгруппа конечного индекса, то D принадлежит типу FP как
2Г' -модуль (см. упражнение 1 к § VIII.10); отсюда мы выво-
выводим, что D принадлежит типу FPm над ZT по образцу дока-
доказательства предложения VIII.5.1.
2.5. Предложение. Пусть Г виртуально есть группа
с двойственностью с дуализирующим модулем D, и пусть
: P-vZ— проективная резольвента Z над IX конечного ти-
типа. Пусть, далее, ц: Q -*¦ D — проективная резольвента конечного
типа D над IX. Тогда существует полная резольвента F, такая,
что двойственный комплекс F = Жош^т (F, IX) есть конус неко-
некоторого цепного отображения ~Z~"Q -*¦ Р. В частности, Ft = Pt при
i > п и Ft = ((?n-i-t)* при ?< — 1. _
Доказательство. Рассмотрим n-ю надстройку 1>пР двой-
двойственного комплекса Р резольвенты Р. Тогда Нг(ИпР) =
= Нг_п{Р) — Нп~г(Г, ZH, последнее же есть 0 при гФО тг
есть D при i = 0. Отсюда очевидным образом выводится, что су-
существует слабая эквивалентность Q -*¦ S"P. [Построение этой сла-
слабой эквивалентности начинается с поднятия отображения tj:
@о -*- D до отображения в 0-циклы комплекса 2T; продолжение
поднятого отображения до цепного отображения осуществляет-
осуществляется на основании фундаментальной леммы I.7.4.] Это отображение
может рассматриваться также как слабая эквивалентность /:
§ 2. ПОЛНЫЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 321
Z~"Q ""*" Р, и конус С отображения / есть ацикличный комплекс
конечно порожденных проективных модулей. Пусть F есть двой-
двойственный комплекс С. Тогда Ft = (C-t)* = (P-i eB~n<?)-i-i)*=
= Р**® (Qn-i-i)*=Pi®(Qn-i-i)*\ в частности, F{ = Р< при i > п.
Из определения дифференциала в комплексе F видно, что этот
дифференциал с точностью до знака совпадает с дифференциалом
комплекса Р в размерностях 3» га. Предложение будет до-
доказано, таким образом, если мы проверим, что комплекс
F ацикличен. Пусть Г' s Г — не имеющая кручения под-
подгруппа конечного индекса. Тогда F = Зёот%? (С, IX) «
« Жотгт' (С, ZF'). [Это выводится из теории индуцированных
и коиидуцированных модулей точно так же, как подобное дела-
делается в доказательстве предложения VI .3.4; другой путь доказа-
доказательства состоит в использовании леммы VIII.7.4.] Но комплекс
С Г'-стягиваем (например, в силу леммы 2.2), так что Г'-двой-
ственный к нему комплекс Жот%т' (С, 7Х') также Г'-стяги-
Г'-стягиваем и, значит, ацикличен. П
Замечание. Рассмотрим фигурировавший в этом доказа-
доказательстве комплекс C = F. Он совпадает с ~Ll~nQ в размерностях
> 1, так что 2П~'С совпадает с_ Q в размерностях > п. Таким
образом, комплекс 2n-1C = Zn~1.F естественно назвать полной ре-
резольвентой модуля D.
Упражнения
1. Пусть Г = Fi X Г2, и пусть cd Fi < оо и vcd Гг < оо. Покажите, что
можно построить полную резольвенту для группы Г, взяв тензорное произ-
произведение проективной резольвенты конечной длины Z над ZL и полной
резольвенты для Г2.
*2. Говорят, что неотрицательный цепной комплекс С принадлежит ти-
типу FP*,, если он допускает слабую эквивалентность Р-+С, где Р — неотри-
неотрицательный цепной комплекс конечно порожденных проективных модулей.
(Если, например, С состоит из единственного модуля М, сконцентрирован-
сконцентрированного в размерности 0, то это просто означает, что М принадлежит типу FPX.)
Докажите, что если Г — группа и Г' — ее подгруппа конечного индекса, то
цепной комплекс ZF-модулей принадлежит типу FPa, над ZF тогда и
только тогда, когда он принадлежит типу FPa, над ZF'. [Это доказано в
статье Брауна [1982], Все существенные идеи содержатся в статье Брау-
Брауна [1975а], и можно даже вывести нужный результат из теоремы 2 этой
статьи при помощи соображений типа леммы Шапиро.], _
*3. Предположим, что Г есть группа типа VFP, и пусть Р обозначает
то же, что в предложении 2.5. Пусть 2Ь — подкомплекс
О->. .р°-^... _v pn-i _^ zn-> О
комплекса Р, где Zn — модуль re-коциклов. Заметим, что включение 3) -*¦ F
есть слабая эквивалентность. Покажите, что Ш) принадлежит типу FP^,
и выведите отсюда, что предложение 2.5 можно распространить на группы
типа VFP, взяв в качестве Q «проективную резольвенту конечного типа»
комплекса 2nS), т. е. комплекс конечного типа, составленный из проектив-
проективных модулей и такой, что существует слабая эквивалентность Q-*-?P?D.
21 К. С. Браун
322 гл- х- теория когомологий фаррелла
§ 3. Определение и свойства Н* (Г)
Мы по-прежнему предполагаем, что Г есть группа с vcd Г =
= га < оо. Выберем для Г полную резольвенту (F, Р, е) и поло-
положим для Г-модуля М
Я*(Г, M) = H*{2/6omT{F, M)).
Ввиду предложения 2.1 эта формула корректно определяет Я*
с точностью до канонического изоморфизма. Если группа Г ко-
конечна, то это определение согласовано, очевидно, с определением
из гл. VI. Для простоты мы будем иногда сокращать запись
Я*(Г, М) до Я*(Г) или даже до Я*. При этом будет подразу-
подразумеваться, что Г-модуль коэффициентов произволен.
Когомологическая теория Я* (Г, —) будет называться кого-
когомологической теорией Фаррелла. Ее формальные свойства ана-
аналогичны свойствам когомологической теории Тента для конеч-
конечных групп, соответствующей случаю п = 0.
3.1. Если группа Г не имеет кручения, то Я*(Г) = 0.
Действительно, в этом случае можно взять F = 0.
3.2. Я* (Г, —) имеет обычные когомологические свойства:
длинные точные последовательности, лемма Шапиро, отображе-
отображения сужения и трансфера, ^-умножение.
Все это доказывается точно так же, как для обычной кого-
когомологической теории, за исключением построения умножения.
Это построение мы обсудим потом, после того, как сформулируем
еще два свойства.
3.3. Если М есть индуцированный модуль вида 2Г®гг' М',
где Г' — не имеющая кручения подгруппа конечного индекса,
а М' — произвольный Г'-модуль, то Я*(Г, М) = 0. Таким обра-
образом, функторы Я' (Г, —) уничтожаемы и коуничтожаемы.
Это следует из 3.1 и 3.2 (леммы Шапиро). Заметим, что свой-
свойства 3.2 и 3.3 позволяют нам производить в когомологической
теории Фаррелла сдвиг размерностей в обоих направлениях (ср.
(VI.5.4)). Ввиду следующего свойства это показывает, что во-
вопросы, касающиеся когомологий Фаррелла, часто могут транс-
трансформироваться в вопросы, касающиеся обыкновенных когомоло-
когомологий (высокой размерности).
3.4. Существует каноническое отображение Н* -*¦ Н\ которое
является изоморфизмом при i > п и эпиморфизмом при i = п. Бо-
Более того, для любой не имеющей кручения подгруппы Г' ^ Г ко-
конечного индекса точна последовательность
дп ^г) _t^ нп (Г) _^ fin (Г) _^ 0)
где tr есть трансфер.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА Н*(Г) 323
Отображение Н' -*¦ Н* индуцируется цепным отображением
F -*¦ Р из предложения 2.3. Так как последнее отображение
может быть сделано тождественным в размерностях > п (ср.
предложение 2.1), первая часть утверждения 3.4 получа-
получается немедленно. Наиболее прямой способ доказатель-
доказательства второй части состоит в обследовании модуля ге-ко-
границ в 2f6omv(F, M), где F обозначает комплекс, построенный
из Р, как в доказательстве предложения 2.1. Проще, однако, дей-
действовать следующим образом. Рассмотрим «сдвигающую раз-
размерности» точную последовательность
о ->¦ к -> zr ® 2Г' м -> м -*- о.
Она отображается в длинную точную последовательность обыч-
обычных когомологий, которая отображается в соответствующую по-
последовательность когомологий Фаррелла. Используя лемму Ша-
Шапиро и определение (А) трансфера (см. § III.9), мы приходим
к диаграмме
Нп(Г, М) X Нп(Г, М) -* Нп+1 (Г, К)->0
с точными строками. (Ноль в верхней строке соответствует
группе #П+1(Г", М), тривиальной ввиду того, что cdF' = M.)
Вторая часть утверждения 3.4 получается отсюда немедленно.
Замечания. 1. Если группа Г конечна, то утвержде-
утверждение 3.4 сводится к тому, что Н{ = Н* при i > 0 и Н" есть коядро
нормирующего отображения М -*¦ М°.
2. Из 3.4 следует, что образ трансфера tr: Я" (Г')—>-Яп(Г)
не зависит от выбора Г'. Это не должно удивить читателя, про-
проделавшего упражнение 6 к § VIII.2.
Теперь мы можем объяснить, как строится умножение. Фик-
Фиксируем полную резольвенту (F, Р, е) и выберем диагональное
отображение A: F -*- F ® F — см. предложение 2.4. Это отобра-
отображение позволяет обычным образом построить умножение
Нр (Г, М) ® Ъ (Г, N) -X Hp+q (Г, M®N),
которое будет согласовано с пограничными отображениями из
длинных точных последовательностей. Более того, в силу пред-
предложения 2.4 существует такое т, что каноническое отображение
Н* -*¦ В' является при i > m изоморфизмом и что «-"-умножение
Нт ® Йт -*¦ Н2т совпадает с обычным «---умножением Нт ® Нт ->
—»-Я2т. Стандартное применение сдвига размерностей (ср. дока-
доказательство леммы VI.5.8) позволяет теперь показать, что умно-
умножение в Я* согласовано с умножением в Я* в том смысле, что
21*
324 гл- х- теория когомологий фаррелла
диаграмма
'.Hp+q
4
У
коммутативна при любых р и q. [Предположив, что это верно
для (р, q), мы можем вывести это для (р + 1, q) и (р, q + i)
при помощи коуничтожаемости функтора Я* и для (р — 1, q)
и (р> Ч~ 1) при помощи уничтожаемости функтора Я*.]
Теперь ясно, что наше умножение не зависит от выбора F
и А. Действительно, два разных выбора приведут к одному и то-
тому же умножению в высоких размерностях в силу сказанного,
а отсюда их совпадение во всех размерностях выводится при по-
помощи сдвига размерностей. Сдвиг размерностей позволяет так-
также установить обычные свойства «^-умножения (ассоциатив-
(ассоциативность, коммутативность, наличие единицы): в достаточно высо-
высоких размерностях все эти свойства имеют место. [Единицей ^-
умножения служит образ в Н°(Г, Z) единицы 1еЯ (F^Z) = Z.J
Напомним, что для когомологических групп Тейта Я' с i < О
мы нашли интерпретацию в терминах гомологии. Это получилось
из теории двойственности, которая позволяет представить отри-
отрицательную часть полной резольвенты как комплекс, двойствен-
двойственный к обычной резольвенте. Мы можем обобщить эту интерпре-
интерпретацию на когомологий Фаррелла, предположив, что группа Г
принадлежит типу VFP. Для простоты мы будем предполагать,
что Г виртуально есть группа с двойственностью, но читатель,
справившийся с упражнениями 2 и 3 к § 2, без труда сможет
перейти к общему случаю. [См. также упражнение 5 к § VIII.10.]
3.5. Предположим, что Г виртуально есть группа (^двойствен-
(^двойственностью с дуализирующим модулем D, и положим Н% (Г, М) =
=Я„. (Г, D ® М). Тогда существуют изоморфизм Я1 » Я„-1_(
при i < — 1 и мономорфизм Я -*¦ Я„. Более того, последователь-
последовательность
0-*Я-\Г)^#„(Г)-^Я„(Г')
точна для всякой не имеющей кручения подгруппы Г'^Г ко-
конечного индекса.
Действительно, пусть F обозначает то же, что в предложе-
предложении 2.5, и пусть Е = Ъп~1Р (см. замечание в конце § 2). Тогда
Далее, из определения комплекса Е видно, что существует про-
проективная резольвента Q модуля D, служащая областью значе-
значений цепного отображения Е -*¦ Q, тождественного в размерно-
размерностях > п. Мы получаем благодаря этому отображение
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ II СВОЙСТВА Н*(Г) 325
Hj(E ®r— )-*-TorJ(D, —), которое является изоморфизмом при
/ > п и мономорфизмом при j = п. Так как Torj (D, —) =
= 2?j(I\ —) (см. предложение Ш.2.2), это доказывает первое
из утверждений 3.5. Второе утверждение доказывается при по-
помощи сдвига размерностей, аналогичного использовавшемуся в
доказательстве утверждения 3.4; детали оставляются читателю.
Мы еще ничего не сказали о группах Я1 с 0=??<ге— 1. Этот
диапазон размерностей, который пуст в случае конечной груп-
группы Г, труднее поддается пониманию, чем диапазоны, охватывае-
охватываемые утверждениями 3.4 и 3.5. Кое-что сказать о нем, однако,
можно при помощи конструкции с конусом отображения, содер-
содержащейся в предложении 2.5. Именно, MomT(F, M) = F ©ГЛ/ есть
конус отображения 2~"(? ®ТМ -»• Р ®ТМ = 2>вотт{Р, М). Мы по-
получаем, следовательно, длинную точную последовательность, ко-
которая принимает вид
... - я!_( -> w - й* - яя_,_, - н1+1 -+...
Поскольку Я = 0 и Я-1 = 0, мы заключаем:
3.6. В ситуации (и обозначениях) утверждения 3.5 имеет мес-
место точная последовательность
Утверждения 3.4—3.6 можно резюмировать следующим образом.
Если Г виртуально есть группа jc двойственностью, то когомо-
когомологические функторы Фаррелла Ht включают в себя: когомоло-
когомологические функторы Я* с i > n; гомологические функторы Я; с
i > п; некоторый фактор-функтор функтора Яп; некоторый под-
функтор функтора #„; п дополнительных функторов Я0, ...
• • -1 Я"-1, которые представляют собой своего рода смесь функ-
функторов №']««„ И {#,¦},,«;<«;»:
и н ... н н л н
I /I /I /I II II
п-1/ по I An-l/ Лп Лп+1 Лп+2
J/ J/ 1/1
Ятг гг Яг fj л
п+2 "п + 1 «л "п-1 •¦¦ -"О У
Упражнения
1. Пусть Г = Z X Z 2- Постройте явно полную резольвенту и вычислите
с ее помощью Я* (Г, I). [Ср. упражнение 1 к § 2.]
2. Докажите, что все группы Я*(Г) являются периодическими. Более
точно, они аннулируются числом d из формулы IX.9.1. [Указание: трансфер.!
326 гл' Х' ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРЕЛЛА
Замечание. Не известно, аннулируются ли группы Я*(Г) числом
то из теоремы IX.9.3. Поскольку в Я* (Г) имеется мультипликативная струк-
структура, достаточно показать, что т аннулирует единицу 1е//° (Г, Z).
3. (а) Определите гомологические группы Фаррелла Н^ (Г).
(Ь) Если Г виртуально есть группа с двойственностью и D есть дуали-
дуализирующий модуль, покажите, что
Н<(Т,М) « //„_,_( (Г, D®M)
для всех I. Более точно, покажите, что существует элемент z e ЯП_](Г, D),
такой, что г-.-умножение на z есть изоморфизм. [Указание. Для построе-
построения изоморфизма tJj: Я'(Г, М) ->-#„_!_{ (Г, D ® М) воспользуйтесь свойст-
свойством 3.5 и сдвигом размерностей; другой путь: определите Е и F, как в дока-
доказательстве свойства 3.5, и покажите при помощи гомологической алгебры,
что существует отображение E-+F ® А индуцирующее нужный изомор-
изоморфизм. Пусть теперь гей,.|(Г, Щ — образ единицы 1еЯ°(Г, Z) при
отображении i|). Покажите, что i|) совпадает (с точностью до знака) с г\-
умпожением на z. Для этого сначала рассмотрите композиции
Я* (Г, М) -> Я* (Г, М) z? #„_!_* (Г, D ® М).
Эти композиции совпадают при i = 0 в силу естественности, и отсюда вы-
выводится при помощи сдвига размерностей, что они совпадают при любом i.
Следовательно, сами отображения Нг (Г, М) г? Яп_1_{ (Г, D <Э М) сов-
совпадают при достаточно больших i; значит, они тоже совпадают при всех i.
*(с) Покажите, что если в (Ь) модуль D является Z-свободным, то о-
умножение на это же геЯ„_1(Г, D) дает изоморфизмы Я^(Г, М) «
« Я»-1-'(Г, Hom(Z), M)).
*(d) Сформулируйте и докажите аналоги утверждений (Ь) и (с) для
произвольной группы Г типа VFP.
*4. Пусть Г = Fi X Г2, где Ti и Г2 удовлетворяют предположениям уп-
упражнения 1 к § 2. Выведите, при надлежащих предположениях, формулы
Кюннета, связывающие 6^(Г) с Н^ (Т^ и HjJ?%)\ сделайте аналогичное
для когомологий.
5. Пусть 1 -> Г' -> Г -*¦ Т" -*¦ 1 — короткая точная последовательность
групп конечной виртуальной когомологической размерности.
(а) Покажите, что если группа Г" не имеет кручения, то имеется
спектральная последовательность Серра — Хохшилда
Ef = HP (Г", Hq (Г')) =>: ЯР+9 (Г)
(которая строится так же, как для обычных когомологий).
* (Ь) Покажите, что если группа Г' не имеет кручения, то имеет место
спектральная последовательность
?Р« = Яр (Г\ Я" (Г")) =*» Tlp+q (Г).
[Метод 1. Используйте обычную спектральную последовательность Сер-
Серра — Хохшилда и сдвиг размерностей. Метод 2. Используйте полную ре-
резольвенту вида F = F" ® С, где С — конечномерный комплекс Г-модулей,
являющийся Г'-проективной резольвентой Z.] ^ ^ ^
*6. Определите и изучите композиционные умножения Н* ® Н*-*- Н*,
аналогичные умножениям из § VI.6. Единственную трудность доставляет
доказательство аналога предложения VI.6.1 (а). Этот аналог верен, но его
доказательство для случая бесконечных групп требует некоторых дополни-
дополнительных усилий.
§ 4. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ ФАРРЕЛЛА 327
§ 4. Эквивариантные когомологии Фаррелла
Пусть Г —группа конечной виртуальной когомологической
размерности, и пусть X — конечномерное клеточное Г-лро-
странство. По аналогии с гл. VII выберем полную резольвен-
резольвенту F для Г и положим для произвольного Г-модуля М
Тт (X, М) = Н* (Жогпг (F, С* (X, М))).
Эти эквивариантные когомологические группы Фаррелла имеют
свойства, аналогичные свойствам обычных эквивариантных кого-
когомологии (спектральные последовательности и т. д.).
Большую важность представляет специальный случай, когда
пространство X является собственным и стягиваемым (ср. тео-
теорему VIII.11.1). В этом случае мы получаем спектральную по-
последовательность
D.1) Е? = П Я*(ГО, Мв)=>?*+9(Г, М),
а=2р
где 2Р — множество представителей Г-орбит в /ьклетках про-
пространства X, аналогичную спектральной последовательности
VII.7.10. Эта спектральная последовательность связывает кого-
когомологии Фаррелла группы Г с когомологиями Тейта ее ко-
конечных подгрупп. Заметим, что эта спектральная последова-
последовательность сосредоточена в первом и четвертом квадранте, но
проблем со сходимостью не возникает, поскольку dim X < <».
Действительно, спектральная последовательность сосредоточена
на самом деле в вертикальной полосе 0 =? р *? dim X, так что
Ег = Е„ при г > dim X.
Оставшаяся часть параграфа будет посвящена установлению
некоторых свойств спектральной последовательности 4.1, кото-
которые потребуются нам в § 6. Для простоты мы будем предпола-
предполагать, что X есть упорядоченное симплициальное
пространство, наделенное сохраняющим порядок симплициаль-
ным действием группы Г. В дополнение мы предположим, что
для всякой конечной подгруппы Й^Г множество Xя непусто и
связно; мы знаем из § VIII.11, что такое пространство обяза-
обязательно существует.
Заметим, что условие сохранения порядка влечет за собой
равенство М„ = М; таким образом, Zo есть при любом о груп-
группа Z с тривиальным действием группы Г. Благодаря этому мы
можем в дальнейших формулах не делать явного указания на М.
Наша первая цель — дать чисто алгебраическое описание ле-
левому столбцу Е'ъ4. Для этого нам необходимо вычислить диф-
дифференциал d1'q. Напомним, что для любого симплекса о про-
пространства X и любого уеГ определен изоморфизм сопряжения
eft-*)*: Н*(Та)ЛН*(Туа),
обозначаемый символом и<-*уи (см. § Ш.8).
328 гл- х- теория когомологий фаррвлла
4.2. Лемма. Пусть Хр— множество р-симплексов простран-
пространства X. Тогда можно отождествить Efq с подгруппой произ-
произведения ЦстаХр-Н^Го), состоящей из таких наборов ("а)а=хр.
что fua = ща при всех уеГ, не Хр. Дифференциал df есть су-
сужение на эту подгруппу отображения
d: Ц ?*(Га)+ П 8е (Г,),
Х X
определяемого следующим образом. Для т = (Уо, . •., vP+l)^ Хр^,
где v0 <... < vp+i, положим т< = (у0, ..., ?, ..., vp+i),^i = О, ...
..., р + 1, и рассмотрим отображение высечения Pi' Hq (ГТ{)->-
-*¦ Н9(ТХ). Отображение d определяется после этого формулой
[Заметим, что Гг sFTi, поскольку действие грулшы Г по
предположению сохраняет порядок; благодаря этому наше опре-
определение отображения d имеет смысл.]
Доказательство. Заметим, прежде всего, что
Пя*(го)=П П
CSXp С=2р 7еГ/Г
Поскольку действие группы Г„ в Hq(Ya) посредством сопряжений
тривиально (см. предложение IH.8.3), отсюда вытекает, что кор-
корректно определено вложение
о: Я?- П Й*(Го)-
действующее по формуле («а)а=2р"-* (Ywa)as2p,vsr/rCT. Образ вло-
вложения а равен, очевидно, множеству наборов (иа)а=хр, та-
таких, что ч^а = щ<, при любых и^Х, и ^<= Г, откуда выгекает
первая часть нашей леммы. Описание дифференциала dt вытека-
вытекает из когомологического аналога предложения VII.8.1. Мы при-
приведем, однако, для удобства читателя прямое доказательство.
Пусть F — полная резольвента для Г. Тоща вложение
а: Е?-» П 8е (Гв)
Х
П
а=Хр
на коцепном уровне описывается следующим образом. Оче-
Очевидно,
Е? = Hq (Г, Ср (X, М)) = Я9 {Шотгх {F, Нош (Хр, М))) =
= Н9(НотГ{Хр, 2/6omi{F, M)))t
§ 4. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ ФАРРЕЛЛА 329
где Нот обозначает множество всех отображений, Нотг обозна-
обозначает множество всех Г-отображений и второе равенство происте-
проистекает из того, что, ввиду упорядоченности пространства X, все
его симплексы ориентированы. Произвольный элемент u^Ei
представляется, таким образом, набором (са)аехр> таким, что
са s= 2eomz(F, М) и f с = с1<3 при всех ^ s Г и ое ХР. Взяв ч е
^ Г„, мы убеждаемся в том, что ca^a>eomzTa{F, M). Следовательно,
ся представляет некоторый элемент в,еЯ'(Гл, М), и легко про-
проверить, что а (и) = (иа)а=хр. Дифференциал di есть просто ото-
отображение
Я'(Г, б): Я'(Г, С{Х, ЛГ))-*-Я*(Г, СР+1(Х, М)),
где б: СР(Х, M)^-Cp+i{X, М) есть кограничный оператор. Ут-
Утверждение леммы сразу вытекает теперь из опеределения опера-
оператора б в терминах операторов граней XP+i-*- Хр^т из того фак-
факта, что отображение высечения р,: Н4 (ГТ{) -*- Й9 (Гт) индуци-
индуцируется включением Эвот%т% (F, М) -*¦ Жот^^ (F, М). а
В частности, мы с легкостью можем найти E\'q = ker d\'q.
Получается следующий результат.
4.3. Лемма. Группа Е\л может быть отождествлена с
подгруппой произведения \\у=х01^{Х-^, составленной из набо-
наборов (uv)v=x , удовлетворяющих следующим двум условиям:
(a) *(uv = Щъ для любых i ^ Г и v ^ Хо;
(b) если е есть 1-симплекс пространства X с вершинами v0,
v{, то uVf> и uVl высекают один и тот же элемент группы Hq(T,).
Теперь, используя наше предположение о непусготе и связ-
связности множества Xя для любой конечной группы Н ^ Г, мы мо-
можем получить для Е\'4 желаемое алгебраическое описание:
4.4. Предложение. Пусть $ — множество конечных под-
подгрупп группы Г. Тогда группа El'9 изоморфна подгруппе ^(Г)
произведения ПяеЭ Н (Н), составленной из наборов («я)н=д»
удовлетворяющих двум условиям:
(a) уин = mvHv-i при всех ч е Г, Я е= ft;
(b) если Н' s#, то геэн'Мн = иНг.
[Услсхвия (а) и (Ь) можно скомбинировать в единое условие,
состоящее в том, что ин согласованы по отношению к «отображе-
«отображениям высечения» Н"{Нг)-у Hq(Hi), индуцированным вложениями
Hi—*-Н2, задаваемыми сопряжениями посредством элементов
группы Г.]
Доказательство. Описание группы El'qf данное в лем-
лемме 4.3, доставляет очевидное отображение <р: ЪЯ(Т)->Е1'9, дей-
330 ГЛ- Х- ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРБЛЛА
ствующее по формуле (ин)н_% >-*¦ (urv)v^x0- Поскольку всякая
группа Яе§ содержится в некотором. Г„ (ввиду Xя #0), из ус-
условия (Ь) вытекает, что ф мономорфно. Чтобы доказать, что ф
есть эпиморфизм, предположим, чгго набор (uv)veXg удовлетво-
удовлетворяет условиям (а) и (Ь) леммы 4.3. Для заданной группы ffeg
выберем вершину v, та1кую, что Я s Г», и положим wh = тезн^т-
Так как Xs связно, условие (Ь) леммы 4.3 показывает, что wB не
зависит от выбора и. Легко проверить, что возникающий набор
(и?я)Не$ содержится в ф*(Г) и что его образ при отображении
Ф есть (uv). ?
Теперь мы введем в спектральную последовательность D.1)
мультипликативную структуру. Для упрощения записи мы пред-
предположим, что модуль коэффициентов М есть коммутативное коль-
кольцо R с тривиальным действием группы Г. В этом случае симп-
лициальный коцепной комплекс С* (X) = С* (X, R) обладает
^-умножением
С*(Х)®С*(Х)^С*(Х),
которое строго ассоциативно и коммутативно в градуированном
смысле с точностью до гомотопии. Более того, умножение и го-
мотопия канонически определяются в терминах упорядоченной
симплициальной структуры пространства X. [Обзор этих фактов
содержится в упражнении к этому параграфу.] Поэтому они со-
согласованы с действием группы Г.
Выберем теперь полную резольвенту F с диагональным отоб-
отображением Д: F -> F ® F. Тогда определено умножение
momv{F, C*(X)) ®2eomT(F, C*(X)) -»•
-*¦ Momv{F, С*(Х) ® С*(Х)) •+¦ MomT{F, C*(X)),
где первое отображешие индуцируется Д, а второе — коцелным
^-умножением С* (X) ® С* (X) -»- С* (X). Как объяснялось в кон-
конце § VII.5, это умножение согласовано с фильтрацией, опреде-
определяющей спектральную последовательность D.1), вследствие че-
чего при любом г ~> 1 возникает индуцированное умножение
ЕГ®ЕГ^ Ет.
Нужные нам свойства этого умножения собраны в следующем
предложении.
4.5. Предложение, (а) Дифференциал dT является по от-
отношению к умножению в Ег дифференцированием, т. е.
dr(uv) = dr(u) ¦ v + (-1)й°*»и ¦ dr(v).
(b) Умножение в ET+i=H(ET) получается из умножения в
Ет посредством перехода к гомологиям.
(c) Умножение в Е1 совпадает с композицией
, СР(Х)) ® Я9' (Г, СР'(Х))-+
-> Пя+Я' (Г, С9 (X) ® Ср' (X)) -> W+q> (Г, Ср+Р' (Х)\
§ 4. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ ФАРРЕЛЛА 331
где первое отображение есть обычное ^-умножение в Я*(Г, —),
а второе отображение индуцируется ^-умножением в С* (X).
(d) Умножение в Е, ассоциативно при г> 1 и коммутатив-
коммутативно при г>2.
(e) Умножение в Е«, согласовано с обычным умножением в
Я* (Г, R) по отношению к отождествлению Е„ с GrЯ*(Г, R).
(f) Изоморфизм El' да ф* (Г) предложения 4.4 является
кольцевым.
Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) вытекают из
того факта, что умножение в Ег индуцируется умножением в
2@omr(F, C*(X)). Утверждение (с) немедленно следует из опре-
определений. Ввиду утверждения (с) и свойств обычного ^-умноже-
^-умножения, умножение в Ei ассоциативно и коммутативно с точностью
до гомотопии (по отношению к дифференциалу di). Ввиду (Ь)
отсюда следует (d). Далее, умножение в Е«, очевидным образом со-
согласовано с умножением в когомологиях H*C/eomT(F, C*{X))).
Но отождествление этих когомологий с Я* (Г) осуществляется
посредством цепного отображения Жотт (F, R) -+ЖотГ (F, С* (X)),
которое, очевидно, является кольцевым гомоморфизмом, откуда
следует утверждение (е). Наконец, для доказательства утверж-
утверждения (f) достаточно показать, что кольцевым гомоморфизмом
является отображение ос: ?J,*_> Д„еХ()Я* (Г„), определенное в
доказательстве леммы 4.2. Рассмотрим у-компоненту отобра-
отображения а,
??¦*=#* (Г, С0 (*))-> Я* (Г„).
На коцешном уровне она задается отображением
(F, R),
которое, в свою очередь, индуцируется кольцевым гомоморфиз-
гомоморфизмом С (X) = Нот (Хо, R) ->¦ R, относящим коцепи ее значение в
вершине v. Легко видеть, что это коцепное отображение являет-
является кольцевым гомо1морфизм0м, откуда и вытекает (f). ?
В качестве простого приложения этой мультипликативной
структуры мы докажем одну теорему, принадлежащую Квилле-
ну [1971]. Зафиксируем простое р и рассмотрим определенное в
предложении 4.4 кольцо ф* (Г, Хр)', существует очевидный го-
гомоморфизм
р: Я* (Г, Zp)-^*(I\ZP),
определяемый отображениями высечения Я*(Г)-*-Я*(Я) (Я<^д?).
4.6. Предложение. Отображение р обладает следующими
двумя свойствами.
(a) Всякий элемент ядра кегр нилъпотентен.
(b) Для всякого и е ф* (Г, Zp) существует такое к > 0, что
uPh e imp.
332 гл- х- теория когомологий фаррблла
[Таким образом, р есть изоморфизм «с точностью до р-х сте-
степеней». Следуя Квиллену, мы скажем, что р есть F-изоморфизм.]
Доказательство. Прежде всего заметим, что р есть про-
просто краевой гомоморфизм спектральной последовательности 4.1
Н* (Г) -+?? ¦§¦ ?«-*«?* (Г).
Это проверяется посредством прямого сопоставления определе-
определений (см. также упражнение 1 к § VII.7). Напомним, что спект-
спектральная последовательность дает нам фильтрацию
согласованную с ^-умножением (в том смысле, что F'F1 )
Так, ядро предыдущего краевого гомоморфизма есть в точности
FiH*(Y), это показывает, что всякий элемент z^kerp удовлет-
удовлетворяет условию2*е/?*Я*(Г). Но^"Я*(Г) = 0 при fc>dimX, так
что элемент z нильпотентен. Пусть, далее, ве El' • Я утверж-
утверждаю, что d2(up) — 0. Если р и degit нечетны, то это следует из
антикоммутативности (в этом случае цг = 0); в остальных слу-
случаях это вытекает из утверждений (а) и (d) предложения 4.5,
которые дают
<1г(ир) = рир-1<1г{и) = 0,
поскольку модуль коэффициентов есть Zp- Таким образом,
ир е El' . Повторяя это рассуждение нужное количество раз,
мы находим, что uPft(= El+2. Значит, «Phe?»*=imp, если к + 2>
>dimX ?
Замечание. Квиллен доказал в действительности много
более сильное утверждение. Именно, он доказал аналог предло-
предложения 4.6, в котором ф*(Г) определяется в терминах конечных
подгрупп группы Г, которые являются элементарными абелевы-
ми ^-группами.
Упражнение
Пусть К — упорядоченное симплициальное пространство, и пусть С (К) —
его цепной комплекс. В С (К) имеется канонический базис, элементы кото-
которого отвечают наборам (у0, ..., vn) вершин, таким, что {vo, ..., vn} есть п-
симплекс и что v0 < ... < vn. Диагональное отображение Александера —
Уитни Д: С (К) -+С(К) ® С (К) определяется формулой
р=о
Проверьте, что Д есть цепное отображение и что индуцированное им ко-
цепное v^-умпожение ассоциативно и коммутативно с точностью до (кано-
(канонической) гомотопии. [Указание. Гомотопическую коммутативность мож-
можно доказать методом ацикличных моделей. Рассуждать проще всего так. По-
Поскольку пространство К упорядочено, всякий его симплекс может рассма-
рассматриваться как сингулярный симплекс пространства \К\. Таким образом, С (К)
есть подкомплекс сингулярного комплекса С'1ае(К). Теперь рассмотрите
§ 5. КОГОМОЛОГИЧЕСКИ ТРИВИАЛЬНЫЕ МОДУЛИ 333
стандратное доказательство методом ацикличных моделей естественной го-
гомотопической коммутативности отображения Александера — Уитни на
Csing(X) и заметьте, что гомотопию можно построить так, чтобы она пере-
переводила С {К) в С (К) ®С(К).],
§ 5. Когомологически тривиальные модули
Мы по-прежнему предполагаем, что vcd Г = п < <».
5.1. Лемма. Если М — такой Т-модулъ, что H*(G, M) = 0
для всякой конечной подгруппы G группы Г, то Я* (Г, Л/) = 0.
Доказательство. Рассмотрим спектральную последова-
последовательность D.1) и вспомним, что X может быть выбрано таким
образом, что М„ = М при всех о. Из нашего предположения сле-
следует, что начальный член Et спектральной последовательности
равен нулю, а значит, и ее предел Я* (Г, М) равен нулю. П
Мы скажем, что модуль М когомологически тривиален, если
Я* (Г', М) = 0 для всякой подгруппы Г'еГ. Применяя к Г' лем-
лемму 5.1, мы получаем:
5.2. Предложение. Т-модулъ когомологически тривиален
в том и только в том случае, если он когомологически тривиален
как G-модулъ для всякой конечной подгруппы G группы Г.
Таким образом, теория когомологически тривиальных моду-
модулей сводится к случаю, когда группа Г конечна. G помощью это-
этого наблюдения можно, в частности, доказать следующее обобще-
обобщение теорем Рима VI.8.10 и VI.8.12.
5.3. Теорема. Следующие условия на Т-модулъ М эквива-
эквивалентны.
(a) Модуль М когомологически тривиален.
(b) proj dimzr М< п + 1.
(c) proj dimZr M <. оо.
Если эти условия выполнены и модуль М Ъ-свободен, то
proj dimZr М ^.п.
Доказательство. Импликация (Ь) =*¦ (с) тривиальна, им-
импликация (с) =*¦ (а) доказывается точно так же, как подобная
импликация в теореме VI.8.12. Чтобы доказать импликацию
(а)=*»(Ь), предположим сначала, что модуль М Z-свободен, в
каковом случае мы докажем, что proj dimzr M ^ п. Ввиду лем-
леммы VIII.2.1 достаточно показать, что Extr+1(M\ N) = 0 для вся-
всякого Г-модуля N. Более того, беглый взгляд на доказательство
леммы VIII.2.1 показывает, что при этом можно ограничиться
лишь теми модулями N, которые Z- свободны. А в этом случае
мы знаем из леммы VI.8.11, что Г-модуль Нот (М, N) когомоло-
когомологически тривиален над всякой конечной подгруппой группы Г,
значит, модуль Нет (Ж, N) когомологически тривиален в силу
предложения 5.2. Вследствие этого
Extr+1(M, N) = ЯП+1(Г, Нот (If, N)) [в силу предложения
Ш.2.2] = &nfl (Г, Нот(М, N)) [в силу 3.4] = 0.
334 гл- х' ТЕОРИЯ КОГОМ0Л0ГИЙ ФАРРБЛЛА
Если теперь модуль М когомологически тривиален, но не Z- сво-
свободен, выберем короткую точную последовательность 0 -*¦ М' -*¦
-+¦ Р -+¦ М ->- 0 с проективным модулем Р. Тогда модуль М' кого-
когомологически тривиален и Z-свободен, так что proj dim M' *^п в
силу только что доказанного. Следовательно, proj dim M <
Кп+1. ?
Упражнение
Покажите, что следующие условия эквивалентны.
(a) Модуль М когомологически тривиален.
(b) Для любой подгруппы Г'еГ существует такое т, что Н1 (Г', М) =
= 0 при i > т.
(c) Я* (Г', М) = 0 для всякой подгруппы Г' = Г.
(d) Для любой подгруппы Г' = Г существует такое т, что Я,- (I", М) = О
при i > т.
§ 6. Группы с периодическими когомологиями
Говорят, что группа Г конечной виртуальной когомологиче-
когомологической размерности имеет периодические когомологии, если при
некотором d?=0 существует элемент не Hd(Г, Z), обратимый в
кольце Н* (Г, Z). В этом случае «-'-умножение на и определяет
при любом Г-модуле М и любом ieZ изоморфизм периодич-
периодичности
Я'(Г, M)*Hi+i{T, М).
Аналогичным образом мы скажем, что группа Г имеет р-перио-
дические когомологии (где р есть простое число), если р-при-
марная компонента л*(Г, Z)(P). которая сама есть кольцо (см.
упражнение 2 (а) к § VI.5), содержит обратимый элемент нену-
ненулевой степени d. В этом случае имеется изоморфизм
Как в упражнении 2 (Ь) к § VI.5 (см. также упражнение 2
к § 3), мы имеем разложение
где р пробегает такие простые числа, при которых Г обладает
рчкручением. Так как правая часть последней формулы пред-
представляет собой конечное прямое произведение колец, ясно, что
группа Г имеет периодические когомологии в том и только в том
случае, если она имеет р-периодические когомологии при любом
р. Наша цель, как и в предыдущем параграфе, состоит в том,
чтобы свести общий случай к случаю конечной группы Г, уже
разобранному нами в § VI.9. Мы начнем с замечания, что вме-
вместо Н* (Г, Z)(P) иногда бывает удобно использовать Н* (Г, Zp).
Эта замена оправдывается следующим фактом.
§ 6. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ 335
6.1. Предложение. Группа Г в том и только в том слу-
случае имеет р-периодические когомологии, если кольцо Н* (Г, Zp)
содержит обратимый элемент ненулевой степени.
В основе доказательства лежит рассуждение бокштейновско-
го типа. Положим Н(k) = H(T, Zpft). При любых к, I имеет мес-
место каноническая короткая точная последовательность O-*-Zpi->-
-*~Ztrji+r+'Zr,h.-*-0)которая индуцирует когомологическую точную
последовательность
F.2) . .НA)Н(к + 1)^Н(к)^
6.3. Лемма. Если к>1, то $к г есть дифференцирование,
т. е. ^l(uv) = ^hjlu(v) + (-l)ues^Kl(v).
[Правая часть имеет смысл и лежит в НA), поскольку при
к > I определено v^-умножение Н(к)® НA) —*¦ Н{1).]
Доказательство. Выберем полную резольвенту F и диа-
диагональное отображение F -*¦ F<g> F. Легко видеть, что $КС можно
вычислить следующим образом. Для и^Н(к) выберем коцепь
се Жогпт{Р,2), которая после приведения mod/»* превращает-
превращается в коцикл, представляющий и; тогда Ьс делится на рк и 8c/ph
есть коцикл, приведение которого mod/?' представляет $Кt(u).
Формула Лейбница для р\; вытекает теперь из соответствующей
формулы для 6. п
6.4. Лемма. Для любого и<=#A) и любого к>1
uPh e imaft+lii = ker plift.
Доказательство. Прежде всего я утверждаю, что пре
^kerpfcii = imaft+iift для любого и^Н(к). Это вытекает из того
факта, что $kl t есть дифференцирование, область значений кото-
которого Н(\) аннулируется умножением на р (ср. доказательство
предложения 4.6). Таким образом, aA+i, k есть композиция коль-
кольцевых гомоморфизмов
Я(* +l)^±i?tf(fc)-*....-* Я A),
каждый из которых обладает тем свойством, что р-е степени ле-
лежат в его образе. Лемма вытекает отсюда немедленно. П
Пусть теперь Н(оо) = Н*(Т, Z)(Pv Заметим, что точная после-
последовательность вида 6.2 имеется и при I = °° (но к < <»); она по-
получается как р-примарная часть когомологической точной после-
последовательности, ассоциированной с короткой точной последова-
последовательностью
6.5. Лемма. Если к достаточно велико, то imok,1 = imo«|l.
Доказательство. Мы знаем (см. упражнение 2 к § 3),
что при достаточно большом к группа Н(°°) аннулируется ум-
336 гл- х- ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРЕЛЛА
ножением на рк. Поэтому последовательность 6.2 с I = °° при
достаточно большом к доставляет мономорфизм а«,,н' Я(оо)->-
-+Н(к). Но легко видеть, что {}i,fc = ос»,4Si. «,, так что при боль-
большом к имеет место равенство ker Eiifc = ker pt, „. Остается заме-
заметить, что ker Pi, k = im ak+ii 4 и ker j}lf „ = im а„, ь П
6.6. Лемма. Отображение a = 0Coo,i: Я(°°)-»-ЯA) обладает
следующими двумя свойствми.
(a) Каждый элемент ядра ker a нилъпотентен.
(b) Для любого веЯA) существует такое целое число к,
что uPk eima.
[Таким образом, а есть F-изоморфизм в смысле § 4.]
Доказательство. Если ц е ker ос, то последовательность
F.2) с 1 = оо и & = 1 показывает, что и = pv при некотором у ^
еЯ(оо). Следовательно, ц* = p*v* = О при большом fe, так как
Я(о°) аннулируется умножением на некоторое р\ Это дока-
доказывает (а), а (Ь) следует из лемм 6.4 и 6.5.
Доказательство предложения 6.1. Отображение
а: Я(°°)—»-ЯA) есть кольцевой гомоморфизм (переводящий 1
в 1). Это вытекает из того факта, что отображение Я* (Г, Z)->-
-> Я* (Г, ХР) есть кольцевой гомоморфизм, переводящий в 0 все
лримарные компоненты, за исключением Я* (Г, Z)(p)- Таким об-
образом, а переводит обратимые элементы в обратимые элементы,
откуда вытекает часть нашего предложения, утверждающая не-
необходимость. Обратно, предположим, что ЯA) содержит обрати-
обратимый элемент и ненулевой степени. Возводя, если нужно, и в сте-
степень, мы можем предположить (благодаря лемме 6.6 (Ь)), что
и, и е imd. Пусть и = а{и) и 1г = а(г;). Тогда а(мгТ) = 1, так
что из леммы 6.6(а) следует, что uv = 1 —х с нильпотентным х.
Но в этом случае разность 1-х обратима (с обратным 1 + х +
+ хг + ...), а значит, обратим и элемент и, так что Г имеет р-
периодические когомологии. ?
Теперь мы переходим к главному результату этого параграфа.
6.7. Теорема. Следующие условия эквивалентны.
(а) Группа Г имеет р-периодические когомологии.
^ (Ь) Существуют целые числа i и d с d?=0, такие, что
Я1'(Г, М)(Р) « Hi+d(T, М)(р) для любого Т-модуля М.
(c) Всякая конечная подгруппа группы Г имеет р-периоди-
р-периодические когомологии.
(d) Всякая элементарная абелева р-подгруппа группы Г име-
имеет ранг > 1.
Доказательство. Импликация (а)=*-(Ь) тривиальна. Ес-
Если справедливо утверждение (Ь), то это утверждение справед-
справедливо, по лемме Шапиро, и для любой конечной подгруппы груп-
группы Г. Но последнее влечет за собой (с) в силу р-аналога теоре-
теоремы VI.9.1. Поскольку эквивалентность (c)-*=^(d) вытекает из
теоремы VI.9.7, остается доказать, что (с) •*• (а).
§ 6. ГРУППЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОГОМОЛОГИЯМИ 337
Пусть g и Ф*(Г) имеют тот же смысл, что в предложении 4.4
с модулем коэффициентов ZP. Я утверждаю, что если выпол-
выполняется утверждение (с), то существует набор и = (иц)н-%
обратимых элементов %е Н (Я) = Н (Н, ZP), такой, что и е
е^(Г). Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что мно-
множество S распадается на конечное число классов изоморфных
подгрупп; действительно, если Г'еГ — не имеющая кручения
нормальная подгруппа конечного индекса, то всякая группа
Н е5 изоморфна некоторой подгруппе конечной группы Г/Г".
Выберем теперь для каждой группы Яе§ обратимый элемент
vH^H*(H) ненулевой степени йн. В силу предыдущего рассуж-
рассуждения мы можем считать, что различных степеней йя имеется
лишь конечное число. Возводя, если нужно, каждое vB в под-
подходящую степень, мы можем считать, что все числа dH равны
одному и тому же числу d.
Пусть теперь с: Hi -*¦ Нг — вложение одной конечной под-
подгруппы в другую, определяемое сопряжением посредством не-
некоторого элемента группы Г. Тогда vh1 и^с*ь>н — Две образую-
образующие циклической группы Hd(Hi)&#°(#i), ввиду чегоc*Vhz = %vb1
для некоторого ненулевого скаляра X е ZP. Так как Хр~' = 1,
отсюда вытекает, что vfTx = (c*vs )p-1 = с* (vh )p~x. Таким
образом, если мы положим ин = v^f , го мы будем иметь (ив) е
^ф*(Г). Ясно, что (ин1) также содержится в ф*(Г), так что
ф*(Г) содержит обратимый элемент ненулевой степени. Ввиду
наличия F-изоморфизма Н*(Т)-*- $*(Т) (см. предложение 4.6),
отсюда вытекает (точно так же, как в доказательстве предло-
предложения 6.1), что Н* (Г) = Н* (Г, ZP) также содержит обрати-
обратимый элемент ненулевой степени. П
Замечание. Ослабленный вариант импликации (с) =*¦ (а)
был доказан Венковым [1965], но не на языке когомологий Фар-
релла: Венков говорил о периодичности обычных когомологий в
достаточно высоких размерностях. Переведенный на язык кого-
когомологий Фаррелла, его результат выглядит так: если Hd(T) со-
содержит элемент и, образ которого в Hd(H) обратим для любой
группы //eg, то элемент и обратим. (Его доказательство, по-
подобно нашему, было основано на !мультишгакативной структуре
спектральной последовательности 4.1.) Е\цинствеиное, чего не
хватило Венкову для перехода от его результата к теореме 6.7,—
это наблюдение Квиллена 4.6.
Упражнение
Покажите, что если выполняется утверждение 6.7 (Ь) и изоморфизм из
этого утверждения является естественным, то И* (Г, Т)^ содержит об-
обратимый элемент степени d. [Указание. Благодаря сдвигу размерностей
22 к. С. Браун
338 гл- х- теория когомологий фарредла
изоморфизмы 6.7 (Ь) будут иметь место при всех i и будут согласованы со
связывающими гомоморфизмами. Покажите, что композиция Я1-»- -й|р)-»-
-+fi*p-)d непременно равна (с точностью до знака) v^-умножению на образ
единицы 1 е Н0.]
§ 7. Я* (Г) и упорядоченное множество
конечных подгрупп группы Г
В этом параграфе мы докажем для когомологяй Фаррелла
аналоги теорем IX.11.1 и IX.13.1.
Если группа Г действует в частично упорядоченном множе-
множестве S, для которого пространство 151 конечномерно, то мы по-
полагаем
Как обычно, подразумевается, что задан произвольный Г-модуль
коэффициентов. Напомним, что для любого конечномерного кле-
клеточного Г-пространства имеется каноническое отображение
индуцированное отображением X -> pt.
7.1. Теорема. Пусть Г — группа с vcdr<°°, и пусть S —
множество нетривиальных конечных подгрупп группы Г. Тогда
каноническое отображение
является изоморфизмом.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы IX.11.1,
предположим, что X есть конечномерное стягиваемое допусти-
допустимое собственное клеточное Г-пространство со стягиваемыми мно-
множествами неподвижных точек Xя (Я ^ S). Положим Хо =
= U на s ХН. Тогда
~Н* (Г)« Яг (X) [так как X стягиваемо] ж
fa Яг {Хо) [так как Г свободно действует в Л* — Хо (ср. VII. 10.1)] «
«Яг(S) [в силу IX.11.2].
Чтобы убедиться в том, что составной ^изоморфизм совпадает с
каноническим изоморфизмом Я* (Г)-+¦ Яг (S), рассмотрим диа-
диаграмму
§ 7. 5* (Г) И КОНЕЧНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ Г 339
в которой все отображения, исходящие из Я*(Г), являются ка-
каноническими. Левый треугольник коммутативен по очевидным
причинам. Чтобы убедиться в коммутативности правого тре-
треугольника, мы должны вернуться к лемме IX.11.2 и заметить,
что, в обозначениях последней, коммутативен квадрат
С -
\ I
C(Z)->C(pt).
Это легко проверяется. Таким образом, диаграмма (*) комму-
коммутативна, откуда и следует наша теорема. ?
Подобно тому, как это было в гл. IX, более полезным оказы-
оказывается р-локальный вариант теоремы 7.1. Его доказательство ос-
основано на следующем аналоге предложения IX.11.5.
7.2. Предложение. Пусть Z — конечномерное допустимое
клеточное Т-пространство, и пусть р — такое простое число, что
пространство ZH ациклично для всякой нетривиальной конечной
р-подгруппы группы Г. Тогда каноническое отображение
является изоморфизмом.
Доказательство. Предположим сначала, что всякая ко-
конечная подгруппа группы Г является р-группой. Тоща мы мо-
можем применить метод доказательства теоремы 7.1 к действию
группы Г в IXZ (где X обозначает то же, что выше) и полу-
получить изоморфизм Нт (XxZ)« Hr (S)% такой, что треугольник
Я"(Г)
коммутативен. G другой стороны, проекция XXZ—>-Z достав-
доставляет коммутативный треугольник
Н*(Т)
H*{Z)
Таким образом, в рассматриваемом случае
В общем случае выберем в Г такую подгруппу Г' конечного
индекса, взаимно простого с р, что всякая ее конечная подгруп-
подгруппа является р-группой (ср. доказательство леммы IX.9.2). Обыч-
22*
340 Гл- Х- ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ ФАРРЕЛЛА
ным образом используя отображения высечения и трансфера
(см. § ШЛО), мы получаем (при любам W) естественное вло-
вложение Hr(W)(P) в Щч (W) в качестве прямого слагаемого.
В частности, полагая W = Z и W = pt, мы находим, что кано-
каноническое отображение
является прямым слагаемым канонического отображения
Поскольку последдее является, в силу сказанного выше, изо-
изоморфизмом, первое также является изоморфизмом. О
Теперь мы можем доказать главное утверждение этого пара-
параграфа.
7.3. Теорема. Пусть Г — такая группа, что vcd Г < °°,
пусть р — простое число, и пусть s4- — упорядоченное множе-
множество нетривиальных элементарных абелевых р-подгрупп группы
Г. Тогда естественное отображение
является изоморфизмом.
Для доказательства достаточно применить предложение 7.2
к 2— \$Ф\ (ср. доказательство теоремы IX.13.1). П
Устройство Нт {•&) особенно легко понять в случае, когда
пространство $Ф дискретно. В этом случае теорема 7.3 дает:
7.4. Следствие. Предположим, что всякая элементарная
абелева р-подгруппа группы Г имеет ранг ^1. Тогда
H*(N(P))(ph
где 0* есть множество представителей классов сопряженных под-
подгрупп порядка р группы Г.
Конкретный пример, в котором следствие 7.4 приводит к яв-
явному когомологическому вычислению, можно найти в статье Бра-
Брауна [1976]. (Это вычисление, относящееся к группе Г = SL3(?),
было проделано ранее другим способом Суле [1978].) Пример
применения теоремы 7.3 в ситуации, когда dim s4- > 0, имеется
в статье Брауна [1979]. В этой статье Г = SL3(Z[l/2]),
р = 2 и dim ,5$ = 1.
Замечание. Так как Н1 (Г) = Я1 (Г) при i> vcd Г, канони-
каноническое отображение
§ 7. Н*(Г) И КОНЕЧНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ Г 341
является изоморфизмом при i > vcd Г в предположениях след-
следствия 7.4. Естественно спросить, по аналогии с подобной ситуа-
ситуацией в алгебраической топологии, будет ли это отображение эпи-
морфным при i = vcd Г? Можно показать, что этот вопрос, от-
ответ на который не известен, тесно связан с поставленным в
§ VIII.И вопросом, всегда ли существует собственное стягивае-
стягиваемое клеточное Г-пространство размерности vcd Г?
Упражнение
Покажите, что компонентами изоморфизма 7.4 служат сужения
H*(T)ip)-*H*{N(P))ip).
ДОБАВЛЕНИЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Д. Б. Фукс
Связь теории когомологий групп с топологией представлена в книге
К. Брауна лишь различными вариантами равенства H*(G) = H*(K(G, 1)).
Читатель пмел много возможностей убедиться в том, что это равенство
чрезвычайно полезно для теории когомологий групп, поскольку оно позво-
позволяет привлечь к ней топологическую интуицию и известный круг тополо-
топологических теорем. В настоящем Добавлении пойдет речь о связях иного ро-
рода, позволяющих эксплуатировать идеи и результаты теории когомологий
групп в топологии, а также в геометрии, теории представлений и даже
теоретической физике. Более точно, мы расскажем о некоторых специфиче-
специфических теориях когомологий, связанных с топологическими группами (или
даже более узко — с группами Ли). Находясь в различных степенях род-
родства с теорией, составляющей основное содержание этой книги, они свя-
связаны с ней — и между собой — естественными отображениями и спектраль-
спектральными последовательностями, и это позволяет рассматривать их как единый
комплекс. В то же время они непосредственно участвуют в различных фун-
фундаментальных топологических и геометрических конструкциях, что способ-
способствует лучшему их пониманию и делает их особенно интересными.
Доказательства в Добавлении только намечены. Вообще оно паписано
примерно в том стиле, в каком в основном тексте книги написаны упраж-
упражнения. Поэтому собственно упражнений в Добавлении пет: читатель и так
найдет в нем достаточный материал для самостоятельной работы.
§ 1. Топологические когомологий
В дальнейшем G обозначает топологическую группу. (Если группа G не
имеет явно заданной топологии, то мы считаем ее наделенной дискретной
топологией.) Гомологии и когомологий группы G как топологического про-
пространства с коэффициентами в абелевой группе М мы будем обозначать
через #*ор (G, М) и #*ор (G, М). [В противоположность этому, гомоло-
гомологии и когомологий, определенные в главах II и III, мы будем иногда обо-
обозначать символами #*'g и #*ig.] Если группа G дискретна, то топо-
топологические гомологии и когомологий не представляют большого интереса:
в этом случае всегда #*ор (G, М) = #?ор (G, М) = О при q > 0, и если
М есть Z или поле к, то #JOp (G, М) есть, соответственно, ZG или kG.
Большее сходство с гомологиями и когомологиями группы в смысле
глав II и III проявляют топологические гомологии и когомологий ее класси-
классифицирующего пространства. Напомним, что для любой топологической
группы G существует главное G-расслоение Х -*¦ Y, у которого база Y кле-
точна, а тотальное пространство X асферично; такое расслоение и, в част-
частности, его база, единственно с точностью до гомотопической эквивалентно-
эквивалентности (см. Рохлин — Фукс [1977], §§ 4.4 и 5.6). Расслоение с указанными
свойствами называется универсальным для группы G, а база универсально-
универсального расслоения называется классифицирующим пространством для группы
G. Для классифицирующего пространства мы будем использовать символ
BG, для универсального расслоения — символ ug- Значение универсальных
расслоений и классифицирующих пространств для топологии определяется
следующим фактом (см. Рохлин —Фукс [1977], 4.4.2.2 и 5.6.1.5).
ДОБАВЛЕНИЕ 343
1.1. Теорема. Для любого главного G-расслоения | с клеточной ба-
базой существует единственное, с точностью до гомотопии, отображение
^ —*¦ uq. Эквивалентная формулировка: для любого клеточного пространства
X сопоставление [/] i— f*uG определяет взаимно однозначное соответствие
между гомотопическими классами отображений /: X-+BG и классами эк-
эквивалентных главных G-расслоений с базой X.
Вторую теорию когомологии, ассоциированных с топологической груп-
группой, составляют когомологии H*(BG) пространства BG. Важность этих ко-
когомологии в топологии проистекает из теоремы 1.1, которая позволяет ин-
интерпретировать их как характеристические классы главных G-расслоений
(см. ниже § 7). [Для экономии места мы будем в дальнейшем говорить
почти исключительно о когомологиях, хотя многие наши результаты пере-
переносятся на гомологии почти дословно.]
Связь когомологии пространства BG с -й^Ор (G) осуществляется спек-
спектральной последовательностью расслоения ug, которая имеет вид
A.2) H*(BG)®HtQV(G)^Q.
В то же время когомологии пространства BG гораздо более тесно, чем
#*op(G), связаны с #*lg(G). Простешей иллюстрацией этой связи слу-
служит следующий очевидный факт.
1.3. Предложение. Если группа G дискретна, то BG = K(G, 1).
Доказательство: универсальная накрывающая X над K(G, ^-про-
^-пространством Y асферична (см. § 1.4), и потому универсальное накрытие
X -> Y является универсальным расслоением (если пространство Y кле-
точно).
1.4. Следствие. Если G — топологическая группа и М—абелева
группа, расматриваемая как тривиальный G-модуль, то
#*lg(G, М) к Н* (BG, M).
Это следует из предложений 1.3 и П.4.1.
Следствие 1.4 показывает, что когомологии H*(BG) можно рассматри-
рассматривать как обобщение (имея в виду дальнейшее, лучше сказать «как одно из
возможных обобщений») когомологии группы G на топологический случай.
Это высказывание подтверждается еще тем, что для произвольной тополо-
топологической группы G существует процедура вычисления H*(BG), обобщаю-
обобщающая процедуру вычисления Ha\g (G) при помощи бар-резольвенты (см.
§ 1.5). Этим обобщепием служит спектральная последовательность Эйлен-
берга — Мура [1966], свойства которой перечисляются в следующей тео-
теореме.
1.5. Теорема. Для любой топологической группы G существует спек-
спектральная последовательность, предельный член которой присоединен к
H*(BG, M) и у которой
Р+1
El* = Я» (GP, M), d,™ = j (~ 1){«,,
г=о
где Gv обозначает р-ю декартову степень группы G, а 3,- обозначает отобра-
отображение Gp+l -»-Gp, определяемое формулами
do(gi, •••, gp+\) = (g2, ..
di(gi, ..., gv+i) = (Si, •••> Sigi+u ..., gp+i) (i = 1, ...,/>),
dp+i(gu •••, gp+i) = {gu •••. gp)-
Если группа G дискретна, то Е\л — 0 при q > 0, а Е\'° и df'0 пред-
представляют собой не что иное, как O>(G, M) и б: O>(G, M) ->-Cp+i(G, М) (см.
344
Д. Б. ФУКС
пример 3 в § Ш.1), где М рассматривается как G-ыодуль с тривиальным
действием группы G.
Спектральную последовательность Эйленберга — Мура проще всего по-
построить при помощи конкретной реализации универсального расслоения
и0, принадлежащей Милнору (см. Рохлин — Фукс [1977], § 4.4). В конст-
конструкции Милнора BG представляет собой геометрическую реализацию полу-
симшшциального объекта
pt Цв^в2^...
категории топологических пространств, где операторы грани Gp+1 -*• G? —
это в точности операторы дг из теоремы 1.5.
В заключение параграфа мы приведем результаты вычисления когомо-
логий #*ор (G) и H*(BG) с вещественными коэффициентами для одно-
связных (или имеющих конечную фундаментальную группу) компактных
вещественных групп Ли.
Пусть G — такая группа, g — соответствующая алгебра Ли, ф — карта-
новская подалгебра алгебры Ли g, W — группа Вейля, соответствующая G.
Напомним, что группа G действует посредством автоморфизмов в алгебре g
(присоединенное представление), а группа W действует в I).
1.6. Определение. Пусть д —алгебра Ли одного из типов Ai, Bi, Ci,
Dh G2, Ft, Ee, E7, Et. Показателями алгебры g ') называются положитель-
положительные целые числа di, ..., di (I = рапг алгебры g = размерность алгебры
% = нижний индекс в обозначении для типа алгебры), указанные в следу-
следующей таблице (в первом столбце указаны классические компактные груп-
группы Ли, соответствующие алгебре д):
A,
Bi
C,
D,
G
SU(l +
SO B1
SpBl)
SO B1)
1)
-1)
<*i
1,
1,
1,
1,
3,
3,
3,
.., di
,1
21
...,2l-
97
l
l
з, г —l
a
G2
Ее
E7
Es
d,
1,
1,
1,
1,
1,
, •
5
5,
4,
5,
7,
.., d,
7, 11
5, 7,
7,9,
11,13,
8,
11,
17
11
13,
19,
17 2)
23,29
В нижеследующей формулировке S н Л обозначают стандартные опе-
операции линейной алгебры: переход к симметрической и внешней алгебре.
1.7. Теорема, (а) Алгебра S*(t))w симметричных W-инвариантов
пространства 5 есть алгебра вещественных полиномов от I переменных сте-
степеней di + 1 (i = 1, ...,/).
(b) Алгебра S* (g)" симметрических ^-инвариантов пространства g так-
также есть алгебра полиномов от I переменных степеней di + 1 (i = 1, ..., I).
(c) Алгебра Л* (д)" кососимметрических %-инвариантов пространства
д есть внешняя алгебра от I образующих степеней 2d{ +1 (i = 1, .., I).
(d) Алгебра ^top (G, К) также есть внешняя алгебра от I образую-
образующих степеней 2d{ + 1 A = 1,..., /).
') Мы вынуждены пользоваться не совсем правильной терминологией.
Обычно показатели ассоциируются не с алгебрами Ли, а с дискретными
группами, порожденными отражениями, и числа, указанные в таблице, яв-
являются в действительности показателями соответствующей группы Вейля.
г) Ср. с предпоследним абзацем § IX.8.
ДОБАВЛЕНИЕ 345
е) Алгебра H*(BG, R) есть алгебра полиномов от I переменных сте-
степеней 2d< + 2 {I = 1, ...,/).
Доказательство утверждений (а) —(с) см. в книге Дпксмье [1974], до-
доказательство утверждений (d) п (е) см. в статье Бореля [1953].
§ 2. Когомолопш алгебр Лп
Пусть g — произвольная алгебра Ли над полем к характеристики 0;
операция в g обозначается квадратными скобками. Пусть, далее, Ж —про-
—произвольный g-модуль, т. е. линейное пространство над к с заданным линей-
линейным отображением г: g -*¦ End M, удовлетворяющим аксиоме
r([gi, gil) =r(gi) °r(g2)—r(g2) °r{gi).
Запись r(g)m, где geg и m <= M, всегда сокращается до gm.
Когомологпи алгебры Ли g с коэффициентами в М определяются по хо-
хорошо известной нам схеме (см. гл. III), в частности, они имеют несколько
равносильных определений. Например, мы можем задать проективную
резольвенту
одномерного тривиального g-модуля к н определить когомологии #*(g, M)
как когомологин коцепного комплекса
... 4i Homg (Pv М)"ч±- Homfl (Ро, И), в, = Homfl (*,, id M).
Мы будем, однако, всегда использовать стандартную резольвенту (анало-
(аналогичную стандратпой резольвенте из § 1.5), и это позволяет нам дать
совершенно конкретное описание стандартного цоцепного комплекса
{СЦ&, М), Щ:
С«(в, М) =Homk(A«g, M)
(т. е. коцепи из С«(д, М)—это д-линейные кососимметрпческпе функции
па д со значениями в М) и
&c(gv ...,*,«) =
Х о ([gs, gt\, gv ... gt ... ft ..., gq+1) +
(если действие алгебры Ли д в М тривиально, то второе слагаемое пропа-
пропадает).
Таким образом,
, кег [8": С* (g, M) -* C«+1 (g, M)]
" 18' Щ im [б9: С«-х (д, М) + С«(д, М)]"
В случае М — k обозначения С9 (д, М), Я' (д, М) и т. д. сокращаются до
С«@),Я«(8) и т. д.
Если Ж есть коммутативная д-алгебра (т. е. коммутативная алгебра над
к, в которой д действует посредством дифференцирований), то стандартный
346 Д Б- ФУКС
коцепной комплекс наделяется мультипликативной структурой:
с'с* (в е \ —
Kil<...<ip^p+q *¦ г р>
6 (c'c") = Fc') c" + (- if с' (бе").
В этом случае Я*(д, Ж) есть косокоммутатпвная градуированная А'-алгебра.
Все эти определения, в принципе, приложимы как к конечномерным,
так и к бесконечномерным алгебрам Ли. Однако па практике бесконечно-
бесконечномерные алгебры Ли над R или С редко появляются без дополнительной
структуры — топологии. [Примеры: алгебра Ли векторных полей класса С°°
на С°°-многообразни естественно наделяется С™-топологиеп; алгебра Ли
формальных векторных полей в К™ или Сп естественно наделяется топо-
топологией проективного предела.] Топологическими являются и наболее ес-
естественные модули над такими алгебрами Ли. В соответствии с этим мы
всегда будем суживать стандартный копцепной комплекс бесконечномерной
алгебры Ли, ограничиваясь пространствами С-? (g, M) непрерывных ко-
коцепей. Очевидно, 69(С^(д, М))с С«+1(д, М) п С?(д, М) С?(д, Л/)ССр+9(д, М),
так что в стандартном концепном комплексе выделяется мультипликатив-
мультипликативный в мультипликативном случае подкомплекс, и, говоря о когомологиях
алгебры Ли g с коэффициентами в М, мы, как правило, будем иметь в виду
его ко гомологии Нс (g, M), Впрочем, акцентировать па этом внимание бы-
было бы преждевременно: систематическое внедрение непрерывности в коцеп-
ные комплексы мы начнем в следующем параграфе.
Теория когомологий алгебр Ли (включая ее непрерывный вариапт) со*
вершешю параллельна теории когомолопш групп. В частности, естествен-
естественное действие алгебры Ли в ее коцепях всегда индуцирует тривиальное дей-
действие в когомологиях (ср. предложение III.8.1); справедлив аналог леммы
Шапиро (ср. предложение III.6.2; для Ь-модуля М, где Ь — подалгебра алгеб-
алгебры Ли д, индуцированный и коиндуцированный g-модули Ind.Af и Coind?Af
определяются, соответственно, как М ®„/»\ V (д) и Нот «> (V (д), М), где
U обозначает «универсальную обертывающую алгебру»); имеется аналог
спектральной последовательности Серра — Хохшилда (ср. теорему VII.6.3)
и т. д. Мы не останавливаемся на всем этом, отсылая читателя к книгам
Картана — Эйленберга [1956], гл. XIII, пли Фукса [1984], гл. I. Вместо это-
этого мы рассмотрим одну вполне конкретную интерпретацию коцепного ком-
комплекса алгебры Ли, ассоциированной с конечномерной вещественной или
комплексной группой Ли.
Итак, предположим, что к= К илп С, что dim g < оо и что алгебра Ли
g ассоциирована с группой Ли G. Как это принято, мы отождествляем g с
касательным пространством T\G к G в единице. Группа G действует в себе
посредством правых сдвигов, и это действие индуцирует действие в дера-
мовском комплексе Q*G fc-значных дифференциальных форм класса С°°.
Инвариантные относительно этого действия формы (как говорят, правоии-
вариаптпые формы) составляют подкомплекс (Q*G)G комплекса Й*С.
2.1. Предложение. Отображения
(Q'G)G BB^ial^Ge Нот (л9 G^6), к) = Cq (g)
составляют мультипликативный игоморфизм
(Q*G)« « С*(в).
ДОБАВЛЕНИЕ 347
Это доказывается прямым сопоставлением определений.
Композиция изоморфизма, обратного к изоморфизму предложения 2.1,
с включением (Q*G)G-»-Q*G представляет собой мультипликативный гомо-
гомоморфизм
B.2) C*(g)->Q*G.
[Прямое описание этого гомоморфизма таково: коцепь алгебры g есть внеш-
внешняя форма на T\G; эта форма разносится правыми сдвигами по всей груп-
группе G, и получается форма из (Q*G)GsQ*G.] Гомоморфизм B.2) индуциру-
индуцирует мультипликативный гомоморфизм
B.3) Я* (о) ¦* Я?ор (G, R).
2.4. Теорема. Если группа G компактна, то гомоморфизм B.3) явля-
является изоморфизмом. Таким образом, в этом случае имеет место кольцевой
изоморфизм
#*(8)«#t*op(G, R).
Доказательство заключается в построении, при помощи стандартного
усреднения по G, гомоморфизма Q*G->- (Q*G)G, гомотопически обратного к
включению (Q*G)G->-?2*G (см. Фукс [1984], § 2.1).
Теорема 2.4 удовлетворительно решает проблему вычисления когомоло-
гий с тривиальными коэффициентами произвольной полупростой (или даже
редуктивной) вещественной или комплексной алгебры Ли. Этому способ-
способствуют утверждение (d) теоремы 1.7, а также следующие два факта, из
которых первый очевиден, а второй хорошо известен (см., например, се-
семинар «Софус Ли» [1954/55], гл. 9):
2.5. Для любой вещественной алгебры Ли д имеет место мультиплика-
мультипликативный изоморфизм
Я* (д) ® С « Я* (д ® С)
(более того, Я* (д, М) ®Ся! Н* (д §9 С? М ® С) для любого ^-модуля М).
2.6. Для любой редуктивной (в частности, полупростой) вещественной
алгебры Ли д существует компактная (т. е. ассоциированная с компактной
группой Ли) вещественная алгебра Ли д (называемая компактной формой
алгебры д), такая, что
д ® С«д ® С.
Из утверждений 2.4—2.6 вытекает следующий полезный факт.
2.7. Теорема. Пусть д — вещественная редуктивная алгебра Ли, G —
соответствующая группа Ли, U — связная группа Ли, отвечающая компакт-
компактной форме д алгебры Ли д (группу G называют компактной формой груп-
группы G). Тогда
я*(в)«я*ор(е, к).
Укажем на еще одно важное следствие утверждений 2.4—2.6.
2.8. Теорема. Если д — комплексная полупростая алгебра Ли и G —
соответствующая связная группа Ли, то гомоморфизм B.3) является изо-
изоморфизмом, так что
Я* (д) » Я*ор (G, С).
Пример. Предположим, что мы хотим найти когомологии с тривиаль-
тривиальными коэффициентами алгебры Ли si (re, R) вещественных re X re-матриц
со следом 0. Компактной формой этой алгебры служит алгебра Ли ги(ге)
косоэрмитовых матриц со следом 0: комплексификация той и другой алгеб-
алгебры есть &(п, С). Алгебре Ли su(re) отвечает группа Ли SU(n). Таким
348
Д. Б. ФУКС
образом, в силу теоремы 2.7
Н*(Л(п, Щ & H*op(SU (и), К),
и теорема 1.7(d) позволяет придать этому результату конкретную форму:
Я* (Л (re, R)) есть внешняя алгебра от п — 1 образующих размерностей
3, 5, ..., 2п — 1. После этого утверждение 2.5 позволяет найти и когомоло-
гии комплексной алгебры Ли Н* (з1 (п, С)): они также изоморфны внеш-
внешней алгебре (но уже над С) от образующих размерностей 3, 5, ..., 2п — 1.
Впрочем, последний результат (а через него — и предыдущий) можно вы-
вывести и из теоремы 2.8.
Что касается когомологий с нетривиальными коэффициентами, то дело
с ними обстоит еще проще (по крайней мере, если модуль коэффициентов
конечномерен,—см. Фукс [1984], § 2.1, и семинар «Софус Ли» [1954/55],
гл. 5).
2.9. Теорема. Если М есть нетривиальный неприводимый конечно-
конечномерный модуль над простой вещественной или комплексной алгеброй Ли д,
то #*(д, М) =0. Более того, если М— произвольный конечномерный мо-
модуль над редуктивной алгеброй Ли д, то
В*(Ъ,М) «Я*(д) ®Ма,
где М°, как обычно, обозначает пространство инвариантов модуля М.
Многое известно о когомологиях нередуктивных конечпомерных алгебр
Ли. Например, важные результаты о когомологиях нильпотентных алгебр
Ли содержит статья Ботта [1957] (см. также Костант [1961]).
Информацию о когомологиях бесконечномерных алгебр Ли см. в книге
Фукса [1984]. Мы приведем здесь несколько типичных результатов, которые
будут использоваться в последующих примерах.
2.10. Теор ем а. (Гельфанд — Фукс [1968]). Алгебра когомологий ал-
алгебры Ли VectiS1 векторных полей класса С°° на окружности (наделенной
С°°-топологией) с коэффициентами в R есть свободная косокоммутативная
алгебра с двумя образующими размерностей 2 и 3. Образующие представ-
представляются коциклами
А, g(<?)±, fe(cp)A)^ Г
/ (ф)
/'(Ф)
/"(ф)
g (ф)
h (ф)
А'(ф)
где ф — угловой параметр на окружности.
2.11. Теорема. Алгебра когомологий алгебры Ли (вещественных или
комплексных) формальных векторных полей на прямой (наделенной топо-
топологией проективного предела) совпадает с алгеброй когомологий трехмер-
трехмерной сферы. Трехмерный класс когомологий представляется коциклом
d V с хп d
п=о
Пусть теперь g — вещественная алгебра Ли (скажем, конечномерная) и
X — гладкое многообразие. Пространство дх С*-функций на X со значени-
значениями в д обладает естественной структурой алгебры Лп: [/, g] (x) = [}(х),
g(x)] при /, jee1, ie! Эта алгебра Ли называется алгеброй токов; она
наделяется С°°-топологией. Когомологий алгебр токов с тривиальными коэф-
ДОБАВЛЕНИЕ 349
фициентами изучались Фейгииым [1980]. Оказалось, что при dimZ>l
эти когомологии чересчур обширны, но при dim X = 1 вычислять их не
труднее, чем когомологии самой алгебры д:
2.12. Теорема. Пусть g — дедуктивная вещественная алгебра Ли,
G — соответствующая связная группа Ли, G — компактная форма группы
G. Если группа G компактна, то гомоморфизм B.3)
Я* (gsl) ч- Я*ор (Gs\ r)
является изоморфизмом. В общем случае
\GS , G — пространства гладких отображений Sl-*-G, S1—>-(?.)
Замечание. Круг алгебр Ли, для которых нам известно, что гомо-
гомоморфизм B.3) является изоморфизмом, выглядит довольно пестро: компакт-
компактные вещественные алгебры Ли; полупростые комплексные алгебры Ли; ал-
алгебры токов вида gs , где g — компактная вещественная алгебра Ли.
В заключение параграфа мы коротоко обсудим относительные когомо-
когомологии. Пусть Ь — произвольная подалгебра алгебры Ли g и М — некото-
некоторый ^-модуль. Обозначим через Cg(g, $; М) подпространство простран-
пространства C«(g, M), составленное из таких коцепей с, что c(gi, ..., gg) = 0
и 6с(gh ..., gq+t) = 0 при gi е &. Эквивалентное описание: С4 (д, I>; M) =
= Нот» (Л9(дД|), Af) (эквивалентность очевидна). Легкая проверка пока-
показывает, что б(С'(д, Ъ; М)) ?(?'+'(д, &; М) и что в мультипликативном слу-
случае С^д, Ъ; М)Сч(%, 5; М) sCP+9(g, %\ М), так что С*(д, 5; М) есть (мульти-
(мультипликативный) подкомплекс комплекса C*(g, M). Его когомологии обознача-
обозначаются через Я*(д, d; M).
Небольшое (но важное для нас) обобщение этого определения. Предпо-
Предположим, что % есть алгебра Ли (копечномерной) группы Ли Н и что дейст-
действия алгебры Ли Ь в g и в М являются дифференциалами некоторых дей-
действий группы Н в g и в М, причем действие Н в g является продолжением
присоединенного представления Я в $. Тогда, полагая, С«(д, Я; М) =
= HomH(A«(g/fc), M), мы выделяем в C*(g, M) еще один (мультипликатив-
(мультипликативный в мультипликативном случае) подкомплекс, когомологии которого обо-
обозначаются через Я*(д, И; М). Очевидно, если группа Я связпа, то
Я*(д, Я; М) «=Д*(д,1;ДГ).
На относительный случай обобщаются теоремы 2.4 и 2.7:
2.13. Теорема, (а) Если д — алгебра Ли связной компактной группы
Ли G и Н — алгебра Ли ее связной компактной подгрупп/л 5, то
Я* (д, 5) = Я* (д, Я) « Н* (G/H, К).
(Ь) Если д — редуктивная алгебра Ли, отвечающая группе Ли G, ^ —
алгебра Ли связной компактной подгруппы Я группы G и G — компактная
форма группы G, то Н естественно вкладывается в G и
Н* (д, 5) = Я* (G/H, R).
[Можно доказать и обобщение теоремы 2.7, включающее однородное
пространство GJH, но нам это обобщение не понадобится.]
§ 3. Непрерывные когомологии топологических групп
Напомним, что когомологии группы G с коэффициентами в G-модуле М
могут быть определены как когомологии стандартного коцепного комплек-
комплекса, который имеет два эквивалентных задания (см. § Н.З и § III.1, при-
пример 3). Первое заключается в том, что за Cq(G, M) принимается множество
всех G-отображений Gi+1->-M и дифференциал 6: Ci(G, M)-+C*+lLG, M)
350 Д Б-
определяется формулой
9+2
C.1) &c(gv .... gq+2)= 2 (-iI^*!. • •¦?••- y9+l).
i=l
а второе состоит в том, что за Cq(G, M) принимается множество всех (не
обязательно G-) отображений С-^-М и дифференциал б: C«(G, М) -*¦
->C«+1(G, M) определяется формулой
C.2) вс (*х, ..., *9+1)=*i« (*я *в+1) +
Предположим теперь, что G есть топологическая группа, а М есть то-
топологический G-модуль (последнее означает, что отображение Gy^M-^-M,
(g, m) 1- gm, непрерывно). Тогда в стандартном комплексе выделяется под-
подкомплекс непрерывных коцепей: на коцепи G'+'-vJl/ или Gi-*-M (эти две
возможности эквивалентны) накладывается условие непрерывности.
3.3. Определение. Когомологии комплекса ' CC(G, M) непрерыв-
непрерывных коцепей называются непрерывными или ванэстовскими ') когомологи-
ями группы G с коэффициентами в М. Обозначения: Ha]g с (О,' М) или
H*C(G,M).
Так как, очевидно, для дискретной группы G и дискретного G-модуля М
H*algc(G, M) = H*(G, M),
непрерывные когомологии тоже можно считать (наряду с когомологиями
пространства BG — ср. следствие 1.4 и комментарии к нему) обобщением
на топологический случай обычных когомологии группы.
Если G есть (вещественная или комплексная) группа Ли и М есть G-
модуль класса С°°, то у пас появляется дополнительная возможность огра-
ограничиться С°°-коцепями. Как оказывается, в важнейших случаях (например,
в случае dim G < оо, dim М < оо) эта замена не сказывается па когомоло-
гиях (см. Гишарде [1980], М. Мостов [1976]). Мы не будем заниматься вы-
выяснением подробностей, но примем следующее
3.4. Соглашение. Если G есть группа Ли и М есть G-модуль клас-
класса С°°, то обозначения и названия из определения 3.3 мы без всяких огово-
оговорок будем относить к С°°-коцепям и соответствующим когомологиям.
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда G есть вещественная
группа Ли (для начала — конечномерная). В этом случае когомологпи
Н*с (G, М) оказываются тесно связанными с когомологиями алгебры Ли д,
ассоциированной с G. Именно, как это хорошо известно, модуль М является
в этом случае и g-модулем, и естественным образом определяется (мульти-
(мультипликативное в мультипликативном случае) отображение
C.5) H*(G, М) + Н*(в, М):
коцепи с: Ga+t->-M из C^(G, M) ставится в соответствие коцепь
определяемая формулой
') Ван Эст [1953] был первым, кто изучал непрерывные когомологии
групп; ему принадлежит доказываемое ниже следствие 3.12.
ДОБАВЛЕНИЕ 351
где ехр — экспоненциальное отображение g -> G (перестановочность с диф-
дифференциалом подтверждается прямой проверкой).
Ниже мы ограничимся, для простоты, изучением случая, когда областью
коэффициентов служит одномерный тривиальный модуль R; указание на
коэффициенты в этом случае из обозначений изгоняется.
Оказывается, что когомологии Щ (G) измеряют степень неизоморфно-
неизоморфности гомоморфизма B.3). Точный смысл этому высказыванию придает сле-
следующая спектральная последовательность Хохшилда—Мостова.
3.6. Теорема. Существует мультипликативная спектральная последо-
последовательность [Е™, d™: E™+E^r<q-r+1}, у которой:
(a) Е\л = H%lgc (G) ® Я?ор (G);
(b) член .Ей, присоединен к Н*(д);
(c) каноническое отображение Я9 (g) -*¦ Е^я -»- Е\А = #j?op (G) совпада-
совпадает с гомоморфизмом B.3);
(d) каноническое отображение Я? (G) = Е%'0-*- Е^п ->- Нр (%) совпадает
с гомоморфизмом C.5).
Построение спектральной последовательности Хохшилда — Мостова
производится стандартным образом при помощи двойного комплекса (см.
§ VII.3)
C.7) C™ = Cpc(
где Q«G есть G-модуль дифференциальных g-форм (класса С°°) па G (дей-
(действие группы G в Q«G индуцируется правыми сдвигами: g<o =Д* _х<о).
Первая спектральная последовательность двойного комплекса 3.7 — это и
есть спектральная последовательность Хохшилда — Мостова. У нее
Ц* = Cl (G, Я«ор (О) = Cl (G) ® Я?ор (G),
госкольку G-модуль Hiov (G) тривиален,
= {б: Cl (G) -> C?+1 (G)} ® id Я«ор (G),
— утверждение (а) доказано. Для доказательства утверждения (Ь) необхо-
необходимо рассмотреть вторую спектральную последовательность двойного комп-
комплекса 3.7. У этой спектральной последовательности
3.8. Лемм а. (а) Н? (G, QqG) =0 при р > 0.
(b) НЦа, О.Ч)=СЧъ).
(c) Дифференциал dj'° второй спектральной последовательности сов-
совпадает с б: С (в) -*-С9+1(д).
Утверждения (Ь) и (с) этой леммы нам уже известны — см. предложе-
предложение 2.1 (как и в нетопологической ситуации, нульмерные когомологии — это
пространства инвариантов модуля коэффициентов). Утверждение (а) вы-
вытекает из аналога предложения III.6.1(d), но оно имеет и следующее пря-
прямое доказательство. Прежде всего заметим, что как G-модуль QqG есть пря-
прямая сумма пескольких экземпляров модуля C°°(G) (QiG есть свободный
С°*(С)-модуль с базисом, составленным из правоинвариантных форм), так
что нужно лишь доказать, что Я? (G, C°° (G)) = 0 при р > 0; последнее
доказывается явным построением гомотопии D: C%(G, M) -*¦ Cl~1(G, ]Щ,
352 д- Б- ФУКС
связывающей id с отображением, тривиальным при р > 0:
Dc(gu ..., gp)(g) = e(gu ..., gp, g) A).
Лемма 3.8 показывает, что у второй спектральной последовательности
Е,*, = Я*(д), а значит, член Е«, первой спектральной последовательности
присоединен к #*(д) — мы доказали утверждение (Ь) теоремы 3.6.
Доказательство утверждений (с) и (d) несложно и оставляется чита-
читателю.
3.9. Следствие. Если гомоморфизм B.3) является изоморфизмом,
в частности, если группа G компактна (см. теорему 2.4), то Hyfi) =0 при
Я>0.
3.10. Следствие. Если группа G стягиваема, то гомоморфизм C.5)
является изоморфизмом.
Теперь укажем на важное обобщение теоремы 3.6.
3.11. Теорема. Пусть К — компактная подгруппа группы G. Тогда
существует мультипликативная спектральная последовательность
Е\Л = Н\ (G) % Я<* (G/K) => Hp+q (8, A').
Формулировку утверждений, аналогичных утверждениям (с) и (d) тео-
теоремы 3.6, а также доказательство теоремы 3.11 мы оставляем читателю. До-
Доказательство следует плану доказательства теоремы 3.6, по в доказатель-
доказательстве аналога леммы 3.8 необходимо производить усреднение по К, и в этом
месте используется компактность группы К.
3.12. Следствие (теорема ван Эста). Пусть К—такая компактная
подгруппа группы G, что однородное пространство G/K ациклично. (Напри-
(Например, если G—конечномерная группа Ли, то К — максимальная компактная
подгруппа группы G.) Тогда имеет место мультипликативный изоморфизм
[Явная конструкция изоморфизма Я* (G) « Н* (д, К), не использую-
использующая теоремы 3.11 и вообще спектральных последовательностей, приведена
в книге Гишарде [1980].]
Особенно приятную форму приобретает следствие 3.12 в случае, когда
группа G имеет компактную форму 6: в этом случае комбинация изомор-
изоморфизмов 3.12 и 2.13 (Ь) дает:
C.13) H*c(G)asH*{GIK).
Заметим, что при этом спектральная последовательность Хохпшлда —
Мостова (теорема 3.6) делается просто спектральной последовательностью
расслоения G -»- П[К со слоем К (Н* (д) = #*ор (б) в силу теоремы 2.7 и
#j*op(<7)=#*op (К) в силу условий, наложенных на К).
3.14. Пример.
Н* (SL (n, R)) « Я* (SU (n)/SO (n)).
Последние когомологии хорошо известны (см. Борель [1953]). Именно, при
п = Ik + 1 они представляют собой внешнюю алгебру от образующих раз-
размерностей 5, 9, ..., 4& + 1, а при п = 2к — внешнюю алгебру от образую-
образующих размерностей 5, 9, ..., Ак — 3, 2к. В частности,
Я* (SL B, К)) я» Я* {S2).
В заключение заметим, что спектральная последовательность Хохшил-
да — Мостова имеется и случае, когда группа G бесконечномерна. Напри-
Например, в случае группы токов G комбинация этой спектральной последова-
последовательности с теоремой 2.12 дает:
ДОБАВЛЕНИЕ 353
3.15. H*(Gs)f&H*((G/K)& ); в частности, если группа G компактна,
1
(g) Q.
[Эта теорема принадлежит Фейгину [1980]. Ее вывод из теорем 3.6 и
2.12 оставляется читателю в качестве упражнения.]
Применение спектральной последовательности Хохшилда — Мостова к
группе Diff + S1 сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности
(которая соответствует алгебре Ли VectS1) дает в сочетании с теоре-
теоремой 2.10:
3.16. Я* (Diff+ S1) мультипликативно порождается двумя образующими
а, Р размерности 2, которые связаны одним соотношением [}2 = 0. (В част-
частности, dim #2 (Diff.j.S1) = 2.) Канонический гомоморфизм #*(Diff + 51)-»
-+• Я* (Vect S1) переводит $ в 0 и а не в 0.
[Вывод утверждения 3.16 из теорем 3.6 и 2.10 читатель может проделать
самостоятельно или найти в книге Фукса [1984], п. 3.4.3.]
§ 4. Явные описания коциклов
Хотя результаты предыдущего параграфа позволяют найти непрерыв-
непрерывные когомологии многих классических групп, в большинстве случаев не
известны явные формулы для коциклов, представляющих классы этих ко-
когомологии. Впрочем, довольно прозрачная конструкция такого коцикла
(принадлежащая Гишарде и Вигнеру, [1976]) имеется для двумерных клас-
классов когомологии, возникающих в ситуации, когда канонический гомомор-
гомоморфизм Я1 (д) ->- #*Ор (G) имеет нетривиальное коядро.
4.1. Теорема. Пусть а е НJop (G) — когомологический класс, не при-
принадлежащий образу гомоморфизма Н (%) -*¦ Я|ор (G), и пусть /: G-*-Sl —
такое непрерывное отображение, что а = /*(s), где s—каноническая обра-
образующая группы Н1^1). Тогда многозначная функция на G^G
D.2) (g, h)~Arg A (hg) -f(h)-f (g))
имеет однозначную ветвь, принимающую в точке A, 1) значение 0, и эта
ветвь является двумерным коциклом группы G (в смысле второго описа-
описания комплекса С* (G)), представляющим ненулевой элемент группы Н% (G).
Последний является образом класса а при трансгрессии
dj-1: H\op (G) + Н\ (G)
спектральной последовательности Хохшилда — Мостова.
Доказательство (несложное) см. Фукс [1984], п. 3.4.3.
В некоторых случаях удачный выбор отображения / позволяет придать
формуле 4.2 более или менее приятный вид. Например, если G = SL B, R)
и / действует по формуле
то коцикл D.2) относит элементам g, h группы G ориентированную пло-
площадь треугольника на плоскости Лобачевского, вершинами которого слу-
служат произвольная точка А и точки gA, hgA.
В качестве другого примера рассмотрим группу Diff+ S1. Напомним, что
Н\ (Diff + S1) имеет две образующих, аир (см. теорему 3.16). Коцикл, пред-
представляющий а, доставляется теоремой 4.1. Элегантную формулу для коцик-
коцикла, представляющего Ji, обнаружил Ботт [1977]. Именно, определим для
23 к. С. Браун
354 Д- Б- ФУКС
диффеоморфизма /: 51 -»¦ 51 функцию ц/ формулой
Где со — произвольным образом фиксированная форма объема на S1.
4.3. Теорема. Формула
определяет двумерный непрерывный коцикл группы Diff+ 51, когомологиче-
когомологический класс которого имеет ненулевой образ в Н2 (VectS1).
Доказательство этой теоремы оставляется читателю.
Статья Ботта [1977] содержит также несколько других формул для
коциклов групп диффеоморфизмов, в частности, такую формулу. Пусть X —
произвольное замкнутое re-мерное многообразие, о) — произвольная форма
объема на X. Тогда формула
~ f log |г7 d log ц, , ... d log ц
x
где цл = (A*(o)/(o, определяет непрерывный (га + 1) коцикл группы Diff+ X,
когомологический класс которого имеет ненулевой образ в #n+1 (VectZ).
[Заметим, что когомологии алгебры Ли Vect X известны — см. Фукс [1984],
§ 2.4,— но вычисление непрерывных когомологии группы Diff+ X упирается
в недостаток информации о топологических когомологиях этой группы.]
Было бы интересно найти какой-нибудь общий способ построения не-
непрерывных коциклов, который бы позволил, например, выписать явные фор-
формулы для коциклов, представляющих когомологические классы группы
SL {n, R).
§ 5. Связь с расширениями
5.1. Определение. Топологическим расширением группы G при по-
помощи G-модуля М называется точная последовательность
непрерывных гомоморфизмов, обладающая двумя свойствами:
(а) для любых шеЛи|еС
(Ь) топологически я представляет собой локально тривиальное главное
^/-расслоение (правое действие группы М в G определяется мономорфиз-
мономорфизмом i).
Условие (а) известно читателю из § IV.1: оно показывает, что дейст-
действие группы G в М согласовано с расширением; условие (Ь) отражает специ-
специфику топологической ситуации.
Определения эквивалентных расширений и расщепляющегося расшире-
расширения переносятся из §§ IV.1 и IV.2 с тем лишь изменением, что входящие
в них отображения предполагаются непрерывными. Однако в топологиче-
топологической ситуации к ним присоединяется еще одно важное определение.
5.2. Определение. Расширение (*) называется топологически три-
тривиальным, если расслоение л: G—>-G тривиально, т. е. если у него есть
непрерывное сечение s: G^-G.
Ясно, что всякое расщепляющееся расширение топологически тривиаль-
тривиально и что расширение, эквивалентное топологически тривиальному расшире-
расширению, само топологически тривиально.
ДОБАВЛЕНИЕ 355
Прежде чем двигаться дальше, мы примем соглашение, аналогичное
3.4: если G есть группа Ли и М есть G-модуль класса С°°, то мы автомати-
автоматически будем предполагать, что в последовательности (*) G есть группа Ли
и отображения i и я являются гладкими, и сообразно с этим будем пони-
понимать все введеппые в этом параграфе термины.
Теперь мы можем сделать ключевое замечание: топологический аналог
теории, изложенной в § IV.3, приложим исключительно к топологически
тривиальным расширениям. Это легко понять, если вспомнить, что решаю-
решающую роль в конструкциях § IV.3 играло сечение s: G -*¦ G; фиксирование
такого сечения в дискретной ситуации — дело безобидное, но при наличии
топологии его существование становится содержательным топологическим
условием.
Итак, пусть дан двумерный класс а непрерывных когомологий группы
G с коэффициентами в М. Зафиксируем нормализованный коцикл <р клас-
класса а (т. е. коцикл ср: G X G-+M, такой, что <рA, g) = <p(g, 1) = 0 при всех
geG; существование такого коцикла очевидно) и рассмотрим расширение
(*)> в котором: (a) G как топологическое пространство есть M\G;
(b) отображения i и я действуют по формулам i(m) = (m, 1), n(m, g) =
= Si (с) групповые операции в G определяются формулами
(mi, gi) (m2, g2) = (mi + gim2 + q>(g,, g2), g{g2),
Г)), g~l)
(проверка групповых аксиом носит автоматический характер).
5.3. Теорема. Эта конструкция устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами группы R\ (G, М) и классами эквива-
эквивалентных топологически тривиальных расширений группы G при помощи М.
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы IV.3.12.
Далее мы опять ограничимся случаем, когда G-модуль М тривиален,
т. е. рассматриваемые расширения являются центральными. Для начала
предположим, что G есть вещественная группа Ли и М = К. Более того,
мы предположим, что #* (G) = 0 (это условие означает, что группа G не
имеет нетривиальных гомоморфизмов в R; читатель при желании легко
сможет освободиться от этого условия). Тогда спектральная последователь-
последовательность Хохшилда — Мостова дает точную последовательность
, B .3) , d. C.5) , B.3) _„
E.4) Я1 (а) —* tf^p (G) -4 Hi (G) —•. Я2 (й) — Щор (G),
которая подсказывает нам, что прежде всего нужно посмотреть на расшире-
расширения, соответствующие й2-образу группы Я[ор (G) в Е\ (G). Но эти расши-
расширения устроены совсем просто: целочисленные одномерные когомологий то-
топологического пространства классифицируют регулярные Z-накрытия над
этим пространством, т. е. когомологий Hi (G, 2) классифицируют рас-
ширения вида 0->-Z->-G-»-G-»-l. Такие расширения допускают естест-
естественное «тензорное умножение на R»:
и последнее представляет собой расширение, отвечающее образу при транс-
трансгрессии d2 соответствующего класса из Hlop (G, R). Поскольку #Jop(G, R)=
= -^top(^> 2) ® ^» это описание, по существу, охватывает все расширения
рассматриваемого вида. Заметим только, что: (а) ввиду того, что последова-
последовательность E.4) точна в члене H\op(G), такое расширение расщепляется
тогда и только тогда, когда определяющий его элемент группы Я(Ор (G, R)
23*
356 Д- Б- ФУКС
принадлежит образу гомоморфизма B.3); (Ь) эта конструкция согласуется
с конструкцией Гишарде — Вигнера (см. теорему 4.1); уточнение последне-
последнего утверждения оставляется читателю.
Рассмотрим, далее, следующую стрелку последовательности E.4). Кого-
мологии Яг(д) классифицируют центральные расширения
(**) 0 -»- R -> д~-> д -> О
алгебры Ли д: когомологическому классу коцикла ф: Л д -*¦ R отвечает
центральное расширение (**) с д = К ® д, Г(гь g^i). (Г2, ?г)] =
= (ф(?ь &>)> [ei< ?а]) (подробности см. Фукс [1984], п. 1.4.6). Стрелка
Н\ (G) -*¦ Я2 (д) из последовательности 5.4 получает естественное истолко-
истолкование: расширению группы Ли отвечает расширение алгебры Ли. Точность
же последовательности 5.4 в члене Я2(д) означает следующее: центральное
расширение алгебры Ли д, отвечающее классу а е Я2(д), тогда и только
тогда соответствует некоторому (подчеркнем: топологически тривиально-
тривиальному) центральному расширению группы G, когда а аннулируется гомомор-
гомоморфизмом B.3).
Теперь мы обратимся к топологически нетривиальным расширениям
(напомним, что условие топологической локальной тривиальности включено
нами в определение расширения). Оказывается, что для их классификации
имеющихся в нашем распоряжении теорий когомологий не достаточно:
приходится вводить в рассмотрение новую теорию. Эта новая теория была
изобретена в свое время Сигалом [1973], [1975].
Пусть G — группа Ли, st — категория хаусдорфовых локально стягива-
стягиваемых топологических (абелевых) G-модулей и 8 — класс коротких точных
последовательностей категории st, являющихся в топологическом смысле
локально тривиальными расслоениями. Проективные объекты категории si
по отношению к классу 8 (см. упражнение 4 к § 1.7) мы будем называть
«^-проективными G-модулями. Можно показать, что всякий G-модуль из ка-
категории si обладает 8-проективной резольвентой.
5.5. Определение. Пусть Р-*-М есть 8-проективная резольвента
модуля М из категории st. Гомологии комплекса Р° G-инвариантов комп-
комплекса Р называются сигаловскими когомологиями группы G с коэффициен-
коэффициентами в Л/ и обозначаются через #g(G, M).
5.6. Замечания. 1. Это определение не обобщает ни одного из опре-
определений когомологий групп, данных в основном тексте книги, но его дис-
дискретный прообраз можно отыскать в § III.2. Во всяком случае, верно,
что если группа G дискретна, то Яд (G, М) « #aig,c (^> M) (так что
сигаловские когомологий доставляют еще одно — третье по счету — тополо-
топологическое обобщение когомологий групп). 2. Не следует удивляться, что си-
сигаловские когомологий определяются как гомологии цепного комплекса:
этот факт отражает их ковариантность по М. По G они, как и положено,
контравариантны.
Сигаловские когомологий обладают всеми обычными для когомологий
свойствами; кроме того, для них справедливы следующие, более специфи-
специфические факты.
5.7. Теорема, (а) Если модуль М стягиваем, то ffs (G, М) =
=#:lgiC(G, м).
(b) Если модуль М дискретен и тривиален, то Яд (G, М) = Н* (BG, М).
(c) Я| (G, М) есть группа классов (не обязательно топологически
тривиальных) расширений группы G при помощи G-модуля М (см. опреде-
определение 5.1).
Доказательство этой теоремы можно найти в статье Сигала [1973]. Чи-
Читателю рекомендуется самостоятельно убедиться, что утверждение (с) этой
теоремы не противоречит ее утверждениям (а) и (Ь).
ДОБАВЛЕНИЕ 357
Теперь мы вернемся к проблеме существования центрального расшире-
расширения группы Ли G, отвечающего заданному центральному расширению соот-
соответствующей алгебры Ли g. Выше мы убедились в том, что центральному
расширению алгебры Ли д, отвечающему классу аеЯ2(д), тогда и только
тогда соответствует некоторое топологически тривиальное рас-
расширение группы G, когда а принадлежит ядру канонического гомоморфиз-
гомоморфизма Я2 (д) -*- Я2ор (G). Теорема 5.7 позволит нам понять, каким расширепи-
ям алгебры Ли отвечают топологически нетривиальные расширения группы.
Первое, что видно из теоремы 5.7,— это равенство Н\ (G, R) = Я2 (G, R),
показывающее, что топологически нетривиальных расширений группы G
при помощи R вообще не бывает (это, впрочем, легко показать и элемен-
элементарными топологическими средствами: главное расслоение со стягиваемой
структурной группой и достаточно хорошей базой всегда имеет сечение и
потому тривиально). Но можно попытаться поставить в соответствие одно-
одномерному центральному расширению алгебры Ли g центральное расширение
группы G при помощи S1 = R/Z. Посмотрим, как устроены сигаловские
когомологии с коэффициентами в окружности.
Короткой точной последовательности
отвечает длипная точная последовательность сигаловских когомологии
... ¦* tfg-1 (б, S1) -* Щ (G, Z) -* Я| (G, R) -+ Щ (G, S1) -*...,
которая принимает, ввиду частей (а) и (Ь) теоремы 5.7, вид
E.8) ... -ч- Я' (G, S1) -> Я9 (BG, 2) -*¦ HI (G, R) -> Щ (в, S1) -» ...
Примем в дополнение к нашему предположению Я* (G) = 0 предположе-
предположение, что группа G связна, и составим из кусков последовательностей E.4)
и E.8) следующую коммутативную диаграмму:
Н% (С, R) -* #f (G, 51) -> Я3 (BG, 2) -> Я* (G, R)
E.9) || \** \
Н2С (G, R) Д. Я2 (й) +Яг2ор(С,Р).
Ее вертикальные стрелки нуждаются в пояснении. Стрелка Я| (G, 51) ->¦
-»> Я2 (д) отражает тот факт, что центральному ^'-расширению группы G
отвечает центральное R -расширение алгебры д. Далее, из спектральной по-
последовательности расслоения ив вытекает, что Я3 (BG, 2) вкладывается в
Я2Ор (G, Z) в качестве ядра дифференциала d2 (составленного из нераз-
неразложимых элементов); это вложение обратно трансгрессии. Отсюда — стрел-
стрелка Я3 (BG, 2) -*¦ Я20р (G, R). Мы хотим сравнить образы гомоморфизмов,
обозначенных на диаграмме одной звездочкой и двумя звездочками: первый
состоит из центральных расширений алгебры д, соответствующих тополо-
топологически тривиальным R-расширениям группы G, а второй — из расширений
алгебры д, соответствующих каким угодно ^'-расширениям группы G. Вид-
Видно, что второй образ больше первого, и видно — насколько. Мы можем сфор-
сформулировать следующий результат.
5.10. Теорема. Для того чтобы расширению алгебры Ли g, отвечаю-
отвечающему классу аеЯ2(д), соответствовало некоторое (возможно, топологиче-
топологически нетривиальное) 8}-расширение группы G, необходимо и достаточно, что-
чтобы: (а) образ класса а при каноническом гомоморфизме Я2 (д) ->- Я2ор (G, R
был целочисленным классом, лежащим в ядре дифференциала d2 спектралъ-'
358 Д- Б- ФУКС
ной последовательности расслоения ug', (b) образ этого последнего класса
при трансгрессии расслоения ио принадлежал ядру гомоморфизма
H3{BG, Z)-*-#|!(G, R) из последовательности E.8).
5.11. Комментарии. (А) Условие (Ь) можно прояснить в случае
dim G < оо (читатель может это проделать с пользой для себя), но, как мы
сейчас увидим, этот случай нам не особенно интересен; поэтому мы огра-
ограничимся тривиальным замечанием, что условие (Ь) бессодержательно при
H%(G, К) = 0. (В) Из элементарной топологии известно, что главные S'-pac-
слоения над клеточным пространством X классифицируются группой
Я2 (-У, Z). Можно показать, что ^'-расширение группы G, соответствующее
классу as-ff^G), топологически отвечает тому самому классу из#*ор(<?, Z),
который превращается при овеществлении в образ класса а в Я20р (G, К).
Теперь настала пора объяснить, почему классическая теория групп Ли
обходилась без изобретенных только в 70-е годы сигаловских когомологий.
Дело в том, что в конечномерной ситуации группа Я2 (G, Z) не содержит
неразложимых элементов, и, следовательно, образы гомоморфизмов * и **
одинаковы. Однако в бесконечномерной ситуации теорема 5.10 может ока-
оказаться очень полезной. Мы рассмотрим сейчас такой пример.
Пример. Пусть G = K —группа токов на окружности со значения-
значениями в нетривиальной односвязной простой компактной группе К. В этом
случае #¦? \KS ) = О при q > 0 (см. теорему 3.15), и отсюда вытекает, в ча-
„1
стности, что группа д не имеет нетривиальных топологически тривиаль-
тривиальных центральных расширений. Далее,Я2 (д) = Я2ор (Ks ) = Я)!ор (К) = R
(среднее равенство — тривиальный топологический результат). Таким об-
образом, алгебра токов g имеет нетривиальное центральное расширение; со-
соответствующая расширенная алгебра хорошо известна: это — так называе-
называемая алгебра Каца — Муди (см. Кац [1983],). Поскольку круг применений
алгебр Каца — Муди чрезвычайно широк (от арифметики и комбинаторики
до теории интегрируемых систем и квантовой теории поля), проблема по-
построения соответствующих групп встала в некоторый момент чрезвычайно
остро. С точки зрения сигаловских когомологий, однако, проблема совер-
совершенно тривиальна: соответствующий фрагмент последовательности E.8)
принимает в этом случае вид
О ->- Я2 (G, S1) -» Я3 (BG, 1) -*¦ 0,
II
#?ор (б, 1)
и мы получаем (учитывая комментарий 5.11 (В) к теореме 5.10) следующий
результат.
5.12. Теорема. Классификация центральных расширений группы то-
токов Ks при помощи группы 51 совпадает с классификацией главных S1-
расслоений над К . Другими словами, для всякого главного S^-расслоения
р: Е -& К в Е существует единственная с точностью до послойного изо-
изоморфизма групповая структура, согласованная с правым действием груп-
группы S1 в Е {это значит, что (eiBi) (е262) = е|в2F] + 9г) для любых еь е2 е Е,
01, 02 eS1) и такая, что р есть групповой гомоморфизм.
Вот явное описание расширенной группы токов («группы Каца — Му-
Муди»), соответствующей 1 е 2 = Я2ор (G, Z). (Это описание принадлежит
М. Концевичу.) Фиксируем на К двусторонне инвариантную 3-форму ш,
интеграл которой по трехмерному циклу группы К, представляющему об-
ДОБАВЛЕНИЕ 359
разующую группы Н3(К) — 7, равен 1. Пространство Е мы опишем как
множество классов эквивалентности отображений D2-*-K, где отображения
ф1, ш2: D2-*-K считаются эквивалентными, если (pi|S' = фг|5' и для любого
отображения Ф: D3 ->- К, совпадающего на верхней полусфере сферы S2 с:
cz D3 с фг и на нижней полусфере с ф[ (полусферы отождествляются с эк-
экваториальным диском D2 посредством ортогонального проектирования), ин-
интеграл \ 3Ф*(о есть целое число. (Равенство ф!|51=ф2|51 гарантирует
существование отображения Ф с указанным свойством, поскольку Пг(К) =
= 0; для разных отображений Фь Ф2 разность I 3Ф*ю— I 3<'J@ есть 4е"
лое число, поскольку эта разность равна интегралу формы ш по некоторо-
1
ч1
му циклу группы К.) Проекция Е-*¦ К° и умножение ЕХ,Е-*-Е опреде-
определяются формулами ф>-» (f\Sx и (q>i, фг) (ж) = Ф1(я)фг(я).
В заключение заметим, что сигаловские когомологии при всех своих
достоинствах имеют важный недостаток: для их вычисления нет удобного
стандартного коцешюго комплекса. Интерпретация двумерных когомологии
через расширения подсказывает, что сигаловские коцепи могли бы быть
обыкновенными коцепями, которым разрешаются какие-то небольшие от-
отклонения от непрерывности. Одно из возможных определений таких коце-
коцепей обсуждается в недавней работе Л. Д. Фаддеева [1984]; оно состоит в
следующем.
5.13. Определение. Пусть G — топологическая группа и М — тополо-
топологический G-модуль. Коцепь (peC'(G, M) называется фаддеевской, если для
любой точки у произведения Gq найдется такая коцепь ifeC*^, M), что
коцепь ф — б-ф непрерывна в окрестности точки ^.
Ясно, что фаддеевские коцепи составляют подкомплекс комплекса
C*(G, М), содержащий комплекс С* (G, М). Когомологии этого комплекса
называются фаддеевскими когомологиями и обозначаются через Яр (G, М).
Можно показать, что Я| (G, М) = Я^ (G, М) при q s? 2, но верно ли это
равенство при q > 2, не известно.
§ 6. Теорема Бореля и гипотеза Милнора
В этом параграфе мы обсудим два результата, касающиеся когомологии
групп Ля не в смысле определения § 3, а в смысле основного определения
книги Брауна (гл. III). Чтобы не вносить путаницы, мы будем говорить не
о «разрывных когомологиях» группы Ли G, а просто о когомологиях груп-
группы G6 — группы G, наделенной дискретной топологией. Можно ожидать, что
когомологии группы G* окажутся непомерно большими — как она сама; так
оно, конечно, и оказывается, но все же об этих когомологиях можно кое-что
сказать. Мы ограничимся здесь двумя фактами, первый из которых никак
не связан с другими частями Добавления (я привожу его исключительно
из убеждения, что один из самых замечательных результатов теории кого-
когомологии групп не должен остаться за пределами книги, специально посвя-
посвященной этой теории); ко второму мы вернемся в § 7, где мы обсудим его
значение для характеристических классов.
6.1. Теорема (Борель [1974]). Пусть G—полупростая комплексная
группа Ли ранга I и Г — арифметическая подгруппа группы G (см. § VIII.9),
причем vol G/Г < оо. Тогда гомоморфизм
Hq(G6, Z)-+№(T, Z),
индуцированный включением T-+G", является изоморфизмом при q < I/A.
Поскольку о когомологиях арифметических групп многое известно (см.
главы VIII и IX), эта теорема делает когомологии Н* (G , 2) «осязаемы-
«осязаемыми» хотя бы к малых размерностях.
360 Д б. фукс
Теперь рассмотрим отображение
F.2) K(G", I) =
индуцированное тождественным отображением G6->-G (которое является
непрерывным гомоморфизмом!). Следующее утверждение известно под на-
названием гипотезы Милнора.
6.3. Гипотеза. Отображение F.2) индуцирует изоморфизм в гомоло-
гиях и когомологиях с коэффициентами в произвольной конечной абеле-
вой группе.
В статье Мшшора [1983], доказывается, что гипотеза справедлива, если
связная компонента группы G разрешима, а также что гомоморфизм, ин-
индуцированный отображением F.2) в гомологиях с коэффициентами в про-
произвольной абелевой группе, обладает сечением, т. е. является эпиморфиз-
эпиморфизмом, ядром которого служит прямое слагаемое. Суслип [1984] доказал гипо-
гипотезу Милнора для группы G = GL (oo, R).
Чтобы лучше понять смысл гипотезы Милнора, рассмотрим более вни-
внимательно отображение 6.2. В топологии имеется хорошо известная конструк-
конструкция, заменяющая произвольное непрерывное отображение / голютопически
эквивалентным ему расслоением /¦ (см. Рохлин —Фукс [1977], 4.1.4.5); слой
расслоения /* называется гомотопическим слоем отображения /; он опре-
определяется гомотопическим классом отображения / с точностью до гомотопи-
гомотопической эквивалентности. Обозначим через XG гомотопический слой отобра-
отображения F.2); это — определенное с точностью до гомотопической эквивалент-
эквивалентности пространство, функториально зависящее от G. Гипотеза 6.3 имеет сле-
следующую эквивалентную переформулировку:
6.3'. Гипотеза. Для любой конечной абелевой группы М
Hq(XG, М) = №(XG, М) = 0
при q > 0.
Пространство XG устроено, несмотря на свою грандиозность, довольно
интересно. Напомним, что если И есть замкнутая подгруппа группы G, то
гомотопическим слоем естественного отображения BE -+¦ BG служит фактор-
пространство GIH. Это позволяет говорить о пространстве XG как о «фак-
торпространстве GIG6», представляя себе при этом G6 как очень плотную
дискретную подгруппу группы G. Последнему высказыванию можно при-
придать и точный смысл:
6.4. Предложение. Если Y—клеточное пространство, наделенное
правым вполне разрывным действием группы G\ и F: Y-+G— гомотопиче-
гомотопическая эквивалентность, являющаяся С6-отображением {по отношению к дей-
действию G6 в G правыми сдвигами), то фактор пространство У/G8 гомотопи-
чески эквивалентно XG.
[Этот факт более или менее очевиден.]
Найти такое пространство Y ничего пе стоит: годится, например, гео-
геометрическая реализация сингулярного комплекса группы G. Для наших це-
целей удобнее рассматривать не весь сингулярный комплекс, а его часть, со-
составленную из гладких (т. е. принадлежащих классу С°°) сингулярных сим-
симплексов; далее мы без специальных оговорок будем считать сингулярные
симплексы гладкими.
Итак, пространство Y (оно строится по G каноническим образом, и мы
можем его обозначить через YG) устроено следующим образом. Его нуль-
нульмерные клетки — это просто точки группы G. Одномерные клетки соответст-
соответствуют гладким путям, соединяющим эти точки, двумерные клетки соответст-
соответствуют гладким отображениям треугольника в G и т. д. Заметим, что G* дей-
действует в YG клеточным образом, так что и пространство XG = YGIG кле-
точпо. Вычисляя его когомологии при помощи клеточного комплекса, мы
приходим к следующему результату.
6.5. Предложение. Когомологии H*(XG, M) пространства XG с ко-
коэффициентами в произвольной абелевой группе М совпадают с когомоло-
ДОБАВЛЕНИЕ 361
гиями подкомплекса сингулярного коцепного комплекса группы G, состав-
составленного из правоинвариантных коцепей.
Пусть, например (в противоположность ситуации гипотезы Милнора),
М = К. Очевидно, всякая правоинвариантная g-форма w на G определяет
правоинвариантную сингулярную коцепь o>-*S qo*(o (а: Д'-^-G—сипгу-
лярный g-симплекс класса С°°). Таким образом, комплекс правоинвариант-
правоинвариантных дифференциальных форм группы G, т. е. стандартный коцепной комп-
комплекс алгебры Ли g группы G, вкладывается в комплекс из предложения 6.5.
Его образ можно охарактеризовать как комплекс правоинвариантных син-
сингулярных коцепей, гладким образом зависящих от сингулярных симплек-
симплексов. Отсюда можно сделать два вывода, один точный и один эвристический.
Точный состоит в том, что имеется каноническое отображение
F.6) H*(s)-+H*(XG,R).
Эвристический же вывод состоит в том, что когомологии пространства XG
относятся к когомологиям алгебры Ли g так же, как обычные когомологии
группы G относятся к непрерывным когомологиям группы G.
К пространству XG мы еще вернемся в следующем параграфе.
§ 7. Характеристические классы
Пусть Э~ — одна из следующих трех категорий: категория топологиче-
топологических пространств и непрерывных отображений; категория клеточных про-
пространств и непрерывных отображений; категория гладких (= С°°-) много-
многообразий и гладких отображений. Пусть, далее, 9? — некоторая другая ка-
категория, наделенная функтором V. 9*-*-$Г. Объекты категории У мы будем
называть пространствами, объекты категории 9Р — пространствами, наделен-
наделенными структурой (подробнее: объект S категории 9> есть пространство tS
со структурой S типа 9>), отображения категории 9>— отображениями, со-
согласованными со структурами. Структуры S, S' e Ob *$, заданные на одном
пространстве X = iS = IS', называются эквивалентными, если существует
отображение /: S-+S' из 9*, накрывающее тождественное отображение:
tf = id*. Преобразованием структур типа 91 в структуры типа 9" пазыва-
ется такой функтор h: 9>' -+9", что диаграмма коммутативна.
Большое количество примеров типов структур знает каждый математик:
скажем, 91 — категория римановых (комплексных, симплектических контакт-
контактных) многообразий, 9~ — категория всех многообразий; или &~ — категория
топологических пространств, 9> — категория главных G-расслоений, t% — ба-
база расслоения ?, и т. д.
Роль структуры может играть g-мерный когомологический класс с коэф-
коэффициентами в абелевой группе М. Соответствующая категория 91, которую
б 3#«(^7" М) (X ) X
фц ру ущ р , ру
естественно обозначить через 3#«(^7", М), есть категория пар (X, а), где X —
объект категории Т и сее#«(Х, М); отображение (X, a)->-(Y, p) из 9 —
это такое отображение /: X-*-Y (из &~)г что /*§ = а. Соответствующий
функтор * действует по формуле t(X, а) = X.
7.1. Определение. Характеристический класс структур типа 9* со
значениями в №(—, М) есть преобразование структур типа 91 в структуры
типа &&q(&~, M). Менее формально: характеристический класс h относит про-
пространству X со структурой S типа 9* элемент h(S) группы №{Х, Щ, причем
362 Д- Б- ФУКС
если t: S-+T — отображение из 9', то гомоморфизм {/*: №(F, M) -*¦
-+Н*(Х, М), где Y = tT, переводит h(Г) в,h(S).
В заключительной части параграфа мы будем рассматривать характери-
характеристические классы, не подходящие под это определение, но, наверное, чита-
читателю будет проще сориентироваться на месте, чем вникать сейчас в слиш-
слишком общие абстрактные построения.
Характеристические классы можно складывать и вычитать (а если Д/ —
кольцо, то перемножать); можно сказать, что если характеристические клас-
классы 9> ->Ж1(!Г, М) образуют множество, то они образуют абелеву группу.
7.2. Определение. Пусть А — абелева группа. Мы скажем, что груп-
группа А реализована в характеристических классах структур типа 9? со значе-
значениями в Н*(—, М), если каждому а еЛ поставлен в соответствие характе-
характеристический класс h(a): &-+361C", М) и при этом h(a±b) = h(a) ±
В этом параграфе мы опишем несколько реализации рассматривавшихся
выше когомологических групп в характеристических классах различных
структур на топологических пространствах. Существует два основных ме-
метода построения характеристических классов: метод классифицирующих
пространств и метод обогащений структуры. Метод классифицирующих
пространств заключается в том, что для данного типа 9> структур строит-
строится «классифицирующее пространство» В91 и затем каждому объекту S ка-
категории 91 ставится в соответствие гомотопический класс <ps отображений
tS ->- В9Р таким образом, что если /: Т -*¦ S — отображение из 9>, то фт =
= q>s°tf (подробнее: если g — отображение класса <ps, то gotf — ото-
бражеиие класса фт). Группа Нч^Вр, М) реализуется в характеристи-
характеристических классах естественным образом: для а е Н9(В9>, М) мы полага-
полагаем [h(a)] (S) = фд (а); после этого в характеристических классах реали-
реализуется произвольная группа А, для которой фиксирован гомоморфизм в
Нч(В9>, М). [Иногда, но не всегда, пространство BSP бывает задано вместе
с некоторой «универсальной структурой» U типа 9", и для любого объекта
S из SP класс <ps совпадает с множеством отображений вида tk, где h — ото-
отображение S->-U. В этом случае предыдущая конструкция дает все харак-
характеристические классы структур типа 9* со значениями в #«(—, Л/).] Метод
обогащений структуры состоит в том, что по категории 91 строится некото-
некоторая категория 9" «более богатых структур», наделенная преобразованием
и: SP-+-SP ((-обеднения структуры». После этого указывается какая-нибудь
конкретная конструкция когомологического класса пространства X по струк-
структуре типа 91 и доказывается, что этот класс в действительности зависит не
от структуры S типа SP, а от ее «обеднения» uS; другими словами, строится
характеристический класс Ъ: У -+Жч(Т, М) и доказывается, что сущест-
существует единственный характеристический класс h: SP —*-3eq(!7~, M) с hou = 7i.
Ниже, в конкретных конструкциях характеристических классов, мы
подчас не будем доводить язык до формального совершенства и будем го-
говорить скорее о структурах, чем о категории пространств со структурой.
Я надеюсь, все же, что сказанное выше не пропадет для читателя даром и
поможет ему понять единообразие рассматриваемых ниже ситуаций.
Характеристические классы расслоений. [Подробности см. в книге Мил-
нора — Сташеффа [1974].] Пусть G — топологическая группа. Рассматрива-
Рассматриваемые нами структуры на пространстве X — это главные G-расслоения с
базой X. Эквивалентность структур в смысле данного выше определения —
это обычная эквивалентность главных расслоений.
Пусть, далее, BG — классифицирующее пространство группы G. Соглас-
Согласно известной топологической теореме (см. теорему 1.1), множество классов
эквивалентных главных G-расслоений с базой X, где X — произвольное кле-
клеточное пространство, находится в естественном взаимно однозначном соот-
соответствии с множеством гомотопических классов отображений X-+BG. Со-
гяасног сказанному выше это означает, что группа //«(SG, М) реализуется
ДОБАВЛЕНИЕ 363
в характеристических классах главных G-расслоений со значениями в
//«(—, М). Заметим, что так как с произвольным расслоением Стинрода со
структурной группой G канонически ассоциируется главное G-расслоение
с той же базой (см. Рохлин — Фукс [1977], п. 4.3.3), группа Hi(BG, M) реа-
реализуется и в характеристических классах расслоений Стинрода со структур-
структурной группой G.
Примеры. 1. G = U(n). Согласно теореме 1-7(е) H*(BU(n),U)
есть кольцо многочленов от образующих размерностей 2, 4, ..., In. [В ука-
указанной теореме речь идет о группе SU(n), но переход к группе U(n) триви-
тривиален.] Соответствующие характеристические классы расслоений со струк-
структурной группой U(n), в частности, re-мерных векторных расслоений, назы-
называются 1-м, 2-м, ..., ге-м вещественными классами Черна.
2. G = SO(n). Согласно той же теореме 1.7(е) Н* (BSO (n), R) есть
при п = 2/с + 1 кольцо многочленов от образующих размерностей 4, 8, ...
..., ik и при п = 2к — кольцо многочленов от образующих размерностей
4, 8, ..., Ак — 4 и 2к. Соответствующие характеристические классы расслое-
расслоений со структурной группой SO{n), в частности, re-мерных ориентирован-
ориентированных вещественных векторных расслоений, называются вещественными клас-
классами Понтрягина и вещественным классом Эйлера.
Мы подчеркиваем, что речь идет о вещественных классах Черна, Понт-
Понтрягина и Эйлера, поскольку в теории характеристических классов опреде-
определяются и целочисленные классы Черна, Понтрягина и Эйлера, принимаю-
принимающие значения в когомологиях с коэффициентами в Z и переходящие в
соответствующие вещественные классы при гомоморфизмах, индуцирован-
индуцированных вложением коэффициентов Z -> R. Подробности (включающие вычисле-
вычисление целочисленных когомологических колец пространств ВТ](п) и BSO(n))
см. в цитированной книге Милнора — Сташеффа.
Вернемся к вещественным характеристическим классам. Другая их кон-
конструкция, следующая методу обогащения структур, известна под названием
конструкции Черна — Вейля. Она применима к гладким главным G-расслое-
ниям я: Е-+Х, у которых G есть группа Ли, и реализует в характеристи-
характеристических классах со значениями в Н9 (—, R) группу E9/2д)^ симметри-
симметрических инвариантов соответствующей алгебры Ли. Конструкция начинается
с того, что в гладком главном G-расслоении мы фиксируем связность, т. е.
гладкую 1-форму со на Е со значениями в д, такую, что для любых ее?,
g e G коммутативны диаграммы
где ав: Е->Е, ае: G-+E — отображения, определяемые по каноническому
правому действию G в Е формулой ag(e) = ae(g) = eg. Кривизна п связ-
связности со есть 2-форма на Е со значениями в д, определяемая формулой
Q = dco + — [w> w]>
где |, т) — касательные векторы к Е, приложенные в одной точке, комму-
коммутатор берется в д. Если теперь Р: др -*¦ К — инвариантный многочлен, то
формула
364 Д- Б- ФУКС
определяет 2р-форму на Е, которая, как это легко вывести из инвариантно-
инвариантности Р, является поднятием в Е некоторой 2р-формы Т)(Р, (о) на X. Послед-
Последняя замкнута, и стандартное рассуждение показывает, что ее когомологи-
когомологический класс не зависит от выбора связности со. [Вот это стандартное рас-
рассуждение. Пусть (о, w' — две связности; определим связность @( формулой
а>! = A — t)(n + tw' и обозначим через Й( кривизну связности (Oj. Тогда
Bр — 1)-форма на Е
^ Alt j Р (О, (lv %2), ..., О, A2р_3, ?2р_г), »'(!,„_!) - 0) &„_!)) Л
о
является поднятием в Е пекоторой Bр — 1)-формы па X, и дифференциал
последней равен Г|(Р, со') — ц(Р, а>).] Этот когомологический класс и есть
значение нашего характеристического класса на расслоении я.
Заметим, что E*дг совпадает (с точностью до удвоения размерно-
размерностей) с Н* (BG, R) (см. теорему 1.7), и результат конструкции Черна —
Вейля в действительности не отличается от результата вещественного ва-
варианта предыдущей конструкции (точнее, отличается лишь тем, что в пер-
первом случае мы рассматриваем произвольные G-расслоения, а во втором —
только гладкие).
Характеристические классы расслоении с плоской связностью и гипоте-
гипотеза Милнора. Пусть / — непрерывный гомоморфизм топологической группы И
в топологическую группу G. В топологии имеется каноническая конструк-
конструкция, называемая расширением структурной группы, которая превращает в
этой ситуации //-расслоение в G-расслоение. Проще всего описать эту конст-
конструкцию на языке координатных атласов. Напомним, что атлас Я-расслое-
ния над топологическим пространство X состоит из открытого покрытия
{Ua} пространства X и набора непрерывных отображений фар: Ua П Ui-+H,
таких, что <рар (я) Фет (я) = фатМ Для любых а, р, f и х е Ua П U$ f] Uv Ат-
Атлас расслоения, получающегося при расширении структурной группы по-
посредством /, состоит из того же покрытия и отображений /офар: Ua П ?/р->-
-> G. По-другому можно сказать, что гомоморфизм / индуцирует отображе-
отображение В/: ВН -> BG, и класс //-расслоений, отвечающих, гомотопическому клас-
классу [h: Х->бЯ], переходит при расширении структурной группы в класс
G-расслоений, соответствующий гомотопическому классу [Bfoh: X-+BG].
Еще одно (самое короткое) описание расширения структурной группы та-
таково: главное //-расслоение Е-+Х переходит в главное G-расслосние
EXhG-^X, где Z?XhG= (EXG)/{(eh, g) ~ (e, kg)}.
Расширение структурной группы очевидным образом ставит в соответ-
соответствие характеристическому классу G-расслоений некоторый характеристи-
характеристический класс Я-расслоений. Можно сказать, что это соответствие устанав-
устанавливается отображением Bf: H*(BG, М) -+Н*(ВН, М).
Теперь рассмотрим случай, когда Я = G6 и / есть тождественное ото-
отображение G* ->¦ G.
7.3. Предложение. Гладкое главное G-расслоение тогда и только
тогда получается расширением структурной группы из некоторого гладкого
главного С*-расслоения, когда оно обладает плоской связностью (т. е. связ-
связностью, кривизна которой тождественно равна нулю).
Доказательство. Пусть я: Е->X — гладкое главное G-расслоение
с плоской связностью й. Как известно из геометрии, через каждую точку
пространства Е проходит горизонтальная поверхность, т. е. локальное се-
сечение расслоения, сужение на которую формы <в равна 0. Такое сечение
может быть продолжено, с сохранением условия горизонтальности, на лю-
любое односвязное подмножество базы. Если {Ua}—любое покрытие базы
односвязными открытыми множествами, то горизонтальные сечения опре-
определяют при каждом а G-эквйвалентность ha\ я-'(G«)-)-Р,ХС, согласо-
ДОБАВЛЕНИЕ 365
ванную с проекцией в Ua- Эти G-эквивалентности определяют атлас наше-
нашего G-расслоения, причем функции перехода <рар: Ua X U$ -*-G (определяе-
(определяемые формулой ЛаА|"х (х, g) = (х, ?<Pap(z))), очевидно, локально постоянны.
Это означает, что {Ua, Фар} есть в действительности атлас С-расслоения,
т. е. что наше расслоение получено из (?в-расслоепия расширением струк-
структурной группы.
Обратно, главное G-расслоение тогда и только тогда получается расши-
расширением структурной группы из С*-расслоения, когда оно обладает атласом
с локально постоянными функциями перехода. Последнее означает, что го-
горизонтальные сечения карт согласованы в пересечениях этих карт. Связ-
Связность такого расслоения однозначно определяется условием равенства 0 на
горизонтальных сечениях (напомним, что на векторах, касающихся слоев,
значения связности заранее известны — см. определение связности). По-
Построенная связность автоматически будет плоской — из-за существования
горизонтальных сечений.
7.4. Следствие. Характеристические классы положительной размер-
размерности, доставляемые конструкцией Черна — Вейля, тривиальны на G-pac-
слоениях, получаемых расширением структурной группы из й^-расслоений.
Этот результат контрастирует с гипотезой Милнора, точнее, с той ее
частью, которая доказана Милнором (см. гипотезу 6.3 и комментарий к ней).
Именно, из результатов Милнора вытекает следующий факт.
7.5. Предложение. Пусть G — комплексная полупростая группа Ли
и М — конечная абелева группа. Тогда всякий характеристический класс G-
расслоений, принимающий значения в Hq(—, М), нетривиален на некото-
некотором G-расслоении, получающемся расширением структурной группы из G6-
расслоения.
Рассмотрим в качестве примера классы Черна. Из теоремы 7.3 и 7.4
вытекает, что у любого комплексного векторного расслоения со структурной
группой GL (п, С) , т. е. у n-мерного комплексного векторного расслоения
с плоской связностью, все вещественные классы Черна равны 0. Это пока-
показывает, что целочисленные классы Черна такого расслоения имеют конеч-
конечный порядок. С другой стороны, предложение 7.5 показывает, что эти клас-
классы не обязаны быть нулевыми; более того, их порядок может быть сколь
угодно велик (может делиться на какое-угодно число). Последний факт был
известен еще до работ Милнора из статьи Ботта — Хейтша [1972].
Характеристические классы структур Маурера — Картана. Пусть G —
группа Ли. G-структура Маурера — Картана на многообразии X определя-
определяется как плоская связность в стандартном тривиальном главном G-расслое-
G-расслоении XXG-+X. По-другому можно сказать, что G-структура Маурера —
Картана есть 1-форма со на X (связность есть 1-форма на тотальном прост-
пространстве, но в нашем случае она определяется своим сужением на X = X X
X 1 cz X X G) со значениями в алгебре Ли 8 группы G, такая, что
G.6) da = da + V2[w, ш].
(Уравнение G.6) называется уравнением Маурера — Картана, отсюда — на-
название структуры.) Другое эквивалентное описание структуры Маурера —
Картапа можно извлечь из теоремы 7.3: это — G'-pacc.TOOime с базой X,
тривиализованное как G-расслоение (последнее означает, что задана экви-
эквивалентность между G-расслоением, полученным из нашего Ов-расслоения
расширением структурной группы, и стандартным тривиальным расслое-
расслоением X X G -> G). Наконец, заменяя расслоения их атласами, мы приходим
к следующему описанию «атласа структуры Маурера — Картана»: это — от-
открытое покрытие {Ua} пространства X, снабженное набором отображений
фа: Ua -*¦ G, таким, что отображения Ua П Up -*¦ G, х *-» фа (х) фр (х) локаль-
локально постоянны.
[Заметим, что любые две G-структуры Маурера — Картана на односвяз-
ном многообразии эквивалентны.]
366 Д- Б- ФУКС
7.7. Предложение. Классифицирующим пространством для G-струк-
тур Маурера — Картана служит гомотопический слой XG канонического ото-
отображения BG6-+BG (см. § 6).
Это вытекает из более общего факта: если /: Н -*- G — непрерывный го-
гомоморфизм одной топологической группы в другую, то классифицирующим
пространством для Я-расслоений, тривиализованных как G-расслоешш, слу-
служит гомотопический слой отображения Bj: BH-+BG (последний есть G/H,
если / есть включение замкнутой подгруппы).
Предложение 7.7 доставляет реализацию в характеристических классах
G-структур Маурера — Картана когомологий пространства XG. В § 6 был
построен канонический гомоморфизм 6.6
Н* (g) -> H* (XG, К),
и это дает реализацию в характеристических классах G-структур Мауре-
Маурера— Картана когомологий алгебры Ли д. Впрочем, последнюю реализацию
можно построить непосредственно: если со есть структура Маурера — Кар-
Картана на X (см. второе из четырех приведенных выше описаний структур
Маурера — Картана), то, ставя в соответствие коцепи сеС'(Х) форму
(%\, ..., %q e ТХХ, 1ёЯ мы получаем, как легко проверить, используя ра-
равенство G.6), гомоморфизм стандартного коцешшго комплекса С* (я) ал-
алгебры g в дерамовский комплекс п*Х многообразия X. Характеристиче-
Характеристический класс, соответствующий элементу а группы Я'(д), ставит в соответст-
соответствие структуре <в образ а при индуцированном гомоморфизме Hq (g) -*¦
~+Hq{X, R).
Заметим, что использованное в последней конструкции второе описа-
описание структур Маурера — Картана имеет силу и в ситуации, когда алгебра
Ли g не привязана ни к какой группе Ли (это возможно, если dim g = оо).
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы иногда будем говорить не о G-
структурах Маурера — Картана, а о g-структурах Маурера — Картана. Ска-
Сказанное в последнем абзаце доставляет реализацию когомологий Н*(%) в (ве-
(вещественных) характеристических классах g-структур Маурера — Картана.
Характеристические классы слоений. Слоения — это интегрируемые рас-
распределения. Подробнее: (гладкое) слоение коразмерности q на и-мерном
многообразии X есть (га— q)-мерное подрасслоение касательного расслоения
многообразия X, удовлетворяющее условию интегрируемости: через каждую
точку многообразия X проходит (га—д)-мерное подмногообразие, касагоще-
ется слоев подрасслоения; такие подмногообразия называются интеграль-
интегральными многообразиями или слоями слоения. Очевидно, окрестность любой
точки многообразия распадается в сумму непересекающихся интегральных
многообразий.
Факторрасслоение касательного расслоения по слоению называется нор-
нормальным расслоением слоения. Оснащенное слоение — это слоение, нормаль-
нормальное расслоение которого тривиально и наделено определенной триви-
ализацией.
Мы коротко опишем сейчас конструкцию, которая реализует в харак-
характеристических классах оснащенных слоений коразмерности q (непрерыв-
(непрерывные) когомологий алгебры Ли Wq формальных векторных полей в R9. [Под-
[Подробности и другие варианты этой конструкции см. в книге Фукса [1984],
§ 3.1.] Конструкция заключается в том, что по оснащенному слоению ко-
коразмерности q строится ^-структура Маурера — Картана. Эта структура
определяется слоением неоднозначно, но ее характеристические классы, от-
отвечающие когомологиям алгебры Ли WQ (см. выше), зависят только от
слоения.
Пусть X — многообразие, F = {Fx: геХ) — оснащенное слоение кораз-
коразмерности q на X. Оснащение представляет собой гладкое семейство эпимор-
ДОБАВЛЕНИЕ
367
физмов фж: ТХХ -*¦ R9 с кег ф* = Fx. Фиксируем гладкое семейство линей-
линейных сечений tyx: R9 -> ТХХ эпиморфизмов <рх (q>x°tyx = id) и затем — глад-
гладкое семейство гладких отображений Ч^: R9 -»• X с d0Wx = tyx (d0 — диф-
дифференциал в точке 0). Отображение Wx трансверсально слоению вблизи точ-
точки 0. Если точки г, jeX достаточно близки (это означает, что (х, у) е
еХХХ принадлежит некоторой заранее заданной окрестности диагонали
{(х, х) е XXX} а XXX), то слои слоения F определяют росток (в точ-
точке у) отображения ^(R9)-»- ?k(R9) [см. рис. 1] и с ним росток %ху Диф-
Диффеоморфизма R9-»-!R9 (в точке OeR9). Если a: R->X — гладкая кривая
с а@) = х, то мы получаем семейство ростков Хх>а@: R9 -*- R9 и с ним —
росток (в точке 0) векторного поля в R9 (точке ueR' ставится в соот-
соответствие вектор, касающийся кривой ft— ХЖ)«(<)(") ПРИ t = 0). Легко про-
проверить, что оо-струя этого поля в точке 0 — формальное векторное поле —
корректно определяется касательным вектором к кривой t >— a (t) в точ-
точке t = 0; получается линейное отображение ТХХ -> Wq. Прямая проверка
показывает, что 1-форма на X со значени-
значениями в Wq, составленная из таких отображе-
отображений, удовлетворяет уравнению 7.6 Мауре-
ра — Картана (проверку этого факта мы
также пропустим, но заметим, что именно
в ней — и нигде больше — используется
интегрируемость распределения F). Нако-
Наконец, справедливо следующее утверждение.
7.8. Теорема. Характеристические
классы построенной Wq-структуры Мауре-
ра — Картана, отвечающие когомологиям
H*(WQ), зависят только от исходного осна-
оснащенного слоения, так что получается реа-
реализация этих когомологий в характеристи-
характеристических классах оснащенных слоений ко-
коразмерности q.
Пример. Как в свое время говори-
говорилось (теорема 2.11), когомологий алгебры
Wi устроены так: H4(Wl) — 0 при q Ф 0, 3
a -ff^Wj) = R при 9 = 0, 3. Таким об-
образом, у оснащенных (= ориентированных) слоепий коразмерности 1
есть характеристический класс со значениями в трехмерных вещест-
вещественных когомологиях. Этот класс называется классом Годбийона — Вея
и имеет (как, впрочем, и другие характеристические классы слоений —
см. Фукс [1984], п. 3.1.4.А) простое прямое описание. Пусть со есть 1-фор-
1-форма на X, задающая слоение F (т. е. Fx = ker (о | Г:гХ). Условие интегрируе-
интегрируемости распределения F приобретает форму ю Д da = 0 («условие Фробени-
уса»). Последнее равносильно тому, что существует 1-форма т] на X с da> =
= © Л Т1- Оказывается, что 3-форма т) Л dr\ замкнута и ее когомологиче-
когомологический класс зависит только от исходного слоения F. Это и есть класс Годбий-
опа — Вея слоения F.
Характеристические классы, реализующие непрерывные когомологий
групп. В "заключение мы познакомимся с одной экзотической теорией ха-
характеристических классов, построенной в работах Гельфанда — Фукса [1967]
и Сигала [1975]. Пусть G — топологическая группа. Рассматривается катего-
категория главных G-расслоений с произвольными базами (не обязательно даже
хаусдорфовыми; впрочем, требование хаусдорфовости баз было бы для
излагаемой ниже теории безвредно, но усилить его нельзя). Пусть &"х — пу-
пучок ростков непрерывных функций на X. Мы укажем реализацию когомоло-
Рис. 1
368 Д- Б
гий -ffaig,c №.R) в характеристических классах таких расслоений со зпа-
чениями в Н*(—, STJ).
Пусть {Uа, фаР} — атлас рассматриваемого расслоения над X, и пусть
с е С|? (G, R) — коцикл, представляющий заданный когомологический класс
feH%(G, R). Определим чеховскую д-коцепь Ь покрытия {Ua} с коэффи-
коэффициентами в 3~х, положив
\,..,«д W = Alt с С1' Ф«Л (*)• • ••- Ф«овд (*))•
7.9. Предложение. Коцепь Ъ является коциклом. Ее когомологиче-
когомологический класс не зависит от выбора коцикла с в классе у, и сопоставление это-
этого класса с расслоением определяет реализацию группы Нчс (G, R) в ха-
характеристических классах G-расслоений со значениями в //'(—, &"—).
Напомним, что если пространство X является достаточно хорошим (на-
(например, паракомпактным), то Н*(Х, &~х) = 0 при q > 0 (см. Годман [1958]).
Поэтому построенный характеристический класс на расслоениях с такими
базами принимает нулевое значение. Это не удивительно: если, например,
G — группа Ли, то теория G-расслоений с хорошими базами, по существу,
не отличается от теории ^-расслоений, где К —¦ максимальная компактная
подгруппа группы G; но в то же время И\ (К, 1R) = 0 при q > 0 (см. след-
следствие 3.9). Однако оказывается, что если не накладывать на базу топологи-
топологических ограничений, т,о можно построить интересный пример расслоения,
у которого построенные характеристические классы нетривиальны. Первый
пример такого рода возникает при G = R. Из 3.13 следует, что Е\ (R, R) =R
при q = 0, 1 и Щ (R, R) = 0 при q > 1. Пусть Y есть пространство всех
вещественных последовательностей (t\, t2, ...) с топологией обратного пре-
предела lim9R9, X = Y- {0} и S = X/{th h, ...) ~ (f,f, t2t, ...), t?=0}. Ока-
Оказывается, что:
7.10. Предложение, (а) Пространство S не паракомпактно; более
того, всякая непрерывная функция 5-> R постоянна.
(b) Естественная проекция л: X -*¦ S представляет собой нетривиальное
главное ^-расслоение.
[Вспомним, что нетривиальных главных R-расслоений с паракомпакт-
ными базами вообще не бывает!]
(c) Характеристический класс, отвечающий ненулевому элементу груп-
группы И\ (R, R) = R, принимает на этом расслоении ненулевое значение.
Доказательство этого предложения не представляет труда: утвержде-
утверждение (а) выводится из определения топологии в S, (Ь) следует из (а), по-
поскольку (а) влечет за собой не только отсутствие сечений расслоения я,
но и вообще непостоянных непрерывных отображений S-+X, и, наконец,
(с), по существу, не отличается от (Ь), поскольку само расслоение, рас-
рассматриваемое как одномерный когомологический класс базы с коэффициен-
коэффициентами в пучке ростков непрерывных функций со значениями в структурной
группе, является своим характеристическим классом в рассматриваемом на-
нами сейчас смысле.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)
Алмквист (Almkvist G.)
[1973] Endomorphisms of finitely generated protective modules over a
commutative ring,— Ark. Mat, 1973, 11, p. 263—301.
Алперин, Шален (Alperin R. C, Schalen P. B.)
[1982] Linear groups of finite cohomological dimension.— Invent. Math.,
1982, 66, p. 89-98.
Атиа, Макдоналд (Atiyah M. F., Macdonald I. G.)
[1969] Introduction to commutative algebra.— Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1969. [Русский перевод. Атья М., Макдональд И.
Введение в коммутативную алгебру.— М.: Мир, 1972.]
Басе (Bass H.)
[1976] Euler characteristics and characters of discrete groups.— Invent.
Math., 1976, 35, p. 155—196.
[1979] Traces and Euler characteristics. Homological group theory/Ed.
С. Т. С. Wall—London Math. Soc. Lecture Notes, 36.—Cambridge:
Cambridge University Press, 1979, p. 105—136.
Берн сайд (Burnside W.)
[1911] Theory of groups of finite order.— 2nd ed.— Cambridge: Cambridge
University Press, 1911.
Б и ери (Bieri R.)
[1976] Homological dimension of discrete groups.— L.: Queen Mary College
Mathematics Notes, 1976.
Биери, Экман (Bieri R., Eckmann B.)
[1973] Groups with homological duality generalizing Poincare duality.—
Invent. Math., 1973, 20, p. 103—124.
[1974] Finiteness properties of duality groups.— Comment. Math. Helv.,
1974, 49, p. 74—83.
Б op ел ь (Borel A.)
[1953] Sur la cohomologie des cspaces fibres principaux et des espaces
homogenes de groupes de Lie compacts.— Ann. Math., 1953, 57,
p. 115—207. [Русский перевод. В кн.: Расслоенные пространства и
их приложения (сб. переводов).— М.: ИЛ, 1958, с. 163—246.]
[1960] Seminar on transformation groups.— Ann. Math. Studies, 46.— Prin-
Princeton: Princeton University Press, 1960.
1 [1974] Stable real cohomology of arithmetic groups.— Ann. Sci. ENS, 1974,
4, p. 235—272.
Борель, Cepp (Borel A.\ Serre J.-P.)
[1974] Corners and arithmetic groups.— Comment. Math. Helv., 1974, 48,
p. 244—297.
[1976] Cohomologie d'immeubles et de groupes 5-arithmetiques.— Topology,
1976, 15, p. 211—232.
Б о т т (Bott R.)
! [1957] Homogeneous vector bundles.—Ann. Math., 1957, 66, p. 203—248.
' [1977] On the characteristic classes of groups of diffeomorphisms.— En-
Ensign. Math., 1977, 23, p. 209—220.
Ботт, Хейтш (Bott R., Heitsch J.)
* [1972] A remark on the integral cohomology of BTq.— Topology, 1972, 11,
p. 141—146.
Браун (Brown K. S.)
[1974] Euler characteristics of discrete groups and G-spaces.— Invent.
Math., 1974, 27, p. 229—264.
') Звездочкой помечена литература, добавленная при переводе.— При-
Примеч. ред.
24 к. С. Браун
370 список литературы
[1975а] Homological criteria for finiteness.—Comment. Math. Helv., 1975,
50, p. 129-135.
[1975b] Euler characteristics of groups: the p-fractional part.— Invent. Math.,
1975, 29, p. 1—5.
[1976] High dimensional cohomology of discrete groups.— Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1976, 73, p. 1795—1797.
[1979] Groups of virtually finite dimension. Homological groups theory/Ed.
С. Т. С. Wall.—London Math. Soc. Lecture Notes, 36.—Cambridge:
Cambridge University Press, 1979, p. 27—70.
[1982] Complete Euler characteristics and fixed-points theory.— J. Pure
Appl. Algebra,, 1982, 24, p. 103—121.
Браун, Кан (Brown К. S., Kahn P. J.)
[1977] Homotopy dimension and simple cohomological dimension of spa-
spaces.—Comment. Math. Helv., 1977, 52, p. 111—127.
Б р а у э р (Brauer R.)
[1926] Uber Zusammenhange zwischen arithmetischen und invariantenteo-
retischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen.— Sit-
zungber. Preuss. Akad, Wiss., 1926, S. 410—416.
Б р е д о н (Bredon G. E.)
[1972] Introduction to compact transformation groups.— N. Y.: Academic
Press, 1972. [Русский перевод. Бредон Г. Введение в теорию
компактных групп преобразований.— М.: Наука, 1980.]
Ван Э с т (Van Est W. Т.)
* [1953] Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups.—
Indag. Math., 1953, 15, p. 484—504.
Вейль (Weil A.)
[1952] Sur les theoremes de de Rham.— Comment. Math. Helv., 1952, 26,
p. 119—145.
Венков Б. Б.
[1965] О гомологиях групп единиц в алгебрах с делением.— Труды МИАН,
1965, 80, с. 66—89.
Вест (West J. E.)
[1977] Mapping Hilbert cube manifolds to ANR's: a solution of a conje-
conjecture of Borsuk.— Ann. of Math., 1977, 106, p. 1—18.
Вольф (Wolf J. A.)
[1974] Spaces of constant curvature.— 3rd ed.— Boston: Publish or Perish,
1974 [Русский перевод. Вольф Дж. Пространства постоянной
кривизны.—М.: Наука, 1982').]
Вороной Г. (Voronoi G.)
[1907] Nouvelles applications des parametres continus a la theorie des
formes quadratiques, I.—J. Reine Angew. Math., 1907, 133, p. 91—
178.
Гельфанд И. М., Фукс Д. Б.
* [1967] Топология некомпактных групп Ли.— Функц. анал., 1967, 1, № 4,
с. 33-45.
* [1968] Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности.—
Функц. анал., 1968, 2, № 4, с. 92—93.
Г и ш а р д е (Guichardet A.)
* [1980] Cohomologie des groupes topologiques et des algebres de Lie.— P.:
Nathan, 1980. [Русский перевод. Гишарде А. Когомологии то-
топологических групп и алгебр Ли.— М.: Мир, 1984.]
Гишарде, Вигнер (Guichardet Aj, Wigner D.)
* [1978] Sur la cohomologie reele des groupes de Lie simples reels.— Ann.
sci. ENS, 1978, 11, p. 277—292.
') Русский перевод сделан со второго издания, несколько отличаю-
отличающегося от третьего издания, которое цитирует автор.— Примеч. пер.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 371
Годман (Godement R.)
[1958] Topologie algebrique et theorie de faisceaux.— P.: Hermann, 1958.
[Русский перевод. Годман Р. Алгебраическая топология и тео-
теория пучков.— М.: ИЛ, 1961.]
Г о л д м а н (Goldman О.)
[1961] Determinants in projective modules.— Nagoya Math. J., 1961, 18,
p. 27-36.
Г о т т л и б (Gottlieb D. H.)
[1965] A certain subgroup of the fundamental group.— Amer. J. Math.,
1965, 87, p. 840—856.
Гротендик (Grothendiek A.)
[1957] Sur quelques points d'algebre homologique.— Tohoku Math J.,
1957, B), 9, p. 119—221. [Русский перевод: Гротенднк А.
О некоторых вопросах гомологической алгебры.— М.: ИЛ, 1961.]
Грюнберг (Gruenberg К. W.)
[1970] Cohomological topics in group theory.— Lecture Notes in Math, 143.—
В.; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1970.
Гуревич (Hurewicz W.)
[1936] Beitrage zur Topologie der Deformationen. IV.— Aspharische Rau-
me. Nederl. Akad. Wetensch. Proa, 1936, 39, p. 215—224.
Дайер, Васкес (Dyer E., Vasquez A. T.)
[1973] Some small aspherical spaces.— J. Austral. Math. Soc, 1973, 16,
p. 332—352.
Д а н в у д и (Dunwoody M. J.)
[1972] Relation modules.—Bull. London Math. Soc, 1972, 4, p. 151—155.
[1979] Accessibility and groups of cohomological dimension one.— Proc. Lon-
London Math. Soc, 1979, C), 38, p. 193—215.
Диксмье (Dixmier J.)
* [1974] Algebres enveloppantes.—P.; Bruxelles; Montreal: Gauthier-Villars,
1974. [Русский перевод. Диксмье Ж. Универсальные оберты-
обертывающие алгебры.— М.: Мир, 1978.]
Долд (Dold A.)
[1972] Lectures on algebraic topology.— В.; Heidelberg; N. Y.: Springer-
Verlag, 1972. [Русский перевод. Д о л ь д А. Лекции по алгебраи-
алгебраической топологии.— М.: Мир, 1976.]
3 и г е л ь (Siegel С. L.)
[1971] Topics in complex function theory. V. 2.— N. Y.: Wiley-Interscien-
ce, 1971.
И л л м а н (Illman S.)
[1978] Smooth equivariant triangulations of G-manifolds for G a finite
group.— Math. Ann., 1978, 233, p. 199—220.
Kappa с, Пиетровски, Солитар (Karras A., Pietrowski A., Soli-
tar D.)
[1973] Finitely generated groups with a free subgroup of finite index.—
J. Austral. Math. Soc, 1973, 16, p. 458—466.
К а р т а н (Cartan H.)
[1954/55] Algebres d'Eilenberg — MacLane et homotopie.— Seminaire Henri
Cartan 1954/55, Ecole Normale Superieure, Paris.
Карта н, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
[1956] Homological algebra.—Princeton: Princeton University Press, 1956.
[Русский перевод. Картан А., Эйленберг С. Гомологиче-
Гомологическая алгебра.— М.: ИЛ, I960.]
Кац (Кае V. G.)
* [1983] Infinite dimensional Lie algebras. An introduction.—Boston; Basel;
Stuttgart: Birkhiiuser, 1983.
К в и л л е н (Quillen D)
[1971] The spectrum of an equivariant cohomology ring. I, II.— Ann. Math.,
1971, 94, p. 549-572, p. 573-602.
24*
372 список литературы
[1973] Finite generation of the groups Kt of rings of algebraic integers.
Aigebraio Z-theory I.— Lecture Notes in Math., 341.— В.; Heidel-
Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1973,' p. 179—198.
[1978] Homotopy properties of the poset of non-trivial p-subgroups of a
group.—Advances in Math., 1978, 28, p. 101—128.
Кирби, Зибенман (Kirby R. C., Siebenmann L. C.)
[1969] On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung.— Bull.
Amer. Math. Soc, 1969, 75, p. 742—749.
Кокетеp, Мозер (Coxeter H. S. M. Moser W. (X J.)
[1980] Generators and relations for discrete groups.— 4th ed.— В.; Heidel-
Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1980. [Русский перевод. Коксе-
т е р Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и оп-
определяющие соотношения дискретных групп.— М.: Наука, 1980.]
К о с т а н т (Kostant В.)
* [1961] Lie algebra cohomology and the generalized Borel — Weil theorem.—
Ann. Math., 1961, 74, p. 329—387.
К о э н Д. (Cohen D. E.)
[1972] Groups with free subgroups of finite index. Conference on group
theory.— Lecture Notes in Math., 319.— В.; Heidelberg; N. Y.: Sprin-
Springer-Verlag, 197a, p. 26—44.
[1978] Combinatorial group theory: a topological approach—. L.: Queen Ma-
Mary College Mathematics Notes, 1978.
К о э н Дж. (Cohen J.)
[1972J Poincare 2-compIexes, I.—Topology, 1972. 11, p. 417—419.
Ланделл, Вейнграм (Lundell А. Т., Weingram S.)
[1969] The topology of CW complexes.— N. Y.: Van Nostrand Reinhold, 1969.
Ленер (Lehner J.)
[1964] Discontinuous groups and automorphic functions.— Mathematical
surveys, 8.— Providence: Amer. Math. Soc, 1964.
Л и н д о н (Lyndon R. С.)
[1950] Cohomology theory of groups with a single defining relation.—Ann.
Math., 1950, 52, p. 650—665.
Линдой, Шупп (Lyndon R. С, Sclmpp P. E.)
[1977] Combinatorial group theory.— В.; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag,
1977.
Мадсен, Томас, Уолл (Madsen L., Thomas С. В., Wall С. Т. С.)
[1976] The topological space form problem, II. Existence of free actions.—
Topology, 1976, 15, p. 375—382.
M а к л е й н (MacLane S.)
[1949] Cohomoiogy theory in abstract groups, III. Operator homomorphism
of kernels.—Ann. Math., 1949B), 50, p. 736—761.
[1963] Homology.— В.: Springer-Verlag, 1963. [Русский перевод. М а к-
лейн С. Гомология.— М.: Мир, 1966.]
[1978] Origins of the cohomology of groups.—Enseign. Math., 1978 B), 24,
p. 1—29.
[1979] Historical note.—J. Algebra, 1979, 60, p. 319—320.
Мальцев А.И.
[1949] Об одном классе однородных пространств.—Изв. АН СССР: Сер.
мат., 1949, 13, с. 9—32.
М а н к р е с (Munkres J.)
[1966] Elementary differential topology, revised ed.— Ann. Math. Studies,
54.— Princeton: Princeton University Press, 1966. [Русский пере-
перевод. В кн.: Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические клас-
классы.— М.: Мир, 1969, с. 270—359.]
Мае с и (Massey W. S.)
[1967] Algebraic topology: an introduction.—N. Y.: Harcourt, Brace and
World, 1967. [Русский перевод. В кн.: Ma сен У., Стои-
Стоили иге Дж. Алгебраическая топология. Введение.—М.: Мир, 1977.]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 373
Миллер (Miller С.)
[1952] The second homology group of a group; relations among commuta-
commutators.— Proc. Amer. Math. Soc, 1952, 3, p. 588—595.
M и л н о р (Milnor J.)
[1957а] Groups which act on Sn without fixed points.— Amer. J. Math., 1957,
79, p. 623—630.
[1957b] The geometric realization of a semi-simplicial complex.— Ann.
Math., 1957, B), 65, p. 357-362.
[1963] Morse theory.—Ann. Math. Studies, 51.—Princeton: Princeton Uni-
University Press, 1963. [Русский перевод. Милнор Дж. Теория
Морса.—М.: Мир, 1965.]
[1971] Introduction to algebraic Я-theory.— Ann. Math. Studies, 72.— Prin-
Princeton: Princeton University Press, 1971. [Русский перевод. Мил-
Милнор Дж. Введение в алгебраическую А>теорик».— М.: Мир, 1974]
* [1983] On the homology of Lie groups made discrete.—Comment. Math.
Helv., 1983, 58, p. 72—85.
Милнор, Сташефф (Milnor J., Stasheff J.)
* [1974] Characteristic classes.— Princeton: Princeton University Press, 1974.
[Русский перевод: Милнор Дж., Сташефф Дж. Характери-
Характеристические классы.— М.: Мир, 1979.]
Монтгомери (Montgomery M. S.)
[1969] Left and right inverses in group algebras.— Bull. Amer. Math. Soc,
1969, 75, p. 539—540.
Мостов М. (Mostow M. A.)
* [1976] Continuous cohomology of spaces with two topologies.— Memoirs
Amer. Math. Soc, 175.— Providence, 1976.
Папакирьякопулос (Parakyriakopoulos С D.)
[1957] On Dehn's lemma and the asphericity of knots.— Ann. Math., 1957,
66, 1—26. [Русский перевод. Математика, 1958, 2, № 4, с. 23—47.]
П а с с м а н (Passman D. С.)
[1977] The algebraic structure of group rings.— N. Y.: Wiley, 1977.
Постников М. М.
* [1985] Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточ-
клеточных пространств.— М.: Наука, 1985.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1904] Cinqueme complement a l'Analysis situs.— Rend. Circ. Mat. Paler-
Palermo, 1904, 18, p. 45—110. [Русский перевод. Анри Пуанкаре.
Избранные труды. Т. П.—М.: Наука, 1972, с. 676—734]
Рохлин В. А., Фукс Д. Б.
* [1977] Начальный курс топологии. Геометрические главы.— М.: Наука,
1977.
Серр (Serre J.-P.)
[1965] Algebre locale; multiplicites.— 2nd ed.— Lecture Notes in Math.,
П.—В.; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1965. [Русский перевод.
Математика, 1963, 7, № 5, с. 3—931).]
[1968] Corps locaux.—P.: Hermann, 1968.
[1971] Cohomologie des groups discrete.— Ann. Math. Studies, 1971, 70,
p. 77—169. [Русский перевод. Математика, 1974, 18, № 3, с. 123—
144, № 4, с 3—33.]
[1977а] Arbres, amalgames, SL?.— Asterisque, 1977, 46. [Русский перевод.
Математика, 1974, 18, № 1, с. 98—120; № 2, с. 3—271).]
[1977b] Linear representations of finite groups.— N. Y.: Springer-Verlag,
1977 [Русский перевод. Серр Ж.-П. Линейные представления
конечных групп.— М.: Мир, 19702).]
') Перевод сделан с препринта.— Примеч. пер.
2) Перевод сделан с французского оригинала книги.— Примеч. пер.
374 список литературы
[1979] Arithmetic groups. Homological group Iheory/Ed. С. Т. С. Wall.—
London Math. Soc. Lecture Notes, 36.—Cambridge: Cambridge Uni-
University Press, 1979, p. 105—136.
Сигал (Segal G.)
* [1973] The cohomology of topological groups.— Symposia Math. V. 4.— L.;
N. Y., 1973, p. 377—387.
* [1975] Классифицирующее пространство топологической группы в
смысле Гельфанда — Фукса.— Фувкц. анал., 1975, 9, № 2,
с. 48-50.
Скотт (Scott G. Р.)
[1974] An embedding theorem for groups with a free subgroup of finite
index.—Bull. Lond. Math. Soc, 1974, 6, p. 304—306.
Скотт, Уолл (Scott G. P., Wall С. Т. С.)
[1979] Topological methods in group theory. Homological group theory/Ed.
С. Т. С Wall.—London Math. Soc. Lecture Notes 36.—Cambridge:
Cambridge University Press, 1979, p. 137—203.
Спеньер (Spanier E. H.)
[1966] Algebraic topology.—N. Y.: McGrow Ш11, 1966. [Русский перевод.
Спеньер Э. Алгебраическая топология.— М.: Мир, 1971.]
Столлингс (Stallings J. R.)
[1963] A finitely presented group whose 3-dimensional integral homology
is not finitely generated.—Amer. J. Math., 1963, 85, p. 541—543.
[Русский перевод. Математика, 1964, 8, № 4, с. 155—157.]
[1965а] Homology and central series of groups.— J. Algebra, 1965, 2, p. 170—
181.
[1965b] Centerless groups — an algebraic formulation of Gottlieb's theo-
theorem.— Topology, 1965, 4, p. 129—134.
[1968] On torsion-free groups with infinitely many ends.— Ann. Math.
1968, 88, p. 312—334
С у з у к и (Suzuki M.)
[1955] On finite groups with cyclic Sylow subgroups for all odd primes.—
Amer. J. Math., 1955, 77, p. 657—691.
Суле (Soule C.)
[1978] The cohomology of SL3(Z).—Topology, 1978, 17, p. 1—22.
С у о н (Swan R. G.)
[1960a] A new method in fixed point theory.— Comment Math. Helv., 1960,
34, p. 1-16.
[1960b] Induced representations and projective modules.— Ann. Math., 1960,
71, p. 552—578. [Русский перевод. Математика, 1964, 8, № 1,
с. 3-28.]
[1969] Groups of cohomological dimension one.—J. Algebra, 1969, 12,
p. 585-601.
Суслин A. (Suslin A.) >
* [1983] On the Z-theory of algebraically closed fields.— Invent. Math., 1983,
73, p. 241—245.
Тейхмюллер (Teichmiiller O.)
[1940] Uber die sogenannte nichtcommutative Galoische Theorie und die
Relation 6fc,I4,vefc,|4Vf«EJt,v,n= Eb.n.vAn.v.sj- ~ Deutsche Math., 1940,
5, S. 138-149.
У а й т x e д (Whitehead J. H. C.)
[1949] Combinatorial homotopy, I, Hj— Bull. Amer. Math. Soc, 1949, 55,
p. 213-245, p. 453-496.
Уолл (Wall С. Т. С.)
[1961] Rational Euler characteristics.— Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961,
57, p. 182—183.
[1965] Finiteness conditions for CW-complexes.—Ann. Math., 1965, 81,
p. 56—69.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 375
[1966] Finiteness conditions for CW-complexes, II.— Proc. Royal Soc, 1966,
A 295, p. 129—139.
[1979] List of problems. Homological group theory/Ed. С. Т. С Wall.— Lon-
London Math. Soc. Lecture Notes, 36.— Cambridge: Cambridge Universi-
University Press, 1979, p. 369—394.
Фаддеев Л. Д.
* [1984] Операторная аномалия для закона Гаусса.— Л.: ЛОМИ, 1984. (Пре-
(Препринт ЛОМИ Р-5-84.)
Фаррелл (Farrell F. Т.)
[1975] Poincare duality and groups of type (FP).— Comment Math. Helv.,
1975, 50, p. 187—195.
[1977] An extension of Tate cohomology to a class of infinite groups.—
J. Pure Appl. Algebra, 1977, 10, p. 153—161.
Ф ейгин Б. Л.
* [1980] Когомологии групп и алгебр токов.— Успехи мат. наук, 1980, 35,
№ 2, с. 225—226.
Фишер, Каррасс, Солитар (Fischer J., Karrass A., Solitar D.)
[1972] On one-relator groups having elements of finite order.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1972, 33, p. 297—301.
Фукс Д. Б.
* [1984] Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.— М.: Наука, 1984.
X а д с о н (Hudson J. F. P.)
[1969] Piecewise linear topology.— N. Y.: Benjamin, 1969.
Хардер (Harder G.)
[1971] A Gauss-Bonnet formula for discrete arithmetically defined groups.—
Ann. Sci. ENS, 1971 D), 4, p. 409—455. [Русский перевод. Матема-
Математика, 1974, 18, № 6, с. 20—55.]
Хаттори (Hattori A.)
[1965] Rank element of a projective module.— Nagoya J. Math., 1965, 25,
p. 113—120.
Холл (Hall M., Jr)
[1959] The theory of groups.— N. Y.: MacMillan, 1959. [Русский перевод.
M. X о л л. Теория групп.— М.: ИЛ, 1962.]
X о п ф (Hopf H.)
[1942] Fundamentalgruppe und zweite Beltische Gruppe.— Comment. Math.
Helv., 1942, 14, p. 257—309.
X о x ш и л д (Hochschild G.)
[1965] The structure of Lie groups.— San Francisco: Holden-Day, 1965.
Хохшилд, Мостов Г. (Hochschild G., Mostow G. D.)
* [1962] Cohomology of Lie groups.—Illinois J. Math., 1962, 6, p. 367—401.
Хохшилд, Cepp (Hochschild G., Serre J.-P.)
[1953] Cohomology of group extensions.—Trans. Amer. Math. Soc, 1953,
74, p. 110-134.
Хью (Hughes N. J. S.)
[1951] The use of bilinear mappings in the classification of groups of
class 2.—Proc. Amer. Math. Soc, 1951, 2, p. 742—747.
Цассенхауз (Zassenhaus H. J.)
[1958] The theory of groups.—2nd ed.—N. Y.: Chelsea, 1958.
Ч и з в е л л (Chiswell I. M.)
[1976a] Exact sequences associated with a graph of groups.—J. Pure Appl.
Algebra, 1976, 8. p. 63—74.
[1976b] Euler characteristic of groups.— Math. Z., 1976, 147, S. 1—11.
Шнеебели (Schneebeli H. R.)
[1978] On virtual properties of group extensions.— Math. Z., 1978 159,
S. 159—167.
Ill p а й е р (Schreier 0.)
[1926] Uber die Erweiterungen von Gruppen, I.— Monatsch. Math. u. Phys.,
1926, 34, S. 165-180.
376 список литературы
Штамм бах (Stammbach U.)
[1966] Anwendungen der Homologietheorie der Gruppen auf Zentralreihen
und auf Invarianten von Prasentierungen.— Math. Z., 1966, 151,
S. 157-177.
[1973] Homology in group theory.— Lecture Notes in Math., 359.— В.; Hei-
Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1973.
Штребель (Strebel R.)
[19761 A homological finiteness criterion.—Math. Z., 1966, 151, S. 263—275.
[1977] A remark on subgroups of finite index in Poincare duality groups.—
Comment. Math. Helv., 1977, 52, p. 317—324
III ту л ep (Stuhler U.)
[1980] Homoiogical properties of certain arithmetic groups in the function
field case.—Invent. Math., 1980, 57, p. 263—281.
Шуберт (Schubert H.)
[1968] Topology.— Boston: Allyn and Bacon, 1968.
Шур (Schur I.)
[1902J Neuer Beweis eines Satzes iiber endlichen Gruppen.— Sitzungsber.
Preuss. Akad, Wiss., 1902, S. 1013—1019.
[1904] Uber die Darstelhmg der endlichen Gruppen durch gebrochene li-
neare Substitutionen.—J. Reine Angew. Math., 1904, 127, S. 20—50.
Эйленберг (Eilenberg S.)
[1947] Homology of spaces with operators, I.—Trans. Amer. Math. Soc,
1947, 61, p./ 378—417; errata, 1947, 62, p. 548.
Эйленберг, Ганя (Eilenberg S., Ganea Т.)
[1957] On the Lusternik — Snirelmann category of abstract groups.— Ann.
Math., 1957, 65, p. 517—518.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
[1945] Relations between homology and homotopy groups of spaces.— Ann.
Math., 1945, B) 46, p. 480-509.
[1947] Cohomology theory in abstract groups. II. Group extensions with a
non-abelian kernel.—Ann. Math., 1947, B) 48, p. 326—341.
Эйленберг, Myp (Eilenberg S., Moore J. C.)
* [1966] Homology and fibrations. I. Coalgebras, cotensor product and its
derived functors.—Comment. Math. Helv., 1966, 40, p. 199—236.
Эйленберг, Стинрод (Eilenberg S., Steenrod N.)
[1952] Foundations of algebraic topology.— Princeton: Princeton University
Press, 1952. [Русский перевод. Стинрод Н., Эйленберг С,
Основания алгебраической топологии.— М.: Физматгиз, 1958.]
Э к м а н (Eckmann В.)
[1953] Cohomology of groups and transfer.— Ann. Math., 1953, 58,
p. 481—493.
Экман, Мюллер (Eckmann В., Miiller H.)
[1980] Poincare duality groups of dimension two.—Comment Math. Helv.,
1980, 55, p. 510—520.
Э ш (Ash A.)
[1977] Deformation retracts with lowest possible dimension of arithmetic
qutients of self-adjoint homogeneuous cones.— Math. Ann., 1977, 225,
p. 69-76.
Яковский (Jackowski S.)
[1978] The Euler class and periodicity of group cohomology.—Comment.
Math. Helv., 1978, 53, p. 643—650.
Семинар «Софус Ли»
* [1954/55] Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes de Lie.— Sec-
Secretariat mathematique, Paris 1955. [Русский перевод, Теория алгебр
Ли/Топология групп Ли.— М.: ИЛ, 1962.]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелианизация 47
Аддитивная категория 35
Аддитивный функтор 44
Алгебра Каца — Муди 358
— Ли векторных полей 348
токов 348
— разделенных полиномов 140, 147
Амальгама 62
Арифметическая группа 252
Ассоциированный градуированный
модуль 189
Асферическое пространство 9, 25
Аугментационный идеал 21
Аугментация 21
Ацикличное покрытие 196, 307
— пространство 25
Ацикличный модуль 88
— цепной комплекс 14
Бар-резольвента 29
Бинарная группа икосаэдра 60, 182
октаэдра 182
тетраэдра 182
Виртуальная когомологическая раз-
размерность 2R4
Виртуальные понятия 261
Внешняя алгебра 140, 143
— степень 116
Геометрическая размерность 215,
237
Гипотеза Милнора 360
Главное дифференцирование 74, 107
Гомологии группы 9, 46, 70, 158, 196,
201
— Тейта 158
— цепного комплекса 12
Гомологическая размерность 236
Гомологический функтор 91
Гомотопическая эквивалентность 13,
40
Гомотопия 13
Градуированный модуль 12
Граница 12
Граничный оператор 12
Граф 66
— групп 208
Группа автоморфизмов 122
— Вейля 344
— верхних треугольных матриц 50,
215, 247
Группа внешних автоморфизмов 124
— Каца — Муди 358
— с двойственностью 256
виртуально 265
Пуанкаре 256
— строго верхних треугольных мат-
матриц 50, 216, 246
— узла 246
— Шевалле 294
Групповая алгебра 23
Групповое кольцо 21
Двойной комплекс 192
Двойственность 38, 156, 169
Делимые модули 80
Дерево 66
—, ассоциированное с амальгамой 68
Дзета-функция 295
Диагональная аппроксимация 128,
160, 319
Диагональное действие 69, 70
Дискретные подгруппы групп Ли 50,
251
Дифференциал 12
Дифференцирование 58, 106
Диэдральная группа 116
Длина резольвенты 19
Длинная точная гомологическая по-
последовательность 15, 87, 91
Допустимая точная последователь-
последовательность 151
Допустимое вложение 151
— умножение 138
Допустимый ацикличный цеппой
комплекс 151
— Г-комплекс 299
Дуализирующий модуль 256, 320
Идемпотент 38, 271, 276
Инвариант 38
Инвариантный когомологический
класс 101
Индуцированный модуль 74, 82
Инъективный модуль 36, 79
Картановская подалгебра 344
Кватернионная группа 117, 181
Классифицирующее пространство 342
Коамальгама 113
Когомологии алгебры Ли 345
— ван Эста 350
— группы 71, 156, 198, 322, 350, 356,
359
378
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Когомология конечномерной алгебры
Ли 348
— коцепного комплекса 13
— с компактными носителями 242
— Сигала 356
— Тейта 150, 198, 210
— Фаддеева 359
— Фаррелла 322
Когомологическая размерность 215
Когомологически тривиальный мо-
модуль 174, 333
Когомологический функтор 94
Кограница 13
Коинвариант 44
Коиндуцированный модуль 82
Кокомпактность 251
Комбинаторный путь 55
Коммутаторное спаривание 116
Компактная форма 347
Компактные носители 242
Композиционное умножение 135, 168
Конгруэнц-подгруппа 53
Конец 259
Конечно доминируемое пространство
231
— представимый модуль 223
Конечный гомологический тип 285
— цепной комплекс 281
Конструкция Милнора универсаль-
универсального расслоения 344
— Черна — Вейля 365
Конус отображения 14
Корасширение скаляров 78
Косвободный модуль 81
Косокоммутативность 131, 139
Косужение 97, 159
Коуничтожаемый функтор 89
Коцикл 13
— Ботта 354
— Гишарде — Вигнера 353
Критерий Куммера 313
Лемма Ионеда 36
— Накаямы 176, 274
— Шануэля 222, 224
— Шапиро 89, 159
Мера Гаусса — Бонне 293
Модуль соотношений 56, 57, 229
Набор множителей 110
Надстройка 13
Непрерывныекогомологии группы 350
Неразложимость 268, 272, 273
Нерв покрытия 194
Нормализованная бар-резольвента 29
Нормирующее отображение 73
Нормирующий элемент 31
Обобщенная кватернионная группа
117, 181
Обогащение структуры 362
Обратимый идеал 38
Относительная гомологическая ал-
алгебра 35, 151
Относительно инъективная резоль-
резольвента 153
— инъективнын модуль 151
Относительные когомологии алгебры
Ли 349
Отображение Алексапдера — Уитни
128, 332
— значений 17, 133, 170, 271
Перестановочный модуль 22
Перетасовывающее отображение 139
Периодическая резольвента 30, 156
Периодические когомологии 30, 180,
185, 210, 334
Плоский модуль 40, 70
Показатели 344
Полная диагональная аппроксима-
аппроксимация 161, 319
— линейная группа 50
— резольвента 154, 317
Полупрямое произведение 105
Пополненное тензорное произведе-
произведение 161
Последовательность Майера — Вие-
ториса 65, 90, 208
Предел спектральной последова-
последовательности 190
Представимый функтор 36
Приведенные когомологии 244
Проективная размерность 178, 214,
333
Проективный модуль 32, 37, 70
над групповым кольцом 38,
175, 178, 232
локальным кольцом 273
Простой модуль 174
Пространство Эйлепберга — Маклей-
на 24, 53
Пятичленная точная последователь-
последовательность 59, 200, 204
Разделенпые степени 146
Размерность Крулля 186
Ранг нильпотентной группы 216
— проективного модуля 267
— Столлипгса — Хаттори 271
Расслоенное произведение 113
Расширение (групповое) 50, 104, 200,
287, 298, 326
— скаляров 77
Расщепляющееся расширение 105
Регулярное накрытие 42
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
379
Свободная производная 58, 108
Свободное G-миожество 23
— G-пространство 23
Связывающий гомоморфизм 14, 87,
91
Сдвиг размерностей 90, 159
Симметрическая группа 61, 102
Симплектическая группа 296, 313
Симплициалыюе произведение 263
— пространство 263
Система коэффициентов 195
Скольжение 31
Скрещенный гомоморфизм 58, 106
— модуль 122
Слабая эквивалентность 13, 40
След 268
Слоение 366
Собственное действие 51
Совершенная группа 59, 115, 229
Спектральная последовательность
190
— — Картана — Лере 202
регулярного накрытия 202
Серра — Хохшилда 200, 326, 346
Хохшилда — Мостова 351
Эйленберга — Мура 343
Специальная линейная группа 52,
184, 247, 296
Стабильно свободный модуль 232
Стандартная резольвента 28
Стандартный ко цепной комплекс ал-
алгебры Ли 345
Степень 12
Строгая косокоммутативность 139
Структура 361
— Маурера — Картана 365
Стягиваемость ацикличных цепных
комплексов 31, 41, 154, 318
Стягиваемый комплекс 14
Стягивающая гомотопия 14
Сужение 97, 159
— скаляров 77, 84
Сходимость спектральной последова-
последовательности 190
Тензорное произведение 15, 18, 69,
127, 161
Теорема Бореля 359
— ван Эста 352
— Готтлиба 292
— Квиллепа 186
— Лин дона 49, 57, 215, 265
— об ацикличных моделях 36
— о неподвижной точке 31, 211, 284,
302
— Рима 178, 333
— Серра 220
— Соломона — Титса 313
— Столлингса 259
Теорема Столлингса — Суона 215
— Суопа 279
— универсальных коэффициентов 16,
149, 199, 229, 234
— Хопфа 9, 55, 59
— Эйленберга — Гани 237
Топологически тривиальное расши-
расширение 354
Топологические когомологии групп
342
Топологическое расширение 354
Топология Зарисского 273
Точный функтор 17
Трансфер 97
Трюк Эйленберга 218
Универсальная обертывающая ал-
алгебра алгебры Ли 346
Универсальное расслоение 342
— центральное расширение 115
Уничтожаемый функтор 88
Упорядоченное симплициалыюе про-
пространство 263
Условие FL 231
— FP 230
— FPn 223
— FPoo 225
— VFL 261
— VFP 261
— WFL 262
Фильтрация 189
Формула двойных смежных классов
84, 100
— Кюннета 16, 129, 141
Фундаментальная группа rpajja
групп 208
— лемма гомологической алгебры
33, 152
Фундаментальный класс 170, 236
Функциональный комплекс 13
Характеристические классы струк-
структур 362
Характеристический класс Гельфан-
да — Фукса 367
Понтрягина 363
слоения 366
Черна 363
Эйлера 363
Цепное отображение 13
, сохраняющее аугментацию 34,
154
Цепной комплекс 12
Цикл 12
Числа Бернулли 295
Число Хирша 216
380
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эйлерова характеристика 191, 281
группы 286, 288
Эйлеровы характеристики арифмети-
арифметических групп 294
Эквивариантная эйлерова характе-
характеристика 289
Эквивариантные гомологии группы
201
— когомологии группы 201, 210, 327
Элементарная абелева р-группа 183,
309, 315
5-функтор 91
Ext 74
^-изоморфизм 332
G-множество 22
G-модуль 22
С-пространство 23
#AW-pacurapeime 209
Нот 69
агбот 13
Spec 4 273
Тог 75
б-функтор 94
Х-умножение 129
^-умножение 129, 159
,-,-умпожение 133, 165
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
[—, —] [коммутант] 10
~ [гомотопия] 13
<—, —> [отображение значений] 17, 133
(go,...,gn) [gi\g2\ ... \gn] [базис в стандартной резольвенте] 28—29,47
®, ®с [тензорпое произведение G-модулей] 69
X [полупрямое произведение] 105
X [Х-умножение] 128
^ [^-умножение] 129
г\ [о-умножение] 133
® [пополненное тензорное произведение] 161
=> [сходимость спектральной последовательности] 196
А' [двойственная группа для абелевой группы А] 169
Aut (N) [группа автоморфизмов группы N] 122
В (С) [группа границ комплекса С] 12
Вл [число Бернулли] 295
BG [классифицирующее пространство группы G] 343
cd Г [когомологическая размерность группы Г] 215
С„ (G, М), С* (G, M), C^f {G, М) [цепи, коцепи и нормализованные
коцепи группы G с коэффициентами в М] 74
C*(g, M) [коцепи алгебры Ли д] 345
[централизатор элемента ¦у в группе Г] 279
gAf [коиндуцированный модуль] 82
согд [косужение] 98
Dim [диэдральная группа] 116
Der (G, А) [дифференцирования] 107
EXgG' [расслоенное произведение или коамальгама] ИЗ
е(Р), ег(Р) 267
?р„, Е^Ч [спектральная последовательность] 190
Ei [исключительная группа] 294, 296
Ext* (M, N) 75
8(G, А) [расширения группы G при помощи А] 112
F [двойственный комплекс к цепному комплексу F] 156
[¦у] [класс сопряженности элемента "j] 278
T(N) [конгруэнц-подгруппа] 53
Г (у), Т(г/г), Г (У) [алгебра разделенных полиномов] 140
5 [компактная форма группы Ли G] 347
G4 [группа G, лишенная топологии] 359
G/H, H\G [смежные классы подгруппы Н в G] 8
G\ Xa <?2 [амальгама] 62
Gab [абелиапизация] 47
GLn [полная линейная группа] 50
382 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
geom dim Г [геометрическая размерпость группы Г] 215
GrM [ассоциированный градуированный модуль] 189
Н(С) [гомологии цепного комплекса С] 12,
HtG, Я» (G) [гомологии группы G] 9, 46
Я» (G, M), Я* (G, М), Я» (G, М), Й* (G, М) [гомологии и когоно-
логии группы G с коэффициентами в модуле Ж] 70, 71, 156, 322
Л* (9, If) [когомологии алгебры Ли g с коэффициентами в модуле Ж] 345
Я* (G, С), Я*(С, С), H*(G, С) [гомологии и когомологии группы G
с коэффициентами в цепном комплексе С] 196
tf*(G)(j>), H*(G)ip) [р-примарные компоненты] 101, 165
Я^(Х, М), HG(X, M), Яц (X, М) [эквивариаптные гомологии и ко-
когомологии] 201, 327
?*(Г) 329
#*lg> /7*lg 342
Я* (X) [когомологии с компактными носителями] 242
Я* (G) [непрерывные когомологии группы G] 350
H*F (G) [фаддеевские когомологии группы G] 359
i/g (G) [сигаловские когомологии группы G] 357
Я^ор, Я*ор [топологические гомологии и когомологии группы] 342
Я„ [приведенные гомологии] 244
Я* (S), H^(S), %r{S) и т. д. [S — упорядоченное множество] 304
Нот [модуль гомоморфизмов с диагональным действием] 69
Homo 241
Эвотп [комплекс гомоморфизмов (функциональный комплекс)] 13
Н*А [ЯМУ-расширение] 209
1ш1д М [индуцированный модуль] 82
K(G, 1) [пространство Эйленберга — Маклейна] 24
Л2, Л*, Л(х), А*(V), Лй (V) [внешние степени] 116
М* [модуль, двойственный к модулю Ж] 38
М° [инварианты] 38
Ма [коинварианты] 44
N, N [нормирующий элемент] 31, 73
N(H) [нормализатор] 300
Out (.#) [группа внешних автоморфизмов группы N] 124
P(G, А) [главные дифференцирования] 107
proj dim M, proj dimB Ж [проективная размерность] 178
Qim [кватернионная группа] 117
р(Р), рг(Р) 267
R(P),Ra(P) [ранг Столлингса — Хаттори] 271
Rr(P), Rr{P)W [ранг Столлингса — Хаттори над групповым коль-
кольцом] 277
гкд (Р) 272
rkz (P) 281
МкА{Р) 273
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 383
Res^Af [сужение скаляров] 84
resH [сужение] 97
|S| 303
Е(Л) [симметрическая группа] 61
1С [надстройка] 13 '
Sin [специальная линейная группа] 52
Spin [симплектическая группа] 296
Spec Л 273
Тог^ (М, N) 75
Г (А) 268
tr (а), 1тА (а), Ъгв/а [след] 268-269
tr, tr^ [трансфер] 97
vcd [виртуальная когомологическая размерность] 264
Х(С), х(Х) [эйлерова характеристика] 281
Х(Г) 284
Х(Г) [эйлерова характеристика группы Г] 286
%г{Х), Хг(р1) [эквивариаитная эйлерова характеристика] 289, 304
?(*) 295
2П [целые числа mod и] 8
Z(C) [циклы] 12
2G, kG [групповое кольцо] 21, 23
2Х, 2 [X] [перестановочный модуль] 22
Кеннет С. Браун
Когомологии групп
Редактор Ф. И. Кизнер
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Акселърод
Корректоры О. А. Бутусова, И. Я. Кришталъ
ИВ J* 12728
Сдано в набор 28.04.86. Подписано к печати
16.01.87. Формат 60X90'/is. Бумага тип. J* 1. Гар-
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ.
л. 24. Усл. кр.-отт. 24. Уч.-изд. л. 26,66. Тираж
3900 экз. Заказ JSft 179. Цена 4 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25