Аналитические функции: Учебное пособие для вузов - Евграфов М.А.

Author: Евграфов М.А.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика учебное пособие издательство наука
ISBN: 5-02-014200-X
Year: 1991
Similar
Введение в функциональный анализ: Учебное пособие
Введение в теорию приближения функции. Учебное пособие
Функции в природе и технике
Математика. Теория функций комплексной переменной: Учебное пособие
Text
                    М. А. ЕВГРАФОВ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальностям:
«Математика», «Прикладная математика», «Физика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991

ББК 22.161.5
Е14
УДК 517.54@75.8)
Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие
для вузов.— 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит.. 1991.-448 с—ISBN 5-02-014200-Х.
Первое издание вышло в 1965 году, второе — в 1968 году, и
оба издания быстро разошлись. Книга пользуется большим спро-
спросом, но стала библиографической редкостью. Своим содержанием,
методическим подходом она по-прежнему сильно отличается от дру-
других учебников по теории аналитических функций, хотя за исток-
шее время их появилось много.
В третьем издании исправлены замеченные неточности и вне-
внесены улучшения в некоторые доказательства.
Для студентов вузов с повышенной программой по математике.
Ил. 10. Библиогр. 44 назв.
Рецензент
доктор физико-математических паук профессор В. А. Зорич
„ 1602070000-011 Г1Пп „
В пхо/ю\ ом 51-90 ©Издательство «Наука».
uooiiwj-si Главная редакция
физико-математической
литературы, 1991
ISBN 5-02-014200-Х

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Из предисловия к первому изданию 5
Глава I. ВВЕДЕНИЕ 7
§ 1. Комплексные числа . 7
§ 2. Множества, функции и кривые 12
§ 3. Пределы и ряды .... 18
§ 4. Непрерывные функции 22
§ 5. Криволинейные интегралы . . 25
§ 6. Интегралы, зависящие от параметра 32
§ 7. Гомотопность кривых в областях на сфере .... 36
§ 8. Топологические пространства 41
Глава II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 48
§ 1. Дифференцируемые и голоморфные функции ... 48
§ 2. Теорема Коши 52
§ 3. Интегральная формула Коши 61
§ 4. Критерии голоморфности 67
§ 5. Теорема единственности 73
§ 6. Поведение основных элементарных функций ... 79
Глава III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 83
§ 1. Понятие аналитической функции 83
§ 2. Основные элементарные многозначные функции ... 93
§ 3. Ветви аналитической функции 102
§ 4. Исследование характера многозначности 106
§ 5. Римановы поверхности 116
Глава IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ 127
§ 1. Понятие особой точки 127
§ 2. Стирание особенностей 137
§ 3. Изолированные особые точки 141
§ 4. Вычеты и ряд Лорана 147
§ 5. Разложение мероморфной функции в ряд простейших
дробей 154
§ 6. Принцип аргумента и теорема Руше 158
§ 7. Обратная функция 162
§ 8. Неявные функции 169

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 174
§ 1. Общие сведения об отображениях 174
§ 2. Дробно-линейные отображения 180
§ 3. Конформные отображения элементарными функциями 186
§ 4. Принцип симметрии Римана — Шварца 192
§ 5. Интеграл Крис гоффеля — Шварца 198
§ 6. Оценки конформного отображения вблизи границы 205
Глава VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 215
§ 1. Несобственные контурные интегралы 215
§ 2. Аналитическое продолжение контурных интегралов 221
§ 3. Вычисление определенных интегралов 227
§ 4. Асимптотические формулы для интегралов .... 234
§ 5. Суммирование рядов 241
§ 6. Основные формулы, относящиеся к гамма-функции
Эйлера 248
Глава VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА . . . . . 254
§ 1. Формула обращения преобразования Лапласа . . . 254
§ 2. Теорема о свертке и другие формулы 264
§ 3. Примеры применения метода 270
§ 4. Обобщенное преобразование Лапласа 277
§ 5. Использование аналитического продолжения .... 283
§ 6. Преобразование Меллина 289
Глава VIII. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ 294
§ 1. Основные свойства гармонических функций .... 294
§ 2. Субгармонические функции 300
§ 3. Задача Дирихле и интеграл Пуассона 310
§ 4. Гармоническая мера 317
§ 5. Теоремы единственности для ограниченных функций 327
§ 6. Теоремы Фрагмена — Линделофа 333
Глава IX. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗ-
МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 341
§ 1. Существование копформпого отображения .... 341
§ 2. Соответствие границ при конформном отображении 350
§ 3. Группа автоморфизмов конформного отображения 357
§ 4. Задача Дирихле и отображение на канонические области 369
§ 5. Отображение плоскости с выколотыми точками . . . 377
§ 6. Автоморфпые и эллиптические функции 384
Глава X ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ЗНАЧЕНИЙ 393
§ 1. Принцип гиперболической метрики 393
§ 2. Принцип симметризации 401
§ 3. Оценки однолистных в среднем функций 405
§ 4. Принцип длины и площади 414
§ 5. Распределение значений целых и мероморфных функций 420
§ 6. Теорема Нованлинны о дефектах 429
Список литературы 441
Алфавитный указатель 443

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книги вышло в свет в 1965 году,
второе — в 1968 году, и оба издания быстро разошлись.
Поскольку тираж был совсем не малым, книга еще име-
имеется в библиотеках, однако новое поколение математи-
математиков уже давно лишено возможности купить ее. По свое-
своему содержанию эта книга сильно отличается от других
учебников по теории аналитических функций, хотя за
истекшее время появилось немало новых учебников. Мне
тРУДно судить, хороша ли эта книга, но она, по-видимо-
по-видимому, нашла своего читателя (возможно, и не того, для ко-
которого я ее писал).
За четверть века, прошедшие с того времени, когда я
начал писать эту книгу, мои взгляды на то, кого, чему и
как надо учить в теории аналитических функций, силь-
сильно изменились. Однако написанная книга существует в
том виде, в котором она есть, и притом вполне успешно
(в Чехословакии ее перевели в 1981 году, наверное,
из-за невозможности достать ее на русском или англий-
английском языке). Поэтому я не стал вносить в третье изда-
издание сколько-нибудь серьезных изменений, а ограничился
лишь исправлением замеченных неточностей и улучше-
улучшениями отдельных доказательств.
М. А. Евграфов
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый учебник рассчитан на студентов и дру-
других читателей, владеющих основами математического
анализа в объеме первых двух курсов университета.
Порядок изложения материала в настоящем учебнике
существенно отличается от других учебников по теории
аналитических функций. Речь идет о месте строгой тео-

6 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
рии многозначных аналитических функций, излагаемой
на основе аналитического продолжения. Во всех приня-
принятых учебниках эта теория излагается лишь в самом кон-
конце, а в предлагаемой книге она помещена значительно
ближе к началу (глава III). Для такого расположения
материала имеются достаточные основания. Во-первых,
с точки зрения логики изложения аналитическое про-
продолжение играет в теории аналитических функций не
меньшую роль, чем теория пределов в анализе. Во-вто-
Во-вторых, это очень выгодно с чисто практической точки зре-
зрения, так как раннее использование аналитического про-
продолжения позволяет сэкономить много места и времени
в дальнейшем. Обычные возражения против такого рас-
расположения основаны на мнении о трудности этих вопро-
вопросов для понимания. Однако их трудность сильно преуве-
преувеличена. Кроме того, при введении элементарных много-
многозначных функций те же трудности все равно приходится
преодолевать, причем более искусственным (а потому и
менее понятным) способом. Во всяком случае опыт чте-
чтения лекций по теории аналитических функций в Москов-
Московском физико-техническом институте убедил меня в том,
что две-три трудные (но вполне доступные) лекции
вполне оправдываются лучшим пониманием всего даль-
дальнейшего материала. Значительно легче проходили и уп-
упражнения, так как вопрос о выделении регулярной вет-
ветви переставал быть трудоемким и малопонятным.
Немалое значение имеет и то, что у учащихся с са-
самого начала вырабатывается правильная и четкая точка
зрения на изучаемый предмет.
При написании книги я стремился к возможно боль-
большей независимости отдельных глав, чтобы на основе
книги можно было строить много различных по содер-
содержанию курсов. Объем материала, изложенного в учебни-
учебнике, значительно превышает содержание обычно читаемых
курсов ТФКП. Стоит подчеркнуть, что все главы написа-
написаны на уровне, вполне доступном для студентов III курса.
Отмечу имеющиеся связи между главами.
К главе I следует обращаться только за справками.
Главы II—IV совершенно необходимы для всего даль-
дальнейшего. Главы VI и VII совершенно не связаны с гла-
главами V и VIII — X. Глава VIII существенно опирается
на главу V, а сама служит основой для глав IX и X.
Главы IX н X довольно слабо связаны между собой.

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Изучение теории аналитических функций требует от
изучающего хорошего владения всем курсом математиче-
математического анализа, и хотелось бы предполагать у читателя
все необходимые знания. К сожалению, в курсах анали-
анализа принято излагать все вопросы для действительных
функций действительных переменных. Из-за этого стано-
становится необходимым привести хотя бы формулировки ос-
основных сведений о пределах, непрерывности, интегралах
для комплекснозначных функций комплексной перемен-
переменной. В главу включены также некоторые элементарные
сведения о топологии. Чтение этой главы не обязательно
для понимания, но в случаях неясностей к ней полезно
обращаться за справками.
§ 1. Комплексные числа
Рассмотрим множество, элементами которого являют-
являются всевозможные пары (а, Ь), где а и Ъ — действитель-
действительные числа. Будем считать две пары (а, Ъ) и (с, d) рав-
равными, если а = Ъ и c — d. На множестве этих пар вве-
введем операции сложения и умножения формулами
(а, Ь) + (с, d) = (a + b, c + d),
(а, Ъ) (с, d) = (ac — bd, ad + be).
Полученный таким образом объект назовем полем комп-
комплексных чисел, а каждый его элемент — комплексным
числом.
Исходя из определения, нетрудно проверить, что вве-
введенные операции сложения и умножения комплексных
чисел обладают свойствами:
1. Ассоциативности, т. е.

8 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
2. Коммутативности, т. е.
z + t^Z + z, zl^lz.
3. Дистрибутивности, т. е.
z(% + w)=zt,+zw.
Определим умножение комплексного числа z=(a, b)
на действительное число с равенством
с (а, Ь) = (са, сЬ).
Тогда любое комплексное число можно записать в виде
(a, b)=aei + be2, е, =A, 0), е2=@, 1).
Число е\ ведет себя при умножении как единица, так
как ze\ = z. Поэтому разумно отождествить в\ с едини-
единицей. Для числа ег обычно употребляется обозначение
ег =- i, а называется оно мнимой единицей. Нетрудно про-
проверить, что f = —1. Таким образом, комплексное число
записывается в виде
(а, Ъ)= а + Ы.
Комплексное число а + 0i отождествляется с действи-
действительным чиелом а, а комплексное число 0 + ib называ-
называется чисто мнимым.
Комплексное число можно рассматривать как расши-
расширение понятия действительного числа. Для комплексных
чисел справедливы те же основные аксиомы, что и для
действительных чисел, за исключением аксиомы Архиме-
Архимеда об упорядоченности. Понятия «больше» и «меньше»
для комплексных чисел смысла не имеют.
Действительные числа изображаются точками пря-
прямой. Комплексные числа естественно изображать точка-
точками плоскости. Именно, комплексное число а + Ы мы бу-
будем изображать точкой плоскости с абсциссой а и орди-
ординатой Ь. Комплексное число можно также изображать и
вектором, тем более что комплексные числа складывают-
складываются как векторы. Впрочем, аналогией между комплексны-
комплексными числами и векторами увлекаться не следует. Ни ска-
скалярное, ни векторное произведения не имеют никакого
отношения к умножению комплексных чисел.
Приведем ряд традиционных названий и обозначе-
обозначений, относящихся к комплексным числам.
Плоскость, на которой изображаются комплексные
числа, называется комплексной плоскостью.

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 9
Ось абсцисс в комплексной плоскости называется
действительной осью, а ось ординат — мнимой осью.
Пусть z = а + Ы. Употребляются следующие названия
и обозначения:
а = Re z — действительная часть z;
Ъ = Imz — мнимая часть z *);
a — bi = z — число, комплексно сопряженное с z;
Т/а2 + b2 = \z\ —модуль z (абсолютная величина z);
arg z — аргумент z; это — число ф, определяемое из
равенств
а . Ъ
COS ф = —— | Sin ф = —,_ .
т/ 2 | , 2 1/ i i .2
Аргумент z определяется с точностью до прибавления
целого кратного 2л.
Все введенные величины имеют простой геометриче-
геометрический смысл на комплексной плоскости. Так, модуль z —
это расстояние от начала координат до точки z, аргумент
z — это угол от положительного направления действи-
действительной оси к вектору, идущему из начала координат в
точку z.
Отметим два важных неравенства для модуля.
Теорема 1.1. Для любых комплексных чисел :
Доказательство. Рассмотрим треугольник с вер-
вершинами 0, z\, z\ + Z2. Длины его сторон равны: \z\\ (от О
ДО Zi), |z2l (ОТ Z\ ДО Z\ + Z2) И \Z\ + Z2I (ОТ Z\ + Z2 ДО 0),
так как расстояние между точками z и ? равно \z—?|.
Мы знаем, что длина стороны треугольника пе больше
суммы длин двух других сторон и не меньше абсолютной
величины их разности. Применяя эти утверждения
к стороне от z\ + z2 до 0, получаем требуемые нера-
неравенства.
С помощью введенных обозначепий легко записыва-
записываются различные области комплексной плоскости (или
линии на пей). Например:
Неравенству \z ¦—zol < R удовлетворяют точки z, ле-
лежащие в круге радиуса R с центром в точке zq.
*) Обозначения Re и Im появились как сокращения француз-
французских слов Reel (действительный) и Imaginaire (мнимый).

Ю ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Неравенству Imz>0 удовлетворяют точки z, лежа-
лежащие в верхней полуплоскости, т. е. выше действительной
оси.
Неравенству largz — 8|<г) удовлетворяют точки z,
лежащие внутри угла раствора 2ц с вершиной в начале
координат и с биссектрисой, образующей угол 8 с поло-
положительной частью действительной оси. Точки биссектри-
биссектрисы описываются равенством arg z = 8.
Для комплексных чисел часто употребляется так на-
называемая показательная или тригонометрическая запись:
z = rei<r
(здесь ещ понимается согласно формуле Эйлера как
cos ф + isinq)). Нетрудно видеть, что
Rez = rcos<p, Imz
I z I = r, arg z = ф + 2л к, z = re~i<f.
Из определения произведения комплексных чисел
можно вывести следующий результат:
При перемножении комплексных чисел модули пере-
перемножаются, а аргументы складываются.
Обычно мы будем иметь дело с так называемой рас-
расширенной комплексной плоскостью, дополнив комплекс-
комплексную плоскость бесконечно удаленной точкой, соответст-
соответствующей условному комплексному числу °°. Расширен-
Расширенную комплексную плоскость называют также комплекс-
комплексной сферой или сферой Римана. Это название оправды-
оправдывается следующей геометрической интерпретацией (сте-
(стереографическая проекция).
Представим себе плоскость в трехмерном пространст-
пространстве и сферу радиуса 1/2, лежащую на этой плоскости и
касающуюся ее в начале координат. Обозначим начало
координат через О, а диаметрально противоположную
точку сферы через Р. Каждой точке z нашей плоскости
поставим в соответствие точку A (z) сферы, являющуюся
пересечением сферы с прямой, соединяющей точки z и Р.
При этом каждая точка сферы кроме точки Р находится
во взаимно однозначном соответствии с точками плоско-
плоскости. Нетрудно заметить, что когда \z\ ->- °°, точка A(z)
стремится к точке Р. Поэтому естественно считать, что
точка Р сферы соответствует бесконечно удаленной, точке
расширенной плоскости.

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И
Иногда бывают полезны формулы, выражающие коор-
координаты точки A (z) сферы Римана через координаты точ-
точки плоскости.
Теорема 1.2. При стереографической проекции точ-
точке z = х + iy ставится в соответствие точка A (z) сферы
( 1 \2 1
|2 + ТJ + К 5"! =-т- с координатами
1 + 1»
|2 '
Т] =
UI2
|2 '
Доказательство. Поскольку проекция точки А
лежит на прямой Oz, от | = А,х, т] = Л,г/, где Я — некото-
некоторый действительный множи-
множитель. Для его определения
найдем ?. Рассмотрим сече-
сечение сферы и плоскости пло-
плоскостью, проходящей через
точки О, Р и z (рис. 1). Пря-
Прямоугольные треугольники
OPz и CMz подобны. Высота
треугольника OAz равна ?,
а гипотенуза Ы. Отрезок О А
является катетом треугольника OAz и высотой треуголь-
треугольника OPz. Из подобия треугольников OPz и OAz имеем
О
Рис. 1
ОА
ОА
ОР'
_
Oz
ОА
Pz
6>z=|z|, OP=i, Pz =
откуда находим ? =
1*1
+ l|
С помощью уравнения сферы легко определяем вели-
1
чину
А =
2 ' а затем | и
2
Следствие. Пусть k(w, z)—расстояние между точ-
точками A(z) и A(w). Тогда
k (w, z) == ¦
\w-z\
k(w, oo) =
Это утверждение легко получается из формул тео-
теоремы 1.2.
Величина k(w, z) называется хордальиым расстояни-
расстоянием между точками шиг.

12 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
§ 2. Множества, функции и кривые
Нам придется иметь дело с различными множествами
на расширенной комплексной плоскости, и во избежание
недоразумений определим здесь смысл терминов, которы-
которыми будем пользоваться.
Вместо слои «точка z принадлежит множеству Е» мы
обычно будем писать формулу z e Е, а вместо слов «точ-
«точка z не принадлежит множеству Е»—формулу z&E.
Пересечением множеств Е\ и Е% мы назовем множест-
множество Е, состоящее из точек, принадлежащих как Е\,
так и Ег.
Расстоянием между множествами Е\ и Е% назовем
величину
р(Е1,Ег)= inf \z-l\.
Диаметром множества Е мы назовем величину
sup \z—z'|.
,
Окрестностью точки z0 будем называть круг
\z — zol < г, где г — любое положительное число.
Окрестностью бесконечно удаленной точки будем на-
называть множество \z\ > R при любом R (внешность кру-
га)*).
Точку z назовем предельной точкой множества Е, ес-
если в любой окрестности точки z бесконечно много точек
множества Е.
Точка z называется внутренней точкой множества Е,
если имеется ее окрестность, состоящая только из
точек Е.
Точка z называется внешней к множеству Е, если
имеется окрестность точки z, состоящая только из точек,
не принадлежащих Е.
Точка z называется граничной точкой множества Е,
если в любой окрестности точки z есть точки и принад-
принадлежащие, и не принадлежащие Е.
Совокупность всех граничных точек множества назы-
называется его границей.
Границу множества Е будем обозначать символом дЕ.
Множество называется замкнутым, если оно содержит
свою границу.
*) Окрестностью точки z0 можно назвать и круг k(z, z0) < г
при любом г > 0. Тогда нет нужды выделять бесконечно удален-
удаленную точку.

§ 2. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ И КРИВЫЕ 13
Можно показать, что граница множества всегда яв-
является замкнутым множеством.
Множество, получающееся присоединением к Е _его
границы, называется замыканием Е и обозначается Е.
Множество называется открытым, если все его точки
внутренние.
Открытое множество называется связным, если его
нельзя разбить на два открытых множества, не имеющих
общих точек. Связное открытое множество называется
областью.
Замкнутое множество называется связным, если его
нельзя разбить на два замкнутых множества, не имею-
имеющих общих точек.
Область расширенной комплексной плоскости называ-
называется ц-связной областью, если ее граница состоит из п
связных замкнутых множеств (называемых компонента-
компонентами границы).
Любую ?г-связную область можно представлять себе
как односвязную область, в которой прорезано п — 1
дырок.
Отметим еще, что для расширенной комплексной
плоскости так называемая лемма Гейне — Бореля имеет
место в следующей формулировке.
Пусть имеется множество окрестностей, покрываю-
покрывающих в совокупности замкнутое множество Е. Из этого
множества всегда можно выбрать конечное подмноже-
подмножество окрестностей, покрывающих в совокупности мно-
множество Е.
В теории аналитических функций часто приходится
иметь дело с различными видами кривых на плоскости.
Поэтому обсудим понятие кривой несколько подробнее,
чем это обычно делается в анализе.
Начнем с определения непрерывной кривой на плос-
плоскости.
Пусть х (t) и y(t)—непрерывные на отрезке [0, 1]
функции параметра t. Уравнение
z = x(t)+iy(t) = z(t)
назовем параметрическим уравнением кривой. Будем
считать, что два параметрических уравнения z = Z\ (t) и
z = Z2(t) определяют одну и ту же непрерывную кривую
в том и только в том случае, когда существует такая не-
непрерывная на отрезке [0, 1] монотонно возрастающая от

14 ГЛ. Г. ВВЕДЕНИЕ
О до 1 функция <p(t), что z2(t)^ zi(<p(t)). Направление
движения точки z(t), отвечающее возрастанию парамет-
параметра t, мы будем называть положительным.
Замечание 1. Ясно, что параметр t можно с тем
же успехом считать меняющимся не на отрезке [0, 1],
а на любом другом отрезке действительной оси. Отрезок
[О, 1] выбран только с целью некоторого упрощения
формулировки.
Замечание 2. Совершенно аналогичным образом
можно определить непрерывную кривую не в конечной
части плоскости, а во всей расширенной комплексной
плоскости. Для этой цели необходимо потребовать, чтобы
точка z(t), как точка на сфере Римана, непрерывно за-
зависела от параметра t (более общий подход к понятию
кривой изложен в § 8).
Не следует смешивать понятие кривой с множеством
точек, через которые эта кривая проходит. Согласно дан-
данному определению понятие кривой включает в себя еще
и порядок прохождения точек этого множества. Более
того, одна и та же точка плоскости может отвечать не-
нескольким точкам кривой. В этом случае будем говорить,
что кривая имеет точки самопересечения. Произвольная
непрерывная кривая может иметь произвольное число
точек самопересечения (известен даже пример кривой,
заполняющей целую область плоскости). Наглядно кри-
кривую можно представлять себе в виде спутанной нитки
с отмеченными началом и концом, лежащей на плос-
плоскости.
Кривую, не имеющую самопересечений, будем назы-
называть простой кривой.
Кривую, у которой конец совпадает с началом, назы-
называют замкнутой кривой.
Совпадение начала и конца кривой не будем считать
самопересечением, так что имеет право на существование
понятие простой замкнутой кривой.
С помощью понятия кривой можно дать следующий
удобный критерий связности открытого множества:
Для того чтобы открытое множество Е было связным,
необходимо и достаточно, чтобы любые две его точки
можно было соединить непрерывной кривой, все точки
которой принадлежат этому множеству.
Произвольные непрерывные кривые могут иметь до-
довольно сложное строение (например, существует непре-
непрерывная кривая, заполняющая плоскую область). Поэто-

§ 2. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ И КРИВЫЕ 15
му мы будем иметь дело с существенно более узким
классом кусочно гладких кривых, который сейчас оп-
определим.
Кривую С будем называть гладкой кривой, если сре-
среди ее параметрических уравнений найдется такое, в ко-
котором функции х(t) и y(t) непрерывно дифференцируе-
дифференцируемы на отрезке [0, 1], а их производные отличны от ну-
нуля на этом отрезке.
Гладкая кривая может быть, а может и не быть
простой кривой. Если С — простая гладкая кривая, то
она имеет в каждой своей точке касательную.
Кривую С будем называть кусочно гладкой кривой,
если ее можно разбить на конечное число частей, каж-
каждая из которых является простой гладкой кривой. (Со-
(Согласно этому определению не каждая гладкая кривая
является кусочно гладкой.)
Для кусочно гладкой кривой легко определить по-
понятие точки кривой. Именно, для простой кривой опре-
определяем точку кривой как точку плоскости, лежащую на
этой кршюй. Для произвольной кусочно гладкой кривой
С, разбитой на простые гладкие части, считаем точкой С
точку каждой из этих частей, причем точки разных ча-
частей считаем разными точками С, даже если они отвеча-
отвечают одной точке плоскости (конец одной из частей, сов-
совпадающий с началом следующей части, считаем одной и
той же точкой С).
Предложенное определение позволяет разделить точ-
точки самопересечения кусочно гладкой кривой на несколь-
несколько точек кривой. Ясно, что разные точки кривой отвеча-
отвечают разным значениям параметра в параметрическом
уравнении, а разные значения параметра всегда отвеча-
отвечают разным точкам кривой.
Понятие кривой довольно близко связано с понятием
границы плоской области, хотя, вообще говоря, строение
границы произвольной плоской области существенно
сложнее. Простейший пример такой связи дает извест-
известная теорема Жордана:
Каждая простая замкнутая кривая разбивает расши-
расширенную комплексную плоскость на две области и пред-
представляет собой границу каждой из этих областей.
Доказательство теоремы Жордана в случае произ-
произвольной простой кривой представляет довольно трудную
задачу, но для кусочно гладких кривых она геометриче-
геометрически очевидна.

16 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
В анализе обычно используются области, ограничен-
ограниченные конечным числом попарно непересекающихся кусоч-
кусочно гладких простых кривых. В теории аналитических
функций часто приходится иметь дело с несколько более
сложными областями. Эти области получаются из обла-
областей описанного вида проведением конечного числа до-
дополнительных разрезов по кусочно-гладким кривым и
выкалыванием счетного числа изолированных точек. Раз-
Разрезы можно включить в граничные кривые, но тогда гра-
граничные кривые уже перестают быть простыми кривыми.
Кривые, получаемые таким образом, мы будем называть
кривыми со складками. Кривая со складками разбивает-
разбивается на простые участки, каждый из которых проходится
не более двух раз. Участок, проходимый дважды, прохо-
проходится один раз в одном направлении, а второй раз —
в противоположном. Отдельные точки могут проходиться
любое конечное число раз.
Пример 1. Пусть т>2 — целое число. Обозначим
через D всю расширенпую комплексную плоскость, из
которой удалены отрезки
, Гп 2kni ~\ у г> л л
Ik = 0, ехр , к = 0, 1, ...,т—1.
L т J
Ясно, что D — односвязная область, а ее граница состоит
из объединения удаленных отрезков, и она представля-
представляется в виде кривой со складками следующим образом.
Проходим отрезок Zo от точки z = 0 к точке 2 = 1,
а затем в обратном направлении — от точки z=l к точ-
точке z = 0. После этого совершаем аналогичный проход по
отрезку h, затем по отрезку h, и т. д., кончая проходом
отрезка 1т-\.
Каждый отрезок lh представляет собой простой уча-
участок рассматриваемой кривой со складками, проходимый
дважды, т. е. складку. При полном обходе кривой точка
z = 0 проходится 2т раз.
Области интересующего нас типа всегда можно раз-
разбить на конечное число односвязных частей, ограничен-
ограниченных простыми кусочно гладкими кривыми, таким обра-
образом, чтобы эти части не имели попарно общих внутрен-
внутренних точек (они должны прилегать друг к другу по гра-
границам). Для областей описанного типа введем несколько
позже понятие, заменяющее равномерную непрерыв-
непрерывность функции в такой области.

§ 2. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ И КРИВЫЕ 17
Введем еще один класс кривых, широко используе-
используемый при интегрировании.
Возьмем па кривой С произвольное конечное число
точек и соединим их прямолинейными отрезками в по-
порядке следования по кривой. Если при любом выборе
точек на кривой длины ломаных ограничены, назовем
кривую С спрямляемой. Верхнюю грань длин ломаных
при всевозможном выборе точек назовем длиной кривой.
Очевидно, что любая кусочно гладкая кривая, лежа-
лежащая в конечной части плоскости, спрямляема.
О некоторых свойствах кривых мы еще будем гово-
говорить ниже, в § 5 и 7.
Дадим еще определение функции комплексного пере-
переменного z — x + iy.
Пусть каждой точке z множества Е поставлено в со-
соответствие комплексное число /(z). Тогда будем гово-
говорить, что задана функция /(z), определенная на множе-
множестве Е. Множество Е называется областью определения
функции (хотя оно, вообще говоря, не обязапо быть об-
областью).
Обозначая /(z) = и + iv, видим, что любую функцию
/(z) комплексного переменного z можно рассматривать
как пару функций и и у двух действительных перемен-
переменных х и у.
Часто бывает удобно рассматривать функцию /(z)
геометрически как отображение, переводящее точки од-
одной комплексной плоскости в точки другой комплексной
плоскости.
Отображение w=f{z) называется дифференцируе-
дифференцируемым, если функции
и(х, yy=~Ref(x + iy), v(x, у) = lmf(x + iy)
имеют непрерывные частные производные по i и по у.
Величина
D (х, у) = u'xv'y — v'xUy
называется якобианом дифференцируемого отображения
Линейное отображение
(х — х0) + Ъ22 (у — у о),

18 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
где
Ь10 = и {ха, г/0), Ьп = и'х(ха, г/0), Ъ12 = иу(т0, у0),
&2о = v (х0, г/0), Ь21 = v'x (х0, г/0), Ь22 = v'y (х0, г/0),
называется главной линейной частью отображения w =
= /(z) в точке Zo = х0 + iy0.
Условие D (хо, г/о) ^ 0 означает, что главная линейная
часть отображения в точке zo является невырожденным
линейным отображением. В этом случае мы говорим, что
отображение w =/(z) не вырождено в точке z0.
О более общем подходе к понятию отображения мы
будем еще говорить в § 8 этой главы.
§ 3. Пределы и ряды
Поскольку в анализе обычно изучаются лишь преде-
пределы действительных функций, изложим кратко основные
сведения о пределах функций комплексного переменного.
Пусть функция /(z) определена па множестве Е, t,—
предельная точка множества Е, и пусть существует чис-
число А, удовлетворяющее условию:
Для любого е > 0 можно указать такое б > 0, что при
0<lz — ?| < б, z ^ E, выполняется неравенство
\f(z)-A\ <е.
Тогда будем говорить, что при z -> % по множеству Е
существует предел функции f(z), равный числу А. Этот
факт будем записывать одной из двух формул:
lim f(z) = A, f(z)->A (z^Z,ze=E).
Если множество Е содержит какую-либо окрестность
точки ?, то указание ze? в этих формулах будем
опускать.
Формулировка легко видоизменяется для случая, ког-
когда % = °° или А = °° (или оба вместе). При t, = °° нужно
писать
\z\>R, z^E, вместо 0< \z — ?| < б, z^E,
а при А = °° нужно писать
\f(z)\>R вместо \f(z)—A\ < e.
Предел последовательности является частным случа-
случаем предела функции, когда Е совпадает с множеством
целых положительных чисел.

§ 3. ПРЕДЕЛЫ И РЯДЫ 19
Приведем несколько свойств пределов, доказательство
которых предоставим читателю. (Здесь речь идет только
о конечных пределах.)
Предел суммы конечного числа слагаемых существу-
существует, если существуют пределы слагаемых, и равен сумме
этих пределов.
Предел произведения конечного числа сомножителей
существует, если существуют пределы сомножителей, и
равен произведению этих пределов.
Предел частного существует и равен частному преде-
пределов, если существуют пределы числителя и знаменателя
и если предел знаменателя отличен от нуля.
Для существования предела комплексной величины
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
ее действительной и мнимой части.
Для существования предела /(z) при z, стремящемся
к ?, по множеству Е, необходимо и достаточно, чтобы вы-
выполнялось условие: для любого е > 0 можно указать та-
такое б > 0, что при любых z e E, z' eE, \z — ?| < б,
\z' — ?| < б, имеет место неравенство
|/(Z)_/(Z')|<8
(критерий Коши).
В дальнейшем часто придется пользоваться символа-
символами ~, о, О. Смысл этих символов такой:
Формула /(z)~cp(z) (z -> ?, z е Е) означает, чго
<p(z)
Формула /(z) = о (ф (z)) (z -> ?, z e E) означает, что
Л!) 0.
()
Формула /(z)= O((f(z)) (z e E) означает, что
(Иначе говоря, /(z)=O(cp(z)) (z e E) означает, что от-
отношение —Wp ограничено на множестве Е*).)
Большое значение имеет понятие равномерного стрем-
стремления к пределу.
*) Наряду с формулой /(z) =0(cp(z)) (ze?) часто исполь-
используется и формула
смысл которой определяется понятным образом.

20 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Пусть нам дана функция /(z, w), зависящая помимо
z еще и от параметра w, и пусть
f{z,w)-+<p(w) (z-?, z^G)
при любом фиксированном w e E. Будем говорить, что
стремление к пределу равномерно по w e Е, если для
любого е > 0 можно указать такое б > 0, зависящее
только от е, но не от w, что при zeG, 0<|z — ?| < 6,
и при всех w e E выполняется неравенство
l/(z, w)— cp(w)| < е.
Понятие равномерности применимо и к символам о
и ~. Оно означает, что стремление к пределу, входяще-
входящему в определение символа, равномерно по указываемому
параметру. Для символа О равномерность означает, что
постоянную С, входящую в его определение, можно вы-
выбрать не зависящей от указываемого параметра ( иначе
f (г, ш)
гопоря, что отношение --) V равномерно ограничено
ф v2 lt'l
по указываемому параметру.
Ьудем говорить, что ряд 2 ип сходится, если после-
1
довэ1 'ьн 1.;гь Un = 2 ик имеет предел при п -*¦ °°. Этот
1
•¦;^ел i называется суммой ряда.
Рял 2 ип называется абсолютно сходящимся, если
1
00
сходится .ряд из модулей его членов 2 I ип I- Абсолютно
1
сходящийся ряд сходится.
Приведем основные сведения о числовых рядах.
1. Для сходимости ряда 2 ип необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы выполнялось условие: для любого е > 0 можно
указать такое число N, что при любых п> N и п' > N
п'
имеет место неравенство 2
п
2. Для сходимости ряда 2 ип необходимо, чтобы
ип -*¦ 0.

§ 3. ПРЕДЕЛЫ И РЯДЫ
21
3. Если ряд 2 ипабсолютно сходится и \vn\ < \un\, то
и ряд 2j vn абсолютно сходится.
Часто рассматриваются и функциональные ряды
2 ип (z)- Для функциональных рядов большое значение
имеет понятие равномерной сходимости.
Будем говорить, что ряд 2 ип {z)i сходящийся при
каждом z e G, равномерно сходится по z e G, если для
любого е > 0 можно указать такое число N, зависящее
только от е, но не от z, что при п> N, п' > N и при лю-
любых z e G выполняется неравенство
2 ип B)
Очень употребителен следующий простой признак
равномерной сходимости функциональных рядов, нося-
носящий название признака Вейерштрасса:
Если |wn(z)| < ип при всех zeG и ряд ^ип сходит-
сходится, то ряд 2 ип (z) равномерно сходится по z e G.
В заключение приведем необходимые сведения о сте-
степенных рядах, т. е. о рядах вида
оо
Сп \z — aj , \о. ij
где z, а и с„ — комплексные числа.
Следующее утверждение носит название первой тео-
теоремы Абеля.
Теорема 3.1. Если ряд C.1) сходится при z = zu
то он абсолютно и равномерно по z сходится в любом
круге \z — a\ «? R, где R <\z{ — a\.
Доказательство. Так как ряд C.1) сходится при
z = z\, то согласно свойству 2 с„(; аL-* 0. Но после-
последовательность, стремящаяся к нулю, ...уаничена по мо-
модулю. Значит,
lcn(z,-a)"| *?Л/ («=г0).
Далее, для любого z из круга
имеем неравенство
Я
tt, ti<\z\ — а\,
Поэтому
\cn(z — a)n\ =
= о,
*i-e>"|- f^"

22 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Но при 0 =^ 0 < 1 ряд 2 -Л/б™ абсолютно сходится. При-
Применяя признак Вейерштрасса, получаем утверждение
теоремы.
Из первой теоремы Абеля следует важный вывод. Су-
Существует число R, обладающее свойством: при \z— а\ <
< R ряд C.1) сходится, а при \z— a\>R расходится.
(Число R может быть и нулем или бесконечностью.)
Это число R называется радиусом сходимости ряда C.1),
а круг \z — а\ <R — кругом сходимости ряда C.1).
Для определения радиуса сходимости ряда C.1) по
его коэффициентам сп имеется формула -=- = Hm -j/| с„|,
носящая название формулы Коши — Адамара.
§ 4. Непрерывные функции
Функция f(z), определенная на множестве Е, назы-
называется непрерывной в точке ? <s Е, если для любого е > О
можно указать такое 6 > 0, что при z<=E, \z — ?|<6,
имеем l/(z) — /(?) I < e.
Функция /(z), определенная на множестве Е, называ-
называется непрерывной на этом множестве, если она непре-
непрерывна в каждой его точке.
Отметим ряд свойств непрерывных функций.
Непрерывность функции f(z) комплексного перемен-
переменного z — x + iy эквивалентна непрерывности действитель-
действительных функций и(х, у) и v(x, у):
и(х, y)=~Ref(x + iy), v(x, y)= lmf(x + iy),
двух действительных переменных х и у.
Сумма и произведение двух непрерывных функций
непрерывны.
Частное двух непрерывных функций непрерывно в
точках, где знаменатель не обращается в нуль.
Если значения непрерывной на множестве Е функ-
функции f(z) попадают в множество Е, на котором непрерыв-
непрерывна функция F(z), то функция ф(z) = F(/(z)) непрерыв-
непрерывна на множестве Е.
Теорема 4.1. Если функция f(z, w) при всех w е-
<s G непрерывна на множестве Е как функция z и
f(z, ю)->- ф(г) (w ->¦ w0, we G)
равномерно по z^E, то функция <р (z) непрерывна на
множестве Е.

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 23
Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда
непрерывных функций — непрерывная функция.
Доказательство всех этих утверждений предоставим
читателю.
Отметим еще один результат, который обычно не из-
излагается в курсах анализа *).
Последовательность функций /n(z), определенных на
множестве Е, называется равностепенно непрерывной,
если для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, зави-
зависящее от е, но не от п, что при z е Е, z <= E, \z — z'\ < б,
имеем при всех п неравенства
Теорема Арцела. Из равномерно ограниченной и
равностепенно непрерывной на множестве Е последова-
последовательности функций /n(z) можно выделить подпоследова-
подпоследовательность fnk(z), равномерно сходящуюся по z^E.
Легко определяется непрерывность функций двух и
более комплексных переменных. Например:
Функция /(z, ?), определенная при z ^ G, ? <= Г, на-
называется непрерывной в точке zo eG, ?o <= Г, если для
любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что при
?е=Г, \z — zol + \% - Sol < 6, имеем \f{z, %) —
Ясно, что для функций двух или более комплексных
переменных остаются в силе все перечисленные свойства
непрерывных функций.
Обычным образом вводится понятие равномерной не-
непрерывности.
Функция /(z) называется равномерно непрерывной
на множестве Е, если для любого е > 0 можно указать
такое 6 > 0, что при \z — z'|<6, z^E, z'eE, имеем
неравенство |/(z)—/(z')|<e.
Функция, непрерывная на замкнутом множестве, рав-
равномерно непрерывна на нем.
Если функция равномерно непрерывна на множестве
Е, то ее можно доопределить на границе Е так, чтобы
полученная функция была непрерывна на Е.
Для удобства изучения функций, непрерывных в об-
областях с разрезами, понадобится понятие, близкое к рав-
*) В курсе [14] эти вопросы освещены достаточно полно.

24 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
номерной непрерывности, но менее ограничивающее
функцию.
Расстоянием по области D между точками z e D и
t, e D назовем точную нижнюю грань диаметров лома-
ломаных, соединяющих точки z и t, и лежащих в области D.
Обозначать его будем pr>(z, ?). (Такое определение рас-
расстояния называется метрикой Мазуркевича.)
Пусть функция /(z) непрерывна в области D. Мы
скажем, что /(z) непрерывна в области D вплоть до ее
границы, если для любого е > 0 можно указать такое
б > 0, что при pB(z, z')<6, z<^D, z'^D, имеем неравен-
неравенство l/(z)— /(z') I < e.
Так как pD(z, t,)^ \z— ?|, то ясно, что непрерыв-
непрерывность функции вплоть до границы области является бо-
более слабым требованием, чем равномерная непрерыв-
непрерывность функции в области. С другой стороны:
Если область D ограничена простой кривой, то из не-
непрерывности f(z) в D вплоть до ее границы следует рав-
равномерная непрерывность /(z) в D.
Этот результат для любых простых кривых является
довольно тонким фактом, примерно соответствующим
теореме Жордана (см. § 2), но для кусочно гладких кри-
кривых он почти очевиден. Читатель может попытаться до-
доказать его для этого случая сам.
Для областей с разрезами непрерывность функции
вплоть до границы области уже пе равносильна равно-
равномерной непрерывности. Причина этого в том, что для
областей с разрезами имеются точки, для которых \z — %\
сколь угодно мал, a po(z, Z) больше некоторой положи-
положительной постоянной. Такие точки расположены с разных
сторон разреза. Поэтому различие между равномерной
непрерывностью и непрерывностью вплоть до границы
для областей с разрезами заключается в том, что равно-
равномерно непрерывная в области функция обязана иметь
одинаковые пределы при стремлении точки к точке гра-
границы независимо от того, с какой стороны разреза про-
происходит стремление, а функция, непрерывная вплоть до
границы, может иметь разные пределы при стремлении с
разных сторон разреза.
Расскажем подробнее о том, как доопределить на гра-
граничной кривой функцию, непрерывную вплоть до грани-
границы области.
Пусть область D ограничена замкнутой кусочно глад-
гладкой кривой со складками (или конечным числом таких

§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 25
кривых, не пересекающихся между собой), а функция
/(z) непрерывна в области D вплоть до ее границы.
Возьмем какую-либо часть D' области D, чтобы об-
область D' была ограничена уже простой кусочно гладкой
кривой. В границу D' может входить часть граничной
кривой области D. В области D' функция /(z) по-преж-
по-прежнему непрерывна вплоть до границы, так как, очевидно,
рс (z, D^ Pd(z> ?). Согласно приведенному выше ут-
утверждению отсюда вытекает равномерная непрерывность
/(z) в D'. Следовательно, как отмечалось выше, /(z)
имеет предел при стремлении z к любой точке границы
D', и доопределив /(z) на границе D' этими предельны-
предельными значениями, мы получим функцию, непрерывную в
D'. В частности, таким образом мы доопределяем /(z)
на той части граничной кривой области D, которая вхо-
входит в границу D'. При этом полученная функция будет
непрерывна на этой части граничной кривой.
Поскольку любую точку граничной кривой вместе с
прилегающим к ней участком этой кривой можно вклю-
включить в границу какой-либо части области D, то доопре-
доопределяем f(z) и на всей граничной кривой. Полученная на
граничной кривой функция будет непрерывна. Конечно,
в точках на разных сторонах разреза значения функции
могут быть различны, так как эти точки отвечают раз-
разным точкам граничной кривой.
В дальнейшем будем считать, что функции, непре-
непрерывные вплоть до границы области, определены и на
граничной кривой.
§ 5. Криволинейные интегралы
Дадим определение интеграла от функции комплекс-
комплексного переменного по спрямляемой кривой (см. § 2).
Пусть Г — спрямляемая кривая, заданная урав-
уравнением
z = z(t), a^t^b.
Возьмем произвольное число точек кривой zh — z(th) так,
чтобы при любом к точка zh следовала за точкой zA_i,
первая точка совпадала с началом кривой, а послед-
71
няя — с ее концом. Сумму 2/(ik)Xzft ~ *ft-i)> гДе Ъъ =

26 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
— z(th)—любые точки кривой Г, лежащие между zk и
Zft-i, назовем интегральной суммой.
Интегралом от функции f(z) no кривой Г
\f{z)dz
назовем предел интегральных сумм при стремлении к
нулютах|?ь—fft_j | -*¦ О, если этот предел существует не-
h
зависимо от выбора точек zk и %к. (Можно было бы дать
и другое определение, вводя суммы, аналогичные верх-
верхним и нижним суммам Дарбу.)
Интеграл от функции /(z) по кривой Г легко может
быть выражен через интегралы от действительных функ-
функций. В самом деле, если f(z)= u + iv, z — x + iy, то и
| /(z) dz = I и dx — vdy + i \ vdx + udy.
г г г
В вопросе существования интеграла ограничимся од-
одним простейшим результатом:
Если f(z) непрерывна на Г, то интеграл от /(z) no Г
существует.
Заметим, что при изменении направления на кривой
Г на противоположное интеграл меняет знак, так как
меняют знак разности zh — zh-\.
n
Пределом интегральных сумм вида 2 / (Ы \zh — zft-i I
i
является интеграл, не меняющийся при изменении на-
направления кривой на противоположное. Этот интеграл
будем обозначать
Он выражается через действительные криволинейные
интегралы первого рода
J / (z) | dz | = j и ds + i ] v ds.
Если кривая Г не только спрямляемая, но и кусочно
гладкая, то интегралы сводятся к интегралам от функ-

§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 27
ций действительного параметра t:
ь
В анализе играет большую роль интегральная теоре-
теорема о среднем. Для интегралов от комплексных функций
она неверпа. В самом деле, интеграл
2Л 2Я 2Л
J e%t dt = cos tdt+ i\ sin t dt
равен нулю, а подынтегральная функция не обращается
в нуль на отрезке интегрирования.
Следующее утверждение до некоторой степени заме-
заменяет интегральную теорему о среднем.
Теорема 5.1. Модуль интеграла не превосходит
максимума модуля подынтегральной функции, умножен-
умноженного на длину пути интегрирования.
Доказательство. Пусть дан интеграл
/= \f(z)dz.
Обозначим max | f(z) I = М, а длину кривой Г через L.
геГ
Рассмотрим любую интегральную сумму
1
В силу определения длины кривой (см. конец § 2) имеем
Следовательно, и |/| ^ML. Теорема доказана.
Иногда приходится пользоваться более точным нера-
неравенством
f(z)\\dzU E.1)
тоже сразу получающимся из сравнения интегральных
сумм.

28 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Обычно криволинейные интегралы вычисляются све-
сведением к интегралам от функций одного переменного че-
через уравнение кривой (по формуле, приведенной выше).
Однако иногда имеет смысл и непосредственное вычисле-
вычисление интеграла с помощью интегральных сумм. Приведем
один пример такого вычисления, чтобы сразу использо-
использовать его результат.
Пример 1. Пусть Г — произвольная кривая с нача-
началом в точке А и концом в точке В. Покажем, что ин-
интеграл
существует и равен В — А.
Действительно, возьмем любую интегральную сумму.
Имеем
Sn = 2 (zft — Zft-l) = Zj — Zo + Z2 — Zj + ... + Zn — Zn_! =
1
так как первая точка совпадает с началом, а послед-
последняя — с концом кривой Г. Следовательно, и интеграл
равен В — А.
Теорема 5.2. Пусть функция f(z) непрерывна в
некоторой области Z), содержащей спрямляемую кривую Г.
Тогда интеграл от /(z) no Г можно с любой точ-
точностью приблизить интегралом от f(z) no некоторой ло-
ломаной Г„, тоже лежащей в D.
Доказательство. Разобьем кривую Г на участ-
участки у,, точками zo, z\, . . ., zn, следующими друг за другом
(участок уА заключен между точками zh-\ и zk). Обозна-
Обозначим длину Чь через ph, а длину Г — через р. Величины р„
выберем столь малыми, чтобы все круги \z — zft_il<pn
лежали в D и чтобы в этих кругах выполнялись не-
неравенства
где е > 0 — заданное число. Через Г„ обозначим ломаную
с вершинами в точках zo, z\, ..., zn (в порядке следова-
следования), а через Уь—звенья Г„, соединяющие zh-\ и zh.

§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 29
Можно написать
I
f (z)dz— \f (z)dz=2j\ \ f (z)dz— \ f (z) dz\ =
n
>]dz-2
j
так как согласно примеру 1
j / (zft_i) dz = J / (zft_0 dz = / (zft_j) (zft — zft_j).
;
v;
Но по условиям выбора величин рк подынтегральные
функции не превосходят е/Bр), так что, оценивая интег-
интегралы с помощью теоремы 5.1, получаем
]f(*)dz- )f(z)dz
г
Поскольку е произвольно мало, теорема доказана.
Среди криволинейных интегралов наиболее интересны
интегралы по кривым, являющимся границей области.
Пусть D — область, граница которой состоит из конечно-
конечного числа замкнутых спрямляемых кривых. Если функ-
функция /(z) непрерывна в области D вплоть до ее границы
Г (см. § 4), то определим интеграл or f(z) no Г в поло-
положительном направлении как сумму интегралов по всем
кривым, составляющим Г. Направление на этих кривых
должно быть таким, чтобы при движении по любой кри-
кривой область оставалась слева.
Отметим еще одно утверждение, аналогичное теоре-
теореме 5.2.
Теорема 5.3. Пусть D — односвязная область, огра-
ограниченная кусочно гладкой кривой С. Если функция f(z)
непрерывна в области D вплоть до ее границы С, то ин-
интеграл от /(z) no кривой С можно с любой точностью
приблизить интегралом от f(z) no некоторой замкнутой
ломаной, лежащей в области D.
Доказательство. Любую кусочно гладкую кри-
кривую С можно разбить на простые гладкие дуги U, h, ...
..., lm, обладающие тем свойством, что изменение угла
наклона касательной вдоль каждой из этих дуг не пре-

30 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
вышает заданного числа 0 < ц < я (при желании мы
могли бы считать число ц сколь угодно малым, но нам
достаточно, чтобы оно было меньше я). Тогда для каж-
каждой дуги /,, существует такое направление, что все пря-
прямые, параллельные этому направлению, пересекают ду-
дугу 1к не более одного раза.
Выберем достаточно малое число 6 > 0 и удалим из
кривой С точки, отстоящие от концов дуг 1к на расстоя-
расстояние, меньшее 6. Тогда оставшаяся часть кривой С рас-
распадется на т дуг llt it, ..-, lm (дуга lh лежит внутри
дуги lh). Ясно, что при 6 ->- 0 общая длина выброшенных
участков привой С стремится к нулю, и потому имеет
место соотношение
S \fiz)dz-+\j(z)dz (fi->()). E.2)
Обозначим символом Е + а множество, получаемое из
множества Е сдвигом на комплексное число а. Согласно
выбору разбиения .кривой С на дуги 4 построенные ду-
дуги 1к обладают следующим свойством.
Для каждого к=1, 2, ..., т существует такое комп-
комплексное число со,,, |(oj = 1, что дуга lh + ct,ah при любом
достаточно малом значении а > 0 лежит в области D.
Из этого свойства и из непрерывности функции /(z)
в области D вплоть до ее границы следует, что
f(z) (a->0, а>0)
для каждого zgIj, Более того, ясно, что стремление к
пределу равномерно по zg lh. Поэтому
\f{z)dz— f / (z) dz = f / (z) dz - f / (z + aw,,) dz =
* * ** '*
(a->0,a>0). E.3)
* *
Соотношения E.2) и E.3) показывают, что интеграл
от функции /(z) по кривой С можно с любой точностью
приблизить суммой интегралов от той же функции по
дугам 1% + aft)ft> лежащим уже внутри области D. Чтобы
7* 7* ;*
сделать из совокупности дуг A? 12, ..., *ш замкнутую

§ 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 31
кривую, лежащую в области D, надо дополнить эту со-
совокупность какими-либо дугами ук, лежащими в области
D и соединяющими между собой соответствующие концы
дуг ls + acos (именно, те концы, которые стремятся к од-
одной и той же точке кривой С при a -»- 0 и 6 ->- 0). Мини-
Минимальную длину дуги ук, при которой такое соединение
становится возможным, оценить нетрудно: эта минималь-
минимальная длина не превосходит величины 26 + 2а. Следова-
Следовательно, выбирая числа а и 6 достаточно малыми, можно
сделать сколь угодно малым интеграл по добавляе-
добавляемой части.
Таким образом, интеграл от функции /(z) по гранич-
граничной кривой С области D можно с любой точностью при-
приблизить интегралом от той же функции по некоторой
замкнутой кривой, лежащей в области D. Согласно тео-
теореме 5.2 последний интеграл можно с любой точностью
приблизить интегралом от функции /(z) по некоторой
замкнутой ломаной, лежащей в области D. Тем самым
теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорема остается справед-
справедливой, если предположить кривую С не кусочно гладкой,
а спрямляемой. Дока1зательство теоремы 5.3 в таком ви-
виде потребовало бы ряда сведений из теории функций
действительного переменного, и потому не станем при-
приводить его здесь. П
Интеграл по границе области от функции, непрерыв-
непрерывной вплоть до границы этой области, часто бывает удоб-
удобно рассматривать как функцию области. Отметим одно
важное свойство интеграла в этой роли.
Теорема 5.4. Пусть функция /(z) непрерывна в об-
области D вплоть до ее границы Г, состоящей из конечного
числа спрямляемых кривых. Если область D разбита
спрямляемыми кривыми на конечное число неперекры-
неперекрывающихся областей Dk с границами ГА, то
где
]
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,
когда D разбита на две непересекающиеся, области D\

32 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
и Z>2 Через Гх обозначим часть границы Z), являющую-
являющуюся и границей D, через Гх — остальную часть границы D
(аналогично для границы /)г). Ясно, что 1\ и Г2 отлича-
отличаются лишь направлением обхода, так как при движении
вдоль 1\ область D\ остается слева, а область D% — спра-
справа, при движении же по Г2 — наоборот. Из тех же сооб-
соображений ясно, что направление обхода 1\ и Г2 то же,
что и направление обхода Г. Ясно также, что Гх и Г2
в сумме составляют Г. Поэтому
= \f{z)dz= \l(z)dz+ {f(z)dz =
г ' '
(z)dz + \f{z)dz+
ft 'ft
VX Г2
= \f(z)dz+
r
что и доказывает теорему.
Доказанное свойство называется аддитивностью ин-
интеграла как функции области.
Замечание. Легко убедиться, что при разбиении
D па счетное число пеперекрывающихся частей свойство
аддитивности интеграла как функции области сохраня-
сохраняется, если сумма длин Г„ конечна.
§ 6. Интегралы, зависящие от параметра
Нам придется привести доказательство двух теорем
относительно интегралов, зависящих от параметра, так
как в анализе они доказываются для слишком простых
случаев.
Теорема 6.1. Пусть функция f(z, w) определена и
непрерывна при геГ, w е Е, где Е — некоторое множе-
множество, а Т — спрямляемая кривая. Если
равномерно по геГ, то
\ f(z, w)dz^>- j ф (z) dz (w -> w0, w e E).

§ 6. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 33
Доказательство. Согласно определению равно-
равномерного стремления к пределу для любого е > 0 найдет-
найдется такое б > 0, что при всех геГ
| / (z, w) — ф (z) | <С 4- (| w — w01 < 6, w e E)
(L — длина Г). Применяя теорему 5.1 об оценке инте-
интеграла, имее^м
е
Т
г
[/ (z, w) — ф (z)] dz
> — w01 < б, w e E).
Так как е > 0 произвольно, получаем утверждение
теоремы.
Частным случаем доказанной теоремы является ут-
утверждение:
Ряд2^ип(г) непрерывных функций un(z) можно по-
почленно интегрировать по любой кривой, на которой этот
ряд равномерно сходится.
Теорема 6.2. Пусть функция f(z, w) определена и
непрерывна при геГ, w е С (Г и С — спрямляемые
кривые). Тогда функция
F(w)= \ f(z, w)dz
г
непрерывна при w ef и
| \ / (z, w) dz dw = j j / (z, w) dw dz.
с т т с
Доказательство. Заметим прежде всего, что
функция /(z, w) равномерно непрерывна по совокупно-
совокупности своих переменных при г^Г, w eC, так как кри-
кривые 'Г и С — замкнутые множества (это не имеет отно-
отношения к тому, замкнутые ли они кривые!). Это значит,
что |/(zb wi)—f(z2, w2) I < e, если только \z\ — z2l+
+ \w\ — и>2\ < б невависимо от положений точек z\ и z%
на Г и н?1 и и>% на С.
Рассмотрим разность F{w) — F{%). По определению
F(w) имеем
F(w)-F (?) = j [/ (z, u,-) - / (z, ?)] dz.

34 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Выбирая б так, чтобы | / (z, w) — / (z, ?) ( < -^- (L — дли-
длина Г) при |н? — ?| < S и при любом г^Г, получаем нера-
неравенство \F(w)-F(t,)\ <e.
Непрерывность F(w) доказана.
Найдем интеграл от F(w) по С. Напишем интеграль-
интегральную сумму
Sn = 2 F Фк) К - U7ft_i) = f 2 / (z, 0*) К - Wk-O <fe.
i ? i
Но, используя результат примера 1 § 5, можно написать.
п
2 / (z, 6А) (u7ft — ыъ_.х) — V / (z, w) dw =
1 с
= 2
где через Ck обозначен участок кривой С между wh-\ и
wh. Выберем теперь разбиение кривой С на участки Ch
столь мелким, чтобы при всех А;
max | / (z, 0fe) — / (z, w) | < -y^-
(L — длина Г, L\ — длина С). Тогда согласно теореме 5.1
об оценке интеграла можно написать, обозначая длину
Ск через ph:
ГС
Но при измельчении разбиения
Sn -> J F (w) dw = J J / (z, w) йг йы;,
с cr
Следовательно,
) ] / (z, w) ^z йи; = J J / (z, it>) dw dz,
сг г с
и теорема Доказана.
В заключение скажем еще несколько слов о несоб-
несобственных криволинейных интегралах.

§ 6. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 35
Если подынтегральная функция в некоторых точках
контура интегрирования обращается в бесконечность или
если контур интегрирования имеет бесконечную длину,
то интеграл в том смысле, в котором мы его определили,
не существует. Для этих случаев необходимо ввести по-
понятие несобственного интеграла или интеграла с особен-
особенностями.
Мы определим несобственный интеграл для случая,
когда подынтегральная функция непрерывна на контуре
интегрирования, за исключением конечного числа точек
«1, п2, ¦ ¦., ап, а концы контура интегрирования могут
уходить в бесконечность. В этом случае будем говорить
об интеграле с особенностями в точках а\, аг, ..., ап и
в бесконечности.
Ясно, что достаточно определить понятие несобствен-
несобственного интеграла с одной особенностью, расположенной в
одном из концов контура, так как интеграл с нескольки-
несколькими особенностями можно разбить на сумму конечного
числа интегралов, каждый из которых имеет такой вид.
Итак, пусть функция /(z) непрерывна во всех точках ко-
конечного контура С, за исключением одного из его концов,
скажем а. Обозначим через С, часть контура С, лежа-
лежащую вне круга Iz — а] < г. Если существует предел
lim \ f(z)dz,
•-о с,
то назовем его несобственным интегралом от /(z) no кон-
контуру С (с особенностью в точке а).
Аналогично определяется и несобственный интеграл
по контуру, один из концов которого уходит в бесконеч-
бесконечность (интеграл с особенностью в бесконечности).
Если несобственный интеграл от /(z) по контуру С
существует, то будем говорить, что /(z) интегрируема по
контуру С.
Если существует несобственный интеграл J | / (z) 11 dz |,
о
то будем говорить, что f(z) абсолютно интегрируема по
контуру С.
Нетрудно показать, что функция, абсолютно интегри-
интегрируемая по контуру С, интегрируема по этому контуру.
Пусть теперь функция /(z, w) при любых значениях
параметра w^ E непрерывна по г во всех точках кон-

36 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
тура С, за исключением его конца а. Если предел
lim ) / (z, w) dz = | / (z, w) dz
e-*0 cE с
существует равномерно по w ^E, то будем говорить, что
несобственный интеграл равномерно сходится по w ^ E.
(Интеграл с несколькими особенностями называется рав-
равномерно сходящимся, если он может быть представлен
в виде суммы равномерно сходящихся интегралов с од-
одной особенностью.)
Теоремы 6.1 и 6.2 для равномерно сходящихся не-
несобственных интегралов остаются в силе. (_)
Сформулируем один признак равномерной сходимо-
сходимости несобственных интетралов, аналогичный признаку
Вейерштрасса равномерной сходимости рядов.
Теорема 6.3. Если при всех z<^C и w^E непре-
непрерывная функция /(z, w) удовлетворяет неравенству
l/(z, u>)|<(p(z) и функция ф(г) интегрируема по кон-
контуру С, то интеграл ) / (z, w) dz равномерно сходится по
с
§ 7. Гомотопность кривых в областях на сфере
Рассмотрим некоторые простые геометрические свой-
свойства кривых, лежащих в заданной области комплексной
плоскости (или сферы Римана). Интересующие нас фак-
факты в курсах анализа излагаются редко*), а при изуче-
изучении теории аналитических функций внакомство с ними
весьма полезно. В отдельных вопросах такое внакомство
даже необходимо.
Мы будем использовать следующее определение гомо-
гомотопности кривых:
Кривые С и С, лежащие в данной области D, назы-
называются гомотопными в этой области, если их можно пе-
перевести друг в друга непрерывной деформацией, не вы-
выходя за пределы области D и не двигая ни начало, ни
конец кривой.
Предложенное определение вполне корректно (если
его аккуратно формализовать), и для нас оно удобнее
*) В курсе математического анализа [14] эти вопросы освеще-
освещены достаточно подробно в современном изложении.

g 7. ГОМОТОПНОСТЬ КРИВЫХ В ОБЛАСТЯХ НА СФЕРЕ 37
тем, что использует наглядно геометрические термины.
С точки зрения формальных доказательств у него много
недостатков, и в настоящее вромй его почти не ис-
используют.
Современный подход состоит в отказе от понятия кри-
кривой и в использовании вместо него того объекта, который
(мы назвали 'параметрическим уравнением кривой. Опре-
Определение гомотопности параметрических уравнений со-
состоят в следующем.
Два параметрических уравнения
z = zi(?), OsSZsS'l; z = z2{t), 0 «Si «Si,
называются гомотопными в области D, если существует
функция Ф(?, s), обладающая такими свойствами:
1. Функция Ф(?, s) непрерывна но t и s при 0 ^ t ^ 1,
OsSssS 1.
2. Ф(?, s)efl при всех 0 «? ?< 1, 0 «? s «? 1.
3. Величины Ф@, s) и ФA, s) не зависят от s.
4. Имеют место равенства Ф(?, 0) = zi(,?), Ф(?, 1) =
==z2(i).
Предложенное выше определение гомотопности кри-
кривых можно заменить следующим равносильным утверж-
утверждением более формального типа:
Две кривые гомотопны в области D, если у них най-
найдутся гомотопные параметрические уравнения.
Действительно, обозначим через Cs кривую с парамет-
параметрическим уравнением г = Ф(?, s), O^i^l. При измене-
изменении s от 0 до 1 кривая Cs непрерывно деформируется,
оставаясь в области D (условия 1 и 2), а ее начало и
ее конец не меняются (условие 3). При s = 0 кривая Cs
совпадает с одной кривой, а при s = 1 — с другой (усло-
(условие 4). Q
Перечислим некоторые факты о гомотопности кри-
кривых, которыми сравнительно часто будем пользоваться.
Для их формулировки удобно ввести ряд обозначений.
Символом С\С2 будем обозначать кривую, получен-
полученную прохождением сначала кривой С\, а затем — кри-
кривой Сч- Этим символам следует пользоваться лишь в слу-
случае, когда конец кривой С\ совпадает с началом кривой Ci
(в этом случае C\Ci действительно представляет собой
непрерывную кривую). Символом С~1 будем обозначать
кривую С, проходимую в обратном направлении (от кон-
конца к началу). Начало кривой С будем обозначать сим-

38 ГЛ, I, ВВЕДЕНИЕ
волом ос(С), а ее конец—символом со (С). Гомотопность
кривых С и С" в области D будем записывать формулой
C~C'(D).
1. Если C~C'(D), то п(С) = а(С) и со (С) = со (С).
2. Если С = d ... Сп, С' = С[...С'п и ChttC'h{D),
А = 1, ..., п, то С « С(D).
3. EcauDxczD и C^C'(Di), то C~C'(D).
4. Если D — выпуклая область, то С ~ С(D) тогда и
только тогда, когда а(С) = а(С") и со(С) = со(С').
Утверждения 2 и 3 вполне очевидны геометрически,
а их доказательства через параметрические уравнепия
довольно кропотливы, хотя и нетрудны. Геометрическая
наглядность утверждения 4, пожалуй, спорна, а его до-
доказательство через параметрические уравнения совер-
совершенно тривиально. Действительно, если
— параметрические уравнения кривых С и С, то доста-
достаточно положить
Из утверждения 4 видно, в частности, что любую
кривую, лежащую в данной области, всегда можно ва-
менить гомотопной ей гладкой кривой (или, если это
удобнее, ломаной с конечным числом звеньев). []
Гомотопическим классом кривой С в области D на-
называют совокупность всех кривых, лежащих в области D
и гомотопных кривой С. Гомотопический класс кривой С
будем обозначать через [С].
Обозначим через n(D; zq) множество гомотопических
классов всех замкнутых кривых, лежащих в области D
и проходящих через фиксированную точку z0 e D.
На множестве n(D; Zo) можно определить операцию
умножения гомотопических классов, положив [Ci] [?2] =
= [С1С2]. (Умножение гомотопических классов некомму-
некоммутативно!)
Множество я (D; zo) представляет собой группу отно-
относительно введенной таким способом операции. Эта груп-
группа пазывается фундаментальной группой области D (от-
(относительно точки zo). Единицей фундаментальной груп-
группы является гомотопический класс, состоящий из кри-

g 7. ГОМОТОПНОСТЬ КРИВЫХ В ОБЛАСТЯХ НА СФЕРЕ 39
вых, стягиваемых в точку zo непрерывной деформацией
(не выводящей за пределы области D).
Нам будет нужен для ссылок следующий результат:
Фундаментальная группа тп-связной области D явля-
является свободной группой cm — 1 образующими.
Что такое свободная группа, поясним ниже, но снача-
сначала изложим необходимую информацию о построении
образующих.
Согласно определению граница то-связной области D
на сфере Римана состоит из гп компонент. С каждой
компонентой границы связана ровно одна компонента до-
дополнения к области D до всей сферы Римана.
Обозначим эти компоненты дополнения через Чо> ...
..., "fm-i. Заключим каждую компоненту ук в область Gk,
ограниченную простой замкнутой кривой Тк, лежащей в
области D. Области Gh выберем такими, чтобы их замы-
замыкания не имели общих точек. На каждой кривой 1\ вы-
выберем точку zft, которую будем считать началом и концом
кривой 1\. Из точки zo проведем в выбранную точку zft
какую-либо кривую 1к, лежащую в области D, и обо-
обозначим
Ck = lhThlh\ ft = 0, I, ..., m-l.
Гомотопические классы [Ci], ..., [Cm_i] можно взять в
качестве образующих фундаментальной группы n(D; zo).
Это означает, что каждый элемент [С] фундаментальной
группы можно представить в виде
у G.1)
где числа ik могут принимать значения 1, ..., m—1,
а числа гк—значения 1 или —1. Иными словами, каж-
каждая замкнутая кривая С, лежащая в области D и прохо-
проходящая через точку zo, гомотопна кривой С = С^ .. . С*™.
Утверждение, что фундаментальная группа является
свободной группой, означает, что представление G.1)
единственно, если произвести все естественные сокраще-
сокращения — выбросить все встречающиеся рядом пары взаим-
взаимно обратных элементов группы.
Доказательство приведенного утверждения вполне
элементарно, но достаточно громоздко. Наиболее трудной
его частью является доказательство единственности пред-
представления G.1). Q

40 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Особо выделим два наиболее простых случая приве-
приведенного утверждения.
Еслрг область D односвязна, то множество образую-
образующих пусто, и фундаментальная группа n(D; z0) состоит
только из единичного элемента. Иными словами, каждая
замкнутая кривая, лежащая в области D, может быть
стянута в точку, а любые две кривые, лежащие в одно-
связной области D, гомотопны, если у них совпадают
начальные и конечные точки.
Если область D двусвязна, то фундаментальная груп-
группа n(D; zo) состоит из степеней одного элемента [Ci].
Это означает, что каждая замкнутая кривая С, лежащая
в двусвязпой области D, гомотопна кривой С^, где v —
некоторое целое число. Чтобы лучше понять геометриче-
геометрический смысл этого числа v, рассмотрим простейший част-
частный случай, когда область D — это вся комплексная
плоскость с выколотой точкой, которую обозначим че-
через а. В этом случае в качестве кривой С\ можно взять
окружность с центром в точке а, обходимую один раз
против часовой стрелки. Интересующее нас число v
представляет собой не что иное, как число обходов кри-
кривой С вокруг точки а против часовой стрелки. Это число
принято называть индексом точки а относительно кри-
кривой С, и оно обозначается символом v(C, a).
Для вычисления величины v(C, а) в конкретных за-
задачах имеются различные способы. Опишем один из них.
Проведем из точки а луч, идущий в бесконечность.
Число точек, в которых кривая С пересекает этот луч
справа налево, мы обозначим через v+, а число точек,
в которых она пересекает этот луч слева направо,— че-
через v~. Если числа v+ и v~ конечны, то
v(C, a)=v+- v-
Формула остается в силе, если заменить луч любой про-
простой кривой, идущей из точки а в бесконечность.
Для общей двусвязной области можно предложить
аналогичную формулу, характеризующую гомотопиче-
гомотопический класс дайной кривой С. Для этой цели заметим, что
величина v(C, а) одинакова при всех а из компоненты
уь Поэтому для замкнутых кривых С, лежащих в дву-
двусвязной области D, имеет смысл обозначение v(C, yi).
Эта величина и характеризует гомотопический класс
кривой С в области D.

§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 41
С помощью величины v(C, yi) можно дать полное ре-
решение задачи о гомотопности кривых С и С" в двусвяз-
ной области D.
В двусвязиой области D с компонентами. дополнения
"fo и fi \д° всей сферы Римапа) кривые С и С гомотоп-
гомотопны тогда и только тогда, когда выполнены условия
а(С)=а(С), со(С)=со(С"), v(C'C~l, ь)= 0.
В то-связных областях с тп > 2 столь простых крите-
критериев гомотопности кривых уже нот. Условия
а(С) = а(С), а(С)=а(С'),
v(C-lC, fk)=0, fc=l, .:., m-i,
являются уже только необходимыми, но не достаточны-
достаточными условиями гомотопности кривых С и С".
§ 8. Топологические пространства
В заключение этой вводной главы расскажем вкратце
еще о некоторых элементарных понятиях из топологии.
Знакомство с этими понятиями не обязательно для по-
понимания дальнейшего изложения, хотя и полезно. Содер-
Содержанием этого параграфа являются не доказательства,
а только определения, позволяющие иногда взглянуть на
известные факты с новой точки зрения.
Пусть дано множество каких-либо объектов, которые
мы будем называть для удобства точками (а само мно-
множество — пространством). Это пространство называется
топологическим пространством, если в нем определена
топология, т. е., грубо говоря, если в нем определено по-
понятие близости точек. Задавать в пространстве тополо-
топологию можно разными способами. Наиболее естественный
способ состоит в том, что определяется понятие сходимо-
сходимости последовательности точек. Этот способ нехорош тем,
что понятие сходимости должно удовлетворять ряду ус-
условий, смысл которых не слишком нагляден. Тем не ме-
менее при изучении пространств, точками которых являют-
являются функции, этот способ задания топологии имеет свои
преимущества. Очень употребителен способ задания то-
топологии в пространстве с помощью системы окрестно-
окрестностей. Можно задать топологию, объявив, какие подмно-
подмножества пространства являются открытыми множествами.

42 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Еще один способ задать топологию состоит в том, чтобы
описать функции на пространстве, которые являются не-
непрерывными функциями.
Приведем определение топологического пространства
через систему окрестностей, так как эта схема ближе
всего подходит к схеме изложения элементов теоретико-
множественной топологии в анализе.
Множество Н называется хаусдорфовым топологиче-
топологическим пространством, если в нем выделена система под-
подмножеств Ша} (система окрестностей), обладающая
свойствами:
1. Пересечение любых двух окрестностей Ua и ?/е или
пусто, или содержит некоторую окрестность ?/т.
2. Для любых двух различных точек а и Ъ из мно-
множества Н существует окрестность Ua, содержащая точку
а и не содержащая точку Ъ.
Будем считать, что две системы окрестностей {Ua) и
и [[/«} определяют одинаковую топологию в пространстве
Н, если для любой окрестности системы {Ua} существу-
существует содержащая ее окрестность системы (?/«)> и наоборот.
Топология в пространстве // вводится особенно про-
просто, если в этом пространстве определена метрика, т. е.
если определено расстояние р(а, Ь) между любыми дву-
двумя точками а и Ъ пространства Н, удовлетворяющее
условиям:
р(а, а)=0; р(а, Ъ)> 0 (аФЬ);
р(а, b) = p(b, a);
р(а, b)<p(a, c)+p(c, b).
Действительно, в этом случае в качестве системы окрест-
окрестностей Ша) можно взять совокупность множеств С/а„ со-
состоящих из точек х е Н, удовлетворяющих неравенству
р(х, а)<г,
при всех яеЯ и при достаточно малых е (не превы-
превышающих некоторого значения, зависящего от а). Имен-
Именно таким способом мы определяли окрестности на комп-
комплексной плоскости и на сфере Римана.
Следует иметь в виду, что задание топологии не вле-
влечет за собой задание метрики.
Когда в пространстве Н задана топология с помощью
системы окрестностей, привычным образом (ср. § 2)

§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 43
определяются понятия открытого и замкнутого множест-
множества, границы множества и т. д. Именно:
Точка а множества Е с Н называется внутренней точ-
точкой этого множества, если множество Е содержит неко-
некоторую окрестность Ua, содержащую точку а.
Точка деЯ называется внешней по отношению к
множеству Е с Н, если существует окрестность Ua, со-
содержащая точку а и не имеющая общих точек с мно-
множеством Е.
Точка не Н называется граничной точкой множества
Е, если любая окрестность Ua, содержащая точку а, со-
содержит как внутренние, так и внешние точки мно-
множества Е.
Множество Е называется открытым, если все его точ-
точки внутренние.
Множество Е называется замкнутым, если оно содер-
содержит все свои граничные точки.
Множество граничных точек множества Е называется
его границей.
Легко доказать, что граница множества — всегда
замкнутое множество.
Полезно заметить, что, задав топологию в пространст-
пространстве, мы задаем тем самым некоторую топологию в любом
множестве этого пространства. Разумеется, при желании
можно было бы задать на данном открытом подмножест-
подмножестве и другую топологию. В качестве примера можно ука-
указать на топологию, определяемую в области на комп-
комплексной плоскости с помощью метрики Мазуркевича
(см. § 4). Если эта область ограничена кривой со склад-
складками, то точки, близкие на плоскости, могут не быть
близкими в метрике Мазуркевича. Это и означает, что
топология, определяемая этой метрикой, отлична от
обычной топологии на плоскости (определяемой евклидо-
евклидовой метрикой).
На топологических пространствах можно рассматри-
рассматривать функции, причем их значения могут быть точками
любого другого топологического пространства (и даже
не обязательно топологического). Для функций, опреде-
определенных на топологическом пространстве, обычно упо-
употребляется термин «отображение». Дадим точное опреде-
определение этого термина и некоторых других.
Пусть каждой точке а топологического пространства
Н поставлена в соответствие точка }(а) топологического
пространства #'. Тогда будем говорить, что задано ото-

44 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
бражение / топологического пространства Н в топологи-
топологическое пространство Н', и записывать этот факт с по-
помощью формулы
Точка /(а)е#' называется образом точки а^Н при
отображении /, а точка а — прообразом точки /(я).
Образом множества Е <= Н при отображении Н -*~ Н'
называется множество ?", состоящее из образов точек
множества Е. Прообразом множества Е' при отображе-
отображении называется множество всех прообразов его точек.
Образ множества Е при отображении / обычно обозна-
обозначают символом f(E).
Отображение Н -+ Н' называется непрерывным, если
прообраз любого открытого множества — открытое мно-
множество.
Нетрудно проверить, что это определение непрерыв-
непрерывности равносильно определению непрерывности, постро-
построенному по аналогии с определением, используемым
в анализе.
Если / — отображение топологического пространства
Н в топологическое пространство Н' и если /(#) = #',
то говорят, что / — отображение топологического прост-
пространства Н на топологическое пространство #'.
Отображение / топологического пространства Н на то-
топологическое пространство Н' называется взаимно одно-
однозначным, если образы различных точек различны. Для
взаимно однозначного отображения / всегда есть обрат-
обратное отображение, которое обозначается /~'. Для обозна-
обозначения взаимно однозначного отображения используются
формулы
Взаимно однозначное отображение Н ¦*->¦ Н' называ-
называется топологическим отображением или гомеоморфизмом,
если оба отображения /и /"' непрерывны.
Пусть даны два отображения
Результирующее отображение топологического простран-
пространства Н в топологическое пространство Н" называется

§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 45
композицией отображений / и g и обозначается сим-
символом g ° /.
Ясно, что образ точки не Я при отображении g ° /
выражается формулой g{f(a)). Таким образом, компози-
композиция отображений — это не что иное, как сложная
функция.
Следующие два утверждения доказываются без
труда:
Если отображения fug непрерывны, то непрерывно
и отображение g ° /.
Если fug — гомеоморфизмы, то отображение g°f —
также гомеоморфизм.
Действительно, пусть Е" — произвольное замкнутое
множество пространства Н". Его прообраз при отображе-
8
нии #'->#" мы обозначим через ?", а прообраз множе-
множества Е' при отображении Н -*¦ Н'—через Е. Ясно, что
множество Е является прообразом множества Е" при
отображении g ° /. Согласно определению отображение g ° f
непрерывно, если множество Е замкнуто для любого
замкнутого множества Е". Но из замкнутости множест-
множества Е" и непрерывности отображения g следует замкну-
замкнутость множества ?", а из замкнутости множества Е' и
непрерывности отображения / — замкнутость множества
Е. Тем самым доказано первое утверждение. Применяя
это утверждение к обратным отображениям, получаем
второе утверждение. П
С помощью понятия отображения легко определяется
понятие кривой в любом топологическом пространстве.
Именно:
Непрерывной кривой в топологическом пространстве
Н назовем образ отрезка [0, 1] действительной оси при
непрерывном отображении этого отрезка в топологиче-
топологическое пространство Н. Замкнутой непрерывной кривой на-
назовем образ окружности при непрерывном отображении
этой окружности в топологическое пространство Н.
Простой кривой в топологическом пространстве Н на-
назовем образ отрезка [0, 1] при топологическом отобра-
отображении этого отрезка в пространство Я, а простой замк-
замкнутой кривой — образ окружности при топологическом
отображении этой окружности в пространство Н.
Здесь следовало бы добавить все, что было сказано
о кривых па плоскости (см. § 2). Каждое отображение
отрезка или окружности в топологическое пространство

46 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Н есть не что иное, как параметрическое уравнение кри-
кривой, п
Открытое множество в топологическом пространстве Н
называется областью, если любые две точки этого мно-
множества можно соединить непрерывной кривой, лежащей
в этом множестве.
Как и в предыдущем параграфе, можно определить
понятие гомотопности двух кривых в данном топологиче-
топологическом пространстве, а также понятие фундаментальной
группы топологического пространства.
Область G топологического пространства Н называет-
называется односвязной, если любая замкнутая кривая, лежащая
в этой области, гомотопна нулю. П
При изучении множеств в топологических простран-
пространствах большое значение имеет понятие компактного
множества.
Множество Е топологического пространства Н назы-
называется компактным, если из любого семейства окрестно-
окрестностей из системы {Ua}, покрывающих в совокупности это
множество, можно выделить конечное число окрестно-
окрестностей, покрывающих это множество. В частности, все про-
пространство Н называется компактным, если из системы
окрестностей {?/<*} можно выбрать конечное покрытие
всего пространства.
Легко проверить, что сфера Римана является ком-
компактным топологическим пространством, а комплексная
плоскость не является. Легко устанавливается также,
что множество Е на сфере Римана компактно тогда и
только тогда, когда оно замкнуто, а на комплексной
плоскости — тогда и только тогда, когда оно замкнуто и
ограничено. [J
Топологическое пространство Н будем называть по-
поверхностью, если оно является областью и если для
каждой окрестности Ua существует гомеоморфизм ла
этой окрестности на некоторый круг в плоскости.
Пусть Н — поверхность, a Ua и С/ц — две окрестности,
имеющие непустое пересечение FaP. Введем обозначения
Ясно, что %а$ — гомеоморфизм плоской области D$a на
плоскую область Д*ц.
Поверхность Н называется ориентируемой, если при
любом выборе окрестностей Ua и Ut отображение %а» со-

§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 47
храняет направление обхода любой простой замкнутой
кривой относительно области, ограничиваемой этой
кривой.
Приведенное определение близко подходит к интуи-
интуитивному представлению о понятии поверхности. Легко
видеть, что сфера, тор, лист Мёбпуса являются поверх-
поверхностями в смысле данного определения. При этом сфера
и тор — ориентируемые поверхности, а лист Мёбиуса —
неориентируемая поверхность.
Мы будем изучать аналитические функции на комп-
комплексной плоскости или на сфере Римана. Однако иногда
полезно рассматривать аналитические функции на дру-
других поверхностях. Мы только вскользь коснемся этого
вопроса в конце гл. III.

Глава II
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
В теории аналитических функций изучаются далеко
не все функции комплексного переменного, а лишь до-
довольно узкий их класс. Тем не менее в этот класс вхо-
входят почти все встречающиеся в анализе функции. Изу-
Изучению простейших свойств функций этого класса — го-
голоморфных функций — посвящена эта глава. Одна и.!
основных задач главы — доказательство удобных при-
признаков голоморфности. В процессе доказательств будут
доказаны теоремы, имеющие фундаментальное значение
для всей теории.
§ 1. Дифференцируемые и голоморфные функции
Функция комплексного переменного f(z), определен-
определенная в некоторой окрестности точки ?, называется диффе-
дифференцируемой в точке ?, если существует предел
называемый производной функции /(z) в точке ?.
Ясно, что условие дифференцируемости f(z) в точке
? можно записать в виде
A.1)
Функция f(z) называется дифференцируемой в обла-
области D, если она дифференцируема в каждой точке этой
области.
Следующие простейшие свойства дифференцируемых
функций легко доказываются, исходя из определения.
Если функции f(z) и g(z) дифференцируемы в точке
?,, то их сумма и произведение тоже дифференцируемы в
точке ?, причем

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 49
Если функции j(z) и g(z) дифференцируемы в точ-
точке t, и g(t,)=?O, то функция F(z) = —^у тоже дифферен-
дифференцируема в точке ?, причем
р/ _ f'g - fg' ш
Если функция f(z) дифференцируема в точке ?,
а функция ф(г) дифференцируема в точке ?i=/(?)> то
функция F(z) = q>(f(z)) тоже дифференцируема в точ-
точке t,. При этом
Дифференцируемость функции комплексного перемен-
переменного очень сильное требование. Чтобы яснее представить
себе его смысл, запишем функцию j(z) в виде f(x + iy) =
= и(х, y)+iv{x, у) и выясним, какие условия налагает
на функции и(х, у) и v(x, у) требование дифференци-
руемости функции /(z). (Первое впечатление, что диф-
дифференцируемость f(z) равносильна дифференцируемости
и(х, у) и v(x, у), совершенно не соответствует действи-
действительности.)
Теорема 1.1. Для дифференцируемости функции
f(z) в точке ?, = | + ?т] необходимо и достаточно, чтобы
функции и(х, у) = Re /(х + iy) и v(x, y)—lmf(x+iy)
были дифференцируемы в точке (|, г\) и чтобы их част-
частные производные в этой точке были связаны соотноше-
соотношениями
и'х (Ь Г)) = v'y (?, г)), и'у {I, г)) = — v'x (I, г)).
(Эти соотношения носят название уравнений Коши —
Римана.)
Доказательство. Докажем необходимость.
Дифференцируемость функции /(z) в точке t, равносиль-
равносильна равенству
f(z)-ftt) = (z-Z)J'(Z)+o(\z-V,) (z + t). A.2)
Отделяя в этом равенстве действительную и мнимую ча-
части и обозначая f (Z,) = A + iB, получаем при х ->-1,
у-*ц
и(х, у)-иA, г\) = А(х -I)- В{у - г\) + о(р),
r\) + o(p) ( }

50 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
(р — расстояние между точками (х, у) и (?, т]), т. е.
p=lz —?|). Равенства A.3) означают, что функции
и(х, у) и v(x, у) дифференцируемы и что
и'х (I, г)) = А, и'у (I, ii) = — В,
т. е. что выполняются соотношения Коши — Римапа. Не-
Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Если функции и(х, у)
и v(х, у) дифференцируемы и удовлетворяют уравнени-
уравнениям Коши— Рпмана, то, обозначив их(Е,, ц) = A, уж(?, ti) =
= В, можно написать равенства A.3). Умножая второе
из равенств A.3) на i и прибавляя его к первому, полу-
получаем равенство A.2), равносильное дифференцируемости
функции f(z) в точке ?. Теорема доказана.
Итак, если функции и(х, у) и v(x, у) дифференци-
дифференцируемы, то дифференцируемость функции f{z) = u(x, y) +
+ iv(x, у) еще не обеспечена; нужно еще, чтобы функ-
функции и(х, у) и v(x, у) удовлетворяли системе диффероп-
цнальпых уравнений
ди dv ди ди
дх ду ' ду дх
(уравнения Коши—Рпмана). Коротко отметим некото-
некоторые интересные свойства этой системы уравнений.
Если одна из функций и(х, у) или v(x, у) известна,
то уравнения Коши — Римана дают обе частные произ-
производные второй из этих функций. Это позволяет восстано-
восстановить вторую функцию, скажем, и(х, у), с помощью ин-
интеграла от полпого дифференциала
и (х, у)= J u'x dx + и'у dy + С
()
с точпостыо до произвольного постоянного, слагаемого.
Таким образом, действительная и мнимая части диф-
дифференцируемой функции f(z) не независимы. Зная одну
из них, можно восстановить другую с точностью до по-
постоянного слагаемого.
Если предположить, что функции и(х, у) и v(x, у)
дважды дифференцируемы, то, исключая из уравнений
Коши — Римана одну из функции (дифференцируя одно
уравнение по х, другое — по у и складывая), получаем

§ I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 51
для функций и(х, у) и v(x, у) уравнения
д2и д2и _ n d2v d2v _ п
3^ 5г/2 дх2 ду2
Дифференциальное уравнение —«"  г" =Оназывает-
ся уравнением Лапласа, а его решения — гармонически-
гармоническими функциями. Уравнение Лапласа встречается во мно-
многих вопросах математической физики.
Таким образом, действительная и мнимая части диф-
дифференцируемой функции являются гармоническими функ-
функциями (если они дважды дифференцируемы). Поскольку
они еще и связаны между собой, то их называют сопря-
сопряженными гармоническими функциями. \j
Из определения дифференцируемости видно, что мно-
многочлен от z является дифференцируемой функцией во
всей комплексной плоскости. Рациональная функция
(как отношение двух многочленов) тоже дифференцируе-
дифференцируема во всей комплексной плоскости, за исключением то-
точек, где ее знаменатель обращается в пуль.
Определим более широкий класс функций, заведомо
являющихся дифференцируемыми.
Функцию f(z) назовем голоморфной в точке ?, если
f(z) представляется рядом
сходящимся в какой-либо окрестности этой точки (т. е.
в каком-либо круге I z — ? I <r, г>0).
Функцию f(z) назовем голоморфной в области D, если
она определена в этой области и голоморфна в каждой
ее точке.
Функция f(z), голоморфная в точке ?, дифференцируе-
дифференцируема в этой точке. Действительно, из равенства
находим /(?)= со и
Отсюда видно, что предел левой части при z ->- ? суще-
существует и равен коэффициенту с\. [J

52 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Несколько ниже мы докажем, что функция, диффе-
дифференцируемая в области, голоморфна в этой области. По
этой причине понятие голоморфности и дифференцируемо-
сти часто не отделяют друг от друга.
Определим еще понятие голоморфности функции в бе-
бесконечности.
Функцию /(z), определенную в какой-либо окрестно-
окрестности точки °°, называют голоморфной в точке z = °°, если
Другими словами, функция /(z) голоморфна в точке z =
= °°, если функция g (Q = /(-j-J голоморфна в точке ? = 0.
§ 2. Теорема Коши
Пусть функция /(z) голоморфна в конечной точке zo и
оо
/(z)=Scn(z-z0)n (\z-zo\<r) B.1)
П=0
•— се разложение в степенной ряд в окрестности этой
точки. При любом значении постоянной С функция
F(Z) = C + 2i -^црг (z - h)n+1 (I z-z01< r) B.2)
также голоморфна в точке z0 и легко проверить, что для
нее выполняется равенство F'(z) = /(z). Каждую из та-
таких функций F(z) будем называть локальной первообраз-
первообразной функции /(z).
Подчеркнем, что локальная первообразная суммы сте-
степенного ряда определена и голоморфна во всем круге схо-
сходимости этого ряда, так как круги сходимости рядов B.1)
и B.2) совпадают.
Покажем, что для степенных рядов имеет место ана-
аналог формулы Ньютона — Лейбница. Сначала докажем
лемму, дающую нам частный случай этой формулы.
Лемма 1. Пусть п^О—целое число, а С — спрям-
спрямляемая кривая с началом в точке z = а и концом в точ-
точке z — h. Тогда
§zndz= bn+1~f+1 ¦
с

§ 2. ТЕОРЕМА КОШИ 53
Доказательство. Функция zn очевидно непрерыв-
непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому интеграл от
нее по любой спрямляемой кривой существует и равен
пределу интегральной суммы при любом допустимом вы-
выборе точек разбиения. Следовательно, искомый интеграл
равен пределу суммы
JV
Sn = 2 Zfe_x (Zft — Zft-j)
при выполнении следующих условий:
1. Точки zh следуют по кривой С в порядке их номеров.
2. zo = a, zN = Ъ.
3. Величина 8jv = max | zfe — zk_1 | стремится к нулю,
kN
когда N -*¦ °°.
Согласно формуле бинома Ньютона имеем равенство
= zl±\ + (n H
Из этого равенства нетрудно вывести, что
_71 / _ \ Я Я— 1 г / О О \
zh-i (zk — Zft_i) = JT+1. ^ k' ' i
где для величины sk имеет место оценка
lej ^Ж|2й-г^!12^Жб№1гй-гй-1| B.4)
с постоянной М, зависящей от кривой С, но не зависящей
от выбора точек разбиения zh.
Легко проверить, что
JV
2 1 п+1 „п+1\ -"+1 -п+1 Ап+1 п+1
\zit — Zk^ij = ziy — Zg =0 — a
ft=i
Поэтому получаем из формулы B.3) неравенство
п + 1
из которого с помощью оценки B.4) находим
п + 1
ft=l

54 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
(I — длина кривой С). Отсюда, переходя к пределу при
N -»- °°, получаем утверждение леммы.
Переход от доказанного в лемме частного случая фор-
формулы Ньютона — Лейбница к общей формулировке до-
довольно прост.
Лемма 2. Пусть f(z)— сумма степенного ряда B.1),
F (z)—какая-либо локальная первообразная функции
f(z), а С — спрямляемая кривая с началом в точке z = a
и концом в точке z—Ъ, лежащая в круге сходимости ря-
ряда B.1). Тогда
Доказательство. Ряд B.1) равномерно сходится
па каждом замкнутом множестве, лежащем в круге его
сходимости. В частности, он равномерно сходится на кри-
кривой С. Поэтому ряд B.1) можно почленно интегрировать
по кривой С. Почленное интегрирование легко выполня-
выполняется с помощью леммы 1, и, используя представление
локальной первообразной рядом B.2), получаем утверж-
утверждение леммы.
Следствие. Интеграл от суммы степенного ряда по
любой замкнутой спрямляемой кривой, лежащей в круге
сходимости этого ряда, равен нулю.
Действительно, у замкнутой кривой начало совпадает
с концом и потому величина F(b) — F(a) равна нулю.
Следующее утверждение называется теоремой Коши.
Теорема 2.1. Пусть D — конечная область, ограни-
ограниченная конечным числом кусочно гладких кривых,
а функция f(z) голоморфна в области D и на ее границе.
Тогда
\f(z)dz = O.
8D
(Напоминаем, что направление кривых, входящих в dD,
выбирается таким образом, чтобы область оставалась
слева.)
Доказательство. Поскольку функция f(z) голо-
голоморфна в области О и на ее границе, можно покрыть
замыкаппе области D конечным числом кругов, в каждом
из которых функция /(z) представляется сходящимся
степепным рядом. Далее, можно разбить область D в сум-
сумму неперекрывающихся областей D\, .. ., Da, каждая из

§ 2. ТЕОРЕМА КОШИ
55
которых целиком лежит в одном из таких кругов. При
этом можно считать, что каждая из областей Dh одно-
связна и ограничена простой замкнутой кусочно гладкой
кривой. Интеграл по границе области является аддитив-
аддитивной функцией области (см. § 5 гл. I), так что
6D
N
ft=i dDh
i dz.
Каждый из интегралов в правой части этого равенства
равен нулю согласно следствию из леммы 2. Отсюда и
вытекает утверждение теоремы.
Отметим два обобщения теоремы Коши.
Теорема 2.1*. Пусть D — конечная область, огра-
ограниченная конечным числом кусочно гладких кривых,
а функция f(z) голоморфна в области D и непрерывна
вплоть до ее границы. Тогда
f / (z) dz = 0.
Доказательство. Так как функция f(z) непре-
непрерывна вплоть до границы области D, то можно для лю-
любого е > 0 подобрать область Ds, лежащую строго внутри
области D (и также ограниченную конечным числом ку-
кусочно гладких кривых) таким образом, чтобы выполня-
выполнялось неравенство
\f(z)dz- J f(z)dz
8D вЬо
<е
(см. теорему 5.2 из гл. I). Функция f(z) голоморфна в
области Д, и на ее границе, так что по теореме 2.1 име-
имеем | / (z) dz = 0. Следовательно,
b
\f(z)dz
вЪ
е.
Поскольку величина е > 0 произвольна, а рассматривае-
рассматриваемый интеграл не зависит от е, получаем, что он равен
нулю. Теорема доказана.
Еще одпо обобщение теоремы Коши, называемое тео-
теоремой Гурса, является важным этапом в доказательстве
голоморфности функции, дифференцируемой в области.

56
ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Теорема 2.2. Пусть D — конечная область, ограни-
ограниченная конечным числом кусочно гладких кривых,
а функция f(z) непрерывна вплоть до границы области
D и дифференцируема в каждой ее точке. Тогда
во
Доказательство. Заметим, что достаточно дока-
доказать утверждение теоремы для случая, когда область D
представляет собой треугольник. Действительно, в силу
аддитивности интеграла как функции области можно пе-
перейти от треугольника к произвольному многоугольнику,
а доказав утверждение для произвольного многоуголь-
многоугольника, можно перейти и к любой области, ограниченной
конечным числом кусочно гладких кривых, с помощью
теоремы 5.2 гл. I (как и в доказательстве предыдущей
теоремы).
Итак, пусть D — треугольник. Обозначим
= J"
B.5)
Проведем в треугольнике D все четыре средние линии.
Они разобьют его на четыре конгруэнтных треугольника
ДA), Di2), Z)C), /)<4), подобных треугольнику D. Так как
интеграл по границе треугольника D равен сумме ин-
интегралов по границам всех четырех треугольников Dw,
хотя бы для одного из последних интегралов должно вы-
выполняться неравенство
f(z)dz
Треугольник Dw, для которого это неравенство выполня-
выполняется, обозначим через D\.
Треугольник D\ опять разобьем средними линиями на
четыре конгруэнтных треугольника и выберем из них
треугольник Дг, для которого выполняется неравенство
I
3D,
/ (z) dz
Продолжая этот процесс, построим последовательность
№п) вложенных друг в друга подобных треугольников,

§ 2. ТЕОРЕМА КОШИ 57
для которых выполняются неравенства
4П
Ясно, что линейные размеры треугольников Dn уменьша-
уменьшаются вдвое при увеличении номера п на единицу. По-
Поэтому периметр р„ треугольника Dn равен р ¦ 2~п, где р —
периметр треугольника D.
У последовательности вложенных друг в друга тре-
треугольников Dn существует единственная общая точка, ко-
которую обозначим через \. Эта точка лежит в треугольни-
треугольнике D (или на его границе), и функция f(z) по условию
должна быть дифференцируема в этой точке. Поэтому
Когда точка z лежит на границе треугольника Dn, вели-
величина \z— \\ не превосходит периметра треугольника Dn
(который равен р ¦ 2~п). Следовательно,
Из леммы 1 мы знаем, что интеграл от линейной функ-
функции по замкнутой кривой равен нулю. Это соображение
позволяет написать равенство
J
8Dn
из которого вытекает, что
J [/(?) +(«-?)/'(!)]& = О,
8D
f f(z)dz= j [/(z)-/(g)-(z-
dD d
dDn dDn
n dDn
Используя полученную выше оценку для выражения,
стоящего под интегралом в правой части равенства, по-
получаем, что
(п—*- оо).
дЬп
Сравнивая полученную оценку с неравенством B.6), ви-
видим, что они совместимы лишь в случае, когда |х = 0.
Тем самым теорема доказана.
Замечание. В теореме Гурса требуется только диф-
ференцируемость функции f(z) в каждой точке области,
а не непрерывность ее производной во всей области. Ее-

58 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
ли предположить, что функция /(z) непрерывно диф-
дифференцируема в области D, то утверждение о равенстве
нулю интеграла от /(z) по границе области D легко по-
получается прямо из формулы Грина — Остроградского, у
Теорема Коши часто используется и в еще одном
виде, обобщающем лемму 2 в несколько ином направле-
направлении. Лемма 2 утверждает, что интегал от суммы степен-
степенного ряда по кривой, лежащей в круге сходимости это-
этого ряда, не зависит от формы кривой, а зависит лишь
от начальной и конечной точек этой кривой. Именно это
утверждение обобщается следующей теоремой:
Теорема 2.3. Пусть функция f(z) голоморфна в
конечной области G. Если кривые Со и С\ гомотопны в
области G, то
J/(*)& = \j{z)dz.
Доказательство. Напомним, что кривые Со и С\
называются гомотопными в области G, если их можно
непрерывно деформировать друг в друга, не выходя из
области G и не двигая их концов (см. § 7 гл. I). Иными
словами, если кривые Со и С\ гомотопны, то существует
семейство кривых Cs, непрерывно зависящее от парамет-
параметра s на отрезке 0 =?5 s ^ 1 и обладающее тем свойством,
что все кривые С3 имеют одинаковое начало и
одинаковый конец и лежат в области G. (При s = О
кривая С, обращается в кривую Со, а при s = 1 — в кри-
кривую Ci.)
Обозначим
= \f{z)dz.
Как уже отмечалось в замечании к лемме 2, каж-
каждую кривую, лежащую в области G, в частности кривую
Cs, можно покрыть конечным числом окрестностей,
в каждой из которых функция /(z) представляется рав-
равномерно сходящимся степенным рядом. По лемме 2 уча-
участок кривой Cs, попадающий в одну из таких окрестно-
окрестностей, можно произвольно деформировать в пределах этой
окрестности, п интеграл не изменится, если не двигать
концы этого участка. Последовательно деформируя кри-
кривую Са в каждой из окрестностей покрытия, можно за-
заменить кривую С, любой другой кривой, достаточно близ-

g 2, ТЕОРЕМА КОШИ
59
кой к ней. Интеграл не изменится, если не двигать кон-
концы кривой Cs (этапы последовательных деформаций по-
показаны на рис. 2). В частности, можно заменить кривую
Cs кривой CV, где число s' достаточно близко к числу s.
Следовательно, 7(s') = 7(s) при любом s', достаточно
Рис. 2
близком к s. Поскольку s — любая точка отрезка [0, 1],
это означает, что функция I (s) тождественно постоянна.
Отсюда вытекает и равенство 7A) = 7@), равносильное
утверждению теоремы.
В качестве очевидного следствия теоремы 2.3 получа-
получаем утверждение:
Теорема 2.3*. Пусть функция f(z) голоморфна в
конечной односвязной области, а С — произвольная
спрямляемая кривая, лежащая в этой области. Тогда
\f{z)dz
ной точек кривой С, но не зависит от ее формы. Если
кривая С замкнута, то интеграл равен нулю.
Чтобы вывести теорему 2.3* из теоремы 2.3, достаточ-
достаточно вспомнить, что в односвязной области две кривые
гомотопны тогда и только тогда, когда совпадают их на-
начальные и конечные точки. Из теоремы 2.3* видно, что
у каждой функции, голоморфной в конечной односвязной
области, существует первообразная, также голоморфная
в этой области. Q
интеграл
зависит лишь от начальной и конеч-

60 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Теорему Коши при некоторых дополнительных пред-
предположениях можно перенести и на случай, когда грани-
граница области содержит бесконечно удаленную точку. Мы
будем обобщать таким образом только теорему 2.2.
Нетрудно построить примеры, показывающие, что без
дополнительных предположений па функцию /(z) теоре-
теорема 2.2 перестает быть справедливой, когда область D со-
содержит бесконечно удаленную точку внутри или на гра-
границе. Однако легко указать дополнительные условия, при
выполнении которых теорема остается в силе. Первое
очевидное условие состоит в существовании интеграла
\f{z)dz, B.7)
еЪ
который будет несобственным интегралом, если точка z =
= °° лежит на границе области D. Однако легко пока-
показать, что выполнения этого усло-
условия недостаточно. Следующая
теорема дает простые достаточные
(но не необходимые) условия
для справедливости теоремы Ко-
Коши в бесконечных областях.
Теорема 2.4. Пусть функ-
функция /(z) голоморфна в конечно-
связной области D и непрерывна
вплоть до ее границы. Если не-
Рис. 3 собственный {вообще говоря) ин-
интеграл B.7) сходится, а функция
/(z) удовлетворяет дополнительному условию
(*->¦«>. *е= 5) B.8)
в окрестности бесконечно удаленной точки, то интеграл
B.7) равен нулю.
Доказательство. Обозначим через DR часть об-
области D, лежащую в круге \z\<R, а через Cr — часть
границы области D, лежащую в том же круге. Согласно
определению (см. § 6 гл. I) из существования несоб-
несобственного интеграла B.7) следует, что
f / (z) dz = lim \f (z) dz.
eh R^°° cR

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Кроме того, по теореме 2.2*
f f(z)dz = O.
dDR
61
B.9)
Поэтому, обозначив через LR часть границы области DR,
отличную от кривых CR (рис. 3), мы можем записать
равенство B.9) в виде
f(z)dz+ j f(z)dz=O.
Множество LR составлено из дуг окружности \z\ = R, так
что его длина не превосходит 2nR. Оценивая модуль ин-
интеграла от функции /(z) по дугам LR произведением мак-
максимума модуля подынтегральной функции на длину пути
интегрирования, мы получаем неравенство
\a?)dz
Следовательно,
/ (z) dz
dD
lim \ / (z) dz
= lim
= 0,
и теорема доказана.
§ 3. Интегральная формула Коши
С помощью теоремы Коши легко доказывается так
называемая интегральная формула Коши. Она позволяет
выразить значение голоморфной функции в любой точке
области через значения функции на границе этой обла-
области. Поскольку эта формула понадобится и для доказа-
доказательства эквивалентности дифференцируемое™ и голо-
голоморфности, докажем ее для дифференцируемых функций.
Теорема 3.1. Пусть функция f(z) дифференцируе-
дифференцируема в области D. Если конечная область G лежит вместе
со своей границей С в области D, а ? е G, то
\ z-t —

62 ГЛ, II, ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Доказательство. Функция Ф (z) = —-~^у является
отношением двух дифференцируемых функций, причем
знаменатель обращается в нуль только при z = ?. Поэто-'
му функция <p(z) дифференцируема по всех точках обла-
области D, за исключением точки z = ?. Возьмем р > 0 на-
настолько малым, чтобы круг Iz —?|s?p лежал в области
G, и обозначим через D' область D, из которой удалена
точка ?, а через Gp — область G, из которой удален круг
Iz-EKp.
Функция ф(г) дифференцируема в области D', и об-
область Gp лежит в области D' вместе с границей (которую
обозначим Ср). Следовательно, по замечанию 1 к теореме
Коши интеграл от ф(г) по Ср равен нулю. Но Ср состоит
из С и яг окружности Iz —?1=р, причем интегрирова-
интегрирование по окружности производится в таком направлении,
чтобы область GQ оставалась слева (а круг \z — t,\ <p —
справа). Поэтому, обозначив через Гр границу круга
|z — ?1 < р, можем написать
j (p(z)dz = J ф(г) dz.
0D Го
Считая р > 0 достаточно малым, вычислим интеграл,
стоящий в правой части последнего равенства. Имеем
J <p(z)dz = q>(?)/1 + /a,
гр
где
-J
Функция, стоящая под знаком интеграла в /г, ограниче-
ограничена, так как при z-*- ? она стремится к /'(?)• Поскольку
длина окружности Гр равна 2яр, а модуль интеграла не
превосходит произведения длины пути интегрирования
на максимум модуля подынтегральной функции, то
/2 = О(р) (р-0).
Интеграл 1\ легко вычисляется. Действительно, парамет-
параметрическое уравнение окружности Гр имеет вид z = g + ре'е,

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 63
О < 0 s? 2л. Поэтому
2Я 2Я
J
о
Следовательно,
а значит, и
Интеграл в левой части равенства не зависит от р, ко-
которое можно считать произвольно малым положительным
числом. Поэтому, переходя к пределу при р -»¦ 0, прихо-
приходим к утверждению теоремы.
Кроме интегральной формулы Коши в последующих
утверждениях будет играть важную роль еще и следую-
следующее утверждение:
Теорема 3.2. Пусть С — спрямляемая кривая,
а ф(?)— функция, непрерывная на кривой С. Функция
определена во всей комплексной плоскости, за исключе-
исключением точек кривой С. В окрестности, каждой точки zq<?C
функция f(z) разлагается в степенной ряд
f(z)=jtcn(z-zo)n, C.1)
где
Г <P(t)dt
Сп ~ J п _ , ,n+i ' и-U, 1, ... F.2)
с \ о)
При этом ряд C.1) сходится в каждом круге \z — zol < r,
не содержащем точек кривой С.
Доказательство. Утверждение, относящееся к
области определения функции f(z), очевидно. Займемся

64
ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
разложением функции /(z) в ряд. Воспользуемся равен-
равенством
(z-zo)"
/3 3)
справедливым при выполнении условия
C.4)
Ряд C.3) представляет собой геометрическую прогрес-
прогрессию, и по признаку Вейерштрасса он равномерно схо-
сходится по z и t, если существует число 0 < q < 1 (не за-
зависящее от z и t), для которого
U- C-4*)
Условие C.4*) заведомо выполняется, когда точка t ле-
лежит на кривой С, а точка z лежит в круге Iz —zol^Sr,
не содержащем точек этой кривой. Умножение равномер-
равномерно сходящегося ряда C.3) на непрерывную функцию
<р(?) не нарушит его равномерной сходимости. Почленно
интегрируя равномерно сходящийся ряд
Ф@ V (z-zo)>C)
по кривой С, получаем ряд C.1) с коэффициентами
C.2), равномерно сходящийся в каждом круге \z — zol «S
=? г, не содержащем точек кривой С.
Отметим ряд следствий из доказанных теорем.
Следствие 1. Функция
Ф (t) dt
голоморфна в каждой области, не содержащей точек
кривой С.
Следствие 2. Функция, дифференцируемая в ко-
конечной области, голоморфна в этой области.
Действительно, по теореме 3.1 функция f(z), диффе-
дифференцируемая в области D (которую можно, не ограничи-
ограничивая общности, считать ограниченной кусочно гладкими

§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 65
кривыми), представима в виде
6D
Область D не содержит точек ее границы dD, и потому
в силу следствия 1 функция /(z) голоморфна в обла-
области D.
Следствие 3. Если функция f(z) голоморфна в
конечной области D, ограниченной конечным числом ку-
кусочно гладких кривых, и непрерывна вплоть до границы
этой области, то в каждой точке zoe D она разлагается
в степенной ряд
/(*)
71=0
сходящийся в каждом круге \z — zq\<R, лежащем в
этой области. Для коэффициентов ряда имеют место
формулы
71 2m
во v о/ -
Действительно, согласно теореме 3.1 можно написать
для функции f(z) представление
а затем применить теорему 3.2.
Следствие 4. При выполнении условий следствия
3 имеет место формула
Действительно, из разложения в ряд
/(z)= I>cn(z-z0)n
легко находим, что f'{zo) = ch и, применяя формулу для
коэффициента сь получаем требуемую формулу.
^Замечание. Формула для производной голоморф-
голоморфной функции остается в силе и для случая, когда об-

66 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
ласть D содержит бесконечно удаленную точку. Это свя-
связано с наличием под интегралом множителя (t — z)~2,
достаточно быстро стремящегося к нулю при t -*¦ °°. [_]
Следующая теорема несколько дополняет следствие 4.
Теорема 3.3. Если функция /(г) голоморфна в об-
области D, то ее производная /'(г) также голоморфна в
этой области. Степенной ряд для функции /'(г) в окре-
окрестности точки zo'^D можно получить почленным диф-
дифференцированием соответствующего степенного ряда для
функции /(г).
Доказательство. Ограничимся случаем, когда
zo Ф °°. Область можно, не ограничивая общности, счи-
считать конечной и ограниченной конечным числом кусочно
гладких кривых, а функцию /(г)—непрерывной вплоть
до границы области D (в противном случае можно было
бы выбрать меньшую область, содержащую точку го).
оо
Рассмотрим ряд г|) (s) — 2 М (п + 1) sn- Радиус СХОДИ-
СХОДИЛО
мости этого ряда равен 1, так что он равномерно схо-
сходится в каждом круге Ы ^ q < 1. Сумму этого ряда мож-
можно найти, написав
2 — zn 1
Поэтому, положив s = t_ > M = g, получим фор-
формулу
^ 1 . »; , C.6)
справедливую при
Cl-При выполнении условия
C.4*) ряд в правой части формулы C.6) равномерно
сходится по z и t. Повторяя рассуждения, проведенные
при доказательстве теоремы 3.2, получаем из формулы
C.5) разложение производной /'(z) в степенной ряд

§ 4. КРИТЕРИИ ГОЛОМОРФНОСТИ 67
с коэффициентами
Сравнивая это разложение с разложением функции /(z),
полученным в следствии 3, приходим к утверждениям
теоремы.
Следствие. Если функция f(z) голоморфна в об-
области D, то она имеет там производные любого порядка,
и эти производные голоморфны в области D. Степенной
ряд для производной /(m)(z) в окрестности точки zo^D
получается m-кратным почленным дифференцированием
соответствующего степенного ряда для функции /(z).
оо
Степенной ряд / (z) = 2 сп (z — zo)n для функции
71=0
/(z), голоморфной в точке zo, называют рядом Тейлора.
Из сформулированного выше следствия вытекают
формулы
1^Ш „ = 0,1,... C.7)
и!
Сравнивая эти формулы с формулами C.2), получаем
(как и в следствии 4) формулу
Am) /v та!
для т-й производной функции, голоморфной в области D.
§ 4. Критерии голоморфности
Из эквивалентности понятий дифференцируемости и
голоморфности, доказанной в предыдущем параграфе, сра-
сразу же вытекает несколько простых признаков голоморф-
голоморфности функций. Из теорем о дифференцируемости сум-
суммы, произведения и частного имеем:
Сумма и произведение конечного числа функций, го-
голоморфных в области D, являются функциями, голоморф-
голоморфными в области D.
Отношение двух функций, голоморфных в области D,
голоморфно в области D за исключением тех ее точек,
где знаменатель обращается в нуль.

68 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Теорема о дифференцировании сложной функции дает,
что:
Если функция f(z) голоморфна в точке ?, а функция
F(w) голоморфна в точке /(?), то функция ф(г) =
= F(f(z)) голоморфна в точке ?.
Следующий более тонкий признак называется теоре-
теоремой Морера.
Теорема 4.1. Пусть функция f(z) непрерывна в об-
области D. Если для любой спрямляемой кривой С, лежа-
лежащей в области D, интеграл
\f{z)dz
зависит только от начальной и конечной точки кривой С,
то функция f(z) голоморфна в области D.
Доказательство. Зафиксируем в области D ка-
какую-либо точку а и определим функцию F(z) равен-
X
ством F (z) = J / (t) dt. Покажем, что эта функция диф-
а
ференцируема в области D и найдем ее производную.
Поскольку путь интегрирования в интеграле для
функции F(z) можно выбирать произвольно, имеем
z+h г z+h
F(z + h)-F(z)= j f(t)dt-$f(t)dt= | f(t)dt.
a a z
Последний интеграл при значениях h, достаточно малых
по модулю, можно считать взятым по прямолинейному
отрезку. Так как
z+h
J dt = h,
то получаем равенство
z+h
j
[f(t)-f(z)]dt.
Очевидно, что
z+h
J lf(t)-f(z)]dt = o(h) (h^
и, следовательно,
F{z + h)-F{z) = hj{z) + o{h) (ft

§ 4. КРИТЕРИИ ГОЛОМОРФНОСТИ 69
Это означает, что функция F(z) дифференцируема в точ-
точке z, а ее производная равна f(z).
Согласно следствию 2 из теоремы 3.2 выводим отсюда,
что функция F(z) голоморфна в области D, и получаем
по теореме 3.3, что и функция f(z) голоморфна в той же
области.
Теорему Морера удобно использовать для доказатель-
доказательства многих других признаков голоморфности функций.
Теорема 4.2. Если функция f(z, w) голоморфна по
z в области D при всех w^E и если
f (z, w) -*¦ <р(z) (w -»¦ wo, w^E)
равномерно по z на любой замкнутой части области D,
то и функция <р (z) голоморфна в области D.
Доказательство. Функция f(z, w) очевидно не-
непрерывна по z в области D, а потому и предельная функ-
функция <p(z) непрерывна в этой области (см. § 4 гл. I).
Кроме того, равномерность стремления к пределу позво-
позволяет нам перейти к пределу под, знаком интеграла по
любой спрямляемой кривой С, лежащей в области D (см.
§ 6 гл. I). Поэтому
| Ф (z) dz = Km / (z, w) dz.
Возьмем произвольную односвязную область D', лежа-
лежащую строго внутри области D. Из сказанного выше сле-
следует, что функция <p(z) непрерывна в области D', а ин-
интеграл от нее по любой спрямляемой кривой, лежащей
в области D', зависит только от начальной и конечной
точек этой кривой. По теореме Морера функция <p(z)
обязана быть голоморфной в области D'. Поскольку D' —
произвольная односвязная часть области D, теорема до-
доказана.
Наиболее распространенным частным случаем теоре-
теоремы 4.2 является следующее утверждение:
Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда
голоморфных функций является голоморфной функцией
во всех внутренних точках того множества, на котором
этот ряд равномерно сходится.
Широко употребляется и следующий признак голо-
голоморфности:
Теорема 4.3. Пусть L — спрямляемая кривая в пло-
плоскости w, a D — область в плоскости z. Функцию f(z, w)
мы предположим определенной и непрерывной по сово-

70 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
купности переменных при z^D, w^L. Если при любом
w^L функция f(z, w) голоморфна по z в области D,
то функция ф (z) = \ f (z, w) dw также голоморфна в об-
L
ласти D.
Доказательство. Из теорем § 6 гл. I об интег-
интегралах, зависящих от параметра, вытекает, что функция
<р(г) непрерывна в области D и что
С С (С 1
] ф (z) dz = \ J J / (z, w) dz\ dw
с l\c J
для любой спрямляемой кривой С, лежащей в области D-
Если кривая С лежит в односвязной подобласти D'
области D, то интеграл
/ (z, w) dz
с
зависит лишь от начальной и конечной точек кривой С.
По теореме Морера отсюда следует, что функция <p(z)
обязана быть голоморфной в области D'. Так как D' —
произвольная односвязная подобласть области D, то
функция ф(г) голоморфна и в области D.
Замечание. Объединяя теоремы 4.2 и 4.3, видим,
что утверждение теоремы 4.3 остается в силе и для не-
несобственных интегралов, если они равномерно сходятся
по z на любой замкнутой части области D.
Для доказательства приведенных выше признаков го-
голоморфности можно было бы использовать не теорему
Морера, а интегральную формулу Коши (в сочетании с
теоремой 3.2). В следующем признаке использование ин-
интегральной формулы Коши уже необходимо.
Теорема 4.4. Если функция /(z, w) голоморфна по
z при любых значениях w ^Е и f(z, w)-*- ф(г) (w -> wo,
w s E) равномерно по z в каждой замкнутой части обла-
области D, то и
f'z(z, w)->ф'(z) {w^-w0, we E)
равномерно по z в каждой замкнутой части области D.
Доказательство. Обозначим через В какую-либо
замкнутую часть области D, а через G — область, лежа-
лежащую в D вместе с границей (состоящей из конечного
числа кусочно гладких кривых), но содержащую множе-

§ 4. КРИТЕРИИ ГОЛОМОРФНОСТИ 71
ство В. Тогда при z^B и t ^ dG имеем
HfL + JlfL {w^Wo, W(E)
равномерно по z e= 5 и по fe dG. Так как сходимость
равномерна, то можно написать
^«
t z)
Используя следствие 3 теоремы 3.2 и теорему 4.2, мы
приходим к нашему утверждению.
Следствие. Ряд голоморфных функций, равномер-
равномерно сходящийся в каждой замкнутой части области D,
можно почленно дифференцировать, и продифференциро-
продифференцированный ряд опять будет равномерно сходиться в каждой
замкнутой части области D.
Совершенно аналогично доказывается и следующее
утверждение.
Теорема 4.5. Пусть L — спрямляемая кривая в пло-
плоскости w, a D — область в плоскости z. Функцию /(z, w)
мы предположим непрерывной по совокупности перемен-
переменных при любых z^D и w e L. Если функция f(z, w)
голоморфна по z при всех w«^L и <p(z)= | f(z,w)dw, mo
' (z) = j /z (z, w) dw.
ф
Замечание. Эта теорема также сохраняет силу для
равномерно сходящихся несобственных интегралов. П
В заключение приведем еще один результат несколько
иного рода. Его обычно называют принципом компакт-
компактности голоморфных функций.
Теорема 4.6. Пусть {/„(z)}— последовательность
функций, голоморфных в области D и удовлетворяющих
условию:
для каждого замкнутого множества В <= D существует
такая постоянная М(В), что для всех функций последо-
последовательности {/„(z)} имеет место неравенство
\fn(z)\<M(B), z^B.
Тогда из последовательности {/„(z)} можно выделить под-

72 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
последовательность, равномерно сходящуюся на каждой
замкнутой части области D.
Доказательство. Для простоты будем считать,
что область D не содержит бесконечно удаленную точку
(это допущение не ограничивает общности; исключитель-
исключительный случай, когда D совпадает со всей расширенной
комплексной плоскостью, мало интересен). Построим по
области D исчерпывающую ее последовательность обла-
областей {Gm}, обладающую свойствами:
1. Все области Gm лежат в области D вместе с их
границами, состоящими из конечного числа кусочно глад-
гладких кривых.
2. При каждом значении m область Gm+\ содержит
замыкание области Gm.
3. Каждая точка области D попадает в какую-либо
из областей Gm.
Обозначим через Z™ длину границы области Gm, а че-
через рт — расстояние от области Gm до границы области
Gm+ь Согласно условию 2 величина рт положительна.
Согласно формуле для производной голоморфной
функции (следствие 3 теоремы 3.2) справедлива формула
Из этой формулы легко получаем оценку
показывающую, что последовательность {/„(z)} равносте-
равностепенно непрерывна в каждой из областей Gm (при фикси-
фиксированном значении in). Поэтому согласно теореме Арце-
ла (см. § 4 гл. I) из последовательности функций {/„(z)}
можно выбрать подпоследовательность, равномерно схо-
сходящуюся в области Gm с произвольно выбранным но-
номером.
Выбрав последовательность //(d(z)\, равномерно схо-
сходящуюся в области Gi, выбираем из нее последователь-
последовательность //B)(z)l> равномерно сходящуюся в области С?2,
\ пк I
и т. д. Легко убедиться, что последовательность
U (ft) (z)l обладает нужным свойством.

§ 5, ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 73
§ 5. Теорема единственности
Докажем одно из наиболее важных свойств голоморф-
голоморфных функций, называемое теоремой единственности.
Теорема 5.1. Пусть функция /(z) голоморфна в
области D, a {zj — бесконечная последовательность по-
попарно различных точек, имеющая хотя бы одну предель-
предельную точку в области D. Если
/(*») = 0, и = 1, 2, ....
то функция f(z) равна нулю во всей области D.
Доказательство. Обозначим через а предельную
точку последовательности {zn}, лежащую в области D.
Покажем сначала, что функция f(z) равна нулю в неко-
некоторой окрестности точки а. Мы знаем, что функция /(z)
голоморфна в точке а, т. е.
Без ограничения общности можно считать, что zn -»¦ а и
что при всех п имеем \zn — а\ < г. Полагая z — zn ж вспо-
вспоминая, что /(zB)= 0, получаем
Переходя к пределу при п -*¦ °°, находим, что со = 0. Ис-
Используя это, можем написать
1 + Съ(г-а)+... (\z-a\<r).
Полагая снова z — zB, а затем п -*¦ °°, находим, что С\ = 0.
Повторяя этот процесс, убеждаемся, что все с„ равны ну-
нулю, т. е. что функция f(z) равна нулю при \z — a\<r.
Теперь покажем, что функция f(z) равна нулю в лю-
любой точке области D. Для этого возьмем любую точку
^Си соединим ее с точкой а простой ломаной L, ле-
лежащей в D (это возможно, так как область — связное
множество). Допустим теперь, что {(?,)?= 0. Тогда на ло-
ломаной L найдется точка а' со следующими свойствами:
На участке L между точками а и а' функция /(z)
равна нулю. В круге \z — a'\ <р при любом р >0 най-
найдется хотя бы одна точка, в которой функция f(z) отлич-
отлична от нуля.

74 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Тогда можно взять последовательность [zn] точек L,
для которых zn-^-a' и /(zn) = 0. Затем возьмем вместо
точки а точку а', а вместо последовательности izn} — по-
последовательность izn] и повторим проведенные выше рас-
рассуждения. Получим, что /(z) = 0 при \z — a'\<r'. Это
противоречит второму свойству точки а'.
Таким образом, предположение, что найдется точка
^efl, в которой 1(%)Ф0, привело нас к противоречию.
Теорема доказана. П
В применениях теоремы единственности большую
роль играет понятие аналитического продолжения.
Пусть даны: множество Е, функция /(z), определен-
определенная на Е, и область D, содержащая множество Е. Голо-
Голоморфную в области D функцию F(z), совпадающую с
/(z) на множестве Е, назовем аналитическим продолже-
продолжением функции f(z) на область D.
Из теоремы единственности сразу следует утвержде-
утверждение, носящее название принципа аналитического продол-
Если множество Е имеет хотя бы одну предельную
точку, лежащую внутри области D, то функция f(z)
имеет не больше одного аналитического продолжения в
область D.
Действительно, если бы существовали два различных
аналитических продолжения функции f(z) в область D,
то, рассмотрев их разность, мы пришли бы к противоре-
противоречию с теоремой единственности. []
Покажем, как с помощью принципа аналитического
продолжения можно распространить некоторые элемен-
элементарные функции на комплексные значения переменного
и исследовать их свойства в комплексной плоскости.
Из анализа известно, что функции ех, sin х, cos x раз-
разлагаются в степенные ряды
сходящиеся для всех действительных х. Эти ряды схо-
сходятся и для всех комплексных значений переменного.
Поэтому естественно определить функции ег, sin z, cos z

§ 5. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 75
для комплексных z теми же рядами. По следствию 2
теоремы 4.2 суммы этих рядов являются функциями,
голоморфными во всей комплексной плоскости, т. е. дают
аналитическое продолжение функций е*, sin х, cos x на
всю комплексную плоскость. По принципу аналитическо-
аналитического продолжения других продолжений не может быть.
Покажем теперь, как исследовать возникшие в каче-
качестве аналитического продолжения функции комплексного
переменного. В частности, покажем, как переносятся на
комплексные значения переменного формулы, известные
для действительных значений. Поскольку рассуждения
для любых формул почти абсолютно одинаковы, ограни-
ограничимся одной формулой.
Пример 1. Покажем, что для любых комплексных
z и ? справедлива формула
В обеих частях формулы E.1) стоят функции, голо-
голоморфные по z при любых фиксированных Ь, и ло t, при
любых фиксированных z. Нам пужно доказать, что эти
функции совпадают при всех z и ?. Рассмотрим сначала
действительные значения ?. Если при этом еще и z дей-
действительно, то формула, очевидно, справедлива. Но в си-
силу теоремы единственности две функции комплексного
переменного z, голоморфные во всей плоскости и совпа-
совпадающие при всех действительных значениях z, совпадают
тождественно. Следовательно, формула E.1) доказана
при любых комплексных z и при любых действитель-
действительных ?.
Фиксируя теперь любое комплексное z и проводя ана-
аналогичное рассуждение с рассматриваемыми функциями
как функциями ?, убеждаемся, что формула E.1) спра-
справедлива при любых комплексных z и ?.
Разумеется, формулу E.1) нетрудно доказать и не-
непосредственным перемножением рядов, однако приведен-
приведенный способ рассуждений замечателен не только (и не
столько) простотой, но и общностью. П
С помощью формулы E.1) легко получить простую
формулу для вычисления значений функции е1 при лю-
любых комплексных z. Действительно, положим z = х + iy.
Тогда согласно формуле E.1) имеем ez = е*е'Ч Для вы-
вычисления е1у подставим iy вместо z в ряд для ez и отде-
отделим действительную и мнимую части. Это даст формулу

76 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Эйлера
е*" = cos у + i sin у.
С ее помощью находим
gx+.y = g* cos у _|_ ie. sin у _
Из формулы E.2) следует, в частности, что
le*l=eRei. E.3)
Большинство функций, встречающихся в анализе,
можно аналитически продолжить на комплексные значе-
значения переменного. Для показательной и тригонометриче-
тригонометрических функций это делается совсем просто, для дру-
других — сложнее. Так, например, много хлопот доставит нам
аналитическое продолжение функции In x, которым мы
будем заниматься в следующей главе. П
Приведем еще один пример аналитического продолже-
продолжения функции, определенной для действительных значе-
значений переменного уже не рядом, а интегралом.
Пример 2. Найдем аналитическое продолжение на
всю комплексную плоскость гамма-функции Эйлера T(z),
определяемой для действительных положительных z ин-
интегралом
Г (г) = J
dt.
Функцию t'~l при любом t > О легко аналитически
продолжить на всю комплексную плоскость, так как
?i-l,_ е(*-1Iп «
а с аналитическим продолжением показательной функ-
функции мы уже знакомы. Поэтому, применяя теорему 4.3,
видим, что интеграл
ь
J fV1 dt
а
при а > 0 и Ь < °о является функцией 2, голоморфной во
всей комплексной плоскости. Однако при а = 0 и Ъ = °°
интеграл становится несобственным, и придется выяс-
выяснять, при каких z он равномерно сходится. Поскольку
интеграл, определяющий Г (г), имеет две особенности
(в нуле и в бесконечности), его лучше разбить на сум-

§ 5. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 77
му двух интегралов и отдельно исследовать сходимость
каждого из них.
Положим r(z) = a(z)+ P(z), где
a (z) = J tz~xe~l dt, p (z) = j i'^e"' dt.
о l
Сначала исследуем интеграл P(z). При Rez^R в си-
силу формулы E.3) можно написать для подынтегральной
функции неравенство
так как на промежутке интегрирования 15= 1 и In ? > 0.
Но
так как функция е~* при t -*¦ +°° стремится к нулю бы-
быстрее любой степени t. Следовательно, по признаку рав-
равномерной сходимости интегралов (конец § 6 гл. I) ин-
интеграл, определяющий функцию ji(z), сходится равномер-
равномерно по z в полуплоскости Re z < R при любом R. Исполь-
Используя замечание к теореме 4.3, получаем, что функция E(z)
голоморфна во всей комплексной плоскости.
Перейдем к интегралу для a(z). При Re z > б можно
написать для подынтегральной функции неравенство
так как на промежутке интегрирования 0< ? < 1 и
< 0. Но при б > 0 имеем
о
Поэтому из тех же соображений, что и выше, получаем
голоморфность функции a(z) в полуплоскости Rez>0.
Итак, мы аналитически продолжили функцию Г(г) =
= a(z)+^(z) в полуплоскость Rez>0. Можно пока-
показать, что за пределами этой полуплоскости интеграл, оп-
определяющий функцию T(z), уже расходится. Поэтому
дальнейшие рассуждения являются совершенно нестан-
нестандартными.

78 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Так как функция P(z) голоморфна во всей плоскости,
нужно продолжить лишь функцию a(z). Разложим
функцию е~* в ряд
-t
е =
равномерно сходящийся на отрезке @, 1). При z>l
функция tz~l непрерывна на этом отрезке и умножение
ряда на tz-i не нарушает его равномерной сходимости.
Интегрируя почленно, получаем
Члены ряда \-—:—-—г- являются функциями, голо-
морфными во всей плоскости, за исключением точек z =
= 0, — 1, —2, ..., и ряд равномерно сходится в любой
конечной части плоскости, не содержащей этих точек
I все члены ряда, начиная с некоторого, не превосходят
/
членов сходящегося числового ряда ? -^- J. Следователь-
о
но, сумма ряда ? ^ голоморфна во всей комп-
о
лексной плоскости, за исключением точек z = 0, —1,
—2, . . . Поскольку при z > 1 эта сумма совпадает с функ-
функцией cc(z), она дает нам аналитическое продолжение
функции a(z).
Формула
dt
дает нам искомое аналитическое продолжение функции
Г(г) на всю комплексную плоскость, за исключением
точек z = 0, —1, —2, ... Нетрудно убедиться, что при
стремлении к этим точкам функция F(z) стремится к
бесконечности.

§ 6. ПОВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 79
§ 6. Поведение основных элементарных функций
Сейчас мы имеем уже довольно большой запас голо-
голоморфных функций. В § 1 отмечалось, что многочлены и
рациональные функции являются функциями, голоморф-
голоморфными во всей комплексной плоскости (за исключением,
быть может, нулей знаменателя для рациональных функ-
функций). В предыдущем параграфе показано, что функции
е% sin z, cos z тоже являются голоморфными во всей пло-
плоскости. Это позволяет говорить о любых тригонометри-
тригонометрических функциях в комплексной плоскости. С помощью
теоремы о голоморфности сложной функции (начало' § 4)
можно еще больше расширить запас голоморфных функ-
функций. Эти способы расширения запаса голоморфных функ-
функций не требуют никаких особых сведений о поведении
функций. Однако при исследовании рядов и интегралов
уже нужно уметь оценивать члены ряда и подынтеграль-
подынтегральные функции. С такого рода необходимостью мы уже
столкнулись в примере 2 предыдущего параграфа. По-
Поэтому сейчас изложим некоторые свойства основных эле-
элементарных функций, полезные для различных оценок.
1. Степенная функция czn (n — целое положительное
число). Положим z = re"" и обозначим arg с = а. Тогда
имеем
|cz"l = Iclr", RTg(cz
Re(czn)= |clr"cos(wp + a), Im(czn) = Iclr" sin (тк
Достаточно исследовать лишь свойства Re(cz"). Функ-
Функция cos (геф + а) положительна в углах
i- + ^ F.1)
и отрицательна в углах
fe ^<-. + ^+^ F.2)
Следовательно, в углах, определяемых неравенствами
F.1), функция czn имеет положительную действительную
часть, а в углах, определяемых неравенствами F.2),—
отрицательную. Эти углы делят плоскость на 2ге равных
частей. Знаки Re(czn) чередуются.

80 ГЛ. II, ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Обозначим через D какой-либо из углов, определен-
определенных неравенствами F.1), а через D' — угол с той же
вершиной, лежащий внутри D. Тогда в D' имеем
cos (гаф + а) > т] > 0 и
Re(cz")> \с\цгп,
т. е. при z -*¦ °°, z'^D', действительная часть функции
czn стремится к +°°. Аналогично в угле D", лежащем
внутри угла, определенного неравенствами F.2),
R() E")
() ()
Заметим, что, зная поведение функции czn, можно су-
судить о поведении при z -*¦ °° любого многочлена (и даже
рациональной функции), так как если
P(z) = Cozn + cz"-1.+ ... + с„,
то
P(z)~C0Zn (z-°°).
2. Функция ег. Прежде всего напомним уже доказан-
доказанное в предыдущем параграфе равенство
le2l=eRc\ F.3)
Из этого равенства сразу видно, что функция ег не
обращается в нуль ни при каких комплексных значе-
значениях z.
Далее, из равенства F.3) видно, что \ez\ < 1 в левой
полуплоскости и что ег -*¦ 0 при Re z ->¦ —оо равномерно
по Im z. В правой полуплоскости \ег\ > 1 и ег -*¦ оо при
Re z -*¦ +оо равномерно по Im z.
Отметим еще, что уравнение е* =¦ А при любом А Ф 0
имеет бесконечно много решений. Действительно, из урав-
уравнения ez — А, обозначая z = х + iy, находим
е*=\А\, ei3/ = eiarBA,
откуда
х = 1п\А\, у = arg А + 2пк.
Функция ег периодична с периодом 2ni. Действи-
Действительно,
так как из формулы Эйлера сразу видно, что е2я< = 1.
Комбинируя сведения, полученные нами о степенной
и показательной функциях, нетрудно исследовать функ-
цию е .

§ в, ПОВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 81
3. Функция sin z. Исследование функции sin z легко
сводится к исследованию показательной функции. Дей-
Действительно, в предыдущем параграфе доказана формула
eiz = cos z + i sin z.
(Она доказана для действительных z, но по принципу
аналитического продолжения опа верна и при всех z).
Заменяя в этой формуле z на —z и выражая из по-
полученных двух формул sin z и cos z, находим
sin z = 2^ > cos z =
Положим теперь z — x + iy и исследуем Isinzl.
Из неравенств теоремы 1.1 гл. I имеем
I |е"| - |е-'М I < \ен - е~"\ < |е"| + \е~и\,
а в силу F.3) \eiz\ =e~v, \e~iz\ = ev. Поэтому
e\V\_e~\y\ . ,. еу-\-е~У
Из этой формулы сразу видно, что функция sinz обра-
обращается в нуль только при действительных z, т. е. при
z — пп (п — целое число), так как действительные нули
sin z нам хорошо известны.
Далее, из формулы F.4) легко получаем, что
\sin(x + iy)\^-^eivi (у-*¦ ± оо)
равномерно по х.
Функция sinz периодична с периодом 2л, что сразу
следует из принципа аналитического продолжения.
Уравнение sin z = А при любом А имеет бесконечно
много решений. Действительно, это уравнение можно за-
записать в виде
— (е — е г) = Л,
откуда, обозначая ен = ?, приходим к уравнению для ?:
Это уравнение при любых А имеет два корня ?i и ?г (по
основной теореме алгебры), причем эти корни отличны
от нуля (их произведение по теореме Виета равно —1).

82 ГЛ. II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Следовательно, уравнения eiz = ?i и е~гг = ?г имеют бе-
бесконечно много решений.
Функция cos z тоже обладает перечисленными свой-
свойствами, в чем проще всего убедиться с помощью форму-
ЛЫ COS % — Sin I ~zr — Z
4. Функции tg z и ctg z. Функции tg z и ctg z опреде-
определяются для всех комплексных z с помощью равенств
tgz=iEI? ctgz = ?2ii.
cos 2 sm 2
Поскольку sin z и cos z обращаются в нуль лишь при
действительных z, то tg z является голоморфной функ-
функцией во всей плоскости z, за исключением точек z =¦
я , .
= ~2 + пп [п — целое число), a ctgz — во всей плоскости
z, за исключением точек z = пп.
Функции tg z и ctg z периодичны с периодом я, что
сразу следует пз принципа аналитического продолжения.
Выражая tg z и ctg z через показательную функцию,
приходим к формулам
giz g—iz giz i g— xz
tg z = — i _ , ctg z = i ~*~ ,
eiz -|- e e — e
Тем же путем, что и при оценке Isinzl, получаем из этих
формул неравенства
И
Из полученных неравенств вытекает, в частности, что
равномерно по Re z и
tgz-»-—?, ctg z^-i (Imz
равномерно по Re z.

Глава III
МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Естественным логическим следствием принципа ана-
аналитического продолжения является новое понятие функ-
функции. У функций этого нового рода область определения
¦не задается заранее, а определяется с помощью аналити-
аналитического продолжения. Основная трудность, возникающая
при изучении таких функций — их многозначность. Ока-
Оказывается, что от многозначности можно освободиться,
если рассматривать функцию нового рода как функцию
не от точки комплексной плоскости, а от кривой, веду-
ведущей в эту точку из некоторой заданной точки.
§ 1. Понятие аналитической функции
Согласно теореме единственности голоморфная функ-
функция полностью определяется ее значениями в сколь угод-
угодно малой окрестности какой-либо одной точки. Во вре-
времена Ньютона считалось, что все функции только такие,
а трудности видели лишь в вычислении значений функ-
функции там, где исходная формула ее не определяла, т. е.
в аналитическом продолжении. Многие математики
XVIII века были весьма искусны в аналитическом про-
продолжении. Особым мастерством отличался Эйлер.
Основная логическая трудность, связанная с аналити-
аналитическим продолжением, состоит в его неоднозначности.
При этом неоднозначность — не редкое или нетипичное
явление. Она возникает даже при аналитическом про-
продолжении таких простых функций, как логарифм или
квадратный корень.
В XIX веке к результатам, использующим аналити-
аналитическое продолжение, начали относиться с подозрением.
Немалую роль сыграли в этом тригонометрические ряды,
давшие простые аналитические выражения для записи
функций, равных одной голоморфной функции на одной
части отрезка и другой голоморфной функции на дру-
другой его части. Тогда и было предложено современное
6*

84 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
понятие функции, включающее идею области определе-
определения. Однако сильные и глубокие результаты, получен-
полученные математиками XVIII века, заставляли искать обос-
обоснования использованных ими методов. Путь к строгому
обоснованию действий, основанных на аналитическом
продолжении, был предложен во второй половине
XIX века Вейерштрассом.
Вейерштрасс предложил считать голоморфную функ-
функцию частью (элементом) некоторого иного объекта, ко-
который он назвал полной аналитической функцией. Этот
объект содержит наряду с исходной функцией и любые
другие голоморфные функции, получаемые из нее ана-
аналитическим продолжением. При этом Вейерштрасс конк-
конкретизировал способы получения аналитических продол-
продолжений, что дало возможность их описания. Предложен-
Предложенный Вейерштрассом способ состоит в следующем.
Пусть /o(z)—исходная функция, голоморфная в точ-
точке zq. Разлагаем /o(z) в ряд по степеням z-zo и обозна-
обозначаем через Ко круг сходимости этого ряда. (Для суммы
ряда сохраняем обозначение /o(z).) Выбираем произволь-
произвольную точку z\ ^ Ко и разлагаем функцию /o(z) в ряд по
степеням z — z\. Круг сходимости этого ряда обозначаем
через К\, а сумму ряда — через /i(z). Этот процесс оче-
очевидным образом продолжается. Вейерштрасс показал, что
любое аналитическое продолжение исходной голоморфной
функции /o(z) в точку % можно получить описанным
путем, связав его с цепочкой точек
Zo, Zi, . . ., Zjv, Zjv'= ?.
При таком подходе становится очевидно, что аналитиче-
аналитическое продолжение исходной функции /o(z) в точку t, за-
зависит не только от конечной точки ?, но и от промежу-
промежуточных точек цепочки.
Идея Вейерштрасса остается основой любого совре-
современного подхода к понятию многозначной аналитической
функции, хотя описание способа аналитического продол-
продолжения меняется. Дело в том, что переразложение сте-
степенных рядов — крайне непрактичный способ аналити-
аналитического продолжения, его лучше заменить каким-либо
другим способом, более приспособленным для конкрет-
конкретных задач.
Обратимся к тому способу описания аналитического
продолжения, который мы будем использовать в даль-
дальнейшем.

§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 85
Согласимся с тем, что результат произвольного ана-
аналитического продолжения исходной голоморфной функ-
функции в данную точку плоскости зависит не только от са-
самой этой точки, но и от пути, ведущего в эту точку. Ос-
Основная задача, возникающая при определении понятия
аналитической функции, состоит в том, чтобы придать
четкий математический смысл выражению «зависит от
пути продолжения». Именно этой задачей мы сейчас и
займемся.
Легко видеть, что общая причина возникновения не-
неоднозначности аналитического продолжения кроется в
том, что точки плоскости не образуют упорядоченного
множества, а продолжение можно сделать однозначным
только в том случае, когда у нас есть твердая очеред-
очередность прохождения точек, в которые мы продолжаем.
Простейшим упорядоченным множеством на плоскости
является кривая. Высказанные соображения наводят на
мысль, что аналитическое продолжение заданной голо-
голоморфной функции по кривой будет всегда однозначно.
Поэтому надо попробовать определить такое понятие.
Имея в виду эту цель, поговорим о понятии функции,
определенной на данной кривой.
Пусть дана кривая Г с параметрическим уравнением
z=<p(«) @«?*«?lj. A.1)
Точки кривой Г (но не точки плоскости, через которые
эта кривая проходит) находятся во взаимно однозначном
соответствии с точками отрезка O^i^l. Поэтому зада-
задание функции на кривой Г сводится к заданию числа ty(t),
отвечающего каждому значению t из этого отрезка. Ины-
Иными словами, функция ? = Ф (z) на кривой Г задается па-
параметрически, заданием пары функций
Подчеркнем, что заданная таким образом на кривой Г
функция ? = Ф (z) не является, вообще говоря, однознач-
однозначной функцией точки z (как точки плоскости), если кри-
кривая Г имеет самопересечения.
Введем теперь понятие функции, аналитической на
данной кривой Г.
Функцию ?=F(z), определенную на кривой Г, назо-
назовем функцией, аналитической на кривой Г, если для
каждой точки а^Г существует функция /а(z), голо-
голоморфная в некоторой окрестности этой точки (рассмат-

86 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
риваемой теперь как точка плоскости) и совпадающая
с функцией t, = F(z) на какой-либо дуге кривой Г, со-
содержащей точку а.
Еще раз подчеркнем, что функция ?=F(z), даже
если она аналитична на кривой Г, не обязана быть одно-
однозначной функцией точки плоскости (если кривая Г име-
имеет самопересечения).
Отметим несколько важных свойств функций, анали-
аналитических на кривых.
1. Если функции F(z) и G(z) аналитичны на кривой
Г, то функции
H(z) = F(z)+G(z), H{z)\=F{z)G{z)
также аналитичны на кривой Г.
2. Если функции F(z) и G(z) аналитичны на кривой
Г и если функция G(z) не обращается в нуль на кри-
кривой Г, то функция
F(z)
H(z)
G{z)
также аналитична на кривой Г.
3. Если функция F(z) аналитична на кривой Г, то и
все ее производные аналитичны на кривой Г.
4. Обозначим через ГЕ участок кривой Г от ее начала
до точки | е Г. Если функция F(z) аналитична на кри-
кривой Г, то и функция
#(z) = f F(t)dt (zeT)
Г2
аналитична на кривой Г (если кривая Г не проходит
через точку z — °°).
5. Пусть функция G(z) аналитична на кривой Г.
Обозначим через С кривую, которую проходит точка t, =
= G(z), когда точка z проходит кривую Г. Если функция
F(Z,) аналитична на кривой С, то функция H(z) =
= F(G(z)) аналитична на кривой Г.
Все эти свойства доказываются очень просто. Заметим
прежде всего, что все функции H(z):
F(z) + G (z), F (z) G (z), Щ-, F(n) (z), j" F (t) dt, F {G (z))
rz
— определены на кривой Г. Каждой точке а кривой Г

§ 1, ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 87
ставим в соответствие функции ha(z), равные
(для первых трех свойств). Для свойства 4 положим
z
(z) = J F (i) <ft + J
(второй интеграл берется по любому пути, лежащему в
достаточно малой окрестности точки ос). Для свойства 5
берем
др ()
Для функций, аналитических на данной кривой, лег-
легко доказывается теорема единственности:
Теорема 1.1. Если функция %=F{z), определенная
на кривой Г и аналитическая на этой кривой, равна ну-
нулю на некоторой дуге кривой Г, го она равна нулю тож-
тождественно.
Доказательство. Точки кривой Г находятся во
взаимно однозначном соответствии с точками отрезка 0 <
< t ^ 1. Обозначим через Е множество точек этого от-
отрезка, которым отвечают значения функции t,=F{z),
равные нулю (в соответствующих точках кривой Г).
По предположению теоремы множество Е непусто. Если
допустим, что теорема неверна, то множество Е будет
отлично от всего отрезка @, 1), и потому некоторая точ-
точка ?о этого отрезка будет граничной точкой множества Е.
Обозначим через ссо точку кривой Г, отвечающую зна-
значению to. Согласно определению множества Е на сколь
угодно малой дуге, содержащей точку «о, будут и точки,
где F(z)=0, и точки, где F(z)?=0. Но ? *= F (г) — функ-
функция, аналитическая на кривой Г, и по определению на
достаточно малой дуге, содержащей точку ссо, она сов-
совпадает с некоторой функцией /ао (z), голоморфной в ок-
окрестности точки ао. По теореме единственности зта
функция /<xo(z) должна быть тождественным нулем (так
как она равна нулю в точках кривой Г, сколь угодно
близких к точке ао). Но это невозможно, так как эта
же функция должна быть отлична от нуля в точках

88 ГЛ. III, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
кривой Г, сколь угодно близких к точке Оо. Полученное
противоречие доказывает справедливость теоремы.
Теперь мы в состоянии определить понятие анали-
аналитического продолжения по кривой, но для удобства оп-
определим сначала еще один термин.
Элементом в точке а мы будем называть функцию
/a(z), голоморфную в некоторой области, содержащей
точку z = а. При этом два элемента /«(z) и /a (z) в од-
одной и той же точке а будем называть эквивалентными,
если функции fa (z) и /« (z) совпадают в некоторой ок-
окрестности точки z = а.
Из определения видно, что каждый элемент /a(z) в
точке z = а можно рассматривать как элемент в каждой
точке а', достаточно близкой к точке а.
В этих терминах функцию ? —F(z), аналитическую
на кривой Г, можно рассматривать как совокупность эле-
элементов /a(z) в каждой точке а^Г, обладающих тем
свойством, что элементы в достаточно близких точках
этой кривой (близость понимается по кривой, а не по
плоскости) эквивалентны.
Функция ?=F(z), аналитическая на кривой Г, на-
называется аналитическим продолжением элемента fa(z),
заданного в начале этой кривой. Элемент /ь(г), отвеча-
отвечающий концу кривой Г, мы будем называть результатом
аналитического продолжения элемента /o(z) no кривой Г.
Естественно возникает вопрос о существовании како-
какого-либо регулярного процесса построения аналитического
продолжения элемента по кривой. Опишем сейчас один
такой процесс, теоретически пригодный в любом случае,
но слишком громоздкий, чтобы применять его в конк-
конкретных задачах. Для простоты ограничимся случаем,
когда кривая не проходит через бесконечно удаленную
точку.
Итак, пусть дан произвольный исходный элемент
/zo(z) и кривая Г, начинающаяся в точке zo. Разложим
исходный элемент в ряд Тейлора
A.2)
и обозначим через Rq радиус сходимости этого ряда.
Через fo обозначим участок кривой Г от точки z0 до
первой точки пересечения этой кривой с окружностью

§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 89
\z — zol = Ro- Для всех точек участка fo положим
TO = /*e(z). /«(«) = /*„(*) (ae=Yo)-
Далее возьмем на участке ^0 точку z\, отличную от ко-
конечной точки этого участка, но достаточно близкую к
ней. Функция /z (z) голоморфна в точке z = z\, так что
ее можно разложить в окрестности этой точки в ряд
Тейлора
Сумму этого ряда обозначим через /2 (z), а его радиус
сходимости-—через R\. Через fi обозначим участок кри-
кривой Г с началом в точке z\ и с концом в ближайшей
точке пересечения кривой Г с окружностью \z — z\\ =
= R\ (впереди по направлению кривой Г по отношению
к точке z\). На участке fi положим
F (г) = Ux (z). /a (z) = Ux (z) (а е Yi)
(противоречия с предыдущим определением мы не бо-
боимся, так как па общей части участков ^о HTi элемен-
элементы /zo(z) и fZl(z) эквивалентны). Выбирая затем точку
Z2 и т. д., шаг за шагом будем двигаться по кривой Г.
Нетрудно показать, что мы пройдем всю кривую Г за
конечное число шагов, если только существует функ-
функция ? = F(z), аналитическая на кривой Г (и совпада-
совпадающая с элементом /zo(z) в начале этой кривой). Q
Теперь можно перейти к определению понятия ана-
аналитической функции.
Пусть дан какой-либо элемент fa(z) в некоторой точ-
точке а расширенной комплексной плоскости. Этот элемент
определяет некоторое множество К кривых Г, лежащих
в расширенной комплексной плоскости и начинающихся
в точке а, по которым этот элемент можно аналитически
продолжить. Аналитическая функция, порожденная эле-
элементом /a(z), определена для каждой кривой Г е К. Зна-
Значением этой аналитической функции, отвечающим кри-
кривой Ге^, будем считать значение в конце кривой Г
результата аналитического продолжения исходного эле-
элемента /a(z) по кривой Г.
Итак, аналитическая функция — это функция, опре-
определенная на кривых Г из некоторого множества К. Ча-

90 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
сто удобнее будет говорить, что аналитическая функция
определена на множестве, элементами которого являют-
являются точка z комплексной плоскости и кривая Г, идущая
'в эту точку из фиксированной точки а. По традиции
будем записывать аналитическую функцию символом
F(z),, опуская указание на кривую Г. Если же указание
на кривую Г необходимо, будем использовать символ
(*Ч*))г. D
Аналитическая функция F(z), как функция только
точки z, является многозначной функцией. Под исследо-
исследованием характера многозначности аналитической функ-
функции обычно понимают исследование зависимости зпаче-
ний аналитической функции от кривой Г при фиксиро-
фиксированном конце этой кривой (т. е. при фиксированной точ-
точке z). Фундаментальным результатом в этом направле-
направлении является так называемая теорема о монодромии:
Теорема 1.2. Пусть исходный элемент fa{z) анали-
аналитической функции можно аналитически продолжить по
любой кривой Г, лежащей в области D. Если кривые Г
и Г" гомотопны в области D, то
Доказательство. Напомним, что две кривые Г и
Г' называются гомотопными в области D, если суще-
существует семейство непрерывно зависящих от параметра s,
0 «? s sS 1, кривых Г„, лежащих в области D и имеющих
одинаковое начало и одинаковый конец (при s = 0 кри-
кривая Г5 обращается в Г, а при s —1 — в Г'). Для дока-
доказательства теоремы достаточно показать, что результат
продолжения исходного элемента fa(z) по кривой Г* не
зависит от параметра s.
По предположению теоремы для каждого значения s,
0<s<l, существует функция Fs(z), аналитическая на
кривой Га (и совпадающая с исходным элементом /a(z)
в окрестности начала этой кривой). Возьмем произволь-
произвольную точку ос кривой Г.. Этой точке отвечает элемент
fa; (z)> который представляет собой функцию, голоморф-
голоморфную в некоторой окрестности Da точки а (рассматривае-
(рассматриваемой как точка плоскости). Окрестность Da содержит не-
некоторую дугу Ya' кривой Г5, содержащую точку а. На
этой дуге имеет место равенство
F.(z) = №(z), A.3)

§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 91
а также равенства
№(*) = №(*) (Peis)), A.4)
где /j$s) (z) — элемент, отвечающий точке J5 кривой Г,. Ес-
Если заменить дугу Ya* любой другой кривой fa, лежащей
в окрестности Da и имеющей то же начало и тот же ко-
конец, и определить на этой новой кривой функцию F{z)
равенством A.3), а элементы /e(z)—равенством A.4),
мы получим функцию, аналитическую на несколько де-
деформированной кривой Г„. Деформация сводится к тому,
что участок Ya* заменяется кривой fa (имеющей те же
концы). При таком изменении функция Fs(z) на осталь-
остальной части кривой Г, не меняется, так что не меняется
и результат продолжения.
Итак, мы показали, что результат продолжения по
кривой Г, не изменится, если эту кривую произвольно
деформировать, не выходя из области голоморфности
фиксированного элемента, отвечающего какой-либо точке
кривой Г„. Но по лемме Гейне — Бореля всю кривую Г,
можно покрыть конечным числом областей голоморфно-
голоморфности элементов, отвечающих точкам этой кривой. Пооче-
Поочередно деформируя кривую Г, в каждой из этих областей
голоморфности, мы можем получить из кривой Г„ произ-
произвольную, достаточно близкую к ней кривую с теми же
концами (гомотопную ей в объединении областей голо-
голоморфности этих элементов). В частности, можно получить
таким способом из кривой Г, любую кривую IV со зна-
значением s, достаточно близким к s'. Следовательно, ре-
результат аналитического продолжения исходного элемента
по кривой Г, не зависит от параметра s, и теорема до-
доказана.
Замечание. Попутно мы доказали еще одно ут-
утверждение, которое стоит выделить особо:
Если элемент fa(z) можно аналитически продолжить
по кривой Г, то его можно аналитически продолжить
и по любой кривой, достаточно близкой к Г. Результат
продолжения будет при этом тот же, если, новая кривая
имеет тот же конец, что и Г.
В качестве простого следствия из последнего утверж-
утверждения легко получается следующий результат:
Теорема 1.3. Каждой точке комплексной плоско-
плоскости отвечает не более счетного множества различных
значений данной аналитической функции.

92 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Каждое значение данной ана-
аналитической функции в данной точке плоскости получа-
получается в результате аналитического продолжения исходно-
исходного элемента по некоторой кривой с концом в этой точке.
Согласно сделанному замечанию каждую кривую мы мо-
можем немного деформировать, не меняя результата про-
продолжения. В частности, всегда можно считать, что ана-
аналитическое продолжение производится по ломаной с вер-
вершинами в точках плоскости, имеющих рациональные ко-
координаты. Таких ломаных счетное множество. Отсюда
немедленно вытекает утверждение теоремы.
Легко заметить, что доказательство теоремы о моно-
дромии напоминает доказательство гомотопического ва-
варианта теоремы Коши (теорема 2.3 гл. II). Это сходство
не случайно. Теорема Коши (в гомотопическом вариан-
варианте) является частным случаем теоремы о монодромии,
если в качестве аналитической функции взять первооб-
первообразную от интегрируемой функции. Однако не любой
вариант теоремы Коши может восприниматься таким
образом — теорема 2.1 гл. II основана на специфических
свойствах интеграла, и ее нельзя рассматривать как ча-
частный случай теоремы о монодромии.
В заключение определим, что мы будем понимать под
теми или иными действиями над аналитическими функ-
функциями.
Пусть F(z)—аналитическая функция, порожденная
исходным элементом f{z). Символом F' (z) будем обозна-
обозначать аналитическую функцию, порожденную элементом
Первообразной аналитической функции F(z) будем
называть аналитическую функцию, порожденную перво-
первообразной ее исходного элемента.
Если F(z) и G(z)—две аналитические функции, по-
порожденные исходными элементами f(z) и g{z), заданны-
заданными в одной и той же точке, то символами
F(z) + G(z), F(z)G(z), |||
будем обозначать аналитические функции, порожденные
элементами
соответственно.

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 93
Если аналитическая функция G(z) порождена исход-
исходным элементом g(z) в точке а, а аналитическая функ-
функция F(z) порождена элементом /(z) в точке Ь = д(а),
то символом F(G(z)) будем обозначать аналитическую
функцию, порожденную элементом j(g(z)).
Отметим еще формулировку теоремы единственности
для аналитических функций:
Если какой-либо элемент аналитической функции эк-
эквивалентен тождественному нулю, то и все элементы ана-
аналитической функции — тождественные нули.
§ 2. Основные элементарные многозначные функции
Как уже говорилось в § 1, при исследовании анали-
аналитических функций возникают две основные задачи. Пер-
Первая из этих задач состоит в том, чтобы описать множе-
множество тех кривых, по которым можно продолжить исход-
исходный элемент аналитической функции, а вторая — в том,
чтобы найти зависимость значения (F(z))r аналитиче-
аналитической функции F (z) от кривой Г (при условии, что ее
конец фиксирован). В этом параграфе мы решим обе
эти задачи для логарифма и степени (не целой). Кроме
того, выведем формулы, позволяющие выразить оеталь-
ные элементарные многозначные функции через лога-
логарифм, но решение поставленных задач для них мы от-
отложим до следующих параграфов, где будут изложены
некоторые общие соображения.
1. Функция lnz. Согласно теореме единственности
функцию lnz, определяемую в анализе для положитель-
положительных значений z, можно распространить на комплексные
значения z (как аналитическую функцию) не более чем
одним способом. С другой стороны, ясно, что хотя бы
один способ заведомо есть, так как функция In z в ок-
окрестности каждой точки z = а положительной части дей-
действительной оси разлагается в степенной ряд
In z = In a + 2! (~ 1„) (z - а)п. B.1)
1
Этот степенной ряд сходится в круге \z — a\<a (если
заменить действительное переменное z комплексным пе-
переменным z). Можно было бы получить аналитическое
продолжение суммы этого ряда с помощью процесса,
описанного в § 1, но использование свойства 4 функций,

94 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
аналитических на кривой, приведет к цели значительно
быстрее, так как функцию In z можно рассматривать как
первообразную функцию 1/z.
Итак, в качестве исходного элемента аналитической
Z
функции lnz возьмем функцию -г-, определенную в лю-
1
бой конечной односвязной области, содержащей точку
5 = 1 и не содержащей точку 5 = 0. По теореме 3.4 гл. II
эта функция голоморфна и интеграл не зависит от пути
интегрирования.
Функция gE) = 1/5 голоморфна при всех значениях
5, за исключением 5 = 0. Обозначим через Г произволь-
произвольную кривую с началом в точке ^ = 1, не проходящую
через точки & = 0 и 5 — °°, а через Гг — участок этой
кривой от точки 5 = 1 до некоторой точки геГ.
По свойству 4 функций, аналитических на кривой, функ-
функция F' (z) = \ -о- аналитична на кривой Г. Кроме того,
при z, достаточно близких к началу кривой, функция
F (z) совпадает, очевидно, с исходным элементом функ-
функции In z. Следовательно, формула
B.2)
дает нам значение аналитической функции In z, полу-
полученное в результате аналитического продолжения исход-
исходного элемента в точку z по кривой Г. Поскольку Г —
произвольная кривая с началом в точке 5 = 1, не про-
проходящая через точки 5 = 0 и 5 = °°> приходим к утвер-
утверждению:
Теорема 2.1. Исходный элемент аналитической
функции lnz можно аналитически продолжить по любой
кривой Г с началом в точке 5 = 1> не проходящей через
точки 5 = 0 и 5 = °°- Результат продолжения дается фор-
формулой B.2).
Тем самым решена первая задача для аналитической
функции.
Прежде чем переходить к решению второй задачи,
надо получить более удобный способ вычисления значе-
значений функции In z для комплексных значений z, чем фор-
формула B.2). В первую очередь найдем значение анали-

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 95
тической функции lnz, отвечающее наиболее простому
выбору кривой Г, идущей из точки 1 в точку z. В ка-
качестве такой простейшей кривой Г возьмем кривую fz,
составленную из
1) прямолинейного отрезка с началом в точке % = 1
и концом в точке ?, = Ы;
2) кратчайшей дуги окружности |?| = Ы с началом
в точке ? = Ы и концом в точке ? = z (при действи-
действительных отрицательных z, когда имеются две кратчай-
кратчайшие дуги, мы берем верхнюю полуокружность).
Для сокращения записи обозначим lzl=r, argz = cp
(—я < <р < я). Тогда имеем
{lnz)yz= J -^- = J — + J—^- =lnr+ «p.
T2 1 0
Значение (In z)Vz аналитической функции In z назы-
называется ее главным значением. Для главного значения
логарифма будем использовать символ (lnz). Легко убе-
убедиться, что функция (lnz) голоморфна в комплексной
плоскости с разрезом по отрицательной части действи-
действительной оси. Согласно проведенным вычислениям спра-
справедлива формула
(lnz) = In Izl +?argz (—я < arg z< я). B.3)
Напомним теперь обозначения, которыми часто поль-
пользовались в § 7 гл. I.
Пусть конец кривой Fj совпадает с началом кривой
Г2, Тогда символом Г^Гг обозначим кривую, полученную
прохождением сначала кривой Fj, а затем — кривой Гг.
Символом Г обозначим кривую Г, проходимую в обрат-
обратном направлении.
Символом v(F, а) обозначалось число обходов в поло-
положительном направлении точки z = а замкнутой кривою
Г (лежащей в конечной части плоскости и не проходя-
проходящей через точку z = a). В § 7 гл. I показано, что вели-
величина v(F, а), определенная для всех замкнутых кривых,
лежащих в области Da (комплексная плоскость с выко-
выколотой точкой а), единственным образом определяется
следующими свойствами:
1. Если кривые Г и Г' гомотопны в ^области Da, то
v(I\ <z) = v(r', a).

96 ГЛ. Ш. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. г(Г,Г2, a) = v(I\, a) + v(r2, a).
3. Для кривой Г, гомотопной нулю, v(F, a) = 0, а для
любой окружности \z — al = р величина v(F, a) равна
единице.
Теорема 2.2. Пусть Г — произвольная кривая, име-
имеющая начало в точке t, = 1 и конец в точке t, — z, кото-
которая не проходит через точки t, = 0 м ? = °°. Тогда
(lnz)r = (lnz) + 2niv (ГуГ1, 0).
Доказательство. Заметим прежде всего, что для
любой замкнутой кривой С, лежащей в области Do (комп-
(комплексная плоскость с выколотой точкой z = 0), справедли-
справедлива формула
Действительно, функция \х (С) = ^—: ] -у- определена для
с
всех замкнутых кривых С, лежащих в области Do, и удов-
удовлетворяет всем трем условиям, определяющим величину
v(C, 0).
Если Г — произвольная кривая с началом в точке t, —
= 1 и с концом в точке % = z (не проходящая через точ-
ки ? = 0 и ? = °°), а 1[г — простейшая кривая такого рода,
описанная выше, то кривая Гу^1 является замкнутой
кривой, лежащей в области Do- Поэтому
Но, с другой стороны,
+
Г di С di
J т".)т
rvr1 Г
а, согласно формуле B.2),
)т tJtj
Г V71
r, Jf=(lnz).
Г Vz
Отсюда немедленно вытекает утверждение теоремы.

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 97
Тем самым мы решили для аналитической функции
In z и вторую задачу.
Сделаем несколько заключительных замечаний об ана-
аналитической функции In z.
Из теоремы 2.2 следует, что аналитическую функцию
In z нельзя продолжить ни по одной кривой через точки
t, = 0 и % = °°, так как
Re Inz = In \z\,
а величина In Izl стремится к +°° при z ->¦ °° и к — °° при
z->0.
Далее, из теоремы 2.2 мы легко получаем, что
Значения (In z)?. и (In z)r2 равны в том и только в том
случае, когда кривые Т\ и Г 2 гомотопны в области Do-
Действительно, необходимым и достаточным условием
равенства значений (lnz)r. и (In z)r2, согласно теореме 2.2,
является равенство v(Fb 0) = v(F2, 0). Но из теоремы 7.2
гл. I нетрудно вывести, что кривые Г 2 и Г] гомотопны
в области Do тогда и только тогда, когда v(Fi, 0) =
= v(r2, 0).
Заметим еще, что формуле теоремы 2.2 для (lnz)r
можно придать вид
(lnz)r = lnlz!+jargz, B.3*)
где arg z = (arg z)r = \d arg ?.
г
Действительно, обозначим 1^1 = р, arg^ = 'O. Тогда
I =1 ре«в1 dt, = eie dp + ipe™ dQ.
и потому (согласно формуле 2.2)
= In | z I + i j d arg ^.
г
Формула B.3*) менее удобна, чем формула теоремы
2.2, так как вычисление значения (arg z) г требует продол-
продолжения функции arg ? по кривой Г, а величина v(C, 0) —
простая геометрическая характеристика этой кривой. Од-
Однако в некоторых случаях формула B.3*) может быть
полезна. (_]

98 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Отметим еще, что как из формулы B.3*), так и из
принципа аналитического продолжения немедленно выте-
вытекает равенство eln z = z. Тем же способом можно перене-
перенести на комплексные значения переменного и другие со-
соотношения для функции Inz, имеющиеся для положи-
положительных значений переменного.
2. Функция za. При действительных значениях пока-
показателя а и при положительных значениях переменного z
функция za определяется равенством
га = еа1аг. B.4)
Это равенство естественно принять за определение степен-
степенной функции с нецелым показателем (при целых а эта
функция уже определена) и при любых комплексных
значениях показателя а и переменного z.
В качестве исходного элемента аналитической функ-
функции возьмем функцию
(z«)'=ea(lni!)
(здесь (lnz) — главное значение логарифма). Этот исход-
исходный элемент будем называть главным значением анали-
аналитической функции za. Уже отмечалось, что функция (lnz)
голоморфна в комплексной плоскости с разрезом по отри-
отрицательной части действительной оси. Поэтому функция
(za) также будет голоморфна в комплексной плоскости
с разрезом по отрицательной части действительной оси.
Равенство B.4) и теорема 2.1 сразу же дают:
Теорема 2.3. Исходный элемент аналитической
функции za можно аналитически продолжать по любой
кривой Г, не проходящей через точки г=0иг = »,
Из равенства B.4) и теоремы 2.2 следует
Теорема 2.4. Для значения (za)r аналитической
функции za, полученного аналитическим продолжением
исходного элемента (za) no кривой Г (с началом в точке
z = l и концом в точке z), справедлива формула
(za)T = (za) exp {2nia-v (ГуГ1, О))
(здесь iz, как и в теореме 2.2,— простейшая кривая с на-
началом в точке ? = 1 и концом в точке ? = z).
Совершенно аналогично с помощью формулы B.4) и
формул B.3) и B.3*) получаем равенства
(za) = ]z|aexp{-bargz + ?(aargz + Hn lz|)}, B.5)

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 99
где
а = Re a, b = lma, —n
blnz)}, B.5*)
где
а = Re а, Ь = 1т а, arg z = (arg z)v = \ d arg ?
"г
(эти формулы принимают особенно простой вид, когда
а — действительное число).
Исследуем теперь вопрос о том, когда может иметь
место равенство
B-6)
Из формулы теоремы 2.4 сразу же получаем, что для
справедливости равенства B.6) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство
exp{2nia-v(riY71, 0)} = exp {2nia-v (ГяуГ\ О)},
которое выполняется тогда и только тогда, когда величи-
величина a {v(F1y71, О)—v(F2y71i О)) является целым числом.
Это в свою очередь возможно лишь в случае, когда пока-
показатель а равен рациональному числу p/q, а целое число
v(riV7\ 0)-v(r2Yr1, 0)
делится на знаменатель q этого рационального числа.
В частности, равенство B.6) будет иметь место для лю-
любых двух кривых Fi и Гг в том и только в том случае,
когда показатель а является целым числом.
Таким образом, мы пришли к утверждению:
Если а= —,где р и q — взаимно простые целые чис-
числа, то равенство B.6) имеет место в том и только в том
случае, когда
v (Г^Г1, 0)hv (Г,уГ\ 0) (mod q).
Из этого утверждения следует, что каждой точке ком-
комплексной плоскости отвечает ровно q различных значе-
значений аналитической функции zp/q. Такие аналитические
функции называются иногда q-значными. Простейшей
m-значной функцией является функция \^z.

100 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пока мы говорили только об аналитическом продолже-
продолжении исходного элемента аналитических функций inz и za.
Однако формулы, полученные для значений (Inz) г, позво-
позволяют говорить и об аналитическом продолжении произ-
произвольных элементов этих функций, так как аналитиче-
аналитическое продолжение любого элемента можно составить из
аналитического продолжения этого элемента в исходный
и из продолжения исходного элемента. В связи с вопро-
вопросом об аналитическом продолжении элемента, отличного
от исходного, отметим одно утверждение, которым прихо-
приходится часто пользоваться:
При аналитическом продолжении любого элемента
аналитической функции za (здесь а — любое действитель-
действительное число) из точки z = ге'е в точку z = гещ по дуге ок-
окружности
\z\ = r, Ф < argz sg ф,
модуль функции za не меняется, а аргумент непрерывно
и монотонно изменяется на величину а(ср — ¦б').
Это утверждение немедленно вытекает из формулы
B.5*).
Кроме функций Inz и za среди элементарных функ-
функций многозначными аналитическими функциями являют-
являются еще обратные тригонометрические функции. В этом
параграфе мы не будем решать для обратных тригоно-
тригонометрических функций задачи, поставленные в начале па-
параграфа. Удобнее будет сделать это в следующих парагра-
параграфах, демонстрируя более общие методы. Сейчас ограни-
ограничимся лишь выводом формул, связывающих обратные три-
тригонометрические функции с логарифмом.
3. Функция arctgz. Главное значение функции arclgz
f dr
при действительных z определяется интегралом \ ,
о 1 + S"
или рядом
Оба эти выражения пригодны для аналитического продол-
продолжения функции arctgz на комплексные значения пере-
переменного. Написанный выше ряд (или интеграл) будем
считать исходным элементом аналитической функции

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 101
arctg z (для интеграла делаем дополнительное ограниче-
ограничение, что путь интегрирования лежит в некоторой доста-
достаточно малой окрестности точки ? = 0).
Для вывода формулы, выражающей функцию arctg z
через логарифм, воспользуемся интегралом. Разложим
подынтегральную функцию на простейшие дроби:
1 1 1_ _ J 1__
.iit-2 2i t i 2i t -f- i'
Тогда для z, лежащих в достаточно малой окрестности
точки z = 0, получим равенство
, 1 С at, 1 (' at, i , z — i l
arctg Z = v „ , ГТТ- I <¦ . = ттт- In г ггт-
& 2г J t, — i 2i J ? + i 2i — i 2i
In
(, i- i Zi — i Zi
о . о
которое можно записать в виде
arctg z = ^- In ]—1|. B.7)
По принципу аналитического продолжения это равенство
справедливо и для всех z. Тем самым мы получили иско-
искомую формулу.
4. Функция arcsin z. Главное значение функции
arcsinz при действительных значениях z, лежащих на
отрезке ( —1, 1), определяется интегралом arcsin z =
оо
г - или рядом arcsin z =/. L^L—— Z2n+i
Л1_?2 V Д ^ B»-hl)-22"-G?!J
За исходный элемент аналитической функции arcsin z
удобнее всего принять именно ряд, так как под интегра-
интегралом стоит многозначная функция. Однако для вывода ин-
интересующей нас формулы удобнее всего воспользоваться
равенством sin(arcsinz) = z (по принципу аналитического
продолжения оно сохраняет силу и для комплексных
значений переменного). По формуле Эйлера sin w =
giw g—iw
= 2г ' так что равенство, определяющее функцию
w = arcsinz, можно записать в виде е'ш — e~itc = 2iz. Решая
квадратное уравнение относительно функции е"°, получа-
получаем, что
е'ш = iz + VI-z2.
Отсюда без труда находим интересующую нас формулу:
arcsin z = -у- In (iz + УI — z2). B.8)

102 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 3. Ветви аналитической функции
Перейдем к изложению некоторых общих приемов ис-
исследования многозначных аналитических функций. Для
упрощения формулировок удобно пользоваться термина-
терминами, которые мы определим.
Пусть нам дана аналитическая функция F(z), порож-
порожденная исходным элементом f(z) в точке z = a. Возьмем
пекоторую область D, содержащую точку z = а, и рассмот-
рассмотрим аналитические продолжения элемента /(z) не по
всем возможным кривым, выходящим из точки а, а только
по тем, которые лежат в области D. В результате таких
продолжений мы получим фупкцию Ф(г), отличающуюся
от всей аналитической функции F (z), тем, что ее область
определения несколько сужена. Эту функцию Ф(г) бу-
будем называть ветвью аналитической функции F(z) в об-
области D.
Подчеркнем, что ветвь аналитической функции в об-
области D, как и сама аналитическая функция, порождает-
порождается заданием исходного элемента /(z).
Особо выделим случай, когда исходный элемент /(z)
можно аналитически продолжить по любой кривой Г, ле-
лежащей в области D. В этом случае ветвь аналитической
функции в области D мы будем называть функцией, ана-
аналитической в области D.
Если функция O(z), аналитическая в области D, одно-
однозначна (как функция одной лишь точки z) в этой обла-
области, будем называть эту функцию голоморфной ветвью
аналитической функции F (z) (в области D). []
Из теоремы о монодромии (теорема 1.2) немедленно
вытекает следующее важное утверждение (часто именно
это утверждение называют теоремой о монодромии):
Теорема 3.1. Функция, аналитическая в односвяз-
ной области, голоморфна в этой области.
Действительно, по теореме о монодромии результат
продолжения исходного элемента по кривым, гомотопным
в области, одинаков. Но мы знаем (см. теорему 7.1 гл. 1),
что в односвязной области гомотопны все кривые, имею-
имеющие одинаковое начало и одинаковый конец. Поэтому ре-
результат продолжения исходного элемента по кривой, ле-
лежащей в односвязной области, зависит только от конца
этой кривой. Это и дает утверждение теоремы. []

$ 3. ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЮЗ
Оперировать с понятием функции, аналитической в
области, часто бывает значительно удобнее, чем с поня-
понятием аналитической функции, так как термин «функция,
аналитическая в области D» уже несет в себе информа-
информацию о множестве кривых, по которым можно аналитиче-
аналитически продолжить исходный элемент. Отметим некоторые
свойства функций, аналитических в области:
1. Если функции Oi(z) и Фг(г) аналитичны в области
D, то и функции
O1(z)+O2(z), Oi(z)cp2(z)
аполитичны в области D.
2. Если функции Ф\(г) и Фг(г) аналитичны в области
D и все значения функции ФгB) отличны от пуля, то
Ф,B)
функция ф . . аналитичпа в области D.
3. Пусть функция W (?) аналитична в области G,
а функция Ф(г) аналитична в области D и все ее значе-
значения лежат в области G. Тогда функция
аналитична в области D.
4. Если функция Ф(г) аналитична в области D, то и
все ее производные аналитичны в области D.
5. Если функция Ф(г) аналитична в конечной обла-
области ?), то и ее первообразная аналитична в области I).
Перечисленные свойства очевидным образом вытекают
из приведенных в § 1 свойств функций, аналитических
на кривых. []
В качестве примера использования свойств 1—3 ре-
решим задачу об определении множества кривых, по кото-
которым можно аналитически продолжить функции arctgz и
arcsin z.
1. Функция arctgz. Воспользуемся формулой
arctg z = -^r In _ полученной в § 2 (см. формулу
B.7)). Функция
+
голоморфна на всей расширенной комплексной плоскости,
за исключением точки z = —г, и обращается в нуль толь-
только в точке z — i. Обозначим через G всю конечную комп-
комплексную плоскость с выколотой точкой Е; = 0, а через D —
расширенную комплексную плоскость с выколотыми точ-

104 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ками z = i и z = — i. Тогда можно сказать, что функция
® (z) = 1 _ iZ аналитична в области D и что ее значе-
значения лежат в области G. Кроме того, мы знаем из теоре-
теоремы 2.1, что функция Ч*1 (?) = 1п? аналитична в области G.
Следовательно, по свойству 3е функция
аналитична в области D. Иными словами:
Функция arctgz аналитична в расширенной комплекс-
комплексной плоскости с выколотыми точками z = i и z = —i.
2. Функция arcsin z. Воспользуемся формулой
arcsin z = — In (iz + l/Ч — z2) (см. формулу B.8)). Фупк-
ция ? = 1 — z2 голоморфна во всей конечной области и об-
обращается в нуль только в точках г = 1 и z = —1, а функ-
функция V? аналитична во всей конечной плоскости с выко-
выколотой точкой ? = 0 (см. теорему 2.3). Поэтому, согласно
свойству 3, функция iz + Vl —z2 аналитична во всей ко-
конечной плоскости с выколотыми точками z = 1 и z =¦ —i.
Легко проверить также, что эта функция не обращается
в нуль в указанной области. Действительно, из равенства
iz + V1 — z2 = 0 мы сразу получаем равенство —z2 = 1 — z2,
которое не может выполняться ни для одного конечно-
конечного значения z. Поэтому, еще раз применяя свойство 3 | на
1
этот раз с Ф(г) = iz + VI — z2 и Y (?) = — ln? , прихо-
приходим к утверждению:
Функция arcsin z аналитична в комплексной плоско-
плоскости с выколотыми точками z= 1 и z = — 1.
При помощи свойств 1—5 обычно легко удается опре-
определить область, в которой аналитична функция, представ-
представленная через элементарные функции той или иной фор-
формулой.
Укажем (без доказательства) еще на один интересный
критерий аналитичности:
6. Пусть функции pi(z), ..., pn(z), q(z) аналитичны
в области D. Тогда любое решение дифференциального
уравнения
ww + рх(z)н/"-1' + ... +рп(z)w = q(z)
также является функцией, аналитической в области D. []

§ 3. ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Ю5
Часто приходится сталкиваться со следующей за-
задачей.
Дана функция, аналитическая в области J). Выяснить,
будет ли эта функция голоморфна в области D.
В случае, когда область D односвязна, эта задача сра-
сразу решается ссылкой на теорему о монодромии (см. тео-
теорему 3.1). Однако иногда приходится решать эту задачу
и для случая многосвязной области D. Обычный прием
доказательства голоморфности состоит в том, что задан-
заданную функцию представляют в виде той или иной комби-
комбинации функций, аналитических в более широких одно-
связных областях. Приведем несколько примеров тако-
такого рода.
о _
Пример 1. Рассмотрим функцию F (z) = У z2 A — z
в области D, представляющей собой всю конечную плос-
плоскость с разрезом по отрезку [0, 1] действительной оси.
Заметим прежде всего, что наша функция аналитична
в области D. Действительно, функция z2(l — z) голоморф-
голоморфна в области D и не обращается в нуль, а функция у ?
аналитична во всей конечной плоскости с выколотой точ-
точкой 5 = 0. Согласно свойству 3 и суперпозиция этих
функций аналитична в области D.
Применить теорему 3.1 для доказательства голоморф-
голоморфности нашей функции в области D нельзя, так как об-
область D двухсвязна. Однако мы можем представить нашу
функцию F(z) в виде произведения F(z) = Fl(z)F2(z), где
p i7\ 7 p G\ т/1 ?_
Г 1\Z)— Zi r2\Z) — |/ L Y'
Функция F\ (z) = z, очевидно, голоморфна в области D.
1 аналитична в области D по
Z
тем же соображениям, что и сама функция F(z). Однако
легко видеть, что функция F2{z) аналитична и в более
широкой области, получающейся добавлением к области
D точки z — оо. Эта область уже односвязна, и потому
функция F%(z) голоморфна в этой области по теореме о
монодромии. Следовательно, она голоморфна и в более
узкой области D. Таким образом, мы показали, что функ-
функция F(z) является произведением двух функций, голо-
голоморфных в области D, и потому голоморфна в зтой
области.

106 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пример 2. Рассмотрим функцию
в области D, представляющей собой всю конечную плос-
плоскость с разрезами по отрезкам (—2, —1) и A, 2) действи-
действительной оси.
Как и в предыдущем примере, легко доказывается, что
функция F(z) аналитична в области D. Представим ее
в виде F(z) = Fl(z)F2(z)F3(z), где
Из тех же соображений, что и в примере 1, убеждаемся,
что все сомножители голоморфны в области D, поэтому и
наша функция F(z) голоморфна в этой области.
Задача о выделении голоморфных ветвей аналитиче-
аналитической функции является важной составной частью задачи
об исследовании характера многозначности этой аналити-
аналитической функции. Однако при этом мы обычно не бываем
связаны выбором области D. Чаще всего задача состоит
в том, чтобы в данной области провести разрезы таким
образом, чтобы в разрезанной области рассматриваемая
аналитическая функция «распалась» на голоморфные вет-
ветви. Для этого достаточно взять разрезанную область од-
носвязной. Задача о выделении голоморфной ветви в
многосвязной области возникает, когда по каким-либо по-
побочным соображениям надо уменьшить число разрезов.
§ 4. Исследование характера многозначности
В предыдущем параграфе изложен ряд приемов, по-
позволяющих установить, по каким кривым можно продол-
продолжить аналитическую функцию, заданную той или иной
формулой. В этом параграфе мы займемся исследованием
характера многозначности данной аналитической функ-
функции в предположении, что задача предыдущего параграфа
' уже решена. Иными словами, будем исследовать зависи-
зависимость значения аналитической функции в данной точке
плоскости от формы кривой, по которой наша аналитиче-
аналитическая функция продолжается в эту точку. Чтобы учесть
информацию о возможности продолжения по кривым, бу-
будем иметь дело только с функциями, аналитическими в
данной области. Как и в предыдущем параграфе, наше

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА МНОГОЗНАЧНОСТИ Ю7
внимание будут привлекать главным образом функции,
заданные той или иной формулой.
Изложим два способа исследования характера много-
многозначности функции, аналитической в данной области.
Один из этих способов использует довольно серьезные
предположения о строении функции, а другой применим
к самым общим случаям. Достоинство первого способа —
в полноте получаемой информации о функции, а второ-
второго — в его общности.
Начнем с изложения некоторых фактов, имеющих от-
отношение к обоим способам.
Пусть задана функция F(z), аналитическая в га-связ-
ной области D. В первую очередь придется напомнить
некоторые сведения о строении множества гомотопиче-
гомотопических классов замкнутых кривых, лежащих в ге-связной
области.
Согласно определению числа связности (см.§ 2 гл.I)
re-связная область D имеет границу, состоящую из п ком-
компонент
То, Tfi. •••, ЧГ»-ь
Компоненту ^о назовем внешней компонентой границы,
а остальные га — 1 компонент — внутренними. С каждой
внутренней компонентой "f* мы связали в § 7 гл. I гомо-
гомотопический класс <хк. Этот гомотопический класс опреде-
определяется следующим образом.
Через Ск обозначали простую замкнутую ломаную,
лежащую в области D и обладающую тем свойством, что
область, ограниченная ломаной Ch (лежащая слева при
движении по Ск), содержит внутри себя компоненту fk
и не содержит других компонент границы области D. Че-
Через <хк мы обозначали гомотопический класс [Ск], состоя-
состоящий из кривых, гомотопных ломаной Ch.
Согласно теореме 7.3 гл. 1 любую замкнутую кривую
Г, лежащую в области D и проходящую через фиксиро-
фиксированную точку a^D, можно Заменить гомотопной ей
кривой
где кривые Fift таковы, что или кривая T~it или кривая
ft
Fift принадлежит одному из гомотопических классов <ti,
tt2, . . ., <tn_i.
Иными словами, это утверждение можно сформулиро-
сформулировать так:

108 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Гомотопический класс [Г] можно представить в виде
а^ <Ч2 • • • ttir,
где числа mh равны 1 или — 1, а индексы ih принимают
значения 1, 2, ..., п — 1.
Проведем теперь в области D попарно непересекаю-
непересекающиеся разрезы, соединяющие внешнюю компоненту "fo
с каждой из внутренних компонент. Таких разрезов ров-
ровно га—1, и после их проведения область D превратится
в односвязную область D'. Если взять в какой-либо точке
a^D' произвольный элемент функции F(z), аналитиче-
аналитической в области Z), то можно аналитически продолжить его
на всю область D'. По теореме о монодромии (теорема 3.1)
мы получим в результате продолжения некоторую функ-
функцию, голоморфную в области D''. Различным элементам
аналитической функции F(z) в точке а будут отвечать
различные голоморфные в области D' функции. По тео-
теореме 1.3 таких функций счетное множество, и их можно
занумеровать:
F0(z), F,(z), F2(z), ...
При этом символом Fq(z) обозначим функцию, возникаю-
возникающую из исходного элемента аналитической функции F(z).
Таким образом, после проведения в области D разрезов
функция F(z), аналитическая в области D, «распалась»
на счетное (или конечное) множество голоморфных в об-
области D' ветвей Fk(z). При аналитическом продолжении
по любой замкнутой кривой Г, лежащей в области D, эти
ветви каким-то образом переходят друг в друга. Для пол-
полного исследования характера многозначности нам нужно
выяснить, в какую ветвь Fh(z) переходит ветвь Fq(z) при
аналитическом продолжении по замкнутой кривой Г. []
Перейдем теперь к изложению условий, которые на-
накладываются на функцию F (z) в первом способе.
Будем предполагать, что исходная голоморфная ветвь
Fq(z) нашей аналитической функции F(z) принимает в
области D значения, лежащие в некоторой области G.
Кроме того, мы предположим, что результат аналитиче-
аналитического продолжения ветви F0(z) по замкнутой кривой Ге
е ak имеет вид
где функции rh(t) удовлетворяют условиям:

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА МНОГОЗНАЧНОСТИ Ю9
1. Функции ТьE) голоморфны в области G, и прини-
принимаемые ими значения лежат в области G.
2. Функции ТьE) имеют обратные функции %h (?),
также голоморфные в области G.
Для сокращения записи будем употреблять символ
ф О ф для обозначения функции <р(а]з(|)). Кроме того, бу-
будем считать, что символ фт определяется равенствами
<P°(?)"eS, Фт+1=Ф°Фт (т = 0, ±1, ±2, ...).
При сделанных предположениях относительно функ-
функции справедлива
Теорема 4.1. Пусть гомотопический класс [Г], со-
содержащий кривую Г, имеет вид
e^tti,". • • Ч«
Тогда результат продолжения голоморфной ветви Fq(z)
функции F(z) равен
(т? От? О... От?) <*„(*))
(здесь, как и раньше, числа mh равны 1 или —1, а ин-
индексы ik принимают значения 1, 2, ..., га— 1).
Доказательство. Согласно предположению ре-
результат аналитического продолжения голоморфной вет-
ветви F0(z) по кривой Геак равен xk(Fo(z)). Отсюда мы без
труда выводим, что результат продолжения ветви Fo(z)
по кривой Г1Г2У где Fi e ah, а Гг^ <tm, равен
Tft(Tm(Fo(z)))=,(TftO Xm) (F0(z)).
Далее, легко убедиться, что результат продолжения ветви
Fo(z) по кривой rettj равен ^(^„(z)). Действитель-
Действительно, продолжая функцию т^ (Fo (z)) по кривой Г] е ал,
яолучаем функцию
Следовательно, продолжение ветви F0(z) по той же кри-
кривой Fi в обратном направлении даст нам функцию
т^*1 (Fo (z)), а кривая Fi, проходимая в обратном направ-
направлении, принадлежит гомотопическому классу а^.
Последовательно применяя полученные формулы, при-
приходим к утверждению теоремы.

НО ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В теореме 4.1 дается формула для вычисления резуль-
результата аналитического продолжения исходного элемента
функции F(z), аналитической в области D, по произволь-
произвольной замкнутой кривой Г. Эта формула имеет довольно
сложный вид, и без дополнительной информации о функ-
функциях Th(t) ее нельзя упростить. Однако в конкретных
задачах, когда функции Tft(S) довольно просты, эта фор-
формула также может быть значительно упрощена. Отметим
один довольно общий случай, когда формула теоремы 4.1
принимает совсем простой вид.
Теорема 4.2. Пусть функция F(z), аналитическая
в области D, удовлетворяет всем условиям, наложенным
выше, и пусть, кроме того, функции тА(?) обладают тем
свойством, что
т,ОТт=,ТтОТл (щ, А = 1, 2, ..., п-1).
Тогда результат аналитического продолжения ветви
F0(z) no произвольной замкнутой кривой Г, лежащей в
области D, равен
( vi va vn—i
где
(Напомним, что v(T, "fs) — число обходов в положитель-
положительном направлении компоненты "f* кривой Г.)
Доказательство. В силу перестановочности функ-
функций Ть(?) мы можем написать
где
v, = 2 mv.
Но
0, Ceaffl (m=f=k),
Поэтому
¦v (Г, Yft) = .^J mp — vki
и теорема доказана. []
Легко видеть, что формулы для значения функций
(lnz)r и (z )т являются частными случаями формулы
теоремы 4.2. Действительно, для этих функций область

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА МНОГОЗНАЧНОСТИ Ш
D — это вся конечная плоскость с выколотой точкой z =
= 0. Взяв в качестве компоненты "fo точку z = o°, а в ка-
качестве компоненты ^i — точку z = 0, получаем, что
v(T, "fi) = /v(r, 0). Кроме того, для функции lnz имеем
а для функции za
В обоих случаях функция TiE) только одна, так что ус-
условие перестановочности бессодержательно. Поэтому, при-
применяя теорему 4.2, мы немедленно получаем формулы
(lnz)r=(lnz)+2ni-v(r, 0),
(za)r= (za)exp{2n«x-v(r, 0)}.
Эти формулы несколько отличаются от формул, получен-
полученных в § 2, так как теперь мы считаем кривую Г имеющей
и начало, и конец в точке z. [J
Рассмотрим несколько более сложных примеров при-
применения формул теорем 4.1 и 4.2.
Пример 1. Рассмотрим функцию arctgz. Мы знаем,
что она является функцией, аналитической в области D,
представляющей собой расширенную комплексную плос-
плоскость с выколотыми точками z = i и z = —i (см. § 3).
В качестве компонент ^о и ^1 возьмем точки z = — i и z =
= i соответственно. Из формулы
1 , z — i 1 . 2 + 1
видно, что аналитическое продолжение любого элемента
функции arctgz по достаточно малой окружности \z — i\ =
= р (проходимой один раз в положительном направлении)
прибавляет к этому элементу слагаемое, равное я. Это
означает, что
Поэтому теорема 4.2 дает формулу
где символом (arctgz) обозначено главное значение ана-
аналитической, функции arctgz (обычно под главным значе-
значением арктангенса понимают ветвь, голоморфную в комп-
комплексной плоскости с разрезом (—?°°, —i) и (i, +i°°), от-
отвечающую исходному элементу, совпадающему с главным

1 12 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
значением арктангенса на действительной оси). Легко
проверить, что v(F, *Yi) =¦ v(Г, ?) —v(F, —i), так как по-
полученную формулу можно записать в виде
+ n(v(r, i)-v(T, -i)).
Следующий пример носит более общий характер.
Пример 2. Пусть D — произвольная и-связная об-
область, внешняя компонента которой содержит бесконеч-
бесконечно удаленную точку. Возьмем функцию g(z), голоморфную
в области D, и точку a ^D и определим исходный элемент
аналитической функции F(z) в точке z = a равенством
(путь интегрирования лежит в достаточно малой окрест-
окрестности точки z = a).
Мы знаем (см. § 3, свойство 5), что построенная функ-
функция F(z) аналитична в области D. В результате аналити-
аналитического продолжения любого элемента функции F (z) по
замкнутой кривой С мы получаем тот же элемент с до-
добавлением слагаемого
I
Следовательно,
xk&) = t + Ak (й = 1, 2, ..., тг-1),
где Ah = J g (?) dt, (С е а&) (по теореме Коши интеграл
с
не зависит от выбора кривой из гомотопического класса
аь). Легко видеть, что
Поэтому теорема 4.2 применима, и мы получаем, что
(F(z))r = /(z)+ 2 Ah.v(T,yh).
Пример 3. Рассмотрим функцию arcsin z. Мы знаем
(см. § 3), что функция arcsin z является функцией, ана-
аналитической в трехсвязной области D, представляющей со-
собой всю конечную плоскость с выколотыми точками z — 1
и z=' —1. В качестве компоненты ^о возьмем точку z = TC,
а в качестве компонент ^1 и ^2 — точки z = 1 и z = — 1 со-

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА МНОГОЗНАЧНОСТИ ЦЗ
ответственно. В качестве области D' возьмем комплекс-
комплексную плоскость с разрезами по лучам (—°°, —1) и A, +°°),
а в качестве вотин F0(z)—главное значение арксинуса,
представляющее собой голоморфную в области D ветвь
arcsinz, отвечающую исходному элементу
rz2fe+i.
При — 1 < z ^ 1 этот ряд сходится к главному значению
арксинуса (принимающего значения между —л/2 и л/2).
Для вычисления функций Ti(?) и тг(?) воспользуем-
воспользуемся формулой arcsinz = -r-ln(/z + у 1 — z2), полученной
в конце § 2. Эта формула справедлива и для функции
(arcsinz), если выбрать надлежащие ветви корня и ло-
логарифма.
При аналитическом продолжении по достаточно ма-
малой окружности \z — ll = p (один раз против часовой
стрелки) функция Vl —z2 умножается на —1, так как
Vl — z2 = Vl + z-Vl — z, а для функций Vl + z и Vl — z
можно воспользоваться формулами, выведенными в § 2.
Поскольку окружность \z — ll=p достаточно мала, при
обходе точкой z этой окружности точка iz + Vl — z2 оста-
остается вблизи точки z = 1 и потому не обходит точку z = 0.
Это означает, что выбранную нами голоморфную ветвь
логарифма можно считать прежней. Следовательно, в ре-
результате аналитического продолжения функции
—- In (iz + У1 — z2) = (arcsin z)
по достаточно малой окружности |z —11 = р (один раз
против часовой стрелки) получаем функцию
i
4- in о* - ут=?) = -i. in
1 У J l
= ~ 1П ~—VY^? = — In (— 1) — (arcsin z),
где для 1п(—1) берется одно из возможных значений.
Чтобы определить, какое именно значение надо взять для
1
1п(—1), заметим, что при z -*¦ 1 функция — '\п [iz +
+ К 1 — z2) имеет предел, не зависящий от способа
стремления точки z к 1, если только не выходить из не-

114 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
которой окрестности точки z = l. Поэтому и (arcsinz) и
ветвь, полученная его продолжением по достаточно малой
окружности U —1| = р, должны иметь одинаковый предел
при z -*¦ 1. Поскольку (arcsin 1) = —, получаем, что
lim 4- In (iz + /Г^Т2) = lim 4- In (iz — /l^z2) = -?,
и потому равенство
-{- In (iz — /l^z2) = -[" In (— 1) — -j- In (iz + /Г^!2)
при z -*¦ 1 дает, что величина -r- In (— 1) должна быть
равна п.
Таким образом, в результате продолжения функции
(arcsinz) по любой кривой Г е <ti мы получаем функцию
л — (arcsinz). Иными словами,
С помощью совершенно аналогичных рассуждений на-
находим, что
Нетрудно проверить, что функции ti и тг пепереста-
новочны. Действительно,
(т,ОТ2)(?) = ? + 2я, ;(T2OT,)(S) = S-2n. D.1)
Нетрудно проверить также, что имеют место соотноше-
соотношения
т? (?) = &, «^ (?)=¦?• D-2)
С помощью соотношений D.1) и D.2) нетрудно вы-
вычислить любое выражение вида
^отГ;о...отГ;, D.3)
где числа тк равны 1 или —1, а индексы ih принимают
значения 1 или —1. Например, используя соотношения
%~г = тг ч;^1 = т2,
вытекающие из равенств D.2), мы заменяем выражение
D.3) выражением
D.4)
Далее, опять используя соотношения D.2), мы вычерки-
вычеркиваем все стоящие рядом нары функций с одинаковыми

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА МНОГОЗНАЧНОСТИ Ц5
индексами. В результате таких операций выражение D.4)
(а следовательно, и выражение D.3)) можно привести
к одной из двух форм
(т,ОТ2)"-, т,О(Т1ОТ2)"\
Это означает, в частности, что любой элемент функции
arcsinz можно получить из ее исходного элемента одним
из следующих способов:
1. Продолжением по замкнутой кривой
т = 0, ±1, ±2, ...
2. Продолжением по замкнутой кривой Г
т = 0, ±1, ±2,... D
Перейдем теперь к описанию второго способа исследо-
исследования многозначности. На этот раз на функцию F(z) не
будем налагать никаких условий.
Выделим в области D голоморфные ветви
F0(z),Fl(z),F2(z), ...
функции F(z), аналитической в области D. С каждым го-
гомотопическим классом а = [Г] свяжем подстановку
S =(° i 2 "
\ 0 1 2
где номер ks определяется из условия: при аналитическом
продолжении ветви Fe(z) no кривой Г из гомотопическо-
гомотопического класса а получаем ветвь Fk$(z).
Легко видеть, что все подстановки Sa обладают тем
свойством, что номера ks образуют весь натуральный ряд
(начиная с нуля) и что среди них нет равных. Для та-
таких подстановок легко определить операцию умножения,
положив
'О 1 2 ...\A0 h h -Л /0 1
Нетрудно проверить, что множество подстановок, связан-
связанных с каждой функцией F(z), аналитической в области
D, образует группу относительно определенной таким об-
образом операции умножения.
Теорема 4.3. Если гомотопический класс a = [Г]
имеет вид

H6 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
то соответствующая ему подстановка Sa имеет вид
Доказательство. Для доказательства теоремы
достаточно установить справедливость соотношений
а эти соотношения немедленно вытекают из определения
подстановки.
Справедливости ради отметим, что во всех конкрет-
конкретных задачах исследование многозначности аналитических
функций осуществляется с помощью теоремы 4.1. Теоре-
Теорема 4,3 имеет чисто теоретический интерес.
§ 5. Римановы поверхности
До сих пор мы рассматривали аналитическую функ-
функцию как функцию, определенную на множестве, элемен-
элементами которого являются пары (z, Г), где z — точка плос-
плоскости, а Г — кривая, идущая в точку z из некоторой фик-
фиксированной точки а. Однако множество, на котором опре-
определена аналитическая функция, можно представлять и
в виде множества точек, только не точек плоскости, а то-
точек некоторой поверхности. При этом поверхность, на ко-
которой определяется функция, опять-таки определяется
самой функцией, т. е. уже ее исходным элементом. Эти
два подхода совершенно эквивалентны, если рассматри-
рассматривать их только как способы придания смысла понятию
многозначной функции на комплексной плоскости. Одна-
Однако если говорить о дальнейшем развитии идей, то мысль
рассматривать аналитические функции как функции на
поверхности оказалась значительно плодотворнее.
Идея рассматривать многозначную аналитическую
функцию как однозначную функцию на поверхности бы-
была впервые высказана замечательным немецким матема-
математиком Бернгардом Риманом. Поэтому поверхности, на ко-
которых определена аналитическая функция, принято на-
называть римановыми поверхностями. Развитие идей, свя-
связанных с понятием римановой поверхности, не входит в
план этой книги. Поэтому ограничимся самыми элемен-
элементарными фактами, относящимся к этой теме.
Прежде всего попытаемся дать представление о ри-
римановой поверхности с помощью простой аналогии.

§ 5. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 117
Возьмем на плоскости (х, у) окружность х2 + у2 = 1.
Как геометрический объект, эта окружность не имеет ни-
никаких особых точек. Однако если мы хотим записать
уравнение этой окружности в виде y — f(x), to придется
использовать многозначную функцию f(x)= ±У1 — х1. Эту
функцию мы сможем рассматривать как однозначную,
если будем рассматривать ее не как функцию точки от-
отрезка (—1, 1), а как функцию точки кривой, состоящей
из этого отрезка, проходимого дважды (на одной полови-
половине кривой приписываем корню положительные значения,
на другой — отрицательные).
Аналогичное рассуждение можно провести и для мно-
многозначных аналитических функций. Пусть дана какая-
либо многозначная аналитическая функция w = F(z).
Изобразим все ее значения точками в четырехмерном
пространстве (z, w). Множество всех точек вида (z, F(z))
образует в этом пространстве некоторую двумерную по-
поверхность. Эта поверхность может оказаться вполне хо-
хорошим геометрическим объектом и в случае, когда анали-
аналитическая функция многозначна. По аналогии с разобран-
разобранным выше примером кривой на плоскости можно попы-
попытаться сделать нашу многозначную функцию однознач-
однозначной, рассматривая ее не на плоскости, а на некотором
множестве, состоящем из многократно проходимых листов
плоскости. Из общих соображений естественно ожидать,
что это множество окажется поверхностью. Аналогия с
разобранным примером позволяет даже предложить не-
некоторый способ получения этой поверхности. Именно, на
плоскости мы получили искомую кривую, сплющив ок-
окружность по вертикали. В четырехмерном пространстве
нам нужно сплющить поверхность, состоящую из точек
вида (z, F(z)) по двум лишним измерениям. Заметим,
что в разобранном примере с окружностью не было осо-
особого смысла заниматься сплющиванием этой окружности,
так как сама окружность не менее наглядна, чем дваж-
дважды проходимый отрезок. Сплющивать четырехмерную по-
поверхность уже имеет смысл, так как многократно прохо-
проходимые листы плоскости можно представить себе (правда,
с некоторыми натяжками) как поверхность в трехмерном
пространстве. Это дает весьма существенный выигрыш.
в наглядности.
Грубо говоря, риманова поверхность — это сплющен-
сплющенный «график» аналитической функции.

118 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Точное определение римановой поверхности мы дадим
несколько ниже, а сейчас поговорим о конкретном по-
построении римановых поверхностей, исходя из наших при-
приблизительных представлений.
Пусть дана аналитическая в тг-связной области D
функция F(z). Как и в предыдущем параграфе, обозначим
через Чо> ii, ..., чп-1 компоненты границы области D,
а через D' — односвязную область, полученную из обла-
области D проведением попарно непересекающихся разрезов
4, идущих от компоненты ^о к компоненте ук (к = 1, 2,...
.... п-1).
Как мы видели в предыдущем параграфе, функция
F(z) распадается в области D' на голоморфные ветви
F0(z), Fi(z), F2(z), ...
Ясно, что римановой поверхностью функции, голоморф-
голоморфной в области D, является экземпляр этой области (каж-
(каждой точке z отвечает ровно одна точка (z, Fm(z)) «гра-
«графика», так что при сплющивании мы получаем один лист
плоскости). С другой стороны, различным голоморфным
ветвям должны отвечать различные листы на римановой
поверхности функции F (z). Над областью D эти листы
образовывали одну поверхность, а над областью D' они
представляют собой стопку различных экземпляров об-
области D'. Это происходит потому, что при переходе от
области D к области D' мы удаляем из римановой по-
поверхности точки, лежащие над разрезами l\, h, ..., ln-\.
Тогда и наоборот, добавив к стопке экземпляров области
D' точки, лежащие над разрезами 1к, мы должны полу-
получить из этой стопки риманову поверхность аналитической
в области D функции F(z). Добавление точек, лежащих
над разрезом 1к, «склеивает» между собой некоторые эк-
экземпляры области D' по этому разрезу. Разберемся, какие
именно листы нужно склеивать. Ясно, что склеиваемые
листы должны представлять собой сплющенные части
одного куска «графика» функции F(z). Это означает, что
значения функций Fp(z) и Fq(z) на разрезе ?„'(по кото-
которому мы склеиваем) должны быть одинаковы, если склеи-
склеиваются листы, отвечающие этим ветвям. Несколько уточ-
уточним это высказывание, обозначив через it край разреза
1к, лежащий справа при движении от ^о к ук, а через ZjT —
левый край того же разреза. Заметим, что края it и
1? (или 1? и 1^) никогда не склеиваются, ибо совпадение

§ 5. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 119
ветвей Fp(z) и Fq(z) на одноименных краях но теореме
единственности означало бы тождественное совпадение
этих функций (а тогда листы не были бы различными).
Поэтому склеиваются лишь разноименные края разреза
(т. е. it с ift"). Подытоживая сказанное, кратко повторим
рецепт построения римановой поверхности:
Обозначим через Sp экземпляр области D', отвечаю-
отвечающий голоморфной ветви Fp(z). Риманову поверхность
функции F(z), аналитической в области D, мы получаем,
склеивая между собой листы Sp no разрезам lk согласно
следующему правилу.
Край it разреза lh на листе Sp приклеивается к краю
Ik разреза lh на листе Sq, если имеет место равенство
Полезно отметить, что склеиваемая таким образом по-
поверхность не вполне однозначно определяется функцией
F(z). Причины этого явления будут полностью ясны, ког-
когда мы дадим строгое определение понятия римановой
поверхности. Q
Приведем несколько примеров построения римановых
поверхностей с помощью описанного способа.
Пример 1. Функция lnz. В этом случае в качестве
области D надо взять всю конечную плоскость с выколо-
выколотой точкой z = О, а в качестве области D' можно взять
плоскость с разрезом по отрицательной части действитель-
действительной оси. Верхний край разреза мы обозначим через 1+,
а нижний — через 1~. Тогда
Fm(z) = {luz)+2nim (/га = 0, ±1, ±2, ...)
(как обычно, через (lnz) обозначаем главное значение
логарифма). Из формулы для главного значения лога-
логарифма, выведенной в § 2, легко получаем, что
Следовательно,
Fn)\l ()\^
Поэтому листы Sm экземпляров области D', отвечающие
голоморфным ветвям Fm[z), склеиваются следующим об-
образом.

120 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
К краю 1+ разреза I на листе Sm приклеивается край
1~ разреза I на листе Sm+\ (здесь т = 0, ±1, ±2, ...).
В результате такого склеивания мы получаем винто-
о.бразную поверхность (см. рис. 4, а), называемую рима-
новой поверхностью логарифма.
Рис.4
Ясно, что направление закручивания винтовой по-
поверхности мы можем с равным успехом считать как пра-
правым, так и левым.
Пример 2. Функция ~\fz. В качестве области D
опять надо взять всю конечную плоскость с выколотой
точкой z = 0, а в качестве области D' опять возьмем
плоскость с разрезом по отрицательной части действи-
действительной оси. Через 1+ обозначаем верхний край разреза
I, а через 1~ — его нижний край. Тогда
Fm
Поскольку
(z) = iy~z) exp km -2-
(m = 0,1,..., n-1).
-i- arg z \
мы получаем, что
— 1
Fm B) |,- =V | z | exp ^ —r
Следовательно,
Fn (z) \l+ = Fm+1 (z) |,_ (m =¦ 0, 1, ..., n - 2),

§ 5. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 121
Поэтому листы 5т следует склеить следующим образом.
При т = 0, 1, 2, ...,'» —2 к краю /+ разреза I на
листе Sm мы приклеиваем край 1~ разреза I на листе
Sm+i. Оставшиеся свободными верхний край рдзреза I на
листе Sn-\ и нижний край разреза на листе So мы долж-
должны склеить между собой.
Заметим, что последнее склеивание не удастся осуще-
осуществить, не пересекая уже склеенной части поверхности,
хотя из общих соображений ясно, что риманова поверх-
поверхность не может иметь точек самопересечения. Это про-
противоречие кажущееся. Оно объясняется тем, что наша
риманова поверхность является поверхностью из четы-
четырехмерного пространства. Для .наглядности она изобра-
изображена в трехмерном пространстве, а это не всегда позво-
позволяет передать все свойства.
Построенная риманова поверхность называется рима-
иовой поверхностью корня п-й степени (см. рис. 4, б).
Пример 3. Функция
где функция g(t,) голоморфна в двухсвязной области D,
внешняя компонента которой содержит точку ? = °°,
а внутренняя компонента содержит точку ? = 0.
Область D' мы получим из области D, проведя ка-
какой-либо разрез I, соединяющий компоненту ^о с компо-
компонентой ^1- Согласно примеру 2 § 4 можно написать
(i» = 0, ±1, ±2, ...),
где величина А равна интегралу от функции g(t,) по
границе какой-либо односвязной области, содержащей
компоненту ^1 и не содержащей компоненту ^0. Нетруд-
Нетрудно показать, что
если через 1+ обозначен тот край разреза I, который ле-
лежит слева при движении от ^о к ^ь Склеивание листов
такое же, как и при склеивании римановои поверхности
логарифма. Ясно, что в результате склеивания мы полу-
получим поверхность, представляющую собой часть римано-
римановои поверхности логарифма, лежащую над областью D.
Пример 4. Функция In г- Эту риманову по-
Z — О
верхность можно было бы строить аналогично предыду-

122 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
щим, но проще воспользоваться несколько иным рассуж-
рассуждением. Функция
z — а
W = г
z — Ъ
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками расширенной комплексной плоскости z и расши-
расширенной комплексной плоскости w. Она же устанавливает
взаимно однозначное соответствие между точками рима-
новых поверхностей функций In _ и In w. Поэтому
риманова поверхность функции In-—г- отличается от ри-
мановой поверхности функции lnz только тем, что ее
точки разветвления находятся не в точках z = О и z = °°,
а в точках z = а и z = Ъ.
Риманову поверхность функции In _, мы также бу-
будем называть римановой поверхностью логарифма (отме-
(отмечая, если это понадобится, положение точек разветв-
разветвления) .
Аналогичные соображения полностью справедливы и
для римановой поверхности функции п/z~a которую
У z — Ъ
будем называть римановой поверхностью корня п-й сте-
степени (с точками разветвления а и Ъ).
Из формулы arctg z = -^- In 1 __ ^ следует, что рима-
риманова поверхность функции arctg z совпадает с римановой
поверхностью логарифма (точки ветвления i и —i).
Пример 5. Функция arcsin z. На примере римано-
римановой поверхности арксинуса покажем, как можно строить
римановы поверхности, не выделяя голоморфных ветвей
аналитической функции.
В примере 3 § 4 исследовался характер многознач-
многозначности аналитической функции arcsin z. Мы установили
там, что любой элемент функции arcsin z можно получить
или аналитическим продолжением исходного элемента
по кривой Г, принадлежащей гомотопическому классу
(ctiCt2)m, или аналитическим продолжением по кривой Г,
принадлежащей гомотопическому классу cti (diO^)"*. Мы
знаем, что исходный элемент функции arcsin z можно
взять в виде
(arcsin z) = J JS

3 5. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 123
где интегрирование ведется по пути, лежащему в доста-
достаточно малой окрестности точки z = 0, а для корня берет-
берется главное значение. Кроме того, в примере 3 § 4 было
показано, что в результате аналитического продолжения
исходного элемента (arcsin z) функции arcsin z по кри-
кривой F^cti мы приходим к элементу п — (arcsin z). Далее,
кривую из гомотопического класса (ctiCt2)m можио считать
лежащей в области D*, представляющей собой плоскость
с разрезом по отрезку (—1, 1) действительной оси. Из
всего сказанного следует, что аналитическая функция
arcsin z в области D* распадается на две функции, ана-
аналитические в области D*. Одна из этих функций имеет вид
а другая —
(точка ? — 0 считается лежащей на верхнем краю разре-
разреза (—1, 1), а корень — имеющим на этом краю положи-
положительные значения).
Согласно примеру 3 обе функции имеют своими ри-
мановыми поверхностями часть римановой поверхности
логарифма, лежащую над областью D*. Поэтому вся ри-
манова поверхность аналитической функции arcsin z мо-
может быть получена склеиванием двух экземпляров ри-
римановой поверхности логарифма с удаленными из нее
точками, лежащими над отрезком (—1, 1). Ясно, что
склеивать нужно по разрезу, лежащему над отрезком
(—1, 1). Для наглядности, при склеивании нужно взять
римановы поверхности логарифма закручивающимися в
противоположных иаправлениях. []
Римановы поверхности можно рассматривать как спо-
способ наглядного представления характера многозначности
аналитической функции. Этот способ хорошо дополняет
алгебраический метод исследования характера многознач-
многозначности, изложенный в § 4, но отнюдь не заменяет его.
Более того, когда функция довольно сложна, сама на-
наглядность римановой поверхности весьма призрачна.
Плодотворность идеи римановой поверхности вовсе не
в облегчении исследования характера многозначности,

124 ГЛ, III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
а в том, что она породила теорию аналитических функ-
функций на поверхностях. К сожалению, теория аналитиче-
аналитических функций на римановых поверхностях выходит за
рамки этой книги.
Перейдем теперь к строгому определению понятия
римановой поверхности аналитической функции.
Сначала сделаем одно замечание, уводящее в несколь-
несколько другую сторону. Именно, заметим, что для функции,
аналитической в данной области D, можно было бы фор-
формально определить точку поверхности как пару (z, Г),
где z — точка области й, а Г — кривая, идущая в точку
z из фиксированной точки а. Мы получили бы некото-
некоторую область определения аналитической функции, если
бы договорились считать две пары (z, Fi) и (z, Г2) сов-
совпадающими в том и только в том случае, когда кривые
Fi и Гг гомотопны в области D. Без особого труда мож-
можно было бы показать, что определенная таким образом
риманова поверхность действительно будет поверхностью
в смысле определения § 8 гл. I. Не будем останавли-
останавливаться на этом способе определения римановой поверх-
поверхности, так как дадим сейчас более простое определение,
пригодное не только для функций, аналитических в об-
области.
Пусть дана аналитическая функция F(z), определя-
определяемая исходным элементом /a(z). Точкой Р римановой по-
поверхности мы назовем пару (?, /c(z)), где ? — точка
плоскости, а /;(z) — какой-либо элемент нашей аналити-
аналитической функции F(z) в этой точке. Две пары (?, h(z))
и (?, /* (z)) будем считать определяющими одну и ту
же точку римановой поверхности в том и только в том
случае, когда элементы fi(z) и fz,(z) эквивалентны, т. е.
совпадают в некоторой окрестности точки z = %.
Нужно показать, что определенное таким образом
множество точек можно рассматривать как поверхность.
Для этой цели надо прежде всего ввести в этом множе-
множестве топологию (см. § 8 гл. I), задав систему окрестно-
окрестностей Wa).
Пусть Р — (с, /c(z)) — точка римановой поверхности S
аналитической функции F(z). Элемент /c(z) является
голоморфной функцией переменной z в любой достаточно
малой окрестности С/с8 точки с, и его можно рассматри-
рассматривать как элемент аналитической функции F(z) в любой
из точек этой окрестности.

§ 5. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 125
Множество точек <? = (?, h(z)), где ^еРС|!, назовем
окрестностью UPc точки Р римановой поверхности S.
Систему окрестностей iUa} будем считать состоящей
из всех достаточно малых окрестностей всех точек ри-
римановой поверхности S.
Легко проверить, что заданная таким способом топо-
топология превращает риманову поверхность S в хаусдорфо-
во топологическое пространство. Нетрудно убедиться, что
непрерывной кривой на римановой поверхности S явля-
является функция, аналитическая на кривой Г и обладающая
тем свойством, что хотя бы один элемент этой функции
совпадает с элементом нашей аналитической функции.
Согласно определению аналитической функции любые
две точки римановой поверхности S можно соединить не-
непрерывной кривой. Тем самым доказано, что риманова
поверхность S является областью.
Легко доказывается также, что окрестность С/Р8 точ-
точки Р римановой поверхности S гомеоморфна окрестности
Uc,e точки с, т. е. кругу на плоскости.
Таким образом, риманова поверхность S действительно
является поверхностью в смысле определения § 8 гл. I.
Точку ? комплексной плоскости мы будем называть
проекцией точки (%, fi(z)) римаиовой поверхности S,
а отображение
— проектированием римановой поверхности S на комп-
комплексную плоскость. Отображение проектирования я осу-
осуществляет гомеоморфизм каждой окрестности С/РЕ на
окрестность Ucfi. В терминах, которые использовались в
§ 8 гл. I, это означает, что отображение па окрестности
Ua на круг плоскости для любой окрестности Ua совпа-
совпадает с отображением проектирования п. Отсюда следует,
что отображение Хар = ^а onj1 (определенное для пересе-
пересечения окрестностей Ua и U9) является тождественным
отображением. Следовательно:
Риманова поверхность аналитической функции всегда
является ориентируемой поверхностью (см. § 8 гл. I).
В заключение скажем еще несколько слов о понятии
римановой поверхности, не связанном с заданием какой-
либо аналитической функции.
Поверхность S, у которой можно выбрать систему
окрестностей таким образом, чтобы все отображения %а$

126 ГЛ. III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
были тождественными отображениями, называется по-
поверхностью, накрывающей комплексную плоскость. Мы
показали, что каждой аналитической функции отвечает
некоторая накрывающая комплексную плоскость поверх-
поверхность S. Оказывается (это довольно глубокий и довольно
тРУДно доказываемый факт), что для каждой поверхно-
поверхности, накрывающей плоскость, существует аналитическая
функция, для которой заданная поверхность будет ее
римановой поверхностью.
Если мы откажемся от тождественности отображений
%ар, но потребуем, чтобы эти отображения всегда осуще-
осуществлялись голоморфными функциями, то мы придем к
общему понятию римановой поверхности. На любой об-
общей римановой поверхности можно определить понятие
голоморфной функции как функции, голоморфной от ло-
локальной переменной. Действительно, при переходе от од-
одной локальной переменной к другой в силу сделанного
предположения функция остается голоморфной.
С теорией римановых поверхностей, накрывающих по-
поверхностей и с теорией голоморфных функций на этих
поверхностях можно подробнее познакомиться по книгам
[32] и [37].

Глава IV
ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Степень сложности строения аналитической функции
определяется ее особыми точками — точками потери го-
голоморфности. В этой главе мы обсудим общее понятие
особой точки, а затем исследуем поведение функций с
наиболее простыми особыми точками. В этом иссле-
исследовании будут демонстрироваться возможности использо-
использования основных теорем, полученных в гл. II.
§ 1. Понятие особой точки
Начнем с общего определения особой точки аналити-
аналитической функции, хотя это определение довольно тяжело-
тяжеловесно, а само понятие во всей его общности используется
довольно редко.
Пусть дана аналитическая функция F(z), порожден-
порожденная исходным элементом fa(z) в точке z = a, и пара
(?, L), где ? — некоторая точка расширенной комплекс-
комплексной плоскости, a L — кривая, идущая из точки а в точку
%. Будем говорить, что пара (t, L) определяет особую
точку аналитической функции F(z), если исходный эле-
элемент /o(z) можно аналитически продолжить по кривой L
в любую ее точку, кроме ее конца ?.
Чтобы завершить определение, надо еще ответить на
вопрос, когда две пары (?, L) и (?, L') определяют одну
и ту же особую точку? Эта часть определения наиболее
сложна.
Для произвольной кривой Г будем обозначать симво-
символом Г5 часть кривой Г, заключенную между ее началом
и некоторой точкой | е Г.
Две пары (?, L) и (?, L') будем считать определяю-
определяющими одну и ту же особую точку аналитической функции
F(z), если для любых двух точек l^L и %'^Ь выпол-
выполняется следующее условие.
Элементы /E(z) и fi> (z), полученные в результате
аналитического продолжения исходного элемента fa(z)
по кривым Ls и L'y соответственно, можно аналитиче-

128 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ски продолжить друг в друга по некоторой кривой, ле-
лежащей в любой окрестности точки %, содержащей точки
| и |'. (Сущность условия в том, что когда точки | и |'
выбираются близко к точке %, окрестность можно выби-
выбирать очень малой.)
Про каждую особую точку, определяемую парой (?,
L), будем говорить, что она лежит над точкой %.
Если любая пара (?, L) описанного выше вида опре-
определяет особую точку аналитической функции F(z),
и притом одну и ту же, будем говорить, что аналитиче-
аналитическая функция F(z) имеет особую точку ?.
Немного ниже будет приведен пример, показывающий,
что над данной точкой ? может лежать много различных
особых точек. Более того, некоторые пары (?, L) могут
определять особые точки, а другие могут не определять
(т. е. для них исходный элемент можно аналитически
продолжить на всю кривую L).
Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, мы
приведем один простой достаточный признак, позволяю-
позволяющий во многих случаях установить, что пара {%, L) оп-
определяет особую точку аналитической функции F(z).
Теорема 1.1. Пусть Ф(г)—функция, аналитиче-
аналитическая на кривой L, за исключением, быть может, ее кон-
конца ?,, порожденная элементом fa(z), заданным в начале
этой кривой. Если
Пт"|Ф(?)| = оо, A1)
то пара (?, L) определяет особую точку аналитической
функции, порожденной исходным элементом fa(z).
Доказательство. Нужно доказать, что из усло-
условия A.1) вытекает невозможность аналитического про-
продолжения функции Ф(г) в конечную точку кривой L
(по этой кривой). Но если бы такое продолжение было
возможно, мы, очевидно, имели бы равенство
которое противоречило бы условию A.1).
Замечание 1. Доказанную теорему можно немно-
немного усилить, заменив условие A.1) условием
ПШ|Ф№)(?)| = оо. A.1*)

§ 1. ПОНЯТИЕ ОСОБОЙ ТОЧКИ 129
где к — произвольное фиксированное целое число. Дей-
Действительно, из аналитичности на кривой L функции
Ф(г) вытекает аналитичность на этой кривой и всех ее
производных.
Замечание 2. При исследовании пары (°°, L) для
функции F(z) часто бывает удобнее сделать замену
z = — и исследовать пару (О, L') для функции Ft (w) =
В качестве первого примера мы исследуем особые
точки одной из наиболее простых элементарных функ-
функций.
Пример 1. Рассмотрим функцию za, где а—дей-
а—действительное число.
Нам придется несколько по-разному исследовать
функцию za при целых и при нецелых значениях пока-
показателя а.
При целых а имеются три возможности а = 0, а < О
и а > 0. Случай а = О тривиален — функция z° = 1 голо-
голоморфна во всей расширенной комплексной плоскости.
При целом отрицательном а функция za голоморфна во
всей расширенной плоскости, за исключением точки z =
= 0. При z ->- 0 имеем, очевидно, za ->- <». Следовательно,
любая пара @, L) определяет особую точку. В силу од-
однозначности функции za (при целом а) все пары опре-
определяют одну и ту же особую точку. Совершенно анало-
аналогично при целом положительном а функция za голоморф-
голоморфна во всей конечной плоскости, а все пары (°°, L) опре-
определяют одну и ту же особую точку.
Пусть теперь а — не целое число. Тогда можно на-
написать
—., za = а (а — 1) ... (а — к + 1) z«-\
Выбирая к > а и вспоминая, что \za h\ = \z\a~h (см. § 2
гл. Ill), видим, что
dzh
Согласно замечанию 1 к теореме 1.1 это означает, что
каждая пара (О, L) определяет особую точку функции za.
Покажем, что любые две пары определяют одну осо-
особую точку. С этой целью выберем произвольные точки
^Ei[ и ^е^2 и обозначим через /i(z) и /г(г) элемен-
9 М. А. Евграфов

130 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ты аналитической функции za в этих точках (элемент
U (z) считаем полученным из исходного элемента про-
продолжением по отрезку кривой L\, а элемент /г(г)— про-
продолжением по отрезку кривой L%). Согласно определению
мы должны показать, что элементы /i(z) и /г(г) можно
получить друг из друга аналитическим продолжением по
некоторой кривой С, лежащей в любом круге |?1 <R,
содержащем точки %\ и ?г-
Мы знаем (см. § 2 гл. III), что любой элемент ана-
аналитической функции z" можно аналитически продолжить
по любой кривой, лежащей в области До (вся конечная
плоскость с выколотой точкой z = 0). Кроме того, мы
знаем, что любые два элемента аналитической функции
za можно получить друг из друга аналитическим продол-
продолжением по некоторой кривой Г, лежащей в области Do,
причем, согласно теореме о монодромии (теорема 1.2
гл. III), кривую Г можно заменить любой кривой, гомо-
гомотопной ей в области До- Среди таких гомотопных кривых
всегда найдется такая кривая, которая лежит в любом
круге |?|<Я, если только этот круг содержит точки
Тем самым доказано, что любые две пары @, L\) и
@, L<i) определяют одну и ту же особую точку функ-
функции za.
При исследовании точки z — °° удобнее всего восполь-
воспользоваться замечанием 2 к теореме 1.1. Тогда это исследо-
исследование сведется к уже проведенному исследованию точки
и> = 0 для функции w~a.
Подытоживая все сказанное выше, получаем:
При целых значениях а ^ 0 функция za имеет во всей
расширенной плоскости одну особую точку (z — 0 при
а < 0 и z = °° при a > 0).
При нецелых значениях а функция za имеет две осо-
особые точки z = 0 и z = °°.
Последнее утверждение остается в силе и для любых
а с отличной от нуля мнимой частью, правда, доказатель-
доказательство этого факта несколько более громоздко. []
Совершенно аналогичными рассуждениями можно по-
показать также, что:
Функция In z имеет во всей расширенной плоскости
две особые точки z = 0 и z = °°.
Функция arctg z имеет во всей расширенной плоскости
две особые точки z = i и z = —i.[j

§ 1. ПОНЯТИЕ ОСОБОЙ ТОЧКИ 131
Приведем теперь простой пример, когда над одной
точкой плоскости лежит много различных особых точек
аналитической функции (и даже есть не особые точки).
Пример 2. Рассмотрим аналитическую функцию,
заданную в окрестности точки z = 1 исходным элементом
Легко видеть, что эта функция равна т. С помощью
тех же рассуждений, что и в предыдущем примере, мы
легко докажем, что точки z = О и z = °° являются осо-
особыми точками этой аналитической функции (для функ-
функции In z это верно, а умножение на однозначную функ-
функцию 7i голоморфную в точках z = 0 и z = °°, не мо-
Z — 1
жет ничего изменить). С особыми точками, расположен-
расположенными над точкой 2 = 1, дело обстоит иначе, что видно
хотя бы из того, что исходный элемент голоморфен в
точке z = l. В достаточно малой окрестности точки 2=1
рассматриваемая аналитическая функция распадается на
однозначные ветви
[\п а) + 2nin
Эти ветви нельзя получить Друг из друга аналитическим
продолжением по кривой, лежащей в достаточно малой
окрестности точки 2=1, так что каждой такой ветви от-
отвечает своя особая точка, лежащая над точкой 2=1
(ветви с п = 0 отвечает точка голоморфности). Основы-
Основываясь на этом соображении, легко описать пары A, L),
определяющие одну и ту же особую точку:
Две пары A, L\) и A, L2), где L\$ — кривые с на-
началом и концом в точке z = 1, не проходящие через точ-
точки z = 0 и z = оо, определяют одну и ту же особую точку
тогда и только тогда, когда эти кривые гомотопны меж-
между собой в области Do, представляющей собой всю конеч-
конечную плоскость с выколотой точкой z = 0 (и не гомотопны
нулю в области Do).
Наибольшие осложнения с понятием особой точки
связаны с многозначностью аналитической функции. При
исследовании особых точек аналитических функций луч-
лучше выделять голоморфные ветви и исследовать их особые
точки (правда, в некоторых случаях приходится выде-
выделять и многозначные ветви). В связи с этим дадим еще

132 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
и более прозрачное определение особой точки голоморф-
голоморфной функции. Ясно, что особой точкой голоморфной
функции может быть только точка границы области го-
голоморфности. Поэтому для определения особой точки
голоморфной функции придется ввести сначала одно
вспомогательное понятие.
Пусть ? — граничная точка области D, a L — простая
кривая, лежащая в D, за исключением ее конца ?. Со-
Совокупность (?, L) точки ? и ведущей в нее кривой L
назовем достижимой граничной точкой области D.
Пересечение области D с кругом \z—?|<р может
распадаться на несколько связных частей. Если кривые
L\ и Z/2, кончающиеся в точке ?, таковы, что их части,
лежащие в круге \z-—?| < р, попадают в одну и ту же
связную часть упомянутого пересечения (при всех доста-
достаточно малых р), то будем считать достижимые граничные
точки (?, L\) и (?, Ьг) совпадающими. []
Если область D ограничена простой кусочно гладкой
замкнутой кривой, то при достаточно малых р пересече-
пересечение области D с кругом \z — ? I < p состоит из одной
связной части. Для таких областей нет разницы между
достижимой граничной точкой и точкой границы.
Легко проверить, что для областей, ограниченных ку-
кусочно гладкими кривыми со складками, достижимые гра-
граничные точки области соответствуют уже не точкам гра-
границы области, а точкам граничной кривой. Иными сло-
словами, для областей с разрезами точки на разных сторо-
сторонах разреза отвечают различным достижимым граничным
точкам. [J
Достижимую граничную точку (?, L) области D мы
назовем особой точкой функции f(z), голоморфной в об-
области D, если функцию f(z) нельзя аналитически про-
продолжить в точку ? вдоль пути L.
Чтобы оправдать данное определение, убедимся, что
возможность аналитического продолжения не зависит от
выбора кривой L (определяющей данную достижимую
граничную точку). В самом деле, если функцию f(z)
можно продолжить по пути L в точку ?, то существует
функция /i(z), голоморфная в круге |z —?|<р и сов-
совпадающая с f(z) на L. По принципу аналитического
продолжения /i(z) = /(z) и во всей той связной части
пересечения области D с кругом \z — t,\<p, в которую
попадает L. Следовательно, функцию /(z) можно анали-

8 i. ПОНЯТИЕ ОСОБОЙ ТОЧКИ 133
тически продолжить в точку % и по любому другому
пути, лежащему в той же связной части.
Заметим, что теорема 1.1 пригодна и для отыскания
особых точек голоморфной функции.
Приведем пример, показывающий, что для областей
с разрезами из двух достижимых точек, отвечающих од-
одной и той же точке разреза, одна может быть особой
точкой, а другая может и не быть.
Пример 3. Пусть D — плоскость z с разрезом по
отрицательной части действительной оси, /(z) = -р
_ 1 + i у z
(для Уг берем главное значение). Выясним, какие дости-
достижимые граничные точки области D являются особыми
точками функции /(z).
Каждый достаточно малый круг lz + xl<p, 0<x<
< °°, делится разрезом по отрицательной части действи-
действительной оси на две половины — верхнюю и нижнюю.
Значит, каждой точке разреза (—°°, 0), кроме его кон-
концов, отвечают две достижимые граничные точки области
D (сверху и снизу). Поэтому для краткости мы будем
говорить о точках на верхнем и на нижнем крае разреза,
а слово «достижимая» будем опускать.
Мы знаем (см. пример 1), что функцию Уг нельзя ана-
аналитически продолжить ни по какому пути в точки z = 0
и г = °°. Поскольку Yz = — \Тп)~ Л я /@)=1^0,
то, продолжив функцию f(z) в точку z = 0, мы продолжи-
продолжили бы в точку z = 0 и У г, что невозможно. Следователь-
Следовательно, точка z = 0 является_особой точкой функции /(z).
Далее, функцию 1 + Vlz можно аналитически продол-
продолжить по любому пути, не проходящему через точки z = 0
и z = °°, в частности и через точки разреза. Поэтому
функцию/(z) = -=¦ можно аналитически продолжить
1 + tyz _
через все те точки, в которых 1 + illz не обращается в
нуль. В точке z = —х на верхнем крае разреза функция
Уг принимает значение VI х, а на нижнем крае — значе-
значение — VIх. Следовательно, функцию f(z) можно анали-
аналитически продолжить через все точки разреза, за исклю-
исключением, быть может, точки z=—1 на его верхнем крае.
Эта точка является особой точкой, так как /(z)->°° при
приближении к этой точке, jj

134 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Пусть функция F (z) голоморфна в каком-либо круге,
скажем, в круге \z\<R. По теореме 3.2* гл. II функция
F(z) разлагается в ряд Тейлора
сходящийся в этом круге. Этот ряд имеет определенный
радиус сходимости Ro, который можно определить по
коэффициентам сп с помощью формулы Коши — Адамара
-о- = lim Y Ы (см. § 3 гл. I). Теорема 3.2* гл. II дает
Л0 П->оо
неравенство R «? Ro. Естественно возникает желание вы-
выяснить, с какими свойствами суммы ряда связана вели-
величина радиуса сходимости.
Теорема 1.2. На окружности круга сходимости сте-
степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка его
суммы.
Доказательство. Без ограничения общности мо-
оо
жем считать, что имеем дело с рядом вида 2 сп%п и что
о
его радиус сходимости равен единице. В круге сходимости
Ы<1 сумма ряда (обозначим ее f(z)) голоморфна.
Каждая точка окружности Ы = 1 является достижимой
граничной точкой. Обозначим через р(<р) верхнюю грань
тех значений р, для которых функцию f(z) можно ана-
аналитически продолжить в круг \z — ещ\ < р. Ясно, что
Р (фо) = 0 в том и только в том случае, когда точка
z = егф» является особой точкой функции f(z).
Заметим, что круг \z — a\ <r содержит круг \z — Ъ\ <
<г— \а— Ь\. Полагая а = егф1, Ъ = егЧ>2, r=p(q>i), по-
получаем неравенство
Но ф1 и ф2 можно поменять местами, что даст неравен-
неравенство
Р (ФО > Р (фа) - I е**1 — е*Фя I-
Из этих двух неравенств находим
|p(<Pi)-pD>2)l<2
^('i-1
sin
2
Последнее неравенство показывает, что р(ф)—непрерыв-

§ 1. ПОНЯТИЕ ОСОБОЙ ТОЧКИ 135
ная функция. Обозначим р0 = minp((p). Функцию f(z),
ф
можно аналитически продолжить в круг Ы < 1 + ро,
и аналитическое продолжение будет голоморфной
в этом круге функцией. Ряд для нее совпадает с рядом
для /(z), но по теореме 3.2* он обязан сходиться в круге
|z|<l + po. В силу определения радиуса сходимости
(для нашего ряда радиус сходимости — единица) имеем
ро = О. Непрерывная функция р(ф) обязана принимать
свое минимальное значение, так что найдется такое фо,
что р(фо) = О. Следовательно, точка z = егф»— особая точ-
точка f(z). Теорема доказана.
Доказанную теорему иногда удобнее использовать в
другой формулировке:
Радиус сходимости ряда Тейлора
о
равен расстоянию от точки а до ближайшей особой точ-
kuF(z). D
Обратим теперь внимание на следующую задачу:
Пусть нам даны функция /(z), голоморфная в неко-
некоторой области, и достижимая граничная точка этой об-
области. Нужно определить, является ли эта точка особой
точкой функции f(z).
Эта задача очень сложна, и о ее решении в общем
виде говорить не приходится. Речь идет о простых доста-
достаточных признаках. Довольно многие математики зани-
занимались этой задачей для случая, когда функция f(z)
задана степенным рядом, а условия нужно записать че-
через коэффициенты ряда. Приведем три наиболее краси-
красивых результата (без доказательств)*).
Теорема Принсгейма. Если lim j/1 cn I = 1 и
П-»оо
оо
Re с„ 3= 0, то сумма ряда 2 сп%п имеет точку z = 1 осо-
о
бой точкой.
Теорема Фабри. Если Нт —— = 1, то сумма
П->оо СП+1
оо
ряда 2 сп2" имеет z = 1 особой точкой.
о
*) Доказательства этих теорем (и многих других) можно най-
найти в [2].

136 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Теорема Полна. Если О < Ко < A,i < Х2 < ...,
оо
е„ | = 1, « lim -?- = а, то ряд \cnz^ имеет хотя
бы одну особую точку на любой дуге окружности |z| =1
длины, большей 2ла.
(Стоит посмотреть, что получается из утверждения
теоремы Полна при о=1 и при о = 0.)
В связи с упомянутыми теоремами приведем один
пример степенного ряда, для которого все точки его
окружности сходимости будут особыми точками.
Пример 4. Покажем, что все точки окружности
|z| = 1 являются особыми точками суммы ряда /(z) =
о
Сначала убедимся, что точка z = 1 является особой
точкой функции f(z). Для этой цели применим теорему
1.2, взяв в качестве L радиус @, 1) и положив k — Q.
Тогда
N
lim /(*)> lim ^x2n = N+ 1,
sc-»l—о зс-»1—О О
а поскольку N произвольно, то интересующий нас пре-
предел равен бесконечности, т. е. точка z = 1 является осо-
особой точкой (z).
Далее, заметим, что функция f(z) удовлетворяет
функциональному уравнению f(z) = z+f(z2). Поскольку
точка z=l является особой точкой функции /(z), то
для функции /(z2) будут особыми те точки, в которых
z2 = 1. Но в силу функционального уравнения эти точки
обязаны быть особыми точками и для функции /(z).
Продолжая это рассуждение, приходим к выводу, что все
точки, в которых z2& = 1 (при каком-либо целом к),
обязаны быть особыми точками функции /(z). Эти точки
образуют всюду плотное множество точек на окружности
lz| = l, а очевидно, что точки, предельные для особых
точек,— тоже особые точки. Следовательно, все точки
окружности Ы = 1 — особые точки функции f(z). []
Подчеркнем, что теорема 1.1 дает лишь достаточное
условие, отнюдь не являющееся необходимым. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим функцию /(z) = 2e~~*nzn.
о

§ 2. СТИРАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ 137
Она непрерывна в круге Ы < 1 со всеми своими произ-
производными. Тем не менее на окружности Ы =1 эта функ-
функция обязана иметь хотя бы одну особую точку, так как
радиус сходимости ряда равен единице. (Из теоремы
Принсгейма или из теоремы Фабри сразу видно, что осо-
особой точкой является точка z = l.) Методами, с которыми
мы познакомимся в гл. VI, эту функцию можно анали-
аналитически продолжить и исследовать особую точку под-
подробнее.
§ 2. Стирание особенностей
Перейдем к задаче, до некоторой степени противопо-
противоположной той задаче, о которой мы говорили в конце пре-
предыдущего параграфа.
Пусть дана достижимая граничная точка (?, L) об-
области D. Найти простые достаточные условия для того,
чтобы (?, L) не была особой точкой функции f(z), го-
голоморфной в области D.
Эту задачу приходится решать, когда представление
голоморфной функции дано какой-либо формулой и фор-
формула перестает представлять функцию в отдельных точ-
точках. Рассмотрим один типичный пример такого рода.
Пример 1. Пусть функции f(z) и g(z) голоморфны
в окрестности точки z = a, причем }(а)= g(a) — 0, a
g'(a)?=0. Покажем, что функцию Ф (z) = . . можно
аналитически продолжить в точку z = a.
Формула ф(г)= тЬг' определяющая функцию ф(г),
перестает быть пригодной в точке z = а, так как числи-
числитель и знаменатель обращаются в нуль. Чтобы испра-
исправить формулу, напишем
Ясно, что функции /i (z) и g\ (z) голоморфны в точке
ъ = а (напомним, что f(a) = g(a) = 0), причем g\{a) =
= g'(a)?=0. При z?=a имеем

138 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
и эта формула пригодна уже и в самой точке z = а, так
как знаменатель не обращается в нуль в этой точке. Та-
Таким образом, эта формула дает аналитическое продолже-
продолжение функции ф(г) в точку z — a. При этом, очевидно,
, , /х («) /' (а)
ср (й) = . , = ,) [ .
^W 8г (a) g' (a)
Заметим, что до исследования каждую достижимую
граничную точку области голоморфности можно подозре-
подозревать в том, что она является особой точкой. Поэтому вы-
выполнение аналитического продолжения в граничную точ-
точку можно назвать устранением особой точки или стира-
стиранием особенности. []
Теорема 2.1. Пусть функция f(z) голоморфна в
области Do, получающейся из области D удалением точ-
точки a<^D. Если
Km еЛ/(е) = О, М (е) = max |/(z)|, B.1)
e->o |z-a|=e
то f(z) можно аналитически продолжить в точку z = a.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что область D ограничена простой замкну-
замкнутой кривой С и что f(z) непрерывна в D, за исключени-
исключением точки z = а. Возьмем число е > 0 столь малым, чтобы
круг \z — а\ ^е лежал внутри D, и обозначим через DE
область, полученную удалением из D этого круга, а через
С * — границу Д.. Поскольку функция /(z) голоморфна в
D и непрерывна вплоть до ее границы, интегральная
формула Коши дает нам
или
С \1-а\=г
Выберем в этой формуле е = eft так, чтобы ft(ft)
при к-+°° (это возможно в силу условия B.1)). По-
Поскольку модуль интеграла по окружности |? — а\ = гк

§ 2. СТИРАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ 139
не превосходит величины 2mhM (г^) ;——, то, пере-
\ z — а | 8^
ходя к пределу при к -*¦ °°, получаем
Интеграл в правой части равенства согласно следствию 1
теоремы 4.3 гл. II является функцией, голоморфной в
области D. Так как /(z) совпадает с этим интегралом
при z e Do, то мы получили искомое аналитическое про-
продолжение. Теорема доказана.
Пример функции / (z) = показывает, что уело-
вие B.1) нельзя заменить более слабым. []
Следующая теорема говорит о стирании особенностей
на кривой.
Теорема 2.2. Если функция f(z) непрерывна в об-
области D и голоморфна в каждой точке этой области,
отличной от точек простой спрямляемой кривой L, то
функция f(z) голоморфна и во всей области D.
Доказательство. В силу теоремы Морера (теоре-
(теорема 4.1 гл. II) достаточно доказать, что интеграл от f(z)
по границе любого многоугольника, лежащего в области
Z), равен нулю.
Пусть G — любой многоугольник, лежащий в D, Г —•
его граница. Кривая L разбивает G на счетное число ча-
частей Gn с границами Г„. Сумма длин Г„ конечна — она
не- превосходит суммы длины Г с удвоенной длиной L.
Интеграл по Г равен сумме интегралов по Г„ (см. за-
замечание к теореме 5.4 гл. I). В областях Gn функция
f(z) голоморфна (они не содержат точек L) и непрерыв-
непрерывна в Gn. По теореме Коши интегралы от /(z) по Г„
равны нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл от
/(z) по Г. Теорема доказана.
Заметим, что условие непрерывности /(z) в точках
кривой L нельзя заменить условием ограниченности f(z)
в области D (а на L допустить разрывы), как показыва-
показывает пример функции / = Vz, голоморфной и ограниченной
в круге |zl <1 с разрезом по радиусу @, 1), но не го-
голоморфной во всем круге Ы < 1. []
Есть и другая разновидность теорем о стирании осо-
особенностей. В них утверждается, что при выполнении ус-
условий теоремы функция не только аналитически продол-

140 гл. iv. особые точки и разложения в ряды
жается, но и является постоянной или многочленом. Сле-
Следующий результат такого рода обычно называется теоре-
теоремой Лиувилля.
Теорема 2.3. Пусть функция f(z) голоморфна во
всей конечной плоскости. Если
Я->оо
то f(z)— многочлен степени не выше п— 1.
Доказательство. По формуле для высших про-
производных голоморфной функции (см. § 3 гл. II) имеем
J
1Е1=н
Согласно условию теоремы имеется последовательность
Rk такая, что М (Rh) = о (RI) (/с->-оо). Поэтому, оце-
оценивая модуль интеграла произведением максимума мо-
модуля подынтегральной функции на длину пути интегри-
интегрирования, получаем
1 /п)(z)'= °{Rl) (д,,-иг* = °A) {Rk"*^
Переходя к пределу при &->-°°, находим /tn)(z) = 0. По-
Поскольку z — любая точка плоскости, /tn)(z)=0. Следо-
Следовательно, /(z) является многочленом степени не выше
п— 1, и теорема доказана.
Из доказанной теоремы можно сделать вывод, что ана-
аналитическая функция тем сложнее, чем больше у нее
особых точек и чем быстрее она растет при приближении
к этим особым точкам. Единственная функция, не имею-
имеющая особенностей (в том числе и в бесконечности),— это
тождественная постоянная.
Докажем еще одну теорему того же характера.
Теорема 2.4. Пусть любой элемент аналитической
функции F(z) можно аналитически продолжить по лю-
любому пути, не проходящему через точки z = 0 и z = °°.
Если при этом значения всех элементов F(z) ограничены
одной и той же постоянной, то F(z)—тождественная
постоянная.
Доказательство. Рассмотрим аналитическую
функцию f{z) = F{eI). Поскольку ег не обращается ни в
нуль, ни в бесконечность ни при каких конечных значе-

§ 3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 141
ниях z, то любой элемент аналитической функции /(z)
можно аналитически продолжить по любому конечному
пути. Вся конечная плоскость является односвязной об-
областью, так что согласно теореме о монодромии функция
/(z), аналитическая во всей конечной плоскости, голо-
голоморфна во всей конечной плоскости. Кроме того, из ус-
условий теоремы следует, что /(z) ограничена. Согласно
теореме Лиувилля она обязана быть тождественной по-
постоянной. Следовательно, и F(z) — тождественная посто-
постоянная. Теорема доказана.
Интересно заметить, что теорема неверна, если допу-
допустить, что кроме точек z = О и z = °° аналитическая
функция F(z) имеет еще одну особую точку. Пример
ограниченной многозначной аналитической функции,
имеющей три особые точки, мы приведем в гл. IX.
§ 3. Изолированные особые точки
Наиболее важным классом особых точек являются
так называемые изолированные особые точки. Все эле-
элементарные функции, да и подавляющее большинство спе-
специальных функций, имеют только такие особенности.
Изолированными особыми точками называются и точки
однозначного и точки многозначного характера.
Если функция f(z) голоморфна в некотором кольце
0< |z — a\ <г
и точка z = a является особой точкой функции f(z), то
будем говорить, что точка z = а является изолированной
особой точкой однозначного характера для функции f(z).
Изолированную особую точку однозначного характера
z = a назовем полюсом, если /(z)->°° при z -> а; в про-
противном случае точку z = а назовем существенно особой
точкой.
Полюсы являются очень простыми особыми точками.
Во многих вопросах можно не различать полюсы от то-
точек голоморфности. Причина этого в следующем их
свойстве.
Теорема 3.1. Пусть функция f(z) имеет полюс в
точке z = а, а функция F(w) голоморфна в точке w = °°.
Тогда функция (p(z) = F(/(z)) голоморфна в точке z = a.
Если же функция F(w) имеет полюс в точке w=°°, то
функция ф(г) также имеет полюс в точке z = a.

142 гл. rv. особые точки и разложения в ряды
Доказательство. Достаточно доказать лишь пер-
первое утверждение. Без ограничения общности можно счи-
считать, что а?=°°. Поскольку функция f(z) имеет в точке
z = а полюс, то она голоморфна в некотором кольце 0 <
< \z— а\ < г, а значения, принимаемые ею в этом коль-
кольце, лежат вне круга \w\ ^R(r), причем Д(г)->оо При
г -*¦ 0. При достаточно малом г область \w\>R(r) по-
попадает в область голоморфности функции F(w). Следо-
Следовательно, функция <p(z) голоморфна в кольце 0<
< \z— а\<г0 при достаточно малом г0. Так как f(z)-*-
-> °° при z -> а, то ф(г)-> ^(оо). Обозначая
М (г) = max |<p(z) |,
\z—a|=8
видим, что M(e)-+\F(°o)\ (е->0), т. е. ПтеЛ/(е) = 0.
Поэтому согласно теореме 2.1 функцию ф(г) можно ана-
аналитически продолжить в точку z = a. Теорема доказана.
Следствие. Если функция f(z) имеет в точке z =
= а полюс, то функция g (z) = , голоморфна в точке
z = а и g(a) = 0. D
Пусть п — целое положительное число.
Точка z = a (a?=oo) называется нулем кратности п
(или нулем порядка п) функции /(z), если /(z) можно
представить в виде f(z) = (z — a)nf\(z), где функция /i(z)
голоморфна в точке z = a и fi(a)?=O.
Точка z = °° называется нулем кратности п (или ну-
нулем порядка п) функции /(z), если /(z) можно предста-
представить в виде f(z) = z~nf\(z), где функция /i(z) голоморф-
голоморфна в точке z = °° и /i (оо) =5^ 0.
Кратностью (или порядком) полюса функции /(z) в
точке z = a называется кратность нуля функции g(z) —
1 „ и
= 77-г в этой точке. Нули и полюсы первого порядка на-
7 \zl
зывают простыми.
Из определения порядка нуля видно, что полюс по-
порядка п можно рассматривать как нуль отрицательного
порядка —п.
Если а Ф °°, то имеется удобный критерий для опре-
определения порядка нуля в точке z = а:
Пусть /(а) =/»=... = Г'(«) = 0, а fn)(a)^O.
Тогда точка z = а является нулем кратности п функции
f(z) (голоморфной в точке z = a).
Этот критерий читатель легко докажет сам. \_\

§ 3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 143
Предоставим читателю доказать и следующее очевид-
очевидное утверждение, на которое будем часто ссылаться:
Лемма. Если функции f(z) и g(z) голоморфны в
точке z = а, то функция F (z) = . или голоморфна
е точке z = а, или имеет в ней полюс. \_\
Приведем еще один часто используемый термин.
Функция, голоморфная в любой замкнутой части об-
области D, за исключением конечного числа полюсов (они
могут накапливаться к границе D), называется мероморф-
ной в области D функцией. Q
Перейдем к существенно особым точкам. Напомним,
что существенно особые точки — это изолированные осо-
особые точки однозначного характера, не являющиеся по-
полюсами. Из такого определения сразу видно лишь одно:
если z = a— существенно особая точка функции /(z), то
f(z) не стремится к бесконечности при z -*• а. Это совсем
не означает, что /(z) ограничена в окрестности точки а.
Теорема 3.2. Пусть точка z = а является сущест-
существенно особой точкой функции f(z). Обозначим
М(ъ)= max |/(z)|.
Тогда при любом к
lime,kM (е) = оо.
е-» о
Доказательство. Допустим противное. Тогда
найдется такое к, что
lime,kM (e)<oo.
е-» о
Возьмем любое целое число m > к и обозначим
g (z) = (z - а)п f (z), Mg (e) = шах | g (z) |.
\z—а\—г
Ясно, что функция g(z) голоморфна в кольце 0<
< \z — а\ < г и
Km eMg (г) = lim em+1M (г) = 0.
По теореме 2.1 функция g{z) голоморфна в точке z = а,
а следовательно, и функция /(z)= —е т согласно лемме
(г — а)
имеет в точке z — a полюс (или голоморфна), что проти-

144 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
воречит условию. Полученное противоречие доказывает
теорему.
Таким образом, функция /(z), имеющая точку z = a
своей существенно особой точкой, обязана стремиться к
бесконечности по некоторому множеству, имеющему точ-
точку z = а своей предельной точкой и пересекаемому каж-
каждой окружностью \z — а\ = е. Однако это стремление к
бесконечности не будет равномерным по всей окрестности
точки z = а, как в случае полюса. Типичный пример —
точка z = °° для функции ег.
Поведение функции в окрестности существенно особой
точки может быть очень сложным. Исследованием воп-
вопросов, связанных с функциями, имеющими существенно
особые точки, занимается специальный раздел теории
аналитических функций — теория целых функций. []
Очень близки по своим свойствам к существенно осо-
особым точкам особые точки, предельные для полюсов.
Если функция f(z) мероморфна в кольце 0<
<\z — а\ < г и в любой окрестности точки z = a имеет
бесконечно много полюсов, то точка z = а называется осо-
особой точкой функции /(z), предельной для полюсов. Q
Следующий результат носит название теоремы Со-
хоцкого.
Теорема 3.3. Если точка z = а является существен^
но особой точкой функции /(z) или предельной точкой
для полюсов функции f(z), то в любой окрестности точ-
точки z = а функция f(z) принимает значения, сколь угодно
близкие к любому числу А.
Доказательство. Допустим противное. Тогда най-
найдутся такие числа б > 0, р >0 и А, что |/(z) —Л|>6
при всех z, удовлетворяющих условию \z — a\ < р. Тогда
функция g{z) —-гт~\ т голоморфна и ограничена в
кольце 0< Iz — а\ < р. По теореме 2.1 функция g(z) го-
голоморфна в круге I z — а \ < р, но
1М а +
Из леммы получаем, что функция /(z) имеет в точке z =
= а полюс (или голоморфна). Это противоречит условию,
что z = а — существенно особая точка или точка, пре-
предельная для полюсов. Полученное противоречие доказы-
доказывает теорему. [J

§ 3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 145
Перейдем к изолированным особым точкам многознач-
многозначного характера. Они называются еще изолированными
точками ветвления.
Пусть F(z)—функция, аналитическая в каком-либо
кольце 0< \z — а\ < г. Если F(z) не является функцией,
голоморфной в этом кольце (т. е. если F(z) многозначна),
то мы будем говорить, что точка z = а является изолиро-
изолированной точкой ветвления.
Если число различных элементов F(z) в каждой точке
кольца 0 < \z — а\ < г конечно и равно п, то изолирован-
изолированная точка ветвления z = а называется точкой ветвления
порядка п. Если число различных элементов F(z) в каж-
каждой точке кольца бесконечно, то изолированная точ-
точка ветвления называется логарифмической точкой вет-
ветвления.
Исследование точек ветвления конечного порядка сво-
сводится к исследованию изолированных особых точек одно-
однозначного характера с помощью следующей теоремы:
Теорема 3.4. Пусть F(z)—аналитическая функция
в кольце г < I z — a I < R. Если в каждой точке кольца
F(z) имеет п различных элементов, то F (z) =(p(j/z—а),
где ф(?) — функция, голоморфная в кольце -\fr<C | ? | <C]/i?.
Доказательство. Проведем в кольце г < \z — а\ <
< R разрез по какому-либо радиусу. Тогда аналитиче-
аналитическая в кольце функция F (z) распадется на п голоморф-
голоморфных ветвей
Занумеруем эти ветви так, чтобы при аналитическом
продолжении через разрез справа налево переходили
Fh(z) в Fh+i(z) (при Kk<n-l). Тогда Fn(z) при
этом продолжении обязана перейти в F\(z).
Рассмотрим теперь функцию <р(?) = F(a + ?"). Она яв-
является аналитической функцией в кольце у г < | ? [ <C.V~R,
так как любой точке t, из этого кольца отвечает точка
z = a + t,n, лежащая в кольце г < \z — а\ < R. Мы хотим
доказать, что функция <р(?) голоморфна в своем кольце.
Для этого нужно убедиться, что аналитическое продол-
продолжение любого элемента <р(?) по любому замкнутому пути,
лежащему в кольце, приводит к прежнему элементу. Со-
Согласно теореме 3.2 гл. III результат продолжения по
двум замкнутым кривым, выходящим из точки ?о, один
и тот же, если эти две кривые одно и то же число раз

146 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
обходят дырку кольца в положительном направлении.
Поэтому мы можем продолжать по тем замкнутым кривым,
по которым удобнее. Проще всего продолжать по окружно-
окружности |?| = |?01. Выясним, как ведет себя точка z = a + %n,
когда точка % обходит окружность l?l = l?ol в положи-
положительном направлении. Положим ? = |?ole". При обходе 0
монотонно возрастает от нуля до 2я. При этом z — а =
= |?о1"егпв. Когда 9 монотонно возрастает от нуля до 2я,
точка z обходит окружность \z — а\ = l?ol" в положитель-
положительном направлении п раз. Таким образом, один обход точ-
точкой ? окружности |?| = |?ol означает п обходов точкой z
¦окружности \z — a\ = l?ol"- Но мы знаем, что после п об-
обходов точкой z окружности \z — а\ =р элемент функции
F(z) возвращается к прежнему значению. Следовательно,
элемент функции ф(?) возвращается к прежнему значе-
значению после первого же обхода. Это означает однознач-
однозначность, а следовательно, и голоморфность функции срE)
в ее кольце.
Теорема доказана. [J
Если z = а — точка ветвления порядка п для анали-
аналитической в кольце 0< \z — a\ <г функции F(z) и если
-функция ф(^) = F(a + Sn) голоморфна в точке S = 0 или
имеет в ней полюс, то точка z = а называется алгебраи-
алгебраической особой точкой аналитической в кольце функции
F(z).
Это название объясняется тем, что алгебраические
•функции, т. е. корни многочленов, коэффициенты кото-
которых — рациональные функции, имеют только алгебраиче-
алгебраические особые точки. {_}
Обсудим особые точки элементарных функций.
Функции ег, sin z, cos z голоморфны во всей конечной
плоскости. Точка z = °o является для этих функций су-
существенно особой точкой. Действительно, ни одна из
этих функций не стремится к °° при z -»- оо (sin z
ж cos z ограничены на действительной оси, ег — на мни-
мнимой оси).
Функции tg z, ctg z, sec z, cosec z мероморфны во всей
конечной плоскости, так как они являются отноше-
отношением функций, голоморфных во всей конечной плоско-
плоскости. Точка z = °° — предельная точка полюсов этих
функций.
Функция In z имеет точки z = 0 и z = ¦» логарифми-
логарифмическими точками ветвления.

§ 4. ВЫЧЕТЫ И РЯД ЛОРАНА 14?
Функция у z имеет точки z = О и z = °° точками вет-
ветвления порядка га.
Вообще, функция za при действительном рациональ-
рациональном а имеет точки z = О и z = °° точками ветвления ко-
конечного порядка, а при всех прочих значениях а — лога-
логарифмическими точками ветвления.
Функция arctg z имеет точки z = i и z = — i логариф-
логарифмическими точками ветвления (см. пример 2 § 2 гл. III).
Наиболее сложно устроенным множеством особых то-
точек среди основных элементарных функций обладает
функция arcsin z. Она имеет две логарифмические точки
ветвления над точкой °° (одна отвечает ветви -г- In {iz +
— z2), а другая — ветви с другим знаком корня в
области Ы >Д>1); над каждой из точек z=l и z =
= —1 функция arcsin z имеет бесконечно много точек вет-
ветвления второго порядка (отвечающих ветвям —г- In \iz +
—z2)+2лга в окрестности каждой из этих точек).
Гамма-функция Эйлера Г(г) мероморфна во всей ко-
конечной плоскости. Точка z = °° — предельная точка полю-
полюсов (см. пример 2 § 5 гл. II).
§ 4. Вычеты и ряд Лорана
Первой задачей, послужившей причиной возникнове-
возникновения теории аналитических функций как отдельной ветви
анализа, была задача о вычислении интеграла по зам-
замкнутому контуру от функции, голоморфной внутри этого
контура, за исключением конечного числа полюсов. На
этой задаче в полной мере проявились выгоды от рас-
рассмотрения свойств голоморфных функций, с помощью ко-
которых сложный процесс вычисления интеграла удалось
свести к нахождению так называемых вычетов. Вычеты
в свою очередь вычислялись просто дифференцировани-
дифференцированием. По этой причине стали внимательно изучать приемы
сведения различных задач к контурному интегрированию.
Совокупность этих приемов получила название теории
вычетов. Q
Прежде чем определить понятие вычета, докажем од-
одну несложную лемму.

148 гл. rv. особые точки и разложения в ряды
Лемма 1. Если функция F(z) голоморфна в кольце
r<\z-a\ <R,
то интеграл
J F(z)dz, r<p<R,
\z—a\ = p
не зависит от р.
Доказательство. Пусть г < pi < р2 < R. Разность
интегралов от F(z) по окружностям \z — а| = pi и
\z—a\ = р2 можно рассматривать как интеграл от F(z)
по границе кольца, заключенного между этими двумя
окружностями. Согласно теореме Коши этот интеграл ра-
равен нулю, так как это кольцо лежит внутри кольца голо-
голоморфности функции F(z). Лемма доказана. Q
Теперь можно дать определение вычета.
Пусть функция f(z) имеет точку z = a изолированной
особой точкой однозначного характера (или голоморфна
в точке z — a). При конечном а вычетом функции f(z) в
точке z = а называется величина*)
res j
z=a
= ±-. J f(z)dz
\z—a\—p
(p — любое достаточно малое положительное число). При
<J = ОО
2пг J 1^dz
U| = R
(R — любое достаточно большое положительное число).
Независимость интегралов от р (или R) следует из
леммы 1. Если а Ф °о и функция f(z) голоморфна в точ-
точке z = а, то по теореме Коши res f(z) = 0. Однако вычет
в бесконечно удаленной точке может оказаться отличным
от нуля и для функции, голоморфной в бесконечности
(пример f(z) =
Определение вычета нетрудно видоизменить таким об-
образом, чтобы оно не ставило точку z = °° в исключитель-
исключительное положение:
RbmeTOM функции f(z) в точке z = a назовем инте-
интеграл от /(z) по границе любой достаточно малой окрест-
*) Обозначение res происходит от французского слова residu —
остаток.

§ 4. ВЫЧЕТЫ И РЯД ЛОРАНА 149
ности точки z = a, деленный на 2л?. (Функция /(z)
предполагается голоморфной в некоторой окрестности точ-
точки z = а кроме, быть может, самой точки z = а.)
Эквивалентность этих двух определений становится
сразу ясна, если вспомнить, что мы договорились направ-
направление интегрирования по границе области выбирать так,
чтобы область оставалась слева, а окружность \z\ = R
считаем границей круга Izl <R (если не оговорено про-
противное) . U
Следующее утверждение называется теоремой о вы-
вычетах.
Теорема 4.1. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D и непрерывна вплоть до ее границы, за исклю-
исключением конечного числа точек zheD (к = 1, 2, ..., п),
являющихся изолированными особыми точками однознач-
однозначного характера. Тогда (С — граница области D)
С п
\ f(z) dz = 2лг 2 res /(z)-
(Предполагается, что точка z = °° не лежит на грани-
границе D. Если точка z = °° лежит внутри D, то она должна
быть включена в число точек zh.)
Доказательство. Обозначим через Ge(zh) круг
\z — zk\ < е при zs Ф °° и множество | z | > — при zh = °°,
а через 1\ = Гм — границу Gs (zk). Согласно определению
вычета при достаточно малых г имеем
\f{z)dz=2m res /(z). D.1)
Выберем е>0 столь малым, чтобы все круги (
не имели попарно общих точек и лежали в области D.
Далее, обозначим через De область, полученную из D
удалением всех наших кругов Ge(zh). Область De конеч-
конечна, и функция /(z) голоморфна вД,и непрерывна вплоть
до ее границы. По теореме Коши интеграл от /(z) по
границе Dc равен нулю. Но граница области DB состоит
из границы области В и из границ областей Ge(zk), про-
проходимых в противоположном направлении. Следовательно,
Th

150 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Принимая во внимание D.1), получаем утверждение
теоремы. П
Таким образом, задача о вычислении интеграла ево-
дится к задаче о нахождении вычетов. Сейчас мы пока-
покажем, что если все особые точки /(z)— полюсы, то нахож-
нахождение вычетов легко сводится к дифференцированию.
Теорема 4.2 Пусть F (z) =^-~г, где функции /(z)
и g(z) голоморфны в точке z = а, причем g(z) имеет в
точке z = а нуль порядка п. Тогда
Доказательство. Поскольку функция g(z) имеет
в точке z = а нуль порядка п, ее можно представить в ви-
виде g(z) = (z — a)ng\(z), где g\(a)?=0. Следовательно,
F(z) = , Ф(*\п,гДе Функция <P(Z) = 7-7JT голоморфна в
точке z = а. Согласно определению вычета
= ^ f F(z)dz = ^-. f ф (z)
2m J w 2ni J (z — a)n
dz,
J
|z-a|=p
а последний интеграл равен -. ттг ф*™' (я) согласно
(П 1),
формуле для высших производных (см. § 3 гл. II). Так
как (p(z) = (z — a)nF(z) при z?=a, то приходим к утвер-
утверждению теоремы.
Замечание. Если функция g(z) имеет в точке z =
= а нуль первого порядка, то формула для вычета при-
приобретает особенно простой вид:
/ (z) / (а)
res -^-ут = ЛУг-
S (z) ^ (а)
Полученная формула непригодна для нахождения вычета
в бесконечно удаленной точке. Непригодна она и для слу-
случая, когда z — а — существенно особая точка функции
F(z). В этих случаях для нахождения вычета исполь-
используется разложение в ряд Лорана. Впрочем, разложение
в ряд Лорана часто удобно применять и для нахождения
вычета в полюсе, находящемся на конечном расстоя-
расстоянии. []

§ 4. ВЫЧЕТЫ И РЯД ЛОРАНА 151
Сначала придется доказать общую теорему о разло-
разложении функции в ряд Лорана.
Теорема 4.3. Произвольная функция f(z), голо-
голоморфная в кольце r< \z — a\ < R, разлагается в ряд
где
- f(z)(z-a)-n-1dz
\z—a\=p
равномерно сходящийся по z в любом внутреннем кольце.
Доказательство. Пусть r\ ^ I z — а\ ^ Ri, r\> r,
R\ < R. Возьмем г < гг < г\, Д] < Яг < R, и обозначим
через С границу кольца гг<|? — а\ < R«. Согласно ин-
интегральной формуле Коши
или
a IE—а!
Ряды
и
равномерно сходятся по z и ? при условиях, указанных
в скобках. Подставляя первый ряд в первый интеграл
формулы D.2), второй ряд — во второй интеграл и ин-
интегрируя почленно, получаем
оо оо
/ B) = 2 сп (z — а)п + Xc'n(z — a)-n -*,

152 гл. iv. особые точки и разложения в ряды
где
с
zm
IS-ol=B2
2ni J
IE—«i=
IS-a|=r2
Объединим обе суммы в одну, положив сп = с_п_1. Интег-
Интегралы в формулах для коэффициентов согласно лемме 1
можно брать по любой окружности |? — а\ =р, г < р < Д.
Теорема доказана. []
Если точка z = а является изолированной особой точ-
точкой однозначного характера для функции f(z), то f(z)
голоморфна в некотором кольце 0<lz — а1<гиее мож-
можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце.
Этот ряд называется рядом Лорана для функции /(z) в
окрестности точки z = а.
Рядом Лорана для функции f(z) в окрестности беско-
бесконечно удаленной точки называется ряд
Ряд Лорана составлен из двух рядов, аналогичных ря-
ряду Тейлора: один по степеням z — а, другой по степе-
степеням 74^- ?
Если мы имеем ряд Лорана для функции /(z) в ок-
окрестности конечной точки
оо
/(z)= 2,cn(z — a)n @<|z— д|<г),
— оо
го ряды
—1 оо
2cn(z-a)" (|2-o|>0), ^cn{z-a)n {\z-a\<r)
— оо О
называются, соответственно, главной частью и голоморф-
голоморфной частью ряда Лорана для f(z) в окрестности точки
z = а.
Для ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной
точки главной частью называется часть ряда, состоящая
из членов с положительными степенями z.
Главная часть ряда Лорана для функции f(z) в ок-
окрестности точки z = а — это простейшая функция, имею-

§ 4. ВЫЧЕТЫ И РЯД ЛОРАНА 153
щая в точке z = а ту же особенность, что и f(z). Глав-
Главная часть голоморфна во всей плоскости кроме точки
z = а, а разность между f(z) и главной частью голоморф-
голоморфна в точке z = a. Q
Применение разложения в ряд Лорана к нахождению
вычетов основано на следующей теореме:
Теорема 4.4. Если z = а (а т^ °°)—изолированная
особая точка однозначного характера для функции f{z),
оо
cScn(z — а)п—разложение f(z) в ряд Лорана в окрест-
—оо
ности точки z = а, то
res / (z) = c_i.
оо
Если У, cnzn—разложение f(z) в ряд Лорана в окрестно-
—оо
сти бесконечно удаленной точки, то
res / (z) = — с-х.
Доказательство. Пусть а Ф °°. Интегрируя по-
почленно, находим
I
-°° |г-о|=р
Для вычисления интегралов, стоящих под знаком суммы,
полагаем z = а + ре'"9, 0 < 9 <2я. Тогда dz = tpeie, и мы
получаем
2Я
Iz—a|=p 0
Последний интеграл равен нулю при п ?= — 1 и 2я при
л = — 1. Следовательно, из всей суммы остается одно сла-
слагаемое, и мы приходим к утверждению теоремы. Случай
а = °° исследуется совершенно аналогично. [1
Если бы разложение в ряд Лорана можно было бы
производить лишь с помощью формул для коэффициен-
коэффициентов, то теорема 4.4 не давала бы способа найти вычет.
Однако разложение функций в ряд Лорана можно полу-
получать из посторонних соображений, например при помощи
различных действий над рядами Тейлора. При этом при-
приходится опираться на следующее утверждение:

154 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
оо оо
Если два ряда Zj an(z — а)п и 2^ bn(z — а)п, равномер-
— ОО 00
но сходящиеся на окружности \z — a\ = р, сходятся к од-
одной и той же сумме, то все коэффициенты этих рядов сов-
совпадают.
Действительно, взяв разность этих рядов, получим
оо
!, К — Ъп)(г — а)п = 0 (|z-a| = p).
—оо
Умножая это равенство на (z — a)~m~' и интегрируя по-
почленно, в силу тех же соображений, что и при доказа-
доказательстве теоремы 4.4, приходим к равенству ат — Ът = 0.Q
Часто изолированные особые точки однозначного ха-
характера классифицируются по свойствам разложения
функции в ряд Лорана в окрестности этих точек. Предо-
Предоставляем читателю самостоятельно доказать следующее ут-
утверждение, позволяющее перейти к этой классификации:
Для того чтобы точка z = a была полюсом f(z), не-
необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана
в окрестности точки z — а для функции f(z) была отлич-
отлична от нуля и состояла из конечного числа членов.
§ 5. Разложение мероморфноЁ функции
в ряд простейших дробей
Уже говорилось, что теория вычетов — это совокуп-
совокупность приемов, используемых для сведения различного
рода задач к контурному интегрированию. В дальнейшем
изложению этих приемов будет посвящена целая глава,
а сейчас ограничимся демонстрацией лишь одного из них.
Рассмотрим задачу разложения функции, мероморф-
ной во всей конечной плоскости, в ряд простейших дро-
дробей. Эта задача имеет два аспекта. Первый аспект — это
выяснение возможности построения функции, мероморф-
ной во всей конечной плоскости (или даже в некоторой
области) и имеющей в заданных точках полюсы с задан-
заданными главными частями ряда Лорана (в окрестности
этих точек). Для решения этого вопроса теория вычетов
не нужна. Второй аспект состоит в отыскании разложе-
разложения в ряд дробей данной мероморфной функции. Реше-
Решение этого вопроса даст новые формулы для многих эпе-
ментарных функций. Им мы и будем заниматься.
Пусть P(z)— правильная рациональная функция (сте-
(степень числителя меньше степени знаменателя). В анализе

§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 155
доказывается, что такую рациональную функцию можно
представить в виде суммы простейших дробей, т. е. дро-
дробей вида
Am,h
Числа ak являются нулями знаменателя этой рациональ-
рациональной функции.
Если воспользоваться терминологией, введенной в
предыдущем параграфе, то такое разложение имеет очень
простой смысл. Каждый нуль знаменателя является по-
полюсом рациональной функции. Разложим ее в ряд Лора-
Лорана в окрестности этого полюса и возьмем главную часть
этого разложения, обозначив ее Gi(z; ah). Имеем
mh
m=i {z ak)
Разложение рациональной функции P(z) на простейшие
дроби означает, что
P(z)= f,G{z;ah).
k=i
Покажем, что это утверждение можно перенести и на
многие функции, мероморфные во всей плоскости. Чтобы
стало ясно, каким условием нужно заменить условие пра-
правильности рациональной функции, заметим, что правиль-
правильная рациональная функция стремится к нулю при z -*¦ °°.
Теорема 5.1. Пусть функция f(z) мероморфна во
всей конечной плоскости, точки z = ah (к = 1, 2, ...) —
•ее полюсы, G(z; ak)— главные части f(z)e полюсах z = ah.
Если существует такая последовательность rv -*~ + °°, для
которой
М (rv) -> 0 (v -> оо), М (г) = max | / (z) |,
\Z\=T
ГО
/B)=lim S G(z;ah).
v^oo |afe|<rv
Стремление к пределу равномерно в любой конечной об-
области, не содержащей точек ah.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
ISI

156 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Оценивая модуль интеграла произведением максимума
модуля подынтегральной функции на длину пути инте-
интегрирования, получаем
откуда видно, что Iv(z)-*- 0 при v -*¦ оо равномерно по %
в любой конечной области.
С другой стороны, интеграл /v(z) можно вычислить е
помощью теоремы о вычетах. Подынтегральная функция
имеет в круге |?| < г, полюсы в точках ? = ак (при laj<
< rv) и еще в точке % = z, так что
+ V res
1
Очевидно, что вычет в точке % = z равен f(z) при z?=ak.
Найдем вычеты в точках % = ак. Имеем
res -Ж. = res
так как по определению главной части разность /()
— G{%, ak) голоморфна в точке % = ак. Чтобы найти по-
последний вычет, рассмотрим интеграл
-Ш f
при достаточно большом R (настолько большом, чтобы
точки % = ак и ? = z оказались обе внутри круга l?l <R).
Поскольку при % -*¦ оо имеем
е К;-0-о(|). ^т = °()
то, оценивая модуль интеграла UR{z) произведением мак-
максимума модуля подынтегральной функции на длину пу-
пути интегрирования, получаем, что UR (z) = О -^ \ -> О
(Д-оо).
С другой стороны, по теореме о вычетах
G It; аЛ G (I; аЛ G (g; ak)
Ur{z) _ res ^A + „«_?_*> = CD aft) + ^-^rf
и величина, стоящая в правой части равенства, не за-
зависит от R. Следовательно, UR(z) = O при достаточно

§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 157
больших R и
res Gf'uk) = -G(z,ak) (*фак).
Таким образом,
/v (г) = /(*)- 2 G(z;afe) (гф ah, | z| <rv).
|aft|<rv
Поскольку мы показали, что /v(z)->- 0 при v -*- оо равно-
равномерно по z в любой конечной области, теорема доказана.
Доказанную теорему можно обобщить и на случай^
когда f(z) не стремится к нулю на последовательности
окружностей Ы = rv, а растет не быстрее некоторой сте-
степени Ы. Этого мы делать не будем, ограничившись рас-
рассмотрением одного конкретного примера.
Пример 1. Разложим в ряд простейших дробей
ctg z. Поведение функции ctg z при больших z исследо-
исследовалось в п. 4 § 6 гл. II. Там мы выяснили, что функция
ctg z ограничена во всей плоскости, если удалить окрест-
окрестности точек z = як (к— любое целое число), однако н&
стремится к нулю. Поэтому применим теорему 4.1 не к
самой функции ctg z, а к функции ——. В качестве по-
( 1 ^
следовательности rv можно взять rv = я I v -\—~-1 (v =
\ ^ /
=0, 1, 2, .. .). Тогда теорема 4.1 даст нам
так как функция —— имеет полюсы в точках ah = кпг
Z
к = 0, ±1, ... Найдем главные части G(z; nk).
В окрестности точки z = О имеем
Ctg z COS г 2 ' ' * " _ 1 1.
- - -g- — -J + . . . ^
т.е.

158 гл. iv. особые точки и разложения в ряды
В окрестности точки z = я/с, к Ф О, имеем, обозначая
Для удобства t = z — як:
«ctgz
z ~ (nfr + *) sin
-т. e. G (z; лк) =—r-1 jt-
v 7 яА (г — пк)
Следовательно,
V 1
V-»oo
шли, объединяя слагаемые с номерами /с и —к, получаем
E.1)
¦Заметим еще, что
2
. d , , sin z f I Ojj
ctg z = —- In sin z, In = ( ctg t — I at.
az z, ¦ J \ t I
0
Интегрируя ряд E.1) почленно (что вполне законно
ввиду его равномерной сходимости), приходим к формуле
--??)• E-2)
Аналогичные разложения в ряды простейших дробей
и бесконечные произведения можно получить и для мно-
многих других элементарных функций.
§ 6. Принцип аргумента и теорема Руше
Во многих случаях бывает необходимо сосчитать чис-
число нулей голоморфной функции в заданной области. Ос-
Основная формула, обычно используемая для этой цели,
легко доказывается с помощью теоремы о вычетах.
Теорема 6.1. Пусть функция f(z) и ее производ-
производная f (z) голоморфны в области D и непрерывны вплоть
до ее границы С, за исключением конечного числа полю-
полюсов. Если на С функция /(г) не обращается ни в нуль,

§ 8. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ТЕОРЕМА РУШК 159
ни в бесконечность, то
с
где v+ — число нулей, a vt — число полюсов функ-
функции f(z) в области D (и нули, и полюсы считаются столь-
столько раз, какова их кратность).
Доказательство. Функция F(z) = ' у голоморф-
' \z)
на во всех точках области D, в которых f(z) голоморфна
и отлична от нуля. Следовательно, функция F(z) имеет
в области D лишь изолированные особые точки, причем
они могут быть лишь в тех точках, где функция f(z)
имеет нуль или полюс. Ясно даже, что особые точки F(z)
должны быть полюсами, так как F(z) является отноше-
отношением двух мероморфных функций. Интересующий нас
интеграл равен сумме вычетов F(z) в этих полюсах. Оста-
Остается найти вычеты.
Найдем, чему равен вычет res ; , когда функция
' \z)
f(z) имеет в точке z = a нуль иорядка п (чтобы не гово-
говорить отдельно о нулях и о полюсах, напомним, что полюс
порядка п—это нуль порядка —и). Согласно определе-
определению порядка нуля имеем
где функция /i (z) голоморфна в точке z = a и
Следовательно,
f'(z) n + /i(z)
/ (г) г- а ^ f1 (z) '
* № х rr
и функция - . ,- голоморфна в точке z = а. Поэтому иско-
искомый вычет равен п.
Суммируя по всем нулям и полюсам, приходим к ут-
утверждению георемы.
Замечание, Вмеси формулы F.1) можно пользо-
пользоваться любой из двух следующих формул:
vt~v7 = ~vavlnf(z), F.2)
С
v/ — \J = -^ var arg / (z). F.3)
С

160 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Здесь var F (z) означает изменение функции F(z) (вооб-
с
ще говоря, неоднозначной в области D) при однократном
обходе границы С области D в положительном направле-
направлении. Если область D многосвязна, то С состоит из не-
нескольких связных кусков; под var^(z) понимается сум-
с
ма изменений по всем этим кускам.
Для доказательства формул F.2) и F.3) заметим, что
.. : = (In / (z))', a \ (In / (z))' dz равен как раз изменению
с
элемента аналитической функции In/(г) при непрерыв-
непрерывном продолжении по кривой С. Формула F.3) сразу по-
получается из формулы F.2), если вспомнить, что In w =
= In \w\ + iarg w, и заметить, что изменение ln|/(z)| no
¦замкнутому контуру равно нулю, так как различные зна-
значения In w отличаются лишь чисто мнимым слагае-
слагаемым 2яък.
Формула F.3) носит название принципа аргумента. []
Докажем еще две простые, но полезные теоремы о ну-
нулях голоморфных функций.
Следующая теорема обычно называется теоремой
Руше.
Теорема 6.2. Пусть функции F(z) и f(z) голоморф-
голоморфны в области D и непрерывны вплоть до ее границы С.
Если на границе D имеет место неравенство l/(z)l <
< \F(z)\, то функции F(z)+f(z) и F(z) имеют в обла-
области D одинаковое число нулей. (Каждый нуль считается
столько раз, какова его кратность.)
Доказательство. Поскольку функции F(z) и
f(z) голоморфны в D, то полюсов они не имеют. Из не-
неравенства l/(z)l < \F(z)\, справедливого на С, видно, что
функции F(z) и F(z)+f(z) на С не обращаются в нуль.
Поэтому, применяя формулу F.2), мы можем написать
Когда точка z обходит кривую С, точка Z = 1 + р ,/ обхо-

§ 6. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ТЕОРЕМА РУШЕ 161
дит некоторую кривую Г, лежащую в круге |? — 11 < 1
(так как на С по условию
yr
< 1Ь и
?-. var In [l + -4тг1 = Л var ln ?•
2ni c \ ' F (z) j 2m г ъ
Но кривая Г лежит в круге |? — II < 1, так что она не
может обходить точку ? = 0. Поэтому продолжение In t,
по Г возвращает нас к прежнему значению, т. е. var In ? =
г
= 0. Следовательно, vF+f = vF, и теорема доказана.
Теорема Руше в теории аналитических функций игра-
играет примерно такую же роль, какую играет в анализе тео-
теорема о том, что непрерывная функция, имеющая на кон-
концах отрезка значения разных знаков, обращается в нуль
на этом отрезке. Покажем на одном известном примере,
как используется теорема Руше.
Пример 1. Покажем, что многочлен P(z)=zn +
+ a\Zn~x + . . . + ап имеет в комплексной плоскости ровно
п нулей (основная теорема алгебры).
Многочлен zn имеет в комплексной плоскости п нулей
(точка z = 0 является нулем порядка п). Положим
P(z) = F(z)+f(z), где F(z)=zn, a flz)= а,*"-1 + . .. + ап.
В качестве области D возьмем круг Ы < Л, a R выберем
столь большим, чтобы
1/7BI > 1/BI (Ы=/?).
Для этого достаточно взять, например,
Д=1+ М+...+ \aj.
Тогда по теореме Руше число нулей F(z) и P(z) в круге
Izl <R одинаково, т. е. P{z) имеет п нулей. Г]
Теорема 6.3. Пусть последовательность функций
fn(z), голоморфных в области G, равномерно сходится в
любой замкнутой части G к функции f(z), отличной от
тождественной постоянной. Если все функции fn(z) та-
таковы, что при любом w функция /n(z)— w имеет в обла-
области G не более m нулей, то и предельная функция f(z)
обладает этим свойством.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна.
Тогда найдется такое а, что число нулей функции f(z) — a
в области G не меньше тп + 1. Выберем такую область D,
чтобы:
1. Область D лежала в области G вместе со своей гра-
границей С.

162 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
2. Функция f(z)—a имела в области D не меньше
т + 1 нулей.
3. Функция /(z)— а не обращалась в нуль на С.
Такой выбор возможен, так как мы предположили,
что функция /(z) отлична от тождественной постоянной.
По теореме 4.4 гл. II из равномерной сходимости по-
последовательности /n(z) в любой замкнутой части обла-
области G следует равномерная сходимость последовательно-
последовательности /n (z) на любой замкнутой части области G. Кри-
Кривая С является замкнутой частью области G, так что
/H(z)-a->/(z)-a, fn(z)->f'(z) (ze-C).
Поэтому все функции /„(z) — а, начиная с некоторой, от-
отличны от нуля на С и
± Г /» &) if /'и &
С С
Это значит, что vyn_a->vy_a при п ->- оо. Поскольку V/n_a
и v/-o — целые числа, то отсюда следует, что v<n_a =
= Vy_a > m при п> N, & это противоречит свойству функ-
функций /n(z). Полученное противоречие доказывает теорему.
§ 7. Обратная функция
В теории аналитических функций, как и в анализе,
часто приходится иметь дело с функциями, значения ко-
которых в данной точке z определяются из уравнения
<p(w)=z, G.1)
где ф(ю)—данная функция. Исследованию решений та-
такого уравнения (в предположении, что cp(itf)—голоморф-
cp(itf)—голоморфная функция переменной w) и посвящен этот параграф.
В первую очередь докажем следующий простой ре-
результат.
Лемма 1. Пусть функция ф(ю) голоморфна в точ-
точке w = Ь, и пусть ц>'(Ь)?=О. Определим числа р > Q и-
б > 0 равенствами
max
G.2)
G.3)

§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 163
Тогда при любом значении z из круга \z— ф(ЬI <б су-
существует решение уравнения G.1), лежащее в круге
\w — Ъ\ < р, и зто решение единственно.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что ра-
равенство G.2) действительно определяет некоторое поло-
положительное значение р, так как из существования произ-
производной ф' {iff) в точке w = b вытекает, что
ф (w) _ ф F) ' /1Л Г| Ь\
w — b
Введем вспомогательные функции
F(w) = (w — b)<p' (b), f(w)=<p(w)—z—(w — b)<p'(b).
Тогда уравнение G.1) можно записать в виде
F(w)+f(w) = 0.
Возьмем любое значение z из круга Is — ф(ЬI <б и
сравним значения модулей функций F(w) и f{w) на
окружности \w — Ы = р. Очевидно, что на этой окруж-
окружности
\F(w)\ =р|<р'(Ь)|.
Для функции f(w) можно написать
| / И | = | ф И - ф (Ь) - (w - Ъ) Ф' (Ь) - (z - ф (Ъ)) | <
<\w—b\- Ф("')^-Ф(г') _ ф' п
откуда в силу равенств G.2) и G.3) следует, что при
мы имеем неравенство
Следовательно, при |z —ф(Ь)| <б на окружности
\w — Ъ\ =р имеет место неравенство l/(u?)| < \F{w)\.
По теореме Руше (теорема 6.2) функция F(w)+ f(w),
равная ф(м?)— z, имеет в круге |м? —Ы < р столько же ну-
нулей, сколько и функция F(w), равная (w — Ь)ф'(Ь), т.е.
ровно один. Тем самым лемма полностью доказана. Г]
Обозначив полученное единственное решение уравне-
уравнения G.1) символом i|)(z), можно сформулировать доказан-
доказанное утверждение следующим образом.
Пусть функция ф(ю) голоморфна в точке w = b,
и пусть ее производная в этой точке отлична от нуля.

164 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Тогда существуют такие положительные числа р и б, что
функция m? = i|)(z), обратная к функции 2 = ф(и?), опре-
определена в круге |z — ф(&) I < б и ее значения лежат в кру-
круге \w — Ъ\ < р. Поставленными условиями функция w =
= i[)(z) определяется единственным образом.
Следующая теорема существенным образом дополняет
это утверждение.
Теорема 7.1. Пусть функция <f{w) голоморфна в
точке w = Ь, и пусть ц>'(Ъ)Ф О, а числа р и б определены
равенствами G.2) и G.3). Функция w = ty(z), определен-
определенная выше как функция, обратная к функции z = q>(w),
голоморфна в круге
|z — ф(ЬI <б.
Доказательство. Возьмем z из круга \z — q>(b) l<
< б и рассмотрим интеграл
Г
J
|ic-b|=p
Из равенства G.2), определяющего число р, имеем
ф И — ф (ь) ¦> | „' «л | _ JLI q/
IV О О
(|ю-Ь| = р),
или
Поэтому
Следовательно, при \z — ф>(Ь) I < б на окружности
1м; —&|=р имеет место неравенство |ф(и>) — z|>
> -Q- Pi ф' (Ь) |> т. е. функция ф(и>)—z не обращается в
О
нуль на этой окружности. Отсюда следует, что функция
Ф (w) — z
является голоморфной функцией переменных ц> и z при zr
лежащих в круге |z — ф(&)|<бии>, лежащем на окруж-
окружности | it? — &I = р. Согласно теореме 4.3 гл. II интеграл

§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 165
/(z) представляет функцию переменного z, голоморфную
в круге Iz—ф(ЬI < б.
Покажем теперь, что при тех же условиях интеграл
I (z) совпадает с функцией i|)(z), обратной к функции
q>(w). Для этой цели мы зафиксируем произвольное зна-
значение г из круга |z —<р(Ь)|<5 и вычислим этот инте-
интеграл с помощью вычетов. Функция
w(f' (w)
ф (w) — Z
как функция от переменного w голоморфна в круге
Iw — Ъ\ < р, за исключением единственного простого по-
полюса при w = ty(z), как вытекает из леммы 1. Согласно
формуле для вычета в простом полюсе мы получаем
w(f' (w) w<p' (w)
res
ф (w) — Z ф' (w)
Следовательно, по теореме о вычетах 7(г)=ф(г). В силу
доказанной выше голоморфности интеграла I(z) в круге
\z — <pFI <б теорема доказана.
Замечание 1. Мы доказали не только голоморф-
голоморфность обратной функции tj>(z), но и следующую полез-
полезную формулу для нее:
¦ф (z) = к—. —, ч dw. G.4)
т v ; 2яг ,! ф(гу) — z v y
|гс— Ь|=р
Легко видеть, что с помощью тех же рассуждений мож-
можно было бы доказать и формулу
= ± Г
2ni J
|b
J ф
|го—b|=p
G.4*)
справедливую для любой функции f{w), голоморфной в
круге \w — Ъ\ «? р.
Замечание 2. Из тождества cp(i|)(z))=z, диффе-
дифференцируя по z, мы легко получаем формулу для произ-
производной обратной функции
w = -vww- G-5)
Теперь покажем, что если q>(w)— аналитическая
функция, то функцию i|)(z) также можно рассматривать
как аналитическую функцию.
Теорема 7.2. Пусть фь(и>)—произвольный элемент
аналитической функции ср(и>) в точке w = b. По теоре-

166 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ме 7.1 каждому такому элементу, удовлетворяющему ус-
условию Ц>ь{Ъ)ф 0,отвечает функция фо(г), обратная к эле-
элементу фь(ю). Все функции i|)a(z) являются элементами в
точках z = a = q>b(b) аналитической функции i|)(z), кото-
которую естественно назвать аналитической функцией, обрат-
обратной к аналитической функции <f{w).
Доказательство. Нам нужно установить, что лю-
любой элемент tya2 (z) можно получить из любого другого
элемента фа (z) аналитическим продолжением по некото-
некоторой кривой. Пусть элемент фа (z) был получен как обрат-
обратная функция к элементу ц>ъ {w), а элемент фа2 (z) — как
обратная функция к элементу щ2(ш). Элемент Щ2(ю)
можно получить из элемента фь («¦>) аналитическим про-
продолжением по некоторой кривой Г, причем, без ограни-
ограничения общности, можно считать, что элементы Фь(г) в
каждой точке кривой Г удовлетворяют условию ф^, (Ь) Ф О
(ибо по теореме единственности нули производной — изо-
изолированные точки, а кривую Г в любом месте можно не-
немного деформировать, не меняя результат продолжения).
Когда точка Ъ проходит кривую Г, точка а = фF) прохо-
проходит некоторую кривую С. В каждой точке кривой С име-
имеется элемент i|)a(z), причем началу кривой С отвечает
элемент фа (z), a концу—элемент фа2(г). Легко видеть,
что совокупность элементов i|)d(z) образует функцию, ана-
аналитическую на кривой С. Следовательно, элемент tya2 (z)
получается из элемента iSpa (z) аналитическим продол-
продолжением по кривой С. Поскольку фа (z) и я)за2 (z) — произ-
произвольная пара элементов, теорема доказана.
Естественно возникает вопрос, что представляют со-
собой для аналитической функции i|)(z), обратной к анали-
аналитической функции ц>(гс), те точки w — а~ фь(Ь), которые
отвечают элементам фь(ш) с условием Фь(Ь) = 0. Рассмо-
Рассмотрение функции ф(w)=wn наводит на мысль, что такие
точки должны быть точками ветвления. Это доказывается
без особого труда. Именно^ справедлива следующая
Теорема 7.3. Пусть функция ф((^) голоморфна в
точке w = Ъ, а ее производная имеет в этой точке нуль
порядка m — 1. Тогда существуют • такие числа р > 0 и
б > 0, что для любых z из круга |z —ф(Ь)| <б уравне-
уравнение G.1) имеет в круге \w — Ы<р ровно m решений.
Эти решения являются значениями функции i|)(z), анали-

§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 16
тической в кольце 0< \z — ф(Ь) I <8 к разлагающейся <
этом кольце в ряд
¦ф (z) = Ь + с1 (z — а) + с2 (z — а) + ..., сх Ф 0 (а^ф (Ь))
Доказательство. Из условий, наложенных на
функцию ф(и?), следует, что в окрестности точки w = ?
ее ряд Тейлора имеет вид
ф(м>)= ф(Ь)+ am(w — b)m + c&m+i (м; — b)™+1 + .. .,
причем am = 1 -/-0. Ввиду последнего неравенства мы
можем выбрать число р > 0 столь малым, чтобы в круге
\w — Ъ\ < р имело место неравенство
Ф И — Ф (Ь)
(w — b)m
Число б определим равенством б = -^-p|am|. Вводя вспо-
вспомогательные функции
F(w) = (w- b)m<Xm, f(w)=<p(w)-z -am(w- b)m
и применяя теорему Руше, мы, как и в лемме 1, легко убе-
убеждаемся, что при |z — ф(Ь) I < б функция
имеет в круге \w — Ь\ <р столько же нулей, сколько и
функция F(w) (считая кратность). Так как функция
F{w) = {w-b)mOn,
имеет в круге \w — Ъ\ <р ровно тп нулей (один нуль
кратности те), мы получаем первое утверждение теоремы.
Для доказательства следующих утверждений теоремы
рассмотрим функцию
(w) = у ср (и;) — ф (Ь) = Рх (w — Ь) + Р2 (и? — бJ + . ..,
У
где Pj = У ат ФО. Эта функция голоморфна в точке w =
¦= Ь и Ф1 (Ь) = §1_ф 0. С помощью функции <$\(w) уравне-
уравнение G.1) записывается в виде
Ф, (w) = V7=a (a = Ф (Ь)). G.6)
Обозначим теперь через w — \lpi(t,) функцию, обратную к
функции ? =<pi(u>) (эта функция существует по лемме 1,
и по теореме 7.1 она голоморфна в окрестности точки
5 = 0). С помощью функции ij)i(?) мы можем записать

168 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
решение уравнения G.6) в виде
w = \^1{yrz — а) (а=ф(Ь)).
Следовательно,
(т / \
yz — a),
где функция i|)i(?) голоморфна в точке t, = 0. Отсюда уже
легко получаем оставшиеся утверждения теоремы. Q
В заключение выведем формулы, дающие явные вы-
выражения коэффициентов ряда Тейлора обратной функции
ч|>(г) через значения функции <f{w) и ее производных в
соответствующей точке.
Теорема 7.4. Пусть функция ср(м?) голоморфна в
точке w = Ъ, и пусть ф'(Ь)=й= 0, a i|)(z)— функция, обрат-
обратная к функции <f(w). В окрестности точки z = а, где а =
= ф(Ь), функция i|)(z) разлагается в ряд
-ф (z) = & + 2 cn{z-a)n
ицш
I
и для коэффициентов этого ряда имеют место формулы
("> - &) Ф'И
2ni J [ф (w) —
[ic-b|=p
w_b
~ (я-1)Г dz^"-1 Цф(«0-q>(
(n = l, 2,3,...).
Доказательство. Возьмем в формуле G.4*)
f(w)— w — Ъ. Это даст нам равенство
2я( J
ф (ш) — z
|гс—Ь|=р
При достаточно малых значениях z —ф(Ь) подынтеграль-
подынтегральная функция разлагается в сходящийся ряд
(Ц7 — 6) ф' (w) _ (Ц7 — &) ф' (W)
ф (W) — Z ф (Ш) — ф F) Z— ф(&)
~~ ф (и>) — Ф (
Г

§ 8. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 169
Почленно интегрируя этот ряд (и вспоминая, что ф(&) =
— а), мы получаем для функции i|)(z) — Ъ разложение
со
Ф (Z) - Ь = 2 С„ (Z — Я)"-
Формулы для коэффициентов имеют вид
с =J_ Г (ш-6)Ф'И fc
" 2nS№-i=p[cp("')-9F)]n+i
Чтобы преобразовать эти формулы, заметим, что функция
голоморфна в круге \w — frl^p и что, согласно инте-
интегральной формуле Коши (точнее, согласно формулам для
высших производных),
(n-1)! (°> — 2ni J {w_b\naw-
\w—b\=p
Тем самым теорема полностью доказана.
Замечание. С помощью тех же рассуждений мож-
можно было бы получить и ряд
00
/ (¦ф (z)) = /(&)+ 2 я» (z — а)" (а.= ф (Ь)),
п=1
где
1_
r-i_ /г w_6 I»7И_/(Ь)
„n-i ЦфИ-ф(би фИ-ф(б)
Этот ряд называется рядом Бюрмана — Лагранжа.
§ 8. Неявные функции
Теорема об обратной функции, доказанная в преды-
предыдущем параграфе, является частным случаем теоремы о
неявной функции, доказательству которой мы посвятим
настоящий параграф.
Теорема 8.1. Пусть функция F(z, w) определена
в области \z — а\ < г, \w — b\ < R и непрерывна в этой
области по совокупности переменных. Пусть, кроме того,
функция F(z, w) голоморфна по переменной z в круге
\z — a\ <r при любом w, \w — Ъ\ < R, а по переменной
w — в круге \w — Ь\ <R при любом z, \z — а\ < г. Если

170 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
F(a, b)=0, a Fw(a, Ь)фО, то существует единственная
непрерывная в точке z = a функция w(z), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям
F(z, w(z))=0, w{a)=b.
Эта функция w(z) голоморфна в точке z — a и
К(*>™ (*))
W (z) = ; : ¦
F (* w (*))
для всех z в некоторой окрестности точки z = a.
Доказательство.' Разобьем доказательство на не-
несколько этапов.
1. Покажем, что функция F(z, w) в малом линейна,
т. е. что
F{z, w) = A{z- a) + B(w - Ъ)+ e(z, w), (8.1)
где А и В— некоторые числа, а функция e(z, w) удов-
удовлетворяет условию
e(z, w)=o(\z-a\ + \w - Ъ\) (z-^a,w-^b). (8.2)
Ясно, что e(z, w) голоморфна по переменным z и w там
же, где и F(z, w). Так как F(z, w) голоморфна по z в
круге \z — а\ < г при любом w, то (п < г)
=± f
\z—a\
Согласно теореме 4.3 гл. II коэффициенты Cn{w) явля-
являются голоморфными функциями w в круге I w — Ъ\ < R,
так как F(z, w) голоморфна по w в этом круге. Разлагая
функции Cn(w) в ряды по степеням w — Ь, получаем
двойной ряд
о оо
F(z,w)= S 2 cn,k{z-a)n(w-b)k,
cn,k{z-a)(w-b)k
абсолютно и равномерно сходящийся при \z — a\^r\,
\w — Ь\ < Ri, п < г, Ri < R. Ясно, что сумма всех членов
этого ряда с суммой номеров, большей единицы, равна
o(\z — а\ + \z— b\) (z->-а, и;-»-Ь).
Свободный член равен нулю, так как F(a, b)=0. Кроме
того, ясно, что
A = F'z{a,b), B = F'w(a,b).

§ 8. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 171
2. Покажем, что найдутся такие числа п, 0 < г.\ < г,
и R\, О < R\ < R, что при любом z из круга |z — al < п
уравнение ^(z, w)=0 имеет ровно одно решение, удов-
удовлетворяющее неравенству
\w(z)-b\<Ru (8.3)
Для этой цели воспользуемся теоремой Руше (теоре-
(теорема 6.2). Мы выберем п и Ri так, чтобы слагаемое
B(w — b) в правой части равенства (8.1) было по моду-
модулю больше суммы двух других на окружности \w — Ь\ =
= i?i (при любых z, \z— а\ <п). Для этого возьмем п
и i?i, удовлетворяющие условиям
\z—a
max \b(z,w)\<^-R1. (8.4)
В силу (8.2) этим условиям можно удовлетворить (на-
(напомним, что В ?= 0 по условию теоремы, так как В =
= Fw(a, Ъ)).
Возьмем z в круге \z — a\ <г\ и рассмотрим F(z, w)
как функцию w в круге \w — Ъ\ ^R\. Согласно теореме
Руше функция F (z, w) имеет в этом круге столько же
нулей, сколько и слагаемое B(w — Ъ), которое на окруж-
окружности этого круга по модулю больше суммы двух других.
Но функция B(w—b) имеет всего один нуль: w = Ь.
Значит, и функция F(z, w) имеет в круге \w — Ъ\ < Ri
только один нуль. Для него и выполнено неравен-
неравенство (8.3). Этот нуль обозначим w(z).
3. Докажем дифференцируемость функции w(z) в
точке z = а.
Для этой цели придется оценить w(z) несколько точ-
точнее. Воспользуемся опять теоремой Руше, но функцию
F(z, w) разобьем на несколько иные слагаемые. Ясно,
что мы получим довольно хорошее приближение для
функции w(z), приравняв нулю линейную часть F (z, w).
Поэтому обозначим
W0 (Z) = Ъ — -д- (Z — а)
' (w = wo(z) и есть нуль линейной части F(z, w)) и за-
запишем F(z, w) в виде
F(z, м;)= B(w — wo(z))+ e(z, w).

172 ГЛ. IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
Будем рассматривать F(z, w) как функцию w на
окружности C = C(z, e) (в плоскости w), имеющей урав-
уравнение
\w — wo(z) I = elz — a\
(e — заданное положительное число). Покажем, что при
z, достаточно близких к а, слагаемое В(и> — Wq(z)) на
окружности С по модулю больше слагаемого e(z, w). Со-
Согласно G.2) e(z, w)= o(\z — a\ + \w— b\), а на окруж-
окружности С имеем \w — Ъ\ < M\z — а\ (М — некоторое чис-
число). Поэтому
e(z, w)=o(\z — a\) (z ->¦ a, w<^C(z, е)).
Следовательно, можно взять б > 0 так, чтобы при \z — а\ <
<8 июбС имело место неравенство
|e(z, w)\ <ъ\В\ \z-a\.
Но IB (w — wq(z)) I = e|Bl \z — a\ при w^C ж при лю-
любых z. Таким образом, на окружности С слагаемое
B(w — wo(z)) по модулю больше, чем слагаемое e(z, w).
Согласно теореме Руше функция F(z, w) имеет внутри С
столько же нулей, сколько и слагаемое B(w — Wo(z)),
т. е. ровно один нуль. Видно, что при z -*- а этот нуль
стремится к Ъ, так что при z, достаточно близких к а, он
обязан совпадать с w(z) в силу утверждения, доказанно-
доказанного на втором этапе. Иными словами, точка w = w (z) ле-
лежит внутри окружности С, а это дает нам неравенство
\w(z)— wo(z) I < elz — a\ (\z — a)<8)
или, раскрывая выражение wq(z),
w(z)-
А
Так как е > 0 произвольно, это неравенство означает, что
функция w(z) дифференцируема в точке z — a и что
А ^ z (^' ty
W' (g) = - -И = — n' , » •
4. Осталось доказать голоморфность функции w(z) в
точке z = а.
Для этого докажем, что функция w(z) дифференци-
дифференцируема не только в точке z = а, но и в некоторой ее окре-
окрестности. Поскольку функция w(z) непрерывна в точке
z = а, мы можем взять ai настолько близким к а, чтобы

g 8. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 173
bi = w(ai) было достаточно близким к Ь, именно, на-
настолько близким, чтобы для всех z из круга \z — a\ <
< 2\а\ — а\ уравнение F(z, w)=0 имело только один ко-
корень, лежащий в круге \w — Ъ\ <2lbi — Ъ\ (см. второй
этап доказательства), и чтобы еще выполнялось нера-
неравенство
Тоща условия теоремы выполняются и после замены
{а, Ъ) на (п\, Ъ\), а решением уравнения F(z, w)=0,
удовлетворяющим условию w{a\)= bi, является все та же
функция w(z). Отсюда мы получаем дифференцируемость
w(z) в точке z = п\. Поскольку z = п\ — любая точка, до-
достаточно близкая к точке z = а, функция w(z) голо-
голоморфна в точке z = а (в силу эквивалентности понятий
голоморфности и дифференцируемости в области).
Теорема полностью доказана. []
С помощью теоремы 8.1 можно проводить исследова-
исследование особых точек функции. w(z), определенной каким-
либо неявным уравнением. Очевидно, что особые точки
следует искать среди решений системы уравнений
F (z, w) = О, F'W (z, w) = 0.
Решениями такой системы являются пары чисел (zk, wk).
Первое указывает точку плоскости, второе выделяет ветвь
аналитической функции, для которой эта точка может
оказаться особой точкой. Над одной и той же точкой
плоскости могут лежать и особые и не особые точки.

Глава V
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Любую функцию комплексного переменного можно
рассматривать как отображение одной комплексной плос-
плоскости в другую. Эта глава посвящена исследованию ха-
характерных свойств отображений, совершаемых голоморф-
голоморфными функциями, а также изложению практических при-
приемов для отыскания отображения заданной области в
другую с помощью голоморфной функции. С необходи-
необходимостью решения таких задач мы столкнемся в даль-
дальнейшем.
§ 1. Общие сведения об отображениях
Напомним терминологию.
Пусть функция комплексного переменного /(z) опреде-
определена в области D, а Е — некоторое множество, лежащее
в D. Множество Е', состоящее из значении ю, принимае-
принимаемых функцией /(z) на множестве Е, назовем образом мно-
множества Е при отображении w = /(z) и будем обозначать
Е' = f(E). Множество Е будем называть прообразом мно-
множества Е' при отображении w = /(z).
Всюду в дальнейшем рассматриваются лишь непре-
непрерывные отображения, т. е. функция /(z) считается непре-
непрерывной. При этом непрерывность понимается на сфере
Римана, т. е. точкам z\ и %2, близким на сфере Римана,
должны отвечать значения функций f{%\) и /(гг), тоже
близкие на сфере Римана. Таким образом, мы допускаем,
что функция /(z) может обращаться в бесконечность.
При непрерывном отображении прообразом открытого
множества Е является открытое множество. Образом от-
открытого множества не обязано быть открытое множество,
как показывает пример отображения круга |zl < 1 функ-
функцией, равной z при Im z > 0 и z при Im z < 0.
Наибольший интерес представляют взаимно однознач-
однозначные отображения.
Если функция /(z) в различных точках множества Е
принимает различные значения, то мы скажем, что функ-

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ 175
ция f(z) однолистна на множестве Е, а отображение w =
= f(z) является взаимно однозначным отображением мно-
множества Е на множество Е' =f(E). []
Для доказательства однолистности функции /(z) мы
будем часто пользоваться следующими двумя очевидны-
очевидными признаками.
Для однолистности функции f(z) в области Е необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная на
множестве E'=f(E) функция ц>(и>), обратная к f(z),
т. е. такая, что
<p(/(z))=z (z = E) uf(<p(w))=w (w^E').
Если функция f(z) однолистна на множестве Е,
а функция F(z) однолистна на множестве f(E), то функ-
функция F(f(z)) однолистна на множестве Е. [_\
Перейдем к отображениям голоморфными функциями.
Теорема 1.1. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D, и /(z)^ const. Обозначим через Gm множество
тех значений w, для которых уравнение /B)= w имеет в
области D не менее те решений. Тогда Gm — открытое
множество.
Доказательство. Нужно доказать, что все точ-
точки w, достаточно близкие к точке wq <= Gm, тоже входят
в Gm. Пусть значение Wq принимается функцией /(z) в
k
точках zs <= D с кратностью ms (s = 1, 2, . . ., к) и ^п* ^
1
^ те. В точке z = zs функция f(z)— w0 имеет нуль крат-
кратности те8, так что точка z = zs является нулем кратности
ms — 1 для функции f(z). Применяя теорему 7.3 гл. IV,
видим, что функция /(z)— w при всех w, достаточно близ-
близких к Wo, имеет те„ нулей в заданной окрестности точ-
точки zs. Задавая окрестности точек zs неперекрывающимися
и лежащими в D, видим, что функция f(z)—w имеет в
ft
D не менее 2 ms ^ m нулей (при w, достаточно близких
1
к Wo). Следовательно, все значения w, достаточно близ-
близкие к wo, входят в Gm, и теорема доказана.
Следствие. При отображении голоморфной функ-
функцией образом области является область.
Действительно, в обозначениях теоремы образом обла-
области является открытое множество G\. Связность образа
области легко получаем из непрерывности отображения.

176 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Обсудим теперь взаимно однозначные отображения,
совершаемые голоморфными или мероморфными функ-
функциями (т. е. будем допускать наличие полюсов). При ото-
отображении w = f(z) образом точки z = а, в которой f(z)
имеет полюс, считается точка и> = °°.
Такие отображения являются непрерывными отобра-
отображениями сферы Римана на себя (в естественной тополо-
топологии). Будем говорить, что функция /(z) однолистна в точ-
точке z = а, если существует содержащая точку z = а об-
область D, в которой функция /(z) однолистна.
Теорема 1.2. Для того чтобы функция /(z), голо-
голоморфная в точке z = a (аФ°°), была однолистна в этой
точке, необходимо и достаточно, чтобы {'(а)Ф0.
Доказательство сразу вытекает из теоремы 7.3 гл. IV.
Этот критерий без всякого труда переносится на слу-
случаи, когда а = оо и когда функция /(z) имеет полюс в
точке z = а. Для этого достаточно заметить, что функция
? = 1/z совершает взаимно однозначное отображение
окрестности точки z = °° на окрестность точки ? = 0.
Применяя это преобразование к независимой переменной
или к функции, получаем
Следствие 1. Для того чтобы функция
/(z) = Co + ^- + i§.+ ... (\z\>R),
голоморфная в точке z = °°, была однолистна в этой точ-
точке, необходимо и достаточно, чтобы С\ Ф 0.
Следствие 2. Для того чтобы функция f(z), имею-
имеющая в точке z = а полюс, была однолистна в этой точке,
необходимо и достаточно, чтобы этот полюс был полюсом
первого порядка.
Замечание. Для однолистности функции /(z) в об-
области D необходимо (но не достаточно!), чтобы функция
/(z) была однолистна в каждой точке этой области.
Примером функции, однолистной в каждой конечной
точке плоскости, но не однолистной во всей конечной
плоскости, может служить функция ег.
Проверка однолистности функции в области значи-
значительно сложнее, чем проверка однолистности в точке. Для
голоморфных функций кроме признаков, предложенных
в начале параграфа, имеется еще один признак, носящий
название принципа соответствия границ.
Теорема 1.3. Пусть D и G — конечные односвяз-
ные области, ограниченные замкнутыми кусочно гладки-

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ 177
ми кривыми С и Г соответственно. Пусть, далее, функ-
функция f(z) голоморфна в области D и непрерывна вплоть
до ее границы. Если при движении точки z no кривой С
в положительном направлении точка w = f(z) движется
по кривой Г в положительном направлении и один об-
обход С отвечает одному обходу Г, то отображение w = f(z)
является взаимно однозначным отображением области D
на область G.
Доказательство. Нам нужно доказать, что функ-
функция f(z) однолистна в области D и что /(Z))= G.
Обозначим через \>(?) число нулей функции j(z)—t>
в области D. Однолистность /(z) в D означает, что v(?)"^
< 1 для всех ?. Для ? будем различать три возможности:
? е G, ?<?<? и ?*=Г. При доказательстве однолистности
возможность Z, s Г можно не исследовать, так как множе-
множество значений ?, для которых v(?)^ 2, по теореме 1.1 яв-
является открытым множеством, т. е. состоит лишь из вну-
внутренних точек, а кривая Г — замкнутое множество, не
имеющее внутренних точек. Множество значений ?, при-
принимаемых функцией f(z) на кривой С, по условию теоре-
теоремы совпадает с кривой Г. Поэтому при ? Ф- Г функция
/(z)—? не обращается в нуль на С. Применим принцип
аргумента (см. формулу F.3) гл. IV). Это даст
v(?) Vararg[/(z)?]
По условию теоремы точка w = f(z) один раз обходит в
положительном направлении кривую Г, когда точка z
один раз обходит' в положительном направлении кри-
кривую С. Значит
v(Q= 2H"Vararg[/(z) —?] = 2л vararS (w ~ 0-
С Г
Последнее выражение согласно принципу аргумента рав-
равно числу нулей функции w — t, в области G. Это число
равно нулю при ^G и единице при ? е G. Таким обра-
образом, мы доказали, что G<=f(D)c=G. Так как по теоре-
теореме 1.1 множество f(D) открыто, то f(D)=G, и теорема
доказана. |J
Выясним теперь, какими геометрическими свойствами
отличаются отображения голоморфными функциями. Рас-
Рассмотрим главную линейную часть отображения w = f(z)
(см. § 2, гл. I). Если функция f(z) голоморфна в точ-

178 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ке zo, то главная линейная часть этого отображения име-
имеет вид
w — w0 = A (z — zo), A.1)
где wo = f(zo), 4=/'(z0). Линейное отображение A.1)
является комбинацией поворота и подобия (если А?=0).
Коэффициент подобия равен \А\, а угол поворота равен
argil. Преобразования подобия и поворота сохраняют
форму фигур. Условие А Ф 0 означает однолистность
функции /(z) в точке zo. Поэтому отображения голоморф-
голоморфными однолистными функциями получили название кон-
конформных отображений (т. е. сохраняющих форму). Ото-
Отображения, совершаемые однолистными мероморфными
функциями, тоже называются конформными отображе-
отображениями (они сохраняют форму бесконечно малых фигур
на сфере Римана).
Из этих геометрических рассмотрений очевидным об-
образом вытекает одно утверждение, которым часто прихо-
приходится пользоваться:
При конформном отображении угол между двумя
кривыми (в точке пересечения) равен углу между обра-
образами этих кривых.
Обычно вводится понятие угла между кривыми, пере-
пересекающимися в бесконечно удаленной точке, так чтобы
сохранилось это утверждение и для отображений меро-
мероморфными функциями. Именно:
Пусть даны две кривые, уходящие в бесконечность.
Если их образы при отображении ? == \/z имеют в точке
5 = 0 касательные, то будем считать, что исходные кри-
кривые пересекаются в бесконечно удаленной точке под уг-
углом, равным углу между их образами.
Исходя из этого определения, нетрудно проверить, что
угол в бесконечно удаленной точке между двумя прямы-
прямыми равен углу между этими прямыми в конечной точке
пересечения, взятому с обратным знаком. []
Приведем еще две формулы, легко получающиеся из
тех же геометрических соображений.
Пусть w = f(z)—конформное отображение области D
на область D'. Если L — кривая, лежащая в области D,
L' — ее образ, a S' — длина L', то
5'= \ \f'(z)\\dz\. A.2)
L

§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ 179
Если G — область, лежащая в D, G' — ее образ, а' —
площадь G', то
Обе эти формулы легко доказываются из следующих
геометрических соображений: бесконечно малый элемент-
длины и бесконечно малый элемент площади не меняются
при преобразовании поворота; при преобразовании подо-
подобия элемент длины умножается на коэффициент подобия,
элемент площади — на его квадрат. Подробного доказа-
доказательства формул мы приводить не будем. Читатель, ос-
освоившийся с понятием интеграла, легко докажет их сам. Q
Заметим еще, что якобиан отображения w = /(z) ра-
равен \f'(z)\2. Действительно, отображение w = f(z) мож-
можно записать в виде
и = и(х, у), v = v(x, у).
где w = и + iv, z = х + iy; u(x, y)= Re /(.r + iy), v(x, i/) =
= Im f(x + iy). Тогда
д (и, v) ди dv dv du
д (х, у) дх ду дх ду '
что в силу уравнений Коши — Римана (§ 1 гл. II) равно
i/'(z)I2.D
В заключение приведем два важных результата, лежа-
лежащих в основе всей теории конформных отображений.
Теорема Римана. Для любой односвязной обла-
области, граница которой состоит более чем из одной точки,
существует голоморфная в этой области функция f(z),
конформно отображающая ее на круг \w\ < 1. Функция
f(z) единственным образом определяется условиями
/(а)=0, arg/'(a)=6 (a—произвольная точка области^
0—произвольное действительное число).
Эту теорему мы докажем в более общем виде в гл. IX,
где будет исследоваться вопрос о конформном отображе-
отображении многосвязных областей.
Теорема о соответствии границ. Пусть
D — конечная односвязная область, ограниченная кусоч-
кусочно гладкой кривой, a f(z)— какая-либо функция, кон-
конформно отображающая область D на круг \w\ < 1. Тогда
функция f(z) непрерывна вплоть до границы области Z),

180 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
а обратная к f(z) функция <p(w) равномерно непрерыв-
непрерывна в круге \w\ < 1.
Эту теорему мы тоже докажем в гл. IX.
§ 2. Дробно-линейные отображения
Дробно-линейным отображением называется отобра-
отображение, совершаемое функцией вида
w^ = ^ii (ad-ЪсфО) B.1)
{дробно-линейной функцией). Условие ad — be Ф 0 озна-
означает, что функция w(z) не сводится к тождественной по-
постоянной. Формула не определяет функцию при z = °° и
z — • Доопределяя по непрерывности, полагаем
d
{если с = 0, то w(°°)= °°).
Определенная таким образом во всей расширенной
плоскости z дробно-линейная функция является, очевид-
очевидно, мероморфной функцией во всей расширенной плоско-
плоскости. Равенство B.1) можно разрешить относительно z,
что даст
, . dw — Ь
Z (W) = : .
4 ' — cw -{- а
Таким образом, дробно-линейная функция имеет обрат-
обратную функцию, тоже являющуюся дробно-линейной. Сле-
Следовательно, дробно-линейная функция однолистна во всей
расширенной плоскости. Поэтому имеем:
Свойство 1. Дробно-линейное отображение явля-
является конформным отображением расширенной плоскости z
на расширенную плоскость w.
Докажем еще одно свойство.
Свойство 2. Результат двух последовательно вы-
выполненных дробно-линейных отображений тоже является
дробно-линейным отображением. Отображение, обратное
к дробно-линейному, тоже является дробно-линейным.
(Это свойство часто формулируют так: совокупность
дробно-линейных отображений образует группу.)

§ 2. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 181
Вторую часть утверждения мы уже доказали выше.
Для доказательства первой его части напишем
Подставляя выражение для ? в формулу для w, находим
az-\- Ь
W ~~ cz-\-d'
где
а = п\п2 + ЪгСх, Ъ = a2bi + 62^1,
С
Нетрудно проверить, что ad—bc=(a\d\~h\C\){a2di—biC2),
откуда видно, что ad—ЪсФ 0, если aldl — Ъ\С\ ?=0 и
Й2^2 — &2С2 ^ О- D
Заметим, что если с дробно-линейным отображением
az-l- Ъ 1а h\ - -
iy = .—г-r связать матрицу ¦ то обратному отобра-
* ~г " \с d '
жению отвечает обратная матрица, а последовательному
выполнению двух отображений — произведение матриц. [J
Свойство 3. При дробно-линейном отображении
образом любой окружности и прямой является тоже ок-
окружность или прямая.
Докажем это свойство непосредственно. Возьмем ка-
какую-либо окружность \z — Zo\ — R и посмотрим, куда
перейдет эта окружность при дробно-линейном отобра-
отображении. Случай прямой можно отдельно не рассматривать,
так как прямая является предельным случаем окружно-
тт _, aw -t- b _
сти. Пусть отображение имеет вид z = —ц—т. Подставив
выражение для z в уравнение окружности, получим
I (a — czq)w + (b — dz0) | = R\cw + d\
или
Квадрат модуля комплексного числа равен произведению
этого числа на число, комплексно сопряженное с ним.
Поэтому полученному уравнению можно придать вид
(aw + b')(a'w + b') = R2(Ew + d) (cw + d)

182 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ИЛИ
\a'\2\w\2 + \Ъ'\2 + a'b'w + а'Ъ'Ш =
= Д2,(|с|2Ы2 + \d\2 + cdw + cdw)..
Если положить w = и + iv и записать это уравнение в де-
декартовых координатах на плоскости (и, v), то получим
уравнение
А (и2 + v2)+Bu + Cv+D = 0,
которое является уравнением окружности или прямой.
Свойство доказано. [J
Для формулировки следующего свойства нужно сна-
сначала ввести понятие симметрии относительно окруж-
окружности.
Точки z и t, называются симметричными относительно
окружности Г, если они лежат на одном луче, выходя-
выходящем из центра Г, и произведение их расстояний от цент-
центра Г равно квадрату радиуса Г. Центр Г считается сим-
симметричным с бесконечно удаленной точкой.
Симметрия относительно прямой понимается в обыч-
обычном смысле:
Точки z и ?, называются симметричными относительно
прямой Г, если они лежат по разные стороны Г на одном:
расстоянии от нее и соединяющий их отрезок перпенди-
перпендикулярен Г.
Приведем типичные примеры симметричных точек.
Точки z и z являются симметричными относительно дей-
действительной оси. Точки z и —z являются симметричны-
симметричными относительно мнимой оси. Точки z и 1/1 являются
симметричными относительно окружности Ы = 1.
Очевидным образом вводится понятие множеств, сим-
симметричных относительно окружности.
Симметрию относительно окружности можно рассма-
рассматривать как отображение расширенной плоскости на рас-
расширенную плоскость. Формулы этого отображения нахо-
находятся без труда:
Если ?(z)—точка, симметричная с точкой z относи-
тельно окружности \z — а\ = R, то ?,(z) — а + =—=.
z — а
Таким образом, преобразование симметрии относитель-
относительно окружности отличается от дробно-линейного преобра-
преобразования еще переходом к комплексно сопряженным вели-
величинам. Свойства преобразования симметрии тесно связа-

§ 2. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 183
вы со свойствами дробно-линейных преобразований. Так,
свойство 3 означает:
Множество, симметричное с окружностью относитель-
относительно окружности, является окружностью или прямой. []
Лемма. Для того чтобы точки zu% были симметрич-
симметричны относительно окружности Г, необходимо и достаточно,
чтобы любая окружность С, проходящая через эти точки,
пересекала Г под прямым углом.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что центр окружности Г находится в на-
начале координат.
Докажем достаточность. Поскольку любая ок-
окружность, проходящая через точки z и %, пересекает Г
под прямым углом, то и прямая, соединяющая эти точки,
обладает этим свойством. Следовательно, прямая, соеди-
соединяющая точки z и ?, обязана проходить через начало
координат. Точки z и % должны лежать на одном луче,
выходящем из начала, по разные стороны Г, так- как в
противном случае окружность, проходящая через z и % и
имеющая отрезок (z, %) диаметром, не могла бы пересе-
пересекать Г. Таким образом, начало лежит вне любой окруж-
окружности С, проходящей через точки z и %, а луч, проходя-
проходящий через эти точки, является для этой окружности се-
секущей. Расстояние от начала до ближайшей из точек z
и % является внешней частью секущей, а до более дале-
далекой — длиной секущей (по терминологии учебников эле-
элементарной геометрии). Известна теорема элементарной
геометрии: произведение секущей на ее внешнюю часть
равно квадрату касательной из той же точки. Касатель-
Касательная к С из начала имеет длину радиуса Г, так как С и Г
л о условию пересекаются под прямым углом. Достаточ-
Достаточность доказана.
Необходимость доказывается тем же построени-
построением, так как произведение секущей на ее внешнюю часть
может равняться квадрату внешней части другой секущей
(радиус Г, проведенный в точку пересечения С и Г)
только в том случае, когда эта вторая секущая является
касательной. Лемма доказана.
Свойство 4. Если точки z\ и z<i симметричны от-
относительно прямой или окружности Г, a W\, w% и L —
образы z\, zi и Г при дробно-линейном отображении, то
точки wx и и>2 симметричны относительно окружности
(или прямой) L.

184 гл. v. конформные отображения
Согласно лемме для доказательства симметричности
точек w\ и W2 относительно окружности L достаточно по-
показать, что все окружности, проходящие через эти точки,
пересекают L под прямым углом. Но окружности, прохо-
проходящие через и>\ и w2,— это образы окружностей, прохо-
проходящих через z\ и z% Точки z\ и zi симметричны относи-
относительно Г, так что окружности, проходящие через z\ и Z2,
пересекают Г под прямым углом.
Поскольку дробно-линейное отображение является
конформным, то угол между кривыми равен углу между
их образами. Отсюда и следует утверждение свойства 4. []
Докажем несколько формул, относящихся к дробно-
линейным отображениям.
Теорема 2.1. Пусть ни среди точек Z\, zi, гз, ни
среди точек Wi, г#2, и>$ нет равных. Тогда существует
единственное дробно-линейное отображение w = w (z),
переводящее точки zh в точки wh. Это отображение опре-
определяется формулой
B.2)
Доказательство. Ясно, что функция w(z), опре-
определяемая равенством B.2), является дробно-линейной
функцией и что она переводит точки zh в точки wh. Оста-
Остается показать, что w(z)—единственная дробно-линейная
функция, обладающая этим свойством. Пусть даны две
такие функции wi(z) и wz{z), а ^2(^)— функция, обрат-
обратная к W2(z). Ясно, что отображение функцией ?2(^1B))
оставляет на месте точки zk, так как w\{zk)= wk, a t,2(wh) =
= zft. Согласно свойству 2 ?2(^1B))— дробно-линейная
функция. Положим
t, (W, (Z)) = -j—;.
Записывая условие, что при отображении функцией
%i{w\{z)) точки zh остаются на месте, получаем систему
уравнений
или
czj + (d-o)zft + b = 0 (k = 1,2,3).
Многочлен второй степени cz2 + (d — a)z+ Ъ может иметь
три различных корня лишь в том случае, если все его

§ 2. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 185
коэффициенты равны нулю. Следовательно, t,i{w\{z) )= z
и wi{z) — w\{z). Теорема доказана.
Теорема 2.2. Любое конформное отображение кру-
круга Ы < 1 на круг \и>\ < 1 имеет вид
w(z) = eief^, B.3)
1 га
где а— любая точка круга \z\ < 1, а 9 — любое действи-
действительное число.
Доказательство. Покажем сначала, что функция,
определяемая равенством B.3), действительно отобража-
отображает круг Ы < 1 на круг \w\ < 1. Для этого в силу взаим-
взаимной однозначности дробно-линейного отображения доста-
достаточно показать, что- окружность Ы = 1 переходит в ок-
окружность I w\ = 1 (поскольку точка z = а из круга Ы < 1
переходит в точку w = 0 из круга \w\ < \). Положим z =
= ещ. Тогда Ы = 1, z = е~щ, и мы получаем
e ~1 «е)!g | l
так как модуль комплексно сопряженного числа равен мо-
модулю самого числа.
Итак, мы доказали, что функция, определяемая равен-
равенством B.3), отображает круг \z\ < 1 на круг \w\ < 1.
Покажем, что других конформных отображений нет. По
теореме Римана (см. конец § 1) конформное отображение
любой односвязной области на круг \w\ < 1 определяет-
определяется единственным образом, если задать точку z = а из ото-
отображаемой области, переходящей в точку w = 0, и аргу-
аргумент производной отображающей функции в точке z = а.
Для функции, определяемой равенством B.3), w(a)=0,
arg w' (a)= 9. Следовательно, иных отображений нет,
и теорема доказана. [J
Аналогично доказываются и следующие утверждения:
Любое конформное отображение круга |zl<i? на
круг \w\ < 1 имеет вид
w = Reie-^-= (|a |< Л). B.4)
Любое конформное отображение полуплоскости Im z >
> 0 на круг \w\ < 1 1гл«еег eiic?
w = e«ezj^ (ima>0). B.5)
Z Я

186 гл- V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Любое конформное отображение полуплоскости Im z
> 0 на полуплоскость Im it' > 0 имеет вид
где а, Ь, с, d — действительные числа и ad — be > 0.
§ 3. Конформные отображения
элементарными функциями
Если дана некоторая область и голоморфная в ней
функция /(z), то сразу не видно алгоритма,, который по-
позволил бы найти образ данной области при отображении
w = f(z). С кривыми дело обстоит проще. Если z = z(t) —
уравнение кривой в плоскости z, то уравнение образа этой
кривой w = f(z(t)). Поэтому исследование отображений,
совершаемых данной функцией, лучше всего проводить
следующим образом: выбираем семейство кривых, покры-
покрывающее интересующую нас область, и находим образы
кривых этого семейства. Выбор семейства определяется,
конечно, конкретным видом отображающей функции.
Покажем, как исследуются таким образом основные
отображения, совершаемые элементарными функциями.
Это даст некоторый запас простейших отображений, кото-
которыми мы будем оперировать в дальнейшем. Г)
1. Функции w = ez и z = In w. Для исследования ото-
отображения iv = ez рассмотрим семейство прямых, парал-
параллельных действительной оси. Параметрическое уравнение
этих прямых имеет вид z = х + iC, где С — произвольная
действительная постоянная, а параметр х меняется от
— оо до + оо. Когда х возрастает от — °о до + °°, точка z
проходит прямую Im z = С слева направо. Уравнение об-
образа этой прямой при отображении w = е1 имеет вид w =
= ех ¦ е'с, — о» < х < °<>, или w = teic, 0 < I < °°. Следова-
Следовательно, при отображении w = ег образом прямой Im z — С
является луч arg w = С.
Будем теперь двигать прямую, непрерывно увеличи-
увеличивая С (начнем с С = а). Тогда луч, являющийся образом
прямой, будет непрерывно поворачиваться против часовой
стрелки. При таком движении прямая опишет полосу а <
< Im z < &, а ее образ — луч — опишет угол а < arg w <br
если только величина Ъ не превзойдет значения а + 2я.
При Ъ > а + 2я луч сделает полный оборот и опишет всю-
плоскость w с выколотой точкой w = 0. Следовательно,

§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 187
при отображении функцией w = ez образом полосы а <
< Im z < &, Ъ — а < 2л, является угол а < arg w <b,
.а образом полосы а < Im z < Ъ, Ъ — а > 2я, является вся
конечная плоскость w с выколотой точкой w = 0.
Выясним, когда отображение будет взаимно однознач-
однозначным, т. е. где функция ег является однолистной. Совер-
Совершенно очевидно, что необходимым и достаточным усло-
условием однолистности функции в области D служит су-
существование обратной к ней функции, определенной в
¦образе этой области. Функция ez имеет обратную к ней
аналитическую функцию In w. Обратная к ег функция
определена (т. е. однозначна) в области, если аналитиче-
аналитическая функция In w допускает выделение в этой области
голоморфной ветви. Если Ъ — а<= 2я, то мы знаем, что
функция In w допускает выделение голоморфной ветви в
угле а < arg w < b. Выделение голоморфной ветви In w
в плоскости w с выколотой точкой w = 0 невозможно. Та-
Таким образом, мы пришли к следующим результатам:
Полоса
a + 2jik<Imz<b + 2nk (b - a «S 2я) C.1)
при любом целом к конформно отображается функцией
w = ег на угол
a<&vgw<b. C.2)
Функция Ыю конформно отображает угол C.2) на
¦одну из полос C.1) (число к определяется выбором голо-
голоморфной ветви аналитической функции In w в этом угле).
Отображение функцией w = ez полосы а < Im z < b
ширины, большей 2я, на кольцо 0 < \w\ < °° уже не яв-
является взаимно однозначным.
Заметим, что последнее утверждение сразу следует и
из периодичности функции ег с периодом 2ni.
Полезно знать также, куда переходят при отображе-
отображении функцией w = е1 прямые, параллельные мнимой оси.
Записав их уравнения в виде z = С + iy, — °° < у < =»,
получаем для их образов уравнения w = есе'", — °° < у <
¦< °°. Ясно, что это уравнение представляет собой урав-
уравнение окружности \w\ = ec, обходимой бесконечно много
раз. Каждый отрезок прямой длины 2л отвечает полному
обходу окружности.
Соединяя эти сведения с полученными выше, полу-
получаем:

188 гл- V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Прямоугольник
с < Re z < d, а + 2кк < Im z < Ъ + 2пк
(Ь-а<2п) C.3)
при любом целом к конформно отображается функцией
w — ег на кольцевой сектор
ес< \w\ < e\ a<argw< Ъ. C.4)
Функция z = In w конформно отображает кольцевой
сектор C.4) на один из прямоугольников C.3) (число к
определяется выбором голоморфной ветви аналитической
функции In w в секторе). []
2. Функция Жуковского w= -g-fz H 1 и функция
z = w + 1/w2 — I. Исследуем обе функции вместе, так как
они являются обратными одна к другой.
В качестве семейства кривых удобно взять лучи
arg z = ф или окружности Ы = г. Рассмотреть придется
оба семейства. Начнем с семейства окружностей.
Уравнение окружности Ы=г запишем в виде z =
= ге!ф, 0 < ф < 2я. Тогда уравнение образа этой окружно-
окружности при отображении w = -~- z -\ ) получим в виде
а \ z
и;=* (reiq> + J_e-i<p], 0<ф<2я.
Поскольку это уравнение нам незнакомо, его стоит запи-
записать в координатах, положив w = и + iv. Тогда получим
1-Ьтф. C.5)
Г I
Исключая из этой системы уравнений параметр ф, прихо-
приходим к уравнению эллипса
имеющего фокусы в точках w = 1 и w = — 1. Поэтому при
отображении w = -q-(z ~l )образом окружности \z\ = r
является этот эллипс (или его часть). Из уравнений C.5)
видно, что при ф, меняющемся от нуля до 2я, точка w об-

§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 18$
ходит весь эллипс, причем при г < 1 эллипс обходится па
часовой стрелке, а при г > 1 — против часовой стрелки.
Посмотрим, как меняются эллипсы, когда г монотон-
монотонно и непрерывно возрастает от единицы до бесконечно-
бесконечности. При г = 1 малая полуось эллипса равна нулю и эл-
эллипс вырождается в отрезок (—1, 1), проходимый дваж-
дважды. При возрастании г обе полуоси увеличиваются и при
г -*¦ + со стремятся к бесконечности. Следовательно, обра-
образом области Ы > 1, заполняемой окружностями \z\ =rt
г > 1, является вся плоскость w с разрезом по отрезку
( — 1, 1). Отображение является взаимно однозначным,
так как функция w + 1/w2— 1, обратная к функции w =
= -7г- \z -\ , допускает выделение голоморфной ветви
в плоскости w с разрезом по отрезку (—1, 1) (для этой
цели функцию нужно представить в виде w I 1 + 1/ 1 §- j
и применить ко второму сомножителю теорему о моно-
дромии в расширенной плоскости с разрезом по отрезку
(-1.1)
Укажем еще и на другой способ исследования одно-
1 / 1 ^
листности функции w = -y(z + — )• Значение этой функ-
функции не меняется от замены z на —. Поскольку обратная
функция двузначна, то мы видим, что каждое значение
принимается функцией Жуковского в двух точках z и —
(и только в них). Поэтому для однолистности функции
Жуковского в области D необходимо и достаточно, чтобы
область В и ее образ D' при отображении Z, = — не име-
имели общих точек.
Из этого соображения следует, что функция Жуков-
Жуковского однолистна в областях Ы<1 и Ы>1 и что при
отображении функцией Жуковского образом каждой из
этих областей является вся плоскость w с разрезом по от-
отрезку ( — 1, 1).
Исследование образов лучей arg z = ц> при отображе-
. „ \ ( 1 )
нии функцией ii' = -g-lz-| J проводится совершенно
аналогично. Исключая г из уравнений C.5), приходим к

-190 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
уравнению гиперболы
2 -2
COS ф Sin ф
с фокусами в точках w = \ и w = — 1. Легко убеждаемся,
¦что образом луча arg z = ф является одна из ветвей ги-
гиперболы. Эта ветвь при ф = 0 вырождается в луч A, + °°),
л
проходимый дважды, при ср = -к—во всю мнимую ось,
при ф = я — в луч (— °°, —1), проходимый дважды.
Проведенные исследования позволяют описать ряд
конформных отображений, совершаемых функцией Жу-
1 I i \
ковского w = —g— 1 z + — J '¦
Круг Ы < 1 на плоскость w с разрезом по отрезку
(-1, 1).
Полуплоскость Im z > 0 на плоскость w с разрезами
по лучам (— °°, —1) иA, + °°).
Полукруг \z\ < 1, Im z > 0, на полуплоскость Im w < 0.
Круг \z\ < 1 с разрезами по отрезкам (Ь, 1), 0 < Ъ <
< 1, it ( — 1, —а), 0<а< 1, на плоскость we разрезом по
отрезку (—а, р), где а = -у I а + —), |5 = -у (б Н—?-
Каждую из областей в плоскости z можно заменить
«е образом при отображении % = 1/z, не меняя области,
получающейся в плоскости w.
Функция z = w + yw2— 1 совершает отображения, об-
обратные указанным выше. []
Отображения, описанные в п. 1 и 2, вместе с дробно-
линейными отображениями дают нам значительный запас
основных отображений. С их помощью можно строить
отображения другими элементарными функциями. Дело
в том, что, зная отображения, совершаемые функциями
j(z) и F(z), мы знаем и отображение, совершаемое функ-
функцией F(f(z)) (суперпозицию первых двух отображений).
Отображение любой из основных элементарных функций
можно представить в виде суперпозиции какого-то числа
уже изученных нами отображений. Например, отображе-
отображение w = tg z можно записать в виде
wx— iz, w2 — e , w — w3 + l>

§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 19|
а отображение w = cos z — в виде
wx = iz, w2 = ewi, ю = -^-\юг + —
Подробно разберем один простейший пример.
3. Функция w = za (а — действительное положитель-
положительное число). Имеем za = ealnz. Представим отображение-
функцией za в виде суперпозиции отображений
wx = In z, w2 = awv w = е™2
и рассмотрим отображение угла а < arg z < Ъ (Ъ — а < 2я).
Согласно п. 1 угол
а < arg z < Ь (Ь — а^2п)
переходит в одну из полос
a + 2nk<Imw1<b + 2nk C.6)
(целое число к определяется выбором ветви In z в угле).
Полоса C.6) переходит в полосу
аа + 2лак < Im w2 < аЪ + 2лак. C.7)
Полоса C.7) при а(Ь — а)<2я переходит в угол
ал + 2лак < arg w < ab + 2пак, C.8)-
а при а(Ь — а)>2п во всю плоскость w с выколотой точ-
точкой w = 0.
Следовательно:
Если 0 < 6 — а < 2я 1г а(& — а)< 2я, го г/гол
а < arg z <Ъ
конформно отображается функцией w = za ма oduw ii»
г/г.гов
аа + 2лак < arg w < ab + 2лак.
(Целое число к определяется выбором голоморфной вет-
ветви функции в исходном угле.)
Ясно, что исходный угол можно заменить кольцевым
сектором и в результате отображения тоже получить не-
некоторый другой кольцевой сектор. []
Если перед нами стоит задача найти функцию, кон-
конформно отображающую одну заданную область на дру-
другую, то мы поступаем примерно так же, как при отыска-

192 гл. v. конформные отображения
нии неопределенного интеграла. Описанные выше ото-
отображения играют при этом примерно ту же роль, что и
табличные интегралы при интегрировании.
§ 4. Принцип симметрии Римана — Шварца
Принципом симметрии Римана — Шварца называется
¦один частный способ аналитического продолжения, за-
замечательный своей простотой. Он имеет большое значе-
значение в теории конформных отображений.
Сначала докажем простейший результат.
Теорема 4.1. Пусть функция f(z) голоморфна в
¦области D, частью границы которой является отрезок
действительной оси L, и непрерывна вплоть до границы
D. Если на отрезке L функция f(z) принимает действи-
действительные значения, то ее мооюно аналитически продолжить
через отрезок L в область D', симметричную с областью
D относительно действительной оси. Продолжение дается
формулой
F(z) = f(z). D.1)
(Если D и D' имеют общие точки, то значения F(z) и
f(z) в этих точках не обязаны совпадать.)
Доказательство. Прежде всего покажем, что
функция F(z), определенная равенством D.1), голоморф-
голоморфна в области D' и непрерывна вплоть до границы D'.
Непрерывность следует из очевидного равенства
Для доказательства дифференцируемое™ F(z) обозначим
. _F(z) — F(a)
z — а
Тогда
¦j _ 7Ц - TJfl) _ 1 (i) - / (а)
z — a z — а
я lim A = f (а). Следовательно, предел lim —' __ Су.
2-»а 2->а z a
тцествует и равен f'(a), т. е. F(z) дифференцируема в
D', а значит, и голоморфна.
Возьмем теперь некоторую достаточно малую окрест-
окрестность точки отрезка L. Одна половина этой окрестности
входит в D, вторая — в D'. Рассмотрим функцию cp(z),

§ 4. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА — ШВАРЦА 193
равную /(z) в первой половине и F(z) — во второй поло-
половине. Если мы докажем, что cp(z) голоморфна во всей
окрестности, то это будет означать, что /(z) аналитиче-
аналитически продолжается через L, и мы получим утверждение
теоремы. Для этой цели заметим, что cp(z) непрерывна
в точках отрезка L (а значит, и во всей окрестности),
так как Hm f(z) = f (x), lim F (z) = / (х), a f{x) = f (x) вви-
2-»Ж 2->Ж
ду действительности f(x) при x^L. Применяя теорему
2.2 гл. IV о стирании особенностей, получаем голоморф-
голоморфность ф(г). Теорема доказана.
Замечание. Если функция f(x) конформно ото-
отображает область D на некоторую область В, то из фор-
формулы D.1) легко следует, что функция F(z) конформно
отображает область D' на область В', симметричную с
областью В относительно действительной оси. []
С помощью дробно-линейных отображений теореме 4.1
можно придать значительно более общий вид.
Теорема 4.2. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D, граница которой содержит дугу окружности L,
и непрерывна вплоть до границы D. Если значения, при-
принимаемые функцией f(z) на дуге L, лежат на окружно-
окружности Г, то функцию f(z) можно аналитически продолжить
через дугу L в область D', симметричную с областью D
относительно окружности, содержащей дугу L. Функция
F(z), дающая аналитическое продолжение функции /(z)
в область D', определяется там следующим образом: зна-
значения F(z') и f(z) симметричны относительно окружно-
окружности Г, если точки z и z симметричны относительно ок-
окружности, содержащей дугу L.
Доказательство. Пусть
a ?(z) и w(t)—обратные к ним дробно-линейные отобра-
отображения. Подберем функции z(?) и t(u>) так, чтобы при
отображении z — z{t,) действительная ось плоскости ?
переходила в ту окружность плоскости z, которая содер-
содержит дугу L, а при отображении t — t(w) окружность Г
в плоскости w переходила в действительную ось плоско-
плоскости t. Этого всегда можно добиться, скажем, с помощью
формул теоремы 2.1, задав соответствующие тройки точек.
Обозначим через D\ ту область плоскости %, которая
переходит в область D при отображении z = z{%), а че-

194 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
рез L\ — прообраз дуги L при этом отображении. Со-
Согласно выбору функции %{%) этот прообраз является от-
отрезком действительной оси. Таким образом, функция
/i {%) = f(z{t,)) голоморфна в области D\ и непрерывна
вплоть до ее границы, а на отрезке действительной оси
L\ функция /iE) принимает значения, лежащие на ок-
окружности Г.
Далее, рассмотрим фупкцию
Поскольку при отображении t = t(w) окружность Г пе-
переходит в действительную ось, то функция g{?.) удовлет-
удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1 и ее можно аналити-
аналитически продолжить в область Dv симметричную с Di от-
относительно действительной оси. Следовательно, функцию
f{z), которая выражается через g(t,) с помощью дробно-
линейных отображений
f(z)=w(g(t(z))),
можно аналитически продолжить в область D', являю-
являющуюся образом области Dx при отображении z = z{t,).
Но дробно-линейные отображения сохраняют симметрию
точек относительно прямых и окружностей. Поэтому об-
область D' симметрична с областью D относительно образа
действительной оси при отображении z = z(t,), т. е. отно-
относительно окружности, содержащей дугу L. Таким обра-
образом, мы получили утверждение теоремы о возможности
продолжения функции f(z) в область D' через дугу L.
Из тех же соображений получаем и формулу для про-
продолжающей функции. Теорема доказана. []
Ясно, что замечание к теореме 4.1 применимо и сей-
сейчас. Поскольку этим замечанием приходится часто поль-
пользоваться, сформулируем его отдельно:
Следствие. Пусть функция f{z), голоморфная в
области D и непрерывная вплоть до ее границы, кон-
конформно отображает область D на область В. Пусть, да-
далее, при отображении w = f(z) дуга окружности L, вхо-
входящая в границу • D, переходит в дугу окружности Г,
входящую в границу В. Обозначим через D' область,
симметричную с областью D относительно окружности,
содержащей дугу L, а через В' —¦ область, симметричную
с областью В относительно окружности, содержащей ду-
дугу Г. Допустим, что области D и D', В и В' не имеют

§ 4. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМ AHA — ШВАРЦА 195
общих точек, и обозначим, через G область, состоящую
из объединения D, D' и дуги L, входящей в их общую
границу, а через К — область, состоящую из объединения
В, В' и дуги Г. Тогда функцию f(z) можно аналитиче-
аналитически продолжить в область G, и она конформно отобра-
отображает ее на область К. []
Покажем, как применяется принцип симметрии при
отыскании конформных отображений заданных областей.
Пример 1. Найдем какую-либо функцию, конформно
отображающую плоскость z с разрезами по отрезкам
0, е~^~) (^ = *> 2' •••> 2ге) на
И плоскость с разрезами, и круг делятся на 2ге сим-
симметричных частей: углы
и секторы
|w|<l, k~- л, < arg w < -^ л (Л= 1,2, ..., 2«).
Естественно ожидать, что среди функций, конформно ото-
отображающих нашу область на круг, найдется такая, ко-
которая отображает каждый из углов на соответствующий
сектор.
Действительно, докажем, что функцию/(z), конформно
отображающую угол
<-J D.2)
на сектор
М<1, O<arg«;<-^-I D.3)
и переводящую лучи A, +°°) и (еяг/п, +оое'1!/") в радиу-
радиусы сектора @, 1) и @, ея'/п), можно аналитически продол-
продолжить в плоскость с разрезами @, ekni/n) (/с = 1, 2, ..., 2га),
и продолженная функция отображает ее на круг |и?|<1.
Для доказательства применим принцип симметрии.
Возьмем в качестве области D угол D.2), в качестве В —
сектор D.3), а в качестве L и Г — луч (e"i/n, +<x>e*i/n) и
радиус @, еЛ1/") соответственно. Тогда, применяя следст-
следствие теоремы 4.2, получаем, что функцию f(z) можно ана-
аналитически продолжить через луч L в область G — угол
0«<argz«< —с разрезом по отрезку @, ея?/п). Образом

196 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
области G при отображении продолженной функцией яв-
является сектор \w\ <1, 0«<argw«<—.
Проведенное рассуждение можно повторить, применив
к области бик продолженной функции, взяв в качестве
новой дуги L луч (е2яг/", +ooe2*iln), и т. д. В результате
придем к продолжению функции /(z) на всю плоскость
с разрезами.
Таким образом, остается лишь найти отображение
угла на сектор, удовлетворяющее указанным условиям,
т. е. функцию /(z). Заметим, что фактически никакого
аналитического продолжения нам не придется делать.
Рассуждения с аналитическим продолжением были необ-
необходимы только для оправдания условий, определяющих
выбор отображения угла на сектор.
Для отыскания функции /(z) поступим следующим
образом.
Отображение w\=zn переводит угол 0<Cargz<;—
в полуплоскость Im wi > 0, причем лучи A, +°°) и
(eni/n, +ооея;/п) переходят в лучи A, +°°) и (-1, -°°)
соответственно.
Отображение и>2 = wt — У w\ — 1 (функция, обратпая
к функции Жуковского) переводит полуплоскость Im w\ >
>0 в полукруг |и>г1 < 1, 1тм?2<0, причем луч A, +°°)
переходит в радиус @, 1), а луч (—1, — <») — в радиус
(-1, 0).
Отображение w$ = —w^ — это поворот на угол я вокруг
начала координат против часовой стрелки.
Отображение w = yrw3 переводит полукруг |и?з1<1,
Im и>з > 0, в сектор I w\ < I, 0<arg w<i —, причем радиу-
радиусы переходят в радиусы.
Искомое отображение получено. Выражая w непосред-
непосредственно через z, получаем
w (z) = Vzn— У"г2п— 1,
Для функции (z" — Vz2" — 1I/п выбирается голоморфная в
нашей плоскости с разрезами ветвь, принимающая для
z > 1 положительные значения. []
Не следует думать, что принцип симметрии лишь об-
облегчает построение отображающей функции для областей
с большим числом симметрии.

§ 4. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА — ШВАРЦА 197
Пример 2. Найдем какую-либо функцию, конформ-
конформно отображающую область D плоскости z = х + iy, опре-
определенную неравенствами
xl-f>\, х>0,
на полуплоскость Re w > 0.
При исследовании функции Жуковского в § 3 мы ви-
видели, что граница области D I т. е. ветвь гиперболы
1 \
х2 — у2 = —, х > 01 отображается функцией w = z +
* 1
+ iz2 — 1 в луч arg w = -г-. Однако всю область D нельзя
отображать этой фукцией, так как она имеет в ней осо-
особую точку z = 1. Тем не менее отображение этой функ-
функцией можно использовать для отыскания отображения
верхней половины области D, т. е. области, определенной
неравенствами
*2г/2> х>0
С помощью принципа симметрии легко найдем искомое
отображение.
Те же соображения, что и в примере 1, показывают,
что мы получим искомое отображение, если найдем ото-
отображение верхней половины области D на угол
0 < arg w < -g-. При этом нужно только потребовать, что-
чтобы при отобра5кении дополнительный разрез в области D,
т. е. луч A/У2, +°°), переходил в дополнительный раз-
разрез в полуплоскости Re w > 0, т. е. в луч arg w = 0, ины-
иными словами, чтобы часть гиперболы х2 — у2 = —-, ж>0,
У > 0, переходила в положительную часть действитель-
действительной оси. Это отображение строим следующим образом.
Функция w\ = z + Vz2 — 1 отображает область, опреде-
определенную неравенствами D.4), на сектор i w\ \ < 1,
0< arg и^-сС-^-, причем часть гиперболы, входящая в
границу области, переходит в радиус @, еЯ1/4).
Функция и>?= wi отображает сектор |wil<l, 0<
<argw;1<-^-) в полукруг \w2\ < 1, Im w2 > 0, причем
радиус @, ея'74) переходит в радиус @, —1).

19S ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1 / 1 \
Функция ? = -jj-l ";2 + — ) отображает полукруг I iv2\ <
V 2 /
< 1, Im u>2 > 0, в полуплоскость Im ? < 0, причем радиус
(О, —1) переходит в луч (—1, —°°).
Итак, отображение ? = ?(z) переводит верхнюю поло-
половину области D в полуплоскость Im ?, < 0, причем часть
гиперболы, входящая в границу этой половины, переходит
в луч (—1, — °°), а луч A/V2, +°°)—в остальную часть
границы, т. е. в луч (—1, +°°). В силу принципа симмет-
симметрии функцию_? (z) можно аналитически продолжить че-
через луч A/V2, +°°) в область D и продолженная функ-
функция отображает область D на плоскость ? с разрезом по
ЛУЧУ (~1>~°°)- Для получения окончательного результа-
результата остается еще сделать отображение w = У2? + 2, пере-
переводящее эту плоскость с разрезом в полуплоскость
Re w > 0.
Выражая w через z, получаем окончательное выраже-
выражение для искомой отображающей функции
w= Vi + (z + Y t^iy + B — /F^T)*.
§ 5. Интеграл Кристоффеля — Шварца
Принцип симметрии можпо применить для вывода
формул, дающих аналитическое выражение функций,
конформно отображающих круг или полуплоскость на
многоугольник. Эти формулы известны под названием
формул Кристоффеля — Шварца или интеграла Кристоф-
Кристоффеля — Шварца. Полностью докажем лишь простейшую
из них.
Теорема 5.1. Пусть D — конечный многоугольник
(односвязный) с вершинами в точках w = Ak (к = 1, 2,
..., re) и с внутренними углами в этих вершинах, равны-
равными яал @<aftsg2). Если функция /(z) конформно ото-
отображает круг |z|<l на многоугольник D в плоскости w,
причем прообразами вершин Ah являются точки ah, лежа-
лежащие на окружности \z\ = 1, то
z
/(z) = С J (S - а^1 ...(?- anf"'1 dl¦+Cl{\z\< 1),
E.1)
где С и С\ — некоторые постоянные.

§ 5. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 199
Доказательство. Ввиду сложности теоремы ра-
разобьем доказательство на несколько этапов.
1. Функция /(z), конформно отображающая круг
Ы< 1 на многоугольник D, существует по теореме Рима-
на (см. конец § 1). Покажем, что функцию /(z) можно
аналитически продолжить по любому пути, не проходя-
проходящему через точки а\, «2, .. •, яп, и что любой элемент по-
полученной аналитической функции однолистен в любой
точке расширенной комплексной плоскости, за исключе-
исключением точек z = ак.
Окружность Ы=1 разбивается точками ак на п дуг,
которые мы обозначим L\, L<t, ..., Ln. По теореме о соот-
соответствии границ (см. конец § 1) функция /(z) непрерыв-
непрерывна в круге |z|s?l и дуги Lh отображаются ею в соответ-
соответствующие стороны многоугольника D, которые мы будем
обозначать Тк. Согласно принципу симметрии (см. теорему
4.2 и следствие из нее) функцию /(z) можно аналитиче-
аналитически продолжить в область Ы > 1 через каждую из дуг Lk.
В результате продолжения получаем функцию Fk(z).
голоморфную в области \z\ > 1, которая конформно
отображает эту область на многоугольник Dh, сим-
симметричный с многоугольником D относительно сторо-
стороны 1\.
Каждая из функций Fh(z) обладает теми же свойства-
свойствами, что и функция /(z). Она голоморфна в области Ы>
> 1 и конформно отображает эту область на многоуголь-
многоугольник Dk, причем точки as переходят в вершины много-
многоугольника, а дуги Ls — в его стороны. Поэтому каждая
из функций Fh(z) аналитически продолжается в круг
|z| < 1 через дуги La. В результате продолжения получа-
получаются функции FK,(z), к которым применимы те же рас-
рассуждения, и т. д.
Проведенные рассуждения показывают, что функцию
/(z) можно аналитически продолжить по любому пути,
не проходящему через точки z = ah — концы дуг Lk.
Исследуем однолистность получаемых элементов ана-
аналитической функции (будем обозначать ее F (z)).
В каждой точке, не лежащей на окружности Ы=1,
однолистность любого элемента F(z) очевидна. Действи-
Действительно, выделяя по этому элементу голоморфную ветвь
аналитической функции F(z) в круге |z|<l (или в об-
области Ы>1), получим функцию, конформно отображаю-
отображающую эту область на многоугольник, полученный из мно-
многоугольника D каким-то числом симметрии. Отсюда по

200 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
определению следует однолистность элемента в любой
точке круга Ы < 1 (или области Ы > 1).
Если точка z = а лежит на дуге Lk, то выделим голо-
голоморфную ветвь в плоскости, разрезанной по всей окруж-
окружности |z| = 1, за исключением дуги Lh. Тогда круг \z\ < 1
отображается выделенной ветвью на некоторый много-
многоугольник, а область Ы>1—на многоугольник, симмет-
симметричный с ним относительно соответствующей стороны.
Ясно, что некоторая окрестность дуги Lh конформно ото-
отображается на некоторую область, содержащую соответст-
соответствующую сторону, общую для обоих упомянутых много-
многоугольников. - Отсюда следует однолистность всех элемен-
элементов F{%) и во всех точках окружности Ы=1, за исклю-
исключением точек z = ак.
Особо подчеркнем, что бесконечно удаленная точка не
является исключением — все элементы F(z) голоморфны
и однолистны в бесконечно удаленной точке.
2. Исследуем подробнее характер многозначности ана-
аналитической функции F(z) и покажем, что функция
g (z) = , • голоморфна во всей плоскости за исклю-
исключением, может быть, точек z = ак и точки z = °°.
Чтобы получить из исходной функции /(z) какую-либо
другую голоморфную ветвь аналитической функции F(z)
в круге Ы < 1 (или в области |г| > 1), надо указать после-
последовательность номеров дуг Lk, через которые мы аналити-
аналитически продолжали функцию f{z). При различных после-
последовательностях номеров мы получаем, вообще говоря,
различные голоморфные ветви функции F(z). Выясним,
чем они отличаются. Достаточно выяснить, чем отлича-
отличаются функции Fh(z) и Fa(z), построенные на первом
этапе.
Обозначим для краткости через (^4) г точку, симмет-
симметричную с точкой А относительно прямой Г. Ясно, что
((А)Т)Г = А.
По принципу симметрии имеем
так как точки z и 1/z симметричны относительно окруж-
окружности |zl=l. Отсюда находим
Fh (z) = ((Fs (z))r$) - el^Fs (z) + Ym

§ 5. ИНТЕГРАЛ КРЙСТ ОФфЕЛЯ — ШЁАРЦА 201
(фм и 'Yfts — постоянные), так как две последовательно
выполненные симметрии относительно прямых равносиль-
равносильны переносу и повороту. Обозначим Tk<a (w) = el4>h>sw + yktS.
Тогда полученное соотношение можно записать в виде
Fh(z)=Th,.{F.(z)).
Из этого соотпошения легко получаем
и аналогично для любого числа индексов.
Поскольку суперпозиция линейных функций снова яв-
является линейной функцией, мы видим, что любые две
ветви аналитической функции F(z), скажем, /i(z) и /2B)
связаны соотношением
где ф и if — некоторые постоянные. Поэтому -у— = ——.
Последнее равенство показывает, что выражение
g(z) = , ' не зависит от выбора ветви F(z). Это оз-
означает, что функция g(z) однозначна во всей плоскости.
В силу доказанной на первом этапе однолистности всех
элементов F{z) в точках, отличных от z = ah, мы получа-
получаем согласно теореме 1.2, что F'(z)?=0 при z ?= ah и при
z ?= °°. Следовательно, функция g{z) голоморфна во всей
плоскости, за исключением, быть может, точек z = ак и
точки z =>°°.
3. Покажем, что для построенной однозначной функ-
F" ()
/ \ F (z) л:
ции g (z) = „, ' справедлива формула
.M z — (
Й=1
F" (z)
Исследуем поведение функции g (z) = ' ' в окрест-
окрестности бесконечно удаленной точки и в окрестности точек
z = ак (эти точки, как доказано на втором этапе, могут
быть для g{z) изолированными особыми точками одно-
однозначного характера). При этом исследовании можно
пользоваться любой голоморфной ветвью аналитической
функции F(z), например исходной функцией f(z).
Функцию f{z), как показано на первом этапе, можно
аналитически продолжить в окрестность бесконечно уда-

2о2 г*Л. v. конформные отображения
ленной точки, и она однолистна там. Согласно следст-
следствию 1 теоремы 1.2 имеем
Отсюда
ci 2сг и 2ci 6сз
^2 23 • • • > / Z3 24
Следовательно,
Таким образом, функция g(z) голоморфна в точке z = °°.
Для исследования функции g(z) в окрестности точки
z = ak рассмотрим функцию hk(z) = f/(z)— ^ft]1/aft в дос-
достаточно малом «полукруге» \z — ah\<p, |z|<l. Функция
/(z) конформно отображает этот «полукруг» на область,
ограниченную двумя сторонами многоугольника D, выхо-
выходящими из точки Ак, и некоторой кривой (образом «полу-
«полуокружности» |z —aj = p, |z|<l). Но функция w =
~\t — A)Ua конформно отображает угол раствора an с
вершиной в точке t, = А на угол раствора п с вершиппй.
в точке w = 0, т. е. на полуплоскость. Следовательно,,
функция hh(z) конформно отображает наш полукруг на;
область, ограниченную отрезком прямой (образ «диамет-
«диаметра») и некоторой кривой (образ «полуокружности»). По*
принципу симметрии функцию hh(z) можно аналитически
продолжить через диаметр полукруга и полученная ана-
аналитическим продолжением функция (обозначим ее по-
прежнему hh(z)) будет конформно отображать круг
\z — ak\<p на некоторую область, содержащую точку
w = 0. Поэтому функция hh(z) голоморфна и однолистна
в точке z=-ah. Следовательно, по теореме 1.2 имеем
hk (я*) т^ 0, и мы можем написать
hh{z) = (z-ah)([,h(z),
где ф*(г) голоморфна в точке z = ak и фА(аА)^0. Отсюда
имеем
/ (z) = Ak + (z - ek) afci|ifc (z), g (z) = a~^ + 9ft (z)'
где 6fc(z) голоморфна в точке z = ah.

§ 5. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 203
п
Теперь рассмотрим функцию б (z) = g(z) —
Эта функция голоморфна во всей расширенн'ой плоскости,
так что по теореме Лиувилля (теорема 2.3 гл. IV) имеем
6(z) = const. Кроме того, было показано, что g{z)~ —
при z-*-°°, а значит, 6(z)->-0 при z->¦<». Следовательно,
6(z)=0, и наше утверждение доказано.
4. Было доказано, что
f" (г) _
/» ^
Интегрируя это равенство, получаем
со
ln/'(z)= 2 {ah-l)\n{z-ah) + \nC
ft=i
или
/' (z) = С (z - a.fi-1 ... (z - a»)*"-1.
Интегрируя еще раз, получаем утверждение теоремы. []
Отметим различные модификации формулы E.1).
Прежде всего заметим, что та же самая формула E.1)
пригодна и для определения функции, отображающей на
многоугольник D любую полуплоскость или круг. Следу-
Следует только считать точки z = ah расположенными на соот-
соответствующей окружности или прямой. Q
Если одна из точек ah является бесконечно удаленной
точкой, то формула E.1) даже упрощается. Именно, если
ап = ooj то
/ (z) = С j (? - a/i ... (С - an-if"-*-1 d? + Сх. E.2)
о
Доказательство формулы E.2) остается тем же, только
на третьем этапе точку z = °° нужно исследовать так же,
как и точки z = ak. Ц
Если одна или несколько вершин многоугольника D
попадает в бесконечность, формулы E.1) и E.2) оста-
остаются без изменений. Нужно лишь для определения соот-
соответствующих углов jtaft пользоваться определением угла
в бесконечно удаленной точке, которое приведено в § 1.
Угол пак уже может быть равен нулю (вообще говоря, он

204 гл. v. конформные отображения
отрицателен). Доказательство формулы остается без из-
изменений. G
Если бесконечно удаленная точка лежит внутри много-
многоугольника, то формула принимает вид
z
1 (Z) = J (С - a/i-1 ... (С - а*)"*-1 ?-^_- + Cv E.3)
где z = а — точка, переходящая в бесконечность. Доказа-
Доказательство отличается лишь тем, что на третьем этапе нуж-
нужно исследовать еще и точку z='fl. (_)
Аналогичным методом можно получить формулы и
для функции, конформно отображающей полуплоскость
или круг на многоугольник, ограниченный дугами окруж-
окружностей. Схема доказательства остается прежней, но все
этапы кроме первого подвергаются значительным измене-
изменениям. На втором этапе приходится доказывать однознач-
f" (z)
ность не функции g(z; f) = , . ,-, а более сложной функции
остающейся неизменной не только при линейных, но и
при любых дробно-линейных преобразованиях, совершае-
совершаемых над функцией /(z), т. е. удовлетворяющей соотно-
соотношению
(Выражение S(z; /) называется инвариантом Шварца.)
Третий этап доказательства меняется сравнительно мало.
Теми же средствами доказывается равенство
где постоянные Ск подбираются так, чтобы S(z; f) = O (z~4)
(z-^-oo). Сильнее всего усложняется четвертый этап до-
доказательства. Вместо легко интегрируемого равенства
/ Л f" B) Л. Л.
g (z; /) = , , получаем дифференциальное уравнение

§ 6. ОЦЕНКИ ОТОБРАЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ 205
Интегралы, возникающие из формул Кристоффеля —
Шварца, как правило, не берутся в элементарных функ-
функциях. Однако главная неприятность не в этом. Наиболь-
Наибольшая трудность — в определении постоянных ah (а для
многоугольников, ограниченных дугами окружностей, еще
и постоянных Ch). Произвольно задать можно лишь три
постоянные ah. Они уже полностью определяют все ото-
отображение, а значит, и остальные постоянные. Для их
определения можно написать систему уравнений, но ре-
решить эту систему (не приближенно) обычно не удается.
Поэтому явные формулы для отображающих функций
интеграл Кристоффеля — Шварца дает лишь для тре-
треугольников или для многоугольников, сводящихся к тре-
треугольникам с помощью принципа симметрии. В случае
прямолинейных треугольников отображающая функция
выражается через эллиптические функции, в случае тре-
треугольников, ограниченных дугами окружностей,— через
гипергеометрические функции. Если треугольники очень
вырожденные, то удается найти интегралы и через эле-
элементарные функции.
§ 6. Оценки конформного отображения
вблизи границы
Во многих случаях не обязательно точно знать отобра-
отображающую функцию. Бывает достаточно иметь оценку по-
поведения этой функции вблизи той или иной граничной
точки. Для этого желательно иметь неравенства, позво-
позволяющие оценить функцию, отображающую данную об-
область G на некоторую каноническую область через прос-
простые геометрические характеристики границы области G
в окрестности интересующей нас точки.
Сначала разъясним смысл неравенств, которые мы
будем доказывать, на простом примере.
Пусть часть области G, лежащая в окрестности гра-
граничной точки ?, представляет собой сектор раствора л/а.
Тогда функция w(z), конформно отображающая область
G на круг \w\< 1, имеет вид
iv{z)=w[l)+(z-irg{z), F.1)
где функция g(z) голоморфна в точке % и g(?,)?=0. (По-
(Подобное утверждение доказывалось с помощью принципа
симметрии в третьем этапе доказательства теоремы 5.1.)

206 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Из представления F.1) вытекают неравенства
Рис. 5
Наша основная цель — доказать аналогичные неравенства
и для случая, когда в точке ? соединяются не две пря-
прямые, а две более или менее произвольные кривые. При
этом, конечно, функцию \z — %\а придется
заменить какой-то другой функцией, опре-
определяемой по расстоянию между соединяю-
соединяющимися кривыми. |_|
Чтобы возможно больше упростить
формулировки результатов, задача обыч-
обычно рассматривается в следующем кано-
каноническом виде.
Всюду в дальнейшем будем считать,
что область D односвязна и имеет конеч-
конечное непустое пересечение с любой пря-
прямой Re z = х, —оо < х < оо, л что функ-
функция w{z) конформно отображает область
D на полосу | Im w | «< -^-, причем Re w ->• ±°° при Re z ->¦
-*¦ ±оо. Через z(w) будем обозначать функцию, обратную
к w(z).
Нетрудно убедиться, что функция w(z) определяется
наложенными условиями с точностью до аддитивной по-
постоянной.
Граница области D распадается на две части, соеди-
соединяющиеся лишь в бесконечности. Верхнюю граничную
кривую мы будем обозначать С+, а нижнюю — С~. Ясно,
что при отображении w = w (z) кривая С+ переходит в пря-
прямую Im w = -g-, а кривая С~ — в прямую Im w = ^-.
Рассмотрим сечение области D прямой Re z = x. Это
сечение состоит, вообще говоря, из счетного числа отрез-
отрезков. Отберем среди этих отрезков те, которые соединяют
С+ и С~ Охотя бы один такой есть, и их конечное число).
Тот отрезок, который встречается первым при движении
вдоль области D от Rez = —оо к Rez^+oo, обозначим
8х (рис. 5), а его длину 9(ж). Q
Задача состоит в получении оценки для величины
Re[w(z)— w(t,)] через 8(ж) при больших значениях
Re(z-E).
К изложенной канонической постановке можно свести
более или менее любую задачу. Например, при исследо-

§ 6. ОЦЕНКИ ОТОБРАЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ 207
вании отображения t = t(t,) области G на круг Ы<1 в
окрестности конечной точки ? =¦ а мы сводим задачу к ка-
канонической постановке с помощью замены переменных
г = In\~ а , w = In ~ ; Л где а и а' — граничные точ-
с, ¦— а, г — i(a)
ки области G. Эта замена переводит область G в полосо-
образную область D, а круг — в полосу. Ц
Следующий результат носит название теоремы Алъ-
форса.
Теорема 6.1. Если z e 0a, g e 0ii a
ь
ГО
Прежде чем приступать к доказательству теоремы,
докажем одну элементарную лемму о неравенстве для ин-
интегралов, которой нам придется воспользоваться.
Лемма 1. Пусть В(х) и со (ж)—произвольные поло-
ъ
жительиые функции. Если \ а . , > 2, го найдутся такие
а
% и г), удовлетворяющие условию а < | < ц < &, что
I ь
Г Г
J
6(*) ^ ' J 9(х)
¦л
¦л
1 [со (^)
Доказательство леммы. Сначала приведем
утверждение к виду, более удобному для доказательства.
Обозначим через с, а', Ъ' числа, удовлетворяющие ус-
условиям а<а'<с<Ъ'<.Ъ и такие, что
rt rt rt л
с а а Ь'

208 ГЛ. V, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Далее, обозначим
с
Утверждение леммы заведомо вытекает из следующего
утверждения:
Существуют точки | и т], а<\<а, Ъ' < ц < Ъ, для
которых
Докажем существование т). Допустим противное. Тогда
на всем отрезке (&', Ъ) имеет место неравенство —ф (х) <
< со (х) — я, которое можно записать в виде
со2
При х > с, дифференцируя формулу для ф (а;), без труда
находим со2 (я) =<р' (х) 0 (а;). Следовательно, мы получаем
Интегрируя это неравенство от Ъ' до Ъ, получаем
Ь <р(Ь)
Г Г
Но согласно определению числа Ь' интеграл, стоящий сле-
слева, равен единице. Полученное противоречие доказывает
существование постоянной т).
Аналогично доказывается существование %. U
Доказательство теоремы. Обозначим через Lx
образ отрезка 8Х при отображении w = w (z) и положим
(рис. 6)
и+ (ж) = sup Re w, u~ (x) — inf Re wt
L L
со (a;) =¦ u+ (x) — it,' (x).
Поскольку отрезок 8* соединяет кривые С+ и С~, то кри-
кривая Lx соединяет прямые Imw= -5- и Imu; = jp. Эта
кривая лежит в прямоугольнике |1тц;|<-2-, и~1х\<

§ 6. ОЦЕНКИ ОТОБРАЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
209
< Re w < и+ (х), и имеет общие точки с каждой из его
сторон (возможно, в их концах). Поэтому длина кривой
Ьх не меньше длины диагонали прямоугольника, которая
равна У л2 + со2 (ж). С другой стороны, длину кривой Lx
можно записать в виде ин-
интеграла
dw |
\dw(z)\
m
T
О
Следовательно, мы имеем не- л[
равенство ~~г~
я2 + в!(г)< J \w'{z)\dy\ . Рис б
Но в силу неравенства Буняковского — Шварца
^и
2^. F.2)
Поэтому, полагая /=>1, g = |w'(z)| и учитывая, что
8 (я), приходим к неравенству
j
ж)| \w'(z)\2dy.
Деля обе части этого неравенства на Q(x) и интегрируя
по а; от а до Ь, получаем
ь ь ъ
J
а 6х
Интеграл, стоящий в левой части неравенства, есть не что
иное, как площадь образа части области D, заключенной
между во и 8й, при отображении w = w(z) (см. § 1, фор-
формулу A.3)). Этот образ является частью полосы
\lmw\<^.-^-, заключенной между кривыми La и Lb, так
что он заведомо лежит внутри прямоугольника
llm
w\

210 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
и его площадь не превосходит площади этого прямоуголь-
прямоугольника. Так как площадь прямоугольника равна
л[и+(Ь)- и~ (а)]='п[и- (Ъ)- и+ (а)] + п[а(Ъ)+ со (а)],
получаем неравенство
ь
Но и+(х) и u~(x)—возрастающие функции х. Поэтому
при а < g < г] < Ъ имеем u~(b) — и+(а)> и~(ц) — "+(?).
Выбирая | и т] удовлетворяющими условиям леммы, по-
получаем
ь
Это дает утверждение теоремы, так как Re w (?) > иг (Ъ)
при ?еВ6 и Re w (z) < и+ (а) при геВ,. []
Следующий результат, принадлежащий Варшавскому,
позволяет оценивать величину J\.e[w(?,)—w(z)] с другой
стороны. В этом результате на кривые С+ и С~ наклады-
накладываются более жесткие условия.
Уравнения кривых С+ и С~ будем предполагать имею-
имеющими вид
г/ = ф+(ж), г/ = ф-(ж).
Ясно, что В (х) = q>+(х) — ц>~ (х). Кроме того, будем обозна-
обозначать ф(х) = -гНФ" И + Ф~ (х)]- Тогда
Теорема 6.2. Пусть для всех х имеем |ф'(ж) !
\в'(х)\<М. Если a<b, zeefl, ?eB6, то
Re[w(t)-w{z)]<
Доказательство. Обозначим через Ри образ отрез-
отрезка Re w = и, \lmw\<n/2, при отображении z = z(w).
Ясно, что кривая Ри соединяет кривые С+ и С~. Обозна-
Обозначим х+ (и) = sup Re z, х- (и) = inf Re z,
р «eP

§ 6. ОЦЕНКИ ОТОБРАЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
211
Заметим сначала, что
х+(и)
F.3)
Действительно, если интересующий нас интеграл меньше
двух, то говорить не о чем. Если он больше двух, то,
взяв такие значения у±, чтобы Re w(x+ + iy+) —
=¦ Re w(x~ + iy~) = и, мы получим согласно теореме 6.1
О
= U — U > П \ д-^> —
(х± = Х± (и)),
откуда и следует неравенство F.3).
Перейдем к основной части доказательства. Пусть
w = и + iv — любая точка полосы | Im w | < -~-. Положим
l{v) = lu(v) = %(x(u, v), y(u,v)), r(x,y) = y~Q Jjj1' ,
где х(и, v) — Re z(u + iv), y(u, v)=lmz(u + iv). Так' как
точка z(w) = x(u, v)+iy{u, v) лежит в области D, а эта
область определяется неравенствами (р~(х)< у < ф+(ж),
ф* (х) = ф (х) ± -| Э (х), то — |- < I (y)< -j
где
при
—о"<у<-о- и при любых и, а ?(±-7г)= ±тг. Поэтому
г г -у г j г
я
"г
я
"I
ИЛИ
ду dv
dv,
•г
^т to дт ду
дх dv ду dv
dv
К последнему интегралу применим неравенство

212
ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Буняковского—Шварца (см. F.2)), положив
dx dx , dx ду
~~dx ~dv
Это даст 1
— —
~ду dv
Я/2
\
—Я/2"
дх дх дх ду
дх dv ду dv
/=1,
дх дх
дх ду
дх dv ду dv
dv. Но
Поэтому
? [?НЖ)Ч*
-Я/2
Интегрируя последнее неравенство по и от ui =
до W2 = Re w{%), получаем
Сделаем в интеграле замену переменных х — х(и, у), i/ =¦
— у (и, v) (т. е. отображение z = z(u + iv)). Якобиан этой
замены в силу уравнений Коши — Римана равен \-^
так что
и неравенство приводится к виду
Здесь Z)j,2 — образ прямоугольника |1тИ-<-2-1 щ<
<Rew<M2, при отображении z=-z(w).
Заметим, что область Di2 заведомо содержится в об-
области
ср-{х)<у<ср+(х), а-<х<Ъ+,

§ 6. ОЦЕНКИ ОТОБРАЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ 213
где обозначено а~ = х~(и\), b+=<x+(u2). Поэтому
Ь+ ф+(ж)
ц, — ii,^n I ^— + \-тг) \dii dx. F.4)
J J W Sx I \ ay I \ " v '
а ф (x)
7Г7) +1^7 • Так как т (ж, у) = у 7^ ,
ТО
И
дх
дх
ф'(ж)
Подставим это выражение в F.4) и выполним интегриро-
интегрирование по у. После несложных преобразований получим
ъ+
и, - и, < я j {l + ф'2 (а:) + -L 9'2 (я-)
Поскольку из условий теоремы следует, что 1 + ф' (х) +
+ То" 9' (я) <! то" A + ^2)> а согласно неравенству F.3)
ъ+
dx . Г dx
мы приходим к утверждению теоремы. [}
При тех же предположениях, что и в теореме 6.2,
можно доказать и неравенство
уточняющее неравенство Альфорса. []

214 ГЛ. V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Предположив, что ц>' (х)-> 0 при х -*¦ +°° и что
о о
можно получить формулу*)
(х-*-+°°, x + i
*) Несколько иное изложение формул Варшавского имеется в
[13]. Там же дана ссылка на оригинальную статью.

Глава VI
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Теорема Коши и теорема о вычетах открывают широ-
широкие возможности для преобразования интегралов от ана-
аналитических функций. Кроме того, теорема о вычетах часто
позволяет преобразовать различные суммы в интегралы.
Вся совокупность приемов преобразования интегралов и
сумм от аналитических функций получила название тео-
теории вычетов. В этой главе излагаются основные приемы
такого рода на ряде конкретных задач.
§ 1. Несобственные контурные интегралы
Теория вычетов имеет дело главным образом с несобст-
несобственными интегралами от голоморфных функций, т. е. с
интегралами по контуру, концы которого находятся в осо-
особых точках подынтегральной функции. Это несколько ос-
осложняет применение теоремы Коши или теоремы о выче-
вычетах к таким интегралам. Чтобы пояснить, какого рода
осложнения могут возникнуть, рассмотрим один простой
пример:
СО
(* 2
Интеграл / = J е х dx можно рассматривать как ин-
теграл по границе полуплоскости Im 2 > 0 (или Im z < 0)
от функции / (z) = е , голоморфной в этой полуплоско-
полуплоскости и имеющей в точке z =. °° (лежащей на границе этой
полуплоскости) существенно особую точку. Если бы тео-
теорема Коши была применима, то интеграл был бы равен
нулю. Но он, очевидно, положителен (из анализа извест-
известно, что он равен Уя).
Естественно возникает вопрос, когда же можно приме-
применять теорему о вычетах (в частности, теорему Коши)
к интегралу по замкнутому контуру, если этот контур
проходит через особую точку подынтегральной функции. []
Приведем несколько признаков, позволяющих ответить
на этот вопрос. Однако прежде чем формулировать эти

216 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
признаки, мы разъясним смысл явления, воспользовав-
воспользовавшись для этого приведенным примером.
Рассмотрим поведение модуля функции e~z в окрест-
окрестности бесконечно удаленной точки. Полагая z = ге'ф,
имеем
I -22| _ -Г20О8 2ф
Поскольку cos 2ф > 0 при —-г <ф<;-т- и при -^<1ф<
< -г-, а при остальных ф имеем cos 2<p < 0, окрестность
бесконечно удаленной точки распадается на четыре рав-
равных сектора. В двух секторах
1*1>Д. т-
модуль функции ё~г мал, а в двух других
И>Я, T<arg2<-r,
| z | > Д, — Щ- < arg z < — ~,
велик. Концы нашего контура (действительная ось) ухо-
уходят в те секторы, где модуль функции е~г мал, что и
естественно, поскольку интеграл должен сходиться. Од-
Однако концы контура могли бы попасть как в один сектор,
так и в разные. Они попали в разные секторы, и интег-
интеграл не равен нулю. Это наводит на мысль о существова-
существовании общей закономерности такого рода. Такая закономер-
закономерность действительно существует для всех простых функ-
функций, с которыми приходится иметь дело в конкретных
задачах. К сожалению, любая попытка описать тот класс
функций, для которого эта закономерность имеет место,
приводит к очень громоздким формулировкам. Поэтому
лучше доказывать просто формулируемые достаточные
условия, которые выглядят довольно простыми частными
случаями, а общую закономерность иметь в виду, не тре-
требуя ее строгой формулировки. Общая закономерность
состоит в следующем:
Любая достаточно малая окрестность особой точки
функции /(г) распадается на некоторое число связных

§ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 217
частей. В половине частей модуль функции f(z) мал,
а в другой половине велик. Если оба конца контура С по-
попадают в одну связную часть, где l/(z)| мал, то к интег-
интегралу от /(z) no С можно применять теорему о вычетах,
если в разные части — нельзя.
Таким образом, если нас интересует интеграл от
функции /(z) по замкнутому контуру С, проходящему че-
через особую точку z = а, то в первую очередь мы должны
выяснить поведение модуля /(z) в окрестности этой осо-
особой точки и найти те части окрестности, где он мал. Если
оба конца контура попадают в одну связную часть ок-
окрестности, то возможность применения теоремы о выче-
вычетах легко доказывается с помощью одного из признаков,
которые мы сейчас изложим. Q
Чтобы облегчить формулировки, договоримся о неко-
некоторых обозначениях.
Пусть область D ограничена кусочно гладкой кривой
С, a z = а — некоторая точка, лежащая на С.
Обозначим через Кр. круг \z — al<p при аФ°° ж об-
область \z\>— приа='°°.
Через Dp обозначим часть D, лежащую вне Кр, через
Ср — часть С, лежащую вне Кр, через fp — часть границы
Кр, лежащую в D. (Ясно, что граница Dp состоит из
Со и V)
Теорема 1.1. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D, за исключением конечного числа полюсов z\,
Z2, ..., zn, и непрерывна вплоть до ее границы, за исклю-
исключением точки z = а. Если
f(z)dz
¦О (р + 0) A.1)
и если несобственный интеграл от f(z) no С существует,
то
f / (z) dz = 2ni 2 res/(z).
Доказательство. Если несобственный интеграл
от /(z) по С существует, то (см. § 6 гл. I)
/ (z) dz = lim j" / (z) dz.

218 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
С другой стороны, согласно теореме о вычетах интеграл
по границе области Dp от функции /(z) при достаточно
малых р (чтобы все полюсы /(г) оказались в Dp) равен
п
2ni 2 res/(г).
1 г=гй
Поскольку граница Dp состоит из Ср и fp, это означает
\ / (z) dz = 2ni 2 res / (z) — / (z) tfz.
Переходя к пределу при р -*¦ 0, получаем утверждение
теоремы.
Замечание. Обозначим через f(p) длину fp, a
= max|/(z)|.
Тогда выполнение условия A.1) заведомо обеспечено,
если
М(р)Т(р)-0 (р-0). A.2)
Ясно, что при аФ°° имеем f(p) ^ 2яр, а при а = °°
имеем у{р)^---. Поэтому условие A.2) можно заменить
еще более простыми условиями:
НтрМ(р) = 0 {а*?оо), A.3)
р-»0
lim J^liEl = о (а=оо). A.4)
Иногда этих простых условий бывает недостаточно.
Следующий результат, дающий более тонкое условие,
достаточное для выполнения A-1), называется леммой
Жордана.
Лемма 1. Пусть TR — дуга окружности \z\ = R,
|argz — 9ol<-o~i я функция f(z) удовлетворяет на этой
дуге неравенству
Если е(Я)Я1-у->0 (R-+°°), то
lim
B->°°

§ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 219
Доказательство. Уравнение дуги Гк имеет вид
z = Де1ф, ' ф — ф01 <-оТ • Поэтому \dz\ = Rdq> и
I
Поскольку sin 6 > — 0 при 0 < 0 < -^-, то при R -*¦ °°
/()|||< ()\ s d0 = -J й^е (/?)-> 0,
rfi о
и лемма доказана. []
Контуры С] и Сг, для которых
f f(z)dz= \ f(z)dz,
мы часто будем называть для краткости эквивалентными.
Вопрос об эквивалентности двух контуров, имеющих
общие начало и конец, решается сведением к интегралу
по замкнутому контуру.
Приведем типичный пример рассуждения с доказа-
доказательством эквивалентности контуров.
Пример 1. Покажем, что
ОО ОО
I sin х2 dx = \ cos x2 dx = 1/ ~.
\
Из анализа известно, что \е dz = — ул. Выше мы
о
2
уже исследовали поведение модуля функции е в окрест-
окрестности бесконечно удаленной точки и показали, что он мал
в угле |argz|<-T-. Покажем, что все лучи argz=^,
| Ф | ^ -т- являются эквивалентными контурами. Возьмем

220 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
т-^а<р^-т-и рассмотрим интеграл от е~г по гра-
границе сектора \z\<R, <x<argz< ?1. По теореме Коши этот
интеграл равен нулю. Если обозначить через Ьв отре-
отрезок @, Re'9), а через ГВар — дугу | z | = R, а «S arg z ^ р,
то этот факт можно записать формулой
2
2
2 (* 2 С 2
е~2 dz + j е~2 dz — j е~2 Л = 0.
Г ^
Ясно, что при R -»- «j интеграл по LR стремится к ин-
интегралу по лучу arg2 = 9 (если он существует). Остает-
Остается оценить интеграл по дуге ГКа„. Если а>—Г'Р<">
то стремление интеграла по ^ва^ к нулю при R ->• °° лег-
легко получить из замечания к теореме 1.1. Однако при
а = -г или Р = -т- это уже не удается. Поэтому лучше
сразу применить лемму Жордана. Очевидно,
т. е. v =¦ 2, е (R) = 1 и е (R) Rx~v = -к -> 0. Следовательно,
J
Rap
Отсюда
видим
dz\ ^
, что
V J
e~2
эх л
eip
"dz I-
Je 22dz= j e-22dz (
о о
Положив, в частности, а = 0, а Р= -г-. Это даст, что
-J
яг
оое *
е~2 dz.
о
яг
Делая во втором интеграле замену переменной z = хе *,

§ 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 221
О < х < а°, получаем
яГ
Отделяя действительную и мнимую части, получаем тре-
требуемые формулы.
§ 2. Аналитическое продолжение
контурных интегралов
Подавляющее большинство функций, с которыми при-
приходится иметь дело в анализе, удается представить в
виде несобственных контурных интегралов. При их ис-
исследовании значительную роль играют соображения, из-
изложенные в § 1. Замена контура интегрирования эквива-
эквивалентным открывает широкие возможности для аналити-
аналитического продолжения функций, представленных интегра-
интегралами, и для получения оценок этих функций. Докажем
две теоремы об аналитическом продолжении интегралов,
на которые часто приходится опираться во многих
вопросах.
Теорема 2.1. Пусть функция /(?) голоморфна и ог-
ограничена в угле | arg ^—ф|<а, а^-у. Тогда функция
осе»Ч>
может быть аналитически продолжена в угол | arg 2 + <р|<
Доказательство. Интеграл для функции F(z)
равномерно сходится по 2 в полуплоскости Re(ze"')^6>
>0. Действительно, при Re(ze""Ks6 и при arg ? = ф
имеем
т. е. подынтегральная функция не превосходит абсолют-
абсолютно интегрируемой функции Ме~т. По признаку Вейер-
штрасса (§6 гл. I) мы убеждаемся в равномерной схо-
сходимости интеграла. Следовательно, функция F(z) голо-
голоморфна в полуплоскости КеBе'ф)>0.

222 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Положим теперь z = ге~1ф, г > 0, и выясним, какие
контуры интегрирования эквивалентны лучу arg t, = ср.
Если arg t, — 9, то
т. е. подынтегральная функция f(t,)e~zl стремится к ну-
нулю быстрее любой степени t, в угле largt;— ф| <а. Это
означает, что все лучи arg ? = 9 при 19— ф|<а явля-
являются эквивалентными контурами, т. е.
оое'8
~zldl (argz=-ep,|8-«p|<a).
Но по тем же соображениям, что и выше, последний ин-
интеграл представляет собой функцию, голоморфную в по-
полуплоскости Re(ze'e)>0. Таким образом, мы получили
аналитическое продолжение функции F(z) во все полу-
полуплоскости Re(ze'e)>0, 19 — ф1 <а. Легко убедиться, что
все эти полуплоскости в совокупности образуют угол
| arg z + ф | < -j- + а. Теорема доказана.
Замечание 1. Ясно, что условие ограниченности
функции /(?) в угле larg ?, — ф[ <а не очень существен-
существенно для аналитического продолжения. Если потребовать,
чтобы функция /(?;) была голоморфна в угле I arg ^ —
¦—ф| < а и удовлетворяла условию
\f(reie)\<g(r)er
rvW
мы теми же рассуждениями придем к выводу, что функ-
функцию F(z) можно аналитически продолжить в область,
являющуюся объединением полуплоскостей Re(ze'e)>
>v(9), 19 — ф1 <а.
Замечание 2. Вид подынтегральной функции не
является строго обязательным. Например, можно было
доказать аналогичную теорему для интегралов вида
З?Г (Re(zei(p)>0).

§ 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 223
Используя ту же идею, можно выполнить и более
далекое аналитическое продолжение, связанное с обходом
точки z = О, которая, вообще говоря, является особой
точкой функции F(z). Приведем один пример, з котором
совершается такое исследование.
Пример 1. Пусть функция F (z) задана для дей-
действительных положительных z равенством
i Kl-K2
Найдем аналитическую функцию, получающуюся анали-
аналитическим продолжением функции F(z).
Поскольку функция / (?) = г голоморфна в
полуплоскости Re ? > 0 и ограничена в каждом угле
| arg Z, | ^а <~-~2'1 мы получаем из теоремы 2.1 аналити-
аналитическое продолжение функции F(z) на всю плоскость z
с разрезом по отрицательной части действительной оси.
Свяжем с каждым значением Э функцию Fe(z), голо-
голоморфную в полуплоскости Re(ze~'e)>0, которая получа-
получается из функции F0(z) = F(z) аналитическим продолже-
продолжением из точки t (Re?>0) в точку te'e по дуге окруж-
окружности Izl = U|, 0<arg —<Э. Из теоремы 2.1 следует,
что
'^~ 2
Построим теперь функцию Fe (z) для любых 6. Для этой
цели обозначим через L9 следующий контур:
При 0<9<~2 луч arg? = — 9.
При -Tj- < 9 <; -у сделаем в плоскости разрез по от-
отрезку (—г, г) и составим контур Le из отрезка @, —г)
правого края разреза, отрезка (—i, 0) левого края раз-
разреза и из луча arg ? = —9.
тт Зя ^ г\ ^ 5я #л ..
При -у < 9 < -у составим контур из отрезка @, —t)
правого края разреза, отрезка (—i, i) левого края разре-
разреза, из отрезка (i, 0) правого края разреза и из луча

224 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
arg ? = —6. Положим
Fo(z) = J -у== <*? (Re (ze-ie) > 0),
Легко убедиться, что если Э, Э' и arg z близки между
собой, то контуры L9 и ?е' эквивалентны, т. е.
при близких Э, 8' и arg z. Поэтому совокупность функций
Fe (z) осуществляет аналитическое продолжение функции
F(z). Каждая функция F9(z) голоморфна в полуплоско-
полуплоскости Re(ze~'e)>0. Когда величина 8 увеличивается на 2я,
мы возвращаемся в прежнюю точку после аналитического
продолжения по окружности, обходящей точку z = 0 про-
против часовой стрелки. При этом к исходному значению ин-
интеграла добавляется интеграл по обеим сторонам раз-
разреза (—i, i), взятый в таком направлении: @, —V) по
правой стороне разреза, (—i, i) по левой стороне разреза
и (г, 0) по правой стороне разреза. Функцию У1 + !;2 мы
считали положительной при ? > 0, так что она положи-
положительна и на правой стороне разреза. Поэтому, вычисляя
добавляемый интеграл, получаем
FQ+2n (z) = FB (z) - 2i f 'III- dy.
Задача об аналитическом продолжении функции F(z)
решена. Q
Следующая теорема относится к вопросу об аналити-
аналитическом продолжении интегралов типа Коши
Сначала докажем голоморфность функции, представ-
представленной этим интегралом.
Лемма. Если \ . , ,\\ | dt,\< оо, то интеграл B.1)
С
равномерно сходится по z на любом замкнутом множе-
множестве, не содержащем точек контура С.

§ 2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 225
Доказательство. Пусть Е — конечное замкнутое
множество, не содержащее точек контура С. Обозначим
через R радиус круга с центром в начале, в котором
лежит множество Е, а через р — расстояние. от Е до С.
Если ? е С, a z^E, то |? — zl^p при всех ?, а при
\t,\>2R имеем 1? — z\ >| ? | — \z\ > у| ?|. Поэтому
при некотором M = M(R, p) справедливо неравенство
/(О
1/@1
Отсюда (в силу условия леммы) получаем с помощью
признака Вейерштрасса равномерную сходимость инте-
интересующего нас интеграла.
Следствие. Интеграл
B.1) представляет функцию,
голоморфную в каждой обла- f ^ \ ^L
сти, не содержащей точек кон-
контура С.
Если контур С делит плос-
плоскость на части, то в каждой
части мы имеем свою голо-
голоморфную функцию. В любом Рис. 7
случае точки контура образу-
образуют границу области голоморфности интеграла B.1).
Следующая теорема полностью решает вопрос об ана-
аналитическом продолжении интеграла типа Коши через
точки контура интегрирования.
Теорема 2.2. Пусть функция голоморфна в обла-
области D, содержащей кусок Со контура С (и не содержа-
содержащей других точек С). Пусть, далее, Со делит область D
на две части D+ и D~, лежащие, соответственно, слева от
Со и справа от Со, a F+(z) и F~ (z) — функции, представ-
представленные интегралом B.1) в D+ и D~. Тогда функция
F~(z) + f(z) дает аналитическое продолжение функции
F+(z) в область D~ через дугу Со-
Доказательство. Обозначим через С* контур,
отличающийся от контура С тем, что Со заменена частью
границы D (той из двух возможных, для которой поло-
яштельное направление обхода согласуется с направле-
направлением С*). Ясно, что эта часть границы D является и
частью границы D~ (рис. 7). Всю границу D* обозначим
L~. Помимо упомянутой части границы D в L~ входит
еще кривая Со, проходимая в противоположном направ-

226 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
лении. Поэтому для любых z из области D, не лежащих
на Со, имеем
С* L
Обозначим интеграл, стоящий в левой части равенства,
через F(z). Поскольку в области D нет точек контура С*,
то F (z) — голоморфная в области D функция.
При ze/)+ имеем F(z) = F+(z), так как первый ин-
интеграл в правой части равенства равен F+(z) по опреде-
определению, а второй по теореме Коши равен нулю.
При z^D~ имеем F{z) = F~(z) + f(z), так как первый
интеграл по определению равен F~(z), а второй ранен
/(z) согласно интегральной формуле Коши.
Следовательно, функция F{z) аналитически продол-
продолжает функцию F+(z) на всю область D, и теорема дока-
доказана. Г]
Интегралы типа Коши встречаются во многих вопро-
вопросах теории аналитических функций. Например, мы ужо
использовали интеграл типа Коши при выводе разложе-
разложения функции в ряд Лорана.
Одним из типичных применений интеграла типа Ко-
Коши является задача о разбиении функции, заданной на
границе области, на сумму двух функций, одна из кото-
которых голоморфна внутри области, а другая — вне ее. Эту
задачу можно решать и без предположения голоморфно-
голоморфности функций /(?) на контуре С (границе области).
В этом случае функция /(?) предполагается обычно удов-
удовлетворяющей на контуре условию Липшица какого-либо
положительного порядка а, т. е. условию
Об аналитическом продолжении таких интегралов Коши
уже не приходится говорить. От теоремы остается только
такое утверждение*):
Функции F+(z) и F~(z) равномерно непрерывны в
областях D+ и D~ соответственно, и
*) Подробнее этот вопрос освещен в [23, 24, 30].

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 227
§ 3. Вычисление определенных! интегралов
Самой старой задачей, к которой применялась теория
вычетов, является задача о вычислении в конечном виде
интегралов, главным образом несобственных, от действи-
действительных функций. С помощью теории вычетов можно най-
найти очень многие интегралы, но число приемов, употреб-
употребляемых для этой цели, невелико. []
Первый прием относится к интегралам вида
/ = j q> (я) da;, C.1)
где функция ф(г) голоморфна в полуплоскости Im z > 0,
за исключением конечного числа полюсов z\, z2, ..., zn
(лежащих в этой полуплоскости), непрерывна в полу-
полуплоскости Im z > 0 (за исключением тех же полюсов) и
удовлетворяет условию
(Гд— полуокружность |г|=Д, Imz>0).
Условия теоремы 1.1 выполнены, если взять в каче-
качестве области D полуплоскость Im z > 0. Это значит, что
интеграл C.1) можно рассматривать как интеграл по
границе полуплоскости Im z > 0 и применять к нему тео-
теорему о вычетах. Это дает нам формулу
» п
\ q(x)dx = 2ni 2 res q>(z). Q C.3)
-co ft=l *=zft
Выясним возможности этого приема для нахождения
интегралов от действительных функций. Ясно, что в ка-
качестве ф(г) можно взять рациональную функцию, у ко-
которой степень числителя на две единицы меньше степени
знаменателя (это необходимо и для сходимости интегра-
интеграла и для выполнения условия C.2)). С другой стороны,
если предположить, что функция <$>(х) действительна при
действительных х, то с помощью принципа симметрии
нетрудно показать, что других возможностей нет. Q
Однако для получения интегралов от действительных
функций не нужно предполагать действительность функ-

228 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
ции ф(я) при действительные х. Можно написать
J u(x)dx = Rel2ni 2 res <p(z)l, и (х) = Re ф {х). C.4)
Это соображение значительно расширяет класс тех
интегралов, которые вычисляются с помощью теории вы-
вычетов, но делает процесс вычисления значительно слож-
сложнее. Дело в том, что в формуле C.4) мы интегрируем
функцию и(х) = Req>(x), а вычеты берем от функции
ф(г). Таким образом, если задан интеграл, то мы знаем
лишь функцию и (х) — Re ф (х) при действительных х,
а нужно знать функцию ф(г) при всех z. Решить эту
задачу нисколько не проще (в общем виде), чем вычис-
вычислить интеграл. Однако часто удается решить эту задачу
подбором и угадыванием (как при отыскании первообраз-
первообразной). []
Приведем два распространенных типа интегралов, ко-
которые получаются с помощью изложенных соображений.
Пусть R(z) — рациональная функция, у которой сте-
степень числителя меньше степени знаменателя. Если функ-
функция R(x) действительна при действительных х, не имеет
полюсов на действительной оси, а в полуплоскости Im z >
> 0 имеет полюсы Z\, Z2, ..., zn, то для любого а > О
°г I п
J [Я (х) cos ax dx = - 2л Im 2 res R (z) eiaz, C.5)
J R (x) sin ax dx = 2л Re 2 res R (z) eiaz. C.6)
Если при прочих предположениях относительно R(z)
степень ее числителя на две единицы меньше степени
знаменателя, то при любом а > 0 имеем
a?)dx =
= — 4я Im 2 res R (z) In (z + ia) C.7)
(для In (z + ia) берется любая ветвь, голоморфная в по-
полуплоскости Im z > 0).

§ з. вычисление определенный йнтегралой 229
Доказательство этих формул очевидным образом вы-
вытекает из соображений, изложенных выше. Для провер-
проверки выполнения условия C.2) в первых двух формулах
пользуемся леммой Жордана (§ 1), а в третьей—заме-
третьей—замечанием к теореме 1.1. []
Второй прием лишь немногим сложнее. В его основе
лежит следующая лемма:
Лемма 1. Пусть функции /(z) и g(z) голоморфны
внутри полосы О < Im z < Ъ, за исключением конечного
числа полюсов z\, z2, ..., zn, и непрерывны в замкнутой
полосе (за исключением тех же полюсов). Если /(z) —
периодическая функция с периодом, равным i(b — а),
и выполняется условие
J f(z)g(z)dz-+O (R-+±oo) C.8)
(Гв — отрезок Re z — R, a < Im z < b), то
¦» n
f(x)[g(x + ai)— g(x + bi)]dx = 2ni ? res/(z)^(z).
Доказательство. В силу условия C.8) разность
интегралов
ib+oo
ib—co
f(z)g(z)dz- j f(z)g(z)dz =
f(x)[g(x + ai)-g(x+bl)]dx
можно рассматривать как интеграл по границе полосы
o<Imz<6. Применяя теорему 1.1, получаем утверж-
утверждение лвммы. []]
Приведем два типа интегралов, которые вычисляются
с помощью этого приема.
Пусть R(z) — рациональная функция с полюсами z\,
22, ..., г„, у которой степень числителя на m единиц
ниже степени знаменателя, причем R(z) не имеет
полюсов на отрицательной части действительной оси и
при z = 0.

230 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Полагая f(z) = R(—ez), g{z)=eaz, a = —n, b = n, по-
получаем
оо
R(-ex)eaxdx =
)- C.9)
Условие 0 < a < m обеспечивает сходимость интеграла и
выполнение условия C.8).
Полагая f(z) — R(—ег), g{z)=—, a = —я, 6 = я и
считая т^2, имеем
J я2 + я2
— С»
42_«?_^- C-10)
5 обеих формулах для lnzk следует брать главные
значения.
Применение второго приема связано примерно с теми
же трудностями, что и применение первого приема. Ин-
Интегрируется функция f(x)[g(x)—g(x + bi)], а вычеты
берутся у функции f(z)g(z). []
Третий прием относится к интегралам вида
§q>(eix)dx, C.11)
о
где функция <p(z) голоморфна в круге Ы < 1, за исклю-
исключением конечного числа полюсов. Прием состоит в заме-
замене переменного z — e'x, переводящей интеграл C.11) в
интеграл
if , . dz
Т .) ФФт-
|z|=l
который вычисляется с помощью вычетов. Третий при-
прием очень мало отличается от первого. [J
Мы говорили о вычислении с помощью теории выче-
вычетов интегралов, приведенных к тому или иному канони-
каноническому виду. Практически всегда приходится или при-
приводить интегралы к этому виду, или применять анало-
аналогичные приемы к интегралам прямо в том виде, в кото-
котором они даны. Рассмотрим несколько примеров.

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 231
Пример 1. Покажем, что
sin х , я
dx — -гг.
х """
Даже записав интеграл в виде интеграла по всей оси,
мы не можем применить формулу C.6), так как функция
R (z) = — имеет полюс на действительной оси. Но при
Z
а>0
ОО ОО ОО
J « J *2 + a2 J *
Sin я:
О
О
так что
dx па
ПГТ2"^1 ~2~'
оо оо оо
Ssin х , ,. С х sin х , 1 ,. Г х sin а: ,
dx — hm I — 2 dx = y hm I —§ g- dx.
0 0 —oo
Последний интеграл уже легко вычисляется с помощью
формулы C.6). Имеем
оо
Г X Sin X , on ze iZ —a , ^ n\
I -^ j- аж = 2л Re res —3 s- = ле (а > 0),
»» x -\- a z=ia z 4- a
OO
OO
Г sir
J ~
Sin X j ,. Я —а Я
a-o 2 2
Пример 2. Вычислим интеграл
0
Сделаем замену переменного In x = ^. Это даст, что
оо сю
У == 1 - (Х% -— - I — (XZ¦
J I _j_ e' ^« J 1 + е'

232 гл- VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Но с помощью формулы C.9) получаем li?(z) = . __ 1
J 1 Л-е* sin ая 2=я0 1 _ ez sin ая
—со
я2 cos ая
„ т я cos ая г-.
Следовательно, 1 = в •
sin an
Пример 3. Вычислим интеграл
1
/ = JхаA — х?-а dx (— 1<а<2).
о
Интеграл / можно выразить через интеграл от
функции
по границе С области D, являющейся расширенной плос-
плоскостью с разрезом по отрезку @, 1). Действительно,
функция /(z) допускает выделение в области D одно-
однозначной ветви (для этого достаточно представить ее в
виде
/(,)_, A-1)
и применить ко второму сомножителю теорему о моно-
дромии). Выберм ту ветвь, которая положительна на
верхнем крае разреза. Тогда на нижнем крае разреза
функция /(z) равна e2niV(l — zI"" (при обходе точки
z = 0 по малой окружности против часовой стрелки ар-
аргумент z" возрастает на 2яа, а сомножитель A — z)'~a
не меняется). Поэтому
с
С другой стороны, по теореме о вычетах ) / (z) dz =
с
= 2ixires /(z). Чтобы найти вычет, найдем значения f(z)
при больших z. При z>l имеем /(z) = — eniaza(z — II"",
так как на верхнем крае разреза @, 1) /(z)>0, а обходя
точку z = 1 по малой полуокружности сверху, мы умень-
уменьшаем arg(l — zI-" на яA — а) (и не меняем argz").

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
233
Поэтому / (z) = — emaz f 1 ) , и разлагая последний
множитель в ряд по степеням —, получаем
Z •
с -1_а с
сх — i — а, с2 —
Отсюда без труда находим res / (z) = — е
яга а A — а)
и
/= —
!яг nia a A — a) яа A — a)
e2nia e 2 2 sin ая '
Пример 4. Вычислим интеграл
л
г Г In I sin il , /n ^ ^~ ^\
/ = | -Т-Г dx @ < a < 1).
J 1 + a cos x v ^ '
—л
Заметим, что
In | sin a: | = In
eix _
2i
= ln
-,2ix
= Reln
Делая замену переменного z = eix и принимая во внима-
внимание, что
.2
•«- z -\ , dx — -А-, In | sin x | = Re In —
?t \ Z j XZ
получаем
dz
i uJ=i 2 2г + аг2 + «*
Подынтегральная функция имеет в круге Ы<1 один
простои полюс в точке z =
этом полюсе, получаем
. Находя вычет
2я^ Г, /i-a2-i + a2 , , J

234 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 4. Асимптотические формулы для интегралов
Применение теории вычетов к вычислению интегралов
хотя и сыграло свою роль, но на современном этапе раз-
развития математики имеет не такое уж большое значение.
Причина этого в том, что лишь немногие интегралы, с ко-
которыми приходится иметь дело, можно вычислить в ко-
конечном виде. Однако применения теории вычетов не ис-
исчерпываются вычислением интегралов. С помощью тео-
теории вычетов можно получать для интегралов так назы-
называемые асимптотические формулы.
Асимптотической формулой для функции /(z) при
z -> оо в области D назовем предельное соотношение
Имеется некоторый оттенок, отличающий асимптоти-
асимптотическую формулу от любого другого предельного соотно-
соотношения того же вида. В асимптотической формуле сторо-
стороны ле равноправны. Ее смысл в том, что сложная функ-
функция /(z) заменяется простой функцией cp(z) (сложность
можно понимать с различных точек зрения, например с
точки зрения вычисления значений). Обычное положение
таково, что с увеличением z функция /(z) становится
все сложнее, асимптотическая формула все точнее. []
Приведем два примера получения асимптотических
формул с помощью теории вычетов.
Пример 1. Пусть функция E(z) (функция Миттаг-
Лефлера) определена для z, лежащих вне полуполосы
Rez>0, |Imzl<n (обозначим ее G, а ее границу L),
равенством
Найдем аналитическое продолжение функции E(z) на
всю плоскость и получим для E(z) асимптотическую
формулу При Z ->- оо.
Аналитическое продолжение функции E(z) на всю
плоскость мы получаем с помощью теоремы 2.2 об ана-
аналитическом продолжении интеграла типа Коши. Если
обозначить через /(z) значения интеграла Коши (опре-
(определяющего функцию E(z) для z&U), то аналитическое
продолжение функции E(z) в полуполосу G дается

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 235
формулой
Таким образом, для получения асимптотической фор-
формулы для функции E(z) нам достаточно получить асимп-
асимптотическую формулу для интеграла типа Коши I(z).
С помощью равенства
1 1 С , ?
I — * 2 Z2 ?2
легко получаем
С С 4
1 \z) = — Н г —г"
z Z Z
где
Покажем, что со=1, a ty(z) = 0A) (z-><»). Это даст
асимптотическую формулу
откуда получим интересующую нас асимптотическую
формулу
oo,
Ш (z->oo,zeG).
Сначала покажем, что гр(г) = 0A) (z->oo). Для этой
цели обозначим через Li часть контура L, лежащую в
круге |?—-z|<l, а через Li — остальную часть L. Оче-
Очевидно, имеем

236 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Сразу получаем
) < ij m21/1 к к с».
Для оценки lo|)i(z)| обозначим через \ точку L\, ближай-
ближайшую к точке z, и напишем
Заметим, что
ее е —
где а ж b — концы L\, т. е. точки пересечения Ь\ с окруж-
окружностью |? —z|=l. Поскольку \z — а\ = \z — Ы = 1, то
Г е6
- Ясно также, что е ^ 1, так как | ле-
1 Г t%
2^7 J ^_
i
жит на L. Поэтому lo|)i(z) I <Mi, т. е. o|)(z) =
B-* оо).
Остается показать, что со=1. С этой целью напишем
Я{ —Л| —ni+
1 Г et „ . 1 Г et „ , 1 Г
1
et „ . 1 Г et „ 1 Г e
J ^ + J * J е
Я1+оо Я» — Л1
Первый и третий интегралы в правой части взаимно уни-
уничтожаются в силу периодичности функции ее с перио-
периодом 2я?. Во втором интеграле сделаем замену е? = w
(третий прием § 3). Это даст
1 Г ew
Доказательство асимптотических формул для E(z) за-
закончено.
Ясно, что при желании мы могли бы получить и бо-
более точные асимптотические формулы:

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 237
где
Пример 2. Найдем асимптотическую формулу для
F(z+1) (F(z)—гамма-функция Эйлера) при z-*¦+<».
Функция F(z+1) определяется при z>—1 формулой
Г (z + 1) = j fe~f dt.
о
Делая в этой формуле замену t = ?z, получаем
Теперь сделаем еще замену | — In ? = w. Тогда, обозна-
обозначив через С образ луча arg 1 = 0 при конформном ото-
отображении w = \ — In 1, получим
2-г-1Г(г + 1)= \l'{w)eTzwdw,
с
где l(w)—некоторая ветвь аналитической функции, об-
обратной к функции w = 1 — In 1. Выясним, что такое С и
какая ветвь аналитической функции стоит под инте-
интегралом.
Когда 1 возрастает от 0 до 1, и? убывает от +°° до 1.
Это означает, что
i i
где li(«>) — та ветвь обратной к 1 — In 1 функции, кото-
которая положительна и не превосходит единицы при w > 1
(при и; -*- +°° имеем ?i (u?) -»- 0).
Когда \ возрастает от 1 до +°°, w тоже возрастает
от 1 до +о°. Значит,
где %2{w) — та ветвь обратной к 1 — ln? функции, кото-
которая положительпа и больше единицы при w > 1 (при
w -> +°° имеем %2{w)~*- +00).

238
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Итак, контур С — это луч A, +°°), проходимый дваж-
дважды, так что мы можем написать
1 — Ei (ш)] dw.
Выясним теперь поведение функций ^ (ы;) и ?2(и>) на
всем луче A, +°о) и в окрестности точки w = l. По фор-
формуле дифференцирования обратной функции (см. теоре-
теорему 7.2 гл. IV) имеем
откуда видно, что функции Si(m>) и %2(w) ограничены
при w -*¦ +о°, а при w -»- 1 стремятся к бесконечности.
Поскольку производная функции и> = | — In | при и> = 1
имеет нуль первого порядка, то по теореме 7.3 гл. IV
функция 1(м>) в окрестности точки w = i может быть
представлена в виде !(u>) = g(Vu>— 1), где g{X,) является
голоморфной функцией в окрестности точки t, = 0, при-
причем g@)=l, a g' @)= . „ - = к 2. Это означает, что
при и> > 1
где функция ¦ф(Ц') удовлетворяет неравенству
Поэтому
*-^ (z + 1) = /2 J" (и; —
dw
Ho
(и; -l
dw =
?L

§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ 239
(из анализа известно, что последний интеграл равен
/«)> а
ОО
J
dw
ОО
М J (и;
ОО -.
Следовательно, мы получили асимптотическую формулу
известную под названием формулы Стирлинга.
Нетрудно показать, что формула Стирлинга остается
в силе и при Rez->+ оо 1с заменой О( —) на Ofg—I). []
Сделаем несколько замечаний общего характера о ме-
методе, использованном нами для получения формулы
Стирлинга.
Мы использовали две идеи. Одна из них состоит в
замене переменного, приводящей интеграл к виду
где функция i|)(h>) удовлетворяет неравенству |о|)(и;)|=^
< MM \w — а\, другая — в получении асимптотической
формулы для последнего интеграла. Каждая из этих идей
может быть развита и обобщена.
При получении асимптотической формулы для инте-
интегралов вида
Я+оо
F(z)'= j (f(w)e'wzdw (Rez-> + oo) D.1)
a
используется следующий результат:
Теорема 4.1. Если функция q>(w) удовлетворяет
условиям
\(f(w)\<M (w-a>9>0)
и
ФИ= Scft(w-«)a+Pft @<и;-а<р),

240 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
то для интеграла D.1) справедливы асимптотические
формулы
F (z) = S1 ckT (« + Щ 2-«-e*-i + О ((Re z)-»-!5"-1)
fe=0
где п—любое целое число. (Т(х) — гамма-функция Эй-
Эйлера).
Эта теорема доказывается такими же рассуждениями,
какие мы проводили в примере 2. []
Замена переменного применяется к интегралам вида
чтобы привести эти интегралы к интегралам вида D.1).
При замене w = h(%) интеграл принимает вид
F (z) = f Ф (w) e~zw dw,
где (p(w) = f(l(w))b,'(w), а контур Fi — это образ кон-
контура Г при отображении w = h{%). Контур Fi мы дефор-
деформируем, стараясь отодвинуть его возможно правее ' (это
уменьшает множитель e~zw, существенный при больших
Re z). Такой деформации могут мешать концы контура
и особые точки функции ср(*#). Поэтому контур распа-
распадается на сумму контуров, каждый из которых является
лучом, выходящим из особой точки параллельно положи-
положительной части действительной осп. Лучи, выходящие из
концов контура, обходятся однократно, а выходящие из
особых точек — дважды. Интеграл по каждому из таких
лучей и является интегралом вида D.1).
Обосновать описанный способ действий в общем слу-
случае весьма затруднительно, но это и не очень нужно.
Сказанное следует воспринимать лишь как указание к
действиям в конкретных задачах.
Описанный способ находится в тесной связи с так на-
называемым методом перевала*).
*) Читателям, желающим подробнее познакомиться с методами
получения асимптотических формул, можно обратиться к моно-
монографиям [3, 13, 16, 27].

§ 5. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 241
§ 5. Суммирование рядов
Методы теории вычетов применимы и для исследова-
исследования сумм рядов. Для этой цели сумма ряда должна быть
выражена через контурный интеграл. Попытаемся корот-
коротко рассказать о приемах, которые применяются для этой
цели.
Сначала приведем один из тех немногих случаев, ког-
когда с помощью теории вычетов удается найти сумму ряда
в конечном виде. Помимо того, что этот случай имеет и
самостоятельный интерес, он служит подготовкой ко все-
всему дальнейшему.
Теорема 5.1. Пусть Q(z)— рациональная функция
с полюсами z\, Z2, ..., zp (отличными от целых чисел),
и пусть степень числителя Q(z) ниже степени ее знаме-
знаменателя не меньше, чем на две единицы. Тогда
оо р
2 Q (к) = — it 2 res Q (z) ctg яг.
—oo 1 z=z3
Доказательство. Рассмотрим интеграл
/n= j Q(z)ctgnzdz (n = 0, 1,2, ...).
|z|=n+|
Поскольку степень числителя Q(z) хотя бы на две еди-
единицы меньше степени ее знаменателя, то
max|e(z)|<^. (R>R0).
В § 6 гл. II показано, что функция ctg nz ограничена
в плоскости z, из которой удалены круги I z — к'\ <е
(& = 0, ±1, ±2, ...). Поэтому max | ctg nz |<! Mv Сле-
1*1-п+!
довательно, оценивая интеграл /„ произведением макси-
максимума модуля подынтегральной функции на длину пути
интегрирования, имеем
С другой стороны, интеграл /„ можно вычислить с
помощью теоремы о вычетах. При достаточно большом п
в круге |z|<Cn + —- лежат полюсы z\, Z2, ..., zp функ-

242 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
ции Q(z) и полюсы z = 0, ±1, ..., ±п функции ctg nz.
л
Вычеты в полюсах z = к равны — Q (к). Поэтому
я
V
Jn = 2ш i 2 Q (к) + 2 res Q (z) ctg nz\.
[ — n 1 z~zs J
Переходя к пределу при п ->¦ °°, получаем утверждение
теоремы. []
Совершенно аналогично может быть доказана фор-
формула
2 (-!)*$(*) =-я 2 «*
К сожалению, в конечном виде можно найти суммы
лишь очень немногих рядов. Поэтому гораздо большее
значение имеет выражение сумм рядов через контурные
интегралы. Один из наиболее употребительных приемов,
используемых для этой цели, основан на следующей
теореме.
Теорема 5.2. Пусть функция f(z) голоморфна в
полосе а < Re z < Ъ и удовлетворяет там неравенству
\f(x + iy)\<MeaW, a<2n. E.1)
Тогда при k>a + l, n<b — l, п>к, и при любом 0<
<е<1
п+9
2/(*)= f(x)dx +
«~ft ft+9-I
9+ioo
j
8-too
I l; у *• I ~/ J V I ~/l \~"b •"- I) CtZ. \p-'-<)
8
Доказательство. Обозначим через Си прямо-
прямоугольник
к— l + 6<Rez<ra + e, |Imzl<A,
который в силу условий на А и и лежит в полосе а <
< Re z < Ь, а через / — интеграл от /(z) ctg яг по СЛ.

§ 5. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 243
Согласно теореме о вычетах имеем
п п
/__ Отт 7 7 Т*РЧ / I 7\ fi CF ТТ 7 V 7 У / / с\
' L*i\ib У\ i.Co / \ / ^ О "^ "^ ^^ / \"/'
ft z=s ft
Теперь обозначим через С/Г верхнюю половину СА,
а через Сл нижнюю половину Сл, причем направлени-
направлением у Ct и CJT будем считать направление от точки z =
= /с — 1 + 6 к точке z = и + 6. Очевидно, имеем
/ = / (z) ctg nz dz — J / (z) ctg nz dz
и
/ = J / (z) (ctg nz — i)dz + i \ j (z) dz —
— \ f (z) (ctg nz + i) dz + i \ f (z) dz.
Но интеграл от /(z) зависит лишь от концов контура, так
что интегралы от /(z) no Ct и С~п можно заменить ин-
интегралом по отрезку (/с — 1 + 6, и + 6). Поэтому
/ = 2i j / (.z) da; -f j / (z) (ctg nz — i) dz —
ft-i+e c-
— J / (z) (ctg nz -f i) dz.
Далее,
J / (z) (ctg nz + i) dz =
в+ih
J [f(k — l + z) — f(n + z)](ctgnz+i)dz +
n+Q+ih
+ j / (z) (ctg nz -t- i) dz.

244 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Так как
n+9+lft
) / (г) (ctg яг + i)dz ^
fc-l+8+ift
и — ft+1) max \f(x+ ih)\\c[gn(x+ ih) + i\,
ft—i
2
а в § 6 гл. II показано, что I ctg я (х + ih) + i I < h ^
при h > 0, то в силу условия E.1) имеем
n+9+lft
oo)
и
j / (z) (ctg яг + i) dz ¦¦
ct
9+ioo
= j I/ (ft — 1 + z) — / (ra + z)] (ctg яг -f i) dz.
9
Аналогично для интеграла по Сд". Сравнивая оба выра-
выражения, полученные для /, приходим к формуле E.2).
Следствие. Пусть функция /(z) голоморфна в по-
полуплоскости Re z > 0 и удовлетворяет неравенству
\f(x + iy)\ <е{х)еа1*1, 0<а<2я,
где е(ж)->0 при х-*-+°°. Тогда при любом 0<9<1
п+е
n
lim S/(*)- /(«) d*
П-»оо [ 1 ^
9-ioo 6+
=-2У J /(z)(ctgnz— i)dz — -1- J f{z){ctgnz + i)dz.
П-»оо [ 1
9-ioo 6+ioo
Эта формула называется формулой Абеля — Плана.
Она очевидным образом вытекает из формулы E.2), так

§ 5. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 245
как
J / (и + z) (ctg nz T i
е
Приведем один пример использования формулы Абе-
Абеля — Плана.
Пример 1. Покажем, что функцию (см. конец § 1
гл. IV)
*¦(*)=-2 e-'V (Ш<1)
П=1
можно аналитически продолжить в плоскость с разрезом
A, +<*>)•
Применим формулу Абеля — Плана, положив / (z) =
= е~ Чг. Функцию F мы понимаем как е'1а', где для
In t берется ветвь, удовлетворяющая условию —л + а<
< Im In t < л + а. Эта ветвь голоморфна в плоскости t
с разрезом по лучу &rgt = n + a. (В качестве а возьмем
любое число \а\ <я.)
Тогда имеем
9+
F (t) = J e~V*f dx - -1- J (ctg nz + i) е~П
9 9
8-i
+ li J
) dz
-ioo
oo
Интеграл J e~ xtx dx равномерно сходится по t в круге
в
UI < 1 с разрезом по радиусу @, е*(л+а)). Поворачивая
контур интегрирования, этот интеграл можно аналитиче-
аналитически продолжить (в силу теоремы 2.1) на всю плоскость
t с разрезами по лучам arg t — я + а и A, +°°).
Интегралы J (ctg nz + г) ё~ zf dz равномерно схо-
е
дятся в любой конечной части плоскости t с разрезом

246 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
по лучу arg t = л + а, так как на прямой Re z = 8
zTil < Ме~2яПт *'.
Таким образом, функцию F(t) можно аналитически
продолжить на всю плоскость t с разрезами по лучам
arg? = ji + « и A, +0°). Но число а подчинено лишь
одному условию |а1 < п. Поэтому, если мы покажем, что
обход вокруг точки t = 0 не меняет функцию F(t), то
докажем ее голоморфность в плоскости с разрезом A,
+°°). Из (первоначальной формулы видно, что F(t) голо-
голоморфна в точке t = 0. Таким образом, наше утверждение
доказано. []
Приведем еще один прием, часто используемый для
выражения суммы степенного ряда через контурные ин-
интегралы.
Теорема 5.3. Пусть контур L не проходит через
точку t = 0, а функция y(t) непрерывна на контуре L и
L
Если
с (х) = \ го (t) fx~1 dt (x ^ 0), f5 3^
L
то в некоторой окрестности точки z = 0 имеем
О L
Доказательство. Положим в E.3) х — п (п =
= 0, 1, 2, ...), умножим на zn и просуммируем. При \z\
меньшем, чем расстояние от точки t = 0 до контура L,
перестановка порядка суммирования и интегрирования
законна ввиду равномерной сходимости ряда и интегра-
интеграла, и мы получаем
f
О L О
Теорема доказана. []

§ 5. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 247
Пример 2. Пусть s > 0. Покажем, что функция
может быть аналитически продолжена на всю плоскость
z с разрезом A, +°°).
Для применения теоремы 5.3 нужно представить
функцию х~" в виде соответствующего интеграла. Пока-
оо
жом, что x~s =-pT-\ (In и)"~1и~х~1 du. Действительно, де-
1 \s) J
1
лая замену \пи=—, получаем
оо
= х~* \ 1^хе'1 dg = л;-Т (s).
о
Поэтому теорема 5.3 дает
Ff(z)e filEi^da (|Z|<1).
8 v ' I (s) J и (и — z) M ' ^ '
1
Последний интеграл является интегралом типа Когяи
(см. § 2), и представляет функцию, голоморфную в об-
области, не содержащей точек контура (т.е. луча A,+<»)).
Наше утверждение доказано. [}
При желании можно было бы найти и более широкое
аналитическое продолжение функции F,(z) и исследовать
характер ее многозначности в окрестности точки z = 1. []
Основным неудобством описанного приема является
то, что мы не можем писать результат сразу по функции
с(х), а должны еще сначала найти для этой функции
соответствующее интегральное представление. Это пред-
представление можно найти во многих случаях с помощью
формул обращения преобразования Меллина, которые мы
выведем в гл. VII. С их помощью функция <р(?) выра-
выражается через функцию с(х) еще одним контурным ин-
интегралом.

248 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 6. Основные формулы, относящиеся
к гамма-функции Эйлера
Очень многие ряды и интегралы, встречающиеся в
анализе, могут быть выражены через гамма-функцию
Эйлера. В теории аналитических функций T(z) фигури-
фигурирует почти наравне с элементарными функциями. В свя-
связи с этим надо несколько пополнить наши сведения об
этой функции. []
По определению
оо
Г(г) = \xz-xe~xdx (z>0). F-1)
о
В § 5 гл. II было доказано, что этот интеграл равномер-
равномерно сходится в любой конечной части полуплоскости
Re z > 0. Там же было осуществлено аналитическое про-
продолжение функции F(z) на всю комплексную плоскость
и показано, что F(z) голоморфна во всей плоскости, за
исключением точек z = 0, —1, —2, ..., в которых имеет
полюсы первого порядка.
Интегрируя по частям в интеграле F.1), получаем
формулу
Г(г+1) = гГ(г). F.2)
По принципу аналитического продолжения эта формула
справедлива для всех z. Ее тоже можно использовать для
продолжения F(z) в полуплоскость Rez<0. []
Докажем еще одну формулу, тоже пригодную для
этой цели, а именно
где С — так называемая постоянная Эйлера
4+ ••• +-J- —
Для доказательства заметим, что A — — I -*-e при
и ->- оо равномерно по х на любом конечном отрезке по-
ложительной части действительной оси и 0<М 1 I <

§ 6. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 249
< е~*при 0 < х < п. Поэтому
lim 1A — —) xz~r dx = \ хг~1е~х dx = Г (z).
о о
Интеграл, стоящий под знаком предела, легко вычисля-
вычисляется интегрированием по частям:
п
п
о
Следовательно,
Нетрудно показать, что бесконечное произведение равно-
равномерно сходится в любой конечной области, так что
Значит, существует и предел
Таким образом, доказана формула F.3) при z>0.
По принципу аналитического продолжения она справед-
справедлива при всех z. []
Заменим в формуле F.3) z на —z и умножим полу-
полученную формулу на формулу F.3). Это дает, если вспом-
вспомнить формулу E.2) гл. IV о разложении sinz в беско-
бесконечное произведение, что
Г(«)Г(-ж) . я
sin яг.

250 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Но согласно формуле F.2) ГA — z) = — zT(—z), и мы
приходим к формуле
F.4)
Sin яг
В частности, полагая z= у, получаем Г ( у) = У -я- []
С помощью формулы F.4) мы без труда докажем
следующее интегральное представление:
^1*- F-5)
Здесь L — граница области |?| > р, Iarg ^I < я, ?~г =
= e~z ln ;, а для In ? берется главное значение.
Ясно, что интеграл в формуле F.5) равномерно схо-
сходится в любой конечной области, так как es при ? ->¦ —°°
стремится к нулю быстрее любой степени ?. Контур Z,
состоит из окружности |?| == р и из луча (—°°, —р), про-
проходимого дважды. При z < 1 интеграл по окружности
! t, I = р стремится к нулю при р -»¦ 0, так что при z < 1
контур L можно заменить лучом (—°°, 0), проходимым
дважды. Найдем значения подынтегральной функции на
верхнем и на нижнем крае разреза (—°°, 0). На верхнем
крае разреза имеем In ? =1п |?| + лг и ?~2¦= \t,\~ze~niz,
а на нижнем крае In ? = In|?.| — ni и ^""z = \t,\~Te"".
Поэтому
x dx
согласно формуле F.4). Тем самым формула F.5) дока-
доказана для z < 1, но по принципу аналитического продол-
продолжения она верна и для всех z. (J
Выясним поведение T(z) при больших г. Формула
Стирлинга, которую мы получили в примере 2 § 4, не
вполне удобна, так как она пригодна лишь при Re z -*¦
-*¦ +оо. С помощью формулы F.4) можно было бы по-
получить формулу и для Re z -*-—°°, но поведение T(z)
вблизи мнимой оси исследовать таким образом не уда-
удается.

§ е. гамма-функция эйлера 251
Логарифмируя формулу F.3), получаем
In Г (z) = Cz - 2 [in (l + -i-) - ±] - In z.
d
—5 In Г (z) = ^. ;
dz д \n + z
заметим, что при Re z > 0
d2 V1 1
Отсюда легко находим —5 In Г (z) = ^. - ; гг. Теперь
dz \n + z)
Поэтому
? Ь Г (z) - ? ] ^'UZ+U)« = j 73^f « (Re z > 0).
0 о о
В этой формуле контур интегрирования можно поворачи-
поворачивать в угле | arg Z, \ <С -=— б, б > 0, что дает нам
°°е*в -4
ТЗТТ^ (Re(zeie)>0), |8|<-|-.
Те же рассуждения, что и в конце примера 2 § 4, позво-
позволяют без труда получить асимптотические формулы
(| z | -»- оо, | arg z | <; я — б),
оо
где \ cntn = —т. Нетрудно найти Со =1, сх = -s-.
Интегрированием формулы F.6) получаем
(z->oo, |argz|<n-6),
In Г (z) = z In z + (C — 1) z - j In z + Ci + О , i-
(z-*-oo, largzl^n — 6).
Сравнивая последнюю формулу с формулой Стирлинга,

252 ГЛ. VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
находим С = О, Ci = -g In 2я. Таким образом, при z ->¦ °°,
I arg zl ^ n — б, имеем
Г (г) = (z - 1) In z - z + i- In 2n + (9 (i). F.8)
In
В заключение приведем еще несколько интегралов,
выражающихся через Г(г).
Поворачивая в формуле F.1) луч интегрирования до
мнимой оси, что в силу леммы Жордана возможно при
О < z < 1, приходим к формуле
о
Отделяя действительную и мнимую части, получаем
оо
j у2 cos у dy = cos -у- Г (z),
о
а
J у2 sin у dy = sin Щ- Г (z).
По принципу аналитического продолжения эти формулы
справедливы всюду, где входящие в них интегралы рав-
равномерно сходятся. Поэтому первая и вторая формулы
справедливы при 0<Rez<l, а третья — при —1<
<Rez<l. П
Делая в формуле F.1) замену х = и2, получаем
оо
Г (z) = 2 j еЛ" du (Re z > 0). F.9)
о
Перемножая два таких интеграла, получаем
оо оо
Г (z) Г (?) = 4 J j e-<ui+» V1" Vе du dv
о о
(Rez>0, Re?>0).

§ 6. ГАММ4-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 253
Если в двойном интеграле перейти к полярным координа-
координатам, то мы получим
о о
я
= И е~рУ (z+?)~1 (cos GJ*-1 (sin QJ^1 dp dQ =
о о
л
2
= J c-p2p2(z+?)-1 dp J (cos 9J2-1 (sin вJ5 Й9.
Согласно формуле F.9) это дает нам
л
f (cos вI1 (sin в)*-1** = 14fr§ F-1
(Rez>0, ReS>0).
Делая в формуле F.10) замену ? = cos26, получаем
1
]" Г1 A - if1 dl = ^fff- (Re z > 0, Re % > 0),
а заменой x = ? получаем еще одну формулу:
Функция В (z, P = г/ in называется бета-функцией
Эйлера.

Глава VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Одним из наиболее плодотворных методов анализа
является метод интегральных преобразований, состоящий
в том, что вместо исследуемой функции изучается то или
иное интегральное преобразование от нее. При этом ча-
часто случается, что сложные соотношения для исследуе-
исследуемой функции превращаются в простые соотношения для
ее интегрального преобразования. Методы теории выче-
вычетов часто дают дополнительные средства для изучения
интегральных преобразований.
§ 1. Формула обращения преобразования Лапласа
Пусть функция f(x) определена на всей оси и ин-
интеграл
F(z) = J f(x)e-"dx
00
сходится хотя бы на одной прямой Re z = с. Тогда функ-
функцию F(z) мы будем называть двусторонним преобразо-
преобразованием Лапласа функции /(х) и обозначать это соотно-
соотношение формулой f(x)^ F(z).
Если функция f(x) определена при i>0 и интеграл
F (z) = J / (х) e~xz dx
о
сходится в какой-либо полуплоскости Re z > с, то функ-
функцию F(z) мы будем называть односторонним преобразо-
преобразованием Лапласа функции f(x) и обозначать это соотно-
соотношение формулой /(x)-bF(z).
Одностороннее преобразование Лапласа имеет много
общих черт со степенным рядом. Для него можно дока-
доказать теорему, аналогичную первой теореме Абеля, и вве-
ввести понятие полуплоскости сходимости, аналогичное по-
понятию круга сходимости степенного ряда. Двустороннее
преобразование Лапласа аналогично ряду Лорана. Его

§ 1. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 255
областью сходимости является полоса а < Re z < b, кото-
которая может вырождаться в прямую при а — Ъ. Во избе-
избежание недоразумений для двустороннего преобразования
обязательно указывать полосу (или прямую) сходимо-
сходимости, так как одна и та же функция F(z) может отвечать
различным функциям f(x) в различных полосах сходи-
сходимости. Обычно мы будем считать, что двустороннее пре-
преобразование Лапласа сходится на мнимой оси, и в ка-
качестве полосы сходимости выбирать полосу, содержащую
мнимую ось. у
Ясно, что большое значение имеет формула, позволя-
позволяющая восстановить функцию f(x) по ее преобразованию
Лапласа F(z). Она аналогична формулам для коэффици-
коэффициентов ряда Лорана и носит название формулы обра-
обращения.
Мы докажем три теоремы о формуле обращения.
В первых двух теоремах условия, достаточные для спра-
справедливости формулы, накладываются на F(z), в треть-
третьей — на }(х).
Заметим, что формула обращения должна иметь один
и тот же вид как для двустороннего, так и для односто-
одностороннего преобразования Лапласа, поскольку односторон-
одностороннее преобразование можно рассматривать как двусторон-
двустороннее преобразование функции, равной нулю при отрица-
отрицательных х. (Напомним, что формулы для коэффициентов
ряда Тейлора и ряда Лорана тоже имеют одинаковый
вид.) Q
Теорема 1.1. Пусть функция F(z) голоморфна в
полосе as?Rezs?&. Если функция F(z) удовлетворяет
условию
F(z)=O(\z\-a-1), 0<a<l (z + oo, a<RezsS6), A.1)
то функция
с+гоо
/И = 25 I F(z)eXZdz (a<c<6) A.2)
С—too
не зависит от с и при любом а<:С ^ Ь удовлетворяет
неравенствам
\f(x)e-'\ <M,
\f(x)e-™- f(l)e-*\ < M^x-lW

256 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
'При этом f(x)±rF(z) (a<J\ez<b), а если Ъ = +°°, то
/(я) = 0 прих<0 uf{x)-i-F(z).
fДоказательств о. Так как при z = с + iy имеем
= е", то условие A.1) обеспечивает абсолютную и
равномерную сходимость интеграла A.2) на любом ко-
конечном отрезке оси х. Кроме того,
C+ioo оо
с—i<x>
что и дает нам первое неравенство для функции f(x).
Далее,
оо
e-'xf (х) - е-««/ (I) = Л- j" F(c+ iy) (e*»* - е*»6) dy,
откуда
С
in ^=-1 у | dy =
sin
о
и мы получили второе неравенство для функции f{x).
Поскольку подынтегральная функция F(z)exz равно-
равномерно стремится к нулю при г-*-» в полосе а =51 Re z ==a
^ b, то контур интегрирования можно произвольно де-
деформировать в этой полосе. В частности, все контуры
Rez = c эквивалентны между собой (см. § 1 гл. VI). Это
означает, что функция f(x) не зависит от с при а «? с ^ Ъ.
Покажем, что f(x)^F(z) (a<J\ez<b). Умножим
функцию f(x) на e~xi и проинтегрируем по х от —R' до
R. Для функции f(x) воспользуемся формулой A.2),
но при х > 0 возьмем с = а, а при х < 0 возьмем с = Ь.
Так как интеграл, входящий в формулу A.2), равномер-
равномерно сходится, то перемена порядка интегрирования закон-

S I. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 257
на, и мы получаем
a+too Л
С 1 С С
I т I т\ Р—*& пт ¦ I г G\ \ a&\Z-~'tif пТ п7
1 MJ ) с- e UJU — л • 1 * \") I t* ""*' t*"*
J ^Я( J J
a—<« о
Ь-fioo о
—Л' a—loo о
Ь+ioo о
a+ioo
UT J
a—ioo b—i<x>
1 Г е~г(г-Е)
где е(с, г, t) = ^ j F(z) z_ dz. Полагая a + б
i
с—i°o
Re t; ^ 6 — 6, b > 0, и обозначая
= ^-тах Г
получаем
| в (a, R, 0 | + | s F, Д', Ul <^y (e-R6 + e-R'6).
а эта величина стремится к нулю при R -*¦ +°°, R\ -*¦ +°°
Поэтому, переходя к пределу при R и R', стемящихся
к +оо, видим, что интеграл от f(x)e~xZ по всей действи-
действительной оси при a + 8^I{et,^b— б, б>0, равномерно
сходится по ^ и
оо Ь+too a+i<»
(z)e ^ах-ш j -___— j ___2
где L — граница полосы а < Re z < b.
Так как подынтегральная функция в последнем ин-
интеграле стремится к нулю при z -*- °° в полосе a =51 Re z =S
^ 6, то по теореме 1.1 гл. VI можно применять теорему
о вычетах (или интегральную формулу Кошп). Следо-
Следовательно, последний интеграл равен F(t,) и
/(z)-h-F(z) (a<Rez<&).
Если b = +°°, то функция F(z)e" при х < 0 голо-
голоморфна в полуплоскости Re z ^ а и удовлетворяет там-
неравенству F (z) = О I—щ^- J (z ->- °°, Rez^a). Примене-

258 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ние теоремы 1.1 гл. VI дает нам, что интеграл A.2)
равен нулю. Теорема доказана. [J
Условия, при которых доказана теорема 1.1, не очень
удобны для применений. Дело в том, что функция f{x),
получаемая из функции F(z), непрерывна на всей оси,
а чаще приходится сталкиваться с разрывными при х = О
функциями f(x). Действительно, когда мы имеем дело
с односторонним преобразованием Лапласа, то считаем,
что f(x) равна нулю при г<0 и равна какой-то функ-
функции при х > 0.
Поэтому нам придется доказать еще одну теорему,
в которой условия накладываются на F(z). Для ее до-
доказательства и для доказательства третьей теоремы, в ко-
которой условия накладываются на функцию }{х), пона-
понадобится следующая важная лемма.
Лемма 1. Пусть функция f(x) непрерывна на всей
оси, за исключением счетного множества точек разрыва,
не имеющего предельных точек на конечном расстоянии.
Если
ТО При V -
j f(x)eivxdx-+O.
Доказательство. Сначала докажем, что утвер-
утверждение леммы справедливо для функции f(x), равной
нулю вне отрезка (а, Ь) и равномерно непрерывной на
этом отрезке. Идея доказательства состоит в том, что
функция е"х при больших v сильно осциллирует; в ча-
чае<та меняет
стности, при изменении х на
знак.
ь
а
Имеем
e*v* jx =
V / \
п ' . ( Л |
я '
-^- функция е
= - JV/F + -
л
а
V

$ i. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 259
Отсюда, считая для определенности, что у > О, получаем
Ь
( ( )ivxdx
a-*
v
= — ( f(x + — )eiv
V
Каждое слагаемое в правой части равенства стремится
к нулю; первые два — из-за того, что длина промежутка
интегрирования стремится к нулю, третье — из-за того,
что стремится к нулю подынтегральная функция. Наше
утверждение доказано.
Для доказательства леммы в полном объеме нужно
показать, что для любого 8 > 0 можно найти такое W,
что
< 8 ( | V | > N).
Сначала выберем число А столь большим, чтобы'
I
\х\>А
Далее, на отрезке (—А, А) имеется конечное число
точек разрыва функции f(x). Заключаем их в столь ма-
малые окрестности 6ь, чтобы
6ft
Выбор А и 6ft возможен в силу абсолютной интегри-
интегрируемости функции f(x) на всей оси.
После удаления осталось конечное число отрезков,
на каждом из которых функция f(x) непрерывна. Ин-
Интеграл от f(x)e"x по каждому из этих отрезков при v-»¦
-»- ±00 стремится к нулю в силу утверждения, доказан-
доказанного вначале. Поэтому можно выбрать число N столь
большим, чтобы при lvl>2V сумма интегралов от функ-
функции f(x)e"x по всем упомянутым отрезкам не превос-
превосходила по модулю величины е/3. Тогда при |vl>^V

260 ГЛ, VII, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
имеем
* \f{x)\dx.
J
и лемма полностью доказана.
Заметим, что утверждение леммы остается в силе и
при одном только предположении абсолютной интегри-
интегрируемости (можно говорить и об интеграле Лебега). Q
Теорема 1.2. Пусть 0<а<1 и пусть функция
F(z), голоморфная в полосе a^Rez^fr, удовлетворяет
условиям
Тогда формула обращения A.2) справедлива при х?=0.
Если обозначить g(x) = xf(x) (при х?=0) и положить
g@)=0, то функция g(x) при любом а^с^Ъ удов-
удовлетворяет неравенству
\e-c*g(x)-e-*g&)\ <M\x-%\a.
При этом /(x)-h-F(z) (a<Rez<6), а если Ъ = +°°, то
f(x)= 0 при х < 0 и f(x) + F(z).
Доказательство. Сведем эту теорему к теореме
1.1. Интегрируя по частям, легко убеждаемся, что ин-
интеграл A.2), определяющий функцию f{x), сходится при
х ?= 0, и получаем формулу
С+{оо
g(x) = xf(x) = — ^j j F'(z)ex*dz (a^c^b).
С—ioo
Нетрудно проверить, что последний интеграл сходится
и при х — 0, и его значение при х = 0 равно нулю.
Поскольку функция G(z)=—F'(z) в силу A.3) удов-
удовлетворяет условиям теоремы 1.1, то мы получаем нера-
неравенство для g(x) и соотношение g(x)-*G{z) (a<Rez<
f^ b), т. е.
oo
J g(x)e-x*dx='—F'(z) (a<Rez<6).
— OO
Покажем, что из этого равенства следует соотношение

S 1, ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 261
f(x)^F(z). Положим Rez = c {а<с<Ъ) и проинтег-
проинтегрируем полученное равенство для F' (z) no z от 5 Д°
с + Ш. Это даст нам
iR) = j / И е-"* da: — j / (х) е-*хе~™х их.
ОО ОО
Из неравенств для функции g(x) видно, что функция
f(x)e~cx—абсолютно интегрируемая по всей оси функ-
функция. Поэтому при R -*¦ +=» последний интеграл стремит-
стремится к нулю согласно лемме 1. Так как величина
F(c + iR) при R -*¦ +°° тоже стремится к нулю в силу
условий A.3), то переходя к пределу при R-++°°, при-
приходим к равенству
/ (a:) e-*? dx (a<Re^<b).
Если Ъ = +оо, то применяем те же рассуждения, что
и в теореме 1.1. Доказательство закончено.
Для доказательства следующей теоремы понадобится
одно понятие, о котором говорилось только вскользь.
Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в
точке х = | условию Липшица порядка а @<«<1),
если для всех х, лежащих в некоторой окрестности точ-
точки х = |, имеем
\f{x)-f{l)\<M\x-%\\ .
Теорема 1.3. Пусть функция f{x) непрерывна на
всей оси за исключением счетного множества точек раз-
разрыва, не имеющего предельных точек на конечном рас-
расстоянии, и пусть
ОО
j \f(x)\{e-a*+e-bx)dx<oo A.4)
(а может совпадать с Ъ). Тогда функция
F{z)= j f{x)e-x*dx (a<Rez<6) A.5)
— ОО
непрерывна в полосе а ^ Re z =? b и голоморфна в ее
внутренних точках (если они есть, т. е. если а<Ъ).
Если в точке я = ? функция f(x) удовлетворяет условию

262 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАШТХСГА
Липшица порядка а > О, то
c+ioo
с—ioo
A.6)
Доказательство. При a =S Re z =S Ъ имеем
\е \ <: е~ах + е~Ьх, так что подынтегральная функция в
формуле A.5) при всех х не превосходит абсолютно ин-
интегрируемой функции \]{х)\{е~ах + е~Ьх). Поэтому интег-
интеграл определяющий функцию F(z), равномерно сходится
по z в полосе а =?! Re z =S b. Отсюда вытекают свойства
функции F(z).
Для доказательства формулы A.6) рассмотрим ин-
интеграл
c+iR
c-iR'
где а ^ с ^b, k> \c\.
Имеем
oo oo
F(z)= Г f(x)e-xzdx, 2le~l\ = Г
(последнее равенство легко получается, если мы разобь-
разобьем промежуток интегрирования на части (—°°, |) и
(|, +00), а .затем выполним интегрирование). Поскольку
оба интеграла равномерно сходятся по z на прямой
Re z = с (a =S с =S b), можно подставить их в выражение
Jr,r' (?) и изменить порядок интегрирования. Это даст
нам
oo c+iR
Jr,r'®= J [/И-/(?)в-*1*-61] j <*<&-*> dzdx.
—oo c—iR'
Вычисляя внутренний интеграл, после несложных пре-
преобразований получаем
Jr,r> (I) = ф (- R') e«-iR'K - ф (Л) е(с+«')Е,
где
оо
Г

§ 1. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 263
Нетрудно убедиться, что если функция j{x) удовлетво-
удовлетворяет в точке х = \ условию Липшица, то функция g(x)
удовлетворяет условиям леммы 1. Действительно, из ус-
условия A.4) и из того, что к>\с\, следует абсолютная
интегрируемость функции g(x) по всей оси за исключе-
исключением какой-либо окрестности точки х = \, а условие
Липшица обеспечивает абсолютную интегрируемость
g(x) в окрестности точки ж = §. Остальные условия лем-
леммы 1 выполнены в силу условий, наложенных в теореме
на функцию f(x). Поэтому <p(v)->-0 при v -»- ±°°, а сле-
следовательно, предел Jr,r> (Е) при В. -»- +°°, R' -*¦ +°° су-
существует и равен нулю. Это означает, что
c+ioo
J_
с—ioo с—ioo
(последний интеграл легко вычисляется с помощью вы-
вычетов — он равен единице). Теорема доказана.
Замечание 1. Формулу обращения преобразова-
преобразования Лапласа тоже можно рассматривать как интеграль-
интегральное преобразование. Нетрудно убедиться, что это обрат-
обратное интегральное преобразование лишь несущественными
деталями отличается от самого преобразования Лапласа.
Это означает, в частности, что любая теорема, в которой
условия налагаются на F(z), может быть переделана в
теорему с условиями на f(x), и наоборот.
Замечание 2. Рассмотрение преобразования Лап-
Лапласа от функций многих переменных (по каждой из
переменных) не приводит к каким-либо новым вопросам.
Формула обращения имеет вид
f(xv ...,?„) =
c+ioo cn+ioo
и С с
Bni)n J "
с —ioo cn—ioo
где
F(zv ...,zn)
oo oo
J ' ' ' J •* ' !' ' *'' '

264 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 2. Теорема о свертке и другие формулы
Значительную роль в теории преобразования Лапласа
играет понятие свертки двух функций.
Сверткой функций f(x) и g(x), определенных на всей
оси, называется функция
(будем предполагать, что интегралы сходятся при всех
х, хотя это и не обязательно).
Сверткой функций f(x) и g(x), определенных при
х > О, называется функция
И* g)W
Нетрудно заметить, что последнее определение является
частным случаем предыдущего, если положить f(x) = O
и g (х) — 0 при х < 0.
Имеется много различных теорем о зависимости
свойств свертки двух функций от свойств этих функций.
Приведем лишь одну из простейших*).
Теорема 2.1. Пусть функция f(x)eaM, a>0, рав-
равномерно непрерывна на всей оси х, а функция g(x) на
каждом конечном отрезке имеет лишь конечное число
точек разрыва, и пусть
\f(x)\eaWdx<oo, [ \g(x)\ebWdx<oo, |6|<a.
—оо
Тогда функция (f{x)*g(x))ebW равномерно непрерывна
на всей оси и
J (f(x)*g(x))ebWdx<oo.
— 00
Доказательство. Обозначим
*) Подробное изложение теорем о свертке имеется в [33]. Без
теории интеграла Лебега многие теоремы о свертке трудно даже
сформулировать.

g 2, ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ 265
Тогда
•в
Покажем, что этот интеграл равномерно сходится на всей
оси. Оценим подынтегральную функцию. В силу равно-
равномерной непрерывности функции fi(x) на всей оси имеем
\fi(x-l)\^M. Далее, так как а > О, а \х-\\>Ы-
— ||11, имеем
-а\х-\\ - Ь\\\ + Ъ\х\ ^-аЫ - 1р + \Ъ\Ы - \%\ =
= (\Ь\-а)Ы - Igll^O.
Следовательно, подынтегральная функция не превосхо-
превосходит M\gi(i,)\ и в силу абсолютной интегрируемости
функции gi(x) по всей оси интеграл для функции h\(x)
равномерно сходится на всей оси. Из равномерной схо-
сходимости интеграла следует равномерная непрерывность
функции hi(x).
Докажем абсолютную интегрируемость функции hi (x)
по всей оси. Очевидно, имеем
—оо —оо
Остается показать, что написанный двойной интеграл
сходится. Для этого достаточно показать, что существует
конечный предел интеграла
где Dr — какая-нибудь расширяющаяся последователь-
последовательность областей, покрывающая при г -*• °° всю плоскость.
В качестве Dr возьмем параллелограмм 111 < г, \х — \\ <
< г в плоскости (х, %). Имеем
г+5
J
ОО ОО
< j \g1®\d% j IAMKtKoo.
— 00 —ОО
Таким образом, последовательность интегралов по D, при

266 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
возрастании г монотонно возрастает и ограничена. Сле-
Следовательно, интеграл сходится и теорема доказана.
Замечание 1. Если предположить, что функция
f(x)ealxl не только равномерно непрерывна на всей оси,
но и удовлетворяет условию
\f{x)e°* -f(l)eai\ <M\x-%\* @<а^1),
то и функция (f(x)* g(x))eb]!ci тоже будет удовлетворять
аналогичному неравенству.
Замечание 2. Если функции f(x) и g(x) равны
нулю при х < 0, то значения их свертки на отрезке
(О, А) зависят только от значений f(x) и g(x) на этом
отрезке. Поэтому из теоремы 2.1 легко получаем:
Если функция f(x) непрерывна при х S* 0, а функция
g(x) абсолютно интегрируема на каждом конечном от-
отрезке, то их свертка
*?И) = 1 Ax-\)g(\)dx
о
непрерывна при х^О. \_\
Теорема 2.2. Пусть функция f(x) равномерно не-
непрерывна на всей оси, а функция g(x) имеет конечное
число точек разрыва на каждом конечном отрезке,
и пусть
оо
J \g{x)\dx<oo.
Если f(x)*F{z), g(x)*G{z), то (/(*).
*rF(z)G(z).
Доказательство. При Rez = 0 имеем
(*))«• 1 (f(x)*g(x))e-**dx =
—оо
оо оо
= J е-** I f{x-l)g{\)dldx.
—ОО —00
Как и при доказательстве теоремы 2.1, убеждаемся, что
двойной интеграл
абсолютно сходится. Его значение можно найти, вычис-

§ 2. ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ 267
лив предел интеграла по любой расширяющейся после-
последовательности областей Dr. Выбирая в качестве этой по-
последовательности те же параллелограммы |||<г, \х —
— |!<г, что и при доказательстве теоремы 2.1, полу-
получаем утверждение теоремы. (Заметим, что все рассуж-
рассуждения с выбором последовательности областей нужны
всего лишь для оправдания законности замены перемен-
переменных в двойном несобственном интеграле.) Ц
Сделаем несколько интересных выводов из этой тео-
теоремы. Теорему 2.2 можно записать в виде
оо |оо
1 (* - 5) g E) dl = 24 J F (z)G (Z) в** dz, B.1)
—оо —гоо
где f(x)-^-F(z) и g(x)-^G(z). Теперь заметим, что из
соотношения f(x)-^F(z) следует соотношение /(—ж)-н-
•¦h-F(—z). Так как на мнимой оси —z = z, то, полагая
g(l) =/(-?)> ж = 0, получаем
Эта формула носит название равенства Парсеваля. |_|
С помощью теоремы 2.2 и других формул того же ти-
типа (но более простых) часто удается решать задачи,
не применяя формулу обращения. Прежде чем показать
примеры таких действий, выведем еще несколько фор-
формул. Все они могут быть получены из теоремы 2.2 при
некотором ее обобщении, но проще доказывать их непо-
непосредственно.
Нам придется доказывать эти формулы в двух вари-
вариантах: для одностороннего и для двустороннего преоб-
преобразования Лапласа, так как формулы для этих случаев
немного различны.
1. Если f(x) + F(z), то xf(x)+-F'(z).
Действительно, интеграл, определяющий функцию
F(z), равномерно сходится в некоторой полуплоскости
Re z > с. По теореме 4.5 гл. II его можно дифференци-
дифференцировать под знаком интеграла. Это дает нам
F' (г) = — j / (х) хе~хх dx (Re z>c),
о
т. е. xf(x)+~F'(z).

268 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1*. Пусть
оо
J A + \x\)\f(x)\er°*dx<ao.
—оо
Если f(x)^F(z)(Rez = a), то zf(x)^-F'(z)(Rez = a).
Применить то же рассуждение, что при доказатель-
доказательстве формулы 1, нельзя, так как область равномерной
сходимости интеграла может не содержать внутренних
точек. Однако условие абсолютной интегрируемости
функции A + \x\)f(x) обеспечивает сходимость и интег-
интеграла, определяющего функцию F(z), и интеграла, полу-
полученного дифференцированием под знаком интеграла. По-
Поэтому дифференцирование под знаком интеграла законно,
и мы получаем искомую формулу.
оо
2. Пусть J | /' (х) | е-™ dx < оо. Если f(x) + F(z), то
f'(x)+zF(z)-f@).
Действительно, при достаточно большом Re z имеем
f(x)e~xz -*¦ О при х -*¦ +°° и
со
= / (х) e-xz |0°° + z J / (х) е-* dx = -f(O) + zF (z).
о
Формула доказана.
2*. Пусть
Если f(x)^F(z),TO f(x)^zF(z) (Rez = a).
Эта формула доказывается так же, как и предыду-
предыдущая. D
На первый взгляд кажется странным, что формулы 2
и 2* различаются между собой, так как одностороннее
преобразование Лапласа является частным случаем дву-
двустороннего. Причина различия в том, что функция, рав-
равная f(x) при i>0 и нулю при х < 0, заведомо не бу-
будет дифференцируема, если f@)?=0. Если же /@) = 0,
то формулы 2 и 2* совпадают, (j

g 2. ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ 269
Теперь приведем пример решения задачи методом
преобразования Лапласа без использования формулы об-
обращения.
Пример 1. Найдем решение уравнения
j/<"> (х) + а.г/-» (х)+... + апу (х) = f(x),
удовлетворяющее условию у @) = у' @) = ... =
= г/(»-1)@) = 0.
Сначала допустим, что при достаточно больших х
функция f(x) обращается в нуль. Тогда при достаточно
больших х функция у{х), которую мы ищем, является
решением однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами, т. е. линейной комбина-
комбинацией функций вида Pk (х) е к* (Рц (х) — многочлен). По-
Поэтому одностороннее преобразование Лапласа функции
у (х) существует, как и преобразование Лапласа ее про-
производных.
Положим у(х)+ T](z), /(j)-rF(j)'.
Формула 2 с учетом условий у @) = у' @) = ...
... = у{п~1) @) = 0 дает нам соотношения
Используя уравнение для у(х), находим
P(z)r\(z) = F(z) (P(z) = zn + axzn-x + ... + а„),
или т]B) = p(X- Рациональную функцию -рт~\ можно
разложить на сумму простейших дробей
1
Чтобы найти функцию q(x), односторонним преобразо-
преобразованием Лапласа которой является функция D .,, решим
" \z)
эту задачу для каждой из простейших дробей. Восполь-
Воспользуемся очевидной формулой
СЮ
_* в Г еХх-хг dx
» —Я J
о
Применение формулы 1 дает

270 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Следовательно,
Далее, из соотношений
V (т\ — Ti (?.\ i (т\ -1- F 1т\ п (г\—
У \х) • ч \*Ь 1 \х) • г W' Ч V-)~ p /2\ >
с помощью теоремы 2.2 получаем
y(x) = {q(x)*f{x)),
т. е.
Заметим, что решение зависит лишь от поведения функ-
функции f(x) на отрезке @, х). Поэтому наше допущение,
что f(x) = O при достаточно больших х, не снижает общ-
общности. Q
Имеется широко разработанный раздел метода интег-
интегральных преобразований — операционное исчисление, ко-
который занимается только решением задач без использо-
использования формулы обращения. В учебниках операционного
исчисления приводится много различных формул, подоб-
подобных приведенным выше. Все эти формулы тем или иным
способом получаются из приведенных основных. П
Позаимствуем из операционного исчисления удобную
терминологию: функцию f(x) будем называть оригина-
оригиналом, а ее преобразование Лапласа — изображением.
§ 3. Примеры применения метода
Основпая масса применений метода преобразования
Лапласа выходит далеко за пределы теории аналитиче-
аналитических функций. Поэтому примеры, которые мы сейчас
рассмотрим, мало связаны с теорией аналитических
функций. Они выбраны с единственной целью — показать
сущность метода, привлекая возможно меньше лишнего
материала.
Пример 1. Пусть функция f(x)e~bW, Ъ<а, равно-
равномерно непрерывна на всей оси. Найдем решение урав-
уравнения
y"(x)-a*y(x) = f(x) (a>0)

§ 3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 271
такое, что функция у (х) е~ьы равномерно непрерывна на
всей оси.
Допустим сначала, что функция f(x) равна нулю при
всех значениях х, достаточно больших по абсолютной ве-
величине. Тогда у{х) при достаточно больших х является
решением уравнения у"—а2у, т. е. у(х) = С\е°* + Съё"*
(при х > А и х < —А постоянные С\ и Сг различны).
Условие равномерной непрерывности (а значит, и огра-
ограниченности) у (х)е~ьм на всей оси дает нам
Отсюда видно, что для функции у (х) и для ее производ-
производных существует двустороннее преобразование Лапласа.
Обозначая
7/ ( Т 1 ¦—"¦ ?1 ( ?\ Т I 1f\ ~~ Г" ( т\
а \ ) '' I \ / ) J \ / " \ / 1
получаем из уравнения (используя формулу 2*}
(Z2-a2)T](Z) = F(Z),
Но функция -jj 2 является изображением функции
e-oU|
2я , что легко проверяется интегрированием. Согласно
теореме 2.2 произведение изображений отвечает свертке
оригиналов. Поэтому
или
C.1)
Заметим, что полученная формула пригодна уже без
каких бы то ни было допущений. Действительно, из тео-
теоремы 2.1 о свойствах свертки следует, что функция
у(х)е~ьм, Ь<а, равномерно непрерывна на всей оси, ес-
если функция f(x)e~b]xt обладает этим свойством.
Нетрудно показать, что формула C.1) дает един-
единственное решение задачи. Действительно, разность двух
решений задачи была бы решением уравнения у" —ау2,
удовлетворяющим условию
\у(х)\<Меъм (Ь<а).

272 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Ясно, что таким решением уравнения может быть лишь
тождественный нуль.
Пример 2. Найдем решение интегрального урав-
уравнения
я
j (*-й" У (?)<$ = /(*) @<ос<1),
о
где f(x)—произвольная функция, непрерывно дифферен-
дифференцируемая при х S» 0.
Положим формально y(x)+r[(z), f{x)+-F(z) и заме-
заметим, что
xv~l + Y(v)z-v (v>0) C.2)
(для z~v6epeicH главное значение), так как
оо
j x*-le~xz dx = T (v) z~v (Re z > 0, v > 0).
о
Поэтому исходное уравнение вместе с теоремой 2.2 о
свертке дает нам
Г (a) *-«ti (z) = F (z), n (z) = ^ ^ B).
Обозначим через g(x) оригинал функции г, > F (z) =
=s G (z). Так как согласно формуле C.2) с v = 1 — а
имеем х~а н- Г A - а) z", a Г (а) Г A — а) = ^— соглао-
но формуле F.4) гл. VI, то по теореме о свертке
я
g {X) = (*- . / (*)) gJL- _ gJi. J (* _ g)-a W
о
Поскольку Ti (z) = zG(z), то по формуле 2 § 2 имеем
У(х) = g (x)+ g@)- Ho g@) = 0, и мы получаем
Эта формула дает решение интегрального уравнения,
в чем нетрудно убедиться проверкой. Однако вопрос о
единственности решения интегрального уравнения нуж-
нуждается в дополнительном исследовании, которое не столь
просто.

§ 3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 273
Пример 3. Найдем решение дифференциального
уравнения-? = —|, и(х, 0) = f(x) (t>0,—°°<х<оо).
Обозначим формально и(х, t)^v(z, t), j{x)-^F(z).
Из уравнения получаем с помощью формулы 2* § 2
Решая последнее уравнение, находим
v(z, t) = e*2tF{z).
Согласно теореме о свертке, обозначая через q(x, t) ори-
оригинал функции ez ', имеем
оо
u(x,t)= J q(x-l,
Остается найти q(x, t). Используем формулу обраще-
обращения. Поскольку ег * при Im z -*¦ ±°о и при фиксирован-
фиксированном Rez стремится к нулю быстрее любой степени, мы
можем применить теорему 1.1 и написать
c+ioo
?(*,*) = 2^ J ezh+xzdz (-oo<c<oo).
е—{оо
Возьмем с = — 2?".Делая замену ? =z — с, легко находим
C+ioo
,t) = ± J
«-loo
loo
J
{
J
—{oo
Окончательная формула имеет вид
/— с
Нетрудно убедиться, что эта формула дает искомое ре-
решение уравнение, если функция f(x) удовлетворяет ус-
условию \/{х)\<Ме№*-6,

274 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИК ЛАПЛАСА
Вопрос о единственности решения требует дополни-
дополнительного исследования.
Пример 4. Найдем решение интегрального урав-
уравнения
о
удовлетворяющее условию
\у(х)\ <Меах
Обозначим
| 0,
О, *<0; Ф(Х) = 1
Ясно, что функция ф+(я) в силу уравнения совпадает
с у(х).
Для функции <р(х) без труда получаем неравенство
Поэтому для функции <р (х) в полосе а < Re 2 < 1 суще-
существует двустороннее преобразование Лапласа. Обозначим
его Ф(г), а
оо О
Ф+ (z) = J ф (я) е-3" dr, Ф_ (z) = j ф (а;) е-х» dx.
Функция Ф+(г) голомофна и ограничена в полуплоско-
полуплоскости Rez^a+e, а Ф-(г)—в полуплоскости Rez<l —e
(е — любое положительное число) и O(z) = O+(z) +
+ Ф_(г) (a<Rez<l).
По теореме 2.2 о свертке имеем
Ф (г) = Ф_ (г) + Ф+ (г) = ХФ+ (z) -j-Ц (а < Re z < 1),
z — 1
так как изображением функции е~ы является функция
2

§ 3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА 275
Пусть % < 0. Тогда можно выбрать а так, чтобы
ReYl + X < а < 1. Рассмотрим функцию
ф (z) = (z - 1) Ф_ (z) = Ц^^ ф+ W-
С одной стороны, функция i|)(z) голоморфна в полупло-
полуплоскости Re z > а + е и удовлетворяет там неравенству
i|)(z) = 0(|zl + 1), так как функция Ф+(г) голоморфна
и ограничена при Re z > а + е. С другой стороны, функ-
функция г|э (z) голоморфна в полуплоскости Re z =S 1 — е и удов-
удовлетворяет там неравенству ty(z) = O(\z\ + 1) (по тем же
соображениям, с заменой Ф+(г) на Ф-(г). Это означает,
что -ф(г) голоморфна во всей плоскости и $(z) = O(\z\)
при 2 ->- °°. По теореме Лиувилля (см. § 2 гл. IV) имеем
г|э (z) = С + C\Z. Но при z->-+°° имеем \|э (z) = o(lzl), так
как Ф+(г)-^-0 при z -*¦ +°°, в чем легко убедиться,
взглянув на формулу для нее. Следовательно,
Но функция Ф+(г) является односторонним изображе-
изображением искомого решения. Поэтому, возвращаясь к ориги-
оригиналу, получаем
Пример 5. Найдем фундаментальную систему реше-
решений уравнения
Будем искать решение в виде контурного интеграла
у (х) = j ф (г) exz dz,
с
где контур С таков, что подынтегральная функция до-
достаточно быстро стремится к нулю при стремлении z к
концам контура (или С — замкнутый контур). Очевид-
Очевидно, имеем
у' (х) = J гф (z) ехг dz, у" [х) = J г2ф (z) ежг
с с

276 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
х (у" (х) + у{х)) = х J A + z2) ф (z) е« dz =
с
с
(обынтегрированные члены исчезают в силу предполо-
предположения о концах контура). Поэтому уравнение дает нам
exz dz = 0.
Это равенство заведомо выполняется, если подынтеграль-
подынтегральная функция равна нулю, т. е. если
Решая полученное уравнение для <p(z), находим
Ф(г) =
Таким образом, функции вида у {х)= \ .—== dz яв-
С ex
г)— I r
i У 1
ляются решениями исходного уравнения, если контур С
выбран так, чтобы подынтегральная функция достаточно
быстро стремилась к нулю при приближении к концам
контура, или если С — замкнутый контур и У1 + z2 одно-
однозначен на С.
Чтобы получить два линейно независимых решения
исходного уравнения, можно взять следующие контуры:
С\ — граница области |arg(z — i) I <я, |z —i|>p;
C2 — граница области |arg(z+ i)\ <n, \z + i\ % p.
При Re x > 0 интегралы сходятся, поскольку при
z -*¦ ±i — со функция ехг стремится к нулю быстрее лю-
любой степени.
Полагая р = 0 и объединяя интегралы по двум краям
разреза в один интеграл, получаем следующие формулы
для решений:
(Re*>0)*

§ 4. ОБОБЩЕННОК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 277
С помощью теоремы 4.1 гл. IV легко получаем асимп-
асимптотические формулы
-ix
(Rez->+oo),
у — 2nix
из которых сразу видна линейная независимость у\{х)
и yz{x).
С помощью поворота контура (как в примере 1 § 2
гл. VI) функции у\{х) ж У2(х) можно аналитически про-
продолжить на всю плоскость, за исключением точки х = О,
где эти функции имеют логарифмическую точку вет-
ветвления.
Можно было выбрать в качестве контура С границу
области, состоящей из всей плоскости с разрезом по от-
отрезку (—?, i). Этот контур является замкнутым, и функ-
функция Yl + z2 однозначна на нем. Соответствующее этому
контуру решение исходного уравнения имеет вид
Видно, что функция у (х) голоморфна во всей плоскости.
Из общих соображений ясно, что функция у(х) яв-
является линейной комбинацией функций ух{х) и у2(х).
§ 4. Обобщенное преобразование Лапласа
До сих пор мы рассматривали преобразование Лапла-
Лапласа лишь для функций /(я), удовлетворяющих условию
си
J I / И I
< оо
при каком-либо а. Во многих задачах это предположение
сильно ограничивает возможности метода. Так, скажем,
в примере 1 предыдущего параграфа мы смогли приме-
применить преобразование Лапласа и получить формулу для
решения лишь после дополнительного предположения,
от которого поспешили освободиться сразу после полу-

278 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
чения формулы. На этом мы потеряли возможность сра-
сразу же доказать и единственность решения, так что ее
пришлось доказывать отдельно. В несложных задачах
эта потеря невелика, но для более трудных задач воп-
вопрос о единственности решения далеко не прост. К тому
же в сложных случаях и проверка формулы, полученной
формальными действиями, тоже доставляет некоторые
трудности. Чтобы уяснить их, советуем читателю про-
проверить формулы для решений, найденные нами в при-
примерах 2 и 3 предыдущего параграфа (мы уклонились от
этой проверки, указав, что она возможна).
По этим причинам уже довольно давно стали возни-
возникать теории, оправдывающие введение преобразования
Лапласа для не интегрируемых по всей оси функций
f(x). Однако лишь в последнее время создана теория
преобразования Лапласа растущих функций, удовлетворя-
удовлетворяющая тем требованиям, которые предъявляют к ней при-
приложения. С помощью этой теории — она получила назва-
название теории обобщенных функций — удалось решить мно-
многие задачи, связанные с существованием и единствен-
единственностью решений дифференциальных уравнений с
частными производными.
Сколько-нибудь подробное изложение теории обоб-
обобщенных функций увело бы слишком далеко в сторону.
Ограничимся изложением основной идеи, лежащей в ос-
основе этой теории *). |П
В зависимости от требований, возникающих в задачах,
преобразование Лапласа обобщается на различные клас-
классы функций. Будем говорить главным образом о преоб-
преобразовании Лапласа функций, непрерывных на любом ко-
конечном отрезке действительной оси и растущих при
х -»- ±°о.
Мы по-прежнему будем называть функцию f(x) ори-
оригиналом, а ее преобразование Лапласа — изображением
и сохраним запись этой связи фомулой f{x)^F(z), толь-
только смысл понятия изображения будет несколько иной.
Изображения наделим следующими свойствами:
1. Изображения F(z) и G(z) считаются равными, если
их оригиналы f(x) и g(x) тождественно совпадают.
2. Изображение является линейной функцией ориги-
оригинала, т. е. из соотношений f(x)-z- F(z) и g(x)-^ G(z)
*) Подробное изложение теории обобщенных функций имеется
в [6, 7].

§ 4. ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 279
следует, что
af{x)+bg{x)*aF(z)+bG(z)
для любых постоянных а и Ъ.
3. Если оригинал является непрерывно дифференци-
дифференцируемой функцией, абсолютно интегрируемой по всей оси,
то его изображение отождествим с обычным преобразо-
преобразованием Лапласа.
4. Зададим какое-либо понятие сходимости оригиналов
и назовем последовательность изображений сходящейся,
если последовательность оригиналов сходится в заданном
смысле. []
Задавая понятие сходимости оригиналов, мы выделя-
выделяем тем самым некоторый класс функций (линейное то-
топологическое пространство), получаемых предельным пе-
переходом из непрерывно дифференцируемых функций,
абсолютно интегрируемых по всей оси. Для всех функ-
функций этого класса изображение определяется как фор-
формальный предел некоторой последовательности обычных
преобразований Лапласа. Понятие сходимости может ока-
оказаться и таким, что предел будет существовать в каком-
либо обычном смысле, но может оказаться, что ни в ка-
каком обычном смысле предел изображений не существует.
Однако это и не важно: мы не требуем, чтобы обобщен-
обобщенное изображение было функцией в обычном смысле сло-
слова. Важно другое: каждой функции из построенного
класса отвечает ровно одно изображение. Q
Приведем два примера задания сходимости оригина-
оригиналов и выясним, к каким классам функций мы придем.
Пример 1. Сходимость оригиналов задана следую-
следующим образом: /„(#)->• 0, если fn(x) равномерно стремит-
стремится к нулю на каждом конечном отрезке.
В этом случае пределом последовательности непре-
непрерывно дифференцируемых функций, абсолютно интегри-
интегрируемых по всей оси, может быть любая функция, не-
непрерывная во всех точках оси (и только такая). Дей-
Действительно, во-первых, любую непрерывную функцию,
абсолютно интегрируемую по всей оси, можно равно-
равномерно приблизить непрерывно дифференцируемыми
функциями, абсолютно интегрируемыми по всей оси.
Затем для любой непрерывной функции легко строится
последовательность абсолютно интегрируемых по всей
оси непрерывных функций, равномерно сходящаяся к

280 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ней на каждом конечном отрезке. Например, можно по-
положить jn{x) равной f(x) на отрезке (—и, п), нулю вне
отрезка (—п— 1, тг+1) и линейной на оставшихся
отрезках.
С другой стороны, предел равномерно сходящейся
последовательности непрерывных функций — непрерыв-
непрерывная функция.
Пример 2. Сходимость оригиналов задана следую-
следующим образом: /п(х)->-0, если для какого-либо а<а
имеем
lira max | /„ (х) е-*М | = 0,
П-»оо X
Пределом последовательности непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций, абсолютно интегрируемых по всей
оси, в этом случае может быть любая непрерывная на
всей оси функция f{x), удовлетворяющая условию
при каком-либо a < а (и только такая). Это легко дока-
доказывается тем же рассуждением, что и в примере 1. Q
Перейдем теперь к вопросу о том, как работать с
обобщенным понятием изображения и какова при этом
роль понятия сходимости.
Задавая сходимость, мы получаем некоторый класс
оригиналов, каждому из которых можно поставить в со-
соответствие изображение. Казалось бы, теперь следует
взять класс возможно шире и решать задачи. Однако
дело не столь просто. Выбор класса определяется самой
задачей. Это происходит, грубо говоря, потому, что чем
шире класс, тем меньше действий можно делать <Г изо-
изображениями.
Основные действия, которые приходится совершать с
изображениями при решении задач,— это сложение изо-
изображений и умножение их на функции. Для обобщен-
обобщенных изображений эти действия следует понимать так:
каждое обобщенное изображение является пределом по-
последовательности обычных изображений; действия над
этими изображениями отвечают каким-то действиям с
оригиналами; если последовательность оригиналов, над
которыми совершены соответствующие действия, сходит-
сходится, то мы получаем сходящуюся последовательность изо-
изображений и соответствующее действие над изображени-
изображением возможно.

§ 4. ОБОБЩЕННОК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 281
Иными словами, действие над изображением возмож-
возможно, если соответствующее действие над сходящейся по-
последовательностью оригиналов оставляет эту последова-
последовательность сходящейся. Это означает, что с изображения-
изображениями можно совершать такие действия, чтобы соответству-
соответствующие действия над оригиналами не выводили из класса
оригиналов. [П
Ясно, что сложение изображений, соответствующее
сложению оригиналов, не выводит из класса оригиналов.
Умножение изображения на функцию
В (z) = J р (х) е~хгйх
соответствует свертке оригинала с функцией В (а;). Поэто-
Поэтому одним из основных вопросов в теории преобразования
Лапласа является отыскание класса функций, свертка
с которыми не выводит из данного класса. Этот вопрос
играет значительную роль и в классической теории пре-
преобразования Лапласа, но в теории обобщенного преобра-
преобразования Лапласа его роль еще заметнее. Для класса
оригиналов, рассмотренного в примере 2, ответ на этот
вопрос сразу получается из теоремы 2.1 о свертке:
Если функция В (я) удовлетворяет условию
|р(ж)| <Мё~аЫ (-
a f(x)^Sa, то (f(x)*$(x))<^Sa.
Здесь через Sa обозначен класс функций, описанный
в примере 2.
Рассмотрим еще вопрос об умножении изображения
на степень z.
Умножение изображения на z соответствует диффе-
дифференцированию оригинала. Поэтому умножение произволь-
произвольного изображения на z, вообще говоря, недопустимо. Од-
Однако если нам заранее известно, что и сам оригинал,
и его производная входят в наш класс оригиналов, то
умножение на z является допустимым действием. []
Рассматривать сколько-нибудь сложные примеры ис-
использования обобщенного преобразования Лапласа мы
не будем. Ограничимся лишь тем, что проведем с его
помощью исследование примера 1 предыдущего парагра-
параграфа. Рассуждения, которые мы продемонстрируем на этом
примере, типичны и для более сложных задач. (От бо-
более сложных задач мы отказываемся лишь по той при-

282 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
чине, что нам пришлось бы доказывать довольно слож-
сложные теоремы о свертке, а эти теоремы в дальнейшем нам
нигде не понадобятся.)
Пример 3 (ср. пример 1 § 3). Пусть 0 ^ а < а,
a f(x)—непрерывная на всей оси функция, для которой
\f{x) I ,< Mealxl. Покажем, что существует единственное
решение уравнения
y"(x)-a*y(x) = f(x),
для которого \у{х) I < MieaW, и найдем формулу
для него.
Сначала положим формально
у(х)^ф), f(x)*F(z)
и найдем
Теперь выясним, какой класс оригиналов нам следует
выбрать. Функция -% g является изображением функ-
z — п
ции •g—е~а'ж1. Следовательно, класс оригиналов нужно
выбрать таким образом, чтобы свертка функции f(x) из
этого класса с функцией —е~а'ж1 тоже входила в этот
класс. Тогда символ ^ (z) = -5—^—5 будет изображением
z — а
функции из этого класса оригиналов, и притом только
одной. Это означает, что в любом классе оригиналов,
переходящем в себя при свертке с функцией -^ е~аИ,
решение нашей задачи единственно и дается формулой
оо
У(Х) = 1-(е-а1*1 */(*)) = ±. J в-о1*-
Один такой класс нам известен. Это класс функций,
рассмотренный в примере 2. Рассматриваемые условия
состоят как раз в требовании, чтобы функции f(x) и
у (х) входили в этот класс. Остается еще проверить, до-
допустимо ли было умножение изображения у (х) на z2.

§ 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 283
Из уравнения видно, что функция у"(х) принадлежит
тому же классу, что и у (х) с f(x). Отсюда легко полу-
получаем, что и у (х) (как одна из первообразных функции
у" (х)) принадлежит тому же классу. Тем самым урав-
уравнение обеспечивает принадлежность у'(х) ж у" (х) тому
же классу, что и у(х) с /(х), т. е. умножение r\(z) на
z и на z2 является допустимым действием. []
Мы говорили только про обобщение преобразования
Лапласа на непрерывные функции, растущие на беско-
бесконечности. Та же самая идея позволяет обобщать преоб-
преобразование Лапласа и на функции с плохими дифферен-
дифференциальными свойствами. Для этого нужно выбирать соот-
соответствующее понятие сходимости. Так можно строить
теорию преобразования Лапласа для функций, интегри-
интегрируемых с квадратом по всей действительной оси, и для
еще более широких классов функций.
§ 5. Использование аналитического продолжения
Стоит заметить, что теория обобщенных функций соз-
создана для вполне определенного типа задач, и нет необ-
необходимости применять теорию обобщенных функций к
любой задаче, где идет речь о преобразовании Лапласа
растущих функций. Более того, теория обобщенных
функций может и не привести к цели даже для очень
простых задач такого рода. С другой стороны, классиче-
классическая теория преобразования Лапласа тоже имеет дело
с преобразованием растущих функций. Один из способов
тесно связан с аналитическим продолжением интегра-
интегралов. []
Пусть функция f(x) определена не только при х>0,
но и в угле largzl <cc и удовлетворяет в этом угле не-
неравенству
\f(x)\ <МеаМ (Ы >1
Тогда функцию
оо
F(z) = j / (х) e-*z dx (Re z > а)
можно аналитически продолжать, поворачивая луч интег-
интегрирования, как это делалось в примере 1 § 2 гл. VI.
При этом в полуплоскости Re(zeie)>a, |0|<а, функ-

284 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
пия F (z) представляется интегралом
F(z)= С J(x)e-*zdx.
Таким образом, функция F(z) не зависит от того, по
какому лучу берется интеграл. Поэтому для аналитиче-
аналитических функций естественно назвать односторонним преоб-
преобразованием Лапласа интеграл по любому лучу arg х = 0,
если функция }(х) голоморфна на этом луче. При этом,
конечно, придется мириться с тем, что у одной и той же
функции f(x) может оказаться много различных преоб-
преобразований Лапласа, отвечающих различным лучам.
Видно, что при таком понимании преобразования
Лапласа мы можем допустить любой рост функции f(x)
по действительной оси, если есть какой-либо другой луч,
на котором /(ж) растет не быстрее, чем еаМ. Даже более
того, если }(х) растет по всем лучам, преобразованию
Лапласа можно придать смысл, разбив f(x) на сумму ка-
какого-то числа функций, имеющих лучи экспоненциаль-
экспоненциального роста.
Докажем две теоремы, относящиеся к такой трактов-
трактовке преобразования Лапласа.
Теорема 5.1. Пусть область D содержит какую-ли-
какую-либо полуплоскость Re(?e!lJ)> а, контур С — граница D,
и пусть функция ср(?) абсолютно интегрируема по кон-
контуру С. Если
то
Если, кроме того, функция <р(?) голоморфна в обла-
области D, непрерывна вплоть до ее границы и <р(?) -*¦ О
(С ?Я) F() ()
(С, ?), () q()
Доказательство. Так как область D содержит
полуплоскость Re(?e'9)>a, то при arg х = 0, % е С, име-
имеем неравенство 1е*Ч *? еаМ. Поэтому интеграл для функ-
функции f(x) равномерно сходится по х на любой конечной
части луча arg х = 0, так что функция f(x) непрерывна

§ 5, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 285
на луче arg х =» 0. Кроие того, для нее имеет место не-
неравенство
4 J| Ф@1
J(argг - 0).
с
Следовательно, при Re(ze'e)>a + 6 интеграл
= J f(x)er-*dx
равномерно сходится по z. Обычными рассуждениями
легко показывается, что порядок интегрирования можно
изменить. После перемены порядка интегрирования внут-
внутренний интеграл вычисляется, и мы получаем первую
формулу для F(z). Если функция <р(?) голоморфна в
области D, непрерывна вплоть до ее границы С и удов-
удовлетворяет условию ср(?)-»-0 (t -*¦ °°, ?еР), то можно
применить интегральную формулу Коши, что даст нам
F(z)= — <p(z). Теорема доказана.
Теорема 5.2. Пусть область D содержит какую-ли-
какую-либо полуплоскость Re(zeie)>a, контур С — граница D-
Если функция F(z) голоморфна в области D, непрерыв-
непрерывна вплоть до ее границы и удовлетворяет условиям
то функция
непрерывна на луче arg х = 0 кроме точки х = 0, удов-
удовлетворяет при любом а' > а неравенству
\ (arga; = 0)
f / (x) e~xz dx
Доказательство. Применим к функции F(zeie)
теорему 1.2. После несложных преобразований формула
обращения преобразования Лапласа даст нам, если счи-
считать прямую Re(zeie) = a' границей полуплоскости

286 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Re(zei9)>a':
eXZ dz> F B) = J f (*) e~xz dx-
0
В силу условий на F (z) прямая интегрирования
Re(ze'e) = a' эквивалентна контуру С. Теорема дока-
доказана. []
В качестве применения доказанных теорем рассмот-
рассмотрим один пример, сходный с примером 5 § 3.
Пример 1. Найдем решение дифференциального
уравнения
пуы~1}(х)+ху(х)=0 (п>2),
удовлетворяющее начальным условиям
у @) = Ро, у'(О) = ри..., г/-2> @) = р„_2.
Метод решения, который мы применим, можно рас-
распространить и на решение аналогичной задачи для дру-
других линейных дифференциальных уравнений с линейны-
линейными коэффициентами.
Обозначая y(x)^-r\(z), можно написать согласно фор-
формуле 2 § 2
у(п-1) (я) _^ гп-1ц B) _ р (z) (р (z) = 2
xy{x)+-i\'{z).
Поэтому уравнение для у (х) дает следующее уравнение
для г] (z):
ri/(z)-nz-IT,(z) = -PB), E.1)
где P(z) = pozn~2 + ... + рп-2- Решение уравнения E.1)^
имеет вид
г
т| (z) = — е2" J e-5nP (Q d? + Се2" E.2)
о
(С — произвольная постоянная).
Довольно ясно, что функция г) (z) не ограничена ни
в одной полуплоскости. Поэтому придется разбить r\(z)

§ 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ
287
на сумму функций, каждая из которых будет ограниче-
ограничена в своей полуплоскости. Для этого сначала рассмот-
рассмотрим поведение в окрестности бесконечно удаленной точ-
точки функции ег™—решения однородного уравнения ц" —
— nzn~lfy\ = 0. Полагая z = ге'ф, имеем
In j ег" | = Re zn = rn cos шр.
Поэтому ег" ->- 0 при z ->¦ °° по лучу arg z = ф, если
cos геф < 0, и ег" -> оо при z ->- °° по лучу arg z = ф, если
cos «ф > 0.
Обозначим через Dk об-
область, получающуюся выбра-
выбрасыванием из плоскости z бе-
бесконечного сектора
- б
(Здесь й>0и
произвольны.) Через Lh обо-
обозначим границу области Dk
(рис. 8).
При z->w по контуру Lh функция е%п стремится к
нулю быстрее, чем е~аМ при любом а. Поэтому функции
\]j-~ + б.
Рис. 8
= _L Ге?пА_.
(^^Dk), k = 0, 1, . .., n— 1, голоморфны в областях Dft.
Более того, по теореме об аналитическом продолжении
интегралов типа Коши (см. § 2 гл. VI) функции r\k(z)
можно аналитически продолжить на всю плоскость. Как
и в примере 1 § 4 гл. VI, можно получить для функций
T|ft(z) асимптотические формулы
оо,

288 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
По теореме 5.1 функции r\k(z) являются преобразова-
преобразованиями Лапласа функций
Покажем, что функции ук(х) являются решениями ис-
исходного дифференциального уравнения. Для этого нам
достаточно показать, что каждая функция r[k(z) удов-
удовлетворяет уравнению E.1) с некоторым многочленом
степени п — 2 в правой части. Имеем
или, совершая в первом интеграле интегрирование по
частям,
т* (z) - nz-iTU (*) = ^ J eS" ^-f' d? =
n-2
Zi
i -s—2
что и требовалось.
Уравнение E.1) с любым многочленом P(z) степени
п — 2 в правой части имеет ровно п линейно независи-
независимых решений, так как в нашем распоряжении имеются
(ге— 1) коэффициентов многочлена P(z) и произвольная
постоянная С. Функций v\k(z) ровно ге, п они линейно
независимы. В этом проще всего убедиться с помощью
асимптотических формул. Из них видно, что каждая из
функций r\h(z) растет только в своем уголке (эти уголки
не имеют общих точек). Поэтому интересующая нас
функция r\ (z) может быть представлена в виде линей-
линейной комбинации функций T)ft(z). Положим
r,(z)= 2^B). E.3)
Тогда интересующее нас решение у(х) равно
у{х)= 2 ckyh{x).
k-Q

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 289
Остается найти постоянные с» через начальные ус-
условия.
Положим z -*¦ °°, arg z = 0S = —. Тогда согласно
асимптотическим формулам для функций r|A(z) имеем
Поэтому из формулы E.3) получаем
/ \ „п I г, 2ns\
r\ (z) ~ csez I z -> оо, arg г = 68 = —I,
С другой стороны, из формулы E.2) для r\(z) получаем
'— j e-SnP(Qdqezn (z->oo, argz = 0s).
о >
Следовательно,
- J e-c
о
Заметим, что в отличие от функций t)a(z) функции
Ук(х) линейно зависимы. Между ними имеется одно со-
соотношение
п-1
k-0
Поэтому произвольная постоянная С не входит в окон-
окончательную формулу для у (х), которая имеет вид
где Р(?) и Z(ft определены выше. Легко проверить, что
интегралы сходятся при всех комплексных х.
§ 6. Преобразование Меллина
В начале главы упоминалось о том, что наряду с
преобразованием Лапласа в анализе употребляются еще
два интегральных преобразования, отличающихся от не-
него лишь несущественной заменой переменных. Скажем
несколько слов об этих преобразованиях.

290 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Преобразованием Фурье функции f(x), абсолютно ин-
интегрируемой по всей оси, называется функция
оо
= J f(x)e*tdx (-
Если F(z)—двустороннее преобразование Лапласа
той же функции f(x), то, очевидно, имеем ср(?) = F(—j|).
Из этого соотношения легко выводятся все свойства пре-
преобразования Фурье с помощью свойств преобразования
Лапласа (и наоборот). Например, формула обращения
преобразования Фурье принимает вид
Различия в формулах столь незначительны, что на
них не стоит останавливаться.
Различие между преобразованием Лапласа и преобра-
преобразованием Меллина несколько больше.
Преобразованием Меллина функции g(t), определен-
определенной при положительных t и удовлетворяющей условию
называется функция
-4t (Rez = p).
Если обозначить через F(z) двустороннее преобразо-
преобразование Лапласа функции f(x) = g(ex), то получаем
F(—z)—G(z). Это соотношение тоже позволяет выводить
все формулы преобразования Меллина из формул пре-
преобразования Лапласа. Формула обращения преобразова-
преобразования Меллина имеет вид
р+гсо
I
p-ico
Стоит еще отметить формулы, аналогичные формуле
преобразования Лапласа свертки двух функций.

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 291
Если
оо оо
F(z)= \f (х) xz~i dx, G (z) = J g (ж) xz~i dx,
то
оо
h^t) f1 dt= F(z)G(z), j h2(t) tz~xdt = FA —z)G (z).
о
Доказательство этих формул и вывод условий, при
которых они справедливы, легко получить сведением к
теоремам 2.1 и 2.2. []
В § 5 гл. VI мы упоминали об одном методе анали-
аналитического продолжения степенных рядов, основанном на
использовании преобразования Меллина. Сейчас мы мо-
можем рассказать об этом методе несколько подробнее.
Теорема 6.1. Пусть функция с(х) голоморфна в
полуплоскости Re x > О и удовлетворяет условиям
С( *** 1 —>- О О I О™ 1 f / I * Т"~ I \ (ф —>¦ CO R Р 1™ ^S Л 1
пры любом б > 0 и при некотором "f > 0. Тогда функцию
п=1
можно аналитически продолжить на всю плоскость z с
разрезом по лучу A, +°°). Аналитическое продолжение
дается формулой
00 6-f-ioo
j I c(x)t^-dxdt. F.1)
1 б—ico
Доказательство. По формуле обращения преоб-
преобразования Меллина (со ссылкой на теорему 1.2 об обра-
обращении преобразования Лапласа) можно написать
—6+ ioo
= 2Й J c(-x)t~xdx.
~б—1»

292 ГЛ. VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Положим в первой формуле х = —и, умножим на z" и
просуммируем от 1 до бесконечности, что возможно при
Ы < 1. После перемены порядка суммирования и ин-
интегрирования получим
Последний интеграл равномерно сходится в любой зам-
замкнутой части плоскости, не содержащей точек луча
A, +°°). Таким образом, мы получили аналитическое
продолжение функции f(z) на плоскость с разрезом по
лучу A, +оо). Подставляя вместо функции <р(?) ее вы-
выражение через контурный интеграл, приходим к форму-
формуле F.1). Теорема доказана. []
Доказанная теорема показывает, что ряды
оо оо
2 e~nazn {а < 1), 2 n-« (In (л + 1))Р zn (а > 0)
1 1
можно аналитически продолжить на всю плоскость z с
разрезом по лучу A, +<»). При желании с помощью
формулы F.1) можно исследовать и поведение сумм
этих рядов в окрестности точки z = 1. []
В заключение приведем один результат об аналити-
аналитическом продолжении интегралов, характерных для пре-
преобразования Меллина.
Теорема 6.2. Пусть функция g(t) непрерывна при
t>0, при t ->- +°° стремится к нулю быстрее любой сте-
степени t, а в окрестности точки t = 0 разлагается в сходя-
сходящийся ряд
5/ft t%h>0,
где Xi < X2 < Аз < ... и Я„ -> +°° при п ->- +°°. Тогда
функция
аналитически продолжается на всю плоскость z за исклю-
исключением точек z = — Кп, в которых G(z) имеет простые
полюсы.

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 293
Доказательство. Обозначим
п-1 , 1
gn (t) = g (t) - 2 с/* яп B) = j gn (t\ f1 dt.
Тогда в окрестности точки t = 0 имеем \gn(t)\ ^.Mt n.
Следовательно, интеграл для функции Hn(z) равномерно
сходится в полуплоскости Re z ^ —К„ + б при люб"ом
6 >0. Таким образом, функция Hn(z) голоморфна в по-
полуплоскости Re 2 > —Хп.
Но
1 n 1 °°
= Hn (z)-\- \ 2j Cht dt + J g (t) tz~x dt.
о h=1 l
Последний интеграл в правой части является функцией,
голоморфной во всей плоскости z, так как в силу усло-
условия .теоремы #(?)->-0 при t-++oo быстрее любой степе-
степени t. Предпоследний интеграл вычисляется:
fe = 0 ft=l
Следовательно, функция G(z) голоморфна в полуплоско-
полуплоскости Re z > —Хп, за исключением простых полюсов в точ-
точках —Xi, —Я2, ..., —Я„_1. Поскольку п произвольно и
Кп ->- +оо при п -> +<», теорема доказана.
Напомним, что с одним частным случаем этой теоре-
теоремы мы встречались при аналитическом продолжении гам-
гамма-функции Эйлера в гл. II.

Глава VIII
ГАРМОНИЧЕСКИЕ
И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теория гармонических и субгармонических функций
играет существенную роль <в получении различных тон-
тонких оценок для аналитических функций. Эти оценки ос-
основаны на том, что логарифм модуля голоморфной
функции представляет собой субгармоническую функцию.
Эта глава посвящена изучению гармонических и субгар-
субгармонических функций и приложениям полученных для
них результатов к аналитическим функциям.
§ 1. Основные свойства гармонических функций
Мы будем говорить только о гармонических функци-
функциях двух переменных.
Действительную функцию и(х, у) двух действитель-
действительных переменных х и у называют гармонической в об-
области D, если она дважды непрерывно дифференцируема
в этой области и удовлетворяет уравнению Лапласа
Для краткости будем вместо и (х, у) писать в (я),
где 2 = х + iy. Иногда даже будем переходить от одной
записи к другой, оставляя для функции одну и ту же
букву, т. е. будем считать, что и (х + iy) = и (х, у). []
В § 1 гл. II мы показали, что действительная и мни-
мнимая части-голоморфной в области D функции f(z) явля-
являются гармоническими в области D функциями. Обратное
утверждение неверно для многосвязной области, как по-
показывает пример функции lnlzl, гармонической при 0<
<|zl<». Поэтому докажем несколько более сложное
утверждение о связи аналитических и гармонических
функций, пригодное и для многосвязных областей.
Теорема 1.1. Для того чтобы функция u(z) была
гармонической в области D, необходимо и достаточно,
чтобы она была действительной частью аналитической в

§ i. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 295
области D функции w(z), удовлетворяющей усло-
условиям:
1. Функция w'(z) голоморфна в области D.
2. Интеграл от w'(z) -no любому замкнутому конту-
контуру, лежащему в области D, равен чисто мнимому числу
(или нулю).
Доказательство. Начнем с доказательства доста-
достаточности. Нам иужво убедиться, что условия 1 и 2 обес-
обеспечивают однозначность действительной части аналити-
аналитической в области D функции w(z). Поскольку функция
и/(z) голоморфна в области D, то любой элемент анали-
аналитической функции w(z) может быть получен из исходно-
исходного элемента интегрированием u>'(z) по некоторому пути,
лежащему в области D. Значения различных элементов
в одной и той же точке отличаются на интеграл от и/(z)
do некоторому замкнутому пути. Согласно условию 2
этот интеграл является чисто мнимым, и его прибавление
не отражается иа действительной части. Достаточность
доказана.
Для доказательства необходимости нужно по задан-
заданной функции u(z) построить функцию w(z), аналитиче-
аналитическую в области D и имеющую однозначную действитель-
действительную часть, равную и (z), а затем показать, что выполне-
выполнены условия 1 и 2. Для этой цели определим функцию
w'(z) равенством
w' (x + iy) = и'х {х, у) — iu'y {x, у).
Эта функция голоморфна в области D, так как она опре-
определена в этой области и ее действительная и мнимая
части удовлетворяют условиям Коши — Римана (в силу
уравнения Лапласа для и(х, у)). Первообразная функ-
функции, голоморфной в области D, является функцией, ана-
аналитической в области D. Покажем, что действительная
часть функции w(z) (первообразной для w'(z)) совпа-
совпадает с u(z) всюду в области D, если она совпадает с u(z)
в какой-либо одной точке z = ?. Имеем
'{z)dz, Re w; (?) = "(?).
и, отделяя действительную часть, получаем
z
Re w (г) = и {Q + j и'х (х, у) dx + и'у (х, у) dy.

296 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Интеграл берется от полного дифференциала их dx +
+ иу dy =du, так что он не зависит от пути интегриро-
интегрирования и равен разности значений функции и(х, у) в кон-
концах пути. Поэтому
Re w(z) = u(t,)+ u(z)— u[t) — u'(z).
Из однозначности функции u(z) = Re w(z) следует,
что все элементы функции w(z) в одной и той же точке
могут отличаться лишь чисто мнимым слагаемым. Но мы
уже отмечали, что эти элементы отличаются лишь ин-
интегралами от и/(z) no замкнутым контурам. Поэтому
интеграл от w'(z) по любому замкнутому пути — чисто
мнимое число (или нуль). Теорема полностью доказана.
Замечание 1. По существу смысл теоремы 1.1 со-
состоит в том, что для гармоничности функции u(z), опре-
определенной в области D, необходимо и достаточно, чтобы
она была действительной частью функции, аналитической
в области D. Условия 1 и 2 дают необходимые и доста-
достаточные условия для однозначности в области D действи-
действительной части функции w(z), аналитической в этой об-
области.
Замечание 2. Бели область D односвязна, то
функция, аналитическая в области D голоморфна в этой
области. Поэтому для гармоничности функции u(z) в
односвязной области D необходимо и достаточно, чтобы
она была действительной частью функции, голоморфной
в области D. []
С помощьдо теоремы 1.1 многие вопросы для гармони-
гармонических функций сводятся к тем или иным вопросам для
аналитических функций. Например, очень большое зна-
значение имеет следующий результат о замене переменных:
Теорема к2. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D и ее значения лежат в области G. Если функция
U(z) гармонична в области G, то функция U(f(z)) = u(z)
гармонична в области D.
Доказательство. Если W(z)—аналитическая в
области G функция, для которой U(z) = Re W(z), то
функция w(z)= W(f(z)) аналитична в области D (на-
(например, по той причине, что функция w'(z) —
— W'(f(z))f(z) голоморфна в области D) и, очевидно,
u(z) = Re w{z). Теорема доказана. []
Большое значение имеет и теорема единственности
для гармонических функций:

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 297
Теорема 1.3. Пусть u(z)— гармоническая в обла-
области D функция. Если u(z) = 0 в некоторой окрестности
точки ^efl, то функция u(z)—тождественный нуль.
Д о к а з ат е л ьст в о.. Пусть w(z)—-та аналитическая
в области D функция, для которой «(z) = Re»(z). Легко
убедиться, что
Так как их (z) = uy (z) — О в окрестности точки z = ?,
то и w' (z) = О в окрестности точки z = ?. По теореме
единственности имеем и/(г) = 0, т. e. w (z) = const. Сле-
Следовательно, и ц(г) = const, а поскольку u(z) = 0 в окре-
окрестности точки z = ?, то и (z) = 0. Теорема доказана. []
Связь гармонических функций с аналитическими иг-
играет очень большую роль при исследовании гармониче-
гармонических функций. Однако многие свойства гармонических
функций проще доказывать непосредственно. Основой
большинства прямых доказательств является частный
случай хорошо известной формулы Грина — Остроград-
Остроградского
A(x,y)dx + B(x,y)dy = ^(?§ -^fjdxdy. A.2)
(D — некоторая область, С — граница D). Формула Гри-
Грина — Остроградского справедлива для любых непрерывно
дифференцируемых в D функций А(х, у) и В(х, у).
Интересующий нас частный случай этой формулы носит
название формулы Грина. Эта формула имеет вид
Здесь (р(х, у) и ty(x, у) — дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемые в D функции, a j^— производная функции
т|)(а;, у) по направлению внешней нормали к кривой С,
т. е.

298 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где 6 — угол внешней нормали к кривой С с осью х. По-
Поскольку мы рассматриваем лишь кусочно-гладкие кри-
кривые, направление внешней нормали определено на всей
кривой С, за исключением конечного числа точек.
Формула A.3) легко получается из формулы A.2),
если заметить, что ds cos 6 = dy, ds sin Э = —dx и, сле-
следовательно,
^— ds = — -r— dx + -— dy.
дп dy dx y
Отметим еще несколько простых следствий из фор-
формулы Грина.
Возьмем в формуле A.3) функцию q>(x, у) равной
единице, а функцию ty(x, у)—равной гармонической в
области D функции и(х, у). Тогда
5>-0. A.4)
Эта формула аналогична теореме Коши для голоморфных
функций.
Возьмем сначала ц>(х, у) = и(х, у), ty(x, y) = v(x, у),
затем у(х, y)=v(x, у), ф(.г, у)=и(х, у) и вычтем друг
из друга полученные с помощью формулы A.3) равен-
равенства. Если и(х, у) и v(x, у) — гармонические в области
D функции, то мы получим
и-. v—\ds= 0, A.5)
дп дп I х '
Эту формулу тоже можно рассматривать как аналог тео-
теоремы Коши. []
Для гармонических функций есть и формула, анало-
аналогичная интегральной формуле Коши для голоморфных
функций.
Теорема 1.4. Пусть функция u(z) гармонична_е
области D и дважды непрерывно дифференцируема в D.
Если ЕеД то
J [и (z) дп П ' Z b дп n I z *> Ij л" (Q ( • »)
с
(С — граница D). Если t,^D, то интеграл равен нулю.
Доказательство. Функция y(z) = ln \z — ?| явля-
является гармонической во всей плоскости, за исключением

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 299
точки z = '?, так как она равна действительной части
аналитической при 0< Iz— ?|<<» функции ln(z—?).
Если % Ф D, то функция In I z — ? I гармонична в области
D и по формуле A.5) интеграл равен нулю. •
Чтобы доказать формулу A.6) при ^еД обозначим
через Dp область, полученную удалением из области D
круга Iz — t,\ < р (мы возьмем р >0 столь малым, чтобы
этот круг лежал в области D). Если обозначить через
Ср границу области Dp, то согласно сказанному выше
имеем (поскольку t, Ф ?>р)
Так как Ср состоит из С и из окружности \z— ?| = р, то
(во втором интеграле направление берется уже совпада-
совпадающим с направлением от точки z = ? по радиусу). На
окружности |z — ?| = р, очевидно, имеем In Iz — ?| =
р
In | г ^|
= In р и —- In | г — ^| = ^-1п'' = — Поэтому соглас-
1 on ¦ or г=р р ¦
но A.4)
/ = -1 j U(z)&. (.1.7)
Левая часть последнего равенства не зависит от р, зна-
значит, не зависит от р и правая часть. Поэтому достаточно
найти предел правой части при р -»- 0. Этот предел равен
2nu(t,), так как по интегральной теореме о среднем зна-
значении интеграл равен значению функции u(z) в некото-
некоторой точке окружности \z — ?1=Р, умноженному на 2яр,
а при р-»-0 значение функции u(z) в любой точке
окружности |z — ?l=p стремится к и{%). Теорема до-
доказана.
Замечание 1. Мы отмечали, что правая часть ра-
равенства A.7) не зависит от р, и показали, что она равна
2ям(?). Поэтому вместе с формулой A.6) доказано и
следующее утверждение, носящее название теоремы о
среднем для гармонических функций;

300 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если функция u(z) гармонична в круге \z — ?| <R,to
J
I
Замечание 2. Формулы A.5) и A.6) доказаны в
предположении, что функции u(z) и v(z) гармоничны
в_ области D и дважды непрерывно дифференцируемы в
D. Последнее условие можно значительно ослабить, вос-
воспользовавшись тем, что интеграл по граничной кривой
от функции, непрерывной вплоть до границы области,
можно с любой точностью приблизить интегралом от этой
функции по ломаной, лежащей внутри области (см. § 5
гл. I). Для непрерывности подынтегральных функций
вплоть до границы достаточно, чтобы функции u(z) и
v(z) были непрерывно дифференцируемы вплоть до гра-
границы области D.
Это условие можно и еще немного ослабить. Именно,
формулы A.5) и A.6) остаются справедливы, если:
Функции u(z) и v(z) гармоничны в области D и не-
непрерывны вплоть до ее границы. Частные производные
этих функций непрерывны вплоть до границы D за ис-
исключением конечного числа точек а\, аг, • •., ап, а при
ди
Эх~
+
dv
~8х
+
dv
Несобственные интегралы, входящие в формулы A.5) и
A.6), сходятся.
Справедливость формул при этих условиях легко до-
доказывается предельным «-переходом при е ->- 0, если сна-
сначала применить эти формулы к области De, из которой
удалены попадающие в нее части кружков \z — <xj<e.
Из тех же соображений ясно, что для справедливости
теоремы о среднем не нужно даже непрерывности функ-
функции u(z) в замкнутом круге \z — ?l<ip- Можно допу-
допустить у нее особенности того же рода, что и у частных
производных u(z) и v(z) в предыдущих рассуждениях.
§ 2. Субгармонические функции
Первоначально субгармонические функции определя-
определялись как дважды непрерывно дифференцируемые функ-
функции, для которых оператор Лапласа всюду неотрицате-

§ 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 301
лен. Однако вскоре оказалась, что предположение о не-
непрерывности вторых производных излишне ограничи-
ограничительно, так как в отличие от гармонических функций
субгармонические функции отнюдь не обязаны быть бес-
бесконечно дифференцируемыми внутри области их субгар-
субгармоничности. Естественный путь обобщения понятия со-
состоял в том, чтобы рассматривать функции, полученные
из дважды непрерывно дифференцируемых субгармони-
субгармонических функций тем или иным предельным переходом.
Еще один путь состоит в том, чтобы определить субгар-
субгармонические функции некоторым характерным их свой-
свойством. В качестве такого свойства принято выбирать
теорему о среднем:
2^- J u{z)\dz\.
Однако оказалось, что одной лишь теоремы о среднем
недостаточно для хорошего определения субгармониче-
субгармонической функции. Требуется еще некоторое дополнительное
предположение о ее локальном поведении. В настоящее
время в теории субгармонических функций используется
определенный канонический выбор понятия сходимости,
которому отвечает вполне определенное локальное пове-
поведение. К сожалению, этот канонический выбор связан с
довольно тонкими вопросами теории функций действи-
действительного переменного*)'.
Для наших целей будет удобнее использовать не-
несколько более узкий класс субгармонических функций.
Он отвечает более сильному понятию сходимости и очень
простому локальному поведению. В дальнейшем, говоря
о субгармонических функциях, всегда будем иметь в виду
имено этот класс, определение которого сейчас дадим.
Пусть u(z)—действительная функция, определенная
в области D комплексной плоскости. Мы будем считать,
что функция u(z) может принимать в области D значе-
значения, равные —°° (значения, равные +°°, не допускают-
допускаются, но иногда рассматривают и функцию, тождественно
равную +оо). Если выполнены условия:
1) функция expu(z) непрерывна в области D;
*) Изложение теории субгармонических функций имеется в
большинстве книг по теории аналитических функций. Книги [19,
29] посвящены специально субгармоническим функциям.

302 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2) для любых %^D и р>0, при которых кр^уг \z —
— ? I ^ р лежит в области D, имеет место неравенство
u«><2Sjr I
|z-EI=p
то функция u(z) называется субгармонической в обла-
области D.
Если функция u(z) субгармонична в области D,
то функцию —u(z) называют супергармонической в об-
области D.
Из теоремы о среднем для гармонических функций
Aсм. замечание 1 к теореме 1.4) видно, что:
Функция, гармоническая в области D, является и суб-
субгармонической, и супергармонической в этой области.
Отметим несколько простейших свойств субгармони-
субгармонических функций.
1. Сумма (но не разность!) субгармонических в обла-
области D функций также является функцией, субгармониче-
субгармонической в области D. Умножение на положительную посто-
постоянную также не нарушает субгармоничности.
2. Равномерный предел субгармонических в области D
функций тоже является субгармонической в области D
функцией.
3. Если функции ui(z) и U2(z) субгармоничны в об-
области D, то и функция u(z) = max iu\(z), 112B)} субгар-
субгармонична в области D.
Ограничимся доказательством свойства 3.
Возьмем любые допустимые ? и р. Если u(?,) — u\(t,),
то
2Я
и аналогично, если u(t>) = U2(Z>). []
Большое значение имеет следующая теорема, носящая
название принципа максимума.
Теорема 2.1. Пусть функция u(z) субгармоничиа
в области D. Обозначим М = sup и (г). Если и(%)=М в
то
точке ?еД то u{z) = M,
Иными словами:

§ 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 303
Субгармоническая функция, отличная от постоянной,
не может достигать наибольшего значения внутри об-
области.
Доказательство. Рассмотрим множество Е, со-
состоящее из точек области D, в которых u(z) = M. Мно-
Множество Е замкнуто в D, так как e"(z) — непрерывная
функция, а множество точек, в которых непрерывная
функция принимает заданное значение, замкнуто. Допу-
Допустим, что найдется граничная точка множества Е, лежа-
лежащая в области D, скажем ?. В силу замкнутости множе-
множества Е имеем u(t,) = M. Тогда найдется такое р, что круг
\z— ?1<р лежит в области D, и на его окружности
найдутся точки, не принадлежащие множеству Е. До-
Дополнение к множеству Е является скрытым множеством,
так что если т,ФЕ, то и некоторая окрестность точки z
не принадлежит множеству Е. Поэтому можно выбрать
такие числа 9, е > 0 и 6 > 0, что
Поскольку при всех остальных ф имеем и (? + ре(ф) ^ М,
то
2Л
J и (? + ре**) с?ф =
о
= f и (? + ре*ч>) Лр + ¦ J и {I + ре*ч>) dy <
1Ф-9К6 я>|ф-9|>6
< 26 (М — е) + М Bя — 26) = 2яМ — 26е < 2лМ.
Но согласно определению субгармоничности интеграл, на-
писанннй в самом начале, не меньше 2nu(t,) = 2nM. По-
Полученное противоречие доказывает, что множество Е не
может иметь граничных точек внутри области D. Следо-
Следовательно, множество Е или пусто, или совпадает с D.
Теорема доказана.
Замечание 1. Если u(z) — гармоническая функ-
функция, то и u(z), и ¦—u(z) являются субгармоническими
функциями. Поэтому гармоническая функция, отличная
от постоянной, не может достигать внутри области гар-
гармоничности ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Замечание 2. Обозначим ф (Q = Пш и (z). Если
u(z) непрерывна в точке ?, то ф(?) = w(t;). Если С —

304 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
граница D, то
sup и (г) = sup ф (?).
zeD tc
Действительно, если supw(z) = M, то существует после-
zeD
довательность точек г„, для которых гг(гп)>М —,
т. е. u(zn)-+M. Если ?о— какая-либо предельная точка
последовательности zn, то и u(t,0) = M. Если ?оеС, то
SUP ф @ гЗ* ф (So) = М, а если to^A то по теореме 2.1
u(z) = M.
Следствие. Пусть u(z)— гармоническая, a v(z) —
субгармоническая в области D функции. Если на грани-
границе D имеем
Km v (г) <; lim и (z) (Z, е С),
то и внутри D имеем v(z)^u(z).
Действительно, разность v(z)—u(z) субгармонична в
области D (так как — u(z) является субгармонической в
D функцией) и1ш^(г)-и(г))^0 (?еС). По замеча-
нию 2 u(z)>v(z) (геД).[]
Из следствия вытекает, что поверхность t = v(z) ле-
лежит под поверхностью t = u(z) при всех z^D, если это
имеет место при z на границе D. Именно это свойство
субгармонических функций послужило причиной их на-
названия. []
Очень большое значение имеет следующее обобщение
принципа максимума, показывающее, что значениями
функции ф(?) = lima (z) в счетном числе точек грани-
цы можно пренебречь, если известно, что наша функция
ограничена в области.
Теорема 2.2. Пусть функция и (z) субгармонична
и ограничена сверху в области D, имеющей хотя бы одну
внешнюю точку. Обозначим
М — sup lim и (z),
где а\, яг, ••• — некоторая последовательность точек С
{границы D). Тогда u{z)<M(z<^D) или u(z)^M.

§ 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 305
Доказательство. Пусть Ъ — внешняя точка обла-
области D. Для каждого ? ^ С можно указать такое число
A(t,)>0, чтобы для всех z, лежащих в области D, имело
место неравенство
Обозначим Ап = А(ап) и рассмотрим вспомогательную
со
функцию ие (z) = и (г) + е ^ — In | Ап /_?, |. Посколь-
п=1
ку слагаемые, стоящие под знаком суммы, отрицатель-
отрицательны, то
lim иг(г) ^ lim и (г) ^М (S^^i аг> • • •)>
lim ue(z) = — оо (п = 1, 2, .. .),
так лак функция u(z) по условию ограничена сверху,
а одно из слагаемых в сумме стремится к —°° при г -»•
-^ а„. Поэтому согласно замечанию 2 к принципу мак-
максимума
sup ие (г) ^ М.
Переходя к пределу при е -*¦ 0, получаем sup ц (z) ^ М^
zeD
и теорема доказана. []
Понятие субгармоничности можно рассматривать как
обобщение понятия выпуклости книзу на случай двух
переменных. Напомним, что функция ц>(х) называется
выпуклой книзу на отрезке (а, Ь), если <р(х) непрерывна
на этом отрезке и для любых хх и Х2, лежащих на этом
отрезке, имеет место неравенство
2 •
Это неравенство можно заменить и неравенством
ОС i ¦ х X ""
4 (h
ОС х X Ж
Ф (z)< ф (a^-4гг + Ф (*ah f
Х2 Х1 Х2 ~ Х
2 Х1 Х2
Для дважды непрерывно дифференцируемых функ-
функций необходимым и достаточным условием выпуклости
книзу является условие ф"()^0

306 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если в любом из неравенств, определяющих выпук-
выпуклость книзу, заменить знак неравенства знаком равен-
равенства, то окажется, что такому условию будут удовлетво-
удовлетворять лишь линейные функции.
Условия субгармоничности очень похожи на условия
выпуклости книзу, только отрезок заменяется кругом,
а линейные функции — гармоническими функциями. Без
особого труда можно показать, что
Для дважды непрерывно дифференцируемых функ-
функций необходимым и достаточным условием субгармонич-
субгармоничности является условие
дх2 ду2 ^
Связь между субгармоническими и выпуклыми книзу
функциями не ограничивается только аналогией.
Теорема 2.3. Если субгармоническая функция
u(x+iy) зависит только от х, то она является выпуклой
книзу функцией х.
Если субгармоническая функция м(ре'ф) зависит толь-
только от р, то она является выпуклой книзу функцией от
lnp (логарифмически выпуклая функция).
Доказательство. Если функция и(х + iy) зави-
зависит только от х, то область ее определения — полоса а <
<х<Ъ. Обозначим (р(х) = u(xJr iy). Линейная функция
Ах + В является гармонической функцией х + iy. Возь-
Возьмем какие-либо х\ и х%, а < х\ < хч. < Ъ и подберем по-
постоянные А ш В так, чтобы
Ах\ + В = cp(?i), Ах2 + В = ф (х2).
Тогда y(x)sS:Ax + В (zj^jr^^). Действительно, раз-
разность ф(ж)—Ах — В является субгармонической функ-
функцией в полосе х\< х< Х2, ограничена в этой полосе
сверху, а на границе полосы равна нулю (за исключе-
исключением двух точек в бесконечности), так что применима
теорема 2.2.
Выражая А и В через ц>(х[) и qs(x2), получаем
^^ М B-1)
-
а это неравенство и означает, что функция ц>(х) выпук-
выпукла книзу.
Аналогичные рассуждения можно провести и для
случая, когда субгармоническая функция и(рещ) зависит

§ 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 307
только от р. Разница лишь в том, что в качестве гармо-
гармонической функции, зависящей только от р, придется
взять функцию Alnp + В. Неравенство, которое получит-
получится вместо B.1), имеет вид
(г<р<Д). B.2)
In— In —
Теорема доказана.
Выбирая другие комбинации переменных, от которых
зависит субгармоническая функция, можно получить
другие аналогичные результаты. []
Отметим, не приводя доказательства, еще один факт,
относящийся к связи между субгармоническими и вы-
выпуклыми книзу функциями.
Пусть функция u(z) субгармонична в области D, а ее
значения лежат на отрезке (а, Ъ). Если функция q>(x)
выпукла книзу и не убывает на отрезке (а, Ъ), то функ-
функция <f(u(z)) субгармонична в области D.
Субгармонические функции интересуют нас главным
образом в связи с аналитическими функциями. Простей-
Простейшим выражением такой связи может служить утверж-
утверждение:
Модуль функции, голоморфной в области D, является
субгармонической функцией в этой области.
Действительно, для любой голоморфной функции f(z)
справедлива теорема о среднем
2Л
(она справедлива для действительной и мнимой части
/(г), ибо они — гармонические функции). Переходя в
написанной формуле к модулям, мы убеждаемся в суб-
субгармоничности функции l/(z)|.
Применяя принцип максимума субгармонических
функций к модулю голоморфной функции, сразу полу-
получаем утверждение:
Пусть функция f(z) голоморфна в области D с грани-
границей С. Обозначим

308 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тогда |/(z)|<M (гей), причем знак равенства может
достигаться внутри области D лишь в случае, если f(z)^
53 Мегв (9 — постоянная).
Действительно, из принципа максимума субгармони-
субгармонической функции следует, что \f(z)\<M (z^D), или
|/(г)|=Л/. Но из равенства In l/(z) Г= In M следует, что
и сопряженная гармоническая функция arg/(z) тоже
постоянна. Обозначая arg/(z) = 9, приходим к нашему
утверждению.
Доказанное утверждение носит название принципа
максимума модуля аналитической функции. []
Субгармоничности модуля голоморфной функции бы-
бывает недостаточно для некоторых оценок. Поэтому до-
докажем более сильное утверждение.
Сначала докажем так называемую формулу Иенсена,
имеющую и самостоятельный интерес.
Лемма. Пусть функция f(z) голоморфна в круге
Ы <Д и имеет там нули z\, zi, ..., zn (каждый пишется
столько раз, какова его кратность). Тогда
2Л п
2S" J In | / (Яе*») | d%= In | / @) J + 2 In -—. B.3)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию
t м - f{z)
R(z — zh)
где wh(z) = —s—=r-t. В § 2 гл. V показано, что функ-
R -zzk
ция wh(z) конформно отображает круг \z\<R на круг
\w\ < 1, так что \wh(Rei<t) | = 1. Поэтому
|/,(Ле")| = 1/(Де*')|. B.4)
Далее, заметим, что функция /i (z) голоморфна в кру-
круге \z\'<R и не обращается в этом круге в нуль, так как
произведение функций wh(z) обращается в нуль в тех
же точках, что и f(z) (и нули имеют один и тот же
порядок). По теореме о среднем для гармонических функ-
функций имеем

§ 2. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 309
Но в силу равенства B.4)
2Я 2Я
±- J In IU (Де*ф) U9 = 27Г J
о о
п
a In | jx @) | = In | / @) | — 2iln ~j—г» и мы приходим к
1 I ft I
утверждению леммы.
Замечание 1. С тем же успехом мы могли бы
допустить, что функция /(z) имеет в круге \z\<R не
только нули, а и полюсы ?ь ?г, ..., Х,т. Это привело бы
к формуле
2« ram
Замечание 2. Наличие нулей или полюсов на
окружности \z\ = R не вредит формуле Иенсена. Инте-
Интеграл, хотя и является несобственным, заведомо сходится,
и применимы те же рассуждения, что и в конце § 1. []
Теорема 2.4. #сш функция f(z) голоморфна в об-
области D, то функция u(z) = In \f(z) I субгармонична в
области D.
Доказательство. Функция e"<2) = |/(z)| непре-
непрерывна в области D, а неравенство
2Л
о
мы получаем, применяя формулу Иенсена к функции
f(z + l) (сЛ = р).П
Заметим, что теорема 2.4 действительно дает более
сильное утверждение, чем утверждение о субгармонич-
субгармоничности l/(z)|. Действительно, функция ц>(х) = еа* выпукла
книзу и возрастает при любом а > 0, так что из теоремы
2.4 следует субгармоничность функции еа 1п|/(г>| = |/(z) |а
при любом а > 0 (в силу утверждения, приведенного на-
нами после теоремы 2.3).
На этом закончим изложение свойств субгармониче-
субгармонических функций, оставив в стороне многие другие их свой-
свойства, не имеющие непосредственного отношения к нашим
задачам*).
•) Более полное изложение см. в [19].

310 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 3. Задача Дирихле и интеграл Пуассона
Задача Дирихле состоит в отыскании гармонической
в области D функции, непрерывной вплоть до границы D,
по ее значениям на граничной кривой.
Мы будем стремиться решить даже несколько более
общую задачу, которую тоже будем называть задачей
Дирихле. Именно:
Пусть D — некоторая область, ограниченная кривой С,
и пусть функция ф(?) непрерывна на кривой С всюду,
за исключением, счетного множества точек, и ограничена
на С.
Задача состоит в том, чтобы найти гармоническую в
области D функцию u(z), удовлетворяющую условиям:
1. u(z) ограничена в D.
2. u(z) непрерывна вплоть до границы D во всех
точках непрерывности функции <р(?) и в этих точках
(?) (Б)
Ф(
Функцию ф(?) будем называть граничной функцией
или граничными данными задачи Дирихле. []
Заметим, что из теоремы 2.2 (обобщенный принцип
максимума) легко следует? что задача Дирихле имеет не
более одного решения. Действительно, если и (z) и v(z)—
два решения задачи Дирихле с одной и той же гранич-
граничной функцией ф(?), то функция w(z) = u(z)— v(z) гар-
гармонична и ограничена в области D, a lim | w (z) | = 0 для
всех ^еС, за исключением счетного множества точек.
Применяя теорему 2.2 к функциям w(z) и —w(z), по-
получаем
w(z)sS0, w(z)>0 (z^D),
т. е. z#(z) = Q или u(z)=y(z). []
Функцией Грина задачи Дирихле для области D на-
назовем функцию двух комплексных переменных G(z, ?),
обладающую следующими свойствами:
1. G (г, ?) = 2^- In | z — Z, | + g (z, Q, где функция g (z, ?)
непрерывна по совокупности переменных при z e D, t, e
^D, гармонична по z в D при любом ^efln гармонична
по ? в D при любом z^D. _
2. Функция g(z, ?,) непрерывна по ? в D при любом
zej9 ц g (z, ?*) = — 2^-ln|z —?'| при любых z&D и

§ 3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 311
5'', лежащих на границе D. Таким образом, G(z, ?) = 0
при любых геДи^, лежащих на границе D. []
С помощью функции Грина можно написать решение
задачи Дирихле. Сначала докажем один результат в этом
направлении, имеющий вспомогательное значение.
Теорема 3.1. Пусть функция Грина задачи Дирих-
Дирихле для области D непрерывна вплоть до границы D со
своими частными производными первого порядка по
Re % = | и Im? = Ti (за исключением точки % = z). Тогда
любая функция u(z), гармоническая в области D и не-
непрерывно дифференцируемая вплоть до ее границы С,
может быть представлена в области D через ее значения
на граничной кривой С формулой
(z<=D). C.1)
Доказательство. С учетом замечания 2 к теоре-
теореме 1.4 мы получаем из формулы A.6), обозначая
\z-%\=r:
с
а из формулы A.5)
Л
с
Следовательно,
Но точка % лежит на границе D, так что по свойству 2
функции Грина имеем G(z, ?) = 0. Теорема доказана. []
В случае, когда D — односвязная область, функция
Грина легко выражается через функцию, конформно ото-
отображающую область D на круг \w\ < 1. Именно:
Если w(z) — какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая область D на круг \w\ < 1, то
^I. nW-t^=f. C.2)

312 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Действительно, согласно теореме 2.2 гл. V функция
Wi(z) конформно отображает область D на круг \и>\ < 1
и переводит точку z = Ej в точку w = 0. Поэтому функция
wr (z)
——f. при любом Ej е В голоморфна по г в области D и
z ь
^ Y Wr ()
но обращается там в нуль, а функция g (z, Q = In
при любом 'Q^D гармонична по z в области D. Непре-
Непрерывность функции g(z, 5) по совокупности переменных
сразу видна, если выразить функцию Wi(z) через функ-
функцию w(z).
Поскольку модули комплексно сопряженных чисел
равны, то
т. е. G(z, ?,) = G(t,, z), откуда следуют гармоничность и
непрерывность по ? при любом z^D. Таким образом,
свойство 1 функции Грина выполнено.
Свойство 2 тоже выполнено, так как по теореме о
соответствии границ при конформном отображении функ-
функция Wi(z) непрерывна вплоть до границы D и |u?E(z)| =
= 1, когда одна из точек Ej или z попадает на грани-
ЦУ D. Q
С помощью формулы C.2) мы можем написать функ-
функцию Грина для простых областей (круг, полуплоскость)
в конечном виде и более детально исследовать формулу
C.1) для решения задачи Дирихле.
Если область D является кругом \z\ <R, то согласно
теореме 2.2 гл. V имеем
Положим z = re"r, ? = ре19. Направление внешней норма-
нормали к окружности I Ej I = R — это направление радиуса.
Поэтому
1 _ f е ге«е-ч»
тг— Re \
2д \цею _ Те^ Л2 -
Д2-г2
2Rr cos F — q>)*

§ 3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 313
Таким образом, когда область D — это круг \z\ < R, фор-
формула C.1) принимает вид
2Л
и (re1®) = ^- f -5 , Д ~~г~ и (Reie) dQ. C.3)
v ' 2л J д<! _[_ r2 _ 2дг cos (9 - ф)
Эта формула называется формулой Пуассона для круга.
Если заметить, что
Л2-г2 „ Re* + z
Л2 + г2 —2/?rcosF—ф)
то получим формулу Шварца
I | Re
позволяющую восстановить функцию F(z), голоморфную
в круге \z\ <R по значениям ее действительной части
на окружности Ы = R.
Если область D — это полуплоскость Re z > 0, то
имеем
z~S п./7 ?\ _i_in 2~(Г
и аналогичными действиями получаем формулу Пу-
Пуассона
^_1(Г^ C-5)
и формулу Шварца
? AЛ) C.6)
для полуплоскости Re z > 0. []
Пока все эти формулы доказаны в предположении,
что функция u(z) (или ReF(z)) непрерывно дифферен-
дифференцируема в замкнутом круге или в замкнутой полуплос-
полуплоскости (в том числе и в бесконечно удаленной точке).
Сейчас мы значительно усилим этот результат, сняв все
предположения относительно функции u(z) и оставив

314 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
лишь предположения, относящиеся к граничной
функции.
Теорема 3.2. Пусть /@)—периодическая функция
с периодом 2л, непрерывная на всей оси, за исключени-
исключением замкнутого счетного множества точек разрыва. Функ-
Функция u(z), определенная формулой
2Л
/(б)де
U(rc
является гармонической функцией в круге \z\ < 1. Если
функция /@) непрерывна в точке 0 = 0', то u(z)->- f(Q')
при z-> ei0'. Кроме того,
где М — верхняя, am — нижняя грань значений функ-
функции /@) в точках непрерывности.
Доказательство. Начнем с доказательства нера-
неравенств для u(z). При сделанных предположениях ин-
интеграл существует в обычном смысле (как предел инте-
интегральных сумм). Поэтому при разбиении отрезка инте-
интегрирования @, 2я) на сумму счетного числа неперекры-
неперекрывающихся отрезков интеграл равен сумме интегралов по
этим отрезкам. Точками разрыва функции /@) отрезок
(О, 2л) разбивается на сумму счетного числа отрезков,
на каждом из которых функция /@) непрерывна и, сле-
следовательно, удовлетворяет неравенствам m^f(Q)^M.
Функция 1 + г2 — 2rcos(cp — 9) положительна, так что
при оценке интегралов по отрезкам нужно заменить
/@) на и и на М. После этого сумму интегралов по
отрезкам можно снова заменить интегралом по отрезку
(О, 2л), и мы получим неравенства
2 Я
Г
J
• - It cos (<p - 6)
.f *
J i + r2 - 2r <
"^- 2л J l + r2 — 2r cos (q> — 8)
Ho
2Л
J 1+r2-
2л J 1 + r2 — Ir cos (<p — 6)

§ 3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 315
в чем легко убедиться, положив в формуле C.3) (с R —
= 1) u(z)=l. Это и дает требуемые неравенства для
нашей функции u(z).
Теперь докажем гармоничность функции- u(z). По-
Поскольку
i~? = Re 4^tl (Z = rei<p)
1 + r2 — 2r cos (Ф — 6) егв — z
имеем
2Я
u{z) = ReF(z), F(z) = ±
о
Функция -F(z) голоморфна в круге \z\ < 1 согласно тео-
теореме 4.3 гл. II, и отсюда следует гармоничность функции
u(z).
Останется доказать, что u(z)-+ f(Q') npnz->eie', ес-
если функция /(9) непрерывна в точке 0 = 0'. Для этой
цели напишем, воспользовавшись равенством C.7):
2Л
- / (Ф) = i=±- f /<Щ
d9.
+ 2r cos (ф - 6)
Интеграл от периодической функции по периоду не за-
зависит от того, с какого места начинать интегрирование.
Поэтому
2л J i+r2_2rcosa
—л
Возьмем произвольное число 0 < б < я и разобьем про-
промежуток интегрирования на три части: (—я, —б), (—б,
б) и (б, я). Обозначим
М' = sup 1/@I, т|(б,-Ф)= зир
|а|<6
Тогда
1 —
о
2я _6 1 + т% ~2т cos a
2r cos а

316 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
а для суммы двух оставшихся интегралов имеем нера-
неравенство
1-г2 Г /(ф + «)
2п , J 1 + т% —
6<||<я
¦ da
v 1-г2
1 — COS б'
, ,-, ^ i . 2rcosa
6<|а|<я
так как |/(ф + а) — /(ф) I < 2М', а
1-г2 Г da 2_(я -б) 1-г2
о<|а|<я
2 (я6) 1г
r2-2rcosa 2я 1 + r2 —2rcos6
^ 2 — 2 cos б 2 1 —cos6"
Таким образом,
где 0 < б < я — любое число.
Если z->efe' и функция /@) непрерывна в точке
0 = 0', то г->1, ф->в' и, кроме того, т((б, в')-»-0 при
б ->¦ 0. Имеем
~ / (9') К Л (в, Ф) + М' ip=^3> I / (в') - / (Ф) I.
Но т|(б, ф)< 2ti(|0' —ф|+б, 0'). Поэтому, полагая, на-
например, б = ]/~1 — г2, видим, что u(z)->/@') при z->
->ef9'. Теорема доказана.
Замечание 1. Доказанная теорема дает решение
задачи Дирихле для круга Ы < 1 в той самой постанов-
постановке, о которой говорилось в начале параграфа. С помощью
конформного отображения решение задачи Дирихле для
более или менее произвольной односвязной области мож-
можно свести к решению задачи Дирихле для круга Ы < 1.
При этом используются лишь теорема о соответствии
границ при конформном отображении и теорема 1.2 о
сохранении гармоничности при замене переменных.
Замечание 2. Используя более глубокие резуль-
результаты о соответствии границ при конформном отображе-
отображении, которые будут доказаны в следующей главе, можно
показать, что формула C.1) тоже дает решение задачи
Дирихле в той постановке, которая была изложена в на-
начале параграфа. При этом на границу области D прихо-
приходится наложить более жесткие ограничения. Именно,
приходится считать, что кривая С, ограничивающая об-

§ 4. гармоническая; мера 317
ласть D, состоит из конечного числа дуг, на каждой из
которых угол наклона касательной удовлетворяет усло-
условию Липшица:
К вопросу о решении задачи Дирихле для многосвяз-
многосвязных областей мы еще вернемся в следующей главе.
§ 4. Гармоническая мера
Пусть D — некоторая область, а Е — некоторое мно-
множество, расположенное на границе этой области. Обозна-
Обозначим через co(z, E, D) решение задачи Дирихле в обла-
области D с граничными данными, равными единице на мно-
множестве Е и нулю на остальной части границы D (если,
конечно, такое решение существует). Функцию со (z, E,D)
назовем гармонической мерой множества Е относительно
области D в точке %.
Согласно замечанию 1 к теореме 3.2 решение постав-
поставленной задачи Дирихле существует, если D — односвяз-
ная область, ограниченная кусочно гладкой кривой, а Е —
конечное или даже счетное множество дуг этой кривой.
По самому определению решения задачи Дирихле
функция со (z, E, D) является гармонической в области D
функцией, ограниченной в В и непрерывной вплоть до
границы D в каждой точке непрерывности граничных
данных.
В силу принципа максимума и минимума гармониче-
гармонических функций имеем
0<co(z, E, D)<1. D.1)
Знак равенства при z, лежащих внутри области, может
достигаться лишь в случае, если co(z, E, D) = 0 или
co(z, E, ?>)=1.
Если множество Е состоит не более чем из счетного
множества точек, то co(z, E, D)^0, а если Е отличается
от всей границы D лишь на счетное множество точек, то
co(z, E, fl)=l.
Отметим еще два почти очевидных свойства гармони-
гармонической меры.
Если множества Е\ и Е% (лежащие на границе обла-
области D) не имеют общих точек, то
со (z, Ei+ Е%, D) = со (z, Eu D) + со (z, E2, D). D.2)
Если функция w(z) конформно отображает область
D на область D', а множество Е переходит при этом ото-

318 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
бражении в множество Е', то
ш(z, E, D) = a(w(z), E', D'). D.3)
Последнее свойство позволяет легко находить гармо-
гармоническую меру в простых случаях.
Пример 1. Пусть область DR — это полукруг Re z >
>0, \z\<R, a ER — диаметр этого полукруга. Найдем
co(z, ER, Dr).
При конформном отображении w = — полукруг DR
переходит в квадрант 0 < arg w < у, а диаметр полу-
полукруга — в положительную часть действительной оси. Обо-
Обозначим квадрант через D', а положительную полуось
через Е' и воспользуемся формулой D.3). Ясно, что
со (w, E', D') = 1 — — arg w = 1 — — Im In w.
Поэтому
iz
При больших R и фиксированных z легко получаем
асимптотическую формулу
»B, Ев, DR) = 1- ± . A Re z + О (JL).
Пример 2. Пусть область Рх — это полуполоса
| Im z | < -х-, Re z < х, а Ях — ее торец. Найдем со (z, Ях, Р^.).
При конформном отображении w = ег рассматривае-
рассматриваемая полуполоса переходит в полукруг Re w > 0, \z\<ex,
причем ее торец переходит в полуокружность. Поскольку
граница полукруга состоит из диаметра и полуокружно-
полуокружности, то сумма гармонических мер диаметра и полуокруж-
полуокружности относительно полукруга равна единице. Поэтому,
применяя результат примера 1, получаем
При больших х и при фиксированных z легко получаем
асимптотическую формулу
со (z, Нх, Рх) ~ е~х ~ Re е* + О (е~*х).

§ 4. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 319
Гармоническая мера является решением задачи Ди-
Дирихле для весьма специальных граничных данных, но с
ее помощью нетрудно записать решение задачи Дирихле
и для любых граничных данных. Действительно, пусть
D — некоторая односвязная область, а С — ее граничная
кривая, на которой задана функция cp(?) (для простоты
предположим ее непрерывной на С). Возьмем на кривой
С точки %и ?2, ••., ?n (?n+i = ti), следующие друг за
другом, и обозначим через Ch часть С, лежащую между
точками t,k и tfc+i- Рассмотрим сумму
п
un (z) = 2 Ф (Ы «в (z, Ch, D) (?h e= Ck).
1
Эта сумма является решением задачи Дирихле в обла-
области D -с граничными данными, равными кр(|Л) на Ск,
к=\, 2, ..., п. Обозначим через u(z) решение задачи
Дирихле в области D с граничными данными <р(?) и
оценим разность u(z)—un(z). Имеем
где т) (Q = sup | Ф (Q - Ф (?') | (^ е Ch, ?' е Q. По прин-
U'
ципу максимума и минимума гармонических функций
получаем
| м (z) — мп (z) j < max tj (Cft).
Но <р(?)—непрерывная на С функция, так что
max t\(Ch)-^-0, когда размер наибольшей из дуг Ch стре-
h
мится к нулю.
Следовательно, сумма un(z) стремится к пределу, рав-
равному функции u(z), когда размер наибольшей из дуг Ch
стремится к нулю независимо от способа разбиения и от
выбора точек |ft на дугах Ск.
Предел суммы un(z) естественно обозначить интегра-
интегралом*)
*) Этот интеграл представляет собой интеграл Стилтъеса.

320 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Итак, решение задачи Дирихле в области D с гранич-
граничными данными ф(?) можно представить в виде
(9 <*(*,<& Я). D.4)
Мы доказали эту формулу только для непрерывных
функций q>(?), но ясно, что доказательство легко пере-
переносится и на кусочно непрерывные ограниченные функ-
функции. []
В частности, полагая функцию ф(?) равной единице
на множестве Е и нулю на остальной части границы об-
области D, получаем из формулы D.4) формулу
co(z, ?, ?>)= fco(z, d?, Я). D.5)
Е
Сравнение формулы D.4) с формулой C.1) наводит
яа мысль, что гармоническая мера тесно связана с функ-
функцией Грина задачи Дирихле в области D. Это действи-
действительно так. Нетрудно выразить гармоническую меру че-
через гармоническую функцию, сопряженную с функцией
Грина. []
Для оценок аналитических функций гармоническая
мера применяется с помощью так называемой теоремы о
двух константах.
Теорема 4.1. Пусть функция f(z) голоморфна в
области D с границей С, а Е — некоторое множество, ле-
лежащее на С. Если
l fimj/(z)|<M (?e=C
ТО
In l/(z)l<co(z, E, D)lnm + (l-<o(z, E, D))\nM (z^D).
Доказательство. В левой части доказываемого
неравенства стоит субгармоническая в области D функ-
функция (согласно теореме 2.4), в правой — гармоническая.
Для предельных значений на границе неравенство вы-
выполнено, так как в точках множества Е функция co(z,
Е, D) обращается в 1, а в остальных точках границы
D — в 0. Применяя принцип максимума к разности ле-
левой и правой частей неравенства, получаем утверждение
теоремы. []

§ 4. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 321
Точное отыскание гармонической меры, входящей в
неравенство, может оказаться весьма сложным делом.
Поэтому в теории аналитических функций большое зна-
значение имеют оценки гармонической меры, позволяющие
заменять сложные величины простыми. Одним из наи-
наиболее важных методов оценки гармонической меры явля-
является так называемый принцип Карлемана или принцип
расширения области.
Теорема 4.2. Пусть область D' содержит область
D, а множество Ef, лежащее на границе D', содержит
множество Е, лежащее на границе D. Тогда
co(z, E, D)<a(z, Е', D') (ze?)\
Доказательство. Рассмотрим обе функции на
границе области D. В точках множества Е обе функции
равны 1. В остальных точках функция co(z, E, D) равна
О, а функция co(z, E', D') во всяком случае неотрица-
неотрицательна (согласно D.1)). Следовательно, на границе об-
области D доказываемое неравенство справедливо. По прин-
принципу максимума оно справедливо и внутри области. Q
Заметим, что принцип расширения области позволяет
оценивать гармоническую меру не только сверху, но и
снизу, так как сумма гармонических мер множества Е
и дополнения к нему до всей границы области D равна
единице. Принимая во внимание это соображение, мож-
можно сформулировать принцип расширения области в сле-
следующем симметричном виде:
При расширении области D за счет части границы, не
содержащей точек множества Е, гармоническая мера
co(z, E, D) увеличивается, а при расширении области D
за счет части границы, состоящей только из точек мно-
множества Е, уменьшается. []
В качестве применения принципа расширения области
докажем две теоремы, принадлежащие Линделефу. Пер-
Первая из них состоит в следующем.
Теорема 4.3. Пусть функция f(z) голоморфна и
ограничена в полуплоскости Im z > 0. Если существует
такая кривая L, лежащая в этой полуплоскости, что
f(z)-+a (z->-°°, zei), то f(z)-+a при z -*¦ °° равномер-
равномерно в любом угле б < arg z < я — б.
Доказательство. Возьмем точку zR = 2Reilf, б <
=^ср=^я — б, и рассмотрим функцию f(z) — а в области
DR, являющейся связной частью сектора Imz>0, lz| >

322 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
> R, отсекаемой кривой L и содержащей точку zR. Обо-
Обозначим через LR часть кривой L, входящую в границу
области DR, а через e(R) и М — величины
е (R) = sup | / (z) — а |, М = sup | / (z) — а |.
Применяя к функции l/(z) — а| теорему о двух констан-
константах, получаем
lnl/(zK)-a! <co(zh, Lb, /)лIпв(Д) +
+ (l-co(zR, Lr, DR))lnM<a(zR, LR, DR)lne(R) +
+ \n+M, Aп+Л/ = шахAпЛ/, 0)).
Согласно принципу расширения области гармоническая
мера со (zR, LR, DR) не увеличится, если заменить область
DR сектором Im z > 0, Izl >R, а кривую LR — тем из
лучей (R, +°о) или (—°°, —R), который не входит в
границу области DR («ектор обозначим DR, а луч Lr).
При достаточно большом R имеем е(й)<4 и
In | / B#ei<p) - а | < со B#ei<p, L'a, DR) In e (R) + ln+ M.
Гармоническую меру со B/?егф, LR, ?)H) можно вычис-
вычислить, но это не нужно. Достаточно заметить, что при
б < Ф < я — б она положительна и не зависит от R. От-
Отсюда уже следует утверждение теоремы, так как s,(R)
стремится к нулю при R -*¦ +°°. []
В качестве следствия получим еще одну теорему Лин-
делефа.
Следствие. Пусть функция /(z) голоморфна в об-
области D, ограниченной двумя кривыми L\ и ?г, выходя-
выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Ес-
Если функция непрерывна на кривых L\ и L^u
/(z)-^fln (z-> °о, ге?п), ге=1, 2,
то имеет место одна из двух возможностей: или функция
f(z) не ограничена в области D, или a^=a^ — a и
j(z)-+a при z, стремящемся к бесконечности по любому
пути, лежащему в области D.
Действительно, обозначим через z(w) функцию, кон-
конформно отображающую полуплоскость Im w > 0 на об-
область D и переводящую точку w = °° в точку z = °°.
Рассмотрим функцию g(w) = f(z(w)). Если функция
f(z) ограничена в области D, то функция g(w) ограни-

§ 4. ГАРМОПИЧЕСКАЯ МЕРА 323
чена в полуплоскости Im w > 0, а из существования пре-
пределов /(z) по L\ и L% следует существование пределов
g{w) при w-+±°°, так как действительная ось отобра-
отображается функцией z(w) в кривую, составленную из L\
и Li. Применим к функции g{w) теорему 4.3, взяв в
качестве кривой L сначала положительную, а затем от-
отрицательную часть действительной оси. Получим
g(w)-+a\ (w-^-oo, О ^ arg w ^ я — б),
g(w)-+d2 (и;->-°°, б < arg w < я).
Это возможно лишь в случае, если а,\ = п2 = а и g(w)-+-
-»- а при w, стремящемся к бесконечности по любому пу-
пути, лежащему в полуплоскости Im w > 0. Возвращаясь к
/(z), получаем наше утверждение. Ц
С помощью принципа расширения области можно по-
получить весьма разнообразные неравенства для гармони-
гармонической меры. Сначала приведем одно довольно грубое,
но очень наглядное неравенство.
Теорема 4.4. Пусть D — выпуклая область*),
а Е — дуга граничной кривой этой области. Тогда
(о (z, ?,?>)< i- ф (z, E, D),
где cp(z, E, D) — угол, под которым дуга Е видна из точ-
точки z. Если D — полуплоскость, то неравенство обращается
в равенство.
Доказательство. Начнем с доказательства по-
последнего утверждения теоремы. Ясно, что без ограниче-
ограничения общности можно считать, что мы имеем дело с по-
полуплоскостью Re z > 0 и что точка z = x лежит на дей-
действительной оси. В качестве дуги Е возьмем отрезок мни-
мнимой оси (iyi, гуг)- Гармоническую меру можно построить
с помощью интеграла Пуассона для полуплоскости (см.
формулу C.5)). Это дает, что
со
х f dn 1 ( . У2 ± У, \
= — „ ' „ = — arctg —— arctg — I.
Эта величина в точности равна углу, под которым отре-
отрезок (iyu iy2) виден из точки z = x, деленному на я. Та-
* Напомним, что область называется выпуклой, если отрезок,
соединяющий любые две ее точки, целиком лежит в ней.

324
ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ким образом, утверждение теоремы для полуплоскости
доказано.
Заметим, что нам достаточно доказать неравенство для
сколь угодно малой дуги Е, так как при сложении дуг
и гармонические меры и углы,
под которыми эти дуги видны,
складываются. Поэтому будем
считать дугу Е столь малой, что
область, ограниченная дугой Е и
отрезком прямой, соединяющим
ее концы, не содержит точ-
точку z.
Обозначим через Е\ отрезок
прямой, соединяющий концы ду-
дуги Е, через D\ — часть области D,
отсекаемую отрезком Е\ и содер-
содержащую точку z, а через G — по-
полуплоскость, содержащую область
D\ и ограниченную прямой, на
которой лежит отрезок Е\ (рис. 9). По принципу рас-
расширения области имеем
Рис. 9
»(z, E, ?>)<co(z, Eu
*, Еи G),
а со (z, Ev G) = — ф (г, Е, D), как доказано выше. Тео-
Теорема доказана. Ц
Принцип расширения области позволяет получать и
более тонкие оценки. Покажем, как получается одна из
таких оценок в проблеме Карлемана — Мию.
Проблемой Карлемана — Мию называется следующая
каноническая постановка задачи об оценке величины гар-
гармонической меры.
Пусть D — односвязная область, имеющая конечное и
непустое пересечение с любой прямой Re z = х при а <
< х < Ъ. Обозначим через Dx связную часть области D,
лежащую в полуплоскости Re z < x и содержащую задан-
заданную точку % (Re % < х). Через К обозначим часть границы
области Ъх, состоящую из отрезков прямой Re z = х,
а через h (x) — сумму длин этих отрезков.
Проблема состоит в оценке величины гармонической
меры ©(?, hx, Dx), если известна функция k(t) при
Следующий результат был получен Карлеманом:

§ 4. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 325
Теорема 4.5. Пусть % = \ + ir\^D и а<\<х<Ъ.
Тогда
со
(g + щ, hx, Dx) < exp |- -A- J -щ-J-
Доказательство. Возьмем % < о < х и рассмотрим
в области Da две функции со(?, hx, Dx) и со(?, /го, Д,).
На части границы области Da, отличной от отрезков Тъа,
обе функции равны нулю. Поэтому согласно формуле
D.4) можно восстановить их по значениям на отрез-
отрезках ha:
со (?, К, Dx) = J со (а + iy, hx, Dx) со (t,, dy, Da),
со (t,, ha, Da)= j со (t,, dy, Da).
ha
Вычитая из первого равенства второе и деля на х — о,
получаем
D.6)
Гармоническую меру со (о + ij/, hx, Dx), стоящую под ин-
интегралом, оценим с помощью принципа расширения об-
области. Заменим область Dx полуплоскостью Re z < x, ко-
которую обозначим через Gx. По принципу расширения об-
области со(о + и/, hx, Dx)^a,(a + iy, hx, Gx). Но по теоре-
теореме 4.4 гармоническая мера со (о + iy, hx, Gx) равна де-
деленной на я сумме углов, под которыми отрезки, состав-
составляющие hx, видны из точки о + iy. При заданной сумме
длин отрезков сумма углов будет наибольшей, когда he
образует один отрезок, симметричный относительно пря-
прямой Im z = у. Вычисляя угол для этого случая, находим
со (а + iy, hx, Gx) < A arctg ^^ = 1 - | arctg Щ^\
Следовательно,
со (ст + iy, hx, Dx) — 1 < — — arctg ^ ~ a'.

326 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Подставляя это неравенство в формулу D.8), получаем
o(Z,hx,Dx)-«>(Z,he,Da)
х — а ¦
2 (х - а)
2(х — а)
2 arctg h lx)—
Деля обе части неравенства на со (?, /г„, А,) и переходя
к пределу при х -»- а, имеем
Интегрируя это неравенство по а от § до х и принимая
во внимание, что со(?, hit Z)E)=1, приходим к утвержде-
утверждению теоремы. (Вопрос о существовании производной от
со(?, ha, Da) по а обойден молчанием. Этот вопрос не-
нетрудно решить, используя монотонность функции со, но
еще проще доказать окончательное неравенство, не ис-
используя существования производной. Собственно, нера-
неравенство написано с помощью производной лишь для на-
наглядности.)
Полезно посмотреть, что за оценки дают теоремы 4.4
и 4.5 для гармонической меры полуполосы Re z < х,
<у при х-*- + оо.
Из теоремы 4.4 получаем
со (z, Нх, Рх) < 4 arctS ТГЖ7 ~ Т (*-»¦ + «>).
х— Rez
Из теоремы 4.5 получаем
{ж
Re г
1
Re г
Истинная оценка (см. пример 2)
co(z, Hs, Px)~-^e~x~Reez (ж-»-+ оо).
В § 6 будет показано, как с помощью неравенства
Альфорса (см. § 6 гл. V) получить в аналогичной задаче

§ 5. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 327
оценку, не отличающуюся от истинной. Используя прин-
принцип симметризации (см. § 2 гл. X), можно применить
неравенство Альфорса и для уточнения оценки Карле-
мана в самой проблеме Карлемана — Мию. .Уточнение со-
состоит, грубо говоря, в том, что множитель —4/я перед
интегралом заменяется множителем —я.
§ 5. Теоремы единственности
для ограниченных функций
В этом и в следующем параграфах мы будем зани-
заниматься приложением теории гармонических и субгармо-
субгармонических функций к некоторым вопросам теории анали-
аналитических функций.
В настоящем параграфе докажем несколько теорем
единственности для некоторых классов функций, голо-
голоморфных в круге Ы <R.
Класс функций, голоморфных и ограниченных в кру-
круге |z|<i?, называется классом В. При этом обознача-
обозначается
?(/)= sup|/(z)|.
Класс функций, голоморфных в круге \z\<R и удов-
удовлетворяющих условию
2Я
supf
называется классом #в(б>0). При этом обозначается
Яв (/, р) = JL Г | / (ре*) Iе dtp, Щ (/) = sup Нь (/, р).
/Jl J p<R
p
p<R
Класс функций, голоморфных в круге Ы < R и удов-
удовлетворяющих условию
2Я
sup f ln+ | / (ре**) | Jtp < oo (ln+ x = max (In x, 0)),
p<h
называется классом А или классом функций ограничен-
ограниченного вида. При этом обозначается
2Я
А (/' р) = ш fln+1 f(pei<p) I d(f' A {f>= sup A & p)-
zn i p<b

328 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Принадлежность функции /(z). классу В, Я6 или А
накладывает те или иные ограничения на рост l/(z)| при
приближении z к оружности |z| —R или на рост коэф-
коэффициентов разложения функции /(z) в ряд Тейлора. Од-
Однако в этих терминах нельзя дать необходимых и доста-
достаточных условий принадлежности функции /(z) к указан-
указанным классам.
Нетрудно показать, что класс В является самым уз-
узким, что класс Яв> входит в класс Я6 при б'<б и что
класс А содержит все классы Я6. (В доказательстве нуж-
нуждается лишь последнее утверждение, но оно сразу сле-
1 + *в \
дует из очевидного неравенства ш х<С-г--\
Поскольку класс А — самый широкий, большинство
теорем естественно доказывать только для него. Г]
Очень важную роль во всех рассуждениях, связанных
с перечисленными классами функций, играет следующая
лемма:
Лемма 1. Если функция /(z) голоморфна при п <
< \z\ < Г2, то функции Я6(/, z) и A(f, z), определенные
выше, а также функция
2Я
являются в кольце r\ < |zl < т% субгармоническими функ-
функциями z, зависящими только от ]z\.
Доказательство. Проведем доказательство лишь
для функции А (/, z), для остальных оно проводится со-
совершенно аналогично.
Прежде всего заметим, что функция A(f, reie) не за-
зависит от 8, так как интеграл от периодической функции
по периоду не меняется от изменения начала промежутка
интегрирования. Это и означает, что функция А (/, z)
зависит только от \z\.
Далее, интеграл для А (/, z) является пределом инте-
интегральной суммы
Sn (z) = 4 2 ln+ I / (^^ I D>*+i - Ч*).
причем стремление к пределу равномерно по z в любом
кольце, лежащем внутри исходного кольца. Согласно
свойству 1 субгармонических функций (§ 2) Sn(z) яв-

§ 5. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 329
ляется субгармонической функцией как сумма субгармо-
субгармонических функций, а согласно свойству 2 предел этой
суммы, т. е. функция A(f, z), тоже является субгармони-
субгармонической функцией. Лемма доказана.
Следствие. Если функция /(z) голоморфна в круге
Ы <R, то функции Я6(/, р), A(f, p) и L{f, p) являются
неубывающими функциями р.
Утверждение сразу следует из принципа максимума
субгармонических функций. Ц
Следующая теорема показывает, что функции пере-
перечисленных классов не могут очень быстро стремиться к
нулю при стремлении z к окружности |z| = R.
Теорема 5.1. Пусть f(z)—функция ограниченного
вида в круге \z\ <R. Если
lim J In | / (pei(P) | dtp = — oo,
p-»R 0
то /(z) = 0.
Доказательство. Поскольку ln+.г 5» In ж, то из
принадлежности функции /(z) классу А следует, что ин-
интересующий нас интеграл ограничен сверху. Кроме того,
из следствия леммы вытекает, что этот интеграл явля-
является неубывающей функцией р. Поэтому условие теоремы
может выполняться лишь в случае, если интеграл равен
— °° при всех р. Но для функции /(z), отличной от тож-
тождественного нуля, найдется хотя бы одно р, для которого
этот интеграл имеет конечное значение. Значит, /(z) = 0,
и теорема доказана.
Доказанная теорема обобщает классическую теорему
единственности. Действительно, классическая теорема
единственности для аналитических функций может быть
сформулирована так:
Если функция /(z) голоморфна в точке z = a и при
ъ^-а функция /(z) стремится к нулю быстрее любой
степени z — а, то /(z) = 0.
Ясно, что при стремлении z к точке границы области
голоморфности функция может стремиться к нулю бы-
быстрее любой степени. Теорема 5.1 ограничивает скорость
стремления функции f(z) к нулю при стремлении точки
z к границе области, если функция f(z) принадлежит
одному из перечисленных классов. Условие, которое да-
дано в теореме, не очень прозрачно, но обладает большой
общностью и точностью. В следующем параграфе из тео-

330 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ремы 5.1 будет выведен ряд более простых теорем того
же рода при допущении, что /(z)->-0 лишь в одной точке
границы. Q
Обобщением классической теоремы единственности яв-
является и следующий результат.
Теорема 5.2. Пусть /(z)— функция ограниченного
вида в круге \z\ <R, имеющая нули в точках zi, z%, ...
(кратный нуль пишем столько раз, какова его крат-
кратность). Если
то /(z)sO,
Доказательство. Допустим, что /(z)#0. Тогда
без ограничения общности можно считать, что
0. E.1)'
Действительно, вместо функции /(z) мы можем взять
функцию g(z) = z~m/(z), где m — кратность нуля функции
/(z) в точке z = 0. Ясно, что функция g(z) тоже будет
функцией ограниченного вида.
Применим формулу Иенсена (см. лемму 1 § 2). Она
дает, что
2Я
Ы<р ' '
Согласно условию теоремы, переходя к пределу при р
-+- R, получаем
Iim-i- In | / (ре*ч>) | с?ф = In | / @) | — ^ In ~j.
P^ 0 1
Но при 0< \z\ <R имеем
и, следовательно,
У 1П R —^ R"\zn\
~ \zn\*

§ 5. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 331
т. е. lim\ In | / (pe'f) | dcp = — oo. По теореме 5.1 имеем
/(z)^0. Теорема доказана. []
Можно показать, что теоремы 5.1 и 5.2 предельно
точны не только для класса А, но и для класса В. Это
делается следующим образом:
Если задана произвольная непрерывная функция
а(ц>), для которой
2Я
j In а (ср) d(p > — оо,
о
то можно показать, что функция
2Я
о
голоморфна и ограничена в круге |z|<i?, a l/(z)|->-
-*- a (if) при z ->- /?е'ф.
Если задана произвольная последовательность точек
2щ удовлетворяющая условиям
то функция
i G\ _ TT \^ - p-i4>h (w _
голоморфна и не превосходит единицы в круге \z\<R,
a/(zn) = 0.
Предоставляем читателю самому убедиться в справед-
справедливости приведенных утверждений. []
Относительно функций ограниченного вида имеется
интересный результат, объясняющий, почему нет особой
разницы между функциями ограниченного вида и огра-
ограниченными функциями:
Функция ограниченного вида является отношением
двух ограниченных функций*). []
*) О функциях ограниченного вида см. [26, 30].

332 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Классы функций, аналогичные классам В, Нь и А,
можно рассматривать не только в круге \z\<R, но и в
любых других областях. Однако, принимая во внимание
приведенный выше результат, в большинстве вопросов
можно ограничиться исследованием функций, ограничен-
ограниченных в той или иной области. Если область односвязна,
то результаты легко получаются с помощью конформного
отображения.
В качестве примера приведем обобщение теоремы 5.2
на случай произвольной односвязной области.
Теорема 5.3. Пусть D — некоторая односвязная об-
область, a w(z)—какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая D на круг |ы;|<.1. Если функция f(z) голо-
голоморфна и ограничена в D и имеет нули в точках z\,
Z2, ..., а
то /(z) = 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(w) =
= f(z(w)), где z(w) — функция, обратная к w(z). Функ-
Функция g(w) голоморфна и ограничена в круге |i#l<l и
имеет нули в точках wh — w [zk), причем 2 A — I"bI)=
=2^1 — 1И2лI) = + оо. По теореме 5.2 g(w)=0. Тео-
Теорема доказана. П
Доказанные выше теоремы единственности широко
применяются в теории аналитических функций и во мно-
многих областях анализа. В качестве примера такого приме-
применения докажем один результат о полноте системы функ-
функций {Xх"}, известный под названием теоремы Мюнца.
Теорема 5.4. Если %1<Х2<: ... и 2l~ = + °°'
то система функций \хХп] полна на отрезке @, 1).
Доказательство. Система функций (ф„(х)} на-
вывается полной на отрезке (а, Ъ), если не существует
непрерывных на отрезке (а, Ь) функций, ортогональных
всем функциям ф„(х).
Допустим, что g(x)— непрерывная на отрезке @, 1)
функция, ортогональная всем функциям х п, т. е.
1
{x)x%ndx = Q (n = l,2,...)- E-3)

§ 6. ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЕФА 333
Обозначим
Функция G'(z) голоморфна в полуплоскости Re z > 0 и
ограничена, так как |жг| < 1 при 0<?<1, Rez>0.
Кроме того, она имеет нули г = Я„+1 (га = 1, 2, ...)•
Применим теорему 5.3. В качестве функции w(z), кон-
конформно отображающей полуплоскость Re z > 0 на круг
\w\ < 1, можно взять функцию w = —-т-7- Имеем
к-
Поэтому из теоремы 5.3 следует, что G(z)=O. С по-
помощью формулы обращения преобразования Меллина
(см. § 6 гл. VII) легко убеждаемся, что и g(x)=0. Сле-
Следовательно, функций, непрерывных на отрезке @, 1) и
ортогональных всем функциям х п, не существует, т. е.
система функций [х "} полна на отрезке @, 1). Теорема
доказана. []
Заметим, что в применениях теоремы 5.3 одной из
трудностей является оценка величины w(zn) при п -*¦<*>.
Для этой цели можно использовать неравенства Альфор-
са и Варшавского (см. § 6 гл. V) для оценки конформ-
конформно отображающих функций вблизи границы.
§ 6. Теоремы Фрагмена — Линделефа
В качестве второго приложения теории гармониче-
гармонических и субгармонических функций мы докажем две до-
довольно тонкие и удобные для самых различных примене-
применений теоремы о росте и об убывании функции, голоморф-
голоморфной в бесконечной области, в зависимости от вида
области.
В доказываемых теоремах используется, собственно,
не голоморфность функции f(z), а только субгармонич-
субгармоничность функции In l/(z)l, так что при желании эти теоре-
теоремы легко переносятся на субгармонические функции.

334 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 6.1. Пусть G— односвязная область, име-
имеющая точки t = 0 и ? = оо своими граничными точками.
Обозначим через s0 сечение области G окружностью
\t\ = р, а через s(p)— его длину. Если функция f(t) го-
голоморфна в области G, непрерывна вплоть до ее границы
С (кроме точки t = °°) и удовлетворяет условиям
где
М(р) = max
<eSp
mo |/@|<l NG).
Доказательство. Обозначим через ?(?) функцию,
конформно отображающую область G на полуплоскость
Re ? > 0 и переводящую точки ? = 0 и t = °° в точки
? = 0 и ? = оо соответственно. Через t(t,) обозначим
функцию, обратную к функции %(t). Ясно, что эти функ-
функции определяются с точностью до постоянного мно-
множителя.
Возьмем произвольную точку to e G и достаточно
большое р. Обозначим через Gp связную часть области G,
лежащую в круге \t\ < p и содержащую точку U>. При
p>Uol область Gp непуста. Образ области Gp при ото-
отображении % = t,(t) обозначим через К„. Область К9 ог-
ограничена отрезками мнимой оси и некоторыми кривыми
LB, являющимися образами дуг окружности Ul = p, вхо-
входящих в v Среди кривых Lo найдется хотя бы одна,
соединяющая отрицательную часть мнимой оси с ее по-
положительной частью. Обозначим эту кривую Lp; дугу из
sP, являющуюся прообразом Lp, обозначим sp, а длину
sp обозначим s*(p). Область, ограниченную кривой Lp
и отрезком мнимой оси, соединяющим ее концы, обозна-
обозначим Кр, а прообраз области Кр обозначим через Gp.
(Стоит заметить, что если область G пересекается окруж-
окружностью Ul = p по одной дуге, то величины, помеченные
звездочкой, совпадают с теми же величинами без звездо-
звездочек. В общем случае Gp гэ Gp и Кр^э Кр, aspcsp и
s*(p)<s(p).) ^
Область Кр представляет собой искаженный полу-
полукруг. Оценим радиус наибольшего полукруга Im g > 0,

§ 6. ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЕФА 335
|?| <'г(р), входящего в область А"р, т. е. величину
г (р) = inf | t,(t) |.
Для оценки г(р) используем неравенство Альфорса
(см. теорему 6.1 гл. V). Чтобы привести задачу к той
постановке, в которой было доказано это неравенство,
обозначим через D образ области G при отображении
функцией z = In t (функция In t голоморфна в области
G; ветвь берем любую). Тогда функция iv(z)=lnt,(ez)
конформно отображает область D на полосу | Im w | < у,
а сечения области D прямыми Re z = x — это образы се-
сечений области G окружностями И = е* при отображении
z = In t. При этом отрезок 8* является образом дуги Sex и
6 (х) = s* 2е" , In г (ех) = sup Re w (z).
e zs0x
Поэтому неравенство Альфорса дает
F.1)
Теперь перейдем к основной части доказательства
(опа проще вспомогательных рассуждений, придающих
теореме общность).
Рассмотрим функцию F(t,) = /(t (?)) в области Кр.
На мнимой оси имеем |F(?)I < 1, так как при отобра-
отображении t = t(t,) мнимая ось переходит в границу области
G, т. е. в С, а на С по условию теоремы 1/(^I *S 1. На ос-
остальной части границы области Кр, т. е. па кривой ?*,
являющейся образом дуги sp'при отображении ? = ?(?),
имеем
sup ) F (Q | = sup | / (t) |< sup | / (t) | = M (p).
ter* t^l tesP
Применяя к функции F(t,) в области Кр теорему о двух
константах (теорема 4.1) с Ьр в качестве Е, т = М(р)
и Ж = 1, получаем
In | F (у | < со (?0, Ll, Kl) In ./If (p) (r0 = g (g}. F.2)

336 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Мы показали, что область Кр содержит полукруг
Re ? > 0, l?l<r(p), где г(р)> С'а(р). По принципу рас-
расширения области гармоническая мера со (?0, Lp, K^) не
превосходит гармонической меры полуокружности отпо-
сительно полукруга Re ? > 0, |?| < г(р) (в той же точ-
точке). Последняя гармоническая мора была вычислена
в примере 1 § 4, где получена для нее асимптотическая
формула (для больших радиусов). Эта гармоническая
мера равна
л г (р) + г?0 г (р) я *° v u I I
Поэтому при р -> оо и при фиксированном So имеем в
силу неравенства F.1)
со
?0, Lp, K*p) ^С
•i о(р)'
а неравенство F.2) дает нам
Согласно условию теоремы существует последователь-
ln M (рп)
пвсть р„ '-»- °°, для которой , . >- 0. Поэтому, пола-
а(Рп)
гая в последнем неравенстве р = рп и переходя к преде-
пределу при п -> оо, получаем In |F(^O)I ^ 0. Отсюда следует,
что 1/(^оI < 1, и поскольку ^о — любая точка области G,
мы приходим к утверждению теоремы. []
Заметим, что в случае, если область G имеет простой
вид (полуплоскость, угол, полоса) или даже лежит в об-
области такого вида, то предварительные рассуждения
с неравенством Альфорса не нужны, и доказательство
становится совершенно элементарным.
Впрочем, теорему 6.1 стоит отдельпо сформулировать
для частного случая, когда область G — это угол, так
как этот частный случай очень употребителен.
Пусть функция f(z) голоморфна в угле раствора я/а
и непрерывна вплоть до его сторон. Если \f(z)\ ^ M на
сторонах угла, то или \f(z) [ ^M и внутри угла, или
lnmax[/(z)|>c«pa (p>p0)
|2|=р
с некоторым с > 0.

§ 6. ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЕФА 337
_ „ я , . яр
Действительно, для угла раствора — имеем s (p) = -^-
и о(р)=ра, так что теорема 6.1 сразу дает нам требуе-
требуемый результат. Пример функции е"а в угле' |argz| <L-^
показывает, что существенное усиление этого результата
невозможно. []
Следующие теоремы относятся к вопросу о допусти-
допустимой скорости стремления к нулю функции /(z), голо-
голоморфной в некоторой области, когда точка z стремится
к граничной точке этой области. Об этом немного гово-
говорилось в предыдущем параграфе в связи с теоремой 5.1.
Сейчас мы придадим результату, полученному в этой
теореме, более наглядный вид за счет некоторых упро-
упрощений, но зато распространим его на любые области. Ц
Начнем с того, что сформулируем теорему 5.1 в упро-
упрощенной форме:
Пусть функция f(z) голоморфна в круге |z| < 1 и
непрерывна в круге Ы < 1. Рели
2Я
j In | / (е*ф) | с?ф = — оо,
о
то /(л)=0.
Это утверждение действительно является простым
следствием теоремы 5.1, так как /(z) ограничена (а зна-
значит, и ограниченного вида) в круге Ы < 1, а из непре-
непрерывности /(z) в круге Izl =^ 1, очевидно, следует, что
ил 2Л
lim J In | / (ре-Р) | dq> = j In]/ (ei(P) | dtp =
ОО.
При помощи конформного отображения этот резуль-
результат легко переносится на другие области. Докажем ана-
аналогичный результат для полуплоскости, придав ему еще
более простой и удобный вид.
Теорема 6.2. Пусть функция /(z) регулярна в по-
полуплоскости Re z > 0, непрерывна в полуплоскости
Re z S= 0 и удовлетворяет неравенству
In |/(z)| <—v(|z|) (Rez>0),

338 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где v(t)—непрерывная положительная функция при
оо
t>0. Если \^-dt= + оо, то /(z)=0.
J t
i
1 --1- w
Доказательство. Функция z= -r-^z.— копформно
отображает круг \w\ < 1 па полуплоскость Re z > 0. По-
Поэтому функция F(w) = / ( _ j голоморфна в круге
1Н < 1 и непрерывна при \и>\ < 1. Имеем
J In |
Но
-^
О '
¦dt'=
00,
По теореме 5.1 имеем F(w)=0, а значит, и /(z)=0.
Теорема доказана.
Аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема 6.3. Пусть функция f(z) голоморфна
в полосе | Im z | < -^, непрерывна в полосе | Im z | ^ y
ц удовлетворяет неравенству
ln\f(x + iy)\<-v(x)
гЗе v (ж) — положительная непрерывная функция. Если
оо
v (ж) е~х йж = + оо, иго / (z) = 0.
о
С помощью неравенства Варшавского (см. теорему 6.2
гл. V) можно получить результат подобного рода для
более или менее произвольной полосообразной области.
Именно:

§ 6. ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА — ЛИНДЕЛЕФА 339
Пусть D — область, определяемая неравенствами
ф(ж) — 4 еИ<У<Ф(*) + Т6^ (—оо<х<оо),
где (р(ос) и Q(x)—непрерывно дифференцируемые функ-
функции, относительно которых мы будем предполагать, что
|<р'(*)|<Я, \Q'(x)\<M,
Теорема 6.4. Пусть функция f(z) голоморфна в об-
области D, непрерывна в D и удовлетворяет неравенству
In \f(x + iy)\<-v (x) (x + iy<=D),
где v(x)—полоэюителъная непрерывная неубывающая
функция. Обозначим
Если
оо
о
то f(z)—O.
Доказательство. Обозначим через w(z) функ-
функцию, конформно отображающую область D на полосу
| Im w | < у так, что Re w -*- ±°° при Re z -*- ±°°. При сде-
сделанных предположениях относительно ф(#) и 9(х) спра-
справедливо неравенство Варшавского (см. теорему 6.2
гл. V). В наших обозначениях это неравенство прини-
принимает вид
Re w{x + iy)— Re w(a + b)< a(x)— a(a)+ С (х>а)
(постоянная С" не зависит от х, у, а, Ъ). Полагая а — О,
С = С + supRei#(?b), мы приводим это неравенство к виду
ь
Rew(x + iy)<a(x)+C (x>0). F.3)
Обозначим через z(w) функцию, обратную к w(z), a
х (и) = min Re z (w)

340 ГЛ. VIII. СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Взяв в неравенстве F.3) в качестве w то самое значение,
для которого Re w = и, Rez(u;)= x(u), получим
и<а(х(и)) + С. F.4)
Теперь рассмотрим функцию F(w)=f(z(w)) в полосе
| Im w | < -j-. Она голоморфна в этой полосе и непрерыв-
непрерывна в замкнутой полосе. Кроме того, она удовлетворяет
неравенству
In \F(u + iv)\ =\n\f(z{u + iv))\ <—v(x(u))t
поскольку v(x).— неубывающая функция. Из неравенст-
неравенства F.4) имеем х(и)< к(и—с), где к(и)—функция, об-
обратная к о(х) (ясно, что к(и)—неубывающая функция
и что к(и) -»- +оо при и -*¦ +оо). Поэтому
In \F{u + iv) I < —v(*(u - с) Х
и
v (к (и — с)) е~и du =
= J v (x) e-°Wo' (x) dx > j v (s) е-°<*> -^т- = + оо.
о о
По теореме 6.3 имеем F(w) = 0, а значит, и /(z)^=0.
Теорема доказана.'[]
Мы привели наиболее сильные результаты для двух
разновидностей теорем, которые обычно называются тео-
теоремами Фрагмена — Линделефа. Эти теоремы не исчер-
исчерпывают всего многообразия теорем Фрагмена — Линделе-
Линделефа, используемых в приложениях*).
*) Много теорем такого рода имеется в [13].

Глава IX
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
В этой главе доказываются теоремы о существовании
конформного отображения данной области на ту или
иную каноническую область, а также теоремы о соот-
соответствии границ при конформном отображении. Эти тео-
теоремы уже неоднократно использовались без дока-
доказательств. Оказывается, что теоремы о существова-
существовании конформных отображений удобпее доказывать для
многосвязных областей. Правда, при этом возникают
алгебраические вопросы, представляющие интересные
связи теории аналитических функций с теорией групп.
С помощью теорем о существовании конформного ото-
отображения мы решим также задачу Дирихле для произ-
произвольной конечносвязной области.
§ 1. Существование конформного отображения
В конце § 1 гл. V была сформулирована теорема Ри-
мана о существовании конформного отображения одно-
связной области на круг. Эта теорема была оставлена
без доказательства, так как сейчас будет доказана более
общая теорема о существовании конформного отобра-
отображения.
Будем говорить теперь об отображениях области D
функциями, уже не голоморфными, а аналитическими в
этой области. Для случая, когда область D односвязна,
между этими отображениями нет никакой разницы, так
как по теореме о монодромии функция, аналитическая
в односвязной области, голоморфна в этой области. Для
многосвязных областей разница между этими отображе-
отображениями довольно велика, так как функция, аналитиче-
аналитическая в многосвязной области, вообще говоря, мно-
многозначна.
Надо сказать, что сама постановка задачи о конформ-
конформном отображении области многозначными аналитически-

342 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ми функциями несколько искусственна. Естественная за-
задача состоит в построении взаимно однозначного коп-
формного отображения произвольной римановой поверх-
поверхности. Однако и постановка этой задачи, и тем более ее
решение потребовали бы значительно больших усилий.
В то же время рассматриваемая задача, хотя и не впол-
вполне естественна, обладает важными преимуществами.
Именно, она просто ставится, не требует большого коли-
количества дополнительных сведений, ее решение не слож-
сложнее, чем решение классической задачи о конформном
отображении односвязной области, и, наконец, область
применимости полученного результата значительно ши-
шире, чем область применимости теоремы Римана.
Придется все же несколько дополнить основные све-
сведения об отображениях, изложенные в § 1 гл. V.
Пусть F (z)—функция, аналитическая в области D.
Образом области D при отображении w — F(z) назовем
совокупность значений, принимаемых в области D всеми
элементами аналитической в D функции F(z). Образ D
обозначим F(D).
Аналитическую функцию будем, как правило, обозна-
обозначать прописной буквой, а ее исходный элемент — той же
буквой, но строчной.
Пусть дано wo^F(D) и пусть F\{z), ..., F,(z)—все
те элементы аналитической в области D функции F(z),
определенные в окрестностях точек zi^D, ..., z,^D
соответственно, для которых Fk(zk)= wo- (Среди точек zh
могут быть одинаковые, но тогда соответствующие эле-
элементы не должны тождественно совпадать.) Если vk —
кратность нуля Fk(z)—wq в точке zk и vi + V2 + ...
... + v, = га, то будем говорить, что значение wq прини-
принимается функцией F (z) в области D ровно та раз.
Если каждое значение w^F(D) принимается функ-
функцией F(z), аналитической в области D, ровно один раз,
то будем говорить, что функция F(z) однолистна в об-
области D. []
Перечислим наиболее важные свойства отображений
аналитическими функциями и свойства однолистных
аналитических функций.
Свойство 1. Пусть мноокество Gm состоит из зна-
значений w, принимаемых функцией F(z) в области D не
менее та раз. Тогда Gm — открытое множество. В частно-
частности, образом области является область.

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 343
Свойство 2. Пусть функция F(z) аналитична и
однолистна в области D, а функция G(z) аналитична и
однолистна в области F(D). Тогда функция G(F(z))
аналитична и однолистна в области D.
Свойство 3. Для однолистности в D аналитической
в D функции F(z) необходимо и достаточно, чтобы в об-
области F(D) существовала голоморфная функция <p(w),
обратная к F(z), т. е. такая, что q>(F(z))^ z.
Все перечисленные свойства доказываются совершен-
совершенно аналогично соответствующим свойствам голоморфных
функций (см. § 1 гл. V). []
Скажем еще несколько слов о сходимости последова-
последовательностей функций, аналитических в области.
Пусть дана последовательность функций {Fn(z)},
n=i, 2, ..., аналитических в области D, и пусть /n(z)—
исходные элементы функций Fn(z), определенные в ок-
окрестности одной и той же точки, скажем zq^D. Пусть,
далее, L — любая кривая, выходящая из точки zo и ле-
лежащая в области D, а Фп(г, L)— аналитическая на кри-
кривой L функция, полученная аналитическим продолжени-
продолжением элемента /„(z) вдоль кривой L. Будем говорить, что
последовательность {Fn(z)\ равномерно сходится внутри
области D, если при любом выборе кривой L последова-
последовательность {Ф„(г, L)} равномерно сходится на этой
кривой. []
Перечислим нужные нам свойства равномерно сходя-
сходящихся последовательностей аналитических функций.
Свойство 1. Предел последовательности аналити-
аналитических в D функций, равномерно сходящейся внутри D,
является аналитической в D функцией.
Свойство 2. Если {Fn(z)} — последовательность
функций, аналитических в области, и
(постоянная М не зависит ни от п, ни от выбора элемен-
элемента), то из последовательности {FH(z)} можно выбрать
подпоследовательность, равномерно сходящуюся вну-
внутри D.
Свойство 3. Пусть {Fn(z)} — последовательность
функций, аналитических в D, равномерно сходящаяся к
функции F(z), отличной от тождественной постоянной.
Если каждая из функций Fn(z) любое значение w при-

344 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
нимает не более m раз, то и функция F(z) обладает тем
же свойством.
В частности:
Предел равномерно сходящейся внутри D последова-
последовательности аналитических однолистных функций тоже яв-
является аналитической однолистной функцией или тож-
тождественной постоянной.
Свойства 1 и 2 доказываются по одному образцу со
ссылкой на соответствующую теорему для голоморфных
функций. В качестве образца приведем доказательство
свойства 2.
Возьмем точку zq^D и последовательность {/„(z)}
исходных элементов функций Fn(z). Функции /n(z) го-
голоморфны и ограничены в окрестности точки z<j. По прин-
принципу компактности голоморфных функций (теорема 4.6
гл. II)из последовательности ifn(z)} можно выбрать под-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся в указанной
окрестности точки z<j. Затем возьмем какую-либо кривую
L и выберем на ней точку z\, настолько близкую к zo,
чтобы функции Ф„(г, L) были голоморфны в окрестно-
окрестности точки z\, имеющей общую часть с окрестностью точ-
точки Zo. Покажем, что выбранная подпоследовательность
{ФпйB> L)} равномерно сходится и в окрестности точки z\.
По принципу компактности из этой подпоследователь-
подпоследовательности можно выбрать сходящуюся в данной окрестности
точки 1 подпоследовательность. Но предел этой подпо-
подпоследовательности в общей части окрестностей точек zq и
z\ обязан совпадатьс проделом последовательности (/nft(z)}.
Значит, пределы всех подпоследовательностей последова-
последовательности {Onfe(z, L)] должны быть одинаковыми. От-
Отсюда следует существование предела всей последователь-
последовательности {<J>nfe(z, L)\.
Выбирая затем точку Z2 s L и т. д., убеждаемся
в том, что последовательность {Фп&(г, L)] равномерно
сходится на всей кривой. Поскольку выбор подпоследо-
подпоследовательности nk не зависит от выбора кривой L, то подпо-
подпоследовательность {Fnk(z)} равномерно сходится вну-
внутри D.
Доказательство последнего свойства даже проще.
Пусть /i(z), ..., fs{z)—те элементы предельной функ-
функции последовательности {Fn(z)}, для которых A(z)— w
имеет нуль в точке z = zk. Применяя к каждому из этих

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 345
элементов теорему 6.3 гл. IV, получаем рассматриваемое
утверждение. О
Если функция F(z) аналитична и однолистна в обла-
области D, то мы будем говорить, что она совершает кон-
конформное отображение области D на область F(D).
Если область D односвязна, то наше новое понятие
конформного отображения совпадает с прежним, так как
по теореме о монодромии функция f(z) голоморфна в D.
Если же область D многосвязна, то это понятие отлича-
отличается от прежнего. В случаях, когда речь будет идти об
отображении многосвязных областей голоморфными од-
однолистными функциями, мы будем подчеркивать это,
употребляя термин: взаимно однозначное конформное
отображение. []
Приведем простейшие примеры конформных отобра-
отображений многосвязпых областей.
Пример 1. Рассмотрим отображение кольца г<
< \z\ < R функцией w = lnz, аналитической в этом
кольце.
Заметим прежде всего, что функция In z однолистна
в кольце, так как она имеет обратную функцию z = е™,
голоморфную во всей плоскости. Таким образом, отобра-
отображение w = In z является конформным отображением, и
нужно найти лишь образ кольца.
Проведем в кольце разрез (—R, —г). В разрезанном
кольце функция In z допускает выделение голоморфной
ветви. Посмотрим, куда отображает разрезанное кольцо
каждая из голоморфных ветвей In z. Вспоминая отобра-
отображения элементарными функциями, видим, что образом
разрезанного кольца является прямоугольник
In r < Re w < In R, —л + 2nk < Im w < л + 2nk,
где целое число к определяется выбором голоморфной
ветви In z. В совокупности все эти прямоугольники с до-
добавленными образами разреза образуют полосу In r <
<Bew<lni?, которая и является образом кольца при
отображении w = In z.
Заметим, что конформным отображением двухсвязной
области — кольца — оказалась односвязная область — по-
полоса. Это оказалось возможным благодаря тому, что кон-
конформное отображение аналитической функцией не явля-
является взаимно однозначным отображением. Наше кон-
конформное отображение можно рассматривать как взаимно

346 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
однозначпое отображение на полосу части римановой
поверхности логарифма, лежащей пад кольцом, а это —
одиосвязная область.
Пример 2. Найдем конформное отображение круга
Ы < 1 с выколотой точкой z — а, 0 < \а\ < 1, на круг
\w\ < 1, переводящее точку г = 0в точку w = 0.
Сначала с помощью дробно-линейного отображения
переведем круг UI < 1 с выколотой точкой z = a в круг
|?| < 1 с выколотым центром, т. е. в кольцо 0 < |?| < 1.
Это делается с помощью функции ? = -.
1 — za
Теперь воспользуемся результатом предыдущего при-
примера и с помощью функции t = In t, конформно отобра-
отобразим кольцо 0< |?| < 1 на полосу, которая в рассматри-
рассматриваемом случае вырождается в полуплоскость Re t < 0.
Выясним, куда переходит в этой полуплоскости точка
z = 0. Поскольку t(z)= In =, то t@) = lna, причем
1 — za
для In а можно взять любое значение.
Чтобы получить искомое отображение, остается пере-
перевести дробно-линейным отображением полуплоскость
Re t < 0 в круг |м?|<1, а точку t = \na в точку w = 0.
n, y t —' @) ~
с)то делается с помощью функции w = t,t,Q\ ¦ Оконча-
Окончательное отображение имеет вид
1 a~z 1
In = — In a
, . 1 — za
w = w(z) = .
, a~z , ,
In = + In a
1 — za
В заключение найдем еще w'@) для того элемента
отображающей функции w(z), для которого ы;@) = 0.
Имеем м?'@) = ^—— 2 , . .. Нетрудно проверить,
что!и/@I > 1 @< \а\ <1).
Теперь перейдем к основной цели настоящего пара-
параграфа — к теореме о существовании конформного отобра-
отображения. Сначала докажем теорему в несколько ослаблен-
ослабленной формулировке.
Теорема 1.1. Любую область комплексной плоско-
плоскости, имеющую хотя бы одну внешнюю точку, можно кон-
конформно отобразить на единичный круг.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что точка z = 0 является внутренней,

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 347
а точка z — °° — внешней точкой области, так как этого
всегда можно добиться, сделав дробно-линейное отобра-
отображение.
Функцию Ф(г), конформно отображающую область
(обозначим ее D) на круг \w\ < 1, мы будем строить
как решение следующей экстремальной задачи:
Среди функций F(z), аналитических и однолистных
в области D и удовлетворяющих условиям
F@)=0, IF(z)|<l (геВ) A.1)
(первое условие относится к исходному элементу функ-
функции F(z), второе — ко всем ее элементам), найти ту, для
которой значение 1/'@)| (для исходного элемента) яв-
является наибольшим.
Обозначим для удобства через S (D) множество тех
функций, среди которых ищем экстремальную.
Нужно доказать два факта:
1. В множестве S(D) существует экстремальная
функция.
2. Экстремальная функция совершает искомое ото-
отображение.
Начнем с доказательства утверждения 1.
Заметим, во-первых, что множество S(D) непусто,
так как D — ограниченная область и функция F(z)=cz
при достаточно малом с входит в S(D). (Напомним, что
z = °° — внешняя точка D.)
Во-вторых, заметим, что для всех функций из S(D)
значения 1/'@I ограничены. Действительно, область D
содержит некоторый круг Ы *? р (точка z = 0 является
внутренней точкой D). Исходный элемент f(z) любой
функции F(z)^S(D) является голоморфной в этом кру-
круге функцией. Поэтому
'«ч-н 1 ^*-
Переходя к модулям и вспоминая, что l^(z)| «S 1 для
F(z)<=S(D), получаем J/'@) | ^—. Теперь обозначим
ц= sup |/'@)|.
FS(D)
По определению точной верхней грани существует после-
последовательность
Fn(z)z=S(D), |4

348 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Поскольку \Fn(z)\^l (z&D), из последовательности
i}n(z)} согласно свойству 2 последовательностей анали-
аналитических функций можно выбрать сходящуюся подпосле-
подпоследовательность. Предел этой подпоследовательности обо-
обозначим через Ф(г). Согласно свойству 3 имеем <J>(z)e
&S(D), так как |Ф'@)| > \i, а значит, Ф(г) отлична от
тождественной постоянной. Следовательно,
№'@I=11,
т. е. построенная функция (p(z) является экстремальной.
Перейдем к доказательству утверждения 2.
Поскольку экстремальная функция Ф(г) однолистна
и аналитична в области D, то она совершает конформное
отображение области D на область Фф). Ввиду условия
№(z)l*?l (z е/)) область Ф(-О) лежит в круге |м?|<1.
Покажем, что из экстремальности функции Ф(г) следу-
следует, что область <t>(D) совпадает с кругом \w\ < 1.
Действительно, допустим противное. Тогда область
Фф) имеет хотя бы одну грапичную точку w = а, лежа-
лежащую в круге |м?| < 1.
Рассмотрим функцию F(z) = W(Ф(г)), где W(z) —
функция примера 2, конформно отображающая круг
|z| < 1 с выколотой точкой z = а на круг \w\ < 1, при-
причем ы>@)=0. Согласно свойству 2 одполистных функций
F(z) аналитична и однолистна в D. Условия A.1) для
нее тоже выполнены, так что F(z)^S(D). Но для ис-
исходных элементов
а мы видели, что \w'@)\ > 1. Значит, |/'@)| > 1ф'@I,
а это противоречит условию, что Ф(г)—экстремальная
функция. Полученное противоречие показывает, что об-
область Ф(.О) совпадает с кругом \w\ < 1. Теорема
доказана. []
Полная формулировка теоремы о существовании кон-
конформного отображения такова:
Теорема 1.1*. Любую область комплексной плос-
плоскости, имеющую более двух граничных точек, можно
конформно отобразить на единичный круг.
Для доказательства этой теоремы достаточно постро-
построить функцию, конформно отображающую расширенную
комплексную плоскость с тремя выколотыми точками на
единичный круг. Действительно, если такая функция

§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 349
%(z; a, b, с) (здесь а, Ъ, с— выколотые точки) построе-
построена, то любую область D, граница которой содержит точ-
точки а, Ь, с, отображаем функцией "Cs = t>{z; a, b, с) на об-
область D', лежащую в круге |?| < 1. Область' D' отобра-
отображаем на круг \w\ < 1 по теореме 1.1 и получаем иско-
искомое отображение области D. Построепие функции
t,(z; а, Ъ, с), конформно отображающей плоскость с тре-
тремя выколотыми точками на единичный круг, является
довольно сложной задачей. Этому построению будет по-
посвящен § 5.
Отметим, что теорема 1.1* уже не может быть усиле-
усилена. Двух граничных точек недостаточно, чтобы область
конформно отображалась на единичный круг (это следу-
следует из теоремы 2.4 гл. IV). Плоскость с двумя выколоты-
выколотыми точками z = а и z = Ъ конформно отображается на
всю конечную плоскость функцией w = In (см. при-
z — о
мер 1). О
Осталось еще решить вопрос о единственности кон-
конформного отображения.
Теорема 1.2. Пусть а — произвольная точка обла-
области D, а 9 — любое действительное число. Существует
единственная функция W(z), конформно отображающая
область D на круг \w\ < 1 и удовлетворяющая условиям
w(a) = 0, argu/(a)=9 (для исходного элемента).
Доказательство. Пусть Wi(z)—вторая функция,
удовлетворяющая тем же условиям. Обозначим через
z(w) функцию, обратную к W{z), и рассмотрим функ-
функцию g(w)=Wl(z(w)). Функция g(w) аналитична, а по
теореме о монодромии и голоморфна в круге \w\ < 1
(мы выбираем ветвь аналитической функции, получаю-
получающуюся аналитическим продолжением исходного эле-
элемента).
Очевидно, что функция g(w) удовлетворяет не-
неравенству
Кроме того, g@) = 0 и
Без ограничения общности можем считать, что | w' (a) \ ^
^|wx(a)|, так как в противном случае мы поменяли бы

350 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МПОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ролями w(z) и W\(z). Следовательно, функция g(w) го-
голоморфна в круге |ы>[<1 и удовлетворяет условиям
|*(И7)|<1 (Ы<1), g@)=0, \g'@)\>l.
Рассмотрим функцию г|)(м>) = ——. Она голоморфна
при \w\<i, тгш как ^@)=_02_и г|э(О) = g'@)> 1. С дру-
другой стороны, lira | т|5 (w) | = Km | g(w) | ^ 1. По принципу
1гс|->1 \Щ->1
максимума модуля аналитической функции (см. § 2
гл. VIII) это возможно лишь в случае, если |о|)(ы;I = 1.
Это в свою очередь возможно лишь при условии, что
о|)(ы>)=е'а, а так как arga|)(O)=O, то мы получаем
oj)(w)=l и g(w)=w. Следовательно, W\ (z) = W(z),
и теорема доказана.
Следствие. Пусть W\{z) и w?.(z)—исходные эле-
элементы двух аналитических в области D функций, кон-
конформно отображающих D на круг \w\ < 1 (эти элементы
мы считаем определенными в окрестности одной и той
же точки). Тогда wi(z)= T(w\ (z)), где T(w)—дробно-
линейное отображение, переводящее круг |ц;|<1 в себя.
Действительно, функция W\ (z2(u>))= T(w), где
Z2(w)—функция, обратная к W2(z), совершает конформ-
конформное отображение круга |ыН<1 на себя. Поскольку тео-
теорема Римана нами уже доказана, можно применить тео-
теорему 2.2 гл. V, что и даст искомое утверждение.
§ 2. Соответствие границ
при конформном отображении
Прежде чем говорить о вопросах, связанных со спе-
спецификой конформных отображений многосвязных обла-
областей аналитическими функциями, надо оплатить еще
один старый долг. Именно, мы должны доказать теорему
о соответствии границ, которую сформулировали в конце
§ 1 гл. V.
Напомним понятие достижимой граничной точки, вве-
введенное в § 1 гл. IV.
Пусть D — произвольная ограниченная область, a L-
простая кривая, лежащая в D, за исключением ее конца
Б, лежащего на границе области D. Совокупность (?, L)
определяет достижимую граничную точку области D.
При этом считается, что (?, L) и (?, L') определяют
одну и ту же достижимую грапичную точку, если части
кривых L и L'', лежащие в любой окрестности точки Б»

§ 2. СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 351
попадают в одну и ту же связную часть пересечения
этой окрестности с областью D. jj
Уже говорилось, что для областей, ограниченных ку-
кусочно гладкими кривыми, попятие достижимой гранич-
граничной точки совпадает с понятием точки граничной кривой,
т. е. каждой точке границы области отвечает не меньше
одной достижимой граничной точки. В случае произволь-
произвольных областей могут существовать точки границы, не яв-
являющиеся достижимыми граничными точками. Рассмот-
Рассмотрим пример.
Пусть область D — это квадрат
0<Rez<2, |Imz| < 1,
( i 1 , Л
с разрезами по вертикальным отрезкам I—,— +г I,
и =1,2,...
Каждой точке любого разреза (кроме их свободных
концов) отвечают дгю достижимые граничные точки об-
области. Каждой точке отрезка @, г) по отвечает пи одна
достижимая точка. Всем остальным точкам границы от-
отвечает по одной достижимой граничной точке. []
Далее удобнее будет немного иное определение дости-
достижимой граничной точки, определим ее не кривыми, веду-
ведущими в нее, а связными частями окрестностей, в кото-
которых лежат эти кривые. (Разница между этими определе-
определениями примерно та же, что и разница между определе-
определениями непрерывности в точке по Гейне и по Коши.)
Пусть ? — точка границы D, а система областей
,, р), 0 < р < °°, обладает следующими свойствами:
1. Область P(t,, p)— связная часть пересечения круга
\z — ? I < p с областью D.
2. При любом р >0 область P(t,, p) непуста и имеет
точку z = t, своей граничной точкой.
3. При р'> р область Pit,, p) входит в область
t')
p)
Каждая система областей P(t,, p) определяет ровно
ОДНУ достижимую граничную точку области D.
Предоставляем читателю самому проверить эквива-
эквивалентность этого определения предыдущему. [J
С помощью нового определения легко определить по-
понятие предела функции в достижимой граничной точке:
Мы скажем, что функция F{z), определенная в обла-
области D, имеет пределом число А, когда z стремится к дот

352 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗЫЫХ ОБЛАСТЕЙ
стижимой граничной точке, определяемой системой
P(t,, p), если для любого б>0 можно указать такое б>
>0, что \F(z)-A\ <e при z<=P(Z,, б). ?
В основе доказательства теоремы о соответствии гра-
границ лежит следующая лемма, близкая по своему содер-
содержанию к теореме единственности 5.1 гл. VIII.
Лемма 1. Пусть функция f(z)
голоморфна и ограничена в конечной
односвязной области D, a t, — какая-
либо точка границы области D. Ес-
Если при стремлении z к любой точке
границы D, лежащей в круге
\z—t,\^r, имеем /(г)-»- 0, Tof(z) = 0.
Доказательство. Пусть D' —
какая-либо связная часть пересече-
Рис. 10 ния области D с кругом I z — t, I < г,
а Г — та часть границы D', которая
не является границей D (т. е. состоит из дуг окружности
\z— t,\=r). Ясно, что D' — односвязная область, имею-
имеющая точку ? граничной (или внешней) точкой (см.
рис. 10). Функция f(z) непрерывна в 23', если считать,
что она равна нулю на части границы D', отлич-
отличной от Г.
Поскольку область D' односвязна и не содержит точ-
точку z = ?, функция w = Уг — % голоморфна в D'. Обо-
значим через G образ D' при отображении w == Vz — ?,
а через f — образ Г. Область G лежит в круге \w\ < 1/г,
а у — на окружности |ы;| = 1/г. Заметим, что по меньшей
мере половина окружности |ы;| = 1/г свободна от точек
¦у, так как при отображении w = 1/z — ?. вся окружность
\z—t,\=r (разрезанная в какой-либо точке) переходит
лишь в половину окружности \w\ —Уг.
Рассмотрим в области G функцию g(w) — /(? + w2).
Функция 2 = t, + w2, обратная к w = 1/z — ?, конформно
отображает область G на область D'. Поэтому функция
g{w) голоморфна в G, непрерывна в G и равна нулю на
части границы G, отличной от f.
По принципу максимума для субгармонических функ-
функций функция u(w)= In \g(w) I не превосходит любой
гармонической в области G функции, если она не пре-
превосходит ее на границе G. Более того, поскольку на ча-
части границы G, отличной от у, имеем u(w)=—°°, то

9 2. СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 353
этой частью границы G можно не интересоваться. Поэто-
Поэтому функция u(w) не превосходит гармонической в круге
|н;|<Уг функции ut(w), которая определяется следую-
следующими граничными значениями на окружности 1ы;| = У г:
на той половине окружности \м\ = Уг, на которой нет
точек у, положим иг(ю) = \пг, а на другой половине
ue(w)= In M, где М = max\g(w)\.
wey
Итак, при любом б>0 имеем неравенство u(w)^
^ue(w) (w&G). Функцию us(w) нетрудно найти в ко-
конечном виде, но еще проще заметить, что ue(w)^-—°°
при б -»- 0 и при любом фиксированном w e G. Следова-
Следовательно, u(w)^—оо, откуда #(ы;)=0 и /(z)=0. Лемма
доказана.
Теорема 2.1. Пусть D — конечная односвязная об-
область, ф (z) — функция, конформно отображающая об-
область D на область G, ограниченную простой замкнутой
кривой С. Когда точка z стремится к достижимой гра-
граничной точке области D, точка w = q>(z) стремится к не-
некоторой точке кривой С, причем пределы, отвечающие
разным достижимым точкам, различны.
Доказательство. Возьмем систему Р(?, р), опре-
определяющую достижимую граничную точку области D, и
обозначим через Q(Z,, p) образ Р(?, р) при отображении
i?> = cp(z). Области Q(t,, р) лежат в области G и @(?,р)с
с Q(t,, р') при р < р'. Обозначим через Е пересечение
всех замкнутых областей Q(t,, р), р>0. Множество Е —
это совокупность всех предельных точек функции ф(г)
при стремлении точки z к выбранной нами достижимой
граничной точке. Так как отображение w = ф (z) взаим-
взаимно однозначно, то множество всех предельных точек
ф(г) при стремлении z ко всем точкам границы D совпа-
совпадает с кривой С. Следовательно, множество Е является
частью кривой С. Далее, все ()(?, р) являются связными
замкнутыми множествами, так что и их пересечение —
множество Е — является связным замкнутым множест-
множеством. Связной замкнутой частью кривой С может быть
или дуга этой кривой, или точка. Утверждение теоремы
говорит, что Е—это точка кривой С. Для доказательст-
доказательства рассмотрим в области G функцию ty(w), обратную к
функции ф(г). Она отображает область Q(t,, p) на об-
область Р(?, р), так что при weQ(t,, р) имеем т|з(ы;)<=
еРE, р), т. е. \ty(w)— ?| < р. Если множество Е— это
дуга кривой С, то все области Q(%, p) имеют эту дугу

354 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
своей граничной дугой. Это значит, что для любой внут-
внутренней точки Wo дуги Е имеем
т|з(м;)->- % (w -»- wo, w e G).
Применяя лемму 1 к функции ty{w)—?, получаем
т|з(м;)=^, что невозможно. Следовательно, множество
Е — это точка wo<=C, и предел функции qp(z) при стрем-
стремлении z к выбранной нами достижимой граничной точке
существует и равен wq.
Теперь покажем, что пределы функции qp(z) в раз-
различных достижимых граничных точках различны. Пусть
мы имеем две различные достижимые граничные точки
области D. Проведем простую кривую, лежащую в D и
имеющую концы в этих точках. Обозначим эту кривую
через L, а ее образ при отображении w = <p(z) через Г.
Если пределы функции qp(z) в обеих достижимых гра-
граничных точках одинаковы, то Г — простая замкнутая
кривая, имеющая лишь одну общую точку с границей об-
области G. Область, ограниченную кривой Г, обозначим че-
через G', а ее прообраз при отображении w = q>(z)—через
D'. Граница области D' состоит из кривой L (прообраз
Г) и из некоторой части границы D, скажем, Л. Мно-
Множество А не пусто, так как концы кривой L определяют
разные достижимые граничные точки области D. Когда
z стремится к любой точке множества А, функция qp(z)
стремится к wo, где w0 — та единственная общая точка
кривой Г и границы области G. На множестве А найдет-
найдется точка границы D', которая лежит в D' вместе с неко-
некоторой своей окрестностью. Применяя лемму 1, получаем
ф(г)= wo, что невозможно. Полученное противоречие по-
показывает, что пределы функции qp(z) в разных достижи-
достижимых граничных точках различны. Теорема доказана.
Следствие. Пусть области D и G ограничены ку-
кусочно гладкими кривыми, a qp(z)—функция, конформно
отображающая область D на область G. Тогда функция
ф(г) непрерывна вплоть до границы области D.
Без ограничения общности можно считать, что обла-
области D и G ограничены простыми кусочно гладкими кри-
кривыми, так как в противном случае мы могли бы разре-
разрезать их на конечное число частей такого рода. Для об-
областей, ограниченных простыми кривыми, все точки гра-
границы находятся во взаимно однозначном соответствии с
достижимыми граничными точками. По теореме 2.1
функция ф(г) имеет предел в каждой точке границы.

§ 2. СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 355
Это означает, что функция cp(z) непрерывна в D. Отсюда
и следует утверждение следствия. Q
Для непрерывности отображающей функции вплоть
до границы области требуется только, чтобы отображае-
отображаемые области были ограничены непрерывными кривыми.
Этот результат тоже можно вывести из теоремы 2.1 при-
примерно тем же путем, но используя довольно тонкие сооб-
соображения теории множеств *).
Накладывая на кривые, ограничивающие области, до-
дополнительные требования, можно получить дополнитель-
дополнительные сведения о гладкости отображающей функции. Мы
приведем сейчас одну теорему такого рода. Ее основой
является следующая лемма.
Лемма 2. Пусть функция w(z) конформно отобра-
отображает круг Ы < 1 на область D, ограниченную гладкой
кривой С. Если h(Q)—непрерывная функция, равная
при каждом 0, 0 ^ 8 < 2я, углу наклона касательной к
кривой С в точке w(eie), то
^±[f]e + c B.1)
(в выборе ветви In w' (z) и в выборе функции Л (9) име-
имеется одинаковый произвол).
Доказательство. Рассмотрим функцию
Эта функция голоморфна в круге Ы < 1, так как в силу
однолистности функции w{z) числитель дроби обращает-
обращается в нуль лишь вместе с знаменателем. Из следствия
теоремы 2.1 вытекает, что функция ge(z) при любом
б>0 непрерывна в круге Ы ^ 1. Следовательно, ее
можно восстановить по значениям ее мнимой части на
окружности \z\ = 1. (Для этой цели нужно применить
формулу Шварца из § 3 гл. VIII к функции -r-ge(z).)
При б ->- 0 имеем ge(z)-+ In w'(z) (\z\ < 1).
Выясним, что происходит с мнимой частью функции
ge(z) при б -»- 0 на окружности Ы = 1. Имеем
lmgs(eif>)= arg {ю(ецв+е) — w(eie)} — arg(e!(9+e) — ei9).
*) Некоторые результаты и довольно полную библиографию по
этим вопросам можно найти в [10].

356 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Первое слагаемое в правой части есть не что иное, как
угол наклона хорды, соединяющей точки w(ei(9+t)) и
w(e'e) кривой С. Второе слагаемое легко вычисляется.
Его предел при б -*¦ 0 равен л/2 + 8. Предел первого сла-
слагаемого при е ->¦ 0 равен углу наклона касательной
к кривой С в точке w(e'e), т. е. h(Q).
Поскольку переход к пределу при б -»- 0 является
равномерным по 6, его можно выполнить под знаком
интеграла. Это означает, что функция \nw'(z) может
быть найдена по функции h{&)—к—9 с помощью фор-
формулы, восстанавливающей функцию, голоморфную в кру-
круге \z\ < 1, по значениям ее мнимой части на окружности
Ы = 1. Это и дает нам формулу B.1). Лемма доказана.
Теорема 2.2. Пусть функция w(z) конформно ото-
отображает круг Ы < 1 на область D, ограниченную глад-
гладкой кривой С, a z(w)— функция, обратная к w{z). Тогда
функции aig w'(z) и arg z'(w) непрерывны, соответст-
соответственно, в круге \z\ =?J 1 и в области D.
Доказательство. Из леммы 2 следует, что функ-
функция argw(z) является решением задачи Дирихле в кру-
круге |z| < 1 с грапичной функциейh(9) ^ 9.По теоре-
теореме 3.2 гл. VIII отсюда следует непрерывность argw'(z).
Непрерывность функции arg z'(w) следует из формулы
arg z' (w) = arg , = — arg w' (z (w))
u из непрерывности функции z(w). Теорема доказана. [J
С помощью формулы B.1) довольно просто получить
и теоремы, утверждающие непрерывность функций
In z'(w) и In w'(z), сделав некоторые дополнительные
предположения относительно кривой С, ограничивающей
область D.
Одним из наиболее употребительных результатов яв-
является так называемая теорема Келлога:
Пусть уравнение кривой С имеет вид г^ = ф(в) (па-
(параметр s — это длина дуги кривой С). Если функция
cp(s) удовлетворяет условию
lcp'(si)— <p'(s2) I < Mis! — s2\a @ < a < 1),
то функции w(z) и z(w) удовлетворяют условиям
<M1|z1-z2|a (UiKl, |z2|<l),

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 357
\w'(zl)-w'(z2)\<Ml\z1-z2\a
In
1 IX
z' (w
< М21 w1 — w2 \a (u\ <= D, w.^ D),
2'K)
\z' [w{)—z (w2) I ^ M2\ W\—w2\a (wi^D, w2^D).
Доказательства теоремы Келлога и других теорем
того же рода имеются в уже упоминавшейся моногра-
монографии [10].
Теми же методами можно исследовать поведение ото-
отображающей функции на границе области, если гладкой
является не вся граница, а только интересующая нас
дуга. Поведение отображающей функции в угловых точ-
точках, остриях и т. д. исследуется с помощью неравенств
Альфорса и Варшавского (см. § 6 гл. V).
§ 3. Группа автоморфизмов конформного отображения
В этом параграфе мы будем говорить о тех свойствах
конформных отображений, которые становятся нетриви-
нетривиальными только для отображений многосвязных обла-
областей. Именно, мы покажем, что с каждым конформным
отображением области D на круг К можно связать не-
некоторую группу, элементами которой являются дробно-
линейные отображения этого круга на себя. Когда об-
область односвязна, эта группа состоит только из тождест-
тождественного преобразования, но для многосвязной области D
эта группа всегда нетривиальна, и ее изучение представ-
представляет интерес. Алгебраическая структура этой группы
совпадает с алгебраической структурой фундаментальной
группы области D (см. § 7 гл. I), так что мы начнем
с напоминания некоторых сведений.
Зафиксируем в области D некоторую точку z = а и
рассмотрим всевозможные замкнутые кривые, лежащие
в области и проходящие через точку (эту точку будем
считать началом и концом каждой кривой). Символом
Г1Г2 мы обозначаем кривую, полученную последователь-
последовательным прохождением сначала кривой Fi, а затем кривой
IV Совокупность всех кривых, гомотопных данной кри-
кривой Г, будем называть гомотопическим классом и обозна-
обозначать символом [Г]. Для гомотопических классов опреде-
определим операцию умножения с помощью равенства

358 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Множество всех гомотопических классов образует груп-
группу относительно этой операции умножения. Эта группа
называется фундаментальной группой области D и обо-
обозначается символом ni(D). Единичным элементом фун-
фундаментальной группы является гомотопический класс,
состоящий из кривых, гомотопных нулю в области. Этот
гомотопический класс будем обозначать символом е. U
Введем еще одно понятие, которым мы раньше не
пользовались. Пусть даны две группы 'S п ^* и ото-
отображение
Если отображение О взаимно однозначно и если для лю-
любых двух элементов cti s gr и йг s gr * справедливо
равенство
то группы & и S7* называются изоморфными, а отобра-
отображение ¦& — изоморфизмом. П
Построим некоторое отображение фундаментальной
группы области D в группу дробно-линейных отображе-
отображений круга \w\ < 1 на себя.
Пусть Ф(г)—какая-либо функция, аналитическая в
области D и конформно отображающая эту область на
круг 1м>|<1. Через cp(z) мы обозначим исходный эле-
элемент этой функции, считая его заданным в той самой
точке а, которая участвует в определении фундаменталь-
фундаментальной группы области D. Возьмем произвольную замкну-
замкнутую кривую Г, лежащую в области D и проходящую че-
через точку а, и продолжим исходный элемент qp(z) по
этой кривой. В результате продолжения получим какой-
то другой элемент qp*(z) нашей отображающей функции
Ф(г). Аналитическую в области D функцию, порожден-
порожденную исходным элементом qp*(z), обозначим через Ф*(г).
Ясно, что функция Ф*(г) тоже конформно отображает
область D на круг \w\ < 1, так как множество значений
функции, аналитической в области D, не зависит от того,
какой ее элемент мы возьмем в качестве исходного. Со-
Согласно следствию из теоремы 1.2 существует такое дроб-
дробно-линейное отображение A(w) круга \w\ < 1 на себя,
что

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 359
Таким образом, каждой замкнутой кривой Г, лежа-
лежащей в области D и проходящей через точку а, мы ста-
ставим в соответствие некоторое дробно-линейное отображе-
отображение A(w) круга \w\ <1 на себя. В силу теоремы о мо-
нодромии (см. теорему 1.2 гл. III) это отображение
А(и>) будет одним и тем же для всех кривых из одного
гомотопического класса. Тем самым построено отображе-
отображение фундаментальной группы ni(D) на некоторое мно-
множество дробно-линейных отображений круга \w\ < 1
на себя.
Дробно-линейное отображение, отвечающее гомотопи-
гомотопическому классу ct, будем обозначать символом Аа(и>).
Иногда будет удобнее подчеркивать зависимость отобра-
отображения A(w) от кривой Г. Тогда будем использовать
символ AT(w), считая, что
AT(w)=A[T](w).
Определим теперь «произведение» АВ дробно-линей-
дробно-линейных отображений А и В равенством
AB(w)=A{B(w)).
Относительно такой операции «умножения» множество
всех дробно-линейных преобразований образует группу.
Кроме того, из способа определения отображения Av оче-
очевидным образом вытекает, что для любых кривых Г\ и
Гг (из рассматриваемого нами класса) имеет место
равенство
ATiv2 = ATiAT2. C.2)
Из равенств C.1) и C.2) сразу следует, что
C.3)
Из равенства C.3) и из того, что преобразование
Ал (w) определено для любого гомотопического класса а,
следует, что множество всех дробпо-линейных отображе-
отображений Ал образует группу относительно операции умноже-
умножения дробно-линейных отображений.
Группу, состоящую из всех дробно-линейных отобра-
отображений вида A, aeni(D), мы будем называть группой
автоморфизмов конформного отображения и> = Ф(г) об-
области D на круг \w\ < 1. Эту группу будем обозначать
символом &(D, Ф).

360 ГЛ. ГХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Ясно, что с тем же успехом можно было бы говорить
о группе автоморфизмов конформного отображения w =
= Ф(г) на любой другой круг (или полуплоскость) К. П
Прежде чем формулировать результаты, относящиеся
к группе автоморфизмов &{D, Ф), докажем одну лемму,
дающую удобный критерий принадлежности дробно-ли-
дробно-линейного преобразования А к группе 3?(D, Ф). []
Обозначим через f(w) функцию, обратную к отобра-
отображающей функции г?> = Ф(г). Ввиду однолистности ото-
отображающей функции функция f(u>) голоморфна в круге
K = O(D) и отображает этот круг на область D.
Лемма 1. Для любого преобразования A^$?(D, Ф)
имеет место равенство f(A(w))=f(w).
Доказательство. Пусть qp(z)—исходный элемент
функции Ф(г). В достаточно малой окрестности точки
z = а, согласно определению обратной функции, должно
выполняться равенство /(<p(z))=z. Производя в обеих
частях этого равенства аналитическое продолжение по
кривой Г, получаем, что
f(AT(tp(z))) = z
или, обозначив qp(z)= w, что
f(AT(w)) = f(w).
Тем самым утверждение леммы доказано для точек w,
лежащих в достаточно малой окрестности точки w =
= qp(a). По принципу аналитического продолжения по-
полученное равенство справедливо для всех w. Лемма
доказана.
Теорема 3.1. Группа автоморфизмов 3?(D, Ф) кон-
конформного отображения области D и фундаментальная
группа Ki(D) области D изоморфны.
Доказательство. Определим отображение
п, (D) ^ <3 (D, Ф),
положив О (а) = Аа . Принимая во внимание, что равенст-
равенство C.3) уже доказано, надо доказать только, что отобра-
отображение ¦& взаимно однозначно. Иными словами, нужно до-
доказать, что дробно-линейное преобразование Ar{w) мо-
может быть тождественным преобразованием лишь в слу-
случае, когда кривая Г гомотопна нулю в области D.
Если Ат — тождественное преобразование, то анали-
аналитическое продолжение исходного элемента отображаю-

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 361
щей функции приводит к тому же исходному элементу.
Это означает, что образом кривой Г при отображении
и> = Ф(г) будет некоторая замкнутая кривая С, лежа-
лежащая в круге К=Ф(О). Это можно выразить и иначе:
кривая Г будет образом замкнутой кривой С при отобра-
отображении z=f(w), где f{w)—голоморфная функция, об-
обратная к пашей отображающей функции ю = Ф(г).
Но кривая Г гомотопна нулю в круге К = Ф(В), так
как она замкнута, а круг — односвязная область. Следо-
Следовательно, и ее образ при непрерывном отображении
z~f(w) будет кривой, гомотопной нулю в области
D — f(K). Тем самым доказано требуемое утверждение,
а вместе с ним и теорема. []
Доказанная теорема позволяет свести изучение алгеб-
алгебраического строения группы автоморфизмов конформно-
конформного отображения области D на единичный круг к изуче-
изучению алгебраического строения фундаментальной группы
области D. Последнее исследуется простыми геометриче-
геометрическими средствами. Напомним результаты, полученные
нами в § 7 гл. I.
Пусть D — произвольная га-связная область с компо-
компонентами границы ¦уо, Ть • • •. Y»-i* Компоненту ^о мы на-
называем внешней, а остальные п — 1 компонент ук — вну-
внутренними. С каждой внутренней компонентой ¦у* мы свя-
связываем гомотопический класс ctA = [Ch], где Ck — граница
односвязной области, содержащей внутри себя компонен-
компоненту ч>> и не содержащей других компонент границы обла-
области D (направление обхода границы считаем, как всегда,
положительным относительно ограничиваемой области).
В § 7 гл. I было отмечено, что имеет место следую-
следующий результат.
Фундаментальная группа произвольной п-связной об-
области D является свободной группой, порожденной п — 1
образующими di, 0-2, ¦ • •, tt»-i.
Это означает, что каждый элемент а фундаменталь-
фундаментальной группы можно записать в виде
е-=
где т, — произвольные целые числа, отличные от нуля,
а индексы i, принимают значения 1, 2, ..., п — 1, причем
это представление единственно, если среди соседних ин-
индексов нет равных. (Последнюю часть этого утвержде-

362 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ния не станем доказывать из-за громоздкости доказа-
доказательства.) []
Из теоремы 3.1 и сформулированного выше утверж-
утверждения немедленно получаем
Следствие. Группа ^{D, Ф) автоморфизмов кон-
конформного отображения произвольной п-связной области
D на круг является свободной группой с п — 1 образую-
образующими Аа , ..., Аа . п
Нас интересует не только алгебраическая структура
группы автоморфизмов, но и свойства дробно-линейных
отображений, входящих в эту группу. Докажем два ре-
результата, характеризующих эти отображения довольно
полно.
Теорема 3.2. Пусть w<) — произвольная фиксиро-
фиксированная точка круга К, являющегося образом области D
при отображении w = O(z). Множество точек {A(wo)},
где А — всевозможные преобразования из группы авто-
автоморфизмов S(D, Ф), может иметь предельные точки
лишь на границе круга К.
Доказательство. Преобразования A<=&(D, Ф)
отображают круг К на себя, и потому все точки A (wo)
лежат в круге К. Рассмотрим функцию f(w), обратную
к нашей отображающей функции w = Ф (z). Она голо-
голоморфна в круге К и во всех точках A (w0) принимает оди-
одинаковые значения. Если бы эти точки имели предельную
точку в круге К, то по теореме единственности функция
f{w) была бы тождественной постоянной, что невозмож-
невозможно. Теорема доказана. []
Прежде чем формулировать следующий результат,
проведем некоторые рассмотрения, относящиеся к дроб-
дробно-линейным преобразованиям.
Неподвижной точкой данного дробно-линейного пре-
преобразования A(w) будем называть точку w*, для кото-
которой A (w*)= w*.
Пусть A(w) = —j?-:. Тогда уравнение A(w*)= w*,
определяющее неподвижные точки преобразования A (w),
можно записать в виде
c(w*Jjr{d — a)w* — b = 0.
Для любого преобразования A(w) это уравнение имеет
два решения (если с = 0, добавляем бесконечное реше-
решение). Напишем легко проверяемые формулы, дающие об-

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 363
щий вид дробно-линейного преобразования с заданными
неподвижными точками.
Если неподвижные точки A,i и Яг дробно-линейного
преобразования A(w) конечны и различны, то для пре-
преобразования справедлива формула
A(w)-l w — X
где q — произвольная постоянная. Если Яг = °°, то эта
формула принимает вид
J,i = q(w — Xi). C.5)
Если обе неподвижные точки преобразования A(w)
равны одному и тому же конечному числу Я, то для
преобразования справедлива формула
где Q — произвольная постоянная. Если Я = °°, эта фор-
формула принимает вид
A(w)=w + Q. C.7)
Под символом Ат будем понимать дробно-линейное
преобразование, определяемое равенствами
A°(w)=w, Am+l{w) = A{Am(w)).
Если преобразование A(w) определяется формулами
C.4), C.5), C.6) или C.7), то соответствующее преоб-
преобразование Ат определяется формулами
лт И - *i _ ,т Zzll- ,3 /*1
Am(w)-h -=qm(w-h); C.5*J
Am{w)=w + mQ. C.7*)
Следующую теорему сформулируем уже не для ото-
отображения области D на произвольный круг, а лишь для
отображения на верхнюю полуплоскость.
Теорема 3.3. Пусть ${D, Ф)— группа автоморфиз-
автоморфизмов конформного отображения области D на полуплос-
полуплоскость Re w > 0. Если дробно-линейное преобразование.

364 ГЛ. ГХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
), Ф) определяется формулой C.4), то величины
%\ и Яг действительны, а величина q положительна. Если
преобразование А определяется формулой C.5), то "К\ —
действительное, a q — положительное число. В случае
формул C.6) и C.7) величины Я и Q — действитель-
действительные числа.
Доказательство. Проведем доказательство толь-
только для случая, когда преобразование A(w) представляет-
представляется формулой C.4). Остальные случаи исследуются тем
же способом, но проще.
Итак, пусть A(w)—дробно-линейное преобразование
из группы автоморфизмов $?{D, Ф), определяемое фор-
формулой C.4). Возьмем произвольную точку wq из полу-
полуплоскости Re w > О, отличную от точек Х\ и Яг, и рас-
рассмотрим последовательность.
{wj, wm = Am{w0), m = 0, ±1, ±2, ...
Преобразования группы автоморфизмов конформного ото-
отображения области D на полуплоскость являются отобра-
отображениями этой полуплоскости на себя. Поэтому все точки
wm = Am(wo) должны лежать в полуплоскости Re w > 0,
а предельные точки последовательности {wm} по теоре-
теореме 3.2 должны лежать на действительной оси. Согласно
формуле C.4*)
Отсюда видно, что при \q\ Ф 1 предельными точками
последовательности {wm} являются точки Х\ и Яг. Таким
образом, мы доказали действительность значений Я1 и Яг
при дополнительном предположении, что \q\ Ф 1.
Покажем, что из действительности значений К\ и Яг
сразу вытекает положительность величины д. Допустим,
что Я[ < Яг, и возьмем значение ц, удовлетворяющее ус-
условию Я[ < ц < Яг. Преобразование A(w) конформно ото-
отображает верхнюю полуплоскость на себя, и потому долж-
должны выполняться неравенства
A{h)<A{\i)<A(X2).
Но Я,1 и Яг — неподвижные точки преобразования A(w),
так что последние неравенства означают, что

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 365
Поэтому, полагая в формуле C.4) w = ц, получаем
A (F) - \ цА.1 п
q - А (ц) - Х2 * ц -'К
Теперь остается только исследовать возможность
\q\ = 1. Положим q = ехрBяг'а). Если а — иррациональ-
иррациональное число, то из формулы C.8) видно, что точки wm бу-
будут всюду плотны на окружности
что по теореме 3.2 невозможно. Следовательно, q
= ехр',2я1 — |, где г и s
мулы C.4*) получаем, что
р
= ехр',2я1 — |, где г и s — целые числа. Тогда из фор-
форПо теореме 3.1 такое равенство возможно лишь в слу-
случае, когда кривая Г, которой отвечает преобразование
A(w) = AF(w), обладает тем свойством, что кривая Г*
(кривая Г, проходимая s раз в положительном направ-
направлении) гомотопна нулю в области D. Геометрически оче-
очевидно, что это возможно лишь в случае, когда сама кри-
кривая Г гомотопна нулю в области D. В этом случае мы
имеем A{w)— w, что отвечает значению q — 1.
Тем самым утверждение полностью доказано. []
Мы сформулировали теорему 3.3 для случая, когда
функция Ф(г) отображает область D не на произволь-
произвольный круг, а на полуплоскость Re w > 0 только потому,
что в этом случае условия на величины A,i, Яг и q осо-
особенно просты. Для формулировки утверждения этой тео-
теоремы в общем случае удобнее всего использовать инте-
интересную геометрическую интерпретацию.
Любой круг в комплексной плоскости можно рас-
рассматривать как плоскость Лобачевского, если ввести в
этом круге подходящую метрику, называемую неевклидо-
неевклидовой или гиперболической метрикой. Неевклидова метри-
метрика задается обычно формулой для дифференциала ds не-
неевклидовой длины дуги. В круге \w\ < 1 зта формула
имеет вид

366 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
а в полуплоскости Re w > 0 — вид
\dw\
ds =
Im w '
С помощью не очень сложных выкладок (не будем про-
проводить их здесь, так как в § 1 гл. X этот вопрос будет
обсуждаться подробнее) можно показать, что неевклидо-
неевклидова метрика в данном круге инвариантна относительно
дробно-линейных отображений btofo круга на себя. Это
означает, что такие дробно-линейные преобразования ос-
оставляют неизменными неевклидовы размеры фигур. По-
Поэтому такие преобразования естественно назвать преоб-
преобразованиями движения неевклидовой плоскости. Преоб-
Преобразования движения, не имеющие неподвижных точек,
естественно назвать преобразованиями параллельного пе-
переноса. В этих терминах общая формулировка теоре-
теоремы 3.3 выглядит так:
Любое дробно-линейное отображение из группы авто-
автоморфизмов конформного отображения области D на круг
К представляет собой параллельный перенос в круге К,
рассматриваемом как плоскость Лобачевского, и
Поговорим теперь о зависимости группы S(D, Ф) от
функции Ф(г) (при фиксированной области D).
Будем говорить, что группы "& и %?*, состоящие из
дробно-линейных преобразований, подобны, если между
этими группами имеется автоморфизм ft, имеющий вид
где Т — некоторое фиксированное дробно-линейное пре-
преобразование.
Лемма 2. Если каждая из функций Ф{г) и W(z)
конформно отображает область D на некоторый круг, то
группы автоморфизмов $?(D, ф) и $7(D, W) подобны.
Доказательство. Без ограничения общности мож-
можно считать, что исходные элементы <p(z) и t|)(z) функций
Ф{г) и W(z) заданы в одной и той же точке а области D.
Пусть функция Ф(г) отображает область D на круг К,
а функция ^(z)—на круг К'. Обозначим через T(w)
дробно-линейное отображение круга Кг на круг К, удов-
удовлетворяющее условиям
Т (t (а)) = ф {а), arg Т'(у (а)) = arg Ф' (а) - arg г|/ (а).
Тогда функции Ф(г) и Ф(г), порожденные исходными
элементами <p(z) и <p(z)= Г(г|>(г)) соответственно, кон-

§ 3. ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ ОТОБРАЖЕНИЯ 367
формно отображают область D на круг К, причем
ф(а) = <р(а), argq>'(a)=argq/(a).
По теореме 1.2 функции Ф(г) и Ф(г) тождественно сов-
совпадают. Это означает, что продолжение элементов cp(z) и
T(ty(z)) по кривой Г приводит к одинаковому результату,
какова бы ни была кривая Г. Обозначим через Ат преоб-
преобразование из группы автоморфизмов 3?{D, Ф), отвечаю-
отвечающее кривой Г, а через Вг — аналогичное преобразование
из группы автоморфизмов 3?(D, T). Тогда из сказанного
выше следует, что
Но ty(z)= T~l(<p(z)). Следовательно,
Лг(фB))=7тEгGт-1(фB)))), или АГ = ТВТТ~К
Тем самым лемма доказана. Q
Знание групп автоморфизмов позволяет решить задачу
возможности взаимно однозначного конформного отобра-
отображения двух многосвязных областей друг на друга.
Теорема 3.4. Для того чтобы области D и D' мож-
можно было взаимно однозначно и конформно отобразить друг
на друга, необходимо и достаточно, чтобы группы авто-
автоморфизмов S(D, Ф) и $(D, W) были подобны (здесь
Ф(г) и T(z)—какие-либо конформные отображения об-
областей D и D' соответственно на круг).
Доказательство. Сначала докажем необходи-
необходимость. Пусть существует взаимно однозначное и конформ-
конформное отображение z = g(t,) области D на область D'. Если
w = W (г)— конформное отображение области D' на
круг К, то функция Ф(?)= ^(#(?)) конформно отобра-
отображает область D на круг К. Легко проверить, что группы
S{D, Ф) и *3(Р', х?) не только подобны, но и просто сов-
совпадают.
Теперь докажем достаточность. Без ограничения
общности мы можем считать, что функции ш = Ф(?) и
w — W (г) конформно отображают области D и D' соот-
соответственно на один и тот же круг К и что группы
${D, Ф) и S(D', W) совпадают. Обозначим через f(w)
функцию, обратную к отображающей функции Ф(г). Эта
функция голоморфна в круге К и обладает тем свойством,
что f(A{w)) = f(w) для любого преобразования A(w) из
группы $(D, Ф) (а значит, и из 8(D', ?)). Поэтому
голоморфна и функция g(W(z)) в области D'. Легко убе-

368 ГЛ, IX, ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
диться, что эта функция взаимно однозначно и конформ-
конформно отображает область D' на область D. []
В связи с доказанными теоремами, естественно, воз-
возникает вопрос, дают ли теоремы 3.1—3.3 полную харак-
характеристику группы автоморфизмов конформного отображе-
отображения re-связной области. Иными словами, можно ли произ-
произвольно задать га — 1 дробно-линейных отображений кру-
круга К на себя (удовлетворяющих требованиям, возникаю-
возникающим из теорем 3.2 и 3.3), чтобы группа, порожденная
этими отображениями, была группой автоморфизмов не-
некоторой re-связной области? Оказывается, что это в основ-
основном так, но решение задачи слишком сложно, чтобы стои-
стоило заниматься им здесь.
Однако все же отметим одно следствие из сделанного
замечания и из теоремы 3.4. Число параметров, опреде-
определяющих типы комформно неэквивалентных ге-связных
областей, по теореме 3.4 равно числу параметров, опреде-
определяющих различные не подобные между собой группы
автоморфизмов. Если допустить, что группу автоморфиз-
автоморфизмов re-связной области можно получить, произвольно за-
задав га — 1 образующих (удовлетворяющих условиям тео-
теоремы 3.2), то такая группа определяется 3(ге —1) пара-
параметрами (действительными). При га > 2 условие неподоб-
ности групп уменьшает число параметров еще на три,
а при ге = 2 — на два. Поэтому при га > 2 число парамет-
параметров, определяющих типы конформно неэквивалентных
га-связных областей, равно Зге — 6, а при ге = 2 это число
равно 1. В следующем параграфе мы докажем, что число
параметров, определяющих типы конформно неэквива-
неэквивалентных re-связных областей, именно такое. Это даст нам
некоторое подтверждение (хотя и очень косвенное) воз-
возможности более или менее произвольного выбора образу-
образующих группы автоморфизмов.
В заключение предложим еще одну геометрическую
картину, относящуюся к группе автоморфизмов конформ-
конформного отображения области D на круг К.
Проведем в области D попарно непересекающиеся раз-
разрезы, соединяющие внешнюю компоненту ^о границы об-
области D с каждой из ее внутренних компонент fh. Одно-
связную область, получающуюся из области D после про-
проведения разрезов, мы обозначим через D'.
Пусть теперь Ф(г)— функция, конформно отображаю-
отображающая область D на круг К. В односвязной области D функ-

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЕ НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 369
ция Ф(г) распадается на голоморфные ветви Фо(г),
O\(z), ФгB), ... (ветвь Фо(г) будем считать отвечающей
продолжению на область D' исходного элемента функ-
функции Ф{г)). Ясно, что каждой ветви Фт{г) отвечает неко-
некоторое дробно-линейное преобразование Ат круга К на
себя из группы автоморфизмов $?(D, Ф), для которого
справедлива формула
Более того, ясно, что эта формула устанавливает взаимно
однозначное соответствие между голоморфными ветвями
Фт(г) и элементами группы автоморфизмов. []
Обозначим через Gm образ области D' при отображе-
отображении ю = Фт{%) и назовем область Go фундаментальной
областью группы автоморфизмов S (D, Ф). Фундаменталь-
Фундаментальная область определяется с довольно большой степенью
произвола (выбор разрезов, превращающих область D в
односвязную область D').
Отметим следующие важные свойства фундаменталь-
фундаментальной области:
1. Каждая область Gm является образом фундамен-
фундаментальной области Go при отображении одним и только од-
одним преобразованием Ат из группы автоморфизмов
&(D, Ф).
2. Области Gm при различных значениях т не имеют
общих точек.
3. Каждая точка круга К лежит внутри одной из об-
областей или на границе одной из этих областей.
Иными словами, области {Gm} образуют «паркетное»
замощение круга К (плотное и без перекрытий). Задание
такого паркетного замощения — это геометрический спо-
способ задания группы автоморфизмов.
§ 4. Задача Дирихле и отображение
на канонические области
Конформное отображение многосвязной области ана-
аналитическими функциями можно применить для решения
задачи Дирихле для многосвязных областей. Будем го-
говорить только о решении задачи Дирихле для те-связной
области, ограниченной кусочно гладкими кривыми Со,
С], ..., Ст~\. Кривую Со будем считать внешней границей,
кривые С\, Сг, ..., Cm-i — границами дырок.

370 ГЛ. JX, ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Постановка задачи Дирихле та же, что и в случае
односвязной области (§ 3 гл. VIII). Именно:
На граничных кривых области D задано т функций
/о(?), ..., /m_i(?), непрерывных на этих кривых, за иск-
исключением замкнутого счетного множества точек разрыва
(и ограниченные). Требуется найти функцию u(z), гар-
гармоническую и ограниченную в области D, которая стре-
стремится к функции Д(?) при z->-?(? е Сь) в любой точке
непрерывности функции /*('?)•
Единственность решения задачи Дирихле была дока-
доказана в § 3 гл. VIII для любой области, но ее разреши-
разрешимость была установлена только для односвязной об-
области D.
Для краткости совокупность функций /о E), • •., /т-1 (?)
будем обозначать через /(¦?), считая, что функция /(?)
определена на множестве, состоящем из всех граничных
кривых. []
Введем обозначения.
Пусть w(z)—какая-либо функция, конформно отобра-
отображающая область D на круг \w\ < 1, a z(w)—функция,
обратная к w(z). Через Go обозначим фундаментальную
область группы ^{D, w), а через D' — область D с разре-
разрезами. Область D' является образом области Go при ото-
отображении z = z(w). Группу y(Z), w) будем считать состоя-
состоящей из преобразований Ао, Аи Аъ, ... (Ао — тождествен-
тождественное преобразование), занумерованных в каком-либо по-
порядке. Через Gv обозначим образ области Go при отобра-
отображении круга \w\ <1 с помощью дробно-линейного пре-
преобразования Avw. Через ov обозначим совокупность дуг
окружности \w\ =1, входящих в границу области Gv. Q
Теорема 4.1. Функция u(z), решающая задачу Ди-
Дирихле в области D с граничной функцией /(?), может
быть представлена в виде u(z)= v(w(z)), где
D.1)
+ p^ — 2p cos (ф — 6)
"V
Доказательство. Прежде всего убедимся, что
интегралы, входящие в определение функции v(w), име-
имеют смысл и что ряд сходится. Функция z(w) конформно
отображает область Go на область D', а так как по лем-
лемме 1 § 3 z(Avw)= z(w), то она конформно отображает на
область D' и любую область Gv. При этом дуги о„ пере-

g 4. ОТОБРАЖЕНИЕ НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 371
ходят в те части границы области D', которые входят в
границу области D, т. е. в граничные кривые. По теореме
о соответствии границ (см. следствие теоремы 2.1) функ-
функция z(w) непрерывна на дугах cv и значения z(eie) ле-
лежат на граничных кривых области D. Поэтому функция
/(z(e'e)) при eie e с„ определена и непрерывна, за исклю-
исключением замкнутого счетного множества точек разрыва.
Тем самым все интегралы имеют смысл.
Поскольку дуги cv не имеют общих точек (см. свой-
свойство 1 § 3), то нетрудно показать, что ряд равномерно
сходится внутри круга |ы?|<г<1. Каждое слагаемое
является функцией, гармонической в круге \w\ < 1. По-
Поэтому функция v(w) гармонична в круге \w\ <1 как
сумма равномерно сходящегося ряда гармонических функ-
функций. Кроме того, для функции v(w) выполняются не-
неравенства
m^v(w)<M (Ы<1),
где m = inf/(?), M = sup/(?).
Теперь покажем, что функция u(z) = v(w(z)) опреде-
определена в области D. Для этой цели нам нужно убедиться, что
значение функции v(w(z)) в какой-либо точке zo не за-
зависит от выбора элемента функции w(z) в этой точке.
Так как все элементы функции w(z) получаются из ка-
какого-либо одного преобразованиями группы "\{D, w), то
нужно показать, что v(Anw)^v(w) для всех 4»е
ет(Д w).
Для этого заметим, что функция v(w) равна сум-
сумме ряда
со
v(w) = 2 vv(w),
v=o
где функция Vv(w) является решением задачи Дирихле
в круге \w\ <1 с граничными данными, равными /(z(eie))
при е'е ео, и нулю в остальных точках окружности
\w\ = 1. Любое преобразование Anw переводит круг
\w\ < 1 в себя, а множества ov лишь перетасовывает меж-
между собой. Поэтому функция v(Anw) является суммой то-
того же ряда 2 yv(">). но порядок членов этого ряда из-
изменен. В силу абсолютной сходимости сумма ряда не ме-
меняется. Следовательно, v(Anw)=v(w), так что функция
u(z)= v(w(z)) определена в области D.
Ясно, что функция u(z) ограничена в области D. Из
гармоничности функциц v(w) в круге \w\ < 1 с помощью

372 ГЛ. ГХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
теоремы 1.1 гл. VIII легко получаем гармоничность функ-
функции u(z) в области D. Остается показать, что w(z)->-/(?)
при z -»- ? в любой точке непрерывности функции /(?)•
Поскольку u(z)= v(w(z)) и значения v(w(z)) не зави-
зависят от выбора ветви функции w(z), то можно взять вме-
вместо w(z) ее ветвь wo(z), конформно отображающую об-
область D' на область Go. Функции wo(z) и z(w) непрерыв-
непрерывны вплоть до границы областей D' и Go соответственно,
по теореме о соответствии границ. Поэтому при z -»- ?'
(?' — точка одной из граничных кривых) имеем
Согласно свойствам интеграла Пуассона (см. теорему 3.2
гл. VIII) имеем
W И-*/(*(**')) = /(?') («7-J-eW)
(если 0' является точкой непрерывности функции
/(z(ei9))). Теорема доказана. []
В предыдущем параграфе были найдены необходимые
и достаточные условия для того, чтобы области D и D\
можно было взаимно однозначно и конформно отобразить
друг на друга. Однако вопрос о том, на какие сравни-
сравнительно простые области можно отобразить произвольную
m-связную область, мы не решали. Этот вопрос довольно
легко решается с помощью сведения к задаче Дирихле. Q
Сначала рассмотрим случай двухсвязной области.
Теорема 4.2. Любую двухсвязную область (огра-
(ограниченную кусочно гладкими кривыми) можно взаимно
однозначно и конформно отобразить на кольцо r< \w\ <
< 1. Отображающая функция определяется единственным
образом с точностью до множителя, равного по модулю
единице. {Число г не задается, а определяется по
области.)
Доказательство. Начнем с доказательства един-
единственности отображения. Пусть функция w = w(z) взаим-
взаимно однозначно и конформно отображает область D, огра-
ограниченную кусочно гладкими кривыми Со (внешняя гра-
граница) и С\ (граница дырки), на кольцо r< \w\ < 1. При
этом, естественно, кривая Со переходит в окружность
|ы>|= 1, а кривая С\ — в окружность \w\ =r.
Поскольку функция w\z) не обращается в нуль в об-
области D, функция u (z) "=¦ lol u/(z) | гармонична в обла-

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЕ НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 373
сти D и непрерывна вплоть до ее границы. Ясно, что
' u(z)=0 (zeCo), it(z)= In г (zed). D.2)
Эти условия полностью определяют функцию u(z). Ана-
Аналитическая в области D функция \nw(z) определяется
по функции u(z) с точностью до произвольного чисто
мнимого слагаемого i0. Следовательно, функция w(z)
определяется по функции u(z) с точностью до постоян-
постоянного множителя, равного по модулю единице.
Остается показать, что число г тоже определяется
единственным образом. Обозначим через ?(z) аналити-
аналитическую в области D функцию, имеющую своей действи-
действительной частью гармоническую меру w(z; C\, D), т. е. ре-
решение задачи Дирихле в области D с граничными данны-
данными, равными нулю на Со и единице на С\. Очевидно,
имеем
In ii7(z)=?(z)Inr, w(z)=e«')l»r. D.3)
Согласно теореме 1.1 гл. VIII функция ?'(z) голоморфна
в области D и интеграл от ?'(z) по любому замкнутому
контуру, лежащему в D, равен чисто мнимому числу (или
нулю). Поэтому при аналитическом продолжении ?(z)
вдоль замкнутого пути, обходящего дырку С\ в положи-
положительном направлении один раз, к исходному значению
?(z) добавляется чисто мнимое слагаемое 2л?(Во (инте-
(интеграл от ?'(z) по упомянутому пути). Из формулы D.3)
видим, что при аналитическом продолжении функции
w (z) вдоль любого замкнутого пути, один раз обходяще-
обходящего дырку в положительном направлении, исходное зна-
значение функции w(z) умножается на е2Лгшо ПГ. Голоморф-
Голоморфность функции w{z) означает, что юо1пг = га. Функция
w(z) должна быть не только голоморфна, но и однолист-
однолистна в области D, т. е. не должна принимать одинаковых
значений. Отсюда без особого труда можно вывести, что
произведение юо1пг должно быть равно ±1. Поскольку
г < 1, то знак тоже определяется, и тем самым число г
определяется единственным образом.
Единственность отображения доказана. Для доказа-
доказательства существования отображения нам остается пока-
показать, что функция
()ф

374 ГЛ. ГХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
совершает искомое отображение области D на кольцо
С этой целью выясним, что происходит с точкой
wd(z), тогда точка z обходит кривую С*, на которой
w(z, C\, D) = K, 0<Я<1. Заметим, что С*— простая
кривая, лежащая в области D (отсутствие самопересече-
самопересечений следует из принципа максимума и минимума для
гармонических функций). При К-*¦ 0 эта кривая стремит-
стремится к Со, а при К -*¦ 1 — к С\. В каждой точке кривой С%
функция ?(z) голоморфна, так что уравнения Коши —
Римана, написанные в системе координат, где за направ-
направление оси х взято направление нормали п к кривой Сх,
а за направление оси у — направление касательной к С\,
дают
-^ Im ?(z)=^ Re I (z) (Re ? (z) = со (z; Cv D)).
Если взять за п то направлепие нормали, которое отве-
отвечает возрастанию К, то-^ Re ? (z) > 0. Следовательно, при
движении по кривой С%. в таком направлении, чтобы об-
область больших значений Я, оставалась справа, величина
Im^(z) возрастает. При полном обходе величина Im^(z)
обязана увеличиться на 2nicDo. Следовательно, при пол-
полном обходе кривой С», точкой z точка wo(z) совершит
один полный обход окружности |и;| = еао. Это и означа-
означает, что функция wo(z) взаимно однозначно и конформно
отображает область D, описываемую кривыми С%, 0 < Я <
1
< 1, на кольцо ешо <С | w \ < 1, описываемое окружностями
Л
| w | = еа° , 0 < Я, < 1. Теорема доказана. Q
В случае т > 2 уже нет столь простых канонических
областей, как кольцо, и рассматриваются канонические
области многих типов. Докажем теорему об отображении
конечносвязной области на один из типов канонических
областей — на плоскость с конечными вертикальными
разрезами. При этом не будем останавливаться на тонко-
тонкостях, связанных с возможностью недостаточно гладкой
границы области.
Начнем с обозначений.

§ 4. ОТОБРАЖЕНИЕ НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 375
Пусть /re-связная область D ограничена кривыми Со
(внешняя граница) и Си С2, ¦.., Ст-\ (дырки). Обозна-
Обозначим через ?i(z), ?2B), .. ., ^m-i(z) аналитические в об-
области D функции, имеющие своей действительной частью
гармоническую меру w(z; Ck, D). Через 2juwfts A</е<
< /re — 1, 1 =s? s < те — 1) обозначим интеграл от функции
?ji(z) по простой замкнутой кривой, окружающей дыр-
дырку Cs и не окружающей других дырок (по теореме 1.1
функция t,k (z) голоморфна в области D и интеграл от
нее по любому замкнутому контуру — чисто мнимое
число).U
Сначала докажем одну существенную лемму.
Лемма 1. Матрица Q = llwSsll невырождена.
Доказательство. Допустим противное. Тогда
можно подобрать такие действительные постоянные
Xi, Я.2, . . ., Хт-\, не все равные нулю, чтобы функция
была голоморфна в области D. Действительно, для этого
нужно, чтобы изменение функции ?(z) при обходе каж-
каждой дырки Cs было равно нулю. Это дает нам систему ли-
линейных уравнений с матрицей Q. Так как согласно до-
допущению Q — вырожденная матрица, то эта система име-
имеет нетривиальные решения.
Выясним, какие значения может принимать функция
t(z) в области D. Значения функции ?(z) на кривой Со
имеют действительную часть, равную нулю, а на кривых
Cs имеем T\et,(z) = ka. Иными словами, образом границы
области D является множество, расположенное на прямых
Re % = 0, Re ? = Я, (s = 1, 2, ..., т — 1). Если значе-
значение w не лежит ни на одной из этих прямых, то согласно
принципу аргумента (см. теорема 6.1 гл. IV) число ре-
решений уравнения ?(z)— w в области D равно изменению
arg[?(z)— w] при обходе точкой z всей границы обла-
области D. Но
var{arg[?(z) — w]} = 0 {s = 0, 1, ».., т — 1),
с,
так как при движении точки z по кривой С, точка ?(z)
движется по прямой Re % — const и не может обойти точ-
точку w. Следовательно, изменение arg[?(z)— w] по всей
границе области равно нулю, т. е. функция ?(z) не при-
принимает значения w в области D. Поскольку w — любая
точка, пе лежащая на прямых Re ? = 0, Re ? = Я8 (s =

376 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
= 1, . .., те— 1), то это означает, что функция ?(z) при-
принимает в области D только те значения, которые лежат
на этих прямых. Но по теореме 1.1 гл. V множество зна-
значений, принимаемых в области голоморфной функцией,
отличной от постоянной, является областью. Следова-
Следовательно, ?(z)= const. Это невозможно, так как
а хотя бы одна из постоянных К, отлична от нуля. Полу-
Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема 4.3. Любую конечносвязпую область D
можно взаимно однозначно и конформно отобразить на
плоскость w с конечными вертикальными разрезами.
Отображающая функция w(z) определяется единствен-
единственным образом, если задать точку а ^ D, переходящую в
точку w — оо действительное число А и число с =
г А ~\
— lim \w(z) ,
Доказательство. Обозначим через u(z) реше-
решение задачи Дирихле в области D с граничными данными,
равными Rep——, а через wo(z)— аналитическую в об-
области D функцию, имеющую u(z) своей действительной
частью.
Подберем действительные постоянные %\, %2, ¦.., Am-i
таким образом, чтобы функция
была голоморфна в области D. В силу леммы 1 это мож-
можно сделать, так как матрица Q = \\ан,\\ невырождена.
Покажем, что функция
(Z) + C W (Z) + Я^ (z) +
(постоянная с\ выбрана так, чтобы w (z) — >¦ 0 при
z ->¦ а) совершает искомое отображение.
Согласно построению имеем
~Rew(z)=n. (zz=C,),
ц0 = Re ci, |A. = Reci + A,, (s = 1, ..., те — 1),
а из предположений о некоторой гладкости границы D
легко получить, что мнимая часть w(z) непрерывна на
границе D. Внутри области D функция w[z) имеет^один

§ 5. ПЛОСКОСТЬ С ВЫКОЛОТЫМИ ТОЧКАМИ 377
простой полюс. Как и в лемме 1, убеждаемся, что для
всех значений w, не лежащих на прямых
Re w = ц, (s = 0, 1, ..., т — 1),
изменение axg[w(z) — w] по всей границе D равно нулю.
По принципу аргумента это означает, что число нулей
функции w(z)— w в области D равно числу ее полюсов,
т. е. единице. Значения w, лежащие на указанных пря-
прямых, тоже принимаются функцией w{z) не более одного
раза, так как по теореме 1.1 гл. V множество значений,
принимаемых в области голоморфной функцией больше
одного раза,— открытое множество. Следовательно, w(z)
взаимно однозначно и конформно отображает область D
на всю плоскость w, из которой выброшены куски ука-
указанных вертикальных прямых.
Остается доказать единственность этой отображающей
функции.
Если wi(z) и U72(z)—две отображающие функции, то
их разность голоморфна в области D и равна нулю при
z — а. Применив к этой разности те же рассуждения, что
и к функции ?(z) в доказательстве леммы 1, без труда
получим wi(z)— W2(z)= 0.
Теорема доказана *).[]
Несложные подсчеты показывают, что для выделения
типа канонической области нужно при т > 2 задать
Зте — 6 действительных постоянных — то самое число,
которое указывалось в § 3 в качестве оценки сверху.
Интересно заметить, что матрица Q тоже не меняется
при взаимно однозначных конформных отображениях, но
она содержит (т — IJ действительных параметров. Та-
Таким образом, при т > 2 количество параметров у матри-
матрицы Q больше, чем Зт — 6. Это значит, что при т > 3
между элементами матрицы Q должны быть какие-то со-
соотношения.
§ 5. Отображение плоскости с выколотыми точками
Настоящий параграф посвятим построению функции,
конформно отображающей плоскость с тремя выколоты-
выколотыми точками на круг lid < 1. Эта функция нужна для до-
*) Мы не стали останавливаться на вопросе о том, какая
именно гладкость границы области необходима для справедливости
теоремы. Теорема верна без каких бы то ни было предположений
о границе (см. [10]).

378 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
казательства теоремы 1.1*, где мы опирались на ее су-
существование, но она интересна и во многих других отно-
отношениях.
Удобнее строить функцию, конформно отображающую
плоскость с тремя выколотыми точками (скажем, z = О,
z = l и z = °°) не на круг \w\ < 1, а на полуплоскость
Im ? > 0.
Обозначим через G полуполосу lRe?l<l, Im % > 0,
из которой удалены два полукруга, лежащих на отрезках
(—1, 0) и @, 1) как на диаметрах.
Через &(?)обозначим функцию, конформно отображаю-
отображающую область G на плоскость z с разрезом по положитель-
положительной части действительной оси так, чтобы точки ? = 0, 1,
°° переходили в точки z = 0, 1, °° на верхнем крае раз-
разреза соответственно. Существование этой отображающей
функции следует из теоремы 1.1. Более того, эту функ-
функцию можно построить с помощью интеграла Кристоффе-
ля — Шварца (см. § 5 гл. V).
Через A,a(z) обозначим функцию, обратную к функ-
функции к(%).
Покажем, что аналитическая функция X(z), получен-
полученная аналитическим продолжением функции %q(z), анали-
тична в области D (плоскость z с выколотыми точками
z = 0, 1, оо) и конформно отображает ее на полуплоскость
Re % > 0.
Доказательство разобьем на пять этапов.
1. Покажем, что значения функции Xo(z) в плоско-
плоскости z с разрезом на положительной части действительной
оси связаны соотношением
—\ 1 / \ / К A \
Z) Ao\Z). {"•'¦)
Для этой цели обозначим через ф(г) функцию, кон-
конформно отображающую полуплоскость Im z > 0 на поло-
половину области G, лежащую справа от мнимой оси и пере-
переводящую точки z = 0, 1, оо в точки ? = 0, 1, °°, соответ-
соответственно. Согласно теореме Римана такое отображение
существует, а с помощью теоремы 2.1 гл. V нетрудно до-
доказать, что оно единственно. В силу теоремы о соответ-
соответствии границ функция ф(г) непрерывна в полуплоскости
Im z > 0. При отображении ? = ф(г) отрицательная часть
действительной оси переходит в положительную часть
мнимой оси. По принципу симметрии (см. теорему 4.2
гл. V) функцию'ф(г) можно аналитически продолжить в
полуплоскость Im z < 0 через отрицательную часть дей-

g 5. ПЛОСКОСТЬ С ВЫКОЛОТЫМИ ТОЧКАМИ 379
ствительной оси, положив
q>(z)=-<p(z) (Imz<0). E.1*)
Продолженная функция (сохраним для нее обозначение
Ф(z)) голоморфна во всей плоскости z с разрезом по по-
положительной части действительной оси и конформно ото-
отображает эту плоскость с разрезом на область G. По тео-
теореме 2.1 гл. V задание трех точек на границе области
определяет отображение единственным образом, так что
(p(z) = A,0(z). Поэтому равенство E.1) вытекает из ра-
равенства E.1 *).
2. Найдем аналитическое продолжение функции A,o(z)
через отрезки (О, 1) и A, + °°) снизу вверх (т. е. через
нижний край разреза).
Отображение t, = Xo(z) переводит нижний край раз-
разреза @, 1) в полуокружность ?-Ь-т,! =-2", Im ? > 0.
Поэтому согласно принципу симметрии аналитическое
продолжение функции ^o(z) через нижний край разреза
@, 1) возможно. В результате этого аналитического про-
продолжения мы получим другую голоморфную ветвь анали-
аналитической функции A,(z), которую обозначим через %i(z).
По принципу симметрии значения A,o(z) и X\(z) должны
быть симметричны относительно окружности Z, Л—п" ~~о"
(так как точки z и z симметричны относительно отрез-
отрезка @, 1)). Записывая условие симметрии относительно
окружности (см. § 2 гл. V), получаем
Используя соотношение E.1), находим
%х (z) = S (Xo (z)), S (?) = _2l+i- E.2)
Обозначим через ta(z) ту ветвь аналитической функ-
функции A,(z), которая получается аналитическим продолже-
продолжением функции %q{z) через нижний край разреза A, + °°);
аналогичными рассуждениями получаем
l2(z)=T(l0(z)), T(t,)=t-2. E.3)
Легко видеть, что продолжения через разрез @, 1) и
A, + °°) снизу вверх отвечают продолжениям функции

380 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
X,o(z) по достаточно малым окружностям \z\ = р и \z— ll =
= р соответственно (один раз против часовой стрелки).
3. Покажем, что функцию A,0(z) можно аналитически
продолжать по любому пути, не проходящему через точки
z = 0, 1, °°, и что все элементы полученной аналитиче-
аналитической функции имеют значения, лежащие в полуплоско-
полуплоскости Im ? > 0.
Пусть мы имеем какой-либо путь L, не проходящий
через точки z = 0, 1, °°. Когда этот путь первый раз пере-
переходит через положительную часть действительной оси,
функция A,0(z) заменяется одной из следующих четырех
функций:
Slo(z), no(z), S'%(z), Г-%B),
в зависимости от того, через какой край какой части раз-
разреза мы перешли. Аналитическое продолжение каждой
из этих четырех функций сводится снова к продолжению
функции A,0(z), стоящей внутри дробно-линейного пре-
преобразования.
Отсюда видно, что функцию A,o(z) можно аналитиче-
аналитически продолжить по любому пути, не проходящему через
точки z = 0, 1, °°. В результате продолжения получаем
некоторое дробно-линейное преобразование от функ-
функции A,o(z). Ясно, что это преобразование входит в группу,
образованную произведениями степеней преобразований
S и Т.
Замечая, что преобразования S и Т являются преоб-
преобразованиями полуплоскости Im t, > 0 в себя, приходим к
нашему утверждению, так как значения функции A,o(z)
лежат в области G, расположенной в полуплоскости
Im ? > 0, а все преобразования группы переводят эту
полуплоскость в себя.
4. Покажем, что функция к(%), обратная к Яо(г), мо-
может быть аналитически продолжена на полуплоскость
Im?>0.
Функция &(?) конформно отображает область G па
всю плоскость z с разрезом по положительной части дей-
действительной оси, так что на границе области G она при-
принимает действительные значения. Так как граница обла-
области G состоит из прямых и окружностей, то это обстоя-
обстоятельство позволяет нам аналитически продолжить функ-
функцию &(?) с помощью принципа симметрии. После-
Последовательно продолжая функцию &(?) через прямолиней-
прямолинейные стороны области G, покажем, что функция k(t,)

S 0. ПЛОСКОСТЬ С ВЫКОЛОТЫМИ ТОЧКАМИ 381
голоморфна в области, получающейся удалением из полу-
полуплоскости Im-E; > 0 полукругов, лежащих на отрезках
(п, п+1)(п — любое целое число), как на диаметрах.
На границе этой области функция &(?) по-прежнему
принимает действительные значения. Продолжая функ-
функцию k(t,) по принципу симметрии через каждую из гра-
граничных полуокружностей, видим, что функция &(?) голо-
голоморфна в еще более широкой области. Эта область тоже
получается удалением из полуплоскости Im ? > 0 счет-
счетного числа полукругов, лежащих на отрезках действи-
действительной оси, как на диаметрах. (При симметрии относи-
относительно окружности с центром на действительной оси
действительная ось переходит в себя и любая окружность
с центром на действительной оси переходит в какую-то
другую окружность с центром на действительной оси.)
На границе новой области функция &(?) опять при-
принимает действительные значения. Продолжая ее через
все граничные полуокружности, мы видим, что функ-
функция &(¦?) голоморфна в еще более широкой области того
же вида.
Неограниченно повторяя процесс продолжения, при-
придем к выводу, что функция &(?) голоморфна во всей
полуплоскости Im ? > 0, так как после очередного про-
продолжения радиусы выбрасываемых полукругов сокраща-
сокращаются по меньшей мере вдвое. (Каждый новый полукруг
является образом одного из прежних при преобразовании
симметрии относительно одной из прежних полуокруж-
полуокружностей; значит, диаметр любого нового полукруга поме-
помещается на радиусе одного из прежних.)
5. Завершим доказательство утверждения, сформули-
сформулированного в начале параграфа.
Согласно свойству 3 аналитических однолистных
функций (§ 1) из голоморфности функции &(?), обрат-
обратной к функции A,(z), аналитической в плоскости z с вы-
выколотыми точками z = 0, 1, °°, следует однолистность
функции Я(г), так как в силу 3) образ плоскости z с вы-
выколотыми точками z = 0, 1, °°, при отображении ?=A,(z)
лежит в полуплоскости Im ? > 0.
Остается показать, что образ плоскости z с выколоты-
выколотыми точками z = 0, 1, °° при отображении ? = X(z) совпа-
совпадает с полуплоскостью Im ? > 0.
Для этой цели сначала заметим, что функция k(t,) не
принимает значений 0, 1, °° в полуплоскости Im ? > 0.
Действительно, в области G это справедливо, так как она

382 ГЛ. ГХ. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
конформно отображается функцией &(?) на плоскость z
с разрезом по положительной части действительной оси.
При продолжении функции &(?) по принципу симметрии
значения, принимаемые в вершинах области G, могут
приниматься только в вершинах симметричных областей.
Поскольку вершины всех симметричных областей лежат
на действительной оси, мы приходим к требуемому
выводу.
Теперь возьмем любую точку ?', Im ?' > 0, и найдем
элемент функции X(z) и точку z', для которых %(z') = %''.
Для этого соединим какую-либо точку области G с точ-
точкой ? = %' отрезком прямой и продолжим функцию X(z)
вдоль пути L, проходимого точкой z = &(?), когда точ-
точка ? проходит этот отрезок прямой. Функции A,o(z) и&(?)
обратны друг другу, так что на. всем пути L имеем
X,(k(Q)=t- Продолжение вдоль L возможно, так как
функция &(?) не обращается в 0, 1, °°. В конце L полу-
получаем %{z')= t'.
Следовательно, любое значение ?' из полуплоскости
Im ? > 0 принимается функцией X(z), так что образ плос-
плоскости z с выколотыми точками z = 0, 1, °° при отображе-
отображении ? = A,(z) совпадает с полуплоскостью Im ? > 0. Та-
Таким образом, доказательство того, что функция X(z) со-
совершает интересующее нас отображение, закончено.
Построение функции %(z; а, Ъ, с), использованной при
доказательстве теоремы 1.1 *, не составляет никакого
труда. Она легко выражается через функцию K(z) с по-
помощью двух дробно-линейных отображений. []
С помощью формул Кристоффеля — Шварца для ото-
отображения многоугольников, ограниченных дугами окруж-
окружностей (см. конец § 5 гл. V), можно было бы показать,
что функция 5 (z) = '-,/ , удовлетворяет дифференци-
дифференциальному уравнению
Функция к(^) связана с эллиптическими функциями.
Она сама и все функции, выражающиеся через нее ра-
рациональным образом, называются модулярными функ-
функциями. [_\
Заметим, что область G, с которой начиналось построе-
построение, есть не что иное, как фундаментальная область груп-

§ 5. ПЛОСКОСТЬ С ВЫКОЛОТЫМИ ТОЧКАМИ 383
пы автоморфизмов отображения ? = A,(z). Группу авто-
автоморфизмов мы тоже построили — она образована произ-
произведением степеней двух дробно-линейных преобразований
Нетрудно описать все преобразования этой группы и
иным путем. Именно: матрицы преобразований этой груп-
группы имеют вид
Эта группа является одной из подгрупп модулярной груп-
группы, состоящей из всех целочисленных матриц I a I, ad—
\с dj
- be = 1. ?
Модулярные функции являются специальными функ-
функциями, обладающими рядом свойств, существенно отлич-
отличных от свойств элементарных функций. Так, например,
функция &(?) не может быть аналитически продолжена
за пределы полуплоскости Im ? > 0 — все точки действи-
действительной оси являются ее особыми точками.Г]
С помощью модулярных функций была впервые дока-
доказана весьма глубокая теорема Пикара:
Теорема 5.1. Мероморфная во всей конечной плос-
плоскости функция /(z), не принимающая трех различных
значений, постоянна.
Доказательство. Пусть f(z)?=a, Ъ, с. Рассмот-
Рассмотрим функцию
F(z)= ?(/(*): а, Ъ, с),
где %(w; а, Ъ, с)—функция, конформно отображающая
плоскость w с выколотыми точками w ^= а,Ъ, с на круг
|?| < 1. Поскольку функция /(z) не принимает значений
а, Ъ, с, а функция ?(и>; а, Ъ, с) не имеет особых точек
кроме w = а, Ъ, с, функция F(z) аналитична, а по теоре-
теореме о монодромии и голоморфна во всей конечной плоско-
плоскости. Кроме того, \F(z)\ < 1. По теореме Лиувилля (см.
теорему 2.3 гл. IV) имеем F(z)= const, а значит, и /(z)~
зз const. Теорема доказана.

384 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
§ 6. Автоморфные и эллиптические функции
В связи с вопросами, о которых говорилось в § 3 и 5,
естественно изложить простейшие факты из теории авто-
морфных функций.
Пусть дана группа у, состоящая из дробно-линейных
преобразований A,z (v = 0, 1, 2, ...), переводящих в се-
себя область К (которая может быть кругом, полупло-
полуплоскостью или всей конечной плоскостью).
Если функция f(z), мероморфная в области К, удов-
удовлетворяет условиям
то она называется автоморфной относительно группы у.
Функции, автоморфные относительно конечных групп
(например, четные), не имеют достаточно интересных
специфических свойств.
Простейшим классом функций, автоморфных относи-
относительно бесконечной группы, являются периодические
функции. Эти функции безусловно очень интересны, но
они уже очень хорошо изучены, и их свойства стали при-
привычными, п
Когда область К — это вся конечная плоскость, име-
имеется лишь один ¦ содержательный , класс автоморфных
функций — эллиптические или двоякопериодические
функции. Эллиптические функции уже давно возникали
в самых различных .задачах анализа (нахождение длины
дуги эллипса, интегрирование простейших дифференци-
дифференциальных уравнений и т. д.). Разработанная теория эллип-
эллиптических функций возникла раньше, чем теория групп.
Вначале эллиптические функции определялись обращени-
обращением эллиптических интегралов, но впоследствии было за-
замечено, что их проще определять как функции, имеющие
два периода, отношение которых — комплексное число. []
В случае, когда область К является кругом или полу-
полуплоскостью, становится значительно больше интересных
классов автоморфных функций, так как появляется боль-
больше различных групп. Теория автоморфных функций бе-
берет свое начало с изучения модулярных функций, тесно
связанных с эллиптическими функциями. []
Настоящее развитие теория автоморфных функций
получила с переходом к функциям многих комплексных
переменных. Дело в том, что любые группы дробно-пи-

§ 6. АВТОМОРФНЫЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 385
нейных преобразований — это только подгруппы группы
матриц второго порядка. Переход к функциям многих
комплексных переменных сильно расширил выбор воз-
возможных групп. []
Мы не будем сколько-нибудь подробно излагать тео-
теорию автоморфных функций, а докажем лишь несколько
простейших теорем, относящихся преимущественно к эл-
эллиптическим функциям.
Для группы f, состоящей из дробно-линейных преоб-
преобразований Ач (v = 0, 1, 2, ...), переводящих область Къ
себя, можно, как и для группы автоморфизмов, ввести
понятие фундаментальной области:
Точки области К, скажем z\ и z%, назовем конгруэнт-
конгруэнтными, если существует такое преобразование Av e *у,
ЧТО Z2 = AvZi.
Область Go, лежащую в области К, мы назовем фунда-
фундаментальной областью группы f, если
1) в области Go нет точек, конгруэнтных между собой,
2) любая точка области К конгруэнтна какой-либо
точке, лежащей в области Go или на ее границе.
Фундаментальная область группы определяется с
большой степенью произвола. Будем предполагать, что
она ограничена прсотой кусочно гладкой кривой.
Пример 1. Пусть область К—вся конечная плос-
плоскость, а группа f состоит из линейных преобразований
вида
Az = z + п + im,
где п и тп — произвольные целые числа. Найдем фунда-
фундаментальную область этой группы.
Группа "f образована степенями двух преобразований
Sz — z + 1 и Tz = z + i. Эти преобразования перестано-
перестановочны. Поэтому можно построить фундаментальные обла-
области групп Yi и Y2» образованных степенями преобразова-
преобразований S и Т соответственно, а затем взять в качестве фун-
фундаментальной области нашей группы пересечение фунда-
фундаментальных областей групп fi и ^2-
Фундаментальной областью группы fi является лю-
любая криволинейная полоса ф(г/)< х < <р(г/)+ 1, а фунда-
фундаментальной областью группы ^ — любая криволинейная
полоса ty(x)< у < -ф(х)+ 1. Простейшие фундаменталь-
фундаментальные области мы получим, если возьмем <р(г/) = О и ty(x) =
«s 0. Их пересечением является квадрат 0 < Re z'< I, 0 <

386 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
< Im z < 1. Этот квадрат и есть простейшая фундамен-
фундаментальная область группы у. []
Можно показать, что фундаментальную область всег-
всегда можно выбрать таким образом, чтобы она была огра-
ограничена дугами окружностей и отрезками прямых. []
Все теоремы мы будем доказывать для случая, когда
фундаментальная область группы лежит в области К вме-
вместе с границей. Такие фундаментальные области назы-
называются компактными. (Теоремы можно перенести и на
более общий случай, но какое-либо ограничение такого
рода необходимо.)
Лемма 1. Пусть фундаментальная область Go груп-
группы у компактна и существует нетривиальная функ-
функция, автоморфная относительно группы у. Тогда грани-
границу области Go можно разбить на 2т дуг С\, ..., Ст и
Сц-.; Ст. Для каждой дуги Cs имеется преобразование
Т, е y, переводящее дугу Cs в дугу Cs с изменением на-
направления обхода на противоположное.
Доказательство. Пусть группа у состоит из пре-
преобразований Av (v = 0, 1, 2, ...) (Ао — тождественное
преобразование). Обозначим через Gv образ области Go
при отображении Ач. Согласно определению фундамен-
фундаментальной области эти области Gv не имеют общих точек,
а их замыкания Gv заполняют в совокупности всю об-
область К.
Покажем, что среди областей Gv найдется конечное
число областей, имеющих с областью Go общую дугу гра-
границы.
Для доказательства этого факта заметим, что область
Gv при v -*¦ °° стягивается к границе области К. Действи-
Действительно, в противном случае существует последователь-
последовательность конгруэнтных между собой точек {zv}, имеющая
предельную точку внутри К. Это противоречит существо-
существованию нетривиальной (т. е. отличной от тождественной
постоянной) функции /(z), автоморфной относительно
группы f) так как мероморфная в области К функция
f(z) не может принимать одинаковые значения в после-
последовательности точек, имеющей предельную точку
внутри К.
Таким образом, все области Gv с достаточно больши-
большими номерами попадают в сколь угодно малую окрестность
границы области К, а область Go вместе со своей грани-

§ 6. АВТОМОРФНЫЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 387
пей лежит внутри К. Следовательно, область Go граничит
лишь с конечным числом областей Gv.
Отберем из областей, граничащих с Go, те, которые
имеют общую дугу границы с Go (а не только точку гра-
границы). Этих областей четное число. Действительно, если
преобразование 4еу переводит область Go в область,
граничащую с областью Go по некоторой дуге, то и пре-
преобразование А~1 тоже переводит область Go в область,
граничащую с областью Go по некоторой дуге, причем
области G' и G", получающиеся из Go преобразованиями
А и А~\ различны.
Пусть Т\, ..., Тт — все те преобразования, для кото-
которых образы области Go при отображениях Г, и Т,1 име-
имеют общую дугу границы с областью Go и такие, что среди
преобразований Т\, Т%, .. ., Тт и Т^1, TJ1, . .., Т^нет рав-
равных. Обозначим через Gs образ области Go при преобра-
преобразовании Ts, а через Gs — образ области Go при преобра-
преобразовании TJ1. Через С3 обозначим общую часть границы
Go и Go, а через Cs — общую часть границы Go и Go .
Направление на С„ и Cs считаем совпадающим с направ-
направлением границы Go.
Согласно выбору преобразований Т\, 7*2, ..., Тт сово-
совокупность дуг С\, С2, ..., Ст и С±, С2, ...,С'т образует
всю границу Go и эти дуги не имеют общих точек.
Выясним, что происходит с дугой Cs при преобразо-
преобразовании Ts. При этом преобразовании область Go переходит
в область Gs, а область Gs (образ области Go при об-
обратном преобразовании) — в область Go. Дуга C's — об-
общая граница областей Go и Gs — переходит в общую
границу областей Gs и Go. При этом направление образа
Cs совпадает с направлением границы Crs, т. е. противо-
противоположно направлению границы Go. Таким образом, пре-
преобразование Та переводит дугу Cs в дугу С3 с изменени-
изменением направления на противоположное. Лемма до-
доказана.
Теорема 6.1. Пусть фундаментальная область груп-
группы f компактна. Если функция }(z)', автоморфная отно-
относительно группы f, не имеет полюсов и нулей на грани-
границе фундаментальной области Go, то число ее нулей, в Go
равно числу ее полюсов в Go.

388 гл- EL ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Доказательство. Обозначим границу фундамен-
фундаментальной области Go через С. По теореме 6.1 гл. IV имеем
(
) 7W
с
Ум dz
где N — число нулей, а Р — число полюсов функции /(z)
в области Go. Обозначим через С. и Са те дуги границы
области Go, о которых идет речь в лемме 1. Тогда
Сделаем в интегралах по С, замену z = Tt(w), где Т, е
еу — преобразования, переводящие дуги Са в дуги С.
с изменением направления. Тогда
так как из автоморфности функции /(z) следует
/ (ts (w))=/ и, /' (Ts и) г; и ^ /' и.
Следовательно, интегралы по Cs и С, в формуле F.1)
взаимно уничтожаются, и мы получаем N — Р = 0. Теоре-
Теорема доказана.
Теорема 6.2. Пусть фундаментальная область груп-
группы "к компактна. Тогда функция /(z), автоморфная отно-
относительно группы у и не имеющая полюсов ни внутри, ни
па границе фундаментальной области,— тождественная
постоянная.
Доказательство. Пусть ? — любое значение, не
принимаемое функцией /(z) на границе фундаменталь-
фундаментальной области. Применяя к функции /(z)— t, теорему 6.1,
видим, что функция /(z) не принимает значение ? и вну-
внутри фундаментальной области Go. Таким образом, функ-
функция /(z) принимает в области Go только те значения, ко-
которые она принимает на ее границе. По теореме 1.1 гл. V
это невозможно, если /(z)^ const, так как образом обла-
области при отображении голоморфной функцией, отличной
от тождественной постоянной, является область. Теорема
доказана.

§ в. АВТОМОРФНЫЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 389
Замечание. На примере теоремы 6.2 легко убе-
убедиться, что условие компактности фундаментальной об-
области группы ^ является существенным. Действительно,
рассмотрим группу у, состоящую из преобразований
A4z = z + 2niv (область К—вся конечная плоскость).
Фундаментальной областью этой группы является поло-
полоса 0 < Im z < 2я, а функции, автоморфные относительно
этой группы,— это периодические функции с периодом
2я?. Фундаментальная область не является компактной,
и теорема 6.2 неверна, как показывает пример /(z) = ez. [j
Если существует автоморфная относительно группы f
функция, имеющая в фундаментальной области только
один полюс (и не имеющая полюсов на границе фунда-
фундаментальной области), то такую функцию называют ос-
основной. [_\
Теорема 6.3. Пусть фундаментальная область груп-
группы y компактна. Если существует основная автоморфная
функция <p(z), то любая другая функция, автоморфная
относительно группы f, является рациональной функци-
функцией от основной.
Доказательство. Пусть /(z)—любая функция,
автоморфная относительно группы у, и пусть а и Ъ — лю-
любые два значения, не принимаемых функцией /(z) на
границе фундаментальной области Go- Обозначим те точ-
точки области Go, в которых f(z)=a, через oci, осг, .. ¦, ат,
а те, в которых /(z)= b,— через [Ji, (J2, • • •, Pm (каждую
точку пишем столько раз, какова ее кратность).
Рассмотрим функцию
Рлл _/(«)-
1 > /W-
/W-Ь* [Ф(*)-Ф(а1)]-..[Ф(*)-Ф(ат)]'
Эта функция не имеет полюсов ни внутри, ни на грани-
границе области Go, так как она могла бы иметь полюсы лишь
в точках, где }{z)=b или где ф(г)= <р(а,), но в этих точ-
точках нули числителя и знаменателя имеют одинаковую
кратность. (По теореме 6.1 все нули функции q>(z) —
— <р(а)—простые, а число нулей функций f(z)—a и
/(z)— Ъ одинаково.) Следовательно, по теореме 6.2 F(z)^
=з const, и теорема доказана. []
Таким образом, если удается построить основную авто-
морфную функцию, то структура всего класса функций,
автоморфных относительно заданной группы, становится
ясна. К сожалению, основная автоморфная функция су-

390 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ществует далеко не всегда, и для описания всего класса
автоморфных функций приходится прибегать к более
сложным построениям.
Рассмотрим этот вопрос для эллиптических функций.
Эллиптическими функциями называются функции, авто-
морфные относительно группы, состоящей из преобра-
преобразований
Az = Z + П\О\ + П2(?>2,
где п\ и П2 — произвольные целые числа, a ом и иг —
заданные числа, отношение которых не является дей-
действительным числом. Числа В] и шг являются периодами
эллиптической функции.
Фундаментальная область группы строится из тех же
соображений, что и в примере 1. Простейшей фундамен-
фундаментальной областью является параллелограмм с вершина-
вершинами z = 0, z = (?>\, z = юг, z = <»1 + юг, который называется
параллелограммом периодов. Ясно, что фундаментальная
область компактна.
Основная автоморфная функция не существует. Дей-
Действительно, если бы функция cp(z) имела в параллело-
параллелограмме периодов один простой полюс, то интеграл по гра-
границе параллелограмма периодов был бы равен вычету в
этом полюсе, т. е. был бы отличен от нуля. Но интеграл
от cp(z) по параллелограмму периодов равен нулю, так
как на противоположных сторонах функция <p(z) в силу
периодичности принимает одинаковые значения, и эти ип-
тегралы взаимно уничтожаются. []
Таким образом, простейшая эллиптическая функция
может иметь в параллелограмме периодов или один двой-
двойной полюс, или два простых полюса. Такие функции су-
существуют. []
Эллиптическая функция с одним двойным полюсом в
точке z = 0 называется $ -функцией Вейерштрасса. Она
определяется рядом
83 (z)
(суммирование производится по всем целым щ и п%, кро-
кроме случая, когда и щ = 0 и гаг = 0). Нетрудно проверить,
что этот ряд равномерно сходится во всей плоскости z,
за исключением точек, конгруэнтных нулю, так как его
члены, начиная с некоторого, не превосходят по абсолют-

§ 6. АВТОМОРФНЫЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 391
ной величине членов абсолютно сходящегося числово-
числового ряда
Периодичность функции !?(z) с периодами <»i и к>2 вы-
вытекает из того, что при замене z на z + g>i или на z + к»2
члены ряда лишь несколько иначе группируются.
Видно, что1? (z) — четная функция и limj(? (z) ^ [= 0.
2^о L z J
Теорема 6.4. Любая эллиптическая функция с пе-
периодами Bi и иг может быть представлена в виде
/(z) = JR1(^(z)) + r(z) R2 (iP (*)),
где R\{w) и Rz(w) — рациональные функции.
Доказательство. Заметим, что функция !?(z)
I или, точнее, функция ф (z) = ^ .. _ ) является основной
автоморфной функцией для группы, состоящей из пре-
преобразований
Az = ± Z + «i<Bi + ГС2<»2-
Действительно, в качестве фундаментальной области этой
группы можно взять параллелограмм с вершинами
(половина параллелограмма периодов), в котором в силу
четности функция 1? (z) принимает каждое значение
один раз.
Функции, автоморфные относительно нашей группы,—
это четные эллиптические функции с периодами <bi и иг.
Следовательно, по теореме 6.3 любая четная эллиптиче-
эллиптическая функция является рациональной функцией от $> (z).
Если f(z)—нечетная эллиптическая функция, то
', . четная эллиптическая функция. Поэтому любая
нечетная эллиптическая функция может быть представ-
представлена в виде №' (z) R ($> (г)). Представляя любую функцию
в виде суммы четной и нечетной, получаем утверждение
теоремы. []
Заметим что функция Вейерштрасса используется
главным образом в общетеоретических вопросах из-за
медленной сходимости ряда для нее. В прикладных воп-

392 ГЛ. IX. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
росах обычно используются эллиптические функции Яко-
би и так называемые тэта-функции *). О
Очень важным свойством эллиптических функций яв-
является их связь с дифференциальными уравнениями.
Теорема 6.5. Функция $ (z) удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
где ftpft — постоянные, зависящие от периодов ац и сог-
Доказательство. Функции !? (z) и $>' (z) не
имеют в параллелограмме периодов полюсов, отличных от
z = 0. Поэтому для доказательства теоремы нам доста-
достаточно убедиться, что выражение
не имеет полюса при z = 0, если подходящим образом
выбрать постоянную #2. Мы знаем, что iP(z) — четная
функция и !? (z) = —2- + о A) (z->-0). Это значит, что
Отсюда
Полагая #2 = 20ci, получаем утверждение теоремы.
Заметим, что уравнение F.2) интегрируется в квадра-
квадратурах, что позволяет нам получить следующее выражение
для функции z(w), обратной к функции if(z):
.(I*)- ¦ dw
*) Изложение теории эллиптических функций Якоби и тэта-
функций можно найти в [1, 12, 36].

Глава X
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ
Методы оценки аналитических функций, основанные
на субгармоничности логарифма модуля голоморфной
функции, далеко не всегда могут дать достаточно тонкие
результаты. В этой главе мы изложим некоторые методы,
использующие прямое отыскание экстремальных функ-
функций и позволяющие получить более глубокие оценки.
Большинство этих методов возникло в связи с теорией
однолистных функций и с неванлинновской теорией рас-
распределения значений мероморфных функций. Об этих
разделах теории аналитических функций также будет
кратко рассказано в этой главе.
§ 1. Принцип гиперболической метрики
Чтобы представить себе трудности, с которыми при-
приходится иметь дело, рассмотрим одну довольно простую
задачу.
Пусть дана функция f(z), голоморфная и не превос-
превосходящая единицы в круге \z\ < 1. Как усилить это не-
неравенство, если дополнительно известно, что 1/(а)|<1
sSa<l, где \а\ < г < 1? Q
Заметим сразу, что использование субгармоничности
Inl/(z)| в круге Ы < 1 ничего не даст. Действительно,
в простейшем частном случае, когда а = 0 и a = 0, су-
существует субгармоническая функция slnlzl, которая
равна — °° при z = О и сколь угодно мало отличается от
нуля (при подходящем выборе е) для всех остальных z
в круге \z\ < 1.
Оценку в случае а = 0, a = 0 мы получим сейчас с
помощью так называемой леммы Шварца:
Лемма 1. Если функция f(z) голоморфна при \z\ <
<1 м удовлетворяет условиям
/@)=0, l/(z)|<l (IzKl),
то

394 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Знак равенства достигается только для функции
/B)-zei9.
Доказательство. Рассмотрим функцию ф(г) =
= -^-. Поскольку /@)=^0, функция cp(z) голоморфна в
круге Izl < 1 и ф@) = /'@) (см., например, § 2 гл. IV).
Кроме того,
Применяя принцип максимума (см. § 2 гл. VIII), полу-
получаем: |ф(г) I <! 1 при \z\ < 1, и знак равенства достигает-
достигается только для функции, постоянной во всем круге. Воз-
Возвращаясь к f(z), приходим к утверждению леммы. []
Лемма Шварца является основой принципа гипербо-
гиперболической метрики, но для перехода от нее к общей фор-
формулировке принципа (с помощью которой легко можно
решить в полном виде и многие более сложные задачи)
понадобится некоторая подготовка. []
Лемма 2. Пусть w(z)—какая-либо функция, кон,-
формно отображающая область D на круг \w\ < 1. Вы-
Выражение
р(,,Д)ь- |и/(г)|2
однозначно определено в области D и не зависит от вы-
выбора отображающей функции w(z).
Доказательство. Нам нужно показать, что вели-
величина p(z, D) не меняется при замене функции w(z)
функцией
*w w—aw(z) '
(Согласно следствию теоремы 1.2 гл. IX любая другая
функция, конформно отображающая область D на круг
\w\ < 1, как и любая другая ветвь той же отображающей
функции, выражается через w(z) с помощью дробно-ли-
дробно-линейного отображения круга \w\ < 1 на себя.)
Имеем
K(ZI= . 1~-|Д' |а К BI
] 1 — aw (г) |

§ 1. ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ 395
11 — aw I2—la — u>|2
_ A — ~aw) (l - aw) — (g — w)(a — w) = (l — | w |2 ) (l - I a f) .
| 1 — aw\2 | 1 — aw |2
Отсюда без труда получаем утверждепие леммы. []
Величину p(z, D) назовем плотностью гиперболиче-
гиперболической (или инвариантной) метрики области D.
Видно, что p(z, D)->- + °°, когда z стремится к границе
области D. Можно показать, что функция p(x + iy, D)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
§ + $ = «-, u = ±l*p(z,D).
Гиперболическую метрику области D получаем, зада-
задавая элемент гиперболической длины ds равенством
ds — p(z, D) \dz\.
Когда задан элемент длины, можно говорить о длине кри-
кривой и о площади области. Можно говорить и о расстоя-
расстоянии между двумя точками как о наименьшей длине кривой,
соединяющей эти точки. Ту кривую, для которой достига-
достигается эта наименьшая длина, естественно называть прямой.
Таким образом, задание метрики в области D делает
эту область моделью некоторого геометрического про-
пространства. Оказывается, что это пространство является
плоскостью Лобачевского. Эта модель особенно наглядна,
если в качестве области D взять полуплоскость Im z > 0.
Там прямыми являются окружности с центром на дей-
действительной оси.
Поскольку геометрия плоскости Лобачевского называ-
называется еще и гиперболической геометрией, введенная нами
в области D метрика получила название гиперболической
метрики (употребляется и название: неевклидова
метрика).
Приведем формулы для основных величин в гипербо-
личесокй метрике. Эти формулы легко вытекают из опре-
определения элемента длины.
Гиперболическая длина кривой L, лежащей в D, равна
>)= \p(z,D)\dz\.
L

396 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Гиперболическая площадь области S <=¦ D равна
Гиперболическое расстояние между точками z\ e J) и
z2 e D равно
r(z z-D)- i 1п11-ш(г1)^I + 1ш(г1)-"'(г2I
2 \iw(z)w{z)\lw{z)w{)l
где w(z)—любая функция, конформно отображающая D
на круг \w\ < 1. []
Одним из основных свойств гиперболической метрики
является ее инвариантность относительно конформных
отображений. Это свойство состоит в следующем:
Пусть функция ?(z) конформно отображает область D
на область G. Тогда
, G),
Это свойство сразу получается из определения. На-
Например, первое из равенств получается с помощью заме-
замены переменной • интегрирования, второе — так же,
третье — из первого.
Это свойство послужило причиной того, что гипербо-
гиперболическая метрика часто называется инвариантной мет-
метрикой. [].
Перейдем к формулировке принципа гиперболической
метрики. Наиболее употребительной его формой является
следующая теорема:
Теорема 1.1. Пусть области D и G имеют хотя бы
по три граничные точки. Если функция f(z) голоморфна
в области D, а ее значения лежат в области G, то
\f(z)\P(f(z),G)^p(z,D) (z = D).
Доказательство. Пусть а — произвольная точка
области D, a b = f(a). По условию теоремы b^G. Обо-
Обозначим через ?(z) функцию, конформно отображающую
область D на круг 151 < 1 и переводящую точку z = а в
точку ? = 0. Через z(?) обозначим функцию, обратную
к ?(z). Аналогично через t(w) обозначим функцию, кон-

§ 1. ПРИНЦПи ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ 397
формно отображающую область G на круг \t\ < 1 и пере-
переводящую точку w = b в точку t = О, а через w(t)— обрат-
обратную к ней функцию.
Рассмотрим функцию
Эта функция аналитична, а значит, и голоморфна в кру-
круге l?l < 1. Будем считать, что выбрана та ветвь этой
функции, которая обращается в нуль в точке ? = 0. Оче-
Очевидно, имеем
*@)=0,
т. е. функция /(?) удовлетворяет условиям леммы
Шварца. Следовательно, lg'@)l <! 1, причем знак равенст-
равенства может достигаться лишь для функции g(t,) = t,e'a. Но
g'(O) = t'(b)-f(a)-z'(O),
и поскольку z' @) = ¦, , получаем
\f'(a)\-\t'(f(a))\^\t'(a)\.
Принимая во внимание, что t(f(a))= 0, ?,(а)— 0, находим
,G), \l'(a)\=p(a,G).
Отсюда легко получаем утверждение теоремы.
Замечание 1. Если область G содержит бесконеч-
бесконечно удаленную точку, то функцию /(z) естественно пред-
предполагать не голоморфной, а мероморфной в области D.
Замечание 2. Утверждение теоремы 1.1 остается
в силе, если считать, что функция j(z) не голоморфна,
а аналитична в области D. Это означает, что для функ-
функций, голоморфных в области D, неравенство может ока-
оказаться не наилучшим из возможных. Будет это так или
нет, проще всего выяснить, найдя экстремальную функ-
функцию. Если экстремальная функция однозначна в обла-
области D, то неравенство улучшить нельзя, а если она не-
неоднозначна,— можно. Так как экстремальная функция
заведомо аналитична в области D, то для односвязной об-
области D неравенство теоремы 1.1 является наилучшим
возможным. Для многосвязной области D требуется до-
дополнительное исследование.
Из теоремы 1.1 легко выводятся и все другие форму-
формулировки принципа гиперболической метрики:

398 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Пусть функция j(z) голоморфна в области D, а ее зна-
значения лежат в области G. Тогда
A(S,D)>A(f(S), G),
г (a, b,D)>r(f(a),f(b), G).
Чтобы оценить степень содержательности написан-
написанных неравенств, читатель может рассмотреть случай, ког-
когда области D и G — единичные круги, f(z)=zn, a L —
дуга окружности Ы = г < 1. []
Рассмотрим несколько типичных примеров получения
оценок аналитических функций с помощью теоремы 1.1.
В частности, решим и ту задачу, о которой говорили в
начале параграфа.
Пример 1. Пусть функция f(z) голоморфна и пе
превосходит единицы в круге Ы < 1. Покажем, что
IfOOK , \ ,2 (М<1). A-1)
Если область В — единичный круг, то
, щ = 1
и теорема 1.1 дает, что
^ (Z) ' 2 < _1 2 (JZ|<1), A.2)
откуда сразу получаем A.1). Для любой функции, кон-
конформно отображающей единичный круг па себя, нера-
неравенство A.2) обращается в равенство. Поскольку среди
функций, конформно отображающих едипичный круг на
себя, есть функции, обращающиеся в нуль в любой за-
заданной точке единичного круга, то неравенство A.1)
нельзя заменить более сильным.
Пример 2. Пусть функция f(z) голоморфна и не
превосходит единицы в круге Ы < 1. Покажем, что если
1/(а)| ^а<1, где а — некоторая точка круга \z\ <г<1,
то при Ы < 1 справедливо неравенство
¦. / . , ^ A + а) A + г) A + | z |) - A - а) A - г) A - | z |)
|М И ^ A + а) A + г) A + | z |) + A - а) A - г) A - | z \) '
A.3)

§ 1. ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ 399
Напишем равенство
1 1 + el8/(«) ! 1+ei8/(a) Г e*f (t) ,
2 Ш ! _ еЩ (z) 2 ! _ ei0f {а) J ! _ e2i9/2 @ «•
Путь интегрирования от а до z составим из прямолиней-
прямолинейных отрезков (а, 0) и @, z). Тогда
и используя неравенство A.2), получаем
1
ln-
2
откуда
1п
2 1П1-1Ш|
J 1 _ «» + J 1 _ „»'
In
1 + eWf
1 — eief (z)
Выбирая число 8 так, чтобы e'9/(z) = |/(z) I, получаем не-
неравенство
i -1 / WI
1— a
1—г
из которого уже легко получаем неравенство A.3).
Пример 3. Пусть функция /(z) голоморфна в круге
|z| <1 и не принимает в этом круге действительных от-
отрицательных значений. Покажем, что
A.4)
и
1*1
Теперь область D — это круг |z| < 1, а область G —
плоскость w с разрезом по отрицательной части действи-
1
тельной оси. Функция ? =
= конформно отобража-

400
ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ет область G на круг
IV ИI 1
< 1. Поэтому
1
и
r v"' "J A\w\
(для w>0 это неравенство обращается в равенство). По-
Поскольку p(z, Z?) = j", теорема 1.1 дает неравен-
1 — 1*1
ство A.4).
Далее,
In
/Ml
/@I
откуда
In
/М
/@)
J/@)
о
2
1 — и2
и мы получаем неравенства A.5). []
Вернемся к общим вопросам. Особо отметим один
частный случай теоремы 1.1.
Теорема 1.2. Наибольшее значение |/'(а)| в клас-
классе функций, аналитических в области D и удовлетворя-
удовлетворяющих условиям
/И-0, |/(z)|<l (гей),
достигается для функции w(z), конформно отображающей
область D на круг \w\ < 1, и только для нее. Это наиболь-
наибольшее значение равно p(z, D).
Доказательство. Из теоремы 1.1 (область G —
круг |ш|<1) следует, что для любой функции /(z) из
указанного класса имеем
(так как р@, \w\ <!)==¦!). Это неравенство обращается
в равенство только для /(z) = eiew(z).

§ 2. ПРИНЦИП СИММЕТРИЗАЦИИ 401
Следствие. Если DczDu то p(z, D)> p(z, Di)
(z^D), причем знак равенства возможен лишь в слу-
чае U = Di.
Действительно, функция, конформно отображающая
более широкую область на круг \w\ < 1, входит в указан-
указанный класс для более узкой области, и отображающие
функции совпадают с точностью до множителя егв толь-
только тогда, когда совпадают сами области. []
Интересно отметить, что факт, полученный в теоре-
теореме 1.2, был содержанием весьма нетривиальной теоре-
теоремы 1.1 гл. IX о существовании конформного отображения.
Оказывается, предположение о существовании конформ-
конформного отображения делает доказательство этого факта
почти тривиальным.
Интересно, что во многих экстремальных задачах тео-
теории аналитических функций структура экстремальных
функций тоже может быть описана с помощью тех или
иных отображающих функций. Например (см. [10]):
Пусть D является m-связной областью. Наибольшее
значение \f(a)\ в классе функций, голоморфных в облас-
области D и удовлетворяющих условиям
достигается для функции w{z), осуществляющей отобра~
жение области D на тп раз покрытый единичный круг.
Экстремальным задачам посвящена большая литера-
литература (главным образом, журнальные статьи). В боль-
большинстве своем эти задачи относятся, скорее, к вариаци-
вариационному исчислению.
§ 2. Принцип симметризации
В применениях принципа гиперболической метрики
часто приходится сталкиваться с вопросом, подобным сле-
следующему:
Пусть область D — это вся плоскость с разрезом по
некоторой кривой, выходящей из начала. При какой фор-
форме этой кривой значение величины p(z, D) будет наи-
наименьшим?
В большинстве случаев на такие вопросы можно по-
получить ответ с помощью следующей теоремы, являющей-
являющейся частным случаем так называемого принципа симмет-
симметризации.

402 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема 2.1. Пусть область D такова, что на каж-
каждой окружности |z|=p при р>г имеется хотя бы одна
точка, не принадлежащая области Д Тогда
, D) > 1
Знак равенства достигается только для случая, когда D —
это вся плоскость с разрезом по лучу (—rei<f, — °°е'ф), где
Ф = arg z.
Доказательство. Обозначим через Д плоскость
с разрезом по лучу (—г, — <»). Ясно, что можно доказы-
доказывать теорему только для случая, когда z = а > 0. Тогда
равенство р (a, D) — , . . , возможно лишь, когда D
совпадает с Д ( тем же способом, что и в примере 3 § 1,
легко убедиться, что р (а, Д) = . . , . J.
Заметим, что при исследовании возможности равенст-
равенства мы можем не интересоваться случаем, когда D явля-
является частью Д. Действительно, тогда заведомо имеет
место строгое неравенство (см. следствие теоремы 1.2).
Покажем, что для доказательства теоремы достаточно
для любого а > 0 построить функцию ф(г) со следующими
свойствами.
1. Функция ф(г) аналитична в области Д
3. Если D не является частью D,, то | ф' (а) \ >
> 4 (а + г) *
Действительно, по теореме 1.1 (с учетом замечания 2)
для функции ф(г) должно быть выполнено неравенство
1ф'(вIр@, G)<p(a, D),
где G — область, в которой лежат значения cp(z). В силу
условия 2 в качестве G можно взять круг \w\< 1, а
р@, |и;| < 1)= 1.
Поэтому
p(a,D)>\4'(a)\,
и утверждение теоремы следует из условия 3, так как
для области D, являющейся частью Д., вопрос уже ре-
решен. Нам будет несколько удобнее строить функцию
и (z) = In _ . Заметим, что достаточно построить функ-
функцию u(z), обладающую следующими свойствами:

§ 2. ПРИНЦИП СИММЕТРИЗАЦИИ 403
1*. Функция u{z) гармонична в области D.
2*. u(z)<-ln\z-a\ (z^D).
3*. Если D не является • частью Dr, то и (а) ^
^ In *
-^ 4 (а + г)
Действительно, пусть такая функция u(z) построена.
Обозначим через w(z) функцию, имеющую u(z) своей
действительной частью, и положим
Эта функция обладает требуемыми свойствами. Условие
1* обеспечивает выполнение условия 1. Из условия 2*
следует выполнение условия 2 (что ф(а) = 0, очевидно).
Из условия 3* следует выполнение условия 3, так как
|ф'(а)|=е"Ч
При построении функции u(z) понадобится формула
о _
которая справедлива при а > 0 и при любых z (для Уг
берется главное значение, т. е. ReVz^O).
Для доказательства этой формулы напишем
yi_ 7 In 1 z + х | _rf^ = У7 С in 1 г + t21 ^ =
0 —oo
\n\t + iy~z\ + \n\t-iy-z\
Поскольку, вычисляя интегралы с помощью вычетов (см.
формулу C.7) гл. VI), легко получаем
т /— (*
у a l
Л ,)
Л/а flnlt + iVil Va Cln\t-tVl\ ,
i +«2 "^"^ ^Т^
мы приходим к требуемой формуле.
Особо отметим, что при отрицательных z формула при-
принимает более простой вид:

404 гл- х- ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теперь перейдем к построению функции u(z).
По условию теоремы на каждой окружности Ы=р
при р > г найдется хотя бы одна точка zp, не принадле-
принадлежащая области D. Обозначим
и положим
+ (* + г) е«**+г> | dx
a + r + x yj-
0 V
Убедимся, что эта функция удовлетворяет условиям 1*—
3*. Интеграл для функции u(z) равномерно сходится в
любой конечной части плоскости, так что u(z) непрерыв-
непрерывна во всей плоскости. Подынтегральная функция являет-
является гармонической функцией параметра z во всей плоско-
плоскости, за исключением точек
z = -(x + r)eiHx+r) (x>0).
Поскольку эти точки не входят в область D, равномерная
сходимость интеграла обеспечивает гармоничность функ-
функции u(z) в области D. Тем самым условие 1* выполнено.
Из очевидного неравенства
получаем
Согласно формуле B.2) это дает нам m(z)<—1п(а+ Ы)'<
< —In \z — a\, т. е. условие 2* тоже выполнено.
При любых положительных z и р имеем неравенство
In
= _*. in((z + pJ - 4zp sin2 -|-) =
2
Из этого неравенства следует, что
In | а + (х + г)
1 / , , ч 2а (х + г)
in (а + х + г) -; т ;

5 3. ОЦЕНКИ ОДНОЛИСТНЫХ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ 405
С помощью последнего неравенства и формулы B.1) по-
получаем
«(а) > — 21пB Уа + г) +
оо
ГС r Q(x + r) ax
—j—
-[ГаС
I
я J (а
Dill, o
( + + rK 2
Последний интеграл может обратиться в нуль только в
случае, если функция 8(х + г) почти всюду равна нулю.
Но в этом случае весь луч (—г, —оо) обязан не содержать
точек области D, т. е. область D является частью области
Д-. Если же D не является частью Д., то и (а) > In ,
т. е. условие 3* тоже выполнено. Теорема доказана. []
В случае, когда приходится иметь дело с задачами, по-
подобными той, о которой мы говорили в начале параграфа,
можно обобщать теорему с помощью конформного отобра-
отображения. Однако при этом приходится отказаться от пред-
предположения, что точки, не принадлежащие D, могут и не
образовывать связное множество. []
Имеется и более существенное обобщение теоремы 2.1,
известное под названием принципа симметризации. Для
его формулировки введем одно новое понятие.
По области D образуем симметризоеанную область
D* следующим образом.
Если окружность Ы =р пересекает область D по ду-
дугам, сумма длин которых равна 9(р), то эта окружность
пересекает область D* по одной дуге длины 8(р) с сере-
серединой в точке z = —р (если окружность Ы =р целиком
лежит в D, то она целиком лежит и в D*, и наоборот).
Тогда имеет место неравенство (см. [41])
p(z,D)>p(\z\,D*) (ze=D).
Аналогичное неравенство устанавливается и для гар-
гармонической меры, фигурирующей в проблеме Карлема-
на—Мию, которая обсуждалась в § 4 гл. VIII. Этот ре-
результат (и многие другие) также имеется в [41].
§ 3. Оценки однолистных в среднем функций
В качестве примера применения изложенных методов
рассмотрим задачу о получении точных оценок для функ-
функций, однолистных и голоморфных в единичном круге.

406 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Многие из этих оценок справедливы и для более широко-
широкого класса функций, который называется классом функций,
однолистных в среднем по окружности. Поэтому сначала
мы определим этот класс и познакомимся с простейшими
свойствами входящих в него функций. []
Обозначим через п(ю, /) число нулей функции
/(z)—w (считаемых с кратностью) в круге Ы < 1.
Для однолистности функции /(z) в круге lz| < 1 не-
необходимо и достаточно, чтобы n(w, /) =? 1 для любых w.
Функция /(z) называется однолистной в среднем по
окружности в круге Ы < 1, если при любом р>0 имеем
неравенство*)
J n (w, /) | dw | ^ 2лр.
М-р
Ясно, что функция, однолистная в круге Ы < 1, яв-
является и однолистной в среднем по окружности в этом
круге. D
Отметим два важных свойства функций, однолистных
в среднем по окружности.
Свойство 1. Пусть функция z(?) конформно ото-
отображает единичный круг на область, лежащую в единич-
единичном круге. Если функция /(z) однолистна в среднем по
окружности в круге |z| < 1, то и функция g(t,)=-f(z(t,))
тоже однолистна в среднем по окружности в круге
I5K1.
Для доказательства этого свойства достаточно заме-
заметить, что n(w, f)>:n(w, g), так как каждое значение w',
принимаемое функцией g(t,) в точке ?=?', функция
/(z) принимает в точке z'=z(?').
Свойство 2. Пусть функция /(z) голоморфна в кру-
круге |z| <1 и однолистна в среднем по окружности в этом
круге. Тогда существует число d=-d(f), обладающее сле-
следующим свойством:
Для любого w, лежащего в круге \w\^d, имеем
n(w, /) = 1, а на любой окружности 1И=р, р > d, най-
найдется значение wp, для которого n(wp, /) = 0.
*) Интегрируемость функции n(w, f) по Лебегу доказать не-
нетрудно, но при желании избежать интегрирования по Лебегу мож-
можно вместо этого интеграла рассматривать предел при г -*¦ 1 интегра-
интеграла от функции n(r, w, /), где п(г, ш, /) —число нулей функции
/(z) — w в круге |z| < г. Эта функция монотонна и имеет конечное
число точек разрыва при любом г < 1,

§ 3. ОЦЕНКИ ОДНОЛИСТНЫХ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ 407
Пусть на окружности \w\=p нет точек, для которых
n(w, /) = 0. Это возможно лишь в случае, если n{w, /) — l
для всех w на этой окружности. Действительно, по тео-
теореме 1.1 гл. V множество точек, где n(w, /) ^ 2, является
открытым множеством. Это значит, что из наличия на
окружности |м7|=р одной точки этого множества следу-
следует существование целой дуги окружности, входящей в это
множество. Это привело бы к противоречию с условием
J n(w, /)|<йр|<2яр,
так как n(w, /)>1 при всех w на окружности интегри-
интегрирования и n(w, /)>2 на некоторой дуге этой ок-
окружности.
Таким образом, для всех р > 0 имеет место одна из
двух возможностей: или n(w, /)== 1 для всех w на окруж-
окружности \w\ = p, или найдется точка wp на окружности
\ги\ = р, для которой имеем n{wfi, /)=0.
Теперь покажем, что если n(w, /)=1 для всех w на
окружности Ы = ро, то n(w, /)=>1 для всех w в круге
1Ыг?ро. Действительно, условие n(w, /)= 1 (\w\ = р0)
означает, что окружность \ю\ = р0 является взаимно од-
однозначным образом некоторого множества L в круге
|z| < 1 при отображении w = f(z). Ясно, что множество
L может быть лишь простой замкнутой кривой (в силу
непрерывности обратного отображения). Поэтому, приме-
применяя принцип соответствия границ (см. теорему 1.4 гл. V),
видим, что функция /(z) взаимно однозначно и комформ-
но отображает область, ограниченную кривой L, на круг
\w\ < ро.
Теперь обозначим через d(f) верхнюю грань тех зна-
значений р, для которых n(w, /)=1 при всех w из круга
\w\ < р. Ясно, что й(/)<°°, так как в противном случае
функция /(z) взаимно однозначно и конформно отобра-
отображала бы круг |z| < 1 на всю конечную плоскость, что
невозможно. Свойство доказано. []
Оценки даются не для всех функций, голоморфных в
круге |z| < 1 и однолистных в среднем по окружности
в этом круге, а для некоторых подклассов этого класса
функций. Один из подклассов — это функции, отличные
от нуля в круге |z| < 1, другой—функции, нормирован-
нормированные условиями /@) =0, /'@)='1.

408 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема 3.1. Если функция f(z) голоморфна в кру-
круге |z| < 1, однолистна в среднем по окружности и не об-
обращается в нуль в этом круге, то
и
1 +1«
/М
1
/@)
Знак равенства в любом из этих неравенств может дос-
достигаться только для функций вида
f(z) = A
1 — zev
где А — любое комплексное, а 8 — любое действитель-
действительное число.
Доказательство. Поскольку функция /(z) не об-
обращается в нуль в круге \z\ < 1, из свойства 2 следует,
что d = d(f)=>0. Это значит, что значения функции /(z)
лежат в области G, которая на каждой окружности
I if I =p имеет хотя бы одну граничную или внешнюю
точку. По теореме 1.1 имеем
1 ' ' 1 - | z |* '
а по теореме 2.1 p(w, G)^r-—;. В первом неравенстве
знак равенства возможен лишь в случае, когда функция
f(z) конформно отображает круг |z| < 1 на область G,
а во втором — когда область G является плоскостью с
разрезом по лучу arg z = <p. Следовательно,
/I е /_\ I ^^? .О J
и знак равенства достигается только для функции /(z),
конформно отображающей круг |z| < 1 на плоскость w с
разрезом по некоторому лучу arg z = ф. Это дает нам не-
неравенство C.1). Неравенство C.2) получается из нера-
неравенства C.1) тем же путем, что и в примере 3 § 1. Тео-
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть функция f(z) = z + a2z2 + ,..
голоморфна и однолистна в среднем по окружности в

§ 3. ОЦЕНКИ ОДНОЛИСТНЫХ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ 409
круге Ы < 1. Тогда
Знак равенства возможен лишь для функций вида
где 8 — любое действительное число.
Доказательство. Из свойства 2 следует, что
функция /(z) обращается в нуль не более одного раза,
если она однолистна в среднем круге Ы < 1.
Обозначим через ? (z) функцию, конформно отобра-
отображающую круг Ы < 1 с разрезом по радиусу @,1) на круг
|?| < 1, а через z(?)— обратную к ней функцию. Рассмот-
Рассмотрим функцию
Поскольку функция /(z) обращается в нуль только
при z = 0, а функция z(?) отлична от нуля в круге |?| <
< 1, функция g(t,) не обращается в нуль в круге |?| <
<1. Кроме того, функция g(t) голоморфна и однолистна
в среднем в круге |?| <1 (по свойству 1). Применяя к
функции g(t,) теорему 3.1, получаем
откуда
е'(О
|2 '
где через Go обозначен круг |z| < 1 с разрезом по радиу-
радиусу @, 1). Величину p(z, GQ) можно вычислить и непо-
непосредственно, но проще воспользоваться равенством
p(w(z),G)\w'(z)\=p(z,D),
где w (z) — функция, конформно отображающая область
D на область G, и тем, что р (w, Do) = т— (w~> 0) (Do —
плоскость с разрезом по отрицательной части действитель-
действительной оси). Функция w (z) = -5- (z -\ 1 — 1 конформно ото-
отображает Go на Do. Поэтому
р (I, Go) ~ р(» (г), D,)| ю'(*)|- ,

410
и
ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Замечая, что вместо функции z(?) можно было бы взять
функцию, отличающуюся от нее произвольным множите-
множителем е1в, мы видим, что в последнем неравенстве можно
заменить z на zeie и взять минимум правой части по 0.
Это дает, что
.1-1*1
т. е. поскольку р (w, Do) = 7—
/W
4ш
1
*Г1-|*
Возможность равенства исследуется с помощью теоре-
теоремы 3.1. Теорема доказана. []
Приведем еще два неравенства, легко вытекающие из
теоремы 3.2.
Следствие. Пусть функция /(z) = z +агг2+>... го-
голоморфна и однолистна в среднем по окружности в круге
Ы < 1. Тогда
!/(*)!<¦
1 + М
C.4)
C.5)
Действительно, запишем неравенство C.3) в виде
возьмем достаточно близкое к нулю число е, arge = argz,
и проинтегрируем это неравенство от е до z по отрезку
радиуса. При достаточно малом е это даст, поскольку
fie)-*-0 (е->0), что
In
< I In /(z) - In/ (е) | <In
-а - In ¦
— | e |
Отсюда находим

§ 3. ОЦЕНКИ ОДНОЛИСТНЫХ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ 411
и, переходя к пределу при е -> 0, сразу получаем нера-
неравенство C.4).
Неравенство C.5) получаем перемножением нера-
неравенств C.3) и C.4). Случай равенства исследуется, как
и в теореме 3.2, ссылкой на теорему 3.1.
Замечание. Полагая в неравенстве C.4) z -*¦ 0, по~
лучаем
l/(z) I =^ |z| + 2|z|2 + O(|z|3) C 6)
Это дает нам
|a2l<2. C.7)
Можно получить также оценку для l/(z)| снизу и
неравенство для величины d(f).
Теорема 3.3. Пусть функция f(z) = z + u2Z2 + ... го-
голоморфна и однолистна в среднем по окружности в круге
Ы < 1. Тогда
d(f)>-Y C-8)
и
l/(z)l>—^Ц>- C-9)
Равенство возможно лишь для / (z) = -. т^-.
Доказательство. По определению величины
d(f) = d область G значений функции /(z) имеет хотя бы
одну граничную или внешнюю точку на любой окруж-
окружности |м;|=р, p^d(f). Применяя те же рассуждения,
что и в теореме 3.1, получаем неравенство
I /' W1 ^ 4
Но /@) = 0, /'@)=1, так что, полагая z = 0, находим
—г ^ 4. Возможность равенства исследуется тем же путем,
что и в теореме 3.1.
Неравенство d (/) ^ -т- согласно определению величи-
величины d(f) означает, что любое значение w из круга | w\ <C-r-
принимается функцией /(z) в круге |z| < 1 ровно
один раз.
Неравенство C.9) докажем почти тем же рассужде-
рассуждением, что и теорему 3.2. Возьмем какую-либо точку с

412 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
в круге \z\ < 1 и обозначим через z(?) функцию, кон-
конформно отображающую круг |?| <1 на круг \z\ < 1 с
разрезом по отрезку радиуса [ с, -j— J и переводящую точ-
точку t, = О в точку z = 0. Эта функция, как нетрудно про-
проверить, определяется из уравнения
Рассмотрим функцию g(Z) = - , ,». . По свойству 1
она однолистна в среднем по окружности в круге |?1 < 1,
0, ^'@)=1- Если |/(с)|<4". то функция
не принимает значения т^ в круге |?|<1, так как
значение / (с) || / (с) | < -^) принимается функцией /(z)
только в точке с, а функция z(?) не обращается в с
в круге |?1 < 1. Но согласно неравенству C.8) имеем
d(g)>l/A. Значит, или |/(с) |>-^, или | /(е) | >-^- j z' @)|.
Вычисляя z'@), приходим к неравенству C.9).
Возможность равенства и в этом случае исследуется
обычным образом. Теорема доказана. []
Если предположить функцию не только однолистной
в среднем, но и просто однолистной, то можно получить
оценку для ее производной в круге \z\ < 1 не только
сверху, но и снизу. (Ясно, что для функций, однолистных
в среднем, не может быть нетривиальной оценки снизу
модуля производной во всем круге, так как производная
может обращаться в нуль.)
Теорема 3.4. Если функция /(z) = z + a2Z2 +... го-
голоморфна и однолистна в круге \z\ < 1, то
и даже
C.10)
/' W l-l
1 -1112
Равенство достигается лишь для f (z) =
(i - ze™J'

• § 3. ОЦЕНКИ ОДНОЛИСТНЫХ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ 413
Доказательство. Рассмотрим функцию
Так как функция z (?) = -—= конформно отображает
1 + Ъа
круг \%\ < 1 на себя, функция g(t,) голоморфна и одно-
однолистна в круге |?|<1. Применив неравенство C.7) к
функции , ,», (эта функция однолистна, так как
#¦(?) однолистна; однолистность в среднем при таком пре-
преобразовании не сохраняется), получим \g" @) I < 4lg'@) I.
Но
g" @) = (l -Ы2)Т (o)- 2a(l - Ы2)/'(«)•
Следовательно,
Умножая последнее неравенство на , ., , , . ^ > по~
лучаем C.11).
Полагая а = рещ, можем переписать C.11) в виде
. /" (ре{ф) 2р
/' (Р*гф) I 1 - Р
J \" / * — г
¦1-ри
откуда находим
Поскольку
Re |е«ф Г ^.фу | = у- Re {In /' (ре**)} = ^- In |
это неравенство означает, что
Интегрируя полученное неравенство по р от нуля до Ы,
получаем второе из неравенств C.10), а из него с по-
помощью неравенства C.4) легко получаем оставшееся не-
неравенство.

414 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Все полученные неравенства могут обращаться в ра-
равенства лишь тогда, когда обращается в равенство нера-
неравенство C.7). Это происходит лишь для функций указан-
указанного вида. Теорема доказана. []
Теория однолистных функций — это глубоко разрабо-
разработанная область теории аналитических функций. В ней
созданы тонкие вариационные методы. Мы здесь лишь
слегка коснулись немногих простейших методов получе-
получения неравенств. Для более основательного знакомства
можно рекомендовать монографии [10, 41].
§ 4. Принцип длины и площади
Изложим еще один метод получения оценок аналити-
аналитических функций. С его помощью оценки получаются не-
несколько более грубыми, но зато значительно более эффек-
эффективными.
С принципом длины и площади мы уже сталкивались
в § 6 гл. V при выводе неравенства Альфорса и Варшав-
Варшавского. Этот метод был использован при доказательстве
оценок, но его не выделяли как самостоятельный резуль-
результат. Сейчас мы докажем этот принцип отдельно и в более
общем виде.
Прежде всего нужно договориться об обозначениях.
Пусть дана функция /(z), голоморфная в замкнутой
области D, и пусть G — образ области D при отображении
w=f(z). Функцию /(z) не будем предполагать однолист-
однолистной в области Z), так что область G многократно покры-
покрывается значениями функции /(z). Взаимно однозначным
образом области D при отображении w — f{z) будем счи-
считать некоторую риманову поверхность S, расположенную
над областью G. Эта риманова поверхность является
частью римановой поверхности функции z(?), обратной к
функции /(z). Поэтому функция z(?) однозначна на ри-
римановой поверхности S и взаимно однозначно отображает
ее на область D. Q
При таком понимании отображения сохраняют силу
формулы, выведенные в § 1 гл. V для взаимно однознач-
однозначных конформных отображений:
Если D' zzD, a S' — взаимно однозначный образ D'
при отображении w = J(z), то
Д E") = J J | /' (z) |2 dx dy, A (?>') = J J | z' (w) |2 du dv
D' S'

§ 4. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ 415
(где z=<x + iy, w — u + iv, а через A(G) обозначена пло-
площадь области G).
Если С — какая-то кривая, лежащая в области D,
a L — ее образ при отображении w = f(z), то
(через \i(T) мы обозначаем длину кривой Г).
Теорема 4.1. Пусть функция f(z) голоморфна в
замкнутой области D. Обозначим через Хр совокупность
кривых, на которых l/(z)|=p, а через Х(р)—сумму их
длин. Через 0Р обозначим совокупность образов кривых
Хр при отображении w = f(z), а через 0(р)— сумму их
длин.
Тогда
о
Доказательство. Согласно приведенным выше
формулам имеем
еР
По неравенству Буняковского — Шварца
[ J FG dxj < J F2 их J G2 dx.
Полагая F=l, G—\z'(w)\, получаем
0(p) ]\z'(w)\*\dw\
J
или
о ер
Но
J p dp j | %' (pei(P) |2 йф = J j | z' (w) |2 dudv = A (D),
о ep s
и мы пришли к утверждению теоремы. []
Принцип длины и площади используется для оценок
с помощью следующего неравенства, мало отличающегося

416 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
от неравенства Альфорса. Нам проще доказать это нера-
неравенство заново, чем связывать его с неравенством, дока-
доказанным в других обозначениях и предположениях.
Теорема 4.2. Пусть функция f(z) голоморфна и от-
отлична от нуля в круге |z| < 1. Обозначим 1/@) \=<А,
\1(а)\=В.Тогда
в
в(р)
1-м
+
Доказательство. Без ограничения общности мож-
можно считать 0<а<1 и4<5. Рассмотрим функцию
в прямоугольнике D, определяемом неравенствами
_«.<ReC<b+«, |ImS|<-J
eZ i
Нетрудно проверить, что функция z = —= конформно
«» + 1
отображает полосу | Im^| < у в круг Ы < 1, а прямо-
прямоугольник D — в часть этого круга. Поэтому функция 6(р),
построенная для прямоугольника D и функции #(?)> не
превосходит функции 0(р), построенной для круга lz| < 1
и функции f(z). Следовательно, по теореме 4.1 имеем
где функция Х(р) построена для прямоугольника D и
функции g(%), а 0(р)—для круга \z\ < 1 и функции /(z).
Так как площадь прямоугольника D равна я(Ь + я),
то мы получаем неравенство
Оценим величину Я(р). Для этой цели заметим, что
функция 1#(?I принимает на отрезке @, Ъ) любое зна-
значение р, заключенное между А и В. Пусть |р— та точка
отрезка @, Ь), в которой lg(lP)l = р. Через точку ?р про-

§ 4. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ
417
ходит одна из кривых V Она не может быть замкнутой
кривой, лежащей в прямоугольнике D. Действительно,
функция g(t,) не обращается в нуль в прямоугольнике D.
Поэтому, применяя принцип максимума модуля к функ-
функциям g(t,) и l/g(t,) в области, ограниченной какой-либо
петлей этой замкнутой кривой, мы получили бы 1#(?I =
= р, что невозможно. Следовательно, выбранная нами
кривая из совокупности Я.р имеет концы на границе пря-
прямоугольника D. Но расстояние от любой точки отрезка
(О, Ь) до границы прямоугольника D не меньше я/2.
Значит, длина выбранной кривой не меньше я, т. е.
р)
Поэтому неравенство D.1) дает, что
1
dp
8(p)
Теорема доказана.
Ценою некоторого усложнения оценки можно было
исследовать и случай, когда функция f(z) обращается в
нуль в круге \z\ < 1, но имеет конечное число нулей. Для
получения оценки пришлось бы оценить, сколько вносят
в интеграл те значения р, для которых точка |р отстоит
от нулей функции g(t,) меньше, чем на я.
Рассмотрим один пример, который позволит сравнить
оценки, полученные ранее, с оценками, получаемыми с
помощью принципа длины и площади.
Пример 1. Пусть функция f(z) голоморфна и не об-
обращается в нуль в круге Ы < 1. Найдем оценку для
1/(г)[, предположив, что 0(р)^2яр при всех р>0.
Теорема 4.2 дает
А
или
2яр
In
Это означает, что
/@)
¦ + 1*|
-1*1
« -1г 1
/@)
1— z
D.2)
D-3)
Чтобы сравнить этот результат с полученными ранее,
заметим, что условие 0(р)=?2яр (р>0) означает одно-

418 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
листность функции f(z) в среднем по окружности в кру-
круге Ы < 1. Действительно, величина п(и>, /)—это число
нулей функции f{z)—w в круге \z\ < 1. Эту величину
можно рассматривать как число листов римановой по-
поверхности S над точкой w. (Риманова поверхность S —
это взаимно однозначный образ круга |zl < 1 при ото-
отображении w = f(z).) Кривые 0р есть не что иное, как
дуги окружности |м;|=р на римановой поверхности S~
Каждая точка w окружности |ц;| =р входит в 0Р столько-
раз, сколько листов римановой поверхности S лежит над,
точкой w, т. е. n(iv, f) раз. Поэтому
0 (р) = j в (w, f)\dw\
М=р
и предположение 0(р)«?2яр означает однолистность
функции f(z) в среднем по окружности в круге \z\ < 1. [j
Результат, полученный в примере, можно сравнить
с результатом теоремы 3.1, который имеет вид
1 + I
/@)
и
-|2|
Разница полученных оценок в множителе е2". Этот
множитель не слишком близок к единице, но он не ме-
меняет порядок роста функции l/(z)| при \z\ -*¦ 1. Таким
образом, мы видим, что теорема 3.1 несколько точнее, но
ее доказательство намного более сложно (в него следует
включить и принцип симметризации). \_\
Стоит заметить, что в некоторых случаях с помощью
принципа длины и площади можно получать и точные
оценки. Так, например, одно из наиболее простых дока-
доказательств неравенства |аг1 ^2 для однолистных функций
получается с помощью принципа длины и площади (он
фигурирует под названием теоремы площадей). []
Одной из наиболее важных черт принципа длины и
площади является его общность.
Приведем еще один пример использования принципа
длины и площади для получения оценок функций,
р-листных в среднем по площади в круге Ы < 1.
Функция /(г) называется р-листной в среднем по
площади в круге \z\ < 1, если при любом р>0 имеем
1J
п {w, f) du dv <! лр2р-.
lwl<p

§ 4. ПРИНЦИП ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ 419
Здесь п(w, /), как и прежде,— число нулей функции
/(z)— w в круге Н < 1.
Легко проверить, что функция, /?-листная в среднем
по окружности, является и /?-листной в среднем по пло-
площади, но не наоборот.
Теорема 4.3. Пусть функция f(z) голоморфна,
р-листна в среднем по площади и не обращается в нуль
в круге Ы < 1. Тогда
, 1
/(*)
/@)
*«p+i(i+\x\
1-1*1
Доказательство. По теореме 4.2 имеем
в
Нам нужно оценить интеграл, стоящий слева, используя
условие р-листности функции f(z) в среднем по площади
в круге Ы < 1. Это условие можно записать в виде
р
\ 0 (t) dt < пр2р
о
или в виде
—яр2 =? ф(р) =? 0, D.4)
где
р
<р (р) = [ [0 (t) — 2ntp] dt.
о
Из очевидного неравенства \-— ^2 получаем нера-
неравенство—^ •—2—и! полагая x = Q(t), a = 2ntp, при-
приходим к неравенству
G (*)
Из этого неравенства находим, считая для определенно-
определенности, что А < В:
в в
Г
J
J в(р)
1П
в Г ф'
A J B

420 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Интегрируя по частям и используя D.4), получаем
в(р)
А
Следовательно,
In
/(*)
/@)
и теорема доказана.
§ 5. Распределение значений целых
и мероморфных функций
В предыдущих параграфах излагались методы полу-
получения оценок для функций, голоморфных в данной об-
области (главным образом в единичном круге), при тех
или иных предположениях относительно распределения
значений, принимаемых ими в этой области. Сейчас из-
изложим некоторые результаты, связанные с распределе-
распределением значений функций, голоморфных или мероморфных
во всей конечной плоскости (функции, голоморфные во
всей конечной плоскости, называются целыми функ-
функциями). Для этой цели придется сначала ввести некото-
некоторые обозначения.
Пусть функция F (z) мероморфна во всей конечной
плоскости. Через га (г, %, F) обозначим число нулей
функции F(z)—t, в круге \z\ < г (каждый нуль счита-
считается столько раз, какова его кратность). Через га (г, °°,F)
обозначим число полюсов функции F(z) в круге Ы <г.
Кроме того, введем обозначение
о
Функция N (г, ?, F) является некоторой средней мерой
того, насколько часто функция F(z) принимает значе-
значение ? в круге Izl < г.
Следующая функция является средней мерой того,
насколько функция F(z) близка к значению ? на окруж-
окружности М = г:
ml -¦ " —
1
т(г, оо, F' 1
2яг
|z|«=r

§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 421
Здесь 1п+ х = max {Inx, Oh Функцию т(г, ?, F) принято
называть неванлинновской функцией приближения.
В дальнейшем будем для краткости вместо п (г, ?, F),
N{r, ?, F) и т(г, ?, F) писать п(г, ?), #(г, .?) и от(г,?),
если ясно, к какой функции относятся эти обозначе-
обозначения. D
Ясно, что осредненные характеристики такого рода
как N(r, %) и m(r, t,) можно вводить с большой сте-
степенью произвола. Смысл введения именно этих характе-
характеристик объясняется следующей теоремой.
Теорема 5.1. Для любой функции f{z), мероморф-
ной во всей конечной плоскости, при любом фиксирован-
фиксированном % и при г ->- °° имеет место соотношение
m{r, ,) (, E)(, ) (, ) ()
Доказательство. В § 2 гл. VIII доказана фор-
форла Иенсена
\z\=r
|aft|<r I uk I
справедливая для любой функции, мероморфной в кру-
круге [z|=?r и не имеющей в точке z = 0 ни нуля, ни
полюса.
Суммы легко выражаются через функции N(r, О, /)
и N(r, оо, F). Действительно,
г г
2 In j^-r = f In -J- dra (t, 0) = Г w(''0) dt = TV (r, 0)
(так как /г@, 0) = 0), и аналогично
" ( °° dt = N (г, оо) (и @, оо) = 0).
Поэтому, полагая f{z) = F{z) — % и замечая, что
N(r, 0, F-?) = AT(r, I, F), N(r, ~, ^_^) = iV(r, оо, F),

422 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
получаем из формулы Иенсена формулу
± j ln\F{z)-Z\\dz\-ln\F{O)-Z\ =
= 7V(r, t,F)-N(r, c»,F). E.1)
Эта формула остается справедливой и при F@) = ? или
F@) = °°, только член In 1/^@) — t,\ заменяется несколь-
несколько иной константой, найти которую предоставляем чи-
читателю.
Заметим, что
||
|2|=г |г|=г
+ 27Г,
|2|=Г
Первое слагаемое равно —то (г, 5), а для второго слагае-
слагаемого в силу очевидных неравенств
можно написать
± ]" \n+\F(z)-i\\dz\-m(r, oo)
\z\~T
Следовательно,
<ln+|?| + In 2.
2^-r J
TO(r, oo)- то (г, 0 + 0A).
|z|=r
Подставляя это соотношение в формулу E.1), приходим
к утверждению теоремы.
Функция
называется характеристической функцией или характе-
характеристикой мероморфной функции F(z). Утверждение тео-
теоремы 5.1 может быть сформулировано в следующем виде:
При любом фиксированном % и при г ->¦ °° имеем
E.2)

§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 423
Доказанная теорема вскрывает интересную симмет-
симметрию в распределении значений функции, мероморфной
во всей конечной плоскости:
Если какое-либо значение t, принимается функцией
F(z) сравнительно редко (т. е. функция N(r, t,) мала
по сравнению с функцией Т(г)), то значения функции
F(z) должны быть близки к значению t,.
Простейшим проявлением этой закономерности явля-
является тот факт, что целая функция (т. е. не принимающая
значения ? = °°) стремится к бесконечности по некото-
некоторому пути, ведущему в бесконечно удаленную точку.
. Эта закономерность хорошо наблюдается и на всех
элементарных функциях: скажем, функция ег не обра-
обращается в нуль; зато она равномерно стремится к нулю
в целой полуплоскости Re z < 0. |_|
Интересно выяснить поведение функций пг(г, ?),
N(r, t,) и Т(г) для рациональной функции F(z).
При z -*• °° рациональная функция стремится к неко-
некоторому пределу а. Если %^а, то m(r, t,) = O(l), а чис-
число нулей функции F(z)—t, равно степени рациональной
функции, т. е. наибольшей из степеней числителя и
знаменателя (обозначим ее к). Поэтому
Г
= 0A) + J и (*¦ 0 - и
При t, = a число нулей F(z)— ?, меньше к, и это ком-
компенсируется тем, что функция тп(г, ?) растет при г -*• °°.
Если F(z)—целая функция, то рост характеристики
Т(г) тесно связан с ростом максимума модуля F(z) на
окружности \z\ = г, как показывает следующая теорема.
Теорема 5.2. Пусть F(z)—целая функция и
М(г) = max |F(z)|. Тогда при любом O<G<1 и при до-
|г|«=г
статочно больших г имеем
Доказательство. Для целой функции N(r, °°
0, так что
Г (г) = ш(г, оо) = 24-r J 1п+ | F (z) | | dz|<ln+ M(r)
||

424 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
при достаточно больших г. Отсюда вытекает правое не-
неравенство.
С другой стороны, ln+ I-F(z) I—субгармоническая
функция во всей конечной плоскости. Это значит, что
она не превосходит в круге \z\ < г гармонической функ-
функции, построенной по значениям ln+I.F(z)! на границе
этого круга, т. е. на окружности Ы = г. Строя эту гар-
гармоническую функцию с помощью интеграла Пуассона,
получаем
ф)
Отсюда легко находим
г+9 w/ ^ 2я
о
Полагая p = 0r, получаем левое неравенство. Теорема
доказана.
Скорость роста целой функции как бы определяет
степень сложности ее устройства. Характеристика Т(г)
играет примерно ту же роль для мероморфных функций.
Следующая теорема аналогична теореме Лиувилля (см.
§ 2 гл. IV).
Теорема 5.3. Если
M, E.3)
M
то F(z)—рациональная функция, степени не выше пг.
Доказательство. Заметим, что из условия E.3)
вытекает, что функция F(z) имеет не более тп полюсов.
Действительно, в противном случае мы имели бы

S 5. РАСПРКДЕЛКНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 425
п(г, с») > \i > т при г > го и
г
,г , ч Г П. (/, ОО) П (О, ОО) , ,„ . ,
N (г, оо) ^ \ -^—^——^—'- dt + п @, оо) In
го
> ц In г —0A),
откуда следовало бы 7'(г)> цIn r+ 0A), что противоре-
противоречит неравенству E.3).
Теперь построим правильную (степень числителя
меньше степени знаменателя) рациональную функцию
G(z), имеющую те же полюсы, что и F(z), и те же глав-
главные части в этих полюсах. Поскольку G (z) -*¦ 0 при z -»•
-»- оо, то т(г, оо, G) = 0 при достаточно больших г. Функ-
Функция H(z) = F(z)— G(z) не имеет полюсов, и
Г (г, Н) = т(г, оо, Я)<1»(г, °°,
+ лг(г, оо,
в силу очевидного неравенства
По теореме 5.2 получаем, что для целой функции H(z)
справедливо соотношение
lim ln3f(r' Н) <оо, М (г, Я) = тах|Я(г)|,
^^S lnr 1|
т. е.
lim *<;'**> -О
г-юо
при некотором р. По теореме Лиувил-ля (см. § 2 гл. IV)
функция H(z) является многочленом. Следовательно,
F(z) — рациональная функция. Но мы видели, что для
рациональной функции степени к имеет место соотноше-
соотношение Т(г, F) = к In г + 0A). Следовательно, F(z) — рацио-
рациональная функция степени не выше т. Теорема дока-
доказана. []
Простейшей величиной, характеризующей рост функ-
функции Т(г), является число
In Т (г)
называемое порядком мероморфной функции.

426 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Для целой функции в силу теоремы 5.2 в определе-
определении порядка вместо величины Т(г) можно брать
lnM(r).Q
В теории целых функций изучаются наиболее деталь-
детально функции конечного порядка, т. е. такие, для которых
0<р<°°.
Теория целых и мероморфных функций (особенно
теория целых функций) является одной из наиболее
развитых областей теории аналитических функций, и бы-
было бы нереально изложить здесь даже ее основы. Для
ознакомления с некоторыми вопросами теории целых
функций можно обратиться к монографиям [8, 13,
20]. D
В этом и в следующем параграфах докажем два очень
красивых результата, имеющих непосредственное отно-
отношение к теории распределения значений. Для формули-
формулировки первого из этих результатов, носящего название
теоремы Данжуа — Карлемана — Альфорса, понадобится
понятие асимптотического значения целой функции.
Число ? называется асимптотическим значением це-
целой функции F(z), если существует такая кривая L,
уходящая в бесконечность, что F(z)^-t, при z -*- °° по
кривой L.
Теорема 5.4. Число различных асимптотических
значений целой функции порядка р (отличных от беско-
бесконечности) не превосходит 2р.
Доказательство. Пусть функция F(z) имеет п
различных конечных асимптотических значений, и пусть
L\, L2, ..., Ln — те кривые, по которым функция F(z)
стремится к асимптотическим значениям а.\, п2, ..., ап.
Без ограничения общности можно считать, что кривые
Lh выходят из точки z = 0 и не имеют других общих то-
точек. Тогда вся плоскость разбивается этими кривыми
ровно на п различных областей D\, D2, ¦ . ., Dn.
По теореме Линделефа (см. следствие теоремы 4.3
гл. VIII) функция F(z) не может быть ограничена ни в
одной из областей Dh: так как она имеет различные пре-
пределы при г-"-» по разным сторонам области Dk.
Рост функции, ограниченной на границе бесконечной
области и не ограниченной внутри этой области, может
быть оценен снизу при помощи теоремы Фрагмена —
Лжнделефа, доказанной нами в § 6 гл. VIII (теорема 6.1).
Применяя эту теорему к функции F(z) в областях

§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ 427
D\, D2, . . ., А,, получаем
lnlnAf(r)>nj-^- + С (ft = l, 2,-..., и),
где Qk(t)—сумма длин дуг окружности Ы = г, попада-
попадающих в область Dk, а С — постоянная, не зависящая от г.
Складывая эти неравенства, получаем
\dt+Cv E.4)
Оценим сумму, стоящую под интегралом. По нера-
неравенству Буняковского — Шварца
Принимая во внимание, что
п
2 9ft (t) =
так как области Dk в совокупности покрывают всю пло-
плоскость, мы можем написать
" 2
Следовательно, д. . ^ojtf- Подставляя эту оценку в
неравенство E.4), получаем
In In М (г) >^-In r + CV
откуда по определению порядка находим р > ге/2. Теоре-
Теорема доказана.
Заметим, что доказанная теорема точна, как показы-
показывает пример функции

428 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Действительно, эта функция имеет порядок, равный т,
что легко следует из неравенства
С другой стороны, при 2, стремящемся к бесконечности
по лучам &rgz = ns/m (s = 0, 1, ..., 2т— 1), функция
F (z) имеет пределы, разные
rets
= J
Таким образом, функция ^(г) имеет 2лг различных ко-
конечных асимптотических значений.
Для формулировки второго результата понадобится
еще одно определение.
Дефектом значения ? назовем число
Ясно, что при всех значениях ?, имеем неравенство
0<6(?)<1, так как 0s?7V(r, ^)*S T(r)+ 0A). Q
Результат, который будет доказан в следующем пара-
параграфе (вторая основная теорема неванлинновской тео-
теории распределения значений), состоит в том, что сумма
дефектов всех значений для мероморфной во всей конеч-
конечной плоскости функции не превосходит двух. Этот ре-
результат обобщает, в частности, теорему Пикара (см. § 5
гл. IX) о том, что функция, мероморфная во всей конеч-
конечной плоскости, принимает все значения, за исключени-
исключением, может быть, двух.
Поучительно отметить, что соображения, наводящие
на мысль о справедливости этого результата, очень про-
просты и убедительны. Приведем их сейчас для случая, ког-
когда F{z)— целая функция, чтобы можно было говорить
лишь о сумме дефектов конечных значений, так как для
целой функции б(°°)= 1.
Если 6 (?)>(), то это означает, что

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ 429
т\ е. функция F(z) довольно быстро стремится к значе-
значению ? при z, стремящемся к бесконечности в некоторой
части плоскости. Но если сама функция стремится к по-
постоянной в некоторой области, то ее производная долж-
должна 1в этой области стремиться к нулю примерно с той же
скоростью. Это означает, что
8@, *")>26(?, F), E.5)
где сумма берется по всем конечным дефектным значе-
значениям. Но по определению дефекта имеем 6@, F')^l,
т. е. сумма дефектов по всем конечным дефектным зна-
значениям функции F (z) не превосходит единицы, а сумма
всех дефектов не превосходит двух.
К сожалению, это простое рассуждение оказалось
очень нелегко обосновать. Хотя неравенство E.5) и ока-
оказалось справедливым, но его доказательство потребовало
больших усилий. Доказательство теоремы беэ этого не-
неравенства даже проще. В поисках доказательства второй
основной теоремы Неванлинны были найдены интерес-
интересные закономерности.
§ 6. Теорема Неванлинны о дефектах
Сначала займемся выяснением геометрического смыс-
смысла характеристики Т(г) мероморфной функции. Прежде
всего напомним некоторые сведения о сфере Римана.
Каждой точке z = x + iy комплексной плоскости ста-
ставится в соответствие точка (?, ц, ?) сферы!?2 + тJ +
/ 1 \2 / 1 \а
+ К 2~1 = ("г") • Величины ?, ц, ? связаны с коорди-
координатами х, у точки плоскости равенствами
2*.ii2T ^ 0 a ¦ i 2 т э . , i 2
14-12 j 1 "r I * I 1 4~ 2 I
(cm. § 1 гл. I). Расстояние между точками сферы Ри-
мапа, отвечающими точкам z и ш, равно
Следовательно, элемент длины дуги на сфере Ри-
на равен
Лгт— dxdy
da- {?
7 I ds I
мана равен as — - ¦—-$-, а элемент площади равен
1 т I z I

430 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Выражения
\dz\ С Р dxdy
Г
J
будем называть, соответственно, сферической длиной
кривой L и сферической площадью области D.
Отметим одно важное свойство сферической метрики,
легко проверяемое непосредственным вычислением:/
Сферическая метрика инвариантна относительно пре-
преобразований вида
i+za
w = —! .
z — а
(Эти преобразования отвечают вращению сферы Ри-
мана.) [j
Еще нам понадобится одно обобщение формулы
Иенсена:
Лемма 1. Пусть функция р(?), t, = ^ + it], непре-
непрерывна во всей плоскости, за исключением конечного чис-
числа точек, и удовлетворяет условиям
Обозначим
где F(z)—некоторая функция, мероморфная во всей ко-
конечной плоскости. Тогда
Ш-rj
= U(F@)) +§'^-dx-N(r,oo,F). F.1)
Доказательство. Воспользуемся формулой Иен-
Иенсена в том вмде, к которому мы привели ее в предыду-

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ 431
три параграфе (см. формулу E.1))
= In | F @) — 11 + TV (r, I, F) — N (г, оо, F).
Умножим эту формулу на р(?) и проинтегрируем по
всей\ плоскости. В силу условий на р(?) все интегралы
равномерно сходятся, так что перемена порядка инте-
интегрирования законна. Выполняя интегрирование по ?, г\
и используя введенные обозначения, легко получаем ут-
утверждение леммы, если вспомнить, что при ? =
Замечание 1. Если F@)= °°, то U(F(Q)), как и в
обычной формуле. Иенсена, приходится заменить некото-
некоторой другой постоянной.
Замечание 2. Функции V(r) можно придать до-
довольно простой геометрический смысл. Для этой цели
введем в комплексной плоскости некоторую метрику, за-
задав элемент длины равенством ds = Vp(?) ld?l. Тогда
p(?)d|dT) — это элемент площади в этой метрике. Если
обозначить через Sr риманову поверхность, являющуюся
взаимно однозначным образом круга I z I < г при отобра-
отображении w = F(z), то п(г, ?)—это число листов римановой
поверхности Sr над точкой ?. Поэтому V(r) есть не что
иное, как площадь римановой поверхности Sr в нашей
метрике. Q
Это соображение (см. также § 4) позволяет написать
для функции V(r) еще одну формулу:
V (г) = J J p (F (z)) | F' (z) |» dxdy. F.2)
|2|<Г
G помощью леммы 1 уже нетрудно выяснить геомет-
геометрический смысл функции T(r, F)— характеристики ме-
роморфной во всей конечной плоскости функции F (г).
Для этой цели положим
+ lCI2)
2I

432 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Тогда функция V(r) будет равна сферической площади
римановой поверхности ST, деленной на л. Сферическую
площадь римановой поверхности Sr мы будем обозначить
S (г). По лемме 1 имеем
2nr
|z|=r 6
Найдем функцию U(w). Согласно определению
Внутренний интеграл вычисляется, например, с помощью
формулы Иенсена
* f
ln\w\ (\w\^R),
и вычисляя получающиеся интегралы, легко находим
?/(») = In У1 + Ы2.
Таким образом, мы пришли к формуле
2nr J х" г * i i * \"/1 i"-" i i •" \г' °°) —
|г|=г
Г
л С* а /„\ ~_ „^
F.3)
(при F@)= оо формула исправляется обычным способом).
Из очевидного неравенства
1п+ Ы
следует, что
т(г, °°)<2Й? J ln/l +|^(z)|2|dz|</w(r, oo) + ln2.

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ 433
Поэтому
Эта формула и дает искомый геометрический смысл ха-
характеристики мероморфной функции. Q
Величины
nfc(S, ^(z))|dz|,
где /с (?, u>) = —r —r —, называются, соответ-
K Ц-|С12К 1 + 1 "> I2
ственно, сферической формой характеристики и сфери-
сферической формой функции приближения. Q
Для сферической формы характеристики справедливо
соотношение несколько более точное, чем теорема 5.1:
Теорема 6.1. m{r,%) + N(r, ?) = Т(г)-In ft(?,F@)).
Доказательство. При % = °° утверждение теоре-
теоремы совпадает с формулой F.3). Чтобы доказать это ут-
утверждение при любом ?, рассмотрим функцию G (z) =
= ~г ? 'z' и применим формулу F.3). Это даст нам
f (z) ?
oo, G) = T{r, G)-ln/c(°°
Ясно, что Л^(г, oo, G) = N(r, %, F), так как полюсы функ-
функции G(z)— это нули функции F(z)— ?. Далее, мы отме-
отмечали, что преобразование 1 "*" ^ш (вращение сферы Ри-
мана) сохраняет сферическую метрику. Это значит, что
k{%, F{z)) = k{co, G(z))
и что S(x, F) = S(x, G) при всех х. Поэтому
m(r, oo, G) = m(r, %, F), T(r, G)=T(r,F),
ft (oo, G{O)) = k{l,F(O))t
и теорема доказана. []

434 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теперь перейдем к подготовке доказательства теоре-
теоремы Невашшнны о дефектах. Сначала докажем одну со-
совершенно элементарную лемму.
Лемма 2. Пусть if>(x)—непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая, неубывающая функция, положительная при х ^ а >
~> 0. При любом положительном q неравенство
^справедливо для всех х ^ а, за исключением, может
быть, множества Е, для которого \ xqdx < оо.
Е
Доказательство. Обозначим через Е то множе-
множество, лежащее на луче х ^ а > 0, для которого имеет ме-
•сто обратное неравенство. Тогда при х е Е имеем if)' (x) S*
>2()
Лемма доказана.
Еще понадобится неравенство
«праведливое для любой функции (р{х), неотрицатель-
вой на отрезке (а, Ъ). Оно является непрерывным ана-
аналогом неравенства
(А, + . . . + Ап) F.5)
(о среднем геометрическом и среднем арифметическом)
и легко получается из него предельным переходом.
Основное значение для доказательства имеет следу-
следующее неравенство:
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1. Тог-
Тогда в ее обозначениях
—

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ 435
Доказательство. Воспользуемся для V(r) фор-
формулой F.2). Из нее легко получаем, что
V'(r)= f p(F{z))\F'{z)\*\dz\.-
|z|=r
Поделим обе части этой формулы на 2лг и воспользу-
воспользуемся неравенством F.4). Это даст нам утверждение
леммы.
Теорема 6.2. Для любых t,\, ?2, ..., %п неравенство
m (r, lh)< 2T (г) + О (In Т (г) + In r)
1
справедливо при всех г, за исключением, может быть,
множества Е, для которого J r4 dr < 00 при любом фик-
Е
сированном q > 0.
Доказательство. Идея доказательства теоремы
состоит в том, чтобы подходящим образом выбрать функ-
функцию р(?) и воспользоваться неравенством F.6).
Заметим, что если функция р(?) выбрана так, что
интеграл, представляющий функцию
P{w) =
абсолютно сходится при всех w, то функция V(r), по-
построенная по выбранной функции р(?), удовлетворяет
неравенству
F.7)
Действительно, возьмем равенство, доказанное в тео-
теореме 6.1, умножим его на р(?) и проинтегрируем по
всей плоскости. Вспоминая, что р(^)^0 и что по опре-
о
делению m(r, ?)^0, а

436 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
И
0 —
получаем согласно определению функции Р(и>) нера-
неравенство
Из этого неравенства вытекает неравенство F.7), так
как по условию \P(w) I < °°.
Теперь оценим с помощью неравенства F.6) интеграл
|z|'=r
Из леммы 2 имеем
In *^-<21nF(r)
И
lnF(r)<21n
о
Следовательно, обозначая через Е объединение множеств
Е\ и Е2, имеем
^ f (r) + ln(r)) (r^?). F.8)
Далее, по формуле Иенсена
^r J ln|r(z)||^| = ln|F'(O)|+iV(r, 0,F')~
|zl-r
— iV (r, oo, F')> — iV (r, oo, F') + О A)
(так как N(r, О, F')>0). Но Л^(г, «>, F')<2N(r, «>, F),
поскольку F'(z) имеет только те же полюсы, что и F(z),
а кратность их увеличивается не больше чем вдвое.

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ
437
Следовательно,
— Щ- J
|
). F.9)
Подставляем оценки F.8) и F.9) в неравенство F.6):
/(р, F) = ± J InУЛрЩ | dz | <
|г|=г
<2N(r, оо) + 0{]пТ(г) + Ыг) {г<?Е). F.10)
Теперь для завершения доказательства нам осталось
только выбрать подходящим образом функцию
удовлетворяющую условиям
Р(?)>О,
и такую, чтобы интеграл для функции P(w) абсолютно
сходился при всех w.
Выбор такой функции р(?) не очевиден. В первом
варианте доказательства Неванлинна брал в качестве
р(?) плотность гиперболической метрики для плоскости
5 с выколотыми точками %i, ?2, . • •, 5»- Лишь впослед-
впоследствии Альфорс заметил, что можно взять в качестве р(?)
значительно более простую функцию с тем же поведе-
поведением при ?-»¦?, и ?-»-«>. Следуя Альфорсу, мы возьмем
функцию p(?)i определяемую равенством
П-1
?, оо)- 2)
(для удобства обозначений положено %п = °°, что ни в
какой мере не ограничивает общности). Определенная
этим равенством функция р(?) положительна и непре-
непрерывна во всей плоскости, за исключением точек ?„ в ок-
окрестности которых для функции р(?) имеют место асимп-
асимптотические формулы
{А.— некоторые положительные постоянные).

438 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Из этих асимптотических формул видно, что интеграл
от р(?) по всей плоскости абсолютно сходится, как и
интеграл, определяющий функцию P(w). Постоянную С
выберем так, чтобы интеграл от функции р(?) по всей
плоскости был равен 1.
Оценим интеграл /(р, F) для выбранной нами функ-
функции р(?). Имеем 7(р, F) = Ji — 2/2 + C, где
7i = 2Fr J lnfc(F(z), oo)_ Vlnfc(FB)W ldg\ =
|2|=Г L 1 J
= - m (г, оо) + 2 "* (г, ?,)
l
о
в силу определения т(г, ?), а
=2SP I In -2
|z|=r L 1
¦Ы-ш
в силу неравенства F.4).
Следовательно, неравенство F.10) дает
2] "г (г, ?,) — m (г, оо) <
<2N{r, сю) + О (In Г (г) + In r)
Прибавляя к обеим частям этого равенства величину
о о о
2т(г, <») и вспоминая, что m(r, °°) + N(r, °°) = T(r) +
+ 0A), а ?„ = оо, получаем утверждение теоремы. [J
Из доказанной теоремы сразу получается теорема
о дефектах.
Действительно, можно считать, что F(z) не являет-
является рациональной функцией, так как для рациональных
функций все ясно и так. Поэтому в силу теоремы 5.3
1пг-о(Г(гП (Г"*00).

§ 6. ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННЫ О ДЕФЕКТАХ 439
Кроме того,
Т-— iV (г, Е) ,. m (г, L)
lim • ь = lim - ^ ' ь;
? /v\ л Т-— iV (г, Е) ,.
б (?) = 1 — lim • „ ь = lim
'-»« Г (г) ,-^S Г (г,
Разделим обе части неравенства
на Г (г) и перейдем к пределу при г->-°° по какой-либо
последовательности, не попадающей на множество Е.
Это и означает, что
Теорема 6.2 была венцом неванлинновской теории рас-
распределения значений, изложенной в его книге [26].
В дальнейшем эта теорема породила ряд проблем, на ко-
которых многие математики свыше полувека оттачивали
свое аналитическое мастерство. Одной из таких проблем
является вопрос о возможных множествах дефектов ме-
роморфной функции. Более или менее завершенные ре-
результаты в этом направлении были получены лишь в
последнее время (после 1970 г.). Мы сформулируем сей-
сейчас некоторые из этих результатов, не приводя доказа-
доказательств (доказательства основаны на тонких оценках из
теории квазиконформных отображений, которым не на-
нашлось места в этой книге).
В приводимых ниже результатах предполагается, что
F'{%)—мероморфная функция конечного порядка. Это
предположение не случайно. Дело в том, что понятие де-
дефекта для мероморфной функции бесконечного порядка
не вполне корректно. На это обстоятельство указал
львовский математик А. А. Гольдберг в приложении к
русскому переводу книги [4] еще в 1960 г. Он построил
пример мероморфной функции F(z) бесконечного поряд-
порядка, у которой множества дефектов функций F(z) и
F(z + l) существенно различны.
Теорема 6.3. Для любой мероморфной функции
F (z) конечного порядка выполняется условие
°° F.1 IV
^сумма берется по всем значениям

440 ГЛ. X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема 6.4. Если для мероморфной функции F(z)
конечного порядка выполняется условие
216(9 = 2, F.12)
то дефект 6(?) отличен от нуля лишь для конечного
числа значений ?,, а все эти дефекты — рациональные
числа.
Оба эти результата были получены американским ма-
математиком Вейцманом (первый—в 1972 г., а второй —
в 1969 г.).
Теорема 6.5. Для любой последовательности поло-
положительных чисел {6J, к = 1, 2, ..., удовлетворяющей
условиям
со со
Sfc<l, 2 б* < 2, 2б?/3<°°, F-13)
существует мероморфная функция F(z) конечного по-
порядка и последовательность различных значений {t,k),
обладающие свойствами
Этот результат был получен харьковским математи-
математиком А. Э. Еременко в 1985 г.
Первое из условий F.13) в теореме 6.5 весьма суще-
существенно. Случай, когда один из дефектов равен 1 (на-
(например, когда F(z)—целая функция) пока не исследо-
исследован до конца. Ереванский математик Н. У. Аракеляа
высказал гипотезу, что для целой функции F(z) дефек-
дефекты должны удовлетворять условию
значительно более сильному, нежели F.11).
Неванлинновская теория привела и к интересным
многомерным обобщениям. Об этих обобщениях можно
прочесть в книгах [5, 44].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функ-
функций,— М.: Наука, 1970.— 304 с.
[2] Бибербах Л. (Bieberbach L.). Аналитическое продолже-
продолжение.— М.: Наука, 1967.— 240 с.
[3] де Брейн Н. (de Bruijn N. Т.). Асимптотические методы
в анализе.—М.: ИЛ, 1961.—248 с.
{4] Вит тих Г. (Wittich H.). Новейшие исследования по одно-
однозначным аналитическим функциям.— М.: Физматгиз, 1960.—
320 с.
[5] В у X. (Wu H.) Теория равнораспределения для голоморфных
кривых.— М.: Мир, 1973.— 228 с.
[6] Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции.
Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними.— М.: Физ-
Физматгиз, 1958.— 440 с.
[7] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции.
Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций.— М.:
Физматгиз, 1958.— 308 с.
{8] Г е п ь ф о н д А. О. Вычеты и их приложения.— М.: Наука,
1966.— НО с.
[9] Г е п ь ф о н д А. О. Исчисление конечных разностей.— М.:
Наука, 1967.— 376 с.
[10] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплекс-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1966.— 628 с.
[11] Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение
значений мероморфных функций.— М.: Наука, 1970.— 592 с.
[12] Гурвиц А., Курант P. (Hurwitz A., Courant R.). Теория
функций.— М.: Наука, 1968.— 608 с.
[13] Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функ-
функции.— М.: Наука, 1979.— 320 с.
[14] 3 о р и ч В. А. Математический анализ. Ч. 1.— М.: Наука,
1981.—543 с; Ч. 2.—М.: Наука, 1984.—640 с.
[15] Картан A. (Cartan H.). Элементарная теория аналитиче-
аналитических функций одного и нескольких комплексных перемен-
переменных.— М.: ИЛ, 1963.— 296 с.
[16] Ко пс он Э. (Copson E. Т.). Асимптотические разложения.—
М.: Мир, 1966.— 159 с.
[17] Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.—
495 с.
[18] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функ-
функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1988.— 736 с.
[19] Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала.—
М.: Наука, 1966.—516 с.
[20] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.— М.:
Физматгиз, 1956.— 632 с.

442 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[21] Мандельбройт С. (Mandelbrojt S.). Теоремы замкнуто-
замкнутости и теоремы композиции.— М.: ИЛ, 1962.— 154 с.
[22] Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических
функций.— М.: Наука, 1966.— 388 с.
[23] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.
Том 1: Начала теории.— М.: Наука, 1967.— 488 с.
[24] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.
Том 2: Дальнейшее построение теории.— М.: Наука, 1968.—
624 с.
[25] Маркушевич А. И. Избранные главы теории аналитиче-
аналитических функций.— М.: Наука, 1976.— 192 с.
[26] Неванлинна P. (Nevanlinna R.). Однозначные аналити-
аналитические функции.—М.: ГТТИ, 1941.—388 с.
[27] Олвер Ф. (Olver F. W. J.). Введение в асимптотические
методы и специальные функции.— М.: Наука, 1978.—376 с.
[28] ван дер Поль В., Бреммер X. (Van der Pol В., Brem-
mer H.). Операционное исчисление на основе двустороннего
преобразования Лапласа.— М.: ИЛ, 1952.— 505 с.
[29] Привалов И. И. Субгармонические функции.—М.: ОНТИ,
1937.- 199 с.
[30] Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функ-
функций.— М.— Л.: Гостехиздат, 1950.— 336 с.
[31] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплекс-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1967.— 444 с.
[32] Спрингер Дж. (Springer G.). Введение в теорию римано-
вых поверхностей.— М.: ИЛ, 1960.— 343 с.
[33] Титчмарш Е. (Titchmarsh Е. С.). Введение в теорию инте-
интегралов Фурье.— М.— Л.: ГТТИ, 1948.— 479 с.
[34] Титчмарш Е. (Titchmarsh Е. С). Теория функций.—М.:
Наука, 1980.— 464 с.
[35] Уиттекер Э., Ватсон Дж. (Whittaker E. Т., Wat-
Watson G. N.). Курс современного анализа. Часть 1. Основные
операции анализа.— М.: Наука, 1963.— 344 с.
[Ж\ Уиттекер Э., Ватсон Дж. (Whittaker К Т., Watson G. N.).
Курс современного анализа. Ч. 2: Трансцендентные функ-
функции.— М.: Наука, 1963.— 516 с.
[37] Форстер О. (Forster О.). Римановы поверхности.— М.:
Мир, 1980.— 248 с.
[38] Фукс Б. А., Левин В. И. Функции комплексного пере-
переменного и их приложения.— М.: Гостехиздат, 1951.— 307 с.
[39] Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного пере-
переменного и некоторые их приложения.— М.: Наука, 1964.—
388 с.
[40] Хард и Г. (Hardy G. N.). Расходящиеся ряды.—М.: ИЛ,
1951.—504 с.
[41] Хейман В. (Hayman W. К.). Многолистные функции.—
М.: ИЛ, I960.— 180 с.
[42] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функ-
Функции одного переменного.— М.: Наука, 1976.— 320 с.
[43] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функ-
Функции нескольких переменных.— М.: Наука, 1976.— 400 с.
[44] Шабат Б. В. Распределение значений голоморфных ото-
отображений.— М.: Наука, 1982.— 288 с.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel N. Н.) 21, 244
Абсолютная сходимость несоб-
несобственного интеграла 35
ряда 20
Автоморфные функции 384
Адамар (Hadamard J.) 22
Аддитивность интеграла как
функции области 32
Алгебраическая особая точка
146
Алъфбрс (Alfors L.) 207, 426
Аналитическое продолжение 74
элемента аналитической
функции 88
Аргумент комплексного числа 9
Ариела (Arzela С.) 23
Асимптотическая формула 234
Асимптотическое значение це-
целой функции 426
Бесконечно удаленная точка 10
Бета-функция Эйлера 253
Бюрман (Biirmann H.) 169
(Warschawski S.)
(Weierstrass С.)
Варшавский
210
Вейерштрйсс
21, 84, 390
Вейцман (Weitsman A.) 440
Ветвь аналитической функции
102
Взаимно однозначное отобра-
отображение 44, 345
Выпуклая область 323
Вычет функции в изолирован-
изолированной особой точке 148
Гамма-функция Эйлера 76, 248
Гармоническая мера 317
— функция 51, 294
Гиперболическая длина кривой
395
Гиперболическая метрика 365,
395
— площадь области 396
Гиперболическое расстояние
между точками 396
Главная линейная часть ото-
отображения 18
— часть ряда Лорана 152
Главное значение арксинуса
113
арктангенса 111
логарифма 95
степени 98
Голоморфная ветвь аналитиче-
аналитической функции 102
Гомеоморфизм 44
Гомотопический класс кривой
38, 357
Гомотопность кривых 36
— параметрических уравнений
37
Граница множества 12, 43
Граничная точка множества 12,
43
Грин (Green G.) 297, 310
Группа автоморфизмов кон-
конформного отображения 359
Гурса (Goursat E.) 55
Данжуа (Denjoy A.) 426
Двоякопериодические функции
Ш
Действительная ось 9
Действительная часть комплекс-
комплексного числа 9
Дефект 428
Диаметр множества 12
Дирихле (Dirichlet P.) 310, 370
Дифференцируемое отображе-
отображение 17
Длина кривой 17
Достижимая граничная точка
132, 350
Дробно-линейное отображение
180

444
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жордан (Jordan С.) 15, 218
Задача Дирихле 310, 370
Замкнутое множество 12, 43
Замыкание множества 13
Иёнсен (Jensen J.) 308
Изображение 270, 278
Изолированная особая точка
однозначного характера 141
— точка ветвления 145
Изоморфизм групп 358
Инвариант Шварца 204
Инвариантность гиперболиче-
гиперболической метрики 396
Индекс точки относительно
кривой 40
Интеграл Кристоффеля —. Швар-
Шварца 198
— по границе области 27
— по кривой 26
— Пуассона 313
Интеграл типа Коши 224
Интегральная сумма 26
— формула Коши 61
Карлем&н (Carleman Т.) 321,
324, 397
Кёллог (Kellog О.) 356
Классы А, В, Нь 327
Компактное множество 46
Комплексная плоскость 8
Комплексно сопряженное чис-
число 9
Комплексное число 7
Композиция отображений 44
Компонента границы 13
Конгруентные точки 385
Конформное отображение 178,
345
Коши (Cauchy A.) 19, 22, 49,
54, 61, 149, 224
Кратность нуля 142
—¦ полюса 142
Кривая гладкая 15
— замкнутая 14, 45
¦— кусочно-гладкая 15
— непрерывная 13, 45
— простая 14, 45
— ¦— замкнутая 14, 45
— спрямляемая 17
Кристбффелъ (Christoffel E.)
198
Критерий Коши 19
Круг сходимости 22
Лагранж (Lagrange J.) 169
Лаплас (Laplace P.) 51, 254, 294
Лебег (Lebesgue P.) 260, 264
Лейбниц (Leibnitz G.) 54
Лемма Жордана 218
— Шварца 393
Линделёф (Lindelof Б.) 321, 333V
340
Липшиц (Lipschitz R.) 261
Лиуваллъ (Liouville J.) 140
Логарифмическая точка ветв-
ветвления 145
Логарифмически выпуклая
функция 306
Локальная первообразная 52
Лоран (Laurent P.) 150
Мазуркёвич (Mazurkiewicz) 24
Меллйн (Mellin H.) 290
Метрика 42
¦— Мазуркевича 24
Мйттаг-Лёффлер (Mittag-Leff-
ler G.) 234
Muib (Milloux H.) 324
Мнимая ось 9
— часть комплексного числа 9
Мнимое число 8
Модуль комплексного числа 9-
Модулярная группа 383
Модулярные функции 382
Морёра (Morera G.) 68
Мюнц (Mtintz G.) 332
Накрывающая поверхность 126
Неванлйнна (Nevanlinna R.)
420, 429
Неванлинновская функция при-
приближения 421
Невырожденность отображения
в точке 18
Неевклидова метрика 365
Неподвижная точка дробно-ли-
дробно-линейного преобразования 362
Непрерывное отображение 44
Непрерывность функции вплоть
до границы области 24

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
44&
Несобственный контурный ин-
интеграл 35
Нуль голоморфной функции 142
Ньютон (Newton I.) 54
Область 13, 46
— односвязная 13, 46
— определения функции 17
— гс-связная 13
Образ множества при отобра-
отображении 44, 174, 342
— точки при отображении 44
Однолистность функции в точ-
точке 176
— многозначной аналитической
функции 342
Окрестность бесконечности 12
— точки 12, 42
Оригинал 270, 278
Ориентируемая поверхность 46
Основная автоморфная функ-
функция 389
Особая точка аналитической
функции 127
функции, голоморфной в
данной области 132
Открытое множество 13, 43
Отображение 17, 43
Параллелограмм периодов 390
Параметрическое уравнение
кривой 13
Парсевалъ (Parseval M.) 267
Первая теорема Абеля 21
Пересечение множеств 12
Пикар (Picard E.) 383
Плана (Plana G.) 244
Плоскость Лобачевского 365,
395
Плотность гиперболической
метрики 395
Поверхность 46
Подобие групп 366
Полиа (Пойа, Пойя) (Polya G.)
136
Полная аналитическая функ-
функция 84
Полнота системы функций 332
Положительное направление на
кривой 14
Полюс 141
Порядок мероморфной функции
425
— нуля 142
— полюса 142
Порядок ветвления 145
— целой функции 426
Постоянная Эйлера 248
Предел последовательности 18
— функции 18
Предельная точка множества
12
Преобразование Лапласа дву-
двустороннее 254
одностороннее 254
— Меллина 290
— Фурье 290
Преобразования движения не-
неевклидовой плоскости 366
Признак Вейерштрасса 21
Принсгёйм (Pringsheim A.) 135
Принцип аналитического про-
продолжения 74
— аргумента 160
— гиперболической метрики 396Г
397
— длины и площади 414
— Карлемана 321
— компактности 71
— максимума для субгармони-
субгармонических функций 302, 304
модуля аналитической
функции 308
— расширения области 321
— симметризации 401
— симметрии Римана — Шварца
192
— соответствия границ 176
Проблема Карлемана — Мин>
324
Проекция точек римановой по-
поверхности 125
Производная 48
Прообраз при отображении 44Г
174
Простой нуль 142
— полюс 142
Пуассон (Poisson S.) 313
Равенство Парсеваля 267
Равномерная непрерывность 23
— сходимость несобственного-
интеграла 36 '
— — ряда или последовательно-
последовательности 21
Равностепенная непрерывность
23
Радиус сходимости 22
Расстояние по области 24
— между множествами 12

446
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Расширенная комплексная пло-
плоскость 10
Рйман (Riemann В.) 10, 49, 116,
179, 192
Риманова поверхность 116
— поверхность корня ге-й степе-
степени 121, 122
логарифма 120, 122
Рушё (Rouche Б.) 160
Ряд абсолютно сходящийся 20
— Бюрмана — Лагранжа 169
— Лорана 150
— равномерно сходящийся 21
— степенной 21
— сходящийся 20
— Тейлора 67
Свертка функций 264
Свободная группа 39
Связное множество 13
Симметризованная область 405
Симметрия относительно ок-
окружности 182
— — прямой 182
Сопряженные гармонические
функции 51
Стереографическая проекция 10
Стйрлинг (Stirling J.) 239
Субгармонические функции 300,
302
Сумма ряда 20
Супергармонические функции
302
Существенно особая точка 141
Сфера Римана 10
Сферическая длина кривой 430
— площадь области 430
— форма характеристики меро-
морфной функции 433
Сходимость несобственного ин-
интеграла 35
Тейлор (Taylor В.) 67
Теорема Альфорса 207
— Арцела 23
— Гурса 55
— Данжуа — Карлемана — Аль-
Альфорса 426
— единственности для гармони-
гармонических функций 297
для голоморфных функций
73
-— Жордаиа 15
Теорема Келлога 356
— Коши 54
— Линделефа 321, 322
— Лиувилля 140
— Морера 68
— Мюнца 332
Теорема о вычетах 149
— о двух константах 320
— о монодромии 90
— о соответствии границ при
конформном отображении
179
— о среднем для гармонических
функций 299
— Пикара 383
— Полна 136
— Принсгейма 135
— Римана о конформном ото-
отображении 179, 341
— Руше 160
— Фабри 135
Теоремы Фрагмена — Линделе-
Линделефа 333, 340
Теория вычетов 147, 215
Топологическое отображение 44
Умножение гомотопических
классов 38
Уравнение Лапласа 51, 294
Уравнения Коши — Римана 49
Условие Липшица порядка а
261
Фабра (Fabry E.) 135
Формула Абеля — Плана 244
— Варшавского 210
— Грина 297
— Грина — Остроградского 297
— Иенсена 308
— Коши — Адамара 22
— Кристоффеля — Шварца 198
— Ньютона — Лейбница 54
— обращения преобразования
Лапласа 255
— Пуассона для круга 313
для полуплоскости 313
— Стирлинга 239
— Шварца 313
— Эйлера 75
Фрагмён (Phragmen E.) 333, 340
Фундаментальная группа обла-
области 38, 358, 361
— область группы автоморфиз-
автоморфизмов 369, 385

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
447
Функции ограниченного вида
327
Функция 17
— аналитическая в данной об-
области 102
¦ на кривой 85
— Вейерштрасса 390
— выпуклая книзу 305
— голоморфная в бесконечно-
бесконечности 52
в области 51
в точке 51
— дифференцируемая 48
— Грина задачи Дирихле 310
— Жуковского 188
— мероморфная в области 143
— непрерывная в точке 22
на множестве 22
— однолистная в области 175
в точке 176
— определенная на кривой 85
— р-листная в среднем по ок-
окружностям 406
Функция р-листная в среднем
по площади 418
Фурьё (Fourier J.) 290
Характеристика меромо
функции 422
Хаусдорф (Hausdorf F.) 42
Хаусдорфово пространство 42
Хордальное расстояние 11
Шварц (Schwartz H.) 192, 198.
204, 313, 393
Эйлер (Euler L.) 75
Элемент гиперболической дли-
длины 395
— полной аналитической функ-
функции 88
Эллиптические функции 384,
390
Эквивалентность элементов ана-
аналитической функции 88
Эквивалентные контуры 219
Якобиан отображения 17